Text
                    П Hs БЕРМАН
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ИЗДАНИЕ ДВАДЦАТОЕ
Допущено Министерством, высш г го и среднего специального образования СССР, в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ 1985

22 J 6 Б 50 УДК 51Z Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математи к ского анализа: Учебное пособие для вузов. — 20-е изд. М,: Наука. Главная редакция физико-математической ли. ратуры, 1985. — 384 с. Сборник содержит систематически подобранные за" ,чи и упражнения к основным разделам курса математи /-кого анализа. Большинство параграфов для удобства пег . зования подразделено на части. Группам задач с однор •' ным содержанием предшествует общее указание. ПеР задачами физического содержания даются нужные спраг по физике. Для студентов высших учебных заведений. 19-е издание вышло в 1977 г. Ил. 83. Б 1702050000—065 053(02)—85 , ф Издательство <Наука>. Главная редакция физико-математической 1985 53-85
ОГЛАВЛЕНИЕ . предисловия к семнадцатому изданию . . . • . < 6 ‘ а а в а I. Функция • ....................... 7 § 1. Первоначальные сведения о функции 7 § 2. Простейшие свойства функций • 11 § 3. Простейшие функции 14 § 4. Обратная функция. Степенная, показательная и логарифмиче- ская функции • । । । е «>»»« ' 19 § 5. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 22 § 6, Вычислительные задачи 25 '’лава II. Предел. Непрерывность . . . .........•..••••• 27 § 1. Основные определения ...••• > . • 27 § 2. Бесконечные величины. Признаки существования предела ... 29 § 3. Непрерывные функции .................................... 32 § 4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых ...... 34 " .<ава III. Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление • 44 § 1. Производная. Скорость изменения функции 44 § 2. Дифференцирование функций.............................. 47 § 3. Дифференциал. Дифференцируемость функции • •«••.•••• 63 § 4. Производная как скорость изменения (дальнейшие примеры) 66 § 5. Повторное дифференцирование • 73 . а в а IV. Исследование функций и их графиков ...... ...... 79 § 1. Поведение функции ..................... ............. • 79 § 2. Применение первой производной ......................... 80 § 3. Применение второй производной.......................... 89 § 4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений.............. 92 § 5. Формула Тейлора и ее применение ....................... 99 § 6. Кривизна .............................................. 101 § 7. Вычислительные задачи ................................. 103 глава V. Определенный интеграл ...... 105 § 1. Определенный интеграл и его простейшие свойства ....... 105 § 2. Основные свойства определенного интеграла ........... 108
Глава VI. Неопределенный интеграл. Интегральное исчисление . • . • 114 § 1. Простейшие приемы интегрирования .....................• 114 § 2. Основные методы интегрирования ............• 117 § 3. Основные классы интегрируемых функций • 121 Глава VII. Способы вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы ...........................................128 § 1. Способы точного вычисления интегралов 128 § 2. Приближенные методы • . . ..............................135 § 3, Несобственные интегралы 138 Глава VIII. Применения интеграла..........• 143 § 1. Некоторые задачи геометрии и статики • •••.............. 143 § 2. Некоторые задачи физики ............................... 158 Глава 1Х„ Ряды .............................................. • . • 168 § 1. Числовые ряды ...................... ................. . . 168 § 2. Функциональные ряды ................................... 172 § 3. Степенные ряды . . • , ,..............................• 175 § 4. Некоторые применения рядов Тейлора , , ................ 178 Глава X. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление .................................. 182 § 1. Функции нескольких переменных ........................ 182 § 2. Простейшие свойства функций............................. 184 § 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 188 § 4. Дифференцирование функций 192 § 5. Повторное дифференцирование ........................... 195 Глава XI. Применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных 199 § 1. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких переменных ...................................................... 199 § 2. Плоские линии ............... • • .................... 204 § 3. Векторная функция скалярного аргумента. Линии в простран- стве. Поверхности ...................................... 206 § 4. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению ... 211 Глава XII. Многомерные интегралы и кратное интегрирование .... 213 § 1. Двойные и тройные интегралы .......................... 213 § 2. Кратное интегрирование ........................... 214 § 3. Интегралы в полярных, цилиндрических п сферических координатах .................................................... 217 § 4. Применение двойных и тройных интегралов................. 220 § 5. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра 229 Глава XIII. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности 235 § 1. Криволинейные интегралы по длине........................ 235 § 2. Криволинейные интегралы по координатам ............. . 238 § 3. Интегралы по поверхности ................... 243
Глава XIV. Дифференциальные уравнения ....................... 247 § 1. Уравнения первого порядка.................... 247 § 2. Уравнения первого порядка (продолжение).............. 258 § 3. Уравнения второго и высших порядков .............. 261 § 4. Линейные уравнения........'.......................... 265 § 5. Системы дифференциальных уравнений................... 270 § 6. Вычислительные задачи................................ 273 Глава XV. Тригонометрические ряды............................. 276 § 1. Тригонометрические многочлены........................ 276 § 2. Ряды Фурье......................................... 277 § 3. Метод Крылова. Гармонический анализ.................. 280 Глава XVI. Элементы теории поля.............................. 282 Ответы . ............................................. . . . . 289
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К СЕМНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ Настоящий «Сборник задач» предлагается студентам, изучающим математический анализ в объеме программы для высших технических учебных заведений. '«Сборник» содержит систематически подобранные задачи и упражнения к основным разделам курса математического анализа. Теоретические сведения и справки о необходимых формулах в «Сборнике задач» не помещены; имеется в виду, что читатель найдет их в соответствующих разделах учебника. Большинство параграфов «Сборника задач» для удобства пользования подразделено на части. Группам задач с однородным содержанием предшествует общее указание. Перед задачами физического содержания даются нужные справки по физике. Для более трудных задач указания к решению даны в разделе «Ответы»; такие задачи отмечены звездочкой (*). Первое издание «Сборника задач» появилось в 1947 г. Все последующие издания, дважды сопровождавшиеся значительной переработкой, осуществлялись без непосредственного участия Георгия Николаевича Бермана, скончавшегося 9 февраля 1949 г. после продолжительной и тяжелой болезни, полученной в результате ранения на фронте Великой Отечественной войны. Эта работа выполнялась товарищами Г. Н. Бермана по совместной работе — И. Г. Арамановичем, А. Ф. Бермантом, Б. А. Кордемским, Р. И. Позойским и М. Г. Шестопал. В 1959 г. наш коллектив потерял соавтора и первого редактора «Сборника» профессора Анисима Федоровича Берманта, скоропостижно скончавшегося 26 мая. Георгий Николаевич и Анисим Федорович были замечательными товарищами, людьми высокой культуры, одаренными прогрессивными педагогами. Память о них неизгладима. И. Г. Араманович. Б. А. Кордсмский, Р. И. Позойский, М. Г. Шеспюпал Настоящее (двадцатое) издание печатается без существенных изменений и практически не отличается^от предыдущего (1977 г.).
ГЛАВА I ФУНКЦИЯ § 1. Первоначальные сведения о функции Функции и способы их задания 1. Сумма внутренних углов плоского выпуклого многоугольника является функцией числа его сторон. Задать аналитически эту функцию. Какие значения может принимать аргумент? 2. Функция у от х задана следующей таблицей: Независимая переменная х . . Функция 0 —1,5 0,5 —1 1 0 1,5 3,2 2 2,6 3 0 Независимая переменная х . . 4 5 6 7 8 9 10 Функция у — 1,8 —2,8 0 М 1,4 1,9 2,4 Построить ее график, соединив точки «плавной» линией, и по графику «уплотнить» таблицу, определив значения функции при х = 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5. 3. Функция задана графиком, изображенным на рис. 1. Перевести чертеж на миллиметровую бумагу, выбрать масштаб и несколько значений независимой переменной. Из чертежа определить значения функции, соответствующие выбранным значениям независимой переменной, и составить таблицу этих значений. 4. Функция задана графиком, изображенным на рис. 2. По графику ответить на следующие вопросы: а) При каких значениях независимой переменной функция обращается в нуль? б) При каких значениях независимой переменной функция положительна? в) При каких значениях независимой переменной функция отрицательна? 5. Зависимость силы F взаимодействия двух электрических зарядов и е2 от расстояния г между ними выражается по закону Кулона формулой
Положив ^=с2 = 1 и е = 1, составить таблицу значений данной функции для г = 1, 2, 3, ...» 10 и построить ее график, соединив найденные точки «плавной» линией. 6. Записать функцию, выражающую зависимость радиуса г цилиндра от его высоты h при данном объеме V = 1. Вычислить значения г при следующих значениях Л: 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5. Построить график функции. Л Рис. 1 Рис. 2 7. Выразить площадь равнобочной трапеции с основаниями а и b как функцию угла а при основании а. Построить график функции при а = 2, 6 = 1. 8. Выразить зависимость длины b одного катета прямоугольного треугольника от длины а другого при постоянной гипотенузе с = 5. Построить график этой функции. 9. Даны функции Найти: /(0); /(1); /(2); /(-2); |/(|)|; Ч>(0): Ф(1); ф(2); <р(—2); ф(4). Существует ли /(—1); <р(—1)? 10. Дана функция f (и) — и3 — 1. Найти: /(1); f(a);f(a4*l); f(a-l); 2/(2а). 11. Даны функции F(z) = 22~3 и <р(г) =2<г1-2. Найти: F (0); F(2); F(3); F(-l); F(2,5); F(-1,5) и <p(0); <p(2); <p (—1); <p (x); <p(_]) + F(l). 12. Дана функция — Найти: ф (0); ф(1); ф(—1); t(4): ЯЧ—а). 13. ф(0 = ^+1. Найти: ф (/2) и [ф(/)]2. 14. F (х) = х4 — 2х3 5. Доказать, что F(a) = F(~а). 15. Ф (г) — т? — 5г. Доказать, что Ф (—z) — — Ф (г). 16. f(/) = 2/2 + ^ + | + 5t Доказать, что /(0=/(|).
17. f(x) = sinx —cosx. Доказать, что 18. tp(x) = lgx. Доказать, что ф(х)-|-ф(х4- 1) = ФОС* + !)]• 19. F (г) = аг. 1) Доказать, что при любом г справедливо соотношение F(— z)F(z)-l«=0. 2) Доказать, что F(x)F(y)=F(x-\-y). 20. Даны график функции y=f (х) и значения а и b независн яой переменной х (рис. 3). Построить на чертеже /(а) и /(6) Каков геометрический смысл отношения —^21? ь—а 21. Показать, что если любая хорда графика функции у = f (х) лежит выше стягиваемой ею дуги, то для всех Xi=#=x2 имеет место неравенство /(х1)+/(ха) >^Xi-Maj 22. Дано: /(х)=х2 —2x4-3. Найти все корни уравнения: а)/(х)= -7(0); б) f (х)=/(-1). 23. Дано: f (х) = 2х3 — 5х2 — 23х. Найти все корни уравнения f(x)=f(—2). 24. Дана функция /(х). Указать хотя бы одни корень уравнения f (х) =/ (а). 26. Указать два корня уравнения если известно, что функция /(х) определена на отрезке [—5, 5]. Найти все корни данного уравнения для случая, когда /(х) = х2—12x4-3. 26. Г(х)=х24-6; ф(х) = 5х. Найти все корни уравнения Г(х)=> -=1ф (-*)!- 27. /(х) = х4-1; <р(х)=х —2. Решить уравнение |/(х)4-ф(х)| = |/(х)|4-|ф(х)|. 28. Найти значения а и Ь в выражении функции /(х)=ах24-4-&Х4-5, для которых справедливо тождество f (х— f (к) = г= 8x4-3. 29. Пусть f (x) = acos (fcx4-^). При каких значениях постоянных а, b и с выполняется тождество /(х4-1) — /(х) = sinx. Сложные функции 30. Дано: у = г2, z = x4-1. Выразить у как функцию х. 31. Дано: у = Kz + 1, г = tg2 х. Выразить у как функцию х. 32. Дано: y = z2, г = |/х4-1, х = az. Выразить у как функцию/.
33. Дано: y = sinx; v = lgy; и = ]^1 4-v2. Выразить и как функцию х. _____ 34. Дано: у = 14-х; г = cos у; и = ]/Г1— г2. Выразить v как функцию х. 35. Следующие сложные функции представить с помощью цепочек, составленных из основных элементарных функций: 1) z/ = sin3x; 2) y = V (\+х)2-, 3) y = lgtgx; 4) z/ = sin3 (2x4-1); 5) r/ = 5(3-*+1)2. 36. f(x)=x3 — x; <p(x) = sin2x. Найти: a) f[<P(-£)]; 6) <p[f(l)]; в) <p[/(2)]; r) f[<p(x)]; л) ИНх)]; e) f tf[f(l)]}; ж) <p[<p(x)]. 37. Доказать справедливость следующего способа построения графика- сложной функции AW' будет точкой графика тому значению х. у = / [<р (х)] = F (х) по известным графикам составляющих функций: у=» = f(x), y — Из точки А графика функции <р(х) (рис. 4), соответствующей данному значению независимой переменной х, проводится прямая, параллельная оси Ох, до пересечения в точке В с биссектрисой первого и третьего координатных углов; из точки В проводится прямая, параллельная оси Оу, до пересечения с графиком функции f(x) в точке С. Если из точки С провести прямую, параллельную оси Ох, то точка D ее пересечения с прямой функции Е(х), соответствующей взя- Неявные функции 38. Написать в явном виде функцию у, неявно заданную следующим уравнением: 1) + = 2) 3) х3 + //3 = а3; 4) ху = С; 5) 2vy = 5; 6) Igx4-lg(y4-1) =4; 7) 2Л!''(х2 — 2) = х37; 8) (1 4-х) cos у-х2 = 0. 39*. Показать, что при х>0 уравнение у+\у\— х — |х| = 0 определяет функцию, графиком которой является биссектриса первого координатного угла, а при х=^0 данному уравнению удовлетворяют координаты всех точек третьего координатного угла (включая и его граничные точки).
§ 2. Простейшие свойства функций Область определения функции 40. Составить таблицу значений функции целочисленного аргумента у = для 1 х 6. 41. Значение функции целочисленного аргумента ц = ср(п) равно количеству простых чисел, не превосходящих п. Составить таб- лицу значений и для 1^и^20. 42. Значение функции целочисленного аргумента u = f(n) равно количеству целых делителей аргумента, отличных от 1 и самого п. Составить таблицу значений и для 1^п^20. 43. Из трех материальных отрезков, длины которых равны 1; 2; 1 единицам длины, а массы соответственно равны 2;s3; 1 единицам массы, составлен брус (рис. 5). Масса переменного отрезка AM длины х есть функция от х. При каких значениях х определена эта функция? Составить ее аналитическое выражение и построить график. 44. Башня имеет следующую форму: на прямой круглый усеченный конус с радиусами оснований 2R (нижнего) 2г зг /г Рис. 5 и R (верхнего) и высотой R поставлен цилиндр радиуса R и высоты 2R; на цилиндре — полусфера радиуса R. Выразить площадь S поперечного сечения башни как функцию расстояния х сечения от нижнего основания конуса. Построить график функции S=f(x). 45. В шар радиуса R вписывается цилиндр. Найти функциональную зависимость объема V цилиндра от его высоты х. Указать область определения этой функции. 46. В шар радиуса R вписывается прямой конус. Найти функциональную зависимость площади боковой поверхности S конуса от его образующей х. Указать область определения этой функции. В задачах 47—48 найти области определения данных функций: 47. 1) 0=1 —Igx; 2) 0 = lg(x + 3); 3) у = /5^27; 4) 0 = К—рх(р>0); 5)0 = ^^; 6) 0 = 7) 8) „ = S-1-/1 -Л |0)!'-Г5=й: II) </-)/>-4х+з; 12) «= , х =-;>13) y = arcsin—; ' а /х*-3*+2 ’ ' ” 4 14) 0 = arcsin (х — 2); 15) 0 = arccos (1 — 2х);
16) t/= arccos^-^; 17) j/ = arcsiny2x; 18) = 19) i/ = -7==;k20) У=~=а 21) У = 1^16 ("~7'A')» 22) z/ = lgsinx; 23) у «arccosj-p^; 24) у = log, 2. 48- О У =-TgyfLx) + /^+2; «2) 0 = /337+arcsin^; 3) z/ = arcsini^- — lg(4—x); *4) У = У*+У^2--lg(2x-3); 5) У=Ух-1+2У1-х+Ух2+1; • 6) i/=T^f + lg(x3-x); 7) y = lgsin(x-3)+-/16-xa; 8) ♦ 10) 11) 12) 13) 15) 49. y=ysinx + У16 —x2; 9) у=—JL_- 4-|/sinx; У sinx ^=*gx2—10x-}-24 ~/*+5; f/ = yx2-3x + 24 y=(x2 + x+l)-»/2; 1 )/3+t2x—xa' 14) //=lg(/F=4+/¥=^); z/ = lg[l —lg(x2 —5x-f-16)]. Тождественны ли функции: !)/(*) = -* и <PW = 7! 2)f(x) = ~ и ф(х)=х; 3) f(x)—x и ф(х)=Ух2; 4) /(x) = lgx2 и <p(x)=2!gx? 50. Придумать пример аналитически заданной функции: 1) определенной только в интервале — 2^х^2; 2) определенной только в интервале — 2<х<2 и не определенной при х = 0; 3) определенной для всех действительных значений х, за исключением х = 2, х = 3, х = 4. 51. Найти области определения однозначных ветвей функции у = <р(х), заданной уравнением: 1) p8-l + log2(x-l)=0; 2) ^-2xi/24-x2-x = 0. Элементы поведения функции 52. f (х) = ) : указать область определения функции f(x) и убедиться, что эта функция неотрицательна.
53. Найти интервалы знакопостоянства и корни функции: 1) у = 3х —6; 2) у=х«-5х + 6; 3) у = 2х~\ 4) # = хЗ-Зха + 2х; 5) 0=|х|. 54. Какие из указанных ниже функций четны, какие нечетны, какие не являются ни четными, ни нечетными: 1) у = х* — 2х2; 2) у = х — х2; 3) у = cosx; 4) у=2х; 5) У = Х— + 6) 0 = sinx; 7) y = sinx — cosx; 8) у=1-х2; 9) y = tgx; 10) у = 2~*г; 1П « — aX+a~x. in\ ,, ax — a~x x n) У = —2—’ 12) у =—2—; 13) у = У~а*—1’ 5) ^ = X'a*-|-l’ 16) y = 2*->“-, 17) y = ln|g? 55. Каждую из следующих функций представить в виде суммы четной и нечетной функций: 1) # = х24-Зх4-2; 2) у= 1 — х3 — х* — 2х8; 3) y = sin 2x+cos y 4-tgx. 56. Доказать, что /(х)+/(—х) —четная функция, а /(х)— —/(—х) —нечетная функция. 57. Представить [в виде суммы четной и нечетной функций следующие функции: 1) у = а*; 2) у=(1Ч-х)100 (см. задачу 56). 58. Доказать, что произведение двух четных функций есть четная функция, произведение двух нечетных функций— четная функция, произведение четной и нечетной функции—нечетная функция. 59. Какие из нижеследующих функций будут периодическими: 1) y = sin2x; 2) 0 = sinx2; 3) y = x-cosx; 4) z/ = sin-~; 5)y=14-tgx; 6)0 = 5; 7) y = [x]; 8) t/ = x-[x]? (Функция [x] определяется так: если x —целое число, то [х] = х. Если х не есть целое число, то [х] равно наибольшему целому числу, меньшему х. Так, [2] = 2; [3,25] = 3; [—1,37] = —2.) 60. Построить график такой периодической функции с периодом Т— 1, которая на полуинтервале [0, I) задана формулой: 1) у = х; 2) у = х2. 61. Указать интервалы возрастания и убывания и интервалы постоянства функций: 1) 2) у = И-*- 62. Указать наибольшее и наименьшее значения функций: 1) y = sin2x; 2) 0 = cosx3; 3)у=1—sinx; 4) y = 2xi.
63. С помощью графического сложения построить график функции у = /(х) + <р(х): 1) для графиков, изображенных на рис. 6; 2) для графиков, изображенных на рис. 7. 64. Зная график функции у=f(x), построить график функции! 1) У = 1/(х)|; 2) у = у[|/(х)|+/(х)]; 3) j/ = |[|f(x)l-/(%)]. § 3. Простейшие функции Линейная функция 65. Дано, что при напряжении Е = 2,4 В сила тока / = 0,8 А. Выразить аналитически, используя закон Ома, зависимость между силой тока и напряжением; построить график найденной функции. 66. В сосуд произвольной формы налита жидкость. На глубине ft = 25,3 см давление этой жидкости р= 1,84-108 Па. а) Составить функцию, выражающую зависимость давления от глубины. б) Определить давление на глубине h— 14,5 см. в) На какой глубине давление станет равным 2,65 103 Па? 67. Тело движется прямолинейно под действием силы F. Исходя из закона Ньютона, написать функцию, выражающую зависимость между силой F и ускорением ш, если известно, что если тело движется с ускорением 12 м/с2, то на пути s= 15 м производится работа А =32 Дж. 68. Определить линейную функцию у = ах-±Ь по следующим данным: !) х у 0 4 3 6 2) х| р 3) х У 2 4,3 2,5 7,2 -1,6 0 3,2 6,8
69. Некоторое количество газа занимало при 20 °C объем 107 см’, при 40°C объем стал равным 114 см3. а) Составить, исходя из закона Гей-Люссака, функцию, выражающую зависимость объема V газа от температуры t. б) Каков будет объем при О’С? 70. Равномерно движущаяся по прямой точка через 12 с после начала движения находилась на расстоянии +32,7 см от некоторой точки этой прямой; через 20 с после начала движения расстояние стало равным +43,4 см. Выразить расстояние s как функцию времени t. 71. Напряжение в некоторой цепи падает равномерно (по линейному закону). В начале опыта напряжение было равно 12 В, а по окончании опыта, длившегося 8 с, напряжение упало до 6,4 В. Выразить напряжение V как функцию времени t и построить график этой функции. 72. Найти приращение линейной функции у = 2х — 7 при переходе независимой переменной х от значения ^ = 3 к значению х2 = 6. 73. Найти приращение линейной функции у =—Зх + 1, соответствующее приращению независимой переменной Дх = 2. 74. Функция у = 2,5х + 4 получила приращение Ду = 10. Найти приращение аргумента. 75. Даны функция у = и начальное значение независимой переменной Xi = a — b. При каком конечном значении х2 независимой переменной х приращение Ду = ^-^-? 76. Функция <р(х) задана так: ф(х)=х/2+2 при—со<х«$2; ф(х) = 5 — х при 2^х< + оо. Найти корни уравнения <р(х)== =2х —4 аналитически и графически. 77. Построить график функции: 1) 0=|х+1| + |х-1|; 2) j/ = |x+l[ —|х—1[; 3) у = |х-3|-2|х+1| + 2|х|-х+1. 78*. Для каких значений х справедливо неравенство 1Н*) + ф(х)[<1Н*)1 + 1<рШ если f(x) = x —3, а <р(х) = 4—х. 79. Для каких значений х справедливо неравенство If (х) - <р (х) [ > |f (х) | - [ф (х) |, если /(х) = х, а ф(х) = х —2. 80. Функция f (х) определена так: в каждом из интервалов Жх<«+1, где «-целое положительное число, f(x) меняется линейно, причем f(ri) = —1, f(n+-^=O. Построить график этой функции.
Квадратичная функция 81. Построить график и указать интервалы возрастания и убывания данной функции: О 4/ = у*2; 2) у = х2 — 1; 3) у = [х2 — 1 [; 4) у = 1 —ха; 5) у — х2 — хф-4; 6) у = х — х2', 7) у = \х — х2\; 8) у = 2ха + 3; 9) t/ = 2x2-6x + 4; 10) у = — Зх24-6х-1; 11) у — \ — Зха + 6х-11; 12) у = — х|х|. 82. Написать аналитическое выражение однозначной функции, определенной на полуинтервале (—оо, 6], если известно, что график ее состоит из точек осн Ох с абсциссами, меньшими числа —3, из точек параболы, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точки Л(—3, 0), В(0, 5), и из точек отрезка CD с концами С (3, 0) и £)(6, 2). 83. Найти наибольшее значение функции: 1) у = — 2х2 + х-1; 2) у = —ха-Зх + 2; 3) у = 5 —ха; 4) у = — 2х2-фах —а2; 5) у=аях — Ь2х2. 84. Найти наименьшее значение функции: 1) у=х2 + 4х-2; 2) г/ = 2х2—l,5x-f-0,6; 3) t/=l-3x + 6x3; 4) у=а2х2+а*; 5) y = (ax-j-b)(ax — 2b). 85. Представить число а в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим. 86. Представить число а в виде суммы двух чисел так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей. 87. Около каменной стенки нужно сделать деревянный забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли. Общая длина забора равна 8 м. Какова должна быть длина части забора, параллельной стенке, для того чтобы забор охватил наибольшую площадь? 88. В треугольнике сумма сторон, заключающих данный угол, равна 100 см. Чему должны быть равны эти стороны, чтобы площадь треугольника была наибольшей? 89. Какой из цилиндров с данным периметром осевого сечения Р — 100 см имеет наибольшую боковую поверхность? 90. Какой из конусов, периметр осевого сечения которых равен Р, имеет наибольшую боковую поверхность? 91. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, на который поставлен конус (с тем же основанием). Угол при вершине конуса 60°. Периметр осевого сечения тела 100 см. Каков должен быть радиус цилиндра, для того чтобы боковая поверхность тела была наибольшей? 92. В равнобедренный треугольник с основанием а и высотой h вписан прямоугольник, как показано на рис. 8. Какова должна быть высота прямоугольника, для того чтобы он имел наибольшую площадь? 93. В данный прямой конус вписан цилиндр так, что плоскости и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпадают. При
каком отношении радиусов оснований цилиндра и конуса цилиндр будет иметь наибольшую боковую поверхность? 94. Дан прямой круговой конус, радиуо основания которого равен /?, а высота Н. В конус вписан цилиндр так, что плоскости и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпадают. Каким должен быть радиув цилиндра, для того чтобы полная поверхность цилиндра имела наибольшую величину? Рассмотреть случаи Я >27? и Я ^27?. 95. Каков должен быть радиув круга, для того чтобы сектор, периметр которого равен данному числу Р, имел наибольшую площадь? 96. Окно имеет форму прямоугольника, который сверху закан* чивается правильным треугольником. Периметр окна Р. Каково должно быть основание а прямоугольника, для того чтобы окно имело наибольшую площадь? Рис. 9 97. Окно имеет форму прямоугольника, который сверху заканчивается полукругом. Каково должно быть основание прямоугольника, для того чтобы при периметре, равном 2 м, окно имело наибольшую площадь? 98. Из листа картона прямоугольной формы размером 30 x 50 см’ нужно вырезать уголки так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям (рис. 9), получить коробку наибольшей боковой поверхности. Найти сторону вырезаемых квадратов. 99. Из проволоки длиной 120 см нужно сделать модель прямоугольного параллелепипеда в квадратным основанием. Какова должна быть сторона основания, для того чтобы полная поверхность параллелепипеда была наибольшей? 100. Кусок проволоки длиной а нужно разрезать на две части; из одной сделать квадрат, из другой — правильный треугольник. Как нужно разрезать проволоку, чтобы сумма площадей полученных таким образом фигур была наименьшей? 101. Найти на прямой у=х точку, сумма квадратов расстояний которой от точек (—о, 0), (а, 0) и (О, Ь) была бы наименьшей. 102. Найти на прямой у—х+2 точку, сумма квадратов расстояний которой до прямых Зх — 4у4-8 = 0 и Зх — у—1=0 была бы наименьшей.
103. Электрический ток J распределяется по двум ветвям о сопротивлениями п и (рис. 10). Показать, что наименьшие потери энергии, идущей на нагревание проводника в единицу времени, соответствуют распределению токов, обратно пропорциональному сопротивлениям ветвей. (Исходить из закона: количество выделившегося тепла Q = 0,24J2#/.) 104. Построить параболу у — х1 и использовать ее для графического решения следующих уравнений: 1) ха — х —2,25 = 0; 2) 2х2-Зх-5 = 0; 3) 3,1ха—14x4-5,8=0; 4) 4ха — 12x4-9 = 0; 5) Зха-8х4-7 = 0. 105. Функция <р(х) задана так: <р(х) = -^х — при—oo<xsg <р(х)=14-х при -~^х<4-с<>- Найти аналитически и гра- •г' фически все действительные корни уравнения [ф(х)]2 = 7х4-25. 106. Указать область определения / > ___ функции у = 1g (ах2 4- 6x4- с). —,АЛ/Сл? 107. Найти / (х 4-1), если дано, что ^VVVV f (х-1) = 2х2 —3x4- 1. 108*. Показать, что функция f (х) = -4- -4- с принимает любое действи тельное значение, если 0<с=С 1. Рис. 10 Дробио-линейная функция 109. Исходя из закона Бойля— Мариотта, найти функцию, выражающую зависимость объема газа от давления при t = const, если известно, что при давлении 105 Па объем газа равен 2,3 л. Построить график этой функции. 110. Переменная х обратно пропорциональна у, у обратно пропорциональна г, г в свою очередь обратно пропорциональна v. В какой зависимости находятся хи»? 111. Переменная х обратно пропорциональна у, у прямо пропорциональна г, z прямо пропорциональна и, и обратно пропорциональна о. В какой зависимости находятся хин? 112. При электролизе количество выделяющегося на электроде вещества пропорционально силе тока, сила тока пропорциональна проводимости электролита, проводимость пропорциональна концентрации электролита, концентрация при данном количестве вещества обратно пропорциональна объему растворителя. Как количество выделяющегося на электроде вещества зависит от объема растворителя?
113. Построить график дробно-линейной функции! - ч х — 1 Av 2х в л\ __ 2х 5 1)y=TZ2: У~3^х' 3) Зх-7.3’ х с\ 4 —Зя 4) У- 1 ; 5) У-3-2,25л* i-yx 114. Найти по графику наибольшее и наименьшее значения дробно-линейной функции на данном отрезке: 1) У =4 [1, 5]; 2) у = 2-^5- [-1, 2]; 3) у = [0, 4]. 115. Доказать: 1) если абсциссы четырех точек jh)f М2 (х2; у2), Мз(*з; Уз), М4(х4; у4) графика функции у = 4 (рис. 11) составляют пропорцию — = то прямолинейные тра-пецни и равновелики; Рис. 11 k, 2) если точки Mi и Mt лежат на графике функции У = ~ (рис. 12), то площади фигур А1М1М^Аг и BiMiM2B2 равны. 116. С помощью графического сложения построить график функции у = § 4. Обратная функция. Степенная, показательная и логарифмическая функции Обратная функция 117. Найти функцию, обратную данной: 1) у = х-, 2) </ = 2х; 3)z/=l—Зх; 4) «/ = ха+1; 5) Р = 7‘. 6)1/ = ^: 7) у = №-2х; 8) у = ^х* + \; 9)у=10ж+1; 10) t/=i + lg(x + 2); 11) 0 = log* 2;
12)1/=-^; 13)₽ = $^g+l; 14) г/= 2 sin Зх; 15) у = 14-2sin16) j = 4arcsinl/l —x2. 118. Доказать, что функция, обратная к дробно-линейной функции у — (считаем, что ad — bo=£ty, также дробно-линейная. 119. При каком условии дробно-линейна я функция задачи 118 совпадает со своей обратной? 120. Показать, что если /(х)=у/Го—хя, х>0, то f[/(x)]=x. Найти функцию, обратную f(x). 121. Какова особенность графика функции, тождественной со своей обратной? 122. Функция у отх задана уравнением у2 — 1 + log2(x—1)=0. Найти обл'асть определения данной функции и записать функцию, обратную данной. 123. Функция у от х задана уравнением t/24-sin3x —//4-2=0. Найти функцию, обратную данной. Степенная функция 124. Построить график функции: !)i/ = yx3; 2)5 = -|х3; 3) // = х34-Зх2; 4) у = х3 —х4-1; 5) у =— х34-2х—2; 6) у = 2х3/2; 7) у = 4х6М; 8) У = х°'8; 9> S = x21; 10) // = х°-«2; 11) г/ = |х-°>, 12)// = 5х~2-6; 13) у = 1 -]/|х]. 125. Графически найти приближенные значения действительных корней уравнения х4-3 = 4|/"х2. 126*. Начертить кубическую параболу у = х3 и использовать ее для графического решения уравнения: 1) хя + х-4 = 0; 2) х3 —Зх2—х4-3 = 0; 3) х3-6х24-9х — 4 = 0; 4) х34-Зх24-6х4-4 = 0. 127. По данному условию составить уравнение и решить его графически: 1) Квадрат какого числа равен самому числу, сложенному с его обратной величиной? 2) Деревянный шар с радиусом, равным 10 см, и плотностью, равной 0,8 г/см3, плавает на поверхности воды. Найти высоту сегмента, погруженного в воду. 3) Общая масса деревянного куба и пирамиды с квадратным основанием равна 0,8 кг. Ребро куба равно стороне основания пирамиды, высота пирамиды 45 см. Найти ребро куба. Плотность дерева 0,8 г/см3.
128. Дана функция у = хп, х>0. При каких значениях х эта функция имеет значения, большие значений обратной функции, и при каких — меньшие? Показательная и гиперболические функции 129. Построить график функции: 1) // = —2А’; 2) у = 2хь3; 3) у=\ 3*; □ 4) у=1-3*-3; 5) У = (4-)|Х|; 6) у = 2-х\ 130. Используя график функции у = 2х, построить без дальнейших вычислений график функции: 1) у = 2х-1-, 2) у3) У = 4-2^-1’/2^-!. 131. Показать, что графиком функции у=k- а* (й>0) является та же линия, что и для функции у = ах, только сдвинутая параллельно оси ординат. 132. С помощью графического сложения построить график функции: 1) y=x2-f-2jr; 2) у=х2-2х. 133. Графически решить уравнение 2х — 2х = 0. 134. Построить фигуру, ограниченную линиями у = 2х, у=* = —— и х = 3. По графику найти приближенно координаты точек пересечения данных линий. 135. Найти наибольшее возможное значение п, при котором 2х>ха для всех xSslOO (п целое). 136. Доказать, что y = shx и у = th х — нечетные функции, а у = ch х — четная функция. Являются ли эти функции периодическими? 137. Доказать справедливость следующих равенств: 1) ch2x — sh2x = 1; 2) ch2x4-sh2x = ch2x; 3) 2shxchx = sh2x; 4) sh(a±0) = shach0±shpcha; 5) ch(a=t0) = chach0ztshash0; 6) 1— th3x = ^yj 7) l-cth»« = -Jy. Логарифмическая функция 138. Построить график функции: 1) у = —log2x; 2) t/ = lg-y-: 4) y = log2|x|; 5) у = 1 + lg (х 4- 2); 7) у=(№ах‘, 8) </ = logx2. 3) i/ = |lgx|; 6) y = log211 -x|;
139. Используя график функции 0=lgx, построить график функции: 140. Дана функция 0 = x-|-lg^- С помощью графического сложения построить график данной функции и по графику найти наименьшее значение этой функции в полуинтервале (0, 2]. ___ 141. Показать, что график функции у = loga(x ф-р^х2-)-1) симметричен относительно начала координат. Найти обратную функцию. 142. Доказать, что ордината графика функции 0 = logax равна соответствующей ординате графика функции 0 = loganX, умноженной на n.t § 5. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции Тригонометрические функции 143. Указать амплитуду и период гармоники: 1) 0 = sin3x; 2) 0 = 5 cos 2х; 3) 0 = 4 sin лх; 4) 0 = 2siny; 5) 0 = sin-^; 6) y = 3sin-^-. 144. Указать амплитуду, период, частоту и начальную фазу гармоники: 1) у —2sin(3x4-5); 2) у = — cos 3) y = ysm2n (©--g-J; 4) 0 = sin-^_. 145. Построить график функции: 1) у = — sinx; 2)0=1 — sinx; 3)0=1—cos х; 4) 0 = sin2x; 5) 0 = sin-^-; 6) у— — 2sin-^; 7) 0 = cos2x; 8) 0 = 2sin^x — 9) у = 2 sin (Зх-J-—); 10) 0 = ~sin(2nx — 1,2); 11) у = 2 + 2 sin / ЛХ . Л\ [-2- + ^)' 12) 0 = 2 cos О 13) 0 = |sinx|; И) У = |cosx|; 15) 0 = |tgx|; 16) 0 = |ctgx|; 17) y — secx; 18) 0 = cosec x. ' cosx ДЛЯ — Л = s£xs^O, 19)0= 1 для 0 • <x< 1, 1/x ДЛЯ 1 5 <x<2. 146. Стороны треугольника равны 1 см и 2 см. Построить график площади треугольника как функции угла х, заключенного
между данными сторонами. Найти область определения этой функции и то значение аргумента х, при котором площадь треугольника будет наибольшей. 147. Точка движется равномерно по окружности радиуса R. с центром в начале координат против часовой стрелки с линейной скоростью v см/с. В начальный момент времени абсцисса этой точки была а. Составить уравнение гармонического колебания абсциссы точки. 148. Точка равномерно движется по окружности ха4-0® = 1-В момент t0 ее ордината была у0, в момент ti ордината равнялась У1. Найти зависимость ординаты точки от времени, период и начальную фазу колебания. 149. На рис. 13 изображен кривошипный механизм. Радиув маховика R, длина шатуна а. Маховик вращается равномерно по часовой стрелке, делая п оборотов в секунду. В моМент / = 0, когда шатун и кривошип составляли одну прямую («мертвое» положение), крейцкопф (4) находился в точке О. Найти зависимость смещения х крейцкопфа (4) от времени 1. 150. G помощью графического сложения построить графин функции: 1) z/ = sinx + cosx; 2) t/ = sin2nx4*sin3nx; 3) г/ = 2sin j4-3sin у; 4) y = x4-sinx; 5) y = x — sinx; 6) y = —2*4-cosx. 151. Графически решить уравнение: 1) x = 2sinx; 2) x = tgx; 3) x —cosx=0; 4) 4sinx = 4 — x; 5) 2-* = cosx. 152. Найги период сложной гармоники: 1) у = 2sin3x-|-3sin2х; 2) у = sin!4-cos2/; 3) У = Sin-3-4-sin-4-; 4) i/ = sin ^2«/4-yj4-2sin^3«/4-~^4-3sin 5л/. 153. Представить одной простой гармоникой: 1) # = sinx4-cosx; 2) t/ = sinx4-2sin(x4--2-j.
154. Обосновать следующий графический прием сложения гармонических колебаний. Пусть даны гармоники Л1$1п(<йх4-Ф1) и А2 sin (сох + ф2). Построим векторы Л1 и Аз длиной соответственно Ai и Л2 под углами <Р1 и <р2 к горизонтальной оси (рис. 14). Сложив векторы - Лх и Аг, получим вектор А длиной А, наклоненный к горизонтальной ' оси под углом ср; Д и <р будут соответ- У/ / ственно амплитудой и начальной фа- / / зой суммы yr Л181П (<0Х4-ф1) + / у +Л281п (сох + фз) = Л sin (сох + ф). ///\ 155*. Указать период функции и V построить ее график: 1) у = |sinх| + |cosx _ , „ оч 1 /1 sin х I . sin х \ ис' 4 ) ~ 2 ( cos х | cos х | )' 156. Найти область определения и выяснить вид графика функции: 1) »/ = lgsinx; 2) z/ = yigsinx; 3) с/ = |Л Обратные тригонометрические функции 157. Построить график функции: 1) y = arcctgx; 2) у = 2 arcsin 4; 3) у = 1 + arctg 2х; Л 4) у = — arccos 2х; 5) у = arcsin . 158. Круговой сектор с центральным углом а свертывается в конус. Найти зависимость угла <о при вершине конуса от угла а и построить график. 159. Картина высотой а висит на стене наклонно, образуя со стеной двугранный угол <р. Нижний край картины на b выше уровня глаз наблюдателя, который стоит на расстоянии / от стены. Найти зависимость между углом у, под которым наблюдатель видит картину, и углом <р. 160. Для кривошипного механизма (рис. 13, задача 149) указать зависимость угла а поворота кривошипа от смещения х крейцкопфа. 161. Выяснить, для какого интервала изменения х справедливо тождество: 1) arcsin х + arccos х = л/2; 2) arcsin ]/х4~ arccos У"х = л/2; 3) arccos]^!—х* 1 2 * 4 = arcsin х; 4) arccosVl — х2 = — arcsinх;
5) arctg x = arcctg-^; 6) arctg х = arcctgy — л; 7) arccos }~*y = 2 arctg x; 8) arccos = — 2arctgxj 1 “p X“ 1 । * 1 -I— X 9) arctg x 4- arctg 1 = arctg ; 10) arctg * + arctg 1 = л + arctg . 162. Пользуясь тождествами задачи 161, найти область определения и построить график функции: _____ _ 1) у = arccos 1/1 — х2; 2) у = arcsin ]/1 — х4-arcsinУх', 3) у = arccos 4) t/= arctg х — arcctgy. 163*. Построить график функции у = arcsin(sinx). Доказать, что эта функция периодична и найти ее период. 164. Построить график функции у = arccos (cos х). 165. Построить график функции i/ = arctg(tgx). 166. Построить график функции: 1) у = х — arctg(tgx); 2) у = х — arcsin(sinx); 3) у=хarcsin(sinx); 4) у = arccos(cosx) — arcsin(sinx). § 6. Вычислительные задачи 167. Построить график функции t/ = x3-}-2x2 — 4x4-7 на отрезке [—4, 2] по значениям х через 0,2; по оси ординат выбрать масштаб, в 20 раз меньший, чем по оси абсцисс. По графику найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [—3, 2]. В какой точке функция переходит от возрастания к убыванию? Найти корень функции на отрезке [—4, 2]. Погрешность вычислений 0,1. 168. При изучении законов рассеивания шрапнели в теории стрельбы требуется построить график функции z/ = e-4cos!a, ^2,718. Выполнить построение при 4=2, давая а значения от 0 до 90° через каждые 5°. Вычисления вести с точностью до 0,01. 169. Даны три точки: Л4](1, 8); Af2(5, 6); А43(9, 3). Провести через них параболу у = ах1 + Ьх4-с. Найти корни функции ах24-4-Ьх4-с- Погрешность вычислений 0,01, 170. Из углов квадратного листа жести размером 30x30 см2 нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы из оставшейся части можно было согнуть коробку емкостью 1600 см3. Какой длины должна быть сторона х каждого вырезаемого квадрата? Погрешность вычислений 0,01. 171. Проверить, что если ь уравнении х4 4- рх2 4-Qx + s = 0 положить х2 = у, то это уравнение заменится системой X2 = У, (у- Уо)2 4- (X - Хо)2 = г2, где ^о = -Ц^> Хо = —у и r2 = yt + xa-s.
Пользуясь этим приемом, решить графически уравнение х4 — — Зх2 — 8х — 29 = 0. Погрешность вычислений 0,1. 172*. Используя прием, указанный в задаче 171, доказать, что с помощью дополнительной замены переменной х = х'4-а действительные корни уравнения 4-й степени х4 4- ах3 4- Ьхг 4- сх4~ 4-d = 0 могут быть найдены графически путем отыскания точек пересечения некоторой окружности и параболы t/ = x2. Пользуясь этим приемом, решить графически уравнение х4 4-4-1,2х3 — 22х2 —39x4-31 = 0. Погрешность вычислений 0,1. 173. Графически найти корни уравнения e*sinx = l, е?«2,718, заключенные между 0 и 10; указать приближенную общую формулу значений остальных корней. Погрешность вычислений 0,01. 174. Графически решить систему х4-«/2=1, 16х24-У = 4. Погрешность вычислений 0,01. 175. Построить график функции (в полярной системе координат) по значениям полярного угла <р через л/12 *): 1) р = а<р (спираль Архимеда); 2) р = а/<р (гиперболическая спираль); 3) р = еаф (ег=« 2,718) (логарифмическая спираль); 4) p = asin3<p (трехлепестковая роза); 5) p = acos2q> (двулепестковая роза); 6) р = а(1 — costp) (кардиоида). Вычисления вести с точностью до 0,01. Постоянную а>0 выбрать произвольно. ♦) Здесь принято, что если р (<р) < 0, то на соответствующем луче точки графика чет.
ГЛАВА II ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ § 1. Основные определения Функции целочисленного аргумента 176. Функция целочисленного аргумента принимает значения п1 = 0,9; «, = 0,99; м3 = 0,999; «„ = 0,999... 9; ... п раз Чему равен lim «л? Каково должно быть п, для того чтобы п -*ОО абсолютная величина разности между ип и ее пределом была не больше 0,0001? 177. Функция ип принимает значения .11 1 И1-1; h2 = j; «з =-9; •••; «л = у2; ••• Найти lim wn. Каково должно быть п, для того чтобы разность п —» 00 между ип и ее пределом была меньше заданного положительного числа е? 178. Доказать, что = стремится к 1 при неограниченном возрастании п. Начиная с какого п абсолютная величина разности между ип и 1 не превосходит 10~4? 179. Функция vn принимает значения лл cos^ Найти lim Каково должно быть и, для того чтобы абсо-П —> СО лютная величина разности между ип и ее пределом не превосхо-дила 0,001? Принимает ли vn значение своего предела? I 5 7 180. Общий член ип последовательности «1= у, н2 = у. fle = -g . 17 2я —1 2я + 1 щ = ... имеет вид —^г, если п — нечетное число, и , если п — четное число.
Найти Нгп ип. Каково должно быть п, для того чтобы разность п -*оо между ип и ее пределом по абсолютной величине не превосходила К)-4; данного положительного числа е? 1 181. Доказать, что последовательность Ил = оя,Т0 при неогра- 4 ничепном возрастании п стремится к пределу, равному у, моно- 4 тонно возрастая. Начиная о какого п величина не пре- восходит данного положительного числа е? У д2 _L д2 182. Доказать, что ип = -—-— при неограниченном возрастании п имеет пределом 1. Начиная в какого п величина |1— ип\ не превосходит данного положительного числа е? Какой характер имеет предельное изменение переменной 183. Функция vn принимает значения биномиальных коэффициентов: т(т— I) т(т—\)(т—2) = tn, v2 = \.2-Ч V3 = ,.2М3----. __ m(m — l)(m—2)...{(m—pi —1)| Vn~ l-2-З...п ’ "•» где tn — целое положительное число. Найти lim ол. Л-+СО 184. Доказать, что последовательность ип=\ + (—1)" не имеет предела при неограниченном возрастании п. 185. Доказать, что при неограниченном возрастании п после-2* 4-(—2)" довательность ип=-—не имеет предела, а последователь-2« -L (_________2)п ность vn = ——— имеет предел. Чему он равен? 186. Имеет ли предел последовательность: лл sin 1) «„ = nsin-^-; 2) ид = - lgn- (п>1)? 187. Доказать теорему: если последовательности Пц &2> ... .unt ... и У1, v2i ...» ... стремятся к общему пределу а, то к тому же пределу стремится и последовательность Vi, и^9 vi9 ..., пя, ... 188. Доказать теорему: если последовательность «1, «2,... ..., . стремится к пределу а, то к тому же пределу стремится любая ее бесконечная подпоследовательность (например, Ui9 «31 «5, .. 189. Последовательность иъ и2,.... ип,... имеет предел а=^0. Доказать, что lim -^2±1-=1. Что можно сказать об этом пределе, П ->00 если а = 0? (Привести примеры.)
Функции непрерывного аргумента 190. Дано у = х3. Когда х->2, то t/->4. Каково должно быть 6, чтобы из |х —2|<б следовало |у — 4|<е = 0,001? 191. Пусть = При х->2 имеем у-±%-. Каково должно X 1 D быть б, чтобы из |х-2|<б следовало |r/ — |-|<0,1? 192. Пусть у = ^~2,\. При х->3 имеем уКаково долж-но быть б, чтобы из |х —3|<б следовало — г/|<0,01? 193. Доказать, что sinx стремится к единице при х->л/2. Каким условиям должен удовлетворять х в окрестности точки х = я/2, чтобы имело место неравенство 1—sinx<0,01? 194. При неограниченном возрастании х функция у = -Д-; 1 стремится к нулю: lim „ =0. Каково должно быть N, чтобы х —* оо х "1“ 1 из |х |>ДО следовало t/<e? __ I 195. Если х->4-оо, то У = ^24:3 I- Каково должно быть Nt чтобы из | х | > N следовало | у — 11 < е? § 2. Бесконечные величины. Признаки существования предела Бесконечные величины 196. Функция ип принимает значения «1 = 3, «2 = 5, «3 = 7, ... ..., ип = 2n+ 1,.. .Доказать, что ип — бесконечно большая величина при /I—>со. Начиная с какого п величина ип становится больше Л/? 197. Доказать, что общий член ип любой арифметической прогрессии есть величина бесконечно большая при п->оо. (Когда она будет положительной и когда отрицательной?) Справедливо ли это утверждение для произвольной геометрической прогрессии? 1 ~1~ 2х 198. При х->0 имеем у = —j->оо. Каким условиям должен удовлетворять х, чтобы имело место неравенство | у|> 104? 199. Доказать, что функция У = ~з бесконечно велика при х->3. Каким должен быть х, чтобы величина |у| была больше 1000? 200. Когда х стремится к 1, функция у = —_ неограничен- о v* U но возрастает. Каково должно быть б, чтобы из |х—1|<6 следовало >Л7 = 104?
201. Функция у = бесконечно велика при х->0. Каким неравенствам должен удовлетворять х, чтобы | у\ было больше 100? 202. При х—имеем: у = lgx->4-oo. Каково должно быть М, чтобы из х > М следовало у > N = 100? 203. Какие из основных элементарных функций являются ограниченными во всей области их определения? X2 204. Доказать, что функция ограничена на всей числовой оси. 205. Будет ли функция У = у ограничена на всей числовой оси? Будет ли она ограничена в интервале (0, 4- оо)? 206. Является ли функция у = lgsinx ограниченной во всей области ее существования? Тот же вопрос относительно функции у = lg cos х. 207. 1) Доказать, что функции у — хsinx и y = xcosx не ограничены при х->оо (указать для каждой из них хотя бы по одной такой последовательности хя, для которой ул->оо). 2) Будут ли указанные функции бесконечно большими? 3) Построить графики этих функций. 208. Построить графики функций f (х) — 2х sIn * и f (x) = 2“xsInx. Для каждой из этих функций указать такие две последовательности хя и х„ значений х, что lim/(xn) = oo, a lim f (х'п) = 0. Л—»ОО л—»оо 209. При каких значениях а функция y = axsinx будет не ограничена при х->+оо (х-> —оо)? 210. Будет ли бесконечно большой неограниченная функция: 1) HX) = 4COST ПРИ 2) /(x) = xarctgx при х->оо; 3) f (x) = 2xarcsin(sinx) при х-> + оо; 4) /(х)= (24-sinx) 1gх при х-»-4-оо; 5) /(х) = (1 4-sinx) Igx при х-»-4-оо? 211. Функция «я принимает значения г> 3 4 п + 1 U1 — 2, Ui — 4 , U3 — д , .. • , Мл ‘ Доказать, что ип — бесконечно малая величина при н->оо. 212. Функция ип принимает значения 1 1 1 _ п*~8 Un — — 7, U‘2 = ~2 I «з 27 ’ 8 ’ * ’ ’ * Un » • • • Доказать, что ип — бесконечно малая величина при л->оо. 213. Доказать, что = —»-0 при х—>0. Каким условиям должен удовлетворять х, чтобы имело место неравенство 11/| < 10~*? 214. Показать, что при х->4-со функция t/=]/x4-1-р^х стремится к нулю. Каким должно быть N, чтобы при х>А/было в <8?
215. Доказать, что если предел функции f (х) при равен а, то f(x) можно представить в виде суммы / (*) =а + <р(х), где <р(х) бесконечно мала при х->оо. Представить в виде такой суммы следующие функции: О 2) 0~2х2+1; Признаки существования предела 216*. Функция ип принимает значения — 1 — 1 1 _ 1 I 1 Д_ -L 1 Wi— 4, U2— 4 + — 3 _|_ 1 32^1+ •••+3/1^. p ••• Доказать, что un стремится к некоторому пределу при п->оо. 217. Функция ип принимает значения 1 1 j 1 _ 1 , 1 t 1 U1— 2, — 2’”*“ 2-4’ U3“2‘2-4‘^2-4-6,*‘’ _ 1 1 1 «Л - 2 +2.4 ' ' 2-4-....2п,,“ Доказать, что ип стремится к некоторому пределу при л->оо. 218. Доказать теорему: Если разность между двумя функциями при одном и том же изменении независимой переменной бесконечно мала, причем одна из функций возрастает, другая убывает, то обе стремятся к одному и тому же пределу. 219. Даны два числа ц0 и (по<^о). Члены последовательностей ип и vn задаются формулами Ыо + ^О Г| Ио+ 2^0. “1 = —Г“’ Vr = ——, u2=—^t y2 = ——; вообще U/J - 2 ’ 9 Un - 3 • Доказать па основе теоремы, приведенной в предыдущей зада» че, что обе последовательности ип и vn стремятся к одному и тому же пределу, заключенному между и0 и 220. Дана последовательность чисел ип: Ui = 1/6, == 1/6 4- U1, ..., ип = ]/б + ип-ъ ... Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти его.
§ 3. Непрерывные функции 221. Функция у определена следующим образом: £/ = 0 у = х у = — х2 + 4х — 2 у = 4 —х при х <0; при 0=Сх< 1; при 1<х<3; при х^З. Будет ли эта функция непрерывной? 222. Три цилиндра, радиусы оснований которых соответственно равны 3, 2 и I м, а высоты одинаковы и равны 5 м, поставлены друг на друга. Выразить площадь поперечного сечения получившегося тела как функцию расстояния сечения от нижнего основания нижнего цилиндра. Будет ли эта функция непрерывной? Построить ее график. 223. Пусть {х + 1» если х^ 1; 3 —ах2, еслих>1. При каком выборе числа а функция f(x) будет непрерывной? (Построить ее график.) 224. Пусть f(x) = — 2 sinx, A sinx-j-B, cos х, если — л/2; если — л /2 < х < л /2; если х^л/2. Подобрать числа Л и В так, чтобы функция /(х) была непрерывной; построить ее график. 225. В каких точках терпят разрывы функции у = 11 = Построить графики обеих функций. Выяснить раз- (X [-ZJ- ницу в поведении этих функций вблизи точек разрыва. 226. Функция / (х) не определена при х = 1. Каким должно быть значение f (1), чтобы доопределенная этим значением функция стала непрерывной при х = 1? 227. Какого рода разрывы имеют функции у = ^~ и у^-—’ при х — 0? Указать характер графиков этих функций в окрестности точки х —0. 228. Исследовать непрерывность функции, заданной так: при х^О, // = 0 при х = 0. Построить график этой функции.
229. Сколько точек разрыва (и какого рода) имеет функция у = 7' ? Построить ее график. 230. Функция z/ = arctgy не определена в точке х = 0. Можно ли так доопределить функцию f(x) в точке х = 0, чтобы функция стала непрерывной в этой точке? Построить график этой функции. 231. Исследовать непрерывность функции, определенной так: f(x) = sini при х^О, /(0) = 1. Построить график этой функции. 232. Построить график функции/(.г) sin ". Какое значение должно иметь /(0), чтобы функция fix) была везде непрерывной? 233. Доказать, что функция у — - имеет в точке х=0 разрыв первого рода. Построить схематично график этой функции в окрестности точки х = 0. 1_ 234. Исследовать характер разрыва функции «/ = 221-*в точке х»1. Можно ли так определить у при х = 1, чтобы функция стала непрерывной при х=1? 2>/*_ ( 235. Исследовать характер разрыва функции у = -гг— в точке 2,/Л+1 х = 0. 236. Функция f(x) определена следующим образом: /(х)=э = (% + l)2”(ix|+ при х^О и Л (0) = 0. Доказать, что в интервале — 2^х^2 функция f(x) принимает все без исключения значения, содержащиеся между /(—2) и f(2), и что она все же разрывна (в какой точке?). Построить ее график. 237. Исследовать непрерывность функции у = —Выяснить I ~г характер ее графика. 238. Функция определена так: если х — рациональное число, то /(х) = 0; если х — иррациональное число, то f(x) = x. При каком значении х эта функция непрерывна? 239. Исследовать непрерывность и построить график функции: 1) 2) 3)f/=(—i)w. [Функция [л] равна наибольшему целому числу, не превосходящему х (см. задачу 59).] 240. Используя свойства непрерывных функций, убедиться в том, что уравнение хъ — Зх=1 имеет по меньшей мере один корень, заключенный между 1 и 2.
241*. Показать, что: а) многочлен нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень; б) многочлен четной степени имеет по меньшей мере два действительных корня, если он принимает хотя бы одно значение, противоположное по знаку коэффициенту при его старшем члене. 242. Показать, что уравнение х • 2х = 1 имеет по меньшей мере один положительный корень, не превосходящий 1. 243. Показать, что уравнение x=asinx+b, где 0<а<1, 6>0, имеет по меньшей мере один положительный корень и притом не превосходящий ЬЦ-а. 244*. Показать, что уравнение 4~ ’х—)^ х—х3' ~где Д1>0, а2>0, аэ>0 и Xi</.2<ля, имеет два действительных корня, заключенных в интервалах (klt 1г) и (1«, 1s). § 4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых Функции целочисленного аргумента В задачах 245 — 267 найти пределы. .246. lim <247. lim <1+1^fr"-1)*. л-?» 2«2 „X>(«4-l)2-K«-lf ₽249 пт 1000я8+3яг л" «о 0.001 л* — 100л3 +1 • 951 Пт (2«+1)4-(л-1)4 л-^(2п+1)4 + ("-1У 245. lim л -»оо п л.о v Л3—100п2+1 248‘ Ю0ла+15л • 250 lim («+1)4-(”-»)4 252. lim л-.со Л 4-2 ”253. lim 254. lim Л—>00 Vn3—2na+l + >6i4-M ‘ л 1® Уп* + 6п»+2- Уп?+Зп3+1 ’257‘ Й2о(«+1)1-п1’ .259 Пт (п + 2)! + (п+1)1 л^о(« +2)1-(«+’)!• _1 2« 1 * 3" neo lim У —V « 256‘ л™ • 258. Iim (я+2а-^. л-»оо (Я + <3)! 1+у+|+-+ 260. lim ---=--------- "-*00 1+-з + 9+ - + 261. lim ^(14-24-34-...+п). оло к™ /1+2+34—•+« «\ 262J™1------J^+2-------2? л„„ V /1-24-3—44-...-2л \ 263. lim '--—----—------' л->ое
265- ,!1Г1 (А+й+ • + s-„‘g„+,))-£ л <>п J о п 1 а 266. '267. lim\—к п.—»оо “ *Г1 п — аэ — 2" +1 Функция непрерывного аргумента В задачах 268—304 найти пределы. < 268. lim Х-.2 x2+5 x2—3- « 269. lim ( л- -* о' «270. lim Х-.1 X 1—X* •271. lim x-^Vz x8—3 х4-|-хг+Г - 272. lim x-»l x2 — 2x 4-1 X3 — X ’ 273. lim x-»—i x34-3*2-|-2x x2-x-6 • < 274. lim X-.1 (x-l)/2^x X2—1 275. lim 1 Х-* - % 8x3-1 6x2—&x+r 276. lim X-.1 2 x3—x2 — x-f-1 • 277. lim X->1 il-1 7 w & * 278. lim x->9 Г ! _J 1 |_x(x —2)2 x 2 — 3x + 2j’ 279. Lx2-5x+4^ x —4 3(x2-3*4-2) J' хт_| 280. Нт ^-”1 (пг и п-целые числа). 28». Пт 282< lim 2S3-,'™STi- 284',‘™тчё- 28Гк -х)' 28е’_ sm)' 287-}™[5т (2х—1) (Зх«-|-х+2) 4х2 288. lim X —»ОО (х + 1 )1» + (х + 2)10+ ... +Ё +100)10 Xw+ 10“ 289. lim Х-+4-00 291. lim Х-+4-00 /х2+1+/х Х3Н-Х — X ^х7-|-3-|-{/~2хЗ—1 >/x»+x’d-l-x 290. lim х-*со 292. lim х-»оо /хЯ7»— Ух<+3—t/x8+4 Г^Ч7!
36 г 293. lim У}+х2-1' х -* 0 х 294. lim^+r1- Х-.0 xi 295. lim Х^±|~1 , 296. X —♦ 0 V Х24- 16 — 4 x -+B x 5 « 297. lim ух -1 298. Л-.0 A 299. Iim^l+f~t. х-.Ц 300. lim Iх >6). X -*0 X 301. ' х-.а х1-а‘ v 302. lim —:— (п и /и —целые числа). j/x —1 303*. lim^--^*a~*2~~2*. 304. lim L7+.x?-~fi+*., *-»0 X-j-X X—1 305. Как изменяются корни квадратного уравнения ах2+^+ 4-с = 0, когда Ь и с сохраняют постоянные значения (Ь^О), а величина а стремится к нулю? В задачах 306—378 найти пределы. <• 306. lim (j/'x+a-l/'x). 307. lim (/хЧЛ -/х2^!). с 308. lim (/хЧИ-х)*). 309. lim х^хЯЛ-х). 310. lim (К(x+a) (x + 6) — x). «311. lim°(/x2 —2x-l -]/x2-7x + 3). 312. lim (К(х4-1)2--Их-1)2). X-+QO 313. limx^(/FTT-/x3^!). X —► oo л - л !. sin Зх 314. lim---. Л-о х 317. lim 318. lim а_0(8Пв)'Л о.л 1- 2arcsinx 319. hm—X— Х-0 Зх 315. lim^. Х-*0 Х (n л-л .. sin ах 3,е- и m —целые положительные числа). 1- 2х —arcsinx 2х + arctg х * *) В примерах, где указано х—>ztco. следует отдельно рассматривать случаи х4- со и л — со.
321. lim *~со3* X ->о 330. lim Х^ляп2х x* 324. lim ' + sin*-cosx x->0 1—Sin X —COSX 326. lim -£j -cosg)2 a_>0 tgJa — sin3a* 328. lim 322. lim-!-4^. 323. lim3? :^а—, x-*o x sin2x a-*oy^(i—cosot)2 325. Iimtga~^ina. a-о a’’ плл 1 • -COS X 329. lim,-7===. « v (1- Sin x)4 s 331. lim tgx. 333. lim(l-z)tg^. Z^L £ 332. lim . Л2 334. lim (sin ^tg^, y^a\ 2 &2a)’ 335. lim Sos*~sl'n* n cos2x 7 sin 336. lim -J-----®2 r яГз x ~2----cos x 338. lim (2xtgx----—V ^л \ cos X/ 340. lim gsa*-c°sP* X-.0 x* 342. lim ^2«~sinaP. a-3 a2-02 343. lim sin (a s'n (g+ft) + sin a /i~*0 Л2 1 * ’-Sln 2 X I X . X \* «“т) 339. |im c<«(a + x)-cos(a-x) X —*о X 337. lim------- Х"*Л cos^- 341. lim х-*й tg («+*) — tg(a—x) 344. lim + h* 345. limfo-fpK”^ x_0 Sin-x 347. lim l^1 ~t~x sin x~y"c°s2x ’ tg2-J 346. lim X -* 0 X 348. lim x ->-0 X 349 Пт +arctg 3x—K1 —arcsin 3x x -» о V1 — arcsin 2x — V 1 + arctg 2x 350». ----, /x+l
x-*oo 'x-f-lyu — 1 356. '* X —»• OO \vX~T~ X,/ 366. + 363. lim (1 4-sinx)cosecjt. X^> 0 365. lim1-(1 + fev). X -> 0 x 367. lim {x[ln(x-{-a) — Inx]}. X —» OO 368. lim -n*~'. x-+e x e 371. lim^6. X —♦ 1 x~l <s\n2x ^inx 374. lim ----—— x->0 x 369. lim^i. Л-0 л 372*. lim ** ~c — x-»o x ' pax_pbx 375. lime---- X ->o x 370. lim x-e 3* 373. lim^^. X-.0 S,nx 376. limxb*— 377. lim (chx —shx). 378. lim thx. Разные пределы В задачах 379—401 найти пределы. 379. lim . Отдельно рассмотреть случаи, когда п есть: х -»©о х г 1) целое положительное число, 2) целое отрицательное число, 3) нуль. 380. lim х(1/х2-|-]/х44-1 —х}/?), 381. lim x-*±ooaJC+1 383. lim —. х-*оо х 382- (<,>0)- 384. lim =^.
385. lim Х-НОО *4- sin х x4-cosx‘ 386. lim 22^. tg-y 387. lim Л->0 sin (a + ЗА) — 3 sin (a + 2A) + 3 sin (a + A) — sin a & 388. lim tg2x(j/2sin2x + 3sinx + 4 — ]/sin2x-|-6sinx4-2). x->n/2 389. lim x->0 390*. lim fcos у cos-j-• • • cos 2^ 392. lim (cos J/x-j- 1 — cos ]/x). X —»co arct^)- 395*. lim 391. lim x2 (I — cos -1-K-*CO \ x 393*. Itax (arctg 394. lim x (arctg 44 396. lim (1 + 4X (n>0). x-+4-ao \ x / 398. lim 12^. x ->0 X 400. lim (cosx +sinx)* * x—0 397*. lim(cosx)4i“** x-+o sin x 399. lim x~+o Vх/ t 401. lim (cosx-|-asin6x)* x->e Сравнение бесконечно малых 402. Бесконечно малая величина ип принимает значения ,11 1 «1=1, «2=2", «3=“з» •••, .g а бесконечно малая величина vn — соответственно значения ai=I. va = -2L!( v8 = -31], .... = Сравнить u„ и Vn, какая из них высшего порядка малости? 403. Функция ип принимает значения п 3 8 п2_( «1 = 0, «2=g-, «3 = 27. •••. Un=—..., а функция vn — соответственно значения о 5 Ю п2+1 «1 = 2, v2=g-, «з = 27. va = —^,... Сравнить эти бесконечно малые величины. 404. Бесконечно малая величина ия принимает значения л 1.2 п-1 В1 - 0, «2 - 4 , «3 д , . . . , Un п2 I • • • I
а бесконечно малая величина vn — соответственно значения ..о 5 7 2л+1 wi = 3, о2 = -4-, Оз= 9-, •••. Vn=—^~, ... Убедиться в том, что ип и vn — бесконечно малые одного порядка, но неэквивалентные. 405. При х-+\ функции = и у—1—Ух бесконечно малы. Которая из них высшего порядка малости? 406. Дана функция у = х3. Показать, что At/ и Дх при Дх—>0 н при х#;0 являются бесконечно малыми одного порядка. Проверить, что при х — 0 величина Д// бесконечно малая более высокого порядка, чем Дх. При каком значении х приращения Дх и Ду будут эквивалентными? 407. Убедиться в том, что при х->1 бесконечно малые величины 1—х и l—j/x будут одного порядка малости. Будут ли они эквивалентными? _____ 408. Пусть х->0. Тогда У а + х3 — Fa (а>0) будет бесконечно малой величиной. Определить порядок ее относительно х. 409. Определить порядок относительно х функции, бесконечно малой при х->0: 1) х»-Ь1000х2; 2) Ух*-Ух; 3) 4) 410, Доказать, что приращения функций и = а]/х и v = bx* при х>0и при общем приращении Дх->0 будут одного порядка малости. При каком значении х они будут эквивалентными (а и b отличны от нуля)? 411. Показать» что при х-^1 бесконечно малые величины ______________\ 1—ух), где а^Ои k — целое положительное число, будут одного порядка малости. При каком значении а они будут эквива лентными ? 412. Доказать, что при х->л/2 функции secx — tgx и л — 2х будут бесконечно малыми одного порядка. Будут ли они эквивалентными? 413. Доказать, что при х->0 бесконечно малые величины е2х__ех и sin 2х —sinx будут эквивалентными. 414. Определить порядок относительно х функции, бесконечно малой при х-+0: 1) _1; 2) УТ+Ъх-1-Ух-, 3) е^-1; 4) esinx- 1; 5) In(l+У хsinx); 6) У1 + х2tg р 7) ех — cosx; 8) exi — cosx; 9) cosx —j/cosx; 10) sin(K 1Ц-х — 1); 11) ln(l+x2)-2/(e*- I)2-. 12) arcsin(K4 + x2-2).
Некоторые геометрические задачи 415. Дан правильный треугольник со стороной а\ из трех высот его строится новый правильный треугольник и так п раз. Найти предел суммы площадей всех треугольников при м->оо. 416. В круг радиуса R вписан квадрат, в квадрат вписан круг, в этот круг опять вписан квадрат и так п раз. Найти предел суммы площадей всех кругов и предел суммы площадей всех квадратов при п->оо. 417. В равнобедренный прямоугольный треугольник, основание которого разбито на 2п равных частей, вписана ступенчатая фигура (рис. 15). Доказать, что при неограниченно возрастающем и разность между площадью треугольника и площадью ступенчатой фигуры бесконечно мала. 418. В равнобедренном прямоугольном треугольнике, катет которого равен а, гипотенуза разделена на п равных частей и из точек деления проведены прямые, параллельные катетам. При этом получается ломаная AKLMNOPQRTB (рис. 16). Длина этой ломаной при любом п равна 2а, значит, и предел ее длины равен 2а. Но, с другой стороны, при неограниченном возрастании п ломаная неограниченно приближается к гипотенузе треугольника. Следовательно, длина гипотенузы равна сумме длин катетов. Найти ошибку в рассуждении. 419. Отрезок АВ длины а разделен п точками на равные части, и из этих точек проведены лучи под углами л/2к (рис. 17). Найти предел длины получившейся ломаной линии при неограниченном возрастании п. Сравнить с результатом предыдущей задачи. 420. Отрезок АВ длины а разделен на п равных частей. На каждом частичном отрезке построена дуга окружности, равная л/n радиан (рис. 18). Найти предел длины получившейся линии при Как изменится результат, если на каждом частичном отрезке будет строиться полуокружность? 421. Окружность радиуса R разделена п точками Ми Л12,... ..., Мп на равные части. Из каждой такой точки проведена дуга
окружности радиуса г до пересечения с дугами, построенными в соседних точках (рис. 19). Найти предел длины получившейся замкнутой линии при неограниченном возрастании п. 422. Два круга с радиусами /? и г (/?>г) касаются в начале координат оси OY и расположены правее нее (рис. 20). Какого порядка относительно х при х->0 будут бесконечно малый отрезок ММ' и бесконечно малый угол а? Рис. 17 Рис. 18 423. Центр окружности соединен отрезком прямой ОР с точкой Р, лежащей вне окружности. Из точки Р проведена касательная РТ к окружности и из точки Т опущен перпендикуляр TN на прямую ОР. Доказать, что отрезки АР и AN, где А — точка пересечения прямой ОР с окружностью, — эквивалентные бесконечно малые при Р-+А. 424. В конечных и в средней точках дуги АВ окружности проведены касательные и точки А и В соединены хордой. Доказать, что отношение площадей образовавшихся при этом двух треугольников стремится к 4 при неограниченном уменьшении дуги АВ. Вычислительные задачи 425. Исходя из эквивалентности при х->0 функций /1 -f-x— 1 и -g-x, вычислить приближенно: 1) /105; 2) /912; 3) /260; 4) /1632; 5) /О^Т; 6) /0Д2Т.
426. Показать, что при х->0 функции y^l+x — 1 и х/п— эквивалентные бесконечно малые. Воспользоваться этим для приближенного вычисления корней: 1) ]/1047; 2) 1^8144; 3) }/1,1; 4) V1080. Найти значение этих же корней с помощью логарифмических таблиц. Сравнить результаты. 427. Использовать эквивалентность In (14-х) и х при х->0 для приближенного вычисления натуральных логарифмов следующих чисел: 1,01; 1,02; 1,1; 1,2. Найти десятичные логарифмы этих же чисел и сравнить с табличными данными.
ГЛАВА 1П ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. Производная. Скорость изменения функции Некоторые задачи физики 428. Дано уравнение прямолинейного движения точки: s = 5/4-6. Определить среднюю скорость движения: а) за первые 6 секунд, б) за промежуток времени от конца 3-й до конца 6-й секунды. 429. Точка М удаляется от неподвижной точки А так, что расстояние AM растет пропорционально квадрату времени. По истечении 2 мин от начала движения расстояние AM равнялось 12 м. Найти среднюю скорость движения: а) за первые 5 мин, б) за промежуток времени от / = 4 мин до 1 = 7 мин, в) за промежуток времени от / = /1 до / = /2. з 430. Дано уравнение прямолинейного движения: $ = /34-у- Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от / = 4 до / = 4 4"А/, полагая А/= 2; 1; 0,1; 0,03. 431. Свободно падающее тело движется по закону s= тр где £(=9,80 м/с2) есть ускорение силы тяжести. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от t = 5 с до (/4-А/) с, полагая Д/= 1 с; 0,1 с; 0,05 с; 0,001 с; найти скорость падающего тела в конце 5-й секунды, в конце 10-й секунды. Получить формулу для скорости падающего тела для любого момента времени /. 432. Имеется тонкий неоднородный стержень АВ. Длина его L = 20 см. Масса отрезка AM растет пропорционально квадрату расстояния точки М от точки А, причем известно, что масса отрезка AM = 2 см равна 8 г. Найти: а) среднюю линейную плотность отрезка стержня AM = 2 см; б) среднюю линейную плотность всего стержня; в) плотность стержня в точке М. 433. В тонком неоднородном стержне АВ длиной 30 см масса (в граммах) распределена по закону tn = 3/2 + 5Z, где / — длина части стержня, отсчитываемая от точки А. Найти: 1) среднюю линейную плотность стержня; 2) линейную плотность: а) в точке,
отстоящей от точки А на расстоянии / = 5 см, б) в самой точке А, в) в конце стержня. 434. Количество тепла Q (в джоулях), необходимого для нагре* вания 1 кг воды от 0 до /°C, определяется формулой Q=4186,8 (/+0.00002Z2 + 0,0000003/’). Вычислить теплоемкость воды для / = 30°, /=100°. 435*. Угловую скорость равномерного вращения определяют как отношение угла поворота к соответствующему промежутку времени. Дать определение угловой скорости неравномерного вращения. 436. Если бы процесс радиоактивного распада протекал равно--мерио, тб под скоростью распада следовало бы понимать количество вещества, разложившегося в единицу времени. На самом деле процесс протекает неравномерно. Дать определение скорости радиоактивного распада. 437. Сила постоянного тока определяется как количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в единицу времени. Дать определение силы переменного тока. 438. Термическим коэффициентом линейного расширения стержня называют приращение единицы его длины при повышении температуры на 1 °C, если предположить равномерность теплового расширения. На самом же деле процесс протекает неравномерно. Пусть l — где / — длина стержня, / — температура. Дать определение коэффициента линейного расширения. 439. Коэффициентом растяжения пружины называют приращение единицы длины пружины под действием единичной силы, действующей на каждый квадратный сантиметр сечения пружины. При этом предполагается пропорциональность растяжения действующему усилию (закон Гука). Дать определение коэффициента растяжения k в случае уклонения от закона Гука. (Пусть / — длина пружины, S —площадь поперечного сечения, Р —растягивающая сила и / = <р(Р).) Производная функция 440. Найти приращение функции у = х3 в точке Xi = 2, полагая приращение Дх независимой переменной равным: 1) 2; 2) 1; 3) 0,5; 4) 0,1. 441. Найти отношение для функций: 1) у = 2хя — х24-1 при х= 1; Дх = 0,1; 2) у= у при х = 2; Дх = 0,01; 3) у=Ух при х — 4; Дх = 0,4. Показать, что при Дх->0 предел этого отношения в первом случае равен 4, во втором равен —1/4, в третьем равен 1/4.
442. Дана функция y=rf. Найти приближенные значения производной в точке х = 3, полагая последовательно Дх равным: а) 0,5; б) 0,1; в) 0,01; г) 0,001. 443. /(х) = х»; найти f (5); f (—2); f (—3/2). 444. f(x)=x\ найти /' (1); f (О); /'(—/2); f (1/3). 445. /(x)=x2. В какой точке /(х)=/'(х)? 446. Проверить, что для функции f(x) = x* справедливо соотношение f(a+b) = f' (e)+f(fr). Будет ли это тождество справедливым для функции /(х) = х*? 447. Найти производную функции у = sinx при х — 0. 448. Найти производную функции y = \gx при х=1. 449. Найта производную функции у =10* при х = 0. 450. Известно, что f (0) = 0 и существует предел выражения при х->0. Доказать, что этот предел равен /' (0). 451. Доказать теорему: если /(х) и ф(х) при х = 0 равны нулю If (0)^0, <р(0) = 0] и имеют производные при х = 0, причем ф' (0) 0, то 452. Доказать, что если f(x) имеет производную при х = а, то (о). 453. Доказать, что производная четной функции есть нечетная функции, а производная нечетной функции — четная функция. Геометрический смысл производной 454. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе у = х2: 1) в начале координат; 2) в точке (3, 9); 3) в точке (—2, 4); 4) в точках пересечения ее с прямой у = = Зх-2. 455. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе у — х3.равен 3? 456. В какой точке касательная к параболе у = х®: 1) параллельна оси Ох, 2) образует с осью Ох угол 45°? 457. Может ли касательная к кубической параболе у = х3 составлять с осью Ох тупой угол? 458. Под какими углами пересекаются парабола у = хг и прямая Зх — у — 2 =0? 459. Под какими углами пересекаются параболы у=х3 и у2 = х? 466. Под каким углом пересекается гипербола у — 1/х с параболой y = \fxt
461. Написать уравнения касательной и нормали, проведенных к кривой у = х3 в точке с абсциссой 2. Найти подкасательную и поднормаль. 462. При каком значении независимой переменной касательные к кривым у = х* и у=х3 параллельны? 463. В какой точке касательная к параболе у = х*: 1) параллельна прямой у = 4х —5; 2) перпендикулярна к прямой 2х— — бу 4* 5 = 0; 3) образует с прямой Зх — у4-1=0 угол 45е? 464. Доказать, что подкасательная, соответствующая любой точке параболы у— ax'1, равна половине абсциссы точки касания. Используя это обстоятельство, дать способ построения касательной к параболе в данной ее точке. 465. Доказать, что нормаль к параболе в любой ее точке служит биссектрисой угла, составленного фокальным радиусом точки и прямой, параллельной оси параболы и проходящей через данную точку. § 2. Дифференцирование функций Степенные функции В задачах этого раздела х, у, г, t, и, v, s — независимые переменные; а, Ь, с, d, tn, п, р, </— постоянные. 466. Продифференцировать функцию: 1) Зх2 —5х-|-1; 2) х*-^х’4-2,5х2-0,Зх4-0,1; 3) ах24-Ьх4-г, 4) i/x’+|/r2; 5) 2Гх-у + ^3; 6) 0.8 + * । п । । т* ov > пх V* PVX- т&+пг+4р. п + х + т2 + «2 ' ух + х ’ Р+<7 ’ 10) 0,П_з 11) (х —0.5)2; 12) ]/х (х3-/х 4-1); 13) (У4-1)2(у-1); 14) 0,5-3(а-х)2; 15) - «х / mu -f- п \з > \ Р I * 467. 7(х) = Зх-2]/х; найти /(1); /'(1); 7(4); Г (4); /(а2);Г(а«). 468. /(0 = найти /(- 1); /' (- 1); f (2); f (4). 46». 7(г)=^,~3г^——; найти 7'(4)« 470. /(х) = 4 —5x4-2xs —х1. Показать, что В задачах 471—489 продифференцировать указанные функции.
471. 1) // = (x2-3x + 3)(x2 + 2x~ 1); 2) f/ = (x3-3x + 2)(x< + xa-l); 3) £, = (/* +1)(‘_ А; ________________________ W * ' ! 4> 5) jf=(K^+2x)(l+Z^4-3x); 6) ^ = (х2—1)(ха —4)(ха —9); 7) {/=(l+Kx)(l+r2i)(i+/3^. 472. X 4- 1 У-—г 473. X У~ x»+r 474. 3/2+1 s f-l • 475. 024-04-r 476. ax 4-6 y-^+d- 477. 2 3(x2_l) + (X 0(1 x)- 478. Vй fl — 479. I —X3 у~ t+x5’ u &-2' 480. 2 a — - 481. va — v 4-1 “ a»—3 ' * х3-Г 1-x3 y=-^- 482. 483. 2 = —1— г /24-* + Г 484. 1 485. 2x4 11 — — * /2_3f + 6- y b*-x*’ 486. x2 + X — I 487. 3 y x34-l * (I—x2)(l—2x3)* 488. ax-\-bx2 У am 4- bm? * 489. a2b2c2 y (x — a)(x — b)(x—cy 490. /(х) = (х2 + х+1)(х2 —х+1); найти /'(0) и f (1). 491. F(x) = (x-l)(x-2)(x-3); найти F' (0), F' <1) и F' (2). 492. F(x) = r^2 4-jqrf; найти F'(0) и F'(— 1). / 493. s (0 = 5^7+ "5-; найти s'(0) и s'(2). 494. //(х) = (1+х3)^5 —найти if (1) и tf (а). 495. р (ф) = найти р'(2) и р'(0). 496. <p(z)=y^; найти ф'(1). 497. г (0=(//’+О С найти z' (0). В задачах 498—513 продифференцировать данные функции. 498. 1) (х — а) (х — Ь)(х — с)(х — d); 2) (х24-1)4; 3) (1 — х)а<| 4) (Ц-2х)30; 5) (1-х2)10; 6) (5х3 + ха-4)‘; 7) (х«-х)в; 8) + 9) S = (/>-l + 3j‘; 10) K=(£i)'i
11) у = i 12) У - (2х® + Зх2 + 6х +1)*. 499. 502. t/ = hd^. ® 1+/2Х / 1 \ Wl • у 1+/2х' 503. у = У 1— 504. у—\1— 2х\ 505. / V \т 506 и - 2 U~\1-&/ ’ оио* » (X2—Х+1) 507. 1 У V аъ—X- 509. 1 510. у=-^==‘ * У 1-х*—X» у /1-х 511. X2 0= 512. и = —-Д= 1 5 513. JF=:I7==== + 7T===« У2х— 1 /(х2+2)« 514. ц(ц) = (о2+и+2)8*'а; найти и' (1). 515. = найти у' (2). 516. у(х) = ]/~ {^; найти у' (0). Тригонометрические функции В задачах 517—546 продифференцировать данные фу 517. z/ = sinx + cos х. 518. 1 —cosx’ 519. * х ©520. p = (psin<p + cos<p. 521. z sin а . а 522. sin t а sin а" 1 -H cos t ’ 523. £/ = х_ * 524. x sin x J sin х-|-cosx’ 14-tgx’ 525. y = cos2x. 526. y = -£tg4x- 527. //=cosx —VCOS3X. □ <- 528. y=3sin2x — sin’x. 529. y = |tg3x-tgx4-x. 530. f/=xsec2x —tgx. 531. у = sec2 x + cosec2 x. 532. zy=sin 3x. 533. X y==acos^. •534. y=3 sin (3x-|-5).
535. 0 = tg^±l. 536. j/ = /l + 2tgx. 537. i/ = sin-i-. 588. y = sin (sin x). 539. 0 = cos34x. 540. у = 541. # = sin J/l-|-x2. 542. у — ctg УI + x2. 543. y=(l + sin2x)\ 544. z/ = |/’l + tg(x+y). 545. g = cos2 6 546. z/ = sin2(cos3x). 1+У x 547. Вывести формулы (sin"x cos nx)' = n sin"~xx cos (n+ l)x; (sin" x sin nx)1 = n sin"-1 x sin (n + 1) x; (cos" x sin nx)' = n cos"-1 x cos (n +1) x; (cos"xcosnx)' = — n cos"-1 x sin (n+ l)x. Обратные тригонометрические функции В задачах 548—572 продифференцировать данные функции. 548. у = х arcsin х. 549. arcsin х ц = и arccos х 550. у = (arcsin х)2. л 551. у = х arcsin х 4- V1 — л2. 552. 1 553. у = х sinx arctg х. и arcsin х* 554. arccos х 555. у = Ух arctg х. $ X 556. у = (arccos х + arcsin х)п. 557. у = arcsec х. 558. У 1 -|-х2 dlClg л. 559. arcsin х У yi—X2’ *560. X2 arctg х’ 561. у — arcsin (х — 1). 562. 2х 1 z/ = arccos . 563. у — arctg х2. 564. . 2 у = arcsin 565. у — arcsin (sinx). 566. У 2 1 у = arctg2 567. у — У 1 — (arccos х)2. 568. у = arcsin 569. у — у |/ arcsin У х2 + 2х.
<'-*'«- arccos 572. t/= arctg (х — У 14-х2). Логарифмические функции В задачах 573—597 продифференцировать данные функции 573. y=x2log3x. 574. y=ln2x. 575. ^/ = xlgx. 576. r/ = ]/inx. 577, {Z=i5fo7- 578. y = xsinxlnjp. 579. у = -Д. 1пх COA frl X 580. y=—. 58L У l+ffix- eon fa* 582. y = -^. 583. у = х"1пх. 584. y = ]/l + lnax. 585. у = 1п(1- 2х). 586. y= In (x2 — 4x). 587, у= Insinx. 588. jf = log8(x2- 1). 589. y = lntgx. 590. у = tn arccos 2x. 591. i/=lnAsinx. 592. у = arctg [In (ax 4- 6)]. 593. г/= (14-In sinx)". 594. у = toga (logs (logs *)] 595. у = In arctg У1 + x2. 597. у = У In sin ^±3. 596. у = arcsin2 [In (a34-x3)J. Показательные функции В задачах 598—633 продифференцировать данные функции. 598. y = 2*. 599. t/=10*. 600. y = ^. 601. y = ~. 602. y=x lO*. 603. y = xe*. 604. y=^. 695. = 606. y=excosx. 607. y = £~. y sin X 608. cosx x y = -^T. 609. y = -^. 610. y = x3 —3*. 611. £/ = У1+е*. 612. t/ = (x2 —2x + 3) eA e,3. ^{±5. 1-10* 614. У 615. 11=^. 616. t/ = xe*(cosx-|-sinx). 617. y = e x. 618. t/=102*"3. 619. y=e*^+i.
620. y=sin(2x). 622. 624. у=2'1Г. 626. z/ = sin(e,:'+sw-*). 628. у = + 630. y=ae~b‘x\ 632. г/=Яе-*’х81п(<ох4-а). 621. # = 3sin*. 623. t/ = earcsin2x. 625. 627. y= 10'-sin'w. * 629. t/=lnsin)Zarctge3*. 631. y=tfe-xliat. 633. y = aJtxe. Гиперболические функции В задачах 634—649 продифференцировать данные функции. 634. //=sh3x. 636. у= arctg (th х). 638. y = sh2x4-ch2x. 640. t/ = /chx. 642. y=th(lnx). 644. у = |/ (1 +th2x)3. 646. y = lZ я V 1—th* 648. у— ~ch2x + J/’x sh2х. 635. y = lnchx. 637. у = th (1-х2). 639. i/ = ch(shx). 641. y = ech’*. 643. y = xshx —chx. 645. y-lthi--'-th’4-. 647. ,_11Ьх+!5|п1±^1. v 2 8 1—/2th* 649. i/=x2e3jtcschx. Логарифмическое дифференцирование В задачах 650—666 продифференцировать данные функции, гспользуя правило логарифмического дифференцирования. 650. у = хх\ 652. 654. 656. 658. 660. i/= (sin х)ГЪ5Х. г/ = (х-Н)2/< „_(х-2)=/?Т1 У— (*—5)3 • 1)3/7^2 У /(*-3)2 __*1 /" 1 — arcsin х у 1 + arcsin х’ 651. у = ххХ. 653. у = (\пх)х. 655. у = х3ех'sin2x. 657. у = х,п*. 659. y = ]/rxsinx/l — е*- 662. y=xslnx. 664. у = 2х^. ИА6 »— у/* ООО. I/— у 661. у = х»/х. “3- »=Ш'- 665. y = (x2+l)slnjt.
Разные функции В задачах 667—770 667. у = (1+Ух)’. 669. у = У 1 + /2рх. 671. y = lg(x — cosx). 673. y-5tgf + tg£. 675. y = sin-*-sin 2x. 677. y = x«|/x«^8. 679. y=(Ki+J=-)”. \ VxJ 681. z/ = e2x+3 (x2 —x + y)* 683. y=-^ arctg——. УЗ s 1 -x2 685. у = sin2 ctg J. 687. {/ = ln(x+/^H2). 689. у = >1 + tgax +tg‘x. 691. y = ^arctgx-f- -arctgp^. 693. y — arcsin ]/sin x. 695. y = x — ]/1 — x2 arcsinx. 697. y — V x-{-Vх + Уx. 699. t/= sin2 701. y = arctg|/l^. 703. у = x arcsin (Inx). 705. y = cosx]/l 4~sin2x. 707. y = x-10^. 709. y = In arctg -r^-. L ул продифференцировать данные функции. 668. 670. 672. у = arctg (x2 — 3x+2) y = 3cos2x —cos3x. b/4. f/ = v==. 676. t/ = sinxecos*. 678. у = e~xt In x. 680. y=arctg^±p 682. 2 sin2 x cos 2x ‘ 684. .tgy+ctg-J X 686. ‘/4x» + 2 Зх1 ‘ 688. у=x arc tg Ух. 690. у = cos 2x in x. 692. у = arcsin (n sinx). 694. у = j^sin’Sx— 2*jsine3x. 696. лл arcsin x y = COS 2~. 698. у = arccos У1 — 3x. 700. y= log3 (x2 —sinx). 702. y=ln-^.— 704. y = tgi=|. •706. у = 0,4 (cos-—7^—— sin0,8xy. 708. !/ = ^22а- 710. y=ln---Д=. а х+Ух2-!
711. у= j/1+х/х + З. 712. g = x2Yl + Vx. 713. У = ^2 . 714. У = х*arctgх3. V 14-sin2x 715. sin х * । т г i о 0 = fiT^- 716. J/ = arcsin х + у 1 -х2. 717. 718. к = А 719. «/=1п-Ц^. 720. у = 10* 721. # = sin2xsinx2. 722. у = -|^=, У cos 2х 723. У-ХУ i+X2- 724. у- 4 In , +х -2 arctgх. 725. 3/ = 2In*- 726. у=У (а — х)(х — b) — (а - &) arctg . 727. у = о- si" Зх . 728. у = У Ьр\ 729. у = V аг — х2 — a arccos ~. 730. p=]/x2+l-ln(i + ]/ 1+±). 731. — sjn2 х f cos2 х 1 ctg х ' 14- tg х ’ 732. y-ln(x + ]/x2 1) 733. у = еах (asinx — cosx). 734. у — хех~cos*. 735. g= a-rcTg7-^- 736. у = г* (sin Зх — 3 cos Зх). 737. i/=3x3 arcsin x+ (xa + 2)1^ 1 —x2. 738. y= 739. y = 2arcsin]/2-{-4x—x2. pl + e-/x У6 740. у = In (ex cos x + sinx). 741. » 742. У = -т-^ r. у 1 4- x2 cos (x — cos x) 743. r/ = exsin xcos3x. 744, y— 9 4~6y x9. 745. w = x — ln(2e* +1 + У e2x + 4г* + 1). 746. „ = /,arctgn + in(2x-t-3). 747. y = ^_. u ex 4~ 748. y= In tg — ctgx In (1 + sin x) — x.
749. у = 2 in (2х — 3 V 1 — 4ха) — 6 arcs in 2х. 750. у = 5^! + In ]/Г+Га + arctg х. 751. 752. 754. 756. y = ~(3 — x) V 1 — 2x — x2 4- 2 arcsin . у = In (x sin x У1 — x2). /7+2(3-x)< (*+l)6 * 1 x’—arctgx + 4 lnx + i y = -==e 3 * Ух 753. у = X /1 + х2 sin х. 755. у = У(1+хе^)3. 757. 1 -4-t — _ s*n х I $S1n x i 3 i & 2 ^~4oos4jc * 8cosax 8 П . . x 7e-o - xeX arctgx 740 n — ' V in5.* ' U (arccos x)3 760. у = x/(xa4-a2)a + /F+^2 + in(x + 761. y = x (arcsin x)2 -2x4-2/1 — x2 arcsin x. 762. у = in cos arctg—x. ♦ 763. у=^^®.arctg (ePx 765-" = 1"ШЬЯ5 + 2агс‘8/Й- 766. 767. у = Уt^L,. 768. у = In V-±^-± ?. + ’ /arctg 2-^- 4- arctg a Г x»-x+l 2/3 \ 5 /3 /3 / 769. y = arccos 77Л x 7 1 Ir, (l+2x)2 i/З .л4х-1 У 1+&C3 12 П 1— 2x + 4x2 + 6 arc^ /3 * 771. Доказать, что функция y = lny^- удовлетворяет соотношению х/ 4- 1 772. Доказать, что функция ^ = ^4--|-х/х24-1 4-lnj/x4-/x24-l S. удовлетворяет соотношению 2у = ху' 4- In/.
773. Доказать, что функция у arcsin х -— удовлетворяет соотно- У 1 — х2 шению (1 — х2) у' — ху = 1. 774*. Вычислить суммы а) I + 2х + Зх2 + • • ♦ + пх^\ б) 2 + 2‘Зх + 3‘4х2 + ... + п(/г-1)хл~2. Обратные функции 775. Допустим, что правило дифференцирования степенной функции установлено только для целого положительного показателя. Вывести формулу дифференцирования корня, используя правило дифференцирования обратной функции. 776. x = £arcsi11^; найти выражение для ~ через у; через х. ds 777. / = 2—Зз + s3; выразить через s. 1 1 14- и du du . 778. и = % In-j—проверить соотношение = 1. 779. Зная, что функции arcsin ]/х и sin2х — взаимно обратные функции и что (sin2x)' = sin 2х, найти (arcsinj/x/. 780. Обозначим функцию, обратную степенно-показательной функции у = х\ символом а(х), т. е. положим, что из// —Xх следует х = а(у). Найти формулу для производной от функции у = = а (х). 781. Функции, обратные гиперболическим, обозначаются символами Arshx, Arch х, Arth х. Найти производные этих функций. 782. s = te^\ найти 783. у — Выразить через х; через у. Показать спра-dy dx . ведливость соотношения • -т- = 1. dx ay 784. х — у3 — 4д/4-1. Найти 785. i = arcsin 2s. Найти выражение для через $; через t. п л _ dy dx , 786. Проверить справедливость соотношения если х и у связаны зависимостью: 1) у = х2ах + Ь; 2) у = х~п; 3) у=1п(х2— 1). Функции, заданные неявно 787. Убедиться дифференцированием в том, что производные от обеих частей равенства sin2x = 1 — cos2x тождественно равны между собой.
788- Убедиться дифференцированием в том, что производные от обеих частей равенства 2 sin2х— 1 . cosx (2 sin х+1) _ < COS X "Г 1 + sin X “ 5 тождественно равны друг другу. 789. Чему равен угловой коэффициент касательной, проведенной к эллипсу ^ + ^ = 1 в точке (1, ]Л2)? 790. Чему равен угловой коэффициент касательной к гиперболе ху = а (а^=0), проведенной в точке (а, 1)? 791. Чему равен угловой коэффициент касательной к окружности (х — l)2 + (i/ + 3)2= 17, проведенной в точке (2, 1)? В задачах 792 — 812 найти производные функций у, задан- ных неявно. 792. II + 793. х1/г + у1/г = а1/2. 794. х34-«/3 — Заху = Ъ. 795. угсо$х = а2 sin3x; 796. у3 — 3t/4-2ax = 0. 797. у1 — 2х</4- 62 = 0. *798. х* + у* = х2у2. 799. х3 4- ах2у 4- Ьху14- у3 = 0. 800. sin(xy) + cos(xy)= = tg(*+f/)\801. 2х 4- 2у = 2Л+(/. 802. 2у\пу = х. 803. х—</=arcsin х—arcsin у. 804. ху = ух. *805. у —cos (х + у). 806. cos (ху) = X. 807. х2/л + у2/з =.а213. 808. у= 1 -\-хеу. 809. xsin у—cosz/4-cos 2</=0. 810. J. 811. у sin х — cos (х — у) = 0. 812. 813. y = x4-arctgi/. Убедиться в том, что функция у, определенная уравне- пнем ху — In £/= 1, удовлетворяет также соотношению t/2 + (xz/-1)^ = 0. Применения производной 814. На параболе у — х* взяты две точки с абсциссами xt = I, х> = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? 815. Через фокус параболы проведена хорда, перпендикулярная к оси параболы. Через точки пересечения этой хорды с параболой проведены касательные. Доказать, что эти касательные пересекаются под прямым углом. 816. Составить уравнения касательной и нормали к гиперболе у~}/х в точке с абсциссой х = —1/2. Найти подкасательную и поднормаль. 817. Показать, что отрезок касательной к гиперболе У = ^> заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
818. Показать, что для гиперболы ху=а площадь треугольника, образованного любой касательной и координатными осями, равна квадрату полуоси гиперболы. 819. Точка движется по прямой так, что ее расстояние s от начального пункта через t с равно s = ^t* — 4£84- 16£а. а) В какие моменты точка была в начальном пункте? б) В какие моменты ее скорость равна нулю? 820. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону $ выражено в сантиметрах, t — в секундах. Определить кинетиче-скую энергию 1-у 1 тела через 5 с после начала движения. 821. Угол а поворота шкива в зависимости от времени I задан функцией а = /24-3£ — 5. Найти угловую скорость при < = 5 с. 822. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Найти угловую скорость через 32 с после начала движения. 823. Угол 0, на который поворачивается колесо через t с равен 9= at2 — Ы+с, где а, Ь, с — положительные постоянные. Найти угловую скорость о) движения колеса. В какой момент времени угловая скорость будет равна нулю? 824. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента времени t — 0, дается формулой Q = 2t2 + 3t + 1 (Кл). Найти силу тока в конце пятой секунды. 825. На линии у = х2(х — 2)2 найти точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс. 826. Показать, что линия у = х64~5х—12 во всех своих точках наклонена к оси Ох под острым углом. 827. В каких точках линии у = х34-х —2 касательная к ней параллельна прямой у=4х—1. 828. Составить уравнения касательных к линии у = х — ~х в точках ее пересечения с осью абсцисс. 829. Составить уравнение касательной к линии у — х34- Зх* — 5, перпендикулярной к прямой 2х — бу4-1=0. В задачах 830 — 833 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям. 830. у = sinx в точке М (х0, уа). 831. у = 1пх в точке М (х0, уо)- 832. у = в точке с абсциссой х = 2а. 833. = (циссоида) в точке М (х0, у0).
834. Показать, что подкасательная к параболе n-го порядка у — хп равна ~й части абсциссы точки касания. Дать способно-строения касательной к линии у = хп. 835. Найти подкасательные и поднормали к линии у = ха; у2=^х3; ху2=1. Дать способы построения касательных к этим линиям. 836. Составить уравнения касательной и нормали к параболе х2 = 4ау в ее точке (х0, у0); показать, что касательная в точке о абсциссой х0 = 2ат имеет уравнение х = ~ + ат. 837. Хорда параболы у=х2 — 2x-f-5 соединяет точки с абсциссами Xi = l, *2 = 3. Составить уравнение касательной к параболе, параллельной хорде. 3x4-6 838. Составить уравнение нормали к линии у =-------, - в точке в абсциссой х = 3. _ 839. Составить уравнение нормали к линии у — — в точке ее пересечения о биссектрисой первого координатного угла. 840. Составить уравнение нормали к параболе у = х2 — 6x4-6, перпендикулярной к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы. 841. Показать, что нормали к линии у = х2 — х4-1> проведенные в точках о абсциссами Xi=0, х2 =—1 и х3 = 5/2, пересекаются в одной точке. 842. В точках пересечения прямой х — у4- 1=0 и параболы у = х2 — 4x4-5 проведены нормали к параболе. Найти площадь треугольника, образованного нормалями и хордой, стягивающей указанные точки пересечения. 843. Показать, что касательные, проведенные к гиперболе у— %_______4 = в точках ее пересечения с осями координат, параллельны между собой. 844. Провести касательную к гиперболе */ = ~zp= так, чтобы она прошла через начало координат. 845. На линии найти точку, в которой касательная параллельна оси абсцисс. 846. Найти уравнение касательной к линии х2(х + у) = а2(х — у) в начале координат. 847. Доказать, что касательные к линии у = . проведен- ные в точках, для которых у=1, пересекаются в начале координат.
848. Провести нормаль к линии y = xlnx параллельно прямой 2х —2//4~3 = 0. 849. Найти расстояние от начала координат до нормали к лик нии £/ = е2А'+х2, проведенной в точке х = 0. 850. Построить график функции у =sin (2х — л/3) и найти точку пересечения касательных к графику, проведенных в точках с абсциссой Xi = 0 и ха = 5л/12. 851. Показать, что у линии у^аеЬх (а и Ь~ постоянные) подкасательная во всех точках имеет постоянную длину. 852. Показать, что поднормаль линии у~х\п(сх) (с— произвольная константа) в любой точке данной линии есть четвертая пропорциональная к абсциссе, ординате и сумме абсциссы и ординаты этой точки. 1 ------- 853. Показать, что любая касательная к линии у = % V х —4х2 пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала коор-динат. j/i 854. Показать, что касательная к эллипсу *2" -f- = I в точке М (х0, уо) имеет уравнение -f-1. ( ___________\ \ 855. Показать, что касательная х кгиперболе^ — УЬ1 = 1 вточкеЛ4(х0,£/0) ХХл УУп . имеет уравнение ~~ — -jy- = 1. 856. Доказать, что нормаль к Рис- 21 эллипсу в любой его точке делит пополам угол между фокальными радиусами (рис. 21) этой точки. Вывести отсюда способ построения касательной и нормали к эллипсу. 857. Составить уравнения касательных к гиперболе у — у= 1, перпендикулярных к прямой 2x4-4i/ — 3 = 0. 858. Через начало координат проведена прямая, параллельная касательной к кривой в произвольной ее точке М. Найти геометрическое место точек Р пересечения этой прямой с прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку М. Найти такие геометрические места для а) параболы у2 = 2рх, б) логарифмики у= log^x, в) окружности х2 4- у2 = а2, г) трактрисы у = у х2 — а In — —---------. В задачах 859 — 864 найти углы, под которыми пересекаются данные линии. Iv X +1 ^ + 4*4-8 859. 1) у = ^ и у =-----.
2) z/=(x —2)2 и |/=4х —ха + 4. 860. 1) xa + t/2 = 8 и у2 = 2х. 2) х2+*/2 —4х = 1 и x2 + f/2 + 2f/ = 9. у2 fj2 861. х2-у2 = 5 и й + ’8я1< 862. х*+у* = 8ах и у2 = ^=7- 863. х* = 4ау и У = ^У4аа- 864. у = sinx и y = cosx (0sgx=^n). 865. Составить уравнение касательной и нормали к линии (Я+(Я=2 в точке с абсциссой, равной а. 866. Доказать, что сумма отрезков на осях координат, образуемых касательной к кривой х1/24-у1/2 = а1/2, для всех ее точек равна а. 867. Показать, что отрезок касательной к астроиде х2/3Чу2/3 = = а2/3, заключенный между осями координат, имеет постоянную длину, равную а. 868. Доказать, что отрезок касательной к трактрисе у = ^\па+У^г-У^?, а 2 а-/аа-х« г заключенный между осью ординат и точкой касания, имеет постоянную длину. 869. Показать, что для любой точки М (х0, у») равнобочной гиперболы х2 —у2 = а2 отрезок нормали от точки М до точки пересечения с осью абсцисс равен полярному радиусу точки М. 870. Показать, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной в произвольной точке кривой ~ + ^=1, пропорционален кубу абсциссы точки касания. 871. Доказать, что ордината любой точки линии 2х2у2 — х* = с (с —постоянная) есть средняя пропорциональная между абсциссой и разностью абсциссы и поднормали, проведенной к линии в той же точке. £.2 872. Доказать, что у эллипсов ~2 + = 1, У которых ось 2а — общая, а оси 2Ь различны (рис. 22), касательные, проведенные в точках с одинаковыми абсциссами, пересекаются в одной точке, лежащей на оси абсцисс. Воспользовавшись этим, указать простой прием построения касательной к эллипсу. 873. Показать, что линия у = е11* sin тх касается каждой из линий y=ekx, у ——во всех общих с ними точках.
874. Для построения касательной к цепной линии y — ach^ употребляется следующий способ: на ординате M.N точки М, как на диаметре, строится полуокружность (рис. 23) и откладывается хорда NP — a\ прямая МР будет искомой касательной. Доказать это. Графическое дифференцирование 875. Измерение температуры обмотки электромагнита мотора при прохождении электрического тока дало следующие результаты: Время t мин. 0 5 10 15 20 25 Температура б® С , 20 26 32,5 41 46 49 Время t мин. . 30 35 40 45 50 55 Температура б°С 52,5 54,5 56,5 58 59,5 61 Построить приближенный график непрерывной зависимости температуры от времени. Выполнив графическое дифференцирование, построить график скорости изменения температуры от времени. 876. На рис. 24 изображена кривая подъема впускного клапана цилиндра паровой машины (низкого давления). Построить кривую скорости графическим дифференцированием.
§ 3. Дифференциал. Дифференцируемость функции Ди ффе ренци а л 877. Найти приращение функции у = х2, соответствующее приращению Дх независимой переменной. Вычислить Ду, если х = 1 и Дх = 0,1; 0,01. Какова будет погрешность (абсолютная и относительная) значения Ду, если ограничиться членом, содержащим Дх в первой степени? 878. Найти приращение Ди объема и шара при изменении радиуса /? = 2 на Д7?. Вычислить Ди, если ДК = 0,5; 0,1; 0,01. Какова будет погрешность значения До, если ограничиться членом, содержащим Д/? в первой степени? 879. Дана функция у = х3-|-2х. Найти значения приращения и его линейной главной части, соответствующие изменению х от х = 2 до х = 2,1. 880. Какое приращение получает функция у = 3х2 —х при переходе независимой переменной от значения х — 1 к значению х=1,02. Каково значение соответствующей линейной главной части? Найти отношение второй величины к первой. 881. Дана функция y=f(x). В некоторой точке х дано приращение Дх = 0,2; соответствующая главная часть приращения функции оказалась равной 0,8. Найти производную в точке х. 882. Дана функция /(х) = х2. Известно, что в некоторой точке приращению независимой переменной Дх = 0,2 соответствует главная часть приращения функции df(x) =—0,8. Найти начальное значение независимой переменной. 883. Найти приращение и дифференциал функции у = х2—х при х= 10 и Дх = 0,1. Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене приращения дифференциалом. СДелать чертеж. 884. Найти приращение и дифференциал функции у = ргх при х = 4 и •Дх = 0,41. Вычислить абсолютную и относительную погрешности. Сделать чертеж. 885. у = х3 —х. При х = 2 вычислить Ду и dy, давая Дх значения Дх=1; Дх = 0,1; Дх = 0,01. Найти соответствующие значе- „ £ 1Лу — dui ния относительной погрешности о = —। • 886. Найти графически (сделав чертеж на миллиметровой бумаге в большом масштабе) приращение, дифференциал и вычислить абсолютную и относительную погрешности при замене приращения дифференциалом для функции у = 2* при х = 2 и Дх = 0,4. 887. Сторона квадрата равна 8 см. Насколько увеличится его площадь, если каждую сторону увеличить на: а) 1 см; б) 0,5 см; в) 0,1 см. Найти главную линейную часть приращения площади этого квадрата и оценить относительную погрешность (в процентах) при замене приращения его главной частью.
888. Известно, что при увеличении сторон данного квадрата на 0,3 см линейная главная часть приращения площади составляет 2,4 см2. Найти линейную главную часть приращения площади, соответствующую приращению каждой стороны на: а) 0,6 см; б) 0,75 см; в) 1,2 см. 889. Найти дифференциал функции: 1) 0,25 к?; 2) g; 3) 4) 5) 6) -fa 7) аТ? 8> 9’ 10> "> (4, + 4x+D(x’-/i> 12) 13) -L- 14) (1+х-х2)3; 15) tg2x; 16) б1"*®*; 17) 2"^; 18) lntg(j-|); 19) 20) У arcsin х 4- (arctgх)2; 1 7 21) 3arcsinx —4arctgx4-y arccosx —yarctgx; _ i _ 22) 3 **4-3x’-4/x. 890. Вычислить значение дифференциала функции: I) у=* — (tg х+В* ПРИ изменении независимой переменной от х = я/6 до х = 61л/360; 2) // = cos2<p при изменении <р от 60° до 60’30'; 3) ^ = sin2<p при изменении <р от л/6 до 61л/360; 4) # = sin3<p при изменении <р от л/6 до 61л/360; 5) # = sin у при изменении в л 61л ОТ 6“ Д0 360 • 891. Найти приближенное значение приращения функции у — = sinx при изменении х от 30’ до ЗО’Г, Чему равен sin30’l'? 892. Найти приближенное значение приращения функции у => = tgx при изменении х от 45’ до 45’10'. 893. Найти приближенное значение приращения функции у => 1 4- cos х л я , 1 = т---- при изменении х от -а- до -»• + тхх. 894. р = k ]/cos 2<р; найти dp.% 895. у = Зх +2]х + Вычислить dy при х=1 и dx = 0,2. 896. Вычислить приближенно sin 60’3', sin 60’18'. Сопоставить полученные результаты с табличными значениями. 897. Проверить, что функция у = удовлетворяет соотношению 2х2 dy = (хгу2 + 1) dx. 898. Проверить, что функция у, определенная уравнением arctg -£ = In х2 4- у2, удовлетворяет соотношению х (dy — Hx) = = 0(tfy4-dx).
899. /(х) = е0|*(1—*>. Подсчитать при ближенно /(1,05). 90D. Вычислить arctg 1,02; arctg 0,97. 90t. Вычислить приближенно «902., Вычислить приближенно arcsin 0,4983. 903. Если длина тяжелой нити (провода, цепи) (рис. 25) равна 2s, полупролет I, а стрелка провеса /, то имеет место приближенное равенство / 2 f- \ *='(> +>/=) а) Подсчитать, какое изменение произойдет в длине нити при изменении ее стрелки провеса / на величину df. б) Если учесть изменение длины провода ds (например, от изменения температуры или нагрузки), то как изменится при этом стрелка провеса? 904. Сравнить погрешности при нахождении угла по его тангенсу и по его синусу с помощью логарифмических таблиц, т. е. сопоставить точность нахожде-нияуглахпо формулам 1g s i nx=у и lgtgx = z, если у и г даны с одинаковыми погрешностями. 905. При технических расчетах часто сокращают л и Vg (g — ускорение силы тяжести), когда одно из этих чисел стоит в числителе, а другое —в знаменателе. Какую относительную погрешность делают при эюм? 906. Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и ее дифференциал: 1) у = У^+5х, х = ^ + 2(+1; 2) s = cos2z, z = 3) ? = arctgo, 0 = 777? 4) t< = 3-1/-v, x=ln tgs; 5) s = ely 2=,*-In/, / = 2a2 —3«4-l; 6) у = In tg -% , u = arcsin v, у = cos 2s. Дифференцируемость функций 907. Функция // = |x| непрерывна при любом х. Убедиться, что при х = 0 она недифференцируема. 908. Исследовать непрерывность и дифференцируемость функции у — | х31 при х = 0. 909. Функция / (х) определена следующим образом: /(х) = 1-|-х для х«£0, /(х)=х для 0<х<1; /(х) = 2— х для |<х<2и /(х) = 3х —х2 для х>2. Исследовать непрерывность / (х) и выяснить существование и непрерывность /' (х).
910. Функция i/ = ]sinx[ непрерывна при любом к. Убедиться, что при х = 0 она недифференцируема. Имеются ли другие значения независимой переменной, при которых функция недифферен-цируема? 911. Исследовать непрерывность и дифференцируемость функции у — е~|ж| при х = 0. 912. /(x) = x2sinT при ху=0, /(0) = 0. Будет ли функция/(х) дифференцируемой при х = 0? 913. /(х) = + 1 при х=#0, / (0) = 0. Будет ли функция 1" х /(х) при х = 0 непрерывной и дифференцируемой? 914. Дана функция /(х)= 1-4~^(х—I)2. Показать, что при х = 1 из приращения функции нельзя выделить линейную главную часть, и поэтому f(х) при х=1 не имеет производной. Истолковать результат геометрически. 915. f (х) — х arctg — при х=/=0, f (0) = 0. Будет ли функция f (х) при х = 0 непрерывной, дифференцируемой? Истолковать результат геометрически. 9,61 = при х=#0 и / (0) = 0. Будет ли функция f(x) при х = 0 непрерывной; дифференцируемой? § 4. Производная как скорость изменения (дальнейшие примеры) От носительная скорость 917. Точка движется по архимедовой спирали р=пф. Найти скорость изменения полярного радиуса р относительно полярного угла ф. 918. Точка движется по логарифмической спирали p = e"(V. Найти скорость изменения полярного радиуса, если известно, что он вращается с угловой скоростью <о. 919. Точка движется по окружности р = 2г cos ср. Найти скорости изменения абсциссы и ординаты точки, если полярный радиус вращается с угловой скоростью <о. Полярная ось служит осью абсцисс, полюс ~ началом системы декартовых координат. 920. Круг радиуса R катится без скольжения по прямой. Центр круга движется с постоянной скоростью v. Найти скорости изменения абсциссы х и ординаты у для точки, лежащей на границе круга. 921. Барометрическое давление р изменяется с высотой А в соответствии с функцией In р = ch, где через р0 обозначено нормально
ное давление, а с—постоянная. На высоте 5540 м давление достигает половины нормального; найти скорость изменения барометрического давления с высотой. 922. у связан с х соотношением у2 = 12х. Аргумент х возрастает равномерно со скоростью 2 единицы в секунду. С какой скоростью возрастает у при х = 3? 923. Ордината точки, описывающей окружность х2 + у2 = 25, убывает со скоростью 1,5 см/с. С какой скоростью изменяется абсцисса точки, когда ордината становится равной 4 см? 924. В какой точке эллипса 16x2 + 9z/2 = 400 ордината убывает с такой же скоростью, с какой абсцисса возрастает? 925. Сторона квадрата увеличивается со скоростью и. Какова скорость изменения периметра и площади квадрата в тот момент, когда сторона его равна а> 926. Радиус круга изменяется со скоростью и. Какова скорость изменения длины окружности и площади круга в тот момент, когда его радиус равен г? 927. Радиус шара изменяется со скоростью v. С какой скоростью изменяются объем и поверхность шара? 928. При каком значении угла синус изменяется вдвое медленнее аргумента? 929. При каком значении угла скорости изменения синуса и тангенса одного и того же угла одинаковы? 930. Скорость роста синуса увеличилась в п раз. Во сколько раз при этом изменилась скорость роста тангенса? 931. Предполагая, что объем ствола дерева пропорционален кубу его диаметра и что последний равномерно увеличивается из года в год, показать, что скорость роста объема, когда диаметр равен 90 см, в 25 раз больше скорости, когда диаметр равен 18 см. Функции, заданные параметрически 932. Проверить, лежит ли заданная декартовыми координатами точка на линии, уравнение которой дано в параметрической форме: а) Лежит ли точка (5, 1) на окружности х = 2 + 5cos/, у = —3 + + 5 sin/? б) Лежит ли точка (2, рл3) на окружности x = 2cos/, у = 2 sin/? 933. Построить графики функций, заданных параметрически: a) x = 3cos/, у 4 sin/; б) х = Z2 — 2/, у— /2 + 2/; в) x = cos/, //=/ + 2 sin/; г) у = *-(/3+ 1). 934. Из уравнений, параметрически задающих функцию, исключить параметр: 1) х = 3/, у=6/ —/2; 2) x = cos/, z/=sin2/; 3) х = /3+1, y = t2; 4) х = ср — sin (р, у=1—cosqp; 5) х— tg/, y = sin2/ + 2cos2/.
935. Найти значение параметра, соответствующее заданным координатам точки на линии, уравнение которой дано в параметрической форме: 1) х = 3(2 cos/ — cos 2/), //= 3 (2 sin — sin 2/); (—9,0); 2) х = /24-2/, i/ = + (3, 2); 3) x = 2 tg/, y~ 2 sin2/4-sin 2/; (2, 2); 4) % = y = (0, 0). В задачах 936 — 945 найти производные от у по х. 936. x = acoscp, £/ = bsin<p. 937. x = acos3<p, у = b sin3 <р. 938. x — a(((i — sin <p), y=a(I — cos ф). 939. x = 1 - Z2, y=t-t3. 940. ^ = Ц2, i-i У-—- *941. x = ln(l + Z2), y=t — arctg/. 942. x = tp (1 — sirup), у — ф COS ф. 943. x = ^, t. У~ 1 • 944. x = ef sin /, y — ef cost. 945. x-)+p, у~ 1-н1' В задачах 946—949 найти угловые коэффициенты касательных к данным линиям. 946. x = 3cos/, у = 4 sin / в точке (3^2/2, 2 J/2). 947. х = / —/4, г/—/2 —/3 в точке (0, 0). 948. х = /3 + 1, г/ = /2-|-/4-1 в точке (1, 1). 949. х-- 2 cos/, у = sin / в точке (1, —]/3/2). 950. Для линии, заданной в параметрической форме, указать связь между параметром / и углом а, образованным касательной к линии с осью абсцисс: 1) х = cos / 4- sin / — cos /, у — sin / — i cos / — sin /; 2) x^acos3/, y^asin3/; ______ 3) x = acost |/2 cos 2/, # = a sin / p^2 cos 2/. 951. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически уравнениями х^2/4~3/2, у = /24-2/3, удовлетворяет соотношению у = у'2-\-2у'3 (штрихом обозначено дифференцирование пох, т. е. dx; 952. Убедиться Б ТОМ, ЧТО функция, заданная параметрически 1 1 / 3 / 2 уравнениями л:, у — 2l1 + ( , удовлетворяет соотношению ху'3=1+у' (у’ = ‘fy
953. Убедиться в том, уравненияхми х = ch 2/, i/y'-x = 0 (у' = J). 954. Убедиться в том, уравнениями что функция, заданная параметрически i/ = sh2Z, удовлетворяет соотношению что функция, заданная параметрически к = -7= — In, у — —= Fl-Ha 1 |i- удовлетворяет соотношению yV \ + у'2 = у' [у' = ^- 955. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически 14-1П/ 3+21П/ уравнениями х = —, у = —, удовлетворяет соотношению УУ' = 2ху'2 + 1 (у' = . 956. Найти углы, под которыми пересекаются линии: 5 5 1) у = х- и х = „-cos/, у = .-sin/; ' 3 4 п. . at'1 at 1^3 2) x = acos<p, y = asincp и x = -j-j-y2, у = -{ . 957. Показать, что при любом положении производящего круга циклоиды касательная и нормаль в соответствующей точке циклоиды проходят через его высшую и низшую точки. 958. Найти длины касательной, нормали, подкасательной и поднормали к кардиоиде x = a(2cos/ — cos 2/), y = a(2sint— — sin 2t) в произвольной ее точке. 959. Найти длины касательной, нормали, подкасательной, поднормали к астроиде x = asin3/, i/ = acos3/ в произвольной ее точке. 960. Доказать, что касательная к окружности х2-{-у2 — а2 слу* жит нормалью к эвольвенте окружности х = a (cos t +1 sin t), у = a (sin t — t cos t). 961. Найти длины касательной, нормали, подкасательной и поднормали эвольвенты окружности (см. уравнения последней в предыдущей задаче). 962. Доказать, что отрезок нормали к кривой x = 2asin/ + + a sin Z cos2/, z/ =— a cos3/, заключенный между осями координат, равен 2а. В задачах 963—966 составить уравнения касательной и нор-, мали к данным линиям в указанных точках. 963. х = 2е'; У = е~* при / = 0. 964. х = sin Z, у = cos2t при / = л/6. 965. х = 2 lnctg/+ 1, tg/-|-ctg/ при / = л/4. 966. 1) х = У = ттр при / = 2;
2) х = i (t cos t — 2 sin /), // = /(/sin/4-2 cos/) при / = л/4; 3) x = sin t, у = а* при t = 0. 967. Показать, что в двух точках кардиоиды (см. задачу 958), , 2 соответствующих значениям параметра tt отличающимся на у л, касательные параллельны. 968. Доказать, что если ОТ и ON — перпендикуляры, опущенные из начала координат на касательную и нормаль к астроиде в любой ее точке (см. задачу 959), то 4 • ОТ2 4-CW2 = а2. 969. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную к линии 2х (3 cos t4- cos 3/), 2у = а (3 sin / + sin 3/). Показать, что 4р2 = 3р24-4а2, где р —полярный радиус данной точки, а р— длина указанного перпендикуляра. Скорость изменения полярного радиуса 970. Дана окружность p = 2rsin<p. Найти угол 0 между полярным радиусом и касательной и угол а между полярной осью и касательной. 971. Доказать, что у параболы p = asec2 сумма углов, образованных касательной с полярным радиусом и с полярной осью, равна двум прямым. Использовать это свойство для построения касательной к параболе. 972. Дана линия p = asin3<|- (конхоида); показать, что а = 40 (обозначения те же, что в задаче 970). 973. Показать, что две параболы p = tzsec2 и p = ^cosec2~ пересекаются под прямым углом. 974. Найти тангенс угла между полярной осью и касательной к линии p = asec2<p в точках, в которых р = 2д. 975. Найти тангенс угла между полярной осью и касательной вначале координат: 1) к линии p = sin3<p, 2) к линии р = sin 3<р. 976. Показать, что две кардиоиды р (1-bcostp) и р = t=a(l — cos<p) пересекаются под прямым углом. 977. Уравнение линии в полярных координатах задано параметрически: р =/i(0> Ф = /2(0* Выразить тангенс угла 0 между касательной и полярным радиусом в виде функции /. 978. Линия задана уравнениями р = я/3, <р = 6/2. Найти угол между полярным радиусом и касательной. 979. Дан эллипс x = acost, y^bsint. Выразить полярный радиус р и полярный угол ср как функции параметра /. Исполь
зовать полученную форму задания эллипса для вычисления угла между касательной и полярным радиусом. Полярной подкасательной называется проекция отрезка касательной от точки касания до ее пересечения с перпендикуляром, восставленным к полярному радиусу в полюсе, на этот перпендикуляр. Аналогично определяется полярная поднормаль. Учитывая это, решить задачи 980—984. 980- Вывести формулу для полярной подкасательной и полярной поднормали линии р=/(<р). 981. Показать, что длина полярной подкасательной гиперболической спирали Р = ~~ постоянна. 982. Показать, что длина полярной поднормали архимедовой спирали р —а<р постоянна. 983. Найти длину полярной подкасательной логарифмической спирали р — 984. Найти длину полярной поднормали логарифмической спирали р—а(р. Скорость изменения длины В задачах 985—999 через s обозначена длина дуги соответствующей линии. 985. Прямая у^ах^Ь; ^ —? 986. Окружность х2-[-у2=г2; ^. = ? 987. Эллипс ** + £ = 1; аг 1 b- ’ dy 988. Парабола у2^2рх\ ds = ? 989. Полукубическая парабола z/2 —ах3; 990. Синусоида у — sinx; ds — ? 991. Цепная линия z/ = (у — chx); ^ —? ds 992. Окружность х— г cos/, у — г sin/; ^-=? ds 993. Циклоида х—a(f —sin/), у~=а (1 — cos /); — ? 994. Астроида х—acos3/, у—-a sin3/; ds — ? 995. Архимедова спираль x — at sin/, £/ = cos/; ds —? 996. Кардиоида x = a (2 cos I — cos 21) t y —a (2 sin/ — sin2/)j ds-? 997. Трактриса x = a^cos/-h In tg У = asin/; ds — ? 998. Развертка окружности x — a (cos 14~ t sin /), у — a (sin t — t cos /); & — ? 999. Гипербола x —ach/, y —ash/; ds — ?
Скорость движения 1000. Лестница длиной 10 м одним концом прислонена к вертикальной стене, а другим— опирается о пол. Нижний конец отодвигается от стены со скоростью 2 м/мин. С какой скоростью опускается верхний конец лестницы, когда основание ее отстоит от стены на 6 м? Как направлен вектор скорости? 1001. Поезд и воздушный шар отправляются в один и тот же момент из одного пункта. Поезд движется равномерно со скоростью 50 км/ч, шар поднимается (тоже равномерно) со скоростью 10 км/ч. С какой скоростью они удаляются друг от друга? Как направлен вектор скорости? Рис. 26 1002. Человек, рост которого 1,7 м, удаляется от источника света, находящегося на высоте 3 м, со скоростью 6,34 км/ч. С какой скоростью перемещается тень его головы? Рпс. 27 1003. Лошадь бежит по окружности со скоростью 20 км/ч. В центре окружности находится фонарь, а по касательной к окружности в точке, откуда лошадь начинает бег, расположен забор. С какой скоростью перемещается тень лошади вдоль забора в момент, когда она пробежит 1/8 окружности? 1004. Па рис. 26 изображен схематически кривошипный механизм паровой машины: А— крейцкопф, В В1 — направляющие, АР — шатун, Р — палец кривошипа, ф —маховое колесо. Маховое
колесо равномерно вращается с угловой скоростью о), радиус его R, длина шатуна /. С какой скоростью движется крейцкопф, когда маховик повернут на угол а? 1005. Разорвалось маховое колесо, делавшее 80 оборотов в минуту. Радиус колеса 0,9 м, центр приподнят над полом на 1 м. Какой скоростью будет обладать обломок, отмеченный на рис. 27 буквой А, при падении на землю? § 5. Повторное дифференцирование Функции, заданные в явном виде 1006. у = х2 —Зх-}-2; у" = ? 1007. у=1-х2-х4; у“' = ? 1008. f(x) = (x+ Ю)«; /"'(2) = ? 1009. f(x) = xe-4x3-}-4; fIV(l) = ? 1010. у = (х24-1)3; / = ? 1012. /(х)=е2л-1; Г(0)=? 1014. /(*)=г^; Л(*) = ? 1015. y = x3lnx; y,v=? 1017. p=asin2<p; = ? В задачах 1019—1028 найти 1011. y = cos2x; у"' = ? 1013. /(x) = arctgx; /"(!)=? 1016. Z(x)=*; Г(х)=? 1018. у = }^: У(п) = ? вторые производные от функций 1019. у = хех\ 1021. у = (1 -J-х2) arctgх. 1023. у = 1п(х + /Г+х2). 1025. у = eVx. 1027. у = arcs in (a sinx). В задачах 1029—1040 найти ных порядка п от функций: 1029. у = епх. 1031. У = sin ах-}-cos bx. 1033. у = хех. 1035. у = — J ax-^b 1037. у = 1о£йх. 1039. у = и Y-— .4y_L.9 х2— Зх+2’ 1020. у = -1—. J 1 -|-Х3 1022. # = ]/а2 — х2. 1024. у =——. 1026. у = ]/1—х2 arcsin х. 1028. у = хх. общие выражения для пропзвод- 1030. у = е~х. 1032. y=sin2x. 1034. y = xlnx. 1036. y = ln(ax + fe). 1038. у = х- — 1 1040. у = sin4x + cos4x.
,*М41. Доказать, что функция г/=(х2—1)я удовлетворяет соотношению (х2 — 1) //я+2)-|-2ху(я+1) — п (n+ 1) г/я> = 0. 1042. Доказать, что функция у = е* sin х удовлетворяет соотношению у” — 2У ф- 2у = 0, а функци я у = trx s in х — соотношению / ф-2г/'4-2у = 0. 1043. Доказать, что функция у = —^ удовлетворяет соотношению 2у'2 = (у — 1) у'\ '_______ 1044. Доказать, что функция у = ]/ 2х —х2 удовлетворяет соотношению у2у” ф- 1 =0. 1045. Доказать, что функция у = е4-*ф-2е‘х удовлетворяет соотношению у"’ — 1 Зу’ — 12у = 0; 1046. Доказать, что функция у = ф-е~ удовлетворяет соотношению ху" ф- -! у' — ~ у = 0. 1047. Доказать, что функция y = cos^-v + sinev удовлетворяет соотношению у” — у' ф- уе2х = 0. 1048. Доказать, что функция у = A sin (оз/ -|- gj0) ф- В cos (<о/ ф- g)0) (А, В, (а, (0О — постоянные) удовлетворяет соотношению § + ^у=0. 1049. Доказать, что функция aienx -|- аге~пх -фа3 cos пх ф- а4 sin пх d^u (аь а2, «а, щ, /1 — постоянные) удовлетворяет соотношению d^—rAy. 1050. Доказать, что функция у = sin (п arcsin х) удовлетворяет соотношению (1 — х2) у” — ху' + п2у = 0. 1051. Доказать, что функция еазгс*тх удовлетворяет соотношению (1 — х2) у" — ху' — а2у = 0. 1052. Доказать, что функция у — (хф-]/х2 + О* удовлетворяет соотношению (I 4- х2) у" -f- ху’ — k2y = 0. 1053. Доказать, что выражение S = yt- — (у, ? не изменится, У \У / если заменить у на —, т. е. если положить и— , то Ц— 4/ у yL ’ у[ % \г/[
1054. Дано у = ((х). Выразить через и Показать, (1_1_у'2\3/2 что формулу R =1— можно преобразовать к виду /?2/з ______!_____।______1_ Л^\2/3 ‘ Л£2х\2/3 \dx2/ W) 1055. Дано: F (х) =f (х) <р (х), при этом f (х) <р' (х) = С. Доказать, что Г _ Г , <р" 2С F"' _ Г , ф" F ~ f + Ф + f ф и Л ~ 7 + ф * Функции, заданные в неявном виде 1050. Ь2х2 + сс‘у2 = а2Ь2; 1057. х2 + р2 = г2; g- = ? 1059. s=I+^; g = ? 1061. t/=sin (x+z/); /=? 1058. y = tg(x + y); ^ = 1 1060. i/3-|-x3 —3axz/ = 0; y“ = ? 1062. еХ1* = ху; tf = ? 1063. Вывести формулу для второй производной функции, обратной данной y = f(x). 1064. e,J-\-xy~e', найти у" (х) при х = 0. 1065. у2 = 2рх\ определить выражение Л = ^====. 1066. Убедиться в том, что из t/2-|-x2 = A?2 следует й = , где \у"\ TW4/ 1067. Доказать, что если ох2 + 2Ьху + су2 + 2gx + 2fy + h = 0, то dy_____ax + by+g d2y _ А dx ~ bx + cy-\-f dx2 (Ьх-^суА-/)3’ где Л—постоянная (не зависящая от х и у). 1068. Доказать, что если (а + Ьх) = х, то Функции, заданные параметрически 1069. x = al2, y=bt3\ Р1070. х = аcost, z/ = asinZ; d2x __ dy^~ ’ dx* *
1071. x = acos/, y — b sin/; dJt/ dx: 01072. х = а(ср — sin ср), y = a(l —cos ф); d-tj ax1 = ? 1073. 1) x = acos3/, r/ = asin3/; dx* 2) x = acos2/t i/ = asin2/; dzy dx- = ? 1074. 1) х = In Z, z/ = Z2-l; d^y dx- = ? 2) x —arcsin /, !/ = ln(l - dx1 1075. x = at cos/, y==atsint\ dxz 1076. Доказать, что функция у = [(х), заданная параметрическими уравнениями y = e'cost, x = ezsin/, удовлетворяет соотношению у" (х + у)2 = 2 (ху' — у). 1077. Доказать, что функция у--/(х), заданная параметрически уравнениями y = 3t —1\ х = 3/2, удовлетворяет соотношению 36/(у-/37) = х + 3. 1078. Доказать, что функция, заданная параметрически уравнениями x = sin/, i/ = sinft/f удовлетворяет соотношению 1079. Доказать, что если * = /(/) cos / —(/) sin/, y = sin/ + /' (/) cos/f TO ds2 dx2 + dif = [/ (/) +Г (OF dt\ Ускорение движения 1080. Точка движется прямолинейно, причем s = —/4-5. Найти ускорение а в конце второй секунды (s выражено в метрах, / — в секундах). 1081. Прямолинейное движение происходит в соответствии С формулой 5 — /2 — 4/4-1» Найти скорость и ускорение движения. « 2 - л/ , 1082. Точка движется прямолинейно, причем s= g-sin 4“so-Найти ускорение в конце первой секунды ($ выражено в сантиметрах, / — в секундах).
1083. Точка движется прямолинейно, причем s = ]/7. Доказать, что движение замедленное и что ускорение а пропорционально кубу скорости V. 1084. Тяжелую балку длиной 13 м спускают на землю так что нижний ее конец прикреплен к вагонетке (рис. 28), а верхний удерживается канатом, намотанным на ворот. Канат сматывается со скоростью 2 м/мин. С каким ускорением откатывается вагонетка в момент, когда она находится на расстоянии 5 м от точки О? 1085. Баржу, палуба которой на 4 м ниже уровня пристани, подтягивают к ней при помощи каната, наматываемого на ворот со скоростью 2 м/с. С каким ускорением движется баржа в момент, когда она удалена от пристани на 8 м (по горизонтали). 1086. Точка движется прямолинейно так, что скорость ее изменяется пропорционально квадратному корню из пройденного пути. Показать, что движение происходит под действием постоянной силы. 1087. Дано, что сила, действующая на материальную точку, обратно пропорцио- нальна скорости движения точки. Доказать, что кинетическая энергия точки является линейной функцией времени. > Формула Лейбница 1088. Применить формулу Лейбница для вычисления производной: 1) [(x2-f-l)sinx](20); 2) (e*sinx)("’; 3) (x3sinax)<n>. 1089. Показать, что если у = (1 — х)~ае~ах, то Применив формулу Лейбница, показать, что (1 — х) y(n+1) — (п 4-ах) у^п) — пау{п~г) = 0. 1090. Функция у — gaarcsin* удовлетворяет соотношению (1-х2) у" — ху' — а?у = 0 (см. задачу 1051). Применив формулу Лейбница и дифференцируя это равенство п раз, показать, что (1 — х®) — (2п Ц-1) х//я+1) — (п^Ц-а2) yW = 0. 1091. Показать, что (eaxcosbx)(n) = rneaAcos(bx4-n<p), где г = Уа2 + Ьг, lgy = bla.
Используя формулу Лейбница, получить следующие формулы: rn cos ntf = ап — Cnan~ibi + САая~4М —..., rn sin пц> = Cha^b — С„ап'я63 + СпЧп~ъЬъ —... , , ех/х 1092. Доказать, что (хп’1е1/х)<я) = (— 1093. Показать, что функция у = arcsinх удовлетворяет соотношению (1 — х2) у” — ху'. Применяя к обеим частям этого уравнения формулу Лейбница, найти х/я)(0) (п^2). 1094. Применяя формулу Лейбница п раз, показать, что функция £/ = cos (marcsinх) удовлетворяет соотношению (1 — х2) 1/(п+2> —(2n+ l)xz/(,1+1)4-(m2 —п2) £/(л) = 0. 1095. Если у — (arcsinx)2, то (1 — х2)//'л,1) —(2п — l)xyW-(n- 1)2//(л“1) = 0. Найти /(0), //"(0), .... */<я>(0). Дифференциалы высших порядков 1096. у = ]/х2; d2(/=? 1097. у = хт; tPy = ? 1098. i/ = (x+l)3(x-I)2; d2y = ? 1099. у=4-*!; d2«/ = ? 1100. у = arctgtgх^; d2y = ? 1101. у = ]/"|п2х — 4; d?y = ? 1102. y = sin2x; d?y = ? 1103. p2_cos3<p —ci2sin3<p = O; d2p = ? 1104. хг/3 + у2^ = а2'3; d?y = ? 1105. y= x = tg/; выразить dPy через: 1) x и dx, 2) t и dt. 1106. y= sin г; z = ax\ x — ?-, выразить d2y через: 1) z и dz, 2) x и dx, 3) t и dt.
ГЛАВА IV ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ § 1. Поведение функции 1107. Показать, что точка х = 0 есть точка минимума функции z/ = 3x*-4x3+12х24-1. 1108. Исходя непосредственно из определения возрастающей и убывающей функции и точек максимума и минимума, показать, что функция у = х3 — Зх + 2 возрастает в точке *1 = 2, убывает в точке х2 = 0, достигает максимума в точке х3 =— 1 и минимума в точке *4=1. 1109. Так же, как в задаче 1108, показать, что функция у = j=cos2x возрастает в точке xi = 3n/4, убывает в точке х2 = л/6, достигает максимума в точке х3 = 0 и минимума в точке х4 = л/2. 1110. Не пользуясь понятием производной, выяснить поведение данной функции в точке х = 0: 1) 1/=1— х4; 2) y = xh — х3; 3) #=]/х; 4)г/ = улх2; 5) г/= 1 - IZxi; 6) 4/ = |tgxi; 7) у = | In (%+ 1) 8) У = е~х ; 9) у = Ух3 4-х2. 1111. Показать, что функция у -- ^ In (х24-2х — 3) возрастает в точке *1 = 2, убывает в точке х2 = —4 и не имеет стационарных точек. 1112. Выяснить поведение функции z/ = sinx4-cosx в точках *1 — 0, х3 —— я/3 и х4 = 2. 1113. Выяснить поведение функции у--=х~ 1пх в точках Xi — = 1/2, х2 —2, х3 = е и х4=1 и показать, чго если данная функция возрастает в точке х = я;>0, то она убывает в точке 1/а. 1114. Выяснить поведение функции у — х arctg х в точках *1=1, х2 — 1 и х3 = 0. 1115. Выяснить поведение функции sin х „ ~ при Х#0, У * 1 при х = 0 в точках = ]/2ь х2 =—1/2 и х3 = 0.
§ 2. Применение первой производной Теоремы Ролля и Лагранжа 1116. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции t/ = x34~4x2 — 7х- 10 на отрезке [—1, 2]. 1117. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции y = lnsinx на отрезке [л/6, 5л/6]. 1118. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции 0 = 4sin* на отрезке [0, л]. 1119. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции у —Ух2 — Зх + 2 на отрезке [1, 2]. 2_ха 1120. Функция 1/ = —^- принимает равные значения на концах отрезка [—1, 1]. Убедиться в том, что производная от этой функции нигде на отрезке [—1, 1] в нуль не обращается, и объяснить такое уклонение от теоремы Ролля. 1121. Функция z/ = |x| принимает равные значения на концах отрезка [—а, а]. Убедиться в том, что производная от этой функции нигде на отрезке [—а, а] в нуль не обращается, и объяснить такое уклонение от теоремы Ролля. 1122. Доказать теорему: если уравнение Оох" + aix"-14-... 4- an-ix = 0 имеет положительный корень х = х0, то уравнение па^х'1-14- (п — 1) atxn~2 4-... 4- a„_i = 0 также имеет положительный корень и притом меньший х0. 1123. Дана функция /(х) = 14-xm(x—1)". где т и п — целые положительные числа. Не вычисляя производной, показать, что уравнение /'(х) = 0 имеет по крайней мере один корень в интервале (0, 1). 1124. Показать, что уравнение хэ —Зх4-с = 0 не может иметь двух различных корней в интервале (0, 1). 1125. Не находя производной функции f (х) = (х -1) (х -2) (х -3) (х -4), выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение f' (х) =» = О, и указать интервалы, в которых они лежат. 1126. Показать, что функция f(x) — xn-\-px-[-q не может иметь более двух действительных корней при четном п и более трех При нечетном п. 1127. Написать формулу Лагранжа для функции // = stn3x на отрезке [хь х2]. 1128. Написать формулу Лагранжа для функции у = х(1 — 1пх) на отрезке [а, 6].
1129. Написать формулу Лагранжа для функции у — arcsin 2х на отрезке [х0, х0 + Дх]. ИЗО. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции у = хп на отрезке [0, а]; п>0, а>0. 1131. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции # = 1пх на отрезке [1, е). 1132. Доказать с помощью формулы Лагранжа неравенства при условии 0<А=йа. 1133. Доказать с помощью формулы Лагранжа неравенства при условии 0<p<a<J. 1134. Доказать с помощью формулы Лагранжа справедливость при а >Ь неравенств nb”-1 (а — Ь) <_ап — Ьп <_ пап~1 (а — Ь), если л>1, и неравенств противоположного смысла, если п<1. 1135. Рассмотрим функцию (x2sin^- при хУ=О, /(*) = { “ ' I 0 при х = 0. Эта функция дифференцируема при любом к. Напишем для нее формулу Лагранжа на отрезке [0, х]: /(x)-/(0)=xf (?) (0<?<х). Будем иметь: х2 sin - = х (2? sin 4— cos , откуда cosy = 2?sin^—xsin-^-. Заставим теперь х стремиться к нулю, тогда будет стремиться к нулю и ?, и мы получаем: lim cos4- = 0. g—o s Объяснить этот парадоксальный результат. 1136. Применяя на отрезке [1; 1,1] к функции f(x) = arctg х формулу f (*о + Дх)f (хо)4- f (х0-J-Дх, найти приближенное значение arctg 1,1. В задачах 1137—1141, используя формулу f (хо4~ Дх) (х.) 4-/' (х04* ~2~) А*» вычислить приближенные значения данных выражений:
1137. arcsin0,54. 1138. 1g 11. Сравнить с табличным значением. 1139. In (х + 1 + х2) при х = 0,2. 1140. 1g7, зная lg2 = 0,3010 и lg3 = 0,4771. Сравнить результат с табличным. 1141. 1g 61. Сравнить результат с табличным. 1142. Убедиться в том, что, применяя формулу f(b) = f(a) + (b-a)f' к вычислению логарифма от ^4-0,01^, т. е. полагая . ... , r,n,v>. , . , 0,43429 ЛЛ1., , , 0,43429 lg (N + 0,01N) = 1g N +-— 0,01 zV = 1g N -f- , 1,0 допускаем погрешность, меньшую 0,00001, т. е. получаем пять верных цифр после запятой, если только lg 2V дан с пятью вер-ними цифрами. Поведение функций в интервале 1143. Показать, что функция t/ = 2x34-3x2 —12х+1 убывает в интервале (—2, 1). _______ а, 1144- Показать, что функция у — ]/2х — х2 возрастает в интервале (0, 1) и убывает в интервале (1, 2). Построить график данной функции. 1145. Показать, что функция у-=х^-\-х везде возрастает. 1146. Показать, что функция // = arctgx — х везде убывает. f1147. Показать, что функция у----- возрастает в любом интервале, не содержащем точки х = 0. < < лп n sin Cr-kn) 1148. Показать, что функция у = ~——изменяется моно-тонко в любом интервале, не содержащем точек разрыва функции. 1149*. Доказать неравенство при условии O<xi<x2< л/2. 1150. Найти интервалы монотонности функции у = х3 — Зх2— — 9x-f-14 и построить по точкам ее график в интервале (—2, 4). 1151. Найги интервалы монотонности функции у = х* — 2х2 — 5. В задачах 1152—1164 найти интервалы монотонности функций. Л 1152. у = (х-2г>(2х+\у. 1153. y = V(2x-a)(a-x)2 ‘"54. У = 1155. «1156. у — х — ех. 1157. (й>0). ю У 4л-1— 9x'--j-6x' у = хге~х.
1158- У = ^ П59- у = 2х2-1пх. 1160. у = х — 2 sinx (0=Сх=^2л). » 1161. y = 2sinx4~cos2x (0=Сх=с2л). _____ 1162. y = x4-cosx. 1163. у = ln(x + ]/l+ха). 1164. у = х]/ох—х2 (а>0). В задачах 1165—1184 найти экстремумы функций. 1165. у = 2х3 - Зх2. 1166. у = 2х® - 6х2 - 18х + 7. *1167. t/ = 3x2+4xt4. 1168. у = yCv3 — Зх2 4~ 82. "69- 1™. </=-*’Г?+2. 1171. у= ’-х’ГЕТГт. 1172. 1173. у = -^=. 1174. у = ?(х2-а2)2. <И175. у = х — In (1 +*). 1176. у = х — In (1 4-х2). 1177. у = (х-5)2/(х4-1)2. 1178. у = (х2 —2х)1пх —-|-х24-4х. 1179. у — g (х2+ 1) arctg х — jx2 — Цр 1180. у= ~ (х2 — arcs in х 4-^- хИ 1 — ха — j^x2. 1181. y = xsinx-|-cosx —-^х2 (—Та^Ха^т)* 1182. у = Q-—xj cosх +sinx —* fOsgX;CyJ. 1183. у = cos л (х 4-3)Е sin л (х+ 3) (0<х<4). 1184. у = аеРл + Ье~Рх. В задачах 1185—1197 найти наибольшие и наименьшие значения данных функций на указанных отрезках и в указанных интервалах. 1185. у = х4 — 2х2-|-5; [—2, 2]. И186. у = х4-2|/х; [0, 4]. 01187. у = х5 — 5х* 4-5х3 4-1; [—1,2]. 1188. у = х3 — Зх24~ 6х —2; [—1, >]. 1189. у = У 100-х2 (—6=CXsC8). 1И90. y=]~-tg (O^x^l). 1191. у —(0<х^4).
1192- (0<х<1) (а>0, Ь>0). 1193. y = sin2x — х (—л/2«5х^л/2). 1194. r/ = 2tgx — tg2x (0=sSx<n/2). 1195. у = хх (0,1 ==Sx<4-oo). 1196. у = У(х2-2х)2 (0<х<3). 1197. у = arctg (Osgxs^l). Неравенства В задачах 1198—1207 доказать справедливость неравенств. 1198. 2/х>3-1 (х>1). 1199. ед > 14-х (х=4=0). 1200. х> In (14-х) (х>0). 1201. 1пх>^=1) (х>1). 1202. 2х arctg х^ In (1 4-х2). 1203. 1 4-х1п(х4-/ГТ12)^/Т+х5- 1204. 1п(Ц-х)>-^£ (х>0). 1205. sin х <х - J 4- (х> 0). 1206. sinx-f-tgx>2x (0<х<л/2). 1207. chx>l+^ (х#=0). Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций 1208. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей. 1209. Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму? 1210. Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. 1211. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см3, примем стороны основания относились бы, как 1 :2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей? 1212. Из углов квадратного листа картона размером 18 X18 см2 нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям (рис. 29), получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата?
1 1 ! 1 1 1 । Рис. 29 1213. Решить предыдущую задачу для прямоугольного листа размером 8x5 см2. 1214. Объем правильной треугольной призмы равен v. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей? 1215. Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объеме v каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей? 1216. Найти соотношение между радиусом Л? и высотой Н цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность. 1217. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим? 1218. Из круга вырезан сектор с центральным углом а. Из сектора свернута коническая поверхность. При каком значении угла а объем полученного конуса будет наибольшим? 1219. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим? 1220. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание, был наибольшим? 1221. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса /?. 1222. Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса /?. 1223. Дождевая капля, начальная масса которой т0, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности равен k). Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.) 1224. Рычаг второго рода имеет точку опоры в Л; в точке В (АВ = а) подвешен груз Р. Вес единицы, длины рычага равен k. Какова должна быть длина рычага, чтобы груз Р уравновешивался наименьшей силой? (Момент уравновешивающей силы должен равняться сумме моментов груза Р и рычага.) 1225. Расходы на топливо для топки парохода пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/ч расходы на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой
скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час? 1226. Три пункта Л, В и С расположены так, что £АВС = 60°. Из пункта А выходит автомобиль, а одновременно из пункта В — поезд. Автомобиль движется по направлению к В со скоростью 80 км/ч, поезд-*по направлению к С со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ = 200 км? 1227. На окружности дана точка А. Провести хорду ВС параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей. 1228. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса /?. 1229. В данный сегмент круга вписать прямоугольник наибольшей площади. 1230. Около данного цилиндра описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса должны совпадать). 1231. Найти высоту прямого круглого конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса /?. 1232. Найти угол при вершине осевого сечения конуса наименьшей боковой поверхности, описанного около данного шара. 1233. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим? 1234. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиуса (центр основания конуса лежит в центре шара). 1235. Какова должна быть высота конуса, вписанного в шар радиуса R, для того чтобы его боковая поверхность была наибольшей? 1236. Доказать, что конический шатер данной вместимости требует наименьшего количества материи, когда его высота в ]/2 раз больше радиуса основания. 1237. Через данную точку Р(1, 4) провести прямую так, чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей. 1238. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, X2 . у2 . вписанного в эллипс -3 + = 1. 1239. Найти наименьший по площади эллипс, описанный около данного прямоугольника (площадь эллипса с полуосями а и Ь равна nab). 1240. Через какую точку эллипса — + — = 1 следует провести касательную, чтобы площадь треугольника, составленного этой касательной и осями координат, была наименьшей?
124L На эллипсе 2x24-z/2 = 18 даны две точки А (1, 4) и В (3, 0). Найти на данном эллипсе третью точку С такую, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей. 1242. На оси параболы у* = 2рх дана точка на расстоянии а от вершины. Указать абсциссу х ближайшей к ней точки кривой. 1243. Полоса железа шириной а должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наибольшей. 1244. Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны соответственно 2 м и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки? 1245. * Ряд опытов привел к п различным значениям хи х2, • •«. хя для исследуемой величины А. Часто принимают в качестве значения А такое значение х, что сумма квадратов отклонений его от хъ х2, хп имеет наименьшее значение. Найти х, удовлетворяющее этому требованию. 1246. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега (лагерь расположен на берегу). Если гонец может делать пешком по 5 км/ч, а на веслах по 4 км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время? 1247. Прямо над центром круглой площадки радиуса R нужно повесить фонарь. На какой высоте нужно это сделать, чтобы он наилучшим образом освещал дорожку, которой обведена площадка. (Степень освещения некоторой площадки прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.) 1248. На отрезке длиной /, соединяющем два источника света силы Л и /2, найти наименее освещенную точку. 1249. Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,8 м выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен стать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятным для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения был наибольшим)? 1250. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной плоскости, должен быть сдвинут приложенной к нему силой Г. Сила трения пропорциональна силе, прижимающей тело к плоскости, и направлена против сдвигающей силы. Коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) равен k. Под каким углом <р к горизонту надо приложить силу Г, чтобы величина ее оказалась наименьшей? Определить наименьшую величину сдвигающей силы.
1251. Скорость течения воды по круглой трубе прямо пропорциональна так называемому гидравлическому радиусу /?, вычисляемому по формуле R = S/pt где S — площадь сечения потока воды в трубе, а р — смоченный (подводный) периметр сечения трубы. Степень заполнения трубы водой характеризуется центральным углом, опирающимся на горизонтальную поверхность текущей воды. При какой степени заполнения трубы скорость течения воды будет наибольшей? (Корни получающегося при решении задачи трансцендентного уравнения найти графически.) 1252. На странице книги печатный текст должен занимать S квадратных сантиметров. Верхнее и нижнее поля должны быть по а см, правое и левое —по b см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то какими должну быть наиболее выгодные размеры страницы? 1253*. Коническая воронка, радиус основания которой R, а высота Н, наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненной из воронки погруженной частью шара, был наибольшим? 1254. Вершина параболы лежит на окружности радиуса R, ось параболы направлена по диаметру. Каков должен быть параметр параболы, чтобы площадь сегмента, ограниченного параболой и ее общей с окружностью хордой, была наибольшей? [Площадь симметричного параболического сегмента равна двум третям произведения его основания на «стрелку» (высоту).] 1255. Конус, радиус основания которого R, а высота Н, пересечен плоскостью, параллельной образующей. Каково должно быть расстояние между линией пересечения этой плоскости с плоскостью основания конуса и центром основания конуса, для того чтобы площадь сечения была наибольшей? (См. предыдущую задачу.) 1256. Для какой точки Р параболы у2^2рх отрезок нормали в Р, расположенный внутри кривой, имеет наименьшую длину? 1257. Показать, что касательная к эллипсу, отрезок которой между осями имеет наименьшую длину, делится в точке касания на две части, соответственно равные полуосям эллипса. 1258. Доказать, что в эллипсе расстояние от центра до любой нормали не превосходит разности полуосей. (Удобно восиользо-вагься параметрическим заданием эллипса.) 1259. В прямоугольной системе координат хОу даны точка (а, Ь) и кривая y — f(x). Показать, что расстояние между постоянной точкой (я, /;) и переменной (х, f (х)) может достигнуть экстремума только в направлении нормали к кривой у ~[(х). Первообразной функции /(х) называется функция F (х), производная которой равна данной функции: F' (x)=f(x).
В задачах 1260—1262 показать (при помощи дифференцирования и без него), что данные функции являются первообразными одной и той же функции. 1260. у=1пях и у=1пх. 1261. у = 2 sin2* и у = — cos 2*. 1262. у = (ех + е-хУ и у = (ех-е~х)г. 1263*. Показать, что функция у — COS2 X + COS2 + %) — COSX COS ( з + xj есть константа (т. е. не зависит от х). Найти значение этой константы. 2х 1264. Показать, что функция у = 2arctgх-|-arcsin р а- есть константа при х^1. Найти значение этой константы. 1265. Показать, что функция a cos хА-b о 1 /т А ~ 1 х \ u = arccos—г-;— ----2 arctg I/ —r-rtg-A- , J a-H&cos x \ r a-j-d b 2 / ’ где 0<b^a, есть константа при x^O. Найти значение этой константы. 1266. Убедиться в том, что функции ув2л‘, e-vshx и exchx отличаются одна от другой на постоянную величину. Показать, что каждая из данных функций является первообразной для функции е2х. § 3. Применение второй производной Экстремумы В задачах 1267— 1275 найти экстремумы данных функций, пользуясь второй производной. 1267. у = х3 — 2ах2 + а2х 1268. у = х2(а — х)2. - 1270. у = х + УТ^х. 1272. z/ = chax. 1274. у=~. и 1п X (а>0). 1269. У = х + “2 (й>0). 4271. у = хУ2^х2. 1273. у = х2е Л. 1275. у = х’/< 1276. При каком значении а функция /(x) = asinx + y sin3x имеет экстремум при х = л/3? Будет ли это максимум или минимум? 1277. Найти значения а и bt при которых функция y=olnx-|-+&л24-х имеет экстремумы в точках х, = 1 и х2 = 2. Показать, что при этих значениях а и b данная функция имеет минимум в точке Xj и максимум в точке х2.
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба 1278- Выяснить, выпукла или вогнута линия у = х5 —5х3—• — 15х2 + 30 в окрестностях точек (1, 11) и (3, 3). 1279- Выяснить, выпукла или вогнута лрния у = arctgх в окрестностях точек (1, л/4) и (—1, —л/4). 1280. Выяснить, выпукла или вогнута линия у = х2 In х в окрестностях точек (1,0) и (1/с2,—2/с1). 1281. Показать, что график функции у=х arctg х везде вогнутый. 1282. Показать, что график функции у=1п(х2—1) везде выпуклый. 1283. Доказать, что если график функции везде выпуклый или везде вогнутый, то эта функция не гложет иметь более одного экстремума. 1284. Пусть Р (х) — многочлен с положительными коэффициентами и четными показателями степеней. Показать, что график функции у = Р (х)-\-ах-\-Ь везде вогнутый. 1285. Линии у = <р(х) и у = ф(х) вогнуты на интервале (а, 6). Доказать, что на данном интервале: а) линия у = <р (х) + ф (х) вогнута; б) если ср (х) и ф(х) положительный имеют общую точку минимума, то линия у = ф(х)ф(х) вогнута. 1286. Выяснить вид графика функции, если известно, что в интервале (а, Ь): 1) t/>0. у' 3) у<0, у' о, /<0; 0, />0; 2) //>0, у'<0, у">0; 4) !/>0, /<0, /<0. В задачах 1287 — 1300 найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости графиков данных функций. 1288. у = (х+1)44-е*. 1291. у = 3х3 —5х4 + 3х —2. |293-« = Аз? 1295. r/=esinx(—л/2=^х^л/2). 1287. у = х3 — 5х2ф-3х — 5. * 1289. у = х4 - 12х:) + 48х2 - 50. 1290. у = х4-36х2 — 2х3 —х‘. 1292. y = (x + 2)G + 2x + 2. 1294. у = а — — Ь. 1296. t/=ln(l +хг). 1297. У=^1п^ (а- >0). 1298. у —а — V(х —Ь)2. 1299. у = еагс1ех. 1300. y = xi (12 Inx — 7). X 1 1301. Показать что линия У^-т—т имеет три точки перегиба, ~г * лежащие на одной прямой. 1302. Показать, что точки перегиба линии y = xsinx лежат на линии у2 (4 + х2) = 4х2. 1303. Показать, что точки перегиба линий у линии у2 (4 -]-Х4) = 4. sin х к лежат на
1304. Убедиться в том, что графики функций у = ±е~х и t/ = e-xsinx (кривая затухающих колебаний) имеют общие касательные в точках перегиба линии у = е*xsinx. 1305. При каких значениях а и b точка (1, 3) служит точкой перегиба линии z/ = ax'J + &x2? 1306. Выбрать а и р так, чтобы линия х2у + ах + pz/ = O имела точку Л (2; 2,5) точкой перегиба. Какие еще точки перегиба будет она иметь? 1307. При каких значениях а график функции i/ = ex-f-ax8 имеет точки перегиба? 1308. Доказать, что абсцисса точки перегиба графика функции не может совпадать с точкой экстремума этой функции. 1309. Доказать, что у любой дважды дифференцируемой функции, между двумя точками экстремума лежит по крайней мере одна абсцисса точки перегиба графика функции. Рис. 33 1310. На примере функции + 18х2Н-8 проверить, что между абсциссами точек перегиба графика функции может и не быть точек экстремума (tp. с предыдущей задачей). 1311. По графику функции (рис. 30) выяснить вид графиков ее первой и второй производных. 1312. То же сделать по графику функции (рис. 31). 1313. Выяснить вид графика функции по данному графику ее производной (рис. 32).
1314. Выяснить вид графика функции по данному графику ее производной (рис. 33). 1315. Линия задана параметрически уравнениями х = <?(/), y = ip(/). Убедиться в том, что значениям /, при которых выражение меняет знак (штрихом обозначено дифференциро- вание по /), а ср' (/) Ф 0, соответствуют точки перегиба линии. 1316. Найти точки перегиба линии х=42, у = 3/ + /\ 1317. Найти точки перегиба линии х —z/ = sin£. § 4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений Формула Коши и правило Лопиталя 1318. Написать формулу Коши для функций f(x) = sinx и ф(х) = 1пх на отрезке [а, Ь], 1319. Написать формулу Коши для функций f(x) = е2х и ср (х)=з = на отрезке [я, Z?]. 1320. Проверить справедливость формулы Коши для функций f(x) = x3 и гр(х) —х24-1 на отрезке [1, 2]. 1321. Проверить справедливость формулы Коши для функций /(x) = sinx и cp(x) = x + cosx на отрезке [0, л/2]. 1322. Доказать, что если на отрезке [а, д] имеет место соотношение |f (х) | ср' (х) | и ср'(х) не обращается в нуль, то справедливо также соотношение | А/(х)|^| Аср(х)|, где А/(х)~/(х+Дх) — —/(х), Аф (х) = ф (х + Ах) — ф (х), ахи хф- Ах — произвольные точки отрезка [л, А]. 1323. Доказать, что на отрезке [х, 1/2] (х^О) приращение функции у = In (1+ я2) меньше приращения функции r/=arctgx, на отрезке [1/2, х| —наоборот: A arctgxC A In (1 +х2). Пользуясь последним соотношением, показать, что па отрезке [1/2, 1] arctg х — In (1 + х2) э= 1п 2. В задачах 1324—1364 найти пределы. >•1324. lim л -♦ а j * — i Г.г - Г'а 1325. lim х->0 I П COS X X о 1326. lim X — 0 е v — 1 Sill Л' 1327. lim х—0 е''-х — с< »s ах ^Х_ C()S Р 1328. lim л- — 0 X — Р ГС tg X Д'; 1329. lim х—*0 еаУк- 1 p sin Ьк 1330. lim х—*0 х— sin г X — tgx ’ 1331. lim X —* ос я — 2arctgr '"44)' 1332. lim х-*а хт_ат х'г—а'1 ‘ 1333. lim х ->0 дх — Ь* cx—dx ’
1334. lim1335. lim -еХ е~х . x->0COSX‘“1 Л'—+ 0 Sinxcosx 1336. lim-^L. 1337. lim-colf'1(*-o). X^oxj/l— X2 x->a ln(eA —?'•) 1338. pX — p-x — 9 r . pig •'’* px lim—- x . 1339. lim A X-+0 X Sinx tgx — X e* — -x- — — X—1 x. 1340. Jim ®. 1341. Jim e ~~x . x-o cosx+^_! . 1 n (1 + x)4 - 4x+2*2 _ Л. x3 4- x4 1342. lim s. X^Q 6 Sin X — 6x + X3 1343. 1nsin2x V In -V lim. 1344. lim.——. x_^o In Sin X X^Q hi sin X ln(l-x) + tg^- 1345. lim------------;1346. lim (хпе~х). Х-.1 С‘бП* X-.-I-CO ’ 1347. lim [(л — 2 arctgx) In x]. ЛГ-+СО 1348. lim lxsin-- l. 1349. lim[—— -Д-1. 1350. llmp-rtlg^]. >351. 1352. limfctgx —- V 1353. lim ? . XJ v^i ЛХ . .. t x u A j cos -% In (1 — x) 1354. JinL^(a + x'> (Ь+х)(с+х)-х]. 1355. lim [x (e1/* - 1)]. 1356. lim [xW*1]. x-лсо x-*0 1357. lim (tgx)2(_J<. 1358. limxsinA. x —* л/2 x -»0 1 1359. lim 1360. Пт(1/х)‘«*. x-»0 x-+0 1361. / x \2a lim (eA‘4-x)I/x. 1362. lim [2 ) x -* co x a i 1363. lim (1 + '>Г. >364. limriHl±^-ll. x_>oo \ X J J 1365. Проверить, что lim * существует, но не может быть вычислен по правилу Лопиталя. 1366. Значения какой функции (при достаточно больших значениях х) больше: а*ха или хА?
1367. Значения какой функции (при достаточно больших значениях х) больше: f(x) или 1п/(х), при условии, что /(%)->со при х->оо. 1368. Пусть х->-0. Доказать, что е — (1 + х)1/х — бесконечно малая первого порядка относительно х. 1369. Пусть х-*-0. Доказать, что In (1 4-х) — с In In (е 4-х) — бесконечно малая второго порядка относительно х. 1370. К окружности радиуса г проведена касательная в точке А отрезок AN, длина которого равна длине дуги AM. Прямая MN пересекает продолжение диаметра АО в точке В. Установить, что 0Q —г cos а ~~ s*n — sin а — а * где а —радианная мера центрального угла, соответствующего дуге AM, и показать, что lim ОВ — 2г. а-*0 Асимптотическое изменение функций и асимптоты линий 1371. Проверить, исходя непосредственно из определения, что прямая у = 2x^-1 есть асимптота линии у = —1. 1372. Проверить, исходя непосредственно из определения, что прямая х + у = 0 есть асимптота линии х2у+ху2=1. 1373. Доказать, что линии у = у<х34-3х2 и У = -^\ асимпт°-тически приближаются друг к другу при x->Jroo. 1374. Доказать, что функции f (х) = ухй + 2х4 + 7х2 + 1 и <р (х) = х3 + х асимптотически равны друг другу при х->4-оо. Воспользоваться этим рбстоятельством и вычислить приближенно /(115) и /(120). Какую погрешность сделаем, положив / (100) = ф (100)? В задачах 1375 — 1391 найти асимптоты данных линий. y2 fj2 |375- 1376. ху = а. 1377 и — 1 1378 и — с 4- - в3 16 У х2 —4хф5" JJ/в. у -с I- {Х_Ь)3. 1379. 2у (х 4-1 )а = х3. 1380. у3 = а3—х3. 1381. 1/3 = бх2 + х3. 1382. у2 (х2 4-1) = № (х« - 1). 1383. ху*+х2у = а\
1384. у (х2 - ЗЬх 4- 2Ь2) = х3 - Зах2 4- а3. 1385. (у + х+ 1)2 = х24- 1. 1386. y = xln (е + 1387. у = хех. 1388. у — хе2/х + 1 • 1389. у = х arcsec х. 1390. у = 2x4-arctg*. 1391. у— Х^ а , где f (х) — многочлен (ау=0). 1392. Линия задана параметрически уравнениями х = ф(0» y = i|9(/). Доказать, что асимптоты, не параллельные координатным осям, могут быть только при тех значениях t = t0, при которых одновременно lim ф(0 = оо и lim т|) (0 = оо. I -> U t — io При этом, если уравнение асимптоты есть у = ах4-Ь, то a=liniJ{n’ *>= lim [ф(0-а<р(0]. Как найти асимптоты, параллельные координатным осям? 1393. Найти асимптоты линии х=-г, У — гтт- I с -j-1 1394. Найти асимптоты линии x = У = -^Т4 1395. Найти асимптоты линии х = » У = \ 1396. Найти асимптоты декартова листа х = , у — • 1397. Найти асимптоты линии х = Х—т» Ц = • /2 — 4 i (I1 — 4) Общее исследование функций и линий В задачах 1398—1464 провести полное исследование данных функций и начертить их графики. 1398. У~1*^ 1399. 1 У~ 1-х^ • 1400. 1/-Лг 1401- у(х- 1) (х-2) (х-3) = 1. 1402. // = /_,• 1403. У-(х2-1)3. 1404. у = 32х2 (х2 — 1 )3. 1405. У = 4- 4х2. * < 1406. у = х2 + ^. 1407. _ 2х-1
1403. X3 **•? 1 ДЛ<| 1} — _ . л _ _ 3 — х* • 11UJ. У 2(х-Н)2' 1410. у(х- 1) = х3. 1411. у (х3 - 1) = х*. 1412. t л . л х3 -|" “Ь 7х — 3 Л | Q ft — 1 1 J (х+1р- ни. у- 2д..2 1414. ху = (х2 — 1) (х —2). 1415. (у-х)х« + 8 = 0. 1416. X У = е<- 1417. y = xV\ 1418. ех У=х- 1419. у = Х- In (х4-1). 1420. у = In (х2 4-1). 1421. у = х2е~х'. 1422. 1423. i/ = xe~*5/2. 1424. 1 nor 1 Inx 1425. y = x-b —. У ех — 1 1426. И‘+4Г- 1427. y = x4-sinx. 1428. у~х sinx. 1429. t/=lncosx. 1430. — cosx — In cosx, 1 1431. y = x — 2arctgx. 1432. у=зех‘~4х+3 (без отыскания точек перегиба). 1433. i/ = esinх — sinx (без отыскания точек перегиба). 1434. у = |/'a-2 - х. 1435. i/3 = x2 (x2 — 4)3. 1436. (3i/ + x)3 = 27x. 1437. t/ = |/(x4-l)2-yrx 1438. у = (х- 1)2/3 (х + 1)’. 1439. if = 6x2 - x3. 1440. (у-х)2 = х3. 1441. (y-x2)2 = .A 1442. 1/2 = х34-1. 1443. y3 = x3 —x. 1444. у2=Х(Х-1)2. 1445. y2=x2(x-l). » л3 — 2 1446. Зх • 1447. x2y 4- xy2 = 2. 1448. f/2=x\_lx (строфоида) (<?>0). 1449. 9 г/2 4х3 — х1. 1450. 25y2 = x2 (4 — x2)*. 1451. у2 -= № — х*. 1452. x2y2 = 4 (x — 1), 1453. у- (2а — х) = х3 (циссоида) («>0). 1454. x2i/2 = (x- 1) (х-2). 1455. х2у2 — (а 4- х)3 (а — х) (конхоида) (й>0). 1456. 16y2 = (x2 —4)2(1—x2). 1457. //2 = (l-x2)3. 1458. y2x4 = (x- — I)3. 1459. y2 =2ext> 2t. 1460. y = c'-,x-x. 1461. y = c'ix. 1462. /(x) = ^, f(0) = l.
___1__£ 1463. у—1—хе 1*1 * при х#=0, у=\ при х = 0. 1464. t/ = x2-4|x| + 3. В задачах 1465 — 1469 исследовать функции, заданные пара-метрически, и начертить их графики. 1465. х = /3 4-3/4-1, у=/3 —3/4-1. 1466. х = /3 —Зл, у — t3 — 6arctg/. 1467. х— 1+р, у— j-pv 1468. x = /ez, y=te~‘. 1469. х = 2а cos t — a cos 2/, y = 2a sin t — a sin 2/ (кардиоида). В задачах 1470 — 1477 исследовать линии, уравнения которых заданы в полярных координатах (см. сноску на с. 26). 1470. p = asin3<p (трехлепестковая роза). 1471. p = atg<p. 1472. р = а (1 4- tg ф). 1473. p = a(14-cos<p) (кардиоида). 1474. p = a(l 4-/’cos<p) (a>0, 6>1). 1475. p = J/r^- (жезл). 1476. р=^ arctg-5-. 1477. р = УТ^, ф = arcsin/4- В задачах 1478— 1481 исследовать и построить линии, предварительно приведя их уравнения к полярным координатам. 1478. (х2 + ^2)3 = 4а2х2/. 1479. (х2 + у2) х = а2у. 1480. х4 + г/4 = а2 (х2 + у2), 1481. (х2 + У2) (*2 — У2)2 = 4х2^. Решение уравнений 1482. Проверить, что уравнение х3 — х2 — 8х +12 = 0 имеет один простой корень хх = —3 и один двукратный корень х2 = 2. 1483. Проверить, что уравнение х4 4- 2х3 — Зх2 — 4х + 4 — 0 имеет два двукратных корня Xi=l и х2 = —2. 1484. Убедиться в том, что уравнение х arcsin х = 0 имеет только один действительный корень х = 0 и призом двукратный. 1485. Показать, что корни уравнения xsinx = 0 имеют вид y = kzt (Л = 0, ± 1, ±2» ...), причем значению й = 0 соответствует двукратный корень. Какова кратность остальных корней? 1486. Показать, что уравнение х3 —Зх2 + 6х — 1 =0 имеет единственный действительный простой корень, принадлежащий интервалу (0, 1), и найти этот корень с точностью до 0,1, пользуясь методом проб. 1487. Показать, что уравнение х4 + 3х2 — х — 2 = 0 имеет два (и только два) действительных простых корня, принадлежащих соответственно интервалам (—1. 0) и (0, 1). С помощью метода прей найти эти корни с точностью до 0,1. Л. ГН Бепмяи
1488. Показать, что уравнение f (х) = а=£0, где / (^ — многочлен с положительными коэффициентами, показатели степеней всех членов которого нечетны, имеет один и только один действительный корень (который может быть и кратным). Рассмотреть случай, когда а = 0. Найти с точностью до 0,01 корень уравнения х34-3х — 1=0, комбинируя метод проб с методом хорд. 1489. Доказать теорему: для того чтобы уравнение х3-{-рх+^=0 имело три простых действительных корня, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты р и q удовлетворяли неравенству 4р34-27^2<0. Найти с точностью до 0,01 все корни уравнения х3 — 9х-|-2 = 0, комбинируя метод проб с методом хорд. 1490. Показать, что уравнение х44-2х2 — 6*4-2 = 0 имеет два (и только два) действительных простых корня, принадлежащих соответственно интервалам (0, 1) и (1,2). Комбинируя метод хорд с методом касательных, найти эти корни с точностью до 0,01. 1491. Показать, что уравнение хб4-5х4~1~0 имеет единственный действительный простой корень, принадлежащий интервалу (—1, 0), и найти этот корень с точностью до 0,01, комбинируя метод хорд с методом касательных. В задачах 1492—1497 приближенные значения корней уравнения следует находить комбинированием трех методов: метода проб, метода хорд и метода касательных. (При необходимости следует пользоваться таблицами значений функций, входящих в уравнение.) 1492. Показать, что уравнение хе* = 2 имеет только один действительный корень, который принадлежит интервалу (0, 1), и найти этот корень с точностью до 0,01. 1493. Показать, что уравнение х!пх = а не имеет вовсе действительных корней при я<—1/г, имеет один действительный двукратный корень при а ——1/г, два действительных простых корня при — 1/£<а<с0 и один действительный простой корень при аЭ=0. Найти корень уравнения xlnx = 0,8 с точностью до 0,01. 1494. Показать, что так называемое уравнение Кеплера х = ~вsinx 4-а, где 0<е<1, имеет один простой действительный корень, и найти этот корень с точностью до 0,001 при е = 0,538 и а= 1. 1495. Показать, что уравнение ах = ах при а >* 1 всегда имеет два (и только два) действительных и положительных корпя, причем один корень равен 1, а второй корень меньше, больше пли равен 1 в зависимости от того, будет ли а больше, меньше или равно е. Найти с точностью до 0,001 второй корень этого уравнения при (7 = 3. 1496. Показать, что уравнение x2ardgx = (7, где а^=0, имеет один действительный корень. Найти с точностью до 0,001 корень этого уравнения при а=1. 1497. При каком основании а системы логарифмов существуют числа, равные своим логарифмам? Сколько таких чисел может быть? Найти такое число (с точностью до 0,01) при а= 1/2?
§ 5. Формула Тейлора и ее применение Формула Тейлора для многочленов 1498. Разложить многочлен х4 — 5х3 + х2 — 3x4-4 по степеням двучлена х —4. 1499. Разложить многочлен х34-Зх2 —2x4-4 по степеням двучлена х + 1* 1500. Разложить многочлен х10 — Зх5+1 по степеням двучлена х— L 1501. Функцию /(х) = (х2 —Зх+I)3 разложить по степеням х, пользуясь формулой Тейлора. 1502. / (х) — многочлен четвертой степени. Зная, что f(2) =—1, f(2) = 0, rf(2) = 2, Г (2) = —12, /IV(2) = 24, вычислить f(—1), Г(0), Г(1). Формула Тейлора 1503. Написать формулу Тейлора п-го порядка для функции 1 . У = -- при х0 = —1. 1504. Написать формулу Тейлора (формулу Маклорена) п-го порядка для функции у=^хех при х0 = 0. 1505. Написать формулу Тейлора n-го порядка для функции у = ]/х при х0 —4. 1506. Написагь формулу Тейлора 2н-го порядка для функции у = Х' ПРИ хо = О. 1507. Написать формулу Тейлора и-го порядка для функции у = х? 1пх при xn= 1. 1508. Написать формулу Тейлора 2п-го порядка для функции у = sin2x при хо = 0. 1509. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y—^zr[ ПРИ хо = 2 и построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени. 1510. Написать формулу Тейлора 2-го порядка для функции у = tgx при хп = 0 и построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 2-й степени. 1511. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции у = arcsin х при хо = О и построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени. 1512. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции у = - при х0=1 и построить графики данной функции и ее V х многочлена Тейлора 3-й ^тепени. 1513*. Доказать, что число 0 в остаточном члене формулы Тейлора 1-го порядка / (а 4- h) = [ (а) + hf (а) + h~ Г (а + 9ft)
стреми гея к 1/3 при /i->0, если (х) непрерывна при х = а и Некоторые применения формулы Тейлора В задачах 1514 — 1519 выяснить поведение данных функций в указанных точках. 1514. // = 2х6 —х3 + 3 в точке х = 0. 1515. /у = хп + Зх6+1 в точке х = 0. 1516. i/ = 2cosx + x2 в точке х = 0. 1517. // = 6 1пх —2х:< + 9х2—18х в точке х=1. 1518. //=6sinx + x2 в точке х = 0. 1519. // = 24ел — 24х—12х2 —4х3 —х4 —20 в точке х = 0. 1520. /(х) = х10 — Зх6 + х24-2. Найти первые три члена разложения по формуле Тейлора при х0~1. Подсчитать приближенно /(1,03). 1521. f (х) = х8 — 2х7 + 5хв — х 4- 3. Найти первые три члена разложения по формуле Тейлора при х0 = 2. Подсчитать приближенно /(2,02) и /(1,97). 1522. /(х) = х80 —х4°-|-хао. Найти первые три члена разложения / (х) по степеням х —1 и найти приближенно /(1,005). 1523. /(х) = Xs — 5х34~х- Найти первые три члена разложения по степеням х —2. Вычислить приближенно /(2, 1). Вычислить /(2, 1) точно и найти абсолютную и относительную погрешности. 1524. Проверить, что при вычислении значений функции 6х при 0<х=^1/2 по приближенной формуле х2 х2 ^1+х_Ц_ + *_ допускаемая погрешность меньше 0,01. Пользуясь этим, найти с тремя верными цифрами. 1525. Пользуясь приближенной формулой ех^ 1 Ц-хЦ- 2найти 1 и оценить погрешность. у е 1526. Проверить, что для углов, меньших 28°, погрешность, которая получится, если вместо sinx взять выражение х—Ч-^-, будет меньше 0,000001. Пользуясь этим, вычислить sin 20° с шестью верными цифрами. 1527. Найги cos 10° с точностью до 0,001. Убедиться в том, что для достижения указанной точности достаточно взять соответствующую формулу Тейлора 2-го порядка. 1528. Пользуясь приближенной формулой 1 /1 1 V х2 . X3 X4 1п (1 + X) № X — у + у — , найти In 1,5 и оценить погрешность.
§ 6. Кривизна В задачах 1529 — 1536 найти кривизну данных линий. 1529. Гиперболы ху = 4 в точке (2,2). 1530. Эллипса + в вершинах. 1531. у = хх — 4х3 — 18х2 в начале координат. 1532. у2 = 8х в точке (9/8, 3). 1533. у = 1лх в точке (1, 0). 1534. у= In (х+ /1 + х2) в начале координат. 1535. у = sinx в точках, соответствующих экстремальным зна-гениям функции. (3 з \ у а, а]. В задачах 1537— 1542 найти кривизну данных линий в произвольной точке (х, у). 1537. у = №. 1538. S“S = 1- 1539. у = In sec х. CL~ ил 1540. xw + y2'3 = a213. 1541. g + g=l. 1542. y=ach J. В задачах 1543 — 1549 найти кривизну данных линий. 1543. х = 3/2, y = 3t — t3 при /=1. 1544. x=acos3/, у = a sin3 Z при t = t^ 1545. x = a(cos/ + /sin/), у = a (sin t — t cos t) при / = л/2. 1546. x = 2a cost — a cos 2t, y — 2asint — asin2t в произвольной точке. 1547. p = a<₽ в точке р=И, ср —0. 1548. р = аф в произвольной точке. 1549. р = а<рл в произвольной точке. 1550. Найги радиус кривизны эллипса *2+^2==1 в т°й его точке, в которой отрезок касательной между осями координат делится точкой касания пополам. 1551. Показать, что радиус кривизны параболы равен удвоенному отрезку нормали, заключенному между точками пересечения нормали с параболой и ее директрисой. 1552. Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой ее точке вдвое больше длины нормали в той же точке. 1553. Показать, что радиус кривизны лемнискаты p2 = a2cos2<p обратно пропорционален соответствующему полярному радиусу. 1554. Найти окружность кривизны параболы у = х2 в точке (1, О- 1555. Найти окружность кривизны гиперболы ху=1 в точке (!, О- 1556. Найти окружность кривизны линии у = сх в точке (0, 1). 1557. Найти окружность кривизны линии </ = tgx в точке (л/4, 1).
1558. Найти окружность кривизны циссоиды (х2+//2) х — 2ау2=0 в точке (а, а). В задачах 1559— 1562 найти вершины (точки, в которых кривизна принимает экстремальное значение) данных линий. 1559. Ух + У у' = У а. 1560. у = In х. 1561. у = сх. 1562. x = n(3cos Z4-cos3Z), у = а (3 sin 14-sin 31). 1563. Найти наибольшее значение радиуса кривизны линии р = a sin3 . <5 1564. Показать, что кривизна в точке Р линии у = f (х) равна | у" cos3 а |, где а —угол, образуемый касательной к линии в точке Р с положительным направлением оси абсцисс. 1565. Показать, что кривизну линии в произвольной точке можно , I d sin а I представить выражением k = L где а имеет то же значение, что и в предыдущей задаче. 1566. Функция /(х) определена так: f(x) — х3в интервале — oo < х 1, f (х) = ах2А~Ьх-\-с в интервале 1< ‘J’ <х< + оо. Каковы должны быть а,Ь,с, для того чтобы линия y = f{x) имела везде непрерывную кривизну. 1567. Даны (рис. 35): дуга AM окружности с радиусом, равным 5, и с центром в точке (0, 5) и отрезок ВС прямой, соединяющей точки В(1, 3) и С(11, 66). Требуется точку М соединить с точкой В дугой параболы так, чтобы линия АМВС имела везде непрерывную кривизну. Найти уравнение искомой параболы (взять параболу 5-го порядка). В задачах 1568—1574 найти координаты центра кривизны и уравнение эволюты для данных линий. 1568. Парабола n-го порядка у=--хп. 1569. Гипербола = 1. 1570. Астроида х2/3 + у2/3 = а2/3. 157!. Полукубическая парабола у3 —ах2. 1572. Парабола х^ЗС у=12 — 3. 1573. Циссоида у2 * . 1574. Линия х = а (I -Р cos2 /) sin/, a sin2/COS /. 1575. Показать, что эволюта трактрисы х = —a (intg 2 -|-cos/jt £ = asin/ есть цепная линия.
1576. Показать, что эволюта логарифмической спирали р = а^ представляет собой точно такую же спираль, только повернутую на некоторый угол. Можно ли так подобрать а, чтобы эволюта совпала с самой спиралью? 1577. Показать, что любую эвольвенту окружности можно получить путем поворота одной из них на соответствующий угол. 1578. Показать, что расстояние некоторой точки циклоиды от центра кривизны соответствующей точки эволюты равно удвоенному диаметру производящего круга. 1579. Эволютой параболы г/2 — 4рх служит полукубическая 4 парабола ру2 = Г)7(х — 2р)3. Найти длину дуги полукубической параболы от острия до точки (х, у). 1580. Найти длину эволюты эллипса, полуоси которого равны а и Ь. 1581. Показать, что эволютой астроиды x = acos3/, у = asin3£ является астроида вдвое больших линейных размеров, повернутая на 45°. Воспользовавшись этим, вычислить длину дуги данной астроиды. 1582*. Показать, что эволюта кардиоиды 2а cost — a cos 2t t у-= 2а sin / ~а sin 21 есть также кардиоида, подобная данной. Воспользовавшись этим, найти длину дуги всей кардиоиды. 1583*. Доказать теорему: если кривизна дуги некоторой линии либо только возрастает, либо только убывает, то окружности кривизны, соответствующие различным точкам этой дуги, не пересекаются и лежат одна внутри другой. § 7. Вычислительные задачи 1584. Найти минимум функции у = х4ф-х2 + х-|-1 с точностью до 0,001. 1585. Найти максимум функции у = х~\- 1пх — х3 с точностью до 0,001. 1586. Найти наибольшее и наименьшее значения функции r/ = x24-3cosx в интервале (0, л/2) с точностью до 0,01. 1587. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х — ех* в интервале (0,2; 0,5) с точностью до 0,001. 1588. Найти координаты точки перегиба линии У = (X3 - 6х2 + 19х - 30) в точностью до 0,01.
1589. Найти координаты точки перегиба линии у = 6л- In х + 2а3 — 9а2 с точностью до 0,01. 1590. Найти с точностью до 0,01 кривизну линии вточке ее пересечения с прямой у = х—\. 1591. На линии у= In х найти с точностью до 0,001 координаты точки, в которой радиус кривизны данной линии в три раза больше абсциссы этой точки.
ГЛАВА V ‘ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Определенный интеграл и его простейшие свойства 1592. Выразить с помощью интеграла площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: 1) осями координат, прямой х = 3 и параболой r/ = x24-h 2) осью абсцисс, прямыми х —а, х = Ь и линией // = ел'-|-2 3) осью абсцисс и дугой синусоиды у —sinx, соответствующей первому полупериоду; 4) параболами у = х2 и у —8 — х2; 5) параболами у = х2 и y=V х\ 6) линиями // = 1пх и у=1п2х. 1593. Фигура ограничена осью абсцисс и прямыми ?/ = 2х, х = 4, х = 6. Найти площади входящих и выходящих /гстуненча-тых фигур («лестниц»), разбивая отрезок [4, 6] на равные части. Убедиться, что оба полученных выражения стремятся при неограниченном возрастании п к одному и тому же пределу S — площади фигуры. Найти абсолютную и относительную погрешности при замене данной площади площадями входящих и выходящих /i-ступенчатых «лестниц». 1594. Криволинейная трапеция с основанием [2, 3] ограничена параболой у — х2. Найти абсолютную и относительную погрешности при замене данной площади площадью входящей 10-ступенчатой «лестницы». 1595. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у — х2/2, прямыми х = 3, х = 6 и осью абсцисс. 1596. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у = «=2x4-3 от параболы // = х2. 1597. Вычислить площадь параболического сегмента с основанием ц=10 см и стрелкой Л = 6 см. (Основанием служит хорда, перпендикулярная к оси параболы, рис. 36.) 1598. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=> «=х2 —4x4-5, осью абсцисс и прямыми х = 3, х~5. 1599. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугами пара-бол у = ^хг и у = Ъ — у.
гивая пружину на 1600. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами 0 = Х2 — 6х+10 И — А'2. 1601. Вычислить площадь, заключенную между параболой а'2 —2x4-2, касательной к пей в точке (3, 5), осью ординат и осью абсцисс. 1602. Материальная точка движется со скоростью ц = 2/ + + 4 см/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 10 с. 1603. Скорость v при свободном падении равна Найти путь, пройденный за первые 5 с падения. 1604. Скорость движения, пропорциональная квадрату времени, в конце 4-й секунды равна 1 см/с. Чему равен путь, пройденный за первые 10 с? 1605. Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению ее (закон Гука). Растя-4 см, произвели работу 100 Дж. Какая работа будет произведена при растяжении пружины на 10 см? 1606. Чтобы растянуть пружину на 2 см, нужно произвести работу 20 Дж. Насколько можно растянуть пружину, затратив работу 80 Дж? 1607. Скорость v радиоактивного распада является заданной функцией времени: v ~ v (t). Выразить количество т радиоактивного вещества, распавшегося за время , от момента То до момента а) приближенно—суммой, б) точно—интегралом. 1608. Скорость нагревания тела является заданной функцией времени ф(/). На сколько градусов 0 нагреется тело за время от момента То до момента 7\? Выразить решение: а) приближенно—суммой, б) точно — интегралом. 1609. Переменный ток I является заданной функцией времени / — 1 (t)• Выразить (приближенно — суммой и точно — интегралом) количество Q электричества, протекшее через поперечное сечение проводника за время Т, считая от начала опыта. 1610. Напряжение Е переменного тока является заданной функцией времени Е~ (р (/); ток 7—тоже заданной функцией времени I = ^(/). Выразить работу А тока за время от момента То до момента 7\: а) приближенно — суммой, б) точно—интегралом. 1611. Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов. В течение 10 мин напряжение па клеммах равномерно падает от 60 В до Е — 40 В. Сопротивление цепи R = 20 Ом. Найти количество электричества, протекшее через цепь за 10 мин. 1612. Напряжение электрической цепи равномерно падает, уменьшаясь на л =1,5 В в минуту. Первоначальное напряжение цени Ео^ 120 В; сопротивление цепи R = 60 Ом. Найти работу тока за 5 мин. Индуктивностью и емкостью пренебрегаем. Рис. 36
1613. В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напряжение достигает 120 В. Сопротивление цепи равно 100 Ом. Индуктивностью и емкостью пренебрегаем. Найти работу тока в течение одной минуты. 1614. Прямоугольная стенка аквариума, до краев наполненного водой, имеет основание а и высоту Л. Выразить силу Р давления воды на всю стенку: а) приближенно— с помощью суммы, б) точно —с помощью интеграла. 1615. а) Вычислить силу Р, с которой вода, наполняющая аквариум, давит на одну из его стенок. Стенка имеет форму прямоугольника. Длина ее а = 60 см, а высота Ь = 25 см. б) Разделить горизонтальной прямой стенку аквариума так, чтобы силы давления на обе части стенки были одинаковыми. Вычисление интегралов суммированием 1616. Непосредственным суммированием и последующим пере-1 ходом к пределу вычислить интеграл ^exdx. (Интервал интегри-о рования делить на п равных частей.) 1617. Непосредственным суммированием и последующим пере-ь ходом к пределу вычислить ^xkdxy где k — целое положительное а число (интервал интегрирования делить на части так, чтобы абсциссы точек деления образовывали геометрическую прогрессию). 1618. При помощи формулы, полученной в предыдущей задаче, вычислить интегралы: 10 а + 2 а 1) $ xdx; 2) J xdx; 3) J x2dx; 4) \ — dx; 0 a —2 a/2 £ a P 2_L 2 2'5 5) U3x2-x+l)dx; 6) 7) $ (2x4-l)2dx; о 6’ i h ° 1 8) $ (x - a) (x - b) dx; 9) j (-^^-dx; 10) J (^px; a —a 0 2 3 1 11) \x*dx; 12) f ~ dx; 13) j (y - dx. 0 1 k ° k 1619*. Найти lim /'.1* + 2* + "- + n!?] при k>Q. Вычислить при-n',+1 / ближенно l54-254-...4-10°3- 1620. Непосредственным суммированием и последующим переходом к пределу вычислить интеграл f у. (Интервал интегриро
вания делить на части так, чтобы абсциссы точек деления образовывали геометрическую прогрессию.) 2 Г dx 1621. Для интеграла I -- составить интегральную сумму, раз- 1 бив интервал интегрирования на п равных частей. Сравнив с результатом предыдущей задачи, вычислить 1622*. Вычислить lim + + (а-целое п —► оо ' Л” ' Д"" иЛ] число). Подсчитать приближенно г^+ ^+1^ + --- + з^- 1623*. Непосредственным суммированием и последующим переходом к пределу вычислить интегралы: * л . I) ^xexdx; 2) Jlnxdx; 3) i ^-dx. 0 1 a [В 1) разбивать интервал интегрирования на равные части, в 2) и 3) —как в задаче 1620.] § 2. Основные свойства определенного интеграла Геометрическая интерпретация определенного интеграла 1624. Выразить при помощи интеграла площадь фигуры, ограниченной дугой синусоиды, соответствующей интервалу 0^Сх^С2я, и осью абсцисс. 1625. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кубической параболой у = х3 и прямой у = х. 1626. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами # = х2—2х —3 и # =— х24~бх—3. 1627. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у = = Х3 — X и // = Х4 — 1. х dx и —,-i7- меньше чем *••‘-4-16 о Оценка интеграла ю 1628. Доказать, что интеграл о 2 2 1629. Доказать, что интеграл ^ev^xdx заключен между 0 *в и 2е2.
В задачах 1630—1635 оценить интегралы. 2 А 2 * 5л/4 1630. J 1631. 1632. (1 + sin2x)dx. 1.5 0 л/4 Е/2 /3 t 1633. iy-p^dx. 1634. 5 xarctgxdx. 1635. $x2e-*Jdx. i/2 Уз/з }'e 1636» Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше: 112 2 1) \x2dx или ^x3dx\ 2) ^x2dx или ^x3dx? 0 0 11 1637. Выяснить, какой из интегралов больше: 11 2 2 1) ^2x*dx или $2Х’ dx; 2) ^2x2dx или $2*а ах\ оо 1 i 2 2 44 3) pnxdx или $(lnx)2dx; 4) Jlnxdx или $(lnx)2dx? 11 зз i ______ 1638. Доказать, что J1 +x3dx <]/5/2, воспользовавшись о неравенством Коши — Буняковского Ь ГЬ ГЬ <1/ ПА(х)]Мх 1/ $[Mx)]2<fc. а та та Убедиться, что применение общего правила дает менее точную оценку. 1639. Доказать, исходя из геометрических соображений, следующие предложения: а) если функция / (х) на отрезке [а, Ь] возрастает и имеет вогнутый график, то (b-а)/(я)< j f(x)dx<(b-a)-(a}^f(^-; б) если функция /(х) на отрезке [я, 6] возрастает и имеет выпуклый график, то ь (Ь _ а) < J f (х) dx < (b - a) f (&). а 3 р dx 1640. Оценить интеграл \ . , , пользуясь результатом за- х * ”Т" * дачи 1639.
[1 ______ 1641. Оценить интеграл J 1^1 + х4dx, пользуясь: 10 а) основной теоремой об оценке интеграла, б) результатом задачи 1639, в) неравенством Коши — Буняковского (см. задачу 1638). Среднее значение функции 1642. Вычислить среднее значение линейной функции y = kx-\-b на отрезке |хъ х2]. Найти точку, в которой функция принимает это значение. 1643. Вычислить среднее значение квадратичной функции у^ — ах* на отрезке [хъ х2]. В скольких точках интервала функция принимает это значение? 1644. Вычислить среднее значение функции # = 2х2 +3x4-3 на отрезке [1, 4]. 1645. Исходя из геометрических соображений, вычислить среднее значение функции # = —х2 на отрезке [—а, а]. 1646. Исходя из геометрических соображений, указать среднее значение непрерывной нечетной функции на интервале, симметричном относительно начала координат. 1647. Сечение желоба имеет форму параболического сегмента. Основание его а= 1 м, глубина h = 1,5 м (см. рис. 36 на с. 106). Найти среднюю глубину желоба. 1648. Напряжение электрической цепи в течение минуты равномерно увеличивается от Ео= 100 В до = 120 В. Найти среднюю силу тока за это время. Сопротивление цепи 10 Ом. 1649. Напряжение электрической цепи равномерно падает, убывая на 0,4 В в минуту. Начальное напряжение в цепи 100 В. Сопротивление в цепи 5 Ом. Найти среднюю мощность в течение первого часа работы. Интеграл с переменным пределом' 1650. Вычислить интегралы с переменным верхним пределом: XX % 1) $ х2 dx\ 2) j х'’ dx; 3) С (£- - dx. 0 а \ 1651. Скорость движения тела пропорциональна квадрату времени. Найти зависимость между пройденным расстоянием s и временем /, если известно, что за первые 3 с тело прошло 18 см, а движение началось в момент / = 0. 1652. Сила, действующая на материальную точку, меняется равномерно относительно пройденного пути. В начале пути она равнялась 100 Н, а когда точка переместилась на 10 м, сила
возросла до 600 Н. Найти функцию, определяющую зависимость работы от пути. 1653. Напряжение электрической цепи равномерно меняется. При t = ti оно равно при / = оно равно £2. Сопротивление 7? постоянно, самоиндукцией и емкостью пренебрегаем. Выразить работу тока как функцию времени t, прошедшего от начала опыта. 1654. Теплоемкость тела зависит от температуры так: с = с0 + + + Найти функцию, определяющую зависимость количества тепла, полученного телом при нагревании ог нуля до t, от температуры /. 1655. Криволинейная трапеция ограничена параболой z/ = x2, осью абсцисс и подвижной ординатой. Найти значения приращения AS и дифференциала dS площади трапеции при х=10 и Ах = 0,1. ________________________________________________ 1656. Криволинейная трапеция ограничена линией y=Vх2+16, осями координат и подвижной ординатой. Найти значение дифференциала dS площади трапеции при х = 3и Ах = 0,2. 1657. Криволинейная трапеция ограничена линией # = х3, осью абсцисс и подвижной ординатой. Найти значения приращения AS площади, ее дифференциала dS, абсолютную (а) и относительную Н5 = погрешности, возникающие при замене приращения дифференциалом, если х = 4, а Дх принимает значения 1; 0,1 и 0,01. X 1658. Найти производную от функции r/= f ПРИ Х= 1. 1659. Найти производную от функции z/ = ^sinxdx при х = 0, о х = л/4 и х = л/2. 1660. Чему равна производная от интеграла с переменным нижним и постоянным верхним пределом по нижнему пределу? 5 ______ 1661. Найти производную от функции у = $ 1/1 + x2dx при х = 0 и х = 3/4. 2* 1662. Найти производную по х от функции г/ = —^-dx. 1663. Найти производную по х от функции: $v. 1 1) I —-dz; 2) J Inxdx. о *2
2« 1664*. Найти производную по х от функции J In2xdx. X 1665. Найти производную по х от функции у, заданной неявно: у X dt-± J cos t dt = 0. о о 1666. Найти производную по х от функции у, заданной параметрически: t г 1) x = jj sin t dt у = Jcos t di\ 6 о /2 1 2) x = $/ln/d/, y=^f2ln/d/. i r 1667. Найти значение второй производной по z от функции 2» С d* । ПРИ 2=1- я 1668. При каком значении х функция I (х) = J хе-*1dx имеет Q экстремум? Чему он равен? 1699. Найти кривизну в точке (0, 0) линии, заданной уравнением y=\(i+t) \n(l+t)dt. о 1670. Найти точки экстремума и точки перегиба графика функции у = — 3x + 2)dx. Построить график этой функции. 1671. По графикам функций, данным на рис. 37 и 38, выяснить вид графиков их первообразных.
Формула Ньютона—Лейбница 1672. Вычислить интегралы: 4 19 2 1) fg; 2) 3)f3/7dx; 4)J(x+|)% 14 1 I 9 2 _ 2? 6) ^x(l+Vx)dx-, 6) f(V7-/x)dx; 7) 4 la 9) |аД (a>0, &>0); 10) la' 2, 1673. Вычислить интегралы: Л л 1) jsinxdx; 2) Jcosxdx о о (объяснить геометрический смысл полученного результата); з я/. ‘ . »гз/з 3) \exdx't 4) f sec2xdx; 5) i . * 2-: 6) о о У 1S74. Функция f(x) имеет равные значения в точках х=а и ь х = Ь и непрерывную производную. Чему равен $/'(x)dx? а 1675. Касательная к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х — а составляет с осью абсцисс угол л/3 и вточкеаабс-ь ь циссой х = Ь — угол л/4. Вычислить J/"(x)dx и (x)f"(x)dx; а а f"(x) предполагается непрерывной. /1 —X3 ’
ГЛАВА VI НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. Простейшие приемы интегрирования В задачах 1676—1702, воспользовавшись основной таблицей интегралов и простейшими правилами интегрирования, найти интегралы. 1676. \Vxdx. -1677. ffix^dx. 1678. 1679. (10*dx. 1680. \axexdx. 1681. f J J J2/x 1682. 1683. J3,4x-O17dx. 1684. \(l-2u)da. 1685. P/x+l)(x-rr+l)dx. 1686. \^=^±^-dx. 1687. f(2x-1>2 + 3x-°-8-5x<’-»«)dx. 1688. .168, 1690. f dx. 1691. f Vх* ¥x dx. J ^X J Ух 1692. ( -7-.dx^.--. • 1693. ( —2t^2 -x dx. ЛУЗ-Зх- J 2* • 1694. f dx. 1695. f -?S-^2- dx. • 1696. (tg2 x dx. J 1 + cos 2x J cos3 x sin2 x J b 1697. Jctg2xdx. 1698. 2sin2 dx. = 1699. C (l+2*-3)dx 17f)fl f (1+xH/r J x3(l+x2) • ' J x(l-bx2) • 1701. f— • 1702. ((arcsin x-4-arccos x) dx. J cos 2x-|- sin - x J x ' В задачах 1703—1780 найти интегралы, воспользовавшись теоремой об инвариантности формул интегрирования. 1703. 1705. jsinxd(sinx). » 1704. jtg3xd(tgx). J » 1706. J(x-f-l)15dx. 1707. J(2.-3)S- -™8- j <X)‘
1709. \ V (8-3x)6dx. 1710. \ V8-2xdx. 1711. L - m-^dx. J У 1712. \2xVx2+ldx. 1713. Jj x V l — x2dx. 1714. \x2Yx3+2dx. 1715. C x^x 1716. f /xidx--. J 1 1717 r x3dx 1718 f (Gx—5)dx J yx*+i J 2 j/3x2-5x-f-6 1719. J sin3x cos xdx. 1720. J COS3 X 1721. C cos xdx 1722. pos3xsin2x<tc. J У sin2x 1723. 1724. J X 172е* Г dx =•. 1726. f dx * J (arcsin x)3 У1 — X2 J CO82 X У1 + tg X * 1727. J cos 3x d (3x). 1728. J cos2 (14- In x) 1729. J cos 3x dx. 1730. pcos a — cos 2x) dx. 1731. pin (2л —3) dx. 1732. pos(l— 2x)dx. 1733. flcos^-iY ] dx. 1734. pxsin (ex) dx. 1735. f d(l+x2) J-™ C d (arcsin x) С (2x—3)4» J 1 j arcsin x j xa—jx-f-a 1738. f ^-r. 1739. V dx . 1740. f 44^. J *X — 1 j cx~\-m j 1741. f -x2.dx 1742 f eX - 1743 f e2* dx J *?+l • IZl“’ J ex+l * lZ4J' J e^-t-a1' -1744. pgxd)f. 1745. Jctgxdx. 1746. pg3xdx. 1747. J ctg (2л + 1) dx. 1748. f-,jn2l dx. 4749. f J 1 + COS2 X J x In M 1750. f<^Ldx. J X '1751. ^es[nxd (sinx). * 1752. psin x cos x dx. •1753^1 ‘1754/ §a~xdx. • 1755. j e~3x+1 dx. 1756. \ex2xdx. 1757. \e-x'x2dx. « 1758. C d (x/3) 1759. f -- rfx - J V l-(x/3)2 J V l-25x2 ’ 1700 P dx " 176! f — »17fi9 f J l+9x2’ J|/4-x2' 1762‘j2x2+9- 1763. C dx 1764. f Jdx. 1765 f xdx J /4-9xa * J л -r! J Уа^—х*
1766. С-4^Г-J хи-г4 1769. ( - J /1—4* 1767. С J V1 —X» 1770. J a2~j-sm2a 1768. f 1771. 1^. 1773. С 1+х , 1 dX. J pl-x* 1775. f v^dx- 1777. f 1+X-X2 , i -Д- . . dx. J /(1-х‘Г 1779. Г 2x —]/ arcsin x J /1—X2 1772. <774. j 5=1*. 1776. f V 1 T- * ,774(^=fT 1780. Г^(агсеозЗх)2^ J V 1 —9x2 В задачах 1781 — 1790 найти интегралы, подынтегральной дроби. 1781. Jrh*- 1782. f 2x4-1 dx‘ 1784. 1785. f (2x—l)cfx J x—2 1787. V^dx- 1788. выделив цел? а 1783. 1 -22 £f?„ J a-i-by 1786. C J 2x— ‘ 1789. f: 1790. f-m-. J *24- 1 В задачах 1791 — 1807 найти интегралы разложения подынтегрального выражения и прием выделен.-ного квадрата. использовав у-**: 1791. f dx 1792. । r dx J x(x— 1) J x(x+ 1) • 1793. C dx 1794. f dx J (x-f-1) (2x—3) ’ J (a—x)(b— x}‘ 1795. (4=4-^ J xl— 1 1796. f dx J x2—7x4-10 * 1797. f dx 1798. f dx - 1799. J x24-3x—10 * J 4x2—9 ’ *' 1800. f dx 1801. f dx 1802. J (x—))2-|-4‘ J X* + 2x4-3’ 1803. 1805. f dx 1804. 1806. f dx J W+4x+b-f d* J V1-(2x4-3)2 f dx J /4x —3—x2 J /84-6x-9x2 1807. f dx
No page in original
No page in original
l»00. .90.. J 1902*. j J. 1903*. j 1904*. J £+11^.. В задачах 1905—1909 найти интегралы, применив сначала замену переменной, а потом интегрирование по частям. 1905. $e^'dx. 1906. JsinyGcdx. 1907. 1908. 1909. J /(1-x2^ J 1+*2 J x2(l-f~x2) Разные задачи В задачах 1910—2011 найти интегралы. 1910. (*+1) J/x2 + 2xdx. 1911. J (14-e3jt)2eJudjc. Р pV X 1912. I -—-dx. 1913. J Vx )^£dx. 1914. $yi-e*e*dx. 1915. $ X COS X~ dx. 1916. $(2-3x4/3)1/5*V3^* 1917. f 2x5-3.t2 . J l+3r3-_x<i dx- 1918. C -xdx J l+x3'2 1919. C dx 1920 C dx J e* (3-j-e--»)’ J ex У 1 — e ^ 1921. |‘-^Ldx. 1922. ( 1 dx. J /Ц-х2 J K9x2—4 1923. f 1924. f dx J /x J x/3 — ln2x 1925. C In x dx 1926. f *2~x+* dx. J x (1 — In- Л) J K(*2+1)’ 1927. 1928 f rf(p 1924 f cos 2x dx J sin2 (p cos2 ср ‘ J cosU aX* 1930. (* sin1 x dx J cos6 X 1931. J ]/ tg3x sec4xdx. 1932. jj (1 — tg 3x)2 dx. 1933. ( . J *+l 1934. C x dx 1935 f xdx J (X-ip • f xdx J /2 + 4x 1936. 1937. У a +xdx. J ГЦ-2Х 1938. sinx-j- cosx) dx. 1939. J amxbnx dx. 1940. dx /5-2х+х2‘ dx /9х2-6х+2‘
1942. Г dx . 1943. r (8x—11)rf,t J У 12х-9х--2 J )/5 + 2x-x2 1944. f (x+2)dx 1945. 6 (x—3)dx J х2+2х + 2' J УЗ — 2x — x2 1946. f (Зх— l)dx 1947. Г (Зх— 1) a>x J 4х2 — 4х-Ь 17 .* /х2+2х + 2 1948. Г (х — 2)dx 1949. f _L«+5 _я. J х2 —7х-|-12 J ]/9x2+6x+2 1950. f 3 — 4х . J 2х2 —Зх+i dx‘ 1951. C (4 — 3x) dx J 5x24~6x-M8 ’ 1952. С (2 — 5х) dx 1953. C x dx J /4х2+9х+1 ’ J |/'3x2— lix-f-2 1954. С Vx dx J У2х + 3 1955. У y^- 1956. $ arctg xdx. 1957. Jxsinxcosxdx. 1958. J х2 cos <ox dx. 1959. p 2vx3 dx. 1960. 1961. J Cttf X t ч—*—ax. J COS“X In sin X 1962. C x? dx 1963. f COS2 3 v , -.5" dx. .1 (1+*‘>2 sin 3x 1964. I dx юлк C_sin2xdx шел f J 1 — sin 3x * ,vu. J 4_ cos22x * ’ J 1967. 1968. J eeX+x dx. 1969. J e2x2 4- In x fa. Г x arcsin x 1970. | Г ЗД-Х3 . —r — ...7. dx. I У2 + 2х4 1971. 1972. । Г X COS X d* J У1 — x2 J sin3 x 1973. J ex sin2 xdx. 1974. 1 :• (i+tgxMx J sin 2x ’ 1975. f l^dx. 1976. 1 Г J l+tgx J у 3 cos cp + sin ф 1977. C sin x dx 1978. 1 [* sin2 x cos x . J 1 -j- sin x' 5 (1 + sin2x) 1979. 1980. 4 * In In X J dx. J sin x 1 x 1981. J x3et2 dx. 1982. J e~x2x6dx. 1983. Г x3 dx 1984. 1 Г x4 dx J у 1 +2x2 1 J/(1 —x2)3 1985. 1986. J 1987 J X x4 у x24~4 1988. y+^-dx. J Xе IQfiQ C J X* У x - - 3
1990. 1992. J > х- -Г 1 Г dx 19В1. f l-Ml + ’rfx. J \/ х -|_ 1 _ т 1<КН 1 Г/ — ' (2 + х) /Т+х * J x(|/x4-jk x) * f x~ dx ( У^±^ах. 1994. 1995 . ' (1 — л * 1996. Г dx 1997. J I998. j xdx 5 (ах + Ь)]/У 1999. С хъ dx 2000. Г __fo: 2001 f У'-Ллх. J j/x'-H J fx (X- 1) ’ ’ J x- 2002. С х- dx J (1-К2)-*' С сх (1 Ч-е-О dx ' /1— eix Г ]п(х-ю-1пл 2003. 1 ——-arctgxdx. J 2x|/x 2004. 2006* -dx. 2005. $ у ex — 1 dx. 2007 I - - J X (А' + 1) A'+x‘-/• , 2008. j arccos]/ dx. 2009. j In (xУ 1-j-x2) dx. 2010. (1/dx. J У COS14 X 20Ц i (‘x £Aj Il.l' z • J Cos1 x J/ sin 2x § 3. Основные классы интегрируемых функций Дробно-рациональные функции В задачах 2012—2067 найти интегралы. 1) Знаменатель имеет только действительные различные корни. 2012. f ' x dr 2013. С xdx (л+ 1) (2x4-1) • J 2/5-Зх-2 Ф 2014. J 2Х--Р41Х —91 (л-J) (x4-3) (x-4) aX' 2015i Г dx J 6 х1 — 1х-—Зх * 2016. J x5-J-x’ —8 , ; dx. 2017. ( —дх. jlu — 4x J 4xd — х 2018. ( 32л- dx 2019. С х dx (2x— 1) (4x2— 16x4- 15) ‘ J х1 — Зх2 - р 2 2020. j (2x2— 5) dx 2021. (’ xJ — Ул'-’Ч-Зх3 — 9x-~Y4 , 1 — =—5— dx. x4 —5x24-6 ’ J х* — 5.V1 -j- 4л' 2) Знам> >натель имеет только действительные корни\ некото- ’ корни - - кратные. 2022. J (л2 —Зх + 2) dx 2023. v^]2dx. (х~4-2х4~ 1) J \х— 1/ X 2024. j х2 dx 2025. С х3-Ь 1 . 1 1—>dx. J Xd —X2 x° + 5x‘24-8x+4 *
2026. 2028. 2030. 2032. 2034. х»-6х’-+Нх-5 (-t —2)* х2 dx (х + 2)2(х + 4)2. dx. С 1 /X — 1\4 . J 8 (гтг' С (x2-2x + 3)dx J (х- 1) (х3-4х2Н-Зх) Г~2^4-^ J х3(х — 2)- 2027. J л4—л2 *029. 203'- OfiQQ С (^3 9)^ J X4-5X3+6x2 • 2035- У 3) Знаменатель имеет комплексные различные корни. 2036. Г dx 2037. (’ dx j X (х2+ 1) • J 1+x’3 ‘ 2038. С х dx 2039. C (2x2—3x —3)dx J x»-l • J (X— 1) (x- — 2x-|-5) * 2040. f (**+ / ,) 2041. P xadx J xd — x--\-x — 1 J 1 — X4 ' f dx (y* I } /•» dx 2042. 2043. 1 J u24-1) (X2 +x)' (x+l)2(x2+l)- 2044. P (3x'- + x + -3)3x J (x—l)3(x2+if 2045. j x54-2x:14-4x-|-4 . 2046. C (x3 —6) dx J x4 -j- 6x2 8 * 2047*. Г dx J 14-x4’ 4) Знаменатель имеет комплексные кратные корни. 2048. C x^+x-l . J (x2 + 2)2 aX- 2049. j dx x(4-hx2)2(i-H^)’ 2050. P <5x2— 12) dx 2051. j* (х-j- l)Mx J (x- — 6x-|~ 13)2’ (хЧ’2х+2)Г 2052. C dx 2053. 2x dx J (X2W (l + x)(l + x2)2‘ 2054. Г dx 2055. j x9 dx J (1 +*-)4’ (x‘-l)2‘ 5) Метод Остроградского. 2056. С X4 2 -rfr 2057. ‘ (4x2 — &x)dx J (X2-h^-rU" 4x-l)3(x-=-F I)2’ 2058. \ . :dX. J XI-2л» ; X- 2059. л-ч_|-х1 —4x2-2 . X3(X2+1)“ 2060. C (№- \]2dx 2061. dx J (1 -t-x) (1 -г л2)3* X3 (X:4-i)2* 2062. f dx~ 2063. j l-v + 2) dx J (Vp-v Г W (• x’’—x1 — 26x2 — 2 lx — 25 (x34-2x + 2j:,‘ 2065. i' 2064. dx. j - (x2 -j- 4 x -H 5j- (x3 + 4) - 2066. (• 5 — 3x + 6x3 + 5x:1 —x1 — d.x 2067. ( =—9 dxn- \ i6_x4_2x4+2x24-x- CCyv • J 5x3(3—2x2)J
Некоторые иррациональные функции В задачах 2068—2089 найти интегралы. 1) Функции вида r(x, 1/1/т7ТГ> '"г f J \ Г <h.x + bL' V а^х-^Ь^ ) rn\ciQ С олпл С — . ^иио. 1 ‘~/г- г; J x(Y*+V X2) 2070 f xdX J /х+Гх + 2 V* ’ 2071- у /V?- 2073. f ^4^^-dx. J y/\+x 2075*. f —dx -U/U- J (x+l)1/2 + (x+l)1/3’ 2072. f 1/ —fydx. J V l + /x 2074. (т/Ф^~. J V 1+x x 2) Дифференциальные биномы 2076. $ Vx (1 Vx)4 dx. J ^(x-l)3(x+2)i* xm (a + bxn)p dx. 1 1V3 2077. V*\l+^37 dx. 2078. —. x/x2+ 1 2080 f dx 2079. Jxs,/(l+x3)2<ic. 2081 (" dx J p714- x3 ’ 2082. f dx. J J уПн-х4‘ 2083. f ^У- dx. j Yx 2084. §¥^p^dx. 2086. J dx. 2085 f dx 1 , LT., J X '/ 1 4- xS 2087. f _ dx J x11 4-x4' 2089. 5/14-/xdx. 2088. $}/x(l — x2)dx. Тригонометрические функции В задачах 2090—2131 2090. $ sin3 х cos2 xdx. Ay J 2094. f /Г , J COS3 X sin3 X C sin x dx 20Se- J (i-oJxr 2098. cos8 * *xdx. 2100. Jig5xdx. найти интегралы. 2091. f &-^dx. J COS4X 2093. f s^dx. J COS2X 2095. i' — dx , J sin4 x cos4 X 2097. J (1 —cosx)2 • 2099. уctg1 xdx, 2101. Ul J tg“x
2103. cos4 х + sin4 х . cos2 х — sin-х 2104. C dx J (sin x + cos xp- (• dx 2106. J a cos x + b sin x ’ 2108. C cos2 x d v J sin x cos 3x ’ Г dx 2110. J 5 — 3 cos x ’ 2112. f J 2 + cosx 2114. C dx J 4 + tgx-i~4 ctg x" 2116. C dx J 5 — 4 sin x + 3 cos x* 2118. f dx J 1 + sin2 x ’ 2120. C dx J a~ sin2 x + i»2 cos2 x' 2122. C cos x dx J sin3x—cos3x* 2105. 2107. 2109. 2111. 2113. 2115. 2117. 2119. 2121. dx sin x-j-cos л' dx tg x cos 2x * dx i+V*’ dx 5 + 4 sin x* sin2 x dx 1 — tg лг * dx (sin x + 2 sec x)3* _________dx_________ 4 —3 cos2 x + 5 sin2 ж* dx 1 — sin4 x’ dx sin2 x+ tg- x* 2123. J/l + sinxdx. 2125* f |/s'n2A' dx. J sin-1 X 2127. f r dx^ .=. J у 1 — sin4 x 2129. f (cos2x-~3)rf* J cos4 cig2 i* 2124. f ,^tg x - dx. J smxcosx л. лл C dx 2126. \ ^7====. J у smd x cos5, x 2128. J У 14- cosec x dx. 2130. f------^-=. sin £ 2131. J Кtgxdx. Гиперболические функции В задачах 2132—2150 найти интегралы. 2132. Jchxdx. 2133. Jshxdx. 2134. J^. 213S. 2136. $(ch2flx-bsh2ax)dx. 2137. $sh2xdx. 2138. J th2xdx. 2139. Jcth’xd*. 2140. $s
2141. $ ch® xdx. 2144. Jcth5xdx. 2Н6- у й- 2148. $/th7dx. 2142. $th4xdx. 2143. Jsh2xch3xc 2H5- Уяггагг- 2|47- j (iw 2™- J 2'5»- У Рациональные функции от х и Уах2Ьх4-в В задачах 2151—2174 найти интегралы. 2151* Г dx 2152 f dx — - J хУ х24~л-|- 1 ’ J х V х2 -и 4х — 4 2153. с —.>1- 2154 f dx -- J хУх2±2х — 1 2I54’ J xYi + x-x2 2155. С l2£Lr,,.v. J х2 2156 f J (х-1)/х2 + Х+Г 2157. С dx 2158. \Vx2-2x- 1 dx. J (2х — 3) ]/4х~ х2’ 2159. J ]/ Зх2 — Зх 4~ 1 dx. 2160. J/l -4x — x2dx. 2161. Г dx 2|62 f dx J х—Ух2 — x-b 1 ’ .1 x2(x + /l-|-x2)‘ 2163. С dx 2164 f - —, J 1 + |/х2 + 2х + 2‘ J У1 — 2x — x2 2165. Г (2х2 — 3x)dx 2166. f - 3x1*~5x - J у *2— 2x^5 ' J y3-2i-x2dx‘ 2167. f Зх3 dx 2168 f - Ay J У х2-f-4х5" J yx2+2x+2aX' 2169. С Зх«-8х + 5 . J /х2—4х —7 2170. f x*dx J yrx2 + 4x + 5 2171. Г Jx J (х»+Зх2+Зх+1)Ух2 + 2х—3 2172. СП±Л1</х. J 2-f-x2 ил’ 2173 f (x—l)rfx _ J х2У2х2— 2x+Г 2174. г (2x+3)dx J (х24-2х+3)/х2+2хН-4 Разные функции В задачах 2175—2230 найти интегралы. 2П5. j 2176. j 7-7==
2177. Jj х У a + xdx. 2178. 1 dx J aemx-]-be-,nx* 2179. J /1-х 2180. C x4 dx J (x3-l)(x4-2) • 2181. Г dx 2182. C dx J 1—Ж4" J (x4-l)3‘ 2183. С 1п (*+ l)'dx J /7+Т ’ 2184. J (x2 + 3x + 5) cos 2x dx. 2185. sh xdx. 2186. j arctg (1 +yx)dx. 2187. С arcsin xdx J x* 2188. J e*''x dx. 2189. $ xeV x dx. 2190. $(x3-2x2 + 5)e3*dx.) 2191. J sin]/% dx. 2192. f dx J x3(x—1)1/2' 2193. f dx J X — Ух--1 2194. 2195. Г x'dx J Xе J 2196. 2197. C dx J X3 ]/ (1 + Xp 2198. 2199. C x4 dx J x^-1 • 2200. f dx 2201. C dx J sin 2x— 2 sin x* J 1 + COS2 X 2202. C dx 2203. $ x In (1 + x3) dx. J a2—b2 cos2 x“ 2204. f 0n В 2205. J ln2x J J/(X2—I)» 2206. J x2ex cos x dx. 2207. ^xe'2 (x24- l)dx. 2208. f dx 2209. f dx J )/ sin3 x cos3 x * J sin3 x cos3 x ' 2210. C sin 2x dx 2211. C dx J cos4 x-|- sin4 x' J 1 + sin x cos x ’ C (x2-l)dx 2212. ]/tg2 x + 2 dx. 2213. J x]/'x14-3x2-hl 2214. C dx 2215. C xex dx J (2x-3)/4x-x3 J (14-x)2’ 2216. C xex dx 2217. P arctg x dx 1 *4 • J у 1 4-е-» J 2218. Г X arctg X J (l+x2)2aX> 2219. J (14-x)3
§ 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 2220. С dx J (1-2-Т*- 2221. 1 Г (^+e^dx С dx | е*х-е**+1 • J у1+ех-+е2х • 2223. 1 Гттг^тгг-- 2224. fsin8xdv. J 1 + tg X + tg2 X J 2225. 1 ; (3x"2)2 x3 dx C x2-8x + 7 ) (l’+x2)3 • J (x2 —Зх—IO)2 ax- 2227. I 1 999Я i | sin4л-f-cos4л’ ’ J l-j-cosx 2229*. Г X2-1 dx 2230 f ^inxXC°s3x-sin; Jx2-H УИ-х4' J C0S‘X
ГЛАВА VII СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Способы точного вычисления интегралов Непосредственное применение формулы Ньютона — Лейбница В задачах 2231—2258 вычислить интегралы. 2231. 14-xrfx. 0 -13 9944 i V(3-x)4 772 2235. f sin ст- J кT 0 1 2237. J(e* — l)4ex 0 i 99 QQ ( x^x • q>o) dt. dx. J (x24-lp* 0 2241. J 2242. 1 е* dx --- л | 1 и- la X aft a dx t ZZ4U. 1 5 (x — a) (x—2a)' 9949 — I C dx J (11Н-5х)Г —2 9 2234. i-^-dg. j /{/+l 16 C dx 2236. /Г+9-/Й’ 2a 2238. 1 2»-, 0 A 2240. Г dx хУ1-(1пх)я 2 ,, 7572 (• e1 x dx 2243. f x" - — - «' x' 1 V3/2 /9945 (* x2dx f/2 з 2247- у Ст-2
1 2 294Я ( 2249 С 1 . d* . 2250. f J х2 + 4х+5. J 0 1 х+хз- “ \ уг8 2х_х^ —0.5 л/2 л/2 2252. cos6xsin2xdx. J L+cosx’ -л/2 Л/2 2253. \ V cos х — cos3x dx. 2254. J sin2(cox + <jpo)dx. -Л/2 0 — л/4 л/4 2255. j С<У— Л/2 » sinJt 2256. J ctg4<pd<p. У a 2/л sin -- л/2 P / TT \ 2257. I —-^dx. J х 2258. j cost sin (21 — -^dt'. 1/я — л/2 В задачах 2259—2268 интегрированием по частям найти интегралы: 1 л/2 . 2259. \xe~xdx. 2260. $ xcosxdx. 2261. i ° ° А/4 Ш Л 2 2262. Jx3sinxdx. 2263. j x log2 x dx. и С— 1 2264. J ln(x+l)dx. 0 i a V7 2265. f x3 c!x - J У а2+хг * а 71/2 в 2266. $j/a2-x2dx. 2267. j e2x cos x dx. 2268. $ in3 x dx. 0 0 1 2269. Составить рекуррентные формулы для вычисления инте-Л/2 л/2 гралов J cos*х dr и J sin* х dr (м —целое положительное число о о или нуль) и вычислить интегралы: л/2 л/2 л/2 a) J sin5 х dr; б) J cos8 х dr; в) sin11* dr, ООО 2270. Составить рекуррентную формулу для вычисления инте- Л/2 грала J sin™* cos'2* dr (т и п —целые положительные числа или о нули; исследовать частные случаи четных и нечетных значений tn и п). 2271. Составить рекуррентную формулу и вычислить интеграл J xnexdx (и —целое положительное число). —1
2272. Доказать рекуррентную формулу Г dx ____________х________. 2п—3 Г dx J (1+х2)п~ 2 («—1) (1 + х2)"'1 2 (п—1) J (l+x2)«-i (п — целое положительн число) и вычислить с ее помощью инте« 1 f dx грал J (1+х2)‘-о 2273. Доказать, что если (т —целое положительно^ чи । 2274*. Найти — х о числа). Замена переменной интегра В задачах 2275—2295 вычислить 9 1 г.. Г l^xdx г ух . | -У----dx. 4 х dx о 1 т Л 2281* fsin’Jdx. деленном xdx и q — целые положительные Jni = \lnmxdx, то Jm — е — mJm-t инте 2276. 2280. 2279. 2 3 о 1 г — С уех dx уех^е-х ' кН 2282*. $ C0S72xdx. о 2283. J 2284. б 2 ___ 2286. ( ^2-~Л dx. J X 1 I ___________ 2288. \ /(1 — x2)3dx. 6 -In 2 _____ 2290. J ]/l—e2xdx. О 3 2292. f —^-575. J (x24-3)6/2 1 2289. jx2/l-x2dx. 0 2291. f------^=. J x+)/a2 — x2 2293. У Jx. 2?5
1//3 Г ______dx_____ £ (2ха+1)/хЙП ’ 2295. 2/2 С J х/(х2-2)1‘ /8/3 2296. Вычислить отрезке [1, 4]. 2297. Вычислить Разные задачи среднее значение функции у = Ух+~^ на среднее значение функции = на отрезке Г1'- . 2298. Вычислить среднее значение функций /(xy=smx и /(x) = sin2x на отрезке [0, л}. 2299. Найти среднее значение функции f (х) = на отрезке С' 1 [О, 2]. 2300. При каком а среднее значение функции у=1пх на отрезке [1, а] равно средней скорости изменения функции на этом отрезке? В задачах 2301—2317 вычислить интегралы: 2301. 2 С 2302. £ x9 dx J x-Ь J (1+*5)’’ 0 2303. 1/2 С х3 dx 2304. {<2 С d* J х2—Зх+2* 0 J (1W/5, 2305. 2 Г dx 2306. C *2dx j /х+1+У(х+1)3’ J ^a24-x2 — a 1 /3 2307. $ |/ 2x + x2dx. 2308. j 4-xMx. n 2309. 0 In 5 r Г g* /g* — 1 . J ^4-3 ** о 2310. и 3 C dx J x ]Лх2 4- 5x 4- 1 ’ 2311. л/4 f x-™^dx. 2312. J COS3 X 0 I n/2 f ^X n/2 } 2 cos x + г 0 г J . , 1 . 2 • 0 1+g’SIrl2X 16 „ 2314. (arcsinx)*dx. 6 i Г (3x4-2)dx 2315. arctg V Ух — 1 dx. f 2316. 2317. 1 n/2 f sin x cos xdx j’ (x2+4x + l)5/a‘ J a2 cos2 x4~ d^ sin2 x ‘ 0
л/2 2318. Показать, что j а^х+%Ч№х = где а и Ь-любые О действительные числа, отличные от нуля. х 2319. Решить уравнение ( —т=== = г .) хУх2 — 1 12 V2 X 2320. Решить уравнение ( - - = —, ,J„ у ех — 1 6 1п2 ’ 2321. Убедившись в справедливости неравенств j>lnx>l 4 С dx при х>е, показать, что интеграл 1 гт= меньше единицы, но J у In X больше 0,92. 2322*. Показать, что п 6 /4-х2 — ^<4 /2 2323*. Показать, что 0,5 0,5 < f 0,523 J /1-** 6 2324. Используя неравенство sinx>x — , справедливое при х>0, и неравенство Коши — Буняковского (см. задачу 1638), л/2 _____ оценить интеграл $ j/xsinxdt. о 1 2325*. Показать, что 0,78 < \ -Д==-.<0,93. 2326. Найти наибольшее и наименьшее значения функции X </(*) = (на отрезке [—1, 1]. 2327. Найти точку экстремума и точки перегиба графика функции y = \(t — 1)(/ —2)2<ft. о В задачах 2328—2331, не вычисляя интегралов, доказать справедливость равенств:
л/8 2328. $ х10 sin9 xdx = 0. -л/8 2329. C 57-3^4-7^-x o J COS2 X — I i/2 2331. f cosxhi ^(/x = 0. .1 1— X — 1/2 2330. J bcos х dx = 2 J ecos х dx. —1 о 2332*. а) Показать, что если f(t) — функция нечетная, то х — х X J/(/)d/—функция четная, т. е. что $ f(t)dt = \f(t)dt. а а а х б) Будет ли $/(/)dt функцией нечетной, если /(/)—функция а четная? 2333*. Доказать справедливость равенства 1 I/X С dt m J 1+<2 ~ J 1-№ <х>0)- X 1 Cljr.C " tdt (• dt . H-r-+ J /(!+<-) 1/e I/e 2334. Доказать тождество J 2335. Доказать тождеств® 1. COS2 X arccos рТ Л = ~- 2336. Доказать справедливость равенства § хп (1 — х)п dx = § xn (1 — х)т dx., о о 2337. Доказать справедливость равенства ь ь (х) dx =^f (« + b — х) dx. а а Л/2 л/2 /(cosx)dx = /(sinx)dx, Применить б б л/2 к вычислению интегралов $ cos2xdx и о 2338. Доказать, что полученный результат sin2xdx. б 2339*. Доказать, л л что I xf (sin х) dx = у l / (sin х) dx =j
л/2 л/2 f (sinx)dx = л i f(sinx)dx. Применить полученный ре-£ Л J Л С х sin х . зультат к вычислению интеграла i -р^р^ах. 2340*. Показать, что если f (х) — функция периодическая с пе-а + Т риодом Т, то $ fix)dx не зависит от а. а 2341*. О функции f(x) известно, что она нечетная на отрезке [“Т’ и имеет пеРи°Д» равный Т. Доказать, что есть также периодическая функция с тем же периодом. 2342. Вычислить интеграл $(1— x2)ndx, где п — целое положи-о тельное число, двумя способами: разлагая степень двучлена по формуле для бинома Ньютона и с помощью подстановки x = sin<p. Сравнив результаты, получить следующую формулу суммирования (С* — биномиальные коэффициенты): г« С«_цС« Л-1)”*7"- 2-4-6.....2л 3 + 5 7 *•••+' 2«+l I 3-5 •• (2л+1)* 2л Г* dx 2343. Интеграл 1 5—зСО8Х легко берется с помощью подста-и новки tgi- = 2. Имеем 2л О С dx — С __________2 Q j5-3cosx J (1+22)(5_3|^£jj Но, с другой стороны, —3 < —3 cos х с +3, следовательно, 2<5 —3cosx<8 и >1. Отсюда 2л 2л 2л ( dx > f =—| dx J 2 J 5 — 3 cos x J 8 00 0 2л и, значит, —>t- Найти ошибку в рассуждении. О — О COS X 1 Л/4 2344*. Пусть /„= $ tg’xdx (п > 1 и целое). Проверить, что О /л + /л-2 = ^т- Доказать, что </л < .
2345*. Доказать справедливость равенства J егхе~ *2 dz = e*2,i J erdz. 0 О 2346*. Доказать, что г ( 0, если х<Ь, , л , л . л. 11т_---------= 1 ’ ^>0, k>Qt b>a>0). »-°° j eka,2,c’dx I +°°» если Х = О а § 2. Приближенные методы В задачах 2347 — 2349 вычисления вести с точностью до 0,001. 2347. Площадь четверти круга, радиус которого равен единице, равна С другой стороны, взяв единичный круг с центром в начале координат, уравнение которого и применяя для вычисления площади четверти этого круга интегрирование, ИОЛУЧИМ д д i f 1 — x2dx, т. е. л = 4 f )/1 — x2dx. Пользуясь правилами прямоугольников, трапеций и правилом Симпсона, вычислить приближенно число л, разбивая отрезок интегрирования [0, 1] па 10 частей. Полученные результаты сравнить между собой и с табличным значением числа л. 1 2348. Зная, 4T0Jt^2= вычислить приближенно число л. о Результаты, полученные по различным правилам, при разбиении отрезка интегрирования на 10 частей сравнить между собой и с результатами предыдущей задачи, ю J» dx —, используя правило Симпсона при /2=10. Найти модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Сравнить с табличным значением. В задачах 2350—2355 вычислить приближенно, пользуясь формулой Симпсона, интегралы, которые не могут быть найдены в конечном виде с помощью элементарных функций. Число п частичных интервалов задается в скобках. 1 1 2350. -x3dx (п = 10). 2351. $ VЦ-х4dx (га = 10). о о 5 л/3 2352. (га = 6). 2353. ( /созф^ф (га =10).
л/2 л/3 2354. /1-0.1 sin2(п = 6). 2355. j ^dx (n=10). о о 1.35 2356. Вычислить по формуле Симпсона интеграл Jj f (x)dx9 1.05 пользуясь следующей таблицей значений функции f(x): X 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 f (*) 2,36 2,50 2,74 3,04 3,46 3,98 4,60 2357. Прямая линия касается берега реки в точках А и В. Для измерения площади участка между рекой и прямой АВ провешены 11 перпендикуляров к АВ от реки через каждые 5 м (следовательно, прямая АВ имеет длину 60 м). Длины этих перпендикуляров оказались равными 3,28 м; 4,02 м; 4,64 м; 5,26 м; 4,98 м; 3,62 м; 3,82 м; 4,68 м; 5,26 м; 3,82 м; 3,24 м. Вычислить приближенное значение площади участка. Рис. 39 2358. Вычислить площадь поперечного сечения судна при следующих данных (рис. 39): А А1 = А1-4-2 = Л 2Лз — Л3Л4 = A 4/15 = А $А$ = А^А ? = 0,4 АВ = 3 м, ЛхВ1 = 2,92 м, /42^2 = 2,/5 м, /4з5з = 2,52 м, Л4В4 = 2,30 м, ~ 1,84 м, ЛсВб = 0,92 м. 2359. Для вычисления работы пара в цилиндре паровой машины вычисляют площадь индикаторной диаграммы, представляющей собой графическое изображение зависимости между давлением пара в цилиндре и ходом поршня. На рис. 40 изображена инди
каторная диаграмма паровой машины. Ординаты точек линий АВС н ED, соответствующие абсциссам х0, хь х>, ..., х10, даны следующей таблицей: Абсциссы Xq 60,6 5,8 *i 53,0 1,2 х2 32,2 0,6 *3 24,4 0,6 х4 19,9 0,7 Ординаты линии АВС > > ED Абсциссы Ординаты линии АВС > » ED Ъ 15,0 0,9 х7 13,3 1,0 Хя 12,0 1,3 х„ 11,0 1,8 *10 6,2 5,7 17,0 0,8 Вычислить с помощью формулы Симпсона площадь ABCDE. Ординаты даны в миллиметрах. Длина OF = 88,7 мм (точка F — общая проекция точек С и D на ось абсцисс). В задачах 2360—2363 при нахождении пределов интегрирования необходимо воспользоваться методами приближенного решения 2360. Найти площадь фигуры, ограниченной дугами парабол у = х1 — 7 и у —— 2х24-3х и осью ординат. 2361. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х3 и прямой у = 7(х-|-1). 2362. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у — = 16 —х2 и полукубической параболой у =— (/х2. 2363. _Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=4—х* и y = j/x. 2364. На рис. 41 изображена индикатониая диаграмма (упрощенная) паровой машины. Исходя из размеров, проставленных на чертеже (в мм), вычислить площадь ABCDO, если известно уравнение линии ВС: ро* = con?t (линия ВС называется адиабатой), у=1,3, АВ — прямая, параллельная оси Ov.
2365. На рис. 42 представлена индикаторная диаграмма дизельного двигателя. Отрезок АВ соответствует процессу сгорания смеси, адиабата ВС — расширению, отрезок CD — выпуску и адиабата DA — сжатию. Рис. 42 Уравнение адиабаты ВС:ру13 = const, уравнение адиабаты AD : ру'-зз _ const. Исходя из размеров, проставленных на чертеже (в мм), определить площадь ABCD. § 3. Несобственные интегралы Интегралы с бесконечными пределами В задачах 2366 — 2385 вычислить несобственные интеграль (или установить их расходимость). 2366. 2369. 2372. 2375. 2378. 2381. 2384. 4- оо С dx J х4 ’ 1 4- оо С 2х dx J х2+1‘ — оо 4- оо С dx 4-oo 4-00 2367. f 2368. f e~axdx{a>Q) X v * ft + оо +ЯО 2370. ( -A-To- 2371. i ~dx. J x24-2*4-2 J x — oo 2 4-oo 4~ oo QQ-7Q i X OQ74 C — } л2(х+1)- 4-00 С dx J (1+x)3 0 4- oo 2376. J xe~*2dx. 0 4- oo 2379. e~ dx-0 :. 2382. j ^^-dx. 1 2385. j* J xVx^—l /2 4-oo 2377. | xse~xtdx. 4-CO 2380. $ e-*sinxd 0 + °° . 9ЧЯЧ 1 ax - 4- СО jj хsinxdx. 0 V°° I e-a*cosbxdA 0 4-co C dx J (x2-H)2’ — 00
В задачах 2386 — 2393 исследовать сходимость интегралов. 4-00 4-00 2386. f -jqrj-d*. 2387. j ^-dx. J 0 1 +.00 2388. 4-00 4-00 2389. ( ln(**+1)dx. 2390. f ^xe~xdx. 1 0 4-00 4- 00 9409 C ^x OQQQ C - 2391. J {'l+x4 -Kininx J х(1пх)а/г Интегралы от функций с бесконечными разрывами В задачах 2394 — 2411 вычислить несобственные интегралы (или становить их расходимость). 9QQ4 f *** 9Q04 f 2396. f X dx 1 n 4 in* J x2 — 4*4-3 0 1’ Vx-1 1 i/e 2 2397. J x Inxdx. 2398-J„fjx- 2399. J dx X In X ‘ 0 1 e b 2400. f dx - 2401 C dx (a<6). J xp^In X b 5 2402 f xdx (a 2403. f x2 dx J y(x-a)(b- X) J /(x-3) (5- -x) I 9404 C 1 9405 1 dx J 1-х2 + 2И J, (2-x)/l- -X2 2406. f ^~^-dx. h'! — 1 2407. f ^-dx. 2408. 1 1^- 1 _ 0 2409. f —(2 + dx. 2410. f -J-dx. J, yx J, * 2411. ( s’ * X3 В задачах 2412 — 2417 исследовать сходимость интегралов. 2412. f -,2'—dx. 2413. f —=. 2414. f . J /1-х« Hl-A-V j) e^-1 1 r • Л/2 24,s- J 241e- J 2417- j
Разные задачи > J x*lnx’ J x(inx)*‘ 2421. При каких значениях (Ь<а)? 2422. Можно ли найти такое дился? 2423. При каких значениях k 2418. Функция f (х) в полуинтервале [а, + оо) непрерывна и /(х)->Дт^0 при х -> + оо. Может ли интеграл j f(x)dx exo-а даться? 2419. При каких значениях k интеграл 1 х*s п*dx будет сходящимся? 2420. При каких значениях k сходятся интегралы Н-оо , 4-00 ах г н* ь 1 С dx k сходится интеграл i ------- J (0-х)* 4-оа k. чтобы интеграл jj xkdx схо-о 4-оа & и t интеграл dx сходится? о Л/2 2424. Прн каких значениях т интеграл J —^~dx сходится? о л 2425. При каких значениях k интеграл J сходится? В задачах 2426 — 2435 вычислить несобственные интегралы. 2426. f —2427*. ( 1п^-^=. J хУх-i J, l-x/l-x5 1 — 1 4-оо 4-оо 2428. { _ 2429. ) ; - 7*--- (я —Целое положи С(л-О* (а-тХ-Г тельное число). 4-сю 2430. $ xne~xdx (п — целое положительное число), о 4-00 2431. xZn^e.~x'dx (п —целое положительное число), о 1 2432. $(1пх)Мх (п — целое положительное число), п
1 2433*. f -У"-* при т: а) четном, б) нечетном (tn > 0). J у 1-х* 1 2434*. ( dx (п — целое положительное число). _______dx________ (jc — cos а) ]/х2 — 1 С х2 dx _ л J Г+7 ~ 2 /2* dx 2436*. Доказать, что I о "Н~ । 2437*. Доказать, что 1 ^х — 0. Г» д2___2 2438. Вычислить интеграл I —Т--------dx. г л3]/л2-1 В задачах 2439 — 2448 вычислить интегралы, пользуясь фордами e-x*dx = ^- (интеграл Пуассона), 4-о° I ^-dx = ~ (интеграл Дирихле). -f-оо 4-оо 2439. f e~0X1dx (а>0). 2440. ( ~dx. Г А 4-00 2441*. $ х2е-х'(/х. О 4-оо 2442. $ x2ne~x2dx (п — целое положительное число). 6 4-оо 4-со пио f sin2x . пл л л С sin ах . 2443. I ——dx. 2444. I —-—dx. о о 2445. | sin a^coshx dx (а>0, Z>>0). 2446*. If ^-dx. 2447*.+f &^dx. 2448*. f s^dx. a! Vе* J *
х 244&*. Положим ф(х) = — pncosydz/. (Этот интеграл назы-о вается интегралом Лобачевского.) Доказать соотношение ф(х) = 2ф(2- + |)-2ф(^-|)-х1п2. G помощью найденного соотношения вычислить величину Л/2 ф(у) = - \ In cos у dy (впервые вычисленную Эйлером). В задачах 2450 — 2454 вычислить интегралы. Л/2 2450. J In sin xdx. о 2453*. f * dx. J x Л 2451. §x In sin xdx. о 2454. С J И-ха Л/2 2452*. j xctgxdx. о
ГЛАВА VIII ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА § 1. Некоторые задачи геометрии и статики Площадь фигуры 2455. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых if = 2x + l их — у— 1=0. 2456. Найти площадь фигуры, заключенной между параболой у —— х2-)-4х — 3 и касательными к ней в точках (0, —3) и (3, 0). 2457. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у* = 2рх и нормалью к ней, наклоненной к оси абсцисс под углом 135°. 2458. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у — х2 и y = Vx. 2459. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами 0®4-8х=16 и р2 —24х = 48. 2460. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у = х2 и р = х8/3. 2461. Окружность х2 + у2 = 8 разделена параболой у=х2{2 на две части. Найти площади обеих частей. 2462. Найти площади фигур, на которые парабола if — ^x делит окружность х24-у2 = 16. 2463. Из круга радиуса а вырезан эллипс, большая ось которого совпадает с одним из диаметров круга, а меньшая равна 25. Доказать, что площадь оставшейся части равна площади эллипса с полуосями а и а — Ь. 2464. Найти площадь фигуры, ограниченной дугой гиперболы и ее хордой, проведенной из фокуса перпендикулярно к действительной оси. 2465. Окружность х2 + уг = а2 разбивается гиперболой х2 — 2р2= = аг/4 на три части. Определить площади этих частей. 2466. Вычислить площади криволинейных фигур, образованных пересечением эллипса у 4- у2 = 1 и гиперболы у — у1 = 1. 2467. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линией £1 = 1^5- и параболой р=у-
2468. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией £/ = = х(х — I)2 и осью абсцисс. 2469. Найти площадь фигуры, ограниченной осью ординат и линией х = у2 (у — 1). 2470. Найти площадь части фигуры, ограниченной линиями ут = хп и уп = хт, где m и п — целые положительные числа, расположенной в первом квадранте. Рассмотреть вопрос о площади всей фигуры в зависимости от характера четности чисел т и л. 2471. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и линией у = х — х2]/х. б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями линии (//-х)2 = х5 и прямой Х~4. 2472. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией (г/ —х —2)2 = 9х и осями координат. 2473. Найти площадь петли линии у2 = х(х—I)2. 2474. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией (/2=(1-Х2)3. 2475. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией у2 = х2 — х4. 2476. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией х4 — ах3 + а2//2 = 0. 2477. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной линией x2z/2 = 4(x —1) и прямой, проходящей через ее точки перегиба. 2478. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = у = е~х и прямой х=1. 2479. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией у = (х24-2х)е~х и осью абсцисс. 2480. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограничен-ной линией у = (х2 + 3х+1) + ^2» осью Ох и двумя прямыми параллельными оси Oyt проведенными через точки экстремуме функции у. 2481. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченно/ линиями у = 2х2ех и у — — х3ех. 2482. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции с осно ван нем [а, &], ограниченной линией #=1пх. б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у=1пх осью ординат и прямыми у=!па и у=1п&. 2483. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиям! у = 1пх и у-— 1п2х. 2484. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями In х . 2485. Вычислить площадь одного из криволинейных треуголь ников, ограниченных осью абсцисс и линиями у = sinx и у = cosx
2486. Вычислить площадь криволинейного треугольника, огра* ничейного осью ординат и линиями i/ = tgx и z/=-3-cosx. 2487. Найти площадь фигуры, ограниченной линией t/=sin3x+ 4-cos8x и отрезком оси абсцисс, соединяющим две последовательные точки пересечения линии с осью абсцисс. 2488. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и линиями t/=arcsinx и t/ = arccosx. 2489. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией (у — arcsin х)2 = х — х2. 2490. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x = a(i — sin0» t/ = a(l—cosZ) и осью абсцисс. 2491. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x=acos8/, y — asin3t. 2492. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой х=я = 2а cos t — a cos 2t, y=2as\nt — a sin 2t. 2493. Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) эпициклоидой х =(/? + /) cos Z — rcos-~-t, y—(R + r) sinl—rsin^y-^-Z; 2) гипоциклоидой x = (R — r) cos Z + r cos Z, у = (R — r) sin Z — r sin Z, причем R = nr (п — иелсе число). Здесь R — радиус неподвижной, а г — радиус подвижной окружностей; центр неподвижной окружности совпадает с началом координат, a Z означает угол поворота радиуса, проведенного из центра неподвижной окружности в точку касания. 2494. Найти площадь петли линии: 1) x = 3Z2, t/ = 3Z-Z3; 2) x = Z2 —1, y = t3-t. 2495. а) Вычислить площадь, описываемую полярным радиусом спирали Архимеда р = а<р при одном его обороте, если началу движения соответствует <р = 0. б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной вторым и третьим витками спирали и отрезком полярной оси. 2496. Найти площадь фигуры, Ограниченной линией р = asin2<р {двулепестковая роза). 2497. Найти площадь фигуры, ограниченной линией p=acos5q>. 2498. Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля р = 2а (2 cos <р). 2499. Найти площадь фигуры, ограниченной линией р = = atg<p(a>0) и прямой <р = л/4. 2500. Найти площадь общей части фигур, ограниченных линиями p = 34-cos4ip и р = 2 — cos4<p. 2501. Найти площадь части фигуры, ограниченной линией p=2 + cos2<p, лежащей вне линии p = 2-|-sin<p.
2502. Найти площадь фигуры, ограниченной линией р2 = = a2cos/Kp (п — целое положительное число). 2503. Показать, что площадь фигуры, ограниченной любыми двумя полярными радиусами гиперболической спирали р<р = а и ее дугой, пропорциональна разности этих радиусов. 2504. Показать, что площадь фигуры, ограниченной любыми полярными радиусами логарифмической спирали р = аетф и ее дугой, пропорциональна разности квадратов этих радиусов. 2505*. Найти площадь фигуры, заключенной между внешней и внутренней частями линии p = asin3-£. 2506. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией р — ]/ 1 — р, ф arcsin t + XI — t2. В задачах 2507 — 2511 удобно перейти предварительной поляр* ным координатам. 2507. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бер-н улл и (х2 + р2)2 = а2 (х2 — у2). 2508. Найти площадь части фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли (см. задачу 2507), лежащей внутри окружности х2 + у2= = п2/2. 2509. Найти площадь фигуры, ограниченной линией (х2 + у2)2— — а2х2 — Ь2у2 — 0. 2510. Найти площадь фигуры, ограниченной линией (х2 4- у2)3 == 4а2ху (х2 — у2). 2511. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией х* + у* = х2 + у2. 2512. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линией у — и ее асимптотой. 2513. Найти площадь фигуры, заключенной между линией у = хе‘-х2/2 и ее асимптотой. 2514. Найти площадь фигуры, содержащейся между циссоидой , X3 У и ее асимптотой. 2515. Найти площадь фигуры, заключенной между линией Xi/2 = 8 — 4х и ее асимптотой. 2516*. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у = х2е~хг и ее асимптотой. 2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у2 = хет2х. 2517. Найти площадь фигуры, заключенной между трактрисой х = a ^cos /In tg у у y = asint и осью абсцисс. 2518. Для линии Р = найти площадь петли и площадь фигуры, заключенной между линией и ее асимптотой.
Длина линии*) 2519. Вычислить длину дуги цепной линии у = a ch (от хх=0 до х2 = Ь). 2520. Найти длину дуги нар-аболы у*=-2рх от вершины до ее точки М (х, у). (Взять у в качестве независимой переменной.) 2521. Найти длину дуги линии у = 1пх(от Xi=]/3 до Хг==У^8). 2522. Найти длину дуги линии у — In (1 — х2) ^от хх=0 до Xj=|j. 2523. Найти длину дуги линии у = (от Х]=а до х4=Ь). 2524. Вычислить длину дуги пюлукубической нараболы уг = 2 х <=3(х—I)3, заключенной внутри параболы у2~~^• 2525. Вычислила» длину дуги полуиубической параболы 5г/3 = «= х2, заключенной внутри окружности х24-у2 = 6. 2526. Вычислить длину петли линии 9а$ = х (х — За)2. 2527. Найти иериметр одного из криволинейных треугольников, ограниченных осью абсцисс и линиями y=lncosx и у = Insinx. j^2 2528. Найти длину дуги линии У=~4----j-, заключенной ме- жду ее наинизшей точкой и вершиной (точка линии с экстремальной кривизной). 2529. Найти длину линии у ='|/х —х2 + arcsin ]/х. 2530. Найтк длину линии {у — arcsinх)2 = 1 — л?. 2531. На циклоиде x = a(t — sin/), у = а(1 —cos/) найти точку, которая делит первую- арку циклоиды по длине в отношении 1: 3. 2532. Дана астроида x = 7?cos3/, y — R sin3/ и точки на ней A (R, 0), R). Найти на дуге АВ такую точку М, чтобы длина дуги AM составляла четверть длины дуги АВ. 2533*. Найти длину линии = 1- 2534. Найти длину линии x = acos8/, у = a sin8/. 2535. Найти длину дуги трактрисы х = a^cos/ + In tg y = asint от ее точки (0, а) до ее точки (х, у). 2536. Найти длину дуги эвольвенты окружности x = R (cos/4-/sin/), y = R (sin/ — /cos/) (от = 0 до /2=л). *) В задачах на вычисление длин дуг там, где это необходимо, в скобках указывается интервал изменения независимой переменной, соответствующий спрямляемой дуге.
2537. Вычислить длину дуги линии х = (/2 — 2) sin 14- 2t cos t, y = (2 — t2) cos t 4-2t sin t (от /1 = 0 до /2 = л). 2538. Найти длину петли линии х = /2, y=t—j-. 2539. По окружности радиуса а, вне и внутри ее с одинаковой угловой скоростью катятся (без скольжения) две окружности с радиусами, равными Ь. В момент t = 0 они касаются своими точками Mi и М^, точки М неподвижной окружности. Показать, что отношение путей, проходимых точками Mi и Mi за произвольный промежуток времени t, постоянно и равно (см. задачу 2493). 2540. Доказать, что длина дуги линии х = /" (t) cos t+f' (0 sin t, у =—f" (t) sin t -\-f (t) cos /, соответствующей интервалу (/ь /2), равна [/(0+/" (0] 2541. Применить результат предыдущей задачи к вычислению длины дуги линии х = е‘ (cos14-sin/), y = ez(cos/— sin/) (от /i=0 до /2 = /). 2542. Доказать, что дуги линий %=/(/)-ф'(0. у=ф(0+/'(0 и х — f (/) sin / — ф' (/) cos /, y = f (/) cos / 4- ф' (/) sin /, соответствующие одному и тому же интервалу изменения параметра /, имеют равные длины. 2543. Найти длину дуги архимедовой спирали р = Дф от начала до конца первого завитка. 2544. Доказать, что дуга параболы t/ = 2^x2, соответствующая интервалу 0-Сх^а, имеет ту же длину, что и дуга спирали Р = РФ, соответствующая интервалу 0ср <а. 2545. Вычислить длину дуги гиперболической спирали рф = 1 (от ф1 = 3/4 до ф2 = 4/3). 2546. Найти длину кардиоиды р = а(1 4-созф). 2547. Найти длину линии p = asin3 £ (см. задачу 2505). 2548. Доказать, что длина линии р = asiп"'^ (/п —целое число) соиз?иерима с а при т четном и соизмерима с длиной окружности радиуса а при т нечетном. 2549. При каких значениях показателя ^(/г^О) длина дуги линии у —ax'1 выражается в элементарных функциях? (Основываться на теореме Чебышева об условиях интегрируемости дифференциального бинома в конечном виде.)
2550. Найти длину линии, заданной уравнением X у = j V cos х dx. — п/2 2551. Вычислить длину дуги линии от начала координат до ближайшей точки с вертикальной касательной. 2552. Доказать, что длина дуги синусоиды у = sinx, соответствующей периоду синуса, равна длине эллипса, полуоси которого равны 1/2 и 1. 2553. Показать, что длина дуги «укороченной» или «удлиненной» циклоиды x~mt — nsini, у = т — ncos/ (т и и —положительные числа) в интервале от /1 = 0 до /2 = 2л равна длине эллипса с полуосями a — tn-\-n, Ь = \т — п\. 2554* . Доказать, что длина эллипса с полуосями а \\ b удовлетворяет неравенствам л (а + &)< L < л J/^2 • ]/а2 + Ь2 (задача И. Бернулли). Объем тела 2555. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением параболы //2 = 4х вокруг своей оси (параболоид вращения), и плоскостью, перпендикулярной к его оси и отстоящей от вершины параболы на расстояние, равное единице. 2556. Эллипс, большая ось которого равна 2а, малая —2&, вращается: 1) вокруг большой оси, 2) вокруг малой оси. Найти объем получающихся эллипсоидов вращения. В частном*случае получить объем шара. 2557. Симметричный параболический сегмент, основание которого а, высота hy вращается вокруг основания. Вычислить объем тела вращения, которое при этом получается («лимон» Кавальер и). 2558. Фигура, ограниченная гиперболой х2 — у2 = а2 и прямой х = а-|-А(/i>0), вращается вокруг осп абсцисс. Найти объем тела вращения. 2559. Криволинейная трапеция, ограниченная линией у = хех и прямыми х=1 и z/ = 0, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела, которое при этом получается. 2560. Цепная линия # = chx вращается вокруг оси абсцисс. При этом получается поверхность, называемая катеноидом. Найти объем тела, ограниченного катеноидом и двумя плоско
стями, отстоящими от начала на а и b единиц и перпендикулярными к оси абсцисс. 2561. Фигура, ограниченная дугами парабол у = х* и у2 = х, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела, которое при этом получается. 2562. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс трапеции, лежащей над осью Ох и ограниченной линией (х-4)у* = х(х — 3). 2563. Найти объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной линией у = arcsin х, с основанием [0, 1] вокруг оси Ох. 2564. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной параболой у = 2х — х2 и осью абсцисс, вокруг оси ординат. 2565. Вычислить объем тела, которое получится от вращения вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной дугой синусоиды у = sinx, соответствующей полупериоду. 2566. Лемниската (х2 + z/2)2 = cz2(x2 — у2) вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, которая при этом получается. 2567. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линией: 1) х* + уг = а2х2; 2) х44-^ = х3. 2568. Одна арка циклоиды x = a(t — sin/), y = a(l — cost) вращается вокруг своего основания. Вычислить объем тела, ограниченного полученной поверхностью. 2569. Фигура, ограниченная аркой циклоиды (см. предыдущую задачу) и ее основанием, вращается вокруг прямой, перпендикулярной к середине основания (ось симметрии). Найти объем получающегося при этом тела. 2570. Найти объем тела, полученного при вращении астроиды х2/3 + у2/3 = п2/3 вокруг своей оси симметрии. 2571. Фигура, ограниченная дугой линии х = —cos3/, у=> с2 = —sinst (эволюта эллипса), лежащей в первом квадранте, и координатными осями, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем получающегося при этом тела. 2572. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью бесконечного веретена, образованного вращением линии = вокруг ее асимптоты. 2573. Линия у2 = 2ехе~2х вращается вокруг своей асимптоты. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, которая получается в результате этого вращения. 2574*. 1) фигура, ограниченная линией у = е~х* и ее асимптотой, вращается вокруг оси ординат. Вычислить объем тела,
которое при этом получается. 2) Та же фигура вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем получающегося тела. 2575*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, получающейся при вращении линии = вокруг своей асимптоты. 2576*. Фигура, ограниченная линией у = -^р^и осью абсцисс, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем получающегося тела. 2577*. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, про-изводимой вращением циссоиды у1 — (а > 0) вокруг ее асимптоты. 2578. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, получающейся при вращении трактрисы х — a ^cos /-}- In tg у e=asinf вокруг ее асимптоты. 2579*. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .э tfi 2а — Ч- — -4- — = 1 в' r 6s т с2 2580. 1) Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим ^2 £»2 параболоидом г — у + у и плоскостью 2=1. 2) Найти объем тела, ограниченного однополостным гипербо-£/2 ЛОЙДОМ -Г- + 7;— г2 — 1 и плоскостями г = — 1 И 2 = 2. 4 У 2581. Вычислить объемы тел, ограниченных параболоидом г = х24~2у2 и эллипсоидом х2 + 2^2+г2 = 6. 2582. Найти объемы тел, образованных пересечением двупо- л ха у2 & . X2 . Z/2 . лостного гиперболоида — -д-= 1 и эллипсоида + +4=1. 2583. Найти объем тела, ограниченного конической поверхностью (z — 2)2 = у + у и плоскостью 2 = 0. 2584. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом 2г = у + 4 и КОНУСОМ Т + Т = г2, 2585*. Найти объем тела, отсеченного от круглого цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания («цилиндрический отрезок», рис. 43). В частности, положить 7? = 10 см и fl=6 см. 2586. Параболический цилиндр пересечен двумя плоскостями, из которых одна перпендикулярна к образующей. В результате получается тело, изображенное на рис. 44. Общее основание параболических сегментов a = 10 см, высота параболического сег
мента, лежащего в основании, Н = 8 см, высота тела /1 = 6 см. Вычислить объем тела. 2587. Цилиндр, основанием которого служит эллипс, Пересе- • чен наклонной плоскостью, проходящей через малую ось эллипса. Вычислить объем тела, которое при этом получается. Линейные размеры указаны на рис. 45. 2588*. На всех хордах круга радиуса R, параллельных одному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты Н. Плоскости сегментов перпендикулярны к плоскости окружности. Найти объем полученного таким образом тела. 2589*. Прямой круглый конус радиуса R, высотой//.рассечен на две части плоскостью, проходящей через центр основания параллельно образующей (рис. 46). Найти объемы обеих частей конуса. (Сечения конуса плоскостями, параллельными образующей, суть параболические сегменты.) 2590. Центр квадрата переменного размера перемещается вдоль диаметра круга радиуса а, причем плоскость, в которой лежит квадрат, остается перпендикулярной к плоскости круга, а две
противоположные вершины квадрата перемещаются по окружности. Найти объем тела, образованного этим движущимся квад ратом. 2591; Круг переменного радиуса перемещается таким образом, что одна из точек его окружности остается на оси абсцисс, центр движется по окружности х2 + г/2 = г2, а плоскость этого круга перпендикулярна к оси абсцисс. Найти объем тела, которое при этом получается. 2592. Оси двух равных цилиндров пересекаются под прямым углом. Найти объем тела, составляющего общую часть цилиндра (на рис. 47 изображена 1/8 тела). (Рассмотреть сечения, образованные плоскостями, параллельными осям обоих цилиндров.) 2593. Два наклонных цилиндра имеют одну и ту же высоту Н и общее верхнее основание радиуса /?, а нижние основания пх соприкасаются (рис. 48). Найти объем общей части цилиндров. Площадь поверхности вращения 2594. Найти площадь поверхности, образованной вращением параболы у2 = 4ах вокруг оси абсцисс от вершины до точки с абсциссой х = 3а. 2595. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кубической параболы 3z/— х3 = 0 вокруг оси абсцисс (от Xi = 0 до х2 = а). 2596. Вычислить площадь катеноида —поверхности, образованной вращением цепной линии i/ = ach -* вокруг оси абсцисс (от хх = 0 до х2 = л). X2 и2 2597. При вращении эллипса = 1 вокруг большой осп получается поверхность, называемая удлиненным эллипсоидом вращения, при вращении вокруг малой — поверхность, называехмая укороченным эллипсоидом вращения. Найти площадь поверхности удлиненного и укороченного эллипсоидов вращения.
2598. Вычислить площадь веретенообразной поверхности, образованной вращением одной арки синусоиды у = sinx вокруг оси абсцисс. 2599. Дуга тангенсоиды y=tgx от ее точки (0,0) до ее точки (л/4, 1) вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить площадь поверхности, которая при этом получается. 2600- Найти площадь поверхности, образованной вращением петли линии 9ау2 = х (За — %)2 вокруг оси абсцисс. 2601. Дуга окружности х* + у2 = а\ лежащая в первом квадранте, вращается вокруг стягивающей ее хорды. Вычислить площадь получающейся при этом поверхности. 2602. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси абсцисс дуги линии х = е* sin /, y = e*cost от 4 = 0 до 4 = л/2. 2603. Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды x = acos3/, z/ = asin3< вокруг оси абсцисс. 2604. Арка циклоиды вращается вокруг своей оси симметрии. Найти площадь получающейся при этом поверхности. (См. задачу 2568.) 2605. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды p = a(l + cos<p) вокруг полярной оси. 2606. Окружность р = 2r sin ф вращается вокруг полярной оси. Найти площадь поверхности, которая при этом получается. 2607. Лемниската р2 = аасо$2ф вращается вокруг полярной оси. Найти площадь поверхности, которая при этом получается. 2608. Бесконечная дуга линии у = е~х, соответствующая положительным значениям х, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить площадь поверхности, которая при этом получается. 2609. Трактриса х = а (cos t + In tgy), */ = asin/ вращается вокруг оси абсцисс. Найти площадь получающейся бесконечной поверхности. Моменты и центр масс*) 2610. Вычислить статический момент прямоугольника с основанием а и высотой h, относительно его основания. 2611. Вычислить статический момент прямоугольного равнобедренного треугольника, катеты которого равны а, относительно каждой из его сторон. 2612. Доказать, что имеет место следующая формула: Ь ь $ (ах + b)f (х) dx = (al+ b) У (х) dx, а & где £ —абсцисса центра масс криволинейной трапеции с основанием [а, Ь], ограниченной линией y—f(x). ♦) Во всех задачах этого раздела (2610—2662) плотность принимается рав-ной единице.
2613. Найти центр масс симметричного параболического сегмента с основанием, равным а, и высотой Л. 2614. Прямоугольник со сторонами а и b разбивается на две части дугой параболы, вершина которой совпадает с одной из вершин прямоугольника и которая проходит через его ггротиво- фигуры, ограниченной положную вершину (рис. 49). Найти центр масс обеих частей Si и S2 прямоугольника. 2615. Найти координаты центра масс полуокружности £/ = ]/r2 —х2. 2616. Найти координаты центра масс полукруга, ограниченного осью абсцисс и полуокружностью г/ = ]/г2 —х2. 2617. Найти центр масс дуги окружности радиуса /?, стягивающей центральный угол а. 2618. Найти координаты центра масс осями координат и параболой У х +Уу =Уа. 2619. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной X2 W2 - о координатными осями и дугой эллипса = L лежащей в пер- вом квадранте, Xs и* 2620. Найти статический момент дуги эллипса + лежащей в первом квадранте, относительно оси абсцисс. 2621. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной дугой синусоиды у = sinx и отрезком оси абсцисс (от х5=0 до х2 = л). В задачах 2622—2624 найти статический момент фигуры, ограниченной данными линиями, относительно оси абсцисс: 2622. и у = х2. 2623. y = sinx и у =1/2 (для одного сегмента). 2624. у = х2 и у —Ух. 2625. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной замкнутой линией у2 = ах3 — х4. 2626. Найти координаты центра масс дуги цепной линии у=~ = ach^, содержащейся между точками с абсциссами хх =— а и х2 = а. 2627. Доказать, что статический момент произвольной дуги параболы относительно оси параболы пропорционален разности радиусов кривизны в конечных точках дуги. Коэффициент пропорциональности равен р/3, где р — параметр параболы. 2628. Найти координаты центра масс первой арки циклоиды x = a(t — sin/). у — а(\— cos/).
2629. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды и осью абсцисс. 2630. Найти координаты центра масс дуги астроиды х — = acos3/, у — a sin3/, расположенной в первом квадранте. 2631. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной осями координат и дугой астроиды (в первом квадранте). 2632. Доказать, чго абсцисса и ордината центра масс сектора, ограниченного двумя полярными радиусами и линией, заданной в полярных координатах уравнением р = р(ф), выражаются так: р3 cos ф dq> \ р3 sin ф Jtp j Р2 б/ф jj р24ф <Pt <Pt 2633. Найти декартовы координаты центра масс сектора» ограниченного одним полувитком архимедовой спирали р = шр (от Ф1 = О до ф2 = я). 2634. Найги центр масс сектора круга радиуса R с центральным углом, равным 2а. 2635. Найти декартовы координаты центра масс фигуры, ограниченной кардиоидой р = а(1-f-costp). 2636. Найти декартовы координаты центра тяжести фигуры, ограниченной правой петлей лемнискаты Бернулли о2 — a2cos2cp. 2637. Показать, что декартовы координаты центра масс дуги линии, уравнение которой дано в полярных координатах р = р (ф), выражаются так; Ф1 _______ <Гй _______ р созуУр2-\-р'2 dq> jj р sin Ф Кр2 + р/2^Ф G). < Ci, У = --у,- -- ----, У = ------• j Ур2+р'Мф Jj iV + P'-Ap <₽i 2638. Найти декартовы координаты центра масс дуги логарифмической спирали р = ас‘(' (от ф1 = л/2 до ф2 = л). 2639. Найти декартовы координаты центра масс дуги кардиоиды р = а(1 cos <р) (от Ф1 = О до ф» = л). 2640. На каком расстоянии от геометрического центра лежит центр масс полушара радиуса /?? 2641. Найти центр масс поверхности полусферы. 2642. Дан прямой круглый конус; радиус основания его R, высота Н. Найти расстояния от основания конуса до центра масс его боковой поверхности, полной поверхности И объема. 2643. На каком расстоянии от основания лежит центр масс тела, ограниченного параболоидом вращения и плоскостью, перпендикулярной к его оси? Высота тела h.
2644. Найти момент инерции отрезка АВ = I относительно оси, лежащей с ним в одной плоскости, зная, что конец А отрезка отстоит от оси на а единиц, конец В — на b единиц. 2645. Найти момент инерции полуокружности радиуса R относительно ее диаметра. 2646. Найти момент инерции дуги линии у = ех (0г£х==£1/2) относительно оси абсцисс. 2647. Вычислить моменты инерции одной арки циклоиды х = е= a(t — sin/), y = a(l — cos/) относительно обеих осей координат. 2648. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и b относительно стороны а. 2649. Найти момент инерции треугольника с основанием а и высотой Л относительно: 1) основания; 2) прямой, параллельной основанию, проходящей через вершину; 3) прямой, параллельной основанию, проходящей через центр тяжести треугольника. 2650. Найти момент инерции полукруга радиуса R относительно его диаметра. 2651. Найти момент инерции круга радиуса R относительно его центра. 2652. Найти момент инерции эллипса с полуосями а и & относительно обеих его осей. 2653. Найти момент инерции цилиндра, радиус основания которого R, высота Н, относительно его оси. 2654. Найти момент инерции конуса, радиус основания которого R, высота Н, относительно его оси. 2655. Найти момент инерции шара радиуса R относительно его диаметра. 2656. Эллипс с полуосями а и b вращается вокруг одной из своих осей. Найти момент инерции получающегося тела (эллипсоид вращения) относительно оси вращения. 2657. Найти момент инерции параболоида вращения, радиус основания которого R, высота Н, относительно оси вращения. 2658. Вычислить момент инерции тела, ограниченного однополостным гиперболоидом у + у —а2=1 и плоскостями 2 = 0 и 2=1, относительно оси Ог. 2659. Криволинейная трапеция, ограниченная линиями у = ех, у = 0. х = 0 и х=1, вращается: 1) вокруг оси Ох, 2) вокруг оси Оу. Вычислить момент инерции получающегося тела относительно оси вращения. 2660. Найти момент инерции боковой поверхности цилиндра (радиус основания R, высота Н) относительно его оси. 2661. Найти момент инерции боковой поверхности конуса (радиус основания R, высота Н) относительно его оси.
2662. Найти момент инерции поверхности шара радиуса R от* носительно его диаметра. Теоремы Гульдина 2663. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг одной из сторон. Найти объем тела, которое при этом получается. 2664. Эллипс с осями AAj. = 2a и Z?Bi = 26 вращается вокруг прямой, параллельной оси AAt и отстоящей от нее на расстояние 36. Найти объем тела, которое при этом получается. 2665. Астроида вращается вокруг прямой, проходящей через два соседних острия. Найти объем и поверхность тела, которое при этом получается (см. задачу 2630). 2666. Фигура, образованная первыми арками циклоид x = a(t — sin/), у=а(1 —cos/) и x—a(t — sin/), y =— a(l —cos/), вращается вокруг оси ординат. Найти объем и поверхность тела, которое при этом получается. 2667. Квадрат вращается вокруг прямой, лежащей в его плоскости и проходящей через одну из его вершин. При каком положении прямой относительно квадрата объем получающегося тела вращения будет наибольшим? Тот же вопрос для треугольника. § 2. Некоторые задачи физики 2668. Скорость тела дается формулой v = |O-)-/м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 10 с после начала движения. 2669. При гармоническом колебательном движении по оси dx. абсцисс около начала координат скорость & дается формулой dx 2л „ /2л/ . \ <й ~ т cos \. т~ <Р°) (/ — время, Т — период колебания, <р0 — начальная фаза). Найти положение точки в момент времени /2, если известно, что в момент /1 она находилась в точке x = xi. Сила / взаимодействия двух точечных масс определяется по формуле f — k , где m и М — массы точек, г — расстояние между ними, a k — коэффициент пропорциональности, равный 6,67- 10-и м^/кГ'С2 (закон Нютона). Учитывая это, решить задачи 2670—2678. (Предполагается, что плотность постоянна.)
’ 2670- Стержень АВ. длина которого I. масса М. притягивает точку С массы tn. которая лежит на его продолжении на расстоянии а от ближайшего конца В стержня. Найти силу взаимодействия стержня и точки. Какую точечную массу нужно поместить в А. для того чтобы она действовала на С с той же силой, что и стержень ЛВ? Какую работу совершит сила притяжения, когда точка, отстоявшая от стержня на расстоянии г4, приблизится к нему на расстояние г2> двигаясь вдоль прямой, составляющей продолжение стержня? . 2671, С какой силой полукольцо радиуса г и массы М действует на материальную точку массы т. находящуюся в его центре? 2672- С какой силой проволочное кольцо массы М. радиуса R действует на материальную точку С массы т. лежащую на прямой, проходящей через центр кольца перпендикулярно к его плоскости. Расстояние от точки до центра кольца равно а Какую работу совершит сила притяжения при перемещении точки из бесконечности в центр кольца? 2673. Используя результат предыдущей задачи, вычислить, с какой силой плоский диск, радиус которого равен R. масса ЛГ, действует на материальную точку массы т, которая лежит на его оси на расстоянии а от центра. 2674. Используя результат предыдущей задачи, вычислить, с какой силой действует на материальную точку массы т бесконечная плоскость, на которой равномерно распределена масса с поверхностной плотностью о. Расстояние от точки до плоскости равно а. 2675*- Радиусы оснований усеченного прямого круглого конуса равны R и г, высота h. плотность у. С какой силой действует он на материальную точку массы т. помещенную в его вершине? 2676. С какой силой материальная ломаная # = притя- гивает материальную точку массы т. находящуюся в начале координат? (Линейная плотность равна у.) 2677. Доказать, что материальная ломаная у = а |х |+ 1 (я^О) притягивает материальную точку, находящуюся в начале координат, с одной и той же силой независимо от а, т. е. независимо от величины угла между сторонами ломаной. 2678*. Два одинаковых стержня (длиной I и массы М каждый) лежат на одной прямой на расстоянии I один от другого. Подсчитать силу их взаимного притяжения. 2679. Капля с начальной массой М падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, равную /п. Какова работа силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.) 2680. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме усеченного конуса высоты Н. имеющего радиусы
оснований R и г Плотность равна d (песок поднимают с поверхности земли, на которой покоится большее основание конуса). 2681. Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы: высота 140 м, ребро основания (квадрата) 200 м. Плотность камня, из которого она сделана, приблизительно равен 2,5 • 103 кг/м3. Вычислить работу, затраченную при ее постройке на преодоление силы тяжести. 2682. Вычислить работу, которую необходимо затратить, для того чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар высотой Н = 5 м, имеющий в основании круг радиуса R = 3 м. Рис. 50 Рис. 51; 2683. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотности d из резервуара, имеющего форму обращенного вершиной вниз конуса, высота которого равна Я# а радиус основания R, Как изменится результат, если конус будет обращен вершиной кверху? 2684. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду, наполняющую полусферический резервуар радиуса R = 0,6 м. 2685. Котел имеет форму параболоида вращения (рис. 50). Радиус основания R = 2 м, глубина котла /7 = 4 м. Он наполнен жидкостью, плотность которой (7 = 800 кг/м3. Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла. 2686. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из цистерны, которая имеет следующие размеры (рис. 51): а = 0,75 м, - 1,2 м, /7 = 1 м. Боковая поверхность цистерны — параболический цилиндр. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна : JoP, где со —угловая скорость, a J — момент инерции относительно оси вращения. Зная это, решить задачи 2687—2692.
2687. Стержень АВ (рис. 52) вращается в горизонтальной пло-скости вокруг оси 00' с угловой скоростью со — Юл рад/с. Поперечное сечение стержня S = 4 см2, длина его I = 20 см, плотность материала, из которого он изготовлен, у = 7,8-103 кг/м3. Найти кинетическую энергию стержня. 2688. Прямоугольная пластинка, стороны которой а —50 см и 6 = 40 см, вращается с постоянной угловой скоростью со, равной Зя рад/с, вокруг стороны а. Найти кинетическую энергию пластинки. Толщина пластинки d равна 0,3 см, плотность у материала, из которого сделана пластинка, равна 8-Ю3 кг/м3. 2689. Треугольная пластинка, основание которой а = 40 см, а высота h = 30 см, вращается вокруг своего основания с постоянной угловой скоростью ш = 5л рад/с. Найти кинетическую энергию пластинки, если толщина ее d = 0,2 см, а плотность материала, из которого она изготовлена, у = 2,2-103 кг/м3. Рис. 52 2690. Пластинка в форме параболического сегмента (рис. 53) вращается вокруг оси параболы с постоянной угловой скоростью со ^4л рад/с. Основание сегмента а = 20 см, высота h = 30 см, толщина пластинки d = 0,3 см, плотность материала у = 7,8-103 кг/м3. Найти кинетическую энергию пластинки. 2691. Круглый цилиндр, радиус основания которого равен а высота /7, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью со. Плотность материала, из которого сделан цилиндр, равна у. Найти кинетическую энергию цилиндра. 2692. Тонкая проволока массы М согнута в виде полуокружности радиуса R и вращается вокруг оси, проходящей через концы полуокружности, делая п оборотов в минуту. Вычислить ее кинетическую энергию. Вычислить кинетическую энергию, если осью вращения служит касательная в средней точке полуокружности. 2693. Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки а, высота Л. а) Подсчитать силу давления воды на каждую из сторон пластинки. б) Во сколько раз увеличится давление, если перевернуть пла
стинку так, что на поверхности окажется вершина, а основание будет параллельно поверхности воды? 2694* Квадратная пластинка погружена вертикально в воду так, что одна из вершин квадрата лежит на поверхности воды, а одна из диагоналей параллельна поверхности. Сторона квадрата равна а. С какой силой вода давит на каждую сторону пластинки? 2695. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой а = 6,4 м, нижнее Ь = 4,2 м, а высота /7 = 3 м. 2696. Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину погружена в жидкость (вертикально), так что одна из осей (длиной 2Ь) лежит на поверхности. Как велика сила давления жидкости на каждую из сторон этой пластинки, если длина погруженной полуоси эллипса равна а, а плотность жидкости d? 2697. Прямоугольная пластинка со сторонами а и b (а>Ь) погружена в жидкость под углом а к поверхности жидкости. Большая сторона параллельна поверхности и лежит на глубине /г. Вычислить силу давления жидкости на каждую из сторон пластинки, если плотность жидкости d. 2698. Прямоугольный сосуд наполнен равными по объему частями воды и масла, причем масло вдвое легче воды. Показать, что давление на каждую стенку сосуда уменьшится на одну пятую, если вместо смеси будет взято одно масло. (Учесть, что все масло находится сверху.) При решении задач 2699—2700 следует опираться на закон Архимеда: подъемная сила, действующая на погруженное в жидкость твердое тело, равна весу вытесненной им жидкости. 2699. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого S = 4000 см2, а высота Н = 50 см, плавает на поверхности воды. Плотность дерева d = 0,8-103 кг/м3, а) Какую работу нужно произвести, чтобы вытащить поплавок из воды? б) Вычислить, какую работу нужно затратить, чтобы поплавок погрузить в воду целиком. 2700. Шар радиуса R с плотностью 1 погружен в воду так, что он касается поверхности. Какую работу нужно затратить, чтобы извлечь шар из воды? Задачи 2701—2706 связаны с явлением истечения жидкости из малого отверстия. Скорость истечения жидкости определяется по закону Торричелли: v = У 2gh, где й —высота столба жидкости над отверстием, g — ускорение силы тяжести *). *) В данной здесь форме закон Торричелли применим только к идеальной жидкости. Для этой идеальной жидкости и даны ответы к задачам. (Практически пользуются формулой v = [i}/r2ghi где р —коэффициент, зависящий от вязкости жидкости и характера отверстия, из когорого происходит истечение. Для воды в простейшем случае р=0,6.)
2701. В дне цилиндрического сосуда, площадь основания которого 100 см, а высота 30 см, имеется отверстие. Вычислить площадь этого отверстия, если известно, что вода, наполняющая сосуд, вытекает из него в течение 2 мин. 2702. Коническая воронка высотой Н — 20 см наполнена водой. Радиус верхнего отверстия R = 12 см. Нижнее отверстие, через которое вода начинает вытекать из воронки, имеет радиус г = = 0,3 см. а) В течение какого времени уровень воды в воронке понизится на 5 см? б) Когда воронка опорожнится? 2703. В дне котла, имеющего форму полушара радиуса /? = = 43 см, образовалась пробоина площадью 5 = 0,2 см2. Через сколько времени вода, наполняющая котел, вытечет из него? 2704. Котел имеет форму эллиптического цилиндра с горизонтальной осью. Полуоси эллиптического сечения (перпендикулярного к оси цилиндра) равны b (горизонтальная) и а (вертикальная)^ образующая цилиндра равна L (рис. 54). Котел наполнен водой до половины. За какое время вода вытечет из котла через отверстие в его дне, имеющее площадь 5? 2705. В вертикальной стенке призматического сосуда, наполненного водой, проделана прямоугольная вертикальная щель, высота которой равна h, ширина Ь. Верхний край щели, параллельный поверхности воды, расположен на расстоянии Н от поверхности. Какое количество воды вытечет из сосуда за 1 с, если считать, что уровень воды поддерживается все время на одной высоте? Рассмотреть случай Н = 0 (задача о водосливе). 2706. Сосуд, наполненный до краев водой, имеет форму параллелепипеда с площадью основания 100 см2. В боковой стенке его имеется узкая щель высотой 20 см и шириной 0,1 см (рис. 55). За какое время уровень воды в сосуде понизится на: а) 5 см; б) 10 см; в) 19 см; г) 20 см? (Воспользоваться результатом предыдущей задачи.) Уравнение состояния идеального газа имеет вид pv — RT, где р — давление, v — объем, Г —абсолютная температура и /? —постоянная для данной массы газа. Решить задачи 2707—2709, считая газы идеальными.
2707. В цилиндре, площадь основания которого 10 см2, а вы сота 30 см, заключен атмосферный воздух. Какую работу необхо- димо затратить, чтобы вдвинуть поршень на 20 см, т. е. вдвинуть его так, чтобы он остановился на расстоянии 10 см от дна цилиндра (рис. 56)? Атмосферное давление равно 105 Па. Процесс протекает изотермически, т. е. при постоянной температуре. 2708. В цилиндрическом сосуде, поперечное сечение которого 100 см2, заключен воздух при атмосферном давлении. В сосуде имеется поршень. Первоначальное расстояние его от дна сосуда равно 0,1 м. Цилиндр помещен в ------------ —-Н пустоту, благодаря чему воздух в нем расширяется, выталкивая поршень. 1) Вычислить работу, совершаемую воздухом в цилиндре, когда он поднимает поршень на высоту: а) 0,2 м, б) 0,5 м, в) 1 м. 2) Может ли эта работа неограниченно увеличиваться при неограниченном расширении газа? (Процесс, как и в предыдущем 20см Рис. 56 примере, протекает изотермически.) 2709. В цилиндрическом сосуде объемом = 0,1 м3 находится атмосферный воздух, который подвергается сжатию быстрым вдвиганием поршня (считаем при этом, что процесс протекает без притока или отдачи тепла, т. е. адиабатически). Какую работу надо затратить, чтобы сжать воздух в сосуде до объема п = 0,03 м3? (Атмосферное давление равно 105 Па.) При адиабатическом процессе давление и объем газа связаны соотношением = (уравнение Пуассона). Для двухатомных газов (а также для воздуха) 1,40. По закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды. На основании этого закона решить задачи 2710—2711. 2710. Тело, температура которого 25°, погружено в термостат (в котором поддерживается температура 0°). За какое время тело охладится до 10°, если за 20 мин оно охлаждается до 20°? 2711. Тело, температура которого 30°, за 30 мин пребывания в термостате, температура которого 0°, охладилось до 22,5°. Какова будет температура тела через 3 ч после начала опыта? По закону Кулона сила взаимодействия двух электрических зарядов равна Н, где qi и ^—величины зарядов в кулонах, г —расстояние между зарядами в метрах, электрическая постоянная во ==8,85! 10-12 Ф/м (4ле0= 1,11 • КН0) и е—диэлектри
ческая проницаемость среды относительно вакуума (для воздуха е^1). На основании этого закона решить задачи 2712—2714. 2712. Бесконечная прямая равномерно заряжена положительным электричеством (линейная плотность электричества о). С какой силой действует эта прямая на единичный заряд, находящийся в точке А на расстоянии а от нее? Диэлектрическая проницаемость среды равна единице. 2713. Два электрических заряда: 41 = 6,67-10 9 Кл и q2~ = 10-10 9 Кл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Разделяющей их средой служит воздух. Сначала оба заряда закреплены неподвижно, затем заряд q2 освобождается. Тогда под действием силы отталкивания заряд q2 начнет перемещаться, удаляясь от заряда qt. Какую работу совершит сила отталкивания, когда заряд: а) удалится на расстояние 30 см; б) удалится в бесконечность? 2714. Два электрических заряда 41 = 33,3-10~9 Кл и q2 =* = 40‘10"9 Кл, находятся на расстоянии 20 см друг от друга. Каково будет расстояние между зарядами, если мы приблизим ьгсрой к первому, затратив при этом работу 18-10 5 Дж? (Разделяющей средой служит воздух.) 2715. Напряжение на клеммах электрической цепи У=120В. В цепь равномерно вводится сопротивление со скоростью 0,1 Ом в секунду. Кроме того, в цепь включено постоянное сопротивление г= 10 Ом. Сколько кулонов электричества пройдет через цепь в течение двух минут? 2716. Напряжение на клеммах электрической цепи, равное первоначально 120 В, равномерно падает, убывая на 0,01 В в секунду. Одновременно с этим в цепь вводится сопротивление тоже с постоянной скоростью, именно 0,1 Ом в секунду. Кроме того, в цепи имеется постоянное сопротивление, равноеД2 Ом. Сколько кулонов электричества протечет через цепь за 3 мин? 2717. При изменении температуры сопротивление металлических проводников меняется (при обычных температурах) по закону /? = 7?о(1+0,0046), где Ro — сопротивление при 0сС и 0 — температура по Цельсию. (Этот закон справедлив для большинства чистых металлов.) Проводник, сопротивление которого при 0 °C равно 10 Ом, равномерно нагревается от 61 = 20° до 62 = 200J в течение 10 мин. В это время по нему идет ток под напряжением в 120 В. Сколько кулонов электричества протечет за это время через проводник? 2718. Закон изменения напряжения синусоидального тока, имеющего частоту <о, дается следующей формулой: £ = £0$in((o/ + (p), где Ео — максимальное напряжение, ф —фаза, а / — время. Найти среднее значение квадрата напряжения за 1 период. Показать, что при постоянном сопротивлении переменный ток выделяет за 1 период столько же тепла, сколько постоянный, имеющий
напряжение, равное ]/(£2)ср. (Ввиду этого выражение /(£% называют эффективным напряжением переменного тока.) 2719. Напряжение синусоидального тока дается формулой £ = Ео sin i'), а ток —формулой / =/osin (-у-— <р0) > где Ео и /о — постоянные величины (наибольшие значения напряжения и тока), 7 —период, а сро—так называемая разность фаз. Вычислить работу тока за время от Л = 0 до t2 = T и показать, что наибольшее значение эта работа будет иметь тогда, когда разность фаз <р0 равна нулю. 2720. Найти время, в течение которого 1 кг воды нагреется электроприбором от 20 СС до 100 °C, если напряжение тока 120 В, сопротивление спирали 14,4 Ом, температура воздуха в комнате 20 °C и если известно, что 1 кг воды остывает от 40 °C до 30 °C за 10 мин. (По закону Джоуля —Ленца Q = r*Rt, где Q —количество теплоты в джоулях, /—ток в амперах, R —сопротивление в омах и / — время в секундах; удельная теплоемкость воды 4190Кроме этого, воспользоваться законом Ньютона об кг К г охлаждении; см. задачу 2710.) 2721. Воздух, наполняющий сосуд вместимостью 3 л, содержит 20% кислорода. Сосуд имеет две трубки. Через одну из них в сосуд начинают впускать чистый кислород, через другую вытекает наружу столько же воздуха, сколько притекает в сосуд кислорода. Какое количество будет содержаться в сосуде, после того как через него протечет 10 л газа? 2722. Воздух содержит а% (= 8%) СО2; он пропускается через цилиндрический сосуд с поглотительной массой. Тонкий слой массы поглощает количество газа, пропорциональное его концентрации и толщине слоя, а) Если воздух, прошедший слой в Н см 10 см) толщиной, содержит Ь% (=2%) СО2, то какой толщины //1 должен быть поглотительный слой, для того чтобы, выходя из поглотителя, воздух содержал только с % (=1%) углекислоты? б) Сколько углекислоты (в %) останется в воздухе, прошедшем поглотитель, если толщина поглотительного слоя будет равна 30 см? 2723. Если при прохождении через слой воды толщиной 3 м поглощается половина первоначального количества света, то какая часть этого количества дойдет до глубины 30 м? Количество света, поглощенного при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально толщине слоя и количеству света, падающего на его поверхность.
2724. Если первоначальное количество фермента 1 г через чаа становится равным 1,2 г, то чему оно будет равно через 5 часов после начала брожения, если считать, что скорость прироста фермента пропорциональна его наличному количеству? 2725. Если через два часа после начала брожения наличное количество фермента составляет 2 г, а через три часа 3 г, то каково было первоначальное количество фермента? (См. предыдущую задачу.) 2726. 2 кг соли растворяются в 30 л воды. Через 5 мин растворяется 1 кг соли. Через какое время растворится 99% первоначального количества соли? (Скорость растворения пропорциональна количеству нерастворенной соли и разности между концентрацией насыщенного раствора, которая равна 1 кг на 3 л, и концентрацией раствора в данный момент.)
ГЛАВА IX РЯДЫ § 1. Числовые ряды Сходимость числового ряда В задачах 2727—2736 для каждого ряда: 1) найти сумму п первых членов ряда (5„), 2) доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости и 3) найти сумму ряда (S). 2727*-А + + - + + - 2/28. ]~j + 3-5 + • • • + (2л-1) (2//4-1) + ''1 2729- П '’’Г? (Зл —2) (3«4-1) + ' ‘' 2730. уд + 275 + • • • + „(;ljr3) + • • • 2731. П7 + зТу + • • + (2п— 1) (2л +5) ' 2732’ ] .2 3 273^4 + • • + П0+ 1)(п4-2) +' •' 2733. * + *3 + ... + 6 эо ‘ 6,г 1 им. 4+i + -" + ^w + -- 2735. 9 4- 225 + + (2Я_Ц2 (2л4-ip + • • * 2736. arctg 2 4- arctg | 4- • • • 4* arctg О3 4- • • Ряды с положительными членами В задачах 2737—2753 вопрос о сходимости данных рядов решить с помощью признаков сравнения. 2737. 4- з~2з + • • • + (2п— 1). 22« 1 +1 ** 2738. sin -4-sm 4 4-...4-sm2(14-...
2739. 2740. 2741. -----1__!--|_ j_________5_____ 2-5T3-6^ ,T fri-H)(n-H) 2,3, , n-f-1 3^8 (zi+2)/i +... 2742. tgj + tg j + ... + tg? +... 2743. 4 + l+,..+;J_ + ... 2744. J + '+...+5L-,+... 2745-и + пл + - + 1^+и+- 2746. ОО У 1 2747. ОО V1 /1 +/12\2 \1 ’ /2^=1 л-—4л + 5‘ п ~ 1 2748. ОО У 7=2=^. 2749. ОО ", /л2+2п п = 1 Г П& 2750. со п = 1 2751. 2/н4т- п = 1 OO 2752. 2 -n л — 1 oo 2753. 2 ~(l^n2 + n+}-]/n2-n+l). n = 1 В задачах 2754—2762 доказать сходимость данных рядов с по ощью признака Даламбера. 2754. 3! +5-( + ••• + (2п-|-|)| + ••• 2755. +22, + ... + ^ + ... 2756. tg J+2tg -J+... + /itg^r + ... 2757. - 4- — + 4- —5 ’'''' ? -1- Z/О/. ] f 1,5-О ••• 4- j ,5. ,...(4п_3) 1 4 п2 2758. з + J 2759 1 I I 1 • 3«... • (2л—1) . 2759. -3 + 3 6 + ...+ 3,, п1 +... 2760. sin j + 4sin j + ...4-n2sin^4-...
2761. 2l!+sU- + (4Tjr + - 2762. A+|23 + ... + <l±21L + ... В задачах 2763—2766 доказать сходимость данных рядов с помощью радикального признака Коши. этез- ТГ2 + тпк + + 1К4+Т)+-- 1 / 9 \2 / и \п 2764. з+(-5.) +... + (^-г) +... 2765. arcsin 1 + arcsin2 ~ + •. • + arcsin" -f-... /_3\4 In + 1 \п» 2766. з +Ц^~+•• + - В задачах 2767—2770 вопрос о сходимости данных рядов решить с помощью интегрального признака Коши. 2767. + 31п23 + • • • + (п+1) 1+ (« + 1) + ''' 2768* 21п2 + 3 1п 3 + • • • + Жг + ’ ‘ • 2769. (^)-+(^)!+...+ш+... 2770. У -U !<-+}. Х^/п «—1 В задачах 2771—2784 выяснить, какие из данных рядов сходятся, какие расходятся. * 2Г2^3ГЗ^(п+1)|/п+1 2772. 1 + + ..:+ + ... 2773. У 2 + j/" 2 "Ь • • • + ~\^Ь • • • 2774. 1 + ^2 + ••• + "' +••• 2775. 2 + |+--- + ж + --- 2776. -Р 2ооГ + • • • + 1000п+ 1 ‘ ‘ ‘ 2777. j р- + ) + • • • + 1 + + + • • • 2773. з + 3 4-.-- + Ж- + -- 2779. arctg 1 + arctg2 -J -h • • • + arctg" .
2780. 2+ J. + . 2781, ПЗ + ёГ7 + • ’ • + (5п —4)(4л—1) + 2782. I + 4 + -- + „-^r + ... 2783. 1 +^ + -.. + ^ + ... 2784*. sin J Ч-sin-J + .,. + sin^ + ... В задачах 2785—2789 доказать каждое из соотношений с по-ющью ряда, общим членом которого является данная функция. 2785. lim"" = 0. 2786. lim^ = 0 (а>1). п-ооя1 П-ОО ап1 2787. lim^- = 0. 2788. lim-^ = 0. п-.со^У- п->со W 2789. lim^- = 0. n-*oo Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость В задачах 2790—2799 выяснить, какие из указанных рядов годятся абсолютно, какие не абсолютно, какие расходятся. 2790. 1 - 1+--+< »"2Д1+- 2791. 1 - Зз+--- + ( О (2п—1)а + ”' 2792. 1 ! I -I / Пп+1 ! 1 In 2 ' 1пЗ 1 1 ( In (п+ 1) + 2793. sin а । sin 2а. , sin па . Т~ 1 4 1 ••• 1 Л2 1 * • • 2794. 1 2 2“ ' 22+ • • •+( 1)Л+1 7F ' 2" + • 2795. 2 - j + ... + (-l)n+1^ + ... 2796. —1 +'--•••+(— 1Г —+••• /2 ' 7 Уп. 2797. 1 2 |+...+ (-l)"+1g + ... 00 OO 2798. 2- .’-it- 2799- 2 (-')«‘ Н — 1 Л = 1
от оо 2800. Показать, что если ряды У, а"п и У, Ь\ сходятся, то и = I п = i on ряд У апЬп абсолютно сходится. ,i = i 2801. Показать, что если ряд У ап абсолютно сходится, то п = 1 V п -4-1 и ряд 7 -----ап также абсолютно сходится. п = 1 § 2. Функциональные ряды Сходимость функциональных рядов сходимости рядов. В задачах 2802—2816 определить области 2802. 1-J-- х + ... ф-х"-|-... 2803. In X + In2 X + .. • + !nnx4-... 2804. л-л2 + ... 2805. * + 2= + • • • + ^2 + • • • 2806. X- + у.4-... F? xri +-4-+... V " 2807. —1—।—!— 1 4- х 1 4- х2 1 ••• 1 ! + *" + ••• 2308. 2х 4~ -j-,., п (п 4-1) х" 4-... 2809. х+-Д-+ 2 2+f2 /Ц-фл 2810. х х- 14-Л2 1 Ч-л-1 хп , 1 ••• 1 i-+x-2,l- + 2811. sin * 4- sin * + • • • + s*n 2’л + •' 281?. xtg *H-X2tg * +... + x-4g < + ... 2813. . sin 2х . . sin пх , smx-4- 22 4-..-+ ni +••• 2814. COS X . cos 2x f . cos nx . ex ~ё^ г • • • 4- enx 4'-“ 2815. е-л'4_е-4лч-...4-е-'!5х4-... 2816. — 4- ДА 4-... 4- n- 4-... ex т е2л 1 • • • Г enx r Равномерная (правильная) сходимость В задачах 2817 — 2820 доказать, что данные ряды равномерно (правильно) сходятся на всей оси Ох.
2817. 1 + ^ + ... + ^Р + ... 2818. У 2819. У 2820. У —?“• [1+ (nx)-J 2я п2 п — 1 п “ 1 /1 = 1 2821. Показать, что ряд + —— + ... ...+Я2_| +• сходится равномерно (правильно) в любом интервале, в котором определена функция <р(х). 2822. Показать, что ряд -Ч-----< 1 - +.. Ч---, +... н м/1+х 2/1+2* равномерно (правильно) сходится на всей положительной полуоси. Сколько нужно взять членов, чтобы при любом неотрицательном х можно было вычислить сумму ряда с точностью до 0,001? 2823*. Показать, что ряд 1пХ+£).+1п<12+2х) +... + |п ^+пх> +... равномерно сходится в полуинтервале 1 + со^х< + оо, где со— любое положительное число. Убедиться, что при любом х из отрезка 2-Cxs-100 достаточно взять восемь членов, чтобы получить сумму ряда с точностью до 0,01. ОО 2824. Показать, что ряд У, хя(1 — х) сходится неравномерно п — 1 на отрезке [0, 1]. 2825. Функция /(х) определяется равенством ОО с/х V COS ПХ fw= 2-то^-п = 1 Показать, что функция /(х) определена и непрерывна при любом х. Найти /(0), /(у) и /(у). Убедиться в том, что для вычисления приближенных значений функции /(х) при любом х с точностью до 0,001 достаточно взять три члена ряда. Найти е указанной точностью /(1) и [(—0,2). 2826. Функция f (х) определяется равенством оо оо 7<*>==Г+^ + jZ 1 + (X+П<В)2 2 1 + (х-п<о)2 /1 = 1 /1 = 1 Показать, что функция/(х) определена и непрерывна при любом х. Убедиться, что f (х) — периодическая функция с периодом со. Интегрирование и дифференцирование рядов 2827. Показать, что ряд х2 + хв +... + х4я~2 +... равномерно сходится на отрезке — 1 -/сог^х^ 1 — со, где о—любое положительное число, меньшее 1. Интегрированием данного ряда найти
в интервале (—1, 1) сумму ряда *4/1 I X4"-1 | 3 -t- 7 -(-••• + 4n__l 2828. Найти сумму ряда 1 . х*п~3 . *+ 5 + 2829. Найти сумму ряда 2830. Функция f (х) определяется равенством f (х) = е~х + 2е-2х 4-... + пе~пх +... Показать, что функция f(x) непрерывна на всей положительна ной полуоси Ох. Вычислить J f(x)dx. 2831. Функция f(x) определяется равенством f (х) = 1 +2 • Зхф-. • •+« • З^х»-14-... Показать,। что функция /(х) непрерывна в интервале (—1/3, 1/3). Вычислить J / (х) dx. о 2832*. Функция /(х) определяется равенством f (х) = ~ tg4- J- tg | ..4-^ tgД4-... jt/2 Вычислить J f(x)dx, предварительно убедившись в том, что л/6 функция / (х) непрерывна в заданном интервале интегрирования, оо 2833*. Функция /(х) определяется рядом f(x)— п — I Показать, что функция f(x) непрерывна на всей числовой оси. 4-00 Вычислить j f(x)dx. о I 2834. Исходя из соотношения dx = , найти сумму ряда: 6 I 1)1-|4-...4 (-И"*1 Зл-2 2) I-1 + ...+ (—1)"+» 4п-3
dx 1 7n4i = ^2n« наити СУММУ 2 2835. Исходя из соотношения \ ряда уу2 4- -gTjj + • • • 4* л. 2« + • • • 2836. Исходя из соотношения Гcos2’xdx-*. (2n—1) (2n —3) 3 • 1 i cos хих- 2 2и (2e —2) •• 4 • 2 наити сумму ряда 2 2-4 ‘ ' 2-4-...-2n 2837. Доказать, что ряд sin 2лх , sin 4лх , , sin 2плх , 2 ' 4 !••• + - 2» г--* равномерно сходится на всей числовой оси. Показать, что этот ряд нельзя почленно дифференцировать ни в каком интервале. 2838. Исходя из равенства 1 4-х4-х24-. • • = fryd* 1< О» про-суммировать ряды 1 4-2х4-Зх24-• • • 4-пх"-14*• •. и 14-3x4-... ... 4~ " - хп~г 4~ • • • и показать, что ряд 1 4-2x4--.. 4-нх"*14-... равномерно сходится на ©трезке [—р, р], где |р|< 1. 2839. Показать справедливость равенства 1 . 2х . , /пл"1-1 . _ 1 1 + X 1+х2 +•••+ 1-рх'П “г— 1 —X ’ где m = 2n~1 и —1 < х < 1. 2840. Убедиться, что функция y = f(x), определяемая рядом уЗ х 4- х2 4- 2р 4* • • • + (п _ f)j~ + • • • > удовлетворяет соотношению ху = =У(х4-1). § 3. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды 2841. Разложить функцию у = 1пх в ряд Тейлора в окрестности точки х=1 (при х0=1). 2842. Разложить функцию = в ряд Тейлора в окрестности точки х= 1. 2843. Разложить функцию у=\/х в ряд Тейлора в окрестности точки х = 3. 2844. Разложить функцию j/ = sin^ в ряд Тейлора в окрестности точки х = 2.
В задачах 2845 — 2849 разложить данные функции в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0 (ряд Маклорена): 2845. у = ch х. 2846. у = х2ех. 2847. у = cos (х4-а). 2848. у = с* sinx. 2849. у = cosxchх. В задачах 2850 — 2854 найти первые пять членов ряда Тейлора для данных функций в окрестности точки х = 0. 2850. у = 1п(1Ц-^). 2851. z/ = ecos*. 2853. у = — Incosx. 2854. у=(14-х)< 2852. i/ = cos”x. В задачах 2855 — 2868 разложить данные функции в окрестности точки х = 0, пользуясь формулами разложения в ряд Мак-лорена функций ех, sinx, cosx, 1п(1+х) и (14-А')"‘. {ех—\ * 1 Г Xs 2858. 2^ при Х=^0, 2859. y = I 1 при х — 0. при х#=0, при х = 0. 2860. z/ = cos2x. 2861. ( sin x У = { x~ при х=/=0, 2862. i/ = (x —tg x)cosx. I 1 при x = 0. 2863. у = In (10 4-х). 2864. i/ = xln(l 4-x). 2865. y = Vl 4- -v2- 2866. y = Z8-x3. 2867. w= L_ 2868. X2 11 — VT-l-хЗ’ J /1 -X2 ’ 1 | д, 2869. Разложить в ряд Тейлора функцию у = - в окрест- ности точки х = 0. Воспользовавшись этим разложением, найти * . 4 . , п2 . сумму ряда 1 4- 2 +•••+ 2^т + ”* 2870. Пользуясь разложением функции в ряд Тейлора, найти значение: 1) седьмой производной от функции г при х = 0, 2) пятой производной от функции у = х2У 14-х при х = 0, 3) десятой производной от функции y = xGex при х = 0, 4) кривизны линии у = 4-х)4—1] в начале координат. В задачах 2871 —2877, пользуясь разложением функций в ряд Тейлора, вычислить пределы: 2871. lim хТ1п.ЧЛ1+.^--Ч. 2872. lim 2-ltgx~4^-^-. Х-.0 л х-0 xi 2873. Х-*0 х
2874. lim Гх —x2lnfl 4-- X —♦ oo L \ % 2876. Iim(4-Cjr9- 2875. 2877. lim -ctg2x). X-+Q \Х / lim - 3Д х-»о \ х Sin X X1/ Интервал сходимости В задачах 2878 — 2889 найти интервалы сходимости степенных рядов. 2878. 10x4- 100№ + ...+ 10яхя4-... 2879. х-^4-... + (-1)и+1^ + --- 2880. х+*+„. + _£, + „. 2881. 14-х4-...4-п!хл4-..- 2882. 1 4-2х24-...4-2”_1х21л-1)4-... уЗ у2/1 ~1 28S3. 2884. 1 + Зх +... + (п - 1) 3"- Ч»-' +... 2885' рг + А+-+«ЙТ)+- 2886. х4-—1-...+^-4-”-При исследовании сходимости на правом конце интервала учесть, что факториалы больших чисел могут быть выражены приближенно формулой Стирлинга: п! ;=« (—j" У2лн. 2887. х4-4х24-... + Мп + --- 2888. ^-х24-^х34-...4-!^±^х,г+14-... Z о /I 1 2889. 2x4-(Jx)4-.- + [(^pJ’ + ..- 2890. Функцию у= 1п(х4-]/ 1 4-*2) разложить в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0, исходя из соотношения X 1п(х4-/Тйй?)= ( -т^= ' s’ И 4-х2 и указать интервал сходимости полученного ряда. 2891. Функцию y=lnj/"[ij разложить в ряд Тейлора вок-
рестности точки х = 0, исходя из соотношения О и указать интервал сходимости полученного ряда. 2892. Функцию у = In [(1 + х)1+*] + In [(1 — х)*~х] разложить в ряд Тейлора в окрестности точки % —0 и указать интервал сходимости полученного ряда. 2893. Функцию у = (\ 4-х)с~х —(1 — х)ех разложить в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0 и указать интервал сходимости полученного ряда. Пользуясь разложением, найти сумму ряда J. _L j________И____L 3! '5! ‘Т(2п +1)! § 4. Некоторые применения рядов Тейлора Вычисление приближенных значений функций 2894. Вычислить приближенное значение Увзяв три члена разложения в ряд Маклорена функции f(x) = ex, и оценить погрешность. 2895. Вычислить приближенное значение sin 18°, взяв три члена разложения в ряд Маклорена функции f (х) = sin xt и оценить погрешность. 2896. Вычислить приближенное значение J/TO = 2]/\25, взяв четыре члена разложения в ряд Маклорена функции /(х) —(1+х)т, и оценить погрешность. В задачах 2897 — 2904, пользуясь формулой разложения в ряд Маклорена функций ех, sinx и cosx, вычислить указанные выражения. 2897. е2 с точностью до 0,001. 2898. Уе с точностью до 0,001. 2899. у с точностью до 0,0001. 2900. с точностью до 0,0001. у е 2901. sin 1 ° с точностью до 0,0001. 2902. cos Г с точностью до 0,001. 2903. sin 10° с точностью до 0,00001. 2904. cos 10° с точностью до 0,0001. В задачах 2905 — 2911, пользуясь формулой разложения в ряд Маклорена функции (1 Ч-х)"1, вычислить указанные корни с точностью до 0,001. 2905. у<3б. 2906. т/Тб. 2907. р<500 . 2908. УМЙ5.
2909. */250. 2910. {<129. 2911. ‘/1027. В задачах 2912—2914, пользуясь формулой разложения вряд Маклорена функции In вычислить выражения. 2912. 1пЗ с точностью до 0,0001. 2913. Ige — с точностью до 0,000001. 2914. Ig5 с точностью до 0,0001. Решение уравнений 2915. Дано уравнение ху-{-ех — у. Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, найти разложение функции у в ряд Тейлора по степеням х. Решить задачу, находя коэффициенты ряда Тейлора последовательным дифференцированием. 2916. Дано уравнение t/ = ln(14-x) — ху. Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, найти разложение функции у в ряд Тейлора по степеням х. Решить задачу, находя коэффициенты ряда Тейлора последовательным дифференцированием. В задачах 2917 — 2919 решить уравнения относительно у (найти явное выражение для у) с помощью ряда Тейлора двумя способами: методом неопределенных коэффициентов и последовательным дифференцированием. 2917. у3 + ху=1 (найти три члена разложения). 2918. 2 sin % +sin у = х — у (найти два члена разложения). 2919. ех — еу = ху (найти три члена разложения). Интегрирование функций В задачах 2920 — 2929 выразить в форме ряда интегралы, используя разложение в ряд подынтегральных функций; указать области 2920. СХОДИМОСТИ С sin х 1 \ ах. J х полученных рядов* 2921. J х 2922. С — dx. J X 2923. С ех < J 2924. ]e~x!dx. 0 2925. X С arctg х , 1 —— dx. J х 0 X х X 2926. С dx 3 2927. $]/1+х3<&. 0 2928. С J 1—X»* 0 2929. ( ±£!—Ljx. о В задачах 2930 — 2934 вычислить приближенные значения определенных интегралов, взяв указанное число членов разложения подынтегральной функции в ряд; указать погрешность.
л/4 2930. f — dx (3 члена). л/б 1/2 2932- S НЬ<2 ,лека)- 1/4 2931. $ e~xidx (3 члена). о 1 2933. j dx (6 членов). од /з/з 2934. х3 arctg xdx (2 члена). о В задачах 2935 — 2938 вычислить с точностью до 0,001 интегралы. 0,2 0,5 0 3 2935. С ^-4-dx. 2936. i a'ctfiх dx. 2937. t x10sin.rdx. .1 * Xх 0 o.i о ° 0.5 2938-1 IT?- X 2939. Показать, что в интервале (—0,1; 0-, 1) функция ^e~xidx о отличается от функции arctg х— 1(j не больше чем на 0,0000001. 2940. Принимая во внимание тождество =4 arctg arctg 229, вычислить л с 10 верными знаками. X 2941. Разложить в ряд Тейлора функцию у = ех2 ^e~x*dx двумя о способами: путем непосредственного вычисления последовательных производных при х = 0 и путем перемножения рядов. 2942*. Вычислить интеграл ^x*dx. о 0,5 2943. Вычислить J esinxdx с точностью до 0,0001, о я/6 _____ 2944. Вычислить $/cosxdx с точностью до 0,001. о Разные задачи 2945. Вычислить площадь, ограниченную линией г/2 = х3ф-1, осью ординат и прямой х= 1/2, с точностью до 0,001. 2946*. Вычислить площадь овала х* + у* = 1 с точностью до 0,01.
2947. Вычислить длину дуги линии 25//2 = 4х5 от острия до точки пересечения с параболой 5у = х2 с точностью до 0,0001. 2948. Вычислить длину одной полуволны синусоиды у = sinx с точностью до 0,001. 2949. Фигура, ограниченная линией у — arctgx, осью абсцисс и прямой х=1/2, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела вращения с точностью до 0,001. 2950. Фигура, ограниченная линиями у3 — х3=1, 4г/ + х3 = 0, прямой у — 1/2 и осью ординат, вращается вокруг оси ординат. Вычислить объем тела вращения с точностью до 0,001. 2951. Вычислить с точностью до 0,001 координаты центра масс дуги гиперболы у — 1/х, ограниченной точками с абсциссами = 1/4 и х2 = 1/2. 2952. Вычислить с точностью до 0,01 координаты центра масс криволинейной трапеции, ограниченной линией y~^L~t прямыми х=1,5 и х = 2 и осью абсцисс.
ГЛАВА X ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. Функции нескольких переменных 2953. Выразить объем z конуса как функцию его образующей х и высоты у. 2954. Выразить площадь S треугольника как функцию его трех сторон х, у, г. 2955. Составить таблицу значений функции z = 2x — 3//4-1, давая независимым переменным значения от 0 до 5 через единицу 2956. Составить таблицу значений функции г = У х2-|-у2, давая независимым переменным значения от 0 до 1 через 0,1, Значения функции вычислять с точностью до 0,01. 2957. Найти значение функции: П /arctg (х+г/)\2 1—/3. 2 — karctg(х—ПРИ Х---------Г>»—Г' 2) z = esin(x+*') при x = t/ = ^-; 3) z = у*2-’4-х»’-1 при х = 2, у = 2; х — 1, у = 2; х = 2, у = 1. 2958. Дана функция ,л ф (-«) Ф (У> — Ф (•*:) <р (г/) *• ’ У' (р(ху)^(ху) Найти F (а, 1/п). В частности, положить <p(u) = u3, ф(и) = и2 и подсчитать F (а, 1/сг). 2959. Дана функция F (х, у) = ух —ху. Если х и у меняются с одинаковой скоростью, то какая функция при х = 3, у = 2 растет быстрее: та, которая получается из F при фиксированном у (меняется только х), или же та, которая получается при фиксированном х (меняется только у)? 2960. Дана функция Ц-|-2 <р(х, у, z) = y2 — (z/cos 2 4-г cos у) х 4-х^-2.
Переменные у и г сохраняют фиксированные значения у0 и z0, причем t/0 = 3z0. Что представляет собой график функции и = = ф(х> Уо, 2о)? Является ли <р(х, у, z): 1) рациональной функцией от у, от г; 2) целой функцией от х? 2961*. Функцию z = f(x, у), удовлетворяющую тождественно соотношению f (тх, ту) = mkf (х, у) при любом т, называют однородной функцией й-го порядка. Показать, что одно-родная функция k-ro порядка z = f(x, у) всегда может быть представлена в виде z=xkF(J~). 2962. Однородность функции любого числа независимых переменных определяется аналогично функции двух переменных: например, /(х, у, г)— однородная функция А-го порядка, если f (тх, ту, тг) = nikf (х, у, г) при любом т. Также имеет место свойство f(x, у, z) = x*F^, 4); доказать его. 2963. Проверить, что функция z = F(x,y) — xy удовлетворяет функциональному уравнению F(ax + bu, cy + dv) = acF(x, y) + bcF(u, y)-\-adF(x, v) + bdF(u, v). 2964. Проверить, что функци я z = F (x, у) = In x In у удовлетворяет функциональному уравнению F(xy, uv) = F(x, u) + F(x, v) + F(y, u) + F(y, v) (x, y, u, v положительны). r2 n2 j2 2965. Из уравнения + ^2-+1 определить г как явную функцию х и у. Будет ли функция однозначной? 2966. Дана сложная функция г = и\ где и = х-)-у, и = х — у. Найти значение функции: 1) при х = 0, у=\\ 2) при х=1, у=1; 3) при х = 2, у = 3; 4) при х = 0, // = 0; 5) при х = —1, у = —1. 2967. ? — н v = w~*, и> = ]/х-(-у, t — 2(x — y). Выразить z непосредственно в виде функции от х и у. Является ли z рациональной функцией от и и v; от w и i; от х и у? 2968. Дана сложная функция z = u®4-a>“4®, где и — х-]-у, и = х — у, w — xy. Выразить z непосредственно в виде функции от х и у. 2969. и = (g 4- т])2 — £3 — т]3, В = е 1] = — <0 = In (х2+у14- г2), ф = 2 In (х 4- у 4- г). Выразить и непосредственно
в виде функции от х, у и г. Является ли и целой рациональной функцией от | и я; от со и <р; от х, у, г? 2970. Сложную функцию г-\^-ху+уч) представить в виде «цепочки» зависимостей из двух звеньев, 2971. Исследовать методом сечений график функции 2 = = (х2—у2). Что представляют собой сечения плоскостями х=const; у = const; z = const? 2972. Исследовать методом сечений график функции z = xy. Что представляют собой сечения плоскостями х = const; у — const; г = const? 2973. Исследовать методом сечений график функции z = y2 — х3. 2974. Исследовать методом сечений график функции г3 = ах2 + by2 (а>&, &>0). § 2. ПроёТейши# свойства функции Область определения 2975. Область ограничена параллелограммом со сторонами у = 0, у = 2, у = 2 х, //== — 1; граница параллелограмма исключается. Задать эту область неравенствами. 2976. Областью служит фигура, ограниченная параболами у = х2 и х — у2 (включая границы). Задать эту область неравенствами. 2977. Записать с помощью неравенств открытую область, являющуюся правильным треугольником с ^ершиной в начале координат, со сторонами, равными а, причем одна из них направлена по положительной полуоси Ох (треугольник лежит в первом квадранте). 2978. Область ограничена бесконечным круглым цилиндром радиуса R (границы исключаются) с осью, параллельной оси Oz и проходящей через точку (а, Ь, с). Задать эту область с помощью неравенства. 2979. Записать с помощью неравенства область, ограниченную сферой радиуса R с центром в точке (а, 6, с) (включая границу). 2980. Вершины прямоугольного треугольника лежат внутри круга радиуса R. Площадь S треугольника является функцией его катетов х и у: S = <p(x, у). Какова область определения функции S = ф(х, у). 2981. В шар радиуса R вписана пирамида с прямоугольным основанием, вершина которой ортогонально проектируется в точку пересечения диагоналей основания. Объем V пирамиды является
функцией сторон х и у ее основания. Будет ли эта функция однозначной? Составить для нее аналитическое выражение. Найти область определения функции. 2982. Квадратная доска состоит из четырех квадратных клеток; двух черных и двух белых, как указано на рис. 57; сторона каждой из них равна единице длины. Рассмотрим прямоугольник, стороны которого х и у параллельны сторонам доски и один из углов которого совпадает с черным ее углом. Площадь черной части этого прямоугольника будет функцией от х и у. Какова область определения этой функции? Выразить эту функцию аналитически. В задачах 2983 — 3002 найти области 2983. 2984. 2985. 2986. 2987. определения функций. z = Рис. 57 • У~ 1 z = arcsin 2-^—. 2=ln {у2-4x4-8). _ 1 Z — R^-x--y 2988. 2989. 2 = 1пх//. 2990. z = Yх-Ку. 2991. г = arcsin _[_arcsec (х24-у2). 2992. г = : 2993. z = VX1>+'iXYl In (1— л-—у2) V x2 — 2x±y2 2994. 2995. 2997. 2999. 3001. 3002. 2 = xy In 4- Vx2+y2-R2. z = ctgn (x + y). 2996. z = ]/sin л(х24-//2). z = ]/x sin у. z=ln|xln(y-x)}. ___1.1.1 U Vx V у Vz' и = У — X2 — yl — 2s 2998. z= Inx —Insiny. 3000. z = arcsin[2y (1 4-x2) — 1]. Yx2 + y2+z2-r^ Предел. Непрерывность функции В задачах 3003 — 3008 вычислить пределы функций, полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям.
3003. lim г________-— »-0 3005. Iim Л-+0 1 , р х2 + у* 3007. lim— х-о х*+у* р->0 3004. lim^2j-‘o-1. х—>0 *Л + У~ у—О ж». у-0 I 3008. lim (1 +х2уг) х2 + и\ х — 0 у-0 3009. Показать, что функция и = ^~~ при х->0, у->-0 может стремиться к любому пределу (в зависимости от того, как стремятся к нулю хну). Привести примеры таких изменений х и у, чтобы: а) Нтм=1; б) lim и = 2. 2 ЗОЮ. Найти точки разрыва функции 2 = Как ведет себя функция в окрестности точки разрыва? ЗОН. Найти точки разрыва функции г = —^---------?—. г Sin- лх4~ Sin2 пу 3012. Где будет разрывна функция z= х. у 3013. Где будет разрывна функция z — -.------1- -U—? sin тгх sin лу 3014. Где будет разрывна функция z = 3015*. Исследовать непрерывность функции при х = 0, у = 0: О Z(x.f/) = ^r. /(0,0)=0; 2)f(x,y) = -^, /(0,0)=0; 3)f(x,y) = j^, f(P, 0) = 0; 4) /(х, y) = j^~, f(0, 0)=0; 5)/(х, У) = ^. f(0, 0) = 0; 6)f(x,y) = ^-, /(0, 0)=0. Линии и поверхности уровня 3016. Дана функция z = f (х, = Построить линии уровня этой функции для z=l, 2, 3, 4. 3017. Функция г = /(х, у) задана следующим образом: в точке Р (х, у) ее значение равно углу, иод которым виден из этой точки данный в плоскости Оху отрезок ЛВ. Найти линии уровня функции / (х, у). В задачах 3018 — 3021 начертить линии уровня данных функций, придавая z значения от —5 до ф-5 через 1. 3018. z = xy. 3019. z — xry-X-x. 3020. г=г/(х2+1). 3021. z = ^=^-.
3022. Построить линии уровня функции г=(х2-|-г/2)2 — 2(х2 — г/2), придавая z значения от —1 до 3/2 через 1/2. 3023. Построить линии уровня функции z, неявно заданной уравнением [(х — 5)2 + //2] = (д)г[(*4-5)2 + г/2], давая z значения от —4 до 4 через единицу. 3024. Построить линии уровня функции z, заданной неявно уравнением z/2 = 2_-(х —z), давая z значения от —3 до 3 через I. 3025. Найти линии уровня функции z, заданной неявно уравнением z + xlnz + у — 0. 3026. В пространстве дана точка А. Расстояние переменной точки М от точки А есть функция координат точки М. Найти поверхности уровня этой функции, соответствующие расстояниям, равным 1, 2, 3, 4. 3027. Функция и = [ (х, у, г) задана следующим образом: в точке Р (х, у, г) ее значение равно сумме расстояний этой точки от двух данных точек А (хь г/ь Zi), В (х2, yit г2). Указать поверхности уровня функции f (х, у, z). 3028. Найти поверхности уровня функции u„lnL±Kg±g±g. I — у х2+{/2+г« х2-1- и2 3029. Найти поверхности уровня функции и = —-—. 3030. Найти поверхности уровня функции: ]) ы = 52х+3у-г, 2) ц = tg(x2 + «/2 —2г2).
3031. На рис. 58 изображены'линин уровня функции z=f(x, у). Построить график функции: 1) z=f (х, 0); 2) z = /(x, 4); 3) z = у}\ 4) 2 = /(—5, у)\ 5) z = /(x, Зх); 6) z = /(x, х2). § 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных Частные производные 3032. Объем газа v является функцией его температуры и давления: v = f(p, Т). Средним коэффициентом расширения газа при постоянном давлении и изменении температуры от 1\ до 7\ называют выражение — . Что следует назвать коэффициен- том расширения при постоянном давлении при данной температуре^? 3033. Температура в данной точке А стержня Ох является функцией абсциссы х точки А и времени t: 8 = /(х, t). Какой физический смысл имеют частные производные и Ц? 3034. Площадь S прямоугольника выражается через основание b и высоту h формулой S = bh. Найти и выяснить геометрический смысл полученных результатов. 3035. Даны две функции: u = ]f а2 — х2 (а — постоянная) и ^ — Уу^ — х1. Найти и Сравнить результаты. В задачах 3036 — 3084 найти частные произюдные денных функций по каждой из независимых переменных (х, у, z, ut v9 tt «риф — переменные): 3036. z = х — у. 3037. z = х'у — ух. 3038. Ъ = ‘-\-bt (а, b 3039. z - 11 -F v . с' ‘ и 3041. z = (5x2y-if + 7)3. 30 13. 2 = In (.t + /х2 + у*). 3045. г = —!— arcl£ ;-х 3047. z=ln(x- + y2). . г х2 — и'1 3049. г —arcsin ’ — О2тУ2 постоянные). 3040. 2 = л Г” у 3042. z = .<1/// + -#-. г * 3044. 2 = arctg х . У 3046. z = x'J. 3048. z = ln1<YL~^-—. Г хЧ !/Чх 3050. 2=lntg —. У
3051. z = 3052. z= In (x + In y). 3053. . п + ш и = arctg —-—. ° V — w 3054. z = sin —cos~. У x 3055. ! 1 \У/х Z~vS) • 3056. z = (l+xy)‘J. 3057. z = xz/ln(x + {/). 3058. z = xx". 3059. и = хуг. 3060. u = xy-}-yz-\-zx. 3061. u = yx* + y* + z2. 3062. u = x3 + yz2 + 3yx — x + z. 3063. w = xyz 4- yzv + zvx + vxy. 3064. и = e* с*2+у2 +z!). 3065. u = sin(x2-|-y24-z2). 3066. н = 1п(х + у+г). 3067. u = xz. 3068. и = x»z. 3069. / (х, у) = х + у — '/х2 + У2 в точке (3, 4). 3070. z=ln(x + ^) в точке (1, 2). 3071. г = (2х + у)2х 3072. г = (1 + logy х)3. 3073. z = хуеЛа 3074. z = (x2 + z/2) 1-У х2+у\ 3075. z = arctg 3076. z = 2j/^^. 3077. z = In [xy2 + z/x2 + ]/1 + (xy2 + yx2)2]. 3078. z = l/" 1 — (^i^y + arcsin-^i^-. Г \ xy ) 1 xy . . . arctg — — 1 3079. z = arctg(arctg-y-) — v------£-------arctg V x) 2 arctg £+1 3080. «=(-x2.Hyfe2 + 22)2. 3081. и = arctg (x-y)‘. 3082. u = (sinx)iiz. 3083. tz = In 1zlL*2+^.+£. ' Ц-^хЧ-</3~Н2 3084. w = tg2 (x2y2 + z2u2 — xyzv) + In cos (x2y2 + z2u2 — xyzv). 3085. cos(<p —2^) cos (tp + 24) »» « dtt I Иаити (f = л/4 1|3 = Л 3086. u = Vaz3 — bt3. Найти ~ и при z = b, t = a. 3087. X COS j/ — I/ COS X 1 -f- sin x+ sin у ту u dz dz л Наити и при x=z/ = 0. 3088. и = ]/sin2x-J-sin2y-\-sin2z. Найти du dz x-o' y=o 2 = Л/4
3089. u = hi(l + x + y2 + z*). Найти их^иУ + и2 прих=#=2=1. 3090. /(х, у) = х3у — у3х. Найти дх ' ду df_ . д± дх ду 1 2 х у 3091. Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к линии 2 — х'-+у', у=4 в точке (2, 4, 5)? 3092. Какой угол образует с положительным направлением оси ординат касательная к линии г = У \ +х2 + уг, х=1 в точке (1, 1. КЗ)? 3093. Под каким углом пересекаются плоские линии, получающиеся в результате пересечения поверхностей z=x2-|-^- и 2 = плоскостью у = 2? 3 и Дифференциалы, Приближенные вычисления В задачах 3094 — 3097 найти частные дифференциалы данных функций по каждой из независимых переменных. 3094. г = ху’-3х2у2 + 2у4. 3095. г =/х2 + у2. 3096. 2 = ^^. 3097. и = In (х3 + 2у* - г3). 3098. г — У~х-\-у2. Найти dyz при х = 2, у = 5, Ду = 0,01. 3099. г — У1пху. Найти d*z при х=1, у = 1,2, Дх = 0,016. 3100. и — р — ~ + Ур+д+г. Найти dpu при р = 1, 0 = 3, г = 5, Др = 0,01. Р В задачах 3101—3109 найти полные дифференциалы функций. 3101. ^=xV-xy + x4y2. 3102. z= J 1п(х2Н-у2). 3103. 2 = —3104. г = arcsin—. х—у У 3105. z = sin(xy). 3106. г = arctg 1 Ху 3107. г = 3108. z = arctg (ху). 3109. и = №г. Применения к вычислениям 3110. Найти .значение полного дифференциала функции г=> = х Ц-у — |z X"-j-у2 при х = 3, у = 4, Дх = 0,1, Ду = 0,2. 3111. Найти значите полного дифференциала функции z=exy при х=1, у= 1, Дх = 0,15, Ду = 0,1.
3112. Найти значение полного дифференциала функции 2 = при х = 2, //= 1, Дх = 0,01, Д// = 0,03. 3113. Вычислить приближенно изменение функции z = x—^ при изменении х от ^ = 2 до х2 = 2,5 и // от уг = 4 до z/2 = 3,5. 3114. Вычислить приближенно In (j/ 1,03 ± 0,98 — 1). 3115. Подсчитать приближенно 1,042 02. 3116. Найти длину отрезка прямой х = 2, у = 3, заключенного между поверхностью z = х2 ± у2 и ее касательной плоскостью в точке (1, I, 2). 3117. Тело взвесили в воздухе (4,1 ±0,1 Н) и в воде (1,8±0,2 Н). Найти плотность тела и указать погрешность подсчета. 3118. Радиус основания конуса равен 10,2 ±0,1 см, образующая равна 44,6 ±0,1 см. Найти объем конуса и указать погрешность подсчета. 3119. Для вычисления площади S треугольника по стороне а и углам В, С пользуются формулой е__ t 2 sin В sin С sin (5 +С) ’ Найти относительную погрешность 6$ при вычислении S, если относительные погрешности данных элементов равны соответственно бл, 6д, бс- 3120. Сторона треугольника имеет длину 2,4 м и возрастает со скоростью 10 см/с; вторая сторона длиной 1,5 м уменьшается со скоростью 5 см/с. Угол, заключенный между этими сторонами, равный 60°, возрастает со скоростью 2° в секунду. Как и с какой скоростью изменяется площадь треугольника? 3121. В усеченном конусе радиусы оснований равны R = 30 см, г =20 см. высота h = 40 см. Как изменится объем конуса, если увеличить R на 3 мм, г на 4 мм, h на 2 мм? 3122. Показать, что при вычислении периода Т колебания маятника по формуле __ = (/ — длина маятника, g —ускорение силы тяжести) относительная погрешность равна полусумме относительных погрешностей, допущенных при определении величин I и g (все погрешности предполагаются достаточно малыми). 3123. Выразить погрешность при вычислении радиуса г дуги АВ (рис. 59) окружности по хорде 2s и стрелке р через погрешности ds и dp. Вычислить dr при 2s= 19,45 см ±0,5 мм, р=3,62см±0,3 мм.
§ 4. Дифференцирование функций Сложная функция*) '3124. и — ех 2у, x — sint, y = t3; -п- = ? а ’ dt •3125. и — z24-У2 + zy, z = sin/, y = et; ^- = ? 3126. г — arcsin (х — у), x = 3t, y = 4t3; =? at 3127. z = x2y — y2x, x = ucosv, y = usinv; = ? -^ = ? *3128. z = xstny, x=“ , y = 3u — 2v; f-= ? 3129. «= In ?- = ? Найти если y = x3. OX CfX, .3130. z = arctg (xy); найти если y — ex. 3131. H = arcsin*-, г = Уx3-\- 1; -^ = ? . 3132. z = tg (3/ 4- 2x2 - y), x = -J , у = Vi; * - ? 3133. » = y=asinx. z = cosx; g- = ? 3134. z = ?^££.te+/+-^ . dz = , х + У ’ ' 3135. г = (х3 + у’-)е^-, g = ? *=? d2 = ? 3136. z = f(x2-y2, ехУу, g = ? g = ? 3137. Показать, что функция z = arctg*f где x = u-\-vt tj=z dz . dz и - и = u — v, удовлетворяет соотношению ~ = -г-—7. ’ J r du ‘ du U'-Hz2 3138. Показать, что функция z = ср (я2 4-г/2), где (р(н) —диффе-. dz dz л ренцируемая функция, удовлетворяет соотношению = 3139. u = sin х Ч-F (sin//— sin аг); убедиться, что ^-cosx4-4- ~ cos у = cos х cos z/, какова бы нн была дифференцируемая функция F. 3140. убедиться, что J + какова бы ни была дифференцируемая функция /. ♦) Начиная с этого раздела и до конца главы X нумерация задач в настоящем издании отличается от нумерации 9 го и более ранних изданий.
3141. Показать, что однородная дифференцируемая функция нулевого порядка z = F^~) (см. задачу 2961) удовлетворяет соот- дг . дг п ношению х^- + уду = 0. 3142. Показать, что однородная функция k-ro порядка и = e=xbF(^; где F —дифференцируемая функция, удовлетворяет ди , ди . ди . соотношению + + ; =««• 3143. Проверить предложение задачи 3142 для функции и — * ”1“ У2 = X5SIP.— х- 3144. Дана дифференцируемая функция f (х, у). Доказать, что если переменные х, у заменить линейными однородными функциями от X, У, то полученная функция F (X, У) связана с данной функцией соотношением df ,df _xdF уд^ хдх + уду~Л дХ + Y dY ’ Неявно и параметрически заданные функции du л производную от функции, за- В задачах 3145—3155 найти данных неявно. 3145. x3y-tfx = a\ 3147. хеу-\-уех — еЛ!/ = 0. 3149. sin (ху) — еху — х2у = 0. 3151. ху — \пу — а. 3153. ух2 = еу. 3146. х2у2-х4-^ = а1. 3148. (х2 + у2)2 - а2 (х2 - у2) = 0. 3150. х2'3 + у2/3 = а2/2. 3152. arctg — -- =0. ь а а 3154. уех + еУ = О. 3155. ух = хУ. 3156. F (х, y) = F (у, х). Показать, что производная от у по х может быть выражена с помощью дроби, числитель которой получается из знаменателя перестановкой букв у и х. 3157. х2-|-1/2 — 4х — 10у-|-4 = 0; найти при х = 6, у = 2 и при х = 6, у = 8. Дать геометрическое истолкование полученных результатов. 3158. xiy-]-xyi — ах2у2=а5; найти при х = у = а. 3159. Доказать, что из х2у2 + х2 + у- — 1 = 0 следует + _^_ = о 3160. Доказать, что из а-[-Ь(х-\-у)-\-сху = т(х —у) следует dx ______ dy a-t-2bx~i~cx‘2 a-^^by-^cy'1*
дг . дг __ дх ‘ ду~ * 3161. 5 + € +?=? g = ? а2 1 о2 с2 дх ду 3162. x2-2z/24-z2~4x4-2z-5 = 0; 3163. z3 + 3xyz=a\ g = ? g = ? 3164. е* —xyz = 0; g = ? g = ? 3165. Показать, что, какова бы ни была дифференцируемая функция (р, из соотношения <p(cx — az, cy — bz) — 0 следует dz . - дг а + b v- = о, дх ‘ ду 3166. F (х, у, z) = 0. Доказать, что дх ду___. ду дг дх____ . ду дх ’ дг ' дх ‘ ду ‘ 3167. Найти полный дифференциал функции z, определяемой уравнением cos2 х 4- cos2 у 4- cos2 z = 1. 3168. Функция z задана параметрически: x = u + v, у —u — v, 2-= им. Выразить z как явную функцию от х и у. 3169. х = и + р. l/ = «24-fz. z = и3 4- о3 функцию от х и у. 3170. x = wcosv, y = Msiny, z — kv. функцию ОТ X и у. В задачах 3171—3175 выразить dz 1 функций, заданных параметрически. 3171. 3172. . Выразить z как явную Выразить z как явную через х, у, z, dx и dy от иа+сД иа—к2 X = —J , у = —2—, г==но. х = ]Лг (sin ы + cos а)» У~Уа (cos и —sin о), г — 1 -f-sin (u—v). X — u + v, y=u — v, г = и2и*. x — ucosv, y = usinv, z — u%. x = v cos и — и cos и + sin и, у = v sin и — и sin и — cos и, 3173. 3174 3175. z — (и — и)а. 3176. x = e“cost*, z/ = e“sinu, z = «f. Выразить dz через и, и, dx и dy. 3177. Соотношения u—f(x, у), v = F(x, у), где f и F —дифференцируемые функции х и у, определяют хну как дифференцируемые функции от и и v. Доказать, что /ди ди_ди ду\ /дх ду _дхду\_ \дхду дудх)\диди ди ди) 3178. и и v являются функциями х, у, 2, удовлетворяющими соотношениям iro=3x —2y4-z, o3 = x2-]-y24-z2. Показать, что ди , ди . ди п Хй + ^ + 2£ = °*
3179. Пусть y=f(xt /), F(x} yt /) = 0. Проверить, что д/ dF_ _ df d_F~ dy__dx dt dt dx dx df dF dF didy^dt 3180. Пусть f(x, у, г) = 0, F(x, у, г) = 0. Проверить, что df dF df dy__ dx dz dx dz dx~ ~ (fdF _ 0F dF dy dz dy dz § 5. Повторное дифференцирование 3181. г = Xs4-xy2-5ху*4-. Показать, что 3182. z=xy. Показать, что Д = ^. 3183. z = e*(cosy + xsin//). Показать, что 3184. z=arctg Показать, что В задачах 3185—3192 найти и от данных функций. 3185. г = уУ (x24*l/2)3- 3186. г=1п(х4-]/’х24-у2). 3187. г = arctg, +^. 3188. z — sin2 (ax 4- by). 3189. 2 = ^. 3190. z = ^ x+y 3191. z = yiax. 3192. z = arcsin (xy). Я2// 3193. и = ]/ x2 4- у2 4- z2 — 2xz; OU. dydz 3194. 2 = ех^г. . 2 e ’ dx2 dy = ? 3195. г = 1п(х24-*/2); ^ = ? 3196- 2 = sinxi/; 5^ = ? 3197. w = e*y*-, = ? 3198. v = x”‘yW. = ? 3199. 2 = ln(ex4~£y): убедиться, что ^4-^=1 и что d2z &z _ / &z \2 __ q . d^ti . д2и л 3200. u = ex(xcosi/-iysin4/); показать, что + = 320L u = lnF^^: токазатЬ1 что S + |^=o-F * ”Г zf
3202. и = : показать, что ~ ф- ^4 4- ~ = 0. ух-^уг^гг' ’ дх1 1 ду2 1 дг2 3203. r = V^ + y2 + 22; показать, что &f_ &r _ 2 д2 (In г) . д2 (tn г) . d2(lnr) = 1 дх'2 ' ду2 ' dz2 г * дх2 ' ду2 ’ дг? г2 * 3204. При каком значении постоянной а функция v = х3+ахц* д^и , д2и удовлетворяет уравнению = 0? олле У д2г 9 д2г 3205. z~ .. ъ; показать, что у2~а2х2’ ’ дх2 ду2 3206. + + показать, что (9+ . d2v . d2v , n / d2v . d2v . d2v \ _ ~ dx2 + dy2 + dz2±Z \dxdy + dydz + dzdi) “Ue 3207.. z =7 (x, y), l = x + yt t] = x — y\ проверить, что _ d*z = 4 d~z dx2 dy2 3208. v = x In (x-f-г) где r2 = x2 + у2\ показать, что d‘2v . d^v _ 1 dx2 *" ^2 ~~ 7+7' 3209. Найти выражение для второй производной от функции у, заданной неявно уравнением f (х, у) = 0- 3210. у = (р(х — at) + $(x + at). Показать, что = каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции <р и ф. 3211. н = <р(х) + ф(у) + (х — у)ф' (у). Проверить, что _________________________ д?и ____ди У> tody “ ду (Ф и ф —дважды дифференцируемые функции). 3212. z = у<р (х2 - у2). Проверить, что ~ + у || = (<р - диф- ференцируемая функция). 3213. г = хф(х + у) + уф(х4-у). Показать, что SPr о , д2г п дх2 дхду^ ду2 ~ и (Ф и ф-дважды дифференцируемые функции). 3214. и = у [ф (ах + у)+ф (ах —у)]. Показать, что ' _ а2 д (,,^аи\ дх2 у2 ду ду) *
a = y[<p(x — 1/)4-ф(*Ч-*/)]- Показать, что ±Лсг<3“'|_г2<52“ dx\ дх) ~л dyi‘ и — хеу-\-уех. Показать, что д^и । д3и__д3и f ti д3и дх3 ду3 * дх ду2 У дх2 ду9 и = еху~. Показать, что д3и д2и . п ди , дх ду дг J дхду 1 дх 1 а = 1п —x^J , Показать, что &и_ . д3и___________д3и д3и / 1 1 \ дх3- * дх2 ду дх ду2 ду3 \у3 х3) • В задачах 3219—3224 от данных функций. 3219. 3221. 3223. 3225. 3226. 3227. 3228. z3-3xyz = a3; d‘2z = ? 3229. Зхау? 4" 2z3xy — 2/"№ 4-4ZI/3 — 4 = 0. Найти d2z в точке (2. 1, 2). 3215. 3216. 3217. 3218. найти дифференциалы второго порядка г = хуг— хгу. _ 1 г~2(х^уТ г = ехУ. z = sin (2x-f-y). Найти d3z в точках (0, л), (—л/2, л/2). и = sin(х4-t/4-z); d2u = ? — 4- — 4- — — 1 • dez — > tfl + T cz — *. az—. 3220. 3222. 3224. z = ln (х-у). z = xsin2 у. и — хуг. Замена переменных 3230. Преобразовать дифференциальное выражение полагая х—1/t. 3231. Преобразовать дифференциальное выражение х2у" - 4ху' 4- у, полагая х = <?г. 3232. Преобразовать дифференциальное выражение (1-^)^-^' + »!/. полагая х— sin t. 3233. Преобразовать дифференциальное выражение у, считая у независимой переменной, х —функцией от нее.
3234. Преобразовать выражение у'у'" — Зу"2, принимая за независимую переменную у. 3235. Преобразовать выражение уу” — 2 (/ + у'2) к новой функции v, полагая y = 'v - 3236. Преобразовать к полярным координатам уравнение dy — *+# dx х — у' связаны с декартовыми формулами х=з пРе°бразовать к полярным коор- Полярные координаты = pcos<p, у = рsin<р. 3237. Выражение k динатам р, ф. 3238. Функция г зависит от х, у. В выражении У^~Х^ сделать замену независимых переменных с помощью формул X =: = a cos и; z/ = wsintr. з2и 3239. Оператор Лапласа 4- преобразовать к полярным координатам. д2? д22 3240* Выражение -f- преобразовать к полярным координатам, считая, что 2 = со (р) зависит только от р и не зависит от ф. 3241. В выражении + + независимые перемен- ные х и у заменить переменными и в у, а функцию z — переменной ау, полагая, что эти переменные связаны соотношениями х = u-}-v и — V и2 — и2 ---^-,У=—г2 = —----------и. 4
ГЛАВА XI ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких переменных Формула Тейлора 3242. f(x, у) = х3 2g3 — ху; разложить функцию /(x-f- Л, у 4-^) по степеням Л и k. 3243. f(x, у) = х34-у® — &ху — 39%4- 18у4-4; найти приращение, которое получает функция при переходе независимых переменных от значений х = 5, у = 6 к значениям x = 5-^-h, у — 6-^k. 3244. f(x, = — ух3 + ^~ — 2х-гЗу — 4; найти приращение, которое получает функция при переходе независимых переменных от значений х=1, у = 2 к значениям x=l-\-h, y = 2-\-k. Ограничиваясь членами до второго порядка включительно, вычислить /(1,02; 2,03). 3245. f(x, у, г) = Ах3 4- Btf Ц-Сг2 4- Dxy 4- Еуг 4- Fzx; разложить f(x + h, y + k, z + l) по степеням h, k и I. 3246. Разложить 2 = sinx sin у по степеням х — и у— %-. Найти члены первого и второго порядка и R2 (остаточный член второго порядка). 3247. Функцию г = ху разложить по степеням х — 1, у —1, найдя члены до третьего порядка включительно. Использовать результат для вычисления (без таблиц!) Zi=l,ll>02. 3248. f(x, y) = exsiny; разложить /(x4-/i, y-{-k) по степенямh и k, ограничиваясь членами третьего порядка относительно h и k. Использовать результат для вычисления г1 = е0-1 sin 0,49л. 3249. Найти несколько первых членов разложения функции exsiny в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0). 3250. Найти несколько первых членов разложения функции е* 1п(1 4-у) в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0). В задачах 3251—3256 разложить в ряд Тейлора при Хо = 0, Уо = О данные функции. 3251. z = -j-!——. 3252*. 2 = arctg . 1— х — у + ху 3253. z = In (1-х) In (1-у). 3254. z = fairly»..
3255. 2 = s i п (х2 + у2). 3256. z = ех cos у. 3257. Найти несколько первых членов разложения по степеням х— 1, у—1 функции г, заданной неявно уравнением г3 + yz — ху2 — х3 = О и равной единице при х=1, у=1. 3258. Получить приближенную формулу COS X । 1 I л п. ---«й 1 — -6 (х2 — у2) cos у 2 ' J ' для достаточно малых значений |х|, |у|. Экстрему мы В задачах 3259—3267 найти стационарные точки функций. 3259. z = 2x34-xy24-5x2 + y2. 3260. z = е2х (х + у2 + 2у). 3261. г = ху(а —х —у). 3262. z = (2ах — х2) (26у — у2). 3263. z = sin х +sin y-f-cos (х + у) (0«^х<л/4, 0 <у <л/4). 3264. z = . 3265. z = у+ %П+? V 1+х- + у2 3266. и = 2х2-|- у2 4- 2г — xy — xz. 3267. и = 31пх + 2 1пу + 5lnz + In(22 — х — у — г). 3268. На рис. 60 изображены линии уровня функции г = = / (х, у). Какие особенности имеет функция в точках А, В, С, D и на линии ЕЕ? 3269. Функция г задана неявно: 2х2 + 2у2 4*г2 + 8xz — г 4-8 = 0. Найти ее стационарные точки.
3270. Функция г задана неявно: 5х2 + 5уг 4- 5г2 — 2ху — 2xz — — 2уг — 72 = 0. Найти ее стационарные точки. * 3271*. Найти точки экстремума функции z=2xy — Зх2 — 2z24~10. - 3272. Найти точки экстремума функции z = 4(x — у) — х2 — у2. 3273. Найти точки экстремума функции г = х2 + ху + у2 + 4- х — у 4-1. аз (А 3274. Убедиться, что функция z = х2 4-*У + */2 4~ - + — имеет а у минимум в точке х = у = у 3 __ _ ________________ •3275. Убедиться, что при х = ]/2, у=у2 и при х =—у2, у =—]/2 функция г = х44-у4 — 2х2 — 4ху-2у2 имеет минимум. 3276. Убедиться, 1 . t. л ' л — бху —39x4-18//4-20 имеет минимум. 3277. Найти стационарные точки функции г = х3у2 (12 — х — у), удовлетворяющие условию х> О, у>0, и исследовать их характер. 3278. Найти стационарные точки функции z = x34-y3 — Зху и исследовать их характер. что при х = 5, у=6 функция г = х34-у2 — Наибольшие и наименьшие значения 3279. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г — = х2 — у2 в круге х2 4- у2 4. 3280. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = = х24-2ху — 4х4-8у в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, у — 0, х = 1, у = 2. 3281. Найти наибольшее значение функции z = x2y(4 —х —у) в треугольнике, ограниченном прямыми х = 0, у = 0, х4-у = 6. 3282. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = e~*a-"a(2x2 + 3y2) в круге х24-у2<4. 3283. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = sinx4-siny4-sin(x4~y) в прямоугольнике 0^х=Сл/2, Oag гСу<л/2. 3284. Разложить положительное число а на три положительных слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим. 3285. Представить положительное число а в виде произведения четырех положительных множителей так, чтобы их сумма была наименьшей. 3286. На плоскости Оху найти точку, сумма квадратов расстояний которой от трех прямых х = 0, у = 0, x-J-2y-16 = 0 была бы наименьшей. 3287. Через точку (а, Ь, с) провести плоскость так, чтобы объем тетраэдра, отсекаемого ею от координатного трехгранника, был наименьшим.
3288. Даны п точек: АСч, уи zi), Ая(хп, уя, гж). На плоскости Оху найти точку, сумма квадратов расстояний которой от всех данных точек была бы наименьшей. 3289. Даны три точки Л (0, 0, 12), В (0, 0, 4) и С (8, 0, 8). На плоскости Оху найти такую точку D, чтобы сфера, проходящая через А, В, С и D, имела наименьший радиус. 3290. В данный шар диаметра 2JR вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. Условные экстремумы В задачах 3291—3296 исследовать функции на экстремум. 3291. г — хт + Ут (т>1) при x4-w = 2 (х^0, у2г0). 3292. z = xy при — 2аг. 3293. + 1 при х4 + 1 = 1. 3294. z = a cos2 х 4- b cos2 у при у —х = у. 3295. и = х + у + г при + у + ^-=1. 3296. и = хуг при: 1) х4-у+г = 5, 2) xyA-xzA-y2=$- 3297*. Доказать справедливость соотношения /л1+хг+...4-хя\« п п / * 3298. /(х, #) = х3 — 3x1/2+18#, причем Зх8# —#3 —6х = 0. Доказать, что функция f (х, у) достигает экстремума в точках х = #=з ~±УЗ. 3299. Найти минимум функции и = ах1 4- by1 4-cz2, где а, Ь, с — положительные постоянные, а х, у, z связаны соотношением x+y-\-z= l.v 3300. Найти наибольшее и наименьшее значения функции и = у2 + 4z2 — 4уг — 2хг — 2ху при условии 2х2 4- Зу1 4- 6z2 — 1. 3301. На плоскости Зх — 2г = 0 найти точку, сумма квадратов расстояний которой от точек А (1, 1, 1) и В (2, 3, 4) была бы наименьшей. 3302. На плоскости х-{-у — 2г = 0 найти точку, сумма квадратов расстояний которой от плоскостей х4-3г = 6 и «/4*3г = 2 была бы наименьшей. 3303. Даны точки Л (4, 0, 4), В (4, 4, 4); С (4, 4, О). На поверхности шара № 4-р2 + z2 = 4 найти такую точку S, чтобы объем пирамиды SABC был: а) наибольшим, б) наименьшим. Проверить ответ элементарно-геометрическим путем. 3304. Найти прямоугольный параллелепипед данного объема V, имеющий наименьшую поверхность.
3305. Найти прямоугольный параллелепипед данной поверх-ности S, имеющий наибольший объем. 3306. Найти объем наибольшего прямоугольного параллелепипеда, который можно вписать в эллипсоид с полуосями а, b и с. 3307. Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой. При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме? 3308. Сечение канала имеет форму равнобочной трапеции данной площади. Как выбрать его размеры, чтобы омываемая поверхность канала—у была наименьшей (рис. 61)? \ 3309. Из всех прямоугольных па- j раллелепипедов, имеющих данную диагональ, найти тот, объем которого наибольший. 3310. Указать наружные размеры открытого (без крышки) ящика формы прямоугольного параллелепипеда с за данной толщиной стенок а и объемом V, чтобы на него пошло наименьшее количество материала. 3311. Найти наибольший объем параллелепипеда при данной сумме 12а всех его ребер. 3312. Около данного эллипса описать треугольник с основанием, параллельным большой оси, площадь которого была бы наименьшей. 3313. На эллипсе у + ^=1 найти точки, наименее и наиболее удаленные от прямой Зх+у — 9 = 0. 3314. На параболе xa + 2x«/ + </a-f-4z/ = 0 найти точку, наименее удаленную от прямой Зх —6е/-|-4 = 0. 3315. На параболе 2ха — 4ху + 2у* — х — у = 0 найти точку, ближайшую к прямой 9х — 7у-|- 16 = 0. 3316. Найти наибольшее расстояние точек поверхности 2х* + + Зг/2 + 2за + 2xz = 6 от плоскости z = 0. 3317. Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего при данной площади 5 наименьший периметр. 3318. В прямой эллиптический конус, полуоси основания которого равны а и Ь, высота Н, вписана призма с прямоугольным основанием, так, что стороны основания параллельны осям, а пересечение диагоналей основания лежит в центре эллипса. Каковы должны быть стороны основания и высота этой призмы, для того чтобы ее объем был наибольшим? Каков этот наибольший объем? 3319. Найти правильную треугольную пирамиду заданного объема, имеющую наименьшую сумму ребер. 3320. На эллипсе даны две точки; найти на том же эллипсе
третью точку так, чтобы треугольник, имеющий вершинами ука> занные точки, был наибольшим по площади. j^2 £/2 3321. К эллипсу ^ + ь~2 = 1 провести нормаль, наиболее удаленную от начала координат. 3322. На эллипсоиде вращения gg + у2+г2 = 1 найти точки, наименее и наиболее удаленные от плоскости Зх + 4// + 12г = 288. 3323. Даны плоские линии /(х, у) = 0 и <р(х, у) = 0. Показать, что экстремум расстояния между точками (а, Р) и (g, т]), лежащими соответственно на этих линиях, имеет место при выполнении следующего условия: а/1 дф I * = а дх к = 3 Д — £ // — 3 у = ц р — Т] “ df I ~ дф I д//|х = а ду = 5 !/=3 У = п Пользуясь этим, найти кратчайшее расстояние между эллипсом х2 + 2х// + 5у2 — 16// = 0 и прямой х-\-у — 8 = 0. § 2, Плоские линии Касательные и нормали В задачах 3324—3327 написать уравнения касательной и нормали к линиям в указанных точках. 3324. х3у Ц- у3х = 3 — х2у2 в точке (1, 1). 3325. а2 (х1+ //*)—х3//3 = 9ав в точке (а, 2а). 3326. cosx// = x + 2// в точке (1, 0). 3327. 2х3 — х2//+ Зх2 + 4ху — 5х — 3// + 6 = 0 в точке ее пересечения с осью Оу. Особые точки В задачах 3328—3340 найти особые точки линий. 3328. z/2 = x2(x-l). 3329. а2х2 = (х2 + у2) у2. 3330. у2 = ах2 + Ьх5. 3331. ^ = х(х-а)2. 3332. х2/3 + = а2/3. 3333. х* + у4 - 8х2 - 10/г +16 = 0. 3334. х4+12х3 —6//3 + 36х2 + 27//2 —81 =0. 3335. х3 + у3 + Заху = 0. 3336. х2+^ = х4 + ^. 3337. r/ = xlnx. 3338. z/2 = sin3x. 3339. у2 = (х-а)3. 3340. х5 = (//-х2)2.
их пересечения с осью Оу. огибающую семейства парабол у2 = а(х — а). огибающую семейства парабол ах1 -}-а2у= 1. огибающую семейства парабол у = а2(х — а)2. огибающую семейства полукубических парабол Огибающие 3341. Найти уравнение огибающей семейства прямых у = «= ax+f (а). В частности, положить /(a) = cosa. 3342. Найти огибающую семейства прямых у = 2тх+т*. 3343. Через точку А (а, 0) проведен пучок прямых. Найти огибающую семейства нормалей, проведенных к прямым этого пучка в точках 3344. Найти 3345. Найти 3346. Найти 3347. Найти (у — а)2 = (х — а)3. 3348. Найти огибающую семейства линий х2 + ау2 = а3. х2 3349. Найти огибающую семейства эллипсов + = 1 ПРИ условии, что сумма полуосей каждого эллипса равна d. 3350. Радиусы окружности проектируются на два ее взаимно перпендикулярных диаметра и на проекциях.как на полуосях, строятся эллипсы. Найти огибающую полученного семейства эллипсов. 3351. Найти огибающую семейства окружностей, имеющих центры на параболе у = Ьх2 и проходящих через ее вершину. 3352. Прямая движется так, что сумма длин отрезков, отсекаемых ею на осях координат, остается постоянной и равной а. Найти огибающую полученного семейства прямых. 3353. Найти огибающую диаметра круга, катящегося без скольжения по данной прямой (радиус круга Я). 3354. На хордах круга (радиуса /?), параллельных заданному направлению, как на диаметрах, описываются окружности. Найти огибающую этого семейства окружностей. 3355. Прямая движется так, что произведение отрезков, отсекаемых ею на осях координат, равно постоянной величине а. Найти огибающую этих прямых. 3356. Показать, что всякая линия является огибающей семейства своих касательных. 3357. Показать, что эволюта линии является огибающей семейства ее нормалей. Найти эволюту параболы у2 = 2рх как геометрическое место центров кривизны и как огибающую семейства нормалей. Сравнить результаты. 3358. Доказать теорему: если линия (Л) есть огибающая семейства прямых xcos^ + z/sin^ —/ (0 = 0, то эволюта линии (Л) является огибающей семейства прямых — xsin/ + ycos/ —/' (/) = 0. 3359. Радиус-вектор ОМ произвольной точки М равносторонней гиперболы ху=\ проектируется на асимптоты гиперболы. Найти огибающую эллипсов, построенных на проекциях ОМ, как на полуосях.
§ 3. Векторная функция скалярного аргумента. Линии в пространстве. Поверхности Векторная функция скалярного аргумента 3360. Доказать формулы дифференцирования = 4(«хп) = «х^+^хп. Здесь и и © — векторные функции скалярного аргумента I. 3361. Дано г = /-(/). Найти производные; \ й/ъ * *1 \ d /- ^dr\ x d f~drd*r\ a) (r2); 6) -7T r -7T ; p) /* x ту? ; г) -7т f г L ' dt ' ' ' dt \ dt j dt \ dt j ' dt \ dt c№ / 3362. Дано, что при всех значениях t векторы г (/) и ~ кол-гт „ <Pr cPr d*r линеарны. Доказать, что и векторы .... коллинеарны вектору /•(/)• 3363. Доказать, что если модуль |г| функции /*(/) остается постоянным для всех значений t, то %f_Lr. (Каков геометрический смысл этого факта?) Имеет ли место обратная теорема? 3364. Дано r = a cos чЛ 4- b sin 4>t, где а и b — постоянные векторы. Доказать, что 0 гх^=ю<?х& и 2) ~4-соаг = О. 3365. Доказать, что если е—единичный вектор направления вектора Е, то exde = ^^. 3366. Доказать, что если г = аеые-\-Ье^м, где а и b — постоян-d2r ные векторы, то — чРг = 0. 3367. и = а(х, у, z, f) / + Р (х, у, z, /)У+у(х, у, z, t)k, где х, у, г —функции от I. Доказать, что du ди ди dx . ди dy . ди dz dt ~ dt ‘г’ dx dt + dy dt +ludt' 3368. Дано: /* = г(ц), и = <р(х). Выразить производные dr d'r d?r dr d2r (Pr dx9 dx2 9 dx? чеРез > du2> диз • 3369. Доказать, что если для векторной функции г = г(/) dr а . имеет место соотношение = где а = const, то годографом функции г (0 является луч, выходящий из полюса. 3370. Пусть функция г (0 определена, непрерывна и дифференцируема в интервале (/х, /а), причем г (4) = г (/,). Применить теорему Ролля к функции аг, где а — произвольный постоянный вектор. Объяснить результат геометрически.
337k Дан радиус-вектор движущейся в пространстве точки г {a sin/, — a cost, ЬР} (/ — время, а и b — постоянные). Найти годографы скорости и ускорения. 3372, Найти траекторию движения, для которого радиус-вектор движущейся точки удовлетворяет условию = где а —постоянный вектор. 3373. Материальная точка движется по закону (г— радиус-вектор этой точки в момент i, и ^—заданные векторы). Показать, что: 1) кинетическая энергия материальной точки есть квадратичная функция времени; 2) ti0 — начальная скорость (т. е. значение вектора скорости в момент / = О); 3) движение происходит с постоянным ускорением, равным вектору g\ 4) движение происходит по параболе (если только векторы и g не коллинеарны), ось которой параллельна вектору g. 3374. Закон движения материальной точки задан формулой r=acos / 4-ft sin/4-G где векторы а и ft взаимно перпендикулярны. Определить траекторию движения. В какие моменты скорость движения будет экстремальной? В какие моменты ускорение будет экстремальным? 3375. Формулы преобразования декартовых координат в сферические имеют вид x = psin9coscp, t/ = psin6sin <р, z = pcosG, где р —расстояние данной точки от полюса, 6 —ши рота ее, Ф — азимут или долгота. Найти компоненты скорости движения материальной точки в направлениях единичных ортогональных векторов ер, ев, еф. Пространственные линии В задачах 3376—3383 составить уравнения касательной прямой я нормальной плоскости для данных линий в указанных точках: (/4 /3 /2 \ /3 /2 Т’ ~3' ~2Г Т' е> Х= 4 ’ У~~3’ г~~2> В ПРОЯЭВОЛЬ' ной точке. 3377. x = acos<p, t/=asin<p, z = <р в данной точке /а/2 в/2 п I—у-, —g-k Доказать, что касательная во всех точках линии составляет с осью Ог один и тот же угол. 3378. x — at, у = т> at2, z = ^at3 в точке (6а, 18а, 72а). 3379. х = t — sin t, у = 1 — cos t, z = 4 sin в точке (я/2-l, 1, 2]/5). 3380. f/24-z2 = 25, ха + «/а=10 в точке (1, 3, 4).
3381. 2x2 + 3y2 + z2 = 47, x84-2t/2 = z в точке (—2. 1, 6). 3382. x2-f-t/8 = 22, х = у в точке (х0, У<н £<>)• 3383. x3+z3 = a3, у3-}-г3 = Ь3 в произвольной точке. 3384. На линии г {cos/, sin t, е^найти точку, касательная в которой параллельна плоскости }^3х + у — 4 = 0. В задачах 3385—3387 составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали к данным линиям в указанных точках. 3385. у2 = х, х2 = г в точке (1, 1, 1). 3386. х2 = 2аг, у2 = 2Ьг в произвольной точке. 3387. г{е?, е~‘, /И2} в точке (е, е-1, рл2). 3388. Показать, что касательные, главные нормали и бинормали линии г {е* cost, e^sin/, е1} составляют постоянные углы с осью Ог. В задачах 3389 — 3392 составить уравнения касательной прямой, нормальной плоскости, бинормали, соприкасающейся плоскости, главной нормали и спрямляющей плоскости к данным линиям в указанных точках. 3389. х = /а, y—\—t, z — f3 в точке (1, 0, 1). 3390. х2 + у2 + г2 = 3, х2 + у2 = 2 в точке (1, 1, 1). 3391. г {sin/, cost, tg /} в точке lj. 3392. г{/3 —/2 —5, З/2 +1, 2/3—16} в точке, соответствующей значению параметра / = 2. 3393. Показать, что линия г{2/-|-3, 3/—1, /2} имеет во всех точках одну и ту же соприкасающуюся плоскость. Объяснить этот факт геометрически. 3394. Доказать, что линия г {oi/2 + bit + Ci, a^+btt+cz, a3t2 + b3t + c3} плоская, и составить уравнение той плоскости, в которой она расположена. 3395. Найти радиус кручения линии г {cos/, sin/, ch/}. _ 3396. Найти радиус кривизны линии г {in cos /, In sin/, K2/}, 0<^<л/2. Показать, что кручение в любой ее точке равно кривизне в этой точке. 3397. Показать, что для линии rf^cos/, (см. за- дачу 3388) отношение кривизны к кручению остается постоянным для всех точек кривой. 3398. Как выразится кривизна пространственной линии, заданной уравнениями */=ф(х), г = ф(х)? 3399. Выразить векторы ть vb через производные радиус-вектора точки на кривой r = r(t). 3400. Выразить каждый из векторов тх, vb через два других.
3401. Найти вектор <a(s) (вектор Дарбу), удовлетворяющий условиям Л. .. ^*1 к, dfi, „, а -J- = <о х тх; -j-1- = <в х vx; = со х 6Х. as ’ds 1 ds r Длина дуги пространственной линии В задачах 3402—3409 найти длину дуги линий. 3402. r{2t, In/, /2} от /=1 до /=10. 3403. г {a cos/, a sin/, a In cos/} от точки (а, 0, 0) до точки /а/2 а/2 _£|п9\ \“2“’ 2 ’ 2 lnZ/* 3404. recast, e*sin/, от точки (1, 0, 1) до точки, соответствующей параметру /. 3405. х2 = 3у, 2xy = 9z от точки (0, 0, 0) до точки (3, 3, 2). 3406. 2а = 2ах, 9у2 = 16хд от точки (0,0,0) до точки (2а, 8а/3,2а). 3407. 4ах = (y-f-г)2, 4х2 + 3</2 = 3г2 от начала координат до точки (х, у, г). 3408. у = V2ах — х2, г = а In от начала координат до точки (X, у, г). 3409. r/ = a arcsin^, от начала координат до (и а л q « Г) \ -S-, -л- 1пЗ . 2’64 / Поверхности В задачах 3410—3419 для данных поверхностей найти уравнения касательных плоскостей и нормалей в указанных точках. 3410. z = 2x2 — 4у2 в точке (2, 1, 4). 3411. г = ху в точке (1, 1, 1). 3412. г = в точке (а, а, —а). 3413. г = ]/х2 + tf — ху в точке (3, 4, —7). 3414. г = arctg ~ в точке (1, 1, л/4). х2 I/2 z2 . !aV2> 6/3 с /3\ 3415-^ + fe- + ^ = I вточке (—’ —’ — 3416. х3 + у34-22 + хуг — 6 = 0 в точке (1, 2, —1). 3417. Зх4 — 4y'z + 4z2xy — 4г3х-Ь 1 =0 вточке (1, 1, 1). 3418. (г2 —х2)х(/г —/ = 5 в точке (1, 1, 2). 3419. 4 + /x2 + / + z2 = x + y + z в точке (2, 3, 6). 3420. Показать, что уравнение касательной плоскости к эллипсоиду + 4-^-= I в любой его точке Ма(ха, ya,Zo) имеет вид XqX । УоУ [ ZpZ_1 а2 -Г £2 “Г — !•
3421. К эллипсоиду х24-2у* Д-г2 = 1 провести касательную плоскость, параллельную плоскости х — y-J-2z = 0. 3422. К эллипсоиду 4- |г=1 провести касательную пло> скость, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки. 3423. Показать, что поверхности x-j-2y — 1пг-)-4 = 0 и? — — ху — 8x-)-z-|-5 = 0 касаются друг друга (т. е. имеют общую касательную плоскость) в точке (2, —3, 1). 3424. Доказать, что все плоскости, касательные к поверхности г = х^(‘х)’ пеРесекаются в одной точке. 3425. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к шару г {«cosу, usinv, — и2} в точке /о{Хо» 1Л>» 2о}. 3426. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к гиперболическому параболоиду r{a(u+v), b(u—v), ио} в произвольной точке (х0, Уо, То). 3427. Доказать, что поверхности ха + у2 + г2 = ах и х2 + уг + г4^ = by ортогональны друг к другу. 3428. Показать, что касательная плоскость к поверхности xyz = a3 в любой ее точке образует с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема. Найти этот объем. 3429. Показать, что касательные плоскости к поверхности Ух +Уу + Уг = Уа отсекают на координатных осях отрезки, сумма которых равна а. 3430. Для поверхности z — xy написать уравнение касатель-» „ х + 2 у+2 z —1 нои плоскости, перпендикулярной к прямой 3431. Показать, что для поверхности х84-у,Д-2, = у длина отрезка нормали между поверхностью и плоскостью хОу равна расстоянию от начала координат до следа нормали на этой плоскости. 3432. Доказать, что нормаль к поверхности эллипсоида вра-щения —------в любой его точке у, г) образует рав- ные углы с прямыми РД и РВ, если А (0, —4, 0) и В (0, 4, 0). 3433. Доказать, что все нормали к поверхности вращения г = /()/х2-4-уг) пересекают ось вращения. 3434. К поверхности х2 — у2 — Зг = 0 провести касательную плоскость, проходящую через точку А (0, 0, —1), параллельно пря-"X У г МОИ -2- = f = 2 - 3435. На поверхности х2-}-у8 + z2 — 6y-f-4z = 12 найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям. 3436. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности х = н-|-у, y = ua4-o2, z=u3-f-v3 в произвольной точке. Выразить коэффициенты этого уравнения:
а) через значения параметров ив и о»; б) через координаты ха, tfa, точки касания. 3437. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на касательные плоскости к параболоиду вращения 2рг = хг+у2. 3438. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на касательные плоскости к поверхности хуг = а3. § 4. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению Градиент 3439. 1) ф(х, у) — х2 — 2ху -±3у — I. Найти проекции градиента в точке (1, 2). 2) и=5х2у — Зхг^ + у*. Найти проекции градиента в произвольной точке. 3440. 1) z = x*4-g*. Найти gradz в точке (3, 2). 2) г = уг4 + х* + у2. Найти gradz в точке (2, 1). 3) z = arctgу. Найти gradz в точке (Хо, jh>). 3441. 1) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности г=1п(х24-4«/а) в точке (6, 4, In 100). 2) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности г = х» в точке (2, 2, 4). 3442. Каково направление наибольшего изменения функции <р(х, у, z) = xsinz — у cosz в начале координат? 3443. 1) z = arcsin Найти угол между градиентами этой функции в точках (1, 1) и (3, 4). ___ 2) Даны функции г=>/х24-У1 и z = x —Зу+УЗху. Найти угол между градиентами этих функций в точке (3, 4). 3444. 1) Найти точку, в которой градиент функции z = = 1п(х4~) равен 2) Найти точки, в которых модуль градиента функции z = с= (ха 4- у2)3'2 равен 2. 3445. Доказать следующие соотношения (<₽ и ф — дифференцируемые функции, с —постоянная): grad (<р 4- Ф) = grad q> 4- grad ф; grad (с 4- <p) = gra d <p; grad (cq>) — c grad <p; grad (<рф) = <p grad ф 4- Ф grad <p; grad (фя) = пф*"1 grad <p; grad [<p (ф)] = <p' (ф) grad ф. 3446. 2 = ф(н, v), н = ф(х, у), v = t,(x, у). Показать, что grad г=grad а 4-grad о. 3447. 1) и(х, д, г)—х2^г. Найти проекции grad« в точке (х0, Уо, Zo).
2) и(х, у, z) = У х2 + у2 + г2. Найти grad и. 3448. Показать, что функция и = 1п(х2 + у24-г2) удовлетворяет соотношению и = 2 In 2 — In (grad и)2. 3449. Доказать, что если х, у, z суть функции от t, то У, z) = grad/ J, где r = xi + yf+zk. 3450. Использовать доказанное в предыдущей задаче соотношение для нахождения градиента функции: 1) / = г2; 2) /=|г|; 3) / = F(r2); 4) / = (ar)(ftr); 5) f = {abr)-, где а и Ь — постоянные векторы. Производная по направлению 3451. 1) Найти производную функции z = x3 — Зх2у + Зху2-Ь 1 в точке (И (3, 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6, 5). 2) Найти производную функции 2 = arctgxy в точке (1, 1) в направлении биссектрисы первого координатного угла. 3) Найти производную функции z = x2y2 —ху3 —Зу—1 в точке (2, 1) в направлении, идущем от этой точки к началу координат. 4) Найти производную функции z = In (ех 4- е») в начале координат в направлении луча, образующего угол а с осью абсцисс. 3452. Найти производную функции г=1п(х4-у) в точке (1, 2), принадлежащей параболе tf = 4х, по направлению этой параболы. 3453. Найти производную функции z—arctg у в точке принадлежащей окружности х2 + у2 — 2х = 0, по направлению этой окружности. . 3554. Доказать, что производная функции 2 = ^ в любой точке эллипса 2х2 + у2=1 по направлению нормали к эллипсу равна нулю. 3455. 1) Найти производную функции « = ху2 4-г3— хуг в точке М (1, 1, 2) в направлении, образующем с осями координат углы соответственно 60°, 45Q, 60°. 2) Найти производную функции w — xyz в точке А (5, 1, 2) в направлении, идущем от этой точки к точке В (9, 4, 14). 3456. Найти производную функции и=х2у2г2 в точке А (1,—1,3) в направлении, идущем от этой точки к точке В(0, 1, 1). 3457. Доказать, что производная функции и — + + ~ в любой точке М (х, у, г) в направлении, идущем от этой точки К началу координат, равна -у, где r = Vx2 + y2 +z2. 3458. Доказать, что производная функции u=f(x, у, г) в направлении ее градиента равна модулю градиента. 3459. Найти производную функции ы= 1/г, где г2 = х2 4-у2+А в направлении ее градиента.
ГЛАВА XII МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ § 1. Двойные и тройные интегралы 3460, Тонкая пластинка (ее толщиной пренебрегаем) лежит в плоскости хОу, занимая область/). Плотность пластинки является функцией точки: у = у(Р) = у(х, у). Найти массу пластинки. 3461. На пластинке задачи 3460 распределен электрический заряд с поверхностной плотностью т = т(Р) = т(х, у). Составить выражение для полного заряда пластинки. 3462. Пластинка задачи 3460 вращается вокруг оси Ох с угловой скоростью со. Составить выражение для кинетической энергии пластинки. 3463. Удельная теплоемкость пластинки задачи 3460 меняется по закону с = с(Р) = с(х, у). Найти количество тепла, полученное пластинкой при ее нагревании от температуры ti до температуры 3464. Тело занимает пространственную область Q; его плотность является функцией точки: у = у(Р) = у(х, у\ 2). Найти массу тела. 3465. В теле задачи 3464 неравномерно распределен электрический заряд; плотность заряда является функцией точки: б = = 6(х, у. 2). Найти полный заряд тела. В задачах 3466—3476 оценить интегралы: 3466. j J (* + //+ Ю) do, где D —круг х24-//2^4. о 3467. ^(x2 + 4y2 + 9)do, где О-круг х2 + у2^А. D 3468. (х + у+ l)do, где D — прямоугольник 0^х=С1, 0^ D ^у^2. 3469. J \(х + ху — x2 — y2)da, где/) —прямоугольник O^x^l, D 0^у<2. 3470. \\xy(x + y)da, где D-квадрат 0<х^2, 0<г/<2. D 3471. $ $ (х + 1)у do, где D —квадрат 0^х<2, D
3472. $$(х2 + у2 — 2j/x2 + y2 + 2)d<r, где D — квадрат Osgxs$2, D 0sCy=ss2. 3473. (х2 + у2 — 4х — 4у+ 10)do, где D — область, ограничен- D ная эллипсом х2 + 4у2-2х- 16z/ + 13 = 0 (включая границу). 3474. $ $ $ (х2 + у2 + 22) cfo, где £2 — шар х2 4- у2 + г2 < R2. о. 3475. И$ (х+у+г’)^у»где й~кУб x^s1’ х^з, о у^З, 2^3. 3476. $ $$ (х+у—2+ 10)cto, где Q —шар х2+у2+г2<3. Q § 2. Кратное интегрирование Двойной интеграл. Прямоугольная область В задачах 3477—3484 вычислить двойные интегралы, взятые по прямоугольным областям интегрирования D, заданным условиями в скобках: 3477. \\xydxdy (0<x^l, 0s St/ -=2). 3478. ^ex+ydxdy D (0- Cx^"= 1, 0== sy<l). 3476. (0-Cxs' 1, I). 3480. ff dxdy У (ж+л+1)2 (0s^x=C 1,0 s £У<1). 3481. С Г уdxdy У (l+x2+f/2)3/a (0<x^l, Os^ysSl). 3482. J Jxsin (x+y)dxdy (Osgxsjn, 0 s <ysSn/2). 3483. х2уеху dx dy (0<x<l, 0s = У<2). 3484. J J x2y cos (xy2) dx dy D (О^хСл/2, 0^i/^2). Двойной интеграл. Произвольная область В задачах 3485—3497 найти пределы двукратного интеграла J \f(x, y)dxdy при данных (конечных) областях интегрирования D: D 3485. Параллелограмм со сторонами х = 3, х = 5, Зх — 2у + + 4 = 0, 3x-2i/+l=0. 3486. Треугольник со сторонами х=0, у=0, x+g=2. 3487. х2+у2^\, x^sO, у^О.
3488. х + х-у-^1, х^О. 3489. у^х1 2, у ^4 — х2. 3490. ^ + §-<1. 3491. (х-2)2 + (у-3)2^4. 3492. D ограничена параболами у — х2 и </ —]/х. 3493. Треугольник со сторонами у — х, у = 2х и х4-(/ = 6. 3494. Параллелограмм со сторонами у — х, z/=x-|-3, у=> = —2x4-1, у =—'2x4-5. 3495. у — 2х=с0, 2у — х^О, ху^2. 3496. у2<;8х, у^2х, 1/4-4х — 24=с0. 3497. D ограничена гиперболой tf — х2 = 1 и окружностью x24-t/2 = 9 (имеется в виду область, содержащая начало координат). В задачах 3498—3503 изменить порядок интегрирования! 1 Vy 3498. \dy J f (x, у) dx. о и 1 У1 —X2 3499. $ dx J f(x, y)dy. —1 о 3504 . J dx J f (x, y)dy. 3503. j dx $ f (x, y) dy. 0 lx r V‘2rx—x1 3500. \dx J /(x, y)dy. 0 x 2 2x 3502. J dx J / (x, y) dy. 1 X 3504. Переменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двукратного интеграла: 1) \dx\f(x, y)dy + ^dx J /(х, y)dy; 0 0 10 I х» 3 (3-x)/2 2) ^dx $ f (x, y)dy + \dx J f (x, y) dy; 0 0 10 l лг2/з 2 1 —K4x —x2 —3 3) \dx J fix, y)dy+\dx J y)dy. 0 0 10 3505. Представить двойной интеграл f(x, y)dxdy, где D — D области, указанные на рис. 62, 63, 64, 65, в виде суммы двукратных интегралов (с наименьшим числом слагаемых). Фигуры, показанные на рис. 64 и 65, составлены из прямых линий и дуг окружностей. В задачах 3506—3512 вычислить данные интегралы: 3506. 1) $dx j dy; 2). А dx I ^dy; 3) \dy $ exdx. 3507. хуШцёх^ Круг x3 4- у* Я*. о \
3508. (х2 + у) dxdy, D — область, ограниченная параболами D у = х'1 и tf — x. l 2dxdtj, D — область, ограниченная прямыми x = 2, •J У D y — x и гиперболой ху—\. 3510. cos (x + z/) dxdy, D — область, ограниченная прямыми х = 0, у = л и у = х, 3511. 1 — х2 — у2 dx dy, D — четверть круга х2-)-#2 1, ле- D жащая в первом квадранте. 3512. $jjx2?/2Kl — *3 — y*dxdy, £)— область, ограниченная ли-D нией х3+г/3=1 и осями координат. 3513. Найти среднее значение функции 2=12 —2х — 3// в области, ограниченной прямыми 12 —2х — 3// = 0, х~0, у = 0. 3514. Найти среднее значение функции z = 2x-}-y в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой х + у = 3. 3515. Найти среднее значение функции 2 = х~^^у в треугольнике, ограниченном прямыми у = х, г/ = 5х и х=1. 3516. Найти среднее значение функции г = У — х2 — у2 в круге х2 + у2^/?3.
Тройной интеграл вычислить интегралы: 3518. §dx dy§ (х +y + z)dz. ООО а х ху 3520. $ dx J dy $ x3y3z dz. ООО ln(?-x-y) d (x—e) (x+y—e) 2 —область, ограниченная плоско- В задачах 3517—3524 1 2 3 3517. \dx\dy\dz. ООО а х у 3519. dx \dy 5 хуг dz. ООО с — 1 е—х— 1 х 3521. J dx $ dy 3=22-я стями х = 0, у = 0, z = 0, х+«/4-г=1. 3523. ^^xydxdydz, 2 —область, ограниченная гиперболиче-я ским параболоидом г = ху и плоскостями х + у = 1 и 2 = 0 (2^0). 3524. $$$ у cos (2 -\-x)dxdydz, 2 —область, ограниченная ци-я _ линдром У = 1^Х и плоскостями у = 0, 2 = 0 И x + z = n/2. § 3. Интегралы в полярных, цилиндрических и сферических координатах Двойной интеграл В задачах 3525—3531 перейти в двойном интеграле $$/(*, у)dxdy к полярным координатам р и <р (x = pcos<p, у = D = psin<p), и расставить пределы интегрирования: 3525. D — круг: 1) х2 + у2 /?2; 2) х2 + у2 ах; 3) х2-\- у2^Ьу. 3526. D — область, ограниченная окружностями х24-у2 = 4х, х24-у2 = 8х и прямыми у = х и у = 2х. 3527. D— область, являющаяся общей частью двух кругов x24-t/!!^ax и х2 у2 s^by. 3528. D — область, ограниченная прямыми у = х, у = 0 и х = 1. 3529. D — меньший из двух сегментов, на которые прямая х + у = 2 рассекает круг х2 + у2==£4. 3530. D — внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли (х2-\-у2)2 = а2(х2 — у2). 3531. D — область, определенная неравенствами х^0, у^0, (х2 + у2)3 4а2х2у2. В задачах 3532—3535 двойные интегралы преобразовать к полярным координатам: Я VR‘~x‘ 2Я ViRy-yi 3532. Jdx J f(x,y)dy. 3533. J dy J /(x, y)dx. 0 0 Я/2 0
3534. [dx J f^ + y^dy. о о tf/Zf+tf7 Rk R УЯ*— 3535. J ^р(*-)сй/+ £_dx ( ^(1)^-о 6 Я/Н-|-Яа О В задачах 3536—3540 с помощью перехода к полярным координатам вычислить двойные интегралы: R VR* — x* 3536. $ dx J In (1 4- x2 4- у2) dy. о о 3537. J J y/~dx dy, где область D определяется нера-D венствами х44~У2^1. x^Q, у^О. 3538. (h — 2x — 3y) dx dy, где D — круг x2 4- ya Pa. D 3539. J J У/?* —x* —z/2 dx dy, где D — круг x2 4- J?x. D 3540. J J arctg — dxdy, где D — часть кольца x24-z/23sl, x2+ysi<9, у^хУЗ. 3541. Показать, исходя из геометрических соображений, что если декартовы координаты преобразовать по формулам х = = ар cos <р, t/ = bpsin ф (а и Ь — постоянные), то элементом площади будет da = abpdpdy. В задачах 3542—3544, используя результат предыдущей задачи и выбрав подходящим образом а и Ь, преобразовать двойные интегралы: 3542. ^/(х, y)dxdy, где область D ограничена эллипсом D *2 I у1 _ 1 4 Г 9 3543. J J f{x, у) dx dy, где D — область, ограниченная линией (х2 4- у)2 = х®у. 3544. j ffy/~4 — dx dy, где D - часть эллиптического кольца, ограниченная эллипсами -^4-^=1» 4^2+452 = 1 и ле’ жащая в перром квадранте.
3545. Вычислить интеграл ^xydxdy, где D—область, огра-D UP ничейная эллипсом и лежащая в первом квадранте. 3546. Вычислить интеграл j $ Уху dxdy, где D— область, огра-D ниченная линией (х^ 4- СУ = и лежащая в первом квадранте. \ * J / у 6 Тройной интеграл В задачах 3547—3551 перейти в тройном интеграле $$$/(*> z)dxdydz к цилиндрическим координатам р, <р, 2 а (х= pcoscp, z/ = psin<p, z = z) или сферическим координатам р, G, Ф (х = р cos qpsin 9, у = р sin ср sin 9, z^pcosO) и расставить пределы интегрирования: 3547. Q — область, находящаяся в первом октанте и ограниченная цилиндром x^+z/2^??2 и плоскостями z = 0, z=l, у — х и х}/3. 3548. Я—область, ограниченная цилиндром x2-f-z/* = 2x, плоскостью z = 0 и параболоидом z = x2 + z/2. 3549. Я —часть шара х® + t^+^^R2, лежащая в первом октанте. 3550. Я—часть шара хэ + 1/аЧ-2*^С#а, лежащая внутри цилиндра (х2 + у2)2 = R2 (х2 — у2) (х^О). 3551. Q —общая часть двух шаров х24-#*-Р-г*^/?2 и х2 + + */2 + (z-*)2^*2- В задачах 3552—3558 вычислить интегралы с помощью перехода к цилиндрическим или к сферическим координатам: 1 /1 —х* а 2 У’2х—х2 а ________ 3552. Jdx J dy^dz. 3553. ^dx J dyJzj/rx24-z/2dz. о — У1 _ xi 0 0 0 0 R УЯ2—x2 УЯ2 —x2— 3554. J dx J dy $ (xa + ^)dz. — Я — —X» 0 1 У I — X1 У 1~X2 — 3555. J dx $ dy J )/x2 4- y2 + z2 dz. 00 0 3556. ^^x2^y2}dxdydzt где область £1 определяется нера-<2 венствами z^O, г2 ^ха+у2 + 22^/?2. 3557. f С f dxdydz —_ Q_шар x24-z/2 + z2^l. J /x2+^ + (Z-2y 3558~ Ф ne П-ЦИЛИВДР +
§ 4. Применение двойных и тройных интегралов Объем тела. I В задачах 3559—3596 найти двойным интегрированием объемы тел, ограниченных данными поверхностями (входящие в условия задач параметры считаются положительными): 3559. Плоскостями координат, плоскостями х = 4 и у = 4 и параболоидом вращения z = x24-y2+l. 3560. Плоскостями координат, плоскостями х = а, у = Ь и X2 и2 эллиптическим параболоидом 2 = . zp zg 3561. Плоскостью ^ + у + у = 1 и координатными плоскостями (пирамида). 3562. Плоскостями у = 0, Z = 0, 3x-f-y = 6, Зх-)-2у=12 и х-}-у-)-2 = 6. 3563. Параболоидом вращения г — х2-|- у2, координатными плоскостями и плоскостью х у = 1. 3564. Параболоидом вращения г = х2-|-у2 и плоскостями z = 0, у=\, у = 2х и y — 0 — x. 3565. Цилиндрами y_]fx, у=2]/х и плоскостями г = 0 и х + г = 6. 3566. Координатными плоскостями, плоскостью 2х-)-Зу—12=0 и цилиндром 2 = у2/2. 3567. Цилиндром г = 9 —у2, координатными плоскостями и плоскостью Зх -j- 4у = 12 (у 0). 3568. Цилиндром 2 = 4 —х2, координатными плоскостями и плоскостью 2х-|-у = 4 (х^О). 3569. Цилиндром 2у2 = х, плоскостями + у + у = 1 и 2 = 0. 3570. Круглым цилиндром радиуса г, осью которого служит ось ординат, координатными плоскостями н плоскостью у -f-y=l. 3571. Эллиптическим цилиндром у + у2 = 1, плоскостями 2 = = 12 —Зх —4у и 2=1. 3572. Цилиндрами х2 + у2 = /?2 и x24-z2 = /?2. 3573. Цилиндрами г = 4 —у2, У = у и плоскостью 2 = 0. X3 3574. Цилиндрами х24-у2 = /?2, z = ^ и плоскостью г=0 (х>0). 3575. Гиперболическим параболоидом г = х2 — у1 и плоскостями г = 0, х = 3. 3576. Гиперболическим параболоидом 2 = ху, цилиндром у=> = ]/х и плоскостями x-f-y = 2, у = Ои? = О.
3577. Параболоидом z — x2-\-y2, цилиндром у = х2 и плоскостями у = 1 и 2 = 0. X2 22 3578. Эллиптическим цилиндром + -2- = 1 и плоскостями у — ~х, у = 0 и 2 = 0 (х^гО). 3579. Параболоидом 2 = °г~х^—4у3 и плоскостью 2 = 0. 3580. Цилиндрами у = ех, у = е~х, z = e2 — y2 и плоскостью 2 = 0. 3581. Цилиндрами у— 1пх и z/=ln2x и плоскостями z = 0 и f/+z= 1. 3582*. Цилиндрами z — lnx и z — In у и плоскостями 2 = 0 и х + у = 2е (х^ 1). (x + l/P 3583. Цилиндрами t/ = x-J-sinx, у = х — sinx и г=-—(па- раболический цилиндр, образующие которого параллельны пря- мой х —у = 0, 2 = 0) и плоскостью 2 = 0 (0^х=^л, 1/5=0). 3584. Конической поверхностью 2г = ху (рис. 66), цилиндром Ух + ~1~Уу = 1 и плоскостью 2 = 0. 3585. Конической поверхностью 4г/2 = х (2 — z) (параболический конус, рис. 67) и плоскостями 2 = 0 и x-\-z = 2. 3586. Поверхностью 2 = cos х cos у и плоскостями х = 0, у = 0, 2 = 0 и х + у = л/2. 3587. Цилиндром х2 + у2 = 4, плоскостями 2=0 и z=x+t/4-10. 3588. Цилиндром х24-у2 = 2х, плоскостями 2х —2 = 0 и 4х — — 2 = 0. 3589. Цилиндром х2 + у2 = R2, параболоидом Rz = 2R2-[-x2+y2 и плоскостью 2 = 0. 3590. Цилиндром х2 + у2 = 2ах, параболоидом 2= —и плоскостью 2 = 0. 3591. Сферой х2 + «у2 + г2 = а2 и цилиндром х2 + у2 = ах. (Задача Вивиани.)
3592. Гиперболическим параболоидом z = ~, цилиндром х2ф- -{-у2 = ах и плоскостью 2 = 0 (х^О, у^О). 3593. Цилиндрами + = х и х4ф-г^ = 2х, параболоидом з = х2ф-у2 и плоскостями хф-у = 0, х — у = 0 и z = 0. 3594. Цилиндрами х2ф-у2 = 2х, х2ф-у2 = 2у и плоскостями г = хф-2у и 2 = 0. 3595. Конической поверхностью г2 = ху и цилиндром (х2ф-у2)2= е=2ху (хЭ=0, у^О, 2 2г0). 3596. Геликоидом («винтовая лестница») z=harctg•£, цилиндром х2ф-у2 = Я2 и плоскостями х = 0 и г = 0 (х2г0, y^zty. Площадь плоской фигуры В задачах 3597—3608 найти двойным интегрированием площади указанных областей: 3597. Области, ограниченной прямыми х = 0, у = 0, хф-у=1. 3598. Области, ограниченной прямыми у = х, у — Ьх, х=1. 3599. Области, ограниченной эллипсом ф-= 1. 3600. Области, заключенной между параболой у* =—хипря-ь мои у= — х. э а 3601. Области, ограниченной параболами у = }/х, у = 2]/х и прямой х = 4. 3602*. Области, ограниченной линией (х2ф-у1)"1 = Зах3. 3603. Области, ограниченной линией (х2 ф- y2)s = х4 ф- у*. 3604. Области, ограниченной линией (х*ф-у2)2 = 2а2(х2 —у2) (лемниската Бернулли). 3605. Области, ограниченной линией х3ф-у3 = 2ху, лежащей в первом квадранте (петля). 3606. Области, ограниченной линией (хф-у)3 = ху, лежащей в первом квадранте (петля). 3607. Области, ограниченной линией (хф-у)’ = х2у2, лежащей в первом квадранте (петля). 3608*. Области, ограниченной линией /х2 ,у*\2_ху. I У2\2 _ х2+у2 \а2 ‘ Ь2) ~ с2 ’ \ 4 "Г 9 ) — 25 Объем тела. II В задачах 3609—3625 вычислить тройным интегрированием объемы тел, ограниченных данными поверхностями (входящие в условия задач параметры считаются положительными): 3609. Цилиндрами 2 = 4 —у2иг = у2ф-2 и плоскостями х=а е=—1 И Х = 2.
3610. Параболоидами 2 = х24~Уа и z = x®4-2ya и плоскостями у = х, у = 2х и х= 1. 3611. Параболоидами z = x24-y2 и г — 2х2 4- 2у2, цилиндром у — х2 и плоскостью у = х. 3612. Цилиндрами z=ln(x4-2) и z = ln(6 — х) и плоскостями х = 0, х4-у = 2 и х — у = 2. 3613*. Параболоидом (х—1)24-у2 = г и плоскостью 2х 4-2 = 2. 3614*. Параболоидом 2 = х24-у* и плоскостью г = х-\-у. 3615*. Сферой х2 + г/2 + г|! = 4 и параболоидом x*-f-!/* = 3z. 3616. Сферой Xs 4- У* 4* z2 = R2 и параболоидом х24~У* = e=R(R~2z) (г^О). 3617. Параболоидом г = х24-у® и конусом г2 = ху. 3618. Сферой х2 + у24- г2 = 4Rz — 3R2 и конусом г2 = 4(х24-у2) (имеется в виду часть шара, лежащая внутри конуса). 3619*. (x2 + y2+z2)2 = a3x. 3620. (х2 + у2 + г2)2 = axyz. 3621. (x2 + y2 + z2)* = a2z*. 3622. (ха 4- У* 4- г2)3 = . 3623. (ха4-у24-г2)3 = а2(ха4-у2)2. 3624. (xa4-t/a)a4-z* = a3z. 3625. х24-у24-га= 1, xa4-i/24-22= 16, za = xa4-y*, х = 0, у=0, z = 0 (х>=0, у^О, z^zty. Площадь поверхности 3626. Вычислить площадь той части плоскости 6x4-Зу 4* 2г= «= 12, которая заключена в первом октанте. 3627. Вычислить площадь той части поверхности г2 = 2ху, которая находится над прямоугольником, лежащим в плоскости г = 0 и ограниченным прямыми х = 0, у = 0, х = 3, у = 6. 3628. Найти площадь части конуса г2 = х24-уа, лежащую над плоскостью Оху и отсеченную плоскостью z=V2 4- 1J. В задачах 3629—3639 найти площади указанных частей дан« ных поверхностей: 3629. Части z2 = x24-y2, вырезанной цилиндром z2 = 2py. 3630. Части уа4-29 = ха, лежащей внутри цилиндра х34-у*=/?а. 3631. Части у24-г2 = х2, вырезанной цилиндром х2 — у1 = аъ и плоскостями у = Ь и у — — Ь. 3632. Части г2 = 4х, вырезанной цилиндром уа=4х и плоскостью х = 1. 3633. Части г = ху, вырезанной цилиндром х24-у2 = /?3. 3634. Части 2г = ха4-у2, вырезанной цилиндром x24-y*=l. 3635. Части x24-y24-z2 = a2, вырезанной цилиндром х*4-у# = ~R2 (R^a). 3636. Части x*4-jf 4-г* = Я2, вырезной цилиндром х’4-у2= = Rx.
3637. Части № 4- //® + za = R2, вырезанной поверхностью (х2+у2)2 = R2 (х2 — у2)- 3638. Части г = -^~, вырезанной поверхностями х24-^®=1, х2Ц-у2 = 4 и лежащей в первом октанте. 3639. Части (xcosa + </sina)24-z2 = a2, лежащей в первом октанте (а<л/2). 3640*. Вычислить площадь части земной поверхности (считая ее сферической при радиусе R ^6400 км), заключенной между меридианами <р = 30°, <р = 60’ и параллелями 6 = 45° и 6 = 60°. 3641. Вычислить полную поверхность тела, ограниченного сферой хг + у2 + г2 = 3а2 и параболоидом x24-j/2 = 2az (zs*0). 3642. Оси двух одинаковых цилиндров радиуса R пересекаются под прямым углом. Найти площадь части поверхности одного из цилиндров, лежащей в другом. Моменты и центр масс В задачах 3643—3646 найти двойным интегрированием статические моменты однородных плоских фигур (плотность у=1): 3643. Прямоугольника со сторонами а и b относительно стороны а. 3644. Полукруга радиуса R относительно диаметра. 3645. Круга радиуса R относительно касательной. 3646. Правильного шестиугольника со стороной а относительно стороны. 3647. Доказать, что статический момент треугольника с основанием а относительно этого основания зависит только от высоты треугольника. В задачах 3648—3652 найти двойным интегрированием центры масс однородных плоских фигур: 3648. Фигуры, ограниченной верхней половиной эллипса, опирающейся на большую ось. 3649. Фигуры, ограниченной синусоидой z/ = sinx, осью Ох и прямой х = л/4. 3650. Кругового сектора, соответствующего центральному углу а (радиус круга R). 3651. Кругового сегмента, соответствующего центральному углу а (радиус круга R). 3652. Фигуры, ограниченной замкнутой линией t/2 = x2 — х* (х>0). В задачах 3653—3659 найти моменты инерции однородных плоских фигур (плотность у=1): 3653. Круга радиуса R относительно касательной. 3654. Квадрата со стороной а относительно вершины. 3655. Эллипса с полуосями а и b относительно центра.
3656. Прямоугольника со сторонами а и b относительно точки пересечения диагоналей. 3657. Равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h относительно вершины. 3658. Круга радиуса R относительно точки, лежащей на окружности. 3659. Сегмента параболы с хордой, перпендикулярной к оси, относительно вершины параболы (длина хорды а, «стрелка» А). 3660. Доказать, что момент инерции кругового кольца относительно центра в два раза больше момента инерции относительно любой оси, проходящей через центр кольца и лежащей в его плоскости. 3661. Доказать, что сумма моментов инерции плоской фигуры F относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, лежащих в одной плоскости с этой фигурой и проходящих через неподвижную точку О, есть величина постоянная. 3662*. Доказать, чю момент инерции плоской фигуры относительно какой-нибудь оси равен Md2-\-ICt где М—масса, распределенная на фигуре, d —расстояние от оси до центра масс фигуры, а 1С — момент инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс фигуры (теорема Штейнера). В задачах 3663—3665 найти статические моменты однородных тел (плотность у=1): 3663. Прямоугольного параллелепипеда с ребрами о, b и с относительно его граней. 3664. Прямого круглого конуса (радиус основания Rt высота Н) относительно плоскости, проходящей через вершину параллельно основанию. 1/а 2а 3665. Тела, ограниченного эллипсоидом -j+^4~C2'=* и плоскостью Оху, относительно этой плоскости. В задачах 3666—3672 найти центры масс однородных тел, ограниченных данными поверхностями: 3666. Плоскостями х = 0, у = 0, 2 = 0, х = 2, у = 4 и х + у + -f- z = 8 (усеченный параллелепипед). п2 2а 3667. Эллипсоидом -г + + С2= 1 и координатными плоскостями (имеется в виду тело, расположенное в первом октанте). 3668. Цилиндром z — ^ и плоскостями х = 0, (/=0, г=0 и 2х + Зу-12 = 0. 3669. Цилиндрами у=Ух, у = 2Ух и плоскостями 2=0 и х+г = 6. fl ГМ Беоман
3670. Параболоидом 2=и сферой х2+у® 4- г® = За2 (г^О). 3671. Сферой x®4-y®4*2®== R2 и конусом z tg а = ]/гх®4-у® (шаровой сектор). 3672. (х8 4- у2 4-г®)® = а3г. В задачах 3673—3674 найти центры масс однородных поверхностей: 3673. Части сферы, заключенной в первом октанте. 3674. Части параболоида x24-y2 = 2z, отсеченной плоскостью г — 1. В задачах 3675—3680 найти моменты инерции однородных тел с массой, равной М. 3675. Прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, b и с относительно каждого из ребер и относительно центра масс. 3676. Шара радиуса R относительно касательной прямой. х2 wa г2 3677. Эллипсоида 4- 4- -2 = 1 относительно каждой из трех его осей. 3678. Прямого круглого цилиндра (радиус основания R, высота И) относительно диаметра основания и относительно диаметра его среднего сечения. 3679. Полого шара внешнего радиуса R, внутреннего г относительно диаметра. 3680. Параболоида вращения (радиус основания R, высота Н) относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно к оси вращения (экваториальный момент). В задачах 3681—3683 вычислить моменты инерции указанных частей однородных поверхностей (масса каждой части равна М): 3681. Боковой поверхности цилиндра (радиус основания R, высота Н) относительно оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной к оси цилиндра. 3682. Части параболоида х2 4- У® = 2cz, отсеченной плоскостью г = с, относительно оси Oz. 3683. Боковой поверхности усеченного конуса (радиусы оснований R и г, высота Н) относительно его оси. Разные -зддач и 3684. Найти массу квадратной пластинки со стороной 2а, если плотность материала пластинки пропорциональна квадрату расстояния от точки пересечения диагоналей и на углах квадрата равна единице. 3685. Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны R и г (R>r). Зная, что
I 4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 227 плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца. Плотность на окружности внутреннего круга равна единице. 3686. На фигуре, ограниченной эллипсом с полуосями а и Ь, распределена масса так, что плотность ее пропорциональна расстоянию от большой оси, причем на единице расстояния от этой оси она равна у. Найти всю массу. 3687. Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями, радиусы которых равны г и R (R > г). Зная, что плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра сфер и на расстоянии, равном единице, равна у, найти всю массу тела. 3688. Вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилиндром радиуса 7? и высоты Н, если его плотность в любой точке численно равна квадрату расстояния этой точки от центра основания цилиндра. 3689*. Вычислить массу тела, ограниченного круглым конусом, высота которого равна Л, а угол между осью и образующей равен а, если плотность пропорциональна n-й степени расстояния от плоскости, проведенной через вершину конуса параллельно основанию, причем на единице расстояния она равна у (п>0). 3690. Найти массу шара радиуса /?, если плотность пропорциональна кубу расстояния от центра и на единице расстояния равна у. 3691. Вычислить массу тела, ограниченного параболоидом х®4- у2 = 2аг и сферой ха + уа + г2 = За2 (z>0), если плотность в каждой точке равна сумме квадратов координат. 3692*. Плотность шара х2 + у1 za 2Rz в любой его точке численно равна квадрату расстояния этой точки от начала координат. Найти координаты центра масс шара. 3693*. Найти статический момент общей части шаров ха -f-+ //2 + z2«^/?а и x2 + y2+z2^2Rz относительно плоскости Оху. Плотность в любой точке тела численно равна расстоянию этой точки от плоскости хОу. 3694*. Доказать, что момент инерции тела относительно какой-либо оси равен Md2-\-lc, где М — масса тела, d — расстояние от оси до центра масс тела, а 1С — момент инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела (теорема Штейнера; ср. с задачей 3662). Основываясь на законе всемирного тяготения Ньютона (см. указание перед задачей 2670), решить задачи 3695—3698. 3695. Дан однородный шар,радиуса R с плотностью у. Вычислить силу, с которой он притягивает материальную точку массы т, находящуюся на расстоянии а (a>R} от его центра.
Убедиться, что сила взаимодействия такова, как если бы вся масса шара была сосредоточена в его центре. 3696** Доказать, что ньютонова сила взаимодействия между двумя однородными шарами такова, как если бы массы шаров были сосредоточены в их центрах. 3697. Дан неоднородный сплошной шар х2 + у' + г2^ R2 с плотностью, меняющейся по закону у = Хг2. Вычислить силу, с которой он притягивает материальную точку с массой если она находится на оси г на расстоянии 27? от центра шара. 3698. Дано однородное тело, ограниченное двумя концентрическими сферами (шаровой слой). Доказать, что сила притяжения этим слоем точки, находящейся во внутренней полости тела, равна нулю. Центром давления называется точка приложения равнодействующей всех сил давления на данную плоскую фигуру (все силы давления перпендикулярны к плоскости фигуры). При определении координат центра давления исходят из того, что статический момент результирующей силы (т. е. давления на всю площадку) относительно любой оси равен сумме статических моментов отдельных сил относительно той же оси. Опираясь на это, решить задачи 3699—3701. 3699. Найти центр давления прямоугольника со сторонами а и b (а>Ь), у которого большая сторона расположена вдоль свободной поверхности жидкости, а плоскость прямоугольника перпендикулярна к этой поверхности. Показать, что положение центра давления относительно прямоугольника не изменится, если плоскость прямоугольника будет наклонена к поверхности жидкости под углом а (а=#=0). Как изменятся предыдущие результаты, если большая сторона а расположена не на поверхности жидкости, а на глубине h (оставаясь параллельной поверхности)? 3700. Треугольник с высотой h расположен в плоскости, наклоненной под углом а к свободной поверхности жидкости. На какой глубине лежит центр давления этого треугольника, если: а) Основание треугольника лежит на поверхности жидкости? б) Вершина лежит на поверхности, а основание параллельно ей? 3701. Найти центр давления фигуры, ограниченной эллипсом с полуосями а и b (а>Ь), при условии, что большая из осей перпендикулярна к поверхности жидкости и верхний конец этой оси находится на расстоянии h от поверхности. 3702*. Доказать, что давление жидкости на плоскую площадку, произвольным образом погруженную в жидкость, равно весу цилиндрического столба этой жидкости, находящегося над площадкой, при условии, что она лежит горизонтально на глубине своего центра масс.
§ 5. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра Несобственные двойные и тройные интегралы В задачах 3703—3711 вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: 4-оо 4- оо 3703. j j 4" оз 4-ОЭ dx dy (1+х2 + Я;,/1’ q тле f С J705, } s’ ^2+^+«2)2’ 3707. j J (x^ijje^^ dxdy. + % 3709*. $ J e-^+^y^^y^dxdtj. о 0 3706. 3708. ~^dxdy. jj хуе~*г~У: dxdy. о б С j (' „ sin У < 1 dx 1 хе~у —~dy. О 2х из несобственных ин- 3711*. зпз- 3715' D 3710*. J dx jj e-y2dy. 0 x В задачах 3712—3715 выяснить, какие тегралов, взятых по кругу радиуса R с центром в начале координат, являются сходящимися: 3712. $ § In У х2 4- у2 dx dy. 3714. ff=a±j£W у г ( г‘+№1" 3716. Можно ли так выбрать число т, чтобы несобственный интеграл J J рт===, распространенный на всю плоскость, был сходящимся? В задачах 3717—3719 вычислить несобственные интегралы: 4-00 4-00 4*00 3717. f V ( dxdydz —_ 5’ i •! K(i+*+!/+^ 4-00 4-00 4-00 471Й С f f Ху dX dy dZ J J J (14-x2+y2 + z2p' ООО -у2-*2 dxdydz. В задачах 3720—3722 выяснить, сходятся ли несобственные интегралы, взятые по шару £2 радиуса R с центром в начале координат:
3720. 3721. 3722. 3723. __________dxdydz_________ а VW+yH^ in У^+у^+2^ ‘ Я dxdydz. J .) J (*2 + yi + Z2)3 э о Вычислить интеграл J j j In (х24-уг + г2)dxdydz, где об-о ласть П —шар радиуса R с центром в начале координат. 3724*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью z=(x24~i/2)e-(*1+z/a) и плоскостью z = 0. 3725. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью 2 — х2уге~и плоскостью г = 0. 3726. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью г = О и частью поверхности г = хе-<х'+и">, лежащей над этой плоскостью. 3727. Дано однородное тело, ограниченное прямым круглым цилиндром (радиус основания R, высота И, плотность у). Найти силу, действующую на точку с массой т, находящуюся в центре основания цилиндра. 3728. Дано однородное тело, ограниченное прямым круглым конусом (радиус основания R, высота Н, плотность у). Вычислить силу, с которой тело притягивает точку массы т, помещенную в вершине конуса. 3729. Дан неоднородный сплошной шар радиуса R, плотность которого у связана с расстоянием от центра г соотношением у = = a — br (а>0, Ь>0). а) Найти константы а и Ь, если известно, что средняя плотность шара равна ус, а плотность на поверхности шара равна у0. б) Вычислить силу притяжения шаром точечной массы т, расположенной на поверхности шара. Интегралы, зависящие от параметра. Правило Лейбница 3730. Найти область определения функции /(*)= 2л 3731. Найти кривизну линии у= J da в точке с абс- Л циссой х= 1. ь 3732. Используя равенство j = - In (1 4- ай), получить
путем дифференцирования по параметру следующую формулу: ь J (1+ах)з = ,П + ab^ ~ a(l+ab) * О ь 3733. Исходя из равенства С arctg - , вычислить J CL OL О ь С dx ннтеграл J О -f-оо 4-о° Л_пл и С dx л f dx 3734. Исходя из равенства _7> = 2а> вычислить j Q о (я — целое положительное число). 4-оо 3735. Вычислить значение интеграла $ e^x^dx (п — целое о 4“ со положительное число) при а>»0, найдя предварительно $ e~axdx. о 3736*» Исходя из равенства (см. задачу 2318) л/2 С dx _ л Л a2 cos2 *4-Z>2 sin2 х ~~ 2 j ab | ’ найти Л/2 С ________dx_______ ' (a2 cos2 х 4- b2 sin2 х)2 ’ О В задачах 3737—3749 вычислить интегралы с помощью диф* ференцирования по параметру; 3737. 4~ оо f 1 —е~ах . } (а>—1). 3738. --—dx (a> J xtr 0 -1). 3739. 1 0 ^^=dx. 3740. a2 x^Vl-x* <1). 3741. б^ л(1+х2) 3742. (a’- J <!) 3743. л I In (1 +<г cosx) cosx dx (a1 < 1). о Л/2 4 л С г- /1 4* a sin х\ dx 3744-) о
3745. С -——dx (а>0), зная, что ( == 4'1/'^ о’ ь’ 2 у а (о>0) (см. задачу 2439). е~ах1 — е~ ь*г 3746*. I ---------dx (а>0, Ь>0). о 3747*. Y^---X~SinCX^ (а>0). о 3748. e-^c^--cns.cxdx (а>0). о Л/2 3749*. In (a2cos2*4-b2sin2х) dx. л/2 л/2 3750. Вычислив интеграл ( arc4<fl tg х\ HagTII ( ~dx. F J tgx * J tgx о о i 3751. Используя равенство x4dx = вычислить интеграл о (4—~dx (а>—1, 0>—1). ) In X v ’ r 7 о 3752. Используя равенство 2а $ e^a2x2dx==yrn (см. задачу о + со 2439), вычислить интеграл $ (^-а2д2 — e~b2/x*)dx. о 3753. Из соотношения e~22dz — (интеграл Пуассона) вы-Ь Н-СО 1 2 С вести равенство у = j e-!,xdz (х>0) и использовать его для вычисления интегралов (интегралы дифракции или Френеля): Ч Гх5 -Г 00 . С cos х dx ( sin х dx j ~77~: К* ' Разные задачи 3754. Пусть функция /(х) непрерывна при хЭ-0 и при х-> ->4-со /(х) стремится к конечному пределу /(+оо). Доказать
-{-со при этих условиях, что если а> 0 и Ь > 0, то § х (bx^dx = о = [/(+с*)-/(0)]1п*-. В задачах 3755—3756 вычислить интегралы, пользуясь результатом задачи 3754: 3755. | а^ах~ак^Ьх.^х. зуде. | ^x"-e~bxndx (п>0). +?,м 3757*. Пусть функция f(x) непрерывна при х^аО и I dx А сходится при любом Л>0. Доказать при этих условиях, что если а>0 и i>0, то i - dx = f(O)]n~. (Ср. с зада- о чей 3754.) В задачах 3758—3762 вычислить интегралы, пользуясь результатом задачи 3757 (а>0, Ь>0): 3758. f e~ax— e bx , 1 dx. J X 3759. 0 cos ax — cos bx X 3760. +“ . . . C sm ax sin bx j x 3761. 4-00 b sin ax — a sin bx xt ' 3762* T U о 3763*. Функция Лапласа Ф (х) определяется так: Ф(х)~ X 2 С = \ е~‘* dt (эта функция играет большую роль в теории веро- У л J ятностей). Доказать соотношения: X 2 2 +00 1) (ф (az)dz = -—-уГ1 +хФ(ах); 2) i [1 — Ф (х)]</х = J—. о а Гл -J Г« 3764*. Функции si (х) и ci (х) обычно определяются так: si(x) = — | («интегральный синус») п ci(x) =— j -7“^ * х («интегральный косинус»). Доказать, что 4-00 4-00 j sinxsi(x)dx = f cosxci (x)dx = —
3765*. Функция J0(x), определяемая равенством л/2 Jo (х) = ~ j* cos (х sin б) d6, ь называется функцией Бесселя нулевого порядка. Доказать, что: со 1) ( e-axJ0(x)dx= Л— (а>0); $ У1+аа 4-да л/2, если а^1; 2) f arcsinа, если |a|<J; о —л/2, если а^—1. +» р е~хг 3766. Доказать, что функция у— I УД°влетв0Ряет о дифференциальному уравнению у" + у = 1/х. 3767*. Доказать, что функция у — (гг — I)"-1 ех* dz удовлет- — I воряет дифференциальному уравнению ху"-\-2ny' — ху~О. + °° р е ~х* 3768*. Доказать, что функция у= 1 . 2- dz удовЛёТВО- J U "г ряет дифференциальному уравнению xtf — 2пу'-\-ху= 1. 3769*. Доказать, что функция Бесселя нулевого порядка л/2 /0(х)= 2- С cos (хsin 9) сГО удовлетворяет дифференциальному урав- о нению Jо (х) + + Jo (х) = О
ГЛАВА XIII КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 1. Криволинейные интегралы по длине Вычисление интегралов В задачах 3770—3775 вычислить криволинейные интегралы: С ds 1 3770. j - , где L — отрезок прямой у — -% х — 2, заключенный между точками А (0, —2) и В (4, 0). 3771. ^xyds, где L — контур прямоугольника с вершинами А (0,0), В (4, 0), С (4, 2) и 0(0, 2). 3772. Jyds, где L — дуга параболы у2 = 2рх, отсеченная пара-t белой х2=2ру. 3773. J (х2 4-^2)n ds, где L — окружность x = acos/, у = a sin/. L 3774. i xyds, где Л —четверть эллипса 4- = 1, лежащая *£ в первом квадранте. 3775. ^f/r2yds, где L — первая арка циклоиды x = a(t— sin/), L у— a (I — cos /). 37 76.. Вывести формулу для вычисления интеграла ^F(x, в полярных координатах, если линия L задана уравнением Р = р(ф) (фг<ф<фг)- 3777*. Вычислить J (х — у) ds, где L — окружность х2 4- у2 = ах. L ______ 3778. Вычислить J х ]/х2 — у2 ds, где L — линия, заданная урав-L нением (х2 + у2)2 = а2 (х2 — у2) (xs^O) (половина лемнискаты). 3779. Вычислить J arctg ds, где L — часть спирали Архимеда L р — 2<р, заключенная внутри круга радиуса R с центром в начале координат (в полюсе).
3780. Вычислить интеграл i где £ —первый виток вин« Д * “Г У товой линии х~ a cost, г/= a sin/, г = а 3781. Вычислить J xyz dst где L — четверть окружности х2+у2 4- L 4-г2 = /?2, х2 + у2 = 7?2/4, лежащая в первом октанте. 3782. Вычислить J (2г — ]/х2 + У2) ds, где L —первый виток ко- L нической винтовой линии x = /cos/, #=/sin/, г = /. 3783. Вычислить J (x+z/) ds, где Л—четверть окружности L x2+y2-\-z2 = R2, у = х, лежащая в первом октанте. Применения интегралов 3784. Найти массу участка линии i/ = lnx между точками с абсциссами хх и х2, если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки. 3785. Найти массу участка цепной линии y = ach^ между точками с абсциссами Xi — 0 и х2 — а, если плотность линии в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки, причем плотность в точке (0, а) равна б. 3786. Найти массу четверти эллипса x = acos/, // = 6 sin/, расположенной в первом квадранте, если плотность в каждой точке равна ординате этой точки. 3787. Найти массу первого витка винтовой линии x = acos/, y = asint, z = bt, плотность которой в каждой точке равна квадрату полярного радиуса этой точки. 3788. Найти массу дуги линии x = e/cos/, у = е* sin /, z = e* от точки, соответствующей / = 0, до произвольной точки, если плотность дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке (1,0, 1) равна единице. 3789. Найти координаты центра масс первого полувитка винтовой линии x^acos/, i/ = a sin/, z = bt, считая плотность постоянной. 3790. Вычислить статический момент первого витка конической винтовой линии x = /cos/, y — t sin /, г = / относительно плоскости Оху, считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от этой плоскости: р = /гг2, 3791. Вычислить моменты инерции первого витка ВИНТОВОЙ линии х = и cos/, t/ = asin/, г = -^-/ относительно координатных осей.
В задачах 3792—3797 вычислить площади частей цилиндрических поверхностей, заключенных между плоскостью Оху и указанными поверхностями: 3792. х2 + г/2 = 7?2, 2 = # + ^. 3793. t/2 = 2рх, z = 2рх — 4х2. 3794. # = | (х - I)3; z = 2 - Ух. 3795. x2+y2 = R2, 2Rz = xy. 3796. + |s=l, z = kx и z = 0 (2^0) («цилиндрическая подкова»). 3797. у = У2рх, г = у и х = ^-р. 3798. Вычислить площадь поверхности, которую вырезает из круглого цилиндра радиуса R такой же цилиндр, если оси этих цилиндров пересекаются под прямым углом (ср. с решением задачи 3642). 3799. Найти площадь части поверхности цилиндра х2 -|-у2 — Rx, заключенной внутри сферы x24-t/2-f-z2 = /?2. Согласно закону Био —Савара элемент тока действует на v ml sin a ds магнитную массу tn с силон, равной по величине ----, где / — ток, ds—элемент длины проводника, г —расстояние от элемента тока до магнитной массы, а —угол между направлением прямой, соединяющей магнитную массу и элемент тока, и направлением самого элемента тока. Эта сила направлена по нормали к плоскости, содержащей элемент тока и точку, в которую помещена магнитная масса; направление силы устанавливается правилом «буравчика». Опираясь на этот закон, решить задачи 3800—3805. 3800. Найти силу, с которой ток I в бесконечном прямолинейном проводнике действует на точечную магнитную массу т, находящуюся на расстоянии а от проводника. 3801. По контуру, имеющему форму квадрата со стороной л, течет ток /. С какой силой этот ток действует на точечную магнитную массу т, находящуюся в центре квадрата? 3802. Показать, что ток /, текущий по дуге линии, уравнение которой в полярных координатах имеет вид р = р(<р), действует на точечную магнитную массу, находящуюся в полюсе, с силой Ф1 3803. С какой силой ток /, текущий по замкнутому эллиптическому контуру, действует на точечную магнитную массу т, находящуюся в фокусе эллипса?
3804. С какой силой ток I, текущий по бесконечному параболическому контуру, действует на точечную магнитную массу /и, помещенную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до фокуса равно р/2. 3805. С какой силой ток /, текущий по круговому контуру радиуса R, действует на точечную магнитную массу т, помещенную в точку Р, лежащую на перпендикуляре, восставленном в центре круга, на расстоянии h от плоскости круга? При каком значении R эта сила будет наибольшей при заданном Л? § 2. Криволинейные интегралы по координатам Вычисление интегралов В задачах 3806—3821 вычислить криволинейные интегралы: 3808. J х dy, где L — контур треугольника, образованного осями L координат и прямой -g- + y=l, в положительном направлении (т. е. против движения часовой стрелки). 3807. 1 xdy, где L — отрезок прямой 7 + |=1 от точки пе-с ресечения ее с осью абсцисс до точки пересечения ее с осью ординат. 3808. \(х2 — y2)dx, где L — дуга параболы у = х2 от точки (0, 0) L до точки (2, 4). 3809. ^(x2-\-y2)dy, где L — контур четырехугольника с верши-L нами (указанными в порядке обхода) в точках А (0, 0), В (2, 0), С (4, 4) и D(0, 4). (л. 2л) 3810. —хcosydx-\-ysinxdy вдоль отрезка, соединяю- (0, 0) щего точки (0, 0) и (л, 2л). о, к 3811. § xy dx + (у — х) dy вдоль линии 1) у = х, 2) у — х2, (0, 0) 3) у2=х, 4) у = х3. о. о 3812. $ 2xydx-\-x2dy вдоль линии 1) у — х, 2) у = х2, (0. 0) 3) 4/ = х3, 4) у2 = х. 3813. ^ydx-\-xdy, где L — четверть окружности x = Rcost, L y=Rsint от /1 = 0 до /а = л/2. 3814. \yd*— xdy, где L — эллипс x=acos/, y — bsint, пробе-I гаемый в положительном направлении.
(О, /?). noir С y*dx—x2dy т 3815. 1 —х*+у*—1 где “ полуокружность x = acos/, у — = a sin / от /1 = 0 до /2 = л. 3816. J (2а — у) dx — (а — у) dy, где L — первая (от начала коор-L динат) арка циклоиды х = а(/ —sin/), у = а(1 — cos/). 3817. ~^5^з ~^5/зХ » гДе £ —четверть астроиды x = 7?cos3/, у = R sin3/ от точки (/?, 0) до точки 3818. $xdx-\-уdy + (* + </— l)dz, где L —отрезок прямой от L точки (1, 1, 1) д® точки (2, 3, 4). 3819. ^yzdx + zxdy+xydz, где L x — Rcost, y=Rsint, z = ~ от точки пересечения линии с плоскостью z = 0 до точки ее пересечения с плоскостью г = а. (4. 4. 4) овал С xdx-\-ydy+zdz 3820. 1 ------ вдоль прямой линии. (I. 1. 1) /*2 + y2+z2-x-y+2z 3821. J у* dx + гг dy+хг dz, где L — линия пересечения сферы L х* + у2 4* га = 7?2 и цилиндра х24-у® = Rx (7?>0, z^sO), обходимая при интегрировании против часовой стрелки, если смотреть из начала координат. L — дуга винтовой линии Формула Грина В задачах 3822—3823 криволинейные интегралы по замкнутым контурам L, взятые в положительном направлении, преобразовать в двойные интегралы по областям, ограниченным этими контурами. 3822. \{l-x2)ydx + x(l+y2)dy. L 3823. (^ + 2х cos у) dx 4- (е*у — х2 sin у) dy. L 3824. Вычислить двумя способами интеграл задачи 3822, если контуром интегрирования L служит окружность х*4-у2 = /?2: 1) непосредственно, 2) с помощью формулы Грина. 3825. Вычислить $ (ху 4-х 4- у) dx + {ху 4-х —у) dy, где L: 1) эл-L липс^ + ^ = 1; 2) окружность х24-у® = ах. Интегрирование ведется в положительном направлении. (Вычисление провести двумя способами: 1) непосредственно, 2) с помощью формулы Грина.)
3826. Доказать, что интеграл $ (ухл+еу) dx+(ху3 4- хеу — 2у) dy L равен нулю, если L — замкнутая линия, симметричная относительно начала координат. 3827. С помощью формулы Грина вычислить разность между интегралами $ (x+yfdx-lx-yfdy АтВ И /«= $ (x + y)2dx — (х — y)2dy, АпВ где AtnB — отрезок прямой, соединяющей точки А (0, 0) и В(1, 1), а Л нВ —дуга параболы t/ = x2. 3828. Показать, что интеграл J {х cos (Af, х) + у sin (Af, х)} dsf L где (АГ, х) —угол между внешней нормалью к линии и положительным направлением оси абсцисс, взятый по замкнутому контуру L в положительном направлении, равен удвоенной площади фигуры, ограниченной контуром L, 3829. Доказать, что величина интеграла {j (2ху — yjdx+x*dy, L где L-— замкнутый контур, равна площади области, ограниченной этим контуром. 3830. Доказать, что интеграл $ Ф («/) dx + [хер* (y) + x3]dy равен L утроенному моменту инерции однородной плоской фигуры, ограниченной контуром L, относительно оси ординат. Независимость интеграла от контура интегрирования. .Отыскание первообразной В задачах 3831—3835 проверить, что интегралы» взятые по нулю независимо от вида функций, выражение. 3832. \f(xy) (ydx + xdy). < L замкнутым контурам, равны входящих в подынтегральное 3831. $ ср (х) dx + ф (у) dy. 3833. 3834. \\f(x+y)+f(x-y)]dx + \f(x + y)-f(x-y)]dy. L
3835. $/(хг + //а4-гг) (xdx + ydy+zdz). L 3836*. Доказать, что интеграл I **%Т?/*» взятый в положи* тельном направлении по любому замкнутому контуру, заключающему внутри себя начало координат, равен 2л. 3837. Вычислить С вдоль окружности х2 4- уг = I J х “г в положительном направлении, В задачах 3838—3844 вычислить криволинейные интегралы от полных дифференциалов: (2. 3) <2, 1) 3838. J ydx+xdy. 3839. $ 2xydx+x2dy. <—i. ;> (о, о> <5. 12) 3840. I —(начало координат не лежит на контуре J х *т“ У (3. -) интегрирования). 3841. ( , где точки и Р2 расположены на концен- Д V*2+y* трических окружностях с центрами в начале координат и радиусами, равными соответственно Rr и R2 (начало координат не лежит на контуре интегрирования). (2,1,3) (3.2,1) 3842. $ xdx — y2dy + zdz, 3843. $ yzdx-\-zxdy-\-xydz. <1. —1,2) (1,2,3) (5, 3. 1) 3844. z- dy— (контур интегрирования не пере-(7, 2, 3) секает поверхности z=--). В задачах 3845—3852 найти функции по данным полным дифференциалам: 3845. du = х2dx + у2dy. 3846. du = 4 (х2 — у2) (xdx —уdy). 3847. = Xх 1 У/ 3848. du= -JL^dx- уУх*+у* \ у2¥*Ну2 } 3S49- = [ (^>.+ «]* + [ «4? 3850. du = (2х cos у—у2 sin х) dx 4- (2у cos х — хг sin у) dy. а*51- 3852. du= (3y-x)rfx+_(y-3x)dy
3853. Подобрать число п так, чтобы выражение (х—y)dx+(x + u) dy е _ _ , , г —---------------было полным дифференциалом; найти соответ- ствующую функцию. 3854. Подобрать постоянные а и b так, чтобы выражение (y* + 2xy+ax*)dx— (x^ + Zxy+by^dy , -------------------------—— было полным дифференциалом; найти соответствующую функцию. В задачах 3855—3860 найти функции по данным полным дифференциалам: 3855. = 3856. du.= — +tJdyJt'1:dxl 3857. du = *dx^%+xydz. 3858. du = ^Jy+^^-y^x) (х-угр 3859. du = -~^dy + 3860. du = га Применения интегралов В задачах 3861—3868 вычислить при помощи криволинейного интеграла площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями. 3861. Эллипсом x = acosZ, y — bsint. 3862. Астроидой x = acos3/, y = asin3t 3863. Кардиоидой x = 2acos/ — a cos 2/, у = 2а sin t—a sin 21. 3864*. Петлей декартова листа x’ + j/3 — 3axy = 0. 3865. Петлей линии (х + у)3 = ху. 3866. Петлей линии (х 4- у)4 = х2у. 3867*. Лемнискатой Бернулли (х2 + tf)2 ==2а2 (х2 — tf). 3868*. Петлей линии (j/x +1^у)В * * * 12 — ху. Работа 3869. В каждой точке плоскости на материальную точку действует сила, имеющая постоянную величину F и направление положительной оси абсцисс. Найти работу, совершаемую этой силой, при движении точки по дуге окружности х’+«/2 = /?2, лежащей в первом квадранте. 3870. В каждой точке плоскости на материальную точку действует сила F, проекции которой на оси координат равны Х=ху, У = х-Уу. Вычислить работу силы F при перемещении точки из начала координат в точку (1, I): 1) по прямой у=х;
2) по параболе у = х\ 3) по двузвенной ломаной, стороны которой параллельны осям координат (два случая). 3871. В каждой точке М эллипса х—a cost, у = 6 sin/ приложена сила F, равная по величине расстоянию от точки М до центра эллипса и направленная к центру эллипса, а) Вычислить работу силы F при перемещении точки вдоль дуги эллипса, лежащей в первом квадранте, б) Найти работу, если точка обходит весь эллипс. 3872. Проекции силы на оси координат задаются формулами X = 2ху и У = х2. Показать, что работа силы при перемещении точки зависит только от начального и конечного ее положения и не зависит от формы пути. Вычислить величину работы при перемещении из точки (1, 0) в точку (0, 3). 3873. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от плоскости хОу и направлена к началу координат. Вычислить работу при движении точки под действием этой силы по прямой x = at, y = bt, z — ct от точки М (а, Ь, с) до точки N (2а, 2Ь, 2с). . 3874. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси Oz, перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу силы при движении точки под действием этой силы по окружности x = cos/, у=\, z = sin/ от точки А4(1, 1, 0) до точки jV(O, 1, 1). 3875. Доказать, что работа силы тяготения двух точечных масс, совершаемая при перемещении одной из них, не зависит от формы пути. Величина силы тяготения F определяется законом Ньютона: F = где г —расстояние между точками, mi и т2 — массы, сосредоточенные в этих точках, А —гравитационная постоянная. § 3. Интегралы по поверхности Интегралы по площади поверхности В задачах 3876—3884 вычислить интегралы: 3876. J J (z 4- 2х 4- y^dq, где S — часть плоскости + 3 + *s . 2 1 + -4= 1, лежащая в первом октанте. 3877. ^xyzdq, где S —часть плоскости x-f-i/-|-z= 1, лежа-з щая в первом октанте. 3878. где S-часть сферы х2 +1/2 + г2 =лежащая з в первом октанте.
>2 3879. J J у dy, где 3 — полусфера г = У R-—х2—у2. з 3880. J J V R2 — х2 — у2 dq, где S — полусфера z=J//?2—х2—у2- 3881. ^x^dq, где 3 —полусфера z = yrR2 — x2 — y2, \s 3882. J jr. w S —цилиндр х2+у2 = 7?2, ограниченный плоскостями г = 0 и 2=Н, а г—расстояние от точки поверхности до начала координат. 3883. где 3—сфера х2+y2 + z2 = R2, а г —расстояние от точки сферы до фиксированной точки Р (0, 0, с) (c>R). 38S4. j J -у-, где S —часть поверхности гиперболического параболоида z-=xy, отсеченная цилиндром x2-|-z/2 = 7?2, а г —расстояние от точки поверхности до оси Oz. 3885*. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы. 3886. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы. Поверхностные интегралы по координатам В задачах 3887—3893 вычислить поверхностные интегралы. 3887. ^\xdydz-\-ydxdz-}-zdxdy, где 3 — положительная сто-рона куба, составленного плоскостями х=0, «/ = 0, 2 = 0, х=1, У = 1, z= 1. 3888. ^x2y2zdxdy, где 3 — положительная сторона нижней 3 половины сферы х14- у2 + г2 = R2. 3889. j ^zdxdy, где 3 — внешняя сторона эллипсоида ~ + + j£+*fLl. Xs , внешняя сторона эллипсоида + 3
3891 < ^xzdxdy+xydydz + yzdxdz, где S —внешняя сторона ‘s пирам! ды, составленной плоскостями х = 0, t/ = 0, z = 0 и х+у-у + 2== 1* 3892. $$ yzdxdy + xzdydz + xydxdz, где S —внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из цилиндра х2 + #2 = /?2 и плоскостей х = 0, у = 0, z = 0 и z = H. 3893. $$ y2zdxdyxzdydz-\-x2ydx dz, где 3 — внешняя сторона з поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из параболоида вращения z = x24-y2» цилиндра х24-*/2=1 и координатных плоскостей (рис. 68). Формула Стокса 3894. Интеграл $ (у2 + z2) dx + (х2 + L 4- z2) dy+ (х2 + у2) dz, взятый по некоторому замкнутому контуру, преобразовать с помощью формулы Стокса в интеграл по поверхности, «натянутой» на этот контур. 3895. Вычислить интеграл \x2y^dx^dy-\-zdz, где контур L L — окружность x2-\-y2 = R2, z = 0: а) непосредственно и б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу z= 4- У R2 — х2 — у2. Интегрирование по окружности в плоскости хОу ведется в положительном направлении. Формула Остроградского 3896. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности преобразовать с помощью формулы Остроградского в тройной интеграл по объему тела, ограниченного этой поверхностью: Цх2dydz + у2dxdz + z2dxdy. Интегрирование ведется по внешней стороне поверхности S. 3897. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности преобразовать с помощью формулы Остррградского в тройной по объему тела, ограниченного этой поверхностью: Iх* + У1 + 2<2 (cos х) + cos ' $ + cos *)} do; где 2V —внешняя нормаль к поверхности S.
:сли 3 —сфера ра- в начале-ищординат. / ' интеграл (N, 2)] da, ®РЯсце>ирбм в начале координат, a N — х 3891—3893, применяя инте
ГЛАВА XIV ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными В задачах 3901—3910 найти общие решения дифференциальных уравнений: ^3901. (x^ + x)dx + (y-x2//)dy = 0. 3902. хуу' = 1 - х2.. 3903. уу' = . 3904. y'tgx — y = a. 3905. xy' + y = tf. 3906. У' + У^ = 0- 3907. УГ^(1х+уУ1^ТЧу = 0. 3908. e's (1 + $) = 1 • . 3909. у' = КХ'Л 3910. (/' +sinMr^sin^=^. 27 1 2 -2 3911. Зависимость между скоростью v снаряда и пройденным путем I в канале орудия устанавливается в баллистике следую-aln dl . тт «* щим уравнением: , где и = и п<1. Наити зависи- мость между временем t движения снаряда и пройденным расстоянием I по каналу. 3912. Если % —количество иодистоводородной кислоты HJ, разложившееся к моменту времени tt то скорость разложения dx . . dx . /Т—х\2 — определяется дифференциальным уравнением = ki (—jj— I — где ku k2 и и—постоянные. Проинтегрировать это уравнение. В задачах 3913—^91$^йти частные решения дифференциальных уравнений, удо^л^т^о^яющи^^данным начальным условиям: 3913. if sin39\4. 1/|х-о= 1. 3915. sint/cos^^ = cosysinrtft; у|*-в = л/4. 3916. у - xtf . b (1 + A'); S = 1 •
3917. Найти линию, проходящую через точку (2, 3) и обла-дающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания. 3918. Найти' линию, проходящую через точку (2, 0) и обладающую тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ординат имеет постоянную длину, равную двум. 3919. Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат. 3920. Найти все линии, у которых подкасательная пропорциональна абсциссе точки касания (коэффициент пропорциональности равен k). 3921. Найти линию, проходящую через точку (а, 1) и имеющую подкасательную постоянной длины а. 3922. Найти линию, у которой длина нормали (отрезок ее от точки линии до оси абсцисс) есть постоянная величина а. 3923. Найти линию, у которой сумма длин касательной и подкасательной в любой ее точке пропорциональна произведению координат точки касания (коэффициент пропорциональности равен k). 3924. Найти линию y = f(x) (f (x)SsO, /(0) = 0), ограничивающую криволинейную трапецию с основанием [0, х], площадь которой пропорциональна (и4-1)-й степени /(х). Известно, что /(1) = 1. 3925. Материальная точка массой 1 г движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента / = 0, и обратно пропорциональной скорости движения точки* В момент t — 10 с скорость равнялась 0,5 м/с, а сила — 4 • 10-® Н. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения? 3926. Материальная точка движется прямолинейно, причем так, что ее кинетическая энергия в момент t прямо пропорциональна средней скорости движения в интервале времени от нуля до t. Известно, что при / = 0 путь s = 0. Показать, что движение равномерно. 3927. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью о=10 км/ч. На полном ходу ее мотор был выключен, и через / = 20 с скорость лодки уменьшилась до щ = 6 км/ч. Считая, что сила сопротивления воды движению лодки пропорциональна ее скорости, найти скорость лодки через 2 мин после остановки мотора; найти также расстояние, пройденное лодкой в течение одной минуты после остановки мотора. 3928. В дне цилиндрического сосуда с поперечным сечением S и вертикальной осью имеется малое круглое отверстие площадью у, закрытое диафрагмой (как у объектива фотоаппарата). В сосуд налита жидкость до высоты h. В момент t = 0 диафрагма
начинает открываться, причем площадь отверстия пропорциональна времени и полностью отверстие открывается за Т с. Какова будет высота Н жидкости в сосуде через Т с после начала опыта? (См. задачи 2701—2706.) 3929. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурами тела и среды. В задачах 2710—2711 мы считали коэффициент пропорциональности постоянным. При некоторых расчетах считают, что он линейно зависит от времени: Л = й0(1 +«/). Найти при этом предположении зависимость между температурой тела 0 и временем /, полагая, что 6 = % при / = 0, а температура окружающей среды 3930*- Скорость роста площади молодого листа виктории-регии, имеющего, как известно, форму круга, пропорциональна окружности листа и количеству солнечного света, падающего на лист. Последнее в свою очередь пропорционально площади листа и косинусу угла между направлением лучей и вертикалью. Найти зависимость между площадью S листа и временем если известно, что в 6 часов утра эта площадь равнялась 1600 см2, а в 6 часов вечера того же дня 2500 см2. (Полагать, что наблюдение производилось на экваторе в день равноденствия, когда угол между направлением лучей солнца и вертикалью можно считать равным 90° в 6 часов утра и в 6 часов вечера и О' в полдень.) В задачах 3931—3933 при помощи замены искомой функции привести данные уравнения к уравнениям с разделяющимися переменными и решить их: 3931. у' = cos (х — у) (положить и — х^у). 3932. у = Зх — 2у -|- 5. 3933. у* |/ 1 х у = х у — 1. Однородные уравнения В задачах 3934—3944 найти общие решения уравнений: 3935. Х~У 3937. = 3 Х-—У1 3939. ху' — у= х1 + у2. 3941. у'=е^+ух-. 3943. (Зу2 4- Зху + х2) dx = (х2 4- 2ху) dy. В задачах 3945—3948 найти частные решения днфференциаль-пых уравнений, удовлетворяюпще данным начальным условиям: 3934. у' 2. 3936. х dy — ydx = ydy. 3938. / = -- + -£ V у r X 3940. у2 + х2у'= хуу'. 3942. xy' = yln -^. 3944. y'=y+^L. J х Ч (У/х)
3945. (ху'-у)arctg~=х; y\x.i = Q. 3946. (tf — 3xi)dy + 2xydx = 0; 3947. у — у3+2ху_х3; y\x-i 1. 3948. y(^.y + 2x g--</ = 0; «/|,-o = /5. 3949. Привести уравнение у' — — + <р(—) к квадратуре. Ка-кова должна быть функция <₽(—]. чтобы общим решением дан-КОГО уравнения было у = .г-ту-т? 3950. Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания. 3951. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной равна соответствующей поднормали. 3952. Найти линию, у которой длина полярного радиуса любой ее точки М равняется расстоянию между точкой пересечения касательной в точке М с осью Оу и началом координат. 3953*. Какой поверхностью вращения является зеркало прожектора, если лучи света, исходящие из точечного источника, отразившись, направляются параллельным пучком? Линейные уравнения В задачах 3954—3964 найти общие решения уравнений: 3954. у'+2у = 4х. 3955. у' + 2ху = хе~*г. 3956. у' + ±=^у = 1. 3957. (1 + ха) у' - 2ху = (1 + х1)«. 3958. у' + у = cos х. 3959. у’ + ау = етж. 3960. 2ydx + (y2 — 6x)dy = Q. 3961. у' = 5^. 3962. у’ _ 2g,n/+!>-. 3963. x(z/'-«/) = (l+x2)e< 3964. у' 4- уФ' (х) — Ф (х) Ф' (х) — 0, где Ф (х) — заданная функ ция. В задачах 3965—3968 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям: 3965. у' — //tgx = secx; £/|,-о = О. 3966. ху’ + у-е* = &, у\х-а = Ь. 3967. ху'-^-^х-, y\x-i = 0. 3968. t (14-I2) dx = (х+хС - e)dt-, х |f.t = - п/4. ‘ .
3969. Пусть yi и у2 — два различных решения уравнения y' + P(x)y = Q(x). а) Доказать, что у = ух Ц- С (у2 — ух) является общим решением того же уравнения (С —константа). б) При каком соотношении между постоянными а и ₽ линейная комбинация ou/i + ₽i/2 будет решением данного уравнения? в) Доказать, что если у3 — третье частное решение, отличное I/?----------------------(Л от z/х и у2, то отношение ——— постоянно. Уз — Ух х 3970. Доказать тождество (см. задачу 2345) = о X X — составив для функции 1(х) = \ё*х~г*<1г диффе- о о ренциальное уравнение и решив его. 3971. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания. 3972*. Найти линию, у которой площадь прямоугольника, построенного на абсциссе любой точки и начальной ординате касательной в этой точке, есть величина постоянная (= а8). 3973*. Найти линию, для которой площадь треугольника, образованного осью абсцисс, касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна (= а2). 3974. Точка массой, равной т, движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности равен fei), протекшему от момента, когда скорость равнялась нулю. Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности равен k). Найти зависимость скорости от времени. 3975. Точка массой, равной т, движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего с момента, когда скорость была и0 (коэффициент пропорциональности равен k). Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное произведению скорости и времени (коэффициент пропорциональности равен ki). Найти зависимость скорости от времени. 3976. Начальная температура тела 0О°С равна температуре окружающей среды.. Тело получает тепло от нагревательного прибора (скорость подачи тепла является заданной функцией времени: е<р(/), где с — постоянная теплоемкость тела). Кроме того, тело отдает тепло окружающей среде (скорость охлаждения пропорциональна разности между температурами тела и среды). Найти зависимость температуры тела от времени, отсчитываемого от начала опыта.
Решить задачи 3977—3978, учитывая, что если переменный электрический ток / = /(/) течет по проводнику с коэффициентом индуктивности L и сопротивлением /?, то падение напряжения вдоль проводника будет равно L ~fi- + RI- 3977. Разность потенциалов на зажимах катушки равномерно падает от £0 = 2 В до £i = 1 В в течение 10 с. Каков будет ток 2 в конце десятой секунды, если в начале опыта он был 16 у А? Сопротивление катушки 0,12 Ом, коэффициент индуктивности 0,1 Гн. 3978. Найти ток в катушке в момент t, если сопротивление ее R, коэффициент индуктивности L, начальный ток Zo = 0, электродвижущая сила меняется по закону Е — Ео sin <о/. Разные задачи (уравнения е разделяющимися переменными, однородные и линейные) В задачах 3979—3997 найти общие решения уравнений: 3979. у' = —- '/2. 3980. х2 dy + (3 - 2ху) dx = 0. 3981. х(х2+ПУ + // = х(1+х2)2. J к хг/(1Ч-х2) • 3984. (8f/+10x)dx + (5!/4-7x)dz/ = 0. 3985. x3z/' = у (у2 ф- x2). 3986. = tg 3987. ^х — у cos dx + x cos dy = 0. 3988. у'=е2х — еху. 3989. . 3990. d.y =----‘—г. 3991. (х - 2ху - y2)dy + y2dx=Q. dx х cos у + sin Чу v J 3992. ~T i/cosx = sin x cosx. 3993. (x+1)/— лу = ех(х+1)яи. 3994. ydx = ^-x}dy. 3995. ^ + ^ = 0. 3996*. yy’ sinx = cosx(sinx — y2). 3997. у" = (x+y)2. 3998. Убедиться в том, что интегральными кривыми уравнения (1 — х2) у’ + ху = ах являются эллипсы и гиперболы с центрами В точке (0, а) И осями, параллельными координатным осям, причем каждая кривая имеет одну постоянную ось, длина которой равна 2. В задачах 3999—4002 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
4000. //'-^=1+*; г/|,.0=1. 4001. (1 + ех) у у' = е1> у |ж_0 - 0. 4002. у' = 3x2t/ + хв + х2; у U-0 = 1. 4003. Доказать, что только прямые у = kx и гиперболы ху = т обладают следующим свойством: длина полярного радиуса любой их точки равна длине касательной, проведенной в этой точке. 4004. Найти линию, у которой длина нормали пропорциональна квадрату ординаты. Коэффициент пропорциональности равен k. 4005. Найти линию, у которой любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала координат. 4006. Найти уравнение линии, пересекающей ось абсцисс в точке х=1 и обладающей таким свойством: длина поднормали в каждой точке линии равна среднему арифметическому координат этой точки. 4007. Найти линию, у которой площадь трапеции, образованной осями координат, ординатой произвольной точки и касательной в этой точке, равна половине квадрата абсциссы. 4008. Найти линию, для которой площадь, заключенная между осью абсцисс, ли^й^и двумя ординатами, одна из которых постоянная, а другая --переменная, равна отношению куба переменной ординаты к переменной абсциссе. 4009. Найти линию, для которой площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, двумя орданатами и дугой ММ' этой линии, пропорциональна дуге ММ' при любом выборе точек М и М'. 4010. Найти линию, для ко\щ^й-<гбс1ПКга^центра масс криволинейной трапеции, образованной осями координат, прямой х = а и линией, была бы равна За/4 при любом а. 4011* . Найти линию, все касательные к которой проходят через данную точку (х0, у0)- 4012. Найти линию, проходящую через начало координат, все нормали к которой проходят через данную точку (х0, у0)- 4013. Какая линия обладает следующим свойством: угол, составляемый с осью Ох касательной к линии в любой ее точке, вдвое больше угла, который составляет с той же осью полярный радиус точки касания. 4014. На тело массы т=1 действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности равен fei). Кроме того, тело испытывает противодействие среды, пропорциональное скорости тела (коэффициент пропорциональности равен fe). Найти закон движения тела (зависимость пути от времени). 4015. Частица падает в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости частицы. Показать, что урав
нение движения будет = где k — постоянная, g —ускорение силы тяжести. Проинтегрировать это уравнение и показать, что v стремится к Уg/k при 4016. Сила трения, замедляющая движение диска, вращающегося в жидкости, пропорциональна угловой скорости вращения. 1) Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 3 оборота в секунду, через 1 мин вращается с угловой скоростью 2 оборота в секунду. Какова будет его угловая скорость через 3 мин после начала вращения? 2) Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 5 оборотов в секунду, через 2 мин вращается с угловой скоростью 3 оборота в секунду. Через сколько времени после начала вращения он будет обладать угловой скоростью, равной 1 обороту в секунду? 4017. Пуля входит в доску толщиной h = 0,1 м со скоростью Оо =-• 200 м/с, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью oi = = 80 м/с. Принимая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти, сколько времени продолжалось движение пули через доску. 4018*. Капля воды, имеющая начальную массу /Ио г и равномерно испаряющаяся со скоростью т г/с, движется по инерции с начальной скоростью о0 см/с. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения капли и ее радиусу. В начальный момент (/ = 0) она равна /0Н. Найти зависимость скорости капли от времени. 4019*. Капля воды, имеющая начальную массу /Ио г, равномерно испаряющаяся со скоростью т г/с, свободно падает в воздухе. Сила сопротивления пропорциональна скорости движения капли (коэффициент пропорциональности равен k). Найти зависимость скорости движения капли от времени, протекшего с начала падения капли, если в начальный момент времени скорость капли равнялась нулю. Считать, что k=£2m. 4020*. Решить предыдущую задачу для капли сферической формы, предполагая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна произведению скорости капли и площади ее поверхности. Плотность жидкости у. (Привести к квадратурам.) 4021*. Если в каком-либо процессе одно вещество превращается в другое, причем скорость образования продукта пропорциональна наличному количеству превращающегося вещества, то такое явление называют процессом (или реакцией) первого порядка. Некоторое вещество, начальное количество которого лг0, превращается в другое вещество, а из образовавшегося продукта немедленно начинает получаться второй продукт. Оба превращения происходят как процессы первого порядка; коэффициенты
пропорциональности известны: kt — в первом процессе и £2 — во втором. Какое количество второго продукта образуется через t единиц времени после начала процесса? 4022, В резервуаре, объем которого 100 л, находится рассол, содержащий 10 кг растворенной соли. В резервуар втекает вода со скоростью 3 л/мин, а смесь с такой же скоростью перекачивается во второй резервуар емкостью также 100 л, первоначально наполненный чистой водой, из которого избыток жидкости выливается. Сколько соли будет содержать второй резервуар по прошествии часа? Каково максимальное количество соли во втором резервуаре? Когда это максимальное количество достигается? (Концентрация соли в каждом из резервуаров поддерживается равномерной посредством перемешивания.) 4023* Напряжение и сопротивление цепи равномерно меняются в течение минуты соответственно от нуля до 120 В и от нуля до 120 Ом (см. задачи 3977—3978). Индуктивность цепи по стоянна (1 Гн). Начальный ток 70. Найти зависимость между током и временем в течение первой минуты опыта. 4024*. В узкой горизонтальной цилиндрической трубке ЛВ, герметически закрытой, заключен газ. Трубка равномерно вращается вокруг вертикальной оси OOL (рис. 69), проходящей через один из ее концов с угловой скоростью (о. Длина трубки I см, поперечное сечение S см2, масса заключенного в ней газа М г, давление в покоящейся трубке (постоянное вдоль всей трубки) р0. Найти распределение давления вдоль трубки при ее вращении, т. е. выразить р как функцию от х. ДР угие примеры уравнений первого порядка В задачах 4025—4037 найти общие решения уравнений, приведя их с помощью замены переменных к уравнениям линейным или однородным: 4025. / = 4026. у' = -ХVtl' • я 2х—у+4 3 х— 4027. (x + y+l)dx = (2x + 2y-l)dy. 4028. t/ = 2(у.Т.2)>_ £ 4029. = * 2у(х+1) 4031. (1 — xz/4-x2^4)dx = xJ^* 4030. -2(хуг-х»)' 4032. (xV -!){/'+2xtf = 0.
4033. уу' 4- X = ± . 4034. ху' +1 = 4035. (x®4-f/24- 1)dy-\-xydx = Q. 4036. xdx + ydy + x(xdy — ydx) = O. 4037. (x2 + yi + y)dx — xdy. В задачах 4038—4047 решить уравнения Бернулли: 4038. у' + 2ху = 2х3у\ 4039. / + -^т + ^ = 0. 4040. у*-1 (ау'4-у) = х. 4041. xdx = ^—y^dy. 4042. ху' + у = у2 1пх. 4043. у' — ^tgx4-{/2cosx = 0. 4044. у' 4-*= 4045. ху' - 4у -х2 Vy = 0. 4046. ydy — ~dx = ^. U х2 Х2 4047. у' = ~где ф (х)— заданная функция. 4048. Найти линию, у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной в произвольной точке: 1) пропорционален квадрату ординаты точки касания, 2) пропорционален кубу ординаты точки касания. 4049. Найти линии, заданные уравнениями видар=/(ф), для которых площадь секторов, ограниченных линией и полярным радиусом постоянной точки (р0, Фо) и текущей точки (р, ф) линии, пропорциональна произведению полярных координат р и ф этой текущей точки. Коэффициент пропорциональности равен fe. Уравнения в полных дифференциалах В задачах 4050—4057 найти общие решения уравнений: 4050. (2х3 — ху2) dx + (2у2 — х2у) dy = 0. 4051. 4052. eydx+(xey-2y)dy = 0. 4053. ухУ-1 dx 4- ху In xdy = 0. 4054. xdx..+Vdy = yjx~xdy 4055. *+sin dx + 4- sin i/dj/ = 0. cos2 (xf/) 1 cos2 (xy) u \ 4056. (1 4- x V'x2 + y2) dx 4- (—1 4- Vx2 + y2) у dy = O. 4057. (-‘-sin *--x4cos j4-l)^4-(YCOs|-isin|-4-~)dy=0. Интегрирующий множитель В задачах 4058—4062 найти интегрирующий множитель и общие решения уравнений: 4058. (x24-t/)dx — xdy—0. 4059*. y(l ±xy)dx—xdy = 0.
4060. (x2 + yl + 2x)dx + 2ydy = 0. 406t. -^dx + iy3 — \nx)dy = Q. 4С62. (xcos у — у sin у) dy-)- (xsin у + у cos у) dx = 0. 4063. Убедиться, что интегрирующим множителем линейного уравнения +Р (х) y = Q(x) служит функция e^Pwd>e. 4064. Найти интегрирующий множитель уравнения Бернулли у'+ Р (х) y=y”Q(x). 4065. Найти условия, при которых уравнение Х(х, y)dx + Y(x, y)dy = Q допускает интегрирующий множитель вида М = F(x4-у). 4066. Найти условия, при которых уравнение X (х, y)dx + Y(x, y)dy = 0 допускает интегрирующий множитель вида M = F(xy). Разные задачи В задачах 4067—4088 найти общие решения уравнений: 4067. у' = ах -\-Ьу 4-е. 4069. у' =х-+у~- J у—х — 4 4068. ay' 4- by -|- су* = 0. 4070. у'У-*'. J yi 4072. y'(y2-x)=y. 4073. ^^4-у2 ?x2dy = 0. у* ' у* J 4074. (2y-|- xy3) dx+ (х-)-х-у2) dy = 0. 4073. + + + + 407S. / „ . Д+f’ 4077. xdy + ydx + y2(xdy — ydx) = 0. «j»- [ЧтЧРЧЧрЧЧ0- 4079. у' = хУу £. 4080. ysinx-j-y* cosx = I. 4081. у' -y4-y2cosx = 0. 4082. у' = , sin х cos у 4083. ху' cos = у cos ~~~х. 4084. (xcos j4-{/sin =0ydx4-(xcos^--ysin -^xdy = 0. 4085. у'=^-^у. 4086. у—y'cosx==y2 cosx(l —sinx). Q Г. H. Баомая
4087. 2уу'=е * " + ^±^-2х. 4088. (1 + ех!у) dx + ех/у (1 - -*-) dy = 0. 4089. Найти линию, у которой поднормаль в любой точке так относится к сумме абсциссы и ординаты, как ордината этой точки к ее абсциссе. 4090. Найти линию, обладающую тем свойством, что отрезок касательной в любой ее точке, заключенный между осью Ох и прямой у = ах-\-Ь, делится точкой касания пополам. 4091. Найти линию, для которой отношение расстояния от нормали в любой ее точке до начала координат к расстоянию от той же нормали до точки (а, Ь) равно постоянной k. 4092. Найти линию, для которой расстояние от начала координат до касательной в произвольной ее точке равно расстоянию от начала координат до нормали в той же точке. 4093*. Найти линию, обладающую следующим свойством: ордината любой ее точки есть средняя пропорциональная между абсциссой и суммой абсциссы и поднормали, проведенной к линии в той же точке. 4094. В электрическую цепь с сопротивлением R = 3/2 Ом в течение двух минут равномерно вводится напряжение (от нуля до 120 В). Кроме того, автоматически вводится индуктивность, так что число, выражающее индуктивность цепи в генри, равно числу, выражающему ток в амперах. Найти зависимость тока от времени в течение первых двух минут опыта. § 2. Уравнения первого порядка (продолжение) Поле направлений. Изоклины 4095. Дано дифференциальное уравнение у'=— а) Построить поле направлений, устанавливаемое данным уравнением, б) Выяснить расположение вектора поля относительно полярного радиуса любой точки поля, в) Выяснить вид интегральных кривых уравнения, исходя из поля направлений, г) Найти интегральные кривые, решая данное уравнение обычным методом (разделяя переменные), д) Указать семейство изоклин данного уравнения. 4096. Написать дифференциальное уравнение, изоклинами которого служат: 1) равнобочные гиперболы ху = а; 2) параболы у2 = 2рх; 3) окружности x2 + y2 = R2. 4097. Найти изоклины дифференциального уравнения семейства парабол у = ах2. Сделать чертеж. Истолковать результат геометрически. 4098. Убедиться, что изоклинами однородного уравнения (и только однородного уравнения) служат прямые, проходящие через начало координат.
4099. Указать линейные уравнения, изоклинами которых являются прямые. 4100. Пусть yLt уг, у2 — ординаты трех любых изоклин неко* торого линейного уравнения, соответствующие одной абсциссе. Убедиться, что отношение У*~~У1 сохраняет одно и то же значе-Уз~ У\. ние, какова бы ни была эта абсцисса. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 4101. Дано уравнение = Построить приближенно интегральную кривую, соответствующую отрезку про- ходящую через точку M(lr 1). 4102. Дано уравнение f/z = Построить приближенно интегральную кривую, соответствующую отрезку 0,5 ^Сх^С 3,5 и проходящую через точку (0,5; 0,5). 4103. Дано уравнение у' = хул + х2• Применяя способ Эйлера, вычислить у при х=1, если (/ — частное решение, удовлетворяющее начальному условию f/|.v-o = 0. Вычислить у с двумя десятичными знаками. 4104. Дано уравнение y'^fx -у2+ I. Применяя способ Эйлера, вычислить у при х = 2, если (/ — частное решение, удовлетворяющее начальному условию (/|x_i = 0. Вычислить у с двумя десятичными знаками. 4105. Дано: уравнение у1 = х^ и начальное условие у |x-o = 1. Решить это уравнение точно и найти значение у при х = 0,9. Далее, найти это значение при помощи приближенного метода, разбивая отрезок [0; 0,9] на 9 частей. Указать относительную погрешность последнего результата. 3jc2 4106. Дано: уравнение yf = и начальное условие у|ж-1 = 0. Решить уравнение точно и, пользуясь каким-либо из приближенных методов интегрирования уравнений, вычислить значение х при (сравнить со значением х, получаемым при точном решении). 4107. yf = (/24-xz/ + x2. Найти по методу последовательных приближений второе приближение для решения, удовлетворяющего начальному условию (/|*_0= 1. 4108. #' = ху3—1. Найти при х—1 значение того решения данного уравнения, которое удовлетворяет начальному условию у |ж_о = 0. Ограничиться третьим приближением по методу последовательных приближений. Вычисления вести с двумя десятичными знаками.
В задачах 4109—4116 найти несколько первых членов разложения в степенной ряд решений уравнений при указанных начальных условиях: 4109. — х; z/|x-o= 1. 4110. у' = х2у2 — 1; z/|x_0= 1. 4111. ^'=х2-^; f/U = 0. 4112. t/' = L=^+l; у|ж_0=1. 4I13- У' = Г+?+у • f/l*-o = °- 4U4. У’ = еу+ху, i/|x-o = O. 4115. у' = sin у — sinx; у|х-о = 0. 4116. f/' = l+x+x2-2/; Особые решения. Уравнения Клеро и Лагранжа В задачах 4117—4130 найти общие и особые решения уравнений Клеро и уравнений Лагранжа: 4117. 4119. # = Х1/'+#'а. 4118. у = ху'—3у'\ У = ху' + ~,. 4120. у = ху' + 1/Л+у'2. 4121. 4123. 4125. у = ху'-(-siny'. 4122. ху' — у = In у'. у = у'2 (х-|-1). 4124. 2уу' =х(у'24-4). y=yy'2 + ^xtf. 4126. i/ = x(l+y') + /a. 4127. у' = \п(ху' —у). 4128. у=у' (х+ 1) + «/’2. 4129. у — y'x + aY 1 — у'3. 4130. х — у{~^— \У у' У / В задачах 4131—4133 найти особые решения уравнений, применяя тот же прием, какой используется в случае уравнений Лагранжа и Клеро: 4131. у'2 — уу' + ех = 0. 4132. х2у'2 — 2 (ху — 2) у' + у2 — 0. 4133. у' (у' — 2х) = 2(у — х2). 4134. Доказать теорему: если линейное дифференциальное уравнение является уравнением Клеро, то семейство его интегральных кривых представляет собой пучок прямых. 4135. Площадь треугольника, образованного касательной-к искомой линии и осями координат, есть величина постоянная. Найти линию. 4138. Найти линию, касательные к которой отсекают на осях координат отрезки, сумма которых равна 2а. 4137. Найти линию, для которой произведение расстояний любой касательной до двух данных точек постоянно. 4138. Найти линию, для которой площадь прямоугольника, имеющего сторонами касательную и нормаль в любой точке, равна площади прямоугольника со сторонами, равными по длине абсциссе и ординате этой точки. 4139. Найти линию, для которой сумма нормали и поднормали пропорциональна абсциссе.
4140*- Найти линию, для которой отрезок нормали, заключенный между координатными осями, имеет постоянную длину а. 4141. Скорость материальной точки в произвольный момент времени отличается от средней скорости (от начала движения до этого момента) на величину, пропорциональную кинетической энергии точки и обратно пропорциональную времени, считая от начала движения. Найти зависимость пути от времени. Ортогональные и изогональные траектории и эвольвенты В задачах 4142—4147 найти траектории, ортогональные данным: 4142. Эллипсам, имеющим общую большую ось, равную 2а. 4143. Параболам у2 = 4(х — а). 4144. Окружностям х2-]-у2 = 2ах. 4145. Циссоидам (2а~-х)у2 = х\ 4146. Равным параболам, касающимся данной прямой, причем для каждой параболы точкой касания служит ее вершина. 4147. Кругам одного радиуса, центры которых лежат на данной прямой линии. 4148. Найти семейство траекторий, пересекающих под углом а = 60° линии х2 = 2а(у — х]/3). 4149. Найти изогональные траектории семейства парабол у2 = 4ах\ угол пересечения а = 45°. 4150*. Найти линии распространения звука по плоскости от неподвижного источника звука, лежащего в той же плоскости, если вдоль какого-либо направления дует ветер с постоянной скоростью а. В задачах 4151—4154 найти эвольвенты линий: 4151. Окружности x2-\-y2 = R2. 4152. Цепной линии y = ach*. 4153. Эвольвенты окружности х = a (cos t + t sin t), у = a (sin t — tens t). 4154. Полукубической параболы y = 3t2t x — —2P. § 3. Уравнения второго и высших порядков Частные случаи уравнений второго порядка В задачах 4155—4182 найти общие решения уравнений: 4155. / = x + sinx. 4156. / = arctgx. 4157. у" = 1пх. 4158. ху" = у'. 4159. tf = у' 4-х. 4160./=^ + *. 4161. (14-х2)/ +({/')2+i=0. 4162. = 4163. (у")2 = у'.
4164. 2даУ = (/)2+1. 4166. l + (y')3 = 2yy". 4168. а2у"-у = 0. 4170. У' 4-т^(Ю® = 0- 4172. уу*=(у')*. 4165. у“ — 2ctgx-i/' = sinsx. 4167. (у')2 + 2да" = 0. 4169. у" = -^. У 4^у 4171. у/ + (/)2=1. 4173. 2да" — 3 (у')2 = 4у2. 4174. у (1 - In у) у” + (1 + In у) (у'У = 0. 4175. у" = 2уу'. 4176. cosy-g + sinyfffl = d£ 4177. уу"-(у')2 = у2у'. ______ 4178. уу" - у у' In у = (у')2. 4179. <)• 4180. (х + а)у" + х(у')2 = у'. 4181*. уу'у" = (у'}3 + (/). 4182. ху"-±(у")2-у' = 0. В задачах 4183—4188 решить уравнения при помощи подходящей подстановки уу' = р, (у')2 = р, ху’ = р, — — р и т. п.: 4183. хуу" + х(у')г = 3уу'. 4184. xtf = y\e« — 1). 4185. ytf + (y')2 = x. 4186. / + 1у'-£ = 0. 4187. x3y^-(xd£-yf = 4188- УУ” = У'(2VW~ У')‘ В задачах 4189—4199 найти частные решения уравнений при указанных начальных условиях: 4189. у" (х24-1) = 2х/; У |х-о — 1. у' I.V-0 = 3. 4190. ху" + х(у')2-у’ = 0; У |х-2 = 2, У' U-8=l. 4191. у" = у~ + х2г; V X 1 у' ’ У U-2 = 0, у' U-2 = 4. 4192. 2у" = Зу3; £/ Lv—2 = 1, у' |х-г = -1. 4193.. да" = (у')2-(у')8; У|х-1= 1. у' ki=—в 4194. у3у" = —1; 1, У' U-i = 0. 4195. у4-узУ= 1; У ;.<-0 == 2 , Г 1 /2 У |л--о — ~2~• 4196. у" = е2»; у |х-0 = 0, У |jr-0 — 1 • 4197. 2 (у')2 = у" (у — у |х-1 = 2, У' |ж-1 = — 1. 4198*. х4у" = (у — ху')3; У 1*-1= 1. у' |ж-г= 1. 4199. у" = ху'у1; У ре-0 = 1 > У' |х-о = О. 4200*. Какая линия обладает тем свойством, что радиус кривизны в любой ее точке пропорционален длине нормали? Принять коэффициент пропорциональности k = — 1, -|-1( —2, 4-2.
4201* Найти линию, для которой проекция радиуса кривизны на ось Оу есть величина постоянная, равная а. 4202. Найти линию, проходящую через начало координат, у которой отношение площади треугольника МТР (рис. 70), образованного касательной в какой-нибудь точке М линии, ординатой этой точки МР и осью абсцисс, к площади криволинейного треугольника ОМР равно постоянному числу k(k> 1/2). 4203. Найти линию, длина дуги которой, отсчитываемая от некоторой точки, пропорциональна сательной в конечной точке дуги. 4204. Точка массы пг вертикально брошена вверх с начальной скоростью ц0. Сила сопротивления воздуха равна kv2. Поэтому, если принять вертикаль за ось Оу, то при движении вверх имеем = —-mg-kv2, а при падении <Pt/ , , „ тл& = — mg + kv2, угловому коэффициенту ка- где у = Найти скорость, которую будет иметь тело в тот мо- мент, когда оно падает на землю. 4205. Тонкая гибкая и нерастяжимая нить подвешена за оба конца. Какую форму в равновесии примет нить под действием нагрузки, равномерно распределяющейся по проекции нити на горизонтальную плоскость? (Весом нити пренебрегаем.) 4206. Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы т, если известно, что работа силы, действующей в направлении движения и зависящей от пути, пропорциональна времени, протекшему с момента начала движения. Коэффициент пропорциональности равен k. 4207*. Луч света из воздуха (показатель преломления mQ) падает под углом а0 с вертикалью в жидкость с переменным показателем преломления. Последний линейно зависит от глубины и постоянен в плоскости, параллельной горизонту; на поверхности жидкости он равен а на глубине h он равен иц. Найти форму светового луча в жидкости. (Показатель преломления среды обратно пропорционален скорости распространения света.) Частные случаи уравнений более высоких порядков В задачах 4208—4217 найти общие решения уравнений: 4208. у'" = -. 4209. у" = cos 2х.
4210. ук = еах. 4212. xyv = y'v. 4214. //'/' = 3(//")\ 4216. у”[1 + (У')2] = 3^ (/)*. 4211. х2у"’ = (у")2. 4213. у"’ = (у")3. 4215. уу"'-у'у- = 0. , 4217. (у")*-у’у"'=--^)2. Приближенные решения 4218. При исследовании колебания материальной системы с одной степенью свободы встречается дифференциальное уравнение вида у" = fi(x) + f1(y) + f3(y'). Решить это уравнение графически, если: 1)А(х) = 0, Л(г/) = —KF. /з (У') = 0,5у' и у\х-а = у'\х.о = О; 2) Л(Х) = — х, fa(y) = O, fa(i/') = —0,1г/'-0,1р'3 и = = У' |х-о = 1 4219. у" = уу'-х2; у|х_0=1, /|х-о=1. 1) Решить данное уравнение графически. 2) Найти несколько первых членов разложения решения в степенной ряд. 4220. Найти шесть первых членов разложения в ряд решения 4 1 ff у I дифференциального уравнения у = — удовлетворяющего начальным условиям у |x i=l, у’ |x-i = 0. 4221. Найти в форме степенного ряда частное решение уравнения if = xsinу1, удовлетворяющее начальным условиям у\х\ = 0, = (Ограничиться шестью первыми членами.) 4222. Найти в форме степенного ряда частное решение y=f(x) уравнения у" = хуу\ удовлетворяющее начальным условиям/(0) = 1, /' (0) = 1. Если ограничиться пятью первыми членами разложения, то будет ли этого достаточно для вычисления /(—0,5) с точностью до 0,001? 4223. Найти семь первых членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения уу" + у' 4-// = 0, удовлетворяющего начальным условиям у|л^о=1> у' |*-о = 0. Какого порядка малости будет при х->0 разность у — (2 — х — е~х)? 4224. Найти 12 первых членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения у” + уу' — 2 = 0, удовлетворяющего начальным условиям у |*_0 = 0, //'1*0 = 0. Вычислить интеграл । \ydx с точностью до 0,001. Вычислить у' |л.0.5 с точностью до 0,00001. 4225*. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных индуктивности L = 0,4 Гн и электрической ванны. В ванне находится литр воды, подкисленной небольшим количеством сер
ной кислоты. Вода разлагается током, при этом меняются концентрация, а следовательно и сопротивление раствора в ванне. Напряжение на клеммах поддерживается постоянным (20 В). Количество вещества, выделяющееся при электролизе, пропорционально току, времени и электрохимическому эквиваленту вещества (закон Фарадея). Электрохимический эквивалент воды равен 0,000187 г/Кл. Сопротивление раствора в начале опыта Яо = 2 Ом, начальный ток 10 А. Найти зависимость (в форме степенного ряда) объема воды в сосуде от времени. 4226*. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных индуктивности L = 0,4 Гн и электрической ванны, первоначальное сопротивление которой 2 Ом. В ванне в литре воды растворено 10 г хлористого водорода. Кислота разлагается током, при этом меняется концентрация раствора (ср. с предыдущей задачей, где количество растворенного вещества не менялось, а менялся объем растворителя). Напряжение на клеммах цепи 20 В, электрохимический эквивалент k хлористого водорода равен 0,000381 г/Кл, начальный ток 10 А. Найти зависимость (в форме степенного ряда) между количеством соляной кислоты в растворе и временем. § 4. Линейные уравнения 4227. Функции х3 и х* удовлетворяют некоторому однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка. Убедиться, что они образуют фундаментальную систему, и составить уравнение. 4228. То же для функций ех и х3ех. 4229. Функции х, х3, ех образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения третьего порядка. Составить это уравнение. 4230. Функции х2 и х3 образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения второго порядка. Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям f/|x-i=l, #'L-i = 0. 4231. Функции cos2x и sin2x удовлетворяют некоторому линейному однородному уравнению второго порядка: а) проверить, что они составляют фундаментальную систему решений; б) составить уравнение; в) показать, что другой фундаментальной системой этого уравнения являются функции 1 и cos2x. 4232*. Если yi есть частное решение уравнения то y+^W+^W=o, ,. С f Р (Л) dx dx Ct/xje J (С — постоянная) тоже является решением. Показать это тремя способами:
1) непосредственной проверкой, 2) заменой y = y\.z, 3) из формулы Остроградского. 4233. Пользуясь формулой задачи 4232, найти общее решение уравнения (1 — х8) у" — 2ху'4-2у = 0, зная его частное решение У1 = Х. 2 4234. Решить уравнение у" -f- —у' + у = 0, зная его частное sin х решение = —. 4235. Уравнение (2х — х2) г/" + (х2 — 2) у'+ 2(1 — х) у = 0 имеет решение у = ех. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям yf\x_1 = 0J /|х=1 = 1. 4236*. Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение у” + у’Р (х) — yQ(x) = 0 имело два линейно независимых решения у± и у2, удовлетворяющих условию 4237*. Найти общее решение уравнения (1 — х2) у” — х/+9#=0, если его частное решение есть многочлен третьей степени. В задачах 4238 — 4240 легко подобрать одно частное решение (не считая тривиального г/ = 0) для данного уравнения. Найти общие решения этих уравнений: 4238. y"-tgx-y'+2y = 0. 4239. if - у' + jj- = 0. 4240. у"—+-У'++т = 0- 4241. Найти общее решение уравнения х?у‘" — Зх2у" + бху'— — 6у = 0, зная частные решения yi = x и у2 = х2. В задачах 4242 — 4244 найти общие решения неоднородных уравнений: 4242. хгу" -ху'-\-у = 4х3. 4243. f-^y' + ^y^x-l. 4244. (Зх + 2х»)/-6(1+х)у' + 6у = 6. 4245. Уравнение (1 + х2) f + 2ху' — 2у = 4х2 + 2 допускает частное решение у = х2. Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям у|х—1 = 0, у' |х__1 = 0. 4246. Найти шесть первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения у“ —(1-j-x1) у = 0, удовлетворяющего начальным условиям y|x-o =— 2, у' [х_о = 2. 4247. Найти девять первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения if = хгу — у', удовлетворяющего начальным условиям у|х_0= 1, у'|*_о = 0. 4248. Записать в виде степенного ряда частное решение урав- нения у"—ху'+у—1=0; у|х-в = О» у'1х-о = 0- 4249. Записать в виде степенного ряда общее решение уравнения у" = уе*. (Ограничиться шестью первыми членами.) 4250. Записать в виде степенного ряда общее решение уравнения у"4-ху/—х4у=0. (Ограничиться шестью первыми членами.)
Уравнения с постоянными коэффициентами В задачах 4251—4261 найти общие решения уравнений: 4251. у" + у'-2у = 0. 4252. у"-9у = 0. 4253. у" — 4у’ = 0. 4254. у” - 2у' - у = 0. 4255. Зу“ — 2у' -8у = 0. 4256. y" + y = Q. 4257. у" + бу' + 13г/ = 0. 4258. 4у" - 8у' + 5у = 0. 4259. у”-2у' + у = 0. 4260. 4-^*-20 j*4-25x = 0. 4261. 2y" + y' + 2sin215°cos215°-у=0. В задачах 4262 — 4264 найти решения уравнений, удовлетво ряющие указанным начальным условиям: 4262. у"-4у'4-Зу = 0; у|х-о = 6, 1/|х-о=1О. 4263. у" + 4/ + 29у = 0; у |ж_0 = 0, у' |х-о =15. 4264. 4у* + 4у' + у = 0; y|x-o==2, у'|х-о = 0- 4265. Дано частное решение некоторого линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами у1 = етх Дискриминант соответствующего характеристического уравнения равен нулю. Найти частное решение этого дифференциального уравнения, обращающееся вместе со своей производной в 1 при х = 0. 4266. Найти интегральную кривую уравнения у"4-9у = 0, проходящую через точку М (л, —1) и касающуюся в этой точке прямой у+1=х — л. 4267. Найти интегральную кривую уравнения y" + ky = O, проходящую через точку М (х0, Уо) и касающуюся в этой точке прямой у — у0 = а(х — Хо). В задачах 4268 — 4282 составить общие решения неоднородных уравнений, находя их частные решения либо подбором, либо методом вариации произвольных постоянных: 4268. 2у" + у' -у = 2ех. 4269. у" + а2у = ех. 17 4270. у" — 7у'+ &у = sinx. 4271. у" + 2у’ -\-5у = — ‘^cos2x. 4272. у"-6у'4-9у = 2х2-х4-3. 4273. у" - 2у’ + 2у = 2х. 4274. у" 4- 4у' - 5у = I. 4275. у" — Зу' 4-2у = /(х), если f (х) равна: 1) 10е х; 2) Зе2*; 3) 2sinx; 4) гх^-ЗО; 5) 2e*cos 6) х — e-2jt4-l; 7) е*(3 — 4х); 8) 3x4-5 sin 2х; 9) 2ех — е~2х’, 10) sinxsin2х; 11) shx. 4276. 2у"4-5у' = /(х), если f(x) равна: 1) 5х2 —2х—1; 2) ех\ 3) 29cosx; 4) cos2x; 5) 0,le“2’5x — 25 sin 2,5х, 6) 29xsinx; 7) 100xe-*cosx; 8) 3ch ~x. 4277. у" — 4y' 4-4y = /(x), если /(x) равна: 1) 1; 2) e~x\ 3) Зе8-*; 4) 2(sin2x4-x); 5) sinxcos2x; 6) sin’x;
7) 8(x24-c2v4-sin2х); 8) sh2x; 9) shx + sinx; 10) ех — sh (х — 1). 4278. y* + y = f (x), если f (х) равна: 1) 2х3 — х4-2; 2) —8cos3x; 3) cosx; 4) sinx — 2е~х; 5) cosxcos2x; 6) 24sin4x; 7) chx. 4279. 5y"~ 6y' + 5y = f(x), если f(x) равна: 1) 5е3л/6; 2) sin^-x; 3) e2x 4- 2x3 — x 4- 2; 4) e3v'5cosx; 0 5) e3jc/3sin 5 x; 6) 13 <?xchx. 4280. / + y+ctg2x = 0. 4281. y"-2y' + у = . 4282. y" — y' =f (x), если /(x) равна: 1) 2) e2t|^l — e2x; 3) e2jfcosex. В задачах 4283 — 4287 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям; 4283. 4у* + 1 бу' + 15у = 4е-3ж/2; у |ж.о = 3; у' |.v_0 == - 5.5. 4284. /-2y' + 10t/=10x24-18x+6; у|х_0=1; у'|х-о = 3,2. 4285. if — у’ = 2(1 -х); у|х_0=1, у'|х-о=1. 4286. y"-2y' = ev(x24-x —3); у|х-о = 2, y'ix-o = 2. 4287. y’ + y+sin2х = 0; yfx_„ = y'f. 4288*. Показать, что частное решение у уравнения ally”-l-aiy'4-±а2у — Аерх (а0, at, а2 — постоянные коэффициенты, р и А— дей- д ствительные или комплексные числа) имеет вид г7 = —~если Ф (р) р не является корнем характеристического уравнения <р (г) sao/'2 + fl/ + «2 = O; = если р — простой корень харак- герпетического уравнения; д = ерх, если у —двойной корень характеристического уравнения. В задачах 4289—4292 найти общие решения уравнений Эйлера: 4289. х2у"-9ху'4-21у = 0. 4290. х2у' + ху' + у = х. 4291. у"-^ + ^= 2-. 4292. х2у" - 2ху’ 4-2у 4-х - 2х3 = 0. 4293. Если ось вала турбины расположена горизонтально и если центр масс диска, насаженного на вал, не лежит па оси, то прогиб у оси вала (рис. 71) при его вращении удовлетворяет 5 равнению — oj2'i f/ = g‘cos (0/ + со2?, 1 \та /J & 1 ’ ГДе т — масса диска, а —постоянное число, зависящее от рода закрепления концов А и В; со —угловая скорость вращения, с — эксцентриситет центра масс диска. Найти общий интеграл этого уравнения. 4294. Материальная точка массы 1 г отталкивается вдоль прямой от некоторого центра с силой, пропорциональной ее
расстоянию от этого центра (коэффициент пропорциональности равен 4). Сопротивление среды пропорционально скорости движения (коэффициент пропорциональности равен 3). В начале движения расстояние от центра равно 1 см, а скорость —нулю. Найти закон движения. 4295. Частица массы 1 г движется по прямой к точке А под действием некоторой силы притяжения, пропорциональной расстоянию ее от точки А. На расстоянии 1 см действует сила 10*6Н. Сопротивление среды пропорционально скорости движения и равно 4-10_вН при скорости 1 см/с. В момент / = 0 частица расположена на расстоянии 10 см от точки А и скорость ее равна нулю. Найти зависимость расстояния от времени и вычислить это расстояние для / = 3с (с точ- ностью до 0,01 см). —----------------- 4296. Материальная точка мае- сы т {движется по прямой из А •— В В под действием ПОСТОЯННОЙ Центр масс диска0----°1-|- силы F. Сопротивление среды I пропорционально расстоянию тела р „ от В и в начальный момент (в ис ‘ точке Л) равно Началь- ная скорость точки равна нулю. Сколько времени точка будет двигаться из Л в В (АВ = а)? 4297. Тело массы 200 г подвешено на пружине и выведено из состояния покоя вытягиванием пружины на 2 см, после чего отпущено (без начальной скорости). Найти уравнение движения тела, считая, что сопротивление среды пропорционально скорости движения. Если тело движется со скоростью 1 см/с, то среда оказывает сопротивление 10-3 Н; сила напряжения пружины при растяжении ее на 2 см равна 100 Н. Весом пружины пренебрегаем. 4298. Деревянный цилиндрический чурбанчик (5 =100 см2, ft = 20 см, у = 0,5 г/см3) полностью погружен в воду и отпущен без начальной скорости. Считая, что сила трения пропорциональна высоте погруженной части, выяснить, каков должен быть коэффициент пропорциональности k, чтобы в результате первого подъема над поверхностью воды показалась ровно половина чурбанчика. Сколько времени (Л) будет продолжаться первый подъем? Каково будет уравнение движения при первом подъеме? 4299*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью <о вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. В начальный момент на расстоянии ар от оси внутри трубки находился шарик массы т. Считая, что в начальный момент скорость шарика относительно трубки была равна нулю, найти закон движения шарика относительно трубки. 4300. Решить предыдущую задачу в предположении, что шарик прикреплен к точке О пружиной. Сила действия пружины на
шарик пропорциональна деформации пружины, сила k- 10-5Н вы зывает изменение длины пружины на 1 см. Длина пружины в свободном состоянии равна а0. Уравнения высших порядков В задачах 4301—4311 найти общие решения уравнений: 4301. tf' + 9y' = 0. 4302. /v - 13/4-36z/ = 0. 4303. /v = 8/ - 16г/. 4304. у™ = 16^. 4305. if- 13/- 12// = 0. 4306. / - 3/ 4- 3/ - у = 0. 4307. /v4-2i/w4-/ = 0. 4308. /«) =/-2). 4309. /v 4-0 = 0. 4310. 64/’111 4-48yVI 4-12z/iv4-/ = 0. 4311. /л’ + у /л-1’4-Ц^)/л-2Ч-.. + т/+!/ = 0. 4312. /' = — /; /—> = 2, /|ж.0 = 0, /|х-о = — 1. ИЗ 13. у4 =у'\ 4/М = 0, /|ж_0=1, /1*-о = 0, /'|-о=1. /vl-o = 2. В задачах 4314 — 4320 составить общие решения неоднородных уравнений, находя их частные решения либо подбором, либо методом вариации произвольных постоянных: 4314. /'-4/4-5/-2г/= 2x4-3. 4315. / — 3/4-2//= e_JC (4х2 4-4х — 10). 4316. /v4-8/4-16// = cosx. 4317. /v 4-2а2/4-a*// = cos ах. 4318. yv 4-/' = х2-1. 4319. /v — у = хех 4- cos х. 4320. /v — 2if 4-У = 8 (ех 4-е~х) 4- 4 (sin х 4- cos х). 4321. /'4-2/4-/4-2^ = 0; у\х.0 = 2, У 1—0 = 1 > / [х-0 = 1 • 4322. у” - у'= 3 (2 - х2); у |,_0 = / |,-о = / |-о = 1 • 4323. Решить уравнение Эйлера х3/4-х/ — у = 0. § 5. Системы дифференциальных уравнений 4324.1. dx ~ ~аг=У-7х> -^4-2х4-5// = 0. 4324.2. £ = 2x4-//, £ = 3x4-40. 4324.3. ~г = х-3у, ir=3x+y- Idx . 1г = х-//4-г, ^- = x+y-z, dz л -аг=2х~У-
( dx a ( dx n . w=x-2y-z, -_ = 3x-r/+z, 4324.5. -^- = — x + y + z, 4324.6. $r = x + y + z, Л dz . , . ~dT^x~z' |^- = 4r-t/ + 4z (корни характеристического уравнений rx= 1, г2 = 2, г3 = 5). '-J- = 2x + y. dx 4324.7. ^L = x-\-3y-z, 4325. , ^ = 2y + 3z-x ~drz=y> (корни характеристического уравнения fi = 2, r.2.# = 3±0. 4326. а^ = 2у-5х + ^ . 4327« ^ = x-6y+e-2‘. kF N 11' II' * II II' cj Cu £. 1 ~ 4328. . , * + У У - 2 ' | 4329. { , х — У 1 2 — 1 ' xy' = y, , xzz' + X2 4- уг = 0. 4330. 4332. 4334. У \ и’= -- 2ху ( J Г ! 4331. f /= 2хг 1 X2 — р2 — Z2 * , dx dy , о . . 4dT“ dr + 3x = sin/’ . 4333. dx . , I 7f + (/ = cos/. r d2x . dy . , ^+>«+л'" 4335.„ dx . d2y _ z . dt + Л2 b lib. • lr &|% II II >» tss ! a-к В задачах 4336—4339 найти частные решения систем дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям: 4336. к 4337. dy _ У*~уг ,.| .. dx ха—уг * 1Ж“° ’ dz _ г(х-\-у) , _ . dx x2—yz ' dx _. 2х У 1 ~ dy । i i 2x -ЗГ = х + ^-1+—- х I*-1 — з ’ , 1 —у
dx . ~dr = z + y-x, 4338. о li II II 1 о о 1 _А _А II 1 + + + II II II 4339. -^- = z + x, 0l/-o=l; dz . 1 л = x + z|,_o = 0. 4340. Найти пару линий, обладающих следующими свойствами: а) касательные, проведенные в точках с одинаковыми абсциссами, пересекаются на оси ординат; б) нормали, проведенные в точках с одинаковыми абсциссами, пересекаются на оси абсцисс; в) одна из линий проходит через точку (1, 1), другая— через точку (1, 2). 4341. Даны две линии: y — проходящая через точку (0, 1), X и у = проходящая через точку (0, 1/2). Касательные, — оо проведенные к обеим линиям в точках с одинаковыми абсциссами, пересекаются на оси абсцисс. Найти линию y — f(x). 4342. Найти линию в пространстве, проходящую через точку (0, 1, 1) и обладающую следующими свойствами: а) след касательной на плоскости Оху при перемещении точки касания вдоль линии описывает биссектрису угла между положительными направлениями осей Ох и Оу, б) расстояние этого следа от начала координат равно координате г точки касания. 4343. Два шарика, масса каждого из которых т, соединены очень легкой пружиной (удлинение ее пропорционально растягивающей силе). Длина нерастянутой пружины /о- Пружина растянута до длины li, а затем в момент / = 0 оба шарика, расположенные вертикально один над другим, начинают падать (сопротивлением среды пренебрегаем). Через время Т длина нити сокращается до 1п. Найти закон движения каждого из шариков. 4344. Горизонтальная трубка вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 2 радиана в секунду. В трубке находятся два шарика с массами 300 и 200 г, соединенные невесомой упругой нерастянутой пружиной длиной 10 см, причем более тяжелый шарик дальше от оси вращения. Сила 0,24 Н растягивает пружину на 1 см, а центр масс системы шариков удален от ОСИ вращения на 10 см. Шарики удерживаются в указанном положении некоторым механизмом. В момент, который считаем началом отсчета времени, действие механизма прекращается, и шарики приходят в движение. Найти закон движения каждого шарика относительно трубки. (Трением пренебрегаем.)
4345. Скорость роста культуры микроорганизмов пропорциональна их количеству и количеству питательных веществ (коэффициент пропорциональности равен k). Скорость убывания питательных веществ пропорциональна наличному количеству микроорганизмов (коэффициент пропорциональности равен ki). В начале опыта в сосуде имелось Ло микроорганизмов и Во питательных веществ. Найти зависимость количества А микроорганизмов и количества В питательных веществ от времени (Л>0, Л1>0). 4346*. Допустим, что бактерии размножаются со скоростью, пропорциональной их наличному количеству (коэффициент пропорциональности равен а), но в то же время вырабатывают яд, истребляющий их со скоростью, пропорциональной количеству яда и количеству бактерий (коэффициент пропорциональности равен Ь). Далее, допустим, что скорость выработки яда пропорциональна наличному количеству бактерий (коэффициент пропорциональности равен с). Число бактерий сначала возрастает до некоторого наибольшего значения, а затем убывает, стремясь к нулю. Показать, что для любого момента t число N бактерий дается формулой лг= 4ЛТ----- (gkt где М — наибольшее число бактерий и время t измеряется от того момента, когда W = k — некоторая постоянная. 4347. Два цилиндра, основания которых лежат в одной плоскости, соединенные внизу капиллярной трубкой, наполнены жидкостью до разной высоты (/Л и Я2). Через трубку в единицу времени протекает объем жидкости, пропорциональный разности высот, т. е. равный a, (th — h^, где а — коэффициент пропорциональности. Найти закон изменения высоты жидкости в сосудах над капиллярной трубкой. Поперечное сечение сосудов Si и S®. § 6. Вычислительные задачи 4348. I кг воды, теплоемкость которой считается постоянной, а начальная температура равна 60, нагревается погруженным в воду электрическим прибором, сопротивление которого R зависит от температуры 0 линейно: /? = /?0(1 4-0,0040), где — сопротивление при О °C (закон, справедливый для большинства чистых металлов). Термоизоляция сосуда настолько хороша, что теплоотдачей пренебрегаем. Найти зависимость между температурой 0 и временем t при если: 1) Напряжение Е вводится равномерно от Е = 0 до £ = £| в течение Т с. Вычислить с точностью до 1 °C, на сколько градусов повысится температура воды к концу 10-й минуты, если-0о = О°С, Et= ПО В, /?0= Ю Ом и Т= 10 мин.
2) Напряжение изменяется по закону Е = E^sin 100л/. Вычислить с точностью до 1 °C, на сколько градусов повысится температура воды к концу 10-й минуты, если 6о = О°С, Ео=11О В и 7?о= Ю Ом. 4349. Литр воды нагревается спиралью, сопротивление которой 24 Ом. При этом вода отдает тепло окружающей среде, имеющей температуру 20 °C (скорость охлаждения пропорциональна разности между температурами тела и среды). Известно также, что если ток выключить, то температура воды понизится с 40 °C до 30 °C за 10 мин. Начальная температура воды 20 °C. До какой температуры нагреется вода за 10 мин, если: 1) Напряжение вводится равномерно от Ео = 0 до Ei=120 В в течение 10 мин? Погрешность 0,1 °C. 2) Ток переменный, и напряжение изменяется по формуле Е = ПО sin 100л/? Погрешность 0,1 сС. 4350. Дано уравнение у' = *~ — х2. Составить таблицу значений решения, удовлетворяющего начальному условию 1> давая х значения от 1 до 1,5 через 0,05. Вычисления вести до третьего десятичного знака. 4351. Вычислить при значение частного решения дифференциального уравнения у' — у + х, удовлетворяющего начальному условию */|х-о=1- Вычислить затем первые пять приближений г/i, z/2i Уз» Уь Уз (до четвертого десятичного знака) по методу последовательных приближений. Сравнить результаты. 4352. Известно, что интеграл ^e~x?dx не берется в конечном виде в элементарных функциях. Пользуясь тем, что функция X у = ех* $ e~^dt является решением уравнения i/'=2xi/ + 1, вычислить о 0,5 $ e~*2dx. Воспользоваться методом последовательных приблпже-о ний, ограничиваясь пятым приближением. Сравнить результат с приближенным значением, вычисленным по правилу Симпсона. 4353. Функция y=^f(x) является решением дифференциального уравнения у' = у2 — х при начальном условии у|ж„0= 1. Найти по методу последовательных приближений четвертое приближение (t/4), ограничиваясь таким количеством слагаемых, которое необходимо, чтобы вычислить г/4 (0,3) с тремя десятичными знаками. Найти затем несколько первых членов разложения f (х) в степенной ряд; вычислить /(0,3) также с тремя знаками после запятой и, считая /(0,3) более точным результатом, оценить погрешность значения (0,3). 4354. Функция y = f(x) является решением дифференциального уравнения = -- при начальных условиях 1, у' |л_0 = 0. Найти /(1,6) с точностью до 0,001.
4355*. Функция у = f(x) является решением дифференциального уравнения y" — y'-y-srX при начальных условиях y|x_i= 1, у' |,v_i=0. Найти /(1,21) с точностью до 0,000001. 4356*. Функция у = f (х) является решением дифференциального уравнения у" = ху' -у-\-ех при начальных условиях z/|x-o= 1, у' |х-о=О. Найти / (у) с точностью до 0,0001. 4357. Линия задана уравнением y = f(x). Найти разложение функции /(х) в ряд, зная, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению у" = ху и начальным условиям у|л_о=О, г/'|х_0=1. Вычислить с точностью до 0,0001 кривизну линии в точке с абсциссой 1.
ГЛАВА XV ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 1. Тригонометрические многочлены 4358. Пользуясь формулами Эйлера cosx =----2— и sinx = eix__e-ix . = —Yi—• доказать, что функции sin"x и cos"x могут быть представлены в виде тригонометрических многочленов n-го порядка. 4359. Доказать соотношения 2л 2л 2л J sin'"xcosmxdx= J sin"xsinmx dx= J cos"xcostnxdx = 0 0 0 2л = § cosnxsinmxdx = 0, если m>n (tn и n — целые числа), о 4360. Показать, что всякий тригонометрический многочлен n-го порядка, составленный из одних косинусов, можно представить в виде Р (cos <р), где Р (х) — многочлен n-й степени относительно X. 4361. С помощью формул Эйлера (см. задачу 4358) доказать соотношение . «<р (п4-1)ф sin -2Т- cos-—~ COS ф + COS 2ф +... + COS Пф =-----------. sinf- 4362. Доказать соотношения: 1) cos фcos Зфcos (2и — 1) ф = ; . лф . (п4-1)ф sin sin • 2) sin ф-J-sin 2ф + -•- + sin пф ------------. sin| 4363. Найти корни тригонометрических многочленов sin ф-f- sin 2ф-}-.••+ sin пф и COS ф + COS 2ф 4-... + COS Лф на отрезке [0, 2л].
4364. Показать, что тригонометрический многочлен , sin 2<р . . sin л(р sincpH---2^ + -.-Н-~ на отрезке [0, л] имеет максимумы в точках ••• /Л 1 ч л 2п п 2л / ь 2л ..., (2^ —и минимумы в точках ~,2-—, ..., (g— 1) л-, п п+1 где <7 = у, если п четное, и д = —, если п нечетное. 4365*. Доказать, что тригонометрический многочлен без свободного члена Фп (ф) = Qi cos <р + br sin ф +... + ап cos пф + bn sin пф, не равный тождественно нулю, не может сохранять для всех ф постоянного знака. § 2. Ряды Фурье 4366. Убедиться, что функция y = x3sin при х^О и у = 0 при х = 0 на отрезке [—л, л] непрерывна вместе со своей первой производной, но не удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Можно ли ее разложить в ряд Фурье на отрезке [—л, л]? Решить задачи 4367 — 4371 в предположении, что /(я; —непрерывная функция. 4367. Функция / (х) удовлетворяет условию f(x + n) = — f(x). Доказать, что все ее четные коэффициенты Фурье расны нулю (ДО = «2 = Ь2 — (ц = . = 0). 4368. Функция /(х) удовлетворяет условию /(х + л)=/(х). Доказать, что все ее нечетные коэффициенты Фурье равны нулю. 4369. Функция /(х) удовлетворяет условиям /(— х) WOO и /(х+л) = — /(%). Доказать, что b± = b2 = Ь3 =... = 0 и а0 = а2 = .. . = 0. 4370. Функция f(x) удовлетворяет условиям /(—х) = —/(х) и /(х + я)=—/(х). Доказать, что a0 = ai = a2 =... = 0 и /?2 = &4 —bfi —... = 0. 4371. Функция f (х) удовлетворяет условиям: а) Д—х)=/(х) и /(х + л)=/(х); б) И—Х) = — /(X) и /(х + л) = /(х). Какие из ее коэффициентов Фурье обращаются в нуль?
4372. Разложить в ряд Фурье функцию, равную—1 в интервале (—л, 0) и 1 в интервале (0, л). 4373. Разложить в ряд по синусам функцию у = %— в интер- вале (0, л). 4374. Используя результаты задач 4372 и 4373, получить разложения для функций у = х и у = ~~^—‘ Указать интервалы, в которых полученные формулы будут справедливы. 4375. Разложить функцию у = — у в интервале (0, л) в ряд по косинусам. У -Зп -2п Рис. 72 4376. Разложить функцию у — х2 в ряд Фурье: 1) в интервале (—л, л), 2) в интервале (0, 2л) (рис. 72 и 73). При помощи полученных разложений вычислить суммы рядов Si= 1+22 4-32-4--"4-„2-4----. 52= 1 -4- •• -4-(-4--.•, 53 = 14- 32 4- 52 4- • • • 4- (2n_ ij* 4- • • • В задачах 4377 — 4390 разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах: 4377. Функцию # = х2 в интервале (0, л) в ряд синусов. 4378. Функцию у = х3 в интервале (—л, л). 4379. Функцию fix), равную 1 при—л<х<0 и равную 3 при 0<х<л. 4380. Функцию /(х), равную 1 в интервале (0, h) и равную 0 в интервале (Л, л), в ряд косинусов (0</г<л). 4381. Непрерывную функцию f (х), равную 1 при х = 0, равную 0 в интервале (2/i, л) и линейную в интервале (0, 2/г), в ряд косинусов (0</г<л/2). 4382. Функцию у~ |х| в интервале (—/, /). 4383. Функцию у = ех — \ в интервале (0, 2л). 4384. Функцию у = ех в интервале (—/, /).
4385. Функцию у = cos ах в интервале (—л, л) (а— не целое число). 4386. Функцию у = sin ах в интервале (—л, л) (а —не целое число). 4387. Функцию у = sin ах (а —целое число) в интервале (0, л) в ряд косинусов. 4388. Функцию у = cos ах в ряд синусов. 4389. Функцию f/ = shax 4390. Функцию z/ = chx в интервале (0, л) в ряд косинусов и ряд синусов. 4391. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой изображен на рис. 74. 4392*. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой изображен на рис. 75. 4393*. Разложить в ряды Фурье функции, графики которых приведены на рис. 76 и 77. 4394. Разложить функцию у = х(л — х) вряд синусов в интервале (0, л). Использовать полученный результат д. (а —целое число) в интервале (0, л) нахождения суммы ряда 1-1_1+ + 33 53 уз Т”-Т (2п—1)4 4395. Дана функция <р (х) = (л2 — х2)2. а) Убедиться, что имеют место равенства Ф(—л) = ф(л), <р' (— л) = <р' (л) и ф" (—л) = ф"(л) [но ф'" (—л) =£ ф'" (л)]. б) Используя полученные равенства, разложить функцию <р (х) в ряд Фурье в интервале (—л, л).
в) Вычислить сумму ряда § 3. Метод Крылова. Гармонический анализ В задачах 4396 — 4399 улучшить сходимость тригономстрр ских рядов, доведя коэффициенты до указанного в скобках рядка k: со 4396*. V —^L-sinnx (k = 4). n = i oo 4397*. sin zu (k = 2). n — 1
4398*. 2 ^+TCOS"X <л = 4)-п — О _ . ПЛ “ nsm-9- 4399*. У cos пх = 5)« п — 2 4400. Функции fi (х) (/ = 1, 2, 3) заданы в полуинтервале [0, 2л) следующей таблицей: X 0 к |<о 1 л ~2 2л “3" 5л Т Л 7л Т 4л Т Зл т 5л ~з~ 11 л о fl(X) 27 32 35 30 26 20 18 22 26 30 32 36 /2 W 0,43 0,87 0,64 0,57 0,28 0 —0,30 —0,64 —0,25 0,04 0,42 0,84 /3 (*) 2,3 3,2 2,1 1,6 —0,4 —0,2 —0,4 0,3 0,7 0,9 1,2 1,6 Найти приближенное выражение этих функций в виде тригонометрического многочлена второго порядка.
ГЛАВА XVI ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ*) Векторное поле, дивергенция и ротор 4401. Найти векторные линии однородного поля А(Р)^ = at -|- bj + ck, где а, b и с — постоянные. 4402. Найти векторные линии плоского поля А(Р) = — (D//Z+ + <охХ где со — постоянная. 4403. Найти векторные линии поля А(Р) = — ыу1 + (ох/+йй, где оз и h — постоянные. 4404. Найти векторные линии поля: 1) A (P)^(r/ + 2)z‘ — xj — xk\ 2) A(P) = (2-z/)/ + (x-z)/+(y-^)*; 3) A(P) = x(^-22)/-y(z2 + x2)7+2(x2 + r/2)*. В задачах 4405 — 4408 вычислить дивергенцию (расходимость) и ротор (вихрь) заданных векторных полей: 4405. A(P)=xi + yj+zk. 4406. А (Р) = (у2 + z2) I + (г2 + х2) j + (%2 + у2) k. 4407. А (Р) = x2yzi+xy2zj+ xyz2k. 4408. A(P) = grad(x2 + f/2 + z2). 4409. Векторное поле образовано силой, имеющей постоянную величину F и направление положительной оси абсцисс. Вычислить дивергенцию и ротор этого поля. 4410. Плоское векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния от точки ее приложения до начала координат и направленной к началу координат. (Например, плоское электрическое поле, образованное точечным зарядом.) Найти дивергенцию и ротор этого поля. 4411. Найти дивергенцию и ротор пространственного поля, если силы поля подчинены тем же условиям, что и в задаче 4410. 4412. Векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной расстоянию от точки ее приложения до оси Oz, перпендикулярной к этой оси и направленной к ней. Вычислить дивергенцию и ротор этого поля. *) Задачи на свойства скалярного поля и его градиента помещены в § 4 главы XL
4413. Векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной расстоянию от точки ее приложения до плоскости хОу и направленной к началу координат. Вычислить дивергенцию этого поля. В задаче 4414 и дальше г— радиус-вектор, г~]г] — его модуль. 4414. Вычислить div (аг), где а —постоянный скаляр. 4415. Доказать соотношение div (<рД) = <р div А + A grad <р, где <р = ф(х, у, г) —скалярная функция. 4416. Вычислить div b (га) и div г (га), где а и Ь — постоянные векторы. 4417. Вычислить div(axr), где а —постоянный вектор. 4418. Не переходя к координатам, вычислить дивергенцию векторного поля: 1) А (Р) = г (аг) - 2аг\ 2) А (Р) = , 3) grad . 4419. Вычислить дивергенцию векторного поля А(Р)=н\г\) г;7. Доказать, что дивергенция поля равна нулю только тогда, когда с с — , если поле пространственное, и f (| г |) = । г |, если поле плоское, где С — произвольное постоянное число. 4420. Доказать, что rot [Д! (Р) + Д2 (Р)] = rot А! (Р) + rot А2 (Р). 4421. Вычислить rot [фД (Р)], где ф==ф(х, у, г) — скалярная функция. 4422. Вычислить rot га, где а —постоянный вектор. 4423. Вычислить rot(axr), где а —постоянный вектор. 4424. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг оси. Найти дивергенцию и ротор поля линейных скоростей. 4425. Доказать соотношение п (grad (Дп) — rot (Д х л)) = div Д, если /г —единичный постоянный вектор. Дифференциальные операции векторного анализа (grad, div, rot) удобно представлять с помощью символического вектора V («пабл а» —оператор Гамильтона): ',=ri+^-i+rk-дх ду' дг
Применение этого оператора к той или иной (скалярной или векторной) величине нужно понимать так; следует проделать по правилам векторной алгебры операцию умножения этого вектора на данную величину, а затем умножение символа и т. п. на величину S рассматривать как нахождение соответствующей производной. Тогда grad w = div A = VA\ rotA=VxA. При помощи оператора Гамильтона можно записывать и дифференциальные операции второго порядка: Wn — div grad и\ Vx Vu = rot grad u\ V (V A)—grad div A; V (V x A) = div rot A; Vx(?X A) = rot rot A. 4426. Доказать, что r-Vrn = nrn, где г— радиус-вектор. 4427. Доказать соотношения: 1) rot grad и = 0; 2) div rot А = 0. 4428. Доказать, что , д2и , д'Ч1 , д-и d‘Vgrad£t = ^ + ^2- + ^. (Это выражение называется оператором Лапласа и обычно обозначается \и. При помощи оператора Гамильтона его можно записать в виде Ди = (VV) и = V2u.) 4429, Доказать, что rot rot А (Р) = grad div А (Р) — ДА (Р), где ДА (Р) = ДАХ1 + ДАРУ+ \A2k. Потенциал 4430. Векторное поле образовано постоянным вектором А. Убедиться, что это поле имеет потенциал, и найти его. 4431. Векторное поле образовано силой, пропорциональной расстоянию от точки приложения до начала координат и направленной к началу координат. Показать, что это поле консервативное, и найти потенциал. 4432, Силы поля обратно пропорциональны расстоянию точек их приложения от плоскости Оху и направлены к началу координат. Будет ли поле консервативным? 4433. Силы поля пропорциональны квадрату расстояния точек их приложения от оси аппликат и направлены к началу координат. Будет ли поле консервативным? 4434, Векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной расстоянию точки ее приложения от оси Ozt перпендикулярной к этой оси и направленной к ней. Показать, что эго поле консервативно, и найти его потенциал. 4435. Векторное поле образовано линейными скоростями точек твердого тела, вращающегося вокруг своей осн. Имеет ли это поле потенциал?
4436. Силы поля задаются так: Л (Р) = /(г) у (так называемое центрированное поле). Показать, что потенциал поля равен и (х, у, (г) dr (г = /х2 + //24- 22). а Получить отсюда как частный случай потенциал поля сил притяжения точечной массы и потенциал поля задачи 4431. 4437. Найти работу сил поля А (р) = xyi + yzj + xzk при перемещении точки массы т по замкнутой линии, состоящей из отрезка прямой x + z=l, у = 0, четверти окружности х24-#2=1, 2 = 0 и отрезка прямой 1, х = 0 (рис. 78) по направлению, указанному на чертеже. Как изменится работа, если дуга ВА будет заменена ломаной ВО А или отрезком В А? Потенциал силы притяжения*) 4438. Дан в плоскости Ogt] однородный стержень АВ длины 2/ с линейной плотностью S, расположенный на оси 0g симметрично относительно начала координат (рис. 79). б) Показать, что проекции X и Y силы притяжения, действующей на точку Р массы т с координатами g = x, Ц = у, равны X - mk8 (рА рв} , У - mkfi (СВ , ЛС\ у \РВ'РА}’ а результирующая сила R по величине равна R = («+₽), где & —постоянная тяготения (С —проекция точки Р на ось 0g, а —угол АРС, 0 — угол ВРС). *) Здесь (в задачах 4438—4449) везде имеется в виду сила тяжести, действующая по закону Ньютона. Вместо выражения «потенциал массы, расположенной на (или в) данном геометрическом объекте», для краткости мы говорим «потенциал данного объекта».
4439. Найти потенциал окружности х2 + //2 = 7?2, z = 0 в точке (R, 0, 2R), если плотность в каждой точке равна абсолютной величине синуса угла между радиус-вектором точки и осью абсцисс. 4440. Найти потенциал первого витка однородной (плотность 6) винтовой линии x = acos/, у = a sin /, z~ bt в начале координат. 4441. Найти потенциал однородного квадрата со стороной а (поверхностная плотность б) в одной из его вершин. 4442. На плоскости Оху распределена масса с плотностью б, убывающей с расстоянием р от начала координат по закону 6 = Найти потенциал в точке (0, 0, Л). (Рассмотреть три случая: Л<1, /г=1 и Л>1.) 4443*. Вычислить потенциал однородной боковой поверхности круглого цилиндра: 1) в центре его основания, 2) в середине его оси (радиус цилиндра /?, высота Я, поверхностная плотность б). 4444. Вычислить потенциал однородной боковой поверхности прямого круглого конуса (радиус основания /?, высота Н) в его вершине. 4445. Дан прямой круглый однородный цилиндр (радиус основания R, высота /7, плотность б). 1) Найти потенциал в центре его основания. 2) Найти потенциал в середине его оси. 4446. Дан прямой круглый однородный конус (радиус основания Rt высота /7, плотность б). Найти потенциал конуса в его вершине. 4447. Найти потенциал однородного полушара х2 + у2 + z2 R2 (z^O) с плотностью б в точке А (0, 0, а). (Рассмотреть два случая: a^R и a^R.) 4448*. Найти потенциал однородного тела, ограниченного двумя концентрическими сферами с радиусом R и r(R>r) и плотностью б, в точке, удаленной от центра шара на расстояние а. (Рассмотреть три случая: a^Ry а^г и r^a^R.) Показать, что если точка находится во внутренней полости тела, то сила притяжения, действующая на эту точку, равна нулю. 4449. Найти потенциал неоднородного сплошного шара х2 + у2 + z2 R в точке Л (0, 0, a) (a>R), если плотность б = Хг2, т. е. пропорциональна квадрату расстояния точки от плоскости Оху. Поток и циркуляция (плоский случай) 4450. Вычислить поток и циркуляцию постоянного вектора А вдоль произвольной замкнутой кривой L.
4451. Вычислить поток и циркуляцию вектора Л(Р) = яг, где а — постоянный скаляр, а г— радиус-вектор точки Р, вдоль произвольной замкнутой кривой L. 4452. Вычислить поток и циркуляцию вектора A(P)=xi—yj вдоль произвольной замкнутой кривой L. 4453. Вычислить поток и циркуляцию вектора А (Р) = (х3—y)i+ +(y3 + x)j вдоль окружности радиуса R с центром в начале координат. 4454. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен и ~ In г, где г = Ух2 -\-у2. Определить количество жидкости, вытекающей из замкнутого контура L, окружающего начало координат, в единицу времени (поток) и количество жидкости, протекающей в единицу времени вдоль этого контура (циркуляция). Как изменится результат, если начало координат лежит вне контура? 4455. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен ц = где ср — arctg —. Определить поток и циркуляцию вектора вдоль замкнутого контура L. 4456. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен и (х, у) = х (х2 — Зг/2). Вычислить количество жидкости, протекающей за единицу времени через отрезок прямой линии, соединяющей начало координат с точкой (1, 1). Поток и циркуляция (пространственный случай) 4457. Доказать, что поток радиус-вектора г через любую замкнутую поверхность равен утроенному объему тела, ограниченного этой поверхностью. 4458. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверхность круглого цилиндра (радиус основания R, высота Н), если ось цилиндра проходит через начало координат. 4459. Пользуясь результатами задач 4457 и 4458, установить, чему равен поток радиус-вектора через оба основания цилиндра предыдущей задачи. 4460. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверхность круглого конуса, основание которого находится на плоскости хОу, а ось совпадает с осью Oz, (Высота конуса 1, радиус основания 2.) 4461. Найти поток вектора А (Р) = xyi + yzj-\-xzk через границу части шара x2 + y2 + z2 = l, заключенной в первом октанте. 4462*. Найти поток вектора А (Р) = yzi-\-xzj-^xyk через боковую поверхность пирамиды с вершиной в точке S (0, 0, 2), основанием которой служит треугольник с вершинами 0(0, 0, 0), А (2, 0, 0) и В(0, 1, 0).
4463. Вычислить циркуляцию радиус-вектора вдоль одного витка АВ винтовой линии x = acos/, y = asint, z = bt, где А и В—точки, соответствующие значению параметра 0 и 2л. 4464. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью <i) вокруг оси Ог. Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности радиуса R, центр которой лежит на оси вращения, а плоскость окружности перпендикулярна к оси вращения в направлении вращения. 4465*. Вычислить поток ротора поля векторов A(P)=yi-\-A-zjA-xk через поверхность параболоида вращения z = 2(l —л2—• —у-), отсеченную плоскостью г = 0.
ОТВЕТЫ К главе I I. Все числа п натурального ряда, кроме /7 = 1 и я = 2. Если сумма углов S, а число сюрон п, то 5 = л(ц —2). 4. а) При х~ —2t х=1, х=6 функция обращается в нуль; б) при х< — 2, —2 < х < 1, х > 6 функция положительна; в) при 1<х<6 функция отрицательна. 6. г= __________________7. 5 => | л/i = 8. 6 = j/25-«2. 9. f(0) = -2; /(1) = -0,5; /(2) =0. /(—2) =4; f(—1/2> = —5; f()<2) =-0,242 .... )/(1/2) =1; <р (0) = 2; <р(1)=О,5; ф(2) = 0; ф(—2) = —4; ф(4) = 0,4; f (—1) не существует; Ф (—1) не существует. 10. /(1) = 0; = 1; f (цф 1) = л3 4-За2 4-За; f (а— 1) = а3 — — З^+За—2; 2/(2а) = !6а3-2. И. F£0) = 1/4; F(2)=l; F(3) = 2; F (— 1) = = 1/8; F(2,5) = /2; F (—1,5)= 1/J<128; <p (0) = 1/4; <p(2)=l; q> (— l)=l/2; ф(х) = 2*-2 при х>0и ф(х) = 2-х-2 при х<0; ср (—l)-j-E (l) = I. 12. ф(0)~0; ф(1) —а; ф(—1) = —1/а; ф (1/а) =а,1_п)/я; ф(а) = аяи; ф(—а) =— аА~ал 13. ф (i-) = 1; [ф (/)]‘2 = /вф2/гф 1, 20. равно тангенсу угла между секущей, проходящей через точки (at j (а)) и (b, j (6)), н положительным направлением оси Ох. 22. а) хх = 0, ха = 2; б) Xj = — 1, х2 = 3. 23. хА =—2, ха = 5, х% = —1/2, 24. Одним корнем всегда будет х — а. 25. 4 и —2; —2, 2, 4, 10. 26. Xl = —3, х2 = — 2, х3 = 2, xi = 3. 27. х-С—1 и а>2. 28. а = 4, /; = — L 29. а =— \ _ =^—1,04 (полагая sin 0,5 0,48); Z?= 1; с — — !. 4-2йл или 2 sin 0,5 ' 2 а=- Z> =—1; с = ’ +(2fe+1) я (* = 0, tl, ±2,...). 30. ц = 2 sin 0,5 ’ ’ 2 v = (Ж)!. 31. y = — . 32. у=У(а'+1)'- 33. «=/1 +(ig sin xj2. 34. c=> [ cos x I = sin (14-*). 35. 1) y = u\ v — sinx; 2) z/ = j^v, v — u'*t п = хф-1; 3) у — lg и, v = tg x; 4) y = u’\ и = sin v, v = 2x 4--1; 5) у = 5a, и = v-> v — 3x 4- 1. 36. a) —3/8; 6) 0; в) sin 12; r) —sin2xcos22x; д) xu — Зх7-f-Зх'’ —2x34-x; e) 0; ж) sin (2sin2x). 38. 1) //= i \r 1 — x2; 2) y~ A: Ух1 —a1-, 3) y=\ tr — x\ 4) y= 5) у => log» 5 10 000 = —6) r/ = —----------1; 7) //= |Og2(r» 4-7)-log2(x2 — 2)—x; 8) у = = Arccos 1 39*. 1-Hx Пусть x>0 и f/>0, тогда y-\-y~x — x-=0; y — x (гра фик—биссектриса первого координатного угла). Пусть х>0 и у <0, тогда у — у—х — х = 0; х = 0 (график—отрицательная полуось Оу). Пусть х<0и i/ л-О, тогда у + у — х4-х = 0; y = Q (график—отрицательная полуось Ох). Пусть х < 0 и у < 0, тогда у — у — х-[ x — Q — тождество (график — множество всех внутренних точек третьего координатного угла). Ю С. Н. Берман
X 1 2 3 4 5 6 У 1 1/2 1/6 1/24 1/120 1/720 41. п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 и 0 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 б 6 6 6 7 7 8 8 42. л 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 и 0 0 0 1 0 2 0 2 1 2 0 4 0 2 2 3 0 4 0 4 43. Если /(х) —масса отрезка AM, то f(x) = 2x при 0 ^.х 1, f (ж) = 3 «=2 + ~ (х— 1) при 1<х^3, f(x) = x+2 при 3<х^4. Функция опреде- лена при 0 х << 4 • 44. При 0 х R 5 = л (2/? — х)2; при 7? х 37? 5 = л7?2; при 37?^х^47? 5 = 4 (67?х—х2 — 87?2). Вне интервала [0, 47?] функ-ция5 = /(х) не определена. 45. У = лх^7?2——V 0<х<27?, 46. 5 = = ~ 0cx<t2R. 47. 1) х>0; 2) х>-3; 3) х<с|; 4) — оо < Сх-сО; 5) вся числовая ось, кроме точек х=±1; 6) вся числовая ось; 7) не определена только при х = 0, х = — 1, х= 1; 8) вся числовая ось, кроме точек х=1 и х = 2; 9) .—1 х1; 10) —со < х < 0 и 4<Сх<с-[-оо; 11) —со<х<-1 и 3<х<-^оо; в интервале (1, 3) функция не определена; 12) —со<х<1 и 2<х<-|-оо; на отрезке fl, 2] Функция не определена; q 5 13) — 4 ^х-,14; 14) 1 <:х^3; 15) 0^х.-< 1; 16) — ^х^ 17) 0,<х^ ^ 2» 18) — l^x^l; 19) —оо<х<0; 20) не имеет смысла; 21) 1^;х <4; 22) 2h<x<(2L|-l) л, где /г —целое число; 23) 2/<’л -<с х(2&Д- 1) я, где k — целое число; 24) 0 < х < 1 и 1 < х < + оэ. 48. 1) —2<;х<0 и 0<х<1; 2) —1 х 3; 3) 1 ^х < 4; 4) 3/2 <х < 2 и 2 <сх <4-оо; область определения состоит только из одной точки х=1;4^—1<х<0п 1<х<2; 2<х<4-« 7) 3 — 2л С х С 3 — л и 3<х<;4; су-4-<х< — л иО<№Тл; 9) 2/гл < х < (2k-\- 1) л, где k — целое число; 10) 4<х<5 и 6<х<-{-оэ; 11) нигде не определена; 12) —1 <х<1 и 2 -с х < 3; 13) вся числовая ось; 14) 4 х-Д-6; 15) 2 < х < 3. 49. 1) Да; 2) тождественны па любом интервале, не содержащем точку х = 0; 3) тождественны на полуинтервале [0, -Ь оо); 4) тождественны на интервале (0, -foo). 50. 1) Например, # = ^4 — х21 2) например, у= -yL-x; 3) например, у = -Ц +-Ц-j-51. I) 1< <х^3; 2) 0^х< + оо для двух ветвей и 1^х<-|-оо для двух других ветвей. 52. — оо < х< + оо. 53. 1) г/> 0 при х > 2; у < 0 при х < 2; у = 0 при х = 2; 2) t/>0 при х<2 и х>3; у <0 при 2<х<3; у = 0 при хх = 2 и
х2 = 3; 3) г/ > 0 в интервале (—оо, + со), функция корней не имеет; 4) £/ > О в интервалах (0, 1), (2, + со); ycQ в интервалах (—со, 0) и (1, 2); г/ = 0 при *1 = 0, х2= 1, х3 = 2; 5) #>0 при х#=0; у = 0 при х = 0. 54. 1), 3), 8), 10), 11), 15) четные, 5), 6), 9), 12), 14), 17) нечетные; 2), 4), 7), 13), 16) ни четные» ни нечетные. 55. 1) // = (х2+2) + Зх; 2) */ = (! — х4) + (—х3—2хб); 3) j/=(sin2x+tgx) + cos57. 1) y = .^LaX.. 4- аХ~а~х.- 2) у =, (1+х)100_|_(1_х)100 (i+x)ioo_(1_xnoo _---------------------1---------------/—. 59 функции ijt 5^ 6), §), 60. Графики см, на рис. 80 i в интервале (0, +оо) возрастает; 2) в интервале (—со, 0) убывает, в интервале (0, + со) сохраняет постоянное значение-нуль. 62. 1) Наибольшее 1, наименьшее 0; 2) наибольшее 1, наименьшее —1; 3) наибольшее 2, наименьшее 0; 4) наибольшего значения не имеет, £ наименьшее 1, 65./ = у. 66. а) р = 72,7й; б) 1,05-Ю3 Па; в) 36,4 см.67. F = 8 w. 68. 1) у = 4о 9 = у х + 4; 2) #= 1,195х+1,910; 3) у= — 0,57x4-8,63. 69. а) 1/= 1004-0,35/; б) 100 см3. 70. 5=16,6 + 1,34/. 71. У=12 — —0,7/. 72. At/ = 6. 73. Ai/ = — 6. 74. Дх = 4. 75. Конечное значение аргумента х2 = 2а. 76. х = 3; при графическом решении ищется точка пересечения графика функции г/ = ф(х) и прямой t/ = 2x— 4. 78*. Следует обратить внимание на то, что из всегда справедливого соотношения | f (х) + ф (х) | | f (х) | +1 <р (х) | в условии задачи исключен знак равенства. Строгое неравенство будет иметь место при х < 3 и х > 4. Можно решить задачу путем построения графиков функций Ф (х) = | / (х)+ф (х) | и ф (х) «= |/(х) | + | (р (х) 79. х<2, См, указание к решению задачи 78. 0 на интервале (—оо, — 3)» 5 — д-х2 + 5 на отрезке [—3, 3J, 2 ~х —2 на отрезке [3, 6]. о 83. 1) // = —7/8 при х — 1/4; 2) //=17/4 при х = — 3/2; 3)// = 5 при х=0; 4/ у= — 7а2/8 при х = а/4; 5) У—^ при х = ^,. 84. 1) // = —6 при х = —2; 2) {/=0,31875 при х = 3/8; 3) у = 5/8 при х=1/4; 4) {/=а4 при х=0; 5) у = = 9 62 при 85. + 86* а=4 + 4« 87.4 м. 88. По 50 см. 4 г 2а 2 2 2 2 89. Тот, у которого осевое сечение —квадрат. 90. Чем меньше высота конуса, тем больше его боковая поверхность; функция достигает наибольшего значения Р при радиусе основаниям равном -р т. е. тогда, когда конус вырождается в пло«
скнй диск. 91. 12,5 см. 92. Высота прямоугольника должна быть равна половине высоты треугольника. 93. Радиус цилиндра должен быть равен половине RH радиуса конуса. 94. При Н > 2R радиус цилиндра должен быть равен ; 2 (п—R) при Н ^2R полная поверхность вписанного цилиндра будет тем больше, чем р Р 4 больше радиус его основания. 95. %. 96. я —~. 97. —j. 98. Сторона должна быть равна 10 см. 99. Сторона основания и боковые ребра должны иметь по 10 см. 100. Сторона треугольника должна быть равна ———т. 9+4/3 101. Искомая точка (b/в, Ь/6), 102. Искомая точка (15/11, 37/11). 104. xt«» ^—1,1, х2^ 2,1; 2) xj== — 1, х2 = 5/2; 3) ^^0,5, х2 4,1; 4) х^х^З/2; 5) не имеет вещественных корней. 105. Xi = — 3, х2 = 8. При графическом решении ищется точка пересечения графика функции i/ = (p(x) и параболы у2 = «=7x4*25. 106. Если № — 4агг>0 и а>0. то функция определена на всей числовой оси, кроме интервала xi^x^x2, где и х2 — корни трехчлена. При 62—4gc>0 и а<0 функция определена только при х!<х<х2. Если Ь-—4ас<0 и п>0, то функция определена на всей числовой оси. Если Ь2—4ас<0 и а<0, то функция нигде не определена. Наконец, при Ъ2 —4ас—0 функция будет определена на всей числовой оси, кроме одной ее точки х => = — если а>0, и н (где не определена, если а с 0. 107. / (х~^ 1)==2х2 -j- + 5x4-3. I 2х —Г* с 108*. Пусть • + . = tn, где m —произвольное действительное чис- X" ЧА -J ло; тогда (т — 1) х- -f- 2 (2m — 1) х + с (Зт — 1) =х 0. Аргумент х должен быть действительным числом, следовательно, (2m — I)2 — (tn — 1) (Зтс — с) ^0, или (4 — Зс) m24-4 (с—1)/и —(с—1) ^0; но так как /п —действительное число, то это неравенство в свою очередь справедливо лишь при условии, что 4 — Зс>0, 4 (с— 1)24-(4 — Зс) (с — I) =с0; отсюда 0^с^1, но по условию с^=0, следовательно, 0<с-<1. 109. pv — 2,3-10\ 110. Переменная х обратно пропорциональна v. 111. Переменная х прямо пропорциональна v. 112. Количество выделяющегося вещества обратно пропорционально объему растворителя. 114. 1) При х=1 у = 4 — наибольшее значение; при х —5 у —4/5 — наименьшее еначенне; 2) при х ——1 у = 1/7 — наибольшее значение; при х = 2 у = —2 — наименьшее значение; 3) при х = 0 у= 1 —наибольшее значение; при х=4 у= — 3/5 — наименьшее значение. 117. I) у = х; 2) £/= ? ; 3) у= - ; 4) о ~±УТ="\; 5) t/=J; 6)»/ = ^; 7) i/= 1 ±/х + 1; 8) г/= +/х»-1; 9)^ ~lg.*: 10)у=-2+10<+ Н)у=21/Х; 12) ^log.-r^-; 13) 14)у- 1U * Л L L ~~~ Л. . . X —1 l+arcsln—_ х <= -- arcsin - ; 15) у =--х—1* = — cos 4 (0^ х 2л), 119. 1—arcsin—£— «=—а. 122. 1<х^3; у— 1 4-21 “**. 123- // = arcsin х —х2—2. 125. Xt —0,5, х2 = 1, Хз-=^54,5. 126*. 1) x^lA остальные корни мнимые; xt — абсцисса точки пересечения графиков кубической и линейной функций: # = х3 и //==—х + 4; 2) Х! = 1, х2 = —I, х3 = 3; целесообразно применить замену переменной х = х' + а и выбрать а так, чтобы коэффициент при х'2 обратился в нуль; далее, как в 1); 3) xt = 4, х.2 = х3=1; см. указание к 2); 4) xt = — 1, остальные корни мнимые; см. указание к 2), 127. 1) 1,465 2) && 14,26 см; 3) почти 6.8см. 128. Если у, = хп, у^-^х, то при л>1 для0<х<1
У1 < У^ а для 1 < х <4-00 У1 > Уъ при 0 < п < 1 для 0 < х < I yt > а для 1 < к <-!-оо /д <Уг\ при — 1 < п < 0 для 0 < х < 1 yt < £/2, а для 1 <х-<+оо t/t>у2. при п <—1 для 0<х< 1 У1>Уъ а для I <х<-|-оа У1<У1- 133- xt=l, а*2 = 2. 134. Точки пересечения (1, 2); (3, 8); (3» 4/3); (—1,5; 0,3). 135. п = 15. 136. Исходя из определения гиперболических функций, можно доказать, что sh (— х) =—sh х, th(—х) =—th х, ch (—x) = chx. Периодическими эти функции не являются. 140. //ня;1м^0,8 при х^0,4. 141. График функции симметричен относительно начала координат, так как ах_________________________а-х 9 функция нечетная, у^-----------. 143. 1) Л= I, 7 = л; 2) А = Т = л; 3) 4 = 4, 144. 1) 2, 1 I бл-* 2л ‘ 7 = 2; 4) 4 = 2, 7 = 4л; 5) 4=1, 7 = 8/3; 6) 4 = 3, 7= Л-л. 2V’ 5; 2) ’’ 4л> 4Т’ 3) Г ’’ ’’ 4) 146. Область определения (0, л). Площадь будет наибольшей при х = л/2. 147. х = R sin ( + arccos V 148. у = sin Г~ (arcsin yk — \ К * *х j [ч —*о х . . 1 2л (/£ — tQ) arcsin//о —/oarcsinwt — arcsin //0) -t- arcsin y$ ; 7 =-.—--------; Ф:ИЧ = ------------- ----- — 1 yu] arcsin т/j — arcsin yQ r —tq 149. x — R (1 — cos q:)-f-a — J^a2 — R2 sin2(p, где ф = 2ллЛ 151. 1) x£ = 0, x213^ ^±1,9; 2) at = 0; ±4,5; ±7,72; далее co значительной точностью можно считать х«= ± П л (/; > 3); 3) х«=0,71; 4) х^ОД х3 = 2,85. х3 = 5,8; 5) корней—бесчисленное множество; х£ = 0, х2 немного меньше л/2, х3 немного больше Зл/2 и т. д. 152. 1) 2л; 2) 2л; 3) 24; 4) 2. 153. 1) y = ]r2 sin («+-£•) I 2) //=Т/5 4-2 |z3 sin (х + фо). где фо = arcsin ------- 155». 1) Период л/2. V 5 4- 2 И З На отрезке [0, 2л] функция может быть представлена так: у = sin хcos х на отрезке [л/2, л], на отрезке отрезке [0, л,2], у = sinx — cosx на на отрезке [л, Зл/2], у = — sin х-{-cos х На отрезке^ 0|, 2л) функция может бьпь представлена так: z/ = tgx на полуинтервале [0, л/2), y = Q на полуинтервале (л/2, л|, tgx на полуинтервале (я, Зл/2), у = 0 на полуинтервале (Зл/2, 2л J. 156. 1) Область определения состоит из бесчисленного множества интервалов вида (2лл, (2л -{- 1) л), где л=0, ± 1, ±2...; ни четная и ни нечетная; периодическая, период 2л. В интервале у -= — sin х — cos х [Зл/2, 2л]. 2) Период 2л, Рис. 82 y^arcsififsiiT} (0, л/2) синус возрастает or 0 до С следовательно, lg sin х, оставаясь отрицательным, возрастает до 0, В интервале (л/2, л) синус убывает от 1 до 0, следовательно, убывает и lg sinx. В интервале (л, 2л) синус имеет oi рицательные значения, следовательно, функция Ig sin х не определена. 2) Область определения состоит из л отдельных точек вида х= 2- + 2лп, где = 0, ±1, ±2, ... В этих точках // = 0. График состоит из отдельных точек оси абсцисс. 3) Функция на всей числовой осн, кроме точек х = лп, где /: = 0, ± а , cl (I cos®+b sin ср) 158. ш = 2 агездп 159. Y=arctg р cos ф _ f аП у)- определена 1, ±2, ... 160.
= arccos Г1 - р^2°-р 161. 1) -l=Sx«Sl; 2) О^х^ I; 3) О^х1; L —X) J 4) —1 х 0; 5) 0<х< + оо; 6) — со < х < 0; 7) 0^х<4-оо; 8) — оо< <х=<:0; 9) — оо<х< 1; 10) 1 <х<4-оо. 162. 1) — l^x^l; 2) 0<;х^ 1; 3) —со<х< + оо; 4) определена всюду, кроме х = 0. 163*. Период 2л. График см. на рис. 82. Указание, На интервале — л/2 ^х^ л/2 имеем у =э arcsin (sin х) = х по определению функции arcsin х. Для получения графика функции на интервале л/2^х^Зл/2 полагаем 2=х —л, тогда х = л-|-г, — л/2 ^2^ л/2, t/= arcsin (sin х) = arcsin sin (z + л) — — arcsin (sin z) = — z; р = л —x и т. д. 167. f/наиб^15, 0яаим5,5; функция переходит от возрастания к убыванию при х =—2. Корень функции: х^ —3,6. 169. у = (267 —10х —x2)f или у = 0,0312х2 — 0,3125х-(~ 8,344; корни функция: Xj«^ — 22,09, х2^ 12,09. Чтобы получить корни с точностью до 0,01, надо коэффициенты ВЗЯТЬ с ТОЧНОСТЬЮ ДО 0,0001. 170. Хх«=;2,60см, х2^7,87 см. 171. Xi^—2,3, х2^3; остальные корни мнимые. 172*. Выбрать а так, чтобы коэффициент при х'3 обратился в нуль; Хх^ —3,6, х2^ — 2,9, хя^0,6, х4%4,8. 173. Х!«к0,59, х2^3,10, х3%6,29, х4^9,43; вообще х ^лп (гс> 2). 174. х,^ —0,57, у!^—1,26; х2^ —0,42, у2^=ЛЛ9; х3^0,46, #яГ^О»74; *4^0,54, —0,68. К главе П 176. lim «„=1, л=й4. 177. lim «я=0, л>-’^. 178. «=19999. П —г СО П —♦ ОО \ С 179. lim 1*л = 0, п 1000. Величина vn бывает то больше своего предела, то п —* ОО меньше, то равна ему (последнее при п = 2£-|-1, где k = 0t 1, 2, ...). 180. lim ил=1; л>И4; fi^-log2--. 181. 1/ если £^5/6; п —> оо € 3 Г 8 л = 0, если е >5/6. 182. п : последовательность ип убывающая. >е(2+е) V 183. lim ия = 0; vn достигает своего предела при n —так как, начиная п -*оо с этого значения и, ил = 0. 185. 0. 186. 1) Нет. 2) Да. 189. Г1|г а = (Жтот предел может равняться любому числу или не существовать. 190. д •< </4+7—2; 6 <0,00025. 191. б<2-/3. 192. 6<2/13. 193. 1 х— £ I < < — arcsin 0,99^0,135. 194. N I/-----1, если г -< 1; N = 0, если е> 1. 2 ._____ Г е _ Г 4 4 д/_1 195. N > Т/ ——Зв если е ^4/3; N — 0, если £>-о . 196. п>—-—, 197. ип — положительная бесконечно большая величина, если разность прогрессии d > 0, и отрицательная, если d < 0. Для геометрической прогрессии утверждение справедливо только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине больше 1. 198. — — 1 -- < х < ттгр—7 . 199. < х < <-3ST- 200. 6 <-/- = 0,01. 201. log, 0,99 <х< log, 1,01. 202. ,М>_*10ЛГ = I/ Уу t= 10100. 203. sinx, cosx и все обратные тригонометрические функции. 205. Нот. Да, 200. Нет, 207. 1) Например, хп= +2лл и хп = 2яп. 2) Нет. 209. Если а> 1, то функция при х->-+оо не ограничена (но не бесконечно большая); при х-> — оо она стремится к нулю. Если 0<а< 1, то функция при х-> —оо не ограничена (но не бесконечно большая); при х->4-оо она стремится к нулю. При а=1 функция ограничена на всей числовой оси. 210. 1), 3) и 5) нет;
1 1 /1 _₽2 \2 | 2) и 4> да‘ 2‘3- 10001 <х< 9999 ‘ 2,4‘ * ™' ° У='+Т^Т: 1 __j 2 2) у= 2- + ^_—; 3) №=—l+j-zp^2‘ 216*. Сравнить ип с суммой членов геометрической прогрессии 1/3, 1/9, 1/27, ..., 1/3^. 220. 3. 221. Да.^222. f (х)==« = 9л при 0 х 5; f (х) — 4л Функция разрывна при х-5 и 225. х = 2; х = —2. 226. 2/3. 227. при 5 < х 10; /(х)== л при 10<х^15. при х=10. 223. а=1. 224. Л-—1, В = 1. А sin х л Функция i/ = —- имеет в точке х — О устра* нимый разрыв, у^—— — разрыв второго рода (бесконечный). 228. Функция разрывна при х — 0. ^229. Функция имеет три точки разрыва. При х = 0 разрыв устранимый, при х = ±1 разрыв второго рода (бесконечный). 230. Нет. Если х->0 справа, то /(х)->л/2, если х->0 слева, то /(х)-»- —л/2. 231. Функция разрывна при х —0. 232. 0. 234. Нет. Если х-> 1 справа, то //->1; если х -> 1 слева, то у->0. 235. Если х->0 справа, то //-> 1; если х->0 слева, то —1. 236. Функция разрывна при х —0 (разрыв первого рода). 237. Функция имеет разрывы первого рода в точках х = (2&+1). 238. При х = 0 функция непрерывна, при х 0 функция разрывна. 239. Все три функции разрывны, когда х равен целому числу (положительному или отри* нательному) или пулю. 241*. Записать многочлен в виде хп + и исследовать его поведение при х -> _t оо, 244*. Построить схематично график . Hi О-2 G't функции у~~—-—!--------т- -|- -—, исследовав ее поведение в окрестности точек Л3 и Л,. ‘245. I. 248. 1/2. 3247. 3. 248. оо. 249. 0. 250. 0. 251. 15/17. 252. I. 253. 0, 254. 4. 255. I. 256. 0. 257. 0. 258. 0. 259. 1. 260. 4/3. 261. 1/2. 262. —1/2. 263. —1. 264*. 1. Заметить, что 7-----L—= —265. 1/2. (п — 1) п и — 1 п 266. 1. 267. 0. 268. 9. 269. 3/4. 270. оо. 271. 0. 272. 0. 273. —2/5. 274. 1/2. 275. 6. 276. со. 277. —1. 278. со. 279. 0. 280. т/п. 281. 0. 282. оо. 283. 1/2. 284. —1. «85. 0. 286. 1/4, 287. —1/2. 288. 100. 289. —1. 290. 1. 291. оо. 292. 0, 293. 0. 294. со. 295. 4. 296. 1/4. 297. 3. 298. -Е-, если х>0; оо, 2/х если х = 0. 299. 1/3. 300. 2/3. 301. -/------, 302. mln. 303*. 1/2. К числи- 4а у а — b телю прибавить и отнять единицу. 304. —1/4. 305. Один корень стремится к —с/6, другой — к со. 306. 0. 307. 0. 308. 0, если x-»“-j-co; оо, если х-> — оо. 309. 1/2, если х->-|-оо; —оо, если х~»—оо. 310. —, если х->-4-оо; со. если х—>—оо. 311. ±5/2. 312. 0. 313. 1. 314. 3. 315. k. 316. a/|L 317. 2/5. 318. 0, если п > т\ 1, если /i = m; оо, если п < tn. 319. 2/3. 320. 1/3, 321. 1/2. 322. 3/4. 323. оо. 324. — 1. 325. 1/2. 326. оо. 327. 0. 328. 1/2. 329. оо. 330. —3/2. 331. 1. 332. л/2. 333. 2/л. 334. -а/л. 335, /2/2. 336. 2. 337. /2/2. 338. —2. 339. -2 sin а. 340. (Р2-а2)/2. 341. cos2 а. 342. 2^. 343. - sin а. 344. 345. /2/8. 346. 1. 347. 6 . 348. 3/2. 349. —1. 350*. 1//2л. По- ложить arccos х = у. 351. \/е. 352. 1/е. 353. 1. 354. emk. 355. 356. е~2/3. 357. е2. 358. 0, если х->--роо; со, если х-+— оо. 359. оо, если х—>-4-оо; 0« если х-* —оо. 360. 1. 361. оо, если х->-Роо; 0, если х-> —оо. 362. е2. 363. е, 364. /7, 365. ft. 366. 1/а. 367. а. 368. 1/е. 369. In а. 370. 2/3. 371. е. 372*. 3/2; к числителю прибавить и отнять единицу. 373. 2. 374. 1. 375. а-4.
376. 1. 377. О, если x-+-J-cc; со, если х-> —со, 378. 1, если х->-'гоо; —1, если х-> —со. 379. 1) а1'1; 2) 0, если Л^=0, ant если Л = 0 и а^=0, и ос, если А = а = 0; 3) — 380. О, если х-»- + со; —со, если х-> —со. 381. При а>1 предел равен 1, если Х“>4-°°» и 0, если х-> — со. При a <z 1 предел равен 0, если х~->4-со, и 1, если х->— оо. При а— 1 предел равен 1/2. 382. При а>1 предел равен 1, если х-> + со, и —1, если х-> —оо. При а < 1 — наоборот. При а=1 предел равен 0. 383. 0. 384. 0. 385. 1. 386. G. 387. —cosa. 388. 1/12. 389. 1/8. 390*. ~п Умножить п разделить на sin -* . х г 2г 391. 1/2. 392. 0. 393*. —1/2. Воспользоваться формулой arctg Л — arctg а = b — а х «= arctg ——т. 394. 1/2. 393*. 1/2. Заменить arcsin х на arctg——-----и вос- 1+Ш? J/1— Х2 пользоваться указанием к задаче 393. 396. оо, если п<1; с, если /2=1; 1« если /г> 1. 397*. 1. Взять вместо cosx выражение 1 —(1—cosx). 398. —1/2. 399. 1/е. 400. е. 401. e<lb. 402. vn высшего порядка малости. 403. ип и ^ — эквивалентные бесконечно малые. 405. Одного порядка. 406. При х = 0 порядок малости различен. При х=±_ )z<3/3 величины Ду и Дх эквивалентны. 407. Нет. 408. Третьего порядка. 409. 1) 2; 2) 1/2; 3) 1; 4) 10. 410. х= 411. a~k. 412. Нет. 414. 1) 1/3; 2) 1/2; 3) 1/2; 4) эквивалентная бесконечно малая; 5) эквивалентная бесконечно малая; 6) 1; 7) эквивалентная бесконечно малая; 8) 2; 9) 2; 10) 1; И) 2/3; 12) 2. 415. а2|Лз. 416. 2л^; 4/^. 418. Из того, что ломаная стремится к прямой (в смысле сближения их точек), нс следует, что длина ломаной стремится к длине отрезка. 419. а. 429. а, 421. 2л(/?4~г)- 422. II отрезок и угол имеют порядок 1/2. 425. 1) 10,25; 2) 30,2; 3) 16,125; 4) 40,4; 5) 0,558; 6) 0,145. 426. 1) 10,16; 2) 20,12; 3) 1,02; 4) 4,04. 427. In 1,01 ^0,01; In 1,02=^0,02; In 1,1 =^0,1; In 1,2^0,2. К главе III 428. а) 5; б) 5. 429. а) у=0,25 м/с; б) v =0,55 м/с; в) -*|2до- м/с- 430. /5,88; 60,85; 49,03; 48,05. 431. 53,9 м/с; 49,49 м/с; 49,25 м/с; 49,005 м/с; % = 49,0 м/с; и]0 = 98,0 м/с; v = 9,8/ м/с. 432. а) 4 г/см; б) 40 г/см; в) 4/ г/см, где / — длина отрезка AM. 433. 1) 95 г/см; 2) а) 35 г/см; б) 5 г/см; в) 185 г/см. 434. 1) 4195 Дж/Кг-К; 2) 4241 Дж/кг К. 435*. Ввести среднюю угловую скорость, затем путем перехода к пределу получить искомую величину. 438. k => — LHlt где k — коэффициент линейного расширения. 439. k — S У 44(//п 56; 2) 19; 3) 7,625; 4) 1,261. 441. 1) 4,52; 2) —0,249; 3)<0,245. 442. а 6,5; б) 6,1; в) 6,01; г) 6,001. 443. /'(5)= 10; /'(-2) = -4; /' (-3/2) = с=_з 444. 3; 0; 6; 1/3. 445. хг = 0, х2 = 2. 446. Для функции /(л-) = г‘ не будет. 447. 1. 448. 0,4343. 449. 2,303. 454. 1) 0; 2) 6; 3) -4; 4) ^ = 2, k. 4 455. (1, 1); ' ’ “ “ 'Л пч‘ '"л **'’ и“ ------ t 1 с= arctg у, = 12х—16; 462. При х = (1/4, 1/16). 466. 1) 6х — 5; 2) 4х3— хг -|-5х — 0,3; 3) 2ах-)-Ь; 4) 1 1 0-2 ,п , 0,4 -.1 п 2х 2т2 3 5)4= + -: 6) 7—-’°£/ : 7) 8) ът^х + у х х2 у V Ул п х т х * 1. "ITO. Ж>и. b,uuu. . UF.. 4 V, V, , —» ’2 ' (—1, _1). 456. 1) (0, 0); 2) (1/2, 1/4). 457. He может. 458. ai = a, = arctg 2. 459. «!=--, a2 = arctg 460. arctg3. 461. у = x j_ I2;y—98 = 0; подкасательная равна 2/3, поднормаль равна 96. = 0 ii при х=2/3. 463. 1) (2, 4); 2) (-3/2, 9,4); 3) (-1, I) и
+ Tn/i+ip-^; 9) G 2 ]/aj 11) 2x — Г, 12) 3,5л2/x —14- 2пг--1-Л. 10) _ ’ Z-5/3+7,2&--^_^_. p+q ia i Vi 13) 30’+2i—l; 14) 6(«-x); 15) ~h 4- ft_______£--• 16) Зш|,?1!' + П/. 467. /(1)=1, /'(1)^2; /(4) = 8, /'(-!) = (с-р)л-’ PJ •=2,5; /(a:) = 3u- —2 !<J/'(a'-) = 3 —— 468. /(—!) = —5; 1)=—8; j<(2)= 19/16; f (I/a) = 3c44- 10a3—a2, 469. 13. 471. 1) 4л3 —Зл2—8л4-9; 10л4 4- 8x3 -12л2 4- 4л 4-3; 1 I. . 1 \ „ 1 I 60 2) 7x3- 3) 5) L_ + _^_48^27F\; 2 V л \ х / 9 \ у х х Х2 х ,/ х ) L+'JL* । Э/^-гЮ-у/^+Збл угл2; 0) 2а.(3х1_28х24-49)1 <0 2 yrx *> 1-х2 ЗГ— 61-1 г-4 4- 2S+5г2-2 479 - 473 4/4. —;—. 475. , . (х—1)-’ ’ + 476. 477 1£_+1 2л--Зх2. 478. (сх-Н)2 * ’ 3(х2-1)2+ (f—2|- 479. 6*2 Ох2 2у—1 Зх2 2^4-1 (х34-1/-- • (х‘— 1)-' ‘ а‘— 3’ уя (.'24-'4-1)2’ 484. 3-2' ... 4x3 (2Z?2 —х2) .Яй 14-2х4-Зх2—2л3—х4 (Z2-3.'4-6)2' 48j- (62-х2)2“- (14-^Т 6х (14-Зх—5х3) 4g8 t?4-26x 487. (1—^2)2(1—2хл)~ ‘ * ги {а 4- bin)9 489. __а~Ь-о [(х — Ь) (у—с)4~(л—с) (х—(?) 4- (х а) (х Ь)| 499, ;'(0) = 0 (л — а)- (л — ft)2 (л — с)2 / (1) = 6. 491. f'(0)=ll, р (1) = 2, F' (2) = -1. 492. F' (0) = -1/4, f'(-l) = «= 1/2. 493. s'(0) = 3/25, s'(2) = 17/15. 494. у'(1)=16, у' (а)= 15a24- ‘'3— 1. 495. р'(2) = 5/9, р'(0)=1. 496. <р'(1) = — ^±2. 497. г'(0) = 1. 498. 1) 4х3 3*2 (□-[_{, с2Х (ab-^ac-^-ad-^-bc+cib 4-cd) — (abc-4-abd 4- •4-acd-j-bcd); 2) 8x(x24-l)3; 3) —20(1 -л)4"; 4) 60 (1 4-2x)28; 5) — 20x(l-x8)2; 6) 5(15л24-2х) (5x3 4-л2 — 4)4; 7) 6 (Зх2 -1) (х> - х)5; 8) 6^14x-|-^x М7'’-’+6Л • 4М(«Ч+»П «) -4Й2: ... 5 (х24-2х —1) (14-х2)4 ' /\ ‘ / lx j) -------П~+х/-----------; 12> 24 (X2 4-х 4- 1) (2х3 4-Зх2 4-6х 4-1)3. 499. 500. <3~^2 (S4-3)2 501. ------- ». - 2 К х (1 4-j/2x)2 ‘ 503, — —. 504. 1)3 • 4 502. __ ._____________ 374х2 (14-{/2х)2 ‘ К1 -х2‘ U2-Х4-1)3 * 5°7- у^ *_Х2)3‘ 508’ 4(1-2/;)» Vx ______2х 3/(14-х2)4’
509. -?*3 + 4*7 510. 3~х 511. 512. /(1 — х4 —х8р 2/(1 — *)* / (ха + а2)4 а2/а2+о3 513.-----г—-----------г 15х .514. и' (1)=9. 515. у' (2) = — /3/3. 516. 0. 3/(2х-1)4 2/(х2 + 2)? ' е1- 1 — cos х — х sin х _4Л х —sinx cos х епп 517. cos х—sin х. 518. -------------. 519. -------------. 520. <pcos<p. (1—cosx)2 X2COS2X 521. (a cos a — sin a) --Д—V 522. r— ----- ’ \a2 sin2 a/ 1-Hcosf e sin x-|-cos x-|-x(sin x —cos x) 23‘ 1 + sin 2x • 524 ”1“ (Sin * + * cos x) “* sin x sec2 x U+tgx)2 ' 3 525. — sin 2x. 526. tg3 x sec2 x. 527. — sin3 x. 528. --- sin 2x (2 — sin x). eon 4 4 eon q sin x co4 16cos2x _qq o i cqq в . X 529. tg4 x. 530. 2x—— . 531. — ————. 532, 3cos3x, 533.------------sin .. . cusJ x sinJ 2x 3 о 534. 9cos(3x + 5). 535. ------i---— 536. - --------- 2 cos2 У 1 +2 tg x • cos2 x I cos — 537.--------- 538. cos (sin x) cos x. 539. —12 cos2 4x sin 4x. 540. 1 541. 544. 4]/ tgf-cos2! , 543. 4(1 + sin2 x)3 sin 2x» 1—/x\ X COS /1 + x2 542.____________________ /1 4~x2 ’ ‘ 3 sin2 /l-l-x-/(l + x2)3 ’ sin \2 --j- , 545. >+l+. 546. —3sin3xX /х(Ц-/х)2 x2-l 2x 2x2 cos2 X sin (2 cos 3x). 548. arcsin x X ___ 2 arcsin x c_. 5,50. - _ —---. 551. arcsin x. /1 — X2 + x cos x arctg x -} 556. 0. 557. 560. 2x X Sin X T-:—554. 1 +x2 1 X У х2— 1 X2 563. _________n___________ 2 (arccos x)2 У1 — x2 ----------r . 553. sin x arctg x + (arcsin x)2 V1 —x2 x + arccos x У1 — x2 arctg x , Ух ~ 4 55o« ’ • 2/x 1+x2 -cn V1 — x2 4- x arcsin x ООУ. -------7 - - -------. /(1 —X2)4 /1 +2x—2x3 ’ cosx 2arctgV~' . 566.___________5. i+x3 * I -------- 549. /1 -x2 552. ’ 558. x2/T^T2 2x2 arctg x (1 +x2) (arctg x)a' 561. 1 /2x-x2 ’ 562. 2 564.-------—r. |x|/x2-4 arccos x 565 :----r • | cos x| 568.---------- ... - (l+x)/2x(l-x) /1 — x2 У 1 — (arccos X)2' X + 1 569 - ----— . ‘ 8/(arcsinV^+2i)3r(l-2*-^(x»+2x)
670. . 1 — cos a cos x 674. 575. —*+1 x In 10 5”' a+^ooL- 572- 2(./)- 5’’-* 2«1°Й«+ЕЗ . 576. ——=• 577- -1П X,~2X+1 ln 2- 2x/lnx xin2x 578. sin аг In х + х cosx In x + sinx» 579.----Д—, 580. ~ xln2x x«+1 581. 2 582 * +*3 —2x2 In x 583. x«-i (n In x 4- 1). x (1 + In x)2 ‘ x(I+x2)2 584. — 585. хУ 1 4~ln2 X “T~V- 586- ~2x~r-1—2x x2—4x 2x 587. , ,3 . 588. t„_1)|n3. 2 2 589. ->. 590.--------------------—_____591. 4 In3 sin x ctgx. sin arccos 2x / 1 — 4xa 592> (a^ + &j[i+in4ax + 6)] • 593‘ П(1+1П 8in*)’_Xcte*- 594 ______________!____________ ' ’ x logs X log3 (log5 x) In 2 In 3 In 5 * %_____________ arctg У1 + x2 (2 + x2) У 1 + xa ’ Бдв 6x2 arcsin [In (c^+x3)] (a34- x3) У1 — I n2 (a3 4- x3) ’ . x 4~ 3 Cig ---, о 597. —r z . 598. 2* In 2. 599. 10* In 10. 600. - и|/1«п'-±2 3 1__X 601. 4-^(1 — x In 4). 602. 10* (1 4-x In 10). 603. e*(l+x). 604. 605. ?.'.(1п2-1) + 3х?-~*3. 006. ex (cosx -sinx). 607. —(sin x-cosx). ex v ' sin2 xv 608. _s,n v+cos* бод. <ln.*~J) ln_22*/|n*. 610. Зх2 — 3-r 1 n 3. 611. —4==r. ex ln2x 2yi-j-eA‘ 612 ,rWLh 613 2eX 614 2 ~ 1QV ln 10 615 612. e (x -1-1). 613. 614. (14-1OA)2 ' 1 • (x2+1)2 ° Xr+T 616. ex (cos x4- sin x4~2x cos x). 617. —e~x. 618. 2 . 102v"3 In 10. 619. —— 2/1+1 620. 2х In 2 . cos (2 х). 621. 3sin x cos x In 3. 622. 3 sin2 x cos xa~in3 x In a, 9„arcsin2x pVIn x 623. 624. 23x • 3х In 2 In 3. 625. —— /1— 4x2 2x)/|nx 626. cos(ex2 + 3*-2)e*2 + 3*“2 (2x4-3). 627. —12 • 10*~ sin'31 In 10 • sin3 3x cos 3x„- 628. (2^ + &)Л1п^ + ^ + 0 2 (ax2 4- bx 4- c) /In (ax2 4- bx 4- c) ’ ctg/arctg (e3x_)£3x_ ю| .2 _ (fl2 _ x2) (14-euv)V (arctg (t-av)J2 a 632. Ae~ k‘x [<o cos (<ox 4- a) — k2 sin (wx 4- a)]. 633. axxa (“ +1,1 fl) •
634. 3sh2xchx. 635. th x. 636. -Д-. 637. - -u- ?*-- 638. Ssh^ ch 2k ch2 (1 — x)2 639. sh(shx)chx. 640,—1^=. 641. ech2 x sh2x. 642. -!__ 643 xc'i 2pchx * ch2 (hi x) * e,iul 644.-----?-llX- 645. —!--------. 646. — . 647. --------1 2 ch2 x у 1 -H th2 x 4 ch4 2pzchx—shx 1 — ilHjf * 643. * (4 + sh 2* + 2 0 ch 2k 2л*2 > । i 649, [(3x 2) sh x — x ch x], 650. x*' + (2 In x-f-1>. 651. XxXKx(IП2 x+lnx+ 652, (sin X^osx/cos_x _ sinx In sinx \ sin x t 653. (In x)v(r-i—4-In InxV 654. 27(ГИрГ—L—- -'-1£* f1 > \lnx / r ’ 1.x (x 4-1) x- 655. xV2sin2x(34-2x-4-2xctg2x). 656. —£^rA(*~ + llx + l1 3 (x — 5)1 у (x 1) - 657. 2xl:’*“l In x. 658. 57х'.~3°2х4-ЗЫ . b-'-t1*2 V 20 (x — 2) (x — 3) \f (x —3)2 c-n I I/' ’ . z I----v /1,1 1 C* \ 6э9. 2- J' x sin x 1 1 - ел ' - 4-ctg x—-2 • • 660. : ---!---------661. x^~2(l-tnx|. I i — x- ((arcsin x)2 — 1 ] r 1 -(-arcsin x qn X f 1 . Sin A'\ con / x \x / 1 , ( X \ 662. х1ЛА cosxlnxH----. 663. —— —-Д-In——- . x ) \x-rl/ \x-H^ *+1/ 664. x 2 (2 + bx). 665. (x2-(- 0 tn *[—oS-y v +cos x In (x2+ 1)1. L xw-t-< J xl^f>x"-+l3 /x(.^+l> 3x(l-x‘) V (x^-lf 666. 667. <l±xX V X- 668. 670. \ 673. 675. 677. 679. -----2-----. 669. -- .. p- -------. «COS-I *-4-b) 2p"l+V2px |<2px , r'-~2 . 671. --1 + -‘V-m • 672, Ъ sin2x(cosx-2). 1-{-(Х'~Зл''Г2)2 (л'~cosx) in 10 2 x l -4-2 pGc sec- . 674,------—===. 5 С>МГ(х4-|х)‘ 2 sin * cos 2x4- 2 cos 2 sil,2x’ G"ft‘ * <cos * —sin2 *)• ''Жг40! . 678. -2.rlnxl f (x6 — 8/2 \x ' 3U_J2,yx+ L?. 680. - 7—Ц. 681. 2xVt+\ r|/.f f Izx; l^x- 682. 2 sin 2x cos2 2x 683. -, 'V-r. 684. 1 4-Л--ГХ* 685. i ctg •* sin — -1- Sin2 “ cosec2 О J □ z □ 2 (x cos x 4~ sin x) x- sin'2 x x. И6. _ 2 27z5 , <4лгЧ-а,»
687. 689. 691. 694. 697. 699. 701. ---J---. «88. arHal/Tj--Llf_ aCTg,/x+2(l+x) • ---tgx(l-H2tg2 x)--. 6go. cos2x_2 sjn 2x )n X COS2 X V i + tg2x+tg'«x 1-Fx4 6g2 и cosx l + x6' /l-п2 sin2 x ' . . „ , о x arcsin x sm3 3x cos3 3x. 69o. /1 -x2 COS X 693. , . 2 |/ sin х — sin- x лпл 1 • arcsin x 1 , 696.-------sin 2 3 2 У 1 -x2 In x —2 . Г /1 — In x —an[2hr ----• , 702. -2^1- x2 . 698. —-------- ; 2j/3x-9x2 2x—cos x (x2 —sin x) In 3’ X V1 — X2 (x + Kl — X2) 703. arcsin (In x) + . 704. -—sec2(]—C У1—ln2x (1+^J2 2 sin3 x /0а.--- У 1 + sin2 x 706. -O.efcos^t-l-sinO.Sx) (sin^^i^ + O.ScosO.exV \ * / \ * 1 707. 709. 711. 713. 715. 717. 720. 721. 723. 726. 729. 732. 10^ (14-X- In 10). 708. - —-Д-—. \ 1 2 / tg 2x sin2 2x 1 1 -----------:----------j— . 710. — . (x2 + 2x4-2) arctg —ух2 —1 x-\-2 |2 712. x(8 + 9/x) 3x5 ........ ...•- 714. 3x2 arctg x3+7-7—-2 У (1 + sin2 x)3 sin 2x ctg X In COS x+tg x In sin X qAl — X In2COSX ’ ’ У 1 -fx’ 4 /-_ / ] •—4x \ ^>l/ln x 7i^ 1/ 7T^-|’arcsin4x L 718. -1——. 719. (1 — 4x)2\r l + 4x 1 / x In2 x 10х’"* In lo(tgx+-4-V \ COS2 X/ 2 sin x 2 sin x (x sm x cos x2 + cos x sm x2). 722. - -. cos 2x У cos 2x Ън А'УтлЛ- 724‘ T^- 725- 2x/lnx - v -1112. 2(1—x)(l-hx2) r 1+x2 1—x4 ln2x if 727. - . 728.----------1 - Г x~b ______________^п“2х (l+x).|/l-xa У 730. 731. — cos2x. У a + x x —==. 733. (a2 +1) sin xe»x. 734. el “ cos * (1 -|- x sin x).
735. 738. 740. 742. 744. (1 (arctg е~2х)2 ‘ sin Зх. 737. 9х2 arcsin л. — Vx -------*-----' -. .. 739. — 4 уГх V (1 + е~ ^)3 4 Г2 + 4х - х2 (cos х — sin х) (ех + е х) arctg х ех cos х 4- е~х sin х * ' У*(Г+ х2)3 * sin (х — cos х) (1 + sin х) v . _ „ , . лг < ----i—— . 743. 6х sin х cos3 х (I + ctg x—3 tg x). cos2 (x —cosx) \ i ь о J - 745. -..- 1 ............ 55 /(9 + 6 И*»)10 Уe2x + 4e* +1 .arctg/1+In (2* + 3) 746. ---------------------- —. (2x+3) [2 + In (2x + 3)] /1 + In (2x + 3) «7. 748. И9. _______40 7Ч0 *6+l 7Ч| x* ‘lx—3/1— 4x2 'ou‘ д4(хз+1) • '0I- /lJ!2x — 752 1 x I ctcx 753 (1 +2*2) sin x+x (1 +%2) cos ” * I-*'- e ’ /T+F 754. 756. 758. 759. 760. (x2—32x—73) (3 —x)3 75g 3eVx (2+/x) 2<x+l)"KT+2 1oi/(1+x,r-;)'' x2 — arctgx + 7| In x 4-1 /о 1 \ e 2 „„ I i 2x : -—— j------------------------, 757. t " • \ 1 + x2 / у x cosS X arctg x Г ____________x____________51 In^x L ' (1 4-x2) arctg x In x j * (1—x2) e3*-1 cos x ГЗ — 2x — 3x2 . , 3 ---------------------------------tg X + —=-------------- (arccos x)3 L 1 —x2--------------У I — x2 arccos x t--------- g~x___________________________ox 4 ]/(x2+a2)3 . 761. (arcsin x)2. 762. 763. 766. а~т~+Ье-тх- 764. ^р-. 765.1]/] 2 sin2 у у 768. . , 1 sin 4x 3x2+10x4-20 767. ----------- = — —. 15(x2 + 4)y (x-5)2v/xa + 4 2nxn-1 769. ное число. -—у, если п- четное число, и - х । (Х2«+"ц •еслн я 24x3 770, (1+8х3)2" 774. a) 2—n (n+ (n2—1) xn—n (n— 1) *n+* Указание! исполь. б)---------------- (1-х)2 вовать значение суммы х+х24-...+х".
776. 779. 781. 782. 784. 790. 795. 799. е~ arcsin у и COS In X 1 777. -----!_____ х * з (S2_ i) • 1 а'^ х [1 + In а (X)] • =; (Arch х)' * с2 783: -w. __ — — - 780. 2Vx-x* (Arsh x)' = 7т== £ T^7’ i ^_=; (Arthx)' /х2-1 1 1-х2 * 785. 8х3 Ь2х а2у ’ 2а З#2 —4 * —1/а. 791. —1/4. 792. - За2 cos Зх 4- у2 sin х 2у cos х 3x2 + 2axy + by2 ах2 + 2Ьху-}-Зу2' 2/(1-У)2(1+#7* КГ''-'-'.™-793. ~Уу/х. 7Q7 У 798 . У1-2x2 ’ у — х’ 'у 2у~ — х2 -/2. 794. у2 —ах __ х 3(1— у2) у — х’ у 2у2 — х2 _ у cos2 (х + у) (cos (ху) — sin (ху)) — 1 X cos2 (х + у) (cos (ху) — sin (ху)) — 1 * ?У— 1 1 802-2П+1^)- 804. ^1ПУ. 805. - , ^ЛЛг- х2 — xylnx 14- sin (х + У) 807. — 1Z —. 808. 4—-V х 2—у 803 1Л1-г/2 О-/1-*2) /1-Х2 (1-/1-J/2)' 806. 1 + £/ sin (ху) х sin (ху) 809. . 810. -/21 — . 2 sin 2у— sin у— х cos у 1 4- k cus х 811. ycosx+sMx-y) 812 1+Д 814 sin (х — у) — sin X у2 816. #4-4х 4-4 = 0; 8у—2x4-15 = 0; подкасательная равна 1/2; поднормаль равна—8. 819. а) ^ = 0, ^ = 8; б) ^ = 0, /2 = 4,/3 = 8. 820. 0,01815 Дж. 821. <о= 13 рад/с. 822. со = 2л рад/с. 823. a)—(2at — b) рад/с; скорость обратится в пуль при t ~~ с, 824. 23 А. 825. (0, 0); (1, 1); (2, 0). 827. (1, 0); 1 (—1, —4). 828. у = 2х — 2; у = 2х-\-2. 829. 3x4-У4-6 = 0. 830. Касательная у — у0 = (х — х0) cos х0; нормаль у—у0 = —(х — х0) sec х0. 831. Касательная х0(У—Уо) =x — xG; нормаль (у — у0)4-х0(х —х0) = 0. 832. Касательная х 4-2# = «= 4а; нормаль # = 2х — За. маль у~у0 = 833. Касательная у —yQ = - °(х — х0); нор ™ у0(2а — х0)2 v F уп(2а — х0)2 х(5 (За — х0) (х —х0). 835. Подкасательные равны соответствен но х/3, 2х/3 и —2х; поднормали равны соответственно —Зх5, —Зх2/2 и х2/2. 836. у = ^(х— у-уа=-2^(х-ха). 837. 2*-z/-|-l=0. 838. 27х— — Зг/—79 = 0. 839. 2х—у-1=0. 840. 4х-4//-21=0. 842. 3,75. 844. x-f-+ 25у=0; х+</ = 0 . 845. (0, 1). 846. у = х. 848. х—у — Зе 2 = О. 849. 2//5. 850. (14~Кз/2, 1)- /157. 2х — #_/ 1=0. 858. Если # = /(х)—уравнение данной кривой, то уравнением искомого геометрического места будет # = х/'(х). б) Парабола у2 = у рх; б) прямая, параллельная оси Ох, У — ^~^т в) кривая Кяппа у Уа2—х2-|-х2 = 0; г) окружность х2-\-у2 = а. 859. 1) фх=0, ф2 а «= arctg 2) arctg 4- 860. 1) arctg 3; 2) 45’. 861. 90е. 862. 45° и 90\ □ 1 1и
863. arctg 3. 864. arctg (2 Д2). 863. При нечетном п касательная ~ 4- ~ = 2, нормаль ах~ Ьу = а- — №. При четном п касательные -^-±-|- = 2, нормали ах±Ьу=№-№. 87». Ду=1,461; dy=l,4. 880. Ду = 0,1012; dy=O,i;^ = = 0.9880, 881. 4. 882. —2. 883. Ду=1,91; dy=l,9; Ду-<4у=0,01; = = 0,0052. 884. Д^ = 0,1; dy=G. 1025; by-dy = —0,0025; = —0,025. 885. Дх = 1. 0,1 0,01 Ду =18, 1,161 0,110601 dy=ll. М 0,11 Ду—dy = 7. 0,061 0,000601 й^-Д^о.зэ 0,0526 0,0055 886. 1,3; dy 1,1; Ay — dy^ ,0,2; d = -^fo=a0,l5. 887. a)dy=16. ^^% = 5,88%; б) dy = 8, ^L_^o/O = 3,03%; в) dy=l,6, =* = 0,62%. 888. а) Л/ = 4,8 см2; б) dy=G,0 см2; в) dy=9fi см2. 889. 1) 6) 9) И) 12) 15) 4)-^; 5)--^-; х- 4х } х pin q , -—-dx: 4 х 0,125 , оч 5dx 0 4dx УТ*-'-2> W^'- ’ "’«г —^т-.; 7> —^—т=' 8> ~ Зпх j/х 2(а-[-Ь)]^х 0,2(т-п) (fn + n) dx x1,2 ’ 2xy x ’ [(2x4-4) (x2-/x) -j- (x24- 4x 4-1) (2x - -L-jl dxj I \ 2 У x,/J 6X2 dX - 13)(iT^p-: 14) 3(l+x-x2)2(l-2x)dx; ,'ntsxll^dx; 17) — 2-,/cosxln2 sm 2x cos- x (л2-1р '2-^dx; 16) 5' C0S~ -V dxi 18) 20) dr U2- 1) sin х-У2х cos x , t; is) 2----7.—^---------<* 2 sm 2- ! _ 2 | 2arct^^rf.r; 21) { 5 - - \2 )/arcsin x'Kl—№ 14-х2 ] ’ \]г1—x2 I 1-K2 22) 13-'/jr • 2 • In 34-9№—ДА dx. t У х/ 890. 1) —0,0059; 2) —0,0075; 3) 0,0086; 4)0; 5) 0,00287. 891. &y 0,00025; sin 30сГ я« 0,50025. 892. 0,00582. 893. —0,0693. 894. ф = dx a 2 ’ = —895. 0,3466. 896. sin 60°03' = 0,8665; sin 60° 18'=0,8686. J\<k2<P 899. 0,995. 900. arctg 1,02 0,795; arctg 0,97 «=0,770. 901. 0,355. 902. 0,52164. 8f S03. а) Изменение длины нити: 2ds = ^- df‘) б) изменение стрелки провеса: 04 3/ df = ds. 904. Погрешность при определении угла по его синусу: Дх5 =» = tgxA//; погрешносгь при определении угла по его тангенсу: Дхг =
==“Sin2xAz (где At/, Az —погрешности, с которыми даны величины у и 2); Axs 1 Ах^ ~ cos2 х * точность определения угла по логарифму его тангенса выше, чем при определении по логарифму его синуса. 905. 0,3%. ж. №+«+№+№ . 2)Л ' 3>/[(/3+2/+1)(Р+2'-|-6)]2 2 2 , .ч . 21п 3 ds 3) dz — — ds; 4) dv = tTr t---; 31/ln tgs jn2 |gS sjn 2s -x , (4zz —3)Jtt , 2ds 5) =—7=^=; 6) dy =-----------x~. 2/2u*-3«+l cos2s 906. Непрерывна и дифференцируема. 909. f(x) непрерывна всюду, кроме точек х = 0 и х = 2; /'(х) существует и непрерывна всюду, кроме точек л—0, 1, 2, где она не существует. 910. При x = fen, где k — произвольное целое число. 911, Непрерывна, но недифференцируема. 912. /'(0) = 0. 913, Непрерывна, но недифференцируема. 914. Де/ и Ах—величины различных порядков малости. 915. Непрерывна, но недифференцируема. 916. Да; нет. 917. а. 918. а(оеаФ. 919. Абсцисса изменяется со скоростью t^ = —2/чо sin 2ф; ордината изменяется со скоростью t^ =—2гшсоз2ф. 920. Скорость изменения абсциссы vx=v (1 -{-cos ф); скорость изменения ординаты = sincp (ф—угол между осью ординат и полярным радиусом точки). 921. —Е_-^—0,000125р. 922. 2 ед./с в точке (3, 4) и —2 см/с в 925. 4у и 2av, 926. 5540 (3, 6) и —2 ед./с в точке (3, —6). 923. 2 см/с в точке точке (—3, 4). 924. В точках (3, 16/3) и (— 3» — 16/3). 2ли и 2лги, 927. 4лг2у и 8л/и 928. При x=2nA»zt о О Г и при x=2nk ±. -j-, 934. 1) ж2—18хЧ-9^ = 0; 2) г/2==4х2 (1-х2); = Arccos(l —у) + f2y-tf-; 5) У=2 929. При x=2nfe. 930. В 1/м2 раз. 932. а) Да; б) нет. 3) t/3 = (x-l)2; 4) х = ^2.. 935. )) / = (2£-Н)л; 2) t = l; 3) /=л/44-лЛ; 4)‘ /t = l, /г =—1. 936. — ctg<р. 937. — - tg<р. 938. ctg^-. ^=2. 940. -1. 941. 1 . 942. ~<Р 3in<Р . ИЗ. ‘У „Г- 2/ 2 1 — sin ф — ф cos ф /(2 + 3/ — ^) 1— {at t(2 — t3} •< 945. -----—2 946, —4/3. 947. 0 и 1/3. 948 Не существует. t "г tg t 1 —2td 939, 944. 949. рЛ3/6, 950. 1) /=я/24-а; 2) /==л — а; 3) / —л/64-а/З, где а —угол, образованный касательной с осью Ох. 956. 41 точках под углами cq = а.2 == arctg-о точках под углами длина У . . 3 , ’ s,n 2Z длина 87°12'; ! ^ = 0э. _У__ . 3. ' соз2/ поднормали = у tg а1 = а2 = 30э и нормали N = 1) Кривые пересекаются в двух 2) кривые пересекаются в трех 958. Длина касательной Т = длина подкасательной ST U'tg'l и l!/ctSZ|. 961. 7|, Ij/ctgq н — 4 = 0; 2х —у — 3=0. 964. 4* + 2у—3 = 0; 2х-4у4-1=0. 965. у=2, х—1. 966. I) 4х4-Зу-12а=0; Зх-4у+6а=0; 2) х+у=п*У2/\6; y~x=jtV2l2; 963. х-|-2р-
989. 1/ 1 + ~. 990. У l+cos2xrfx. 991. J Уил 994. За cos/ sin tdt. 995. aV\-\-l2dt. 996. 999. а|Л±2/ dt. 1000. 3/2 м/мин; вектор 3) z/=l-j-xlna. 969. p = 2acos/. 970. 6=qp, a = 2<p. 974. 3; —3. 975. 1) 0; 2) 0; /3; —/3. 977. (<) = tg6. 978. arctg W2 = arctg |-ф. 97». P = /1 (0 & <j s= cos2/ + 2?2 sin2/; <p = arctg tg/'j; тангенс угла между касательной и 2ab л полярным радиусом равен __ . 980. Полярная подкасательная = = ~; полярная поднормаль SN = ~. 983. p/ln а, 984. р In а. 985. У1 + а2. 986. г/J/ г2-х2 = /•///. 987. У ^х2 + а^2Л2*. 988. 1/ l + ^-dx или F £Х> у рХ ф р~Х у - V — у. 992. г. 993. 2а sin 4а sin у dt, 997. а сtg / dt. 998. at, скорости направлен вертикально вниз. 1001. 10yr26?5s51 км/ч; вектор скорости параллелен гипотенузе прямоугольного треугольника, один катет которого горизонтален и равен 50 км, а другой вертикален и равен 10 км. 1002. 14,63 км/ч. 1003. 40 км/ч. 1004. /sin ОН----STn 2а -Л 1005. 9,43 м/с. 1006. 2. 1007. — 24х. \ 2 УУ-Я2 sin2 а/ . 1008. 207 360. 1009. 360. 1010. 6 (5х‘+6х2 +1). 1011. 4sin2x. 1012. 4/е. 1013. —1/2. 1014. 51/(1—х)«. 1015. 6/х. 1016. ап (л+ 1)/х«+2. 1017. 16а sin 2ф. 1018. 2 • (—1)я л!/(1 4-х)я+1. 1019. ге*2 (Зх+2х«). 1020. 6х (2х3—1)/(х34-1)». 2х 1021. ——j+ 2 arctg х. а+ЗУх 4хУх (а+УхУ_ arcsin х-\-х У1 1020. 6x (2%з _ 1 )/(хз +1 j3. — a2//(n2-x2)3. Ю23. — x//(1+x2)34 1У 1022. 1025. 1024. 1027. а (а2 — I) sin х/У(1 — а2 sin2 х)3. х*[(1пх+1)2+1?х]. Ю29. aV*. 1030. (—l)«e“-v. ап sin (ах+лл/2) + Ья cos (frx-f-nn/2). 2я’1 sin [2х+(п - 1) л/2]. 1033. е* (х+л). 1035. (— 1)я аял!/(ах+&)я«. 1037. (— ' х" In а ..1 Г 1 1 1 2 (х + I )я+1 ф(х- 1)«+1J‘ 1 (х —1)я+1_ 1040. 4я1С05(4х-}-пл/2). 1054. Ю56. —4^. Ю57. — 3r3.v/t/3.. а-ул 1059. (3-s)c2S/(2-s)3. Ю60. 1061. — у/[ 1 — cos (х + у)]3. Ю62.-------xi ------------• Ю63. = 1064. 1/е2. 1065. -р2/У(1/2+р2У. dy2 dx2 I \dx) 1026. 1028. 1031. 1032. 1034. (—1)" (ri-2)!/*"-1 (n^2). 1036. (—I)"'1 an (n—\)\/[ax + b)n. 1038. (—I)""’ 1039. (— 1)л «! d-x______d?y_ h'dy\3 dy2 — dx2 / \dx) 1058. -2(3z/' + 8^ + 5)///a. — 2a?xyl(tj2 — ax)3. yl(x-\}2 + (y-m
2а а2 1 3b cos t ,069' — gJi/T- ,07°- а sin3t ' ,07L a3sin3<‘ 1072.-----—1------г. 1073. 1) a°S,2<~4. 5-Пз4,- 2) 0, так как х+у = а. a(l—cos<p)2 ’ 9а2cos71 sm31 ’ ' 1074. 1) 4/2; 2) — Д-,. 1075. ——1080. 16 м/с2. 1081. &=□ ' ’ I—/2 a (cost— t sm t)J «2/-4, a=2. 1082. — я2/18 см/с2. 1084. —0,0015 м/с2. 1085. —1/8 м/с2, n 1088. 1) (x2 —379) sin x —40x cos x; 2) ex J] Ckn sin (x + foi/2); k—Q 3) алх3 sin (ax-|- пп/2) + Зяап-1х2 sin [ax-f- (rt — 1) я/2] + -f- 3n (n — 1) an-2x sin [ax-J- (n — 2) л/2] -p + n (n — 1) (n—2) an~^ sin [ax -|- (n — 3) л/2]. 1093. ^’(0) = 0; //(2л+1) (0) = [l • 3 • 5 •.• (2n —I)]2. 1095. (0) = 0; y™ (0) =2 • [2 • 4• 6 •• (2n —2)]3. Ю96.------. 1097. m (m — 1) (m — 2) x™S dx3. Эху X 1098. 4(x+l)(5x2-2x — l)dx2. 1099. 4“*2 • 2 In 4 • (2x3 In 4-1) dx2. 1100. ab (a2 — b2) sin 2x dx2/(a2 cos2 x + b2 sin2 x)2. 1101. 4 *П *П—* dx2. x2 у (In2 x — 4)3 3/7 чрс2 m Ci^^dx2 1102. — 4 sin 2x dx3. 1103. dz (1 + 5 tg2 w) d<p2. 1104. - у • 4/tg<p 3x3/V/2 1105. 1) d2y = -^-r cFx — dx2; 2) d2y = —4 sec2 2t dt2. f a x4—1 (x4 — I)3 ’ 7 * 1106. 1) d2y = cos z d2z— sin z dz2; 2) d2y = ax cos (ax) In a d2x — ax In2 a (ax sin ax — cos ax) dx2: 3) d2y = of* In a [cos a** (6/ + 9/41 n a) — a^ sin a/a • 9/4 In a] dl2t К главе IV 1110. 1) Точка максимума; 2) убывает; 3) возрастает; 4) точка минимума: 5) точка максимума; 6) точка минимума; 7) точка минимума; 8) точка максимума; 9) точка минимума. 1112. В точке хх = 0 возрастает, в точке х2=1 убывает, в точке х3 =— л/2 возрастает и в точке х4 = 2 убывает. 1113* Убывает в точке хх—1/2, возрастает в точках х2 = 2 и х3 = е; х4=1—точка минимума. 1114. Возрастает в точке Хх=1, убывает в точке х2 =—1; х3 = 0—точка минимума. 1115. Убывает в точке хх = 1/2, возрастает в точке х2 =—1/2; х3 = 0 — точка максимума. 1125. Три корня, принадлежащих соответственно интервалам (1,2), (2,3) и (3,4). 1127. sin Зх2—sin Зхх = 3 (х2 —xj cos 32,, где Х!<£<х2. 1128. а (1—Ina) —Ь (1 — In &) = (6 —a) In g, где a<g<b. 1129. arcsin [2 (x0 + + Дх)] — arcsin 2x3 = 2Дх/}^1—4|2, где x0 < g < x0-f-Дх. 1135. При x->0 £ стремится к нулю, принимая не все промежуточные значения, но лишь такую их последовательность, при которой cos-^- стремится к нулю. 1136. 0,833. 1137. 0,57. 1138. 1,0414. 1139. 0,1990. 1140. 0,8449. 1141. 1,7853. 1149*. Тре< L tg X буемое неравенство вытекает из возрастания функции у в интервале (0, л/2). 1150. (—оо, —1) возрастает, (—1, 3) убывает, (3, +<зэ) возрастает. 1151. (—со, —1) убывает, (—1, 0) возрастает, (0, 1) убывает, (1, +оо) возрастает. 1152. (—со, —1/2) возрастает, (—1/2. 11/18) убывает, (11/18, Ч-оо) возрастает. 1153. (— со, 2а/3) возрастает, (2а/3, а) убывает, (а, +оо) возрастает, 1154, (—оо, —1) возрастает, (—1, 1) убывает, (1, +оо) возрастает, 1155. (—оо, 0) убывает, (0,1/2) убывает, (1/2, 1) возрастает, (1, +оо) убывает.
1156. (—оо, 0) возрастает, (0, +<х>) убывает. 1157. (—со, 0) убывает, (0,2) возрастает, (2, -j-oo) убывает. 1158. (0, 1) убывает, (1, е) убывает, (е, +°°) возрастает. 115Р. (О, 1/2) убывает, (1/2, -f-oo) возрастает. 1160. (0, л/3) убывает, (л/3, 5л/3) возрастает, (5л/3, 2л) убывает. 1161. (0, л/6) возрастает, (л/6, л/2) убывает, (л/2, 5л/6) возрастает, (5л/6, Зл/2) убывает, (Зл/2, 2л) возрастает. 1162. Монотонно возрастает. 1163. Монотонно возрастает. 1164. (0, За/4) возрастает, (Зл/4, а) убывает. 1165. //макс —0 при х = 0, г/мнн==— 1 при *=Ь 466. ^макс=17 при х =—1, t/M11H = —47 при Х = 3. 1167. 1/макс = 4 при х = 0, t/MnH = 8/3 при х——2. 1168. {/и,кс = 2 при х = 0, £tMHH = V<4 при х=2. 1169. 1/Макс=1/1пЗ при х = —3. 1170. уиакс = 0 при х = 0. 1171. уызкс = 0 при х = 0( t/мин 2/3 при х=1. 1172. Умин = 2 при х=2/3. 1173. t/макс=V^05/10 при х = 12/5. 1174. t/MaKC=J/'а4 при х = 0, t/MHH=0 при х=±а. 1175. t/M(iB = 0 g J . __ при х=0. 1176. Монотонно возрастает. 1177. рМ8кс==о' |/18 при х=1/2, о </мин = 0 при х= — 1 и при х = 5. 1178. </Макс = 2>5 при х=1, </мин=е (4 — с)/2 =а .5=1,76 при х—е. 1179. t/„altc=l/2 при х=0, «/мин=л/8 при х=1. 1180. 1/маКс=0 п 3/3-2л 6л/3-л2-|-18 , ,, при х = 0, уммн = — при х=1/2. 1181. с/макс= —3Q----------------=1,13 при х = ±л/3, ₽н|111=1 при х=0. 1182. й,акс = sin j + Zg прих = ^, = 36/3"-12л/34-72-л2 4-6л ,, = —----------------------- при х = п/6. 1183. умакс=1/л при х=1, рМШ1 =— при х = 3. 1184. Если экстремумов нет. Гели ab > 0 и а>0, то у1МН=2/дй при * = 2~to “S если ^>0 и а<0, то #макс = — 2УаЬ при x = J-ln-. 1185. 13 и 4. 1186. 8 и 0. 1187. 2 и -10. 1188. 2 и —12. г 2р а 1189. 10 и 6. 1190. 1 и 3/5. 1191. 3/5 и —1. 1192. Наименьшее значение равно (а+&)2, наибольшего нет. 1193. л/2 и —л/2. 1194. Наибольшее значение равно 1, наименьшего нет. 1195. Наименьшее значение равно (1/е)1^, наибольшего нет. 1196. у/Э и 0. 1197. л/4 и 0. 1208. 4 и 4. 1209. 1. 1210. 6 и 6. 1211. 3, 6 и 4 см. 1212. Зсм. 1213. 1 см. 1214. j/4y. 1215. Радиус основания и высота равны у/л. 1216. H=2R. 1217. 20 )^3/3 см. 1218. 2л уг2/3₽^293°56/. 1219. Боковая сторона равна Зр/4, основание равно р/2. 1220. Боковая сторона равна Зр/5, основание равно 4р/5. 1221. 2/?)^3/3. 1222. 4/?/3. 1223. ^577, о/г А 1224. V2aPik. 1225. 20 км/ч, 720 руб. 1226. Через 1часа «э 1 час 38 мин. 1227. Расстояние хорды от точки А должно равняться 3/4 диаметра окружности. 1228. 4/? У 5/5 и #У5/5. 1229. Высота прямоугольника равна --------------, где /i — расстояние от центра хорды, стягивающей дугу сегмента, a R — радиус круга. 1230. Радиус основания конуса должен быть в полтора раза больше радиуса цилиндра. 1231. 4/?. 1232. ₽» 49°. 1233. 60°. 1234. Я/3. 1235. 4/?/3. 1237. х/3 + ^=1. 1238. а /2 и b /2. 1239. Площадь 2 прямоугольника ==— х площадь эллипса. 1240. Через точку (2,3). 1241. С(—У$, — У^б). 1242. х = а — р, если а > р; х = 0, если а^р. 1243. Сечение желоба имеет форму полукруга. 1244. Длина балки равна 13 к-м, сторона поперечного сечения равна 2)/2/3 м. 1245. Искомое значение о
равно среднему арифметическому результатов измерений: х =—:— 1246. В 3 км от лагеря. 1247. На высоте R У2/2. 1248. Расстояние от источ- ника силы равно иными словами, расстояние I делится пско- v h _________ ______ мой точкой в отношении |/7х :уг/2. 1249. 2,4 м. 1250. Fna(1M = /?P/jZl при <p = arctg/i. 1251. ==»4.5. 1252. 2Ь + УвЬ/а »2a + VSa/b. 1253*. 77-ffi/-, 9-D-.t где L —образующая конуса. Принять во внимание, что разность между расстоянием от центра шара до вершины конуса и радиусом шара равна разности между высотой конуса и высотой погруженного сегмента. 1254. R/4. 1255. R/2. 1256. Р (р, zt р К2). 1263*. 3/4. Так как функция есть константа (у' = 0), то значение этой константы равно значению данной функции при любом значении х, например при х = 0. 1264. л. 1265. 0. 1267. t/макс = 4а3/27 при х = а/3, Умия = 0 при х — а. 1268. t/MaKC = a4/16 при х — а/2, умий=0 при х = 0 и при х — а. 1269. ^W3KC = —2а при х = — а, = при х = а. 1270. #Макс = 5/4 при х=3/4. 1271. ^Макс = 1 при х=1, умин = —1 при х = —1. 1272. */мин = 1 при х = 0. 1273. */мЭкс = 4/£2 при х==2, $/мин = 0 при х = 0. 1274. г/мпн=<? ПРИ х = е. 1275. = при х~е. 1276. При а = 2 максимум. 1277. а =—2/3, Ь =—1/6. 1278. Выпукла в окрестности точки (1, II), вогнута в окрестности точки (3, 3). 1279. Выпукла в окрестности точки (1, л/4), вогнута в окрестности точки (—1, —л/4). 1280. Выпукла в окрестности точки (1/е2, —2/е4), вогнута в окрестности точки (1, 0). 1287. Точка перегиба (5/3, —250/27). Интервалы: выпуклости —(—оо, 5/3), вогнутости — (5/3, -f-oa). 1288. Точек перегиба нет, график вогнутый. 1289. Точки перегиба (2, 62) и (4, 206). Интервалы*, вогнутости— (—оо, 2), выпуклости — (2, 4), вогнутости — (4, -}-оо). 1290. Точки перегиба (—3, 294) и (2, 114). Интервалы: выпуклости —(—оо, —3), вогнутости— (—3,2), выпуклости— (2, -f-oo). 1291. Точка перегиба (1, —1). Интервалы: выпуклости —(—оо, 1), вогнутости—(1, +со). 1292. Точек перегиба нет, график вогнутый. 1293. Точки перегиба (—За, —9а/4), (0, 0), (За, 9а/4). Интервалы: вогнутости — (— оо, —За), выпуклости — (—За, 0), вогнутости — (0, За), выпуклости—(За, -|-оэ). 1294. Точка перегиба (д, а). Интервалы: выпуклости — (—оо, Ь), вогнутости — (6, 4~оо). 1295. Точка перегиба ^arcsin ~ “1^2^. Интер- / л . /5-1\ / . jZ5 —1 л\ валы*, вогнутости — arcsin -——), выпуклости — ^arcsin -—- » уЬ 1296. Точки перегиба (ztl, In 2). Интервалы: выпуклости —(—оо, —1), вогнутости— {—1, 1), выпуклости — (1,-f-co). 1297. Точка перегиба ^аг3/2, Ин- тервалы: выпуклости— (0, ае3/2), вогнутости —(ой3/2, +со). 1298. Точек перегиба нет, график вогнутый. 1299. Точка перегиба (1/2, earctg 1/2)1 Интервалы: вогнутости—(—оо, 1/2), выпуклости —(1/2, +оо). 1300. Точка перегиба (1, —71. Интервалы: выпуклости— (0, 1), вогнутости —(1, -(-оо). 1305. а = — 3/2, 6=9/2. 1306. а = — 20/3, р = 4/3. Точками перегиба будут также точки (—2; —2,5) и (0,0). 1307. При а^с—е/6 и при а>>0. 1316. Точки перегиба (1,4) и (1,—4). 1317. Точки перегиба при / = Зл/4:Ь£л (6 = 0, 1, 2, ...). 1318. s*n a==s а agcosE, где[а<£<6. 1319. eft-f-ea=2e», где а<Е<&. 1324. —-— 3‘/а * 1325. 0. 1326. I. 1327. а/0. 1328. 1/3. 1329. a/J'i. 1330. —1/2. 1331. 2.
1332. -- ат~п. 1333. ---1334. —2. 1335. 2. 1336. In-£-. 1337. cos а. п . с о 1338. 2. 1339. 1. 1340. I. 1341. 1/128. 1342. 16. 1343. 1. 1344. 1. 1345. —2 1346. 0. 1347. 0. 1348. а. 1349. 1/2. 1350. 4а2/л- 1351. —1. 1352. 0. 1353. оо. 1354. 1355. 1. 1356. оо. 1357. 1. 1358. 1. 1359. е. 1360. 1. 1361. е2. 1362. ея. 1363. 1. 1364. 1/2. 1366. Значения хх больше» чем значения ахха. 1367. Значения / (х) больше, чем значения 1п/(х). 1374. f (115) ~ 1 520 990; f (120) 1 728 120; 6 |Л.1ОО 0,03 (абсолютная погрешность). 1375. у = ± -- х. 1376. х = 0, y=Q. 1377. £/ = 0. 1378. х = &, у = с. 1379. х =—1, 'у^^х—Х. 1380. x + t/ = O. 1381. у = х~1~2. 1382. г/=±х. 1383. х = 0, у = 0, х±у = 0. 1384. x = b, x=2b, y = x + 3(b-a). 1385. ^+1=0, 2x + t/+l=0. 1386. x = = _ 1/^, 1/e. 1387. x —0, y=x. 1388. x = 0, r/ = x + 3. 1389. ^=^ x—1. 1390. г/=2х ± л/2. 1391. ^=x, если f (x) не есть тождественная постоянная. 1392. Если lim ф(П = оо, a lim ф(/) = й, то y = b — асимптота; если / — /о /->6 Him ф(/)=оо, a lim ф(/) = а, то х = а — асимптота. 1393. х = —1, //= 0. Г—/о 1394. у=^х+е. 1395. у=±1х~. 1396. х+^ + а = 0. 1397. х = 2, 2x-f-•}-8г/-Г 1 = 0, 6х — 40t/4-9 = 0. 1398. Определена везде. График симметричен относительно начала координат. г/макс= 1/2 при х=1, Vmhh = ~1/2 при х =—1. Точки перегиба графика (—|/3, — ^3/4), (0,0) и ()/3, ]^3/4). Асимптота {/ = 0. 1399. Определена везде, кроме значений x=ztl. График симметричен относительно оси ординат. Максимумов нет. г/мин=1 при х = 0. Точек перегиба нет. Асимптоты х=± 1, у — 0. 1400. Определена везде, кроме значений к=±1. График симметричен относительно начала координат. Экстремумов нет. Точка перегиба (0, 0). Асимптоты х = — 1, х=1, у = 0. 1401. Определена везде, кроме, значений х=1, х = 2 и х = 3. J/макс — — 2,60 при х^2,58, г/Мнн^2,60 при х«=1,42. Точек перегиба нет. Асимптоты х=1, х = 2, х = 3, у = 0. 1402. Не определена при х==±1. График симметричен относительно оси ординат. г/макс = 0 при х-0. Минимумов нет. При х<—1 возрастает, при х>1 убывает. График не имеет точек перегиба. Асимптоты x=zkl, у= 1. 1403. Определена везде, график симметричен относительно оси ординат. 0МИН =—1 при х = 0; (1, 0) и (—1, 0) —точки перегиба графика с горизонтальной касательной; (±1^5/5, —64/125)—точки перегиба. Асимптот нет. 1404. Определена везде; график симметричен относительно оси ординат. (/макс = 0 при х = 0, г/МИн = —27/8 при х = ± 1/2. Точки перегиба графика с горизонтальной касательной (±: 1, 0). При x«=jJtO,7 и x^i 0,26 —еще четыре точки перегиба графика. Асимптот нет. 1405. Определена везде, кроме х = 0. £мин = 3 при х— 1/2. Максимумов нет. Точка перегиба графика (—у/2/2, 0). Асимптота х=0. 1406. Определена везде, .кроме х = 0. График симметричен относительно оси ординат. уцип = 2 при х = ± 1. Максимумов нет. График не имеет точек перегиба. Асимптота х=0. 1407. Определена везде, кроме х=1. г/мин =—1 при х = 0. Максимумов нет. Точка перегиба графика (—1/2, —8/9). Асимптоты и у=0. 1408. Определена везде, кроме х=±}/ 3. График симметричен относительно начала координат. t/MaKC =—4,5 при х=3, (/М1!Н = 4,5 прих =—3. Точка перегиба графика (0, 0). Асимптоты x=ztpr3 и x-i-t/ = O. 1409. Опре-3 делена везде, кроме х=—1. Минимумов нет. //ы2кс = —3^- при х = —3. Точка о
перегиба графика (0, 0). Асимптоты х = —1 и у~-^-х—\. 1410. Определена везде, кроме х=1. Максимумов нет. //мин = 27/4 при х = 3/2. Точка перегиба графика (0, 0). Асимптота х=1. 1411. Определена везде, кроме х=1. умаКс=0 при х = 0, уМНн= у 1^4 при *==VX Точка перегиба графика —у/2, — ~|/2^ . Асимптоты х=1 и у — х. 1412. Определена везде, кроме х = —1. //Макс=2/27 при х —5, #мий = 0 при'х= 1. Абсциссы точек перегиба графика 5 ±. 2 ]Аз. Асимптоты х = —1 и г/ —0. 1413. Определена везде, кроме х = 0. ^кс^7/2 при х=1, //накс = —11/6 ьпри х = —3, ^мин = 27/3 при х = 2. Абсцисса точки перегиба графика 9/7, Асимптоты х = 0 и z/==~-x+l. 1414. Определена везде, кроме х —0. Максимумов нет. rz/MHn =» — 0,28 при х^1,46. Абсцисса точки перегиба графика •—1/2. Асимптота х = 0, 1415. Определена везде, кроме х=0, 1/макС = —2,5 при х =—2; минимумов нет. График не имеет точек перегиба. Асимптоты х = 0 и у = х. 1416. Определена везде. £/макс=1/е при х=1. Минимумов нет. Точка перегиба графика (2, 2/е2). Асимптота г/ = 0. 1417. Определена везде. умаКс = 4/е2 при х —2, £/ми!! = 0 при х = 0. Абсциссы точек перегиба графика 2 + У2. Асимптота ^ = 0. 1418. Определена везде, кроме х = 0, #мИН=в при х=1. Максимумов нет. График не имеет точек перегиба. Асимптоты х=0, у = 0. 1419. Определена при х> —1. t/мин = 0 при х = 0. Максимумов нет. График не имеет точек перегиба. Асимптота х =—1. 1420. Определена везде. График симметричен относительно оси ординат. Vmhh = 0 при *=0» Максимумов нет. Точки перегиба графика (_t 1, In 2). Асимптот нет, 1421. Определена везде. График симметричен относительно оси ординат. #макс = 1/е при x~zt 1, = 0 при х = 0. Абсциссы точек перегиба графика zt ]/*5 ± 1^17/2. Асимптота у = 0. 1422. Определена везде. */макс = 27/^ при * = 3. Минимумов нет. Абсциссы точек перегиба 0 и 3 zt 1^3. Асимптота у = 0. 1423. Определена везде. График симметричен относительно начала координат. yuaKC ==1/Кё при х=1, Умин^—иУ^ при х ——1. Точки перегиба графика (0,0), (]КЗ, }^Зв~3/2) и (— |/3, —УЪе~^2У Асимптота t/ = 0. 1424. Определена везде, кроме х = 0. Экстремумов нет. График не имеет точек перегиба. Асимптоты х = 0, #=0 и у — —1. 1425. Определена при х>0« Экстремумов нет. Точка перегиба графика ^е3/а, е3/2 + у е“3/2^. Асимптоты х = 0 и z/ = x. 1426. Функция определена при — оо<х<—1 и при 0<х< + оо. В интервале (—оо, —1) возрастает от в до со; в интервале (0, +оо) возрастает от 1 до е. График состоит из двух отдельных ветвей. Асимптоты у = е и х =—1. 1427. Определена везде. Экстремумов нет. При x=zt£tt (fc=l, 3, 5, ...) стационарна. График симметричен относительно начала координат, не имеет асимптот; точки перегиба (£л, /гл) (Ai = 0, zt 1, zt 2, ...); в точках перегиба график пересекает прямую у = х. 1428. Определена везде. График симметричен относительно оси ординат. Точки экстремума удовлетворяют уравнению tgx= — х. Абсциссы точек перегиба удовлетворяют уравнению xtgx = 2. Асимптот нет. 1429. Определена в интервалах (—л/22/г л, л/24~2Лл), где Л = 0, zt I, ±2, ... Период 2л. График симметричен относительно оси ординат. #макс = 0при х = 2/гл. График не имеет точек перегиба. Асимптоты х = л/2 + ^л. 1430. Определена в интервалах (—л/2 + 2/гл, л/2 + 2йл), где /г = 0, zt 1, zt 2. Период 2л. График симметричен относительно оси ординат. = 1 при х==2/гл. График не имеет точек перегиба. Асимптоты х —л/24-bt. 1431. Определена везде. График симметричен относительно начала координат. £/тах = я/2 —1 при х = ~1, #мин= 1 — л/2 при x=L Точка перегиба (0, 0). Асимптоты t/ = x ± л. 1432. Определена везде, кроме х~1 и х = 3. 1/макс=1/е ПРИ х=2. Минимумов нет. Асимптоты х=1, х = 3 и у=1. 1433. Определена везде. Период 2л. г/мин = 1 при х=£л, гдг
А = it 1, Л. 2, t/макс”^—! при Х=^л/2+2/?Л В t/макс—1 "Н/£ прИ х = Зл/22£ л. Асимптот нет. 1434. Определена везде. х/мэис = 4/27 при х = 8/27, {/мин = 0 при х = 0. График не имеет ни точек перегиба, ни асимптот. 1435. Определена везде. График симметричен относительно оси ординат. ^Макс — О при х=0, //МП]| = — 3 при х = ±1. График не имеет ни точек перегиба, ни асимптот. 1436. Определена везде. График симметричен относительно начала координат. t/MaKC = 2/3 при х—1, 1/мпе! — — 2/3 при х — —1. Точка перегиба графика (О, 0). Асимптот нет. 1437. Определена везде. */макс~2 при х —0, {/Мин = ^ при х =—1. Точка перегиба графика (—1/2, 1). Асимптота z/=l. 1438. Определена везде. {/макс «в2,2 при х^7/11, г/М1Ш = 0 при х=1. Абсциссы точек у 3 перегиба графика —1 и —, Асимптот нет. 1439. Определена везде. !/м-1кг = 2у/4 при х — 4, цМП1| = 0 при х = 0. Точка перегиба графика (6,0). Асимптота х + ^=2. 1440. Функция определена при х^О, двузначна. Функция у = х + У х^- (верхняя ветвь графика) монотонно возрастает. Функция у = х — У'хъ (нижняя ветвь графика) имеет максимум при х = рЛ20/5. График не имеет ни точек перегиба, ни асимптот. 1441. Определена при х^О, двузначна. Функция у — хI 2 * *~^УхЧ (верхняя ветвь графика) монотонно возрастает. Функция y = x2 — ]fxb (нижняя ветвь графика) имеет максимум при х— 16/25. Абсцисса точки перегиба нижней ветви графика 64/225. Асимптот нет. 1442. Определена при х^—1, двузначна. Экстремумов нет. График симметричен относительно оси абсцисс, имеет точки перегиба (0, 1) и (0, —1). Асимптот нет. 1443. Определена ла отрезке [—1, 0J и в интервале (1, 4-оо), двузначна. График симметричен относительно оси абсцисс. !#|Макс —V 12/3 при х = —)ЛЗ/3. Абсцисса точек перегиба графика "/^1-]-/12/3. Асимптот нет. 1444. Определена при х^0, двузначна. График симметричен относительно оси абсцисс. I!/’макс = 1^12/9 при х = 1/3. График не имеет точек перегиба. Асимптот нет. 1445. Определена при х = 0 и при х>И. Начало координат —изолированная точка. График симметричен относительно осп абсцисс. Экстремумов нет. Точки перегиба графика (4/3, it 4 )ЛЗ/9). Асимптот нет. 1446. Определена при х < 0 и при х^|^2, двузначна. График симметричен относительно оси абсцисс. | У !м.якс — 1 при х = — 1. График не имеет точек перегиба. Асимптоты х = 0 и — ± х Кз/3. 1447. Определена при х^ — 2 и при х > 0, двузначна. График симметричен относительно прямой t/ = x. «/макс =— 2 при х=1. График не имеет точек перегиба. Асимптоты х = 0, у~0 и х-|-(/ = 0. 1448. Определена при —двузначна. График симметричен относительно осп абсцисс. I t/lMr.KC —а 5 6 * * * * V"11' при Точек пеРег11ба нет- Асимп- тота х^а. 1449. Определена при 0<;х^4, двузначна. График симметричен ошоснтельно осп абсцисс. I у = / 3 прн х = 3. Абсцисса точек перегиба графика 3—1/3. Асимптот нет. 1450. Определена при — 2^'х<2, двузначна. График симметричен относительно осей координат, j 1/!макс=^3 Г 3/5 прн x=itl. Точки перегиба графика (0, 0) и (± 3, it КЗ/5). Асимптот нет. 1451. Определена при двузначна. График симметричен относительно осей координат. 1у'м);кс=1/2 при л = ±/2/2. Точка перегиба графика (0,0). Асимптот нет. 1452. Определена при х^1, двузначна. График симметричен относительно осн абсцисс. |t/W=l при х = 2. Абсцисса точек перегиба 6 |-2/3 Аспмптота о 1453- Определена при 0 х < 2а, двузначна. График симметричен относительно оси абсцисс. Экстремумов нет. Точек пере- гиба нет. Асимптота х = 2а. 1454. Определена при х<0, при0<х-^1 и при х^2, двузначна. График симметричен относительно оси абсцисс, имеет
асимптоты х —О и */=± 1 и две точки перегиба. Экстремумов нет. 1455. Определена при —а^х<0 и при 0 < х а, двузначна. График симметричен относительно оси , абсцисс. Экстремумов ней Точки перегиба графика (a(j/3-l). iaVWJ. АciiMinoia х = 0. 1456. Определена при — 1 1 и при х=.±2, двузначна. График симметричен относительно осей координат и имеет две изолированные точки: (±2, 0) ^'м-кг=1 при х —0. Точек перегиба и асимптот нет. 1457. Определена при — l^x^l, двузначна. График симметричен относительно осей координат. | у 'мпкс — 1 при х = 0. Точки перегиба графика (±: 1^2/2, ± Асимптот нет. 1458. Определена при х^ — 1 и при хЭ^П двузначна. График симметричен относительно осей координат. Экстремумов нет. Точки перегиба графика (i j/2, i 1/2). Асимптоты ц=±х. 1459. Определена при х>0, двузначна. График симметричен огпостгелыю оси абсцисс. |//1мзкс=1 при х=1/2. Абсцисса точек перегиба графика Асимптота // = 0. 1460. Определена везде, кроде х = 0. Экстремумов нет. Точка перегиба графика (—1/2, е'-ф- 1/2). Асимптоты х = 0 и г + /;=1. 1461. Определена везде, кроме х —л/2-]-4л, где Л = 0, -н 1, ±.2, ... Период л. Экстремумов нет. График не имеет точек перегиба. Асимптоты х = л/2-{-кл. 1462. Определена везде. График симметричен относительно оси ординат. Точки экстремумов удовлетворяют уравнению x = tgx. Асимптота р = 0. 1463. Определена везде. Экстремумов нет. График не имеет точек перегиба. При х^О функция тождественно равна линейной функции ф=1—х. Асимптота x-j~r<’—3. (О, I) —угловая точка графика с двумя различными касательными. 1464. Определена везде. График симметричен онюсителыю оси ординат. #макс = 3 при х^=0, |/МШ1 = — 1 при х— ±2. График те имеет ни точек перегиба, ни асимптот, и правая его часть представляет собой часть параболы t/= х2 — 4х3, лежащую правее оси ординат. (0, 3) — угловая точка графика с двумя различными касательными. 1465. х (/) и у (/) определены при всех i, a wix) —при всех х. (—3, 3)- максимум, (5, —1) — минимум, (1, 1)—точка перегиба. Асимптот не г. При х->Ч-оо угол наклона линии к оси абсцисс стремится к 451. 1466. х(/) и у (/) определены при всех Z, а у(х) — при всех х. Асимптот у=-х и Ц-бл; (—1, —Зл, —1 -ф-Зл/2) — максимум, (1 —Зл, 1—Зл/2) — минимум. (—Зл, 0)— точка перегиба. 1467. х (/) и у (/) определены при всех /, кроме / — —1. Асимптота 0. (0, 0) —точка самопересечения, касательными в этой точке служат оси координат. Точек перегиба нет. В первом квадранте —замкну гая петля. 1468. х (7) и у (t) определены при всех Л Функция у (х) при х< — ]/е не определена, при — 1/'-<х<0 эта функция двузначна, при х>0 — однозначна. Линия симметрична относительно прямой x-{-z/ = 0. Максимум — (/’, 1/с). Имею гея две точки перегиба. Координатные оси служат асимптотами. 1469. Замкнутая линия, симметричная относительно осп абсцисс, с точкой возврата (а, 0). 1470. Замкнутая трехлепссгковая роза. Функция определена на О1рсъках (0, л/3], |2л/3, л), [4л/3, 5л/3]. Экстремумы при <р — л'6, <р = 5л/6 и <1 =-_Зл/2. 1471. Функция определена в полуинтервалах [0, л/21 [~, Зл/2). График функции симметричен оiносиюлъио полюса. Пря ;ые х - а и х = — а являются асимптотами *). lz72. Функция определена в полуинтервалах |0, л/2), |Зл/4, Зл/2) и на отрезке (7л/4, 2л|. График функции симметричен относительно полчка. Асимпюгы х---а и х~ — а. В полюсе кривая касаемся прямой ф-Зл/4. 1473. Сущееrnyei при всех значениях <р. При <р = 0 максимум равен 2а, при (р----д минимум равен 0. Линия замкнута, симметрична относительно полярной оси. Полюс —точка возврата. 1474. Функция определена па отрезках [0, л/2 + ф-arc.'os 1/Ь], [Зл,2 — arccos 1/5, 2л]. В точке <р — о функция nneei максимум, равный н(1 -фЬ), в точках ф = л/2-|-arccos 1/5 и ф = Зл/2— arccos 1/5 — минимум, ♦) В этой и следующих задачах асимптоты даны в декартовой системе координат, у которой осью абсцисс служит полярная ось, а осью ординат — перпендикуляр к полярной оси, проходящей через полюс.
равный 0, График функции симметричен относительно полярной оси. 1475. Су< шествует при ср > 0. Точка перегиба (ГЛ2л; 0,5). Полярная ось является асимптотой. Линия спирально завивается вокруг полюса, асимптотически приближаясь к нему. 1476. Существует при ф?л(). График —спираль, исходящая из полюса и асимптотически приближающаяся к окружности р==1. 1477. Существует при — расположена целиком правее оси ординат. Замкнутая линия. Максимум при t = 0 (гр—1 радиану, р=1). Точек перегиба нет. При ^ = ^1 касается оси ординат. 1478. Четырехлепестковая роза. Начало координат— двойная точка самоприкосновения. 1479. Линия целиком лежит в полосе — а У 2/2 < х а |/ 2/2. Симметрична относительно начала. Асимптота х = 0. (0, 0) —точка перегиба с осью абсцисс в качестве касательной. Имеются еще две точки перегиба. 1480. Симметричная относительно четырех осей х = 0, £/=0а у~х, у — —х замкнутая линия с четырьмя точками возврата: (а, 0), (0, fl), (—а, 0) и (0,—а). Начало координат —изолированная точка. 1481. Симметричная относительно осей координат и биссектрис координатных углов линия. Асимптоты (х у)2 — . Начало координат—четырехкратная точка самопере- сечения; в ней ветви линии касаются координатных осей. Линия имеет форму «мельницы». 1485. Остальные корни простые. 1486. 0,1 < х < 0,2. 1487. —0,7 < <xt<-0,6 и 0,8 < х2 < 0,9. 1488. 0,32 с х <0,33. 1489. —3,11 < xY < — 3,10, 0,22 <х2< 0,23 и 2,88 <х3< 2,89. 1490. 0,38 < х± < 0,39 и 1,24 < х2 < 1,25. 1491. — 0,20 <х< —0,19. 1492. 0,84<х<0,85. 1493. 1,63 <х< 1,64. 1494. 1,537 < х < 1,538. 1495. 0,826 < х < 0,827. 1496. 1,096 < х < 1,097. 1497. 0,64 <х< 0,65. При 0<а<1 существует единственное действительное число, равное своему логарифму, притом меньшее 1. При 1 < а < е^в существуют два различных числа, разных своим логарифмам; одно из интервала (1, e)t другое из интервала (е, + оо). При а=е^е единственным числом, равным своему логарифму, будет число е (оно является двукратным корнем уравнения log^x = x). При е1/е < а < + оо не существует действительных чисел, равных своим логарифмам. 1498. (х-4)4 + 11 (х-4)3 + 37 (х-4)2 + 21 (х — 4)-56. 1499. (х+I)3 —5 (*+1)+ 8. 1Т00. (х — j)io+ 10 (х-l)9-f-45 (х-1)« + 120 (х- 1)? + 210 (х- 1)« + + 249 (х-1)5+195 (х-1)< + 90 (х- 1)3 + 15 (х- 1)--5 (х-1) — 1. 1501. хв — 9х5 + ЗОх* — 45х3 + ЗОх2 — 9х + 1. 1502. /(—1) —143; Г (0) = —60; /"(!) = 26. 1503. — 1 - (х + 1) - (х + 1 )2 -... - (х + 1) п + I IV/+1 + 1 уж____L+++________ г не 0 < 0 < 1 [-l + Q(x+l)]^2 ’ Д 1504. х+* + J' + • • • + (+jy + (-Д 1)( (0х+n + 1) е^, гдеО<0<1. 1505. 2 + Х-=±- +4Л + + 4 64 512 ' ' п! (п—1)!-2'4,,1! ' , (— 1)" (2/г)! (х — 4)n+1 Ч--------------- ~ — . где 0 < в < 1. 2М+1/;! (пЧ-1)! Кич-ес*- — 4)Р"+1 . X2 X'1 х2п Г2л1+1 Р^Х_р-^Х 1+21+41+-+(ЯД+(й-,)Т^±“. ™=Р<«<1. is»?, (-t-о-;-,• i-'-v-i-j; («-им ° («-()•+•.. (-<!/'• 6 (л 1)" ( 1)"+*6(х— 1р+1 ‘*'"1 (п —3)(и 2)(п—1)л+(п—2)(п-1)п(л+1)[1+в(х—1)р-а’ где О<0<1.
1508. 1509. 1510. 1511. 1512. 2х2 23х4 23х« 2?х3 f/ 1/-12М^2\ '2Г~’ 4! +~6! gj- + -« + (—1) ’ (2н)! + (—1)" -22nx2"+i (2п+1)! (x — 2)4 ’[l + 0(x-2)]V ---zb--» где0<0<1. 1 3 cos4 Ox , x3 , x4 96x + 663x3 л , x4----------—Гуо, где 0<6<l. 6 41 (l-62x2)7/2 1—j (х-1)+^|(х-1Р-Ь^(л— 1)2+ 2~(х-2)4-(х-2)2-(х-2)3ф x3 1 + 2 sin3 Ox sin 26xt где 0<5<L , где 0<6< I, 1 -3-5-7 (x-1)4 24 - 4! /[’14-6(x —I)]0 ’ где 0 < 0 < I. 1513*. В силу существования третьей производной имеем / (а+^) = /(а) + /i3 •j-hf' (а) + q- /" (а) 4- ду /"' (^+М)- Сравнивая с выражением в тексте, получаем If («+»>-/• <о>|-'4/-«.+W. г.е./-<.+Мь-/-и_ег<..+.,.)-п..> h -3-/"'(а4“^Л)- Остается совершить предельный переход при /:->0, 1514. Функция убывает. (О, 3) —точка перегиба графика. 1515. Функция имеет минимум, равный 1. 1516. Функция имеет минимум, равный 2. 1517. Функция имеет максимум, равный —И. 1518. Функция возрастает. (О, 0)—точка перегиба графика. 1519. Функция возрастает. (О, 4)—точка перегиба графика. 1520. f (х) = 1 -6 (х- 1)4-(х- 1)2Ч-..-: f (1.03) 0,82. 1521. /(х)-321 + 1087 (х-2)+1648 (х-2/Ч----; /(2,02)^343,4; / (1,97) 289,9. 1522. /(х)= 14~60 (х—1)4-2570 (х—1)24----; / (1,005) 1,364.’ 1523. = —64-21 (х —2)4-50(х-2)2-ф...; /(2,1)^-3,4; /(2,1)=- = — 3,36399; 6 = 0,036; 6'^0,011 = 1,1%. 1524. 1,65. 1525. 0,78, 6 < 0,01. 1526. 0,342020. 1527. 0,985. 1528. 0,40, 6 <0,01. 1529. }/2/4. 1530. а/d2; Ь/а*. 1531. 36. 1532. 0,128. 1533. /2/4. 1534 . 0. 1535. 1. 1536. 1537. 61 х 1/(14-9х*)3/2. 1538. a’5V(*4x2 + a4z/2)3/2. 1539. |cosxl. 1540. — 1 - - , 3 /а | ху| 1541. \(т—\)(аЬут(ху}^\ . Jg42 -----------1----. 1Из (62mx2'*-2 + a2mii2m-2)M/2 ach2 х I 2 | 1547. 1 1548. —2+<р- . 1549. <P2 + ^ + fe _ /1-|-1п2а a(l+<P2) z а<р*~1 (ф2+Л2)z <==» (а2+*2)3/2 z , .Л, , / 7\2 125 ,55°- 2^/2 " ,554‘ (‘+4)2-Ф-у) =Т- 1555. (х—2)2+(р—2)2=2. 1556. (х+2)2 + (^-3)2=8.
' я-юу* . / 9\2 125 1557. ,л---_J +^-4J =-jg-. ,..e ! , 7 \2 . ( 8 \- 125 , 15з8. (*+з + ^“3 ") = 'д’а- 1560. - 2 |!12} ,56>- 6-|-1п2, 1566. с=-3. £ = —3, с=1. 1559. а/4). ?2-). 1562. При t=kn. 1563. —а. 1567. у = — .v’ — 0,cx’-I- 4,5лл4-0» 1х-. --«о <- Ч v „ , 14-/?2X2(«-P 1 о68, - = х — J -----1 , Л — л-J----!------- n — 1 и (n — 1) x;< - ’ 1569. £ = (a- + b'~) ЛЛ i] = — (a2 4- b2) tr;b\ (azг 3 — (5r|)2/3 = (a2 -f- 1570. ‘ = x+3x''V's. 11 = </+Зх2/^^; r;+i1')^+es_'t1)^e2a,/e. 571. «» + “>’--’-4?- 1572. ? = - 4 P, i>==3/2— 3 , S2 = ^j(n+ 2 )’• 1572. (3r)/8" + f.a- (3i|,8)2 + 3u2;^0. 1574. £2/3 + if/3 = (2aj®/8. 1576. Да, можно. 1579. 2p |/(— 1 . 1580. 4 <а’~&3) 1581. ба. I Г \ Зр / J . ab 158?-. 16л. Получив параметрические уравнения эволюты, преобразовать их к н 'рым координатам и параметру, положив х = — ад, у —— yi, t = 1583*. Воспользовался зависимостью между длиной эволюты и приращением радиуса кривизны. 1581. 0,785. 1585. 0,073. 1586. (3,00; 2,46). 1587. (—0,773; —0,841). 1588. (1,38; 4,99). 1589. (0,57; -3,62). 1590. 0,78. 1591. (2,327; 0,845). К главе V 3 b ГТ 1592. 1) 2) <j (е*<2) dx\ 3) sin xdx; О а 0 ? I р 4) ( (8 — ‘2.e-',dx; 5) (/л — №) rfx; 6) *j (In х — In2 х) dx. —2 6 I 1593. 20 — 4,'n и 20-'-4//i; a = 4,'/i; а = Д. 1594. a = 149/600 =«0,248, 6«» ‘ 5n 9 9 2 «а0,039. 1595. 31,5. 1596. 10 $. 1597. ;g/i=40cm2. 1598. 10 -. 1599.8. 17 5 1600. 21 ^.1601.2^. 1602. 140 см. 1603. == 122,6 м. 160k 20 см. 1605. 625 Д:к. 1606. 4 см. п — I 71 1607. а)/н„= У /о = 7’о. = б) ffl = J v(t)dt. i-0 п — I 71 1608. а)Ся= У |] (;,)(/,+1А, = Т’с. С. = Л; 6) 6= \ t J Го П-l Г 1609. Qn= V /о=0, /п=Г; Q=j ^0 о tl — I 1610. а) Ал= У />) А=7’о. /Л=Л; 1=0
Ti б) Я= \ Ъ 1611. 1500 Кл. 1612. = 67600 Дж. 1613. 2880 Дж. п — I Ь 1614. а) Р„= 2 х0 = 0, хп~Ь; б) Р=\’ axdx. 1 = 0 б 1615. а) Л&-/2—187,5 Н; б) прямая должна быть проведена на расстоянии г- bk^ — ak^ h/Г 2^ 17,7 см от поверхности. 1616. е-1. 1617. —. 1618.1)50; 2) 4а; 3) 4) аГ-; 5) a (a*- “ + 1); 6) ~ т; 7) 31,5; 8)^=Д’; 9) J; 10) а (а\—?аЬ + 3.^ ; П) 4; 12) 16 Д; «3) о. 1619*. т-Д-г; «« 1.67.10“ За- ' З(а — Ь)~ 7 15’ ' /?-Н писать выражение, предел которого ищется, в виде л-й интегральной суммы некоторой функции. 1620. 1п 2. 1621. 1л 2. 1622*. In д, 1п 3^1,1. См. за-дачи 1620 и 1621. 1623*. 1) ае3-е»+\; 2) а1пд —а-Ь 1; 3) о)-. Выражение q-\-2q~-]-..t-]-nqn находится при помощи дифференцирования суммы членов геометрической прогрессии. 2л л 1624. j | sinx;rfx = 2 j sinxdx. 1625. 1/2. 1626. 64/3. 1627. 8/5. 1630. 8< b о < / < 9,8. 1631. 3 < 1 < 5. 1632. я < I < 2л. 1633. 20/29 < / < 1. 1634. л/9< pi — 1 p2 _ 1 </<2я/3. 1635. A—-<I<--------------------1636. 1) Первый; 2) второй. ec" — 1 e2 1637. 1) Первый; 2) второй; 3) первый; 4) второй. 1640. 0,85 </< 0,90. 1641. а) 1</</2«= 1,414; б) 1 < / < 1.207; в) 1</</б/5<=» ъ 1,095. 1642. уСр=.Л’ (xl±*4-|-b; i»±S, 1643. t/cp=-“ (xf + xtx,+х?). Если Л]Х» ^д0, то в одной точке; если ^<0 и х2>0, то при соблюдении неравенств — —2хх в двух точках, в противном случае — водкой. 2 1644. 24,5. 1645. ло/4. 1646. 0. 1647. ~h=\ м. 1648. И А. 1649. ~ 1558 Вт. о уЗ ув__лб у4_______у5 9 1650. 1) 2) —3) 1651. s=4 Я 1652. А = 100s + 25s2 Дж, □ О хи о л— путь в метрах. 1653. A = -i-f A34-afJ/2 + 32/V где а = Д=—Р = /\ \ О / ?2 — ‘1 = 1654. Q = Со/+^/24-4/3. 1655. dS=10, AS = 10,10033... 1-2 — «1 2 О 1656. dS = 1. 1657. Дх AS dS а 6 1 92,25 64 28,25 0,442 0,1 6,644 6,4 0,244 0,0382 0,01 0,6424 0,64 0,0024 0,00376 а 1658. 1/3. 1659. 0; /2/2; 1. 1660. J/(x)dx = -/(x). 1661.-1 -5/4. X 1662. . 1663. 1) х; 2) —4х1пх. 1664*. 2 1п22х —1п2х. Представить инте- 2х а 2х грал j ln2xdx в виде суммы интегралов jln2xdx+j ln2xdxg где a>0. х X а
1665. у' = — 1666. l)^=ctg/; 2)^= — Р. 1667. —2. 1668. Минимум при х=0. 1 (0) = 0. 1669. 1. 1670. //макс=5/6 при х=Л, ушт = 2/3 при х = 2. * 3 15 5 Точка перегиба графика (3/2, 3/4). 1672. 1) 2) — 3) 52; 4) 4-^; 5) 45 6) «=0,08; 7) 2-^2; 8) 6 § ; 9) 10) - _± (l^f-j/If) +zt-2b. 1673. 1) 2; 2) 0; 3) е»-1; 4) 1; 5) л/4; 6) л/6. 1674. 0. 1675. 1—/3; —1. К главе VI 2 тхп/т^1 1676. --/хз+с. 1677. ----\-С. 1678. С-1/х. о п-\- т 1679. =0,4343-10*+ С. 1680. +С- 1681. /х+С. 1 + 1л а 1682. \r2hTs+C- ,683- ~4,lxl>'J1 + C. 1684. и-и^С. 1685. ^-х2/х+х + С. 1686. С---?^--е*+1п|х|. 0 Зх У х 1687. С—10x~°’2+15х’’2—3,62л4"18. 1688. г—21п|г|—*- + 0. 1689. _л:2— 12хт±_|-с. 3/х 1690. у х2 + у х Ух + у х ^х2 + ^2 х2 Ух + С. 1691. — |/х!— уЛх2 +С, 1692. -/ arcsin х +С. 7 3 2 • 1 5х 1 1693. Зх-у^-у! +С. 1694. у (tgx+x) + C. 1695. C-ctgx-tgx. 1696. tgx—х+С. 1697. C-ctgx-x. 1698. x-sinx + C. 1699. arctgx—'~ + C. 1700. In | x | + 2 arctgx + C. 1701. tgx + C. 1702. yx + c/ 1703. sin2x/2+ C. 1704. tg4x/4 + C. 1705. 2/T+^+C. 1706. (x+l)i»/16 + C. 1707. c-8 12л/23)«- 1708. +C. 1709. C-~ (8-3x)11/5. о (1 —c) 33 1710. C—/(8-2x)3/3. 1711. ^УаУЬх + С. 1712. |/(x2+l)3 + C. 1713. C-y/(l-x2)2. 1714. |<(^5+2)«+Q| 1715. /Js+T+C. 1716. -у/4+x? + C. 1717. -y>/'(x4+l)2 + C. 1718. /Зх2 —5x + 6 + C. 1719. ysin4x + C. 1720. secx + C. 1721. 3,/sinx + C. 1722. C-^-cos&x. 1723.41^(1^+0. О о
1724. (arctg х)«/3 + С. 1725. С-.._J—1726. 2 /1 + tg х +0. £* Л-у 1727. sin3x + C. 1728. tg(l+lnx) + C. 1729. 4-sin3x + C. О 1730. xcosa— sin2x + C. 1731. C — ~ cos (2x — 3). 1732. C —2-sin(l-2x). 1733. ytgf2x —y’ + C или у (tg4x —sec4x)+C. 1734, C—cos(^). 1735. In (1 + x2)-J-C. 1736. In | arcsin x | + C. 1737. In(x2-3x+8) + C. 1738. 2.In 12x-l |+C. 1739. 2. |n | Cx + m|+0. 1740. 4'n (x2+l) + C. 1741. 2-In | x3+1 j + C. 1742. In (e*+ 1) + C. 2 о 1743. 2. in (e2*+a2) + C. 1744. C — Injcosxl- 1745. In | sinx| + C. 1746. C—|ln|cos3x|. 1747.In] sin (2x4-1)| +C. 1748. C — In (1+ cos2 x). 1749. ln|lnx|+C. In^+i X 1750. --+ если 1, и InllnxI-f-C, если m = — m т 1 1751. esinx + C. 1752. esin r + C. 1753. ^2L + C. 1754. C-^—. 1 1 3 In a In a 1755. 1756. 0,5e** + C. 1757г C-2-e-*’. 1758. arcsin 4+0. □ О О 11 X 1759. --arcsin 5x ~}~C. 1760. arctg 3x4-C. 1761. arcsin —4~C-Do Z, 1 V2 1 3r 1762.——arctg ^x + C. 1763. arcsin 7ЧС. 3/2 J * 1 1x2 lx3 1764. -2- arctg x2 + C. 1765. у arcsin ~+C. 1766. — arctg y+G. 1767. 2 arcsin x4 + C. 1768. 2. arctg ~ + C. 1769. ^^^- + C. 1770. 2. arctg^-^+C. 1771. + e"-1 + C. a a 1 i 3 t____ 1772. -3 e*x+ 2 &x + 3ex + x-\-C. 1773. arcsin х-У 1 - x2-|-C. 3 lx ___ 1774. ln(x2 + 9)-„arctg 1775. arcsin * + /1 - x2-j-C. 2 о о 1776. arctg x2 — -1- In (x4 -J- 1) + C. 1777. a re sin x 4~ 2 4 ]/ 1 —x2 n ______ ___________________ 2 __ 1778. p-/(x2-l)3]-x + C. 1779. C-2/1-x2/(arcsin x)«. □ J 1780. C—^[/1—9x2 +(arccos 3x)2- 1781. x — 4 In | x + 4 | + C. 1782. -’-Гх—^-ln|2x+l |] + c. 1783. -2. |x—2 In ] bx-j-a |]+С. 1784. C — x — 6 In |3-x|. 17S5. 2x +3 In | x-2 | + C. 1786. 2-x+y1n]2x-J l + C. 1787. x+ln (x2+l)+C.
1788. х—2 arctg х-|-С. 1789. С-~х*- l-x3--*- xi-x— 4 3 2 1790. *3 +arctg х + С. 1791. In | ^=А. | + С. 1792. 1п| 1793. -* Inl^TT +С. 1794. —L|nl— |+С. 5 1 х+1 & — а | а — х | ' '»• *+'"|Sl +С- ,7И- -з ,л|й +с- 1797. 4-С. 1798. 1 In14-С. 7 | X-H5J ' 12 | 2x4-3 ‘ 1799. —- In +с. 1800. A- arctg + С. 2V6 /2-х/З 2 2 1801. -A-arctg ^ФА + С. 1802. A arctg ЦА* 4-С. У’ 2 1 2 3 1803. A arctg?^АА-ЬС. 1804. A-arcsin (2x4-3)+С. 1805. arcsin (х —2) 4-С, л п 1 Зх — 1 1806. arcsin—— + С. юлт 1 • 3x4-1 . п <ОАС АГ . sin2x 1307. -n- arcsin-— Нь. 1808. - - J uС. 3 1'3 2’4' !809. 1810. C-ctg *. 1811. tg (-J --j) 1312. 2tg 2--x+C. 1813. 2tg(j +J)-x+C. 1814. A-tg^x-i-C. 1815. In (2sin 2x)-j-С. О 1816. C - A + cos 2x^. 1817. jA sin 5x4-1 sin * +C- 1818. 1- sin Зх— 1 sin 7x4-C. о 14 1819» J.- (^2x4- sin 2x-[- 1 sin 4x4--1-sin 6x^ 4-C« о \ 2 □ / 1820. Inltgf’^ + 4 + f- >821. In (14-sinx) 4-C. COS2 r 1 1 1822. —— In+osx ,+C. 1823. -2 ;—HC. 2 sin x 3 sinJ x 1824. 2/<3osa^^|A5_|^+C. 1825. tgx+ | tg3 x-f-O. 1826. sinx — -|-C. 1827. .! tg3 x - tg x-f-x-f-C. □ о 2 1 1828. C — cos x 4~ n C(>sa x — r cos5 x. о □ In !!-*[. +С. 1829. г— 1 sin 2x4- * sin 4x4-С. о 4 о? 1 2 1830. о tg2 х -J- In ! cos х । + C. 1831. C — ctgx—^ctg3!— 2, и 1832. ^-sinSx — xcos2x4-C. 1833. x sin x 4-cos x-|-C. 1834. С-е~’Ч*+1). 1835. ^(xln3-l) + C. 1П“ о ctgl я.
1836. *22 f |n X-jy -|_ с. 1837. ar?tg x —* + C. п 4-1 \ /2 -f-1 / 2 2 18C8. л* arccosjt — 4^ 1 — x2 4-£• 1839. x arctg Ух — Ух + arctg Ух4-C. 1840. 2 Ух~Чг~1 arcsin x-f-4 |Z 1 — x+C. 1841. a-tgx —* + In |cosx+<?. 4842. xsin2x+ * cos2x + C 1843. C — lg (x )/e). 1811. arete x-In (х+/Г+7-)+С. 1845. 2 (Ух-р^!—x arcsin j/x)-J-C. IM6. XIn(№4-1)-2x4-2arctgx+C. 1S47- C-Q + -1- arctgx. Z (1 Ф X J z 1848. x2/Г+№-/(1 + x++C. 1849. (x3 +1) I n (1 + x)/3 - x3/9+№/6 - x/3 4 C. 1850. C—e--v(2+2x+x2). 1851. ex (x;,-3x-+6x-6) +C. 1852. a* (x-/\ n a — 2x/l n2 a + 2/1 n'1 a) + C. 1853. C—x3 cos x + 3x- sin x+6x cos x—6 sm x. 1854. -1 r34- x~ sin 2x-[- 4 * cos 2x— g- sin 2x-}-C. 1855. x(ln2x-2 In x+2)+C. 1856. C— 1 (In3x + 3 In2 r +6Inx+S). 8/9 \ 1857. C----ln2x + 3lnx+2], 27|/x:|\4 _____/ 1858. x (arcsin x;2 + 2 arcsin x • У I — x2—2x-|-C. 1859. * I• (arctg X)- — xarctg,r+ -g- In (1 +x-)+C. 1880. eA (<iln *~coyx) +c. 1861. ®Usin2x-5cos2x) + C. И I <J eax x 1862. , • (n sin nx 4- о cos nx) -j-C. 1863. -% (sin In x — cos In x) -|-С 1864. (cos hi x + sin In x) + C. 1865*. C— * \f[ _ x2_|l arcsin x. (Положить dv = [( далее 2 \ УI — x- V 1— x-dx преобразовать к виду ^dxJ 1866*. J ,ra2 -j- x- 4- ’ 1 п (x + У a2 - j- x2) + С. (Положить и = Уа^ + x2 J »_______9 1 1837, ГТ2гЛ* + С’ 1868‘ 2~f(x2"‘l)sinX^(x~l)2cOSXleV + C- 1869. 2[j x+"T-In (l+/xTT)] + C. 1870. 2 1 * 1 (5x3 + 6x- + 8x + 16) + C. 1871. C-y- -' s----У. 1872. In |+c. 2(x-2)- x-2 _____ p/x+i + 1|^ 1873. 21гх=2+^2 arctg |/^+C. 1874. 2[Kx-ln(l + K^)]+C >875. 2arctg>zx+C. 11 Г. H. Берман
1876. 2 (/x~arctg/x) + C. 1877. |-(х+1)2/3~3(х+1)1/3+31п |l+i/7+l| + C. 1878, []/ax + b — т In | K^+^+^l] + C 1879. х+ЦД -|_ Цг1+2у;+ з/х + 6 ^х + 6 1П 1^7-11+0. 1880. 3/x+31nJ/x-l | + С. 1881. 2/х —4/х + 4 In (1+/х)+ С. 1882. |-[0/*5+2.1/И + 21п|1|<Н-1 |]+С. 1883. 1 (Зе*-4)/(е* + 1)3 + С. 1884. 1п^1+е*~1+П, 21 /l+e-'+l 1885. 2/1+lnx —In |1пх|+21п|/1+1пх-1 |+С. 1886. 0,4 /(1 + cos2 х)« (3 - 2 cos2 х) + С. 1887. lln2tgx + <?. 1888. С-|/Нз^(2а2+х3). 1889. + _2Д+ 4 In | х2-4 |+С. 189°. С-^+Д 1891. ^arcsin |+ С. 1892. С—- arcsin Д. 1893. С-¥Л1.+ х2)3 а | х I Зх3 1Л1 — х2 х 1894. С — —- arcsin х, 1895. - -}-С. х___ _____ а2/х2 + а2 1896. С-^(9Г^— 1897/Xq2~9 + C. 1898. In-,х| +Л. 45x3 9х т Ж"х!-Н 1899. С----* 1900. ~ (х2- 2) ]/4=Р + 2 arcsin 4+С. а2/х2-а2 4 2 <М1. ' «HJ+Z^ + l +с. 4/15 х/15—2/4л2 + 1 1 1/ Х2 __ J / 11 1902*. arccos— -— ----НС.1 Можно применить подстановку * = ~-j 1903*. 2 arcsin ]/*+С. (Можно применить подстановку x=sin23.) I хех I 1904*. In (Умножить числитель и знаменатель на ех и по« жить хех = г.) 1905. 2еГх(/х-1)+С. 1906. 3[(2-|Т?)cos/x+2/7sin/i]+C. 1907. Ararcsinx l ln^_x2 +Cj /1-х2 2 1908. x arctg x — у In (1 + x2) — у (arctg x)2 + C. 1909. In J**— —-arctgx —-(arctgx)2 + C.’ /Т+7 x 2 1910. -g-У (x2 + 2x)3 + C. 1911. -g- (1 +e3*)3+C. 1912. 2^+0. 1913. e~ COSX + C. 1914. C—y(l-e*)3/2. 1915. l-sinx2+6.
1916. С—^(2—Зх4/3)6''5. 1917. С—In 11+3x3—х«(. 1918. у 1п(1+х3/2) + С. 1919. С—1п(3+е-*). 1920. С — arcsine’-* 1921. 2 К1 + х2+ 3 In (%+/Г+х2) + С. 1922. А[2/9х2^4-31п|Зх+/9х^4|]+С. 1923. 2sin/x+C. 1924. arcsin i^4 + C. 1925. С-4 In I 1 - In2 x I. /3 2 1 1 1926. —4= + ln(x + /^+T) + C. 1927. <g££4yt!+C, еслил^-1, У x2 +1 n H-1 и In I arctgx|, если n == — 1. 1928. C — 2ctg2cp. 1929. 2x — tgx+,C\ 1930. -‘-tgs.x+C. 9 ___ 1 1931. ^g/tg^(5tg2x+9) + C. 1932. у (tg3x + lncos23x)+C. v2 1 I I933. -з-—,- + х_|п|х+1; + С. 1934. 1935. F 2+4x(x—1) +c ig36 l 1937. (Зх—2a)/(a+x)3+C. 1938. — + ~ sin 2*4-4- Ksin3x + cos x + C. 1939. —^т—П——-4-C. 2 4 3 tn In a4-n In b 1 1940. C-ln[l— x + K5-2x + x2]. 1941. -1 In (Зх-1 + /9x2-6x+2) + C. 1942. -arcsin ^44 C. 3 3 У2 1943. C—8/5+2x-x2-3 arcsin 1 /6 1944. у In (x2 + 2x + 2) + arctg (x +1) + C. 1945. С—У 3 —2x—x2—4 arcsin ^4 1946. | [in (4x2 - 4x + 17) +1 arctg 1 + C. 1947. 3/x2 + 2x + 2 —4ln (х + 1 + У^+2х + 2) + С. 1948. ln^-~ff. + C. |x-3| n ____________ 1 Q ___________ 1949. у У9x2 + 6x+2 + у In (3x+1 +/9x2 + 6x+2) + C. 1950. C — ln|2x2-3x+l |. 1951. arctg - A in (5x2 + 6x+ 18) + C. 61 ln|8x+9 + 4/4x2+9x+l /4x2 + 9x+l+C. -I У'Зх2 —llx+2 + ^y^ln x— 6 +j/~*2— ух+'з [+0. 1952. 1953. 1954. -i- уг2ха+3х— тЛ=1п(*+т + 1/^x2-^"2 )+C» * 4 у 2 > ’ ' 1
1956. 1958. 1959. е** L 1960. 1 xarctgx— In (1+x'2) + C. 1957. | sin2x — 2 xcos2x+C. [(<o2x2 —2) sin <ox+ 2<ox cos <ox]+C. ' 1 1 3 ,, 3 3 \ _ /2 X “ 4 *'+4~X-J + C- tgxlncosx + tgx —x + c. 1961. In ;ln Sinx|4-C. 1963. у (in | tg?х [ + cos Зх) + С. 1964. 2 tg ( J + ?*)• 1963. С— ~ In 22COS;X. 1966. In-^+C. о 2 — cos2x ел-Н 1967. 21n + + 1938. <*Л' + С. 1969. J - Л! 1971. х-УГ^х2 arcsin x+C. 1972. C - (-^--f-ctgx). 1973. f- (1 - 2 S!n)4-C. 1971. -‘-(tgx + ln|tgx;.)+C. 1975. In I sin x + cosx l + C. 1976. sec x — tgx-|-x 4~ C. 1978. sin x — arctg sin x-|-C. x —In x-|-C- 1977. „ . . 1979. V2ln|tg-^ | + С. 1980. Inxlnln 1981. 1983. 1985. 1986. 1988. —U.4.C. 1982. C-’ e~xt (x24-2x24-2). (x2— 1)/Т+2Р+С. 1984. C- x(x'=\ - -- arcsinx. 6 2 /1 - x- 2 У (л2 — a2)3 — У (x2 — a2)3 + a4}/ x2—a2 + a5 arcsin + C. У4Т72(х2-2) c J987 VTx2-»)3 24 xd ' /0raL(x2-6) .hC im 1990. UOx*1 3 [l —111 ]/х2-3(2х24-3) ------ТТЛ г*" 1991. 1993. In 77-- "rB+C. 1994. Уx2 + 2x 4- In I x+ 1 +1 (rt-FU \ 8 , 1995*. —:-— 4-C. (Удобна подстановка x—sinrz.) 8 (1 — x-)4 ^aM8/“hC C<±TS=^- 1998. —£--4-C. 1999. ? x2 /F+?-In (x2+/ 2|/1-x* 4
2000. In /л-t Гх-1- I + с. 2001. С-? 14 3 р х> -? arcsin и 2002. С — Зх 4(I-hx^ 8(1+^) + 3 arctg х 2003. ( - \ ^--2 УхуС. 2004. arcsin е*-У I -с'-* +С. Ух _____ 2005. 2 \ге1— 1 — 2 arctg У ex _ 1 с. 2008*. С— In2 (I -f-yJ ^подстановка «=!-(- 2007. arctg х -f-х Зх3 2008. х arccos j/"-у4'/'х —arctg Vx -f-C. 2009. x 1 n (x-H/Н7*2) “К1Ч7*2 4 C. 2010. ^Htg^(5^x4-ll) + C. 2011. 2013. 2015. 2016. 2017. 2018. 2019. 2020. V (tg2 x + 5) Vtg x + C. 2012. In In [U — 2)= K2x+1] + C. 2014. О 3 2 1 ln|3*+l ' + „ In I 2x-3 | - -Il JJ О ±^ + <7. I'-'x+l '"I (x — I)4 (x — 4 V* [ (FRp Г In | x Ц-С. . л/. , , |x=(v —2p| , _ 3-+2+4x+ln|--w-| + C. 1 7 9 -4 x-bln | x i — j~6 In ! 2x — 1 < — jg In ; 2x-|- 1 [4 C. In | 2v-l ! - 6 In I 2x —3 >45 In | 2x-5 [4^-'"/S+C- 2У2 x-}V2 -4 m 2/3 х — УЗ x+/3 4-C. c. 202J. 4+in ^-^44Н*+1Г|+с. 2 x 42 I 2022. Inl^l + ^-l C. 2023. 4 In ; ж J—3 In { x—1 i-4 + C. 2°24- тДа + ’л! *+l l + C. 2025. х+1 + 1пЦ=4+С‘ x -4 I -H 2O2’-c-3(/2P+5Tr/)5 + l”i-'-21' ж1- -1+-2-i"|/i|+c 2,e8' 2|"IS2|-t2t£¥t+c- 2029. ^-2_—-j-ln ; x —5Ц-С. изо. -Hi-^+'^+c.
2032. — -4-ln^—ДД—^ + С. 1033. А- In | х 14-20 In | х—3 | —^ In | х —2 |4-С. Т|п' 7^2 |_’И'+Й_ 277=2)+с «“• с-7етг 2036. In |х|-4-С. 2037. -In (х+1)24- -L arctg£l'+C# /х24-1 6 х2 —х4-1 /3 /3 2038. — In--1*-'-!- : 4-4= arctg4-С. 3 /х24-х-Ы /3 /3 2039. In + | arctg 4-С 2040. <£+l)2 + lnl^L-arCtgx4-C. 2041. lln|l±£|-larctgx+C. 2042. In (х+1)2 (x2+i) ~ у arCtg X+C’ 2043. ’ 1п|х4-1|-|1п(х^4-1)-97Дгп+с-Z. Z ^X "T" i f ж 77=ГТ+1гс1е"<7^Т?]+с-x2 2 2045. -g— 2x— — 4-2 In (x2 4-2x-|-2) — 2 arctg (x 4-1)4-C. «..о i x24-4 ,3 ,x 3/2 , x/2 , „ /TO + S *-----------arctg -I—l-C. 2047*. —Д-In£_+£l^il 4-Оarctg x^-4-C. (В знаменателе подын« 4/2 x2-x/24-1 4 1-x2 тегрального выражения прибавить и вычесть 2х2.) 2048. _2_х In (х24-2) __1 arct х с 4(х24-2) 2 4 /2 /2 117 1 2049. .6 Ш 1 - 1 18 <'+ ‘>+288 ^ + 4' 2-К,Ч-411С- 13х—159 53 , х —3 „ 2050. 8(х2-6х4-13) 1 16arct° 2 +<?’ 2051. 3 4 / . п 5х34-15х2+ 18x4-8 . г ~8~ arctg (x+D 8(%а + 2х + 2)2 IC. 2052. 216 (х«+9) 1 36(х24-9)2 1 648аГС б ’3+С* 2053. 9 /ХЛг ~ i In 1 *4-1 14-~ In (14-х2)-f-С. j 1 ] £ л г°«- 1%'8+(Хт33<+й,г1‘е1+С- “» r.-+r+i + ^3*rc‘evr-sin^+t+D+^-^+l-t-a+a /,;)/4Т)+1"^+^*+с-
плго z> |х—II 12х2 —5х— 1 2058. С_61п| — |_—^х2) . 2059. ^,^+ln/F+T + C. 2060' ~2 ' (1 -J-х2)2 + 4~ ‘ Р+Т + 7 arctgх+С' 2061. 4 In I 1 ~ 3 + ~ ~о7 з . и +C~ 3 | x3 | Зх3 3(x3+l) 2062 — Farctg ^±1 + 3(*+1> + 18 1 + C 20 64в|_ g 3 + + + 2x+l0 + (x24-2x-h 10)2 J + C* 2063. g- arctg(x + 1) + -g- • a.2_|_2x+2 + 4(x2+2x+2)2 + C‘ 2064’ C 8 (№ + 4) 2 (x2 -j- 4x + 5) 16 3FCtg 2 aFCtg олсс 57x‘+ 103x^ + 32 57 „ 2065. C 8x (x2+i)2 8 arct2x- 2066. 9M~T-Tn + In I/+tf + (: 2 (x3 — x2 — x + 1) (x + 1 )2 _ / 1 л . 5 o 3 \ 1 , 1ИЗ+Х/2 ln| /3 — x /2 5 , _ \ 2 л -г 4 л' 5/x(3 — 2x2)2‘r8/6 2068. In--------1--—-----—------—---------- (l_+yi)W+V7 37x3 2069. 2 Ух -3 Vx-8 Ух + 6 Ух + 48 Ух + 3 In (1 + 1Ух) + +c. । 53. /в/— is/— . п\ 171 , % *Ух—1 + -2 In (Ух- У^ + 2)arctg —— 2070. б[1(х+1)3/2--| (х-+1)4/3 + -1(х+ ___- -J- (*+1)+4 u+1)5/в-4- <*+па/з] 2071. Ini +2arctg 1Z|—^ + С. yi+x + yi-x 6 V 1+х^ +Л +<?. 2072. (]Лх—2) ]/ 1 —х —arcsin Ух-^-С- 2073. 6 >/(1 +*)2[^4^- 2074. + х. У1 +х 11 , г Ь~ + ~7~ +4j + C- ___ In ^U- 1 1=+ Уз arctg Ly 2и2. с, где и = У /Ц4+ц2+. УЗ Г 1+* 4 х____1 . ^-Т/ ——5 +С. Умножить числитель и знаменатель дроби на ____ г X + 2 •|/ х— 1 и вынести множители за знак радикала. 2076. Ухух^хУх^ + '^Х^Ук + 1 х^Ух + ^х* У^+С. <Э 11 1и О 14 2077. 3| 2078. 11п(У^+Т-1)- 2 (I + уху. УЗ . 2*Ух^+1+1 . „ Varctg-' ^3 +С<
2079. ’/(14-лз)в_ -;-х’)»+С. 9ПЙЛ 1 1 " 4 1 1 , 2" -I- 1 , Z> ’/ 2080. - In—--г-т----— arctg—у-Lf где и = 1-2_ 6 ("~1)2 УЗ |/3 х * 208!. A In ’ arctg 2082. -] In V'1~^+l _ IEJ_ZL^ + c. 4 x- 4 x4 2083. A (4 yx+\ 'x _ 3) |/ i + V'x+c. “—1 , 2u-rl я г--- 2084. би + 2 In .— ~2 V3arctg —т-—|-С, где u = У 1 + /х. у и2-1-а-г 1 уз 2085. In +arctg где и=|/1+^. 2086. c4/‘+^+J-,cciy,/r+^ + . * уз хуз - .’о /т+/ш - i 4лс» 11 1 ь “4-1 1 ' 2rz —1 „ 2088- о ; Q I 1< — а In -7^-—-— arctg—----нс, 2(«34-1) б yU2_w+i 2/3 /3 г«9. .2[К?-Ц? + ^-i?]+e. где 2090. * cos3 х (3 cos2 х—5)+С. 2091. —L-!-|-C. 15 3cosdx cos x 2092. In > tgx !-9 ..‘ „ +C. 2093. tgx-|- sin 2x--? x + G biJi X Z 2094. £ (tg2 x —ctg2 x) + 2 In | tgx l + C. (tf.-buy .410(8^+1) 3 tg ‘ X COS X — 1 ' 2097. 7* ctg 9 — 1- ctg3 9 -l-C. z 2 b z 51/ 5 15\ 2098. x H -9 sii ] 2x cos4 x 4- cos2 x 4- gJ + C. 2099. x— 1 ctg3x4-ctg x-J-C. 2100. ! tg4 x— tg2x — In | cosx | + C. U т Z 2101. x— _ ctg’x-h r ctg’x— ctg3x + ctgx+C. ( 0 о л cos X . 1 , I . X I 2‘®2- C~ra7+ 2 'Tg 2 I- 2103. A In I | 21 tax I + f Sin * cos * + C-
!1М-с-тгё;- 2,ю- г)1+с- Ж 1 - In 1g + 6 '' +С 2107. п С''"1л 2 |/cos2x 2118. In. 2109. 4-[x + ln| sinx + cos.vjJ + C. у 1 — 4 sin2 x 2 2110. 2112. 2113. 2114. 2115. 2116. 2118. 2119. 2121. 2122. 2123. \ f X\ •• 5l«j+4 2arctgf2tg-;- +C. 2111. arctg-------=------ At \ A! J fj J In (2 + cos X) + A arctg tg + C. COS X (COS X — sin x) 111 j i z> -----------L — -j In I COS X — Sin X I + C. + C. 4 25 X 25,П 'tgx+2l’1’5(tgx + 2) 25 ln 1COS* '+<?' cos2x—15 4 , 4 sin 2x-\-1 ~ 15 (4 -f- sin 2x) J5|/15 arcsuI 4-f-sin2x -----!— + C. 2117. 1 arctg(3tgx) + C. 2—tg * ~a;ctg(|<2tgx)4-C. 4‘g*+^arc‘g(/2tgx) + C. 212!). arctg^-+0. сЧ|с,г»+й“'с‘8()Ш ----+ 4-Г. V tg;x + tgx+l 3 /3 2^sin — cos 2*j + - для значений x, удовлетворяющих неравенству sin X X ( X X \ 0 +cos 9 5= 0, и —2 I sin —cos 75J+C для значений xt удовлетворяющих £ £ \ Zt £ f неравенству sin - -J-cos 0 ^0. 2124. 2/tg7+C. 2125*. С - /dg»7. (Положить u = ctgx.) u 2126. 4>/ tgT+C. 2127. ^ln(|/2tgx+Kl+2tg2x)4-C. 2128. 2 arcsin /sinx-J-C. 2129. C — -* tg x (2 + tg'* x) /4 — ctg»’£ О 4 Г----7 1 -t- V cos 9 2130. —7=4-2 arctg 1/ cos— In-—.... -kC. 2131 • [in (sin x 4- cos x—}^sin 2x) 4- arcsin (sin x — cos x)] 4- C.
2132. sh х + С, 2133. ch*+C. 2134. thx+C 2135. *+С. 2136. ~sh2ax + C. 2137. shxchx~x+C> 2128. x-thx+Q, 2139. x-cthx-f-C. 2140. 1 ch3x-chx + C. 2141. shx+4-sh’x+C. 2142. x— thx — | th3x-\-C. и и 2143. 4rsh3x + 4-sh».x+C. 2144- In | sh x | — 4-cth2x — 4-cth4x+G. О О Л т: 2145. In | th x | + C. 2146. In | th ~ [ + C. 2147. ’ th 4 - 4- th3 4+C. 2148. ’ in .-arctg /th7+ C. z | 1 — у th x I 2149. xthx— Inchx-J-C. 2150. C-/4 -• 1 Q ChJ | ex I 2151*. In . ^Можно применить подстановку, например. —42152- arccos -—/-(-С. 2153. arcsin* J г / 2 х/2 х/2 2154. С- ’in Г.2 + х-х3+/2 /2 х 2/2 2155. 1п|х+1+/2х4-х2 1---? -4-С, х+/2х+х2 1 ]п [ 3-|-Зх-|-2 /3 (х24-х-|-1) /3 I л—1 2157. 2158. 2159. 2160. 2161. 1 . 1х4-6-|-У60х —15х2 I /15 1П | 2Г^З | • (х — 1) /х2—2х—1 — In | х— 1 -f- /х‘—2х— 11 + С. i^(2x-l)| + C. + 8]р31п Кз*2-Зх+Ц- -L Г(х + 2) /1 — 4х — л2 + 5 arcsin + С. 2 L г 5 J С--------—-^-7===- — ~1п |2х-1-2/х2—лЧ-f | + 2 (2х—1 — 2 JZa‘2—1) 2 _____ _____ +2 In |х—l x2—л-(-11. 21К. |п| »+/> + ' _Г2+£ + с. I X X 1 2163. 1~^x2 + 2x + ? + |п (х+ 1 -|-/х2+2х+2)+О. Х-|- 1 2164. у (3 - л) /1 - 2х - х2 + 2 arc sin Х-^ + С. 2165. х/х2—2х+5 —5 In (х— 1 тЬ^х2 — 2x + 5) + G. 2166. С — 4- (Зх—19) /3—2х—х2 +14 arcsin •
2167. (х2—5x4-20) /х2 4-4x4-5 —15 In (х4-24-/х24-4х4-5) 4-С. 2168. (-|-х2- J*+|)/^+2x4-2 +In (х4-14-Гх24-2х-|-2)4-С. 2169. (х24-5х4-36) /х2-4х-7-|- 112 In | х-24-/х2-4х-7 (4-С. /1 7 qt; 14еЧ\________________ 2170. ^±хЗ-2.х24-^х--1у)/х24-4х4-5 4- 4- у In (х4-24-/х24-4x4-“5)4-0. О /х24-2х—3 ,1 2 , 2,7Е 8 (х-Ь I)2 + 16 arccos х-h 1 + С' 2172. -2— In 4-In (x4-/I2+1)4-Ct 2/2 K24-2x24-x 2173. —2*+1 -]-C. x , Ух24-2x4-4 —1 1 , /2 (x2-f-2x4-4) , „ 2174. In -----— arctg-—-—4-f——1-kC. /x24-2x4-44-1 /2 x4-l 2175 c-—!______________!_________?_________!_ * 8(x—1)8 3(x —1)« 10(x—I)10 И (X—1)11 • 2176. -L[Jc24-/(x2-1)3]4-C. 2177. - (4>:~3flJs// (а+х)4. 4-0. О 40 2178. —}— arctg 4) + C. тУab \ r b j ' 2179. -1 arcsin х-~^УГ=хг 4-C. B18L Tln|lS| + Tarctgx+c- 2182. A„etgI-T7-i-5-2|„|lZLi| + C. 2183. 2/x4-1 [In I x-Ь 11—2]4-C. 2184. (1 x4-l) cos2x4- (y x2 4- 4 * + 4)sin 2x + C1 2185. x2ch*—2xsh * + 2ch *+C. 2186. x arctg (1 Ух-j- In | x-f-2 "K^+2 | + C. 2187. In 2188. Зе^х(Ух^—2>/rx4-2)4-C. 2189. 3e^x (|/xl—5 {/'x* 4-20x —60 J/'x2’4-120120) 4-C. 2190. e3* (4-x3 —x24-4x4-^4-C. 2191. 2 (sin /х—/xcos/x) 4-C. \ «j 0 У / 2192. l^±2>+|alct6/j—+c. 2193. у4-у/х2-1 -у 1п|х4-Ух2-1 |4-c.
2194. In (х 4-1^4^)-^+^ - H1W, -Kl±^ +C ox? 3xj л 1 2195. (-L x3 — -| x) Кx2 + 1 +1 in U + /F+T) 4- C. 2196. 3 [in | и | — In (1 + IZ1 — u2) — arcsin n] Ct где и = yGc* 2197. W^ + L5(n /4±х-1 4x2/14-x 8 ]/14-x4-l 2198. C-Ll—+!-|-in У^+1~1 x /2x4-14-1 2№' '5[-2 '”г4!|^г-КЗагс1е22+!|+С. г« 2203. C - In I tg J | + —!— . 2201. Л !1J : ,;. 1 1 8 sin2* У2 У'2 ') 2 , | sin (a —x) | , „ a ^25,n | siniaTx) | +C’ где a=aTOBi' если . tg x , „ b —-----arctg ------г Ct где a = arccos - - , sina sin a a 1 2202. 1 с-слп ar > b-. 1 4 1 1 2203. 2 x4n(l+/3)-;p4- J ‘-ln(x+l) + 2204. 2206. 2207. 220°. a-<b /3 . 2x-l r z + 2-",8ТГ+< — + c. 2203. arctg )'^T - !"..» .. + C. m л ^x-—l У ex[(x2 —l)cosx4-(r — I)2 sin x|4-C. ^-4-C. 2208. 2 151^2 4-C. d Ftgx <tg* x- ctg« X)4-2 (tg2 X - cig2 x) 4- 6 In 1 tg X; 4- C. 2210. arctg (tg2 x)4-C. 2211. In | I -f-tg -*- 14-C. 2212. arctg—tg* _ + In (/24-tg-x4-tgx)4-C. K2 4-tg^x________________ 2213. |nx24-14-/x«4-3x2+l c- X 22ll. c I . 22,3. ,/ ,5 I 23-3 ______ ,_____ ,_________ 1/1 J-fV— | 2210. 2x /1 4- e ‘ — 4 /14- еЛ - 2 In —- 4-C. 1 14-x3 arctg x 1 c _|n ------------------— 4-C. arctg x arctg x x C 2 (14-x2) ' 4 4 (14-x2) * J_ . 1x4-11 _ arctg x___________1 £ 4 ° /x24-l 2(14-x)2 ( 4(x4-l)| 2220. x — log21 1 — 2х j 4- __2* "b 2 (1 2х) 2217. 2218. 2219. :- + 3(l -2х)3. 4-C.
1 J- gx — 1/ ] । ex _L егх 2221. arctg (ех—е-л) +C. 2222. In -+<"- l-e*+/l-H*-H^ 2223. x-2-. arctg 1 2.— + C. 3>3 ,3; , , 2224. -4 Sin2.t-L sin lx J-?( sin^Sz+y^ sin8x + C. 2225. lx»+ | In (14-Я + ^р^+С. 2226‘ 49(i^5) “ 49(* + 2) + S In | J+l |+ C' 2227. C-i^arctg(/2ctg2x). 2228. xtg ^-|-C. z ~ arccns x ‘K2 /2 x*H-l 2229*. применить -J-C. (Разделить числитель и знаменатель на х2 и подстановку х + ~ = z.) 2230. esin х (х—sec х) + С. К главе VII 2231. 2</S—1)/3. 2232. 7/72. 2233. —5(уТб-1). 2234. 7~. О 2235. cos <р0. 2236. 12. 2237. 0,2 (е—1)5. 2238. 31п^_. 2239. 1/4. 2240. л/2. 2241. 1 +-!-1g а. 2242. е—>7. 2243. -Д . 2244. 2. 2245. 4/3. z ЬП 2246. In 4 . 2247. 0,2 In 4. 2248. arctg . 2249. J* |n -f . 2250. л/6. Z О i z о - gw I th»» 9 2251. 2. 2252. 2/7. 2253. 4/3. 2254. ~. 2255. —0,083... 2256. + ‘ ' 2<o 3 4 1 + £t^a__ctga 225-,_ b 22S8 _j/2/3. 2259. 1-2/e. 2260. л/2-l. □ 2261. +4 In 4- 2262- лэ-6л. 2263. 2--^—. 2264. 1. 3b 2 2 4 In 2 2265. -1а^Уа . 2266. 2267. 2268. 6 — 2e. 20 4 5 2269 a) « • 6) L5JLL . я ~ 0 429- в) 1£JL±±2 _ 256 2269. a> is. °) 8.6.4.2 2 °’429’ ’ 11 • 9 • 7 • 5 • 3 693 ’ Г n — 1 r m — 1 r _ 2270. Jm>ri = —:—= Если n нечетное, to miTl tn + n m>n A tn + n m (n^l)(H^3).....4.2 m'n (tn + n — 2)... (m + 3) (mH-1) * если m нечетное, то (m—l)(m —3)-...^-2 m'n ““ (mH-n—2)... (nJ-3) (n-|- 1)' если m четное, n четное, то _ (n~l)(n^3)^..»3 -1 -(m-l)(m-3)-....3- 1 . m*n~~ (m+n) (m-f-n—2) (m4-n —4) •• 4-2 2’ 2271. <-1)- nl [1 -1 (J + +... +1 + 1)].
2272. 11 /48 + 5л/64. 2274*. р!^!/(р + ^+1)!. Положить x=sin2z и исполь* вовать результат задачи 2270. 2275. 7 + 2 In 2. 2276. 2—л/2. 2277.32/3. 2278. 5/3— 21п2. 2279. 2280. 8+Ц^л. 2281*. Ад. Пола. 1+/2 2 16 л/2 гая х—2г, преобразуем данный интеграл в2 ( sin6zdz. 2282*. 8/35. Поло* жить х= 2/2. 2283. л/32. 2 2284. Y2-----— + 1п уз 2287- зИл+Ц- 2+^~. 2285. 8/15. 2286. /З-л/З. H-/2 -в). 2288. Зл/16. 2289. л/16. 2290. i^+ln (2- /3). 2291. л/4. 2292. У'З/24. 2293. л/3. £ 2294. arctgу. 2295. /6/27 + л/2/48. 2296. 20/9. 6 2 2297. 2 In -5= 0,365. 2298. 2/л; 1/2. 2299. 2 + ln^-j. 2300. При а=е. 2301. 4-1п4- 2302. 2/45. 2303. 8 In 3- 15 In 2 + ^. 2304. А (5+7/125). X О О I 2305. л/6. 2306. а*[/2-1п(/2+1)]. 2307. /3-In (2+/3). £ 2308. 848/105. 2309. 4 —л, 2310. In -7 + + -. 2311. Д —+ У 4 л 2312. arctg2313. 2314. -^-Зл«+24. 2315. 152.-2УЗ. 2316. . 2317. In I £ 1. 2319. х=2. 3 27 6У6 а2 — оа I b I 2320. х = 1п4. 2322*. Использовать соотношения 4—х2^4—х2—х3^4—2ха, справедливые при 2323*. Воспользоваться неравенствами ]А1—-х2^ =^/1—х2л^1, где —1<х^1 ии^ 1. 2324. 1,098 </< 1,110. 2325*. Воспользоваться для оценки снизу неравенством 1 +х4 < (1 + х2)2, а для оценки сверху —неравенством Коши — Буняковского. 2326. / (I) «а 1,66 — наибольшее значение, /(—1/2)^—0,11— наименьшее значение. 2327. Минимум при х=1 (</ =—17/12), точки перегиба (2, —4/3) и (4/3, —112/81). 2332*. а) Заменить переменную интегрирования по формуле t = — х, разбить отрезок [—а, —х] на два отрезка: [—а, а] и [а, —х], и учесть, что интеграл от нечетной функции на отрезке [—а, а] ранен нулю, б) Нет, если а^£0; да, если а = 0. 2333*. Положить /=l/z. 2338. Каждый из интегралов равен л/4. 2339*. Положить х = л —z. Интеграл равен л2/4. 2340*. Разбить отрезок [а, а + Г] на отрезки [а, 0], [0, Т] и [Т, а + Т], затем, пользуясь свойством /(х) = /(х + Г), а Т показать, что j/(x)dx= j f (х) dxt 2341*. Требуемое для доказательства равенство эквивалентно равенству /(z)dz = 0, Убедиться, что интеграл X Т в левой части этого равенства не зависит от х, и затем положить х =- 9 4 6 .2/1 2342. -------——---------г. 2343. Подстановка z=tg(x/2) незаконна, потому что
функция tg (х/2) при х=л разрывна. 2344*. Для оценки /я использовать, что 1п убывает при увеличении л. 2345*. Заменить переменную интегрирования по формуле z=—— и учесть свойство интеграла от четной функции. 2346** Заменить переменную интегрирования по формуле z — ka^x^ и применить затем правило Лопиталя. 2347. По правилу прямоугольников л#«2,904 (с недостатком) и л#«3,305 (с избытком). По формуле трапеций я ««3,104. По формуле Симпсона л #«3,127. 2348. По правилу прямоугольников л#«3,04 (с недостатком) и л #«3,24 (с избытком), По формуле трапеций л #«3,140. По формуле Симпсона л#«3,1416 (верны все знаки), 2349. In 10#«2,31, М« = 4—^0,433. 2350. as 0,84. 2351. а>1,09. 2352. а=2,59. 2353. «8 0,950. In 10 2354. «« 1,53. 2355. #«0,985. 2356. #«0,957. 2357. #«239 м2 (по формуле Сим* пеона). 2358. #«5,7 м2 (по формуле Симпсона). 2359. #«1950 мм2. 2360. #«10,9. 2361. #«36,2. 2362. ₽«98,2. 2363. ₽»9,2. 2364. #«569 мм2. 2365. #«138 мм2. 2366. 1/3. 2367. Расходится. 2368. 1/а. 2369. Расходится. 2370. л. 2371. Рао* ходится. 2372. 1— In 2. 2373. 1/2. 2374. л/4. 2375. . 2376. 1/2. 2377. 1/2. 2378. Расходится, 2379. 2. 2380. 1/2. 2381. , а , если a>Oj расходится, если а^0. 2382. -5-+ у In 2, 2383. * 2384. л/2. 2385. 1/2 + + л/4. 2386. Сходится. 2387. Расходится, 2388. Сходится. 2389. Расходится, 2390. Сходится. 2391. Расходится. 2392. Расходится. 2393. Сходится. 2394. л/2. 2395. Расходится. 2396. 8/3. 2397. —1/4. 2398. 1, 2399. Расходится. 2400. 2, 2401. я, 2402. n(a-f-b)/2, 2403. ЗЗл/2, 2404. 2405. л//3. 2406. 14у. Q 2407. 10/7. 2408. Расходится. 2409. 6 —yln3. 2410. —2/е. 2411. Расходится, 2412. Сходится. 2413. Расходится. 2414. Сходится. 2415* Сходится, 2416. Расходится. 2417. Сходится, 2418. Нет, 2419. При £<—1 сходится, при k^—1 расходится. 2420. 1) При k > 1 сходится, при k^A расходится. 2) / = ]ц|п » если расходится, если 2421. При £<1 сходится, при £5=1 расходится. 2422. Расходится при любом k. 2423. Сходится при совместном выполнении неравенств k>—1 и />£+1, 2424. При тсЗ сходится, при т^З расходится. 2425. При А<1 сходится, при k^\ расходится, 2426. л. 2427*. 5л/3, Положить х = совф и проинтегрировать по частям, 2428. 3 + 2/5 Я-А1„2. 4 2 2429- 2.'4’.б‘.,, '!2п-2) 2а^ > 243°- rtL 2431 ’ 2432' Я'’ .-3).......4-2 Пм. 23 ’ а) /п (т—2) •... *4 «2 2’ ° т (т-2) -... ♦ 3*1 ’ °Л0 идо.,* л 2п (2п — 2) •... • 4 • 2 Г7 Л „ жить л = 5Шфв 2434*. 2 ——\ мг. Положить х=$ш2ф. [Zn,-\-k){Zn—1) •...•□•! 2435. EL~g (/ = 1 при а=л). sma ’
2436*. Для доказательства равенства интегралов положить в одном из них к=\/2, Затем вычислить их сумму, воспользовавшись тождеством 1+^ = £ / 1 1 \ Ц-.г> — 2 + + 1+х2—х/2/ +.00 2437*. Представить интеграл в виде суммы двух интегралов: = б 1 +.00 j I Г~ = \ ; ВО втором интеграле положить х = у. 2438. О, 2439. -yj/ —. 2440. j/л. 2441*. }Лл/4. Интегрировать по частям. 2442. 1-'3'5~'2в'(2П~1) 2443. л/2. 2444. л/2. если а>0; 0, если а = 0; — л/2, если а<0. 2445. л/2, если а > Ь\ л/4, если а = &; 0, если а < Ь. 2446*. л/2. Интегрировать по частям. 2447*. л/4. Представить числитель в виде разности синусов кратных дуг. 2448*. л/4. Воспользоваться методами решения задач 2446 и 2447, л/2— г 2449*. Полагая у = ‘ — 2. приводим <р (х) к виду ф(х)= J Insinzdz. Л/2 2 z В соответствии с формулой sin 2 = 2 sin % cos у разбиваем интеграл на три, из которых один находим непосредственно. Два других интеграла при помощи замены переменной сводятся к интегралам типа первоначального; ф{-2')== = 1н2. 2450. — £ 1п2. 2451. —у In 2. 2452*. у In 2. Интегрировать пэ частям. 2453*. ‘ 1п 2. Заменой переменной сводится к предыдущей задаче, 2454. — 2-In 2. К главе VIII 2455. 16/3. 2456. 9/4. 2457. 16ра/3. 2458. 1/3. 2459. 32 /б. 24S0. 2 . 2461- 2л-]- * и 6л- * . 2462. -у (4л4-/3) и 4 (8л-/3). О о и о 2464. — ab in ~ = b “а In U + Ve2— 1)]» где е —эксцентриситет. 2465. _lL?ln(/3-|-/2)]; as|j-^?ln (/3 + /2)j H e’|-f (И34-/2)]. L о ч I 2466. Sj = = л — ’ 1л 3 — 2 arcsin |/^у 0,46; S2 = 2 (л — SJ, 2467, л/2—1/3. 2468. 1/12. 2469. 1/12. Л I —fl I л I ni — П I - — п\ 2470. ; 4----------, если т и п оба четны; 2 —:, если т и |/л + н Г |/гг-|-/1 |гп + «[’ z- | /« — /2 | п оба нечетны; —:, если тип разной четности. !П /i I 2471. а) 3/14; б) 73 у. 2472. 1 (фигура состоит из двух частей, площади которых равны между собой). 2473. 8/15. 2474. Зл/4. 2475. 4/3. 2476. ло2/8
2477. 8 (|/ I +1 /3-arctg j/ 1 4- | /З). 2478. е+ 1/е-2. 2479. 4. 2480. 3(е«—4)/е. 2481. 18/е2 — 2. 2482. а) t>(lnh — 1)—a(lna— 1); б) Ь—а. 2483. 3-е. 2484. 3 ~2lnf(~2"”2^- 2485. 2-/2. 2486. -|- + 1п *£*. 2487. у/2- 2488. /2 — 1. 2489. л/4. 2490. Зла2. 2491. Зла2/8. 2492. бла2. 2493. 1) 1) («4-2); 2) (л-1) (л-2). 2494. 1) ^/3; 2) 8/15. 2495. 1) 4л3а2/3; 2) 76а2л3/3. 2496. яа2/4. 2497. ла2/4. 2498. 18ла2. 24S9.a2 (4—л)/3. 2500. 37л/б — 5/3. 2501. 51 /3/16. 2502. а2. 2505*. а2 Для построения линии следует рассматривать изменение <р от 0 до Зя. 2506. л/4. 2507. а2. 2508. а2 (14-л/б —/3/2). 2509. (a24-ft2). 2510. а2. 2511. л/2. 2512. л. 2513. 2. 2514. Зле2. 2515. 4л. 2516*. 1) }Лл/2; 2) jAi. Воспользоваться тем, СП что Jв-*2^х=|Лт/2 (интеграл Пуассона). 2517. ла2/2, 2518. 2—л/2 и 2 + л/2, о 2519. ash а ____ 2520. у У7ТУ + о 1(1 — . 2521. 1 + In . 2522. 1пЗ- 2523. 1п£^. 2524. | ~ -1). 2525. 4 2526. 4a /3. 2527. а + 2 In tg " +2 In (/24-1). £f А О Z 2528. 1 4- * In 3. 2529. 2. 2530. 8. 6 4 2531. При / = 2л/3 [х = я (2л/3 — /3/2), z/=3a/2]. 2532. При / = л/6 (х=3/ЗЯ/8, у=£/8). 2533*. 4 - . Положить х = a cos31, y = bshi?t, a+b я 2534. 5a 11 4-—!— In (24-/3)]. 2535. a In 2536. n2R/2, _ L 2/3 J У 2538. 4 /3. 2541. 2 (e1— I). 2543. ла У 1 4-4л2 -f- ~ In (2л -|- /1-|-4л2). 2545. In | 4- . 2537. л3/3. 2546. 8a. 2547. ла. 25<9. k должно иметь вид «ли 2V 2Л -Г ГДв целое число. 2550. 4. 2551. 2554*. Доказать, что длина In 2 • эллипса может быть записана в виде л/t ____________________ L=4 ( (К о- cos2 sin21 + У a2 sin'31+b- cos2 0 dtt и применить теорему об оценке интеграла,
4 4 8 л/z2 2555. 2л. 2556. 1) -2- stab*-, 2) v sta*b. 2557. тя sthta, 2558. (За + M, О о 10 и 2559. у(е2-1). Л Гр&>__ л—2b й2а__р-2а ч 2560. у|----------2 +2(6-а)1. 2561. Зл/10. 2562. у (15—16 In 2). 2563. л 2564- 8лА 2565' 2я2« 2566. ^^/21п(1 + /2) —2567. 1) -|-ла3; 2) л2/16. 2568. 5л2а3. 2569. лаз^ —4-\ 2570. ла3. 2571. 2572. л2/2. 2573. ле/2. \ 2 3 j 105 105аМ 2574*. 1) л; 2) njAii/Z См. указание к задаче 2516. 2575*. 3луг2л’/32, См. 4- оо указание к задаче 2516. 2576*. л2. Воспользоваться тем, что J о (интеграл Дирихле). 2577*. 2л2а3. Целесообразно перейти к параметрическому sin3 t 2 4 заданию, положив x = 2asin2/, //==--т—. 2578. ла3. 2579*. -=-ла5с. При-: cos t 3 3 2588,) 56 9 а- ла2. о arcsin 8 х? менить формулу V=^S(x)rfx, где S (х)— площадь поперечного сечения. 2580. 1) л/2; 2) 36л. 2581. о1=л/2 (2/6-11/3), ^=л/2 (2/б+Н/З). 2582. о1=аэ=4л(/б+/3—4), v2=8n(4—/з). 2583. 8л/б/3. 2584. 8л. 2 2585*. R2H = 400 см3, Принять за ось абсцисс ось симметрии основания, О 4 2 1 2586. ~rahH—l28 см3. 2587. аЬН = 133 А см3. 15 3 3 2 2588*. -а л/?2/Л Площадь симметричного параболического сегмента равна О 2 . где а—основание сегмента, а А—«стрелка», R>H / 4 \ R2H / 4 \ 2589*. —(л + и —( л — g (См. указание к задаче 16 4 2590. 8а3/3. 2591. 8лг3/3, 2592. R\ 2593. ? R2H. 2594. 3 о 2595. -J (/(1+а4)3— 1). 2596. (е2 —е~2 + 4). 2597. 2лй2+^^ , лй3 1+е Ь и 2ла2 + — Inгде е — эксцентриситет эллипса, 2598. 2л[/2+1п(1+/2)]. 2599. л{/5- 2600. Зла2. 2601. ла2/2 (2~ 2602- 2604. 8ла2 (л — 4-V 2605. ла2. 2606. \ 3 / 5 2608. л[/2 + 1п(1+/2)]. 2609. 4ла2, 2610. ah*ft. 2611. а3/6, а3/6, а2/2/12, 2 2613. Центр масс лежит на оси симметрии сегмента на расстоянии -ргАот о 3 3 з Ч основания, 2614. Для S^. £= -=- а, т]= -^6; для $= a, q= 4- b, □ о 1U 4 min2V2+2]. /5+1] (е"-2), 2603. 4с па2« 5 7 5 4л2л2, 2607. 2ла2 (2 — У2).
2615. £=0, i]=2r/n. 2616. £=0t т]=4?73л. 2617. Центр масс лежит на бис-а sinT сектрисе центрального угла, стягивающего дугу, на расстоянии 2г — Ь2 от центра. 2618. £ = а/5, т] = а/5, 2619. £==4а/(3л)» т|==4£/(3л). 2620. -ту+ + ~ arcsine, где е — эксцентриситет эллипса, 2621. £ = л/2, ц == л/8. 2622. л/2 + 4/5, 2623. л/12 +/3/8, 2624. 3/20. 2625. £ = 5а/8, т] = 0-2626. £ = 0, = 2628. Ъ = ла, т) = 4а/3. 2629. £=ла, т] = 5а/6. 2630. £ = 2а/5, т] = 2а/5. 2631. £ = 256а/(315л), т] = 256а/(315л). 2633. £=6а(4 — л2)/л3< Т] = 2а(л6— 6)/ла. 2634. Центр масс лежит на оси 2 г sin а симметрии сектора на расстоянии ------- от центра круга. □ ос 2635. £=5а/6, г| = 0. 2636. /2 па/8, i]=0. осчя t_ а 2е2Я + е" „а е2"-2е" * 5 еа_еп/2’ 4 5 гл__ел/2 • 2639. £ = 4а/5, т| = 4а/5, 2640. ЗЯ/8, 2641. Центр масс находится на оси Я V R2 4- Я2 симметрии на расстоянии R/2 от центра, 2642. Я/3, - #9~р #/4, / тг/?3 7?2 2643. /z/З. 2644. у(а2-|-аЬ-Д£2), 2645. -^-=41 (Л4 — масса полуокружности), 2646. 2647. 1х = ~а3; 1у=1&а3 Д2—2648. ab3/3. 3 1э у \ 45 / 2649. 1) d/i3/12; 2) a/i3/4; 3) a/i3/36. 2650. л£4/8. 2651. лЯ4/2. 2652. ла/>3/4 и л5а3/4. 2653. nR^H/2, 2654. лЯ4Я/10. 2655. 8л/?б/15. 2656. Snab^/\^ где 2а — величина оси, вокруг которой происходит вращение. 2657. 2658. 56 л/15. 2659. 1) /л = л (е4—1)/8; 2) У^ = 4л(3 — е). 2660. MR2, где М — масса боковой поверхности цилиндра, 2661. MR2/2, 2662. 2Л4/?2/3, 2663. 9ла3/2. 2664. 6л2аЬ2. 2665. Объем 3 )Л2 л2а3/8, поверхность 6 1^2 ла2, 2666. Объем 12л3а3, поверхность 32л2а2. 2667. Ось вращения должна быть перпендикулярна к диагонали квадрата; ось вращения должна быть перпенди-(2л/ \ —у,— +<Ро1 — _sinf2^l+(po\ 2670. a-±LM, 2671. \ т ____________ a(a-^l) a I r2(rt-^l) лг2 2672. ^тЛ4о/уг(Я2 + я2)3 = cos3 ф/а2, где ф — угол между прямыми, соединяющими точку С с центром кольца и с любой из точек кольца; kmM[Rt 2673. ‘2ктЛ4 (1-2674. 2nkma. ^2 уа3 + Х3/ 2675*. 2nkm\h 11---7===)=2л^/пуА(1 — cos а), где а —у гол между \ y/z2+ (Я — г)2) образующей конуса и его осью, Воспользоваться решением задачи 2673. kM2, 4 2676. 2Ыу. 2678*. -^-1п Сначала подсчитать силу взаимодействия элемента ds первого стержня со вторым стержнем (воспользоваться результатом задачи 2670), а затем найти всю силу взаимодействия. 2679. g2M3/(6m2)9 2680. (R84-2/?r + Зг2). 2681. «= 1,63 • 10« Дж. 2682. 3,5325 • 10» Дж.
2683. jigdR-ffi/li, ngdR-H'1^. Величина работы в ответах к задачам 2683 —2686 получится в джоулях, если брать расстояние в метрах, а плотность—в кг/м3. 2684. лй^/?74 «= 1013 Дж. 2685. Л£<//?2Я2/6я=2,68 • 10’Дж. 2686. ^gd<ift№=2,4 • 103 Дж. 2687. $/3<о2у/6 «= 4,2 Дж. 2688. аб^у^/бяз в» 11,6 Дж. 2688. aWco2y/24 0,5 Дж. 2690. /ш:’Ло2у/60 =« 0,15 Дж. 2691. яЛ4До>2у/4. 2692. Л4/?2л2л2/3600; MR* (Зл — 8) лл2/3600. 2693. a) а/12/6; б) в два раза. 2694. в/2/2. 2695. 2,22 • 10’Н. 2696. ~ gdcfib. О 2697. abgd (л+ $ sin а). 2699. a) g&WSft=320 Дж; б) ~ gSH* (1 — d)2 = 4 2=20 Дж. 2700. -3 270L «=0,206 см2. 2702. а) «=33,2 с; б) ^64,6 с. 2703. «51 ч 6 мин 53 с. 2704. -bL (2 /2-1). 3S/g _ _ 2705. —62< [(Я4-Л)3/г—Л3/г]; при Я=0: 2b *f2g /13/2 = Ц-^$/Л, 3 <3 «3 где 3 — площадь щели. 2706. а) «=2,4 с; б) «=6,3 с; в) «к 53 с; г) при /->оо. 2707. «=34 Дж. 2708. 1) а) 71,6 Дж; б) «= 166 Дж; в) «=238 Дж; 2) при неограниченном расширении газа работа неограниченно увеличивается. 2709. 1,6 <10* Дж. 2710. «= 82 мин. 2711. Немного больше 5°. 2712. о °—. 2дле0 2713. а) 4 < IO * Дж; б) 6 < 10 -° Дж. 2714. 5 см. 2715. «=946 Кл. 2716. «=1092 Кл. 2717. «=5110 Кл. 2718. ЕЦ2. Эффективное напряжение переменного тока равно £0//2. 2719. Г cos <р0- 2720. ^7мип. 2721. «=2,915 л. 2722* а) 15 см; б) «=0,125%. 2723. 1/1024 от первоначального количества. 2724. «= 2,49 г. 2725. 8/9 г. 2726. «= 37,3 мин. К главе IX 2727*. Sn=l— » S = l. Представить каждый член ряда в виде суммы двух слагаемых. 2728. $я = 2 (1 _2ЛтО’ S = 2 2729. $я= з (1-з^+т)> S= 3 • 2739. S„ = g (1 + 2 + 3" “ л+1 ~ л + 2 ~ «Тз)’ 5 == 13 ' 2731. S„= g (J + з + 5 — 2n+T — 2n + 3 ~ 2/1+5/ S= 90 * 2732. S„ = J [ 2 - (/l+1) +2) ]• S = 4-. 2733. Sn = 1 + — 2„ — 2 3„. 3’= . 2734. Sn=l — , $=1- 273j- 5»= g [1—(2л+ 1)2 2736. Sn = arctg -2-r, S = ? . 2737. Сходится. 2738. Сходится. 2739. Рас-п 1 4 ходится. 2740. Сходится. 2741. Расходится. 2742. Расходится. 2743. Сходится. 8
2744. Расходится. 2745. Расходится. 2746. Сходится. 2747. Сходится. 2748. Расходится. 2749. Сходится. 2750. Расходится. 2751. Сходится. 2752. Сходится. 2753. Расходится. 2767. Сходится. 2768. Расходится. 2769. Сходится. 2770. Сходится. 2771. Сходится. 2772. Расходится. 2773. Расходится. 2774. Сходится. 2775. Расходится. 2776. Расходится. 2777. Расходится. 2778. Сходится. 2779. Сходится. 2780. Расходится. 2781. Сходится. 2782. Расходится. 2783. Сходится. 2784*. Расходится. Воспользоваться формулой sin а sin 2а + • • • + sin ka = . &4-1 - 'г sin — a sin а . w sm иля неравенством sin x > 2х/л, если 0 < x < л/2. 27G0. Сходится, но не абсолютно. 2791. Сходится абсолютно. 2792. Сходится, но не абсолютно. 2793. Сходится абсолютно. 2794. Сходится абсолютно. 2795. Расходится. 2796. Сходится, по не абсолютно. 2797. Сходится абсолютно. 2798. Сходится, но не абсолютно. 2799. Расходится. 2802. —1 <х<1. 2803. -- <х<е. 2804. —1<х<1. 2805. —1<-х<1. 2806. — I £? х < I. е 2807. х < - 1 и х>1. 2808. —1<х<1. 2809. — 1 sg х < L 2810. х^=±1. 2811. При любом х. 2812. —2 < х < 2. 2813. При любом х. 2814. х>0. 2815. х > 0. 2816. xZsO. 2822. 11 членов. 2823*. Воспользоваться неравенствам In (1-(-а)г£а. 2825. /(0)=1/9; f (л/2) = —1/101; f (л/3) = 44/1001; /(1) =0,049; /(—0,2) = 0,108. 2827. 1 Inarctg х. 2828. 1 arctg х + In J-Lj-Q 2829. (х+1)|п(х+0-аг. 2830. 1/2. 2831. 0,2. 2832*. In Использовать хх х sin х „ соотношение cos £ cos 4-... cos^2... = ——. 2833*. я’/12. Воспользоваться формулой 2^=6-л =1 2834. 1) 1Ап2+1"-'); 2) -L- Г1п(1+К2)-Ь £1. 2835. 1п2. * \ УЗ/ 2 у 2 L J 2836. 2837. Данный ряд нельзя почленно дифференцировать ни в ка- ком интервале. Действительно, общий член ряда производных имеет вид лсо8(2ялх). Сколь бы мал пи был интервал (а, 0) и где бы на числовой оси он пи лежал, всегда внутри нею найдутся числа вида k/2Nу где 6 —целое, a N— достаточно большое целое положительное число. Но при x~k(2N ряд производных расходится, так как для всех n> N члены его становятся рав-нымк л. 2838. ^-^''(TTTF- 2841. (х-1)-^---+- + (- 1 ( 5 ] l) 2^-i nl Т 8843» -j--9 г 27 И дп -г*-
у’ аД <2«-чг+ ъ 2845-‘+2Т+-+<5Ь)>+- уЗ у4 уп+1 284б-*2+к + 2г + - + ёГЛ)!+- [г2 у4 у2Л-2 1 1-2Т + 4Г + - + <-1)',+1(2Ь2)Г + -]-[уЗ у5 у2Л~1 1 , о , 2х3 4хб , , ,л?п7 .ля хп , 2848. х + х2 + __.__ + ...+ /2«5т^-./7Г + ... 4-у 4 Д.2у8 Л.П—1 у4(П-~1) 2849. 1_^ + 4A+...+(_iriJ_^_r+... 2850. \п2 + ± + ^-~ + ... 2851. с (1 + £-...). Z о 1 yz \ Z о / 2852. 1_"*2. + ??!г=±^+... 2853. у + ^+- 2854. ]+х2-?3+^ + .„ 2855. 1 +2х+^ +... + у4 Г2(П-1) 285». .-«+й-... + (-1)-5ГГ3J- + ... у у2 уЛ “1 2857. Ц-йт + §г + ... + ^+.„ ув у12 ув(П-11 г858., + зт + 1г + ... + Л_щ+... у уЗ у2П—1 2859~ 2 ~ 2ОГ+- + (-Пя+122п-1 (2п—+ -• [/OjcV 02Я-1у2Л 1 у2 у2(П-1) 2861. 1--+...+(-1Г1__+„. 2862. - — + -|-( -1)" 2ПХ2П+1 +- ° 31 + 51 +t U (2«4-1)1 + 2883. tal0 + [^_^ + ... + (_1)m-^ + ...]. уЗ уЯ+1 2864. х2_^+...+ (_1)я£__+.„ г»»». +^-|4+-+bir«2\;3.-.:.-.'gr2?.a+•]• 2866. 2-2[J<)- + s^ (4Р ... +2-Ц^(-')” + ...]. »7- i-[P-s42,+-+<-i>,,"'"i3.7!.i-- '”+•] 2868. ^ + [4^+^+...+ 1'3'2';J,|"~‘)*”,1+...]. 2869. l+22x+...+nV,-1+.... S=12. 2870. 1) -7!; 2) 105/16; 3) 101/41; 4) 8/3. 2871. 1/6. 2872. 1/4. 2873. 1. 2874. 1/2. 2875. 2/3. 2876. 1/3. 2877. 1/60. 2878. —l/10<x< 1/10. 2879. — l<xs£l. 2880. —10sgx< 10. 2881. x=0. 2882. —/2/2<x</2/2. 2883. — oo < x < + oo. 2884. — 1/3 < x < 1/3. 2885. —l^x^l. 2886. — l/es=x<l/e. 2887. x=0. 2888. — 1-.<x<1, 2889. —l/e< x < 1/e.
-Ч^-. £т+-<-[ «=«*»>• уЗ у2П+1 2891. х+£ + ... + ±—+...(-1<х<1). у4 у2П / уЗ 9у5 \ 2893‘4 &+%-+-+(йог+-) <-«<-<+с°)' № 2894. 1,39, погрешность 0,01. 2895. 0,3090, погрешность 0,0001. 2896. 2.154, погрешность 0,001. 2897. 7,389. 2898. 1,649. 2899. 0,3679. 2900. 0,7788. 2901. 0,0175 . 2902. 1,000, 2903. 0,17365 . 2904. 0,9848 . 2905. 3,107. 2906. 4,121. 2907. 7,937. 2908. 1,005. 2909. 3,017. 2910. 5,053. 2911. 2,001. 2912. 1,0986. 2913. 0,434294. 2914. 0,6990. Ш l + 2x + fl! + ... + [2 + ^r + ^ + ... + j-L7r],.-.+... 2916. х-\*а—.. + (-1)л+1[И-у + 4 + ”• + -J-]х"+'“ 2917. I *+^+... 2918. *+^+... 2919. X — х2 + 2х3 + ... v3 v2«-l 2920' С+^-ГзГ+- + <-1^1Г2п-1)(2п-1-)|+- <-°°<"<+-)• у2 у4 2921. 6 + 101x1-^- + ^—... ...+(_1)л2„*2\-|+... (—оэ<х<0 и 0<х<+со). 2922. C+ln | х|+х + -^- + ... + ^+- (—оо<х<0 и 0<х<4-оэЬ 1 У Г2 I п 2923. С-7+|„1л1+Д+^ + ... + ;г^та+... (—оо<х<0 и 0<х<-|-оо). Xй X5 у2Л-1 29М- 3- + ^2Г — + (-!)* „+- (- = <«<+»> уЗ у5 х-^ + ^—. + (-1)л+1 ,1 х5 , 1 • 3 Xе , 2" ‘ 5 + 2-4 9 + '"~ 2925. 2926. х2/г~1 (2л-1)а+’" 1 1-З ... .(2п —3) х*п~3 2п~1(п-1)1 4л-3 2927. х+ 2 4 2.4 7 +-•• + ( 0 г^Чл-!)! Зл—2 + '" Xi» х» x-s (-l^x^l). 2928. , + _ + _ + ... + —+... (-1^х<1). 2929 1 . ___L£ 3.7-....(in-5) х^_ 4 3 4-8 7 + К ' 4«-л! 4л-1+‘" ( -lC.v <1). 2930. 0,32.30, погрешность 0,0001. 2931. 0,24488, погрешность 0,00001. 2932. 0,4971, погрешность 0,0001. 2933. 3,518, погрешность 0,001. 2934. 0,012, погрешность 0,001. 2935. 32,831. 2936. 0,487. 2937. 0,006. 2938. 0,494. 2940. 3,141592654.
о 92 Ол-1 294!. х+_х9..._+ 2942*. 1 — ~ + 3- —... (— l)rt+1 д- +... Представить Xх в форме ех 1л х, разложить в ряд по степеням xlnx и проинтегрировать выражения вида хп\ппх. 2943. 0,6449. 2944. 0,511. 2945. 1,015. 2946*. 3,71. Вычислить пло-I _______________________________ щадь посредством формулы S —4^у 1— х* dx неудобно, потому что соответ-о ствующий ряд при х=1 сходится медленно. Следует вычислить площадь сектора, ограниченного линией, осью ординат и биссектрисой первого координатного угла. Это дает ряд, быстро сходящийся. 2947. 0,2505. 2948. 3,821. 2949. 0,119. 2950. 1,225. 2951. (0,347; 2,996). 2952. (1,71; 0,94). К главе X 2953. 2 = £ (х3у-у3). О 2954. S = -j /(-v + y-l-2) (x-i-y—z) (x — y+z)(y+z — x). 2955. x ° 0 1 2 3 4 5 0 1 3 5 7 9 11 1 —2 0 2 4 6 8 2 —5 —3 —1 1 3 5 3 —8 -6 —4 2 0 2 4 — 11 —9 -7 —5 —3 — 1 5 — 14 — 12 — 10 —8 —6 — 4 2956. 1 0 o.l 0,2 0,3 0.4 0,5 0.6 . 0.7 0.8 0.9 1 о 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 0,1 0,10 0,14 0,22 0,32 0,41 0,51 0,61 0,71 0,81 0,90 1,00 0,2 0,20 0,22 0,28 0,36 0.45 0,54 0,63 0,73 0,82 0,92 1,01 (\3 0,30 0,32 0,36 0,42 0,50 0,58 0,67 0,76 0,85 0,95 1,04 0,4 0,40 0,41 0,45 0,50 0,57 0,64 0,72 0,81 0,89 0,98 1,08 0,5 0,50 0,51 0,54 0,58 0,64 0,71 0,78 0,86 0,94 1,03 1J2 0/i 0,60 0,61 0,63 0,67 0,72 0,78 0,85 0,92 1,00 1,08 1,16 07 0,70 0,71 0,73 0,76 0,81 0,86 0,92 0,99 1,06 U4 1,22 0,8 0,80 0,81 0,82 0,85 0.89 0,94 1,00 1,06 1.13 1,20 1/28 0,9 0,90 0,91 0,92 0,95 0.98 1.03 1,08 1J4 1,20 1,27 1,34 1 1,00 1,00 1,02 1,04 1,08 1,12 1,16 1,22 1,28 L34 1,41
2957. 1) 9/16; 2) 1; 3) 16; 2; 2. 2958. S-Фf) ф (1 /Д>; а— -1. 2959. Вторая функция изменяется быстрее. 2960. Парабола второго порядка; 1) нет; 2) нет. 2961*. Положить т=1/х.,2965. Функция не будет однозначной.* 2966. 1) 1; 2) 1; 3) 1/5; 4) не определена; 5) 1. 2967. + (x4-i/>0); 2 будет рациональной функцией от и и с<, но не or w, Ц х и у. 2968. г=(х+^ + (^)2х. x2J_y2 I /2 2969. и = (х*+у2+?)2--+ + + + + и явля ется целой рациональной функцией относительно | и гр х, у и г, но не отно- снтелыю <о и <р. /(/ХМ» 2970, 2= (4~м; ц = х24~£/2; и=ху. 2971. № const —парабола, t/ = const —парабола, 2 — const =£ 0—гипербола, z = 0 —пара прямых, 2972. х= “const, у~const — прямые, z = const =# 0 —гипербола, г —О — пара прямых. 2973. х = const —парабола, у = const — кубическая парабола, z = const 0— кривая третьего порядка, z = 0 — полукубическая парабола. 2974. z = const > 0 —эллипс, х = = const и у = const —кривые третьего порядка (при х = 0 и у = 0 — полукубические параболы). 2975. О < у < 2; —!<// — <у<хУЗ; у < (а —х))Аз. 2978. (х — а)2-[-(у — by- < /?2; —оо < < 2 <Н-оо. 2979. (х - ц)3 4- (у - />)2 4- (з — с)2 < R2. 2980. x2 + y2c4R\ 2981. v = g xy (2/? д. V^-x^y^-, функция не однозначна. Область опреде- ления функции х24- у2 < 4Я2; х > 0, у > 0. 2982. 0<г/<1; S=x при 0<х<1, 1 < у\ S=y S — xy при при 1 < X, S^xy—к — у-\-2 при 1 <х <2, 1 ^//<2; S = x при 1<х<2, 2<у; $~У при 2 < х, у < 2; 5 = 2 при 2< х, 2< у, 2983. *2 +1. 2984. у2>4х — &. 2985. Вся плоскость, за исключением точек окружности х2-\-у2 = R2. 2986. Внутренняя часть правого вертикального утла, образованного биссектрисами координатных углов, включая сами биссектрисы х4-//^0, х — у^О. 2987- То же, что в задаче 2986, но без границ. 2988. Внутренняя часть правого и левого вертикальных углов, образованных прямыми г/=14~х и у=1—х, включая эти прямые, по без точки их пересечения: <14-х(х>0), 14-х^//< 1 — х (х<0) (при х = 0 функция не определена). 2989. Часть плоскости, лежащая внутри первого и третьего координатных углов (без границ). 2990. Замкнутая область, лежащая между положительной полуосью абсцисс и параболой у — х- (включая границу); х.^0, у у- 0; х2^-//. 2991. Кольцо между окружностями х24-^2—1 и х2-\-у2 — 4, включая сами окружности: 1 < х2 + у2 4, 2992. Часть плоскости, лежащая внутри пара- болы //2 = 4х, между параболой и окружностью x2-f-t/2=l, включая дугу параболы, кроме ее вершины, и исключая дугу окружности. 2993. Часть плоскости, лежащая вис окружностей радиусов, равных единице, с центрами в точках (—1, 0) и (1, 0). Точки первой окружности принадлежат области, точки второй не принадлежат, 2994. Только точки окружности х2 [-у2 = Я2. 2995. Вся плоскость, за исключением прямых х-[-у—п (ц —произвольное целое число, положительное, отрицательное или нуль), 2996. Внутренность круга л24~у2= 1 и колец 2п л3 -н у'1 2п +1 (л —целое число/, включая
границы. 2997. Если х^О, то 2пл у^ (2/г +1) я; если х<0, то (2д+1)л^1/^(2п + 2) л (п — целое число). 2998. х>0; 2пл <у<2(п + 1) л (я —целое число). 2999. Открытая область! заштрихованная на рис. 83, у>х+1 при х>0; x<zy<x~[~l при х<0, 3000. Часть плоскости, заключенная между линией и ее асимптотой, включая границу, 3001. х>0, у>0, 2 > 0. 3002. Часть пространства, заключенная между сферами х2+г/2+оа2 = г2 и x2 + z/2+22 = /?2, включая поверхность внешней и исключая поверхность внутренней сферы, 3003. 2. 3004. 0. 3005. 0. 3006. Функция не имеет предела при х->0, у->0, 3007. 0, 3008. 1, 3009. а) £/=0 или г/ = ха (а>1), х^0 по произвольному закону; б) г/=х/3, х^0 по произвольному закону. ЗОЮ. Точка (0, 0); вблизи этой точки функция может принимать сколь угодно большие положительные значения. ЗОН. Все точки с целочисленными координатами. 3012. На прямой у=х. 3013. На прямых х=/л, у = п (т и п —целые числа). 3014. На параболе г/2 = 2х. 3015. 1) Непрерывна; 2) разрывна; непрерывна по х и у в отдельности; 3) непрерывна; 4) разрывна; 5) разрывна; 6) разрывна. Перейти к полярным координатам, 3016. Окружности с центром в начале координат радиусов соответственно 1. V2/2, ]/3/3, 1/2. 3017. Окружности, проходящие через точки А и В, 3025, Прямые линии у^ах-^b, где а = 3026. Концентрические сферы о центром в точке А и радиусами, равными 1, 2, 3, 4, 3027. Эллипсоиды вращения с фокусами в точках А и Bi У(Х—xt)2 + — zrf- +У(х—х2)а±(у—у2у- + (Z—z2)2 = const. /£_ 1 \2 3028. Сферы x2 + y2 + z2==^-j-jj , где с—еи. 3029. Параболоиды враще< ния х2+у2 = сг. 3030. 1) Плоскости 2х + 3у —2 = С; 2) гиперболоиды вращения или конус х2+#2 — 2z2 = C, 3032. —-f^-при Т = То, 3033. ^ — скорость изме-v иТ dt нения температуры в данной точке; — скорость изменения температуры в данный момент времени по длине (вдоль стержня). 3034. = 6 — скорость dS изменения площади в зависимости от высоты прямоугольника; = h — ско* рость изменения площади в зависимости от основания прямоугольника^ 308бЛг = !,?=-!• 3037. *- = Зх2«/-у», д- = х3-3</2х. дх ду дх ду J 3038. д® = ае-‘, = — ахе‘ + Ъ, дх dt Л дг 1 и дг и . 1 3039- = V~«2’ dv=~v2 + V , дг х* + ЗхУ-2х{/3 дг у*+3х2у*—2х3у 304°* дх~ (х2 + г/-)2 ’ ду (х2+{/2)2 3041. -g = 30xy(5x2!/-£/3 + 7)’. ~ = 3 (5х2у-у3 + 7}2 (5^-3^). дг // дг х । 1 8М2’ дх=^~3/^’ ду'~2Уу + ^х' дг_____________1 дг ______________у _ 3043 дх угх2 + </2 ’ ду х2-1-у2 + хУ х2+У2 . дг у дг_______________х дх = х2 + у2 ' ду~ х2 + У* *
X У 3045 * =------J'------ * = ___________ * (х2 + «/2) (arctg-=02 ду (х2+^2) (arctg 3046. ~=ухУ~1, ^- = хУ1пх, 3047. ~=—-х ох ду дх х2+у2’ 3048.* =___J==,*=_J£__. дх Ух2+у2 ду г/Ух2+«/2 дг _ 2у ду х2+у» 3049. dz _ хуУ2 — x2 V~2 3050. dx _ — (х2+у2)Ух2-у2 2 дг dy 2x (х2+у2)Ух2-у2 dx . 2x ' ду //Smy » . 2x y2 sm —-и 3051. 3052. 3053. дг _ dx ~ dz __ L e-x/y _ У ’ dy~ 1 dz _ if A fi-x/y < dx — x + \ny’ dy y(x + lny)' w du _ v dv ~ 1)2 _|_ ц)2 » дщ) у2_|_до2 ол_. &2 1 X у , у . X . у 3054. тг- = — cos — cos — + ~ sm — sm —, дх у у х х2 у х ’ dz х х у 1 . х у ду у2 у x x у x 3055. д/ = 4 3~у/х In 3, д/ = - — 3-^/х In 3. дх х2 ду х 3056. д±=у2 (1 +ху)У-\ ^ = ху (1 + ху)У~1 + (1 +xy)'J In (1 +х4/). ол__ дг , . , ч . ху дг . t . . , ху 3057. = у In (х+у) Н---, ч- = х In (х + у) 4-. дх \ । х-\-у' ду v 1 1 х-\-у 3058. ^-=х*ухУ-1((/1пх+1), ^- = х^х^1п2х, дх ду ЗО594Н2’ £=^- ЗОбО. ^=у+г, ^=х+г. !“ = *+«/. 3061 д“ _ х - —____, 2----- дх Ух* + уг + г3’ ду y"xa + t/2 + z2 dz Ух2 + у2 + ** 3062. |“ = 3x2+3f/-l, fy = ^+3x, d£=2yz+l. 3063. =^yz+vz+vy, = xz+zv + vx, ^.=xy+yv-t-vx, ~ = yz+xz+xy. 3064. = (3x2 + y2 + z2) ex (x’ + yt + 2!), = 2xy<? (xi + + г‘>, =2xzex + yl + 2’’ . 3065. |^ = 2xcos (x2 + j/3 + z2), ^ = 2ycos(x2 + (/2 + 22}, ^=2г cos (x2+t/a+za). dz
слгг ди ди да 1 ’ дх ду — dz ~ х у 4- z ’ 3067. = -У л' '--1, д,‘= 1 xJ'~ In х, ди = - -у- xVfi |П дх X ’ ду 2 U2 Z- 3068. == tfx'S2-1, = zyt-'xU7 In г, ~ у’хУг In х In ул vA (/<У OZ 3069. 2/5, 1/5. 3070. 0, 1/4. 3071. ^ = 2(2x + |/f v4,(i + |n (2x + i/)l. ^=(2х + .!/Р^(1 + 1п(2х + у)|. 3q72/• _ 3 . Inx^ дг _ 3 In x / , ln x\a "dx xlni/\ 4ii yi ’ dy у In-у V "rln y) * 3073. g = z,^" (I 4-n.vy cos nxy), J = xe?in (1 4- nxy cos nxy). 3074. - 2x * ~ л'~ ~У +t/2 _ o(, — x-— y^— V x-у1 дх “ (14-/x24-H’ ду " (14-V ж-+ £/-)“ ’ 30^5 $Z — у J Гк '} дг _ V *’ * 3 3‘ дх ~~ 2л- (1 — л<0 ’ ду^ 2(1 4-^-4 307о. * =------!1 , д: ______________к дх (1 4-1' ху) 1 ху — xV ду (14- yrxy) fxy—х1ул 3077 дг = V’ + 2x'J = ^ + 2лу их 1Л14-(l/Л’ ду /r+Ti^-f-z/xV' 3073. дг = - ‘,-1/J = - Л 1/ dx X- Г ху±х + у ду у- Г ху^х-^у М <x: + yz) 'l 4-arctg2 4-arctg d2 _ 4\l+arcta2 F)'+2arctg3 x I dy C^ + '/=) h-f-arctg»^ fl 4-arctg/0' da 4kx du ______________ dx ~ ’ dy GvJ-b//24"^ * du _ 3' 2?,- 2 (0 -1 } ди _ г(х-гу-1 ди <x^-yY In (x- г«8,-Лг= 1 + dy~ 1 + i.x-y)^' дг l + (-r-l/); 3082. ^ = </г (sin х)!»-1 cosx. = 2 (sin л^'In sin х, = IJ (sin X)'J‘ In sin X . du 3083. dx x du d:i _ &) _ dz _ 1 - у - 2 ”r(r--l)' wr=Vx4^+^.
3084 дх = ^xyi ~ yzv}tg3 <4=^х-у ~ x2v)tg3 а* = (2zv2 - xyv) tg3 a, — = (2?2y - xyz) tg3 a, где a = x2y--)-z2v3~ xyzv. 3085. 4. 3086. I = 36рЛ_Д-,, 41 = _?a-./'_ab дг \г~ь 2 V b2-a2' dt Lft 2 \ b2- t-a t-a 3087. 1 и —1. 3088. ^2/2. 3089. 3/2. 3090. —13/22, 3091. 45°. 3092. 30*. 3093. arctg i-. 3094. dxz= (y3—6xy2) dx, dIJz=(3xy2 3095. . y l-6x2y + 8y3)dy. dx2 = -^, dtJZ=-^=. \x2 + y2 /x24-t/2 a ._y(y2 — x2)dx , x(x2 — y2)dy X (x2+y2)2 ’ (x2 + y2)2 • «ню? л 3x2dx , 6y2dy . З22 dz х x34-2i/3 —z3’ у “ x3-j-2y3—23’ x34~2yJ — z*' 3098. 1/270. 3099. ^0,0187. 3100. 97/600. 3101. ху[(2у3-3ху2-^4х2у) dx-\~(4y2x— Зух2-\~2х3) dy], 3102. 3096. (^+</2)2 ' &y2dy 3105. 3107. 3109. 3113. «= xdx + ydy 3Jog 2 (xdy—ydx) giQ4 ydx — xdy *2 + У2 ' ’ (x-y)2 • ’ ууу2~х2 ' (X dy+y dx) cos {xy). 3106. -JyL 4- . 4xy{xdy—ydx) xdy+ydx (X2-?/2)2 • • \+х*у* • (yzdx-]-zx In xdy-f-xy In x dz). 3110. 0,08. 3111. 0,25e. 3112. 1/36. 7,5. 3114. «=0,005. 3115. «=1,08. 3116. 5. 3117. 1,8+ 0,2. 6RB sin С &rC sin В 3118. 4730 ± 100. 3119. 26а+ ъ' • /в~1 /Т + , 7Т 3120- В°3Ра- а 1 sin В sm (В ~Н С) 1 sin С sin (В 4-С) стает со скоростью 444 см2/с. 3121. На ^2575 см3. 3123. dr=~ds + (-£ — ~^dp=0,\6 см, т. е. около 1 %. 3124. ?,nZ-2'’(cos/—б/2). 3125. sin 2/ + 2е‘2/+е/(sin/+ cos/). 3—12/2 3126. -^х. /1-(3/-4/3)2 3127. ч- =Зи3 sin v cos v (cos о— sin v),^- —и3 (sin у+cos v) (1 —3 sin vcoe v). du du fjy it 3u2 3,28-£=251п(3“-2у)+^Чз^27)’ 2«2 2u2 ди ~ ~ IX n (3 2 } V2 (3u - 2u) • q Ou _ ex du __ eXJ^-3ex3x2 3U di “ ех-\-еУ *’ dx + ’ ШП dz - 3131. . * dx 14- x2e2x ' dx 14- 3132. = 4-----------U W (3* + F } 3133, S = Sin Л
3135. Лх* + у*)/(ху) [(у4—х*+2ху3) хdy+(x*—у4+2х3у) ydx], ^ = — 2Уд^+хеХУ^ (и = х--у3, о=ехУ1 уеху_уех_еу • хеУ+е*-хе*У' у 2х + ехУ—cos ху Х2У2 *2х%+уе«У^, ^- = дх ди 1 я dv1 ду Зх2у—у^ б х (у2—2х2) Зху2—х3 * ‘ у(2у2~х2) 3148. ? (**£^ 7а2- 3149. у 2(х3+у2) + а2 3150. — тХ-. 3151. -г-^—. г х 1—ху 3154.-Ц-. 3155. у— 1 X2 1п у— 1 3157.^1 =4 Jy dx |x = g 3 • dx y = 2 3161. ~ сЧ dx 3162. & 3136. 3145. х 3152. cos ху—ех^ — х °2 315о 2У (х-Ьу)2‘ 3 X = 6 У =8 _____dz ______с2у aPz ' ду — — b2z * __2 — х дг __ 2у " дх “ z+1 ’ ду “ г+1 * 3163. 3 ’ 3158. — 1 — — — vz dz — — xz dx~~ xy+z2' dy^ xy-{-z2 dz _ z dz _ z dx~ x(z — \)' dy~y(z — \)' dz=_™.2xdx+sin?ydy 3168. sin 2z 2=3xy-& 3170. z=k arctg У-. 3171. dz=X-^-^ 2 x z z 3172. d2^ + y-^-. $m. dz=Vz(xdx-ydy). 3174. 2(xdx+ydy). 3175. 2(xdx+ydy). 3176. дг=ега [(ycosy—и sin y) dx-\-(u cosu+u sin y) dy], 3!85 d2z = 2x2+ ^2 d*z = x2 + 2y2 d'2z xy дх2 рлх2+£/а’ dy2 P<x2 + y2’ дхду Уx2~\-у2 3164. 3167. 3169. Х2 — у2 г~ 4 3186 д2г - х д2гx3-f-(x3-y3)-f/x3+y2 дх2 (х3 + у3)*2' ду2 {х3+у2)3/2 (х+У^+у~2)2 ‘ д2г у дх ду зт- £ 3,8S- S (х’-+г/2)3/а ‘ 2х д-z _ = “(1+%2)2 > d2z = 2а- cos 2 (ах + by), - 1У о (1-1-у2)2’ дхду = 2b2 cos 2 (ax-(-by)l —= 2ab cos 2 (ах + bу). art)// Л2 и 3189. g = ^+2^, ~ = х(1+х^)Х + ^ 5^=<1+^г а-г 4у да-г 4х Э2г _2(х—у). 3190' дх2=~(7+ур' <&-(х+у)3' дхду (х + у)3 ’ Э"-г lny(lny+l) tnxinj, № ==lnx(lnx-l)ginxinB 8,9L^ =------’ ду2 У2 d‘-z ___In х In у + 1 gla х In у * дх ду ~ ху
д*2 ху3 1 qi go &Z — Xy3 d2* — *3V —____________ dx2 У\1 — x2//2)^’ dy2 У (1 — x*y2)3- * dxdy 1^(1— x2y*j* 3193. —r— ------. 3194. 2/(2 4-x/)exy2. /(x2+/+z2-2xz)3 3195. 3196. — x (2 sin xy+xy cos xy). 3197. (x2y2z2+3xyz+l)ex^. 3198. mn(n — l) (n—2)p(p — l)xm~1yn~3zP-2. 3204. a= —3. df df d»f /df\3 дх ду дх ду ду2 \dx) 3209. dx* 3219. —2у dx*$ (у — х) dx dy2х dy*, 322L (Зх2 - j/2) dx2 + 8xy dx dy + (3y2 - x2) dy* (*2 + */2)3 д1 дх д1 ду 5, 3220. — (dx-dy)*/(x-y)* в1 оу дхду &f_ Of_ дх d*f дх* &*f . дхду ду* 3222. 2sin2ydxdy+2xcos2ydy3. 3223. e*y[(ydx+xdy)3+2dxdy], 3224. 2 {z dx dy-]-y dx dz-]-x dy dz). 3225. — cos (2x + y) (2 dx 4- dy)3-, (2 dx + dy)3-, 0. 3226. — sin (x+у+z) {dx+dy+dz)3, с4 Г/ x2 . z2 \ dx2 , 2xy , . , /у2 , z2 \ dy3l 3228 _ [*У3 dx2 + {x2y3 + 2xyz2 — z4) dx dy+x3y dy2] (z/i—xy)3 3229. —31,5 dx24-206 dxdy — 306dy3. 3230. ^+У. 3231. ff'—5/4-0. >32. ^ + ay. 3233. 0-х». 3234. 3237. 2p 2~PP'-Zl7P-. 3238. — (p'2-f-p2)3/2 dv Q239 4- -J- J- -L dpi + p2d<p2+ p dp ’ 3240. w"(p)4- — <o'(p)4-ta(p), 3241. • p 3235. — Ц2", 3236. ^-=p. -4Й+2- du* 1 О К главе XI 3242. x2 4- 2y3 — xy 4- h (3x2 — y) 4- k (6/ — x) 4- Зхй2—hk 4- ^yk3 4- h3 4- 2W. 3243. Дг=15Л2—6AA-|-fe24-h3. 3244. Дг = — 2/i 4- 7Л—4Л2 4- 4ЛЙ 4- 2fe2 — 2h3 — h2k 4- 5 1 11 4j/rti4y^-'i1Hy№4-|W; /0.02; 2,03)2.1720. 8245. Ax?+By2-\-Cz3-\-Dxg-\-Eyz+Fzx+ + (2Ax-]-Dg+Ff)h-l-{2By+Dx+Ez) k + (2Cz+Ey+Fx) 1+ + Ah3-)-Bk3-]-CP+Dhk+Ekl+Fhl,
3246-4-4b/+^--f)- 1 ~ Т [?' - ¥) ~ 2 (х - т) (У - -J) + (у - г)2] - - -g [cos g cos Л - y)3+3 sin g cos n (x - (y _ ” ) 4. + 3cos g sin n (x — ^-) — t) ~bs,n £C0S11 (и ~ ~/j. 3247. 2= l-j-(.v-l)4-(x— 0(0—l)4~(x-l)2(y—...; 2l^l,l02t. 3248. ex [sin у -J- h sin у -j- k cos у + | sin у + 2hk cos y~& sin y) 4- + 4 </;1sin^ + 3/'2fecos0-3Wsiny-Z!3cos0)J + ...; ?!=»!, 1051. 3249. y-^xyJ- ,[ x-y - ? + 3250. у -f- 1 (2,ry - (/S) -j- . (Зл-2^ - 3x02 + 2y<) +... 3251. 14- (x 4- f/) j- ... j_ £' ’ 1~ Уп+1+ X — tf 3252*. x — у — o (x3 — yft -{- 4- (x5. — (/5) — ... J-u □ (—1)” 2/z 1 (х2л+1_^2л+1) Заметить, что arctg -v ~ У TTZ7. = arctg X—arctg y. 1 Г лу I 1 9 3257. z = 1 4-(x- 1)+ 4 0/—l)__(r_ +-(^-l)2+... 3259. (0, 0), (—5/3, 0). (—I, 2), (—1, —2). 3260. (1/2, —1). 3261. (0, 0), (0, a), (a, 0), (£7/3, aft). 3262. (0, 0) (0, 2b), (a, b), (2a, 0), (2a, 2b). 3263. (л/6, л/6). 3264. (b/a, c/a). 3265. (—2/3, —2/3). 3266. (2, 1, 7). 3267. (6, 4, 10). 3268. А и С — максимумы, В —минимум; в окрестности D поверхность имеег вид седла, вдоль EF функция сохраняет постоянное значение. 3269. (—2, 0), (16/7, 0), каждая точка будет стационарной для одной из ветвей функции. 3270. (1, 1), (—1, —1). 3271*. (0, 0). Чтобы убедиться, что найденная точка есть точка максимума, достаточно представить функцию в виде z=10 — — (х — п)—2x2 — у2г 3272. (2, —2). 3273. (—1, 1). 3277. В точке (6, 4)— максимум/ 3278. В точке (0,0) нет экстремума. В точке (1, 1) —минимум. 3279. Наибольшие и наименьшие значения лежат на границе области; наибольшее значение z = 4 в точках (2, 0) и (—2, 0); наименьшее значение 2= —4 в точках (0, 2) и (0, —2). Стационарная точка (0, 0) не дает экстремума. 3280. Наибольшее значение 2=17 в точке (I, 2); наименьшее значение г— — 3 в точке (1, 0); стационарная точка (—4, 6) лежит вне заданной области. 3281. Наибольшее значение 2=4 в стационарной точке (2, 1) (эта точка
является, таким образом, точкой максимума). Наименьшее значение 2 = —64 в точке (4, 2) —на границе. 3282, Наименьшее значение функции г = 0 в точке (0, 0). Наибольшее значение г=3/а в точках (0, ± 1). 3283. гНяиб в = 3/3/2 в точке (л/3, л/3) (максимум), гнанм=0 в точке (0, 0) (на границе). 3284. Все слагаемые равны между собой. 3285. Все множители равны между п собой. 3286. (8/5, 16/5). 3287. - + t ~ =3. 3288. х= » = ' ' а b с п ?у‘ 3289. (3, /39. 0); (3. -/39, 0). 3290. Куб. 3291. В точке (1, 1) минимум, 2 = 2. 3292. (а, а) или (—а, — а), z = a2 (максимум), (а, —а) или (—а, а), z=—а2 (минимум), 3293. (—аУ'2, —afr2)t г— —У2/а (минимум), (а У2, аУ2), г — У2/а (максимум). 3294. Стационарные точки х = = — у Arctg r/=i-Arctgy. 3295. (3, 3, 3), и=9 (минимум). 3296. Две из переменных равны каждая 2, третья равна 1 (минимум, равный 4); две из переменных равны каждая 4/3, третья равна 7/3 (максимум, равный 112/27). •Хт 4“ Xq 4“ • • • Хп 3297*, Исследовать на минимум функцию -------------- при jq + xi-f-... ,..4-хЛ = Л, Вообще справедливо соотношение ——^(==— , если k^l и л \ п / х^О. оллл а^с ас 3299. «мИн = “}—;--:—г при х = -г—;-----;—г, У —-т—;----;— мин bc-\-ca-\-ab к bc^ca^ab ’ * Ьс-]-ас-{-аЬ 9 t==-b7+abc + ab- 330°- “н»и« = 1’ и«««»= ~1/2- 330L <21/13> 21 63/26)> 3302. (3, —1, 1). 3303. а) (—2, 0, 0); б) (2, 0, 0). 3304. Куб. 3305. Куб, 3306. 3307. Если R — радиус основания палатки, Я —высота цилинд- рической части, А—высота конической верхушки, то должны иметь место следующие соотношения: R — h. 1^5/2, M = h/2. 3308. Если / — боковая сторона трапеции, Ь — основание и а—угол наклона боковой стороны, то должны иметь место следующие соотношения: / = 6=2рлЛ/|/г33, а = л/3, гдеЛ —данная площадь сечения. При этом омываемая поверхность tz =2 |/3 • ^Л 2,632 }^Л. 3309. Куб. 3310. Стороны основания равны каждая 2a4-j/2a, высота вдвое меньше: j/2v. 3311. а3 (куб). 3312. Наименьшая площадь равна ЗУЗаЬ. 3313. (4//5, 3//5) и (-4/^5, — 3//5). 3314. (—5/9, -1/9). 3315. (3, 5). 3316. zHaij(j = 2. 3317. Стороны треугольника >^25, У28 и2/$. 3318. Bbtcoia /7/3, стороны основания 2а У2/3 и 26^2/3, объем У = 8пЬ///27. 3319. Тетраэдр. 3320, Нормаль к эллипсу в искомой точке должна быть перпендикулярна к линии, соединяющей данные точки. 3321. Нормаль провести в точке с координатами, (zt а1^а/(ц4~Ь), 2L b У ЬЦа^Ь)). 3322. (9, 1/8, 3/8); (-9. —1/8, -3/8). 3323. 2 /2. 3324. х + </=2; у=х. 3325. х-у+а=0; x+y-3a=Q. 3326. х-|-2у-1=0; 2x-i/-2=0. 3327. х-у+2=0\ x-f-y — — 2 = 0. 3328. (О, 0). 3329. (0, 0). 3330. (0, 0). 3331. (а, 0). 3332. (0, а). (0, — а), (а, 0), (—а, 0). 3333. (2, 0), (-2, 0). 3334. (0, 3), (-3, 0), (-6. 3). 3335. (0, 6)—двойная точка. 3336. (0, 0) —изолированная точка. 3337. (0, 0) —
точка прекращения. 3338. &л, k — 0t 1, 2, —точки возврата. 3339. (а, 0) — точка возврата. 3340. (0, 0). 3341. х = —/'(n), y — f (a) — af' (а); = ж arcsin * + + /1 - х2. 3342. 16i/:,+27x4 = 0. 3343. z/2 = 4ax. 3344. y=xft и t/= —x/2. 3345. y = — x4/4. 3346. y = 0 и 16r/ = x4. 3347. у — х n # = x —4/27. Первая — 2 геометрическое место особых точек, вторая —огибающая. 3348. и i/W. 3349. x2/34-z/2/3 = d2/3. 3350. Четыре прямые xrfc У = ± /?. 3351. 2Ьу (х24-у2) + л2 = 0. 3352. Парабола Ух -\-Уу —Уа. 3353. Циклоида * -^-(/—sin/), №’2 cos/). 3354. Эллипс х24--^- = /?2. 3355. Гипербола ху = ^ . 3357. Эволюта параболы у2 — (х — р)3. 3359. Гиперболы dr d . г 1 / dr \2 d2r ху=1/2 и ху= — 1/2. 3361. а) 2г -Г-=2 | г ; ; б) Тг^-; в) гх X"S: г) (r’~dT S)- 3362- Из равенства ^-=а(0г следует -^ = — ~ЛГ г + а 4?' ~ \'~Jr+ а2} г = 3 (0 г и т- д- 3363, Дифференцируя равенство Gl CW у СИ / r2 = const (см. задачу 3361), получаем г-^- = 0. Касательная к сферической линии (т. е. к линии, расположенной на сфере) перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания. Обратная теорема также имеет место. dr dr ’ d*r ~ d2r . dr 3368. —;— “ “v" (p , , — ~i~~r Ф “ 4" j — ф » dx du Y dx- du2 T du T d3r d3r f d2r , „ dr 3370. Из равенства a где G <т <^2» следует, что на замкну- той (в силу равенства г (/£) = /* (/2)) линии найдется точка, в которой касательная перпендикулярна к любому наперед заданному направлению. 3371. Годограф скорости ‘Dlacos/, a sin /, 2b/} —винтовая линия; годограф ускорения w{— л sin/, я cos г, 2b} — окружность. 3372. Скалярное умножение на а и на г дает а^- = 0, r~~~ = Q, Отсюда ar = const — уравнение плоскости и г2 = const — уравнение шара. Искомая траектория — окружность, плоскость которой перпендикулярна вектору а. 3374. Эллипс. Скорость будет максимальной в момент, когда материальная точка будет в конце малой полуоси, и минимальной, когда точка будет в конце большой полуоси. Ускорение будет максимальным (минимальным) в момент, когда скорость будет минимальной (максимальной). 3375. Компоненты скорости ; р ; psinep^-. Указание. Найти скалярные произведения - - ё»р; — е$. t* Р _ /2 Х—*4 У~ 3 2 2 i6 t* t2 3376. —^- = —ГА-=—1—; ^+/у4-г=т + т4-т. x-fi/2/2 у-а^2/2 Z-k/8 — aV 2 ay 2 kjii k ki . _ х _1_ и J-— Z ------7^ . ла/2 8па/2
3378. х—6а= g - = - ; x-f-6y-|-36z=2706o. 3379. 5.-”/2,+1 = = г~2 ; х+у + /2г=-£ 4-4. 1 I /2 2 3380. = = 12х — 4// + Зг- 12 =0. 14 4 о 3381. ^t? = ^zl = £z±; 27х+28{/4-4г + 2=0. 3382 х~Хв = У — У^ = г~. Х + У । _г_ = 2. ?О ?0 I/O + х0 ’ Xo + i/o Z0 зз83 - У—У" = г~го . х —хо , у —У» _ г—гр =п . 1/523 Х§г3 — Х^’ 4 Уз г’ _1' —t 3384. r0{/3/2, 1/2, ея/С}. 3385. 6х —8У — г-(-3=0; = ^—=. 2—1 X— 1 _/7— 1 _ 2— 1 c"=4"’ “ЗГ" =“26 ^=22 ’ 0о0л лГй t \ t \ П Х— У— Уъ %— . Х—Xq 3386. \Гь (х-х0) -/а (у-у9) - 0; - Q , - U—Uq 2— 2р /26^ — (а + &) ’ 3387. --х-еу-/2г 4-2=0; = у-^^- --- г~^2 • = е —1/е е /2 1 у-1/е г-/2 I — /2 sh 1 ’ 3389.^ = -^ = -^!-; 2x-y+3z-5 = 0; AZ± = _^ = £ZZ*. -- 1 О О О Зк+Зу-г-2=О; .£=1 =-JL. =-Lil; 8х -1 ly-9z+1 =0. оолл У— 1 2~ * л У— 1 « 3390. _= -Q- =-^-=—; г-1, *.— 1 У— 1 г~ • I о л ! — [ — о ; х+у 2—°- 3391. х~^2/2 = у~ /2'х-/2у+4г = 4; /2 -Г2 4 Х-/2/2 =у-/2/2 =г-1_ |/2д. + 3/2у+2-5=О, /2 3/2 1 ~ ~132/~ = У~-3~ = ^V2 ’ -13x + 3^ + 4^2z + ^2=0. 3392. ; 2х + 3у + 6г = 37; £±2-=-^Zll3-= ; X О О О л —<5 6х + 2</— Зг = 20; £±1 = = £.; Зх-6у + 2г=-81. 3393. Для любой точки линии уравнение соприкасающейся плоскости Зх —21/—11=0, т. е. линия целиком лежит в этой плоскости. 3394. Соприкасающаяся плоскость одна и га же для всех точек линии. Бе уравнение х у z йд flg b^ Hi fla bj b3 ^2 Св 10*
3395. ch2 Z/sh t. 3396. R = /2 cosec 2f. 3398 b-l/’(?/2"-2V')2 + /2 + z"2 ,,„9 T r* ft r'yr’ yr, (Г+у'Ч-^------------• 3399-^=—’ P1=7r'x-Fp Vi = • 3400. Tj = Vi x Pb Vi = 01X TX; 0X = rx X vx. 3401. Искомый вектор о (если он существует) можно представить в виде ® = (wt1)T1 + (a>v1)v1 + (a>0i)0i. (1) Из условия задачи следует (принимая во внимание формулы Френе), что <dXTl = A?V|, (oxv^ — ATi + ТРр (oxPi==—Zvp (2) Умножая эти равенства скалярно на Vi, 0lt rt соответственно, найдем, что <дт1 = Т, <dv1 = 0, и, следовательно, <0 = 741+/фр Подстановка в фор- мулы (2) показывает, что этот вектор удовлетворяет условию задачи. 3402. 99J- In 10 101,43. 3403. a In (1 + /2) = a In tg . 3404. ]/з (е> - 1). 3405. 5. 3406. 4а. 3407. 2/2. 3408. a In 3409. £ (1 + 1 ]пз7 /2а-/х 2 \ 2 / 3410. 8.r-8z/-2 = 4; = = . 34ц. х+у_г-\=0; -~ = = ~Ц^=-^ГГ- 3412- 2+а=0- х=а‘ У=а- 3413. 17х+ 11//+5г = 60; *_3 — У._4_ ^ + 7 од,* н-1-22 11_О’ Х ’ 1 2 л^2 -17---И-------g-. 3414. x-y+2z-2-0, -j- _ — = ,.,ч х У । 2 i/о ( а/3\ J */3\ ( < 1<3\ 34’5- 'а + б+т=/3: а(х—Н=т--------з~Гс\г-----3~Г 3416. х+11у + 52-18 = 0; =-£±1. 3417. Зх — 2у —2z+ 1 =0; . 3418. 2х + 0+ 112-25 = 0; =-Lid = 3419. 5x + 4t/+z-28 = 0; i2 = £-2 = 1 * ‘ 5 4 1 И X— 3421. 3422. x-»-r/ + z = /^4-b2T^ 3424. Все плоскости проходят через начало координат. 3425. Хпх+уоу + гаг=а?; = = Xq Уо Zq o.9ft ХХо УУп 9Г,Д~Ъ а(х — ха) Ь (у — у0)_ _ 2 — 2п_ 342в- ~ 1^ 2 (г+го)’ Ьх0 - щ -2аь • 3428. уА 3430. 2х+,0 —г=2. 3434. 4х— 2у—3г=3. 3435. Параллельна плоскости хОу в точках (0, 3# 3) и (0, 3, —7); параллельна плоскости yQz в точках (5, 3, —2) и (—5, 3, —2); параллельна плоскости xOz в точках (0, —2, —2) и (0, 8, —2). 3436. а) бно^о* — 3 (н0 + Оо) У + 2z + («о + уо) (мо — 4^0+^5) = Ф б) 3 (а^ — уо) х — Зхо (у + f/o) + 2z + 4z0 = 0. 3437. 2г(х2-’Г!/2 + г2) + р(х2 + г/а) = 0. 3438. (х2 + г/24-г2)3 = 27а3х^ 3439. 1) {—2, 1}; 2) {Юху—3<Л 5х2 — 9ху2 + 4^}.
3440. t) 6Z+V; 2) | (27+7); 3) ° *0 "Г *Л) 3441. 1) tg<p*« 0,342, ф^18°52'; 2) tg ф 4,87, ф^78°24\ 3442. Отрицательная полуось у. 3443. 1) cosas5s0,99, а —8°; 2) cos а — 0,199, 10Р30'. 3444. 1) (—1/3, 3/4), (7/3, —3/4); 2) точки» лежащие на окружности ^ + ^ = 2/3. 3447. 1) {Зл-^0!20, 2xJj/o20, xJi/5}; 2) / +JJ'^2^=- = , где г—радиус- МЧиЧг’ |г[ вектор. 3450. I) 2г; 2) 3) 2F'(г-) г; 4) a (br) + b (аг); 5) a y b. 3451. 1) 0; 2) У2/2; 3) — |<5; 4) (cos а + sin а)/2. 3452. К2/3. 3453. 1/2. 3455. 1) 5; 2) 98/13. 3455. —22, 3459. \/г-. К главе ХП 3460. Л1 = Ц у (х, у) da. 3461. Е = т (х, у) da. 'Ь 'D 2462. Т = 2- со°- j J у^у (х, у) da. D 3463. Q = (1г — /х) с (х, у) у (х, у) da. D 3464. Л1 = (((у(х, у, z)dv. 3465. Z? = Jjjj6(x, у, г) du. JS2 if 3466. 8л (5 - /2) < / < 8л (5 + /2). 3467. 36л < / < 10Оя. 3468. 2 < / < 8. 3469. —8 < I < 2/3. 3470. О < 7 < 61. 3471. 4 <7 < 36. 3472. 4 </<8(5-2 К2). 3473. 4л < 7 < 22л. 3474. О < I < у л₽?. 3475. 24 < 7 < 72. 3476. 28л/3<7 <52л/3 . 3477.1. 3478. (е—1)2. 3479. л/12. 4 9 -I - 1'Л9 3480. In ’ . 3481. In- d 3482. л-2. 3483. 2. 3484. — л/16. 3 14-уз 5 (Зл + 4)/2 2 2 — х 3485. Ux $ f(x,y)dy. 3486. dx $ f(x,y)dy. 3 <Зх-Н)/2 О О 1 У 1—х* 1 1— х 3487. jdx j f (х, у) dy. 3488. \dx $ f (x, у) dy* oo b x — l V2 4 — x2 2 3V4-’xV2 3489. ( dx ( f(xt y) dy. 3490. \ dx ( f (x, y)dy. — Vi 4 3+/4x—x* 1 3491. /(x, y)dy. 3492. jdx J /(x, y)dy. b 4— Уг'\х — х‘ 0 xi 2 2x 3 6—x 3493. ( dx j f (x, y) dy + \dx J f (*» y) dy. Ox i x
1/3 х + 3 2/3 %4-3 5/3 5 — 2х 3494, f dx f l(x>y)dy+\dx ( / (x, y)dy+\dx ( f(xiy)dy. -2/3 1 - 2x 1/3 x 2/3 x 1 '2x 2 2/x 3495, ( dx f f (x, y) dy+\dx f f (x, y) dy. i! x/2 1 x/2 2 ‘2x 9/2 2 /2x 3496, dx \ f (x, y} dy + J dx f (x, y) dy + b — 2V2x 2 — 2/2x 8 21 -4x + j dx J I (x, y) dy. ____ № -2^2x — 2 Vb — x* 3497. J dx If f(x, y)dy+ — з __ у у _X2 __ ________________________ 2 Vi+x* 3 >z9 — Xй + j dx j_______/ (x, y) dy+ f dx j [(x, y) dy. ~2 — -/I 4- xz__ * — Vt^xi 1 X 1 Vl-y* 3498, { dx j / (x, y) dy. 3499. ( dy \ f (x, y) dx. 0x2 0 — г у vy V4~ 2z/2 3500. (dy ( f(x, y)dx. 3501. dy f (x, y) dx. о r_/г7—— /2 —/4 —2r/« 3 у 4 2 3502. f dy (f(xt y)dx + \dy f f (x, y) dx. Л 1 2 y/2 4 y/2 6 b-y 3503. dy | f (x, y) dx+j dy j f (x, y) dx. I 2—i/ 1 3-2y 3504, 1) \dy / (x, y) dx\ 2) t dy f (x, y) dx- о у о /у 1 2-/2^-^ 3) \dy \ f{x, y)dx. о 3/2 2 2y 4 (J/+6J/2 2505, 1) jdyj /(X, y}dx+\dy J / (x, y) dx; о y/2 2 2y — 3 3 (9— y}/2 3 1 +/ЗН-2Л— 2) \ dy *{ f (x, y) dx; 3) ( dx j f (x, y) dy; I (y + b/2 -1 0 (1 3+1/T^P 2 2+V2y-y^ 4) \dy J /(x, y)dx+{ dy f(x, y)dx. b 1 — у I _ ty2 Jj 2—V2y—y* 3506. 1)|^3/'2; 2) 9; 3) 1/2. 3507. 0. 3508. 33/140. 3509. 9/4. 3510. —2. 9 3511. л/6. 3512. 4/135. 3513. 4 . 3514 . 3. 3515. 12 4 . 3516. 2R/3. 3517. 6. □ 3521. 2^-5. 3518. 3522. a^(a + Z> + c)/2. 3519. a«/48. 3520. 1 2 In 2-A), 3523. 1/180. 3524. ^/16—1/2. ан/l io.
•др д (b ms dg Л. ‘<Ь 803 Ф / \ \ € /I = / d>Ulsd)gSO3 pyt 1С ~ !b uis dgyf = /? ‘b sod d=x ’CfrSS •(Jpdfbmsdg *bsod cfc)/ J bp J 9 = / :b ms dg = 4bsoDd^=x *^gg 1 •g/su -ofrse (£ — “) £ '6£ \ t / va W* *8€Se ‘8/(2— >*)w ’2ES£ ’L-tf —Uy+l)ui(o2/ + l)J ц '9£Se 0 0 •d>p(d>30/ I -esse чМ(г<>)Д Z ‘HSS •’ EQ v u Ь *PJB U Ф ins z % 9/if •dp d (<b uis d »b sod d) / \ bp ’gggg л urs 7,hr Q Q •dp d (b uis d ‘b sod d) у bp ’ZESS у с/и 9 ° •dp d (d> uis d ‘b sod d) / Ij (bp ’JCSC dbg uis v i)u 0 t/ii — •dp d (db uis d ‘db sod d) / (bp *oggg Ъг SODyl }'/!£ a/K — db) oas gyt Q •dp d (<b uis d ‘b sod d) / j dbp ‘6ZS£ S C/if Q 9 *dp d (db uis d ‘db sod d) / j bp -gggg Л DBS — JupJB •<%?d(bup d’(Ьюэб)/ J bp j + d) SOD V l/U + dp d (b uis d ‘db sod d) / § bp ^ggg (buisQ Q • —- $pj₽ D * SOD V \/У •dp d (b ins d ‘b sod d) / bp ’9ZSC dbSODg giJ}DJE •dp d (b uis d »b sod d) / j bp | (g (bins q W 0 — idp d (b uis d ‘b sod d) / j bp (z d) SOD P g/v *.dp d (b ms d ‘b sod d) / Jbp (1 ’gzse H Kt rainnio
nJ 3 3544. х = орсозф, // = 6psincp; /—ab dcp^* f (^/4 — pi) p dp. b i 3545. aW;3. 3546. 1/j'6. I n/3 /? 3547. dz d(p\ f (p cos ф, p sin ф, 2) p dp. 6 л/1 b л/2 2cmrp p- 3548. \ dcp p dp / (p cos ф, p sin cp, 2) dz. — n/2 6 n л/2 л;2 /? 3549. | sin 9 dfi Лр \ / (p cos (p sin 6, p sin <p sin 9, pcos0)p2dp. b b b 3550. Л/l /?+cos2<p —p- \ d<p p dp \ f (p cos cp, p sin ф, 2) dz. — л/1 0 _ t R> _ 0“. 2л Я /3/2 VR> - p-3551. d(p f pdp d 0 Я - /Я3 - p3 f (p cos ф, p sin ф, z) dz 2л л/З R или ^ф ( sin 9 с1в \ f (p cos ф sin 9, p sin ф sin 9, p cos 6) p2 dp + 6 0 d 2л л/2 2R с си О J- f dtp V sin 6 d6 ( /(рсозфыпО, p sin ф sin 0, p cos 9) p2 dp. b л/з 6 3552. лп/2. 3553. 8a2/9. 3554. 4HRj15. 3555. л/8. 3556. 4л (R5 — л5)/15. I 1/J _ 1 r. I 9 3557. 2л/3. 3558. л 3/10 + In ---------------/2 -8 3559. 186 . . | 10 —3 Т з 3560. + --V 3561. айс/6. 3562. 12. 3563. 1/6. 3561. 78 'v. и \ р q / о2 3565. t8 С 6. 3566. 16. 3567. 45. 3563. 13 ' . 3569. 16 . 3570. ar* I 5 .3 □ \ 4 о/ 16 4 4R5 3571.22л. 3572. ', R3. 3573. ]9 \ . 3574. -4+г. 3575.27. 3576.3/8. 3 21 loo2 / 2г14-1 \ 3577. 88/105. 3578. abc/3. 3579. 3580. 2 ^-----3581. Зе —8. 3582*. 4е — е2— 1. Тело симметрично относительно плоскости у = х. 3583. 2(л2-35/9). 3584. 1/45. 3585. 16/9. 3586. л/4. 3587. 40л. 3588. 2л. 3589. 5лЯ3/2. 3590. Зло3 2. 3591. 4а3 3592. а3/24. 3593. -1 ( 31-+ 1V о \ 2 о / о \ о / 3594. 3595. я/2/24. 3596. n*R*!i/46. 3597. 1/2. 3598. 2. 2 \ 2 / 3599. ла&. 3600. аЬ/6. 3601. 16/3. 3602*. 5ла-’/8. Перейти к координатам. 3603. Зя/4. 3604. 2а*. 3605. 2/3 . 3606. 1/60. 3607. 1/1260. 39л 3608*. 1) 2) “25"’ Воспользоваться результатом задачи 3541. 3609. 8. полярным 3610. 7/12. 3611. 3/35. 3612. 4 - (4 — 3 In 3). 3613*. л/2. Проекция тела на плоскость Оху есть круг. 3614. л/8. Перенести начало координат в точку (1/2, 1/2, 0). 3615*. 19л/6 и 15л/2. Перейти к цилиндрическим координатам. 3616. 5л/?3/12. 3617. л/96. 3618. 92л/?3/75. 3619*. ла3/3. Перейти к сферическим координатам, 3620. а3/360, 3621. 4ла3/12. 3622. 4ла3/3, 3623. 64ло3/105.
3624. nW. 2625. 21 (2-/2) л/4. 3626. 14. 3627. 36. 3628. 8л. 3629. 2 р/2лр2. 3630*. 2л/?2. Проектировать поверхность на плоскость Оуг, 3631. 8V‘2ab. 3632. -16-(|/8-1). О 3633. ~{(14-/?2)ЗЛ’-1}- 3624. ^-(/8-1). 3635. 4ла (а-/а2-Я2). 3636. 2/?г (л —2). 3637. 2Я2(л4-4—4/2). 3638. £ |з/2-/3-^у-1п2+/2 1п(/3'+/2)}. 3639. 2a2/sin2a. 3640*. (/3 —/2) «=3,42 • 10е км2. Перейти к сферическим координатам. 3641. ”1блй2/3. 3642. 8Я2. 3643. ай2/2. 3644. 2Я3/3. 3645. л/?3. 3646. 9д3/4. 3647. Статический момент равен аА-/6. 3648. Центр масс лежит 4д на малой оси на расстоянии от большой оси (Ь —малая полуось). 3649. Е=(1-^(/24-1), т]=| 26’0, Це11тр масс . a 4 Sin 2 лежпт на биссектрисе угла а на расстоянии /?-------- от центра круга, о Ct . .. a 4 S№ 2 3651. Центр масс лежит на биссектрисе угла а на расстоянии R —— от центра круга. 3652. £ = 3л/16, Г] = 0. 3653. 5л/?4/4. 3654. 2а4/3. 3655. nab (д2 + 62)/4. 3656. ab (а2-\-Ь2)/\2. 3657. ah (a2-f- 12/i2)/48. 3658. Зл/?4/2. 3659. ah (2/i2/7 + n2/30). 3662*. Выбрать систему координат так, чюбы начало координат совпало с центром масс фигуры и одна из координатных осей была параллельной оси, относительно которой ищется момент инерции. 3663. a2bc/2, ab2c/2 и abc2/2. 3664. nR2H2j4. 3665. nate2/4. 3666. |=14/15, т| = 26/15, £ = 8/3. 3667. £ = 3a/8, v\ = 3b/S, t = 3668. £ = 6/5, т)=12/5, £ = 8/5. 3669. £=18/7, t) = 15 /6/16, £=12/7. 3670. i = 0, t) = 0, l = 5a (6 /34-5)/83. 3671. £=0, t] = 0, £ = ЗЯ (1 +cosa)/8. 3672. g = 0, ri = 0, t = 9o/20. 3673. £=Я/2, т]=Я/2, £=R/2. 3674.^=0, п = 0, ? = (55 + 9/3)/130. 3675. Af(fe2 + c2)/3, Al(c2 + a2)/3, Af(a2+fe2)/3 и M (a2 + b2 + c2)/12. 3676. 7МЯ2/5. 3677. Л4(624-с2)/5, Ж(с2 + а2)/5, Л4(а2 + 62)/5. 3678. Л4(Я2/4-|-Я2/3) н М (Я2 + ЗЯ2)/12. 3679. 2 М • 3680. 3*6 пЯ2Я (ЗЯ24-Я2). 3681. М (ф +1 нЛ . 3682. 55Мс*. 3683. Л4(Я2 + г2)/2. 3684. 4а2/3. 3685. 2яг (R—r). 3686. AyaF/i. 3687. 2я7(Я2—г2). 3688. ^у^-(ЗЯ2 + 2Я2). 3689*. г . Если за ось Ог принять ось конуса, а за начало коор- динат—его вершину, то уравнение конуса будет х2 + у2—32tg2a = 0. 3690. -|луЯ«. 3691. —-М8/3 —3692*. £=0, Я=0, ?=уЯ. Перейти 59 к цилиндрическим координатам. 3693. ^л/?5. См. указание к предыдущей задаче, 3694*. Выбрать систему координат так, чтобы начало координат
расстояние центра /= Л/sin а. (При прямоугольника.) 3700. a) -^-sina; б) -Asina. 3701. Центр давления лежит на большой оси 02 совпало с центром масс тела и одна из координатных осей была параллельна оси, относительно которой ищется момент инерции. 3695. kMmlcfl, где А4 —масса шара, а А— гравитационная постоянная. 3696*. Воспользоваться 17 kM результатом предыдущей задачи. 3697. А — гравитационная постоянная. 3699. Центр давления лежит на оси симметрии прямоугольника, перпендику* лярной к стороне а, на расстоянии 2А/3 от стороны, лежащей на поверхности. Во втором случае (сторона а расположена на глубине Л) 2АА + 3//2 давления от верхней стороны будет равно f где / > b центр 4 давления почти совпадает с центром \ Л ------------ 3 . — — - Ofuv« aj ~ ат а2 эллипса на расстоянии а 4-^ (a^-'h) 0Т веРхнег0 конца. 3702*. Выбрать систему координат так, чтобы одна из координатных плоскостей совпала с плоскостью пластинки и одна из осей—с линией пересечения поверхности жидкости с плоскостью пластинки. 3703. Расходится. 3704. 2л. 3705. -Д-. 3706. 4. a 3707. 2. 3708. 1/4 . 3709*. 2 Перейти к полярным координатам. 3710*. 1/2. Переменить порядок интегрирования. 3711*. 1/16. См. указание к предыдущей задаче. 3712. Сходится. 3713. Расходится. 3714. Сходится. 3715. Расходится. 3716. Нет. 3717. 8/15. 3718. л/16. 3719*. л/л; воспользоваться интегралом оо Пуассона j е~х~ с1х = Ул/2. 3720. Расходится. 3721. Сходится. 3722. Расхо-0 8 / 1 \ дится. 3723. -g-л/?31 InR —у к 3724*. л. (См. указание к задаче 3719.) 3725. л/4. 3726. ]Ах/2. 3727. 2лА/пу (R -(-// — Сила направлена по оси цилиндра, А—гравитационная постоянная. 3728. (/ — //), где /—образующая конуса. Сила направлена по оси конуса. 3729. а)а = 4ус — Зу0< Ь=~ (Ус — То); б) — 3730. Определена всюду, кроме х = 0. b (5а2+362 ,3 , М ,(a2 + &2)i + a6arctg а/* 1-3-5-...-(2л-3) л 2 • 4-6 •• (2л —2)2a2n~i (п>1)‘ 3735, 4 R - -3731. Зл. . „ 3733. 8а4 (I 3734. Продифференцировать по а и по Ь и результаты 3738. 3736 • 4iaft|3 • сложить. 3737. ln(l+a). 2740. 1). 1+/Г^ 4 In (1 + а). 3739. £ In (а + К 1 +а2). -^-In(l-Hn), если о ^0; — £ In (1 — а), если а^0. 3742. л!п-----у----. л arcsin а. 3744. л arcsin а. 3745. ]Атд. 3746*. У л (К& — Уа). Дифферен- 3741. 3743. цировать по а пли по Ь. 3747*. arctg — — arctg = arctg . Дифференцировать по b или по с, 3748. 3749*. л1п^-^. Дифференцировать по а или по Ь. 0 + С л/2 3750. ~Un (1 -Но), если а > 0; — In (1 —а), если а <0; I -^-U=|ln2( a Z J tg X I
3751*. In . Интегрировать по параметру п в 3752. Уп(Ь — а). оо cos х dx пределах от а до р( 3753. dx £1п£. 3756. 11пА 2 b па О о х 3757*. /= 1 £ L Е = lim £ —* О be = lim I е —* 0 J a£ f f J х J X е е заменяя f (х) ее наибольшим и наименьшим и переходим к пределу. Лл. последний интеграл. Оцениваем значениями в интервале (ае, де), 3758. In — . 3759. In-. 3760. -Lln|^4|. 3761. дМп —. 3762*. 4<пЗ. а а 2 I а - д | а 4 Представляя sin3x в виде разности синусов кратных дуг, сводим задачу к предыдущей (при соответствующем выборе а и Ь). 3763*. Для доказательства можно использовать два метода: 1) интегрирование по частям; 2) изменение порядка интегрирования в двойном интеграле, получающемся после подстановки интеграла вместо Ф (az). 3764*. См. указание к задаче 3763. 3765*. Воспользоваться вторым методом решения задачи 3763. При доказательстве вто-+ <» • рого соотношения необходимо исследовать интеграл 1 -П ах 003 Sln.e^ при | а) > 1 и [ а | 1. Для этого преобразовать выражение, стоящее в чис- -1-00 isin х , л . _ м —-—dx = 2 (интеграл Дирихле). 3767*. Подставить о в левую часть проверяемого равенства выражения для у' и if, получаемые дифференцированием интеграла у по параметру. Одно из полученных слагаемых проинтегрировать по частям. 3768*. См. указание к задаче 3767. 3769*. См. указание к задаче 3767. К главе XIII 3770. /5 In 2. 3771. 24. 3772. ^(5/5-1). 3773. 2ла*"Ч i о-.-., ab (а? + ab + №) 3774. —„ ;—-. 3775. 4паУ а. о (а + о) Ф« ______ 3776. J F (р cos ср, р sin ф) у р2 -f-P'2 ^ф. 3777*. ла2/2. Перейти к полярным координатам. 3778. 2азуг<2/3, 3779. i [(/?2+4)3/2-8]. 3780. 8ал3/2/3. 3781. Я</3/32. 3782. [(1 4-2л2)3/2 -1 ]. 3783. Л2 /2. 3784. у {(х’+1)3/2-(х=4-1)3/г}. 3785. бд. 8786. ^ + ^агскя8, гав е—эксцентриситет эллипса.
364 3787. ^2ла2+^^-^/а2+й< 3788 3799. (о, 2а/л, Ьл/2). 3790. ^£1 [(Зл2-1) (2л«+1)3/» +1]. „ 3791. /л. = /^=(а2/2+Л2/3)/4л2а2 + Л2( 1г =а2/4л2а*4-Л-, 3792. Зл/?3. 3793. лр2/4. 3794, ц/3, 3795, р2. 3796. ka 1" , где с = /а2—62; S = 2ka- при а=Ь. 3797. 98р2/81. 3798. 8R\ 3799. 4R*. 3800. 2/т/а. 3801. 8т//2/а. 3803. 2nmla/b2, где а и b — полуоси эллипса. 3804. 2пт//р. 3803. 2лт//?2/(Л2-|-/?2)3/2. При R^hy2. 3806. 3, 3807. ab/2, 3808. —56/15. 3809. 37-’ . 3810. 4л. 3811. 1) 1/3; 2) 1/12; 3) 17/30; 4) —1/20. 3812. Во всея четырех случаях интеграл равен 1. 3813. 0. 3814. —2лд£, 3815. —4а/3. 3816. лд2. 3817. Зл/?^₽/16. 3818. 13. 3819. 0. 3820. 3/3, 3821. —л/?3/4, 3822. №(x2+y-)dxdy. 3823. х) ^У dx dy, 3824. nR*/2. 3825. 1) 0; 2) —ла3/8. 3827. 1/3. 3836*. Применить формулу Грина к двусвязной области, ограниченной контуром L и какой-либо окружностью с центром в начале координат и не пересекающейся с контуром L. 3837. л, 3838. 8. 3839. 4. 3840. In . 3841. 3842. 10/3, 3843. 0. 3844. - 3845. и = = ^—j—+ С. 3846. п = (х2-«/г)г+С. _____ 3847. « = 1п!х+«/|---т--ЬС. 3848. ц = * Х'+у'+’-+С, ‘ х + у' , . У 3849. п=1п!х-у\ + -£г + £- у+С. рУ _ I 3850. u = № cos у+у2 cos * + С. 3851. и = -г-^—т+^ + С- 3852. и — X^2L- + C. 3853. п=1, и= In (х2+г/2) + arctg "+С. (хтУ)‘ х 3854. а=£>= —1, и = ±-^+С. 3855. u = ln Ix+p-f-zj+C. 3856. и — Ух2 -|-(/2 + г2 + С. 3857. arctg хуг + С, 3858. а = —-----FC. 3859. а = ^=^- + ~ + С. х—уг г 2 3860. и=е«/г (х + !)+«’'*—е_г. 3861. nab. 3862. Зла2/8. 3863. бла2. 3864*. За2/2. Перейти к параметрическому заданию, положив y=tx. 3865. 1/60, 3866. 1/210. 3867*. 2а2. Положить u=xtgt. 3868*. 1/30. Положить y=xt2. 3869. FR. 3870. 1) 4/3; 2) 17/12; 3) 3/2 и 1, 3871. а) (а2—Ь2)/2; б) 0. 3872. 0. 3873. 3874. 3877. 3882. g у ц -j-p f<- ip о, Где fe—коэффициент пропорциональности. 0,5feln2. где k — коэффициент пропорциональности. 3876. 4/б1-3880. л/?3. 3881. 2nR«/15. 3879. 0. /3/120. 3878. л/?3/4. 2л arctg -£. 3883. г (гг — 2) [ (с — R)n 1 п = 2. _______ 3884. л [R /R2 +1 + In (Я + /Я2 + 0J- 1 (c+R)n~2. I при п ф 2; In п- ПРИ С v А 3884 nfR/R24T4-ln(R + /R24-l)]- 3885*- я2Я3- Воспользоваться сфернадскимикгюрдинатами. "^3886. 8nR4/3. 3887. 3.^ 3888. 2л/?’/105. 3889. 4лоЬс/3, 3890. 0. 3891. 1/8, 3892. R2H (2₽/34-лЯ/8), 3893. п/8.
3894. 2 (х — у) dx dy -р (у — 2) dy dz -J- (г — x) dx dz. 3895. — л R*/3. 's 3896. 2 (H(x Jry + z)dxdydzt : 3897. ( CC _5‘Г.£±£-. dx dy dz. 3898. 0. 3899. 12лЛ3/5. К главе XIV 3901. 3903. 3906. 3908. 3911. \+y2 = C(\~x*). 3902. x2 + //2-lnCx2. # = Зх — Зх2. 3904. // = С sin х — а. 3905. Сх — (у — 1 )Л/. x/T^p + i/ V\^~х? = С. 3907. /Г — 4/2 = arcsin х -р С. e<=C(l-e~s). 3909. 10*+10-У = С. 3910. In | tg-^ | =С-2 sin * . 3912. / = а\ '-п/ Г*, (1-х)-хТ^2 3913. 3916. 3918. tg ] —L jg , y — e 2 . 3914. г/ — у j— 3915. cos x = У2 cos y. b -I- x ’y= • 3917. Гипербола xy = f>. Трактриса y = ]/4 — x2 + 2 In | ——1‘ 3919. Параболы y2 = Cx. 3920. yk = Cx. 3921. y = e(x~a)/a. 3922. (x — C)2 + r/2 = <23. 3923. у = = ’ In lC(iV- J) |. 3924. x = r/'<. 3925. «= 2,7 м/с. 3927. 0,467 км/ч; 85,2 M. 3928. Я = |\//Г —9rj . 3929. In j 3930*. Если Z — вре.мя, отсчитанное от полуночи и dS го дифференциальное уравнение задачи имеет вид —-------------------- 160 000 отсюда [S = —-------—уд) р . Функция S (I) определена при 6^/^ 18. x_|_ctg±^ = C. 3932. 4г/-6х-7 = С<?-3*. х+С = 2и+ 2 In и — 1 ; — 8 In (и + 2), где и = ]' 1 -\-x-\-y. •Э о |= ^-(2?+at2). выраженное в часах, , л (/—12) — k cos —1----- dt; 3931. 3933. 3934. у-2х = Сх3(у + х). 3935. arctg = In С Vx-^y3. 3936. ln;i/i + x/(/ = C. 3937. х2 + у2 = Су. 3938. у= f х |/2 1п . Сх 3939. х-=С2 + 2Су. 3940. ev/x = C{/. 3941. In | Сх ; =-е "/х. 3942. у = хе' + Сх. 3943. (х+{/)2=Сх%—1/(л:+^. 3944. Сх = <р^. _____ -U- arctg V- 3945. /x- + t/- = e* х. 3946, у^у^-х2. 3947. у=-х. 3948. у3 = 5 х 2 /5х. 3949. Если У —и, то In , х I = ( • <р(и)=-----L \ х __ J Ф (1/«) и2 •или <₽(“) = 3950. x = Ce±2Vtf/\ 3951. x=i/ln|Ct/|. 3952. =
«=2С</4-С2. 3953*. Форму параболоида вращения. Пусть плоскость Оху-^меридианная плоскость поверхности зеркала; в этой плоскости лежит искомая линия, дифференциальное уравнение получится, если приравняем тангенсы углов падения и отражения, выраженные через х, yt у', 3954. у*=Сё~2х4-2х-1. 3955. у=е~х\С-\-х^2). 3956. у = С0е'1х + х-. 3957. у = (ж + С) (1 + хг). 3958. у = Се~х + (cosx+ein ж). 3959. Если та, то y==Ce-0Jt + атх 4------—; если т = — а. то у = (С + х) етх. * т-\-а ’ 3960. i/2 —2x = QA 3961. x = Ce2|Z+03/2 + i//2 + l/4. 3962. х = у In у + С/у, 3963. у =е* (In | х | + х2/2) + Се*. 3964. у=Се~ф{х) -4-Ф (ж)-1. 3965. y=x/cosx. рХ _1_ ofo .—, pd г 3966. у = —±. 3967. у = (х-1 + 1п|х|). J х v х4-1 11 3968. x~—i arctg t 3969. б) a + p = l. 3971. у^Ск-х <п | х а2 3972*. у=Сх ± . Дифференциальное уравнение задачи j ху — х2у' |== А 3973*. х = Су ± а2/у. Дифференциальное уравнение задачи — 2a2. 3974. о= (t - ~~ + - ~ е~ktlm} . 3975. v = ^0+6)e-c/2 + 6(^2-l). где а= 1>=~. t 1 3976. 6 —60=е-*^ф(/)е^Л. 3977. 9,03 А. 3978. / = Г Rt/L + R*ntot-toLc(K ю/1. 3979. х = х. K“-}-(OzLzl j 3980. y = Cx^+\Jx. 3981. у = ~ К1ЧП + • 3982. у=Сх-\. 3983. (1+ж2)(1+у2) = Сх!. 3984. (х hy)2(2x + j/)3=C. 3985. x = Ce~x2/W). 3986. sin -У~ =Сх. 3987. sin У Ч-In | х |=<7. 3988. у=--Се~еХ+ех- 1. 3989. у (у—2х)3 = С(у — х)2. 3990. y = Cesinv— 2(1 + sin?/). 3991. х = у2 (l +Ce,/v). 3992. i/ = Ce—sinv +sin x~ 1. 3993. i/=-(C+^) (1+x)’. 3994. y» = 4xy + C. 3995. y = Cex и y = C + x2/2. 2 C 3996*. z/2 — — sin x H- —. Привести к уравнению линейному относи< телыю у2. 3997. arctg (х -Ь у) = х + С. 3999. arctg + 1п (х2 4- у2) = ~ In 2. 4000. f/=[24-х/i-Х2 -I-arcsin х]. 4001. (1+{/)£-> = In 1±^-+1-ж. 4002. //=1^-3 (2 +ж»). 4004. у=‘-^[екх+с + в~(кх + с')]- 4005. х2+(/2=Сж.
4006. (</ —х)2(* + 2#)=1. 4007. Параболы // = х + Сх2. 4008. (2у2 — х2)3 « с= Сх2. 4000. Цепная линия. 4010. у—Сх2. 4011*. Пучок прямых у — уо — = C(x — xq). Дифференциальное уравнение у —у^ = у' (х — х0). 4012. Окружность с центром в точке (х0, Уо)‘ х2 -Ь у2 —2 (хх« -{- yyQ). 4013. Любая окружность с центром на оси Oyt касающаяся оси Ох. 4014. Если путь S, а время /, то S — + / + -^-/2, где So — начальный путь, г kL и ^ — коэф- фициенты пропорциональности. 4016. 1) 8/9 оборота в секунду; 2) через 6 мин 18 с. 4017. 0,00082 с. '-1 З-Wfl/ ,/| т \ 4018*. v = t\i{ 1 — -Т-/1 е mv<> \ Ма Л Действующая сила F \ J d (mv) _ равна —Для решения этой задачи и следующих двух надо учесть, что масса т является переменной величиной, зависящей от времени /; скорость (/—искомая функция.* а [ I т \ kfrn — 2 1 4019*. ц — —-—(1—=г-/ — 1 . См. указание к реше« 2т— к ]_\ /Ио / J вию задачи 4018. 4020*. v = S- е*1^3 f ре“"*‘ц2/ЭЛ/, где р = М0 — mt, £1 = -3^1/'См. ц, J r mV ч указание к решению задачи 4018. 4021*. у — т^-\--^^-^ (k-£~kli — где / — /тремя, у—количество второго продукта. Если х — количество первого продукта, образовавшееся че-dx рез t единиц времени» то (нгв — х). Отсюда находим х = х(/)» Ско- рость 4022. dt образования второго продукта пропорциональна величине х—у. 2,97 кг соли. Максимум достигается при / = 33^- мин и равен 3,68 кг. 4023. 1 = I + (/0- I)е 4024*. р = —( где k . Практи- f ekas х~ £х чески важен случай, когда со очень велико (центрифуги). Вместо того, чтобы вычислять интеграл в знаменателе при данном со (он не выражается в элементарных функциях), вычисляют lim р (см. задачу 2439). Дифференциальное (0 —> оо уравнение задачи имеет вид S dp = <$2x dm, где dm — масса элемента CD. Далее, y=(2kp (одна из форм закона Бойля—Мариотта; коэффициент пропорциональности обозначен через 26 для упрощения записи в дальнейшем); dm=* *=yS dx = 2kpS dx. В результате получится уравнение с разделяющимися переменными dp(p — 2kii}2xdx. Интегрирование его дает р^С^**2. Далее^ JM= j dm —С • 2kS le*w2x откуда находится С. Имеем р =---------------, ® “ 2W р*®**1^ О л оь М М „О %=2*p0 = 7s-, = и окончательно р = I dx 4025. (jr+F_|)»=C(x-y4-3). 4О№. х*-ху+у>+х-у^С.
4027. x-2y4-fn|x+y| = C. 4028. е 2вГ“г*-3 =С(у+2). 4029. «/2 = х + (х 4-1) In -£—. 4030. у2е~ и,/х = С. 1 1 4031. ?/ = -tgln |Сх|. 4032. х2у2+\=Су. 4033. Сх=1---j-£—. 4034. (14-Сх)^=1, 4035. {^+2№«2+2у2 = С. У 4036. *2 4-^2 = С (у-1)2. 4037. y = xtg(x + C). «33. 1/9=_&>- + -+1/2. «»<>- (1+,),СЧ'|п]1+,||. 4040. пуп = Се пх/а-\-пх — а. 4041. х2 = у2 (С — у*). 4042. #(1 +1п х-\-Сх)= 1. 4043. у (х + С) = secх. АЛЛА ! С +1П I cos X 1 . . \2 ХЛ4С X4 f . 4044. у= (-----------L-р tgх\ . 4045. у = In21 Сх|« 4046. уз = Се~ 'а'х - —. 4047. у=. а 9 х + С 4048. 1)А_|_А=[; 2)—= 1. 4049. = х у х2 у2 р ро<рв 4050. х* — х2у2 + у* = С. 4051. х 4- arctg ~ = С, 4052. хеУ -у2 = С. 4053. ХУ = С. 4054. }гх2+Уг + ~ = С. 4055. tg (ху) — cos х—cos у=С. 4056. А- ^(хг + у2)3+х — А^2 = £, и х 1 4057. sin— cos у 4-х—у = С. 4058. х — у/х — С. Интегрирующий к житель ц(х) = 1/х2. 4059*. х24~2х/// = С. Искать интегрирующий множип в виде функции ц (у). 4060. (х2-\-у2) ех = С. 4061. 4--~ = С. 4062. (х sin y+ycosu— sin у) ех = С. 4064. p = t/-«e <Л 11 4065. Выражение должно быть функцией от (х+«/)» 4066. Выражение Y'x-X',, хХ-уУ должно быть функцией от ху. 4067. abx+b2y+a+bc = Се»х. 4068. у = Jce(m“1 >bx/a — 4069. х2+2ху—у2—4х + &у=С. с да) И 4070. -£^4-1п|х+у|+31п|у-х| = С. 4071. x+y = atg (С+у/а). 4072. у3 — 3xy = CJ 4073. х2—у2 = Су3. 4074. Зх2г/+х»{г1=С. 4075. у (х2 +-^ у^ = С<гх. 4076. In | 1 | — 4077. у2-1 + Сху = 0. 4078. I £-1 = л У I У I 1±^=а. X С. 4079. З/t/ =Су<х2-1+х2-1. 408L р— c4_ex(CO3X4-sin x) ‘ 4080. r/=smx+Ccosx. 4082. tgx—^-=С. Ь 8ШХ 4083. хе Х=С. 4084. хуcos7=С. 4085. tiny=х-1 + Се~*л
4086. . 4087. In I Сх'=—£>-<**4088. х+уе*,!'=С. 9 С + sinx 11 1 J 4089. у = х In | Сх |. 4090. у2—by—аху=С. 4091. Окружность х2+у1—-—(ах+Ьу)=*С (£7^: —1) или окружность *т* 1 2k х~+у2—j—-[(ax+by)~C если Л= —1 или Л = 1, то прямая ах+Ьу=С. Q -____ ± arctg-- 4092. Логарифмические спирали у х2 + У* = Св 4093*. у^=^^~ . Дифференциальное уравнение задачи у2 =х(х—р/)-4094. 7=//2. 4095. Вектор поля в каждой точке перпендикулярен к полярному радиусу точки. Интегральные кривые—семейство концентрических окружностей с центром в начале координат. Уравнение семейства х2+у2 = С. Изоклины — семейство прямых, проходящих через начало координат. 4096. 1) у’^ЦхуУ 2) у'=/(уа/х); 3) y'=f(x*+tfl). 4097. Прямые у=Сх. Результат может быть высказан в форме следующей геометрической теоремы: если семейство парабол, имеющих общую ось и общую вершину, пересечь прямой, проходящей через вершину, то касательные к различным параболам в точках пересечения их о прямой будут между собой параллельны. 4099. у' = у' =ay+bx + C, 4103. у^0,31 при Дх = 0,05. 4104. уs^l,68 при Дх = 0,05. 4105. Точное решение: = /(х); f (0,9) = = 1,2244. Приближенное решение: f (0,9) = 1,1942. Относительная погрешность равна —/2,5%. 4106. При точном решении х = |^3(е—1) 1,727; численное интегрирование при делении интервала на 4 части дает х«»1,72. 41О7.^=1+х+4^+1^+^х4 + 1х»+А-х<> + 2гЛ 4108. —1,28. 4109. у = 1 +х + х2 + 2хЗ + -^-х<+... 4Н0.У = 1-х+т-А- + ^ + ... 1 1 2 4Ш. у= з ^-угэ*7- 7.п '.27 *11- — 4112. j/=l+2x-x«+ ««+... у2 2х3 11x5 4113. у =0. 4114. y=x+L. + ^ +__+... лик х2 л3 Xе 41’5' У~ 21 31 6! лг , , лмя 1.г, п (х-1)» 2(х-1)« , 4(х-1)« 60 (х-1)4 4116. у = 1-|-(х—1)-2|^- +-а,-+-----J]--------5( +- 4117. у=Сх+&‘, особый интеграл x2-f-4y=0. 4118. у=Сх—ЗС3; особый интеграл 9у ± 2х/х=0. 4119. у^Сх+1/С; особый интеграл у2=4х. 4120. </=Cx+V4-C2; особый интеграл х8+у8=1. 4121. y=Cx-f-sinC; особое решение у=х(л—arccosх)4-V1—х8. 4122. х—Сх—1пС; особое решение y=lnx-f-l. 4123. у=(|/*4-1+ С)2; особое решение у=0. 4124. у = = Сх-4-1/С; особый интеграл у»—4х®=0. 4125. 2Сх=О—уг; особого интеграла нет. 4126. *=Се-₽4-2(1—р), У=х (1+₽)+₽’; особого интеграла нет. 4127. у—Сх—£•, особое решение y=x(lnx—1). 4128. у=Сх+С+С8; особое решение р=—(х-М)2/*. 4129. y=Cx4-eVI — С*5 особый интеграл У^=Уо*. 4130. (С—x)y=Cai особое решение р=4л.
4131. у2 — 4£л' = 0. 4132. ху=\. 4133. 2у — х- = 0, 4135. Равнобочная гипербола 2x//=ita2, где о2 —площадь треугольника; тривиальное решение — любая прямая семейства у= -t C2x/2-j-aC. 4136. (у — х — 2л)2 = Sax. 4137. Эллипсы и ги* перболы. .. « '2рТ П + Р2) Се~ рг р х = (р2+‘)с „= ~с Ур ]/р У(р»+2)3 ’ у"(р2 + 2)3 1 /и k^x^ / п \ 4139. z/2 — Сх~4- 4140*. y = cos ai С + n sin2 al, x=sinax * ‘ 2&+1 * \ 2 J X C—~ sin2a^. В полученном дифференциальном уравнении положить -~- = tga, а затем выразить х через у и параметр а, найти dx. заменить dx через dy/tga и решить получившееся дифференциальное уравнение, считая у функцией а. 4141. S = a/2, где а —некоторая определенная константа. 4142. л24-^2 = 2«21п|Сх1. 4143. y^C<Txf2. 4144. у=С(&+у1). 4145. (л2 -f-У2)2 = С (у2 “И 2л2). 4146. Если параметр парабол ранен 2р и прямая взята в качестве осн ординат, то уравнения траекторий будут у^=С -ф-2 1 А 2х3 + -х- I/ —. 4147. Трактрисы. 4148. Отсчитывая угол а в одном из двух 3 г Р 1/3 возможных направлений, получим уравнение семейства ху—~2~ (х2-\-у2) = С. 4149. Отсчитывая угол а в одном из двух возможных направлений, получим уравнение семейства In (2х2 -f- ху + у2) 4—arctg —~у ~ 4150*. Можно принять, например, что ветер дует вдоль оси Ох. Линии распространения звука по плоскости Оху будут ортогональными траекториями семейства окружностей (х — а/)2+у2 = (Ц(/)2» где / — время, прошедшее после выхода звуковой волны из источника звука, а и0 — скорость звука в неподвижном воздухе. Для любого фиксированного t дифференциальное уравнение искомых ортого-нальных траектории у = совместно с уравнением семейства окружностей. Исключая /, получим некоторое уравнение Лагранжа. Его общее реше- г> / । ха Л ф\1/й п . /. сру/б , а ние х = С (cos ф-|-d) ^tg , у = С sin ф ^tg J , где d = ф—па- раметр. 4151. х = С sin t-\-R (cos t~\~t sin /), у— — Ceos/ + /? (sin/—i cos/). 4152. x = C/ch/ + a(/— th/), y~C th/-}~a/ch t. 4153. x = a (cos t-\-t sin /) —cos/ (a/2/24~C), у=a (sin t +1 cos t) — sin / (a/2/2 + C). 4154. x = C sin/4-2tg/, y = tg2/ —Ceos/ —2. 4155. y = x3/6— sin х + Срс + Сз. 4,56. у=(X2_ j)_ £ in (I + z*) + C,x+C2. у2 Г 3 T 4157. Inx-y p-Cix+C,. 4158. y=C1x1+C^ 4159. y=Cle»+C1—4160. y=x>/3+C1X*+C2. 4161. 0=(1-|-C?)in|*+Cl|—C,x-H?2. 4162. if=(C1x-C?)e*/c*+‘+C2. 4193. 1/=-^(x+€,)’+Ca.
о ,_______ 4(64. у^-^-У(С1К~1)»+С2. 4165. </ = _.J_sifl3x + ct(y--Sl^.)+<?2. 4166. (* + С2)« = 4С1(у-С1). 4167. y^Ctix+Ctf3. 4168. v=Clex/x24-C2e_x/a. 4169. х=±_ 1 (yl^'i—2Cl) Vy'^+Ci. +С2. 4170. = О Л -f- G 2 4171. (,v + e2)2—(/2 = Ср 4172. i» = C1ec<A:. 4173. j/Cos^+Cj^G.. 4174. (x^C2)iny=:x + Ci. 4175. Если произвольная постоянная, вводимая первым интегрированием, положительна (4-С?), то tg(Cxx4-C2); если же она отрицательна (—С;), 1 JLJZ&iX-t- сг> 1 то У = С' 1_gatc.xhc,) = ~ Cl cth ^Х+С& если С‘=0' т0 У=~~7+С1‘ С1Л+Сг-1п| y + Ci {’ 4179. In | Ctp | = 2tg(2x+C8). 4176. x^Ct +cesCt In | tg |. 4177. 4178. = c, arctg (C, In у), C, > 0. 4180. 1 , x-/—C\ ' 4 । 1 IB ------4==" ' Jx+Z-c. 2д г *= In ; x24-C! ( 4- — arctg — 4-Cg, если Ct > 0. V c\ j/ Cl 4181*. После подстановки y'=p уравнение распадается па два, из которых одно —типа Клеро. Его общее решение y — Ci-+-C%eCiXt а особые решения 4 У=р----. Другое уравнение у' = 0. 4182. у = Сух (х — С\) 4~С2 и особые реше- 4- C2, если Ci < 0, и у = ния z/ = x3/34-C-С 4183. y'-=Cix' + C2. 4184. x = ln - -l-— . ________________________ С2 — хс ‘ 4185. у=уГз х'+С1К + Сг . 4186. {/=С1х+^-. 4187. у-С^'*. 4188. |П|у+С1'+-?1-. = х+С2. i/тч 4189. у=--х* + Ъс+1. 4190. у=2± In х^-. 4191. у~ 2 х2|/2;- 16. 4192. £,==—1—. а о (х~г + г 4193. у — х~ 2 In j у '. 4194. у — У2х — х2. 4195. y -^l'l 4196. х/= — In | 1 — дс1. 4197. у = (х4-1)/х. 4198*. у — х. Сделать подстановку у-^их. 4199. ^ = 2ех2/2—1. 4200*. Дифференциальное уравнение линии - — ( где k — К(С1{/)2^-1 коэффициент пропорциональности. Если fe = l, то y = ’2c’{.^CiJC^'Ci^- . (с v ch (Ciх 4-Со) _ . _^е ^(Arb2)j_—\это—цепная линия. Если fe=—I, то (x4-^)2+i/2 = Q; это —окружность. Если fe = 2, то (x4-G)2=4C<!/— это —парабола. Если k= — 2, то dx = J/^। у это — дифференциаль- ное уравнение циклоиды.
4201. ^/а = С2 sec (x/a+Ci). <202. Сх=у*-\ 4203. Цепная линия. 4204. У=1/ —. 4205. Парабола. F mg+ku£_________ F 4206. — J^C3 j. 4207*. Пусть ось абсцисс на. правлена вертикально вниз, начало координат—на поверхности жидкости* уравнение луча y — f(x). На глубине х имеем “--» где т — показатель преломления на глубине х, a a — угол между вертикалью и касательной к световому лучу. Очевидно, tg а равняется у'. Из уравнения т sin a = (т + dm) (sin a cos da-}- cos a sin da), раскрыв скобки и отбросив бесконечно малые порядка выше первого, получим mda= — dmtga, откуда dm dtf ~ (j Интегрируя это уравнение, найдем у как функцию tn. Подставляя вместо т его выражение через х и интегрируя вторично, получим решение = m-f-|Ли2 —sin2a0j+C, где т = ^?2~т^х + т^1 т.2 — тщ_ fi 4208. у=-х2 In Ух +С1х2+С2х + С3. 4209. у= — L sin 2х+С1х2 + С.2х + С3. 4210. р=-^- + Р9 (Р9 — полином 9-й г олени относительно х с произвольными коэффициентами). 4211. у~С, -^- + Сах + С3-С1Чх+С1)1п|х+С1|. 4212. у ^С^+С^+С^+С^+С;. 4213. y=i-(C1-2x)^+C2x+C3. 4214. х=С^+С2у+С3. О 4215. Решения можно записать в трех формах: у = Сд sin (С2х + Сэ), или y — CxSh (С2х + С3), или y = C1ch(C2x + C3). 4216. (* + С2)2+(у+С3)2=С?. 4217. у=С} (*ес'х - ес'х ) + <?,. 4219. 2) ^=1 + л + -*р + ^- + -^-+-^ + ... , 3(л„., у 21 4! 5! +‘" я , „ , (х-1)2 , (х- 1)’ (*-1)‘ 4 (*—1)1 , {/= 2 (*-1) + -2Г—+—а,--------45-------gj--+••• v3 9 и Qv5 х3 y=l+*+-§- + ^- + -^- + ... Если /(х)^1+х+-зт + —, то при х=—0,5 получается знакочередующийся числовой ряд и значение первого из отброшенных членов меньше 0,001. , х2 . х3 х4 . 4х5 14х6 4223. у=1 —-2К+ 3! “~4Г+ 5! ~ 6! 4224. 1/ = *"“-Го^+83*в-4^охИ + ---; О-31* °-96951- _ , d4) . dQ Vn-kQ 4225*. Дифференциальное уравнение задачи Е = L “t" "Jf * —— 4220. 4221. 4222. пятого. где Q—количество электричества, протекшее через цепь за промежуток времени от начала опыта до момента Л Выразив Q через V (У —наличное количество воды в сосуде в момент t) и определив из условий задачи коэффициенты, придем к уравнению У"-]-аУУ' + 5 = 0, где a — j- = 0,005. b = s= —= 0,00935. Интегрируя его при начальных условиях Уо=1ОООсм3,
V'=—£/0=—0,00187 см3/с, получим ряд V = 1000 — 0,00187/ — 10~e X X (2.91/3 —3,64/44-3,64/5 —3,04/® 4-2,17/7 — ...J. Ряд знакочередующийся, коэф’ фициенты, начиная с шестого, убывают, стремясь к нулю, что удобно для drQ вычислений, 4226*. Дифференциальное уравнение задачи имеет вид L + t dQ ki „ n + • n —f^ = E. Взяв в качестве 1 dt MQ~kQ искомой функции количество у хлори- стого водорода, не разложившегося к моменту /, приведем уравнение к виду уу"-\-ау‘4~fo/ = 0, где a = 61/L=50, b~kE/L — 0,0191. Интегрируя это уравнение при начальных условиях г/о = /Ио=Ю» y'Q = — 6/0 = — 0,00381, получим ряд у = 10- 0,00381/4- 10-1°/з -(1,21 — 1,52/ + 4227. х2/ —6х/4~12у = 0. 4228. ху”— (2x4- 1) У' + (аг-Ь 1) У = 0. 4229. (х3 _ 3x2 4- Зх) у'" - (х3 - Зх 4- 3) tf - Зх (1 - х) / 4- 3 (1 - х) у = 0. 4230. у — Зх2 — 2х3. 4231. a) sin2 x/cos2 х ф const; б) у" sin 2х — 2yf cos 2х = 4232*. 3) По формуле Остроградского Pj = «ли, рас. IУ1 У% I / \ г г ~~ Iр <х) с/х п крывая определитель (вронскиан), yiy'2—y'y2 = Ce J . Делим обе части уравнения на у®, тогда -j—f—1 = — f откуда и следует искомое «х \ У1 / У1 соотношение. 4233. у = Ctx In | -* j-*-1 - 2С, + C2x. лао» p Sin X . ~ COS X лпое ___________ "> лг—I 4234. у — CA —----h C2 ——. 4235. у = x2 — eAl. 4236*. Функции P и Q должны быть связаны соотношением Q'4~2PQ = 0. Подставить в формулу (вытекающую из формулы Остроградского) задачи 4232, полученное соотношение продифференцировать дважды и у'2> у* подставить в данное уравнение. 4237*. у — Сг (4х3 — Зх)+Са — х2 (4х2— 1). Полагаем согласно условию /,*! = /1х34- Вх2-|- C* + D. Подставляя yt в данное уравнение, получим 5=0, Ь = 0, Л/С = 4/—3, или Л = 46, С — —3k. Следовательно, частное решение будет г/£ = 6 (4х3 —Зх). В соответствии со свойством линейного уравнения можно принять 6=1, тогда г/1 = 4х3—Зх. Зная одно частное решение, обычным путем находим второе и составляем общее решение. 4238. ~ ‘ ...........................’ 4239. 4241. ‘ 4243. 4245. 4246. у — Ci sin х 4-С2 [ 1 — sin х In | tg (л/4 4- x/2) , ]. y=--Cix+C2x 4240. y^=Cix + C2 (x2-I), у = Ci* 4- C2x2 + C3x3. 4242. j/ = x3 4- x (CA 4- C21 n I x |). t/ = Ciex4~C2x —x2 —1. 4244. z/ = C1x34-C2 (x4-I)-x. z/=24-3x4-x 2~+ 2 arc*£ + ~ ~ . x3 x4 , 7x5 4247. f/=-24-2x-x24--~-□ , f 2x4 2x5 0= l-i 41 5j- + 4 2х« 6! 60 2r7 , 62x* 7! + 8! 4248. у — + 22.3.2 23 • 5 • 3! ”1" 2* • 7 • 4! ”1" ’ ‘2‘‘ (2/i — 1) nl ‘ 4249. y = Ct (1 + 4- у 4- ~ 4- - + •..)+£,(x+ у 4- Jg + ~ + .). / \ / Xs 3xs- \ 4250. J/=C1(l4-1-24-...)+C,^-6-4- 40-+”.)- 4251 t/=C1e^4-G2e"2x. 4252. у^С^+С^.
4253. y = Cleix + Ci. 4254. у = С^1 + Х + С^1 ~ х. 4255. у = С\е-х +С2е~Ах/3. 4256. y = C1cosx + C2 sinx. 4257. у—е~3х (Сг cos 2х + Са sin 2х). 4258. i/ = eJ(^C1cosy + C2sinyj. 4259. У=-ех (С^С^. 4260. х=(С1 + С2/)Г’5;. 4261. у= (С^С2х) е~ х>\ 4262. у=4е* + 2ея*. 4263. у = Зв”2* sin 5х. 4264. у = е~ х,~ (24-х). 4265- у=[14-(1—т)х]етх. 4266. y = cos3x—~ sin Зх. Л 4267. Если k > 0, то у = - sin \Уk (х — х0)] + Уо cos [Уk (х — х0)]; если V k ~ £<0, то j/=—[Go4-^)+ (VoV^i — где 2 У ki = —k. 4268. у = С1е~х + С^х/2 + ех. 4269. y=CY cos ах+ С2 sin ах + - . я2 + 1 4270. у=С^х + С^^ 5s’n* + 7cos* 74 4271. г/= е~х (Сх cos 2х + С2 sin 2х) — ~ cos 2х — 2 sin 2х, 4272. у=(С1 + С2х)е^х+1 х2+.^х+^. 4273. у—ех (Ci cos х-\-С2 sin х) + х +1. 4274. у = Схех + C^e~tx—0,2* 4275. f/=C1e-vH-C2e2x + yI где у равно: 5 3 1 1) ъе~х^ 2) Зхе2*; 3) cos х Ч-sin х; о оо 4) х34-у х2 + ^ х — -45; 5) — -|е*Feos -^4-2 sin £1; 1 1 6) -g х+^ - е-гх; 7) е* (2х24-х); 3 1 1 8) — х + у (9 + 3cos2x —sin2x); 9) — 2хех — 13 7 9 1 1 Ю) 20cos % 20 %260 cos 260 ]2 “”*~2 4276. y = C\ + Ctf~bxl2-\-y, где д равно: 1) Q-x3 —-^х2 +х; 2) -1-ех; 3) 5 sinx —2 cosx; 5 D / 4) та х 4~ та л sin 2х — cos 2х; 5) cos 2,5х + sin 2,5х — 0102хе“2,5*: 10 164 41 ' ! С 16^ /о 185\ • 6) 1 —ох — 2g 1 cos х — (2х — 29 j sin х; 7)-^9^[(650x + 2650)sinx-(3250x-400)cosx]; 8) w~6x/2^ 4277 у=е2х (Ci 4-С2х) + £, где у равно: 1) j, 2) х-, 3) ухМх; 4) jcos2x4-у *4- I /__5 \ I Б) ?АО -к- sin Зх [ 6cosЗх - г- (3 sin х-(-4 cosх); ЮУ \ л / эи 3 I 6) ГЛх (3 sin t +1 cos х) + А (5 sin Зх —12 cos Зх), 10U o/q
7) 2x2 + 4x-h3 + 4xW+cos2x: 8) -J- (x%e2x_- ; 4 \ о / 9) у (e'v — у e'*} + (3 sin x+4 cos x); 10) e* - ~ e*-i+ei-«. 4278. y = C1cosx+C2sinx+9, где g равно: 1) 2x3—13x + 2; 2) cos3x; 3) -t-xsinx; 4) — g-xcosx—c"-(; 5) у (x sin x — ~cos3xj; 6) 9 + 4 cos2x—0,2coe4x; 7) 0,5 ch x; 8) 0,5 4-0,1 ch 2x. 4279. у—е^х^ [Ctcos 4 x + C2 sin у x^ -f-g, где g равно: iv 25 15 . 4 , 40 4 b l6 e . 2) 2|g s,n "5 x+219 cos 5" x; Q, 1 „2Ж L 1 Л> > . 36 » , 107 Ш8\ XX 5 3X/S. 3) 13е + 5 (2x +5 *’+25 X—"125")’ 4) ~ 9 cosxe • 5) — J-xe3*/5 cos у x; 6) 0,5e2x+l,3, 4280. y = 24-Cx cos x-\-C2 sin x + cos x In | tg 1. 4281. y^=ex (Ci + C2x — In pGr2 + 1 + x arctg *)• 4282. 1) y = ^(x + Ci) —(^+l)]n(^-hl) + C2; 2) у — ^[arcsin e-r-J-^У 1 -eiv + Cl] + 1 /(| _е2х)з+сг; 3) y-^Ctex — cos ex-\-C2. 4283. t/=(14-x)e_3x/2-|-2e“5x/2. 4284. x — ex (0,16 cos 3x4-0,28 sin 3x) -f-x2 4-2,2xJ-0,84. 4285. y = ex + x2. 4286. = (e* —x2 —x+1), 4287. у — -1- sin 2x — - sin x — cos x. 4288*. Дифференцировать указанные выражения для у дважды; по дета* вить у, у' и / в данное уравнение; во всех трех случаях получится тождество. 4289. х/ = х3 (Сх + С2х4). 4290. у = +С! cos In | х | + ^2 sin In | х |* 4291. у —х [Q + Ca 1п | х | + 1п2 | х |J. 4292. у^х In j х | +С1х4-С2х2 + х3, 1 0 6ХЙ2 4293. Если > со2, то y~Cv cos kt + С2 sin kt + cos » *’=«!а-<°2- ЕСЛИ i<“2’ TO'/=Cle«4-C2e-^-^^CoS<o<-^’, 4а = (о2 . та 4294. s^^W + e-**). где где 4295. s = e-°’24 Ю cos 0,245^ 4-8,16 sin 0,245f]; s(/_j«=7,07 см. 429fi ! F + ^f\2F=h 4290. I — 1П p • 4297. s=e-° 245z [2 cos 156,61+0,00313 sin 156,61]. 4298*. fc = 33-|- г/см = 33 nj-• g • 10*S H/см; 1 = 0,38 с; высота погруженной 3 3 части чурбанчика х = 5 (3 4-cos8,16/]. При составлении уравнения считать 1000 см/с2.
4299*. г — а^ ®се происходит так, как будто трубка непод- вижна, но на шарик действует сила, равная /n<oV (г— расстояние от оси вращения до шарика). 4300. Если k > /л<о2, то г = 1 k — mto2 cos — если Л = т«А то г = л0 f 1 4-<Д/2>); если k < /пш2, то г —-----------------^—г~ X _________ \ 2 т, /* /шо2 —Л X /nto2 ch [t "j/” (о3 — — //j. 4301. y=Cv cos Зх-рС.» sin Зх-\-С3. 4302. z/= G?2V + C>e-'2X 4- C^x + С4е~*х. 4303. tj = (C} -h C2x) e2x + (C3 + C4x) e~2x, 4304. y= Cte2 v + C2e~2x + C3 cos 2x + C4 sin 2x. 4305. 4306. у^С&^С.хе* + C3x*e*. 4307. y— Ci -|- C2x -J- C$s •'’4" C^xe A". 4308. у = Cf* + С*-*4- 4-Cix*-* +... + C„. tx4- Ca. 4309. у = ex/,/2 I Ci cos + C2 s‘n ”?='| + e~ IC3 cos -f - + sin -£=). \ /2 /2/ \ ]/2 /2/ 4310. y= (Ci4-C2x4-C3x2) cos 4” (C44~Cs*4"CjX2) sin-g-4'C,x4"Cg. 4311. y=e-x(Ci + C2x + C3x* + ... + Cnxn-V). 4312. t/=14-cosx. 4313. p=e*4-cosx—2. 4314. y=(C1 + C2x)eA+C3e2A — x—4. 4315. 1/=(С14-С;х)е<4-Сзе зх (X2 x — 1) e~-"c. 4316. </=(С14-С2х)со82х4-(Сз4~С’4х) sin2x4- g-cosx. 4317. у = (Cj 4- C2x) cos ax 4- (C3 4- C4x) sin ax — x 5%°-. 4318. У-^— 2 ~t~ ^i'^2 ^2-^ Ч-4“ ^4 cos x-p C5 sin x« у2 — Зх 1 4319. у = С^ех Н- С2е~х -|- С3 sin х + С4 cos х -|--------— ех — х sin X. 4320. у = (C?i -J- С 2х -|- х2) ех -р (Cg -|- С4х -j- х2) -J- sin х cos х. - 4321. г/ = 4— Зг А'4-е~2* 4322. z/^e^ + x3. 4323. у= х (С, + С2 In I х | -FC3 In2 I x |). 4324.1. x = c (C\ cos/ + C2 sin /), y = e~^ [(G + Ci) cos / + (C2 — G) sin /]. 4324.2. х = С^-\-С2е^, y = — + 3C2e3< 4324.3. x —(Ci cos 3/+ C2 sin 3/), y = ef (Cl sin 3/ — C2 cos 3/). 4324.4. x = C1e( + C2e2'4-C3e-/, «/= С^-ЗС^, 2 = C{e‘+ C^-5С^. 4324.5. x=Ci + 3C^, y=-2Cie«+C3rt, 2=Ct+C^-2C^t 4324.6. x^Cie' + C^ + C^, y = C^ -2C^‘ + С^>. 2 = — Cie‘ - 3C2e* 4- 3C3e“. 4324.7. x = Cie214- e3t (C2 cos 14- C3 sin t), y,= | (C2 4- C"3) cos 14” (C3 C2) sin /], 2 = Су?» 4- & l(2C, - C3) cos 14- (C2 4- 2C3) sin 1 j. 4325. x=C1e.'4-C2e-/4-^sh?> y = Cie‘ — Ctf^+ sht+t cht. 4326. x = Ci<? 4- C.^ 4- /о 4-1 e- 4 1 13 Cie-^-C2^ + 4-o^4-10^. 3 4327. г = С1.у, zy2--2 x2 = C2.
4329. у/х=Съ х2-Н//2 + 2‘2 = С2. 4339. х2-\-у2^2- = С}у, г = С,у. 4331. г/2 —22 = Сь уг—у2 —х —С2. 4332. + r/ = C|e“' + 3C2e-3Z+cos/. 4333. х — С^е* + C2e“z + Cg cos i -|“ Cj sin у — Ciez + С2е~* — C3 cos t — C4 sin 4 4334. x^G + CoZ + C^- | Z3-f-e*. i/=C4-(C1 + 2C1)Z-2 (C2-\)P—.’ 4335. x + y+z = C1, x2+y2 + z'2 = C. 4336. z=x —y, y(y — 2x)3 = (x — y)-. 4337. x=Z/3, y= —Z/3. 4338. x = е~‘+ e2/+ ~ e'2', y= | e-t 4. + ’ e2/_ ’ e-2/t 2=— 1 e~z+ .* e2'. 4339. x = —e"', y = r‘, 2 = 0. 4340. Ли- 6 2 о о C,x2 —С, C,x«4-C. _ нии ^j=-2_-—. и уг =-------!—_J—При заданных начальных условиях по- 2__3 -4- х2 лучаются гиперболы , у2 — —. 4341. у=е2х, 4342. Плоская ли- . Л ?1п < ?| НИЯ X — #4-2=0, Х—±---7--. /2 g-Z2+('i-/0)(>-cos^], £^г+^с + -I + (Л — /о) cos 27s J- “ ' ‘/=l°ch2/H-^coslV-^. Здесь шарика, а у — более легкого. 4345. А = a-j- bq dN n — = 0 в мо-dt 1 Х~ 2 1 У== 2 ,г= 10ch2/ —Дсоз IV +~ более тяжелого 4343. 4344. •ь -- 4347 х — путь = 2<[’-(14-ре“*') J’ В=а1 + ре'^' 4346*. Если Т —количество яда, то ^т— aN —bNTt — = <.№ и dt at к;ент, когда N—M. s.H.+s.H, S, £+s2 ’ , StH, + SJl2 St iU u. -a^=;S- h^- sr+s: s^(Hi~H-2)e • E2t'A ]) 6 -e0 4-0,002 (62 -6^= 0,00008 -Ц--; на 53°; 9) 6 —6оН-О,(Ю2 (02_62) . (200jlZ —sin 200л:/); на 761 1) 44,5е; 2) 46,2s1. ° 4348. 4349. 4350. A' 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 У 1,000 1,000 0,997 0,992 0,984 0,973
к 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 У 0,959 0,942 0,923 0,901 0,876 4351- 0^ = 3,43656... У1 Уь Уз 04 Уъ 2,5 3,16667 3,37500 3,42500 3,43472 Уъ дает относительную погрешность порядка 0,1 %. 4352. 0,46128; то же дает формула Симпсона при 2л =10. Все знаки верные. . х2 . 2? . 7х4 . 5x5 . 16х8 , /Л , Р1. 4353. 04=1+х+у +-^- + 12 +ТТ^ “75—И Т’ Д* ФЗ)««Ь543; х2 2х3 7x1 11г5 99г8 /(х)=1+х+з + —+ —+ 12£1 + ^__ + и т. д,; /(0,3)^ 1,545. Погрет-кость менее 0,2 %. 4354. 0,808. 4355*. 1,001624. Результат получается всего быстрее, если искомую функцию искать сразу в виде степенного ряда. 4356*. 1,0244. См. указание к предыдущей задаче. 4357. у=х + ?- х* + У.х^+• • • + 2 -7?„-н~' * л3”*1 + -; 0,2297. Т‘ 4 I (ОП —р I fl К главе XV 4358. sin®* * = ^ + [cos 2kx - C2* cos (2k - 2) »+ , n. + cos (2fe-4) x-... + (-1 )*-i C\~’ cos 2x]; *«t+lx=-Lf-[sin (2k +1) x-qft + J sin (2k-l)x + + + t sin (2fc - 3) x -... + (—! )* + ( sin x]; C& 1 cos’* x = g-2ft- + [cos 2kx -V qh cos (2fe 2) x+ + C?k cos (2k — 4) x + .-. + C^k ’cos2x]l coe2*+1 x = ^ [cos (2k+ 1) x + qfc +1 cos (2k — 1) x+ -h Cjk + j cos (2k — 3) x4-..-+C^ + , cos x]. 4360. cos/?x = cos" x —Cocos'1"2 x sin2 x-j-C^ cos"-4 x sin4 x... Так как sinx входит только в четных степенях, то cosrzx можно рационально выразить 2.1 Л через cosx. 4363. 1) q> = v— и Отт (P = v-=Ft, где v=0, 1, 2, ..., п; 2) Т И J_ I ’ ф=э 2л . о = v —, где V — 1, 2, п ’ п—I при п нечетном и v=l, 2, ...» п при п чет ном, и <р= (2v— 1) где v=l, 2, 2Л Фя(ф)4/ф=0. 4366. Да. п+1, 4365*. Заметить, что
4371. а) = = - = 0 и a1 = a3 = afi=... = 0; б) rjo = cL = fl27=... = O и Ь1 = Ь8 = />5 = ... = 0. 4372 4 У sin(2flrf-l)x 4 3 у sin 2лх — я- L - 2п +1 * 2п * п=0 п=1 4374. х=2 (-1)/1-15!!Ш(_л<х<п); п = 1 л — х VI sin пх /л _ . -у~ = 2^ -~7Г (°<x<2ll)‘ п — 1 4375. 2- V C-°S<2n+.1;U. л Zj (2n+lj-rl “ 0 oq go оо «76. I) ";+4 V 2) ’”- + 4 2 =?-4я2 п — 1 п= I п — 1 _ _л2 _я2 _ _л2 5‘~6’ л2-J2. дз-у. СО 4377. -2 (“1)"+‘ {« + i К-1)"- И} «оnx. oo 4378. У (— l)n (’2 - —) sin nx. ' 7 \nJ n / n — 1 4379. 2+-- У sin(2ra+1)x. 4380. ‘ л 2n + 1 л =0 stn nh -----r— cos nx nh, 4381. 4382. ~(2n + l) nx' (2n +1)2 n =0 />2Л-1 4383. ------- л 4384. oo 1 у /cosflx nsinnx\ 2 ‘ Zj \Г+д2“ 14-л2 / — n — l _p+/(e/_e-/) 2 n = l z плх (— 1)л COS-J— /2 + л2л2 +я(«»-г-0 У n = 1 , . nnx (—1)л-1 n sin — /2 д2д2 =sh/ y+2 2 (-1)' . ЯЛЛ . плх I COS—----Jin sin -— |Л ____t------------— n = 1
4385. 4386. 4387. 2 sin лд л 2 sin лд л sin ах — f 1 1 л cos х a cos 2х \ ^2д ‘ 1—fl2 22—*д2 +“7* ' sin х _ 2 sin 2х 3 sin Зх \ J-а- 22-а2±3*-а2 “J’ г 4а I cos х । cos3x cos5x ] л |_д2 — 1 + а2 —З2 +^ПГ5Т + -"] 4а Г * t cos %х । cos 4х 1 > л [2а2 а2 — 22 •* а2—42 ’ “ | 62 (д четное); нечетное). 4388. cos дх = 4 Г sin х 3 sin Зх 5 sin 5х л [а2_12+ а2_3> + О2_5/ + -- (а четное); 4 Г 2 sin 2х 7Г[а2—22 4 sin 4х , 6 sin 6х , 1 z ^2—(а нечетное1 4389. 4390. 4391. V (_ рп-х_” л Zrf ' ' а2 + а2 п =t sin пх. оо 2 у л лЫ п = 1 —(—1)” ch л 1 ~1~ П- п sin пх. 7W /1—1 2лл2 (2лх 4лх 8лх \ cos__ cosy-. cosy- 1 2 + 4 / / 2л х 4л г 8лх 9 [cos-у- 1 cos— 1 COS — 2л2\ р + 2* *" 42 4392*./(x)=J+A-2 п — 1 л 3 /sin 2х ^6+ 8л Г- 00 sm-n- е 3 / пл . _ .пл п 1 ----5— cos - v sin 2пх — sm cos 2пх пй \ 3 о i sin 4х ( sin 8х sin 10х + 52 9 Zcos2x 8л \’П2“ t cos 4х , cos 8х j cos 10х ( + -2^" + ~47-+ 52 * Воспользоваться результатом задачи 4368. 4393*. 1 ч / / х 4 (sin a sin х , sin За sin Зх . \ 1) /(*)=-„-(—[Г—+—3S—+•••): оо лч £/ t а (л—а) 1 V 1—cos2na 2) /(*)=-ЧН~ л 2 ——cos2/,x= п = I а (л — а) л Воспользоваться результатом задачи 4371. 2 /sin2 a cos 2х лД I2 sin2 2а cos4x 22 4394. 8 Vi sin (2л — 1) х t л® Zl (2rt —1)^ '32*
4395. ’.K-lfiV в) п ~ 1 я —х V sin лх . 439b*. —----у —(см. задачу 4374). 2 n(nJ4-l) v J п — 1 4397*. * 4- "У (—1)” 1 -? 2 J n sin пх (см. задачу 4374). 2 fl \fl“ ~ 1J П = 1 ОО /тг—vY- л 2 VI /I2— 1 4398*. -—— ------1П+ > ——•—— cosnx. Продифференцировать ряд и 4 12 л2 1) п = 1 оо VI 1 Л2 . воспользоваться решением задачи 4374 и тем, что = 'см' за‘ п = 1 дачу 4376). „ • Д 00 С1П П ___ ,„лл л’ , Л ЛА1 „ , V 2 / JI л\ 4399. 32 + -4- - 8- —2 cos х-f- «х (- 2 < х < ; вое- п =2 пользоваться рядом ~ —-—cos nx ^см. задачу 4380 прн /i= j и тем, что У -—(см. задачу 4394). fi 32 4400. Л (х) 27,8 + 6,5 cos х — 0,1 sin х — 3,2 cos 2х 4- 0,1 sin 2х; f2 (х) 0,240,55 cosх4-0,25 sin х —0,08cos2х—0,13 sin 2х; /з(х)^0,12+1,32 cosx+ -f- 0,28 sin х — 0,07 cos 2х + 0,46 sin 2х. К главе XVI 4401. Прямые, параллельные вектору A {d, Ь, с}: — = 2~2°< 4402. Окружности с центром в начале координат: х2-\-у2 = R2. 4403. Винтовые линии с шагом 2n/i/<o, расположенные на цилиндрах, осн которых совпадают с осью z: х = 7? cos (<D/H-a), y = R sin (ш/4- a), 2 = Л/ + 20, где R, а и z0 —произвольные постоянные. 4404. 1) Окружности, образованные пересечением сфер с центром в начале координат и плоскостей, параллельных бнссекторной плоскости у~2=0: х2 + //2 + 22 = 7?2, у —г + С = 0, где R и С —произвольные постоянные. 2) Окружности, образованные пересечением сфер с центром в начале координат и плоскостей, отсекающих на осях координат отрезки, равные по величине и по знаку: х2+#2+з2 = /?2, х-|-г/4-г=С. 3) Линин пересечения сфер x2 + |/2+z2 = 7?2 и гиперболических параболоидов zy = Cx. 4405. div А = = 3, rot 4 = 0. 4406. div 4 = 0, rot А = 2 ((р — 2) — x)J + (x — у) kJ. 4407. div Л = 6xz/2, rot A = x (z2—y2) i-\~y (x2—22)y-j-z (у2 — x2) 4408. div Л = 6, rot Л = 0. 4409. div4 = 0, roU = 0. 4410. div4 = ^/r3, где k — коэффициент пропорциональности, г —расстояние от точки приложения силы до начала координат, rot 4 = 0. 4411. div 4 = 0, rot 4 = 0. 4412. div 4 = 0. rot 4 = 0. В точках оси Oz поле не определено.
4413. div А =-----— где k — коэффициент пропорциональности, 2 у X2-}-y2-f-72 В точках плоскости Оху поле не определено. 4414. За. 4416. div Ь (га) = abt divr(ra) = 4ra. 4417. 0. 4418. 1) 0; 2) 0; 3) 0. 4419. div A = 2f(r)/r+f' (г), если поле пространственное, div А =/(r)/r+f' (г), если поле плоское. 4421. <prot 44-grad<px А. 4422. . 4423. 2а. 4424. 2ап°, ный вектор, параллельный оси вращения. 4430. u = Ar + C. где л0—единиц- 4431. и = — -g k (x'- + yi + zi) + C. 4432. Нет. 4433. Нет. 4434. и = — 2-1п(х2+</2) + С. 4435. Нет. 4437. 2/3, 1/3, 1/2. 4438. б) k8 In —*)2 + У‘.-Н —* 443g*. ik (j/2— 1) *). K(/ + x)2+i/2-Z-x 4440. *±Eg+ft2ln ™>+.Y“*+^ 444L 2ftfieIn(l+K5). о a ' 4442. .. arccosЛ, если h < 1; 2itk, если ft = 1; In (h+l/h2—l)t если A> 1, 4443*. 1) 2ktiR6 In R2 f 2) 4to7?6 In-+^/2 + 4j?2 . Разделить К 2,t\ цилиндр пополам сечением, параллельным основанию, и вычислить потенциал боковой поверхности цилиндра как сумму потенциалов боковых поверхностей обеих его половин, применяя результат 1). 4444. 2knRb. 4445*. 1) И R^H^-ir- + Ra- In Я+Х^3,+ //2 , 2) K4/?2 + ^-tf2 + 4/?aln я + ^4^.2+яг^; см. указание к задаче 4443. 4446. nkt>H (I — Н), где I — образующая конуса. ..., 2 .лЯЭДГ/, , л2\3/2 / а V Зп , .1 п 4447. 3fc—l+/?J - -2я+‘ а = j/2 —3) при a = R. 4^гтЛ kM 4448*. и — —~—(R3 —г3) =— (Л4 — масса тела) при На а и = 2клд (R2—г2) при а^г\ « = ^Л-(о3-^3) + 2<:л6(Лг—в2) при r^a^R. Провести концентрическую сферу радиуса а и применить результаты пер-вых двух случаев. 4449. 1 + у-j j» где М — масса шара. 4450. И ток и циркуляция равны 0. ^ 451. Поток равен 2^5» где S—площадь г ’ ограниченной контуром L. Циркуляция равна 0. 4452. И поток и ц ? •) В ответах к задачам 4439—4449 —гравитационная постояннее
равны 0. 4453. Поток Зл/?1Д циркуляция 2л/?2. 4454. В случае, когда начало координат лежит внутри контура, поток равен 2л, в противном случае поток равен 0. Циркуляция в обоих случаях равна 0. 4455. Циркуляция равна 2л, если начало координат лежит внутри контура, и равна 0, если вне контура. Поток в обоих случаях равен 0. 4456. 2. 4458. 2л/?2//. 4459. л/?2//. 4460. 4л, Вычислить поток через основание конуса и воспользоваться результатом задачи 4457. 4461. Зл/16. 4462*. 1/6. Воспользоваться формулой Остроградского и вычислить поток через основание пирамиды. 4463. 2л262. 4464. 2л<о/?2. 4465. —л. Применить теорему Стокса, взяв в качестве контура L ливню пересечения параболоида с плоскостью Оху,
Георгий Николаевич Берман СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Редактор В. В. Донченко Художественный редактор Г. М. Коровина Техн, редактор Л. В. Лихачева Корректор И. Я. Кршаталь И Б № 12690 Сдано в набор 16.10.84. Подписано к печати 15.03.85. Формат 60 Бумага тин. № 2. Гарнитура литературная. Высокая печати. Усл. печ. л. 24. Усл. кр.-отт. 24,125. Уч.-изд. л. 31,16. Тираж 250 000 экз. Заказ № 1721. Цена I р. 20 к. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградск&е производственно техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпромд при Гсн-у* давственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии к книжной торговли, 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15