Author: Берман Г.Н.
Tags: математика математический анализ задачи по математике
ISBN: 978-5-8114-0887-0
Year: 2008
Text
490
Ответы
4450. И поток и циркуляция равны о.
4451. Поток равен 2aS, где S - площадь области, ограниченной
контуром L . Циркуляция равна о .
4452. И поток и циркуляция равны о.
4453~ Поток 31ГR 4 /2, циркуляция 21Г R 2 .
4454. В случае, когда начало координат лежит внутри контура,
поток равен 21Г. в противном случае поток равен о. Циркуляция в
обоих случаях равна о.
4455. Циркуляция равна 21Г, если начало координат лежит внут
ри контура. и равна о, если вне контура. Поток в обоих случаях
равен о.
4456.2.
4458~ 21ГR2Н.
4459.1ГR2 н.
·4460. 41Г . Вычислить поток через основание конуса и воспользо
ваться результатом задачи 4457.
4461. 31Г/16.
·4462. 1/6. Воспользоваться формулой Остроградского и вычис
лить поток через основание пирам иды.
4463~ 21Г'1ь2.
4464. 21ГWR2 .
• 4465~ -1Г. Применить теорему Стокса. взяв в качестве контура
L линию пересечения параболоида с плоскостью хОу.
к ГЛАВЕ t
17. Т.к.1<%,tgl<tg%=1,поэтомуsinl<СОБl.
23. f( -2) = 10; один из корней хl = -2; делим
2хЗ- 5х2-23х
-
10 на х+2, получаем 2х
2
-
9х-5 =О;
Х2= -1/2,хз =5.
25. а) Корни уравнения х = ~~~ Xl = -2,Х2 = 4 принад
2
лежат[-55]·б)пустьх+8 =и·х2- 12х+3=u
-
12и+3·
,
,
x-l'
'
(х-и)(х+и) =12(х -и);корниуравнениях = uхl = -2,
Х2=4,корних+~ =12хз=2,Х4 =10.
27. Равенство верно ~oгдa и только тогда, когда f(x) и
чJ(Х) одного знака. х ~ -1; х ~ 2.
29. f(x+l)-f(x) == -2asin(bx+0,5b+c)sin(0,5b) ==
== sinx. Т. к . наименьший период функции sin(kx + n) ра
вен 1271"/kl. Ь = ±1; пусть Ь = 1; при х = О sin(bx+0,5b+
+c)=sin(0,5+c)=0, поэтому с =
-0,5+1Гn, nЕ Z; asin(x+
+ 1Гn) = (-l)n s in x, поэтому 2( _1)n+l asinxsinO ,5 == sinx,
~
значит а = 2~inO .5' Ь = 1,с = -0,5+1Гn; т.к. СОБ(-ЬХ-С) =
( 1),,+1
= cos(bx+c), получаем еще один ответ: а = -2 - ·
0-,Ь=-1,
5111 ~~
С = 0,5+1Гn.
35.5.у =5
z
,z=и
2
,и=3х+1.
37. Пусть (хА, УА)
-
координаТbI точки А. УВ = УА =
чJ(Х); Хв = Ув, т. к. В лежит на прямой У = х, поэтому
YD = Ус = f(XB) = ЛчJ(Х)).
44. Пусть r - радиус сечения; для усеченного конуса r
линейная функция от х , т(О) = 2R, т(Н)
=
R, поэтому
r=2R-х,S=1Гт2=1Г(2R-х)2
=
1Г(4R2 + х
2
-
4Rx);
для цилиндра S = 1Гт2 = 1гR2; дЛЯ полусфеРbl S = 1Гт
2
=
х2
= 1Г(JR2-(х - 3R)2)2 = 1Г(6Rх -
-
8R2).
492
Решения
{7i(2R-Х)2, Х Е [O,R]
Ответ: S(x) = 7iR 2,
ХЕ[R,3R] .
7i( -х2 + 6R.7: - 8R2), Х Е [3R,4R]
47.19. Ixl-x>О{:}'хl>х{:}х<О.
sinx
~О 127in~х~7i+27in,n ЕZ
488..{16-х2~О{:} -4~Х~4
{:}
{:} х Е [-4, -7i]U О,7i].
у2
t2
51.2. Y~ - 2ху
2
+х2-Х =О;
=t;
2.xt+х2-Х =О;
tl,2 =х±VX,Х~О; tl=Х+.;х~ОдляУх~О;
t2=х-vx~ОдляУх~1;У1,2=±Jx+JX,х~О,
У3.4 = ±Jx-.;х, х ~ 1. Две ветви определены при Х ~ О,
четыреприх~1.
5
J(-)=-
. ,,-"'_1 =
. 1-I (а"
_
.
a~ -1
_
( .)
4.15.
х х ,,-"+1
Х 1(0"+1- Х а"+1
-
Jх,
следовательно, функция четная .
6
1[IJ()1 ()] {ЛХ),Лх)~О
4.2.У =
2 х+/х = О, ЛХ)<О'значит,
часть графика, лежащую выше оси х, оставляем без изме
нений, для остальных х Е D f включаем в график участок
оси х.
66. 1) р = pgh. Подставляя h = 0з253 м, р = 1,84'103Па,
9 = 9,8м/с
2
, получаем р = 742кг/м . Значит, р = 7271 ,6h.
2)Приh= 14,5смр = 1,1·103Па. 3)Прир= 2,65.1ОЗПа
h = 36,4см.
75. У(Хl)
=
~2~1;f' =
-
,,2~b2; ду = У(Х2) - У(Хl)
=:}
У(Х2) = У(Хl) +ду = - a2~b2 +a~b = ~t~bJ> = 02~b2
=
= :l~b~
=:}а=Х2-а=:}Х2 =2а.
82.Прих<-3ЛХ)=О:при -3~х~3ЛХ)
ах2+С; /(0) = 5 =:} С = 5;f(-3) = О =:} а(-з)2+5
О,а=-~ =:}/(х)=-~x2+5;при3~х~6ЛХ)
{
k.3+b=0
?
kx+b; { k.6+b=2
=:}k=З'ь = -2.Ответ:ЛХ)
О,
х< -3
=
-~x2+5,-3~х~3.
~x- 2,
3<х~6
91. Пусть L - образующая конуса, R - радиус основа
ния, Н - высота цилиндра, Р
-
пери метр осевого сечения,
S - боковая поверхность . Т . к. угол при вершине 60 0, L=2R;
Р=2L+2Н+2R=6R+2Н=100=:}Н=50-3R=:}
Решения
493
S = 7iRL+7iRH = 7iR(2R+H) = n R(50 - R); S(R) - квад
ратичная функция с корнями R = О и R = 50 и от'рицатель
ным старшим коэффициентом , поэтому максимум достигает
ся в вершине , абсцисса которой находится посередине между
-
0+50
корнями . R тах -
-2-
-
25см.
95. Пусть дуга сектора АВ, центральный угол х рад, S
площадь сектора. Р = 2R+АВ = 2R+Rx =:} х = Р-п
2п
,
я2
S=п~x
=
(Р-2п) = Н(Р:;2Щ. Аналогично 91, R.nax =
_
Р(2_Р
-
-2-
-"4'
102. Расстояние от точки (Хо,Уо) до прямой Ах+Ву+
+С = О равно IA~CI. Пусть точка (Хо , Уо) лежит на пря
мой У = х+2, тогда уо = хо+2и искомая сумма расстояний
Равна (13 XO-4(XO +2 )+81 )2 + (IЗХо-(ХО+2)-ч)2 = 4+ (2хо-з)2 =
J9+16
J9+Т
25
10
22Хб-60хо+45 11 2 6
9М
=
50
= 2ft,XO - 5ХО + 10' инимум достигается при
хо=~ :(2·~~) =1Т
107./(х+1) =/«~+2)-1) =2(х+2)2- 3(х+2)+1=
= 2х2 +5х+3.
112. Пусть т - количество вещества, 1 - сила тока, р
проводимость, С - концентрация, V - объем . Тогда т = k 1 I,
1 = k2P,p = kзС,С = k4-f, =:} m = k1k2kзk4-f, rv -Ь.
-
10"_ 10-"
1-
2·10'"
-
2·102",.
2102х
117 13
•
•У-10"+10-"+
-
10"+10 '"
-
102"+1"
= у.102х+у. 102х =
-1L. х = !lg-1L = Igy-lg(2-y) . пере
,
2-у '
2 2-у
2'
обозначив аргументы, получаем У = I
g
x- lg(2 -X ).
122.у2 -1+log2(x- 1) = О;У
=
±.Jr""1---1o-g -2
..,-(x------O-1);
1-log2(x- 1)~О {lOg2(X- 1)~log22
xED {:}
,
{:}
{:}
у{
х-1>0
х>l
{Х>1. D
21-у2
,.
(1,3]; log2(x -1) = 1-у2; х-1
х~з' у
1
21х
Х=2-у
2
+ 1; обратная функция: У = -
2
+1.
127.2. Пусть Н - искомая высота, R - радиус шара, р
плотность дерева, рв - плотность воды, V - объем шара,
-
объем сегмента, погруженного в воду. По закону Архиме
V1
да pV = PBV1; 4/3nR3p = nH
2
(R-Н/3)рв; 4/3·1000-0,8 =
= Н 2 (10-Н/3)·1 ; 3200/(30-Н) = Н
2
. Уравнение решить
графически. х ~ 14 , 26см.
494
Решения
1nk+x
131.у =k·аХ =a1nk.аХ =a
.
График этой функции
получается из графика у = аХ сдвигом на lnk влево.
137.1 сь2х_ sh2Х = (е"'+2"-"') 2 _ (еж-2е-ж)2 = ~(e2X+2+
+ е-2х (е2Х
_
-
2+е-2х)) = 1~
141. у(-х) = loga(-х+J~(--х""'"")2:-+-:-1' = loga(Vx2 +1-х)
)
=
х2
-
1
+1_х2
-
1
1
-
1(~)_()
-
oga V'X2+Т+X - oga ух2+l+х - - oga х+ vx-+1 - -у х
.
Функция нечетная, ее график симметричен относительно
начала координат. у = loga(x+ vx2+ 1); х+ vx2+ 1 =
= аУ· vx2+1 = aY-х· х2+1 =a2Y-2хаУ+х2. х = а
2У
_1=
,
,
,
2аУ
=a
Y
-2а -
1I
= shy. Обратная функция у = shx.
146. S = 1/2absinx = 1/2·1·2 = sinx. Ds = (0,11)
хтах = 1Г/2.
152.1. Пусть Т! - основной период функции f; ТsiпЗх =
= 21Г/3, T sin 2х = 21Г /2 = 1Г; наименьшее общее кратное этих
чисел Т! = 21Г.
159. Пусть В
-
нижний край картины, С - ее верх
ний край, А - глаз наблюдателя. Введем систему коор
динат с началом в точке В, ось Оу совпадает с линией
стены. Тогда В = (0,0), А = (l,-b), С = (asinip,acosip),
.-+
----+
- ---+
.-+
АВ = {-l,b}, АС
=
{asinip -l,acosip + Ь}, АС· АВ =
-alsinip+ l2 + abcosip + Ь2 'у
arccos Е·Е.
=
,
IABIIAGI
= arccos
ь2 +/
2
+а(Ьсos<р-lsiп<р)
.
~va2+b2+12+2a(bcos<p-/sin<p)
х2
161.3. \1'1 -
;;:: О => arccos)1- х2 Е [О, 1г/2] =>
arcsinx ;;:: О => х Е [0,1J; 'tIx Е [О,1] cos(arcsinx) =
2
=
V1- sin (arcsinx) = )1- х2, из чего следует тождество
на [0,1J.
к ГЛАВЕ 2
177. lim un = О; пусть
€
>О;lun- 01<
€
{::} 1/n2 <
€
{::}
n--+oo
n> 1/Vё.
180. lim Un = lim (1 ± 1/2n )=1; lu n -11=1 ± 1/2nl=1/2n;
n---+ОО
n--+ОО
1/2n
<
€
{::} 2n
> 1/€ {::}n> -log2€. При
€
= 10-4 n;;:: 14.
183.Приn>тVn=О=>limVn=О.
n-+oo
Решения
495
2n+( 2)n
{2,n=2k ..
185. u
=-
2n
=
1+(_1)n =
n
О,n=2k-1'
n
lim Vn= lim 2+J;;-2)n = lim(~)n+(_~)n) =о.
n--+ОО
n-+сх>
n-оо
188. 'tI
€
>ОЭNЕ:n>NE=>lun-аl<
€
; найдем К
k >К=>nk>NE,тогдаk>К=>lun.
-
аl<
€
.
х2-1 Зr О1 2IХ;-41
191 . Решим неравенство х2+1 - '5 < , {::} 5(х +1) <
1
< 110 {::}41х2-41 <х2+1(*);пустьх;;::2,тогдаIx2
-
41=
х2-
4х2
=
4; (*) {::}
-
16 < х2+1 {::} Ixl < J17/3{::}
Ix
2
О::;;х-2<)17/3-2:::::0,38;прих<2
-
41
=
4-х2;(*) {::} 4(4-х2) < х2 +1 {::} Ixl > vГз {::} 2-х >
> vГз+2v2-х <2-vГз:::::0,27;Ix-21 <
< min(2- vГз,)17/3- 2)= 2 - JЗ => 1~~~~-~1<0,1.
193. Isinx-11 = Isinx-sinn/21 = 2ISinX-;/21IсоsХ+;/21::;;
::;; 21 Х-;/21 · 1 = Ix -1Г/21; возьмем б =
€
,
тогда Ix-n/21<б=>
Isinx -11 ::;; Ix -1Г/21 <
€
; при
€
=
0,01 достаточно взять
б = 0,01; точное решение неравенства 1 - sinx < 0,01 дает
б = 1г /2 - arcsinO,99 ::::: 0,133 .
195. Пусть <> О; 1"-11'; е"" 1:::;: -11 < е"" .,'t' <е ""
x 2 >4/€-3;
при
€
::;;4/3 Ixl> 4/€-3; при
€
> 4/3 х любое.
2+1/х>104
198. 1~1> 104 {::} 12+ ! 1> 104 {::}
{::}
х
х
[ 2+1/х < -104
О
::;; Х < 1/9998
[-1/10002 < х < О
{::} -1/10002 < х < 1/9998.
205. Функция неограничена в окрестности
-1. у
=
~
~
п
/
= l+х' = (l+x)(1-х+х2_хЧх4). усть -1 < х < -1 2; тогда
1-х+х2 -хЗ +х4 < 5,х
2
> 1/4,у > 20(1\Х); 'tI
€
>ОЭхЕ(-1,
-1/2): 1+х <
€
=> У > 2&Е; последнее выражение может
быть сделано сколь угодно большим. Функция ограничена на
2
(О,+00);очевидно,у >О;прих ;;:: 1 1+х
5
> х
5
,1~X5 <
х2
<-:.s::;;1;приО<х<11+х5>1,1~:5<
<1=>О<
<у<1.
2lO.1.J(x)=О{::}cos~=О{::}~=~+1Гn{::}х=
=
7Г+~7Гn' n Е Z; т. к. функция имеет корни, сколь угодно
близкие к нулю, она не является бесконечно большой.
Решен,uя
496
214. Пусть
е>О;
IJx+1 -..jX1 < е *>
(VX-Т-vx)(v'X-П+vx) 1< е *>
1
< е*> Jx+1+ 'Х>!.
v'X-П+ vгx
v'X-П+vГx
v -'-
о
I
Т . к. Jx+1>..jX, 2..jX>!=>Jx+1+..jX>~; решая неравенство
2ft>!, получаем x>~. Точное решение иррационального
о
о
2
неравенства дает х> ( 1;:2) .
217. иn,очевидно, возрастает;иn <!+~+...+2:' < 1.
218. Поскольку разность между функциями f(x) и g(x)
бесконечно мала при х ---+ а, для 'Ve>O 38>0: 0<lx-al<8=>
If(x)-g(x)1<е;g(x)-е<f(x)<g(x)+е<g(a-8)+е,
т. к. g(x) убывает; f(x) возрастает и ограничена сверху, значит
существует lim f(x); аналогично доказывается существование
х-а
предела g(x); равенство этих пределов следует из теоремы о
предельном переходе в равенстве .
220. Докажем по индукции, что иn < 3. иl =J6 < .j9=3;
пустьиn-l<3=>иn=JUn-l+6<Jз+6=3;докажем,
чтоиn-l<и,,;иn-l< J6+иn-l*> и;'_1 -и"_1
-
6<О*>
- 2 < и,,-1 < 3. иn возрастает и ограничена сверху, поэтому
существует lim иn = а. Переходя к пределу в равенстве иn =
,--_...,..-!;.n-оо
=
JUn-l+6,получаема2 = а -6,аl =
-2,а2 =3;т.к.
а>О,получаема=3.
224. liт f(x) = 2;
liт f(x) = В-А. Функ-
Х_-1Г/2-0
х_-п/2+0
ция непрерывна, поэтому В- А = 2; liт f(x) = А+В;
х-п/2-0
liт f(х)=О=>А+В=О=>А=-1,В =1.
х-п/2+0
229. Функция не определена при х
=
О,Х
±1;
liт f(x) = О, значит х = О - точка устранимого разрыва;
х_О
lim f(x)
00, значит х = ±1 - точки разрыва второго
х-±1
рода .
233. t
=
l/х; lim f(x) = 1+ liш 2f/ж -
1+ lirri' 2f
х--О
t--oo
ж--о
.
1
1
= _1_= 1;11тf(x)
1+ lim 21/Ж
1+lim2'=О.
{
1+0
х-+О
ж-+О
'-+00
Х+1'
Х<О
236. f(x)= О,
1
х=О; f( -2)=-1, f(2)=3/2;
(х+1)2- Гж , Х>О
f(x)возрастаетот-1до1прихЕ[-2,0)иотОдо3/2при
Решен,uя
497
хЕ [0,2].limf(x)=1,limf(x)=О =>х=О -точка
х--О
х-+О
разрыва первого рода .
243.Пустьf(x) = х - asinx- Ь;f(0) = -Ь <О,
f(a+b) = a-asin(a+b) = a(l-sin(a+b)) ;? О; Т . к. f(x)
непрерывна, 3х Е (О,а + Ь]: f(x) = О.
·
("+1~3 _ (n_l)3_
247 1
• n~1~(Тl+1 Ч(n-l)2
l' (n+1_,,+I)(n+l)2+(n+l)(n~1)+(n-l)2)
l' 2(зn2+1)
=
n~~
(,,+1)2+(n-l)2
=n~~~".~
=
lim3+1~n~ =1 =3.
n-(Х) 1+1 n
1
256. lim ~-9JiЧI = liт ,,5/4 ~_n2/3 ~
n-оо lf,i4+2-v'n3 +1 n-ос n4 / 5 t!1+2/,,~ _n 3/2 Jl+1/n3
= lim ,,-1/4~_,,-5/б~=0+0_
n-(х) 'l-7 / IO t!1+2/n4-Jl+1/n3
0-1 -о.
11'т n .!
-
l'
n!
l'
1
О
257•
(+1)"
.-n.
-
lП1 '(n+l-1) = 1т - =
.
n~DO n
n---+оо 71 .
n---+ооТI.
262. liт (1+2+ ... +n _ 11) = liт (n(n+1) - 11)
n-оо n+2
2
n-ОО 2(,,+2) 2
_
l'(n)1
-
,,~~ -2n+4 , = -2'
х2
271 l'
_з
О
·
. lm",зх4+х2+1 = 13 = О.
Х-' у')
273. lim X3ij3x 2 +2X = lim х(х+1)(х+2) liт х(х+l) =- ~
х--<-2 х -х-6 х--2 (х-3)(х+2) х--2 х-З 5'
280. lim х>n_l = (x_l)(x
m
-
l
+x
m
-
2
+...+1) _ т·l т
х-l хn-l (х-l)(хn l+xn 2+...+1) - n:т n
285. liт (Xf:l -х) = liт (::riт) = о.
/
Х---+ОО
Х---+ОО Х +1
4
291. liт ~+V2X9= l' х
7
/5 t!1+З/х
7
+х3 {!2-1/Х
3
V 8+ '+1
1т
х-оо х х -х х-оо х4/3 tfl+1/x+l/x8 -x
.
I+З/х7+х- 7/ 12 4 2-1/Х3
•
~1 / 15,!,f}O
x1/ 155
11т
=11т~-
х-оо 6 1+I/х+l/х8-х - I /Э
х-оо 1-0
-00.
295. liт ~-1 = lim ~~-1)(~+1)
х-О ~-4 х-О( x2+16-4)(v'x 2 +16+4)
= liтx
2
(JXI+Т6+4 =~ = 4
х-О х2( х +1+1)
1+1
.
305.ПриЬ>Оlimхl =lim-Ь-~ =liт-Ь-Ь =00'
а-О
а-О
2а
а-О 2а
'
liт Х2 = lim -Ь+~
lim
4ас
=
_f·
а-О
а-О 2а
а-О 2a(-b-v'b2-4ac)
Ь'
приЬ<Оlimхl =Б'liтХ2 = 00.
а-О
а-О
309. liт x(Jx2 +1-х) = lim x(~-x)(~+x)
х-±оо
х-±оо
v'x 2+1+x
Решения
1
=
х-+±оо I±Vl+1/X2
х = У+7Г/2]
siпу =
ij4sin.y/2
2siП«(Х-1Г/6)I2)соs(х-1Г
/6)7'" о ". о
2sin(a+h)cosl'-2sin(a+h)
о
sшао
=
о
20
1;
_Y~ "-,,,
Решения
385. lim x+sinx = Нт l+sinx/x = 10
x-+oox+cosx
Х-+ОО l+cosx/x
387 1
0
siп(а+31,)-3siп(а+2h)+3sill(а+I.)-siпа_
•
1т
hЗ
-
h-+O
_
10 2(sin3h/2cos(a+3h/2)-sinl,/2cos(a+31./2»
-
1т
hЗ
h-+O
_
10 2соs(а+3h/2)(siIl3h/2-Зsiп h/2) _
-
h~
h3
-
_
10 2co5(a+3h/2)(35inl./2-4siIl3h/2-35in h/2) _
-
~
~
-
h-+O
_
10 2cos(a+3h/2)( -45in
3h/2) - 2 (4)о1/8
-
1т
h3
-
cosa -
-
-cosao
h-+O
389 10 l-cos(l-cosx) - 10 2siIl2«I-cosx)/2)_
•
1т
4
-
1т
"
-
x--tО
Х
х-+О
х
_
10 2sin2 ( 1-<:osx) 2 (l-cosx)2/4 _ 10 2 4sin
4
х/2
-
x~ (l-cosx) 4
х· -x~ 4х"
1
0
2sill4 Х 2
1
499
= xl~116(x/2
=ВО
392. lim (cosvx+1-соsvГx)= lim -2sin .,Гx+I-fisiп vГx+"!+YX
Х-+ОО
Х-+ОО
2
10
2о
1
о .,Гx+I+yx
О
б
x~~ - sш "'Х+НУХ sш
2
=, То Ко первая дро ь
стремится к О, а вторая ограничена о
400. lim(cosx+sinx)I/X = lim(1+cosx-1+sinx)I/X
х--+О
х-+О
СОАж-l+siпж
1
= lim(1+cosx
1+ sinx) ж
со.., H.ln",
=
х-+О
= lime C08%-;+,8\n% = е 1 = ео
х-+О
404 10 ~ - 10 (n-1)n2
_
1
•
1тv
-
1т(2+1)2--2о
n-+ОО n
1'),-+00 n
n
408 10 ~-ya 10
х3
1 ...J. О
•
1т х3
=
1т('" 3 J:O\3=~I,значит
х-+О
х ...... о а+х +valx
,-у а
бесконечно маJJая имеет третий порядок о
410.ь.u =avx+ь.х-avГx = a~x о
"'х+Ех+УХ'
b.v
=
Ь(х + Ь.х)2 - Ьх2 = Ь(2хЬ.х + Ь.2х); lim ~t, =
~X"""O ~v
a~x
Нт
а
(v'x+~x+fi)b(2x~x+~2x)
~X"""O (v'x+~x+fi)b(2x+~x)
4Ь:Тх f= О; и и v эквиваJJентны, еСJJИ 4Ь:УХ = 1 {:}
ГЗ_ а
_
ЗГ;;2
Vxv- 4ь{:}х- V16Ь2о
415. ПJJощадь праВИJJЬНОГО треУГОJJьника со стороной а
равна а2jЗ, высота
а'{3;Sо6щ= lim (а
2
fЗ+а
2
fЗ01+ооо
n-+ОО
+а2УЗо(;!)n-l+ )_а
2
vГз о lim 1-(3/4)n - а2 J3
4
4
ооо -
4
n-+оо 1-3/4 -
о
419. Пусть l - ДJJина звена JJоманой, L" -
ДJJина всей
JJоманой; l = 2(n+l)cOS f,;-; L n = со:'2"n; J.!..m
oo
Ln=c:SO =ао
498
Нтх=Нт
1
=
lim
х-+±оо "'х2 +1+х х-+±оо 1+ I ж lу,+,/... 2
= { 1/2,х --+ +000
ж
-00, х
--+
-00
316. lim s!nox = Нт (SiIlOX 0.../!3:.- о 2:) = 2:0
х-+О SIIl {3X
х-+О ох SIl1{3X {3
{3
321 10 l- cosx
_
10 2sin2х/2 _ 10 2siп2Х 2 _ 1
х2
• x~xт- -x~
-
x~14(x 2) - 20
329. Нт ;1/ COSX
2 = [у =Х-7Г/2 --+ О,
Х-+1Г/2 v (l-sll1x)
Нт COs(y+rr 2)
=
Нт_
sillY
=lim_о
у-+О 3 l-sill(y+rr/2)2
у-+О ij(l-сОSу)2 у-+О
= lim
2siny/2cosy/2 = lim
2
= 000
у-+О sillу/2ij4siпу/2 у-+О ij4siпу/2
10 siП(Х-1Г/б) _ 10
336• Ш1 г.;
-
Х-'7Г1т/6 2 о (( х
Х-+7Г /6 v З/2-соsх
SII1
1г
343 10 sill(a+21')-2sill(a+h)+sina 10
• h~1
1,2
h~
h2
10 2siп(а+h)( -25in2
,./2) _ 10
4sin(a+h)sin2 h/2 _
h~
1,2
-
h~1 4(1./2)2
-
348 10 1-соsхv'ёOs2X _ 10 l-соsхv"I---2-Si-п-=-2- _
х
х2
•x~
-
x~1
х2
10 1-cos2 x(I-25in
2х
10 l-соз2 x+2sin2 хсоз2 х
=1т
=1т
22
х--+О (l+cosx 1-2sin2 х)х 2 х-+О
х
-
10nsin
2
х(l+2соз2 х) _ 3
-
11
2х2
-
20
х-+О
2х-1
~0_3_0(2x_l)
355. Нт (Х+l)
=
lim (1+_3_) з х-2
Х--+ОО х-2
Х-+ОО
х-2
3(2Х-;1)
Нте"'-
= е60
х-+оо ()х
{+оо,х--+ +00
359. lim 2Х+l
=
Нт2Х=
х-+±оо х-l
х-+±оо
О,Х--+
-00
ж-ж
2%1
2",
1
2
373. lim~ =Нт~ =НтL..=.... о+--о~ =
х-+О 51ПХ
х-+Ое 51Пх х-+О 2х Slnх е
10h
10 е'" -е-'"
10 l_е- 2х
378•1тtх
1т Х--+ =
1111 1+
-ж
-2х
х-++оо
х--++оо е е
х-+оо е
Нт thx = lim е:-е=: = lim e~:-1 = -10
х-+-оо
х__оо е +е
х--+-оое +1
380. lim x(Jx2+VX4+1-хJ2)= Н111 х I
х-++оо
х--++оо
lim
х
_
x-++0О(v'Х 4 +1+Х 2 )( vx2 +v'X4 +1+Xv'2)
=
lim
1
=00
x-++00(VX2+1/x2+x)( Vx 2 +...Гx4+Т+xv'2)
,
lim x(Jx2+VX4+1-хJ2) = -000
х-+-сх;
500
Решения
423. Пусть LOPТ = х, ОА = т, тогда РТ = rctgx,
PN = PТcosx
=
rcosxctgx, LO = 1Г/2 - х,
ON=rcos(Jr/2- х) =rsinx, AN =ОА - ON=т(1-sil1x),
АР
PN- AN
=
r(ctgxcosx - 1 + sinx)
r cos2 х-s.iпх±siп
2
х_rl-siпх.приР-+Ах-+1Г/2
SIЛХ
SlI)X '
,
lim 1~ = lim sinx = 1, значит бесконечно малые AN
X-+1f /2
Х-+1Г/2
И АР эквивалентны .
к ГЛАВЕ 3
431. L).8
=
8(5 + L).t) - 8(5) = g(5±~t)2 _ ~
-
g(10Дt±д2 t ).
_
дs _ g(10дt±д2 t ) _ .9(lО±дt). при лt
_
vcp
= 1с vcp = 53,9м/с; при L).t = 0,1сиср =49,49м/с; при L).t =
0,05с vcp
=
49,25м/с; при L).t
=
О,ООlс v
2
'
-
дt-
2дt -
2
,
и
cp
= 49,005м/с; vt = 8'(t) = gt = 9,8tM/C; V5 = 49,Ом/с ; VI0 =
= 98,Ом/с .
441 .3 . L).y = .)x+L).x - vx = ~±yx;
~-
1
.
приХ- 4 L).x
-
О4~
1_
дх - ",х±кх±ух'
-,
-,
дх
v'4,4±v'4
-
0245'
,-
l'~-l'
1
_
1_1
-
,
,у-1тд
-
1т~/44- ~24- 4"'
дх-+О Х дх-+о УЧ±L.lХ±
:':У4
443. I'(х) = lim ~ = lim (х±дх)2_х2 =
Дх-+О дх дх-+О дх
= liт 2хдх±д2 х = lim (2х+дХ) = 2х;
дх-+о дх
дх-+о
f'(5) = 10, 1'(-2) = -4, 1'(-3/2) = -3.
452. lim xf(a)-af(x) = li т xf(a)-af(a)±af(a)-af(x) =
Х--+а
х-а
ж-а
ж-а
= lim (f(a) - af(X)=f(a» ) = f(a) - аl'(а) .
Х--+В
ха
453. П усть J(X) - четна я функция;
f'( ) - l' f(-x±h)-f(-х) _ l' f(x-h)-f(x) _
-
х-1т
h
-
1т
)
_
h-+O
h-+O'
= - liт f(x-h)- f(x) = -f'(x).
).-+0
-h
458. Пусть f(x) = х
2
, g(x) = 3х - 2; решая уравнение
х2
= 3х-2,получаемхl =1,Х2 =2;А(l,l)иВ(2,4)-точ
ки пересечения; l'(х)=2х, 1'(1)=2, 1'(2)=4, g' (x)=3; в точ
кеАQ = arctgI~З~2 =arctg~;вточкеВа2 = arctg1~4~З =
= arctg /З'
461. J(x) = х
З
,I'(х)=3х2,f(2)=8,1'(2)=12;У=
8 + 12(х - 2) {::} у = 12х - 16 - уравнение касательной;
Решения
501
у = 8-1/12(х-2) {::} у = -1/12х+49/6 - уравнение норма
ли; 8/12 = 2/3 - подкасательная; 8·12 = 96 - поднормаль.
464. f(x) = ах 2 , f'(x) = 2ах, f(x)/f'(x) = х/2.
466.5. (2Vx-~+13)' = (2хl/2_х-1)'+0=х-
1
/2 +х-
2
=
_
1+1
-7х Х2"'
_
(:<2±1),з(х2 -1)-(х
2
±I)з(х2-1)' +(х2 _ 1)'(1 _ )+
477. z'
-
(З(Х' -I)/
х
х2_1)(1-х)'
-
2х(3х -ЗJ-(х2±1)6Х + 2х - 2х2 + 1
+(•
-
9(х _1)2
2
4:.
+2+132
-
Х=3(.1:2-1)2х-х
.
502 (1-(2Х) 1/3)' _2/3(2х)-2/3( 1±(2:<) 1/ 3)_2/3(2:<) -2 /3( 1_(2Х)'/3)
.
1±(2х)' / 3
(1±(2х)' / 3)2
_2j3(2x)-2 / 3(1±(2х)I /3 ±1-(2х)' /З) _
4
(1±(2х)I / З)2
-
3(2:с)2 / 3 (1±(2х)I / 3)2'
513. у'
=
-1/3·2(2x-l)-4/3+5(-3/4)(x2 +2)-7j.t
2
15х
3V(2x-l)' 2 {!(х2±2)7 .
529. у'=1/3· 3tg2x ·1/cos2x - 1/cos2
x + 1=tg2x(tg2x + 1)
- tg2x-l+ 1=tg4
x.
547.1. у'
=
nsiпП- l хсоsх·соsnх+siпПх(-nsiпnх) =
= nsiпп - l x(cosxcosnx - sinxsinnx) = nsil1
п
-1
xcos(n+ l)х.
551 . у' = arcsinx + х "'1~x2 - "'1~x2 = arcsinx.
565. у' =
1
cosx = cosx .
. )1-sin2 Х
Icosxl
568 '
1
1
-(l±х)-(1-х) J1±E..:LIE....
-2
• У Jl-.!.=L 2J 1-"
(l±х)2
2х 2V!=X {1±х)2
1+з:
1+х
(l±х).)2х(1-х) .
581'-
(-I/x)(1±111x)-(lfx)(I-1nx) _ _
2
•У-
(l±1пх)
-
х(1±1пх)2'
590.
'=___
1_.
1
.2= _
2
.
У
arccos2x .)1-(2х)2
~ arccos2x
3
597. у' = 1..
1 з.:=k.cos~.1. =
ctg~
4.
3 (!1п2 sin =f! Slll -, -
4
4
12 Vl11 2 sin ,,!З
,_
21"X-х21"Жl02·i _ 21""(1-1п2) _ 1-102
609. у
-
221пж
-
221",.
-
~.
616. у' = (xex)'(cosx + sinx) + xeX(cosx + sinx)' = (хе
Х
+
+ eX)(cosx + sinx) + xeX(cosx - sinx) = eX(xcosx + xsinx +
+cosx+sinx+xcosx-xsinx) = е
Х
2xcosx+cosx+sinx) .
629. у' =
1
.cos 3 arctge3X. ~.
1
Х
sil1 {!аrсtg еЗЖ
з {!arctg2 е3"
1
3х 3 _ е3Жсtg~
Х1±(3")2.е
.
-
v
.
e
arct.g2 еЗ" (1±е6ж )
636.'=
1
.
1=
1
_1_
У l±tl,2x ch2x
sh2 x±ch'x
ch2x'
502
Решенuя
647. у' =
1 +Д.1- 2tllXХ
2ch2 x
8 1+2thx
Х -/2rьtx (1- -/2th х)+ -/2rьtx (Н -/2th х) _
(1--/2thx)2
_
1
д.
2-/2
_
1-2th2 x+1
1-t.11 2 x_
-
2cl12 X + 8 ch2 x(1-2th2 x) - 2ch2 x(1-2t.h2 x) - ch2x-2sh2x
1-н,2 х _
1
_
1
_
1
1-sh2 x - ch2:r(1-sh2 x) - (1+s1,2 x )(1-sl,2 x ) - 1-s11" Х'
651.1n y = xXlnx = zlnx; lI1Z = хlпх;
- ;: = lnx+1;
z'
=
xX(1nx + 1); у' = y(zlI1x)'
=
y(xx(1 nx + l)lnx +
ххж
+ хХ(l/х)) =
xX(1n
2
х+lnx+l/х).
659.lny = ~(1BX+lnsinx+ ~ln(l- ех)) =>
У' = '!'y('!'+ctgx-'!'~).
2
х
2 1-еЖ
672. у' = -2sinxcosx(3 - cosx) + cos2 xsinx =
= -6sinxcosx + 3cos2
xsinx = 3/2siI12x(cosx - 2).
687l'=
1
.
(1+ 2х )=
1
.у x+~
2~ ~.
,
2
1
1
:с
)'
2
691. у = 3(Нх2) +з' Н( 1_",,2) 2' (1-х2 = 3{Нх2) +
1
1-х2+2х2 _
2
1+х2 _
+ 3(Н ,,2
)' (1_х2)2 - 3{Нх2) + 3{x~-x2+1)
~
=
2х4-2х
2
+2:;;х4 +2х
2
+1=~
3(Нх2)(х -х2+1)
хн·
697. у' =
. (1+ ..j1
.
(1 + ~)).
2 x+JX
'-уХ
703.у' = arcsinlnx+х· I 1
.
,!.
'1-ln2 x х
= arcsinlnx+ ~ .
1-ln2 Х
709 '-
1
.
1
.
(_1)=_
1
Х
• У - агсtgтiж Н( 1~2Y {1+х)2
arctg 1!"
~1+x)2
1
1
Х х +2х+2 . (1+х)2 = - (х2+2х+2) arctg I!Ж .
721. у' = (sin2
x)'sinx2 + (siI1x 2)'sin2x =
= 2sinxcosxsinx2 + 2xcosx2sin2х = sin2xsinx2 +
+ 2xcosx2sin
2
х.
724 '- 1 1-х 1- х-(-1)(Нх)
1
_
•У -4Нх О-х)2
-
2(Нх2)
х2
_
1(2 2)_
-
4 1-х2 - 1+х2 - 1-х4'
729'
' 2х -а.(-
).,!,__ х+а_
1
·
у 2Ja2 -x2
..j1_{~ )2 а- ~ ~-
_
а-х_~
-~-Ya+x'
503
Решенuя
.
v?=l-x~
2)
2 ,,2-1
732. у'
x+Y~2-1' (1 + 2vx2-1
-
х21
2
2
1
1
x+~ _ Х-1-х
~ + -,:-=;:
3
=
,Щ .,~? "
(х2 -1)ух2 -1
ух·-l \I(х 2 -1)
х2
= v(з;2-1)3'
737. y'=3(3x2arcsinx+x3 Vl~X2) + 2xV1-х2 + (х
2
+2)х
х (_ 2х ) =9x2arcsinx+ зх
3
+2х(1-х2 )-х(х
2
+2) =9x2arcsinx.
2vl-x2
vl-з;2
740. у'
=
ежсоsх;е %s in X(eXcosx - eXsinx - e-xsinx +
+ е-Х osx) = ( е" +e-")(СOSХ-:SiI1Х) .
С
e%cosx е ХSIПХ
746. у' = earctg 1+ln(2x+3)
1
2
1
Х
Н( VHII1(2x+3») 2V1+I11(2X+3)
1
eorctg у"""1+"""1,-",
(2=-""""+3=)
Х -_ . 2= ----:~__-=-- __ __ _r===.
2х+3 (2x+3)(2+ln(2X+3»V1+ln(2X+3)'
751. у' =~(-V1-2х
-
х2 + (3 - X)2V~':~~':X2+
+2.
1
.
..1..-) = _ vl-2x-x2 _ (3-х)(х+1) +
Vl-( 7fY -/2
2
2vl-2x-x
2
х2
+
2
_
_
1+2х+х2 +х 2 _2х_3+4 _
vl-2x-x2 -
Vl-2x-x 2
-
vl-2x-x2
756. у' = -~. ±З. ex2-arctgx+l/2111x+l +
+ ..1..- . ex2-arctgx+1/2Inx+l . (2Х _ 1 +...!..) =
JX
1+х2 2х
2
еЖ - arctgx+l/2Inx+l -1+4x'2-~+l _
2хХ
еж2-аrсtgZ+l/21nх+l 2
1)
=
тх
х- 1+х2 •
760.у' = (х2 +а2 )3+ X·'lVx2 +a2
·2x+
,
2
2
2
4
+:!!L.VX2+а2+3ах.
1
. 2х+:!!L. __
1_=
2
2
2~
2~
= VX2+а2~X2+а2+зх2+за
2
)+ 1 (за2х
2
+3а
4
)=
2
2~
= VX2+а2 4х2+5а
2
)+
1
. 3а2(х2+а2) =
2
2~
= VX2+а24х2+5~2 +3~2) = 4J(x2+а2)3.
761. у' = arcsin2х + Х· 2arcsinx· Vl~X2
-
2+
+ 22V11_x2 . (-2х)агсsinх+2V1-х
2
V1~X2 =
= arcsin2х + 2xarcsinx - 2x arcsinx - 2+ 2 = arcsin2х.
765. У'=(ln(Ji~х-;&х))'-(ln( V1+x+V1-х))' +
+2(arctg~)' JГ+x~~(2k+2~)-
504,
Решенuя
1
(1
1) 2 1 1 f1+; -(I+x)-(J-x)_
l+x+v'l-x 2v'I+X-2~ + 1+;:;:2 Ут=:ё (1+х)"
1
~+~
1
~-,;г=x+
v'I+X-,/l-х 2v'1-x 2
v'I+X+v'I-х 2v'I-x2
+ 1+х J1+X -2
_
(,;г=x+v1+x)2+(~_v'I+X)2 ___1 _
2 l-х (1+х)2
-
2\I'Т=XI( v'I+X-v'I-х)( v'1-х+v'I+X) \I'Т=XI
1
1
1-..
1~
= xv'l-x2 - v'1-x2= xv'l-x2=~ VJ:"+X '
768.у' = :1/х-х+l1. 4 (X~_:C+l)3.
V х2+Х+l 4 х-+х+l
(2X+1){,t2 -.t+l)-(2З' -I)(х 2 +Х+l)+_I_ ~ 1
2+
1
.,.L\
(x
2
- x+l)2
.
2vГз ~+ (2r:r1)2 vГз 1+ (2"'; J )2 ..;3)
_
1. x2 -х+ 1 2x(X2_X+l-х2_Х-l)+(х2_Х+l+Х~+Х+l) +
-
4 х2+",+1
(х2-Х+l)2
+1(
3
+:3)
2-2х2
+
3 4х 2 +4Х+4 4х 2 -4х+4 = 4(x2-x+l)(x1+x+l)
2х2+2
_
1
_
1
+ 4(x2-Х+l)(х2+Х+l) - x4 +2x2+I_x2 - х4+х2+1'
772. у' = (,,;2+~XVX2+1+~ln(x+vx2+1))' =
(~ 2) 1+~
')2
= Х+1. vх2+1+ х + ~=х+_Х+1 +
2
~ x+vi?+l
2v'x2+1
+ x+@±I=x+ 2х
2
+1 +_1_ = x+vx2+1'
2vi?+l(x+vi?+l)
2v'ХЧl vi?+l
'
ху'+lny' = х
2
+х../х2+1+ln(x+VX2+1) = 2у.
776 dx = earcsiny __I _ .
!!.Ji. = Vl- y2.
.
dy
.JI=Y2 J dx
е8ГС8111 у ,
.'
.
dll
Vl-s in2 111 x
CO- I'1X
Х = еагсsшу <=? у = sшlпх; =<-d =
= _8_
,Х
Х
Х
780.Пустьу =а(х) =}х=уу;
'_1_
1
_
1
ух-x~
-
yY(lnY+l) - x( ln o«x)+I)'
783 !!Ji. -
-4Х3( I+х
4
)_4Х3(I_х4) _ _ 8х3 =} dx __ (l+х4)2.
•dx-
(1+х 4 )2
-
~ dy - ---в::rз-,
.
- 3/4
-
l-х·<=?х-</Ьdx _ 1.(Ь)
-2_
У-l+х4
-
l+у' dy -
4 l+у
(l+у)2
-
1. !!Ji.. dx _
_8Х3 .
-1
_
-
2 {!(I-У)3(1+у) 5' dx dy - (1+х 4 )2 2 tI(I-У)3(1+у)5
4х3
4х3
(1+.4)24/(1_ 1 _,,4 ) 3(1+ 1_Х4 )5 (1+х4)2 4/ ~ ~
х V 1+,,4
1+,,4
V(1+" ) (1+" )~
4х3
-
_
1
-
fY256x 12 -
•
791. 2(х - 1)+2(у+3)у'=О =}у' = _ ::;:~
=}
у'(2,1) = -!.
794. зх
2
+3у2у'- 3а(у+ху') = О
=}
у'(3у2- 3ах) = -3х2+3ау =} у' = ;с::.
Решенuя
505
800. cos(xy) . (у + ху') - sin(xy) . (у + ху') = cos\t~/:y)
=}
y'(xcos(xy) - xsil1(xy) - ' cos2(~+y») =
- ycos(xy) + ysil1(xy) +
1
=}' =
_
ycos2(x+y)(cos(xy)-sill(xy»-1
+ cos2(x+y) У
xcos2 (x+y)(cos(xy)-siJ1(ху»-1 .
804.ХУ = уХ
=} yll1x = xlny =} y'lnx+~ = lny+
+x1L =} y'(lnx- .!:) = lny-1L =} у' = y(x lJ1 11-у~.
11
У
:с
х(у In x-x
,,'
_
!fJ-k 1
1L( 21l. )
810. ~
-
1+k2cos2i!: =} 2 tg2+1
2
2
_
Jl-k 1
1L(l-k 2.!: 1)-Jl-k 1
-
1+/;2cos2t =} 2 l+ktg 2+
-
1+k 2cus2 t =}
,- Jl-k
1+!;
-
V'J=k2'
У - l+k cos2 ~((1-k)tg2 t+1+k) - (l-k)siIl2~+(1+/;)COB2 ~
_,~
-
v'iЭ?
J+k(cos2t-sin2~) , -
I+kcosx'
813.ху -lnу=1=}У+ху'-~ ==о =}у'(х-t)=-у =}
у'=X~~21 =}у2+(ху-l)у' =у2 -у2 =О.
815. Уравнение параболы у2=2рх=}2уу'=2р , у'=р/у;
Р(р/2 , О) - фокус, прямая х = р/2 пересекает параболу в
точках А(р/2,р) и В(р/2 ,-р); ул = 1 , у'в = -1
=} улу'в =
= -1.
818. Пусть А(хо,уо)
-
точка на гиперболе. ВС - каса
тельная, проходящая через А, В(Ь , О) и С(О,с) - точки ее
пересечения с осями , S - площадь треугольника. у = ~,
,
а
а
а(•
)_2аах
ВС
у =-:;2',У=--:;2'Х-Хо ---:;2'-уравнение
,
х
Ха
хо
ХО
ХО
Ь=2хо,с =~~ =2уо,S=2хоуо =2а =(V2a)2.
820. v
=
8'
=
1+2t, v(5) = l1CM/C = 0 ,11 м/с ;
Е= 3.02112 = 0,01815Дж.
825.у' =2х(х-2)2+2х2(х-2)=4х(х -2)(х -1);у'=о
в точках А(О,О), В(l,l), С(2,0).
829.2х-6у+1 =О<=?У=f+i=}k=~ =}k1= -3;
г(х)=зх2+6х=-3 =}хо= -1,f(xo)=-3,у =-3
-3(х+ 1) = -3х- 6; 3х+у+6 = О - уравнение касательной.
832f'() - 16а
3
хf'()-
32,,4
-
1f()
•
х - - (4а2+х2)2' ХО
-
-
64а4 - -2' хо
3
~=а; '!J=а-~(x-2a) =7~x+2a <=?х+2у=4а
касательная;у=а+2(х-2а) =2х-3а <=?2х-У =3а
нормаль.
835.2 . у = ±Ы, у' = ±~.jX; подкасательная ffr ~x;
поднормаль уу' = _~x2 .
506
Решенuя
837. f(Xl) = 4, f(x2) = 8; уравнение хорды ~ =
~=1{::}у=2х+2 =}k=2; г(х) =2х-2,2х-2 =2 =}
хо = 2,f(xo) = 5,Г(хо) = 2, у = 5+2(х-2) {::} у = 2х+1
уравнение касательной.
840. Координаты вершины параболы А(3; -3), уравнение
прямойОАу=-х =}k= -1
=}
--;7=1=}у'=
-1;
г(х)=2х-6,2х-6 = -1
=} хо = 2,5, f(xo) = -2,75,
У= -2,75+(х-2,5){::}У=х-5,25{::}4х-4у -21 =О
уравнение нормали.
842. Точки пересечения А(4,5) и В(1,2); у' = 2х - 4,
y~=4,у'в =
-2;у-5 =-0,25(х-4){::}у=-0,25х+
+6 - нормаль в точке А; у
-
2=0,5(х-1){::}У=0,5х+
+ 1,5 - нормаль в точке В; С(6;4,5)
-
точка пересечения;
SABC = нзз. 5 - 3·2,5) = 3,75.
844. Пусть (хо, Уо)
-
точка касания; у' = - (Х;5)2' У =
~~~~ - (х015)2 (х
-
хо) - уравнение касательной; у(О) =
О-'- хо+9+~-О
-
15
-
3·
-.-
Хо+5 (хо+5)" -
,ХОl-
-
,Х02-
-
, в точке
(-15;~) касательная у = ~ - {5(х+15) {::}У= - ;'5; Вточке
(-3;3)касательнаяу=3 - (х+3){::}у=-х.
846. 2х(х+у)+х
2
(1+у') = а2 (1-у') =} 2х2 +2ху+а2 =
2
22
= -(а2+х2)у'=}у'=а-2х -ху
=}у'(ОО)=1·У=х _
а2+х2
"
касательная.
849.у' =2е
2х
+2х,у'(О)=2,у(О) =1;у=1-~x{::}
х + 2у = 2 {::} 7j + 15y = 15 - каноническое уравнение
нормали, значит 7s - искомое расстояние.
852у'=lп(сх)+1=1L+1=~ =}~=~.
.
х
х
у
х
ь2
854.2х+~=О =}у'= _
х.У=У _Ь~xo(х
-
хо) {::}
2~Ь2
ату, 2 20 ауо
11:gp. = ~ -~
а +~{::}~а +11:gp. = ~а +~=1.
ь
Ь
а
Ь
Ь
858.4 у = f(x) - уравнение кривой, тогда искомое урав
нение у = f'(x)x;f'(x) = ~va2-x2-al11(a+va2-x2)+
+ аlпх)' = ___
х_
_
а -~ +!! = ax-ax-x~ +
~ а+.,/а2 -х 2 х "/a2.~/~(a+/a2_X2)
+!!__ х
+!! _ a2_x2~a~
_
а-х =}
_
х - a+"/a~-x2 Х
-
х(а+ а2-х2) -
х
У
2х2
=va-
-
полуокружность.
862. х2+ 2:~X =8ах, 10ах2 =16а2Х=}Хl =0, Х2 = ~a; кривые
пересекаются в трех точках: 0(0,0), A(~a, ~6a), B(~a,- ~6a);
Решенuя
507·
т. к. кривые симметричны, углы между ними в точках А и В
равны. Обозначим верхнюю полуокружность f(x), верхнюю
ветвь циссоиды g(x}; найдем f'(x): 2х+2уу' = 8а, f' = 4а-х;
'(х) . 2 '= зх2(2а-х)+х3 = 2х2(за-х) '= х2(3а-х). f(OY) =
9 .уу
(2а-х)"
(2а-х)2 , 9 y(2a-x)~'
= О =} НтГ(х) = lim4а-х = 00 limg'(x) =Нтх
2
(за-Х1
x~o
х-.о у
, х-+о
х-+о у(2а-х)
·
х2(3а-з; )~ О
О
900
= 11111
'-(2 )2
=
, следовательно, в точке (}1 =
;
Х
х--+О Ху
а-х
f'(85а) . 3
'(8) 7
~1
450
=4>95а=
=} tg(}2 = 1+7.3/4 =
=}(}2=
.
х4 + 4а2х2
х2 4а2
863 х2 = х2+4а2 ,
-
32а4=О
1=
.
32а4
,
,
x~ = -8а2 , х = ±2а - абсциссы точек пересечения кривых
f(x) = ~: и g(x) = х2В::а2; г(х)= 2Ха' Г(2а) = 1; g'(x) =
16а3х
'(2)- -2'
1 tg() - 1-12
-
-
3
-
-
ta3 .
l+1~2
(х2+4а2)2' 9 а -
-
=} ()
arc ь
866.~+iJY=О,у' =-~.ПустьОАиОВ - отрезки
осей Ох и Оу; ОА = х- -;, = х+у'хУ,ОВ = у-ху' = у+у'хУ,
ОА+ОВ = х+2у'хУ+у = (у'Х+ уГу)2 = а.
~-""'"
2х2
868.у =~(1n(a+va2- х2)-ln(a- va2- х2)- va
-
;
,_
а(
-х
+
-х
)+_x~_
у - 2" (a+.,/a2-x2)~ (a-.,/a2-x2)~
"/а2_х2 -:
_
-ах a-,~+a+,~ + х _
,,2
+
-
2v'a2-x2 ~a2+x~ ~ - xv'a2-x2
+х=_.,/а
2
_х2 • ВА! где М(х·у)
~
х"
"
В(О;у - ху'
=
у + va2 - х2) - искомый отрезок:· Iв.МI
=
= vx2+a2-x2 = а.
870. Пусть А - точка пересечения касательной с осью
ьх2
абсцисс.а+Ь=1 =}у2=
-2а_2Ьу' =О
~!r
х2-а' хз уз
,
у'= - ~.хА=Х-JL=х+Ьх
3
(х2-а) =
Ьх'
зУ'
аЬх2
= x+~(x2-a) =:.
872. Уравнение касательной к эллипсу 'Чf + 'JJ1fl- =
'о
1
Ь
2
а
(854); при у = О х = ~o независимо от Ь. Постройте окруж
ность с центром в центре эллипса радиуса а, проведите ка
сательную к ней в точке с абсциссой хо и соедините точку
пересечения этой касательной с осью Ох и точку эллипса
(Хо,Уо) .
874.МР =Ja2ch
2
~ - а2 ash~ =} ctgL.PMN =
= sh~ =у' =kK1k·
508
Решепия
х2
877. дх
=
(х+Дх)2-
=
2хдХ+Дх2, dy = 2хдХ;
прих=1,дх =0,1ду=0,21,dy=0,2,ду-dy=0,01,
8=Д,сdу =48%
1..>.У
,.
882d" - 2Лх->..
-
-1L
-
- 0.8
-
2
•"
-
Xu-rХ-2дх
-
ОА--
.
887.1 дs = (8+Дх)2_8 2 = 16ДХ+Дх2 , ds = 16дх;
дх=1дs=17
,
ds=16и1"=
17-16 = 588&0
,
,
17
,!С.
889.18. dy= tg(7r/i-X/4) СОS2(1Г)2-хl4) -,/dx=
dx,м=
dx
2-sin(xj2) .
892.ду~dy= dx.Х =450dx=10'dy=
.l!r. =
cos 2x,
,
,
1/2
= 20' = 5~0 ~ 0,00582.
897 d - l/x(x-xlnx)-(I+lnx)(I-1I1 x-l)dx -
1+ln 2x dx'
.
у-
(x-XII1X)2
-
x2(l-lnx)2 ,
2x2dy = 21+1112 х dx' (х2у2 + l)dx = (1+IIIX)2 + 1) dx =
l-Iпх '
(1-lnx)2
1+21I1 x+I J12x+I-21I1 Х+ 11I2хdx = 2 1+ln 2x dx
(1-lnx)'
(1-1I1x)2 ..
900. arctg(x + дх) ~ arctgx + d(aI"ctgx) = arctgx + 1~~2;
arctg1,o2 ~ arctg1 + ~~i = ~ + 0,01 ~ 0,795 ; arctgO,97 ~
~~-0,03~О770
. .... ... ..
4
2..........'
•
903.2s = 2l(1+~),d(2s) = 2l41t~1 = 8{f/, df= 3~~s.
906.6. d
=
1d=du=d.(a,rcsinv)=dv
=
У 2tg~C052 ~ и 5inu 5ша,ГСSIIJV
vv'l-v2
d cos2x
-2sin2xdx
2dx
сов2х l-cos 2х = cos2xsit12x = - сов2х'
907. f~(O)= lim 1~~1=1, f~(O)= lim 1~~1=-1; f~(O)#
дх-+о
дх- -О
# f'- (О), значит, функция не дифференцируема при х = О.
lim tlX- 5in ir
912. /,(0) =
lim дхsiп }
О,Т.к.
дх.....О дх
=
дх-О
I..>.X
Isin1хI~ 1.
915. limf(x) = limxarctg! = О = /(0) (laI"ctg!1 < ~2)'
х-о
х-о
х
х
значит, функция непрерывна; f~(O) = lim arctg 1 =~,
дх-+о
х
f'-(O) = lim arctg 1х = -~; f~(O) # f~(O), значит, функ
дх--О
ция не дифференцируема при х = О.
916. lim (1 + е1/х) = +00, lim (1+е1/Х)
1 ::::}
х-+О
х--О
lim I+ Х1 /'" = О = f(O), значит, функция непрерывна; f~(O) =
х-О с
= lim I+Х1/З; =0, f'- (0)= lim I+Х1/З; =1; f~(0)#f~(О), зна
дх-+о е
дх--О е
ЧИТ, функция не ДИфференцируема при х = О.
Решепия
509
919. х = pcost.p = 2rcos
2t.p = т(1 + cos2t.p); у = psint.p =
= 2rcost.psint.p = rsin2t.p; ~~ = -2rsin2t.p~ = -2rwsi112t.p; *=
= 2rcos2t.p~ = 2rwcos2t.p .
921 р-рecl,. 1111 =5540с::::}с-
_.l!:!1.., !!:Е = r-nое С11 =
·
-
о,2
-
5540' dh
~y
= - ~~}op ~ -0,000125р.
.
924. 16х2+9у2=400::::} 32х+ 18уу' = О ::::} у' = _ 1:;; Iу;. I=
= Ix~1 ::::} Wxl = 1::::} 16х = 9у::::} 16х 2 + 2~6x2 = 400::::} Х = ±3,
у= ±1з6, точки(3,1з6)и(-3,- 1з6).
927. V' = (~7!'R3)' = 47!'R 2 R' = 47!'R 2 v; 5' = (47!'R
2
)'=
= 87!'RR' = 87!'Rv.
930 (SiI1X1)' = (;OSX1 = n ::::} (tgX1)' = cos;х2 = 1
·
(SiI1X2)' СОSЗ'2
(tgX2)'
cos Хl
~.
.
{ Cost=-l
3(2cost - cos2t) = -9
935.1.
<=> cos2t = -1 <=>
{ 3(2sint - Si112t) = О
t=7rn
t=7r(2n+1),nЕZ.
937. y~=3bsi112t.pCoSt.p, x~=-3acos2t.psint.p, y~=~=-~tgt.p.
'
11
(2
,
_
2!
,
_
t
941· Yt =
-
l+t2=l+t2'xt-l+t2,Ух -2'
945'
6at(l+t 3 )-3t2
.3at2
6at-3at 4
3at(2-t
3
)
·Yt
(1+t 3 )2
(IН3 »
(1+t 3)2 ,
, _ 3(1(1+t3 )-3t2'3(1t _ 3(1-6at 3 _ 3a{I-2t3 )
,
_
t(2-t3 )
Xt-
{1+t3)2
-
~- (1+t3)2,Ух -~.
950.2. y~ = 3asin2tcost, x~ = -3acos2tsint, y~ = -tgt=
=tg(7r-t); y~ =tgQ::::}t=7r-Q.
952у'-
_
3_2
__
2t+3х'_t
3
_зt 2 _зt
3
__
2t+3
•'!
-
~t2'-
tз't-
tб
-
-т-r,
y~=t::::}ХУ'3=Wt3=1+t=1+у'.
956.1. Пусть /(х)
=
х2 , у(х) задается как у = ~sint,
х = ~cost; /(х) = у(х) ::::} ~sint = 295cos2t ::::} isil1t = ~
-
~sin2t ::::} sinto = ~, ctgto = ±l, Уо = ~sinto = 1, хо = ±1;
f'() 2
±2'() 5/4costo
3t
9
хо=хо
=
, 9 хо = 5/35il1to
4'ctg о=т 16' tgQl =
=tgQ2=121~9i/861= ~l. Кривые пересекаются в двух точках под
углами аl = а2 = arctg41 ~ 87012'.
2
957. Высшая и низшая точки производящего круга
A(at,O) и B(at,2a); y~=asint, x~=a(l-cost), Y~=I~i~~st; у=
=a(l-cost)+ l~i~~st (x-a(t-sint)) - уравнение касательной;
y(at)=a(l-cost) + l~i~~t (at - at+asil1t)=a(l- cost) +а 1~~:~t =
-
2
.
2
=а 1-2cost+cos t+SIIJ t 2а' y=a(l_cost)_I- .c o st (x-at+asint)
1 cost'
sшt
уравнение нормали; y(at) = а(l- cost) - l;i~,~~t asint = О.
510
Решения
959. x~ = 3asin2tcost , y~ =
-3acos2 tsint, y~ =
-ctgt;
!~!J1+Y'2 = !ctit!V1+ctg2t = I~I
-
касатеJJьная;
2
lyl J1+Y'2 = lyl V1 + ctg t = Is?!.t I - HOpMaJJb; !~! = !ctit! =
= Iytgtl - подкасатеJJьная; lyy'l = Iyctgtl - поднормаJJЬ .
960. КасатеJJьная к окружности: y~ = acost, x~ = -asint,
y~=
- ctgt, У = asint-ctgt(x-acost) = -xctgt+si~t;
HOpMaJJb к ЭВОJJьвенте: y~ = a(cost + tsint - cost) = atsint,
x~ = a(-sint+sint+tcost) = atcost, y~ = tgt , у = a(sint
-
tcost) - ctgt(x - acost - atsint) = -xctgt + asint - atcost +
+ac~2/ +atcost = -xctgt+ Si~t.
962. y~
3acos2tsint , х;
2acost + асоsЗt
-
2asin
2
tcost = 3асоsЗt, y~
=
tgt, У
=
-соsЗt
-
ctgt(x - 2asint - aSintcos2t) - уравнение нормаJJИ, А и
В - точки пересечения нормаJJИ с осями Ох и Оу;
хв=О yb=-асоsЗt+2асоst+асоsЗt=2асоst; B(0,2acost); УА=
=0, хА =2asint+ asintcos
2
t - asintcos2t=2asint; A(2asint,0);
IABI=2a Vsin2t+cos2t=2a.
966 1 '- За{l-t
2
)'-
6at
'- 2t
-
2
_
.
.
хе- (1+t2)2'Yt- ~,Ух
-
l-t2' to -
,хо
=
~a,уо= 152а, уЬ = -1;у=lia-1(x-~a) =-1Х+
+4а {::} 4х+3у-12а = О - касатеJJьная; у = 152a+~(x
-
~a)=~x+~a{::}3х-4у+6а =О - HOpMaJJb.
968. y~ = -ctgt(959 ), у = acos3 t - сtgt(х-аSiпЗt) {::}
у = -xctgt + acost {::} xcost + ysint = asintcost - HOpMaJJb
ное уравнение касатеJJЬНОЙ => ОТ = alsintcostl = ~alsin2tl;
.
4
•
4
3
4
t
t
У = acos t+xtut-a~ {::} у = xtgt+a COS t-SIl1
{::} ycost
ь
cost
cost
-
xsint = acos2t - HOpMaJJbHOe уравнение нормаJJИ => ON =
= alcos2tl => 40T2 +O.N
2
=a
2sin22t+a2cos22t = а2.
970. tg() = .i!, = 2rslll'P = tg<p; () = <р.
.
,
Р. ~rсоs'Р
йsiпЗ *
972. р
=
aSll1 'Е.зсоs'Е.з; tg() =
.
2!;! !!;! = tg'Е.
=>
aSln 3cos3
з
()=~ =>о:=()+<р =1<Р =4().
976. p~ = -asin<p, p~ = asin<p => tg()1 = a~~s~~S:) = -ctg~,
tg()2 = a{~~i~~;'P) = tg'E. => tg()1 tg()2 = -1.
'-~
-
f;Гt) ...... tg() _ fl{t)f~{t)
977. Р'Р - 'Р;
-
f~{t) ....,..
-
f{{t) .
980. П усть В
-
точка касания, А и С - точки пересе
чения ПОJJЯРНОЙ касатеJJЬНОЙ и нормаJJИ с перпеНДИКУJJЯРОМ
к ПОJJЯРНОМУ радиусу, тогда ОА = OBltg()1 = !f,!, ОС =
= ОВltg(1Т/2 - ()I = IP'I·
Решения
511
981. р' =-~ => !f,! =а.
984. р' = a'Pl na = plna.
9872хdx+2у=О dx
а2у ds
/1 + a;y~
• (i2' dy т;r
,
dy
-Ь2Х' dy
VЬх
уЬ4х2+й.у2
990. ds = Y1+cos2xdx.
993
Ь2
.
х
~=а(l - cost),*= asint,
2
~: = aV1- 2cost + cos2t + sin
2
t = aJ4sin ~ = 2asin~.
996. ~ = а( -2sint+2sin2t), 1:1J.. = a(2cost- 2cos2t), ds =
2а sin2t - 2sintsin2t+sin
2
t+cos2t- 2costcos2t + соsЧdt
= 2av2 - 2cos(2t - t)dt = 2aJ4sin2 ~dt = 4asin ~dt.
998. ~i~ = a(-sint+sint+tcost) = atcost,
!flt = a(cost-cost+tsint) = atsint,
~~ = atVsin2t+cos2 t = at.
-
v'100 2 1:1J..
-
х <lx.
-
6dx-2
1000. у-
-х,dt-
JI00-x2dt' х -
,dt-
=>
!flt = - Jl0g-З6 ·2 = -1,5м/мин; скорость напраВJJена верти
KaJJbHO вниз.
1003. Пусть О
-
центр окружности, А - точка каса
ния забора, С - текущее ПОJJожение JJошади, В
-
точка
пересечения забора с JJУЧОМ АС, R - радиус окружности;
LAOB=0:=450,АВ =х =Ptgo:,дугаАС =s =Ro:,v =
=ds=Rd<>dx='
Rd<>=
v
.
V = 20км/ч coso:
d,t.
dt' dt
соэ2 а dt
cos2а'
,
= 4 => ~~ =40км/ч.
1009. г(х) = 6х5 -12х2, f"(x) = ЗОх
4
-
24х, flll(X)
= 120х3 -24, fIV(x) = 360х2, fIV(l) = 360 .
1011 . у'
=
- 2cosxsinx =
-sin2x, у"
=
-2cos2x,
y/ll = 4sin2x .
1015 . у' =3x2 1nx+x2
, у" =6xlnx+5x,
y/ll =61nx+ 11, ylV =~.
1018 '- -1-х -l+ х
_
_
2
"_
2·2
.
У - {Нх)2
-
О+х)2' У - (l+х)3'
/11 _
2·2·3
(n) _ 2{-1) n!
>-1
У - - {l+x):J,'"
у - (l+x)nfl, n,..-
.
1021. у' = 2xarctgx+l, у" = 2arctg:t+ 1~~2'
.fi r=
.fi
1025 '= e.fi
" = tF2vx
-7f = е.fi(уГх-l)
.у
2"7х' у
4х
4хуГх
Решения
512
-SillХ Jl-a2-siIl2:l"- ("о . Ж ( 2a
2
Sil1:l',t-О8Х
1027 у'
асоsз: у" -а
2';1 020;"2,,,
.
Jl-a2siI1 2x'
-
l-n
2sin2
x
__ аsiпх-а2si1l3з:-а2siпхсоs2х
_
аa2
-1)sillx
-
\I"(1-а2Siп2з:)3
-
(l-a 2 siIl 2 x)3
1031. у' = acosax - bsinbx = asin(ax + ~) + bcos(bx + ~),
у" = a 2sin(aX+Jr)+b2cos(bx+Jr), ... y(n) = ansin(ax+ ""Г) +
n
+ bncos(bx + 1I"2 ).
1033.у' =еХ+хеХ = еХ(х+1),у" =еХ(х+1)+еХ
=
= е Х (х+2), ... , у(п) = еХ(х+n).
а2
2а3
1'
'_
"_
"'_
036
а
•у-ах+Ь'у
-- (а:с+Ь)2'
у - (ах+Ь)3'
... ,
(n) (_l)n-1(n-l)!а"
у
(ах+Ь)"
1038
Х1(1+1),_
1(
1
.
1)
•У
(Х-l)(х+l) 2 х-l х+1 ' У -2 -(Х-l)'-(х+1)2 ,
"_1( 2 + 2) (11)_(-1)"n!( 1 + 1 )
У -2 (х-l)3 (х+l)3 , ... ,у
-
2
(х-l)41 (х+l),,+1 .
1040. у = (sin2х+COS2 х)2 - 2si1l2XCOS2Х = 1-~Si1l22х,
у'= - 2si1l2xcos2х = - sin4х = cos(4х+Л,...
у(П) = 4п- 1 cos(4x + 11";).
1041. у' = 2nх(х 2 - 1)П-l => у'(х2 -1) = 2nху; продиф
ференцируем n+ 1 раз по формуле Лейбница . у(n+2)(х2 -1) +
+2х(n+ l)у("+I) +n(n+ l)у(П) = 2nху(n+1) +2n(n+ l)у(П) =>
у(П+2)(х2 -1) + 2ху(П+1) - n(n + 1)у(11) = о.
~
-J2х-з;~- ~
1044. у'
=
~у"=
J2x-x2 ,
2ж-ж 2
-2х,х2 -1+2х-х
2
_
1
_-? => уЗу" =
=
-1.
(2х-х2)3 - - ~_x2)3
1050.
' = ncos(narcsillx)
у
Jl-x"
n~ _ nsin,narc'til1%, ~+-,...i.... COS(1J.arcsiI1X»)
"
l_х 2
Vl-x~
У=
1х2
=
_
пжсоs(пагсsiпж)-п2 sin(narcsinx)~ .
-
\I"(1-ж 2 )3
'
(1 - х2 )у" _ ху' + n2 у = пжсоs(пагсsiпж)-п2siп(пагсsil1Ж)~_
Jl-x 2
пжсоJпагссоsж) + 2 • (
.)о
-
l-ж 2
n sш nаrсsшх =
.
1053.у =1у'=_у'
у" = _ у"у2_ 2уу'2 = 2у'2_у"у
1
У,1
i?' 1
у4
.
у3 ,
'"
4у' у" уЗ _у'" у4 _у" у'у3 _зу 2 у ' (2у,2 _у" у) 6,,',," у_у'" ,,2 _6,,'З
~
~
~
J!l:.. __ (6у'у"у_у"'у2_6у'2)уЗ
_
y"'y2_6y"/"1+6y'3
у;-
у4у'
-
у2у'
У")2_ (2'2
"
2)2
4'4
-
4 ,2У"j +У,,2 2
!!l...
У-уУ~_У
У
"
(у; -
у3_у'-
уГу'
,
Решения
513
'"
( ")2
",26,,,6'3
З(4,4 4
11+,,22)
12
1!L _ 1 1!l..
"
у-1~Уу+11 _
у-111111УУ
у;2у;
уу'
2у2у'2
_
2""',,'у2_12у"у,2у+12у,4_12у,4+12у"у,2у_з,,,,2у2 _ L
_1 (L)2
-
2у2у'2
-
у'2у'.
1055. Р'(х )=1' ер+ fep', Р"= f" ер+21' ер'+fep"= f" ер+ fep"+2C,
~' = L...+:L.+2С; р'" =f'"ер+f"ер'+l'ер"+fер'" = f'"ер+
f
tp
f'P
'"
1"
'11
+ и'ер')'+fер'"= f'"ер+fер"', FF = LJ-+~.
,
2
2
1057.2х+2уу' =О => у'= _.!. у" =-~ =-~ =
у'
у
у
г2
'"
_зг2 ,
зг2ж
= -ys,у
= ---:yry = -7·
1062. еЖ+У=ху, е Ж+ У (1+у')=у+ху, ху(l+у')=у+ху=>
,_~ " (у'-у-жу')(ху-ж)-(у+ху'-I)(у-ху) у'(ж 2 _ж)+у_ у 2
У-.СУ-Ж'у
(жу-ж)2
(ху-х)2
(з:2-х)~+у(l-у) у(ж_l)2+у (l_у)2 У«Х_l)2+(У_l)2)
х2 (у_l)2
ж 2 (1_у)3
х 2 (у_l)3
1063. dx = 1 'РЖ= d(i)=d(i)dж=
dy !Iii: dXI
dy
dx dy
аж
2
2
1 dydx
~з
=-UЮ2dXIdy=-uю .
,
2
1065.2уу' =2р,у' =;,у" = -,. = -~,
11
2
2
k -
у
-
-
р
-
--г~p=;==;<
-
\I"(1+y'2)3 -
узJ(1+т:fr)3 - \I"(рЧ у2)З'
•
11.
11.
11. xi!:2- Y
1068. (а+Ьх)ех =х, Ьех +(а+Ьх)е'" Х
=1=>
be~+XX~2-Y =1 Ье~+!Ш-Jl..=l !Ш=l+JI..-Ье~
d
ж
'JL
dx
'!i.
'dж
d'Ж
'
d
Ж*2- У = x+y-жЬе.с -'1 = l-Ье'" d2
y = жц-у _be~ж~-у
х2
х
х 'dЖI
х
~
JL
JL
JL)2
=
l-Ьех _be~I-Ьex = (I-Ье ж . (х!Ш_ у)2 = x2(1-be~)2
х
х
х'
dx
..
2
= хЗdy.
dXI
dж-
.
t !ш-
t!ш
1071. Тt--asш , dt - acos , dx = -*ctgt; ~ =d(~)
~=d(~) dx
dt:
dж_ ь
. ( asint)_
Ь.
тt - aSill2t ·
-
-
-
a2sin3t>
Х
dt:
dж = зь~ost : (-asint) = _ зь~оst
.
dt
а2sш"t
аЗsш't
10742 dx -
1
!ш_
-2t!ш_
-2t
••dt-~,dt-
l-t2, dt - ~,
-2(~+ ,2 )
~=
~. 1 = -2(I_t2+t2)~ = _
dж
l-t2
.
~
\I"(I-t2)3
l-t2 ·
1076. !flt =
et(cost - sint), ~~
=
et(sint + cost),
!ш cost-sint
"= ~ = (-Sint-cost)(cost+sint~-(Cost-sint)2
dж cost+sint' у
dx
(cost+sil1t 2
17 Берм." Г. Н.
2
514
Решения
(et(sint+cost)) = (Siп-;'~~~:t)3;
,;(
)2 _ -2е-' 2t(.·
t
t)2 _ -2е'
у х+у - (siпt+сost)зе sш +cos
-
5iпt+соst'
2(ху' - у) = 2 (etSintcost-S iпt - etcost) =
соst+sшt
= 2et si\1tcost,-si\12
t-C?S2 t-siпtсоst = ,-2е'
сost+sшt
SlIlt+cost'
1079. dx = (f'(t)cost- f(t)sint- f'(t)cost- f"(t)sint)dt =
= -(f(t) + f"(t))sil1tdt, dy = (f'(t)sil1t+ f(t)cost- j'(t)sil1t
-
f"(t)sint)dt = (f(t) + f"(t))costdt , d8 2 = dx2 + dy2
= (f(t) + f"(t) )2(sin2 t + cos2 t)dt2 = (f(t) + f" (t) )2dt2.
1083.v =8'
=v'=-
.
= 27t,а
'\t~ = -2v3
1085. Пусть l - длина троса, х
-
расстояние по горизон
'dl-2х-~216dx_
I
dl_
21
-"
тали'dt -
,
-
Vt--.1U, dt - ~dt
-
~,~
.JIТ=16- ,2
_
d2з:_2
~dl -
-64.
-
~216-8
а- (jj'I' -
12-16
dt - (v'P-16)3' при Х - Vt-
-. 10
а--sз-
64-
_1
-
-о 125 м/с2
-
8-'
'
1087.F =!!=}а=Е. =!i=}d,: =!i.
=}vdv=kdt=}
2
tJ
2m
tJ
dt
v
= kt+C=}Е=т;
= kmt+C.
v
2
1088.1. ((х2 + 1)sinx)(20) = (х 2 + l)sin(x+ 20~) +
+20·2xsin(x+19~)+ 202192sin(x+18~) =
= (x2 ~ l)sinx - 40xcosx - 380sinx =
= (х2 - 379) sil1x - 40xcosx,
1090. (1 - х2)у" - ху'
-
а2у=О;
((1_х2 )у")(П) = (1_х 2 )у(П+2) - 2nху(ПН) -n(n-1)у(П),
(ху,)(п) = ху(пн) + nу(п) =} (1- х 2 )у(П+2) - 2nху(п+1)
-
n(n - 1)у(п) - ху(П+1)
-
nу(n) -:- а2у(П) = О =} (1-х2)у(П+2)
-
(2n + l)ху(ПН) - (n2+ (2)у{П) = О.
1091. (eaxcosbx)' = eax(acosbx-bsinbx) =
.
теах ( ~ cosbx - ~ sinbx) = rea x(cos<pcos bx - sil1ipsinbx) =
= те ах cos(bx + <р), (еах cosbx)" = reax(acos(bx+ <р) - bsil1(bx +
+<р)) = r2eaxcos(bx+2<p), ... (eaxcosbx)(n) = rneaxcos(bx+
+n<р); в то же время по формуле Лейбница (eaxcosbx){n) =
aneaxcosbx - C;an - 1 be ax sil1bx - C~an-2b2eaxcosbx + ... ;
4Ь4
прих=Оrncosn<p=
-
C~an-2b2 + С;ап -
-
•.. ,
при
а"
х=fь
-
rneR sil1n<p = -еR (С;аП- 1Ь - C~an-~b3 + ...)
=}
rnsinn<p = С;аП- 1Ь - C~an-3b3 + ....
)
11
1092. Докажем по индукции; при n = 1 (еЖ)' = -Х"2'еЖ;
1)"
()
1) )'
1)
1)
1)
n=2(хеж
=
еж--еж
=
-::2'е ж + ::2'е ж + :::::rеж =
х
х
Х
х
Решения
515
= x\-e~; пусть (xn-1e~ )(п) = (-1)" хдl e~" (xn-2e~ )(п-1) =
=
(_1)П-1 х1" =} (xne~)(n+1) = (nxn-1e ~ _x"-2e~)(n)
=
~
J.
= n(xn- 1et )(") - (x"-
2et )(п) = n(_1)"х':.+1 - ((_1)П-1 ~~ )' =
J.
n-2 J.
n-1 J.
1~
= n(-1)" еж +((_1)"-х еж-пх еж = (_1)П+ еж .
жn+Т
х2n
х,,+2
1095. у' = 2arcsinx "'1~x2'
У"= 2 + 2arcsinx
х =}(1-х2)у" = 2+ху' =}
1-х 2
(v'1-X 2 )3
((1 - x 2)y")(n-l) = (2 + xy,){n-l) =}
(1- x 2)y(n+l) - 2(n - l)ху{П )
-
(n -1)(n - 2)y(n -l) =
= ху(n) + (n _l)y(n-l) =} (1- x 2)y(n+l) - (2n -l)ху{П)
-
(n_1)2y(n-l)=О, n~2; прих=Оимеем
y(n+l)(O) = (n _1)2 y(n-l)(0); у'(О) = О,у"(О) = 2 =}
ylll(O) = yV(O) = ... = y2k-l(0) = О;
ylV(O) = 4.2 = 8, у(6){0) = 8,42 = 128, ...
y(2k) (О) = (2k - 2)2(2k - 4)2 .. .42·22·2 = 2((2k - 2)!!)2,
1100d-
1
Ьdx
оЬ
dx
•
у - 1+5tg2x ocos2 x
a2cos2x+b2.;",2~,
~ _ аЬ(а2_ь2)siп
а
2хd2
У - (а2 соэ2 >:+5i\12 х)2 Х .
1103. p2cos3<p-a2sin3<p = О =} Р = ±atg3/ 2<p,
dp = ±~atgl/2<psec2<pd<p = ±~a(tg5/2<p+ tg1/2<p)d<p,
d2p = ±;!а(~tgЗ/2+~tg-l/2<р)sес2<рd<р2 =
= ±за5ес~<р~2<р+l)d 2,
4 tg<p
<р
2
1106. dy = coszdz = aX1nacosax dx = 3t 1naat 3
cosat 3
dt;
1. d2y = -sinzdz2 +coszd2z;
2. ~y = (аХ1n2
acosax - a2x 1n2
asinaX)dx2 + aX1nacosax d2x;
12
з
3
3
3
t
t
3. а-у = 31na(2tat cosa + 3tЧпааt cosa
_
3t4 1naa2t3 sinat3 )dt2.
'
1108. Пусть хо - фиксированная точка, тогда L\x=x-xo ,
L\y = х3-3х+2-(х&-3хо+2) = (x-хо)(х2 +ХХО+Х6)
-
3(х- хо) = L\x(x2+ххо+Х6- 3) = L\xu(x); при хо = 2,
хблизкокХаu(х)=х2+2х+1>О=} ~>О,
функция возрастает; при хо = О , х близко к Ха u(х) =
х2
=
-
3<О=}~<О,функцияубывает;приха=
-1,
хблизкокхоu(х)=х2-Х-2 =(х+l)(х-2) =} L\y=
= L\x2(x- 2)<О,-максимум;хо =1,хблизкокхоu(х) =
=
х2 +х-2 = (х-1)(х+2) =} L\y = L\x2(x+2) > О,
минимум,
516
Решения
к ГЛАВЕ 4
1113.ду =х-хо
-
(1пх -1пхо) = дх -1п :0 = дх-
Ах) Аu _ 1 ln(I+~;). l' ln(I+~;) _ 1
-
1n(1+-
=> =..l.
-
-
1т
-
-
=> при
хо
Ах
Ах' Ах->О Ах
хо
хо > 1 ~ > О, функция возрастает; при хо < 1 функция
убывает; при хо = 1 минимум.
1118 . у(О) = Y(7r) = 1, у' = 4sil1x1n4cosx, y'(~) = О.
1120. у' = -2х5_~Х8З(2-х2) = 2Х;58; у' = О <=> х = ±2 =>
у' =1= О при х Е [-1, 1J; теорема Ролля не выполнена, т. к. при
х = О функция имеет разрыв.
1125.f(x) =ОприХl =1,Х2 =2,Х3 =3,Х4 =4;по
теореме Ролля f'(x) имеет корни Сl Е(1,2), С2Е(2,3), Сз Е (3,4);
т. к. г(х) - многочлен третьей степени, других корней нет.
1130. j'(х) = nхn- 1; аа"-.-ОО = j'(~); аn-1 = n~n-l =>
f;_
а
'>-
n-.уп '
1133. tgo - tg/3 = c':,~~, ~ Е (/3,0) =>
2./
2f; ./
2/3
а-{3./ а-{3
/3./ а-{3
cos О :::::: COS ." :::::: COS
=> cos2{3 :::::: cos2 { = tgo - tg ::::::~.
1136. /(1,1) ;:::; /(1) + 1'(1,05) ·0,1
=
~+H~,52·0,1 =
= 0,833.
1148. '= cos(x+a)sin(x+bJ-соs(х+Ь)sil1(х+а) = ~ill(b-a). если
У
sil1 (х+Ь)
sш2 (х+Ь),
sin(x + Ь) =1= О, производная не меняет знака.
1152 . у'
= 5(х -2)4(2х+1)4+8(х-2)5(2х+1)3 =
= (x-2)4(2X+1)3(18x-1l); функция возрастает на (-oo,-~J,
[11)б
[.111J
18,00 , У ывает на
-2'18.
1160.у' =1-2cosx;у'~О<=>cosx~!<=>j~х~5;;
функция возрастает на [j,5;J, убывает на [O,jJ, [5з",27rJ.
1164.Df =[О aJ' у' = vax- х2+ ах-2х
2
= xga- 4X4'
,
,
2\/'ах-х2
2ах-х'
функция возрастает на [О, з4aJ, убывает на [з4а ,aJ.
1170. у' = -2xvx2+2- х2_х_ = _ xgx2
+4).у' =О <=>
\/,х2 +2
х2+2 '
Х=О;у'>Оприх<О,у'<Оприх>О=>Умакс=Опри
х=О.
1175Df=(-100)'у' =1- _1_ = 2-.
у'=О<=>х=
.
"
l+х
l+х'
= О; у'<Оприх<О,у'>Оприх>О=>Умнн=Опри
х=О.
Решения
517
; 1180. Df = [-1,1); у' = xarcsinx + ;~~~~; +tv1-х2-
2
221122.
_1. х -!!.х = xarcsinx _!!. + х - + -х -х = х(агсsшх-
4~6
6
4\/'I-х2
-
~);у'=О <=>хl =О,Х2 =tу'<Опри0<х <!'у'>О
1
3\1'3-211"
1
-
О
прих<О,х>2=>Умнн= -4-8-приХ =2'Умакс - при
х=О.
1184 • У'
_
Ьре- РХ = рае
2РЖ
_Ь. У'
а'
= ареРХ
=О<=>е2рх=Q.
eP~ ,
если аЬ ~ О, У' =1= О, экстремумов нет; если аЬ > О, ХО =
= 2~ 1п ~ - стационарнаяточка;еслиа>О,Ь>О,У'<Опри
х<хо,У'>Оприх>ХО,Умнн =/(хо) =2Vab;еслиа<О,
Ь<О,У'>Оприх<ХО,У'<Оприх>хо,Умакс=f(xo)=
= -2Vab.
1187.У' = 5х4- 20х3+15х2 = 5х
2
(х2
-
4х+3); У' = О
прих=О,х =2,х =3,3fj.[-1,2J;f(-l)= -10,/(0)=1,
f(l)=2,f(2)= -7;Умнн= -10,Умакс =2.
1194.У' = 2
_
2tgx = 2(l-tgx).У' =О<=>tgx= 1<=>
соз2х ~
cos2 x'
Х=~;У'>Оприх<~,У'<Оприх>~=>Умакс=1
при х =~; liш У = -00 => функция не имеет наименьшего
х-+ i'
значения.
1198.2ft>3-~<=> f(x) =2ft-3+~>О;f(l)=О,
f'(x)=тх -~>Оприх>1=>f(x)>/(1)=О.
120-3.1+х1п(х+V1+х2) ~ )1+х2 <=> /(х) = 1 +
+x1n(x+v1+x2)-Vl+x2 ~ О; /(0) = О; j'(х)
=
= ln(x+)1+х2);г(х)<Оприх<О,f'(x)>Оприх>О,
Умнн=f(O)=о =>/(х)>Оприх=1=О.
1210. Пусть х - первый множитель, З6
-
второй множи-
х
2
тель,/(х)=х2+е;)2~шах,х>О;f'(x) =2х _2(;~)
,
г(х)=О<=>2х4= 2(36)2<=>Х=6;j'(х)<Оприх<6,
г(х)>Оприх>6=> х=6 - точкаминимума,множители
равны6и6.
х
1214. Пусть х
-
сторона основания, h - высота; v =
2
-
х2vГзn---" h - 4и f(x) - S
-
2х2/3+3xh _ /3+
-
-4-
-- ,'
-
х2Тз'
-
лмн -
4
-
2
+4~и ~шiп, х>О; г(х)=x.J3-4'2и;j'(х)=о<=>х3=
= 4v<=>х=~;г(х)<Оприх<~,f'(x)>Опри
х > ~ => при х = ~ полная поверхность минимальна.
1218. Пусть l - образующая, r - радиус основан ия , h
высота конуса, О ~ о ~ 27r; SceKTopa = Sбок . л.конуса => 1Гrl =
518
Решения
120:
=>r=lQ:.
h = Ip_[2Q2 =
.. .L y'4k2-0:2
2
21Г '
У, 47
21Г
'
V
1!. 120:2 ...L у'4к2 _ 0:2
=
130:2 у' 4к2 _ 0:2
dV
=
34721Г
~41Г2' do:
13(2у'42
2
0:3)
1 0:(21Г
2
_30:2) О
=
241Г2о:К-о:-~
= 31Г2~ =
=>о:=
= 0:0 = 2КЛ:::::293056'; V(O)=V(2K)=О =>прио:=0:0
объем наибольший .
1222. Пусть r
радиус основания, h - высота
конуса;О:::;h:::; 2R;r = JR2- (h- R)2=y'2Rh- h2,V =
= j(2Rh- h2) = j(2Rh2- h3); ~~ = j(4Rh- 3h2) = О =>
h=!R;V(O)=V(2R)=О =>приh=~Rобъемнаиболь
ший.
1226. Пусть A t и B t - положение, соответственно, авто
мобиля и поезда в момент времени t. AtB = 200 - 80t, BBt =
= 50t; по теореме косинусов f(t) = AtB; = (200 - 80t)2 +
+2500t2-2(200-80t)50t~ = 12900t2 -42000t+40000, f'(t) =
= 25800t- 42000= О, t=~~~gg =1~~ч::::: 1ч38мин.
1232. Пусть о: - угол при вершине конуса, R - радиус ша
ра, r - радиус основания конуса, h - высота, l - оБР~З2ую~ая.
Из подобия треугольников следует ~ у'= h-;,R = 1 -;
-R,
lR = ту'Р -т2- Rr, R(l+Т) = r l2-т2, R2(l2+2lr+
т2R2 т4 (R2
+т2) =
-
,2
-
r
2
2)l2+2R2rl+т2(т2+R2) = О,
l=-Т<Оl=rr+R8=Krl=Kr4+R2r2.8'=
1
,
2
r2_R2'
r2_R2,
r
_
. (4r3+2R2r)(r2-R2J_2r(r4+R2r2) _ 2r(r 4_ 2R2r2_R4) _
2_
-
к
(r2 -R )2
-
(r 2 _R2)2
-
О,r
т2
=
R2± y'2R4,
= R2(1-V'2) <О,T~ = R2(1+V'2),
r = RJ1+А -точкаминимума; l = T~~~~~
= RJ1+v'2R
2
(2+.,/2) = R(V'2 + 1)3/2 sin Q. = 1. =
_1_ =
R2.,/2
,
2
r
. ,/2+1
= v'2 - 1, о: = 2arcsin(v'2 - 1) ::::: 490.
1237. Пусть а и Ь - отреЗI\И, отсекаемые прямой на осях
Ох и Оу, тогда уравнение прямой ~+t = 1 {::} Ьх+ау =
= аЬ; х =1,у =4 =>Ь+4а=аЬ,Ь =a~1'Ла) =а+Ь=
а2
а2
+3а. f'( ) - -2а-3
-
О-1О
-
3
=
a-l'
а - (а-1)2
-
а1--<,а2-
-
точка
минимума, Ь = 6, J + *= 1 - искомое уравнение.
1243. Пусть о:
-
центральный угол, R - радиус дуги,
2
2
а2
---
8
R
_
О --- 0:::::: 2' а 2-
-
R 0:,
-
-
R0:
-2-
sino: -
2Q2" (
:::::
к,
.
сегмента
-2-
-
0:
-
sin 0:)' 8' = ~ 2sшо:-о:соsо:-0:. 8'(к) = О 8'(0:) > О при
,
2
03'
,
о:<к,8'(0:)<Оприо:>к=> прио:=кобъемнаибольший.
Решения
519
1246. Пусть х - расстояние от лаге я до точки высадки,
t-времятогдаt=
:!'. + (15-х)2+81 t'
1.
,
5
4
'
5
4J(1~5_-X~2+81 = О, 5(15 - х) = 4J(15 - х)2 + 81, 25(15
_х)2 = 16(15-x)2+16·81,(15-x)2 = 16·9, 15-х = 12, х =
= 3 - точка минимума.
1252. Пусть х - ширина текста, у
-
высота текста, ху =
= 8, f(x) = (х+2а)(у+2Ь) = ху+2ау+2Ьх+4аЬ = 8+
+2Ьх+2aS+4аЬf'(x) =2Ь-2aS =О х2= aS Х= r;s_
х'
Х2'
Ь'
Уь
точка минимума, следовательно ширина страницы 2а + Я,
высота страницы 2Ь + ~.
1258. х = acost, у = bsint; пусть Ь > а; x~ = -asint,
y~ = bcost, y~ = -~ctgt; У = bSiIlt+%tgt(x-асоst)
уравнение нормали в точке (acost,bsint) ; у = bsint+ %xtgt
аь
2
_
SiIlt = b2s~a2t+!!bxtgt; axtgt- Ьу+(ь2 - a
2)sint =
111
2
2
.
= О· axsint- bycost+ь-а sin2t = о·
aSll1t
х
,
2' Jа2 sin2 t+b2cos2 t
( ь2 a2)sin2t
Ьcost
у+
-
= О - нормальный вид
у'а2 sin2 t+b2cos2 t
2у'а2 sin2 t+b2cos2 t
уравнения нормали; расстояние от начала координат до нор
малиd= (b
2
-a
2
)si112t .
'а2 si11 2 t+-b 2 cos~ t'
2 22cos2ty'a2sin2t+b2cos2t
•• ,,2, .
(a2
- b2 )sin2t
d'=ь-а
2';а2 sin2,+ь2СО82 t
2
у'а2 sin2 t+b2 cos2 t
ь2_а2 4cos2t(a2 sin2 t+b2cos2 t)_(a2_b 2)sin2t _
2
(у'а2 sin2 t+b2 cos2 t)3
_
а2 _ь2 2cos2t(a2+b2+(b2_а2 ) cos2t)+(b2_ а2 ) sin2 2t
-
2
(-.(a2si112t+b2cos2t)3
(12 _ь2 2cos2 2t(b2-а )+2(а2 +Ь2 ) cos2t+(b2_а2 ) sin2 2t
2
(у'а2 si11 2 t+b2 cos2 t)3
= а2 _ь2 (b2_a2)cos 22t+2(a2+b2)cos2t+(b2-a2) = О
2
(у'а2 sin2 t+b2 cos2 t)3
'
cos2t = ~2~bJ:, ~~~ . < -1, cos2t = ~~~ соответствует макси
мальному асстоянию;
sin2t = 1 _ (а-Ь)2 = 2v'iib
'
(а+Ь)2 a~+~Ь~___________
Jra""-2 -s-in'2'-t:"-+- -b""-2 -c -o -s2::-t = а 2+ь2 + (Ь~- а 2) cos 2t
_
1
2 + Ь2 + (Ь2- а2)(а-Ь) = Г"Lь
72а
а+Ь
уаа,
ь2 _а2 2v'iib
Ь
dмакс = 2 (а+Ь)\ГаЬ =
-
а.
520
Решения
1264'2
1
21+х2_2ж2 2
2(I-ж2 )
•У =1+ж2+J
2
(1+ж2)2 Нж2 + 11-ж21(1+х2) =
1
4%
-(l+x'1)1
х2
1';ж2- 1';ж2 =о(11-х
2
1=
-
1прих~1)*У
= const,у =у(l) =2~+I=?Т.
2
22
1269.у' =1-?-, у' =оприх =±а;у" =~,у"(а) =
=
~>о*Умин=2априх =а,у"(а) =
-
~<о*Умакс=
= -2а при х =,-а.
.!. 1-lnж
О
1275.у =x~,lпу =Inx, у' =Хж -xr- =
прих=е;
2
Ж
,,_
. !. (l-Iаж) +ж(2Inж-З)
"()_
.1 1
Ж
у-Х
4
,
У е - -е·ё3'<О*Умакс
.1
ж
=е·прих=е.
1280.у' =2хlпх+х=х(21пх+1),у" =21пх+1+2=
=
21пх+З, у"(l) = 3 > о * функция выпукла вниз; y"(~) =
=
- 1 < О * функция выпукла вверх.
1284. Р(х)
=
аох2n+alx2n-2+...+аn_1х2+аn,У =
= Р(х)+ах+Ь = aox2n+alX2n-2+ ... +аn_lх2+ах+Ь+
+ аn, у' = 2nаох2n-1 + (2n - 2)а1х2n-З + ... + 2an_lx + а,
у" = 2n(2n - 1)аох2n-2 + (2n - 2)(2n - З)аlх2n-4 + ... +
+ 2a n -l > О * функция выпукла вниз.
1291. у' = 15x4 -20хЗ+З, у" = 60хЗ -60х2 = 60х2(х-1);
у">оприх>1,у"<Оприх<1*(1,-1)-точка
перегиба, на (-00,1) функция выпукла вверх, на (1,00)
вниз.
'
1-2х-ж 2
1301• У = (ж2+1)2'
"
(-2-2ж)(ж2+1)2-4ж(ж2+1)(1-2ж-ж2) _ 2х З +6х 2 -бж-2 _
У
(х2 +1)4
-
(x'+1)3
-
2(ж-l)(х2 +4ж+l) .
"-о
-
2мз-l'
-
(x2+1)3
,у- приXl,2 -
-
=t= у,), хз
-
,Уl
=
у(х) =
-2-Jt+1 = _~
=
_
(н..Гз)(2-..Гз) =
1
(-2- З)2+1
4(2'+7з)
4
-
1-..Гз _
-2±{3+1 _ {3-1
-
{3+1
-
l' llL1ll.
-
4 ,У2 - (-2+..Гз)2+1
-
4(2-Jз,> -
4 ,Уз - 'Ж2-Х1
_
~ _ 1. 1JЗ-У2
_
1-~ _ З-{3
1.
-
4-27з - 4' ЖЗ-Ж2 - 1-..Гз+2
-
4(З-..Гз) 4'
аж'
а(ж2 +/3)-2аж
2
~
1306• у
-
жЧ/3' У =
-
(ж2 +.8)2
= а (х2+iЗJ2 '
"
2ж(х2+/3)2_4х(х2+.8)(ж2_.8) _ 2х(з/3-х 2 ).
"(2) _
у
а
(жЧ.8)4
-
а(жЧ.8Р,у
=
f~~~~~~=о*{з=~;у(2)
=
2,5*а'= _~(x2+{З) =
= -~(4+~) = _2зО; у"(х) = О при Х1
=
О,Х2,З=±~ =
=
±2; точки перегиба также (0,0) и (-2, -2,5).
Решен.uя
521
,
d2
d2
ф"I
"
1/;'
~1.1f' "-' .'
1315. f!1l.j
=~
а-у=~ .(lx= '
сг -r
= 'v If-'f'V 1*
dx сг" ~ dxdt' ,и
If'
If'"(j7I
'Фиу/- tp"1//
/1
If'
меняет знак при тех же t, что и Ухх '
1320.1(1) = 1, 1(2) = 8, ср(l) = 2, ср(2) = 5, /'(х) =
= зх2(п'(х)=2х 1'(х)=;!х 1(2)-1(1)=7..~x =7.*х=
,
r
'<,Р'(х)
2' <'p(2)-<p(1) :3' 2
З
= 194 Е (1,2).
1323. J'(x) = 1~~2' ср'(х)
=
l;x2'G=2х<1на[х,!],
L1[1]М-l'(Е.)1[1]М1[1].
<р'> на2'Х*дlf-<,P'~~)< нах,2'дlf> на2'Х'
на[~,1]6./ =lп2-1п(1+х)>6.ср=~ - arctgx* arctgx
-1пх>~-1п2,
liш I-cosx
"
2
1330. liщ :r -sinx
х~ОI-sес2х = Illn COS x(l-cosx)
X~O x-tgx
x~O cos2 x-1
liш - cos
=
_
1.
2
х
х-+О l+cos x
2'
_1_
%
n
1337. liщ cosxln(x-a) соsаliщ~ соsаliщ~ =
x~a In(еж-ео )
х-+о ~
x-+аеЖ(х-а)
co~a liщ еЖ = cosa,
е x~a1
_
".ж
----!-+~
·
In(1 x)+tg т = l'
1ж2<08У
1345. 1lln
ct 71'ж
IЩ
_
w
x-l
g
x-+l
sin2 7fЖ
.lliш(Sin
2
71'x _ 71'Sil1; ;::;) = 1. liш ( sin
2
71'x _ 2?Тsiп2 ~)
11' х-+l
l-х
2cos Т
11' х-+1 l-x
2
1. liщ Si112 71'X - 2 = .lliш 271'siп7l'ЖСОS7l'Ж - 2 = 0-2 =
-2.
1
71'ж-+1 l-ж
71'ж-+I-
1352. liщ (ctgx - 1.)
=
liш ЖСОSХ,-Sil1Х = liщ xcosx,sinx
х-О
х
Х-+О XSll1X
х-"О
Х
liщ -xsinx = liш (-siI1Ж) = о.
х-+О 2х
ж-+О 2
sinx
1358.у =X
* lny = sinxlnx; liщlny = liщ~
х--О
х--+О sinx
.!.
'2
2
= liш ~ =-liшSl~х =-liщ~ =о* liщУ=1,
х--+О - 81n2х
X--+OXCOSX
x-+OXCOSX
х-+О
1362.y= (2-"' -)tg * * lпу=tg7l'2Х lп(2-"'-); liщlпу=
а
а
а
ж-а
= liш In(2- i)
·
~(-~) l' 2a5i112 *
2
l'
11Щ9.~=IШ
=-
* lШУ=
х-+а ctg~
х--+а - 8iп2 i: 2u х--а (2a-х)1Т
7г
х-+а
2
=е" .
1
•
1369 l' Iп(Нх)- е lnlп(е+х) - l' т:tЖ - «+%)In(.+%)
х2
. :c~1
-
x~
2х
_
1
+ «1+ 1п (.+%»
2
liш ~ (.+%)2 1,,2 «+%) = -1+;; = ~ i о * бесконеч-
х-+О
2
2
2е
но малая имеет второй порядок.
1374. /(х) -
=
хб"-+--=-2х--'4-+-:7=-х"2-+-:-1 - (хЗ + х)
ср(х)
";Г-
_
хб+2х ±7х2+1_жб_2х4_х2
_
бх2±1
rv
~.
-
Jх6+2х4+7ж2+1+хЗ+ж
-
Jхб+2х"+7х2+1+хЗ+х
ж'
522
Решения
Л115) ~ 1520990, Л120) ~ 1728120; Ij(100) - <р(100) 1 ~
-
...L
-
003
-
100 -
,
.
3
•
1379. у = 2(X~1)2; X!:.~1Y = 00 ::::} х = -1
-
вертикаль
х2
l' 11.
l'
+1)
~,
-
=
ная асимптота; 1т = 1т ~( =
lim (у ~x)
ж-соХ
х-оо х
х-ос
(х3
11т?
·
-
-
х) = l'1т -2х
2
-х. = -l::::}y=~-l
Х-+ОС _(Х+l)2 2
Х-+ОС 2(х+l)2
наклонная асимптота.
1386. D y
е+~>О <=>
х>О,х<-~;
limУ=
-00 ::::} х _.!
-
вертикальная асимптота;
х-- -
1
1(е1)
,
•
,lil(e;.l) ,;:;Т -~
,
Il1nу = 11т
'"
= 11т
Хi
= 11т
~1=О::::}х=
х-о
х-о 'х
х-О -;,-
x--tО хе
= О не является асимптотой; lim 11.
=
lim In (е+.!) = 1,
ж-соХ
ж-ос
х
.
((1))
.
111(e+.l)-1
.
~(-~)
11тхInе+--х
=
11т
i"
=
11т Х_j
х_ос
х
х-ос
ж
ж-ос
~
= ~ ::::} у = х+~ - наклонная асимптота.
1393.limt =00, limt~1 =О ::::}У=О - горизонталь
t-O
t-+O
наяасимптота;limt~1 =00, limt = -1::::}х= -1
t .... -l
t.... -l
вертикальная асимптота.
l'
t-8
l'
3
l' 11.
1397. 1т t2-4
=
1т t(t2-4) = 00, аl
=
1т
t .... ±2
t-±2
t....2 Х
l'3
1Ь
l'(3t-8)
t~ t(t-8)
-4'
1
t~ Щ2-4) + 4и2_4) _
=
l' 12+t2-8t
l'
t-6
1
_
1
1т 4t(t2-4)
1т 4t(t+2)
-8::::} У - -4Х
t....2
t ....2
-
~ - наклонная асимптота; а2
lim ~ = lim t(t~8)
t.... -2
t .... -2
-
.l.. Ь
-
l'(3_3(t-8»)-l'60-Зt
2
+24t
-
20' 2
-
t2~2 ф2-4) 20(t2 -4)
-
t.!!!\ 20t(t2 -4)
_
l'
- 3(t-l0) _ 9
_
3
9
-
1т 20t(t+2) - 40 ::::} У - 20 Х + 40 - наклонная асимпто
t.... -2
·
3
l'
t-8
2
2
1
та; t:Тo ф2-4) = 00, t:Тo t2-4 = ::::} Х =
-
вертикальная
асимптота .
1402. у = xi~l; х 2 -1 =1= О ::::} функция не определена при
х = ±1; у( -х) = у(х) ::::} график симметричен относитель
ноосиординат;limу=00::::}х= -1,х =1 -верти
Х .... ±1
кальные асимптоты; lim у = 1 ::::} У = 1 - горизонтальная
Х-+ОО
.
,-
2х(х2 -1)-2х
3
_
2х
,
О(
1)
асимптота, у -
(х2_1)2 - -~, У > на -00,-
,
(-1,0) ::::} функция возрастает, у' < О на (0,1), (1,00) ::::} функ
.
-
О
-
О' "-
2 (x2_1~2_4x2~x2_1)
ция Убывает, Умакс - при х
-
,у
-
-
".,
Решения
523
= 2(;~~1~з , у" > О на (-00,-1), (1,00) ::::} функция выпукла
вниз, у" < О на (-1,1) ::::} функция выпукла вверх. Перегибов
нет.
з
1409. у
2(X~IГ; Х + 1 =1= О ::::} функция не определе
наприх= -1; imу=00::::}х= -1
-
вертикаль
х--l
2
наяасимптота;lim~ = lim 2(~1)2 =~, lim(у-~x) =
х-ос х
ж-ос х
Х-+ОО
1· (Х
3
х) l' -2х
2
-х1
Х1
=X~
2(х+1)2 -"2
= X~~ 2(х+1)2 = -
::::}у= "2-
,
зх 2 (Х+1)2_2(Х+l)Х
3
х2 (х+ЗJ
наклонная асимптота; у =
2(х+l)4
=
2(х+1) '
у' > О на (-00, -3), (-1,0), (0,00) ::::} функция возрас
тает на (-00,-3), (-1,00); у' < О на (-3,-1) ::::} функ
ция убывает на этом множестве; Умакс = - 2; при Х = -3;
"
_
(2х(х+з)+х2 )(х+l)3_3(Х+1)2 х 2(х+з) _ 3х у" > О
У-
2(х+l)6
-
(x+l)~ ,
на (0,00) ::::} функция выпукла вниз, у" < О на (-00,-4),
(-4, О) ::::} функция выпукла вверх . х = О - точка перегиба.
1417. у
х2 е- Х ; функция определена везде;
2
lim х2е-Х = lim Х", = О ::::} У = О - горизонталь
х-+ос
х_+оо е
Х х2е-Х
ная асимптота; lim у
+00; у'
2хе- -
=
х--+-оо
= е-Х (2 - х )х, у' > О на (0,2) ::::} функция возрастает на
(0,2); у' < О на (-00, О), (2,00) ::::} функция убывает на
этих множествах; Умакс = ~ при х = 2; Умин = О при
х=О;у" =е-Х(х2-4х+2),у" =Оприх =2±Л, у" >О
на (-00,2 - Л), (2 + Л,оо) ::::} функция выпукла вниз,
у" < О на (2 - Л,2 + Л) ::::} функция выпукла вверх,
х = 2± J2- точки перегиба.
1425. у = х + 1J~X; функция определена при х > О; lim =
Х....О
- 0 0 ::::} х = О - вертикальная асимптота; lim 11.
=
х-+оо х
=
lim (1+!у.) = 1, lim (у-х) = lim 111Х = О::::} У =
х-+оо
х
х_+ос
х-++ос х
= Х - наклонная асимптота' у' = 1+ l-111Х = х
2
+1-1I1Х. пусть
,
---хт-
х2'
лх) = х2 + 1-lnx, докажем, что лх) > О; j'(x) = 2х
-
~ = 2Х:-l, f'(x) = О при х = ~, это точка минимума,
j(72)=~+1+1~2 >О ::::}j(x) >О ::::}у'>О,функция
возрастает всюду; у" = 2111х1-3, у" = О при х = e~, у" > О
на (e~, 00) ::::} функция выпукла вниз, у" < О на (О, e~) ::::}
3
ф ункци я выпукла вверх, х = е 2 - точка перегиба.
524
Решенuя
1430. у = cosx -lncosx; функция определена при cosx >
> О, т. е. при х Е (-~+27in,~+27in), n Е Z;
lim
=
x-+±~+2","
= 00 ~ х = ±~ + 27in - вертикальные асимптоты; у' =
= -sinx+tgx = sinX~~~Ogx), г(х) = О при х = 27in, это
точки минимума, у" = со:2 х -cosx = 1~~~S:X ~ О ~ функция
выпукла вниз на каждом интервале области определения.
1437. у = {!(х+ 1)2 - ~ + 1; функция определена всюду;
lim{/(х+1)2- ~+1 = lim
(Х+l)2_х2
3
+
х-+оо
Х-+ОО {l(x+l)·+ {l(x+l)2 x 2+ ~
+1=lim
;Х+l. +1=1~У=1 - гори
Х-+ОО {l(x+l)4+ {l(x+l)2 x 2+ if.X4
.
,_
2
.
2 _ 2( Ух- rx+r) ..J.
зонтальная асимптота, у - 33=0>+1 - 3/"2 -
3~r
yX-т< 3ух-
3vx(x+,I)
=1= О, у' > О на (-1,0) ~ функция возрастает на (-1,0); у' < О
на (-00,-1),(0,00) ~ функция убывает на этих множествах;
Умэкс=2прих=О;Умнн =Оприх = -1,миниммимакси
"
".
11_
4
4 _ 4(~-3(х+l)·)
11_
мум острые, у - 9 {l(x+I)4 +9~ -
9 {lx 4 (x+l)·
'У
= О при х = -!,у" > О на (0,00), (-t,О) ~ функция выпук
ла вниз, у" < О на (-00,-1), (-1'-2) ~ функция выпукла
вверх, х = -! - точка перегиба.
х3
1443. у2 =
х, У = ±J:+3 - х ~ функция двузначна,
график симметричен относительно оси абсцисс; х3 - х ~ О ~
функция определена на [-1,0] U[1,00); пусть У > О; lim 11. =
.
ж-оо х
= 00~асимптотнет;у'=2З;:;~Х'у' =Оприх =±Jз,х=
= -тз i D f , у' > О на (-l,-Тз), (1,00) ~ положительная
ветвь функции возрастает на этих промежутках; у' < О на
(-Тз,О) ~ функция убывает на этом множестве; Iуlмэкс =
=
mприх=-д.у"
=
зх4-бх
2
-1у"=Оприх =
3
3'
4J(x3_x)3'
= Jз+f12, это абсцисса точек перегиба.
1448. у2 = x 2tl3;. У = ±xJa+x ~ функция двузнач
а-ж'
а-ж
на, график симметричен относительно оси абсцисс; начало
координат - точка самопересечения; ~ ~ О ~ функция
определена на [-а,а) ~ наклонных асимптот нет; lim у =
х-+а
= 00 ~ х = а - вертикальная асимптота; исследуем ветвь,
соответствующую знаку '+'. у' = J а-х + :!1 J а-х а-х+а+х =
,
а+х 2 а+х (а-х)2
Решенuя
525
=
а2 +ах_х
2
у'=Оприх =а1±.,/5х=a~iD у'>
J,,2- хЧа-х)'
2'
2
1,
> О на (а 1-/'р'а) ~ эта ветвь функции возрастает на этом
промежутке, у' < о на (-0,-;-,"') => функция убывает иа
этом промежутке; IУlмзкс = а 5~-1l при х = а 1-2.,/5; у" >
> О ~ перегибов нет.
1453. у2(2а-х) = х3 , у = ±J2:~X ~ функция двузнач
3
на, график симметричен относительно оси абсцисс; 2:-Х ~
~ О ~ функция определена на [О, 2а) ~ наклонных асимп
тот нет; lim у = 00 ~ х = 2а - вертикальная асимп
х-2а
тота; исследуем ветвь, соответствующую знаку '+'; у' =
= J2a-x зх
2
(2,,-Х)+Х3
=
fi3а-х .у'>ОнаD ~'Этаветвь
х:г (2а-х)2
(2а-х)3'
1
функции возрастает; экстремумов нет; у'(О) = О ~ начало
координат - точка возврата; у" > О ~ перегибов нет.
1459. у2 = 2ехе- 2х , у = ±J2exe-
x
~ функция двузнач
на, график симметричен относительно оси абсцисс; 2ех ~ О ~
функция определена на [0,00); lim у = О ~ У = О - го
Х-++ОО
ризонтальная асимптота; исследуем ветвь, соответствующую
знаку '+'. у' = "2е (L - Гхе-Х) = J2eе-
Ж
(1-2х) у' = О
,
V ~!;: 2fi V"'"'
2\Гх'
при х = !, у' > О на [О,!) :::} эта ветвь функции воз
растает на этом промежутке; у' < О на (!, 00) ~ функция
убывает на этом промежутке; Iуlмзкс = 1 при х = !; у" =
_
~ е- Ж (2х-3)fi-*е-
Ж
(I-2х) _ J2eе- Ж (4х 2 -4Х-l) _
-
2
х
-
2xfi
-
О при
х = 1+2J2 , это абсцисса точек перегиба.
{ l -хе-fжт-~Х=l=О {l -xe-~x>o
1463. у
=
'
,
;
1,х=О
1-х,Х ~ О
функция определена всюду; при х < О график совпадает
с прямой у = 1 - Х; (0,1) - угловая точка; lim 11.
=
х-++оо х
=
Iim (.!.-e-~) =
- 1, lim (l-xe-~+x) = 1
х-++оо х
х-++оо
-
lim х(e-~-1)=3~у=-х+3- наклоннаяасимп
х-+оо
тота;прих>Оу'=-e-~ -xe-~~ =-e-~~,у'<О
на (0,00) ~
=
_.
функция убывает на этом промежутке; у"
=-4ехз
ж
< О при х > О ~ график выпуклый вверх.
526
Решения
1468. х
=
tet, у
=
te-t; х(-t) = -y(t), у( -t) =
-x(t) =} график симметричен относительно прямой у =
= -х; x~ =et(t+l),x~=Оприt= -1,х"'нн = _1приt=
= -1;y~=e-
t(l-t),у; =опри t = 1, У..акс =!приt =
= 1·у' =e-2tl-t. limх=О,limу= -00 =}х=О
,
х
l+t' t-+-oo
t-+-oo
вертикальная асимптота; lim у = О , lim х = +00 =} У =
t-++oo
t-++oo
= О - горизонтальная асимптота; при t > 1 x(t) Т, е < х <
<+00,y(t)1,О<у<~;при-1<t<1x(t)Т,-~<
<х<е,y(t)Т,-е<у<~;y",aKC=~прих =е;при
-00<t<-1x(t)1,-~<х<О,y(t)Т,-00<у<-е,
х"нн = -~ при у = -е; функция определена при х ~ -~,
при _1 < х < О функция двузначна, при х ~ О однозначна;
У// =
е
_ 2e-2t .!.::1. + e-2t -1-t-l+t = 2e-2t t
2
-2
.
у//=Опри
xt
1Н
(l+t)2
(1н)2'
t = ±J2 =} график имеет две точки перегиба.
1471. р = atg<p; tg<p ~ О =} функция определена на
[О,~)u[1Г,3n; х = pcos<p = asin<p, у
=
psin<p =
= atg<psin<p; limх =а,limу =00 =}х=а - верти
'Р-+!-
4'-~
кальная асимптота; р(<р+1Г) = аtg(<р+1Г) = atg<p =} гра
фик симметричен относительно начала координат, х = -а
также вертикальная асимптота; p~ = со:2 <р > О =} радиус
возрастает на [O,~), [1Г,3n.
1475. р = ~; функция определена при <р > О; lim
У<Р
<р-+О
00=}у=О
-
горизонтальная асимптота; p~ =
= - 2~ < О =} радиус убывает; х = y'1f;;CP, у
= y'1fsin<p х' = _ 11Г 2cpsincp+coscp у' = 11Г 2cpcoscp-sin<p у' =
~,<р
v11
2<р,;ч; , <р
v11
2<p~,х
-
sincp-2cpcoscp
//_
4ср2_ 1
_
ОПи-1(1)
-
cos<p+2<psin<p' ух<р - (cos<p+2<psin<p)2 -
р<р-2'Р2
= V'Б =} (V'Б, ~) - точка перегиба .
1481. (х2 + у2)(х2 - у2)2
=
4х2у2; Х = pcos<p, у
х2
psin<p =} х2+у2 =р2,
_
у2 = р2 cos2<p, 4х2у2
р2sin2 2<р; р2(р2 cos2<р 2 = р2 sin2 2<р {::} р4cos2 2<р
= sin
2
2<p {::} р = • tg2 2<p = JI tg 2<p1; функция опреде
лена при <р =f:. ±~,±3:; p(<p+~) = р(<р) =} функция пе
риодична с периодом Т = ~, поэтому ее график симмет
ричен относительно осей координат и биссектрис координат
ных углов; х = Jltg2<Plcos<p, у = Jltg2<plsin<p; lim х =
IP-t
Решения
527
=
limу = 00,lim1l = limtg<p = 1, lim(у-х)
=
<.р- i'
cp-"i х
4'- 7
'Р-+ t
.
2
= lim Jltg2<РI(siп<р-соs<р) = lim 1:i2<P (tg<p-1)cos<p
<р-+ *
<р-+t g <р
= -~ =}прямаяу=х-~
-
наклонная асимптота; из со
ображений симметрии линия имеет четыре наклонные асимп
тоты (х ± у)2 = ~; линия состоит из четырех ветвей, соответ
ствующих 1ГГ < <р < ~ + 1Г4n, n = 0 ,1,2,3; начало координат
четырехкратная точка самопересечения.
1488. lim f(x) = +00, lim f(х) =
-00
=}VaЕR
х-++оо
X-+-~
3х:f(x) =а;I'(х)>О=}такойхединствен.f(x) =х3+
+3х-1,f(О,31) =
-0,007, f(0,32) = 0,048 =} 0,31 < х <
< 0,32.
1494.х =esinx+а{::}а=х- esinx;пустьf(х)=х
-
esinx, lim f(x) = +00, lim f(х) = -00, I'(х) = 1
х-+оо
x--~
-
ecosx>О=}f(x)Т,Va3!x: f(х) =а;прие =0,538,а =
= 1,1,537<х<1,538.
= х1О
1500. f(x)
3х5+1, f(l) =
-1; I'(х) = 10х9
-15х4, 1'(1) = -5; г(х) = 90х8 -60х3, f//(l) = 30, /"J1) =
_
/"'(1) _
/IV(l) _
/v(l) _
/(6)( 1) _
-
15, ... , -3!-
-
90,4!-195,5!-249,6!
Г(7'J)(11\
/ (8)(1)
/ \(~9)J( 11\
г(шlО)}(11\
-
210~-120
-
45~-10~
-
,
7!--~,8!
-
,
9!-
,
10!
= 1; f(x) = (х-1)10+10(х-1)9+45(х-1)8+120(х-1)7+
+210(х- 1)6+249(х_1)5+195(х- 1)4+90(х- 1)3+15(х
-1)2-5(х-1)-1.
1507. f(x) = x 3 lnx, f(l) = О; I'(х)
=
зх2 1пх+
+х2 , 1'(1) = l;j//(x) = 6xlnx+5x, /,,(1) = 5; flll(X) =
=
61nx + 11, flll(l) = l1,JIV(х) = ~, pv(1) = 6; при
n ~ 4 f(n)(x) = 6(-12:(~-4)!, f(n)(1) = 6( - 1) n(n - 4)! =}
f(x) = (х -1) + 5(Х-l)2 + 1l(x-1)3 + 6 ~ (_I)k(x_l)k +
2
б
6 1_ /1_ 1\/1- 1'\\/'_
"Э\
k=4
6( _l)"+l(x_l)n+l
+ (nН)n(n 1)(n-2)(1+1:I(x-l»" 2, О < () < 1.
224
1516. у = 2cosx+x = 2(1-~ +~4+0(x5))+x2 = 2+
+~~ +о(х5); f'(O) = f//(O) = flll(O) = О, fIV(О) > О =}
(0,2)
-
точка минимума.
= х1О
1520. f(x)
3х6+х2+2, f(1) = 1; I'(х) =10х9
-18х5 +2х,I'(1) = -6; f//(x) = 90х8 -90х4 +2, fJJ(l) = 2;
Решения
528
/(х) ~ 1-6(х-1)+(х-1)2, /(1,03) ~ 1-6·0,03+0 ,0З2 =
= 0,8209 ~ 0,82.
1
-!
11+1
1
_!
25
1525.ve=е 4~
-
4 32- 384
=>е•~32=
= 0,78125,8 < 3~4 < 0,003; e-~ = 0,78 ± 0,003.
1530. х
=
acost, У
=
bsint, x~
=
-a sint, X~',
=
'"
",
-
t'-
Ьt"-
Ь't·k
-
Х,У"-х,,у,
-
-acos,Yt-
cos, Ytt ~ - SIП,
-
('2+ '2)3/2
Х, у,
=
absin 2
t+abcos 2
t
=
аЬо
приt=О7rk
=
•
(а2 Sill2 t+b2 cos2 t)3/2
(а2 Sill2 t+b 2cos- t)3/2'
,
1
-
априt-1r31rk
_
Ь
-
~,
-
2''2 2- ~.
1536./х3+у3 = 3аху; зх2+3у2у' = 3ау+Заху', у' =
-
a~-x2 '(~a la) - -1'
"_ . (ау'-2х)(у2_ ах)-(2уу'-а)(ау-х2 )
-
у-ах'У2 '2
-
,У
-
(у2_ ах )2
,
"(~ ~) _ ( -4a)(ja2)-( -4a)(-i a2 ) __ 32. k
_
32_М
У 2а'2а -
-&а4
-
3а' - 3a.j23 - 3а'
1541 . х'"
ат +1L. = 1<=> ьтхт+атут = (аь)т.
Ьт
,
1
тхт-
mym-ly' _
ОI_
ьrrtхщ- 1
---am- +
-, У - - a",ym-t,
ь'"
" __ (.2)т (т_1)х",-2 у т-1_(т_1)х,"-1 у ",-2 у '
У-
а
у2т-2
(т_1)ьтx'n-2~aтyт+ьтxт) _ (т-1)ь . . . х т - 2 (аЬ)"'_
а2туm 1
-
а2fflу2П1. i
хт2
__
(т_1)ь2",хт- 2 .
_
I(т_1)ь2т - 1
-
a ffl y 2m-i, k - ( Ь2mж2m-2)3/2 m 2т-l
1+ (l.2m 2m 2
ау
1l
I(m-l)(ab)2m (ху)т- 2 1
(а2т у2т-2+Ь2т у2т-2)3/2 .
1546. x~ = -2asint + 2asin2t = 2a(sin2t - sint),
X~t = 2a(2cos2t - cost), y~ = 2a(cost - cos2t),
y~~ = 2a(2sin2t - sint);
k = 4а 2 sin2t-sin t) 2sin2t-sint)+ cos2t-cost) 2cos2t-cost
(4a 2(sin 2t-2sin 2tsin t+sin2 t+cos 22t-cos2t cost+cos 2t» 2
_
3-3cost
_
6sin
2
.!.
_
3
-
2(2-200st)3/ 2 - 16alsintJ3 - 8al sin !l'
1549. р' = ka<pk-1, р" = k(k - 1)a<pk-2,
_
I р2+2р'2- РР"1 _ a 2 I\P2k+ 2 k 2 \p2k-2_k(k+1)ср2k- 2 1 _
k - (р2+р'2)3/2 -
(a2(cp2k+k2cp2k-2»3/2
_
1\P2+k2 +kl
-
a\pk-1(\p2+k 2)3/ 2'
1553. р2 = а2 cos2<p <=> р = aJcos2<p, р' = -а j~:;r\P, р" =
2
(a2(cos2\P+'~~:i': »3/2
а
аl+cos22'1' R = а2(
28;n~2'" l+СО.; 2",
=
~\p
cos
3
/ 2\P'
cos 2'1'+ со. '" + С08 '"
а2
= 3р'
1558.(х2+у2)х-2ау =О,х2+у2+2х2+2хуу'-4ауу' =О,
'- зх
2
+у2 '(аа)- 2'
у- ?..I?n_...I'У
,
-,
Решения
529
"
(6х+2 у' (4ау-2ху -(4ау' _2у_2ху')(зх2 +у2)
"(
)
у=
4ау-2ху
у а,а
10а·2а2-2а·4а =l.~ =а_~ = _la 'YI =а+5
4а4
а' ."
3/а ' З'·'
ЗГа
-
!1а R - 53/2 - aVl25. (х+la)2+(У_!1а)2 _ 125а
2
-3'
-з;а-
3'
3
3
-
9
уравнение окружности кривизны.
1566. f(1-0) = f(1+0) => а+Ь+с = 1, 1'(1-0)
= 1'(1+0) => 2а+Ь = 3, /"(1-0) = /,,(1+0) => 2а = 6;
а=З,Ь =-3,с=i.
2
1572.х =3t,У =t -6;x~=3,x~~ =О,y~ =2t,y~~ =2;
~ = 3t_4t~+92t = _4~3, ТJ = t2_6+4t26+93 = зt2_~ ;
t--зЩ
'YI = 3з{9;2_~ ('YI+~)3 =24З~2
-
V4' .,
V16 2'
.,
2
16'" .
(2.2ь22)3/2
2
1580. R =(1 sш t+
ab
cos t
(1530), R(O) = :' R(1) =
2
= аЬ ; т. к. длина эволюты L равна приращению радиуса кри-
L_а2 ь2_ а3_Ь3 L_4(а3_ь3)
визны, 4' -
ь-а
-
~'-
аЬ
к ГЛАВЕ 5
1593.Точки деления xi = 4+~,О ~ i ~ n, тогда
п-1
площадь входящей лестницы L n =
I: 2Xi(XH1 - Xi)
i=O
п-1
п-1
= I:2(4+~)~ = ,t.rI:(4n+2i) = ,t.r(4n2
+n(n-1))
i=O
i=O
=
20 -~, площадь выходящей лестницы Rn
=
п-1
п-1 (
)
п-1
= I:2ХН1(ХН1-Xi) = I:24+2(i:1) ~= ,t.r I:(4n+
i=O
i=O
i=O
+2(i+1)) =
,t.r(4n2+n(n+ 1)) = 20+~, Нт Ln
п-+оо
= limRn=20,а=i,а =2"'0 =-51•
n~CX)
n
n
1600. Найде м точки пересечения кривых: х 2 - 6х + 10 =
5
=6х-х2=>Х1=1,Х2 =5;S=J1(6x-x
2- (х2-6х+ 10))dx =
=!1
5
(12Х - 2х2 -10)dx = (6х2 - 2~3
-10x)lf=150- 6-2~0+
+3-50+10=6з4.
x
1605.F =kx,dA=kxdx => А(х) =Jokxdx = k~2;
А(0,04) = 10 ,10 = ~ ·0,0016 => k = 12500 => А(О,l)
= 625 Дж.
&
15
1612.dA=7[dt,Е =ЕО- at,а ='го' =0,025Bjc=>
А = J~oo (120-~0025t)2 dt '= Jо
ЗОО
(240- O,lt + 40i.60 t2 )dt =
= (240t-0,1~ + 160~.180t3)1&00 ~ 67600 Дж.
530
Решения
1617.Пустьt = Wa, тогда хо =а,Х1 = at,...,x1l =
n-1
= atn = Ь - точки деления отрезка. 1,. = L X~(XiH - Xi) =
i=O
=
ak(at - а) + (at)k(at2 - at) + . . . + (atn-1)k(atn - at"-
1)=
=
akH(t -1)(1 + t k+1 + ... + t(n-1)(k+1»
=
ak+1(t - 1) Х
1_t n (k+1) _ k+1 _ 1_(b/a)k+1 _
_
ьk+1_аЧ·I .
Х1_tk+1 -а(t 1)1_tk+1 -(t1)tH1_1
'
т. к.
limt = limwa=1,1 =lim(bk+1-аН1)AI~
=
П->ОО
n->оо
t->1
t
1
k+1 k+1
=Ь
•.-:~
(например. по правилу Лопиталя).
n-1
(
)
1621. 1п= L ~(Xi+1-Xi)= t+1:1. + 1:.2. + ...+ 1~li ~ =
i=O
ппп
1
1
1
1
l'1f2dx12
=-+-+1+" '+-2; 1т п= 1-;-= n .
n
n
11. n--+СХ)
Х
'
n-1
.
1623.3. t = Vbja,xi = ati , 1,. =
L 11:~~' (ati+1 -ati ) =
i=O
n-1
(
)
=
L lna';;~lntat;(t_1) = (t-1) n lna+ n(n2
- 1)ll1t = (t-1)x
.=0
Х (nll1а+ n- 1111(bja»); 1 = lim (( Wa-1)nlna+ lnb-lna Х
2
n->оо
2
х(n-1)( Wa-1) ) = lna li m (Ь/а)I /"- 1 + lnb-:;lna lim (\>.':=-1
n-сю l/n
-
n-оо n n-l
lnaln~+ l!1b;lnaln~=(lnb_ lna) Inbtlna = ln
2
b;ln
2
a.
1628. Н айдем макси-мум функции Лх) = X3~16 на [0,10];
f'( )
16-2х3f'() О
2
1
Х = (Х3+16)2' Х
=
при х = ,Умакс
=
12 =>
1~1~·10=~.
1633. f'(x) = (11;:22)2' f '(x) = О при х = 1,Умакс = Л1) =
1 f(1)
2 f(5) 10
10
210
1
=
2'
.
~=5' 2
=
29=>Умин=29=>
.29<<
<2~=>2g<1<1.
1
1
1638. J0 V1+x3dx< VJ;(1+x3)dx V J0 dx=V(x+ х44 )IA·1=
=4::::::1,18; по общему правилу 1 < J0
1
V2dx = V2 :::::: 1,41.
1641.1)1~V1+х4~Л(ХЕ[0,1])=>1<1<V2::::::
:::::: 1,414; 2) график функции f(x) = V'f+X4 вы пукл ы й вн из =>
1<1<1+2,(2::::::1,207;3)1<1<VJ0
1
(1+x 4 )dx = Л::::::
1,095.
1648.E(t) =100+~,О~ t~60,I(t) =Е}:)
=
10+
+ ;;0' 1ер= 610J0
60
(10+ ;;o)dt = 610 (10t + ~~)Igo = 11А.
Решения
531
1653.E(t) = Е1+~;=~1(t- t1), 1(t) = Ekt), dA =
=
E(t)1(t)dt = БАt), А = J~ 1i(E1 + ~;=~1 (t - t1»)2dt =
= 1. rt ( E2-Б1)t+Е1t2-Е2t1)2dt = 1. rt (at+{3)2dt = 1.(,,2t3+
RJO
t2 t1
RJO
R3
+ a{3t2+(32t) а = Б2-Б1 (3 = Е1t2-E2t, .
,
t2-tl '
t2- tJ.
(Х
1662 г 2х
sin Х dx - Р(2х) где Р(х)
-
siпХdx => У'
•JO:1;
-
.
'
-
JoХ
2sш2х =
= 2Р'(2х) =
sш2х .
2х
Х
1666.2. X't = 2t · t21nt2 = 4t3 1nt,y't = -2t·tЧпt2
= -4t51nt=> У'Х = _t2.
1675. J:b f "(x)dx = f'(x)l~
=
tgi- tg!!:з = 1-JЗ;
а
2
J: f'(X)f"(x)dx = J: f'(x)d(f'(x)) = l' Jx) '~ = 1;3 = -1.
К ГЛАВЕ 6
1680 Jaxexdx = Jex(1+lna)_1 -d(x(1+ 1na») = (ае)'" +С
·
1+1na
1+1na
.
1686. J УХ- Х:(+Х
2
dx = Лх-5/2- еХ+х-1)dx = - зх;j2
-
еХ+ln'хl+С.
1696
2 d -Jsin2xd -J1-eos
2xd-J(1 l)dx
·
Jtgхх- eos2ХХ- ~х -
eos2Х-
=tgx-х+С.
2
1700J(1+x)2dx - J(1+x+2x)dx - J(1+21 )d
·
Х(1+х2) -
х(1+х2) -
Х1+х'Х
= lnlxl + 2arctgx + С.
1708 J dx
J 1dа+Ьх
1
С
·
(а+Ьх)С= Ь(а+Ьхс = Ь(1 с)(а+Ьх)С 1+ .
1715. J xdx = Jd)2i
1
)=Vx2+1+С.
~
2хН
1722. J cos3хsin2хdx = J2cos4Хsinхdx =
= -2 J cos4 xd(cosx) = _2со;5х +С.
1734. Jexsin(eX)dx = Jsin(eX)d(e X) = -соs(еХ)+С .
x2dx - J d(x3
+1)-11I3 IС
1741 . J хЧ1 - 3(х3+1)
-
3nх+1+ .
1746. Jtg3xdx = JSin3xdx = _Jd(еosзх) = _lnleos3xl +С
соsЗх
Зеоs3х
3
.
1757. J е- Х3
x2dx = -~Jе-Х3d(-хЗ) = _~e-X3 +С.
Jdx - 1Jdx _,(2 tх,(2+С
1762· 2х2+9-2 ХЧ*-T arcg-З-
.
1769. J 2Жdх = J d(2Ж)
= arcsin2'" + С
";1-4'"
1112";1-4'"
1112
.
1775. JV1-ХdХ
=
J~dx = J~+Jd(1-х2)
=
1+х
~
~
2~
= arcsinx+V1-х2+С.
1782. J2x~1dx = J (~-2(2;+1»)dx = ~ - t1nl2x+1/+С.
532
Решения
1789. J 1~'xdx = J X41~1:1 = J (-х3 _х2 -х-1+ 1~X) dx =
х3х
2
х'
1п1I IС
,=-т-т-т-х- -Х+ .
1794 J dx
_ 1 _J(a-x)-(b-x) _1_J(_1
___
1_)dx=
.
(a-х)(Ь-х) а-Ь (a-х)(Ь-х) а-Ь Ь-х а-х
= a~b (1пlа-хl-1пIЬ-хl)+С= a~ь1nl ~=: I+C.
1802. J x-x1~2,5 = - J (х-о,;)1+1,52 = -~ arctg 2Хз-l + С.
dx
-
J
dx
-.!..'
~+С
1807•
';26 92-
v'
-
3а!csш М3
.
J-х-х
3-(3х+1)2
У'>
1812. J~dx= Jtg2 ~dx= J ( 12 t -1)dх=2tg~-х+С .
1+cosx
2
cos
2
1819. J cosxcos2xcos3xdx = ! J cos2x(cos4x+ cos2x)dx =
tJ(cos6x+ cos2x+ 1+ cos4x)dx = ~ +~sin2x+ 1~sin4x+
+ 214sin6х+С.
3
2
1824. J sin a da = -! l-cos ad(cosa) =
';cosa
';cosa
=
J(cos~ а - cos-! a)d(cosa) = ~cos~ а - 2cos! а + С
= 2v'cosa ( c~2a -1) + С.
1829. J Sin4
xdx = tJ(1-соs2х)2dх = tJ(1-2соs2х+
+ 1+cos4x )dx - ~x
-
.!. sin2x + .1.. sin4x + С
2
-
8
4
32
.
1835. Jх·ЗХ dх = 1;3 Jxd(3X
) = f;; -1;зJ3хdx =
-
3"'(xln3-1) + С
-
Iп2 3
.
1840. J a~C;~1xdx = 2! arcsinxd( v'x+ 1) = 2v'x+ 1arcsinx
-2~f1х_+:2dХ = 2v'x+1arcsinx-2J JF=; = 2v'x+1arcsinx+
+4 1 -х+С.
1846.J1n(x2+1)dx = х1п(х2+1)- J X~x;.1dx = х1п(х2+
+1)- J2dx+2J xf~ 1 = х1п(х 2 + 1) -2х+2агсtgх+С.
х2
1852. Jx2a xdx =
_1 _Jx2d(aX) = а'" - J 2ха'" dx
2
Iпа
2
Iпа
Iпа
=
хаЖ_ 1 Jxd(aX) = ха'" _2ха'"+2а.'"+С
Iпа Iп2 а
Iпа Iп2а Iп3а
= 11~;a ((х1па)2-2х1па+2)+С .
3
3
5
'3
3
1857. JI);!dx = J1n x'x-2dx = -~J1n xd(x-2 ) =
=-~x-! 1n3x~~ J31n2x~x- ~ dx=-~x-~ 1n35x- ~J1п2Хdз(Х- ~)=
2--13
-х
4_;!12+4J21
-
-
2dх=--х2 --213
=--х2nх-
2nх
-
пх' х
nх
J_3 2
\6!
_l!3) 2 _~ '3
i_3 2
-
-х21пх--1nxd(x2=--х21пх --х21пх
33
95
3
3
3
3
з
-
16 х - 2 1пх+ 16JX-2dХ--~Х-21п3х- ~x-21n2x- 16 х - 2 1пх
9
з
9
-3
3
9
_32 х - 2 +с=- 2 (1n3x+21n2x+~1nx+16)+c
27
3\Гх3'
3
9
.
Решения
533
1863. J sin1nxdx = xsin1nx - J xcos1nx~dx = xsin1nx
-
xcos1nx - J sin1nxdx => J sin1n xdx = Х(SiJ1lпх;соs IП Х) + С .
1869 J dx
=
[х+1=z2dx=2zdz] =J2z,/z =
.
1+~X+1
.
,
1+%
= 2J(1-1~% dz = 2 z- 21пI1+zl+С = 2v'x+1-2 1n(1 +
+-Гxtт)+C.
1879. J ,;x~VXdx
[х=
z6, dx
6z
5
dz]
%3 6z5dz = 6JLdz = 6J(z5+Z4+ z3+z2+ z +1+
J Z3_Z2
z-1
+-1 -)dz = z6+6z
5
+3%4 +2z3+зz2+6z+61пlz-11+С =
z-1
5
2
= х+ 6? + 3~ +2JX+з.rx+6~+61пl.rx-11+С.
1884. J dx
=
[1+еХ= z2 eXdx = 2zdz dx = 2ZdZ]
';1+,,'"
,
'z2-1
-
J2zdz -11z-
ll+С-1JI+eX-1+С
-
z(%2-1) - n %+1
-
n ';1+е"'+1
.
1890. J dx
=
[х=1dx= - d%]=
-
Jdz
=
.
х2';х2+а2
z'
~
.jI+а2
;'1
=-Jzdz
= _Va2zЧl +С = -~ +С.
а2
Va2zЧl
~
1896.dx = [х
=
3sint, dx = 3costdt]
J~
з
х
4
=
J 27cos t 3costdt =
.!.J costdt =
-1 Jctg4 td(ctgt)
729 Sll1б t
9 s;nst
9
5
= _.1..ct5tС-
_ .1.. cos arcsinj С =
_ .1.. .j~ С
.
45g+-
45 siп5 аrсsiпj +
45 (j)5 +
v'(9-x2 )5
=-
45х5 +С.
1901 J
dx
-
[-!;gJ,d
-
dt]
.
(х2+4)';4х2+1 - Х
-
2'Х
-
2cos2t
dt
-
J
2dt
-
J 2costdt
2cos2t(~+4)v'1+tg2t -
cost(tg2 t+16) -
s in2 t+16cos2 t
2
'l(siJ1t) _
1
ISint+ ~51
_
.
_
_
-1"J16 .2t-
151п.t7р+С-[sшt
~4
tgtcost
"15-SIl1
4\11:>
sll1-7i5
J15 2",
+41 .
-
tgt
_
2х
_
11п
~+С
-
v'l+tg2 t - ';1+4х 2 ]
-
~ J15 ,;.~2+1 -4
1
=
1 1п 1хJ15+2J4ж2+l1 + с.
47i5 xJ15-2';4хЧ1
1906. [sin .rx dx
[х=
z3, dx = 3z2dz]
=
=
3Jz sinzdz
=
-3Jz2d(cosz)
=
-3z2
COSZ+
+6Jzcoszdz = -3z 2 соsz+6 J z d(siпz) = -3z2
cosz+
+6zsinz - 6Jsinzdz
=
-зz2COSZ+6zsinz+6cosz+
+С
-3~cosifi+ 6ifisinifi+ 6cos .rx+ С
=
3((2 - ~) cos ifi + 2ifisin ifi) + С.
534
Решепия
= e-COSX+С.
1913. J s~~:.~x = J e-СОS Х d( - cosx)
1921. J 2х+3 dx = J IЦ1+х
2
+3! dx
=
2v1+х2+
~
1+.1;
~
+3ln(x+v1+х2)+С.
1929. J cos2xdx = J 2coS
2
x-1dх=J(2- 1)dx=2х
cos2 х
cos2 х
cos2х
-tgх+С .
1935
xdx -J--=±Ld-1!dx -1!~4d
·
J,",,2+4х - V2+4X Х 2 '-"2+4х - 4 V~+ЧеХ,х
-
1v2+4х-
.l J(2+4х)3- 1v2+4х+С- V2+4X(x-1)+С
4
-
24
4
-
6
.
1943J8х-11dx- J 8х-8dx-3! dx
·
'-"5+2х-х2
-
'-"5+2",-х2
'-"5+2х-х2
-4 J dJ5+2X-Х~ - 3J
dx
=
-8v5+2х-х2
5+2х-х2
V6-(x-1)2
.
х-1+С
-
3 arCSlll 7б
.
1951 J (4-3x)dx - J
-3x-*-1,f d -
_ .1.. J 10х+6 dx
·
5х2+6х+18 - 5х2+6х+18 Х - 10 5х2+6х+18 +
2
+ 2;J5(x+l)2+* = - 130In(5x +6х+18)+~;arctg5х:3+С.
1955 J..jа-хdx = [t2= а-х Х = a+b~2 dx = 2(b-a)tdt] =
·
х-ь
х-ь'
l+t'
(1+1,2)2
=
2(b-а)J(1~1i)2 = 2(b-a)(-!)Jtd(11t2) = (а-Ь)х
х (,';:'_~~:~:,) ~ (:_~ Ь)( ,';" - acctgt) + С ~ (а - Ь) х
х(..)х-ьа-Ь- arctg/iii)+С = J(a - х)(х
-
Ь)-(а -Ь)х
хarctg..j~=~ +С.
1960. J l~':s~s:dx = Jln cosxd(tgx) = tgxlncosx +
+ J tg2xdx = tgxlncosx + J (со;2 х -1) dx = tgx(lncosx+ 1)
-х+С.
1966 J..JtL. =
[ех+1=tх=ln(t-1)dx=
..!!:L] =
•
е%+l
'
,
t-1
= Jt(t~l)=Jt'!!l-J5!f=lnIt-11
-
lnItl+С =х -ln(ех+
+ l)+С.
1971. J xarcs inxdx = -Jагсsiпхd(Vl-х2 ) = -v1-x2 х
'-"1-х2
хarcsinx+ Jv)2XdX = Х - v1- х2arcsinx+ С.
1-х 2
1977 J sinxdx -
[t
tХ·
2td
•
l+sinx
-
=
g2' SlnX = 1+t2' Х
=
-
2dt]- J
tdt
-
2! 1+2 t+t
2-(1+t 2)d 2! dt
-
1+t 2 - 4 (1+t2)(1+t)2 -
(l+t2)(1+t)2 t
1+t2
-
2J(1~~)2= 2arctgt+ l~t +С =х+1+~g~ +С.
Решения
535
1982. J е-х2x5dx =
-!J x4d (е-х2) _!х4е-х2 +
+ J2x3e-х2dХ = _!х4е-х2 _ Jx2d(e-
x2 ) = _!х4е-х2
2
2
12222
-
х2е-Х +J2xe-x dx = -'2х4е-Х - х е-х
-
е-х+С=
_е-х2 ( х2
4
+х2+1)+С.
1988 J'-"4+х2d - [
-
2td-2dt]-J
2
2dt
.
~х-х-tg,х-cos't -
cost.64tg6t cos't
-
.lJcos
3
tdt = .lJ(1-siп2tid(siпt)
=
/6(- 1 +-L'+
-
16~
16
sin t
ps
~~
} О+ ,,2)з }(1+ ,,2)5
+ С = sint=tgtcost= tgt
=
:-
:+
(
V1+tg2t )
48т
8ОЬ'
С-~
-
J(4+x2)5 - ~(1_4±;2) +С
+-48х3
80х5 -
16х3 3 5х
_~(x2_6)
-
120х5 +С.
1993
~dx[6dx65d]6!z
7
dz
• J x(vx+VX) = x=z,
=
zz=
zб(z3+ z 2) =
=6! dz =6Jdz -6J-fk. =6Iпlzl-6Iпlz+11+С=6Iп~+
z(z+1)
z
z+1
{ух+1
+С=lп(rx~Чб+С'
1999. J..2i....!k..
=
[х2=Zdz=2xdx]=1Jz
2
dz
v'x Ol +4
'
2
z+4
! I; 1 = Jzd(Jz2+4) = zJz2+4- J z2+4dz =
zJz2+4-J~dz = z Jz2+4-I-4J~
=
\1z·+4
~
=
zvz2 +4-I-4 In lz+vz2 +41 => 1 = !zvz2 +4
-
2lnlz + vz2+41 + С = !X2Jx4+4 - 21n(x
2
+ Jx4+4)+
+С· J~ = 1x2Jx4+4-lп(х2+vх4+4)+С
,
\1х4+4
4
.
2003. J ;:2:fi arctgxdx = J arctgx(~fi- 2X~) dx =
= J arctgxd(..;хз+Тх) = (..;хз+ ,*)arctgx - J X~1 1~~2 =
= X~1 arctgx - 2fi+ С.
2008. J arccos..jX~1 dx = xarccos..jx~1 + Jх ~ х
1
1d-
~1J,fidx-[
-
2d
х2J"(х+1)2Х - xarccos х+1+2 х+1-Х
-
t,х
%+1
=
2tdt] = хarccos..jx~1 + J t2t:1dt = хarccos Jx~l+ t
-агсtgt+С = xarccosJX~1 +fi-агсtgfi+С.
2013. 2х2_Х3х_2 = (х-2)(2х+1) = x~2 + 2X~1 => А(2х + 1) +
+В(х-2)=х;прих =2:5А=2,прих = -!:-~B=
-
1=>А-2В-1.J
xdx
-
2Jdx+1Jdx
-
-2
-
5'
-
5' 2х2-3х+2 - 5 х-2 5 2х+1
= ~lnlx-21+ 110Inl2x+11+С =~ln((х - 2)2JI2x+11)+с.
536
Решвнuя
2019.1
=
f x4..:.T3~;+2 = [и
=
х2,du=2xdx]=
1f d1L
1f
du.
1
А+
2 u2-3u+2
2 (u-l)(,,-2) ' (11-1)(11-2)
u-l
+u~2'А(u-2)+В(u-1)=1,прии =2:В =1,при
и=1: А = -1'1 =1f~+1f...!!3L = 11п111-21+С
,
2 11-2 2 ,,-1
2 u-l
= 211пIxх
2
2 --1
2
1+С.
х3
хЗ
2025.1
f +1dx
f -х2+х
2
+1dх =х+
х3_х2
х3-х2
х2
х2+1
+ f ....i:±Ldx·
+1 =Д+в+~
= Ах(х -1)+
х2(х-l) ,~ х х1 х-l'
+В(Х-1)+Сх2,приХ=О:1=-В,прих =1:2=С,
коэффициентприх2:1=А+С:::}А = -1,В = -1,С =
=2' 1=x+2f..E..--fdХ-fdх =х+lп(х-l)2 +1+С.
х
,
х-l
х
х1
Ixl
х
5
_х3
2031 1
fx
5
dx
f
d
•
(Х-l)2(х2-1) =
(х-l)2(х2 -1) х +
х3
х3
х3d
f
f
+ f (Х-l)2(х2-1) Х = (X_l)2dx+ (X_l)2(x2_1)dx = [1 +12;
разделив с остатком х3 на (х - 1)2, получаем х3 = _ (х
-1)2(х+2)+3х+2; 11 = f(x+2+(;~1)2)dx = ~2+2x+
х2
х3
+! 3x-3+1d -
+2+31111 1+С'
~Х-2"х
n х- - х-l '(х- l)2(х2-1)
_
х
_
А
В
С+D
3-А(
-
(X-l)3(Х+l) - х-l + (х-l)2 + (х-l)3 -хн:::} Х - х
-1)2(х+1)++В(х- l)(х+1)+С(х+1)+D(x- 1)3, Х =
= 1:1=2С,х = -1:-1 = -8D,х =О:О =А-В+С
D Х3.1
-
А+D·A~-7В-5С-JD-11
-,
.
-
,- 8'
-
4'
-
2'
-
8' 2
7fdx+5f(lx+1Е dx+1fdx
711
11
= 8х-l 4гх=1)2" 2 (х-l)3 8х+l=8nх-
-
4(:с5_1) - 4(X~I)2 +klnlx+11+С; 1= 3в11п'х - 11+g-lnlx+
х2
9
1
С
+ 11 - 4(х-l)
-
4(х-l)2+2"+2х+ .
2037[-fdx
-
fdx
.
1
_
А+
•
-
1+х3 -
(l+х){l-х+х2 ) ' l+х 3
-
l+х
х2
+1~~t~2 => 1 = A(1-х+х 2 )+(Вх+С)(1+Х) ,
:О=
=
А+В,х:О=-А+В+С,1:1=А+С=>А=~,В =
-
1С-2.1
-
1fdx 1fх-2d-1111+1
-
-3'
-
3'
-
3l+х-31-х+х2Х-3n
х
lfx
- !-;d
11I I11(
2)l!dx
-3 1-х+х х=3nl+х-6n1-х+х +2 ' ',о_, =
_
11 (1+х)2
1
2х-l С
-
6 11 l-х+х2 + 7з агсtg""Тз + .
2043. 1 = f (X+l)~(X'+I); (XH)i(X'+I) = X~1 + (Х:l)2 +
+~;tr:::}1=А(х+1)(х2+1)+В(х2+1)+(Сх+D)(x+
+1)2;х= -1:1=2В,х =О:1=A+B+D,х3:О=
=
А+С,х=1:1=4А+2В+4С+4D=>А=~,В =~,
Решения
537
С1DО'11fdx+1fdx
1f xdx
111+
= -2'
=,
=2х+l 2(х+l)2-2х2+1=2"nх
1
11(2 1) С- 11(Х;I)2
1
С
+ 11 - 2(х+l)
-
4nх++-4"nх+1-2(Х+l)+.
20481-fХ3+Х-ld -f(X~+2)2d f х+ld -f xdx
·
-
(х2+2)2 Х - х +2 х- (х2+2)2 Х - х2+2
f xdx
fdx
-
11 (2+2)+ 1
lfx2:t2-x2d_
-
(х'+2)2 - (х2+2)2 - 2 n х
2(х'+2) - 2 (х +2)2 х
-
11 (2+2)+ 1
l!dx+l!x
2
dx
_
11 ( 2+?)+
-
2nх
2(х'+2)-2х'+2 2"~ -2"nх
+ 2(xf+2) - 2-Лal"ctg~ -~f xd(x2~2) =~lп(х2+2)+ 2(xf+2)
1
tх
х+1fjx
11 ( 2+2)+ 2-х
-
2-.!2МСg-.!2 - 4(х2+2) 4 х2+2 = 2 nх
4(х2 +2)
-
~al"ctg72+C,
2 x2d
dx
-
fI+X-
fdx
+
2054 1
•
f (Т+XrYf -
(1+х2)4 Х
~
l!d(1)
-
х+5!dx
_
х+
+ 6 х (1+х2)3
-
6(1+х2)3 6 (1+х 2 )3 - 6(1+х2)3
2
+ 5fl+x -
x2 dx_
х+5!dx+5fxd(1)_
6 (1+х2)3
-
6(1+х2)3 6 (1+х2)2 24
(1+х 2 )1
_
х + 5х +5fl+x2-x2d _
х+5х+
-
6(1+х2 )3 24(1+х 2 )2 8 (1+х 2 )2 Х - 6(1+х2)3 24(1+х2)2
+5fdx+5fd(1)х+5х+5х+
8 1+х2 16 х 1+х2 = 6(I+х2)3 24(l+х2)2 16(l+х2)
+ 156 arctgx + С.
2059 I x6+x4_4x2_2
_
(.AX3+Bx2+CX+D ) , + ах2+ьх+с _
·
x 3(x 2+1)2
-
\
х2(х2+1)
х(х2 +1)
(3Ax2 +2Bx+C)x
2
(x2 +1)-(Ах
3
+Вх +Cx+D)(2x(x2+1)+2X 3) + ах 2 +ьх+с
X4(X2+1)2
х(х 2 +1)
_
(3Ax2+2Bx+C)(x3+.x)-(Ах3+Вх2+Сх+D)(4х2+2)+(ах2+Ьх+с)(х4+х2).
-
х3 (х2 +1)2
приравнивая коэффициенты, получаем: х6 : а = 1, х 5 : 3А
-4А = О, х4 : 2В-4В+с+а = 1, х3 : С+3А-4С-2А+
+Ь=О,х2:2B-4D-2B+c=О,1:-2D= -2 =>А=
1
2J
f
=
В=С =Ь =с =О,а =D =1;[=х2(х2+1)+х(,'/:I)=
=
x2(X~H)+lпvx2+1+С.
tdX
2070. f
!=[z = (х+l)t,х
=
z6-1,
(Х+l) +(х+l)
-
6 5d] - f (z6-1)6z
5
dz
-
6! z3(zб-l)dZ
dх-
zz
-
z2+ z3
-
z+1
Z3(Z-1)(Z+I)(z4+z2+1)dz
6f(S+6+4
7
6!
z+1
=
Z
Z
Z-Z
5
3)d
6(z9
z8
z7
z6
z5
Z4) С
-z
-z
z
9-8+7-6+5-"4 +
_
6( ХН)' _(x+l)~ +(хн)! _хн +(х+l)& _(x+l)~) +С
-
9
S
7
6
5
4
.
2074 1-f~I-ХdХ_[ -11-Х _1 _z
3
d-
6z2 d]
.
-
l+х -х- z-
l+х ,х- l+z3' х-- (l+z3)2 Z
fz~~~~(i~6z;)2dz = -6f{~~~ = [t = z2, dt = 2zdz] =
538
Решенuя
-
J -Зtdt. -зt
А ВНС А(l
2) (В С)(
-
т=tr, l-t3
l-t + 1+Ht2,
+t+t + t+
1
-t) =
-3t=>А=-l,В
=
-1С=l'1
=
Jд
t-l
-J/;;~ldt
+t+1)+2зJ
2
=lnIz-1I
-. /z4+ z2+1
2077.1 =
[и=x~,x =
3J аи.
и(1+иdЗ'
,
,
= lnlt-11-J~tjt~~dt = lnlt-11 -41n(t2+
dt
1 It-1I
Л)3
2t+l С
(t+!)2+ t = n - ./t2+t+l + v.>arctg v'3 +
+ vГзагсtg2Z/зl+СZ=i 1-X
з'
Jх-l( l+х~)-Зdх(m =
иЗ,dх = 3u2du]; 1 =
1-А+В+
и(1+и)3 - и 1+и
l+х'
-1,n=!,р = -3ЕZ)
Jи- З {l+и)-З3и2dи =
С+D
1
("I+UF ~ =>
=
А(l+и) +Ви(l+и)2+Си(l+и)+Du => А = 1,В =
-
С-D
-
l'1-3(!duJа'и Jdu
Jаи)
-
-
-
-,
-
u- 1+и
-
(l+UF -
(1+и)3
=3(In11~и1+ 1~и +2(1~и)2)+С=3(In'1+~1+ 2~1~~2)+С.
2083 1
J~dx(т= _1 n
.
,;х
2'
= 2ЕZ)[1+ifX=zЗ,х =(zЗ -1)4,dx
-
JzI2z2( ZЗ-l)Зd - 12J( 6 З)d
1-
(z31)2 Z-
Z-Z Z
= 1р=1т+l=
4'
З'n
= 12z 2 (zЗ -l)Зdz];
2(Z7 Z4) С
1Т-"4+
= tz4(4zЗ -7)+С = tV1+ ifX(4VX+ ifX- 3) +С.
2088.1
J{/х(l-x2)dx(т =!,n = 2,р =!,m;tl+
+рЕZ)[х-2-1=zЗх = _1_dx= -
зz2dz].1 =
,
~,
2J(ZЗ+l)З '
=JiхЗl-х2dх=Jхzdх=-~J zЗdz =1Jzd( 1)=
---xr-
2"('Z'3'+iF
2
z3+1
z
l! dz
z
11 (;+1)2
1
t 2z-1+
= 2(z3+1)-2 z3+1~2(z3+1)-12 nz-z+1-2v'3arcg2;7з
+С, z = il~f2 (см. 2037).
2095. J
ах=Jdx
sin4хcos4х
tf4хcos8х
dx] j( U+l)З dU
= [u=tgx, dи= cos2x =
и4=
='3
з
+3и-~
2102.1 =
dt
=-J~;
з
зь-+с= tg
з х +3tgx-3ctgx- с ~ х +С.
J~=Jsin~dx=[t=cosx,dt=
-sinxdx] =
slП lх
slПХ1
А
В
С
-
~ = (l-t)2(I+t)2 = 1+t + (1+t)2 + Н +
=
J (tg
2
x+l)3 dx
=
tg4х cos2х
J(23зl)d
и + +,.,.+;;:r и =
t3
+ (1.ftj2, А
=
В=С =D
=
-i =>1=
-i (J l~t+
dt
Jdt Jdt)
1111-t1 1(1
1)С
+J(1-t)2+ 1+t+ (1+t)2 =4n1Н+4t=т+Нl + =
-
11 11-cosxl+ cosx
+с-11 It xl
cosx +С
-
4 n l+cosx
2(I-cos2х)
-
4ng2-2sin2х
.
Решенuя
539
2110. J 5-;~osx
[t = tg~, cosx ~~~;, dx
-
2dt]-J
2dt
-
Jdt-12
2С
-
l+t2 -
( 2)(" 1-,2) - 4t2+1 - 4' arctg t+
1Н ,,-з~
= ~arctg(2tg~)+C.
-!
1
dx
-[t
2118. J 1+:i~2 х = J 2sin" ;~COS2
-
2tg2 х+l сов2 х -
tgx, dt = co~~x]
=
J 2(t~~!) = 4 arctg( V2t) + С
=
~arctg( V2tgx) + С.
2124Jyrgжах=JJtgX dx =Jd(tgx) =2Jtgx+С.
.
SlПхсоsх
tgx cos2 x
. .;tgX
2
2131.1 =JJtgxdx= [t=Jtgx, х=arctgt,dx= ;~~i]
-
J2t2dt- J
2t 2dt
.
2t2_ At+B+Ct+D=>
-
1+t 4 - (1+-I2t+t 2)(1--I2t+t2)' 1+t'l - 1-72t+t2 1+'I2+t2
А- -12 C--12 B-D -O' l--I2J tdt
_
-I2J tdt
-- 2'
-2'
-
-,
-2 t 2-J2't+l
2 t2+72t+l
-У1.! (t-4)l/t 1! dt
- I2J (t+4)dt 1J dt
=
-
2 t2--I2t+1 + 2 t2--I2t+l + 2 t2+-I2t+l + 2 t2+-I2t+1
2
=
Y1.1n t -
- I2t+1 + -12 arctg( V2t
1) + у1. arctg( V2t +
4 t2+72+1
2
2
+1)+С=
- I21n tgx-~+1 + ~агсtg(J2tgх-1) +
4
2
tgx+JЛgX+1
+ ~arctg(~+l)+C.
2137. J sh
2
xdx = Jсh2г1dx = Sh42x - ~+С.
2143. JSh
2
хсhЗ хdx = JSh2 x(1+sh2 x)d(shx)
+sh4 x)d(shx) = Sh;X + sh;x +С.
2149. J ~I~: = Jxd(thx) = xthx- Jthxdx
-
Jd~"::xx) = xthx-lпсhх+С.
2156. J
ах =[z=_1_Х=z+1dx
(X-l)-./х2 +Х+l
х-l'
z'
-
J
%а%
-
J
а%
-
J
--
%2J('~i)2+~+1 -- -./З%ЧЗ%+1
--
v'3J(%+!)2+ й
=
-Jз lп lz+~+JZ2+z+!I+с = -Jзlпl-Х~-I+~+
+/ 1 +_1_+11+С=
_
1 ln IЗх+З+2уЗ(х2 +х+l) I+ с.
V (х-l)2 х-l 3
тз
х-l
2160. JJl-4x-x
2dx = xJl-4х-х 2 + JX-'/l~::_x2dx =
xJl-4х-х2 + JX
2
+4x-I -2x+ldx
=
xJl-4х-х2
-./1-4х-х 2
-
JJl-4x-x2dx - J 2х-l dx
=
-'/1-4х-х 2
JJl-4x-x2dx - J 2х+4 dx+J
-./1-4х-х 2
xJl-4х-х2 - J Vl-4x-x2dx
= J(sh2 x+
= xthx
=_dZ]=
z2'
dz
xJl-4х-х2
5dx
=
-./1 4х-х2
+ 2,,;f::-i=-""':4-x ---x"2 +
540
Решенuя
dx
(х + 2)Vl-4x-x2 + 5arcsin7j
5-(х+2)2
-[ 1-4x-x2dx ~ J V1- 4х - хЧх
=
~V1-4х - х2+
+-агсsin~+С
2
v'5
.
2166.1
=
J v';~22~:"x2dx = (Ах + В)vЗ - 2х
-
х2+
+лJdx~зх
2
-5х =АvЗ _2х
_
х2 _ (Ах+В)(1+х) +
~-h-~ ~~~
~-h-~
+ ';3-;х-х2 ' Зх2
-
5х=А(З-2х
-
х2)-(Ах+В)(l+х)+
+л;х=О:ЗА-В+л=О,х = -1:8=4А+л,х2:З=
= -2А ~ А =-~,B =1i,л =14;1=19;3ХvЗ-2х_х2+
+14J dx
= 19-3хvЗ-2х
-
х2 + 14aresin :tll + С.
V4-(x+1)2
2
2
21711-J
dx
-
J
dx
•
-
(x 3+3x2+3x+1)v'x 2+2x-3
-
(Х+1)3';х2 +2х-3
[t-
1 х-1-tdx--
dt] -
J
t3 dt
-х+1' --t-,
--~ - - t2J(l~.J>2+21~t_з
J
t2dt -
(
)~Jdt.
_t2
-
~- -At+Bvl-4t--л ~,~
-
Avl-4t2+4t(At+B) ~А= -1.В =Ол =1..1 =
';1-4t 2
8"
8'
=
1.tvl-4t2 - 1.J~
=
iV1- 4t2 -
..l..aresin2t+ С
8
8 ",1-4t-
8
16
_
';х 2 +2х-3
1
.
2
С
·
.
-
8(Х+1)2 - 16 агеsш х+1 + .
2175.1 =J(x~f)I2=[и =х-1,х =и+1,dx=du]=
=
J(,,~;)3du = J1,3+з,,2+З,,+1du = Jd" + ЗJd1' + ЗJdu +
J
u
и'2
U!f;;ТO-
UП
du-
1
1
3
1
+С
+ UТ2" - - 8(Х-l)8
-
3(х-l)9 - 10(х-l)10
-
11(х-1)11 .
2183.1
Jlllx:~idX = Jln(x+1)d(2Vx+1)
=
2vx+11n(x+ 1)- 2J~:i1dx = 2vx+11n(x+ 1)
-2 J ';:~1 = 2Vx+1(ln(x+1)-2)+C.
2188.1 =Je~dx=[и =?'Х,х =u
3,dx = Зu2d~] =
= ЗJu2
e
u
du = ЗJu2d(еи) = Зu2еU - 6Jueudu = зu2е"
-
6Jud(e
U
)=зu
2
еU- 6uе"+6JeUdu = еU(Зu2- 6u+6)+
+С = Зе~(~ -2.у"Х+2)+С.
2193.1
=
J X-~ = J(x+Vx2=l)dx = х2
2
+
+ JVX2-"Jdx = [x=cht, t=ln/x+vx2
- 1/ , dx=shtdt] =
х2
2
= з;2+J ch2t-lshtdt = з;2+Jsh2tdt =
+ ~j(ch2t
х2
2
х2
-l)dt =
+5h2t_~+С=
+ 5htCht _ lnlx+~1 +С =
2
= ~(x2
+xvx2
-\-lnlx+vx2
-= 11) +С.
Решенuя
541
2200. 1
J 5in2x~2sillX
J 2Sil1X(~~SX 1) =
SiIlXl[X [
t·d
dt] J
dt
= J 2sin2x(cosx-1) COSX = ,-sшх х =
=
2(1-t 2 )(I-t: =
clt ·
.
1
А
В
С
А
= J 2(I-t)2(1+t)' (l-t)2(l+t) = l-t + (l-t)2 + 1Н ~
.
1В-1С-1.1
-
1(Jdtdt2Jdt)
4'
-
2'
-
4'
-
8 1-t+1Н+ (l-t)2
11l+t+ 1 +С - 11l+cosx+
1+С
8 n l-t 4(I-t)
-
8 n 1-cosx
4(1 cosx)
11
Х
1
С
= 4 nctg:2 + 4(I-cosx) + .
2206. Вычислим вспомогательный интеграл 11 =
J eXcosxdx = J ed(sinx) = eXsinx - J eXsinxdx =
eXsiI1x+JeXd(eosx) = eX(sinx+eosx)-Jехеоsхdх ~
11 = ~eX(sinx + eosx); аналогично 12 = J eXsinxdx =
-21еХ(sinх-соsх); / = Jx2exeosxdx = Jx2da eX (s inx+
2
+ cosx»
=
~ eX(cosx + sinx) - J xeX(siI1x + cosx)dx =
2
2
=
З; еХ(cosх + siI1х) - Jхd(еХ sinх) = Х2 е""(eosх + sinх)
-
хеХsiI1x+ JеХsinxdx = е; ((х2- 1)eosx+ (х- 1)2sinx)+
+С.
2212. 1
J jtg2х + 2dx
[t = tgx, х = aretgt,
d-dt]-J~dt-J
t
2
+2
-
Jdt
Х-~
-
tt+l - v'tЧ2(tЧ1)
-
7t42 +
+ J tt2+1f~t2+2 = ln(t + vt
2
+2)+/1; 11 = J(t2+1f~t2+2 =
=
t=J2tgzdt=~] =J
.(2dz
=
,
СО5
(2tg2z+1)V2tg2z+2cos2z
Z
dz
J coszdz
J d(sin~)
t·
= J (2t.g2z+1)cosz = 2sin2z+cos2z =
l+sin z = are gsшz+
+С = aretg k+C = aretg~2t +С = aretg t~x +
j
l+tg2Z
",:.<+t-
,
j
+С~/=ln(tgx+ v'tg2х+2)+aretg t~x +С.
2218.1
J (1".;.~tf)~ dx
=
-~ J aretgxd( l;х2 ) =
(гсtч) 11· 1
-
Jdx
-
J (l+x
2-x
2)dx-Jdx
-
2l+х +21,1- (1+0:2)2-
(l+х 2 )2 - l+х2
J x2do:
1Jd(1)
х
-
~ = aretgx+ 2 х 1+х2 = arctgx+ 2(1+х2)
1Jdx
1
t+Х+С
/
arct g ;:
-
2 l+х2 = 2 are gx 2(1+х2)
~
=
-
2(1+0: ) +
Х
1
С 0:+(x 2-1)arctgx С
+ 4(1+х2) + 4arctgx+
=
4(1+0:2) +.
2223. / = J1+t~:::g20: = [t = tgx, х = arctgt, dx = 1~~2] =
-
J.
tdt
-
J 1+t+t
2_(1+t
2
)d-Jdt-J dt
-
(1+t+t 2)(1+t 2) - (1+t+t 2)(1+t 2) t - 1+t2
(t+!)2+!
= aretgt+ ..2.. arctg2t+1+ С =х+ ..2.. arctg2tgx+1+ С
vГз
тз
vГз
vГз
.
542
Решеltuя
2228. 1
=
J (x+sinx)dx
=
J (x+sinx)dx
=
J(+
l+cosx
2cos2 ~
Х
+SinX)d(tgJ~) = (х+ sinx)tg~ - Jtg~(l+ cosx)dx = xtg~+
+2sin2~- sinxdx = xtg~+2sin2~+cosX+C = xtg~+C.
к ГЛАВЕ 7
2233. г-
1З
dx
=
г- 1З (З_х)-!dх = _5(З_х)I/51- 1З =
J2 t!(З- х)4 J2
2
=5.vЗ-хl:' 1з =5-5И6.
г1
2239
xdx
1 г1d(~2+N
1111
•JO~=2JO(х+1 =-2(х2+l)о=4'
2
2
2
2244. fe dx
=Jc ,l(l+lnx) =2V1 +lnxl e =2(v'З-1).
1 x.jl+1nx
1 .jl+1nx
1
11
2250. Jl
dx
=Jl
dx =агсsiп Х- 1 =2С.
-0,5 .j8+2x-x2
- 0,5 V9 - (x-l)2
З-0,56
2256. Jа7Г/4сtg4срdср
=
Jа7Г/4сtg2<Р(SiпI2<р - l)dcp
=
4
= -J:/ ctg2cpd(ctgcp) - J:/
4
l~i~~>'dcp = (-lсt.gЗ<р+сtgср+
+<p)1~/4 = i+~+lсtgЗа-сtgа-а.
2262. Jo"" хЗsiпхdx
=
-
Jo" хЗd(соsх)
-хЗсоsхlо +
+ЗJо7Гх2 СОSХdх = 7ГЗ +ЗJо
7Г
х2d(siпх) = 7ГЗ +Зх2Siпхlо
-6 Jo" xsinxdx = 7Г:.! + 6 Jo" xd(cosx)
7ГЗ + 6xcosxlo
-6Jo"" cosxdx = 7ГЗ - 67Г
-
6sinxlo= 7Г З - 67Г .
a
2266.1 = Jo va
2
-
хЧх = xva
2- х21о+J; .j:~~:2 =
(2
2)
гах
2
=
-а +adx =
_
гаva2_x2dx+а2га~ =
-1+
Jо
Jo
.ja2_x2
Jo
Jo .JU'I=X1
+a2arcsin~lo = ~a2-1 ~ 1 = ia2.
7Г
/2
Jо7Г/
2
2269. 1"
=
cos
n
xdx =
cos"-
1 xd(sinx) =
=
sinxcosn- 1xl~/2 + (n - 1) J;/2 cosn- 2xsin2 xdx = (n -1) х
xJ;/2(coSn-2 х-соsnх)dх = (n-2)(In-2-1.. ) ~ lп =
Г7Г/2
п-21
т Г7Г/2d 7г 1
d
1
=
п-l n-2, т. К. ~o
=
Jo х=2'1=Jo cosxх=
,
-
(п-2)(n-4)... С - (п-2)!! С С
_
7г
1
получаем n -
(n-l)(..-З) ...
·
-
(..-1)!!·'
-
2приn
четном, 1 при n нечетном .
2271 .1"
=
J~l xnexdx = J~1 xnd(eX) = xneXI~I
-nJ~IХn-lехdx = (-1)n+l е-l- nln_ 1 ; применяя n раз,
получаем 1n = (_1)n+l е -l - n((_1)n е -l - (n -1)1"-2) =
=
(-1)"+1 е -l(1+n+n(n-1)1n _ 2 ) = (-1)n+l е -l(1+n+
+n(n-1)+ ... +n!1о ) = (_1)П+l е -l(1+n+n(n-1)+ ... +
+n!(1-е- 1 )) = (-l)n+ln!(l-~(l+t+~+···+-;h))·
Решеltuя
543
2277. Jз
8
;/.:х[J1+х=t,х =t2-1,dx= 2tdt,t1=2,
t2 = ЗJ = J; (t2_~)2tdt = 2J2З(t2 - l)dt = е~э -2t)l~ = 10~.
2284. fvГз ~dx = -fvГз V1 +x2d(l) = _.nRl vГз +
1
х
1
х
х1
+Jl
vГз
Jld: x2 =
.j2- Jз +lп(х+ V1 + x2)I(3 =
.j2- Jз +
+1п ~ta. 1
2289. Jo x2V1- x2dx [х = Si11t, dx = costdt, tl = О, t2 =
= 7Г/2] = Jо7Г/
2
Siп2 tсоs2 tdt = t Jо7Г/
2
siп2 2tdt = kJо7Г/
2
(1
-
cos4t)dt = (~- з12 sin4t)I~/2 = 1~'
гl/vГз
2294
dx
[.
-
d_dt
_
.
Jo
(2x2+1)JXТ+l х - tgt, х
-
cos2p tl
Г7Г/6
Оt
/6]
costdt
Г7Г/6 cos tdt
=
,
2=7г
=
Jo cos 2t(2tg 2t+l) = Jo 2sin2t+cos2t
Г7Г/
6
=
cos.tdt[sint=z costdt=dzZI=ОZ2=1/2]=
Jo l+sш2 t
'
"
г1/2 dz
11/2
1
= Jo l+z2 = arctgzо = arctg2·
2299 А! = 1 r2..1::L = 1 r2(e.r+l-e")dx = 1. r2d _
•
2 Jo е"+1
2Jo
еХ+l
2Jo х
_lr2
e
x
dx - l(x-ln(ex +1))1 2 - 1.(2-1п~)
-
1+
2JoеХ+l - 2
О-2
2
112
+211е2+1.
230 гv2 x
15
dx[
8d
87d
4.Jo(Нх8)2/5t=1+х,t=хХ,tl
=
1,t2=5]=kJ1
5
(t;;Hdt =- kJ15 (tЗ/5 - t-2/5) dt =
-
1(§.t8/5 - §.tЗ/5) 15 = ....L(7.v125+5)
-
88
З
1
~92
.
r ln5 eXR"=Т [_ г::z--.;
_
(2)
_
2309· JO
еЧ З dx t-ve --1,x-lnt+1,dx
-
2tdt
_
_
J _ г2 t2+1)2t2dt _ г2 t2dt _
-
t2+1'tl-О,t2-2
-
Jo(t+4)t+1)- 2Jot2+4
_2r2(t
2
+4-4)d -2r2d 8г2 dt -(2
t)12_
-
Jo tЧ4 t - Jo t- Jo t2+4 - t-4arctg2 0- 4-7Г.
2315 . J1
16
arctgJJX-1dx[t = JX, х = t2,dx =
=
2tdt, tl
1,t2=4]=2J1
4
tarctgvгt=ldt =
=
f4 a-rctg vгt=ld(t2) = t 2arctg гt=l14 _ f4 t dt = 167Г_
1
VL-~1
12~
З
4
4
Д
-
~J1 vгt=ldt- ~J1
=
1~7Г - Ц(t
-
1)З/2 + vгt=l)lf =
=
lз6 7Г - 2v'З.
x
2320. .h~2 J:x_l [t = Jex -1, х
= ln(t2+1), dx
2tdt
_
_~
_.
f Jex-1 2dt
t2+1' tl
1,t2-
ve--1J -
1
t2 +1
= 2агсtgtl( е
Х
- l = 2arctgvex -1-~; 2 arctg vex -1- ~
= ~ {::} arctgvex
-1 =j{::}vex
-1 = v'З{::}х=21п2.
544
Решения
Jо7Г/2
2324. /
=
v'xsinxdx ~ VJO;;/2-хdxVJо7Г/2 sinx(lx =
= ;;I= ~ ;:::: 1,1107; Jо
7Г
/2
vxsil1xdx > Jо
7Г
/2
VX(X-:r; )dx =
Г7Г/2
_
V1-X2d --LГ7Г/2 ~_2d -_
1 V(6- 2)ЗI7Г/2_
-JO х
6 х- у'БJо хуо-х- х- з7в
хо
=2-~ V(6- ~2 )З;::::1,о965=> 1,0965</ < 1,1107.
2327.у' =(х-l)(х-2)2,у' =Оприх =1,х =2,у'>
>Опри1<х<2,х>2,у'<Оприх<1=>х=1
точка минимума; у" = (х - 2)(3х
-
4),х =2,х =~ -точки
перегиба.
tx
2334. Р(х) = J1 Je 1~:2 ' С(х) = J1c;~x t(1(~t2) [z = t, dz =
=
_dtZ=еZ2=tgx)'=
_J.tgx zdz. Р(х)+С(х)
=
~, 1,
е 1+%2'
=Je tdt =!ln(1+t2)le =!1п 1+е
2
=!1l1е2 =1
l/е 1н2
2
l/е 2 1+1/е2
2
.
Jо
2338. Jо
7Г
/2f(cosx)dx [t = ~ -х, dt =
-dx, t1
7Г
/2
~,t2=О]
=
-
J~/2f(COS(~ - t)dt =
f(sint)dt; / =
lI2
= Jо7Г/
2
соs2 ХdХ = Jо
7Г
/2 (1-Siп2 Х)dХ = xl~/2 - Jo / sin2
xdx =
Г7Г/2
-
2!:_/ =>
cos2xdx - Г
7Г
/2
si112 xdx - 2!:
-
2
Jo
-
Jo
-
4'
2342. J;(1-x2)ndx= J;(~-С~х2+ ... +(-1)nС::х2n)dx=
с2
с'
(l)"С" 1
=СО-.=.д
..L .=.д _
+-
О.Г(1-X2)'ldx[х=sinll' dx=
n
3J5
.,.
2n+1 ;.'_ JO
.,..,
Г7Г/2 2,,+1 d
= COSt.pd<р, <р1 = О, <р2
=
7г/2] = JO cos
t.p t.p
=
2n!! (
)
= (2n+1 !! 2269 .
2349. Возьмем n=9, хо=l , Х1 =2, ... , Х9=10, Х1/2=1,5, ... ,
Х 17(2 = 9,5; /;:::: i(1+0,1+2(~+ ··· +i)+4(~+ ... + 129)) =
= 6(1,1000 + 3,6579+9,0660) = 2,3040, М;:::: 0,4340; lп2 =
= 2,3026, М = 0,4343.
+OO dx
11+00 1 l'
11
2366.J1 х4= - зз;r1 =3- 1тзз;r =3"'
х-+оо
J
2374.J~ooxJ~C1[t=~,dt=-~,t1=д't2=О] =
O
dt
.
tI1/J2 7г
=-
1/J2~ = аrсsш о
=4'
2379. Jo+
oo
e-...Гxdx [t = VГX, х
=
t2,dx=2tdt,t1=
=
О,t2 =+оо]
=
2Jo+
OO te- tdt = -2Jо+
ОО
td(е-t) =
-2te-tl+00 + 2 г+оо
e-tdt =
-2 lim 1, - 2e-tl+00
=
2~
о
Jo
t-+oo е
О
-
2 lim e-t
=2.
t->+OO
Решенuя
545
2384 J+oo dx
J+ oo (1+x
2_,:2)d,'
.
-00 ~
-00 (х2+1)2
-
J+oc x
2
dx
arctgxl+oc + ! J+= xd(
-ос ~
-::х:> 2 -::х:>
J+oo dx _
-::х:> х 1 +1
1)
,,2+ 1
-
l'
1'·
х 1+00 1J+OC dx
-
1т arctgx -
Ш1 alctgx + 2( 1+1) -ос -:; _
.1+1
x~+C'C
х-+--х;
х
~
.::XJ х
=7Г-~=~.
2391. Сравним с J+ ::xJ dx : lim хз~гсtgз:. rx = 2!: =1 О
1
vx х-+оо ~
2
'
показатель степени 1/3 < 1 => оба интеграла расходятся .
2396. J1
J2
J:~l[t= vx
1
= О,t2=1]=Jo2(t2
+l)dt=
2401. J.b
d.t
[t=Х
а V(.c -fl)(h-x)
_
ь-а] _ г(Ь-а) /2
dt
-
-2-
-
J(a-h) /2 V(b- a)2/4-t2
2408/-J1х-1d
•
-
-1ifr5х
dx
d.r
.
б
г1
1,х =t2+1,dx=2tdt,t]
(2~+2t)IA = ~.
-
а+Ь,dt=dx,t1=
2
_
.
2t l(b-a)/2 _
-
аrсsш Ь-а (а-Ь)/2
J1 2/5d' J1 dx
-1Х
Х-
-1 х5/З
JO
-
- 1 х5/З - JO х5/З, О а интеграла расходятся
т. к. lim ;/3= 00, поэтому / расходится.
:r->O х
а-Ь, t2 =
2
/Т.
в
2415/-г1~
г1dx .l'
-.:fi-.
.
-
JO ,,' ''''''_ 1 сравним с JO тх . x~ь e·.."r_ ]
.
10
7"
нуле,
1_
7х
=
lil11 .'0'; -1
=
·x
=
1, ft014 = 2vГxlA
=
2=>
lim -s
/
х-о е
х-о lПХ
"Х
сходится .
2420.1. При k > 1 xk ~n х < -fr => интеграл сходится, при
k<1xk:nx>хА.,гдеk+e<1,Т.К.lпх<x€
при
Х ~ 00, => интеграл расходится, при k = 1 J2+
00
xf,~x =
=
.h:;c!!f:
+00, таким образом интеграл сходится
приk>1.
2424.Прих~О1-cosx rvх2
2
=> Jо
7Г
/2 1-;::,sx dx сходится
Г7Г/2 dx
притехжет,чтоJo 2х'''-2' т.е.при m < 3.
2431.1n
=
Jo+
oc
х2n+1ех2 dx = -~ Jo+
oo
x 2n d(e-
X2) =
_~х2nе-х2Itоо+nJо+ООх2n-1е-х2dх = n1'l-1 ' =
n(n
-
-,т _
-x2d _
.. ! _х21+ОС _ n!
,г+оо
-
1)1n-2- ",-n,~ 0-n 'Jо хе Х--2"е 0-2"'
2435. 1(а)
=
J+oo
dx
[t=
_1-
Х=
1 (x-сoscr)Jх 2 -1
x-coscr'
=
t+ cosa, dx =
=
1-~ОScr' t2
О]
-*' t1
ft 1/(1-coscr)
dt
ft 1/(1-coscr)
dt
=
о
V(1+t coscr)2_t2 = о
V-(t2siI12a-2tcoscr-1) =
(а =1 7Г) ft 1/(1-coscr)
dt
о
V-(tsin cr-ct.gcr)2+ 1+ ctg2 cr
18Iiep,,"" Г. Н .
Решен.ия
546
=
rl /(I-cosa)
,и
=
_ .1_ arcsin(tsin2а -
Jo
Jl/Siп2 o-(tsil1 a-ctgo)2
sшо
2
_
cosa)1 1/(I-Coso)
=
-.1-(агсsiI1( sil1 0 - СОБа)
о
SIIlO
1-coso
-агсsiI1(-соsа)) = si~0(arcsin1+arcsincosa) = Si~Q(~+~
гl/2
2
-а) .= 11".-0. [(1Г) =
dt
= -Jl-2tI
1
/=1.
SIIlO'
Jo~
о
-
г+оо 2п x2d _
_! г+= 2n-ld( _х2)
2442• I n
-
Joхех-
2Jo х
е
_!
2n-l -х21+сх. + 2п-l г+ос 2 ... -2
-
x2d-~!
2Х
ео
2Joх
е
х-
2 ,-, -1
(2п-l)(2п-З) I
_
_
(2n-l)!! т _ (2п-l)!! г+ОС - x2d
4
п-2 -
...
-
2"~o-
2nJoе
х
(2n- 1P."r,r
2') i
2446 . r+OO sil12xdx = _ r+ OC
S iI12xd(!) = _siI1
2
xl+00+
Jo --xr-
Jo
Х
Хо
+ 1.+00 sil12xdx = 1iш sш
2
х _ 1iш sil12
x+г+ос
sin2xd(2x) =
ОХ
х-+о Х Х-++ОС Х Jo
2х
=O-O+~=~.
2449. ip(x)
-
!;1I1cosydy [у
1Г/2- z, dz
= -dy, ZI
=
1Г/2,Z2 = 1Г/2 -х]
=
J:/22-х1I1siпzdz =
1I"/2-X 1 (2· z
Z)d
J1I"/2-X 1 2d J1I"/2-X. zd
=
7r/2 n S1l1"2cos"2 z = 11"/2 n z+ 11"/2 S1l1"2 z+
J
1I"/2-X
z
+ 7r/2 cos "2dz
[l+[2+Iз; [l
-х1п2, [2
J
=
J:/~-:СsiI1~dz [t = n/2-z/2, dt =
-dz/2, tl = 7Г/4,
t2 =
7Г/4+х/2] =
- 2J:/4HX/21ncostdt = 2(ip(~ +~)
-
ip(~)), Iз = J:/~-x1ncos~dz [t = z/2, dt = dz/2 , tl =
= 7Г/4, t2 = 1Г/4 - х/2] = 2J:/44-X/21ncostdt = -2ip(~ -~) +
+ 2ip(~) =} ip(x) = 2ip(~ +~) - 2ip(~ -~)
-
х1п2; ip(~) =
= 2ip(~)-2ip(0)-x1n2 =} ip(~) = ~1I12.
К ГЛАВЕ 8
2456. у' = 4 - 2х; уравнения касательных: в точке (О,
-3)
у=4х-3, вточке(3,О)у =6-2х, касательныепе
ресекаются в точке х = 1,5 =} S = J;.5(4x - 3+х2
-
4х+
+3)dx+Jl\(6- 2х+х2-4х+3)dx = J;.5x2dx+ Jl\(X
2
6х. + 9)d - Х311.5о + з:С
3
1 3Х21З1.5+9I -?
-
-,
25.
З
З
-
х-з
1,5 -
Х 1.5
"
2
2461. Наидем точки пересечения кривых: у
=
Х2 =}
х2 = 2у,у2+2у-8
=
О,Уl=2,У2
=
4-по
сторонний корень, Хl, 2 = ±2; площадь верхней ча
22
сти В1
=
J~2(J8- х2- ,,;2)dx = 2J~J8- хЧх
-
J0xdx
Решен.ия
547
[х = 2V2sint, dx = 2V2costdt, tl = О, t2 = 1Г/4]
=
=
16 J01l"/4 cos2tdt - ';316 = 8 J01l"/4(1 + cos2t)dt - ~
=
(8t +
+4siI12t)I~/4-~ = 21Г+~; т.к. площадь круга радиуса 2V2
равна 87Г, площадь нижней части В2 = 87Г-(27Г+~) = 67Г-1.
2467. Найдем точки пересечения кривых: H~x2 = ,,;2, х4 +
х
+х2-2=О,х =±1;S=2Jo
1
(H~·x2 - ,,;2)dX = (2arctgx
З
)11_11" 1
-
30-"2-3·
2473 . у = ±Jx(x-1)2 = ±vГxlx -11; петля расположена
научасткеО~х~1=} У =±vГx(l-x), S =2J01vГx(l
1
(хl/2
-
x)dx = 2Jo
-
хЗ/2 )dх = (~хЗ/2 - tх5/2)lб = 185.
2477. Кривая определена при х ~ 1, У
=
±2 у:-l,
рассмотрим положительную ветвь, найдем точки перегиба:
У' =
2-.~у"=зх
2
-12х+8 у"=Оприх
=
x2 .,1x-l'
2Х З (Х-l),;х=т'
= 2±-Тз; т.к.2--Тз <1,х =2+Jз -искомаяпрямая;
S=2JI
2
+2/v'З2.,1:-1dх [t=Jx-1, x=t2+1, dx=2tdt, tl=O,
2
t-
J1+2/ 13] = 8 гV1+2/v'З t dt = 8 гV1+2/v'З (1- 1 ) dt
2-
У.)
Jo
t2+l Jo
t2+l
=8(t-агсtgt)I!1+2/v'З =8 ( J1+2/JЗ-агсtgJ1+2/JЗ) .
2484.'~: =х1пх =}4х21пх-1пх=О,х] =~,Х2 = 1;
прих=:!]I1Х-х1пх>О=} Iпх>х1пхна(!1)·S =
44х
4х
2'
,
=
Jl
l
/2 ('~: -х1I1Х) dx = i J]I/21nxd(lnx) - ~ Jl~21nxd(x2)
=
= l1n2xl~/2-~x21nxl~ / 2+ix21~/2 = 116 (3-21п2-21п2 2).
2490. S = J~1I"aYdX [х = a(t-sint), dx = a(l-cost), у =
а(l- cost), tl = О, t2 = 27Г]
=
J0211" а 2 (1- cost)2dt =
2а2 J01l" (1 - cost)2dt = 8а 2 J01l" sin
4
~dt[z = t/2,dz =
= dt/2 ?'
= О Z = 1Г/2] =16а2r1l"/2sin
4 zdz = 16а2;Ш2!:
,
-1
,2
Jo
4!! 2
= 31Га2(2269).
2494.1 Найдем такие tl =1- t2, что X(tl) = X(t2), y(tl) =
= y(t2);3ti=3t~ =}tl=±t2,т.к.t1=1-t2,tl=-t2,3tl
-
t~=-3tl+t~,t~-3tl=О{=}tl=О,tl=±JЗ;при
t= ±vГзх =9,у =О =}(9,О) - точкасамопересечения,при
-vГз~ t ~ vГзпетля,приэтом y(t)>Опри 0<t < vГз, у(-t)=
=-y(t); S = 2J:ydx = 2Jоv'З(3t-tЗ)6tdt = 12Jоv'З(3t2
-t
4
)dt = 12(tЗ-t)l~ = 12(3JЗ-~vГз) = 752vГз.
Решенuя
548
2498. р( -<р) = р{<р) ::::} кривая симметрична относительно
оси Ох, S = 2Jо1Г i:'f = 4а2J;(2 + cos<p)2d<p = 4а
2
Jo"" (4 +
+ 4 cos<p + cos2<р)d<p = 4а2 (4n + 4siп<рlо + Jо
1Г
1+c~s2'f) =
= 4а 2 (4n+ %+ ~SiIl2<Plo) = 18nа
2
.
2504. S= f. J,<'?2( aem 'f)2d<p=! J,'f2 a2
e
2"''fdtp= ~e2m'fI'P2 =
2
2 'р\
о
2 'р\
4т
'р\
= .!!:- (e2Тn<'?2
_
e2Тn'Pl) = L (р2 _ р2).
4т
.
4т21
а2х2
2509. (х2 + у2)2 -
Ь2у2 =О[х
=
pcos<p, у
=
psil1<p, х2 +у2 = р2] <=? p4_a2p2cos2<p-b2p2siIl2.p
=
О <=? a 2 cos2 <p+b2 si112 <p = р2; S = ~Jg1Гр2d<р
=
=
~};21Г(а2cos2<р + ь2siп2<р)d<p = ! };21Г(а2 + ь2 + (а2
-b2)co~2<p)d<p = t(а2+Ь2)<р+~(а~~Ь2)si112<р)151Г
=
= %(а
2
+Ь2 ).
2514.у =±)2:~x'О~х<2а,х=2а -асимптота;S=
2(2ах ~dx[t- ~ х
-
2at
2dx- 4atdtt
=
Jo V 2a=I
-
V2а-х' - 1+t2 ,
-
~, 1
2 (+ ОС t·(lt
[
d
=
О,t2=+00]=16аJo~t=tg<p,t
=
?
/]
6 2 (1Г/2
t!};4 ~ d'f
= d<р/COS-<p,<Р1 =О,<р2 =1г2=1аJo
'. ..•
.,
= 16а2 Jо1Г/
2
Si114'Рd<р = 16а2 • ~~ = 3nа
2
.
2518. Возьмем <pE[-n , n], тогда р;;:;: О при <р Е [3:, -%)u
[_%, %]U(%, 3:1, р(-<р) = р(<р) ::::} кривая симметрична от
носительно Ох, р(-%) = р(%) = О ::::} на участке [-%, %]
Jо1Г/
4
петля, ее площадь Sl = 2· ~
c:::i:td<p = ~ J;/4(1 +
+ cos4<p)d(tg<p) = ~(1 + cos4<p) tg<pI~/4 + 2 Jо
1Г
/4
tg<psi114<pd<p =
4Jо
1Г
8 Jо1Г /4 sin2 <pcos 2<pd'P
=
/4 (cos2'P - cos
22'Р)d<p =
2sin2<P1~/4 - 2 J 1l"/4(1 + cos4<p)d<p = 2 _ %
_
Sil~4'f1~/4
0
= 2
-
%; поскольку х = pcos<p = cos2'P, У = psin<p =
cos2<ptg<p, Нm х =
-1, limу=00,х =
-1
<р-+1Г /2+0
<р-+7Г /2+0
вертикальная асимптота, S2 = 2J~lydx = 2J:i14cos2<ptg<PX
x(-2si112<pd<p) = -2J:i14tg<РSi114<рd<р
=
(2sin2<p - 2<р
-
'
_
Sin24'f)I;~~4 = -n+2+ 3; = 2+ %(см. вычисление Sl) .
2521 L
JvГs lJ:""+l dx
JvГsjхЧldx [t
.
vз VJ.IXI
vз
Х
=
Jх2+1х=Jt2-1dx=
.....!:.!4L t1 = 2 t2 = 3]
,
,~"
(3t
2
dt
(3(1 1)dt· tl3 1It-1113 1 11П3
=J2 t2-1 =J2 +t2-1
=
2+2t+12=+22'
Решенuя
549
2526. у
=
Оприх=О,х
=
3а ::::} петля пRи О ~
~х~3ау=±3а-хrxу'=а-з;у,2 =(а_х)2 L=
"
'"
З,;а V.lJ,
2~'
4ах '
=
2(Заj1+ (а-х)2dx = 2(За.l!±E..dx = (3а(,;а+vx)dx =
Jo
4ах
Jo 2vax
Jo vx ,;а
3а
-
2VU.{.
ГaXIО3a + 2xvx1 - 4а V.J·
гз
-
з,;а О
2528.у'J~-?lх,у'=Оприх =l(x>О),х=1 - точка
минимума' 1+ у,2 = ;!: +...!.. у"
=
!+1=х
2
+1k=
,
2 2х'
2 2XI
2ХГ '
у"
4х k' 4(1-зх
2
)k' О
vГз ·
=
(1+у'2)З/2 = (х2+1)2'
•=
(х2+1)З' = при Х = 3 ::::}
L-J1 (Х+1)d_(х
2
+11)11
_
1+1113
-
VЗ/322хХ-
""4 2nxVЗ/3-(; 4'
2532. Пусть Х
-
точка (Rcos 3t, RsiIl3 t); x~
=
-3R2cos 2tsillt, у'
3R2sin2 tcost::::} L Ax
=
J~ 9R4(cos4 tsiIl2 t+sin4 tcos2t)dt = 3R2J~costsintdt
=
о t
2
= 3~- Josin2tdt =
-
3~ cos2tlb = iR2(1 - cos2t); LAB
~R2(1- cosn) = ~R2, L M •1
=
4LAB = iR2, iR2
~R2(1- cos2t) ::::} cos2t = ~, t = % ::::} M(R 3'f!', ~)
искомая точка.
Jо1Г
2537. x~ = t2cost, y~ = t
2
sint, L = V t 4 cos2t+t4sin2tdt =
(1Г 2
tЗI1Г 1Г З
= Jo t dt="30=З·
2546. р' = -asin<p, L = 2Jо1Г ja2(1 +COS<P)2 + a 2sin2<pd<p =
J
=2аJо7Г J2+2соs<рd<р=4аJо
1Г
cos!d<p=8asin!lo =8а.
2551.x~ =c~st,y~ = Si;lt, приt= %х'=О,у'i-О::::}при
1Г/2
2t
.
2t
t = %вертикальная касательная, L = 1
C~~ +S\~2 dt =
-
J1I"/2!!!: - 1 2!:
-
1
t-n2·
.2
2
2
2 ь22
а
2556.1.~+~=1::::}У =ь -+,v=2nJy2dx=
o
= 2nJ; (Ь2 - b:j2)dx = 2nь2(х- ~)Ig = ~nab2.
2560. V
=
nJ:ch2xdx = %J:(1+ch2x)dx = %(х+
+shiX)I~ = %(2b-2a+sh2b-sh2a).
2565. V
=
2n Jо
1Г
xsinxdx =
-2nJо
1Г
xd(cosx)
1Г
= -2nxcosxlo + 2n Jо cosxdx = 2n2
.
a
2570. V
=
2nJo y2dx [у = aSin
3
t, х = acos3t, dx
=
-3acos2tsintdt, t 1 = n/2, t2 = О] =
- 2n J~/2a2sin6t х
x3acos2 tsintdt = 6nа3 Jо1Г/
2
(siп7 t - sin
9
t)dt = 6na3(~::
8!!)_ 32 З
.
-
9!! - 105na .
Решения
550
2574. 1. V
=
211" Io+
oo
хе-х2 dx =
- 11" Io+
oo
d(e-
X2
)=
21+00
.
е-Х2
г+ОО 22
= 1I"е- Х о = 11"-11" 11т
= 11".2. V =211"JO е-Хdx
Х--+ОО
t2
[t = xV2, dt = dxV2] = 11"V2Io+
oo
e- dt = 11"А·
z
с; пусть z = zo, уравнение сече
2
2
,,2
х2
2
c2 _z2
х2
2579. -с ~
~
ния~+~+~= 1{::}~+~=9 {::} a2(c2_z2)/c2 +
полуосями ~ И
+Ь2( 2у2
2)/2 =
1 задает эллипс с
a~
с-%0 С
bJc2_,,2
"аь(с2 ,,2)
ЬГС2
.:...L":"c-.!!.O, его площадь B(zo) = с2- О
,
V = 211"~Jo(е
-z2)dz = 211"~(c2z- ";)13 = !1I"аЬс.
2585. Пусть Оу - пересечение секущей плоскости с ос
нованием цилиндра, тогда О ~ х ~ R, В(х) - площадь
прямоугольника, его основание 2JR2 - х 2 , высота h такая,
что~=1}:::}h=Xf!,В(х)
= ЦfхJR2- х2, V =
= 2: IoRxJR2-х2dх = -~*J(R2-х2)ЗI~ = ~R2 H.
2590. Пусть Оу - указанный диаметр, О
-
центр круга,
тогда -а ~ х ~ а, 2Ja2 - х 2 - диагональ квадрата, В(х) =
= 2(а2 -х2), V = 2Ioa2(a2 -x2)dx = 4(а2х- ХзЗ)lg = ia3 .
a
ХЗ
2595. В
=
211" I;y~dx
=
211" Io
З
J1 +x
4
dx=
= ~J(1+х4)зlg = ~(J(1+a4)3-1).
2601. Повернем дугу и хорду на 450 против часовой
стрелки, получится дуга АВ с концами А ( -а 1, а1) и
В ( а4, а4), теперь поднимем ось Ох на а4, новая
ордината УI = у-а1; в = 411"J;V2/2(y-a4)~dx
[у = asint, х
=
acost, у'
=
-ctgt, dx =
- asintdt,
tl = 11"/2, t2 = 11"/4] = 411"I:/;(аsiпt- а4)J1+сtg2 tх
xasintdt = 411"а2 I:J; (sint-1) dt = 411"а2 ( -cost -1t)I:~~ =
= 1I"a
2V2(2 - ~).
2
2605. В=211" Io" a(l+costp)sintpJа2 (1 +costp)2+a2sin tpdtp=
= 211"а2 I;(1+costp)sintp.2cos~dtp = 1611"а
2
Io"cos4~Sin~dtp =
= _ 32 1I"а2cos5 !e 1" = 3211"а2
5
2О
5
.
2611. Пусть катеты треугольника ОАВ - оси Ох и Оу, то
гда уравнение гипотенузы у = а - х, !vlx = ~ Ioa(a - x)2dx =
Решения
551
_
I (а-х)3Iа _ аЗ. М
_
га( )d_(ах2ХЗ)Ia_
--;-з-о-т' Y-Joxa-x х- т-з 0
=
а6 ; пусть теперь ось Ох совпадает с гипотенузой, Оу
проходит через вершину прямого угла, тогда уравнения ка
тетову=х+72, -:i2~х~О,иу=72-х,О~х~
~ 72; МХ = ~I~a/V2(X+~)2dX+~Ioa/V2(~_x)2dX =
_I( а)310
l(а )Зlа/V2_ аЗ
-
(;Х+72 -a/V2- (; 72- х о
-
672'
2615. Т . к. полуокружность симметрична относительно оси
х2
Оу t:
=
О·у'=
-
Хds=
/1+
dx
,~,
~,
v г2_х2
=
rdx },,1
= Jryds=Jrrdx=2r2r>=&
=2т
2
=
~'Х-г
-f'
'"
L
1fT
= -;r.
2620 -!!.~ '-
Ьх d-. /1+ Ь2х2 d
.
у-а ах,у- ауа2-х2' s-у
а2(а2_х2) х
~-,.,-::---::-:--::
а2
=
a4J~~22__:22))x2 dx, yds = ~ Jа2 - а-;}2 хЧх = *J а2 -c: 2x 2dx,
где с:
~ - эксцентриситет эллипса; !vfx
=
=
га !!.Jа2 -с:2х2 dx = !!.(:E·Ja2-с:2х2+а2аrСSiпЦ)lа
=
Joа
а2v
2"
аО
=
~ (~Ja2 - с:2а2 + ~: arCsinE) = b(~ + 2а" arcsinc:), т. к.
а2
с:2а2 = Ь2.
2625.у2 = х3(а-х) :::} О ~ х ~ а, у = ±xJax-х2,
кривая симметрична относительно Ох :::} 'гf = О; В
a
a
=
Io 2xJax - x2dx = Io 2xJa2/4- (х - a/2)2dx [х
=
а/2 + a/2sint, dx
a/2cost, tl
-11"/2, t2 =
а4
З
=
11"/2] = а; I::~~2(1+sint)cos2tdt
=
I::~~2cos2tdt+
+ аЗ J"/2 COS2tsintdt = аЗ J"/2 (1+ COs2t)dt _ соs
З
t1"/2 =
4 -,,/2
8 -,,/2
3 -,,/2
Io
a
=
,,~З; Му= 2x2Jax- х2dx [х = а/2+ a/2sint, ...] =
4
а8
4
=
а8 I::~~2(1+sint)2cos2tdt = I::~~2(Cos2t+2cos2sint+
2
+ sin tcos2t)dt = ~; I::~~2(1 + cos2t)dt + ~: COS3t[~2/2 +
а4J1I"/2 .22d_"а
4
1I"a4_ 511"а4. t: _ ~
_
5
+32 _,,/2SШ tt- 16+64- 64' '> -
s-ва.
a
2631. Мх ~ Io y2dx
-~ I~/23a3sin7 tcos2tdt =
233аfO('7
.
9)d
3 З( 6!! 8!!)
83М
=
11"/2sшt-sшtt=2а7!!-9!!
=
105а; у =
=
Ioaxydx =
-
I~/2За3соg5tsiп4tdt [Z = sint, dz =
1
= costdt, ZI =О, Z2 =1] =За3Io z4(1- Z2)2dz = За3Io1(z8
-2z
6
+z
4
)dz = За3(~-~+i)
=
Ig5аЗ; В = Ioaydx =
Решен.uя
552
-
f~/23a2Sin3tcos2tdt = 3а2 f~/2(Sin4t - sin6
t)dt
17Га2(3!! _ 5!!) _ .1...7Га2. (: = ~ = 256 а "11 -
!YL- 256а
2
4!!6!!-32
,..
s
31511"'" -
S-31511".
2635. р( -<р)
=
р(<р) => кривая симметрична относи
тельно Ох => rJ = О; 11 = f01l" а:З(l + cos<p)3cosepd<p =
=
8a3f01l"cos61cos<pdep = [ер/2 = t]16a3f01l"/2cos6t(2cos2t
-l)dt = 16a3 f01l"/2(2cos 8 t-cos6 t)dt = 87Гa3(2~::-~::)
=
=
З;7rа3; 12 = f01l" а2(1 + cos<p)2d<p = 4а2 f o1l" cos41dep = [<р/2 =
-
t]8a2 f1l"/2cos 4tdt - 47Га23!! -
(:-1LL
-
Qa
-
Jo
-
4!! - 12 7Га2
,
...-3/2-6
.
2641. Пусть ось Oz совпадает с осью симметрии полус~е
ры, тогда из соображений симметрии ~ = rJ = О; ( = Л 51!·
Введем на основании полусферы полярные координаты
и рассмотрим «прямоугольник.) [р, р + dp] х [ер, ер + dep],
его площадь dS
pdpd<p + o(dep), момент части по
лусферы над этой областью равен (оп ская бесконечно
малые более высокого порядка) z 1 + z~ 2 + z~ 2 dS
=
JЮ - х2 - у2 )1 + R2_~~_y2 + R2_~~_y2 dS = Rpdpdep;
момент, соответствующий кольцу [р, р + dp] равен
f0211" Rpdpd<p = 2nRpdp, наконец, момент всей полусфе
рыМху=2nRfoRpdp=nR3;т.к.S=2nR2,( =~.
2645.1х = f~y2ds; ds = )1+ R{~X2dx = JRf_:,}dx =>
х2
1 =JR(R2-х2) R dx = RJRJR2-
[dx =
х
-R
JR2_ X2
-R
= Rsint] = Rf::~~2R2cos2tdt = 1I"~З.
2649.2. Будем считать треугольник прямоугольным (от
этого момент не изменится), ось Оу совпадает с катетом, нача
ло координат в вершине острого угла, тогда уравнение его ги
потенузы у = ~x, момент инерции прямоугольника с основа
нием dx равен f/:x/a y2dy = ~ ( h3 - ~хз) dx, отсюда момент
треугольника1 = ~J;(h3- ~хз)dx = ~(h3x - ~x4)10 =
а/,З
= -4-'
2650.lХ=f~Rfdx = ~f~RJ(Ю -х2)З[dx = Rsint] =
= !J1I"/2 R4cos4tdt - 1R4 f1l"/2cos 4tdt - 1R4.1...n
_
7rR
4
3 -11"/2
-
3JO
-
316-8
.
Решен.uя
553
2651. Разобьем круг на секторы с центральным УГЛО~1 d<p ;
с точностью до бесконечно малых более высокого порядка,
чем d<p, заменим сектор треугольником с основанием rd<p и
высотой Т, его момент инерции равен T4
:'f(2649.2) => 1 =
= г211" т
4
d'f = "т'·
Jo
4
2.
2655. Разобьем шар на цилиндрические слои высотой dx
и радиусом основания r = J R2 - х2 ; момент инерции цилин
дра равен 1fT;dX (2 651 ) => 1 = f~R 1f(R2-2х2)2гlх = ~ f~R(R4
-
2R2x2+х4)dx = 1857гН".
2661. Рассмотрим слой высоты dx на расстоянии х от вер
шины; его боковая поверхность ds = 7г (1Jx + 1J (х + dx)) fldx
(L - образующая конуса) = 27Г~хdх + o(dx), уравнение об
~
_
R
1_гН2d_
R3LгН3 _
разующеи конуса у - -иХ =>
-
JoУ s-2nJj4Joхdx
3
2
= 11"~ L = ЛI2R (М = nRL - масса боковой поверхности).
2665. Центр масс астроиды
-
точка (О, О), расстояние
от него до прямой х + у = а равно -J2, длина кривой L
=
6а (2532), площадь S = i7Га2 (2491) => V = 27Г-J2S =
-
з.j21f2а3 S = ')n ..!LL = 6 М27Га2
8
'
лов -.j2
vL.
.
2670. 1. Пусть dт
-
масса участка .длины dx, находя
щегося на расстоянии х от точки В, dт = Л/ dx, df =
kЛImdxf гlkМтdx-
kЛfm1I-kМт2
=
l(a+x)2 , = Jo l(a+x)2 - - I(a+x) О -
a(a+I)'
.
Пусть тl - искомая масса, kat~';i) = k(:~;j2 => т1 = M~.
3 А= - J,T2k Мт da = _ kЛfmln~IT2 = kЛfmlnTl(r2+1)
.
Tl
а(а+!}
1
а+1 Tl
1
T2(Tl +1)'
2680_ Пусть х
-
радиус сечения усеченного конуса на
расстоянии h от верхнего основания, dh - толщина слоя
песка радиуса х, dV и dт - объем и масса этого слоя;
11 = ~=:~
=>х= r+11(R-Т),dV= nx
2dh, dт
=
=dnX2dh=>А=fo
H
g(H- h)dт = gd7Гfo
H
х2(Н - h)dh =
*fo
=
H
(ТН + h(R - т))2(н
-
h)(lh = 9d~( (R2 + 2Rr+3r2).
2685. Уравнение параболы у = ах2, при х = R у =
=
н=>а=fb,у
= . fbx 2 ; рассмотрим слой жидко
сти на расстоянии х от дна толщиной dx, его радиус r =
=
г;; = ГftR, объем dV = 1fJY hdh, работа по его выка
Vа V-и п2
R2
Н
чиваниюdA= Fdgh(H-h)dh=> А =Tdgf(Hh
o
_
h2)dh = 1fdg~2 R ~ з, 14-9.8~800'4 ' 16 ~ 2,6.105дж.
Решенuя
554
2690. Пусть Ох совпадает с осью вращения; уравнение
параболыу=±k..jX,прих =hу=~:::::}k=~,у =
3
_
±а П[. )
_
2drhlld _ ]da3
rh[;3d-]dahК
-
2Vh'
-
"fJo3Х-
12JoVh'Jх-
30'
2
-
1),. ,2 _
]da
3
hw ~О15дж
-2""-
60~'
.
2695. Пусть h - расстояние от поверхности воды, х
-
ши
рина плотины на глубине h, тогда 57 = ~=t, х = ь+57(а-Ь) ,
площадь прямоугольника со сторонами х и dh dS = "Й(ЬН +
+ (а - b)h), сила давления воды на этот прямоугольник df =
H
= "fghdS = 17(ЬН+(а- b)h)hdh, f '= 17fo (ЬН11+(а
_
b)h2)dh = ff (b~3 + (a_~) H3 ) = 1'9H2 ~2a+b) ;:::: 2,5 ·105 Н.
2700. Пусть х - расстояние от центра шара до слоя тол
щиной dx по вертикали (если слой ниже центра, считаем х <
< О), тогда объем слоя dV = 7Г(R2 - x
2)dx. На перемещение
слоя под водой работа не затрачивается, т . к. плотность шара
равна плотности воды, работа по перемещению слоя над водой
dA = gdV(R+x) = g7Г(R2 -х2)(R+х)dх:::::} А = g7Г f'::R(RЗ +
+ R2x - Ях2 - x3)dx = ~g7ГR4.
2705. Пусть х
-
расстояние от верхнего края щели до
слоя толщиной dx, площадь слоя dS = bdx, за 1 с из этого
слоя вытекает dV = vdS = J2g(H +x)bdx воды . Отсюда
V = b.fl9foh JH +xdx = ~((H + h)3/2 - НЗ/2).
2709.dA=pdV,р =po(~P :::::} А= - f~1 ро(~)ЧV =
= ~(v~Q~l-VО);:::: 1 , 6·104Дж.
2711. Т. к. температура внешней среды равна О, за время
dt температура тела изменяется на dB = -kВdt :::::} d: =
= -kdt:::::} fd: = -kfdt:::::} 1nB = -kt+С:::::} В = eCe-
kt,
приt=ОВ =Во :::::}В=Boe-
kt;приt=tlВ=В1,Вl=
= Boe-ktl :::::} k = ln&Q~ln&1 ;:::: 0,575; В2 = (Joe- kt2 ;:::: 5,30.
2717.ПустьТ =10мин,k=0,004,~B =(J2-В1,то
гда (J = (Jl + ~(J+; за промежуток времени dt через про
водник проходит dQ = 1 dt = Ro(I+k(~I~l:.&t /T)) :::::} Q =
= ~~ f: T+k(&~~+Mt) = kXJRo 1n(T + k(B IT + ~Bt))16 =
UТ 1n l+k&2 ~ 5110Кл
=
kl:.&Ro l+k&1 ~
.
2723. Пусть 1 - количество света; dI = -kIdh :::::} 1
=
Ioe-kh(2711); при h = h1 1 = ~ :::::} k = l~;, 1
= 10(1)h/hl • 1" = Io(1)h2 / 111 = 102-10 = -1-10
2
'
-
2
1024 .
Решенuя
555
к ГЛАВЕ 9
2728 -
1 _(2n+1)-(2,,-1) _1 (_1 __ _1 _)
.
а" - (2n 1)(2n+1) - 2(2n 1)(2n+l) - 2 2n-l 2n+l :::::}
S1(1111++1
1)_ 1(1 1)_
n .S
n=2
-3+3-5
...
2n-1 -2n+l -2
-2"+1 -2n+l'
= Нm _"_=1
"......"" 2n+1 2
.
-
3" +2"
_
(1)n + (1)ТI -'-
S_1+1++
2733 .an -~- 2
J --,"
n;:2 4'
...
+...!...+1+1+ +...!... = 11-{1/2) +11-(1/3) =~ _(1)" _
2"39...3"
211/2
3 1-1/3
2
2
1(1)1'1- .
S- 11'nlS-3
-
-2
-3
'
-
n--2'
"-
n-+оо
2736. Используя формулу arctgx + arctgy = arctg i~+xY'
докажем по индукции: S"
Ю'сtgn~1; при n = 1
SI = ю·сt.g~, пусть Sn-l
=
arctg n;;:1, тогда S"
arctg!!=.....
1+arctg 1
arctg "_11 2
+1
_n3
--".
"
"
n
2ri2'
2n2
2n 3 -"+1
2
-
(2n -2n+l)"
_
1'1-
•
S-l'S
-
1- 1!:
-
arctg ("+l)(2712 2n+l) - arctg ,,+1'
-
,,~~n- arctg - 4'
2741. Сравним с расходящимся рядом L:~=1 ~;
Нm ("++2) :.1 = 1 =1- о :::::} ряд расходится.
п--+ОО ппп
2746. Сравним со сходящимся рядом
"
""
1.
L..m=1 ~,
1im 2_~ +5 : ~ = 1 =1- о :::::} ряд сходится.
П--+(Х) n
п.
n
,;n:п- vn=т
2.
2752. а1l =
"
= ,,(v'n+l+v'n-l)' сравним со схо
дящимся рядом L:~=1 ,,;/2; }~~ ,,( v'1i+Т~v'''-I) : "з1/2 = 1 =1
=1- о :::::} ряд сходится.
2757. Нm а,,+1 = 1im 31l+~ = ~ < 1 :::::} ряд сходится.
n--+ОО а n
П--+ОО 4п-З 4
("+1)"
2766.Нm~=Нm
"3
= ~ < 1 :::::} ряд сходится.
'n--(Х)
п--оо
2768. f "" ~ = foo d(lnx) = 1n1n xl""
Нm 1n1n x
2 хlпх
2
lnx
2
х ...... ОО
-
1111n 2 = 00 :::::} ряд расходится.
2774 . Нm
~=1im("+1)~ "~ =Нт~ =о<1:::::}
п-оо аn
П-+ОО (П+l). 1~. "1. - +00 n
ряд сходится.
2780. Нт
~=Нт -k =2>1(limVГn=1):::::}ряд
n
n--+ОО
П--+ОО у
T~-+OO
расходится.
2787. Нm
~ Нт (n+l)"~12' (2~)! = Нт (!!±.!)" х
n...... "" а"
n...... оо «2n+2).) ТI
n...... ""
n
n+l
l'
1
О<1
х (2,.+2)2(2n+l)2
е n~~ 2(2n+2)(2n+l)2 =
:::::} ряд
сходится:::::} lim аn = О .
l1 -ОС
Решения
556
2790. lanl=2"~1' сравним с расходящимся рядом L~=1 ~;
=
liш2~1:1. = 1 =1О=?рядLla,,1расходится; liшlanl =
11.-00 n
11
n=1
н-ос
=
О, la,,1 l=? ряд сходится по признаку Лейбница, но не
абсолютно.
2794. lanl = ~"' Jim Y/la,,1 = ~ < 1 =? ряд абсолютно
n
n-ос
сходится.
2798. lanl=nJnn, сравним с раСХОДЯЩИ~ I СЯ рядом L~=1~:
ос·
lim -=t-- :1. = 1 =1 О =? ряд L la"1расходится; lim lal1l =
n-ас n l1n
n
n=l
71-ОС
=
О, lanl l=? ряд сходится по признаку Лейбница, но не
абсолютно.
2803.lal1 l = 11n
n
xl, Y/lal11= 11nxl < 1 =?
-1<111Х<
<1=?~<х<е;прих=еа,.(х) =1,прих =~аl1(х)=
= (-1)", при этих х ряд расходится, поэтому интервал схо
димости (~, е).
2807.ПриIxl<1liша"=lim1+1" = 1 =1О=?
1}.-0О
1J.-+00
Х
ряд расходится; при х = 1 аn(х) = ~, -1 tj D(an(x)); ряд
расходится;приIxl>1lim ~= lim ~ =61<
11-+=
n-+ОО Ixl" 1+1/","
1"'1
< 1 =? ряд сходится.
2810.ПриIxl<1 Нm 11аnl= lill1 ~=Ixl<1=?
n-+ОО
ll-+::x:I
+х
;..
1
( 1)"
ряд сходится; при х = 1 а,,(х) = 2' при х = '--1 а,,(х) = --=г
ряд расходится; при Ixl > 1 lim 11аnl = Jim yt1X1 2 =
п-+оо
n-+Х х2 n l+l/X '1
= fxr < 1 =:!/ ряд сходится .
2814. При х < О lill1 е.:'х = 00, cosnx не стремится к
n-ОО I
О =? liш аn(х) = 00, ряд расходится; при х = О аn(х) = 1,
n-+ОО
ряд расходится; при х > О la,,(x)1 ::;; Ьn =
-k, Jill1 уъ,: =
е
n-+ОС
= е1х < 1 =? ряд сходится.
00
00
2820. lan(x)1 ::;; ~, L ~ сходится =? L а,.(х) равно
11=1
n=1
мерно сходится по признаку Вейерштрасса .
2824.S,,(x) =х -х2+х2-ХЗ+...+х"-х,,+1
=
х
_
х"+1,S(x)=lill1Sn={х,х~[О,1),supIS-Sl1l=1 =?
"-+00
О,Х- 1
[О,1]
ряд сходится неравномерно.
Решения
557
2829.S'(x) =x_x22+ ... +(_1)"-1~~+ ... , S"(x) = 1
-х+ ... +(_1)n-l х11-1+ ... = l~X (х Е (-1,1)) =? S'(x) =
=
Jl~X=111(1+х)+С,S'(O)=О =?С=О;S(x) =
=
Jln(l+x)dx = xln(l+х)- Jl~xdx = (х+l)ln(x+1)
-х+С,S(O)=О =?С=о.
2835S - J+oodx+J+oodx+
+ J+oo dx +...
=
•
-
2 х2"
2~...
2 :;;п:r:т
J+OC("'00 1) - J+OO~d - J+OO dx
2
L-n=l:;;п:r:т dx -
2
1-1/х х -
2
х2-х
= J+= (_1_
-
1.) = ln 1х-l 11+:>0 = lim ln"'-=.!
-ln1. = ln2.
2х-lх
х2
Х-++ОО х
2
2839. Проинтегрируем частичную сумму
ряда:
JS",(x)dx = ln(l+х)+ln(l+х2)+...+ln(l+х"') =
2
?П-l
1
=ln ( (1+X)(1+x2).. .(1+x 2n -
)
=ln(1-Х)(l+Х)(li,}· · (l+х- ) =
2n
2n
=ln 1-1':
=? J S(x)dx= lim ln 1-1':
= -ln(l-x) (хЕ (-1,1)) =?
х
п-+ос
х
S(X)= _ 1_.
1-х
2844 _.
тr(x-2+2) _ ,тr(x-2)
_
1 _ (J!.)2 (Х_2)2 +
•У-sш
42
-
COS 4
-
4
2!
( 1) "(11")2"("(-2) n
+...+
-
4"
2n)! + ....
2849. у(О)
=
1; у' = cosxshx - sinxchx, у'(О)
=
О;
у"
- 2sinxshx, у"(О)
=
О; ylll
-2cosxshx
-
2sinxchx, yIllEO) = О; ylV = -4cosxchx = -4у, yIV (О) =
=-4
=? у(411) = (_4)n, остальные производные ·равны О;
_
4х4
()n 4",х 4п
у -1-41+"·+
-1 (4n)! + ....
2854. 1ny
=
xln(l+x)
-
=
x(x_~2+ .. . +
1n
)
2
3
1 п+l
+(_1)n+ хn + ...
=х
-
Х2 +...+(-1)n+ 7+...; у =
1ny
=
e
=
1+lny+ In;!y+ I~!y+...
=
1+(х2_~3+Хз
4
)+
х4
х3
2
5х4
+2··· = l+х -2+6+····
хб
х3п
2858 - 1(
3
)(
з,,6
• У - ~ l+х +2+···+nГ+···
-
1-х +2+
х9
х3п
))
1(3
· x 3(2,.-I)
)
+...+ (-1)nnг+·.. =~х +зг+ .. ·+ (2n-l)! +...
=1+
хб
,,6("-1)
+зг+...+ (2n-l)!+....
2863. у
=
ln(10+x) = ln10+1n(1+ 1"'0) = ln10+ 1"'0
,,2
( 1)n-1 х,.
.
-
200+...+
-
nl0" + ....
2869. у = (1 + х)(l - х)-3; по правилу Лейбница у(n) =
=
(l+х)(l_х)-З)(n) +n(l_х)-з)(n-l); (1_ х) -3)(n) =
Решения
558
=
(n~2)! (1- х)-(n+з) =* у(n) = (ТI~2)! (1 + х)(l- х)-(n+3) +
+n(n~1)!(1_x)-(n+2), у(n)(о) = (n~2)! + n(n:l)! = (n+1) х
х(n+1)! = (n+1)2 n !; у = 1+4х+9х2 + ... +(n+1)2 хn+
+...;s= у(1/2) = 12.
2874. lim(х- x2ln(1+!))= lim(х-x2(~
-
~+~+
Ж-+ОС
Х
ж-оо
+ ...)) = lim (-21
-
з1+...) = -21.
Х--+ОО
х
2880.R =lim~ =lim(n+1)1~" =10;прих=
n-+оо an+l
n-+оо nlOn
10 аn = ~ ряд расходится, при х = -10 аn = (_1)n~
ряд сходится, интервал сходимости [-10, 10).
-
l' ~ - l' n"(т,+IЦ
-
l' ( n)n_
2886. R
-
1т
-
Шl'(+1)"1-
1т n+l
n--+оо an+l
n--+ос n. n
11.-00
= ~; при х =~аn=e~:! Сп,рядL:=IJnрасходится,
r-. J
при х = -~ ряд сходится по признаку Лейбница, интервал
сходимости [-~, ~) .
2893. у
=
е-Х+хе-Х- еХ+хеХ = 2xchx- 2shx
_
2 (х2
х2")("'3
х2"-1
)
-
х 1+ 2Г +"'+(2n)!+'" -2 Х+зr+'"+(2''-I)!+'''
(Х3 2х5
"х2 "+1)
2
s
= 4зr+51+...+(2n+1)!+...;прих=1е=4
=*
S=l
.
2е'
22
2"
2897. е2
1+2+2'+ ...+ n!+...; оценим оста-
2П1
00
2Пl
2"
00
-П
ток ряда: r n
Lm=n+lт! =
n! Lm=n+ l (n+I) ... m
<
2"
00
2т-"
_
2"+1.
< n! Lm=n+1 (n+l)"
-
n!(n-l)' rn < 0,001 при n
m
= 9 =* е2~L~=1~~~7,389.
1ГЗ
.
о_
.
1r
_
1т
11"3
•
2901. sш1 -
-
180-6.1803+" " Т.К. 6·1803 <
SШ180
< 0,0001, sin1о ~ 1~0 ~ 0,0175.
2905. ~= ~27+3=3(1+i7+ f (_1),,+12'5 ,;:!~з~-4») =
n=2
_
3115
.
5
О 001 Зfi')(\зо ~ 3 .1_
-
+1)-243+3§' -
..
..,
Т.К. 3§' <
,
,УдU~+9
-
2~3 ~ 3,107.
2912 1+х-з -1 'l !.tl-2 (1 +Х2+ + х
2
"+)-,,
.
l- х- =*х-2"
_-х
3' ''' 2n+l ... ~
п1х
1
1
.
_
1
+1+
l3
n = 1+12+"'+22"(2n+1)+'''' r n - 22n+2(2n+3) 22" +4 (2n+5)
+"'<2n~3(~+~+" ') =3(2n~3)"'''' r n <O,OOOl при n =
= 5 =* ln3 ~ L~=o '>2,,';~-,-1I ~ 1,0986 .
Решения
559
2915.1способ.Пустьу=ао+аlХ+'" +аnхn+... =*
ху=аох+...+аnх,,+1+...;Т.к.еХ=1+х+...+х7+...,
1
n.
ху+еХ = 1+(ao+1)x+ ... +(an_l+fii)xn
+... = ао+..·+
+а"хn+... =* ао =1,аl =2, ...а" =2+-2\.+... -\.2способ.
11.
ху+еХ
= у, при х =ОУ =1 =*ао=1;дифференцируя
равенство, получаем у'(l-х) = у+е
Х
,у'(О)=2,аl =fr=
= 2,у"(l-х) =2у'+х,у"(О) =5,a~ =~ =2~ ...y(n)(1
-х)=nу(n-l)+е"', у(n)(о) =2n!+~+ ...+1 =* аn= 2+
I
1
+2I+"'+nТ'
ХЗ
1
sinx
1(
( 1)"-1 х2n-
)
2920.--х =х х - '6+...+
-
\211-1)! +...
=1
х2
2
( 1)"-1 х2n-
J sinxd
С
",3
-
"6+...+
-
(2n-l)! + ... =*
--хх=
+х-з.з!+
1
х2п- 1
+ ... ++(-1)"- (2,,-1)(2,,-1) ! + ... ,
-00<х<+00.
2926. ~11 = (1-х4)-1/2 = 1+х2
4
+ ... + (22n;I,)Н х4n +
VI-X·
11.
х5
ГХ dx
_
(2n- l)!! 4n+l
+ ...
=* JO~ - X+IO+'''+2nn!(411+1)X
+...,
-1<х<1.
2930.J c,,:xdx = J(~-~+~:- ...)dx = C+lnlxl
х2 х'
.
j1Г/4cosxd _ 1 3 1Г2(1
1) 1Г4( 1
-
4"+96-
... ,
1Г/6-Х-Х-
n2'- 4"16-36+96;rr
- Ь) ~ 0,3230, ~ < J:/64:2
5
0dx < 0,0001 .
х2
ro.2e-"'d -гО,21(1
+( l) "Х" )dx
2935 . JO ,1 xr х- JО , I;;З- -Х+т+'" - nт+'"
_
гО,2(11+11+Х+)d_( 1+1Il
Х
-
JO ,I ;;З--Х2' 2х-6 24 . .. х
-
-2Х2' х+2' пх-в+..·+
..-2
)О2
02,,-2 -0 1"-2
+(-1)n(:_2)n!+'" 10:1; ~ < ' (n-2)~!
< 0,001 при
n = 4 =* 1~ (-~+~+~lnx-~)Ig:i~32,830.
гх2
гх( 2
•
б
2939. !(x)= Jo е-
Х
dX=Jo 1-х +'; _Х6 + ... +(-l)n Х
хЗ х5
х5
х2"
)d__
Х7
()
х
Хnг+... х-
-
х-3'+10-42+...,
•
9х=arctgх-10=
5
х7
",З
'!() ()I 5",7
= х-3'+10-7'+...=*
х-9х <42<0,0000001.
I2
2945. у
=
±у'1+х3 =* S = 2JO/ y'l+х3dx =
хЗх
6
х7
_
Г1/2 (
)d_(х'
)11 /2
-
2Jo 1+Т- '8+... х
-
2х+'8-56+... о
= 1+614- 35184+...~1+l4~1,015,т.к.35~4<0,001.
2949. V =1гJ0
1
/
2
arctg2хdx = 1гJ;/2 (х2- ~х4+~~х6+...) =
_
(",з25237
)11/2_ (1 1
23
)
-
1г3'- 15Х+315Х+... о
-
1г 24- 240+315.27+... ~
0 ,119.
Решения
560
к ГЛАВЕ 10
2958 Р(а 1.) = <р(а)"'(I/а)- 'Ф(а)<р(l/а) . Р(а 1) = а - 1
•
'а
'1'(1) "'(1)"
а
а'
2964. Р(ху, uv) = 1nxy1nuv = (lnx+ 1ny)(lnu+1nv)
1n x1nu+lnxlnv+ 1n y1nu+1nylnv = Р(х, и)+Р(х, v)+
+ Р(у, и)+Р(у,v).
2970u=х2+у2 V=ху z = (u+v)v+u
.
"u-v·
2976.Линиипересекаютсяприх =О,х =1;О~х~1,
х2~У~.jX.
2981. Пусть Н
-
высота, z - расстояние от центра ша
радооснованияпирамиды;V = ~xyH, Н = R±z, z =
=
JR2 - x2~y2
=> V = ~xy(R± У4п2;Х2_У2), О <х,
у < 2R. Функция двузначна .
2988.хi=О, -1~~~1=>прих>О1-х~у~1+
+х,прих<О1+х~у~1-х.
2997.xsiny~О=>прих~О,siny~О{::}27rn~у~7r+
+27rn,илих<Оsiny~О{::}7r+27rn~у~27r+27rn,nЕZ.
3000. -1~2у(1+х2)-1~1=>О~У~~.
l' Jx2Y2+l-1
lim Vl/4p'siIl2 2<p+l-1
3004
=
.
1т х'+у'
Х, y--toО
р..... О
р'
2
= 11im р2 sin 2'1'
=О.
4 р .....О Vl/4siI122<p+l+l
3009.Пустьх~О,У~Опопрямойу =kx,тогдаu=
= ~ принимает любые значения, кроме -1, при х=О, y~O
limu=-l;limu=lприу=О,х~О;limu= ~ =2при
k=~(х~О,У=~).
4·22
2.22
3015.1. f(x, у) =р SIIlp~cos '1' = Р SI~
'1'~Оприр~О
независимо от 'р => функция непрерывна.
x2~2
р4 sin2 2'1'
.
3015.6. f(x, у) = (х'+у') -2х'у'
=
4(p4-1/2p'sin2 2<p)
-
sin
2
2~.
-
Оf( )-О
-
11'f()
-
4-2sin 2'1" при 'р -
х,У-
,
при'р-
'4 х,У
=
~ => lim f(x, у) не существует, функция разрывна в
х, у.....О
(О, О).
3025.Пустьz=С>О=>У=-хlпС-С
-
семейство
прямых линий уровня.
Решения
561
..2(2 2)2(3 3)
432223
3040д,._ЗLХ+у -хх+у
_
х+х'1 -ху
.
из сооб
• дж
-
( хЧу')'
-
(:I:Ч у2)' ,
4з2223
Раженийсимметрии[}z = у+х11 -.х '1
75у
(хЧ у 2)2
3045 {)z -
_
1
. (--!4л)
_
у
()z
·ох
-
arctg21t(1+5)
х - (х'+у') arct.g 2 ~, 75у
1
(1)жжХ
arctg2 Jl (1+~)' х = - (х'+у') arc tg2 ~ .
ж
:rz
3050 Dz
1
1_
2
Dz_
1
(Х)_
•их
tgЖсоs'3"у - ySin 1L ' ду - tgЖсоs'Ж
- )j2'
у
11
11
'
SI
11
_
2х
-
-
y2sin~'
3053 [}и _
1
v-w -(v+w) _ _
w
дu-
1
Х
• дV - 1+(v+u.)~ (v-w)'
-
v2+w2' дW - 1+(v+w)2
(V-1V)
(v_w)2
Х v-w+(v+tu) _
v
(v-w)',
-
v2+W2.
3058. z = x X ~ = ехУlпх, g~ = xX v (yxy-l1пх+ху-l) =
Y
=xx"xy-1(y1nx+1) Dz =xx x Y ln2
x.
,
[}у
.3
2
2()
2
2
2(.222)
3064. u = е'С +ху +xz,
u=(3х+у+z)еХХ+у+z,
д
(222)[}
дж(2 2 2)
-.!!=2хуеХх+у+z
-.!!=2xzexх+у+z .
[}у
,
Dz
3070. g~
=
Н;/2х(1-~) =22;,2;:у'прих = 1,У =
2[}z О.{)z -
1
1-
1
-
1 -2[}z
=
дх=
,ду-
х+у/2х . 2х
-
2х'+у' при Х - ,у
-
()у
1
4'
3075 Dz __1 _
.
1
у-l _ 1..ГxV
[}z __
1_
•дж
-
l+xv 2J-;tУХ
-
2х l+хУ)' ау - l+хУ Х
1
у 1 _ у,Гx'ilпх
Х 2J;tX nx - 2(НхУ)'
_ Z(X_y) ' -l
3081 ди
z(X_y)Z-l
ди
д,.
=
•дж
=
Н(х-у)2' , ау
l+(х у)2. , Dz
х-у): II1(Х-У
Н(х-у)"
3085. g~
_
2sin2<p
-:!с ./, _
{)и":"2 - 4
-
cos2(<p+2"') , при 'р - 4' 'р - 7r lf1ij - (1/J2)2 -
.
3091. ~
=
~ , gz = ~, касательная плоскость к z =
2
2
У
х~y Вточке(2, 4,5)имеетуравнениеz = 5+(х- 2)+
+2(у-4), при у = 4 получаем прямую z = х+3, образующую
с положительным направлением Ох угол 450.
3095.dxz = Vх dx, dyz = ~dy.
х2+у2
у'х 2 +у2
3100. и~ = 1+;5+2Jvla+r' и~(1, 3, 5) = 9/ => dpU
- J!l.
-
600'
1
(dx+dy)(l-xy)+(x+y)(dx+dy)
3106. dz
=
=
Н( Ж+У )2
(1 ху)'
1-Х1I
_
dx+dy+x2dy+y 2dx _ dx( Hy2)+dy(Hx2) _ dx + dy
-
1+х'+у2+х2у2
-
,.."
..
.
"'
-
l+ х ' I+iJ2"'
562
Решения
3110. dz = dx + dy - JX+YdY , при данных значениях dz =
х2+у2
= 0,08.
3115. z = f(x, у) =хУ, di = yxy-1dх+хУlnхdу,прих =
= 1,У =2,dx=0,04,dy=0,02dz=0,08;f(1,04;2,02)~
~ f(l; 2)+dz = 1,08.
3119 as
asinB sinC
_
•Da
sin(B+C)
_
.!а2 сosВsiпСs il1(В+С)-siIlВsiпС со~(В+С) _
-
2
siI1 2 (B+C)
S
siпС
as-
S
sil1B
sinBsil1(B+C)' дС
-
siI1Сsiп(В+С)'
+S
s il1C
dB+S
sinB
dC
8
siпВsiп(В+С)
siI1Сsiп(В+С)::::} S
+
sil1C
dB+
sil1B
dC-28+
siI1Bsil1(B+C)
sinCsill(B+C)
-
а o;n R~;n(R.L.r\ В
+ CsinB 8
sinCsil1(B+C) С·
т2
3123.r = ~
82 +р ::::}
р2 ;2
::i'dr = 2~_ dp+:d8, п~
-
U,25MM, dp - -0,3мм dr ~
3126. oz =
1
OZ
их J1-(x-y)2' ду
= 12е dz = OZdx+Oz!!JJ. =
=
3!!1L=
'ov
з,,2
+ --'13u-2v) ,
2,,2
v 2 C3u'::'2v} .
3131 д"
•дх
х
2
2
~
2
2
д
r=~~=Р--В-
.2: =
2р 'ар 2рг-' ив
s = 97,25мм, Р =36,2мм.d8=
1,6мм.
=_
1
dx=3!!JJ.=
J1-(x-y)2' dt
'dt
, dt дх dt ду dt J1-(3t-4t3)2 .
х2
3128Dz_2xlnyoz_
дз: _.!
·
дх-
ду-у'д"
-
v'
3-12t2
,
-2 ::::} oz = 2хll1у.!+з
х2
д"
v
у
Dz=
-2xlny" _2 х2
ov
v2"
у
1
__
1_ д"
ZJ 1-~
~'az
2S
as
а' дВ
.!а2 siп2 с
=
2 siIl 2(B+C)
dS
2Sda+
а
dS
2da+
=S
=а
Bsil1C
8+
дх_u
!!1L
ov
V2"' ди
=
2"111(3u-2v)+
vт
_ 2,,2 In (3u-2v)
vз
х
_
z2Jl-~
_
х
%';%2_ х 2' dx - ~'dx
дr OZdx -~
2
_
х
х =1-
=
1
%';Z2_X 2~
х2+1 х2+1 .
х2+у2
",2+.2
2
2
.
3
3135 д;:
2хе ху +(х2+у2)е ху 2хц-хJI-11
2•~x
22
х2у.
. :.::.±JL:. х
4
+2Х3У_'14
oz
. :.::.±JL:. у' +2х./ _х 4 d
е.си
х2у
ду = е.су
ху2
Z
=
_
ех2
х+/2 (x4-у4+2ХЗ11)Уdх+(у'-Х'+2ху3)хdу
-
х2у2
3140 oz = _ Yf'. 2х = _ 2Х'I/ oZ /-у/'.( -21/)! д:: +
·ах
12
/ 'ау
Р 'хах
1oz
2" {'
1
211 {'
1
z
+уду = -р+у/+р = у/ = j7'
3145 3х 2у + x3!!JJ.
_
3y 2!!JJ.
_
у3 = О ::::} !!JJ. = ,/-Зх2~.
•
dx
dx
dx ХЗ-3Х1/
dz
х. d..
и..+и"dz
1
Решения
563
3150 ~x-l/3 + ~y-1/3!!JJ. = О ::::} !!JJ. = _(1L)1/3 = - зПI.
•3
3
dx
dx
х
Vx
3155. ух
=
х1/ <=> xlny = ylnx; Iny+x~ = y'lnx+
1L1
2'-
'1
2'_
1L1/ -хI IlУ - 1L 1}-уII1Х
+х'хупу+ху-хууnх+у ,у -хx-yll1x- Хx-xln1/
_
у2 Inx-1
-
~llly-1'
3159. х2 у2+ х2+ у2-1 = О::::} x2y2+x2~+1
=
= 2::::} (х2 +1)(у2+1) = 2(*); у = J~~~~, х = vii~;, ~ =
1 J1+X~ -2х(1+х2 )-2х(1-х
2
)
1
-2х::::} dx
'2 1-х
(1+х2 )2
~ 1+х2
';1-х'
dY(1+x2) = (*) _ ~ = _~y'l+~2
=
_~
2х
х(у +1)
J1- y2 Ну
Jl-y' .
3165. Пусть сх - ау = и, су - bz = v; дифференцируя
пох получаемQ:e.(с - аoz)+Q:e.(-ьDz) =о cQ:e. = д"(a!2:i. +
,
д.. (J
ахovах
''Z" ах дu
+ bQ:e.) д"
_
cru .
д"_ сЁ
д"+
OV ' ах - .!!.ое. ь.!!.ое.' аналогично ау
-
.i:1.<r. b!'1..l:. ::::} а их
a
alJU+Ov
ffu+ иV
+ь~=с.
3170. ~ = tgv::::} v = arctg~, z = karctg~.
3175. х2 = (u-v)2cos2u-2(u-v)sinucosu+sin2u, у2 =
(u-v)2sin2
u+2(u-v)sinucosu+cos2
u, х2+у2 =(и-
-v)2+1 = z+l::::} Z = х 2 +у2_1, dz = 2(xdx+ydy) .
3180. Уравнения f(x, у, z) = О и Р(х, у, z) = О задают
у и z как функции от х; дифференцируя по х, получаем ~ +
+D/1:Jl+д/dz = О oF+OF!!JJ.+oFdz = о· решая систему
ауdx дzdx
'дх
дуdx OZdx
'
уравнений относительно *по формулам Крамера, получаем
требуемое равенство.
д2
3183. oz = eX(cosy + xsiny + siny) " = д (Dz)
ах
' дхду
ау ах
еХ
= ех(cosу - sinу+хcosу); ~ =
( - sinу +хcosу), д~2дx
= %х (g~) = eX(cosy - siny + xcosy).
1
д
3186 oz =
1
(1+х)=
.ах
x+Jx2+y2
Jx2+y2
J x2+y2' ~
у
•
a2
z
=
_
х
д2"
(x+Jx2+y2)Jx2+y2' lfXI
J(х2+у2)З' DXDY
У
a2z _
х3+(х2_у2) х2+у2
J(х2+у2)З' дiJ1 - J(x2+y2J3(X+ х 2 +у2)2
2
3191. z = elnxlny oz = elnxlny!!!.1L д" = el'lxlnylnx Q z
'дх
х'ау
1/'7JX'I
2
=
elnxlny (~_ ~) =
elnxlny IП l1 (I,\-,,-1) ' a z
х
х
х·
,
дхду
= elnxlny (In xln l1 +.1..) = elnxlny Inxlny+1 Q2z = Inxll1Y Inx(lnx-1)
ху ху
ху ,дiJ1 е
у2
564
Решенuя
3195 д;: _ 2х
д2;: _
4ху
дЗz_ 4Х(Зу 2_ х 2)
.
дх - х2 +у2' дхду - (х2+у2)2' дхду2 - (хЧу:!)3
.
1. {)2z_
3199д;:=~д;:
= ~ => д;:+IЭz
.
дх е"'+е1l ' ду еХ+еУ
ах DY
,~
еЗ"+1I
д2;:
е"'+У
д2 ;:
е"'+У
д2 д2
= (СХ+Сll)2' дXl5!i = - ( еХ+еУ)2' 751? = (еЗ"+с1l)2 => 'tJXI
Z
751?
z
д2z)2
-
(дXl5!i = О.
д2
3204. ди
= 3х2+ау2 'и=6хд"
= 2аху
д2и
дж
'
~
,
ау
, lJij'!
= 2ах,6x+2a::z;=Оприа =-3.
3209./ (х у) = О => 1L = Df+~!!JJ.
= О !.!:JJ..
,
dж
Dx дуdx
'dJ:
2
д2
_М. d J _ д (1L) д (L)!.!:JJ..
_
, 2IЭ2f!!JJ.
W' ~
-
дж dx +DY х dx - fh'I+д:i7Jiidx+
2
821 821 d 82/(d)2
+ f.{. (!!JJ.) + ~ ~ = О => ~ = а;'!+2'l1ж11;;' *+дjjТ *-
=
ду dx
ду dx
dx
и
О1I~~
82/(81)2 82[ 8[ 8[ 82/({)1)2
3
ах D.jl
а;'! ~ -2'l1ж11;;'iГrF,j+дjjТ дж _ (~)- ~ д2 , ..!!:L
( 81)3
-
ду
дх ~ д"ду"
~
~~~
ду дхду ду
3215.и = 1.(rp(x- у)+1/I(x- у)), ~" =-~(rp(x -у)+
+1/I(x-y))+~(rp'(x-y)+1/I'(x-y)), x~a~ = x_(rp(x_y) +
+1/I(x-y)) +x(rp'(x - y ) +1/I'(x-y)), fж(х2~~) = x(rp"(x
2
-
у)+1/1"(х - У)), ~ = ~(rp"(х - у) +1/1"(х - у)).
д2
3222. д;:
=sin2yд;:=xsin2y;:=Од
2
;:=
дх
'
ау
''tJXI' дхду
= sin2y, ~ = 2xcos2y => d2z = 2sin2ydxdy+2xcos2ydy2.
3227 х2+у2+,,2
= 1 => 2ж(lх+2ydy+2zdz = О(1)
•~
р' ё'1'
(j2 -ьr cr
,
~+~+zd2~t(lz2=0 (2); (1)=> dz=-~(~+~), (2)=>
2
z +dz2
d2
zd
=
_с2 (~+~)
Ь
=>
z=
_ !l.. (~+~)_
а
Ь
а
Z
_с4 (жdх Yd y )2 _ с· (Z2+x2)dX2+2XYdXdY+(Z2+y2)dy2)
zз- ar+v
-
-zз- ё'1' ~07' а2Ь2 ё'1' р'V .
3231х= у' =у'е" х=у'
%
е-;: у" = (у'хe
=
•
е"'z
х =>у'
'zz
Z)'
z
у" е
2;:
+у'е"
=
=> у" =(у" _у'eZ)e-2z = у"е-2;:_
ХХ
х
ХХ
Z%
Х
ZZ
-
y~e-2z, А = e2zy~x - 4eZy~+у = у" -; 5у'+у.
3235у=1 у'= _,,' у" =2и'-и"11 =>уу"_2(у2+
·
v'
~,
v3
+у,2)=2и'2_и"и_2(1+и'2)= _и"+21'.
и'
~vт
--;;r- /
У
,.
+
3237 у = psin'" х = pCOS'" => у' = ::..:е.. = р SШ<f PC?S'f
•
.,...,
.,...
ж~
p'COS'f-РSШ'f'
1,2
-
р2 +р,2
"_
(y')~ _ 2р/2+е2_р"Р . k
_
+ У - (р' COS'f-рsil1'f)2, У
-
x~ - (р' COS<f рSil1'f)З'
-
,,"
_
2р,2+р2_ р" Р
-
(1+уr2)З/2 - (р2+ р'2)З/2
Решенuя
565
3239. у = рsiпrp, х = pcosrp => ~~ = g~ cosrp + g~ sinrp,
д" _ ~u рsiп "') + D"'PCOS'N решая систему получаем д"
д;р
дх
.,...
ду
.,... ,
,
дж
дuCOS'" _ 1д"siП""J д,. = дusin,,,+1д"COS",
д2~, =
де
.,...
рд<р .,... ,
ду
др"'" рдое .,...,
7JXI
.!L(D")
СОs,,,.д- (д"~OSIl'_1 ди SiП ''') - 1 sin'" х
дх Dx
.,... др
де
.,...
р д<р
.,...
е
.,...
хJL(дUCOS", _ 1д'иsiпtn) = COS'"(д
2
"COS'" + 1 ди siп111
дое др .,...
р д<р"'"
.,...
7JP'2
.,...
PI дое .,...
_1д
2
u.siп111) _ 1siпrp(д2" COS'" _ д'" siп'"
_
1д
2
"sinт_
е {)pIЭ<f"'"
е
дрдое"'" дое .,...
р 75'Г.Р .,...
_1д"СО:;1.,,) д2,. = sin'n д (д" siп',"+1дucos,n)+1СОБи,Х
рд;р
.,...
, lJij'!
""'7fjj др
.,...
p~
.,...
р
.,...
x.!L (д"sin,." _ 1д.. cosrp) = siп'n(д
2
" sinrp _ ! д" cosrp+
д<р др .,...
рд;р
. ,...
ffjjТ
PI и",
+1 ЕР,. СОБ'n) + 1cos'P( д2" sin'!1+д"COS,N+! д
2
"СОБ'."
Р дрдор"'"
е
д"дое "'" ~ .,...
р ~ .,...
_1д"sintn) => ~+д2" д
2
"+1д
2
" +1ди
р IЭ<f"'"
дхе дiJI 7JP'2 PI дч)I, р др .
к ГЛАВЕ 11
3245. f(x+h,y+k,z+[) = f(x,y,z)+/~h+/~k+/~[+
+1(/"h2+f" k2+/"[2+2/" hk+2/" hl+2f"kl) =Ах
2
+
2 хх
?уу
""
ху
х;:
у;:
+ Ву2 + Cz- + Dxy+Eyz+Fxz + (2Ах+ Dy+ Fz)lt+ (2Ву+
+ Dx+Ez)k+(2Cz+Еу+Fx)l+Al12+Bk2+Cl2+Dhk+
+Ekl+Fhl.
3248.f(x+h,y+k)
eXsiny + eXsinyh + eXcosyk +
+ !(eXsinyh2 + 2eXcosyhk - e
Xsinyk2) + t(еХsiпуhЗ +
+3eXcosyh2k-3еХSiпуhk2-еХсоsуkЗ)+тз(х); z! = /(0+
+ 0,1;0,571' - 0 ,0171') ~ 1 + 0,1 + !(0,01- 0 ,000171'2) + й(О,ООl
-
3 · 0,1· 0 ,000171'2) ~ 1,1042.
3254. z
= Iп (!~~~~~y)
= 111(1 - х) + In(l- у) -lп(l
2
n
12
п
-х-у) = -.-;-з; - ... -~
- ... -y-~- ... -%-- ... +
+ х+у+(x~y) +...+(Х"';,;'1)" +... =
ху+х2у+ху2+...+
(х+у)" -ж" -у"
+
11
+ ....
3260. ~ = е2Х(2х+2у2+4у+1) = О, ~ = е2Ж(2у+2) =
=О=>У=-1,х =!.
дz
у
f17"::.
-=
+V1+y =0
3265. ~~ 2J~+х
{::}
{ду= - ,,--+V1+X =О
566
Решепия
{ 2J1+xv'1+Y=-У {
х=у
2.J1+Yv'I+X = -х <=} 2(1+х)+х = О <=} х = у = -~.
3270. Дифференцируя уравнение по х и у, получаем
10х + 10z fJz
-
2у-2z- 2хд:-2уд:
О=>fJz
дх
дх
дх
Ох
=
y+z-5x. 10у + 10z fJz - 2х
-
2хд:- 2z_2yfJz - О -->о.. д:
5z-x -y '
ду
ду
ду-
-- .-
ду
X+Z-5Y = О
х+z-5ц.
=>Х=у z= 4х подставляя
5z-x-y'{у+z- 5х =О
'
,
в исходное уравнение, имеем 72х2 = 72 => х = ±1, У =
= ±1, (1,1), (-1,-1) - критические точки.
{
3277. g~ = х2у2(36 - 4х
-
3у), g~ = хЗу(24 - 2х
-
3у);
4Х+3У = 36
<=} х = 6, у = 4, (6, 4) - критическая точка;
2х+3у= 24
02: = 2ху2(36_ 6х
_
3у) 02: = х2у(72_8х
_
6у) д2: =
дXI
'
дхЬу
, DiJI
=
хЗ(24 - 2х
-
6у);прих=6,у
=
4all=~
2
ад2д:
=
-2304, а12
=
х
=
О,а22=
у
:=
-2 592,
рд
1
.
у
-2304 О 1
=
О -2592 > О, all < О => (6, 4) - точка максимума.
1
3281. ~
=
ху(6-3х) = О, g~
=
х2 (4-х-2у) =
= О, (2,1) - критическая точка внутри области, z(2,1) = 4;
прих=Оz=О;приу=Оz=О;прих+у=6z(x)=
=
-2х2(6-х),О~х~6, z' = О при х =О,У =6и
х=4,У =2;z(0,6)=О,z(4,2)= -64=>Zшах(2,1)=
= 4, zmin(4,2) = - 64.
3286. Расстояние от точки (х, у) до прямой х + 2у -16 =
= О равно X+Jg-16 => сумма трех расстояний Z(x , у) = х2 +
+ у2+ (Х+2у-]6)2 --> шiп' fJz = 2х+ 2(х+2у-16) = О fJz =
5
'Ох
5
'ду
=
2y+ 4(X+2Y- 16) = О
=>х=16У=32'(16'32)
5
'
,
'"
,
,
единственная критическая точка, по смыслу задачи в этой
точке достигается наименьшее значение.
3290. Пусть х, у, z - изме ения па аллелепипеда, т. к.
x
2 +y2 +z2
= 4R2,Z = 4R2-x2_y2, V
=
f(x, у)
=
х2-
х2
=
xyJ4R2 -
у2 --> шах; и = y.J4R2-
у2_
_
х2у
=У4Н
2
_2х2_у2) = О Q1 = х(4н
2
_х2_2у2 = о·
J4R2 - x2_ y2
4Н2_ х2_у2
'ду
4Н2_х2_у2
'
Решения
567
х2+2у2= 4R
2
_
_
2Н_J2
2
2_2Н.
2
2
2<=}Х-у
-
7з'z-4R-х
-
у-7з'
{2х+у=4R
куб с ребром 7з имеет наименьший объем .
3295.Р(х, у, z, л) = х+у+z+л(~+l+~-l), ~~ =
ох-
fJF-1
-
ОfJF-
О
1-з
-
О,-а-
- ::"2"ох
-
,
-д-1
-
уох-
-
,
fJF
О'
~
х
у
У
z
z
л
1+1+1-1 =О;х]2=У12 =Z12=±J>;",есливсе
х
ух
'
I
,
,
знаки '+', -7>.
= 1,л =9,х =у =z =3,еслидва '+',
один'-',например,х>О,У>О,z<О,Д=1,х =
= у = 1, z = -1, при других комбинациях знаков решения
нет, поэтому (3,3,3), (1,1,-1), (1,-1,1), (-1,1,1) - крити
ческие точки, при х = у
=
z=3,л =9F](x,y,z)=
=
x+y+z+9(1+.! .+.!. - 1), dF1 = dx+dy+dz-9(!§.+
х
у
z
:е
+dy+dz) d2F = 18(dx
2
+d!l+'lz
2
)приХ=у =
=
17 ?"'
-;:З
-:zr,
z
1
уз
= 3 d2Р1 = ~(dx2 + d y2 + dz2) - положительно определенная
квадратичная форма, поэтому (3,3,3) - точка минимума; при
л= 1Р2(х,у,z) =х+у+z+~+~+~- 1, dF] =dx+dy+
+dz_ (dx+~+'Iz) d2Р. =2(dx
2
+dy2+dz
2
)приХ=у =
~у'?"'
2
xr уз -:zr,
= 1, z = -1 d2F2 = 2(dx2 +dy 2_dz2) - неопределенна я
квадратичная форма, поэтому экстремума в этих точках нет.
3300. Р(х, у, z, л) = y2+4z 2 -4уz-2хz-2ху+Л(2х 2 +
+3y 2+6z2
-1), ~~ = -2z-2у+4лх = О , ~~ = 2y-4z
-
2х+6лу=О, ~~ =8z- 4у - 2х+12лz=О;однороднаяси
2лх-у-z = О
стема х - (1 + 3л)у + 2z = О имеет ненулевое решение толь
{
{
.х+2у- (4+6л)z = О
2л -1
-1
коприI1-(3л+1)
2 I=О <=}4лЗ+4л2-Л
-
1=
1
2
-(6л+4)
= О <=}(л+1)(4л2-1)=О <=}).1 = -1,Л2,з =±~;прил =
2Х+У +z=О
=-1
=>У= -z,х =О,подставляяв
х+2у+2z=О
2x
2
+3y2+6z
2
= 1, пол{уч:~муz = ==-t, ~; =Fk, A 1 (0,k,-k),
11
1
5
А2(0,-з,з); при л = 2 Х-"2У +2z = О
=>
х+2у -7z=О
568
Решения
{
х=3z,у =2z,x =±~,у =±!,z =±~,Аза,k,t),
Х+ У +z=O
A4(-~,-!,-t}; при>. = -~ x+~y +2z = О
=?
х+2у -z=О
-
3
-2
-
1_±l _±1А(!11)
Х--z,у-
z,х-
=f2,У-3'z-
6' ~ 2'-з'-"6 '
A6(~'-~,-~); Uщах (А 1 ,2) = 1, Uшil1(АЗ,4) = -~, 'U.(A s.6) = ~.
3305. х, у, z - измерения параллелепипеда, V = xyz ---+
---+ ша:\: при ху+yz+xz = t, Р(х, у, z, >') = xyz+>.(ху+
+yz+xz-S/2), ~~ = yz+>.(y+z) = о, ~~ = xz+>.(x+
+ z) = о, 9fz = ху + >.(х + у) = О; последовательно вычитая
(z+>.)(y-x) = О
уравнения, получаем (х + >.)(у - z) = О =?
{ (y+>.)(x-z) = О
х=у=z,зх2=t,Х=у=z =Л-куб.
3310. x,y,z - наружные размеры ящика, тогда х
-
2а,
у-2a,z-а
-
внутренние размеры, V = (х - 2а)(у
-
2а) х
x(z - а), расход материала равен (ху + 2(yz + xz))a,
F(x,y,z,>.) = (ху + 2(yz + xz))a + >.(х - 2а)(у
-
2a)(z - а),
W:X = а(у+2z)+>.(у- 2a)(z - а)
=О,
~~ =а(х+2z)+
+>.(х- 2a)(z- а) =О, ~~ =2а(х+у)+>.(х-2а)(у
-
2а) =
= О; вычитая из 1 уравнения 2, из 3 удвоенные 1 и 2, получаем
(a+>.(z-a))(x-y) = О
(2a+>.(x-2a))(y-2z) = О=? х = у, у = 2z,
{ (2а + >.(у - 2а))(х
-
2z)=О
V=4(х -а)З =? z = iff+а,х=у =~+2а.
3315. Расстояние от точки (х, у) до прямой 9х -7у + 16 =
О
9
7
16 Р(
>')_9
7
=
равно '7IЗo х - V'i3oy+ 7i3o' х, у,
-
7iЗO х - JiЗoу+
+ JПo + >.(2х2
-
4ху+2у2- Х
-
у), p~ = $о +4>'х - 4>'у
-
>. = О, p~ = - $о -4>'х+4>'у- >. = О; складывая уравне
ния, получаем>. = ko, х - у = -2, подставляя в уравнение
связи, получаем х = 3, у = 5.
.
2'
2
3321. ~ + qf-
=О
=? у' = -~, уравнение нор
мали у-уо
=
~:~~ (х - хо) <=> а2уох - Ь2хоу
=
(а2 _
-
Ь2 )хоуо расстояние от начала координат до нормали
Решения
569
2 ь2)
(2ь2)222
d=(II-
З:ОУОf(xу)=d2=а-.хУ
--+ шin при
J"2+Ь" 2'
.
,
,,"у 2 +Ь"х 2
иУО x~
условии ~+~ = 1 <=> Ь2х2+а2у2 = а2Ь2; Р(х,у,>.)
.
(а2_ь2)2х2у2
22
22
,2(а 2 _ь 2 )й"ху"
')
=
a4y2'+/J.l x2 +>'(Ь Х +а у ), РХ = (а"уЧI>4х2j2 +2>'Ь-х =
(а2_ь2)"."у4 'ь2 О() р' 2(,,2_ь2 ),,·х'у 2' 2
= О =? (й4у2+Ь"х2)2 +л =
*, у = (а"у2+Ь4з:2)2 + ла У =
(а2_Ь2)а4х'
2
,,2_ь2
2
=
О =? (а'уЧЬ'х2)2 +>.а = 0(**) =? (а4уЧЬ"х2) +>.(а +
2_
_
ь2_а2
.
(й2_Ь2)а4у4
+Ь) - О=?>.
-
(аЧЬ2)(а"уЧЬ4х2)' (*) ==> (а4уЧЬ"х2)2
(а2 _ь2 )ь2
_
,,4 .,4
_
ь2
-
~,,2+b2)(""y2+Ь4x2) - О <=> а"у2+Ь"х2 - й 2 +Ь" , (**) =?
а2
ь2
ьЗх2 х2
Ь"х.
а"4
2
х2ь
а4у2+Ь'х2 = ,,2+Ь2 =? b4~4 = ~, У
=
--из, ~+аз
= 1, х =±а)a~b'у =±Ь)"~b'
3325. Р(х ,у)
а2(х4 +у4) - хЗуЗ
-
9а6, p~
=
F'
4а2хЗ - 3х2уЗ, p~ = 4а2уЗ - 3хЗу2, у' =
-ifr'
_
зх2УЗ_4а2хЗ '(?) _ 24а 5 _4n5
_
1
2-
и
-
4а2у3_Зх3у2' у а, _а - 32а5-12n5 -
,
у-а
-
х
-а <=> у = х+а - касательная, у-2а = -(х-а) <=> у
= За -х - нормаль.
3330. Р(х,у) = y2_ ax2_bxS , p~ = -2а-5Ьх4 = О, p~ =
= 2у =О =?У=О,хl =О,Х2 = -{ff;точка(-{ff,О)не
лежит на кривой, точка (0,0) - особая; р;:х = -2а - 2ЬхЗ ,
Р;:х(О,О) = -2а, Р;:у
= О, p~~ =2,1 =1-~a~1 =-4а;
приа>О1<О-двойнаяточка,приа<01>О
изолированная точка, при а = О, Ь =1- О
-
точка возврата.
3335.Р(х,у) =хЗ+уЗ+Заху = О, p~ =зх
2
+ Зау
= О р' =3у2+Зах=О =?х=У =о·р" =6хр"(ОО) =
,
у
'хх
'хх'
= О, Р;:у =За,p~~ =6у,P~~(O,О) =О, 1 = IзОаЗ;I
=
= -9а 2 < О =? (0,0) - двойная точка.
3339. Р(х,у) = у2 - З(х
-
а)З=О,p~ =-3(х -а)2 =О,
p~=2у =О ==>х=а,у =О;р;:х =-6(х-а),Р;:х(а,О) =
= О, p~~ =О,p~~ =2,1 =I~~I =О =?(а,О)-точка
возврата.
3345.p~ =ХЗ+2ау=О =? а = ~2,подставляявурав
нение ах2+а2у = 1, получаем у = - Х4
"
.
у
570
Решеnuя
3351. (а, Ьа2) - центр окружности, Ja2 + Ь2а4 - ее ради
ус,(х-а)2+(у-Ьа2)2=а2+Ь2а4{::}х2- 2ах+у2- 2Ьа2у=
= О - уравнение семейства окружностей; p~ = -2х - 4hay =
222
= о, а =-2~~x2+~y+у2_{ьу =о,2Ьу(х+у2)+х2 =о.
3355. ~ + а = 1 - уравнение прямой в отрезках, cd =
= а ~ d = %, ~ +!ff = 1 - уравнение семейства прямых,
р'= - х++1L=О с = ffii. х{У+::EЁL =1{::}ху=!!.
с
~а'
V у'..;ах a,fij
4
d(
dr)
dr dr+
r
r
d2
d2
33613. dirхdt =dtхdt rХdtI=rdtТ.
3368. dr
=
drт' d
2
r
=
..SL( dr / п')
=
d
2
r {п,2+
dif
'f.l''''' ~ 2 dx 'lu[
~."
+dr{п" dr
=
dr{f)'З++2dr{п'т"+dr{п'{п"+drт'" =
d1!J""
(lXJ
(fu1f."
(jU!."
."
(jU!."
."
du'"
= d r{f)'З+3d
2
r {п'{п"+ drт"'.
(fu1f."
(jU!."
."
du'"
3371.v = r'{acost, asint, 2Ы} - винтовая линия, а =
= r"{-asint, acost , 2Ь} - окружность.
3375 dr{dx ~ dz}. dx _ ':!Е.
.
()+()
de+
.
dt dt' dt' ,lt ' dt - dt Slll cosr.p pcos cosr.p dt
.().!!::Е.!Ш
~.().
(). de
+ рSlll Slllr.p ,lt '
dt
=
dt Slll Slllr.p + РCOS Slllr.pdt +
.
() !!::Е. dz
':!Е. ()
.
()de .
+ PSlll COSr.P dt' dt
dt COS - PSlll dt' ер, ее, е..,
единичные касательные векторы к координатным лини
ям, поэтому их координаты находятся дифференциро
ванием формул перехода от сферических координат к
декартовым по Р, (), r.p и последующим нормировани
ем: fp{sin()cosr.p, sin() sin <р, cosr.p}, Ifpl = 1, ер
=
fp;
fe{pcos()cosr.p, pCOS() sin <р, -psinr.p}, Ifel = Р ~ ee{cos()cosr.p,
cos()sinr.p, -sinr.p}; f..,{ -psin()sinr.p, psin()cosr.p, о}, If..,1 =
.
()
{.
о}. dr
-
':!Е. dr
_
= PSlll ~ е.., -Slllr.p, COSr.P,
,
dt· ер
-
dt' dt· ее
_
de ,lr
-!!::Е.. ()
-
Р dt' dt· е..,
-
рdtSlll .
3379. Точка соответствует значению to = I; X'(t) = 1
- c ost, x'(to) = 1, y'(t) = sint, y'(to) = 1, z'(t) =
-
2cos i z'(to) =
'2 Х-1Г/2+1 = 1l::l = z-2V2
-
каса
-
2'
V~,
1
1
v2
тельная,(х-I+1)+(у-1)+J2(z- 2J2)=о{::}х+у+
+J2z-I
-
4 = О - нормальная плоскость.
3385. Пусть у = t, тогда х = t2, z = t4, r(t){t2,t,t4},
г'(t){2t,1,4tЗ }, r"(t){2,0,12t2}, при t = 1 г{1,1,1}, г'{2,1,4},
x-1y-1z-(
г"{2,0,12}; I 2 1 4 1= о {::} 6x-8y-z+3 =О - со
2О12
.
прикасающаяся плоскость, ее нормальный вектор ,8{ 6, -8, -1}
Решепия
571
параллелен бинормали ~ х 6 1 = ~ = z~11 - бинормаль; век
.ijk
тор 1/ = г' х,8 параллелен главной нормали, 1/ = 12 1 4 I =
6-8-1
= 3li + +26j - 22k, хз-;.1 = ~ = ~2~ - главная нормаль.
{х2+у2 - 2
3390. Линия
-
окружность
z:: 1 может быть
задана уравнениями х = J2cost, У
=
J2sint, z
=
=
1; в данной точке to = %; r'(t){-J2sint, J2cost,O},
r'(to){ -1, 1, о) , x~/
=
? = z;l - касательная; -(х
-
1)+(у- 1) =О {::} У-х = О - нормальная плоскость;
г"(t){-J2соst,-J2siпt,О}, r"(to){-l, -1, о}, 2,8 = r'(to) х
х r"(to) = 2k - бинормальный вектор, Х;1 = ~ = Z~1
бинормаль; z = 1 - соприкасающаяся плоскость; 1/ = r'(to) х
х,8=i+j, X
11=?
= Z;1 - главная нормаль; (х - 1) +
+(У -1) = О {::} х+У = 2 - спрямляющая плоскость.
3396. r'(t){ - tgt, ctgt, J2}, r"(t){ -dгt, -~, о},
r"'(t){_2sint 2.cost о} Ir'l
Jto·2t+ctg2t+2
cos3 t ' "Sifi'Тt '
,
ь
2
,
"
_
,12· J2.+4kl'"1
1n2t' rхr
-
~l- ~J
sin2t' rхr
2
2
16 _ 4,/2
•
_
Irlx~'1 _ sill2t
sin4t+cos4t+sin22t - ~,k-
r'l
-
V2' R
-
tgt ctgt J2
..д..('""') _1_ 1
-
1
О 1 16V2cos2t Т
sin2t' Г,Г,г
cos2 t sin2 t
siпЗ2t '
2sint 2cost О
,
n",
-
cos3 t - siпЗt
(r ,r
,r)_sin2t-k
Ir'xr"12 - ~
-
•
3401.I.J)хт=kl/,I.J)х,8= -TI/~I.J), ,8,Т ..i1/~I.J) =
= х,8+ут;kl/=I.J)Хт=х,8хт =Xl/~Х=k;-TI/=утХ
х,8 = -Yl/~У=Т; I.J)х1/=(k,8+Тт)х1/=k,8х1/+ТтХ
х 1/ = -kт+Т,8.
х2
2хЭ
2х2
3405. У
=
-,z
у'=2х z' =
L
27'
3'
9'
З
r 1+1х2+.±..х4dx
iJ~J4x
4
+36х2+81dx =
Jo
!)
81
= iJ~(2X2+9)dx = 5.
а2
1
а'=
3409. у'
=
J1-x2/a2
=
~,Z
2(а2-х2)'
ra2
Jа2
а4
/
dx
L=Jo
1+а2_х2 +4(а2 х2)2
572
Решения
га/2 J'4(a2-х2)2+4а2(а2 -х2)+а'
г,,/2 2(02_ х 2)+а 2 dx _
Jo
2(а2-х.!)
dx
Jo
2(а.2-х2)
(Х+!!lп1а+х 1) la/2 = !!(1+ \113).
4
а-х О
2
2
3414. z~ = - x2ty2, z~(1, 1) = -~, z~ =x2~y2'z~(1, 1) =
4, z = ~-~(x-1)+4(y-1) {:} x-y+2z = ~ - каса-
тельная плоскость, п{1 , -1, 2} - нормальный вектор, Х "1 1 =
= 11=f = Z-;/4 - нормаль.
3420 . Продифференцируем уравнение по х и у: ~ +
2I
2
2
2zz
I
а
2
+~=О:::::}z' =
-
с Х . "у +.::...:....:..J = О :::::} z' =
_
су.
с2
Х
li2z, ~ с2
у
jj2z,
уравнение касательной плоскости z - zo =
-
~~~~ (х - хо)
-с2уоЬ2хо(у - УО) {:} _а2 Ь2 Zo + a2b2zoz + Ь2с2хох + a2c2yo'U =
2
2
~
= а2Ь2z2+Ь2с2х2+а2с2у2{:}~+~+.!D,,! =~+JШ+~=
о
о
о
(i2
ь
с-
QZ"V~
=1.
3425. ~{cosv, sinv, - ""a2'~u2} '
~{-usil1v, ucosv, О},
Х-хоу
-
уоz-Zo
2
2
cosv sil1v -
"
= О{:} u cosv(х-х)+ U";"V(у-
~
~
о~
-usil1v ucosv
О
-yo)+u(z-zo) = О {:} ~(х-хо)+~(у-уо)+z-zо = О {:}
а2
хох+уоу+ZoZ = xfi+уб+zб{:}хох+УоУ+ZoZ =
касательная плоскость, L = JL = L
-
нормаль.
хо
уо
zo
3429. Продифференцируем уравнение по х и у: 2./х +
+ ~ = О :::::} z~ = - Л, z~ = -л, уравнение касательной
плоскости z - Zo = - До(х
-
хо) - !Fo(y - уо) {:} zJ'xoyo +
+ xJ'zoyo + yJ'xozo = zoJ'xoYO + xoJ'zoYo + YoJ'xozo {:} Jzo +
+*+ fio = уГхО+$о+y'Zo {:} Jzo+*+.fio =
= уа {:} ~+~+ ~ = 1, сумма отрезков равна
yaZO
уау о
уахо
уа(УГХО+$о+y'Zo) = а.
3 435. Продифференцируем уравнение по х и у: 2х +
+2zz~+4z~=О:::::}z~= - z~2' 2у
-
6+2zz;+4z~ =О :::::}
z~ = ~, уравнение касательной плоскости Q : (z - zo)(zo +
+2)=-хо(х -хо)+(3-уо)(у -Уо); Q 11хОуприz~=z~ =
= О {:} хо = О, УО = 3; подставив в уравнение поверхности,
получимz2+4z-21 =О, zl =3,Z2= -7, Q 11хОувточках
х2
(0,3,3) и (0,3,-7); Q 11 yOz при Уо = 3, Zo = -2,
=
= 25 , Х1,2 = ±5, Q 11 yOz в точках (5,3,-2) и (-5,3,-2);
Решения
573
Q11xOzприхо=О,Zo=-2,у2-6у -16=О,Уl =8,У2 =
= -2, Q 11 xOzвточках(0,8, -2)и (О,-2,-2).
3441.2. z~ = уху-
1
, z~(2,2) = 4; z~ = х У l11Х, z:/2,2)
=
41112, gradz{4,41112}, tg'P = Igradzl = 4V1 +11122 :=:;j
:=:;j 4,87, 'Р :=:;j 78 ,40 :=:;j 78024'.
3448 '
-
2х
,
_
2~
,
_
2z
.их
-
x2+y2+z2' иу - x2+~ +z2, U z - x2+y2+z2,
(gradu)2 = з:Ч:Чz2 , 21112-111(gradu) = 21n2-1114+1n(x2 +
+у2+z2)=lп(х2+у2+z2)=и.
3452.g~ =g;=X~Y'у2 =4х{:}У=2Jx(приу>
> О) , y~ = Тх, l{l,Тx} - касательный вектор к параболе,
111 = J1+~;прих = 1, У = 2gl"adzO,~}, 1{1,1}, 111 =
=
12 Dz - grjlz.\
_
Д
VL:, дl
-
11-з'
2х2
22
2z2
-->
-->
3457. g1"аdu{--;;т,-=&=-ь ,--:т}, MO{-x,-y,-z}, 1.11/01 =
а
с
2
= vx2+y2+z2 = r дu = 1(_2х
2
_
2у- _ 2Z2
)=_2u
,Dl
r
Q.2 V
сг
r.
к ГЛАВЕ 11
3462. Масса dт прямоугольного участка со сторонами
dx и dy равна ,dxdy, кинетическая энергия dE = d~'u2
=
. = ]W2Y~dXdY :::::} Е = ~2 JJD у2,(х,у) dxdy ,
3469. Р(х,у) = х+ху-х2 _ у2, Р; = 1+у-2х = О,
Р;=х-2у =О:::::}х=~,у =~,P(~,1)=~;прих=О
Р(у)=_у2,О~У~2,Р(О,О) =О,Р(О,2) = -4;прих=1
Р(у)=у_у2,О~У~2,Р'(у) =1-2у =Оприу=~,
Р(1,О)=О,P(1,~) =t,Р(1,2)= -2;приу=ОР(х) =Х::'"
-х2,О~Х~1,Р'(х) =1-2х =Оприх=~,Р(4,о) =t;
приу = 2Р(х) = 3х-х2-4, Р'(х) = 3-2х > О :::::}
~l1ax(~,~) = ~, Fш;,,(0,2) = -4, S(D) = 2:::::} -8 ~ JJD(x+
+ху-х _у2)dл ~ ~.
34 76 .F(х,у,z,Л) = X+Y-Z+10+Л(х 2 +у2+ z2_3),
Р;=1+2лх=О,Р; =1+2лу=О,p~ = -1+2лz=О:::::}
Х-у
-
1Z-1
3-3\-±1.при\-1Х-У
-
-
-
2), ,
-
2),'Ш-
,л-
2'
л- 2"
-
=-1,z=1,!ш;"=7,прил=tх=у=1,У=-1,
!шах = 13, V(П) = 4vГз7r :::::} 28v'37r ~ JJJn(x + у - z +
+ 10)dv ~ 52vГз7r ,
574
Решения
г1d г1
34801 - J1dxdy
-
dy
.
-
D (х+у+l)2 - JO х JO (х+у+l)2
1
= fodx(X+~~I)16=fo
1
(X~1-X~2)dx = ln~t~16= ln1·
3484.1= ffDx2ycOS(xy2)dxdy=~ fo" /2xdxf02cos(xy2)d(xy2)=
= ~ fo"/2 xdxsin(xy2)16 = ~ fo,,/2xsin4xdx = kf "/2 xd( -cos4x) =
o
1 41"/21г,,/2 4dx
"
1· 1"/2
"
=-gХСОS х о +gJO cos Х =-16+32 S1114x o =-16'
х2
JC.
х2
3490.4 ~ 1 =>
-2~х~2,~~1-4
=>
-23 v4~
-
3 ~2.1- J9dJ3v4-x2/2f(' )d
х-~у~2V'!-Х-,
-
_2Х-3~/2 Х,Уу.
3497. Точки пересечения х
=
±2, У
=
±V5; при
х2
-3~х~-2и2~х~3выполняется-у'9 - ~
~ У ~ у'9-х2, при -2 ~ х ~ 2 выполняется -у'1+х2 ~
JV9 X2
~
J-2
-
()'
~у~v1+х-=>1=
-3 dx -v9-x2f х, у dy+
J2 J~
f3 JV9-
x2
)
+ -2dx _~f(x, у)dy+ 2dx _,;g::::xrJ(x, у dy.
х2
3500. у = у'2тх -
=>(х-т)2+у2=т2=>Х=r±
±Jr2-у2,приО~х~rх=r-Jr2-у2,О~У~r=>
1 = f; dy f:_y'r 2_y2 f(x, y)dx.
3504.2. у = х
2
,О~Х~1<=>х=,;у,О~У~1,У =
= 3;х,1~х~3<=>х=3-2у,О~у~1=>1=
1
= fo dy f~2Y f(x, y)dx.
3505.4.Леваядуга(х -1)2+у2=1,О~х~1<=>х=
=
1- J1
-
у2,О~У~1;праваядуга(х-з)2+у2=1,
3~х~4<=>х=3+J1-y2,О~У~1;верхняядуга(х
-
2)2+(у-1)2=1,1~х~3,у~2<=>х=2±J2y_у2 =>
г1
у2
J3+y'1-y2 ( ) f2 12+у'2у- ( )
1=Jody l-y'1-y2fХ,уdx+ 1dy 2-у'2у_у2fХ,уdx.
3509.~ =хприх =1,D:1~х~2,~~у~х,
х2
1-J2dfX d-f22d(1),х-f2(3)dx
-
1 хl/x!J!у-
1ХХ-уl/x-
1Х-Х
_
(х' _X2)12 _ ~
-
4
21-4'
х2
3516.D:-R~х~R,-у'Ш- ~У~vГJeг~х2,
х2
ffDJR2 - - y2dxdy = f~Rdx Г!X;~:2 JR2 - х2 - y2dy =
= JR dX(1LJR2_ X2_y2+ R
2
_x
2
arcsin g )'~ =
-R
2
2
vR _х2 _~
3
)IR
-
JR "(R2 х2)d -
'2
"(R2 - 3"
-
2R3,S(D)-
-
-л'2
-
х-
хX-R
-
з1Г
= 1гR2
=>М=~R.
Решения
575
ге1dгех1dгх+у+е
3521 -
--
IЩZ-Х-УI d [
.JoхJo
УJo
(х-е)(х+у+е) Z Zl - Z
-х-у, dZ 1 = dz, zl(e) = е-х-у, Zl(x+y+e) = е]
=
ге-1 d J.e-x-l
dy
1.eId
=
Jo хо
(х-е)(х+у-е) е-х-у nzl Zl
=
1
ге- 1
re
-
x
-
dy
(
)1"
Jo dxJo
(х-е)(х+у-е) zlln Zl - Zl е-х-у
=
re
-
1
re
-
x
-
1
,1"
(
(
)I(
= Jo dxJo
(x- el(;+y-e) е - х
-
у-е
-
х-у nе-х
-у)) = f;-ldxf;-x- In( e -x~7)-ldy [УI = е-х-у, dYl = dy,
Уl(О) = е-х, Уl(е-х-1) = 1] = f;-1 xd':e fl
e
- х (lПУI-1)dУl =
= , f;-1 :':е(у1IПУI-2УIЖ-Х = f;-I :':e«e-x)ln(e-x)
1
-2(е-х)+2) = fo
e
-
(-ln(e-x)+2+ e:'x)dx = «e-x)ln(e
-
х)-(е
-
х)+2х+21п(е-х))IГ
1
=2е-5.
3524.n:О~х~~,О~У~..;х,О~
"
г"/2 Гvxd г"/2-х ( )
~Z~'2-х;1=JodxJo УJo
ycosZ+Хdz =
= fo,,/ 2dx foVx ydysin(z + х)I~/2-х= fo"/ 2dx foVx Y(1 - sinx)dy=
=
fo"/2(1 - sinx)dxv;.lfX = ~ fo"/2(x - xsinx)dx = ~21~/2 +
1г,,/2 ( )_ 71'2
•
1"/2 1 г,,/2
d_
,,2
1
+2Jo xdcosx - 16+xco~xо -2Jo cosxх-16-2'
3530. х2 + у2 = р2, х2 _ у2 = р2 cos2rp, уравнение равно
сильно р4 = a2p2cos2rp <=> р = ay'cos2rp, cos2rp ~ О при
"./
./"
3"./
./ 5"
-'4
"'"
rp "'"
'4 и 4 "'" rp "'" 4' правая петля при
"/" /"" 1 J" /4 d ravcos2<p f(
')d
-'4"'"rp"'" '4; =
-,,/4 rp Jo
pcosrp, pSl11rp Р р.
3535. у = Rx <=> psinrp = Rpcosrp <=> rp = arctgR; у =
х2
R2
=
у'R2 -
<=> х2+у2 =
<=>Р=R;D-сек
тор с центром в начале координат, ~ = tgrp => 1 =
гн
-
гш.сtgRf(t )d
d - R2 rarctgRf(t )d
-
Jo
grp rpJoРР- 2Jo
grp 'р.
3540.х2+у2=1<=>Р=1,х2+у2=9<=>р=3,у =
=
-тз<=>tgrp=тз<=>rp=~,у =хvГз<=>rp=~,arctg~ =
1 f"/3 d J3 d f"/3 d e:..13 <L1"/3 ,,2
= rp=>
=
,,/6rprp1РР=
,,/6rp rp21=42 ,,/6::::::6'
.
2
12
3545. х
=
apcosrp, у
=
bpsinrp, ~+ь- = 1 <=>
г" /2
Г1 2'
2ь2
Р= 1 => 1 = Jo drpJoаЬрcosrpsl11rpabpdp = тх
г"/2 .
г13
2ь2 г"/2 .
2ь2
Х Jo S1112rpdrp JO Р' dp = Т Jo S1112rpdrp =
-
Х
а1б
,,/2
2ь2
Хcos2rplo = Т.
3550. Перейдем к цилиндрическим координатам: х =
R2
pcosrp, у
=
psinrp, х2+у2+Z2 ~
<=> Izl ~
~ JR2- p2, (х2 +у2)2 = R2(X2_ y2) <=> р = Ry'cos2rp,
576
Решения
cos2<p;;::О,х;;::О{:}-~:::;<р:::;~=}1
J1'/4
г R../cos 2",
J..jП2 _ р2 f(
')
=
-1'/4 d<p Jo
pdp _..jП- р2 pCOS<p, рsш<р, Z dz.
3555. Перейдем к сферическим коо динатам: О :::; х :::; 1,
О:::;У:::; ..j1-х2,О:::; z:::; 1-х2-у2{:}О:::;<р:::;~,
о:::;8:::;~,о:::;р:::;1=}1=Jо
1'
/2
d<p J~ p1dpJо
1'
/2
sil18d8 =
_
Г1'/2d г1 3d _ 1 Г1'/2d' _ l'
-
Jo <рJoРР-
'4Jo 'Р-8"
гЬ (х
2
3560• V
-
fJD (,,221' + i:..)
2ц dХdУ -- JO хJO
i:..) d
-
гаd
21'+2ц У=
= j.a(x
2
1> +I~З)dx = аь(а
2
+ !i),
021' 6ц
61'
q
3565. При z = О область D: о:::; х :::; 6, р:::; у :::; 2у'х;
х+z=6{:}z=6-х
=} V = JJD(6- x)dxdy =
=J0
6
dxJ3f(6- x)dy = J0
6
(6 - x)fidx = (4х3/2 - ~x5/2)lg =
= ~8..j6,
3570. Уравнение цилиндра х2+ z2 = т2, Z ;;:: О =} z =
..jr2-х2, D: о:::; х :::; Т, О :::; У :::; а-атх
=}
aaxr
V=J;dxJo- /
..jr2- хЧу = аJi..jr2- х2(1-f.)[х=
1'sillt, dx = rcostdt] = Jо
1'
/ т2 cos2 t(1 - Sillt)dt =
= ат2 J01'/2(cos2t-соs2tSillt)dt = ат2 (~+ gi~2t + со~Зt) 1~/2 =
= aT2(~ - 4).
3575.Приz=ОУ =±х,V=J~dxJ~x(X2-y2)dy=
3
2
34
-
Г dx(x2y _ L)I'"
-
г-x3dx-27
-
Jo
3-х-Jo3
-.
3580.Приz=ОУ =еХ,у=е-Х=}у>О,у2
е2
=
=}у=е,еХ=еприх =1,еХ=е-Хприх=О,область
симметрична относительно Оу =} V = 2 J~ dx Jееж (е2 - y2)dy =
1
з
12
= 2 Jo dx(e2y -J/f-)I~ж = 2JoС:зе3 - е
х
+2 + ~e3X)dx = (je3
x
_
2ех+ 2 + ~e3X)15 = 2(е2 _ 2e~+l).
3585. Найдем линию пересечения конической поверхности
4у2=х(2-z) {х=2-z
и плоскости х+z = 2:
{:}
2
2' {:}
{x+z=2
4у=х
Z=2-X
х ,Проекция этой линии на плоскость z = О У =
{У=±
2
=
±~, проекция плоскости х + z = 2 - прямая х
=
2,
проекция поверхности 4у2 = х(2 - z) - парабола у2 = ~,
Решения
577
таким образом объем тела разбивается на два: V1 , ограни
ченный сверху плоскостью z = 2 - х, снизу областью D 1 :
О :::; х :::; 2, -~ :::; у :::; ~ и V2 , ограниченный сверху поверхно
стьюz = 2- ~,снизуобластьюD2: о:::; х :::; 2, ~ :::; lyl:::;
:::; Л, V1 = 2J:dxJo
X
/2 (2-х)dу = 2J02dx(2-х)УI~/2
=
3
г2
г2(
2)
(2)124
J#(
X
=Jo2х-хdx=х
-"3о=3;V2=2Jodxх/2 2
2
-4~)dy = 2J0 (2y- з~УЗ)I~ = J02(4'{2fi-2x+ "'з
Э
)dх =
-(~ М2х3/2_х2+ХЗ)12_~, v-v,+1f- 12
-
9 У.!.
9О-9'
,-
1
2-9
3591.х = pcos<p, у =psin<p, х2+у2+z2 = а2{:} z2 =а2_
_р2, х2 +у2 = ах {:} р = acos<p, -~:::; <p:::;~; D: р:::; acos<p;
V = 2JJD Ja2 _p2da = 4J01'/2d<РJ;'СОS"'Jа2_р2рdр
=
=
4Jо
1'
/2
d<p ( -! J(a2 - р2)З) I~CO$'I'
=
ja3 J;/2(1 _
- siIl3 <p)d<p = ja3(~ - ~),
3596.х = pcos<p, у = PSill<p, х2+у2 = R2{:}Р
R,х;;::О,У;;::О=}О:::;<р:::;~,z=harctg;{:}z
Jо1'/
2
= h<p;V=
d<p Jo
R
h<ppdp = h ~2 Jо1'/2 <pd<p = 1'2i'вH2. ,
2
2
Ь
2
3600.у2 =~x{:}х=~,у =ах{:}х=~,*"
-
!ш
-
О
-
Ь'S- rbdгау/Ьd_ГЬ(!Ш
-
Ь{:}у- илиу
-,
-
Jo УJay2/b2 х - Jo ь
a
y2 )d (i:.. уЗ) Ib аЬ
-
V У=а2Ь-WО="6'
3604. (х2 + у2)2 = 2а2(х2 _ у2) {:} Р = a..j2cos2<p,
l'
/'
/' l'
31' /'
/'51'И
б
u
-4 :::::: <р :::::: 4' 4 :::::: <р :::::: 4' з соо ражении сим
метрии S = 4JО
1'
/4
d<p Jо
а
V2cOs2ч' pdp = 4а2 Jо1'/
4
cos2<pd<p =
= 2a2sin2<P1~/4 = 2а2 .
3610V-
r1d J2x d Jx2+2y2 d -
r1d J2X 2d
.
-
JoхХУх2+у2Z-Joххуу
=
гl lx3dx -
.l
Jo3
-
12'
3615. х = pcos<p, у = psin<p; сфера р2 +Z2 = 4, параболо
идр2=3z, линия пересечения z2+3z- 4 = О =} z = 1
(z;;::О),р2=3,еепроекциянаХОУ:р =)3;V1=
г27Г г..;3 f..j4- p2
г21' г..;3 (~ З)
=Jo d<PJo рdр р2/з dZ=JO d<PJo у4- р2р _ у dp=
-
г21'd (IV(4 2)3 1 4)1..;3 - 19 . V.
423
-
Jo<р-3
-р -12P о -"67Г, шара=з7Г' =
-
32~lТ-V.
11, _ 15~
-
"3'" V2 - шара
-
1- 2"'"
19 t;чщ ~НI 1" 11
578
Решек ия
3620. х = pcos<psin(), у = psin <psin () , z = pcos(), х
2
+
+y2+ Z2
р2, (x2 +y2+ z 2)2
axyz {::} р
= ~asin2<psin2()cos(); xyz ;;:: О в 4 из 8 октантов, из сообра
жений симметрии объемы в каждом из октантов равны, следо
(1f/2d ( 1f / 2d() ra/4 si n2<p sin28cos8 2 . ()d
вательно V = 4 JO
<р Jo
Jo
РS111 Р=
_
4 ( 1f /2 d г п / 2 . ()d()E...\a/4 Si I12<psiI128cosll_
-
Jo
<рJo sш
3О
= :; J; /2 sin3 2<pd<p J;"/2 sin3 2()sin4 () d() =
1f
1f
= а6 J0 /2 sin3 2<pd<p J0 /2 Si117 ()COS3 ()d() =
1f
1f
= а; J0 /2 Si113 2<pd<p J0 /2 (sin7 () - Si119 ()) d(sil1 ()) =
Згп/2 3
.
8"
.
10п п/2
Згп/23
= ~ JO sin 2<pd<p( SI~" - SI~O ")\0 = ;40 JO sin 2<pd<p =
аЗ гп/2(
2 )d(
)аЗ
= 480JO 1-cos2<p -cos2<p =360'
3624. (х2 + у2)2 + Z4 = a3z [х = pcos<psil1О, У
=
= psin <psil1 (), z = pcos()] {::} p4(si114 0+cOS
4
()=a
3pcos() {::}
3(1 l'22())_ 3 ()
Р - 2S111
-
аcos{::}р-а
-
r21fd ( 1f / 2d() ratf2cos8/(1+cos 228)
V-Jo <рJo
Jo
г2пd гп/2 . ()1 3 2cos8 dO
= Jo <рJo sш за 1+cos228 =
З 2cos8 0./()./ 1f
2-siIl2211'
::::,
::::, 2'
2.()d
Рsш р
аЗ г2пd гп/2 sin28 d()[ 2() t]
= '3 JO <р JO 1+cos2211
COS==
= аЗ г2пd J1 dt = аЗ r21f!!.d
= п2а3
6JO <р-1l+t2
6JO2<р
6'
3630.у2+z2 = х2 {::} Z = ±Jx2- у2; рассмотрим S/2
площадь верхней части конуса; z~ = J х ,Zy' = ~;
х2_у2
ух2_у2
S = 2JJDJ1+x2~y2+x1'~y2dxdY = 2JJDJ:l~2dXdY =
[х = pcos<p, у
=
psin<p] = 8J2J;/4 7cos~: Jo
R
pdp
=
4J2R2 Г/ 4 cos<p~<p [t
sin<p , dt = cos<pd<p]
о Jl-2s1l12 <р
= 4J2R2 г./2/2 ~ = 4R2arcsil1tJ2\./2/2 = 27rR2
Jo
v' 1-2t-
О·
х2
3635. z
=
Jа2-
у2
=
_
х,z'=
_
у
Ja2-x2_y2 У
а2_х2_
2JJ 1+ х2+у2 dxdy
S
D
а2_х:Г_у2
[х = pcos<p, у
=
psil1<p]
21f
=
2аJ0 d~(- J а\- р2)\f1 ,
а2
= 47ra(а-
R2.
(верхняя часть), z~
,D: круг х2 + у2 :::;;
у2
=
2aJJ
dxdy
D~2
уа--х--у
г2п rR~
2аJo d<pJo
а
2
-р
2
=
R2,
=
2aJ:1«a-Jа2 -R2)d<р =
Решекия
579
3641.Линия пересечения z2+2az- За2 = О ~ z = а
(z ;;:: О), х2+у2 = 2а2, D: х2+у2 :::;; 2t,t2, S = S1+S2,S1
2
2
площадь поверхности параболоида z = х :;;'11 ; z~ = ~, z~ = ~,
S1 = JJDJ1+~+;;dxdy = [х = pcos<p , у = psil1<p] =
21f
J0 d<p J;./2 уа:+
р2
pdp = 21аJ0
21f d<P~J(a2 + р2)з\g./2
=
3~ J:1< (ЗVЗа3 - a
3)d<p = 27ra2~; S2 - площадь по
х2
верхности сферы z = Jза2 -
-
у2,z~= -
хо,
z~
'30112 2' S2
у а--х -у
JJD Jза:!!2 _У2 dxdy [х
мз г21< d га./2 pdp
aY<>JO <PJo
2
~32
1f
у"а--р
= аVЗJ: (аVЗ - a)d<p =
= 27rа2(З -~) = 1з67rа2.
3645. Пусть Ох совпадает с касательной, Оу проходит че
рез центр круга; уравнение окружности х2 + (у - R)2 = R 2 {::}
х2+у2-2Ry = О {::} Р = 2sin<p, О :::;; <р :::;; 71',
Мх = Пн. ydxdy[x
pcos<p, у
psil1<p]
=
Jo1< d<p J02 sin<p p2 sil1<pdp = Jo'" sin<pd<Pe;\~RSin<p
= ~R3 Jo"'si114<pd<p = 1;R3 J;/2 sin4
<pd<p = 1з6R3. ~::~ = 1ГR3.
3650. Пусть Ох совпадает с биссектрисой угла , Оу прохо
дит чевез центр круга; из соображений симметрии ТJ = О;
(=9,Му=JJDxdxdy
_
Jo./2d rR 2
d
-
-0./2 <рJo Р cos<p Р
R20.
4Rsing
Sсект=-2-~(=з7'
3655.
1flх = JJDy2dxdy [х =
аЬ3 J: sin2 <pd<p J01p3dp =
,..--_----о----::-"-3а2 - х
2
-1I
=
JJD 1 + зJ~~f~у2 dxdy =
=
pcos<p, у
=
psil1<p]
-
_
МЗг2пd /з 2 2\а./2
-
aY<>JO <Ру а -р о
27rа2(З-VЗ); S = S1+S2
[х.= pcos<p, у = psil1<p] =
R3 Jo./ 2
d_ 2R3.о.
3 -0./2cos<p <р - з S1112,
apcos<p, у =bpsil1<p, J =аЬр] =
а~З J02". sin2 <pd<p =
=
JJDx2dxdy [х = apcos<p, у = bpsin<p, J
а3Ь г2п
-
cos2<pd<p г1 p3dp - аЗЬ г
2
". cos2 <pd<p
-
JO
2J9
-
4JO
-
1+1-".аЬ(а+Ь)
-
х
у-
4
3659. Уравнение параболы у = kx, при х =
2
",(~ЬЗ ; lу =
= аЬр]
=
1fаЗЬ. 1
4'
~у=h~
h=k
a
,
у = 4~f2, lх = JJDy2dxdy = 1~12 JJDx4dxdy =
32h2
4
га/2 4d rh
d _ 32h2 га/2 4 (h 4hx2)dx
а:гJO х хJ4hx2/a2 у - а:гJO х - (i2
=
32hЗ (х
5
•_ 4х
7
)\а/2
hЗ (а
5
_
а7)
2.. h3
а:г 5
'fO.'J: о
.ао 5
7
35а ,
580
Решения
2
га/2 2 f't
га/2 2(
lу = f1DX dxdy = 2JO xdx 4/tx2/a2dy = 2JO х h
_
4h.x
2
)dx_2h("3_4X
5
)la/2 - a3h(..L
_ ..!..) =
..!..a3 h 1
--ar2 -2
3
~О-
12 20
30
'
= al'(~ +!L)
57
6'
х2
3665
1/2
Z2
/
~,2 у2 111
· (i2"+bТ+~ = 1 => z = cV1-~-ьт;
Z
f'rr
f1
г1- х2/а2_у2/Ь2
=
JJn zdxdy dz
=
Dd.xdy Jo
zdz [х
=
apcosep, у
bpsin ep, J
аЬр] =
г27Г г1
гсV1-р2
аЬ,2 г27Г г1( 2
= Jo depJo abpdpJO
zdz=+JO depJo1-Р)pdp=
_
аьс2 г27Гd (Е:_L)11~аьс
2
г27Г d = 7Гаьс
2
-
2JOер2
4О-
1:1 Jo ер
4'
3670. Из соображений симметрии ~ = 'ГJ = О , Линия
пересечения z2 + 2az - 3а2 = О
=>z=а,D:х2+
+у2=2а2{::}р=aV2;V
Jffndxdydz
VЗа2-х2_у2
,
= ffDdхdуJ( хЧу2)/2а2 dz [х = pcosep, у = рsшер, J = р] =
-
г27Гл,~ f".J2 d J.Vза2_р2d _ г27Гd гаЛ()3 2_ 2
-If...)d _
-
Jo UЛf'Jo Р Р р2/2а
z-Jo ерJo
арр2ар
2rr
2rr
(а3 JЗ
= J0 dep( -~ )(за2 - р2)3_fa) I~Л=J0
-
~ - ~)d'P=
_
3 6VЗ-5 ,
_
J.1"f
_ J.1
г v3a
2
_х2 _у2
_
-1Та -з-' /l.l"у - Jn zdxdydz -
Ddxdy J(x 2+y2)/2a2 zdz
г27Г ra.J2 J.Vза2_р2
_
1г27ГгаЛ(2 2
=
Jo depJo pdp р2/2а zdz -
2Jo depJo
3а-р
- ;[fr)pdp= ~J~rrdep (~a2р2- е; -2f:2)10Л= ~J~rr(3а4- а4_
_
,,4 )dm _
/'_
МХУ _
5 а - 5а6VЗ+5
21Та4•
4 .,..
-
3
''>-
v - 6JЗ-5
-
83'
3674. Из соображений симметрии ~ = ~ = О; линия пере
сечениях2+у2=2D'х2+у2:(2z= х+у2 Z' = Х z' =
,
.
.
-. ..:::: :,
2'х
'У
= у , s = ffD)1+x2 +y2dXdy = J~7ГdерJ~Л)1+р2рdр =
2rr
~ J0 dep )(1 + р2)з1Q"2
! JQ2rr (3vГз - l)dep
=
2;(3vГз- 1); Мху = ~ffD)1+х2+у2(х2 +y2)dxdy
~J~rrdepJоЛ)l+p2p3dp [t = 1+р2, 'dt = 2pdp, t1 =
= 1 , t2 = 3] = !J~ТГdерJ13vГt(t-1)dt = tJ02rrdep(~t5/2
_
'lt3/ 2)13 = ~(ш..J _'l_ 2 "3+ 'l) = 12.,/З+21Т, /' _
МХУ =
3
1
2
5
5
у.) 3
15''>-
s
_
55+9VЗ
-
----узо-.
3679. Уравнения поверхностей х2 + у2 + z2 = т2, х2 + у2 +
+ z2 = R 2; lz = , Jffn(x2+y2)dxdydz [х = pcosepsin(), у =
2rr
rr
= psinepsin() , z = pcos()J = , J0 dep Jo d() JrRр2 sin2 ()p2 sin()dp =
г27Г г7Г,3() J,R4
г27Г г7Г•3R5
_
5
=
,JodepJosшd()rрdp=
, Jo dep Jo sш ()---Г-- d() =
Решения
581
R5
R5
5 г27Г
г7Г
2
)
5 г27Г
30
=,-Г- Jo dep Jo (1- cos ()d( -cos() =,-Г- Jo d'P(Co;
-
cos()lo= 1851Т,(R5-т5);, = ~,V=~1Т(RЗ -т3)=>lz=
_
2 MR5-r5
-
5"
R3_r3'
3683. Уравнение образующей конуса в плоскости xOz: z =
HkR_~x), отсюда уравнение боковой поверхности усеченно
H(R-~)
Н
го конуса: z =
z'
=
-
х
z'=
R-r
'х
(R-r)Vх2 +у2' у
H2
RL
-
Н, ,ds= /1+(R)2dxdy=
dxdy, где
(R-r) х 2 +у2
-Т
-Т
L
Н2+(R- т)2
-
образующая, D: r ~ р ~ R;
'/z
=
, ffD( X2 + y2)ds
j{~rJ~rrdepJrRp3dp =
4
')'L(R4
-r ) г27Гd _ тг')'L{R4-r4),
_
м
_
4(R-r) Jo ер -
2(R-r)"
-
rr(R+r)L => lz
= 1\f(R4
_, ,4) = /1.1 R2+r2
2(Ю-r2 )
2'
3688.0z - ось цилиндра; ,(х, у, z) = х2 +у2 + Z2,
111 = Jffn(x2 + у2 + z2 )dxdydz[x = pcosep, у = psinepJ
Jff~(p2 + z2) pdpdepdz = J~rr dep J~R pdp Jo
H
(р2 + z2)dz =
2Н3
г7гdepfcR(рЗН+рНЗ)dp = fc 7г(R
4
Н+R )dep
JO
2о
2
З
О4
6
= 1тR2Н(~ +~),
х2
3693.х2+у2+z2 = R2=> Z=
.JR2 -
у2(z~О),
X2+y2+z2 = 2Rz {::} x2+y2+(R_z)2 = R2 =>
х2
Z=R-)R2-
у2 (z ~ R), шары пересекают
сяприz =
~, линия пересечения х2 + у2
3~2,
,(x,y,z) =
z, Мху
=
Jffnz2dxdydz [х
pcosep,
г27Г RVЗ/2 JVR2_ p2 2
У = psinepJ
Jo dep Jo
pdp
~z dz
R-y R2_p2
~J0
2rr
dep JоRVЗ/
2
(J(R2-р2)З - (R-)ю -р2)З)pdp [t =
R2
R2
=
-
р2,dt=
-2pdp, t1
=
,
t2
=
R2/4J = iJ~7Гdep J;2/4(2tЗ/2 - R3 + 3R2t1/ 2 _ 3Rt)dt
- ! r2rrdll1 (!t5/2_R3t+2R2t3/2_'lRt2)IR2 - Е!..1ТR5
-
6Jo
.,.. 5
2
R2/4 - 480
'
3697. Рассмотрим элемент объема в цилиндрических
координатах [р,р + dpJ х [ер, ер + depJ х [(), () + d()J, его объ
ем dV = pdpdepd(), dm = лz 2 рdрdерd(), расстояние до
точечной массы r = ) р2+(2R- z)2, dF = kтт1т =
\ z2pdpd<edO
ОdF
k тл p2+(2R-z)2' составляющая силы вдоль оси
z
z=
=
dFcoso: , где о:
-
угол между осью Oz и линией,
582
Решенuя
соединяющей ЭJlемент объема и точечную массу, cosa
2R-z
=? dF - kmл z2(2R-z)рdрd<рd() F
У p2+(2R-z)2
Z
-
(р2+(2R_z)2)З/2 ,
=
JJJndFzdxdydz [х
=
pcos<p, у
psin<p) =
\ r27rd JR 2(2R )d г~
pdp
[
kmлJo <р -RZ
-
Z ZJo
р2+(2R_z)2)З/2 t
p2+(2R-z)2, dt = 2pdp, tl = (2R-z)2, t2 = 5R2
г 2,.
1
JR 2(
) r5R2_4Rz dt
-
4Rz)
=
2kmлJo d<p -RZ 2R- z dzJ(2R-z)2 (i7'i
\г2,. JR 2( R )d 115R2_4Rz
k\
=
k
2 -z z,fi(2R-z)2
mлх
-mЛJо d<p_Rz
r27rd JR (2 z2(2R-Z»)d [ - у R2 4R
XJO <р -п z -v'5Ю-4Rz
zи-5
-
z,z
22
-
5R _u
dz-
-
udu и
-
3Rи-R)
-~,
-
2R'
1-
,
2-
_
k лг27rd (zз 1R _JЗR(5R2_u2)2(2R_5R2-u'1)UdU)
-
mJo<рз-RR16Юu
4R
2п
=
kmлJ027r
d<p е~з -12~Л" J~R(5R2 - u2)2(3RЗ + u 2)d1L) =
=kmл г2,. dlfJ(2RЗ _ 1 JЗR(75R6_5R4u2_7R2u4+u6)dU) =
Joтз 128R4R
21Гkmл (2RЗ
_
1 (75R6u _ QR4uЗ _lR2u5+ 1u7)IЗR)
З
128R4
З
5
7
R
R 1ГkmлRЗ' М - ff'r лz 2 dхdуdz [х
210
'
-
Jn
г2,.
')
JR2г~d
=
pcos<p, у =
рsш<р = лJо d<p _Rz dzJo
РР=
З
_
~r27rd JR 2(R2_ 2)d _ ~г27Гd (R
2
z_Z5)IR _
-
2JO <р _Rz
z
Z-
2JO<рз
5-п
= ..!.1ГЛR5 ->... F = 17kMm
15
~
56~'
3700.1 Пусть а - основание треУГОJlьника, !з
-
ПJlОС
кость, совпадающая с поверхностью жидкости, ось Oz сов
падает с высотой треугольника и напраВJlена вниз, А
точка на высоте треУГОJlьника с аППJlикатой z; рассмотрим
ПОJlОСКУ [z,z + dz) длины [, из соображений подобия 1; =
=
hh z =? l = a(,,;z), ПJlощадь ПОJlОСКИ dS = a(h~Z)dZ, rJlY'
бина погружения ПОJlОСКИ 'zsina, СИJlа даВJlения на ПОJlОСКУ
dF = pgzsinadS = apgz(h~z)dz sina, dM{3 = dFzsina
=
apgZ2(hhz)dZsin2a, М{3
=
арg~п'1аJоh(hz2_zЗ)dz =
арghЗ siп
2
а, F _ apgsina ( h(hz-z2)dz _ apgh'1
sina 'п
-
12
'
-
h
Jo
-
6
'
"
М" h'
=F
= "2 sша,
3705 г+оо г+ оо dxdy
_
[7r/2d г+оо pdp
• Jo Jo (х2+у2+а2)2 - Jo
<рJo (р2+а2)2
_
1 Г7Г/2d
1 1+00_ 1Г7Г/2d_7r
-
-2 Jo
<ррЧа2 О - 2j17Jo
<р - 4(i2"
dx Jx+
oo
е-У'1 dy
Jo+
oo
3710. Jo+
oo
=
dyJ~е-
у2
dx
_
г+оо _y2 __1 _у'1 +0о _ 1
-
Joуеdу-2е1о-2'
Решенuя
583
22
г27Г d""
3715 1
JJ coS(x +y )dxdy =
гп COSp2 dp'
•
D х2+у2
JoтJoр
,
2
Rd
lim COsp2 = 1 =? ~ '" 1, Jo !!:..Р расходится, значит 1 рас
р-О
р
р
р
ходится.
3720. ff'r
dxdydz
[х = pcos<psinO, у =
Jn у'(х2+у2+z2)ЗlП Vx2+y2+z2
2.
psin<psinO, z
=
pcosO) = JJJn Р~I~':'17зdрd<рdО =
;!г
2,.
=
d{nГ"dOГп~[t = lnp dt = ~)
=
2Jo тJo Jo plnp
,
р
= ;!г
2,.
d{n Г"dОJ1ПR!!! = ;! г
27Г
A, ~ Г" dOln Itl11nR
-
расходится
2Jo тJo
-00 t
2 J9 '7JO
-00
.
3725. V = JJR2х2у2е-(Х +у )dxdy =
=
J~7Гd<РJо+ООр4соs2<рsin2<ре-р'1рdр [t = р2, dt = 2pdp) =
l J~7r sin
2
2<pd<p Jo+
oo
t 2e-
t
dt;1=Jo+
oo
t2e-tdt
=
-Jо+ОО t2 d(е- t ) = -t2е-tltоо+2Jо+ООtе-tdt
=
= -2Jо+
ОО
td(е- t ) = -2tе-tltоо+2Jо+оое-tdt = -2e- t ltoo
=
27r
= 2; V = lJ0 sin22<pd<p.2 = lJ0
2
7Г(1-соs4<р)d<р =~.
3728. Пусть начаJlО координат совпадает с вершиной ко
нуса, ось - высота; в сферических координатах уравнение
боковой поверхности конуса О = arctg ~, уравнение ос
нования pcosO = Н; рассмотрим ЭJlемент объема [р,р +
+dp) Х [<p,<p+d<p) Х [0,0 + dO); dV = p2 sinOdpd<pd(), dm =
,p2 sin()dpd<pd(), dF
k!!!f:!p
km,sin()dpd<pd(),
.
р
.
состаВJlяющая СИJlЫ ВДОJlЬ ОСИ Oz dFz = dFcos ()
= km,sin()cos()dpd<pd(), F = JJJn dFz dxdydz =
г27Гd rarctgR/H. lJ
lJdlJ rH1cos()d
= kт,Jo <рJo
SШuСОSu и Jo
р=
= km, J~тr ~<P JoarctgRIH sin()cos()d() c:!so =
=
km,H Jo 7r d<pcos()l~rctgRI н = 2nk,Hm(1 - cosarctg 1j)
= 2nk,Hm(1- v'l+k2H2) = 2nk,Hm(1- !f:), где L - обра
зующая конуса .
3733. Р(а) = J~ a2d:b2 = ~arctg~ =? Р'(а) = - J~ (J~:~)2 =
_
1
tь11(Ь)_1(1tЬ
Ь) С()_
-
-~arc g-+--:--;т -~ - -- -arc g-+~b =? а
а
аа1+~а
аа
аа+
ГЬ dx
1а(1 Ь Ь)С'()ГЬ-4adx
= JO (а2+х2)2 = 2j17 а arctgа+ а2+Ь2' а = Jo (а2+х2)З
11
Ь
Ь
)'
_
З
Ь
Ь
2j17 (аагсtgа+аЧЬ2
-
-2Qiarctg a - 2а З (аЧЬ2 )
2а'1 ь+ьЗ
_
Ь(з
ь 5а'1 +зь'1 )
гЬ dx
_
-
аЗ(а2+Ь2)2 - -2Qi abarctga+ (аЧЬ2)2 =? JO I .. . .. "
_
ь(з
ь 5а'1+зь'1 )
-
8Q4 аЬ arctg a + (а2+Ь2)2 .
584
Решен.uя
г+оо х2е-
аж2
г+оо 1_е-
аж2
3738. Р(а) =
dx :::} Р'(а) =
dx=
Jo
хеж2
Jo~
г+оо хе-(а+1)х 2 dx =
_
1 e-(а+1)х21+ОО _
_1
__
JO
2(а+1)
О
-
2(а+l)
1·
1
-(а+l)х2
1
1ОР()
-
X..!~OO 2(а+l) е
= 2(а+1)'
т.к.а+ > :::} а =
= f2(~~1)=~ln(a+1)+C,приа =ОР(а) =О:::}С =о.
3743. Р(а) = г" In(l+acosx) dx :::} Р'(а) = г"
1
[t=
Jo
cosx
Jo l+acosx
=
tg~,cosx=~~:~,dx=1~:"tl=О,t2=+00]=
_
г+ оо
2dt
_
_2_ г+оо dt
2
Х
-
Jo l+tЧа-аt 2
-
l-а Jo t2+m
(l-а)J ~~:
х arctg tЯ;: It
oo
= v'1-:'a2; Р(а) = f v'I:'a2da = 7Гаrсsiпа +С,
приа=ОР(а) =О:::}С=о.
3748 Р(а Ь с)
г+оо е-ах cosbx-coscx dx аР
•
"
Jo
.f' 7JЬ
1=
-
fo+
oo
e-axsin bxdx
i Jo 00 e-axd(cosbx)
1e-axcosbxl+00 + ~ г+ оо
e-axcosbxdx
-
_1+
=
ь
о
ьJo
-
ь
+~ Jo+
oo
e-axd(sin bx)
-1; + ~e-axsinbxltoo +
а2г+оо-ах.Ьdx
1
а21
1
ь
+ b'lJo е
sшх =-ь-b'l:::}
=
-
а2+Ь2 :::}
Р(а,Ь,с) = - J a2~b2db+cp(a,c) = -~ ln(a2+Ь2)+cp(a,c), при
Ь = сР(а,Ь,с) = О :::} ср(а,с) = ~lп(а2 + с2), Р(а,Ь, с)
1 a~+c~
= 21па+Ь.
г+оо
3753.1
2
e-z2xdz =
2 г+ оо e-(z.,Гх)2 d(z Гх)
~JO
7ПХJо
У""
-
1:1i.
1.
1 _ г+оо cosxdx
2х
-
7ПХ 2
7х'
-
JO -VX
~
г+оо
г+оо
г+оо
d
-
2
2 r+ood
-
2
d
ХJO cosx хJo е ZXdz
fi Jo
zJo е Zxcosx х;
г+оо
2
г+оо
2
•
11=Joe-
ZXcosxdx
=
Jo e-Z Хd(sшх)dх =
=e-
z2x sinxltoo +z2 J;+oo e-
z2x
sinxdx = _z2 J;+~-z2Хd(соsх) =
2
о+
2
О
= _z2e -z xcosxltoo_z4fo ooe- z Xcos x dx = z2_ z
411 :::} 11 =
z21
2 г+ооZdz [
1dt
dzt
= l+z4,
=~Jol+z4.z=Т'
= -~, 1=+00,
г+оо
t=О]=2
dt = (2047) -1 -(_1_1n
x2 +x-l2+1 +
2
fiJo l+t4
.,;:; 4-12 x2-x -l2+1
+
~arctg(xJ2 + 1) + ~arctg(xJ2 - 1))ltoo
= * (0 +~(I-~)+2Д(I+~) ) =~.
3756. /(х)
е-х" , /(+00)
О,
1·,
/(0) v<i =
г+оо е-аж" _е-ЬЖ" dx = г+оо f(x yta)-f(x ~)dx
Jo
х
Jo
х
-1п О/Ь
= Inb-Ina
n
Решен.uя
585
.
+00 .
3761 . f(x)
=
Sl~X, JA 7dx сходится при лю-
бом А > О, Т. К. мажорируется сходящимся интегралом
J+OO dx :::} г+оо bsinax-asinbxdx = аЬ г+ оо щ;.т-=tif: dх
А х2"
JO
х'
JO
х
=
аЬ J;+oo f(b)- f(a) dx = abf(O) lп!2. = аЫl1!2. lim sinx
=
О
х
а
а Х-->О х
= аЬОпЬ -1па).
3767. у(х) = J~l (z2 -l)''-lехZ dz, у' = J~1 (Z2 _1)"-1 zexzdz,
у" = f~1(z2_1)"-lz2еХzdz; ху"+2nу'-ху
= J~1(z2-
-
1)11-1 е.сz(ХZ2 + 2nz - x)dz
хf~1(Z2 - 1)"eXZdz +
+ 2n J~l (Z2 - l)"-lez
zdz = хJ~1(z2 - l)"eXZdz+f~1(z2
-
1)"-l e.czd((z2 - 1)")
=
XJ~1(Z2 - l)"eXZ dz + eXZ (z2_
-1)"1~l - хJ~l (z2 -l)"еХZdz = о.
к ГЛАВЕ 13
3772. Координаты точек пересечения (0,0) и (2р,2р),
У2=2рх{::}х=1Lх'=1lds= J1+5dy
2р'
у
р'
р
,
JLyds
=
J~PyJ1+~dY
!;J0
2P
yJp2+ y2dy
= 21рf~PJр2+y2d(y2+р2) =з1рJ(р2+у2)3I~P =р25~-l .
3778. В полярных координатах L: (х2 + у2)2 = а2(х2 _
-
у2) {::} Р = a~, р' -аJ~~;f<p, ds = Jр2+р,2
= ~ J х Ix2_ y2ds = J "/4 p2cosrp.jCOS2{n~
v'COS2<p' L У
- ,,/4
т V'COS'I.P
"/4 2
3J"/4
d
=
а J-"/4 р cosrpdrp
=
а -,,/4 cos2rpcosrp rp
=
= ~З J':~;4(соsЗrp+соsrp)drp = а2
3
(4+ J2) = ~a3.j2.
3782. x~
=
cost - tsint, у;
=
sint + tcost, z; = 1,
ds=
J(cost - tsint)2 + (sint + tcost)2 + 1dt =
.jt2 + 2dt,
fL(2z-хJх2 +у2)ds = J~"t.jt2+2dt = ~J~" .jt2 +2d(t2 +
+2) = !J(t2 +2)316"" = ~((27Г2+1)3/2_ 1 ).
r---
,;..---
3786. М = JLyds = Jo"/2 bsintJa2sin2t+b2cos2tdt =
Jo" /2 bSil1 tJа2 + (Ь2 - а2) cos2t dt (е = a2~b2)
аЬJ;/2siпt.j1-е2соs2tdt [и =
cost, du
- sintdt, иl
=
1, и2
=
О] = abJo
1
.j1 -е2u2 du =
=
аье JоlJ~-u2du = аье ( ~J~-u2+~аrсsiпеu) IА =
= ~b(.j 1 -€2+~a r csine) = (J1=€2 = ~) = ~+~~arcsine.
586
Решенuя
3791. ds = Jа2 sin2t + а2 cos2t + ~ dt = Y4"'~-;H2 dt,
lx = JL (у2 + z2) ds = J~'" (а2 sin2t + ~:t22) /4".~a2±/>2 dt = .
= . v'4".2 a2±h2 г 2". (а2 l-cos2t + h2t2) dt =
2".
Jo
2
т,;т
_
/4".2 а2±/,2 (а2! _a28in2t + h2t3 ) 12". = V47Г2а2+h2 (а
2
+ /1.2).
-
2".
2
4.
12".2 О
2
3'
1 = f (х2+ Z2)ds = г2".(а2cos2t+ /.2t2)v'4".2а2±/,2dt =
у
L
Jo
т,;т
2".
=
V47Г2а2+h2 "22 +/~2) = lx; lz
JL(x 2 + y2)ds
= J~'" а2 4". 2~ h dt = а2V47Г2а2+h2.
37~5. В полярных координатах L: р = R, ds =
R2(sin2
<p+cos2<p)d<p = Rd<p, JL zds = JL~
=
= 4J;/2 R
2
Co;'k;;iJlPRd<p = R 2 Jo"./2 sin2<pd<p = R 2.
3800. Пусть ось Ох совпадает с проводником, ось Оу
проходит через точечную массу, тогда ds = dx, r
...;2+2 .
-
аdF-I
adx
=
ха, sша - х2±а2 '
-
m (х2±а2 )3/2' силы, соот
ветствующие всем элементам dx параллельны между собой,
отсюда F = 2т! Jo±OO )x2~:;)312 [х = atgt, dx = aco~~t, tl =
=О
.
2t.
=!!:] = 2т/
а Г". 2costdt = 2т/
.
,
2
JO
а
3805. Пусть А
-
точка на контуре, х = Rcost, У =
= Rsint,ds = Jdx2+dy2=Rdt, r = VR2+h2,sina= 1,
Т.к. ток направлен по касательной перпендикулярно прямой
АР; из соображений симметрии результирующая сила направ
лена вдоль оси Oz, поэтому F = JL dFcos{3, где {3 - угол
между АР Оz ,
-
-
.
F--
т/ ds
и
cos {3
v'п2±/,2'
R
fL ---y:r- COS {3
-
г2". m/R2dt _ 2".т/п
2
.OF_2lR2h2_R2-О
-
Jo (R2±/,2)З / 2 - (R2±h2)3/2' дп - 7Гт (п2±/,2)5/2
при h =~.
3810. Уравнение отрезка у
=
2х, О :::;; х :::;; 27Г =?
dy = 2dx, J(~~ ' o~"') -xcosydx + ysinxdy = Jo'" (-xcos2x +
+ 4xsinx)dx
=
J;'" xd(- sin2x - 4cosx)
=
(_xSin2X_
".
'20
2
2
2
- 4xcosx)lo + Jo (81112 х +4cosx)dx = 47Г- co~ хlO +4sinxlo =
= 47Г.
3815 J 1J
2
dx-x
2d"
-
Г". _аЗСО8Зt_a38in3 tdt
•
L
х2±у2
-
Jo
а2
=
=
-аJo'" (соsЗ t + sin
3
t)dt = а Jo'" (1- cos2t)d(cost) - а Jo'" (1
- sin2t)d(sint) = a(cost- со~Зt
-sint+ Si';3 t ) 10 = -~a.
. Реше нuя
587
3821. Представим кривую параметрически, выразив х и у
R2
2
х2
черезz: Rx+z2 =
=?Х=R-~,у2 =Rx-
=
= Rz- z2_(R-~)2 =z2(R~;z2) =?У=±z~,dy=
=
± пН;;]~:2 таким образом, кривая состоит из двух сим
метричных относительно плоскости у = О ветвей L 1 (у > О) и
L 2(y<0) противоположной ориентации; JL,y2dx=- JL 2y2dx=?
JLy2dx= О;JL,x
2dz= - JL2хЧz=>JLx2dz=О;JL,z
2dy =
=
JL2 z
2 dy, т . к. меняется не только ориентация кривой, но
R
изнакdy => JLz2dy = 2JL,z
2dy = 2 Jo ~~~2-=-z:2 dz [z
= Rsint] = 2R3 Jо
7Г
/2 (siп2 t-2siп4 t)dt = _7Г:,
з
.
3825.1. а) JL(xy+x+y)dx+(xy+x-у)dу
=
[х=
acost, у
=
bsint] =.
J~7Г((аЬсоstsiпt+асоst+
+ bsint)( -asint) + (abcostsint + acost - bsint)bcost)dt
= J;r-27Г(аЬ2соs2tSiпt-а2ЬSiп2tсоst+аЬСОS2t- a2tb2 sin2t)dt =
_
-аь2 COS3 t _ a2bsin3 t + ab8in2t + а
2
±ь2
cos2t) 127Г - О
-
3
3
24
0-'
б)*=х+1,~
=
у+1, I = JJD(y-х)dхdу [х
=
=
arJCos<p, у
=
bpsin<p] = аЬ J~'" d<p J; (bpsin<p
2".
-
apcos<p)pdp = ~Ь J0 (bpsin<p - apcos<p)d<p= О.
3829.~~ =2х-1,~ =2х,I=JJDdxdy=S.
3840 г(5,12) xdx±ydy _
.1 г(5,12) d(X 2±y2) _
• J(3,4) хЧу2 - 2 J(3,4) х2±у2
= 1п JX2 + y21~~:~~) = 1п 1;.
3846.du = 4(х2- y2)xdx- 4(х2- y2)ydy, и = J4(х2
х4
-
y2)xdx + <р(у) =
-
2х2у2 + <р(у); ~ = -4х2у + <р'(у) =
=
-4(х2 - у2)
=> <р'(у) = 4у3,<р(у) = у4+С,и= х4
_
2х2у2+у4+С=(х2_у2)2+С.
3850. и
=
J(2xcosy - y2 sinx)dx + <р(у) = x 2cosy +
+y2cosx +<p(y); ~~ = -x2siny+2ycosx+<p'(y) = 2ycosx
2
-x
siny => <р'(у) = О, <р(у) = С, и = x2cosy+y2cOSX+C.
3857. и = J l±~Z2B'2%2 + <p(y,z) = arctgxyz+<p(y,z); ~ =
_
xz
+ Q.p
~_О ( )_().ди
_
~X+
-
1±x2y2 z 2
дlf=>ду- ,<рy,z
-
<рz,Oz-
1±х y2 z2
+<p'(z) => <p'(Z) = О, <p(z) = С, и = arctgxyz+С.
3862. S = ~JLхdу-уdх [х = acos
3
t,у =asin
3
t]=
= ~a2 f~"'(cos2tsin4t+sin2tcos4t)dt = ~a2 J~'" cos 2tsin2tdt =
= ia2 Jo 7г sin22tdt = i7Га2.
Решения
588
3868. (уХ+у'У)12 = ху [у = xt2] <=> (JX(1+t»1 2 =
22
_,fi
_
t'Ji
,_
1-51
Х t <=> х - (1+t)3' У - (l':t:'t):r, dx - 2,fi(1+t)4dt, dy
t,fi(5-t) d
О t-О
t
м._
.,i
t,х=У=при
=
и при ...... +00 ==} кривая
.
S-1Jd
d - 1 г+ ос t'(5-t)-t2(l-5t)d
замкнута, - 2LXУ-УХ
-
2Jo
2(1+t)'
t
г+ОО ~d
г+оо t2
- 1+1d
г+ос t-1 d
=
Jo (1+1)7 t
=
Jo (:i+i)6t = Jo ~ t+
г+ ос
г+ оо
г+оо dt
г+ оо t+1-; d
dt
dtd
+ Jo (1+t)6 = Jo (1+t) t+Ju (1+t)6 = Jo (1+t)~ t
2г+оо ,!t d г+ос dt
1
1
1
1
-
Jo (1+t)5 tJO (1+t)6 = 3-2+5 = зо·
3873. IFI
=
~, проекции силы на оси Fx = ~ COSQ =
kx
F.
-
k"
F-
kz
урав
zJX2+y 2+z2' у
zJx2+Y'+z2'
zJX2+y2+ z2'
-
Z
нение отрезка Х = at, у
=
ы,z=ct,1~t~2==}
2 а2+ь2+с2 d
АJFdFdFd
kJ
LхХ+уу+zz
• 1 ctv'a2+b2+c2 t
= k у""'а2""'+"""Ь"'=2+="'с""'2 J2!!1 = k "'а2 +Ь2 +с2 1 2
с
1t
сп.
3878. D
-
проекцияSнаОху,D:х2+у2~R2,Х~О,
У~О;z =
-/R2-х2- у2, z~
х
z'
JR2-x2_y2' У
У
J1d
JJ J х2+,,2dd
JR2_ 2_y2'
SXq
DX 1+R2_x1_y2 Х У
x
RJJ xdxdll
-
R rRd1 rJR2_y2
xdx
D JR2-x2_y2 -
Jo УJo
JR2-x 2_y2 =
rRV
JЮ-у2
R
dyR2-х2 _у2 10
=
RJo dYVR2 -у2dу
-R JO
R
3
(!!Jl-/R2 _ у2 +
arcsin 1L) IR _ "R
3
2
2
RO-4 ·
·
2
г21Гd R
3884•D . Х2 +У::::::./ R2
,z
-
ху, zx,
-
-
у, zy'-
-
х,
~- JJJ1+
x2
+y2d'd
-
r
~+2d
J1s ,-
-
D~+2ХУ - Jo t.pJoV.L,.р- Р
yX-ту
2п(~Jl+р2+~lnlp+ -/1+р21)I~ = 7r (RJl+Ю +
ln(R+ Jl + Ю»).
2
2
2
2
I
3889. D
-
эллипс~+р- = 1, z = ±су1-~
-
~;
интеграJ1Ы по верхней и нижней половине эллипсоида
равны, т. к. меняют знак интеграл (за счет- изменения
ориентации) и подынтегральная функция; JJs z dxdy =
=
2JJDCJl-~-r;dхdУ [х = apcost.p, у
=
bpsint.p] =
= 2аЬсJ021Гdt.pJ;-/1-р2рdр = -~аьсJ~1Гdt.p-/(1-р2)3Iб
= 1 паЬс.
Решения
589
3895. а) JLx2y3dx+dy+zdz [х = Rcost, у = Rsint,
z
=
t] = J~1Г(R5соs2tsiп3t(-Rsiпt) + Rcost)dt
= -R5 J~" cos2 tsin
4
tdt + Rsintl6" = - ~б J~" sin2 2tsin2tdt =
=
-16 J~" sin2 2t(1 - cos2t) dt =
-
~: J~"(1 - cos4t) dt +
+~:Jo"sin22td(sin2t) = _1Г:
6
•б)~~=3х2у2,~~=
=
~=~ =!fД =f!=о ==} JLPdx+Qdy+Rdz =
= - JJ/V5dxdy = -3JJs х2 у2 dхdу [х = pcost.p, у = psint.p] =
=
- 3 (~1Г cos2 t.psin
2
t.pdt.p Jo
R
p5dp =
-
~6 f~" sin
2
2t.pdt.p
= - ~:f1г(1- cos4t.p)dt.p = _1Г~6 .
o
3899. JJs(x3cos(N,x) + уЗ cos(N, у) + Z3 cos(N, z»dq
JJfn(Зх2 + 3 у2 + зz 2 )dхdуdz [х = pcost.psin(), у
R
pcost.psin(), z = pcos()] = 3 J~" dt.p fo" sin()d() Jo p
4
dp
2
= iR5J~"dt.pfu"sin()d() =~R5f0"dt.p = 1527rR5.
к ГЛАВЕ 14
3905.х* =у2-у,yt!y=~,у =1=о,у
=1= 1, провер
капоказывает,чтоу=оиу =1 - решения;Ji!y=
= fd;, lпl~-Ч = lnlxl+lnICI, 7
= Сх, у =Сху+l,У =
= о (у = 1 получается из общего решения при С = О).
3909. !!JL = 10Х 10У f 10-Ydy = II0xdx _ 10-
У
=
10" +
dx
'
_
.
'ln 10
ln 10
+С1, 10Х = -IQ-У+С, где С = C11n10; в дальнейшем мы
будем обозначать все константы буквой С.
3915. sinycosxdy = cosysinxdx, ftgydy = Jtgxdx,
- lnlcosyl = -lпlсоsхl+С, у(О) = ~ ==} -lп л = -lnl+
+ С, С = ln J2; ln Icosyl = ln Icosxl-ln J2, cosy = c'jt.
mv
-
s
m(ds)2_kS ds
3926. К
-
-
-2-'
2
Vcp-t
-==}2"dt
-
t' dt
=
!2ksds = v'2kdt гs= l2kt+Сs(O)=О ==}С
VШt' 7s -т.;r' y~ Vm
'
=Оs=2ktV=2k=const.
,
т'
т.
3931 . у'
= cos(x-у),[и =х-у,у =х-и,у'
=
1-u'] 1-u' = cosu, J l-~~SU = Jdx, -ctg~ = х+С,
x+ctg9 = С.
3942. у'
=
~lnll. [у = tx, у'
= t'x+t] t'x+t =
== tlnt, Jd; = Jt(In~t_l)' Inlxl+lnlCI = Inllnt-ll, Сх
= ln~ -1, у =хе1+Сх.
590
Решепия
22
2
3947.у' =у-ху-х [у =txу'=t'x+t]t'x+t=
у2+2ху-х 2 '
,
_
t2-2t-l dt _
t3~t2+t+l dx _
-! t2+2t-l
t2+2t-l_
-
t2+2t-l dx x -
t+2t1'х
-
(t 2 +1)(t+l) ' (t'+I)(t+l)
2t' 1
1111ICI
1ШС-t+lС
=t'+1-t+l=>nх+n
=-nIt+ll'х-t'+I'х
= ~\x::;, х+у=С(х2 +у2), у(l)=-l=>С=О, у=-х.
3950. А(х, у)
-
точка касания, В(О, Ув) - точка пе
ресечения касательной с Оу; ув - У
= у'( -х)
=>ув=
=
у-ху', (у-ху')2 = ху, у'
=
~±~, [у = tx] t'x+
+t = t± Vt, Jd: = ±!~, lnlxl = ±2Vt+lnICI, х =
= Се±2Дх.
3955. у' +2ху = хе-
х2
, [у = uv, у' = u'v+uv'] u'v+u(v' +
2
d
2
+2vx) =хе-
Х
,v'+2vx=О,J::= -J2xdx,v =е-Х,
2
2
2
2.2
и'е- Х
= хе-
Х
, и' =х,и =а;+С,у =е-Х(Х2+С).
3961. у' = 2x~y' <=> х' = 2х- у2, [х = uv] u'v+u(v'
е2у
-
2v)=_у2v'-2v=Оdv=2dyv=
и'е2у =
,
,
v
'
,
=
_у2,и=
-
J e-2Yy2dy = ~J y2d(e-2y) = ly2e-2Y_
-
J ye-2Ydy = ~y2e-2Y+~J yd(e-
2y) = (~y2+ly)e-2Y
-
~Je-2Ydy = e-2yay2+~y+~)+C, х = ~+~+~+Ce2Y.
3965.y' -ytgx = CO~X' [у = uv] u'v+u(v'-vtgx) =
co~x' v'-vtgx = ?, Jdvv
=
Jtgxdx, lnlvl =
-lnlcosxl, v = co~x' c::Sx = CO~X' и = х+С, у = со:х +
+c:!sx' у(О) =О => С =О,У =CO~X'
Jo
x
3970.1(х) = J; F(x,z)dz => 1'(х) = F~(x,z)dz +
(Хzx2
2
2
(Х
)Zxz2
+Р(х,х) =Joze -
z
dz+еХ-Х =1+Jo(z- ~e - dz+
z
zx
z2
x
z2
+~J;e:- dz = 1-~Joe - d(zx-z2)+~1(x)=1
-
~ezx-x 10 + ~1(x) = 1 + ~1(x) => l(х) - решение уравнения
у'=1+~,у(О)=О;[у =uv]u'v+u(v'- vn =1,v'- vx =
2
d
d
~
.,2
х.2
-
О-Е-~V-е4и'-е-Ти
-
r e-.dz+С у =
-
,
v-
?'
-
,
-
,- Jo
'
х2Х
%2'
%2
= еТJe-.dz+Се.,1(0)=О =>С=О.
o
3975. Р1 = kt
З
,Р2=k1vt,Р1-Р2=та => т~~ =
- k1 vt + ktЗ - линейное уравнение относительно v; v =
=
rs, v' = r's+rs', mr's+mrs'+k1 rst = kt З , r(ms'+
+k1st) =О,т~B
=
-k1tdt, mlns = -~
=>s=
~
~
..
~
-
е-2т;тт'е-2т
= ktЗ,r=
-t!;Jе2тtЗdt [у = t2]
k
~
k
~
k~k~
=
2mJye 2m dy = k~Jyd(e2m) = k-lуе2m-klJе>mdу
Решепия
591
~(kk
1
t2 2rnk)+С V
=
e~ (kklY-~) +С е ".
-
Ч
'
t2
k
=
Ce-~+k~t2-~; v(O) = vo => С-~
vo, v
-k
t2
12
1
-
(v + 2mk)e~ +!iL _ 2mk
-
ОЧ"'
k1
Ч·
3978.Eosinwt = L~~+Rl; 1 = uv, Lu'v+Luv'+
+Ruv = Eosinwt, u(Lv'+Rv) = О, :v =
-!j;dt, v
=
=
e-~t, Lu'e-~t = Eosinwt, и = J 1fe~tsinwtdt [!j; =
=
а] = ~Jsinwtd(eat) = ~eatsinwt- ~ Jeatcoswtdt =
~eatsinwt - ~Jcoswtd(eat)
=
~eatsinwt - ~ х
aL
аL
qL
аL
xeatcoswt - E%w
2
J eatsinwtdt = ~eatsinwt - ~eatcoswt
2
аL
2
aL
аL
-
~u => и = a'~w2ljfeat(sinwt - ~ coswt) + С, 1 =
-
-
Еоп('t
w
) С-L,
.t.
-
О
С-
R1
n2+L2w 2 sшw - a:coswt + е
о-=>
-
EQLw
1-EoR(R'tL
t+L -~t)
-
R2+L'w".
-
R'+L'w2 sшw - wcosw
we
.
3985. хЗу' = у(у2+ х2) [у = tx] <=> хЗ(t'х+t) = tX(t2X 2 +
+х2 ), !'x+t = tЗ+t, J!ff = J~, -~ = lnlxl+lnICI, Сх =
= е -f;r.
3996. [z = у2, Z' = 2уу'] ,,' s~nx = cosx(sinx - z), z'
=
-2zctgx + 2cosx, z
=
uv, u'v + uv' + 2uvctgx
=
2cosx, u(v' + 2ctgx) = О, dv =
-2ctgx, lnlvl
v,
=
-21nlsinxl, v
=
Si';2 X '
i~2X = 2cosx, и
= 2Jsin
2
xcosxdx = ~sinЗх+С,y~ =SiSх+~sinx.
4000.[у = uv] u'v+uv' - 1~~2
=
1+х, и(v' - l~x2)
=
Оdv =
dx lnlvl = llnl
1
+
x
lv=J~и'
=
'v
l-х"
2
l-х'
l-х'
=
V1-x2, и = ~V1-х2+~агсsinх+С, у
=
x(lix ) +
+ lJl+X arcsinx + CJ~ у(О) = 1
=>С=1У=
2 l-х
,
l-х'
= 1JНх(xV1 - х2+ arcsinx+ 2).
2 l-х
4006. (х, у)
-
координаты точки касания, уу' - отрезок
нормали, тогда уу' =~, у' = 2
Х
у+~,У=tx, t'x+t=~+
+1 ~x= l+t-2t
2
dx = 2tdt раскладывая на простые
2' dx
2t' х
l+t-2t2 '
дроби,получаемlnIxl = - ~Jt'!!l- ~J2t~l' 'nIxl = - ~lnIt
-11-~lnI2t+ll+1nIСI, хЗ (t-1)2(2t+1) = С, (у-х)2(2у+
+х)=С,у(l) =О =>С=1,(у-х)2(2у+х)=1.
592
Решеltuя
_
~_J,Qхуdx_ За
гаd_
гаd
4010. ~
-
s - Joaydx- 4"=>4Joхух-3aJoух,
дважды дифференцируя по а, получаем 4ау = 3 J; ydx +
a
+3ау,ау=3Joydx, у+ау'-=3у, a~ =2у,lnlуl=21n'аl+
+ ln ICI, у :::;; Са2 или, заменяя переменную, у = Сх2 .
4015. По 2 закону Ньютона, та = mg - Рсопр => т ~~
mg-k*v2dv=9-kv2гдеk=!Ldt=
dv
t
,
dt
'
'"'
g-kv2 ,
V
J!k2 = ~2lnI~+vIС, -+ +00
1
+
t
только при
9v
~V",g
g/k-v
V-+±Л,т.к.v>О,v-+Л.
4021 . Пусть х
-
количество первого продукта, у - вто
рого продукта, т - количество исходного вещества; по за
кону сохранения массы ~~ = k 1 (mo-x), dt = kl('~~-X)' t =
= -~l (lп(mо-х)+lпС), С(то-х) = e- k11 , х(О) = О => С =
= ~,х=mo(1-e-
k11 ); !fit = k2(x-y), !fit+k2Y = k 2m o(1
-
e-1J.1t) [у= uv] u'v+u(v'+k2v) = k2mo(1- e:"'k1t), ~~ =
k2t u'e- k2t
k1t ),
= -k2v, V
=
e-
,
=
k2mo(1- e -
и=
= Jk2mo(ek2t - e(k1 -k2)t)dt = moek2t - mo~e(k2-kl)t +
k2-k1
+С У=то-ffio~e-klt+Ce-k2t у(О)=о =>С=
,
k2-k 1
'
= тo~
у = то + ......!!!:!L(k2e- k1t - k 1 e- k2t ).
k2-kl'
k1 -k2
,_
2у-х-5 {2у-х
-
5=О
_
_.
4025. у
-
2_+4'
<=>Х-
-1,У -2,
ху
2х-у+4=О
перенесем начало координат в точку (-1, 2) : хl = х + 1, Уl =
= у-2 =>х=Хl-1,У =Уl+2,Уl' =22~1-Xl,[Уl =
Xl-Yl
= tx]t'x+t=2t-l ~= 2-tdtlnlxI=lJдi..
1
1
2-t' Хl
12-1'
1
2 t-l
-~Jt~l' 21nlxl1 = lпlt- 1 1-31пlt+11+1пIСI, XI
-
Сt-l СYI-Xl -1(
_1)3 - С(
3)
-
(t+ТF, (Хl+Уl)З -
,
х+у
-
х+у- .
4030 '
~З
,
2(Хх2)[_
-1
'_
•у
=
2(ху_х2)'Х= у-?,z-х
,х
=
-
z'] _z'
=
2(..!..
_
1)z'+2z= 2 [z=uv]u'v+
z2'
z2'
zy Z2yЗ"
у
jjЗ' ,
+u(v'+2v)=2V'+2v=ОV=1и'=2и=
у
?,
у
,
Ir' r
?,
= 2J!Ei. = 21nlуl+С z = С+2}пу 1.
_
l11У- = С lny2
у
,
у'Х7
Ir'
-
1L
2
= С, у2е-У2/
Х=С.
Х
4036. xdx+ ydy+x(xdy- ydx) = О, (х - xy)dx+ (х2+
)d-О
'-
~,Х
-
-1L- [
_
2,
+УУ-
,х
-
х(у-l)' Х - у-l
-
х(у-l)Z-Х,Z
=
2хх'] L -
-L
=
~z'-
-1L =
.21L [z = uv]
2х у-l
х(у-l)'
у-l
у-l
Решеltuя
593
u'v+u(v' - 2!.с..) =.1JL v' = 2!.с.. v = (у - 1)2 u'(у- 1)2=
у-l
у-l'
(-1'
,
-.21L ' -
2
и-
2
2
d ___2
__
-
y-l' и
-
(у_~)з' - J (11-1)2 + (У_l)З) У - у-l
-
(у-\)2+С, z = -2(у-1)-1+С(у-1)2,х2+2у-1
=
С(у-1)2, х2 +у2_(У_1)2 = С(у-1)2, х 2 +у2 =
=С(у-1)2.
4040. yn-l(ay'+y) = х, ау'+у = ynX_I, [у = uv] au'v+
ж
,
%
+u(av'+v) =(uv)n-J, av'+v = О, v = е-а, аuе-а
Х
аun-1u, = хеnх/ а ~un = ~ Jxd(enx/a)
un.-l е -(п l )x/a'
,
1!.
n
~ (хеnх/а - J enx/adx) = ~(xenx/a - *еnх/а) +С, и
\!e"x/a (x-а!n)+С = еХ/" V(x- ~)+Ce-nx/a, у
=
v(x - ~)+Се-nх/а, пуп =nх - а+Се-nх/а.
4045. ху' - 4у
-
x
2
JY=О,у'-4~
-
x,jY=О,[у
=
4dx
х4
= uv] u'v+u(v'-4~) = x..jUv, ~v =
,V=
,u'х4=
3
d
d
vи
ln1'jCxl
x
4
1n
2
1Cxl
=Х
г.;:u~=.2: 2и=lnIСХI и=
у=
v u.,,;u
х'
,
4'
4'
4050. и = J(2x3 - ху2)dх+Ч'(у) = ~4 - x2i +Ч'(У), ~~ =
= -х2у+Ч"(у) = 2у3- х2у => Ч"(у) = 2у3, Ч'(у) = зf,
решение уравнения и = С <=> х4 - х2у2+у4 = С.
4055. и = J COs~XY) +Sinx) dx +Ч'(у) = tg(xy) - cosx +
+()д.._
х+'()_х
+i
'()_
Ч'у,дх- cos2(xy)Ч'у- cos2(xy) Sny=>Ч'У
= siny, Ч'(у) = -cosy, tg(xy) - cosx - cosy = С.
4060.~~ =2у,~ =о,b(*-~) =1 =Р(х) =>
существует интегрирующий множитель М(х), lnM(x) =
= JF(x)dx = х, .lI1(х) = ех; е Х (х2 +у2 + 2x)dx +2eXydy =
= о - уравнение в полных дифференциалах, и = JеХ (х2 +
+у2+2x)dx+Ч'(У) = еХ(х2+у2+2х)-JеХ(2х+2)dx+
+Ч'(У) = e x (x 2 +y2+2x-2х-2)+2е Х +Ч'(у) = еХ (х 2 +у2)+
+ Ч'(у), ~tt = 2еХу+Ч"(у) = 2еХу => Ч"(У) = О, Ч'(У) =
= С, eX(x~ +у2) =С.
4065 д(ЛfХ) = д(МУ) <=> М д(ЛfХ) +ХР'(х + )
.
ду
дх
ду
У
= Mд(~~Y) +УР'(х+у) <=> Р'(х+у) = Y~X (*-~);
множитель такого вида существует <=> у ~X (~; - ~)
=
= Р1(х+у).
Реше nия
594
4070. [у = tx] t'x + t = t21~-I, d: = ('+~~:_t3' ln Ixl +
1 ICI
Jt
2
dt
зJ dt
1J dt
1Jdt
+n
=-
(t-l)21 t+1) = -4" t-l
-
2 "(t-"i."p" - 4" t+1
=
-~lnlt-11+2(t_l)-tlnlt+11, lп(х4 (t-1)З(t+1» =
= lnICI+ t~l' (у- х)З.·(х+у) = Ce2X/(y-х).
4075. ах
=
2х+х2 +у2 ау = 2х
.!. (ах
_
ау) =
Ту-
'дж,у Оу дж
=
1=Р(х)
=> существует интегрирующий множитель
М(х) , lnM(x) = J F(x)dx = х, М(х)
=
еХ; еХ(х2у+ f +
+ 2xy)dx + еХ (х2 + y2)dy = Р - уравнение в ПОЛНblХ диФре
ренциалах, u = J еХ(х2у + 1J- + 2xy)dx + ер(у) = е
Х
(х2у+~+
+2ху) - JеХ(2ху+ 2y)dx+ ер(у) =еХ(х2у+f)+ер(у),g~ =
=
еХ(х2 + у2) + ер'(у) = еХ(х2 + у2) => ер'(у) = О, ер(у)
= С, еХ(х2у+f)=С.
4080. у' + ytgx = CO~X [у
=
uv] u'v + u(v' + vtgx)
CO~X' dvv =
-
tgxdx, v = cosx, и' = со;2Х' U = tgx+
+С, y=sinx+Ccosx.
. 4085. у' = x~;~~y, [z = x-siny, z' = 1-cosy·y'] 1-z' =
= z, l~% = dx, lnl1-zl = lпIСI-х, z = 1-Се-
Х
, х-1+
+Се-Х
= siny.
4090. А(х,у)
-
точка касания, B(Xl,Yl) - точка пере
сечения касательной с Ох, С(Х2 , У2) - точка пересечения с
у=ах+Ь;Уl =О,хl = x-i7,х =Хl;Х2,У =Уl;У2 =>Х2=
= x+i7, У2 = 2у, У2 = аХ2+Ь => a(x+i7)+b = 2у, у'(ах
-2у+Ь)+ау = О, х'
=
_~+2~~b,[х= uv]v= t,и'=
= 2у-Ь
и=~+C х =~+Q у2-Ьу-аху =С.
а'
а
'
а
у'
4097.у =ах2,у'=2ах =>а=~,у =~,у'=2~
дифференциальное уравнение семейства парабол, 2~ = k 1 <=>
У = kx - множество изоклин.
4103.Пустьшагh=0,05,хо =О,Xi=хо+ih,уо =
О,Yi+1 = У;+f).Yi, f).Yi= hX~(XiYi+1);Уl =О,У2
0,0001, Уз
=
0,0006 , У4 = 0,0018, У5 = 0,0038, У6
=
0,0069, У7 = 0,0l14, У8 = 0,0175, У9 = 0,0256, YIO =
=
0,0358, Yll = 0,0486, Y12 = 0,0641 , УIЗ = 0,0828, У14 =
=
0,1050, У15 = 0,1313, У16 = 0,1619, уп = 0,1980, Y18 =
= 0 ,2402, У19 = 0 ,2894, у(l) = У20 = 0,3470 ~ 0,35.
Решепия
595
.
4107.у' = у2+ху+х2, у(О) = 1 <=> У = 1+J;(y2+ty+
+t2)dt; Уо = 1, Уl = 1+ J;(y3+tYo+t2)dt = 1+ J;(1+t+
х2х
3
2
2
{Х(
t
t
3
)2
+t)dt=1+х+т+Т,У2=1+Jo1+t+"2+"3 +t(l+
+t+.r.+~)+t2)dt- 1+х+;!х2+1хЗ+ lЗх4+!х5+...!..х6+
1
з
-
2
З
24
4
18
'1
+БЗХ .
4110. у(О) = 1 => У = 1+аlх+а2х2+азхЗ+а4х4+а5х5+
+..., у' =аl+2а2Х+3азх2+4а4Х3+5а5х4+..., у2 = 1+
+2аlХ+(ai+2а2х)х2+... , х2у2-1 = -1+х2+2аlХЗ+(ai+
+ 2а2)х4 + ... ; сравнивая коэффициеНТbl при одинаКОВblХ сте
1
-
1
1
пенях, имеем аl =
-
1,а2 =О,аз=3'а4 - -2'а5 =5'
4115.у(О) =О => У =аlХ+а2х2+азхЗ+а4х4+а5х5+
+а6х6 + ... ,
у'
аl+2а2Х+3азх2+4а4ХЗ+
х3
х5
4
65
.
_
+5а5Х+а6Х+...,
sшх
-
х-6"+120+
+..., siny- sinx = alX+а2х2+азхЗ+а4х4+а5х5+а6х6+
2
3
4
5)3
(
2)5
3
5
+ (аlх+а2Х +азх +а4Х +аБХ + аlх+а2Х
_
(_~+L-)+
б
3
120
Х26
120
+... =
(аl-1)х+а2х2+(аз- ~ + i\)хЗ+(а4 - а12а2)х4+(а5
ala~ аiаз .!:i..
1
5
,
_..
_
-
2-
2 +120- 120)Х+...,у -sшу
-
sшх=>аl
-оа-
1а-
1а-а-оа-
1
-
,
2-
-2'з-
-3'4-5
-
,
6-
-61"'
4120.У =ху'+Ji+Yi2, [у' =р]у =хр+J1+р2,у' =
=
р = xP'+p+~ p'(x + ~)
=
о·р'=оp~-=
Jl+p2 '
Jl+p2
'
,
=С,
У = Сх + V1 + С2 - семейство ПРЯМblХ, общее решение;
х=-~у
=
-~+J1+p2 =
1
х2+у2 =
VJ+p2 '
JJ+p2
VJ+p2 '
=
1, У > О - особblЙ интеграл.
2
/2
4124.2уу'=ху' +4х,У=ч-+y~'[р=у']у
=
т+
+ 2;, у' = Р = р+;р/ + 2(Р;2ХР/)' (р'х - р)(р2
-
4)=О;р'х
-
р=О,Р =ёх,у
=
ё;2+~,[С=~]у
=
Сх2+Ь
общее решение; р2 = 4 , Р = ±2, У = ±2х - особblе решения.
4131. у
=
у'+~~, [у' =р]у
=
р+е;,р =р'+
ж
ж/
2
+еР;2еР,р(р_еХ) =р'(р2_еХ);р=р',р =СеХ,у
=
СеХ + Ь - общее решение; р2
=
еХ,р=±еХ/2,у=
= 2р, у2 = 4е Х - особblе решения.
4135. А и В точки пересечения касательной с Ох и
Оу;пустьх>О,У>О,тогдау'<О;ОА=х-i7,
----
596
Решен,uя
ОВ = у-ху', S = ~(x-f;)(y-xy') = а 2 , (у_ху')2 =
=
-2а2у', у = ху' + av-Z2y', [у'
=
р]р = р+хр'
-
А'р'(х-А)=О,р' =О,Р =С,у =Cx+av-2C
а2
а2
а
r;;;
общеерешение,х-"7-2Р=О,р = -W'у = - 2х+aV~=
а2
=~:'2ху=
-
кривая в первой четверти, из соображений
симметрии 2ху = ±а 2 .
4140.АиВ
-
точки пересечения нормали с Ох и Оу;
пустьх>О,У>О,тогдау'>О;ОА=х+уу',ОВ =
= у+"?' (х+уу')2+(у+?)2 = а2, (х+уу')2(1+у,2) =
=
а2у,2, [у' = tga] (x+ytga)2 ;2
=
a2tg2a, (х+
coa
+ytga)2 = а2 sin2 а, х = asina-ytga, dx = acosada
-tgаdУ-Усо~~а' [d.x
= ~] (tga+ctga)dy = (acosa
-
co%2 )da, *+ytga = acos
2asina, [у = uv] u'v+u(v+
a
+ tga) = acos2asina, v = cosa, и' = acosasina, и =
=
~sin2a+C, у = cosa(~sin2a+C), х
=
asina
-
sina(~sin2 а + С) = sina(a - ~sin2 а
-
С).
(2а-х)у2 = х
З
_
_
хЭ 2хЭу' _ 2_
4145.
,
2
2' 2а х -!?",
уу
{ 2(2а-х)уу -у = 3х
= зх2 - дифф. уравнение семейства 'циссоид; подставим
-11
вместо Y'j получим дифф . уравнение ортогональной траекто
2хЭ
.
2х_32+2, -
[-t]t'+t
рии. - уу'
-
х у,у--у(3х2+у2)'У
-
хх
_
2dt_
t4+зt2+2 dx _ _ t(t2+3~dt 1 1 1
ЦЗ+t'!) dx x -
t(3+t2) ' х
-
(t2+1)(t +2)' n х
t(t2+3)dt [
2]
1J (u+3)du
-
J (tЧl)(t2+2) и
t
- 2 (u+1)(и+2)
=
-~J ( U~1-U~2) = ~lпlu+21- lпlu+11+lпIСI, х2 =
= С (::1~2' (х
2
+ у2)2 = С(2х
2
+ у2).
4149. у2 = 4ах, 2уу' = 4а '* у = 2у'х - дифф. уравнение
парабол; tga = ±1 , выбирая tga = - 1, подставляем вместо
У'1+у'У=21+У'Ху'=у-2х[у =tx]t'x+t= t-2 dx=
l-у"
1-у' ,
у+2х'
t+2' х
-
(;+2)dt 111 - -J(t+l/2)dt- ;!J
dt
tН+2' nх
-
t2+t+2
2 (t+l/2)2+7/4
-~ln(t2+t +2)- J.rarctg2~1+С, In(2x2+ху+у2)+
+ 6 arctgх+2у =С
77
хл
.
4154. Эвольвента
-
траектори я , о ртогональная к каса
тельным эволюты. y~ =
-t, у- 3t2- t(x+2t3) = О <=>
Решен,uя
597
t2
у=
-
т - семейство касательных, t = -~, У = ::h- +
2
-
У
У?
+ху'подставим-:;7вместоу',у=у' -?,[у' =р]у =р-
ж,_
_
2 ' р-хр'
,_
рЭ+р,_
х+2р2[._
-
р'у-р
-
рр - --рг-, р
-
2Р'+Х' х - рЗ+р рщ, х
=
uv] u'v + и (v' - P(p:J'+1») = Р'?:l' d: = p(p~т;.!» ln Ivl =
=
J(1.--:::&.+1) = Inlpl--211n(p2+1), v
= -k.и'
=
рр
ур2+1 '
=~
и=2Vp2+1+Cх=2p+~у =p2_~ =
VP2+1'
,
VP2+1'
Р
= р2 _ 2 - Ь, подстановкой р = tgt получаем указанный
ур2+1
ответ.
4157. у' = Jlnxdx = хlпх-х+С1 , у = J(xlnx-x+
+ C1)dx = з;2 111х - ~x2+С1х+С2.
J
4162.ху" =y'ln1f,[z= у',у" = z']xz' = zln~,[z=
tx] t'x+t = tll1t, dxX = t(Jr~t_l)' lпlхl-lпlС1 1 =
d(Jnt) = lnllnt -11 2.. =
In~-1 у' =_хех/с,+1 у=
[I1t-l
'
С,
х'
,
= С1Jxd(ex/c, +1) = С1хех/с,+1 - С1Jex/c,+ldx = С1(х
-
С1 )ех/с,+1 + С2 .
4167. (у')2+2уу" = О [у' = р(у), у" = p~] р2+2py~ =
-
О 21:2.
-
1JJ. 1
-
С
-
iZJ.. 1JJ.
-
iZJ..23/2-С +
-
,-
р-у'?-lУ,Р
-
,fii' dx -
,fii' ЗУ
-
lх
+С2 , У = (с1 х+с2 )2/3 = С1 (х+С2 )2/3 (в случае необходи
мости мы переобозначаем произвольные постоянные).
4175.у" =2уу' =О[у' =р(у),у" =p~]P~ =2ру,р =
2
-
d
-
-
2
d
=У+С1,Х=J~;а)С1>О,С1=С1,Х=Jу2+УС2=
_
_
,
=
д,аrсtg"t, у = C1 tg(C1X+C2), Ь) С1 < О, С1 =
= -Ct, х = Jy2~YC; = 2Ь, Inly~g: I+С2, у = -С1 сth(С1х+
+С2),с)С1=О,Х =J~ =-~+C,у =-x~C'
4181 . уу'у" = (у')3 + (у")2, [у' = р, у" = p~] p2(y~_
-
Р-(1:2.)2)=ОР =ОУ =С'р =у1:2.-(1:2.)2[t=
dy
,
,
,
dy dy'
2
=
~]Р= yt-t ,t = ~ = t+t'y-2tt', t'(y-2t)=О;
а)t' = О,t= С1,Р=d'=С1у-СI2,Х=J~cd
5Ш
С
-
х
,у- ,
д,lnlY- C11-lпIС21,у=С1+С2еС'Х;Ь)у = 2t, Р
_
2
-i:... 1JJ.-i:...
_
4
-
t,Р-4'dx-4'У-С-ж'
4185.уу"+(у')2 = Х, [уу' = р, уу"+(у')2 = р'] р'
ж2
хЭ
,
С2d
2С2
СС
=х,уу =""2+1,УУ=х+1,У
="3+ lх+ 2·
Решения
598
4190.ху"+х(у')2-у' =О,[z =у'] z'- ~+z2 =О,[z =
2 2
Х
2
= UV]U'V+U(V'-~) = _UV ,V =х,и' =-и
2
х,~=
+
Х2
+С,U=x2~C'Z=i~c'z(2)=1~С=О,у' =~,у =
2
= 21nx+C,у(2) =2~С=2-1n4,у =2+1n~.
4195. у4 _ уЗу"
=
1, [у'
=
р,у"=p~]pdp=
_
4_1
Е. _ i:..
1
м _.д
_
_
-~y dy, 2
-
2+~+C,p(y2)- 2 ~C--1,p
у
d
= ±(у-;), Т.к.p(J2)>О,р=y-t,dx = ~~/1' Х =
= ~lnly2-11+C, у(О) = J2 ~ С = О, У = v'l+e~X.
.
2
'
4202. тр
=
14,РМ =у,SMTP=f"SОЛIР=
У
=
J; y(t)dt ~ ;,
2У
=
2k J; y(t)dt; продифференцировав, по
2,2
2"
2
2
лучаем уу 1/-;;1 у = 2ky, 2у'
-
уу" = 2ky' , [у' = р(у)] 2р2_
ш!.
2k 2 1:JL
~
С 2-2k Сd
-
руdy=р,у
=
2p(1-k)' Р
=
1У,
1х
= y2k-2dy, С1х=~:k~;+С2,у(О)=О~С2=О, y2k-1 =
=Сх.
4205. Пусть форма нити задается уравнением У = f(x),
рассмотрим участок нити, соответствующий отрезку dx оси
Ох, его длина ds = YТ+Yi2 dx :::::: dx (знак:::::: будем понимать
как "равенство с точностью до б.М. порядка выше первого").
аlиа2-
углы между касательными, соответственно, в ле
вом 'и правом концах участка и осью Ох, Р1 И Р2 - силы
упругости, действующие на участок слева и справа; т. к. нить
нерастяжима, IF11 = IF21 = т. Рассмотрим проекцию равно
действующей силы на ось Оу. Ру = IF21sina2 -IF1lsinа1 =
= T(sina2 - sina1) :::::: T(tga2 - tga1) = Т(У'(Х2) - y'(Xl)) ::::::
:::::: T~". Нить покоится, поэтому ту" = Лlg, У" = k" У =
= k~ +C1x+С2- парабола.
4211.х2у'"=(у")2,[z = у", z' = у"'] х2z' = z2,:#=
d
1
1
-)-
3
= xi,z=х+С,аС=О,z=х,у =Хб+C1x+С2,Ь)С=
= dl' Z = X~!~l' У' = C1x-С[lnlх+С11+ё2, У ~ C~x2_
-
C~(x+ C1)lnlx+C11+ C~x+ ё2х+Сз = с{ +С2Х+СЗ
-
C~(x+ C1)lnlx + С11.
4215. уу'" - У'У" = О, ~'y" -
-
О, (L)' О, У"
у
у=
С1у, [У' = р(у)] P~
= С1у, р2 = С1у2+С2, Х
dy
J/d; ,а)С1>О,С2>ОС1х=J/y2+Ci
с.у +С2
Решения
599
=
lnly+R+-сil+Сз = агsh~+Сз, У
=
C2sh(C1x+
+СЗ);Ь)С1>О,С2<О,У=С2ch(C1x+Сз);с)C1<
<О, С2 >ОС1х=JЬ+СЗ,С1х=агсsin~+Сз,У =
С2-у
2
= С2sin(С1х+Сз); d) С1 = О, У = С1Х+С2.
4220. хуу" = ху'-у; У = 1+а2(х-1)2+ ... + а5 (х-1)5+
+ ... , У' = 2а2(х-1)+Заз(х-1)2+4а4(х-1)З+ ... , у" =
=
2а2++6аз(х-1)+12а4(Х _1)2+20а5(Х- l)хЗ+ ... , х =
= 1+(х-1),хуу" =2а2+(2а2+6аз)(х-1)+(12а4+2a~+
+ 6аз)(х _1)2 + (20а5 + 8а2аз + 12а4 + 2a~)(x -l)З + ... , ху'
-
У=
-1+2а2(Х- 1)+(Заз+а2)(Х_1)2+(4а4+2аз)(х
l)З +
",
1
О
-
..., хуу
=
ху-У~а2
=
-
2'аз =
,а4
_
_ 2..
__
1_
_
_
(Х-1)2 _ 2(х-1)· (:<_1)5
-
12'а5-120'У-1 2!
4! '+ 5! +....
хЗ х41 хб
4227. VV = Зх2 4хЗ = i- О на любом интервале, не
Iхз х
4
У
содержащем О; Iзх2 4хЗ у'I = О {:} хбу" - 6х5у' + 12х4
6х 12х2 У"
= О {:} х2у" - 6ху' + 12 = О - искомое уравнение.
4234.у"+~y'+у = О, Уl
=
Si~X, У2 = Si~X Х
Х Je- 21nx .х
2
dx= sinxJ ,dx =_~ У =с!sinX+C2COSX.
sln2 x
х sln2x
х'
х
4238.У" - tgx.у'+2у
О, У1
sinx
реше
ние У2 = sinxJe-lпlсоsхl .dx
=
SinxJ. dx
[t
1
Slп:lж
Slп 2 хсоsх
']
.
Jdt
.
(!dtJdt)
=
sшх=sшх~
=
sшх t'I + 1-t2
= sinx(__1_+
.! ln 11+sinx 1) = sinx ln Itg(E + ~)I- 1
SIПХ 2
1-s1ПХ
24
.
4241.хзу", -Зх2у"+6ху'- 6у =О, [у = zx, у' = z'x+
+z, у" = z"х+2z', у'" = z'"х+Зz'] z'"х
4
=О,z'"=О,z=
= с1х2+С2х+Сз·
"
2Х1l;2у-4
2.
4245.у+l+Х-~
-
-
Нх2' решим однородное
уравнение у" + ;~;;~ - 11;2 = О, У1
=
Х (подбором) У2 =
= xJe- 111(1+х2)dх = х! dx
= xJ(1_
1)dx=
?'
х2{1+х 2 )
?' 1+х2
=
-xarctgx- 1, У = С1х+C2(xarctgx+ 1)+х2 - общее
решение исходного уравнения; У' = С1 + C2(arctgx + 1':х2 ) +
+2х,у(-l)=у'(-l) =О~С2 =2,С1=~+З,У =х
2
+
+x(2arctgx+ ~ +3)+2.
Решенuя
600
4250.у"+ху'=х2у,Уl=1+а2х2+...+а5х5+..., у; =
2а2Х+3азх2 +4а4ХЗ + ... , y~
=
2а2 + 6азх + 12а4х2 +
+20а5ХЗ+..., y~+ху; =2а2+6азх+(12а4+2а2)х2+(20а5+
+3аз)хЗ+..., х2Уl =х2+а2х4+...::::}а2=аз =О, a.j =
=
1~'а5=О,Уl
=
1+~;+...;У2 =Х+ь2х2+...+
+ь5х5+..., У2 = 1+2Ь2х+3Ьзх2+4Ь4хЗ++5Ь5х"+..., y~ =
.=
2Ь2+6Ьзх+12ь4х2+ 20Ь5хЗ, y~+ХУ2 = 2Ь2+(6Ьз+l)х+
+ (12Ь4+2ь2)х2 + (20Ь5+зьз)хз + ... , х
2
У2=х
з
+...::::}bz=
= О, Ьз= -i,Ь4=О,Ь5=4ЗО'У=Cl(l+~;+ ...)+
.1 .:3
зх5
)
+С2(х-6+41)+··· · .
4255. 3у" - 2у'
-
8у=О,3k2-2k-8 =О,k1=2,k2=
-
_.:! У- Се2Х+Се-4Х/З
-
з'-1
2
.
4260. 4k2- 20k+25 = О, k1.2 = ~, У = (С1+C2t)e5t/2.
4266.k2 +9 = О, k1,2 = ±3i, У = C 1 cos3x+C2sin3x,
у' = -3С1 si113х+3С2 соs3х, У(7Г) = -1, у'(-7Г) = 1::::} С1 =
= 1,С2=-~,У =cos3x- ~sin3x.
4270.k2-7k+6=О,k1=1,k2=6,уо =С1еХ+
+ С2 е6Х - общее решение однородного уравнения, i не ко
рень характеристического уравнения, поэтому частное реше
ние Уl = Acosx + Bsinx, у;
= -Asinx + Bcosx, y~
=
=
-Acosx - Bsinx; подставляя в уравнение и приравнивая,
5А-7В=О
_
7
_
5
_
Х
получаем '
,А-74'В-74'У-С1е+
{5В+7А=1
+ С2е6Х + 55il1xt7C05X.
4275.9.k2-3k+2=О,k1=2,k2=1,уо =С1е2Х+
+ С2еХ; Уl - решение у"
-
3у'+2у =2е
Х
, 1 - корень хар.
уравнения::::} Уl = Ахе
Х
, у; = еХ(Ах+А), у;' = еХ(Ах+
+2А),А=2,Уl =-2хе
Х
; У2 - решение у"
-
3у'+2у =
= _е-2Х, -2
-
не корень хар. уравнения::::} У2 = Ае- 2Х , А =
= -112' У =С1е2Х+С2еХ - 2хеХ - {2е-2Х.
4280.у"+у+ctg2Х =О, k2+1 =О,У
=
С1 cosx +
+C2sinx - решение однородного уравнения, у = C 1 (x)cosx+
+C2(x)sinx
решение неоднородного уравн~ния,
C~cosх+C~sinх =О
С'_ cos2Х
С' _ _СО53Х
,
1-
.
,
2-
::::::т.:- ,
{ -С~sinх+С~соsх = -ctg2x
5111Х
5111 Х
Решенuя
601
2
.
J2
С(х) = JСО5,X5111Xdx [и = cosx] =
t,du=и+
1
511l2х
. u2-1
+~I~+~I+Cl = cosx+lnltg~I+Cl, С2 (х) = -J~~~:: =
=
-Jl-;;~r:xd(sinx) = sinx+5i~x+C2' у
=
cos
2x+
+ cosxln Itg ~I + С1 cosx +sin2х+ 1 + C2sinx = cosxln Itg ~I +
+ 2+С1cosx+ C2sinx.
4286.k2-2k=О,k1=О,k2=2,У =С1е2.1.:+С2
решение однородного уравнения, 1 - не корень хар. уравне
ния ::::} у = еХ(Ах2 +Вх+С), А =
-1,В =
-1,С =
С1е2Х+С2-
2С1е2Х
=1,У=
еХ(х2+х-1),у' =
-
е.l.:(х2 +
+3х),у(О)=у'(О) = 2::::}С1=1,С2=О,У =е2х_еХ(х2+
+х-1).
t
4290.х2у"+ху'+у=х[х = e , !fjf=~et ::::}у'=
=
e-t!fjf, ~ = fA(y'e t ) = et(y' + fA(Y')) = et(y' + ety") ::::}
у" = e-2t(~_!fjf)] y;~+y = e
t
,
уо = C1cost+C2sint, Уl =
=
Ae
t
,
А = ~, у = Clcost+C2sint+~et = C 1 cos ln lxl+
+C2sinlnlxl+~ ·
4296. Пусть х - расстояние от точки дО А, х'
-
производ
наяповремени;тх"=F -k(a- х),ka=f::::}k=f,х"=
=E.+ ..Lx_L х"-А2 х=в A2=..L В= F-f k 2 _
1~ та
,n'
.
,
та'
m'
-А=О,k1,2 =±А,хо =C1chAt+C2shAt,хl =Р =
=
const, Р = -~
=
_Fif a , х = C1 chAt+C2shAt
-
F-fa, х'
=
AC1 shAt + AC2chAt, х(О)
=
О::::}С1=
=
lifa, х'(О) = О ::::} С2 = О, Х = Fifa(chAt -1); x(t) =
= а ::::} Fif(chAt -1) = 1, chAt = F~f' t = ,*arch F~f
_
Гшil F+Vf(2F-f)
-
Vfn
F-f
.
k4
4302.yIV- 13у"+36у = О,
-
13k2+36 = О, k1.2
= ±2,kз,4= ±3,У =С1е2Х+С2е-2х+СзеЗХ+С4е4х.
4308. у(n) = у(n-2), kn - kn- 2
= О,k1,2=±1,kз= ... =
= kn=О, у =С1еХ+С2е-Х+сзхn-з+...+Сn-1Х+Сп.
k5
4313. yV = у',
-
k=О,k1=О,k2,з =±1,.k4,5 =
= ±i, у = С1 + С2еХ + Сзе-Х + С4cosx+ C5sinx, подставляя
н.у.,получаемС1= -2,С2=С4=1,Сз =С5=О,У =
=е
Х
+cosx- 2.
4317. yIV+ 2а2у" +а4у = cosax, k4+ 2a2k2 + а4
=О,
(k2+а2)2 =О, k1,2 = ai, kз,4= -ai,уо' =(С1х+
602
Решения
+ С2 ) cosax + (Сзх + С4 ) sinax; ai - корень Х.у. кратности 2 =?
Уl=Ax2
cosa.x+Bx2
sinax;В=О,А =_рl,У =(С1х+
2
а
+ C2)cosa.x + (Сзх + C4 )sina.x - far cosa.x.
4322.y/ll-у' =3(2-х2),kз-:-k =О,k1,2 =±1,kз =
= О, уо = C1eX+C2e-Х+Сз, О - простой корень Х.у. =? Уl =
= АхЗ +Вх
2
+Сх,А=1,В =С =О,У =С1еХ+С2е-Х+
С1 еХ
+СЗ+хЗ,у' =
-
С2е-Х+Зх2,у" =С1еХ+С2е-Х+
+6х,у(О)=у'(О) =у"(О) =1 =?С1+С2+СЗ=1,С1
-
С2=1,С1+С2=1 =?С1=1,С2=СЗ=О,У =еХ+ХЗ.
1-,\ -1 1
4324.4. Характеристическое уравнение 11 1-'\-1
2 -1-'\
О<=>,\З-2,\2- ,\+2=О<=> (,\2-1)('\-2)=О, '\1
= 1, '\2 = -1, ,\З = 2 - характеристические числа; при
-
k2 +kЗ=О
,\=1
k1
-kз=О =?k1=k2=kЗ =1,хl =et,
{2k1- k2 -kз=О
t
Уl=e,ZI =e
t; при'\= -1k1=1,k2= -3,kз'=-5,Х2 =
=
e-
t,У2 = -3e-
t,Z2= -5e-
t; при'\=2k2=О,k1=
2t
2t
= kЗ=1,Хз =e
, уз=О,Zз=e
,х=C1e
t +C2e-
t+
+ Сзе2t
t
,у=С1е!- 3C2e- , z =С1е!- 5С2е-!+Сзе2t.
2-,\1Q
4324.7. Характеристическое уравнение 1 3-'\-1
-1
2 3-,\
О <=> (2 - ,\2)(>.2
-
6>'+10)=О,>'1 =2,>'2,з =3±i
характеристические числа; при>. = 2 k 1 = 1, k 2 = О, kЗ =
- (1 +i)k1 +k2
=О
= -1, при>. =3+i
•.
k1- ik2 -kз=О =?k1=
{
-k1+2k2 -ikз=О
= 1,k2=1+i,kЗ=2-i,Х2.З =е(З+i)t =еЗt(соst+
+ isint), У2,З
=
(1 + i)еЗt(соst + isint) = еЗt(соst - sint +
+ i(sint + cost)), У2
=
еЗt(соst=-siпt), уз = еЗt(соst+
+sint), Z2 , З = (2-i)еЗt(соst+isiпt) = еЗt(2соs.t+siпt+
+ i(2sint - cost)), Z2 = еЗt(2соst + sint), ZЗ
=
еЗt (2siпt
-cost), х
= Сlе2t+еЗt(С2соst+Сзsiпt), у = е Зt ((С2 +
+ Сз)соst - (С2
-
Сз)siпt), z = С1 е2! + еЗt ((2С2 - Сз)соst +
+ (С2 + 2Сз )siпt).
Решения
603
-5 ->'
2/
4326. Характеристическое уравнение
1-6_>.
=
/
=О<=>>.2+11>.+28=О,>'1 = -4,>'2 = -7
-
характеристи
ческиечисла;при>.= -4k1=2,k2=1,хl =2e-
4t,Уl=
4t
7t
=
e-
,
при>.= -7k1=1,k2= -1,Х2 =e-
,У2
=
7t
С1е-4! -С2е-7!
=
_e-
, хо = 2Cle-4t+С2е-7t, уо =
общее решение однородной системы, частное решение исход
ной системы ищем методом неопределенных коэффициентов
ввидеХ=Ае!+Be-
2t,У =Се!+De-2t;Х'=Aet
-
2Ве-2!У'=Се!-2De-2t=?А= .lВ=! С
,
40'
5'
-
.l.. D
-
~х-2Сe-4t+Се-7!+.let+!е-2!у
-
40'
-
10'
-
1
2
40
5
'
Се-4!
=
С е-7! + .l..et + ~e-2t
1
2
40
10
.
4333. Дважды дифференцируя второе уравнение, получа
емd4x -
d
2
y-ХxJV-Хk41-Оk-±1k
(п4- dXI-,
-,
-
-
,
1,2 -
,З,4
= ±i =? х = Clet+C2e-t+Сзсоst+С4siпt, у = х" = C1e t +
+ С2е-! - Сзсоst
-
C4 sint.
4340. Пусть у = f(x) и у = g(x) - уравнения первой
и второй линий, f -!'х и 9 - g'x - ординаты точек пересе
чения касательных с осью ау, f!' + х и gg' + х - абсцис
сы точек пересечения нормалей с осью Ох, получаем систе
(f'- g')x=f -9
му
,,[z=f-g]z'x-х =О,z=Сх,
{
ff=gg
z(l)=1 =?z=х, f =9+х,!'=g'+1(g+x)(g'+1)=
= gg', g'x+g+x=О,(gx)' = -;:,gx=_~2+С,9=-~+
+.Q g(l)=1 =?С=~ 9=З-Х f=~.
Х'
2'
2х'
2х
dA=kAB
dt
4345.{dB=-k1А
dt
_.]..d
2
В_dA=? _.]..d
2
В_
_.!i..ВdB [В' - dB] В" _
k1 (ii'Г - dt
kl (ii'Г -
kl dt'
-
dt
=
kBB'[В' =р(В)]р1fз =kBp(В=1-С),р =k~2+С
2dB
.
2f dB
dB
О
С
ОС
t=fkB2+C=kВ2+С'dt<
=?
<,
=
_
2
_
IВ-а I
-
l-,веQ:, dB
-
-а, kat - ln В+а -ln,8, В
-
ан,веО'" dt
ka2 ((I_ae
Ok
,)2) ka 2
(1 _ae
Ok
,)2)
=---г 1- ~
,A=~(1- ~
,В(О)=
= ВО =?,8= ~~~~, А(О) = Ао =? а = JВб+~Ао.
--.
Решеnuя
604
4355. у
=
1+а2(Х-1)2+...+а6(Х-1)6+...,
у'=
2а2(Х-1)+3аз(х- 1)2+...+6а6(Х-1)5+...,
у"=
= 2а2 +6аз(х-1) + 12а4(Х _1)2 + 20а5(Х -1)3 + 30а6(Х _1)4 +
+ ... , х = 1+(х-1), у'-у+х = (2а2+1(х-1)+(3аз
-
а2)(Х - 1)2 + (4а4 - аз)(х
_1)3 + (5а5 - а4)(Х
-
1)4 + ...
=>
а2=О,аз =!;,а4 =2~'а5 =О,а6 = - 7~0; У =1+
(х-l)3 (Х_l)4 (Х_l)6
+
6 + ~ - 720 + ... ::::: 1,001624.
к ГЛАВЕ 15
_
ei"x+e-inx _
(соsх+isiпх)"+(соsх-isiпх)" _
4360• cosnx -
2
-
2
= cos" х - C~ COS,,-2 xsin2х + C~ COS,,-4 xsin4х + ... ; т. К. sinx
входит только в четных степенях, cosnx = Pn(cosx).
4363. S
=
sin<p + sin2<p + ... + sinn<p
_
1 (.!f.
.!f.)- 1 (!f
:!!f
-
~ sш2sш<р+...+sш2sшn<р - 2sin'f COS2-COS 2 +
+ COS:!!f _ cos 2.!f + + COS (n-l)", _ cos ("+1)"') = 1 (COS!f
2
2".
.
2
2
2siп %!
2
(~..Ll\,~
.
Т . ("+1),,,
.
~)
S1l1 S1l1 2 S
О
211"k
-
COS 2
=
sin %'"
;
=
при<р=п'<р =
211"k k О
= n+l'
=, ...,n.
4370. f(x)cosnx
нечетная функция => аn =
~ Г.1I" f(х)соsnхdх = О; b2k = ~ J'::1I"f(x)sin2kxdx =
~J~1I"f(x)sin2kxdx+~J01l"f(x)sin2kxdx [у = X+1I"]
=
= ~ J01l" f(y - 1I")sin2k(y -1I")dx + ~ J01l" f(x)sin2kxdx = о.
4376.1. ао = .! J1I" х2 dx = 211"з2, аn = .! J1I" х2 cosnxdx =
7f -7r
1r
-1r
.lJ1I" х2 d(sinnх) = .lх2 sinnх111"
_..1.. J1I" х sin nх dx =
1rn -7r
7ГП
-1r
7fn-7r
2. J1I" xd(cosnx) = ~ xcosnxl1l" _
-
~ J1I" cosnxdx =
7Тп4: -7f
7fn
-..
7fn
-7Т
4(-Р" _ 2 xsinnxl1l"
4(-1)" .
х2= 11"2+
n
;n:r
-1 1"
NГ-'
3
00(
)"
2
00
+ 4 '\;""'
-1 COS"X. прих =11"11"2-~
= 4'\;""'1
=>8
L.J
,.2
,
3
L.J ~
1
n=1
.
n=1
00.
2
2
00 (_1)"
=
2:~=11"6;прих=ОО-11"з
42:~=> 82
n=1
n=1
~ (_1),,+1 _ 11"2. 8
_
S,+S2 _ 11"2
L.J~-12'3- 2
-
8·
.. =1
4380. ао = ~ J01l" f(x)dx = 2:, а" = ~ Jo" f(x)cosnxdx =
00
= ~ rh cosnxdx = 2sinnh f(x) = !! + ~ '\;""' sin"hcosnx.
7г Jo
1I'"n
'
7г1r~
,,=1
Решенuя
605
4386.Ьn = ~1.o"'sinaxsinnxdx
=
~1.01l"(cos(a-n)x
".
".
11"
-co s(a+n)x)dx = ~) sin(a-n)xl - =т::h+ sin(a+n)xl =
1I"\a-"1
О
1I"\a-r nl
О
=
(a+")Sill(".a-:(;l2-J~~n)siП(1I"а+1I"n) 2( :tl;:~i~\1I"a, sinax
2.
00 (-1)"n .
= ~SШ1l"а 2: ~sшnх.
п=1
Г7Г
? r1l"
?
2
d
4 390. ао = ~)o chxdx ~ShJr, аn = -;)0 chxcosnx х;
1 = Jo'" cosnxd(shx) = shxcosnxl~ + nJ01l" shxsinnxdx =
= (_1)n sh 11"+ n J01l" sin nxd(chx) = (_1)n sh 11"+ nchxsin nxl~
-n2 J01l" chxcosnxdx
=
(-1)"sh1l" - nЧ
=>
1
(-I{SI111" CllX = 51111" (1+2 ~ (-I)nСОsnх).
т/+1 '
".
L.J
n2 +1
n=1
4395. <р'(х) = -4X(1I"2 - х 2 ), <р"(х) = 12х 2 - 411"2, <р"'(х) =
=
24х; <р( -х) = <р(х)
=> Ь"
О; ао = ~J01l"(11"4
-211"2 x2+ x4)dx =
~~11"4, аn
~J01l"r.p(x)cosnxdx =
".~ J01l" <p(x)d(sinnx)
1I"2n <p(x)sinnxl~
-
1I"2 J01l" <р'(х) sil1 nxdx
~ Jo'" <p'(x)d(cosnx)
n
~ <p'(x)cosnxl~ - ~ J01l" <p"(x)cosnxdx
=
-
~ J01l" <р" (х )d(sil1 nх)
-
~ <р" (х) sil1 nxl~ +
+~ J01l" <p"'(x)sil1nxdx
-~ J01l" xd(cosnx)
=
48
11" 48 1.'"
( 1),,+148
=
-
1f7i4 xcosnxl о + 1f7i4 о cosnxdx =-
n·,
.
гnу (х)
84
( l),,+lcosnx
4
84
00
-11" + 48 '\;""'
-
n4
.
прих=О11"
-
-11" +
15
L.J
,
-
15
n=1
+48S => S = 7~011"4 .
00
00
з
.
4398. f'(x) =
-
2: ~4t~ sil1nx, 1I"2"x
=
2: s1l1nnx =>
n=l
n=1
=
'\;""'ОО(
.!-nЗ)
+n sinnх = - '\;""'
n
2-1
f'(х) + ~
00
sin nх =>
2
L.J
n
n4+1
L.J n(n'+l)
n=l
n=l
2
2
00
f(x) = (1I"~x) + 2: ni(n4~1) cosnx + С, по условию f(O) =
n=1
n2
_
~ n2+1
~n2+1 ._
11"2 ~
1СС
-
L.J n4+1 => L.J n4+1 -
""4 + L.J n2{n4 +1) +,
.
n=l
n=l
n=1
00 (n2 +1
n2-1) 11"2
001
11"2
11"2 11"2
2: n4+1- n2(nЧl) -""4 = 2:~-""4 = "6 -""4 =
n=1
n=1
_
11"2 f( ) _ {1I"_x)2 11"2 ~ n2_1
-
-12'х-
-4-
-
12+L.J
."
А••\ cosnx.
n=1
606
Решения
к ГЛАВЕ 16
4403..ДL =E1L= dhz => w(xdx+ydy)=О =>х2+у2=
-t.JJУ
t.AJX
= C1,У = .JC1-х2, v'~ 2=dhz =>Z= _!!arcsin';""+
-w
)-х
t.JJ
\/L..l
+С2 , Х = vIG\siп(-]tz+С2 ) , у = vIG\COS(-]tZ+С2 )
винтовая линия.
4407. divA = а:х.. + д:;''' + ~ = 2xyz· 3
=
6xyz;
ijk
rotA
I J2..
.2...2..1
=
(~- DA")i - (~
-
дА. )3· +
ахдуaz
ау
Dz
дх
Dz
.Ах AyAz
+(д:./_a~')k = X(z2 _ y2)i+у(х2_ z2)j+Z(y2_ x2)k.
4413. F
=
kx
i_
k1J
j_
k
k,
zJx2+y2+ z2
zJx2+y2+z2
Jx2+y2+ z2
v'x2+y2+z2_.2
v'x 2+y2+ z 2
,.2
d.vF._
_~
у'.2+,.2+.2 _ ~
y'.2+,.2+ z 2 +
1
-
z
x2 +y2+ Z2
z
x2+y2+Z2
+
kz
_
k
J(х2 +у2+z2)З - - zJx2+y2+ z2.
4419. Пусть поле пространственное. Ах
f\~I)x,
Irl = Jx2+у2 + z2 Irl'х
=
R => дАж = (Lil!:ll)' х + Lil!:llIrl
,
хдх
Irl
=
_
f'(lrl)йlrl-йf(lrl) + Lil!:ll _ x2(f'(lrl)lrl-f(~I))+f(lrl)lrI2 =>
-
Irl 2
хIrl-
Irl
d·А
-
(x2+y2+ z 2)(f'(lrl)lrl-f(lrl))+3f(lrl)lrI 2 _ f'(lrl Irl+2f( rl) _
lV
-
Irjз
-
r
df _2 d1r
-f'(II) 2!U!:l2.· d· А-О df 2f-0
f-с
-
r +-тrг'lV -
=>ёiR+ - ,Т
-
Н' - Гrr·
4424. Пусть v - вектор скорости, r - радиус-вектор точ
ки на окружности, о - угол между v и положительным
направлением оси абсцисс; Ivl = wlrl, v
..lr=>vx=
= -wlrlcos(~ - о) = -wlrlsino = -wy, v y = wx, divv =
= ~+~=О, rotv=(~ -~)k=2wk(осьOzпарал
лельна оси вращения).
4431. F
=-kr=>Fx=-kx,Fy=-ky,Fz=
=
-kz дFж =' aFx
=
= DF;
О=>rotF=Опо
'ду
az
ду
,
ле потенциально с потенциалом И, U = };«x ,y,z) ) -kxdx
Xo·Yo,zo
-kydy-kzdz = _~(X2+y2+z2)+C.
4434.F = -ky;r-, где т{х, у, О} =>Fx =-~,Fy=
= -~!Fz = О, rotF=(д:';" -at;.)k=О,полепотен
циально с потенциалом U U =
-kг(х,у) xdx +~ =
,
J(xo, уо) х2+у2 х +у
= -~ln(x2 +у2)+С.
Решения
607
4440. Потенциал материальной точки массы т в точке,
находящейся от нее на расстоянии r равен k~'; рассмотрим
участок линии, соответствующий значениям параметра [t, t +
+dt], r
=
Jа2 соsЧ+а2 siп2 t+Ь2t2 = Ja2 +b2t2, dm
8dl = 8 x~2+у;2+z~2dt = 8Ja2+b2dt, dU = kd;
г27Г dU
k8а+Ьdt=>U=
= kБR+P г
27Г
dt
=
v'a2 +b2t2
Jo
ь Jo Ja2 /b2+t2
2
ko~ ln It + J~ + t21 С = kб~ ln 2'/ГЬ+v'а:Н'/Г2Ь .
4445.1. Рассмотрим элемент объема в цилиндрических
координатах: dv = rdr d<pdz, dm = 8dv, dU
k8г27Гd гН
=
kбdv U = fJ'r kбrdrd<fdz =
dz rR rdr
=
~,
J!! v', .,,+%2
Jo <рJo
Jo~
=k8J~'" d<p JO
H
()R2+ Z2_Z )dz=k8J~'" d<p( ~}Ю+z2 + ~21nlz+
+Jz2+ЮI- ;)1:=7Гы(н JR2+H2+R21n H+~_H2).
4453. Циркуляция: f(хЗ - y)dx + (уЗ + x)dy [х = Rcost ,
У = Rsint] = J~'/Г«RЗсоsЗt - Rsint)(-Rsint) + (R3 SiПЗ Н
+Rcost)Rcostdt = R
2
J~'" (sin2t - R2 соsЗtsiпt+ R2 sil13tcost+
+cos2 t)dt = R 2Jо2'/Г(1- ~2 sin2tcos2t)dt = R 2Jо2'/Г(1
-
~2sin4t)dt = 27ГR2 ; поток:Ф = fAndl = Jо
2
'/Г«х3 _у)соst+
+(y3+ x )sint)Rdt = R4J~'/Г(соs4t+siп4t)dt = R4 Jg'/Г(I
-
~sin22t)dt = ~7ГR4.
4458. Уравнение цилиндрической поверхности S в цилин
дрическихкоординатахr =R, r ..lS=>r 11n,т·n =Irl=
H
=
R, dS = Rd<pdz, Ф =JJsr.ndS= Jg'"d<pJo R2dz =
= 27ГR2Н.
4463.r{x,y,z}, JABrdl = JABxdx+ydy+zdz [х =
=
acost, у
=
asint, Z
=
bt] = J~'/Г(-а2соstsiпt+
+ a2sintcost + b2t)dt = 27Г2ь2.
4465. Т. к. поле вектора rotA соленоидально, поток этого
вектора через замкнутую поверхность равен О, поэтому по
ток через поверхность параболоида равен потоку через круг
х2 + у2 ~ 1, последний по формуле СТОКСа равен f Adl =
= fydx+zdy[x = cost, у = sint, z = О]
= J~'" -sin2tdt =
= -7Г.