Text
Г. С. БАРАНЕНКОВ, Б. П. ДЕМИДОВИЧ, В. А. ЕФИМЕНКО,
С. М. КОГАН, Г. Л. ЛУНЦ, Е. Ф. ПОРШНЕВА, Е. П. СЫЧЕВА,
С. В. ФРОЛОВ, Р. Я. ШОСТАК, А. Р. ЯНПОЛЬСКИЙ
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
по
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
ДЛЯ ВТУЗОВ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Б. П. ДЕМИДОВИЧ А
ИЗДАНИЕ ШЕСТОВ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия
для высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВ А 1968
617.2
Б 24
УДК 510(076.1)
Задачи и упражнения по математическому анализу
для втузов
Под редакцией Б. П. Демидовича.
М., 1968 г., 472 стр. с илл.
Редактор Л. Я. Баева.
Техн. редактор К. Ф. Брудно. Корректор А. в. Бакдлола.
Печать с матриц. Подписано к печати 8/IV 1968 г. Бумага 60x90Vie. Физ. печ. л. 29,6.
Условн. печ. л. 29,5. Уч.-изд. л. 30,98. Тираж 160 000 экз.
Цена книги 97 коп. Заказ № 2605
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Москва, Ж-54, Валовая, 28.
2-2-3
2-68
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию • 7
Предисловие к четвертому изданию 8
Предисловие к пятому изданию • . . 8
Глава I. Введение в анализ 9
§ 1. Понятие функции 9
§ 2. Графики элементарных функций 14
§ 3. Пределы 20
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие 31
§ 5. Непрерывность функций 34
Глава II. Дифференцирование функций 40
§ 1. Непосредственное вычисление производных 40
§ 2. Табличное дифференцирование 44
§ 3. Производные функций, не являющихся явно заданными ... 54
§ 4. Геометрические и механические приложения производной ... 58
§ 5. Производные высших порядков 64
§ 6. Дифференциалы первого и высших порядков 68
§ 7. Теоремы о среднем 72
§ 8. Формула Тейлора 73
§ 9. Правило Лопиталя — Бернулли раскрытия неопределенностей . 75
Глава III. Экстремумы функции и геометрические приложения
производной 79
§ 1. Экстремумы функции одного аргумента 79
§ 2. Направление вогнутости. Точки перегиба 87
§ 3. Асимптоты 89
§ 4. Построение графиков функций по характерным точкам .... 91
§ 5. Дифференциал дуги. Кривизна 97
Глава IV. Неопределенный интеграл 102
§ 1. Непосредственное интегрирование 102
§ 2. Метод подстановки 108
§ 3. Интегрирование по частям 111
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен . . ИЗ
§ 5. Интегрирование рациональных функций 116
§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций 120
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций 123
§ 8. Интегрирование гиперболических функций 128
§ 9. Применение тригонометрических и гиперболических
подстановок для нахождения интегралов вида \ R (х^ах2-^- Ьх -f- с ) dx,
где R — рациональная функция 129
§ 10. Интегрирование различных трансцендентных функций 130
§ 11. Применение формул приведения 131
§ 12. Интегрирование разных функций 131
Глава V. Определенный интеграл 133
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы 133
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью
неопределенных 135
§ 3. Несобственные интегралы 138
§ 4. Замена переменной в определенном интеграле 141
§ 5. Интегрирование по частям 144
§ 6. Теорема о среднем значении 145
§ 7. Площади плоских фигур 147
§ 8. Длина дуги кривой 153
§ 9. Объемы тел 155
§ 10. Площадь поверхности вращения 160
§ 11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена 162
§ 12. Приложения определенных интегралов к решению физических
задач 166
Глава VI. Функции нескольких переменных 172
§ 1. Основные понятия 172
§ 2. Непрерывность 175
§ 3. Частные производные 177
§ 4. Полный дифференциал функции 179
§ 5. Дифференцирование сложных функций 182
§ 6. Производная в данном направлении и градиент функции . . . 185
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков 188
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов 193
§ 9. Дифференцирование неявных функций 195
§ 10. Замена переменных 202
§ 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 207
§ 12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных .... 210
§ 13. Экстремум функции нескольких переменных 212
§ 14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений
функций 216
§ 15. Особые точки плоских кривых 219
§ 16. Огибающая 221
§ 17. Длина дуги пространственной кривой 222
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 18. Вектор-функции скалярного аргумента 223
§ 19. Естественный трехгранник пространственно"! кривой 226
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой 230
Глава VII. Кратные и криволинейные интегралы 233
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах 233
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле 239
§ 3. Вычисление площадей фигур 242
§ 4. Вычисление объемов тел 244
§ 5. Вычисление площадей поверхностей 246
§ 6. Приложения двойного интеграла к механике 247
§ 7. Тройные интегралы 248
Ь> 8. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Несобственные кратные интегралы 255
§ 9. Криволинейные интегралы 259
§ 10. Поверхностные интегралы 269
§ 11. Формула Остроградского — Гаусса 271
§ 12. Элементы теории поля 273
Глава VIII. Ряды 277
§ 1. Числовые ряды 277
§ 2. Функциональные ряды 288
§ 3. Ряд Тейлора 295
§ 4. Ряды Фурье 301
Глава IX. Дифференциальные уравнения 306
§ 1. Проверка решений. Составление дифференциальных
уравнений семейств кривых. Начальные услозия 306
§ 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка 308
§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными. Ортогональные траектории 310
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка .... 314
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Уравнения Бернулли 315
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий
множитель 318
§ 7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные
относительно производной 320
§ 8. Уравнения Лагранжа и Клеро ' .... 322
§ 9. Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка 324
<? 10. Дифференциальные уравнения высших порядков 329
§ 11. Линейные дифференциальные уравнения 332
§ 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с
постоянными коэффициентами ■. 334
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами порядка выше 2-го 340
§ 14. Уравнения Эйлера 341
§ 15. Системы дифференциальных уравнений 342
§ 16. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов 344
§ 17. Задачи на метод Фурье 346
Глава X. Приближенные вычисления 350
§ 1. Действия с приближенными числами 350
§ 2. Интерполирование функций 355
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений 359
§ 4. Численное интегрирование функций 365
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных
уравнений 368
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье 376
Ответы 378
Приложения 460
I. Греческий алфавит 460
П. Некоторые постоянные 460
III. Обратные величины, степени, корни, логарифмы 461
IV. Тригонометрические функции 463
V. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции 464
VI. Некоторые кривые 465
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В сборнике подобраны задачи и примеры по математическому
анализу применительно к максимальной программе общего курса
высшей математики высших технических учебных заведений.
Сборник содержит свыше 3000 задач, систематически расположенных в
главах (I — X), и охватывает все разделы втузовского курса
высшей математики (за исключением аналитической геометрии). Особое
внимание обращено на важнейшие- разделы курса, требующие
прочных навыков (нахождение пределов, техника дифференцирования,
построение графиков функций, техника интегрирования, приложения
определенных интегралов, ряды, решение дифференциальных
уравнений).
Учитывая наличие в некоторых втузах дополнительных глав
курса математики, авторы включили задачи на теорию поля, метод
Фурье и приближенные вычисления. Приведенное количество задач,
как показывает практика преподавания, не только с избытком
удовлетворяет потребности студентов по практическому закреплению
соответствующих разделов курса, но и дает возможность
преподавателю разнообразить выбор задач в пределах данного раздела
и подбирать задачи для итоговых заданий и контрольных работ.
В основном задачник предназначен для студентов-заочников и
студентов вечерних факультетов технических вузов
машиностроительных специальностей, а также лиц, занимающихся самообразованием.
В начале каждой главы дается краткое теоретическое введение и
приводятся основные определения и формулы, относящиеся к
соответствующему разделу курса. Здесь же показаны образцы решений
особо важных типовых задач. Это обстоятельство, по нашему
мнению, в значительной мере облегчит студенту-заочнику пользование
задачником в самостоятельной работе. На все вычислительные задача
даны ответы; в задачах, отмеченных звездочкой (*) или двумя
звездочками (**), в ответах приведены соответственно краткие
указания к решениям или решения. Для наглядности часть задач
иллюстрируется чертежами.
Сборник сложился в результате многолетнего преподавания
авторами высшей математики в технических учебных заведениях
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Понятие функции
1°. Действительные числа. Числа рациональные и
иррациональные носят название действительных, или вещественных, чисел. Под
абсолютной величиной действительного числа а понимается неотрицательное
число |а| , определяемое условиями: | а | = а, если а^О, и |а|= — а, если
а < 0. Для любых вещественных чисел а и Ь справедливо неравенство
\а + Ь\^\а\+\Ь\.
2°. Определение функции. Если каждому значению *)
переменной величины х, принадлежащему некоторой совокупности (множеству) Е,
соответствует одно и только одно конечное значение величины у, то у
называется функцией (однозначной) от х, или зависимой переменной,
определенной на множестве Е; х называется аргументом, или независимой пере-
менной. То обстоятельство, что у есть функция от х, кратко выражают
записью: y—f{x) или y = F(x) и т. п.
Если каждому значению х, принадлежащему некоторому множеству Е,
соответствует одно или несколько значений переменной величины у, то у
называется многозначной функцией от х, определенной на множестве Е.
В дальнейшем под словом «функция» мы будем понимать только
однозначные функции, если явно не оговорено противное.
3°. Область существования функции. Совокупность
значений х, для которых данная функция определена, называется областью суще-
ствования, или областью определения этой функции.
В простейших случаях область существования функции представляет
собой: или отрезок (сегмент) [а, Ь], т. е. множество вещественных чисел х%
удовлетворяющих неравенствам а^х^Ь; или промежуток (интервал) (a, b)t
т. е. множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам
я < # < 6. Но возможна и более сложная структура области существования
функции (см., например, задачу 21).
Пример 1. Определить область существования функции
Решение. Функция определена, если
х2 - 1 > 0,
*) В дальнейшем все рассматриваемые значения величин будут
предполагаться вещественными, если явно не оговорено противное.
8
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
г. Москвы. В нем, кроме оригинальных задач и примеров,
помещены многочисленные общеизвестные задачи, а также ряд задач
и примеров из существующих руководств. В частности, был широко
использован изданный на правах рукописи «Задачник по высшей
математике» (Москва, изЛ. МВТУ, 1944 г.)—коллективный труд
преподавателей кафедры высшей математики МВТУ, в числе
которых, кроме некоторых авторов настоящего сборника, были
также ныне скончавшиеся И. П. Ветчинкин и С. Ф. Шурлапов.
Хотя работа между авторами в основном была распределена
по главам, каждый автор, как член авторского коллектива, несет
полную ответственность за весь сборник в целом.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Четвертое издание сборника незначительно отличается от
предыдущих. Исправлены замеченные опечатки в тексте и ответах.
В некоторых местах несущественно изменены формулировки.
Добавлено несколько новых задач, номера которых, с целью
сохранения старой нумерации, оформлены с помощью дробной
десятичной нумерации, например задачи, вставленные непосредственно
после № 2016, имеют номера 2016.1, 201(6.2 и т. п.
О всех замечаниях и пожеланиях по поводу сборника авторы
просят сообщить по адресу: Москва, В-71, Ленинский проспект, 15,
Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической
литературы.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Пятое издание сборника напечатано с матриц четвертого и
отличается от него лишь некоторыми исправлениями опечаток
в тексте и ответах.
Большая часть замеченных опечаток сообщена В. В.
Третьяковым, которому авторы выражают свою благодарность.
Москва, 1965 г.
Авторы
10
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
т. е. если |х|> 1. Таким образом, область существования функции
представляет собой совокупность двух интервалов: —- оо < х < — 1 и 1 < я< -f- oo.
4°. Обратные функции. Если уравнение y = f (x) может быть
однозначно разрешено относительно переменного х, т. е. существует функция
x = g(y) такая, что y^f[g(y)}* то функция x — g(y), или в стандартных
обозначениях y = g(x), называется обратной по отношению к y = f(x).
Очевидно, что g[f(x)]zz=x, т. е. функции f (х) и g(x) являются взаимно обрат*
ними,
В общем случае уравнение y = f(x) определяет многозначную обратную
функцию x = f~1(y) такую, что y^sf(j~l(y)) для всех у, являющихся
значениями функции f(x).
Пример 2. Для функции
у=1-2-* (1)
определить обратную.
Решение. Решив уравнение (1) относительно х, будем иметь:
2-* = l-jf
*=-2i<!
-у)*)
1*2
(2)
Область определения функции (2), очевидно, следующая: — оо< у < 1.
5°. Сложные и неявные функции. Функция у от х, заданная
цепью равенств y = f(u)t где и = у(х) и т. п., называется сложной, или
функцией от функции.
Функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно зависимой
переменной, называется неявной. Например, уравнение *8-f-t/s=l
определяет у как неявную функцию от х.
6°. Графическое изображение функции. Множество точек
(х, у) плоскости XOYt координаты которых связаны уравнением y = f(x)9
называйся графиком данной функции.
1.** Доказать, что если а и b — действительные числа, то
||а|-|*П<|«-*|<М + |*1-
2. Доказать следующие равенства:
а) |а6| = !«НН в)
б) |а|2==аг; г)
3. Решить неравенства:
а) |*—1|<3;
б) |*+1|>2;
4. Найти /(—1), /(0),
f(x) = х' — 6х2 + 11х — 6.
5. Найти/(0), /(-■§■), f(-x),
(ЬфО);
в) |2*+1|<1;
/(1), /(2), /(3), /(4),
№
fix)9
если
если
6. Пусть /(*) = arccos(lg*). Найти/(^), /(1), /(10).
*) lg* = log10x, как всегда, обозначает десятичный логарифм числа х.
§ 1] ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 11
7. Функция f(x)— линейная. Найти эту функцию, если
/(-1) = 2 и/(2) = -3.
8. Найти целую рациональную функцию f(x) второй степени, если
/(0)=1, /(1) = 0 и/(3) = 5.
9. Известно, что /(4) = — 2, /(5) = 6. Найти приближенное
значение /(4, 3), считая функцию f(x) на участке 4 ^ х ^ 5 линейной
(линейная интерполяция функции).
10. Функцию
0, если лг^О,
если #^>0,
™-{°:
записать при помощи одной формулы, пользуясь знаком абсолютной
величины.
Определить области существования функций:
U. а) <у=уг*+Т; б) у=уТ\л. I7.^ = lg|±^.
1 ,о I *2—3*4-2
12- У = Т=*- 18.^ = lg x + 1- .
13. а) у = Ухг — 2; б) у = хУхг — 2. v19. ,y = arccos p^.'
14.
у = У2-\-х — х*. 20. y = atcsin\\g^.
15. y = V— * + .i—. 2\.у = У&\п2х.
16. у = Ух — х\
22. Пусть f(x) = 2xl — Зх" — 5xa + 6x — 10. Найти
<Р(х)=^[/(х)+/(-х)] и tW = y[/W-/(-^]-
23. Функция /(л), определенная в симметричной области
— 1<^х<^1, называется четной, если /(—х)=/(л;), и нечетной,
если /(_*) =—/(*).
Выяснить, какие из данных функций являются четными и какие
нечетными:
а)/(*)=4(а* + а-*);
б) /(х) = У\-\-х-\-х* — У\— х + х2;
в) /(*) = У(х~+Тг + l/i*-1)2;
fl)/W=igU+/i+^!).
12
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
24*. Доказать, что всякую функцию /(#), определенную в
интервале— 1<^х<^1, можно представить в виде суммы четной и
нечетной функций.
25. Доказать, что произведение двух четных функций или двух
нечетных функций есть функция четная, а произведение четной
функции на нечетную есть функция нечетная.
26. Функция f(x) называется
периодической, если существует
положительное число Т (период функции)
такое, что f(x-{-T)=f(x) для всех
значений л;, принадлежащих области
существования функции f(x).
1
/1
**х*~
У
м
~*
) (
. а *.
п
t
b
1.
В
--*--.
4 -..
^
*&
..ь-
Рис. 1.
"' М^
Рис. 2.
Определить, какие из перечисленных ниже функций являются
периодическими, и для периодических функций найти наименьший
период их Т:
а) / (х) = 10 sin Зх; г) / (х) = sin2 х;
б) f(x) = a slnlx 4- b cos X x; д) / (x) = sin fl/jc).
в) /(x)=|/tgx;
27. Выразить длину отрезка y = MN и площадь 5 фигуры /ШМ
как функции от х — АМ (рис. 1). Построить графики этих функций.
28. Линейная плотность (т. е. масса единицы длины) стержня
АВ = 1 (рис. 2) на участках АС=11У CD = l2 и DB = lt
(^i 4~ ^ Ч~ I*=== 0 Равна соответственно #,, #2 и #3- Выразить массу/и
переменного отрезка /Ш = л; этого стержня как функцию от х.
Построить график этой функции.
29. Найти ф[гр(д:)] и гр[ф(л;)], если Ц)(х)-.
30. Найти /{/[/(*)]}, если /(х)= 1
--Х2 и \р(л:)==2л
1 —хл
31. Найти /(л;+1), если /(* — 1)=д:2.
32. Пусть /(/г) есть сумма п членов арифметической прогрессии.
Показать, что
/(л + 3) —3/(л + 2)#+3/(/1+1)—/(л) = 0.
33. Показать, что если
f(x) = kx-\-b
и числа х1У х2, хг образуют арифметическую прогрессию, то числа
f(xi)> f{xz) и /(хг) также образуют арифметическую прогрессию.
§ 1] ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 13
34. Доказать, что если /(х) есть показательная функция, т. е.
f(x) = ax(a^>0), и числа х1У хгУ хг образуют арифметическую
прогрессию, то числа /(хг)9 f(x2) и /(хг) образуют геометрическую
прогрессию.
35. Пусть
/(x) = lgf±|.
Показать, что
/м+/оо=/(гЙ)'
36. Пусть у(х) = ^(ах-{-а-х) и ф (*) = .! (а* — а'х).
Показать, что
ф(*+Я = ф(*)фО0+*(*)Ф1у)
и
♦ (х +у) = Ф (х) гр (.у) -f ф (;;) ф (л:).
37. Найти /(—1), /(0), /(1), если
| arcsin х при — 1 ^ х ^ О,
/(■^)==| arctgjc при 0<><-|-оо.
38. Определить корни (нули), области положительности и области
отрицательности функции у, если:
а) у = 1 -}-*; г) j/ = a;s — Зд:;
б) у = 2 + х-х*; д)^^-*-.
в) J>=1— л: + х2;
39. Для функции у найти обратную, если:
а) у = 2х + 3; r) jf = lg|;
б) з;==д:2—1; д) j/ —arctg3.x;.
в) у=У\— х3;
В каких областях будут определены эти обратные функции?
40. Для функции
j х, если л;^0,
У = \ х\ если *>0,
найти обратную.
41. Данные функции записать в виде цепи равенств, каждое звено
которой содержит простейшую элементарную функцию (степенную,
показательную, тригонометрическую и т. п.):
а) j = (2* —5)"; B)^ = lgtg|;
б) у = 2С0"; г) у = arcsin (З-*2).
14
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
42. Сложные функции, заданные цепью равенств, записать в виде
одного равенства:
а) у = и2, и = sin x;
б) j; = arctga, и = УШ9 v — \gx\
I 2u, если и<0,
в) У = \ О, если и>0;
и = х2 — 1.
43. Записать в явном виде функции у. заданные уравнениями:
а) х2 — arccosj; = n;
б) 10*+10?= 10;
в) Х + \У\ = 2У-
Найти области определения данных неявных функций.
§ 2. Графики элементарных функций
Построение графиков функций u = f(x) в основном производится путем
наметки достаточно густой сети точек М( (*/, #,-), где #,• = /(*,•) (i = 0, 1, 2, ...),
и соединения последних некоторой линией, характер которой учитывает
положение промежуточных точек. Для вычислений рекомендуется пользоваться
логарифмической линейкой,
V»
Рис. 3.
Построение графиков облегчает знакомство с графиками основных
элементарных функций (см. приложение VI). Исходя из графика
* = /<*).
(Г)
§ 2] ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 15
с помощью простых геометрических построений получаем графики функций:
1) y1 = — f(x) — зеркальное отображение графика Г относительно оси ОХ;
2) #2 = /(—*) — зеркальное отображение графика Г относительно оси 07;
3) ys=zf(x — а) — график Г, смещенный вдоль оси ОХ на величину а;
4) yi=zb-\-f(x) — график Г, смещенный вдоль оси 0Y на величину b (рис. 3).
Пример. Построить график функции
0 = sln (*-£).
Решение. Искомая линия есть синусоида y = s'mx, сдвинутая вдоль
оси ОХ вправо на величину — (рис. 4).
Рис. 4.
Построить графики линейных функций (прямые линии):
44. y = kx, если & = 0, 1, 2, -»• , — 1, — 2.
45. у = х-\-Ь, если £ = 0, 1, 2,— 1, — 2.
46. у=1,5х-\-2.
Построить графики целых рациональных функций 2-й степени
(параболы):
47. у = ах2, если а=1, 2,-г-, — 1, — 2, 0.
48. у = х2-\-с, если £ = 0, 1, 2, — 1.
49. у = (х — х0)2, если л;0 = 0, 1, 2, — 1.
50. у=у0 + (х— I)2, если j;0 = 0, 1, 2,-1.
61*. jr = aA;f-[-fot-|-c, если: 1) а= 1, Ь = — 2, с = 3; 2) а = — 2,
& = 6, £ = 0.
62. у = 2-\-х— х2. Найти точки пересечения этой параболы
с осью ОХ.
Построить графики целых рациональных функций степени выше
второй:
53*.. у = х* (кубическая парабола).
54. ^ = 2 + (д:— I)3.
55. у = хг — Ъх-\-2.
56. у = х\
57. у = 2х2 — х\
16 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы):
58*.
59.
60.
61*.
62*.
У =
У =
У =
У=
У =
1
"" X
1
"1 -*•
х-2
~х + 2'
2*-3
" Зх + 2 '
Построить графики
63.
64.
65*.
66.
У =
У =
У —
У =
1 X
X2
~'х + \-
1
=*2 •
1
= х3 '
- , если
'о
дробных
*о=Ь Л=-
рациональных
_ 1 т — j
— i, 1 iii ''
функций:
67*. у= а , | (локон Аньези).
2х
68. j/= 2 j (серпентин Ньютона).
х -f-1
69. ^ = х + 1.
70. j/ = a;2-] (трезубец Ньютона).
Построить графики иррациональных функций:
71*„ ^=1^.
72. д; = Ух.
73*. jj = JJ/a;2 (парабола Нейля).
74. д/=-j-x уГк (полугсубическая парабола).
75*. 3;=dr"5'К 25 — х2 (эллипс).
76. j> = Чг К*2 — 1 (гипербола).
77. j/ = /-i—-
' /1 - х2
78*. у = ±х у yz~x (циссоида Диоклеса).
79. ,у = ±*1/25 —*\
§ 2] ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 17
Построить графики тригонометрических функций:
80*. y = sinx. 83*. y = ctgx.
81*. у = cosx. 84*. j/= sec л;.
82*. д; = tg jc. 85*. у= собес х.
86. y^As'mx, если А=\, 10, -^ , — 2.
87*. j; = sin /гл:, если п =1, 2, 3, -^ .
88. 3;==sin(x —ф), если <р = 0, j , -^-, л, — -j .
89*. у = 5 sin (2а: — 3).
90*. j/ = asinA;-j-£cos.x;, если а = 6, £ =— 8.
91. у = sin л: -|- cos л:. 96. у=\— 2 cos .v.
92*. у = cos2 x. 97. у = sin л: — -j sin Зл;.
93*. у = л: -|- sin х. 98. j> = cos x -j- -j cos 2*»
94*. J/ = л: sin x. 99*. j/ = cos — .
96. у = tg2 x. 100. у = -f- j/"sin *.
Построить графики показательных и логарифмических функций:
101. у = ах, если a = 2,-i, e (е = 2, 718 ...) *).
102*. ^ = logaA:, если а=10, 2, -^ , е.
ЮЗ*. j; = shA;, где sh.x; = -^(£*— е"х).
104*. j/ = ch.x;, где ch* = у (£* + £"*).
105*. ^у = tti jc, где Шл; = -г-.
106. jf — 10* .
107*. у = е~х* (кривая вероятностей).
1
108. у = 2 Л
113. j/ = lg
X
109. j = lgjc\ 114. _y = lg(— x).
ПО. _y=lg2*. 115. ^ = log,(l+*).
111. .y = lg(lgx). 116. y — \g(cosx).
*) О числе е подробнее см. стр. 21.
18 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ.
Построить графики обратных тригонометрических функций:
118*. y = atcsinx. 122. y = arcsln—.
119*. ^ = arc cos я. 123. ^ = агссо8— .
120*. y=atdgx. 124. y — x-\-aKctgx.
121*. y = SLKctgx.
Построить графики функций:
125. у = \х\.
126. у = ±(х + \х\).
127. а) у = х\х\; б) y = logVT\x\.
128. а) у = sin х -\- | sin х |; б) у = sin х — | sin x |.
3 — х2 при \х \ ^ 1;
129.
( о — х при \х | ^ i;
hy = l _2_ Г1рИ |*|>1.
- I 1*1
130. а) д! = [д:], б) у = х — [х], где [х]— целая часть числа л;,
т. е. наибольшее целое число, меньшее или равное х.
Построить графики функций в полярной системе координат (г, ф)
(г>0):
131. г=\ [окружность).
132*. *■=-? [спираль Архимеда).
133*. г = е9 (логарифмическая спираль).
134*. г = — (гиперболическая спираль).
136. г = 2 cos ф (окружность).
136. г==-:— (прямая линия).
137. r = sec2~ (парабола).
138*. г=10 8тЗф (трехлепестковая роза).
139*. г = а(1-|-со5ф) (я^>0) (кардиоида).
140*. г2 = a2 cos 2ф (а ^> 0) (лемниската).
Построить графики функций, заданных параметрическим способом:
141*. x = t9t y = t2 (полукубическая парабола).
142*. A;=10costf, y==smt (эллипс).
143*. a:=10cos4, у = 10 sin91 (астроида).
144*. х = a (cos t -j- * sin f),y=a (sin tf — tf cos tf) (развертка круга).
§2]
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
19
145*.
146.
х =
at at2 /л
I ■ p , у == ^ , ,s [декартов лист).
— — = - .у = ^/-i , ^ [полуокружность)'.
147.
148.
149.
150.
152.
153*
154.
155.
y = 2l—2"т (ветвь гиперболы),
у = 2 sin21 (отрезок прямой линии).
y = f — t\
Vi + t*
л; = 2 cos2/,
x = t — f,
x = a(2 cos t — cos 2/), у = a(2 sin t — sin2t) (кардиоида)'.
Построить графики функций, заданных неявно:
15i*. х* -\-у* = 2Ь (окружность).
ху=\2 (гипербола).
у2 = 2х (парабола).
3;2=л:2(100 — л;2).
156*.
157*.
158.
хг -\-у* =аг (астроида).
x-\-y=\Q\gy.
x2 = cosy.
159*. Ухг-\-уг=еArctg* (логарифмическая спираль).
160*. х*-\-у* — 3ху = 0 (декартов лист).
161. Составить формулу перехода от шкалы Цельсия (С) к шкале
Фаренгейта (F), если известно, что 0° С соответствует 32°F и 100°С
соответствуют 212°F.
Построить график полученной функции.
162. В треугольник, основание которого £=10 и высота h = 6,
вписан прямоугольник (рис. 5). Выразить площадь этого
прямоугольника у как функцию от основания его х.
Рис. 5,
Рис. 6.
Построить график этой функции и найти наибольшее ее значение.
163. В треугольнике АСЕ сторона ВС=а, сторона АС=Ь и
переменный угол <£АСВ=х (рис. 6).
Выразить ^; = пл. /\АВС как функцию ог х. Построить график
этой функции и найти наибольшее ее значение.
20 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
164. Решить графически уравнения:
а) 2хг — 5л; + 2 = 0; г) 10-* = х;
б) лг1 + лг— 1=0; д) х= 1+0,5sinх;
в) lgx = 09lx; e) ctgA: = A: (0<*<я).
165. Решить графически системы уравнений:
а) ху=Юу *-}-у = 7;
б) лгу = 6, х2+/=13;
в) х* — х-\-у = 49 уш — 2х = 0;
г) х*+у = \0, х+у = 6;
д) y = slnx> y = cosx (0<a;<2ji).
§ 3. Пределы
1°. Предел последовательности. Число а называется пределом
последовательности xlt х2, ... , хп, ... :
lim xn — a,
л->оо
если для любого е > 0 существует число N = N (e) такое, что
| хл — а | < е при п> N.
Пример 1. Показать, что
**%£=*• о)
л->оо Я-т-1
Решение. Составим разность
1 2п + 1 2^ 1_
Л + 1 Я + 1"
Оценивая эту разность по абсолютной величине, будем иметь:
1
2п + \
п + \
п>
1
8
2
-п+Т<6' <2)
если
1 = iV (е).
Таким образом, для каждого положительного числа е найдется число
yV = 1 такое, что при п > N будет иметь место неравенство (2).
Следовательно, число 2 является пределом последовательности *„ = (2л -\- 1)/(я-{- 1),
т. е. справедлива формула (1).
2°. Предел функции. Говорят, что функция /(х) —► А при х —► а
(А и а —- числа), или
lim f(x) = A,
если для любого 8>0 существует 6 = 6(е)>0 такое, что
| / (х) — Л К е при 0<|х-а|<6.
§ 3] ПРЕДЕЛЫ 21
Аналогично
lim f(x) = A,
#-»O0
если | / (х) — А |< е при lx\>N (e).
Употребляется также условная запись
lim / (х) = оо,
х-+а
которая обозначает, что | / (х) | > Е при 0 < | х — а | < б (£), где Е —
произвольное положительное число.
3°. Односторонние пределы. Если х < а и х —► я, то условно
пишут х—>а — 0; аналогично, если х>а и х—>а, то это записывается
так: х—>а-\-0. Числа
/(а-0)= lim f(x) и f(a+0) = lim f(x)
# -> a — о # -» a -{- °
называются соответственно пределом слева функции f (x) в точке а и яре-
делом справа функции / (х) в точке а (если эти числа существуют).
Для существования предела функции f (х) при х—у а необходимо и
достаточно, чтобы имело место равенство
/(a-0)=/(a-f-0).
Если существуют lim f1(x) и lim f2(x), то имеют место следующие тео-
х->а х-±а
ремы:
1) lim [Д (х) + Д (х)] = lim Л (х) + lim Д (*);
х->а х->а х-*а
2) lim [Д (*) Д (х)] = lim Д (*)• lim /2 (*);
3) lim [Д (*)//, (*)] = lim /, (x)\ lim /, (x) (lim /, (*) 56 0).
х-*а х->а #->а х->а
Частое применение находят следующие пределы:
,. sin* f
lim =1;
1
lim (l -f-V = lim (1 +a)a = e = 2f71
828
Пример 2. Найти пределы справа и слева функции
/(*) = arctg —
при х —>0.
Решение. Имеем:
/(+0)= lim (arctgl) = -J
JC -> -|-0 \ X J А
/(-0)=^imo(arctgl)=-^.
Предела же функции / (х) при х —* 0 в этом случае, очевидно, не
существует.
22 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. 1
166# Доказать, что при п—► оо предел последовательности
ill 1
равен нулю. Для каких значений п будет выполнено неравенство
п2 ^
(8 — произвольное положительное число)?
Произвести численный расчет, если: а) 8 = 0,1; б) 8 = 0,01;
в) 8 = 0,001.
167. Доказать, что предел последовательности
(л=1, 2,...)
«-pi
равен 1. При каких
неравенство
п п + \
при п—voo равен 1. При каких значениях n^>N будет выполнено
К-ЧО
(е — произвольное положительное число)?
, Найти N, если: а) 8 = 0,1; б) 8 = 0,01; в) 8 = 0,001.
168. Доказать, что
lim я2 = 4.
Как подобрать для заданного положительного числа 8
какое-нибудь положительное число б, чтобы из неравенства
\х — 2|<б
следовало неравенство
I*2 — 4|<8?
Вычислить б, если: а) 8 = 0,1; б) 8 = 0,01; в) е = 0,001.
169. Выяснить точный смысл условных записей:
a) lim \gx — —оо; б) lim 2* = -{-°о; B) lim f(x) — °o.
#-*4-о *->-J-co дг->оо
170. Найти пределы последовательностей:
"' *' 2 ' 3 ' 4 ' '•' ' п ' '" '
6\ 1. i. А 2га
О) 1 • з ' 5 ' * ' * ' 2и - 1 ' * * * '
в) Т/2, j/2j/2, ]/2"|/2 1/2, ... ;
Г) 0,2; 0,23; 0,233; 0, 2333; ...
§3]
ПРЕДЕЛЫ
18
Найти пределы:
|71-.!5,(^+?+-+^);
172. tim(n + 1)(" + 2)(n + 3).
л->оо
,78. иш П+3 + 5+7+ +(2я-.)_2ф1
174. lira
и->ос
176. iim
00
/|-(-1)и'
л->оо
2я+ 3"
177- *?Л1-^+т-я+--'+{-^]'
178*. lira
00
Is + 22 -f З2 + ... +п*
л-»оо
179. Iim (Кл+Т — К л )•
Л-* 00
180. Iim -^—r .
При- отыскании предела отношения двух целых многочленов относи»
тельно х при х—»- оо оба члена отношения полезно предварительно разделить
на хп, где п — наивысшая степень этих многочленов.
Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей*
содержащих иррациональности.
Пример 1.
Iim (2*-3H3* + 5)(4s-6)_
*->оо ах»+х — 1
('-4)(ч4)('"1)
= m 3+1-1 =~=8'
X2 X8
л:-
Пример 2. Iim . ., - = Iim y
*-*оо j/*« 4- Ю *->оо -| A jo
10
х3
(* + *>2 1Я* ,,т ^-5x4-1
181. Iim v ■Л Г . 183. iim
»O0
*г + 1 ' '""• Х'Д™ 3* + 7
182. hm ^—T. 184. Iim J
24 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
юе |. (2л: -f-З)3 (Зл: — 2)2 400 ,.
185. itm -— « , е—L. 188. hm
*-оо *5+5 ' ' x-+x>W + xfx'
186e llrn гЛй^гт ' 189- lim ,4-Т -
187. lim 2xft . 190. lim ^*
*->«*+J/* *~>+™у/Гх + У'х + У~х'
Если Р (х) и Q (x) — целые многочлены и Р (а) Ф О или Q (а) ^ 0, то
предел рациональной дроои
x-kiQ (x)
находится непосредственно.
р (х)
Если же Р (а) = Q (а) = 0, то дробь -тгт-? рекомендуется сократить один
или несколько раз на бином х--а.
Пример 3.
lim *'-4 = lira (*-2)(х + 2) = ,|m £+2 = 4.
*-*2*2 — 3#-f-2 *-*2 (х — 2)(л; — 1) х-»гх- 1
ш-лт^Ш- ,95-лш. £=£+£•
192. lim£^±i°. 196. Цш^-(а.+ 1)/ + а.
х_+ъ х — гъ х^ а х —а
193. lim *^i—. 197. lim (* + ft)3-*8
194. lim /272^ . 198. lim (^ —i_,Л .
Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному
виду во многих случаях путем введения новой переменной.
Пример 4. Найти
lim /[Т*-1,
*-*° ^/1+jc-1
Решение. Полагая
1+* = #«,
имеем*,
lim V^+±-^ = lim y^il- lim У+У+»=1
*-*о £/i-}-*-l у-»>Г-1 у-м У+1
2
199. lim У-*-! . 201. lim |£L_- .
200. lim &ri. 202- fr?-2^ + l
,^,4 j/*-4 202. Дт ^^^
§ 3J пределы 25
Другим приемом нахождения предела от иррационального выражения
является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот,
из знаменателя в числитель.
Пример 5.
lim £ZZL>5= lim x~a
: lim -
x^aVx + V * 2V
— lim —Д-—^—!^ (fl>0).
ono ,. 2-Ух-Ъ Ух + h-f/x
203. Jim ,Л49 . 209. lim V ^ h V
X -> 7
204. lim ^- 2lQ * >*-2« + 6-ff+*-6
JC-* 8
205. Hmfe^-. 211. lim (Vx + a—Vx).
x-»i у X — 1 X-+ + *
3-/5+1 212. lim [/*(* +a)-*].
206. lim ' . *-»+oo
x -
гот. ищУТП-УШ*. "" ~+-
4 ' ^ ~ * 213. lim (>V — 5x + 6 — x).
214. lim x(Vx2-\-\— x).
208. lim У* + ; F*. 215. lim (*+3/b=^).
Л -> о
При вычислении пределоз во многих случаях используется формула
llm2l!Li = i
х -*о л:
и предполагается известным, что lim sin x = sin a и lim cosJt = cosa.
х- -»■ a x -+ a
Пример 6. lim *!!!*? = lim (ElEf.s') = 1-5 = 5.
216. a) lim — ; 220. lim (n sin —) .
X->2 X H-*Q0V Л /
^ч .. sin a:
o) lim .
217. Hms-^. 221. lim L^i.
218. lim *££. 222. lim sin * ~ si" a .
*->osin2*
x — a
219. limii^bL. 223. limcosx~cosa
ж_>, sm3n*
26 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. t
224. lim te. 232. lim ^m^-cosn^
X -* 0
225. Urn *■<« + *>—*". ^ ^ tg,-sin,
226. Hm S7~C0;". 234. lim ™*™.'
4
i noe i. arctg2je
227. a) lim x sin ±; 235- J'm„ "ЖзГ '
X-+Q X
,n 1 236. lim i^"*2
6) lim jcsin —.
ЛГ-ЮО *
228. Jim (l-*)tgf. 237. Jim ^£|.
229. lim ctg2* ctg f-тг — *) • cos ^
*-*o \ * J 238. Hm
230. lim——* o*a «~ l-Vcos*
jc-> 1 1 — Y X*
239. lim
1 — 2 cos #
# -► 0
X*
*"• Ita.-«=ai- 240. ШУТТШГХ-УТ=Ш* ^
*~*7 X->0 X
При нахождении пределов вида
lim 1<р (*)]*<*> = С (3)
x -> a
следует иметь в виду, что:
1) если существуют конечные пределы
lim ф (х) = А и lim if (я) = В,
х -+• a # -> a
то С=ЛЯ;
2) если lim ф (л:) = А Ф 1 и lim "ф (я) = ± оо, то вопрос о нахождении
х -* а х -> а
предела (3) решается непосредственно;
3) если lim ф(д:)=:1 и lim г|5(#)== оо, то полагают ф(х)==1-f-a(#), где
х -> а х -> а
а (х) —► 0 при х —► а и, следовательно,
1 lim а(*)ф(х) lim Г<р (^> — iJ Ф (jc>
С= lim {[l+a(*)]«<*>}e<*>*<*==e*"*e =***
х -* а
где е = 2,718. . . — неперово число.
Пример 7. Найти
lim /!!п2«у+*.
Решение. Здесь
lm (™^)=2 и lim (1+^) = 1|
-»o \ х J x->o
lim
л:
§ 3] ПРЕДЕЛЫ 27
следовательно,
*->о \ х J
Пример 8. Найти
lira ^ + 'V
X -► QO \ 2х -j- 1
Решение. Имеем:
lim £+1= lim 1 + x-1-
с -* с/, 2л; -{- 1 ^^^ох ^ ^
' "л7
lim a:2 = -f- оо.
X -> 00
Поэтому
■jl+IV-
х -> оо \
Пример 9. Найти
х -> оо \ 2х "Ь 1 >
lim /'я-П*
дг-»оо \* + 1
Решение. Имеем:
I-1
lim i^j= lim 1=1.
X -> 00 X -f- I X -> QO j . J
' X
Произведя указанное выше преобразование, получим:
x->ao\X + lJ *->oo L \* + l /J
JC-j-1 _ 2X
_ 2\1 "2 1 ^b*
=.-{И^)П
lim .-«*
В данном случае, не прибегая к общему приему, можно найти предел
проще:
Л_±У lim IYi-IVI"'
lim -L=Lir= lim
1+1V lim (l+ir
' X J *->oo V * X J '
Вообще, полезно помнить, что
:е а.
lim
X -*> 00
(■+f)*-
28 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
241. lim (|±*Y\ 248. lim (-^-.Y.
X -* 0 \w / X -> GO
T • 249# Ilm ~П
242. lim (4_Lf"r\ 249. lim
7PR 250. lim (1+£)и
243. lim [-U . «-<*v J
sinx 251. lim (1-j-sinjc);
x x -» о
лг-*оо ч л
244. lim (x\~*tl
245. lim (£ЩГ.
1 \«
246. lim ( 1 _ 1 j" .
252**. a) lim (cos*)* ;
X -» 0
6) lim (cosл;)*2.
247. lim f 1
X -> QO
При вычислении приведенных ниже пределов полезно знать, что если
существует и положителен lim / (x), то
lim [In/(*)]= In [lim /(*)].
x -+ a x -± a
Пример 10. Доказать, что
# ->о а:
Решение. Имеем:
i i
lim ln (*+*)_ Hm [In (1 -h^)~l = ln Uim (1 +*)T] = lne=l.
Формула (*) часто используется при решении задач.
253. lim [ln(2*+l)—ln(* + 2)].
X -> СО
lim IgQ ~Ь *°*) 260*. lim /г (/e—1) (e>0).
254.
255.
Ш„ (1 In l/|±*) .
х^„\х Г 1-х/
256. lim x[ln{x-\-l) — lax]. 262. ii
#-»-J-00
257. limln(co,sx).
# -> 0
258*. lim e* '
259*. Hm^i(a>0). (CM. №№ 103 „ Ю4).
261.
262.
263.
П -> 00
eax_^x
hm •.
AT -» 0 *
r 1-е"*
lim —: .
. .. sh Jt
a) hm — ;
X ~+ 0 Л
ЛЧ .. ch x— 1
6) hm -2—
V —V ft Л
§ 31 пределы 29
Найти следующие односторонние пределы:
264. a) lim ■ * ; 268. a) lim lilMi;
б) hm , б) lim
x-t+ca Ухг -f 1 ДГ-+ + 0 Х
265. a) lim thx; 269 a) ,im x-l .
► 1-о1 * "~ 1 I
*-»-00
ж
б) lim thx, а: — 1
X-++CG о) hm
e*--^-* дг-м+о
х-1\-
где th:c = -
*"-" " 270. a) lim -—,
1 х-*г-ох л
'**+«"*' 270. a) lim *
266. a) lim ,
*-*-« т б) lim -^-к.
б) lim —Ц-.
1 + е*
267. a) lim ln('+^;
#-* — 00 л
б) lim IMi+fl).
X-+-\-QO X
Построить графики функций:
271**. у= lim (cos2" л:).
п -► ее
272*. j = lim 7-£-5 (*>0).
273. .у = lim Vx2 + a2.
ос -> о
274. j;:= lim (arctgflx).
275. j;= lim i/\+xn (*>0).
276. Превратить в обыкновенную дробь данную смешанную
периодическую дробь
а = 0,13555...,
рассматривая ее как предел соответствующей конечной дроби.
277. Что делается с корнями квадратного уравнения
ах2 -{-Ьх-\-с = 0,
если коэффициент а стремится к нулю, а коэффициенты b и с посто-
яаны, причем Ь=^=0?
278. Найти предел внутреннего угла правильного /г-угольника при
п—юо.
30
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
279. Найти предел периметров правильных /z-угольников,
вписанных в окружность радиуса R и описанных вокруг неег при п—►оо.
280. Найти предел суммы длин ординат кривой
у — е~х cosnx,
проведенных в точках # = 0, 1, 2, ... , п, при п—>-оо.
281. Найти предел суммы площадей квадратов, построенных на
ординатах кривой
у = 21~х
как на основаниях, где лг= 1, 2, 3, ... , я, при условии, что п—>-оо.
282. Найти предел при п—► со периметра ломаной линии
М0МХ ... Мп, вписанной в логарифмическую спираль
если вершины этой ломаной соответственно имеют полярные углы
я
ля
283. Отрезок АВ=а (рис. 7) разделен на п равных частей, и
на каждой получившейся части, как на основании, построен
равнобедренный треугольник, с углами при основании, равными а = 45°.
Показать, что предел периметра
образовавшейся ломаной линии отличен от длины
отрезка АВ, несмотря на то, что в пределе
ломаная линия «геометрически сливается с
отрезком АВ».
/\x\s\
Рис. 7.
Рис. 8.
284. Точка С, делит отрезок АВ=1 пополам; точка С2 делит
отрезок АСг пополам; точка С, делит отрезок С2Сг пополам, точка С4
делит отрезок С2С8 пополам и т. д. Определить предельное
положение точки Сп, когда п—>оо.
285. Катет а прямоугольного треугольника разделен на п равных
частей, и на получившихся отрезках построены вписанные
прямоугольники (рис. 8). Определить предел площади образовавшейся
ступенчатой фигуры, если п—>оо.
286. Найти постоянные k и Ъ из уравнения
lim
X -> 00
(te+'-F$fb0-
У)
Выяснить геометрический смысл равенства (1).
§ 41 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ 31
287*. Некоторый химический процесс протекает так, что прирост
количества вещества за каждый промежуток времени т из бесконечной
последовательности промежутков (/т, (/-|-1)т) (/=0, 1, 2, ...)
пропорционален наличному количеству вещества, имеющемуся в начале
этого промежутка, и величине промежутка. Предполагая, что в
начальный момент времени количество вещества составляло Q0, определить
количество вещества Qf) через промежуток времени /, если прирост
количества вещества происходит каждую п-ю часть промежутка вре-
t
мени т= — .
п
Найти Qt= lim Q(tn\
п -» оо
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие
1°. Бесконечно малые. Если
lim а (х) = О,
х -+ а
т. е. если | а (х) |< е, при 0 < | х — а | < б (е), то функция а (х) называется
бесконечно малой при х -* а. Аналогично определяется бесконечно малая а(х)
при х -+■ оо.
Сумма и произведение ограниченного числа бесконечно малых при х -+ а
есть также бесконечно малые при х -+ а.
Если а (х) и Р (я) — бесконечно малые при х -+■ а и
Х-»вР(*)
где С — некоторое число, отличное от нуля, то функции а (х) и р (я)
называются бесконечно малыми одного и того же порядка; если же С = 0, то
говорят, что функция а (х) есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению
с Р (х). Функция а (*) называется бесконечно малой порядка п по сравнению
с функцией р (*), если
lim aM —С
где 0<|С|< + оо.
Если
lim «M = l,
то функции а (х) и Р (*) называются равносильными (эквивалентными) бес*
конечно малыми при х -*- а:
а (*) ~ р (х).
Например, при *-*0 имеем:
sin*'-*; tg*~*; ln(l-f-*)~*
и т. п.
Сумма двух бесконечно малых различных порядков равносильна тому из
слагаемых, порядок которого ниже.
32 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если члены
отношения заменить равносильными им величинами. В силу этой теоремы при
нахождении предела дроби
lim^W
где а {х) •+ 0 и $ (х)->0 при х -+ а, в числителе и знаменателе дроби можно
откидывать (или добавлять) бесконечно малые высших порядков, подобранные
так, чтобы оставшиеся величины были равносильными прежним.
Пример 1.
У?+Ъ? Vx* i
lim ?—.—1—— — lim i—^— = —.
*->o In (1 + 2л:) хчо 2л; 2
2°. Бесконечно большие. Если для любого сколь угодно боль*
шого числа N существует такое 6 (N), что при 0 < | х — a j < 6 (#) выполнено
неравенство
|/м1>л.
то функция / (х) называется бесконечно большой при х -*- а.
Аналогично определяется бесконечно большая /(л:) при я-* со. Подобно
тому как это сделано для бесконечно малых, вводится понятие бесконечно
больших различных порядков.
288. Доказать, что функция
XI \ sin*
является бесконечно малой при х—► оо. Для каких значений х
выполнено неравенство
1/(*)|<е,
если е — произвольное число?
Произвести расчет для: а) е = 0,1; б) е = 0,01; в) e = 0,00L
289. Доказать, что функция
f(x)=\— хг
является бесконечно малой при х—»-1. Для каких значений х
выполнено неравенство
|/м|<в.
если е — произвольное положительное число? Произвести численный
расчет для: а) е = 0,1; б) е = 0,01; в) е = 0,001.
290. Доказать, что функция
является бесконечно большой при х—>2. В каких окрестностях
\х — 2|<^б выполнено неравенство
\f{x)\>N,
если N— произвольное положительное число?
Найти б, если: а) N=10; б) Л/= 100; в) ЛГ= 1000.
§ 4] БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ 33
291. Определить порядок малости: а) поверхности шара, б)
объема шара, если радиус шара г есть бесконечно малая 1-го порядка.
Каковы будут порядки малости радиуса шара и объема шара по
отношению к поверхности этого шара?
292. Пусть центральный угол а кругового сектора АВО (рис. 9)
радиуса R стремится к нулю. Определить порядки бесконечно малых
относительно бесконечно малой а: а) хорды АВ;
б) «стрелки» CD; в) площади Д ABD.
293. Определить при х —*0 порядки
малости относительно х функций:
ч 2х
б) |/ x + V*'>
В) J/]?— J/"?;
г) 1 — cos x;
д) tgA; — sin л:.
294. Доказать, что длина бесконечно малой дуги окружности
постоянного радиуса равносильна длине стягивающей ее хорды.
295. Являются ли равносильными бесконечно малый отрезок и
бесконечно малая полуокружность, построенная на этом отрезке, как на
диаметре?
Пользуясь теоремой об отношении двух бесконечно малых, найти;
296. lim
sin 3*-sin5*
(х — л:8)2"
298. lim
In л:
arcsin
297. lim
X -*■ 0
Y\
ln(l -x)
299. lim
cos x — cos 2x
1 — COS X
300. Доказать, что при х—>0 величины -^ и l/l-j-л;—1
равносильны между собой. Пользуясь этим результатом, показать, что
при | jc | малом имеет место приближенное равенство
Применяя формулу (1), приближенно найти:
a) VTfibl б) 1/0^97; в) |/Т0; г) УШ
и сравнить полученные значения с табличными данными.
(1)
2 Г. С. Бараненков и др.
34 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
301. Доказать, что при х—*0 с точностью до членов порядка л:1
имеют место приближенные равенства:
б) |/?+7*=а + |- (fl>0);
в) (1 Ц-л:)" =5= 1 -f-лл: (я— натуральное);
г) \g(l+x)^Mx,
где M=\ge=0,43429...
Исходя из этих формул, приближенно вычислить:
Ъ ГМ' 2> ox?: 3> щ; 4> ^Т5; 5> 1-04'; 6> °'934; 7> 'гьь
Сравнить полученные значения с табличными данными.
302. Показать, что при х—► оо целая рациональная функция
Р(х) = а0хп-\-а,хп-1-\-...-\-ап (а0=^0)
есть бесконечно большая величина, равносильная старшему члену а0хп.
303. Пусть х—► оо. Принимая х за бесконечно большую
величину 1-го порядка, определить порядок роста функций:
а) хг— 100л:— 1000; в) -j/" х + V~~х;
б) -+-2; г) У7=ъ?.
§ Б. Непрерывность функций
1°. Определение непрерывности. Функция f (х) называется
непрерывной при х = £ (или «в точке £»)» если: 1) эта функция определена
в точке £» т. е. существует число / (|); 2) существует конечный предел
lim / (*); 3) этот предел равен значению функции в точке £, т. е.
lira/(*) = /(£). (1)
Полагая
где Д5-+0, можно переписать условие (1) так:
lim A/(g)= lim [/(Е + Д£)-МВ] = 0, (2)
Д(; -► О Д; -► О
т. е. функция f(x) непрерывна в точке £ тогда и только тогда, когда в этой
точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области
(интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.
§ 5] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 35
Пример 1. Доказать, что функция
y = sinx
непрерывна для любого значения аргумента х.
Решение. Имеем: •
Ay = sin (х + А*) — sin x = 2sin — cos f x -f- —
. Ах
Ах
т
( . д*
cos [ х4- — ]-Дх.
Так как
. Ал:
Km -~.= 1 и
д* -»о Ах
cos
(-+¥)
;i,
2
то при любом х имеем:
lim Ау = 0.
Д#->0
Пример 2. Функция / (х) = n _ v 2 (Рис- Ю» tt) разрывна при х = 1. Эта
Следовательно, функция sin* непрерывна при — оо < л: < -\- оо.
2°. Точки разрыва функции. Говорят, что функция /(х) терпит
разрыв непрерывности при значении х = х0 (или в точке дс0), принадлежащем
области определения функции или являющемся граничным для этой области,
если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.
(\~xf
функция не определена в точке * = 1, и как бы мы ни выбрали число /(1),
пополненная функция f (х) не будет непрерывной при х=1.
Если для функции /(х) существуют конечные пределы:
lim f(x) = f(x.-0) и lim /(*) = /(*о + 0).
X -+Х0 — О X -+Х0-\-0
причем не все три числа /(*0), / (jc0 — 0), /(*j + 0) равны между собой, то #>
называется точкой разрыва 1-го рода. В частности, если
/(*в-0) = /(*в + 0),
то х0 называется устранимой тонкой разрыва.
Для непрерывности функции f (х) в точке х0 необходимо и достаточно,
чтобы
/(*а) = /(*а-0) = /(*о + 0).
sin х
Пример 3. Функция f(x) = -.—- имеет разрыв 1-го рода при я = 0.
I ■* I
В самом деле, здесь
Ж_0)= lim a^~ = +l
Х-+-}-0 X
/(_0)= Km i!!l£=_i.
36
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
Пример 4. Функция у = £(*), где Е (х) обозначает целую часть числа х
(т. е. Е (х) есть целое число, удовлетворяющее равенству x — E(x)-\-q, где
р^<7<1), разрывна (рис. 10,6) в каждой целочисленной точке: х = 0, ± 1,
±2, ... , причем все точки разрыва 1-го рода.
В самом деле, если п — целое, то Е (п — 0) = п — 1 и Е (п-\-0) = п.
Во всех остальных точках эта функция, очевидно, непрерывна.
Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва 1-го рода,
называются точками разрыва 2-го рода.
К точкам разрыва 2-го рода относятся также точки бесконечного
разрыва, т. е. такие точки х0, для которых хотя бы один из односторонних
пределов f(x0 — 0) или /(^-р-О) равен оо (см. пример 2).
',
J>
0
II
/
1
/
\
ч.
2 X
Ч
1
Г\
2
1
0
\
i
*/
1
i
i
2
3
/
а)
б)
Пример 5. Функция r/ = cos— (рис. 10, в) в точке * = 0 имеет
разрыв 2-го рода, так как здесь не существуют оба односторонних предела:
л
lim cos
-* -о
lim cos —.
3°. Свойства непрерывных функций. При исследовании
функции на непрерывность нужно иметь в виду следующие теоремы:
1) сумма и произведение ограниченного числа функций, непрерывных
в некоторой области, есть функция, непрерывная в этой же области;
2) частное от деления двух непрерывных в некоторой области функций
есть непрерывная функция при всех значениях аргумента из этой области,
не обращающих делителя в нуль;
§ 5] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 37
3) если функция f (х) непрерывна в интервале (а, Ь), причем множество
ее значений содержится в интервале (Л, В), и функция у(х) непрерывна
в интервале (Л, В), то сложная функция ф [/ (х)] непрерывна в интервале (а, Ь).
Функция / (х), непрерывная на отрезке [а, Ь\, обладает следующими
свойствами:
1) / (х) ограничена на [а, Ь], т. е. существует некоторое число М такое,
что \f (x)\*C M при а^х^Ь;
2) f(x) имеет на [а, Ь\ наименьшее и наибольшее значения;
3) f (х) принимает все промежуточные значения между двумя данными,
т. е. если / (а) ~ Л и / ф) = В (а ^ а < Р ^ Ъ) и Л Ф В, то, каково бы ни было
число С, заключенное между числами А и В, найдется по меньшей мере одно
значение я —у(а< Y < Р) такое, что f(y) = C.
В частности, если /(а)/(Р)<0, то уравнение
/(*) = 0
имеет в интервале (а, Р) по меньшей мере один вещественный корень.
304. Показать, что функция у=х2 непрерывна при любом
значении аргумента х.
305. Доказать, что целая рациональная функция
непрерывна при любом значении х.
308. Доказать, что дробная рациональная функция
п/^ч а0хп + а1хп-1 + ... +ап
непрерывна для всех значений х, за исключением тех, которые
обращают знаменатель ее в нуль.
307*. Доказать, что функция у = \^х непрерывна при х^О.
308. Доказать, что если функция /(х) непрерывна и неотрица*
тельна в интервале (а, £), то функция
F{x) = Vf[x)
также непрерывна в этом интервале.
309*. Доказать, что функция ^ = cosx непрерывна при любом х.
310. Для каких значений х непрерывны функции: a) igx и б) ctgx?
311*. Показать, что функция ^у == | jc | непрерывна. Построить
график этой функции.
312. Доказать, что абсолютная величина непрерывной функции
есть функция непрерывная.
313. Функция задана формулами
/(х) = ( Т^ "РИ Х^2'
{ Л при х = 2.
Как следует выбрать значение функции Л=/(2), чтобы пополненная
таким образом функция f(x) была непрерывна при х = 2? Построить
график функции y=f(x).
38 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
314. Правая часть равенства
/(л:) = 1 —Arsin —
теряет смысл при л; = 0. Как следует выбрать значение/(0) для того,
чтобы функция f(x) была непрерывна при # = 0?
315. Функция
f[X)=2LXCig——
теряет смысл прил; = 2. Можно ли так определить значение/(2),
чтобы пополненная функция была непрерывной при л;=2?
316. Функция f(x) не определена при л; = 0. Определить /(0)
так, чтобы f(x) была непрерывна при л: = 0, если:
ч */ ч (1 +*)" — ! / ч
а) /(*)=-—!— (п — натуральное);
б) f(x) =
в) f(x):
г) /(*) =
X
1 — COS X #
х2
In (1 -fx) — ln(l — *)
х '
ех — е~х
1
Д) f(x) = x*s\n
e)/(x) = xctgx.
Исследовать на непрерывность функции:
317. у-
318. у--
х — Т
1+*3
= 1+* '
319. У = Щ^~3.
320. y = JLr
321. a) j/ = sin — ;
б) у = л; sin —,
322. v = ~.
J sin x
323. y = In (cos x)
324. y = \n
325. <y = arctg —.
326. <y = (l+A:)arctgr
327. jr= **+»".
i
328. y=e~* .
329. 3> = —
1+e
1
1-Х
330. .y={ 2*4-1 "^ ^Чз' Построить график этой функции.
§ 5] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 39
331. Доказать, что функция Дирихле %{х), равная нулю при х
иррациональном и равная 1 при х рациональном, разрывна для
каждого значения х.
Исследовать на непрерывность и построить графики функций:
332. у = ltai jig (*>0).
333. j; == lim (л; arctg /хл:).
и-» со
334. a) y = sgnx, 6) y — xsgnx, в) j/ = sgn(sin.x:), где функция
sgnx определяется формулами:
( -}-1, если л:^>0,
sgnA:=i 0, если л: = 0,
{ — 1, если л;<^0.
335. а) у — х— £(лг), б) у — хЕ(х), где Е(х) есть целая часть
числа х.
336. Привести пример, показывающий, что сумма двух
разрывных функций может быть функцией непрерывной.
337*. Пусть а—правильная положительная дробь, стремящаяся
к нулю (0<^а<М). Можно ли в равенство
. Е(1+а) = £(1— а)+1,
справедливое для всех значений а, подставить предел величины а?
338. Показать, что уравнение
*' —3*+1=0
имеет в интервале (1, 2) действительный корень. Вычислить
приближенно этот корень.
339. Доказать, что любой многочлен Р(х) нечетной степени
имеет по меньшей мере один действительный корень.
340. Доказать, что уравнение
tgA; = A:
имеет бесконечное множество действительных корней.
ГЛАВА II
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
§ 1. Непосредственное вычисление производных
1°. Приращение аргумента и приращение функции. Если
х и Xj — значения аргумента х, а у = [(х) и ух = / (х,) — соответствующие
значения функции y — f(x), то
Ах = хг — х
называется приращением аргумента х на отрезке [х, xj, a
А*/ = / (xj -f(x) = f(x + Hx)-f(x)(l)
— приращением функции у на том же
отрезке [х, *,] (рис. 11, где &х = МА
и ky — AN). Отношение
by .
Г
^<^
~ 0
1
т /£\
^
"2Пг
г j
i
'A
■, " "x
Рис. 11.
представляет собой угловой
коэффициент секущей MN графика функции
У ~/ (х) (рис. 11) и называется средней скоростью изменения функции у на
отрезке [х, х -|-Ах].
Пример 1. Для функции
у = х2 — 5х -f- 6
вычислить Ах и At/, соответствующие изменению аргумента:
а) от х— 1 до х= 1,1;
б) от х = 3 до х = 2.
Решение. Имеем:
а) Д*=1,1 - 1=0,1,
Лг/ = (1,12 — 5-1,1 +6) — (I2 — 5-1 +6) = — 0,29;
б) Ах = 2-3 = —1,
{±у = (22 - 5-2 + 6) — (З2 - 5-3 + 6) = 0.
Пример 2. Для гиперболы у==— найти угловой коэффициент
секущей, проходящей через точки с абсциссами х = 3 и jcx = 10.
§ 1] НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 41
Решение. Здесь Лл: = 10 —3 = 7 У = j 9 У1==\о'> Л^~ Тб~~Т =
в -Ж- Следовательно, * = jjf = -gg.
2°. Производная. Производной у' — ~г от функции y = f(x) по аргу-
менту # называется предел отношения -р, когда А* стремится к нулю, т. е.
• =Ит ^,
д*->о Ал:
если этот предел существует.
Величина производной дает угловой коэффициент касательной МТ к
графику функции y = f(x) в точке х (рис. 11):
0'=tgq>.
Нахождение производной */' называют дифференцированием функции»
Производная у'= f (х) представляет собой скорость изменения функции в
точке х.
Пример 3. Найти производную функции
у — хг.
Решение. По формуле (1) получаем:
Ау = (х -{- Ал:)2 — л:2 = 2хАх -f (Ал:)2
Следовательно,
А* '
$,' = lim ^ = lim (2л: +• А*) = 2х.
д*->о Ал: дх->о
3°. Односторонние производные. Выражения
f'_(x)= iim,/(* + A*)-/W
дх-» - о Ал:
и
/lW= lim /(* + **)-/(*)
t- дл:-»4-о Ал;
называют соответственно левой или правой производной функции / (я) в
точке х. Для существования /' (л:) необходимо и достаточно, чтобы
/LW =4 ДО-
При мер 4. Найти /1.(0) и /1(0) для функции
f(x) = \x\.
Решение. Имеем по определению
/1(0)= lim 1£Ц__1, /1(0) = lim 1^ = 1.
42 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
4°. Бесконечная производная. Если в некоторой точке имеем
lim /(* + М-/(*)=ае>
д#-ю кх
то говорят, что непрерывная функция f (х) имеет бесконечную производную
в точке х. В этом случае касательная к графику функции y = f(x)
перпендикулярна к оси ОХ.
Пример 5. Найти /'(0) для функции
Решение. Имеем:
/'(0)= lim V—= lim * = =«>.
Дх-+о Да; д*-» о */ Дх2
341. Найти приращение функции у== л:2, соответствующее
переходу аргумента:
а) от х=1 до Xj = 2;
б) от х=\ до лгх = 1,1;
в) от х=\ до xl = \-\-h.
342. Найти Aj; для функции у=\/г ху если:
а) л; = 0, Д* = 0,001;
б) х = Ъ, Дх = —9;
в) х = ау Ax = h.
343. Почему для функции у = 2х-\-3 можно определить
приращение Ауу зная только, что соответствующее приращение Дл; = 5, а
для функции у = х2 этого сделать нельзя?
344. Найти приращение Ау и отношение -~ для функций:
а^ у==(хг- 2)2 при *==1 и Дл: = 0>4'
б) у=уЦ при х = 0 и Дд; = 0,0001;
в) ^ = 1^* прих= 100000 и Дл: = —90000.
345. Найти Ау и ~ , соответствующие изменению аргумента от
х до х-\-Ах для функций:
а) y = ax-{-b\ r)y = V~x;
б) у=х9; д) у = 2х;
в) y = ztl e)y = lnx.
§ 1] НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 43
346. Найти угловой коэффициент секущей к параболе
у = 2х— х2}
если абсциссы точек пересечения равны:
а) хг=\, х2 = 2;
б) ^=1, х2 = 0,9;
в) хг = 1, х2 = 1 + А.
К какому пределу стремится угловой коэффициент секущей в
последнем случае, если h—► ()?
347. Какова средняя скорость изменения функции у = л:3 в
промежутке 1 ^ х ^ 4?
348. Закон движения точки есть s = 2t2-\-3t-\-5} где
расстояние 5 дается в сантиметрах и время t — в секундах. Чему равна
средняя скорость точки за промежуток времени от /=1 до ^ = 5?
349. Найти средний подъем кривой 3; = 2х на отрезке 1^л:^5.
350. Найти средний подъем кривой^ =f(x) на отрезке [х, х -f- Ax].
351. Что понимают под подъемом кривой у —f(x) в данной
точке X?
352. Дать определение: а) средней скорости вращения; б)
мгновенной скорости вращения.
353. Нагретое тело, помещенное в среду с более низкой
температурой, охлаждается. Что следует понимать под: а) средней
скоростью охлаждения; б) скоростью охлаждения в данный
момент?
354. Что следует понимать под скоростью реагирования вещества
в химической реакции?
355. Пусть т=/(х) — масса неоднородного стержня на
отрезке [0, х]. Что следует понимать под: а) средней линейной
плотностью стержня на отрезке [л:, л;-|-Дл;]; б) линейной плотностью
стержня в точке х?
356. Найти отношение ~ для функции у = — в точке х = 2у
если: а) Длг = 1; б) Длг = 0,1; в) Дл; = 0,01. Чему равна производная У
при л: = 2?
357**. Найти производную от функции y=tgx.
358. Найти у'= Шп —- для функций:
а)у = х'; в)у=У"х;
6) У=^'> Г) y = dgX.
369. Вычислить /'(8), если f(x)=l/ x.
360. Найти /'(0), /(1), /'(2), ест f(x)=x{x — \)2(х — 2)\
44 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
361. В каких точках производная от функции f(x) = x* численно
совпадает со значением самой функции, т. е. /(#)=/' (#)?
362. Закон движения точки есть s = 5tz, где расстояние 5 дано в
метрах, а время t — в секундах. Найти скорость движения в момент
времени ^ = 3.
363. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = 0,1 х9,
проведенной в точке с абсциссой х = 2.
364. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = sin x
в точке (я; 0).
365. Найти значение производной от функции f(x) = — в точке
х==х0(х0=^0).
366*. Чему равны угловые коэффициенты касательных к кривым
у= — и у = х2 в точке их пересечения? Найти угол между этими
касательными.
367**. Показать, что следующие функции не имеют конечных
производных в указанных точках:
а) у = у/х2 в точке лг = 0;
б) у = i/x — 1 в точке х = 1;
2k 4- 1
в) .у ==| cosa:| в точках х = —^— я (k = 0, +1, ±2, .. .).
§ 2. Табличное дифференцирование
1°. Основные правила нахождения производной. Если
с —постоянная и и = ц> (х), v = яр (х) — функции, имеющие производные, то
1) (с)' = 0; 5) (uv)' — u'v + v'u;
3)(и±о)' = и'±в'| 7)(^У = -^ (г*0).
4) (си)'=си';
2°. Таблица производных основных функций
\. (хп)'=пх"-К V.(tgx)'=^-x.
П. (ITS)'=-i= (*>0). VI. (ctg*)'=- '
= COS #.
IV. (cos *)' = -—sin #.
III. (sin *)'= cos x. VII. (arcsin x)' = -7= (|*|<1).
yl-r
§ 2] ТАБЛИЧНОЕ
v ' У"1-х2
IX (arete xY —
1л' VaiLl&*/ —i i xz ■
л. (arceig x) — ■ xz 4-i'
XI. (ахУ = ах\па.
XII. (**)'=**.
XIII. (In x)' = - (x>0).
XIV. (log. xY =_L_ = i2M«£
XV. (shx)f = chx.
XVI. (chx)'=shx.
XVII. (th *)'==*
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
(1*1<1).
(x > 0, a > 0).
45
XVIII. (cthx)' =
XIX. (Arshx)' =
sh2x
1
XX. (Arch x)' = * (J x | > 1).
* Ух2 -1
XXI. (Arth^^y-Uf (|*|<1>.
XXII. (Arcth*)' = - p4rj (IхI > !>-
3°. Правило дифференцирования сложной функции.
Если yz=f(u) и ы = ф(#), т. е. г/ = /[ф (х)], где функции # и и имеют
производные, то
Ух = Уии'х (!)
или в других обозначениях
dy dy du
dx du dx'
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа
дифференцируемых функций.
Пример 1. Найти производную функции
у = (х2-2х+3)*.
Решение. Полагая у = и5, где и = х2, — 2х + 3, согласно формуле (1)
будем иметь:
у1 = (и*)'а (хг — 2х + 3)^ = 5м4 (2* — 2) = 10 (* — 1) {х2 — 2х+ 3)\
Пример 2. Найти производную функции
у = sin8 4#.
368. y = x
369. .у
46 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Решение. Полагая
у = и9; u = sitiv\ v = 4x,
находим:
г/' = 3w2 • cos у • 4 = 12 sin2 4* cos 4*.
Найти производные следующих функций (в №№ 368—408
правило дифференцирования сложной функции не используется):
А. Алгебраические функции
l j l 375. у = 3х* — 2х*+х~*.
—-дф'-ОЖ. 376*. у = х2 Ух2.
370. y = ax2 + t>x + c. 377. у = т^= т^=.
rj„i ;/ х2 х j/ *
37,^=-F- 378.,=^.
з72.^=^+^+". 379 /+д8
373. ,=-£±L. '"^Т5*?'
*■■ + " 880.^ = ^-1.
374. >=-= + 1п2. T+VT
381. ^ = 1+уД.
' 1-^2
Б. Функции тригонометрические и обратные круговые
382. у = 5 sin х + 3 cos х. 386. .у — arctg x + arcctg л;.
383. y = tgx — ctg*. 387. ,y = jtdgx.
384 y^sinx + cosx 388. ^ = xarcsinjc.
slnx-cos*" (l+**)arctg*-*
386. y=2t sin * — (**—2) cos <. 389' J'= 2 '
В. Функции показательные и логарифмические
390. у = х7-ех. 394. /(*) = ** cos*.
391. j> = (* — \)ех. 395. _у = (л2 — 2х + 2)Л
392. j/ = -j. 396. j; = ex arcsin jc.
xz
393. > = з. 397. v = r±-.
' e* J 1пж
§ 2] ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 47
398. у = х*\пх — £.
399. у = --{-2\пх-
ln#
х ■ ~ '
400. у = In л: \g х — In a loga x.
Г. Гиперболические и обратные гиперболические функции
401. y = xshx. 405. y=2Ltctgx— АгШл:.
v2
402 v = -^~ *^# j; = arcsinxArshx.
chA:' лпт „ Arch*
403. j = thx — x. 407- -v"~7~*
ллл Зс1Ьл: ,ло Arcth*
404. v = n . 408. v =-= r-.
J In л: ^ 1 — x2
Д. Сложные функции
Найти производные следующих функций (в №№ 409—466
необходимо использовать правило дифференцирования сложной
функции с одним промежуточным аргументом):
., 409**. у = (1 + 3* — 5х2)*0.
Р е ш е н и е. Обозначим 1 -(- 3* — 5а;2 = и; тогда у = и90. Имеем:
уа = Ш*\ их = 3-\0х\
y'x = 30uZ9.(2>-\0x) = 3Q(\ +3x-5x2)29-(3-10x).
амх fax + by
410. У = [—7~J •
411. /Cy) = (2a + 3fty)1.
412. у = (3-\-2х2)\
-iq _ 3 1 1
41d. ^ — 56 {2х - 1)7 24 (2х — 1)в 40 (2х - I)5 '
414. jf = Kr=^cT
415. y = l/a-\-bx*.
416. ^ = (а2/з —л:2/з)3/2.
417. ^ = (3 —2sinx)5.
Решение. у'= 5 (3 — 2 sin х)* • (3 — 2 sin х)' = 5 (3 — 2 sin л:)* (— 2 cos *)=?
= — 10 cos х (3 — 2 sin x)4.
418. j> = tgx-itg8* + itg5*.
419. ,y = ]/ctgA; — j/ctga. 421.* x==cosec2/ + sec2/.
420. у = 2x + 5 cos3 *. 422. /(*) = — 6(1_jC0SJg)a.
48 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
1 1
3 COS3 X COS X '
423. у =
ала 1 /~"3 sin х — 2 cos x
424. у— у g .
3/ .2„ I 1
425. у = У sin2 л: , e .
J v ' COS0 JC
426. у = К1 -f~ arcsin л;.
427. ^ = }/arctg x — (arcsin x)3.
428. « = —L_.
^ arctg x
429. jr = /***+*.
430. ^ = '6/2ex — 2* + 1 + In5 at.
431. y = s\n 3x -f-cos -r + tg "j/".
л:.
Решение, r/= cos Зя-(Зх)'—■ sin -р-(-г-) H 7= ("[/"* )' =
a \ о / cos2 V x
1 • * . 1
: 3 COS 2>X — -=- Sin
5 5 2 VaTcos2 Y"x '
432. y = sin(x2 — 5x-{-\)-\-tg-^,
433. /(*) = cos(ax + p).
434. /(0 = sin*sin(* + q>).
лъе 1 + cos 2л:
435- У=т^пгх-
436. /(x) = actg~.
437. y=— 20COS (5л;2) —
438. j/ = arcsin 2л:.
1
Решение.^ ■ - =
V\ -(2x)2
439. у = arcsin — .
440. / (a:) = arccos Ух.
441. j/ = arctg — .
442. у = arcctg j-i^.
443. j/ = 5*r*2.
444.,=^.
-r cos л:2.
4
• (2xY
2
У 1 - 4x2
445. ^ = л:М02лг.
446. /(0 = *sin2*.
447. y = arccos e*.
448. ^ = In (2л:+ 7).
449. jf^gsinA:.
450. j/ = ln(l—л:2).
451. <у = 1п2л: — 1п(1пл:)(
§ 2] ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
452. у = \п(ех -\-5sinx — 4 arcsin x).
453. з» = arctg (In x) -f- In (arctg лг).
454. ^ = ]Лп* + 1+1п(/л?+1).
E. Разные функции
455.** .у = sin'5x cos2-J.
лес И 4
456« ' = -2й=2?-*-=2-
447 « — 15 11 !__
w#. J'— 4(х-3)4 З(х-З)3 2(х-3)г*
458- ^ = 8(T^W
459.у = ^2х*-2х + 1.
' X
460. jf = __L=.
а2 Уа2+х2
461. ,у= - х =
462. у-.
463. j; =
465. ;; = л:4(а —2л:3)2.
^ ~ 5 (х + 2? ~~" (х + 2)1 "+" (ж + 2)5 ~~ 2 (х + 2)2
468. у = (а-{-х)]/а — х.
469. .у =/(л+ «)(* +&)(■* + «)•
470. z=Vy-JrVy~
471. /(0 = (2*+1)(3* + 2) ^3< + 2-
472. х= . * =.
/2ш/ -j/2
473. .у = In (КГ+ё^— 1) — In (Kl + e*4" !)•
474. у=-г? cos* х (3 cos*х — 5).
лук „ (tg2*-D(tg4* + 10tg2* + l)
475. у= з1К *
а с а -f- л;
;= * =-.
3 1^(1+*8)'
3tg3*
50 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
476. jr = tg*5*. 485. ^ = arcsin ^fl.
1 Х
477. У = ~2 sin (r
486. у = arcsin -
478. j/ = sin2(*8). /1+*2
479. y — 3sinx cos2* -f sin8*. 4g7 _ arccos л:
1 , , *У V\-x*'
480. .V = ^tg8*-tgA; + *. , -„
488. v =-7= arcsin (x l/ — ).
mi. у— зsirlex-Г" з С1ё*- ^
>.o« i/———n »— 489- -V == г я2 — *2 + a arcsin- .
482. ,у = У a sin2*-)-p cos2*. "^ ' a
483. j> = arcsin x2 + arccos л:2. 490. j, = * ]/V—;t2-[-a2arcsin -£ .
484. y = \(arcsin*)2 arccosx. 491# j,=arCsin(l-jc)+l/2^=F.
492. ,У = ( x~~2j arcsin"^ x-\- j Vx — x2
493. y = ln (arcsin 5л:).
494. y== arcsin (In л:).
.л- , я sin a
495.j> = arctgl_xcosa.
2 5t§f + 4
496. У — -3 arctg 3 •
498. y=— / 2 arcctg-^L — x
497. jr = 3ft* arctg ]/ y^ — (3* + 2je) /ftx — x2.
tg£
499. y = V^nr.
500. >> = esln4
501. F(Ar) = (2wam* + 6y.
502. F(0 = e'*(cosp<.
-fto „ (« sin flx - ft cos fix) e'x
Ь04. y— аг + р '
504. у =ут e~* (3 sin 3x — cos Зд;).
605. y = x"a-x\ 507. y = 3clS~.
506. j; = К cos л; a*'»"*. 508. д> = In (ахг -\-bx-\- с).
§ 2] ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 51
509. у = \п(х-\-У^Т^)- 5U*.y = ln^=^t.
510. у = х — 2]/~х-\-2\п{\-\-У^с). 515.у = \п(х~1),(х~2).
X —— о
511. у = In (a -f x + /глж + л;2).
513. у = In cos .
J X
517. y^^YF^ — jlnix+V*^).
518. j; = In In (3 — 2jc»).
519. j/ = 51n3(a;c + &).
сол , Vx2+a2 + x
520. v = In !у=Л=-!—.
^ Vxz + a2 - x
521. y = %\n(x2 — a2) + ~ln^=-?.
^ 2 x ' ' 2a a; -f- a
522. j; = A:'Sin Ппл: ^-J .
rno 1 ! . a: 1 cos x
523.y = j\ntg^-jm^.
524. /{x)=VxT^f\— \ni+yrf + l,
626. у — 2arc3ins*-j-(1 — arccos 3x)\
sin яле i • e
527. j, = 3^^+ * 9Ш ax
528. j/=--^ln
3 cos3 bx •
X
2"
tg4 + 2-y3
^3 tg-J + 2 + УТ
529. j/ = arctgln;c.
530. у = In arcsinx -f- -^ lfl2 * + arcsin In x.
531. j/ = arctgln — .
еол V~~2 4. * , 1 t л: — 1
532-^ = VarctSjp+6lnJTT'
533. v = In 1+>^f -L 2 arctgKsbTx .
1 — К sin л
534. y^in^ + lln^ + ^utigx.
52 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
1 1 1 Оу 1
535. /(x)=^lnll+*)-ilnlx1-*+l) + ^aictg-y=-.
536. f(x) =^^4-1п/ь^Р.
537. ^ = sh8 2л;. 542. >> = Arch In x.
538. у = e°x ch 0*. 543. у = Arth (tg x).
539. ^ = ths 2x. 544. 3; = Arcth (sec x).
2x
540. у = In sh 2jc. 545. у = Arth y-^ .
541. j> = Arsh^. 546. y=~(x2 — i)Arth* + y*.
547->'=(y^+T)Arshx-Tx^r+:^-
548. Найти У, если:
а) y = \x\;
б) y = x\x\.
Построить графики функций у и у\
549. Найти у\ если
у = \п\х\ (х^О).
550. Найти /' (л:), если
, ._/ 1 — * при x<0,
/w — | е.* при х>0я
551. Вычислить /'(0), если
/(х) = е"х cos Зл:.
Решение. /' (х) = е""* ( — 3 sin Зл:) — е~* cos Зл:;
/' (0) = е° ( — 3 sin 0) — е° cos 0 = — 1.
552. /(x) = ln(l+x) + arcsinj. Найти /'(1).
«,-*?. н,»™(|)_.
554. Найти /+ (0) и /_ (0) для функций:
a) f(x) = Vsin(x2); г) /(*) = ** sin 1, х=^0; /(0) = 0;
6)/W=arcsin2j^-; Д) /(^) = *sin-, х^О; /(0) = 0.
в) /(*) = —^-г, *^=0; /(0) = 0;
655. Для функции f(x) = e-x найти /(0) + л/'(0).
§ 2] ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 53
556. Для функции f(x) = V\-\-x найти /(3)-f(x — 3)/'(3).
557. Даны функции f(x) = tgx и ф(л:) = 1п(1—л:), найти Mq: .
558. Дляфункций/(х)= 1—х\мр(х) = \—sin -^ найти ;, , .
559. Доказать, что производная четной функции — функция
нечетная, а производная нечетной функции — функция четная.
560. Доказать, что производная периодической функции есть
функция также периодическая.
561. Показать, что функция у = хе~х удовлетворяет уравнению
ху' = (1—х)у.
562. Показать, что функция у = хе 2 удовлетворяет уравнению
Ху' = (\—Х*)у.
563. Показать, что функция у = t , , .— удовлетворяет уравне-
1 ~~г~ X —I— 1П а
нию ху' =у (у In х—1).
Ж. Логарифмическая производная
Логарифмической производной функции у — f (х) называется производная
от логарифма этой функции, т. е.
Применение предварительного логарифмирования функции иногда упрощает
нахождение ее производной.
Пример. Найти производную сложно-показательной функции
где и = у(х) и v = \p{x).
Решение. Логарифмируя, получим:
In y — v In и.
Дифференцируем обе части последнего равенства по х
(\ny)'=v' \nu -\-v(\n и)',
или
— у' — v' In и 4-v — и'у
У и
отсюда
или
y' = yfv'\n " + -j и'} ,
y' = uv(v'\n u+j-u'
54 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
564. Найти у\ если
у = / х2 j-TTp sin8 х cos2 x.
2
Решение. In у = -тг 1п* + 1п(1 — х) — ln(l +JC2) -f-31nsinA; -f-2 In cosa:,
1 , 2 1 , (—1) 2л: , 0 1 2 sin л:
— У = -z hi — тп—2 + 3-—cos* ,
у 3 х ' 1 — х 1 -f- * sin я cos х
откуда / = J^__r__T_ + 3ctg*-2tg*J.
665. Найти у\ если y = (s\nx)x.
Решение. In у = х\п sin л:; —у'= In sin x-{-х ctgх\
у' = (sin x)x (In sinx -{-x ctg x).
Найти у', применяя предварительно логарифмирование функции
У =/(*)••
566. у = (х-{-\)(2х-\-\)(Зх + 1). 574. у = %/ х.
S67' У = (, + Йх + зу • 575' ' = xV~X'
568. .у = }^Чг=Г • б76' -V = *** •
569. j/ = х YWT\' 577- -V = *81п *•
570. v = (*-2)9 ==г б78# ^ _ (cos ^,ш *#
^ V(x— l)* (x- 3)"
671. jf=T7r- "^V 579. jF = f 1 -f-i-У.
572. y = xx. 580. j/ = (arctg л:)*.
573. y=.xx\
§ 3. Производные функций, не являющихся явно заданными
1°. Пр о и з в о д н а я обратной функции. Если для функции
y = f(x) производная у'х Ф 0, то производная обратной функции х = ["1(у)
есть
1
или
V
dx
dy~
У'х
1
~d»'
dx
§ 3] ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ ЯВНО ЗАДАННЫМИ 55
Пример 1. Найти производную х > если
у = х-\-\пх.
Решение. Имеем ух = 1 -] = "*" ■; следовательно, х,
хх У х-\-\
2°. П р о из в од н ые ф у н к ци й, заданных параметрически.
Если зависимость функции у и аргумента х задана посредством параметра t
( х = ф(/),
то
или в других обозначениях
Ух =
dy
dx"
1 х =
\ У =
_ yt
— ' Т »
xt
dy
_ dt
~ dx
ш
= a cos tt
= a sin t.
Пример 2. Найти -— , если
Решение. Находим -т- = —a sin t и -^ = a cost. Отсюда
<fy a cost
-ji == .—; = — СЬ t.
ax — a sin t
3°. Производная неявной функции. Если зависимость между
х и у задана в неявной форме
F(xt y) = 0- (I)
то для нахождения производной у'х = у' в простейших случаях достаточно:
1) вычислить производную по х от левой части уравнения (1), считая #
функцией от х\ 2) приравнять эту производную нулю, т. е. положить
^F(x,y)=0, (2)
и 3) решить полученное уравнение относительно у\
Пример 3. Найти производную*/^, если
х3+у3 — 3аху = 0. (3)
Решение. Составляя производную левой части равенства (3) и
приравнивая ее нулю, получим:
З*2 + Ъу2у' -2>а(у + ху') = О,
отсюда
56
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
581. Найти производную ху> если
а) у = Зх-\- Xs;
б) у =х — -^sinx;
в) у = 0,\х + е2
.*У
Определить производную у' = -г для функций у, заданных
параметрически:
х — а cos21,
582. Iх'-,,
x = 2t—\,
589. r = aC°SJ'
\ y — b sin21.
583.
584.
585.
590.
x = a cos81,
jx = acos
(j; = £sin8
2a/
* 1 +12 '
■У 1+'2
cos3 /
591.
592.
593.
3> =
Vcos 2t'
sin8 /
У cos 2/'
x = arc cos
д> =arcsin
1
V\ +t2'
t
-t
0zt
x = yir^-\y
587. I _ t-\
\y=e
I x = a[ \nig—-\-Q,ost — sinM ,
594. 1 ^ z J
| y — a(sin £-{-cos/).
588.
x = a(cost -\- ?sin?),
t cos t).
j x = a{cost-\-
\ ^ = a(sin^—
-Л,- t-i dy , n
595. Вычислить j- при £ = —, если
I
x = a(t — sin t),
у = a(\ —cos^).
Л dy a suit smt (dy\
Решение. -—:=— тг =~* < и г =
dx a (1—cos 0 1—cos* \dxj ^
sinT
t=f l-cosT
= 1.
§ 3] ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ ЯВНО ЗАДАННЫМИ 57
. x = tlnt,
596. Найти j- при t=l, если \ in*
597. Найти -/ при / = -7-, если < / . ,
598. Доказать, что функция у, заданная параметрически
уравнениями
i x = 2t-\-3t\
удовлетворяет уравнению
>=№'+*№■
599. При х—2 справедливо равенство
х2 = 2х.
Следует ли отсюда, что
(х*У = (2х)'
при х = 2?
600. Пусть у—У а2 — л:2. Можно ли почленно дифференцировать
равенство
х2-\-у2 = а2?
Найти производную у' =-~ от неявных функций^:
601. 2х — 5у-\-\0 = 0. 610. tgy = xy.
602. £ + -£==1. 611. xy=arctgj.
603. xz-\-y* = a\ 612. arctg(x-{-y)=x.
604. x'-\-x2y-{-y2 = Q. 613. ey = x-\-y.
_ __ _ _y_
605. V x-{-V y = V <*. 614. In x -\-e * =cm
606. V^2-\-Vf=-V^ 615. lnj/-f-=c.
607./=^. 616. arctg|-==iln(x2 + y2).
608. y — 0,3sin.y=;t. 617. Vx2 +У = carctg-^ .
609. acos2(x-|-j;) = £. 618. xy=yx.
58 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
619. Найти У в точке М(\; 1), если
2у=1+ ху\
Решение. Дифференцируя, имеем 2у' = у* -f- 3**/У. Полагая х = 1 и
у=1, получим 2#' = 1-f-З*/', откуда #' = —1.
620. Найти производные У заданных функций jj в указанных
точках:
а) (л:+.у)8 = 27(л;— .у) при х = 2 иу = \;
б) уеу = е*+1 при я = 0 и j; = 1;
в) j;2 = л: -J- In — при х— 1 и j/= 1.
§ 4. Геометрические и механические приложения производной
1°. Уравнения касательной и нормали. Из геометрического
смысла производной следует, что уравнение касательной к кривой y = f(x)
или F(xt у) = 0 в точке М (ха, у0) будет
У — Уо = у'0(х — *•)»
где ^есть значение производной t/ в точке М (xQ9 y0). Прямая, проходящая
Рис. 12. Рис. 13.
через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью
к кривой. Для нормали получаем уравнение
х — х0 + у'й{у — у0) =0.
2°. Угол между кривыми. Под углом между кривыми
и
£ = /»(*)
в их общей точке М0(х0, у0) (рис. 12) понимается угол со между касательными
MqA и /И0£ к этим кривым в точке /И0.
По известной формуле аналитической геометрии получаем;
f't (*о) - /1(*о)
§ 4]
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
59
3°. Отрезки, связанные с касательной и нормалью,
для случая прямоугольной системы координат. Касательная
и нормаль определяют следующие четыре отрезка (рис. 13):
t = ТМ — так называемый отрезок касательной,
Sf =ТК — подкасательная,
п =NM —отрезок нормали,
Sn = KN — поднормаль.
Так как KM = \y0\ntg(p = y'Q, то
t=TM.
St = TK =
Уо
Уо
n = NM = \y9yi+tf)*
Sn = I УоУь
Уо\
4°. Отрезки, связанные с касательной и нормалью,
для случая полярной системы координат. Если кривая задана
"1
\*Г
ЯР
Рис. 14.
Рис. 15.
в полярных координатах уравнением /- = /(ф), то угол \i, образованный
касательной МТ и полярным радиусом г = ОМ (рис. 14), определяется следующей
формулой:
tg и = г -j- = -у .
Касательная МТ и нормаль MN в точке М вместе с полярным радиусом
точки касания и перпендикуляром к полярному радиусу, проведенным через
полюс О, определяют следующие четыре отрезка (см. рис. 14):
t = МТ — отрезок полярной касательной,
n = MN — отрезок полярной нормали,
Sf= ОТ — полярная подкасательная,
Sn = ON — полярная поднормаль.
Эти отрезки выражаются следующими формулами:
t = MT =
Tl = MN :
621.
Какие углы ф образуют с осью O.Y касательные к кривой
а) лг = 0; б) д;==—; в) х=1?
■л:2 в точках с абсциссами:
у = х
Решение. Имеем у' = 1 — 2х. Отсюда: a) tg ф = 1, ф = 45°; б) tg ф = О,
ф = 0°; в) tg ф = — 1, ф = 135° (рис. 15).
60 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
622. Под какими углами синусоиды y = s\nx и j; = sin 2л:
пересекают ось абсцисс в начале координат?
623. Под каким углом тангенсоида^ = tg х пересекает ось абсцисс
в начале координат?
624. Под каким углом кривая у = е0,5х пересекает прямую х = 2?
625. Найти точки, в которых касательные к кривой у = Ъх*-\-
-\-Ахъ—12л;2-[-20 параллельны оси абсцисс.
626. В какой точке касательная к параболе
у =х2— 7л;-{-3
параллельна прямой Ьх-\-у — 3 = 0?
627. Найти уравнение параболы у = х2-\-Ьх-\-су касающейся
прямой х=у в точке (1; 1).
628. Определить угловой коэффициент касательной к кривой
#3+>'3— ХУ — 7 = 0 в точке (1; 2).
629. В какой точке кривой д>2 = 2л;* касательная перпендикулярна
к прямой Ах — Зу -{- 2 = 0?
630. Написать уравнение касательной и нормали к параболе
в точке с абсциссой х = А.
Решение. Имеем у' = —— ; отсюда угловой коэффициент касатель-
2\ х
ной ^=:[г/']д.;_4 = —-. Так как точка касания имеет координаты х== 4, у = 2,
то уравнение касательной есть у — 2 — — (х — 4), или х — Ay -f--4 = 0.
В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент нормали
откуда уравнение нормали у — 2 = — 4 (х — 4), или 4х -\-у— 18 = 0.
631. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
у = х*-\-2х2 — Ах — 3 в точке (—2; 5).
632. Найти уравнение касательной и нормали к кривой
у = 1/7=1
в точке (1; 0).
633. Составить уравнения касательной и нормали к кривым в
указанных точках:
а) y — tg2x в начале координат;
х — 1
б) у = arcsin —^— в точке пересечения с осью ОХ;
в) j; = arccos3;t в точке пересечения с осью OY;
г) у = 1пх в точке пересечения с осью ОХ;
д) у = е1~*2 в точках пересечения с прямой у=\.
§4]
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
61
634. Написать уравнения касательной и нормали в точке (2;2)
к кривой , j I |
\у 2t2^2t
635. Написать уравнения касательной к кривой
a; = /cos*, y = tsint
в начале координат и в точке * = —.
636. Написать уравнения касательной и нормали к* кривой
*3 ~ЬУ2 4~ %х — 6 — 0 в точке с ординатой у = 3.
637. Написать уравнение касательной к кривой х* -\-ys—2;ty=0
в точке (1; 1).
638. Написать уравнения касательных и нормалей к кривой
у = (х—\)(х — 2) (л: — 3) в точках ее пересечения с осью абсцисс.
639. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
у* = 4х*-\-бху в точке (1;2).
640*. Показать, что отрезок касательной к гиперболе xy = azt
заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
641. Показать, что у астроиды х2 3 -^-у2'3=а2/3 отрезок касательной,
содержащийся между координатными осями, имеет постоянную
величину, равную а.
642. Показать, что нормали к развертке окружности
х = a (cos t -\-1 sin t), y = a (sin t — /cos t)
являются касательными к окружности х2-\-у2 = а2.
643. Найти угол, под которым пересекаются параболы >> = (х — 2)2
и у==—4-|-6л; — х2.
644. Под каким углом пересекаются параболы у = х2 и y = x3't
645. Показать, что кривые у = 4л:2 -{- 2х — 8 иу=хг — jc ~f- 10
касаются друг друга в точке (3;34). Будет ли то же самое в точке
(-2; 4)?
646. Показать, что гиперболы
ху — а2 и х2—у2 = Ь2
пересекаются под прямым углом.
647. Дана парабола у2 = 4х. Вычислить в точке (1;2) длины
отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.
648. Найти подкасательную кривой j; = 2*b любой ее точке.
649. Показать, что у равносторонней гиперболы х2 —у2 = а2 длина
отрезка нормали в любой точке равна полярному радиусу этой точки.
660. Показать, что поднормаль гиперболы л:2—у2 —а2 в любой
ее точке равна абсциссе этой точки.
62 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
651. Показать, что подкасательные эллипса — + 7?= 1 и ок-
ружности х2 А^уг = аг в точках, имеющих одинаковые абсциссы, равны
между собой. Какой прием построения касательной к эллипсу отсюда
вытекает?
652. Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной
и поднормали у циклоиды
x — a(t — sin/),
у = а(\ — cost)
в произвольной точке t = t0.
653. Найти угол между касательной и полярным радиусом точки
касания у логарифмической спирали
rz=aek(9.
654. Найти угол между касательной и полярным радиусом точки
касания у лемнискаты r2 = a2cos 2ф.
655. Найти длины отрезков полярных касательной, нормали,
подкасательной и поднормали, а также угол между касательной и полярным
радиусом точки касания у спирали Архимеда
в точке с полярным углом ф = 2я.
656. Найти длины отрезков полярных подкасательной, поднормали,
касательной и нормали, а также угол между касательной и полярным
радиусом у гиперболической спирали г = — в произвольной точке
ф = Фв; г = г0.
657. Закон движения точки по оси ОХ есть
x = 3t — f.
Найти скорость движения точки для моментов времени: /0 = 0,
/,= 1 и *2 —2 (х дается в сантиметрах, t — в секундах).
658. По оси ОХ движутся две точки, имеющие законы движения
х= 100 + 5*
и
где t^O. С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в
момент встречи (х дается в сантиметрах, / — в секундах)?
659. Концы отрезка АВ=Ъ м скользят по перпендикулярным
прямым ОХ и OY (рис. 16). Скорость перемещения конца А равна 2 м\сек.
Какова скорость перемещения конца В в тот момент, когда конец А
находится от начала координат на расстоянии ОА = 3 м!
§4]
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
63
660*. Закон движения материальной точки, брошенной в
вертикальной плоскости XOY (рис. 17) под углом а к горизонту с начальной
скоростью г/0, дается формулами (без учета сопротивления воздуха)
x = v0tcosa, y = v0tsina—у,
где t — время, g—ускорение силы тяжести. Найти траекторию
движения и дальность полета. Определить также величину скорости
движения и ее направление.
Рис. 17.
661. Точка движется по гиперболе у = — так, что ее
абсцисса х растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду. С
какой скоростью изменяется ее ордината, когда точка проходит
положение (5; 2)?
662. В какой точке параболы уг = 18л: ордината возрастает вдвое
скорее, чем абсцисса?
663. Одна сторона прямоугольника имеет постоянную величину
#=10 см, а другая Ъ изменяется, возрастая с постоянной скоростью
4см\сек. С какой скоростью растут диагональ прямоугольника и его
площадь в тот момент, когда £=30 см!
664. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см\сек,
С какой скоростью растут площадь поверхности шара и объем шара
в момент, когда радиус его становится равным 50 см!
665. Точка движется по архимедовой спирали
(а=10 см) так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса
постоянна и равна 6° в секунду. Определить скорость удлинения
полярного радиуса г в момент, когда г=25 см.
64
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
666. Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его части
AM растет пропорционально квадрату расстояния текущей точки М от
конца А и равна Юг при АМ=2см. Найти массу всего стержня
АВ и линейную плотность в любой его точке М, Чему равна
линейная плотность стержня в точках А и В}
§ 5. Производные высших порядков
1°. Определение высших производных. Производной
второго порядка или второй производной функции у = [(х) называется
производная от ее производной, т. е.
Обозначается вторая производная так:
d2u
у"у или -т-у , или /" (л:).
d2x
Если x — f(t) — закон прямолинейного движения точки, то т-у- есть
ускорение этого движения.
Вообще, производной п-го порядка от функции y — f(x) называют
производную от производной порядка (п — 1). Для л-й производной употребляются
обозначения
*/<">, или ^|, или /<и> (*).
Пример 1. Найти производную 2-го порядка от функции
У=:\П(\-Х).
1
Решение. * = ^ ^=(пгг) :
"О-*)2'
2°. Формула Лейбница. Если функции и = ф (х) и v = г|) (х) имеют
производные до п-ro порядка включительно, то для вычисления л-й
производной произведения этих функций можно пользоваться формулой Лейбница
(uv)W = u^v + nuWv' + "(/|~1) uin ~2 v" + ...+ uv(n\
3°. Производные высших порядков функций,
заданных параметрически. Если
/* = Ф(0.
* dij i, d2y -
то производные yx = -f-, ухх = -г\ , ... последовательно могут быть
вычислены по формулам:
Уг " / ' V (yx)t ,/" (Ухх)г u „, я
Для производной 2-го порядка имеет место формула
г ft и t
» хгУп~~хнУг
УХХ- (,;), ■
§ 5] ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 65
Пример 2. Найти у", если
I x = acost,
\ y=bsmt.
Решение. Имеем:
(6 sin/)', b-cost b t л
у' = = = ctg /
(acost)t -asm/ a *
и
(acos/)J -a sin/ a2 sin8 Г
И. Производные высших порядков явных функций
Найти производные 2-го порядка от следующих функций:
667. у = х8-\-7х* — 5л;+ 4. 671. у = \n(xArVаг-\-хг).
668. у = ех\ 672. / (х) = (1 + л:2) arctg x.
669. <y = sinIx. 673. у = (arcsin л;)2.
670. ву = 1п j/l-f-лЛ 674. ^ = a ch-£.
675. Показать, что функция у =— о удовлетворяет
дифференциальному уравнению 1 -\-у'2 = 2уу".
676. Показать, что функция У^-к- хгех удовлетворяет
дифференциальному уравнению .у" — 2у9 -\-у=ех.
677. Показать, что функция у — Схе~х-\-С2е~2х при любых
постоянных Сх и С2 удовлетворяет уравнению у" -\-Зу' -\-2у = 0.
678. Показать, что функция у = е2х sin 5л; удовлетворяет
уравнению у" — 4/ + 29у = 0.
679. Найти/", если-у = х8 — 5лг2 + 7лг — 2.
680. Найти/"' (3), если /(х) = (2л: — З)5.
681. Найти yv от функции ^ ===== In (1 -|— л:).
682. Найти yYl от функции у = sin 2л\
683. Показать, что функция у = е~х cos x удовлетворяет
дифференциальному уравнению ^IV-J-4y = 0.
684. Найти /(0), /'(0), /'(0) и /'"(О), если
f(x) = ex sinx.
685. Уравнение движения точки по оси ОХ есть
х= ЮО + 5/ — 0,00 И3.
Найти скорость и ускорение точки для моментов времени /0 = 0,
/1=1; /2=10.
3 Г. С. Бараненков и др.
66
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
686. По окружности х2~\-уг — а2 движется точка Ж с постоянной
угловой скоростью со. Найти закон движения ее проекции Мх на ось
ОХ, если в момент t = О точка занимает
положение Ж0(а, 0) (рис. 18). Найти скорость
и ускорение движения точки Мх.
Чему равны скорость и ускорение точки
Мх в начальный момент и в момент
прохождения начала координат?
Каковы максимальные значения
абсолютной величины скорости и абсолютной
величины ускорения точки Мх1
687. Найти производную я-го порядка
от функции у = [ах -f- b)n (n — натуральное
число).
Рис. 18.
688. Найти производные я-го порядка от функций:
a)^=jTT7» б) у = У7.
689. Найти л-ю производную от функций:
а) y = smx;
б) у = cos 2x\
Д) У = т
+ х '
в) у — е~*х; ж) y = s'm2x;
г) y=\n(l +jc); з) у = \п(ах-\-Ь).
690. Применяя формулу Лейбница, найти у{п\ если:
в) jf = (l— x8)cosat; Д).У = * Ш*.
Найти fn) (0), если /(jt^lnj-^.
691.
Б. Производные высших порядков функций, заданных
параметрически, и неявных функций
Найти -Л от следующих функций:
( x=lnt, ( x = aTctgty i # = arcsin*,
693. a) < в) <
I y=:asivit; { y = a(l—cosf);
{x = acos*ty | A:==a(sin^ — fcos/),
y = asln*t; \ y=a(cost-\-tsmt).
§ 5J ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 67
л: = cos 2if, i x = atctgt,
694. a) <v = slV,.' 695. а)
Ja;==cos2i
*• а> \.y=sin2/;
(х = e"at { у 2 ' ]
^-i'
1 -/
fine и н ^ /AT=elCOS/,
696. Найти ^, если ^ = etsln<t
697. Найти g при * = 0, если |*^]"(1 ~*"'f)'
698. Показать, что j/, как функция от х, определяемая
уравнениями л: == sin/,^у = aei Уг -\-Ье~* V2y при любых постоянных а и b
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Найти у'"=-т^3 от следующих функций:
б»». {;=*«'• 7».. {;=;;'■
™- {;=Й2!: «в- "*» g, если {;=;:'•
703. Зная функцию y=f (x)y найти производные х", х"' обратной
функции x=f~x (у).
704. Найти/', если хг-\-уг=\.
Решение. На основании правила дифференцирования сложной функ-
% / х \f и хцг
ции имеем 2л; + 2##'= 0; отсюда у' = и */"=—( — I =— 2~ •
Подставляя вместо у' его значение, окончательно получим:
у*+х*_ 1
^ "~ У* ~~ У3 '
Определить производные у" от следующих функций" у=/(х),
заданных неявно:
705. у2 = 2рх.
706. £J4-iJ=l.
а2 ' Ь2
707. .у = л;-[-агс^.У-
d2# <22я
708. Имея уравнение у = х-\-\пу, найти ji и ;р-
709. Найти У в точке (1;1), если
л;2 + Ъху 4-У — 2* +.У — 6 = 0.
710. Найти у" в точке (0;1), если
х* — ху-\-у* — 1.
68
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
711. а) Функция у задана неявно уравнением
х1 -|- 2ху -\-уг — 4х 4- 2у — 2 = 0.
Найти -г| в точке (1;1).
б) Найти 0, если х*-\-/ = а\
§ 6. Дифференциалы первого и высших порядков
Р. Дифференциал первого порядка. Дифференциалом
(первого порядка) функции y = f(x) называется главная часть ее приращения,
линейная относительно приращения Ax = dx независимой переменной х.
Дифференциал функции равен произведению ее
производной на дифференциал независимой
переменной
dy = y'dx.
Отсюда
/ dy
Если MN—дуга графика функции y—f(x)
(рис. 19), М Т — касательная в точке
М (х,у) и
PQ = Ах = dx,
то приращение ординаты касательной
Рис. 19. s AT = dy
и отрезок AN = Ay.
Пример 1. Найти приращение и дифференциал функции у = Зле2 — х.
Решение. 1-й способ:
или
Следовательно,
2-й способ:
Ay=z 3 (х + Ах)2 - (х + Ах) - Зх2 + х
Ау = (6х-1)Ах + 3(Ах)2.
dy = (6x— 1) Дх = (6х — \)dx.
у' = 6х— 1; dy = y' dx — (6x— \)dx.
Пример 2. Вычислить Д# и dy функции # = 3х2 — х при х =
Дх = 0,01.
Решение. Д# = (6х — 1)- Ах + 3(Дх)2 = 5-0,01 + 3-(0,01)2 = 0,0503
и
Ж/ = (6х-1) Ах = 5-0,01 = 0,0500.
2°. Основные свойства дифференциалов:
1) dc=Q, где с = const.
2) cfx = Ax, где х — независимая переменная.
3) d(cu) = cdu.
4) d(f/=t y) = dw±dt;.
5) d(uv) = udv-\-v du.
сч , ( u\__vdu — udv
6) dUJ —*— ( ф )e
7)dt(u) = f'(u)du.
1 и
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 69
3°. Применение дифференциала к приближенным
вычислениям. Если приращение Ах аргумента х мало по абсолютной
величине, то дифференциал dy функции y=zf(x) и приращение Ау функции
приближенно равны между собой
Ay ^ dy,
т. е.
/(* + Дд)_/(*)^:/'(*)Д*,
откуда
f(x + Ax)^f(x) + f'(x)Ax. (1)
Пример 3. Насколько приблизительно изменится сторона квадрата,
если площадь его увеличилась от 9 м2 до 9,1 мг?
Решение. Если х — площадь квадрата и у — сторона его, то
По условию задачи: х — 9\ Ах = 0,1.
Приращение Ау стороны квадрата вычисляем приближенно:
Ay^dy — y'Ax = ——. 0,1 =0,016 ^.
4°. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом
второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка:
d*y = d(dy).
Аналогично определяются дифференциалы третьего и т. д. порядков.
Если y — f(x) и х — независимая переменная, то
d2y = y"(dx)\
d*y = y'"(dx)',
dny = y{n)(dx)n.
Если же y = f(u), где и = у(х), то
d2y = y"(du)2 + y' d2u,
d3y — yf" {du)*\-?>y"du*d2u+y' d'u
ит. д. (Здесь штрихами обозначено дифференцирование по и.)
712.ч Найти приращение Ау и дифференциал dy функции у = 5х-\~
4- х2 при х = 2 и Ах = 0,001.
713. Не вычисляя производной, найти
d(l— х9)
при х=\ и Ах = — у.
714. Площадь квадрата 5 со стороной, равной х, выражается по
формуле S — x*. Найти приращение и дифференциал этой функции и
выяснить геометрическое значение последнего.
715. Дать геометрическую интерпретацию приращения и
дифференциала следующих функций:
а) площадь круга S = nx*; б) объем куба v = x*.
70 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
716. Показать, что при Ад;—>0 приращение функции у = 2х,
соответствующее приращению х на величину Дд;, при всяком х
эквивалентно выражению 2х Ах In 2.
717. При каком значении х дифференциал функции у = х2 не
эквивалентен приращению этой функции при Дд;—►()?
718. Имеет ли функция д; = |д;| дифференциал при д; = 0?
719. Пользуясь производной, найти дифференциал функции у = cos*
при X — -W- и Дд;—gg.
720. Найти дифференциал функции
2
при х=9 и Ах = — 0,01.
721. Вычислить дифференциал функции
y = tgx
при* = | и Д* = щ.
Найти дифференциалы следующих функций для произвольных
значений аргумента и его приращения:
7оо «, * 727. у = д;1пл: — х.
144. у рр . *
728. у = \п{-г^ .
723. у = г^—. 1+*
1~~х 729. r = ctg(p-j-cosecq).
724. у= arcsin — . 730. s=arcctg**.
725. у= arctg — .
726. у = е"х\
731. Найти dy> если л:2-}-2д;^—^2 = а*.
Решение. Пользуясь инвариантностью формы дифференциала, получим:
2xdx-{-2(ydx-\-x dy) — 2ydy = 0. Отсюда
d# = — d*.
* —0
Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно:
732. (х-\-у)*(2х-\-у)* = 1.
733. ^ = ^ Т.
734. In j/"x2+^2 = arctg -£.
735. Найти dy в точке (1; 2), если У—у=&х*.
§ 6J ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 71
736. Найти приближенное значение sin 31°.
Решение. Полагая * = агс30° = ~ и A* = arc 1° = щ » из
формулы (1) (см. 3°) имеем sin 31°^ sin 30° + ~^cos 30°=0,500 + 0,017 . 1— = 0,515.
737. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно
вычислить:
а) cos 61°; г) lg0,9;
б) tg44°; д) arctg 1,05.
в) в0»2;
738. Насколько приблизительно увеличится объем шара, если его
радиус R=\5cm удлинится на 2 мм?
739. Вывести приближенную формулу (для | Ал:), малых по
сравнению с х)
]/х + Ах ^ У1с-{-
Ах
2}/"1с
и с ее помощью найти приближенные значения для У5; 1^17; У^70;
/640.
740. Вывести приближенную формулу
у l v ~ г*/х*
и найти приближенные значения для £/l0, ^/70, £/200.
741. Найти приближенные значения функций:
а) у = xs — 4х2 + 5л: -f- 3 при х = 1,03;
б) f(x) = Vl-\-x при х = 0,2;
j-^ при * = 0,1;
г) у = е1-*2 при л:=1,05.
742. Найти приближенное значение tg45°3'20".
743. Найти приближенно arcsin0,54.
744. Найти приближенно л/\7.
745. Показать, основываясь на формуле закона Ома f=-jr > что
малое изменение тока, обусловленное малым изменением
сопротивления, может быть найдено приближенно по формуле
Д/=—^ДЯ.
746. Показать, что относительная погрешность в 1 % при
определении длины радиуса влечет за собой относительную погрешность
приблизительно в 2% при вычислении площади круга и поверхности шара.
747. Вычислить йгу, если jj = cos5a:.
Решение. dzyz=y" (dx)2 = — 25 cos Ъх (dx)2.
72 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
748. vl = V\ — х\ найти d*u.
749. ^ = arccosjc, найти d2y.
750. у = sin x In х, найти d2y.
751. z = —, найти d2z.
x
752. z = x2e'x, найти </8г.
753. z= » , найти d42.
754. a == 3 sin (2jc -J- 5), найти dnu.
755. ^ == e*cos * sin (jc sin а), найти dny.
§ 7. Теоремы о среднем
1°. Теорема Ролля. Если функция f(х) непрерывна на отрезке
az^x^b, имеет производную /' (х) в каждой внутренней точке этого отрезка и
/(*) = /<*).
то для аргумента х существует по меньшей мере одно значение £, где
я < £ < bt такое, что
f <Е> = 0.
2°. Теорема Лагранжа. Если функция / (*) непрерывна на отрезке
а ^ х^ Ь и имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то
/(«-/(a) = (*-a)/'(E).
где а< £< 6.
3°. Теорема Кош и. Если функции / (х) и F (х) непрерывны на отрезке
as^xz^b и при а < х < 6 имеют производные, не обращающиеся в нуль
одновременно, причем F (b)^F (а), то
756. Показать, что функция /(х) == х — Xs на отрезках — 1 гг^х^О
и O^x^l удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти соответствующие
значения £.
Решение. Функция f (х) непрерывна и дифференцируема для всех
значенийх\ кроме того, /( — 1) = /(0) = /(1) = 0.Следовательно, теорема Ролля
применима на отрезках — l^x^O и O^x^l. Для нахождения числа \
составляем уравнение: f (х) = 1 — Зхг = 0. Отсюда £, = — 1/ -^ ; %2 = 1/ ~ ,
причем — 1< £, < 0; 0 < 52 < 1.
757. Функция f(x)=l/(x — 2)2 на концах отрезка [0, 4]
принимает равные значения
/(0)=/(4)=1/Т.
Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке [0, 4]?
758. Выполнены ли условия теоремы Ролля для функции
на отрезке [0, я]?
~§ 8J ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 73
769. Пусть
/(*) = *(*+1)(* + 2)(*-|-3).
Показать, что уравнение
/'(х) = 0
имеет три действительных корня.
760. Уравнение
очевидно, имеет корень х = 0. Показать, что это уравнение не может
иметь другого действительного корня.
761. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для
функции
f(x)=x — х*
на отрезке [— 2, 1] и найти соответствующее промежуточное значение £.
Решение. Функция /(х) = д: — х* непрерывна и дифференцируема для
всех значений х, причем f (х) = \ —За;2. Отсюда по формуле Лагранжа име-
ем / (1) - f( - 2) = 0 - б = [1 - ( - 2)] /' (5), т. е. /'(£) = — 2. Следовательно,
1 — 3£* = —2 и 5 = ±1; годится только значение g = —1, для которого
справедливо неравенство — 2< £ <1.
762. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа и найти
соответствующую промежуточную точку £ для функции /(х)=х*^ на
отрезке [— 1, 1].
763. Для отрезка параболы у — х2, заключенного между точками
Л(\; 1) и 5(3; 9), найти точку, касательная в которой параллельна
хорде ЛВ.
764. Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать формулу
s'm(x-{-h) — sin л; =/г cos £,
где *<£<* + *.
765. а) Для функций f(x) — x*-\-2 и F(x)=x*—1 проверить
выполнение условий теоремы Коши на отрезке [1, 2] и найти £;
б) то же для /(х) = sin x и F(x) = cosx на отрезке 0, -^ .
§ 8. Формула Тейлора
Если функция f (х) непрерывна и имеет непрерывные производные до
(п — 1)-го порядка включительно на отрезке а^х^Ь(или bz^x^a), причем
в каждой внутренней точке этого отрезка существует конечная производная
f{n) (x)t то на этом отрезке справедлива формула Тейлора
f (х) = f(a) + (х - а) Г (а) + (-^=^ f (а) + (^^- f (а) + ...
■■• + (^~-T)i"'fn'" (a) + ^г1-/(л>®'
где £ = а + в (* — а) и 0 < в < 1.
74 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
В частности, при а-=0 имеем (формула Маклорена):
/(*) = /(0) + *по)+^ПО) + ..^^
где 5 = бх, 0<б< 1.
766. Многочлен f(x) = х*— 2х2 -\- Зх -\- 5 разложить по целым
положительным степеням бинома х — 2.
Решение. /' (х) = 3х2 - 4х + 3; /" (х) = 6х - 4; /"'(*) = 6; /<п>(х) = 0
для /г^4. Отсюда:
/ (2) = 11; Г (2) = 7; Г (2) = 8; Г (2) = 6.
Следовательно,
х» _ 2х2 + Зх + 5 = 11 + (^ -- 2) • 7 +(Х "^,2)2 '8 +(^,2)>'6
или
х9 - 2х* + Зх + 5 = 11 + 7 (х - 2) + 4 (* - 2)2 + (* - 2)3.
767. Функцию/(л;) —е* разложить по степеням бинома х-\-\ до
члена, содержащего (л:—j— 1)8.
Решение. /(rt) (х) = ех для всех /г, f{n) ( — I) = — . Следовательно,
где Е = -1+0(х + 1)> 0<9<1.
768. Функцию /(лг) = 1пл; разложить по степеням л:— 1 до члена
с (л:—I)2.
769. Функцию f(x) — s'mx разложить по степеням х до члена с х*
и до члена с л:5.
770. Функцию /(х) = ех разложить по степеням х до члена с хп~х,
771. Показать, что sin(a-\-h) отличается от
sin a -\- h cos a
не более чем на -к^2.
772. Выяснить происхождение приближенных формул:
а) j/T+^l+y*-^*2, |*|<1,
б) уТ+^^\+±х-±х\ |*|<1,
и оценить их погрешность.
773. Оценить погрешность формулы
^2 + 21+ЗГ+41-
774. Тяжелая нить под действием собственного веса провисает по
цепной линии y = ach —. Показать, что для малых \х\ форма нити
приближенно выражается параболой
§ 9J РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 75
775*. Показать, что при | х | <^ а с точностью до ( — j имеет место
приближенное равенство
V а — х
§ 9. Правило Лопиталя — Бернулли раскрытия неопределенностей
-« ^ 0 оо „
1°. Раскрытие неопределенностей типа— и —. Пусть од-
0 оо
нозначные функции / (х) и ф (х) дифференцируемы при 0 < | х — а | < h,
причем производная ф'(х) не обращается в нуль.
Если / (х) и ф (х) — обе бесконечно малые или обе бесконечно большие при
X—>»а, т. е. если частное 7- представляет в точке х = а неопределенность
О оо
типа тг или —, то
О оо
lim ^7-^= hm —г—
х-+аЧ>(х) *->«Ф (*)
при условии, что предел отношения производных существует (правило
Лопиталя— Бернулли). Правило применимо и в случае, когда а=оо.
/' (х)
Если частное / ' вновь дает неопределенность в точке х = а одного
ф (х)
из двух упомянутых типов и /' (х) и ф' (х) удовлетворяют всем требованиям,
ранее сформулированным для f (х) и ф (х), то можно перейти к отношению
вторых производных и т. д.
Однако следует помнить, что предел отношения ^-Vr может
существовать в то время, как отношения производных не стремятся ни к какому
пределу (см. № 809).
2°. Прочие неопределенности. Для раскрытия
неопределенностей типа 0«оо преобразуем соответствующее произведение fx(x)-f2(x)t где
lim /!(*) = О и lim h(x)= оо, в частное£ii^ (тип-£Л или f-^(тип —) •
х -► а х-+а *_ \ О у _J \ °° /
/•(*) fx(x)
В случае неопределенности типа оо — оо следует преобразовать
соответствующую разность /, (х) — f2 (х) в произведение /t (х) 1 —-рщ и' раскрыть
сначала неопределенность ^Щ ; если 1 im ^-р(==1, то приводим выражение
/1 W х-+а /1 \Х)
к виду
AW
1
(тип Г).
h(x)
Неопределенности типов 1°°, 0°, оо° раскрывают с помощью
предварительного логарифмирования и нахождения предела логарифма степени [/, (х)У* ^х)
(что потребует раскрытия неопределенности типа 0«оо).
В некоторых случаях правило Лопиталя — Бернулли полезно комбинировать
с нахождением пределов элементарными средствами.
76 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Пример 1. Вычислить
lim -.— ( неопределенность типа — ).
Решение. Применяя правило Лопиталя — Бернулли, имеем:
lim 1Ш = lim (!££>! =-lim ™^
x->odgx x-*o(cigx)' *-»о x
Получили неопределенность типа ^г , однако применять правило Лопиталя —
Бернулли нет надобности, так как
,. sin2х ,. sin* , л л
lim = lim . sinx— 1-0 = 0.
X -* О X X -> 0 X
Таким образом, окончательно находим:
In х
lim
х -> о Ctg x
Пример 2. Вычислить
^ — g) (неопределенность типа оо — оо).
Приведя дроби к общему знаменателю, получим:
и™ ( l l\ lim x2-sln2x{
lim —— _ = lim ——т-£— неопределенность типа
^->oVsm2A: х2 ) х-»о x2sm2x \ v
Прежде чем применить правило Лопиталя — Бернулли, заменим знаменатель
последней дроби эквивалентной ему бесконечно малой (гл. I, § 4) x2s\\\2x ^ х*.
Получим:
D
lim -^-5 г = lim 1 неопределенность типа — .
По правилу Лопиталя — Бернулли
lira (1 'Ulta 2*-si"2*:=lira 2-2CQS2».
х -^ о \sin * x J x-+o 4jc8 *-+о 12 х2
Далее, элементарным путем находим:
lim ( ' Vl^lim lzL£2i2*=lim i^ *
Пример З. Вычислить
lim (cos 2x)x* (неопределенность типа 1°°).
X-+0
Логарифмируя и применяя правило Лопиталя — Бернулли, получим:
з
lim In (cos 2xy? = lim 3 ln cos 2x — — 6 lim *£?f = — 6.
x -» о x -> о x2 * -> о 2x
»
Следовательно, lim (cos 2x) x* = e~9.
§91
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
.77
Найти указанные пределы функций:
Решение, lim *'~"2*,~"* + 2 — Ит Зх2 — 4х — 1 J[
*.», хз_7;с_|_б хн>1 за:2-7 2
-„ f. х cos x — sin x _0rt ,. e*
777, lim j . 783. lim ^-.
* -> 0 ** X -К»Л
778. lim !~* . 784. lim fe.
«-♦11-Sin ^ #*-+oo£/:
779. lim j . „„- .. a:
х
я
x _> 01 — cos x ' 785. lim
x-+o -.-Я*
780. lim t^_fsifl\ ~ CtgT
^o x smx In (sin mx)
781. lim "fT2**. ?86- i- "™^~"
1 + cos 4x
4
782. lim Д£-
787. lim(l—cos x) ctg л;.
(1 — cos a:) cos x
Решение, lim (l — cos x) ctg x = lim
x-ю x -»■ о sin x
= lim (t-cosx) # lim C0SJC=lim !!li. i=0.
* ->0 Sin X x -* о х->»С05Л
788. lim(l—jt)tg^. 791. lim x sin-^.
789. lim arcsin * ctg x. 792 ,im xn sin fL, n > 0.
790. U» l*"0, « > 0. 793. Um in * in (* — 1).
794. Щп(-Ц — -4vV
*-m\*-i in x;
lim f l M Hm JClllJC-X + l
Решение, lim - — -— — lim — ——!— =
д: -> l V-^ — 1 ln*/ *-*l (X— 1)1ПХ
1 l 1 1 1
x • h In a: — 1 л — -
= lira X— = lim 1П* = lim x - l
jc -> i i „ _ i I ^ „ i\ * -► * i „ _ lii * -> i 1 , 1 2
lnx+^.(x-l) -"lnx-^ + l * —JL+-
795
•лт,(^з—**-5,-6 )•
796. lim f L__ l 1
78 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
797. lim (V о^-)-
к VctgA; 2 cos хJ
х-*—
2
798. lim xx.
X-> О
Решение. Имеем xx = y\ \ny-x\nx\ lim In# = lmiA;In* =
X-+ 0 X -*0
t=Hm -^= lim —^— = 0, откуда lim^—i, T. e# lim ^=1.
1 1
799. lim Xх. 804. limx1-* .
X-+ + 00 * -* 1
» tff—
800. lim*4+ln* . 805. limftg^ * •
801. lim.x;sin*. 806. lim (ctg л;)1""*.
COS — / - ч a
802. lim (1-х) \ 807. iim(±y**.
l
803. Пт{ 1 -f л;2) * . 808. um (ctg x)*ln *.
v "^ л jc -> о
809. Доказать, что пределы;
x2 sin —
a) lim—-s =0;
*->o sinx
^v ,. я — sin* ,
6) lim j : = 1
*->oo*+sin*
О
Рис. 20. не М0ГУТ быть найдены по правилу Лопиталя —
Бернулли. Найти эти пределы непосредственно.
810*. Показать, что площадь кругового сегмента с малым
центральным углом а, имеющего хорду АВ = Ь и стрелку CD = h (рис. 20),
приближенно равна
со сколь угодно малой относительной погрешностью при а—»-0,
ГЛАВА III
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 1. Экстремумы функции одного аргумента
I9. Возрастание и убывание функций. Функция # = /(*)
называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале (отрезке), если
для любых точек хх и х2, принадлежащих данному интервалу (отрезку), из
неравенства агж <; лг2 следует неравенство /(*i)</(*2) (Рис« 21» а)
(f (*i) > / (хг) (Рис« 21, б)). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь]
и V (х) > 0 (/' W < 0) ПРИ а < х < 6, то / (х) возрастает (убывает) на
отрезке [а, Ь].
В простейших случаях, область существования функции f (х) можно
разбить на конечное число промежутков возрастания и убывания функции
(промежутки монотонности). Эти промежутки ограничены критическими
точками х (где /' (х) = 0 или же f (x) не существует).
Пример 1. Исследовать на возрастание и убывание функцию
# = ** — 2х + Ъ.
Решение. Находим производную
у' =2х — 2 = 2 (* — 1). (1)
Отсюда #'=0 при #=1. На числовой оси получаем два промежутка
монотонности^—оо, 1) и (1, + оо). Из формулы (1) имеем: 1)если — оо<*<1,то
у* < 0 и, следовательно, функция f (х) убывает в промежутке (—оо,1);2)если
1<*<4-°°» то у' > 0 и, следовательно, функция f (х) возрастает в
промежутке (1, + оо) (рис. 22).
80 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. Ill
Пример 2. Определить промежутки возрастания и убывания функции
1
Решение. Здесь х = — 2 — точка разрыва функции и #'= — , , gv,<0
при х Ф — 2. Следовательно, функция # убывает в промежутках — оо< х <—2
и-2<*< + оо.
Пример 3. Исследовать на возрастание и убывание функцию
1.1,
Решение. Здесь
У = -5Х
у' = х* — х2.
(2)
:0, JC8=1> BKOTO-
= — 1, х2
как у' может изменять знак
она обращается в нуль или
Решив уравнение х* — х2 = 0, найдем точки х
рых производная у' обращается в нуль. Так
только при переходе через точки, в которых
терпит разрыв непрерывности (в данном случае точки разрыва для у'
отсутствуют), то в каждом из интервалов (— оо,— 1),
(—1, 0), (0, 1) и (1, +оо)
производная сохраняет постоянный знак, поэтому в
каждом из этих интервалов исследуемая
функция монотонна. Чтобы выяснить, в
каких из указанных интервалов функция
возрастает, а в каких — убывает, нужно
узнать, каков знак производной в каждом из
этих интервалов. Для того чтобы выяснить,
каков знак у' в интервале (—оо, —1),
достаточно узнать знак у' в какой-нибудь
7" одной точке этого интервала; взяв, например,
х = — 2, получим из (2) у' = 12 > 0,
следовательно, #'> 0 в интервале (—оо, — 1) и
функция в этом интервале возрастает. Ана-
Рис. 23.
логично найдем, что у' < 0 в
например, взять х-
интервале (—1, 0)
< 0 в интервале (0,
для проверки можно,
здесь
можно ис-
-о-) , у' <0 в интервале (0, 1) (
пользовать х = ~) и t/' > 0 в интервале (1, -f- оо).
Таким образом, исследуемая функция возрастает в промежутке (—оо, — 1),
убывает в промежутке (—1, 1) и опять возрастает в промежутке (1, -f-oo).
2°. Экстремумы функции. Если существует такая двусторонняя
окрестность точки х0, что для всякой точки х Ф х0 этой окрестности имеет
место неравенство f (х) > f(xQ), то точка х0 называется точкой минимума
функции y = f(x), а число / (jc0) — минимумом функции у = / (х). Аналогично,
если для всякой точки х Ф хх некоторой окрестности точки хх выполняется
неравенство f (х) </ (я,), то хх называется точкой максимума функции
/(л:), а / (Xj) — максимумом функции (рис. 23). Точка минимума или
максимума функции называется ее точкой экстремума, а минимум или максимум
функции — экстремумом функции. Если х0 — точка экстремума функции / (х),
то V (*о) = 0 {стационарная точка), или же /' (х0) не существует
(необходимое условие существования экстремума). Обратное предложение не верно:
точки, в которых /'(л:) = 0 или же /' (х) не существует (критические точки),
не обязательно являются точками экстремума функции / (х). Достаточные
признаки существования и отсутствия экстремума непрерывной функции / (х)
даются следующими правилами:
§ 1] ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА 81
1. Если существует такая окрестность (*0--б, х0 + б) критической
точки х0, что /' (х) > 0 при х0 — б < х < х0 и /' (х)< 0 при х0 < х < х0 -f- d, то
х0 — точка максимума функции / (jc); если же /' (х)< 0 при х0 — б < х < х0
и /' (х)>0 при х0<л:< х0 + ^» то х0 — точка минимума функции /(*).
Если, наконец, найдется такое положительное число б, что /' (х)
сохраняет неизменный знак при 0 < | х — х01< б, то точка х0 не является точкой
экстремума функции f (х).
2. Если /' (х0) = 0 и /" (х0) < 0, то *0 — точка максимума функции [(х);
если /'(х0) = 0 и Г (х0) >0, тох0 — точка минимума функции /(л:); если же
//(х0) = 0, /"(х0) = 0, а /'" (jc0)^0, то точка х0 не является точкой экстремума
функции f,(x).
В более общем виде: пусть первая из не равных нулю в
точке х0 производных функции f (х) имеет порядок k. Тогда, если
k — четное, то точка х0 является точкой
экстремума, а именно точкой максимума,
если fik) (xn) < 0, и точкой минимума, если
f{k) (xq) > 0. Если же k — нечетное, то точка
х0 не является точкой экстремума.
П р и м е р 4. Найти экстремумы функции
y = 2x + 3l/xY.
Решение. Находим производную
У' = 2 + У7 = Ф^*+1>>- (3)
Приравнивая производную у' нулю,
получаем:
*/Г+1=0.
Отсюда находим стационарную то чкух,=—1. Рис. 24.
Из формулы (3) имеем: если х = —1 — h,
где h — любое достаточно малое положительное число, то у' > 0; если же
х = — 1+^» то У'КО*). Следовательно, л:, = —1 есть точка максимума
функции у, причем #тах = 1.
Приравнивая нулю знаменатель выражения у' из (3), получаем
I/Т=0;
отсюда находим критическую точку функции х2 = 0, где производная у'
не существует. При х = —/г, очевидно, имеем у' < 0; при x = h имеем
у' > 0. Следовательно, х2 = 0 есть точка минимума функции у, причем
ут1п = 0 (рис. 24). Исследование поведения функции в точке хх = — 1 можно
также провести с помощью второй производной
tf = 1_.
Sxl/x
Здесь #"<0 при *!=—1 и, следовательно, ху =—1 есть точка максимума
функции.
3°. Наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее
(наибольшее) значение непрерывной функции f (х) на данном отрезке [а, Ь]
достигается или в критических точках функции, или на концах отрезка [а, Ь].
*) Если определение знака производной у' затруднительно, то можно
произвести арифметический расчет, взяв в качестве h достаточно малое
положительное число.
82
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. ш
Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
Решение. Так как
1?<др<4;
г/' = Зх2 — 3,
то критическими точками функции у являются *,==—1 и х2 = 1. Сравнивая
значения функции в этих точках и значения функции на концах заданного
отрезка
заключаем (рис. 25), что наименьшее значение функции т = 1 достигается
в точке #= 1 (в точке минимума), а наибольшее М = 11 — достигается в точке
о
х = 2-*> (на правом конце отрезка).
Определить промежутки убывания и возрастания функций:
811. у=\—4х — х\
812. у = {х — 2)\
813. у = (х-\-4)*.
814. у = х*(х — 3).
815. у =
816. у =
х-2*
1
(* - I)2'
х
Рис. 25.
818. jr = (x — 3)Kjc.
819. у = ^ — 1/х.
820. ^rrrsAr-f-sinA:.
821. ву = Аг1п л:.
822. -y = arcsin (1 -|-л;).
823. у = 2е*~**.
824. у=:2^Га.
826. у = £.
Исследовать на экстремум следующие функции:
826. у = х2-\-4х-\-&.
Решение. Находим производную данной функции у' = 2х-f-4.
Приравняв У нулю, получаем критическое значение аргумента х = —2. Так
как у' < О при х<-2и/>0 при х > — 2, то х = — 2 является точкой
§ 1] ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА 83
минимума данной функции, причем */min = 2« Тот же результат мы получим,
используя знак второй производной в критической точке: / = 2>0.
827. у = 2-{-х — х\
828. у = х* — 3*2 + 3x-}-2.
829. у = 2хг + З*2 — 12лг + 5.
Решение. Находим производную
у' =6х* + 6х ~ 12 = 6(х* + х -2).
Приравнивая производную у' нулю, получаем критические точкиxt=*—2
и jc2 = 1. Для определения характера экстремума вычисляем вторую
производную у" = 6(2* + 1). Так как у" (— 2) < 0, то ^= — 2 есть точка
максимума функции у, причем */тах = 25. Аналогично имеем */"(1)>0; поэтому
х2 = 1 есть точка минимума функции у и #min = —2.
830. у = х2(х — 12)2. л: , „ _л дс
ЛЛ Л iv2 оч« 840. v = 2 cos пт-Ь 3 cos-я-«
831. -у = л:(л:—I)2 (^ —2) • 2 » 3
832. у = ^~. 841. j, = * —1п(1+х).
833. v = *8""~2*,+ 2. 842. у = х\пх.
834. jr=(x""2j,(8""x)., 843. у = х\пшх.
Ж-У = Ш=Я- 844.j, = ch*.
х (4 - х2) •
-— . 845. х = хе
.*
836. v = -T=.
' /х2 + 8
837. ^ = Т7^=. 846. у = х*е-х.
838. у=3/(х2— I)2. 847. Jf = y.
839. j; = 2 sin 2л: -f- sin 4л\ 848. .у = .*— arctgA:.
Определить наименьшие и наибольшие значения функций на
указанных отрезках (если отрезок не указан, то следует определить
наименьшее и наибольшее значения функции во всей области
существования):
849. у— * 853. у = х* на отрезке [—1,3].
850. y = Vxl\0-x). 854' y = 2x' + to*-12x+U
851. y = sm*x + cos*x. а) на отрезке [—1, 5];
852. y = arccosx. б) на отрезке [—10, 12].
84 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
856. Показать, что при положительных значениях х имеет место
неравенство
856. Определить коэффициенты р и q квадратного трехчлена
у = хг-\-px^\-q так, чтобы этот трехчлен имел минимум у = 3 при
х=\. Объяснить полученный результат геометрически.
857. Доказать неравенство
еху>\-\^х при х=£0.
Решение. Рассмотрим функцию
/(*) = «*-(1+х).
Обычным приемом находим, что эта функция имеет единственный минимум
/(0) = 0. Следовательно,
т е /(*)>/(0) при х 5*0,
е*>1+х при х Ф 0,
что и требовалось доказать.
Доказать неравенства:
хг
858. х g-<[sin.x;<^.x; при х^>0.
х2
859. cosх^> \ — у при х =^= 0.
860. х — у <1п(1+*)<* при л;>0.
861. Данное положительное число а разложить на два слагаемых
так, чтобы их произведение было наибольшим.
862. Кусок проволоки данной длины / согнуть в виде
прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.
863. Какой из прямоугольных треугольников с заданным
периметром 2р имеет наибольшую площадь?
864. Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы
с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой
стороной примыкала к длинной каменной стене. Какова наивыгоднейшая
(в смысле площади) форма площадки, если имеется / погонных метров
сетки?
865. Из квадратного листа картона со стороной а требуется
сделать открытую прямоугольную коробку наибольшей вместимости,
вырезав по углам квадраты и загнув выступы получившейся
крестообразной фигуры.
866. Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен
вмещать v литров. При каких размерах на изготовление бака
потребуется наименьшее количество жести?
867. Какой из цилиндров с данным объемом имеет наименьшую
полную поверхность?
§ 1] ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА 85
868. В данный шар вписать цилиндр с наибольшим объемом.
869. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой
поверхностью.
870. В данный шар вписать конус с наибольшим объемом.
871. В данный шар вписать прямой круговой конус с наибольшей
боковой поверхностью.
872._ Около данного цилиндра описать прямой конус наименьшего
объема (плоскости и центры их круговых
оснований совпадают).
873. Какой из конусов, описанных около
данного шара, имеет наименьший объем?
874. Полоса жести шириной а должна быть
согнута в виде открытого цилиндрического
желоба (рис. 26). Каков должен быть
центральный угол ф, чтобы вместимость желоба была
наибольшей?
875. Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув
его, получить воронку наибольшей вместимости.
876. Открытый сосуд состоит из цилиндра, заканчивающегося
снизу полусферой; толщина стенок постоянна. Каковы должны быть
размеры сосуда, чтобы при данной
вместимости на него пошло минимум материала?
877. Определить наименьшую высоту
h=OB двери вертикальной башни ABCD,
чтобы через эту дверь в башню можно
было внести жесткий стержень MN
длины /, конец которого М скользит вдоль
горизонтальной прямой АВ. Ширина баш-
, ни d<^l (рис. 27).
А 6 м 878. На координатной плоскости дана
рис 27. точка М0(х0, yQ), лежащая в первой
четверти. Провести через эту точку прямую
так, чтобы треугольник, образованный ею с положительными
полуосями координат, имел наименьшую площадь.
879. В данный эллипс вписать прямоугольник наибольшей площади
со сторонами, параллельными осям эллипса.
880. В сегмент параболы y2z=2px, отсекаемый прямой х = 2а,
вписать прямоугольник наибольшей площади.
881. На кривой у= 2 найти точку, в которой касатель-
1 -\-х
ная составляет с осью ОХ наибольший по абсолютной величине угол.
882. Гонцу нужно добраться из пункта Л, находящегося на одном
берегу реки, в пункт В, находящийся на другом. Зная, что скорость
движения на берегу в k раз больше скорости движения по воде,
определить, под каким углом гонец должен пересечь реку для того, чтобы
86 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. Ш
достичь пункта В в кратчайшее время. Ширина реки — А, расстояние
между пунктами А и В (вдоль берега) — d.
883. На прямолинейном отрезке АВ=а, соединяющем два
источника света А (силы р) и В (силы q), найти точку Ж, освещаемую
слабее всего (освещенность обратно пропорциональна квадрату
расстояния от источника света).
884. Лампа висит над центром круглого стола радиуса г. При
какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на
краю стола, будет наилучшая? (Освещенность прямо пропорциональна
косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна
квадрату расстояния от источника света.)
885. Из круглого бревна диаметра d требуется вырезать балку
прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина х и высота у
этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление:
а) на сжатие, б) на изгиб?
Примечание. Сопротивление балки на сжатие пропорционально
площади ее поперечного сечения, а на изгиб -— произведению ширины этого
сечения на квадрат его высоты.
886. Однородный стержень АВ, который может вращаться около
точки А (рис. 28), несет груз Q кг на расстоянии а см от точки А
и удерживается в равновесии вертикальной
силой Р, приложенной к свободному
концу Z? стержня. Погонный сантиметр стержня
весит q кг. Определить длину стержня х
так, чтобы сила Р была наименьшей,
и найти Pmin.
887*. Центры трех вполне упругих
шаров А, В, С расположены на одной
прямой. Шар А массы М со скоростью v
ударяет в шар В, который, получая извест-
Рис. 28. ную скорость, ударяет в шар С массы т.
Какова должна быть масса шара В, чтобы
скорость шара С оказалась наибольшей?
888. Имея N одинаковых электрических элементов, мы можем
различными способами составить из них батарею, соединяя по п элементов
последовательно, а затем полученные группы ( числом — ) —
параллельно. Ток, даваемый такой батареей, определяется формулой
NR + n2r
где $ — электродвижущая сила одного элемента, г — его внутреннее
сопротивление, R — внешнее сопротивление.
Определить, при каком значении п батарея даст наибольший ток.
§ 2] НАПРАВЛЕНИЕ ВОГНУТОСТИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА 87
889. Определить, при каком диаметре у круглого отверстия
в плотине секундный расход воды Q будет иметь наибольшее
значение, если Q = cyYh — у, где h — глубина низшей точки отверстия
(h и эмпирический коэффициент с — постоянны).
890. Если х1У xv...,xn — результаты равноточных измерений
величины х, то ее наивероятнейшим значением является то, при
котором сумма квадратов погрешностей
i = i
имеет наименьшее значение (принцип наименьших квадратов).
Доказать, что наивероятнейшее значение величины х есть
среднее арифметическое результатов измерений.
§ 2. Направление вогнутости. Точки перегиба
1°. Вогнутость графика функции. Говорят, что график
дифференцируемой функции y = f(x) вогнут вниз на интервале (а, Ь) (вогнут
вверх на интервале (а,, Ь^), если при а<х<6 ДУга кривой расположена
ниже (или соответственно при ах < х < Ьх выше) касательной, проведенной в
любой точке интервала (а, Ь) (или интервала (а1У Ьу)) (рис. 29).
Достаточным условием вогнутости вниз (вверх)
графика y — f(x) является
выполнение- на соответствующем интервале
неравенства
Г (х) < 0
(/" (х) > 0).
Вместо того чтобы сказать, что
график вогнут вниз, говорят также, что
он направлен выпуклостью вверх.
Аналогично график, вогнутый вверх,
называют также направленным
выпуклостью вниз.
2°. Точки перегиба. Точка
(л:0,/(л:0)),вкоторой изменяется направ-
YI
~~0
г
\
1
1..
i ° L
V
> Х0 О,
А
А
Рис. 29.
ление вогнутости графика функции, называется точкой перегиба (рис. 29).
Для абсциссы точки перегиба х0 графика функции y = f(x) вторая
производная f"(xQ) = 0 или /" (х0) не существует. Точки, в которых f"(x)=0 или
f" (х) не существует, называются критическими точками 2-го рода.
Критическая точка 2-го рода х0 является абсциссой точки перегиба, если
/"(х)сохраняет постоянные знаки в интервалах х0 — б < х < х0 и ха < х < х0 + б,
где б — некоторое положительное число, причем эти знаки противоположны,
и не является точкой перегиба, если знаки /" (х) в указанных выше интервалах
одинаковы.
Пример. 1. Определить интервалы вогнутости и выпуклости, а также
точки перегиба кривой Гаусса
у = е *.
Решение. Имеем:
(/'= — 2хе~х*
и
у" = (4хг-2)е-х\
88
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. Ш
Приравняв вторую производную у" нулю, находим критические точки
2-го рода
1 1
/2 Vе!
Эти точки разбивают числовую ось — оо < дс < -{- со на Три интервала: I (—оод,),
И (*i» *г) и III (*2, -f- °°). Знаки #" соответственно будут +» —» + (в этом
можно убедиться, взяв, например, по одной точке в каждом из
указанных интервалов и подставив
соответствующие значения х в у").
Поэтому: 1) кривая вогнута
» 1
вверх при — оо < х < — и
У2
—7=- < х < + °°; 2) вогнута вниз
ПрИ — —rn<JC<-7=. ТОЧКИ
V2 /2
, —т=.\ -т=Л —точки перегиба
1^2 VW
(рис. 30).
Заметим, что ввиду симметрии относительно оси 0Y кривой Гаусса
исследование знака вогнутости этой кривой достаточно было производить лишь на
ПОЛуоСИ 0 < X < + ОО. ух
Пример 2. Найти точки перегиба гра- Л
фика функции
у=у7+2.
Решение. Имеем:
Очевидно, у" в нуль нигде не обращается.
Приравнивая нулю знаменатель дро- Рис. 31.
би в правой части равенства (1), получаем,
что у" не существует при х = — 2. Так как у" > 0 при л: < — 2 и у" < 0 при
х > — 2, то (—2, 0) есть точка перегиба (рис. 31). Касательная в этой точке
параллельна оси ординат, так как первая производная у' при х = —2
бесконечна.
Найти интервалы вогнутости и точки перегиба графиков функций:
891. у=х* — 6л;2+ 12*+ 4. 896. y = cosx.
897. у=х— sin л:.
898. у = х2\пх.
892. j> = (*+1)\
893. у 1
'х + 3'
894- У-^+У2-
895. у=У4х'— \2х.
899. ^ = arctgA; — х.
900. у = {\-\-хг)ех.
§ 3|
АСИМПТОТЫ
89
§ 3. Асимптоты
1°. Определение. Если точка (х, у) непрерывно перемещается по
кривой у = [(х) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к
бесконечности, и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится
к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.
2°. Вертикальные асимптоты. Если существует число а такое,
что lim /M = oof
х-+а
то прямая х = а является асимптотой (вертикальная асимптота).
3°. Наклонные асимптоты. Если существуют пределы
lim ££-> = *,
JC-*-}"00 Х
И
lim [/ (х) — kxx\ = blf
*-»•-{-00
то прямая y = klx-{-bl будет асимптотой (правая наклонная или, в случае
kt = Of правая горизонтальная асимптота).
Если существуют пределы
lim Ш = к,
и
lim [/ (x) - k2x] = bt,
х-+ — оо
то прямая у = kfX -f- b2 — асимптота (левая наклонная или, в случае k2 — 0,
левая горизонтальная асимптота). График функции y = f(x) (функция
предполагается однозначной) не может иметь более одной правой (наклонной
или горизонтальной) и более одной левой (наклонной или горизонтальной)
асимптоты.
Пример 1. Найти асимптоты кривой
Решение. Приравнивая знаменатель нулю, получаем две вертикальные
асимптоты:
х = — 1 и х= 1.
Ищем наклонные асимптоты. При х—► +<» получаем:
kx= lim -У-= lim — =1т
х-»+оо* х-*-|-оо X у X2 — 1
Ьх= lim (y-x)= lim х%~*У*~~1- = 0%
х-*+ао х-> + оо ух2— 1
следовательно, правой асимптотой является прямая у = х. Аналогично при
х —► — оо имеем:
kz= lim -^ = —1,
Х-*—00 Х
Ь2= lim (*/ + *) =0.
90
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. ш
Таким образом, левая асимптота есть у =— х (рис. 32). Исследование на
асимптоты данной кривой упрощается, если учесть симметрию этой кривой.
Пример 2. Найти асимптоты кривой
у = х-{-\пх.
Решение. Так как
lim # = —оо,
*->+ о
то прямая х = О является вертикальной асимптотой (нижней). Исследуем
кривую только на наклонную правую асимптоту (так как х > 0).
Имеем:
k= lira 1 = 1,
#-»-f-ao %
b= lim (у — x)= lim lnjc=oc.
Следовательно, наклонной асимптоты нет.
Если кривая задана параметрическими
сперва исследуют, нет ли таких значений
I
г
i ч
I
XL
ц
7
/1
у*
о\
Рис. 32.
ти ее асимптоты по предыдущему правилу
параметрическому виду по формулам: х —
= /((p)sinq).
уравнениями х = ф (f); t/ == гр (/), то
параметра ty при которых одна из
функций ф (t) или ур (t) обращается
в бесконечность, а другая остается
конечной. При ф (/0) = оо, а г|з (/0) =
=с кривая имеет горизонтальную
асимптоту у = с. При г|э(/0) = оо,
а ф (*0) = с кривая имеет
вертикальную асимптоту х —с.
Если ф (/0) = г|з (/0) = оо и при
том
lim JS = * lira W> - *Ф(01=Ь.
*-»/0Ф(^ *-И0
то кривая имеет наклонную
асимптоту y = kx-{- b.
Если кривая задана полярным
уравнением г = / (ф), то можно най-
преобразовав уравнение кривой к
: г cos ф = / (ф) cos ф; у = г sin ф =
Найти асимптоты кривых:
§ 4 J ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ 91
911. у = ех.
912.;; = ^.
J х
913. у = \п(]-\-х).
914. x=t; y = t-\-2mtgt.
915. Найти асимптоту гиперболической спирали г = —.
§ 4. Построение графиков функций
по характерным точкам
При построении графика функции следует, прежде всего, найти область
определения этой функции и выяснить поведение функции на границе ее
области определения. Полезно также предварительно отметить некоторые
особенности функции (если они имеются), как-то: симметрия, периодичность,
постоянство знака, монотонность и т. п.
Далее, нужно найти точки разрыва, точки экстремума функции,
точки перегиба, асимптоты и т. д. Найденные элементы позволяют выяснить
общий характер графика функции и получить математически правильный
эскиз его.
Пример 1. Построить график функции
Ух*-1
Решение, а) Функция существует всюду, кроме точек х = ± 1.
Функция — нечетная, поэтому график функции симметричен относительно
точки О (0; 0). Это обстоятельство упрощает построение графика.
б) Точками разрыва являются точки jc = —1ия=1, причем lim у=^со
и lim у=^со, следовательно, прямые х=±1 являются вертикальными
асимптотами графика.
в) Ищем наклонные асимптоты. Имеем:
kx= lim -f = 0f
&!= lim у =оо,
следовательно, правой наклонной асимптоты нет. Из симметрии графика
следует, что левая наклонная асимптота также отсутствует.
г) Находим критические точки 1-го и 2-го рода, т. е. точки, в которых
обращается в нуль или не существует первая или соответственно вторая
производная данной функции.
92 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
Имеем:
У' =
х*-3
3j!/(*
U*
0)
2х (9 -хг)
' 9 j/(**-!)'
(2)
Производные г/' и if не существуют только при дс= ±1, т. е. только в тех
точках, где не существует и сама функция у, поэтому критическими точками
будут лишь те точки, где у' или у" обращаются в нуль.
Из (1) и (2) следует:
у' = 0 при x=±V$f
у" —0 при х = 0 и х== ±3.
Таким образом, у' сохраняет постоянный знак в каждом из интервалов
(—оо, - УЗ), (— УУ, - 1), (— 1, 1), (1, УТ) и (УТ + оо), а у" - в каждом
из интервалов (—оо, —3), (—3, — 1), (— 1, 0), (О, 1), (1, 3) и (3, + оо).
Для того чтобы выяснить, каковы именно знаки у' (или соответственно у")
в каждом из указанных интервалов, достаточно определить знак у' (или у )
в какой-нибудь одной точке каждого из этих интервалов.
Результаты такого исследования удобно свести в таблицу (таблица I),
вычислив также ординаты характерных точек графика функции. Заметим, что
ввиду нечетности функции у вычисление достаточно провести лишь при
*^0; левая половина графика восстанавливается по принципу нечетной
симметрии.
Таблица I
X
У
У'
\f
Выводы
0
0
—
0
Топка
перегиба
(0, 1)
—
—
—
Функция
убывает;
график
вогнут
вниз
1
±00
не
сущ.
не
сущ.
Точка
разрыва
(1, V3)
+
+
Функция
убывает;
график
вогнут
вверх
УЗ ^s 1,73
J-4-^1,37,
0
-f
Точка
минимума
(Уз; з)
+
+
+
Функция
возрастает;
график
вогнут
вверх
3
1,5
+
0
Точка
перегиба
(3, + со)
+
+
—
Функция
возрастает;
график
вогнут
вниз
§ 4J ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ
93
д) Пользуясь результатами исследования, строим график функции
(рис. 33).
/ О
fo
Рис. 33.
Пример 2. Построить график функции
In*
Решение, а) Область существования функции: 0 < х < -f- oo.
б) В области существования точек разрыва нет, но при приближении
к граничной точке (л: = 0) области существования имеем:
,. ,. In*
lim у = lim = — oo.
ЛГ-*0 ЛГ-*0 Х
Следовательно, прямая лг = 0 (ось ординат) является вертикальной
асимптотой.
в) Ищем правую наклонную или горизонтальную асимптоту (левая
наклонная асимптота отсутствует, так как невозможно, чтобы х—►— оо):
fc= lim -^- = 0,
x-*-f oo*
6= lim # = 0.
x->-f oo
Следовательно, правой горизонтальной асимптотой является ось абсцисс: у = 0.
94 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
?
+
1 •* 1 N
«In
1 •» |«
<4>
«4?
of
■*г
-
(1'0)
О А
'
+
; С
/
СО
/
1*»
(М
+
о
+
о
1 1
8
1
^
1
1
!
о
+
+
+
не сущ.
*Ь>
+
о
1 •
1
1
1
1
не сущ.
■ь>
Функция
убывает;
график вогнут
вверх
Точка
перегиба
Функция
убывает;
график вогнут
вниз
Точка
максимума функции
Функция
возрастает;
график вогнут
вниз
Точка
пересечения
графика с осью
ОХ
Функция
возрастает;
график вогнут
вниз
Граничная
точка области
определения
функции.
Вертикальная
асимптота
Выводы
§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ
95
г) Находим критические точки. Имеем:
, 1 — In а:
\Г=
21пдг — 3
у9 и tf существуют во всех точках области существования данной функции и
у'=0 при 1пдг = 1, т. е. при х = е;
о
tf = Q при 1пл:=~, т. е. при х~е''\
Составляем таблицу, включая характерные точки (таблица II). При этом,
кроме найденных характерных точек, полезно найти также точки пересечения
графика с осями координат. Положив # = 0, находим xz=z\ (точка
пересечения кривой с осью абсцисс); с у
осью ординат график не
пересекается.
д) Пользуясь результатами
исследования, строим график функции __
(рис. 34). 0
У=
1/7.Т
93/Ъ
Построить графики
указанных ниже функций, определив
для каждой функции область ее
существования, точки разрыва,
точки экстремума, интервалы
возрастания и убывания, точки перегиба ее графика, направление
вогнутости, а также асимптоты графика.
4х
Рис. 34.
916. у = х* — Зх\
917., = *^*.
918. у
919. у
918. у = (х— 1)*(л; + 2).
.(*-2)»(х + 4)
4
(х»-5)»
920. у
921. у.
125 *
_*'-2х + 2
'~ х-1 '
922. у=-*~3
923. у-
X
х* + 3
X
924. у=х*-\-±
925. ^=^1-з-
926. У = ^4-
928- y-ijew-
929. , = ^.
931. у=3-^.
932. у = У"х-\-У4^~х.
933. у = У^+х — УЪ — х.
934. y = xVx->r3.
935. y = Vx* — Зх.
936. у=1/\—х*.
937. у= у/\— х%.
938. у = 2х-\г2 — зУ(х->г1)\
96 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. rtl
939. у= yiT+l - Vx~=\. 964. у= sinx .
940. у = ^(Tpj* - У{^4)\ sin (х+т)
941. у = ]/(х—2)г -\- У(х— 4)г. 965. у = sin л: • sin 2x.
942. у — 4 — 966. у = cos л:-cos 2л;.
943. j= 8 967" У = х + 8]пх-
968. jc = arcsin (1 — Ух').
944. y=- *
i/rt _ i '
/* 96g arcsin*
945. y=—^=^. Я^
Q4ft -* 2)2 970. y=2x-tgx,
946. j; = a:^ .
У40. y = xe ".
* 971. ^ = xarctgA:.
947. j/= e+i-be. i
V a / 972. y = xarctg± при x=£0
948. v = *»*-*a-u. x
и v = 0 при л; = 0.
949. ey = (2 + jci)e-*i.
950. , = 2|*|-*\ 973' ^ = *+2^ctg*.
951. J>=^. 974- ^ = y + arcdgA:.
952. ,=4lU. 075. jr=lnshx
976. v = Arch(jc4--].
953. y = r±-. \ x'
977 « — е*ш
964. <у = (*+1)1п,(ж'+1). 'y
вес i / i 1ч i 1 978- >' = earc"n>'*.
955. v = ln(jc8—1)+-s—<••
1 **-l 979. у = е™ъ*.
956. jf==1nJ-£±Jjli. 980. y = In sinx.
957. jr = ln(l+*-*). 981. j = lntg (-J--|) .
958. j,= l„(e4~i). Q82 y = \nx-aKtgx.
959. ^ = sinjir4-cosjc. 983. y = cos jc — In cos x.
960. y = smx-\-s^-. 984. j/ = arctg(lnj<r).
961. >t=cosa; —cos'x 985. у = arcsin In (x* 4~ 1).
962. _y = sin*Jc4-cos,x. 986. y-
963. y— sinx + cosx- 987> y==xi
§ 5] ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА 97
Рекомендуется также построить графики функций, указанных в
№№ 826—848.
Построить графики функций, заданных параметрически:
988. x = t2—2t, y = t2 + 2t.
989. х = а cos3/, y = as'mt (a>0).
990. x = te\ y^te'K
991. x = t + e-ff y = 2t + e-2t.
992. x = a(sht—t), y = a(cht— 1) (a>0).
§ 5. Дифференциал дуги. Кривизна
1°. Дифференциал дуги. Дифференциал дуги s плоской кривой,
заданной уравнением в декартовых координатах х и у, выражается формулой
ds=» V(dxp + (dy)*;
при этом, если уравнение кривой имеет вид:
a) y = f(x), то rfs= 1/ 1+ (j- J dx при dx>0;
<5)* = Ы#). то ds=j/l+(J?J dy при tty>0;
в) * = <p(0, </ = Ч>(0, то <fc = у ^у + ^Ул при <tt>0;
t)F(x, 0 = 0, 70*=' « * |rfx|~r * y |d(/l.
Обозначая через а угол, образованный положительным направлением
касательной (т. е. направленной в сторону возрастания дуги кривой s) с
положительным направлением оси ОХ, получим:
dx
cos a = -г-,
ds
dy
sin a = j- .
ds
В полярных координатах
ds = ]/"(*)» + (г dip)* = ]A* + (ft у Лр.
Обозначая через |J угол между полярным радиусом точки кривой и
касательной к кривой в этой точке, имеем:
a dr
COSp^^,
• Q ^Ф
sin 6 = /* 3х.
2°. Кривизна кривой. Кривизной К кривой в ее точке М
называется предел отношения угла между положительными направлениями
4 Г. С. Бараненков и др.
98
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. ш
касательных в точках М и N кривой (угол смежности) к длине дуги MN=: As,
когда N—+M (рис. 35), т. е.
., .. Да da
д^-юДя as
где а —угол между положительными направлениями касательной в точке М
и оси ОХ.
Радиусом кривизны R называется величина, обратная абсолютной
величине кривизны, т. е.
Я—±-
ра-
Линиями постоянной кривизны являются окружность (/С = —, где
диус окружности) и прямая (/( = 0).
Формулы для вычисления кривизны в прямоугольных координатах
следующие (с точностью до знака):
1) если кривая задана уравнением в явной форме (/ = /(*), то
К
(1 + у'*)>1*'
2) если кривая задана
уравнением в неявной форме
F(x, у) = 0, то
F F F
1 хх 1 ху 1 х
/С =
F F F
ГуХ Гуу Гу
Рх Ру 0
<F':+F'yVI*
3) если кривая задана уравнениями в параметрической форме * = ф(/),
у = ^(*),то
I хГ у"
К =
где
, dx
х —dt'
mdy
' dV
dH
x" =
dt1
м d'y
В полярных координатах, когда кривая задана уравнением /- = /(ф), имеем:
К = -
где
(r* + r'*f* '
_dr_
zd<p'
3°. Окружность кривизны. Окружностью кривизны
(соприкасающейся окружностью) кривой в ее точке М называется предельное положение
окружности, проведенной через точку М и две другие точки кривой Р и Q,
когда Р—► М и Q—*Л1.
§ 5} ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА 99
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны, а центр
окружности кривизны (центр кривизны) находится на нормали к кривой,
проведенной в точке М в сторону вогнутости кривой.
Координаты X и Y центра кривизны кривой вычисляются по формулам
Эволютой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны.
Если в формулах для определения координат центра кривизны
рассматривать X н Y как текущие координаты точки эволюты, то эти формулы дают
параметрические уравнения эволюты с параметром х или у (или же /, если
сама кривая задана уравнениями в параметрической
форме).
Пример 1. Найти уравнение эволюты
параболы у — хг.
Решение. Х= - 4х9, у^1"^6** .
Исключив параметр х, найдем уравнение эволюты в явном J
„ 1 , ~( XVU
Эвольвентой (инволютой) кривой называется
такая кривая, для которой данная кривая является
эволютой.
Нормаль МС эвольвенты Г2 является
касательной к эволюте 1\; длина дуги ССг эволюты равна с* 3
соответствующему приращению радиуса кривизны ССХ =\М1С1 — МС\, поэтому
эвольвенту Г2 называют также разверткой кривой Г,, получающейся
разматыванием натянутой нити, намотанной на Г, (рис. 36). Каждой эволюте
соответствует бесчисленное множество эвольвент, отвечающих различным
первоначальным длинам нити.
4°. Вершины кривой. Вершиной кривой называется точка кривой,
в которой кривизна имеет максимум или минимум. Для определения вершин
кривой составляется выражение кривизны К и находятся ее точки экстремума.
Вместо кривизны К можно взять радиус кривизны /? = г—г и искать его
точки экстремума, если в этом случае вычисления проще.
X
Пример 2. Найти вершину цепной линии y = ach— (а > 0).
X 1 X 1
Решение. Так как г/' = sh —•, а у" = — ch — , то К = и, сле-
а а а . 9 х
а
., х r, dR 2x „ dR
довательно, /? = ach* — . Имеем -т-= sh —. Приравнивая производную -т—
а ах а (хх
2х
нулю, получим sh — = 0, откуда находим единственную критическую точку
л о а d2R
х~0. Вычисляя вторую производную -г-,- и подставляя в нее значение
d2R I 2 2х I 2
х = 0, получим т-g- _ =-ch- =->0. Следовательно, дс = 0
ах | х — и а а \ х —- и и
есть точка минимума радиуса кривизны (или максимума кривизны) цепной линии.
Вершиной цепной линии */ = асп — , таким образом, является точка Л (0, а).
100 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. Ш
Найти дифференциал дуги, а также косинус и синус угла,
образованного с положительным направлением оси ОХ касательной к
каждой из следующих кривых:
993. х2-\-уг = а2 (окружность).
"4- ? + S=1 (эллипс)-
995. уг = 2рх (парабола).
996. хг1г +^2/8 = а11г (астроида).
997. y — ach — (цепная линия).
998. x = a(t— slnt); у = а(\ — cost) (циклоида).
999. Ar==acos8/, y = asin*t (астроида).
Найти дифференциал дуги, а также косинус или синус угла,
образованного полярным радиусом и касательной к каждой из
следующих кривых:
1000. r = aq> (архимедова спираль).
1001. г = — (гиперболическая спираль).
1002. r = a see*—- (парабола).
1003. r = acos2-y (кардиоида).
1004. г==аУ (логарифмическая спираль).
1005. r* = a*cos2qo (лемниската).
Вычислить кривизну данных кривых в указанных точках:
1006* у = х* — 4jt8—18л;8 в начале координат.
1007. х*-\-ху-\-у* = 3 в точке (1; 1).
1008. £-}-£==1 в вершинах А (а, 0) и Я(0, Ь).
1009. * = **, y — t* в точке (1; 1).
1010. r* = 2a2cos2(p в вершинах с полярными углами ф = 0 и
<р = я.
1011. В какой точке параболы уг = %х кривизна равна 0,128?
1012. Найти вершину кривой у = ех.
Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных линий:
1013. у = х* (кубическая парабола).
1014. ~ + S=1 (эллипс)-
§5J
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА
101
1016. x = acos9t; y = asin*t (астроида).
1017. д: = л(cos /-}-/sin f)\y = a(sin/ — /cos /) (эвольвентакруга).
1018. г — аек* (логарифмическая спираль).
1019. r = a:(l-{--cos(p) (кардиоида).
1020. Найти наименьшее значение радиуса кривизны параболы
у2 = 2рх.
1021. Доказать, что радиус кривизны цепной линии y=zach—
равен длине отрезка нормали.
Вычислить координаты центра кривизны данных кривых в
указанных точках:
1022. ху=\ в точке (1; 1).
1023. ау* = х9 в точке (а, а).
Написать уравнения окружностей кривизны данных кривых в
указанных точках:
1024. у = х2 — 6*+W в точке (3; 1).
1026. у—е* в точке (0; 1).
Найти эволюты кривых:
1026. уг = 2рх (парабола).
1027. ^-fy^1 (эллипс).
1028. Доказать, что эволютой циклоиды
x = a(t — sin/); у = а(\ —cos/)
является смещенная циклоида.
1029. Доказать, что эволютой логарифмической спирали
r = aek*
является также логарифмическая спираль с тем же полюсом.
1030. Показать, что кривая (развертка окружности)
х = а(cos /-f-/sin /); у = a (sin / — /cos /)
является эвольвентой окружности х = a cost; y = asint.
ГЛАВА IV
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Непосредственное интегрирование
1°. Основные правила интегрирования.
1) Если F'(x) = f(x), то
где С—произвольная постоянная.
2) \ Af (х) dx = А \ / (х) dx, где А — постоянная величина.
3) \ [/, (х) ± U (х)] dx = £ /, (х) dx ± J /2 <*) dx.
4) Если С f(x)dx = F (x) + C и ы = ф(х), то
C/(H)£to = F(a) + C.
В частности,
С / (ах + b) dx = — F (ax + *>) + С (а ф 0).
2°. Таблица простейших интегралов.
II. J^ = ln|*| + C.
III. C-T^—2 = -arctg4 + C= —-arcctg- + СЕ (a ^ 0).
J x2 -f- a2 a ** a l а ь д i i \ r- /
IV^T^^==lln|i^| + C (£19*0).
J x2 — a2 2a | x + a | '
J a2 —- xx 2a i« — v i » v ^ /
a —x
dx
s = lnU + y?T^l + C (a 9*0).
V.T, -
VI. f ■>— = arcsin- + C = -arccos^ + C, (a > 0).
J fa2 — x2 a a
VII. fo**c=j^ + C (a>0); J e*dx = e* + C,
§ 1]
VIII. [ sitixdx— -eosx + C,
IX. V cosxdx = sinx-f-C.
X. Г-^-rzrtgX-f-C.
XI. f-^L=_ctgx + C.
J sm2x & '
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
10Э
XII
XIII
J sinx
* x
rfx
cos a:"
-f C= In | cosecx — ctgx | + C.
XIV. Jshxdx = chx + C.
XV. С chxdx = shx+C.
xv,-ju-&=th*+c-
Пример 1. С (ах2 + bx -f,c) dx = f ax2dx -+- f bx dx + С с Ах =а
==aCx2dx + 6 Cxdx+cCdx = fl~ + by + cx + C.
Применяя основные правила 1), 2), 3) и формулы интегрирования,
найти следующие интегралы:
; 1031. $5aVAc.
♦ 1032. ^(6x2-\-Sx-\-3)dx.
* 1033. С л: (х + в) (■* + Ь) dx.
4034. Jta + ftxYdx.
* 1035. ^V2pxdx.
* юзе. Г 4т=- •
Г ! ~~п
4037. J («*)"""«**.
PL —
4038. J (ar — x*)'dx.
1039. J (l^je+l)(x —l/x+l)Ae.
1040.
1
(*8-fl)(x8 — 2)
,1041.
.1042
.1043. Г
у*
•J i
fifAT.
j/ax
dx.
dx
x2 + 7*
10M?=Io-
M045. C dX
1046.
J /4+'^'
С dx__
104 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Ю47. \¥Щ^£*Е£йХщ Ю49. a) Jdg»***;
1048*. a) Jtg**d*; б) ^citfxdx.
б) J th* a: rfjc. 1050. ^3xexdx.
3°. Интегрирование путем подведения под знак
дифференциала. Правило 4) значительно расширяет таблицу простейших
интегралов. А именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается
справедливой независимо от того, является переменная интегрирования
независимой переменной или дифференцируемой функцией.
Примере Г -Jl— = j f (5*--2)"rf(5x--2):=
L L L
1 Г ~ * a J u* i п 1 (5л: — 2)at 2 лГЪ к , -
J "2 "2"
где было положено и=;5х — 2. Использовалось правило 4) и табличный
интеграл I.
Пример 3. f-g^^lf .^fl^ = llaUa + /r+^)+C>
Неявно подразумевалось и = *2, причем применялось правило 4) и
табличный интеграл V.
Пример 4. f х*е*Чх = ^ f e*3 d (*')== i-e*3-f С
в силу правила 4) и табличного интеграла VII.
В примерах 2, 3, 4, прежде чем использовать тот или иной табличный
интеграл, мы приводили данный интеграл к виду
[ f (ф (*)) ф' (*) dx = f / (и) dtt, где ы = ср (*).
Такого рода преобразование называется подведением под знак
дифференциала.
Полезно отметить часто применяемые преобразования дифференциалов,
коюрые, в частности, использовались в примерах 2 и 3:
a) dx = —d(ax+b) (а ф 0); б) хdx = -г-d(хг) и т. п.
Применяя основные правила и формулы интегрирования, найти
следующие интегралы:
1051**. ri£. 1053. {£!**.
1052**. J|+>. W54. f^j.
§ 1]
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
105
1055.
1056.
1057.
1058.
1059.
1060*.
1061.
1062.
1063*.
1064.
1065.
1066.
1067.
1068.
1069.
1070.
1071.
1072.
1073.
1074.
1075.
ах -J-&
dx.
х» + 1
х- 1
хг + 5х + 7
■dx.
х + 3
dx.
I
1
I
I
\ У a — bx dx.
' V*-[-ln*
(*+D2
-9dx.
dx.
dx
3x2 + 5'
dx
7x* - 8 "
dx
(0<ft<a).
X2
x2 + 2
d*.
a2 — x2
x2-5x + 6
x2 + 4
dx
}^7 + 8x2 '
dx
V7 - 5x8'
2x-5
dx.
3x* -2
3-2*
5x2 + 7
dx.
dx.
ywmdx-
076. f-i±L
J W-4
dx.
I
•5
°78' jb' + r
079. j j£>.
081. \^d,.
Г arctg
I
084
085
dx.
+ *2
x — >^arctg2x
l+4x2
d*.
086.
\-
dx
V(\ +x2) In (x + Vl+x*) #
087. ^a^~mjfflfx.
088. $42-8* dx.
089. $(*' — e~f)dt.
r* X X^
090.
)*d*.
ft*)'
091. J<£
fa'*— 1
._ dx.
Va*
a*bx
Та
dx.
093. $e-(*2+1)xdx..
094. J дг.7ж1£/х.
096, f«
■dx.
106 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
1096. Г 5^-£= . 1118. Г (—i=- lYdx.
1097. \^~ dx. H19. J tg x dx.
1098. J e* Va~^JFdx. U20' \ ctS * rf*'
Г £ LJL 1121. f ctg-^-.d*.
1099. )(ea -\-iyeadx. J e~*
•"-•iA- ,тЛй-
P a*dx
"01. Jf+^s. 1123. ftg^d*
1102. j\ e ..^dx.
-zbx f
1124. С xctg^+l)^.
Г M i
)VT=?' H25. j-
sin x cos x '
1104. J sin (a + bx) dx. 1126. f cos £ sin - dx.
Jcos ут dx' i127- Ssin'6* cos 6jc rf*-
1105
1106. J (cos a* -f sin ax)xdx. И28. C^^d*
..*J-.0,«S. „acjj^^x
1109*. Jsin'jcd*. пек jj |Л + 3 cos2x sia2xdx.
1110*. J cos8* dx. 1132. Г tg'| sec2 J d*.
1111. J sec2(a, + b)dx. f/p
SJ COS**
ctg'aA: d*. ^
*L. 1134. U^d*.
я • J sin2*
■1.1 tf,
\ sin —
tiiA Г ax - J cosa;i\:
' bcosffi*—j)' 1136. Cfcosax + sinax)2
J \ 4 у J sin ax
tf* 1IOOe J cos2 3*
* *or Г 1 + sin За; ,
1135. ^ -т~Го-г-^.
«tic Г *** *«*».* Г cose^ ол .
1115-3sin(ax+fr)- U37-b-actg3x^-
llie* l^oFx^- 1138. $(2sh5.K —3ch5*)d*.
1117. (jxsin(l — x*)dx. 1139. $sh2xd;c.
§ 1J - НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 107
Ш0- JiSV 1Ш* lihxdx-
1141
ГА 1144. [ cthxdx.
1142. J- dx
sh*ch*'
Найти неопределенные интегралы:
1146. lxVb=?dx. H62. j^==.
С x* J cos~~
1148. Jx*-**^. »M- J-
-djc.
1149
1150
C3-V2+3X*dK_ неб. ftgi^r=n^=:
J 2 + 3** J Vx-l
1151. U==. "67.] i+x. <**•
(Ч-sin* И68. [SinX-C0SXdX.
1152. \ , Mn*rf*. J sin* +cos*
Jx-j-cosx , • * V
1154. C-*U. J ""7?
•i
1155. \rn===dx
1156
1170. \-J—zdx.
С sec8 x
)v&x-=-2 г o+*>' dx
• )\'-Г2х*+1)Ъ*+1- U72. J*4»«**ta2x«te.
1157. J asin*cosxrfx. Г 5 — 3s
" J VT=bx~*
1158
Г rf
J К*ЧЛ *' 1174. С
f *dx J
J^nr?* 1175.]
1173. \ " „ .<**.
е*+Г
1159. 1гт^=. ч,в Г <**
. (a+6)+ („-&)*•
1160. ^tg'ejcdA;. (0<ft<a).
1161. ^sln'yrf*. 1176- J Y^r—2dX'
108 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
п„ Г dx -10- Г arcsin Аг +лс ,
Ш7' J sin a* cos о*' 1184- j yrz£ UX'
1178. С sin (2-p-+%)dt. 1185. Г 5ес*^ ^
,,79-ll(4^F7)- 1186. Jr^^dx.
f X
I arccos -x-
И80. . :
J T/^4 — *2
11 §7.
ii
4 + cos2 2*'
1181. J e-te*sec1 xd*. 1188. J }/'"(* +V> + 1) ^
« 1 oo Г sin X COS JC , p . . , л
И82- j 75=^5^* ll89- J* hch(* + 3^'
""•Jisrarx- "Mire**- .
§ 2. Метод подстановки
Iе. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Полагая
Х==ф(/),
где / — новая переменная и ф — непрерывно дифференцируемая функция,
будем иметь:
J/(*)<Ь=$/[Ф(0]Ф'(')<«• 0)
Функцию ф стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы
(I) приобрела более удобный для интегрирования вид.
Пример I. Найти
[ хУТ^Л dx.
Решение. Естественно положить / = Ух — I, отсюда x = /2-f-l, и
dx = 2/ d/. Следовательно,
$x/x~^dx==$(/2 + l)/-2/d/:=2 ^(/*+'V =
Иногда применяются подстановки вида
и = ф (х).
Допустим, что нам удалось подынтегральное выражение i(x)dx
преобразовать к такому виду:
t(x)dx = g(u)dut где и = ф(х).
§ 2] МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 109
Если \ g (и) du известен, т. е.
\g(u)du = F(u) + C,
$/(*)<fe = F[q>(*)l + C.
Этим способом мы уже, собственно говоря, пользовались в § 1, 3°.
Примеры 2, 3, 4 (§ 1) можно было решить следующим образом:
Пример 2. и = 5х — 2; du = 5dx; dx=z-^ du.
i
J lA5x-2 5J/« 5i 5
Пример 3. ы=х2; du = 2xdx; xdx = -~ ,
2
"~~2
J /1 + x* 2 J /l + w2 2
===lin(^ + VT+l?) + c.
Пример 4. ы = x8; dw = 3x*dx; x2 dx = -^ .
f x2e*3dx = j f Л=|е«4-с = 1^3 + 6\
2°. Тригонометрические подстановки.
1) Если интеграл содержит радикал Т^а2— х2, то обычно полагают х =
= asinf; отсюда
У^а2 — х2 = a cos f.
2) Если интеграл содержит радикал "|/"х2 — а2, то полагают x = asec/;
отсюда
Vx*^a* = atgt.
3) Если интеграл содержит радикал \гх2-\-а29 то полагают x = atgt;
отсюда
У х2 + а* = a sec Л
Заметим, что тригонометрические подстановки не всегда оказываются
выгодными.
Иногда вместо тригонометрических подстановок удобнее пользоваться
гиперболическими подстановками, которые имеют аналогичный характер
(см. пример 1209).
О тригонометрических и гиперболических подстановках более подробно
см. в § 9.
Пример 5. Найти
ПО НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Решение. Полагаем * = tg /. Следовательно, dx =—г .
CVi^+l . PW/+1 dt Р sec/cos2/ dt __
J хг J tg2/ cos2/~J sin2/ cos2/~
= Г dt _. f sin2/-f-cos2/ ^ __ С Ji_ , Г cos^ ^ _,
J sin2/ cos / J sin2/«cos / J cos / J sin2 /
===ln|tg/ + sec/|^^ + C = ln|tg/+1^7H^|-
1191. Применяя указанные подстановки, найти интегралы:
\ Г ^х _ 1
а) )ху^2' *—Т*
б) j?rpr *=—lnft
в) ^x(5x2 — 3ydx, 5xz — 3 = /;
" Ш • <=^
J yi + sin2*
Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:
1192. $JC(2x + 5),0dx. 1197. Г0""1"*)' rf*
1198. I ,. f* rfx.
1104. J * J ^ + 1
1195.
X 1199. f -^
n96. f j!l§**f. 1200*. f-r^=.
J In 4a: x J д: у 1 -|-a^
Применяя тригонометрические подстановки, найти интегралы:
1201.^. 1205. j^m^.
1203. J fcf8^. 1207. $/T=?<te.
1204*. Г jf .
J x Vx* - 1
3JL ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 111
1208. Вычислить интеграл
1
dx
Vx(l-x)
с помощью подстановки x = sm*t.
1209. Найти
^Уаг-\-хЧх,
применяя гиперболическую подстановку x = asht.
Решение. Имеем: У а2 + х2 = У а1 + a2 sh21 = a ch t и dx^achtdt.
Отсюда
С У"У+? d* == С a ch Ла ch / d* =
^a^ch4dt^a^^tldt^^sh2t + t)+C^
z=?L(shtcht + t) + C.
Так как
. . х ., Уа2 + *2
sh/ =—, ch/=~ !—
a a
то окончательно получаем:
^V^T^dx^V^T^2 + ^^
a2
где Cj = C —j? In a — новая произвольная постоянная.
1210. Найти
Г х% d*
полагая x = acht.
§ 3. Интегрирование по частям
*рованияпо ч
ые функции, то
[ и dv = uv— \vdu.
Формула интегрирования по частям. Если и = ф(х) и v =
= ф (л;) —дифференцируемые функции, то
Пример 1. Найти
\ xlnxdx.
dx хг
Полагая w = ln*; dv = xdx, имеем du = — ; p = —. Отсюда
V xlnxdx = ^lnx - V __-=—In* _~-f-<-
112 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится применять
формулу интегрирования по частям несколько раз. В некоторых случаях с
помощью интегрирования по частям получают уравнение, из которого
определяется искомый интеграл.
Пример 2. Найти
\ е* cos x dx.
Имеем \ е* cos х dx = \ e*d (sin х) = ех sin х — \ ех sin x dx = e* sin x +
+ \ e*d (cos х) = ех sin х + ех cos х — \ е* cos * d*.
Следовательно,
\ ех cos * d* = 6х sin * -{- ех cos * — V е* cos * Жг,
откуда
\ ех cos* d* = -^ (sin * -|- cos x) -f- С.
Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы:
1211. \\пхdx. 1224. ^Wxdx.
1212. J aictg*d*. 1225. f l^dx.
1213. $arcsin*d*. 1226. f iH=djc.
r J Vx
1214. V л; sin л; </*. <ллр„ г
J 1227. \ xarctgxdx.
1215. V л: cos За;*/*. r
£ 1228. \ # arcsin * </*.
1216. \ -xdx. J
ni7.tx.a-ft. imji.(«+/i+*')fc
1218**. J x*e'* dx. 123°- J ЙК •
1219*. J (** — 2ж + 5)«-*Лг. 1231. ff^irfje.
1220*. fx**-^*/*. 1232- J«*«in*</Jf.
1221. J л sin x cos * </*. 1233. J 3* cos * rfx.
1222*. J (** + 5x+ 6) cos 2x dx. 1234. $ ee* sin to dx.
1223. [ x1 In a; dx. 1236. J sin (In x) dx.
§ 4] ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН 113
Применяя различные методы, найти интегралы:
1236. Ix'e-'dx. 1246< [«^Длс.
1237. J ev*dx.
1238. J (x« — 2x + 3)lnxdx.
1247. Jxtg22xd*.
1239. С л;1п|—г4^дг.
8. ^
1248. \^dx.
Pin (In
1241. ^ii^irf*.
1 + *
p,n2v i~* 1249. С cos2 (In jc)rfjc
1240. y^dx. J
1251*
•I,
dx
1242. J *2 arctg 3x dx. ' J (^ + «T "
1243. J * (arctg *)» dx. 1262*« J /«•-*• dx.
1244. J (arcsin jc)« dx. 1263*. J уТ+72 dx.
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
1°. Интегралы вида \ 2 , "7" d*. Основной прием
вычисления — приведение квадратного трехчлена к виду:
ах* + Ьх + с = а(х + кГ + 19 (1)
где k и I — постоянные. Для выполнения преобразования (1) удобнее всего
из квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также
пользоваться подстановкой
2ах + Ь = t.
Если т = 0, то, приводя квадратный трехчлен к виду (1), получаем
табличные интегралы III или IV (см. § 1, 2°, таблицу простейших интегралов).
Пример 1.
р dx J_ p dx
jp=^-.j(J,_1...+»)+(4_g)
2 . 4* —5 , -
/31 уж ^
5
х~7
И4 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Если т^О, то из числителя выделяется производная 2ах + Ь
квадратного трехчлена
\
и таким образом, мы приходим к интегралу, разобранному выше.
Пример 2.
1 ,л „ 1
In 1 х2 — * — 1 | —
2х - 1 - V 5
2х - 1 + /5
+ С.
2°. Интегралы вида I ■ . ' dx,
jVax2 + bx+c
Методы вычислений аналогичны разобранным выше; В конечном итоге
интеграл приводится к табличному интегралу V, если а > 0, и VI, если а < 0.
Пример 3.
dx lr dx 1 : 4х —3 , _
: = —r=r arcsin —= h С.
l у2 + Зх-2?~~У*2"\ т/"25_/ _1у""УТ
Пример 4.
Г '+3 d,=L [ ^+2 rfK + 9 r <**
J yV-f-2x-f-2 ^ }Vx2 + 2x+2 J/tx + l^ + l
= У*« + 2* + 2 + 21п (* +1 + V> + 2x + 2) + C.
3°. Интегралы вида I . С помощью обрат-
J (тх + п) У ах2 -f- Ъх + с
ной подстановки
mx-f-n
эти интегралы приводятся к интегралам вида 2°
Пример 5. Найти
dx
(x + DV^Ti*
Решение. Полагаем
« + 1=7-.
отсюда
dt
dx = - -p.
h
§ 4] ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН 115
Имеем:
Sdx t /» I dt =
_Lf___
Y21 /(''
d/ _
2) ^4
+ C
|+/<•-<+j
1 _x + V2(x« + l)|
* + l J
+
+c.
4°. Интегралы вида V ]/ax2 -f- bx -f- с dx. Путем выделения из
квадратного трехчлена полного квадрата данный интеграл сводится к одному из
следующих двух основных интегралов (см. №№ 1252 и 1253):
1) Cl/*a2--Jc2dx = -|.ya2--x2-f-yarcsin-^ + C,
(а>0);
2) ^yZ^dx = ±V*TA + Y^\x + V^
Пример 6.
С у 1 _ 2х - jc2 Же = £ /2 - (1 + х)2 d (1 + *) =
= Ц^ У1 - 2х - х2 -f arcsin i-t? + С
Найти интегралы:
1256. 1*^. 1264. 1^=^=.
1257. |з^7+Т- 1266. ]у^_-8_хгЧх.
1259
• Ь-У+13- 1267. Jт==
l^b^. 1268. j^.
""Щт^ 1269. j-^^.
1261. j^b- 1270. j^^_.
1262. Г . dX ,071 f **
p dx ' '
1263' J YT=1?' l272' \Vx* + 2x-\-b dx.
116 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
1273. [Vx^^dx. 1277. [—££==.
1274. \V2 — x — x*dx. 1278. Г staxifa===>
J J У cos2 x + 4 cos x -f- 1
C^_£^_ 1279. f , ln'd* , .
1275,
1276. Jsint,_C-„,,0^.
cosx
§ 5. Интегрирование рациональных функций
1°. Метод неопределенных коэффициентов.
Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к
интегрированию правильной рациональной дроби
Q (х) • <U
где Р (х) и Q (х) — целые многочлены, причем степень числителя Р (х) ниже
степени знаменателя Q (х). Если
Q (х) = (х - а)а... (х — /)х,
где а, . . . , / — различные действительные корни многочлена Q (х) и а, . . . , А,—
натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби (1)
на простейшие дроби:
Р (х) ___ А,
Q (х) ~~ х - а ~ (х - af ^ ' ' 'п (х - а)*
^1 ! ^2 1 | ^\
х-1^(х-1)2 ^" "^ (х~/)х
(2)
Для вычисления неопределенных коэффициентов Л1э Л2 Lx обе части
тождества (2) приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при
одинаковых степенях переменной х (первый способ). Можно также
определять эти коэффициенты, полагая в равенстве (2), или ему
эквивалентном, х равным подходяще подобранным числам (второй способ).
Пример 1. Найти
xdx .
h
(х-1)(х+1)8
Решение. Имеем:
(X - 1) (X + I)2 ~"Х - 1 "*"X + 1 "*" (X + I)2 '
Отсюда
х^Л(х + 1)2+51^-1)(^ + 1) + 52(^-1). (3)
а) Первый способ определения коэффициентов. Перепишем тождество (3)
а виде
x^(A + Bl)xi + (2A + Bt)x + (A-B1-B2).
§ 5] ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 117
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:
0 = A+Bt; 1=2Л+Д2; 0 = Л — Вх-Вг
Отсюда
л—j- *i——j* *•—2"-
б) Второй способ определения коэффициентов. Полагая х = 1 в
тождестве (3), будем иметь:
1 =Л-4, т. е. Л=-т-.
4
Полагая * = — 1, получим:
-1=-В,.2. т. е. В, = у«
Далее, полагая д: = 0, будем иметь:
0=zA-Bt-Bv
т. е. ^, = 74 — ^2 = т-.
• * 4
Следовательно,
1 Г rf* 1 С dx .If dx __
4 J х- 1 4jx+l+2 J(^ + l)«-
1 ' lln
~~ 2 (* + 1P 4
Пример 2. Найти
S{l+*
f !
2x2+x'
n e ш е н и е. Имеем:
:/.
1 1 A t В С
x* — 2xz + X X{X — l)2 X ^X— 1^ (* — l)8
и
1 = Л (л: - l)2 + Bx (x — 1) + Cx (4)
При решении этого примера рекомендуется комбинировать два способа
определения коэффициентов. Применяя второй способ, полагаем * = 0 в
тождестве (4); получим 1 = А. Затем, полагая *=1, получим 1 —С. Лалее,
применяя первый способ, приравняем в тождестве (4) коэффициенты при х2.
Будем иметь:
0 — А + В, т. е. Д = —1.
Таким образом,
А=\9 В = — 1 и С=1.
Следовательно,
'-JH,-#i+bV-"i'i-""-4-rb+ft
118 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Если многочлен Q(x) имеет комплексные корни a±ib кратности к, то
в разложение (2) дополнительно войдут простейшие дроби вида
Mi* + #i , , Mkx + Nk^
x'+px + q-r • • • i- (хг +px + q)k » W
где
x* + px + q = [x - (a+ib)] [x-(a- ib)]
и Mi, Nlt ..., M^, Nk — неопределенные коэффициенты, определяемые
способами, указанными выше. При k=\ дробь (5) интегрируется
непосредственно; при к > 1 применяется метод понижения, причем
предварительно квадратный трехчлен x*-\-px-\-q рекомендуется представить в виде
(* + -§*) -\-[Q —*j) и сделать подстановку х + -^- = z.
Пример 3. Найти
h
' + '-.*=;.
(** + 4* + 5)г
Решение. Так как
х2 + 4х + 5 = (х + 2)г + 1,
то, полагая jc-j-2 = z, получим:
г-1 л Г гйг р(1+г8)-гу
J^ + l)1 J (za-(-l)s J-
(г* + 1)* dr-
1
■2(г* + 1) j2*4-l+32dL 2(2* + l)J-
2(**+l)
-j-arctgZ + C = -2(/++; + 5)-|arctg(x + 2)+C-
2°. Метод Остроградского. Если Q (дс) имеет кратные корни, то
С Р(*) . Х(*) , ГУ (*) , /Г1
где Qj (#) — общий наибольший делитель многочлена Q (х) и его производной
X (я) и У (х) — многочлены с неопределенными коэффициентами, степени
которых соответственно на единицу меньше степеней Q, (х) и Q2 (дг).
Неопределенные коэффициенты многочленов X (х) и Y (х) вычисляются
при помощи дифференцирования тождества (6).
Пример 4. Найти
dx
h
(х* - I)2
Решение.
Г dx __Ахг + Вх+С . CDx* + Ex + F
J (Xs — 1)г Jt'-l +J JC8 — 1
dx.
§ 5] ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 119
Дифференцируя это тождество, получим:
1 _(2Ах+3)(х*-\)-2>хг(Ахг + Вх + С) Dx* + Ex + F
(Х3_ 1)2 (X*-1)Z + **-1
или
1 = (2Ах -f В) (Xs - 1) — Ъхг (Ах2 + Вх + С) + (Dx% + Ex + F) (х* - 1).
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, будем иметы
D = 0; Е-А = 0\ F-2B = 0; D + ЗС = 0; £ + 2Л = 0; 5 + F = —1;
отсюда
Л = 0; В = —у; С = 0; D = 0; £ = 0; F = — |-
и, следовательно,
С dx _ 1 х 2 Г dx
J (д:3 — I)2 Зд:« — 1 3 J х* - 1 * ()
Для вычисления интеграла в правой части равенства (7) разлагаем дробь
на элементарные дроби:
х*-1
1 __ L Mx + N
jc» — 1 х- \~*~ х2+х + \9
т. е.
\=zL(x*+x + \) + Mx{x— \) + N{x— l). (8)
Полагая jc = 1. получим L=-^-.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и ле«
вой частях равенства (8), находим:
L-t-M = 0; /- — iV = l,
т. е.
1 „ 2
*=—"• "=--*•
Поэтому _
С dx _1 Г dx 1 Г х + 2 _
= ±lnl*- Ц-l In (x'+x+l) -y^arctg^ii+C
Найти интегралы:
»28o. j (x+fl*+t). 1283. j (x_2-;+;i;-/i4) <**.
1281' Ух^Ш^' 1284' lx»-Lt|4x^
t282' J(*-l)(*+2)<* + 3)- 1285* i*(x + l/'
120 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
»286- 1ъгк<*' "МИл-
1288. J£#J£t?<*. 1296. Г^.
1289' 1(/Г^-10^- l297' 1(TTW-
i29°- L'-VhV*- im L^tv*-
1292. j -^ dx. 1300. If ^J'+Iy их.
1293# J (х2-4х + 3)(*2 + 4* + 5) •
Применяя метод Остроградского, найти следующие интегралы:
1301
1302.
Применяя различные приемы, найти интегралы:
1305. j(JC,+1;;,+8)<**. 13Ю*. ^
1306
+ 1)'
С *'+** , 1Q11 Г dx
• )хгг_2х1 + 1аХ- 1ЛП- )х(х> + 1У
1307. j (х14)*(я_2) rf*. 1312. J {хг + 2х + 2)Х(кг + 2х + 5) •
I309' L'-^ + 5x-2- 1314- Ы?-
§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
1°. Интегралы вида
где #-—рациональная функция и/?,, <7i, Рг» <7л ... — целые
числа.
Интегралы вида (1) находятся с помощью подстановки
ax + b=zn
сх-\-&
где п — общее наименьшее кратное чисел qv q%i ...
§ 6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 121
Пример 1. Найти I - 4 / .
J V 2х — 1 -- /2*-1
Решение. Подстановка 2х — 1 =г4 приводит интеграл к виду
Г dx _С2гЧг __ С гЧг _
= (l + J/2jc - l)2 + ln ( V*x - 1 - l)1 + C.
Найти интегралы:
f *^. 1322. f 4*
1316.
ж
13!7- ^vmrwrW'- 1323-1* Vjjt"*-
1319- IF^f 1325- Ыё**-
1320. Г ^ + 1+2__^
2°. Интегралы вида
1
Уох* + Ьх + с
Лс, (2)
где Рп(х) — многочлен степени л.
Полагают
J у ах* + bx + с J У ax*-{-bx-\-c
где Qrt-1 (х) — многочлен степени (п — 1) с неопределенными коэффициентами
и Я, — число.
Коэффициенты многочлена Qn_x(x) и число А, находятся при помощи
дифференцирования тождества (3).
Примере [xiViF+Adx=[^^rdx =
= (Ax3+Bx2 + Cx+D)V^+i + ^ [ *Х -
J У*2 + 4
122 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ* IV
Отсюда
ух2-\-4 Ух8 + 4 Удг + 4
Умножая на У*2+ 4 и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х, получим:
л = 4-; в=о; с=4-; 0=о; ь=—2.
4 2
Следовательно,
3°. Интегралы вида
х*yV + 4d* = £li?f yV + 4- 2In (* + VS~+~V + С.
Ji
dx
(jc - a)" Vax2 + bx+c
Приводятся к интегралам вида (2) с помощью подстановки
х — a
Найти интегралы:
1326. Г f хЧх . 132». Г-7#=.
(4)
1327.
1328.
[-7£=dx. 1330. Г %=.
J V\ -х* J (х + \)*Ух*
+ 2х
Г r^—dx. 1331. Г ** + * + * rrfjg,
J У\ +х* J хУх*-х+\
4°. Интегралы от дифференциальных биномов
f jce(a-}-&*,Ydx, (5)
где m, я и р — рациональные числа.
Условия Чебышева. Интеграл (5) выражается через конечную
комбинацию элементарных функций лишь в следующих трех случаях:
1) если р — целое число;
т -L 1
2) если —— целое число. Здесь применяется подстановка a -f- Ьхп —2s,
где s — знаменатель дроби р;
3) если ———|-р —целое число. В этом случае используется
подстановка ах~п + Ь = zs.
При м ер 3. Найти
J*
2 • ••— 4 . г— з ' д — I
1 1 1 ^+1 2 0
Решение. Здесь т = —г; п = -г\ р = -тг; —!— = ; = 2.
Следовательно, имеех место случай 2) интегрируемости.
§ 7] . ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 123
Подстановка
1
1+х4 =г%
дает: х = (г* — I)4; Лс = 12г* (г* — 1)* dz. Поэтому
= 12Г(гв-2»)^ = уг7-Зг4 + С,
где z = y^\ + l/7.
Найти интегралы:
V1332. §J(\+2**)~TdXt 1335. ^—^=.
1333.
1334.
Г-* = . 1336. Г *Е—_.
V Jx«(2 + *V
Г—7^=. 1337. Г _ *
J*V\+* J^^i + {/?
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций
1°. Интегралы вида
С sinw х cos" x dx = /Л>я, (1)
где тип—целые числа.
1) Если т = 2& + 1 — нечетное положительное число, то полагают
/mn = — V sin**xcosnxd(cosx) = —\ (1 — cos2x)*cosnxd(cosx).
Аналогично поступают, если п — нечетное положительное число.
Пример 1. \ s\nloxcos*xdx= V sin,0x(l — sin2 x) d (sin x) =
sin11* sin19x
11 13
+ C.
2) Если тип — четные положительные числа, то подынтегральное
выражение (1) преобразуют с помощью формул:
sin2 х = -=г 0 — cos 2x), cos* х = — (1 + cos 2*),
sin*cosje = -7r sin 2*.
124 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Пример 2. Г cos23xsin43jtdx=C (cos 3* sin Зх)2 sin2 Зх dx =r
С sin2 6х 1 - cos 6х . lfrl<5 . 2С fiw
= \ —j г ах = -д- \ (sin2 ох — sin2 6х cos 6х) dx =
1 f /1 — cos 12х . 2а а \ .
= -д- \ ( ^ sin2 6х cos 6x J dx =
1 / * sin 12л 1 . в ft \ , ~
3) Если m = —jx и л = -—v — целые отрицательные числа одинаковой
четности, то
(l+tg2x) 1
Ут n = I ■ ■ . „ —т-= l cosec^xse^^xdftgx) =
m>n J sin^ x cosv a; J *
°Kl+£)*<l+*^'<w-r'"Hy.' '«**>■
• В частности, к этому случаю сводятся интегралы
г d* _ 1 С "(т) с dx Г '(* + т)
Пример 3. j^ = jsec«*d(tgAO = J(l+tg**)d(tg*) =
= tg* + i-tg»* + C.
4) Интегралы вида [tgmxdx Гили С ctgwxdxj , где /n —целое
положительное число, вычисляются с помощью формулы
tg*x = sec2x— 1
(или соответственно ctg2 х = cosec2 x — 1).
§ 7] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 125
Пример 5. Ctg*xdx= Г tg* jc (sec2 а; — l)dx=^^— Г tg*jcdx =
= ^-§№x-l)dx = ^-igx + x + C.
5) В общем случае интегралы 1т>п вида (1) вычисляются с помощью фор*
мул приведения (рекуррентных формул), выводимых обычно интегрированием
по частям.
гт * С d* С sin8х + cos2x . С г sinx . . С dx
Пример 6. \—5—= \ 4 dx = \s\nx =— ах + \ * =
r r J cos8 л; J cos*x J cos8* ' J cos*
«i 1 1 f cos jc . . (* dx sin x . 1 f . . . , , ^
= sinдс-- = — \ —r~dx+ \ = s F- + -7rln tg* + sec*-f-C.
2 cos2 x 2 J cos2 x ' J cos x 2 cos* x ' 2 * & ' * •
Найти интегралы:
1338. ^cos'xdx. 1352. Г—xdx x .
c JsifllC0S,Y
1339. \ sin*xdx. „ / яч
J [s\n[x+^\
1340. J sin* x cos» xdx. 1353. J siVnjCC0S/ A*.
1341. jsin8|cos'|-rfx. 1354. J^..
1342. JgffrfJt. 1355' JwcMxdx.
1343. J sin4 x rfx. 1356. J tg* 5* dx.
1344. J sin* x cos* *<*.*;. 1357. Jctg'xrfx.
1345. jsin*x.cos4x</x. 1358. Jctg4**/*.
1346. Jcos'Sa:^. 1359. J (ig> y + tg4|) dx.
f _^L 1360. [ xsin*x2dx.
# J sin4** J
1347
1348
1349
1350
■dx.
Г dx 1361. f^
f cos2*rfx 1362' f sin5 x^/cosjcrfx.
Г <*» 1363. [, d"
' J sin2 x cos4 *• J У sin x cos8 x
* , . 1364. Г-Д,.
smsxcos*jc J у tgjc
126 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
2°. Интегралы вида V sin mx cos nx dx, V sin mx sin nx dx и
\ cos mx cos nx dx.
В этих случаях применяются формулы:
1) sin mx cos nx=— [sin (m -f- n) x -\- sin (m — n) x];
2) sin mx sin nx = -jr [cos (m — n) x — cos (m -f л) *];
3) cos mx cos nx=— [cos (m — n) x + cos (m + n) x].
Пример 7. I sin 9x sin x dx = l у [cos 8x — cos Юх] dx =
==lsin8x-^sinl0x + C.
Найти интегралы:
1365. [ sin За: cos Ъх dx. 1369. [ cos (ад; -|-£) cos (ад:—b) dx.
1366. J sin \Qxsm\bxdx. 1370. J sin Ш sin (со/ + q>) dt.
1367. J cos- cos jdx. 1371# Jcosatcos'Sjc^a:.
1368. С sin у cos у <£*:. 1372. С sin л; sin 2a; sin 3a: dx.
3°. Интегралы вида
\ R (sin x, cos x) dx, (2)
где Я —рациональная функция.
1) С помощью подстановки
откуда
2/ 1 — Р . 2d/
sin*==r+?' C0S*==iTpi» ^^у"^*»
интегралы вида (2) приводятся к интегралам от рациональных функций новой
переменной /.
Пример 8. Найти
г dx -/.
J 1 -f- sin x -j- cos x
X
Решение. Полагая tg — = /, будем иметь:
2dt
+ c.
§7]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
127
2) Если имеет место тождество
R ( — sin х, — cos х) яа R (sin xt cos x)t
то для приведения интеграла (2) к рациональному виду можно применить
подстановку lgx=t.
Здесь
* 1
sin* = -т=-, cos* = -7=
Vi+p Vi + t*
и
x = arctg/, dx = jxyi-
Пример 9. Найти
dx .
j
1 -j- sin2 x'
(3)
Решение. Полагая
tgx = tt sin*x =
будем иметь:
i+<»
, dx:
dt
\+t*
d((V2)
2)2
= ±= arctg (t V"2) + С = JL arctg ( ^Ftg x) + С
Заметим, что интеграл (3) вычисляется более быстро, если предварительно
числитель и знаменатель дроби разделить на cos8*.
В отдельных случаях полезно применять искусственные приемы (см.,
например, № 1379).
3 -J- 5 cos х *
dx
Найти интегралы:
С dx
1373. l x
1374.
1375.
1376.
1377.
1378.
1379**
1380
!
J sinx-j-cosx
С cos*
J 1 + COS X
Г* sinx
Jl-
1382*.
j 3 sin2
dx
dx.
1383*. f-r-r-
J sin2 a:
1384*. f
a: -f- 5 cos2 x *
dx
-f- 3 sin x cos x — cos2 x *
dx
sin2 x — 5 sin x cos x '
sin x
dx.
J8-4
s
dx
sin x -(- 7 cos x '
dx
cos x -j- 2 sin x -f- 3 *
-f- 2 cos x
1381
Г 3 sin x
* J 2sinx
ч
+ 3 cos x
+ tg*
-tg*
dx
dx.
1385. Г., sln* „dx.
J (1 — cos дс)'
,386. f-rS^r-Ле.
J 1 -(- sin2 x
,387. Г Z0^., dx.
J cos4 x -f- sin4 x
1388. f -r-i—c°s* ,r djc.
J sin* x — 6 sin x 4- 5
14ftQ* Г —
e J (2-sinx)(3-sinx)'
1-f 3cos2x*
1390*.
i
1 — sin x -f- cos x
1 -f- sin jc — cos x
flfAT.
128
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
§ 8. Интегрирование гиперболических функций
Интегрирование гиперболических функций вполне аналогично
интегрированию тригонометрических функций.
Следует помнить основные формулы:
1) ch*х-ьЪ*х=и
2) sh2*= -^-(ch2jc- l);
3) ch*jc = i-(ch2* + 0;
4) sh x ch x = -^ sh 2x.
Пример 1. Найти
Решение. Имеем:
f
ch* x dx.
fch2 x dx= C~ (ch 2* + X)dx = -1 sh 2x + ~ * + C.
Пример 2. Найти
\ ch8xd*.
Решение. Имеем:
\ ch3xdx = С ch*xd(shx) = Ul+sh*x)di*hx) =
= sh* H—5-+C-
Найти интегралы:
1391. ^sh*xdx. 1397. Jth8jc^.
1392. J ch4 x dx. 1398. $ cth4 л: dx.
d*
1393. 5 sh*x ch * **• 13"- J ih*T+ ch2 x '
1394. Jeh-xch^dx. 1400. ]2shx + 3chx.
1396 Г dx 1402. {shxdx .
§ 9] интегралы вида ^ R (х, У ах2 -{- Ьх + с) dx 129
§ 9. Применение тригонометрических и гиперболических
подстановок для нахождения интегралов вида
J Ж*, Уах* + Ьх + с)с1х, (1)
где /? — рациональная функция.
Преобразуя квадратный трехчлен ах2-\-Ьх-\-с в сумму или разность
квадратов, сводим интеграл (1) к одному из интегралов следующих типов:
1) ^ R(z, lA^72)dz;
2) J R (2, V'rf+T2) dz;
3) J Л (z, У?^?) dz.
Последние интегралы берутся соответственно с помощью подстановок:
1) z = msin / или z = m\h t,
2) z = m tg/ или z=±msh /,
3) г = т sec / или 2 = m ch /.
Пример 1. Найти
J (x+irVx2 + 2x + 2
Решение. Имеем:
х* + 2х + 2 = (х + 1)2 + \.
Положим x-{-l=tgt, тогда dx = sec2 f d/ и
Г d* __ Г sec2 * dt _ fcos£ .
J (*+l)2/(*+l)2 + l J tg'fsec* ~" Jsi"2' ~~
= ' +c=-^ + * + 2+o.
sin / ' x -f-1 '
Пример 2. Найти
С xVx2 + x-\- \dx = l.
Решение. Имеем:
Полагая
л: + -— = -—— sh t и dx = ~— ch / d?,
получим:
= 3_K3 fsh/ch2M/_|. \ch2tdt —
3 У 3 ch3 * 3/1 . . , . , 1 , \ . n
1 shtcht-\--^t J+C.
~" 8 3 8 V 2 ' 2
5 Г. С. Бараненков и др.
130 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Так как
Sh<=r?^( *+-2)' <Ы = у~Ух* + х + 1
*=to(*+y+/**+*+1)+ln7T
то окончательно имеем:
3
Найти интегралы:
1403. J]/"3 — 2лг — лг2йГлг. 1409. $ У хг — 6х — 7 dx.
1404. Jj/T+^dx. ню. $(*• + * +1)~Ле.
1405. Г , •** dx. 1411. Г /**
1406. J/x2 —2x-f 2dx. 1412. I " T-
J (x2 —2* + 5)2
1407. ?Ух2 —4dx. 1413. Г **,
1408. JVje' + xdJC. 1414. f ——;
dx
)Vl+x«
§ 10. Интегрирование различных трансцендентных функций
Найти интегралы:
dx
е*х + ех — 2'
1415. J(x2+l)V*dx. 1421. Г
1416. (jx2cos23xdx. 1422. f ., dx
1417. J x sin x cos 2л; dx. 1423. I x2 In т-i-? dx.
1418. J <?2*sin2 x dx. 1424. jj In2 (x + V~Tfxz) dx.
1419. ] e* sin x sin 3x dx. 1425. J x arccos (5x— 2)dx.
1420. ] xe* cos a; dx. 1426. $ sin x sh x dx.
§ 12J
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ
131
§11. Применение формул приведения
Вывести формулы приведения для интегралов!
С dx
1427. /rt = J (x2 + fl2)„; найти /2 и /,.
1428. In = £ sin" х dx; найти /4 и /6.
1429' Ws5Fi! найти/, и /4.
1430. /„ = $Л-*Ле; найти /10.
§ 12. Интегрирование разных функций
»431. )2хг_4х + Г 1445. Jy(tf_a,+ 1).'
1432.
1434.
1436.
1х*-Ъ + 2аХ- 1446« ]«/5^ + /5=V
Г ^—г dx. 1447. Г .. ** „ dx.
1448.
к-
Г ** 1449« \fl-2x'-X*-
С rf* 1450. I
J (* + !)« <** + !)• J,
х + * dx.
,437« 1(-?T2P- 1451*. f dx
1438. " "" J
1439.
1440.
J д. _ 2** + l ' 14б2. С]/Z^9 dx.
J (X2 __ x _рту8 • 14бз# ^ Vx — 4x2 dx.
. J^ + je+l '
1441. ^V*+ltdx. 1455< ^^. + 2je + 2^
132 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
1459. \-^L=dX. 1480. [x-^£Ldx.
1460. Jcos4jcrfx. 1481. Г sin2 j cos Ц dx.
1461# \^7Ш~Х- Н82. fn p- -2.
j cos x sin x j (Sln j _j_ cos ^г
1462. \\±Vb*dx. 1483. fj—j^—-.
J sin*x J (tg*-j-l)sin**
1463. f "!f!li- dx. 1484. fshxchxrfx.
J j/cos3* J
и<м Г i* a 1485- UlLlJjzidjc.
1464. ^cosec55xdx. J y\rz~x
1465. №rf*. 1486. f hf*ch* dx.
J cos'л: J sh^+ch^x
1466. js!n(^-*)sin(£ + *)rf*. 1487. J^rfx.
1467. Jtgi(i + ^-)d*. 1488. J.
dx
■2e*'
1469. L , f* , • 1490. Г— dx
1470.
1471.
1472.
1473.
Ь-riW 149°- f-^j
Jcos2x+2sinxcosx4-2sin2A;# л AC.A f 2*
J sin x sin 2** ,.<.„ f ,
« dx 1492. $(**—l)10-Md*.
](2+cos;c)(3 + cos*)* 1493> Гг/рГПГТ^л:.
f sec2 x . J '
J/tg^+4tgx + l X' 1494. l^dx.
1 J.7J. Г C0S aX rf PI
1474, J/fl' + sin'ox ' 1495- )x>arcsmjdx.
1475- JESTS' 1496- ]^s(\nx)dx.
1476. Jxsin2xdx. 1497. J (x2—3x)sin5xdx.
1477. JxV'dx. 1498. J x arctg (2x-f 3) dx.
1478. Jxe2*dx. 1499. ^ arcsin j/"* dx.
1479. $x2lnVb=^^. 1500. J|x|dx.
ГЛАВА V
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
I
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
1°. Интегральная сумма. Пусть функция /(х) определена на
отрезке а^х^Ь и a = *0<xt <...<*„ = 6 — произвольное разбиение этого
отрезка на п частей (рис. 37). Сумма
вида
где ж* <!/<*,•+»;
/ = 0, 1, 2,
..(/2~1),
называется интегральной суммой
функции f (х) на [a, ft].
Геометрически Sn представляет собой
алгебраическую сумму площадей
соответствующих прямоугольников (см. рис. 37).
2°. Определенный
интеграл. Предел суммы Sn при условии,
что число разбиений п стремится к
бесконечности, а наибольшая из
разностей А*; — к нулю, называется определенным интегралом функции / (х)
в пределах от х = а до х=Ь, т. е.
Рис. 37.
Ит ^ /<Ei)A*/ = S /(*>**•
(2)
Если функция f (х) непрерывна на [a, ft], то она интегрируема на [a, ft], т. е.
предел (2) существует и не зависит от способа разбиения промежутка
интегрирования [a, ft] на частичные отрезки и от выбора точек £/ на этих
отрезках. Геометрически определенный интеграл (2) представляет собой
алгебраическую сумму площадей фигур, составляющих криволинейную трапецию аАВЬ,
в которой площади частей, расположенных выше оси ОХ, берутся со знаком
плюс, а площади частей, расположенных ниже оси ОХ, — со знаком минус
(см. рис. 37).
Определения интегральной суммы и определенного интеграла естественно
обобщаются на случай отрезка [a, ft], где а > ft.
Пример 1. Составить интегральную сумму Sn для функции
f(x) = \+x
134
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
на отрезке fl, 10], деля этот отрезок на п равных частей и выбирая точки £/
совпадающими с левыми концами частичных отрезков [#/, */+1]. Чему
равен lim S„?
п -» со
п о л 10 - 1 9 t ... f , Ш .
Решение. Здесь кх-, — = — и Ъ = х; = ха + шх/=1 -4— . От-
9( 9г
сюда /(I-) = l + l-f- = 2+-. Следовательно (рис. 38),
fi ti
Hm 5„ = 58-n--
П -*> 00 Z
Пример 2. Найти площадь криволинейного треугольника,
ограниченного дугой параболы у = х2, осью ОХ и вертикалью х = а (а>0).
Рис. 39.
Решение. Разобьем основание а на п равных частей Ддг = —. Выбирая
значение функции в начале каждого промежутка, будем иметь:
«.=05Л=(^)'5л=-[*(тЛ» —"-«[с-D-J]'.
Площади вписанных прямоугольников вычисляются умножением каждого у^ на
основание Дх= — (рис. 39). Суммируя, получим площадь ступенчатой фигуры
s"=-K-J)2[1+2!+3i+-"+("-1)!J-
Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел
у А>==я(я+1)(2* + 1>
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 135
находим:
__а*(п-1)п(2п-1)
5я~" 6л8 ;
отсюда, переходя к пределу, получим:
с .. с .. а'(п-\)п(2п-\)_а>
S= lim S„ = lim 0-5 ~Т*
п -* оо п -> оо u/t °
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пределы
соответствующих интегральных сумм.
Ь 1
1501. \dx.
т
1502. $(«, + **)<«,
0
^о и £—постоянны.
1503. J *2<**-
10
1504. j2*rfAr.
0
5
1505*. ^x'dx.
1
1506*. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной
гиперболой
1
* = Т'
осью ОХ и двумя ординатами: х = а и л; = £ (0<^а<^^).
1507*. Найти
/(*)=$
sin tf d/.
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью
неопределенных
1°. Определенный интеграл с переменным верхним
пределом. Если функция / (/) непрерывна на отрезке [а, 6], то функция
'(*) = $ /W
Л
есть первообразная для функции f(x), т. е.
F'(x) = f(x) при а<х<6.
2°. Формула Ньютона — Лейбница. Если F' (x) = f(x), то
ь ь
^f(x)dx = F(x) | = F(ft)-F<a).
136 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Первообразная F (х) вычисляется путем нахождения неопределенного интеграла
^f(x)dx = F(x) + C.
8
Пример 1. Найти интеграл \ х* dx.
s
Решение. \ х* dx=
—1
1508. Пусть
• 1
_35 (-1)' 4
-т—т—48т-
• 1
Найти:
а
»=' 2'л-
Найти производные следующих функций:
1509. /="(*) = 5 \ntdt (х>0). 1511. Т7 (*) = ][ e~i% dt.
1 X
о V~x
1510. F(x)=^Vl+t*dt. 1512. /== I cos (t')dt (x>0).
X 1
1513. Найти точки экстремума функции
х
y=\s-^-dt в области д;^>0.
о
Применяя формулу Ньютона — Лейбница, найти интегралы:
1 X
1514. f т^-. 1516. [ exdt.
J if-,- 15ie- S
О
— 1
1515
• j -p* 1517. ^ cos tdt.
— 2 О
С помощью определенных интегралов найти пределы сумм:
1618**. lim ( 4-+ 4"+ • • • +'L=r^ •
ш9**- п1гХ-тт+п-т-2+---+^Ь)-
1520. Игл 1Р + 2Р+;--+пР (р>0).
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 137
Вычислить интегралы:
2 3,5
1521. \ (х2 — 2x4-3)dx. 1534. Г . dx
1 2
1522. \ (V2x-\-l/x~)dx. 1535 Г У**У
1523
•№>•
1524. ^Vx — 2dx.
— 8
1525
•1
У 25 + Зл; *
о
1530. J rf*
х2 - 3jc + 2 '
1531. f-sVr^.
1532. $ sec* a da.
1536. j cos2 a da.
2
dx 1537. ^sin'cpdcp.
0
• J x«-l*
— 2
r xd% 1539. f
• J a:2 +-3x4-2* i
о jt_
1 T
• J fJ^2' 1540. JtgxdA:.
sin (In a:)
dx.
1528
1529- J v2 XivXR' !
x2 + 47"4-5' p
0 1541. J ctg4(pdq>.
i
l?_*_A„ 1542. j^^.
г8 +1
i
1543. J chxdx.
0
In s
КГ ln 2
1533. J уТ^Гх5, 1545. ^sh'xdx.
138
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
§ 3. Несобственные интегралы
1°. Интегралы от неограниченных функций. Если функция
f(x) не ограничена в любой окрестности точки с отрезка [а, Ь)\\ непрерывна
при а<х<си с<ж&, то по определению полагают:
Ь с —е Ь
[ f(x)dx = )\m С / (x)dx + \\m [ f(x)dx. (1)
а а с-\-т\
Если пределы в правой части равенства (1) существуют и конечны, то
несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае —
расходящимся. При с = а или с=Ь определение соответствующим образом
упрощается.
Если существует непрерывная на [а, Ь] функция F (х) такая, что F' (х)=. f(x)
при х Ф с (обобщенная первообразная), то
s
ъ
f(x)dx = F{b)-F{a). (2)
Если | / (х) |< F (х) при а^х^Ь и \ F(x)dx сходится, то интеграл (1)
а
также сходится (признак сравнения).
Если /(х)^0 и lim \f(x)\c-x\»\ = A*co, А ^ О, т. е. /(д)^—!—
X -► С \С Х\
при х -► с, то: 1) при т< 1 интеграл (1) сходится, 2) при m^l интеграл (1)
расходится.
2°. Интегралы с бесконечными пределами. Если функция
f (х) непрерывна при а^х< оо, то полагают
оо Ъ
{f(x)dx = \\m С /(х) dx (3)
J Ь -> со ^
и в зависимости от существования или несуществования конечного предела
в правой части равенства (3) соответствующий интеграл называется
сходящимся или расходящимся.
Аналогично
ь ъ оо ь
[f(x)dx= lim C/(x)dx и С f(x)dx= lim С f (x) dx.
•J а-»—со») J a-* —ao ^
-co a —оо &-+ + соа
00
Если |/W|<f(x) и интеграл \ F(x)dx сходится, то интеграл (З)тоже
а
сходится.
Если /(х)^Ои lim \f(x)xm\ = A Ф со, Л 5*0, т. е. /(х) ~jl при х-+со,
* -> СО *
то: 1) при т> 1 интеграл (3) сходится, 2)при т<1 интеграл (3) расходится.
§ 3] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 139
Пример 1.
f *E= llm Г*Ц-1!тГ*=Пт(1_Л+П
J Г е ч> о J X* е -» о J X2 1) -+ 0 \1\ Учи
im ( 1 — 1 ] = оо
о \Ч
— интеграл расходится.
Пример 2.
00 &
f *Ц=Пт ГТ^Ц-= Hm (arctgft-arctgO) = *
J 1+^ & -» оо J 1 + X2 b-+ao 2
о о
Пример З. Исследовать сходимость интеграла Эйлера — Пуассона
00
Je-*'<fo. (4)
Решение. Положим
оо
С e-*ad.*: = Ce-*Mx-f f e-x*dx.
Первый из двух интегралов в правой части не является несобственным, а
второй сходится, так как е — х*^е~х при х^1 и
Ь
J Ь -*QO J Ь -*• 00
& -> QO «■> Ь -> 00
1
следовательно, интеграл (4) сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл
00
dx
+ 1
(5)
Решение. При х -► + оо имеем:
1 1
Так как интеграл
00
1 X а
сходится, то наш интеграл (5) также сходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость эллиптический интеграл
140 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Решение. Точка разрыва подынтегральной функции: др = 1. Применив
формулу Лагранжа к разности 1 —л:4 = (I — х) (1 -\-х) (1 +х2), получим:
1 1 1
уТТГ*5 l/"(l—*).4*J Vr(\-x)(l+x)(i+x*)
(1-Х)2 ]/"(1+*)(1+*2)
Следовательно, при х -> 1 будем иметь
УТ=* 2 \\-х) '
Так как интеграл
2
Ш
dx
сходится, то данный интеграл (6) также сходится.
Вычислить несобственные интегралы (или установить их
расходимость):
1 2 1
1546. f^=. 1547. \j. 1548. jg.
0 — 1 0
,549. j^. .550. j^, ,55,. j§.
0 0 1
1552. ]%. 1553. J*. 1554. ] ,-*,.
1 1 — оо
оо со 2
1555. Уг+S+ff. 1556. J sinxdx. 1557. j ^.
— со О О
1558- J щгх- "Ю-J JET («>!)• "<»• J Ж («>»)•
о a a
я
2 со
1561. f ctgxrfx. 1562. J «"**</* (£>0).
§ 4] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 141
00 00
о о
2 О
Исследовать сходимость интегралов:
100
f-00 2
Г d* 1572 Г —
J 2х+*/х2 + \+5' ' J In*'
ю
100 1
1567. С —-J*—. 1571. f dx
,568. Т з7^=— • 1572. Г^
GO 00
1569. Г f* 1573. f^djc.
00
1570. f -^
1574*. Доказать, что эйлеров интеграл 1-го рода {бэта-функция)
1
В(р, ^г) == ^ л;^-1 (1 — x)q'1 dx
о
сходится при р^>0 и <7^>0.
1575*. Доказать, что эйлеров интеграл 2-го рода {гамма-функция)
00
Т{р)=\хр-Хе-Х(1х
О
сходится при р^>0.
§ 4. Замена переменной в определенном интеграле
Если функция f {х) непрерывна на отрезке а^х^Ь и х = (р (О —
функция, непрерывная вместе со своей производной ф'(О» на отрезке ct^tf^rp,
где а = ср(а) и Ь — уф), причем /[ф(0] определена и непрерывна на отрезке
а</<6, то
ь р
5/(х)^=5/[Ф(0]ф'(0^-
tf a
Пример 1. Найти
a
[ х% У<хг-х*йх (а > 0).
142 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Решение. Положим
х = а sin /;
dx = a cos t dt.
x
Тогда f = arcsin — и, следовательно, можно принять а = arcsin0 = О,
я
Р = arcsin 1 =-^-. Поэтому будем иметь:
п
а Т"
[ хг У а1 — х2 &х= С а2 sin21 У а2 - a2 sin2 /а cos / d*=s
о о
1С 1С 1С
= а4 f sin2/cos2/ d/ = — Csin22/d/ = £! Г(1 -cos4/)d/ =
О 0 0
=т('-г!")
2
Jtfl4
~"Тб"
1576. Можно ли интеграл
2
5 К1—**<**
о
вычислить с помощью подстановки a:==cos/?
Преобразовать определенные интегралы с помощью указанных
подстановок:
4
8 3
1577. ^Vx^idx, x = 2t— 1. 1579.Г-^р—, x = sh/.
J К^ТТ"
1б78# f ут^Т*' x==s'mt 1580. I f(x)dx, * = arctg/.
1
2
1581. Для интеграла
ъ
[f(x)dx (b>d)
указать целую линейную подстановку
в результате которой пределы интегрирования сделались бы
соответственно равными 0 и 1.
§ 4J ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 143
Применяя указанные подстановки, вычислить следующие интегралы;
4
1582. Г rfV. x = t\
О
1583. Г {x~jyt dx, x-2 = z\
з
In 2
1584. IVe^Tdxi ex—\=z\
О
2
1586
' J l+a»sln»*' fe* —'•
С помощью подходящих подстановок вычислить интегральи
> In 5
1587. j ¥±=*.<tx. 1589. j 5l^^i^t
2
г 5
1588. \^f^-dx. 1590. j
1 О
Вычислить интегралы;
8
1591.
dx
2х + УЪх +1
$хуЛь + Г 1593- J^«-*"'«*•
1592. j^. 1594. J 5_#L_.
-1 О
1595. Доказать, что если f(x) — четная функция, то
а а
J f(x)dx = 2^f(x)dx.
— а о
Если же f(x) — нечетная функция, то
а
J f(x)dx = 0.
144 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
1596. Показать, что
00 00 СЛ
-00 О О
1697. Показать, что
1С
J arccos x J x
о о
1598. Показать, что
1С 1С
Т 2
J /(sin д:) ^л: = j /(cos лг) </л\
о о
§ 5. Интегрирование по частям
Если функции и (х) и v (х) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, Ь],то
ь ь ь
\ и (х) v' (x) dx = а (х) v (х) I — С i> (х) а' (х) Же. (1)
а в а
Применяя формулу интегрирования по частям, вычислить интегралы:
it
"Т" со
1599. ^xcosxdx. 1603. $*е-*Ак.
0 о
е оо
1600. $1пл:й?л:. 1604. ^е~ах cos bxdx (я>0).
1 о
1 СО
* 1601. $*V*rt*. 1605. \e-axsmbxdx (а>0).
о о
тс
1602. ^ e*sin;t rf*.
о
1606**. Показать, что для гамма-функции (см. № 1575)
справедлива формула понижения:
Г(р+\)=рГ(р) (р>0).
Отсюда вывести, что Г(п-\- l) = nl, если п — натуральное.
§ 6] ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 145
1607. Показать, что для интеграла
1п=\ s\nnxdx = ^ cosnxdx
справедлива формула понижения
I =п-^1 .
Найти /п, если п — натуральное. Пользуясь полученной формулой,
вычислить /9 и /10.
1608. Применяя многократное интегрирование по частям,
вычислить интеграл (см. № 1574)
В (р, q) = J xp-l (1 — х)9~* dx,
где р и q — целые положительные числа.
1609*. Выразить через В (бэта-функцию) интеграл
Jmn—\^ smmх cosnxdx,
о
если т и п — целые неотрицательные числа.
§ 6. Теорема о среднем значении
1°. Оценки интегралов. Если f(x)^F(x) при а^х^Ь, то
ъ ъ
\ f (x)dx^ С F(x)dx. (1)
a a
Если f(x) и ф (х) непрерывны при a^x^b и, кроме того, фМ^О, то
ъ ь ь
т [ ф (х) dx < [ f (х) ф (х) dx < М \ ф (х) dxt (2)
где т — наименьшее, а М — наибольшее значение функции fix) на
отрезке [а, 6].
В частности, если ф(х)==1, то
m (6 - а)< f / (х) dx < M (6 - а). (3)
146 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Неравенства (2) и (3) можно соответственно заменить эквивалентными им
равенствами:
ь ь
^f(x)y(x)dx = f(c)^y{x)dx
а а
И
Ь
J/WAf = /(E)(6-e),
а
где с и g — некоторые числа, лежащие между а и Ь.
Пример 1. Оценить интеграл
2
/=Г V 1 + ~ sin2 х dx.
о
Решение. Так как 0 < sin* х < 1» то имеем:
■J/7T?
т<'<т/т-
т. е.
1,57 </< 1,91.
2*. Среднее значение функции. Число
ь
а
называется средним значением функции f(x) на отрезке а ^х*^Ь.
1610*. Не вычисляя интегралов, определить их знак:
2 2ТС
а) \ х9 dx; в) \ 5!1£ dx.
-1 О
тс
б) ^ х cos х dx;
о
1611. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
1 1
а) ^ V~l -\-x2 dx или j х dx;
о о
1 1
б) j х2 sin2 л: dx или \ xsin2xdx;
о о
2 2
в) ^ в*2 dx или J е* dx.
§ 7] площади плоских фигур 147
Найти средние значения функций на указанных промежутках;
1612. f(x) = x\ 0<*<1.
1613. f(x) = a-{-bcosxf — я<д:<л,
1614. f(x) = sin2 л:, 0<*<jt.
1615. f(x) = sin4 х, 0<*<л.
1616. Доказать, что I _ = заключен между -^ ^ 0,67 и
J у2+х — л;2 <*
о
-^= =^ 0,70. Найти точное значение этого интеграла.
Оценить интегралы:
1617. (/4+^а dx. £ .
0J 1620*. I jc/tgxrfx.
1618- J W$P '
С lb
1619. f
1621.
d*
2
f sin x ,
10 + 3 cos* '
1622. Интегрируя по частям, доказать, что
20071
°<J
cos x . ^ 1
100TC
§ 7. Площади плоских фигур
1°. Площадь в прямоугольных координатах. Если
непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y = f(x)
[/(-*)^0], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой,
двумя вертикалями в точках х = а и х=Ь и отрезком оси абсцисс а<.х^Ь
(рис. 40), определяется формулой
ь
S=^f(x)dx. (1)
а
X2
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = -п">
прямыми х=1 и х = 3 и осью абсцисс (рис. 41).
148
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРЛЛ
[ГЛ. V
Решение. Искомая площадь выражается интегралом
S
1
С х2
dx--
3 *
Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой х = 2 — у — у*
и осью ординат (рис. 42).
Рис. 40.
Рис. 41.
Решение. Здесь изменены роли осей координат и поэтому искомая
площадь выражается интегралом
;= J (2 — ^ — г/а
)dy~4-z- ,
где пределы интегрирования у1— — 2 и f/g^1 найдены как ординаты точек
пересечения данной кривой с осью ординат.
y=fg(x)
Рис. 42. Рис 43.
В более общем случае, если площадь S ограничена двумя непрерывными
кривыми y — fx{x) и y = f2(x) и двумя вертикалями х~а и х = Ь, где
fl(x)<:f2(x) при а<х<& (рис. 43), то будем иметь:
ь
(2)
S= $[/,(*)-Л (*)!**•
§ 7]
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
149
Пример 3. Вычислить площадь S, заключенную между кривыми
у = 2 — хг и у9 — х* (3)
(рис. 44).
Решение. Решая совместно систему уравнений (3), находим пределы
интегрирования: #х =— 1 и х2 = 1- В силу формулы (2) получим:
Если кривая задана уравнениями в параметрической форме x = y{t),
y = ty (r), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя
1
S= Г (2-x2-x3l')dx = hx- j-
Рис. 44.
вертикалями, соответствующими х = а и х = Ь, и отрезком оси ОХ,
выражается интегралом
S=f ф(/)ф' (t)dtt
где г, и t2 определяются из уравнений
а = ц>((г) и b = y(t2) [yp(t)^0 на отрезке [/,, £>]]•
Пример 4. Найти площадь эллипса 5 (рис. 45), используя его
параметрические уравнения
( х = а cos t,
\ у = Ь sin r.
Решение. Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одной
четверти, а затем учетверить результат. Полагая в уравнении х — a cost сначала
тс
х = 0, затем х — а, получим пределы интегрирования г2 — — и t2 = 0. Поэтому
4-5= Г Ь sin a (—sin t)dt = ab f sin2 tdt = ^~-
71 0
и, следовательно, S = rtab.
150 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
2°. Площадь в полярных координатах. Если непрерывная
кривая задана в полярных координатах уравнениемг = /(ф), то площадь сектора
АОВ (рис. 46), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами О А
и ОВ, соответствующими значениям ф! = а и Ф2 = Р> выразится интегралом
5 = ~^[/(ф)]МФ.
а
Пример 5. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли
г^с^созгф (рис. 47).
Рис. 46. Рис. 47.
Решение. В силу симметрии кривой определяем сначала одну четверть
искомой площади
тс
jS=Y§ a8cos29d<p = ^[lsin2<p];=2l.
Отсюда S = a2.
1623. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = 4х— х2
и осью абсцисс.
1624. Вычислить площадь, ограниченную кривой у = \пх, осью
ОХ и прямой х = е.
1625*. Найти площадь, ограниченную кривой j; = х(х— 1)(л: — 2)
и осью ОХ.
1626. Найти площадь, ограниченную кривой y*z=x, прямой у=\
и вертикалью л: = 8.
1627. Вычислить площадь, ограниченную одной полуволной
синусоиды y = s\nx и осью ОХ.
1628. Вычислить площадь, заключенную между кривой y = tgxt
осью ОХ и прямой д: = — .
1629. Найти площадь, заключенную между гиперболой ху = т2,
вертикалями х = а и х = 3а (я^>0) и осью ОХ.
1630. Найти площадь, содержащуюся между локоном Аньези
у = -2-т—-2 и осью абсцисс.
1631. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у = х*}
прямой ji = 8 и осью О Г.
§ 7] площади плоских фигур 151
1632. Найти площадь, ограниченную параболами у2 = 2рх и
х2 = 2ру.
1633. Вычислить площадь, ограниченную параболой у — 2х— х2
и прямой у = — х.
1634. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у —
= 3 — 2х от параболы у = х*.
1635. Вычислить площадь, заключенную между параболами у = х*,
х2
У=-к и прямой у = 2х.
1636. Вычислить площадь, заключенную между параболами
х2 а 2 2
y=Tv y = 4-Yx.
1637. Вычислить площадь, заключенную между локоном Аньези
1 х2
=—j—j- и параболой у = -к •
1638. Вычислить площадь, ограниченную кривыми у = ех, у=е~*
и прямой х= 1.
1639. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой ^ — тг=1
и прямой д: = 2а.
1640*. Найти площадь, ограниченную астроидой
2 2 2
х 8 Ц-д^8 =а 8.
1641. Найти площадь между цепной линией
y = ach~,
осью OY и прямой ^ = о~(^2+1).
1642. Найти площадь, ограниченную кривой агу2 = х2 (а*—л;2).
1643. Вычислить площадь, содержащуюся внутри кривой
(*)■+(*)■*-■
1644. Найти площадь между равнобочной гиперболой л:2 — у = 9,
осью ОХ и диаметром, проходящим через точку (5; 4).
1645. Найти площадь между кривой у = —^, осью ОХ и
ординатой х= 1 (л:^> 1).
1646*. Найти площадь, ограниченную циссоидой у2 = 2 __ и ее
асимптотой дг = 2а (а^>0).
1647*. Найти площадь между строфоидой у2 = * __ и ее
асимптотой (а^>0).
1648. Вычислить площади двух частей, на которые круг л;2-|-у2 = 8
разделен параболой ^2 = 2x.
152
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
1649. Вычислить площадь, содержащуюся между окружностью
х*+уг=\6 и параболой х* = 12(у— 1).
1650. Найти площадь, содержащуюся внутри астроиды
х = a cos31\ y = b sin31.
1651. Найти площадь, ограниченную осью ОХ и одной аркой
циклоиды
x = a(t — sin/), yz=za(\ —cos/).
1652. Найти площадь, ограниченную одной ветвью трохоиды
( x = at — bsin/,
[ у = а — boost ^
и касательной к ней в низших ее точках.
1653. Найти площадь, ограниченную кардиоидой
| х — а(2 cos /— cos 2/),
\ y = a(2smt— sin 2/).
1654*. Найти площадь петли декартова листа
Sat 3at2
х = -
l + t*1 * 1 + tz '
площадь фигуры, ограниченной
кардиоидой
1655*. Найти
г=а (1 -j-coscp).
1656*. Найти площадь, содержащуюся между первым и вторым
витками спирали Архимеда r = aq>
(рис. 48).
1657. Найти площадь одного
лепестка кривой r = acos2(p.
1658. Найти площадь,
ограниченную кривой r2 = a2sin4cp.
1659*. Найти площадь,
ограниченную кривой r = asin3cp.
1660. Найти площадь,
ограниченную улиткой Паскаля
г = 2-\-cos у.
1661. Найти площадь, ограниченную параболой r = asQc2~ и
я я
полупрямыми ф = — и ф=—- .
1662. Найти площадь фигуры,
Рис. 48.
эллипсом
/■==:
:(0.
ограниченной
е<1).
2а cos Зф и ле-
1 -|- 8 COS ф
1663. Найти площадь, ограниченную кривой г-
жащую вне круга г = а.
1664*. Найти площадь, ограниченную кривой хА-{-у* = х*-\-у*.
§8]
ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
153
§ 8. Длина дуги кривой
Г. Длина дуги в прямоугольных к о ор д и н ата х. Длина s
дуги гладкой кривой у = f(x), содержащейся между двумя точками с абсциссами
х = а и х = Ь, равна ь
s=f Y~\-{-y,2dx.
Пример 1. Найти длину астроиды хгг-\-у2'3 = а2/* (рис. 49),
Рис. 49. Рис. 50.
Решение. Дифференцируя уравнение астроиды, получим:
У = —
У1
Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:
3
4 J V х213 J xll>
Отсюда s=z6a.
2°. Длина дуги кривой, заданной параметрически. Если
кривая задана уравнениями в параметрической форме л: = ф (0 ny = ty(t) (ф(0
и i|) (/)—непрерывно дифференцируемые функции), то длина дуги s кривой равна
t^^Yx'z+y'zdU
где tx и t2 —- значения параметра, соответствующие концам дуги
Пример 2. Найти длину одной арки циклоиды (рис. 50)
x = a(t — sin t),
у = а (1 — cos /).
Решение. Имеем х'= £ = a(l — cos t) и y'=-£ = asin t. Поэтому
{.
dt~
> = \ Va* (1 - cos t)2 + a2 sin2 tdt = 2a f sin yd/:=
8a.
Пределы интегрирования ^=0 и г2 = 2л соответствуют крайним точкам
арки циклоиды.
154
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
Если гладкая кривая задана уравнением г = /(ф) в полярных
координатах г и ф, то длина дуги s равна
Р
s=f /г2-+-г'2</ф,
а
где а и Р — значения полярного угла в крайних точках дуги.
Рис. 51.
Пример 3. Найти длину всей кривой г —a sin3 ^- (рис. 51). Вся
кривая описывается точкой(г, <р) при изменении ф от 0 до Зл.
Решение. Имеем г' = a sin2 — cos -~-, поэтому длина всей дуги кривой
Л у a* sine ^ + a2 sin4 -|- cos2 |- Жр = а Г sin2 -|. <*ф =
Зла
1665. Вычислить длину дуги полукубической параболы у2 — х* от
начала координат до точки с координатами х = 4, j/ = 8.
1666*. Найти длину цепной линии y==azh — от вершины А(0;а)
до точки £(£; /г).
1667. Вычислить длину дуги параболы^ = 2"^л:отл: = 0 дол:=1.
1668. Найти длину дуги кривой у = ех, содержащейся между
точками (0; 1) и (1; е).
1669. Найти длину дуги кривой у = \пх от лг = |/3 до # = "}/" 8.
1670. Найти длину дуги у = arcsin (е~х) от л; = 0 до х=\.
1671. Вычислить длину дуги кривой x = \nsecy} содержащейся
между ^ = 0 и y = ir •
1672. Найти длину дуги кривой x — -j-y* к \пу от ^=1
до у = е.
1673. Найти длину дуги правой ветви трактриссы
1а + ТЛ*2-И QT у = а до y==b {0<^b<^a)t
х = У а2 —у2 -\- a In
§ 9J ОБЪЕМЫ ТЕЛ 155
1674. Найти длину замкнутой части кривой 9ау* — х(х— За)2.
1675. Найти длину дуги кривой у = ln ( cth~ J от х = а до
х = Ь (0 <><*).
1676*. Найти длину дуги развертки окружности
* = a(a»/ + fsiiiO, 1От^ = 0до^=Г.
у = a (sin t — t cost) )
1677. Найти длину эволюты эллипса
х — - cos31; у = 4 sin31 (с2 = a2 — b2).
a J о
1678. Найти длину кривой
x = a(2 cos / — cos 2t),
у = a (2 sin t — sin 2t).
}
1679. Найти длину первого витка спирали Архимеда г = ау.
1680. Найти всю длину кардиоиды r = a(\ -\- coscp).
1681. Найти длину дуги части параболы r = asec2 -3-, отсекаемой
от параболы вертикальной прямой, проходящей через полюс.
1682. Найти длину дуги гиперболической спирали гф= 1 от точки
(2; 1) до точки (^;2)-
1683. Найти длину дуги логарифмической спирали г = ает<*
(т^>0), находящейся внутри круга г = а.
1684. Найти длину дуги кривой ф = -^ ( г -\ )отг=1дог = 3.
§ 9. Объемы тел
1°. Объем тела вращения. Объемы тел, образованных вращением
криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью ОХ и двумя
вертикалями х = а и х = Ь, вокруг осей ОХ и ОК, выражаются
соответственно формулами:
ь ь
\) Vx — n\y2dx\ 2) Vv — 2n [ xydx*).
*) Пусть тело образовано вращением около оси OY криволинейной
трапеции, ограниченной кривой у = / (х) и прямыми х = а, х = b и у = 0. За элемент
объема этого тела принимают объем части тела, образованного вращением
около оси OY прямоугольника со сторонами у и dx, отстоящего от оси OY на
ь
расстоянии х. Тогда элемент объема dVy = 2лху dx, откуда Уу = 2л \ xydx.
156 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Пример 1. Вычислить объемы тел, образуемых вращением фигуры,
ограниченной одной полуволной синусоиды y = sinx и отрезком О^х^л
оси ОХ вокруг: а) оси ОХ и б) оси 0Y.
Решение.
тс
С Я2
a) Vx=n \ sin2xdx — —;
о
б) Уу = 2л\ xs\nxdx = 2n( — xcosx-fsin.*:)* — 2л2.
о
Объем тела, образованного вращением около оси 0Y фигуры,
ограниченной кривой x = g(y), осью 0Y и двумя параллелями у = с и y = d, можно
определять по формуле:
d
VY = я \ х2 d#,
получающейся из приведенной выше формулы 1) путем перестановки
координат х и у.
Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных
координатах и т. д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую
замену переменной интегрирования.
В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры,
ограниченной кривыми уг = /х (х) и у2 = /2 (х) (причем /х (х) «^ /2 (х)) и
прямыми х = а, х = Ь, вокруг координатных осей ОХ и OY, соответственно
равны
ь
Vx=n^(y\-y\)dx
а
И
ь
VY=2n ^x(y2 — yx)dx.
а
Пример 2. Найти объем тора, образованного вращением круга
Х2 + (У— b)2<,a2 {b^a) вокруг оси ОХ (рис. 52).
Решение. Имеем:
yl = b — Уа2 - х2 и y2=b + Va2 - *2.
Поэтому
а
Vx^n ^ [(Ь +Уа2 - х2)2 -(b-Va2- х2)2] dx =
— а
а
= 4я6 С У а2 — х2 dx = 2я2 а26
— а
(последний интеграл берется подстановкой х = a sin/).
§9]
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
157
Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дугой
кривой r = F(<p) и двумя полярными радиусами ф== а, ф = р, вокруг полярной
оси, может быть вычислен по формуле
1/р = — Я I Г881Пф
dy.
Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела,
полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоторой
замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.
Рис. 53.
Пример 3. Определить объем, образованный вращением кривой
r = a sin 2ф вокруг полярной оси.
Решение.
к тс
2 2
Vр = 2 — я \ rs sin ф ^ф = — яа* \ sin3 2ф sin ф dy =.
о о
1С
32 I Г • 4 3 А 64 «
= -^- яаг \ sin4 ф cos3 ф аф = —— яа5.
о
2°. Вычисление объемов тел по известным поперечным
сечеииям. Если 5 = 5 (х) — площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной к некоторой прямой (которую принимаем за ось ОХ), в точке с
абсциссой х, то объем этого тела равен
V == f 5 (х) dx,
Xi
где xt и дс2—абсциссы крайних сечений тела.
Пример 4. Определить объем клина, отсеченного от круглого цилиндра
плоскостью, проходящей через диаметр основания и наклоненной к
основанию под углом а. Радиус основания равен R (рис. 53).
158
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
Решение. Примем за ось ОХ диаметр основания, по которому
секущая плоскость пересекает основание, и за ось OY диаметр основания, ему
перпендикулярный. Уравнение окружности основания будет x2-\-y2 = R2-
Площадь сечения ABC, отстоящего на расстоянии х от начала
координат 0, равна
S(x) = nn.&ABC = ^AB-BC=jyytga = ^tga.
Поэтому искомый объем клина есть
R R
V = 2.1f y2tgadx = tga ^(R2 - x2)dx = ^tgaR\
о о
1685. Найти объем тела, получающегося от вращения вокруг оси
ОХ площади, ограниченной осью ОХ и параболой^ = ах — д;2(а^>0).
1686. Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса
JC" U2
--г-{~*|г = 1 вокруг оси ОХ.
1687. Найти объем тела, получающегося при вращении вокруг
оси ОХ площади, ограниченной цепной линией у = a ch — , осью ОХ и
прямыми х = ± а.
1688. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг
оси ОХ кривой y = sin2x в промежутке л; = 0 до х = п.
1689. Найти объем тела, образованного вращением площади,
ограниченной полукубической параболой y2z=x9, осью ОХ и прямой
лг=1, вокруг оси ОХ.
1690. Найти объем тела, образованного вращением той же
площади, что в задаче 1689, вокруг оси ОК.
1691. Найти объемы тел, образуемых вращением площади,
ограниченной линиями у = ех, # = 0,^ = 0, вокруг: а) оси ОХ и б) оси OY.
1692. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY
той части параболы у* = 4 ах, которая отсекается прямой х — а.
1693. Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой
х*г=а той части параболы у2в=4ах> которая этой прямой отсекается.
1694. Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой
у= — р фигуры, ограниченной параболой у2 = 2рх и прямой х = -~ .
1695. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
площади, содержащейся между параболами у = х2 и у = Ух.
1696. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
петли кривой (л: — 4а)у2 = ах(х — 3а)(а^>0).
1697. Найти объем тела, производимого вращением циссоиды
х9
у2 — ——- вокруг ее асимптоты х-=2а.
1698. Найти объем параболоида вращения, радиус основания
которого /?, а высота Я.
§91
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
159
1699. Прямой параболический сегмент, основание которого 2а и
высота А, вращается вокруг основания. Определить объем тела
вращения, которое при этом получается («лимон» Кавальери).
1700. Показать, что объем части, отсекаемой плоскостью х — 2а
от тела, образованного вращением равнобочной гиперболы л:2—уг = а2
вокруг оси ОХ, равен объему шара радиуса а.
1701. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры,
ограниченной одной аркой циклоиды x — a(t — sin*), у = а(\—cos^) и
осью ОХ, вокруг: а) оси ОХ, б) оси О К и в) оси симметрии
фигуры.
1702. Найти объем тела, образованного вращением астроиды
л; = a cos8*, j>=#sin*/ вокруг оси ОК.
1703. Найти объем тела, которое получается от вращения
кардиоиды г = а (1 -\- cos ф) вокруг полярной оси.
1704. Найти объем тела, образованного вращением кривой
r = acos2q> вокруг полярной оси.
1705. Найти объем обелиска, параллельные основания которого —
прямоугольники со сторонами А, В и a, b, a высота равна А.
1706. Найти объем прямого эллиптического конуса, основание
которого есть эллипс с полуосями а и Ь, а высота равна А.
1707. На хордах астроиды х2Ь-\~у71* — а21*, параллельных оси ОХ,
построены квадраты, стороны которых равны длинам хорд и плоскости
которых перпендикулярны к плоскости ХОУ. Найти объем тела,
образованного этими квадратами.
1708. Деформирующийся круг перемещается так, что одна из
точек его окружности лежит на оси OY, центр описывает эллипс
\—[-^-=1, а плоскость круга перпендикулярна к плоскости XOY.
Найти объем тела, образованного кругом.
1709. Плоскость движущегося треугольника остается
перпендикулярной к неподвижному диаметру круга радиуса а. Основанием
треугольника служит хорда круга, а вершина его скользит по прямой
параллельно неподвижному диаметру на расстоянии А от плоскости
круга. Найти объем тела (называемого коноидом), образованного
движением этого треугольника от одного конца диаметра до другого.
1710. Найти объем тела, ограниченного цилиндрами хг-\~гг = аг
и у*-\-г2 = аг.
1711. Найти объем сегмента, отсекаемого от эллиптического па-
раболоида тг-Ьо"^* плоскостью х = а.
1712. Найти объем тела, ограниченного однополостным гипер-
х2 иг z2
болоидом -* + т5 i=l и плоскостями 2 = 0 и z = h.
хг иг г*
1713. Найти объем эллипсоида ~-|-р-|—i=l.
160
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
§ 10. Площадь поверхности вращения
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги
гладкой кривой у=1(х) между точками х = а и х = Ь, выражается формулой
и и
0)
(ds — дифференциал дуги кривой).
В случае иного задания уравнения кривой площадь поверхности S%
получается из формулы (1; путем соответствующей замены переменных.
Тла "У
Рис. 54.
Рис. 55.
Пример 1. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси ОХ петли кривой 9#2 = *(3 — х)2 (рис. 54).
Решение. Для верхней части кривой при 0«^я<;3 имеем:
х) У х. Отсюда дифференциал дуги ds = —^y=r-dx. На
основании формулы (1) площадь поверхности
у = т&
з
5 = 2я [-^(З-х) V^^-т^- dx = 3n.
J «=> 2V х
Пример 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением
одной арки циклоиды x = a(t — s\nt)\ y = a(l — cost) вокруг ее оси
симметрии (рис. 55).
Решение. Искомая поверхность образуется вращением дуги ОА вокруг
прямой АВ, уравнение которой х = тса. Принимая у за независимую
переменную и учитывая, что ось вращения АВ сдвинута относительно координатной
оси OY на расстояние па, будем иметь:
5 = 2я \ (па — x)-?->dy.
§ 10] ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
161
dt =
Переходя к переменной /, получим:
S = 2nUna-at + asmt) ]/ (^У+ (j[Y<tf =
о
•к
= 2я \ (яа — а/ -f- а sin /) 2а sin -~-dt =
о
1С
= 4яа2 \ ( я sin у — t sin --- -f- sin t sin —
0
[/ t t a f]% ( 4^
— 2я cos у + 2/ cos y — 4 sin -s- + -г sin8 у = 8jt l Я ~~ T ) й**
1714. Размеры параболического зеркала ЛОВ указаны на рис. 56.
Требуется найти площадь поверхности этого зеркала.
1715. Найти площадь поверхности «веретена»,
которое получается в результате вращения одной
полуволны синусоиды y,= s\nx вокруг оси ОХ.
1716. Найти площадь поверхности, образованной
вращением части тангенсоиды y = tgx от л;=0 до х =
= -J- вокруг оси ОХ.
1717. Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси ОХ дуги кривой у = е~х, от д; = 0
до # = -|-оо.
1718. Найти площадь поверхности (называемой
катеноидом), образованной вращением цепной линии у =
х
= а ch— вокруг оси ОХ, в пределах от л; = 0 до х=^а.
1719. Найти площадь поверхности вращения астроиды
х*1»-\-у*1* = а*1» вокруг оси ОК.
1720. Найти площадь поверхности вращения кривой х=-г-у*—~о^пУ
вокруг оси ОХ, от у=*\ до у*=е.
1721*. Найти поверхность тора, образованного вращением
окружности хг-\-(у — Ь)г = а2 вокруг оси ОХ(Ь^>а).
1722. Найти площадь поверхности, образованной вращением эллипса
4 + fF=1 вокруг: 1) оси ОХ; 2) оси OY(a>t>).
1723. Найти площадь поверхности, образованной вращением одной
арки циклоиды x=a(t — sint), y=*a(\—cost) вокруг: а) оси ОХ;
6) оси OY; в) касательной к циклоиде в ее высшей точке.
1724. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси ОХ кардиоиды
х = а (2 cos t — cos 2t), \
у а= а (2 sin t — sin 2^). Г
6 Г. О. Бараненков и др.
162 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
1725. Определить площадь поверхности, образованной вращением
лемнискаты г2 =аа cos 2ф вокруг полярной • оси.
1726. Найти площадь поверхности, образованной вращением
кардиоиды г = 2а(1-^-соБф) вокруг полярной оси.
§ 11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена
1°. Статический момент. Статическим моментом относительно
оси / материальной точки Л, имеющей массу ти отстоящей от оси / на
расстоянии d, называется величина Mi = md.
Статическим моментом относительно оси / системы п материальных
точек с массами т,, т2, ... , тп> лежащих в одной плоскости с осью и
удаленных от нее на расстояния dlf dv ..., dn, называется сумма
п
Ml=^midh (1)
i=i
причем расстояния точек, лежащих по одну сторону оси /, берутся со знаком
плюс ( + )» а по Другую — со знаком минус ( — ). Аналогично определяется
статический момент системы точек относительно плоскости.
Если массы непрерывно заполняют линию или фигуру плоскости XOY, то
статические моменты М% и Му относительно координатных осей ОХ и OY
вместо сумм (1) выражаются соответствующими интегралами. Для случая
геометрических фигур плотность считается равной единице.
В частности: 1) для кривой x = x(s)\ y = y(s)t где параметр s есть длина
дуги, имеем:
L L
Mx=^y(s)ds; My=^x(s)ds (2)
(ds = у (dx)2 -f- (dyf — дифференциал дуги);
2) для плоской фигуры, ограниченной кривой у = у(х), осью ОХ и двумя
вертикалями х = а и y = bf получаем:
ъ ь
Mx=-j§y\y\dr> Mr = §x\y\dx. (3)
а а
Пример 1. Найти статические моменты относительно осей ОХ и OY
х и
треугольника, ограниченного прямыми: ~-f*-у = Ь х = 0, # = 0 (рис. 57).
Решение. Здесь у = b ( 1 ). Применяя формулы (3), получаем:
' ^(.-ijv,..-:
My
и
My
='Й'-тЬ=т
6
о
рис< 57. 2°. Момент инерции. Моментом
инерции относительно оси / материальной точки
массы т, отстоящей от оси / на расстоянии d, называется число ll-=^mdl.
§ И]
МОМЕНТЫ. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ. ТЕОРЕМЫ ГУЛЬДЕНА
163
Моментом инерции относительно оси / системы п материальных точек
с массами mlt mv •••, тп называется сумма
//=2 т$>
где du dv ..., dn — расстояния точек от оси /. В случае сплошной массы вместо
суммы получаем соответствующий интеграл.
Пример 2. Найти момент инерции треугольника с основанием b и
высотой h относительно его основания.
Решение. Основание треугольника примем за ось ОХ, а его высоту —
за ось OY (рис. 58).
Разобьем треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски
толщины dy, играющие роль элементарных масс dm. Используя подобие
треугольников, получаем:
dm-
bk-^dy
dlx=yidm = ^ у1 (h - у) dy.
Отсюда
О
3°. Центр тяжести.
Координаты центра тяжести
плоской фигуры (дуги или площади)
массы М вычисляются по формулам
- Му
у- м '
Рис. 58.
где My и My — статические моменты массы. В случае геометрических фигур
масса М численно равна соответствующей дуге или площади.
Для координат центра тяжести (х, у) дуги плоской кривой #=/(*)(а<*^6),
соединяющей точки А (а\ f (а)) и В (Ь\ 1(b)), имеем:
в ь в ь
[xds \xV\+(y')*dx [yds [yVY+Wfdx
•г- А а — A a
[VT+Wydx
\VT+W?dx
Координаты центра тяжести (xt у) криволинейной трапеции а<х^6,
0<;*/«С/(*), могут быть вычислены по формулам
ъ
\ xydx
— а
b
где 5 = \ у dx — площадь фигуры.
а
6»
т\уга*
- а
у=—г~
164
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
Аналогичные формулы имеют место для координат центра тяжести тела.
Пример 3. Найти центр тяжести дуги полуокружности хг-\-уъ — а%
{у^О) (рис. 59).
Решение. Имеем
Yk г -х
у = у аг — х2; у' =
^ V а2 ~ *г
и
dS = Y\+(y')*dX:
a dx
' Va2 - х2 "
of Отсюда
а а
Мк= [xds=z [ —^=dx = Ot
J J Va2-x*
— a —a
"'-J"-!^^—• — Jt£?="
Следовательно,
x = 0; w= —-a.
4°. Теоремы Гульдена.
Теорема 1. Площадь поверхности, полученной от вращения дуги
плоской кривой вокруг некоторой оси, лежащей в одной плоскости с кривой и
ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности,
описываемой центром тяжести дуги кривой.
Теорема 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры
вокруг некоторой оси, лежащей в плоскости фигуры и ее не пересекающей,
равен произведению площади этой фигуры на длину окружности,
описываемой центром тяжести фигуры.
1727. Найти статические моменты относительно осей координат
отрезка прямой линии
а ^ Ь '*
заключенного между осями координат.
1728. Найти статические моменты прямоугольника со
сторонами а и Ь относительно его сторон.
1729. Найти статические моменты относительно осей ОХ и OY и
координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямыми:
х-\-у = а, х = 0 и j; = 0.
1730. Найти статические моменты относительно осей ОХ и OY и
координаты центра тяжести дуги астроиды
#2/8 1 у 2/5 == д2/3
лежащей в первом квадранте.
1731. Найти статический момент окружности
г = 2а sin ф
относительно полярной оси.
§ 11] МОМЕНТЫ. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ. ТЕОРЕМЫ ГУЛЬДЕНА 165
1732. Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии
^ а
от х = — а до х = а.
1733. Найти центр тяжести дуги окружности радиуса я,
стягивающей угол 2а.
1734. Найти координаты центра тяжести дуги первой арки циклоиды
x = a(t — sin/); у = а(\ —cost).
1735. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
X2 U2
эллипсом -з-|-^=1 и осями координат ОХ и OY (х^О, у^О)
1736. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
КРИВЬШИ у = х2; y=Vx.
1737. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
первой аркой циклоиды
x = a(t — sin/), y = a(\ — cost)
и осью ОХ.
1738**. Найти центр тяжести полусферы радиуса ас центром в
начале координат, расположенной над плоскостью XOY.
1739**, Найти центр тяжести однородного прямого кругового
конуса с радиусом основания г и высотой h.
1740**. Найти центр тяжести однородного полушара радиуса а с
центром в начале координат, расположенного над плоскостью XOY.
1741. Найти момент инерции окружности радиуса а относительно
ее диаметра.
1742. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и Ь
относительно его сторон.
1743. Найти момент инерции прямого параболического сегмента с
основанием 2Ь и высотой h относительно его оси симметрии.
1744. Найти моменты инерции площади эллипса -т-}-|2 = 1
относительно его главных осей.
1745**. Найти полярный момент инерции кругового кольца с
радиусами /?г и R2(Rl<^R2)1 т. е. момент инерции относительно
оси, проходящей через центр кольца и перпендикулярной к его
плоскости.
1746**, Найти момент инерции однородного прямого кругового
конуса с радиусом основания R и высотой Н относительно его оси.
1747**. Найти момент инерции однородного шара радиуса а и
массы М относительно его диаметра.
1748. Найти поверхность и объем тора, получающегося от
вращения круга радиуса а вокруг оси, расположенной в плоскости круга
и отстоящей от центра его на расстоянии b(b^a).
166 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
1749. а) Определить положение центра тяжести дуги астроиды
хг1*-\-уг*г = (1*1* 1 лежащей в первой четверти.
б) Найти центр тяжести фигуры, ограниченной кривыми у2*&х2рх
и х2 = 2ру.
1750**. а) Найти центр тяжести полукруга, пользуясь теоремой
Гульдена.
б) Доказать, пользуясь теоремой Гульдена, что центр тяжести
треугольника отстоит от его основания на одну треть высоты.
§ 12. Приложения определенных интегралов
к решению физических задач
1°. Путь, пройденный точкой. Если точка движется по некоторой
кривой и абсолютная величина скорости ее v = f(t) есть известная функция
времени /, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [tlt f2], равен
t2
*=$/(')<
U
Пример 1. Скорость точки равна
0 = 0,If м/сек.
Найти путь s, пройденный точкой за промежуток времени Т =10 сек,
протекший от начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот
промежуток?
Решение. Имеем:
ю
f ю
s-
5= С 0,If Л = 0,1 -j
= 250 м
и
s
"ср — y
2°. Работа силы. Если переменная сила X = f(x) действует в
направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке [х19 хг] равна
A = ^f(x)dx.
ХХ
Пример 2. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину
на 6 см, если сила 1 кГ растягивает ее на 1 см?
Решение. Согласно закону Гука сила X кГ, растягивающая пружину
на хм, равна X = kx, где k — коэффициент пропорциональности.
Полагаях = 0,01 м иХ = 1 кГ,получим k = 100 и,следовательно, Х=100*.
Отсюда искомая работа есть
0,06
100хс*х==50*2|0°'°6==0,18 кГм.
о
3°. Кинетическая энергия. Кинетической энергией материальной
точки, имеющей массу т и обладающей скоростью vt называется выражение
•-'$
§ 12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 167
Кинетическая энергия системы п материальных точек с массами mlt
..., тп, обладающих соответственно скоростями vl9 v2) ..., vni равна
/С:
" /Я .Of
Z-F'
О)
Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим образом
разбивают на элементарные частицы (играющие роль материальных точек), а
затем, суммируя кинетические энергии этих частиц, в пределе вместо суммы (1)
получают интеграл.
Пример 3/ Найти кинетическую энергию однородного кругового
цилиндра плотности 6 с радиусом
основания R и высотой А, вращающегося
с угловой скоростью о вокруг
своей оси.
Решение. За элементарную массу dm принимаем массу полого цилиндра
высоты Л, с внутренним радиусом г и толщиной стенок dr (рис, 60). Имеем:
dm = 2Tcr-h6dr.
Так как линейная скорость массы dm равна v — m, то элементарная
кинетическая энергия есть
dK = —к— — nr8(o*h6 dr.
Отсюда
K = n(£>*hd
dr--
4
4°. Давление жидкости. Для вычисления силы давления жидкости
используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на
площадку S с глубиной погружения h равна
где y — удельный вес жидкости.
Пример 4. Найти силу давления, испытываемую полукругом радиуса г,
погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с
поверхностью воды (рис. 61).
Решение. Разбиваем площадь полукруга на элемент**^- полоски,
параллельные поверхности воды. Площадь одного такого элемента (отбрасывая б. м.
высшего порядка), находящегося на расстоянии h от поверхности, равна
dS == 2xdh = 2 Vr^lfdh.
168
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[гл. v
Сила давления, испытываемая этим элементом, равна
dP = yhds = 2yh Vr2 - h2 dh,
где y — удельный вес воды, равный единице.
Отсюда вся сила давления есть
-S
h Vr2 - h2 dh = —\(r2- h2)
о
4"
О
1751. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной
скоростью г>0, без учета сопротивления воздуха, дается формулой
v = v* — gU
где t — протекшее время и g—ускорение силы тяжести. На каком
расстоянии от начального положения будет находиться тело через
t сек от момента бросания?
1752. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной
скоростью г>0, с учетом сопротивления воздуха, дается формулой
^ = ctg( —if + aictgi),
где t — протекшее время, g—ускорение силы тяжести и с —
постоянная. Найти высоту поднятия тела.
1753. Точка оси ОХ совершает гармонические колебания вокруг
начала координат, причем скорость ее дается формулой
V = VQ COS (dt,
где t — время и г>0, о> — постоянные.
Найти закон колебаний точки, если при £ = 0 она имела абсциссу
д: = 0. Чему равно среднее значение абсолютной величины скорости
точки за период колебаний?
1754. Скорость движения точки v==te~°'0lt м\сек. Найти путь,
пройденный точкой от начала движения до полной остановки.
1755. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Считая,
что при постоянной силе тяги ускорение ракеты за счет уменьше-
ния ее веса растет по закону /==■ _,, (а — ££^>0), найти
скорость ракеты в любой момент времени t, если начальная скорость ее
равна нулю. Найти также высоту, достигнутую ракетой к моменту
времени t = tl.
1756*. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы
выкачать воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеющей радиус
основания R и высоту Я.
1757. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из конического сосуда, обращенного вершиной вниз,
радиус основания которого равен R и высота Н.
1758. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из полусферического котла, имеющего радиус /?= 10 м.
§12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 169
1759. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать масло через верхнее отверстие из цистерны, имеющей форму
цилиндра с горизонтальной осью, если удельный вес масла у, длина
цистерны Н и радиус основания /?.
1760**. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы т
поднять с поверхности Земли, радиус которой /?, на высоту А? Чему
равна эта работа, если тело должно быть удалено на бесконечность?
1761**. Два электрических заряда е0= 100CGSE и e1 = 200CGSE
находятся на оси ОХ соответственно в точках х0 = 0 и хх = \ см.
Какая работа будет произведена, если второй
заряд переместится в точку х2 = 10 см?
1762**. Цилиндр с подвижным поршнем
диаметра D==20 см и длины /=80 см
заполнен паром при давлении р= 10 кГ\смг. Какую
работу надо затратить, чтобы при неизменной
температуре {изотермический процесс) объем
пара уменьшить в два раза?
1763**. Определить работу, произведенную
при адиабатическом расширении воздуха,
имеющего начальные объем К0=1 м* и давление
р0=1 кГ\смг, до объема Vx—\§ мг1
1764**. Вертикальный вал веса Р и радиуса а опирается на
подпятник АВ (рис. 62). Сила трения между небольшой частью а
основания вала и прилегающей к ней поверхностью опоры равна F = \ipo,
где р = const есть давление вала на поверхность опоры, отнесенное
к единице площади опоры, a \i — коэффициент трения. Найти работу
силы трения при одном обороте вала.
1765**. Вычислить кинетическую энергию диска массы М и
радиуса /?, вращающегося с угловой скоростью w около оси,
проходящей через центр диска перпендикулярно к его плоскости.
1766. Вычислить кинетическую энергию прямого круглого конуса
массы Ж, вращающегося с угловой скоростью со около своей оси,
если радиус основания конуса /?, а высота Я.
1767*. Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный
шар радиуса /?=2л*, вращающийся с угловой скоростью (д=\000об1мин
вокруг своего диаметра? (Удельный вес железа у = 7,8 Г\см*.)
1768. Вертикальный треугольник с основанием Ь и высотой h
погружен в воду вершиной вниз так, что его основание находится на
поверхности воды. Найти силу давления воды.
1769. Вертикальная плотина имеет форму трапеции. Вычислить
силу давления воды на всю плотину, если известно, что верхнее
основание плотины а = 70 му нижнее основание £ = 50 м, а высота плотины
/i = 20 м.
1770. Найти силу давления жидкости, удельный вес которой у, на
вертикальный эллипс с осями 2а и 2£, центр которого погружен
Г^*2&Щ
170
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
в жидкость на уровень А, причем большая ось 2а эллипса параллельна
уровню жидкости (h^b).
1771. Найти силу давления воды на вертикальный круговой конус
с радиусом основания R и высотой Я, погруженный в воду вершиной
вниз так, что его основание находится на поверхности воды.
Разные задачи
1772. Найти массу стержня длины /=100 см, если линейная
плотность стержня на расстоянии х см от одного из его концов равна
6 = 2 + 0,001 *2~.
1 ' см
1773. Согласно эмпирическим данным удельная теплоемкость воды
при температуре f C(0^ t^ 100°) равна
с = 0,9983 — 5,184. Ю-5/+ 6,912. Ю-7/2.
Какое количество тепла нужно затратить, чтобы 1 г воды нагреть от
температуры 0°Сдо температуры 100° С?
1774. Ветер производит равномерное давление pTjCM2 на дверь,
ширина которой b см и высота h см. Найти момент силы давления
ветра, стремящейся повернуть дверь на петлях.
1775. С какой силой притяжения действует материальный стержень
длины / и массы М на материальную точку массы т, находящуюся на
одной прямой со стержнем на расстоянии а от одного из его концов?
1776**. При установившемся ламинарном (струйном) течении
жидкости через трубу круглого сечения радиуса а скорость течения v
в точке, находящейся на расстоянии г от оси трубы, дается формулой
где р— разность давлений жидкости на концах трубы, \х—
коэффициент вязкости, / — длина трубы. Определить расход жидкости Q,
т. е. количество жидкости, протекающей через поперечное сечение
трубы в единицу времени.
1777*. Условие то же, что и в задаче 1776, но труба имеет
прямоугольное сечение, причем основание а велико по сравнению с высотой 2Ь.
В этом случае скорость течения v в точке М{х, у) определяется
формулой
Определить расх^Ь жидкости Q.
1778**. При изучении динамических свойств автомобиля часто
используется построение диаграмм специального вида: на оси абсцисс
§ 12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 171
откладываются скорости г/, на оси ординат — величины, обратные
соответствующим ускорениям а. Показать, что площадь S, ограниченная
дугой этого графика, двумя ординатами v = vl и v=.v1 и осью
абсцисс, численно равна времени, необходимому для того, чтобы
увеличить скорость движения автомобиля от vx до v2 (время разгона).
1779. Горизонтальная балка длины / находится в равновесии под
действием направленной вниз вертикальной нагрузки, равномерно
распределенной по длине балки, и опорных реакций А и В ( А = В=-~] ,
направленных вертикально вверх. Найти изгибающий момент Мх
в поперечном сечениих, т. е. момент относительно точки Рс абсциссой х
всех сил, действующих на часть балки АР.
1780. Горизонтальная балка длины / находится в равновесии под
действием опорных реакций А и В и распределенной по длине балки
нагрузки с интенсивностью q = kx, где х — расстояние от левой опоры и
k — постоянный коэффициент. Найти изгибающий момент Мх в сечении х.
Примечание. Интенсивностью распределения нагрузки называется
нагрузка (сила), отнесенная к единице длины.
1781*. Найти количество тепла, выделяемое переменным
синусоидальным током
/=/0sin^* — ф)
в течение периода Т в проводнике с сопротивлением /?.
ГЛАВА VI
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия
1°. Понятие функции нескольких переменных.
Обозначения функций. Переменная величина 2 называется однозначной
функцией двух переменных х, у, если каждой совокупности их
значений (х, у) из данной области соответствует единственное определенное
значение г. Переменные х, у называются аргументами или независимыми
переменными. Функциональная зависимость обозначается так:
п.
г = / {х, у), или г = F (х, у) и т.
Аналогично определяются функции трех и большего числа аргументов.
Пример 1. Выразить объем конуса
ffay)
как функцию
основания у.
Решение. Из
объем конуса равен
его образующей х и радиуса
геометрии известно, что
1
лу2п,
*р где h — высота конуса. Но h = Ух? — у2.
Следовательно,
У>М
1
лу2Ух
рис# 63. Это и есть искомая функциональная
зависимость.
Значение функции z — f(x, у) в точке Р (а, Ь), т. е. при х = а и
у—Ь, обозначается /(а, Ъ) или / (Р). Геометрическим изображением
функции z — f(x, у) в прямоугольной системе координат X, Y, Z, вообще говоря,
является некоторая поверхность (рис. 63).
Пример 2. Найти /(2, —3) и /И, |Л ,
/(*»«/) =
2ху
Решение. Подставляя х = 2 и у = — 3, находим:
22 + ( — З)2 13
: 2-2.(— 3) ~~ 12'
/(2, -3):
§1]
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
173
Подставляя х = 1 и заменяя у на —, будем иметь:
/ I
X
н
_Х2 + У*
2-1
в)
2дг(/
т.е. /(l, £)=/(*, у)!
2°. Область существования функции. Под областью
существования (определения) функции z = f(x, у) понимается совокупность точек
(#, у) плоскости XOY, в которых данная функция определена (т. е. принимает
определенные действительные значения). В простейших случаях область
существования функции представляет собой конечную или бесконечную часть
координатной плоскости XOY, ограниченную одной или несколькими кривыми
(граница области).
Н
Рис. 64.
Рис. 65.
Аналогично для функции трех переменных u = f (х, у, г) областью
существования функции служит некоторое тело в пространстве OXYZ.
Пример 3. Найти область существования функции
1
УГ
У2
Решение. Функция имеет действительные значения, если 4 — хг — у* > О
или Xх -\-у% < 4. Последнему неравенству удовлетворяют координаты точек,
лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Область
существования функции есть внутренность этого круга (рис. 64).
Пример 4. Найти область существования функции
г = arc sin -^ -\- Y*y-
Решение. Первое слагаемое функции определено при
кт<1
или —2^я^2. Второе слагаемое имеет действительные значения, если
{х 2>» 0 ( х <С О
C^q* или при < -.^л'- Область
существования всей функции изображена на рис. 65 и включает границы области.
3°. Линии и поверхности уровня функции. Линией уровня
функции г = /(я, у) называется такая линия / (х, у) = С на плоскости XOY,
174
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
в точках которой функция принимает одно и то же значение г = С (обычно
проставляемое на чертеже в виде отметки).
Поверхностью уровня функции трех аргументов u = f(xf у; г) называется
такая поверхность f(x,y,z) = C, в точках которой функция принимает
постоянное значение и = С.
Пример 5. Построить линии уровня функции г = х2у.
Q
Решение. Уравнение линий уровня имеет вид х2у = С или у=^
Полагая С = 0, ±1, ±2,
4
, получим семейство линий уровня (рис. 66).
1782. Выразить объем V правильной
четырехугольной пирамиды как функцию ее
высоты х и бокового ребра у.
1783. Выразить площадь 5 боковой
поверхности правильной шестиугольной
усеченной пирамиды как функцию сторон х и
^, у оснований и высоты z.
* 1784. Найти/(у, з), /(1, — 1), если
1786. Найти /(у, х), /(-*, -у),
рис.66. '(т* j)> пЬ)> если/(х>У)=^шг-
1786. Найти значения, принимаемые функцией
f(x,y)=*l+x—y
в точках паратЗолы у = х2, и построить график функции
F(x)=f(Xix2).
1787. Найти значение функции
х* + 2х*у* + У*
\-Х?-~Уг
в точках окружности x*-\-y* = Rzt
1788*. Определить /(х)у если
1789*. Найти f(x,y), если
/(х+У> х—У) = ху+уш.
1790*. Пусть z = Yy -\-f( Vx— 1). Определить функции /и z,
если z = х при у—\.
1791**. Пусть 2г = jc/(— ) • Определить функции / и z, если
z^Vl-^-y* при х=\.
§ 2J НЕПРЕРЫВНОСТЬ 175
1792. Найти и изобразить области существования следующих
функций:
а) z = V^—я2—У2> и) z = Vysinx;
б) z=\ + V -(х-уУ; к) z = \n(xz+y);
в) z = \n{x-iry)\ л) z = arctgI~^|5}
г) * = A; + arccos.y; M)^ = ^qrp»
Д) ^ = ]/Г=Г^ + |^Г=7; и) г = l7—L—;
е) z = arcsin —; о) z— '
ж) z = VV —4-f>/4—.у2; п) 2r«=Vrsin(xi+iy1)!
з) г==}/~(л;2+У — я2)(2а2 — xz — у2) (а>0);
1793. Найти области существования следующих функций трех
аргументов:
а) u = Vx-\-V*y-\-y*zi B)u = &Tcslnx-\-arcsmy-\-atcsinz;
б) u = \n(xyz); г)и = У 1 —х1—у1 — z*.
1794. Построить линии уровня данных функций и выяснить
характер изображаемых этими функциями поверхностей:
а) z = x-\-y; г) z=Vxy; ж) z = ^\
б) z = *2+j/2; д) z==(i4-*+.V)2; з) * = у^\
2х
в) z = xr— yz; e) z=l — \x\ — \y\; и) z = ^r-^.
1796. Найти линии уровня следующих функций:
а) z = \n(x*-\-y); г) z=/(y — ax);
б) 2: = arcsinA^; д) z=f{~\.
в) *=/(V*2+.y2);
1796. Найти поверхности уровня функций трех независимых
переменных:
а) u = x-\-y-\-z,
б) ц = *•+/+*«,
в) а = л;1-4-.У2— z%*
§ 2. Непрерывность
1°. Предел функции. Число А называется пределом функции
z = f(xt у) при стремлении точки Р' (х, у) к точке Р(а, Ь), если для любого
е > 0 существует такое д > 0, что при 0 < q < 6, где q = Y(x — а)2 + (у — &)2—
176 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
расстояние между точками Р и Р'9 имеет место неравенство
|/(*. у)-А\<е.
В этом случае пишут:
lim f(x,y) = A.
х -> а
у -+Ъ
2°. Непрерывность и точки разрыва. Функция z=f(x, у)
называется непрерывной в точке Р(а, Ь), если
lim/(x, y) = f(a, b).
х -* а
у -*b
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется
непрерывной в этой области.
Нарушение условий непрерывности для функции / (х, у) может происходить
как в отдельных точках (изолированная точка разрыва), так и в точках,
образующих одну или несколько линий (линии разрыва), а иногда и более
сложные геометрические образы.
Пример 1. Найти точки разрыва функции
z = *y + l
х2 — у '
Решение. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль.
Но х2 — у = 0 или у — х2 — уравнение параболы. Следовательно, данная
функция имеет линией разрыва параболу у = х2.
1797*. Найти следующие пределы функций:
а) lim (хг +У) sin — ; в) lim ^^; д) lim --£-- ;
х-+о ХУ х-* о х х-* о* • У
у -+ о у -*г у -* о
б) lira *±£; г) lim (l +|)*; e) lim £=£.
^-►00 у -» k у -> О
1798. Исследовать на непрерывность функцию
f{x tf4_i У\—*-У% ПРИ *1+/<1,
1799. Найти точки разрыва следующих функций;
а) Z = \f\V Х2-\-уг\ В) 2 = ——^—^;
б) 2 = 7 г* Г) Z= COS— .
' (х — у)2 ' **/
1800*. Показать, что функция
^ при х!+/^0,
0 при х=у — 0
непрерывна по каждой из переменных х и у в отдельности, но не
является непрерывной в точке (0, 0) по совокупности этих переменных.
§3]
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
177
§ 3. Частные производные
1°. Опр е де л ен и е частных производных. Если z = f(x,y),
то, полагая, например, у постоянной, получаем производную
dz f(x + bx,y)-f(x,y) __f>
дх-^о Дх -Гх[х,у),
которая называется частной производной функции z по переменной х.
Аналогично определяется и обозначается частная производная функции z по
переменной у. Очевидно, что для нахождения частных производных можно
пользоваться обычными формулами дифференцирования.
Пример 1. Найти частные производные функции
1 * X
z = 1 n tg — .
8 У
Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим:
дг_ 1 1 1 _ 2
дх . х 2 х ' у . 2х '
tg — cos2 — v у sin —
* У У У
Аналогично, рассматривая х как постоянную, будем иметь!
дг 1 1 / х \ 2х
в2* V у2)~"
ду , х 2 х V У2] 2 • 2*'
tg — cos2 — ч v J у2 sin —
* У У *У
Пример 2. Найти частные производные функции трех аргументов
и = x9y2z + 2х — Зу + z + 5.
Решение. p = 3x2y2z + 2,
^ = 2х8*/г-3,
2°. Теорема Эйлера. Функция f(x, у) называется однородной
функцией измерения п, если для любого действительного множителя k имеет место
равенство
f(kx, ky)^knf(x,y).
Целая рациональная функция будет однородной, если все члены ее одного и
того же измерения.
Для однородной дифференцируемой функции измерения п справедливо
соотношение (теорема Эйлера):
xf'x (х, У) + уК, {х, У) = nf (х, у).
178
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
Найти частные производные функций:
1801. г = х'-\-у* — Заху. 1808. z = x?.
1802. z = x^.
х+У
1803. z=*2-.
х
1804. г=Ухг—уг.
1805. z = , х ..
1806. г = \п(х+Ух'-\-у*).
1807. * = arctg|-.
1809. z=eln*.
1810. z = arcsin VX^A
V х*+у*
1811. z = In sin x-^ .
У у
1812. и = {ху)г.
1813. u=zxy.
1814. Найти /;(2; 1) и /;(2; 1), если /(x,.y) = j/xy+iL.
1815. Найти /;(1; 2; 0), /;(1; 2; 0), f'z{\; 2; 0), если
f(x,y,z) = \n(xy-{-z).
Проверить теорему Эйлера об однородных функциях
1816—1819):
1816. /(х, у) = Ахж-\-2Вху-\-Су\ 1818. /(х,у)-.
х + У
У*'+Уг'
1817. 2 =
V + if*
1820. Найти ^(7) • где г = Ухх +уг-\-г*
1819. /(л;,^) = 1п|
1821. Вычислить
1 дх
дг
дя I
§ф
\ дг dq>
, еСЛИ AT = rCOS(p 11 у—ГЫПу.
1822. Показать, что лг^+.у^ = 2, если
г = In (л:2 + *У +У)-
dz | дг_
:дх~Гуду'т
1823. Показать, что х -£--\-Ух- = ху -\~z, если
^ = ху -J- лге *.
1824. Показать, что я"-4~0~""Ь&; —0> если
u — (x—y){y — z)(z—x).
1825. Показать, что g + r+ 55 = *' еслй
\ х — У
§ 4] ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 179
1826. Найти z = z{x, у), если
дг х
ду~х1Г+7'
1827. Найти z = z(x, у), зная, что
д? х2 4- и2
^-3JL n z(x,y)=mslny при х=\.
1828. Через точку М(\; 2; 6) поверхности z = 2x*-\-y2 проведены
плоскости, параллельные координатным плоскостям XOZ и YOZ.
Определить, какие углы образуют с осями координат касательные
к получившимся сечениям, проведенные в их общей точке Ж.
1829. Площадь трапеции с основаниями а, Ь и высотой h равна
S=-£ (a-\-b)h. Найти j- , -^, зг и, пользуясь чертежом, выяснить
их геометрический смысл.
1830*. Показать, что функция
/(л:,з;) = { *2 + j/2 "I • г- i
V 0, если х=у = 0,
имеет частные производные f'x(x,y) и /'(*, .у) в точке (0; 0), хотя
и разрывна в этой точке. Построить геометрический образ этой
функции вблизи точки (0; 0).
§ 4. Полный дифференциал функции
1°. Полное приращение функции. Полным приращением
функции z = f(x, у) называется разность
Az = Af(x, y) = f(x + Axt y + ky)-f(x, у).
2°. Полный дифференциал функции. Полным дифференциалом
функции z = f(x, у) называется главная часть полного приращения Дг,
линейная относительно приращений аргументов Дя и Д#.
Разность между полным приращением и полным дифференциалом функ-
ции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с q = Y &** -f-hy2.
Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности
ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она
называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных,
по определению, совпадают с их приращениями, т. е. dx = kx и dy = Ay.
Полный дифференциал функции z = f(xt у) вычисляется по формуле
dz — з~ dx 4- 3- dy.
дх ' ду v
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов а = /;(*, у, z)
вычисляется по формуле
, ди , , ди Л , ди .
du = 5- dx 4- з- dy 4- 3- dz.
дх l ду * * dz
Пример 1. Для функции
f(x, y) = x2 + xy — y2
найти полное приращение и полный дифференциал.
180 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Р е ш е н и е. / (х + Ах, У + Ду) = (х + Ах)г + (х + Ах)(у + Ау) — (у + Ау)*\
А/ (х9у) = \(х + Ах)2 + (х + Ах) (у + Ау) - (у + Ау)*\ - (х2 + ху - у') =
= 2x-Ax4-Ax2-T-^,A^ + «/-Ax4-Ax-Af/ — 2у-Ау — Ау2 =
= Ц2х + у) Ах + (х - 2у) Ау] + (Ах2 + Ах • \у - Ау').
Здесь выражение df = (2x -f-#) Ax -f- (x — 2*/) Ау есть полный дифференциал
функции, а (Ах2 -j- Ax -At/ — Ay2) есть бесконечно малая высшего порядка по
сравнению с бесконечно малой q = j^Ax2 -j- Ay2.
Пример 2. Найти полный дифференциал функции
г=/хт+]Л
~ дг х дг у
Решение, -т-=- • —
дх Ух2 + у* ' ^ Vx2 + yz '
. х ,. у , xdx4- у dy
dz = , dx -f- - y cto = , ^y - .
Vx'+y" Vx*+y-> Vxz+yz
3°. Применение полного дифференциала функции к
приближенным вычислениям. При достаточно малых | Ах | и | Ау |,
а значит, при достаточно малом q = "^Ах2 -f- A«/2 для дифференцируемой
функции z = f(x,y) имеет место приближенное равенство Аг=5гсЬ или
А dz А , dz А
Аг=^=з- Ах + з- Aw.
дх ду у
Пример 3. Высота конуса Я = 30 см, радиус основания /£ = 10 еж.
Как изменится объем конуса, если увеличить Я на 3 мм и уменьшить R
на 1 -мл*?
Решение. Объем конуса равен К = ~ я/?2//. Изменение объема
заменим приближенно дифференциалом
AV ^dV = у n (2RH dR + R* dH) ==
= ^п( — 2-10-30 0,1 + 100 0,3)=— 10 jx ^ — 31,4 см*,
о
Пример 4. Вычислить приближенно 1,02s»01.
Решение. Рассмотрим функцию z=xy. Искомое число можно считать
наращенным значением этой функции при х = 1, «/ = 3, Ах = 0,02, Ау = 0,01.
Первоначальное значение функции г = 19 = 1,
Az ^dz =ухУ'1 Ах -{-х* In х Ау = 3-1-0,02 -f bin 1 -0,01 =0,06.
Следовательно, 1,02s»01 ^ 1 + 0,06 = 1,06.
1831. Для функции f(x, у)=хгу найти полное приращение и
полный дифференциал в точке (1; 2); сравнить их, если:
а) Ах=\, Ау = 2; б) Дл; = 0,1, Ду = 0,2.
1832. Показать, что для функций и и v нескольких (например,
двух) переменных справедливы обычные правила дифференцирования:
a) d(u~\-v) = du-{-dv\ 6) d(uv) = v du-\-udv;
. , ( и \ vdu — udv
в) d — = 5 .
' V v J v*
§4]
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
181
Найти полные дифференциалы следующих функций:
1833. z = x*-\-y> — Зху. 1841. s = lntg-J-.
1834. г = хгу\ 1842. Найти d/(\\ 1),
1835. ^ = f—X. если /(*, j/) = -
^ +^ ^
1836. ^ = sin2A; + cosV. 1843- » = ^
1837. z=yxy. , \г
1845. */=:(*y + j
1846. tf = arctg
1847. Найти d/(3; 4; 5),
22 '
1838. ^ = 1п(л;24-з;2).
1839. /(*,3/) = ln(l+|y
1840. * = arctg|- + arctg~. если/(л;, jt, z) = -JL^ .*
1848. Одна сторона прямоугольника # = 10 c#, а другая b= 24 ел*.
Как изменится диагональ / прямоугольника, если сторону а удлинить
на 4 мм, а сторону Ь укоротить на 1 мм? Найти приближенную
величину изменения и сравнить с точной.
1849. Закрытый ящик, имеющий наружные размеры 10 см,
8 см и 6 см, сделан из фанеры толщиной в 2 мм. Определить
приближенно объем затраченного на ящик материала.
1850*. Центральный угол кругового сектора, равный 80°, желают
уменьшить на 1°. На сколько надо удлинить радиус сектора, чтобы
площадь его осталась без изменения, если первоначальная длина
радиуса равна 20 см?
1851. Вычислить приближенно:
а) (1,02)'.(0,97)-; б) /(4,05)2+ (2,93)2;
в) sin 32°. cos 59° (при переводе градусов в радианы и при
вычислении sin 60° брать три значащие цифры; последний знак
округлить).
1852. Показать, что относительная ошибка произведения
приближенно равна сумме относительных ошибок сомножителей.
1853. При измерении на местности треугольника ЛВС получены
следующие данные: сторона а = 100 м ± 2 м, сторона b = 200 м±3 м,
угол С=60°±1°. С какой степенью точности может быть вычислена
сторона с?
1854. Период Т колебания маятника вычисляется по формуле
где /—длина маятника и g—ускорение силы тяжести. Найти
погрешность в определении Г, получаемую в результате небольших
ошибок А1 = а и Ag=$ при измерении lug.
182
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
1865. Расстояние между точками Р0(я0, yQ) и Р(х> у) равно Q,
а угол, образованный вектором РЬР с осью ОХ, равен а. На сколько
изменится угол а, если точка Р, при неизменной точке Р0, займет
положение Pl(x-\-dxi y-\-dy)}
§ 5. Дифференцирование сложных функций
1°. Случай одной независимой переменной. Еслиг = /(д:, у)
есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь
являются дифференцируемыми функциями независимой переменной /:
* = ф(')» y=y(th
то производная сложной функции г = / [ф (t), yp (t)] может быть вычислена по
формуле
dz fedx . fedg (i)
dt~dxdt~T~dy dt'
В частности, если t совпадает с одним из аргументов, например х, то
«полная» производная функции 2 по х будет:
dz dz , dz dy .~
dx dx^dydx'
Пример 1. Найти -т., если
г = е*х+2У, где x = cost, y = t\
Решение. По формуле (1) имеем:
2? = e»*+f^3(-sin0 + e»*+v-2.2* =
= е'х+*У (At - 3 sin /) = е8 cos *+г1\М - 3 sin t).
Пример 2. Найти частную производную =- и полную производную
dz
-г» если
dx
z = ехуу где у = ф (х).
Решение. ^-=уехУ. На основании формулы (2) получаем
£ = уе*У+хе*Уч'(х).
2°. Случай нескольких независимых переменных. Если
г есть сложная функция нескольких независимых переменных, например
z = f(x, у), где я = ф(ы, v), y = ty(u, v) (и и v — независимые переменные; /,
Ф, \|)— дифференцируемые функции), то частные производные г по и и v
выражаются так:
dz_ дгдх . fe_<ty /оч
ди дхди *дуди
и
dz dzdx^dzcfy /4)
dv dx dv ' ду dv *
§ 5] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ 183
Во всех рассмотренных случаях справедлива формула
dz = _ dx 4- ч~ dy
дх ' ду
(свойство инвариантности полного дифференциала).
п о и « дг dz
Пример 3. Найти ^- и — , если
* * ди dv
« = /(*» 0). где x = uv, У = —«
Решение. Применяя формулы (3) и (4), получим:
и
fo = fx(x>y)u-fy(x> y)-tf-
Пример 4. Показать, что функция г = ф (х2 + у2) удовлетворяет урав-
dz dz л
нению и ^ #^- = 0.
Решение. Функция ф зависит от х и у через промежуточный
аргумент х2 + #2 = Л поэтому
и
dz dz dt . . 2 . гч 0
Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:
= 2ху <р' (л:2 + </2) - 2хг/ ф' (х2 + у2) s О,
т. е. функция г удовлетворяет данному уравнению.
1856. Найти -тг , если
z = —, где л; = е', j; = ln/.
1857. Найти -тг, если
at
tf=lnsin-^L, где л: = З*2, у = ]/ f -|~1.'
1858. Найти -г. , если
# = .^2, где x = t2-\-\, jj = ln*, £ = tg*.
1859. Найти -г?, если
ц=- , z —, где a; = /?cos^, v=/?sin/, z = H.
У х* + У2
1860. Найти ~, если
z = uv} где а = sinх, */ —cos*.
184 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1861. Найти ^- и -т-, если
У „ , 2
-г = arctg — и у = х
х
1862. Найти g- и j-, если
z = xr9 где ву = ф(х).
1863. Найти 5~ и ^-> если
z=f(uyv)y где м = л;2—у, «г/:
**^
1864. Найти з- и ^-, если
£ = arctg—, где x — usinv, y = ucosv.
1865. Найти т- и з-» если
ал: ay
1866. Показать, что если
и — ф^^-УЧ"**)» где лг—/?cos ф cosi|>,
j/ = /?cos ф sin\|), 2=/?sit^l
ТО
ди ~ да л
аф дг|?
1867. Найти g^-, если
u=f(x,y%z), где-у = ф(х), 2г = \р (х, у).
1868. Показать, что если
z=f(x-\-ay),
где /—дифференцируемая функция, то
дг дг
ду ' дх '
1869. Показать, что функция
w=f(u, v)y
где u = x-\-at, v=y-\-bty удовлетворяет уравнению
dw dw , ,dw
dt дх [ ду
§ 6] ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ И ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ 185
1870. Показать, что функция
г=уу(х*—у*)
удовлетворяет уравнению
1 dz , 1 dz z
х dx"• у ду уг '
1871. Показать, что функция
* = *.У + *ф(7)
удовлетворяет уравнению
dz , dz ,
1872. Показать, что функция
.£!
z = ^ф (уе*У2)
удовлетворяет уравнению
1873. Сторона прямоугольника лг = 20л* возрастает со
скоростью 5 м\сек, другая сторона^ = 30 м убывает со скоростью 4 м/сек.
С какой скоростью изменяются периметр и площадь
прямоугольника?
1874. Уравнения движения материальной точки
x = t, y = t\ z = t\
С какой скоростью возрастает расстояние этой точки от начала
координат?
1875. Два парохода, вышедшие одновременно из пункта Лу
движутся один на север, другой на северо-восток. Скорости движения
пароходов: 20 км\час и 40 км\час. С какой скоростью возрастает
расстояние между ними?
§ 6. Производная в данном направлении и градиент функции
1°. П р ои з во д ная функции в данном направлении.
Производной функции z = /j (я, у) в данном направлении 1 = РР1 называется
dJL= lim f(pJ-№)
dl PtP->o РХР
где f (Р) и f (Pj) — значения функции в точках Р и Pv Если функция г
дифференцируема, то справедлива формула
dz dz , dz . /1Ч
dl dx ' dy v '
где a — угол, образованный вектором / с осью ОХ (рис, 67).
186 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Аналогично определяется производная в данном направлении / для
функции трех аргументов u — f(x, у, г). В этом случае
ди ди . ди D . ди
_ = _Cosa + _coSp + ^cosY, (2)
где а, р, Y — Углы между направлением / и соответствующими координатными
осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения
функции в этом направлении.
Пример 1. Найти производную функции г = 2х2 — Зу2 в точке Р (1; 0)
в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120°.
Решение. Найдем частные производные
данной функции и их значения в точке Р:
дг .... (дг\ _^_
К
' О
1
Pfcy)
у>Ъ(ЬЛ
У
Здесь
дх * \дх)р '
cos a = cos 120° = —-^ >
Рис- 67- sin a = sin 120° =
УЗ"
Применяя формулу (1), получим:
Знак минус показывает, что функция в данной точке и в данном направлении
убывает.
2°. Градиент функции. Градиентом функции z = f(x> у)
называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются
соответствующие частные производные данной функции:
*•*'=&+р- ®
Производная данной функции в направлении / связана с градиентом
функции следующей формулой:
— = пр/ grade,
т, е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции
на направление дифференцирования.
Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствую-
щей линии уровня функции. Направление градиента функции в данной точке
есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке,
, , дг
т. е. при / = grad2 производная ■=-• принимает наибольшее значение, равное
§ 6] ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ И ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ 187
Аналогично определяется градиент функции трех переменных u = f(x, у, г):
. ди . . ди . . ди , ' ,..
Градиент функции трех переменных в каждой точке направлен по нормали
к поверхности уровня, проходящей через эту точку.
Пример 2. Найти и построить градиент функции г = хгу в точке Р (1; 1).
Решение. Вычислим частные производные и их значения в точке Р.
Следовательно, grad z = 2/+/(Рис- 68).
/ 2 3 X
1876. Найти производную функции 2=-тт
— х2— ху— 2у2 в точке Р(\; 2) в направлении,
составляющем с осью ОХ угол в 60°. Рис. 68.
1877. Найти производную функции z =
= х' — 2х2уАгхугАг\ в точке М(\; 2) в направлении, идущем от
этой точки к точке TV (4; 6).
1878. Найти производную функции z=\n Yx2-\-y2 в точке Р(1; 1)
в направлении биссектрисы первого координатного угла.
1879. Найти производную функции и = х2 — Ъуг'-\-Ъ в точке
ЛТ(1;.2; —1) в направлении, составляющем одинаковые углы со
всеми координатными осями.
1880. Найти производную функции u = xy-\-yz-\-zx в точке
М (2; 1; 3) в направлении, идущем от этой точки к точке N(5; 5; 15).
1881. Найти производную функции и — In {ex-\- еУ-^-е*) в начале
координат в направлении, образующем с осями координат ОХ, О К,
OZ углы, соответственно, а, р, Y-
1882. Точка, в которой производная функции в любом
направлении равна нулю, называется стационарной точкой этой функции.
Найти стационарные точки следующих функций:
а) z = x2-\-xy-\-y2 — 4лг — 2у;
б) г = хъ-\-у* — Зху;
в) u = 2y2-\-z2 — ху—yz-\-2x.
1883. Показать, что производная функции z—— , взятая в любой
точке эллипса 2х2-\-у2=С2 вдоль нормали к эллипсу, равна нулю.
1884. Найти grad£ в точке (2; 1), если
z = x*-\-y* — Зху.
1885. Найти grad£ в точке (5; 3), если
1886. Найти gradtf в точке (1; 2; 3), если u = xyz.
188 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1887. Найти величину и направление gradu в точке (2; —2; 1),
если
1888. Найти угол между градиентами функции ^ = 1п — в точках
А^; {) и 5(1; 1).
1889. Найти величину наибольшего подъема поверхности
z = x2~\-4y2
в точке (2; 1; 8).
1890. Построить векторное поле градиента следующих функций:
а) z = x-\-y; в) z = x2-\-y2\
б) z=xy; г) и = :
Ух2+у2 + г2
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков
1°. Частные производные высших порядков. Частными
производными второго порядка функции z ==/(*, у) называются частные
производные от ее частных производных первого порядка.
Для производных второго порядка употребляются обозначения
дх\дх)~~дх2~- г*х1*9У)'
д (дг\ д2г t„ ,
щ[оЧГШу=!*>(х>и)пТ-*-
Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка
выше второго.
Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то
результат многократного дифференцирования не зависит от порядка
дифференцирования.
Пример. 1. Найти частные производные второго порядка от функции
z = arctg —.
Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка:
дг _ 1 1 _ у
дг
^~, ,£2 У~~*2+У2'
~*~ У2
dy-~l ,*Ч *V *2+У2'
^ У2
Теперь дифференцируем вторично:
д*г _ д ( у \_ 2ху
дх2 ~~дх\х2 + у2)~ (х2 + У2)2 '
<Рг_д( * \ 2ху
ду2~¥у[ х* + у*)-(х*-}-у*Г'
** —Ъ( у \_ l-(x2 + y2)-2y.y_ х*-у*
дхду-ду\х* + у*)- (х*+у2У -(х* + у*)*'
§ 7) ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 189
Заметим, что так называемую «смешанную» частную производную можно
найти и иначе, а именно:
д2г _ дгг _д ( __* \ 1-(**+У')-2*'*__ *г - Уг
дхду~~дудх~дх\ x2 + y2J~~ (х2+У2)2 ~(х2+у2)2'
2°. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом
второго порядка функции a = fc(x, у) называется дифференциал от
дифференциала (первого порядка) этой функции
dh = d(dz).
Аналогично определяются дифференциалы функции г порядка выше
второго, например:
dh = d (d2z)
и, вообще,
dnz = d(dn-*2).
Если z = f(x, у), где х и у — независимые переменные и функция / имеет
непрерывные частные производные второю порядка, то дифференциал 2-го
порядка функции z вычисляется по формуле
d'z=wdxt + 2Wdydxdy + wdy- (1)
Вообще, при наличии соответствующих производных справедлива
символическая формула
*т'={ахя+*'&)я'-
которая формально развертывается по биномиальному закону.
Если z = / (jc, у)j где аргументы х и у суть функции одного или
нескольких независимых переменных, то
Если х и # —независимые переменные, то d*x = 0, d2y = 0 и формула (2)
становится тождественной формуле (1).
Пример 2. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
z = 2х2 — Зху — уг.
Решение. 1-й способ. Имеем:
дЛ = 4х-3у,ру = -Зх-2у.
Поэтому
dz = £dx + ^dy = (4x- Зу) dx - (Зх + 2у) dy.
Далее,
d*2 ' d*fy~~ * ду2~ *
откуда следует, что
d*z = g d*« + 2 J^ dxdy + 0 dy' = 4dx* -6dxd„-2 dy*.
2-й способ. Дифференцированием находим:
dz = 4x dx — 3 (y dx -j- x dy) — 2ydy=z (4* — 3y) dx — (3* +• 2y) dy.
190 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Дифференцируя еще раз и помня, что dx и dy не зависят от х и у> получим:
dh = (Ых - My) dx - (3dx + 2dy) dy = 4dx2 - 6dx dy - 2dy2.
d2z d2z д2г
1891. Найти ^.g^,^, если
д2г д2г дгг
1892. Найти gp.gj^,^, если
d2Z
1893. Найти ^4-, если
d2z
1894. Найти з—3-j если
/х2 и2
д?> если
z = V2xy-\-y2.
х * + */
= arctg- —
1 — лсу *
1895. Найти ^-2, если
1896. Найти все частные производные 2-го порядка функции
и = ху A^yzA^zx.
д9и
1897. Найти g^j, если
d8Z
1898. Найти ^р, если
z = sm(xy).
1899. Найти /^(0, 0), Д,(0, 0), /^ (0, 0), если
f(x,y) = {l+x)mV+y)n-
д2г д2г
1900. Показать, что §^=щ;, если
.
1901. Показать, что J^ = |^, если
z = x*.
1902*. Показать, что для функции
С добавочным условием /(0, 0) = 0 имеем
/^(0,0) = -1, /;Л(0,0) = +Ь
§ 7] ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 191
«лло и st d2z д2г д2г
1903. Найти д-,, Шу, ф, если
z=f(u,v)t
где яс=л;2-[-У, 1; = ^.
1904. Найти -а-2, если
1905. Найти gp, g^, gf, если
z*=f(u,v), где й = ф(х|<у), f = ^(*,J>).
1906. Показать, что функция
a==arctg|-
удовлетворяет уравнению Лапласа
1907. Показать, что функция
, 1
и = 1п — ,
г •
где г = ]/ (* — a)* -j- ()/ — b)2, удовлетворяет уравнению Лапласа
д2± JL^l — O
дх*~Т~ду*~"%
1908. Показать, что функция
а (х, t) = Л sin (a Xt -\- ф) sin Кх
удовлетворяет уравнению колебаний струны
&и__ гдЧ_
dt* — а дх* '
j (* - *о)а + (V - Уо)2 + ft - *o)a
1909. Показать, что функция
' (2а/я/)3
(х0, j/0, £0, а — постоянные) удовлетворяет уравнению теплопроводности
dt~a \дх**д?1дг*) '
1910. Показать, что функция
и = ф (л: — at) -[- ip (л: -[- at).
192 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
где ф и г|) — произвольные дважды дифференцируемые функции,
удовлетворяет уравнению колебаний струны
&и_ 2дЧ_
dt2 ~~~~а дх2 '
1911. Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
^ i 2XV — 4-V2 — — О
1912. Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
2 д2и 2 д2и п
хд*-у ф=0-
1913. Показать, что функция 2=/[х-{-у(у)] удовлетворяет
уравнению
дхдхду дудх2 '
1914. Найти и = и(х,у), если
дх ду
1915. Определить вид функции и=и(х, у), удовлетворяющей
уравнению
^ = 0
дх2 и'
1916. Найти d2z, если
1917. Найти d2u, если
и = xyz.
1918. Найти d2z, если
z=y(t), где t — x2-\-y2.
1919. Найти dz и d2z, если
z = uv, где и = —, г; = #у.
1920. Найти d2z, если
z=f(uiv)i где и = аху v = by.
§ 8] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 193
1921. Найти d2z, если
z—f{uyv)y где и=хеуу v=yex.
1922. Найти d*zy если
z=ex cosy.
1923. Найдя дифференциал 3-го порядка функции
z = х cos у -|"у sin х,
определить все частные производные 3-го порядка.
1924. Найти d/(l, 2) и d2/(l, 2), если
/(х, у) = х2 + *У +У — 4 In л: — 10 ln^yj
1925. Найти d2/(0, 0, 0), если
/(*> 3>, г) = л;2 + 2/ + Зг2 — 2ху + *xz-\-2yz.
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов
1°. Условие полного дифференциала. Для того чтобы
выражение Р (ху y)dx-\- Q(x, y)dy, где функции Р (xt у) и Q (х, у) непрерывны
в односвязнои области D вместе со своими частными производными первого
порядка, представляло собой в области D полный дифференциал некоторой
функции и (х, у)} необходимо и достаточно выполнение условия
dQ^dP^
дх ду '
Пример 1. Убедиться в том, что выражение
(2x + y)dx + (x+2y)dy
есть полный дифференциал некоторой функции, и найти эту функцию.
Решение. В данном случае Pz=z2x-\-y, Q = х -f- 2у. Поэтому
dQ дР t
•— = ^г— = 1 и, следовательно,
дх ду
(2х + y)dx+(x + 2y) dy==du = -£dx+jfj- dy,
По условию -т- = 2х -f- у, следовательно,
Но, с другой стороны, д-=*4-ф' (У) = х+2у, откуда <р'(у) = 2у, Ц>(у)-
где и — искомая функция.
= 2* +
и = $ (2х + у) dx = х2 + ху + ф (у).
Й СТОРОН!
= у* + Си
и = х> + ху + уг + С.
Окончательно
(2х + у) dx + (х + 2у) dy = d (*2 + ху + у> + С).
2°. Случай трех переменных. Аналогично выражение
Р(х, у, z)dx + Q(x, yt z)dy + R(x, у, z)dz,
7 Г. С. Бараненков и др.
194 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
где Р (х, у, г), Q (*, у, г), R (х, у, г) — непрерывные,, вместе со своими
частными производными 1-го порядка, функции переменных х, у и z, тогда и
только тогда представляет собой полный дифференциал некоторой функции
и (х, у, г) в пространственно односвязнои области D, когда в D выполнены
условия
dQ dP dR dQ дР dR
дх ду ' ду дг ' дг дх '
Пример 2. Убедиться в том, что выражение
(3^+ 3#- l)dx + (z* + 3x)dy + (2уг + \)йш
есть полный дифференциал некоторой функции, и найти ©ту функцию.
Решение. Здесь Р = 3х* + 3у--1, Q = z2 + 3xt R = 2yz+l.
Устанавливаем, что
^ = ^ = 3 ^ = ^ = 2г ^ = ^-0
дх ду * ду дг * дг дх
и, следовательно,
(3x*-f-3«/- l)dx-\-(z1+3x)dy+(2yz+l)dz = du=:
ди . . ди , . ди .
где и — искомая функция.
Имеем:
! = &■+*,-!.
вначит,
и = ^ (Зх* + 3# - 1) их = х9 + Ъху - х + Ф (у, г).
С другой стороны,
ды #ф
^ = ^ = 2^+1,
откуда ^ = «f и §], 2#2 + *• Задача сводится к отысканию функции двух
переменных ф (г/, е), частные производные которой известны и выполнено
условие полного дифференциала.
Находим ф:
Ф (у, z) as J г*Ж/ = ^z» +1|> (г),
^ = 2уг + У(г) = 2уг + 19
f(f) = ], ф(г)==г+С,
т. е. ф(#, г) = #г* + * + £• Окончательно получаем:
tt = *«-f3x# — x + yz*+z-\-C.
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными
дифференциалами некоторых функций, найти эти функции»
1926. ydx-\~xdy.
1927. (cos х + Зх*у) dx-\-(x*—у2) dy.
§ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 195
100ft (x+2y)dx + ydy
1928. Tx+W '
1929. ^U*-^dy.
х2 + уг хг+у* J
1930. Idx-^dy.
1931. - * tfjc-4- r У ty.
1932. Определить постоянные а и b так, чтобы выражение
(ахг + 2ху+у%) dx-(x* + Чху + by*)dy
<** + </')'
было полным дифференциалом некоторой функции £, и найти послед*
нюю.
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными
дифференциалами некоторых функций, найти эти функции.
1933. (2х -\-у + z) dx -\- (х + 2у -{- г) dy + (•*+У + 2г;) <**•
1934. (З*2 + 2у*4-Zz)dx-\-(4ху\-2y — z)dy-\-(Ъх —у — 2)dz.
1935. (2xyz — 3yiz-\-Sxyi-\-2)dx +
+ (*** — &xyz-\- Ъх*у -f 1) dy + (**y — Злу* -f 3) <fc.
••»■ (т-г)л+(т-Й* + (4-*)*-
1937 xdx + ydy+zdz
Vx2 + y2 + z*
1938*. Даны проекции силы на оси координат:
у У у &*
(х + у)*> Г~(х + у)*>
где К — постоянная величина. Каков должен быть коэффициент А,,
чтобы сила имела потенциал?
1939. Какому условию должна удовлетворять функция f(xf у)9
чтобы выражение
f(xt y)(dx + dy)
было полным дифференциалом?
1940. Найти функцию и, если
du =f(xy)(ydx-\-x dy).
§ 9. Дифференцирование неявных функций
1°. Сл у ч ай о дной независимой переменной. Если
уравнение }(х, у) = 0, где f(x, у) — дифференцируемая функция переменных х и у,
определяет у как функцию от х, то производная этой неявно заданной
функции при условии, что /' (х, у) Ф 0, может быть найдена по формуле
dy^ /*(*,*/) (l)
* fit*. У)'
196 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Производные высших порядков находятся последовательным
дифференцированием формулы (1).
Пример 1. Найти —■ и -т4 , если
г ах ах2
(х2 + у2)*- 3(х2 + у2) + 1=0.
Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через / (я, у),
найдем частные производные
£(*. y) = 3(x2+y*)*-2x-3.2x = 6x[(x' + y*)*-l]t
fy(x, У) = 3(хг + y*f-2y - 3.2у = 6у[(х* + у*)* - I].
Отсюда, применяя формулу (1), получим:
dy f'x (*> У) 6х \(х2 + у2)2 - 1] _ х
dx ~~ /; (*. у) ~~ 6у К*2 + у2)2 ~1)~ у'
Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную
первую производную, учитывая при этом, что у есть функция х:
d*y=d( х\ 1'У~ХТх^ У~Х\~~7)== if + x*
dx2 dx\ у ] у2 у2 у9
2°. Случай нескольких независимых переменных.
Аналогично, если уравнение F (х, у, z) = 0, где F (x, yt z) — дифференцируемая
функция переменных х, у и г, определяет z как функцию независимых
переменных х и у и Fz(x, у, г) ?ь О, то частные производные этой неявно
заданной функции могут быть найдены по формулам:
дг__ Fx(x, У* z) дг _ Fy (*. У. *)
д*~ Fz(xt */, г)' дУ~~ Fz(xt у, г)'
(2)
Другой способ нахождения производных функции г следующий:
дифференцируя уравнение F (х, у, г) = 0, получим:
dF . , dF . , dF . п
Txdx+Tydy + ^dz^.
Отсюда можно определить dz, а следовательно, -г- и ^-.
Пример 2. Найти г и Т) если
дх ду
х2 - 2у2 + Зг2 - уг + у = 0.
Решение. 1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения
через F (х, у, z), найдем частные производные
Fx(xt у, z) = 2x, F'y(xy у, z) = — 4у — г + \, Fz(xt у, z) = 6z-y.
Применив формулы (2), получим:
дг_ F'x(x, у, g)__ 2х дг __ Fy (х, у, г) _ 1 — 4j/ — г
^"" Fz(xt у, z)~~ 6z-y' ду~ Fz(xt у, z)~~ bz-y
2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим:
2х dx — 4ydy-{-6zdz — ydz — zdy-\-dy = 0.
§ 9} ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
Отсюда определяем dz, т. е. полный дифференциал неявной функции:
a __2xdx-\-(l —4у — г)dy
Qg ____ ________________________________
y — 6z
Сравнивая с формулой dz = -г- d* -f- -- dy, видим, что
197
dz
2х
dz__l-4y
дх~~у — 6г' ду~~ у — бг #
3°. Система неявных функций. Если система двух уравнений
( F(x, у, и, v) = Q,
\ G(x, у, и, v) = 0
определяет и и v как дифференцируемые функции переменных х и у и якобиан
D(F, G)__
D (и, v) ~
\dF
\ди
dG
ди
dF
dv
dG
dv
9*0,
то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные)
могут быть найдены из системы уравнений
dF..dF.,dF..dF.
дх
ду
SG . . dG . . dG . , dG ,
-.dx + — dy+—du + — dv--
(3)
dx
du
dv
Пример З. Уравнения
u-\-v = x-\-y, xu-{-yv=l
, du du dv dv
определяют и и v как функции от х и у; найти -- , -г- , ^- и --.
чим:
Решение. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по х,
полупи ,dv_ t
дх + дх~~ 9
du
dv
отсюда
du
и+хдх + УГх = °>
и-\-у dv и+х
dx х — у' dx х — у*
Аналогичным образом найдем:
du v -)- у dv 1*4- х
dy~~~~~ x — y' dy~~x — y'
2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения,
связывающие дифференциалы всех четырех переменных:
du -J- dv = dx -f- dy,
xdu-\-udx-\-ydv-\-vdy = Q.
198
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
Решив эту систему относительно дифференциалов du и dv, получим!
(u+y)dx + (v+y)dy dv=_(u + x)dx+(u + x)dy
х—у * х—у
Отсюда
ди__ и-\-у ди у-\-У
du~-
дх х — у* ду х-
dv и-\-х dv v-\-x
Г
дх х — у9 ду х — у'
4°. Параметрическое задание функции. Если
дифференцируемая функция* от переменных хну задана параметрически уравнениями
X = X(U, V), У = У(и, V), Z = 2 (U, V)
и
Р(х, у) =
D(ut v)
дх
ди
\ду
ди
дх
dv
dy
dv
#0,
то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений
. дх , . дх ,
dx=mdu+_dv,
dy=d£du+d£do> <4>
. дг , , дг .
Зная
д2
дифференциал
дг
'ди
d2 = p dx-{-p dy,
dv
находим
частные производные
Й = " И Ty=q-
Пример 4. Функция г аргументов х и у задана уравнениями
X = U+V, y=zU* + V*t « = Mf + Uf (U^V).
и - дг дг
Найти з- и з-«
дх dy
Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения,
связывающие дифференциалы всех пяти переменных:
t dx = du-{-dv,
г dy = 2u du -f 2v dv,
I dz = 3u* du + 3v2dv.
Из первых двух уравнений определим du и dv:
, 2v dx — dy
dU== 2(o-n) '
dv
dy — 2u dx
2(v-u)
Подставим в третье уравнение найденные выражения du и dv:
dz = Su'2?dx-d!> + 3v'd!'-2udx =
2 (v — и) ' 2 (v — и)
6uv(u — v)dx+3(v* — u2) dy_
= 2(o — и)
3uv dx + у (и + v) dy.
§ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 199
Отсюда
дг 0 дг 3 , . ч
Fx=-3uv, Ty=T(u + v).
2-й способ. Из третьего данного уравнения можно найти!
дг 0 2 ди . 0 2 dv дг . . ди . 0 2 ди /кч
_ = 3u*_ + 3t^; -=3^ + 3^. (5)
Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по у\
1""^ + ^' ду + ду9
Л п ди . п dv , п ди . п dv
О = 2и •»- -f 2u -~-, 1 = 2и ^- + 2и з- •
Из первой системы найдем:
ди . v dv
дх ' и — и ' ^а: и — i
Из второй системы найдем:
дм 1 ди 1
dy~~2(u-v)' dy-~2(v-u)%
Подставляя выражения ^- и ^- в формулу (5), получим:
dx v — и ' w — v
ду 2(u — v){ 2 (v — и) 2 ' '
1941. Пусть ^ есть функция #, определяемая уравнением
а» т ji — *•
Найти dl *1 « d2l
1942. Пусть j> есть функция, определяемая уравнением
х*+у2 + 2аху = 0 (а>1).
сРи
Показать, что jj=0 и объяснить полученный результат.
1943. Найти ^, если у = 1 -\-у*.
1944. Найти -^ и Ц§, если _у = дг4-1п^-
1945. Найти (|)_ и (g)^, если
х2 — 2ху +/ + х-\-у — 2 = 0.
Пользуясь полученными результатами, приближенно изобразить
график данной кривой в окрестности точки л;=1#
200 функции нескольких переменных [гл; vi
1946. Функция у определяется уравнением
In VV+/ =я arctg -J (афО).
1947. Найти -р и -т4» если
l-f*jr — 1л («*" + *-**) = 0.
1948. Функция z переменных хну задана уравнением
x%-\-2y%-\-z% — З.ку2 —2у + 3 = 0.
и « #2 02
Найти з- и зг •
дх ду
1949. Найти з- и ^-, если
д; cos 3; -f" 3; cos 2 -\- z cos л: = 1.
I960. Функция z задана уравнением
х2 -j- у — 22 — jty = 0.
Найти д- и -т- для системы значений # =—1, ^==0, 2=1.
<АР< u « dz dz d2z d2z д22 л:2 | у2 , г2 -
1951. Найти -, ~, ^ _, _, если 51+{i + ? = l.
1952. f(x, у, z) = 0. Показать, что |.|.g = -l.
1953. 2 = ф(л;, J/), где у есть функция #, определяемая
уравнением г|? (лг, у) = 0. Найти j-.
1954. Найти dz и я?22, если
1966. Пусть z есть функция переменных хну, определяемая
уравнением
2л;2+ 2/+2* — 8*2 — 2 + 8 = 0.
Найти */2 и d2z для системы значений х = 2, у = 0, 2=1.
1966. Найти ^2 и dzz> если In2 = х-}-.У+ 2—1. Чему равны
производные 1-го и 2-го порядков функции 2?
1957. Пусть функция z определяется уравнением
х* + / + *2 = Ф (ах + ЬУ + <#)»
где ф — произвольная дифференцируемая функция и а, Ь, с —
постоянные. Показать, что
(су — Ьг)£ + (аг — сх)щ = Ьх — ау.
§ 91 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 201
1968Ж Показать, что функция z, определяемая уравнением
F(x— az, у — bz) = 0,
где F—произвольная дифференцируемая функция своих аргументов,
удовлетворяет уравнению
адЛьГу=1-
1959. /ч — , ~j=0. Показать, что х~ -\~У1Г =z-
1960. Показать, что функция z, определяемая уравнением
y = X(f(z)-\-^(z)1 удовлетворяет уравнению
д2г (dz\2 ^dzdz d2z . d2z /fey_ft
d*2 1<W дхдудхду^ду2 \дх) '
1961. Функции у и z независимой переменной х заданы системой
уравнений хг +/ — *« = О,*1 + 2/ + 3*2 = 4. Найти g, g, g ,
^ при *=1, ,y = 0, z=l.
1962. Функции }1И2 независимой переменной л; заданы системой
уравнений
xyz = a, x-\-y-\-z = b.
Найти dy, dz, dzy, d*z.
1963. Функции и и v независимых переменных х и у заданы
неявно системой уравнений
u = x-\-y, uv=y.
Вычислить
ди ди дги дги д2и dv dv d2v d2v d2v n «
dx' dy' F? ' дГду* Fj? ' Fx1 dy' F?y дх~ду * Fy* ПрИ Х~U> ^~ "
1964. Функции и и v независимых переменных х и у заданы
неявно системой уравнений
u-lrv = x, u—yv = 0.
Найти du, dv, d*u, d2v.
1965. Функции и и v переменных х и у заданы неявно системой
уравнений
дг = ф(и, v)y y = ^(u, v).
Найти - - - -
лайти дх' ду' дх' dy'
1966. а) Найти — и -^ , если x = uaosvy j/ = Hsini>, z = cv.
б) Найти ^ и — , если x = u-\-v, y = u — г>, z = uv.
в) Найти 6te, если x = ett+l', y = eu~v, z = uv.
202 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ.У1
1967* z—F(r, ф), где г и ф — функции переменных х и у%
определяемые системой уравнений
л: = гсо5ф, jr=rsin<p.
и „ дг дг
Найти т- и ~- •
дх ду
1968. Рассматривая z как функцию х и у, найти ^ и v-, если
д; = асо8фсо5'ф, <у = &8ШфС05'ф, ^:== с sin tj?.
§ 10. Замена переменных
При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие
в них производные следует выразить через производные по новым
переменным, используя праЁила дифференцирования сложных функций.
1°. Замена переменных в выражениях, содержащие
обыкновенные производные.
Пример 1. Преобразовать уравнение
* dx*+2xdx + x*y—V9
полагая х = -т-.
Решение. Выразим производные от у по х через производные от у
по /. Имеем:
йУ— dt — dt _ л *У
dx~~dx~~ _J_~~ dt9
dt t*
d_fdy\
S^KS)-*^2—(«3f+'S)«-fl-«-}+-Sf.
dt
Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и заме*
няя х через — , получим:
A",(»JF+'»)+«4(-'J)+-*-»
или
S+*-a
Пример 2. Преобразовать уравнение
'dx>
Xji + [dx) dx-V'
приняв у за аргумент, а х за функцию.
10?
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
203
по у
Решение. Выразим производные от у по х через производные от *
dy_l.
dx~dxi
dy
£У—£ /±\ — L /_L\ dl—
dx*~ ■ I ■ \— ■ I . \ ■ —
dh
dy*
■<Px
dy"
dxV
dxidxj dy[dx\dx I dxV dx (dx
\dlj/ \dy/ \dy) dy [dyj
Подставив эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь:
dH 1
dy* I , 1 1
или, окончательно,
\dy) J \dy) dy
d*x , , fdx\* „
Пример. З. Преобразовать уравнение
dx x — y*
перейдя к полярным координатам
x=rcosy, у = г sin ф. (1)
Решение. Рассматривая г как функцию ф, из формул (1) получим:
dx = cos ф dr ■— г sin ф dy, dy = sin ф dr -f- r cos ф dy,
отсюда
. , , , , sin ф zr +r cos ©
dy s\n у dr-\-r cos у dy ^ dy ' _^
dx cos ф dr — r sin ф dy dr
Y Y Y совф^ rsiny
dy
Подставляя в данное уравнение выражения для х, у и ~ , будем иметь:
^ Зф + ^C°S ф _ ГС08ф + гЯПф
COS(
или, после упрощений,
df . г cos ф — г sin ф !
С08Ч)Зф""г81Пф
Ё1
(2ф
= г.
2°* Замена переменных в выражениях, содержащих
частные производные.
Пример 4. Уравнение колебаний струны
w=am* {афй)
204 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. Ь
преобразовать к новым независимым переменным айв, где a = x — at9
$ = x + at.
Решение. Выразим частные производные от и по х и t через частные
производные от и по а и р. Применяя формулы дифференцирования сложной
функции
ди ди да , ди д$ ди ди да , ди д$
Ш~даШ~т~Щ(к' Ш~дадх+д$<Ь?'
ди, ч , ди (ди ди\
получим:
ди
dt
ди ди 1 , ди ди .(fa
Тх — да' 1+д$* 1—да + Щ'
Дифференцируем вторично, применяя те же формулы:
dhi__d_
dtz~~dt
[dt J ~~да [dt J dt+d$ \dt J dt ~~
( dzu d2u\ , ч . (дги д*и \
= а[^-Ш*){-а)+а[ф~да-д$)а^
-#(д%и 2 д*и 1 дЧ
~а [да* дад^д^;
дх2 ~~ дх \дх) — да \дх) дх "*" д$ \дх) дх "~
— [да^дадЬ) ' ~*~ \дад$ ^д^2) '
__д2и д*и д*и
~да2^ дад^д^'
Подставив в данное уравнение, будем иметь:
а [да2 Zdad$^rd$*)—a [даР^'дад^ф)
или
д2и
:0.
дад$~
Пример 5. Преобразовать уравнение хг g- + уг -г- +z2» приняв за
новые независимые переменные u = xt v = и за новую функцию
Z X
г» г» дг дг
Решение. Выразим частные производные ^- и ^- через частные
производные я— и ^—. Для этого продифференцируем данные соотношения
между старыми и новыми переменными
j a j dx dy . dx dz
du = ax, dv = ~r f , aw = -t « .
x2 yz x1 z2
С другой стороны,
Поэтому
или
Отсюда
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
. dw . , dw .
dw = ^— du + 3- »».
du ' dv
dw , , dw . dx dz
dw . \dw(dx dy\ dx dz
Ш +lfo[tf~~~yT)~~xT г2'
205
и, следовательно,
dz
dx'
. 9 ( \ dw \ dw\ , . z2dw ,
1 dw 1 dw\
x2 du x2 dv J
и
dz z2 dw
dy уг dv
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим:
ii/J dw 1_&сЛ , 2^ а
\xz du xz dv J "• dy
= 0.
1969. Преобразовать уравнение
*d2y
C Jx~*~
+ 2*|+, = 0,
полагая х=ег.
1970. Преобразовать уравнение
w *Мх2 xdx и'
полагая * = cos£.
1971. Преобразовать следующие уравнения, приняв за аргумент у:
1972. Тангенс угла jji, образованного
касательной МТ и радиусом-вектором ОМ
точки касания (рис. 69), выражается
следующим образом:
tgfx =
~ Х V
Преобразовать это выражение, перейдя к полярным координатам:
д. =г coscp, у = г sinq).
206 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1973. Формулу кривизны линии
к== У
выразить в полярных координатах # = rcos(p, jj = rsin<p.
1974. Преобразовать к новым независимым переменным и и v
уравнение
дг дг л
если и = х> v=x*-\-y2.
1975. Преобразовать к новым независимым переменным и и v
уравнение
дг , дг л
х7гЛУТи-г==°>
дх ' * ду
если и = х, v=—.
1 а:
1976^ Уравнение Лапласа
dx2~^dyi~K)
преобразовать к полярным координатам г и <р, полагая
Ar = rcoscp, y = rsin(f>.
1977. Преобразовать уравнение
дх* * ду2
полагая и — ху и v = —.
J У
1978. Преобразовать уравнение
дг дг . ч
0а; д#
введя новые независимые переменные
*=*■+/, «=4+7
и новую функцию w — lnz — (х-\-у).
1979. Преобразовать уравнение
дЧ 0 дЧ . ^_п
5а:2 гдхду\дуг~~U'
приняв за новые независимые переменные a = A:-j-<y> zf = ~ и за
новую функцию w=—i
§ 11J КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 207
1980. Преобразовать уравнение
дх* i дхдуТ ду%~и'
полагая и=д;-{-^, v=a: — ^у, та/=.ку— г, где та>='0/(г/, г/)#
§ И. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Г. Уравнения касательной плоскости и нормали
для случая явного задания поверхности. Касательной
плоскостью к поверхности в точке М (точка касания) называется плоскость,
в которой лежат все касательные в точке М к различным кривым,
проведенным на поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной
плоскости в точке касания.
Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано
в явной форме г = f (х, у), где f (x, у) — дифференцируемая функция, то
уравнение касательной плоскости в точке М (х0, у0, е0) поверхности есть
Z-!.=:£<*,. y0)(X-X0) + f'y(X0, y0)(Y-y0). (1)
Здесь z0 = f(x0, у0), а X, Y, Z — текущие координаты точки касательной
плоскости.
Уравнения нормали имеют вид
X — х0 _ Y —y0 ==Z — z0
f'x (х0, У0) f'y (х0, у0) -1 ( )
где X, Y9 Z — текущие координаты точки нормали.
Пример 1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали
х*
к поверхности г==——tf- в ее точке М (2; —1; 1).
Решение. Найдем частные производные данной функции и их
значения в точке М
дг
дх
\дх)м
дг о (дг\
Ту = ~^ Шм^Ь
Отсюда, применяя формулы (1) и (2), будем иметь: г — 1 = 2 (я — 2)-f-2(0-f-l)
х —- 2 и -4-1
или 2х + %У — г — 1 = 0—уравнение касательной плоскости и —-— = у Т^ =s
2-1
=-—т уравнения нормали.
2е. Уравнения касательной плоскости и нормали для
случая неявного задания поверхности. В том случае, когда
уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме
F(x, у, *) = 0
и F (x0, yot г0) = 0, соответствующие уравнения будут иметь вид
К(*о' Уо> 20)(X-x0) + Ffy(x09 y0f z0)(Y-y0)+F'zix09 y0. z0)(Z-20) = 0 (3)
208 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
— уравнение касательной плсскости и
— уравнения нормали.
Пример 2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали
к поверхности Ъхуг — г9 = а9 в точке, для которой * = 0, # = а.
Решение. Найдем аппликату точки касания, подставив я=0, р = а
в уравнение поверхности: — е* = аа, откуда е = —а. Таким образом, точка
касания есть М (0, о, — а).
Обозначив через F (х, у, г) левую часть уравнения, найдем частные
производные и их значения в точке Mt
F;=3^, <^)м=-3яг,
/^ = 3*?, </>)« = 0,
^; = 3^-3г«, (/^в-ЗЛ
Применяя формулы (3) и (4), получим:
— За2 (х — 0) + 0 (у - а) — Зо* (* + я) = °
или # +г+ а=г0—уравнение касательной плоскости,
х — 0 # — а 2 -f- Q
— 3а2~"~0 "~ —За2
или -=-s=2--—=r—j уравнения нормали.
1981. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к следующим поверхностям в указанных точках:
а) к параболоиду вращения z = x*-\-yz в точке (1; — 2; 5);
Of 1J 72
б) к конусу yg + ^- — "g""0 в точке (4; 3; 4);
в) к сфере x*-{-y2-\-z* = 2Rz в точке (/?coscx; /?sina; /?).
1982. В каких точках эллипсоида
нормаль к нему образует равные углы с осями координат?
1983. Через точку ЛЦЗ; 4; 12) сферы х1 + / + *1==169 пр0.
ведены плоскости, перпендикулярные к осям ОХ и OY. Написать
уравнение плоскости, проходящей через касательные к получившимся
сечениям в их общей точке А/1.
1984. Показать, что уравнение касательной плоскости к
центральной поверхности 2-го порядка
ax% + byt+cz* = k
в ее точке M(xQ, у0, zb) имеет вид
ах0х -{- by j -f cz0z=k.
§ 11] КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ tf НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 209
1985. К поверхности х2-{- 2/-{- 3*2 = 21 провести касательные
плоскости, параллельные плоскости jc-{- 4^-1-6^=0.
1986. К эллипсоиду Tj2~f-ii""b;r—' провести касательные
плоскости, отсекающие на координатных осях равные по величине отрезки.
1987. На поверхности х*-\-у%— z% — 2* = 0 найти точки,
в которых касательные плоскости параллельны координатным
плоскостям.
1988. Доказать, что касательные плоскости к поверхности xyz=m9
образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема.
1989. Показать, что касательные плоскости к поверхности
V х + VУ + Vz = V& отсекают на осях координат отрезки, сумма
которых постоянна.
Хг U* 1г
1990. Показать, что конус -2 + т«=7г и сфера
*,+/+(*-^)'-£(*,+о
касаются друг друга в точках (0, ±Ь, с).
1991. Углом между двумя поверхностями в точке их
пересечения называется угол между касательными плоскостями, проведенными
к данным поверхностям, в рассматриваемой точке.
Под каким углом пересекаются цилиндр x*-{-y2 = R* и сфера
(Х_Я)»4-/ + *£ = /?2 в точке /и(4> *НГ-' °)?
1992. Поверхности называются ортогональными, если они
пересекаются под прямым углом в каждой точке линии их
пересечения.
Показать, что поверхности х*-\-у*-\-z* = r2(сфера), y = x\g<p
(плоскость) и zt = (x*-\-y*)tg*ty (конус), являющиеся
координатными поверхностями сферических координат г, ф, *ф, взаимно
ортогональны.
1993. Показать, что все плоскости, касательные к конической
поверхности г = х/(^) в ее точке М(х0, у0, *0)> где хо¥=®> ПР°"
ходят через начало координат.
1994*. Найти проекции эллипсоида
на координатные плоскости.
1995. Доказать, что нормаль в любой точке поверхности
вращения z=f(Vx*^-y*) (/'^0) пересекает ось вращения.
210 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
§ 12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
Пусть функция f(x, у) имеет в окрестности точки (а, Ь) непрерывные
частные производные всех порядков до (я + 1)-го включительно. Тогда в
рассматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:
fix, »)«=f(a, 6) + l[/>, b)(x-a) + fy(a, Ь)(у-Ь)] +
+frVl* (а, Ь) (х - а)* + 2/^ (о, Ь) (х -а)(у-Ь) + fyy (а, Ь) {у - 6)'] + ...
...+1 [(x-e)i-f-(y-b)A]"f(a, b) + Rn(x, у), (1)
где
R*(х' у)~тгтпг Г(* ~ а)Тх+{у~ь)ш[ "*' п«+•<*-«).»+• с? - ьу\
(0 < в < 1).
В других обозначениях:
f (х + h, у + k) = f (х, у) +1 [Af; (х, у) + *£ (*. У)] + 2Т I**/» <*• у) +
или
Af(*. g)=df(x, y) + ±d*f(x, y) + ...
(2)
... + i- d-7 (x, у) + (7Гр1уу d"+V (х + вЛ; .v + в*). (3)
Частный случай формулы (1) при а = Ь=0 называется формулой Мак-
лорена.
Аналогичные формулы справедливы для функции трех и большего числа
переменных.
Пример. Найти приращение, получаемое функцией f{x, y) =
=з? — 2у*-\- Зху при переходе от значений х = 1, у = 2 к значениям х, = 1 -(-Л,
0, = 2 + *.
Решение. Искомое приращение можно найти, применяя формулу (2).
Вычислим предварительно последовательные частные производные и их
значения в данной точке (1, 2):
&(*. у) = 3** + 3у, fx(l; 2) = 3-1+3-2 = 9,
f'y(x, у) = -6у* + 3х, fill 2) = -6-4 + 3-1 =-21,
£,(*, у) = вх, fxx(\; 2) = 6-1=6,
f (х, у) = 3, fxy(l; 2) = 3,
&(х, у)=-12у, /' (1; 2) = —12-2 = —24.
О*. j,) = 6. fxxx(\; 2) = 6,
О*. *) = 0, Су(1; 2) = 0.
££(*. 0)=°' G(H 2) = 0,
^y (X. »)=-12. f^(l; 2) = -12.
§ 12] ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 211
Все дальнейшие производные тождественно равны нулю. Подставляя
найденные результаты в формулу (2), получим:
Af(x9 y) = t(l+h9 2-И)-/(1, 2) = /1.9 + /г(—21)4-
+ ^"l/l2#6 + 2Л^'3 + ^2 (— 24>] "Ь ^ 1Л*в6 + 3^2^-0 + 3/г/г2.0 -f-At8 (—12)] =
= 9/t - 21* + 3/г8 + 3/1/г — 12Л2-Ь^8 — 2^8-
1996. Разложить f(x-\-h% у-\-Щ по целым положительным
степеням h и kt если
/(я, у) = ахг-\-2Ьху-\-су*.
1997. Функцию /(*, у) =— х2-\-2ху-\-Ъуг— 6л; — 2у — 4
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (—2; 1).
1998. Найти приращение, получаемое функцией f(x, у)—х*У
при переходе от значений лс=1, j;=l к значениям
^=1+A, yt = \-\-k.
1999. Функцию /(*, j!, z) = x*-\-y* -f-*a-f-2.xy—.У*— 4лг~"
— Зу — £-|-4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
(1; 1; 1).
2000. Разложить f(x-\-h9 y-\-k, z-\-l) по целым
положительным степеням Л, k и /, если
/(#, У у z) = x* -\- у* -\- z2 — 2ху— 2xz — 2yz.
2001. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка
включительно функцию
f{x, у) = ех$ту.
2002. Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го порядка
включительно функцию
/(л:, у) = cos х cos у.
2003. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1)
до членов 2-го порядка включительно функцию
/(*. У)=У*.
2004. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
(1; —1) до членов 3-го порядка включительно функцию
2005. Вывести приближенные формулы с точностью до членов
2-го порядка относительно величин аир для выражений
a)arctg;4f; б)/<'+«>т + (1+Р)Я;
если |ос| и |Р) малы по сравнению с 1.
2006*. Используя формулы Тейлора до членов 2-го порядка,
вычислить приближенно
а) УТОЗ, ^0^8; б) (0, 95)2»01,
212 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
2007. Пусть z есть та неявная функция от х и у, определяемая
уравнением z* — 2xz -|- у = 0, которая принимает значение z = 1
при л?== 1 и у=\. Написать несколько членов разложения функции z
по возрастающим степеням разностей х—1 и у—1.
§ 13. Экстремум функции нескольких переменных
1°. Определение экстремума функции. Говорят, что
функция f(x, у) имеет максимум (минимум) f (а, Ь) в точке Р (а, Ь), если для всех
отличных от Р точек Р' (х\ у) в достаточно малой окрестности точки Р
выполнено неравенство /(a, b) > f (ху у) (или соответственно f(a, b) < f(x, у)).
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Аналогично
определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.
2°. Необходимые условия экстремума. Точки, в которых
дифференцируемая функция f(x, у) может достигать экстремума (так
называемые стационарные точки), находятся путем решения системы уравнений
f'x(x, y) = 0t fy(x% y) = 0 (1)
(необходимые условия экстремума). Система (1) эквивалентна одному
уравнению df(x, у) = 0. В общем случае в точке экстремума Р (а, Ь) функции f(x, у)
или df(a, b) = 0, или df (а, Ь) не существует.
3°. Достаточные условия экстремума. Пусть Р (а, Ь) —
стационарная точка функции / (х, у), т. е. df (a, b) = 0. Тогда: а) если
d2f (а, Ь) < 0 при dx2-\-dyz > 0, то f(at b) есть максимум функции f (х, у)\
б) если d2f(a, b) > 0 при dx*-\-dy2 > 0, то /(а, Ь) есть минимум функции
f (*» У)\ в) если d2f (a, b) меняет знак, то f(a, b) не является экстремумом
функции f(x, у).
Приведенные условия эквивалентны следующим: пусть fx(a, b) = / (a, b)=
= 0 и A = fxx(a, b), B = f'(a, b), C = f' (a, b). Составим дискриминант
Л=АС-В2.
Тогда: 1) если А > 0, то функция имеет экстремум в точке Р (а, Ь),
а именно максимум, если Л < 0 (или С<0), и минимум, если Л > 0 (или
С > 0); 2) если А < 0, то экстремума в точке Р (а, Ь) нет; 3) если А = 0,
то вопрос о наличии экстремума функции в точке Р (а, Ь) остается открытым
(требуется дальнейшее исследование).
4°. Случай функции многих переменных. Для функции
трех и большего числа переменных необходимые условия существования
экстремума аналогичны условиям 1°, (1), а достаточные условия аналогичны
условиям 3°, а), б), в).
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию
г = *3 + Зху* — 15а: — \2у.
Решение. Найдем частные производные и составим систему
уравнений (1):
<^ Зх2 + &/2-15 = 0, <^ 6л^_-12 = 0
дх ду
или
\ **/-2 = 0.
Решая систему, получим четыре стационарные точки:
Р,(1;2); Р,(2; 1); />,(-!; -2); Р4(-2,-1).
§ 13] ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 213
Найдем производные 2-го порядка
и?"6*' Ш-у=*у' df=*x
и составим дискриминант Д = ЛС — В2 для каждой стационарной точки.
1)Д- «. Р,: Л-(£)л-* * = (s|),, = *С-(*) ,
= 6, Д=ЛС — £* = 36 — 144 < 0. Значит, в точке Р, экстремума нет.
2) Для точки Рг: Л = 12, Я = 6, С= 12; А = 144-36>0, Л>0.
В точке Р, функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции
при х = 2, г/=1:
2min = 8-f6-30-12 = -28.
3) Для точки Р,: Л=—6, 5=—12, С = — 6\ А = 36-144<0.
Экстремума нет.
4) Для точки Р4: А = —12, В = —6, С = —12; А = 144 - 36 > О, А < 0.
В точке Р4 функция имеет максимум, равный zmax = —-8 — 6 + 30-f-12 = 28.
5°. Условный экстремум. В простейшем случае условным
экстремумом функции f(x, у) называется максимум или минимум этой функции,
достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением <р (х, у) = 0
(уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции f(x, у) при
наличии соотношения <р (х, у) = 0, составляют так называемую функцию Лагранжа
F(x, y) = f(x, у) + Х.<р(х, у),
где X — неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум
этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся
к системе трех уравнений
дх ох ' дх
ду ду^ ду
<р(х, у) = 0
с тремя неизвестными х, у, X, из которой можно, вообще говоря, определить
эти неизвестные.
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается
на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
d*F d2F d2F
для испытуемой системы значений х, у, X, полученной из (2) при условии,
что dx и dy связаны уравнением
*jLdx + Qdy = 0 (dx* + dy**0).
А именно, функция f (х, у) имеет условный максимум, если d2F < 0, и условный
минимум, если d2F > 0. В частности, если дискриминант А для функции
F (х, у) в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный
максимум функции f(x, у), если А < 0 (или С < 0), и условный минимум,
если А > 0 (или С > 0).
Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего
числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число
которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится
вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько
имеется уравнений связи.
214 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Пример 2. Найти экстремум функции
г = 6 — 4а: — Ъу
при условии, что переменные хну удовлетворяют уравнению
хш + ? = \.
Решение. Геометрически задача сводится к нахождению наибольшего
и наименьшего значений аппликаты г плоскости г=6 — Ах — Ъу для точек
пересечения ее с цилиндром х2-{-у2=1.
Составляем функцию Лагранжа
F(x, t/) = 6-4*-30 + b(x2 + t/*--l).
dF dF
Имеем £-= —4-{-2%x, ^-=—• 3-\-2Xy. Необходимые условия дают систему
уравнений
решая которую, найдем:
— 4-
— 3-
х
-2Ьх = 0,
- 2Ху = О,
+ y2 = U
Так как
то
5 — 4 —- 3
W-2l .£1-0 ^-2Ь
л?-2Я" 5F^-0, %г~2Л'
d2F = 2X(d^ + d^).
К Л Q
Если ^ = -—,^=:~-h^=:-f-, то d2F > О, и, следовательно, в этой точке
5 4 3
функция имеет условный минимум. Если Х, = — ~, х = ^- и у=—с",то
d*F < 0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум.
Таким образом,
А I 16 ! 9 11
*max = b+ -g-+-5-== * 1,
. -ft 16 9-1
6°. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает
своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или
в точке границы области.
Пример 3. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
г = ** + у* — ху + х + у
в области
#<0, у^О, х + у^ — г.
§ 13]
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
215
Решение. Указанная область есть треугольник (рис. 70).
1) Найдем стационарные точки:
\ г'у^2у-х + 1 = 0;
отсюда х = — 1, у = — 1; получаем точку Af (— 1; —1).
В точке М значение функции z^n = —1. Исследование на экстремум —
не обязательно.
2) Исследуем функцию на границах области.
При х = 0 имеем z — y*-\-yt и задача сводится к отысканию
наибольшего и наименьшего значений этой функции
одного аргумента на отрезке — З^у^О. Проведя
исследование, найдем, что (гнаиб)^-в = 6 в точке
1
(0; —3); (гНаим)*=о
1
--7- в точке
4
(* -т) •
12 V
При # = 0 получаем z = x*-\-x. Аналогично
найдем, что (гнаиб)^=о = 6 в точке (—3; 0);
(гНаим)у=о== — т в точке (~~У; °) •
При х-\-у = — 3 или t/ = — 3 — лс будем иметь
z=3x2-f-9x+6. Аналогичным образом найдем, что
3 /3 3 \
(2Наим)х+^=-з = — -4" В Т°ЧКе V У1 ""ТУ'
(гнаиб)*+;у=-з = 6 совпадает с (2„аи6)х=0 и Рис- 70-
(?наиб)у=о- На прямой х -f- у = — 3 можно было бы
исследовать функцию на условный экстремум, не приводя к функции одного
аргумента.
3) Сопоставляя все полученные значения функции z, заключаем, что
гнаиб==б в точках (0; —3) и (—3; 0); гнаим = —1 в стационарной точке Af.
Исследовать на экстремум следующие функции двух
переменных:
2008. z = (x— 1)* + 2/-
2009. г = (х—\)г — 2уг.
2010. г = х2-\-ху-\-уг — 2х-
2011. z = x9yx (6 — х — у)
(*>0, j>0).
2/.
2012. 2г = д:4 + / — 2х*-\-4ху
2013. , = *j,j/"l_£_j£
2014. z=\ — (а:1 + У)2/8-
2015. z=(x2+y2)e-<x2+*2>.
2016. z= }+x~L=,.
У\+х*+у*
2016.1. z = --\--4-y
x ' у ' ^
2016.2. ^ = ^-^(a;2 — 2/).
Найти экстремумы функций трех переменных:
2017. tf = *2-{-/-f'2:2— ;ey-{-* — 2*-
2018. u = x + £ + Zj+± (*>0, j,>0, ,>0).
(*>0, >>>0).
216 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Найти экстремумы функций z} заданных неявно:
2019*. х2-\-у2-\-г* — 2х-\-4у — 6г—\1=0.
2020. х8 — У — Зя + ^ + ^ + я — 8 = 0.
Определить условные экстремумы функций:
2021. z — xy при х-\-у=\.
2022. z = x-\-2y при х2-{-/ = 5.
2023. г = *2-[-/ при i-f Jj-=1.
2024. я = cos2 x -f- cos2 jj при j; — * = —-.
2025. u = x — 2y-\-2z при х2+#у2 + ,г2 = 9.
2026. «=*«+/+*■ при £ + £+£=l(e>ft>,.>0).
2027. u = xy*z* при х + 4у + (г=12 (*>0, ,y>0, я>0).
2028. u = xyz при условиях: *-J-<y-}-2r===5, лг<у-|-^2: + 'г:л:==2^*
2029. Доказать неравенство
если л:^0, j/^0, г^О.
Указание. Искать максимум функции u=xyz при условии х-\-у -\- z=S.
2030. Определить наибольшее значение функции z= 1 -J-^-J-2^
в областях: а) лт^гО, .у ^0, х-\-у <; 1; б) лг^О, _у ^0, л:—j/^1.
2031. Определить наибольшие и наименьшие значения функций
a) z=x2y и б) г=хг—уг в области х2 -\-уг^ 1.
2032. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
5Г = sinjc —f-sinдг —|— sin (х-\-у) в области О^д:^-^-, 0^у^ — .
2033. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
Z — x9-\-yz — Зху в области 0<х<2, — l^j><2.
§ 14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших
значений функций
Пример 1. Положительное число а требуется разбить на три
неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Решение. Пусть искомые слагаемые будут х, у, а — х — у. Ищем
максимум функции / (х, у) = ху(а — х — у).
По смыслу задачи функция f(x, у) рассматривается внутри замкнутого
треугольника х^О, y^0t x-\-y^a (рис. 71).
Решая систему
/*(*. у)^у(а-2х-у) = 0,
f'y(*f y)z=x(a-x-2y)=zOt
§ 14] ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ 217
получим для внутренности треугольника единственную стационарную точку
Для нее проверяем выполнение достаточных условий. Имеем
(з; з)
fxx (*' У) = — 2#' fxu (** У' = а - 2х—2У> fuu (*> У) = -~2х
'XX ^' iff "У* I Xy v"» i" *•
Следовательно, Л = /*Л -тт > -^ J = — у а,
УУУ
B=l
*У
3 ' 3 J "" 3 а*
'УУ
^ f UU I О » Q / "
2
А = ЛС - В* > О, Л < 0.
Итак, в точке \-тг\ -г) функция достигает
максимума. Так как на контуре треугольника функция
/ (х, у) = 0, то этот максимум будет наибольшим
значением функции; т. е. произведение будет
наибольшим, если х = у = а — * — # = —; причем
г,
\
1
1
М).а)
J J' X
(а,0) Х
Рис. 71.
наибольшее значение
равно ^7.
произведения
Примечание. Задачу можно было решать методами условного
экстремума, отыскивая максимум функции и—хуг при условии x-j-y -}-г = а.
2034. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный
объем V, найти тот, полная поверхность которого наименьшая.
2035. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной
вместимости V имеет наименьшую поверхность?
2036. Из всех треугольников данного периметра 2р найти тот,
который имеет наибольшую площадь.
2037. Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью
поверхности 5, имеющий наибольший объем.
2038. Представить положительное число а в виде произведения
четырех положительных сомножителей так, чтобы их сумма была
наименьшей.
2039. На плоскости XOY найти точку М(х, у), сумма квадратов
расстояний которой от трех прямых: л; = 0, у = 0, х—jj-|-1=0,
была бы наименьшей.
2040. Найти треугольник данного периметра 2/?, который при
вращении около одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.
2041. На плоскости даны три материальные точки Рг(хг, yj,
Р* (*2> Уг)> РЛх^Ул) с массами т„ т2, тг. При каком положении
точки Р(х, у) квадратичный момент (момент инерции) данной системы
точек относительно точки Р (т. е. сумма т^Р2-^-тгРгР2-^-т9РгР2)
будет наименьшим?
2042. Через точку М (а, Ь> с) провести плоскость, образующую
с плоскостями координат тетраэдр наименьшего объема.
2043. В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема.
218 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
2044. Определить наружные размеры открытого прямоугольного
ящика с заданной толщиной стенок б и емкостью (внутренней) Итак, чтобы
на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала.
2045. В какой точке эллипса
а* >Ь2
касательная к нему образует с осями координат треугольник
наименьшей площади?
2046*. Найти оси эллипса
5л;2 + 8ху + 5/ = 9.
2047. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей полной
поверхностью.
2048. Русла двух рек (в пределах некоторой области) приближенно
представляют параболу у = хг и прямую х—у — 2 = 0. Требуется
соединить данные реки прямолинейным каналом наименьшей длины.
Через какие точки его провести?
2049. Найти кратчайшее расстояние от точки Ж (1, 2, 3) до прямой
£_ jy_ £_
1 — -3— 2 '
2050*. Точки А и В расположены в различных оптических средах,
отделенных одна от другой прямой линией (рис. 72). Скорость
распространения света в первой среде равна i\, во второй — vt. Пользуясь
«принципом Ферма», согласно которому световой луч распространяется
Рис. 72. Рис. 73.
вдоль той линии АМВ, для прохождения которой требуется минимум
времени, вывести закон преломления светового луча.
2051. Пользуясь «принципом Ферма», вывести закон отражения
светового луча от плоскости в однородной среде (рис. 73).
2052*. Если в электрической цепи, имеющей сопротивление /?,
течет ток /, то количество тепла, выделяющееся в единицу времени,
пропорционально PR. Определить, как следует разветвить ток / на
токи Ilt /,, /, при помощи трех проводов, сопротивления которых Rv
#а» R9, чтобы выделение тепла было наименьшим?
151
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
219
§ 15. Особые точки плоских кривых
1°, Определение особой точки. Точка М (xQt у0) плоской кривой
f(x, y) = 0 называется особой точкой, если ее координаты одновременно
удовлетворяют трем уравнениям:
/ (*в. Уо) = °» f'x (*о> Уо) = 0. f'y (*„• У0) = 0.
2°. Основные типы особых точек. Пусть в особой точке
М (х0, у0) производные 2-го порядка
A—fxx (хо> Уо)*
В = ?ху(хо* Уо)>
C — fyy \Х0> У о) М
не все равны нулю и
А = АС- В2,
тогда:
а) если Л > 0, то М — изолированная
точка (рис. 74);
б) если Д < О, то М — узел {двойная
точка) (рис. 75);
в) если Д = 0, то М — или точка
возврата 1-го рода (рис. 76) или 2-го
рода (рис. 77), или изолированная точка, или точка самоприкосновения
(рис. 78).
При решении задач этого раздела предполагается обязательным
построение кривых.
Пример 1. Показать, что кривая уг = ах2 -\- х* имеет: узел, если а > 0;
изолированную точку, если а<0; точку возврата 1-го рода, если а = 0.
Рис. 74.
Рис. 75.
Рис. 76.
Рис. 77.
Рис. 78.
Решение. Здесь f (х, у) = ах2 + х* — у2. Найдем частные производные
и приравняем их нулю
f'x(x, y)^2ax + 3x2=:0f
fy (x, У)«
-20 = 0.
Эта система имеет два решения: 0(0; 0) и N (—-^-а; 0), но
координаты точки N не удовлетворяют уравнению данной кривой. Значит, имеется
единственная особая точка О (0; 0).
220
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
Найдем вторые производные и их значения в точке О:
fxx(x, y) = 2a + 6x, А = 2а,
fxy(x>y)=Q>
В = 0,
Д = ЛС-Я2 = — 4а.
Следовательно,
если а > 0, то Л < 0 и точка О — узел (рис. 79);
если а<0, то А>0 и точка О —изолированная точка (рис. 80);
если а = 0, то Д=0. Уравнение кривой в этом случае будет у2 = х*илн
г
^—^
1
1 u>U
\ **
Рис. 79.
Рис. 80.
Рис. 81.
1/=±У*?, где x^sO\ кривая симметрична относительно оси ОХ,
являющейся касательной. Следовательно, точка М — точка возврата 1-го рода
(рис. 81).
Выяснить характер особых точек кривых:
2053. /= — х2-{-х\
2054. (у — х2)г = хь.
2055. аУ = ажх* — х*.
2056. х2у2 — хг— у* = 0.
2057. х*-\-уг — 3аху = 0 (декартов лист).
2058. у2 (а — х) = х* (циссоида).
2059. (х2-\-у2)2 = а2 (х2—у2) (лемниската).
2060. (а-\-х)у2 = (а— х)х2 (строфоида).
2061. (хг-\-у2)(х — а)*=Ь2хг (а>0, £>0) (конхоида).
Рассмотреть три случая:
1) а>£, 2) a = b, 3) a<fc.
2062. Выяснить изменение характера особой точки кривой
у% = (х — а) (л; — Ь)(х— с) в зависимости от значений а, Ь, с
(а^Ь^с вещественны).
§ 16].
ОГИБАЮЩАЯ
221
§ 16. Огибающая
1°. Определение огибающей. Огибающей семейства плоских
кривых называется кривая (или совокупность нескольких кривых), которая
касается всех линий данного семейства, причем в каждой своей точке
касается какой-нибудь линии рассматриваемого семейства.
2°. Уравнения огибающей. Если зависящее от одного
переменного параметра а семейство кривых
/(*. *Л а) = 0
имеет огибающую, то параметрические уравнения последней определяются из
системы уравнений
I f(x,y,a) = 0,
\ f'a(x,y9a) = 0. ()
Исключая из системы (1) параметр а, получим уравнение вида
D(x,y) = 0. (2)
Следует отметить, что формально получаемая кривая (2) (так называемая
чдискриминантная кривая») наряду с огибающей, если таковая имеется, может
содержать геометрическое место особых точек данного семейства, не
входящее в состав огибающей этого семейства.
При решении задач этого параграфа рекомендуется делать чертежи.
Пример. Найти огибающую семейства
прямых
х cos а + у sin а — р = О (р = const, p > 0).
Решение. Данное семейство прямых
зависит от параметра а. Составим систему
уравнений (1)
( х cos a -f- у sin а — р = 0,
\ — х sin а -f- у cos а = 0.
Решив систему относительно х и у,
получим параметрические уравнения
огибающей
х = р cos а, У = Р sin a.
Возводя оба уравнения в квадрат и
складывая, исключим параметр а:
** +*/8 = />*.
Таким образом, огибающей данного семейства прямых служит окружность
радиуса р с центром в начале координат. Данное же семейство прямых есть
семейство касательных к этой окружности (рис. 82).
2063. Найти огибающую семейства окружностей
2064. Найти огибающую семейства прямых
Рис. 82.
zkxJrTk
2k
(k — параметр, р = const).
222 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
2065. Найти огибающую семейства окружностей одинакового
радиуса /?, центры которых находятся на оси ОХ.
2066. Найти кривую, которую огибает отрезок длины /, когда его
концы скользят по осям координат.
2067. Найти огибающую семейства прямых, образующих с осями
координат треугольник постоянной площади S.
2068. Найти огибающую эллипсов постоянной площади 5, оси
симметрии которых совпадают.
2069. Исследовать характер «дискриминантных кривых» семейств
следующих линий (С—параметр):
а) кубических парабол у = (х— С)8;
б) полукубических парабол у2 = (х — С)9;
в) парабол Нейля у9 = (х — С)2;
г) строфоид (а-\-х)(у — С)2 = х2(а — х).
2070. Уравнение траектории
движения снаряда, выпущенного из
точки О с начальной скоростью г>0под
углом а к горизонту (без учета
сопротивления воздуха), будет
7 2uJcos2a
рис зз. Принимая угол а за параметр, найти
огибающую всех траекторий
снаряда, расположенных в одной и той же вертикальной плоскости
{«парабола безопасности») (рис. 83).
§ 17. Длина дуги пространственной кривой
Дифференциал дуги пространственной кривой в прямоугольных
декартовых координатах равен
ds = Vdx2 + dy2+dz*t
где ху у, г — текущие координаты точки кривой.
Если
* = *(/). y = y(t), z = z(t)
— параметрические уравнения пространственной кривой, то длина дуги
участка ее от t = tt до t = t2 равна
■J/(S),+(4)"+(S)'*
В задачах 2071—2076 найти длину дуги кривой:
2071. * = *, y = t2, z = ^ot t = 0 до * = 2.
2072. x = 2cos*, v = 2sin/, z = ^-t от * = 0 до < = я.
§ 18] вектор-функции скалярного аргумента 223
2073. х e=s $ cos /, у = е% sin *, z=*' от t=0 до произвольного <•
2074. jr = ^f * = ^ от д: = 0 до д: = 6.
2075. *fs=3y, 2;cy = 9z от точки О(0; 0; 0) до точки
Ж (3; 3; 2).
2076. у = a arcsin —, z= £ In £i^ от точки О (0; 0; 0) до точки
М[хь, yv z9).
2077. Положение точки для любого момента t(t^>0) определяется
уравнениями
х = 2/, y = \nt, z=tf.
Найти среднюю скорость движения между моментами i = 1 и t= 10,
§ 18. Вектор-функции скалярного аргумента
1°. Производная вектор-функции скалярного
аргумента. Вектор-функция a=*a(t) может быть определена путем задания
трех скалярных функций ax(t), ay(t) и аг (t) — ее проекций на
координатные оси:
a = ax(0i + av(t)J + az(t)k.
Производная вектор-функции а = а (г) по скалярному аргументу t есть
новая вектор-функция, определяемая равенством
da_lim a(t+M)-a(f)__dax(f) day(f) , , daz(t) fc
di~~bt-+* Ы — dt l~*~ dt *"Т~~~1ПП'
Модуль производной вектор-функции равен
ia-/(*)'+(*)■+(»)■■
Конец переменного радиуса-вектора г = г (0 описывает в пространстве кривую
r=x(t)l + y(t)J+2(t)k,
называемую годографом вектора г.
Производная -^ представляет собой вектор, касательный к годографу в
соответствующей точке, причем
где s — длина дуги годографа, отсчитываемая от некоторой начальной точки.
В частности, -г ==!•
Ids |
Если параметр * есть время, то -n = v — сектор скорости конца век-
d*r do
тора г, а 2-г = — = о; — вектор ускорения конца вектора г.
224 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
2°. Основные правила дифференцирования вектор-
функции скалярного аргумента.
n d i„ i и \ da . db dc
2) -г- (та) = т--г-, где т — постоянный скаляр;
3)-^(фа)=~а+ф-^ , где ф (0 — скалярная функция от /;
5)|.(«xW=fxI-+.xf;
7) а -77- = 0, если I a | = const.
Пример 1. Радиус-вектор движущейся точки в любой момент времени
задан уравнением
r = l-4t2j + 3t2k. (1)
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.
Решение. Из уравнения (1) имеем:
х=1, y = — 4t*, z = Zt2.
Исключая время t, находим, что траектория движения есть прямая линия
х — 1__ у __ z
О ~~ — 4~ 3 *
Из уравнения (1), дифференцируя, находим скорость движения
dS=-stj+m
и ускорение движения
Величина скорости равна
\%\ = V(-sty + (etr = \o\t\.
Отметим, что ускорение постоянно и имеет величину
^2-
Jg:|=T^-8)*+62=io.
2078. Показать, что векторное уравнение г — rt = (r2 — г,)/,
где гх и г2 — радиусы-векторы двух данных точек, является
уравнением прямой.
2079. Определить, какие линии являются годографами следующих
вектор-функций:
а) r = at-\-c\ в) r = acost-\-bsint;
б) r = at2-{-bt; г) r=acht-\-bshtf
§ 18] ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 225
где а, Ъ и с — постоянные векторы, причем векторы а и Ъ
перпендикулярны друг другу.
2080. Найти производную вектор-функцию от функции a(t)=»
= a (t) а0 (0, где а (^) — скалярная функция, а а0 (*) — единичный век*
тор, в случаях, когда вектор a(t) изменяется: 1) только по длине,.
2) только по направлению, 3) по длине и по направлению (общий
случай). Выяснить геометрический смысл полученных результатов.
2081. Пользуясь правилами дифференцирования вектор-функции
по скалярному аргументу, вывести формулу для дифференцирования
смешанного произведения трех вектор-функций а, Ь и с.
2082. Найти производную по параметру t объема параллелепипеда,
построенного на трех векторах:
b = 2tt— j + t'k;
c = — t4-{-tzj-{-k.
2083. Уравнение движения
г = 3/ cos t -\- 4/ sin ty
где t — время. Определить траекторию движения, скорость и
ускорение движения. Построить траекторию движения и векторы скорости
и ускорения для моментов t — 0, t=-r- и * = "o~'
2084. Уравнение движения
г = 21 cos t -\- 2/ sin t -\- 3kt.
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.
Чему равны величины скорости и ускорения движения и каковы их
направления для моментов t=0 и t=z—?
2085. Уравнение движения
r = i cos a cos at -\- j sin a cos (ut-\- k sin со/,
где а и со— постоянные и t — время. Определить траекторию
движения, величины и направления скорости и ускорения движения.
2086. Уравнение движения снаряда (без учета сопротивления
воздуха)
г = *0< —т*'
где v0{vox1 vQy1 v02} — начальная скорость. Найти скорость и
ускорение в любой момент времени.
х2
2087. Доказать, что если точка движется по параболе j/r= — 9
z = 0 таким образом, что проекция скорости на ось ОХ остается
постоянной (з7=const j, то и ускорение остается постоянным.
8 С. Г. Бараненков и др.
226 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
2088. Точка, находящаяся на нарезке винта, завинчиваемого в балку,
описывает винтовую линию
x=acosQ, y = asinb, г=й8,
где 6— угол поворота винта, а — радиус винта, а Л — высота подъема
при повороте на один радиан. Определить скорость движения точки.
2089. Найти скорость точки на окружности колеса радиуса а,
вращающегося с постоянной угловой скоростью со так, что его центр
при этом движется прямолинейно с постоянной скоростью v0.
§ 19. Естественный трехгранник пространственной кривой
Во всякой неособой точке М (х, у, г) пространственной кривой r = r(t)
можно построить естественный трехгранник (триэдр), состоящий из трех
взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 84):
1) соприкасающейся плоскости ММ1М2 — содержащей векторы -г. и -гтг ;
2) нормальной плоскости MMZMS — перпендикулярной к вектору -г и
3) спрямляющей плоскости
ММгМг—перпендикулярной к двум
первым плоскостям.
В пересечении получаются три
прямые: 1) касательная ЛШ,;
2) главная нормаль ЛШ2; 3)
бинормаль ЛШ8, определяемые
соответственно векторами:
1) Т=-г (вектор
касательной);
2) B=-£Xjjz (вектор
бинормали);
3) N — BXT (вектор главной
нормали).
Соответствующие единичные
векторы
'соприкасающаяся
плоскость
Рис. 84.
иогут быть вычислены по формулам
Т =
|7Т
Р \ВГ У \N\
т =
dr
ds'*
ds
V=l
dx
ds
P = tXv.
Если X, Y, Z — текущие координаты точки касательной, то уравнения
касательной в точке М \х, у, г) имеют вид
§ 19] ЕСТЕСТВЕННЫЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 227
где7\.=
dx
dy _rf£(
х — -г., Ту = -£, Тг = -п; из условия перпендикулярности прямой и
плоскости получаем уравнение нормальной плоскости
Tx(X-x) + Ty(Y-y) + Tz(Z-z) = 0. (2)
Заменяя в уравнениях (1) и (2) Тх, Tyt Tz на Вх, Ву> Вг и Nx, Nyt Nz,
получим уравнения бинормали и главной нормали и, соответственно,
соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости.
Пример 1. Найти основные единичные векторы т, V и f кривой
x = tt y = t\ г = Р
в точке / = 1.
Написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали в этой
точке.
Решение. Имеем:
Отсюда при t=\ получим:
g = V + 6tt.
T=d£==l + 2j + Mt
Следовательно,
dt^dt2
N=BXT=
i J Ь
1 2 3
0 2 6
i J *|
6-6 2
1 2 3|
= 6*-6/ + 2£;
= —22/ — 16У + 18Л?.
j + 2J + 3k 3/-ЗУ + А? —11/ — 8y+9fe
/И ' Р~ УТ9 f V~ /266
Так как при t = \ имеем jc ===== 1, #=1, 2 = 1, то
x — 1 у — 1 z — 1
— уравнения касательной,
— уравнения бинормали и
1 2 3
х—1 у — 1 г — 1
Т~"~~" —з "- 1
х — 1 у — 1 z — 1
- И
•8
— уравнения главной нормали.
Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверхностей
F(x, у, г) = 0, G(x, у, г) = 0,
то вместо векторов -^ и -р можно брать векторы dr {dxt dy, dz\ и
8»
228 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
d2r \d2x,d2y, d2z\, причем одну из переменных х, у, г можно считать
независимой и полагать ее второй дифференциал равным нулю.
Пример 2. Написать уравнение соприкасающейся плоскости окружности
x2 + y2 + z2 = 6, х + у+г = 0 (3)
в точке ее М (1; 1; — 2).
Решение. Дифференцируя систему (3), считая х независимой
переменной, будем иметь:
х dx -f- у dy -j- z dz = О,
dx -f dy -{- dz = 0
dx2 + dy2 + yd2y + dz2 + zd2z = 0t
d2y-\-d2z = 0.
Полагая ж=1, у=\% г = —2, получим:
dy = — dx\ dz = 0;
d2y = - 4 dx2; rf2z = 4 dx2.
о О
Следовательно, соприкасающаяся плоскость определяется векторами
jcU.-dx, 0} и jo, —jd*1. уdx2i
или
{1, -1, 0) и )0, -1, 1}.
Отсюда нормальный вектор соприкасающейся плоскости есть
I' j k\
В=\\ -1 0 = — *-/ — k
Jo — i 11
и, следовательно, ее уравнение
-1(х-1)-(«/-1)-(г + 2) = 0,
т. е.
х + у+г = 0,
что и должно быть, так как наша кривая расположена в этой плоскости.
2090. Найти основные единичные векторы т, V, ji кривой
х = 1 — cos t, у = sin ty z = t
]) точке t= — .
2091. Найти единичные векторы касательной и главной нормали
конической спирали
r=ef (i cos t -j-/sin t -j- k)
в произвольной точке. Определить углы, составляемые этими прямыми
с осью OZ.
2092. Найти основные единичные векторы т, V, $ кривой
у = х*, z=2x
в точке х = 2.
2093. Для винтовой линии
* = acos/, у = a sin/, z = bt
§19] ЕСТЕСТВЕННЫЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 229
написать уравнения прямых, составляющих ребра естественного
трехгранника в произвольной точке линии. Определить направляющие
косинусы касательной и главной нормали.
2094. Написать уравнения плоскостей, образующих естественный
трехгранник кривой
в точке ее М(\; 1; 2).
2095. Составить уравнения касательной, нормальной плоскости и
соприкасающейся плоскости кривой
x = t9 y = t\ z = f в точке Af(2; 4; 8).
2096. Составить уравнения касательной, главной нормали и
бинормали в произвольной точке кривой
— £. —L —t.
х— 4 ' У— 3 ' Z 2 *
Найти точки, в которых касательная к этой кривой будет параллельна
плоскости x-\-3y-\-2z— 10 = 0.
2097. Составить уравнения касательной, соприкасающейся
плоскости, главной нормали и бинормали кривой
t2
x = t, y = — t, z = -2
в точке / = 2. Вычислить направляющие косинусы бинормали в этой
точке.
2098. Написать уравнения касательной и нормальной плоскости
к следующим кривым:
а) x — Rcos2t, y = R sin /cos/, z==Rsmt при t = ~;
б) z = x2-\-y2, x=y в точке (1; 1; 2);
в) л;2-Ку2+22 = 25, x-\-z = 5 в точке (2; 2 ]/"3; 3).
2099. Найти уравнение нормальной плоскости к кривой z = x2—у2,
у=х в начале координат.
2100. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой
х = е1, у = е~*, z = iY% в точке / = 0.
2101. Найти уравнения соприкасающейся плоскости к кривым:
а) *2+.у2+г2 = 9, х2— у2 = 3 в точке (2; 1; 2);
б) *2 = 4j;, х8 = 24я в точке (6; 9; 9);
в) x2-\-z2 = a2y у2 -\-z2 = b2 в любой точке кривой (д:0, yQ1 z0).
2102. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной
нормали и бинормали к кривой
у2 = х, x2 = z в точке (1; 1; 1).
230 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
2103. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной
нормали и бинормали к конической винтовой линии A; = /cos/,<y =
d=tsinty z = bt в начале координат. Найти единичные векторы
касательной, главной нормали и бинормали в начале координат.
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой
1°. Кривизна. Под кривизной кривой в точке М понимается число
К--
Ф
_=lim Г,
R as->q As
где ф — угол поворота касательной (угол смежности) на участке кривой MNt
д5 — длина дуги этого участка кривой. R называется радиусом кривизны.
Если кривая задана уравнением r = r(s)y где s — длина дуги, то
R
ds2
Для случая общего параметрического задания кривой имеем:
dr (Pr
dt X dt2
О)
2°. Кручение. Под кручением (второй кривизной) кривой в точке М
понимается число
Q bs-wAs
где б — угол поворота бинормали (угол смежности второго рода) на участке
кривой MN. Величина q называется радиусом кручения или радиусом второй
кривизны. Если r = r(s), то
drd*rd*r
*=*
ds ds* ds'
(d*r\* '
Uv
dt
где знак минус берется в том случае, когда векторы -j- и v имеют одинаковое
направление, и знак плюс — в противоположном случае.
Если r = r(t), где / — произвольный параметр, то
1
dt dt2 dt3
\dt*dt*J
Пример 1. Найти кривизну и кручение винтовой линии
г= fa cos/-К/а sin t-\-kbt r (а>0).
(2)
§ 20] КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 231
Решение. Имеем:
dr
dt
djr
dt2
dzr
= — / a sin t-\-j a cos/ -\-kbt
= —iacost—jasitit,
-r-i = — i a sin / — ja cos t.
Отсюда
dr
d2r
у
dt^ dt2~~
i j k
— a sin / a cos t b
— a cos t — a sin t 0 |
= / a& sin * — j ab cos * + flS*
drd2r d*r
dt dt2 dt3''
— a sin tf a cos f 6
— a cos / — a sin / 0
a sin / — a cos / 0
= a2b.
Следовательно, на основании формул (1) и (2) получим:
1 __aVa2 + b2__ a
R (а2 + b2)3U
аЧ
~a2 + bz
Ь
~a2(a2 + b2)~~a2+b2'
е. для винтовой линии кривизна и кручение постоянны.
3°. Формулы Френе
dx — 1. ^1 — ___^4-1- ^? — —V-
~~ R ' ds ~~ Я"7" q ' ds— Q '
ds
2104. Доказать, что если кривизна во всех точках линии равна
нулю, то линия — прямая.
2105. Доказать, что если кручение во всех точках кривой равно
нулю, то кривая — плоская.
2106. Показать, что кривая
лг=1 + 3/ + 2*2, у = 2 — 2t-\-bt2, z=\ — t*
— плоская; найти плоскость, в которой она лежит.
2107. Вычислить кривизну линий:
а) x=cos/, y = smt, z = cht при tf —0;
б) х2 — y2Jrz2=\> у2 — 2x-\-z=0 в точке (1; 1; 1).
2108. Вычислить кривизну и кручение в любой точке кривых!
а) лг = е*со5/, .y = e*sin/, z = e*;
б) x = acht, y = asht, z = at (гиперболическая винтовая линия).
2109. Найти радиусы кривизны и кручения в произвольной точке
(л:, у, z) линий:
а) х2 = 2ау, x' = 6a2z;
б) х9 = 3р9у9 2xz=p2.
232 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
2110. Доказать, что тангенциальная и нормальная составляющие
вектора ускорения w выражаются формулами
dv v2
W =т- Т. W =-=-V.
х dt ' v R '
где v — скорость, R—радиус кривизны траектории, т и v —
единичные векторы касательной и главной нормали к кривой.
2111. По винтовой линии г = i a cos t-{-J a sin t-\-btk движется
равномерно точка со скоростью v. Вычислить ее ускорение w.
2112. Уравнение движения есть
r = tiJrfJ-\-fk.
Определить в моменты времени t = 0 и /=1: 1) кривизну
траектории и 2) тангенциальную и нормальную составляющие вектора уско*
рения движения.
ГЛАВА VII
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах
1°. Н е поср е дств е н но е вычисление двойных
интегралов. Двойным интегралом от непрерывной функции f (х, у),
распространенным на ограниченную замкнутую область S плоскости XOY', называется предел
соответствующей двумерной интегральной суммы
(S)
f(x, y}dxdy= lim
max bxi -* о
max Ayk -*■ о
I (*/. Ук) bxihyk,
(1)
где Ax,- = Xf+1 — X[, Ayk = yk+l — yk и сумма распространена на те значения
/ и к, для которых точки (Х[\ yk) принадлежат области S*
2°. Расстановка пределов интегрирования в
двойном интеграле. Различают два основных вида области
интегрирования.
1) Область интегрирования S (рис. 85) ограничена слева и справа
прямыми х = хх и х = х2 (х2 > хх)> а снизу и сверху непрерывными кривыми
VPift)
Уг
\
Р-
—щшй
А **
•ьт
Рис. 86.
y = (pl(x) (AB) и */ = ф2(*) (CD) [<P2(*)^<Pi (*)], каждая из которых
пересекается с вертикалью х = Х (х1 <Х <х2) только в одной точке (см. рис. 85).
В области S переменная х меняется от хх до х2, а переменная у при
постоянном х меняется от у1 = ф1(х) до у2 = Уг(х)* Вычисление интеграла (1) может
234
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VH
быть произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле
*2 Ъ (X)
ЦЦх, y)dxdy = ^dx ^ f(x, y)dy,
(S) Xt ф! (X)
Ъ(х)
где при вычислении \ f(xt y)dy величину х полагают постоянной.
?1 (X)
2) Область интегрирования S снизу и сверху ограничена прямыми у=уг
и у = у2 (у2 > f/i), а слева и справа непрерывными кривыми х = ург (у) (АВ) и
х = ур2(у) (CD)[ifpt(y)^'^1(y)]9 каждая из которых пересекается с
горизонталью у = У (ух < У < у2) только в одной точке (рис. 86).
Аналогично предыдущему имеем:
У 2 Ф3 (У)
^l(x, y)dxdy=^dy ^ f(x,y)dx,
(S) ух <W(y)
Ф.0О
где при вычислении интеграла \ / (х, у) dx величина у считается постоянной.
Ь(у)
Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из
разобранных выше видов, то ее стараются разбить на части, каждая из которых
относится к одному из этих двух видов.
Пример 1. Вычислить интеграл
/=Jd*J(x + 0dy.
Решение.
1
■к-+*)|;>=Я(*+т)-(*+*)м-
Пример 2. Определить пределы интегрирования интеграла
С Гк D
J Л (х,
(S)
У) dx dy,
если область интегрирования S (рис. 87)
ограничена гиперболой у2 — х2 = 1 и двумя
прямыми х = 2 и х = — 2 (имеется в виду
область, содержащая начало координат).
Решение. Область интегрирования
ABCD (рис. 87) ограничена прямыми я =
= — 2 и # = 2 и двумя ветвями гиперболы:
Рис. 87.
т. е. принадлежит к первому виду. Имеем:
у = У~1+х* и0 = -1/"1+*%
2 Vl+X*
^f(x,y)dxdy= £ dx j l(x,y)dy.
§ 1] ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 235
Вычислить следующие повторные интегралы:
2 1 S 8
2113. $rfy$(*f + 2y)rf*. 2117. J dy \ (x-\-2y)dx.
21
0 0 —9 #2—4
4 2 2ТС а
"• M<Hb- 2Ш- $rf,p Irdr-
8 i о a sfn 9
тс
11 2 8 COS ф
2115. JdxJ^-,. 2119. J rf<p J r8sinJ(prfr.
0 0 It 0
i У 1-х2
2116. JacC^-. 2120. J dx J У 1—xf—/rfy;
X
Написать уравнения линий, ограничивающих области, на которые
распространены нижеследующие двойные интегралы, и вычертить эти
области:
2 2—у 8 2Х
2121. J dy $ f{x,y)dx. 2124. [ dx\f(x, y)dy.
1 X
S
3 x-f» 8 Vzs—x2
2122. $ rf* j f{x,y)dy. 2125. J dx J f{x,y)dy.
IX* 0 0
4 10—у 2 X+2
2123. Jrfy $ f(x,y)dx. 2126. $ d* J /{*, y)dy.
о у -ix2
Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке
в двойном интеграле
$$/(*' y)dxdy
для указанных областей S.
2127. S — прямоугольник с вершинами 0(0; 0), Л(2;0), В(2; 1),
С(0; 1).
2128. 5 — треугольник с вершинами 0(0; 0), Л(1; 0), В(\; 1).
2129. 5 — трапеция с вершинами 0(0; 0), Л(2;0), В(\; 1),
С(0; 1).
2130. 5 —параллелограмм с вершинами Л (1; 2), 5(2; 4), С(2; 7),
D(l;5).
2131. 5 — круговой сектор ОАВ с центром в точке 0(0; 0), у
которого концы дуги А(\; 1) и В(—1; 1) (рис. 88).
236 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2132.5 — прямой параболический сегмент АОВ, ограниченный
параболой BOA и отрезком прямой ВА, соединяющим точки В( — 1; 2)
и А(\; 2) (рис. 89).
2133. S — круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов
г=1 и /? = 2, с общим центром О(0; 0).
2134. 5 ограничена гиперболой уг — х2—\ и окружностью х2-{-
^j-j;2 = 9 (имеется в виду область, содержащая начало координат).
2135. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
[\fk**y)uxdy,
(S)
если область 5 определяется неравенствами
а) х^О; у^О; x+jKl; г) у^х; х^ — \; у^\;
б) ** + /<<**; д) у<:Х^у-\-2а;
в) х2-{-у2^х; О^у^а.
Переменить порядок интегрирования в следующих двойных
интегралах:
4 12* 2Д VidX
2136. J dx \ f(x, у) dy. 2140. J dx J f(x, y)dy.
о гх* о угах _<2
2137. J dx] f(x, y)dy.
0 2X
a Va* -x2 ]
2138. [dx J f(x, y)dy. 2141. \ dy \ f(x, y)dx.
о а2-х2 о -r
s
-V~y<
a Vzax — x2
l Vz-y2
2139. [dx J f(x,y)dy. 2142. \ dy J /(л:, j;)d;c.
2
§ 1]
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
237
RVz
2
2143. \ dx^f(x,y)dy-\- $ dx $ f(x,y)dy.
0 о RVT °
sin*
2144. J dx J f(x,y)dy.
Вычислить следующие двойные интегралы:
2145. j J л; dx dy> где 5 — треугольник с вершинами О (0; 0),
(S)
Л(\; 1) и В(0; 1).
2146. jj xdxdy, где область интегрирования 5 ограничена пря-
(S)
мой, проходящей через точки А (2; 0), £(0; 2), и дугой
окружности с центром в точке С(0; 1), радиуса 1 (рис. 90).
Yi
А
лЩ*
Рис. 90.
Рис. 91.
2147. \ \ ■ - х у =:, где 5 — часть круга радиуса а с центром
в точке О(0; 0), лежащая в первой четверти.
2148. \ \ f/^jc2—y2dxdyt где 5 — треугольник с вершинами
О(0; 0), А{\; — 1) и В(\; 1).
2149. \ j У^ху — у2 dx dyy где 5 — треугольник с вершинами
(S)
0(0; 0), А (10; 1) и В(\; 1).
X
2160. }\ еу dxdy, где 5 — криволинейный треугольник ОАВ,
(S)
ограниченный параболой у2 = х и прямыми х = 0, у=1 (рис. 91).
238 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2151. \ \ 2 | 2> гДе S — параболический сегмент, ограниченный
iS)X г
параболой У— -к и прямой у = х.
2152. Вычислить интегралы и вычертить области, на которые они
распространены:
те
1t 1-j-COS* 2 3CUSy
а) j dx S у* sin xdy; в) J dy \ x2sm2ydx.
б A
6) Jrfx S /tfy;
При решении задач 2153—2157 рекомендуется предварительно
делать чертеж.
2153. Вычислить двойной интеграл
\\xyzdxdyy
если 5 есть область, ограниченная параболой у2 = 2рх и прямой
х = р.
2154*. Вычислить двойной интеграл
J j xy dxdy,
(S)
распространенный на область S, ограниченную осью ОХ и верхней
полуокружностью (х — 2)2-\-у2=\.
2155. Вычислить двойной интеграл
Ийхйу
_ У~2а — х '
(S) f
где 5 — круг радиуса а, касающийся осей координат и лежащий в
первом квадранте.
2156*. Вычислить двойной интеграл
\\ydxdyi
(S)
где область S ограничена осью абсцисс и аркой циклоиды
( x = R(t — sin*),
\ y = R(l — co$t) 10<*<~2л).
§ 2J ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 239
2157. Вычислить двойной интеграл
})xydxdy,
в котором область интегрирования S ограничена осями координат и
дугой астроиды
x=Rcos*t, y—Rsin*t(o^t^:^}.
2158. Найти среднее значение функции f(x, у) = ху2 в области
5{0<х<1; 0<j/<1}.
Указание. Средним значением функции f (x, у) в области S называется
число
7 = пл. — \ \t (х, у) dx dy.
(S)
2159. Найти среднее значение квадрата расстояния точки М(х, у)
круга (лг — a)*-\-y*l^Rt от начала координат.
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле
1°. Двойной интеграл в полярных координатах. При
переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат х, у к
полярным г, ф, связанным с прямоугольными координатами соотношениями
х = г cos ф, у = г sin ф,
имеет место формула
\\/fc у) dx dy = \ \ f (г cos ф, г sin ф) г dr dy. (1)
(S) (S)
Если область интегрирования S ограничена лучами г = аиг = р(а<Р) и
кривыми г = г, (ф) и г = г2 (ф), где г, (ф) и г2 (ф) (гх (ф) «^ г2 (ф)) —
однозначные функции на отрезке а^ф^Р, то двойной интеграл может быть
вычислен по формуле
Р г2 (ф)
\{ F (Ф, г) г dr dy = \Жр С F (ф, г) г dr,
(S) « гх (Ф)
где F(y, r)=f(rcosq>, г sin ф). При вычислении интеграла V F(q>,r)rdr
/•» (ф)
величину ф полагают постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то
ее разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.
2°. Двойной интеграле криволинейных координатах.
В более общем случае, если в двойном интеграле
J J / (*» У) &*> аУ
240
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
\дх
ди
дх
dv
Ц
ди\
ду\
dv\
требуется от переменных х, у перейти к переменным ut v, связанным с х, у
непрерывными и дифференцируемыми соотношениями
х = у(и, v)f y=^(uf v),
устанавливающими взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное
соответствие между точками области 5 плоскости XOY и точками некоторой
области 5' плоскости UO'V, и при этом якобиан
!z=D^ У) =
D(u,v)
сохраняет постоянный знак в области 5, то
справедлива формула
*" Иf^y)dxdy=
= ^/|ф(м, v)t ф(а, v)]\I]dudv.
(Sf)
Пределы нового интеграла определяются
по общим правилам на основании вида
области 5'.
Пример 1. Перейдя к полярным координатам, вычислить
(S)
Рис. 92.
l\V\-*-lfdxdy%
(S)
где область S — круг радиуса R = 1 с центром в начале координат (рис. 92).
Решение. Полагая х = г cos q>, y = r sin ф, получаем:
Y\ - ** - У* = V"! - (' cos ф)2 - (г sin ф)а = У 1 — г».
Так как в области S координата г при любом ф изменяется от 0 до 1, а ф
изменяется ot 0 до 2я, то
2* 1
СС Y\ -x2-y2dxdy=[d(p [гУ\ - r*drz=:Ln.
(S) о о
Перейти к полярным координатам г, ф и расставить пределы
интегрирования по новым переменным в следующих интегралах:
11 % X
2160. \dx\f(x%y)dy. 2161. J d*5/(V** + /)d>.
0 0 0 0
2162. ))f{x,y)dxdyt
(S)
где S — треугольник, ограниченный прямыми у = х,у =— х, у=1.
1 1
2163. ldxlf{JL)dy.
-1 *а
§ 2] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 241
2164. SJ f(x,y)dxdy, где область 5 ограничена лемнискатой
(S)
(хг + уш)* = а2(х2-у2).
2165. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
интеграл
) ) у dx dy,
(S) (а \
где S — полукруг диаметра а с центром в точке С(у; 0) (рис.93).
2166. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
интеграл
(S)
распространенный на область, ограниченную окружностью х2-\-у2=2ах.
2167. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
интеграл
]\Va>% — х2— y'dxdy,
(S)
где область интегрирования
S—полукруг радиуса а с центром в начале
координат, лежащий выше оси ОХ.
2168. Вычислить двойной интеграл
от функции /(г, ф) = г по области,
ограниченной кардиоидой г = а (1-{- cos ср)
и окружностью г = а. (Имеется в виду область, не содержащая
полюса.)
2169. Переходя к полярным координатам, вычислить
a Va* - я2
J dx 5 ух*-{-у2 dy.
о о
2170. Переходя к полярным координатам, вычислить
\\ya2-x2-y2dxdy,
(S)
где область S ограничена лепестком лемнискаты
(х2 + /)" = а2 (х2 — у2) (х ^ 0).
2171*. Вычислить двойной интеграл
(S)
242 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
х* и1
распространенный на область 5, ограниченную эллипсом —^ —}——j- == 1э
переходя к обобщенным полярным координатам г и ф по формулам:
х у
— = rCOS(p, -~ = Г51Пф.
2172**. Преобразовать
с р*
\dx]f(x,y)dy
О а*
(0<^а<[р и с^>0), введя новые переменные и = х-\-уу uv = y.
2173*. Выполнить замену переменных и = х-\-уу v = x— у в
интеграле
[dx\f(x,y)dy.
2174**. Вычислить двойной интеграл
]]dxdy,
где «S — область, ограниченная кривой
[a* lb2) ~ Нг k%m
Указание. Произвести замену переменных
x = ar cos ф, y=br sin ф.
§ 3* Вычисление площадей фигур
1°. Площадь в прямоугольных координатах. Площадь
плоской области S равна
пл. S= V V dxdy.
(S)
Если область S определена неравенствами а^х^Ь, ф (х)^у<\|)(х), то
ь <К*)
пл. S = \ dx V dy.
а ф(х)
2°. Площадь в полярных координатах. Если область S в
полярных координатах гиф определена неравенствами а < ф <, р, I (ф) «^ г «^
<F{$), то
пл. S = V V г dq> dr = V dy \ rdr%
{S) а /(<?;
§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР 243
2175. Построить области, площади которых выражаются
интегралами:
2 x-j-2 a Va* -у2
dy; б) ^ dy J dx.
-ix2 о а—у
Вычислить эти площади и изменить порядок интегрирования.
2176. Построить области, площади которых выражаются
интегралами:
к
arctg2 8seC(p T a(i+cos(p)
S3 5СЧ. ф л л
dtp f rdr; б) J dy \ r dr.
л J тс л
a) ^ . ^ - „ ■
4 2
Вычислить эти площади.
2177. Вычислить площадь, ограниченную прямыми х =уу х*а*2уу
х-\-у = а, х-\-Зу = а(а*^>0).
2178. Вычислить площадь, лежащую над осью ОХ и
ограниченную этой осью, параболой у* = 4ах и прямой х-\-у = Ъа.
2179*. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом
(У — *)■ + *■= 1.
2180. Найти площадь, ограниченную параболами
/=10*+ 25 и / = —6* + 9.
2181. Переходя к полярным координатам, найти площадь,
ограниченную линиями
х1+/ = 2*| *1 + / = 4х, у = х, у = 0.
2182. Найти площадь, ограниченную прямой г cos cp = 1 и
окружностью г = 2. (Имеется в виду площадь, не содержащая полюса.)
2183. Найти площадь, ограниченную кривыми
r==a(l+cos(p) и r = acoscp(a>0).
2184. Найти площадь, ограниченную линией
х2 у*
4 9 #
(т+4)'-
2185*. Найти площадь, ограниченную эллипсом
(х — 2у + З)2 + (3* + 4у — 1)* = 100.
2186. Найти площадь криволинейного четырехугольника,
ограниченного дугами парабол хъ = ау, х2 = by, / = ax, / = 6л: (0<[а<" Ь%
0<а<р).
Указание. Ввести новые переменные и и и, полагая
хг = иу, y* = vx*
244
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2187. Найти площадь криволинейного четырехугольника,
ограниченного дугами кривых у2 = ах, у2 = Ьху ху = а, ху = $ (0<^а<^Ь,
0<а<Р).
Указание. Ввести новые переменные и и у, полагая ху = и, y2 = vx.
§ 4. Вычисление объемов тел
Объем V цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью
z-=f(x, у), снизу плоскостью z = 0 и с боков прямой цилиндрической
поверхностью, вырезывающей на плоскости XOY область S (рис. 94), равен
v=Иf (x% y)dx dy'
(S)
2188. Выразить при помощи двойного интеграла объем пирамиды
с вершинами О(0; 0; 0), И(1; 0; 0), В(\; 1; 0) и С(0; 0; 1)
(рис. 95). Расставить пределы интегрирования.
Рис. 95.
В задачах 2189—2192 нарисовать тела, объемы которых
выражаются данными двойными интегралами:
1 1 - X 2 Vl-X2
2189. I dx § {l—x—y)dy. 2191. \ dx \ (\—x)dy.
оо оо
2 2—X 2 2
2190. \ dx \ (* — x — y)dy. 2192. \ dx \ (* — x — y)dy.
Оо 0 2 —л;
2193. Нарисовать тело, объем которого выражается интегралом
* Va* — хг
\ dx \ "jAz2— х2 — y*dy, и из геометрических соображений,
о о
найти величину этого интеграла.
§ 4] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ 245
2194. Найти объем тела, ограниченного эллиптическим
параболоидом z — 2x2-\-y2-\- 1, плоскостью х-\-у=\ и координатными
плоскостями.
2195. Тело ограничено гиперболическим параболоидом z = x2 — уг
и плоскостями j/ = 0, z = 0, x=l. Вычислить его объем.
2196. Тело ограничено цилиндром x2-\-z2 = a2 и плоскостями
у = 0, £ = 0, y = x. Вычислить его объем.
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:
2197. az = y\ x2-\-y2 = r2y z = 0.
2\98.y = Vx, y = 2V^c, x-\-z = 6, z = 0.
2199. z = x2-\-y2, y = x2, j/=l, z = 0.
2200. x-\-y-\-z = ay 3x-\-y = ay —x-\-y = ay ^=0, z = 0.
2201. £ + £=1, y = ±x9 y = 0, z = 0.
2202. хгАГуг=-2аху z = axy z = px(a>p).
В задачах 2203—2211 использовать полярные и обобщенные
полярные координаты.
2203. Найти весь объем, заключенный между цилиндром
х2-\-у2 = а2 и гиперболоидом х2 -f-у2 — z2 = —а2.
2204. Найти весь объем, заключенный между конусом 2 (х2 -\- у2) —
— z2 = 0 и гиперболоидом х2-\-у2 — z2 — —a2.
2205. Найти объем, ограниченный поверхностями 2az = x*-\-y*%
x2-\-y2 — z2=a2y z = 0.
2206. Определить объем эллипсоида
х* I У2 I z* _ 1
а2 > Ь1 ~Г с*
2207. Найти объем тела, ограниченного параболоидом 2az =
= х2-\-у2 и шаром х2-\-у2-\-z2 = Ъа2. (Подразумевается " объем,
лежащий внутри параболоида.)
2208. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью XOY,
цилиндром х2 -\-у2 — 2ах и конусом x2-\-y* = z2.
2209. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХОУу
поверхностью 2 = #е~(*2+У2> и цилиндром х2 -\-y2 = R2.
2210. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХОУ%
X2 U2 X2 W2 X
параболоидом г = т'т\"тг и Цилиндром —£-^--^=2 —.
2211. В каком отношении гиперболоид хг-\-у2— z2 = a* делит
объем шара х2-\-у2 + 22< За2?
2212*. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z — x-\-yt
ху=1, ху = 2, у = х, у = 2х, z = Q (x^>0t y^>0).
246 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
§ 5. Вычисление площадей поверхностей
Площадь а гладкой однозначной поверхности г = к(х,у), имеющей своей
проекцией на плоскость XOY область 5, равна
2213. Найти площадь части плоскости —f--^4-J-=:l заклю-
а ' о ' с
ченной между координатными плоскостями.
2214. Найти площадь части поверхности цилиндра х2-]-у2=:
= R2(z^0)y содержащуюся между плоскостями z = mx и
z=nx(m^>n'^>0).
2215*. Вычислить площадь части поверхности конуса х2—y2 = zi1
расположенную в первом октанте и ограниченную плоскостью^ -\-z = a.
2216. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 -\-у2 = ах,
вырезанную из него сферой х2 -\-у2 -\-z2 = a2.
2217. Вычислить площадь части поверхности шара х2 -\-y2-\-z2 = a2,
вырезанную поверхностью —a--f- 'jt = *•
2218. Вычислить площадь части поверхности параболоида
y*-\-z* = 2ax, содержащуюся между цилиндром у2 = ах и
плоскостью х = а.
2219. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2-\-у2^=2ах,
содержащуюся между плоскостью XOY и конусом х2 A^y2-==-z2.
2220*. Вычислить площадь части поверхности конуса х2 —y2 = z2>
лежащую внутри цилиндра хъ -\-у2 = 2ах.
2220.1*. Найти площадь части цилиндра у2 — 4ху вырезанную
сферой х2 -\-y2-\-z* = bx.
2220.2. Найти площадь части конуса z =V хг -\-уъ, вырезанную
цилиндром (х2-\-у2)2 = а2 (х2—у2).
2221*. Доказать, что площади частей поверхностей параболоидов
xt-\-y* = 2az и хъ—y2 — 2az, вырезаемых цилиндром x2-\-y* = R2,
равновелики.
2222*. Шар радиуса а прорезан двумя круглыми цилиндрами,
диаметры оснований которых равны радиусу шара и которые касаются
друг друга вдоль одного из диаметров шара. Найти объем и
площадь поверхности оставшейся части шара.
2223*. В шаре радиуса а вырезан просвет с квадратным
основанием, сторона которого также равна а. Ось просвета совпадает с
диаметром шара. Найти площадь поверхности шара, вырезанной
просветом.
2224*. Вычислить площадь части винтовой поверхности
J2T == с arctg —, лежащей в первом октанте и заключенной между
цилиндрами х2-{-у2 = а2 и х2-\-у2 = Ь2.
§ 6] ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К МЕХАНИКЕ 247,
и пластинки. Если
§ 6* Приложения двойного интеграла к механике
1°. Масса и статические моменты пластинки. Если
5 — область плоскости XOY, занятая пластинкой, и q (x, у) — поверхностная
плотность пластинки в точке (х\ у), то масса М пластинки и ее статические
моменты Мх и My относительно осей ОХ и 0Y выражаются двойными
интегралами
м=[\я(х* y)d*dy> Mx=^yQ(x, y)dxdy,
(S) (S)
Mr=z^xQ(x,y)dxdy. (1)
(S)
Если пластинка однородна, то Q (х, у) = const.
2°. Координаты центра тяжести
С(х, у) — центр тяжести пластинки, то
— My — М х
х—~м% y-"w%
где М — масса пластинки и Мх, My—ее статические моменты относительно
осей координат (см. 1°). Если пластинка однородна, то в формулах (1) можно
положить q= 1.
3°. Моменты инерции пластинки. Моменты инерции пластинки
относительно осей ОХ и 0Y соответственно равны
lx= Wy2Q (х*у) dx dy> 1у=:1\ *2q (Xf y) dx dy' (2)
(S) (S)
Момент инерции пластинки относительно начала координат
/0 = $$(*2 + </2Ж*> y)dxdy = Ix + Iy. (3)
(S)
Полагая q (х, у)=1 в формулах (2) и (3), получаем геометрические моменты
инерции плоской фигуры.
2225. Найти массу круглой пластинки радиуса /?, если плотность
ее пропорциональна расстоянию точки от центра и равна б на краю
пластинки.
2226. Пластинка имеет
форму прямоугольного треугольника
с катетами ОВ= а и О А = Ь,
причем плотность ее в любой точке
равна расстоянию точки от катета
О А. Найти статические моменты
пластинки относительно катетов
О А и ОБ.
2227. Вычислить координаты Рис. 96.
центра тяжести фигуры ОтАпО
(рис. 96), ограниченной кривой j/ = sinA; и прямей О А, проходящей
через начала координат и вершину ^(^-; 1) синусоиды.
248 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2228. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
кардиоидой г = а (1 -}- cos ф).
2229. Найти координаты центра тяжести кругового сектора
радиуса а с углом при вершине 2а (рис. 97).
2230. Вычислить координаты центра тяжести фигуры,
ограниченной параболами j/2 = 4a;--{-4 и у2 =—2л:-)- 4.
2231. Вычислить момент инерции
треугольника, ограниченного прямыми х -J-<y = 2,
х — 2, у = 2, относительно оси ОХ.
2232. Найти момент инерции кругового
кольца с диаметрами d и D(d<^D): а)
относительно его центра и б) относительно его
^ диаметра.
2233. Вычислить момент инерции
квадрата со стороной а относительно оси, про-
Рис. 97. ходящей через его вершину
перпендикулярно к плоскости квадрата.
2234*. Вычислить момент инерции сегмента, отсекаемого от
параболы уг = ах прямой д: = а, относительно прямой у = — а.
2235*. Вычислить момент инерции площади, ограниченной
гиперболой ху = 4 и прямой х-\-у = Ъ> относительно прямой х=у.
2236*. В квадратной пластинке со стороной а плотность
пропорциональна расстоянию от одной из ее вершин. Вычислить момент
инерции пластинки относительно стороны, проходящей через эту
вершину.
2237. Найти момент инерции кардиоиды г = а (1 -\~ cos ф)
относительно полюса.
2238. Вычислить момент инерции площади лемнискаты г2 = 2а2 cos 2ф
относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости в полюсе.
2239*. Вычислить момент инерции однородной пластинки,
ограниченной одной аркой циклоиды x = a(t — sint), у = а(\ —cost) и осью
ОХу относительно оси ОХ.
§ 7. Тройные интегралы
1°. Тройной интеграл в прямоугольных координатах.
Тройным интегралом от функции f(x, у, z), распространенным на область Vf
называется предел соответствующей трехкратной суммы:
Ш/ (х, у, z) dx dydz = Mm ^ 2 2j / (*/» Ур zk) A*/ by/ ^zk.
v") max &yj -*• о
max bz/c -> о
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению
трех обыкновенных (однократных) интегралов или к вычислению одного
двойного и одного однократного.
§ 7] ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 249
Пример 1. Вычислить
/ = [[ С х'у*г dx dy dz,
" v
где область V определяется неравенствами
0<*<1, 0<*/<*, 0<*<л#.
Решение. Имеем:
\ х ху 1 х ху
l=^dx^dy^ xYzdz^^dx^xV^- | dy =
0 0 0 0 0 О
0 0 0 0 0
Пример 2. Вычислить
^x*dxdydz,
(Ю
Я2 t/2 22
распространенный на объем эллипсоида —т+-^j+-~г =1.
Решение. I
а а
^x*dxdydz = ^ x*dx\\ dydz= J x2Syzdx,
(V) -а (5уг) -а
где 5д,г есть площадь эллипса -Т2- + —=1 г » * = const, равная
Поэтому окончательно имеем:
\ \ \ x?dxdydz—nbc \ х2 I 1 г J d*=— яа'бс.
V) -а
2°. Замена переменных в тройном интеграле. Если
в.тройном интеграле
[ С С / (х, у, z) dx dy dz
(V)
от переменных х> yt z требуется перейти к переменным и, v, до, связанным с
х, у, г соотношениями х = ф(ы, v, до), # = г|)(и, v, до), г=% (и, v, до), где
функции ф, г|>, %:
1) непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка;
2) устанавливают взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное
соответствие между точками области интегрирования V пространства OXYZh
точками некоторой области V пространства O'UVW;
250
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
3) функциональный определитель (якобиан) этих функций
I дх дх дх
I==D(x,y,z) =
D(u, v, w)
да dv dw
ду ду ду
да dv dw \
cte дг дг
[ да dv dw \
сохраняет в области V постоянный знак, то справедлива формула
^^f(x,y,2)dxdyd2 = ^^f[<Hu9v9w),y (a, v, w), % (и, v, w)]\I\ dudvdw.
(V)
(V)
>Щ&&
Рис. 98.
Рис. 99.
В частности,
1) для цилиндрических координат г, ф, h (рис. 98), где
я==гсо8ф, y = rsinq>, z = h,
получаем, что / = г;
2) для сферических координат ф, г|?, г (ф — долгота, г|? — широта, г —
радиус-вектор) (рис. 99), где
х = г cos я|) cos ф, у = г cos г|? sin ф, г = r sin г|?,
имеем / = r2cos\|?.
Пример 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить
Щ Vx2+y2 + z2 dx dy dz,
(V)
где V — шар радиуса R.
Решение. Для шара пределы изменения сферических координат ф
(долготы), i|) (широты) и г (радиуса-вектора) будут:
Поэтому будем иметь:
1С
2ТС 2 /?
§ 7] ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 251
3е. Приложения тройных интегралов. Объем области
трехмерного пространства OXYZ равен
V=[[[dxdydz.
(V)
Масса тела, занимающего область V,
М = ^^у(х, у, z)dxdydz,
(V)
где у(х, У> z) — плотность тела в точке (х\ у\ z).
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей
Мху=^ ^ ^ Y (х, у, z) z dx dy dz;
(V)
MYZ= J J ^ Y (*. У, 2) x dx dydz;
(V)
мгх=Щ У(х> У> z)ydxdyd2.
(V)
Координаты центра тяжести
-__Myz -_MZX -__Mxy
x— M * y — M ' Z—~W
Если тело однородно, то в формулах для координат центра тяжести
можно положить у (х, у, 2) = 1.
Моменты инерции относительно осей координат
1х= 5 5 J О/8 + **) Y (*> У* z) dx dy dz;
{V)
Iy=$ $ S(z*+*** y (x'y'z) dx dy dz;
1г=^Ц(х* + У1)у(х> У> z)dxdydz.
(V)
Полагая в этих формулах у (х, у, г) = 1, получаем геометрические
моменты инерции тела.
А. Вычисление тройных интегралов
Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
[]]f{xyy,z)dxdydz
(У)
для указанных областей V.
2240* V — тетраэдр, ограниченный плоскостями
x-\-y-\-z=\y * = 0, у = 0, z = 0.
2241* V — цилиндр, ограниченный поверхностями
x2-{-y2 = R\ 2 = 0, z = H.
252 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2242*. V—конус, ограниченный поверхностями
х?__ I tf__ j?
a2 -|~~F— с* » Z~°"
2243. V — объем, ограниченный поверхностями
г=\— х2— у\ * = 0.
Вычислить следующие интегралы:
2244
2245.
2246.
2247.
2248.
1 1 1
Г dx Г dv Г
0 0 0
2 2 С* К
jrfx j dy 5
0 0 0
a Vai — х2 Va*
[dx i dy
1 1 — JC 1 —AT—J
0 0 0
Вычислить
П
dz
7+~>
2
Д
i
о
;
xyz
;r.
*+i
;dz.
dz
Va2 - jc2 -
■</*.
d* dy dz
(Ю
где V — область интегрирования, ограниченная координатными
плоскостями и плоскостью х-\-у-\-z=\.
2249. Вычислить
Nlix+y + zYdxdydz,
(У)
где V—общая часть параболоида 2az ^ х2-\-у2 и шара х2-\-у2-\-
+ *2<3а2.
2250. Вычислить
\^^z2 dxdy dz,
(У)
где V—общая часть шаров х2-\-у2-\-z2^R2 и х2-\-y2-\-z2 *^2Rz.
2251. Вычислить
ЭД j z dx dy dz,
(У)
где V — объем, ограниченный плоскостью z = 0 и верхней
половиной эллипсоида ^г + -|2- + -|г= *•
§ 7] ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 253
2252. Вычислить
(У)
Y II У
где V — внутренность эллипсоида —-|--тг--}--тг = 1.
2253. Вычислить
)\\ zdxdydz,
где V—область, ограниченная конусом z*—jrt(x2-\-y2) и плоскостью
z = h.
2254. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить
где V — область, ограниченная поверхностями х2 -\-у2 -\-z2 = 2R2%
x*-\-y2 = z2 и содержащая точку (0,0,/?).
2255. Вычислить
2 Т^2дг — х2 а
0 0 0
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам,
2256. Вычислить
2 г Vzrx — x2 Vir2 — x2—y2
] dx J dy J dz,
0 - Кггд: ~ *2 °
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам.
2257. Вычислить
R VR} - х2 VR2 - х2 -у*
$ dx J dy $ (*■+/)**,
преобразовав его предварительно к сферическим координатам.
2258. Перейдя к сферическим координатам, вычислить интеграл
\\\VxZJry2Jrz2dxdydz,
(V)
где V — внутренность шара хг-\-уг -\-г*<>х.
Б. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
2259. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела,
ограниченного поверхностями
у2 = 4а2 — Зах, уг = ах, z = ± А.
254
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2260**. Вычислить объем части цилиндра хг-\-у2 = 2ах,
содержащейся между параболоидом x2-\-y2 = 2az и плоскостью XOY.
2261*. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х*-\-у*-\-
-\-z2 = a2 и конусом z2 = x2 -\-у2 (внешнего по отношению к конусу).
2262*. Вычислить объем тела, ограниченного сферой x2-\-y2-\-z2—4
и параболоидом x2-\-y2 = 3z (внутреннего по отношению к
параболоиду).
2263. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью XOY>
цилиндром х2-\-у2 = ах и сферой х2-\-у2-{-z2 = a2 (внутреннего по
отношению к цилиндру).
2264. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом
гг -4- Л- = 2 — и плоскостью х = а.
Ъг • с2 а
2264.1. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
^ аа ~Т~ Ь* "Г" с* ) — а2 "Г" Ь2 с2 #
2264.2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
х* J- У2 О- 2* — 9 *2 _L #2 z* —о f*-*rf\
ЦГ + ЦГ-ГТГ — 2' "?" + 'F —"?" — ° 1*>°)-
В. Приложения тройных интегралов к механике и физике
2265. Найти массу Ж прямоугольного параллелепипеда О^х^а,
0^.y^b,0^.z^.c, если плотность в точке (я, y>z) есть q(a;,jj, г):=
2266. Из октанта шара х2-\-уг -\-z2 ^c2, л;^0, .у^О, г ^5 О
вырезано тело ОАВС^ ограниченное координатными плоскостями и
плоскостью 1--|-=1 (а^с, £^с)
(рис. 100). Найти массу этого тела,
если плотность его в каждой точке
(х> У у z) равна аппликате этой точки.
2267*. В теле, имеющем форму
полушара x2-\-y2-\-z2 <,a2, 2^0,
плотность изменяется пропорционально
расстоянию точки от центра. Найти
центр тяжести этого тела.
2268. Найти центр тяжести тела,
ограниченного параболоидом^2 -\- 2z2=
= 4х и плоскостью х — 2.
2269*. Найти момент инерции круглого цилиндра, высота
которого А и радиус основания а, относительно оси, служащей
диаметром основания цилиндра.
2270*. Найти момент инерции круглого конуса, высота
которого А, радиус основания а и плотность Q, относительно диаметра
основания.
Рис. 100.
§8]
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
255
2271**. Найти силу притяжения, оказываемого однородным конусом
с высотой h углом а при вершине (в осевом сечении) на материальную
точку, содержащую единицу массы и расположенную в его вершине.
2272**. Показать, что сила притяжения, действующая со стороны
однородного шара на внешнюю материальную точку, не изменится, если
всю массу шара сосредоточить в его центре.
§ 8. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Несобственные кратные интегралы
Г. Дифференцирование по параметру. При некоторых
ограничениях*), налагаемых на функции f (x, a), fa(x, а) и на
соответствующие несобственные интегралы, имеет место правило Лейбница
00 00
^§f(x,a)dx=z§ f9(xf a)dx.
а а
Пример 1. С помощью дифференцирования по параметру вычислить
- dx (а > О, Р > 0).
v
о
Решение. Пусть
*х* л-в*а
г
dx = F{a, P).
Тогда
dF(a, P),
1
xe~*x%dx = ~e~
да J 2а
"2а*
Отсюда F (а, Р) == — -^ In а + С (Р). Чтобы найти С (Р), полагаем в последнем
равенстве а = р. Имеем 0 = —- In P -f- С (P).
Отсюда С (Р) = — In p. Следовательно,
F{*. P)==-~lna + i-lnP = llni-.
2*. Несобственные двойные интегралы, а) Случай
бесконечной области. Если функция f (х, у) непрерывна в
неограниченной области S, то полагают:
ЭД f(*> y)dxdy= lim ^ f(xt y)dxdyf <i)
*) См. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. II, гл. XIV, § 3, п. 520, Физматгиз, 1962.
256 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VJ1
где а—конечная область, целиком лежащая в 5, причем а -> 5 означает, что
мы расширяем область а по произвольному закону, так чтобы в нее вошла и
осталась в ней любая точка области S. Если предел в правой части существует
и не зависит от выбора области а, то соответствующий несобственный
интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Если подынтегральная функция / (х, у) неотрицательна (/ (xf у) ^ 0), то для
сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы предел
в правой части равенства (1) существовал хотя бы для одной системы
областей а, исчерпывающих область S.
б) Случай разрывной функции. Если функция /(х, у)
непрерывна в ограниченной замкнутой области 5 всюду, за исключением точки
Р (а; Ь)у то полагают:
$$/(*, У) dx dy = lim $$/(*, У) dx dy, (2)
где Se —область, получаемая из S путем удаления малой области диаметра е,
содержащей точку Р. В случае существования предела (2), не зависящего от
вида удаляемых из области S малых областей, рассматриваемый несобственный
интеграл называется сходящимся, а в противном случае — расходящимся.
Если f(x> y)^0, то предел в правой части равенства (2) не зависит от
вида удаляемых из области «S областей; в частности, в качестве таких областей
о
можно брать круги радиуса — с центром в точке Р.
Понятие несобственных двойных интегралов легко переносится на случай
тройных интегралов.
Пример 2. Исследовать на сходимость
dx dy
я
(3)
_. (l+x2 + */2)*'
(S)
где S — вся плоскость XOY.
Решение. Пусть а — круг радиуса q с центром в начале координат.
Переходя к полярным координатам, при р Ф 1 имеем:
2ТС р
2Tt
О
Если р< 1, то lim f(o)= lim / (а) = оо и интеграл расходится. Если же
о -> S р -> оо
р>1, то lim I (о) = —— и интеграл сходится. При р=\ имеем / (а) =
р -> 00 Р — 1
21С р
= \ dq>\ S-^-r> = n In (1 +q2); lim /(а) = оо, т. е. интеграл расходится.
J J 1 ~Гг' р -> оо
о о
Таким образом, интеграл (3) сходится при р > 1.
2273. Найти /'(*), если
f(x) = $e-Vdy (*>0).
§ 8] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 257
2274. Доказать, что функция
и= f */(') dz
-GO
удовлетворяет уравнению Лапласа
d^w . dhi. ~
дхг^~ду2~ *
2275. Преобразование Лапласа F(p) для функции /(/) опреде»
ляется формулой
f(p)=5 «-"/о
л.
Найти f(p), если: а) /(*)=1; б) f(t) = eat; в) /(*) = sinpf;
г) /(*) = cosp*.
2276. Пользуясь формулой
1
£*»-М* = 1 (л>0),
О
вычислить интеграл
\ л:""11пл;</х.
о
2277*. Пользуясь формулой
00
о
вычислить интеграл
со
О
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие
интегралы:
2278,
00
„-ад:
, у" xe'^dx (a>0, р>0).
О
00
2279. \- -^—- sin тх dx (а>0, р>0).
о
9 Г. С. Бараненков и др.
258 КРАТНЫЕ И КРИЙОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
О
О
00
2282. je-^^d* (a^O).
Вычислить следующие несобственные интегралы:
00 00
2283. [dx[e-«+y)dy.
о о
1 у7 JL
2284. \dy\ey dx.
о о
2285. \\ 41^ гДе ^ — область, определяемая неравенствами
(S) * У
х>> 1, У^х2.
2286*.]ах]{х>+*У+аг)г (а>0).
о о
2287. Интеграл Эйлера — Пуассона, определяемый формулой
00 00
/= j е~х* dx, может быть записан также в виде /=е \ е~Уг dy. Пере-
о о
множая эти формулы и переходя затем к полярным координатам,
вычислить /.
00 00 00
2288. Вычислить ]**$*У$0 + ?% + ^.
0 0 0
Исследовать на сходимость несобственные двойные интегралы:
2289**. ]\\nVx2Jry*dxdy, где 5 —круг хЁ+У<1.
(S)
И(1х du
( 2 i. 2\«'» гДе $— область, определяемая неравенством
(S)
хг-\-у*^\ («внешность» круга).
2291*. ^ ~Ж=У где 5 —квадрат |*|<1, |.у|<1.
§9]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
259
2292
(У)
dx dy dz
+ У2+гГ>
где V — область, определяемая
неравенством хг-\-у*-\-гг&2\ («внешность» шара).
§ 9. Криволинейные интегралы
1°. Криволинейные интегралы первого типа. Пусть
/ (*» У) — непрерывная функция и у = ф (х) [а <; х <^ Ь] — уравнение некоторой
гладкой кривой С.
Построим систему точек Mj(xt, у() (i = 0, 1, 2, ..., п), разбивающих
кривую С на элементарные дуги М{^\М(= As/, и составим интегральную сум-
п
му Sn= 2 /(*/» Уд &si- Предел этой суммы при п -+ оо и max As,- -* О
называется криволинейным интегралом первого типа
lim
п
S / l*i> Уй As'' = J ' (*» У) ds
(ds — дифференциал дуги) и вычисляется по формуле
ъ
J / (*, *) ds = J / (*, Ф (x)) VT+WW d*-
В случае параметрического задания кривой С: х = ф(*), # = ч|> (/)[ос^/^ |
имеем:
J / (х, у) ds = J / (ф (0, «(/)) /ф'1 (/) + *'■«) А.
В
Рассматривают также криволинейные интегралы
первого типа от функции трех переменных f(x, у, г),
взятые по пространственной кривой, которые вы- О A Y
числяются аналогично. Криволинейный интеграл 1-го
типа не зависит от направления пути интегриро- Рис. 101.
вания\ если подынтегральную функцию /
интерпретировать как линейную плотность кривой интеграции С, то этот интеграл
представляет собой массу кривой С.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
$(* + *) ds,
где С —контур треугольника АВО с вершинами А (1; 0), В (0; 1) и О(0; 0)
(рис. 101).
Решение. Здесь уравнение АВ: // = 1 — х, уравнение ОВ: х = 0,
уравнение О А: у = 0.
260 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
Поэтому будем иметь:
^(x+y)ds = J (x + y)ds+ J (x + y)ds + J (x + y)ds =
С AB BO OA
i i l
= ^V2dx+^ydy + ^xdx = yi + l.
0 0 0
2°. Криволинейный интеграл второго типа. Если Р(х, у)
и Q (*» У) — непрерывные функции и # = ф (х) — гладкая кривая С, пробегаемая
при изменении х от а до Ь, то соответствующий криволинейный интеграл
второго типа выражается следующим образом:
ь
lP(xty)dx + Q(x,y)dy=^[P(x,cp(x)) + <?'(x)Q(x,<?(x)))dx-
С а
В более общем случае, когда кривая С задана параметрически: x = y(t),
^ = я|> (/), где t изменяется от а до (3, то имеем:
Р
С Р (х, у) dx + Q (*, 0) dy = J [Р (ф (0, * (/)) Ф' (0 + Q (Ф (0. * (0) Ф' (01 Л.
Аналогичные формулы справедливы для криволинейного интеграла второго
типа, взятого по пространственной кривой.
Криволинейный интеграл второго типа меняет свой знак на
обратный при изменении направления пути
интегрирования. Механически этот интеграл можно интерпретировать как работу
соответствующей переменной силы \P(xt у), Q (х, у)\ вдоль кривой
интеграции С.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
V y2dx-{-x2dy,
с
где С—верхняя половина эллипса х = a cos tt y = b sin /, пробегаемая по
часовой стрелке.
Решение. Имеем:
о
С y2dx + x2dy=: С [62 sin* И— a sin t) + & cos2 t-b cos t] dt =
о о
= — ab2 f sin8 t dt + a2b f cos8 tdt = ~ ab2.
u -a
3е. Случай полного дифференциала. Если подынтегральное
выражение криволинейного интеграла второго типа есть полный
дифференциал некоторой однозначной функции U = U (х, у), т. е. Р (х, у) dx + Q(x, y)ay=
= d(J (x, у), то этот криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирова-
§ 9]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
261
ния и имеет место формула Ньютона — Лейбница
(х2\у2)
^ Р (х, y)dx + Q (х, y)dy = U (x2f y2) - U (xv yj,
(1)
(*i; yO
где (xx\ уг) — начальная и (x2\ y2) — конечная точки пути. В частности, если
контур интеграции С замкнут, то
^Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0. (2)
Если 1) контур интеграции С
содержится целиком внутри некоторой односвяз-
ной области S и 2) функции Р (х, у) и
Q (х, у) вместе со своими частными
производными 1-го порядка непрерывны в
области S, то необходимым и достаточным
условием для существования функции U
является тождественное выполнение в
области S равенства
дЯ—д± (3)
Vk
Уо
Р2 (х0;у)
?
*_
{Ро(Хо<Уо)
Mfcg)
РЛмуь)
*х>
х
Рис. 102.
(см. интегрирование полных дифференциалов). При невыполнении условий
1) и 2) наличие условия (3) не гарантирует существования однозначной
функции U и формулы (1) и (2) могут оказаться неверными (см. задачу 2332).
Укажем способ нахождения функции U (х, у) по ее полному дифференциалу,
основанный на использовании криволинейных интегралов (т. е. еще один
способ интегрирования полного дифференциала). За контур интегрирования С
возьмем ломаную Р0РгМ (рис. 102), где Р0 (х0; у0) — фиксированная точка,
М (х; у) — переменная точка. Тогда вдоль Р0Рг имеем у — у0 и dy~Q> а вдоль
РХМ имеем dx = 0. Получаем:
(*;у)
(х, у) —U (х0, у0) = ^ Р (х, y)dx + Q (x, у) dy =
(*о; у о)
х у
= 5 Р (*> Уо) dx+^Q (xt у) dy.
Хо
Уо
Аналогично, интегрируя по ломаной Р0Р2М, имеем:
У с
U (х, у)-U (*ot y0)=^Q (xQ, y)dy + J P (х, у) dx.
Уо
х0
Пример 3. (4x + 2y)dx + (2x — 6y)dy = dU. Найти £/.
Решение. Здесь Р (х, у)~4х-\-2у и Q (х,у) = 2х — 6у\ причем уело*
вие (3), очевидно, выполнено. Пусть х0 = 0, У0 = 0. Тогда
х у
U(x, у)= J 4xdx+^ (2х - 6y) dy + С ^=2х2 + 2ху - Зу* + С
262 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
или
У *
U(x, y) = J -6ydy-\- J (4x + 2y)dx + C = -Zy* + 2x* + 2xy + C,
0 0
где C = U(0; 0) —- произвольная постоянная.
4°. Формула Грина для плоскости. Е ели С —- граница области
S и функции Р (х, у), Q (х, у) непрерывны, вместе со своими частными
производными 1-го порядка, в замкнутой области 5 + С, то справедлива формула
Грина
fPdx + Qdy=^(§-£)dxdy,
С (S)
где обход контура С выбирается так, чтобы область 5 оставалась слева.
5°. Приложения криволинейных интегралов. 1) Площадь,
ограниченная замкнутым контуром С, равна
5 = — Ф ydx=(p xdy
с с
(направление обхода контура выбирается обратным движению часовой стрелки).
Более удобна для приложений следующая формула площади:
S = ^f(xdy-ydx) = l^d(±y
с с
2) Работа силы, имеющей проекции Х = Х(х, у, z), Y = Y(xt у, г),
Z = Z(xf yt z) (или соответственно работа силового поля), вдоль пути С
выражается интегралом
А=\ Xdx + Ydy + Zdz.
с
Если сила имеет потенциал, т. е. если существует функция U = U(xt у, г)
(потенциальная или силовая функция) такая, что
dU__y dU__v dU__7
<5Г"-А' dy—Yy to"**
то работа, независимо от вида пути С, равна
(x2fy2tz2) (x2fy2, z2)
А= J Xdx + Ydy + Zdz= J dU = U (x2, y2, zt) - U (xlt ylt zx)t
{xxtyuZx) (xltylt zx)
где (xlt ylt zx) — начальная и (x2; y2\ z2) — конечная точки пути.
А. Криволинейные интегралы первого типа
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2293. }xyds% где С—контур квадрата |х| + |.У \=а (я>0).
с
С ds
2294* I r , где С—отрезок прямой, соединяющей
J T^^ + ^ + 4
с
точки О(0; 0) и Л(\; 2).
§ 9] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 263
2295. \xyds, где С—четверть эллипса ^+~С = '» лежащая
с
в первом квадранте.
2296. \y2dsy где С — первая арка циклоиды x = a(t — sin/),
с
y = a(l — cost).
2297. j Yx2 -\-y2ds, где С—дуга развертки окружности х==
с
= a(cost-\-tsint), y = a(sint — /cos/) [0</<2я].
2298. ^ (х2 +.У2)2 ds> где ^—дУга логарифмической спирали
с
г = аетч [т^> 0) от точки Л(0; а) до точки 0(—оо; 0).
2299. j (л: 4-^)^1 где С—правый лепесток лемнискаты
с
r2 = a2 cos2<p.
Г З/1
2300. \(x-{-z)ds) где С—дуга кривой # = /, y = -—z%
с '
z = t9[0^t^\].
С* ds
2301. \ х2 . 2 I а > где ^—первый виток винтовой линии
с
л; = a cos/, y = asinti z = bt.
2302. $K2y2 + *2ds, где С—окружность х*-{-у2 ~{-z2 = a*,
с
х=у.
2303*. Найти площадь боковой поверхности параболического ци-
линдра У=-% х2% ограниченной плоскостями 2 = 0, х = 0, z = x,
y = Q.
2304. Найти длину дуги конической винтовой линии х = аег cost,
y = aets'mti z = aef от точки О(0; 0; 0) до точки А (а; 0; а).
2305. Определить массу контура эллипса ^-|-^= 1, если
линейная плотность его в каждой точке Ж (л:, у) равна \у\.
2306. Найти массу первого витка винтовой линии х = a cos/,
j/ = asin/, z = bt, если плотность в каждой точке равна радиусу-
вектору этой точки.
2307. Определить координаты центра тяжести полуарки циклоиды
x—a(t — sin/), y = a(\ — cost) [0^/:<я].
2308. Найти момент инерции относительно оси OZ первого витка
винтовой линии л: = a cos/, j/ = asin/, z = bt%
264 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2309. С какой силой масса М, распределенная с постоянной
плотностью на окружности х2-\-у2 = а2} z = 0, воздействует на массу m,
помещенную в точке А (0; 0; Ь)7
Б. Криволинейные интегралы второго типа
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2310. ] (х*— 2xy)dx-\-(2xy-\-y*)dy, где АВ — дуга параболы
АВ
у = хш от точки А(\; 1) до точки 5(2; 4).
2311. j (2а—y)dx-\-xdy, где С—дуга первой арки циклоиды
с
x = a(t — sin/), у = а(\—cost),
пробегаемая в направлении возрастания параметра t.
2312. \ 2ху dx — x2dy, взятый вдоль различных путей, выходящих
из начала координат О (0; 0) и
заканчивающихся в точке Л (2; 1) (рис. 103):
а) прямой ОтА;
б) параболы ОпА, осью симметрии
которой является ось О К;
в) параболы ОрА, осью симметрии
6(2,0) *Х которой является ось ОХ;
D„rt 1ПО г) ломаной линии ОВА;
Рис. 103. ' „ г\г> а
д) ломаной линии ОСА.
2313. \ 2xydx-\-x*dy в условиях задачи 2312.
2314*. (j)(x*~y) l~~_\~y' y, взятый вдоль окружности хг -\-
А^уг = аг против хода часовой стрелки.
2315. J у2 dx-\-x* dy, где С есть верхняя половина эллипса
с
х = a cost, y = bsint, пробегаемая по ходу часовой стрелки.
2316. ^cosydx— sinxdy, взятый вдоль отрезка АВ биссектри-
АВ
сы второго координатного угла, если абсцисса точки А равна 2 и
ордината точки В равна 2.
2317. Ф Ху^у2х~* , где С—правый лепесток лемнискаты г2 =
==a2cos2<p, пробегаемый против хода часовой стрелки.
2318. Вычислить криволинейные интегралы от выражений,
являющихся полными дифференциалами:
(г; 5) (s; 4) (i; i)
a) J xdy-\-ydx, б) J xdxA^-ydy, в) J (х-\~У) (dx-\-dy)t
(— i;i) (o; l) (о; о)
Vi
c(0;f)
i
OA
1
J^
£><
Л(2;0
§ 9J КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 266
<«; i)
Su dx —— х dtt
"—-j—- (по пути, не пересекающему ось ОХ),
О; *) Г
(*; у)
д) I xj^ У (по пути, не пересекающему прямую x-\-y=Q)f
(*«; у г)
е) J y(x)dx-{-ty(y)dy.
<*г. yt)
2319. Найдя первообразные функции подынтегральных выражений,
вычислить интегралы:
(»; о)
а) J (jc*-f- 4jcy*) dx-\- (6хУ — 5у4) dy,
<-«; -О
(i; в)
б) \ Х и — и)** ^ПуТЬ интегРиРования не пересекает прямой^ = дг),'
(о; - О
(«; О
в) \ , , *Л~^ У (путь интегрирования не пересекает прямой
(и 1) у== — х)у
гг
(07 0)
2320. Вычислить
/= Г xdx + ydy
х2 i Ф
взятый по ходу часовой стрелки вдоль четверти эллипса — -f-p = lt
лежащей в первом квадранте.
2321. Показать, что если /(и) есть непрерывная функция и С—
замкнутый кусочно-гладкий контур, то
§ f(x2 +y*)(*dx-\-y dy) = 0.
с
2322. Найти первообразную функцию £/, если:
а) du = (2x-\-3y)dx-\-(3x — 4y)dy;
б) da = (3** — 2ху +/) dx — (л:2 — 2ху -\- Зуг) dy\
в) du = e*-y[(\-\-x-\-y)dx-{-{\— x— y)dy\\
v . dx х dy
266 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль
пространственных кривых:
2323. ^(у— z)dx-\-{z— x)dy-\-(x—y)dz, где С — виток вин-
с
товой линии
х = a cos ty
y = asint}
z = bt,
соответствующий изменению параметра / от 0 до 2я.
2324. (р у dx-\-zdy -\-xdz, где С—окружность
с
х = Rcos acos t,
y = Rcosa sin t,
z = Rs'ma (a = const),
пробегаемая в направлении возрастания параметра.
2326. ^ ху dx -\-yz dy -{- zx dz, где О А — дуга окружности
ОА
х2 -\-у2 + z2 = 2Rx, z = x,
расположенная по ту сторону от плоскости XOZ, где у^>0.
2326. Вычислить криволинейные интегралы от полных
дифференциалов:
(в; 4; 8)
а) ^ х dx -\-у dy — z dz,
(i;o, — 8)
<a; Ь; с)
б) J yz dx -f- zx dy + xy dz}
d; i; о
(з;4; б)
• 1
B^ t xdx + ydy + zdz
<.;,;., V*+' + * '
(*: * 5)
(/2 d# -\-zxdy-\- xy dz
первом октанте).
г) Г ?*«•»*-г*»~у-г*у»* (путь интегрирования расположен в
J ^2
(и 1; 1)
В. Формула Грина
2327. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный
интеграл
I^= (рУх*-\-у2dx+y [ху -\-lti (x-\-Vx*-\-y*)]dy,
с
где контур С ограничивает область 5.
§ 91 криволинейные интегралы 267
2328. Применяя формулу Грина, вычислить
I=f2{**+y')dx + (x+y)*dy9
с
где С—пробегаемый в положительном направлении контур
треугольника с вершинами в точках А(\; 1), В(2; 2) и С(1; 3). Проверить
найденный результат, вычисляя интеграл непосредственно.
2329, Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
(р—х*у dx-\-xy* dy,
где С—окружность х2-\-у2 = R1, пробегаемая против хода часовой
стрелки.
2330. Через точки Л(1; 0) и В(2; 3) проведены парабола АтВ,
осью которой является ось OY, и хорда ее АпВ. Найти
Ф (x"\~y)dx — (х—У)йу непосредственно и применяя формулу
АтВпА
Грина.
2331 • Найти J еху [у2 dx-{- (1 -J- %xy) dy], если точки А и В лежат
АтВ
на оси ОХ, а площадь, ограниченная путем интеграции АтВ и
отрезком АВ% равна S.
2332*. Вычислить Ф * \ Т % * • Рассмотреть два случая:
с х ~т~у
а) когда начало координат находится вне контура С,
в) когда контур окружает п раз начало координат.
2333**. Показать, что если С—замкнутая кривая, то
§cos{X, n) ds = 0,
с
где $ — длина дуги и п — внешняя нормаль.
2334, Применяя формулу Грина, найти интеграл
I=(f [x cos (X, п)-\-у sin(Xy n)]ds,
с
где ds — дифференциал дуги и п — внешняя нормаль к контуру С
2335*. Вычислить интеграл
£ Х + У
взятый вдоль контура квадрата с вершинами в точках Л (1; 0), В(0; 1),
С(— 1; 0) и D(0; — 1), при условии обхода контура против хода
часовой стрелки.
268 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [гЛ. VII
Г. Приложения криволинейного интеграла
Вычислить площади фигур, ограниченных следующими кривыми:
2336. Эллипсом x = acos/, y = bsint.
2337. Астроидой x = acoss t1 y = as\n3t.
2338. Кардиоидой х = а (2 cos t — cos 2/), у = а(2 sin / — sin 2t).
2339*. Петлей декартова листа хъ-\-уг— Ъаху = О (я^>0).
2340. Кривой {х-{-у)' = аху.
2341*. Окружность радиуса г катится без скольжения по
неподвижной окружности радиуса R, оставаясь вне нее. Предполагая, что
целое число, найти площадь, ограниченную кривой
(эпициклоидой), описанной какой-нибудь точкой подвижной окружности.
Разобрать частный случай r = R (кардиоида).
2342*. Окружность радиуса г катится без скольжения по
неподвижной окружности радиуса /?, оставаясь внутри нее. Предполагая,
что целое число, найти площадь, ограниченную кривой
(гипоциклоидой), описанной какой-нибудь точкой подвижной окружности.
Разобрать частный случай, когда r = -j- (астроида).
2343. Поле образовано силой, имеющей постоянную величину Fu
направление положительной полуоси ОХ. Найти работу поля, когда
материальная точка описывает по ходу часовой стрелки четверть
окружности x2-\-y2~-R2, лежащую в первом квадранте.
2344. Найти работу, производимую силой тяжести при
перемещении материальной точки массы т из положения А(хг; yY\ zx) в
положение В{х^\ уг\ z2) (ось OZ направлена вертикально вверх).
2345. Найти работу упругой силы, направленной к началу
координат, величина которой пропорциональна удалению точки от начала
координат, если точка приложения силы описывает против
часовой стрелки четверть эллипса -^r-j--^F = 1, лежащую в первом
квадранте.
2346. Найти потенциальную функцию силы R { X, К, Z } и
определить работу силы на данном участке пути, если:
а) ^=0, F=0, Z = — mg (сила тяжести) и материальная точка
перемещается из положения A(xl, y^ z^) в положение В(хг, yv zt);
б) Х= — ^, Y= — ^, Z=—ySi где ^ = const и г —
з=|/хг 4"Уг Ч"z* (сила ньютоновского притяжения) и материальная
точка из положения Л (а, Ь> с) удаляется в бесконечность;
в) Х= — k2x, Y= — k2y, Z = — k2z, где £ = const (упругая
сила), причем начальная точка пути находится на сфере хг-\-у%-\-
-^-zt = R2i а конечная — на сфере х*-\-уг-\-z* = r* (R^> r).
§ Ю]
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
269
§ 10. Поверхностные интегралы
1\ Поверхностный интеграл первоготипа. Пусть /(#, г/, г)—-
непрерывная функция и г = <р(#, у) — гладкая поверхность 5.
Поверхностный интеграл первого типа представляет собой предел
интегральной суммы
п
\[f(xf у, z)dS= lim Y/(*,., yit Zi)bSh
где AS/ — площадь /-го элемента поверхности Sy точка (х{, */,-, z,) принадлежит
этому элементу, причем максимальный диаметр элементов разбиения
стремится к нулю.
Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности 5,
по которой производится интегрирование.
Если проекция о поверхности S на плоскость XOY однозначна, т. е.
всякая прямая, параллельная оси OZ пересекает поверхность S лишь в одной
точке, то соответствующий поверхностный интеграл первого типа может быть
вычислен по формуле
JJ/(*. У, t)dS=^f[x, у, Ф(х, 0)]|/~1+ф'^|0 + ф';(*. y)dxdy.
S («)
Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл
H(x + y + z)dS,
где S — поверхность куба O^x^l, 0*^у*^\, 0^г^\.
Вычислим сумму поверхностных интегралов по верхней грани куба (z = 1)
и по нижней грани куба (z —0)
11 it it
^(x + y+l)dxdy+^(x + fidxdy=H&x + 2y+l)dxdg = &
0 0 0 0 0 0
Очевидно, что искомый поверхностный интеграл в три раза больше и равен
(x+y + z)dS = 9.
и
3°. Поверхностный интеграл второго типа. Если
Р = Р(х, у, z)fQ = Q (х, у, z), R = R (х, у, z) — непрерывные функции и S+ —
сторона гладкой поверхности 5, характеризуемая направлением нормали
п \ cos a, cosp, cosy |» T0 соответствующий поверхностный интеграл второго
типа выражается следующим образом:
С С P dy dz + Q dz dx -f- R dx dy = С С (P cos a + Q cos P + R cos y) dS.
s+ s
При переходе на другую сторону S~ поверхности этот интеграл меняет
свой знак на обратный.
Если поверхность 5 задана в неявном виде F (х, у, z) = 0, то
направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам
1 OF Q l dF \ dF
cosa = £T5^ cosP==d-5P C0SY==F 57'
270 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. YH
где
—/WT4INI7'
и выбор знака перед радикалом должен быть согласован со стороной
поверхности 5.
3е. Формула Стоке а. Если функции Р — Р(х, у, z), Q = Q (х, у, г),
R = R(x, у, г) — непрерывно дифференцируемы и С —замкнутый контур,
ограничивающий двустороннюю поверхность 5, то имеет место формула
Стокса
& Pdx + Qdy + Rdz =
-И [(I -2) -•+(£-2) -'+(2-S) Ч *
где cos a, cos (5, cos y — направляющие косинусы нормали к поверхности 5,
причем направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали
обход контура С совершался бы против хода часовой стрелки (в правой
системе координат).
Вычислить следующие поверхностные интегралы первого типа:
2347. ^(x2-{-y2)dSt где 5— сфера х2-\-у2-\-z2 = а2.
s
2348. j j }fx2-\-ytdSi где S — боковая поверхность конуса
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго типа:
2349. ^ yzdy dz-\-xzdzdx-\-xy dxdy, где 5 — внешняя сторона
s
поверхности тетраэдра, ограниченного плоскостями х = 0, ^ = 0,
2=0, x-\-y-\-z = a.
2350. \ \ z dx dy, где 5 — внешняя сторона эллипсоида -^г -{--|г +
+£=>•
2351. vj j хг dy dz -\-у2 dz dx -f- z2 dx dy, где 5 — внешняя сторона
s
поверхности полусферы х2 т\-у2-\-z2 = a2 (2^0).
2352* Найти массу поверхности куба 0^л:^1, O^j/^1,
O^z^ 1, если поверхностная плотность в точке М (х\ у\ z) равна xyz.
2353. Определить координаты центра тяжести однородной
параболической оболочки az = x2-\-y2 (O^z^a).
2354. Найти момент инерции части боковой поверхности конуса
Z=\/rx2-{-y2[Q^z^ti\ относительно оси OZ.
§ 11J ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО — ГАУССА 271
2355. Применяя формулу Стокса, преобразовать интегралы:
а) § (л:1 — yz) dx -J- (уг — zx) dy -f- (z1 — xy) dz;
с
б) yydx-\-zdy-\-xdz.
с
Применяя формулу Стокса, найти данные интегралы и проверить
результаты непосредственным вычислением:
2356. (р (у + г) dx -}- (z -f- x) dy -f- (x -\-y) dz, где С— окружность
с
*+Уш+ ** = *** x+y + z = 0.
2357. (р(у — z)dx-\-(z — x)dy-\-(x— y)dz, где С—эллипс
с
x*+y*=l, x + z=l.
2358. у> jcrfjc-f-(jc+j^) rfy + (х-f-jf-f-2г) rf2r, где С —кривая jc=?
с
>==asin/, j; = acos/, z = a (sin / -}- cos /) [0^/^2я].
2359. ^ j^d* + *"dy + x*dz, где ЛЯСЛ — контур Д ЛЯС с
АВСЛ
вершинами А(а; 0; 0), £(0; а; 0), С(0; 0; а).
2360. В каком случае криволинейный интеграл
I=(f) Pdx+Qdy + Rdz
с
по любому замкнутому контуру С равен нулю?
§11. Формула Остроградского — Гаусса
Если 5 — замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая объем V, и
Р = Р (x,y,z), Q = Q(x, у, г), R = R (x, yt z) — функции, непрерывные вместе
со своими частными производными 1-го порядка в замкнутой области V, то
имеет место формула Остроградского — Гаусса
ff(Pcosa + QcosP+/?cosY)^ = ^J(^ + ^ + ^)^*^
5 (V)
где cos a, cos|$, cos у — направляющие косинусы внешней нормали к
поверхности 5.
Применяя формулу Остроградского—Гаусса, преобразовать
следующие поверхностные интегралы по замкнутым поверхностям 5,
ограничивающим объем V (cosa, cosp, cosy — направляющие косинусы
внешней нормали к поверхности 5).
272 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. VII
2361. ^j xydxdy-\-yzdydz-\-zxdzdx.
s
2362. J J x2 dy dz -f / dz dx -\- z2 dx dy.
s
2363 Г Г xcosa + ycos$ + z cos V d$
• у yx2+y*+22
2364. J J ( P + |cosY)dS.
С помощью формулы Остроградского — Гаусса вычислить
следующие поверхностные интегралы:
2365. у^х2 dydz-\-y2 dzdx-\-z2 dxdy, где 5 — внешняя сторона
поверхности куба О^лг^а, О^у^а, O^z^a.
2366. ^]xdydz-\-ydzdx-\-zdxdy, где 5 — наружная сторона
s
пирамиды, ограниченной поверхностями х-\- y-\-z = a, хз=0,
^ = 0, * = 0.
2367. ]}х* dydz-\- ys dz dx -f- z9 dx dy, где 5 — внешняя сторона
сферы x2-\-y2-\-z2 = a2.
2368. 5S (** cos а + / C0SP + z* C0SY) dS> r^e 5 —внешняя пол-
ная поверхность конуса
-£ + -£—f = 0 [0<*<*].
2369. Доказать, что если 5—замкнутая поверхность и / — любое
постоянное направление, то
J J cos (л, /)dS = 0,
s
где я— внешняя нормаль к поверхности S.
2370. Доказать, что объем тела V, ограниченного поверхностью 5,
равен
V= •£- \ \ (х cos a -}-у cos р -J- я cos у) dS,
s
где cos а, cosp, cosy — направляющие косинусы внешней нормали к
поверхности 5.
§ 12]
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
273
§ 12. Элементы теории поля
1°. Скалярное и векторное поля. Скалярное поле определяется
скалярной функцией точки u = [(P) = f(x, у, г), где Р (х, у, г)—точка
пространства. Поверхности / (х, у, г) = С, где С = const, называются поверхно*
стями уровня скалярного поля.
Векторное поле определяется векторной функцией точки а = а(Р) = а (г),
где Р —точка пространства и г = xi-\-yj-\-zk — радиус-вектор точки Р.
В координатной форме a = axi -\-ayj-{-azk, где ах = ах (х, у, z), ау=гау (я, у, г),
a2 = az (x, у, г) — проекции вектора а на координатные оси. Векторные линии
(силовые линии, линии тока) векторного поля находятся из системы
дифференциальных уравнений
dx dy dz
a~x~a~y~"a~z'
Скалярное или векторное поле, не зависящее от времени t, называется
стационарным, а зависящее от времени — нестационарным.
2°. Градиент. Вектор
Я Л Л
где SJ = i — -\-J — -f- k-x оператор Гамильтона (набла), называется гра*
диентом поля U = / (Р) в данной точке Р (ср. гл. VI, § 6). Градиент
направлен по нормали п к поверхности уровня в точке Р в сторону возрастания
функции U и имеет длину, равную
£-/(£)"+(£)■+(£)■
Если направление задано единичным вектором /J cos a, cosP, cosy}»*o
W Ar, , . „ dU . dU a . dU
g?- = grad£/./ = grad/£/ = ^cosa + ^-cosp+gjCosY
(производная функции U no направлению /).
3°. Дивергенция и вихрь. Дивергенцией векторного поля а (Р) =
..... ,. дах . dav . да2 __
z= axi-\-ayj-\-azk называется скаляр div а.= -^-\- -^-\- ^ — V«-
Вихрем векторного поля a(P) = axi -f- ayj -\-azk называется вектор
--ft-£)'+(£-£)>+(£-£)-™'
4°. Поток вектора. Потоком векторного поля а(Р) через
поверхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали
и | cos a, cosp, cosy[ к поверхности S, называется интеграл
j J an dS = \ \ a„ dS = \ \ (ax cos a -f- a^ cos P -f- аг cos y) dS.
5 5 5
Если 5 — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, а л —
единичный вектор внешней нормали к поверхности S, то справедлива формула
274 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
Остроградского — Гаусса, которая в векторной форме имеет вид
(ff) an dS = [ [ [ div adx dy dz.
5°. Циркуляция вектора; работа поля. Линейный интеграл
от вектора а по кривой С определяется формулой
\adr = \a^s=\ axdx + a^dy + azdz (1)
с с с
и представляет собой работу поля а вдоль кривой С (а# — проекция вектора
а на касательную к С).
Если кривая С —замкнутая, то линейный интеграл (1) называется
циркуляцией векторного поля а вдоль контура С.
Если замкнутая кривая С ограничивает двустороннюю поверхность «S, то
справедлива формула Стокса, которая в векторной форме имеет вид
ф a dr = \ \ п rot a dS = V V (rot a)n dS,
с s s
где п — вектор нормали к поверхности 5, направление которого должно быть
выбрано так, чтобы для наблюдателя, смотрящего по направлению л, обход
контура С совершался в правой системе координат против хода часовой
стрелки.
6°. Потенциальное и соленоидальное поля. Векторное
поле а (г) называется потенциальным, если
a = grad U,
где £/ = / (г) — скалярная функция (потенциал поля).
Для потенциальности поля а, заданного в односвязной области,
необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т. е. чтобы rota = 0.
В этом случае существует потенциал U, определяемый из уравнения
dU = axdx -f- ciydy -\- azdz.
Если потенциал U — однозначная функция, то \ a dr = U(B) — U (А)\ в
АВ
частности, циркуляция вектора а равна нулю: ф adr =0.
с
Векторное поле а (г) называется соленоидальным, если в каждой точке
поля div a = 0; в этом случае поток вектора через любую замкнутую
поверхность равен нулю.
Если поле является одновременно потенциальным и соленоидальным, то
div(grad£/)=0 и потенциальная функция U является гармонической, т. е. удов-
йетворяет уравнению Лапласа =-у + 5~2 +л~Т:=:^» или Д^ = 0> где А =
V* д* . * . * * тт
г==у^я*й?+^+5Г2"~"оператор ласа*
2371. Определить поверхности уровня скалярного поля £/=/(г),
где г = У х2 -\~уг -\~zz* Каковы будут поверхности уровня поля
U=F(Q)t где с = /*■+/?
§ 12]
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
275
2372. Определить поверхности уровня скалярного поля
U= arcsin ,. .
2373. Показать, что векторными линиями векторного поля а{Р) = С,
где с — постоянный вектор, являются прямые, параллельные вектору с.
2374. Найти векторные линии поля а = — юу/ + шх/, где (о—
постоянная.
2375. Вывести формулы:
а) grad (C1U-\-CtV) = С\ grad £/+С£ grad V, где Сх и ^ —
постоянные;
б) grad (UV) = U grad V+V grad U;
в) grad (U*) = 2£/grad £/;
г) grad(^TJ=-£ ^ ;
д) grad ср(£/) = ф'(^) grad £/.
2376. Найти величину и направление градиента поля U=x9-\-
-ЬУ + г8— Sxyz в точке Л (2; 1; 1). Определить, в каких точках
градиент поля перпендикулярен к оси OZ и в каких точках равен нулю.
2377. Вычислить grad £/, если U равно соответственно: а) г, б) г2,
в) у , г) /(г) (r = V*2+y2 + z2)-
2378. Найти градиент скалярного поля U=cr> где с —
постоянный вектор. Каковы будут поверхности уровня этого поля и как они
расположены относительно вектора с? 2 г г
2379. Найти производную функции ^=-^г + -|г Л""*" в Данной
точке Р(х, у, z) в направлении радиуса-вектора г этой точки. В
каком случае эта производная будет равна величине градиента?
2380. Найти производную функции £/=— в направлении
/{cosa, cosp, cosy}. В каком случае эта производная равна нулю?
2381. Вывести формулы:
а) div(C1a1 + C2a2) = C1diva1 + C2diva2, где Сх и С2 —
постоянные;
б) div(6fc) = grad U*c, где с — постоянный вектор;
в) div(£/a) = grad£/-a-|-£/diva.
2382. Вычислить div(y).
2383. Найти div а для центрального векторного поля а (Р) =/(г)— ,
где r = Vxz-\-y2 + z2.
2384. Вывести формулы:
а) rot (Схах + С2аг) = Сх rot ах + С2 rota2, где Сх и С2 — постоянные;
б) rot ((Ус) = grad иу(с, где с — постоянный вектор;
в) rot (Ua) — grad U X a + U rot a.
2385. Вычислить дивергенцию и вихрь вектора а, если а равно
соответственно: а) г; б) гс и в) /(г) с, где £ — постоянный вектор.
276 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2386. Найти дивергенцию и вихрь поля линейных скоростей
точек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью со вокруг
оси OZ в направлении против хода часовой стрелки.
2387. Вычислить вихрь поля линейных скоростей ф=*о>Хг точек
тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью со вокруг
некоторой оси, проходящей через начало координат.
2388. Вычислить дивергенцию и вихрь градиента скалярного поля [/.
2389. Доказать, что div(rota) = 0.
2390. Пользуясь теоремой Остроградского — Гаусса, доказать,
что поток вектора а = г через замкнутую поверхность,
ограничивающую произвольный объем г>, равен утроенному объему.
2391. Найти поток вектора г через полную поверхность
цилиндра лг8+/<Я2, 0<г<Я.
2392. Найти поток вектора a = x*t-\-y*j-\- z*k через: а) боковую
хг 4- иг гг
поверхность конуса —~^- <; -ттг, 0 ^ z ^ Н\ б) через полную поверх-
ность конуса.
2393*. Вычислить дивергенцию и поток силы притяжения
F= _ точки массы т, помещенной в начале координат, через
произвольную замкнутую поверхность, окружающую эту точку.
2394. Вычислить линейный интеграл вектора г вдоль одного
витка винтовой линии x = Rcost; у z=R sin t; z — ht от t = 0 до t=2n.
2395. С помощью теоремы Стокса вычислить циркуляцию вектора
a = x*y'i-\-j-{-zk вдоль окружности x2^-y2 — R2; z = 0, приняв
в качестве поверхности полусферу z = YR2— хг—У2»
2396. Показать, что если сила F—центральная, т. е. направлена к
неподвижной точке 0 и зависит только от расстояния г до этой точки:
77=/(г)г, где /(г) — однозначная непрерывная функция, то поле —
потенциальное. Найти потенциал U поля.
2397.'Найти потенциал U гравитационного поля, создаваемого
материальной точкой массы т, помещенной в начале координат:
а = г г. Показать, что потенциал U удовлетворяет уравнению
Лапласа Д£/=0.
2398. Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал (У, и
найти £/, если потенциал существует:
а) a = (5x2y — 4xy)i + (3x2 — 2y)j;
б) а = yzi-\- zxJ-\- xyk;
в) a = (y + z)l+(x + z)J-\-(x + y)k.
2399. Доказать, что пространственное центральное поле a—f(r)r
k
будет соленоидальным только при /(г) = -г, где ^^const.
2400. Будет ли соленоидальным векторное поле а = г(сХг)> где
с — постоянный вектор?
ГЛАВА VIII
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды
1°. Основные понятия. Числовой ряд
00
72=1
называется сходящимся, если его частичная сумма
Sn = ai+a2 + ...+an
имеет предел при п—► оо. Величина 5= lim Sn называется при этом суммой
п -»со
ряда, а число .
Rn = s — sn = an+i + an+2 + - • •
— остатком ряда. Если предел lim Sn не существует, то ряд называется
п -»со
расходящимся..
Если ряд сходится, то lim an = Q (необходимый признак сходимости),
п -» ф
Обратное утверждение неверно.
Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для всякого
попожительного числа е можно было подобрать такое N, что при n>N и
любом положительном р выполнялось неравенство
I <*n+i + ап + 2 + -•-+ ап+Р I < e
(критерий Коши).
Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или
отбросить конечное число его членов.
2°. Признаки сходимости и расходимости
знакоположительных рядов.
а) Признак сравнения I. Если 0 <; ап <; Ьп, начиная с некоторого
п — п0, и ряд
Ьг + Ь2 + . .. + Ьп + ...= 2 Ьп (2)
И = 1
сходится, то ряд (1) также сходится. Если ряд (1) расходится, то расходится
и ряд (2).
В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать
геометрическую прогрессию
оо
2 aqn (a*0),
278 ряды [гл. vhi
которая сходится при .| q |< 1 и расходится при [q\^ 1, и гармонический ряд
GO j
являющийся рядом расходящимся.
Пример 1. Ряд
А-Л--±-Л--±-Л- J-J- +
J.2-T 2.22"т"з-28"г,,,"гл.2""г "•
сходится, так как здесь
п~~п-2п^2п '
причем геометрическая прогрессия
°° I
П = 1
1
2 '
Пример 2. Ряд
In 2 . In 3 . . In л ,
расходится, так как его общий член больше соответствующего члена
— гармонического ряда (который расходится).
б) Признак сравнения И. Если существует конечный и отличный
от нуля предел lim ^р (в частности, если ап ~ Ьп), то ряды (1) и (2) сходятся
п -> со Ьп
или расходятся одновременно.
Пример 3. Ряд
1+4-+4-+..
2л— 1
расходится, так как
lim
п -> со
(=Ь4К-*
а ряд с общим членом — расходится.
Пример 4. Ряд
1,1,1, , 1
2-1 ' 22 — 2 l 28 - 3 l " •' ] 2п -п^"
сходится, так как
1 1
\2п-п ' 2п) ~"ь
пи?А&=*:&) = и Т- ^ 2^~2Г»>
а ряд с общим членом ^ сходится.
в) Признак Даламбера. Пусть ап > О (начиная с некоторого п=п0)
и существует предел
lim a-2±±z=q.
п ->• со йп
§ 1] числовые ряды 279
Тогда ряд (1) сходится, если </< 1, и расходится, если д > 1. Если q = l9 тс
вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
1 + 1 + 1+ +2J}-1 +
2 ■ 22 » 28 ' "'' ' 2" ^ '"
Решение. Здесь
_2п-1 2/г -f-1
ап— 2« * an+i— 2«+1
и
lim Ь±1 = lim ^ + 1)2"=4 lim _*»=»
2/2
Следовательно, данный ряд сходится.
г) Признак Кош и. Пусть ап^0 (начиная с некоторого п = п0) v
существует предел __
lim yan = q.
п -> оо г
Тогда ряд (1) сходится, если ?<1, и расходится, если ^ > 1. В случае,
когда 0=1, вопрос о сходимости ряда остается открытым.
д) Интегральный признак Коши. Если an = f(n), где функция
f{x) положительна, монотонно убывает и непрерывна при x^a^U то ряд
(1) и интеграл
00
$/(*)*с
сходятся или расходятся одновременно.
С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле
t h <3>
Л = 1
сходится, если р>1, и расходится, если р<\. Сходимость многих рядов
можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле (3).
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
_L+_L._L + . 1
l.9~3.lTcfiT
1-2 ] 3-4^5.6^,,# 42/1- 1)2л
Решение. Имеем:
1 111
п (2л — 1) 2/г 4л«, JL_ 4"2'
2/г
Так как ряд Дирихле при р = 2 сходится, то на основании признака
сравнения II можно утверждать, что и данный ряд сходится.
3°. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
Если ряд
KI + KI + ... + KI + ..., (4)
составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (П
также сходится и называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (1)
280 ряды [гл. viii
сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (1) называется условно (неабсолютно)
сходящимся.
Для исследования на абсолютную сходимость ряда (1) можно использовать
для ряда (4) известные признаки сходимости знакоположительных рядов.
В частности, ряд (1) сходится абсолютно, если
lim
а„
< 1 или Urn У\ап\<\.
и-*ао г
В общем случае из расходимости ряда (4) не следует расходимость ряда (1).
Iап + \I^ ж
П -» 00
Но если lim
п -> со
>1 или lim {/|ап|>1, то расходится не только
(Хп I rt _W АЛ У
ряд (4), но и ряд (1).
Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда
*i-fr, + *i-&4+... (Ьп^0) (5)
выполнены условия: 1) Ьг^ Ьг^ bt^ ...; 2) lim bn — О, то ряд (5)сходится.
п -*• со
Для остатка ряда #„ в этом случае справедлива оценка
\Rn\^bn+l.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
-(1)"-(1)'+(4)*^-+<-'>^(^т)"+-
Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
■+(t)'+(*)"+W+-+(I£t)'+-
Так как
Г V2«—I/ n->oo2n —1 n->coo_J_ 2
то данный ряд сходится абсолютно.
Пример 8. Ряд
1-4+т--+<-»>"+14+-
сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Этот ряд сходится
неабсолютно (условно), так как ряд
расходится (гармонический ряд).
Примечание. Для сходимости знакочередующегося ряда не достаточно,
чтобы его общий член стремился к нулю. Признак Лейбница утверждает
лишь, что знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина
общего члена ряда стремится к нулю мо н о тон н о. Так, например, ряд
§ 1J ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 281
расходится, несмотря на то, что его общий член стремится к нулю
(монотонность изменения абсолютной величины общего члена здесь, конечно, нарушена).
Действительно, здесь 52^ = 5^ + S^, где
причем Hm Sk = co(Sk—частная сумма гармонического ряда), в то время
Л->оо
как предел lim Si существует и конечен (5^ — частная сумма сходящейся гео-
А-юо
метрической прогрессии), следовательно, lim S^ = oo.
л-» со
С другой стороны, для сходимости знакочередующегося ряда выполнение
признака Лейбница не необходимо: знакочередующийся ряд может сходиться,
если абсолютная величина его общего члена стремится к нулю не монотонно.
Так, ряд
1_±+-L_ J-+ + — - +
22-Гз» 42^'" М2л-1)» (2п)2^г'"
сходится и притом абсолютно, хотя признак Лейбница и не выполнен:
абсолютная величина общего члена ряда хотя и стремится к нулю, но не монотонно.
4°. Ряды с комплексными членами. Ряд с общим членом
сй = ая + /&п(*1 = —1) сходится тогда и только тогда, когда одновременно
со со
сходятся ряды с действительными членами У о„ и J] bn, причем в этом
/1 = 1 И = 1
случае
СО 00 СО
2 с«=2 в«+< 2 6«- (6)
Ряд (6) заведомо сходится и называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд
2 \*n\=%Val + bl
И=1 И = 1
членами которого являются модули членов ряда (6).
5°. Действия над рядами.
а) Сходящийся ряд можно умножать почленно на любое число /г, т. с.
если
то
6a, -f- ka2 -{-...+ kan -(-...= kS.
б) Под суммой (разностью) двух сходящихся рядов
al + a2+...+an + ...=S1, (7)
bi + bt+...+bn+...=SM (8)
понимается соответствующий ряд
(al±bl) + (a2 + b2) + ...+(an±bn)+...=Si+SL.
в) Произведением рядов (7) и (8) называется ряд
Ct + c%+...+cn+...f (9)
где ^ = ai&rt + «2^-i + -.-+«n^i (n=l, 2, ...).
Если ряды (7) и (8) сходятся абсолютно, то ряд (9) сходится также
абсолютно и имеет сумму, равную S^.
282
РЯДЫ
[гл. via
г) Если ряд сходится абсолютно, то его сумма не изменяется при
перестановке членов ряда. Это свойство не имеет места в случае, если ряд
сходится неабсолютно.
Написать простейшую формулу п-то члена ряда по указанным членам;
2401. 1 + ^ + Т + 7+"' 2404. 1 + 1 + T + 1S+ —
2402. 4 + I + T + J+-.. 2405. |+«.+£ + !+• "
2403. l+4+|. + 4 + ... 2406. ! + 1 + £ + П+ ...
2407. ± + ±+ *-+*-+ *.+ *-+...
2408. 1 + ЬЗ ' Ь3'5 ' ''3'5'7 '
1-4 I 1-4-7 I 1-4-7-10 '
2409. 1 — 1 —|— 1 — 1 —|— 1 — 1 —J- _.
2410. 1+^ + 3 + 1 + 5 + 1 +
В №№ 2411—2415 требуется написать 4—5 первых членов
ряда по известному общему члену ап.
2411. а„ = ^2 2414. а Х
п* + г ""' » [з-Ь(— 1)"]" *
2412. а„ = Ц^. (2 + sin^)cosmt
241К а —^ —J-
2413.a„ = 2 + <7lf. 2415. а„_
Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения
(или необходимый признак):
2416. 1 —1 + 1 —1+ ...+(—l)"-1^-...
"■'•!+тШ*+Щ)*+-+т(!)"+-
M.s. 4+4+1+. ..+*&+...
1 1.1 . ( П"*1 .
2419. ' - > ' \Л 1) \.
YTo ую^ уто '"^п + уТо г'"
2420. 1 + 1+-1+...+^+...
2421'A + i + M+---+IO^M + ---
2422. L- -I L= -I = 4- .. -I * Л-
/1-2 ' /2-3 ' /3.4 [ * Yn(n + l)*
§ II числовые ряды 283
2423.2 + ? + |+...+?+...
2 I 3 ' ••' ' п
1,1, . 1
2424. 1 . __ . _ . ... . ._ . ...
24254+^ + ^+... + ^+..
2426 «+j^+j^+...+ ^у+...
С помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов:
2427 -1-4-1-1 ^ I- 1 2п~Х 1
«428 А^2'5^2*5*8 i_ , 2.58...(3л— 1) L
1 ' 1-5 ' 1-5-9 • ••' I Ь5-9...(4л-3) • '"
С помощью признака Коши исследовать сходимость рядов:
""■*+(})'+(!),+ ...+(£й)"+...
"*т+(4),+(4)"+...+(я?пГ+...
Исследовать сходимость знакоположительных рядов:
2431. 1+24 + ^-+...+п4+...
2432. Л + ^ + _+...+_Л__+...
2433* Ь4 + 4^ + 7Л0+ •••+(Зп-2)(Зя + 1) "+"
™*
2434. -1+1+ « + ...-r_p-FT
1,2,3
. i . i—
94qft 3 j 5 j 7 , , 2л + 1
_3 , 5 j 7 , j 2л
22 • 32 i З2 • 42"+" 42 • 52 I- # ' ' i (п + 1 )2 (п + 2)2
2437
•1+(т),+(й),+ ... + (^т)Ч-
»~(4)М+(Й)*+-+(£#Г+-
2440. 1+1+1+...+5-'+--
284 ряды . [гл. viii
2441 -ILj ?! 1 Ё__|_ I п- 4
2442. 1+-^ + ^ +
1! > 21 1 '"' i (л- 1)! * ' ■'
2443 1 |ЬЗ, ЬЗ-5 , ■ 1-3-5...(2/1-1) ,
(U? , (2I£ , (3!£ , , £г_!)2
2! "» 4! "f 6! 1" ••• "Г(2л
9444 ii!LJ-ifiL4-^-4- -I I"1'" I
^44. «- —1— 4I -t" 6i -t— - • - "Г Тади "Г • • •
2445 1000 1 100(М002 | 1000-1002-1004 ,
■ 1000-1002-1004...(998+ 2/Q,
'■ * i 1-4-7...(3/г-2) >
944fi 2 | 2-5-8 . . 2-5-8-11-14...(6/г-7)(6/г-4) ,
MW* 1 "Г 1.5.9 ' •••"Г 1.5.9.13* 17... (8/1- 11) (8/г- 7)"+" * '
2447 ±4-1^-4- I 1-5-9...(4п-3) ■
"nt- 2 ~ 2-4-6 ~ •'• ~Г 2.4.6-8-10... (4/г- 4) (4п- 2) ' * * *
944Я 1 I I'** » ЫЬ21 , ! 1-11-21. ..(Юл-9) ,
2448. П + -зГН 5Г"+"-Н (2ЙП="1)! Г —
2449. 1
1-4 , 1-4-9 , , 1-4-9.../г2
1-3-5 > 1-3-5-7.9^ •" » Ь3-5.7-9...(4п-3) '
00 СО
2450. У arcem-^. 2457. У —1—lT-T-z .
+-+ Уп ^** /i-lnn-lnln/i
00 GO
2451. Vsin-i-. 2458. V -^—.
<*-^ /г2 >ь-^ п2 — n
00
2452. Slnfl+-V 2459. У .. '
CO CO
2453. X ,n{4^-' 2460. Z
Hr=l
^1Vrn(n + l)(n + 2)*
2454. 2^. 2461. £
B = 2
00
^2/г lnn + l^ln'n '
2455. У -Д- . 2462. У , ' =.
2456. f^. 2463. t(2n-Zh-^
§ 1]
2464.
2465.
2466.
OAi
00
ю-
Л = 1
00
1ЭСЛ
00
Y 2пп\
Л = 1
ДО ГТгм/аоо
COS
т)-
ЫТТ» ГЛ«
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
QO
2467. £ 3-^
» = 1
2468*. £ •£'
И = 1
1
285
л' In? п '
1) сходится при произвольном q, если />^>1, и при <7^>1, если
2) расходится при произвольном <?, если р<^ 1, и при ^^1, если
Исследовать сходимость следующих знакопеременных рядов.
В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную
сходимость.
2470. 1-1 + 1-.. .+Ь_^+...
2471. 1 — -L+-L— ...+(-'Г'+ ...
l_i_±_ _1_(-1Г
1
/г<
2472. 1--L + -1—..
2474 1 2 + 3 | (-1)""'" |
2473. 1— у + 1з- ..-+ 6п_5 +•••
2475. _4-|- + 4 + Il-...+(-l) * .£ +
2476. ^1 1 -JL -1 [-...
2 >^2 — 1 ' 3 ^3 - 1 4 |/4 - 1 '
... + (-1)" П + 1
(п + 1)Уп + 1 -1
**• т-й+Ш-•■•+<-"-;:'»:::gt;{+-
2479 1 Ь4 I Ь4-7 Л.1 \\п-г 1-4.7...(Зд-2) .
247И* 7~ 7^ + ^9ТГ— •••+(— ') 7-9.11...(2« + 5) "Г
п*ал sin а , sin 2а , , sin яа ,
/4ви- ПГГо"ГГП7Тп7« +
1п 10~(1п 10)* ' *" • ' (In 10)"
286 ряды [гл. Viii
00 СО
2481. 2 (~ Цм~. 2482. £ (- 1)— tg-l_ .
и = 1 n = i Пуп
2483. Убедиться в том, что признак сходимости Даламбера не
00
решает вопроса о сходимости ряда 2 ап> где
Я = 1
в то время как с помощью признака Коши можно установить, что
этот ряд сходится.
2484*. Убедиться в том, что признак Лейбница неприменим к
знакочередующимся рядам а) — г). Выяснить, какие из этих рядов
расходятся, какие сходятся условно, какие сходятся абсолютно:
flv _J 1 | 1 L_ _i__J 1 ,
6) 1_±Ii_±+±_± .
' з ' 2 3s ' 22 з5 i
(^а2Л-1 — 2*^' a*k~
"32АГ-1) »
4 1 I I I l . I l ,
(^2*-i = 2F=nr a2A = — 3^J »'
rv l 1,1 1,1 1 ,
r) T_i-+-y_--t-Ti— _-j- ...
Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:
00 00
2485. £"-^. 2489. Ц -^—•
Л = 1
00
2486. 1"-Ы. 2490. 2—!
Л=1
^1(« + *)/«'
2487'• 2- „(3+«)»• 249Ь 2- [„ + (2n_i)fj
... J'* Г~ l^'t- 11*
00 00
§ 1J числовые ряды 287
2493* Между кривыми у=—9 и д>=-£, справа от точки их
пересечения, построены отрезки, параллельные оси OY и отстоящие
один от Другого на одинаковом расстоянии. Будет ли сумма длин
этих отрезков конечной?
2494. Будет ли конечной сумма длин отрезков, о которых шла
речь в предыдущей задаче, если кривую У=-^ заменить кривой
00 00
2495. Составить сумму рядов ^ ~^ и 2L з"~~ ' ^Х0"
дится ли эта сумма?
00 00
2496. Составить разность расходящихся рядов ^ о — l' и 51
и исследовать ее сходимость.
00
2497» Сходится ли ряд, образованный вычитанием ряда ^ о _ {
со
из ряда X 7Г?
Л = 1
2498. Подобрать такие два ряда, чтобы их сумма сходилась, а
разность расходилась.
00 00
2499. Составить произведение рядов У. —т= и У_. рг^гт. Схо-
дится ли это произведение?
2500. Составить ряд ( 1+^ +j+• • •+g«=i+.. • } • Сх0"
дится ли этот ряд?
2501. Дан ряд — 1 -f-^ —3I+ •• • ~Ь п\ 4" • • • Оценить
ошибку, допускаемую при замене суммы этого ряда суммой первых
его четырех членов, суммой первых пяти членов. Что можно сказать
о знаках этих ошибок?
2502*. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
суммой его первых п членов.
2503. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
288 ряды [гл. vfft
суммой его первых п членов. В частности, оценить точность такого
приближения при /2=10.
2504**. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
суммой его первых п членов. В частности, оценить точность такого
приближения при /z= 1000.
2505**. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
•+»W+»tt)'+...+.(±n+...
суммой его первых п членов.
00
2506. Сколько членов ряда 2* — нужно взять, чтобы вы-
числить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001?
00
2507. Сколько членов ряда ^ . -Г 1)5" НУЖН0 взять> чтобы
П = 1
вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001? до 0,0001?
2508*. Найти сумму ряда ^ + Jg + ^ + ... ^-Л^^...
2509. Найти сумму ряда
§ 2. Функциональные ряды
1°. Область сходимости. Множество значений аргумента х,
для которых функциональный ряд
М*) + М*) + .••+/»(*) + ..• 0)
сходится, называется областью сходимости этого ряда. Функция
5 (х) = lim Sn (x),
п -> оо
где Sn (х) = /, (х) -f- /2 (х) + ... + fn (х)у а х принадлежит области сходимости,
называется суммой ряда, a Rn (x) = S (x) — Sn (x) — остатком ряда.
В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1)
достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая х
фиксированным.
Пример 1. Определить область сходимости ряда
х + 1 . (*+1)2 . (* + !)' . . (* + 1)я .
Ь2 "• 2-2z ^ 3-28 1" ■'•"»" п.2я "Г-" W
Решение. Обозначив через ип общий член ряда, будем иметы
Ига К+.1- lira 1*+П"+'2"к _1«+1|
§ 2]
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
289
На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится (и
притом абсолютно), если -—^—-<С 1, т. е. при —3<дс< 1; ряд расходится,
если J—^—- > 1, т. е. если —- оо < х < — 3 или 1 < х < оо (рис. 104). При
лс=1 получаем гармонический ряд 1 + "тг4"т"Ъ ••• > который расходится, а
Z о
при х = — 3 — ряд — 1 -{—~ — + •. • I который (в соответствии с призна-
2 о
ком Лейбница) сходится (неабсолютно).
Итак, ряд сходится при —3^л:< 1.
2°. С т е п е н н ы е ряды. Для всякого степенного ряда
с0+с1(х-а)+с2(х-аГ + ...+сп(х-а)п + ... (3)
(сп и а — действительные числа) существует такой интервал (интервал схо*
димости) \х — а\< R с центром в точке х = а, внутри которого ряд (3)
сходится абсолютно; при |дс — а\> R — ряд расходится. Радиус сходимости
&яо& /bcfflfa
V О / *
Рис. 104.
R может быть в частных случаях равен также 0 и оо. В концевых точках
интервала сходимости x = a^zR возможна как сходимость, так и расходимость
степенного ряда. Интервал сходимости определяют обычно с помощью
признаков Даламбера или Коши, применяя их к ряду, членами которого являются
абсолютные величины членов данного ряда (3).
Применив к ряду абсолютных величин
Ы+\с1\\х-а\ + ...+\с„\\х-а\п+...
признаки сходимости Даламбера и Коши, получим для радиуса сходимости
степенного ряда (3) соответственно формулы
lim
V
lim
Ч -» 00
Однако пользоваться ими следует весьма осторожно, так как пределы,
стоящие в правых частях этих формул, часто не существуют. Так, например,
если бесконечное множество коэффициентов сп обращается в нуль (это, в
частности, имеет место, если ряд содержит члены только с четными или только
с нечетными степенями (х — а)), то пользоваться указанными формулами нельзя.
В связи с этим рекомендуется при определении интервала сходимости применят**
признаки Даламбера или Коши непосредственно, как это сделано выше при
исследовании ряда (2), не прибегая к общим формулам для радиуса сходимости.
Если z = х + iy — комплексное переменное, то для степенного ряда
Со+с1(г-*о)+с2(*-гоГ+...+Сп(*-г0)п+... (4)
(сп = ап -f- ibnt t0 = x0-^iy0) существует некоторый круг (круг сходимости)
|г — z0\<R с центром в точке z = zQ, внутри которого ряд сходится
абсолютно; при | z — г01 > R ряд расходится. В Точках, лежащих на самой
окружности круга сходимости, ряд (4) может как сходиться, так и расходиться.
10 Г. С. Бараненков и др.
290 ряды [гл. vni
Круг сходимости обычно определяют с помощью признаков Даламбера или
Коши, примененных к ряду
Ui|+lcl|-|2-2el + U,l-la!-z.|i + ...+lcJI|.|«-*.l,l + ....
членами которого являются модули членов данного ряда. Так, например, с
помощью признака Даламбера легко обнаружить, что круг сходимости ряда
2 + 1 , (* + 1)2 , (* + !)' , , (* + 1)" ,
Ь2 ^ 2-22 "*" 3-28 "^•••"г д.2п "г#,#
определяется неравенством | г -(- 1 | < 2 (достаточно повторить приведенные
на стр. 288 выкладки, служившие для определения интервала сходимости ряда
(2), заменив лишь х на z). Центр круга сходимости находится в точке z = — 1,
а радиус R этого круга (радиус сходимости) равен 2.
3°. Равномерная сходимость. Функциональный ряд (1) сходится
на некотором промежутке равномерно, если, каково бы ни было е > 0, можно
цайти такое /V, не зависящее от х, что при п> N для всех х из данного
промежутка имеет место неравенство | Rn (х) | < е, где Rn (x) — остаток данного ряда.
Если | fn (х) | <; сп (п = 1, 2,...) при а ^ х ^ b и числовой ряд 2 сп сх0"
п = 1
дится, то функциональный ряд (1) сходится на отрезке [а, Ь] абсолютно
и равномерно (признак Вейерштрасса).
Степенной ряд (3) сходится абсолютно и равномерно на всяком отрезке,
лежащем внутри его интервала сходимости. Степенной ряд (3) можно почленно
дифференцировать и интегрировать внутри его интервала сходимости (при
|* — а\ < R), т. е. если
cQ + ct(x - а) +с2(х - а)2 + ... +сп(х - а)п + ... =/ (х), (5)
то для любого х из интервала сходимости ряда (3) имеем:
Сг+2с2(х - а) + ... +псп (х - а)»-* + ...=/' (х), (6)
XXX X
\ c0dx + \ сх (х — a) dx -(- \ с2 (х — a)2 dx -{- ... -f- \ сп (х — а)п dx -(- ... =
Xq Xq Xq Xq
-2-c" ^+t ~i '<*>d* (7>
л=о дг0
(число я0 также принадлежит интервалу сходимости ряда (3)). При этом ряды
(6) и (7) имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (3).
Найти область сходимости ряда:
2510. £1.
11 = 1
ОО
2511. Х(-1)"+1^.
И = 1
ОО
2512. £(_!)- '
2513.
2514.
2515**.
00
^ sin (2/1 — \)х
^ (2л - I)2
Л = 1
00
Е 2"sin£-
п=о
со
чгч cos пх
§ 2] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 291
оо оо
2516. £(-1Г'*-»-*. 2521. 2-^И
2517.
2518.
2519.
2520.
п = о
00
П = 1
со
У -i-
^ п\хп*
П = 1
оо
у \
оо ._
*+ (х-2)п'
/i = iч '
(п + \)*
/2 = 0 ' '
оо
2522 У '-'"
П = 1
2523. ± *
Л=1 *
2524*. £(д- + ^-).
П = 1 Ч '
00
2525. X *"•
П=— 1
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать
сходимость на концах интервала сходимости:
— оо
2535. X $•
П=1
2536. £ (а^т)""*".
/1 = 1 Ч ' 7
00
2537. 2 З"**'"-
/1 = 0
2538. Si*!®".
/1 = 1 ' Ч '
2539. £$-".
/1 = 1
00
2540. У\ *""' .
Л = 2
00
2532. ^ (— 1)"(2л+1)*лм. 2541. £ *"'•
П=0 П=1
ОО 00
2533- НИ* 2542**.X л^"!-
/1 = 1 /1=1
2534. £ ли". 2543*. £ ^-п .
2526.
2527.
2528.
2529.
2530.
2531.
21*".
п = о
со
^ П.2И#
П = 1
00
2* 2л - 1 •
П = 1
00
V4* 2п~1хгп~1
2* (4п-3)2 •
П = 1 Х '
у (_ 1)^-1^
П = 1
^ 2n-f 1
/1=0 '
00
10*
292 ряды [гл. viu
2544*. fil". 2564. £*i^.
00 00
2545. £(-1Г'^#П. 2555. £.- ("Н)"
n=z\
00
n^(«4-l)ln2(n + l)
»*?,^ ^£s«W
GO
2547. V (*~1)2n 2557 У(- 1V+1 (* ~2)"
GO orj
2548. £(_1Г'£^1. 2558. £<^.
и = 1 и = 1
СО GO
2549. £ ^ ' 2559*. £ ( 1 +1Г (*- 1Г.
00 00
2550. £ л» (х + 3)". 2560. £ ^l".^'>" .
«*• Ё^ЙР. «•!• £(-.г^:2„-2г.
2552 У (*~2)" 25R2 V (3« - 2) (х - 3)"
255i- Z- (2л - 1) 2" * 2о62' 2- („4-1)22»+' •
И=1 Л=0 ' '
GO ОО
2553. Et-ir'^-f^-1)-. 2563. £(-!)" <« ~ 3>1_
^. (3п_2) „=» (2«+1)/я + 1
Определить круг сходимости:
2564. £/У. 2566. %£^В1.
GO СО
2565. £(1+ш)г". 2567. £§£.
2568. (Г+ 2/) + (1 + 2/) (3 + 2/) z + .".=°
...+(1-|-2/)(3 + 2/) ... (2л+1+2/)г" +
2569. 1+ГЬ + (1_0г(1_20+---
*• •П-(1_,)(1_20... (1-ш)
GO
1+2ш\" „
п=о ч ' J
§ 2] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 293
2671. Исходя из определения равномерной сходимости, доказать,
что ряд
l+* + *2+•••+*"+•••
не сходится равномерно в интервале (—1, 1), но сходится
равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри этого интервала.
Решение. Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии,
получим при |х |< 1
Возьмем лежащий внутри интервала (—1, 1) отрезок [— 1-f-a, 1 — а], где
а — сколь угодно малое положительное число. На этом отрезке |я|^1 —ее,
|1— х\^а и, следовательно,
,*,wl<(Lz|£l\
Для того чтобы доказать равномерную Сходимость данного ряда на отрезке
[— 1 -f-a, 1 —а], нужно показать, что к любому е>0 можно подобрать
такое N, зависящее только от 8, что при всяком я > N будет иметь место
неравенство ] Rn (х) | < 8 для всех х из рассматриваемого отрезка.
Взяв любое е>0, потребуем, чтобы v '-—< е; отсюда
(1 - а)п+г < ea, (n + 1) In (1 - a)< In (ea), т. е. п + 1 > J"(^} , (так как
In (1 — ct)<0) и я>-. " _ ,-— 1. Положив, таким образом, N = . " _ —
— 1, мы убеждаемся, что при п > N, действительно, | Rn (x) | < s для
всех х из отрезка [—1+а> 1 — а] и равномерная сходимость данного ряда
на любом отрезке, лежащем внутри интервала (— 1, 1), тем самым
доказана.
Что же касается всего интервала (— 1, 1), то он содержит точки, сколь
уИ+1
угодно близкие к точке х=1, а так как lim Rn(x) = lim _ =оо, то
X -» 1 л: -> 1 1 — X
как велико бы ни было п> найдутся точки х, для которых Rn (x) больше
любого, сколь угодно большого числа. Следовательно, нельзя подобрать такое
N, чтобы при n'yN неравенство \Rn(x)\<e имело место во всех точках
интервала (— 1, 1), а это и означает, что сходимость ряда в интервале (—1. 1)
не является равномерной.
2572. Исходя из определения равномерной сходимости, доказать, что;
а) ряд
сходится равномерно во всяком конечном интервале;
б) ряд
1 2"г"3 •••■+■ п "Г •••
сходится равномерно во всем интервале сходимости (—1, 1);
294 ряды [гл. via
в) ряд
1 "Г2*"Гз*+ ••' «п*»' ' *
сходится равномерно в интервале (1-|-6, оо), где б — любое
положительное число;
г) ряд
(х* — х*) + (*4 — х9) + (хв — Xs) + ... + (х2п — х2п+2) + ...
сходится не только внутри интервала (—1, 1), но и на концах этого
интервала, однако сходимость ряда в интервале (—1, 1) —
неравномерная.
Доказать равномерную сходимость функциональных рядов в
указанных промежутках:
00
2573. 2^~2 на отрезке [—1; 1].
П = 1
00
2574. X, 1?п на всей числовой оси.
2
Л = 1
2575. 2-Л— Х^~1\ГЪ на отРезкеЛ°> *]•
П = 1
Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, найти
суммы рядов:
2576. *+|+J+...+*-+...
х2 , г*
2577. *_±- + А— ...+(- 1)»->^+...
2578. х+|- + 4 +
3 ' 5 ' " - ' ' 2л - 1 • ' "
авте. *-!■+£-...+(-.1)-'^+...
2580. 1-(-2х + 3**+«--+(я+,)*"+---
2581. 1 — Зх2 + 5х4 — ... + (— I)""' (2л — 1)х%п~г + ..,
2582. l-24-2.3x + 3-4x24-...-f«(«+l)^'"1+---
Найти суммы рядов:
2683. I + J + 4+...+4+...
- + - + -
V-5 ~9 v4« - в
Л I Л I I Л
2584. х + ^+^+.,
_L
5 ~ 9 г " • » 4л - 3
3-3^ 5-32 7-3*^ ••
1,3,5, . 2л-1
2586.
J-4--4--4- 4- -I-
§ 3]
РЯД ТЕЙЛОРА
295
§ 3. Ряд Тейлора
1°. Разложение функции в степенной ряд. Если функция
/ (х) допускает в некоторой окрестности | х — а | < R точки а разложение
в степенной ряд по степеням х — а, то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид
Г (a) f{n) (a)
f(x) = f(a) + f^a)(x^a)+LJJ{x^ar+...+L^{x^a)n+t^ (1)
При а = 0 ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Равенство (1)
справедливо, если при | х — а |< R остаточный член ряда Тейлора
_ п .
Rn(x) = f{*)- [/(«)+££-^(*-а)*]_>0
при п—► оо.
Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой
*п (х) = (\~+"yl fin+1) [* + *(*- а)]> гдеО<0<1 (2)
(форма Лагранжа).
Пример 1. Разложить функцию f(x) = chx в ряд по степеням х.
Решение. Находим производные данной функции / (х) = ch x, /' (х) «я
= sh xt f (x) = ch x, f" (x) = sh x, ...; вообще /(n* (x) = ch х, если п — четное,
и /(й) (х) = sh х, если п — нечетное. Полагая а = 0, получим / (0) = 1 /' (0) = О,
/*(0) = 1, /"' (0) = 0, ...; вообще /<и>(0)=1, если л — четное, и /<ь>(0) = 0,
если л — нечетное. Отсюда на основании (1) имеем:
х2 х* хгп
сЪ*=1+ш + ¥+...+^+... (3)
Для определения интервала сходимости ряда (3) применим признак Даламбера.
Имеем:
Iv2/Z + 2 v2rt I VI
(2n-f-2)! :(2^!|~*«->oo(2n+l)(2n + 2)
при любом х. Следовательно, ряд сходится в интервале — оо < я< оо. Оста»
точный член в соответствии с формулой (2) имеет вид
xn + i
Rn (x) = ch б*, если п — нечетное, и
хп + 1
R (х) =-.—г-р-г sh dxt если п — четное.
(п-(- 1)!
Так как О>0> 1, то
<el*l,
Iх| n+1 1 х\п
и поэтому |^п(х)1< ' ' е!*|. Ряд с общим членом -=—=*— сходится при
любом х (в этом можно легко убедиться с помощью признака Даламбера),
поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости
Iira ёхгй = 0'
п ->оо (П -f- 1)1
296 ряды [гл. viii
а следовательно, и lim Rn(x) — 0 при любом х. Это означает, что сумма
п -юо
ряда (3) для любого х действительно равна ch x.
2°. Приемы, применяемые при разложении в
степенные ряды.
Пользуясь основными разложениями
1.е*=1+£ + |!+..-+£!+... (_«<*<«>),
X Х^ Х^ Л'^-Ь*
II. 81пдС = -п-ш + 1Г-...+(-1)» (1_15Г+... (_оо<*<оо),
III. cos*=l—^+^-...+(-1)»^+... (-оо<х<оо),
IV. (1+^ = 14-^^4-^=-^^+...
...+/n(OT-1)-;;(m-n+1)*"+... (-к,<1)*),
v. in(i+*)=*-|44'-...4(-i)n-' £+... (-к*<1).
а также формулой для суммы геометрической прогрессии, можно во многих
случаях просто получать разложение данной функции в степенной ряд,
причем отпадает необходимость исследования остаточного члена. Иногда при
разложении полезно использовать почленное дифференцирование или
интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций
рекомендуется разлагать эти функции на простейшие дроби.
Пример 2. Разложить по степеням х **) функцию
fM==(l -x)(l+2x) '
Решение. Разложив функцию на простейшие дроби, будем иметь:
*/ ч 1.2
Так как
и
1 — х ' 1+2*
СО
-J-=:l+X+X*+...= £*» (4)
1
00
1 - 2х + (2а:)2 - ... = ]Г (— 1)п2 V, (5)
1+2*
то окончательно
со со со
f(x)=y£ixn+ 2 ^(-1)"2"а:"=^[1+(-1)л2" + 1]Л (6)
*) На границах интервала сходимости (т. е. при х = —1 и при х=1)
разложение IV ведет себя следующим образом: при т^О абсолютно
сходится на обеих границах; при 0 > m > — 1 расходится при х = —1 и
условно сходится при х = \) при т^—\ расходится на обеих границах.
**) Здесь и в дальнейшем подразумевается «по целым и положительным
степеням».
§ 3]
РЯД ТЕЙЛОРА
297
Геометрические прогрессии (4) и (5) сходятся соответственно при | х | < 1 и
| х |< -—; следовательно, формула (6) справедлива при | х \ < — , т. е. при
~1<*<т-
3°. Ряд Тейлора для функции двух переменных.
Разложение функции двух переменных f (x, у) в ряд Тейлора в окрестности
точки (а\ Ь) имеет вид
/(*. *) = /(«, Ь)+ I [(,_«>*. + <,_ 6)|] /(«,&) + ! [(х-«)| +
+ (y-6)|]V(a.6) + ...+^[(x-a)^ + (i/-fe)|]"/(a. &)+••• (7)
Если а = 6=:0, ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Здесь
приняты следующие обозначения:
[„-«•■н,-»^],,,. »,=*£-
</)
(X — О) -
5/ (Ж, У)
х=а
\у = Ь
ду
iy-ьу,
х = а
\у=ь
,d*f(x, У)
*/(*. у)
дхг
(х-а)'- +
+ 2-
дхду
х=-а
ду'
х — а
(у — Ь)г и т. д.
х = а
у=Ь
Разложение (7) имеет место, если остаточный член ряда
Rn(x,y)=f(x,y)-h(a, Ь)+ >Г±[(*-а)^ + ({,-6)|]*/(а, ft)}—О
при п >-оо. Остаточный член может быть представлен в виде
где 0<б< 1.
х=а-\-Ъ(х — а)
Разложить по целым положительным степеням х указанные
функции, найти интервалы сходимости полученных рядов и исследовать
поведение их остаточных членов:
2587. a*(a>0). 2589. cos(x-ffl).
л^лл / . я\ 2590. sin2л:.
2588. sin^+TJ . 2591*. ln(2 + jc).
298
РЯДЫ
[ГЛ. VIII
Пользуясь основными разложениями I—V и геометрической
прогрессией, написать разложение по степеням х следующих функций и
указать интервалы сходимости рядов:
2598. cos2*.
2599. sin 3x-\-x cos Зл;.
2600. ф.
2601. !
2592.
2593.
2594.
2595.
2596.
2597.
2х-3
(x-\f
Ъх — Ъ
хг-4х + Ъ'
хе-2Х.
е*\
shx.
cos 2x.
2602. lnj-i--
2603. ln(l+x —2*1).
Применяя дифференцирование, разложить по степеням х следующие
функции и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место!
2604. (1+л;)1п(1-|-*). 2606. arcsin*.
2605. arctgx. 2607. In{х-\-У 1 +**).
Применяя различные приемы, разложить по степеням х заданные
функции и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место:
2608. sin*jccos2*. * ,
2609. (\-\-х)е-х. 2616. )—dx.
2610. (1+ <?*)"• \
2611. \/Ъ + х~. 2617. \e-xtdx.
2612.
хх — Зх -f 1 .
2613. ch'x. 2618. У^Щ
2614.
0
1 *
С dx
4 х* ' 2619
2615. In (х2 4-3*+2).
Написать три первых отличных от нуля члена разложения в ряд
по степеням х функций:
2620. tg#. 2623. secx.
2621. th*. 2624. In cos л:.
2622. ecosx. 2625. e*sin*.
2626*. Показать, что для вычисления длины эллипса можно
пользоваться приближенной формулой
s^2na[l — ~) ,
где е — эксцентриситет и 2а— большая ось эллипса.
§ 3] ряд тейлора 299
2827. Тяжелая нить под влиянием собственного веса провисает по
цепной линии y = ach— , причем а= — , где И—горизонтальное на-
и ц
тяжение нити, a q — вес единицы длины. Показать, что при малых х,
с точностью до величин порядка л;4, можно принять, что нить про-
висает по параболе у — а-\-^- .
2628. Разложить функцию х* — 2хг — 5х — 2 в ряд по степеням
jc + 4.
2629. /(х) = 5хг — 4х2 — За:+ 2. Разложить f(x-\-h) в ряд по
степеням А.
2630. Разложить In л: в ряд по степеням х—1.
2631. Разложить — в ряд по степеням х— 1.
2632. Разложить —г в ряд по степеням дг-[-1.
2633. Разложить 2 , 3 , ~ в ряд по степеням х-\-4.
2634. Разложить 2 , , . - в ряд по степеням х-\-2.
2635. Разложить ех в ряд по степеням дг-|-2.
2636. Разложить Ух в ряд по степеням х — 4.
2637. Разложить cos л: в ряд по степеням х — у.
2638. Разложить cos2jc в ряд по степеням х — -j .
1 х
2639*. Разложить In л: в ряд по степеням
1+*'
2640. Разложить в ряд по степеням
уТ+х """ 1+х-
2641. Какова величина допущенной ошибки, если приближенно
положить
л
2642. С какой точностью будет вычислено число -j-, если
воспользоваться рядом
. X* , X*
arctg* = A; — -+б" —
взяв сумму его первых пяти членов при х= 1?
2643*. Вычислить число -g- с точностью до
разложения в ряд по степеням л: функции arcsirix (см. пример 2606),
2643*. Вычислить число -g- с точностью до 0,001 при помощи
300 ряды [гл. vin
2644. Сколько нужно взять членов ряда
cos *=l_~-f- ...,
чтобы вычислить cos 18° с точностью до 0,001?
2645. Сколько нужно взять членов ряда
г5
3! '
х i
sin х — х— ^-f-
чтобы вычислить sin 15° с точностью до 0,0001?
2646. Сколько нужно взять членов ряда
ех= 14--4- — 4-
^1М Я^'"'
чтобы найти число е с точностью до 0,0001?
2647. Сколько нужно взять членов ряда
х2
ln(l-fx) = * — у+ -..,
чтобы вычислить In 2 с точностью до 0,01? до 0,001?
2648. Вычислить j/7 с точностью до 0,01 с помощью
разложения функции |/^8 —j— л: в ряд по степеням х.
2649. Выяснить происхождение приближенной формулы Уа%-\-х^
^z а -\- ■£- (а ^> 0), вычислить с ее помощью j/23, положив а = 5, и
оценить допущенную при этом ошибку.
2650. Вычислить j/l9 с точностью до 0,001.
2651. При каких значениях х приближенная формула
COS X ^ 1 — у
дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001? 0,0001?
2652. При каких значениях х приближенная формула
sin х ^ х
дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001?
1/2
С sin х
2653. Вычислить \ dx с точностью до 0,0001.
о
1
2654. Вычислить j e~*2dx с точностью до 0,0001.
о
1
2656. Вычислить j l/ x cos x dx с точностью до 0,001.
§ 4] ряды фурье 301
Г sin х
2656. Вычислить I —т=-йх с точностью до 0,001.
о
1/4
2657. Вычислить с точностью до 0,0001.
о
1/9
2668, Вычислить \ У хех dx с точностью до 0,001.
о
2659. Разложить в ряд по степеням х и у функцию cos (x—у), найти
область^сходимости полученного ряда и исследовать остаточный член.
Написать разложения по степеням х и у следующих функций и
указать области сходимости рядов:
2660. sinx-sinj;. 2663*. In (1 — х — у-{-ху).
2661. sin (*' + /). 2664*# arctgf±l.
2665. /(*, у) = ахг-\-2Ьху-{-суг. Разложить /(jc+A, y-\-k)
по степеням h и k.
2666. /(*, у) = хг — 2уг -}- Зху. Найти приращение этой функции
при переходе от значений #=1, у = 2 к значениям х= \-\-h, y = 2-\-k.
2667. Разложить функцию ех+у по степеням х — 2 и у-\-2.
2668. Разложить функцию s'm(x-\-y) по степеням х и у «-.
Написать три-четыре первых члена разложения в ряд по степеням
хну функций:
2669. e*cosj>.
2670. (\-\-х)1+у.
§ 4. Ряды Фурье
1*. Теорема Дирихле. Говорят, что функция /(х) удовлетворяет
условиям Дирихле в интервале (а, Ь), если в этом интервале функция
1) равномерно ограничена, т. е. \f(x)\^[M при а<*<&, где М —
постоянная;
2) имеет не более чем конечное число точек разрыва и все они 1-го рода
(т. е. в каждой точке разрыва £ функция f (х) имеет конечный левый
предел / ($ — 0) = lim f(\ — е) и конечный правый предел f(\ + 0) = Um f (S+e)
(e>$);
3) имеет не более чем конечное число точек строгого экстремума.
Теорема Дирихле утверждает, что функцию /(*), удовлетворяющую
в интервале (^я, я) условиям Дирихле, во всякой точке х этого интервала,
в которой f(x) непрерывна, можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:
f (x) a=-J- + ах cos х -{• bx sin x -f a% cos 2x + bg sin 2x + ... -f- <*n cos nx +
4-6rtsinn;f 4- • ••» (1)
302 ряды [гл. viii
где коэффициенты Фурье ап и Ьп вычисляются по формулам '
те те
ort = --- I f(x)cosnxdx(n = 0, 1,2, ...); bn = — l f(x)sinnxdx(n = l, 2, ...).
— 1С — те
Если х — принадлежащая интервалу (— я, я) точка разрыва функции / (*), то
сумма ряда Фурье S(x) равна среднему арифметическому левого и правого
пределов функции:
SM = yl/(*-0) + /(* + 0)].
В концах интервала * = — я и * = я
5(-я) = 5(я) = 1[/(-я + 0) + /(я-0)1.
2е. Неполные ряды Фурье. Если функция /(х) — четная (т. е.
/ (— jc) == / (jc)), то в формуле (1)
bn=z0 (л = 1, 2, ...)
и
те
an = — \ f(x) cosnxdx (я = 0, 1,2, ...).
Я %)
о
Если функция / (*)—нечетная (т. е. / (— *)=— / (х)), то ап = 0 (л = 0, 1, 2,...) и
&„ = — V / (х) sin nx dx (п=1, 2, ...).
о
Функция, заданная в интервале (0, я), может быть по нашему усмотрению
продолжена в интервал (— я, 0) либо как четная, либо как нечетная;
следовательно, ее можно по желанию разложить в интервале (0, я) в неполный ряд
Фурье по синусам или по косинусам кратных дуг.
3°. Ряды Фурье периода 2/. Если функция /(х) удовлетворяет
условиям Дирихле в некотором интервале (— /, /) длины 2/, то в точках
непрерывнее™ функции, принадлежащих этому интервалу, справедливо разложение
а/ ч <*e i Я* . . . ПХ . 2я* , . . 2ЯХ ,
f(x) = ^ + alcosT+blsin-j + azcos-T + b2s\n-j- + ...
i ППХ , . . ППХ ,
...4-a„cos -p + fr„ sin -j-+...,
где
а»=т1
f(x)cos—rdx (/i = 0, 1, 2,
Ьп = 1 j f(x)sin^dx (n=l, 2, ...).
©
В точках разрыва функции f(x) и в концах х = ± / интервала сумма ряда
Фурье определяется аналогично тому, как это имеет место при разложении
в интервале (—Л, я).
В случае разложения функции / (х) в ряд Фурье в произвольном интервале
(а, а -(- 21) длины 2/ пределы интегрирования в формулах ^2) следует заменить
соответственно через а и а-\-21.
J 4] ряды фурье 303
Указанные ниже функции разложить в ряд Фурье в интервале
(—я, я), определить сумму ряда в точках разрыва и на концах
интервала (х =— я, х = я), построить график самой функции и суммы
соответствующего ряда (также и вне интервала (—я, я)):
[ с. при —Ж^лгг^О,
2671. /(*) = < г,^ ^
J \ с2 при 0<х<я.
Рассмотреть частный случай, когда с1 = —1, с2 —1.
( ах при —я<^х^0,
2672. /(х) = { . с^ ^
J х ' \ Ьх при 0<х<я.
Рассмотреть частные случаи: а) а = Ь=\; б) а = —1, &=1;
в) а—О, Ь=\; г) а=1, ft = 0.
2673. /(х) = х2. 2676. / (х) = cos ax.
2674. f(x) = ea*. 2677. /(x)=shax.
2675. /(х) = sin ах. 2678. /(х) = ch ах.
л —- х
2679. Функцию /(х) =—=— разложить в ряд Фурье в интервале
(О, 2л).
2680. Разложить в интервале (0, я) по синусам кратных дуг
функцию /(х) = — . Полученное разложение использовать для
суммирования числовых рядов:
4 1 1 I * ! I . а\ 1 I ! ! 1,1,1
в) 1— у + у — п + Тз~ ••'
Указанные ниже функции разложить в интервале (0, я) в неполные
ряды Фурье: а) по синусам кратных дуг, б) по косинусам кратных дуг.
Нарисовать графики функций и графики сумм соответствующих рядов
в области их существования.
2681. /(х) = х. Найти с помощью полученного разложения сумму
ряда
2682. /(х) = х2. Найти с помощью полученного разложения суммы
числовых рядов
22~3П "" ' 22~32 42
2683. /(х) = еах.
[ 1 при 0<x<i
2684. /(*) = { я ^ '
I 0 при -о-^х<^я.
304 ряды [гл. viii
j х при 0<x^-£- »
2685. /(*) = { я
(я — л: при — <^х<^л.
Разложить в интервале (0, я) по синусам кратных дуг функции:
I х при 0<л;<4г>
2686. /(*) = { я 2
[ 0 при у <><я.
2687. /(*) = * (я —л:).
2688. /(x) = sin^ .
Разложить в интервале (0, я) по косинусам кратных дуг функции:
[ 1 при 0<^x^ht
2689. /(*) = < Л , ^ ,
[О при /г<^л;<^я.
2690. /(*) = ( 1-2^приО<х<2А,
I 0 при 2h<^x<^n.
2691. /(x) = xsinx.
я
cosx при 0<^х-~^ ,
2692. /(*)=--( я
— cos л: при -о-^жСя.
2693. Используя разложение функций х и х* в интервале (0, я)
по косинусам кратных дуг (см. №№ 2681, 2682), доказать равенство
оо
V* cos пх Зхг — блх + 2я2 /Л ^ _ ч
/2 = 1
2694**. Доказать, что если функция f(x) — четная и при этом
«^(Т"~Ь х)~ —-М If *) » то ее ряд ФуРье в интервале (— я, я)
представляет собой разложение по косинусам нечетных кратных дуг,
а если функция f(x) — нечетная и / ( -o--f- х )==/( ~к—л; 1, то она
разлагается в интервале (—я, я) по синусам нечетных кратных дуг.
В указанных интервалах разложить в ряд Фурье функции:
2695. f(x) = \x\ (— 1<*<1).
2696. f(x) = 2x (0<дг<1).
2697. f(x) = e* (—/<*</).
2698. /(*)=10 — х (5<лг<15).
§ 4]
РЯДЫ ФУРЬЕ
305
Разложить в указанных интервалах в неполные ряды Фурье: а) по
синусам кратных дуг и б) по косинусам кратных дуг следующие
функции:
2699. f(x) =1 (0<х<1).
2700. /(*) = * (0<*</).
2701. f(x) = x* (0<д;<2я).
( х при 0<^л:г^ 1,
2702. /(,) = { 2_хпрн 1 ^х<2
2703. Разложить по косинусам кратных дуг в интервале (-=-, 3)
функцию
3
13 — х при 2 < ;
л:<2,
ри 2 <^ х <^ 3.
ГЛАВА IX
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Проверка решений. Составление дифференциальных уравнений
семейств кривых. Начальные условия
Iе. Основные понятия. Уравнение вида
F(x, у, у', ... , */<">) = О, (1)
где у = у (х) — искомая функция, называется дифференциальным уравнением
п-го порядка. Любая функция */ = ф (х), обращающая уравнение (1) в тождество,
называется решением этого уравнения, а график этой функции — интегральной
кривой. Если решение задано в неявном виде Ф (х, у) = 0, то оно обычно
называется интегралом.
Пример 1. Проверить, что функция y — s'mx является решением
уравнения
Решение. Имеем:
y' = cosx, у" = — sin*
и, следовательно,
у" -|- у = — sin х + sin х зз 0.
Интеграл
Ф(х, у, Clf ... , Ся) = 0 (2)
дифференциального уравнения (1), содержащий п независимых произвольных
постоянных Clt ..., Сп и эквивалентный (в данной области) уравнению (1),
называется общим интегралом этого уравнения (в соответствующей области).
Придавая в соотношении (2) постоянным Clf ..., Сп определенные значения,
получаем частный интеграл уравнения (1).
Обратно, имея семейство кривых (2) и исключая параметры Clt ..., Сп
из системы уравнений
йФ йпФ
ф — о — — 0 -—- — 0
получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида (1), общим
интегралом которого в соответствующей области является соотношение (2).
Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства парабол
у = С1(х-С1)«. (3)
Решение. Дифференцируя два раза уравнение (3), будем иметь:
у' = 2С1(х-Сг) и y"==2Cv (4)
Исключая из уравнений (3) и (4) параметры Ct и С2, получим искомое диффе-
• ренциальное уравнение
Легко проверить, что функция (3) обращает это уравнение в тождество.
§ 1] СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ПРОВЕРКА РЕШЕНИЙ 307
2°. Начальные условия. Если для искомого частного решения
yz=y(x) дифференциального уравнения
y{n) = f(xt у, у\ ... , ^-J>) (5)
заданы начальные условия (задача Коши)
У(*о) = Уо> У'Ы = У'0, ... , y*'l) (Хв) = ^я",}
и известно общее решение уравнения (5)
</ = Ф(*> С, Сп),
то произвольные постоянные С19 ... , Сп определяются, если это возможно,
из системы уравнений
#о = Ф(*о. Cv -. > Сп),
y' = y'(xQt Clf ... , Сп)9
(»-) = фС— )(*„, с, С„).
о
Пример 3. Найти кривую семейства
у = С1е* + С2е-**,
для которой у(0)=\, г/'(0)= —2.
Решение. Имеем:
у' = С1е*-2С2е-гх.
Полагая в формулах (6) и (7) * = 0, получим:
1 = 0, + ^, -2 = 0,-^
откуда
С1 = 0, С2=1
и, следовательно,
у==е'гх.
Выяснить, являются ли решениями данных дифференциальных
уравнений указанные функции:
"2704. ху' = 2у, у = 5х*.
^2705. / = ** + /, jf = I.
,/2706. (x+y)dx-{-xdy = 0, y = C* ~x*.
/2707. У'-{-^ = 0, ^у == 3sin jc — 4cosa:.
t/2708. ^ + со8л: = 0, Ar^C^cosotf + C^ino)/.
^2709. /—2/ + .у = 0; a) y = xex, 6) y = x2e*.
(/2710. / — (К + К)У'+К*>шУ = 0*
у = Сге^х + С2е^х.
Показать, что для данных дифференциальных уравнений
указанные соотношения являются интегралами:
* 2711. (х — 2у)у' = 2х — у, х2 — ху-{-у* = С\
, 2712. (х— у-\-\)у'=\, jf = x + Ce^.
2713. (ху — х)у*-{-ху'л-\-у/ — 2у' = 0, -у=1п(д:ву).
808
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
2715.
2716.
2717.
2718.
2719.
2720.
У~-
f
х2
У-
.Vs
У*
= Сх\
= 2Сх.
+ / =
= Сех.
= С(хг
+1-
-С\
-у*)-
2-\-Се
Составить дифференциальные уравнения заданных семейств кривых
(С, Clf C2, С3 — произвольные постоянные):
2714. у = Сх. 2т ln£=1+aJ,
(а — параметр).
2722. (у— ул)г = 2рх
(у0, р — параметры).
2723. y = C,e*x-\-Cte-x.
vl 2724. y = Clcos2x-\-Cisin2x.
"2. 2725. y = (C1+Cix)ex + Ct.
2726. Составить дифференциальное уравнение всех прямых на
плоскости XOY.
2727. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с
вертикальной осью на плоскости XOY,
2728. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей
на плоскости XOY.
Для данных семейств кривых найти линии, удовлетворяющие
заданным начальным условиям:
2729. х2 — у2 = С, у(0) = 5.
2730. у = (С1-\-С2х)е2\ у(0) = 0, /(0)=1.
2731. jf = Clsin(jc —С,), у(л)=\, у'(п) = 0.
2732. у = С1е-*-\-Сше*-\-С9елх;
У(0) = 0, у'(0)=\, /(0)=-2.
§ 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Iе. Виды дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией у,
разрешенное относительно производной у', имеет вид
/ = /(*. У). (1)
где f(x, у) — данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую
функцию считать переменную х и записывать уравнение (1) в виде
*' = *(*. У)> (Г)
Учитывая, что у'=-~- и я'=—, дифференциальные уравнения (1) и
(Г) можно записать в симметрической форме
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (2)
где Р (х, у) и Q (х, у) — известные функции.
Под решениями уравнения (2) понимаются функции вида у = (р(х) или
* = г|?(#), удовлетворяющие этому уравнению. Общий интеграл уравнений (1)
§ 2]
УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
809
и (1'), или уравнения (2), имеет вид
ф(х, у, С) = 0,
г;:е С — произвольная постоянная.
2°. Поле направлений. Совокупность направлений
\ga = f(x, у)
называется полем направлений дифференциального уравнения (1) и обычно
изображается при помощи системы черточек или стрелок с углом наклона а.
Кривые f{x, y) = k, в точках которых наклон поля имеет постоянное
значение, равное kt называются изоклинами. Построив изоклины и поле
направлений, в простейших случаях можно приближенно нарисовать поле
интегральных кривых, рассматривая последние как кривые, которые в каждой своей
точке имеют заданное направление поля.
Пример 1. Методом изоклин построить поле интегральных кривых
уравнения
у'=х.
Решение. Построив изоклины х = k (прямые линии) и поле направлений
приближенно получаем поле интегральных кривых (рис. 105). Общим
решением является семейство парабол
У =
+ С.
Методом изоклин построить приближенно
поле интегральных кривых для указанных
ниже дифференциальных уравнений:
2733. у'= —х.
2734.
2735.
2736.
2737.
3°. Т
У'
У'
У'
У'
е о
X
= \+у\
х+У
Х-У '
= **+Уш.
рема Кош и.
Если функция Рис. 105.
/(х, у) непрерывна в некоторой области
U la < х < Л, Ь < */ < £ J и имеет в этой области ограниченную производную
/' (х, у), то через каждую точку (xQt y0), принадлежащую U, проходит одна
и только одна интегральная кривая у = у(х) уравнения (1) (<р(х0) = у0).
4°. Метод ломаных Эйлера. Для приближенного построения
интегральной кривой уравнения (1), проходящей через заданную точку М0 (х0, yQ),
эту кривую заменяют ломаной с вершинами Л1£- (х£-, у{), где
*i+ i = *i + Д*/, #+1 = У1 + Д#»
Дх|- = Л(шаг процесса),
byt = hf(xi9 yt) (i = 0, 1, 2, ...).
Пример 2. Методом Эйлера для уравнения
найти у(\), если у(0) = 1 (Л = 0Э 1).
310
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
Составляем таблицу:
1 о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*/
0,
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
VI
1
1
1,005
1,015
1,030
1,051
1,077
1,109
1,148
1,194
1,248
а*< 20
а
0,005 1
0,010 1
0,015
0,021
0,026
0,032
0,039
0,046
0,054
Итак, у(1) = 1,248. Для сравнения приводим точное значение #(1) =
= в4 % 1,284.
Методом Эйлера найти частные решения данных дифференциальных
уравнений для указанных значений х:
2738. у'=у, у(0)=1; найти у (\) (А=0,1).
2439. / = х+У, У(1)=Ъ найти У(2) (А=0,1).
2740. / = — y^tx, y(0) = 2; найти у (\) (А = 0,1).
2741. у'=у — Ц% у(0)=\; найти у (\) (А = 0,2).
§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории
1*. Уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными. Уравнением с разделяющимися переменными называется
уравнение 1-го порядка вида
y' = f(*)g(y) (1)
X (х) Y (у) dx + X, (х) Уг (у) dy = 0. (Г)
Разделив обе части уравнения (1) на g(y) и умножив на dx, будем иметь
J*SL>m*'f (x) dx. Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (1)
i(y)
в виде
lm=lf(x)ds+c' (2)
Аналогично, разделив обе части уравнения (Г) на Xl(x)Y(y) и
проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (Г) в виде
(2')
§ 3] УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 811
Если для некоторого значения у — у0 мы имеем g(«/0) = 0, то функция
У — Уо является также, как непосредственно легко убедиться, решением
уравнения (1). Аналогично прямые х = а и у = Ь будут интегральными кривыми
уравнения (Г), если а и b являются соответственно корнями уравнений
Хг (х) = 0 и Y (у) = О, на левые части которых приходилось делить неходкое
уравнение.
Пример 1. Решить уравнение
у'=-^- (3)
В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному условию;
у(1) = 2.
Решение. Уравнение (3) можно записать в виде
^ = _ JL
dx x '
Отсюда, разделяя переменные, будем иметь:
dy __d*
и, следовательно,
ln|y| = -ln|*| + lnClf
где произвольная постоянная In CY взята в логарифмическом виде. После
потенцирования получим общее решение
где С=±СХ.
При делении на у мы могли потерять решение у = 0, но последнее
содержится в формуле (4) при С = 0.
Используя заданное начальное условие, полу чим С = 2, и следовательно,
искомое частное решение есть
2
У= — .
и х
2°. Некоторые дифференциальные уравнения,
приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными*
Дифференциальные уравнения вида
!Г = Г(ах + Ьу + с) (Ь*0)
приводятся к уравнениям вида (1) при помощи замены и = ах-\-Ьу-\-с, где
и —• новая искомая функция.
3°. Ортогональные траектории — кривые, пересекающие линии
данного семейства Ф(*, у, а) = 0 (а — параметр) под прямым углом. Если
F (xt у, у') = 0 есть дифференциальное уравнение семейства, то
ф *'-у)=0
— дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.
Пример 2. Найти ортогональные траектории семейства эллипсов
х2 + 2у* = а\ (б)
312 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Решение. Дифференцируя обе части уравнения (5), находим
дифференциальное уравнение семейства
х + 2уу' = 0.
Отсюда, заменяя у' на г, получим дифференциальное уравнение
ортогональных траекторий
20 л , 2у
х т = 0 или у' = — .
У х
Интегрируя, будем иметь у = Сх2 (семейство парабол) (рис. 106).
4°. Составление дифференциальных уравнений. При
составлении дифференциального уравнения в геометрических задачах часто
может быть использован геометрический смысл производной как тангенса угла,
Рис. 106.
образованного касательной к кривой с положительным направлением оси ОХ\
это позволяет во многих случаях сразу установить соотношения между
ординатой у искомой кривой, ее абсциссой х и у', т. е. получить
дифференциальное уравнение. В других случаях (см. №№ 2783, 2890, 2895) используется
геометрический смысл определенного интеграла как площади криволинейной
трапеции или длины дуги. При этом непосредственно из условия задачи
получается простейшее интегральное уравнение (поскольку искомая функция
содержится под знаком интеграла), однако путем дифференцирования обеих его
частей можно легко перейти к дифференциальному уравнению.
Пример 3. Найти кривую, проходящую через точку (3; 2), для
которой отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями,
делится пополам в точке касания.
Решение. Пусть М (х, у) есть середина касательной АВ, по условию
являющаяся точкой касания (точки А и В — это точки пересечения
касательной с осями OY и ОХ). В силу условия ОА=2у и ОВ = 2х. Угловой
коэффициент касательной к кривой в точке М (х, у) равен
dy __ О А __ у
dx OB x *
i^2
§ 3] УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 313
Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. Преобразовав,
получим:
dx , dy
х ' у
и, следовательно,
\пх-{-\п у=\пС или ху = С.
Используя начальное условие, определим С = 3-2 —6. Итак, искомая кривая
есть гипербола ху = 6.
Решить дифференциальные уравнения:
2742. tgxsin2 ydx-\-cos2 xctgydy = 0.
2743. ху' — у = у*
2744. хуу' —\—х2
2745. у — ху' = а(\-\-хшу').
2746. Зе* tg у dx-\-{\ — е*) sec2ydy = 0.
2747. y'tgx = y.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным
начальным условиям:
2748. (1-\-е*)-у-у' = е*; у=\ при л: = 0.
2749. (xy2-\-x)dx-\-(x2y — y)dy=0;y=\ при л:=0. -
2750. у' sin х = у In у; у=\ при л:=у.
Решить дифференциальные уравнения, использовав замену
переменных:
2751. у' = (х + у)2.
2752. у' = (Ъх-\-2у-{-\)2.
2753. (2*4-3.)/— \)dx-\-(4x-{-6y— 5)dy = 0.
2754. (2х — у) dx -\-(4x — 2y-\-3) dy = 0.
В №№ 2755 и 2756 перейти к полярным координатам:
2755. у = У*+?-*.
2756. (x*-{-y2)dx — xydy = 0.
2757*. Найти кривую, у которой отрезок касательной равен
расстоянию точки касания от начала координат.
2758. Найти кривую, у которой отрезок нормали в любой точке
кривой, заключенный между осями координат, делится пополам в этой
точке.
2759* Найти кривую, у которой подкасательная имеет постоянную
длину а.
2760. Найти кривую, у которой подкасательная вдвое более
абсциссы точки касания.
2761*. Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести
плоской фигуры, ограниченной осями координат, этой кривой и ординатой
любой ее точки, равна 8/4 абсциссы этой точки.
314 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
2762. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1),
для которой отрезок касательной между точкой касания и осью ОХ
делится пополам в точке пересечения с осью OY.
2763. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (2; 0),
если отрезок касательной к кривой между точкой касания и осью OY
имеет постоянную длину 2.
Найти ортогональные траектории данных семейств кривых (а —
параметр), построить семейства и их ортогональные траектории.
2764. х2-\-у2 = а2. 2766. ху — а.
2765. у2 = ах. щ 2767. (х — а)*-{-у* = а\
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
1°. Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1)
называется однородным, если Р (х, у) и Q(x, #) —однородные функции
одинакового измерения. Уравнение (1) может быть приведено к виду
'-<*)
и при помощи подстановки у = хи, где и — новая неизвестная функция,
преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также
применять подстановку х = уи.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
Решение. Полагаем у = их; тогда и -f- хи' = е" + и или
.„. dx
е udu = — .
х
Q
Интегрируя, получим и=—In In —, откуда
у = — xlu In —.
* X
2°. Уравнения, приводящиеся к однородным. Если
У -f[a2x + bzy + cJ (2)
1 1 \ф 0, то, полагая в уравнении (2) х—и-\-а, r/ = u-j-P, где по-
^2 2 I
стоянные а и Р определяются из системы уравнений
аха + b$ -f- Cj = 0, aza + Ь2Р + сг = °»
получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменных
и и v. Если 6 = 0, то, полагая в уравнении (2) а^-^-b^^u, получим урав*
нение с разделяющимися переменными.
§ б] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 315
Проинтегрировать дифференциальные уравнения:
2768. у'=^—\. 2770. (x — y)ydx — x*dy = 0.
2769. / = — Х-^.
2771. Для уравнения (x2~{^y2)dx— 2xydy — Q найти семейство
интегральных кривых, а также выделить кривые, проходящие
соответственно через точки (4; 0) и (1; 1).
2772. уdx-{-(2Уху — х)dy = 0.
2773. xdy — ydx = Vx2-{-y2dx.
2774.\4x2 + 3xy + y2)dx + (4y2-\-3xy + x2)dy==0.
2776. Найти частное решение уравнения (х2—3y2)dx-{-2xydy=0
из условия, что у=\ при х = 2.
Решить уравнения:
2776. (2х — y + 4)dy-\-(x — 2y + 5)dx = 0.
0777 ц' — 1 - 3* - 3У 077ft у' — Х + 2У + 1
2777. у - Х+х + у ■ 2778. у ~2х + 4у + г
2779. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1;0)и
обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной
на оси ОК, равен полярному радиусу точки касания.
2780**. Какую форму следует придать зеркалу прожектора,
чтобы лучи от точечного источника света отразились параллельным
пучком?
2781. Найти уравнение кривой, у которой подкасательная равна
среднему арифметическому координат точки касания.
2782. Найти уравнение кривой, для которой отрезок, отсекаемый
на оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию
этой точки от начала координат.
2783*. Найти уравнение кривой, для которой площадь, заключенная
между осью абсцисс, кривой и двумя ординатами, одна из которых
постоянная, а другая — переменная, равна отношению куба переменной
ординаты к соответствующей абсциссе.
2784. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат,
отсекаемый любой касательной, равен абсциссе точки касания.
§ б. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Уравнение Бернулли
1°. Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение вида
уГ+Р{х) y = Q(x) (i)
1-й степени относительно у и у' называется линейным.
Если функция Q(#) = 0, то уравнение (1) принимает вид
У' + Р(х)у = 0 (2)
316 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
и называется однородным линейным дифференциальным уравнением. В этом
случае переменные разделяются и общее решение уравнения (2) есть
-fp(x)dx
У = С е J (3)
Для решения неоднородного линейного уравнения (1) применяем так
называемый метод вариации произвольной постоянной; этот метод состоит
в том, что сначала находим общее решение соответствующего однородного
линейного уравнения, т. е. соотношение (3). Затем, полагая в этом
соотношении величину С функцией от х, ищем решение неоднородного
уравнения (1) в виде (3). Для этого подставляем в уравнение (1) у и у',
определяемые из (3), и из полученного дифференциального уравнения
определяем функцию С(х). Таким образом, общее решение неоднородного
уравнения (1) получаем в виде
- Г P(x)dx
у=С(х)е J
Пример 1. Решить уравнение
У' = tgx-y + cosx. (4)
Решение. Соответствующее однородное уравнение есть
У' —tgx-y = 0.
Решая его, получим:
cos х
Считая С функцией от *, дифференцируя, находим:
1 dC , sin x ~
У = • 1— 5— • С.
cos х ах cos2 х
Подставляя у и у' в уравнение (4), получим:
1 dC , sin* r . С . dC
. C = tgx-—— -f cos*, или -r- = cos2xt
cos * dx cos2 * cos * ' dx
откуда
Г 1 1
С (x)= \ cos2 * dx = — * 4" "7■ sm 2* + Cx.
Следовательно, общее решение уравнения (4) имеет вид
1
У=\~2 * + Jsin2* + ci)
cos *
Для решения линейного уравнения (1) можно также применить подстановку
y = uv, (5)
где и и v — функции от *. Тогда уравнение (1) примет вид
[и' + Р (х) и] v + v'u = Q (*). (6)
Если потребовать, чтобы
и'+Р(х)и = 0, (7)
ю из (7) найдем и, затем из (6) найдем v, а следовательно, из (5) найдем у.
§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 317
2°. Уравнение Бернулли. Уравнение 1-го порядка вида
y'+P(x)y = Q(x)y\
где а ф О и а ф 1, называется уравнением Бернулли. Оно приводится к
линейному с помощью подстановки z = y1~a. Можно также непосредственно
применять подстановку yz=uv, или метод вариации произвольной постоянной.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Это — уравнение Бернулли ( а — — ]. Полагая
y — uv,
получим:
u'v -f- v'u~ — uv ~\- х У~ии или v ( и' и ) -\-v'u=x Yu~v. (8)
Для определения функции и потребуем выполнения соотношения
и « = О,
х
откуда
и = х\
Подставляя это выражение в уравнение (8), получим:
v'xt — xYwc*,
отсюда находим v:
u==(±ln|*|+c)\
и, следовательно, общее решение получим в виде
y = *(±\n\x\+cj.
Найти общие интегралы уравнений:
2787*. (\+y*)dx = (V\-\-y*slny — xy) dy.
2788. ytdx — (2xy + 3)dy = 0.
Найти частные решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2789. ху'-\-у — ех = 0; у = Ь при х=а.
2790. / — x-ZTtf— ]— х=0; у=0 при л;=0.
2791. y — ytgx=~; у = 0 при * = 0.
318
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
Найти общие решения уравнений:
2792. g-f-f-== — Xy\
2793. 2*j>j2 —/+*=0.
2794. ydx-\-(x — ~x*y\dy=0.
2795. Зх dy = у (1 + х sin х — Зу* sin x) dx.
2796. Даны три частных решения у, у1% у2 линейного уравнения.
Доказать, что выражение ~ • сохраняет постоянное значение при
любом х. Каков геометрический смысл этого результата?
2797. Найти кривые, для которых площадь треугольника,
образованного осью ОХ, касательной и радиусом-вектором точки касания,
постоянна.
2798. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси абсцисс, равен квадрату ординаты точки касания.
2799. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси ординат, равен поднормали.
2800. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси ординат, пропорционален квадрату ординаты
точки касания.
2801. Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной
равен расстоянию точки пересечения этой касательной с осью ОХ
от точки М (О, а).
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
1°. Уравнения в полных дифференциалах. Если для
дифференциального уравнения
Р(х, y)dx + Q(xt y)dy=zO (l)
ЭР &Q /1ч
выполнено равенство -^~ ss ^ , то уравнение (1) может быть записано в виде
dU (х, у) = 0 и называется уравнением в полных дифференциалах. Общий
интеграл уравнения (1) есть U (х, у) = С. Функция U (х, у) определяется
способом, указанным в гл. VI, § 8, или по формуле
tf=$ P(x, y)dx + ^Q(xot y)dy
(см. гл. VII, § 9).
Пример 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
(Зх2 + Ьху2) dx + (Gx*y + 4у*) dy = 0.
отсюда
§ 6] УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 319
Решение. Это — уравнение в полных дифференциалах, так как
( х -f- ху) __ ( х у -f- У J^^xy и, следовательно, уравнение имеет вид
Здесь
М = 3х* + Ьху* и gf = <Uty + 4y«;
tf = £ (Зх2 + Ьху2) dx + y (у) =х* + Ъхгуг + ф (у).
Дифференцируя U по. у, найдем ^— = 6Л/ -f- ф' ((/) = 6х2у + 4#3 (по условию);
отсюда ф' (у) = 4(/8 и ф (*/) = у* -f- С0. Окончательно получим U (х, у) = Xs -+-
H-3*V + #4 + C0> следовательно, я8 + Зл;2#2 -f- г/4 = С есть искомый общий
интеграл данного уравнения.
2°. Интегрирующий множитель. Если левая часть уравнения (1)
не является полным дифференциалом и выполнены условия теоремы Коши,
то существует функция ц = ц(х, у) (интегрирующий множитель) такая, что
ti(Pdx + Qdy) = dU. (2)
Отсюда получаем, что функция ц удовлетворяет уравнению
Интегрирующий множитель jli легко находится в двух случаях:
1Ч 1 (дР dQ\
1) ?[dj~te)=FlX)' Т°ГАа ^ = [А(Х);
2) ^ (^~ Ж ) = Fl ДО» тогда И- = М- ДО-
Пример 2. Решить уравнение ( 2ху + **# + \) *** + (*2 + #2) ^ = 0.
Решение. Здесь Р = 2ху + х*у + ^, Q = *2 + */2 и -~ (у^ —д£) =*
2х + *ж + #2 — 2* , , ч
= •—г\ г == *> следовательно [x = fi (л).
т a([iP) dOiQ) ар aQ . лф
Так как -^—- = —з-^ или u^-=M.^4-Q ~-, то
а*/ ах г ду г дх l dx*
d\i 1 /аР dQ\ . . , _
"]T=q-V¥"~^J^ = ^ и lnfA==*' ^=Л
Умножая уравнение на jx = e*, получим:
е* Uxy + x*y + ^\ dx + ex {x* +y*) dy = 0
— уравнение в полных дифференциалах. Проинтегрировав его, будем иметь
общий интеграл
320
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
Найти общие интегралы уравнений:
2802. {x-\-y)dx-\-(x + 2y)dy = 0.
2803. (х* -\- f -\-2х) dx-\-2xy dy = 0.
2804. (x* — Здг/ -f 2) dx — (Зхгу — /) dy = 0.
2805. xdx + ydy = xd£-yy2dx.
2806. *Z*< + !L=**dy = o.
2807. Найти частный интеграл уравнения
(х-\-ёу\йх-\-ёУ (\ — -)dy = 0,
удовлетворяющий начальному условию у(0)=2.
Решить уравнения, допускающие интегрирующий множитель вида
jx =jn(л:) или \х = \х(у):
2808. (x-\-y*)dx — 2xydy = 0.
2809. y(\^rxy)dx — xdy = 0.
2810. £dx-\-(y* — lnx)dy=0.
2811. (x cos у — у sin у) dy -|- (x sin у -\- у cos >>) </x = 0.'
§ 7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка,
не разрешенные относительно производной
1°. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
высших степеней. Если уравнение
F(x, у, у') = 0, (1)
например, второй степени относительно у'', то, разрешая уравнение (1)
относительно у\ получим два уравнения:
y' = fi(x, У), y'=f2(x, у). (2)
Таким образом, через каждую точку М0(хс, у0) некоторой области
плоскости проходят, вообще говоря, две интегральные кривые. Общий интеграл
уравнения (1) в этом случае имеет вид
Ф(х, у, С) ^(£,(*, у, С)Ф2(х, у, С) = 0, (3)
где Фг и Ф2 — общие интегралы уравнений (2).
Кроме того, для уравнения (1) может существовать особый интеграл.
Геометрически особый интеграл представляет собой огибающую семейства
кривых (3) и может быть получен в результате исключения С из системы
уравнений
Ф(*. У. 0 = 0, Ф'с(х, у, 0 = 0 (4)
или в результате исключения р = */' из системы уравнений
Fix, у, р) = 0, Fp(x, у, р) = 0. (5;
§ 7] УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 321
Заметим, что кривые, определяемые уравнениями (4) или (5), не всегда
являются решениями уравнения (1); поэтому в каждом отдельном случае
необходима проверка.
Пример 1. Найти общий и особый интегралы уравнения
ху,% + 2ху' —у = 0.
Решение. Решая относительно */', имеем два однородных уравнения:
</'=-!+jA+I. <,<=-!-j/77|,
определенных в области
х(х + у)>0,
общие интегралы которых
(/^?-Ы- (/^+•)"=-§-
или
(2х + у - С) - 2 У хг-\-ху = 0, (2х + у-С) + 2Ух2+хУ = 0.
Перемножая, получим общий интеграл данного уравнения
(2х+у- С)2 - 4(х2 + ху) = 0
или
(у-С)* = 4Сх
(семейство парабол).
Дифференцируя общий интеграл по С и исключая С, найдем особый интеграл
У + х = 0.
(Проверка показывает, что у-\-х = 0 есть решение данного уравнения.)
Особый интеграл можно также найти, дифференцируя хр2 + 2хр — у = О
по р и исключая р.
2°. Решение дифференциального уравнения методом
введения параметра. Если дифференциальное уравнение 1-го порядка
имеет вид
х = Ч>(У, У'),
то переменные у и х могут быть определены из системы уравнений
1 dcp . дер dp .
где р = у' играет роль параметра.
Аналогично, если y = ty(x, у'), то х и у определяются из системы уравнений
'=г+з& »-♦<»■«■
Пример 2. Найти общий и особый интегралы уравнения
х2
У = У'2-ху'+-£.
Решение. Делая подстановку у' — р, перепишем уравнение в виде
У = рг-хр + ^.
11 Г. С. Бараненков и
ДР.
322 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Дифференцируя по х, считая р функцией от #, имеем
о dp dp .
р=2ргх-р-хТх+х
или j- (2р —х) = (2р — х), или -р= 1. Интегрируя, получим р—х-{-С.
Подставляя в первоначальное уравнение, имеем общее решение:
у = (х + С)*-х(х + С)+^ или у = £ + Сх + С*.
Дифференцируя общее решение по С и исключая С, получаем особое реше-
X2 ( X*
ние: # = -—. (Проверка показывает, что У = -г есть решение данного урав-
\ v
нения. J
Если приравнять нулю множитель 2р — #, на который было произведено
х
сокращение, то получим Р = -к- и, подставив р в данное уравнение, получим
х2
У = -т — то же самое особое решение.
Найти общие и особые интегралы уравнений (в №№ 2812 —
2813 построить поле интегральных кривых):
2812. у*—Цу'-{-1=0.
2813. 4у'2 — 9а: = 0.
2814. уу'2 — (Ху+\)у'-{-х = 0.
2815. уу'*—2ху'-\-у = 0.
2816. Найти интегральные кривые уравнения у'ж-\-у*я= 1,
проходящие через точку Ж(0; -^).
Вводя параметр у'=р, решить уравнения:
2817. * = sin/ + ln/. 2820. 4у = х*-\-у'\
2818. у = у'2е>". 2821. е* = у,
2819. jr = /f + 21n/.
§ 8. Уравнения Лагранжа и Клеро
1°. Уравнение Лагранжа. Уравнение вида
0 = *Ф(Р) + Ф(Р). О)
где р = у', называется уравнением Лагранжа. При помощи
дифференцирования, учитывая, что dy = pdxf уравнение (1) сводится к линейному
относительно х:
pdx = q> (p) dx + [*р' (р) + у (р)] dp. (2)
Если р^ф(р), то из уравнений (1) и (2) получаем общее решение
§ 8] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО 823
в параметрическом виде:
х = С/ (р) + 8 (Р), У = [С/ (р) + Я (р)] Ф (Р) + + (Р).
где р — параметр и / (р), g (p) — некоторые известные функции. Кроме того,
может существовать особое решение, отыскиваемое обычным приемом.
2°. Уравнение Клер о. Если в уравнении (1) ф(р)евр, то получаем
уравнение Клеро
У = хр + Ч>(р).
Общее решение его имеет вид у = Сх + -ф (С) (семейство прямых). Кроме того,
существует особое решение (огибающая), получающееся в результате
исключения параметра р из системы уравнений
( *=-ф'(Р).
\ У = РХ + Ц(Р).
Пример. Решить уравнение
у = 2у'х + ~. (3)
Решение. Полагаем у' = р, тогда у = 2рх -| ; дифференцируя и
заменяя dy через pdx, получим:
dp
р dx — 2p dx-\- 2x dp -
или
dx 2,1
-т- = Х-\ г.
dp p р9
Решив это линейное уравнение, будем иметь:
х = ^ (In р + С).
Следовательно, общий интеграл будет:
* = 1(1пр + С),
y = 2px + j.
Для нахождения особого интеграла по общему правилу составляем систему
y = 2px + j, 0 = 2* — 1
Отсюда
и, следовательно,
J_ —1
2р*> У~р
y=±2V%x.
Подставляя у в уравнение (3), убеждаемся, что полученная функция не
является решением и, следовательно, уравнение (3) не имеет особого интеграла.
11*
324 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Решить уравнения Лагранжа:
2822. j, = l* (/ + -£). 2824. j, = (l+/)*+/"•
2823. ^=/ + |/1—у2. 2825*. у = — 1/(2*-fЯ-
Найти общий и особый и интегралы уравнений Клеро и построить
поле интегральных кривых:
2826. у = ху'+/\
2827. у = ху'-\-у'.
2828. у = Ху' + у'\+(у')\
2829. у = ху'-\-1г.
2830. Найти кривую, для которой площадь треугольника,
образованного касательной в любой точке и осями координат, постоянна.
2831. Найти кривую, если расстояние данной точки до любой
касательной к этой кривой постоянно.
2832. Найти кривую, для которой отрезок любой ее касательной,
заключенный между осями координат, имеет постоянную длину /.
§ 9. Смешанные дифференциальные уравнения
1-го порядка
2833. Определить типы дифференциальных уравнений и указать
методы их решения:
а) (x-\-y)y' = xatctg£.; и) / = (*-f У?\
б) (л: — у)у' = у2; к) xcosy'-\-ysiny'= l;
в) у' = 2ху-\-хг\ л) (х* — ху)у'=у*;
г) у' = 2ху-\-у3; м) (x2-\-2xy')dx-{-
Д) xy'-{-y = siny; _|1(У + Зл:У) dy = 0;
е) (у — xy'f = y'*\ н) (л:3— 3xy)dx-{-(x2-{-3)dy=0;
ж) у = хе?'\ о) (ху9-\-\nx)dx = y*dy.
з) (y'—2xy)Vy = x9;
Решить уравнения:
2834.
а) (л: — у cos — ] dx-\- x cos— dy = 0;
б) x\n — dy—д/</л; = 0.
2835. xdx=(j — y')dy.
2836. (2*/— y)dx-\-xdy--
2837. jey'+j/ —;ey4njt.
2838. jf = */+/ln/.
§ 9] СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 325
2839. y = xy'-\-V— ay'.
2840. x1(y-{-i)dx-\-(x'—1)(y—\)dy = 0.
2841. (1+/)(«■* Ле — eydy) — (l-\-y)dy=0.
2842./ —J 2^ = 1. 2845. (1 — x2) у'+ xy = a.
2843. yey = (y' + 2xe-") /. 2846. ж/ ^-r — jk = 0.
2844. _y'-(-^cosA; = sinj«;cosA;. 2847. /(xcos_y 4-flsin2.V)==l«
2848. (x*y — x* -\-y — 1) dx -\- {xy -\- 2x — 3y — 6) d.y = 0.
2848./ = (l+^)\
2850. je/d* = (*V + 2)d,iy.
2852. 2dx + yrjdy—y^£dx:=Q.
2853. v' = ^- + tg -^ . 2861, еУ dx + (*«* — 2-V) rf-V = °«
2854.' yy'+y* = cosx. 2«>2- У = 2хУ' Л-УЧТ'-
2855. xdy+ydx=y*dx. 2863. /=-(1 +lny — \nx).
2856. /(jc4-slny)=l. *
2857 v dp — - n 4- «■ 2864' (2e* +У1) dy -
2857. УЩ — Р^ГР ' — ye*dx = b*
2858. *'«**-(**+/)</jr=0. , п( y + 2 у
2859. *»/» + аху/ + ^ 2865« У = 2 (^ + i/_iJ •
+ 2/ = 0. 2866. *у(*/-И)4У — dx =
9*M *** + у*у+ = 0. ^
V* + fxdy-ydx _n 2867' fl(*/H-2j») = ^/.
i y~* —u- 2868. xdy — ydx=y2dx.
2869. (л;2 — 1 )'/2dy-f (x' + Зху VV—1)rfx=0.
2870. tgxd£-y = a.
2871. Va* + x*dy + (x-\-y — Va*-\-x*)dx = 0.
2872. лгу/2—-(*2-f/)/+;ey==0.
2873. y = xy' + y\i.
2874. (3x2 + 2*y — /) rfx -f (x2 — 2xy — 3/) d^ = 0.
2875. 2ypd£ = 3p* + 4y\
326
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
Найти решения уравнений при указанных начальных условиях:
2876. / = £±i; у = о при х=1.
2877. ех-уу'=\; у=\ при х=\.
2878. y'ctgx-\-y = 2; у = 2 при х = 0.
2879. е^(/ + 1)=1; ^ = 0 при х=0.
2880. y'-\-y = cosx; У = -к ПРИ х = 0.
2881. / —2у = —х8; .у=^- при * = 0.
2882. у'-{-у = 2х; у = —\ при х = 0.
2883. ху'=у\ a) jr= 1 при х=1; б) j/ = 0 при # = 0.
2884. 2*^'=^; а) у=\ при х=1; б) ^ = 0 при х = 0.
2885. гяу/+ ** — / = 0» а) ^ = 0 при х==0; б) j;=l при
х—0, в) j; = 0 при х=1.
2886. Найти кривую, проходящую через точку (0; 1), у которой
подкасательная равна сумме координат точки касания.
2887. Найти кривую, зная, что сумма отрезков, отсекаемых
касательной к ней на осях координат, постоянна и равна 2а.
2888. Сумма длин нормали и поднормали равна единице. Найти
уравнение кривой, если известно, что кривая проходит через начало
координат.
2889*. Найти кривую, у которой угол, образованный касательной
и радиусом-вектором точки касания, постоянен.
2890. Найти кривую, зная, что площадь, заключенная между
осями координат, этой кривой и ординатой любой точки на ней,
равна кубу этой ординаты.
2891. Найти кривую, зная, что площадь сектора, ограниченного
полярной осью, этой кривой и полярным радиусом любой ее точки,
пропорциональна кубу этого радиуса.
2892. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной
на оси ОХ, равен длине этой касательной.
2893. Найти кривую, у которой отрезок касательной,
заключенный между осями координат, делится пополам параболой у* = 2х.
2894. Найти кривую, у которой нормаль в любой ее точке равна
расстоянию этой точки от начала координат.
2895*. Площадь фигуры, ограниченной кривой, осями координат и
ординатой какой-либо точки кривой, равна длине соответствующей
дуги кривой. Найти уравнение этой кривой, если известно, что она
проходит через точку (0; 1).
2896. Найти кривую, у которой площадь треугольника,
образованного осью абсцисс, касательной и радиусом-вектором точки
касания, постоянна и равна а\
§ 9] СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 327
2897. Найти кривую, если известно, что середина отрезка,
отсекаемого на оси ОХ касательной и нормалью к кривой, есть
постоянная точка (а; 0).
При составлении дифференциального уравнения 1-го порядка, особенно
в физических задачах, часто бывает целесообразно применять так называемый
метод дифференциалов, заключающийся в том, что приближенные
соотношения между бесконечно малыми приращениями искомых величин, справедливые
с точностью до бесконечно малых высшего порядка, заменяются
соответствующими соотношениями между их дифференциалами, что не отражается на
результате.
Задача. В резервуаре находится 100 л водного раствора,
содержащего 10 кг соли. Вода вливается в резервуар со скоростью 3 л в 1 мин, и
смесь вытекает из него со скоростью 2 л в \ мин, причем концентрация
поддерживается равномерной посредством перемешивания. Сколько соли будет
содержать резервуар по истечении 1 часа?
Решение. Концентрацией с данного вещества называется количество
его, заключенное в единице объема. Если концентрация равномерна, то
количество вещества в объеме V равно cV.
Пусть количество соли, находящееся в резервуаре по истечении / мин,
есть х кг. Количество смеси в резервуаре в этот момент будет (100 + /) л и,
следовательно, концентрация с=} . кг на 1 л.
В течение промежутка времени dt из резервуара вытекает 2dt л смеси,
содержащих 2с dt кг соли. Поэтому изменение dx количества соли в резервуаре
характеризуется соотношением
2х
— dx = 2cdt, или —dx=.dt.
Это и есть искомое дифференциальное уравнение. Разделяя переменные и
интегрируя, получим:
1п* = — 21п(100 + 0+1пС
или
_ С
*"-(100 + /)2'
Постоянное С определится из условия, что при / = 0, я =10, т. е.
С =100 000. По истечении часа в резервуаре будет содержаться соли
_ 100000 QQ
Х~ 1602 ^6^кг-
2898*. Доказать, что для тяжелой жидкости, вращающейся около
вертикальной оси, свободная поверхность имеет форму параболоида
вращения.
2899*. Найти зависимость давления воздуха от высоты, если
известно, что это давление равно 1 кГ на 1 смг на уровне моря и
0,92 кГ на 1 см1 на высоте 500 м.
2900*. Согласно закону Гука, эластичный шнур длины / под
действием растягивающей силы F получает приращение длины klF(k=z
— const). На сколько увеличится длина шнура под действием его
веса W, если подвесить шнур за один конец? (Начальная длина
шнура /.)
328
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
2901. Решить ту же задачу при условии, что к концу шнура
подвешен груз Р.
При решении задач 2902—2903 использовать закон Ньютона, по
которому скорость охлаждения тела пропорциональна разности
температур тела и окружающей его среды.
2902. Найти зависимость температуры Т от времени t} если
тело, нагретое до Г0 градусов, внесено в помещение, температура
которого постоянна и равна а градусов.
2903. Через сколько времени температура тела, нагретого до
100°, понизится до 30°, если температура помещения равна 20° и
за первые 20 мин тело охладилось до 60°?
2904. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся
в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти
зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что
диск, начавший вращаться со скоростью 100 об\мин, по истечении
1 мин вращается со скоростью 60 об\мин.
2905*. Скорость распада радия пропорциональна наличному
количеству его. Известно, что по истечении 1600 лет остаётся половина
первоначального запаса радия. Найти, какой процент радия окажется
распавшимся по истечении 100 лет.
2906*. Скорость истечения воды из отверстия на расстоянии h
по вертикали от свободной поверхности определяется формулой
v = cV2gh>
где с ^ 0,6 и g—ускорение силы тяжести.
В какое время вода, заполняющая полусферический котел
диаметра 2 м, вытечет из него через круглое отверстие на дне радиуса 0,1 м.
2907*. Количество света, поглощаемого при прохождении через
тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и
толщине слоя. Если при прохождении слоя воды толщиной 3 м
поглощается половина первоначального количества света, то какая
часть этого количества дойдет до глубины 30 м?
2908*. Сила сопротивления воздуха при падении тела с
парашютом пропорциональна квадрату скорости движения. Найти
предельную скорость падения.
2909*. Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто
смесью соли и нерастворимого вещества. Допуская, что скорость
растворения соли пропорциональна разности между концентрацией
в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг соли
на 3 л воды) и что данное количество чистой воды растворяет */, кг
соли в 1 мин, найти, сколько соли будет содержать раствор по
истечении 1 часа.
2910*. Электродвижущая сила е в цепи с током /, имеющей
сопротивление R и индуктивность Ly складывается из падения напря-
§ 10J ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 329
жения Ri и электродвижущей силы самоиндукции L -г. Определить
ток / в момент времени /, если e = Es'm(ut (E и со — постоянные) и
1 = 0 при t = Q.
§ 10. Дифференциальные уравнения высших порядков
1°. Случай непосредственного интегрирования. Если
|^> = /(*),
то
0=Jd*J... lf(x)dx + Clxn-* + CiXn-' + ...+Cn.
n раз
2°. Случаи понижения порядка. 1) Если дифференциальное
уравнение явно не содержит */, например
F(x, у', Л = 0,
то, полагая #'=р, получим уравнение порядка на единицу ниже
F(x9p,p') = 0.
Пример 1. Найти частное решение уравнения
ху" + у' +х = 0,
удовлетворяющее условиям
у —0, у'=0 при * = 0.
Решение. Полагая у' = р, имеем у" = р'9 откуда
хр' + р + * = 0.
Решая последнее уравнение как линейное относительно функции р,
получим:
рх = С1-^.
Из условия у'=р~0 при лс = 0 имеем 0 = С1— 0, т. е. С1 = 0. Следовательно,
х
'=—
или
dy х
1х~~~~~2'
откуда, интегрируя еще раз, получим:
xz
Полагая у — О при х = 0, находим Сг = 0. Следовательно, искомое частное
решение есть
у = --х*.
330 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
2) Если дифференциальное уравнение явно не содержит х, например,
то, полагая у' = р, y^ — p-J-, получим уравнение порядка на единицу ниже
р(„,р,р|)=о.
Пример 2. Найти частное решение уравнения
уу"-у'* = у*
при условии у=\, у' = 0 при х = 0.
Решение. Полагаем у'==р, тогда у" = р-¥ и наше уравнение
преобразуется в следующее:
w%-?=*-
Мы получили уравнение типа Бернулли относительно р (у считаем
аргументом). Решая его, найдем:
р=+уУЪл!г-
Из условия у'==р = 0 при у=1 имеем Cj = —1. Следовательно,
р — ^У TV—1
или
Интегрируя, имеем:
1
arccos — ± х = С«.
У 2
Полагая у=\ и * = 0, получим С2 = 0, откуда — = cos# или y = secx.
У
Решить уравнения:
2911. У=±. 2920' УУ"=УУ + /*•
X
2921. уув—у'(\+У) — 0.
2912. / = — V' 2922. /== — 4.
2913. /= 1 —У*. 2923# (д;_1_ 1)у—(jc-f-2) v'+^+
2914. *У+У = 0. ^ " ^+7=6.
2915. УУ"=У) 2Ш.ху"=у'\п^.
2916. jry+У =0. \Х
2917. (1+х2)У+/2+1=0. 2925. / + j {у0)* = х/.
2918. У(1+У*) = аУ.
2919. *У'-|-;су'=1.
2926. *у-4-у =!-{-*.
2927. У',4У,= 1.
§ 10] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 331
Найти частные решения при указанных начальных условиях:
2928. {1-\-х*)у" — 2ху' = 0; у = 0, у' = 3 при х = 0.
2929. 1+у2 = 2_у/; у=\, у'= 1 при х = 1.
2930. уу"+у'2=у'3; у=1, / = 1прид; = 0.
2931. ху"=у'; у = 0, у'= 0 при х = 0.
Найти общие интегралы уравнений:
2932. УУ'^УТТУ1? — ?/.
2933. y/=y" + y'Vyt + y'i.
2934. у'г — уу"=угу'.
2935. уу"-\-у'г — у'3\пу = 0.
Найти решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2936. /у=1; у = 1, / = 1 при x = -j.
2937. уу"-{-у'г=\; у=1, у'=\ при х = 0.
2938. х/ = '|/'14г^'2; д» = 0 при х=1; у — 1 при * = <?*.
2939. y"(l-\-lnx)-\--j-y'=2-[-\nx; .V = Y' -У'=1 при *=»!•
2940./ = ^(l+ln^; jr = l, /=1 при *=1.
2941. /'— /*+УСу — 1) = 0; у = 2, у'= 2 при * = 0.
2942. Ъу'у"=у+у'*-\-\; у = — 2; у'=0 при * = 0.
2943. _у24-^'2 —2д»/ = 0; J> = 1, / = 1 при х = 0.
2944. дгу-|-^'*+>'У = 0; j»=l при х = 0 ну — О при дг=—1.
2945. 2у'-{-(у'* — 6х)-у" = 0; у = 0, у'= 2 при х = 2.
2946. ^у+ЗУ* — Уг-=0; jf=1, / = 2 при * = 0.
2947. 2.уУ — зу2 = 4/; j»=l, У = 0 при д; = 0.
2948. 2.УУ+У —У2 = 0; у = \, / = 1 при * = 0.
2949. у"=у'*— у;у = — \, / = у ПРИ *=1-
2950. .у' + рвуу —2уу', = 0; j = l, / = « при x = — ^t
2951. 1+>У+>'1 = 0; j> = 0, У=1 при х=\.
2952. (1+^/)/ = 0+/*)/; J = l, /=1 при д; = 0.
2953. (x-fl)/+ */*=/; j = — 2, / = 4 при х=1.
Решить уравнения:
2954. у = лУ'2+/2.
2955. / = */+/ —/\
332
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
2956. у'"2 = 4у".
2957. ууУ=у'*-\-у". Выделить интегральную кривую,
проходящую через точку (0; 0) и касающуюся в ней прямой у-\-х = 0.
2958. Найти кривые постоянного радиуса кривизны.
2959. Найти кривую, у которой радиус кривизны
пропорционален кубу нормали.
2960. Найти кривую, у которой радиус кривизны равен нормали.
2961. Найти кривую, у которой радиус кривизны вдвое больше
нормали.
2962. Найти кривые, у которых проекция радиуса кривизны на
ось OY постоянна.
2963. Найти уравнение каната подвесного моста, предполагая,
что нагрузка распределена равномерно по проекции каната на
горизонтальную прямую. Весом каната пренебречь.
2964*. Найти положение равновесия гибкой нерастяжимой нити,
укрепленной концами в двух точках и имеющей постоянную нагрузку
q (включая вес нити) на единицу длины.
2965*. Тяжелое тело без начальной скорости скользит по
наклонной плоскости. Найти закон движения, если угол наклона равен а,
а коэффициент трения |х.
Указание. Сила трения равна \iNt где N — сила реакции плоскости.
2966*. Силу сопротивления воздуха при падении тела можно
считать пропорциональной квадрату скорости. Найти закон
движения, если начальная скорость равна нулю.
2967*. Моторная лодка весом 300 кГ движется прямолинейно
с начальной скоростью 66 м\сек. Сопротивление воды
пропорционально скорости и равно 10 кГ при скорости 1 м\сек. Через
сколько времени скорость будет равна 8 м\сек!
§11. Линейные дифференциальные уравнения
1°. Однородные уравнения. Функции ух = (pt (х), у2 = ф2 (х), ...
..., Уп = уп(х) называются линейно зависимыми, если существуют
постоянные С19 С2, ..., С„, не все равные нулю, такие, что
в противном случае данные функции называются линейно независимыми.
Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения
У(п) + Р, (х) У{п-" +...+Р„(х)у = 0 (1)
с непрерывными коэффициентами Р((х) (i = l, 2, . . ., п) имеет вид
У = С1У1+С^+...+С„уП9
где уи у2, ..., уп — линейно независимые решения уравнения (1)
(фундаментальная система решений).
2°. Неоднородные уравнения. Общее решение неоднородного
линейного дифференциального уравнения
У(п) + Рг М У{п~1) + ... + Рп(х) У = 1(х) (2)
§ И]
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
333
с непрерывными коэффициентами Р;(х) и правой частью f(x) имеет вид
У = У. + У,
где у0 — общее решение соответствующего однородного уравнения (1) и К —
частное решение данного неоднородного уравнения (2).
Если известна фундаментальная система решений ylt у2, ..., уп
однородного уравнения (1), то общее решение соответствующего неоднородного
уравнения (2) может быть найдено по формуле
у=С1 (х) у, + С2 (*) уг + ... + Сп (х) ynt
где функции С{(х) (t = l, 2, ..., п) определяются из системы уравнений
(3)
C1(x)yl + Ct(x)yt
Cl(x)y[ + C'i(x)y'i
+ ••
+ ••
.+Сп(х)уп = 0,
.+Сп(х)у'п = 0,
С[(х)у[п-2) + С'2(х)у[п-^ +,
С1(х)у[п'1) + С2(х)у\
<и-1)
+ C'n(x)itf-l) = f(x)
(метод вариации произвольных постоянных).
Пример. Решить уравнение
ху" + у'= х2.
Решение. Решая однородное уравнение
xy'' + y' = Q,
получим:
у = Сх \пх-\-Сг.
Следовательно, можно принять
Ух — In X И Уг = 1
и решение уравнения (4) искать в виде
у = Сх(х)\пх + Сг(х).
Составляя систему (3) и учитывая, что приведенный вид уравнения (4) есть
(4)
(5)
0»-|-— = ж, получим
| С[(х)Ых + С^(х)А=0,
| C[(x)± + C't(x)-0 = x.
Отсюда
Сг(х) = ^+А
сг(*)=-у1п* + |-4-в
и, следовательно,
-_^ + А\пх + В,
где Л и В — произвольные постоянные.
334 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
2968. Исследовать на линейную зависимость следующие системы
функций:
а) х, дг+Ь* Д) *> х*, х*у
б) х\ — 2х*; е) ех, е2Х, егх\
в) 0, 1, х\ ж) sin л;, cos л:, \\
г) х> * + 1» jc-J-2; з) sin2 л;, cos1 я, 1.
2969. Составить линейное однородное дифференциальное
уравнение, зная его фундаментальную систему решений:
a) yt = smx> y2 = cosx;
в) Уг = х, у2 = х2;
г) yl = eP, yt — e*sinx, yz = ex cosx.
2970. Зная фундаментальную систему решений линейного
однородного дифференциального уравнения
Л = *. Л = **» Уш = х'>
найти его частное решение j;, удовлетворяющее начальным условиям
2971*, Решить уравнение
зная его частное решение ву,= .
2972. Решить уравнение
х2(\пх— 1)у" — ху'-\-у = 0,
зная его частное решение уг = х.
Методом вариации произвольных постоянных решить
неоднородные линейные уравнения:
2973. **/ — xy' = Sx9.
2974*. х*у" + ху'— У = х2-
2975. y'"-]-y' = sezx.
§ 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
с постоянными коэффициентами
1°. Однородное уравнение. Линейное уравнение 2-го порядка
с постоянными коэффициентами р и q без правой части имеет вид
У" + РУ' + ЯУ = 0. (1)
Если kx и k2 —- корни характеристического уравнения
V(k)**k*+pk + q = 09 (2)
§ 12J линейные уравнения 2-го порядка 335
то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех
видов:
1) y = Clekix + C2ek>xf если kl и k2 вещественны и £, ф k2;
2) y = eki*(Cl+C9x)t если kx = k$
3) у=еа^ (Ct cos Pjc -^ C2 sin Рлг), если kx=a-\-$l и ^2 = а — pt (р фО).
2°. Неоднородное уравнение. Общее решение линейного
неоднородного дифференциального уравнения
У" + РУ'+ЯУ = [(х) (3)
можно записать в виде суммы
у=Уо + у,
где у0 — общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части,
определяемое по формулам 1) — 3), и Y — частное решение данного
уравнения (3).
Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов
в следующих простейших случаях:
1. f(x) = edxPn(x), где Рп (х) — многочлен степени п.
Если а не является корнем характеристического уравнения (2), т. е.
ф(а) Ф 0, то полагают Y = eax Qn(x), где Qn(x) — многочлен степени п с
неопределенными коэффициентами.
Если а есть корень характеристического уравнения (2), т. е. <р(а)=:0,
то Y = xreax Qn(x), где г — кратность корня а (г = 1 или г = 2).
2. / (х) = еа* [Рп (*) cos &* + Qw (x) sin &*].
Если ф (a it: to') 96 0, то полагают
К == еа* [SN (*) cos bx + TN (x) sin &*],
где Sk(x) и 7^ (*) — многочлены степени N = max{n, m}.
Если же ф(а:+г &i)=0, то
К = xreax [SN (x) cos fc* + 7> (a:) sin &*],
где г — кратность корней а-±.Ы (для уравнений 2-го порядка г = 1).
В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации
произвольных постоянных (см. § 11).
Пример 1. Найти общее решение уравнения 2у" — у1 — у — \хегх.
Решение. Характеристическое уравнение 2kz — k — 1 = 0 имеет корни
kt = l и &2 = ——. Общее решение соответствующего однородного уравне-
ния (первый вид) у0 = Схех + С8е *. Правая часть заданного уравнения
f(x) = 4xe2X = eaxPn(x). Следовательно, К — etx(Ax + B), так как я = 1
и г = 0. Дифференцируя Y два раза и подставляя производные в данное
уравнение, получим:
Vх (4Л* + 4Я + А А) - в1* (2Л* + 2Я + Л) - е*х (Ах + В) = 4хегх.
Сокращая на &х и приравнивая друг другу коэффициенты при первых
степенях х и свободные члены в левой и правой частях равенства, имеем
4 28
5Л = 4 и 7А + 5В = 0, откуда А=-^ и Я=—^.
336 ' ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ТХ
Таким обрааом, Y = е2х (-=- х — щ ], а общее решение данного
уравнения есть
y = Clfi*-t-C2e~"b*+e"(4*-l)-
Пример 2. Найти общее решение уравнения у" — 2у' -]-у = хех.
Решение. Характеристическое уравнение ft* — 2^-J— 1 = 0 имеет
двукратный корень k=\. Правая часть уравнения имеет вид f(x) = xex\ здесь
а = \ и я=1. Частное решение Y = x2ex (Ax-\-B)t так как а совпадает
с двукратным корнем k=l и, следовательно, г = 2.
Дифференцируя Y два раза, подставляя в уравнение и приравнивая
коэффициенты, получим А=~, # = 0. Следовательно, общее решение
данного уравнения запишется в виде
у = (С1+Сшх)е* + ±х9ё*.
Пример 3. Найти общее решение уравнения #"-)-# = *sin*.
Решение. Характеристическое уравнение кг -f-1 = 0 имеет корни
Л, = *' и k2 = —i. Общее решение соответствующего однородного уравнения
будет [см. 3), где а = 0 и 0 = 1]:
yQ = Cj cos x -f- C8 sin *.
Правая часть вида
/ (х) = еах [Рп (х) cos Ьх + Qm (х) sin Ьх],
где а = 0, 6 = 1, Ри(*) = 0, QOT (*) = #. Ей соответствует частное решение
Y = x [(Ах + В) cos х + (Сх + D) sin *]
(здесь W = l, а = 0, 6=1, г=1).
Дифференцируя два раза и подставляя в уравнение, приравниваем
коэффициенты в обеих частях равенства при cos*, *cos*, sin* и Jt sin л:. В
результате получатся четыре уравнения 2Л-f-2Z) = 0, 4С = 0, — 2В-(-2С = 0,
— 4Л = 1, из которых и определяются Л=—1\^ B = Q, C = 0, D = lU.
X* X
Поэтому Y = —- -j cos х -j- — sin x.
Общее решение
Xz X
у = Cj cos x -f- C2 sin x — — cos x -f- — sin *.
3°. Принцип наложения решений. Если правая часть
уравнения (3) есть сумма нескольких функций
/<*)=/.(*)+/.(*)+...+/„(*)
и Yi(t = l, 2, .... п) — соответствующие решения уравнений
у" + ру' + ду = Ь(х) (i = l, 2 л),
то сумма
1/ = К1+К2+.,.+Г„
является решением уравнения (3).
§ 12] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА 337
Найти общие решения уравнений:
2976. у" — Ъу' + &у = 0. 2982. /' + 2/ + у = 0.
2977. /' — 9у = 0. 2983. у" — 4/ + 2у = 0.
2978. у" — у' = 0. 29й- -V" - *У = °(**=0)-
2979./<+' = 0. 2985., = /'+/.
2980. у" — 2у' + 2у=0. 2986. У—п1 = Ъ.
2981. /' + 4/ + 13у = 0.
Найти частные решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2987. у" — Ъу' + 4^=0; , = 5, / = 8 при х=0.
2988. /' + 3/ + 2у = 0; j/=l,/= —1 при * = 0.
2989. /'+4j/ = 0; у = 0, у' = 2 при х=0.
2990. /' + 2/ = 0; ,= 1, / = 0 при х = 0.
2991. /' = ^ У = а, / = 0 при х = 0.
2992. /' + 3/ = 0; , = 0 при л:=0 и , = 0 прил; = 3.
2993. у"-\-л*у=0; у=0 при лг==0 и ,= 0 прил:=1.
2994. Указать вид частных решений для данных неоднородных
уравнений:
а) /'_ 4у = х*е*х;
б) /' + 9,= cos 2л;;
в) /' — 4/ + 4<y = sin2* + «t*;
Г) /' + 2/ -\-2у = ех sin x\
Д) /' —5/ + 6,= (л:2+1) e* + wM;
е) у" — 2/ + Ъу = л:е* cos 2л: — л:V sin 2л:.
Найти общие решения уравнений:
2995. /' — 4/ + 4>г = л:2.
2996. /' — /+,= х9 + 6.
2997. /'+2у' + ,= е2\
2998. /' — 8/+ 7, = 14.
2999. /' — у = ех.
3000. //+ву=соБл:.
3001. /' + / — 2, = 8 sin 2л:.
3002. /' + / —6.у = л:е2*.
3003. /' — 2<у' + <у=81пл: + 5Ь л\
3004. /'+/ = sin^.
3005. у" — 2/ + Ъу = ех cos 2л:.
3006. Найти решение уравнения ," + 4,== sin x,
удовлетворяющее условиям ,= 1, ,'=1 при л: = 0.
338 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Решить уравнения:
3007. jjr-\-(d2x = Asinpt. Рассмотреть случаи: 1) рф(й\
2) р = о).
3008. /' — 1у' + 12у = — е*х.
3009. у" — 2y' = xz — 1.
ЗОЮ. у" — 2у'-{-у = 2ех.
ЗОН. /' — 2/ = е*х-\-5.
3012. /' — 2/ — 8^ = в* — 8cos2jcJ
3013. /'-{-/= 5х + 2ех.
3014. у"—у = 2х— 1— Зг*.
3015. у 4-2/4" .У = ** + *"*•
3016. у" — 2y'-\-\0y = sin3x-\-ex.
3017. /'_ 4/+ 4^ = 2^ + 1.
3018. y" — 3y' = x-\-cosx.
8019. Найти решение уравнения у" — 2у' = е*х-\-х* — 1,
удовлетворяющее условиям: у = -.9 у=1 при х = 0щ
Решить уравнения:
3020. у" — y = 2xsinx.
3021. y" — 4y = e2Xsin2x.
3022. <y" + 4-y = 2sin2A: —3cos2jc+1.
3023. у" — 2y'-\-2y = 4exsinx.
3024. y" = xe*-{-y.
3025. у 4-9>> = 2* sin * 4> л;е8\
3026. у" — 2y' — Zy = x(\+eiX).
3027. y" — 2y' = 3x+2xex.
3028. jf" —4/4-4^ = ^**.
3029. у + 2/ — 3y = 2xe-**-\-(x-\-l)e*.
3030*. y4-.y = 2A;cosxcos2*.
3031. y" — 2y = 2xe*(cosx — sinx).
Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить
уравнения:
3032. y"+y = tgx. 3036. У"+У= ^.
3033. у"+У = ctgx. 3037-/'+^ = inn-
3034. /' — 2/+J"=^-. 3038. а)/' —3f=thx;
3035 /' + 2/ + ^ = ^-. б) /' —2дг = 4л;4е*2.
§ 12] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА 339
3039. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины.
Найти уравнение движения, которое будет совершать один из
этих грузов, если другой оборвется.
Решение. Пусть увеличение длины пружины под действием одного
груза в состоянии покоя равно а и масса груза т. Обозначим через х
координату груза, отсчитываемую по вертикали от положения равновесия при
наличии одного груза. Тогда
d*x ь/ i \
^ mg d2x а .^
где, очевидно, k = —^- и, следовательно, —ттг = — — #. Общее решение есть
a at* a
* = Clcos/f <+C,sin j/|*. Начальные условия даЮТ , = а „ *-О
при f = 0; отсюда Сг = а и С2 = 0, следовательно,
х = a cos l/ — t.
3040*. Сила, натягивающая пружину, пропорциональна
увеличению ее длины и равна 1 кГ, когда длина увеличивается на 1 см.
К пружине подвешен груз весом 2 кГ. Найти период
колебательного движения, которое получит этот груз, если его слегка
оттянуть книзу и затем отпустить.
3041*. Груз весом Р =4 кГ подвешен на пружине и
увеличивает ее длину на 1 см. Найти закон движения груза, если
верхний конец пружины совершает вертикальное гармоническое
колебание j/ = 2sin30/ см и в начальный момент груз находился в покое
(сопротивлением среды пренебрегаем).
3042. Материальная точка массы т притягивается каждым из
двух центров с силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент
пропорциональности равен k). Найти закон движения точки, зная,
что расстояние между центрами 2£, в начальный момент точка
находилась на отрезке, соединяющем центры, на расстоянии с от
середины его, и имела скорость, равную нулю.
3043. Цепь длины 6 м скользит вниз с подставки без трения.
Если движение начинается с момента, когда свисает 1 м цепи, то во
сколько времени соскользнет вся цепь?
3044*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой
скоростью со около перпендикулярной к ней вертикальной оси.
Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без трения.
Найти законы движения шарика относительно трубки, считая, что:
а) в начальный момент шарик находился на расстоянии а от оси
вращения и начальная скорость шарика равна нулю;
б) в начальный момент шарик находился на оси вращения и имел
начальную скорость vQ.
340 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами порядка выше 2-го
1°. Однородное уравнение. Фундаментальная система решений
У\> Уг* ...» уп однородного линейного уравнения с постоянными
коэффициентами
»("> + о1^»-«+...+вв_,У'+вв» = 0 О)
строится на основе характера корней характеристического уравнения
fe«4-a1fen-1+...+a„_,fe + an = 0. (2)
А именно: 1) если k есть вещественный корень уравнения (2) кратности т,
то ему соответствует т линейно независимых решений уравнения (1):
yl—ekx, y2z=xekx, ..., ym = xm'4kx\
2) если a ± fii — пара комплексных корней уравнения (2) кратности т,
то ей соответствует 2т линейно независимых решений уравнения (1):
у1 = е*х cos р*, у2 = е*х sin {he, уг = хе*х cos fix, #4 — хе*х sin fix, ...
...» У2т^i^^-'e^cos fix, y2fn = xm-"le«xsinfix.
2°. Неоднородное уравнение. Частное решение неоднородного
уравнения
y{n) + aly<»-»+...+an_ly'+any = f(x) (3)
отыскивается на основе правил § 12, 2° и 3°.
Найти общие решения уравнений:
3045. /"—13/+12/ = 0. 3057. yv + 2y"-|-/ = 0.
3046. /"—/ = 0. 3058. yv^2/+^ = °-
3047. у'"+у = 0. 3059. у«>+уУ"-1) +
3048. yv_2/ = 0. +П(/?.^1)У""г)+-'
3049. У"—3/+ЗУ—jf = 0. .. . + у/+.у = 0.
3050. yv-f4j/ = 0. 3060. yv —2/"-f/ = **•
3051. yv+8y+16j; = 0. 3061. yLW — 2y'" + y* = x9.
3052. yv-f-y = 0. 3062. /"— y = x'— 1.
3053. yv_2y+<y = 0. 3063. yv + y" = cos4*.
8054. yv_a4jr = 0. 3064. /"+/ = x* + 1 + 3***.
3055. yv_6/+9jr = 0. 3065. /"-}-/ + /-\-y = xe*.
3056. yv + ay= 0. 3066. y"+/ = tg*8ecjc.
3067. Найти частное решение уравнения
/" + 2/ + 2/ + jr = *.
удовлетворяющее начальным условиям у(0)г=у' (0)=уп(0) = 0.
§ 14]
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
341
§ 14. Уравнения Эйлера
Линейное уравнение вида
(ax + b)"tf*+Al(ax + b)n-*!f»-v+...+An_l(ax + b)y + Any = f(x), (I)
где а, Ьу Л,, ..., An_lf An — постоянные, называется уравнением Эйлера.
Для области ах+ b > 0 вводим новую независимую переменную /, полагая:
ах -f- b = eK
Тогда
и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными
коэффициентами.
Пример 1. Решить уравнение х2у"-\-ху' -|-#=1.
Решение. Полагая х~е*, получим:
dy_ tdy <^_-2t(^_dj\
dx~ df dx2~ \dt2 dtj9
Следовательно, данное уравнение примет вид
откуда
у = Сх cos / -f- С2 sin t -(-1
или
у = Сх cos (In x) +C2 sin (In я) -(- 1.
Для однородного уравнения Эйлера
хпу{п) + А1хп~*у<п-»+...+Ап_1ху'+Апу = 0 (2)
при х > 0 решение можно искать в виде
0 = **. (3)
Подставляя в (2) у, у', ..., у(п\ определяемые из соотношения (3), получим
характеристическое уравнение, из которого можно найти показатель к.
Если k — действительный корень характеристического уравнения
кратности т, то ему соответствуют т линейно независимых решений
y1==xk, y2 = xk\nx, ys = xk(\nx)2, ..., ym = xk(\nx)m~1.
Если a ± p/— пара комплексных корней кратности m, то ей соответствует 2т
линейно независимых решений
r/1=xacos(P lnx), r/2 = xasin(P lnx), t/s = xalnxcos(P lnx),
*/4 = xalnxsin(Plnx), ..., y2m_i = x* (\n х)т~г cos ф lnx),
r/2w = xa(lnx)w-1sin(pinx).
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Полагаем
y = xk\ y'= kxk~\ y" = k(k-\)xk-2.
342 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Подставляя в данное уравнение, после сокращения на xk получим
характеристическое уравнение
*»-4А + 4 = 0.
Решая его, находим:
следовательно, общее решение будет:
yzzzC^ + C^lnx.
Решить уравнения:
3068. х*$ + 3х% + у = 0.
3069. х2у" — ху' — 3j/ = 0.
3070. *■/ + */+ 4^ = 0.
3071. *•/" —3*"/ + 6л:/— 6j/ = 0.
3072. (3* + 2)/ + 7/ = 0.
3073. / = ^.
3074. / + / + | = 0.
3075. л:2/ — 4*/ + 6ey = x.
3076. (1+x)2/ —3(1+дг)/ + 4<у = (1+л:)3.
3077. Найти частное решение уравнения
хгу" — ху' + у = 2х,
удовлетворяющее начальным условиям: у=0у /=1 при х=\.
§ 15. Системы дифференциальных уравнений
Метод исключения. Для нахождения решения, например,
нормальной системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, т. е. системы
вида
% = Пх.у,г). d£ = g(X,y,z), (1)
разрешенной относительно производных от искомых функций у и г,
дифференцируем по х одно из них. Имеем, например:
dx2 дх^ду1^ dzg { }
Определяя г из первого уравнения системы (1) и подставляя найденное
выражение
в уравнение (2), получим уравнение 2-го порядка с одной неизвестной
функцией у. Решая его, находим:
у = 1(х,С19 С2), (4)
§ 15]
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
343
где С, и С2 — произвольные постоянные. Подставляя функцию (4) в формулу (3),
определяем функцию z без новых интеграции. Совокупность формул (3) и (4),
где у заменено на г|), дает общее решение системы (1).
Пример. Решить систему
(% + 2у + 4г=1+4х,
dz . 3 ,
Решение. Дифференцируем первое уравнение по х:
dx2 ' dx* dx
Из первого уравнения определяется г = — f 1 + 4л: — -^ — 2^ ) и тогда
dz 3 ft , , 1 3 1 dy _
из второго будем иметь: -=- = --■ xz-\-x + -j о*^""7/' Подставляя г
dz
и -г- в уравнение, полученное после дифференцирования, приходим к урав»
нению 2-го порядка с одной неизвестной у:
Решая его, найдем:
и тогда
»=С,в« +С*"»*+ *« + *.
Аналогично можно поступать и в случае системы с большим числом урав»
нений.
Решить системы
dy
3078.
3079.
3080.
dx~z;
dz
Тх=-У-
dz
dx
dy
dx
dz
{d-x = y~Z
4-^4-3,2=0.
= — 3y — z,
3081,
dx
dJl—~
dt~Zy
dz_
dt~X'
dx
dt
3082. \% = x + z9
I dz .
344
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ IX
3083.<
3084.
(dy i олоо* ч dx dy dz
*£=У + *, 3088*. а)7-— = ф=—.;
I dz _i_ _i я\ dx dy dz #
У dx \ У\ ' i x — у х-\-у г *
dy , ~ , . v dx dy dz
dx* У ' ' ' У — г z—x x — у *
d± 4V 2£ = cosx выделить интегральную кривую,
\dx У ' проходящую через точку
) dz
3085.
1 UZ
z — 0 при х = 0.
w„ 3089. J 7е „
# = 0, j;=l при t = 0.
3087. J ; 3090. £
3091**. Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью v0 под
углом а к горизонту. Найти уравнение движения снаряда, принимая
сопротивление воздуха пропорциональным скорости.
3092*. Материальная точка М притягивается центром О с силой,
пропорциональной расстоянию. Движение начинается из точки А на
расстоянии а от центра с начальной скоростью г/0, перпендикулярной
к отрезку ОА. Найти траекторию точки М.
§ 16. Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов
Если интегрирование дифференциального уравнения при помощи
элементарных функций не удается, то его решение в некоторых случаях можно
искать в виде степенного ряда
00
У= 2 сп(х-х0)п. (1)
/1 = 0
Неопределенные коэффициенты сп(п = 0, 1,2, ...) находятся путем
подстановки ряда (1) в уравнение и приравнивания коэффициентов при одинаковых
степенях бинома х — х0 в левой и правой частях полученного равенства.
Можно также искать решение уравнения
\f = l (*. У)\ где у (х0) = у„ (2)
§ 16] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ 345
в виде ряда Тейлора
'М=£*3г^-*Г. (3)
/1 = 0
где у (х0)=у0, у' (х0) = / (х09 у0) и дальнейшие производные у{п) (*0) (п = 2, 3,...)
последовательно находятся при помощи дифференцирования уравнения (2) и
подстановки вместо х числа х0.
Пример 1. Найти решение уравнения
если у = у0> у' = у'0 при х = 0.
Решение. Полагаем
У = с0+с1х + ...+спхп+...9
отсюда, дифференцируя, получим:
уГ = 2• 1с, + 3-2с3х + • • • + я (п - 1) Vй'2 + (я + 1) ncn+lx»~l +
+ (n + 2)(n + \)cn+txn + ...
Подставляя у и у" в данное уравнение, приходим к тождеству
[2.\сг + 3-2с9х+...+п(п-1)спхп-* + (п + 1)псп+1хп-1^
+ (п + 2)(п + 1)сп+2хп + ...]-х[с0+с1х + ...+спхп + ...]^0.
Собирая в левой части полученного равенства члены с одинаковыми
степенями х и приравнивая нулю коэффициенты при этих степенях, будем иметь
с2 = 0; 3-2^-^ = 0, с3 = ^\ 4.3^-^ = 0, сг = -^; 5-4с5-с2 = 0,
г«=йит-д-
Вообще,
^*~~2.3.5.6.....(3£-1)3£' с»*+1""3.4.6-7-. ..-3k (3* + l)f
^+2 = 0 (* = 1, 2, 3,...).
Следовательно,
У = со ^+2^3 + 2- 3-5- 6+ •" +2-3-5- 6-.... (3k-l)3k+-") +
( X* X7 x*k+1 \
+ СЧ^ + 3^4 + 3.4.6-7+-" +3.4-6-7..... 3k(3k + \)+'-')' (4)
Г№с0 = у0 яс1=у'0.
Применяя признак Даламбера, легко убедиться, что ряд (4) сходится при
— 00 < X < -f- 00.
Пример 2. Найти решение уравнения
уГ=х + п yQ = y(0) = \.
Решение. Полагаем
I ' I УЧ О I УО « I
346 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Имеем у0 = 1, у0 = О -f- 1 = 1. Дифференцируя обе части уравнения у' = х -f- yt
последовательно находим у" = 1 + у\ у"=\-\-\=2, у'" = у", y'J = 2,
и т. д. Следовательно, о о
Для разбираемого примера найденное решение можно записать в конечном
виде у=1+х + 2(в*-1-*) или у = 2е*— 1-х.
Аналогично следует поступать в случае дифференциальных уравнений
высших порядков. Исследование сходимости полученных рядов, вообще
говоря, сложно и при решении задач этого параграфа обязательным не
предполагается.
Найти с помощью степенных рядов решения уравнений при
указанных начальных условиях.
В №№ 3097, 3098, 3099, 3101 исследовать сходимость
полученных решений.
3093. / = у-\-хш; у = —2 при лг = 0.
3094* у = 2<у + х—'J У —У о ПРИ *=1-
3095. у'=у2-\-хг; .У = у при * = 0.
3096. у' = хг — у2; у = 0 при х = 0.
3097. (1— х)у'=\-\-х — у; у = 0 при х = 0.
3098*. ху"-\-у=0) у=0, у' — \ при х = 0.
3099. у"-\-ху = 0; у=\> / = 0 при л: = 0.
3100*./+~/ + .у = 0; у=1, / = 0 при * = 0.
3101*. / + —/ + .у = 0; у=1, / = 0 при * = 0.
3102. ~^ + a:cos/ = 0; x = a\ ^ = 0 при / = 0.
§ 17. Задачи на метод Фурье
Для нахождения решения линейного однородного дифференциального
уравнения в частных производных по методу Фурье сначала отыскивают
частные решения этого уравнения специального типа, каждое из которых
представляет собой произведение функций, зависящих только от одного
аргумента. В простейшем случае имеется бесконечная совокупность таких
решений ип(п—\, 2, ...), линейно
П% независимых в любом конечном
числе между собой и
удовлетворяющих заданным граничным
условиям. Искомое решение и
представляется в виде ряда,
расположенного по этим частным
решениям:
Щ
Рис. 107.
и= S Спип. (1)
Остающиеся неопределенными коэффициенты Сп находятся из начальных
условий.
§ 17] ЗАДАЧИ НА МЕТОД ФУРЬЕ 347
Задача. Поперечное смещение и = и (xf t) точек струны с абсциссой х
в момент времени t удовлетворяет уравнению
Т
где az = — (T0 — сила натяжения, Q — линейная плотность струны). Найти
форму струны в момент времени t, если концы ее * = 0 и * = / закреплены
4Л
и в начальный момент * = 0 струна имела форму параболы а = ^-х(/—х)
(рис. 107) и точки ее имели скорость, равную нулю.
Решение. Согласно условию задачи требуется найти решение и = и (xt t)
уравнения (2), удовлетворяющее граничным условиям:
ы(0, 0 = 0, и(/, 0 = 0 (3)
и начальным условиям:
Ah i
u(xt0) = ~x(l^x)f ц,(*,0) = 0. (4)
Ищем ненулевые решения уравнения (2) специального вида
u=:X(x)T(t).
Подставив это выражение в уравнение (2) и разделив переменные, получим:
T*(t) _Х»(х)
a*T(t) ~~ Х(х) # (0)
Так как переменные х и t являются независимыми, то тождество (5)
возможно лишь в том случае, когда общая величина отношения (5) будет
постоянной. Обозначая эту постоянную через — %г, найдем два обыкновенных
дифференциальных уравнения:
Г (0 + (ab)*-T(i) = 0 и X" (х) + Х2Х (х) = 0.
Решая эти уравнения, получим:
T(t) = A cos a U + В sin a U,
X (х) = Ccoslx-\-D sin Хх,
где А, В, С, D — произвольные постоянные. Из условия (3) имеем: Х(0) = 0
и Х(/) = 0, следовательно, С = 0 и sin А,/ = 0 (так как D не может одновремен-
но с С равняться нулю). Поэтому Ъ.к = — ,где k — целое число. Легко
убедиться, чтомы не потеряем общности, взяв для йлишь положительные
значения (& = 1, 2, 3, ...). Каждому значению Кк соответствует частное
решение
( л ton j. i г» • ka% A . ккх
uk = lAkcos -j-t + Bksm-j- Msin—,
удовлетворяющее граничным условиям (3).
Составим ряд
ОО
„ v* (a kaKt . D . kant\ . knx
uz=2m [Abcos'-r~ + Bbsin--r')sm—>
348 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
сумма которого, очевидно, удовлетворяет уравнению (2) и граничным
условиям (3).
Подберем постоянные А^ и В^ так, чтобы сумма ряда удовлетворяла
начальным условиям (4). Так как
00
ди V* kaitf я . kaiit . _ kant\ . knx
то, полагая t = 0, получим:
00
и(*,0) = ^ ^^sin — ез—*(/
■*)
ft=i
со
ди (я, 0) v4 как п . knx n
k = l
Следовательно, для определения коэффициентов А^ и В^ надо разложить в
Ah
ряд Фурье по одним синусам функцию и (xf 0) = -=■ х (I —- х) и функцию
ди(х,0)_
dt —u'
По известным формулам (гл. VIII, § 4, 3е) имеем:
- 2 С Ah ., ч . knx . 32A
il* = TJ7r"f(l_-,f)sin_l-dx==5?i?'
о
если k — нечетное, и А^ = 0, если & —- четное;
Лая п 2 (*л , £я* ,
— Bk=-t \0.sin-~j-dx = 09 Bk = 0.
о
Искомое решение будет:
со
(2/г + 1)штг
cos
и = —г- > л ——г——= sin ^ у-~— .
я* ^ (2/г -4- l)s /
3103*. В начальный момент tf = 0 струна, закрепленная на
конях
цах х — 0 и a: = /, имела форму синусоиды u = Asm -у, причем
скорости точек ее были равны нулю. Найти форму струны в момент
времени /.
3104*. В начальный момент t=0 точкам прямолинейной струны
0<^л:<^/ сообщена скорость -^-= 1. Найти форму струны в момент
времени /, если концы ее х = 0 и л; = /закреплены (см. задачу 3103).
§ 17]
ЗАДАЧИ НА МЕТОД ФУРЬЕ
349
3105*. Струна длиной/= 100 см, закрепленная на концах х = 0
и х = 1, в начальный момент оттянута в точке д: = 50 см на
расстояние h = 2 см, а затем опущена без толчка. Определить форму
струны для любого момента времени tt
3106*. При продольных колебаниях тонкого однородного
прямолинейного стержня, ось которого совпадает с осью ОХ, смещение
u = u(x,t) поперечного сечения стержня с абсциссой х в момент
времени / удовлетворяет уравнению
д2и _ 2 д2и
dt* ~a дх* '
где а2 = — (Е—модуль Юнга, q — плотность стержня). Определить
продольные колебания упругого горизонтального стержня длины
/=100 см, закрепленного на конце х = 0 и оттянутого на конце
х =100 на длину Д/= 1 см, а затем отпущенного без толчка.
3107*. Для прямолинейного однородного стержня, ось которого
совпадает с осью ОХ, температура и = и(х, t) в сечении с
абсциссой х в момент времени t при отсутствии источников тепла
удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди 2 д2и
где а — постоянная. Определить распределение температуры для
любого момента времени t в стержне длины 1= 100 см, если
известно начальное распределение температуры
и(х, 0) = 0,01л:(100 — х).
ГЛАВА X
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Действия с приближенными числами
1°. Абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностью
(абсолютной ошибкой) приближенного числа а, заменяющего точное число А,
называется абсолютная величина разности между ними. Число А,
удовлетворяющее неравенству
|Л-д|<Д, (1)
называется предельной абсолютной погрешностью. Точное число А
находится в границах а — А^Л^а + А или, короче, А=а± А.
2°. Относительная погрешность. Под относительной
погрешностью (относительной ошибкой) приближенного числа а, заменяющего
точное число А (А > 0), понимается отношение абсолютной погрешности числа а
к точному числу Л. Число 6, удовлетворяющее неравенству
J^L<*. (2)
называется предельной относительной погрешностью приближенного числа а.
Так как на практике Л^д, то за предельную относительную погрешность
часто принимают число о = —.
3°. Число верных десятичных знаков. Говорят, что
положительное приближенное число а, записанное в виде десятичного разложения,
имеет п верных десятичных знаков (цифр) в узком смысле, если абсолютная
погрешность этого числа не превышает -^ единицы /i-го разряда. В этом
случае при п > 1 за предельную относительную погрешность можно принять
число
Ь
2^ V ЮУ '
где k — первая значащая цифра числа а. Обратно, если известно, что
1 / 1 V1
3«^ . , ( гтг 1 , то число а имеет л верных десятичных знаков
в узком смысле. В частности, число а заведомо имеет п верных знаков в
узком смысле, если 6" ^-<г ( Тп ) •
Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превышает
единицы последнего разряда (таковы, например, числа, возникшие при измерении
с точностью до соответствующей единицы), то говорят, что все десятичные
знаки этого приближенного числа верные в широком смысле. При наличии
§ 1] ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ 351
большего числа значащих цифр в приближенном числе последнее, если оно
является окончательным результатом вычислений, обычно округляют так,
чтобы все оставшиеся цифры были верными в узком или широком смысле.
В дальнейшем мы будем предполагать, что в записи исходных данных все
цифры верные (если не оговорено противное) в узком смысле. Что касается
результатов промежуточных вычислений, то они могут содержать одну-две
запасные цифры.
Заметим, что примеры этого параграфа, как правило, представляют собой
результат окончательных вычислений, и поэтому ответы к ним даются
приближенными числами, содержащими лишь верные десятичные знаки.
В дальнейших вводных статьях приводятся лишь краткие указания; за
подробностями следует обращаться к литературе (например, Дж. Скарборо,
Численные методы математического анализа, ГТТИ, М,—Л., 1934).
4°. Сложение и вычитание приближенных чисел.
Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чисел
равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих чисел. Поэтому,
чтобы иметь в сумме небольшого количества приближенных чисел, все
десятичные знаки которых верны, лишь верные цифры (по меньшей мере в
широком смысле), следует подравнять все слагаемые по образцу того слагаемого,
десятичная запись которого обрывается ранее других, сохраняя в каждом из
них запасной знак. Затем сложить полученные числа, как точные и
округлить сумму на один знак.
Если приходится складывать неокругленные приближенные числа, то их
следует округлить, сохраняя в каждом из слагаемых один-два запасных знака,
а затем руководствоваться приведенным выше правилом сложения,
удерживая соответствующие лишние знаки в сумме до конца выкладок.
Пример 1. 215,21 + 14,182 + 21,4 = 215,2 (1) + 14,1 (8) + 21,4 = 250,&
Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышает
наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.
Относительная погрешность разности не поддается простому учету.
Особенно неблагоприятна в этом смысле разность двух близких чисел.
Пример 2. При вычитании приближенных чисел 6,135 и 6,131, с четырьмя
верными десятичными знаками, получаем разность 0,004. Предельная относи-
1 0,001+1 0,001 ,
тельная погрешность ее равна б = 7ПШ == Т == ^'^'
следовательно, ни один знак разности не является достоверным. Поэтому следует
по возможности избегать вычитания близких между собой приближенных
чисел, преобразуя, в случае надобности, данное выражение так, чтобы эта
нежелательная операция отсутствовала.
5°. Умножение и деление приближенных чисел.
Предельная относительная погрешность произведения и частного приближенных чисел
равна сумме предельных относительных погрешностей этих чисел. Исходя из
этого и применяя правило числа верных знаков (3°), мы сохраняем в ответе
лишь определенное количество знаков.
Пример 3. Произведение приближенных чисел 25,3*4,12 = 104,236.
Предполагая, что все знаки сомножителей верные, получаем, что пре«
дельная относительная погрешность произведения
6 = 2^0.01 + ±0,01^0,003.
352
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
Отсюда число верных знаков произведения равно трем и результат, если он
является окончательным, следует писать так: 25,3*4,12= 104 или точнее
25,3.4,12= 104,2 ±0,3.
6°. Возведение в степень и извлечение корня из
приближенных чисел. Предельная относительная погрешность т-и
степени приближенного числа а равна m-кратной предельной относительной
погрешности этого числа.
Предельная относительная погрешность корня m-й степени из
приближенного числа а составляет —ю часть предельной относительной
погрешности числа а.
7°. Вычисление погрешности результата
действий над приближенными числами. Если Да,,
предельные абсолютные погрешности приближенных чисел alt
предельная абсолютная погрешность AS результата
S = f(alt ..., ап)
приближенно может быть оценена по формуле
различных
ani то
AS:
Предельная относительная
AS
JL
&ai + ••• +
df
дап
&а„
погрешность S тогда равна
6S = -
5|
din/
да,
|да, + .
+
JL
да,
din/
дап
Ьап
1/1
\Аап
Пример 4. Вычислить S = In (10,3 + 1^4,4); приближенные числа 10,3
и 4,4 верны в написанных знаках.
Решение. Подсчитаем сначала предельную абсолютную погрешность AS
1 /л , 1 Д&
в общем виде: S = ln (а + УТ), AS =
= Д6^1; /4,4 = 2,0976.
грешность приближенного числа 1^4,4 равна
Т(*ч-т#>
Имеем Да =
грешность тогда равна
Следовательно,
1
"- 80~*40'
a + Vb \ 2 V~bj
мы оставляем 2,1, так как относительная по»
2" lO^'eO ; абсолютная по"
за десятые доли можно поручиться.
AS:
/j_,_i_ i > i /,, М_J_3 0005
V20"1" 2 * 20-2.1У — 12,4-20 V "|"4,2У ~2604 ^ ' '
10,3 + 2,1
Значит, сотые доли будут верны.
Теперь ведем вычисления с одним запасным знаком:
lg (Ю.З +Vl~4)sslgl2>4 = 1,093; In (10,3 + /4^4)=^ 1,093-2,303 = 2,517.
Получаем ответ: 2,52.
8°. Установление допустимых погрешностей
приближенных чисел при заданной погрешности результата
действий над ними. Применяя формулы пункта 7 при заданных нам
величинах AS или 6S, считая при этом равными друг другу все частные диф-
" 0/ I a I df I Aak
-~~ Да», или величины -^— , * , мы вычисляем допустимые
dak I * I dak \ | /1
ференциалы
§ 1]
ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
353
абсолютные погрешности А^, ..., Да„, ... приближенных чисел alt ...,
ап входящих в действия (принцип равных влияний).
Следует отметить, что иногда при подсчете допустимых погрешностей
аргументов функции невыгодно пользоваться принципом равных влияний, так
как последний может предъявить практически невыполнимые требования.
В этих случаях рекомендуется разумно перераспределить погрешности, если
это возможно, с таким расчетом, чтобы суммарная погрешность не
превышала заданной величины. Таким образом, поставленная задача, строго говоря,
неопределенна.
Пример 5. Объем «цилиндрического отрезка», т. е. тела, отсеченного
от кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания,
2
равный 2R, под углом а к основанию, вычисляется по формуле V==^- R* tga.
С какой точностью следует измерять радиус R ^ 60 см и угол наклона а,
чтобы объем цилиндрического отрезка был известен с точностью до 1%?
Решение. Если ДV, AR и Да—предельные абсолютные погрешности
величин V, R и а, то предельная относительная погрешность вычисляемого
объема V есть
Л„.АУ_ЗАЯ 2Да 1
3AR ^ 1 2Аа ^ 1 л
Полагаем -^ддд и -^<200. Отсюда
А П ^ R 60 СМ ,
. sin 2а . 1 , п,
Ла^-40Г<400;'аЭ"аНада9'
Итак, мы обеспечим требуемую точность ответа в 1%, если будем
измерять радиус с точностью до 1 мм, а угол наклона а с точностью до 9'.
3108. В результате измерения получены верные в широком
смысле в написанных знаках приближенные числа:
а) 12°07'14"; б) 38,5 см; в) 62,215 кг.
Вычислить их абсолютные и относительные погрешности.
3109. Вычислить абсолютные и относительные погрешности
приближенных чисел, верных в узком смысле в написанных знаках:
а) 241,7; б) 0,035; в) 3,14.
3110. Определить число верных знаков*) и дать
соответствующую запись приближенных чисел:
а) 48 361 при точности в 1°/0; в) 592,8 при точности в 2°/0.
б) 14,9360 при точности в 1°/0;
3111. Произвести сложение приближенных чисел, верных в
написанных знаках:
а) 25,386 + 0,49 + 3,10 + 0,5; в) 38,1+2,0 + 3,124.
б) l,2.10J + 41,72 + 0,09;
*) Верные знаки понимаются в узком смысле.
12 Г. С. Бараненков и др.
354
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
3112. Произвести вычитание приближенных чисел, верных в
написанных знаках:
а) 148,1—63,871; б) 29,72—11,25; в) 34,22 — 34,21.
3113*. Вычислить разность площадей двух квадратов, стороны
которых по измерению равны 15,28 см и 15,22 см (с точностью
до 0,05 мм).
3114. Вычислить произведение приближенных чисел, верных в
написанных знаках:
а) 3,49-8,6; б) 25,Ы,743; в) 0,02-16,5.
Указать возможные границы результатов.
3115. Стороны прямоугольника равны 4,02 м и 4,96 м (с
точностью до 1 см). Вычислить площадь прямоугольника.
3116. Вычислить частное приближенных чисел, верных в
написанных знаках:
а) 5,684:5,032; б) 0,144:1,2; в) 2,16:4.
3117. Катеты прямоугольного треугольника равны 12,10 см
и 25,21 см (с точностью до 0,01 см). Вычислить тангенс угла,
противолежащего первому катету.
3118. Вычислить указанные степени приближенных чисел
(основания степеней верны в написанных знаках):
а) 0,41582; б) 65,23; в) 1,52.
3119. Сторона квадрата равна 45,3 см (с точностью до 1 мм).
Найти площадь квадрата.
3120. Вычислить значения корней (подкоренные числа верны
в написанных знаках):
a) 1/2JT5"; б) j/65^; в) УЖХ
3121. Радиусы оснований и образующая усеченного конуса равны
#=23,64 сл*4:0,01 см; г== 17,31 сл*-|-0,01 см; /=10,21 см±
4-0,01 см; число зх = 3,14. Вычислить по этим данным полную
поверхность усеченного конуса. Оценить абсолютную и
относительную погрешности результата.
3122. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
15,4 ел*±0,1 см; один из катетов равен 6,8 см±0,1 см. Как
точно могут быть определены по этим данным второй катет и
прилежащий к нему острый угол? Найти их значения.
3123. Вычислить удельный вес алюминия, если алюминиевый
цилиндр диаметром 2 см и высотой 11 см весит 93,4 г.
Относительная погрешность измерения длин равна 0,01, а относительная
погрешность взвешивания равна 0,001.
3124. Вычислить ток, если электродвижущая сила равна
221 вольт^Х вольт, а сопротивление равно 809 ом + 1 ом,
§ 2]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
855
3125. Период колебания маятника длины / равен
7-=2я|/1,
где g—ускорение силы тяжести. С какой точностью следует
измерить длину маятника, период колебаний которого близок к 2 сек,
чтобы получить период его колебаний с относительной погрешностью
в 0,5°/0? Как точно должны быть взяты числа я и g?
3126. Требуется измерить с точностью в 1°/0 площадь
боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого
2 м и 1 м, а образующая 5 м (приближенно). С какой точностью
следует измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками
следует взять число я?
3127. Для определения модуля Юнга по прогибу стержня
прямоугольного сечения применяется формула
F—l 1-L
4 ' d'bs »
где /—длина стержня, Ь и d — основание и высота поперечного
сечения стержня, s—стрела прогиба, Р—нагрузка. С какой точностью
следует измерить длину / и стрелу s, чтобы погрешность Е не
превышала 5,5°/0 при условии, что Р известна с точностью до 0,1°/0,
величины dub известны с точностью до 1°/0, /=^50 см, s^2,5 см?
§ 2. Интерполирование функций
1°. Интерполяционная формула Ньютона. Пусть хс,
хи ..., хп — табличные значения аргумента, разность которых к=Ах(
(&Xi = Xi+1 — #,-; 1 = 0,1 п — 1) постоянна (шаг таблицы) и у0, yJt ..., уп —
соответствующие значения функции у. Тогда значение функции у для
промежуточного значения аргумента х приближенно дается интерполяционной
формулой Ньютона
у=Уо+.-ау.+^Цдч+--- + <?(<?-1)--п(Гп+1)ач. о)
где д = , ° и Ау0 = У1 — У0, А2#0 = Ауг — А#0, ... — последовательные
конечные разности функции у. При х = Х( (i = 0, 1, ..., п) полином (1)
принимает соответственно табличные значения у[ (i = 0t 1, ..., п). Как частные
случаи формулы Ньютона получаем: при п= 1 — линейное интерполирование;
при п = 2 — квадратичное интерполирование. Для удобства пользования
формулой Ньютона рекомендуется предварительно составлять таблицу
конечных разностей.
Если y=:f(x) — многочлен п-й степени, то
Апу( = const и Ди+^-^О
и, следовательно, формула (1) является точной.
12*
356
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
В общем случае, если f (х) имеет непрерывную производную /(п+,)(а:) на
отрезке [a, b]t включающем точки дс0, xv ..., хп и х, то погрешность
формулы (1) равна
-ft (n+1)! ' (W'
где 5 — некоторое промежуточное значение между *,- (»' = О, I,
На практике пользуются более удобной приближенной формулой
(2)
., п) и х.
Ап+*и
я).
Если число я можно взять любым, то его следует выбирать так, чтобы
разность Д"+1#0^=0 в пределах данной точности; иными словами, разности
&пУ0 должны быть постоянны в заданных десятичных разрядах.
Пример 1. Найти sin 26° 15', пользуясь табличными данными
sin 26° = 0,43837, sin 27° = 0,45399, sin 28° = 0,46947.
Решение. Составляем таблицу
/
0
1
2
*/
26°
27°
28°
т
0,43837
0,45399
0,46947
Ай
1562
1548
Ь%
-14
26° 15' — 26°
1
Здесь h = 60', q-— ^ — 4 .
Применяя формулу (1), используя первую горизонтальную строку
таблицы, имеем:
, ..-иьо
sin26°15' = 0,43837 -f-j-0,01562-
2!
( — 0,00014) = 0,44229.
Оценим погрешность R2. Используя формулу (2) и учитывая, что если
*/ = slnjt, то I^M^l» будем иметь:
Kil<
4W-)(t-*)/.V
3!
(JLY-JL
\\S0J 128
1
57,33»
10"
Таким образом, все приведенные знаки sin 26° 15'— верные.
С помощью формулы Ньютона можно также по заданному
промежуточному значению функции у находить соответствующее значение аргумента х
(обратное интерполирование). Для этого сначала определяем
соответствующее значение q методом последовательных приближений, полагая:
q^> =
ду.
§ 2]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
357
д<1 + 1>
= ?'
(0).
qW(qW-l) A% q{i)(q{i)'-l)...(ci{t)-n+\)bny0
2! ' Ау0 "# п\ Ау0
0 = 0, 1, 2, ...).
За q принимаем общее значение (с заданной точностью!) двух
последовательных приближений <7W = <7(CT + 1). Отсюда x = x0-{-q-h.
Пример 2. Пользуясь таблицей
X
2,2
2,4
2,6
y = shx
4,457
5,466
6,695
АУ
1,009
1,229
' А>у
0,220
приближенно вычислить корень уравнения sh* = 5.
Решение. Принимая у0 = 4,457, имеем
5-4,457 0,543
п«»:
1,009
Г7<1>=Д«».
g<0>(l-.g<0>) Д1у0
2 ' Д#0
= 0,538 +
1,009 = °'538:
0,538-0,462 0,220_
2 * 1,009
= 0,538 + 0,027 = 0,565;
7(2)_пСоо I 0,565-0,435 0,220
<7(2) = 0,538 +
: 0,538+ 0,027 = 0,565.
2 1,009'
Таким образом, можно принять
х = 2,2 + 0,565-0,2 = 2,2 + 0,113 = 2,313.
2°. Интерполяционная формула Лагранжа. В общем
случае полином степени л, принимающий при х = Х( заданные значения
yi(iz=0t 1, ..., п), дается интерполяционной формулой Лагранжа
<х — х1)(х — х1)...(х — хп)
Уо'
(х — х0)(х — х2)...(х — хп)
У1 + ...
~(Хо — Хг)(Хо — Х*)...(Хо — Хп) (Х1-Х0)(Х1-Х2)...(Х1-ХП)
. (X — Х0) (X - Л^). . .(* - Xk_x) (X - Xk + l). . .(* — *я) ,
...+,
(х — х0)(х — хх)...(х — хп_х)
(хп х0) (хп хг)... (хп хп _ j
3128. Дана таблица значений величин х и у:
Уп-
X
У
1
3
2
10
3
15
4
12
5
9
6
5
Составить таблицу конечных разностей функции у.
3129. Составить таблицу разностей функции у = х* — Ъх2 + х — 1
для значений х=1, 3, 5, 7, 9, 11. Убедиться в том, что все
конечные разности 3-го порядка равны между собой.
858
ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
3130*. Используя постоянство разностей 4-го порядка, составить
таблицу разностей функции у=х*—\0х9-{-2хг-\-Зх для целых
вначений х, заключенных в промежутке 1^x^10.
3131. Дана таблица
\g 1 = 0,000,
lg2 = 0,301,
lg 3 = 0,477,
lg 4 = 0,602,
lg 5 = 0,699.
Вычислить с помощью линейного интерполирования числа: lg 1,7,
lg2,5, lgS.l и lg4,6.
3132. Дана таблица
sin 10° = 0,1736, sin 13° = 0,2250,
sin 11° = 0,1908, sinl4° = 0,2419,
sin 12° = 0,2079, sin 15°= 0,2588.
Уплотнить таблицу, вычислив по формуле Ньютона (при п = 2)
значения синуса через полградуса.
3133. Составить интерполирующий многочлен Ньютона для
функции, заданной таблицей
д;
У
0
1
1
4
2
15
3
40
4
85
3134*. Составить интерполирующий многочлен Ньютона для
функции, заданной таблицей
X
У
2
3
4
11
6
27
8
50
10
83
Найти у при л; = 5,5. При каком х величина у =207
3135. Функция задана таблицей
X
У
— 2
25
1
— 8
2
— 15
4
— 23
Составить интерполирующий многочлен Лагранжа и найти значение
у при # = 0.
§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ 359
3136, Из опыта найдены величины укорочения пружины (х мм)
в зависимости от нагрузки (Р кГ) на эту пружину:
X
р
5
49
10
105
15
172
20
253
25
352
30
473
35
619
40
793
Найти нагрузку, дающую укорочение пружины на 14 мм.
3137, Дана таблица величин х и у
X
У
0
1
1
— 3
3
25
4
129
5
381
Вычислить значения у для л; = 0,5 и для х = 2: а) с помощью ли-
нейного" интерполирования; б) по формуле Лагранжа.
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений
1°. Установление начальных приближений корней.
Приближенное нахождение корней данного уравнения
/М = о (1)
складывается из двух этапов: 1) отделения корней, т. е. установления
промежутков, по возможности тесных, внутри которых находится один и только
один корень уравнения (1); 2) вычисления корней с заданной степенью
точности.
Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и
f(a)-/(6)<0, то на отрезке [a, b] находится по меньшей мере один корень £
уравнения (1). Этот корень будет заведомо единственным, если /' (х) > 0 или
f (х)<0 при а<х<Ь.
Для приближенного нахождения корня £ рекомендуется на
миллиметровой бумаге построить график функции y = f(x). Абсциссы точек пересечения
графика с осью ОХ и являются корнями уравнения f(x) = 0. Иногда удобно
данное уравнение заменить равносильным ему уравнением ф (х) = г|) (*).
Тогда корни уравнения находятся как абсциссы точек пересечения графиков
у = у(х) и у = У(х).
2°. Правило пропорциональных частей (метод хорд).
Если на отрезке [а, Ь] находится единственный корень £ уравнения /(*) = 0,
где функция / (х) непрерывна на отрезке [а, 6], то, заменив кривую y = f(x)
хордой, проходящей через точки (a; /(a)) и (b\ f (b)), получим первое
приближение корня
с'=а-/1*гта(6-а)- (2)
Для получения второго приближения с2 формулу (2) применяем к тому из
отрезков [at cj или [clt b], на концах которого функция f(x) имеет значе-
360 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
ния противоположных знаков. Так же строятся и следующие приближения.
Последовательность чисел сп(п=\, 2, ...) сходится к корню £, т. е.
lim cn = %.
П-+СО
Вычисления приближений си с2, ..., вообще говоря, следует производить
до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые нами в ответе
десятичные знаки (в соответствии с заданной степенью точности!); для
промежуточных выкладок надлежит брать один-два запасных знака. Это замечание
имеет общий характер.
Если функция f (х) имеет отличную от нуля непрерывную производную
/' (х) на отрезке [а, Ь], то для оценки абсолютной погрешности
приближенного корня сп можно воспользоваться формулой
где \i= min |/' (д)|.
3°. Способ Ньютона (метод касательных). Если /' (х) ф 0
и Г(х)ф 0 при а<лг<6, причем /(а)/(Ь)<0, f(a)f"(a)>®> т°
последовательные приближения х„(п = 0, 1, 2, ...) корня g уравнения f(x) = 0
вычисляются по формулам
х, = а, *„ = *„el_££^ (Я=1, 2, ...). (3)
При данных предположениях последовательность хп (п = 1, 2, ..^ —
монотонная, и
lim хп = g.
П-ЮО
Для оценки погрешностей можно воспользоваться формулой
,,._6|<1Ш1(
где ц = min | f (*) |.
а^х^Ь
Практически удобнее пользоваться более простыми формулами
х0 = а, xn — xn^1-afJ(xn_l) (я=1, 2, ...), (3')
где а =.,, , дающими примерно ту же точность, что и формулы (3).
Если/ (6) f?(b)>0, то в формулах (3) и (3') следует положить х0 = Ь.
4°. Способ итерации. Пусть данное уравнение приведено к виду
х = <р(х), (4)
где | ф' (л:) \^г < 1 (г — постоянная) при а^х^Ь. Исходя из начального
значения дг0, принадлежащего отрезку [а, Ь], построим последовательность
чисел xl% *2, ... по следующему закону:
*1 = ф(*о)» *1=ф(*1>» •••• xn = 4>(xn-i)* ••• (5)
Если a^xn^b (л=1, 2, ...), то предел
g = lim xn
л-too
является единственным корнем уравнения (4) на отрезке [а, Ь], т. е.
хп суть последовательные приближения корня g.
§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ 361
Оценка абсолютной погрешности п-го приближения хп дается формулой
i£-*j<l*"1+l~*''1-
Поэтому, если хп и хп+1 совпадают с точностью до е, то предельная
абсолютная погрешность для хп будет .
Для преобразования уравнения [(х) = 0 к виду (4) заменяем последнее
эквивалентным уравнением
х = х — Xf (x)y
где число X Ф 0 выбирается так, чтобы функция -г- [х — Щх)] = 1 — X/' (л:)
была малой по абсолютной величине в окрестности точки х0 (например,
можно положить 1 — А,^' (а:0) = 0).
Пример 1. Привести уравнение 2х — In x — 4 = 0 при начальном
приближении корня *0 = 2,5 к виду (4).
Решение. Здесь £(х) = 2х — Inх — 4; £'(*) = 2 ■. Пишем
эквивалентное уравнение х = х — А, (2л:— In x — 4) и в качестве одного из
подходящих значений к берем 0,5 — число, близкое к корню уравнения
, .1. 1М „_...!
-4-4
= 0, т. е. к — ^0,6.
|JC=l,e 1»0
Исходное уравнение приводится к виду
х = х — 0,5 (2х — In x — 4)
или
х = 2-\-~\пх.
Пример 2. Вычислить с точностью до 0,01 корень g предыдущего
уравнения, заключенный между 2 и 3.
Вычисление корня по способу итерации. Используем
результат примера 1, полагая дг0 = 2,5. Вычисление ведем по формулам (5)
с одним запасным знаком.
^=2 + 1 In 2,5%2,458,
*2= 2 +у In 2,458% 2,450,
хл = 2 + у In 2,450 % 2,448,
*4= 2 + ~ In 2,448 % 2,448.
Итак, £%2,45 (процесс дальнейших приближений можно прекратить»
так как третий десятичный знак (тысячные) закрепился).
Приведем оценку погрешности. Здесь
Ф(*) = 2 + —In* и <р'(*) = — .
362 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
Считая, что все приближения хп лежат на отрезке [2,4; 2,5], получим:
г = тах|Ф'(*) | = ^~4 = 0,21.
Следовательно, предельняя абсолютная погрешность приближения хг в силу
приведенного выше замечания есть
А = 1 ^^ = 0,0012^0,001.
Таким образом, точный корень £ уравнения содержится в границах
2,447<£< 2,449;
можно принять g=sr2,45, причем все знаки этого приближенного числа будут
верными в узком смысле.
Вычисление корня по способу Ньютона. Здесь
{(л:) = 2*-1пл:-4, f (*) = 2-1, ГМ = ^
На отрезке 2 < х < 3 имеем: f! (х) > 0 и f (л:) > 0; / (2) [ (3) < 0; I (3) f (3) > 0.
Следовательно, условия пункта 3° при х0 = 3 выполнены.
Принимаем
«=(2-тГ=0-6-
Вычисления ведем по формулам (3') с двумя запасными знаками
Xl = 3 - 0,6 (2• 3 - In 3 - 4) = 2,4592;
х2 = 2,4592 - 0,6 (2-2,4592 - In 2,4592 - 4) = 2,4481;
х, = 2,4481 - 0,6(2-2,4481 - In 2,4481 - 4) = 2,4477;
хл = 2,4477 — 0,6 (2-2,4477 — In 2,4477 — 4) = 2,4475.
На этом этапе вычисления прекращаем, так как число тысячных больше
не изменяется. Даем ответ: корень £==2,45. Оценку погрешности мы
опускаем.
5°. Случай системы двух уравнений. Пусть требуется
вычислить, с заданной степенью точности, действительные корни системы двух
уравнений с двумя неизвестными
\ Ф(л:, t/) = 0, W
и пусть имеется начальное приближение одного из решений (£, г\) этой
системы х = х0, у = у0.
Это начальное приближение можно получить, например, графически,
построив (в одной и той же системе декартовых координат) кривые f (х, у) = 0
и <р(*, у) = 0 и определив координаты точек пересечения этих кривых.
а) Способ Ньютона. Предположим, что функциональный
определитель
/ = 0(/. Ф)
д(х, У)
не обращается в нуль вблизи начального приближения х = х0, у = у0. Тогда,
по способу Ньютона, первое приближение решения системы (6) имеет вид
хх = х0 -f а0, ух = у0 -f р0, где а6, Р0 — решение системы двух линейных
уравнений
f(*o> #о) + <*о/*(*о> </o) + My(*c> Уо) = °>
ф(*о> Уо) + <*оЧ>х(хо> Уо) + $1>Чу(хо* Уо) = °-
§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ 363
Второе приближение получается тем же приемом:
где a,, Pi — решение системы линейных уравнений
Аналогично получаются третье и последующие приближения.
б) Способ итерации. К решению системы уравнений (6) можно при*
менить и способ итерации, преобразовав эту систему к эквивалентному виду
{
x = F{x9 у),
у = Ф{х9 у)
(7)
и предполагая, что
\Р'я(х,»)\ + \ф'х(х,у)\<г<1; \F'y(x,y)\ + \0'y(x,y)\^r<l (8)
в некоторой двумерной окрестности U начального приближения (х0, у0),
содержащей и точное решение (g, r\) системы.
Последовательность приближений (хп, уп) (л = 1, 2, ...), сходящаяся к
решению системы (7), или, что то же, к решению системы (6), строится по
следующему закону:
xl = F(xu9 у0)9 у1 = Ф(х99 у0),
xt = F(xu уг)9 уш = Ф(х19 уг),
x, = F (хШ9 уж)9 Уь = Ф (х19 у2),
Если все (хп> уп) принадлежат U, то lim *„ = £, lim yn = t).
«-►00 П-+СГ)
Для преобразования системы уравнений (6) к виду (7) с соблюдением
условия (8) можно рекомендовать такой прием. Рассмотрим систему уравнений
/ ctf(*f #) + Рф(*, у) = 0,
I У1(х, У) + б<р(х, У) = 0,
эквивалентную системе (6) при условии, что
IY» в
х = х + а£(х, */) + Рф(*. y)=*F(x9 у),
У = У + у1(х, У) + Ь<Р(х, У) = Ф(х, у).
Ф 0. Перепишем ее так:
Выберем параметры ос, Р, у» 6 такими, чтобы частные производные функций
F (х, у) и Ф(х, у) были равны или близки к нулю при начальном
приближении, т. е. находим а, р, у, 6 как приближенные решения системы уравнений
l+afix(x0, р0) + Рф*(*0, Уо) = 0,
af'y(x0, Уо) + №'у(хо> У0)=°>
У1'х(хо Уо) + ЬУх(х» Уо) = 0.
{ 1 + yfy (*о> У о) + ^Фу (*о> y0) = 0.
При таком выборе параметров а, р, у, 6, в предположении, что частные
производные функций f (х, у) и ф(*, у) изменяются не очень быстро в
окрестности начального приближения (х0, у0), условие (8) будет соблюдено.
364 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
Пример 3. Привести систему уравнений
/ *2 + «/2-1=0,
\ х' — х = 0
при начальном приближении корня х0=О,8, */0 = 0,55 к виду (7).
Решение. Здесь / (х, у) = х2 + у2 — 1, ф (л:, у) = х* — у\ f'x{x0,yQ)=\$t
fy(*o> Уо)=1»1; Ф*(*о> %) = 1.92, ф^(д:0, 0О) = —1.
Записываем систему, эквивалентную исходной,
/ <*(*» + **-1) + р(**-у) = 0, /la, pi \
в виде
* = л: + оф2 +*/г-1) + Р(*'-</),
У = У+у(^ + У2-1) + б(^-г/).
Выбираем в качестве подходящих числовых значений а, Р, у и Л решение
системы уравнений
Г l-fl,6cc+1,920 = 0,
I l.lot —P = 0f
J 1,6Y+1,926 = 0,
I l + l,lY-d = 0,
т. е. полагаем a ^ --0,3, P =5r — 0,3, y^ — 0»5» 6^0,4.
Тогда система уравнений
( x = x - 0,3 (x1 + у2 - 1) - 0,3 (х8 - t/),
) у = у - 0,5 (х2 + у2 - 1) + 0,4 (х5 - у),
эквивалентная исходной, имеет вид (7), причем в достаточно малой
окрестности точки (х0\ у0) условие (8) будет выполнено.
Методом проб отделить действительные корни уравнений и с
помощью правила пропорциональных частей вычислить их с точностью
до 0,01.
3138. х9 — х-|-1=0.
3139. л:4+ 0,5л:— 1,55 = 0.
3140. хг — 4х — 1=0.
Исходя из графически найденных начальных приближений,
способом Ньютона вычислить с точностью до 0,01 действительные корни
уравнений:
3141. л:8 — 2х — 5 = 0. 3143. 2х = 4х.
3142. 2х— \пх — 4 = 0. 3144. lgx = JL .
Используя найденные графическим путем начальные приближения,
способом итерации вычислить с точностью до 0,01 действительные
корни уравнений:
3145. л:8 —5л: + 0,1=0. 3147. х* — х'—2 = 0.
3146. 4a: = cosa:.
§ 4] ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 365
Найти графически начальные приближения и вычислить с
точностью до 0,01 действительные корни уравнений и систем:
3148. *8 —3*4-1=0. 3154. хх + 2х — 6 = 0.
3149. л:8 — 2х2-{-Зх — 5 = 0. 3155. ex-\-e~%x — 4 = 0.
3150. хх-\-хг — 2х — 2 = 0. Q1-ft jx2+y2 — 1=0,
3151. хЛпх— 14 = 0. dl&b' )*•—j, = o.
3152. лг' + Зл; —0,5 = 0. qi-7 ) *'+)> —4 = 0,
3153. 4л: — 7sinA: = 0. *i0/e | jf —Igjc—1=0.
3158. Вычислить с точностью до 0,001 наименьший
положительный корень уравнения tgx = x.
3159. Вычислить с точностью до 0,0001 корни уравнения лМпл;=1.
§ 4. Численное интегрирование функций
1°. Формула трапеций. Для приближенного вычисления интеграла
ь
а
(f(x) — непрерывная на [а, Ь] функция) делим промежуток интегрирования
[а, Ь] на п равных частей и выбираем шаг вычислений h = . Пусть
Xj = x0-\- ih (x0 = a, xn=:bt i = 0t 1, 2 п) — абсциссы точек деления и
У1 = f (л:/) — соответствующие значения подынтегральной функции у = [ (х).
Тогда по формуле трапеций имеем:
ь
^(х)ах^к^-^^ + У1 + у,+ ...+уп_^ (1)
а
с абсолютной погрешностью
Rn^j2(b"a)'Mii
где М2 = max)/;"(*)( при а^х^Ь.
Для достижения заданной точности е при вычислении интеграла шаг
вычислений h определяется из неравенства
»- 12в (2)
^ (Ь - а) Мг •
т. е. И должен иметь порядок У г. Полученное значение h округляется d
сторону уменьшения так, чтобы
b -—a
~1Г = п
было целым числом, и это дает нам число делений п. Установив h и п по
формуле (1), вычисляем интеграл, беря значения подынтегральной функции
с одним или двумя запасными десятичными знаками.
366
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
2°. Формула Симпсона (параболическая формула). Если
п —четное число, то в обозначениях 1° справедлива формула Симпсона
ь
§f(x)dx^T-[(y0 + yn) + 4(yl+ys + ...+yn_l) +
с абсолютной погрешностью
+ 2(ft + fc+...+Й.-.И (3)
W
Л»<щ(*-в)А«4.
(4)
где M4 = max |/IV(*) \ при а^х <6.
Для обеспечения заданной точности е при вычислении интеграла шаг
вычислений h определяется из неравенства
180
(b — а) М4 < 8,
(5)
т. е. шаг h имеет порядок $/г. Число h округляется в сторону уменьшения
Ь — а
так, чтобы п==—=— было целым четным числом.
п
Замечание. Так как определение шага вычислений h и связанного с
ним числа п из неравенств (2) и (5), вообще говоря, затруднительно, то на
практике h определяют грубой прикидкой. Затем, получив результат, удваивают
число л, т. е. половинят шаг п. Если новый результат совпадает с прежним
в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисление заканчивается. В
противном случае этот прием повторяют и т. д.
Для приближенного вычисления абсолютной погрешности R квадратурной
формулы Симпсона (3) можно также использовать принцип Рунге, согласно
которому
*— 15
— результаты вычислений по формуле (3), соответственно с ша-
где
гом
ТГи FT==2h.
3160. Под действием переменной силы F, направленной вдоль
оси ОХ, материальная точка переместилась по оси ОХ из положения
х = 0 в положение л:=4. Вычислить приближенно работу А силы F,
если дана таблица значений ее модуля F:
X
F
0,0
1,50
0,5
0,75
1,0
0,50
1.5
0,75
2,0
1,50
2,5
2,75
3,0
4,50
3,5
6,75
4,0
10,00
Вычисление провести по формуле трапеций и по формуле Симпсона.
3161. Вычислить приближенно \ (Зх1 — 4л;) dx по формуле тра-
о
пеций, полагая п= 10. Вычислить этот интеграл точно и найти абсо-
§ 4] ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 367
лютную и относительную погрешности результата. Установить верхнюю
границу Д абсолютной погрешности вычисления при л= 10, используя
формулу погрешности, приведенную в тексте.
3162. Вычислить с точностью до 10~4 по формуле Симпсона
1
, принимая л =10. Установить верхнюю границу Д абсолют-
1
7ТТ
О
ной погрешности, используя формулу погрешности, приведенную в
тексте.
Вычислить с точностью до 0,01 следующие определенные интег-
ралы:
3163- 1т$7- 3168. \*£dx.
о о
3164. \^. 3169. l*£dx.
О О
316б. J_|_. 3170. l^-dx.
0 1
1С
2 г
3166. \x\gxdx. 3171. f^i-dx.
1 о
2 1
3167. fJiirfjc. 3172. \e~xtdx.
i °
3173. Вычислить с точностью до 0,01 несобственный интеграл
00
С dx 1
\ , г:, применив подстановку дг = —. Проверить вычисление, при-
ь
менив формулу Симпсона к интегралу \ « , 2, где Ь выбрано так,
1
+ 00
ь
3174. Плоская фигура, ограниченная полуволной синусоиды j;=sinjc
и осью ОХ, вращается вокруг оси ОХ. Вычислить по формуле
Симпсона с точностью до 0,01 объем тела вращения.
3176*. Вычислить по формуле Симпсона с точностью до 0,01 длину
х2 ф
дуги эллипса -р-Ь/п 6222)* ==*> РасположеннУю в первой
координатной четверти.
368
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[гл. х
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных
дифференциальных уравнений
1°. Метод последовательных приближений (метод Пи-
жар а). Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка
y'=f(x,y) (1)
itipn начальном условии у = у0 при х = х0.
Решение у(х) уравнения (1), удовлетворяющее заданному начальному
условию, вообще говоря, может быть представлено в виде
у(х)= lim */,(*)> (2)
где последовательные приближения У;(х) определяются по формулам
У*(х) = У»
X
У1(х)=У0 + $/(*. Уи\ (*)) &с
Хо
(1=0, 1, 2, ...)-
Если правая часть f(x, у) определена и непрерывна в окрестности
Я{|* —*el<e» 1У — Уо\<Ь\
и удовлетворяет в этой окрестности условию Липшица
1/(*. Ух)-К*. Уг)\^^\Уг-Уг\
(L — постоянная), то процесс последовательных приближений (2) заведомо
сходится в промежутке
I х — д:01 < Л,
п = т
где
Г(а,1г)
и
Af = max |/(дг, t/)|.
R
При этом погрешность
Я, = | у (х) - у„ (х)\ < Ш," ' * ~ *I","' ,
если только
|х — х0|<Л.
Метод последовательных приближений (метод Пикара) с незначитель-
ными видоизменениями применим также к нормальным системам
дифференциальных уравнений. Что касается дифференциальных уравнений высших
порядков, то их можно записывать в виде систем дифференциальных
уравнений.
§ 5J ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 369
2°. Метод Рунге — Кутта. Пусть требуется на данном промежутке
хл^>х^Х найти решение у(х) задачи (1) с заданной степенью точности е.
X х
Для этого сначала выбираем h = • (шаг вычислений), деля отрезок
[х0, X] на п равных частей так, чтобы Л4<е. Точки деления х,- определяются
по формуле
Xi = xQ + ih (1 = 0, 1, 2, ..., п).
Соответствующие значения У( = у(Х() искомой функции по методу Рунге—
Кутта последовательно вычисляются по формулам
У{+1=У{ + ЬУ»
А^ = ^(^)+2^> + 2^>+^),
где
< = 0, 1, 2, .... п
и
*i° = /(*/.№) *.
*i°=/(* + y. Л + -Т-)*. (3)
*i" = ?(*/ + Л. № + *i°)*-
Метод Рунге — Кутта имеет порядок точности h*. Грубую оценку
погрешности метода Рунге — Кутта на данном промежутке \xQ, X] можно получить,
исходя из принципа Рунге:
п __ I Угт Ут I
* 15 '
где п = 2/п, угт п Ут — результаты вычислений по схеме (3) с шагом h и шагом 2Л.
Метод Рунге — Кутта применим также для решения системы
дифференциальных уравнений
У' = 'Нх> У, г), 2' = ф(лг, у9 г) (4)
с заданными начальными условиями: у = у0, г = г0 при х = х0.
3°. Метод Милна. Для решения задачи (1) по методу Милна, исходя
из начальных данных у=у0 при х = х0, находим каким-нибудь способом
последовательные значения
У1=У(Х1), Уг = У(хг), уг — у(хг)
искомой функции у(х) (например, можно воспользоваться разложением
решения у(х) в ряд (гл. IX, § 17) или найти эти значения методом
последовательных приближений, или применить метод Рунге — Кутта и т. п.). Приближения
Vi и У/ для следующих значений #/ (i = 4, 5, •••, п) последовательно
находятся по формулам
Ah
I - ) ®
370 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
где
// = /(*/. Уд и 7/= /(*/. »/).
Для контроля вычисляем величину
«i=2§l»/-W- (6)
Если 8/ не превосходит единицы последнего сохраняемого нами в ответе
десятичного разряда 10 ~т для у(х), то в качестве У{ берем fy и переходим
к вычислению следующего значения #,-+,, повторяя процесс. Если же е,- > 10~mt
то следует начать работу сначала, уменьшив шаг вычислений. Величина
начального шага приближенно определяется из неравенства Л4< 10"т.
Для случая решения системы (4) формулы Милна отдельно пишутся для
функций у(х) и г(х). Порядок вычислений остается прежним.
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение у'=у — х с начальным
условием #(0) = 1,5. Вычислить с точностыо до 0,01 значение решения этого
уравнения при значении аргумента лг=1,5. Вычисления провести по
комбинированному методу Рунге — Кутта и Милна.
Решение. Выбираем начальный шаг вычислений h из условия hx < 0,01.
Избегая сложной записи h, остановимся на h ==0,25. Тогда весь участок
интегрирования от * = 0 до дг=1,5 разобьем на шесть равных частей,
длиной 0,25, с помощью точек Х[ (£ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6); соответствующие
значения решения у и производной у' обозначим через yt и у\.
Первые три значения у (не считая начального) вычислим по методу
Рунге — Кутта (по формулам (3)); остальные три значения — yAt ys, y9 — по
методу Милна (по формулам (5)).
Значение уй будет, очевидно, ответом задачи.
Вычисления проведем с двумя запасными знаками по определенной схеме,
состоящей Из двух последовательных таблиц 1 и 2. В конце таблицы 2 мы
получаем ответ.
Вычисление значения уг. Здесь
/(^#) = -* + ^*о==0,#0 = 1,5,Л = 0,25.
Имеем
дуо= г (*(.§)+2ki0)+2^0)+^0))=
= 1-(0,3750-f 2-0,3906 + 2-0,3926 + 0,4106) = 0,3920;
о
k[0) = / (x0, yQ) h = (— 0 + 1,5000) 0,25 = 0,3750;
k[<» = f(xQ+-jt ^o + "^-J /г = (—0,125 + 1,5000 + 0,1875)0,25 = 0,3906;
/ h Ь(0) \
k™ = flxQ +у , у0-\—|—J Л = (—0,125 + 1,5000+0,1953)0,25 = 0,3926;
^°) = f(x0 + К У0 + k[0)) h = (— 0,25 + 1,5000 + 0,3926) 0,25 = 0,4106;
ух = yQ + Ду0 = 1,5000 + 0,3920 = 1,8920 (первые три знака в этом
приближенном числе гарантированы).
Аналогично вычисляются значения у2 и у9. Результаты вычислений
приведены в таблице 1.
§ 5]
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
871
Таблица 1. Вычисление ylt уг, yt по методу Рунге — Кутта.
f(x, у) = -х + у; А = 0,25
Зна-
!чение
i
о
1
2
3
Значение
i
0
1
2
3
*i
0
0,25
0,50
0,75
1,5703
1,7323
1,9402
2,2073
Л
1,5000
1,8920
2,3243
2,8084
4°
0,3926
0,4331
0,4850
0,5518
0/ —
1,5000
1,6420
1,8243
2,0584
1,6426
1,8251
2,0593
2,3602
*i°
0,3750
0,4105
0,4561
0,5146
*i°
0,4106
0,4562
0,5148
0,5900
1,5625
1,7223
1,9273
2,1907
Дй
0,3920
0,4323
0,4841
0,5506
a I
0,3906
0,4306
0,4818
0,5477
Ун-х
1,8920
2,3243
2,8084
3,3590
Вычисление значения ух. Имеем: / (х, у)——х + У» /г=0,25, х4=1;
#0= 1,5000, у, = 1,8920, #2 = 2,3243, у, = 2,8084;
у0= 1,5000, У; = 1,6420, */2= 1,8243, ^ = 2,0584.
Применяя формулы (5), находим:
y* = yo + -o(2yi-yt + 2y't) =
4-0,25
= 1,5000 + ^у^ (2*1,6420 - 1,8243 + 2.2,0584) = 3,3588;
£ = /(*4, р4) = -1+3,3588 = 2,3588;
Уа = У% + -$ 0'А + *Уш+У'Л =
= 2,3243 + ^(2,3588 + 4-2,0584 + 1,8243)= 3,3590;
У*-Р*\ _ 13,3588-3,35901 __0,0002 -.0-,^
сил on on ~ч- ' * 1 ^
29
29
29
•0,001;
следовательно, пересмотр шага вычислений не требуется.
Получаем #4 = J/4 = 3,3590 (первые три знака в этом приближении
гарантированы).
372 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
Аналогично производим вычисления значений уй и у9. Результаты
вычислений даны в таблице 2.
Таким образом, окончательно имеем:
у (1,5) = 4,74.
4°. Метод Адаме а. Для решения задачи (1) по методу Адамса,
исходя из начальных данных у(х0) — у0 мы находим каким-нибудь способом
следующие три значения искомой функции у(х):
yl=zy(xl)=zy(x0 + h)t уг — у(хг) = у(х0 + 2Н), уь = у{Хъ) = у{Хь + Щ
(эти три значения можно получить, например, с помощью разложения у(х)
в степенной ряд (гл. IX, § 16), или найти их методом последовательных
приближений (п. 1°), или применяя метод Рунге — Кутта (п. 2°) и т. и.).
С помощью чисел х0, xlf х2, хь и у0, уи у2, уь мы вычисляем величины
Я о' Ях» Я z* Ягу где
<7о = hy'o = hf (*о. Уо). Ях = hy[ = hf (xlt yt),
Яг = hy[ = hf (xv y2), qz == hy\ = hf (*8> y9).
Составляем, далее, диагональную таблицу конечных разностей величины q;
X
\*о
Г1
*2
\Х*
Г4
г*
к
У
Уо
Ух
Уг
Уг
Ух
Уь
Уь
Ьу =
= Уп + х-
— Уп
ДУо
Aft
ЬУг
&Уг
Д#4
ЬУь
У' =
= f(*.y)
f(*Q> Уо)
/(*!• Ух)
/(*» У г)
f(x*. У г)
f (хл, УА)
f (xt, Уь)
Я =
=У'Н
Яо
Ях
Яг
Яг
Ях
Яь
— Яп+х — Яп
А<7о
ЬЯх
Aq2
Д<7з
Д<74
Д2<7 =
Д29о
Д2^
Д2<72
А1*
Д8<7 =
=А^я+1—Д2<7„
ДЧ>
As<7i
Д3<7* j
Метод Адамса заключается в продолжении диагональной таблицы
разностей с помощью формулы Адамса
15 3
Ау« = ?п+уА?я-1 + 12Д1?я-1 + уА,?я-|. (7)
Так, используя числа qs, Aq2, A2<7lf Д3<7о» расположенные в таблице
разностей по диагонали, мы с помощью формулы (7), полагая в ней п = 3,
вычисляем At/s = qs +"9 д?Н~То А1(?1 ~г"ТГ Д84о- Найдя значение Д#„ мы
вычисляем */4=*/3 + Д#«- Зная же *4 и У*> мы вычисляем qx = hf(x„yx)t вносим
#4» Д#з и ^4 в таблицу разностей и пополняем затем ее конечными
разностями Д<78, Д2<72» Д2(?1» расположенными вместе с qx по новой диагонали,
параллельно прежней.
Затем, используя числа новой диагонали, мы с помощью формулы (8),
полагая в ней п = 4, вычисляем Д#4, у% и qb и получаем следующую диагональ:
Таблица 2. Вычисление^, jf5, jfe по методу Милна. /(*, у) = — х-\-у\ /i = 0,25.
(Курсивом обозначены входные данные)
О0Э
ел
Значение
i
0
1
2
3
4
5
6
Xi
0
0,25\
0,50\
0,75\
1,00
1,25
1,50
У{
1,5000
1,8920
2,3243
2,8084
у
1
t
1,5000
1,6420
1,8243
2,0584
Willi III
III 111
1 III 1
У1 у\ =
= /(*/. Уi
111 II III 1 Hill ill
Ml III 111
Willi 111 III
111 111 111 11
3,3588 2,3588
3,9947 2,7447
4,7402 3,2402
)
ill l lllllllllllillH l lllllllllllllllllHlll
I lllll 111
ill III
lllll
lllll
111
1111
3,3590 =^7.10~5
3,9950 =^10-5
4,7406 =^1,4-10-5
Ответ:
Vl
lllll
lllll
III 111
lllll
3,3590
3,9950
|4-7406|
= f(*i> Уд |
lllllllllll
lllllllli
lllll
lllll
lllll
2,3590
2,7450
у (1,5) = 4,74
Пересмотр шага
вычислений
(следуя показаниям
формулы (6))
III III III 11 111
111
III И
lllll lllll
не требуется
не требуется
не требуется
я
о
374
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
<7б, А<74, А2?з» A'^j. С помощью этой диагонали мы вычисляем значение у9
искомого решения у(х) и т. д.
Формула Адамса (7) для вычисления А# исходит из предположения, что
третьи конечные разности А8<7 являются постоянными. В соответствии с этим
величина h начального шага вычислений определяется из неравенства
Л4< 10"т (если мы желаем получить значение у(х) с точностью до 10~т).
В этом смысле формула Адамса (7) эквивалентна формулам Милна (5) и
формулам Рунге — Кутта (3).
Оценка погрешности для метода Адамса сложна и практически
бесполезна, так как в общем случае дает сильно завышенные результаты (см.,
например, Л. К. Коллатц, Численные методы решений дифференциальных
уравнений, гл. I, 4-8—4-9). На практике следят за ходом третьих конечных
разностей, выбирая шаг h столь малым, чтобы соседние разности Д8^ и
A8ft+1 отличались между собой не более чем на одну-две единицы заданного
разряда (не считая запасных знаков).
Для повышения точности результата формула Адамса может быть
пополнена членами, содержащими четвертые и высшие разности величины q.
При этом возрастает число первых значений функции у, нужных нам для
начального заполнения таблицы. Формулы Адамса повышенной точности мы не
будем здесь приводить.
Пример 2. Вычислить при х=1,5 с точностью до 0,01 по
комбинированному методу Рунге — Кутта и Адамса значение решения дифференциального
уравнения у'=у — х с начальным условием t/(0) = l,5 (см. пример 1).
Решение. Используем значения yl9 уг, уг, полученные нами при
решении примера 1. Их вычисление приведено в таблице 1.
Последующие значения ух, у%, y9 мы вычисляем по методу Адамса (см.
таблицы 3 и 4).
Таблица 3. Основная таблица для вычисления^, у$,уб по методу Адамса.
f(x, y)=:—x + y; /1 = 0,25
(Курсивом обозначены входные данные)
Значение i \
0
1
2
3
4
5
6
*/
0
0,25
0,50
0,45
1,00
1,25
1,50
У1
1,5000
1,8920
2,3243
2,8084
3,3588
3,9944
[4,73941
At//
loin
■■и
■Will
0,5504
0,6356
0,7450
y't=
1 1,5000
1 1,6420
1,8243
1 2,0584
1 2,3588
1 2,7444
Я1Х
0,3750
0,4105
0,4561
. 0,5146
0,5897
0,6861
Aft
0,0355
0,0456
0,0585
0,0751
0,0964
АЧ-
0,0101
0,0129
0,0166
0,0213
A%
0,0028
0,0037
0,0047
Ответ: 4,74
§ 51 численное интегрирование 375
Таблица 4. Вспомогательная таблица для вычисления по методу Адамса.
Значение i
3
4
1 5
41
0,5146
0,5897
0,6861
J л
0,0293
0,0376
0,0482
5 А2
0,0054
0,0069
0,0089
3 кг
0,0011
0,0014
0,0018
Ай
0,5504
0,6356
0,7450
Значение г/в = 4,74 будет ответом задачи.
Для случая решения системы (4) формула Адамса (7) и схема вычислений,
показанная в таблице 3, применяются отдельно для обеих функций у(х)
и г(х).
Найти три последовательных приближения решений указанных
ниже дифференциальных уравнений и систем:
3176. у'=хш-\-у*; у(0) = 0.
3177. y' = x-\-y-\-z, z'=y — z; y(0)=\, z(0) = — 2.
3178. у" =—у\ jf(0) = 0, /(0)=1.
Методом Рунге—Кутта, полагая шаг /г=0,2, вычислить
приближенно для указанных промежутков решения данных
дифференциальных уравнений и систем:
3179. у' = у — х\ j(0)=l,5 (0<х<1).
3180. / = -£ — /; 3/(1)= 1 (1<*<2).
3181. y = z+l, z'=y — х, y(0)=\, *(0)=1 (0<х<1).
Применяя комбинированный метод Рунге — Кутта и Милна или
Рунге — Кутта и Адамса, вычислить с точностью до 0,01 значения
решений указанных ниже дифференциальных уравнений и систем при
указанных значениях аргумента:
3182. у' = х-\-у; у=\ при # = 0. Вычислить у при д; = 0,5.
3183. у' = х2-\-у; у=\ при х = 0. Вычислить у при х=\.
3184. у'=2у — 3; у=\ при л:=0. Вычислить у при л; = 0,5.
3185 {У' = -Х + 2У + г'
\ z' = x-{- 2y-j-32; у = 2, г = — 2 при * = 0.
Вычислить у и z при л; = 0,5.
( / = — Зу — г,
^ z =у — Z] у = 2, z = —1 при л; = 0.
Вычислить у и z при л: = 0,5.
376
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
3187. уп = 2—у; у = 2, у'=—\ при х = 0.
Вычислить у при х=\.
3188. //+1=0; у = \1у' = 0 при х=1.
Вычислить у при л;—1,5.
3189. -^--\-jCOs2t = 0; x = 09 х'=\ при * = 0.
Найти л: (я) и л:'(я).
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье
Схема 12 ординат. Пусть yn = f(xn) (п — 0, 1, ..., 12) —значения
теп
функции y = f(x) в равноотстоящих точках *„ = —- отрезка [0, 2я], причем
y0 = ylv Составим таблицы:
) Уо Ух У г У г У4 У* У'•
Ухх Ум У* Ув У7
Суммы (2)
Разности (Д)
и0 их иг иь и4 иь ив
Суммы
Разности
и0 и, и2 и9
и9 ий иА
$0 ^1 ^2 ^1
и и и
щ щ »•
Суммы
Разности
а, а2 а,
Коэффициенты Фурье ал> Ьп (я = 0, 1, 2, 3) функции y = f(x)
приближенно могут быть определены по формулам:
6а0 = s0 + s, + s2 + s„ 6bj = 0,5а, + 0,866а2 + o„
6а! = tQ + 0,866/, + 0,5/2, ЪЬг = 0,866 (т, + т2),
6аг = s0 - s3 + 0,5 (s, - s2), 6fr8 = at - a3, (1)
6a, = /0 — /2,
где 0,866 =
Имеем:
Уз
■1_±_±
1 10 30'
f W ^ -y + X <a« cos я* + 6" sIn nx)'
n=.\
Употребительны также другие схемы. Для облегчения вычислений
используются шаблоны (см., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики,
т. II, 1962, гл. VI, 424—430).
Пример. Найти полином Фурье для функции y = f(x) (0<*<2я),
заданной таблицей
Уо
38
Ух
38
Уг
12
Уг
4
Ух
14
Уь
4
Уо
— 18
У1
-23
08
-27
Уо
-24
Ум
8
Уи
32
§ 6] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ 877
Решение. Составляем таблицы:
У
и
V
38 38
32
38 70
6
12
8
20
4
4
-24
-20
28
14
-27
-13
41
4
-23
-19
.27
-18
-18
38 70
— 18 -19
20 -20
13
6
27
4 28
41
20
56
51
89
7
33
•20
33
— 21
45 28
-37
По формулам (1) имеем:
а0 = 9,7; а1 = 24,9; а2=10,3; а3 = 3,8\
^ = 13,9; &2 = — 8,4; 6, = 0,8.
Следовательно,
/ (х) ^ 4,8 -f (24,9 cos х + 13,9 sin x) + (10,3 cos 2x — 8,4 sin 2x) +
+ (3,8 cos Зх + 0,8 sin Зх).
Пользуясь схемой 12 ординат, найти полиномы Фурье для
следующих функций, заданных на отрезке [0, 2я] таблицами своих значений,
соответствующих равноотстоящим значениям аргумента {у0=у12);
3190. у0=— 7200
yi = 300
у2 = 700
3191. у0 = 0
У, = 6,68
У t = 9.68
3192. .у0 = 2,714
J, = 3,042
Л=2,134
у, = 4300 yt= 7400
yt = 0 ,у, = —2250
^ = — 5200^ = 3850
У г = 9,72 у, = 7,42
у4=8,97 j, = 6,81
^ = 8,18 у, = 6,22
jr. = 1,273 Л = °-37(>
jr4= 0,788 j>7 = 0,540
yt = 0.495 jr. = 0,191
.у, =7600
.у10 = 4500
yu = 250
Л =5,60
У г. = 4.88
j„ = 3,67
jr. =-0,357
Л.=-0,437
Л, = 0,767
3193. Вычислить несколько первых коэффициентов Фурье по
схеме 12 ординат для следующих функций:
а) /(*) = яЬ (** — 3"*° + 2п*х)
б) /(х):
2я
1
(* — «)*
(0.
(0.
;2я),
;2я).
ОТВЕТЫ
Глава I
I. Решение. Так как а = (а — b)-{-b, то [ а |^| а — Ъ \ -f- | Ь |. Отсюда
\а — Ь\^\а\ — \Ь\ и \а—- b\ = \b — a\^\b\ — \a\. Следовательно,
\а-Ъ\^*\\а\-\Ь\\. Кроме того, \а-Ь\ = \а + (-Ь) \<\а\ + \-Ь\ =
= |а| + |Ь|. 3. а) — 2<х<4; б) л: < — 3, х> 1; в) — 1 < %< 0; г) х > 0.
4. - 24; - 6; 0; 0; 0; 6. 5. 1; 1 -Ь VT+1?; \ х рУ 1+*'; 1/УТ+"?;- 6. я;
■J;0;7./W = -l* + l. 8./(*) = |x2--^*+1.9.0,4. Ю. i-(* + | * |).
II. а)— 1<*< + оо; б)_— со < *< + ». 12. < — «о, — 2),£— 2, 2), (2, + со).
13. а)- оо< *<—У*2 ,У2 <*< + оо;б)*==0,|*|^У"2 .14.-1 <;л^2.
Решение. Должно быть 2 + х — х2 ^5 0, или г5 — лс — 2<;0, т. е.
(х + \)(х — 2)<0. Отсюда или x-f1^0» лс—2<0, т. е. — 1<*<2;
или же лс4- 1 ^0, лс — 2^0, т.е. х«^ — 1, х;^2, — что невозможно. Таким
образом, — 1<**^2. 15. — 2<х<0. 16,. — оо < лг< — 1, 0<х< 1,
17. — 2<*<2. 18. — 1<*<1, 2<л< + оо. 19. — -L<a:<1.
20. 1<*<100. 21.kn^x^kn + ^ (k = 0, :t 1, ±2, ...). 22. ф (х) = 2хх —
— 5х2 — 10, я|з(д:)= — Зл:* -f- 6-v. 23. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г)
нечетная; д) нечетная. 24. У к а з а н и е. Использовать тождество / (*)=-—[/= (x) -\-
1 2
+ / ( — х)\ + -£ [/(*)—/( — х)\. 26. а) Периодическая, Т = — я; б) периоди-
2я
ческая, Г= -у ; в) периодическая, Г = я; г) периодическая, Т = я; д)
непериодическая. 27. у = —xf если 0^х^с\ у—b, еслис<х^а;5= о-*2, если
С ZC
О^х^с; S=bx —jr , если с< х ^: а. 28. m =: qxx при 0^л:^lx\ m = ^ -f-
+ <М* —'i) при Л<лс</1 + /8; m = giIl + q2l2-{-qa(x — ll — l2) при
*i + 'i < * < Л + '• + /• ='. 29. ф (ф (x)) = 2**\ t (ф (*)) = 2**. 30. *. 31. (*+2)2.
37. s » °» T ' 38# a) #~° ПРИ * = —1> У>® ПРИ *> — 1, #< 0 при
*<—1; 6) y = 0 при x ——1 и x = 2, #> 0 при— 1 < *< 2, t/<0 при
— oo < x< — 1 и 2<лс< + °о; в) #>0 при — оо < х < -j- оо; г) у = 0 при
х = 0, х — — УЗ и х = УТ,у>0прн — УТ<х<0 и У"з"<л:< + х,
ОТВЕТЫ
379
при
у<0 при — оо <х< — У"Ти 0<лг<У""3; д) # = 0 при * = 1, #>0 при
— оо<*<—1 и 1 <х< + оо, #<0 при 0<*< 1. 89. а) х= у (у-Ъ)
(-оо<1/< + <*); б) л:=/Яг! и * =-1/7+1 (-Ку< + «);
в) *=j/l-y» (_оо<*/< + оо); г) x = 2-W ( - оо < у < + оо);
fl)* = ytg# (—у<^<у)- 40- * = # при-оо<#<0; х = у^
0<О< + °°- 4*- а) У = и10* и = 2х — 5; б) y — 2at a = cos*; в) # = lgw,
H = tgo, tf=.-r-; г) t/ = arcsina, а = 3^, u = —*2. 42. a) t/ = sin2x;
б) t/ = arctgj^lgx\ в)у = 2(хг—\), если|лс|^1, и # = 0, если|х|>1.
43. a) # = — cos*8, ]/"jt ^ | x /^}/*2я; б) # = lg(10 — 10*), — со < x < 1;
в) у = -7г при — оо < * < О и у = х при Os^x < + оо. 46. Указание. См.
о
приложение VI, черт. 1. 51. У к а з а н и е. Дополнив квадратный трехчлен до
полного квадрата, будем иметь у = у0-\-а(х — х0)2, где х0 = —Ъ\2а и
у0 = (4ас — Ь2)/4а. Отсюда искомый график есть парабола у = ах*, сдвинутая
вдоль оси ОХ на величину х0 и вдоль оси OY на величину у0. 53.
Указание. См. приложение VI, черт. 2. 58. У к а з а н и е. См. приложение VI,
черт. 3. 61. Указание. График представляет собой гиперболу у = — ,
сдвинутую вдоль оси ОХ на величину х0 и вдоль оси OY на величину у0. 62. У к а-
2 13 / / 2 \
з а н и е. Выделив целую часть, будем иметь # = -«- — "о/ ( * + Т НСР^§ 61)#
65. Указание. См. приложение VI, черт. 4. 67. Указание. См.
приложение VI, черт. 5. 71. Указание. См. приложение VI, черт. 6. 72.
Указание. См. приложение VI, черт. 7. 73. Указание. См. приложение VI,
черт. 8. 75. Указание. См. приложение VI, черт. 19. 78. Указание.
См. приложение VI, черт. 23. 80. Указание. См. приложение VI, черт. 9.
81. Указание. См. приложение VI, черт. 9. 82. Указание. См.
приложение VI, черт. 10. 83. Указание. См. приложение VI, черт. 10. 84. У к а-
зание. См. приложение VI, черт. 11. 85. Указание. См. приложение VI,
черт. 11. 87. Указание. Период функции Т = 2я/л. 89. Указание.
Искомый график есть синусоида t/==5sin2;t с амплитудой 5 и периодом л,
сдвинутая вправо вдоль оси ОХ на величину 1 -~-. 90. Указание. Полагая
а = A cos q> и Ь = — A sin ф, будем иметь у = A sin (х — <р), где А = У a2 -f- b*
и <p = Arctgf j. В нашем случае Л = 10, ф = 0,927. 92. Указание.
cos*x = -~- (1 + cos 2x). 93. Указание. Искомый график есть сумма
графиков уг = х и у2 = sin х. 94. У к а з а н и е. Искомый график есть
произведение графиков ^, = jcHi/2 = sin^l99. Указание. Функция — четная.
Для *>0 определяем точки, в которых 1) */ = 0; 2) у=\ и 3) у = —\.
При х—^-f-°° у—► 1. 101. Указание. См. приложение VI, черт. 14.
102. Указание. См. приложение VI, черт. 15. 103. Указание. См.
приложение VI, черт. 17. 104. Указание. См. приложение VI, черт. 17.
105. Указание. См. приложение VI, черт. 18. 107. Указание. См.
приложение VI, черт. 18. 118. Указание. См. приложение VI, черт. 12.
380
ОТВЕТЫ
119. Указание. См. приложение VI, черт. 12.
ложение VI, черт. 13. 121. Указание. См.
132. Указание. См. приложение VI, черт. 30.
ложение VI, черт. 32. 134. Указание. См.
138. Указание. См. приложение VI, черт. 33.
ложение VI, черт. 28. 140. Указание. См.
141. Указание. Составим таблицу значений
120. Указание. См.
приложение VI, черт.
133. Указание. См.
приложение VI, черт.
139. Указание. См.
приложение VI, черт,
при-
13.
при-
31.
при-
25.
*
X
У
0
0
0
1
1
1
2
8
4
3
27
9
...
...
...
—1
—1
1
—2
—8
4
~3
-27
9
Построив полученные точки (х, у), получим искомую кривую (см.
приложение VI, черт. 7). (Параметр t при этом геометрически не откладывается!)
142. См. приложение VI, черт. 19. 143. См. приложение VI, черт. 27. 144. См.
приложение VI, черт. 29. 145. См. приложение VI, черт. 22. 150. См.
приложение VI, черт. 28. 151. У к а з а н и е. Разрешив уравнение относительно у,
получим у = ни T^25 — х2. Теперь искомую кривую легко построить по точкам.
153. См. приложение VI, черт. 21. 156. См. приложение VI, черт. 27.
Достаточно построить точки (х, у), соответствующие абсциссам х = 0, =£-, zlza. 157.
Указание. Разрешая уравнение относительно х, будем иметь * = 10 lg у — у{*\
Отсюда получаем точки (х, у) искомой кривой, давая ординате у произвольные
значения (у > 0) и вычисляя по формуле (*) абсциссу х. Следует иметь в виду,
4Tolg#—► — оо при у—>-0. 159. Указание. Переходя к полярным
координатам г =Yx*lrlf и tgq> = -, будем иметь г = е* (см. приложение VI,
черт. 32). 160. Указание. Переходя к полярным координатам х = г cos ф
3sinq>cos(p . ,7Т с_.
и */ = rsin(p, будем иметь г = —=——.—г-г-(см. приложение VI, черт. 32).
* т J cos3cp -(- sin8(p
161.F = 32 + 1,8C. 162. yz=0,6x(\0-x); t/max= 15при* = 5. 163. # = ^sin*;
</max=y при x = j . 164. a) xx = y- , *2 = 2; б) x=0,68; в) х1==1,37, *2=10;
r) x = 0,40; д) *=1,50; e) л: = 0,86. 165. a) ^ = 2, ^ = 5; *2 = 5, уг — 2\
б) xx= — 3, #,= — 2; x2 = — 2, y2= — 3; x3 = 2, */3 = 3; *4 = 3, */4 = 2;
в) xx = % yx = 2; x2=^3,l, y2=^ -2,5; r) x^-3,6, y^ —3,1; x2^ —2,7,
я "|/"~2~
y2^=2,9; *,=^2,9, ft ^1,8; x4^3,4, */4^-l,6; д) ^ = -j, ft = r-y-;
x2 = -~, ft = "L-^'' ,66' n>yFT- a) л^4' б) л>10*> B) "^32.
167. n> — -1=#. a) JV = 9; б) N = 99; в) W = 999. 168. 6 = ~(е<1).
8 О.
а) 0,02; б) 0,002; в) 0,0002. 169. a) lg х < - N при 0<*<6(tf); б) 2х > N
ОТВЕТЫ
381
при x>X(N); в) |/(*)|>Л' при \x\>X(N). 170. а) 0; б) 1; в) 2; г) =.
30'
171. ~. 172- 1- 173- — "g-" 174Л# 175-3176- J- 177- т- 178' Т-
Оказание. Использовать формулу 12-|-22 + ... -[-я2 = —- я (п + 1) (2я + !)• 179.0.
180. 0. 181. 1. 182. 0. 183. оо. 184. 0. 185. 72. 186. 2. 187. 2. 188. оо. 189. 0.
190. 1.191.0. 192. оо. 193.-2.194. оо. 195. ~. 1%. а~1 . 197. За:2. 198. —К
2 За2
199. 4"- 200. 3. 201. -1 • 202. ~. 203. — 1 204. 12. 205. |-. 206. — 4" •
z о У оо 2 о
207.1.208. !._ .209. Л_. 210. — -1 . 211. 0. 212. ^ 213. —А . 214. 4г •
2 У""]
'3^/х
215. 0. 216. a) 4-sin2; б) 0. 217. 3. 218. ~. 219. -i 22<>- я. 221. -^ •
222. cos а. 223. — sin а. 224. я. 225. cos x. 226. -
-^=.227. а) 0; б) 1. 228. — .
229. -^- 23°- °- 231. — -^. 232. 1.(п*-т2). 233. ~. 234. 1.235.-?-.
z уз ^ ^ «5
236. —. 237. —~. 238. п. 239. -I . 240.1.241. 1. 242. 4". 243. 0. 244. — .
я 4 4 4 2
245. 0. 246. в*"1. 247. е2. 248. г"1. 249. е~*. 250. е*. 251. г. 252. а) 1.
Решение.
lim
х-*°
1 1 —
(cos*) * = 11m [1 -(1 - cos *)]"*"= lim ( i_2sin2 — V
> x-+o x -»o\ 2 у
2 sin2 -
=^ Г(*""2 sifl* т) 2 sin2 Я
= e
lim
*-► о
2 sina-
Так как
lim
X-»0
2sin2-|
= — 2 lim
X -►O
:-_ 2. 1 .lim 4- = 0,
x-+o 4
lim (cos x)x = e° = 1. 6) -j=. Решение. Аналогично
x-+o У е
J_ lim
(см. a)), lfm(cos*)x2 = ex~+°
x->o
— 2 sin2 —
2
Так как lim
= -21im
X->0
slnT\ *■
2
IS?
X->0
1
предыдущему
— 2 sin* -
= — -jr-, то lim(cosx)*2 = e * =-7=- • 253- ln 2.
^ *-»o Уе
1
254. lOlge. 255. 1. 256. 1. 257. — — . 258. 1. У к аза н и е. Положить
382 ответы
е* — 1 = а, где а —► 0. 259. In а. Указание. Использовать тождество
а = е]па. 260. In я. Указание. Положить — = а, где а—>0(см.№259).
261. а -Ь. 262. 1. 263. а) 1); б) -1 . 264. а) - 1; б) 1. 265. а) - 1;
б) 1. 266. а) 1; б) 0. 267. а) 0; б) 1. 268. а) - 1; б) 1. 269. а) - 1; б) 1.
270. а) — оо; б) + оо. 271- Решение. Если хфкп (k = 0, ±1, ±2, ...),
то cos2jc< 1 и у = 0\ если же x = kn, то cos2x=l и у=1. 272. у = х при
0<*< 1; # = -при х=1; # = 0 при *> 1.273. у = \х\. 274. У = — ^
я
при х<0; # = 0 при * = 0; # = -—при х > 0. 275. у= 1 при 0s^*s^l; # = *
61 с
при 1<х<-(-оо. 276. тэд-. 277. л:!—^ ——; л;2—оо. 278. я. 279. 2я#.
280. —*—. 281. l4".282. ^^1. 284-lim ЛСП== 4" • 285. ^-. 286./г = 1,
е — 1 3 JL л->оо "3 2
в2 -1
х9 4-1
6 = 0; прямая # = # является асимптотой кривой у = ,7".-.
* т~ *
287. Qjn) = Q0( 1-( ) , где Л — коэффициент пропорциональности («закон
сложных процентов»); Qt = Q0ekt. 288. | х | > —; а) | х | > 10; б) | х | > 100;
в) | л: | > 1000. 289. |*-1|<~ при 0 < е < 1; а) |л:-1|<0,05;
б) |^—1 |< 0,005; в)|х--1|<0,0005. 290. |*-2|< i = 6; a) 6 = 0,1;
б) 6 = 0,01; в) 6 = 0,001. 291. а) Второй; б) третий, у, -|. 292. а) 1; 6)2;
в) 3. 293. а) 1; б) ~ ; в) у; г) 2; д) 3. 295. Нет. 596. 15. 297. — 1. 298. - 1. 299. 3.
300. а) 1,03 (1,0296); б) 0,985 (0,9849); в) 3,167 (3,1623). Указание. УТо"=
= У<НЙГ=3 у 1+1; г) 10,954(10,954). 301. 1)0,98(0,9804); 2) 1,03(1,0309);
3) 0,0095 (0,00952); 4) 3,875 (3,8730); 5) 1,12 (1,125); 6) 0,72 (0,7480); 7) 0,043
1 2
(0,04139). 303. а) 2; б) 4; в) ^; г) -^ . 307. Указание. Если х > 0, то
Z о
при | А* |< х имеем | Vx + Ax — У"х | = | Ах | / (Ух + Ах + У"х)^ | Ах | /У*.
309. Указание. Воспользоваться неравенством | cos (х -\- Ах) — cos л: | ^ |Д*|.
я
310. а) х Ф -^--{-/гя, где k — целое число; б) хфкп> где к — целое число.
311. Указание. Воспользоваться неравенством |) х -\- Ах \ — \х 11 ^ | Ах |.
313. Л =4. 314. /(0)= 1.315. Нет. 316. а) /(0) = п; б) /(0) = ~ ; в)/(0) = 2;
г) /(0) = 2; д) /(0) = 0; е)/(0)=1. 317. * = 2 —точка разрыва 2-го рода.
318. х = —1 — устранимая точка разрыва. 319. х = — 2 — точка разрыва
2-го рода; х = 2 — устранимая точка разрыва. 320. х = 0 — точка разрыва
ОТВЕТЫ
383
1-го рода. 321. а) х = 0 — точка разрыва 2-го рода; б) х = 0 — устранимая
точка разрыва. 322. х = 0 — устранимая точка разрыва, x = kn (k=±\t
я
±2, ...) —точки бесконечного разрыва. 323. x = 2nk±-— (/г = 0, ±1,
±2, ...) — точки бесконечного разрыва. 324. x = kn(k = Of ±1, ±2, ...)—
точки бесконечного разрыва. 325. х = 0 — точка разрыва 1-го рода.
326. х = —1—устранимая точка разрыва; jc == 1 — точка разрыва 1-го рода.
327. х = — 1 —точка разрыва 2-го рода. 328. х = 0 — устранимая точка
разрыва. 329. х = \— точка разрыва 1-го рода. 330. х = 3 — точка разрыва
1-го рода. 332. дс=1—точка разрыва 1-го рода. 333. Функция непрерывна.
334. а) х = 0 — точка разрыва 1-го рода; б) функция непрерывна; в) х = /гя
(k — целое) — точки разрыва 1-го рода. 335. a)x = k (k — целое) — точки
разрыва 1-го рода; б) x = k (k^0 — целое) — точки разрыва 1-го рода. 337. Нет,
так как функция у = Е(х) разрывна при х=\. 338. 1,53. 339. Указание.
Показать, что при х0 достаточно большом имеем Р ( — х0) Р (х0) < 0.
Глава II
341. а) 3; б) 0,21; в) 2h + h*. 342. а) 0,1; б) - 3; в) j/jJ+T-- \/а. 344. а) 624;
1560; б) 0,01; 100; в) —1; 0,000011. 345. а) аАх; а; б) Зх2Дх+ 3*( А *)*-+-
• /а чя г» s г о а I /а ч« ч 2*Дх 4- (А*)2 2х 4- Ад:
+ (Д*)'; 3*» + ЗжД, + (Д*)*; в) - ,8(Д^ ; - ^ (Д ^ .
r)Vx+Tx-V5 v , / , v ; Д)2*(24*-1); 2Х(2^~1)>
у х-\-Ах-\-у х Ах
e)ln^t^; ±\n(\ + *f). 346. а) -1; б) 0,1; в) - h; 0. 347. 21.
348. 15 см/сек. 349. 7,5. 35* Г(* + А*)-УЮ. зб1. /'(*) = lim Я* + А*)-/<*).
1 Ах ' v ' д^о Ал:
v Аф мк dw .. А©
352. а) ду-; б) ^-= lim —, где ф —величина угла поворота в момент U
353. a) -£j ; б) ^ = д1 ^ — , где Т — температура в момент t. 354.-^ =
— Um -^ , где Q —количество вещества в момент t. 355. а) ~^; б) lim — .
д*->о А* Ах 'дх-юД*
356. а) -1^-0,16; б) -^-0,238; в) -^-^- 0,249; 4=2 =
= — 0,25. 357. sec2*. Решение. у' ="™ tg (* + д*) ~ tg* __
Дх-+о Ал:
= lira sinA* , А = Иш &£*. lira ! =_J
д*-ю Ал* cos х cos (л: -+- Ах) д*-ю Ах ах^о созл:со5(л:-{- Ах) cos2 л* —
= sec'*- Зб8- а> 3**; б) -Is В) ^ г> 5ДГ- 359- й- Р*
с«ч v / (8 + Ах) — / (8) ,. j/8 + A*-J/8
шение. f(8) = bm м ^ ; Ll_i = hm £ ' V
1 v ' д*-ю Ах дх-ю А* •
= lim 8 + А*-8
Дх-*0
Дж [3/(8 + Ьх)' + У(8 + Ьх) 8 + »/8»]'
384
ОТВЕТЫ
=lim . ! , г = =17». 360. f'(0)——8, Г (0=0,
д*->о ^(8 + A*f-|-2 j/8-j-A* + 4 12
/'(2) = 0. 361. Xj = 0; лг2 = 3. Указание. Уравнение /' (x) = f(x) для
данной функции имеет вид Зх2 = х*. 362. 30 м/сек. 363. 1,2.364. — 1.
365. /' (х0) = ——. 366. — 1; 2; tg ф = 3. Указание. Использовать резуль-
,. УТьхТ
таты примера 3 и задачи 365. 367. Решение, а) /' (0) = lim ■?-— =
д#->о &х
1 ,. £/1 + Але — 1 1
= lim _-£_== оо; б) /'(!)= Ьш 1С_1 = lim * =+оо;
A*-»°j/A>; Д*-о Ал: д*-»0 jj/(A*)4
I f2* + 1 , А М
/л, . 1 n c°s —к—л 4-Ал: . А ,
в)/< 21±1л)=ит 1 V 2 ;L Иш 1£11^.1=_,
' /; - \ 2 J д*-*-о Ад: дх-»-о А*
/' f Ht±i ) = lim j si"A*! = 1. 368.5л:4 - 12*2 + 2. 369. — 1 + 2* - 2х\
* + \ 2 ) д*->+о Ал: ^ 3 ^
\Ъх2
370. 2ах + Ь. 371. — ^ . 372. та^"1 + Ь (т + л) /*+*-»
1 S 5
373. - 6q** - 374. —4- 375. 2л: Т - ЪхТ - ЗлТ4. 376-4 *Т. Указа
уа*+ьш х 3
2 8
, Т Т 0-7-7 4& 2а о™ be —ad
ние. */ = *2*8 = *». 377. __^___ . 378. ,„_,_ ^ ,2
3*2J/a; 3*j/]? " (c-f d*)2
,70 -2*2-6* + 25 1-4* 1
(х2-5*4-5)2 ' ' л-2(2*-1)2* ' /7(1 -/i)2
4 — 2
^ 384. —
sin2 2л: * * (sin х — cos xf
S2. 5cos х — 3sin*. 383. . 20 . 384. — ^ . 385. t2sin /. 386. г/' = 0,
387. ctg* j4- • 388. arc sin x + X д . 389. *arctg*. 390. * ве*(л:-f 7)
391. *e*. 392. e*^-jA 393. •. 394. е* (cos л: - sin x)
395. л:2е*.
396. ^arcsin^-^H. 397. 'Pin,-!)
: [ arcsin* H—, ]
In»*
398. Зх» In*. 399. 1 + lM—2. 400. ^-1
л: ' хг х2 л: In 10 л:
. u ,ft„ 2л: ch X — хг sh л: xLS
401. sh*-{-*ch*;. 402. ^ . 403 — th2A:,
*л- — 3(л: ln*4-sh*ch x) ЛП1Ш — 2x2 лл 1 . , , 1
404. v , , \2 - .405. z -j. 406. . Arshjc+ . arcsin x
x ln**.sh2* 1 — jc4 Y\—x2 )Л -f-x2
407. '-T^^ch* 408> l+2*Arcth* 3a («±*V 411. 12«6+
х*Ух*- 1 О-*2)2 с V e /
+18ft*4f. 412. 16* (3 -f 2л2)». 413. ./~,1.,. 414. , ~* . 415. Ьх* .
T (2x-l)» /1-х» ^/(« + ^')2
ОТВЕТЫ
385
m.-Wv>-1- »*-l-^t*x. 4.9. -1
x' cos2* " ' 2sin2x/ctgx
420. 2— 15 cos2 x sin x. 421. r-^r;—•. Указание. ^ = sin"2/+ cos"2/.
sin82/ '
422. „ f* „. 423. 5!?.^.. 424. 3 cos x + 2 sin дс __
(1-3 cos*)8 cos4* 2^15 sin*-10 cos*
425. 2coil_ +JiJH 426. '
3j/sin* Tcos4*- 2 1^1-л:2/1 +
427. ' 3(arcsin*)' 428 _1
arcsin*
2(\+x2) Vuictgx Yl - *2 ' """' 0 + *2) (arct£ x? *
429. ^+^ + ' .430. J**-2*1"2 _ + ^ . 432. (2x - 5) X
2Vxe*+x 3 j/(2e* - 2V + l)2 x ^
X cos (*2 - 5л: + 1) . 433. - a sin (ax + P). 434. sin (2/ + q>).
X2 COS2 —
X
435. - 2 £?il. 436. —^ . 437. x cos 2*z sin 3jA
sin8 x -
439. ~2 440. , ""! . 441. _1
-1
sin2 x
a
140. z1
-1
* V>-1 ' 2Vx-x2' ' l+*t#
442. , 7 1» - 443. - \0xe~x\ 444. -2л:5-*21п5.
1 + л:2
445. 2*102*(l+*lnl0). 446. sin 2х + 2Ч cos 2* In 2. 447. ~g
448- оТ^Гт- • 44». ctg x lg e. 450. -f^- . 451. 2 ln * *
452. («* + 5cos*)l^?-4 _ ^ 1 , 1
(ex + 5 sin x-4 arcsin *) y\ - xz' " (1 + ln* *) * 0 + л:2) arctg * #
1 1 л:
454. _ H —= . 455. Решение, #' — (sin3 Ъх)' cos2 -5- -f-
2jc l^ln jc +1 2(Vx+x) 3
-f- sin8 5л: f cos2 — j = 3 sin2 5x cos 5л: • 5cos2 — -f- sin8 5л: • 2cos -^ ( — sin -^- J -- =
= 15 sin2 5л: cos 5л: cos2 -^ тг- sin8 5л: cos — sin — . 456. -
3 " 3"em ил "ue У am T ' ^u> (x - 2)8'
457. *2+4*-6.458. **. 459. —^^L= . 460. *
(x-3)5 ' * (1-**)«' *л'2>/"2л:2-2л:+1 ' У(а*+х2)9
46K ^=p • "62. -*ЦЦр£-.463.л» 3/тг+^:464.^(Jim+2)5 •
j*B AZi о зч/ c 34 лсл 2abmnxn~l(a + bxn)m-1 Aan x3 - 1
465. 4*8 (a - 2**) (a - 5*8). 466. . {a_^nJm + l ■ 467. ^-^ •
468. a~3* 469. Зх2 + 2(^ + Ь + ^)^ + ^Ь + ^ + ^ щ
2Ya — x' ' 2V(x + a)(x + b)(x + c)
13 Г. С. Бараиенков и др.
336
ОТВЕТЫ
470. — \+2 — - 471. 2(7/+4)j/3*-f2. 472. г У, а .
473. l 474. sin8 x cos2 x. 475. -r-r-^—r-. 476. 10 tg 5x sec2 5*.
t/^* l 1 SKI4* COS4*
cos 2jc
477. xcosx2. 478. 3/2sin2f8. 479. 3 cos x cos 2x. 480.1^*. 481. -г-*— .
ь sin4 x
482 (a -p)sin2* ^ 483^ Q 484^ J_ arcsin x (2 arccosx-arcsin x) ^
2 /a sia2x + p cos2 x ' 2 V\-x*
485. ,J~ . 486. -rir . 487. ''rccosx->^ ^ ^. 1
ч/";Г"» Г • *ОЧ>. 1 _J_ ir2 . **0/. 57 • too» -7= •
* F 2x2 - 1 1 +* (i _ ^yV* ya _ bxz
489. T/ ^-=^ (a>0). 490. 2 /a2 - x2 (a>0). 491. —t=Z^ 492. arcsin Yx.
r a-f-x у 2x — x2
493. 5 . 494. r ' 495. Sifia
496 l
Y\ -25x2 arcsin 5x ' x/l-ln2x ' l-2xcosa + x2
- , A . . 497. 4x l/ r-i- . 498. r-f1'*, . 499. -£- V^-
5 + 4 sin л: r 6 — л: 1+ cos2 x 2
500. sin2xesin2*. 501. 2m*p(2mamx + b)P~l amx In a. 502. ee'(acos pf - p sin p0-
503. ea* sin px. 504. e"* cos 3x. 505. x""1 a"*2 (n — 2x2 In a).
. i
ctg —
506. — ±-ytgx(l+VEZrx\na). 507. i V?T • 508- if?^ .
509. -, 1 ■■■ 510. ^* . 511. * 512. -2
Уа'+х8 ' " 1+У* ' ' V2ax + x* ' ' x\n'x .
513. —itg^=l. 514. J^l22 • Указание. y = 51n(*-2)-
-3M* + i). S1S- (/- ix,1-2|(1з) • sl6- ШРШГх- 517- ^"^
518. ,. -,6f, _,. . 519. 15al"'|a* + fe) . 520. ,._!_ . 521. ^ .
(3 — 2л:8) 1 n(3 — 2x9) ax-{-b yxt _|_ a* xz—a*
522. lK"2sinlnx. 523. -Л,—. 524. rl+x\ 525 *±L
sin8 x ' x ' x* — 1 '
sin ax
526. 3 [2*rcsin «* in 2 + 2 (1 - arccos 3x)]. 527. ( 3cos ** In 3 + ^!fL?5 V
Y\—9x2 \ cos2bxJ^
a cos ax cos 6x + Ь sin ax sin bx 1 1
X тт. . 0£O. —z—:—x—: . 529. ,t—;—:—5—r— .
'N cos26x l-t-2sinx x(l+ln2x)
530. -==! ,lnx 1^.. 531. 1
yi-x^arcsinx * x)/"l-ln2x ' ' x(l+ln2x)
532. ж , *\ —. 533. 2„ 534. *!~^. 535 *
л^+д^-г ' * cosxVsinx * ' *4-l * " 1-fx»'
636. arcslnx , 537. 6 sh2 2л;.сЬ 2x. 538. e*x (a ch Px 4- P sh px).
ответы 387
539. 6tha2*(l — th2 2л:). 540. 2cth2*. 541. /* =. 542. r
}^a4 + *4 xV\n2x—\
543. —\r-- 544. -pi-. 545. r-^-s. 546. xArthx. 547. x Arsh *.
cos 2x sin x 1 —x2
548. a) y' = 1 при x > 0; (/' = — 1 при x < 0; y' (0) не существует; J5) (/' = | 2дг |.
ш. /_i. m rw-{ =;- z: :ti ». ^4- ™-6--
554. a) f'_(0)= 1, f'+(0) = l; 6)jf_(0)=|-, f'+(0) = ^; в) /'_(0)=1,
/'+(0) = 0; r) L(0) = /+(0) = 0; д) £(0) и f'+(0) не существуют. 555. 1-х.
556. 2+^^. 557. —1. 558.0. 561. P еш е н и е. Имеем у' = е~* (1 — *).
Так как е~х = —, тоу'=—(1—х) или ху' = у(\ — х). 566. (1+2х)х
X (1+а») + 2(1+ж)(1+Зх) + 3(х+1)(1+2х). 567. -^^^Д^^ '
2/х(х-1)(х-2^' 3(^+1) V JF+T*
(х-2)Цх*-7х+\) 5х* + х-24
570. _ j . 571. — — г— #
(х— \)(х — 3) Vix —1)5 (х—3)»1 3(лт — l)vMA: + 2)b/»(x + 3)b^
572. x*(l+lnx). 573. л^ + ^+г^х). 574. %/х~Х~~^х .
у- 1^
575. х 2(\+1\пх\. 576. ххххх(^+\х\х + \п2х\ .
577. xsinx f~--\-Qosx\nx) . 578. (cos*)sin*(cos*lncosx — sinxtgx).
579. (,+!)* [ln(1+lj__j_]. 580. (.,ctg,)*x
harCtg" + (l + ^arctgJ- 581- a> X'»=W+*V 6) X»=2=-c
X Пп arctgx + ——^ T— | . 581. а) x„ =тг-тт^—=гг ; 6) х„ =- ;
-cos x
пч -' _ 10 "ед2 3^ / -2/ _ ' -2* *(2-i»)
B) ^ " T- 582' ~2(' 583' Г+Т* 5 Г=^- 585, l-2/з '
1 + 5e 2
586. /* . 587
ЗУГ* " M<2+1)
^"t^rr. 588. tg*. 589. — — . 590. — — tg*. 591. — ig3*.
(/2+l) & a a
592. y'={ ! ПРИ f <^' 593. —2e3t. 594. tg *. 596. 1. 597. со. 599. Пет.
vx \ 1 при t > 0.
2 fc2x
600. Да, так как равенство является тождеством. 601. — . 602. ^-.
г 5 а2*/
v2
603. --2. 604. -Ж(У + 2у). 605. -Т/Х 606. -1/1.
f/2 а:2 + 2// г х г к
fin? 2j/2 _ 1—j/3 10 finQ ,
3(.x2_^2) + 2^~l + 3.r//2 + 4r/3- DUO- Ю-3 cosy' '
eie. /cos2-; . en. ±\=$=£. 6i2. (,+y)..
1— xcos2y x l+x2 + y2 \ \ vj
13*
388
ОТВЕТЫ
617. су + хУ* + ?ш 618. ^М.1. 620. а) 0; б) ±; в) 0
сх-уух* + у* у\пх-х х 2
622. 45°; arctg2^63°26'. 628. 45°. 624. arctg — за36°2Г. 625. (0; 20); (1; 15):
(—2; -12). 626.(1; - 3). 627. */ = *2 - * + 1. 628. k = -^ . 629. ( i-
II ^ о
— 1). 631. у —5 = 0; * + 2 = 0. 632. х-1=0; */ = 0. 633. а) # = 2*:
16/
г/ = _ул:; б)х —2^—1=0; 2х-\-у — 2 = 0; в) 6л:-f 2# - л: = 0;
2л: —6# +3л = 0; г) */ = л: — 1; ^/ = 1 — д:; д) 2л:-f #-3 = 0:
х — 2у-{-\—0 для точки (1; 1); 2л: — у -f 3 = 0; х -f-2#—1=0 для
точки (-1; 1). 634. 7х-\0у + 6 = 0, 10л:+ 7*/- 34 = 0. 635. у = 0\
(я-f 4)х + (л — 4)у — П ^ 2 =0. 636. 5*-f6</—13 = 0, 6л: - 5^ + 21 =0
637. х + у — 2 = 0. 638. В точке (1; 0): у = 2х - 2; у = -^; в точке (2; 0):
3 #
*/ = — л: + 2; у = х — 2; в точке (3; 0): # = 2* — 6; */ = ——. 639. 14л: —
— 13^ -(- 12 = 0; 13jc -|— \4у — 41 =0. 640. Указание. Уравнение каса-
л: у
тельной ~ 1— ^г— = 1. Следовательно, касательная пересекает ось ОХ в точке
2х0 2у0
А (2*0, 0) и ось OY в точке В (0, 2у0). Находя середину отрезка АВ, получимточку
(*<)» Уо)- 643. 40°36'. 644. В точке (0, 0) параболы касаются; в точке (1, 1) —
пересекаются под углом arctg — ^8°8'. 647. S, — S„ —2; / = /г = 2>^2.
648. j-Ц . 652. Т = 2а sin у tg-^- ;N = 2a sin -^; S, = 2а sin2 у tg -^ ; S„=asin /.
653. arctg — . 654. ~ -f 2ф. 655. S, = 4 л2а; S„ = a; * = 2ла Vl + 4л2;
л=а|/"14-4л2; tg|i=2n. 656. S, = a; S„ = -^-; * = Т^+оГ;
Фо U
n =— К a2 + Qj ; tg fx = -— ф0. 657. 3 см/сек; 0; — 9 см\сек. 658. 15 см\сек.
659.—-^ м\сек. 660. Уравнение траектории j/r=#tga г-^ а:2.
^ 2t/J cos2 a
t;Jsin2a _/■— •
Дальность полета равна . Величина скорости у v2 — 2v0 gt s'ma-\-g2t*\
л , vn sin a — at лг
угловой коэффициент вектора скорости — —. Указание.
Uq LOb Co
Для определения траектории нужно исключить параметр t из данной системы.
Дальность полета — абсцисса точки А (черт. 17). Проекции скорости
dx dy _ -ш/~/dx \г . (dii\*
на оси: -тт и -у-. Величина скорости I/ I -т- J -f- ( -j\ I ; вектор скорости
направлен по касательной к траектории. 661. Убывает со скоростью 0,4.
ОТВЕТЫ
389
662. ( -^ , -^- 1 . 663. Диагональ растет со скоростью 'ч, 3,8 см/сек, площадь —
со скоростью 40 см2\сек. 664. Площадь поверхности растет со скоростью
л
0у2пм*1сек, объем — со скоростью 0,05л мь\сек. 665. — см\сек. 666. Масса
о
всего стержня составляет 360 г, плотность в точке М равна Ъх г\см,
плотность в точке А равна 0, плотность в точке В есть 60 г\см. 667. 56л:в -f- 210x4.
668. е* (4х2 -f 2). 669. 2 cos 2*. 670. 02// ~ *'* . 671. ~~* ■ .
3(1 + *2)' Y(a2 + x2)9
»..„ л i i ^'^ >^-f«. ^ i ^-^ (ITCSin X _„. 1 , ЛГ __.* г.< л
672. 2arctg* + TTTz. 673. T—?+jr-Wr. 674. - ch_ .в7М'»=6.
24
680. /"'(3) = 4320. 681. j/V— _/ s. 682. r/Vi = — 64sin2*. 684. 0; 1;
2; 2, 685. Скорость u=r5; 4,997; 4,7. Ускорение а = 0; —0,006; — 0,06.<
686. Закон движения точки Мх есть х = a cos со/; скорость в момент / равна
— асо sin со/; ускорение в момент /: — асо2 cos со/. Начальная скорость 0; начальное
ускорение: — асо2; скорость при х = 0: =F асо; ускорение при х = 0: 0.
Максимальное значение абсолютной величины скорости «со. Максимальное значение
абсолютной величины ускорения асо2. 687. yW = n\an. 688. а) п\ (1 — х)~{п + 1),
б) (-1)"+' Ь3...(2/г-3)> ш a)si Л +Л-5Л; б) 2"cos(2*+*7jr
2"л: 2
в)(-3)е , г) ( 1) __ д)——^—, е) (1_,)И + ,-,
ж) 2я"1 sin ^-f (/1-1)^-] ; з)Ь1^^^. 690.a)x.e*-f/le*;
б) 2"-^-** \2(-\)пхг + 2п(-1)п-1х + П(П~1) (- 1)"~21; в) (1 - **) X
Xcos ( х-\-~2 ) — 2пх cos f лс-|-^ ^— J — п (п — l)cos ( *-(-- r-^—
(_1)"-М.З...(2/г-3)г /0 1Ч1 (_ 1)"б(/г-4)! ,.
Г> ' " ^+Г '[*-(2/1-1)]; Д)- ^-^гЦ при л^4.
2пх 2
691. у<я>(0) = (л — 1)! 692. а) 9/8; б) 2/2 + 2; в) — l/"l — /2. 693. а) ~Г ) ■ ;
б) о т-г^-7' в) =1^-' г) ~* . 694. а) 0; б) 2e*at.
' За cos4 / sin / л • * t at sin t
Aa sin4 —
695. a) (1+0(1+3/*); б)|-Ш .696. (cog7^<)t.e97.(g)t8st=l.
699. Щ1. 700 4^(2^-003/) 701._6t.((1+3, + O.
sin/ (sin / + cos /)5 v ' ' '
702. «V. 703.^=^; Й = 3^ ^'-^^ W . 705. _£.
706. -4V 707. -B^!+2. 708. J^/T^ £=4 •
а2*/8 г/5 dx2 (\ — у)*' dy2 y2
709. igi . 710. — i. 711. a)-I; 6) — ^. 712. Ду = 0,009001; d^ = 0,009.
713. d(\ —x*) = \ при *=1 и A* = — у. 714. dS=:2*AA:,
390
ОТВЕТЫ
AS = 2xAx + (Ax)*. 717. При х = 0. 718. Нет. 719. dy = — Л-*=- 0,0436-
72°-dy=т * °'00037- 72«- ^=5- ^ °'0698- 722- i£# •
723. уг-^Цг. 724. /* . 725.-^L. 726. -2*e-**d*.
727. Inxdx. 728. f^. 729.-i±^d«p. 730.--^.
1 — jc2 sin2 Ф Y l+ezt
732. -M***!!*,. 733. ~ye У& =-!-&. 734. i+^rfx.
lx-f-Ъу -JL x — y x — y
уг-хе У
735. -[ydx. 737. a) 0,485; 6) 0,965; в) 1, 2; г) -0,045; д) ^- + 0,025^0,81.
738. 565_сж8. 739. VJ^ 2,25; }/j7=^4,13; "^70 ^r 8,38; У"б40=^25,3.
740. ^/10^2,16; j/70^4,13; J/200 =*= 5,85. 741. a) 5; б) 1, 1; в) 0,93; г) 0,9.
742.1,0019. 743.0,57. 744. 2,03. 748. ■ ~ (rf*£ ■. 749. ~* (d*}* .
(1-*2)/а (l-x2)'»
«^л / . 1 г 2 cos* sin л: \ ., ч, __, 2 In* — 3 ,. vt
750. ^ - sin* In Н jji- J (dx)\ 751. ^ (dx)\
752-t-e-x{x* — 6x+6)(dx)\ 753. ^^ • 754. 3-2"sin (2x + 5 + Ц-\&x)\
755. exco**sm(xsma-{-n<x)(dx)n. 757. Нет, так как /'(2) не суще-
ствует. 758. Нет. Точка х = -^ точка разрыва функции. 762. £ = 0.763. (2, 4).
765. a) g = J; б) t-=■£-. 768. In x = (х - 1) - 1 (х - 1)» + *% ~р)%; где
Е= 1 -Ь в (ж — 1), 0 < • < 1. 769. sinx = x—^ + ^cosg„ где £, = 9,*,
0<et<l;sta» = *-^ + ^-|J-coeb. где & = •,*. 0<в,<1.
™- •*=1+* + Й + Ш + -+7Я$ж + л*в' где 5=в*' 0<9<и
1 х* 5 хг
772. Погрешность: а) тт^ тг ', б) =.— =7- ; в обоих случаях Е = бдг,
16(l+E)/f 81 (1+6)''
3 1
О<0<1. 773. Погрешность меньше ^т = —. 775* Решение. Имеем
l/ =fl-( J f l J . Разлагая оба множителя по степеням *,
п ^ Т /а + X - , * , X* n a
Перемножая, будем иметь: I/ —!—^ 1 -| f-—^. Далее, разлагая е по
степеням — , получаем тот же многочлен ta =а* 1 -| \гп~* • 777. — -5- •
получим:
ОТВЕТЫ
391
778. оо. 779. 1. 780.3. 781. ~ • 782. 5. 783. оо. 784. 0. 785.^-. 786.1.788.— •
2 2 я
789. 1. 790. 0. 791. а. 792. оо для п > 1; а для п— 1; 0 для п < 1. 793. 0.
795. 4-. 796. ~. 797. - 1. 799. 1. 800. е\ 801. 1 802. 1. 803. 1. 804. 1 .
5 12 е
805. —. 806. ~. 807. 1. 808. 1. 810. Указание. Найти lim
где 5 = — (а — sin а) — точное выражение площади сегмента (/? — радиус
соответствующей окружности).
Глава III
811. ( — оо, — 2) — возрастает; (— 2, оо) — убывает. 812. ( — оо, 2) — убывает;
(2, оо) — возрастает. 813. (— оо, оо) — возрастает. 814. (— оо, 0) и (2, оо) —
возрастает; (0, 2) — убывает. 815. (-— оо, 2) и (2, оо) — убывает. 816. (— оо, 1) —
возрастает; (1, оо) — убывает. 817. ( — оо, — 2), ( — 2, 8) и (8, оо) — убывает.
818. (0,1) — убывает; (1, оо) — возрастает. 819. ( — со, — 1) и (1, оо) —
возрастает; (—1, 1) —убывает. 820. (—оо, оо) — возрастает. 821. (О,—] — убы-
'1 \ V
вает; I -^, оо 1 — возрастает. 822. ( — 2, 0) — возрастает. 823. ( — со, 2) —
убывает; (2, оо) —возрастает. 824. (—оо, а) и (а, оо) —убывает. 825. (—оо, 0)
9 1
и (°Л) — убывает; (1,оо) — возрастает. 827. Утах==-т ПРИ * —"о* • 828-
Экстремума нет. 830. ymin = 0 при х = 0; ymia = 0 при л: = 12; Утах=1296 при
* = 6. 831. ymln =*= - 0,76 при *=^0,23; утях = 0 при х= 1; ymin ^ - 0,05 при
*=^=1,43. При х = 2 экстремума нет. 832. Экстремума нет. 833. 1)^^ = —2
при * = 0; утЬ = 2 при х = 2. 834. #тах = уб при х==г>2' 835. */тах = —ЗУ 3
при х = — — \ |/xni„ = 3Vr3 при * = —. 836. ymax=V2 при * = 0.
837. Уггах = - УТ при х = - 2 K3i ymln = УТ при * = 2 УТ. 838. */min = О
О / 1 \
при х= ±1; */тах=1 при * = 0. 839. ут|п = — у Уз при * = ( А: — — ) я;
3 — / 1 Л
Утах=-2 У3 ПРИ *==Н"'""6" Я) (А? = °' £ 1j ±2 )# 84°* ^тах:=5 ПрИ
x=\2kn; i/max^Scos— при *=12 ( А: ±-р- J я; ymin = — 5 cos — при
x=12l & ± — J я; ymin=l при * = 6(2£-f 1)я (£ = 0, ±1, ±2,...).
1 1 4
841. ymin = 0 при * = 0. 842. ут!п = — —при х= — . 843. */max = p при
х = ^> Ут\п = ® при *=1. 844. ymin=\ при * = 0. 845. ftnin=—у при
4
* = — 1. 846. ymin = 0 при * = 0; */тах = ^г при * = 2. 847. 0т!п = «при
дг=1. 848. Экстремума нет. 849. Наименьшее значение т =—— при
392
ОТВЕТЫ
* = — 1; наибольшее значение М= — при лг = 1. 850. т = 0 при л: = 0 и
1 я
д: = 10; Af=5 при х = 5. 851. т = — при лг = (2£ + 1) —; М = 1 при
л: = — (6=0, ± 1, ±2, .. .). 852. т = 0при*=1;Л!=я при * = — 1.
853. т = —1 при * = -— 1; Л! =27 при * = 3. 854. а) т= — б при*=1;
Л/ = 266 при * = 5; б) /и = —1579 при * = — 10; М =3745 при * = 12.
а
£56. р = —2, ^ = 4. 861. Каждое из слагаемых должно быть равно — .
/
862. Прямоугольник должен быть квадратом со стороной —. 863.
Равнобедренный. 864. Сторона площадки, примыкающая к стене, должна быть вдвое
больше другой стороны. 865. Сторона вырезаемого квадрата должна быть
равна -£-. 866. Высота должна быть вдвое меньше стороны основания.
867. Тот, высота которого равна диаметру основания. 868. Высота ци-
2R /~~2
линдра —/г=» радиус его основания R 1/ -^-, где R — радиус данного шара.
869. Высота цилиндра RYH, где R — радиус данного шара. 870. Высота
4 4
конуса -х-R, где R — радиус данного шара. 871. Высота конуса -~-#, где
О О
3
R — радиус данного шара. 872. Радиус основания конуса -^-г, где г —
радиус основания данного цилиндра. 873. Тот, высота которого вдвое больше
диаметра шара. 874. ф = я, т. е. сечение желоба — полукруг. 875.
Центральный угол сектора 2я 1/ — . 876. Высота цилиндрической части должна
быть равна нулю, т. е. сосуд должен иметь форму полусферы.
2 2 3
877. /г = (/8 — d5)2. 878. ^--{-^- = \. 879. Стороны прямоугольника
a Y% и Ь У2, где а и b — соответствующие полуоси эллипса. 880.
Координаты вершин прямоугольника, лежащих на параболе ( — а, ±2 1/ £—.1 .
841- ( ±-т=, "Т ) * ^2* Угол равен наибольшей из величин arccos -г и
aictg^-. 883. АМ = а -г—Д—£—= . 884. -4= . 885. а) х = у = -4= ;
<* J/p + Уя Т^ /2
G)* = ^=; y = dy^-. 886. * = ]/^',Pmin==V2^Q. 887. У"Л^Г.
Указание. При вполне упругом ударе двух шаров скорость, которую
приобретает неподвижный шар массы т, после удара о него шара массы т2,
2т2^ ооо Т /"## /
двигавшегося со скоростью v, равна —-^—. 888. п = I/ — (если это
число не целое или не является делителем числа /V, берут ближайшее к
найденному значению целое число, являющееся делителем числа N). Так как
внутреннее сопротивление батареи равно -гг-, то физический смысл
найденного решения таков: внутреннее сопротивление батареи должно быть воз-
ОТВЕТЫ
393
вниз
2
можно ближе к внешнему сопротивлению. 889. y~ — fi. 891. ( — оо, 2) —
о
вогнут вниз, (2, оо) — вогнут вверх; М (2, 12) — точка перегиба. 892. (— оо, оо)—
вогнут вверх. 893. ( — оо, — 3) — вогнут вниз, (— 3, со) — вогнут вверх; точек
перегиба нет. 894. ( — оо, — 6) и (0,6) — вогнут вверх, ( — 6, 0) и (6, со) —
/ 9 \ / 9 \
вогнут вниз; точки перегиба М1 ( —6; —iy ) > О № 0)» М2 ( 6; -— j ,
895. ( — оо, — Yb) и (О, УЗ) — вогнут вверх; ( — /3, 0) и (/3, оо) - вогнут
вниз; точки перегиба М1)2(±У"3; 0) и 0(0; 0). 896. ( (4л -f1) ~ ,
(4k -f" 3) it ) — вогнут вверх, ( (4k -f- 3) — , (4&-f-5) —)—вогнут
(Л = 0, ±1, ±2, ...): точки перегиба—^(2fe+l)-5-; О J.897.(2Ля,(2Л+1)я) —
вогнут вверх, ((2& — 1) я, 2&я) — вогнут вниз (k = 0, ±1, ±2, . . .); абсциссы
точек перегиба равны х = kit. 898. ( 0, —^^ ) — вогнут вниз, ( ——=.. со ) —
вогнут вверх; М (—=.; — =-j- ) — точка перегиба. 899. (—оо, 0) — вогнут
вверх, (0, со) — вогнут вниз; 0(0, 0) — точка перегиба. 900. ( — со, — 3) и
( —1, оо) —вогнут вверх, ( — 3, — 1) — вогнут вниз, точки перегиба —
/ 10 V f 2\
М,1 — 3; -И иМ2-1; — J . 901. х == 2; у = 0. 902. аг = 1, л: = 3; у = 0.
903. jc=r±2; «/==1. 904.*/ — *. 905. у — —х (левая), у — х (пра-
вая). 906. у = —1 (левая), у = 1 (правая). 907. jc=i 1, у — — х
(левая), у = х (правая). 908. у — — 2 (левая), у — 2х — 2 (правая). 909. у = 2.
910. л; = 0, г/ = 1 (левая), у — 0 (правая). 911. * = 0, «/=1. 912. «/ = 0.
913. х — —1. 914. у = х — л (левая); у = х-\-п (правая). 915. г/ —а.
916. Утак — ® ПРИ * —0; t/min = — 4 при х — 2; точка перегиба М\(1, —2).
917. #max—1 ПРИ *—± Т^З; i/min^O при л: = 0, течки перегиба
Ми2 ( ± 1;-Q-]. 918. ym3LK = 4 при л: ——1; «/^ = 0 при л: = 1; точка
перегиба Мх (0, 2). 919. f/max —8 при л: — — 2; r/min = 0 при х = 2\ точка
перегиба М (0; 4). 920. r/min = —1 при л: = 0; точки перегиба М1>2(± У~5;0)
и MhJ ± 1; — j^J . 921. */max = — 2 при х = 0; f/min — 2 при л; —2;
асимптоты х —1, г/ = л: — 1. 922. Точки перегиба /М1>а(± 1, Т 2); асимптота *=0.
923. f/ma* ——4 ПРИ * ——U #min—4 ПРИ *=1;_ асимптота л:=:0.
924. #min = 3 при *=1; точка перегиба — М ( — JJ/2; 0); асимптота * = 0.
925. f/max=:::"o" ПРИ * = 0; точки перегиба Ml2 f ± 1; —1; асимптегга */= 0.
926. #гоах —— 2 при л: = 0; асимптоты * = ± 2 и # = 0. 927. */min =—1 при
* — —2; #тах—* ПРИ *=2; точки перегиба — О (0; 0) и
М1>2 ( ± 2 У"5\ ± —к-) ; асимптота # = 0. 928. i/ma< = l при *=г4; точка
перегиба — М (5; -q- ) ; асимптоты л: = 2 и */ = 0. 929. Точка перегиба —
V У У 27 8
0(0; 0), асимптоты х= ±2 и у = 0. 930. f/raax = — — при х = -т> ; асимптоты
* — 0, л: = 4 и */ —0. 931. г/тах = —4 при * = — 1; утЫ = 4 при *=1;
асимптоты л: = 0 и у = 3х. 932. Л (0; 2) и В (4; 2) — концевые точ::и
394 ответы
0тпах = 2 V2 пРИ х = 2. 933. А (—8; —4) и В (8; 4) —концевые точки. Точка
перегиба О(0; 0). 934. Концевая_ точка Л(—3; 0), ут1п== — 2 при л: = — 2.
935. Концевые точки Л (—"|/"3; 0), 0(0; 0) и Б(^"з"; 0); г/тах = 1^2"
при * = —1; точка перегиба — М f "|/"з + 21/"з", "|/ 6 1/ 1 + -JL ).
^36. t/max=l при * = 0; точки перегиба — М12(± 1; 0). 937. Точки
перегиба — Л1х (0; 1) и Л42(1; 0); асимптота у = — 'х. 938. t/щах^О при * = —1;
0min = _ 1 (при* = 0). 939. */гаах = 2 при л: = 0; точки перегиба М12(± 1; jj/T);
асимптота у = 0. 940. */min=-— 4 при х = — 4; J/maxj==4 при дс = 4; точка
перегиба — О(0; 0); асимптота у = 0. 941. t/min= jJ/4 при дс = 2, i/min= jJ/4*
при * = 4; */тах = 2 при * = 3. 942. ут\п = 2 при jc = 0; асимптоты х=>±2.
943. Асимптоты х=±2 и # = 0. 944. Ут\п = ^-7^ при х=УЗ;
К 2
Утах = ~ jy^ ПРИ * = — 1^3"; точки перегиба —Л^ ( — 3; —=■ J , O(0; 0)
и ЛЦ 3; -п- ) '» асимптоты *=±1. 945. у1„1П = у-?= при * = 6; точка
перегиба — УИ ( 12; 1-т= ); асимптота х = 2. 946. г/тах = — при дс=1; точка
V j/ЮО/ *
перегиба —Л](2;-2~); асимптота у — 0. 947. Точки
перегибала ( —За; —^] и М2 f —а, — J ; асимптота у = 0. 948. */тах = е2 ПРИ * = 4;
/ , з \
точки перегиба—Mj, 2 I п 'е* г асимптота у = 0. 949. утлх = 2 при
* = 0; точки перегиба— М12 ( ± 1; — ) . 950. #max=l при*=±1; */min = 0
при * = 0. 951. i/max=:0,74 при х = е2=^г7,39; точка перегиба —
а2
М(е8'3^ 14,39; 0,70); асимптоты х = 0 и */ = 0. 952. */min = —7" при
^=-^; точка перегиба —М (-i= ; ""I^j- 953. r/min = e при х = е; точка
перегиба — М (е2;-^-)' асимптота дг=1; */—>0 при х—►О.
4 1
954. г/тах=-2-=^0,54 при лс = -2—1 =^= — 0,86; ут\п = 0 при х = 0; точка
перегиба — М ( — — 1=^—0,63; —^0,37^; у—>0 при д: —э. — 1 +0
(предельная концевая точка). 955. #mjn=l при х=± V~2\ точки перегиба
Mi 2(± 1»89; 1,33); асимптоты х= ± 1. 956. Асимптоты ху = 0. 957. Асимптоты
f/='0 (при *—> + оо) и у — — х (при дс—► — оо). 958. Асимптоты
jc — ; х = 0; у = 1; функция не определена на отрезке , 0 .
5
959. Периодическая функция с периодом 2я. ут\п — — К 2 при * = — л + 2/гя;
0max= J^2" пРи * = —+ 2/гя (/г = 0, ±1, ±2, ...); точки перегиба —
ответы 395
мк
[-jn-{-kn\ 0). 960. Периодическая функция с периодом 2я.
Ут1п = — jV~3 при x = j n + 2kn; ymax = j- У 3 при * = у + 2Ая (Л = 0,
•±. 1, rt 2, .. .)'• точки перегиба — Mk (kn; 0) и Л^ ( arccos ( —-j ) + 2&я;
-— V^15 ) . 961. Периодическая функция с периодом 2я. На отрезке [ — я, я]
ymax = j ПРИ * = ±= у» Ут'т = — 2 при л: = :±:я; */mjn = 0 при * = 0; точки
перегиба— УИ112(±: 0,57; 0,13) и MM(:t 2,20; —0,95). 962. Нечетная
периодическая функция с периодом 2я. 'На отрезке [0, 2я]: #тах=1 при * = 0;
#min=0,71 при X = j\ Утах=1 при Х = ~; ут1п = —1 при X = Я;
5 3
#тах = — О»71 при ^ = -^я; */min = — 1 при а:=:—я; утах=1 при л' = 2я;
точки перегиба - Мх (0,36; 0,86); М2 (1,21; 0,86); М3 (2,36; 0); М4 (3,51; - 0,86);
М5 (4,35; —0,86); Мв(5,50; 0). 963. Периодическая функция с периодом 2я.
i/min^-1^- при * = — + 2&я; утах = — при * = —j я+2/?я (*=0.
3
:±=1, it 2, ...); асимптоты х = — п -{-kn. 964. Периодическая функция с пе-
( п т/"2~\
риодом я; точки перегиба — М^ ( — + kn; —^— ) (к = 0, it: 1,it 2,...); асимп-
3
тоты х= — я + to. 965. Четная периодическая функция с периодом 2я. На
4 1
отрезке [0, я]: утах = при х = arccos —^; #тах = 0 при л: —я;
Ут1п = —3-^- ПРИ * = arccos ( — ТТу) ; ^rnin = 0 при * = 0; точки
перегиба— МЛ ~; 0J ; M2^arcsin-^-; -^—) *, М9 ( я— arcsin -у ; ^-V
966. Четная периодическая функция с периодом 2я. На отрезке [0, я]: утах = 1
2 / 1 \ 2
при х = 0', утах = —— при х = arccos I — -^= ); утш = — —^ при
М2 (arccos |/"i|; *- |/{|) ; УИ3 (arccos (- |/{§) ; -^|/0
967. Функция нечетная. Точки перегиба — Mk (kn; kn) (Аг = 0, rt: 1, =£2, ...).
968. Функция четная. Концевые точки — Л, 2 (it 2,83, — 1,57); #max^= 1,57 при
* —0 (точка возврата); точки перегиба — М1)2 (it 1,54; —0,34). 969. Функция
нечетная. Область существования —1<дс<1. Точка перегиба О(0; 0);
я
асимптоты x = itl. 970. Функция нечетная. утах = ——1 -f-2^jc при
__ о о
* = — -\-kn; ymln = -- я-f 1 + 2&я при х = — я + kn; ючки перегиба —
4 2 4
2k -f- 1
Mff(kn, 2kn); асимптоты х = —~—n(k = 0, it 1, it 2, ...). 971. Функция
х= arccos -^=; r/min = —1 при х = п; точки перегиба — Л^ ( — ; 0 ] ;
396
ОТВЕТЫ
JT
четная; ут\п — 0 при # = 0; асимптоты г/ = —— #—1 (при х—►— оо) и
л
г= — х — 1 (при *—*-f-°°)- 972. #mjn = 0 при х = 0 (угловая точка); асимп-
л Зл
ТОТа */ = 1.973. ^min=1+J2' ПРИ X=U Утах = ~^-~1 ПрИ * = ~1» точка
перегиба (центр симметрии) (0, я); асимптоты у = х-\- 2л (левая) и у = х
(правая). 974. 974. Ут'щ^ 1,285 при *= 1; Утах^ 1,856 при * = — 1;
точка перегиба — М ( 0, — ); асимптоты #==~-f-ji (при х—► — оо) и
2
У=-к (при х—► + «>)• 975. Асимптоты х — 0 и у= х — In 2. 976. */min=^ 1,32
при # = 1; асимптота х = 0. 977. Периодическая функция с периодом 2я.
1 3 я
#min = 7~ ПРИ ^ = "2 я + 2^л; г/тах = е при x = — + 2kn (« = 0, ±: 1,
rt 2, ...); точки перегиба — УИ^ ( arcsin --—^ }- 2&я; е 2 ) и
/ уъ- 1 ^±1\
Nk[ —arcsin-^ \-(2k+l)n; e 2 ). 978. Концевые точки Л (0; 1)
и В(1; 4,81). Точка перегиба — Af (0,28; 1,74). 979. Точки
перегиба — М (0,5; 1,59); асимптоты */^0,21 (при х—►— оо) и г/ =^= 4,81
(при х—v-f-oo). 980. Область определения функции — совокупность
интервалов (2&л, 2£я -f- л), где £ = 0, =tl, =t:2, ... Функция периодическая с перио-
л
дом 2л; утлх = 0 при * = —+ 2/?л (/г = 0, it 1, it: 2, ...); асимптоты * = /гл.
981. Область определения — совокупность интервалов ( ( 2k—-^ ] л,
( 2/г + -jr ) л ], где k — целое число. Функция периодическая с периодом 2л.
Точки перегиба — Mk (2k л; 0) (k = 0, it: 1, it 2, ...); асимптоты
л
х = + —--|-2Ая. 982. Область определения х > 0; функция монотонно воз-
л
растающая; асимптота х = 0. 983. Область определения | х — 2kn | < —
(k — 0, rt= 1, it: 2, ...). Функция периодическая с периодом 2л; ym-ln=z\ при
* = 2&я (/г = 0, it 1, it 2, ...); асимптоты х= — -\- kit. 984. Асимптота
л
г/^ 1,57; у—>■ — при а:—► 0 (предельная концевая точка). 985. Концевые
^ 1
точки — Я,,2(:±: 1,31; 1,57); */min = 0 при « = 0. 986. ут\п= ( j J =5: 0,69 при
* =— =^ 0,37$ у—*1 при х—^-(-0. 987. Предельная концевая точка —
1
А ( + 0; 0); цтах = ее ^ 1,44 при * = е^2,72; асимптота у=\\ точка
перегиба - Мг (6,58; 0,12) и М2(4,35; 1,40). 988. *min = —1 при/=1(у=3);
i/min = — 1 при / = — 1 (дг = 3). 989. Для получения графика достаточно
изменять t в пределах от 0 до 2л; хт\п = — а при t = Ji(y = 0); xmax = a при
Зл
/ = 0 (у=0)\ ут1п = — а (точка возврата) при / =-f у (* = 0); ymax = -j-fl
ОТВЕТЫ
397
я , „ я Зя 5я 7я
(точка возврата) при ^-тг (* = 0); точки перегиба при/ = —, — , — , -£
*=±
2^2 /2 / в
.\(y=z—e)\ ута
при /=1(* = е); точки перегибав—~Д, — 1^2* 2 ) при * = —УН
и [У2* 2J-?-^| при * = У2 ; асимптоты л: = 0 и i/ = 0. 991. jtmin = 1
и ym'ln=z\ при £ = () (точка возврата); асимптота у = 2х при £—>--f-oo.
992. r/min =r 0 при / = 0. 993. ds = — dx; cosa = —; sin a = ,
994. ds--
a V a2
dx; cosa =
\V~a
Va*
-; staa = —
bx
V~az
где
в = Уаг — Ь'г. 995. ds = — Ytf* -f- y1 dx; cos a = . — ; sin a = *-
УУ + </2'
996. ds:
Л / d / x /it
у — dx; cos a = 1/ — ; sin a = — 1/ —
Ур2+Уа '
997. ds — ch — dx;
a
\ x t t
cos a — ; sina=th—. 998. ds = 2a sin — dt; cos a = sin— ; sina =
a 2 2
ch
= cosT.
999. ds = 3a sin t cos ^ a7; cos a = — cos £; sin a = sin *.
1
1000. ds = ay 1 + ф2с(ф; cosfb
1 « f a
1Л + Ф2
1002. dsz
COS'
- . :. 1001. ds =4^1+©fd©;cosP=
/l + ф2 Ф2 ^Y Y
— dф; sin 6 = cos ~-. 1003. ds =z a cos-~ d(p\
3 Ф 2 2 T
• a Ф
sin p = cos —-,
1004. ds — rY\ + (In a)2 dф; sin p :
/l-HirT^1
1005. ds = —dq>; sin P = cos 2ф. 1006. К — 36. 1007. K =
3
1008. #Сл=-&; ^и = ||. Ю09. К = ^==
3/2
1010. /С:
'a V2
— в обеих вер
шинах.
1013. R =
1016. R =
1019. Я =
1023
..,..('„) . (•:-,). ж, (-¥:!?)
(1_)_ 9^3/2
6л:
- a sin 2/
4 ф
Т " C°S 2
1014. R
(б4*2 + а*у*)»2
1017. R = \at\. 1018
Ю20. /?„анм = |р|.
1024
1015.
p_(.^ + l)2
/? = I /■ У1 -1- л» |.
1022. (2; 2)
¥« ».). ,0,4. „_V+(,_»)'=■.
о
1025. (лг-f 2)2 + (*/ — 3)2 = 8. 1026. pK2 — ^=(X — p)J(полукубическая парабола).
2 2 4
1027. (aX)s +(6Г)3 =с* , где с2 = a2 -62.
398
ОТВЕТЫ
Глава IV
В ответах этого отдела ради краткости произвольная аддитивная
постоянная С опущена.
1031. yeV. 1032. 2х' + 4х2 + 3х. 1033. j^ + (a+^)*8 -f g^£. 1034. а2х +
л— 1
Т— 4 5
4-™L + ^2L. Ю35. j Y<lpx. 1036. 5i_. Ю37. «//ur. 1038. a2* — |-a* *8-f
9*»vT 3*4?/лГ 3**3/a7 o,-
, ^-^ + *. Ю40. —£ £ 6J/*.
4*"j/~a*
jc-УЮ
2 7
+ ya7*V-y . Ю39
1041. — /Ц -—, 0 , v+i—Г-Г- I042- 2a У ад: — 4ах+4хУ ах—
4m -f 1 2m + 2n -f-1 ' An -f-1
-2*2+ ^
5 У ал: '
1045. In (* + У4+~?).
1043. -4^arctg-^
V7 Vl
1044.
1
In
1046. arc sin
2/2
2V"lO I
1047. arcsin
* + УТо
x
— In (x -f- У x2 -f- 2). 1048*. a) tg * — *. У к азание. Положить tg2jc = sec2jr — 1;
б) х — th л:. Указание. Положить th2 д: = 1 г^- . 1049. а) — ctg х — *;
б) л: — cth лг. 1050. . ^* . 1051. a In I —— L Решение. С—— dx =
In 3+ 1 J а — л: I j a — x
= __а Г d(a-~x) = — a\n\a - х\ + о1пС=о1п 1-£—I. 1052. л: + In I 2л: + II.
J а — л: ' ' ' \а — х\ iiii
2х -4- 3 2
Решение. Разделив числитель на знаменатель, получим _Г 1 = 1 -f- 9 , ; .
^lnla-fM- Ю55. — * +
1053. _A* + li In | 3 + 2* |- 1054. |-р
+ ba~.^^\ax+fi\. 1056.^+* + 21n|*-l|. !057.^ + 2* + ln|* + 3|.
1058. 4-+4г + л:2 + 2л: + 31п|л:- 1 I. 1059. агх-\-2аЬ In | х - а | — .
43 ' л; — a
1 ,, Г xdx Г(*+1)-1.
— j (x+1). ** =
1060. 1п|лг+1|-4 ^—г. Указание. \.—r^v
1 ' ' x+l J (*+1)
=Ii+Vj<7+V I08'- -26^пг^- ,062
«^*тг. Решение. r^^-g^y^
,064. 2^+^.106,^,0^ /4). .Обб-^п!^-2^
1067.
2 /а2 - Ьг
УТ+~Ь - х Уа~^1> I
л: У"7 + 2 /2
1068. x-Y2arctg-4=
V2
ОТВЕТЫ
399
1069. _(.£ + £in |а*-*»|). Ю70. x-4-ln(*»+4) + aretg4.
1071. -4= In (2 У1х + Yl + 8**).
2^2
1073. 4" In I 3*s - 21 %^ Щ—Г- r-
\x УЪ - /2
m2-ytarcsin (* Ут) •
-у In (5** + 7).
У35
1_
/5
1075. 4 "^5*2 + H—7=ln (*V"5 + У 5*f+l).
1076. y"jc2-4 + 31nU + y"x2-4|. 1077. -i- ln | д:2 — 51. 1078. -j-ln (2*f + 3).
1079. lln(aV + &2) + larctgfl*
6 '
1080. 4-arcsin ^5. 1081. 4-*rctgA
2 a2 3 s
1082. ±\n\x*+Vx*-\ |. 1083. 4 У (arcsin *)«. 1084.
("^т)'
1085
1088.
1091.
.4-1п(1+4^)^^(аГу2Л:)\1086.2>/1п(^ + У1+^)» 1087,— -Vm*.
ln
a — ln b \bx axJ
1092.
10.
?
ln a
/
Л
2Д
ee
1
>¥
:
+
3
2
(2
2x —
JC
-{-a
a
T
e
2
2X
a
* л
/
1093. — 2^i • 1094. ^-^ 7X\ 1095. - e * . 1096. ^ 5Vx . 1097. ln |e*-11.
За, ~ . „■=-
1
Ю98. -^V(a-fc^)». 1099. 22(e«+l)i . 1100. -§--^1п(2* +3).
Указание. а^Тз ""5" С* ~ 2^з) "
2* +
I 114-е-**
1101. 1—arctg(a*).
In a bV
1103. arcsine*.
1104. — -r-cos(a-f bx).
1105.y2"sin-4=:. 1106. д: —~cos2a*. 1107. 2sin У*Г 1108. - In lO.cos(lgx).
У 2 2a
* sin 2/C 1 x
1109. -77 з—. Указание. Положить sin2A: = — (1 — cos 2*). 1110. -75- +
2
sin 2л:
. Указание. См. указание к задаче 1109. 1111. —tg(ax-\-b).
1112. - х.
1113. a In
tg
2a Г
1.14. ТъЫ
tg
(т+т)|-
1115. —In
a
tg
ax-\- b
1116. Ttg(x*
1117. у cos(l — *»).
1118. x — -^= ctg* 1^2 — 1^2 In J tg J^^-
. 1119. — ln J cos jc |. 1120. ln I sinjc|.
400
ОТВЕТЫ
1121. (а- &)1п
sin
а-Ь
1122. 5 In
. х
sin-=-
5
1123. — 2 In | cos Vjt |.
sin4 6jc
1124. у In | sin (**+!) |. 1125. In | tg x |. 1126. ySin2-^-. 1127,
24
1128.
4a sin4 ал:
1129. —у In (3 +cos Зл:).
1
ИЗО. — — У cos 2x.
1131. —-у (1 + 3 cos2 x)3.
1132. {tg*|
1133. yW*.
„34. -ЗСУ *. 1135.1
^+^-,,364(1п|^¥
-f- 2 sin ах .
1137. —In \b-actg3x\. 1138. -£ ch 5a: — |- sh 5л:. 1139. — 4 + 4-sn2**
За «с £ 5 J 4
1140. ln|th|-|. 1141. 2arctge*. 1142. In | th jc |. 1143. 1пспл:. 1144. In | sh* |.
1145. -^{/(5-Jt2f. 1146. 11п|л:4-4а:-(-1|.
1147.
1 . л:4
— arctg ——.
4 jfb Vb
1149. у ~arctg (x |/у)-^-1п(л:^3 + У"2ТЗ?).
1150. 4-3 — ~ + *-21n|* + l |. 1151. £= . 1152. In | л: + C0S л: | .
6 1 у ех
1148. -уГЛ
1154. —
1
In* "
1153. |(ln|sec3,+ tg3,| + -^).
1155. ln|tg* + y"tg2*-2|. 1156. T^2 arctg (x У 2) — Щх^+Т) '
1157.
" . П58. i_—-J—- . 1159. 4" arcsin (a:2). 1160. - tg ax - x.
In а 2 2 а
1161.
x sin л:
2 *
1162. arcsin
2 '
1163. a In
i i x i я
з ,
165.
164. J± j/(i+In*)4. 1
1167. earc{ex+ln2(l + x2) + arctgx.
J I x2
■ 2 In | cos Vx- 1 |. 1166. у In tg —
1168. — In | sin x + cos x |
1169. /2 In tg
2УТ
— 2л: — Y<1 cos -£=.
/2
1170. *+-l=ln
/2
.v-/2
:+У2
1171. In | л-1+2 arctg л:. 1172. esin4 1173. 77— afcsin ££1. _f- У 4 - 3*2.
ОТВЕТЫ
401
1174. х - In(1 +е"). 1175. ' arrtgх Л/а-—^ \ 176. In («* + У>*-2),
Л/ л2 — h2 * й-f- и
Уа* - Ь
2-In* Г
1177. -iln|tg«|. П78. - L cos (у-' + Ф.). 1179. i-ln|2 + ,nJf
I arccos -~- j
1180.
. net. _e-te*. 1182. i-arcsta/' —V
/2У-
1183. -2ctg2*. 1184. (arcs'n*) _ /i _ x\ ц85, [n (sec x + ySec'x + 1).
„86. ' lnl^+Sin2j;l
4 УТ I /5 - sin 2дг|
1187. -== arctg( -|4 ) . Указание.
1189. 4sh(^8 + 3). 1190. t^ 3th*. 1191. a) 4^ arccos — при x > /2;
о In о у 2 *
6) - in (1+«"*); в) ± (5л:2 - З)8; г) y y^* + U3 - 2 /л: + 1;
д) ЩЛх + УТ+ШГх). 1192. \ р^ + 5)»,5(2^^ ^
i,93-4^--l+2/J-21n|1+T/7])-1194- НШттт!
1195. 2 arctg У?^П. 1196. In л: - In 2 In | In x + 2 In 2 [. 1197. (£I£5HliL .
1198. А(е*_2)У?Ч:"1- no^-g-^cos^ —б^УсозТ. 1200. In
1 + /л:2 + 1 Г
1 у 1
Указание. Положить x = -j • 1201. —— |Л — л:2 -|—-- arcsin л:.
1202. —-^/2^? — ~Y2^?. 1203. Vx2 - а2 - aarccos—. 1204. aiccos—>
о о Л* #
если а: > 0, и arccos ( ), если х < 0 *). Указание. Положить х = —- ,
1205. /л;2 + 1-1п
1+/**+!
1206.
4л:
. Примечание.
*) В дальнейшем, в аналогичных случаях, иногда будет указываться
ответ, годный лишь для какой-нибудь части области существования
подынтегральной функции.
402
ОТВЕТЫ
Вместо тригонометрической можно применить подстановку х = — •
1207. j V"n=T1 + -i-arcsinx. 1208. 2arcsin]/*^ 1210. «^ |/V - a2 +
+ у1п|лг + "|/"л:2-а2|. 1211. *lnx-x. 1212. jcarctgx --^ In (1 + x1).
1213. л: arcsin x + у 1 — л:2. 1214. sin л: — x cos *. 1215. —- 1 g—•
ic 4-Х x In 2 4-1 б,лг
1216. —2LnLL. 1217. — *?. Л ■■ 1218. ^=-(9xz—бх + 2). Решение. Вмес-
e* 2х In2 2 27 v '
то многократного интегрирования по частям можно применять следующий
способ неопределенных коэффициентов:
С x*e*xdx = (Лл:2 + Вх + С) е*х
или, после дифференцирования,
х*еъх = (Ах1 + Вх + С) Зе'х + (2Ах + В) е**.
Сокращая на е*х и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
х, получим:
1=ЗД; 0 = ЗЯ + 2Л; 0 —ЗС + Я,
откуда Л=у; £ = — -|-; С = ^. В общем виде С Ри (*) евх^л: = Q„ (др) еах,
где Яп (л:) — данный многочлен степени п и Qn (х) — многочлен степени п с
неопределенными коэффициентами. 1219. —e~*(x2 + 5). Указание. См. ЗаДа-
чу 1218*. 1220. — Зе Т(х* -[-9л:2+ 54*+162). У к а з а н и е. См. задачу 1218*.
,ooi * cos 2л* , sin 2л: 4000 2*2 + 10* + 11 . _ , 2*+ 5 0
1221. — . 1222. ■— ! sin 2л:-^ j—cos 2л:.
Указание. Рекомендуется также применить способ неопределенных
коэффициентов в виде
\ Рп (х) cos fk dx == Q„ (л:) cos рл: + /?„ (л:) sin рл:,
где Яп (л:) — данный многочлен степени п, Qn (x) и Rn (x) — многочлены
степени п с неопределенными коэффициентами (см. задачу 1218 *).
1223. £-1п* —■£. 1224. х In1* —2* In*+ 2*. 1225. — ^ —JL
3 9 ' 2л:2 4хя
1226. 2/7ln*-4yjT. 1227. £^arctg*-™. 1228. ~ arcsin x —
— i- arcsin* + -j- VГ^Р. 1229. * In (х + УГ+72) - У1 + л:8.
1230. — *ctg* + ln|sin*|. 1231. Д- + 1п
tg — I . 1232. eX(sinx-cosx)
1233 3х(sin л-+ cos* In3) 1234 gg* (a sin bx — Ь cos for)
l+(ln3)2 " cf + b*
ответы 403
1235. у [sin (In x) - cos (In x)]. Ш6. - ^- (x2 -f 1). 1237. 2^ (V~x - 1).
1238. ^ —лг2 + 3лг) 1пдг —-^-f-^— Зд:. 1239. X^± In ' * *
1+*
— #.
1240. — !^ — £Jj^_l. 1241. [ln(ln*)-l].lnx.
1242. ~ arctg 3x - ~ + ^ In (9*2 + 1). 1243. Ц^ (arctg *)2 - x arctg * +
+ yln(l+x2). 1244. x (arcsin x)2 +2/Г^2 arcsin x-2x. 1245. — arcsm*4-
1246. - 2]Л^ arcsin У7+2/x. 1247. ?Ц~- +
e~* /cos 2* — 2 sin 2* Л .ллл x .
— [ g V' 1249e т +
+ ln
1+|Л-х2
In I cos 2л: I хг 4пЛ„ e'x /cos 2x — 2 sin 2x
1248,
4 2
* cos (2 In x) + 2* sin (2 In x) x . 1
-j-zx sin (z in xj .__. x . i , _ „
15 ••1250'-2(FHrr) + TarctgJC- Решение- п°-
лагая u = x и du = 2 , получим du = dx и u = — a_i_i\* ^т"
С x2 dx x С dx x 1
сюда j(FTTP=~2(FTr)+j2(Fqrij = -2(^4^+Tarc^
1/1 X X \
1251. ^-g I — arctg \- 2 2 ) . Указание. Использовать тожде-
^t* \ и CLX I u /
ство l==~l(x2 + a2)-x2]. 1252. i /a2 - x2 + -£- arcsin —.
Pear lv '' J 2 2 a
ш ен и е. Положим и — }fa2 — x2 и dv = dx; отсюда dw = ,. и
/a2 - x2
p = x; имеем I Va2 — x2 dx = x Va2 — x2 — I - ~~ — x |Лг2 — x2 —
J J /a2-x2
- Г (Д2 7- *2) - a2 djg = x y^TZT? - [YaTZrpdx+a2 [ rdx . Следо-
J У a2 — x2 J J У a2 — x2
вательно, 2 С /a2^"? dx = x /a2 — x2 + a2 arcsin —. 1253. ~ )Л4+х2 -f
+ ~1п|х + УЛ+х2|. Указание. См. задачу 1252*. 1254. —^ /9^x"2-b
9 х 1x4-1
-|-— arcsin — . Указание. См. задачу 1252*. 1255. -~- arctg—£—.
1256. у In
—bs • 1257. -^ arctg ^—J . 1258. -i- ln(x2 - 7х + 13)+
х + 2| у\\ * ул 2 1 /.i
+ -j= arctg ^—-. 1259. |- In (x2 - 4x + 5) + 4 arctg (x - 2).
404
ОТВЕТЫ
1260. х — 4- In (x2 + Зл + 4) + -^rarctg ^-±3 . 1261. х + 3 In (л2 - 6л: -f 10)+
2 У 7 У 7
+ 8arctg(* —3).
1264. In
1262. —= arcsin—-—.
/2 5
1263. arcsin (2л: — 1).
* + f + /*2 + P* + <?
. 2л-fl
1266. _2/1--л-л2 — 9arcsin ,_ .
+ -^=In /"л- Yb — -^г + /5л-2 - 2* + Л
5/5 V /5 W
1267.
1265. 3/л2-4л + 5.
1
. у$хг _ 2л + 1 +
1268. In
1 + У\ - х2
1269. — arcsin?—^. 1270. arcsin—- *—- (х > У 2). 1271. - arcsin —р-г
хУъ (1-лг)/2 х + 1
Y I 1 9к 1
1272. —^р Ух2 + 2х + 5 + 2 In (л -f 1 + /*2 + 2л -f 5). 1273. —^— Ух—х2+
+ 4"arcsifl(2*- I)- 1274.^ЦУ 1/т
о 4
10-„ I , 3 — sin*
1276. —rarctg ——.
/3 * /3
У 2—л:—л2-)-—arcsin
3 .1275.Tin
л2—3
л2—1
1277. In e
Iх +-^ + УГ1+**+«**) •
1278. — In | cos л + 2 + /cos2 л + 4 cos x + 1 |. 1279. — У\ — 4 In х - In2 л —
— 2 arcsin 2 +,1П Х . 1280.- t llt . ,
У 5 а — b \х -\-а
In |£+_*|(а ф Ь). 1281. л + 31п|л — 3| —
— 31п|л-2|. 1282. — In
(л-1)(л + 3)Ч
(* + 2)4 I
1283. in
(л:- 1)*(д;-4)5
(л+3)7
1284. 5л-fin
х 2 (х - 4)
7
+ ^'п
16 | (2х — I)7 (2л: -f- 1)"
1287.
85.
х*-
-J-4
1 -f *
и
-In
л
л+Tj
8
1286. -тл-г-
4 '
2 (л — 2)2 л — 2
1288. -
1
2(л-И)
1291. л-fln
.1289.
8
27
_30 \х—5
49 (л - 5) 49 (л + 2) "*~ 343 | л+2
1290. -
2 (л—3)
1
2(x2— Зл+2)2
/л2+1
. 1292. л-т-4-1п1^-ГТ
4 | а: —|— 1
4-arctg*. 1293. -^ 1п|л—3|—
Z OZ
"iln^-1i+iln(^+4^+5)+T5oarctg(^+2)- 12944lnJ-V+r
. 1 . 2х-\
Н—^ агс*2 —^=-
^/з /з
1 х х"'4-хУ2 + 1 , У2 , л/2
1295. -37= In , ^ _V- . + -V-arctg р-^—
4/2 ^г-л/2 + 1 4 &1-^2,
ОТВЕТЫ
405
1296. —In д Т , И т= arctg——
4 *2-*+1 2/3 */3
1297.
л: arctg*
2(l-t-rV 2 *
1298.
2x -1
2(*2 + 2x + 2)
-arctg (* + l).
1299. lnU + l|-f
1300.
* + 2
3(** + * + l)
Зд: — 17
2 (a:2-4*+5)"
+ —^ arctg Щ^ -1 In (x* + * + 1).
+ yln(*2-4* + 5)+^arctg(*-2). 1301. 4 (^f}^+ 1}-y ln|* + 1[~
— ~ln(x2 + l)+—arctg*.
1302.
юло 15a:5 + 40a:8 + 33a: ,15 , 10Л,
1303. ттгп—,—^ h -77T arctg x. 1304. * —
Ъш{2х-Цх^ТГТб1п
x-3
x-\
48(1+л:2)3
48
x2 — 2x + 2
* + l|
2 In (л:2—2a+2)+
+ arctg (*- 1). 1305. ^ (8 In | л:8 +- 8 | — In I л:8 + 1 |). 1306. ~ In \x* - 11 —
1 i . в i 4 ii * , I 2a:4 + 1 - /5
j ln|*8 + *4 — 1 I — In ' ! —
1307. —
13
3
+ 21n
|л:-4|
* — 2
2/5 I 2a:4 + 1 + /5
3 V I л:8 | X* X9 + 1 J
2(x—Af^ x—4
1
1309.
x-\
+
I a: — 2 I 1
+ ln _ . 1310. ln| *'| —-y ln| a*7 +1 |. Указание. Положить
1=(*' + 1)-*'. 1311. In 1 * 1 -1 In l*s + 11 + 5 (J+ iy 1312. larctg(*+l)-
--iarctgi±i. 1313.
i l l
+ 378-T~arct^
l
! ! 13i4 -JL +
9(a:-1)9 4(a:-1)8 7(a:-1)7' ° ' 5a:5 ^
1315
. 2/3=1 [(^VJ^VJ
1316. ^[2^/(^ + ^-56 £/(a* + &)2].
1318. 6 j/Г + З j/* + 2/i7-61n(l + */*").
1317. 2 arctg/л:+ 1.
6
1319.
у*/*-
^5-|^2 + 2/*-3^/*-6y*-3ln|l + ^| +
+ 6 arctg J/*. 1320. In
1321
c/* + i-i)2
* + 2 + /* + l
. 2 /i7- 2 /2 arctg j/ y.
2 9 /* + 1 + 1
■ —==■ arctg —: ——!—
/3 /3
1322. — 2 arctg/l -a:.
1323. I^l_i(*-2)+4-ln|* + /3^rT|. 1324. ^\*t±}A±
2z
. 2 ♦ 2z + l
A—— arctg ——z- ■
^/3 S /3
1
где г
-m
1325.
/2a: + 3
406
ОТВЕТЫ
1326.
2х + 3 щГ- — 1
+£ }Гх*-.х+1 —4"1п (2а:—1+2 I^jc^—at+I).
4 о
1327.
8 + 4*2 + 3*4
15
YT-
-Xй.
1328. ( jTj х
-я*, + 1-*,К1+*'-
-1\п(х+У1+х*),
_^2J^ + 2,_i.ai(sin__
1329.
1
• t'+*)V7=l-l '
4л:4 * 8*
1331
0 arcsin —. 1330.
8 х
-In 1
• + /?.
где
1 У*~4+1 + 1 1 д,
1333. 4-In Г, . ,~----Laictg l/*-*+l
у^т+Х-х 2
1335. Iln^^ + i^-arctg^±i,
10 г2 + *+1 5 1^3
/? + ln|x| + |-!n (*-1 + /Л-
/?=Уг*1-др+1. 1332. 1_L±*!L.
2уТ+2**
(2*2-1) /T+F
Зхз
г=уТ+Ж
1334.
где
1336.
1 4 + Зл*
8 *(2 + *3)2/»'
1337
V^1
. —2 V (* 4 +1)2.
1338. sin *•—о- sin3*.
<л„л , 2 1 _ ._._ sin8* sin5*
1339. — cos* + -j cos3* — -=- cos5*. 1340. — — .
1341.
1 fl *
Tcos T'
1 e
— -77- COS6
1344.
3 2
* sin 4*
1342.
1
2 sin2 *
oil- i <оло 3* sin 2* , sin 4*
-21n|sin*|. 1343. -q - [--
8
32
«..„ * sin 4* . sin3 2*
1345. — —л—h"
16 64
48
1 1 cto3 * 9 1
+ ± sin 12*—^ sin3 6*. 1347. — ctg* \-. 1348. tg *+-^-tg3 * + 4tg5*-
1349,
64 144
ctg3 * ctg5 *
4 ' 32
cln
12
3 'в8*"1"?'
1346. ^*+^sin6* +
|^. 1350. tg* + ^—2ctg2*. 1351.-itg2* + 31n|tg*|-
1
2tg2* 4tg4*
. 1352.
-J + 21n|tgf
COS" 7Г
1353.
»T
[ln|tg|
+ In tg
*+*)!]•
<OCil —cos* 3cos* .3.1 *
1354. , _._ л -——+ .-ln|tg-?
4 sin4* 8sin2*^8
«»» sin 4* . 3 sin 4* , 3 f I. /0 . я \i ,._„ 1 x _.
ctg2*
1357,
In/sin*|. 1358. -ictg3* + ctg* + *. 1359. ~ tg2 у -f
+ tg*y-3tgy+31n|cos|-j + *. 1360.
*2 sin2*2
T ~~8~~ '
1361.
ctga*
1362.
У cos4 * + у У cos19 x -^ j/cosle *
1363. 2 K"tg *.
ОТВЕТЫ
407
1364. — In —-■ Цг^ — arctg
7=. in —: =-= ■=-=.arcig -= r
2/2 г2-?/2 + 1 /2 &г2-Г
где z = /tg*.
1365.
cos 8* , cos 2* <0/>л sin 25* . sin 5* ,,„„„ 3 . 5* . 0 . л:
-. 1366. — h— — . 1267. —sin —4-3 sin-£-.
0 0 О
16
1368. i-cos-^- —4C0SJC- 1369'
50 ^ 10
sin 2a* , x cos 26
1371.
sin x , sin 5* . sin 7x
1373. 4 In
4
20 ^ 28
1370 t cos ф sin (2(Q/+(p)
4a ^ 2 '2 4(0
1372. — cos 6л: — — cos 4x —- cos 2л*.
z4 lb о
2 + tg
2-tg-
W4-^4*(t+t)
1375. x — tg-
1376. — *-ftg* + sec*. 1377. In
tg^-5
tgY-3
1378. arc
tg(l+tg|)
12 5
1379. — x — -pHn |2sin *-f-3cos x |. Решение. Положим 3 sin л: -f-
+ 2 cos a: = a (2 sin * -f 3 cos *) + 0 (2 sin at + 3 cos *)'. Отсюда 2a — 30 = 3,
о i no л 12 Q 5 ... f*3sin*-|-2cos* ,
3a + 2P = 2 и, следовательно, a--, ft = _ -. Имеем ^__^-_Л:=
12 f, 5 f (2 sin * + 3 cos *)' 12 5 . lo . . 0
= To \ dx — ^b \ ~-^ L-5 ^- d* = -n; * — r^rln 2 sin* 4-3 cos* .
13 J 13 J 2 sin *-f-3 cos * 13 13 ' ' '
1380. — In | cos x — sin x |. 1381. — arctg (-%—) • Указание.
Числитель и знаменатель дроби разделить на cos2*. 1382. - . arctg ( -—-Ё— ) .
/15 V /5 J
Указание. См. задачу 1381. 1383. —-=. In
/13
2tg* + 3-/l3
Указание. См. задачу 1381. 1384. -г-In
о
ух — 5
tg*
1385.
1
2 tg x + 3 + /13 I
. Указание. См. задачу 1381.
1 . /2"+sin 2*
1388. -f1"
4
2 (1 — cos x)
1 , 5 — sin л:
1386. In (1+ sin2 *). 1387. ——In
. — HI -7ГГТ
2/2 /2 — sin 2*
2 ^f-1 1
. 1389. -=: arctg t= т^-arctg-
1 - sin x /3/3 /2
1 1
2/2
У к a-
1
3 а н и е. Использовать тождество jt :—гто :—\ = о : 5 =— ■
(2 — sin x) (3 — sin *) 2 —sin* 3—sin*
*
1390. — * + 21n
tg
tg| + l
Указание. Использовать тождество
408
ОТВЕТЫ
1 — sln'jt -f- cos л: . , 2
1 + sin x — cos x 1 + sin x — cos x "
,,o. -u... ^ ^ -± + *±£. 1395. In
139!. Eff _ch*. 1392. |? +
о о
1
32
"т
+
chx*
■^+^. ,393.5^. 1394. _| + ^
th2x cfh3 a:
1396. -2cth2x. 1397. In (ch*) j^ . 1398. x—cthx-^^. 1399.arctg(thx)
1400. -т=
sh 2x x
fiih^ + 2^
sh2*
или -£= arctg (e* /5) V 1401. — ^
7r— '
/5
- 1 __
= shx+chx. 1402
arctg 1^—yj-
Указание. Использовать тождество -г г-- =
4 2
-Lin (У1>спх + /сгГ2х). 1403.^i
V 2 ^
+2 arcsin^ii . 1404. у /2 + х2 + In (х + Лг2 + х2). 1405. у /9 + х2 —
г). 1406. ^=^ /V - 2х + 2+ у In (х - 1 + /*2—2х+2).
_!ln(* + l'r9+*s
1407. у /х2-4
— 4 — 2 In | л: -+- Т^х2 — 4 |.
1408. ?^±1/? + х-
__ * in | 2л: + 1 + 2 /х2 + х | . 1409. ^_? /х2 - 6х —7 —
о 2
— 8 In \х -3+/х2-6х-7| . 1410. ^(2х + 1) (8х2 + 8* + 17) /х2+х+1 +
_l_ in /9v_lij_o i/v2 _i_ v_i_ n 1411 2 1/ x ~ 1412 * ~
Г x - 1 * ' 4 у jc* _ 2x + 5
07
+ ^ln(2*+l+2V*«+*+l).
ни 1 . x/~2
1413 -——arctg
У 2 5yrl_x2
1415. у (** —2** + 5х2-5х+уУ
x 1 \
+ -rp cos 6л: — ^ sin 6л: . 1417.
b ob J
1414. —^=rln
У\+х* + хУ~2
I. 7=НП • _
2/2 |/l +
1416. -^(x' + j sin 6л: +
x cos 3x sin 3x , x cos x sin x
6 ' Г8-"1 2 2~-
6 _ , _
*л*о e™/n -о оч 1Л1п ех f2sin2x-\-cos2x
14I8. -5-(2 — sin 2x — cos 2x). 1419. —
о z \ 5
ix + cosx) — sinx]. 1421. — — +
5
4 sin 4x + cos4x\ £* _ . .
j^ J. 1420. y[x(smj
^_ in | g* - l | +-I In (e* + 2). 1422. x - In (2 + e* + 2 /e'* + x + l).
1423. у r*'lnj-i^+ln(l -x2) + x2j . 1424. x lnJ (x + /Tb*2) —
+
ОТВЕТЫ
409
— 2 Vl +*Чп (л+ УТ+72) + 2х-
-• (?-а)
arccos (5х — 2) —
5* + VgQv 25И...-3 1426 »fa*ch*-cos*8hs _ 1
1 Гл:(3л:2 + 5а2) . 3 . л:1 iAOQ .
1
2а2 \ л:2 + а2 ' а
cos # sin" "1 х , л — 1
arctg-i).
Л
. Зл: cos л: sin3 л: 3 sin 2л: # .
16
cos л* sin4 л: 4 . , 8
= ттг cos л: sm2 х — т-=- cos *.
5 15 15
1429. /и =
sin л:
я —2
(я — 1) cos"-1* ' п — 1
/и
/• =
sin л: 1 .
=2cos8^ + "2"
tg
(т+т)
sin л:
-tgA:. 1430. /„ = — xne-x + nlnmml; /1(
4 3COS»*"1 3
+ Ю-9л:8+... +10-9-8...2л:+10-9...1).
-в-*(*»о+10л:в +
но. I * У"2(* —I)
1431. -—=• arctg -—v ___ -.
/14 /7
1432. In У л:2 - 2х + 2 - 4 arctg (л: - 1). 1433. ^-y^ + ^ln ^л:2 + х + ^ +
+ -j arctg (2л: + 1). 1434,
1435,
• i(-
41п у р^5
£±LI -Ч).
** . 1435. 21п|ЛГ + 3
y^+i
Jt+1
1437.
{>
[х+2
1
1
* + 2 л: + 3-
1 х
=s arctg:
'«•Иг^+4^1)-
1439.
4 ^2 + 2^^^ig>/Ty.
л: — 2 1 2л: — 1
6 (л:2-х + 1)2"*" 6 хг — х+ Г
1
2 . 2л: — 1
7^ arctg —?="•
зУз Уз
1440.
л: (3 + 2 У л:)
1441.
1
1
1 - 2 У х х зл: У х W
3
1442. 1п(л: + 1 + Т/\*2 + л:+1) . 1443. У2х-~ \A?*)\ 1444.
1445.
2л:- 1
У 4л:2 — 2jc -г- Г
1447. 1п|*+У> — 1
.^^п 1 . л:2 + 1
1449. -jr-arcsm—j=r .
2 ]Л2
1 . 2(х + 1)
т^= arcsm ——r—r1,
8у3 * + 4
1446. -2(J/5^1-l)"-41n(l + {/5^7).
1
УЗ
1448. -± 1/ LZ^.
2 Г 1 + л:2
1450.
* —1
W + i'
Указание.
1451.4-In
о
+
У 4 - х2 - 2
* +
■—=1(1 U
г-4л: 4 V* * + 4у*
1452. -| У*2 - 9 - у In | х + У л:2 - 9 |.
1453. у^ (8л: - 1) Ул: - 4л:2 + g- arcsin (8* — 1).
410
ОТВЕТЫ
1454. In
x + 2+2VV + *+l
1455.
(лг* + 2л + 2)У> + 2* + 2
— £Ц^1Лс» + 2* + 2 — -L\n(x + l+Vx* + 2x + 2). 1456. ^ l-•
У(х2-\у
3*3
1457. 4*ln
о
/l - xs - 1
У"1 -л:3 + 1
2z + l
1
+ 4ln(22 + e+l)-^arcigTT,
1459. у1п(*2+У7+Т4).
1461. ln|tg*| — ctg2* — — ctg4*.
1458. — ±\п\г- l \ +
о
где г = - !— .
x
14fiO ^X Л- Sifl ^X 4- sin 4*
"8 H 4 h~32~'
,л*о * 2 y(ctg д:)8
1462. — ctg a: — ■ v *
cos 5л: 3 cos 5x
,463. ^(00^-6)^0-^ .464. _5Sfe_iS«. + 5
1 li 5*
In Itg-j
+
1466. -r- sin 2л:.
4
4tg-
1467. tg;
+
(f+т)
I f x . n\\ 1 4tg~2 ~ 1 1 /2tg*\
2 In | cos (T +TJ | • H68.- -=,«*—_ . 1469. —агсЦ —j.
1470. arctg(2tg*+l). 1471. -i In | tg л*-[-sec* | — -1 cosec x. 1472. -JL= X
fi
1
1475. ijttg3*-f-^-ln|ccs3A:]
Xarctg\yT/ 'yyarct2\"yT/'1473, lnlt§x+2+>Als^+4t^+1l
3 * ' """• 4 v^ *'* """ 3
1480. 1^1 -|-*2 arctg * —
1
1476.
- i£^_cos2_^1477> leXs im £(2x-i). H79. i-X
4 о
Xln-Ki —*—-g-1"!-* —»1 —IS —S —"В"
1 Qv 1 Cy 1 y
-ln(x+Kl + ^. 1481. _sinT—1^sin--YsinY.1482._r-FT^.
сЬ2У 1
1483. ln|l+ctg*| — ctg л:. 1484. — . 1485.— 2 ch> i -л-. 1486.-j-In ch 2*.
1487. —*cth*+ln|sh*|. 1488. ^ — j+jln | e* - 2 |. 1489. yarctg~--y^.
1490.
10 ~2^ ,
4 V^ + 0' - 4 ^T0*. И91. m In [±|. 1492. - g—X
X^2 1 + In 10 + 2 In2 loj
1493. 2 У e+ -4- 1 + In "^+J -
^ K^ + 1 + 1
1494. In
fl+x*
ОТВЕТЫ 411
-*. UK. 1( ^atcOnl+^±?V?zn)
x 4 V x 3 У * l)•
x 1/2
1496. ~ (cos In x -f- sin In x). 1497. -^ ( — д^ cos bx-^-^-x sin 5jc-|-
+ 3* cos 5*-f ^ cos 5jc - у sin 5*') . 1498. ~ \(x2 - 2) arctg (2x + 3) +
+ ~ In (2a:2 + 6*4-5)-1-1. 1499.y VT^x1 + (x-j\ arcsin /£ 1500.^.
Глава V
J4 OlO 1
1501. b -a. 1502. v0T-g-~. 1503. 3. 1504. . , . 1505. 156. Указа-
0 б 2 1п2
н и е. Отрезок оси ОХ от а: = 1 до х = 5 разбиваем на части так, чтобы
абсциссы точек деления образовали геометрическую прогрессию: *0=1,
xl = x0q, x2 = x0q2t ..., xn — xQqn. 1506. In—. Указание. См.
задачу 1505. 1507. 1 — cos x. Указание. Использовать формулу sin a -f- sin 2а+.-.
...4-sinwx= cos-^-—• cos ( n4-~ ] a . 1508. 1) -r = — -.—•
2sin — L 2 V ^ 2 У J 'da lna'
2)^ = ^7 . 1509. In*. 1510. — У l+x\ Ш\.2хе-х*-е-х*. 1512. -^Цг4-
db \x\b ' 2|Лл;
+ ~cos^. 1513. * = ля (л = 1, 2, 3, ...). 1514. In2. 1515. --|#
1516. ex — e~x = 2shx. 1517. sin*. 1518. -=-. Решение. Сумму sw =
1,2, , /г — 1 1/1,2, . я — 1 \
= —? Ч—• Ч- • • • Ч s- = — -~ Ч h • • • Ч можно рассматривать
как интегральную для функции /(*) = * на отрезке 10,1]. Поэтому lim sw =
n-+ao
С 1 11
= \ xdx = -^. 1519. 1п2. Решение. Сумму sn = ^77i + д 4- 2"^~ "*"^
о
-| .— = — / Ч ?г Ч- • • • Ч \ можно рассматривать как ин-
\ ' п ' п 1 п /
тегральную для функции / (х) = г—г— на отрезке [0, 1], где точки деления
1 -\- X
1
k С dx
имеют вид *Д = 1Ч-— (Л = 1, 2, ...,л). Поэтому lim sn= \ rj— = 1п2.
я п-+оо ^ "т"
► 00
о
1520. —5-Т • «21. 1.. 1522. ^ = 33-J-. 1523. 1. 1524. Щш
р Ч~ 1 3 3 3 4 3
1525. ~-|. 1526. 4 In 4-. 1527. In-I-. 1528. 35^—321n 3.1529.arctg3—
3 2 3 о 10
— arctg 2 = arctg у. 1530. In у. 1531. jg. 1532. 1 - -L . 1533.^-.
412 ответы
1534. -J. 1535. 41п 1 + 2 ' 1536'Т + Т- 153?' Т" 1538, 1П2#
1539. 1 — cos 1. 1540. 0. 1541. -_4=+* 1542. arctge- — . 1543. sh 1 =
9/3 6 4
^Ife-i-V 1544. th (In 3) — th (In 2) = -i-. 1545. - ^L + i-sh2rt.!546.2.
1547. Расходится. 1548. 1 , если p< 1; расходится, если p^ 1. 1549. Рас
i p
ходится. 1550. -^ . 1551. Расходится. 1552. 1. 1553. _ , если р>1; рас-
я
ходится, если р<^\. 1554. я. 1555. -гг=. 1556. Расходится. 1557. Расходится
У 5
1558. -Д^. 1559. Расходится. 1560. -.— .1561. Расходится. 1562. 4- .1563. ^-
In 2 In a k 8
i i 2я
1564. 4- + -Г 1пЗ. 1565. —'-—. . 1566. Расходится. 1567.Сходится. 1568. Рас
3^4 з/З
ходится. 1569. Сходится. 1570. Сходится. 1571. Сходится. 1572. Расходится
1
Т 1
1573.
Сходится. 1574. Указание. В (р, q) = \ / (х) dx -f- \ / (*) d#, где
/(^) = ^-i(i — а:)^"1; так как lim / (*) х1"? — 1 и lim (1 — х)х~^ f (х) = 1, то
оба интеграла сходятся при 1 — р < 1 и 1 — ? < 1, т. е. при р > 0 и ? > 0.
1 00
1575. Указание. Г (р)= С / (x) dx + С / (*) dx, где f{x) = xP~l e~x. Первый
О 1
интеграл сходится при р > 0, второй — при р произвольном. 1576. Нет.
те
2 2 In 3 ОС
1577. 2 УТI У 7 d*. 1578. Г А 1579. I Л. 1580. [ (f ^^ d/.
J J /l+siu4 J J l + ^z
1 те In 2 0
6
1581. * = (& — a)t + a. 1582. 4 — 2 In 3. 1583. 8 ^—я. 1584. 2 - 4r
2/3 2 '
1585. -£-. 1586. — " 1587. 1 --?■ . 1588. /3"- 4 . 1589. 4-я.
Vb 2/1 +«2 4 3
1590. -i In 112. 1591. In Lt|lZ. 1592. 1 + ^.1593. ^ . 1594. -,
1599. 4""1- 160°- L 1601' ^4^.1602. i-*(eK + l). 1603.1. 1604. a
2 * ' 8 ' 2 v ' " ' *a2-f-62 "
CO
b Г
1605. fl2 | b2 . 1606. Реш ен и е. Г(р + 1)=\дЛ *d*. Применяя формулу
о
интегрирования по частям, полагаем хр — и, е~х dx = dv. Отсюда
du = р#^~l dx, v = — е~х
ОТВЕТЫ
413
О
Если р является натуральным числом, то, применяя формулу (*) р раз и
учитывая, что
00
T(\) = ^e'xdx = lt
о
получим:
1СЛ_ , 1-3-5...(2£-1) я 0.
1607. I2k = г—от— -^ » если я = 2£ — число четное;
2-4-6 2&
/2fe+1 — ••' если /i = 2&-f-1 — число нечетное.
I • о • О. . . \Zri —\~~ 1)
128 __63я
9 — 315^ /l0— 512 ж
,608. fr-l)'ft-l)l . 1609. 4- В (ULtl , 0 + 1V У к а з а н и е. Положить
sin8 дг = ^. 1610. а) Плюс; б) минус; в) плюс. Указание. Начертить график
подынтегральной функции для значений аргумента на отрезке интегрирования.
1 1 3
1611. а) Первый; б) второй; в) первый. 1612. — . 1613. а. 1614. —. 1615. — #
1616. 2arcsiny . 1617. 2</<У~Ь. 1618. у </<у .1619. ^л</ <уЯ.
я*
1620. 0</<;г7г. Указание. Подынтегральная функция монотонно растет.
1621. i-<7<^-. 1623. s = y. 1624. 1. 1625. у. Указание. Учесть
знак функции. 1626. 4~. 1627. 2. 1628. In 2. 1629. m* In 3. 1630. яаМ 631. 12.
4 1 9 49 it 1
1632. у/Л 1633. 4 у. 1634. 10 у. 1635. 4. 1636. у. 1637. у —у.
16^8. е+у — 2 = 2(ch 1 - 1). 1639. ab [2 УТ- 1п(2+ У"3)]. 1640. -| я а8.
4
Указание. См. приложение VI, черт. 27. 1641. 2Л"1. 1642. у а2. 1643. 15я.
9
1644. у1пЗ. 1645. 1. 1646. Зяа*. Указание. См. приложение VI, черт. 23.
1647. а2 I 2 +■ у ) . Указание. См. приложение VI, черт. 24. 1648. 2я -f- -^
ибя —4-- 1649. ^я — 4-Х^- и^я+Ц^-. 1650. %-паЬ. 1651. Зяа*.
о о о о о о
з
1652. я (b2 -j-2ab). 1653. бяа2. 1654. —• а2. У к а з а н и е. Для петли параметр*
3
меняется в пределах 0^^^+оо. См. приложение VI, черт. 22.1655. — па2.
414 ответы
Указание. См. приложение VI, черт. 28.1656. 8я5а2. У к а з а н и е. См. при-
ложение VI, черт. 30. 1657.-5-. 1658. а2. 1659. —. Указание. См. при-
о 4
ложение VI, черт. 33. 1660. % я. 1661. 14""8^ 2 а*. 1662. ^^г
2 3 (1 - е2) /» '
1663. а21 —- -(- ^— ) . 1664. л У 2. Указание. Перейти к полярным
координатам. 1665. — (10|^T0 — 1). 1666. Vh2 — а2. Указание. Использовать
формулу ch2a-sh2a=l. 1667. Y~2 + In (1 -f- /2). 1668. УГ+Т2 - V^
+ 1„Ш±?^И£1±1>. ,669. l+llnf 1670. Me + Y1?=T).
. ln(2+yr"3). 1672 -1(б2 + 1). 1673. aln-^. 1674. 2a"[/*3T
в2* — 1 sh 6 1
1675. In 2g -fa —6 —ln-г—. 1676. -~-aT*. У к а з а н и е. См.
приложение VI, черт. 29. 1677. 4 (fl* "7 * *. 1678. 16а. 1679. яа]Л+4я* +
+ -| In (2я + У"1 + 4я2). 1680. 8а. 1681. 2а fl/""2+In (/2"+1)]. 1682. iy+
+ 1пЩ^. 1683.^1Т^.1684.1[4 + 1п31. 1685. ?£ . 1686. |яаб2.
1687. ^(е2 + 4~е"ж). 1688. -|-я2. 1689. vx = ^-. 1690. i;v = -irt.
4 8 4 у 1
1671
у; »у = 2я. 1692. 1*^. 1693. |? яа3. 1694. i- яр3. 1695. ^п
1696. ^(15-161п2). 1697.2л2а3. 1698. ^^ . 1699. ^ я/i2a. 1701. а) 5я2а3;
^ Z 10
б) 6я3а3; в) ^(9я2-16). 1702. ^= яа3. 1703. -| ла*- 1704. i-яа5.
b 1U0 о zl
,705. А (АВ + *Ь±?*+аь).1706.^1. ,707. |g|«'. 1708. |ЯЛ.
1709. i- яа«Л. 1710. у a3, mi.natyjq. 1712. nabh (l+-^\ .1713.-^лаЬс.
1714. у {V\V - 1); у яа2 (5 /б"- 8). 1715. 2я [УТ+ In (/"2 + 1)].
1716. я (/5"- У"2) + я In 2 (\ 1 + !). 1717. я[УТ+1п(1 + УГ2)].
У 5 + 1
1718. ^2(e2--e-2+4) = ^-2(2+sh2). 1719. ^яа2. 1720. у (в - 1) (е2 +е + 4).
1721. 4я2а&. Указание. Здесь */ = 6 ± }^а2 — х2. Взяв знак плюс, получим
внешнюю поверхность тора, а знак минус — получим внутреннюю
поверхность тора. 1722. 1) 2nb2+?^arcsine; 2) 2яа2 4-— Inj-i8., где
е е 1 — е
ОТВЕТЫ 415
У"я* _ £2 64яа? 32
е = - (эксцентриситет эллипса). 1723. а) ; б) 16я2а2; в) -^-яд2.
CL О о
1724. 1-^ла2. 1725. 2ла*(2-У~2). тв.^па*. 1727. Afx=~/a2+ b2;
MY = jVar+bi. 1728. ^Л = ^; М, = ^. 1729. MX=MY~\
*==]/==-|. 1730. Mx=Mr = -|a2; 7 = ^ = 1а. 1731. 2яя*. 1732.* = 0j
*- a 2 + sh2 ,_00 — a sin a — Л «__. — — 4 «„Л„ -г 4a
У =7- Л, . .1733. х = ; у = 0. 1734. х = яд; «/ =-^а. 1735.дГ=*-.
4 snl a о дтс*
у' = i£. 1736. J = 7 = J. 1737. Г=яа;7=|-л. 1738. (о; 0; |Л. Ре-
ш е н и е. Разбиваем полусферу на элементарные шаровые пояса площади da
горизонтальными плоскостями. Имеем do = 2nadz, где cte — высота пояса.
Otoe
2я\ azdz
■j
сюда е =—^—g—^If* В силу симметрии л: = у =0. 1739. На расстоянии
3
-j- высоты от вершины конуса. Решение. Разбиваем конус на элементы
плоскостями, параллельными основанию. Масса элементарного слоя dmt- =
=zynQ*dz, где у — плотность, г — расстояние секущей плоскости от вершины
л \ IF z' dz
конуса, Q = -т-г. Отсюда г=—^- =-—/г. 1740. ( 0; 0; +-^-a)#
Решение. В силу симметрии х =у =0. Для определения z разбиваем
полушар на элементарные слои плоскостями, параллельными горизонтальной
плоскости. Масса такого элементарного слоя dm = yTcr2dzt где у — плотность,
г — расстояние секущей плоскости от основания полушара, г = У а2 — z2 —
радиус сечения. Имеем:
я \ (а2 — г2) г Gfe
Г= —i-g =ie. 1741. / = яа". 1742. /e = ~a*«; /6 = i-a86.
1743. / = -^ ft&«. 1744. /а = ~яа&8; /6 = ^-яа86. 1745. / = 1я(^-^).
Решение. Разбиваем кольцо на элементарные концентрические кольца. Мас-
R*
са такого элемента dm = y2nr dr и момент инерции / = 2я \ г8 dr =
/?,
= у я (R* — RJ); (у = 1). 1746. / = уд л#4#У- Решение. Разбиваем конус
на элементарные цилиндрические трубки параллельно оси конуса. Объем такой
элементарной трубки dV = 2nrh dr, где г — радиус трубки (расстояние
416
ОТВЕТЫ
до оси конуса), h = И ( 1 —— ) — высота трубки; тогда момент инерции
/ = Y \2nHll — ) r*dr =1———, где у — плотность конуса. 1747. / =
о
2
= — Ма2. Решение. Разбиваем шар на элементарные цилиндрические
трубки, осью которых является данный диаметр. Элементарный объем dV =
=2nrh drt где г — радиус трубки, h = 2a 1/ 1 -2 — ее высота. Тогда момент
а / 2
инерции J = 4яау \ ]/ 1 г r3dr = j= ла5у, где у — плотность шара, а так
о
4 2 —
как масса М=— ла'у, то / = -=■ Ма2. 1748. V = 2n2a2b\ S = Anzab\ 1749. а) л: =
о о
— 2 — — 9 — — А г
z=y =-~ а; б) х = у = г^ р. 1750. а) л: =0, у =~- — . Указание. Оси ко-
О 1U о Л
ординат выбраны так, что ось ОХ совпадает с диаметром, начало координат—
в центре круга; б) х = —. Решение. Объем тела — двойного конуса, по-
о
лученного от вращения треугольника вокруг его основания, равен V =
= -^ nbh2, где 6 — основание, /z — высота треугольника. По теореме Гульдена
тот же объем V = 2лх1у bh, где х —расстояние центра тяжести от основа-
2
ния. Отсюда ~x=z А 1751. v0t ——•. 1752. i!_ In f 1+-^-V 1753. л: =
= ^sina>*; »co==—i;0. 1754. S=104jw. 1755. у = -£ ln f—^тг^"»л = ТгХ
X Г6/, - (a - btt) ln —^— 1 . 1756. Л =^ Я2Я2. Указание. Элемен-
тарная сила (сила тяжести) равна весу воды в объеме слоя толщиной dx, т. е.
dF = уя#2 dx, где у~вес единицы объема воды. Следовательно,
элементарная работа силы dA = ynR2 (H — х) dx, где х — уровень воды. 1757. А =
= ^yR2Hz. 1758. A = ^RATM =^r 0,79-104 = 0,79-107 кГм. 1759. А =
12 4
z=ynR3H. 1760. Л ——^-т-; Aoz = mgR. Решение. Сила, действующая
^ R
, тМ ~
на тело массы т, равна /7 = /е—%~ , где г — расстояние от центра Земли.
Так как при r = R имеем F = mg, то kM = gR2. Искомая работа будет иметь
вид А— \ k—г dr = kmM {-= =— h~~ ' Ри '1 — °° имеем
I? ' 1+"д
Aoo = /ngR. 1761. 1,8-104зрг. Решение. Сила взаимодействия зарядов
€ €
F:=~ дин. Следовательно, работа при перемещении заряда ех из точки #, в
ответы 417
х2 будет: A = e0el^~ = e1fil(^ М=1,8.104 эрг. 1762.Л = 800я1п2 кГм.
Решение. Для изотермического процесса pv = p0v0. Работа при расширении
Vi
газа от объема v0 до объема vx равна А~\ р dv = p0v0 In —. 1763. A ^s
^15000/сГл(.Реше н и е. Для адиабатического процесса справедлив закон Пуассо-
на po* = peo*f где ^ 1,4. Отсюда А = ^ *==^ [l - (-^-) "'] .
4
1764. А = -х"П\хРа. Решение. Если а — радиус основания вала, то давле-
о
ние на единицу площади опоры р==—§. Сила трения от кольца шириной drf
удаленного от центра на г, равна ~~- г dr. Работа силы трения на кольце при
полном обороте есть dA =—\-r2dr. Поэтому полная работа А = —у—X
а
С 4 1
X \ г2 dr = -^ п]хРа. 1765. — MR2(uz. Решение. Кинетическая энергия
о
, „ v2dm p/V , j о j
элемента диска а/С = —^- = 9 do, где do = 2nrdr — элемент площади, г —
М т
расстояние его от оси вращения, Q—поверхностная плотность, q=—^ . Таким
я /\
R
образом, dK=K-nzr da- Отсюда К = -пг" \ ' d/" = —1— • ,766- К = йй X
W'"0' ^ТСЮДа A=^-Jrar=~T^- 1/D°- А==20'
о
М
XMR*®2. 1767. Д>==-=-У?2(о2=2,3- 108/сГж.У к а з а н и е.Количество необходимой
о
работы равно запасу кинетической энергии. 1768. Р^-д- • 1769. Р= ' fl =55
=s 11,ЗЛО8 Г. 1770. P = abynh. 1771. Р = —— (вертикальная составляющая
направлена снизу вверх). 1772. 533-^-2. 1773. $9»8 кал. 1774. Л4 = -2^-Гсл1.
а
1775.—т—г—т^(^—постоянная тяготения). 1776. -тг-г* Решен и е. Q~\V'2nrdr=z
а(а + 1)к } 8ц7 J
о
а гЪ
2ярГ/2 2Ч . яр Га2г2 г4"1« яра4 __ Л f . 2 аб8
о о
Указание. Ось абсцисс направить по большой нижней стороне
прямоугольника, ось ординат — перпендикулярно к ней, в середине. 1778. Решение.
v2
5=1 — dv; с другой стороны, ~п = а, откуда dt = — dv, а следовательно,
j a dt a
vt
14 Г. С. Бараненков и др,
418
ОТВЕТЫ
время разгона *= С ^=zS' ,7Ж М* = — J Т(* ~ ^ d/ + ~1Г х =
ft О
—f[—т]:+4«¥('-т)- •«■".—/<-о««+
о
+ Л^ = ^(/2-д:2). 1781. Q=r0,12 77?/J кал. Указание.
Использовать закон Джоуля — Ленца.
Глава VI
1782. V = J- (Уг - *■) х. 1783. S=^(x + y) Y& + 3(* - у)\
1784. /(^; з)=|; /(1; .„ = .2. 1785, ggg, J^ . ^ ,
j^S. 1786. /(х, *2) = 1+*-*'. 1787. e=J?l-.1788. / (*) = ^ + * ■
Указание. Представить данную функцию в виде / ( — } = 1/ ( ~ ) +1
и х* — jc(/
и заменить— через *. 1789. /(*,#) =—-—-. Решение. Обозначим
* + # = а, x-y = v. Тогда * = —£-, ^==__; /(И|0) = —^ ^- +
-{- ( —-— j = —s— • Остается переименовать аргументы и и v в х и у,
1790., /(и) ==_и* + 2"'» 2 =х —_} + Уу"» Указание. В тождестве
# = 1 -\-f(V~x — 1) положим Y* — 1 =«; тогда х = (и -f- 1)* и, следовательно,
/(н) = и* + 2и. 1791. / (|/) = У1 + /; 2 = Д. /л:2 -f- #2. Решение. При л; = 1
I I
имеем тождество ]Л -f-t/2= 1 ./(у J , т. е. / (*/) = У1 -f- #2. Тогда / ( У- J=
= 1/ 1-J-f-j^Y и * = * у \ + (£.\г = ух2+уг. 1792. а) Единичный
круг с центром в начале координат, включая окружность (хг -f- у2 «^ 1);
6) биссектриса у = х\ иШ координатных углов; в) полуплоскость,
расположенная над прямой a: -f- £/ = 0 (а: -|— г/ > 0); г) полоса, заключенная между прямыми
у= ± 1, включая эти прямые ( — 1 ^ у^ 1); д) квадрат, образованный
отрезками прямых х=±\ и у— ± 1, включая его стороны ( — 1«^*<;1,
— 1<;#^1); е) часть плоскости, примыкающая к оси ОХ и заключенная
между прямыми у=±х, включая эти прямые и исключая начало координат
( — х^у^х при *>0, х*^у*^ — х при х < 0); ж) две полосы х^2,
— 2<;г/^2 и *^ — 2, — 2*^ у^ 2; з) кольцо, заключенное между
окружностями хг-{-уг = аг и хг -|~ #2 = 2а2, включая границы; и) полосы 2пя«^*^
<ь(2п + 1) я, #^0 и (2n-f-l) я «s£*<(2rt + 2)я,#<0, где л — целое число;
к) часть плоскости, расположенная выше параболы */ = ■— х*(хг-{-у > 0);
л) вся плоскость XOY\ м) вся плоскость XOY, за исключением начала
координат; н) часть плоскости, расположенная выше параболы уг = х и вправо от
оси ОК, включая точки оси OY и исключая точки параболы (*^0, #>Ух);
о) вся плоскость, за исключением точек прямых х=\ и у = 0\ п) семейство
концентрических колец 2nk^xx-\-уг<.п (2k -{-1) (k~0, 1, 2, ...).
1793. а) I октант (включая границу); б) I, III, VI и VIII октанты (исключая
ОТВЕТЫ
419
границу); в) куб, ограниченный плоскостями х= ±1, у = ±1 и г= ± I,
включая его грани; г) шар радиуса 1 с центром в начале координат,
включая его поверхность. 1794. а) Плоскость; линии уровня — прямые,
параллельные прямой х-{-у = 0; б) параболоид вращения; линии уровня
—концентрические окружности с центром в начале координат; в) гиперболический
параболоид; линии уровня — равносторонние гиперболы; г) конус 2-го порядка;
линии уровня — равносторонние гиперболы; д) параболический цилиндр,
образующие которого параллельны прямой х -\-у -(-1=0, линии уровня —
параллельные прямые; е) боковая поверхность четырехугольной пирамиды, линии
уровня — контуры квадратов; ж) линии уровня — параболы у = Сх2; з) линии
уровня — параболы */ = C|/V, и) линии уровня — окружности С (*2-f- у2) = 2х.
1795. а)Параболы*/ = С —х2(С>0); б) гиперболы ху = С(\ С\ < 1); в)
окружности х2 4- У2 = С2; г) прямые у = ах-{-С; д) прямые у — Сх(х Ф 0). 1796. а)
Плоскости, параллельные плоскости х -f- у -f- z = 0; б) концентрические сферы
с центром в начале координат; в) при и > 0 — однополостные гиперболоиды
вращения вокруг оси OZ\ при и < 0 — двуполостные гиперболоиды вращения
вокруг той же оси; оба семейства поверхностей разделяет конус х2 + г/2 — г2 = 0
(u=zQ). 1797. а) 0; б) 0; в) 2; г) ek\ д) предел не существует; е) предел не
существует. Указание. В пункте б) перейти к полярным координатам.
В пунктах д) и е) рассмотреть изменение х и у вдоль прямых y — kx и
показать, что данное выражение может стремиться к различным пределам
в зависимости от выбранного k. 1798. Непрерывна. 1?99. а) Точка разрыва
при х = 0, у — 0; б) все точки прямой х = у (линия разрыва); в) линия
разрыва—окружность х2-\-у2 = \; г) линии разрыва — координатные оси.
2хи
1800. Указание. Положив # = #, = const, получим функцию ср, (х) = —— %
х2+у\
которая непрерывна всюду, так как при ух Ф 0 знаменатель х2 -\-у\ Ф 0, а при
2х и
#,=0 ф,(л;)=з0. Аналогично при * = *, = const функция ф2 (у) = — не-
прерывна всюду. По совокупности переменных х, у функция г имеет разрыв
в точке (0,0), так как не существует lim г. Действительно, перейдя к поляр-
X -► О
у ->о
ным координатам (jK — rcoscp, у— г sin q>), получим 2 = sin2q>, откуда видно,
что если х ->- 0 и у -*• 0 так, что ф = const (0 ^ <р ^ 2л), то г -»» sin 2ф. Таи кам
эти предельные значения функции г зависят от направления ф, то г не имеет
предела при х -► 0 и у -»* 0. 1801. — = 3 (х2 — ау), j- — 3 (Уг — ах)
дг__ 2х 1803 д±^_У_ ^1 — JL
ду (х -+- у)2' дх х2' ~ду х
дг- У 1805. дг- ""
ду ухг-уг' ' дх (х2 + у2)*>
1806. £ = . * ^- У
ду (Хг + у*)*1*' ' дх ух2+у*' ду Ух2 + Уг(х + Ух2+У2)
,ол. дг у дг х <оло дг v«. дг V1
1807. ^- = 1 , _, -г-= , . .. 1808. — — ухУ 1, ^- = хУ\пх,
дх х*~\-у2' ду х2-\-у* дх ду
180».JU- ' .-"5eo.iL, *Д.**со.±. Wia* =*№$=%
дх х* х * ду х х дх \ у \ (х* — у*)
дг_ ух2 У2хг — 2у% lfi1J дг _1_ x-f Д дг __ * + a x-\-a
ду" \У\(х*-гЛ ' в1" 0*-y7ct* У£ ' *~ 3?Уу У"5
1812. ^ = уг(ху)*-\^ = «^)*-\^ = (ху)Мп(*й. 1813. g = ***' In а,
14*
420 ответы
dJL = xzxy]nZi dJ. = xy2*y-K ,814. £(2,1) = у. fyP. 0 = 0.
1815.
/;(1; 2; 0)=lf /y(l; 2; 0) = -~, /*(1; 2; 0) = y. 1820.
1821. л. 1826. e = arctg-|+(p(x). 1827. г= у -fj/2 In * + sin#-y .
1828. l)tga = 4, tgP = oo, tg y = -j\ 2) tga= oo, tg 0 = 4, tgY = -^-.
1829. ~ = 1/г, ^ = l/z,|f=:-i(a + 6). 1830. У к а з а н и е. Проверить,
da 2 дб 2 d/z 2 '
что функция равна нулю на всей оси ОХ и на всей оси ОУ, и воспользоваться
определением частных производных. Убедиться в том, что fx (О, 0)=L (0, 0) = 0.
1831. A/ = 4Ax + A*/-f2Ax2 + 2AxA# + Ax2A*/;d/ = 4dx + d*/;a) А/ - d/=8;
б) А/ — о7 = 0,062. 1833. dz = 3(x2 — */)dx-f 3(y*-x)dy. 1834. с/г = 2xy9dx +
-f- 3x2yzdy. 1835. dz = , f^ , , (ydx — x dy). 1836. d* = sin 2л; dx — sin 2г/ Ж/.
1837. dz = */V" Чх + хУ (1 -f у In х) d</. 1838. dz = ^ 2 (x dx +-1/ dy),
я т" У
1839. <*/ = —!— (dx-— dy) . 1840. dz = 0. 1841. <fe = 2„ (dy — ^-dx) .
X
1842. d/(l, \) — dx — 2dy. 1843. dw = */г dx + гх dy 4- хг/ dz.
1844. da = A_L_ (л: dx + У dy -f- г da). 1845. d« = f^ + iL] 'y
1846. dW=p^^^dx+xd^-^dz). 1847. d/(3, 4, 5) =
= t^ (5dz - 3dx - Ady). 1848. dl = 0,062 сл<; A/ = 0,065 ел*. 1849. 75 ел8
(относительно внутренних размеров). 1850. -^ см. Указание. Положить
о
дифференциал площади сектора равным нулю и найти отсюда дифференциал
радиуса. 1851. а) 1,00; б) 4,998; в) 0,273. 1853. С точностью до 4 м (точнее
4,25 м). 1854. л ag """ff . 1855. da = — (df/ cos a - dx sin a).
1856- чг-—тш— • ,857- ~ir--p!ctgyl(6-2Fj-
,858. *L = 2Mn/tg< + (^ + l)tg<+y+l)ln<> 185а *и .
dt 6 ' * » cos2/ d/
dz ,_,_ vcosx/ x- - • - -««. &
1860. -^-^(sinx^^cosxetgx — sin x In sin x). 1861. ~ = * 2 ;
dx x & ' dx хг-\-уг *
Й=-чЬ- ,862- -fr=^",; £=*'[*'<*>'«+-Н-
1863. |? = 2r/>, v) + ye*yf'v(.u, v); -g- = - 2^ <«,») + «*•"/; (и, v).
(* + 7) /' (*У + y) • 1Ш- %x-=f*{x> У> Z) + Ф' W ^(*' Л г)+
ответы 421
+ fz(x, у, z)\^x(xt У) -\-$у(х>У)Ч>' (х)]. 1873. Периметр возрастает со
скоростью 2 м\сек, площадь возрастает со скоростью 70 мг\сек. 1874.
1+2/2+3/4
1875. 20 VT^Tyf км/час. 1876. — ^—-?. 1877. 1. 1878.^. 1879.-^.
1880. |. 1881. cosa + cosP+cosY ^ ^ а) ft ^ g) ((fc Q) и fl; j); ^ ^ ^ ^
1884. 9/-3/. 1885. -L(5/-3/). 1886. 6i + 3j+2k. 1887. |gradu|=6;
cosa = —, cosP=r —~, cosy = -5-. 1888. cosy = -— . 1889. tgq>=^8,944;
о d d у 10
q>*83»3r. 1891. Й = "^ .,■; тА" = "^ „■:
d'z_ ofegx' а2г_2(у—^) Уг _ 2x d*z _ 1
^ ((.V + аУ)'''• 1ЙЯ •Лсг_(*г+г/Г 0*d</- (x,+y),:d»l— (хЧ*)*.
1893.-Д- = ^ ,w .1894. *=0. I895.£=^f£. 1896. Й = Й=»
dxdy (2xy-\-y*fU дхду дх* г* дхг ду2
dz'-0, дхду-дудг-дГдЛ-1- l897- aT5Pi_apv* ^
1898. ^^ 2 = — х*у cos (х#) — 2х sin (*#). 1899. /*Л (0, 0) = т (т — 1);
^v(°» 0) = mn\ fyy(0t 0) = п(л—I). 1902. Указание. Проверить,
пользуясь правилами дифференцирования и определением частной производной,
что />, 0 = 0 [^^ + (х24^2)2] (при х' + у'^О), />, 0) = 0и,
следовательно, f'x (0, у) = — у при х = 0 и при любом у. Отсюда fxy (0, #) = — Ь
в частности, /" (0, 0) = —1. Аналогично находим, что fyx (0, 0) = 1.
1903. др = 2/,; (а, о) + 4*'/;а (а, о)4-4*«С («. »> + ^С («• «*
^ = £ (и, v) + Axyf"au (и, о) + 2 (ж2 + г/2) С («. »> + *#w («. «*
0 = 2/; (и, V) + 4«/2/;а (и, о) + 4xyf'av (и, V) + *24 («. ")•
'904. dJ£=flx + 2fl2^ + flz(^r+falx,
1905. g=/;;й «р;.)2+2/;»;+с «Ж2+/л*+/;+;*
$Щ — fan 4>х % + С (<fWy + Ф* Фу) + С ** Фу + /в Ф*у + ^ l£y»
Qft = /«« (Фу)* + V"„vф,>у + С (Фу)' + />vy + />vy
1914. u(x, y)=<f(x) + $(y). 1915. и(х, ^) = дгф (у) 4" * (»)-
1916. dtz = exy\(ydx + xdy)*+2dxdy]. 1917. d'u=2(x dydz+ydxdz+zdxdy).
14* Г. С. Бараненков и др.
422 ответы
1918. dh = 4ф" (0 (xdx + y dy)2 + 2<р' (/) (dx2 + dy% 1919. dz=lj) X
1920. d22 = a2/;;a (и, i>) rf*2 + 2abfuv (u, v) dx dy + b%v (ut v) dy2.
1921. d*z = (ye% + eVfttU + 2ye^fm + fe2*f"vv) dx2 -f
+ 2 (еУГа + e% + x*yftta + е*+У (l+xy) fav + ye*%v) dx dy +
+ {xeyfu + x^yfaa + 2xex+yfav + ^fj dy2. 1922. d*z =
= e* (cos ydxz — 3 sin # d*;2 d# — 3 cos у dx dyz -f- sin t/ rfr/3). 1923. d*z =
z= — ycosxdx* — 3s'mxdx2dy — 3cosydxdy* + xsmydy\ 1924. cf/(l; 2) = 0;
d*f(\\ 2) = bdx2 + 2dxdy-\-4,bdy2. 1925» d2/(0, 0, 0) = 2d*2 + 4dy2 + 6d22 —
— 4dx dy -f 8dx dz + 4dy dz. 1926. xy + C. 1927. xsy — -|- + sin * + С
,928- ^^ +ln (* + У) + C- ,929' Y ln (^+Л + 2 arct2 7 + c-
1930. —+ C. 1931. ]/"л;2 + ^ + С. 1932. a = —1, &= — 1, г= *~У2 + C.
1933. x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz + C. 1934. *8 + 2xy2 + Зхг -f f/2 - yz—2z + C.
1935. ^2_3A:f/22 + 4*V + 2A: + f/ + 32 + C. 1936. .*. +-£-f i-+ С.
У 2 X
1937. |Ле2 + #2-(-22 + С. 1938. A, = ~ 1. Указание. Написать'условие пол-
ного дифференциала для выражения Xdx-\-Y dy. 1939. ^ = /' 1940. м =
ху
== \ /(2№-fC. 1941.-^ = ~% -~ = =-з; -7-4 = 4~s« 1942- уРав"
J ' d* a2# dx2 aV dx8 a4#5 K
<*** d# У*\ЪУ
нение, определяющее у, есть уравнение пары прямых. 1943. -т-=у^-—^—, .
,944. ^ = -Ц, Й = 7ГХ-й- '945. f^ =3 или - Г; (^f =
= 8 или -8. 1946. ^ = £±^, ^ = (^±Ш^Ш.1947. ? = -£;
dx: ах — у dx2 (ах — #)3 dx *
^ 2# lq48 дг х2 — уг дг 6у2 — 3xi — 2 | q дг_ г sin * — cos у л
dxz х2' ' дх ху — z2' ду 3 (ху — г2) " дх cos х — у sin 2 '
dz xs\ny — cosz 1f,__ дг . дг 1 1Л-, (9г с2х (9г c2f/
ду zosx — ys\nz дх * ду 2 дх a2z* ду Ь2г
д2г= с*(Ь2-у2) д2г __ с*ху дН _ с*{аг-х2) dz___
дх2 f a2b2z* ; дхду~~ а2Ь'гг*Х ду2~ а2Ьгг* * dx—
= 1^^' . 1954. dz = - —rfjc-^dyj ^г = ^-=^^л:2--2^^^ +
г() 8 г у| г8 г3 * '
+ Х 7*аZdyZ' ,955- ^2 = °J ^г = 4(^2 + ^8)- 1956- dz^^—z(dx-\-dy)\
1962. 'dy = y^m—Qcbr,
dz-.
ОТВЕТЫ
. г (х - у)
dx: d*y=: — d2z= n r,
xz (У — г)3
д2и д2и
423
X
Xll*-*r + *-» + l*-xnd*. 1963. * = *-,; 2 = ^ = ^=0,
dv , du d2v „ d2v . d2y #
2i>
i^.
1966. a)g =
1+У
1965.
с sin о дг
1 + *'
du =
do = -
%dx-\-<$ady
<P« Ф»
Ф„Ф?
1
с cos о ... dz 1 . dz 1 ,
и ' ду и ' "' дх 2
в) dz = 2^[ea-*(o + «)d*+ea+!'(t;-H)<ty]. 1967. ^ = ^(г, Ф)созф-
-^^ф)!Т!;0=^^Ф)^Ф+^(г,ф)С-^.1968.|=-|Со5фсад;
|=-т-^*-,969- 2+й+^°- i97o-S=°- ,97i-a> %-*%^
б) g=o. ш, tg^. I97, ^Iflvi?-,974- Й=°-1975- -I-
r+UwJ
■г=0. 1976. ^ + \pL + ±d»=0. 1977. ^ 1 & to
сИ r2 dqr [ г дг ди dv 2u dv dv
2 "" -4 ~~
дф2
ди2" 2
1979. V^ = 0. 1980. ^ = -L.. 1981. а) 2л; — 4у — г — 5
= 0;
d2w
W2~~
б) 3* + ty — 6z = 0; —q— == —л— = с"' в) л; cos a + # sin a —
"" - 1 *
3 4
Rcosa y—R sin а z — /?
cos а
-6
1982,
1983.
~Va2 + b2+cz>
r _ь . ■—. 3*-f-4y +122 -169 = 0.
Уа2 + b2 +c2 Va*+b2 +c2
1985. x + 4y-\-6z=±2l. 1986. х±^±2=±Уа2 + 5г+с2. 1987. В точках
(1; ± 1; 0) касательные плоскости параллельны плоскости XOZ; в точках
(0; 0; 0) и (2; 0; 0) — плоскости YOZ. Точек, в которых касательная плоскость
тс
была бы параллельна плоскости XOY, на поверхности нет. 1991. — .
Г"! '• 1 л Проекция на пло-
I х2 + У2 — ху — 1 = 0. ^
! 3w2 J За:2
I "f- +22 — 1 =0. Проекция на плоскость XJZ: | — -{-г2—1=0.
Указание. Линия касания поверхности с цилиндром, проектирующим эту
поверхность на какую-нибудь плоскость, представляет собой геометрическое
место точек, в которых касательная плоскость к данной поверхности
перпендикулярна к плоскости проекции. 1996. f{x-\-ht у -J- к) = ахг -\- 2Ьху -\- су2 -[-
1994. Проекция на плоскость XOY: <
I V (I
CKocib YOZ:
14*
424 ответы
+ 2 (ах + ly) h 4 2 (6*+r#) * + аЛ14- 26ЛА 4- eft*. 1997. f (x, y) = 1 - (ж 4 2)*4-
4-2(x+2)(0- 1) + 3(^-1)'. 1998. Д/(*( y) = 2h + k-\rh* + 2hk-\-hzk.
1999. 7(x,i,,f) = (Jf-l)»4.(y-l)» + (a-l)»4.2(*-l)(y-l)-(i^l)(«-l).
2000. /(x +A, y + k, t + l) = f(x, у, г) + 2[Гг{Хг- у -г) + к(у - х-г) +
+ Ht-x-y)]+l(h, ft, /). 2001. у + *y 4 Зд;'узу У>. 2002.1 - £±£ 4-
4-X'+6^f+ y4. 2003. 1+ftr- D4(*-!)»-1). 2004. 14-[(*- 1)4-
+ (у+1)] + ^-»)у+')1'+^-')+^+11',2005, а) arctg[±^
^+4<a+f5)_4(a>_P>): б) T/(l+«r + (l4P)^1 + J,(m+np)+
+ 4 [(3m* - 4m) a* - Зяшсф -f- (Зп* - 4л) P2]. 2006. a) 1,0081; 6) 0,902. Указа-
н и е. Применить формулу Тейлора для функций: a) f(x, у)~у ху уъ
окрестности точки (1; 1); б) f (х, у) = ух в окрестности точки (2; 1). 2007. z =
= \ + 2(х -1)-(*/-1) _ 8 (л: — 1 )2 -h 10 (х — 1) (// — 1) -3 (^ — l)2 -f- ...
2008. ет1п = 0при х = 1, # = 0. 2009. Экстремумов нет. 2010. 2min = —1
при *=1, У = 0. J01l._ гтах= 108 при _* = 3, # = 2. 2012. 2min = —8
при * = l/*~2, */= —|^2и при к = —1/*2, #="[/""2- При л: = # = 0 экст-
ремумов нет. 2013. етях = —-?=. в точках л; = —=, у = —р=^ и % = -г= ,
* ' шах 3/3 /3 Т^З /3
Ь ab aba
* УЪ 3/3 1^3 КЗ У$
y=z — . 2014. гтах=1 при * = # = 0. 2015. гт1п = 0 при * = # = 0;
нестрогий максимум « =— в точках окружности л * —f- ^/2 = 1. 2016. zmax==
= 1ЛЗприл:-=1, */ = — 1. 2016*1. гтШ = 6 при * = 4, # = 2.
2016.2. гтах = 8е?~*при * = —4, # = —2; экстремума нет при х = 0,
^ = 0. 2017. wmJn = — |- при * = — -j, # = — -J, г=1. 2018. wrain = 4
при к = -7г , */=1, г=1. 2019. Уравнение определяет две функции, из
которых одна имеет максимум (2тах = 8) при дс = 1, у— — 2, другая —
минимум (zmfn = — 2) при х=\, у = —2\ в точках окружности (х — 1)2 +
_|_ (// -|- 2)* = 25 каждая из этих функций имеет краевой экстремум г = 3.
Указание. Упомянутые в ответе функции определяются явно равенствами
г = 3 ± |^25 — (х — I)2 — (*/ -{- 2)г и существуют, следовательно, только внутри
и на границе окружности (х — 1 )2 + (# + 2)2 = 25, в точках которой обе
функции принимают значение г = 3. Это значение является наименьшим для
первой функции и наибольшим для второй. 2020. Одна из функций,
определяемых уравнением, имеет максимум (гтах = — 2) при * = — 1, у = 2, другая—
минимум (eraJn = l) при # = — 1, # = 2; обе функции имеют краевой экстремум
в точках кривой 4дг* — 4^/* — 12-v -f- 16^r — 33 = 0. 2021. smax = —- при х =
= y = -^. 2022. emax = 5 при *=1, y = % emIn = —5 при
ОС in | л
* = — 1, y = — 2. 2023. Emin = j3 при * = уз> ^^Тз.
ОТВЕТЫ
425
ол<м 2 + У1 7я . . 9я . . 2-/2
2024- «max——^g^— при * = -^-+£я, «/ = -g- + ^Я| zmin = j— при
Зя 5я
* = -£- +А;л, г/=-^- + ^я« 2025« wmin = ~9 при * = —1, г/= 2, г = — 2;
мтах = 9 при лс = 1, # = — 2, г = 2. 2026. ытах = а при *=±а, г/ = г = 0;
Mmin=5 при x=zy=:0, г=±с. 2027. «тах = 2*42*6$ при* = 2, # = 4.
г = 6. 2028. ктах = 4*/27 в точках (±; ^ |)i (у; ~~< 4) ;
(т; у; 4); "^п=4 в точках (2; 2;!) (2; 1; 2) (1:2; 2)- 203°-а) Наи*
большее значение г = 3 при х = 0, у—1, б) наибольшее значение г = 2 при
2 / 2~"
*=1, # = 0. 2031. а) Наибольшее значение г =—= ПРИ *=± 1/ —-,
3^3 ^_ 3
ы— 1/ _; наименьшее значение г = ^ при #=± 1/ — /7 —
у"~ Г ■ 3 3/3 Г 3 ' у~
= — Т/ -о", б) наибольшее значение 2 = 1 при х = ± 1, */ = 0; наименьшее
з У"3
значение г =—1 при * = 0, #= ± 1. 2032. Наибольшее значение г =—-—
я
при дг = # = — (внутренний максимум); наименьшее значение z = 0 при * =
= у = 0 (краевой минимум). 2033. Наибольшее значение г =13 при х = 2,
у = —1 (краевой максимум); наименьшее значение z = —1 при х = у = 1
(внутренний минимум) и при # = 0, */ =—1 (краевой минимум). 2034. Куб.
2035. l/W, y~2V, yi/W. 2036. Равносторонний треугольник. 2037. Куб.
2038. .а= у~~а. */~а • */а . £/а. 2039. М (—^-; -^).2040. Стороны тре-
3 3 р лл_« mjXj-f-mje.+m.X. т\УА-т1Уг\-тъУ*
угольника: ТР, ТР и -£ . 2041. * = ' V" 2 g" 3 8, */ = „ *Т „7~ ?'
х и 2 2я 26 2с
2042. г--т"Н = 3. 2043. Измерения параллелепипеда: -7=, -= , —= t
« Ь с * * /3 /3 /3
где а, Ь и с — полуоси эллипсоида. 2044. * = у = 26 -f- V 2 К, г = -у.
2045. *=±-7=.i #= ± -т= 2046. Большая ось 2а = 6, малая ось 2Ь = 2.
У 2 У 2
Указание. Квадрат расстояния точки (х, у) эллипса от его центра (начала
координат) равен х2 -\- у2. Задача сводится к отысканию экстремума функции
хг-\-у* при условии Ьх2 -\- 8ху Ц- Ъуг = 9. 2047. Радиус основания цилиндра
"о" V 2 *+" Т=» высота R Л/ 2 = , где Я — радиус шара. 2048. Канал
If у 5 * У 5 '
должен соединять точку параболы (—; -j) с точкой прямой \-г\ —-«-);
его длина Ц-? . 2049. ^/273a 2050. ^2^=-^-. Указание. Оче-
8 14 r sin P v2
видно, точка М, в которой луч переходит из одной среды в другую, должна
находиться между Ах и Blt причем AM = , ВМ = « , AvM—a tg a, Z^M =з
cub os cod p
426
ОТВЕТЫ
r=6tgp. Продолжительность движения луча равна 1 д. Задача
fj COS OS V 2 COS p
сводится к отысканию минимума функции /(а, Р) = 1 ~ при
условии, что a tga + b tgP = с. 2051. а = р. 2052. /,:/,:/, = — :— Г-^.У КаЗа-
^l А2 Л*3
Я и е. Найти минимум функции /(/,, /2, /8) = /^ + ^#2~Wj#a при
условии, что /,-f-/2 + /я = /. 2053. Изолированная точка (0; 0). 2054. Точка возврата
2-го рода (0; 0). 2055. Точка самоприкосновения (0; 0). 2056. Изолированная
точка (0; 0). 2057. Узел (0, 0). 2058. Точка возврата 1-го рода (0; 0). 2059. Узел
(0; 0). 2060. Узел (0; 0). 2061. Начало координат — изолированная точка, если
а > bt— точка возврата 1-го рода, если a = bf и — узел, если а < Ъ. 2062. Если
среди величин a, b и с, нет равных между собой, то кривая не имеет особых
точек. Если а = b < с, то Л (а, 0) — изолированная точка; если а<6 = с, то
В (Ь, 0) — узел; если а = Ь = с, то Л (а, 0) — точка возврата 1-го рода.
2063. у=±х. 2064. у* = 2рх. 2065. y=z±R. 2066. х*1* + у'1* = 1%
£067. xy = ~S. 2068. Пара сопряженных равносторонних гипербол, уравнения
которых, если оси симметрии эллипсов принять за оси координат, имеют вид
ху=±—. 2069. а)Дискриминантная кривая у = 0 является геометрическим
местом точек перегиба и огибающей данного семейства; б) дискриминантная
кривая у = 0 является геометрическим местом точек заострения и огибающей
семейства; в) дискриминантная кривая у = 0 есть геометрическое место точек
заострения и не является огибающей; г) дискриминантная кривая распадается
на прямые: х — 0 (геометрическое место узловых точек) и х = а (огибающая).
2070. у = ^- — ii-. 2071. 7 \ . 2072. /9 + 4я2. 2073. ]/*3(е*—1). 2074. 42.
*ё 2v\ 6
2075. 5. 2076. х0 + г0. 2077. 11 + ~-. 2079. а) прямая; б) парабола; в) эллипс;
г) гипербола. 2080. 1) ^а°; 2) а~; 3) ^а° + а^-°. 2081. ■—■ (а&с) =
~(^bc) + (a^c) + (ab%)- 2082- 4/(/2 + 1). 2083. * = 3cos/;
3 V~2 —
у —A sin/ (эллипс); v — 4j\ w = —3i при / = 0; v = v— i + 2 V 2j,
31/~~2 — jt я
w= ^—i-2V'2jnputz=— \v=— 3/,ю = - 4у при / = — .2084.*=
= 2 cos /, у = 2 sint, z = 3/ (винтовая линия); v = — 2/ sin / -f- 2/ cos / + 3fc;
y = Vl3 при любом /; w = — 2/ cos / — 2/sin /; ay = 2 при любом /;
v = 2j + 3k, w = — 2i при/=Ю; z> = — 2/+ 3fc, w = — 2j при t = -j- .
2085. jc = cos a cos со/; # = sin a cos cor; z = sinco/ (окружность); v=z
=—со/ cos a sin со/ — coy sin a sin co/-f-cofc cos со/; и=| со |; w = —со2/ cos a cos со/ —
— co2y sin a cos со/ — co2fc sin со/; w = со2. 2086. v — V v*x-{- v\ -f- (ц0#г — g/)2;
шх = ш^ = 0; дог =— g\ w = g. 2088. со'|Л*2 + /г2, где со = -^ — угловая ско-
K. лГ~*х
a2co2 -j- v\ — 2atof0 sin со/. 2090. x = -^- (/ + Л);
ОТВЕТЫ
427
v = —J; p = -LJi(/-*). 2091. x=~^[(cost-slnt)l+(slnt+cost)j+k\;
-6 уз
i ^ V~3 ^
V= y=z[(sint+cost)i + (sint —cost) j]; cos(x, г^-Ц-; cos(*>, г)=0.
2092. т = < + У±2*;Уаа-4<+^-8*; ,^.«1^=1
/21 /105 /5 -asm/
у — a sin / z—bt, ч л:—a cos / #—a sin £ 2—6/ _
— — -(касательная); . -==—r r = (бинормаль);
a cost b b sin t —b cos / a
x — a cost у — a sin t г-—Ы, . u
— = -£——— = —-— (главная нормаль). Направляющие косинусы
a sint 0 a cost b r,
касательной: cosa= ■-; cosp = -7===; cosv= . Ня.
Va2 + b2 V<* + bz Va2+b*
правляющие косинусы главной нормали: cos a, = cos t\ cos Pt = sin t\ cos Yi = 0.
2094. 2л: —z = 0 (нормальная плоскость); у — 1 = 0 (соприкасающаяся пло-
х 2 и 4 г 8
скость); х -f- 2г — 5 = 0 (спрямляющая плоскость). 2095, —-— = у—^— = -
(касательная); х + Ay-f- 12з — 114 = 0 (нормальная плоскость); 12л; — 6# -f-2 —
** t* Р
*~Т У~Т Z~T
— 8 = 0 (соприкасающаяся плоскость). 2098. —-^— = —-—=—-—(ка-
Р Р tz Р Р
*_- у-т 2-j. *~f У-Т
сательная); ^ g/- = у—^ = _ ^ _ t (главная нормаль);—j— = -—^- =
/2
2
*2
(бинормаль); М, (I, -1; i); M2 ^4; —-i; 2). 2097. £—? =
= ^£tj- = —~— (касательная); х-{-у = 0 (соприкасающаяся плоскость);
л: — 2 0 + 2 2 — 2. . л; —2 г/ + 2 г — 2 .к
—i—==:^Zi :== "ZTT (главная нормаль)) ■ , = ^—j—= ——-(бинормаль^
1 1 *~~2 ^~~"2* % 2~^
cosai = y=t' ^^fT' cosy2-0. 2098. а) —— =-q—= _ у- ■
(касательная); х V~2 — г == 0 (нормальная плоскость); б) —=— = —.— = ■
д; — 2
(касательная); х + у-\- 4г — 10 = 0 (нормальная плоскость), в)
2/3
ЛУ
-2/3 ег — 3
= (касательная); 2 У"з * + у — 2|/" 3 г = 0 (нормаль-
1 ~2У 3 __
ная плоскость). 2099. х + у = 0. 2100. л: — */ — г У~2 = 0. 2101. а) 4* — у—
-2-9 = 0; б) 9л;-6# +2г-18 = 0} в) Ь2х\х - а2у\у + (аг — Ь2) г\г =
= a2fr2 (а2 — Ь2). 2102. 6л: — 8у — г -{- 3 = 0 (соприкасающаяся плоскость);
л: — 1 «—I г — 1 / ч * — 1 г/ *- 1 2 — I /л .
_- = ^— = —-^ (главная нормаль); —^- = ^—=—р-(бинормаль).
428 ответы
ЯОЗ Ъх— e=sO (соприкасающаяся плоскость); _0> (главная нормаль):
ye0> [ (бинормаль), ^-^^-—L-t „=/2108. 2* +
+ 3|/+19г-27=0. 2107. a) V~5\ б) ^ . 2108. а) К = —^-1;Г=^ :
С)К~У—2?сР?- 2,°9- а) Л_о_—^ i б) R-q- 8p4jc, ^
21" sqrp- 2112- К= ?,к>т=0, к>п=2 при * = 0; К = у|/{|,
22 /~19
Глава VII
2113. 4-|. 2114. ]г~. 2115. ^. 2116. -2.. 2117. 50,4. 2Ц8. —^. 2119. 2,4.
2120. !L .2121.^ = ^—1; * = 2- у- # = -6; # = 2. 2122. # = *8; у=г* + 9;
*=1: * = 3. 2123. # = *; #=10 — *; # = 0; #=4. 2124. #=4; # = 2г,
* = 1; *=3. 2125. #=0; #=У 25 — *2; * = 0; * = 3. 2126. # = **; у = х+2:
12 2 1
*=-1: * = 2. 2127. J <ty$/(*,#<**=$ d*J/fr 0*
0 0 0 0
11 IX 1 £-у
2128. ^ ^ J / (*, y)dx=^dx^f (х, у) dy. 2129. ^ dy ^ f (x, у) dx =
о у о о оо
1 1 г 2-Х 2 2X-J-3
= ldxlf(x> y)dy+ ^dx ^ f(x, y)dy. 2130. \dx ^ f(x, y)dy =
oo to i ix
L
4 2 5 г 7 2
— \йу1Пх* ^dx+ldy\f(x> y)*x+^dy J /(*, y)dx.
2 1 4 1 « У— »
2 «_.
i у У1 Уг-у* о Vt -х*
2131. Jd(/ J f(x9 y)dx+ I dy ^ f(x, y)dx= J dx J f(x,y)dy +
о — у l _>^£"1Гр -1 -x
1 Vf^lc3 II 2 V 7
-+ldx I 1(x> y)dy. 2132. ([ <**$/(*, y)dy=^dy J f(x,y)dx.
ox -1 2X* 0 /""y
-1 V4 -Xя 1 - Vl - X* 1 V4 -X»
2133. J rf* J /(*, 0<fe+J dx J /(*, */)ф+ J dx J f(x,y)dy+
-2 _1^T*3 -1 -^iT*» -l КГ^Г^а
ответы 429
2 У4 — ха *-1 У4 — у2 1 —V1 — Ja
+ J dx 5 /(*, й*= J dy J /(*. у) Ar + J dy j /(xf y)<te+
1 -V^-x2 ~2 - V 4 - ya -1 -V4~y7
1 K4-ya 2 V4- Vя
+ J dy J /(*, йЛг + Jdy J /(*, y)dx.
-2 Уэ-Х* 2 УПрС*
2134. J Л J /(*, */)</# + J *r J /(*, */)Ж/ +
3 V» - x3 -i - Vya - j -i Ко - у a
+ $<** J 1(x.y)dy= I dy ^ f(x.y)dx+ $ <& J f(xty)dx +
2 -УГГ^З -УТ -УГ^у3 -VI Vya"3?
1 Уэ- у* УЦ '«.yptrj VI У 9 -у»
+ 5 <*У 5 /(*, </)<** + \dy J /(x, */)rf* + J dy [ /(x, #),**.
i i — x 1 l — у в Ул2 — ха
2135. a) Jdx J /(*, */)<ty=^d*/ £ /(х, у)Л: б) [ dx $ /(л:, y)<ty =
0 0 00 — а _ Уса_ ха
в Уда _» V2 1 Ух- ха
= [ dy f /(*, 0d*; в) ^ ^д: J /(*, y)dy =
~~а - Уда - у» ° -Ух - х»
i4-Vi~4jf»
~ \ dy $ /(*. y)dx; г) J </*$/(*. .</)«/ = $ dy J / (дг, y)dx:
-V. 1- VT^TyS -ix -1-1
2
а у-\-га ax га а за а
n)[dy J /(*, y)dx=*^dx^f(x,y)dy+§dx^j(x,y)dy + $dx J /(*.y)<ty.
О У 0 0 CO 2<Z X— 2fl
48 У 8 2 2 8 1
2136. J * $ / (*. 0) dx. 2137. J dy J / (*, y) dx + [ dy J / (*, у) dx.
в У О У 2 у
2138.
2139.
12 3
а
7 Va*-y* a Va*-y*
[dy J f(x,y)dx+[dy J l{xty)dx.
0 Ува-tay £ °
г
,а а а а
I dy[f(x,y)dx+ [ dy J fix, y)dx.
430
ОТВЕТЫ
2140. ^dy J f(x,y)dx + ^dy J f(x, y)dx+ J dy^f(x,y)dx.
0Г 1 1-Х 2 VIX
2141. J dx J /(x, </)<ty + J dx J /(x, #<& 2142. J Лс J /(*, </)<ty-f-
— 1 0 0 0 0
V7 l V7 v*~x% ~~T~ VrZ~^>
+ ^dx^f(x,y)dy+ J dx J f(x,y)dy. 2143. J Ф J f(x, y)dx.
io >^7 ° о у
l « — arcslny
2144. СЖ/ f ?(*, y)dx. 2145. 1. 2146.1 . 2147. у a. 2148. | . 2149.6.
0 arcsin у
2150. 1. 2151. In 2. 2152. a) 1; 6) J5*ZjJ? ; в) 2 1. 2153. i|^ p5.
, K,_(*-2)a 4 8 Я
2154. ^dx ^ xydy = ^.. 2155. -g-аУй. 2156. ^ nR\ Указа-
i о
2*R y=/(x) 2* R (i-cost)
иие. \\ ydxdy= \ dx \ у dy = V R (1 — cos 0 dt \ у dyt где ПО-
OS) о о о о
следний интеграл получается из предыдущего в результате замены
* = /?(f-sln«. 2157. ~. 2158. 1. 2159. «г+~.
к 1 ic_ 1
4 cos ф 2 sin '
2160. С dip [ rf (r cos ф, r sin ф) dr + С dy С г/ (/• cos ф, г sin ф) dr.
0 0 к О
4
п 2 8П 1
21fil *" coscp 4 sin?
S ^Ф S r/(r)dr* 2162, S ^ф S '/('cos ф, г sin ф) dr.
к о
4
Stn ? 811 1 Sin ф
COS' <p 4 Sin? И COSacp
2163. £/^ф)Лр £ rdr + J/^)£*p ^ /-^+p(tgT)^ $ г dr.
0 0 1С 0 8я О
4 T
«^ «J ш
4 « VcOS 2<p 4 в Vcos 2ф
2164. С 4ф С Г/(Г COS ф, Г81пф)^Г + Сй?ф £ Г/(гС08ф, Г81пф)^Г.
К 0 811 О
"4 4*
ОТВЕТЫ
431
2 a COS ср
2165,
: Jtfq> J r*$ln<pdr = £. 2166. 1яа*. 2167. ^.
2168. (|+»)л 2169. .£. 2170. (%-Щ=*>)^
2
2171. -х-nab. Указание, Якобиан I = abr. Пределы интегрирования:
о
JL _£_
0<ф<2д, 0<г<1. 2172. f du \ f(u—uv, uv)udu. Решение.
« о
Имеем лг = и(1—и) и y = uv; якобиан /==н. Определяем пределы w как
от функции vi гг (1 — и) = 0 при * = 0, откуда и = 0 (так как 1 — v ф 0);
ц= при лг = 0. Пределы изменения и: так как у = ах, то
гги = агг(1 — v), откуда 0 = ?—i—; лля г/ = Влг находим и = . , Q«
I-{-а 1+р
0 —Я 1 tt —2
— i —г» о г»
Указание. После замены переменных уравнения сторон квадрата будут
u = v; u+v = 2; и— о = 2; и= — о. 2174. аб Г^- —_Jarctggj + |g .
Решение. Уравнение кривой г4 = г2 ( -p-cos29 — -р- sin2 ф ), откуда ниж«
/"а2 5*
ний предел для г есть 0 и верхний г = 1/ -^ cos29 — -р- sin2 ф. Так как г
а2 Ьг
должно быть вещественным, то -p-cos^ — -rj- sin*9^0; отсюда для первого
координатного угла имеем tgy^rr. Вследствие симметрии области интег-
1
рирования относительно осей можно вычислить — всего интеграла, ограни-
arcigu V ^cos cf~^s,n*
чиваясь первым квадрантом: \\djed# = 4 \ ^ф V <xbrdr%
(S) о о
2175. а) 4~; Jdy J rfjr + Jdy j dx; 6) ^-yi JdJt J dy.
о _ |Л^ l у - 2 ' о a - *
432 ответы
2176. а) |-; б) (2 + ~\а\ 2177. 1£. 2178. ™а*. 2179. л. Ука-
зание. -1<*<1. 2180. ~ уТб. 2181. 3 (-J+-1V 2182. у-)^
5
2183. хла2- 2184.6. 2185. Юл. Указание. Сделать замену
переменных * — 2# = w, 3*4-4# = t/. 2186. — (fc — а) (Р — а).
11 1х
2187. i-(p —а)1пА. 2188. o=f^f(l -*)a* = fd*f(l-*)«ty. 2193. —-.
2194.1. 2195.1. 2196.^. 2197.^. 2198. £jX 2199. ij.
2200. ^ . 2201. ^ . 2202. л а8 (а - Р). 2203. 4 ла' (2 уТ- 1).
loo о
2204. i. яо'(У"2 - 1). 2205.^. 2206. j лаЬс. 2207. ^ (б У~3- 5).
2208. | а». 2209. яа(1-«-*). 2210. ^. 2211. 3 ^"|"2.
2212. i-^— (2l/^2— 1). Указание. Сделать замену переменных ху = и,
о
2-=zv. 2213. -1 Va2b2+b*cz + c2az. 2214. 4(т-л)#2. 2215. !l£ а2.
Указание. Интегрировать в плоскости YOZ. 2216. 4а2. 2217. 8а2 arcsin — .
2218. 4" яа2 (3 уТ— 1). 2219. 8а2. 2220. Зла2. Указание. Перейти
о
к полярным координатам. 2220.1. Указание. Спроектировать поверхность на
3
координатную плоскость XOY. 2220.2. а2 V 2. 2221. а^ула* [(н^!) *—l"] •
Указание. Перейти к полярным координатам. 2222. -^ а5 и 8аг. Указа-
V~2
н и е. Перейти к полярным координатам. 2223. 8a2arctg -~— . Указание.
о
а fL £L
Г Г ady Q Г а
а= \ dx \ Г =г=оа \ arcsin r dx. Интегрировать по ча-
J J У а2 — х2 — у* J 2 У а2 — х2
0 0 0
стям, а загем сделать подстановку х = —^—suit; ответ преобразовать.
2224. Цг ('ьУ^Т*'- аУЖ+72 + с2\пЬ*+rJ^±^\ Указание.
2л6/?2 а*Ь а2Ь2
Перейти к полярным координатам. 2225. —-—. 2226. —-; —-.
О 1<£ Ztt
ОТВЕТЫ
433
плпп - 12 —л8 — я лппо - 5 - Л ЛЛЛЛ - 2а sin a
2227- " = 374^)' ^ = 6(43^)-2228- * = Т*;* = 0.2229. *=-£-!
у = 0. 2230. jc=-|; у = 0. 2231. /х=4. 2232. a) /0 = ~(D4- d4);
б) /*=-£-(Z>4-d4). 2233. / = 4- а4. 2234. -|а4. Указание,
Ь4 о о
a Vox
IzszKdx \ (y-\-a)2dy. 2235. 16 In 2 — 9-^-. Указание. Расстояние
точки (*, #) от прямой *==#, равное а = _j , находится с помощью
нормального уравнения прямой. 2236. / = ^/eas |7УТ+ 3 *n (V~2 + Щ*
где Л — коэффициент пропорциональности. Указание. Поместив начало
координат в ту вершину, расстояние от которой пропорционально плотности
пластинки, направим оси координат по сторонам квадрата. Момент инерции
определяется относительно оси ОХ. Переходя к полярным координатам, имеем:
It 1С
4 a sec <p 7 a cosec <p
1Х = С </<р С fcr (r sin ф)2 г dr + \ dq> [ kr(r sin ф)2 г dr. 2237. /0=~ па*.
0 0 ТС О
I"
2238. /0 = —. 2239. уг яа4. Указание. Принять за переменные инте-
1 1-Х 1 — X— у
грирования t и у (см. задачу 2156). 2240. V dх \ dy С f(x, у, z)dz.
оо о
Я VR*~x* H
2241. [ dx [ dy^f(x, у, z)dz.
-/? ~Vr*-x* °
2242. J rfJt ^ cty J /(*, #, z)tf2.
— -iLK^ZT.
*- [ dx [ аУ \ f(x> У* z)dz-
Vi-x* V\-x* -y*
2243.
2244. ^(31+ 12 ^7-27 У"Т). 2245. ^Ц^ . 2246. 2^-. 2247. ±.
яа&£*
2248. i-ln2 —~. 2249. ££! Лв У"3 — ?П . 2250. Ц л£5. 2251.
2252. ~nabc. 2253. H^f. 2254. я/?3. 2255. i-a8. 2256. |-/.»(я_.1Л.
434
ОТВЕТЫ
2257 4я#5. 2258. ■£- 2259. ^агН. 2260. ^ па\ Решение. о =
15 10 У 4
х*+уг к_ г_2
га Угах — хг 2а 2 гдгозф za
= 2[dx С rfr/ С сГг = 2 С с?ф С rdr\dh =
2 2Д COS Ф . 2 в -
о Г j Г rdr 1 Г(2асозф)4 3 - «oat 2яа8У2 ..
оо о
19
за ни е. Перейти к сферическим координатам. 2262. -~-я. Указание.
а3
Перейти к цилиндрическим координатам. 2263. — (Зя — 4). 2264. nabc.
2264.1, 5^2. 2264.2. 15. (У"2 - l)ato. 2265. 2*£ (в + ь + с).
4 У 2 ^ *
2266. |? (6с* - а* - б8). 2267. дГ=0; y"=0; ^=-g-e. Указание.
— 4 — —
Ввести сферические координаты. 2268. * = ---, f/ = 0, z = 0.
о
2269. (За2 -4- 4/гг). Указание. Ось цилиндра принимается за ось OZ,
плоскость основания цилиндра—за плоскость XOY. Момент инерции
вычисляется относительно оси ОХ. После перехода к цилиндрическим
координатам квадрат расстояния элемента rdydrdz от оси ОХ равен г2 sinz ф -f- г2,
sxohci2
2270. * (2/i2 + За2). У к а з а н и е. Основание конуса принимается за пло-
скость XOY, ось конуса—за ось OZ. Момент инерции вычисляется
относительно оси ОХ. Переходя к цилиндрическим координатам, для точек
поверхности конуса имеем: г = — (h—z), причем квадрат расстояния элемента г dq> dr dz
от оси ОХ равен г2 sin2 ф -f- г2. 2271. 2nkqh (1 — cos a), где /е —
коэффициент пропорциональности и q — плотность. Решение. Вершина
конуса принимается за начало координат, а его ось — за ось OZ. Если ввести
сферические координаты, то уравнение боковой поверхности конуса будет
яЬ = — а, а уравнение плоскости основания — г =——- . Из сим-
Y 2 sin гр
метрпи следует, что результирующее напряжение направлено по оси OZ.
Масса элемента объема dm = Qrz cos "ф dydypdr, где q — плотность.
Компонента по оси OZ притяжения этим элементом единицы массы, находящейся
в точке 0, равна —— sin -ф = /гр sin yp cos "ф dty dy dr. Результирующее притя-
7С
2п "г"" ЛсоБесф
жение равно \ Жр \ d\|? \ kg sin ty cos \p dr. 2272. Решение. Вве-
0 0 0
дем цилиндрические координаты (q, ф, г) с началом в центре шара и
осью OZ, проходящей через материальную точку, массу которой полагаем
равной т. Расстояние этой точки от центра шара обозначим через £. Пусть
г = Y§2 + (£ ~~ 2)2"~ расстояние от элементарного объема dv до массы т.
ответы 435
Сила притяжения элементарного объема dv шара и материальной точ-
, dv M
ки т направлена вдоль г и численно равна -— ггут-?, где у.
плотность шара и dv=zqdydqdz — элементарный объем. Проекция этой силы
на ось OZ будет:
dF = т\ V- cos {г г) = — km у ^Ц^ q ^ф dq dz.
Отсюда F = —kmy \ dy I (g — г) dz \ ^-~ = kmy у nR' jT9
о -/? о
00
но так как -| Y я/?8 = M, то F = ^|^. 2273. - С yV*"a <ty - е~х\
X
2275. а) 1 (р > 0); б) j^-Lj ПРИ Р > <* в> pqipi С? > °>; г> pTTpi ^>°)-
1 2
2276. г. 2277. -j. Указание. Продифференцировать два раза
00
Г г-*1 dt = — . 2278. In $- . 2279. arctg $- — arctg —. 2280. JL In (1 + a),
о
2281. л(У\ — a2—1). 2282. arcctg—-. 2283.1. 2284. ~. 2285. -~ .
2286. —2. Указание. Перейти к полярным координатам. 2287. !-—- .
jr2
2288. -Q-. 2289. Сходится. Решение. Исключим из S начало координат
о
вместе с его е-окрестностью, т. е. рассмотрим /, =\ V In У"*2 -j- у2 dx dyt
<S.)
где удаляемая область — круг радиуса в с центром в начале коордп-
«71 1
нат. Перейдя к полярным координатам, имеем /e= \ <2<р Г г In r dr =
о •
27С t
= I [т1п/,[!""Т 1'Н ^ф==2я (т~"Т1п8""т)- Отсюда
О в
lim /в = jr-. 2290. Сходится при ос>1. 2291. Сходится. Указа-
е->0 ^
ни е. Окружаем прямую у = х узенькой полоской и полагаем
2292. Сходится при а > -§■ • 2293- 0. 2294. In ^5^~3-.
2295 «^«М-О,
3 (а + 6)
2296. ^а\ 2297. - Г(1 + 4я2)8 - l| .
436
ОТВЕТЫ
2298. £!IJ-i^?. 2299. tfV7*- 2300. 1 (56 j/7- 1).
2301. 2а^~Ь* arctg ^ . 2302. 2яа2. 2303. ^ (10 /76 - 1). Указание.
\ f(x, y)ds можно геометрически интерпретировать как площадь цилиндри-
с
ческой поверхности с образующей, параллельной оси OZ, основанием —
контуром интегрирования и высотами, равными значениям подынтегральной
функции. Поэтому «S= V х ds, где С — дуга О А параболы у=.--хг, соединяющая
с
точки (0;0) и (4; 6). 2304. aVJ. 2305. 2(&Ч—/ аЧ arrsfn Vа* ~ b ) .
\ У а2 — b2 a '
2306. T^npp(„/SrF4H5»+g In 2я& + ^ + 4яг6^
2307. (•!■«. 4е)- 2308- ^Т^+Й 2309. y-ff^y-
1Q 4 12
2310. 40~. 2311. -2яа2. 2312. а) у; 6)0; в) ~; г) -4;
д) 4. 2313. Во всех случаях 4. 2314. — 2я. Указание. Использовать
4
параметрические уравнения окружности. 2315. — ab2. 2316. — 2 sin 2. 2317. 0
о
2318. а) 8; б) 12; в) 2; г) -|; д) In (* + у); е) J ф (*) Лг + J ♦ (Ю <ty
2319. а)62; 6)1; в) ~ + 1п2; г) l-fVT 2320. Vl +а2 - ]Л + V
2322. а) х* + 3*# - 2#2 + С; б) *8 - х2у + **/2 - ^ + С; в) ** ~у (Х+У) + °
г) In |х + у\ + С. 2323. - 2яа(а + *>)• 2324. - я#2 cos2 а. 2325. (~r + ^Д-W
2326. a) -2; б)с&*-1; в) 5 У% г) 0. 2327. l=^y*dxdy.
(S)
2328. — -i. 2329. ^. 2330. — 4"- 233K °- 2332- a)°*» б) 2nn- Указа
н и е. В случае б) формула Грина применяется в области, заключенной не
жду контуром С и кругом достаточно малого радиуса с центром в на
чале координат. 2333. Решение. Если считать, что направление касатель
ной совпадает с направлением положительного обхода контура, то
cos(Xt n) — cos(Y, t) = ~, следовательно, Ф cos (X, п) ds=(b j^ds =
с с
s=(p dy = 0. 2334. 25, где S — площадь, ограниченная контуром С. 2335. — 4.
с
3
Указание. Формулу Грина применять нельзя. 2336. nab. 2337. -3- яо2.
о
3
2338. бяа2. 1839. -^-о". Указание. Положить у = f#, где * — параметр.
ответы 437
а*
2340. -—. 2341. я (R + г) (R + 2r)\ 6nR2 при R = г. Указание. Уравнение
эпициклоиды имеет вид x = (R-{-r)cost — г cos—^—t, у = (/?-)- г) sin / —
— г sin—^-f, где / — угол поворота радиуса неподвижного круга, про-
3 R
веденного в точку касания. 2342. я (R — г) (/? — 2/*); -5-я/?2 при /" = -7-.
о 4
Указание. Уравнение гипоциклоиды получается из уравнения
соответствующей эпициклоиды (см. задачу 2341) заменой г на — г. 2343. FR.
k
2344. mg (гх — г2). 2345. — (а2 — Ь2), где /г — коэффициент
пропорциональности. 2346. а) Потенциал £/ = — mgz, работа mg(z1—z2); б) потенциал
£/ = —, работа —; в) потенциал U = (х2 -f- Уг+ г2),
г у аг -{-Ь2-\-с2 2
работа -(Я2-'2). 2347. i яа4. 2348. ^яа % ^ ° . 2349. 0.
Z О О
2350. i-яаЬс. 2351. — . 2352. 1. 2353. 25 ^ + * а. 2354. 2J^Z Л*.
3 2 4 10(5/5-1) 2
2355. а) 0; б) — [ [ (cos a + cos P +c°s V)dS. 2356. 0. 2357. 4я. 2358. — па\
(S)
2359. -Л 2360. « j2. ? = <« |8 = ^. 2361. 0.
ду dz dz дх дх ду
2362. 2[[(x + y+z)dxdydz. 2363. 2[[[^7MMM=S.
\v] \^Vx* + y2 + z*
2364. ^^f^ + ^ + ^dxdydz. 2365.3а4. 2366. £. 2367.-^ шЛ
яа*Ь*
2368. —у-. 2371. Сферы; цилиндры. 2372. Конусы. 2373. Окружности
х*-\-у2 = с*, 2 = с2. 2376. grad£/(4)=r9/-3./ —ЗЛ; |grad U (A) |= ]/99=s
= 3/ГГ; г2 = **/; * = */ = *. 2377. а) у | б) 2rj в) - £; г) /'(г)у.
2378. grad (cr) = c; поверхности уровня — плоскости, перпендикулярные к
вектору с. 2379. |^=^, |^ = | grad (У | при а = *=с. 2380. ^ =
= _coefc_r). ^ = 0при 1±г. 2382. 1. 2383. div a = ±f(r) + /' (r).
2385. a) div г = 3, rot г = 0; б) d iv (re) = у, rot (r<?) = ^^; в) div (f(r)c)=
= -Ц^(сг), rot(f(r)c) = £-J!2-cXr. 2386. divt> = 0; rot*==2a>, где ш =
= саЛ. 2387. 2шл°, где л° —единичный вектор, параллельный оси вращения.
2388. divgradt/ = ^ + ^4-^-j rot grad t/ = 0. 2391. 3nR2H.
438
ОТВЕТЫ
2392. s)^nR*H (З/?8 + 2#f); б) ~ л/?2// (#* + 2#*). 2393. d Iv F = 0 - во
всех точках, кроме начала координат. Поток равен — 4ят. Указание.
При вычислении потока использовать теорему Остроградского — Гаусса.
г
2394. 2пгкг. 2395. ^р-. 2396. 6/ = С г/ (г) dr. 2397. -у . 2398. а) Не имеет;
б) U = xyz+C; в) и = ху + хг + уг°+С. 2400. Да.
Глава VIII
2401. rr-t—7. 2402. i-. 2403. ^. 2404. JL. 2405. /f"?,,. 2406.7Г-^-- .
2n — 1 2л 2п 1 пг (п +1)* Зя -j- 2
2407. , \ ,.. 2408. l'^!!'"'%" ~ ™ • 2409- (— 1)" + ,« 241°- п«~»п + \
п(п -f 1) Ь4*7 ... (Згг — 2)
2416. Расходится. 2417 Сходится. 2418. Расходится. 2419. Расходится
2420. Расходится. 2421. Расходится. 2422. Расходится. 2423. Расходится
2424. Расходится. 2425. Сходится. 2426. Сходится. 2427. Сходится. 2428.
Сходится. 2429. Сходится. 2430. Сходится. 2431. Сходится. 2432. Сходится
2433. Сходится. 2434. Расходится. 2435. Расходится. 2436. Сходится. 2437. Рас
ходите я. 2438. Сходится. 2439. Сходится. 2440. Сходится. 2441. Расходится
2442. Сходится. 2443. Сходится. 2444. Сходится. 2445. Сходится. 2446. Сходится
2447. Сходится. 2448. Сходится. 2449. Сходится. 2450. Расходится. 2451. Схо
дится. 2452. Расходится. 2453. Сходится. 2454. Расходится. 2455. Расходится
2456. Сходится. 2457. Расходится. 2458. Сходится. 2459. Расходится. 2460. Схо
дится. 2461. Расходится. 2462. Сходится. 2463. Расходится. 2464. Сходится
2465. Сходится. 2466. Сходится. 2467 Расходится. 2468. Расходится. Указа
н и е. п*х > 1. 2470. Сходится условно. 2471. Сходится условно. 2472.
Сходится абсолютно. 2473. Расходится. 2474. Сходится условно. 2475. Сходится
абсолютно. 2476 Сходится условно. 2477. Сходится абсолютно. 2478. Сходится
абсолютно. 2479. Расходится. 2480. Сходится абсолютно. 2481.Сходится условно.
2482. Сходится абсолютно. 2484. а) Расходшся; б) сходится абсолютно; в)
расходится; г) сходится условно. Указание. В примерах а) и г) рассмотреть
ряд 2 (а2А-1+а«л)' а в примерах б) и в) исследовать отдельно ряды
2 а2к-л " 2 а*** 2485# Расх°Дится. 2486. Сходится абсолютно. 2487. Схо-
дится абсолютно. 2488, Сходится условно, 2489. Расходится. 2490, Сходится
абсолютно. 2491. Сходится абсолютно. 2492. Сходится абсолютно. 2493. Да.
2494. He-i. 2495. JV 3" \ сходится. 2496. ^ _^__ ; сходится.
2497. Расходится. 2499. Сходится. 2500. Сходится. 2501. |#4| < ^ , IfliKsL ;
*.<0.Л.>0. 2502. J?.<^=y(,J+|)/|f. Указание. Остаток
ряда можно оценить с помощью суммы геометрической прогрессии, пре-
вышающей „тог оааток: R„ = a„ [|-j- + (^ ^^ ...] <
ответы 439
<в»[у-,-гЬ + (т),'(^Ь? + ---]- 25°3- Rn<(п+1)(п + 1)Г
Ru < ЗЮ-». 2504./7i-f<^<|. Решение. Лп=(_^? + (_^_,+...
"• > („ + !)(«+ 2) + (п+2)(п+3) + • • • = (^+1 - Z+2) +
Н^+2~йТз) + '"=НП;Лп<п(п4-1) + ('» + 1)(п + 2)+,--=7Г-
2605. Для данного ряда легко можно найти точное значение остатка:
*.=М"+Ш(тГ-
Решение. Яя = (л + 1) (-J-J +^п + ^{т) + в"
Умножим на (-j j :
Вычитая, получим:
^.=«(1)-+(|Г+(1у"+(1Г*-+...=
-(t)"+??-('+8)W"
16
Отсюда находим приведенное выше значение Rn. Полагая я = 0, находим
сумму ряда 5=(т|)2- 2506« 99; 999. 2507. 2; 3; 5. 2508. 5 = 1.
Указание. ая = - i— 2509. S = l при х > 0, S = —1 при х < 0; S^O
я л п + 1
при * = 0. 2510. При *>1 сходится абсолютно, при *<1 расходится.
2511. При х > 1 сходится абсолютно, при 0<*<1 сходится неабсолютно,
при х<;0 расходится. 2512. При *>е сходится абсолютно, при 1<л<е
сходится неабсолютно, при *<1 расходится. 2513. — со<*<оо.
2514. — оо < х < оо. 2515. Сходится абсолютно при #>0, расходится при
х^О. Решение. 1) |ал |<-^ , а при #>0 ряд с общим членом -^
сходится; 2) -^^1 при *«^0, a cosrix не стремится к нулю при п—> оо,
так как из cos л*—»>0 следовало бы, что cos2/ur—► — 1; таким образом,
при х^О нарушен необходимый признак сходимости. 2516. Сходится
абсолютно при 2kn < х < (2k + 1) я (k = 0t ± 1, ±2,...); в остальных
точках расходится. 2517. Расходится везде. 2518. Сходится абсолютно
при х ФО. 2519. х> 1, *<— 1. 2520. х > 3, х<1. S521. х^\, х<—1.
22. *^5~, *<4-|. 2523. д: > 1, л: < — 1. 2524. - 1< х < - -L ,
1 °°
-о-<*<1. Указание. При yi их значениях х сходится как ряд S\x*f так
*=1
440
ОТВЕТЫ
и ряд V* ——-. При |*|^1 и при |*| <— общий член ряда не стремится
k=i X
к нулю. 2525. — 1 <*<0, 0 < лг < 1. 2526. - 1 < х < 1. 2527. — 2<*<2.
2528. -1<лг<1. 2529. -L<* <~4^. 2530. — 1 <*<1. 2531. — 1<лг< 1.
У 2 /2
2532. — 1 < лг < 1. 2533. — со<лг<со. 2534. х = 0. 2535. — со<*<оо.
2536. — 4 < х < 4. 2537. - J- < * < -I. 2538. — 2 < лг < 2. 2539. - е <*<е.
2540. — 3<*<3. 2541. — 1 < лг < 1. 2542. - 1< х < 1. Р е ш е н и е.
Расходимость ряда при | х | ^s 1 очевидна (интересно, однако, отметить, что
расходимость ряда на концах интервала сходимости х— ± 1 обнаруживается не
только с помощью необходимого признака сходимости, но и с помощью
признака Даламбера). При | х | < 1 имеем:
lira
л-юо
(п +l)!*(w+1)l
п\ xnl
хп\п
/2-ЮО П-+СО П-KJZ
п + 1
= lira \(n + \)xmn\<,\im(n+\)\x\n = lim рр^ = 0
х
(последнее равенство легко получить с помощью правила Лопиталя).
2543. — Is^ats^I. Указание. С помощью признака Даламбера можно не
голько найти интервал сходимости, но и исследовать сходимость данного ряда
на концах интервала сходимости. 2544. — 1 «^*<; 1. У к аз а н и е. С помощью
признака Коши можно не только найти интервал сходимости, но и
исследовать сходимость данного ряда на концах интервала сходимости. 2545. 2 < х ^ 8
2546. — 2<*<8. 2547. — 2 < х < 4. 2548. 1<*<3. 2549. — 4<* < — 2
2550. х = —3. 2551. - 7 < х < — 3. 2552. 0<* < 4. 2553. -i.<JC<J3
2554. — е — 3<*<е — 3. 2555. — 2<*<0. 2556. 2 < х < 4. 2557. 1<л:<3
2558. — 3<*<— 1.2559. 1 —-!<*< 1 + —. Указание. При лг= 1-J--L
ряд расходится, так как lira - п = -== Ф 0. 2560. — 2 < х < 0.
л-юо е у е
2561. 1<л:<3. 2562. 1<лг<5. 2563. 2<лг<4. 2564. |г|< 1.2565. |г|< 1.
2566. |г —2*'|<3. 2567. \г\<УТ. 2568.2 = 0. 2f о9. | г |< со. 2570. | г |<— .
2576. — 1п(1 — лг) (-1<*<1). Лл in(i+JC) (-1<х<1).
2578. ±1п[±£(|*|<1). 2579. arct^je (| х | < 1). 2580. _1_(|*|<1).
258Ь ?ГТ^)'(|дс|<1)-2582-(Г^?(|дс|<1)- 258а F^?(|Jt,>1)-
2584. Y(arct8je-y,nfx^)(|jc|<1)' 2585, ^ТН* Указание. Рас-
1
Уз"
лт8 лг* 1
смотреть сумму ряда х—Q-+-E ... (см. задачу 2579) при * = -—
о о т/Я
2586. 3. 2587. а*г= 1 + V *"^ ° ( - оо < лг < со). 2588. sin ( л; + ~) =
Л = 1
1^2" Г. , ** *' . х* х* ,-Г^*п , 1
= -2-|.1+*-2Г-ЗТ + 1Г + 5Г--+<-1) К!+-\'
ОТВЕТЫ
441
V V V
25S9. cos (х -j-a) = cosa — х sin a — — cos a -f- "oj s*a a + тт cos a + ..,
x4 , 2V_
6!
,*И.Г. (л+1)я1 , ^ ^ ч ornA • 2 2л;2 23*
*'' + ^!Sm [a+ 2 I +'',(~"°° < X<CC)' smx=-2\ — "If
■'• +{~Х)П~ (2пу. + ---(-°°<*<°°)- 2591. In(2+*) = ln2 + |-
-^+^----+(-п"~1п^Г" + ---(-2<*<2)- Указание- при
исследовании остаточного члена воспользоваться теоремой об интегрирова-
со
2х 3 v^
нии степенного ряда. 2592. — = — > (п-{-3)хп (|*|<1).
(х 1) £-*
2593. ЗЛ'-5 ^Л ' 2
И —О
Л + з^Х'+з^К (И<1)' 2594- -_2Х = ^ +
+ Е (я-1)1 (-°°<^<^)-2595.e^ = l+X"^F<-TOO<^)-
П — 2 И ~ 1
2596- 2етгцг <—<*<»>• 2597-l + Z<- 1)n w •
»«..+-! £™=<-»<*<»>.
QO
2599. 2 ^ (- 1)» ( ^2»+ 1)1 (-»<*<»)•
w = o
2600. £(-1)"^- (-3<*<3). 2601. ± + i-.^ + iJ--b
+ 1^5*! + +Ь3-б... (2/1-1) x>" (_2<*<'2)
2602.
GO GO
x2n + l ж--* ( nra + 12"—1 / 1 1
'2Й""<» 2Ш- ГТ'+^-'т'
И = 0 ГС=1
GO
2604. ЛС+^(_1)»___(|Х|<1). 2605. 2^{-1у-—(\х\<1).
ГС = 2 Tlz^O
2606 хЛ- Х «'.ЬЗдс* 1-3-5...(2я-1) *2" + ' . /,-,<п
2606. * + - .т+_т+...+ 2.4.6_ii2n 2ЙП+ ••• (1*1<1).
2607 x-l.f-' + i^- I ( 1)" '-3-5. ..(2/1-1)*"» + '
GO
(|*|<1). 2608. ^(-1)"+'2 (2я* (-со <*<»).
И =
15 г. С. Бараненков и др.
w
442
ОТВЕТЫ
да
2609. 1+ £(_1)*-i5-=Jjc» (— оо<л:<оо).
П = 2
00 _
2610. 8 + 3 ^ 1+2" + 3" * хп (_00<^<оо). 2611. 2 + 2г|лГ-
2-х2 2-5*' 1у,-ж2-5-8...(Зя-4)*«
25-32-2!"t"23-33-3!"t" "• "t~1 и 2вл"1-Зя-л! "^'*'
00
(-оо<*<оо). 2612.1-^(^4-3^,)^ (-2<*<2).
П = 1
оо _ оо
2613- 1 + -I £!L±gp^(|*|<co). 2614. 2 iSi (1*КГ2).
П=-1 И=-0
00
2615. 1п2+ ]Г (— 1)""1(1+2"")— (—1<*<1).
GO
00
2617. * + X <~ ')" (гп^+Т) «I (' * ' <а>1 2Ш' E(-1)n+'S (1д:'<1)'
26.9. х + 245^+^^+... + 1^Д-1)^+... (|*1<1).
2620. , + | + 2^ + ... 2621. *-|+^--...
2622. ,(l _* + £-...). 2623. ,+f^ *£+...
2624. — ^+J5 + |)+..."). 2625. * + лг2+уГ5 + ... 2626. У к а з а-
н и е. Исходя из параметрических уравнений эллипса # = acos/, #=6 sin/,
вычислить длину эллипса и полученное выражение разложить в ряд по
степеням е. 2628. х3 — 2х2 - 5х - 2 = — 78+59 (х + 4) — 14 (* -f 4)2 +
+ (л: + 4)3 (—оо <*<оо). 2629. f(x + h) = 5x* — Ax2 — 3* + 2-f
4-(15л:2 - 8л: — 3)/z + (15* — 4)h*-\-5hs (_oo<jt<oo; — оо < h < оо).
оо оо
2630. ]Г (— \)п-Л* — l)" (Q < х ^2). 2631. ^ (—1)" (* — 1)" (0 < * < 2).
И = 1 /2 = 0
00
2632. ^ (п-И)(* + 1)" (-2<*<0).
/1 = 0
00
2633. 2 (2-л"1-3-"-1)(л: + 4)" (- б < л: < - 2).
/2=0
ОО
2634. Х(-1)"(*У+2',В (-2-/3<^<-24-^3).
ОТВЕТЫ
443
[' +
00
2635. e- fl 4- У ^±Х
(|*|<х). 2636. 2 +
х - 4 1 (х — 4)2
22 4 24 '
ЬЗ (х-АУ 1-3-5 (*-4)* , , 1-3-5...(2л-3) (*-4)в
~4-6 2е 4-6-8' 28 "t""-"t"1 и 4-6-8... 2/2 ' 22П ~*~'"
(0<*<8). 2637. 2j(-1)B (2/til)! (l*l<°°>- 2638. 1-J-
+ У!*-1*" U-V <и<«ч- ««»• -^ Ц^ (та)'
я = о
1 — л:
(0<*<оо). Указание. Сделать замену == t и разложит»
1п, по степеням.. 2640. ф + Ц^)'+ ^(J^-J +...
, 1-3-5 ...(2n-Z)f х \» ( 1 ^ \
2641. |Я|<й-<^. 2642. Цг,<^. 2в«4Ц. + 1^
1 -3 V 2 /
+ —г ■ _ ' ^ 0,523. Указание. Чтобы доказать, что ошибка не превы-
2-4 5
шает 0,001, нужно оценить остаток с помощью геометрической прогрессии, прс-
х2
вышающей этот остаток. 2644. Два члена, т. е. 1 ~- . 2645. Два члена,
7
т. е. х — ~ . 2646. Восемь членов, т. е. 1 + V \ . 2647. 99; 999. 2648. 1,
2649. \R |< 0,0003. 2650. 2,087. 2651. \х \< 0^69; | л: |< 0,39; | л: | <Г 0,22.
2652. | х |< 0,39'; | х |< 0,18. 2653. у— ^ J 3, ^0,4931. 2654. 0,7468.
2655. 0,608. 2656. 0,621. 2657. 0,2505. 2658. 0,026.'
92.
2659. 1+ 2(~1)П^2Ж"~ (-оо<л:<оо; _оо<*/<оо).
(2/1)!
2660. ^(-1)"(* J/)2"(2„(J + y)2" (-оо<*<*; -<о<*/<оо).
(2л)1
(2/г-~Т)Г
1— * + */.
^-^ (х2 4- и2)2"'1
2661. ]Г(-1)"-И (2l-l)l (-oo<^<oo; -оо<у<со).
2662. 1+2 ]£ (у -*)и; 1*-у|<1. Указание. рг-^з^ = — 1 +•
2 D .
Воспользоваться геометрической прогрессией.
1 1-(у-х)
15*
444
ОТВЕТЫ
2663. - ^Х" + УП (_1<*< 1; _1<г/<1). Указание. l-*-t/+
/2 = 1
^ х2П+1 I -.2/1 + 1
+ ху = (\-х)(\-у). 2664. £(-1)" 2^+1 (-К*<1;
л: -4— £/
— 1<г/^1). Указание, arctg _ у = arctg ^c -f- arctg у (при |*|<1,
1 ху
|(/|<1). 2665. f(x+h, y + k) = ax2 + 2bxy + cy2-{-2(ax + by)h-\-
_f_ 2 (bx + q/) ft + a/i2 + 26/г + ck\ 2666. / (1 -f h, 2 -f Л) - / (1, 2) = 9/г - 21Л+
+ 3/г2 + ЗЛй - 12fc2 + /i2 - 2/г3. 2667. 1 + £ ^ - 2) + (У+ 2)]я ^
2668. 1+у (-1)"-
х + (У
(2л)!
2 Л ..2669.1+*+*2-'2'*5-3^
2!
3!
лл™ « . . , I • , п„-< ^1+^* 2(Cj — с.) v^ sin (2л 4- 1)л-
2670. 1 +*+*</ +у* V + ••• 2б71- ^ ■ х ._7Г_._/_
-gi) v J
я L 2n + l
6-a
+ (а + &)Х(-1)п-,^;5(±а) = ^я.2673.|+4Х(-П"^:
fl = l rt=.l
CO
5(±я)=я8. 2674. —share ~ + ^ дГ. „a (fl CQS л* — л sin я*) ;
л sin nx
i_ ПЛ,Р 2 sm ал ^n 7 , v„ л sin лх
S(-t я) = chart. 2675. > — 1)" -= = ,еслиа
v ' я JL* a2 — пг
-не целое; sin ax, если
a — целое, S (± я) = О. 2676
Я=1
2 sin ал
я
[ * _l V/ n«gcosyi^l
[25 + Z/ l) а2-л2]
если а — не
целое; cos ax, если а — целое; S (± jt) = cos ая.
QO
2sh ая
2677.
2678.
2sh ая
я
QO OO
i V1 / i\nacos nx\ о / , ч i „л-п v^ sin nx
00 (X)
268, 2-l^lL*; ., J. 6) » ; B) « 2в8,а^НГ«
n^l ' /2 = 1
ОТВЕТЫ
445
я 4 v^ cos (2л — \)х я2 0_00 ч v^ , . , 2я
^ Я 4 V^ cos (*Я — I* Я плоп ч Х^ и • t ^я
б)т~^гЕ (2n-i/ : т-2Ш-а) 2>™' где^-1=2т=т-
/2=1 /2 = 1
00
/2 = 1
00 ,'Х
«. а, | £i,H-.)-^^;6,^+is"-";',-;-i'i°"'.
/2 = 1 П:-1
о° , ля со яд
2684. а) - 2j ~ sm п*; б) у + - ^ -£- cos пх.
гг = 1 п = 1
2685. а) 1 V (- l)"-'Sinj2n~!^ ; б) !L-1 У ров2(2я- 1)х
я ^v (2л — I)2 7 4 л +-*
(2л- I)2 ' ' 4 л ^ (2л- I)2 '
/2 = 1 /2 = 1
QO
2686. J^bnsinnx, где ftrt = (-!)*"'р. >«*+, = (-»)* „ (2Д_ 1)2 •
/2 = 1
СО СО
2687. 1 ysin(2n-)^ 8.y, nsin»«
u ^ (2л — I)3 я J—4K ' 4л2 — 1
И=1 /2 = 1
оо со
<w>™ 2/1/1 , vsio/i \ ЛпЛЛ 2/г Г 1 , v^ /sin л/г V 1
/2 = 1 /2=1
00 00
».,_«*+, 2(_i)"^.—.i[i+2(-i)-sSl.
/2 = 2 /2 = 1
ТС
ТС 2
2694. Решение. 1) а2п = — I / (л:) cos 2л* dx = — \ / (*) cos 2л* dx +■
о о
тс
2 Г я
Н \ / (*) cos 2л# <2#. Если сделать замену t = -~—х в первом интеграле
тс
2
и tf = *—jr- во втором интеграле, то, воспользовавшись
предположенным тождеством f l—-\- tj =— / ( —— tjt легко обнаружить, что ain — Q
(n=of 1,2,...);
тс
Tt 2 тс
2) Ьт = — i / (х) sin 2ля dx~ — I / (х) sin 2л* d* -| ^ / (*) sin 2лл; dx.
445 ответы
Та же замена, что и в случае 1), с учетом предположенного тождества
М"2~+0=М"2— / ПРИВ°ДИТ к равенствам fc2/J=0(/i = l, 2, ...).
2695.
2697. sh/
cos (2/i-f-1) nx
(2/г + 1)2
2696. 1
я ***
l+«S<-
1)
. /шл;
/ cos —-. я/г sin
я=1
пял;"
sin 2nnx
n
/а + лала
2698,
101П
• njj
sin-
яял:
(-1)"-
2699. a) -iX sin2(n-l)^
6)
cos
2л—1
(2л — 1) nx
I
(2/1—1)* '
6) 1. 2700. a) ~ V ( — l)« + i
n-i
sin-
n
nnx
T
n
2701. а) Ц *„sin^,
где 62V + l =
8 Г я2 4 1 4я.л. 4я2 JT1
= 1Г [2FFT-(2FTipJ ' ^=-Т' б) 1Г-1ЬЬ (-])
2702. а) _2J(-1)«-1^TTF-;
/где
cosy
2703.
п = о
00
9 \Г< 1
_ 1 4 V cos(2/i-f 1) л*
' У'я"2'"
(2/г+1)2
2я2^ /г2
cos -
2/гях
3 + 2я2
1 ^ cos 2/гях;
Я=1
п
2
Глава IX
2704. Да. 2705. Нет. 2706. Да. 2707. Да. 2708. Да. 2709. а) Да;
б) нет. 2710. Да. 2714. у—ху'=0. 2715. ху'—2у = 0.
2716. у — 2ху'=0. 2717. xdx + ydy = 0. 2718. у'=у. 2719. З*/2—*2 =
= 2хуу'. 2720. хуу'(ху* + \) = \. 2721. у=ху'\п-^- . 2722. 2*У + */'=0.
2723. у" — у'—2у = 0. 2724. ^ + 4^ = 0. 2725. «/"—2у' + у'=0. 2726. t/"=0.
2727. у'"=0. 2728. (1 -f-*/'2) г/"' — 3*/У2 = 0. 2729. г/2—*2 =25.
2730. */ = л:е2*. 2731. y = —cosx. 2732. t/ = -g-( — 5e~* + 9е* — 4е2*).
2738. 2,593 (точное значение у = е). 2739. 4,780 (точное значение
у — 3(е— 1)). 2740. 0,946 (точное значение #=1). 2741. 1,826 (точное
значение у= У"3). 2742. ctg2 t/ = tg2 д: + С. 2743. Су -•
// = 0. 2744. *2 + */2 = 1пСл:2. 2745. У^Т^ ■
г/2
VT+
у*
2746.
1 +
= С(1--е*)3; * = 0. 2747. */ = CsinA:. 2748. 2е2 =}^е (1 + е*). 2749
•i-y2=T~-2- 275а У = 1- 275L arctg (* + */) =* +С. 2752. 8х +
ОТВЕТЫ
447
+ 2y+l=2tg(4x + C). 2753. х + 2у + 3 In | 2x + 3y - 7 | = С. 2754. 5лг +
f 10*/ + C = 31n|10*-5*/ + 6|. 2755. q = j-^-— или #2 =: 2Сх + С2.
1 иг
2756. In о = - = In I cos Ф | + С или In Ы — jf-,= С. 2757. Прямая ^/=Сл:
2 cos2 ф ' ' ' 2*2
Q
к ли гипербола */ = —. Указание. Отрезок касательной равен
Г
у у*+(У-\ . 2758. у2-хг = С. 2759. у = Сеа . 2760. у2 = 2рх. 2761. #=
о
X
\ydx
з
= ал:2. Указание. По условию- = — х. Дифференцируя дважды по х,
получим дифференциальное уравнение. 2762. уг=~ х. 2763. у = Y4 — х2 -f-
2 _ т/'4 — х2
-f- 2 In . 2764. Пучок прямых y = kx. 2765. Семейство подобных
эллипсов 2л:2 -j- у2 = С2. 2766. Семейство гипербол х2 — у2 = С. 2767. Семей-
С С л:
ство окружностей х2 -f- (у — Ь)2 = Ь2. 2768. у = х\п—. 2769. у= — . '
х
2770. х = CeJ. 2771. (* - С)2 -У2=1
/Т X+fi1^ 1 -^а—
2772. 1/ — +1п|у1 = С. 2773. г/^^2—^;' i = 0. 2774. (л;2 + */2)8 (л: +
+ */)2=чС 2775. у = х~у 1 —-g-x. 2776. (* + t/_ I)3 = С (л: - */-f 3).
2777. Зх + £/ + 21п|л: +!/— 1 | = С. 2778. In | 4x + 8*/ + 5 | +8// - 4х = С.
2779. л:2 = 1 — 2/у. 2780. Параболоид вращения. Решение. В силу
симметрии искомое зеркало является поверхностью вращения. Начало координат
помещается в источнике света; ось ОХ — направление пучка лучей. Если
касательная в любой точке М (х, у) кривой сечения искомой поверхности
плоскостью XOY образует с осью ОХ угол ф, а отрезок, соединяющий начало
координат с точкой М (х, у),— угол а, то tg a = tg 2ф = -j ^-f- . Но tg а—^-~ ,
tgy — y't Искомое дифференциальное уравнение у — уу'2 = 2ху' и его
решение у2 = 2Сх -f- С2. Плоское сечение — парабола. Искомая поверхность —
параболоид вращения. 2781. (л: — у)2 — Су — О. 2782. л:2 = С (2у + С).
X
2783. (2у2 — х2)ъ -= Сх2. Указание. Использовать, что площадь равна \ у dx.
а
2784. 0=С* —*1п|*|. 2785. у = Сх + х*. 2786. У = \х* + %-
2787. *|Л -\-у2-\- cost/ == С. Указание. Уравнение линейно относительно
*и^. 2788. х = Су2-±. 2789. g^ + ^-ea.
448
ОТВЕТЫ
2790. y = ^-(xV\ -x2+arcsin;c) l/J-b?. 2791. y = — .
* 2 x r ' ' \ \—x u cos x
2792. y(x24-Cx) = \. 2793. y2 = x\n—. 2794. *2 =—Лп~2 •
*v ' ' x y-\- Cyz
2795. #5 (3-f Cecos *) — x. 2797. л# — Q/2 + a2. 2798. y2-\-x-\-ay = 0.
2799. * = yln —. 2800. —+ A—i. 2801. *2 + #2 - Cy + a2 = 0.
a x l у '
2802. ^ + **/ + </2 = C. 2803. ^ + *<,2-f *2 == C. 2804. j — ^-x2y2 +
^2х+У— = С. 2805. *2 + */2 —2arctg —= C. 2806. x2 — y2 = Cy\
о X
2807. ^■ + уеУ = 2. 2808. ln|*|- —= C 2809. 2L + ^L = c.
2 ' ' * у 2
2810. J-lnAr + Yl/2 — C. 2811. (* sin */+ t/cos */— sin*/)e* = C.
2812. (*2C2 + 1 — 2Cy) (x2 + C2 — 2Cy) = 0; особый интеграл х2 — у2 = 0.
2813. Общий интеграл (y-\-C)2 = x*; особого интеграла нет. 2814. Общий
интеграл (~— у-\-С)[х——-{-С]=0; особого интеграла нет.
2815. Общий интеграл^ у2 -j- С2 = 2Сх\ особый интеграл #8 — у2 = 0.
1 1^3 I * = sinp-f-lnp,
2816. y = Tcosx±^-smx. 2817. { y = /,3in/,+cosp+p + c.
2818. / * = " + ^ + C' 2819. I * = 2p-} + C
I y = p*eP. { y = p* + 2\np.
Особое решение # = 0.
2820. 4y = x2 + p\ \n\p—x\=C
p — x
2821. In у p* + J/8 + arctg ^- = C, x = \n ' -. Особое решение y~ex.
2822. у = С + *; У=±2х. 2824. { ^1+^\ + г.
2823. i ^^l^-arcsinp + C, ^ , %== 1 (Cp-f _р),
1 у = р + У 1 -р2. { 1
\ t/^-^cp^+p2).
Указание. Дифференциальное уравнение, из которого определяется х как
х2
функция от р, однородно. 2826. у = Сх-\-С2\ у — — --. 2827. у = Сх-{-С;
особого решения нет. 2828. у = Сх + У~1 +С2\ xz + y2 = \. 2829. у =
= Сх-\--^* У2 = 4х. 2830. ху = С. 2831. Окружность и семейство ее
касательных. 2832. Астроида x2fi -\-y2l* = a2l\ 2833. а) Однородное;
у = хи; б) линейное относительно х\ x = uv\ в) линейное относительно у;
yz=zuv; г) уравнение Бернулли; y=mv\ д) с разделяющимися
переменными; е) уравнение Клеро; привести к виду у = ху' ±Yy'z\
ж) уравнение Лагранжа; дифференцировать по х\ з) уравнение Бернулли;
y = uv; и) приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными
ответы 449
и = х-\-у\ к) уравнение Лагранжа; дифференцировать по х\ л) уравнэ-
ние Бернулли относительно х\ x = uv; м) уравнение в полных
дифференциалах; н) линейное; y — uv\ о) уравнение Бернулли; y = uv.
2834. a) sin ^ == — 1п|*|+С; б) х = у-еСУ + К 2835. х2 -f ух = Су\
1
'х2 + С —• "Г "2"
особое решение у = —е~{х+1\ 2839. у = Сх -{-У—аС\ особое решение
.£.. 2840. З^ + lnL^L1 - »"" 1
2836. у = . 2 , ^. 2837. д#( С—4 In2д: ) = 1. 2838. */ = C*-fClnC;
у = ~. 2840. Зу + ln /<fJ_ne = с- 2841. -Ir- e2X - ey-Mctgy--\n(\+y2)=C.
2842. # = л:2(1+Се*). 2843. х = у2 (С - е~У). 2844. у = Се ~sm х -f-sin x— 1.
2845. 1/ = ал: + С"^Г^72. 2846. у — -^ (х + In j * | + С).
2847. л: = Cesin * - 2а (1 -f sin #). 2848. ~ + Зх + у -f In [(л:—3)10| у - 1 |3]=С.
2849. 2arctg^ir=lnCA:. 2850. х*= 1 - — + Се" У. 2851. *' = Се? - у—2.
& 2* # '
. 1/ 4 + in | х | = С. 2853. 1/ = х arcsin (С*). 2854. у2=Се~2Х + ~ sin*-f.
4 1
+ —-cos*. 2855. ху = С(у— 1). 2856. л: = С^ —^- (sin £/-f-cos г/).
5 2
2857. ру = С(р-\). 2858. х* = Се*У - у' - ^ у2 - '^у -А .
2859. (л;*/+ С) (***/ +С) = 0. 2860. "^л:2 -f </2 - — = С. 2861. хеУ-у* = С.\
у
2852
2862. j лг = р-'^12+р2+^'п(р + ^1+Рг), 2863. » = «<>
■(■=: _
I (/ = 2р.*4-У1+Р2.
2864. 2ех — у* = Су1. 2865. In | (/ + 2| -f 2arctg~| = C.
1/* У
2866. */2 + Се~т + ~ — 2 = 0. 2867. х2-у = Се1Г. 2868. *-fiL = C*
2869.,= С-^ ^2870. <, = Csi„*-a. 2871. У = "''" ^~H^)+g .
2872. (у - С*) (*/2 — х2 + С) = 0. 2873. </ = С* + ^ , ^ ^ У j/2**-
2874. х* + х2£/ — */2x — y3 = C. 2875. р2 + 4*/2 = Q/8. 2876. г/ г= х — 1.
2877. у — х. 2878. # = 2. 2879. */ = 0. 2880. у — у (sin x + cos л:).
2881. */==-! (2*2+2*+ 1). 2882. у = е~х + 2х — 2. 2883. а) #=*;
б) у = Сх, где С — произвольно; точка (0; 0) —особая точка
дифференциального уравнения. 2884. a) yz = x, б) yz = 2px\ (0, 0) — особая точка.
2885. а) (а: — С)2 + */2 = С2; б) нет решения; в) х2 + */2—*; (0, 0) — особая
л:
точка. 2886. у = еУ. 2887. у = (у~2а± У х? 2888. */2 = 1-<Г*.
2889. г = Сеа<*. Указание. Перейти к полярным координатам.
450
ОТВЕТЫ
2890. Зу2 — 2х = 0. 2891. г = top. 2892. х2 + (у - bf = б2.
2893. £/2 -f-16л: = 0. 2894. Гиперболы у2 — х2 = С или окружности г* + у2 — С2.
2895. У = -к- (ех + е~*). Указание. Использовать, что площадь равна
г*2
f //djc, а длина дуги С У*1 + r/'2tfx. 2896. * = — + Сл/. 2897. */2=4С (С+а—х).
о о
2898. Указание. Пользоваться тем, что равнодействующая силы тяжести
и центробежной силы нормальна к поверхности. Принимая ось вращения за
ось OY и обозначая через со углевую скорость вращения, получаем для
плоского осевого сечения искомой поверхности дифференциальное уравнение
g-^z=v)2x. 2899. р=г е""0,000167/г. У к а з а н и е. Давление на каждом
уровне вертикального воздушного столба можно считать обусловленным только
давлением вышележащих слоев. Использовать закон Бойля — Мариотта, по
которому плотность пропорциональна давлению. Искомое дифференциальное
уравнение dp =—kpdh. 2900. s = — klw. Указание. Уравнение ds =
z=zkw-l-^dx. 2901. s=(p + Yw)kl- 2902- Т = а + (Т0 — а)е-**. 2903.
Через час. 2904. со = 100 ( -f" ) об/мин. 2905. За 100 лет распадется 4,2°/0
начального количества Q0. Указание. Уравнение -~~z=kQ\ Q=z
t
/ 1 \1600
~^°(ir) • 2906. f =5:35,2 се/с. Указание. Уравнение л (/г2 — 2/г) dli =
/IV 1
z= л Ijt) v dt. 2907. —— . Указание. Уравнение dQ = —kQdh\ Q =
h_
= Q0( —) . 2908. v-+y ^т-при /-> oo (k — коэффициент
пропорциональности). Указание. Уравнение m-r- = mg — kv2\ v=y 2_ th ( / 1/ — J .
dx /1 x \
2909. 18,1 кг. Указани е. Уравнение -т■ = k I — — —— J .
£ ~^t
2910. i= ■ 2 , , 2 2 \(R sin со/ — Leo cos со/) -f- Lae L ]. Указание.
Уравнение £i -f1 2^ = ^ sin со/. 2911. r,' = Jtln|x| + C^-f-C2. 2912. 1+C,ya =
— ('c. + ^V. 2913. y=ln|e" + C1|-jf + C1. 2914. y = C, + C2 In | x |.
2915. y = Cle€*x. 29\6. y~±VClx + C2. 2917. j/ = (1 + C2) In |x + Cx \ —
y-c2
2919. y = l(ln|*|)2-f
— Ctx + C2. 2918. (jc —C,) = flln sin
Ч-С^п^Ц-С,. 2920. x = ±ln\j^^ + Ctiy + C.2m.y = C1e^+±
2922. у==±уГ*уГЧ--лгя+С;агс8т^-1 +C2. 2923. #= (C^* + 1)*+ C2.
ОТВЕТЫ
451
— 4-
2924. у = (Схх - С\) ес> * + С2; # = — х2+ С (особое решение). 2925. у=С, хХ
Х(х—С,)+С2; У—\+с (особое решение). 2926. У=\^2 +С*х1п1х\ +C2*+Q-
2П7. yz=sin(C1-{- x) + C2x + Cs. 2928.*/=*3+Зл:. 2929. у=4- (*2+1). 2930. у =
= * + !. 2931. ^ = Сл:2. 2932. у = Сх \ j^ft** ; у=С. 2933. л: =Ct+ In* У~~С'
ll-Cfe*
2934. х=С1- —In
у+с
y+c2
2935. Jt = C^2 + «/ln</ + C2.
2933. 2r/2 — 4л:2 = 1 2937. y = *+l. 2938. y = * _} — 6-^~ In \x\
ИЛИ У^2(^+21) + £^1п|:у1> 2939' У = ТЛ 2940. у = уЛ
2
2941. y = 2ex. £942. * = — |- (y + 2)~. 2943. y = e*. 2944. #2 = -^~r +
+ Т^Г^- 2945- У = £Т£-*1—?• 2946- У = 2$7»- 2947- 0 = sec«*.
2948. y = sin* + l. 2949. г/ = ~ — -I . 2950. * = ---I «-Я 2951. Решения
2 (* + C? + l)8
нет. 2952. y = e*. 2953. y = 21nl*|— —. 2954. y = 1 (-
4 — x2
+ 3-^(^+1)* + сг- Особое решение у = С. 2955. у = Cl -g + (Ct — C})*+Ci.
Особое решение #_** ~j"~ 1)8 + C. 2956. у = т^ (Ct + *)* + C2x + C3.
2957. у = Ct + C2ect*; у = 1 — e*; # = — 1 + e x\ особое решение
4
"С — **
У = тА— . 2958. Окружности. 2959. (х — CJ2 — С2уг + 6С2 = 0. 2960. Ц-п-
ная линия у = a ch —^-* . Окружность (х — *0)2 + у2 = а2.
2961. Парабола (лс — *0)2 = 2аг/ — а2. Циклоида # — х0 = а (* — sin 0, # =*
= а (1 — cos /). 2962. еау + С* = sec (а* + CJ. 2963. Парабола. £964. у =
^^^е^^ + ^-е'^^ + С^илиг/^асЬ^^^ + С,, где Я - постоян-
ное горизонтальное натяжение, а — =а. Указание. Дифференциальной
d2t/ а -. / /d</\2 „ d2s
уравнение Л = тгУ 1 + ( / ) • 2965- Уравнение движения ^ =
£^2
= g (sin а — ji cos а). Закон движения s = ^r (sin а — \х cos а). 2966. s =
= ^-lnch(tf Л/ g — ). Указание. Уравнение движения m~A?F=:
452
ОТВЕТЫ
(as \
-г . 2967. Через 6,45 сек. Указание. Уравнение движения
300 d2x
-—"ль. — — Юу« 2968. а) нет; б) да; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) нет; з) да.
2969. а) уГ + у = 0; б) tf-2y'+y = 0; в) х2у" - 2ху' +2i/ = 0; г) у"' - Ъу" +
+ 4у' -20 = 0. 2Г70. у = Зх-~5х2-\-2х3. 2971. у= — (С, sin л: -f-C2 cosx).
Указание. Применить подстановку у = у,и. 2972. у = С2л: + С2 In л:. 2973. у =
х2 В
s= Л -f- £л:2 + *3- 2974. у = -^- ~{-Ах-\ . У к а з а н и е. Частные решения од-
нородного уравнения у1 = х,у2 = —. Методом вариации произвольных по-
X X3
стоянных находим: Ct = -^- -f- Л; С2 = «■ -f- В. 2975. ^/ = Л -(- В sin л: -f-
4- С cos л: 4-1" I sec * + tg x | + sin л: 1 n | cos х ( — х cos л\ 2976. г/ = С^2* 4" С2езх.
2977. у = Сге-**-\-Сге**. 2978. у = С,+С2ех. 2979. у = С\ cos x + С2 sin л\
2980. у — ех (Cl cos х + С2 sin х). 2981. г/ = е "2* (Сх cos 3* + С2 sin 3*). 2982. у =
==(С,4-адв"*. 2983. 0 = е«(С1е*уГГ4-С«е~*1'Г*)- 2984. Если Л > 0, у =
= С,е* К* +С2е ~ * К* ; если k < 0, у = Ct cos ]/*~^b+C2 sin/^b. 2985. #=ч
= е 2 (С,е 2 + С2е 2 ). 2986. у=е« (ClCos 1^-л: + С2 sin i-^-.
2987. y=4e*-f-e4Ar. 2988. у = е~х. 2989. i/==sin2x. 2990. */=1.
2991. j/ = ach — .2992. у = 0. 2993. */= С sin я*. 2994. а) хе2Х (Ах2 + Вх + С);
6) Л cos 2л: 4- В sin 2л:; в) A cos 2л: + В sin 2л: 4" Сх2е2Х\ г) ех (A cos x + В sin л:);
д) е* (Ах2 + Вх + С) + хе2Х (Dx + £); е) хе* [(Лл:2 + Вх 4- С) cos 2x 4
+ Ф*2 + Ex + F) sin 2*]. 2995. */ = (С, + С2х) е2Х + 4" (2*2'+ 4* + 3). 2996. у=*
о
= ет (с, cos i^- 4- С2 sin ^-^-) 4" *3 + Зх2. 2997. у = (Сг+ С2х) е~х +
4- -§- е2лг. 2998. у = Схех -\- С2е1Х + 2. 2999. у=Схех + С2е ~х + -1 хе*. 3000. у =
1 _ 2
= С, cos л: 4- Q sin х -\- — л: sin л:. 3001. уг=С^ех -\- С2е 2Х — (3 sin 2л: 4- cos 2л:).
3002. y = C1e2X + C2e~sx + x(^ — ^-\ е2Х. 3003. У = (СХ + С2х) ех +
+ ±-cosx + ?-ex-~e-x. 3004. Уг=Сх+С2е'х-\-\ х-\-^(2cos2x — sm2x).
Z 4 о z zU
8005. г/ = е* (С, cos 2л: + С2 sin 2л:) + j ex sin 2л:. 3006. у = cos 2л; 4*
1 Л
4- -Q- (sin х 4- sin 2л:). 3007. 1) х = Сх cos со/ 4" С2 sin о/ -j—2 __ 2 sin р/; 2) *~
= С, cos at 4- Q sin (ot — —t cos со/. 3008. */ = C,esx + C2e4* — xeix. 3009. у =
^Q+C/Hj-j-j. 3010. y = ex(C1 + C2x + x2). 3011. ^ = C,4-
+ C2ezx + ~xe2X^~x. 3012. y = C1e-I*4-C2e4JC— -i- ^4- -g- (3 cos 2л: 4- sin 2x).
ОТВЕТЫ
453
3013. y^=Cl+C2e'x-\-ex+jX2-5x. 3014. y = Cl + C2ex - Зхе* - x - x\
3015,
x + l
У=[сх+С^ + ^ xAe-* + -je*. 3016. у = (Cx cos Sx + C2 sin 3*) ex+
-f^(sin 3* -f 6 cos 3*) +~. 3017. y = (Cj + C^ + ^e^+^J.. SOlS.y — C^
+ C2^-l(cos^ + 3sinx)-J-i. 3019. ^ = 1^(4^ + 1)-^-
""T + T- 302°* 0 = C1**4-C2e~* —*sin* —cos*. 3021. f/ = C^~ZAr +
e2*
+ C2e2x — — (sin 2a: -f- 2 cos 2л:). 3022. У = СХ cos 2л: + C2 sin 2л: —
v 1
— j (3 sin 2л: 4- 2 cos 2x) -f- — . 3023. (/ = e* (Cx cos л: + C2 sin л: — 2л: cos л:).
3024. г/ = C^* + C2e " * + ~ (xz - ж) Л 3025. y = C1cos3x + Ct sin Зл: +
-f- -j x sin л: - i cos л: + ~ (3x - 1) e8\ 3026. у = C^8* + C2e'x +
4 1 (2 - 3*) + ^ (2x* - x) e'x. 3027. у = Cx + C2e2X - 2xe* - ^ x - -| x\
3028.
(/ = (Cx + Ctx + £} e*x. 3029. у = Схе~ix + С2г*
_ 1. (2x* + x) e~sx + ^ (2л-г 4- Зл:) e*. 3030. у = Cx cos x + C2 sin л: 4~
4- -r cos * 4 ~t s*n * o~ cos Зл: 4~ ™ sin За:. Указание. Произведение
4 4 о 61
косинусов преобразовать к сумме косинусов. 3031. у = Схе~х ~\-Сгех % 4"
4- хех sin x-\-ex cos х. 3032. у = Ct cos x -\- C2 sin х 4- cos л: In ctg f —■ 4- -т- ) .
3033. г/= Ct cos л: 4-^2 sin л: 4-sin л:-In tgy. 3034. у = (Ct 4"c**) e* 4-
4-xex ln| л: |. 3035. y = (Cl+C2x) e~x-\-xe'x\n\x\. 3036. r/ r^cos x 4-
4- C2 sin x 4- * sin л: 4- cos x In | cos x \ . 3037. у = Cx cos a: -4- C2 sin a: — x cos a: 4-
■4 sin a: In] sin jc I . 3038. а) у = C^* 4~ C2e~* -f (e* 4- e~*) arctg e*; б) г/ =
zsQe*^ 4-С^-*УГ4-е*\ 3040. Уравнение движения — (дрГ
-*<* + 2) № = «; т=2пуг±ж. mux^^^^VTt^
4
Указание. Если л: отсчитывать от положения покоя груза, то —х" = 4 —
— к (х0 4- х — у — /), где #0 — расстояние точки покоя груза от начальной
точки подвеса пружины, / — длина пружины в состоянии покоя; поэтому
4 d2x
к (х0 — /) — 4, следовательно, — -т-^- = — к (х — у), где к = 4, g = 981 см/сек2.
3042. /n^ = ft(&-Jc)-A(H4 a: = ccos(* у ~) - 3043. 6^.=gs;
* = ]/-1а(6 4-1/'35). 3044. а) г = -| (ewl +е~ы); б) г=-^(в^-е-"*).
454
ОТВЕТЫ
3048,
3050. у
3051
d2r
Указание. Дифференциальное уравнение движения -г-г = со2г.
3045. y = Cl + Cle* + Cf12*. 3046. у = С1 + С2е~х-\-С3ех.
3047. у = С,е~х + еТ ( С2 cos О- * + С3 sin ^ л: J .
\. у = С,+ С2х + Съех УГ + С^е-Х УТ. 3049. у = е* (С, + С2х + С8* ■).
I у=ех (С1 cos х -f- C2 sin х)-\-е~х (С, cos л: -)- С4 sin л:).
. (/ == (С, + Сгх) cos 2л: 4- (С, -f С4л:) sin 2л:.
3052. у = С1-\-С2е~х + ет (сз cos ^р *4-C4sin^-x J .
3053. y = (C1+C2^)e"*4-(C3 + C4Jc)e*.
3054. у = С1еах + С2е~ах -\- С3 cos ал- 4- С4 sin ax.
3055. у = (С, 4- Q*) еУГх + (С, 4- C4jc) е~УТх . 3056. У = С, 4- С2* +
4- С3 cos ал- + С4 sin ал-. 3057. у — С, + С2л: 4- (Сэ 4" С4*) е~*. 3058. // = (С, +
+ Сгх) cos л: 4- (С, 4" С**)sin *• 3059« У=е~*(С1+С1х + ...+ Cnxn~l).
3060. 0=^4-^*4-^,4-^* + ^**
3061. y = Cl + Cix+\2x* + 3x* + ±x*+±x* + (Cu + Cix)e*.
3062. y=C1ex + e~~*~ (c2cos ^ x + Cs sin ^- x ) — *3 — 5.
3063. г/ = С, + С,* 4- С,*2 + C4e - * + ^— (4 cos 4a: — sin Ax).
lOoo
3064. y = Cle-x + C2 + Csx + ^x*-±x> + ±x* + ex^x-^y
3065. y^=^Cxe~x -\-C2zosx-\rCzsmx-\-^c (4- — it) .
3066. # == Cx 4" C2 cos * 4- Cs sin a: 4 sec л: 4* ccs x In | cos л: \ — tg a:- sin л: 4" x sin a;.
3067. y==e-x + e~T fcos^x + ^sin^x) + x--2.
3068. ^ = (C!4-Cjlnjc) — . 3069. y = Clx3 + ^.
3070. г/ = Cx cos (2 In *) + C2 sin (2 In a;).
3071. y=C1x + Cix1 + Ctx\ 3072. y=zCl+Ct(3x + 2)-iU.
r
3073. у = C^2 4- -* . 3074. у = Q cos (In *) + C2 sin (In a:).
3075. у = Cxx* 4- C2*2 4- i- *. 3076. у = (л: 4- If 1С» 4" ^2 In (a: 4-1)] 4- (x + l)8.
3077. у = x (In a: 4- In2 x). 3078. г/ = Cx cos a: 4- C2 sin a:, z = C2 cos a: — Q sin л:.
3079. у = e~x (С, cos x + C3 sin x), z=-- e~* [(C2— 2CJ cos * — (Cx + 2C2) sin *].
3080. y=(Cl-C8-C1*)e-w, z = (Clx + C2)e~iX.
ответы 455
S0SU х = С^ + е 2 (Clcos—t + Casin'^-t
3082. x = Cle'i + C3^t, у = Сге~*+ Cze2t, г = —(С1+С3)е~г + С2е2К
3083. У = С,+ C2e2X -\(x2 + x)t z = C2e2X - Cx + -j (x2 - x - 1).
3084. y = Cl+Ctx + 2sinx, z = — 2C, — C2 (2x + 1) — 3 sinx — 2 cos x.
3085. у = (C2 - 2C, — 2C2x) е-лг — 6* + 14, z = (d + C2x) e"* + 5a: — 9;
C, = 9, C2 = 4,
r/= 14 (1 -*"*)-2* (3 + 4e-*), г = —9(1 - e~x)+x {5+4e~x).
3086. л: = l(te*' - Sest - et + 6/ - 1; у = — 20e2' + 8e3' -f 3e* + 12t -f 10.
3087-^(С^?'г = С^- 3088*. a) ^+^ = C„ j =C2;
У
6) In yx2 -\-y2 = arctg 1- C,, - = C2. в) Указание. Интегрируя од-
нородное уравнение — """Г- » находим первый интеграл In |Лк2 4-#2 —
= arctg — + С1в Далее, пользуясь свойствами производных пропорций, имеем
dz xdx ydy xdx + ydy ^ . 1 . . 2 , ,. . . n
— = -— - = ■ f , ;=—2~i—5—. Отсюда lnz = —ln(A:2-f-#2)-MnC2 и,
2 x(x — y) У(х + у) х2 + у2 д 2 v ^*'T 2
следовательно, = С2; в) х -\- у -\- z = 0, *2 -f- У2 + z2 = 6.
у х2 + у2
Указание. Применяя свойства производных пропорций, имеем:
dx dy dz dx -\-dy 4-dz . , . , .
= —— =• = ■—f—■ ; отсюда dx -\-dy-\-dz =0 и, следова-
y—zz—xx—y 0
тельно, х-{-у-{-г = С1. Аналогично
xdx _ ydy _ zdz _xdx + ydy + zdz_; xdx + ydy + zdz = 0
x(y — z) y(z — x) z(x-y) 0
и х2-\-у2 -{-z2 = C2- Таким образом, интегральные кривые—окружности
х-\-у -{-? = Clt х2 -f- у2 -f- z2 = С2. Из начальных условий х=\, у=19
г = — 2 будем иметь С,=0, С2 = 6.
3089. у = Схх2 + ^ - ^ (3 In2 х - 2 In *),
z=l- 2С.* + ^ + у (3 In2 * + In x - 1).
3090. у = C,e*K2 + C2e ~ * ^2 + C, cos * + C4 sin л: + ex — 2x,
z = -C1exYr-C2e~xlT-7^cosx-^smx-.lex + x.
4 4 2
A- &
3091. x =—£ (1-е m ), y = -p(kv0sina + mg) [1-е m i —
—-. Решение, m-r~ = — fct^; m -r- =i — kvy — mg при начальных
456
ОТВЕТЫ
условиях: х0 = у0 — 0, аХ() = i>0 cos a, Vy0 = v0sina при t = 0. Интегрируя по-
-Lt __*.,
лучим: t^ —u0cosae m , kvv-\-mg~(kv0sina-\-mg)e m .
ЛЛЛЛ ^ , VnYm . k , x2 . k2y2
3092. х = a cos —т=. t, у = ~-—sin-— f, — -| — = 1. Указание.
"j/m « у т а mv\
d?x d2u
Дифференциальные уравнения движения: m-r^ = — k2x\ m-r^- =— k2y.
3093. y = — 2-2л:-а:2. 3094. # = L0 -f i- V2 <*-D - i-jc + 1.
3095. , = 1 + 1,+ ^2 + ^3+з4^ + ^0^ + ...
3096. у = |д«-^ + _2_д:»-...
V V V*
3097. ^=г^+у^+97з + з77 + - • •; РЯД сходится при — 1 <лс< 1.
д.2 д.3 д.4
3098. У = х— 2 + 3 — (-3jj2^ ~'г —» Ряд СХ°ДИТСЯ ПРИ —°°< * < "Г"00-
Указание. Использовать метод неопределенных коэффициентов.
1 1-4 1-4-7
8099. у— 1 ф-*8 +-^-л:в ——х9 -f- •••! РЯД сходится при —оо< л: < -f- oo.
sin jt
3100. у = . Указание. Использовать метод неопределенных коэффи-
циентов. 3101. у=\ — ^+ 2^~22-42- б2 "^ "' ;Р*Д сходится при | * |<+оо.
Указание. Использовать метод неопределенных коэффициентов.
e,«.*=e(i-l<- + A<._^+|<._...;
СЯ/ JIAT
3103. a = Л cos -у- sin -у-. Указание. Использовать условия: и (0, 0 = 0,
. я, д« (л:, 0)_
:0.
н(/, /) = 0, а (л:, 0) = Л sin-у, —^-
о.л>. 2/ V { • (2Л+1)яа/ . (2£+1)ял: л/
3104« " = ^L (2HTiy2slriL-V 5Ш / Оказание. Ис-
& = 0
пользовать условия: м (0, 0 = 0» и (l> 0 — 0, и(х, 0) —0, —-ч-—= 1.
00
~,л- 8А vi 1 .ля nnat . плх лг г,
3105. и = —9 > -5-sin-— cos—;—sin —j- . Указание. Использовать
Л = 1
условия:
г 2hx „^ _. /
2™> = 0, и(0, 0 = 0, и(/, 0 = 0, и(*.0) = { , , .
[ 2/i( I —"у ) Д™ у<*<'.
ОТВЕТЫ
457
3106. и= V Ancos
(2n + \)cmt . (2п + \)лх
21
21
где коэффициенты Ап =
i
— 1Л 4 sin (2П ~tP ЛХ dx=J (~ If 2 • Указание. Использовать
условия: «(о, О-о, ^-9=о, «(*, о)=|, ^-°> = о.
00 „
400 v^ 1
100*
3107. w = —г > -i(l — cos «я) sin —— • e 100' . Указание. Использо-
л3 X-n3V ; 100
вать условия: "и (0, 0 = 0, г/(100, 0 = 0, м (*, 0) = 0,01а: (100 — х).
Глава X
3108. а)<Г; <0,0023°/с; б) < 1 мм; <0,26°/0; в) < 1 г; <0,0016°/0-
3109. а)<0,05; <0,021°/0; 6)^:0,0005; <1,45°/0; в) <0,005; <0,16°/0.
3110. а) 2 знака; 48-108 или 49-Ю3, так как число заключено между 47 877 и
48 845; б) 2 знака; 15; в) 1 знак; 6-Ю2. Практически результат следует
писать в виде (5,9±0,1)-102. 3111. а) 29,5; б) 1,6-102; в) 43,2. 3112. а) 84,2;
б) 18,5 или 18,47±0,01; в) результат вычитания не имеет верных знаков, так
как разность равна одной сотой при возможном значении абсолютной
погрешности в одну сотую. 3113*. 1,8±0,3 см2. Указание. Воспользоваться
формулой приращения площади квадрата. 3114. а) 30,0 ±0,2; б) 43,7 ±0,1;
в) 0,3±0,1. 3115. 19,9±0,1 м2. 3116. а) 1,1295±0,0002; б) 0,120±0,006;
в) частное может колебаться между 48 и 62. Следовательно, в записи
частного нельзя считать достоверным ни один десятичный знак. 3117. 0,480.
Последняя цифра может колебаться на 1. 3118. а) 0,1729; б) 277- 10s; в) 2.
3119. (2,05±0,01)-108 см2. 3120. а) 1,648; б) 4,025±0,001; в) 9,006±0,003.
3121. 4,0ЫО8 см2. Абсолютная погрешность 6,5 см2. Относительная
погрешность 0,16°/0. 3122. Катет равен 13,8 + 0,2 см; sin a — 0,44 ±0,01;
а = 26°15'±35'. 3123. 2,7±0,1. 3124. 0,27 ампер. 3125. Длину маятника
следует измерить с точностью до 0,3 см; числа л и q взять с тремя знаками
(по принципу равных влияний). 3126. Радиусы и образующую измерить с
относительной погрешностью 1/300. Число я взять с тремя знаками (по принципу
равных влияний). 3127. Величину / измерить с ючностью 0,2°/0, a s измерить
с точностью 0,7°/0 (по принципу равных влияний).
3128.
X
1
2
3
4
1 5
1 6
У
3
10
15
12
9
5
Ду
7
5
— 3
— 3
— 4
А2у
-2
— 8
0
— 1
А'у
-6
8
— 1
AV
14
— 9
Д^
-23 1
458 ОТВЕТЫ
3129.
X
1
3
5
7
9
11
У
—4
-16
4
104
332
736
л</
—12
20
100
228
404
Л2*/
32
80
128
176
ь*у
48
48
48
3130.
X
0
1 1
2 j
3 1
4
5
6
1 7
1 8
1 9
1 10
У
0
—4
—50
— 162
—340
—560
—774
—910
—872
—540
230
Л</ j А2*/
—4
—46
—42
—66
— 112 j —66
— 178
—220
—214
— 136
38
332
1 770
—42
6
78
174
294
438
А'у
—24
0
24
48
72
96
120
144
Л4</ 1
24 1
24 1
24
24 1
24
24
24
Указание. Вычислить первые пять значений у и, получив A4j/0 = 24,
повторить число 24 по всему столбцу четвертых разностей. После этого
остальная часть таблицы заполняется с помощью действия сложения
(двигаясь справа налево).
3131. а) 0,211; 0,389; 0,490; 0,660; б) 0,229; 0,399; 0,491; 0,664. 3132. 0,1822;
0,1993; 0,2165; 0,2334; 0,2503. 3133. 1 -\-х + х2 + х\ 3134. У = ^х* — U *8 +
ОТВЕТЫ
459
дг or
+ — л:2 — — л:+ 8; //^22 при л: = 5,5; у = 20 при л: ^ 5,2. Указание. При
вычислении л: для // = 20 принять //0=11. 3135. Интерполирующий
многочлен yz=x2— 10* + 1; //=1 при л; = 0. 3136. 158 кГ (приближенно)
3137. а) у (0,5)= -1, //(2)= И; б) //(0,5)= —Ц , //(2) = —3. 3138. —1,325,
lb *
3139. 1,01. 3140. -1,86; -0,25; 2,11.3141.2,09.3142.2,45; 0,019.3143. 0,31
4. 3144. 2,506. 3145. 0,02. 3146. 0,24. 3147. 1,27. 3148. -1,88; 0,35; 1,53
3149. 1,84. 3150. 1,31; -0,67. 3151. 7,13. 3152. 0,165. 3153. + 1,73 и 0
3154. 1,72. 3155. 1,38. 3156. л- = 0,83; // = 0,56; л: = — 0,83; у — — 0,55,
3157. *=1,67; //=1,22. 3158. 4,493. 3159. ±1,1997. 3160. По формуле тра
пеций 11,625; по формуле Симпсона 11,417.3161. —0,995; —1; 0,005; 0,5%
Д = 0,005. 3162. 0,3068; A = l,3-10~5. 3163. 0,69. 3164. 0,79. 3165. 0,84
3166. 0,28. 3167. 0,10. 3168. 1,61. 3169. 1,85. 3170. 0,09.3171.0,67.3172.0,75,
3173. 0,79, 3174. 4,93. 3175. 1,29. Указание. Воспользоваться параметри
ческими уравнениями эллипса # = cos г, //=0,6222 sin / и преобразовать формулу
71
2
длины дуги к виду \ У~\ — е2 ccs2 t-dtt где е — эксцентриситет эллипса.
о
3176. ftW = T, Й(*) = Т+Й' »»W = T + 63 + 2079 + 59535-
у2 д.3 Од.2 д.4 д.3 OyZ
3177. 0t (*) = _ —* + l, $,,(*) ==_.+-_ x + 1, y8(*)=--- —+ _
— * + l; z1(x) = 3x — 2, z2(x)=z?~ — 2x2 + 3x—2, z3 (x) = ^ — 2а:2+Зл:—2.
3178. *,(*)=*, &(*) = *--£. *•(*> = *--y+jfg- 3179- ^0) = 3,36.
3180. //(2) = 0,80. 3181. //(1) = 3,72; z(l) = 2,72. 3182. //=1,80. 3183. 3,15.
3184. 0,14. 3185. //(0,5) = 3,15; z (0,5)= - 3,15. 3186. #(0,5) = 0,55;
г (0,5)= —0,18. 3187. 1,16. 3188. 0,87. 3189. * (л) = 3,58; а:'(я) = 0,79.
3190. 429 + 1739 cos x — 1037 sin x — 6321 cos 2a: + 1263 sin 2л: — 1242 cos 3x —
— 33 sin 3 л:. 3191. 6,49 — 1,96 cos x + 2,14 sin x — 1,68 cos 2л: + 0,53 sin 2л: —
— 1,13 cos Зл:+ 0,04 sin Зл:. 3192. 0,960 + 0,851 cos л:+ 0,915 sin x + 0,542 cos2a:+
+ 0,620 sin 2a:+ 0,271 cos 3 a:+ 0,100 sin 3a:. 3193. a) 0,608 sin x + 0,076 sin 2л: +
+ 0,022sin3A:; 6) 0,338 + 0,414 cos x + 0,111 cos 2л: + 0,056 cos Зл:.
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Греческий алфавит
Аа — альфа
ВР — бэта
Гу — гамма
Дд —дельта
Ее — эпсилон
Z£ — дзета
Нт] — эта
60 —тэта
Ii — йота
Кх — каппа
Л А, — ламбда
М(л — мю
Nv
SS
Оо
Пл
Pq
2(Т
— ню
— кси
— омикрон
— пи
-ро
— сигма
Тт —тау
Yv — ипсилон
Фф —фи
Х% — хи
Ч'ф — пси
Qco — омега
II. Некоторые постоянные
Величина
я
2я
я
Т
я
т
1
я
я2
Ул~
у*
е
X
3,14159
6,28318
1,57080
0,78540
0,31831
9,86960
1,77245
1,46459
2,71828
lg*
0,49715
0,79818
0,19612 |
1,89509
1,50285
0,99430
0,24857
0,16572
0,43429
Величина
1
е
е2
VT
6/т
M = lge
М
1 радиан
arc Г
3
X
0,36788
7,38906
1,64872
1,39561
0,43429
2,30258
57° 1745"
| 0,01745
9,81
lg*
1,56571
0,86859
0,21715
0,14476
1,63778
0,36222
2,24188
0,99167
со
J5
•6-
К
О,
as
u
о
а,
о
X
ф
к
н
о
X
К
ВТ
К
t;
CQ
су
3
S
н
аз
ю
О
* х л
О СО СО rf Ю Ю О СО 00 CD
О Ю CN CM СО Ю О О Г^ —•
00500СОСО О t-» СО СО ч^
OO'—«CnICO Т т}< Ю Ю СО
—нС5юа>ю союсосо1^ co^cmojoc
CO^OOCNlH) СО Ю СО О -<Г 00-^ СО СО СО
CD ^ OO CO f— ~^ Ю CD CM CO CD CO CO CD CM
СОГ>-Г-0000 CD CD CD О О О -^ ^ ~ч CN
OOQ5COOO COO»—'COCO —н -^ CO CO CN xf CN N- N. "**
CM О ОО Ю ~ CO —< Ю 00 — rf CO N- 00 CD CD CD GO N- CO
Ю 00 О СО СО ОС *-• С. LO CO О СМ *ч« СО 0U О СМ "Ч< СО ОС
смсмсооосо со ^j« ^ ^ тг mmif.mio cococococo
OOOOO OOOOO OOOOO OOO-
О — CD СО CO
^Т1 N» —ч -rr
О О О —' —>
-н «-4 rf СО ОС
NOCOi^N
—" CM CN CM CM
О N t N W
— СМ СМ — О
О СМ гг СО 00
со со со со со
CD О ^ СМ ч*«
N- Ю —< N* C4
CD — СО тГ СО
СО Tji ТГ Т "?Г
Г- СП О — СО
чу ^Г Ю Ю Ю
—< СО СМ 00 ^
гг СО 00 СТ5 —
ю ю ю ю ю
—< 00 СМ ЮЮ
СМ СМ СО СО СО
О —« CM CO Tf
со со со со со
СМ 00—' СМ СМ
СО CN СМ -^ О
Ю СО Г» 00 CD
со со со со со
О СО О СО "^
о с- со ■*« см
CD О ~ч СМ СО
СО N- N- N. N.
О
о
СМ —« CN CO CM
rf CD СО СО 05
CD N а О -н
СО CD О CD CD
СО rf Ю СО N-
00 ^ N. N. •<*■
^Г ^f СО СМ ~ч
оо а> о —« см
о со со см о
О 00 СО тг -*
со со т ю со
i-OOOOO
CD СО тГ «— 00
со n. oocd cd
n. ^r an со со
^•hN^O
О — — CM CO
00 О СП 00 СО
СО СМ 00 Tf О
СО ^ тг Ю СО
со an ю о 'f
СО •— N- СО 00
СО t^ N. О0 00
N- О —« СО СО
со cd ^ an т
rf rf тч-, LO lo ЮЮШЮЮ ЮЮСОСОСО COCOCOCOCO COCOCOCOCO Ь-Г>- Г-l^ Г>- l^ Г-Г>-Г>-Г- Г>-Г>-Г-Ь. Г- N. N. 00 00 00
к
ac
Ш
о
«=:
s
Is
'—' CM CM CO -^
CO О «— — 00
CO CNN- CN CO
^ ю ю со со
^f 05 CM ^ Tf
—< ю о ^ oo
N- t- 00 00 00
rf CM О N- CN
CN CO О CO N-
C75 CD О О О
—ч —« —• CN CN
—- CM CM CN —•
N-O CO CO CD
см со со со со
о со со со о
C\l -^T Is- О СО
ТГ NT' Tf Ю Ю
Ю 00 О CO Ю
ю ю со со со
rf 00 CO CO О
oo О со ю oo
CON- I- N- N-
CNCNCNCNCM СМСМСМСМСМ СМСМСМСМСМ CMCNCOC0CO COCOCOCOCO COCOCOCOCO COCOCOCOCO COCOCOCOCO COCOCOCOCO
о см со ~ an
О СО CO 05 г-ч
о о о о —
ю о со со о
rf n. а> *-< со
— *-«—• CM CN
О — —< ОС)
со ос О см со
CN CN СО СО СО
N- Ю СМ 05 СО
Ю N- О) О СЧ
СО СО СО ^Г чЧ«
СМ 00 ^05 тг
tiONOOO
■^ ^ Tf тг Ю
00 СО N. О ^f
ю ю ю ю ю
Г-» -^ СО СО СП
00 О — СМ СО
ю со со со со
-^ со ю t^- оо
ю со г-- оо о
со со со со со
О —I CN rf Tf
~* СМ СО ТГ Ю
1^ Г— Г— Г— Г—
СМГ^-тчнсОс^ COOCOCOCD
tO-^CDOrf t-^-OCN^lO
— СО ^ СО Г- ОО О —ч CN СО
СМ СО О СО CD
t^- oo 05 an an
Tt-lOCONOO
о an со смю
О С) СП 05 00
О О —« СМ СО
Г>- 00 Г» Ю »-ч СО О СО ^f Ю
NCOiO'tCO '-^ОООСО'^
^Ю CONX 0500*-чСМ
Ю СО -ч Г- СО 00 СМ СО 00 О -^ —н *-ч О 00
СМОООЮСО О00ЮСМО t^■^^ЗЧ'-«00"^r,
СО^Г^ТЮСО NNQCCDO O-^C-^CMCO
СОСОСОСОСО СО rf ^ ^f ^f rf rf rf Tf rf ЮЮЮЮЮ Ю Ю Ю Ю i^ ЮСОСОСОСО COCOCOCOCO CO CO CO CO Г>- Г-^ t^- I— t— t—
О CD LO О CO Ю Ю rt« CN OO ^ C75 CO t^ C75 ^-^ CN CO CO CO
O^CTiTfoO CNCOOrff^ -н^ОО-< Tf OO —^ ^ h- О
О О О —ч *-* СМ СМ СО СО со "^ ^ ^ Ю Ю Ю СО СО СО Г>-
CM»—«Ol^rt* — Г>- rf CD Ю ОЮОМ'ОО -нЮ00«тГ COOOOC^rf
СОСООС-ч^Г Г>-CD CM гГ Г- О CM rf t^ ОП СМ^ГСОО—■ СО Ю 00 О CM
t^ г- t^. оо оо оо оо CD an an ooooo —««-«—. ^-. см см см см со со
СМСМСМСМСМ СМСМСМСМСМ CNCNCNCNCM
O^OONt* Ю CO CO CN CD О —
OCOCNCDrf NOi-^ССЮ ОСОЮГ^СМ СМООООЮО ООГ^-^О 00CDIONC4 О CM CD '—«00 СМ^чн
OfON^N COOCDOOOO OC^lCO — OO СОЮСОСЬсО ONNOCC OOCOCOOOCO OCDOiO~ -чСОООСОСО ONCDO)^
-h«^h(N(N OOTf^iOCO COCDOCMCO ЮГ-CD^Tf N С- СЧ Ю Oi CNCOO^CD rf 00 ^ CD~ Ю -<NCOON ЮСМО00Г-
^-н *-> *-н -^«(N(N CN CM CO CO CO ^ тг Ю Ю Ю СО СО Г-t^ 00 СОСПО-ч-н CM CO ^r rf Ю
OOOOO
О —ч ^f CD CO
О CN Tf CO CD
ooooo
см ю со см со
ooooo
О — ^ CD CO
ooooo
Ю CO CD rf .-4
СМ Г-- CN 00 "^
О ^ч Tf CD CO
о со смоою
Ю CO CD rf ^
CM CD CO rf CM
О —< ^ CD CO
О оо «О rt< со
ЮСОС7) ^ —н
CM *-чОО О
О ^-н Tf CD CO
О О О О—I
СМ СМ СМ СО СО тГ^^ЮШ СО СО t^-t^ 00 CD CD О О ~-< CM CM CO rf Ю СО СО 1^ 00 CD
О CD CO CD rf
О О СО СО -ч
Г— Ю 00 СО СО
СО СМ 00 Ю СМ
(£) t£) Ю lOtO
ОМП^-н
Ю чч- тг чф rf
О ЮО N. Ю
ОООЫОтг
Tf СО СО СО СО
СО СО СМ СО ""Ф
СО СМ —н О CD
со со coco см
со оо О со со
00 Г» Г>- СО Ю
СМ СМ СМ СМ СМ
O^OOCON
ю ^ со со см
CM CN CN CM CM
СМ Г» СО ОО ""Ф
W-ч-чОО
CN CM CM CM CM
О СО CM CD Ю
О CD CD 00 00
-ч О О О О ООООО ООООО ООООО ООООО ООООО ООООО ООООО ООООО
О —« CM CO ^ mCDNOOQ O^CNCOtJ* lOCON-OOCD О —< CM CO ^ lOCONOOO) О"чСМС0^ Ю'>0 Г-OOCD О-чСМСОчч*
^н —, ~* ^-н ^ ^,^н^-нг-,^ CNCMCMCMCN СМСМСМСМСМ ЮСОСОСОСО СОС0~СОС0С0 rf ^" ^" ^f ^ ^ ^ ^" rjT ^Г ю'юЮ^ю'ю" \
о
о
о
о
с_>
100,
CD CC СО СС CD
СО 00 -д СП СЛ
О О ОО О
оо о о о
— ГО ОО 4*. СП
СО СО СО СО СО
00 СП 45» СО О
СО СО СО СО СО
45» CO tO — О
О ОООО
о о о — —
СП 00 СО О —
00 00 00 00 00
оо an 4а» to —
00 00 00 00 00
CD 00 ^1 СП СЛ
оо оо о
tO 4* СП СП ОО
*»J ^1 -Jj ^I-J
CD ^1 СП СО tO
00 00 00 00 00
4*. СО tO —О
О ООО О
— tO tO tO Ю
СО О tO СО СП
-vj СП СП СП СП
О 00 ^1 СП ^
-vj -J -g -g -J
СО 00 -vj CT5 СП
ОООО О
to ю со со со
■**! 00 О Ю СО
сп сп сп сп сп
tO О CD -J СП
-J -J -J -g -v]
4* CO tO — О
ОО ООО
CO СО СО 4* 4*
СП -»J СО — СО
Сп СП СП Сп 4а»
4а» СО — О СО
<У> СП СП СП СП
СО 00 -д СП СП
о о о о о
4=» ►£»• 45». СП СП
СП ^ СО — 4^
4а» 45» 4^. 4*»- 4s»
--4 СП 4>» СО tO
СП СП СП СП СП
4s» CO tO — О
О О О О О
СЛ СП СП СП СП
СП СО — 4* -^
-is» СО СО СО ОО
О СО 00 --4 СП
СП СП СП Сп СП
СО 00 -д СП СП
О О О О О
СП *v] -g -^J 00
со to сп со to
со со со со со
4». СО Ю — О
СП ОО tO СП О 4>» 00 Ю -g Ю -g tO 00 »js» О СП tO 00 Сп Ю СО СП 4s» tO О 00 СП 4а» СО tO
СП СО 4^ >—'О — »Ь. СО СП СЛ СП CO 4s» — О »-> 4^. СО СП СП СП СО 4а» — О — 4а» СО СП СЛ
О СО СО «О 00 00 00 00 -О -g -q
О -0 4ь — 00 СЛ СО О "-«J СП tO
О О — СО 4а» -д О 4а» 00 СО СО
^СПСПСПСП СЛСЛСПСПСП 4а» 4а» 45» 4а» 4*. 4а» СО СО СО СО
О 00 СЛ СО — СО ^ СЛ СО — CO-vJCnCOND О 00 -g СП 4а»
СП — 00 СП 4а» tO — — — Ю СО 4=». СП СО — СП СО СО -д СО
COCO СО Ю tO
Ю — О ОС -J
00 4а» О -»д 4*
to to to to to
СП СП CO tO —
tO О ОО -J СП
О CD 00 -vj СП
СП СП СП СП СП
О СО ГО -J --4 4а» СП 4а» -g СП О ОСПСП»—— -g 00 4а» 4а» О ОСПСлОСО tOOtOCOO СЛ 4а» 00 СП СП — О СО О О 4а» — Ю СП 4а»
со со со со оо со сососососо tototototo tototototo tototototo tototototo to to to to to to to to to to to to to to to
_- _ »_ и-о О OOOOO
СП 4*. CO — CD 00 СП СЛ СО — О
Ю СП О 4а» 00 tO СПОСО-vJO
СОСОСОСОСО 00 00 00 00 00 00 -J --J -g -v] -g -g СП СП СП
00 СП СП СО — СО 00 СП 4* tO — СО-g СП СО N0 0 00 05 4».
СО СП О СО СП 00 — 4*. СП 00 — СО СЛ -4 СО О tO СО СП СП
СП СП СП СП СЛ
to о оо сп ел
-vl 00 00 СО О
СП СП 4:». 45» 4».
СО — СО ^1 4а»
О О О О СО
4а» 4а» СО СО СО
Ю О 00 СП 4а»
со оо -д сп ел
О СОСОСОСОСО СОСОСОСОСО СОСОСОСОСО СОСОСОСООО OOOOOOOOOO 00 00 00 00 00 0000000000 00 -g -g -v| "О
О СО 00 00 ^1 ^1
О СП СО 4а» СО 4*
О О СО СО 00 -д
СП СП СЛ СЛ 4:».
СО 4а» СО СО 00
Сп 4а» tO CO -g
45» СО СО tO tO
СО 00 СО -4 Ю
4а» — -g 45» О
— — ОО CO
СП к— СЛ О 4а»
СЛ О СП О 45»
оооо -g-g сп
оо со -о — сп
оо to ел ооо
СП СЛ 4* 4* СО
О 4* 00 tO СП
to 45» сл сп -д
СО tO — —О
О 4». 00 tO СП
-д сп сл 4>. to
о со оо оо -д
О СО -4 — 4>»
-g -g -д ^~-з
СП СП СП 4». 45»
- оо-
со сп
to tototototo tototototo tototototo tototototo
— — о о о
— О CD 00 00
О СО СЛ 00 О
О О О О О
-д сп сл 4* 4*
to сп -д
coco СЛ -д 00O
СО СО СО СО СО
СО 00 ^1 СП СЛ
to со слеп -д
СО СО СО СО О
4* 4» СО to —
COO — tO CO
CD 00 00 00 00
О со оо -д сп
45» СП СЛ СП СП
оооооооооо оо -д -д **д -д
ел 4а» со to — о со оо -д сп
-д **д --J --j -*g -^j-xgencnen
45» 4а» 4а» 4* 4» 45» 45» 4». 4». 45» 4s» 4* 4». 4». 4». 4a» 4a» 4a» 4a» 4a» 4s» 4». 4a» 4*. 45» 4a» 45» 4a» 4a» 4a» 4s» 4». 4a» 4a» 4* 4». CO CO CO CO СОСОСОСОСО
СП СП Сп СЛ СЛ
ю — со -д сп
ОС СП СО СО
СЛ СП СП 4а» 4а» 4а» 4а» 4а» 4а» СО
4а» СО — СО СО СП 45» СО — СО
-*4 — 45» 00 — СЛ 00 — 4s» ^J
сососососо tototototo — — — — — —oooo
ООСЛ45»ЮО СО-4СЛСО — CO--J СП 4>» tO О 00 СП 4а» СО
О tO 4*. —J СО — СО 4:» СП -д 00 СО О — — tO tO tO — —
О CD CD CD CD 00 00 00 00 00
O-^JCnCO- CD -^4 4a» CO О
О CD 00 СП СП СО — CD СП СО
О СОСОСОСОСО СОСОСОСОСО СОСОСОСОСО СОСОСОСОСО СО<ОСОСОСО СОСООООООО 0000000000 00 00 ОО 00 ОО ОООООООООО
О СО О 00 00 00
О СП СО СО СП СО
О -д СО СО СЛ О
-д ^4 ^1 СП СП СП СЛ СЛ СП 4а»
СО СП Ю СО СЛ •— 00 4* ►— ->д
СП — СП — СЛ СО СО СП О СО
45» СО СО СО tO
со со сп to оо
СП 00 О tO СО
to to — — о
4*. О СП Ю 00
45» СП СП СП СП
ОО CD CD 00
4» о сп to -g
СЛ 4». СО — СО
00 -д -д ^1 СП СП СЛ СП 4ь 4i» СО СО Ю tO ►—
СОСОСЛОСП — -д Ю 00 СО 004».СО4».СО
-vj 45» О -vj tO 00 СО -д — 4s» -^1 О — СО СО
о со со со со со
О СО СО 00 00 -vl
о ел — сп to -vj
о о to оо со -д
сососососо сососососо сососососо оооооооооо осоооооооо оооооооооо оо-д-0"*д^ -д-д-хд-хд-о
-дСЛСЛСЛСп 4*.4i»COCOtO tO ►— »-- О О CDCO0000-g СПСПСЛСЛ45» СО 00 tO ►— ►— OCOCDOO-^ -^1СЛСЛ45»4».
CO00O0CO45» х>^»со4»со 45»сосооосо -^itocnocn со со -vj — сл ootocncoto encotocnoo ососпооо
— СП 00 О tO 45» СЛ СП СЛ 4*. СО — 00 СЛ — Oi — СЛ 00 — Ю СО СО СО — СО СП — СЛ СО tO СО 45» СО Ю CD 4s» CO tO 45»
to tototototo tototototo tototototo tototototo tototototo
toco tO N0 tO N0 tO
о cooo -дел сл
tO N3 Ю tO — —
СП СП 4s» —' 00 CO
to to to to —
4*. CO — О СО
ООСОООЧ
-go to со to
00 -q СП СП 4».
СП 4a» CO — О
— оо со оо —
— — — oo
to — о со-^
00 СП 4a» •— CO
tO CO — CO 4a»
OOOOO
СП СЛ 45» tO —
Oi 4a» — 00 45»
CO — tO — CO
О СО СО СО CD
OOONOlJa.
«— -g 4a» О СП
СЛ CO — — CO
сососооооо ооооооооч ^-^j-<i-vi-g
W — ОССЧ СП 45» tO О CO -^1 СЛ 4а» Ю О
►— СЛ tO -д »— CiO4a»00— СЛ N О Ю 45»
Zj\ Ю ~- *- О0 СОСЛСЛСООО О СО СЛ Пп ^)
сл^сою»—о<£>оо^О)сп4^сою>—ocooo^a5<^4^coto»—©юоо^с>сл4^с^
о о© оооооооооооооооооооооооооо о о© о о о о о о о о о о о о,о о
^^^^^C^Q^a>O<^a>CnUlCnCnCnCn^4^4^^^^C0COG0W
СЛ^ООЭСпОООСО СП 00OW0500»— СО^ОО»—00О>00»—4*0> СО»— J^O^CO»-- ►^.OiCONO^-NJcDtOi^^JCOK'OJ^^JO
^сослоаэ»—^кэоосо<о^осл»—о»—^tocxwo^ocn^oto^cooococ^
? *
оооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо
^ос^ст>аэо^а>аэс75слслслслслспсл^^»^^»^^сосооэсос^
OCOOOOCn^NO»— OOO^Cn^^O^OOOO^WtOO^^Cn4^^0cD-^Cn4^N30c0^giC^bOOOOa5C^CO»--0
-~ з6^0ЮООООСл04кО)^ЧО)^00)04:>.0500СООЮ0005*.^СОСЛМС)000(£>СлО
'ЧОн- ►— 00 СО ^ 00 00 <!
org
3
*
За
V— h— к- ND СЛ
*ЬЭЬОЮЬОЮЬОЬОЬОСАЭСл500СО4^^^СЛСпа5>^00С£>к-4^С£>00^
ООО »— •— »—ЮЮСОСО^^СЛС^ОЭ-дООООСОО»— h0W*.05Nl(DON3^^OC04»- О) СО ►— ►— СЛ .**. СО О О) N3
owvj^-(^nDWvjw^iN30oo:oc^woooaai*>.*.aivjo^O"440oWh- со о -&> ^ »— — ^^-аэооо^уэ
О СП .fr. Cft ф» 00 СО СО О ^ »— СЪ СО СО СО
ооооооооооооооооооо оооооооооооооооооооооооооо»—
V] Vl "-J VjVj Vj -<j ^j Vj OOQoOOOOOOC»OOOoroOOOo"cOCO<0<OCOCOcDCOcD<OCOCOCDcOCOCOcDCDcDCOCD^^COcDO
-^ CO ►— CO^O-vJOOOOCD^COCOOO-sJO^NO — OO O) W О Ч W Ю СЛ-* O^i—' СЛ О *»• 00 >- ^^ЮЮ^ОЧООСОСОО
мо)^^^о^оо)ОюочоюоФ(оо(»Услслкэо)чсл»-озуюу^^050оч^сла1юа)0)^ооо
оооооооооооо о^- •— — — — •— — — — — — ^^^^Г-Г*Г"Г"Г-Г"Г"Г-Г-Г"Г"Г-Г-Г"Г"Г"Г*Г"
Vi Ьо оо оо оо оо оо со "со "со "со ююоооо о о^-« •—1— 1-н-ьоюююкэюа:азсоа->ооо:^*.^^л.слслслслсл
ОСОЬОСОСЛ-^СООКТ^СЛ--1СГ>»— КЭ4^(^ОО^ь-(УаС^ОООЮС^СЛ^СООЮ^05^Юма)^С^СОО*-СОСлЧ
CntOO^CntOO^JCntOC0^1^tOCO^>14^N3CO---)^»— СОС*>^»— СО Ф ^ »- СО СХ> СО >— ОоО^СО»— ООСГ>СО — 00СЛС0О
^СОСаЭООКЭ^»—C7>OCncO»£».OOCO--gN3-^»— С^ОСЛО^ООСОЧЮО)»- СЛОСЛСО^С0С0^юа}»—СлО4^С0С000
ь^ £ь |£ь
СЛ 05-4
^4^слсл(^слслслслслслспа)а>а)С^ст>а>а5а>ст>о^^^^^^
00 СО О »— N3C04b.Cn05~>J00COO»— КЭСО^Слаэ-^ООСОО»— N3C04^Cn0)^400C0O»—NSCO^OlOi^lOOcOO
3
*
►—ооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо
OCO<iDcpOOOOOO^^^^c^^aiO^CnCnGn'ji^4^4^^4^WW I CfQ
О СП СО О 05 СО О 00 СП N0 О ->1 ►£» ^О О -nJ СЛ СО О 00 CD ^*. N3 О 00 СГ> ^ N3 О 00 СП ►£» СО ■— (О-J СЛ ►£>. N3 О ОО СП СЛ СО »—О
ос^юоюсою —wc50^co^0 4^H-co^o^cn^^w^^^^a54cooN3^a5oooNo^4cow^so I «■<
О -v| СЛ 4* СО ►— 00<J3(J>U\tsD0\Jb&&^CA^O\^00b0O\<Z>&(O03<&^^tO03&O>4b02&U\<X>>~ZJi&4b.lDQj\<Z>
н
•в
я
п
о
EC
о
2
•в
я
»с
о
X.
s
s
«
я
a
00
1 °°
СЛ
GO
GO
►—
S
о
°
CO
О
to
cd
,5426
, .
05
СЛ
^
to
00
о
CO
CO
00
to
1
О
GO
СЛ
°
1 °°
1
О
CO
CO
05
СЛ
GO
4^
to
CO
со
CD
4^
*~*
О
о
GO
GO
rf*.
4^
,9654
4^
CO
CO
00
-vl
о
CO
CO
—4
00
1
О
to
СЛ
СЛ
СЛ
1
о
со
CD
CD
00
GO
GO
to
->4
^
N3
CD
о
о
со
05
CO
СО
,5379
СО
СЛ
"Nj
4^
СО
О
со
СО
-vl
GO
I
О
►_*
СЛ
--4
*-4
1
О
СО
00
--4
СЛ
СО
to
»о
4*.
Сл
СО
К)
СЛ
О
О
4^
О
00
ю
,2459
ю
То
со
CD
05
О
СО
СО
С75
—4
1
О
«го
СЛ
00
4^
1
О
со
СО
00
СО
со
^
iO
to
(^
со
^1
СО
О
О
4^
СЛ
О
,0764
to
СЛ
О
СО
СО
СЛ
СО
О
О
4^
С5
1
О
СО
со
СО
со
о
to
о
о
00
СЛ
Сл
о
о
4^
СО
0о
О
о
■Ч
СО
о
о
CD
ы
-<1
о
СО
СО
СЛ
о
о
к-
4^
•-1
1
О
СО
СО
О
о
to
СО
00
_^
-ч
4*.
*"*
О
о
СЛ
СЛ
О
СО
о
СЛ
СО
CD
со
4ь
С5
О
СО
СО
4-
О
О
to
СО
СО
to
1
о
СО
-ч
о
to
00
05
4*.
4^
4*.
05
о
о
CD
о
СО
00
^
СО
СО
00
К*)
ел
to
-*4
о
со
СО
to
05
о
CjO
СО
СЛ
о
1
о
со
4*
to
to
to
^1
4-
00
-*4
CO
■4
о
о
05
-vl
to
-4
4^
O
rn
00
^4
4^
^4
CO
СЛ
о
CO
CO
о
о
4^
to
--4
4*>
1
О
CO
О
4-
to
cd
CO
4*
C5
CO
-vj
о
о
^1
4^
CO
CD
CD
CO
4^
^4
05
-vl
CD
CO
О
О
CO
с»
СО
О
о
СЛ
СЛ
СЛ
1
о
00
СЛ
CD
СО
to
СЛ
to
_*
00
to
СЛ
о
о
00
to
CD
О
СЛ
о
to
CD
GO
to
CO
о
CO
00
CD
05
О
СЛ
СО
С»
СЛ
1
О
00
о
^
to
4*
^
О
to
СО
to
о
о
СО
о
--о
СЛ
4^
CD
05
to
СЛ
СЛ
СЛ
CD
СО
О
СО
оо
СО
-ч
о
CD
-v|
СЛ
СЛ
1
О
^1
со
-ч)
£ь
to
СО
СО
СО
-Ч
4^
to
О
о
о
со
4^
СО
СО
■Ч
о
СЛ
О
со
^4
to
О
СО
00
О
о
-vl
4*
СЛ
-4
1
О
CD
8
СО
to
to
СО
О
to
СЛ
О
о
о
ОО
4*
4^
СЛ
~s|
£ь
СЛ
CD
■^J
СО
О
СО
■ч
СЛ
-ч
о
00
о
ОО
СЛ
1
о
Сл
00
00
СЛ
to
и-
оо
р—
05
05
to
о
to
to
СЛ
4ь
О
to
со
4^
4^
4^
СО
О
СО
-v|
о
4^
О
00
CD
со
to
1
о
8
4*.
00
to
о
*Ч
СО
00
СО
м—
о
со
СЛ
СО
со
CD
to
о>
СО
СО
-ч
CD
to
to
о
СО
05
4*.
О
О
СО
О
СО
СО
1
О
4ь
CD
*-*
СО
CD
CD
00
СЛ
СО
О
4^
*
GO
to
CD
00
to
CO
4^
-4
-4
О
CO
СЛ
CD
to
о
CO
4^
CD
CO
1
О
CO
to
00
GO
00
CD
О
4-
CO
CD
О
CD
СЛ
CO
to
CO
4ь
to
to
CO
О
^J
СЛ
о
<p
4^
CD
00
О
со
-4
CO
00
1
о
to
to
-4
to
--4
СЛ
4*.
->l
CO
CO
о
00
to
-4
to
CD
4^
СЛ
CD
to
00
to
00
GO
О
CO
CO
СЛ
4*>
О
CO
CO
^
1
О
^-
to
00
00
CD
4*.
CO
СЛ
CO
<_>
О
to
О
CO
to
со
-*4
СЛ
О)
to
СЛ
^J
-v|
СЛ
о
СО
to
*Ч
О
СО
СО
со
05
1
О
о
to
СО
to
СЛ
£ь
4*
00
-s)
о
to
to
со
to
^~
to
СО
со
to
со
Сл
to
4*
О
8
Сл
О
СО
СО
^4
СЛ
О
О
-J
о
-ч
£ь
4*
О
СЛ
СЛ
to
о
to
4i»
CD
CD
CO
O
4*.
CO
to
Сл
о
CO
О
00
00
СП
4*
О
СО
00
СЛ
4*
О
►—
^1
О
о
СО
СО
CD
CD
СО
со
о
ю
-ч
to
СЛ
05
СО
00
4^
со
^i
о
СО
о
00
CD
--4
О
СО
CD
СО
05
О
to
CD
^4
СЛ
to
СО
СО
to
О
|~—
о
со
о
to
сл
о
со
Сл
00
о
^4
о
00
и0
со
-v|
о
СО
со
to
о
о
со
CD
to
4*.
*""*
CO
о
О
4^
to
О
со
G0
to
СО
со
СО
СЛ
(-П
CD
CD
00
СЛ
О
00
О
О
СЛ
о
00
со
to
о
4*.
СЛ
ио
CD
О
«о
•-4
00
СО
о
со
CD
^4
СО
_
-v|
Сл
to
СЛ
4^
со
О
--4
CD
CD
О
00
4^
СЛ
О
СЛ
6
со
О
со
to
4^
СЛ
СО
CD
О
4*.
О
CD
CD
О
to
05
СЛ
4^
СО
СО
О
-Ч
CD
со
О
^4
00
со
СО
о
CD
to
со
о
00
to
to
го
Сл
СЛ
о
4^
4^
СО
СО
О
ОО
00
00
~
СО
СО
^4
4^
О
CD
05
4^
О
О
^4
-Ч
4*
О
05
со
СГ5
^J
О
->4
to
О
СО
00
О
4*.
СО
С5
CD
О
--4
СЛ
с»
CD
К')
СП
СЛ
to
О
CD
с;
4^
4^
О
СО
4-
4*
to
О
*Ч
CD
4^
ОО
О
CD
ОО
to
ГО
н—
о
СЛ
4^
ОО
00
о
СП
со
an
--4
С»
СЛ
СЛ
о
СЛ
СО
--4
О
О
СЛ
£
CD
О
00
Ю
S
О
СЛ
CD
4^
00
-ч
О
CD
О
CD
СЛ
О
СЛ
to
1—4
to
--4
CD
О
4*
05
to
О
45».
--4
CD
4*
О
00
--4
-vl
CD
О
4^
4^
CO
OO
О
05
-v)
о
CO
О
4^
■О
00
О
OO
О
CO
-vl
CO
CO
О
GO
00
CO
4^
О
CO
to
1—4
О
GO
GO
4^
CO
CO
О
--4
4*
О
OO
О
CO
О
4^
СЛ
О
4^
С Л
СО
О
to
СО
со
О
to
СО
СЛ
СЛ
О
СО
СЛ
сл
СО
О
to
to
to
4^
О
00
<»
--4
О
to
о
СО
о
(О
о
о
к—
СО
--4
4*
О
_
СО
00
--4
О
СО
00
О
*-"
о
1—4
►_*
о
сл
ю
о
со
о
4^
00
о
__
О
о
to
о
о
СЛ
о
о
о
со
СО
-ч
о
о
СО
со
ОО
о
со
со
СЛ
о
о
о
о
о
о
о
, .
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
к-
о
о
о
о
* 1
%
то
*
сл
*
Li"
*
LT
*
сл.
3
*
сл
*
4^
ст>
4>
3
О
ж
н
CD
и
х
Z
CD
а>
ТВ
о\
о
и
S
Л
<р
о
S
о
93
о
н
*о
S
JS
CD
о
?:
S
CD
•е-
S
Pi
S
О
гч
ПРИЛОЖЕНИЯ
VI. Некоторые кривые (для справок)
465
\]
О
/
_ J
1. Парабола 2. Кубическая парабола 3. Равноосная гипербола
У = х\
У = х*.
У =
1
-/ (А
4. График дробной функции
хг
5. Локон Аньези
У=. } 2-
1 -\-Хг
6. Парабола (верхняя ветвь)
л
7. Кубическая парабола
у=ут.
466
ПРИЛОЖЕНИЯ
8а. Парабола Нейля
2 Г X — t\
или < ,,
1 y=t2.
86. Полукубическая
парабола
2 3 \ X = t\
^=C0S<2
/
-/
?
у=шх
XX X X XX X х
0
7N
jt{V
Убл
¥\
у
9. Синусоида и косинусоида
у = ъ\\\х и y=zcos х.
10. Тангенсоида и котангенсоида
ПРИЛОЖЕНИЯ
467
y=secx
y=cosecr
11. Графики функций
y = secx и # = ccsec ас.
l/_y=Arcsin.r
^y=arcsm«
/ Л
y=Arcsiru?
12. Графики обратных тригонометрических функций
yz= Arcsin * и у = Arccosx.
^=Arccosx
^arccosje
«Arccos,»
468
ПРИЛОЖЕНИЯ
13. Графики обратных тригонометрических функций
у—- Arctgx и y = Avcctgx.
?\
14. Графики показательных функций
у = ех и у — е~х.
ПРИЛОЖЕНИЯ
469
"к?
0
13
/
15. Логарифмическая кривая
у — [пх.
-3 -<
-I
= sh<2T
з к
-чг
17. Графики гиперболических функций
y = shx==z и
Сх I р ~ х
#=ch* = (цепная линия).
16. Кривая Гаусса
у — е-х\
/=cth«r
18. Графики гиперболических
функций
е* — е~х
y = ihxz==
= cth х
ех -\-е х
ех -\-е~х
470
ПРИЛОЖЕНИЯ
19. Эллипс
) *■
^ y=z b sin t.
xl + £ = l или I * = ecos/,
«2 ~ A2
20. Гипербола
_ _^
a2 6;
л: = а ch t,
y= bsht
1 или
(для правой ветви).
21. Паргбола
у2=:2рх.
22. Декартов лист
х* + У9 — %ахУ — 0 или
_ За/
X—\+t3'
За/2
ОМ=АВ
23. Циссоида Диоклеса
л:3
у2 = или
__ at2
У =
\+t2
at3
\+t2'
ПРИЛОЖЕНИЯ
471
25. Лемниската Бернулли
или г = a2 cos 2ф.
24. Строфоида
*,2 — *2 —L_ .
У
% \
£t_
1 1
/
/
a ^^N,
ff
28. Кардиоида
г = а(1 -j-cos<p).
27. Гипоциклоида (астроида)
л:— a cos3 /,
г/ = а sin3/
2 2
или л:г -\-уъ = а 3 .
^лт.у;
29. Эвольвента (развертка) окружности
( ^ = a(cos/+ ^ sin t),
\ # = a(sin/ — t cost).
472
ПРИЛОЖЕНИЯ
30. Спираль Архимеда 31. Гиперболическая спираль
32. Логарифмическая спираль 33. Трехлепестковая роза
r = e<*<?. r = a sin Зф (г ^ 0).
34. Четырехлепестковая роза
г— a\sin2ty\.