ЗАДАЧИ
И УПРАЖНЕНИЯ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
ДЛЯ ВТУЗОВ
под редакцией
Б. П. ДЕМИДОВИЧА
ИЗДАНИЕ ДЕСЯТОВ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 7 8

517.2
Б24
УДК 510@76.1)
КОЛЛЕКТИВ АВТОРОВ!
Г, С. БАРАНЕНКОВ, Б. П. ДЕМИДОВИЧ, В. А. ЕФИМЕНКО.
С. М. КОГАН, Г. Л. ЛУНЦ, Е. Ф. ПОРШНЕВА, Е. П. СЫЧЕВА,
С. В. ФРОЛОВ, Р. Я. ШОСТАК, А. Р. ЯНПОЛЬСКИЙ
053 @2)-78

ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию .......... . . ••¦••> 7
Предисловие к четвертому изданию . . . .......... 8
Предисловие к восьмому изданию ................... 8
Глава I. Введение в анализ ...................I. 9
§ 1. Понятие функции » 9
§ 2. Графики элементарных функций 14
^ределы , 20
J- Бесконечно малые и бесконечно большие . • 31
§ 5, Непрерывность функций 34
Глава II. Дифференцирование функций 40
§ 1. Непосредственное вычисление производных 40
§ 2. Табличное дифференцирование 44
§ 3. Производные функций, не являющихся явно заданными . . . . . 53
§ 4. Геометрические и механические приложения производной .... 57
§ 5. Производные высших порядков 63
§ 6. Дифференциалы первого и высших порядков 67
§ 7. Теоремы о среднем ....................... 71
§ 8. Формула Тейлора , » , * 73
§ 9. Правило Лопиталя — Бернулли раскрытия неопределенностей , . 74
Глава Ш. Экстремумы функции и геометрические приложения произ-
производной ........................ . . 79
§ 1. Экстремумы функции одного аргумента ............. 79
§ 2. Направление вогнутости. Точки перегиба ............ 87
§ 3. Асимптоты 89
§ 4. Построение графиков функций по> характерным точкам . . . . . 91
§ 5. Дифференциал дуги. Кривизна , 97
Глава IV. Неопределенный интеграл ................. 103
§ 1. Непосредственное интегрирование 103
§ 2. Метод подстановки 109
§ 3. Интегрирование по частям , . 112
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен . . . 114
§ 5. Интегрирование рациональных функций 117

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций 122
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций ......... 124
§ 8. Интегрирование гиперболических функций 129
§ 9. Применение тригонометрических и гиперболических подстановок
для нахождения интегралов вида \ R (х, |Л«:2+й;с+ с) dx, где
R — рациональная функция 130
§ 10. Интегрирование различных трансцендентных функций . . . . . 132
§ 11. Применение формул приведения .......... 132
§ 12. Интегрирование разных функций ............... 132
Глава V. Определенный интеграл 135
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы . . . . . 135
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 137
§ 3. Несобственные интегралы 140
§ 4. Замена переменной в определенном интеграле 143
§ 5. Интегрирование по частям 143
§ 6. Теорема о среднем значении 147
§ 7. Площади плоских фигур 149
§ 8. Длина дуги кривой 155
§ 9. Объемы тел 158
§ 10. Площадь поверхности вращения ........ 162
§ 11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена 164
§ 12. Приложения определенных интегралов к решению физических
задач 169
Глава VI. Функции нескольких переменных 176
§ 1. Основные понятия , . . 176
' § 2. Непрерывность 180
§ 3. Частные производные 181
§ 4. Полный дифференциал функции 183
§ 5. Дифференцирование сложных функций 186
§ 6. Производная в данном направлении и градиент функции .... 190
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков ....... 193
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов 199
§ 9. Дифференцирование неявных функций 202
§ 10. Замена переменных 208
§ 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 213
§ 12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных .... 216
§ 13. Экстремумы функции нескольких переменных 219
§ 14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций 223
§ 15. Особые точки плоских кривых 226
§ 16. Огибающая 228
§ 17. Длина дуги пространственной кривой . . . . 230
§ 18. Вектор-функции скалярного аргумента 231
§ 19. Естественный трехгранник пространственной кривой 234
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой ........ .238

ОГЛАВЛЕНИЕ О
Глава VII. Кратные и криволинейные интегралы .......... 241
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах 241
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле 247
§ 3. Площади фигур , , 250
§ 4. Объемы тел . . . •. 252
§ 5. Площади поверхностей 254
§ 6. Приложения двойных интегралов к механике ... * 255
§ 7. Тройные интегралы 257
§ 8. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобствен-
Несобственные кратные интегралы 263
§ 9. Криволинейные интегралы . . . 267
§ 10. Поверхностные интегралы ; * 277
§ 11. Формула Остроградского — Гаусса 280
§ 12. Элементы теории поля 281
Глава VIII. Ряды 286
§ 1. Числовые ряды . . . . . ". . . . 286
§ 2. Функциональные ряды 297
§ 3. Ряд Тейлора 304
§ 4. Ряды Фурье 310
Глава IX. Дифференциальные уравнения 315
§ 1. Проверка решений. Составление дифференциальных уравнений
семейств кривых. Начальные условия 315
§ 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка 317
§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными. Ортогональные траектории 319
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка 323
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение
Бернулли 325
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 328
§ 7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные от-
относительно производной 330
§ 8. Уравнения Лагранжа и Клеро 332
§ 9. Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка 334
§ 10. Дифференциальные уравнения высших порядков 338
§ 11. Линейные дифференциальные уравнения 342
§ 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоян-
постоянными коэффициентами 344
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффи-
коэффициентами порядка выше 2-го 349
§ 14. Уравнение Эйлера 350
§ 15. Системы дифференциальных уравнений 351
§ 16. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степен-
степенных рядов 353
§ 17. Задачи на метод Фурье 355

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава X. Приближенные вычисления . . . < 359
§ 1. Действия с приближенными числами ........ . 359
§ 2. Интерполирование функций . . . i i . » i . > • 364
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений . ........ 368
§ 4. Численное интегрирование функций .............. 374
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений 377
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье 385
Ответы . . . . • . i , . , . . t . i • • • i • • t » • • . • • • • • • 388
Приложения . i ...... i . . . i . . . . 467
I. Греческий алфавит ..,.., i . s -. > > * . . * . 467
II. Некоторые постоянные . s t . . . , , , , > , > . * , 467
III. Обратные величины, степени, корни, логарифмы >.>>,,,* 468
IV. Тригонометрические функции 470
V. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции 471
VI. Некоторые кривые ....... i . , , • • > . i •••••>> 472

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В сборнике подобраны задачи и примеры по математическому
анализу применительно к максимальной программе общего курса
высшей математики высших технических учебных заведений.
Сборник содержит свыше 3000 задач, систематически располо-
расположенных в главах (I—X), и охватывает все разделы втузовского
курса высшей математики (за исключением аналитической гео-
геометрии). Особое внимание обращено на важнейшие разделы
курса, требующие прочных навыков (нахождение пределов, тех-
техника дифференцирования, построение графиков функций, техника
интегрирования, приложения определенных интегралов, ряды,
решение дифференциальных уравнений).
Учитывая наличие в некоторых втузах дополнительных глав
курса математики, авторы включили задачи на теорию поля,
метод Фурье и приближенные вычисления. Приведенное коли-
количество задач, как показывает практика преподавания, не только
с избытком удовлетворяет потребности студентов по практиче-
практическому закреплению соответствующих разделов курса, но и дает
возможность преподавателю разнообразить выбор задач в пре-
пределах данного раздела и подбирать задачи для итоговых заданий
и контрольных работ.
В основном задачник предназначен для студентов-заочников
и студентов вечерних факультетов технических вузов машино-
машиностроительных специальностей, а также лиц, занимающихся
самообразованием. В начале каждой главы дается краткое тео-
теоретическое введение и приводятся основные определения и фор-
формулы, относящиеся к соответствующему разделу курса. Здесь
же показаны образцы решений особо важных типовых задач.
Это обстоятельство, по нашему мнению, в значительной мере
облегчит студенту-заочнику пользование задачником в самостоя-
самостоятельной работе. На все вычислительные задачи даны ответы;
в задачах, отмеченных звездочкой (*) или двумя звездочками (**),
в ответах приведены соответственно краткие указания к реше-
решениям или решения. Для наглядности часть задач иллюстриру-
иллюстрируется чертежами.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ
Сборник сложился в результате многолетнего преподавания
авторами высшей математики в технических учебных заведениях
г. Москвы. В нем, кроме оригинальных задач и примеров, по-
помещены многочисленные общеизвестные задачи, а также ряд
задач и примеров из существующих руководств. В частности,
был широко использован изданный на правах рукописи «Задач-
«Задачник по высшей математике» (Москва, изд. МВТУ, 1944 г.) —
коллективный труд преподавателей кафедры высшей математики
МВТУ, в числе которых, кроме некоторых авторов настоящего
сборника, были также ныне скончавшиеся И. П. Ветчинкин и
С. Ф. Шурлапов.
Хотя работа между авторами в основном была распределена
по главам, каждый автор, как член авторского коллектива,
несет полную ответственность за весь сборник в целом.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Четвертое издание сборника незначительно отличается от
предыдущих. Исправлены замеченные опечатки в тексте и от-
ответах. В некоторых местах несущественно изменены формули-
формулировки. Добавлено несколько новых задач, номера которых,
с целью сохранения старой нумерации, оформлены с помощью
дробной десятичной нумерации, например задачи, вставленные
непосредственно после№2016, имеют номера2016.1, 2016.2 и т. п.
О всех замечаниях и пожеланиях по поводу сборника авторы
просят сообщить по адресу: Москва, В-71, Ленинский про-
проспект, 15, Издательство «Наука», Главная редакция физико-
математической литературы.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание сборника отличается от предыдущего
лишь некоторыми исправлениями опечаток в тексте и ответах.
Москва, 1971 г. Авторы

ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Понятие функции
1°. Действительные числа. Числа рациональные и иррацио-
иррациональные носят название действительных, или вещественных, чисел. Под абсо-
абсолютной величиной действительного числа а понимается неотрицательное
число |а|, определяемое условиями: \а\--=а, если аз?О, и \а\ = — а, если
а < 0. Для любых вещественных чисел а и b справедливо неравенство
2°. Определение функции. Если каждому значению*) перемен-
переменной величины х, принадлежащему некоторой совокупности (множеству) Е,
соответствует одно и только одно конечное значение величины у, то у назы-
называется функцией (однозначной) от х, или зависимой переменной, определенной
на множестве Е; х называется аргументом, или независимой переменной.
То обстоятельство, что у есть функция от х, кратко выражают записью:
y = f{x) или y = F(x) и т. п.
Если каждому значению х, принадлежащему некоторому множеству Е,
соответствует одно или несколько значений переменной величины у, то у
называется многозначной функцией от х, определенной на множестве Е.
В дальнейшем иод словом «функция» мы будем понимать только однознач-
однозначные функции, если явно не оговорено противное.
3°. Область существования функции. Совокупность значе-
значений х, для которых данная функция определена, называется областью суще-
ствования, или областью определения этой функции.
В простейших случаях область существования функции представляет
собой: или отрезок (сегмент) [а, Ъ], т. е. множество вещественных чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а<х<6; или промежуток (интервал) (а, Ь),
т. е. множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам
а < х < Ъ. Но возможна и более сложная структура области существования
функции (см., например, задачу 21).
Пример 1. Определить область существования функции
У=Yx^=\'
Решение. Функция определена, если
*) В дальнейшем все рассматриваемые значения величин будут предпо-
предполагаться вещественными, если явно не оговорено противное.

10 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. 1
т. е. если | х | > 1. Таким образом, область существования функции представ-
представляет собой совокупность двух интервалов: —оо < х <— 1 и 1<л;<-(-оо.
4°. Обратные функции. Если уравнение y = f(x) может быть одно-
однозначно разрешено относительно переменного х, т. е. существует функция
x = g(y) такая, что у = p[g (у)], то функция x = g(y), или в стандартных
обозначениях y = g(x), называется обратной по отношению к y = f(x). Оче-
Очевидно, что g [/ (х)] = х, т. е. функции f (х) и g (x) являются взаимно об-
обратными.
В общем случае уравнение y = f{x) определяет многозначную обратную
функцию x = f~1(y) такую, что у = / (/-1 (у)) для всех у, являющихся значе-
значениями функции f(x).
Пример 2. Для функции
У=1-2-* A)
определить обратную.
Решение. Решив уравнение A) относительно х, будем иметь:
lg(l-y)*)
ig~2— ' ()
Область определения функции B), очевидно, следующая: —оо <у< 1.
5е. Сложные и неявные функции. Функция у от х, заданная
цепью равенств y = f(u), где и=<р(х) и т.п., называется сложной, или
функцией от функции.
Функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно зависимой
переменной, называется неявной. Например, уравнение х3-{-у3=\ опреде-
определяет у как неявную функцию от х.
6°. Графическое изображение функции. Множество точек
(х, у) плоскости X0Y, координаты которых связаны уравнением y=f(x),
называется графиком данной функции.
1**. Доказать, что если а и Ь—действительные числа, то
2. Доказать следующие равенства:
а) |аЬ| = |а|.|Ь|; в)
3. Решить неравенства:
а)|*-1|<3; в)|2х+1|<1;
4. Найти /(-1), /@), /A), /B), /C), /D), если
/(*) = *з_6*+Ц*-6.
5. Найти /@), /(-4), /(-*),
/ (х) =
6. Пусть /(x) = arccos(lgx). Найти /(^), /A), /A0).
7. Функция /(д;) —линейная. Найти эту функцию, если
/A) 2 /B) 3
(-1) = 2 и /B) = -
*) lgx=Jog10jr, как всегда, обозначает десятичный логарифм числа х.

§ 1] ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 11
8. Найти целую рациональную функцию f(x) второй степени,
если /@) = 1, /A) = 0 и /C) = 5.
9. Известно, что /D) = —2, /E) = 6. Найти приближенное
значение /D,3), считая функцию f(x) на участке
линейной (линейная интерполяция функции).
10. Функцию
( 0, если
если х > О,
записать при помощи одной формулы, пользуясь знаком абсо-
абсолютной величины.
Определить области существования функций:
21. у = ]
22. Пусть f{x)=2x*—Зх3 —5х2 + 6;е—10. Найти
1 li- — х)\ и
23. Функция f(x), определенная в симметричной области
— 1<х<1, называется четной, если /(—x) = f(x),u нечетной,
если /(—х) = — f{x).
Выяснить, какие из данных функций являются четными и
какие нечетными:
а)
д)
24*. Доказать, что всякую функцию f(x), определенную
в интервале —/ < х < I, можно представить в виде суммы чет-
четной и нечетной функций. '

12
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
25. Доказать, что произведение двух четных функций или
двух нечетных функций есть функция четная, а произведение
четной функции на нечетную есть функция нечетная.
26. Функция f(x) называется периодической, если существует
положительное число Т (период функции) такое, что f(x + Т) =а
= f(x) для всех значений х, принадлежащих области сущест-
существования функции f(x).
Определить, какие из перечисленных ниже функций являются
периодическими, и для периодических функций найти наимень-
наименьший период их Г:
а) /(*) = 10sin3*; ' г) / (х) = sin4 x; _
б) / (х) = a sin Хх + Ъ cos Хх; д) / (*) = sin (/л).
в) f(x) = ]/lgx;
27. Выразить длину отрезка у == MN и площадь S фигуры AMN
как функции от х = AM (рис. 1). Построить графики этих функций.
28. Линейная плотность (т. е. масса единицы длины) стержня
АВ = 1 (рис. 2) на участках AC = ll,CD = li a DB l A 1 +
II
A
¦*x+
/
У
M
¦*- с -*¦
•* a ¦¦—»-
t
Л1
1
0
¦i
V
+*з = 0 равна соответственно qit
q2 и qa. Выразить массу m пере-
переменного отрезка АМ = х этого
стержня как функцию от х. Пост-
Построить график этой функции.
Рис. 1.
Рис. 2,
29. Найти ф[г|з(д;)] и
30. Найти /{/[/(*)]}, если
если
= х* и
31. Найти f(x+l), если f(x—l) = x\ - ;
: 32. Пусть f(n) есть сумма п членов арифметической про-
прогрессии. Показать, что
¦/(я + 3) —3/(п
33. Показать, что если
и числа xit x2, х3 образуют арифметическую прогрессию, то
числа fix,)), f(x2) и f(x3) также образуют арифметическую про-
прогрессию.

S 1] ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 13
34. Доказать, что если f(x) есть показательная функция,
т.е. /(х) = а* (а > 0), и числа хг, х2, х3 образуют арифметиче-
арифметическую прогрессию, то числа /(хх), f(x2) и f (x3) образуют геомет-
геометрическую прогрессию.
35. Пусть
Показать, что
36. Пусть <р (х) = -^{aXJra~x) и ty (х) = у (а*—а~х). Пока-
Показать, что
*) У (У)
37. Найти /(-1), /@), /A), если
arcsin х при —l^x^O,
arctgx при 0<х< + °°-
38. Определить корни (нули), области положительности и об-
области отрицательности функции у, если:
а)у = 1+х; г) у = х3 — Зх;
б) у = 2 + х—х\ д) y = lgrr-.
в) у = 1 —х-\-хг\
39. Для функции у найти обратную, если:
а) у = 2х + 3; г) y = \g~;
б) (/ = хг— 1; д) y = a
в) у = ^/1 -х8;
В каких областях будут определены эти обратные функции?
40. Для функции
х, если
у==\ х\ если л;>0,
найти обратную.
41. Данные функции записать в виде цепи равенств, каждое
звено которой содержит простейшую элементарную функцию

14 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
(степенную, показательную, тригонометрическую и т. п.):
а) у = Bjc—5I»; B)*/ = lgtg|;
б) у = 2™*; г) r/ = arcsinC-**).
42. Сложные функции, заданные цепью равенств, записать
в виде одного равенства:
а) у = иг, u = sinx;
б) y=arctg«, u = ]fv, v = \gx;
\ 2и, если
в) У = \
О, если и > 0;
43. Записать в явном виде функции у, заданные уравнениями:
а) х2 — arccosi/ = n;
б) 10*+10*= 10;
в) х-\-\у\ = 2у.
Найти области определения данных неявных функций.
§ 2. Графики элементарных функций
Построение графиков функций y = f(x) в основном производится путем
наметки достаточно густой сети точек Mj (x/, (/,), где yt = f (x,) («" = 0, 1,2, ...),
и соединения последних некоторой линией, характер которой учитывает по-
положение промежуточных точек. Для вычислений рекомендуется пользоваться
логарифмической линейкой.
Построение графиков облегчает знакомство с графиками основных эле-
элементарных функций (см. приложение VI). Исходя из графика
</ = /(*). , (Г)
с помощью простых геометрических построений получаем графики функций:
1) ух = — / (х)—зеркальное отображение графика Г относительно оси ОХ;
2) (/2 = /(—х)—зеркальное отображение графика Г относительно оси OY;
3) Уз = ?(х—а) — график Г, смещенный вдоль оси ОХ на величину а;
4) yi = b-\-f (х)— график Г, смещенный вдоль оси OY на величину Ъ (рис. 3).
Пример. Построить график функции
Решение. Искомая линия есть синусоида у — sin x, сдвинутая вдоль
оси ОХ вправо на величину — (рис. 4).
Построить графики линейных функций (прямые линии):
44. y = kx, если fe = 0, 1, 2, у, —1, —2.
45. у = х + Ь, если 6 = 0, 1, 2, —1, —2.
46. t/=

21
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
15
Построить графики целых рациональных функций 2-й сте-
степени (параболы):
47. у = ах%, если а = 1, 2, -j, —1, —2, 0.
48. у = х* + с, если с = 0, 1, 2, —1.
49. у = (х—х0J, если xo = O, 1, 2, —1.
50. у = Уо + (х— IJ, если уо = О, 1, 2, —1.
51*. у = ах* + Ьх + с, если: 1) а=1, Ь = —2, с = 3;2) а = —2,
6 = 6, с = 0.
52. у = 2 + х—х2. Найти точки пересечения этой параболы
с осью ОХ.
У
Рис. 3.
Рис. 4.
Построить графики целых рациональных функций степени
выше второй:
53*. у = х3 (кубическая парабола).
54. у = 2 + (х— IK.
55. «/ = х3—

/ 6 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 1ГЛ. 1
56. у = х*.
57. у = 2х* — х*.
Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы):
58*.* = !.
59. У=т^.
60. ,-?§
61*. y = yt + -J!L-t если хв = 1, уо =—1, т = б.
62* ц- -2*~3
Построить графики дробных рациональных функций:
63. „ = *+±-
65*. у = ^. 66.4/ = ^
67*. у =^1.) (локон Аньези).
2х
68. г/ = а (серпентин Ньютона).
69, (/ = дг + -1.
70, у = хг + — (трезубец Ньютона).
Построить графики иррациональных функций:
71*. y = j/-c. 72*. у=3/х.
73*. ^ = ^/Jc5 (парабола Нейля).
74. г/ = ± х Vх (полукубическая парабола).
О
75*. у = ±~У25—х^ (эллипс).
О
76. у = ±|/л2— 1 (гипербола).
77. ^ ^_L_.
78*. у = ± х у j^— (циссоида Диоклеса).
79. г/ =
Построить графики тригонометрических функций:
80*. // = sinjr. 81*. ^ = cosa;.
82*. i/=tgx. 83*. y = ctgx.
84*. t/ = sec x. 85*. г/ = cosec x.

§2]
86. tj
87*. у
88. у
89*. у
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
i = As\nx, если Л = 1, 10
' = sinnjc, если л=1, 2, с
' = sin (л:—ф), если ф = О,
= 5sin Bjc — 3).
1
' 2
, 1
'• Т
я
Т1
функций
, -2.
•
17
80*. у = asin x-\-bcosx, если a = 6, b =—8.
91. y = s'mx + cosx. 92*. f/ = cos2jt.
93*. у = x + sin x. 94*. t/ = x sin x.
95. y = tg*x. 96. i/=l— 2 cos*.
97. y = s\nx—g-sin3x. 98. у — cos x + у cos 2x.
99*. i/ = cos -5-. 100. t/ = ±|/sinx.
Построить графики показательных и логарифмических функ-
функций:
101*. у = ах, если а = 2, \, е(е = 2,718 .. .)*).
1
102*. y = \ogax, если a = 10, 2, 1, в.
103*. t/ = shA:, где shx = y (e*—e~*).
104*. y = chx, где ch дг = -5-(е* + е~;|[).
105*. y = thjc, где thJC = -^j.
106. г/=10т.
107*. у = е~х (кривая вероятностей).
108. у =2"^. 109. y = lgx4.
ПО. у = lg« jc. 111. y = lg(lgx).
. у = ^-х. ИЗ. y=lgl.
114. y = lg(-x). 115. y = !oga(l+Jc)-
116. y = lg(cosjc). 117. i/= 2-* sin x.
Построить графики обратных тригонометрических функций:
118*. y = arcs\nx. IIS*. y = arccos;t.
120*. y = arctgx. 121*. y = arcctgx.
122. y = arcsin—. 123. t/ = arccos—.
*) О числе е подробнее см. стр. 21.

18 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 1ГЛ. I
124. у = х + arcctg х. ,
Построить графики функций:
125. у = \х\.
126. у=±(х + \х\).
127. а) у = х\х\; б) y = log^-2 \x\.
128. а) ^ = sinд: + ]sinjc]; б) y = s'mx—|sin#|.
C —х2 при |x|<l;
129. у = \ 2 .1^1
{и
130. а) у = [х],.б) у = х—[х], где [а;]—целая часть числа х,
т. е. наибольшее целое число, меньшее или равное х.
Построить графики функций в полярной системе координат
(г, Ф) (г>0):
131. г = 1 (окружность).
132*. r = -j (спираль Архимеда).
133*. г = еф (логарифмическая спираль).
134*. г = — (гиперболическая спираль).
135. r = 2coscp (окружность).
136. г = -т-— (прямая линия).
sin ср
137. r = sec2-|- (парабола).
138*. г =10 sin Зф (трехлепестковая роза).
139*. г = аA+созф) (а>0) (кардиоида).
140*. га = аасоз2ф (а > 0) (лемниската).
Построить графики функций, заданных параметрическим
способом:
141*. х = Р, y = t* (полукубическая парабола).
142*. x=10cos/, y = smt (эллипс).
ИЗ*, х =10cos3/, у =10sin3/ (астроида).
144*. л; = a(cos/ + / sin/), у = a (sin/—/cos/) (развертка круга).
145*. х = у-^7з, у = 7Т7Г (декартов лист).
146< *= ,/гА-д . У = -Т7=г=Г (полуокружность).
147. * = 2' + 2-*, г/ = 2*—2~* (вшвб гиперболы).
148. a; = 2cos2/, г/ = 2sin2/ (отрезок прямой линии).
149. * = / — /2. y = t*—ta.

2]
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
19
150*. х = аBcost—cos2t), y==aBsmt— sin2t) (кардиоида).
Построить графики функций, заданных неявно:
151*. х* + у* = 25 (окружность).
152. ху=\2 (гипербола).
153*. у2 = 2х (парабола).
154. _ + -|j-=l (эллипс).
155. t/2 =
156*. х~+уТ=а~ (астроида).
157*. x + y=\0\gy.
158. je2 = cosy.
159*. j/*2 + y2=e rcg ¦* (логарифмическая спираль).
160*. х3-\-у3 — Зху = 0 (декартов лист).
161. Составить формулу перехода от шкалы Цельсия (Q
к шкале Фаренгейта (F), если известно, что 0°С соответствует
32е F и 100° С соответствуют 212° F.
Построить график полученной функции.
162. В треугольник, основание которого b = 10 и высота h = 6,
вписан прямоугольник (рис. 5). Выразить площадь этого пря-
прямоугольника у как функцию от основания его х.
Рис. 5,
Рис. 6,
Построить график этой функции и найти наибольшее
чение.
163. В треугольнике АСВ сторона ВС = а, сторона
и переменный угол ^АСВ = х (рис. 6).
Выразить у = пл. Д ABC как функцию от х. Построить
этой функции и найти наибольшее ее значение.
164. Решить графически уравнения:
а) 2л;2 — 5л: + 2 = 0; г) 10-*=*;
б) х3+х—1 = 0; д) х= 1+0,5sinx;
в) lgje = O,lx; e)
ее зна-
знаАС = Ь
график

20 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
165. Решить графически системы уравнений:
а) ху = 10, х + у = 7;
б) ху = 6, ** + {/* = 13;
в) х*—х + у = 4, г/2—2лг = 0;
г) х* + у=Ю, х + у* = 6;
д) y = smx, y = cosx @ < х < 2л).
§ 3. Пределы
1°. Предел последовательности. Число а называется пределом
последовательности xit х3 хп, ...:
lim х„ = а,
если для любого е > 0 существует число Л/=Л'(е) такое, что ¦
\хп—а\ < е при п > N.
Пример 1. Показать, что
Решение. Составим разность
2« + 1 „_ 1
Оценивая эту разность по абсолютной величине, будем иметь:
2n+L
- — 2
если
п>1— 1=Л/(е). B)
С/
Таким образом, для каждого положительного числа е найдется число N=
= 1 такое, что при п > N будет иметь место неравенство B). Следова-
тельно, число 2 является пределом последовательности дс„=Bп+1)/(п + 1),
т. е. справедлива формула A).
2°. Предел функции. Говорят, что функция / (х)—*¦ А при х—*-а
(А и а—числа), или
Urn f(x) = A,
x-t-a
если для любого е > 0 существует Ь = & (е) > 0 такое, что
\f(x)~А\ < е при 0 < \х — а\ < Ь.

S3] ПРЕДЕЛЫ 21
Аналогично
lim f(x) = A,
Х-+ са
если \f(x) — A\ < е при |*| > N (г).
Употребляется также условная запись
lim /(x)=oo,
—х-+ а
которая обозначает, что \ f (х) \ > Е при 0 < |*—а\ < в (?"), где Е—произ-
Е—произвольное положительное число.
3°. Односторонние пределы. Если х < а и х —>-а, то условно
пишут х—*а—0; аналогично, если х > а и х—>а, то это записывается так:
x—+a-{-Q. Числа ^
/(а—0)= lira f(x) и /(а + 0)= lim f(x)
x-t-a-0 x-*a+0
называются соответственно пределом слееа функции / (х) в точке а и пределом
справа функции / (х) в точке а (если эти числа существуют).
Для существования предела функции / (х) при х —*¦ а необходимо и доста-
достаточно, чтобы имело место равенство
Если существуют lim fi(x) и lim /2(лг), то имеют место следующие
х (х) + /, (х)\ = lim /x (*) + lim /, (*)j
x (*) /4 (jc)J = lim h (x) ¦ Urn f, (x);
x-t-a х-ю
(x)lft (x)] = lim h (x)/ lim /, (x) ( Um f, (x) ?? 0).
х->а дс-»-а х-+а x-t-a
Частое применение находят следующие пределы:
теоремы:
1)
2)
3)
lim
x-t-a
lim
x-*a
lim
X-*Q X
1
lim (\A-LY= lira (l + a)a=e = 2,71828...
*-> ao \ x I <X-*0
Пример 2. Найти пределы справа и слева функции
\_
х
при х —* 0.
Решение. Имеем:
Предела же функции / (х) при л —> 0 в этом случае, очевидно, не суще-
существует.

22 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
166, Доказать, что при п—юо предел последовательности
ill J-
1 • 4 * 9 я2 ' " "
равен нулю. Для каких значений п будет выполнено неравенство
(е—произвольное положительное число)?
Произвести численный расчет, если: а) е = 0,1; б) е=0,01;
в) 6 = 0,001.-^
167, Доказать, что предел последовательности
при п—+оо равен 1. При каких значениях п># будет выпол-
выполнено неравенство
(e—произвольное положительное число)?
Найти N, если: а) е = 0,1; б) е = 0,01; в) е = 0,001.
168. Доказать, что
lim х* = 4.
Х-+2
Как подобрать для заданного положительного числа е какое-
нибудь положительное число б, чтобы из неравенства
|*-2|<а
следовало неравенство
\хг — 4|<е?
Вычислить б, если: а) е = 0,1; б) е = 0,01; в) е = 0,001.
169. Выяснить точный смысл условных записей:
a) lim lgx = — оо; б) lim 2* = + оо; в) lim /(х) = оо.
*->+0 jr-v + oo х-*<с
170. Найти пределы последовательностей:
я\ 1 !_ _L L ( *)"~ . г
' • 2 ' з ' 4 и • • • •»
о) , , з , 5 , .... 2n_j, ...;
в) V2, }^2 У 2, |/2-|/2/2, ...;
г) 0,2; 0,23; 0,233; 0,2333; ...

$ 31 ПРЕДЕЛЫ 23
Найти пределы:
172. lim ¦
и -> со
Цт Г1.+ 3 + 5 + 7+...+Bя-1) 2я+П
> „™ L ^П 2-J
174. Н
,78*. Hm
179. Hm (]/n+l—j/й). 1180. Hm
При отыскании предела отношения двух целых многочленов относительно
jc при л: —»• оо оба члена отношения полезно предварительно разделить на хп,
где п—наивысшая степень этих многочленов.
Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей,
содержащих иррациональности.
Пример 1.
Пример 2. lim я , JL^r= liffl
l
181. lim^±-!?. 182.
,85. Hm
189. lim

24 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
Если Р (х) и Q (х) —целые многочлены и Р (а) ф 0 или Q (а) Ф О, то пре-
предел рациональной дроби
x-*aQ(x)
находится непосредственно.
Р (х)
Если же Р (a) = Q (а) = 0, то дробь qj± рекомендуется сократить один
или несколько раз на бином х—а.
Пример 3.
lim *'~4 „ 11ш (*-?)(*+2) д Нш х+2
2*23*+2 2(Х2)(х\) 2Х\
191. lim Arirf- 192- lim
193. lim „tx*Z\ n . 194. lim
196. lim
,97. lim <*+*)'-*. 198. lim (^-
Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному
виду во многих случаях путем введения новой переменной.
Пример 4. Найти
lim ,/j+f-' ,
*-*° l/l+x—l
Решение. Полагая
имеем:
lim Htzl. = lim ^Zi= lim =1.
y 21 +1 2
199. lim V*-1 . 200. lim fl
201. lim •?7=—. 202. lim
*->. i i/x — 1 x-*\
Другим приемом нахождения предела от иррационального выражения
является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наобо-
наоборот, из знаменателя в числитель.
П р и мер 5.
lim
x—a *-»-e^ U/ v r „ , r
= Ига .,_ ' 1— (a > 0).

$3]
203. lim
" *2-49 *
205. lim ^f_~' .
ПРЕДЕЛЫ
204.
25
X—8
jc -^ 8 j^/*"—
206. lim —
207. lim
208. hm
h-+0
Vx + h—Ух
rx~Vh-yi
h
210. lim
jc->3
—Vx). 212. lim [Vx
209. lim
211. lim
213. hm A/ла—5д:+6— д;). 214. lim
215. lim (x+ l/T^x3).
—6
При вычислении пределов во многих случаях используется формула
lim !iai=,
*-*о х
и предполагается известным, что lim sin x= sin а и lim cos *=cos а.
Примере, lim
о
216. a) lim — .
2 *
217. lim
sin3*
6) hm5!IL_\
*
218. lim 2
х-* О
219. \im^-nnx
X-* 1
220. Hm frtsin—) . 221. lim
1—cosjc
222. Hm
x ->¦ a
224. lim
226. lim
sin*—sina
x—a
cos x—cos a
x—a
sinx—cos к
—j—¦
228. lim A-х) tg-^-
223. lim
x -*¦ a
225. lim ¦
227. a) lim л; sin —;
6) lftnjesin —.
229. limctg2xctgf-5~^

26
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
230.
232.
234.
236.
238.
94П
lim
x -> я
lim
lim
X-+Q
lim
X-* 1
iim
lim
, . x
1 — sin-^-
Я — X '
cosmx—cosnx
X*
X '
1—*»
sinjtx *
nx
c0~ 2
1— Y~x"
У 1+sinjc— V 1— sinx
231.
235.
237.
239.
lim
X-+2-
x-*0
lim \
lim ¦
1 — 2 cos x
ji-3* *
g*-sinx
irctg 2л:
sin3x
с—sin2jc
1 — V COS AC
При нахождении пределов вида
lim [q
следует иметь в виду, что:
1) если существуют конечные пределы
lim ф (х) = А (А > 0) и lim \|з (я) = В,
х-*-а х-*а
то С=ЛЯ;
2) если lim <р (л) = ^4 Ф 1 (Л > 0) и lim i))(jc)= ± oot то вопрос о нахож-
дс->-а х -* а
дении предела C) решается непосредственно;
3) если lim <p(jc) = l и lim i|j(*) = oo, то полагают ср (x) = l+a(x), где
х-*а х->-а
а(х)—*0 при х—*а и, следовательно,
lim a (ж) ф (х) Um [<р (*) -1 ] ¦ф (х)
С= lim 1[1 + a(x)]a (A»
где e=2,718 .s.—неперово число.
Пример 7. Найти
lim
Решение. Здесь
следовательно,
Um (™Ш)=2 и lim
x-*0 \ X j x-*0
lim

3] ПРЕДЕЛЫ 27
Пример 8. Найти
Решение. Имеем:
х+1 ,. 1+Т 1
1
1+Т
lim .Or 4- I
lim *2 = +00.
X-t-св
Поэтому .
lirn (l±LY
Пример 9. Найти
Решение. Имеем:
lim
X-+ 00
1-1
lim ^4= lim y=1.
X-(-co«4-l *-k» i I i_
Произведя указанное выше преобразование, получим:
lim
л: + 1 ¦» 2дс |(
В данном случае, не прибегая к общему приему, можно найти предел
проще:
e—=e-
Вообще, полезно помнить, что
lim
х -*¦ а
241. lim (|±f )*. 242. lim
Sin*
243. lim (Л) . 244. lim fx2~2x+3\
T'J ¦ "•" -ZW-3X + 2J •

28 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 1ГЛ. 1
247. lim (!+¦!)*• 248- lim {?
249. lim (^Y+\ 250. lim(l+^y.
251. lim (l+sin*)~. 252**. a) Hm(cos*)~;
JC-+0 x-*0
I
X-+0
При вычислении приведенных ниже пределов полезно знать, что если
существует и положителен lim / (x), то
х -* а
lim[In/(*)]=ln[!im /(*)].
х -* а х -*¦ а
Пример 10. Доказать, что
lim =U (*)
Решение. Имеем:
нт = lim [_ln(] +Jt)-J =ln L "m 0+*)
x->- о х л-*о х-ю
x\=]ne=l.
Формула (*) часто используется при решении задач.
253. lim [InB*+l)— In(x + 2)]. «54 lim
х
255. lfm (- In л/\^- ) . 256. limjcfln (x+ 1) — 1пл;].
257. lim K * '. 258*.
259*. hm 2!nl (a > 0). 260*. lim n ({/a— l) (a > 0).
X -*¦ 0 X П-+ОЭ
261. lim e"x~e x. 262. lim
. о sin*
263. a) lim —;
х -»¦ о ¦*¦
б) Hm
(cm. №№ 103 и 104).
Найти следующие односторонние пределы:
264. а) lim * ; б) lim

$ 3] ПРЕДЕЛЫ 29
265. a) lim th jc; 6) lim thx,
X -> -m x -*¦ +<в
,, ex—e~x
где th x = -JC .
266. a) lim —'—; 267. a) lim !nil±?fb
X -У -0 X-*-00 *
H-e*
6) lim —. 6) lim J -
X-*+0 X -*¦ +<B
\+ex
268. a) lim |sin-t| ; 269. a) lim
X -* -0 X *-* 1-0
6) Нт i?!??L. 6) lim
270. a) lim
О 1
X -> 2-0 A Z
6) lim j^.
Jt ->¦ 2 +0
Построить графики функций:
271**. y= lim (cos2nx). 272*. y= lim -г-^-j (x>0).
П > <Я П -*¦ CD ^
273. y = lim /л;2 + а2. 274. t/= lim (arctgnx).
a-»-o n-»ao
275. j/= lim y/l+x"
276. Превратить в обыкновенную дробь данную смешанную
периодическую дробь
а = 0,13555 ...,
рассматривая ее как предел соответствующей конечной дроби.
277. Что делается с корнями квадратного уравнения
если коэффициент а стремится к нулю, а коэффициенты бис
постоянны, причем ЬфО?
278. Найти предел внутреннего угла правильного п-уголь-
ника при п —>¦ оо.
279. Найти предел периметров правильных я-угольников,
вписанных в окружность радиуса R и описанных вокруг нее,
при п —> оо.
280. Найти предел суммы длин ординат кривой
проведенных в точках х=\, 2 п, при п—*оо.

30
ВВЕДЕНИЕ й АНАЛИЗ
[ГЛ. I
281. Найти предел суммы площадей квадратов, построенных
на ординатах кривой
как на основаниях, где х=\, 2, 3, ..., л, при условии, что
п—>-оо.
282. Найти предел при п—>¦ оо периметра ломаной линии
М0М1ш. .Мп, вписанной в логарифмическую спираль
г =е-ч>,
если вершины этой ломаной соответственно имеют полярные углы
283. Отрезок АВ = а (рис. 7) разделен на п равных частей,
и на каждой получившейся части, как на основании, построен
равнобедренный треугольник, с углами при основании, равными
а = 45°. Показать, что предел периметра
образовавшейся ломаной линии отличен
от длины отрезка А В, несмотря на то,
что в пределе ломаная линия «геометри-
«геометрически сливается с отрезком АВ».
Рис. 7.
Рис. 8.
284. Точка Cf делит отрезок АВ — 1 пополам; точка С2 делит
отрезок ACi пополам; точка Ся делит отрезок СгС± пополам;
точка С4 делит отрезок Cfi3 пополам и т. д. Определить пре-
предельное положение точки Сп, когда я—»-оо.
285. Катет а прямоугольного треугольника разделен на п
равных частей, и на получившихся отрезках построены вписан-
вписанные прямоугольники (рис. 8). Определить предел площади об-
образовавшейся ступенчатой фигуры, если п—»-оо..
286. Найти постоянные к и b из уравнения
= 0. ¦ A)
Выяснить геометрический смысл равенства A).
287*. Некоторый химический процесс протекает так, что при-
прирост количества вещества за каждый промежуток времени т из
бесконечной последовательности промежутков (it, (i + 1)t)

S 4] БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ 31
(i—0, 1, 2, ...) пропорционален наличному количеству веще-
вещества, имеющемуся в начале этого промежутка, и величине про-
промежутка. Предполагая, что в начальный момент времени коли-
количество вещества составляло Qo, определить количество вещества
Q\m через промежуток времени t, если прирост количества ве-
вещества происходит каждую n-ю часть промежутка времени т = —.
Найти Qt= lim Q'tn\
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие
1", Бесконечно малые. Если
lim а (х) = О,
х-*а
т. е. если | а (ж) | < е при 0 < | х—а \ < S (е), то функция а (*) называется бес-
бесконечно малой при х ->-а. Аналогично определяется бесконечно малая а (х) при
X—>¦ 00.
Сумма и произведение ограниченного числа бесконечно малых при х-*а
есть также бесконечно малые при х ->¦ а.
Если сс(х) и р (х) — бесконечно малые при х-*-ап
где С—некоторое число, отличное от нуля, то функции а (*) и Р (х) называ-
называются бесконечно малыми одного и того же порядка; если же С = 0, то говорят,
что функция а (х) есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с р" (*).
Функция а (х) называется бесконечно малой порядка п по сравнению с функ-
функцией Р (х), если
lim "W =С,
кш=1
где 0< ]С\
Если
то функции 'а (х) и Р (х) называются равносильными (эквивалентными) беско-
бесконечно малыми при х -?¦ а:
Например, при х -*¦ 0 имеем:
s\nx~x; igx~x\ In A + at) -— д?
и т. п.
Сумма двух бесконечно малых различных порядков равносильна тому из
слагаемых, порядок которого ниже.
Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если члены отно-
отношения заменить равносильными им величинами. В силу этой теоремы при
нахождении предела дроби
lim SLW
х -* а Р" (*) '

32 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
где а(х) -> 0 и Р (х) -»• О при х -»- а, в числителе и знаменателе дроби можно
откидывать (или добавлять) бесконечно малые высших порядков, подобранные
так, чтобы оставшиеся величины были равносильными прежним.
П р и м е р 1.
lim JL I = lim
1A+2)
2x ~ T'
2°. Бесконечно большие. Если для любого сколь угодно боль-
большого числа Л' существует такое б (jV), что при 0 < | х—а\ < б (.V) выполнено
неравенство
I / С*) | > N.
то функция f (х) называется бесконечно большой при х ->¦ а.
Аналогично определяется бесконечно большая f (х) при х->¦ оо. Подобно
тому как это сделано для бесконечно малых, вводится понятие бесконечно
больших различных порядков.
288. Доказать, что функция
sin jg
является бесконечно малой при х—»-со. Для каких значений х
выполнено неравенство
если е—произвольное число?
Произвести расчет для: а) 8 = 0,1; б) 8 = 0,01; в) 8 = 0,001.
289. Доказать, что функция
является бесконечно малой при х—*1. Для Каких значений х
выполнено условие
если е—произвольное положительное число? Произвести чис-
численный расчет для: а) е = 0,1; б) 8 = 0,01; в) 8 = 0,001.
290. Доказать, что функция
является бесконечно большой при х—>-2. В каких окрестностях
\х—2|<б выполнено неравенство
• \f(x)\>N,
если jV—произвольное положительное число?
Наитии б, если: a) N= 10; б) Л^= 100; в) N= 1000.
291. Определить порядок малости: а) поверхности шара,
б) объема шара, если радиус шара г есть бесконечно малая

§ 4]
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ
33
1-го порядка. Каковы будут порядки малости радиуса шара и
объема шара по отношению к поверхности этого шара?
292. Пусть центральный угол а кругового сектора АВО (рис. 9)
радиуса R стремится к нулю. Определить порядки бесконечно
малых относительно бесконечно малой а: а) ~
хорды А В; б) «стрелки» CD; в) площади ^^zfr^z^^
AABD. .. Ь^^ \Г^ЪВ
293. Определить при х—+0 порядки ма-
малости относительно х функций:
, 2х ч , \ ! /R
а) у—; г) 1— cosx;
б) у
в) V
д) tg х—sin ;t.
294. Доказать, что длина бесконечно малой дуги окружности
постоянного радиуса равносильна длине стягивающей ее хорды.
295. Являются ли равносильными бесконечно малый отрезок
и бесконечно малая полуокружность, построенная на этом от-
отрезке, как на диаметре?
Пользуясь теоремой об отношении двух бесконечно малых,
найти:
296. lim
298. lim
sin Зх-sin 5х
Vя л I
\пх
1-х'
297,
299.
lim
ДГ ->- 0
lim
X -> 0
arcsin
In
cos х-
1 —
X
X
VT^x~2
A-х)
-cos 2x
COS X
r-:—:
300*. Доказать, что при х—>-0 величины -W- и \^\ -\-х —1 равно-
равносильны между собой. Пользуясь этим результатом, показать,
что при |x| малом имеет место приближенное равенство
A)
Применяя формулу A), приближенно найти:
fiH; б) КО/97; в)
a)
; г)
и сравнить полученные значения с табличными данными.
301. Доказать, что при х—>0 с точностью до членов поряд-
порядка х* имеют место приближенные равенства:
б) \/а* + х& а + ^ (а>0);
Под ред. Б. П. Демядовича

34 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. 1
в) A +х)" « 1 -\-пх (п—натуральное);
)l)Afa
где М = lge=0,43429...
Исходя из этих формул, приближенно вычислить:
]) Ш; 2) 0^7; 3) Щ: 4) ^ 5) 1'04$; 6) °'934; 7) lgl'K
Сравнить полученные значения с табличными данными.
302. Показать, что при х —*оо целая рациональная функция
есть бесконечно большая величина, равносильная старшему
члену аахп.
303. Пусть х—юо. Принимая х за бесконечно большую ве-
величину 1-го порядка, определить порядок роста функций:
а) хг— 100л—1000; в)
г) Ух=
§ 5. Непрерывность функций
1°. Определение непрерывности. Функция / (*) называется
непрерывной при ле = | (или «в точке |»), если: 1) эта функция определена
в точке |, т. е. существует число / (|); 2) существует конечный предел
lim / (х); 3) этот предел равен значению функции в точке |, т. е.
llm /(*) = /ft). A)
Полагая
где Д^ -»¦ 0, можно переписать условие A) так:
lim Д/ ft) = lim [/ g.+ Д1) - / g)] = 0, B)
Д|->-о Д|->о
т. е. функция / (д;) непрерывна в точке \ тогда и только тогда, когда в этой
точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала,
сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.
Пример 1. Доказать, что функция
у = sin х
непрерывна для любого значения аргумента х,
Решение. Имеем:
— sin* = 2sin -у-cos[х-{—к-)=
. д*
Sln~2~
Ах
2

5]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
35
Так как
sin-
Ах
lim
Ах
2
то при любом х имеем:
= 1 и
lira &
Ал-»- о
cos
Следовательно, функция sin* непрерывна при — оо < х < + оо,
2°. Точки разрыва функции. Говорят, что функция / (х) терпит
разрыв непрерывности при значении х = ха (или в точке хй), принадлежащем
У
О / 2
а)
t-Щ
Рис. 10.
области определения функции или являющемся граничным для этой области
если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.
Пример 2. Функция /(*)=- -, (рис. 10, а) разрывна при*=1. Эта
A —х)
функция не определена в точке х=\, и как бы мы ни выбрали число /A),
пополненная функция {(х) не будет непрерывной при х=\.
Если для функции / (х) существуют конечные пределы:
lim /М=/(*в-0) и lira /(*)=/(*. + ()),
Х-*Х„— 0 X-+XQ+Q
2*

36 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. 1
причем не все три числа / (х0), f (х9—0), /(жо + О) равны между собой, то xt
называется точкой разрыва 1-го рода. В частности, если
то х0 называется устранимой точкой разрыва.
Для непрерывности функции / (х) в точке дг0 необходимо и достаточно,
чтобы
Пример 3. Функция /(*) = -—г имеет разрыв 1-го рода при х = 0.
В самом деле, здесь
/(+0)= lim ^=
/(-0)= lim ^=-1.
х-*-о —*
Пример 4. Функция у = Е(х), где Е (х) обозначает целую часть числа х
(т. е. Е (х) есть целое число, удовлетЕсряюшее равенству х = ?(*) + <?, где
0<;<7 < 1), разрывна (рис. 10, б) в каждой целочисленной точке: * = 0, ± 1,
±2, ..., причем все точки разрыва 1-го рода.
В самом деле, если л— целое, то Е (п—0) = л—1 и ?(л + 0) = я. Во всех
остальных точках эта функция, очевидно, непрерывна.
Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва 1-го рода,
называются точками разрыва 2-го рода.
К точкам разрыва 2-го рода относятся точки бесконечного разрыва, т. е.
такие точки х0, для которых хотя бы один из односторонних пределов
/(*„—0) или/(*0 + 0) равен оо (см. пример 2).
Пример 5. Функция y = cos— (рис. 10, в) в точке х=0 имеет раз-
разрыв 2-го рода, так как здесь не существуют оба односторонних предела:
lim cos — и lim cos — .
JE-+-0 Х X-t-+0 Х
3°. Свойства непрерывных функций. При исследовании функ-
функции на непрерывность нужно иметь в виду следующие теоремы:
1) сумма и произведение ограниченного числа функций, непрерывных
в некоторой области, есть функция, непрерывная в этой же области;
2) частное от деления двух непрерывных в некоторой области функций
есть непрерывная функция при всех значениях аргумента из этой области,
не обращающих делителя в нуль;
3) если функция f{x) непрерывна "в интервале (а, Ь), причем множество
ее значений содержится в интервале (А, В), и функция <р(х) непрерывна
в интервале (А, В), то сложная функция <р [/ (*)] непрерывна в интервале
(а, Ъ).
Функция / (х), непрерывная на отрезке [а, Ь], обладает следующими
свойствами:
1) / (х) ограничена на [а, 6], т. е. существует некоторое число М такое,
что |/(Jt)|<Af при а <;*<?;
2) / (х) имеет на [а, Ъ] наименьшее и наибольшее значения;

§ 5] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 37
3) / (х) принимает все промежуточные значения между двумя данными,
т. е. если / (а) = А и /(р) = 5 (asga < р < Ь) и А ф В, то, каково бы ни
было число С, заключенное между числами А и В, найдется по меньшей мере
одно значение к = у(а < у < Р) такое, что /(у)=С.
В частности, если / (а) / (р) < 0, то уравнение
имеет в интервале (а, р) по меньшей мере один вещественный корень.
304. Показать, что функция у==х2 непрерывна при любом
значении аргумента х.
305. Доказать, что целая рациональная функция
непрерывна при любом значении х.
306. Доказать, что дробная рациональная функция
непрерывна для всех значений х, за исключением тех, которые
обращают знаменатель ее в нуль.
307*. Доказать, что функция y=-Vx непрерывна при х^О.
308. Доказать, что если функция / (х) непрерывна и неотри-
неотрицательна в интервале (a, b), то функция
также непрерывна в этом интервале.
309*. Доказать, что функция г/==соэд: непрерывна при лю-
любом х.
310. Для каких значений х непрерывны функции: а) tgx
и б) ctgx?
311*. Показать, что функция г/ = |л:| непрерывна. Построить
график этой функции.
312. Доказать, что абсолютная величина непрерывной функ-
функции есть функция непрерывная.
313. Функция задана формулами
А при х = 2.
Как следует выбрать значение функции А =/B), чтобы попол-
пополненная таким образом функция f (х) была непрерывна при х = 2?
Построить график функции y = f(x).
314. Правая часть равенства
,/(*) = !— xsinT

38 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
теряет смысл при х = 0. Как следует выбрать значение /@)
для того, чтобы функция f(x) была непрерывна при # = 0?
315. Функция
теряет смысл при х = 2. Можно ли так определить значение /B),
чтобы пополненная функция была непрерывной при х = 2?
316. Функция f{x) не определена при л; = 0. Определить/@)
так, чтобы f(x) была непрерывна при х = 0, если:
а) f(x) = (l + x)x"~l (и—натуральное);
е\ t 1 \ 1—COSJC
б) f{x)=
д) / (х) = х2 sin — ;
е) f(x) = xctgx.
Исследовать на непрерывность функции:
317. У = ^ 318. у-\
321. a) y = sm~; 322. y = -?—
б) у = x sin -j .
323. у = In (cos x). 324. r/=ln
325. i/=arctgl. 326. г/ = A +ж) arctg r~.
З27.у = е>г*гт. Ш.у = е~1?.
329. t/ Ц—.
1 + e^*
( x* при jc^3,
330. y = \ о , i о Построить график этой функции.
у \ 2л: +1 при х>3. н н * TJ
331. Доказать, что функция Дирихле ^ (х), равная нулю при л;
иррациональном и равная 1 при храциональном, разрывна для
каждого значения х.

§ 5] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 39
Исследовать на непрерывность и построить графики функций:
332. y = lim '
л-> аз '
333. ?/ = lim (j
и-»- со
334. a) y = sgnx, б) i/ = ^sgnx, в) у = sgn (sinjc), где функция
sgnx определяется формулами:
!+ 1, если х > О,
О, если л; = 0,
— 1, если х < 0.
335. а) г/ = л:—?(х), б) у = хЕ(х), где ? (х) есть целая часть
числа х.
336. Привести пример, показывающий, что сумма двух раз-
разрывных функций может быть функцией непрерывной.
337*. Пусть а — правильная положительная дробь, стремя-
стремящаяся к нулю @ < а < 1). Можно ли в равенство
справедливое для всех значений а, подставить предел величины а?
338. Показать, что уравнение
х3 — 3*+1=0
имеет в интервале A, 2) действительный корень. Вычислить
приближенно этот корень.
339*. Доказать, что любой многочлен Р (х) нечетной степени
имеет по меньшей мере один действительный корень.
340. Доказать, что уравнение
имеет бесконечное множество действительных корней.

ГЛАВА II
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
§ 1. Непосредственное вычисление производных
1°. Прир ащение аргумента и приращение функции.
Если х и *i — значения аргумента х. a y = f(x) и i/i = /(*i)—соответст-
/(*i)—соответствующие значения функции y = f(x), то
&х = хх— х
называется приращением аргумента л; на
отрезке [х, хх], а
или
&y = f(xi)—/(ж) = /(дс+Ддс)—f(x) A)
— приращением функции у на том же
отрезке [х, хх] (рис. 11, где Ьх = МА и
&u = AN). Отношение
представляет собой угловой коэффициент секущей MN графика функции
y = f(x) (рис. 11) и называется средней скоростью изменения функции у на
отрезке [*, х-{-Ах].
Пример 1. Для функции
у = х*—5*+6
вычислить &х и Ду, соответствующие изменению аргумента:
а) от х=\ до х = 1,1;
б) от je=3 до х=2.
Решение. Имеем:
а) Д*=1.1 — 1=0,1,
Ду = A,1»—5-1,1+6)—A»—6.1+6) = —0,29;
б) Д*=2—3 = — 1,
Ду=B»—5-2+6)—C»—5.?
Пример 2. Для гиперболы у=— найти угловой коэффициент секущей,
проходящей через точки с абсциссами *=3 и х1=10.

$ 1] НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 41
Решение. Здесь Д* = 10—3 = 7, у=-^ , #i=jq ; Ау=-^-~д- = — ^ .
Следовательно, й = ~= — — .
2°. Производная. Производной у'=-т- °т функции у = / (*) в точке ж
Д</
по аргументу л; называется предел отношения -г2-, когда Ах стремится н
нулю, т. е.
если этот предел существует.
Величина производной дает угловой коэффициент касательной МТ к гра-
графику функции y = f(x) в точке х (рис. 11):
Нахождение производной (/' называют дифференцированием функции. Произ-
Производная у' = f (x) представляет собой скорость изменения функции в точке *,
Пример 3. Найти производную функции
Решение. По формуле A) получаем:
Ау = (х + А*J—х2 = 2хАх + (Ах)*
и
Следовательно,
3°. Односторонние производные. Выражения
, {х)= 1Im /
'" ДХ-+-0
(' (х) = lim
t+ д*- +
называют соответственно левой или правой производной функции /(ж) в точке*.
Для существования /' (х) необходимо и достаточно, чтобы
Пример 4. Найти /-@) и /+@) для функции/ (*) = | х |.
Решение. Имеем по определению
/1@)= lim -^=-1. f+@)= li
1 Ajc-».-0 Д* Дх-ь

42 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
4е Бесконечная производная. Если в некоторой точке имеем
Urn /fr+y
то говорят, что непрерывная функция f(x) имеет бесконечную производную
в точке х. В этом случае касательная к графику функции у={ (х) перпенди-
перпендикулярна к оси ОХ.
Пример 5. Найти /' @) для функции
Решение. Имеем:
/'@)= Iitti ?-.— = lini ¦ ' =оо.
д*-0 Л* д*-0 j/Дх2
341. Найти приращение функции у = х*, соответствующее
переходу аргумента:
а) от х=\ до *i = 2;
б) от х = 1 до х± = 1,1;
в) от х = 1 до х-у = 1 + h. _
342. Найти Ау для функции у=^/х, если:
а) х = 0, Ах = 0,001;
б) л: = 8, Ах = — 9;
в) х = а, Ax = /i.
343. Почему для функции «/ = 2# + 3 можно определить при-
приращение Ау, зная только, что соответствующее приращение
Дх = 5, а для функции у — хг этого сделать нельзя?
344. Найти приращение Ау и отношение -^ для функций:
а) у = -2^2р при х=\ и Ал; = 0,4;
б) y = V~x при x = Q и Д* = 0,0001;
в) y = \gx при л; =100 000 и Ад; = — 90 000.
345. Найти Ау и ~, соответствующие изменению аргумента
от х до х + Ах для функций:
а) у = ах + Ь; т)'у =
б) у = ^; д) у =
в) У = ^-; е) у =
346. Найти угловой коэффициент секущей к параболе
у = 2х—х2,
если абсциссы точек пересечения равны:

§ 1] НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 43
а) ^=1, х2 = 2;
б) ^=1, х2 = 0,9;
в) хх=\, х2 = 1 +/i.
К какому пределу стремится угловой коэффициент секущей
в последнем случае, если h—^0?
347. Какова средняя скорость изменения функции у = х9
в промежутке 1^х^4?
348. Закон движения точки есть s = 2t*-\-3t + 5, где расстоя-
расстояние s дается в сантиметрах и время t — в секундах. Чему равна
средняя скорость точки за промежуток времени от t = 1 до
* = 5?
349. Найти средний подъем кривой у = 2* на отрезке 1 ^х^5.
350. Найти средний подъем кривой y = f(x) на отрезке
[х, х + Ах].
351. Что понимают под подъемом кривой y = f(x) в данной
точке х?
352. Дать определение: а) средней скорости вращения:
б) мгновенной скорости вращения.
353. Нагретое тело, помещенное в среду с более низкой
температурой, охлаждается. Что следует понимать под: а) сред-
средней скоростью охлаждения; б) скоростью охлаждения в данный
момент?
354. Что следует понимать под скоростью реагирования
вещества в химической реакции?
355. Пусть m = f(x)—масса неоднородного стержня на отрезке
[0, х]. Что следует понимать под: а) средней линейной плот-
плотностью стержня на отрезке [х, х + Ах]; б) линейной плотностью
стержня в точке я?
356. Найти отношение — для функции У = — в точке л: = 2,
если: а) Ах=\; б) Дх = 0,1; в) А% = 0,01. Чему равна произ-
производная у' при х = 2?
357**. Найти производную от функции y = tgx.
358. Найти у' = lim -p для функций:
Дл:->.0л*
а) у = х3; в) у=-
б) У = ^2-; г) ?/ =
359**. Вычислить /' (8), если / (х) = j/x.
360. Найти /'@), /'A), /'B), если f(x) = x(x— IJ (x—2K.
361*. В каких точках производная от функции f(x) = x3 чи-
численно совпадает со значением самой функции, т. е. f(x) = f (x)?
362. Закон движения точки есть s = 5t2, где расстояние s
дано в метрах, а время t — в секундах. Найти скорость движе-
движения в момент времени t = 3.

44 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 11
363. Найти угловой коэффициент касательной к кривой
у = 0,\х3, проведенной в точке с абсциссой х = 2.
364. Найти угловой коэффициент касательной к кривой
y = s\nx в точке (л; 0).
365. Найти значение производной от функции f (х) = — в точ-
точке х = хо{о)
366*. Чему равны угловые коэффициенты касательных к кри-
кривым у — — и j = i! в точке их пересечения? Найти угол между
этими касательными.
367**. Показать, что следующие функции не имеют конечных
производных в указанных точках:
а) у= 1/х~2 в точке д:=0;
б) У=\/х—1 в точке х=\\
в) y—\cosx\ в точках х=—^—я(й = 0, ±1, ±2, ...).
§ 2. Табличное дифференцирование
Г. Основные правила нахождения производной. Если
с—постоянная и u = <f(x), v = ty(x)—функции, имеющие производные, то
1) (с)' = 0; 5) (uv)' = u'v + v'u;
2)
3) (и ± 0)' = и' ± V; 7) ^?.у=_^ (v ф 0).
4) (см)'= си';
2е. Таблица производных основных функций
I. (*")' = яжп-1. IX. J
"" (^7)'=i7T(X>0)< X.
III. (sinx)' = cosx. XI. (a*)' = a*lna.
IV. (cos*)' = — sin*. XII. (e*)' = e*.
'с^Ц; XIII. Aп*)'=Д
VI. (ctgx)' = --j-3-. xiV. (logax)'=-ri—=
VII. (ягг.81пу)'= . ' (\x\<l). (x>0, a>0).
VIII. (arocos*)'=

i 21 ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 45
XV. (shJt)'=ch*.
XVI. (chx)'=shx.
XVII. (thA)' = -4—.
v cli2 x
XVIII. (cthx)'=- '
XIX. (Arsh*)' =
sh2*'
I
XX. (Arch*)' = :p===- (\x\ >1).
XXI. (kttbx)'=~-^ (|л:|<1).
XXII. (Arcthx)' =-j5ITT d*l>1)-
3°. Правило дифференцирования сложной функции.
Если у= f(u).u u = (f(x), т. е. 2/ = /[ф(*)], где функции у и и имеют произ-
производные, то
у'х = у'ии'х A)
или в других обозначениях
dy dy du
dx du ' dx
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа диф-
дифференцируемых функций.
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Полагая у — иъ, где и = х2—2х+3, согласно формуле A)
будем иметь:
у' = (и% (х°- — 2х + 3)'х = 5и* Bх — 2) = 10 (*— 1) (х2—
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Полагая
у = и3; м = sin ii; o = 4jc,
находим:
у' = 3«2 ¦ cos v ¦ 4 = 12 si ri2 4дг cos Ax.
Найти производные следующих функций (в №№ 368—408 пра-
правило дифференцирования сложной функции не используется).

46 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
J
А. Алгебраические функции
368. у = х* — Ах* + 2х—3. 369. у = \—jX + x*—0,5л;4.
370. y = ax* + bx + c. 371. y=
372. y = atm + btm+n. 373. } =
374. 0 = iL+ln2. 375.
376*. ц^х^Ух1. 377.
/ *
v/
о/о. г/ = —:—j—. о/а. ц =
+
380. ir-sirr—J-- ; wy^w
Б. Функции тригонометрические и обратные круговые
382. y = 5sinjc + 3cos.x. 383. y = tgx—ctgx.
384. y = sinx+cosx m 385> ^ = 2/sin* — (i2—2)cos/.
386. «/ = arctgA: + arcctgA:. 387. i/ = xctgA:.
388. r/ = ^arcsinx 389. y =
В. Функции показательные и логарифмические
390.
392.
394.
396.
398.
399.
400.
y = x">- ex.
f (x) = ex cos x.
y = e*arcsinx.
X3
У = Х3\ПХ g".
1 In x
" X X
у = In x lg x—In a log. x
391. i
393.
395. ;
397,
y = (x—l)e*.
y = (x*—2x + 2)e
у=ш-
Л Гиперболические и обратные гиперболические функции
401. y = ;csh;t. 402. У = ^-
403. y = th*-x. 404. У =

§ 2] ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 47
405. t/=arctgjc— Arth*. 406. г/ = arcsin* Arsh x.
лп- Arch л: .„о Arcth*
407. */ = —-—. 408. t/= 1_Jea .
Д. Сложные функции
Найти производные следующих функций (в №№ 409 — 466
необходимо использовать правило дифференцирования сложной
функции с одним промежуточным аргументом):
409. у = (\+3х — 5х2K0.
Решение. Обозначим 1-\-Зх — 5х2=-и; тогда </ = «30. Имеем:
у'и--= 30u29, «* = 3—10*;
3 — 10*) = 30 A+3* — 5а:2J9. C— 10л).
4Ю. у=
411. f(y)
412. у = C + 2х*у.
311
^~56Bjc—IO 24B*— l)e 0 Bлг—IN '
414. t/ = l/l— ха 415. i/ = ^/
416. у = (а2/а_х2/3)"/г. 417. y<=C )
Решение. i/' = 5 C — 2 sin лL -C — 2 sin*)' = 5 C—2 sin *L (—2 cos x) =
= —10 cos x C—2 sin *L.
418. i/ = i
419. y = ]/ctg x—K'ctga. 420. у = 2jc + 5 cos3 x.
421*. x = cosec4 + sec^. 422. /(*) =-6(i
423. y = ^-L !_. 424. y=
э 3 cos3 л: cos * y
. 424. y= i/
л: cos * y V 5
425. r/= ^/sin2 x -f ^-^. 426. i/ = ]/l +arcsinjc.
427. y = j/arctgx—(arcsinxK.
428- ^ = i?Hi^- 429' ^ =
430. y = i/2ex—2х + \ + \пъх. 431. г/ =
Решение, у' = cos 3*.C*)' — sin -=-(-=-) -I =¦ ( V~x)' =
5 \ 5 / C0S2 ^
¦3 1 1 . * , I
==3cos3* — rsm- A
5 5
A
5 2 /* cos2
432. г/= sin (л;2 — 5^ + l) + tg-j.
433. /(x)=cos(oa; + P). 434. /(f) = sinf si

48 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
437. y = — ^ cos Eл;2) —j
438. у = агсзт2л;.
1 2
Решение. у'=—— • <?¦*)' = •
439. y=arcsin—j. 440. f(x) = arccos
441. у = arctg — . 442. у = arcctg-j——
443. ii~5e~x*. 444. u = —=-.
445. y = x40". 446. /.(/)-=/sin 2*.
447. у = arccos e*. 448. j/ = lnB* + 7).
449. r/ = lgsinx. 450. t/ = InA — л;2).
451. у = 1пгл; —ln(lnx).
452. j/= In (e* + 5sin л; — 4arcsinx).
453. г/= arctg (In x) + In (arctg x).
454. y = ' (/)
E. Разные функции
455**. y = sin3 5xcos2-r-.
" 4
—2)г л — 2
1510
л—ЗK
3K
458. у = я./8 2U. 459. y = -
460. y = / 461. y = -
y a2 /a2 + л2
462. j/ = 4- V^+^x Vx + ^-x VI? 4
463.
464. у = -у —.
465. у = х*(а — )
466. у№
467, ч-г/.. , --(jt.,.2)«T(l+2K-2(;(+2)r
468.
469.

$ 2] ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 49
473. у = In ([Л -f e* — 0— In (/l +e*+ 1).
474. у =-^ cos3 x C cos2 x — 5).
(tg'*-l)(tg«*-l-10tg»*-|-1)
476. y = tg25x. 477. y = -^-sin(x2).
478. у = sin2 (г3). 479. у = 3 sin xcos3x + sin3л:.
480. r, = itg»x-tgx+x. 481. y = _
482. у = у a sin2 x -f f> cos2 x. 483. у = arcsin x2 + arccosxa.
484. у = -j (arcsin xJ arccosx. 485. y= arcsin'
486. о = arcsin
489. j/=1/аг — х2-fa arcsin —.
sm
4S0. у =х|/а2 — x!fa! arcsm— .
491. у = arcsin A — x) + V'2x--x2
492. y= (x —^ / \
493. у = In (arcsin 5x). 494. у = arcsin (In x).
x°ina 2 5ta-|-
495. y = arctg , * . 496. y = 4arctg ^
a ь 1—л; cos а я 3 ь 3
497. у = ЗЬ2 arctg j/ ^— (ЗЬ + 2х) tfbx—x*.
498. y = -
499. у = 1/7".
501. F(x) = Bmam* + b
_л_ (а sin их — 6 cos Rx)e _„. 1 „ ,„ . о о N
503. y = v ' а,, *ь„ ' '—• 504. г/ = — е~х C sin Зл—соэЗх).
505. у = хпа~х\
507. у= 3 *. 508. у-
509. у = \п(х
500.
502.
504.
506.
у
F
У
У
= eim x,
¦(t) = e™
= Toe
= V^CGS
:cosp/.
; C sin 3,
\- n J COS X

50
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. I
510. y = x —
511. y-\n{c
513. y =
515. v =
512. t/ =
1
In2* *
514*. y =
516. ^--L
517. t/=-JVAJ^zro2—y
518. t/ = lnlnC —2*3).
a2).
519. t/ = 5 In3 (ал;+ 6).
522. y =
524. f(x)
525. # =
527. « =
= 1/jc« + 1 —In
1 , *2-2* + l
523. y = ±
1-1- Vx2-M
v 526- y=
— arccos Зл;)в.
ita«
/з
529.
530.
531.
532.
533.
534.
535.
536.
537.
539.
541.
543.
у = arctg In x.
f/ = In arcsin л; + -^- In2 x + arcsin In x.
y = Jp arctg-^ + |
1— V si
sin л;
f{x) =
/l —
in KT
i/ = Arth (tg x).
538. t/ =
540. y =
542. i/ =
544. t/ = Arcth (sec x).

$ 2] ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 51
545. у = Arth j-^js . 546. у = -I-(x2— 1) Arth* + {x.
547. У=Dл;2 + т)
548. Найти у', если:
а) у = |*|;
б) у = х\х\.
Построить графики функций уму'.
549. Найти у', если
у=\п\х\
550. Найти Г (х), если
1—х при
е~х при х
551. Вычислить /'@), если
Решение. /' (х) = е~х (—3 sin Здс)—е~х cos3*;
/' @) = е° (— 3sinO) — e° cosO = —1.
552. /(x) = ln(l+*) + arcsin |-. Найти /'A).
553. y = tg3f .Найти (g)
554. Найти /'+@) и /1@) для функций:
а) /(x) = j/"iinM; г) f(x)==x*sm\,
б) /(*) = arcsing=5; д) / (х) = хsin-i ,
= 0;
555. Для функции f(x) = e~x найти f @)+Х/'@).
556. Для функции /(л;)=УТ+1 найти / C) + {х — 3)/' C).
557. Даны функции / (х) = tg х и ф (л:) = In A —х), найти -4-У.
558. Для функций / (х) = 1 —х иф(х)=1 —sin^- найти J, ,. .
559. Доказать, что производная, четной функции—функция
нечетная, а производная нечетной функции—функция четная.
560. Доказать, что производная периодической функции есть
функция также периодическая.
561**. Показать, что функция у~хе~х удовлетворяет уравне-
уравнению ху' — A —х)у.

52 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
х*
562. Показать, что функция у = хе г удовлетворяет урав-
уравнению ху' = A—хг)у.
563. Показать, что функция у = ]д удовлетворяет урав-
уравнению ху'=у(у\ах—1).
Ж. Логарифмическая производная
Логарифмической производной функции y = f(x) называется производная
от логарифма этой функции, т. е.
" У fix)'
Применение предварительного логарифмирования функции иногда упрощает
нахождение ее производной.
Пример. Найти производную сложно-показательной функции
y = uv,
где u = (f{x) и ?»=¦>!) (х).
Решение. Логарифмируя, получим:
\ny = v\nu.
Дифференцируем обе части последнего равенства по х
(\ny)' = v' lnu + o(ln и)',
или
1 , ,. , 1 ,
— у =v In u-\-v— к,
у * и
отсюда
или
y' = uv lv' Inn + — и').
564. Найти у', если
2
Решение. 1пу = -5-1пд: + 1п A— х) — In (I +xt)-\-3 lnslnjc+21ncosx;
о
7 у> ~ТТ+Г^~Г+
откуда
cosjc 2sinjc
Уу ~У7Т1-х~1-\-х*~г~и sin* ~cos*'
1

f 3] ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ. НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ ЯВНО ЗАДАННЫМИ 53
565. Найти у', если у = (sin x)x.
Решение. Iny = x In sin*; — </' = In sinx-\-xctgx;
у' = (sin x)x (In sin x-\-x ctg x).
Найти у', применяя предварительно логарифмирование функ-
функции y = f(x):
566. y = (x+l)Bx+l)Cx+l).
569. у = х-|/^ 570. ^ =
571. »= , . ^*~' 572. (/ =
573. г/ = а-2. 574. г/=/х.
575. г/ = Г *. 576. у = х«*.
577. y = xsinx. 578. у = (cos%)'ln
579. у= A +-)*• 580. y = (a
§ 3. Производные функций, не являющихся явно заданными
1°. Производная обратной функции. Если для функции
= f(x) производная у'х ф 0, то производная обратной функции x — f~l(y)
Ух
или
dx_J_
dy~ dy_ '
dx
Пример 1. Найти производную xtJ, если
у = х-\-\пх.
_ „ > , . 1 X -(- 1 • X
Решение. Имеем (/х=1-) = —¦—; следовательно, ху=—г~т,
XX X -\- I
2°. Производные функций, заданных параметрически.
Если зависимость функции у и аргумента х задана посредством параметра t
то
Ух ; i

54 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 'ГЛ- ll
или в других обозначениях
d? «
dy __ dt
dx~ dx '
dt
Пример 2. Найти -j-, если
/ x = a cost,
\ y = asint.
Решение. Находим гтт =—asint и -т^-=асоз/. Отсюда
dx —asint "
3°. Производная неявной функции. Если зависимость между
хну задана в неявной форме
F(x,y) = 0. A)
то для нахождения производной у'х=у' в простейших случаях достаточно:
1) вычислить производную по х от левой части уравнения A), считая у функ-
функцией от х; 2) приравнять эту производную нулю, т. е. положить
F(x, y) = Q. B)
и 3) решить полученное уравнение относительно у*.
Пример 3. Найти производную ух, если
х3+у3—Заху = 0. C)
Решение. Составляя производную левой части равенства C) и прирав-
приравнивая ее нулю, получим:
З*2 + ЗуУ — За(у + ху') = О,
отсюда
ах—у2
581. Найти производную х'и, если
а) у = 3х + х2;
. б) y = x—^smx;
в) г/=0,1х + еа.
Определить производную г/'=^-j^ для функций у, заданных
параметрически:

i 3] ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ ЯВНО ЗАДАННЫМИ 55
| ДС = -
582. ^ ' 583-
f*=2*-lf
584.
586.
588.
л =
У =
x=Vt,
y=Vl.
\ у = а (sin t — t cost).
I X-
x = arccos-
592.
594
585.
587.
589.
591.
593.
У =
Vt'+i'
x = acos2t,
y = bsm2t.
x ¦=¦
cos3 t
/cos2t '
sin3 t
v /cos 2/
y = arcsin
у = a (sin
/).
595. Вычислить ^ при t = у , если
; = а(^—sin /),
= a(l —cos 2).
_ dy a sin ^
Решение. —=
sin
a(l—cos^) 1 — cos ?
С .
596. Найти ^ при t = \, если
и ( Ч- I _ =-
. я
sin —
_in t
j-x
597. Найти ^| при ^ = -j, если
598. Доказать, что функция у, заданная параметрически
уравнениями

56 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
удовлетворяет уравнению
»-B)'+«(ИI- ¦
599. При х = 2 справедливо равенство
х* = 2х.
Следует ли отсюда, что
(*¦)' = BдО
при х = 2?
600. Пусть у=Уа2—хг. Можно ли почленно дифференциро-
дифференцировать равенство
Найти производную у' = -? от неявных функций у:
601. 2х—5у'+10 = 0. 602. -5- + т? = 1-
603. х3 + у3 = а3. 604.
605. Vx + Vy = Va. 606.
607 • У2 = Х^- т- 0-0,3 sin у = х.
609. a cos2 (* + «/)=&. 610. tgy = xy.
611. *t/ = arctg—. 612.
613. ^ = х + 1/. 614. \nx + e x =c.
- = i
615. In у + у = с 616.
617. VAJcM^=^arctg|-. 618. x« =yx.
619. Найти у' в точке МA; 1), если
2у=1+ху3.
Решение. Дифференцируя, имеем 2у' =уа-\-Зху2у'. Полагая х = 1 пу=1,
получим 2у' = I +3у', откуда у' = — 1.
620. Найти производные у' заданных функций у в указан-
указанных точках:
а) (х + у)* = 27(х—у) при х = 2 и у=1;
б) уеУ = е*+1 при х = 0 и г/=1;
в) i/2 = x + ln-j при х=1 и j = l.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
57
§ 4. Геометрические и механические приложения производной
1°. Уравнения касательной и н о р м а л и. Из геометрического
смысла производной следует, что уравнение касательной к кривой y=f (х) илн
F {х, у) = 0 в точке М (х0, уа) будет
где у0 есть значение производной у' в точке М (дса< у0). Прямая, проходящая
Ук
В
f /Т
St "К" & N X
Рис. 13.
через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью
к кривой. Для нормали получаем уравнение
ч — уй)=0.
2°. Угол между кривыми. Под углом между кривыми
а их общей точке Мо (х0, уа) (рис. 12) понимается угол <а между касатель-
касательными МаА и М0В к этим кривым в точке Мй.
По известной формуле аналитической геометрии получаем:
3°. Отрезки, связанные с касательной и нормалью,
для случая прямоугольной системы координат. Касатель-
Касательная и нормаль определяют следующие четыре отрезка (рис. 13):
t = ТМ — так называемый отрезок касательной,
St = TK — подкасательная,
п = ЫМ — отрезок нормали,
Sn = KN — поднормаль.
Так как КМ = \уа\ и tgq> = i/o. то

58
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
4°. Отрезки, связанные с касательной и нормалью,
для случая полярной системы координат. Если кривая зада-
задана в полярных координатах уравнением /р = /(ф), то угол ц, образованный
касательной МТ и полярным радиусом г=ОМ (рис. 14), определяется следую-
следующей формулой:
d® r
Касательная МТ и нормаль ММ в точке М вместе с полярным радиусом точки
2
'\
Рис. 14.
Рис. 15.
касания и перпендикуляром к полярному радиусу, проведенным через полюс О,
определяют следующие четыре отрезка (см. рис. 14):
t = MT — отрезок полярной касательной,
п = MN — отрезок полярной нормали,
St = ОТ—полярная подкасательная,
Sn = ON — полярная поднормаль.
Эти отрезки выражаются следующими формулами:
t = MT =
n = MN =
k'l
i
621. Какие углы ср образуют с осью ОХ касательные к кривой
= х—х3 в точках с абсциссами: а) х = 0; б) х — -^\ в) *=1?
Решение. Имеем у'=1—2х. Отсюда: a) tg<p=l, ф = 45"; б) tg<p = O
= 0°; в) tg ф= — 1, ф=135° (рис. 15).
622. Под какими углами синусоиды y = sinx и i/ = sin2^ пе-
пересекают ось абсцисс.в начале координат?
623. Под каким углом тангенсоида y=tgx пересекает ось
абсцисс в начале координат?
624. Под каким углом кривая y = e°>BJf пересекает прямую
* = 2?
625. Найти точки, в которых касательные к кривой у = 3х* +
+ 4л;3—12я2 + 20 параллельны оси абсцисс.

§ 4] ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ . 59
626. В какой точке касательная к параболе
у = х2 — 7л:+ 3
параллельна прямой 5х + у— 3 = 0?
627. Найти уравнение параболы у = хг-\-Ьх-{-с, касающейся
прямой х~у в точке A; 1).
628. Определить угловой коэффициент касательной к кривой
х3 + у3 — ху—7 = 0 в точке A; 2).
629. В какой точке кривой у2=2х3 касательная перпенди-
перпендикулярна к прямой 4х — Зг/ + 2 = 0?
630. Написать уравнения касательной и нормали к параболе
в точке с абсциссой х = 4.
Решение. Имеем у' = у=-; отсюда угловой коэффициент касатель-
2 V х
ной k=[y'ix=i — ~r- Так как точка касания имеет координаты х = 4, у = 2,
то уравнение касательной есть у— 2 = -г-(х—4), или х—4(/ + 4 = 0.
В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент нормали
*i=-4,
откуда уравнение нормали у—2=—4 (х—4), или 4х-\-у—18 = 0.
631. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
у = х3 + 2х2 — 4х — 3 в точке ( — 2; 5).
632. Найти уравнения касательной и нормали к кривой
в точке A; 0).
633. Составить уравнения касательной и нормали к кривым
в указанных точках:
а) y = tg2x в начале координат;
% j
б) t/ = arcsin—2— в точке пересечения с осью ОХ;
в) у =arccos Зх в точке пересечения с осью OY\
г) у = \пх в точке пересечения с осью ОХ;
д) у = е1~х в точках пересечения с прямой у = \.
634. Написать уравнения касательной и нормали в точке
B; 2) к кривой
\+t

60 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
635. Написать уравнения касательной к кривой
x=/cos/, у = t s'mt
в начале координат и в точке t— -2-.
636. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
+ у2 + 2х—6 = 0 в точке с ординатой у= 3.
637. Написать уравнение касательной к кривой х*-\-уь —
— 2ху = 0 в точке A; 1).
638. Написать уравнения касательных и нормалей к кривой
у = (х—1)(л:--2)(л;—3) в точках ее пересечения с осью абсцисс.
639. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
у4 = 4х* + бху в точке A; 2).
640*. Показать, что отрезок касательной к гиперболе ху = а2,
заключенный между осями координат, делится в точке касания
пополам.
641. Показать, что у астроиды х2/3 + у2/3 = а2/3 отрезок ка-
касательной, содержащийся между координатными осями, имеет
постоянную величину, равную а.
642. Показать, что нормали к развертке окружности
х = а (cos t + t sin t), y = a(sint — t cos t)
являются касательными к окружности
643. Найти угол, под которым пересекаются параболы у —
= (х—2J и у=— 4 + 6х—х2.
644. Под каким углом пересекаются параболы (/ = я2 и у = х3?
645. Показать, что кривые у = 4х2-\-2х—8 и у = х3—х^тЬ К)
касаются друг друга в точке C; 34). Будет ли то же самое
в точке (— 2; 4)?
646. Показать, что гиперболы
ху — а2 и х2—г/2 = Ьа
пересекаются под прямым углом.
647. Дана парабола у2 = Ах. Вычислить в точке A; 2) дли-
длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и под-
норма'ли.
648. Найти, подкасательную кривой у = 2* в любой ее точке.
649. Показать, что у равносторонней гиперболы х2 — г/2 = а2
длина отрезка нормали в любой точке равна полярному радиусу
этой точки. .."..•
650. Показать, что поднормаль гиперболы х2—у2 = а2 в любой
ее точке равна абсциссе этой точки.
х2 и2
651. Показать, что подкасательные эллипса -^ + ^ -- 1 и окруж-
окружности хг-\-у2 = аг в точках, имеющих одинаковые абсциссы, рав-

§ 4] ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 61
ны между собой. Какой прием построения касательной к эллипсу
отсюда вытекает?
652. Найти длины отрезков касательной, нормали, подкаса-
подкасательной и поднормали у циклоиды
j
\ y = a(\—cost)
в произвольной точке.
653. Найти угол между касательной и полярным радиусом
точки касания у логарифмической спирали
654. Найти угол между касательной и полярным радиусом
точки касания у лемнискаты r2==a2cos 2ср.
655. Найти длины отрезков полярных касательной, нормали,
подкасательной и поднормали, а также угол между касатель-
касательной и полярным радиусом точки касания у спирали Архимеда
г = скр
в точке с полярным углом ср = 2л.
656. Найти длины отрезков полярных подкасательной, поднор-
поднормали, касательной и нормали; а также угол между касательной
и полярным радиусом у гиперболической спирали г~— в про-
произвольной точке ф = ф„; г = га.
657. Закон движения точки по оси ОХ есть
Найти скорость движения точки для моментов времени: to = O,
tt=\ и ?2 = 2 (x дается в сантиметрах, t — в секундах).
658. По оси ОХ движутся две точки, имеющие законы дви-
движения
х = 100 + 5/
где t ^ 0. С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга
в момент встречи (х дается в сантиметрах, t— в секундах)?
659. Концы отрезка АВ = Ъ м скользят по перпендикулярным
прямым ОХ и OY (рис. 16). Скорость перемещения конца А
равна 2 м/сек. Какова скорость перемещения конца В в тот
момент, когда конец А находится от начала координат на рас-
расстоянии 0/4 = 3 л?

62
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
! 660*. Закон движения материальной точки, брошенной в вер-
вертикальной плоскости X0Y (рис. 17) под углом а к горизонту
с начальной скоростью и0, дается формулами (без учета сопро-
сопротивления воздуха)
* = и0/cos a, y = vutsma—SL. t
где t—время, g—ускорение силы тяжести. Найти траекторию
движения и дальность полета. Определить также величину ско-
скорости движения и ее направление.
Yk
3 А
Рис. 16.
Рис. 17.
10
661. Точка движется по гиперболе у = — так, что ее абсцис-
абсцисса х растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду.
С какой скоростью изменяется ее ордината, когда точка про-
проходит положение E; 2)?
662. В какой точке параболы г/2 =18* ордината возрастает
вдвое скорее, чем абсцисса?
663. Одна сторона прямоугольника имеет постоянную вели-
величину а= 10 см, а другая Ъ изменяется, возрастая с постоянной
скоростью 4 см/сек. С какой скоростью растут диагональ прямо-
прямоугольника и его площадь в тот момент, когда ft = 30 см?
664. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/сек.
С какой скоростью растут площадь поверхности шара и объем
шара в момент, когда радиус его становится равным 50 см?
665. Точка движется по архимедовой спирали
г = а<р
(а=10 см) так, что угловая скорость вращения ее полярного
радиуса постоянна и равна 6° в секунду. Определить скорость
удлинения полярного радиуса г в момент, когда г = 25 см.

$ 5] ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 63
666. Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса
его части AM растет пропорционально квадрату расстояния
текущей точки М от конца А и равна 10 г при AM = 2 см.
Найти массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой
его точке М. Чему равна линейная плотность стержня в точ-
точках А и 5?
§ 5. Производные высших порядков
1°. Определение высших производных. Производной вто-
второго порядка или второй производной функции y = f{x) называется производ-
производная от ее производной, т. е.
(У'У-
Обозначается вторая производная так:
у", или -т-|, или /" (х).
d2x
Если * = /(<)—закон прямолинейного движения точки, то есть уско-
ускорение этого движения.
Вообще, производной п-го порядка от функции y = f(x) называют произ-
производную от производной порядка (л—1). Для л-й производной употребляются
обозначения
#<">, или п , или /"•> (л;).
Пример 1. Найти производную 2-го порядка от функции
4Г = 1пA—*).
—1 ( — 1 V 1
Решение. У1 — -, \У"=[-, ) = — т\ гг •
2°. Ф о р м у л а Лейбница. Если функции и = ср (*) и v = y\>(x) имеют
производные до л-го порядка включительно, то для вычисления л-й производ-
производной произведения этих функций можно пользоваться формулой Лейбница
(ии)*-п1 = U^n^ V -\- Пп*-п ~ Ч у' -| —- и^п ~ 2' V* -}~ • • * -f- Ш^п),
LI • 2
3°. Производные высших порядков функций, заданных
параметрически. Если
f* = <p(/),
1У = ФС).
то производные yx = -f-, Ухх — j ,г • "• последовательно могут быть вычис-
вычислены по формулам:

64 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Для произподнои 2-го порядка имеет место формула
x'tytt—xiiy't
Пример
Ре ш е н и
2.
е.
Найти
Имеем
и'
а
(
(п
Ухх —
у", если
(Ь sin t)'t
(a cos t)'t
ъ у
a C g )t
(x'tK
= a cos t,
= b sin/.
J-cos /
— a sin t
Ь , -1
— a sin/
b
a
b
a2 sin3 /
Л. Производные высших порядков явных функций
Найти производные 2-го порядка от следующих функций:
667. у = Xs + 7х6 — Ъх + 4. 668. у = ех*.
669. у = sin2 х. 670. y = \nl/l+x2.
671. y = \n(x-^Va2+x2). 672. /(*) = A +х2) arctg*.
673. # = (arcsirucJ. 674. y = ach—.
675. Показать, что функция у = — 2 удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению у
676. Показать, что функция у = -^-х2ех удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению у"—2у' -\-у = ех.
677. Показать, что функция у = С1е~х-\-Сге~2х при любых
постоянных С1 и С2 удовлетворяет уравнению у" + Зу' + 2у = 0.
678. Показать, что функция г/ = е2* sin 5* удовлетворяет урав-
уравнению г/"—4г/' + 29г/ = 0.
679. Найти г/'", если у = х3 — 5х2 + 7х—2.
680. Найти /'"C), если f(x) = Bx—3)\ '
681 Найти у4 от функции # = 1пA+#)-
682. Найти ущ от функции i/ = sin2j;.
683. Показать, что функция у = е~х cos x удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению t/vl + 4«/ = 0.
684. Найти /@), /'@), /"(О) и /'"@). если
/ (х) = ех sin х.
685. Уравнение движения точки по оси ОХ есть
*= 100 + 5/—0,001 ¦/«.

S 5]
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
65
'
Найти скорость и ускорение точки для моментов времени ta=0,
tt=l; /,= 10.
686. По окружности хг-\-уг = аг движется точка М с постоян-
постоянной угловой скоростью (й. Найти закон
движения ее проекции Мг на ось ОХ,
если в момент ?=0 точка занимает поло-
положение М0(а, 0) (рис. 18). Найти скорость
и ускорение движения точки М±.
Чему равны скорость и ускорение
точки Mi в начальный момент и в мо-
момент прохождения начала координат?
Каковы максимальные значения абсо-
абсолютной величины скорости и абсолютной
величины ускорения точки Мх?
687. Найти производную л-го по-
порядка от функции у = (ах -f- b)" (n — натуральное число).
Нй
рис
фу у ( ( ур
688. Найти производные п-то порядка от функций:
а) У = fh
У =
689.
а) y
б) y
в) у
г) у
690.
а г/
б) г/
в) г/
691.
Найти n-ю производную от функций:
д) У = —х'>
e) у=т^х;
= е~зх; ж) у = &тгх;
= \п{\+х); з) у = \п(ах-\-Ь).
Применяя формулу Лейбница, найти ум, если:
= хе*; г) у = -гт=?',
V х
= х2е-"; д) y = x3lnx.
Найти /<п)@), если /М = 1пу4^-
Б. Производные высших порядков функций,
заданных параметрически, и неявных функций
Найти -г-| от следующих функций:
X=]nt,
б
= acost, [ x= a cos3/,
693. a)| y = as-mt. б) | y==as[nH.
3 Под ред. Б. П. Демидовича

66 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. И
(x = a(t—smt), ( x=a{smt—tcost),
в) \у = а A—cos t); г) \ у = a (cos t +1 sin t).
696. Найти 2^, |уез
697. Найти ^ при / = 0, если < »=^2#
698. Показать, что у, как функция от х, определяемая урав-
уравнениями x = s'mt, у =aeiV 2 +be~tVг, при любых постоянных а
и b удовлетворяет дифференциальному уравнению
Найти г/"' =gj| от следующих функций:
701
f x = e~f, Ann I ^ = ln/,
. | y==f3 702. Найти У, если | y==t^
703. Зная функцию y = f(x), найти производные х", xf" об-
обратной функции x = f~l(y).
704. Найти у", если + 1
Решение. На основании правила дифференцирования сложной функции
имеем 2х4-2ии" = 0; отсюда у'' = и (/" = — ( — ) =—-—т~ • Подстав-
У \ У Jx У*
ляя вместо у его значение, окончательно получим:
Определить производные у" от следующих функций y = f(x),
заданных неявно:
705. у* = 2рх.
706. -?L + |r=*l-
707. у = х + arctg у.
708. Имея уравнение у = х + In у, найти -т-| и j4«
ил ау

§ 6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
709. Найти у" в точке A; 1), если
х2 + Ъху + у2 — 2х 4- у—6 = 0.
710. Найти у" в точке @; 1), если
67
711. а) Функция у задана неявно уравнением
х2 + 2ху + у2 — 4х + 2у—2 = 0.
Найти ^ в точке A; 1).
б) Найти §, если
§ 6. Дифференциалы первого и высших порядков
Iе. Дифференциал первого порядка. Дифференциалом (пер-
вого порядка) функции y = f(x) в точке х называется главная часть ее при-
приращения, линейная относительно приращения Ax = dxнезависимой переменной*.
Дифференциал функции равен произведению
ее производной на дифференциал независимой /
dy = y'dx. ft—*
Отсюда
Если MN—дуга графика функции у~
= f(x) (рис. 19), МТ — касательная в точке
М{х, у) и
то приращение ординаты касательной
и отрезок AN = ky.
Пример 1. Найти приращение и дифференциал функции у — 3хг—х,
Решение. 1-й способ:
Ду = 3 (х + Д*J — (х + Д*) — Зх2+х
Следовательно,
2-й способ:
dy = {6х— 1) Дх= F*— 1) dxt
= y'dx = Fx—l)dx.
3*

68 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Пример 2. Вычислить Ау в dy функции у=3х*—х при х=1 и Длс=О,О1.
Решение.
Ау = Fх— 1).Д*+3(Д*)а=5.0,01 + 3.@,01)а = 1
я
dy=Fx—l) Д*=5- 0,01 =0,0500.
2°. Основные свойства дифференциалов:
1) dc=0, где c=const.
2) dx = Ax, где х—независимая переменная.
3) d{cu) = cdu.
4)
5)
6)d(±\ vdu-udv
3°. Применение дифференциала к приближенным вы-
вычислениям. Если приращение Дх аргумента х мало по абсолютной вели-
величине, то дифференциал dy функции y = f(x) и приращение Ау функции при-
приближенно равны между собой
Ау и dy,
откуда
/(*+д*)«/(*)+/'(*) л*. 0)
Пример 3. Насколько приблизительно изменится сторона квадрата,
если площадь его увеличилась от 9 мг до 9,1 л2?
Решение. Если х—площадь квадрата и у—сторона его, то
По условию задачи: дс=9; Дл:=0,1.
Приращение Ау стороны квадрата вычисляем приближенно:
—^=
2 у 9
0,1=0,016 л.
4°. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом
второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка:
Аналогично определяются дифференциалы третьего и т. д. порядков.
Если y = f(x) и х—независимая переменная, то
&y = y"(dxf
d3y = y"'(dx)*,
Если же y = f(u), где и = <р(х), то
d*y = y'(du)i+y'd*u, &y = yn< (du)» + 3y'du.d*u+y'd3u
и т. д. (Здесь штрихами обозначено дифференцирование по и.)

§ 6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 69
712. Найти приращение Ау и дифференциал dy функции
у = 5х + х2 при х = 2 и Д* = 0,001.
713. Не вычисляя производной, найти
d(\— х3)
при х = 1 и Ах = — -у .
714. Площадь квадрата 5 со стороной, равной*, выражается
по формуле S = x2. Найти приращение и дифференциал этой
функции и выяснить геометрическое значение последнего.
715. Дать геометрическую интерпретацию приращения и диф-
дифференциала следующих функций:
а) площадь круга 5 = лх2; б) объем куба v = x3.
716. Показать, что при Ая-«-О приращение функции у = 2х,
соответствующее приращению х на величину Ах, при всяком х
эквивалентно выражению 2х Ах In 2.
717. При каком значении х дифференциал функции у = х2 не
эквивалентен приращению этой функции при Ах—»-0?
718. Имеет ли функция у = \х\ дифференциал при я = 0?
719. Пользуясь производной, найти дифференциал функции
y = cosx при * = ¦?• и Ах = ^.
720. Найти дифференциал функции
2
y
при х = 9 и Ал; = —0,01.
721. Вычислить дифференциал функции
я д я
прих=з- и Ах = Ш-
Найти дифференциалы следующих функций для произволь-
произвольных значений аргумента и его приращения:
722. у =-4-. 723. у=~.
f хт а 1—х
4
хт
—
726. у = е~х\ V727. у = х\пх—х.
724. y=arcsin—. V 725. y^
728. у = \п\^. ^729. r = ctgcp + coseccp.
730. s = arcctge*.
731. Найти dy, если х2 + 2ху—у2 = аг.
Решение. Пользуясь инвариантностью формы дифференциала, получим:
2xdx+2(ydx + xdy) — 2ydy = 0. Отсюда

70 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно:
732. (х + уУB ) 1
X
733. у=е"у
734.
735. Найти dy в точке A; 2), если у9—у = 6**..
736. Найти приближенное значение sin 31°.
Решение. Полагая дс=агсЗО° = -г- и Д* = агс 1° = t3t;i из формулы A)
О IoU
(см. 3°) имеем sin 31° я sin 30°+-^ cos 30° = 0,500 +0,017-О-=0,515.
IoU t ?
v 737. Заменяя приращение функции дифференциалом, прибли-
приближенно вычислить: a) cos61c;6)tg44°; в)е°'2;г) lg 0,9; д) arctgl,05.
738. Насколько приблизительно увеличится объем шара, если
его радиус # = 15 см удлинится на 2 мм?
739. Вывести приближенную формулу (для |Д*1, малых по
сравнению с х)
и с ее помощью найти приближенные значения для
; 1/640.
740. Вывести приближенную формулу
и найти приближенные значения для l/'\0, \/7Q, ^200.
741. Найти приближенные значения функций:
а) у = х3—4jc2 + 5x + 3 при л; =1,03;
б) f(x) = V'\+x при х = 0,2;
при х= 0,1;
г) у^е1-*' при х =1,05.
742. Найти приближенное значение tg45°3'20".
743. Найти приближенно arcsin 0,54;
744. Найти приближенно ?/17.
745. Показать, основываясь на формуле закона Ома 1 = — у что
малое изменение тока, обусловленное малым изменением сопро-
сопротивления, может быть найдено приближенно по формуле
А/ = —?

§ 7] ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ 71
746. Показать, что относительная погрешность в 1% при
определении длины радиуса влечет за собой относительную по-
погрешность приблизительно в 2% при вычислении площади круга
и поверхности шара.
747. Вычислить &гу, если г/= cos 5л;.
Решение. d2y = y" (dxJ = — 25 cos 5x (dxJ.
748. u — V\— х2, найти d2u.
749. i/ = arccosx, найти d2y.
750. y = smx\nx, найти d2y.
751. 2=-^, найти d2z.
752. z = x2e~*, найти d3z.
753- г = 2^> найти d*z-
754. u =3 sin Bx + 5), найти dnu.
755. y=exeos asin (xsina), найти d"y.
§ 7. Теоремы о среднем
1°. Теорема Ролл я. Если функция / (х) непрерывна на отрезке
b, имеет производную /' (я) в каждой внутренней точке этого отрезка и
/(«) = /(&).
то для аргумента х существует по меньшей мере одно значение \, где a < ? < b,
такое, что
2°. Теорема Лагранжа. Если функция / (х) непрерывна на отрезке
и имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то
/(&)-/(а) = (Ь-а)/'(?).
где а< I < Ь.
3е. Теорема Коши. Если функции / (х) и F (х) непрерывны на отрезке
a<*<b и при а<х<Ь имеют производные, не обращающиеся в нуль
одновременно, причем F F) Ф F (а), то
f(b)-f(a) l'(l) ^е .
F(b)-F(a)=FUF)> r«ea<?<b'
756. Показать, что функция f(x) = x—х3 на отрезках —1^С
^jc^O и 0^x^11 удовлетворяет условиям теоремы Ролля.
Найти соответствующие значения |.
Решение. Функция f (х) непрерывна и дифференцируема для всех зна-
значений х; кроме того, /(—1) = / @) = / A)==0. Следовательно, теорема Ролля
применима на отрезках —1<х<0 и 0<л;<1. Для нахождения числа ?
составляем уравнение: /' (х) = 1— Зл2 = 0. Отсюда gx=— 1/ — ; ga= I/ -^- ,
причем — 1 < 1г < 0; 0 < |2 < 1.

72 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
757. Функция / (х) = \/(х—2)» на концах отрезка [0, 4] при-
принимает равные значения f @) = f D) = ?/4. Справедлива ли для
этой функции теорема Ролля на отрезке [0, 4]?
758. Выполнены ли условия теоремы Ролля для функции
на отрезке [0, я]?
759. Пусть
/(*) = * (х+1)(х + 2)(дс
Показать, что уравнение
имеет три действительных корня.
760. Уравнение
очевидно, имеет корень х = 0. Показать, что это уравнение не
может иметь другого действительного корня.
761. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для
функции
на отрезке [—2, 1] и найти соответствующее промежуточное
значение \.
Решение. Функция f(x) = x—ха непрерывна и дифференцируема для
всех значений х, причем /'(*)=1—Зхг. Отсюда по формуле Лагранжа имеем
/(!)-/(—2) = 0—6= [1—(—2)]/' (I). т. е. /'(?) = — 2. Следовательно,
1—3?а=—2 и |= ± 1; годится только значение |= — 1, для которого спра-
справедливо неравенство —2 < | < 1.
762. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа и
найти соответствующую промежуточную точку S для функции
[(х)=х'/г на отрезке [—1, 1].
763. Для отрезка параболы у = х*, заключенного между точ-
точками ЛA; 1) и ВC; 9), найти точку, касательная в которой
параллельна хорде АВ.
764. Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать формулу
sin (x + h) — sin д: = ft cos |,
где <l< + h
l
765. а) Для функций f(x) = x2 + 2 и F (x) = xa — 1 проверить
выполнение условий теоремы Коши на отрезке [1, 2] и найти \;
б) то же для f(x) = s'mx и F(*) = cosx на отрезке 0, -j .

§ 8] ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 73
§ 8. Формула Тейлора
Если функция f (х) непрерывна и имеет непрерывные производные ДО
(я—1)-го порядка включительно на отрезке а <:*«?; 6 (или &<.*«? а), причем
в каждой внутренней точке этого отрезка существует конечная производная
/(п) (х), то на этом отрезке справедлива формула Тейлора
(a)
где |=а + 6(*—а) и 0 < 6 < 1.
В частности, при а = 0 имеем (формула Маклорена):
где I = Qx, 0 < 6 < 1.
766. Многочлен f(x) = x3— 2*2 + 3;е + 5 разложить по целым
неотрицательным степеням бинома х—2.
Решение. /'(x) = 3x2—4ж + 3; f"(x) = bx — 4; /"'(х)=6; р>(*) = 0 для
ns= 4. Отсюда:
/B)= 11; П2) = 7; Г B) = 8; /'"B) = 6.
Следовательно,
или
je3_2je2-|-3x+5=ll+7(*—2)+4(х — 2J + (д:—2)».
767. Функцию f(x) = ex разложить по степеням бинома jc
до члена, содержащего (х-\-1K.
Решение. /<n'(x) = e* для всех п, /""(—1) = — . Следовательно,
4
где ? = _1+е(х + 1), 0 < в < 1.
768. Функцию f(x) — \nx разложить по степеням х—1 до
члена с (х—IJ.
769. Функцию f(x) = s'mx разложить по степеням х до чле-
члена с х3 и до члена с хъ.
770. Функцию f(x) = e* разложить по степеням х до члена
с х"-1.
771. Показать, что s'm(a-{-h) отличается от sin a -\- h cos а на
более чем на -j/ta.

74 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
772. Выяснить происхождение приближенных формул:
a) KbM«l+j*
jX\ \Х\<1,
и оценить их погрешность.
773. Оценить погрешность формулы
774. Тяжелая нить под действием собственного веса прови-
провисает по цепной линии y = ach —. Показать, что для малых |*|
форма нити приближенно выражается параболой
775**. Показать, что при |д:|<^а с точностью до (— J имеет
место приближенное равенство
X
а—х
§ 9. Правило Лопиталя—Бернулли раскрытия
неопределенностей
1°. Раскрытие неопределенностей типа-г-и —. Пусть одно-
еначные функции / (х) и <р (х) дифференцируемы при 0 < |х—а\ < h, причем
производная <р' (х) не обращается в нуль.
Если f (х) и <р(я)—обе бесконечно малые или обе бесконечно большие
Нх)
при х -> а, т. е. если частное -jh представляет в точке х = а неопределен-
0 00
ность типа -7г или —, то
О оо
ыЩ-]1»Ш
*-афМ *-аф (X)
при условии, что предел отношения производных существует (правило Лопи-
Лопиталя— Бернулли). Правило применимо и в случае, когда а=со,
f (х)
Если частное ' ,\\ вновь дает неопределенность в точке х = а одного из
Ф (*)
двух упомянутых типов и /' (х) и ф' (х) удовлетворяют всем требованиям, ра-
ранее сформулированным для / (*) и ф (*), то можно перейти к отношению вто-
вторых производных и т. д.
/ (х)
Однако следует помнить, что предел отношения -^-к может существовать,
в то время как отношения производных не стремятся ни к какому пределу
(см. № 809).

§ 91 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 75
2°. Прочие неопределенности. Для раскрытия неопределенно-
неопределенностей типа 0-оо преобразуем соответствующее произведение fi(x)-fz{x), где
) = 0 и 11тМх) = оо, в частное Щ$- (тип -?Л или Щ$- (тип —).
л:-.а _J_ \ 1> У 1 \ *°У
В случае неопределенности типа оо — оо следует преобразовать соответ-
ствующую разность ft (х)—/2 (х) в произведение /i (х) 1 — ^ \ и раскрыть
L a WJ
сначала неопределенность ' : ' ; если lim = 1, то приводим выражение
/1 Vе) х-*а /1 (х)
к виду
, h (х)
h (x) (
h{x)
Неопределенности типов 1™, 0°, оо° раскрывают с помощью предваритель-
предварительного логарифмирования и нахождения предела логарифма степени [/i (*)]
(что потребует раскрытия неопределенности типа 0-оо).
В некоторых случаях правило Лопиталя—Бернулли полезно комбиниро-
комбинировать с нахождением пределов элементарными средствами.
Пример 1. Вычислить
\пх I оо
-г— неопределенность типа —
ctg*V °°
.
У
Решение. Применяя правило Лопиталя—Бернулли, имеем:
,. In дс (In*)' ,. sin2*
lira -т—= lim 7-т—^г7=—lim *
х-ю ctgx x-.o(ctgA:) *_„ x
Получили неопределенность типа —, однако применять правило Лопиталя
X
Бернулли нет надобности, так как
,. sin2* ,. sinx: . inn
lim =lim ¦ sin x= 1-0 = 0.
x-*o x x^.a x
Таким образом, окончательно находим:
lim -г—=0.
x^-octgx
Пример 2. Вычислить
lim I -т—j jj (неопределенность типа со — оо).
Приведя дроби к общему знаменателю, получим:
,. / 1 1 \ ,. *2 — sin2 л / 0\
lim -7-5 т =bm —„ . „ неопределенность типа-_- 1 .
^oVsm2x х2] х^о хЧт*х V 0 у1
Прежде чем применить правило Лопиталя—Бернулли, заменим знаменатель
последней дроби эквивалентной ему бесконечно малой (гл. 1, § 4) х2 sin 2 х~ х*.

76 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Получше
lim ( . . '¦—т ] = lim т ( неопределенность типа -уг),
х-^уаш'х х'j х-+о х \ и /
По "Правилу Лопиталя—Бернулли
.. I 1 1 \ .. 2х—sin2* .. 2—2cos2*
lim I -^-s ¦ — ] = lim j-s = I'm
12*»
Далее, элементарным путем находим:
,. / 1 1 \ ,. 1—cos2x .. 2sin*je I
Пример З. Вычислить
з
lim (cos 2x)x* (неопределенность типа 1").
Логарифмируя и применяя правило Лопиталя—Бернулли, получим:
fit n «тг .. 31ncos2x ... tg2* .
lim In (cos 2x)x =Iim 5 =—6 lim -Щ:—=5—6<
X-»0 Jt-»O ¦* Jt-O *X
Следовательно, lim (cos 2х)*' —е~*.
Найти указанные пределы функций:
y3 Оу2 ___ v I О
Зл:а—4^—1
Решение, lim =—=——±—:= lim
хз 7* + 6
a—7 2
777. lim
«-0
— Sitl Ж
%/ 778. lim .
V- ¦»-i1_8in«L
779. lim ^=i . v 780. lim
783. lim %. . , ,nj,
v» ,^\ 1 пал 12*— 1П л
*-¦ * * ', nj 784. lim
з/- •
я *-*<* у х
785. lim .
*-*о cta 51 786, lim
In sin x

9] РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 77
787, Hm(l— cosx)ctgx.
Х-+0
_ ..... , ,. A—cos x) cos x
Решение, hm A—cos x) ctg x = hm =
,. A — cosx) ,. .. sinx . .
lim - : • lim cos x = hm • I = ()•
jc-o sinx x-a jtcos*
788. lim A — x)tg-^. 789. lim arcsinxctgx.
790. lim (xne-x), n>0. 791. limxsin —.
x-+ + a> x-*a>
792. lim x" sin-, n > 0. 793. lim In л; In (x— 1).
*-* + » X x -* 1
794. lim f * __L_") .
x
_ .. ( x ! \ ..
Решение, lim ; — -— ) = lim
x
I \ ,. x\n x — x-\-l
r — -. I = lim —: 7Г-: :
795. lim
e—I In xj x->i (x—1) In x
1 —
' ~x~* X ,. In x ,. x 1
lim j = lim j = hm — T^1^'
x x x хг
5
796. lim '
-j—Ц^=г ;—Ц-т
2A- /x) 3(l-?/)
797. lim f-^ о—V 798- lim*"-
я Vctg* 2 cos*; ^+0
2
Решение. Имеем xx = y; lny = x]nx; lim In у = lim x lnx ;
lim —=— ss lim г==^> откуда lim у = 1, т. е. limx* = l1
x*a 1 *->o j_ x-»o x-*o
x x*
_L 3
799. lim л;*. 800. litnx4 + ln*.
ХЧ- + Х x-^+0
801. limjcsin*. 802. lim A— x)e<"Y .
jf->+0 *-»¦ 1 —0
803. lim A+x2)*. 804. limx1-*.
x->0 x-t-l
/1 nx\tsT —
805. lim tgx • 806- Hm(ctgx)lnjc.
x-*l ч ' x->0

78 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
807. lim (-УеХ. 808* Ifel(c!g*)¦*«*.
809, Доказать, что пределы:
х2 sin —
a) lim—=—- = 0;
slnx
a
не могут быть найдены по правилу Лопита-
-0 ля—Бернулли. Найти эти пределы непосред-
непосредственно.
Рис- 20- 810*. Показать, что площадь кругового
сегмента с малым центральным углом а, имею-
имеющего хорду АВ = Ъ и стрелку CD=h (рис, 20), приближенно
равна
со сколь угодно малой относительной погрешностью при о—»-0.

ГЛАВА III
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 1. Экстремумы функции одного аргумента
1°. Возрастание и убывание функций. Функция y = f(x) на-
зывается возрастающей (убывающей) на некотором интервале (отрезке), если
для любых точек *i и jc2, принадлежащих данному интервалу (отрезку), из
неравенства xt < хг следует неравенство f (х-,} < / (д;2) (рис. 21, а) (/ (х{) > / (х2)
(рис. 21,6)). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а,Ь\ и /' (х) > О
(/' (х) < 0) при а < х < Ь, то / (ж) возрастает (убывает) на отрезке [а, Ь].
У
и
V
т
f(x2)
ф
Рис. 21.
Рис. 22.
В простейших случаях область существования функции f(x) можно раз-
разбить на конечное число промежутков возрастания и убывания функции (про-
(промежутки монотонности). Эти промежутки ограничены критическими точками
х (где f (*)=-0 или же /' (х) не существует).
Пример 1. Исследовать на возрастание и убывание функцию
О)
Решение. Находим производную
у' = 2х—2 = 2(х—\).
Отсюда {/' = 0 при х=\. На числовой оси получаем два промежутка монотон-
монотонности: (—оо, 1) и A, +сю). Из формулы A) имеем: 1) если — оо < х < 1, то
у' < 0 и, следовательно, функция f (х) убывает в промежутке (—оо, 1); 2) если

80 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
1 < х < + оо, то у' > 0 и, следовательно, функция f (х) возрастает в проме-
промежутке A, +оо) (рис. 22).
Пример 2. Определить промежутки возрастания и убывания функции
У
Решение. Здесь jc = —2—точка разрыва функции и у'===— „.., <0
\х ~\~ ?)
при х Ф—2. Следовательно, функция у убывает в промежутках —оо < х <—2
и — 2 < х < + оо.
Пример 3. Исследовать на возрастание и убывание функцию
1 « ' ' ,
Решение. Здесь
у'=х*-х*. B)
Решив уравнение х*—д:2 = 0, найдем точки *i = — 1, дга = О, дг3= 1, в которых
производная #' обращается в нуль. Так как у' может изменять знак только
при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или терпит раз-
разрыв непрерывности (в данном случае точки разрыва для у' отсутствуют), то
в каждом из интервалов (—со,—1), (—1, 0), @,1) и A, + оо) производная
сохраняет постоянный знак, поэтому в каждом из этих интервалов исследуе-
исследуемая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких из указанных интервалов
функция возрастает, а в каких — убывает, нужно узнать, каков знак произ-
производной в каждом из этих интервалов. Для того чтобы выяснить, каков знак
у' в интервале (—оо,—1), достаточно узнать знак у' в какой-нибудь одной
точке этого интервала; взяв, например, jc = —2, получим из B) у =12 > О,
следовательно, у' > 0 в интервале (—оо,—1) и функция в этом интервале
возрастает. Аналогично найдем, что у' < 0 в интервале (—1,0) (для провер-
проверки можно, например, взять х = —^ j , у' < 0 в интервале @,1) (здесь мо-
можно использовать х = — J и у' > 0 в интервале A, +оо).
Таким образом, исследуемая функция возрастает в промежутке (—оо, —1),
убывает в промежутке (—1, 1) и опять возрастает в промежутке A, +оо).
2°. Экстремумы функции. Если существует такая двусторонняя
окрестность точки х0, что для всякой точки х ф ха этой окрестности имеет
место неравенство f(x)>f(x0), то точка х0 называется точкой минимума
функции y = f(x), а число / (х0) — минимумом функции у = }(х). Аналогично,
если для всякой точки х Ф xt некоторой окрестности точки хх выполняется
неравенство f (х) < f (xt), то хг называется точкой максимума функции / (х),
а / (*i)—максимумом функции (рис. 23). Точка минимума или максимума
функции называется ее точкой экстремума, а минимум или максимум функ-
функции—экстремумом функции. Если х0—точка экстремума функции f (х), то
Г (ха) = Ъ (стационарная точка), или же f (х0) не существует (необходимое
условие существования экстремума). Обратное предложение не верно: точки,
в которых /' (х) = 0 или же f (х) не существует (критические точки), не обя-
обязательно являются точками экстремума функции f(x). Достаточные признаки
существования и отсутствия экстремума непрерывной функции f(x) даются
следующими правилами:
1. Если существует такая окрестность (*0 — б, ха-\-6) критической точ-
точки х0, что /' (х) > 0 при х0 — б < х < х0 и /' (х) < 0 при х0 < х < хо + б, то

§ 1]
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА
81
х0—точка максимума функции / (х); если же /' (к) < 0 при х0 — 6 < х < хл
и /' (*) > О ПРИ ха < х < *о + °\ то х0 — точка минимума функции / (х).
Если, наконец, найдется такое положительное число 6, что /' (х) сохра-
сохраняет неизменный знак при 0 < \х—хо\ < 6, то точка х0 не является точкой
экстремума функции / (х).
2. Если /' (хо) = О и /" (х0) < О, то хъ — точка максимума функции f (х);
если /' (хо) = О и /" (х0) > 0, то ха — точка минимума функции / (х); если же
Рис. 23.
/' (*o) = O, /" (д:0) = 0, а /'" (х0) ф 0, то точка л:0 не является точкой экстремума
функции / (х).
В более общем виде: пусть первая из не равных нулю в точке хй произ-
еодных функции f (х) имеет порядок k. Тогда, если k — четное, то точка хл
является точкой экстремума, а именно точкой максимума, если /(я> (д:0) < О,
и точкой минимума, если /(*' (х0) > 0. Если же k — нечетное, то точка х0 не
является точкой экстремума.
Пример 4. Найти экстремумы функции
Решение. Находим производную
у'=2 + ^- = -
C)
Приравнивая производную у' нулю, получаем:
Отсюда находим стационарную точку *i = —1. Из формулы C) имеем: если
* = —1—А, где ft —любое достаточно малое положительное число, то у' > 0;
если же х = — 1+А, то у' < 0*). Следовательно, Х\ = — 1 есть точка макси-
максимума функции у, причем i/max=l-
*) Если определение знака производной у' затруднительно, то можно
произвести арифметический расчет, взяв в качестве h достаточно малое поло-
положительное число.

82 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
Приравнивая нулю знаменатель выражения у' из C), получаем
1/7=0;
отсюда находим критическую точку функции ха = 0, где производная у' не су-
существует. При x — — h, очевидно, имеем у' < 0; при x = h имеем у' > 0. Следо-
Следовательно, х2 = 0 есть точка минимума функции у, причем ymin = 0 (рис 24).
Исследование поведения функции в точке х1 = — 1 можно также провести
с помощью второй производной
Здесь у" < 0 при *f = — 1 и, следовательно, *( = >— 1 есть точка максимума
функции.
3е. Наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее (наи-
(наибольшее) значение непрерывной функции / (х) на данном отрезке [а, Ь] дости-
достигается или в критических точках функции, или на
концах отрезка [а, Ь].
Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее
значения функции
у = х3 — с
на отрезке
Решение. Так как
то критическими точками функции у являются
Xi = —1 иха=1. Сравнивая значения функции в
этих точках и значения функции на концах задан-
заданного отрезка
Рис 25
заключаем (рис. 25), что наименьшее значение функ-
функции т=\ достигается в точке х=\ (в точке мини-
минимума), а наибольшее Af = ll — достигается в точке х — 2-^- (на правом кон-
це отрезка).
Определить промежутки убывания и возрастания функций:
811. </=1 — 4х—л;2. 812. */ = (*—2J.
813. «/ = (* +4)s. 814. у = х2(х—3).
815. у =
х—2
816. У=

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА 83
818. y = (x
819. у = ~1/х.
820. y — x + s'mx.
821. у = х\пх.
822. y = arcsin(l+*).
823. у = 2е*г-**.
i
824. у = 2х~а .
Исследовать на экстремум следующие функции:
826. у = л
Решение. Находим производную данной функции у' = 2х+4< Прирав-
Приравняв у' нулю, получаем критическое значение аргумента х= — 2. Так как
у' < 0 при х < —2 и {/' > 0 при х >—2, то х= —2 является точкой мини-
минимума данной функции, причем ут\п = 2. Тот же результат мы получим, исполь-
используя знак второй производной в критической точке: у" = 2 > 0.
827. y = 2-
828. y = xs
829*. у = 2)
Решение.
-\-X — X*.
i — 3x2 +
c3 + 3x2-
Находим
3x + 2.
-12x + 5.
производную
= 6*2 + 6x—12 = 6
x—2),
Приравнивая производную у' нулю, получаем критические точки Xf = — 2
и Х2=1. Для определения характера экстремума вычисляем вторую производ-
производную г/" = 6Bл:+1). Так как у" (—2) < 0, то *! = —2 есть точка максимума
функции у, причем г/тах = 25. Аналогично имеем у" A) > 0; поэтому хг— 1
есть точка минимума функции у и J/min = — 2.
830. t/ = x2 (jc—12)а. 831. у = х(х—\у(х—2K.
(x — 2) (8 — x) nnr> 1в
У = ^ • 835. (/ = —-^—:
836. y= * . 837. у = -т7Л=
•J -Ш/ _9 i i, ** 6 / ..9.
838. t/= ]/(хг— IJ. 839. t/ = 2si
840. y = 2cos-|- + 3cos4-. , 841. у = х—Ы(\+х).
2 3
842. г/ = х1пд;. 843. у = х\п*х.

84 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ?ГЛ. III
844. t/ = ch*. 845. у = хе*.
846. у = х*е~*. 847. </ = -f".
848. у = х—arctgx.
Определить наименьшие и наибольшие значения функций
на указанных отрезках (если отрезок не указан, то следует
определить наименьшее и наибольшее значения функции во всей
области существования):
849. У = Тфр. 850. у =
851. y = sm* x-{-cosxx. 852. f/ =
853. y = x3 на отрезке [—1,3].
854. y = 2x* + 3x*— 12x+l;
а) на отрезке [— 1; 5];
б) на отрезке [— 10; 12].
855. Показать, что при положительных значениях х имеет
место неравенство
856. Определить коэффициенты р и q квадратного трехчлена
у = х2 + рх + q так, чтобы этот трехчлен имел минимум у = 3
при х — \. Объяснить полученный результат геометрически..
857. Доказать неравенство
е*>1+х при
Решение. Рассмотрим функцию
Обычным приемом находим, что эта функция имеет единственный минимум
/@) = 0. Следовательно,
/(*)>/@) при х ф 0,
т. е.
е* > 1+ж при
что и требовалось доказать.
Доказать неравенства:
858. х—-^-<sinx<x при х>
859. cosx>l —^ при
860. д;—^-< 1пA+х)<* при
861. Данное положительное число а разложить на два сла-
слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

$1]
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА
85
862. Кусок проволоки данной длины I согнуть в виде пря-
прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.
863. Какой из прямоугольных треугольников с заданным
периметром 2р имеет наибольшую площадь?
864. Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы
с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а чет-
четвертой стороной примыкала к длинной каменной стене. Какова
наивыгоднейшая (в смысле площади) форма площадки, если
имеется I погонных метров сетки?
865. Из квадратного листа картона со стороной а требуется
сделать открытую прямоугольную коробку наибольшей вмести-
вместимости, вырезав по углам квадраты и загнув выступы получив-
получившейся крестообразной фигуры.
866. Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен
вмещать v литров. При каких размерах на изготовление бака
потребуется наименьшее количество жести?
867. Какой из цилиндров с данным объемом имеет наимень-
наименьшую полную поверхность?
868. В данный шар вписать цилиндр с наибольшим объемом.
869. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой
поверхностью.
870. В данный шар вписать конус с наибольшим объемом.
А В М
Рис. 27.
871. В данный шар вписать прямой круговой конус с наи-
наибольшей боковой поверхностью.
872. Около данного цилиндра описать прямой конус наи-
наименьшего объема (плоскости и центры их круговых оснований
совпадают).
873. Какой из конусов, описанных около данного шара, имеет
наименьший объем?
874. Полоса жести шириной а должна быть согнута в виде
открытого цилиндрического желоба (рис. 26). Каков должен быть
центральный угол <р, чтобы вместимость желоба была наи-
наибольшей?

86 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
875. Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свер-
свернув его, получить воронку наибольшей вместимости.
876. Открытый сосуд состоит из цилиндра, заканчивающегося
снизу полусферой; толщина стенок постоянна. Каковы должны
быть размеры сосуда, чтобы при данной вместимости на него
пошло минимум материала?
877. Определить наименьшую высоту h = OB двери верти-
вертикальной башни ABCD, чтобы через эту дверь в башню можно
было внести жесткий, стержень МН длины /, конец которого М
скользит вдоль горизонтальной прямой АВ. Ширина башни
d<l (рис. 27).
878. На координатной плоскости дана точка Ма (*„, у„), лежа-
лежащая в первой четверти. Провести через эту точку прямую так,
чтобы треугольник, образованный ею с положительными полу-
полуосями координат, имел наименьшую площадь.
879. В данный эллипс вписать прямоугольник наибольшей
площади со сторонами, параллельными осям эллипса.
880. В сегмент параболы у2 = 2рх, отсекаемый прямой х = 2а,
вписать прямоугольник наибольшей площади.
881. На кривой у = 73—2 найти точку, в которой касатель-
ная составляет с осью ОХ наибольший по абсолютной величине
угол.
882. Гонцу нужно добраться из пункта А, находящегося на
одном берегу реки, в пункт В, находящийся на другом. Зная,
что скорость движения на берегу в k раз больше скорости
движения по воде, определить, под каким углом гонец должен
пересечь реку для того, чтобы достичь пункта В в кратчайшее
время. Ширина реки—h, расстояние между пунктами А и В
(вдоль берега)—d.
883. На прямолинейном отрезке АВ = а, соединяющем два
источника света А (силы р) и В (силы q), найти точку М,
освещаемую слабее всего (освещенность обратно пропорцио-
пропорциональна квадрату расстояния от источника света.)
884. Лампа висит над центром круглого стола радиуса г. При
какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежа-
лежащего на краю стола, будет наилучшая? (Освещенность прямо
пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно
пропорциональна квадрату расстояния от источника света.)
885. Из круглого бревна диаметра d требуется вырезать балку
прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина х и
высота у этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее
сопротивление: а) на сжатие, б) на изгиб?
Примечание. Сопротивление балки на сжатие пропорционально пло-
площади ее поперечного сечения, а на изгиб—произведению ширины этого сече-
сечения на квадрат его высоты.

§ 2] НАПРАВЛЕНИЕ ВОГНУТОСТИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА 87
886. Однородный стержень АВ, который может вращаться
около точки А (рис. 28), несет груз Q кг на расстоянии а см
от точки А и удерживается в равновесии вертикальной силой Р,
приложенной к свободному концу В стержня. Погонный санти-
сантиметр стержня весит q кг. Определить у
длину стержня х так, чтобы сила Р
была наименьшей, и найти Pmin.
887*. Центры трех вполне упру- |
гих шаров А, В, С расположены на
одной прямой. Шар А массы М со
скоростью v ударяет в шар В, кото-
который, получая известную скорость, уда-
ударяет в шар С массы т. Какова долж-
должна быть масса шара В, чтобы скорость Рис. 28.
шара С оказалась наибольшей?
888. Имея ./V одинаковых электрических элементов, мы можем
различными способами составить из них батарею, соединяя
по п элементов последовательно, а затем полученные группы
( числом —) — параллельно. Ток, даваемый такой батареей, опре-
определяется формулой
где $—электродвижущая сила одного элемента, г — его внут-
внутреннее сопротивление, R — внешнее, сопротивление.
Определить, при каком значении п батарея даст наиболь-
наибольший ток.
889. Определить, при каком диаметре у круглого отверстия
в плотине секундный расход воды Q будет иметь наибольшее
значение, если Q = «/]/7t-—у, где h—глубина низшей точки от-
отверстия (h и эмпирический коэффициент с—постоянны).
890. Если xit хг, ..-, хп — результаты равноточных измере-
измерений величины х, то ее наивероятнейшим значением является то,
при котором сумма квадратов погрешностей
имеет наименьшее значение (принцип наименьших квадратов).
Доказать, что наивероятнейшее значение величины х есть
среднее арифметическое результатов измерений.
§ 2. Направление вогнутости. Точки перегиба
1°. Вогнутость графика функции. Говорят, что график диффе-
дифференцируемой функции y-=f{x) вогнут вниз на интервале (а, Ь) (вогнут вверх
на интервале (аи bi)), если при а < х < b дуга кривой расположена ниже (или

88
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
соответственно при aj < х <Ь± выше) касательной, проведенной в любой точке
интервала (а, Ь) (или интервала (о*, Ь$) (рис. 29). Достаточным условием во-
вогнутости вниз (вверх) графика y=f{x) является выполнение на соответствую-
соответствующем интервале неравенства
/*(*)< О (/*(*>> 0),
Вместо того чтобы сказать, что график вогнут вниз, говорят также, что он
направлен выпуклостью вверх. Аналогично график, вогнутый вверх, назы-
называют также направленным выпуклостью вниз.
2°. Точки перегиба. Точка (ха, f (xt)), в которой изменяется направ-
направление вогнутости графика функции, называется точкой перегиба (рис. 29).
Для абсциссы точки перегиба х0 графика функции y = f(x) вторая произ-
производная /" (х0) = 0 или Г (Хц) не существует. Точки, в которых /" (х) = 0 или
/* (х) не существует, называются критическими точками 2-го рода. Крити-
Критическая точка 2-го рода х<, является абсциссой точки перегиба, если /* (х) со-
сохраняет постоянные знаки в интервалах х0 — д < х < xt и ха < X < {d
г,
0
yf(x).
!
i
i
а
I
\
> X,
I
!
а, 1
Рис. 29.
где б—некоторое положительное число, причем эти знаки противоположны,
и не является точкой перегиба, если знаки f (х) в указанных выше интерва-
интервалах одинаковы.
Пример 1. Определить интервалы вогнутости и выпуклости, а также
точки перегиба кривой Гаусса
у=е-*г.
Решение. Имеем:
у' = — 2хе~х
-дг»
y" = Dxs—2)e-*a.
Приравняв вторую производную у" нулю, находим критические точки 2-го рода
1 U
и дса =
Эти точки разбивают числовую ось — во < х < + во на три интервала:
1(—во, х{), II (*!, дсг) и III (jCa. +<»)¦ Знаки у" соответственно будут +,
—, + (в этом можно убедиться, взяв, например, по одной точке в каждом
из указанных интервалов и подставив соответствующие значения х в у").
Поэтому: 1) кривая вогнута вверх при —в» < х < -= и < х < + во;

«31
АСИМПТОТЫ
89
2) вогнута вниз при —
1
<*<
1
Точки
Л -
точки
перегиба (рис. 30).
Заметим, что ввиду симметрии относительно оси OY кривой Гаусса иссле-
исследование знака вогнутости этой кривой до-
достаточно было производить лишь на полуоси " .
0 < х < +оо.
Пример 2. Найти точки перегиба гра-
графика функции
у=\/Х+2.
Решение. Имеем:
?"=—.5-(х + 2) 3 =:
-2,
—2
A)
Рис. 31.
Очевидно, у" в нуль нигде не обращается.
Приравнивая нулю знаменатель дроби в правой части равенства A), по-
получаем, что у" не существует при х =— 2. Так как у" > 0 при х<—2 и
у" < 0 при х > —2, то (—2, 0) есть точка перегиба (рис. 31). Касательная
в этой точке параллельна оси ординат, так как первая производная у' при
*= — 2 бесконечна.
Найти интервалы вогнутости и точки перегиба графиков
функций:
891. у = х3 — 6г* + 12* + 4. 892. </ =
894. У =
895. у= у\х* —
897. у = х—sinx.
899. y = atctgx—x.
896. у = cos я
898. y = x4n
900. у =
§ 3. Асимптоты
1°. Определение. Если точка (х, у) непрерывно перемещается по
кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к бес-
бесконечности, и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится
к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. .
2°. Вертикальные асимптоты. Если существует число а такое, что
lim /(jc)=oo,
то прямая х = а является асимптотой (вертикальная асимптота).
3°. Наклонные асимптоты. Если существуют пределы
lira
lim [f(x)-klX]=bi,

90 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. Ill
то прямая y = kiX.-\-bi будет асимптотой (правая наклонная или, в случае
k± = 0, правая горизонтальная асимптота).
Если существуют пределы
Но ь
lim [/(*)*-&,*] = 6„
X -* — ?0
то прямая у = ?2х + &2—асимптота (левая наклонная или, в случае fe2 = 0,
левая горизонтальная асимптота). График функции y = f (х) (функция предпо-
предполагается однозначной) не может иметь более одной правой (наклонной или
горизонтальной) и более одной левой (наклонной или горизонтальной) асимптоты.
Пример 1. Найти асимптоты кривой
Р е ш е н и е. Приравнивая знаменатель нулю, получаем две вертикальные
асимптоты:
дс = —1 и х=\.
Ищем наклонные асимптоты. При х —»• + оо получаем:
=0.
следовательно, правой асимптотой является прямая у=х. Аналогично при
х—••—оо имеем:
fe2= lim M-=—\,
Х-+ - <с Х
Ь2= lim ((/ + *) = О,
х->- - ее
Таким образом, левая асимптота есть у=—х (рис.32). Исследование на
асимптоты данной кривой упрощается, если учесть симметрию этой кривой.
Пример 2. Найти асимптоты кривой
у=х+1пх,
Решение. Так как
lim у = —оо,
Х-+ + О
то прямая х = 0 является вертикальной асимптотой (нижней). Исследуем кри-
кривую только на наклонную правую асимптоту (так как х > 0)<
Имеем:
k= lim -?-=1,
Х-+ + оо х
b= lim (у—х)= lim ln*=oo,
j д:-»+со х-> + оо
Следовательно, наклонной асимптоты нет.

§4]
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ
91
Если кривая задана параметрическими уравнениями x = q>(t); y = \
то сперва исследуют, нет ли таких значений параметра t, при которых одна
из функций ф (t) или if (t) обращается в бесконечность, а другая остается
конечной. При ф(<0)=сю, а
ty (t0) = с кривая имеет горизон- V* '
тальную асимптоту у = с. При
ijj (i0)=oo,a ф(^о) = с кривая
имеет вертикальную асимптоту
х = с.
Если ф(/о)='Ф('о) = <» и
при том
Ilm
Гч
и Ф (О
Iitn [if @— k<p(t)]=b,
t t
I
t
/3
о
Рис. 32.
то кривая имеет наклонную
асимптоту у = кх-{-Ь.
Если кривая задана полярным уравнением r = f(q>), то можно найти ее
асимптоты по предыдущему правилу, преобразовав уравнение кривой к пара-
параметрическому виду по формулам: x=*r cos ф==/ (ф) соэф; у = г зтф = / (ф) sin ф.
Найти асимптоты кривых:
901. у = - г .
903. ы=-5^-г.
9°2- у=
904. У=
906. t/ =
X
Ух^
v 9
+ 3*
909. у = е-*2
911. у =
913. у =
914. x=t; y = t+2arctgt.
915, Найти асимптоту гиперболической спирали г = —.
§ 4. Построение графиков функций по характерным точкам
При построении графика функции следует, прежде всего, найти область
определения этой функции и выяснить поведение функции на границе
ее области определения. Полезно также предварительно отметить некоторые
особенности функции (если они имеются), как-то: симметрия, периодичность,
постоянство знака, монотонность и т. п.
Далее, нужно найти точки разрыва, точки экстремума функции, точки
перегиба, асимптоты и т. д. Найденные элементы позволяют выяснить общий
характер графика функции и получить математически правильный эскиз его.

92 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
Пример 1. Построить график функции
У--
Решение. а) Функция существует всюду, кроме точек лс=± 1.
Функция — нечетная, поэтому график функции симметричен относительно
точки 0@; 0). Это обстоятельство упрощает построение графика.
б) Точками разрыва являются точки х = — 1 и х= 1, причем lim у = ^ во
дг-* 1^0
и lim у=^ оо, следовательно, прямые дс= ± 1 являются вертикальными
*-»--1Т0
асимптотами графика.
в) Ищем наклонные асимптоты. Имеем:
ki= lim -^=0,
Х
bi= lim у =оо,
*-»¦ + <»
следовательно, правой наклонной асимптоты нет. Из симметрии графика сле-
следует, что левая наклонная асимптота также отсутствует.
г) Находим критические точки 1-го и 2-го рода, т. е. точки,, в которых
обращается в нуль или не существует первая или соответственно вторая
производная данной функции.
Имеем:
V -
B)
Производные у' и у" не существуют только при х= ± 1, т. е. только в тезе
точках, где не существует и сама функция у, поэтому критическими точками
будут лишь те точки, где у' или у" обращаются в нуль.
Таблица I
X
У
у'
У"
Выво-
Выводы
0
0
—
0
Точка
пере-
перегиба
@, 1)
—
—
Функция
убывает;
график
вогнут
вниз
1
±00
не
сущ.
не
сущ.
Точка
раз-
разрыва
О. /3)
+
—
+
Функция
убывает;
график
вогнут
вверх
/Зи 1,73
1/2
0
+
Точка
минимума
(Уз. 3)
+
+
+
Функция
возра-
возрастает;
график
вогнут
вверх
3
1,5
+
0
Точка
пере-
перегиба
C, + со)
+
+
—
Функция
возра-
возрастает;
график
вогнут
вниз

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ
93
Из A) и B) следует:
у' = 0 при x=
у" = 0 при х = 0 и х = ± 3.
Таким образом, tf_ сохраняет постоянный_знак в каждом из интервалов
(_оо, -V~S). (- V~a, -П. (-1. 1), О. /~3)и (}Лз, +оо), а {/"-в каж-
каждом из интервалов (—оо, —3), (—3, —1), (—1, 0), @, 1), A, 3) и C, +оо).
Для того чтобы выяснить, каковы именно знаки у' (или соответственно j/*)
в каждом из указанных интервалов, достаточно определить знак у' (или у")
в какой-нибудь одной точке каждого из этих интервалов.
Результаты такого исследования удобно свести в таблицу (таблица I),
вычислив также ординаты характерных точек графика функции. Заметим, что
ввиду нечетности функции у вычисление достаточно провести лишь при
х^О; левая половина графика восстанавливается по принципу нечетной сим-
симметрии.
-/ О
\Гз
Рис. 33.
д) Пользуясь результатами исследования, строим график функции
(рис. 33).
Пример 2. Построить график функции
In ж
Решение, а) Область существования функции: 0 < х < +а>-
б) В области существования точек разрыва нет, но при приближении
к граничной точке (я = 0) области существования имеем:
\пх
Iim y = h
*-»¦ о х-* 0 х
== — ».
Следовательно, прямая х = 0 (ось ординат) является вертикальной асимптотой.

94
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
8
+
<U
^1
n
CO ItN
%>
к
n
o_
о
X
+
с
с
с
!
со
¦5
г
in
- +
t-
с
с
г
5
5
г
+
о
1
i
!
1
1
1
о
+
+
+
не сущ.
"а
+
о
1
1
1 '
1
1
а
&
О)
a
Функция
убывает]
график
вогнут
вверх
Точка
перегиба
Функция
убывает:
график
вогнут
вниз
Точка
иаксимума
функции
Фувкцня
возрастает;
график
вогнут
вниз
Точка
пересечения
графика
с осью ОХ
Функция
возрастает;
график
вогнут
вниз
Граничная
точка области
определения
функции.
Вертикальная
асимптота
Выводы

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ
95
в) Ищем правую наклонную или горизонтальную асимптоту (левая наклон-
наклонная асимптота отсутствует, так как невозможно, чтобы х—»•—оо):
Ь = lim у — 0.
Следовательно, правой горизонтальной асимптотой является ось абсцисс:
у = 0.
г) Находим критические точки. Имеем:
У =
1 — \пх
„ 2 In jc—3
U ~~~ ¦ *
у' и у" существуют во всех точках области существования данной функции и
г/' = 0 при 1пх=1, т. е. при х = е;
у" = 0 при In *=тг , т. е. при х = е3 .
Составляем таблицу, включая характерные точки (таблица II). При этом,
кроме найденных характерных точек, полезно найти также точки пересечения
У
Рис. 34. f
графика с осями координат. Положив у = 0, находим х=\ (точка пересече-
пересечения кривой с осью абсцисс); с осью ординат график не пересекается.
д) Пользуясь результатами исследования, строим график функции
(рис. 34).
Построить графики указанных ниже функций, определив
для каждой функции область ее существования, точки разрыва,
точки экстремума, интервалы возрастания и убывания, точки
перегиба ее графика, направление вогнутости, а также асимп-
асимптоты графика.
916. у = х*—
918. у = (х—
917. t/ =
919. g = (

96 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
—2*+2
920.
922.
924.
926.
928.
930.
932.
934.
936.
938.
940.
941.
942.
_(*"—5)»
У~ 125
у=
4л:-12
16
'¦ (*-4)
921- У--^Т—
923. у=^±1.
925. У = ^гз-
927. у-,?,.
929. y = ^zj.
935. у = Уха—3х.
937. у=У\ — х*.
939. и = Ух + 1 —
952.
954.
956.
958.
960.
962.
964.
y = sinx +
у = sin3 х + cos3 jc.
sin jc
y=-

5]
966. у = cos x • cos 2x.
968. у = arcsin (l — j/x2).
970. y = 2x—tgx.
... , 1
972. y = xarcctg— при л
и у = 0 при х = 0.
974. у = y -\- arcctg x.
976. i/ = Arch
978. y=,e""iaVx.
980. y = In sin x.
982. y=lnx—arctg x.
984. i/ = arctg (In x).
986. u = xx.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА
967. (/ =
97
969. «/ = -^L±.
97). y = xarctgx.
973. у = x + 2 arcctg.
975. y = lnshx.
977. y = esmx.
979. «/ = earct«*.
981. y = lntg (? — i.'
983. y = cosx — lncosx.
985. y = arcsinln(x2+l).
987. u = xT.
Рекомендуется также построить графики функций, указанных
в №№ 826—848.
Построить графики функций, заданных параметрически:
988. x=t* — 2t, y = t* + 2t.
989. x=acos3/, y = asin t (a > 0).
990. x = te\ y=te-f.
991. x^t+e~\ y = 2t + e-*.
992. x = a(sht — t), y = a(cht — \){a>0).
§ 5. Дифференциал дуги. Кривизна
Iе. Дифференциал дуги. Дифференциал дуги s плоской кривой,
заданной уравнением в декартовых координатах х и у, выражается формулой
ds =
при этом, если уравнение кривой имеет вид:
а) y = f(x), то ds= у
б) x = f1(y), то ds=
^.у dy при dy > 0;
в) х =
= Ф@. то ds=
^y+(-J)^ при
г) F(x, У) = О, то ^д
4 Под ред. Б. П. Демидоввча

98
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ СГЛ. III
Обозначая через о угол, образованный положительным направлением
касательной (т. е. направленной в сторону возрастания дуги кривой s)
с положительным направлением оси ОХ, получим;
dx
sma=
dy_
ds
В полярных координатах
ds=
Обозначая через Р угол между полярным радиусом точки кривой и ка-
касательной к кривой в этой точке, имеем:
2°. Кривизна кривой. Кривизной К кривой в ее точке М на-
называется предел отношения угла между положительными направлениями
Рис. 35.
касательных в точках М и N кривой (угол смежности) к длине дуги
MN = &s, когда N—*М (рис. 35), т. е.
г, ., Да da
где а—угол между положительными направлениями касательной в точке Af
и оси ОХ.
Радиусом кривизны Я-называется величина, обратная абсолютной величине
кривизны, т. е.

§5]
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА
99
Линиями постоянной кривизны являются окружность \К=—, где а—ра-
а—радиус окружности) и прямая (К = 0).
Формулы для вычисления кривизны в прямоугольных координатах сле-
следующие (с точностью до знака):
1) если кривая задана уравнением в явной форме y = f(x), то
К=-
У
2) если кривая задана уравнением в неявной форме F (х, у) = 0, то
F'xx
F"x
F*f
Fxy
Fyy
F'y
F'x
F'y
o'
3) если кривая задана уравнениями в параметрической форме jc =
то
х' у'
х" у"
где
~ dt • у ~~ dt ' х "=1
д?»
В полярных координатах, когда кривая задана уравнением
имеем:
— f((f),
К=-
где
, dr ,, с
т'= —- и /¦" = -
3°. Окружность кривизны. Окружностью кривизны (соприкасаю-
(соприкасающейся окружностью) кривой в ее точке М называется предельное положение
окружности, проведенной через точку М и две другие точки кривой Р и Q,
когда Р —>¦ М и Q —> М.
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны, а центр окруж-
окружности кривизны (центр кривизны) находится на нормали к кривой, проведен-
проведенной в точке М в сторону вогнутости кривой.
Координаты X и Y центра кривизны кривой вычисляются по формулам
У'
У'2)
Y = y +
\ + У'
Эволютой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны.
Если в формулах для определения координат центра кривизны рассмат-
рассматривать X и Y как текущие координаты точки эволюты, то эти формулы дают
параметрические уравнения эволюты с параметром X или у (или же t, если
сама кривая задана уравнениями в параметрической форме).

100
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ * 1ГЛ. III
Пример 1. Найти уравнение эволюты параболы у = хг.
Решение. Х = —4хя, Y=
. Исключив параметр х, найдем урав-
пение
эволюты в явном виде Y=-^-\-3 ( -j- ) '.
Эвольвентой (инволютой) кривой называется такая кривая, для которой
данная кривая является эволютой.
Нормаль МС эвольвенты Гг является касательной к эволюте Гг; длина
дуги CCi эволюты равна соответствующему приращению радиуса кривизны
СС1=\М1С1—МС\, поэтому эвольвенту Га назы-
вают также разверткой кривой Гь получающей-
получающейся разматыванием натянутой нити, намотанной
на Г1! (рис. 36). Каждой эволюте соответствует
бесчисленное множество эвольвент, отвечающих
различным первоначальным длинам нити.
4°. Вершины кривой. Вершиной кри-
кривой называется точка кривой, в которой кри-
кривизна имеет максимум или минимум. Для опреде-
определения вершин кривой составляется выражение
кривизны К и находятся ее точки экстремума.
Вместо кривизны К можно взять радиус кри-
кривизны R= „. и искать его точки экстремума,
если в этом случае вычисления проще.
Пример 2. Найти вершину цепной линии
Г,
Рис. 36.
у = а ch— (a > 0).
X 1 ¦ X
Решение. Так как у' = sh — , a v"= —ch — ,то /С= ¦
а а а
1
и, сле-
, , х
ach2 —
а
г, !_¦> х tj dR 1 2* „ dR
довательно, i? = acha—. Имеем -г—=sh — . Приравнивая производную —г—
2х
нулю, получим sh —=0, откуда находим единственную критическую точку
d?R
х = 0. Вычисляя вторую производную -j-j- и подставляя в нее значение
2
—> 0.
Следовательно, х = 0 есть
n d2R 2 , 2х\
х = 0, получим -J-S- =—ch— =
dx2 х=о а а [х=о
точка минимума радиуса кривизны (или максимума кривизны) цепной линии.
Вершиной цепной линии у —ach — , таким образом, является точка Л @, а).
Найти дифференциал дуги, а также косинус и синус угла,
образованного с положительным направлением оси ОХ каса-
касательной к каждой из следующих крииых:
993. х2 + у2 = аа (окружность).
994. ¦^2+f2=l (эллипс).
995. уг = 2рх (парабола).
996. х2/3 +У2/3 = аг/3 (астроида).
997. y = ach— (цепная линия).

§ 5] ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА Ю1
998. x = a(t—sin/); у = а(\—cos/) (циклоида).
999. x = acos3/, у = a sin3/ (астроида).
Найти дифференциал дуги, а также косинус и синус угла,
образованного полярным радиусом и касательной к каждой из
следующих кривых:
1000. г = ац> (архимедова спираль).
1001. г = — (гиперболическая спираль).
1002. r = asec2— (парабола).
1003. r=acos2-|- (кардиоида).
1004. т — а? (логарифмическая спираль).
1005. г2 = а2соэ2ф (лемниската).
Вычислить кривизну данных кривых в указанных точках:
1006. у = хА— 4л;3 — 18х2 в начале координат.
1007. х2 + ху + у2 = 3 в точке A; 1).
1008. ?l + |!=l в вершинах А {а, 0) и В @, Ь).
1009. л: = /2, y = t3 в точке A; 1).
1010. ra = 2a2cos2cp в вершинах с полярными углами ф = 0
и ф = п.
1011. В какой точке параболы t/2 = 8л; кривизна равна 0,128?
1012. Найти вершину кривой у = ех.
Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных линий:
1013. у — х3 (кубическая парабола).
1014. ? + ?=1 (эллипс).
1015. * = ?-!^.
1016. x = acos3/; у = a sin3/ (астроида).
1017. x = a(cos/ + / sin/); y = a (sin / — /cos/) (эвольвента
окружности).
1018. г = аекч (логарифмическая спираль).
1019. г = аA-Ьсоэф) (кардиоида).
1020. Найти наименьшее значение радиуса кривизны пара-
параболы у2=2рх.
1021. Доказать, что радиус кривизны цепной линии у =
= ach— равен длине отрезка нормали.
Вычислить координаты центра кривизны данных кривых
в указанных точках:
1022. ху=\ в точке A; 1).
1023. ау2 = х3 в точке (а, а).

102 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
Написать уравнения окружностей кривизны данных кривых
в указанных точках:
1024. t/ = x2—6jc+ 10 в точке C; 1).
1025. у = ех в точке @; 1).
Найти эволюты кривых:
1026. у2 = 2рх (парабола).
1027. ? + ?=1 (эллипс).
1028. Доказать, что эволютой циклоиды
x — a(t — sin 0; У = а(\—cos/)
является смещенная циклоида.
1029. Доказать, что эволютой логарифмической спирали
является также логарифмическая спираль с тем же полюсом.
1030. Показать, что кривая (развертка окружности)
х = a (cos t +1 sint); у = a (sin t—7 cos t)
является эвольвентой окружности x—-acost; y = asmt.

ГЛАВА IV
Неопределенный, интеграл
§ 1. Непосредственное интегрирование
1°. Основные правила интегрирования,
1) Если F'(x) = f(x), то
где С—произвольная постоянная!
2) \ Af{x)dx = A \ f(x)dx, где А — постоянная величина.
3) J lh (х) ± h (*I dx=^h (х) dx±^f2 (x) dx.
4) Если [ f(x)dx = F(x) + C и u = q(x), то
В частности,
^f(ax + b)dx = ^F(ax + b) + C (а ф 0).
2". Таблица простейших интегралов.
I. \ xndx = ^-r-^-\-C, пф — \.
II. j^=ln|
f1 dA; 1
J x2 — a2 2a
Г d* _ 1
J а2-д;2"~й1
a
—a
+C (a ,4 0).
;+C (a ,4 0),
V.
VI.
dx
1 —r=^= = arcsin— -|-C = —
J Va2—ла а
= — arocos —
а
(a > 0),

104 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1ГЛ. IV
VII. ^аЧх=~\-С (а>0); Ге*Лк=е
VIII. С sinjtdx= — cosx+C.
IX. \ cos xdx=s\nx-\-C,
^
XI. C-4|-=—ctgje+C,
J sin2* ь '
XII. C-^-
J Sill A
XIV.
Пример 1. \ (ax* + bx+c)dx=^ ax*dx+^bxdx+\ cdx =
= a^xidx+b ? Xdx + c\ dx=a^-\-b ??-+cx+C.
Применяя основные правила 1), 2), 3) и формулы интегри-
интегрирования, найти следующие интегралы:
1031. [baWdx. 1032. \ Fх2 + 8х + 3) dx.
1033. \x(x + a){x + b)dx. 1034. J (a + bx»)*dx.
1035. \V2pxdx. 1036. [4т=- ¦ '
J у x
1037. J (пх) п dx. 1038. ){а3 —хя ) dx.
1039. [(Vx+l)^—ylc+l)dx.
,040. {V+l^-Vdx. 1041. [^z?^dx.
J Ух* J /*
,042. \W"-rxYdx. 1043. C- d*
J Vox J ;
1M4. f^. ™-{^h
dx.

S 11 НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 105
1048*. a) \tg2xdx; 1049. a) \ctg*xdx;
б) ^ttfxdx. б)
1050.
3°. Интегрирование путем подведения под знак диф-
дифференциала. Правило 4) значительно расширяет таблицу простейших ин-
интегралов. А именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается
справедливой независимо от того, является переменная интегрирования неза-
независимой переменной или дифференцируемой функцией.
Пример 2. fT7^=.=lfE*-2)dE*-2) =
J /5jc-2 5
2 1 /rv 0\ 2
2 2
где было положено и = 5х—2. Использовалось правило 4) и табличный
интеграл 1.
Неявно подразумевалось и = х2, причем применялось правило 4) и таб-
табличный интеграл V.
Пример 4. ( x2ex3dx=— fe*3 d (х3) = — е*3 + С в силу правила 4) и
табличного интеграла VII.
В примерах 2, 3, 4, прежде чем использовать тот или иной табличный
интеграл, мы приводили данный интеграл к виду
J / (<р (*)) ф' (х) dx=^f (и) du, где и = Ф (х).
Такого рода преобразование называется подведением под знак дифферен-
дифференциала.
Полезно отметить часто применяемые преобразования дифференциалов,
которые, в частности, использовались в примерах 2 и 3:
a) dx=^-d(ax + b) (а ф 0); б) х dx =-- -^ d (х2) и т. п.
^
Применяя основные правила и формулы интегрирования,
найти следующие интегралы:
1051**. [^-х. 1052-
,053. y^dx. 1054.
Ю55. [Щ^-dx. 1056.
x. 1058.

106
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
1095.
г
J
1059.
1061.
1063**.
1065. ?
1067.
1069.
1071.
1073.
1075.
1077.
1079.
1081.
1083.
1085.
1087.
1089.
1091.
1093.
Г
) V—y-
dx
dx.
dx
(а+Ь)-(а-Ь)х*
@ < b < a).
dx
1
xdx
С ax + b
J iiV+12
arosin л;
J
+ In x
dx.
;dX.
dx.
r.
1060*.
1062.
1064.
1066.
1063.
1070.
1072.
1074.
1076.
1078.
1080.
1082.
1084.
1086.
1088.
1090.
1092.
1094.
1096. ^V7ff'
1098, ^exV a—be*dx.
с xdx
J /?=Г4
Г x2dx
dx
J

axdx
1+а2*
eldt
1099. j \ea
1101. J
1103,
1105.
1107.
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
1
107
ea dx.
r- dx
X
1109*. ^sltfxdx.
1111. \ sec* (ax+ b)dx.
ШЗ. f-^L-.
Ш5. f . ^x
J sin (ax-\-b)
1117,
1119. \igxdx.
1121.
1123.
dx
sin* cos x
1127, \ sin3 6л: cos 6л: dx.
dx.
1129.
1131.
1133.
1135. j
1137,
3 +cos Зл:
dx.
1 -1- sin 3x
cos2 3x
cosec2 3x
b—actg3x
dx.
1100*, j\
Г р-Ьх
1102. f-^j
2*-1-3"
1104.
1106. ^ (cosax + s'maxydx.
И08. jsin(lgx)^.
1110*. {j cos2 л; d*.
1112.
11H.
dx
3cos ( bx—j-
cos2 x2
t= — 1 ) dx.
1116.
1118.
1120. \ctgxdx.
П22.
1124.
1126, Jcos^-sin-Jdx.
1128. C^idx.
Г
ИЗО. .aALUb* -djc.
J у cos2 л; —sin2 a:
. 1132.
,.34. ji|
1136. \
1138,
g3 *
sin2 л:
(cos ax
dx.
sin a*
¦dx.

108
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
dx
1139.
1143. $th*d*.
Найти неопределенные интегралы:
1145.
1147.
1142. J;
1144. Jcthxd*.
tg3x-ctg3x
ШГ-
sec2 д;
¦dx.
1157.
1159.
1161.
1163.
1165.
f **
f dx
J COS-
f, ,/ Г dX
..69. \
¦dx.
sin-
1171.
1173.
1175. J
/4=3
dx.
1148., Jxe-*'d^.
1150. [?-=±dx.
1158
¦[
dx.
1160. Jtg^^d^.
1162. j
tg2*
1164. ^Yl±^x
1166.
1168.
1170.
x
xdx
sin (л;2) '
P sin* — cos*
iil '
dx.
1172. i\e'tatxsm2xdx.

2] МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 109
1,77. f-^-*5 . 1178. fsln(^
J sin ал: cos ax J \ T
Л*
dx Г arccosT
1181. \e-*'sec*xdx. 1182. Г *]п*
— sin4*
"85-
thx
1189. ^д;2ch(x3 + 3)Ле. 1190. \
§ 2. Метод подстановки
1°. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Полагая
где ^ —новая переменная и <р — непрерывно дифференцируемая функция, бу-
будем иметь:
$/(x)d*=Jnq>@1<p'@<«. - О
Функцию ф стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы
A) приобрела более удобный для интегрирования вид.
Пример 1. Найти
\ х ViT-\ dx.
Решение. Естественно положить t = Ух—1, отсюда л: = /2+1, и
dx = 2tdt. Следовательно,
Л.
* +
Иногда применяются подстановки вида
Допустим, что нам удалось подынтегральное выражение [ (х) dx преобра-
преобразовать к такому виду:
f(x)dx=g(u)du, где u = <p(x).

ПО НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Если \ g(u)du известен, т. е,
то
Этим способом мы уже, собственно говоря, пользовались в § 1, 3"<
Примеры 2, 3, 4 (§ 1) можно было решить следующим образом:
Пример 2. и = 5х—2; du = 5dx; dx=—du<
о
J /5jc-2 5
Пример 3. u — x^; du = 2xdx; xdx=~r,
f
J
Пример 4. ы = *3; d« = 3^2d^; x2dx—~.
О
f *2e*3 Лс=у С
2a* Тригонометрические подстановки. Пусть я > 0, тогда:
1) Если интеграл содержит радикал У^а'2—х2, то обычно полагают х =
asin /; отсюда
2) Если интеграл содержит радикал У'х2—а2, то полагают x = asect;
отсюда
3) Если интеграл содержит радикал Ух*-\-а2, то полагают x = atgl;
отсюда
Заметим, что тригонометрические подстановки не всегда оказываются
выгодными.
Иногда вместо тригонометрических подстановок удобнее пользоваться
гиперболическими подстановками, которые имеют аналогичный характер
(см. пример 1209),
О тригонометрических и гиперболических подстановках более подробно
см, в § 9.

§ 2] М'ЕТОД ПОДСТАНОВКИ
Пример 5. Найти
111
Vх*+ 1
dx.
Решение. Полагаем x = tg t. Следовательно, dx =
dt
cos2 t '
_Г dt _ Г sin2 г1-|-cos2/ ,
J cos i ^J sin2 <
igt ' ' ' ' ' x
1191. Применяя указанные подстановки, найти интегралы:
, Г dx 1
а) \ —7=F= , * = т;
б)
в) \х{5х* — 3)'dx, 5x2—3 = ^;
t = sin x.
Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:
1192. <\lxBx + 5)l0dx. 1193. [-^~=dx.
1194. I* dx 1195. Г dxx ¦
1196. f|^-. 1197.
1198. [^?L=
J У^ 1
И99.
у cos x
1200*. I* —
Применяя тригонометрические подстановки, найти интегралы:
1201. Г *2dx . 1202.
^2- л2
1203
1205
f Vx2 — cP
1204*
1206
•I:
dx

1 12
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
1207.
1208. Вычислить интеграл
dx
с помощью подстановки jc =
1209. Найти
применяя гиперболическую подстановку x = asht.
Решение. Имеем: Уа2~+х2 = У а2-{-с? sh2 / = ach / и dx = a ch idt.
Отсюда
= ^ acht-achtdt = a2 Jch2 / dt= a* C
Так как
. x ,. /a2+xa
=—, cht=- ¦
a a
то окончательно получаем:
Ci = C p-lna—новая произвольная постоянная.
1210. Найти
Г x2dx
J Ух2— а2'
полагая x = acht.
§ 3. Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям. Если и = <р (х) и v ¦¦
- 1|з (*) — дифференцируемые функции, то
Пример 1. Найти
\ udv—uv — \ vdu.
V х In xdx.

§ 3] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ ИЗ
dx х2
Полагая и = \пх; dv = xdx, имеем du = — ; v=~o~- Отсюда
С , . х2 . С х2 dx х2 , х2 ,
\ x\nxdx=-^-\nx—\ -g- —= —In* 4"+С'
Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится применять
формулу интегрирования по частям несколько раз. В некоторых случаях с по-
помощью интегрирования по частям получают уравнение, из которого опреде-
определяется искомый интеграл.
Пример 2. Найти
\ ех cos х dx.
Имеем
Sex cos x dx=\ ex d (sin x)= ex sin x— \ ex sinxdx =
= ex sin x-\- \ e* d (cos -с) = е* sin x-\-ex cos л— \ e* cos x dx.
Следовательно,
e* cos x dx = ex sin x -\-ex cos д:— \ ex cos xdx,
откуда
ex
ex cos jc dx = -=- (sin x-\- cos л) + С.
Применяя формулу интегрирования по частям, найти интег-
интегралы:
1211. ^Inxdx. 1212. ^zrcigxdx.
1213. J arcsinxdx. 1214. ^ л: sin л: rfjc.
1215. \xcos3xdx. 1216. \-^-dx.
1217. Jx-2-*^. . 1218**.
1219*. J (a:2—2jc+ 5)e~xdx. 1220*.] x3e~Tdx.
1221. ^sinjtcosjfdjc. 1222*. $ (л:2 + 5* + 6) cos 2x dx.
1223. \xz\nxdx. 1224. Jln^i*.
1225. V™dx. 1226. f J^rfx.

114 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
1227. ^arctg^d*. 1228. J х arc sin х dx.
1229. Jin(*+j/T+3?)d*. 1230. J^.
1231. Г xco*x dx. 1232. [exs\nxdx.
j sin x j
1233. § 3* cos л; dx. 1234. J eaxsmbxdx.
1235. ^ sin (In л;) d*.
Применяя различные методы, найти интегралы:
1236. \x3e-x"dx. 1237. \eVxdx.
1238. \{х*—2x + 3)laxdx. 1239.
,240. f-^ЛС. 1241.
1242. \jxiavctg3xdx. 1243. J д: (arctg xJ dx.
1244. J(arcsinA:J^. . 1245. J *T™nx dx.
1247. f^tg22xdA;.
1249. J_cos*(lnx)ix.
1253*. J ]/'A + x2 dx.
J /9-д:2
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
1°. Интегралы вида \—¦ , , ,— d*.' Основной прием вычисле-
J ах*-{-Ьх-{-с
ния — приведение квадратного трехчлена к виду:
l, A)
где k и / — постоянные. Для выполнения преобразования A) удобнее всего из
квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также пользоваться
подстановкой
Еслит = 0, то, приводя квадратный трехчлен к виду A), получаем таблич-
табличные интегралы III или IV (см. § 1, 2°, таблицу простейших интегралов).

§ 4] ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН 115
Пример 1.
dx 1 Г dx
2*»-5* + 7~2 \ (х>_2.1хА_^)^_A_2^
5
4
2
/31
Если т Ф 0, то из числителя выделяется производная 1ах-\-Ь квадрат-
квадратного трехчлена
\ ТЛ\ dx= \2а
J axz-\-bx -\-c J c
( mb \ Г
m i i 2 , i , i , ( mb \ Г dx
2a '
и таким образом, мы приходим к интегралу, разобранному
Пример 2.
=-^- 1п | жа—д;—11 —
= -,nl,2_*-l,__ln
2л:—1+ /5
+ С.
ы вида i
J
В
2е. Интегралы вида i '"-*-r" ^_ Методы вычислений анало
J /2 + ^ +
J / + +
гичны разобранным выше. В конечном итоге интеграл приводится к таблич-
табличному интегралу V, если а > 0, и VI, если а < 0.
Пример 3.
if dx I 4x—3 , „
=-т= \ =——яггяш— UC.
-2x* /2J -j/25_/ __3_у /2 5
Пример 4.
J /*2 + 2* + 2 2J

116
3". Интегралы вида I
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
dx
иой подстановки
(тх+п) уах* + Ъх+с
1
[ГЛ. IV
. С помощью обрат-
тх
~
вти интегралы приводятся к интегралам вида 2°.
Пример 5. Найти
dx
Решение. Полагаем
отсюда
Имеем:
dt
dx
_Г t* ^ С dt
J|-^n_,y+, J VI-V + 2
г= ^=1П f L
V2
*+1
\ c
4°. Интегралы вида \ Уахг-\-Ьх-\-сйх. Путем выделения из квад-
квадратного трехчлена полного квадрата данный интеграл сводится к одному из
следующих двух основных интегралов (см. №№ 1252 и 1253):
1) С V^II
2) f Y ^
Пример 6.
V\— 2x—xidx=\j /2 —
(а > 0),
1
Найти интегралы:
Щ

5] ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 117
п О „ __^ су
1259. '
1261.
. \ „ ,а ,,.. 1262.
J л: —Ьаг + ш J
с—2х2
1263. Г ,.d* . 1264. f-=J
1265. Г 23д:~6 -Л*. 1266. Г 2*~8 а Л*
1267. Г , Х —dr. ,268. Г—йх
J /5Л2 — 2*+1 J АГ /1— X*
1269.
f , d* 1270. Г
„2 О
1271. Г dy - ¦ - - 1272-
1273. \Vx—x*dx. 1274. \J/2—x—л
cos л:
• me Г cos л
|27в- J ЯП=бЖ
iq77 ' е-цл ,nnn I sin лил;
Г , eXdx . 1278. f-
J у \-\-ех-\-elx J У cos2 x -\- 4 cos x -f-1
1279. —,
J */l— 4 In л — 1п2д;
§ 5. Интегрирование рациональных функций
1°. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирова-
Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегри-
интегрированию правильной рациональной дроби
A)
где Р (х) и Q (х) — целые многочлены, причем степень числителя Р (х) ниже
степени знаменателя Q (х). Если
где а, ..., / — различные действительные корни многочлена Q (х) и а X —
натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби A)
на простейшие дроби:
Р (Х) Ау . Ач . I Ад . | ^-1 |
Q(x) ~~х—а ' (л;—аJ r-'-Т (х_а)а т ¦ • • "Г x_l T
I Ьг . | ^-я. л,
"Tfj( «2 Т • • • ~Г " ГТ" • W
Для вычисления неопределенных коэффициентов Ах, At, >.., L\ обе части
тождества B) приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты
при одинаковых степенях переменной х (первый способ). Можно также

118 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
определять эти коэффициенты, полагая в равенстве B), или ему эквивалент-
эквивалентном, * равным подходяще подобранным числам (второй способ).
Пример 1. Найти
xdx ,
Решение. Имеем:
х А
(х—1)(*+1J х— l"r*+l~r(JC+ l)a*
Отсюда
* = X(*+1)» + Bi(*-1)(*+1) + Bi (*-!)• C)
а) Первый способ определения коэффициентов. Перепишем тождество C)
в виде
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:
0=А + В1; 1=2А + В2; Q=A — B1 — Bit
Отсюда
б) Второй способ определения коэффициентов. Полагая х=1 в тожде-
тождестве C), будем иметь:
= Л.4, т.е. Л = 4".
4
Полагая х = —1, получим:
-1=-Ва.2, т.е.' В2 = ~.
Далее, полагая х = 0, будем иметь:
т.е. В1 = Л-В2 = --1..
Следовательно,
1_ Г _dx__}_ Г dx 1 Г"
4jx-l 4 J л: + 1+2 J
_. 1 , 1 ,_|*-1
Пример 2, Найти

§5] ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 119
Решение. Имеем-.
_ 1 _ _
~ ~~ х *х— 1+ (х
х2 + х~ х(х—1J ~~ х *~х— 1+ (х — 1
1 = А(х— 1J + Вх(х— \) + Сх. D)
При решении этого примера рекомендуется комбинировать два способа
определения коэффициентов. Применяя второй способ, полагаем * = 0 в тож-
тождестве D); получим \=А. Затем, полагая х=1, получим 1=С. Далее, при-
применяя первый способ, приравняем в тождестве D) коэффициенты при яа.
Будем иметь:
0=А + В, т. е. В = — 1.
Таким образом,
А=1, В = —1 и С=1.
Следовательно,
1
х— 1
С dx С dx , Г dx ,
J х J х—1 ' J (х—IJ
Если многочлен Q (х) имеет комплексные корни а ± ib кратности k, то
в разложение B) дополнительно войдут простейшие дроби вида
Mkx+Nk
E)
где
x* + px+q=[x— (a + ib)] [x— (a—ib)\
и Mi, Nt, ..., Mk> Nk—неопределенные коэффициенты, определяемые спо-
способами, указанными выше. При k=\ дробь E) интегрируется непосред-
непосредственно; при к > 1 применяется метод понижения, причем предвари-
предварительно квадратный трехчлен x2-\-px--irq рекомендуется представить в виде
+-7r ) +(<?—т~ ) и сделать подстановку * + -^-=г
Пример 3. Найти
dX = I
J (x*
Решение. Так как
то, полагая * + 2 = г, получим:
¦ Г z-1 Г zdz И1+га)-22
J(z?+l)a J(*a+1J J (za+lJ
= ~2Ba+i)~J

120 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
2О4 Метод Остроградского. Если Q (х) имеет кратные корни, то
тде Qi(x)—наибольший общий делитель многочлена Q (х) и его производной
X (х) и Y (x)—многочлены с неопределенными коэффициентами, степени кото-
которых соответственно на единицу меньше степеней Qi (х) и Qa(x).
Неопределенные коэффициенты многочленов X (х) и К (х) вычисляются
при помощи дифференцирования тождества F)*
Пример 4. Найти
Г dx
J (х3-1J'
Решение.
Г dx Ax2 + Bx-\-C . С
Дифференцируя это тождество, получим:
Dx^ + Ex+F
(х3—IJ (я3— 1)а "*" х3—1
или
*— 1)—Зх2 (Л*2 + В* + С) + (Dx2 + ?* + F) (х3—1).
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, будем иметь-'
Л = 0; ? —Л = 0; F—2В = 0;
отсюда
= 0; В = — 4-; С=0; D = 0; ? = 0; F = —4
и, следовательно,
Г dx _ 1 х 2 С dx -
J (х3— IJ 3 х3 —1 3 J х3— Г U
Для вычисления интеграла в правой части равенства G) разлагаем дробь
1 ,
на элементарные дроби:
х3 —1
\ L . Mx+N
т. e.
\=Цхъ + х+\) + Мх(х— \) + N(x— 1), (8)
Полагая jc=1, получим L = -^.
<j «
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой
частях равенства (8J, находим:
= Q; L—N=l,

§51 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ 121
т. е.
Поэтому
С dx I С dx I f x + 2 .
li«i,_ . i_._lin/v2j_vj_i) i=-arctg i?±L+C
1 . Jta Ч- jc -4- 1,2 2х+1
ln+^^arctg
Найти интегралы:
1281.
1282. \т гт-г-^гт—г^г. 1283
5х3 + 2 ^ 1ОЯВ с dx
1286
Г 2х2 + 41л: —91 ,
" J (х— l)(x + 3)(x — 4)йХш
1284. \ .,a^.I^..dx. 1285. J
1 I ^ !_ AY 19S7 \
'• J 4*3-л; 1?О'Ш J Ж3-6л:2
12х —8
1288. I ^T"'1:" dx. 1289. " " °"
1290. J^^-A_^dje. 1291.
1292. {^-rdx. 1293. f
1296. ?-_^_. 1297.
1298. ^ ^+^ dx. 1299.
(x+l)i
1300
¦f
(*а-4д;+5)а л>
Применяя метод Остроградского, найти следующие инте-
интегралы:
1301. \ "т ;—7ТТТ~5——ГГ? • 1о02. \ гг~i тт^ •
1303. ^(л,2^]L. 1304. J ?*_1**+ф dx-
Применяя различные приемы, найти интегралы:
Tdx. 1306. С ,/+Г, ¦ dx.
2—л-Ь 14 , ,„._ 0 dx
_. з _ dx. 1308. \ ¦

122
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
1309.
1313.
1314.
§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
1°. Инт е гр а л ы вида
где R—рациональная функция и pi, qi, pit q2, ••>—целые
числа.
Интегралы вида A) находятся с помощью подстановки
ах+Ь_ п
cx + d~Z '
где л—наименьшее общее кратное чисел <7j, q%, •¦>
Пример 1. Найти \ ——==—. ,
J V2x— I — ]/2x— 1
Решение. Подстановка 2х—l=z4 приводит интеграл к виду
Найти интегралы:
I-
1S17.J.
С х3
1315. -2 их.
dx
1316.
J
*"*
У7+Т+У{х+1)*'
,3,9.
J Ух +1
l/ал+Ь '
,3,8. Г ^Чгт=-
J Ух+Ух
,320. f ^.
1323. Jx
1325. Г
J j
2е. Интегралы вида
1324
• J V 7ZTldx'
'ax2 + bx-}-c
где Рп(х)—многочлен степени п.

§ 6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 123
Полагают
Г P"W dx^Qn-MVrf + bx + c + bt dx =, C)
J у г\Ь\ J y2 + b +
P"W dx^Qn-MVrf + bx + c + bt dx
у ахг-\-Ьх-\-с
где Qn-t{x) — многочлен степени (п—1) с неопределенными коэффициентами
и X — число.
Коэффициенты многочлена Qn-i (x) и число к находятся при помощи
дифференцирования тождества C).
Пример 2. \ х2ух2+4йх= —F==dx =
J J F л2 п- 4
f
Л2 + 4+Х
J
Отсюда
Умножая на ]/"д:2 + 4 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
степенях х, получим:
А = \-\ В = 0; С = ~; D = 0; % = — 2,
Следовательно,
С х2 VxT^ldx = x3+42x yW+4— 2 In (x+ Vx*+1)+C,
3°. Интегралы вида
Г dx_
J (л —a)" Val?
+ bx + c
приводятся к интегралам вида B) с помощью подстановки
_1
х—а~
Найти интегралы:
1326. ¦. 1327. \—JL==dx.
1328. {—?=dx. 1329. Г dx2
1330. (' dxr^==. 1331. Г **+x+l-
4°. Интегралы от дифференциальных биномов
\ лга (o+iA;n)^d^, E)
где т, п и р — рациональные числа.

124 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Условия Чебышева. Интеграл E) выражается через конечную ком-
комбинацию элементарных функций лишь в следующих трех случаях:
1) если р — целое число;
2) если —— целое число. Здесь применяется подстановка a-\-bxn = zs,
где s—знаменатель дроби р;
3) если ———\-р — целое число. В этом случае используется подстановка
Пример 3. Найти \ — У—dx — I.
1
11 1 т + \ 2 +1 n _
Решение. Здесь т. — — у; п = —; Р = -д". ———= j =2. Сле-
Л
довательно, имеет место случай 2) интегрируемости.
Подстановка
дает: х= (г3—IL; <?t= I2za (г3—\)ъйг. Поэтому
Найти интегралы:
1332. §х*A+2х*)~* dx. 1333. f-j-
1334. Г Р г. 1335. dx
J х4 " ' ' '
144fi ' ил <оот I dX
[ *Ч-. 1337. f
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций
1°. Интегралы вида
sin х cos" xdx=fm< „, A)
где т и я— целые числа.

{ 71 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 125
1) Если /я = 2/г+1—нечетное положительное число, то полагают
Ли. п — — \ sin2* -«cos" x d (cos*)=-~ \ A—cos2*)* cos" xd (cos *).
Аналогично поступают, если п—нечетное положительное число.
Пример 1. V sin10 х cos3 xdx = \ sin10 *A—sin2 jc) d (sin Je) =
sin11* sin13*
2) Если m и n — четные положительные числа, то подынтегральное выра-
выражение A) преобразуют с помощью формул:
sin2* = -i-(l— cos 2*), cos2* = -i- (I + cos 2x),
sin x cos x = — sin 2x.
Пример 2.
cos2 3* sin4 3x dx — С (cos 3* sin 3*J sin2 3xdx =
С sin2 6jc J —cos 6* . If,.,. .
= \—j g ~я 1 ^Sln 6* — sl
I Г /1 —cos 12* ... . \ .
= -о- \ = ¦ —sin2 6* cos 6* )dx =
° J \ l I
sin 12*
24 )
3) Если m = —[i и n = —v — целые отрицательные числа одинаковой
четности, то
a v ()
sin * cos * J
|Lt + V
T^lA+ttyr—d{igx)-
В частности, к этому случаю сводятся интегралы
Пример 3.

126 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 4.
dx
1
2 2"
v2
[ГЛ. IV
1
4
2
1
Ea
X
2
+ 2
In
tg
X
2
tg*|
1 2
4) Интегралы вида \ tgmxdx (или \ ctgra xdx) , где /л—целое поло-
положительное число, вычисляются с помощью формулы
(или соответственно ctga*=cosecax— 1).
Пример 5.
С tg*xdx= С tg2x (sec2 jc-1) dx=^~ Г tg2 xdx=i
=^"~I(sec2 *~1} йх=а^т^ ~tg x+x+c'
5) В общем случае интегралы 1т,п вида A) вычисляются с помощью фор-
формул приведения (рекуррентных формул), выводимых обычно интегрированием
по частям.
Пример 6,
С dx Psin2x + cos2x . f* . sinx . , р
\ s—= \ -s dx= \ smx =—dx-\- \ ¦
J cos3x J cos3* J cos3x J
cos3*
1 \ С cosx
\
=—
cos3x
dx
cosx
1
Найти интегралы:
1338. I cos3 x dx.
1340. Г sin2 л; cos3 л; djc.
1342. J^
1339. ^sirfixdx.
1341. С sin3-|-cos6--
1343. J sin* jed^.
1344. ^ svtfxco&xdx.
1346. Ccos«3A;dx.
1348. f -^j.
1345. J sin2 je cos4 x dx.
1347. С
1351'

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
127
1352. Г — ..
1 . X .. X
J sin -^cos-1 —
1354.
1356.
1358.
1360. С х sin2 x2 dx.
1362. Г sin6 х У cos x dx.
1353.
r. Sin
J^1
sin x-\—r
sin л; cos x
1355. f sec5 4x dx.
1357.
1359.
1361.
1363. Г f dx
J у sin л: CDS'1 л;
dx.
1364. -^=-.
2°; Интегралы вида Vsinmxcos
i cos mx cos nx dx.
В этих случаях применяются формулы:
sinmA; sin nxdx и
1)
2) si
^-^- [sin (m-\-n) я + sin (m—п)х]\
=-s- [cos (m — n)x—cos
л) j
3) cosmx cos ля=-рр [cos (tn — n) x-f-cos (m-\-n)x].
П р и м е р 7.
С f 1 11
\ sin9A;sinA:iiA:= \ -^- [cos 8л:—cos 10x] dA;=T^ sin 8л: — ^ sin
Найти интегралы:
1365. J sin За;cos 5л;dx. 1366. ^ sin 10A;sin I5xdx.
1367. Jcos-Jcos^-dx. 1368.
1369. $ cos (ax+ 6) cos (ая-b)dx.
1370. J sin at sin (cai¦ + q>) dt. 1371.
1372. j sinxsin2xsin3A:(iA:.
3°. Интегралы вида
\ R(siax, cosx)dx,
где ^—рациональная функция.
B)

128 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ IV
1) С помощью подстановки
It 1—t* . <2dt
sinx=T—-^, соъх=т-г-т. dx=
откуда
интегралы вида B) приводятся к интегралам от рациональных функций новой
переменной /.
Пример 8. Найти
'¦
Решение. Полагая tgf —=^, будем иметь:
Idt
\+t*
2t !-/
2) Если имеет место тождество
R (—sin*, —cos x) = R (sin x, cos x),
то для приведения интеграла B) к рациональному виду можно применить
подстановку tg x = /.
Здесь
i , r.OS * =
x=arctg<, ^
Пример 9. Найти
Решение. Полагая
*2 , d/
будем иметь:
/ =
тт^=-тЬ
-Ь-arctg (/ / 2) + C=-l=-arctg

§8] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ 129
Заметим, что интеграл C) вычисляется более быстро, если предварительно
числитель и знаменатель дроби разделить на cos2*.
В отдельных случаях полезно применять искусственные приемы (см.,
например, № 1379).
Найти интегралы:
dx ,„,. С dx
шз- Js+fbi- 1374' Ь
1O-JC Г С05Х А ЧОТС С &itlX А
1375' JTT^*- Ш6- JT=in7T^'
1377- Ь-4^;+7со5*- 1378- I; "*
1379**. [3/\nx + lcosx dx. 1380.
J 2sin* + 3cos* ji —1цл
1381*. Г, , f* , . 1382*. f^-^ dx
J 1 +3cos2* J 3sin2
j383* Г dx
' J sin2* + 3 sin*cos*—cos2*'
1388. f-^т—^—r^dx. 1389*.
B — sin *) C —sin x)'
ion /\4 I "^~ Sin a ~|~ CO S a «
1390*. \ .—;—: ¦ dx.
J l + sinA:—cos *
§ 8. Интегрирование гиперболических функций
Интегрирование гиперболических функций вполне аналогично интегриро-
нанию тригонометрических функций.
Следует помнить основные формулы:
1) ch2*—sh2*=l;
1
?) 5П X—— I
3) ch2x=y(ch2
4) sh xch .v = T)-sh 2x.
Пример 1. Найти
[ ch2 x dx.
Решение. Имеем:
С ch2xdJt= Г i- (ch 2x+ 1) d*=i sh 2x+i- x + C.
5 Под ред. Б. П. Демидовыча

130 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ - [ГЛ. IV
Пример 2. Найти
? ch3 х dx,
Решение. Имеем:
С ch3Jed*=C ch2 x d (sh x)= Г A +sh2*) d (sh *) = sh jc+^+C.
Найти интегралы:
1391. \sh3xdx. 1392. $ch*xd*.
1393. jjshsxchxdjc. 1394. J sh2xchajcd*.
1397, Jth3A;^. 1398.
1399-
J th x—
1401*. ГТ5-^-г. 1402.
J th x— 1
г. 1402. fi^-
1 J /ch 2*
§ 9. Применение тригонометрических и гиперболических
подстановок для нахождения интегралов вида
R (x, V"ax* + bx + c) dx, A)
где R—рациональная функция
Преобразуя квадратный трехчлен ахг-\-Ьх-\-с в сумму или разность квад-
квадратов, сводим интеграл A) к одному из интегралов следующих типов:
2)
3) ? R (г, Уг2—т*) dz.
Последние интегралы берутся соответственно с помощью подстановок:
1) 2 = msin? или z = mtht,
2) z = m\gt или z = msht,
3) z = msect или z = m cht.
Пример 1. Найти
Решение. Имеем:

9] ИНТЕГРАЛЫ ВИДА SR^.Vax^ + bx + ^dx 131
Положим x+l=tg/, тогда dx=sec2 t dt и
sec2 t dt Го
tg2/ sec/ ~ ] sin2/'
С dx Г sec2 tdt _ Г cost
Пример 2. Найти
Решение. Имеем:
Полагая
X+y=J^-sh/ и dx=
получим:
<—|- (
ch3 / 3
¦=-i г-т
Так как
то окончательно имеем:
з
Найти интегралы:
1403. $1/—2л;—jc'dx. 1404.
1405. f /i!_ dx. 1406.
J /9+^2
1407, [V'x^^dx. 1408.

132 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
1409. ]Vx*—6x—7dx. 1410. ] (x* + x+ IJ dx.
,411. Г /х ¦ . 1412. Г *—т-.
J (х—1)Ух2—Зх + 2 \ ±
1413. I " 1414. ' dx
§ 10. Интегрирование различных трансцендентных функций
Найти интегралы:
1415. $(xa+l)aea*d*. 1416.
1417. }xsmxcos2xdx. 1418.
1419. J e* sin x sin Зя dx. 1420. ^xexcosxdx.
1421. f-^q^zr* 1422> f-
1423. f^ln^cU. 1424. J]
1425. $ Je arccos Ejc—2)dx. 1426. J sin x sh * dx.
§ 11. Применение формул приведения
Вывести формулы приведения для интегралов:
1427. /„ = (* 2^*а2 • найти /2 и /8.
1428. /„ = J sin" x dx; найти /4 и /s.
1429. /я = \ д08в_,.; найти /8 и /4.
1430. Iп = ^ х" е~х dx; найти /i0.
§ 12. Интегрирование разных функций
1432. С *~5, ods.
Г ^—pdx. 1434. f
f ^ . ,436.
dx . -лпл Г dx

S 12]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ
3 —4х
133
1441.
1443.
1445.
1447.
1449.
1451*
' V 2х
dx.
2х+1
J »^Dх2 — 2х+1K
IK
J /l_2*2-
f
1459.
,461. С ^-.
J cosx sin5x
1463. Г . sl!^L dx.
5х
1+х4
dx
dx.
1 лег Г Sin
1465. \ —
J cos
1467.
J sir
1471
1473.
1475. f
J cos2 3x '
1477.
1440. Г .
J 0-2
1442. Г tdx
1444. j ^
dx. 1446.
,448. j
1450.
1452.
.454. j
dx
xdx
x+\
(X2+1)"
dx.
,456. Г dl_
J X у X I
1458.
dx
1460. \ cos4xdx.
1462. |
sinsx
1464. \| cosec6 bxdx.
1466.
Г
J
dx
2sinx + 3cosx—5 *
1 .__ f* dx
J cos2x + 2si
,472 Г
J
,474. f
J
cosa*
-dx.
1476. J л; sin2 л; dx.
1478. \xe*xdx.

134
1479. jj хЧп/l— xdx.
1481. Г sin2-! cos y <**•
1483. j
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
.480. j
[ГЛ. IV
dx
1485. J
1487, ]
1489.
sh V\— x
x dx.
—6e*+ 13
2*
dx.
dx.
,491. J-±-d*.
1495. J x« arcsin y^-
1497. $(xa—3x)sin5jcdx.
1499. \ arcsin ]/лГBл:.
1.482.
1484.
(sin;c+ cosjcJ*
- J
sh*chx
1488.
1490.
1492. \(xs— ]
1494. ,
IL
1496. J cos (In x) dx.
1498.
1500.

ГЛАВА V
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
Iе. Интегральная сумма. Пусть функция f (х) определена на от-
отрезке а <*<& и а = х0 < хх < .. .< хп = Ь — произвольное разбиение этого
отрезка на л частей (рис. 37). Сумма вида
где
» = 0, 1, 2 (п-1
называется интегральной суммой функции / (л) на [а, ?¦]. Геометрически Sn
представляет собой алгебраическую сумму площадей соответствующих пря-
прямоугольников (см. рис. 37).
2°. Определенный интеграл. Предел суммы Sn при условии,
что число разбиений п стремится к бесконечности, а наибольшая из разно-
разностей Дд:,- — к нулю, называется оп-
определенным интегралом функции у
/ (х) в пределах от х = а до х = Ь,
т. е.
п-1
lim
max A.t,-
B)
Рис. 37.
Если функция f(x) непрерывна на
[а, Ь], то она интегрируема на
[а, Ь], т. е. предел B) существует
и не зависит от способа разбие-
разбиения промежутка интегрирования
[а, Ь] на частичные отрезки и от
выбора точек |,- на этих отрезках.
Геометрически определенный интеграл B) представляет собой алгебраическую
сумму площадей фигур, составляющих криволинейную трапецию аАВЬ, в ко-
которой площади частей, расположенных выше оси ОХ, берутся со знаком плюс,
а площади частей, расположенных ниже оси ОХ, — со знаком минус (см. рис. 37).
Определения интегральной суммы и определенного интеграла естественно
обобщаются на случай отрезка [а, Ь], где а > Ь>

136 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Пример 1. Составить интегральную сумму Sn для функции
на отрезке [1, 10], деля этот отрезок на п равных частей и выбирая точки |/
совпадающими с левыми концами частичных отрезков [*,-, */+i]. Чему равен
llm Sn?
Ю 1 g
Решение. Здесь Дх/ = =— и g.- = jc.- = xo
п п
1 + 1+ — =2+— • Следовательно (рис. 38),
9i
/ = 1-| * Отсюда
п
(=0
<=0
_|Р , 81в(я-1) .-,81 Л 1\_ „1 81
™18+73-~2~" =18+ I1"« J—58-2""to1
|Р , 81
Пример 2. Найти площадь криволинейного треугольника, ограничен-
ограниченного дугой параболы у = х%, осью ОХ и вертикалью х = а (а > 0).
Решение. Разобьем основание а на п равных частей Дд; = —. Выбирая
значение функции в начале каждого промежутка, будем иметь:
Площади вписанных прямоугольников вычисляются умножением каждого у^
на основание Дх=— (рис. 39). Суммируя, получим площадь ступенчатой
фигуры

§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 137
Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел
¦Д а я(я+1) B/1 + 0
2- ~ 6
находим:
"л = тг-; ¦
отсюда, переходя к пределу, получим:
S lim S lim а:'(
А = lim Sn= lim
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как
пределы соответствующих интегральных сумм.
* т
1501. \dx. 1502. \(vo + gt)dt,
а 0
v0 и g — постоянны.
1 10
1503. ^x^dx. 1504. \2xdx.
-2
5
1505*.
1506*. Найти площадь криволинейной трапеции, ограничен-
ограниченной гиперболой
у
осью ОХ и двумя ординатами: х = а и х = Ь @<а<6).
1507*. Найти
§ 2. Вычисление определенных интегралов
с помощью неопределенных
1°. Определенный интеграл с переменным верхним
пределом. Если функция /(/) непрерывна на отрезке [а, Ь], то функция
есть первообразная для функции f (x), т. е.
f (x)=f (х) при

138 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
2". Формула Ньютона—Лейбница. Если F' (х) = {(х), то
б
a
Первообразная F (x) вычисляется путем нахождения неопределенного интеграла
Пример
Решение
1. Найти
3
1508, Пусть
интеграл
*
5
3
-1
5 5
Найти:
ndl. ~ dl
иЛ по
Найти производные следующих функций:
х 0
1509. F(x)='\l\ntdt (x>0). 1510. F{x) =
г 1 _х
1511. f(A;) = 5e-'1^. 1512. /= $cos(P)& (jc>i
* JL
дс
1513. Найти точки экстремума функции
х
У—\ ^т~dt в области л > 0.
о
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти интегралы:
1 -1
J
-2
1516. [ e4t. 1517. \costdt.
-* о

2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 139
С помощью определенных интегралов найти пределы сумм:
1520. lir
Вычислить интегралы:
2 8
1521. $(х2 — 2x + 3)dx. 1522.
i о
4 6
1523. Г ' + X У dy. 1524. [Vx~^2dx.
•J У о
i i
о -1
1 4
1529.
о з
я
1 Т
1531. [-^-rdz. 1532. ^ sec2ada.
о iL
6
п ах f»
1533. \ ^-у—^ . 1534. \
2
Я
1 Т
1535. Г ,у> **У - I536- Uos2ada.
J у уа -4- 4 п
О и
я
2 ¦ '^ ^„
1537. \ sin3 ф ^ф. 1538.
о
1539. | *!!?!*! de. 1540. J igxdx.
i _iL
4

140 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ • [ГЛ. V
1541. {j ctg4 ф d<p. ' 1542.
л_ о
6
1 1пЗ
dx
1543. \chxdx. 1544. С
п . J
о
л
1545.
In 2
§ 3. Несобственные интегралы
1°. Интегралы от неограниченных функций. Если функция
f(x) не ограничена в любой окрестности точки с отрезка [а, Ь] и непрерывна
при а^х < с и с < я<Ь, то по определению полагают:
ь с-е ь
[f(x)dx=lim С f(x)dx+\im [ f(x)dx. A)
J Е-* 0 J Г1-+0 J
a a c+T)
Если пределы в правой части равенства A) существуют и конечны, то несоб-
несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходя-
расходящимся. При с = а или с = й определение соответствующим образом упро-
упрощается.
Если существует непрерывная на [а, Ь] функция F (х) такая, что F' (х) —
= / (л) при х Ф с (обобщенная первообразная), то
ь
f(x)dx = F(h)-F(a).- B)
а
Ь
Если \f(x)\<<b{x) при а<я<Ьи \ Ф (х) dx сходится, то интеграл A)
а
также сходится (признак сравнения).
Если /(*)S*0 и lira {/(*)|с-*|-} = Из*«, ^4^0, т.е. / (х) ~ А
при л—>с, то: 1) при т < 1 интеграл A) сходится, 2) при т. ^ 1 интеграл
A) расходится.
2°. Интегралы с бесконечными п р еде л а м и. Если функция
/ (х) непрерывна при а<дг< оо, то полагают
0D Ь
\f(x)dx= lim \f(x)dx C)
a a
и в зависимости от существования или несуществования конечного предела
в правой части равенства C) соответствующий интеграл называется сходя-
сходящимся или расходящимся.
Аналогично
Ь Ь а> b
f(x)dx= lim \f(x)dx и { f(x)dx= llm \f(x)dx.

$ 3] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 141
00
Если | / (х) J < F (х) и интеграл \ F (х) dx сходится, то интеграл C) тоже
сходится.
я
Если /(х)Э=О и lim {/ (х) хт}=А ф оо, А ф 0, т. е. f (х) - при
то: 1) при т > 1 интеграл C) сходится, 2) при m < 1 интеграл C) расходится.
Пример 1.
1 -е 1
С dx .. С dx , ,. С dx ,. / 1 Л . .. ( 1 Л
V —;= lim \ —j—|- lim \ —j-= lim 1 )-\- lim I 1 ) = оо
-1 -1 ч
— интеграл расходится.
Пример 2.
оэ Ь
С dx С dx л
\ . а= lim \ a= lim (arctgb—arctgO) = -^-.
о "*" °° о ~* "
Пример 3. Исследовать сходимость интеграла Эйлера—Пуассона
$ e-*s dx, D)
о
Решение. Положим
Первый из двух интегралов в правой части не является несобственным, а
второй сходится, так как е~"г<;е~* при i^l и
Se~xdx= li
lim \е~*<1к= lim (—e~b
Ь -*¦ GD « 6 ->- 00
следовательно, интеграл D) сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл
Решение. При х—»-+оо имеем:
1 1 1 1 1_
X 1/ 1 -1 s- X
сходится при р > 0 и <7 > 0.
1575*. Доказать, что эйлеров интеграл 2-го рода (гамма-
функция)
Г (р) = [xP-le-x dx
о
сходится при р > 0.
§ 4. Замена переменной в определенном интеграле
Если функция f (х) непрерывна на отрезке а<д:<Ь и x = (f(t)—функ-
(f(t)—функция, непрерывная вместе со своей производной <р'@ на отрезке а<?<Р,
где а = ф(а) и Ь = ф (Р), причем /[ф@] определена и непрерывна на отрезке

142 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1ГЛ. V
Так как интеграл
сходится,_то наш интеграл E) также сходится,
Пример 5. Исследовать на сходимость эллиптический интеграл
1
dx
Решение. Точка разрыва подынтегральной функции: х=1. Применив
формулу
получим:
1 1 1
A-хK
Следовательно, при х —>• 1 будем иметь
1 f I T
Так как интеграл
о
сходится, то данный интеграл F) также сходится*
Вычислить несобственные интегралы (или установить их рас-
расходимость):
1 2 1
1546.
- 1
1
1
CD CD
1552. J^-. 1553. jg-. 1554.
1555. Г „, ,d* , п. 1556. ?-¦-¦¦'- «"- Г dx
_оо о

4] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 143
2 m «1
1558. [~^т-- 1559. <\-р-(а>1). 1560. Г
0 а a
я
1561. ^ ctgxdje. 1562. ^ е~кх dx (k > 0).
о о
1563. \
о
1565. ("пггт- '566: Г , d* „ .
J *J+ 1 J ж'1— 5xi
О О
Исследовать сходимость интегралов:
100 +сю
dx ,и/,п Г Ле
1567. з/- 4/- • 1568-
0 к 1
. Г Т7=- 157°- Г
J х2 + i/ л4 -4- 1 J
- 1 О
1 2
1569
1571. Гт^==. 1572. f *L.
V 1
0
1573.
Я
т
1574*. Доказать, что эйлеров интеграл 1-го рода (бэта-
функция)
В(/>, q) = \xP-i{\-xy-idx
о
сходится при р > 0 и 9 > 0.
1575*. Доказать, что эйлеров интеграл 2-го рода (гамма-
функция)
Г (р) = 5 *''~1е~* ^
о
сходится при р > 0.
§ 4. Замена переменной в определенном интеграле
Если функция f (х) непрерывна на отрезке a==S*s?b и x = (f(t) — функ-
функция, непрерывная вместе со своей производной ср' (/) на отрезке as?/<P,
где а = ф(а) и 6 = <p(E), причем f[<p(t)\ определена и непрерывна на отрезке

144
:р\ то
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Ь Р
[ГЛ. V
Пример 1. Найти
о
Решение. Положим
а — *2 dx (a
c = asin/;
с = a cos t dt.
Тогда * = arcsin— и, следовательно, можно принять a = arcsinO = O,
P = arcsin 1 =-y . Поэтому будем иметь:
я
л 2
Г х2 /oJ=72d^=f a2si
о о
я
T
д2 — д2
я
Т
г\siI
о
sin2i
^2td
a cos
t = ^
tdt
я
2
-f
О
A-
—
2
па*
1576. Можно ли интеграл
вычислить с помощью подстановки * = costf?
Преобразовать определенные интегралы с помощью указан-
указанных подстановок:
1
= 2t — 1. 1578.
1577.
[
J
Г /* x = si
1579.
1
т
я
2
/. 1580.
x=arctgt.

J4l ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ Б ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 145
1581. Для интеграла
ь
\f{x)dx ф>а)
а
указать целую линейную подстановку
в результате которой пределы интегрирования сделались бы
соответственно равными 0 и 1.
Применяя указанные подстановки, вычислить следующие
интегралы:
4
1582.
о
29
1583. -?-±1—,dx, x-2 = *.
з
In 2
1584. $ Vex— Idx, ex—\=z*.
о
n
2 cos
я
2
J
о
С помощью подходящих подстановок вычислить интегралы:
j
1586. f , , d* 2 ,
J 1+a2 sin2 л;'
о
омощ
,587. j У^бх. 1588.
2
1589. Tq^pld*. 1590. f
0 0
Вычислить интегралы:
2я

146 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
1595. Доказать, что если f(x) — четная функция, то
а а
J f{x)dx = 2$f{x)dx.
-а О
Если же f(x) — нечетная функция, .то
а
\f{x)dx = Q.
— а
1596. Показать, что
«О 00 00
Г e~x'dx = 2 [e~*dx = [^Ldx.
J J J Vx
О
1597.
1598.
Показать
Показать
, что
i
0
, что
л
Т
0
dx
arccos x
я
Т
J х
0
я
2
/ (s'n x)dx=\[ f (cos л;) dx.
§ 5. Интегрирование по частям
Если функции и (х) и v (х) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, Ь], то
ь ь ь
\ а (х) v' (x) dx = u(x)v(x) —[v (х) и' (х) dx. A)
а а а
Применяя формулу интегрирования по частям, вычислить
интегралы:
л
Т е
• 1599. J хcosхdx. 1600. \ \nxdx.
о 1
1 л
1601. ^xWdx. 1602. [exs\nxdx.
о о
00 00
1603. [xe-*dx. 1604. $e-a*cos6xd* (a > 0).

6] ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 147
1605. ^e-^smbxdx (a>0).
о
1606**. Показать, что для гамма-функции (см. № 1575) спра-
справедлива формула понижения:
Отсюда вывести, что Г(«. + 1) = /г!, если п—натуральное.
1607. Показать, что для интеграла
я
/„= \ s'mnxdx= \ cosnxdx
справедлива формула понижения
т — я~' ^
Найти /„, если п—натуральное. Пользуясь полученной фор-
формулой, вычислить /„ и /10.
1608. Применяя многократное интегрирование по частям,
вычислить интеграл (см. № 1574)
1
В(р, q) =
где р и q — целые положительные числа.
1609*. Выразить через В (бэта-функцию) интеграл
я
2
если ш и п—целые неотрицательные числа.
§ 6. Теорема о среднем значении
1°. Оценки интегралов. Если f(x)^F(x) при a^X<Lb, то
ь ь
\ / (я) dx ^ \ F (x) dx, A)
а а
Если /(х) и ф(я) непрерывны при а<х<^Ь и, кроме того, ф(х)^0, то
ь ь ь
а а а

148 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
где т—наименьшее, а М—наибольшее значение функции f (х) на отрезке
[а, Ь].
В частности, если <р (х) = 1, то
m(b-aX^f(x)dx*zM(b—а). ¦ C)
а
Неравенства B) и C) можно соответственно заменить эквивалентными им равен-
равенствами:
Ь ь
а
Ь
где с и |—некоторые числа, лежащие между а и Ь,
Пример 1. Оценить интеграл
2
/=
Решение. Так как 0<sinJ*«gl, то имеем:
П 31
т. е.
1.57 < / < 1,91.
2°. Среднее аначение функции. Число
а
вазывается средним значением функции f(x) на отрезке
1610*. Не вычисляя интегралов, определить их знак:
2 2л
) \ х ах, в)
-1
п.
б) \xzosxdx\
о
1611. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
1 1
а) \yi+x*dx или \xdx;

ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР 149
1
б) \ х2 sin2 x dx или \ >
о о
2 2
в) JV'dx
или \ ех dx.
1
Найти средние значения функций на указанных промежутках:
1612. f(x) = x\ 0<х<1.
1613. f(x) = a + 6cosx, —п^.х^.п.
1614. f{x) = s\nix, 0<х<я.
1615. /(^) = sin1A;, 0<х<я.
1
1616. Доказать, что \ — заключен между -^ » 0,67
J y2 + *-J?2 d
о
и —^ « 0,70. Найти точное значение этого интеграла.
Оценить интегралы:
1 +1
1617. \V4 + x2dx. 1618.
о -1
2я Т
1619. Lqi^cosx' 1620*-
о о
1621. ^sinJC
я
Т
1622. Интегрируя по частям, доказать, что
200я
COS X , ^ 1
ЮОя
§ 7. Площади плоских фигур
1°. Площадь в прямоугольных координатах. Если непре-
непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y = f(x)
[/ (х)^0], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой,
двумя вертикалями в точках х = а и х = Ь и отрезком оси абсцисс а«
(рис. 40), определяется формулой
Ъ
= J f(x) dx. A)

150
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную параболой
мыми х=1 и х = 3 и осью абсцисс*) (рис. 41).
[ГЛ. V
'2, пря-
У
и
a b х
Рис. 40.
3 X
Рис. 41,
Решение. Искомая площадь выражается интегралом
з
Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой х = 2—у—у*
и осью ординат {рис. 42)^
y=f,(x)
Рис. 42.
Рис. 43.
Решение. Здесь изменены роли осей координат и поэтому искомая
площадь выражается интегралом
1
= f B-4,-^)^ = 4!,
-2
•) Здесь и в дальнейшем для кратности вместо слов «площадь области»
часто употребляется слово «площадь».

S7]
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
151
где пределы интегрирования ух ——2 и i/2=l найдены как срдкнаты точек
пересечения данной кривой с осью ординат.
В более общем случае, если площадь S ограничена двумя непрерывными
кривыми y = fi(x) и y = fi(x) и двумя вертикалями х == а и х=Ь, где/х.(^)<
</а(<) при а«?*<Ь (рис. 43), то будем иметь:
B)
Пример 3. Вычислить площадь S, заключенную между кривыми
(/==2-x2 и у3 = х* C)
(рис. 44).
Решение. Решая совместно систему уравнений C), находим пределы
интегрирования: х1 = —1 и ха=1. В силу формулы B) получим:
-1
Если кривая задана уравнениями в параметрической форме x = <f(t),
^(t) то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой.
a
Рис. 45.
двумя вертикалями, соответствующими х = а и х = Ъ, и отрезком оси ОХ,
выражается интегралом
it
где (i и /2 определяются из уравнений
а=ф(/!) и 6 = (р (t2)
0 на отрезке [/f, ta\].
Пример 4. Найти площадь эллипса 5 (рис. 45), используя его пара-
параметрические уравнения х = a cos /, у = Ь sin t @ < t < 2я).
Решение. Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одной чет-
четверти, а затем учетверить результат. Полагая в уравнении x=acast сначала

152
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
( = 0, затем х = а, получим пределы интегрирования *i = -o" H 'i = 0« Поэтому
'Л ~ IS'** 2
п
2
о
и, следовательно, S = nab.
2°. Площадь в полярных координатах. Если непрерывная
кривая задана в полярных координатах уравнением /р = /(ф). то площадь
Рис. 46.
Рис. 47.
сектора ^4OS (рис. 46), ограниченного дугой кривой и двумя полярными ра-
радиусами О А и ОВ, соответствующими значениям <pi = a и Фа = р, выразится
интегралом
„ 1
Пример 5. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернуллн
/¦* = a2cos2<p (рис. 47).
Решение. В силу симметрии кривой определяем сначала одну четверть
искомой площади
п_
4
Отсюда S = a2.
1623. Вычислить площадь, ограниченную параболой у =
= 4х—ха и осью абсцисс.
1624. Вычислить площадь, ограниченную кривой у = 1пх,
осью ОХ и прямой х = е.
1625*. Найти площадь, ограниченную кривой у=х(х—1)(х—2)
и осью ОХ.
1626. Найти площадь, ограниченную кривой уа = х, прямой
«/=1 и вертикалью л; = 8.

S 7] ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР 153-
1627. Вычислить площадь, ограниченную одной полуволной
синусоиды y = smx и осью ОХ.
1628. Вычислить площадь, заключенную между кривой
y = tgx, осью ОХ и прямой * = 4р
1629. Найти площадь, заключенную между гиперболой
ху = т2, вертикалями х = а и х = 3а (а > 0) и осью ОХ.
16вО. Найти площадь, содержащуюся между локоном Аньези
у = 2 а и осью абсцисс.
1631. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
у = х3, прямой у = 8 и осью ОУ.
1632. Найти площадь, ограниченную параболами уг = 2рх и
2
/
1633. Вычислить площадь, ограниченную параболой у =
= 2х—х2 и прямой г/ = — я.
1634. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у =
= 3 — 2х от параболы у — х2.
1635. Вычислить площадь, заключенную между параболами
у = х2, y = Y и прямой г/ = 2л:.
1636. Вычислить площадь, заключенную между параболами
1637. Вычислить площадь, заключенную между локоном
1 хг
Аньези у= l,xi и параболой У=--~2-
1638. Вычислить площадь, ограниченную кривыми у = ех,
у = е~х и прямой jc = 1.
1639. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой
^г — р=1 и прямой х~2а.
1640*. Найти площадь, ограниченную астроидой
а а 2
хТ + у3 = а3 .
1641. Найти площадь между цепной линией
осью 0Y и прямой у = ^-
1642. Найти площадь, ограниченную кривой а2//2 = х2 (а2—х2).
1643. Вычислить площадь, содержащуюся внутри кривой

¦154 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
1644. Найти площадь между равнобочной гиперболой
х2—у2 = 9, осью ОХ и диаметром, проходящим через точку E; 4).
1645. Найти площадь между кривой у = —$, осью ОХ и орди-
ординатой х= 1 (х > 1).
уЗ
1646*. Найти площадь, ограниченную циссоидой у2 = 2 _
и ее асимптотой х = 2а (а > 0). .*
1647*. Найти площадь между строфоидой у2 =х Iх~ и ее
асимптотой (а > 0). •
1648. Вычислить площади двух частей, на которые круг
разделен параболой у2 = 2х.
1649. Вычислить площадь, содержащуюся между окруж-
окружностью х2 + у2= 16 и параболой
х2=12(у— 1).
1650. Найти площадь, содер-
содержащуюся внутри астроиды
x = acos3t; y = bsm3t.
1651. Найти площадь, ограни-
ограниченную осью ОХ и одной аркой
циклоиды
= a(t — sin/),
Рис8- ^ = a(l-cosO.
1652. Найти площадь, ограниченную одной ветвью трохоиды
x = at — bsmt,
у = а—boost
и касательной к ней в низших ее точках.
1653. Найти площадь, ограниченную кардиоидой
; = aBcos/—cos 2t),
f = aBsin / — sin2/).
1654*. Найти площадь петли декартова листа
y \-\-t3'
1655*. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
г — а(\ Ц-^соэф).
1656*. Найти площадь, содержащуюся между первым и вто-
вторым витками спирали Архимеда r = acp (рис. 48).
. 1657. Найти площадь одного лепестка кривой r = acos2<p.
1658. Найти площадь, ограниченную кривой r2 = aasin4<p.
1659*. Найти площадь, ограниченную кривой r = asin3<p.

ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
155
1660. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля
г = 2 + cosq>.
1661. Найти площадь, ограниченную параболой r = asec2y
и полупрямыми ф = -т- и ф = -п •
1662. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом
1 + е cos ф * ^- ''
1663. Найти площадь, ограниченную кривой г = 2асозЗф и
лежащую вне круга г = а.
1664*. Найти площадь, ограниченную кривой х4 + г/4 = л;2 + 1/в.
§ 8. Длина дуги кривой
1°. Длина дуги в прямоугольных к о о р д и н а т а х. Длина s
дуги гладкой кривой y = f(x), содержащейся между двумя точками с абсцис-
абсциссами х = а и х = Ъ (а < Ь), равна
ь
s=\ Yl+y'^dx.
Пример 1. Найти длину астроиды x'ft + у*1* = а1* (рис. 49).
S-ва
2ла X
Рис. 49. Рис. 50.
Решение. Дифференцируя уравнение астроиды, получим:
Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:
а п—^77 а •¦
Отсюда s = 6a.

156
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
2". Длина дуги кривой, заданной параметрически. Если
кривая задана уравнениями в параметрической форме * = <р(/) и y = ilp(t)
(<f(t) и г|) (t) — непрерывно дифференцируемые функции), то длина дуги s кри-
кривой равна
/
где ti и tj — значения параметра, соответствующие концам дуги (ti < tt),
Пример 2. Найти длину одной арки циклоиды (рис. 50)
х = а (t — sin /),
у = а A— cos /)•
Решение. Имеем х' = -гг = а A — cos /) и у' = -? = as\nt. Поэтому
2я 2л
s=\ V(l—cos tJ-\-a? sin31 dt = 2а \ sin-^-dt = 8a.
о о
Пределы интегрирования ^ = 0 и /9 = 2л соответствуют крайним точкам арк>
циклоиды.
Если гладкая кривая задана уравнением г = /(ф) в полярных координа-
координатах г и ф, то длина дуги s равна
3
где а и Р—значения полярного угла в крайних точках дуги (а < р").
Рис. 51.
Пример 3. Найти длину всей кривой r = asin3-^- (рис. 51). Вся кри-
о
вая описывается точкой (г, ф) при изменении ф от 0 до Зя.
Решение. Имеем г' = a sin2 ~ cos -^, поэтому длина всей кривой
о о
8 =
Зя
-j<<9=a fsin2-|-(fcp:
о
Зла
"-

$ 8] ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ * 157
1665. Вычислить длину дуги полукубической параболы у2 = х*
от начала координат до точки с координатами х = 4, у = 8.
1666*. Найти длину дуги цепной линии у = a ch— от вершины
Л@; а) до точки В (й; К).
1667. Вычислить длину дуги параболы y = 2\fx от х = 0 до
1668. Найти длину дуги кривой у = ех, содержащейся между
точками @; 1) и A; е). _
1669. Найти длину дуги кривой у=\пх от х = ]/^ДО д; = ]/8.
1670. Найти длину дуги y = arcs'm(e~x) от х = 0до х=\.
1671. Вычислить длину дуги кривой х= Insect/, содержа-
содержащейся между у = 0 и у = ^г .
о
1672. Найти длину дуги кривой х = -^у2— ylny от t/=l до
1673. Найти длину дуги правой ветви трактриссы
ifZi 7Х i „1„ а+ Уаг —
от у = а до у = Ь @<6<а).
1674. Найти длину замкнутой части кривой 9ау* = х(х—ЗаJ.
1675. Найти длину дуги кривой «/ = ln fcth-|) от х = а до
х = Ь @<а<Ь).
1676*. Найти длину дуги развертки окружности
x = a(costf+ fsin /),
.... „ , от f = 0 до t=T.
у — a (sin t — r cosi)
1677. Найти длину эволюты эллипса
x = -^cos4; y =
1678, Найти длину кривой
cos2i), I
y = aBsint— sin2/). j
1679. Найти длину первого витка спирали Архимеда r = aq>.
1680. Найти всю длину кардиоиды г =аA+cosq>).
1681. Найти длину части дуги параболы r = asGC2—, отсе-
отсекаемой от параболы вертикальной прямой, проходящей через
полюс.
1682. Найти длину дуги гиперболической спирали г<р=;1 от
точки ^2; -^ до точки [~; 2 j

158 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
1683. Найти длину дуги логарифмической спирали r = aenuf
(m>0), находящейся внутри окружности г = а.
1684. Найти длину дуги кривой ф = у [г Л—)отг= 1 дог = 3.
§ 9. Объемы тел
1°. Объем тела в р а ще н и я. Объемы тел, образованных вращением
криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью ОХ и двумя
вертикалями х = а и х = Ь, вокруг осей ОХ и OY, выражаются соответственно
формулами:
ь ь
1) Vx = n J у2 dx; 2) VK= 2я J xy dx *).
Пример 1. Вычислить объемы тел, образуемых вращением фигуры,
ограниченной одной полуволной синусоиды y = sinx и отрезком
оси ОХ вокруг: а) оси ОХ и б) оси OY'.
Решение,
я
а) Уу=я \ sir
о
я
б) Vy=2n С xs\nxdx = '.
О
Объем тела, образованного вращением около оси OY фигуры, ограни-
ограниченной кривой x = g(y), осью OY и двумя параллелями у = с и y = d (с <d),
можно определять по формуле:
d
Vy=n \ x2dy,
получающейся из приведенной выше формулы 1) путем перестановки коорди-
координат х и у.
Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных коорди-
координатах и т. д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую
вамену переменной интегрирования.
В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры,
ограниченной кривыми j/i = /i (х) и «/2 = /а (*) (причем /i (x)< /г (*)) и прямыми
х = а, х = Ъ, вокруг координатных осей ОХ и OY, соответственно равны
1 ь
=n \(y\-y\)dx
*) Пусть тело образовано вращением около оси 0Y криволинейной тра-
трапеции, ограниченной кривой y = f(x) и прямыми х = а, х—Ь и у = 0. За эле-
элемент объема этого тела принимают объем части тела, образованного враще-
вращением около оси OY прямоугольника со сторонами у и dx, отстоящего от оси 0Y
ь
на расстоянии х. Тогда элемент объема dVy=2nxydx, откуда Уу=2я \ xydx.

ОБЪЕМЫ ТЕЛ
159
(уг—yi) dx.
Пример 2. Найти объем тора, образованного вращением круга
(</ — ЬJ<а2(бгга) вокруг оси ОХ (рис. 52).
Решение. Имеем:
! = Ь— /а2^2 и у2 =
Поэтому
а
У* = я С
(последний интеграл берется подстановкой A: = )
Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дугой
кривой r = F(<f) и двумя полярными радиусами ср = а, ф = р (а < E), вокруг
полярной оси, может быть вычислен по формуле
2 Г3
— -^n \ г3 sin tpdcp.
Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, по-
полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоторой
иамкнутой кривой, заданной в полярных координатах.
Рис. 53.
Пример 3. Определить объем тела, образованного вращением кривой
т=а sin 2ф вокруг полярной оси.
Решение.
Л Л
1 ~2
2 С 4 с
Vp = 2 • -^- л \ г3 si п ф d<p = -7Г- п а3 \ si п3 2ф si п ф йф =
о а
я
2
32 f 64
^ ~5~ ЯЛ I si П ф COS3 ф аф =^ -т-г^ Я Д3.
о J 105

160 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
2". Вычисление объемов тел по известным попереч-
поперечным сечениям. Если S = S (х) — площадь сечения тела плоскостью, пер-
перпендикулярной к некоторой прямой (которую принимаем за ось ОХ), в точке
с абсциссой х, то объем этого тела равен #
V=[ S(x)dx,
где Xi и *2 — абсциссы крайних сечений тела (х± < х2).
Пример 4. Определить объем клина, отсеченного от круглого цилиндра
плоскостью, проходящей через диаметр основания и наклоненной к основа-
основанию под уг^юм а. Радиус основания равен R (рис. 53).
Решение. Примем за ось ОХ диаметр основания, по которому секущая
плоскость пересекает основание, и за ось OY диаметр основания, ему перпен-
перпендикулярный. Уравнение окружности основания будет xi-{-yi = Ri.
Площадь сечения ABC, отстоящего на расстоянии х от начала координат О,
равна
S(x) = iwi. ААВС = ± АВ-BC=li?
Поэтому искомый объем клина есть
Я R
V 2
1685. Найти объем тела, получающегося от вращения вокруг
оси ОХ фигуры, ограниченной осью ОХ и параболой у— ах—х*
(в>0).
1686. Найти объем эллипсоида, образованного вращением
X1 U2
эллипса ^5 + |j = 1 вокруг оси ОХ.
1687. Найти объем тела, получающегося при вращении во-
вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной цепной линией у = ach^ ,
осью ОХ и прямыми х = ± а.
1688. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг
оси ОХ кривой у = sin2 х в промежутке от х = 0 до х = п.
1689. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной полукубической параболой уа = ха, осью ОХ и
прямой ж=1, вокруг оси ОХ.
1690. Найти объем тела, образованного вращением той же
фигуры, что в задаче 1689, вокруг оси OY.
1691. Найти объемы тел, образуемых вращением фигуры,
ограниченной линиями у = ех, х = 0, у = 0, вокруг: а) оси ОХ
и б) оси OY.
1692. Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси OY той части параболы у2 = 4ах, которая отсекается прямой

§el объемы тел 161
1693. Найти объем тела, образованного вращением вокруг
прямой х = а той части параболы у2 = Аах, которая этой пря-
прямой отсекается.
1694. Найти объем тела, образованного вращением вокруг
прямой у =—р фигуры, ограниченной параболой у* = 2рх и
прямой х = -тг •
1695. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
ОХ области, содержащейся между параболами у = х2 и у =Ух.
1696. Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси ОХ петли кривой (х— 4а)у2 = ах(х—За) (а > 0).
1697. Найти объем тела, производимого вращением циссоиды
х3
у2 — _ вокруг ее асимптоты х — 2а.
1698. Найти объем параболоида вращения, радиус основания
которого R, а высота Н.
1699. Прямой параболический сегмент, основание которого
1а и высота h, вращается вокруг основания. Определить объем
тела вращения, которое при этом получается («лимон» Кавальери).
1700. Показать, что объем части, отсекаемой плоскостью
х = 2а от тела, образованного вращением равнобочной гипер-
гиперболы х2—у2=а* вокруг оси ОХ, равен объему шара радиуса а.
1701. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры,
ограниченной одной аркой циклоиды x~a(t — sin t), y=a(l —cost)
и осью ОХ, вокруг: а) оси ОХ, б) оси OY и в) оси симметрии
фигуры.
1702. Найти объем тела, образованного вращением астроиды
я = a cos3/, y = as\n3t вокруг оси 0Y.
1703. Найти объем тела, которое получается от вращения
кардиоиды r=a(l+cosq)) вокруг полярной оси.
1704. Найти объем тела, образованного вращением кривой
r = acos2(p вокруг полярной оси.
1705. Найти объем обелиска, параллельные основания кото-
которого— прямоугольники со сторонами А, В и а, Ъ, а высота
равна К.
1706. Найти объем прямого эллиптического конуса, основа-
основание которого есть эллипс с полуосями а и Ь, а высота равна К.
1707. На хордах астроиды хг/»-\-у^' = а'^, параллельных
оси ОХ, построены квадраты, стороны которых равны длинам
хорд и плоскости которых перпендикулярны к плоскости X0Y.
Найти объем тела, образованного этими квадратами.
1708. Деформирующийся круг перемещается так, что одна из
точек его окружности лежит на оси 0Y, центр описывает эллипс
-^i+ji — l, a плоскость круга перпендикулярна к плоскости
X0Y. Найти объем тела, образованного кругом.
6 Под ред. Б. П. Демидовича

162
определенный интеграл
[ГЛ. V
1709. Плоскость движущегося треугольника остается перпен-
перпендикулярной к неподвижному диаметру круга радиуса а. Осно-
Основанием треугольника служит хорда круга, а вершина его скользит
по прямой параллельно неподвижному диаметру на расстоянии
h от плоскости круга. Найти объем тела (называемого коноидом),
образованного движением этого треугольника от одного конца
диаметра до другого.
1710. Найти объем тела, ограниченного цилиндрами х2-{-гг=а*
и «/2 + 2а = аа.
1711. Найти объем сегмента, отсекаемого от эллиптического
параболоида я—1-?—^я плоскостью х = а.
1712. Найти объем тела, ограниченного однополостным гипер-
болоидом -^2+-jz—тт=1 и плоскостями z = 0 и 2 = А.
1713. Найти объем эллипсоида ^т+чл+^т=1*
§ 10. Площадь поверхности вращения
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги глад-
гладкой кривой y = f(x) между точками х = ак х~Ъ(а<Ь), выражается формулой
0)
(ds—дифференциал дуги кривой).
В случае иного задания уравнения кривой площадь поверхности Sx полу-
получается из формулы A) путем соответствующей замены переменных.
Пример 1. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси ОХ петли кривой 9уг=хC—хJ (рис. 54).
Рис. 54.
Решение. Для верхней части кривой при 0<*<3 имеем:
У=-п-C—х) Yx . Отсюда дифференциал дуги ds = —i_d*. На основании
0 2 ух

§ 10] ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 163
формулы A) площадь поверхности
3
Пример 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением
одной арки циклоиды x = a(t—sinf); y = a(l—cosj) вокруг ее оси симмет-
симметрии (рис. 55).
Решение. Искомая поверхность образуется вращением дуги ОА вокруг
прямой АВ, уравнение которой х = па. Принимая у за независимую перемен-
переменную и учитывая, что ось вращения АВ сдвинута относительно координатной
оси OY на расстояние па, будем иметь:
2а
S = 1n С (па —x)^-dy.
о
Переходя к переменной t, получим:
j
о
п
«= 2я \ (па—at-\- a sintf) la sin-^-
о
о
я
4яа2 \ lnsin-т—t sin ——f-sin t sin — J <# =
-| 4sin-l+-| sin3 -yl" = 8n (n—-~\ a\
— 2я cos -у+2/cos
1714. Размеры параболического зеркала АОВ указаны на
рис. 56. Требуется найти площадь поверхности этого зеркала.
1715. Найти площадь поверхности «веретена», которое полу-
получается в результате вращения одной полуволны синусоиды
y = smx вокруг оси ОХ.
1716. Найти площадь поверхности, образованной вращением
части тангенсоиды y = tgx от х = 0 до х = ~- вокруг оси ОХ.
1717. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси ОХ дуги кривой у—е~х, от х = 0 до х= Н-оо.
1718. Найти площадь поверхности (называемой катеноидом),
образованной вращением цепной линии у = ch — вокруг оси ОХ,
в пределах от д; = 0 до х = а.
1719. Найти площадь поверхности вращения астроиды
х*1*-\-у11* = а'1* вокруг оси OY.
6*

164
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
?ГЛ. V
1720. Найти площадь поверхности вращения кривой
= -^У*—~2^пУ вокруг оси ОХ от y=s 1 до у = е.
1721*. Найти поверхность тора, образованного вращением
окружности х2 + (у — ЬJ = а2 вокруг оси ОХ(Ь">а).
1722. Найти площадь поверхности, образован-
образованна „2
ной вращением эллипса -^-{-^=\ вокруг: 1) оси
ОХ; 2) оси OY (a>b).
1723. Найти площадь поверхности, образован-
образованной вращением одной арки Циклоиды х =
= a(t — s'mt), y = a(\—cost) вокруг: а) оси ОХ;
х б) оси OY; в) касательной к циклоиде в ее высшей
точке.
1724. Найти площадь поверхности, образован-
образованной вращением вокруг оси ОХ кардиоиды
x = aBcost-
:ost—cos2<), 1
ilnt — sin2/). j
1725. Определить площадь поверхности, обра-
образованной вращением лемнискаты r2 = a2cos2<p вок-
вокруг полярной оси.
1726. Найти площадь поверхности, образованной вращением
кардиоиды r = 2a(l-Ьсоэф) вокруг полярной оси.
§ 11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена
Iе. Статический момент. Статическим моментом относительно
оси / материальной точки А, имеющей массу т. и отстоящей от оси / на рас-
расстоянии d, называется величина Mi = md.
Статическим моментом относительно оси I системы п материальных
точек с массами тъ тг т„, лежащих в одной плоскости с осью и
удаленных от нее на расстояния dlt d2, .... dn, называется сумма
причем расстояния точек, лежащих по одну сторону оси I, берутся со знаком
плюс (+). а по другую—со знаком минус (—). Аналогично определяется
статический момент системы точек относительно плоскости.
Если массы непрерывно заполняют линию или фигуру плоскости X0Y,
то статические моменты Мх и М у относительно координатных осей ОХ и OY
вместо сумм A) выражаются соответствующими интегралами. Для случая
геометрических фигур плотность считается равной единице.
В частности: 1) для кривой jc = *(s); y = y(s), где параметр s есть длина
дуги, имеем:
L L
My=[x{s)ds
B)
(ds= у (dxJ-{-(dyJ—дифференциал дуги и L—длина всей кривой);

МОМЕНТЫ. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ. ТЕОРЕМЫ ГУЛЬДЕНА
165
2) для плоской фигуры, ограниченной кривой у — у(х), осью ОХ и двумя
вертикалями х = а и х = Ь, получаем:
ь ь
x; My=<\jx\y\dx.
C)
Пример 1. Найти статические моменты относительно осей ОХ и OY
треугольника, ограниченного прямыми: —\--^-=\, х = 0, у = 0 (рис. 57).
" Х
Рис. 57. Рис. 58.
Решение. Здесь у = Ь\\ ]. Применяя формулы C), получаем:
\ а I
2°. Момент инерции. Моментом инерции относительно оси I мате-
материальной точки массы т., отстоящей от оси / на расстоянии d, называется
число Ii = md2.
Моментом инерции относительно оси / системы л материальных точек
с массами тъ т2, ..., т„ называется сумма
я
i = 1
где di, d2 dn—расстояния точек от оси L В случае сплошной массы
вместо суммы получаем соответствующий интеграл.
Пример 2. Найти момент инерции треугольника с основанием Ь и вы-
высотой h относительно его основания.
Решение. Основание треугольника примем за ось ОХ, а его высоту —
аа ось OY (рис. 58).

166
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
Разобьем треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски
толщины dy, играющие роль элементарных масс dm. Используя подобие тре-
треугольников, получаем:
=yidm = -7-y2 (h—y) dy,
Отсюда
3°. Центр тяжести. Координаты центра тяжести дуги плоской
кривой (или фигуры) массы Af вычисляются по формулам
— М у —
м •
У=
М '
где Мх и My—статические моменты массыГВ случае геометрических фигур
масса М численно равна соответствующей длине дуги или площади.
Для координат центра тяжести (х, у) дуги плоской кривой у =
«=/(*) (а<х<Ь), соединяющей точки A (a; f (а)) и В (b; f (Ь)), имеем:
Координаты центра тяжести (х, у) криволинейной трапеции
), могут быть вычислены по формулам
ь
[xydx
~у а
—^* г
Q X, где S= \ уdx—площадь фигуры.
Аналогичные формулы имеют место для коор-
координат центра тяжести тела.
Пример 3. Найти центр тяжести дуги полуокружности лс2+у* = а*
O) (рис. 59).
Решение. Инеем
—X

$ 11] МОМЕНТЫ. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ. ТЕОРЕМЫ ГУЛЬДЕНА 167
II
Отсюда
-a -a
a a
Mx= \ yds= \ уа2—х* r „ =1a\
-a
f ad*
J /а2—л2
Следовательно,
4е. Теоремы Гульдена.
Теорема 1. Площадь поверхности, полученной от вращения дуги пло-
плоской кривой вокруг некоторой оси, лежащей в одной плоскости с кривой и
ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности,
описываемой центром тяжести дуги кривой.
Теорема 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры
вокруг некоторой оси, лежащей в плоскости фигуры и ее не пересекающей,
равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описы-
описываемой центром тяжести фигуры.
1727. Найти статические моменты относительно осей коорди-
координат отрезка прямой линии
*+*-'¦
заключенного между осями координат.
1728. Найти статические моменты прямоугольника со сторо-
сторонами а и Ъ относительно его сторон.
1729. Найти статические моменты относительно осей ОХ и
0Y и координаты центра тяжести треугольника, ограниченного
прямыми: х-\-у = а, # = 0 и у = 0.
1730. Найти статические моменты относительно осей ОХ и
0Y и координаты центра тяжести дуги астроиды
лежащей в первом квадранте.
1731. Найти статический момент окружности
г — 2а sin ф
относительно полярной оси.

168 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
1732. Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии
от х =— а до х = а.
1733. Найти центр тяжести дуги окружности радиуса а,
стягивающей угол 2а.
1734. Найти координаты центра тяжести дуги первой арки
циклоиды
x = a(t—sin/); # = a(l—cos*)
1735. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограничен-
X2 О2
ной эллипсом —+^2-=1 и осями координат ОХ и 0Y
>, у)
1736. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограни-
ограниченной кривыми
у = х\ у = У"х.
1737. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограни-
ограниченной первой аркой циклоиды
x=a(t—sin*), y = a(\—cos*)
и осью ОХ.
1738**. Найти центр тяжести полусферы радиуса а с цент-
центром в начале координат, расположенной над плоскостью XOY.
1739**. Найти центр тяжести однородного прямого кругового
конуса с радиусом основания г и высотой h.
1740**. Найти центр тяжести однородного полушара радиуса а
с центром в начале координат, расположенного над пло-
плоскостью X0Y.
1741. Найти момент инерции, окружности радиуса а относи-
относительно ее диаметра.
1742. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами
а и Ь относительно его сторон.
1743. Найти момент инерции прямого параболического сег-
сегмента с основанием 2Ь и высотой h относительно его оси симметрии.
1744. Найти моменты инерции площади эллипса -^+|а"= 1
относительно его главных осей.
1745**. Найти полярный момент инерции кругового кольца
с радиусами Rt и R2 (Rt < Я2), т. е. момент инерции относи-
относительно оси, проходящей через центр кольца и перпендикуляр-
перпендикулярной к его плоскости.

5 121 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 169
1746**. Найти момент инерции однородного прямого кругового
конуса с радиусом основания R и высотой Н относительно его оси.
1747**. Найти момент инерции однородного шара радиуса а
и массы М относительно его диаметра.
1748. Найти поверхность и объем тора, получающегося от
вращения круга радиуса а вокруг оси, расположенной в пло-
плоскости круга и отстоящей от цейтра его на расстоянии b(b^a).
1749. а) Определить положение центра тяжести дуги астроиды
х2/3 + у2/3 = а2'3, лежащей в первой четверти.
б) Найти центр тяжести фигуры, ограниченной кривыми
у2 = 2рх и хг=2ру.
1750. а)* Найти центр тяжести полукруга, пользуясь тео-
теоремой Гульдена.
б)** Доказать, пользуясь теоремой Гульдена, что центр тя-
тяжести треугольника отстоит от его основания на одну треть
высоты.
§ 12. Приложения определенных интегралов
к решению физических задач
1°. Путь, пройденный точкой. Если точка движется по неко-
некоторой кривой и абсолютная величина скорости ее v = f(t) есть известная
функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени
[tlt t2], равен
Пример 1. Скорость точки равна
v = 0,\t3 м/сек.
Найти путь s, пройденный точкой за промежуток времени Т=10 сек, про-
протекший от начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот
промежуток?
Решение. Имеем:
10
10
-ь
t
\t3dt=0,\ -j-
=250 м
s
fCp^=-=-=4^ MfСвК.
2°, p (бота силы. Если переменная сила X = f (x) действуете направ-
направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке [xlt хъ\ равна
Пример 2. Какую рвботу нужно затратить, чтобы растянуть пружину
h;i 6 см, если сила I кГ растягивает ее на 1 см?
i

170
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
Решение. Согласно закону Гука сила X кГ, растягивающая пружину
на х м, равна X = kx, где k—коэффициент пропорциональности.
Полагая * = 0,01 м и Х=\кГ, получим k= 100 и, следовательно, Д=100дс<
Отсюда искомая работа есть
0,06
Л=
3°. Кинетическая энергия. Кинетической энергией материальной
точки, имеющей массу т и обладающей скоростью v, называется выражение
л- 2 •
Кинетическая энергия системы п материальных точек с массами пц,
т,, ..., тп, обладающих соответственно скоростями vlt vit ..., vn, равна
A)
Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим образом раз-
разбивают на элементарные частицы (играющие роль материальных точек), а затеи.
суммируя кинетические энергии этих частиц, в пределе вместо суммы A|
получают интеграл.
Пример 3. Найти кинетическую энергию однородного кругового ци-
цилиндра плотности 6 с радиусом основания R и высотой h, вращающегося е
угловой скоростью ш вокруг своей оси.
Решение. За элементарную массу dm принимаем массу полого цилиндр*
высоты h, с внутренним радиусом г и толщиной стенок йг (рис. 60). Имеем:
dm=2nr-hddr,
Так как линейная скорость массы dm равна v~ra>, то элементарная кинети»
ческая энергия есть
,„ иа dm
dK=—q—=
46 dr.

$ 12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 171
Отсюда
R
К = 1Ш2Л5 \ /-3 dr = -.
о
4°. Давление жидкости. Для вычисления силы давления жидкости
используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на
площадку 5 с глубиной погружения h равиа
P = yhS,
где y — удельный вес жидкости.
Пример 4. Найти силу давления, испытываемую полукругом радиуса г,
погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверх-
поверхностью воды (рис. 61).
Решение. Разбиваем площадь полукруга на элементы — полоски, па-
параллельные поверхности воды. Площадь одного такого элемента (если отбросить
б. м. высшего порядка), находящегося на расстоянии h от поверхности, равна
^T* dh.
Сила давления, испытываемая этим элементом, равна
dP = yhdS = 2yh Уг^ — h2 dh.
где у—удельный вес воды, равный единице.
Отсюда вся сила давления есть
г л
Р = 2 Г А У7г=& dh = - ^ (г* — ft2I" Г = \ г».
J о |0 о
1751. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с на-
начальной скоростью va, без учета сопротивления воздуха, дается
формулой
о = о,—gt,
где t — протекшее время и g—ускорение силы тяжести. На каком
расстоянии начального положения будет находиться тело через
t сек от момента бросания?
1752. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с на-
начальной скоростью va, с учетом сопротивления воздуха, дается
формулой
где t — протекшее время, g—ускорение силы тяжести и с—по-
с—постоянная. Найти высоту поднятия тела.

172 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ' [ГЛ. V
1753. Точка оси ОХ совершает гармонические колебания
вокруг начала координат, причем скорость ее дается формулой
где t — время и у0, ш—постоянные.
Найти закон колебаний точки, если при t = 0 она имела
абсциссу * = 0. Чему равно среднее значение абсолютной ве-
величины скорости точки за период колебаний?
1754. Скорость движения точки v = te-°-01t м/сек. Найти путь,
пройденный точкой от начала движения до полной остановки.
1755. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Счи-
Считая, что при постоянной силе тяги ускорение ракеты за счет
уменьшения ее веса растет по закону / = _. ¦ (а—Ы > 0), найти
скорость ракеты в любой момент времени t, если начальная
скорость ее равна нулю. Найти также высоту, достигнутую
ракетой к моменту времени t = tv
1756*. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы
выкачать воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеющей
радиус основания R и высоту Я.
1757. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из конического сосуда, обращенного вершиной
вниз, радиус основания которого равен R и высота Н.
1758. Вычислить работу, которую необходимо затратить,
чтобы выкачать воду из полусферического котла, имеющего
радиус R = 10 м.
1759. Вычислить работу, которую необходимо затратить,
чтобы выкачать масло через верхнее отверстие из цистерны,
имеющей форму цилиндра с горизонтальной осью, если удель-
удельный вес масла у, длина цистерны Н и радиус основания R.
1760**. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы т
поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту А?
Чему равна эта работа, если тело должно быть удалено на
бесконечность? ,
1761**. Два электрических заряда ей= 100 CGSE и e^OOCGSE
находятся на оси ОХ соответственно в точках хо — О и хг= 1 см.
Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится
в точку х2= 10 см?
1762*. Цилиндр с подвижным поршнем диаметра D = 20 см
и длины / = 80 см заполнен паром при давлении р = 10 кГ/смг.
Какую работу надо затратить, чтобы при неизменной темпера-
температуре (изотермический процесс) объем пара уменьшить в два раза?
1763**. Определить работу, произведенную при адиабати-
адиабатическом расширении воздуха, имеющего начальные объем Vo = \ м*
и давление /?„= 1 кГ/см2, до объема Ух= 10 м3?

12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 173
г -<^Ш»
1764**. Вертикальный вал веса Р и радиуса а опирается на
подпятник АВ (рис. 62). Сила трения между небольшой частью а
основания вала и прилегающей к ней поверхностью опоры равна
F = \ipa,
где р= const есть давление вала на поверхность опоры,
отнесенное к единице площади опоры, a \i—коэффициент тре-
трения. Найти работу силы трения при одном обороте вала.
1765**. Вычислить кинетическую энергию диска массы М и
радиуса R, вращающегося с угловой скоростью w около оси,
проходящей через центр диска перпендику- .р
лярно к его плоскости. |
1766. Вычислить кинетическую энергию
прямого круглого конуса массы М, вра-
вращающегося с угловой скоростью со около
своей оси, если радиус основания конуса
R, а высота Н.
1767*. Какую работу надо затратить,
чтобы остановить железный шар радиуса
R = 2 м, вращающийся с угловой скоростью
0=1000 об/мин вокруг своего диаметра?
(Удельный вес железа у = 7,8 Г/см'-1.)
1768. Вертикальный треугольник с осно-
основанием b и высотой h погружен в воду вер-
вершиной вниз так, что его основание находится на поверхности
воды. Найти силу давления воды.
1769. Вертикальная плотина имеет форму трапеции. Вычис-
Вычислить силу давления воды на всю плотину, если известно, что
верхнее основание плотины а = 70 м, нижнее основание 6 = 50 м,
а высота плотины /г = 20 м.
1770. Найти силу давления жидкости, удельный вес кото-
которой у, на вертикальный эллипс с осями 2а и 2Ь, центр которого
погружен в жидкость на уровень h, причем большая ось 2а
эллипса параллельна уровню жидкости (h~^b).
1771. Найти силу давления воды на вертикальный круговой
конус с радиусом основания R и высотой Я, погруженный в
воду вершиной вниз так, что его основание находится на по-
поверхности воды.
Разные задачи
1772. Найти массу стержня длины / = 100 см, если линейная
плотность стержня на расстоянии х см от одного из его концов
равна
б =
+ 0,001**)-^.

174 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1ГЛ. V
. . 1773. Согласно эмпирическим данным удельная теплоемкость
воды при температуре *°С @^/^ 100°) равна
с = 0,9983—5,184-Ю-М + 6,912-10-4».
Какое количество тепла нужно затратить, чтобы 1 г воды на-
нагреть от температуры 0°С до температуры 100° С?
1774. Ветер производит равномерное давление р Г/см* на
дверь, ширина которой Ь см и высота h см. Найти момент силы
давления ветра, стремящейся повернуть дверь на петлях.
1775. С какой силой притяжения действует материальный
стержень длины / и массы М на материальную точку массы т,
находящуюся на одной прямой со стержнем на расстоянии а
от одного из его концов?
1776*. При установившемся ламинарном (струйном) течении
жидкости через трубу круглого сечения радиуса а скорость
течения v в точке, находящейся на расстоянии г от оси трубы,
дается формулой
где р—разность давлений жидкости на концах трубы, ц—ко-
ц—коэффициент вязкости, /—длина трубы. Определить расход жид-
жидкости Q, т. е. количество жидкости, протекающей через попе-
поперечное сечение трубы в единицу времени.
1777*. Условие то же, что и в задаче 1776, но труба имеет
прямоугольное сечение, причем основание а велико по сравне-
сравнению с высотой 26. В этом случае скорость течения v в точке
М (х, у) определяется формулой
Определить расход жидкости Q.
1778*. При изучении динамических свойств автомобиля часто
используется построение диаграмм специального вида: на оси
абсцисс откладываются скорости и, на оси ординат—величины,
обратные соответствующим ускорениям а. Показать, что пло-
площадь S, ограниченная дугой этого графика, двумя ординатами
v = vt и и = 1>2 и осью абсцисс, численно равна времени, необ-
необходимому для того, чтобы увеличить скорость движения авто-
автомобиля от vt до и2 (время разгона).
1779, Горизонтальная балка длины / находится в равновесии
под действием направленной вниз вертикальной нагрузки, рав-
равномерно распределенной по длине балки, й опорных реакций
А и в(А = В=-~\, направленных вертикально вверх. Найти
изгибающий момент Мх в поперечном сечении х, т. е. момент

$ 12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 175
относительно точки Р с абсциссой х всех сил, действующих на
часть балки АР.
1780. Горизонтальная балка длины / находится в равновесии
под действием опорных реакций А и В я распределенной по
длине балки нагрузки с интенсивностью q--=kx, где х — рас-
расстояние от левой опоры и -k — постоянный коэффициент. Найти
изгибающий момент Мх в сечении х.
Примечание. Интенсивностью распределения нагрузки называется
нагрузка (сила), отнесенная к единице длины.
1781*. Найти количество тепла, выделяемое переменным си-
синусоидальным током
/ = /osm -„-/ —с
в течение периода Т в проводнике с сопротивлением R. Здесь
/0 — амплитуда тока, t — время, <р—фаза.

ГЛАВА VI
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия
1°. Понятие функции нескольких переменных. Обо-
Обозначения функций. Переменная величина г называется однозначной
функцией двух переменных х, у, если каждой совокупности их значений (х, у)
из данной области соответствует единственное определенное значение z, Пере-
Переменные х, у называются аргументами или независимыми переменными, Функ-
Функциональная зависимость обозначается так:
* = /(*. У)> или z = F(x, у) и т, д.
Аналогично определяются функции трех и большего числа аргументов.
Пример 1. Выразить объем конуса V как функцию его образующей х
и радиуса основания у.
Решение. Из геометрии известно, что объем конуса равев
где Л—высота конуса. Но Л= )Леа—у2. Следовательно,
Это и есть искомая функциональная зависимость,
Значение функции z = f(x, у) в точке Р (а, Ь), т.е. при х = а и у = Ь, обо-
обозначается /(а, Ь) или f(P). Геометрическим изображением функции z = f(x, у)
в прямоугольной системе координат X, Y, Z, вообще говоря, является неко-
некоторая поверхность (рис. 63).
Пример 2. Найти / B, —3) и / М, — j ,
если
' v~" *' 2xy ¦
Решение* Подставляя x = 2 и у = —3, находим:
3)a 13

i 1]
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
177
Подставляя х=1 и заменяя у на —, будем иметь
2Л
!у_\
т.е. /1, *-) =
2°. Область существования функции. Под областью суще-
существования (определения) функции z = / (x, у) понимается совокупность точек
(х, у) плоскости XOY, в которых данная функция определена (т. е. принимает
определенные действительные значения). В простейших случаях область су-
существования функции представляет собой ко-
конечную или бесконечную часть координатной
плоскости XOY, ограниченную одной или не-
несколькими кривыми (граница области).
Аналогично для функции трех переменны»
u — f(x, у, z) областью существования функции
служит некоторое тело в пространстве OXYZ.
Пример 3. Найти область существования
функции *
1
2 =
/4— *а — у*
Решение. Функция имеет действительные
значения, если 4-х2 —у2 > 0 или х2-\-уг < 4. f#
Последнему неравенству удовлетворяют коор- рис вз.
динаты точек, лежащих внутри окружности
радиуса 2 с центром в начале координат.
Область существования функции есть внутренность этого круга (рис. 64),
2 X
Рис. 64. Рис. 65.
Пример 4. Найти область существования функции
. х
z = arcsin -д--
Решение. Первое слагаемое функции определено при —1«?-^-
2. Второе слагаемое имеет действительные значения, если
или

178
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
т. е. в двух случаях: при ¦( >f)' или при <j" ^n • Область существования
всей функции изображена на ряс. 65 и включает границы области.
3°. Линии и поверхности уровня функции. Линией уровня
функции 2 = f(x,y) называется такая линия f(x,y) = C на плоскости XOY,
в точках которой функция принимает одно и то
же значение г = С (обычно проставляемое на
чертеже в виде отметки).
Поверхностью уровня функции трех аргумен-
аргументов u = f(x, у, г) называется такая поверхность
f (х, у, г) = С, в точках которой функция прини-
принимает постоянное значение и = С.
Пример 5. Построить линии уровня функ-
функции z = xiy.
Решение. Уравнение линий уровня имеет
Q
вид х2у~С или у= —. Полагая С = 0, ±1,
±2 получим семейство линий уровня
(рис. 66).
Рис. 66.
1782. Выразить объем V правильной
четырехугольной пирамиды как функцию
ее высоты х и бокового ребра у.
1783. Выразить площадь 5 боковой поверхности правильной
шестиугольной усеченной пирамиды как функцию сторон х и у
оснований и высоты г.
1784. Найти /(у, з) , /A, —1), если
f(x, y) = xy + j.
1785. Найти f(y, x), f(-x, -у),
если
1786. Найти значения, принимаемые функцией
f(x, y)=l+x—y
в точках параболы у = хг, и построить график функции
1787. Найти значение функции
2 —
в точках окружности х* + у* = R*.

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ . 179
1788*. Определить f(x), если
(ху > 0).
У
1789**. Найти f(x, у), если f(x + y, x—y) = xy+y*.
1790*. Пусть 2 = Уу+{(Ух—]). Определить функции /и г,
если z = x при у~\.
1791**. Пусть z = xf[jA. Определить функции /иг, если
г = У 1 + у2 при *= 1.
1792. Найти и изобразить области существования следующих
функций:
и) г--=У у sin х;
к) 2:=1п(*а4-г/);
л) 2 == arctg
1
б) г = 1 + V— (х-уУ;
д) г = уТ^х« + Kb
н) г =
— г/2; п) z =/sin (*a +1/2).
з) 2 = /
( ^)(()
1793. Найти области существования следующих функций
трех аргументов:
a) u^Vx + VH + Vl; б) и = \п(хуг);
в) u = arcsin.x:+arcsiny-barcsin2; Г) и = у\ —хъ—у*—Z2_
1794. Построить линии уровня данных функций и выяснить
характер изображаемых этими функциями поверхностей:
a) z = x + y; г) г = У~ху\ ж) г = ~;
б) 2 = л;* + #2; д) z =
в) г = #.-у*; е) г=1-\х\-\у\; n)z = -
1795. Найти линии уровня следующих функций:
а) 2= In (л2 + У); г) z = f{y—ax);
б)- г = arcsin л#; д) 2 == / ^
в) 2 =

180 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ГГЛ. VI
1796. Найти поверхности уровня функций трех независимых
переменных:
а) и = +
б) и = х*
в) и = хг+уг—г*.
§ 2, Непрерывность
1°. Предел функции. Число А называется пределом функции г=/ (х, у)
при стремлении точки Р' (х, у) к точке Р (а, Ь), если для любого е > 0 су-
существует такое б > 0, что при 0 < р < S, где р= У(х—аJ+(у—ЬJ—рас-
У(х—аJ+(у—ЬJ—расстояние между точками Р и Р', имеет место неравенство
\f(x,y)-A\<st
В этом случае пишут:
Vimf(x, y) = A.
2°. Непрерывность и точки разрыва. Функция z = f(x,y)
вазывается непрерывной в точке Р (а, Ь), если
lim f(x, y) = f(a, b).
x-*a
y-t-b
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется
непрерывной в этой области.
Нарушение условий непрерывности для функции f (x, у) может происхо-
происходить как в отдельных точках (изолированная точка разрыва), так и в точках,
образующих одну или несколько линий (линии разрыва), а иногда и более
сложные геометрические образы.
Пример 1. Найти точки разрыва функции
. ху+1
Решение. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в
нуль. Но х2—у = 0 или у = х2—уравнение параболы. Следовательно, данная
функция имеет линией разрыва параболу у = х2.
1797*. Найти следующие пределы функций:
a) lim(x* + 08)sinj-; в) lim^^; д)
у-*-0 у-*-2 у-*-0
б) ,!Й й?5; г) Ji™ (!+т) * '• е) 15)?+уа
1798. Исследовать на непрерывность функцию
**—у2
—х*—у' при
О при х*+у*> 1.

$ 3] ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ * 181
1799. Найти точки разрыва следующих функций:
а) z = lnW + //2; в) г = —-i-
б) z = -; г?; г) г = cos —.
' (х—уJ ' ' ху
1800*. Показать, что функция
(-|тЧ ПРИ
( 0 при je = t/ = O
непрерывна по каждой из переменных х и у в отдельности, но
не является непрерывной в точке @, 0) по совокупности этих
переменных.
§ 3. Частные производные
1°. Определение частных производных. Если 2 = f(x, у)
то, полагая, например, у постоянной, получаем производную
дг _ /(х + Ах, у)-f(x, у) .
аГ - д!™ о д^ h {х> y)t
которая называется частной производной функции г по переменной х. Ана-
Аналогично определяется и обозначается частная производная функции г по пе-
переменной у. Очевидно, что для нахождения частных производных можно
пользоваться обычными формулами дифференцирования.
Пример 1. Найти частные производные функции
«=Intg-.
Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим:
дг _ 1 I I _ 2
дх , х , х ' у ~ . 2х '
tg — cos2 — у sin —
У У У
Аналогично, рассматривая х как постоянную, будем иметь:
дг I 1 / х \ 2х
ду . х , х V у2 I . . 2х '
tg_ cos2y - j,2s.n7
Пример 2. Найти частные производные функции трех аргументов
и = хяу2г + 2х—З/у+г + 5.
Решение. ^- = Зд;2;/2?-{-2,

182
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
2°. Теорема Эйлера. Функция f(x, у) называется однородной функ-
функцией измерения п, если для любого действительного множителя k имеет место
равенство
f(kx, ky)^k»f{x, у).
Целая рациональная функция будет однородной,.если все члены ее одного
и того же измерения,
Для однородной дифференцируемой функции измерения п справедливо
соотношение (теорема Эйлера):
xfx(x, y) + yf'u{x, y) = nf(x, y).
Найти частные производные функций:
1801. z = x*+ya—Заху.
1803. z=4-
1805. z=-
1807. z = arctg-|-.
1809. г =
1811. z =
1813. vl =
1814. Найти /;B; 1) в fy{2; \), если f(x, y)=
1815. Найти f'xiU 2; 0), /;A; 2; 0), ?A; 2; 0), если
/(x, у, z)==\n(xy + z).
Проверить теорему Эйлера об однородных функциях
(№№ 1816—1819):
1816 /( ) А
1816.
1817, z = -
1819. f(x, у)=\п%.
1820. Найти -^ {— j , где г =
дх_
дф
1818.
:, у) = -
1821. Вычислить
ду ду
дг дф
, если jc = rcos<p и y = rs'm<p.
1822. Показать, что х-^-+у — — 2, если

f 4] ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 183
1823. Показать, что х-^ + у-^-=-ху + 2, если
1824. Показать, что-g-+~- + -g = 0, если
u = (x—y)(y—z)(z—x).
1825. Показать, что -g- + ^ + -g- = 1, если
1826. Найти г = г(х, у), если
дг х
1827. Найти 2 = г(х, у), зная, что
1828. Через точку М(\; 2; 6) поверхности г = 2х2 + у% про-
проведены плоскости, параллельные координатным плоскостям X0Z
и YOZ. Определить, какие углы образуют с осями координат
касательные к получившимся сечениям, проведенные в их общей
точке М.
1829. Площадь трапеции с основаниями a, b и высотой h равна
1 ЛЯ Я^ Я^
5 = -2- (а + 6) h. Найти -^ , -^-, -^ и, пользуясь чертежом, вы-
выяснить их геометрический смысл.
1830*г Показать, что функция
ti \ [ -ггЧ. если
{ 0, если х = у = 0,
имеет частные производные f'x(x, у) и f'y(x, у) в точке @; 0),
хотя и разрывна в этой точке. Построить геометрический образ
этой функции вблизи точки @; 0).
§ 4. Полный дифференциал функции
ние функции. Полным np
ность
) = f(x+Ax, y + by)-f(x, у).
1°. Полное приращение функции. Полным приращением функ-
функции г = /(х, у) называется разность

184 ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
2*. Полный дифференциал функции. Полнцм дифференциалом.
функции z = f(x,y) называется главная часть полного приращения Дг, линейная
относительно приращений аргументов Дх и Ду.
Разность между полным приращением и полным дифференциалом функции
есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с р= У^Д*2 + Дуа.
Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности
ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она
называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных, по
определению, совпадают с их приращениями, т. е. dx = bx и 4у = Ду. Полный
дифференциал функции z = f(x, у) вычисляется по формуле
. дг . , дг .
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов u = f{x, у, г)
вычисляется по формуле
. да . , да , , ди ,
du = -z-dx-\--z-dy-\--z-dz.
< дх ду дг
Пример 1. Для функции
f(x, у)=х* + ху-уг
найти полное приращение и полный дифференциал.
Решение.
/ (* + Дж, у + Ду) = (х + ДхM + (х + Ьх) (у + Ду) - (у + Aj/)s;
= 1Bх + у) Ьх + (х—2у)
Здесь выражение df = {2х + у) Д* + (х—2у) Д(/ есть полный дифференциал
функции, а (Длг' + Ддг.Ду — Ду*) есть бесконечно малая высшего порядка по
сравнению с бесконечно малой р= У^Дл^ + Ду2.
Пример 2. Найти полный дифференциал функции.
Решение. — =
дх
dz =
3°. Применение полного дифференциала функции
к приближенным вычислени ям. При достаточно малых | Аде | и | Ду |,
а значит, при достаточно малом р= У Д*г + Дуа для дифференцируемой функ-
функции z = f(x, у) имеет место приближенное равенство Дг « dz или
. дг . , дг .
Дг « -z- Ьх 4- -5— Ду.
дх ^ ду "
Пример 3. Высота конуса #=30 см, радиус основания R= 10 см.
Как изменится объем конуса, если увеличить Н на 3 мм и уменьшить U
на 1 мм}

§ 4] ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 185
Решение. Объем конуса равен V=-^-n.R2H. Изменение объема заме-
о
ним приближенно дифференциалом
АК яа dV = 4" л BRH dR + R*dH) =
О
= 4-л (-2-10.30-0,1+ 100-0,3) = — Юля — 31,4 см3.
о
Пример 4. Вычислить приближенно 1,023'01.
Решение. Рассмотрим функцию г = ху. Искомое число можно считать
наращенным значением этой функции при х=\, у = 3, Дл; = 0,02, Д</ = 0,01.
Первоначальное значение функции z=13=1,
Дг за dz = yxy~1 &x + xy In х Ау = 3-1 0,02+ 1 -In 1-0,01=0,06.
Следовательно, 1.023'01 яг 1 +0,06= 1,06.
1831. Для функции f(x, y) = x*y найти полное приращение
и полный дифференциал в точке A; 2); сравнить их, если:
а)Ах=1, Ау = 2-Аб) Лх = 0,1, Ау = 0,2.
ъ
1832. Показать, что для функций и н v нескольких (например,
двух) переменных справедливы обычные правила дифференци-
дифференцирования:
» (/ i \ j ,j ^\ j / ч j . j ч j I и \ v йи — udv
а) а (и +v) = аи +dv; б) d(uv) = vdu + udv; в)а1— 1 =——-^ .
Найти полные дифференциалы следующих функций:
1833. z = x3 + y3 — 3xy. 1834. 2 = х2г/?.
1835.2=^4. 1836. 2 = sin2 x+ cos2 у.
1837. г = ух«. 1838. z = In (
1839. /(jc, y)=ln(l+J-). 1840. 2 = arct
1841. z = lntg-^-.
1842. Найти d/(l; 1), если /(х, y) = ~.
1843. u = xyz. 1844. и =--- Кл;2 + г/2 + г2
1845. u = (xy + -Y. 1846. u= arctg^f.
1847. Найти d/C; 4; 5), если f(x, у, г) = -
г
1848. Одна сторона прямоугольника а =10, см, а другая
ft = 24 ли. Как изменится диагональ / прямоугольника, если
сторону а удлинить на 4 мм, а сторону Ь укоротить на 1 мм?
Найти приближенную величину изменения и сравнить с точной.

186 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1849. Закрытый ящик, имеющий наружные размеры 10 см,
8 см и 6 см, сделан из фанеры толщиной в 2 мм. Определить
приближенно объем затраченного на ящик материала.
1850*. Центральный угол кругового сектора, равный 80е,
желают уменьшить на 1°. На сколько надо" удлинить радиус
сектора, чтобы площадь его осталась без изменения, если пер-
первоначальная длина радиуса равна 20 см?
1851. Вычислить приближенно:
а) A,02)»-@,97)'; '
б) 1/D,05)* +B,93)*;
в) sin 32°'cos59° (при переводе градусов в радианы и при
вычислении sin 60° брать три значащие цифры; последний знак
округлить).
1852. Показать, что относительная ошибка произведения при-
приближенно равна сумме относительных ошибок сомножителей.
1853. При измерении на местности треугольника ABC полу-
получены следующие данные: сторона а =100 м±2м, сторона Ь =
= 200 м±Ъ м, угол С = 60°±1°. С какой степенью точности
может быть вычислена сторона с?
1854. Период Т колебания маятника вычисляется по формуле
где /—длина маятника и g—ускорение силы тяжести. Найти
погрешность в определении Т, получаемую в результате неболь-
небольших ошибок А1 = а и Ag = P при измерении / и g.
1855. Расстояние между точками Ро (х„, уа) и Р (х, у) равно р,
а угол, образованный вектором РаР с осью ОХ, равен а. На
сколько изменится угол а, если точка Р, при неизменной точке Pt,
займет положение Р±(х-\-д.х, y + dy)?
§ 5. Дифференцирование сложных функций
1д. Случай одной независимой переменной. Если г = / (х, у\
есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь
являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t:
то производная сложной функции z = f[(f(t), i|>@] может быть вычислена по
формуле
&г_дг dx дг dy .
dt~ дх W+ду W (l>
В частности, если t совпадает с одним из аргументов, например х, то
«полная» производная функции г по х будет:
dx дх^ду dx' ()

$ Б] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЯ 187
Пример 1. Найти -?- , если
г = е3х+гу, где *=ccs/, g = tK
Решение. По формуле A) имеем
dt
Пример 2. Найти частную производную -^— и полную производную
йг
~т~ • если
2 = e*ff, где у=у(х).
Решение. -^— = уеХ!1. На основании формулы B) получаем
2°. Случай нескольких независимых пер емен ных. Если
г есть сложная функция нескольких независимых переменных, например
z = /(x, у), где * = ф(ц, у), (/ = i|) (". v) (" и а— независимые переменные; f,
ф, i|)—дифференцируемые функции), то частные производные г по а и о вы-
выражаются так:
дг__дг_дх_,дг_ду_
ди ~ дх ди^ ду ди V'
dv ~ дх dv' ду dv '
Во всех рассмотренных случаях справедлива формула
. дг . , дг .
dz= — dx-\~z~dy
дх ' ду
{свойство инвариантности полного дифференциале^,
_ „ „ „ дг дг
Пример 3. Найти — и т-, если
r r ди dv
z = f (x, у), где x = tw, У = ^-'
Решение. Применяя формулы C) и D), получим:
ifc=fx(X' У) v+jy(x,y) —
в

188 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Пример 4. Показать, что функция г = <р(хг + У2) удовлетворяет урав-
дг дг .
ие„„ю у--х- = 0.
Решение. Функция <р зависит от х и у через промежуточный аргумент
xa-\-yi = t, поэтому
И
ду dt ду г к ' ' "
Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:
у •? -х !Нy<t> {х*+у2) 2х~ *ф/ (*2+yiJy=
= 2хуу' (*2 + у2) - 2xy<f' (х*+у2) а О,
т. е. функция г удовлетворяет данному уравнению.
1856. Найти ^, если
z = y, где x = ef, y=\nt.
1857. Найти ^ , если
и — In sin —— , где х — 3t3, у =
Уу -»¦
1858. Найти ^ , если
и = хуг, где x = 't*-\-\t y = \nt, 2 = tgt.
1859. Найти -^-, если
и = —т==, тце х = R cos t, y = Rs'mt, z = H.
1860. Найти ^ , если
z = «", где « =
1861, Найти g? и -|, если
-|- и 1/ = х«.

§ 5] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ 189
1862. Найти ~ и ^, если
z — ху, где у = <р(х).
1863. Найти - и ^, если
z=f'(u,v), где ы = х2—г/2, у = е*э\
1864. Найти ^ и ^, если
г = arctg — , где х = и sin v, y = u cos w.
1865. Найти g и |, если
z = /.(«), где и = лт/+-|.
1866. Показать, что если
где
x = R cos ф cos яр, у = ^созф sinip, z = ,
то
|l = 0 и |^ = 0.
1867, Найти ^, если
ы = /(х, у, г), где у = ф(х), z = ij)(.
1868. Показать, что если
где /"—дифференцируемая функция, та
(к_д_?
ду~адх-
1869, Показать, что функция
где a = jc4-flf, v-=y-\-bt, удовлетворяют уравнению
dw dw . dw

190 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1870* Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
1 дг . 1 дг _?__
~х дх "*~ ~у ду ~ ~у* *
1871* Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
1872. Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
1873. Сторона прямоугольника х — 20м возрастает со ско-
скоростью 5 м/сек, другая сторона у = 30 м убывает со скоростью
4 м/сек. С какой скоростью изменяются периметр и площадь
прямоугольника?
1874. Уравнения движения материальной точки
С какой скоростью возрастает расстояние этой точки от начала
координат?
1875. Два парохода, вышедшие одновременно из пункта А,
движутся один на север, другой на северо-восток. Скорости
движения пароходов: 20 км/час и 40 км/час. С какой скоростью
возрастает расстояние между ними?
§ 6. Производная в данном направлении и градиент функции
1°. Производная функции в данном направлении.
Производной функции z = f(x, у) в точке Р в данном направлении t—PPt
называется
4l=, lim UIA.

$61
ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ
191
где f (Р) и /(Pi) — значения функции в точках Р и Pi. Если функция г диф-
дифференцируема, то справедлива формула
дг дг
dl дх
дг .
-t- sin a,
ду
A)
где а — угол, образованный вектором / с осью ОХ (рис. 67).
Аналогично определяется производная в данном направлении t для функ-
функции трех аргументов u = f(x, у, г). В этом случае
ди ди ди „ . ди
—-=—- cosa + -^— cos pf ^- cos v.
dl дх ду р ' л, г>
дг
B)
где a, P, у —Углы между направлением I и соответствующими координатными
осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения
функции в этом направлении.
fa;!/)
О
Рис. 67.
/ 2
Рис. 68.
3 X
Пример 1. Найти производную функции г = 2х2 — Зг/2 в точке Р (I; 0)
в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120°.
Решение. Найдем частные производйые данной функции и их значения
в точке Р:
дг . (дг\
— = 4х: Иг- =4;
дх \дх р
д? = -6у; (%) = 0.
ду "' \dyjp
cos a = cos 120° = ~ f
Здесь
sin a = sin 120° = -!-2— .
Применяя формулу A), получим:
Знак минус показывает, что функция в данной точке и в данном направлении
убывает.
2°. Градиент функции. Градиентом функции z = f(x,y) в точке
(х, у) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются

192 функции нескольких переменных 1гл. vi
срответствующие частные производные данной функции:
Производная данной функции в направлении / связана с градиентом функции
следующей формулой:
дг
т. е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции
на направление дифференцирования.
Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствую-
соответствующей линии уровня функции. Направление градиента функции в данной точке
есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке,
т. е. при / = gradz производная -т-. принимает наибольшее значение, равное
Аналогично определяется градиент функции трех переменных u=f(x, у, г):
, ди . , ди . : ди . ...
gradu = -T-f + -3— /+-3— *• D)
6 дх ' дуJ ' дг v '
Градиент функции трех переменных в каждой точке направлен по нормали
к поверхности уровня, проходящей через эту точку.
Пример 2. Найти и построить градиент функции z = хаув точке Р A; 1).
Решение. Вычислим частные производные н их значения в точке Р:
дг '
ду~ *'
Следовательно, gradz = 2/+y (рис. 68).
1876. Найти производную функции г = д:а—ху—2г/2 в точке
РA; 2) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 60°.
1877. Найти производную функции г = хг — 2х*у + ху*+1
в точке М(\\ 2) в направлении, идущем от этой точки к точке
JVD; 6).
1878. Найти производную функции z = \nV& + y2 в точке
Р(\; 1) в направлении биссектрисы первого координатного угла.
1879. Найти производную функции ы = хя—Зуг + 5 в точке
МA; 2; —1) в направлении, составляющем одинаковые углы
со всеми координатными осями.
1880. Найти производную функции и = ху -f уг + гх в точке
МB; 1; 3) в направлении, идущем от этой точки к точке
iVE; 5; 15).

$ 7] ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 193
1881. Найти производную функции и = In (e*-\-&>-\-е*)ъ начале
координат в направлении, образующем с осями координат ОХ,
0Y, 02 углы, соответственно, а, р\ у.
1882. Точка, в которой производная функции в любом на-
направлении равна нулю, называется стационарной точкой этой
функции. Найти стационарные точки следующих функций:
а) г = х* + ху + у* — Ах—2у;
б) z = x* + y3-3xy;
в) u = 2yi-\-z2—xy—yz + 2x.
1883. Показать, что производная функции г=-^, взятая
в любой точке эллипса 2хг-\-у2 = Сг вдоль нормали к эллипсу,
равна нулю.
1884. Найти grad? в точке B; 1), если
3 — Зху.
1885. Найти grad z в точке E; 3), если
z =
1886. Найти gradu в точке A; 2; 3), если u = xyz.
1887. Найти величину и направление gradw в точке B; —2; 1),
если
1888. Найти угол между градиентами функции z = In — в точ-
точках 4 (у;-J") и В A; 1).
1889. Найти величину наибольшего подъема поверхности
2 = Jt2 + 4l/»
в точке B; 1; 8).
1890. Построить векторное поле градиента следующих функций:
а) г = х + у; в) z =
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков
Iе. Частные производные высших порядков. Частными
производными второго порядка функции z~f(x, у) называются частные про-
производные от ее частных производных первого порядка.
Для производных второго порядка употребляются обозначения
д /дг\
д
7 Под ред. Б. П. Деыидовича

194 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка
выше второго.
Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то
результат многократного дифференцирования не зависит от порядка диффе-
дифференцирования.
Пример 1. Найти частные производные второго порядка от функции
z= arctg ~ .
Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка:
дг 1 1 у
дх~ х2 ' у х* + у*'
дг_ 1 / _*_\ х__
"Г yi
Теперь дифференцируем вторично:
У
Заметим, что так называемую «смешанную» частную производную можно найти
и иначе, а именно:
д I
дх\
дхду~дудх
2°. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом
второго порядка функции z = f(x, у) называется дифференциал от дифферен-
дифференциала (первого порядка) этой функции
Аналогично определяются дифференциалы функции г порядка выше вто-
второго, например:
dsz = d(d2z)
и, вообще,
iz) (л = 2,3, ..,)•
Если z = f(x, у), где х и у—независимые переменные и функция f имеет
Непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал 2-го
порядка функции г вычисляется по формуле
^-dxdy+^
дхду я ' ду
(I)

§7] ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 195
Вообще, при наличии соответствующих производных справедлива символиче-
символическая формула
которая формально развертывается по биномиальному закону.
Если z = f(x, у), где аргументы х и i/суть функции одного или несколь*
ких независимых переменных, то
B)
дТдуили!/^д*у"и ^дх"л^дУ"*'
Если ж и у—независимые переменные, то d2x = 0, da</ = 0 и формула B) ста-
становится тождественной формуле A).
Пример 2. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
2 = 2д;2—Зху— </а.
Решение. 1-й способ. Имеем:
-т-=4х — Зу, -r-=i—3jc—2у,
дх ду
Поэтому
Далее
откуда следует, что
2-й способ. Дифференцированием находим:
dz = 4х dx—3 (у dx + х dy)—2у dy == Dх—Зу) dx — (Зх+2у) dy.
Дифференцируя еще раз и помня, что dx a dy не зависят от х и у, получим!
d2z = Ddx - 3dy) dx — Cdx + 2dy) dy = 4dx2—Ых dy—2dy\
189Ь Найти g.-J|.g§, если
Э2г
1892, Найти-^.
32z
1893, Найти ^, если

196 " - ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1894, Найти 3-4-. если
at.
1895. Найти |^, если
1896. Найти все частные производные 2-го порядка функции
1897. Найти g—-, если
и =
1898. Найти -?^, если
z = sin(xy).
1899. Найти ?,@,0), ^@,0), ^@,0), если
д2г д2г
1900. Показать, что ш-у = ^Тх, если
—-.
д2г дгг
1901. Показать,,что д^ = д^, если
1902*. Показать, что для функции
f ^
с добавочным условием /@, 0) = 0 имеем
1903. Найти у4 i :pj~ i ~л\• если
z = f(u, v), где « =
1904. Найти -*Л, если
и = f(x, у, г), где

§ 7] ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 197
1905. Найти ?,^,0, если
z = f(u,v), где и = <р (х, у), v = ip(x,y).
1906. Показать, что функция
удовлетворяет уравнению Лапласа
1907. Показать, что функция
и = In —
г '
где г=]/г(х—а)а + (г/ — ЬJ, удовлетворяет уравнению Лапласа
1908. Показать, что функция
и (х, t) = A sin (aXt + ф) sin \x
удовлетворяет уравнению колебаний струны
di* ~a дх" •
1909. Показать, что функция
(х0, уа, г0, а—постоянные) удовлетворяет уравнению теплопро-
теплопроводности
dt~a [ дх* + ду* + дгп- ) '
1910. Показать, что функция
где ф и \|j—произвольные дважды дифференцируемые функции,,
удовлетворяет уравнению колебаний струны
б;2 ~а дх* '

198 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
19П. Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
, дЧ . о дЧ , , дЧ
1912. Показать, что функция
и = <p(xy)+V~xy $(¦%¦
удовлетворяет уравнению
1913. Показать, что функция z = /[х + ф 0/)] удовлетворяет
уравнению
дх дх ду ~ ду дх* '
1914. Найти и = и(х, у), если
дхду
1915. Определить вид функции и = и(х, у), удовлетворяющей
уравнению
1916. Найти d2z, если
1917. Найти d2u, если
1918. Найти d2z, если
2 = ф@, где t =
1919. Найти dz и d2z, если
z = u°, где « = у, « = ^-
1920. Найти daz, если
z = f(u, v), где ы = ал, v — by.

S 8] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 199
1921. Найти д?г, если
z = f(u, v), где и--='хеУ, v = ye*.
1922. Найти d3z, если
г = ехсозу.
1923. Найти дифференциал 3-го порядка функции
z — xcosy-\-ys'mx,
определить все частные производные 3-го порядка.
1924. Найти df(\, 2) и d?f(\t 2), если
f(x, у) = х* + ху + у*
1925. Найти d«/@, 0, 0), если
f(x, у, г)=
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов
lCi Условие полного дифференциала. Для того чтобы выра-
выражение Р (х, у) dx + Q(x, у) dy, где функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны
в односвязной области D вместе со своими частными производными первого
порядка, представляло собой в области D полный дифференциал некоторой
функции и (х, у), необходимо и достаточно выполнение условия
дх ду
Пример 1. Убедиться в том, что ныражение
есть полный дифференциал некоторой функции, и найти эту функцию.
Реш'ение. В данном случае Р = 2х4-у, Q=x-\-2y. Поэтому
3Q дР'
~~я~—-д—=1 и, следовательно,
y = du = ~
где и—искомая функция*
По условию -д-=2х-f-у, следовательно,
и=\ Bx + y)dx = x* + xy + <t(y),
ная функция от у. Но, с др;
', откуда <р' (у) = 2у, <р (у) = у2 + С и
ди
где <р (у) — произвольная функция от у. Но, с другой стороны, ^—=
Окончательно,
Bх + у) dx + (х + 2у) dy =-- d (x* + ху + у* + С),

200 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
2". Случай трех переменных. Аналогично выражение
Р(х, у, z)dx + Q(x, у, z)dy+R(x, у, z)dz,
где Р (х, у, г), Q(x, у, г), R(x, у, г)—непрерывные, вместе со своими част-
частными производными 1-го порядка, функции переменных х, у и г, тогда и
только тогда представляет собой полный дифференциал некоторой функции
и (х, у, г) в пространственно односвязной области D, когда в D выполнены
условия
dQ_=dP_ fM?_<N3 дР _ №
дх ~~ ду ' ду дг ' дг ~ дх '
Пример 2. Убедиться в том, что выражение
— I) dx + (za + 3x) dy + Bуг+ 1) dz
есть полный дифференциал некоторой функции, и найти эту функцию.
Решение Здесь Р = 3*а + 3у—1, Q = z2 + 3x, R = 2yz-\-\. Уста-
Устанавливаем, что
6Q дР dR dQ дР dR
дх ду ду дг dz дх
и, следовательно,
где и — искомая функция.
Имеем:
значит,
и=\ (Зх*-\-Зу — l)dx = x3-{-3xy—xJr<f(y, г),
С другой стороны,
откуда -Р- = г1 и -^- = 2jrz +1. Задача сводится к отысканию функции двух
переменных <р((/, г), частные производные которой известны и выполнено
условие полного дифференциала.
Находим <р:
Ф (У> «)-= \ z*dy = yz*

$ 8] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 201
т. е. у(у, г) = уг*-f-г-\-С. Окончательно получим:
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными
дифференциалами некоторых функци й, найти эти функции.
1926. ydx + xdy.
1927. (cosx + 3x*y)dx-Sr(x*—y*)dy.
1928 (x+2y)dx+ydy
1930. Ldx — Ardy.
У У* У
1931. * dr. л. У Atj.
1932. Определить постоянные а и Ь так, чтобы выражение
(ах'- + 2ху + у2) &х—(х*- + 1щ + Ьуг) dy
было полным дифференциалом некоторой функции г, и найти
последнюю.
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными
дифференциалами некоторых функций, найти эти функции.
1933. {2x + y + z)dx + (x + 2y + z)dy + (x + y+2z)dz.
1934. (Зхг + 2у2 + 3z) dx + (ixy + 2у— z) dy + Cx—y — 2) dz.
1935. Bxyz — 3y* 8 2)d
1938*. Даны проекции силы на оси координат:
у_ У у __ ^
(х+уУ- • Г \х + у)* •
где А, — постоянная величина. Каков должен быть коэффициент к,
чтобы сила имела потенциал?
1939. Какому условию должна удовлетворять функция f(x, у),
чтобы выражение
f(x, y)(dx+dy)
было полным дифференциалом?
1940. Найти функцию и, если
du=f(xy)(ydx~-xdy).

202 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1ГЛ. VI
§ 9. Дифференцирование неявных функций
Г. Случай одной независимой переменной. Если уравне-
уравнение / (х, у) = 0, где / (х, у)—дифференцируемая функция переменных х и у,
определяет у как функцию от х, то производная этой неявно заданной функ-
функции при условии, что f'y(x, у) фО, может быть найдена по формуле
dy _ f'x (x, у) .j.
dx fy(x, У) '
Производные высших порядков находятся последовательным дифференцирова-
дифференцированием формулы A).
du йгц
Пример 1 . Найти -f- и ~г4.
v v dx dx*
Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через / (х, у),
найдем частные производные
fy(x, У) = 3(х* + у*)*.2у-3.2у = 6у 1(х* + уу-1],
Отсюда, применяя формулу A), получим:
dy _ f'x (х, у) _z 6* [(*° + У2J -1 ] __ х
&х fy{x,y)' 6* [(*• + »¦)*-1] У '
Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную пер-
первую производную, учитывая при этом, что у есть функция х:
&Н_= ? (_ ?\ У Xdx_ У~Х{ у) _ у* + х*
dx* dx\ у) у2 у* ~ у* '
2°. Случай нескольких независимых переменных. Ана-
Аналогично, если уравнение F (х, у, z) = 0, где F (х, у, г)—дифференцируемая
функция переменных х, у и г, определяет г как функцию независимых пере-
переменных * и у и F'г (х, у, г) Ф 0, то частные производные этой неявно задан-
заданной функции могут быть найдены по формулам:
дг_ F'z(x, у, г) дг _ Fy (x, у, г) _
<?* F'z(x, у г)' ду р'г{х< Уг г)'
Другой способ нахождения производных функции z следующий: дифферен-
дифференцируя уравнение F (х, у, z) = 0, получим:
dF . , dF . , dF . .
-з— dx-\—z— dy-\—3—dz = 0.
dx ' ду ' дг
Отсюда можно определить dz, а следовательно, ~^-~ и -^— •
П р и м е р 2. Найти *=— и -з— . если
r r дх ду
х2—2уа + 3z2—уг + у = 0.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯ
203
Решение. 1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения
через F (х, у, г), найдем частные производныз
Fx(x> У. z)=2x, Fy(x, у, г) = —4у—г + 1, р'г(х, у, г) = 6г—у.
Применив формулы B), получим:
дг _ F'x(x, у, г)_ 1х дг _ F'y(x, у, г)_ 1— Ау — г
дх
Fi(x, у, г) вг-у' dy Fz(x, у, г)'
2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим:
2xdx—Aydy + Szdz — ydz — zdy-\-dy = Q.
Отсюда определяем dz, т. е. полный дифференциал неявной функции:
У — 6г
Сравнивая с формулой dz = -^—dx-\--^~dy, еидим, что
dz
1х
дг 1—4у — г
дх у—6г ' ду у—6г
3е.-Систем а неявных функций. Если система двух уравнений
Г F(x, у, и, и) == 0.
| G (х, у, и, и):=0
определяет и и о как дифференцируемые функции переменных х и у и якобиан
dF d.
D(F,
D(u,
ди dv
dG_ dG
du dv
то дифференциалы этих функций (а следовательно, их частные производные)
могут быть найдены из системы уравнений
dF . , dF , . dF . . dF . .
-=— dx4--^~ dv4--5— du И—=— dv=O
dx ~ ду и' ди ~ dv
dG_dx,dG , , dG
dx 'l д
Пример З. Уравнения
50
C)
. du du dv dv
определяют мин как функции от х и у; найти -^— , -^— , -т— и ^— •
Решение. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по х, получил:
du . dv
dx ' dx ~ '
dv Л

204
отсюда
•ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1ГЛ. VI
да
и-\-у dv и + х
Аналогичным образом найдем:
ди v-\-y dv v-\-x
ду~ х—у1 ду~х—у'
2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие
дифференциалы всех четырех переменных:
х du -j- и dx + у dv -\- v dy = 0.
Решив эту систему относительно дифференциалов du н dv, получим:
(v+y)dy . i
x—y
x—y
Отсюда
ди и-\-у ди у-\-У
~дх х—у ' ду ~ х—у*
до и-\-х ду v-\-x
~dx~х—у ' ду~~х—у '
4*. Параметрическое задание функции. Если дифференци-
дифференцируемая функция г от переменных х и у задана параметрически уравнениями
X — X(U, V), y = y(u,v), 2 = 2 (U, С)
Р(Х, У)._.
дх
ди
ду
ди
дх
dv
dy
dv
5*0,
то дифференциал этой функции ^иожет быть найден из системы уравнений
. дх . , дх
dx=-z-du4—z-dv,
ди ' dv
D)
dz--
дг , дг
du\
ди
dv
дг
Зная дифференциал dz = pdx-\-qdy, находим частные производные -^—=р и
дг__
Пример 4. Функция z аргументов х и у задана уравнениями
„ . дг дг
Найти ^— и -з— .
дх ду

S 9) ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 205
Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения,
связывающие дифференциалы всех пяти переменных:
/ dx == dи + dv,
|
Из первых двух уравнений определим du и dv:
. 2vdx—dy , dy—2udx
du = -—~ f, dv=-Z- —.
2(v — u) 2(v—u)
Подставим в третье уравнение найденные выражения du и dv:
d 3u,.2vdx-dy
dZ3u
(o-и) +Ju 2(v-u)
Огсюда
дг „ dz 3 . . .
dx , ^5/ 2 v
2-й способ. Из третьего данного уравнения можно найти:
з— = 3м2 -г—[-Зу2-ч~; -т— ==Зи2-г—|-За2-з—. E)
дх дх дх ду ду ду
Продифференцируем стервые два уравнения сначала по х, затем по у:
ди . dv
дх дх '
„ „ ди . ди | ди , п да
~~ дх ' " дх ' К ду
Из первой системы найдем:
ди v dv и
дх v—и' dx~u — v'
Из второй системы найдем:
ди 1 dv I
ду 2(u — v)' ду '2 (v — и)'
_ ди dv ди dv . /е.
Подставляя выражения -^— , -^— , д— , -^- в формулу E), получим:
дх v — и и—v
1941. Пусть </ есть функция л:, определяемая уравнением

206 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
438
1942. Пусть у есть функция, определяемая уравнением
=0 (а> 1).
Показать, что т^ = 0 и объяснить полученный результат.
1943. Найти ^, если у=\+ух.
1944. Найти ^ и g, если у = х + \пу.
1945. Найти (?)_ и (g)_, если
—2 = 0.
Пользуясь полученными результатами, приближенно изобра-
изобразить график данной кривой в окрестности точки х=1.
1946. Функция у определяется уравнением
1947. Найти ^ и g, если
1 + ju/—In (е*У + е~хУ) = 0.
1948. Функция 2 переменных л; и у задана уравнением
х» + 2ys + z3—Зхуг—2у + 3 = 0.
Найти §и?.
1949. Найти-|j и -J-, если
д; cos у +1/ cos 2 -Ь 2 cos д; = 1.
1950. Функция z задана уравнением
Найти -?- и -~ Для системы значений х = —1, у = 0, г = \.
им. на.?. |i. g, й ?5tf
1952. /(x, у, г)=0. Показать, что ||. ^ --^- = — 1.

$ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 207
1953. г = ф(х, у), где у есть функция х, определяемая урав-
уравнением ty(x, у) = 0. Найти —.
1954. Найти dz и d2z, если
1955. Пусть г есть функция переменных х и у, определяемая
уравнением
+ г2 —8xz—г+ 8 = 0.
Найти dz и d2z для системы значений х = 2, у = 0, 2=1.
1956. Найти (iz и d2z, если In 2 == % + г/+ г— 1. Чему равны
производные 1-го и 2-го порядков функции г?
1957. Пусть функция z определяется уравнением
х2 + у2 + г2 = ф (ал + by + cz),
где ф — произвольная дифференцируемая функция и а, Ъ, с—по-
с—постоянные. Показать, что
(cy—bz)~ + (az—cx) ¦^¦ = bx -ay.
1958. Показать, что функция z, определяемая уравнением
F (х—az, у — ?>;г) = О,
где F — произвольная дифференцируемая функция своих аргу-
аргументов, удовлетворяет уравнению
дх ' ду
1959. F — , —1=0. Показать, что х^т- +y-^- = z.
\ г ' г I ' дх * v ду
1960. Показать, что функция г, определяемая уравнением
y = xq> (z) +i[)B), удовлетворяет уравнению
дЧ ( дг \з г, дг dz d2z . дгг I дг\* п
^J Z дх ду дхду^ ду2 [дх) =U'
1961. Функции у и 2 независимой переменной jc заданы сис-
системой уравнений x2-f-(/2 — z2 = 0, хг + 2у2 + 3za = 4. Найти -р-,
1962. Функции у и 2 независимой переменной л заданы сис-
системой уравнений
xyz = a, x + y-}-z=b.
Найти ф, dz, d%y, d*z.

208 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V 1
1963. Функции и и v независимых переменных х ну заданы
неявно системой уравнений
Вычислить
ди ди дЧ д*и дга во dv &h> дЪ) дЬз _л _ i
дх' ду' Ъ~Р' дхду' ду*' Ж' ~ду>~д&> дхду~'~ду~* ПРИ X-V> У- '•
1964. Функции и и v независимых переменных х и у заданы
неявно системой уравнений
u-\-v =х, и—yv = 0.
Найти du, do, d2u, d2v.
1965. Функции и и v переменных х и у заданы неявно сис-
системой уравнений
х = ф(и, v), y = $(u, v).
Найти — ди — дгз
Найти _, —, —, ^_ .
1966. а) Найти -^- и -?-, если x~ucosv, y = usinv, z = cv.
б) Найти -^ и -j-, если x = u + v, y = u—v, z = uv.
в) Найти dz, если x = ett+r>, y = e"~v, z = uv.
1967. z = F(t, ф), где г и ф—функции переменных хну,
определяемые системой уравнений
1968. Рассматривая z как функцию хну, найти —^ и -?-, если
х = a cos ф cos ф, у = b sin ф cos \J>, г = с sin \fe.
§ 10. Замена переменных
При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие в ния
производные следует выразить через производные по новым переменным, исполь-
используя правила дифференцирования сложных функций.
1 . Замена переменных в выражениях, содержащих
обыкновенные производные.
Пример 1. Преобразовать уравнение
1
полагая дс=—,

J 1С)
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
209
Решение. Выразим производные от у по х через производные от у по t.
Имеем:
dx*
d
dx
(dy\
[dx)
dt
dy
dx
\~dx~)
dx
dt
dy
dt
' dx
dt
I
1
dy
dt
dt '
2ЛЛ
1 dt*)(
Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и заменяя
ж через — , получим:
Пример 2. Преобразовать уравнение
¦риняв у за аргумент, а х за функцию.
Решение. Выразим производные от у по х через производные от х по у:
dy_ 1_.
dx~ dx '
d2y d ./ 1 \_d/ 1 \ dy __ dy2 1 dy2
\~dy J \ ~dy J [dy) dy \ dy )
Подставив эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь:
dy*
(iiV
dy) J
V d,7
dy
¦ли, окончательно,
Пример 3. Преобразовать уравнение
dy __ х + у
dx~ х — у '

210 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
перейдя к полярным координатам
x = rcos<p, y = rsin<p. A)
Решение. Рассматривая г как функцию ф, из формул A) получим:
d* = cos (fdr—т эшфЛр, dy = sin ф dr + r cos ф d<p,
отсюда
dr
dy siny dr + r cos фйф T dq> '
f d i d d
cos ф d/- — /¦ sin ф drp dr ~.
т т CQS „ /¦ sin
^ d(f
Подставляя в данное уравнение выражения для х, у и -г2-, будем иметь:
(XX
(XX
dr .
inffi-: \-Г COS ф .
т Йф ' т /¦ COS ф + Г Sin ф
dr . r cos ф — r sin ф
СОЭф-т Г Sin ф т т
или, после упрощений,
dr
——===г.
dtp
2°. Замена переменных в выражениях, содержащих
частные производные.
Пример 4. Уравнение колебаний струни
д— — а2 — (а ?0)
преобразовать к новым независимым переменным а и р, где а = х — at, fi = x-\-at.
Решение. Выразим частные производные от и по х и t через частные
производные от и по а и р\ Применяя формулы дифференцирования сложной
функции
За Зи За . ди 3{5 д« Зи да . За др
получим:
Зм Зи . . , Зи (ди ди
ди ди_ \_i-Ea. 1 — д" | &и
~дх~~~ЬИ ^"Щ ~да + др '
Дифференцируем вторично, применяя те же формулы:
да [ dt ) dt^~d$ \dt ) dt ~
. (ди
д*и\
д*и___д_ (ди_\ __д_ (дс^Л да _3_ / да\ ^_
dx2 ~~ их V dJt J ~ йа [ дх ) дх + др \ дх ) дх ~
ди\ _д*и . п д*и
д^) ' daai

§10] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 211
Подставив . и ^-j в данное уравнение,, будем иметь:
[да* гдад$+др)-а ^г^
Пример 5. Преобразовать уравнение х2-^—\-у2-^- = гг, приняв за но-
11 . 11
вые независимые переменные u = x,v== и за новую функцию w— .
_ _ dz dz
Решение. Выразим частные производные -^— и ^- через частные произ-
dw dw - . .
водные -^— и -г- , Для этого продифференцируем данные соотношения между
старыми и новыми переменными
, . , dx dy . dx dz
du = dx, dv=-^—-^-, <fo= —-_,
С другой стороны,
. dw , . dw ,
du ' dv
Поэтому
dw . , dw , dx dz
или
dw , . dw f dx dy\ dx dz
Отсюда
1 dw 1 (to \ , , za das
2 / 1 дш 1 dw \
и, следовательно,
dz _, / 1 dw I dw
~dx
ду у* dv
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим:
dw I dw \ a ow
*" ди х2 dv I* dv

212 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
да
1969. Преобразовать уравнение
полагая х = е*.
1970. Преобразовать уравнение
полагая x = cost.
1971. Преобразовать следующие уравнения, приняв за аргу-
аргумент и:
1972. Тангенс угла ц, образованного касательной МТ и ра-
радиусом-вектором ОМ точки касания
(рис. 69), выражается следующим об-
образом:
fc Преобразовать это выражение, перейдя
х' к полярным координатам:
Рис.69. * = rcos<p, y = rs'm<f>.
1973. Выразить в полярных координатах х = г cos <р, у = г sin <f
формулу кривизны линии
\ + (уГ]4' '
1974. Преобразовать к новым независимым переменным и на
уравнение
если и = х, v = xi-\-yi.

J 11] КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 213
1975. Преобразовать к новым независимым переменным и и v
уравнение
% + У
если и = х, v = — .
1976. Уравнение Лапласа
йл2 "•¦ ду2 "=
преобразовать к полярным координатам г и ф, иол-агая
1977. Преобразовать уравнение
to
?-*•?-«.
полагая и = хи и и = —.
* г/
1978. Преобразовать уравнение
dz 5г.
введя новые независимые переменные
!)== — + -
и новую функцию ш=1пг — ( у)
1979. Преобразовать уравнение
^'
&2 дхду^'ду* '
приняв за новые независимые переменные ы = л + у, f = y и за
нсвую функцию ш = —.
1980. Преобразовать уравнение
?!? ¦ о д2г Уг _ п
их2 ^ дхду ' йг/2 '
полагая и = х-\-у, v = x—у, w = xy — z, где w — w(u, v).
§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
1° Уравнения касательной плоскости и нормали для
случая явного задания поверхности. Касательной плоскостью
и поверхности в точке М (точка касания) называется плоскость, в которой
лежат все касательные в точке М к различным кривым, проведенным на по-
еерхности через эту точку.

214 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной пло-
плоскости в точке касания.
Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано в явной
форме z = f(x, у), где / (х, у) — дифференцируемая функция, то уравнение каса-
касательной плоскости в точке М (х0, у0, г0) поверхности есть
*-«,=?(*„ Уо) (X-xo) + f'y(xo,- y0) (Y-y0). A)
Здесь го = f (Xq, уЛ), а X, Y, Z—текущие координаты точки касательной пло-
плоскости.
Уравнения нормали имеют вид
Х-х0 _ Y-y0 _1-га
Ы*о, У в) fy(x», У о) —1
где X, Y, Z—текущие координаты точки нормали.
Пример 1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к по-
х2
верхности z=-g у2 в ее точке М B; —1; 1).
Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения
в точке М
1 дх ] м '
Отсюда, применяя формулы A) и B), будем иметь: z— 1 =2 (х—2) + 2 (у-\-1)
или 2х-\-2у — г —1=0 — уравнение касательной плоскости и.—^—";>—==
2—1
= : уравнения нормали.
2°. Уравнения касательной плоскости и нормали для
случая неявного задания поверхности. В том случае, когда
уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме
F(x, у, г) = 0
и F (xa, y0, Zo) = O, соответствующие уравнения будут иметь вид
F'xixo, Уо. г0) (Х-хп) + Ру(х0, уа, z0) (Y-yo) + F'z(xu, у0, г0) B-го) = О C)
— уравнение касательной плоскости и
Х—Хд __ К—уо _ Z—г0
Fx(x0, Уо, г0) F'y(x0, у0, г0) Р'г{х0, у0, г0)
— уравнения нормали.
Пример 2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали
к поверхности Зхуг—г3 = а3 в точке, для которой х=0, у = а.
Решение. Найдем аппликату точки касания, подставив х = 0, у = а
в уравнение поверхности: —г3 = а3, откуда г = —а. Таким образом, точка
касания есть М @, а, —о).

§ 11] КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 215
Обозначив через F (х, у, г) левую часть уравнения, найдем частные про-
производные и их значения в точке М:
F'x=3yz, Юм = —За",
F'y=3xz, (Fy)M = 0.
F'2=3xy-3z2, №)м = -3*.
Применяя формулы C) и D), получим:
—За2 (х—0) + 0 (у—а) — За2 (г + а) = 0
или х-\- г + а = 0—уравнение касательной плоскости,
х—0 у—а_ z-\-a
^За5" 0 ~^Ш
х у— а г + а
или —=s_-—=— уравнения нормали,
1981. Написать уравнение касательной плоскости и уравне-
уравнения нормали к следующим поверхностям в указанных точках:
а) к параболоиду вращения 2 = л:2 + г/2 в точке A; —2; 5);
б) к конусу -^ + -7)—~я~~® в точке D; 3; 4);
в) к сфере x2-\-y2 + z2 = 2Rz в точке (^cosa; R sin a; R).
1982. В каких точках эллипсоида
нормаль к нему образует равные углы с осями координат?
1983. Через точку М C; 4; 12)'сферы x2 + y2 + z2= 169 про-
проведены плоскости, перпендикулярные к осям ОХ и OY. Написать
уравнение плоскости, проходящей через касательные к полу-
получившимся сечениям в их общей точке М.
1984. Показать, что уравнение касательной плоскости к цен-
центральной поверхности 2-го порядка
в ее точке М(ха, уа, г0) имеет вид
1985. К поверхности х* + 2у2-\-Зг* = 21 провести касательные
плоскости, параллельные плоскости х +4r/ + 6z = 0.
1886. К эллипсоиду —2 + ^ -\- -г = 1 провести касательные
плоскости, отсекающие на координатных осях равные по вели-
величине отрезки.
1987. На поверхности х2 + у" — z2 — 2x = 0 найти точки,
в которых касательные плоскости параллельны координатным
плоскостям.

216 ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1988. Доказать, что касательные плоскости к поверхности
хуг = та образуют с плоскостями координат тетраэдр постоян-
постоянного объема.
1989. Показать, что касательные плоскости к поверхности
\Пс +Vy -\-Vz =Yol отсекают на осях координат отрезки, сумма
которых постоянна.
х2 и2 г2
1990. Показать, что конус ^a + fa =?Г и сфера
касаются друг друга в точках (О, ±Ь, с).
1991. Углом между двумя поверхностями в точке их пере-
пересечения называется угол между касательными плоскостями,
проведенными к данным поверхностям, в рассматриваемой точке.
Под каким углом пересекаются цилиндр x* + y2 = R3 и сфера
( р)
= tfa в точке м(|
(
1992. Поверхности называются ортогональными, если они
пересекаются под прямым углом в каждой точке линии их пере-
пересечения.
Показать, что поверхности х* + у% + za = г2 (сфера), y = xigy
(плоскость) и г2 = (х2 + У2) tg21|) (конус), являющиеся координат-
координатными поверхностями сферических координат г, <р, г|з, взаимно
ортогональны.
1993. Показать, что все плоскости, касательные к конической
поверхности z = xf(-j) в ее точке М(ха, yQ, z0), где хв^=0,
проходят через начало координат.
1994*. Найти проекции эллипсоида
2—ху—1=0
на координатные плоскости.
1995. Доказать, что нормаль в любой точке поверхности
вращения г = /(]/я2 + г/2) (/'=?0) пересекает ось вращения.
§ 12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
Пусть функция / (х, у) имеет в окрестности точки (а, Ь) непрерывные
частные производные всех порядков до (я+1)-го включительно. Тогда в рас-
рассматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:
-i [f'x(a, b) (K-a) + f'y(a, b)(y-b)\ +
2| ii*xv> wiv—*•/ i"ixyv1! b)(x—a)(y—Ь)т\-1у

$ 12] ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 217
где
(о < a < i).
В других обозначениях:
Цх-{-Н.у + к)=Г(х,у)+± [А/; (х, у) + */' (у., у)] +
х, у) -\- 2hkfxy [x, у) -(- k2fyy (x,
\ л + 1
B)
ИЛ!!
Д/ (х< У) — df (х, у) -Н
I I I
C)
Частный случай формулы A) при а = Ь = 0 называется формулой Мак-
лорена.
Аналогичные формулы справедливы для функции трех и большего числа
переменных.
Пример. Найти приращение, получаемое функцией f (х, у) = х3—2у3~{-
-{-Зху при переходе от значений дс= 1, у = 2 к значениям *i= l-f-A, #i = 2 + fe.
Решение. Искомое приращение можно найти, применяя формулу B).
Вычислим предварительно последовательные частные производные и их значе-
значения в данной точке A; 2):
f'x(x, y) = 3x* + 3y, &A; 2) = 3-1 + 3-2 = 9,
fy(x,y) = -eyt+3x, Ml; 2) 6.4 + 3.1=—21.
F"xx(x, у) = 6*. f«(l.;2)=6.l=6.
t~xyl*,y) = 3, ^A;2) = 3,
f~«y(x, y) = -\2y, f'yy(\; 2) = -12.2 = -24.
fxix(x,y) = b. f'xxxiU 2) = 6.
fx'xy(x,y) = Q, fxx'y(l\2) = 0,
f'x'yy(x.y) = 0, f'x'yy(l;2) = 0,
fyy'y (x. if) 12, /У^ A; 2) = -12.
Все дальнейшие производные тождестаенно равны нулю. Подставляя
найд-нные результаты в формулу B), получим:
-/(l, 2)=А
= 9ft—
1996. Разложить f(x-\-h, y + k) no целым положительным
степеням h и fe, если

218 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1997. Функцию f(x, у) = — х2 + 2ху + Зу2 — 6х—2у—4 разло-
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (—2; 1).
1998. Найти приращение, получаемое функцией f(x,y) = xiy
при переходе от значений х=1, у=\ к значениям
yt=l+k.
1999. Функцию f(x, у, г) = х2 + уг-\-гг-\-2ху—yz—4х—Зу—
— 2 + 4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
A; 1; 1).
2000. Разложить f(x-\-h, y + k, z + l) по целым положитель-
положительным степеням h, k и I, если
f(x, у, z) = x* + y2 + z2—2xy—2xz—2yz.
2001. Разложить по формуле Маклорена До членов 3-го по-
порядка включительно функцию
/(*, y) = e*s\ny.
2002. Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го по-
порядка включительно функцию
f(x, у) — cos х cos у.
2003. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
A; 1) до членов 2-го порядка включительно функцию
2004. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
A; —1) до членов 3-го порядка включительно функцию
f{x, у) = е**К
2005. Вывести приближенные формулы с точностью до чле-
членов 2-го порядка относительно величин аир для выражений
a) arctgi±g;
б) /
если |а| и |р*| малы по сравнению с 1.
2006*. Используя формулу Тейлора до членов 2-го порядка,
вычислить приближенно
а) /ПОЗ, j/(\98; б) @, 95J.".
2007. Пусть z есть та неявная функция от х и у, опреде-
определяемая уравнением г3 — 2xz-\-y = 0, которая принимает значе-
значение г=1 при х=\ и у=\. Написать несколько членов разло-
разложения функции г по возрастающим степеням разностей х—1
и у— 1.

§ 13] ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 219
§ 13. Экстремумы функции нескольких переменных
1°. Определение экстремума функции. Говорят, что функ-
функция / (х, у) имеет максимум (минимум) f (а, Ъ) в точке Р (а, 6), если для всех
отличных от Р точек Р' (х, у) в достаточно малой окрестности точки Р вы-
выполнено неравенство f (а, Ь) > f (х, у) (или соответственно f (a, b) < f (х, у)).
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Аналогично
определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.
2°. Необходимые условия экстремума. Точки, в которых
дифференцируемая функция / (х, у) может достигать экстремума (так назы-
называемые стационарные точки), находятся путем решения системы уравнений
f'x(x,y) = 0, /?(*, i/) = 0 A)
(необходимые условия экстремума). Система (!) эквивалентна одному уравне-
уравнению df (х, у) = 0. В общем случае в точке экстремума Р (а, Ь) функции / (х, у)
или df (а, Ь) = 0, или df (а, Ь) не существует.
3°. Достаточные условия экстремума. Пусть Р (а, Ь)—ста-
Ь)—стационарная точка функции / (х, у), т. е. df(a, Ь) = 0. Тогда: а) если d2f(a, b) < 0
при dx^ + dy* > 0, то f (а, Ъ) есть максимум функции f (х, у); б) если
dif(a, Ъ) > 0 при dx*-\-dy2 > 0, то f (a, b) есть минимум функции f(x, у);
в) если d2/ (а, Ь) меняет знак, то / (а, Ь) не является экстремумом функции
Приведенные условия эквивалентны следующим: пусть f'x (a, b) = f'y(a,b)=
= 0 и A = f"xx(a, b), B = f"xy(a, b), C = f'yg(a, b). Составим дискриминант
A = AC—B2. ¦
Тогда: 1) если Л > 0, то функция имеет экстремум в точке Р (а, Ъ),
а именно максимум, если А < 0 (или С < 0), и минимум, если А > 0 (или
С > 0); 2) если Д < 0, то экстремума в точке Р (а, Ь) нет; 3) если Л = 0, то
вопрос о наличии экстремума функции в точке Р (а, Ь) остается открытым
(требуется дальнейшее исследование).
4". Случай функции многих переменных. Для функции трех
и большего числа переменных необходимые условия существования экстре-
экстремума аналогичны условиям 2°, A), а достаточные условия аналогичны усло-
условиям 3е, а), б), в).
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию
Решение. Найдем частные производные и составим систему уравне-
уравнений A):
или
Решая систему, получим четыре стационарные точки:
РхA; 2); Р2B; 1); Р,(-1; -2); Р4(-2; -1).
Найдем производные 2-го порядка
д°-г . dh a дЧ .
^-^- = 6^:, з—— = 6у, -3-5 = 6.*
дх2 дх ду ду}
и составим дискриминант Д = ЛС—б2 для каждой стационарной точки.

220 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1) Для точки Рх: А = (^) = 6,'В= (J^r) = 12, С = (^) = 6,
WM \dxdyjp, {dytjpt
А = ЛС—Ва = 36—144 < 0. Значит, в точке Рх экстремума нет.
2) Для точки Рг: Л =12, 5 = 6, С=12; Д = 144—36 > 0, А> 0. В точке
Я, функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при
* = 2, у=\:
3) Для точки Р3: А = —6, В = —12, С = —6; Д = 36— 144 < 0. Экстре-
Экстремума нет.
4) Для точки Pt: Л =—12, В = —6, С= —12; Д = 144 —35 > 0, А < 0.
В точке Р4 Функция имеет максимум, равный zmax = — 8—6 + 30+12 = 28.
5°. Условный экстремум. В простейшем случае условным экстре-
экстремумом, функции / (х, у) называется максимум или минимум этой функции,
достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением <р(х, (/) = 0
(уравнением связи). Чтобы найти условный экстремум функции / (х, у) при
наличии соотношения (р(дс, у) = 0, составляют так называемую функцию Лаг-
ранжа
где А.—неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум
этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся
к системе трех уравнений
dF_df d<f_
1х~-Тх + Кдх~-"'
|? *_/ *р B)
ду 6V ду
с тремя неизвестными х, у, X, из которой можно, вообще говоря, определить
эти неизвестные.
Вопрос о существовании н характере условного экстремума решается на
основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
для испытуемой системы значений *, у, К, полученной из B) при условии,
что dx в dy связаны уравнением
А именно, функция / (х, у) имеет условный Максимум, если d*F < 0, и услов-
условный минимум, если d%F > 0. В частности, если дискриминант Д для функции
F (х, у) в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный
максимум функции / (х, у), если А < 0 (или С < 0), и условный минимум,
если А > 0 (или С > 0). ф
Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего
числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связн
(число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь при-
приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей,
сколько имеется уравнений связи.
Пример 2. Найти экстремумы функции
г = 6—4х—3у

!S 131 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 221
при условии, что переменные х и у удовлетворяют уравнению
** + »*= 1.
Решение. Геометрически задача сводится к нахождению наибольшего
и наименьшего значений аппликаты г плоскости г = 6 — 4*—Зудля точек пере-
пересечения ее с цилиндром х2-)-у2 = 1.
Составляем функцию Лагранжа
F(x, у) = 6-4х-Зу+к(к*-\ y*-l).
Имеем т—= —4 + 2Я.ДС, т— = — 3-\-2ку. Необходимые условия дают систему
уравнений
решая которую, найдем:
1 -— —— — —
2 5 5
и
__ji_ __^_ ?
2 2 ' ' 5 ' 2 5
Так как
ТО
5 4 3
. = -^-, Jc = -^- и </ = -?-, то d2f > 0, и, следовательно, в этой точке.
2 о о
фу1(;:ция имеет условный минимум. Если ). = ^-, х = =- и у = =-, тз
Z о э
d2F < 0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум.
Таким образом,
6 + ll
16
fi°. Наибольшее и наименьшее значения функция.
Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает
своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в
точке границы области.
Пример 3. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
в области

222
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
Решение. Указанная область есть треугольник (рис. 70).
1) Найдем стационарные точки:
j г'х = 2х—у+1=0,
-Лу—х
отсюда х =—1, у =—1; получаем точку М (—1; —1),
В точке М значение функции z;n =—1, Исследование на экстремум —
не обязательно.
2) Исследуем функцию на границах области.
При x = Q имеем г = уг-\-у, и задача сводится к отысканию наибольшего
и наименьшего значений этой функции одного аргумента на отрезке —3<
<jr<0. Проведя исследование, найдем, что
Bиаиб)*=о = 6 в точке @; —3); (гпляи)х=0 =
= —-j- в точке @; •—^-|,
При у=0 получаем z = x*-\-x. Аналогично
в точке (—3; 0);
что
у
(гнаиб)у=о =
м)!/=о = — j в точке [~y-'
Рис. 70.
найдем,
(гнаим7
При х-\-у = —3 или jr=—3—х будем иметь
е = 3*а + 9* + 6. Аналогичным образом найдем,
3 / 3 3 \
что (гваяк)х+у=-з = —^-вточке f — у; — -^ 11
б)*+у=-8 = 6 совпадает с (г„заб)х=а и
Bнзиб)у=о- На прямой х-\-у = —3 можно было бы
исследовать функцию на условный экстремум, не
приводя к функции одного аргумента.
3) Сопоставляя все полученные значения функции г, заключаем, что
гнаиб = 6 в точках @, —3) и (—3; 0); гнавм =—1 в стационарной точке М.
Исследовать на экстремум следующие функции двух пере-
переменных:
2008. г = (х— 1)а + 2//3.
г = (х— 1)а—2уъ.
г—2х—у.
i—x—y) (jc>0, y>0).
2009.
2010.
2011.
2012.
2013. г =
ху
г=1—
У
2014.
2015.
2016. г = -
y)
\+х—у
2016.1. z = ^+j + y (x>0, y>0)
2016.2. г = е*-у(хъ—2у*).
Найти экстремумы функций трех переменных:
2017. и = хг + у2 + 2*—ху + х—2г.
2018. « = * + й + 7 + |- (JC>0, y>0, г>0).

§ 14] ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ 223
Найти экстремумы функций г, заданных неявно:
2019*. x2 + i/2 + z2—2х + 4#—6z — 11 = 0.
2020. х3—у2—3x + 4t/ + z2 + z—8 = 0.
Определить условные экстремумы функций:
2021. z = xy при х-\-у=\.
2022. z = x + 2y при 5
2023. 2 = *2 + #2 при y+1=1-
2024. г = cos2 х + cos2 у при г/—* = -?¦•
2025. « = х —2t/ + 2z при
2026. и = х* + г/2 + г2 при~ + |5 + -~=1 (а>Ь>с>0).
2027. u = xy2z3 при х + г/ + г=12 (а; > 0, у > 0, г > 0).
2028. и = хуг при условиях:
2029. Доказать неравенство
3
если х^0, г/^0, г^0.
Указание. Искать максимум функции и = хуг при условии х-\-у-\-
2030. Определить наибольшее значение функции г— 1 -\-x-\-2y
в областях: а) х>0, у^0, х + г/^ 1; б)х^гО, y^LO, х—i/s^l.
2031. Определить наибольшие и наименьшие значения функ-
функций а) г = х2г/ и б) z = x2—у2 в области х2-f-г/2 < 1.
2032. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
z = sinx + sin f/ + sin (х + г/) в области 0^x^-5-» О^У^у-
2033. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
— Зху в области 0^2 l2
§ 14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших
значений функций
Пример 1. Положительное число а требуется разбить на три неотри-
неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Решение. Пусть искомые слагаемые будут х, у, а — х — у. Ищем
максимум функции f (х, у) = ху (а—х — у).
По смыслу задачи функция / (х, у) рассматривается внутри замкнутого
треугольника х^0, yS=0, х-\-у^,а (рис. 71).
Решая систему
Гу(х,

224 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
получим для внутренности треугольника единственную стационарную точку
("Т • " )¦•¦ Л"" иее проверяем выполнение достаточных условий. Имеем
fxx (*. У) = -2», Гху (*. У) = а-2х-2у,fyy <*, У) =
= — 2х. Следовательно,
«-*(*•*)—*•
\ "jjr Д = ЛС—В2 > О, А < 0. - '
рис 71 Итак, в точке f-^-; -*-) функция достигает мак-
максимума. Так как на контуре треугольника функ-
функция f (х, у) = 0, то этот максимум будет наибольшим значением функции, т. е.
произведение будет наибольшим, если х=у—а^х—у = -?г, причем наибольшее
о
значение произведения равно ==.
Примечание. Задачу можно было решать методом условного экстре-
экстремума, отыскивая максимум функции и = хуг при условии х-\-у-\-г=а.
2034. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих
данный объем V, найти тот, полная поверхность которого наи-
наименьшая.
2035. При каких размерах открытая прямоугольная ванна
данной вместимости V имеет наименьшую поверхность?
2036. Из всех треугольников данного периметра 2р найти
тот, который имеет наибольшую площадь.
2037. Найти прямоугольный параллелепипед с данной пло-
площадью поверхности S, имеющий наибольший объем.
2038. Представить положительное число а в виде произве-
произведения четырех положительных сомножителей так, чтобы их сумма
была наименьшей.
2039. На плоскости X0Y найти точку М(х, у), сумма квадра-
квадратов расстояний которой от трех прямых л: = 0, у = 0, х—у -f-
+ 1=0 была бы наименьшей.
2040. Найти треугольник данного периметра 1р, который
при вращении около одной из своих сторон образует тело наи-
наибольшего объема.
2041. На плоскости даны три материальные точки Рг(хи уг),
РЛХ%> У*)> Рз(х»1 Уа) с массами tnlt tnz, tn3. При каком положе-
положении точки Р (х, у) квадратичный момент (момент инерции) дан-
данной системы точек относительно точки Р (т. е. сумма ш1Я1/)г +
+ т2Р2Р*-\-т3Р3Р*) будет наименьшим?

ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ
225
2042. Через точку М (а, Ь, с) провести плоскость, образую-
образующую с плоскостями координат тетраэдр наименьшего объема.
2043. В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема.
2044. Определить наружные размеры открытого прямоуголь-
прямоугольного ящика с заданной толщиной стенок б и емкостью (внутрен-
(внутренней) V так, чтобы на его изготовление было затрачено на-
наименьшее количество материала.
2045. В какой точке эллипса
касательная к нему образует с осями координат треугольник
наименьшей площади?
2046*. Найти оси эллипса
2047. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей полной
поверхностью. •
2048. Русла двух рек (в пределах некоторой области) при-
приближенно представляют параболу у == х2 и прямую х—у — 2 = 0.
Требуется соединить данные реки прямолинейным каналом наи-
наименьшей длины. Через какие точки его провести?
2049. Найти кратчайшее расстояние от точки М(\, 2, 3) до
прямой
* ... У _ z
1 ~~ -3 2 '
2050*. Точки А и В расположены в различных оптических
средах, отдаленных одна от другой прямой линией (рис. 72).
'В,
Рис. 72.
Ркс. 73.
Скорость распространения света в первой среде равна vit во
второй — г\. Пользуясь «принципом Ферма», согласно которому
световой луч распространяется вдоль той линии АМВ, для про-
8 Под ред. Б. П. Демидовича

¦ 226 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V I
хождения которой требуется минимум времени, вывести закон
преломления светового луча.
2051. Пользуясь «принципом Ферма», вывести закон отражения
светового луча от плоскости в однородной среде (рис. 73).
2052*. Если в электрической цепи, имеющей сопротивление R,
течет ток /, то количество тепла, выделяющееся в единицу вре-
времени, пропорционально I*R. Определить, как следует разветвить
ток / на токи 1и /2, /а при помощи трех проводов, сопротивления
которых Ru R2, R3, чтобы выделение тепла было наименьшим.
§ 15. Особые точки плоских кривых
1°. Определения особой точки. Точка М (Хь, Уо) плоской кривой
/ (дс, у) = 0 называется особой точкой, если ее координаты одновременно удов-
удовлетворяют трем уравнениям:
/ (*о. Уо) = 0, f'x (*в. *'о) = 0, Г„ (*о- У») = 0.
2е. Основные типы особых точек. Пусть в особой точке
в) производные 2-го порядка
^=/«(*о. У»).
ие все равны нулю и
Д = ЛС—В*.
тогда:
а) если А > 0, то М — изолированная точка (рис. 74);
б) если Д < 0, то М—узел (двойная точка) (рис. 75);
в) если А = 0, то М—или точка возврата 1-го рода (рис. 76) или 2-го
рода (рас. 77), или изолированная точка, или точка •самоприкосновения
(рис. 78).
Рис. 74. Рис. 75, Рис. 76.
При решении задач этого раздела предполагается обязательный построе-
построение кривых.
Пример I. Показать, что кривая ya=axi.-\-x3 имеет: узел, если л > 0;
изолированную точку, веди а < 0; точку возврата 1-гв рода, если a=Q.

15]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
227
Решение. Здесь /(х, у) = ах?+х3—уа. Найдем частные производные я
приравняем их нулю
f'x(x, у)=
Эта система имеет два решения: О @; 0) и N (—2а/3; 0), но координаты
точки N не удовлетворяют уравнению
данной кривой. Значит, имеется един- К
ственная особая точка 0 @; 0),
Рис. 77.
О
Рис. 78.
Найдем вторые производные и их значения в точке О:
Гхх(х, у) = 2а-\-6х, А = 2а,
Гху(х, у)=0, В = 0,
ГуУ(х.У)=-2, С = -2,
Д = ЛС—Ва=— 4а,
Следовательно,
если а > 0, то Л < 0 и точка О — узел (рис. 79):
если а < 0, то Д > 0 и точка О—изолированная точка (рис.
80);
Рис, 79,
Рис. 80.
Рис, 81.
если а=0, то Д = 0. Уравнение кривой в этом случае будет «/? = *3 или
jf= ± V^x5, гдех^О; кривая симметрична относительно оси ОХ, являющейся
касательной. Следовательно, точка М— точка возврата 1-го рода (рис. &!)•

228 функции нескольких переменных 1гл. vi
Выяснить характер особых точек кривых:
2053. г/2= —х2 + х*;
2054. (у—хаJ = х5.
2055. а*у2 = а2х*— хв.
2056. х2у2—х2—?/а = 0.
2057. х* + у3—Заху = 0 (декартов лист).
2058. у2 (а—х) = х3 (циссоида).
2059. (х2 + у2J = а2(х2—у2) (лемниската).
2060. (а + х)у2 = (а—х)х2 (строфоида).
2061. (xa + i/2)(x—а)* = Ь2хг (а>0, 6 > 0) (конхоида). Рас-
Рассмотреть три случая:
1)а>*.
2) а = Ь.
3) а < ft.
2062. Выяснить изменение характера особой точки кривой
= (х—а) (х—Ь)(х—с) в зависимости от значений а, Ь, с
b^ вещественны).
§ 16. Огибающая
1°. Определение огибающей. Огибающей семейства плоских кри-
кривых называется кривая (или совокупность нескольких кривых), которая ка-
касается всех линий данного семейства, причем в каждой своей точке касается
какой-нибудь линии рассматриваемого семейства.
2°. Уравнения огибающей. Если зависящее от одного переменного
параметра а семейство кривых
/<*, у, а)=0
имеет огибающую, то параметрические уравнения последней определяются из
системы уравнений
I f(x, у, а) = 0,
\ /;(*. У,а)=0. <•>
Исключая из системы A) параметр а, получим уравнение вида
D(x, y) = 0. B)
Следует отметить, что формально получаемая кривая B) (так называемая
гдискриминантная кривая») наряду с огибающей, если таковая имеется, может
содержать геометрическое место особых точек данного семейства, не входящее
в состав огибающей этого семейства.
При решении задач этого параграфа рекомендуется делать чертежи.
Пример. Найти огибающую семейства прямых
х cos а+{/sin а—р = 0 (p = const, p>0).
Решение. Данное семейство прямых зависит от параметра а. Составим
систему уравнений A)
хсоза + у sin а—р = 0,
—л:sin a,-\-y cosa=(h

$16]
ОГИБАЮЩАЯ
229
Решив систему относительно х и у, получим параметрические уравнения
вгибающей
jt = pcosa, r/
Возводя оба уравнения в квадрат и складывая, исключим параметр а:
Таким образом, огибающей данного семейства прямых служит окружность
радиуса р с центром в начале координат. Данное же семейство прямых есть
семейство касательных к этой окружности (рис. 82).
2063. Найти огибающую семейства окружностей
?.
2064. Найти огибающую семейства прямых
(k—параметр, р — const).
2065. Найти огибающую семейства окружностей одинакового
радиуса R, центры которых нахо-
находятся на оси ОХ.
2066. Найти кривую, которую
огибает отрезок длины I, когда его
концы скользят по осям координат.
n
Рис. 82.
2067. Найти огибающую семейства прямых, образующих
с осями координат треугольник постоянной площади 5.
2068. Найти огибающую эллипсов постоянной площади S,
оси симметрии которых совпадают.
2069. Исследовать характер «дискриминантных кривых» се-
семейств следующих линий (С—параметр):
а) кубических парабол у = (х — СK;
б) полукубических парабол у2 = (х — СK;
в) парабол Нейля уг = (х—СJ;
г) строфоид (а + х)(у—С)а = х*(а—х).
2070. Уравнение траектории движения снаряда, выпущен-
выпущенного из точки О с начальной скоростью и0 под углом а к

230 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
горизонту (без учета сопротивления воздуха), будет
Принимая угол а за параметр, найти огибающую всех траек-
траекторий снаряда, расположенных в той же вертикальной плоскости
(«парабола безопасности») (рис. 83).
§ 17. Длина дуги пространственной кривой
Дифференциал дуги пространственной кривой в прямоугольных декарто-
декартовых координатах равен *
ds=Ydx*+dy*+dz*,
где х, у, г—текущие координаты точки кривой.
Если
*=*(<). v=y{t). *=«(<)
— параметрические уравнения пространственной кривой, то длина дуги участка
ее от t = ti до t =*.tt равна
¦1
В задачах 2071—2076 найти длину дуги кривой:
2071. x=t, y = t*, 2 = -^-от f = 0 до t = 2.
О
2072. jc = 2cos^, у = 2sint, z =^t от t = 0 до t = n.
2073. a: = ^cos^, y = etsint, г = ef от t = 0 до произвольного t.
2074. y = -^-, 2==^- or je = G до х = 6.
2075. x2 = 3y, 2xy = 9z от точки О @; 0; 0) до точки М C; 3; 2).
2076. y = aarcsin ±, z = -jln^t~ т точки 0@; 0; Q) до
точки М(ха, уа, га).
2077. Положение точки для любого момента t (t > 0) опре-
определяется уравнениями
Найти среднюю скорость движения между моментами U = 1 и
/ 10

§ 18] ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 231
§ 18. Вектор-функции скалярного аргумента
1". Производная вектор-функции скалярного аргу-
аргумента. Вектор-функция a=^a(t) может быть определена путем задания трех
скалярных функций ах (/), ау (/) и аг (t) — ее проекций на координатные оси:
0 Производная вектор-функции a = a(t) по скалярному аргументу / есть
новая вектор-функция, определяемая равенством
da - iim а(< + А<)-а @ _dax(t) . dav «) . , йаг (t)
Модуль производной вектор-функции равен
Конец переменного радиуса-вектора r = r(t) описывает в пространстве кривую
называемую годографом вектора г.
Производная -тт- представляет собой вектор касательной к годографу в
соответствующей точке, причем
dr
dt
ds_
' dt
где s—длина дуги годографа, отсчитываемая от некоторой начальной точки.
dr
В частности, ,
ds
__ 1
dr
Если параметр t есть время, то -тт-=в — вектор скорости конца вектора г,
d2r dv
а ¦ jti'—-TT—w — вектор ускорения конца вектора г.
2°. Основные правила дифференцирования вектор-
функции скалярного аргумента.
,. d , , . . da . db dc
1) -dt«*+b-c)=-dT+-dT—IT'
2) —7T (ma) = m —tt' i где m—постоянный скаляр;
3) -^г(Фа)=-^-а + Ф -jf > г*е ф@^-скаляРная Функция от U

232 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ?ГЛ. VI
7) а -г—=0, если |a| = const.
Пример 1. Радиус-вектор движущейся точки в любой иомеит времен!
задай уравнением
A)
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.
Решение. Из уравнения A) имеем:
Исключая время t, находим, что траектория движения есть прямая линия
х— 1 _ у _ г
0 ~ —4 ~3 '
Из уравнения A), дифференцируя, находим вектор скорости движения
в вектор ускорения движения
Скорость равна
Отметим, что ускорение постоянно и равно
2078. Показать, что векторное уравнение r—ri = (r,—r1)t,
где гг и гг—радиусы-векторы двух данных точек, является
уравнением прямой.
2079. Определить, какие линии являются годографами сле-
следующих вектор-функций:
а) r = at-\-c; в) r =
б) r = at2 + bt; г) r =
где a, b и с—постоянные векторы, причем векторы а и b пер-
перпендикулярны друг другу.
2080. Найти производную вектор-функцию от функции a (t) =
= a(t)aa(t), где a(t)—скалярная функция, а aa(t)—единич-
aa(t)—единичный вектор, в случаях, когда вектор a (t) изменяется: 1) только
по длине, 2) только по направлению, 3) по длине и по направ-
направлению (общий случай). Выяснить геометрический смысл полу-
полученных результатов.
2081. Пользуясь правилами дифференцирования вектор-функ-
вектор-функции по скалярному аргументу, вывести формулу для дифферен-
дифференцирования смешанного произведения трех вектор-функций о, b и с.

{ 131 ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 233
2082. Найти производную по параметру t объема паралле-
параллелепипеда , построенного на трех векторах:
a = i + tj+t*k;
2083. Уравнение движения
r = 3lcost + AJsint,
где t — время. Определить траекторию движения, векторы ско-
скорости и ускорения движения. Построить траекторию движения и
векторы скорости и ускорения для моментов t = Q, t = -г и ^= •
2084. Уравнение движения
г = 2/ cos t + 2J sin t + 3ftt.
Определить траекторию движения, векторы скорости и ускоре-
ускорения движения. Чему равны величины скорости и ускорения дви-
движения и каковы их направления для моментов t = 0 и t = -^- ?
2085. Уравнение движения
г =/cos a cos W +jsin acoscof
где а и со — постоянные и t — время. Определить траекторию
движения, векторы скорости и ускорения движения и их вели-
величины.
2086. Уравнение движения снаряда (без учета сопротивле-
сопротивления воздуха)
где vo{vax, vOy, vaz) — начальная скорость. Найти скорость и
ускорение в любой момент времени.
2087. Доказать, что если точка движется по параболе
X2
у = —, z = 0 таким образом, что проекция скорости на ось ОХ
остается постоянной (-тт-= const J , то и ускорение остается по-
постоянным.
2088. Точка, находящаяся на нарезке винта, завинчиваемого
в балку, описывает винтовую линию

234
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
где в—угол поворота винта, а—радиус винта, а й—высота
подъема при повороте на один радиан. Определить скорость
движения точки.
2089. Найти скорость точки на окружности колеса радиуса а,
вращающегося с постоянной угловой скоростью со так, что его
центр при этом движется прямолинейно с постоянной скоростью и0.
§ 19. Естественный трехгранник пространственной кривой
Во всякой неособой точке М.(х, у, г) пространственной кривой r = r(t)
можно построить естественный трехгранник (триэдр), состоящий из трех
взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 84):
1) соприкасающейся плоскости ММхМ^—содержащей векторы —гг
2) нормальной плоскости ММ2М3—перпендикулярной к вектор y-j— и
3) спрямляющей плоскости ММ^МЯ—перпендикулярной к двум первым
плоскостям.
В пересечении получаются три прямые: 1) касательная ММг; 2) главная
нормаль ММ3; 3) бинормаль ММ3,
определяемые соответственно век-
векторами:
1) Т—~-тт-(вектор касатель-
касательной);
2) В=—:— X -J72" (вектор би-
бинормали);
3) N=Bx T (вектор главной
нормали).
Соответствующие единичные
векторы
\Т\ ' Р \В\ • V J ЛГ|
могут быть вычислены по формулам
Us
'соприкасаюищ*
л/юскост
*=1Г5 V:
dt\
ds\
= тХ v.
Если X, Y, Z—текущие координаты точки касательной, то уравнения
касательной в точке М (х, у, г) имеют вид
Х-х _ Y—y _ Z—2
0)
dx dy dz
где ГЛ=—, ^j/^'jT"* ^г=="ЙГ' из Условня перпендикулярности прямой и

S 19]
ЕСТЕСТВЕННЫЙ ТРЕХГРАННИК КРИВОЙ
235
плоскости получаем уравнение нормальной плоскости
ТХ(Х—x) + Ty(Y—y) + T2(Z—z)=0. B)
Заменяя в уравнениях A) и B) Тх, Ту, Тг на Ёх, Ву, Вг и Nx, Ny, ЛГ?, по-
получим уравнения бинормали и главной нормали и, соответственно, соприка-
соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости.
Пример 1. Найти основные единичные векторы т, V и 0 кривой
x — tt y = t2, z=t3
в точке t = l.
Написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали в этой
точке.
Решение. Имеем:
r = tl+t*j-\-t*k
Отсюда при t = 1 получим:
В=— X —
dt dt2
1
6
1
1
1
0
J
—6
2
J
2
2
k
2
3
к
3
6
= —
Следовательно,
= ¦?=—• v = -
= —22/—16/+18Й.
—Ш-
Так как при 1 = 1 имеем *=1, у = 1, z=l, то
/266
— уравнения касательной,
— уравнения бинормали и
1
А
3
х—
1
I
2
у-\
—3
V-1
" 3
Z—1
" 1
Z—1
—Ц —8 9
— уравнения главной нормали.
Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверхностей
F(x, у, г) = 0, G(x, у, г) = 0,

236 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
то вместо векторов -гг и -згу можно брать векторы dr {dx, dy, dz} я
d1r{d2x, d2y, d?z), причем одну из переменных х, у, г можно считать незави-
независимой и полагать ее второй дифференциал равным нулю.
Пример 2. Написать уравнение соприкасающейся плоскости окружности
= O C)
в ее точке М A; 1; —2).
Решение. Дифференцируя систему C), считая х независимой перемен-
переменной, будем иметь:
dx2 + dy2.+у d2y + dz2 + г dH = О,
Полагая х=\, у=\, г = —2, получим:
dy = — dx; dz = 0;
d2ir = --|dx2; d*z=^dx\
Следовательно, соприкасающаяся плоскость определяется векторами
{dx, -dx, 0} и jo, -jdx\ jdxA
« или
{1, -I, 0} и {0-1, 1}.
Отсюда нормальный вектор соприкасающейся плоскости есть
i j k
д= 1 —1 о =—i—j-u
0—11
и, следовательно, ее уравнение
т. е.
что и должно быть, так как наша кривая расположена в этой плоскости,
2090. Найти основные единичные векторы т, v, 0 кривой
х—1—cost, y = smt, z = t
в точке / = -5-.
2091. Найти единичные векторы касательной и главной нор-
нормали конической спирали
r = et(icost+Jsin

5 19] ЕСТЕСТВЕННЫЙ ТРЕХГРАННИК КРИВОЙ 237
в произвольной точке. Определить углы, составляемые этими
прямыми с осью 0Z.
2092. Найти основные единичные векторы т, v, p кривой
в точке л: = 2.
2093. Для винтовой линии
x = acos,t, y = asmt, z = bt
написать уравнения прямых, составляющих ребра естественного
трехгранника в произвольной точке линии. Определить направ-
направляющие косинусы касательной и главной нормали.
2094. Написать уравнения плоскостей, образующих естест-
естественный трехгранник кривой
в ее точке М(\; 1; 2).
2095. Составить уравнения касательной, нормальной плоско-
плоскости и соприкасающейся плоскости кривой
x=t, y = t\ z = /3 в точке МB; 4; 8).
2096. Составить уравнения касательной, главной нормали и
бинормали в произвольной точке кривой
tl t3 t2
х У Z
Найти точки, в которых касательная к этой кривой будет па-
параллельна плоскости x + 3y-\-2z—10 = 0.
2097. Составить уравнения касательной, соприкасающейся
плоскости, главной нормали и бинормали кривой
x = t, y = — t, z = ~2-
в точке / = 2. Вычислить направляющие косинусы бинормали
в этой точке.
2098. Написать уравнения касательной и нормальной пло-
плоскости к следующим кривым:
а) x = Rcos*t, y = Rs\ntcost, z = Rs\nt при t=^-;
б) г=хг-\-у*-, х^у в точке A; 1; 2); _
в) xa + y2 + z2 = 25, x + 2 = 5 в точке B; 2^3; 3).
209Э< НаЙТИ уравнение нормальной плоскости к кривой
z= х2—у3, у = х в начале координат.
2100. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кри-
кривой х = е1, у=е~г, z=tY~2 в точке /=0.

238
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
2101. Найти уравнения соприкасающейся плоскости к кривым:
а) *2 + t/2 + z2 = 9, х*—у*=3 в точке B; 1; 2);
б) х* = 4у, х* = 24г в точке F; 9; 9);
в) хл + г2=а?, у*+г* = Ь* в любой точке кривой (х0> ув> го)-
2102. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, глав-
главной нормали и бинормали к кривой
У2 = х, хг = г в точке A; 1; 1).
2103. Составить уравнения соприкасающейся плоскости,
главной нормали и бинормали к конической винтовой линии
x = tcost, y — tsmt, г=Ы в начале координат. Найти единич-
единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали в на-
начале координат.
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой
1°. Кривизна. Под кривизной кривой в точке М понимается число
*= ' = lim 1,
R As -¦ 0 As
где ф—угол поворота касательной (угол смежности) на участке кривой MN,
As—длина дуги этого участка кривой. R называется радиусом кривизны.
Если кривая задана уравнением r = r(s), где s—длина дуги, то
1
сРг
Для случая общего параметрического задания кривой имеем:
1
Т
dr_ ?r_
dt x dt*
dr_
dt
A)
2°. Кручение, Под кручением (второй кривизной) кривой в точке М
понимается число
7=1= Иш1,
р As->- 0 As
где 6—угол поворота бинормали (угол смежности второго рода) на участке
кривой MN, Величина р называется радиусом кручения или радиусом второй
кривизны.
Если r=r(s), то
dr d?r d3r
ds dsa dip
где знак минус берется в том случае, когда векторы —¦ и V имеют одинако-
одинаковое направление, и знак плюс—в противоположном случае(

i 20]
КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
239
Если r = r(t), где i—произвольный параметр, то
dr d2r d?r
J_ dt dt2 dt3
P
dt X dt* )
Пример 1. Найти кривизну и кручение винтовой линии
г = la cos t+Ja sin t-\-k U (a > 0),
Решение. Имеем
-з— = — ia sin t -\-Ja cos t-\-kb,
-Ш=—iacost—Ja sinf,
Отсюда
1L
dt
d3r
ttj-=— ia sin t—ja cost,
dt*
— a sin / a cos / b
—a cos* —asint 0
B)
= tab sin / —Jab cos i + a2ft
dr
dt
d3r
dt3-
— a sin t a cost b
— a cost —asint 0
osin7 —a cos t 0
Следовательно, на основании формул (I) и B) получим:
1 а V
J__
р ~~ а2 (i
т. е. для винтовой линии кривизна и кручение постоянны.
3°. Формулы Френе
dt v dv т.р dp v
d7 W Hs~~ /f '-"p"' "dT "p" '
ds
2104. Доказать, что если кривизна во всех точках линии
равна нулю, то линия — прямая.
2105. Доказать, что если кручение во всех точках кривой
равно нулю, то кривая — плоская.
2106. Показать, что кривая
2 = 1— /
— плоская; найти плоскость, в которой она лежит.

240 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
2107. Вычислить кривизну линий:
а) x = cost, y = s\nt, z = cht при *=0;
б) х2—у2 + г4=], у2 —2x + z = 0 в точке A; 1; 1).
2108. Вычислить кривизну и кручение в любой точке кривых:
а) x = etcost, y = eisint, z = eu,
б) x = acht, y = asht, z = at (гиперболическая винтовая линия).
2109. Найти радиусы кривизны и кручения в произвольной
точке (х, у, г) линий:
а) х* = 2ау, xs = 6a2z;
б) х*=3р*у, 2xz = p\
2110. Доказать, что тангенциальная и нормальная состав-
составляющие вектора ускорения w выражаются формулами
dv у2
где v—скорость, R — радиус кривизны траектории, т и v —еди-
—единичные векторы касательной и главной нормали к кривой.
2111. По винтовой линии г = iacost-\-]аsin/ + btk движется
равномерно точка со скоростью v. Вычислить ее ускорение w.
2112. Уравнение движения есть
r = ti + t*j+ (*k.
Определить в моменты времени / = 0 и t=\: 1) кривизну тра-
траектории и 2) величины тангенциальной и нормальной состав-
составляющих вектора ускорения движения.

ГЛАВА VII
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах
1°. Непосредственное вычисление двойных интегра-
интегралов. Двойным интегралом от непрерывной функции f (х, у), распространен-
распространенным на ограниченную замкнутую область S плоскости ХОУ, называется предел
соответствующей двумерной интегральной суммы
y)dxdy--
(S)
lim
max Лх- -
max Дг/ ь -
0)
где Дх, = х,-+1—Х(, &уь = Ук + 1 — Ук и сумма распространена на те значения
I и k, для которых точки (х,-; уь) принадлежат области 5.
2°. Расстановка пределов интегрирования в двойном
интеграле. Различают два основных вида области интегрирования.
1) Область интегрирования S (рис. 85) ограничена слева и справа пря-
прямыми * = *! и х = хг (хг > Xi), а снизу и сверху непрерывными кривыми
Уг
У г~~
В
А
ш
D
х, X
Рис. 85.
Рис. 86.
у = <$х(х.){АВ) и у = <Рг (х) (CD) [ф2 (х)^>щ (х)], каждая из которых пересе-
кгется с вертикалью х = Х (хх < X < хг) только в одной точке (см. рис. 85).
В области S переменная х меняется от хг до х2, а переменная у при посто-
постоянном х меняется от i/1 = <Pi (x) до (/2 = 'f2 W- Вычисление интеграла A) может

242
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
$$/(*, y)
E
быть произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле
X, ф, (X)
х J f(x, y)dy,
ф| (X)
где при вычислении \ / (х, у) dy величину х полагают постоянной.
Ф1 <*)
2) Область интегрирования S снизу и сверху ограничена прямыми y = yi
и у = у2 (yt > ух), а слева и справа непрерывными кривыми х — % (у) (АВ) и
* = 'Фа @) (CD) [ifa (</) 3s ^i (у) ], каждая
из которых пересекается с горизонталью
y — Y (Ух < Y < уг) только в одной точке
(рис. 86).
Аналогично предыдущему имеем:
Уг Ч>1 (У)
$§/(*. y)dxdy= ^ dy J f(x, y)dx,
(S) Hi i|), (Sf)
где при вычислении интеграла v f(x,y)dx
Ъ()
Рис. 87.
величина у считается постоянной.
Если область интегрирования не при-
принадлежит ни к одному из разобранных
выше видов, то ее стараются разбить на части, каждая из которых отно-
относится к одному из этих двух видов.
Пример 1. Вычислить интеграл
1 1
Решение,
i
1
Ч()О
о о
Пример 2. Определить пределы интегрирования интеграла
J J / (х, у) dx dy.
OS)
если область интегрирования S (рис. 87) ограничена гиперболой у*—*а = 1 и
двумя прямыми JC = 2 и х = —2 (имеется в виду область, содержащая начало
координат).
Решение. Область интегрирования ABDC (рис. 87) ограничена пря-
прямыми х = —2 и х—2 и двумя ветвями гиперболы:
(/= yi+x* и у = — У 1+х2,
г. е. принадлежит к первому виду. Имеем:
2 КТТ^"
J dx 5 f{x,y)dy.
-2 _^TTF

§ 1] ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 243
Вычислить следующие повторные интегралы:
2 1 4 2
2113, С dy Г (х2 + Чу) dx. 2114.
0 0
0 0 1 _1_
х
3 5 2я а
за 2п а
2117, [ dy \ (x + 2y)dx. 2118, $ dq> $ rdr.
- 3 j/2 - 4 0 a sin ф
T 3cos<p 1 Vl-*2
2119. ^ d9 S r2sin2фdr. 2120. [dx ^ V"l—xi—y2dy.
я_ о о о
~ 2
Написать уравнения линий, ограничивающих области, на
которые распространены нижеследующие повторные интегралы,
и вычертить эти области:
2 2-у 3 ж+9
212L J dy S f{x,y)dx. 2122. J dx J / (jc, #)di/.
T
4 10-0 3 2л
2123, \dy J f(x,y)dx. 2124. J dx J / (x, y) dy.
01 у 1 д:
3
3 V25- ж2 2 л; + 2
2125Л dx \ f(x,y)dy. 2126, f dx \ f{x,y)dy.
0 0 -1л;2
Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке
в двойном интеграле
(S)
для указанных областей S:
2127» 5 — прямоугольник с вершинами 0@; 0), А B; 0), В B; 1),
С@; 1).
2128. 5—треугольник с вершинами О@; 0), Л A; 0), 5A; 1).
2129. 5—трапеция с вершинами О@; 0), Л B; 0), 5A; 1),
С@; 1).
2130. 5—параллелограмм с вершинами АA; 2), 5B; 4),
С(й; 7), D(U В).
2131. 5—круговой сектор ОАВ с центром в точке О@; 0),
у которого концы дуги ЛA; 1) и 5 (— 1; 1) (рис. 88).

244
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2132. S—прямой параболический сегмент АОВ, ограничен-
ограниченный параболой BOA и отрезком прямой ВА, соединяющим
точки В{— 1; 2) и ЛA; 2) (рис. 89).
2133. 5—круговое кольцо, ограниченное окружностями ра-
радиусов г=1 и^ = 2, с общим центром О@; 0).
Bf/;2h
2134. S ограничена гиперболой уг—х*=1 и окружностью
x*-f-{/2 = 9 (имеется в виду область, содержащая начало коор-
координат).
2135. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
Hf(x,y)dxdy,
(S)
если область S определяется неравенствами
а) х>0; г/>0; х + у<1; г) у^х; х>— 1;
б) *• + «/*< а2, д)
в) х2 + уг^х;
Переменить порядок интегрирования в следующих повторных
интегралах:
4 12* 1 Зх
2136. $d* J f(x, y)dy. 2137. J dx $ f(x, y)dy.
0 3x« 0 2x
a Va1 —хг a V2ax—xl
2138. ^dx 5 /(*» y)dy- 2139- S djc S /(*t y)dy.
a a'-x'
la
la
2140. J dx J f(x,y)dy. 2141.
2142. \dy J /(^
0 ?
f(x,y)dx.

$ 1] ДЕОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 245
2143.
dxlf(x, y)dy+ \ dx J /(*, y)dy.
n sin x
2144. \dx I f(x, y)dy.
о о
Вычислить следующие двойные интегралы:
2145. ^xdxdy, где S—треугольник с вершинами О(С; 0),
А(\; 1) и5В@; 1).
2146. ^xdxdy, где область интегрирования S ограничена
(S)
прямой, проходящей через точки А B; 0), В @; 2), и дугой окруж-
окружности с центром в точке С@; 1), радиуса 1 (рис. 90).
АB,0) X
Рис. 90.
Рис. 91.
2147. \ \ . х у , где S—часть круга радиуса а с цент-
(¦S)
ром в точке О@; 0), лежащая в первой четверти.
2148. \J $ ]Лс2—y2dxdy, где S — треугольник с вершинами
0@; 0), ЛA; -1) и ВA; I).
2149. ^ \ Vxy—y2dxdy, где С—треугольник с вершинами
0@; 0), а\ю; 1) и 5A; 1).
еу dxdy, где S — криволинейный треугольник ОАВ,
ограниченный.параболой у2 = х и прямыми х = 0, у•= 1 (рис. 91).

246 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2151, Нргх« гАе &—параболический сегмент, ограничен-
ный параболой у = ~ и прямой у — х.
2152. Вычислить интегралы и вычертить области, на кото-
которые они распространены:
я
Я 1+созх 2 Zzo»y
а) \ dx 5 yis'mxdy, в) ^ dy J x*s'miydx.
оо я о
к
2 1
dx ) у* dy\
О соа х
При решении задач 2153—2157 рекомендуется предварительно
делать чертеж.
2153, Вычислить двойной интеграл
xy*dxdy,
если S есть область, ограниченная параболой у* = 2рх и прямой
2154\ Вычислить двойной интеграл
Ц хуdxdy,
распространенный на область S, ограниченную осью ОХ и верх-
верхней полуокружностью (х—2J4-уа= 1.
2155, Вычислить двойной интеграл
dxdy
/2а—х '
.S)
где 5—круг радиуса о, касающийся осей координат и лежащий
в первом квадранте.
2156*. Вычислить двойной интеграл
у dxdy,
где область S ограничена осью абсцисс и аркой циклоиды
-sin t),
y = R{l~cost) @</<2я).
огр

« 2] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 247
2157, Вычислить двойной интеграл
Hxydxdy,
в котором область интегрирования 5 ограничена осями коор-
координат и дугой астроиды
x = Rcos3t, t/ =
2158. Найти среднее значение функции f (х, у) = хуг в области
0l Ol}
Указание. Средним значением функции f (x, у) в области S называется
число
f(x, y)dxdy,
\S)
2159. Найти среднее значение квадрата расстояния точки
М (х, у) круга (х—аJ + г/2^ R2 от начала координат.
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле
1°. Двойной интеграл в полярных координатах. При
переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат х,у к поляр-
полярным г, ф, связанным с прямоугольными координатами соотношениями
* = /¦ cos ф, t/ = /¦ sin <p,
имеет место формула
$ $ ^(*• у) dx dy=\\ f (r cosy, r sin <р) т dr d<p. A)
E) (S)
Если область интегрирования S ограничена лучами ф = а и ф = р(а<р) и
кривыми г = г1(<р) и r — r2(.(p), где г± (ф) и г% (ф) (^ (ф)< г2 (ф)) — однознач-
однозначные функции на отрезке а<ф< р, то двойной интеграл может быть вычислен
по формуле
г, (<р)
JJ$p ^ F(<f,r)rdr,
(S) а г, (ф)
Мф)
где /(ф, /¦) = /(лсозф, Г81*пф). При вычислении интеграла \ F (ф, r)rdr
величину Ф полагают постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то
ее разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.
2°. Двойной интеграл в криволинейных координатах.
В более общем случае, если }(х, у)—непрерывна и в двойном интеграле
JJ/(x, y)dxdy
E)

248
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
требуется от переменных х, у перейти к переменным и, v, связанным с х, у
непрерывными и дифференцируемыми соотношениями
х=ф(и, v), у— 1))(«, v),
устанавливающими взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное соот-
соответствие между точками области S плоскости XOY и точками некоторой об-
области S' плоскости UO'V, и при этом якобиан
дх ду
,_Р(х, у)
D (и, v) -
ди ди
дх_ ду
dv dv
сохраняет постоянный знак в области S, то справедлива формула
(S)
(S')
Пределы нового интеграла определяются по общим правилам на основа-
основании вида области S'.
Пример 1. Перейдя к полярным координатам, вычислить
(S)
где область S—круг радиуса fi=l с центром в начале координат (рис. 92).
Решение. Полагая x = rcos<f, y = rsinq>, получаем:
|Л— х2 — у*= /! — (/¦ cos <рJ — (г sin ф)8
Так как в области S координата г при любом ф изменяется от 0 до 1, а <р
изменяется от 0 до 2я, то
2я 1
СС V\~x*—ytdxdy=\ d(f \
г V \— гМг=д-я.
Перейти к полярным координатам г, ф и расставить пределы
интегрирования по новым переменным в следующих интегралах:
11 2 X
2161.
2160.
0 0 0 0
2162. ]) f(x, y)dxdy, где S — треугольник, ограниченный
прямыми у = х, у = — х, у=\.
1 1
2163. \ dx\ f (^
— 1
2164.
» y)dxdy, где область S ограничена лемнискатой
4 = fl*(xa—у*).

«21
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
249
2165. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
интеграл
(S)
где S—полукруг диаметра а с центром в точке С Г-|-; 0)
(рис. 93).
2166. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
интеграл
распространенный на область, ограниченную окружностью
2
у
2167. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
интеграл
J J У а2—х2 — у2 dx dy.
(S)
где область интегрирования S—полукруг радиуса а с центром
и начале координат, лежащий выше оси ОХ.
Г
У
Рис. 92.
а
Рис. 93.
2168. Вычислить двойной интеграл от функции /(r,<p) = r по
области, ограниченной кардиоидой г = а(\ -{-соэф) и окружностью
г = а. (Имеется в виду область, не содержащая полюса.)
2169. Переходя к полярным координатам, вычислить
a Va'-x'
dx y
[
2170, Переходя к полярным координатам, вычислить
V &—х2—y*dx dy,

250 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЦНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VI»
где область S ограничена лепестком лемнискаты
2171*. Вычислить двойной интеграл
()
A)
распространенный на область S, ограниченную эллипсом
¦^ + ~ — 1, переходя к обобщенным полярным координатам г
и ф по формулам:
— = гсозф, -^- == г sin ф.
2172**. Преобразовать
о ах
Jdx J/(x, y)dy
0 cue
@<а<р и с>0), введя новые неременные и = х + у, uv = y.
2173*. Выполнить замену переменных и = х + у, v = x—у
в интеграле
1 1
о о
2174**. Вычислить двойной интеграл
\\dxdy,
(S)
где S—область, ограниченная кривой
Указание. Произвести замену переменных
x=a/-cosq>, y~br sin<p.
§ 3. Площади фигур
ямоугольных
пл. S= \ \ dxdy.
1°. Площадь в прямоугольных координатах. Площадь
плоской области S равна

$ 31 ПЛОЩАДИ ФИГУР 251
Если область определена неравенствами а<^<6, ф (*)<у<1К*), то
Ь If (*)
пл. S= \ dx [ dy.
а ф (дг)
2°. Площадь в полярных координатах. Если область S в
полярных координатах г и ф определена неравенствами а^ф<р, /(ф)<^<
<F (ф), то
Э Мф)
пл. 5= \ Yrd(fdr= \ dф \ лиг.
(S) a I (ф)
2175. Построить области, площади которых выражаются
интегралами:
2 х+2 a Va' — y1
а) ^ *?е j dt/; б)
-1 *• 0 а- у
Вычислить эти площади и изменить порядок интегрирования.
2176. Построить области, площади которых выражаются
интегралами:
л
arctg2 3 sec ф Т аA+созф)
а) \ d<p \ г аг; б) \ aw \ г dr.
я 0 п а
т ~ т
Вычислить эти площади.
2177. Вычислить площадь, ограниченную прямыми х = у,
х==2у, х + у = а, х-{-Зу = а(а > 0)*).
2178. Вычислить площадь, лежащую над осью ОХ и ограни-
ограниченную этой осью, параболой у* = 4ах и прямой х + у = 3а.
2179*. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом
са=1.
2180. Найти площадь, ограниченную параболами
у2=10х + 25 и «/2 = — 6х + 9.
2181. Переходя к полярным координатам, найти площадь,
ограниченную линиями
= 4х, у = х, у = 0.
2182. Найти площадь, ограниченную прямой гсоэф = 1 и
окружностью г ==2. (Имеется в виду область, не содержащая
полюса.)
2183. Найти площадь, ограниченную кривыми
г = аA-(-соэф) и г =
*) См. сноску на стр. 150.

252
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1ГЛ. VII
2184. Найти площадь, ограниченную линией
V у*
2185*. Найти площадь, ограниченную эллипсом
(х-Чу + ЗУ + (Зх + iy— \y = 100.
2186. Найти площадь криволинейного четырехугольника,
ограниченного дугами парабол хг~ау, x1 = by, уа = ах, i/2 = p\x
@<а<&, 0<а<р).
Указание. Ввести новые переменные и и v, полагая
х* = иу, y2=vx.
2187. Найти площадь криволинейного четырехугольника,
ограниченного дугами кривых уг~ах, у% = Ъх, ху = а, ху = $
@<а<Ь, 0<а<р).
Указание. Ввести новые переменные и и v, полагая ху = и, yi = vx.
§ 4. Объемы тел
Объем V цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью
2 = f(x, у), снизу плоскостью 2 = 0 исбоксв прямой цилиндрической поверх,
ностью, вырезывающей на плоскости X0Y область S (рис. 94), равен
V = $$/<*. y)dxdy.
(S)
2188. Выразить при помощи двойного интеграла объем пи-
пирамиды с вершинами О @; 0; 0), А A; 0; 0), ЯA; 1; 0) и С@; 0; 1)
(рис. 95). Расставить пределы интегрирования.
Ф,О;0
\Вр,1;О)
Рис. 94.
Рис. 95.
В задачах 2189—2192 нарисовать тела, объемы которых
выражаются данными повторными интегралами:

ОБЪЕМЫ ТЕЛ 253
1 1-* 2 2-х
2189. \dx [ (l—x—y)dy. 2190. \ dx \ D — x-y)dy.
0 0 0 0
1 КТ31Г 2 2
2191. [dx \ (i—x)dy. 2192. jj dx \ D—x—y)dy.
0 0 0 2-х
2193. Нарисовать тело, объем которого выражается интегрэ-
а Va2-x*
\ dx \ Vй*—*2—#2Ф. и из геометрических соображе-
о о
лом
о о
ннй найти величину этого интеграла.
2194. Найти объем тела, ограниченного эллиптическим па-
параболоидом z = 2x* + y* + l, плоскостью х + у=1 и координат-
координатными плоскостями.
2195. Тело ограничено гиперболическим параболоидом
г = х2—уг и плоскостями у = 0, г = 0, х = 1. Вычислить его объем.
2196. Тело ограничено цилиндром х2 + г2 = а2 и плоскостя-
плоскостями у = 0, г = 0, у = х. Вычислить его объем.
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:
2197. az = y\ x2 + «/a = ra, 2 = 0.
2198. y = Vx, y = 2V~x, x + z = 6, г = 0.
2199. г = А-* + у2, у = х*, y=l, z = 0.
2200. ^
2201. ?l + il = l, y = ^x, y = 0, 2 = 0.
2202. x*+y* = 2ax, z = ax, г = Рд;(а>Р).
В задачах 2203—2211 использовать полярные и обобщенные
полярные координаты.
2203. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндром
х~-\-у* = а* и гиперболоидом *2 + #2 — г2 = — а2.
2204. Вычислить объем тела, ограниченного конусом
2(.t2 + y2) — 2! = 0 и гиперболоидом хг-\-у2 — 22 = —а-.
2205. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
2az = x*+t/-, х2 + г/2 —22 = а2, г = 0.
2206. Определить объем эллипсоида
г2 (;2 72
— Л-— 4- — =1
а2 "Г Ьг "Г С2
2207. Найти объем тела, ограниченного параболоидом 2az=*
= x2 + t/2 и сферой x2 + i/2 + 22 = 3a2. (Подразумевается область,
лежащая внутри параболоида.)
2208. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью X0Y,
цилиндром хг-\-у* = 2ах и конусом х2 + (/2 = г2.
2209. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью X0Y,
поверхностью z = ae-(Ki+vis> и цилиндром х2 + г/2 = /?2.

254 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2210. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХОУ,
параболоидом 2 =-^j-+-|з- и цилиндром ^ + ^- = 2-~ .
2211. В каком отношении гиперболоид х2-\-у*—z2~a2делит
объем шара х2+уг+г2^.3а*}
2212*. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z = x+y, ху=\, ху = 2, у = х, у = 2х, z = 0 (х>0, у>0).
§ 5. Площади поверхностей
Площадь о гладкой однозначной поверхности z — f(x, у), имеющей своей
проекцией на плоскость X0Y область S, равна
-Н/•+(?)'+(?)¦**•
0 =
2213. Найти площадь части плоскости — + •?-+— = 1» заклю-
п О С
ченной между координатными плоскостями.
2214. Найти площадь части поверхности цилиндра х2-\-у2 =
= R2(z^0), содержащейся между плоскостями г = тх и
z = nx(m>n>0).
2215*. Вычислить площадь части поверхности конуса х1—уг=
— г2, расположенной в первом октанте и ограниченной пло-
плоскостью y + z = a.
2216. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х* -f-
¦\-у2~ах, вырезанной из него сферой x*+y* + z* = a2.
2217. Вычислить площадь части поверхности шара х2 + 1/а+
х1 и%
+ 2* = а*, вырезанной поверхностью -^+^ = 1.
2218. Вычислить площадь части поверхности параболоида
у* + гг = 2ах, содержащейся между цилиндром у2 = ах и плоско-
плоскостью х=а.
2219. Вычислить площадь части поверхности цилиндра
1 = 2ах, содержащейся между плоскостью XOY и конусом
у
2220*. Вычислить площадь части поверхности конуса хг —
— y2 = z*, лежащей внутри цилиндра х2 + у* = 2ах.
2220.1*. Найти площадь части цилиндра у* — 4х, вырезанной
сферой х% + уг + г*=*5х.
2228.2. Найти площадь части конуса г = Ух2+у2, вырезан-
вырезанной цилиндром (хг + «/*)* = с4(х*—у2).
2221*. Доказать, что площади частей поверхностей парабо-
параболоидов хг-\-уг = 2аг и х*—y2 = 2az, вырезаемых цилиндром
*'+!/а = /?*. равновелики.
2222*. Шар радиуса а прорезан двумя круглыми цилиндрами,
диаметры оснований которых равны радиусу шара и которые

§6] ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ К МЕХАНИКЕ 255
касаются друг друга вдоль одного из диаметров шара. Найти
объем и площадь поверхности оставшейся части шара.
2223*. В шаре радиуса а вырезан просвет с квадратным
основанием, сторона которого также равна а. Ось просвета
совпадает с диаметром шара. Найти площадь поверхности шара,
вырезанной просветом.
2224*. Вычислить площадь части винтовой поверхности
2 = carctg—, лежащей в первом октанте и заключенной между
цилиндрами х2 + у* = а2 и х*+у* = Ьг (О < а < Ь).
§ 6. Приложения двойных интегралов к механике
1°. Масса и статические моменты пластинки. Если
S—область плоскости XOY, занятая пластинкой, и р (х, у) — поверхностная
плотность пластинки в точке (х; у), то масса М пластинки и ее статические
моменты Мх и My относительно осей ОХ и 0Y выражаются двойными инте-
интегралами
М = J J р (х, у) dx dy, Mx= \ J W (*. у) dxdy, Му= $ J хр (х. у) dxdy.(l)
(S) iS) (S)
Если пластинка однородна, то р (х, у) = const.
2°. Координаты центра тяжести пластинки. Если С (х, у)—
центр тяжести пластинки, то
- My -¦ Мх_
х—M~'y-Hf
где М—масса пластинки и Мх, My—ее статические моменты относительно
осей координат (см. 1°). Если пластинка однородна, то в формулах A) можно
положить р = 1.
3°. Моменты инерции пластинки. Моменты инерции пластинки
относительно осей ОХ и OY соответственно равны
Ix = J \ У29 (*. У) dx dy, Iy= $ J *V> (*. У) dx dy. B)
<S) (S)
Момент инерции пластинки относительно начала координат
/о = Ц (*2 + у2) р (*' у) dx dy =
Полагая р (*, у) = 1 в формулах B) и C), получаем геометрические моменты
инерции плоской фигуры.
2225. Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плот-
плотность ее пропорциональна расстоянию точки от центра и равна б
на краю пластинки.
2226. Пластинка имеет форму прямоугольного треугольника
с катетами ОВ = а и ОА = Ь, причем плотность ее в любой точке
равна расстоянию точки от катета О А. Найти статические мо-
моменты пластинки относительно катетов ОА и ОВ.

256
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2227. Вычислить координаты центра тяжести фигуры ОтАпО
(рис. 96), ограниченной кривой y--=s\nx и прямой О А, прохо-
проходящей через начало координат и вершину а(^; 1 j синусоиды.
2228. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограначен-
ной кардиоидой г = аA -fcoscp).
Рис. 96.
Рис. 97.
2229. Найти координаты центра тяжести кругового сектора
радиуса а с углом при вершине 2а (рис. 97).
2230. Вычислить координаты центра тяжести фигуры, огра-
ограниченной параболами у* = 4х + 4 и t/2 = — 2л;+ 4.
2231. Вычислить момент инерции треугольника, ограничен-
ограниченного прямыми х + у = 2, х = 2, у = 2, относительно оси ОХ.
2232. Найти момент инерции кругового кольца с диаметрами
d и D(d<D): а) относительно его центра и б) относительно его
диаметра.
2233. Вычислить момент инерции квадрата со стороной а
относительно оси, проходящей через его вершину перпендику-
перпендикулярно к плоскости квадрата.
2234*. Вычислить момент инерции сегмента, отсекаемого от
параболы у1 —ах прямой х = а, относительно прямой у — — а.
2235*. Вычислить момент инерции площади, ограниченной
гиперболой ху = 4и прямой х-\-у = 5, относительно прямой х = у.
2236*. В квадратной пластинке со стороной а плотность
пропорциональна расстоянию от одной из ее вершин. Вычислить
момент инерции пластинки относительно стороны, проходящей
через эту вершину.
2237. Найти момент инерции площади кардиоиды r=a (I -fcoscp)
относительно полюса.
2238. Вычислить момент инерции площади лемнискаты г2 —
= 2a2cos2<p относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости
в полюсе.
2239*. Вычислить момент инерции однородной пластинки,
ограниченной одной аркой циклоиды х=а (/—sin t), y=a(l —cos /)
и осью ОХ, относительно оси ОХ.

§7)
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
257
§ 7. Тройные интегралы
Iе. Тройной интеграл в прямоугольных координатах.
Тройным интегралом от функции / (х, у, г), распространенным на область V,
называется предел соответствующей трехкратной суммы:
JSJ-
(V)
к, у, z) dxdy dz= lim
max Ax • ->¦ 0 i
max At/,. -»¦ 0
У/.
max Д;:
-0
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению
трех обыкновенных (однократных) интегралов или к вычислению одного двой-
двойного и одного однократного.
Пример 1. Вычислить
(V)
где область V определяется неравенствами
Решение. Имеем
1 х ху
1= С dx С dy С
0 0 0
0
х
0
Пример 2. Вычислить
х* dx dy dz,
(V)
л;2 и2 г2
где V — внутренность эллипсоида —гЛ~тг~\—^='
Решение.
а
= ^ x2dx
где Syz—внутренняя область эллипса -тзН—г"= • г"• JC = const. площадь
которой равна
Поэтому окончательно имеем:
(V)
а
^nbe [ хг (l— ~\ dx=^
9 Под ред. Б. П. Демндовича

258
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2°. Замена переменных в тройном интеграле. Если
В тройном интеграле
*. У. z)dxdydz
(V)
от переменных х, у, г требуется перейти к переменным и, v, w, связанным
с х, у, г соотношениями- х = <р(и, v, w), y=ty(u, v, w), z = %(u, v, w), где
функции ф, ty, %:
1) непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка;
2) устанавливают взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное соот-
соответствие между точками области интегрирования V пространства OXYZ и точ-
точками некоторой области V' пространства O'UVW;
2,
Рис. 98.
Рис. 99.
3) функциональный определитель (якобиан) этих функций
дх дх_ дх
ди dv dw
D(x, у, г)
D (и, v, w)~
ду ду ду
ди dv dw
дг дг_ дг
ди dv dw
сохраняет в области V постоянный знак, то справедлива формула
(.*, у, z)dxdydz=^^ /[ф(«. о. w), ^{u, v, w), %(u,v,w)]\I\dudvdw.
(V) (V)
В частности:
1) для цилиндрических координат г, q>, ft (рис. 98), где
x=rcosq>, y = r sinq>, z = h,
получаем, что / = г;
2) для сферических координат ф, 1(), г (ф—долгота, if—широта, г—ра-
г—радиус-вектор (рис. 99)), где
jc=rcos ф созф, у ~т cos if sin ф,
имеем / = r2 cos i|).
sin ij),

§ 7] ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 259
Пример 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить
х*+У* + 2* dx dy dz.
(V)
где V — шар радиуса R.
Решение. Для шара пределы изменения сферических координат <р (дол-
(долготы), if> (широты) и г (радиуса-вектора) будут:
2 ^т^2 '
Поэтому будем иметь:
2Л 2 Я
\\\ V + y + y[ y [ $ [rr* cos ^dr =
(V) ^
~ 2
3°. Приложения тройных интегралов. Объем области трех-
трехмерного пространства OXYZ равен
(V)
Масса тела, занимающего область V,
М = I \ \ у (х, у, z) dx dy dz,
(V)
где у (х, у, г) — плотность тела в точке (х; у; z).
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей
Y(*. У' ¦
(V)
Myz= \ \ \ Т (*> У> 2) * dx dy dz;
(V)
Mzx= \\\ У (х> У> z) У dx dy dz,
(V)
Координаты центра тяжести
Х=~ЛГ' iJ=~W 2 = ~М~'
Если тело однородно, то в формулах для координат центра тяжести
можно положить у(х, у, z) = 1.
Моменты инерции относительно осей координат
(у2 + г2) у (х, у, z)dxdydz;
(z2 + *2) у (х, у, z) dx dy dz;
~(V)
(х^-\-у^)у (х, у, z)dxdydz.
"(V)
9»

260 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
Полагая в этих формулах
у(х, у, г)=1,
получаем геометрические моменты инерции тела.
А. Вычисление тройных интегралов
Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
$$$/(*, У, z)dxdydz
(У)
для указанных областей V:
2240. V—тетраэдр, ограниченный плоскостями
=\, х = 0, // = 0, z = 0.
2241. V—цилиндр, ограниченный поверхностями
2242. V—конус, ограниченный поверхностями
*L+vL-lL г-с
аг -Г Ь2 — са . 2 - С.
2243. V—тело, ограниченное поверхностями
г=1— х2—у2, 2 = 0.
Вычислить следующие интегралы:
ill
dz
.им
2244.
. о б о
2 2 Vx
у
2245. ^dx J dy $
0 0 0
2246. [dx
J
tf^ Va-хг
[ dy Г
J J
0 0
J J J уая-х*-у*-г*'
О 0 0
1 1-х \-x-y
2247. ^ dx ^ dy ^ xyzdz.
оо о
2248. Вычислить
dx dy dz
где V —область интегрирования, ограниченная координатными
плоскостями и плоскостью x-\-y + z==l.

S 7] ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 261
2249. Вычислить
где V—общая часть параболоида 2az~^ x2-\-yi и шарах2
2250. Вычислить
55$ z*dxdydz,
(V)
где V — общая часть шаров x2 + r/2 -f-22 ^.R* и >
2251. Вычислить
(V)
где У—область, ограниченная плоскостью 2 = 0 и верхней поло-
половиной ЭЛЛИПСОИДа ^ + |a + 'V=l'
2252. Вычислить
(V)
Y_6 tiA 2Л
где V—внутренность эллипсоида -a + fs + —==1«
2253. Вычислить
5 5 5 z dx dy dz,
<V)
где V—область, ограниченная конусом г2 = -^ (х2 -\- г/2) и пло-
плоскостью z = h.
2254. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить
(V)
где V—область, ограниченная поверхностями
л'а + i/a = г3 и содержащая точку @, 0, R).
2255. Вычислить
0 0 0
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам.

262 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2256. Вычислить
2r Vlrx-x1 V ir'-x'-y1
\dx J dy J dz,
0 -V2rx-x' l3
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам.
2257. Вычислить
R Vr'-x1
I dx S dy
-R -Vr*-x* °
преобразовав его предварительно к сферическим координатам.
2258. Перейдя к сферическим координатам, вычислить ин-
интеграл
J + z* dx dydz,
(V)
где V— шар хг + у2 + 2s ^ х.
Б. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
2259. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела,
ограниченного поверхностями
2260**. Вычислить объем части цилиндра x2-\-yi = 2ax, содер-
содержащейся между параболоидом х2 + уг = 2аг и плоскостью X0Y.
2261*. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х2 + у2+
-\-г2 = а? и конусом 22 = j:2 + i/s (внешнего по отношению к ко-
конусу).
2262*. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х1 + #2+
+22 = 4 и параболоидом х2+у2 = 3г (внутреннего по отношению
к параболоиду).
2263. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью X0Y,
цилиндром х2 + у2 = ах и сферой х2 + у2 + 22 = а2 (внутреннего по
отношению к цилиндру).
2264. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом
•р- + Л"= 2— и плоскостью х = а.
2264.1. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
i!_ui?.4-
а2 "Г Ьъ Т
2264.2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
263
В. Приложения тройных интегралов к механике и физике
2265. Найти массу М прямоугольного параллелепипеда
О^х^а, О^у^Ь, 0^2^с, если плотность в точке (х, у, г)
есть р(х, у, г) = х + у + г.
2266. Из октанта шара л;2 + г/2 + 22<с2, х>0, у>0, 2>0
вырезано тело О ABC, ограниченное координатными плоскостями
и плоскостью -j + -f-=l (я<с, Ь<с) (рис. 100). Найти массу
этого тела, если плотность его в каж-
каждой точке (х, у, г) равна аппликате этой
точки.
2267*. В теле, имеющем форму полу-
полушара хг-\-у*-\-гг ^ а2, 2^0, плотность
изменяется пропорционально расстоянию
точки от центра. Найти центр тяжести
этого тела.
2268. Найти центр тяжести тела, ог-
ограниченного параболоидом г/2 + 2г2 = 4д;
и плоскостью х = 2.
2269*. Найти момент инерции круг-
круглого цилиндра, высота которого h и ра-
радиус основания а, относительно оси, служащей диаметром осно-
основания цилиндра.
2270*. Найти момент инерции круглого конуса, высота ко-
которого h, радиус основания а и плотность р, относительно диа-
диаметра основания.
2271**. Найти силу притяжения, оказываемого однородным
конусом высоты h с углом а при вершине (в осевом сечении)
на материальную точку, содержащую единицу массы и располо-
расположенную в его вершине.
2272**. Показать, что сила притяжения, действующая со
стороны одного шара на внешнюю материальную точку, не
изменится, если всю массу шара сосредоточить в его центре.
§ 8. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Несобственные кратные интегралы
1°. Дифференцирование по параметру. При некоторых
ограничениях *), налагаемых на функции / (х, a), f'a (x, а) и на соответствую-
соответствующие несобственные интегралы, имеет место правило Лейбница
Рис. 100.
сс со
-?? \ t (х, о.) dx= \ fa (x, a) dx.
*) См. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интеграль-
интегрального исчисления, т. II, гл. XIV, § 3, п. 520, «Наука», 1970.

264 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
Пример 1. С помощью дифференцирования по параметру вычислить
°° е-ах2—е-&хг
- dx (о > О, Р > 0).
I
a
Решение. Пусть
Тогда
да
1
2о?
Отсюда F (a, p) = —5-lna+C (P). Чтобы найти С(р"), полагаем в последнем
1
равенстве ос=р. Имеем 0 = —-^-1пр + С(Р),
1
Отсюда С(Р) = -тг-1п р. Следовательно,
¦2°. Несобственные двойные интегралы, а) Случай
бесконечной области. Если функция / (х, у) непрерывна в неогра-
неограниченной области S, то полагают:
J$7(x, y)dxdy=lim ^f(x,y)dxdy, A)
E) a~*S(a>
где a—конечная область, целиком лежащая в S, причем а—> S означает, что
мы расширяем область о по произвольному закону так, чтобы в нее вошла и
осталась в ней любая точка области S. Если предел в правой части сущест-
существует и не зависит от выбора области а, то соответствующий несобственный
интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Если подынтегральная функция f (х, у) неотрицательна (f{x, </):з=0), то
для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы
предел в правой части равенства A) существовал хотя бы для одной системы
областей а, исчерпывающих область S.
б) Случай разрывной функции. Если функция / (х, у) непре-
непрерывна в ограниченной замкнутой области S всюду, за исключением точки
Р (a; b), то полагают:
$$/(*, y)dxdy= lim JJ f(x, y)dxdy, B)
(s, e"°(sf.)
где Se — область, получаемая из 5 путем удаления малой области диаметра е,
содержащей точку Р. В случае существования предела B), не зависящего от
вида удаляемых из области S малых областей, рассматриваемый несобственный
интеграл называется сходящимся, а в протипном случае—расходящимся.

§ 8] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 265
Если / (*, у) 5= 0, то предел в правой части равенства B) не зависит от
вида удаляемых из области S областей; в частности, в качестве таких областей
g
можно брать круги радиуса -»- с центром в точке Р.
Понятие несобственных двойных интегралов легко переносится на случай
тройных интегралов.
Пример 2. Исследовать на сходимость
се
(•S)
где S — вся плоскость XOY.
Р е'ш е и и е. Пусть о — круг радиуса р с центром в начале координат.
Переходя к полярным координатам, при р ф 1 имеем:
(а)
J 2 \-p
Если р < 1, то lim / (о) = lim / (а) = оэ и интеграл расходится. Если же
а -> S р -+ <ю
p>l,Tolim /(о) = т и интеграл сходится. При р=1 имеем / (а) =
р - о» р—1
? р
~i—2 = Jl'n (I -f- P2); lim /(а) = оэ, т. е. интеграл расходится.
J J Т г р ->• со
0 0
р
\
J
0
Таким образом, интеграл C) сходится при р > 1.
2273. Найти /' (х), если
2274. Доказать, что функция
— ее
удовлетворяет уравнению Лапласа
2275. Преобразование Лапласа F (р) для функции f(t) опреде-
определяется формулой
сю
F(p) = \e-*nt)dt.
о

266 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
Найти F(p), если: а) /@ = 1; б) f{t) = eal; в) /@ = sin pi;
г) /(/)=cosp*.
2276. Пользуясь формулой
о
вычислить интеграл
1
] х"~1 \nxdx.
о
2277*. Пользуясь формулой
о
вычислить интеграл
00
\t4-p4t.
О
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить сле-
следующие интегралы:
*% р-ах -Р*
2278. j ^— dx (а > О, р > 0).
о
СО
2279. С е аХ~е—smmxdx (а > О, Р > 0).
о
ее
оояп f arctg ax Av
О
2281. ynJXZ^dx i\a\<\).
о
2282.
о
Вычислить следующие несобственные интегралы:
OS CO
2283. $ dx^e~{x+y)dy.
о о
1 у' х_
2284. \ dy ^ е у dx.
о о

S 9] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 267
2285. \ -пЛ| гДе S—область, определяемая неравенст-
вами х ^ 1,
о
2287. Интеграл Эйлера — Пуассона, определяемый формулой
СО СС
/ = \ е~х* dx, может быть записан также в виде /=
о о
Перемножая эти формулы и переходя затем к полярным коор-
координатам, вычислить /.
00 СО СО
2288. Вычислить J dx
0
J J [ ( + / + 1J .
0 0 0
Исследовать на сходимость несобственные двойные интегралы:
2289**. ^ \nV x°- + y*dxdy, где 5—круг ;
2290. \ \ а^_ ^ , где S — область, определяемая неравен-
неравенством х2-{-у2~^1 («внешность» круга).
99Q1* Г Г dx ау л ...... |у|<Г ||;|<Г
J J yix—ijf
2292. \ \ \ 2 f f i\6. i гДе ^—область, определяемая нера-
венством x2 + y2 + 22^i («внешность» шара).
§ 9. Криволинейные интегралы
1°. Криволинейные интегралы первого1 типа! Пусть
f (х, у) — непрерывная функция и у = <р (х) [а<х<6]—уравнение некоторой
гладкой кривой С.
Построим систему точек Af,-(x,-, yi) (i = 0, 1, 2, ..., л), разбивающих кри-
кривую С на элементарные дуги Af,-_iAl(-, и составим интегральную сумму
Sn = 2/ (¦*!• У1) &si< гДе ^sf—длина дуги Af/^M;. Предел этой суммы при
i = i
п—»¦ оо и maxAsj—>-0 называется криволинейным интегралом первого типа
lira
max ASj- -> О
*• </<)As;=W(*. V)ds

268 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
(ds —дифференциал дуги) и вычисляется по формуле
ь
J / (х, у) ds = J / (х, ф (*)) У 1 + (ф' (х))* dx,
С а
В случае параметрического задания кривой С: x = <f (t), y =
имеем:
Р
Рассматривают также криволинейные интегралы первого типа от функ-
функции трех переменных / (х, у, г), взятые по пространственной кривой, которые
вычисляются аналогично. Криволинейный интеграл 1-го
Yi
типа не зависит от. направления пути интегрирования;
если подынтегральную функцию / интерпретировать как
линейную плотность кривой интеграции С, то этот
интеграл представляет собой массу кривой С.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
)ds,
и А X с
Рис. 101. где С—контур треугольника АВО с вершинами ЛA;0),
6@; 1) и О@; 0) (рис. 101),
Решение. Здесь уравнение АВ: у = \—х, уравнение ОВ: я = 0,
уравнение ОА: у = 0. Поэтому будем иметь:
(x-\-y)ds =
АВ во 6А
i 1 1
2°. Криволинейный интеграл второго типа. Если Р (х, у)
и Q {х, у) — непрерывные функции и у = <р(х) — гладкая кривая С, пробегаемая
при изменении х от а до Ь, то соответствующий криволинейный интеграл
второго типа выражается следующим образом:
ь
(*. y)dx + Q(x, y)dy=\) [P(x, ф(х)) + ф'(*)<2(*, <f(x))]dx.
_ а
В более общем случае, когда кривая С задана параметрически: х =
/ = 1|з(/), где t изменяется от а до р\ то имеем:
Аналогичные формулы справедливы для криволинейного интеграла второго
типа, взятого по пространственной кривой.
Криволинейный интеграл второго типа меняет свой знак на об-
обратный при изменении направления пути интегрирова-
интегрирования. Механически этот интеграл можно интерпретировать как работу

«si
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
269
соответствующей переменной силы {Р (х, у), Q (х, у)} вдоль кривой интегра-
интеграции С.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
где С — верхняя половина эллипса * = acos^, y = bsint, пробегаемая по ча-
часовой стрелке.
Решение. Имеем:
О
= С [^sin^H—a sin t)+a* cos2 t-b cost] dt
л
0 °
— ab2 [ sin3 tdt + аЧ \ cos31 dt = — ab%.
3°. Случай полного дифференциала. Если подынтегральное
выражение криволинейного интеграла второго типа есть полный дифференциал
некоторой однозначной функции U = U(x, у), т. е. Р (х, у) dx-\-Q (х, у) dy =
;-- dU (x, у), то этот криволинейный интеграл не зависит от пути интегриро-
интегрирования и имеет место формула Ньютона — Лей-
Лейбница
У
; у г)
Р(х, t/)dx
), A)
где (х,\ yj) —начальная и (х2; у2) — конечная
точки пути. В частности, если контур интег-
рации С замкнут, то
?
I
М(х;и)
\ Р(х, y)dx + Q(x,
B)
Х0 X
Рис. 102.
Если 1) контур интеграции С содержится целиком внутри некоторой
односпязной области 5 и 2) функции Р (х, у) и Q (х, у) вместе со своими
частными производными 1-го порядка непрерывны в области S, то необходи-
иым и достаточным условием для существования функции U является тож-
тождественное выполнение в области S равенства
dQ _дР
дх ~~ ду
C)
(см. интегрирование полных дифференциалов). При невыполнении условий
I) и 2) наличие условия C) не гарантирует существования однозначной
функции U и формулы A) и B) могут оказаться неверными (см. задачу 2332).
Укажем способ нахождения функции U (х, у) по ее полному дифференциалу,
оснопанньш па использовании криволинейных интегралов (т. е. еще один
способ интегрирования полного дифференциала). За контур интегрирования С
возьмем ломаную РаРхМ (рис. 102), где Рп (х0; у0)—фиксированная точка,
М (х; у) — переменная точка. Тогда вдоль Р0Рд имеем у = у0 и di/ = 0, а вдоль

270 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
РХМ имеем dx = 0. Получаем:
(х: у)
U (х, y) — U(xa, </„)= ^ Р (х, у) dx + Q (х, y)dy=>
(х„; у а)
х у
¦= [P(x,_yo)dx+ \Q (x, у) dyk
х„ уа
Аналогично, интегрируя по ломаной Р0Р2М, имеем:
у х
U (х, у)-U (х0, yo)=<\Q (x0, у) dy+\ P (х, у) dx,
Ун Х„
Пример 3. Dx-\-2y)dx+Bx—6y)dy--=dU. Найти U.
Решение. Здесь Р (х, у) = 4х-\-2у и Q (х, у) = 2х—6у; причем усло-
условие C), очевидно, выполнено. Пусть *0 = 0, yo=Q. Тогда
х у
U (х, у)=\ 4xdx+ [ Bх—
о о
У х
U (х, у) = f — 6у dy + f ('
оо
где C = U @, 0) — произвольная постоянная.
4°. Формула Грина для плоскости. Если С — граница области
S и функции Р {х, у), Q (х, у) непрерывны, вместе со своими частными про-
производными 1-го порядка, в замкнутой области S + C, то справедлива формула
Грина \
где обход контура С выбирается так, чтобы область S оставалась слева.
5°. Приложения криволинейных интегралов. 1) Площадь
области S, ограниченной замкнутым контуром С, равна
пл. S =—ф у dx == ф х йу
с с
(направление обхода контура выбирается обратным движению часовой стрелки).
Более удобна для приложений следующая формула площади:
пл. S=l § (х dy-y d*)=l § х* d (|).
2) Работа силы, имеющей проекции Х — Х(х, у, г), Y=Y(x, у, г), 2 =>
= 2 (х, у, г) (или соответственно работа силового поля), вдоль пути С выра-
выражается интегралом
A-^Xdx+Ydy+Zdz.

§ 9] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 271
Если сила имеет потенциал, т. е. если существует функция U — U (х, у, г)
(потенциальная или силовая функция) такая, что
—=Х — = К — =Z
дх ' ду ' дг '
то работа, независимо от вида пути С, равна
(*„ у„ г2) (хг, I
(XlUi,*i) (Jti. !/i. г,)
где (хи j/i, 2S) —начальная и (х2, </2. z2) — конечная точка пути,
А. Криволинейные интегралы первого типа
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2293. ^xyds, где С—контур квадрата |х| + |г/| = а (а>0).
с
2294. I s _ , где С — отрезок прямой, соединяющей
с
точки О@; 0) и ЛA; 2).
2295. \xyds, где С—четверть эллипса ^¦+f2-=li лежащая
с
в первом квадранте.
22S6. ]y2ds, где С—первая арка циклоиды x = a(t—s'mt),
с
у = а(\ —cos t).
2297. ^ Vx2 + y-ds, где С—дуга развертки окружности х =
= a(cos* + *sinO, i/ = a(sin f — <cos<) [0<<<2n].
22S8. jj (^:2 + t/2J(is, где С—дуга логарифмической спирали
с
= аетч> (т > 0) от точки А @; а) до точки О(—оо; 0).
2299. \i(x-iry)ds, где С—правый лепесток лемнискаты г2 =
с
— a"cos2re.
2300. \ (я + z)ds, где С—дуга кривой x=t, y= /— , 2 = /а
0<f<l].
Г* rfs
2301. \ 2i а. а"| гДе С — первый виток винтовой линии
с
= acost, у = a sin i, г = bi.
2302. ^V^^+lFds, где С —окружность хг + у* + г* = а8,
с

272 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VU
2303*. Найти площадь боковой поверхности параболического
цилиндра у — -^хг, ограниченной плоскостями z = 0, х = 0, г = х,
2304. Найти длину дуги конической винтовой линии х =»
=aefcosf, y = aets'mt, z = aet от точки О@; 0; 0) до точки
А (а; 0; а).
2305. Определить Массу контура эллипса -^—|—та-= 1 > если
линейная плотность его в каждой точке М (х, у) равна \у\.
2306. Найти массу первого витка винтовой линии x = acost,
y = as'mt, 2 — bt, если плотность в каждой точке равна радиусу-
вектору этой точки.
2307. Определить координаты центра тяжести полу арки цик-
циклоиды
x = a(t—sin/), y = a(\—cost) [
2308. Найти момент инерции относительно оси OZ первого
витка винтовой линии ;c = acos^, y — as'mt, z = bt.
2309. С какой силой масса М, распределенная с постоянной
плотностью из окружности х2 + у2 = а2, 2 = 0, воздействует на
массу т, помещенную в точке А @; 0; ft)?
Б. Криволинейные интегралы второго типа
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2310. \ (x*—2xy)dx + Bxy + y*)dy, где АВ—дуга параболы
АВ
у = х2 от точки А(\; 1) до точки В B; 4).
2311. J Ba—y)dx + xdy, где С—дуга первой арки циклоиды
а
x = a(t — sin t), y = a(l—cos^),
пробегаемая в направлении возрастания параметра t.
2312. \ 2xydx—x2dy, взятый вдоль различных путей, выхо-
ОА
дящих из начала координат О @; 0) и заканчивающихся в точке
А B; 1) (рис. 103):
а) прямой ОтА;
б) параболы ОпА, осью симметрии которой является ось OY;
в) параболы ОрА, осью симметрии которой является ось ОХ;
г) ломаной линии ОБА;
д) ломаной линии ОСА.
2313. j 2xydx-f-x2 dy в условиях задачи 2312.
ОА

9] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 273
2314*. ^(*+y)d*-(*-y)ggt ВЗЯТый вдоль окружности л2+
+ (/2 = а2 против хода часовой стрелки.
2315. ^у2dx+х2dy, где С есть верхняя половина эллипса
: = acos/, y = bs'mt, пробегаемая по ходу часовой стрелки.
2316. \ cosydx—s'mxdy, взятый у.
АВ
вдоль отрезка АВ биссектрисы вто- С@;1)
рого координатного угла, если аб-
абсцисса точки А равна 2 и ордината
точки В равна 2.
р
2317. ф*У <**<-;'У), Где С-
i х+у
Рис. 103.
правый лепесток лемнискаты г2 =
= a2cos2cp, пробегаемый против хода часовой стрелки.
2318. Вычислить криволинейные интегралы от выражений,
являющихся полными дифференциалами:
B; 3) C; 4)
а) ^ xdy + ydx, б) $ xdx + ydy,
(—1: 2) @; Г)
A; 1)
в) \ (x+y)(dx+dy),
@; 0)
B; 1)
г) \ у x~/ y (по пути, не пересекающему ось ОХ),
к) У
(I; 2)
>*; у)
д) Г ^ у (по пути, не пересекающему прямую
(-*---*Л * ^
V 2 • 2 J
+ f/=0),
е)
2319. Найдя первообразные функции подынтегральных выра-
выражений, вычислить интегралы:
C; 0)
а) $ (xi + ixy3)dx + Fxliy2 — 5yi)dy,
(-2; -1)
О: 0)
б) I ^/^"^а * (путь интегрирования не пересекает пря-
прямой у = х),

274 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫ]; ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
C; 1)
p (x-i-2u) dxA-u dti ,
в) \ v ~ y Ty y (путь интегрирования не пересекает
(i; i) lXti/)
прямой y = — x),
(l: i)
r)
@-0) +у
2320. Вычислить / = Г ^Лх+УйУ . f взятый по ходу часо-
хг и2
вой стрелки вдоль четверти эллипса "^a+fr^l. лежащей
в первом квадранте.
2321. Показать, что если f(u) есть непрерывная функция и
С—замкнутый кусочно-гладкий контур, то
с
2322. Найти первообразную функцию U, если:
а) du = Bx + 3y)dx + Cx—4y)dy;
б) du = (З*2—2ху + y2)dx—(х2 — 2ху + Зг/2) dy;
в) du = ex[{l)d {l)d]
Г) du = ^
> х +
+ у + у
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль простран-
пространственных кривых:
2323. ^ {у—z)dx + (z—x)dy + (x—y)dz, где С—виток винто-
с
вой линии
= asmt,
= Ы,
соответствующий изменению параметра I от 0 до 2я.
2324. <р ydx + zdy + xdz, где С—окружность
с
' х = R cos a cos ?,
z = /?sina (a == const),
пробегаемая в направлении возрастания параметра.
2325. ^ xydx + yzdy + zxdz, где О А—дуга окружности
ОА
неположенная по ту сторону от плоскости XOZ, где у > 0.
/ ^

$ 9] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 275
2326. Вычислить криволинейные интегралы от полных диф-
дифференциалов:
F; 4; 8)
а) j xdx-\-ydy—zdz,
A; 0; -3)
(a; b; с)
б) ^ yzdx-\-zxdy-\-xydz,
A; 1; 1)
C; 4; 5)
v С х dx + у dy -f- г йг
В) J Г
@; 0; 0)
V ху J
г) f j/zdx + zxdj/ + -yy ^z ^путь интеГрИрОвания располо-
A; 1: 1)
жен в первом октанте).
В. Формула Грина
2327. С помощью формулы Грина преобразовать криволиней-
криволинейный интеграл
[xy + In (x -f V x2 -f- y2)] dy,
с
где контур С ограничивает область 5.
2328. Применяя формулу Грина, вычислить
/ = § 2 (х2 + у') dx + (х + у)- dy,
с
где С — пробегаемый в положительном направлении контур тре-
треугольника с вершинами в точках ЛA; 1), В B; 2) и 6A; d).
Проверить найденный результат, вычисляя интеграл непосред-
непосредственно.
2329. Применяя формулу Грипа, вычислить интеграл
— хгу dx -j- xy1 dy,
где С —окружность хг + if = R", пробегаемая против хода часо-
часовой стрелки.
2330. Через точки А(\; 0) и В B; 3) проведены парабола
АтВ, осью которой является ось 0Y, и хорда ее АпВ. Найти
§ (xJry)dx—(x—y)dy непосредственно и применяя формулу
АтВпА
Грина.

2/6 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2331. Найти J exy[ytdx + (l+xy)dy], если точки А иВле-
АтВ
жат на оси ОХ, а площадь области, ограниченной путем инте-
интеграции АтВ и отрезком АВ, равна S.
2332*. Вычислить (ft х ^~уа * • Рассмотреть два случая:
а) когда начало координат находится вне контура С,
б) когда контур окружает п раз начало координат.
2333**. Показать, что если С — замкнутая кривая, то
s(X, n)ds==0,
где s—длина дуги и п—внешняя нормаль.
2334. Применяя формулу Грина, найти интеграл
I=(ft[xcos(X, n)+ysm(X, n)]ds,
с
где ds—дифференциал дуги и п—внешняя нормаль к контуру С.
2335*. Вычислить интеграл
взятый вдоль контура квадрата с вершинами в точках ЛA;0),
В@; 1), С(—1; 0) и D @; —1), при условии обхода контура
против хода часовой стрелки.
Г. Приложения криволинейного интеграла
Вычислить площади фигур, ограниченных следующими кри-
кривыми:
2336. Эллипсом * = acos^, y = bs'mt.
2337. Астроидой x = acos31, y = asin3t.
2338. Кардиоидой x = aBcost—cos2t), y = aBsini — sin2/).
2339*. Петлей декартова листа х3-:\-у3—3axy = 0 (a>0).
2340. Кривой (х + уK = аху.
2341*. Окружность радиуса г катится без скольжения по
неподвижной окружности радиуса R, оставаясь вне нее. Предпо-
лагая, что целое число, найти площадь области, ограничен-
ограниченной кривой (эпициклоидой), описанном какой-нибудь точкой по-
подвижной окружности, и неподвижной окружностью. Разобрать
частный случай r = R (кардиоида).
2342*. Окружность радиуса г катится без скольжения по
неподвижной окружности радиуса R, оставаясь внутри нее.
Предполагая, что целое число, найти площадь области,

§ 10] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 277
ограниченной кривой (гипоциклоидой), описанной какой-нибудь
точкой подвижной окружности, и неподвижной окружностью. Ра-
г>
зобрать частный случай, когда г -= -т- (астроида).
2343. Поле образовано силой, имеющей постоянную величину
F и направление положительной полуоси ОХ. Найти работу
поля, когда материальная точка описывает по ходу часовой
стрелки четверть окружности x2j^y2 = R2, лежащую в первом
квадранте.
2344. Найти работу, производимую силой тяжести при пере-
перемещении материальной точки массы т из положения А (ху\ уг; zt)
в положение В (х2; у2, 22) (ось OZ направлена вертикально вверх).
2345. Найти работу упругой силы, направленной к началу
координат, величина которой пропорциональна удалению точки
от начала координат, если точка приложения силы описывает
против часовой стрелки четверть эллипса ¦^- + 4^—1, лежа-
лежащую в первом квадранте.
2346. Найти потенциальную функцию силы R {X, Y, Z) и
определить работу силы на данном участке пути, если:
а) Х = 0, К = 0, Z=—mg (сила тяжести) и материальная
точка перемещается из положения A (xlt ylt zx) в положение
В(х2, у2, 22);
б)Х=—j?, У = —%, 2 = --^, где n =
и г =
= \f x*-{-у2-\-г* (сила ньютоновского притяжения) и материаль-
материальная точка из положения А (а, Ь, с) удаляется в бесконечность;
в) Х = — k2x, У = — k2y, Z = — k2z, где k = const (упругая
сила), причем начальная точка пути находится на сфере хг-\-уг +
-т-га = ^2, а конечная — на сфере x2 + y2 + z2 = r2 (R > г).
§ 10. Поверхностные интегралы
1°. Поверхностный интеграл первого типа. Пусть
fix, у, г) — непрерывная функция и 2 = ф(х, у) —гладкая поверхность S.
Поверхностный интеграл первого типа представляет собой предел инте-
интегральной суммы
. п
fix, у, z)dS= lim ^ f(xh У;, г;) AS;,
п-*<в ,-=1
¦1
где AS,- — площадь г-го элемента поверхности S, точка (ж,-, у;, г/) принадле-
принадлежит этому энементу, причем максимальный диаметр элементов разбиения
стремится к нулю.
Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности 5,
по которой производится интегрирование.
Если проекция о поверхности S на плоскость X0Y однозначна, т. е.
всякая прямая, параллельная оси OZ, пересекает поверхность S лишь в одной

278 кратные и криволинейные интегралы [гл. vii
точке, то соответствующий поверхностный интеграл первого типа может быть
вычислен по формуле
J J / (х, у, z) dS = J J / [к, у, <р (*, у)] VT+ $ (х, у) + ср'* (к, у) dx dy.
s (о)
Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл
\\(x+y+z)dS,
s
где S—поверхность куба 0«?*<;1, <#^, <<
Вычислим сумму поверхностных интегралов по верхней грани куба (г=1)
и по нижней грани куба (г = 0)
11 11 11
J jji J (x+y) dxdy=-- 5 ^
0 0 0 0 0 0
Очевидно, что искомый поверхностный интеграл в три раза.больше и равен
2°. Поверхностный интеграл второго типа. Если
Р = Р (х, у, г), Q = Q (х, у, г), R = R (х, у, г) — непрерывные функции и S + —
сторона гладкой поверхности S, характеризуемая направлением нормали
и {cos a, cosp\ cosy}, to соответствующий поверхностный интеграл второго
типа выражается следующим образом:
\ [ Р dy dz+ Q dz dx+R dx dy = [ f (P cos a+ Q cos P + R cos y) dS,
s+ s
При переходе на другую сторону S~ поверхности этот интеграл меняет
свой знак на обратный.
Если поверхность S задана в неявном виде F (х, у, г) = 0, то направляю-
направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам
1 dF o I dF \ dF
^^ C0SV
где
и выбор знака перед радикалом должен быть согласован со стороной поверх-
поверхности S.
3е. Формула Стоке а. Если функции Р—Р (х, у, г), Q — Q(x, у, z),
R = R(x, у, г) — непрерывно дифференцируемы и С—замкнутый контур, огра-
ограничивающий двустороннюю поверхность S, то имеет место формула Стокса
-И [(I -§)-+(§-§) »»+(§-?) -

§ 10] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 279
где cos a, cos В, cos у—направляющие косинусы нормали к поверхности S,
причем направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали
обход контура С совершался бы против хода часовой стрелки (в правой
системе координат).
Вычислить следующие поверхностные интегралы первого типа:
2347. $$ (x* + y*)dS, где S —сфера xt + yi + z1 = a*.
s
2348. ^ J У x2-\-y2dS, где S — боковая поверхность конуса
s
а а Ь
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго типа:
2349. \ \ yzdydz-\-xz dz dx-\-ху dx dy, где 5 — внешняя сторона
s
поверхности тетраэдра, ограниченного плоскостями х = 0, у = 0,
2 = 0, х~>ту-\-2 = а.
С С х^
2350. П zdxdy, где S — внешняя сторона эллипсоида —+
s a
2351. jj х2 dy dz + у2 dz dx + г2 dx dy, где 5 — внешняя сторона
s
поверхности полусферы x* + y2-\-z* =
2352. Найти массу поверхности куба ^^ /
0 < z < 1, если поверхностная плотность в точке М (х; у; z)
равна xyz.
2353. Определить координаты центра тяжести однородной
параболической оболочки аг = х^-\-у2 (О^г^а).
2354. Найти момент инерции части боковой поверхности
конуса г = У х2 -f- у2 [0^z=^/i] относительно оси OZ.
2355. Применяя формулу Стокса, преобразовать интегралы:
а) <f) {х2—у г) dx + (г/2 — гх) dy + (г2—ху) dz;
с
б) Ф у dx + z dy -\-х dz.
Применяя формулу Стокса, найти данные интегралы и про-
проверить результаты непосредственным вычислением:
2356. <f) (y-\-z)dx + (zJrx)dy + (x + y)dz, где С —окружность
с
2357. §{у — z)dx + {z—x)dy + (x—y)dz, где С—эллипс

280 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2358. (р xdx-t-(x + y)dy + (x + y + z)dz, где С—кривая
x = as'mt, y = acost, z = a(sin t -\-cost) [0<^<2я].
2359. & y^dx + z^dy + x^dz, где ABC А — контур /\АВС
АВСА
с вершинами А (а; 0; 0), 5@; а; 0), С@; 0; а).
2360. В каком случае криволинейный интеграл
I = (j) Pdx + Qdy + Rdz
по любому замкнутому контуру С равен нулю?
§ 11. Формула Остроградского — Гаусса
Если S—замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая область V, и
Р = Р (х, у, г), Q = Q (x, у, г), R = R (x, у, г)— функции, непрерывные вместе
со своими частными производными 1-го порядка в замкнутой области V, то
имеет место формула Остроградского — Гаусса
где cos a, cos p, cos y~ направляющие косинусы внешней нормали к поверх-
поверхности S.
Применяя формулу Остроградского—Гаусса, преобразовать
следующие поверхностные интегралы по замкнутым поверх-
поверхностям S, ограничивающим области V (cos a, cos|3, cosv — направ-
направляющие косинусы внешней нормали к поверхности 5).
2361. ^ xydxdy-\-yzdydz
2362.
s
2363 Г Г
2364. j
о
С помощью формулы Остроградского — Гаусса вычислить сле-
следующие поверхностные интегралы:
2365. ^ \| х* dy dz + у2 dz dx + z2 dx dy, где S—внешняя сторона
s
поверхности куба

12] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 281
2366. \j§ xdydz + ydzdx + zdxdy, где S — наружная сторона
пирамиды, ограниченной поверхностями x-\-y-{-z = a, л; = 0, у=0,
г = 0.
2367. ^ x3dydz-\~y3dzdx + z3dxdy, где S — внешняя сторона
s
сферы x2 + y2 + z2 = a2.
2368. ^ (x2cosa + 2/2cos|5 + z2cos7)d5, где S—внешняя пол-
ная поверхность конуса
236Э. Доказать, что если S — замкнутая поверхность и / —
любое постоянное направление, то
cos (я, l)dS~ О,
s
где я—внешняя нормаль к поверхности S.
2370. Доказать, что объем тела V, ограниченного поверх-
поверхностью S, равен
s
где cos a, cosp, cosy—направляющие косинусы внешней нор-
нормали к поверхности S.
§ 12. Элементы теории поля
1°. Скалярное и пек торное поля. Скалярное поле определяется
скалярной функцией точки и = f (P) = f (х, у, г), где Р (х, у, г)—точка про-
пространства. Поверхности f(x,y,z)=C, где С = const, называются поверхно-
апями уровня скалярного поля.
Векторное поле определяется векторной функцией точки а~а (Р)=а (г),
где Р —т;>чка пространства и r-=xi + yj-\-zk~радиус-вектор точки Р. В ко-
координатной форме a = axi + ayj-\-azk, где ах = ах (х, у, г), аи = ау(х, у, г),
a,-=az{x, у, г) — проекции вектора а на координатные оси. Векторные линии
{ешювыр .типа, линии тока) векторного поля находятся из системы дифферен-
дифференциальных уравнений
dx Ay dz
о-х ау аг '
Скалярное 'или векторное поле, не зависящее от времени /, называется
Стационарным, а зависящее от времени — нестационарным.
2°. Г р а д и е и т. Вектор
.„. аи ., аи .. зи .

282 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
где V=f^—h/з—h* д—оператор Гамильтона (набла), называется гради-
градиентом поля U = f(P) в данной точке Р (ср. гл. VI, § 6). Градиент направлен
по нормали п к поверхности уровня в точке Р в сторону возрастания функ-
функции U и имеет длину, равную
dU
Если направление задано единичным вектором /{cos a, cos C, cosy), to
dU , ,, , , ,. dU . dU a . dU
-^-=grad U ¦ /=gradz U = -^- cos а -\~щ- cos 0 + -^- cos Y
(производная функции U по направлению I).
3°. Дивергенция и вихрь. Дивергенцией векторного поля а (Р) =
= axi-\-av]-\-azk называется скаляр div a-=-^--\-~^--{-~-^ \а.
Вихрем векторного поля a (P) = axi-\-ay f-\-a2k называется вектор
4е. Поток вектора. Потоком векторного поля а(Р) через поверх-:
ность 5 в сторону, определяемую единичным вектором нормали я {cos a, cos (J,
cos у) к поверхности S, называется интеграл
\ f an dS = \ [ an<ZS= [ [ (ах cos a+ay cos Р+аг cos y) dS<
s s s
Если S—замкнутая поверхность, ограничивающая область V, а я—единичный
вектор внешней нормали к поверхности S, го справедлива формула Остро-
Остроградского—Гаусса, которая в векторной форме имеет вид
idS=\ \\ divadV.
J J J
(V)
5°. Циркуляция вектора; работа поля. Линейный интеграл
от вектора а по кривой С определяется формулой
\jadr=\jasds=\jaxdx-\-aydy-\-a!ldz A)
с с с
н представляет собой работу поля а вдоль кривой С (as — проекция вектора а
на касательную к С).
Если кривая С—замкнутая, то линейный интеграл A) называется цирку-
циркуляцией векторного поля а вдоль контура С.
Если замкнутая кривая С ограничивает двустороннюю поверхность S, то
справедлива формула Стокса, которая в векторной форме имеет вид
a dr = f f mol a dS= \{ (rot a)ndS,
о о
где я—вектор нормали к поверхности S, направление которого должно быть
выбрано так, чтобы для наблюдателя, смотрящего по направлению Я, обход

§ 12] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 283
контура С совершался в правой системе координат против хода часовой
стрелки.
G°. Потенциальное и соленоидальное поля, Векторное
поле а (г) называется потенциальным, если
a = grad U,
где (У = /(/¦) — скалярная функция (потенциал поля).
Для потенциальности поля а, заданного в односвязной области, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т. е. чтобы rota = 0. В этом
случае существует потенциал U, определяемый из уравнения
dU = ах dx-\-ay dy-\-az dzt
Если потенциал (/ — однозначная функция, то \ adr = U (В)— U {А);
АВ
в частности, циркуляция вектора а равна нулю: ф a<dr = 0,
а
Векторное поле а (г) называется соленоидальным, если в каждой точке
поля divc = 0; в этом случае поток вектора через любую замкнутую поверх-
поверхность равен нулю.
Если поле является одновременно потенциальным и соленоидальным, то
div (grad U) = 0 и потенциальная функция U является гармонической, т. е,
d2U d2U d2U
dU d2U d2U
удовлетворяет уравнению Лапласа -|- [ =0, или ДС/=О, где
++onp Лапласа.
2371. Определить поверхности уровня скалярного поля
^ =/ (г). гДе г = Vx2 + y* + z*. Каковы будут поверхности уровня
поля U = F{p), где p = Vxi + y^
2372. Определить поверхности уровня скалярного поля
U = arcsin
2373. Показать, что векторными линиями векторного поля
а{Р) = с, где с—постоянный вектор, являются прямые, парал-
параллельные вектору с.
2374. Найти векторные линии поля а = — ayl + axj, где a —
постоянная.
2375. Вывести формулы:
a) grad(C1i/+C2y) = C1gradi/+C'2graclV1 где Ct и С2 — по-
постоянные;
б)
в)
д) grad ф (t/) = ф' (?/) grad ?/.
2376. Найти величину и направление градиента поля U =x3 -f-
г/3 + 23—Зхуг в точке А B; 1; 1). Определить, в каких точках

284 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
градиент поля перпендикулярен к оси 0Z и в каких точках
равен нулю.
2377. Вычислить gradf/, если U равно соответственно; а) г,
б) г\ в) 1, г) f(r) {r=
2378. Найти градиент скалярного поля V = сг, где с—постоян-
с—постоянный вектор. Каковы будут поверхности уровня этого поля и как
они расположены относительно вектора с?
х2 и2 г2
2379. Найти производную функции U = —^-\-^-\--^ в данной
точке Р (х, у, г) в направлении радиуса-вектора г этой точки.
В каком случае эта производная будет равна величине градиента?
2380. Найти производную функции U=— в направлении
/{cosa, cosp", cosy}- В каком случае эта производная равнанулю?
2381. Вывести формулы:
а) div(C1a1 + C2a2) = C1divai + C2diva2, где Сх и Са—посто-
Са—постоянные;
б) div (Uc) = graAU-с, где с—постоянный вектор;
в) div(l/a) = grad(/-a + t/ diva.
2382. Вычислить div (y\
2383. Найти diva для центрального векторного поля а{Р)
/(r)f , где r = V* * + 2
2384. Вывести формулы:
а) rot(C1a1 + C2a2) = C1votai + C2rota2, где Сх и С2 — посто-
постоянные;
б) rot (Uc) = grad U X с, где с — постоянный вектор;
в) rot(Ua) = gradUxa + U rota.
2385. Вычислить дивергенцию и вихрь вектора а, если а
равно соответственно: а) г; б) гс и в) f(r)c, где с—постоянный
вектор.
2386. Найти дивергенцию и вихрь поля линейных скоростей
точек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш
вокруг оси OZ в направлении против хода часовой стрелки.
2387. Вычислить вихрь поля линейных скоростей v = (oxr
точек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш
вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат.
2388. Вычислить дивергенцию и вихрь градиента скалярного
поля U.
2389. Доказать, что div (rot a) = 0.
2390. Пользуясь теоремой Остроградского—Гаусса, доказать,
что поток вектора а = г через замкнутую поверхность, ограни-
ограничивающую произвольный объем и, равен утроенному объему.
2391. Найти поток вектора г через полную поверхность ци-
цилиндра *а + 1/а<Яа, 0<2<Я.

§ 12J ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 285
2392. Найти поток вектора а = xai + y3j + z3k через: а) боко-
вую поверхность конуса гГа ^ттг' 0 ^==2^ Я; б) через полную
поверхность этого конуса.
2393*. Вычислить дивергенцию и поток силы притяжения
F= — *\ точки массы т, помещенной в начале координат, через
произвольную замкнутую поверхность, окружающую эту точку.
2394. Вычислить линейный интеграл вектора г вдоль одного
витка винтовой линии х = Rcost; y = Rsint; z = ht от t = 0 до
2395. С помощью теоремы Стокса вычислить циркуляцию
вектора а = x-y*i -\-j-\-zk вдоль окружности х2 + у2 = R2; 2 = 0,
приняв в качестве поверхности полусферу z = VRz—^—У2-
2396. Показать, что если сила F—центральная, т. е. направ-
направлена к неподвижной точке 0 и зависит только от расстояния г
до этой точки: F—f(r)r, где /(г) — однозначная непрерывная
функция, то поле — потенциальное. Найти потенциал U поля.
2397. Найти потенциал U гравитационного поля, создавае-
создаваемого материальной точкой массы т, помещенной в начале коор-
координат: а~ jT. Показать, что потенциал U удовлетворяет
уравнению Лапласа AU— 0.
2398. Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал U,
и найти U, если потенциал существует:
а) а - Eх2у—\ху) i -f Cx2—2у) j,
б) а = yzi + zxj-\- xyk;
в) а = (у + 2) i + (а- + z) J+ (х + у)к.
2399. Доказать, что пространственное центральное поле
а~ f(r)r будет соленоидальным только при f(r) = ^ft гДе
k — const.
2490. Будет ли соленондальным векторное поле а — г(схг),
где с — постоянный вектор?

ГЛАВА VIII
ряды
§ 1. Числовые ряды
1°. Основные понятия. Числовой ряд
.+an+...= flaa A)
п=1
называется сходящимся, если его частичная сумма
имеет предел при и-* оо. Величина S= lim Sn называется при этом суммой
ряда, а число
— остатком ряда. Если предел lim Sn не существует, то ряд называется
Я -*¦ 00
расходящимся.
Если ряд сходится, то lim aa = 0 (необходимый признак сходимости).
П -*¦ оэ
Обратное утверждение неверно.
- Для сходимости ряда A) необходимо и достаточно, чтобы для всякого
положительного числа е можно было подобрать такое N, что при п > N и
любом положительном р выполнялось бы неравенство
\an+i + an+2+ ¦••+ап+р\ < е
(критерий Коши).
Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или
отбросить конечное число его членов.
2°. Признаки сходимости и расходимости знакополо-
знакоположительных рядов.
а) Признак сравнения I. Если (Ха„<6„, начиная с некоторого
п = пй, и ряд
л=1
сходится, то ряд A) также сходится. Если ряд A) расходится, то расходится
и ряд B).

S И числовые ряды 287
В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геомет-
геометрическую прогрессию
2 aq» (а ф 0),
п = 0
которая сходится при \q\ < 1 и расходится при \q\^s 1, и гармонический ряд
n '
п=1
являющийся рядом расходящимся.
Пример 1. Р яд
_L4_L_4_!_4- I '
12"т22 "*~ 32> ¦ ¦¦¦'г п2
сходится, так как здесь
a —L-<±
п~ п2« < 2"
причем геометрическая прогрессия
1
n= 1
1
анаменатель которой q=—, сходится.
Пример 2. Ряд
1п2 1п_3 , . In n .
~2 i з""^"' п f""*
расходится, так как его общий член •—¦ больше соответствующего члена
-— гармонического ряда (который расходится),
б) Признак сравнения II. Если существует конечный и отличный
от нуля предел Iim -?¦ (в частности, если ап — Ьп), то ряды (I) и B) сходятся
П -+ оо Оп
или расходятся одновременно.
Пример 3. Ряд
1 | J | ' | ... 1 ' | ...
расходится, так как
а ряд с общим членом — расходится,
Пример 4. Ряд
1 ¦ L_J L_
2_1~г22_2 ~г3—3

288 ряды [гл. viii
сходится, так как
lim
Я ~* flO
а ряд с общим членом -^ сходится.
в) Признак Даламбера. Пусть а„ > 0 (начиная с некоторого л — л0)
н существует предел
Тогда ряд A) сходится, если q < 1, и расходится, если ^ > I. Если 9=1, то
вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
Решение.
lim
2
Здесь
1 2а
lim
1 2з I ••¦ J
Bл +1J"
2»
2л +
2" +
1 ,.
1
°° 1"л"
1
2"
Следовательно, данный ряд сходится.
г) Признак Коши. Пусть а„^0 (начиная с некоторого в = л0) и
существует предел
lira Van=q.
Тогда ряд A) сходится, если q < 1, и расходится, если q > 1. В случае,
когда G=1> вопрос о сходимости ряда остается открытым.
д) Интегральный признак Коши. Если а„= / (л), где функция
/(х) положительна, монотонно убывает и непрерывна при x^a^l, то ряд
A) и интеграл
сходятся или расходятся одновременно.
С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле
-L C)
я=1
сходится, если р > 1, и расходится, если р<?1. Сходимость многих рядов
можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле C).

Пример 6. Исследовать сходимость ряда
L+J4i4 I '
числовые ряды 289
1
1-2тЗ-4^5.6^'""гB/г—1Jп
Решение. Имеем:
1L!L
Bк— 1) 2п 4п 1 4я
2«
Так как ряд Дирихле при р = 2 сходится, то на основании признака сравне-
сравнения II можно утверждать, что и данный ряд сходится.
3е. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
Если ряд
составленный из абсолютных величин членов ряда A), сходится, то ряд A)
также сходится и называется абсолютно сходящимся. Если же ряд A) схо-
сходится, а ряд D) расходится, то ряд A) называется условно {неабсолютно)
сходящимся.
Для исследования на абсолютную сходимость ряда A) можно использовать
для ряда D) известные признаки сходимости знакоположительных рядов.
В частности, ряд A) сходится абсолютно, если
lim
1 или lim У\аа\
п * оо
В общем случае из расходимости ряда D) не следует расходимость ряда A).
Но если lim "+1 > 1 или lim ?/|а„| > 1, то расходится не только
ряд D), но и ряд A).
Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда
. (Ьп^0) E)
выполнены условия: 1) 6iS3&2 ^63^ • • -i 2) lim &п = 0, то ряд E) сходится.
п -> со
Для остатка ряда Rn в этом случае справедлива оценка
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
Так как
1 1
т/Y п \'в lim ¦ я ,, lim
V \2ft — i J п ->- я> 2п — 1 п-*оо
^Л А Л Щ / I " " f ^^^^ ш ж жл т ' ¦ ^^я^т ^ж ш л Ж ¦ "^ ^i^^^ ^ ¦
„-*» V \2n-l ) ^»2и-1 „-« „ 1 2*
2- —
л
то данный ряд сходится абсолютно.
10 Под ред. Б. П. Демидоввча

290 ряды [гл. viu
Примере. Ряд
сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Этот ряд сходится
неабсолютно (условно), так как ряд
1+Т+Т+-+Т+-
расходится (гармонический ряд).
Примечание. Для сходимости знакочередующегося ряда не достаточно,
чтобы его общий член стремился к нулю. Признак Лейбница утверждает
лишь, что знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина общего
члена ряда стремится к нулю монотонно. Так, например, ряд
1 ++ +
расходится, несмотря на то, что его общий член стремится к нулю (монотон-
(монотонность изменения абсолютной величины общего члена здесь, конечно, нару-
нарушена). Действительно, здесь S2fc = Sft + Sfc, где
причем lim Sft= оо (Sfc—частичная сумма гармонического ряда), в то время
как предел lim SjJ существует и конечен {S"k—частичная сумма сходящейся
k-кв
геометрической прогрессии), следовательно, llm S2ft=oo.
к-t- со
С другой стороны, для сходимости знакочередующегося ряда выполнение
признака Лейбница не необходимо: знакочередующийся ряд может сходиться,
если абсолютная величина его общего члена стремится к нулю не_ монотонно.
Так, ряд
,_J_,±_±4- 4——"— Lj_
2lT3' 4aT *""rB/i—1K Bn)a^"f
сходится и притом абсолютно, хотя признак Лейбница и не выполнен: абсо-
абсолютная величина общего члена ряда хотя и стремится к нулю, но не моно-
монотонно.
4°. Ряды с комплексными членами. Ряд с общим членом с„ =
= а„ + «6в(«2 =—1) сходится тогда и только тогда, когда одновременно схо-
СО СО
дятся ряды с действительными членами 2 °н и 2 *п> причем в этом случае
л=1 л=1
п=\ л=1 п=1
Ряд F) заведомо сходится и называется абсолютно сходящимся, если схо-
сходится ряд
л=1 л=1
членами которого являются модули членов ряда F),

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 291
5е. Действия над рядами.
а) Сходящийся ряд можно умножить почленно на любое число k, т. е. если
kai-\-ka2+ ...+kan+ ...=kS.
б) Под суммой (разностью) двух сходящихся рядов
a1 + a2+...+an+...=Sl, G)
b1 + bi+.,.+bn+...=St (8)
понимается соответствующий ряд
в) Произведением рядов G) и (8) называется ряд
.+с„+..., (9)
где cn = a16n + a3bn-l+-"+aA («=1, 2, ...)¦
Если ряды G) и (8) сходятся абсолютно, то ряд (9) сходится также абсо-
абсолютно и имеет сумму, равную SiS2.
г) Если ряд сходится абсолютно, то его сумма не изменяется при пере-
перестановке членов ряда. Это свойство, вообще говоря, не имеет места в случае,
если ряд сходится неабсолютно.
Написать простейшую формулу и-го члена ряда по указан-
указанным членам:
2401. 1+-1+| + ±+... 2402. ^+1 + 1 + 11+...
2403. 1 + | + | + ±+... 2404. 1+| + 1 + ^+...
i + 4 + ft + |+-.. 2406. f|4 + -n + Ti+-
J^i + T2 + To + io + T2+--'
i-t-ir4-t-1:4.7+l.4.7.10+ •••
2409. 1 — 1 + 1 —1 + 1 —1 + ...
2410. 1+-1. + 3 + 1 + 5 + 1
В №№ 2411—2415 требуется написать 4—5 первых членов
ряда по известному общему члену ап.
а -3-^ 2412 а -Ы!^
2413. a =±Xi_!)I. 2414. a =¦ '
•"n
2415. an =
10*
2 + sin -у ] cos «я

292 ряды [гл. viii
Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравне-
сравнения (или необходимый признак):
2416. 1 —1 + 1 —1 + ... +(— l)"-i+...
2417 1 + 1AУ + 1Ша+ + ±(^"
' 5 ' 2 V 5 / 3 V 5 ) ' ' " ' п V 5
24f8. |- + 4 + у+-
2419. —
j/io
мо
2420. 1 + 1 + 1+...+1
2421.1 + 1 + 1+...
2422' 7r=f+?f=1"+7
0 n
2423. 2 + 1- + I+...+|+...
2424. 1+-!=- + -^=-+.. .+-4=r+ ...
/ 2 |^ 3 /к
2425. ^2- + 2- + -ga + • • • +(з„
С помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов:
i| 3 | 5 | | 2ч-1 |
2 2.5 2'.5-8 2-5-8 ...''(Зд -1)
у+Ьб М-5-9+ •¦¦ +Ь59 ,..Dл~3)+ •"
С помощью признака Коши исследовать сходимость рядов:
.4+(|
2430.1+ D)-+ (|
Исследовать сходимость знакоположительных рядов:
2431-. 1+^ + 1+...+1+...
.1 + 1 + 1+...
2433. 1Т4 + 4Т7 + 77Ш+ # • • +(Зя-2)(Зп+1)+ #' *
24344 + 4 + 5+•••+25qn+• ¦•
2435.1+4 + 1+...+^!+...

S 1] ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 293
5 + + + +
• 4+D)"+Й
2439. 1 + -L + 4-+ • • •
е е3 е3
2440. 1+^ + ^+...
1 -2!_4-_1_4-_2!_
Ь 2+1 + 22+1 + 23+1
2442. 1+^- + ^+...+
i.Lli4-1^4- , 1-3-5... B/1-1)
- 4 +4.8 + 4.8.12+ ••• + 4.8-12...4n
Л- -J- 4- 4- 4-
2445. 1000 1 1000-1002 1 100°-1002'1004 | ...
1000.1002-1004 ... (998+2/1)
•• • + 1.4-7 ... C/1—2) +
944R 2.4-2^4- I 2'5-8-Н ¦ 14 ... F/t-7) F«-4)
' 1 + 1-5-9+ •" + 1-5-9.13-17 ... (8га —II) (8п — 7)+ ' "*
2447 1 + -Ь5-4- 4- 1-5-9 •••Dя-3)
' 2 ^2.4-6^ •"• ^2.4.6.8-10 ... Dя — 4)D/1 — 2)п "•'
S * | '"И , Ы1.21 1-11-21 ... A0/1-9)
2449 11 Ь4 I Ь4'9 I | 1-4-9...П'
" ' 1 + 1-3-5^1-3-5-7-9^ % ' - г1.3.5-7-9... Dга —?)+"'•
СО С»
2450. ? arcsin -~ . 2451. ? sin -^ .
2452. 2In ( 1+1). 2453. ^
n=l ^ ' n=l
СО 00
2454. У-. \ 2455. У -i-.
~4 П /I *^ ЯП/1
п=2 п=2
2456. У -rV-. 2457. У —=
¦^ П 1П2 П *~L П-In П
n=2 n=2
2458. У -г±— . 2459. У ^ '

294 ряды [гл. via
2460. У. ' =. 2461. У.
*? Ув(я+1)(п+2) ^2 n
з/—
V п.
2465. ? „4.
CD
2466. 2 ijr • 2467. X ? •
n
2468*.
2469. Доказать, что ряд
00
п=1
00
п=2
1) сходится при произвольном q, если р>1, и при
если р= 1;
2) расходится при произвольном ц, если р< 1, и при
если р = 1.
Исследовать сходимость следующих знакопеременных рядов.
В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную
сходимость.
2470. l-I + l-...
0471 114?
1-1
2474' A-A+aV• • • +(-1)п-1
2475. _^-4 + 4 + ^_...+(_1

§ 1] числовые ряды 295
2479 l_l^* + i±I_ I ( n«-i 1-4.7 ...(Зя-2)
¦it/a. ? y.gi-y.g.,, ...-t-^ Ч 7.9.Ц ...Brt + !3)+-"
2481. ?(_1)»!П-2. 2482. ?(-l)»-
—1=.
2483. Убедиться в том, что признак сходимости Даламбера
не решает вопроса о сходимости ряда 2 ап> гАе
л = 1
а -til а -^ (k-\ 2 )
в то время как с помощью признака Коши можно установить,
что этот ряд сходится.
2484*. Убедиться в том, что признак Лейбница неприменим
к знакочередующимся рядам а) — г). Выяснить, какие из этих
рядов расходятся, какие сходятся условно, какие сходятся
абсолютно:
й' /—1~/+1 /—1~/~3+1 /lI^/l"
1
3 + 2 З3 + 22 35-
1
32+5 3з
1
Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:
2485. ±^SH. ±"J*=!VL
CO
J _ ОЛКЙ V* jiL
#1=1
2487. ? ^ ' 2488'

296 ряды [гл. vin
2489.? -J" 2490. ?
24Q1 У ' 2495» У Г я B-0+1 1"
**»*> ?< [n+Bn-l)f]«* ЛЯ^ ^Дп C-20-3/J *
2493. Между кривыми У = ~з и у = — , справа от точки их
пересечения, построены отрезки, параллельные оси OY и отстоя-
отстоящие один от другого на одинаковом расстоянии. Будет ли сумма
длин этих отрезков конечной?
2494. Будет ли конечной сумма длин отрезков, о которых
шла речь в предыдущей задаче, если кривую у = — заменить
1 ^
кривой f/ = -j-
оо. аэ
2495. Составить сумму рядов ^ "~5Г~ и Х> з"~~"" ^хо"
л= I п= I
дится ли эта сумма?
оо л оо
2496. Составить разность расходящихся рядов ^2 и ^-ггё
и исследовать ее сходимость.
2497. Сходится ли ряд, образованный вычитанием ряда
00 ОЭ
У из ряда У — ?
я=1 п=1 П
2498. Подобрать такие два ряда, чтобы их сумма сходилась,
а разность расходилась.
Ю 00
2499. Составить произведение рядов У —j=- и У „ , .
Tzi пуп ~~, *
Сходится ли это произведение?
2500. Составить ряд A+-J + T+• • •+ой^Т+• • • J" ^х0"
дится ли этот ряд?
2501. Дан ряд —1 +-ог—^-+ • • . + * , " + ¦ ¦. Оценить
ошибку, допускаемую при замене суммы этого ряда суммой
первых его четырех членов, суммой первых пяти членов. Что
можно сказать о знаках этих ошибок?
2502*. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
1 . 1 / 1 V ¦
суммой его первых п членов.

21 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 297
2503. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
суммой его первых п членов. В частности, оценить точность
такого приближения при п—\0.
2504**. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
суммой его первых п членов. В частности, оценить точность
такого приближения при п — 1000.
2505**. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
суммой его первых п членов.
<гл ( Пл-г
2506. Сколько членов ряда 2^ -—' нужно взять, чтобы
я= 1
вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001?
ос
2507. Сколько членов ряда ^ " нужно взять, чтобы
вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001? до 0,0001?
2508*. Найти сумму ряда 7^2 + ^3 + 371+ • • • +„+
2509. Найти сумму ряда
§ 2. Функциональные ряды
1°. Область сходимости. Множество значений аргумента х, для
которых функциональный ряд
Ы*) + М*) + . ..+/„(*)+-.. A)
сходятся, называется областью сходимости этого ряда. Функция
S(x)= lim Sn(x),
п
где S,, (х) =/х (x)-f /2 (дс)+ • ¦ • +/«(*)• а * принадлежит области сходимости,
называется суммой ряда, а Я,, (a;) = S (x) — Sn (x) — остатком ряда.
В простейших случаях для определения области сходимости ряда A)
достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая х
фиксированным.
Пример 1. Определить область сходимости ряда
1 -2 ~*~ 2-22
, (*+1) ¦ , (х+1) ,
"¦ 3-23 '••• ' я-2" "г-"

298 ряды [гл. vin
Решение. Обозначив через ип общий член ряда, будем иметь:
lim lff-±ll=llm I+H+12 |+1|
||
На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится (и
притом абсолютно), если J-^jt—L < \t т. е. При — 3 < х < 1; ряд расходится,
если -—J—- > 1, т. е* если —оо < х < —3 или 1 < х < оо (рис. 104). При
Расход. ?'а:од-
-3 -10 1 X
Рис. 104.
х=1 получаем гармонический ряд '"Ь'о'+Т'Ь• ••> который расходится, а
при х = — 3—ряд— 1-)—к j+..., который (в соответствии с признаком
Лейбница) сходится (неабсолютно).
Итак, ряд сходится при —3«Sjc < 1.
2". Степенные ряды. Для всякого степенного ряда
со + с1(х-а) + са(х-а)*+...+сп(х-а)»+... C)
(сП и а—действительные числа) существует такой интервал (интервал сходи-
сходимости) \х—а\ < R с центром в точке х-=а, внутри которого ряд C)
сходится абсолютно; при | х—а\ > R—ряд расходится. Радиус сходимости
R может быть в частных случаях равен также 0 и оо. В концевых точках
интервала сходимости х = а± R возможна как: сходимость, так и расходимость
степенного ряда. Интервал сходимости определяют обычно с помощью при-
признаков Даламбера или Коши, применяя их к ряду, членами которого являются
абсолютные величины членов данного ряда C).
Применив к ряду абсолютных величин
признаки сходимости Коши и Даламбера, получим для радиуса сходимости
степенного ряда C) соответственно формулы
R=
Однако пользоваться ими следует весьма осторожно, так как, пределы, стоя-
стоящие в правых частях этих формул, часто не существуют. Так, например,
если бесконечное множество коэффициентов сп обращается в нуль (это, в част-
частности, имеет место, если ряд содержит члены только с четными или только
с нечетными степенями (х—а)), то пользоваться указанными формулами нельзя.
В связи с этим рекомендуется при определении интервала сходимости применять
признаки Даламбера или Коши непосредственно, как это сделано выше при
исследовании ряда B), не прибегая к общим формулам для радиуса сходимости.
Если 2=x-\-iy—комплексное переменное, то для степенного ряда
co+c1(z-zo)+ca(z-zoJ+...+cn(z-zo)n + ... D)

§ 21 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 299
(с„ = ал+№„, zo = *o + '</o) существует некоторый круг {круг сходимости)
\г — г01 < R с центром в точке г = го, внутри которого ряд сходится абсо-
абсолютно; при |г — z0 | > R ряд расходится. В точках, лежащих на самой окруж-
окружности круга сходимости, ряд D) может как сходиться, так и расходиться.
Круг сходимости обычно определяют с помощью признаков Даламбера или
Коши, примененных к ряду
.|Z-z0 |
членами которого являются модули членов данного ряда. Так, например, с по-
помощью признака Даламбера легко обнаружить, что круг сходимости ряда
z+1 (z+1)» (z+1K , ¦ (г+1)» ,
1.2' 2-22 "т" 3-23 "+-•'•"!" я-2" •""•
определяется неравенством |г+1|<2 (достаточно повторить приведенные
на стр. 298 выкладки, служившие для определения интервала сходимости ряда
B), заменив лишь х на г). Центр круга сходимости находится в точке 2 = — 1,
а радиус R этого круга (радиус сходимости) равен 2.
3е. Равномерная сходимость. Функциональный ряд A) сходится
на некотором промежутке равномерно, если, каково бы ни было е > 0, можно
найти такое N, не зависящее от х, что при п > N для всех х из данного про-
промежутка имеет место неравенство \Rn(x)\ < е, где Rn{x) — остаток данного ряда.
Если |/„ (х) | <;с„(гс = 1, 2, ...) при аг?л:<Ь и числовой ряд У] сп
п=\
сходится, то функциональный ряд A) сходится на отрезке [а, Ь] абсолютно
и равномерно (признак Вейерштрасса).
Степенной ряд C) сходится абсолютно и" равномерно на всяком отрезке,
лежащем внутри его интервала сходимости. Степенной ряд C) можно почленно
дифференцировать и интегрировать внутри его интервала сходимости (при
\х—а | < R), т. е. если
сИ-Ci (x-a) + ci (x-af+ ... +с„ (х—а)»+... =f(x), E)
то для любого д: из интервала сходимости ряда C) имеем:
С1 + 2сг (х-а)+ ... +псп (*_а)»-1+ .. . =f (х), F)
XXX \Х
codx+ 5 ct {х-a) dx+ ^ сг (*~аJ dx+ ... + jj с„ (х—а)« dx-\-... =
^r^ G)
п=0
(число ха также принадлежит интервалу сходимости ряда C)). При этом ряды
F) и G) имеют тот же интервал сходимости, что и ряд C).
Найти область сходимости ряда
п=1 п=1
2512 У (—П»+1—L- 2513 У зшBя-1)ж
n-l

300 ряды --1ГЛ. vin
2514. ± 2» sin ?. 2515". f
п=0 л=0
2516. ?(-l)n+1e-»slfl*. 2517. ? -g-.
n=0 n=l
2518, E^. 2519. E
2521 У 2"+1
У -21
E (лП + гЫ * 2525'
n=l ч n=-l
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать
сходимость на концах интервала сходимости:
2526.
2528.
2530.
2532,
2534.
2536.
2540.
E*n-
00
00
CO
? n\xn.
CD
v^ / n \2n —
Til
X^ I 2n-f-i J
n=l
¦^ я+'l \ 2 / '
00
2ra-.
2527..
2529.
2531.
IJ*». 2533.
2535.
\n. 2537.
2539.
2541.
"^4 Xn
n=\
00
00
n = 0
DO
00
У 3"^»г
л=0
¦у п\х»
00
/1=1

$ 2] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 301
2542**. ?„!*»<. 2543*.
я=1 п=\
л= I
2544*. ??". 2545. ?<_ 1)»-* <?=§?.
П = 1 A=1
2546. Е^Г. 2547. У (*-'Г .
1 1
2548. ?(_1)-1(?^1. 2549.
п=\ п=\
2550. f п-(* + 3)-. 2551. ±
в=1 п=1
2554- 2- ^7^ • 2555- 2- (Я+
/1—1 П=\
2556 У (х~3)'" 2557 У Г П
^ («+1Iп(«+1) ' 2557" 2Д-1
?1)"!
2558. i^T. 2559*.?A+1)"! (,-1)".
I 1 ч '
2560. ±^-Т-,(ХпГ)П. 2561. f(_,).ig!.(x_2)..
у C/1-2) (x-3)" , у . ,sn (x-3)"
2562. l,o (n+1J2H + 1 • 2563. ^(-1) ___= .
Определить круг сходимости:
2564. У^ inzn. 2565.
л=0 п=0
2566. f Й^. 2567. ??.
«=1 n=0
2568. (l+2i) + (l+20C + 2i)z+...
... +A +20C + 20-. .Btt + 1 +202"+ ...
2569. l+T47 + A;)Z(,2i)+--- +(!) (i2)(io+""

302 ряды [гл. vni
2571. Исходя из определения равномерной сходимости, до-
доказать, что ряд
не сходится равномерно в интервале (—1, 1), но сходится
равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри этого интервала.
Решение. Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии,
получим при \х |< 1
Возьмем лежащий внутри интервала (—1, 1) отрезок [—I —hее, 1—а], где
а—сколь угодно малое положительное число. На этом отрезке |л|<1—а,
|1—х | ^ а и, следовательно,
(\
Для того чтобы доказать равномерную сходимость данного ряда на отрезке
[— 1+а, 1—а], достаточно показать, что к любому е > 0 можно подобрать
такое Л', зависящее только от е, что при всяком п > N будет иметь место
неравенство | Rn (х) | < е для всех х из рассматриваемого отрезка.'
Взяв любое е > 0, потребуем, чтобы - < е; отсюда A—а)л + 1 <еа,
(га+1Iп A— а)< 1п(е«), т.е.и+1 > jJn^L ' (так как 1пA—а)<0) и
In (еа) _ In (ea) ,
п > -:—. __ . 1. Положив, таким образом, N=-—-~—-т—I, мы убеж-
убеждаемся, что при n > N, действительно, | Rn (х) \ < е для всех х из отрезка
[—1+а, 1—а] и равномерная сходимость данного ряда на любом отрезке,
лежащем внутри интервала (— 1, 1), тем самым доказана.
Что же касается всего интервала (—1, 1), то он содержит точки, сколь
угодно близкие к точке х=\, а так как lim Rn(x)= lim -j =oo, то как
jc-И x-+l 1—x
велико бы ни было п, найдутся точки х, для которых Rn (x) больше любого,
сколь угодно большого числа. Следовательно, нельзя подобрать такое JV,
чтобы при n>N неравенство \Rn(x)\<e имело место во в с е х точках
интервала (—1, ]), а это и означает, что сходимость ряда в интервале (—1,1)
не является равномерной.
2572. Исходя из определения равномерной сходимости, до-
доказать, что:
а) ряд
1 + + + + +
сходится равномерно во всяком конечном интервале;

§ 2] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 303
б) ряд
1 т+1 •• и ~ •"•• •
сходится равномерно во всем интервале сходимости (—1, 1);
в) ряд
1+-& + -& + ••• + ¦#?"+ •• •
сходится равномерно в интервале A+6, с»), где б—любое
положительное число;
г) ряд
х6) + (хв —л;8) + ... + (х2п—х2п+2) + ...
сходится не только внутри интервала (—1, 1), но и на концах
этого интервала, однако сходимость ряда в интервале (— 1, 1)—
неравномерная.
Доказать равномерную сходимость функциональных рядов
в указанных промежутках:
2573. ]?, -^ на отрезке [—.1; 1].
«=i n
со
2574. У, s'"„"* на всей числовой оси.
2575. X (— 1)«-*-^=- на отрезке [О, 1].
Применяя почленное дифференцирование и интегрирование,
найти суммы рядов:
2576. * + iL + iL+. .. + *-+.-.
2577. x_?- + i~...+(- l)-if-+...
2578. x + 4r+4- + ---+f—
2579. х—^- + ^ —...+(—
2580. 1+2х + Зх2 + ..
2581. 1—Зх2 + 5х4— .. +(—I)" B/1—1) х2
2582. 1-2 + 2-Зд; + 3-4х*+ ... +п(л
Найти суммы рядов:
2583. 7 + F + ^+-"+5"+•••
2584. tf+ii-t-i-f...

304
ряды
[гл. vni
1 L_l._J !_
. 1 д.з+5.33 7-33
2586. I+^- + |.
••+Bn-lK«-A"h#-*
§ 3. Ряд Тейлора
1°. Разложение ф у н кции в степенной ряд. Если фу ш;щи
/ (*) допускает в некоторой окрестности \х — а | < R точки а разложепи»
в степенной ряд по степеням х — а, то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид
(a) (x-
При а = 0 ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Равенство A}
справедливо, если при \х—а] < R остаточный член ряда Тейлора
Я» <*) = /(*)- /(а)+Х ^Г^(«-а)* — 0
при п —>¦ оо.
Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой
*" w==(^"+ui)i+1/"'+1'[а+е {х~а)]> где 0< в< ' B)
(форма Лагранжа).
Пример 1. Разложить функцию /(дс) = сЬдс в ряд по степеням х.
Решение. Находим производные данной функции / (х) = ch x,
/' (дс) = sh дг, f"(x) — chx, }'"(x) = shx, ...; вообще /<п> (х) = ch x, если п —
четное, и /(и> (x) = sh х, если я—нечетное. Полагая о = 0, получим /@) = 1,
/'@) = 0, /*@) = 1, /'"@) = 0, ...; вообще /*")@)=1, если п — четное, н
/<и)@)=:0, если п — нечетное. Отсюда на основании A) имеем:
Для определения интервала сходимости ряда C) применим признак Даламбера.
Имеем:
v2
lim
Bn
' Bл)!
Bn+l)Bn
при любом х. Следовательно, ряд сходится в интервале —оо < х < оо. Оста-
Остаточный член в соответствии с формулой B) имеет вид
Rn(x)=
хп + 1
Rn(x) = -(—. ...
Так как 0 < 6 < 1, то
Ах, -вх
ch 6x, если га — нечетное, и
sh 8.x, если п — четное.
евх
е-вх
I X \п + * | » ¦ 1^1"
и поэтому | /?„ (х) | < !¦ е '. Ряд с общим членом ' • сходится при
у* ~\~ i/I til

S 3] РЯД ТЕЙЛОРА 305
любом х (в этом можно легко убедиться с помощью признака Даламбера),
поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости
а следовательно, и lim Rn (*) = 0 при любом х. Это означает, что сумма ряда C)
я-то
для любого х действительно равна ch x.
2". Приемы, применяемые при разложении в степенные
ряды. Пользуясь основными разложениями
II. sin*=i—g-+|f-...+(-
III. cos x=\ — ¦of+Tl— "' + (— 1)" уд iiT' " (— °° < x < °°)>
m(m— 1)...(/п-и+1)цП , i^v^n*
IV.
V. l
а также формулой для суммы геометрической прогрессии, можно во многих
случаях просто получать разложение данной функции в степенной ряд, при-
причем отпадает необходимость исследования остаточного члена. Иногда при
разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интегри-
интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций рекомен-
рекомендуется разлагать эти функции на простейшие дроби.
Пример 2. Разложить по степеням х**) функцию
' w~(l_^)(l+2x) "
Решение. Разложив функцию на простейшие Дроби, будем иметь:
Так как
—!— =\+х+х*+ ... =V х" D)
= ? (- 1)» 2"х", E)
\+2х~
1 п = 0
•) На границах интервала сходимости (т. е. при х = —1 и при *=1)
разложение IV ведет себя следующим образом: при т :з= 0 абсолютно сходится
на обеих границах; при 0 > т >—1 расходится при х = — 1 и условно схо-
сходится при х=1;"при т<—1 расходится на обеих границах.
**) Здесь и в дальнейшем подразумевается «по целым неотрицательным
степеням»,

306
РЯДЫ
[ГЛ. VIII
то окончательно
F)
/2 = 0
Геометрические прогрессии D) и E) сходятся соответственно при | х | < 1 и
\х\ < — ; следовательно, формула F) справедлива при \х\ < -^, т. е. при
1
I
3°. Ряд Тейлора для функции двух переменных. Разло-
Разложение бесконечно дифференцируемой функции двух переменных / (х, у) в
ряд Тейлора в окрестности точки (а; Ь) имеет вид
-b) ^f (а,
*, y) = f(a, b)+-L^(x-
Если а=Ь = 0, ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Здесь при-
приняты следующие обозначения:
df(x, у)
дх
2d*f(x, у)
дхду
df(x, у)]
(у-ьу.
(х-а)* +
у = Ь
ау (*, у)
у=Ь
((/ — бJ И Т. Д.
х=а
у=Ь
Разложение G) имеет место, если остаточный член ряда
Rn{x,y)=f(x,y)-\f(a, b) + ^ ±-[(х-а)?-х+(у-
при п—>-оо. Остаточный член может быть представлен в виде
a + 9 (х-а)
у=Ь+в(у-Ь)
где 0 < 9 < 1.
Разложить по целым неотрицательным степеням х указанные
функции, найти интервалы сходимости полученных рядов и ис-
исследовать поведение их остаточных членов:

§ 3] РЯД ТЕЙЛОРА 307
2587. ах(а > 0). 2588. sin
2589. cos(jt + a). 2590. sin2*.
2591*. lnB + x).
Пользуясь основными разложениями I—V и геометрической
прогрессией, написать разложение по степеням х следующих
функций и указать интервалы сходимости рядов:
За-5
2594.
2596.
2598.
2600.
9КП9
xe~2x.
shx.
cos2 л:.
X
9+л*-
, 1-1-л;
1 гл
x2-4x + 3 '
2565. ex\
2597. cos2x.
9^QQ oin 4v
2601. —-=
ZOUO. Ш ^1 -f- Л AX ).
Применяя дифференцирование, разложить по степеням х сле-
следующие функции и указать интервалы, в которых эти разло-
разложения имеют место:
2604. A+хIпA+х). 2605. arctgx.
2606. arcsinx. 2607. In (x + VT+~x2).
Применяя различные приемы, разложить по степеням х за-
заданные функции и указать интервалы, в которых эти разложе-
разложения имеют место:
2608. sin2xcos2x. 2609. {\+х)е~х.
2610. A+е*K. 2611.
2612. X\~lX + \. 2613. ch3x.
x2 —5x +6
2616. f^dx. 2617.
Написать три первых отличных от нуля члена разложения
в ряд по степеням х функций:
2620. igx. 2621. th*.
2622. eQ0SX. 2623. sec л:.
2624. In cos л:. 2625. e'sinx.

208 ряды [гл. viii
2626*. Показать, что для вычисления длины эллипса можно
пользоваться приближенной формулой
s « 2па ( 1 —j
где е—эксцентриситет и 2а— большая ось эллипса.
2627. Тяжелая нерастяжимая нить под влиянием своего веса
провисает по цепной лиции y = ach— (я =— , где Я — гори-
горизонтальное натяжение нити, a q — вес единицы длины J. Показать,
что при малых х, с точностью до величин порядка х*, можно
принять, что нить провисает по параболе у = а-\-^~.
2628. Разложить функцию х3 — 2х2— 5л: —2 в ряд по степеням
К -<г 4.
2G29. /(x) = 5x3 —4x2 —3.V + 2. Разложить f(x + h) в ряд по
степеням h.
2630. Разложить \пх в ряд по степеням х—1.
2631. Разложить — в ряд по степеням*—1.
2632. Разложить — в ряд по степеням х-\-\.
2633. Разложить „ . . в ряд по степеням х + 4.
2634. Разложить , —-^ в ряд по степеням а:+ 2.
X -у- 4л -j- /
2635. Разложить ех в ряд по степеням х + 2.
2636. Разложить |/je в ряд по степеням х—4.
2637. Разложить cosx в ряд по степеням л:—^.
2638. Разложить cos2* в ряд по степеням х—^-.
2639*. Разложить 1пх в ряд по степеням -р-—.
2640. Разложить —¦ в ряд по степеням т—— .
2641. Какова величина допущенной ошибки, если прибли-
приближенно положить
е~ -4-г 2| -г з! "Г 4! •
2642. С какой точностью будет вычислено число ^-, если
воспользоваться рядом
взяз сумму его первых пяти членов при х=\?

$ 3] РЯД ТЕЙЛОРА 309
2643*. Вычислить число -^ с точностью до 0,001 при по-
помощи разложения в ряд по степеням х функции arcsin* (см.
пример 2606).
2644. Сколько нужно взять членов ряда
cosx=l— yi + --->
чтобы вычислить cos 18° с точностью до 0,001?
2645. Сколько нужно взять членов ряда
чтобы вычислить sin 15° с точностью до 0,0001?
2646. Сколько нужно взять членов ряда
1
чтобы найти число е с точностью до 0,0001?
2647. Сколько нужно взять членов ряда
чтобы вычислить In 2 с точностью до 0,01? до 0,001?
2648. Вычислить jJ/7 с точностью до 0,01 с помощью разло-
разложения функции 1/8+х в ряд по степеням х.
2649. Выяснить происхождение приближенной формулы
Yа1 + х ж а + к- (а>0), вычислить с ее помощью ]/23, поло-
положив а = 5, и оценить допущенную при этом ошибку.
2650. Вычислить ?/19 с точностью до 0,001.
2651. При каких значениях х приближенная формула
X2
COSX « 1 —-j
дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001? 0,0001?
2652.. При каких значениях х приближенная формула
дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001?
1/2
2653. Вычислить \ ^-^ dx с точностью до 0,0001.
о
1
2654. Вычислить \e~x*dx с точностью до 0,0001.

310 ряды [гл. vin
2655. Вычислить \ l/xcosxdx с точностью до 0,001.
2656
. Вычислить \s-^-dx с точностью до 0,001.
J ух
i
1/4
2657. Вычислить J \^l + x3dx с точностью до 0,0001.
о
1/9 _
2658. Вычислить J Vxexdx с точностью до 0,001.
о
2659. Разложить в ряд по степеням х и у функцию cos (я—у),
найти область сходимости полученного ряда и исследовать оста-
остаточный член.
Написать разложения по степеням х и у следующих функ-
функций и указать области сходимости рядов:
2660. s'mx-s'my. 2661. sin (
2662*- ГтЭ" 2663*" lnd — х—
2664*.
2665. f(x, у) = ах* + 2Ьху + су2. Разложить f(x + h, y + k) no
степеням h и k.
2666. f(x, y) = x3 — 2у3 + 3ху. Найти приращение этой функ-
функции при переходе от значений х=1, у = 2 к значениям я =
2 k
+ y
2667. Разложить функцию ех+у по степеням х—2 и у + 2.
2668. Разложить функцию sin (х + г/) по степеням х и у—-^ .
Написать три-четыре первых члена разложения в ряд по
степеням х и у функций:
2669. excosy.
2670. (l+je)i+».
§ 4. Ряды Фурье
1°. Теорема Дирихле. Говорят, что функция f(х) удовлетворяет
условиям Дирихле в интервале (а, Ь), если в этом интервале функция:
1) равномерно ограничена, т. е. \f{x)\<*M при а < х < Ь, где М — по-
постоянная;
2) имеет не более чем конечное число точек разрыва и все они 1-го рода
(т. е. в каждой точке разрыва | функция f (х) имеет конечный левый предел
/(? — 0) = lim/(? — е) и конечный правый предел /(? + 0)= lirn /(g + e) (e>0));
е-»0 е-сО
3) имеет не более чем конечное число точек строгого экстремума.
Теорема Дирихле утверждает, что функцию f(x), удовлетворяющую в ин-
интервале (—к, л) условиям Дирихле, во всякой точке х этого интервала,

§4] РЯДЫ ФУРЬЕ 311
в которой / (х) непрерывна, можно разложить в тригонометрический ряд
Фурье:
=~§Jr ai cos * + bi sin х-\-аг cos2.i: + b2sin2^+ >, ,-\-ancosnx-\-
-\-bns\nnx+ ilti A)
где коэффициенты Фурье ап и Ъп вычисляются по формулам
я я
ап = — \ f (x) cos nxdx (я = 0, 1, 2, ,..); Ъп= \ / (х) smnxdx (л= 1,2, . *.)<
-я -я
Если х—принадлежащая интервалу (¦—я, я) точка разрыва функции / (х),
то сумма ряда Фурье S (х) равна среднему арифметическому левого и пра-
правого пределов функции:
В концах интервала х = -—л и х =
2°. Неполные ряды Фурье. Если функция / (х) — четная (т. е*
/ ( — x) = f(x)), то в формуле A)
6„=0 (л=1,2, Si.)
о„ = — Г/(л;) cos nxdx (n = 0, 1, 2, ...)<
о
Если функция / (х) — нечетная (т. е. /(—х) = — f{x)), то ап = 0 (п = 0, 1, 2, .i.) и
2 Г
6„ = — \ / (х) sin nxdx (л=1, 2, ...),
Функция, заданная в интервале @, я), может быть по нашему усмотрению
продолжена в интервал (— я, 0) либо как четная, либо как нечетная; следо-
следовательно, ее можно по желанию разложить в интервале @, п) в неполный
ряд Фурье по синусам или по косинусам кратных дуг.
3е. Ряды Фурье периода 21. Если функция f (х) удовлетворяет
условиям Дирихле в некотором интервале (— /, /) длины 21, то в точках непре-
непрерывности функции, принадлежащих этому интервалу, справедливо разложение
+b1sm — -ra2cos—[—|-62sm — +.,.
, . гтх
6nsin—
яд: ,
2ях
jCOS-^
*
,.+а
2пх
1~Т~
„cos
ппх
~т

312 ряды ' [гл. viii
где
1
1 С пкх
~\ B)
1
[
2672. /(*) = <
n —j—dx (п— 1,2, ...).
-/
В точках разрыва функции / (*) и в концах л:=±/ интервала сумма
ряда Фурье определяется аналогично тому, как это имеет место при разло-
разложении в интервале (— я, я).
В случае разложения функции f(x) в ряд Фурье в произвольном интер-
интервале (а, а + 2/) длины 2/ пределы интегрирования в формулах B) следует
заменить соответственно на а и а f-2/.
Указанные ниже функции разложить в ряд Фурье в интер-
интервале (— л, л), определить сумму ряда в точках разрыва и на
концах интервала, построить график самой функции и суммы
соответствующего ряда (также и вне интервала (—л; л)):
{ с, при —п<х^0,
2671. f(x) = \ n
' v ; { с2 при 0 < х < л.
Рассмотреть частный случай, когда ct = —1, с2 = 1.
ах при —л<х^0,
Ьх при 0 ^л: < л.
Рассмотреть частные случаи: а) а — Ь=\\ б) а = —1, й==1;
в) а О, Ь—\; г) а=1, Ь = 0.
2873. f(x)=x2. 2674. f(x) = eax.
2375. f(x) = s'max. 2676. / (х) = cos ax.
2677. / (х) = sh ax. 2678. / (х) = ch ax.
2679. Функцию f(x)= ~ разложить в ряд Фурье в интер-
интервале @, 2л).
2880. Разложить в интервале @, л) по синусам кратных дуг
функцию /(#) = —. Полученное разложение использовать для
суммирования числовых рядов:
, , 1.1 1 . ,. , . 1 1 1,1,1
а) 1—3- + -5—f+•¦ •: б) 1 + 5~Т~П + !з + !7~-";
в) 1—g +y — f[ + J3~~ • ¦•
Указанные ниже функции разложить в интервале @, л) в не-
неполные ряды Фурье: а) по синусам кратных дуг, б) по коси-
косинусам кратных дуг. Нарисовать графики функций и графики
сумм соответствующих рядов в области их существования.

{ Ч РЯДЫ ФУРЬЕ 313
2681. f(x) = x. Найти с помощью полученного разложения
сумму ряда
2682. f(x) = xa. Найти с помощью полученного разложения
суммы числовых рядов
1I4-1 + -+ • 2I—1 + 1—1 +
2683. f(x) = eax.
1 при О
2684. / (х) = •;
О при у ^х< л.
х при 0<х<-?,
2685. . ; ; ;
л —х при 4f <х<л.
Разложить в интервале @, л) по синусам кратных дуг
функции:
{х при 0 < х <; ¦?¦,
О при у < х < л.
2687. /(х) = х(л—х).
2688. f(x) = sin -?¦.
Разложить в интервале @, л) по косинусам кратных дуг
функции:
{1 при 0 < x^Zh,
О при h < х < л.
( 1--
2690. Дх) = ] 2А
I 0 при 2/i <х< л.
2691. /(x) = xsinx.
(cos л: при 0 <
л
—cosx при у < х < л.
2693. Используя разложение функций х и х2 в интервале
(О, л) по косинусам кратных дуг (см. №№ 2681, 2682), дока-
доказать равенство
л=1

314 ряды [гл. viu
2694**. Доказать, что если функция f(x)— четная и при этом
f (-7Г+ х) = — / (у—х) > то ее РЯД Фурье в интервале (—л, л)
представляет собой разложение по косинусам нечетных крат-
кратных дуг, а если функция f(x) — нечетная и/(-5-+*] = / (тг—х ],
то она разлагается в интервале (—я, л) по синусам нечетных
кратных дуг.
В указанных интервалах разложить в ряд Фурье функции:
2695. /(*) = |*| (—1<*<1).
2696. f(x) = 2x @<x< 1).
2697. f(x) = ex (—1<х<1).
2698. f(x)=\0 — х E<х<15).
Разложить в указанных интервалах в неполные ряды Фурье:
а) по синусам кратных дуг и б) по косинусам кратных дуг сле-
следующие функции:
2699. /(*)=1 @<х< 1).
2700. f{x) = x @ <*</).
2701. f(x) = x2 @<х<2я).
f х при 0 < л;< 1,
2702. /(*) = { 2х
2703. Разложить по косинусам кратных дуг в интервале
-j , 3 ) функцию
3—х при 2

ГЛАВА IX
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Проверка решений. Составление дифференциальных
уравнений семейств кривых. Начальные условия
1°. Основные понятия. Уравнение вида
F(x,y,y' ?<">) = О, (I)
где у = у(х)— искомая функция, называется дифференциальным уравнением
п-го порядка. Любая функция у = (р(х), обращающая уравнение A) в тож-
тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции — ин-
интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде Ф (х, у) = 0, то оно
обычно называется интегралом уравнения A).
Пример 1. Проверить, что функция y = smx является решением урав-
уравнения _
у"+у=0.
Решение. Имеем:
y' = cosx, y"= — sinx
в, следовательно, t
у" + у = —- sin х+sin x = 0.
Интеграл
Ф(х, у, Ci С„) = 0 B)
дифференциального уравнения A), содержащий п независимых произвольных
постоянных С[ Сп и эквивалентный (в данной области) уравнению A),
называется общим интегралом этого уравнения (в соответствующей области).
Придавая в соотношении B) постоянным С1 Сп определенные значения,
получаем частный интеграл уравнения A).
Обратно, имея семейство кривых B) и исключая параметры Ct С„
из системы уравнений
Ф = 0, ^ = 0 ^
dx dx"
получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида A), общим инте-
интегралом которого в соответствующей области является соотношение B).
Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства парабол
y = C1(x-CJi. ' C)

316 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Решение. Дифференцируя два раза уравнение C), будем иметь:
у'=2С1(х-С2) и y" = 2Ct. D)
Исключая из уравнений C) и D) параметры Cj и С2, получим искомое диф-
дифференциальное уравнение
Легко проверить, что функция C) обращает это уравнение в тождество.
2°. Начальные условия. Если для искомого частного решенщ
У = у(х) дифференциального уравнения
yM = f(x,y,y\ ,..,//<"-1>), E}
где функция / определена в окрестности точки (х0, уа, у'^, ..., i/^1'). зада-
заданы начальные условия (задача Коши)
и известно общее решение уравнения E)
(/ = ф(х, Сх С„),
то произвольные постоянные Clt ..., Сп определяются, если это возможно,
из системы уравнений
ув = <р(х0, Ct С„),
Уо = Ц>' (х0, Сх С„),
у<?-» = ф(*-И (Хо, Съ ...,
Пример 3. Найти кривую семейства
для которой у@)=1, </'@) = —2.
Решение. Имеем:
у' = С
Полагая в формулах F) и G) х = 0, получим:
l=Ci + Cj, —2 = Ci — 2C2i
откуда
С1 = 0, С2=1
и, следовательно,
у = е-*х.
Выяснить, являются ли решениями данных дифференциаль-
дифференциальных уравнений указанные функции:
2704. ху' = 2у, у = 5х2.
2705. у" = \
2706. (
2707. «/" + г/ = 0, y = 3sin.*—4 cos л;.
2708. ^

§ 2] УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 317
2709. у" — 2у'+у = 0, а) у = хех, б) у = хгех.
2710. /-(VI-W + XA^O, ir = CieM + C2e^.
Показать, что для данных дифференциальных уравнений
указанные соотношения являются интегралами:
27П. {х — 2у)у'^--2х — у, х2 — ху+у* = С2.
2712. (х — у+\)у'=[, у==х + Сеу.
2713. (Xy—x)!f + xy'*+yy' — 2y' = 0, у=Щху).
Составить дифференциальные уравнения заданных семейств
кривых (С, С\, С2, С3 —произвольные постоянные):
2714. у = Сх. 2715. у = Сх2.
2716. у- = 2Сх. 2717. х2+уг = С\
2718. у = Сех. 2719. х3 = С (%а — у2).
2720. г/2Н-- —=2 + Се -2 . 2721. 1п-=1 +ш/
(а — параметр).
2722. (у—уХ = 2рх 2723. (/ = C\e2* + C2e-*.
G/o> p —параметры).
2724. г/^^созгхН-Сзтгх. 2725. у = (С\ + С2х) ех + С3.
2726. Составить дифференциальное уравнение всех прямых
на плоскости X0Y.
2727. Составить дифференциальное уравнение всех парабол
с вертикальной осью на плоскости XOY.
2728. Составить дифференциальное уравнение всех окруж-
окружностей на плоскости X0Y.
Для данных семейств кривых найти линии, удовлетворяю-
удовлетворяющие заданным начальным условиям:
2729. х2 — г/2 = С, г/@) = 5.
2730. r/ = (C1 + C,x)e2i, y@) = 0, у'@)=\.
2731. y = C^s\n(x—C), y(n)=l, у'\п) = 0.
2732. г/ = С1е-^ + С2еЛ + С3е2х; г/@) = 0, г/' @) = 1, г/"@) = —2.
§ 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
1°. Виды дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией у, раз-
разрешенное относительно производной у', имеет вид
y'=f(x,y), (О
где f (х, у)— данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую
функцию считать переменную х и записывать уравнение A) в виде
x' = g(x,y), (Г)

318
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
Учитывая, что У' = -г и ** = т~> Дифференциальные уравнения A) и (Г)
можно записать в симметрической форме
P(x,y)dx + Q(x,y)dx = O, B)
где Р (х, у) и Q (х, у)— известные функции.
Под решениями уравнения B) понимаются функции вида у = <р(х) или
x==ty(y)> удовлетворяющие этому уравнению. Общий интеграл уравнений A)
и (Г), или уравнения B), имеет вид Ф (х, у, С) = 0,
YI
\\
где С—произвольная постоянная.
2°. Поле направлений,
направлений
у)
Рис. 105.
Совокупность
называется полем направлений дифференциального
уравнения A) и обычно изображается при помо-
помощи системы черточек или стрелок с углом накло-
наклона а.
Кривые f(x, y)=k, в точках которых наклон
поля имеет постоянное значение, равное k, назы-
называются изоклинами. Построив изоклины и поле
;) направлений, в простейших случаях можно прн-
Ш*]( ближенно нарисовать поле интегральных кривых,
)j рассматривая последние как кривые, которые в
каждой своей точке имеют заданное направление
поля.
Пример 1. Методом изоклин построить
поле интегральных кривых уравнения
i I
% i
Решение. Построив изоклины x = k (прямые линии) и поле направле-
направлений, приближенно получаем поле интегральных кривых (рис. 105). Общим
решением является семейство парабол
Методом изоклин построить приближенно поле интегральных
кривых для указанных ниже дифференциальных уравнений:
2733. y' = — x. 2734. у' = — -.
2735. г/'=
2737. у' =
2736.
3°. Теорема Кош и. Если функция f(x, у) непрерывна в некоторой
области U {а < х < А, Ь < у < В] и имеет в этой области ограниченную
производную fy (х, у), то через каждую точку (х0, у0), принадлежащую U,
проходит одна и только одна интегральная кривая у = <р(х) уравнения A)
(ф (*о) = </о)-
4°. Метод ломаных Эйлера. Для приближенного построения ин-
интегральной кривой уравнения A), проходящей через заданную точку М0(х0, (/0),

§ 3] УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
эту кривую заменяют ломаной с вершинами Af,- (X;, у/), где
319
Ax; = h (шаг процесса),
Ayi = hf(Xi, у,) (i = 0, 1, 2, ...).
Пример 2. Методом Эйлера для уравнения
У
_ху
найти у(\), если г/@) = 1 (/г = 0,1).
Составляем таблицу:
С
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*/
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
,005
,015
,030
,051
,077
,109
,148
,194
,248
Аи Х'У'
Лу( 20
0
0,005
0,010
0,015
0,021
0,026
0,032
0,039
0,046
0,054
Итак, у A) = 1,248. Для сравнения приводим точное значение (/A) =
1
= еТ « 1,284.
Методом Эйлера найти частные решения данных дифферен-
дифференциальных уравнений для указанных значений х:
2738. у'=у, 0@) = 1; найти уA) (А = 0,1).
2739. у' = х + у, уA) = 1; найти у B) (А = 0,1).
2740. и' = —
1+х'
2х
у@) = 2; найти у{1) (ft = 0,l).
2741. у' = у~, г/ @) = 1; найти уA) (А = 0,2).
§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории
Iе. Уравнения 1-го порядка с разделяющимися пере-
переменными. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравне-
уравнение 1-го порядка вида
y' = f(x)g(y) (О
или
)YiW)dy=0. A')

320 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Разделив обе части уравнения A) на g (у) и умножив на dx, будем иметь
wrnx)dx-
Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения A) в виде
Аналогично, разделив обе части уравнения (Г) на Хг (х) Y (у) и проинтегри-
проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (Г) в виде
-с-
Если для некоторого значения у = уа мы имеем g(yo) = 0, то функция
у=уа является также, как непосредственно легко убедиться, решением урав-
уравнения A). Аналогично прямые х — а и у = Ь будут интегральными кривыми
уравнения (Г), если а и Ъ является соответственно корнями уравнений
X1(x) = G и К(</) = 0, на левые части которых приходилось делить исходное
уравнение.
Пример 1. Решить уравнение
«/' = -|. О)
В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному условию:
Решение. Уравнение C) можно записать в виде
dx x
Отсюда, разделяя переменные, будем иметь:
dy dx
Т ~*
и, следовательно,
где произвольная постоянная lnCi взята в логарифмическом виде. После
потенцирования получим общее решение
У=-~. D)
где С=±Ср
При делении на у мы могли потерять решение у = 0, но последнее содер-
содержится в формуле D) при С = 0.
Используя заданное начальное условие, получим С=2, и, следовательно,
искомое частное решение есть
2

3]
УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
321
2°. Некоторые дифференциальные уравнения, приво-
приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения вида
приводятся к уравнениям вида A) при помощи замены и = ах-\ by + с, где
и — новая искомая функция.
3°. Ортогональные траектори и — кривые, пересекающие линии
данного семейства Ф (х, у, а) = 0 (а —параметр) под прямым углом. Если
F (х, у, (/') = 0 есть дифференциальное уравнение семейства, то
х, у, г =<-
У )
— дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.
Пример 2. Найти ортогональные траектории семейства эллипсов
*2 + 2r/2==a2. E)
Решение. Дифференцируя обе части уравнения E), находим дифферен-
дифференциальное уравнение семейства
Отсюда, заменяя у' на т , получим дифференциальное уравнение ортого-
ортогональных траекторий
х — Щ-=0 или (/' = — .
У х
Интегрируя, будем иметь у = Сх2 (семейство парабол) (рис. 106).
Рис. 106.
4°. Составление дифференциальных уравнений, При со-
составлении дифференциального уравнения в геометрических задачах часто мо-
может быть использован геометрический смысл производной как тангенса угла,
образованного касательной к кривой с положительным направлением оси ОХ;
это позволяет во многих случаях сразу установить соотношения между орди-
Под ред. Б. П. Демидовича

322 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
натой у искомой кривой, ее абсциссой х и у", т. е. получить дифференци-
дифференциальное уравнение. В других случаях (см. №№ 2783, 2890, 2895) используется
геометрический смысл определенного интеграла как площади криволинейной
трапеции или длины дуги. При этом непосредственно из условия задачи полу-
получается простейшее интегральное уравнение (поскольку искомая функция
содержится под знаком интеграла), однако путем дифференцирования обеих
его частей можно легко перейти к дифференциальному уравнению.
Пример 3. Найти кривую, проходящую через точку C; 2), для кото-
которой отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями,
делится пополам в точке касания.
Решение. Пусть М (х, у) есть середина касательной АВ, по условию
являющаяся точкой касания (точки А и В— это точки пересечения касатель-
касательной с осями OY и ОХ). В силу условия ОА = 2у и ОВ = 2х. Угловой коэф-
коэффициент касательной к кривой в точке М (х, у) равен
dx ~ОВ~~~х'
Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. Преобразовав,
получим:
dx , d?=0
х у
и, следовательно,
In \х\ +1п 11/| = In \C\ или ху = С.
Используя начальное условие, определим С = 3-2 = 6. Итак, искомая кривая
есть гипербола ху = 6.
Решить дифференциальные уравнения:
2742. tgxsin2ydx-\-cos2xcigydy = 0.
2743. ху'—у = у3.
2744. хуу'=\—х\
2745. у—ху' = аA+х3у').
2746. 3extgydx + (\— ex)sec2уdy = 0.
27'47. у' tgx = y.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие ука-
указанным начальным условиям:
2748. (\+ех)-у-у' = ех; у=\ при х = 0.
2749. (xy2 + x)dx + (x2y—y)dy = 0; г/=1 при х = 0.
2750. у'sinх = уЫу; у=\ при * = -?-.
Решить дифференциальные уравнения, использовав замену
переменных:
2751. у' =
2752. у' = у)
2753. Bх + 3у— \)dx + Dx + 6y—5)dy = 0.
2754. Bx—y)dx + (ix—2y + 3)dy = 0.
В №№ 2755 и 2756 перейти к полярным координатам:
2755. y'-Jg+F-*.
2756. (

$ 4] ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 323
2757*. Найти кривую, у которой длина отрезка касательной
равна расстоянию точки касания от начала координат.
2758. Найти кривую, у которой отрезок нормали в любой
точке кривой, заключенный между осями координат, делится
пополам в этой точке.
2759. Найти кривую, у которой подкасательная имеет по-
постоянную длину а.
2760. Найти кривую, у которой подкасательная вдвое более
абсциссы точки касания.
2761*. Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести
плоской фигуры, ограниченной осями координат, этой кривой
и ординатой любой ее точки, равна 3/4 абсциссы этой точки.
2762. Найти уравнение кривой, проходящей через точку C; 1),
для которой отрезок касательной между точкой касания и
осью ОХ делится пополам в точке пересечения с осью OY.
2763. Найти уравнение кривой, проходящей через точку B;0),
если отрезок касательной к кривой между точкой касания и
осью OY имеет постоянную длину 2.
Найти ортогональные траектории данных семейств кривых
(а—параметр), построить семейства и их ортогональные траек-
траектории:
2764. х* + у* = а\ 2765. yi = ax.
2766. ху = а. 2767. (х —
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
1°. Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = O A)
называется однородным, если Р (х, у) и Q (х, у) — однородные функции оди-
одинакового измерения. Уравнение A) может быть приведено к виду
и при помощи подстановки у = хи, где и — новая неизвестная функция, пре-
преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также при-
применять подстановку х = уи.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
Решение. Полагаем у —их; тогда и-\-хи'—еа-\-и или
„. dx
х
11*

324 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. IX
Интегрируя, получим и = — In In
X
С
откуда
X
2". Уравнения, приводящиеся к однородным. Если
н б— 1 * I Ф 0, то, полагая в уравнении B) х=и-^-а, ^ = t»-fp, где по-
постоянные а и Р определяются из системы уравнений
получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменных
и и v. Если 6 = 0, то, полагая в уравнении B) ai* + fci{/ = ". получим урав-
уравнение с разделяющимися переменными.
Проинтегрировать дифференциальные уравнения:
2768. у' = Л
2769. у' = — .
а х
2770. (х—у)уйх~хЫу = 0.
2771. Для уравнения (хг + у2)dx—2xydy = 0 найти семейство
интегральных кривых, а также выделить кривые, проходящие
соответственно через точки D; 0) и A; 1).
2772. у dx + B ]/"ху—х) йу = 0.
2773. xd(/—г/^л; = |/х2 + г/2^-
2774. Dл;2 + Зхг/ + </2) ^ + Dг/2 + Зху + *2) ^ = 0.
2775. Найти частное решение уравнения (я2 — 3y2)dx~{-
¦}-2xydy = 0 из условия, что у=\ при л; = 2.
Решить уравнения:
2776. Bx— 4)d
2777. 'y' =
2779. Найти уравнение кривой, проходящей через точку A; 0)
и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касатель-
касательной на оси OY, равен полярному радиусу точки касания.
2780**. Какую форму следует придать зеркалу прожектора,
чтобы лучи от точечного источника света отразились параллель-
параллельным пучком?
2781. Найти уравнение кривой, у которой подкасательная
равна среднему арифметическому координат точки касания.

§ S] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 325
2782. Найти уравнение кривой, для которой длина отрезка,
отсекаемого на оси ординат нормалью, в любой точке кривой
равна расстоянию этой точки от начала координат.
2783*. Найти уравнение кривой, для которой площадь обла-
области, заключенной между осью абсцисс, кривой и двумя ордина-
ординатами, одна из которых постоянная, а другая — переменная,
равна отношению куба переменной ординаты к соответствующей
абсциссе.
2784. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат,
отсекаемый любой касательной, равен абсциссе точки касания.
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Уравнение Бернулли
1°. Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение вида
)у = (Цх) A)
1-й степени относительно у и (/' называется линейным.
Если функция Q(x)s=0, то уравнение A) принимает вид
0 B)
и называется однородным линейным дифференциальным уравнением. В этом
случае переменные разделяются и общее решение уравнения B) есть
C)
Для решения неоднородного линейного уравнения A) применяем так
называемый метод вариации произвольной постоянной; этот метод состоит
в том, что сначала находим общее решение соответствующего однородного
линейного уравнения, т. е. соотношение C). Затем, полагая в этом соотно-
соотношении величину С функцией от х, ищем решение неоднородного уравнения A)
в виде C). Для этого подставляем в уравнение A) у и у', определяемые
из C), и из полученного дифференциального уравнения определяем функ-
функцию С(х). Таким образом, общее решение неоднородного уравнения A) по-
получаем в виде
- f Р (*) dx
у = С(х)е ¦>
Пример 1. Решить уравнение
у' = tg.?-i/ + cos х. D)
Решение. Соответствующее однородное уравнение есть
y' — tgxy = Q.
Решая его, получим:
cos л:
Считая С функцией от х, дифференцируя, находим:
_!_ т dC sin л: _ Q
* cos х dx*~cos2x

326 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Подставляя у и у' в уравнение D), получим:
1 dC . sin* С . rfC ,
•-j— 5— • C = tgx- f-cos*, или -t— =cos2jc,
cosjc dx ' cos2* cos* ' d*
откуда
Г =--^-x+^ sin
C(*) = Г cos2
Следовательно, общее решение уравнения D) имеет вид
l-x+^sm2x4-C1) • ,
2 4 ' у cos л;
Для решения линейного уравнения A) можно также применить подста-
подстановку
У =- uv, (!))
где и и у —неизвестные функции от х. Тогда уравнение A) примет вид
[u' + P(x)u]v + v'u = Q(x). (G)
Если потребовать, чтобы
и' + Р(х)и = 0. G)
то из G) найдем и, затем из F) найдем и, а следовательно, из E) найдем у.
2°. Уравнение Бернулли. Уравнение 1-го порядка вида
где а -ф 0 к а.ф \, называется уравнением Бернулли. Оно приводится к ли-
линейному с помощью подстановки г = у1~а. Можно также непосредственно при-
применять подстановку y = uv или метод вариации произвольной постоянной.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Это —уравнение Бернулли (a=-o") ¦ Полагая
у = uv,
получим:
ы'» + и'и = — uv-\-x Y~uv или v ( и' и ] +и'и ггдг^иу , (8)
X \ X )
Для определения функции и потребуем выполнения соотношения
и' — — и = 0,
х
откуда
Подставляя это выражение в уравнение (8), получим:

§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 327
отсюда находим v:
и, следовательно, общее решение получим в виде
Найти общие интегралы уравнений:
2785. g-i-x.
Я*. ? + *_*.
2787*. (I +y*)dx=(V \ + у2slny—xy)dy.
2788. yidx—Bxy + 3)dy = 0.
Найти частные решения, удовлетворяющие указанным усло-
условиям:
2789. ху'+у—ех = 0; у = Ь при х = а.
2790. у'— yzr^i— 1— х = 0; у = 0 при х = 0.
279\. y'-ytgx^~; у = 0 при х = 0.
Найти общие решения уравнений:
2792. *L + JL = -Xy\
2793. 2ху^—
2794. у dx + [х —у х3?/) ф = 0.
2795. 3xdy = y(l +xsmx — 3y3s\nx)dx.
2796. Даны три частных решения у, yit y2 линейного урав-
уравнения. Доказать, что выражение ^zl. сохраняет постоянное зна-
значение при любом х. Каков геометрический смысл этого резуль-
результата?
2797. Найти кривые, для которых площадь треугольника,
образованного осью ОХ, касательной и радиусом-вектором точки
касания, постоянна.
2798. Найти уравнение кривой, у которой длина отрезка,
отсекаемого касательной на оси абсцисс, равна квадрату ордина-
ординаты точки касания.
2799. Найти уравнение кривой, у которой длина отрезка,
отсекаемого касательной на оси ординат, равна поднормали.
2800. Найти уравнение кривой, у которой длина отрезка,
отсекаемого касательной на оси ординат, пропорциональна
квадрату ординаты точки касания.

328 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
2801. Найти уравнение кривой, для которой длина отрезка
касательной равна расстоянию точки пересечения этой касатель-
касательной с осью ОХ от точки М@, а).
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
1°. Уравнения в полных дифференциалах. Если для диф-
дифференциального уравнения
Р(х, y)dx+Q(x, y)dy = 0 A)
выполнено равенство —*— = -^—, то уравнение A) может быть записано в
виде dU (х, у) = 0 и называется уравнением в полных дифференциалах. Общин
интеграл уравнения A) есть U (х, f/) = C. Функция 0 (х, у) определяется
способом, указанным в гл. VI, § 8, или по формуле
t/= J/> (х, у) d*+$ <Э (*о. y)dy
У*
(см. гл. VII, § 9).
Пример 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
у + 4у3) dy = 0.
Решение. Это — уравнение в полных дифференциалах, так как
2 + 62) дF2 bV) ..
=12ху и, следовательно, уравнение имеет вид
Здесь
^ 3* + 6у* и
отсюда
U = J (За:2 + бху2) dx + ф (у) = х3 + 3*V + ф (у).
Дифференцируя U по у, найдем-^—== 6л:2i/+ ф'(!/)=6л;г(/4-4г/3 (по условию);
отсюда ф'(у) = 4(/3 и Ф ((/) = (/*+Со. Окончательно получим U (х, у) = х3~\-
+ 3x2i/3-)-i/4 = Co, следовательно, л;3 -- Зх2у2-\-у4 = С есть искомый общий
интеграл данного уравнения.
2°. Интегрирующий множитель. Если левая часть уравнения A)
не является полным дифференциалом и выполнены условия теоремы Коши,
то существует функция ^ — ц(х, у) (интегрирующий множитель) такая, что
dU. B)
Отсюда получаем, что функция |л удовлетворяет уравнению

S 6] УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 329
Интегрирующий множитель (i легко находится в двух случаях:
=f W- тогда ^ =
/ (/3 \
Пример 2. Решить уравнение ( 2хг/ + ^2(/ + -:т" ) dx-{¦ (х*-\-уг) dy = O.
десь Р = 2ху+х*у + ^ , Q= (^Л
='' следовательно, ц=ц(х).
Решение. Здесь Р = 2ху+х*у + ^ , Q==x* + y* и ~
+ 2 + 2 2
x* + y*
„ д tuP) д (uQ) дР dQ n du
Так как —^—- = —-?-— или u, -^—= li ——\~Q —f- , то
ду Ох ^ ду дх dx
- \ d\i 1 / дР dQ \ , I* .
\ —!-=-7r- -= ~ dx=kdx и In ц = дс, w = «
i (x Q \ dy dx ] j
Умножая уравнение на \i=ex, получим:
ex l 2xy -{¦¦ x2y -\- -=^- dx + ex?x2 + y2) dy = 0
— уравнение в полных дифференциалах. Проинтегрировав его, будем иметь
общий интеграл
Найти общие интегралы уравнений:
2802. (x + y)dx + (x + 2y)dy = 0.
2803. {x2+y2 + 2x)dx + 2xydy = 0.
2804. (х3 — 3xy2 + 2)dx—Cx*-y—y-)dy = O.
2805. Z%^?
2807. Найти частный интеграл уравнения
удовлетворяющий начальному условию у @) = 2.
Решить уравнения, допускающие интегрирующий множитель
вида \х --= A (х) или \i = \i(y):
2808. (x + y*)dx—2xydy = 0.
2809. y(\+xy)dx—xdy = O.
2810. -^- dx + (г/3 — Inx) dt/ = 0.
2811. (xcosy—y sin у) dy -f (* sin у -j- г/ cos г/) d.v == 0.

330 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
§ 7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка,
не разрешенные относительно производной
1°. Дифференциальные уравнения 1-го порядка выс-
высших степеней. Если уравнение
F(x,y, y') = 0, A)
например, второй степени относительно у', то, разрешая уравнения A) отно-
относительно у', получим два уравнения:
y' = h(x, У). у' = Ых, у). B)
Таким образом, через каждую точку Af0 (*o. Уо) некоторой области
плоскости проходят, вообще говоря, две интегральные кривые. Общий интег-
интеграл уравнения A) в этом случае имеет вид
Ф (х, у, С) == Ф, (х, у, С) Ф2 (х, у, С) = 0, C)
где ©i и Ф2 — общие интегралы уравнений B).
Кроме того, для уравнения A) может существовать особый интеграл.
Геометрически особый интеграл представляет собой огибающую семейства
кривых C) и может быть получен в результате исключения С из системы
уравнений
Ф(*. у, С) = 0, Ф'с(х, у, С) = 0 D)
или в результате исключения р = у' из системы уравнений
F(x, у, р) = 0, F'p(x, у, р) = 0. E)
Заметим, что кривые, определяемые уравнениями D) или E), не всегда
являются решениями уравнения A); поэтому в каждом отдельном случае не-
необходима проверка.
Пример 1. Найти общий и особый интегралы уравнения
Решение. Решая относительно у', имеем два однородных уравнения:
определенных в области
общие интегралы которых
или
Перемножая, получим общий интеграл данного уравнения
(семейство парабол).

$ 7] УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 331
Дифференцируя общий интеграл по С и исключая С, найдем особый ин-
интеграл
(Проверка показывает, что у-\-х = 0 есть решение данного уравнения.)
Особый интеграл можно также найти, дифференцируя хр2-{-2хр— у = 0
по р и исключая р.
2° Решение дифференциального уравнения методом
введения параметра. Если дифференциальное уравнение 1-го порядка
имеет вид
х = Ц>(у, у'),
то переменные у и X могут быть определены из системы уравнений
1 дер , dtp dp
где р = у' играет роль параметра.
Аналогично, если y = ty(x, у'), то х и у определяются из системы урав-
уравнений
Пример 2. Найти общий и особый интегралы уравнения
Решение. Делая подстановку у' = р, перепишем уравнение в виде
X1
У==Р2 — хр + — .
Дифференцируя по х, считая р функцией от х, имеем
л dp dp
р dx dx
или -~ Bр — x) = Bp—x), или -р=1. Интегрируя, получим р = х-\-С. Под-
Подставляя в первоначальное уравнение, имеем общее решение:
~- или у^~
Дифференцируя общее решение по С и исключая С, получаем особое реше-
х^ ( х^
ние: у = —. (Проверка показывает, что </== — есть решение данного урав-
уравнения.
Если приравнять нулю множитель 2р—х, на который было произведено
х
сокращение, то получим P = tj- и, подставив р в данное уравнение, получим
У = —7 то же самое особое решение.

332 - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |ГЛ. IX
Найти общие и особые интегралы уравнений (в №№ 2812—
2813 построить поле интегральных кривых):
2812. у'2—^-у' + 1=0. 2813. 4г/'2 — 9х = 0.
2814. уу'2—(ху+1)у'+х=0. 2815. уу'2—2ху'+у = 0.
2816. Найти интегральные кривые уравнения у'2 + у2= 1, про-
проходящие через точку М @; -^ ) .
Вводя параметр у'=р, решить уравнения:
2817. x=siny' + \ny'. 2818. у = у'2еУ.
2819. г/ = #'2 + 21пг/'. 2820. 4у = х2 + у'2.
2821. е* = ?±f- . 2822. у = у' + 1/Г=7
§ 8. Уравнения Лагранжа и Клеро
1°. Уравнение Лагранжа. Уравнение вида
где р = у', называется уравнением Лагранжа. При помощи дифференцирова-
дифференцирования, учитывая, что dy = pdx, уравнение A) сводится к линейному относи-
dx
тельно х и —г- :
dp
p) + V (P)]dp. B)
Если р^Ёц>(р), то из уравнений A) и B) получаем общее решение в пара-
параметрическом виде:
где р — параметр и f (p), g{p) — некоторые известные функции. Кроме того,
может существовать особое решение, отыскиваемое обычным приемом.
2°. Уравнение Клеро. Если в уравнении (I) ф (р) s p, то получаем
уравнение Клеро
Общее решение его имеет вид у = Сх -I-1[> (С) (семейство прямых). Кроме того,
существует особое решение (огибающая), получающееся в результате исклю-
исключения параметра р из системы уравнений
Пример. Решить уравнение
у = 2у'х + -±г. C)
Решение. Полагаем у' = р, тогда у = 2рх-\—; дифференцируя и заме-
заменяя dy на pdx, получим:

§8] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО 333
ИЛИ
dx 2 , t
dp р р^ '
Решив это линейное уравнение, будем иметь:
* ДA
Следовательно, общий интеграл будет
Для нахождения особого интеграла iio общему правилу составляем систему
1
Отсюда
и, следовательно,
1 2
Подставляя у в уравнение C), убеждаемся, что полученная функция не
является решением и, следовательно, уравнение C) не имеет особого интеграла.
Решить уравнения Лагранжа:
2823. у = 1х(ку' + ±У 2824. г/ = (
2825*. у = — у(/'
Найти общий и особый интегралы уравнений Клеро и по-
построить поле интегральных кривых:
2826. у = ху'+у'*. 2827. у = ху'+у'.
2828. у = ху' + К1+(УТ- 2829. у = ху'+±.
2830. Найти кривую, для которой площадь треугольника,
образованного касательной в любой точке и осями координат,
постоянна.
2831. Найти кривую, если расстояние данной точки до лю-
любой касательной к этой кривой постоянно.
2832. Найти кривую, для которой отрезок любой ее каса-
касательной, заключенный между осями координат, имеет постоян-
постоянную длину /.

334
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
§ 9. Смешанные дифференциальные уравнения
1-го порядка
2833. Определить типы дифференциальных уравнений и ука-
указать методы их решения:
а) (x ^
б) (х—у)у'=
в) у' =
г) у' =
д) xy' + y = smy;
е) (у—ху'J = у'3;
ж) у = хе*';
з) (y' — 2xy)Vy = x*
Решить уравнения:
2834. a) (x—^
и) у' = (
к) xcosy' +ysiny' = l;
л) (х*—ху)у' = у*;
м) (х2 + 2ху3) dx +
+ (у2 + 3xV
н) (х3 —
о) (ху3 + 1п д;) йд; = у2 dy.
= 0;
б)
— dy—ydx =
2835. xdx=(——yAdy.
2837. *г/'
2839. г/ =
2840. д;2(
2841.
2836. Bxy2—y)dx + xdy = 0.
2838. у = ху'+у'\пу'.
2842. г/'—i
—eydy) — (\+y)dy = 0.
l. 2843. ye" =(y3+2xe«)у'.
2844. г/' + г/ cos * = sin л: cos x. 2845. A— x2) y' +xy = a.
2846. xr/'—^tj— x = 0. . 2847. r/'(xcosy + a sin 2^) = 1.
2848. (x2y—ха + г/— 1) dx + (xy + 2x — 3y
+у-=±у. 2850. хг/зd
3X\
+У
2849. у'=
2851. y' = 3
2852. 2dx+ У-dy—
2853. y' = ^ + ig~.
2855. xdy + ydx = y2dx.
2857. yj?- = —
2859. x2y
2854. yy'+ y* = cos x.
2856. y' (x + siny) = 1.
2858. x3dx —
2860.
= 0.

$9] СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 335
2861. еЧх + (хе«—2у) dy = O. 2862. у = 2xy'+V^+y'2-
2863. у'=— A +Ыу—\пх). 2864. Bех+ yi)dy—yex dx = Q.
2865. у' = 2 (Х^+^_Х- 2866. ху (ху* + 1) dy —dx = O.
2867. а(ху' + 2у) = хуу'. 2868. xdy—ydx = yidx.
2869. (х2—
2870. tex*
2871. 1
2872. хии'2 — (
2873. у = ху'+^-2.
2874. (Зх2 + 2ху—уг) dx + (х2—2ху—3у2) dy = 0.
2875. 2ypg = 3p2 + 4^.
Найти решения уравнений при указанных начальных
условиях:
2876. y'=^i; y=Q при Х=1.
2877. е^-^г/' = 1; у=\ при х = 1.
288 't 2 2
у
2878. ;/'ctgx + y = 2; г/= 2 при х = 0.
2879. еУ{у'+'1) = 1; у = 0 при х = 0.
2880. y'+y=cosx; г/ = у при д; = 0.
2881. у' — 2у = — х2; У = -^ при х = 0.
2882. у'+у = 2х; у = — \ при х = 0.
2883. ху'=у; а) г/=1 при х=1; б) у = 0 при х = 0.
2884. 2ху'=у; а) г/=1 при х=1; б) у = 0 при х = 0.
2885. 2хг/г/'+х2 — у2 = 0; а) г/ = 0 при х = 0; б) г/= 1 при х = 0,
в) г/ = 0 при х=1.
2886. Найти кривую, проходящую через точку @; 1), у ко-
которой подкасательная равна сумме координат точки касания.
2887. Найти кривую, зная, что сумма длин отрезков, отсекае-
отсекаемых касательной к ней на осях координат, постоянна и равна 2а.
2888. Сумма длин нормали и поднормали равна единице.
Найти уравнение кривой, если известно, что кривая проходит
через начало координат.
2889*. Найти кривую, у которой угол, образованный каса-
касательной и радиусом-вектором точки касания, постоянен.
2890. Найти кривую, зная, что площадь области, заключенной
между осями координат, этой кривой и ординатой любой точки
на ней, равна кубу этой ординаты.

336 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
2891. Найти кривую, зная, что площадь сектора, ограни-
ограниченного полярной осью, этой кривой и полярным радиусом лю-
любой ее точки, пропорциональна кубу этого радиуса.
2892. Найти кривую, у которой длина отрезка, отсекаемого
касательной на оси ОХ, равна длине этой касательной.
2893. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заклю-
заключенный между осями координат, делится пополам параболой
if = 2x.
2894. Найти кривую, у которой длина нормали в любой ее
точке равна расстоянию этой точки от начала координат.
2895*. Площадь фигуры, ограниченной кривой, осями коор-
координат и ординатой какой-либо точки кривой, равна длине соот-
соответствующей дуги кривой. Найти уравнение этой кривой, если
известно, что она проходит через точку @; 1).
2896. Найти кривую, у которой площадь треугольника,
образованного осью абсцисс, касательной и радиусом-вектором
точки касания, постоянна и равна а1.
2897. Найти кривую, если известно, что середина отрезка,
отсекаемого на оси ОХ касательной и нормалью к кривой, есть
постоянная точка (а; 0).
При составлении дифференциального уравнения 1-го порядка, особенно
в физических задачах, часто бывает целесообразно применять так называемый
м°тод дифференциалов, заключающийся в том, что приближенные соотноше-
соотношения между бесконечно малыми прираи-еннями искомых величин, справедлипые
с точностью до бесконечно малых высшего порядка, заменяются соответст-
соответствующими соотношениями между их дифференциалами, что не отражается на
результате.
Задача. В резервуаре находится 100л еодпого раствора, содержащего
10 кг соли. Вода вливается в резервуар со скоростью 3 л в 1 мин, и смесь
вытекает из него со скоростью 2 л в ) мин, причем концентрация поддержи-
поддерживается равномерной посредством перемешивания. Сколько соли будет содер-
содержать резервуар по истечении 1 часа?
Решение. Концентрацией с данного вещества называется количество
его, заключенное в единице объема. Если концентрация равномерна, то ко-
количество вещества в объеме V равно cV.
Пусть количество соли, находящееся в резервуаре по истечении t мин,'
есть х кг. Количество смеси в резервуаре в этот момент будет A00 + 0 л и>
следовательно, концентрация с = х/A00+ t) кг на 1 л.
В течение промежутка времени dt из резервуара вытекает Idt л смеси,
содержащих 1с dt кг соли. Поэтому изменение dx количества соли в резервуаре
характеризуется соотношением
1х
— dx = 2cdt, или — dx = ,.. , , dt.
lUU -f- I
Это и есть искомое дифференциальное уравнение. Разделяя переменные и
интегрируя, получим:
\пх = — 21п
или
_ С
X~(l0Q-j-t)*'

§9] СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 337
Постоянная С определится из условия, что при / = 0, х= 10, т. е.С = 100 0С0.
п л 100 С0О . .
По истечении часа в резервуаре будет содержаться соли х= ifina" ~ 3,9 кг.
2898*. Доказать, что для тяжелой жидкости, вращающейся
около вертикальной оси, свободная поверхность имеет форму
параболоида вращения.
2899*. Найти зависимость давления воздуха от высоты, если
известно, что это давление равно 1 кГ на 1 см? на уровне моря
и 0,92 кГ на 1 см? на высоте 500 м.
2900*. Согласно закону Гука, эластичный шнур длины / под
действием растягивающей силы F получает приращение длины
klF (k — const). На сколько увеличится длина шнура под дей-
действием его веса W, если подвесить шнур за один конец? (На-
(Начальная длина шнура /.)
2901. Решить ту же задачу при условии, что к концу шнура
подвешен груз Р.
При решении задач 2902—2903 использовать закон Ньютона,
по которому скорость охлаждения тела пропорциональна раз-
разности температур тела и окружающей его среды.
2902. Найти зависимость температуры Т от времени /, если
тело, нагретое до Т„ градусов, внесено в помещение, темпера-
температура которого постоянна и равна а градусов.
2803. Через сколько времени температура тела, нагретого
до 100°, понизится до 30°, если температура помещения равна
20° и за первые 20 мин тело охладилось до 60°?
2904. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся
в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти
зависимость этой угловой скорости от времени, если известно,
что диск, начавший вращаться со скоростью 100 об/мин, по
истечении 1 мин вращается со скоростью 60 об/мин.
2905*. Скорость распада радия пропорциональна наличному
количеству его. Известно, что по истечении 1600 лет остается
половина первоначального запаса радия. Найти, какой процент
радия окажется распавшимся по истечении 100 лет.
2906*. Скорость истечения воды из отверстия на расстоянии h
по вертикали от свободной поверхности определяется формулой
где с «0,6 и g—ускорение силы тяжести.
В какое время вода, заполняющая полусферический котел
диаметра 2 м, вытечет из него через круглое отверстие на дне
радиуса 0,1 м.
2907*. Количество света, поглощаемого при прохождении
через тонкий слой воды, пропорционально количеству падаю-
падающего света и толщине слоя. Если при прохождении слоя воды

338 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
толщиной 3 м поглощается половина первоначального количе-
количества света, то какая часть этого количества дойдет до глу-
глубины 30 м?
2908*. Сила сопротивления воздуха при падении тела с па-
парашютом пропорциональна квадрату скорости движения. Найти
предельную скорость падения.
2909*. Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто
смесью соли и нерастворимого вещества. Допуская, что ско-
скорость растворения соли пропорциональна разности между кон-
концентрацией в данный момент и концентрацией насыщенного
раствора A кг соли на 3 л воды) и что данное количество чистой
воды растворяет х/а кг соли в 1 мин, найти, сколько соли будет
содержать раствор по истечении 1 часа.
2910*. Электродвижущая сила е в цепи с током i, имеющей
сопротивление R и индуктивность L, складывается из падения
напряжения Ri и электродвижущей силы самоиндукции L-4t.
Определить ток i в момент времени t, если e = Esmmt (E и со —
постоянные) и 1 = 0 при t = 0.
§ 10. Дифференциальные уравнения высших порядков
1°. Случай непосредственного интегрирования. Если
то
п раз
2°. Случаи понижения порядка. 1) Если дифференциальное
уравнение явно не содержит у, например,
F(x,y',y")=Q,
то, полагая у' = р, получим уравнение порядка на единицу ниже
F(x,p, p') = 0.
Пример 1. Найти частное решение уравнения
ху" + у'+х = 0,
удовлетворяющее условиям
«/ = 0, у' = 0 при * = 0.
Решение. Полагая у' = р, имеем у"==р', откуда
xpl + p-\-x=0.
Решая последнее уравнение как линейное относительно функции р,
получим:

S 10] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 339
Из условия y' = p = Q при * = 0 имеем 0 = Ci—0, т. е. d = 0. Следовательно,
или
Р-— у
dy х
Тх~~~ Т*
откуда, интегрируя еще раз, получим:
Полагая j/ = 0 при х = 0, находим Са = 0. Следовательно, искомое частное
решение есть
2) Если дифференциальное уравнение явно не содержит х, например,
F(y, У\ у") = 0.
то, полагая у' = р, у" = р—!—, получим уравнение порядка на единицу ниже
Пример 2. Найти частное решение уравнения
уу"—у'2-—у*
при условии у=1, (/' = 0 при # = 0.
Решение. Полагаем у' = р, тогда y" = p-J- и наше уравнение преоб-
преобразуется в следующее:
-Мы получили уравнение типа Бернулли относительно р (у считаем аргу-
аргументом). Решая его, найдем:
Из. условия у' = р = 0 при (/=1 имеем Сг =—1. Следовательно,
Р=±У VW^
или
Интегрируя, имеем:
arccos — ± х = С2-
Полагая у—1 и х = 0, получим С2 = 0, откуда— = cosx или </ = secjc.

340 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Решить уравнения:
2911. у"^-1. 2912. у" = -~.
2913. у"=\—у'2. 2914.
2915. уу" = у'К 2916.
2917. A+х2)у"+у'2+1=0. 2918. у' A + у'2) = ау".
2919. жу + л#' = 1. 2920. уу" = у2у'+у'г.
2921. уу"-у'{\ +«/') = 0. 2922. y" = ~j-
2923. (*+l)t/" — (л:+2) (/'+* +2 = 0.
2924. ж/ == #' In -^ . 2925. «/' + \- {у"У = д:г/".
2926. ху'" + у"=1+х. 2927. у'"*-\-у"*= 1.
Найти частные решения при указанных начальных условиях:
2928. A+х2)у"—2ху' = 0; г/=0, «/' =
2929. l+t/'2 = 2z/y"; у=\, у' = 1 при л:=1.
2930. уу" + у'2=у'3; у=\, у' = \ при л: = 0.
2931. ху" = у'\ у = 0, t/' = 0 при х = 0.
Найти общие интегралы уравнений:
2932. уу' =Уу* + у'2 ,/'—у'у".
2933. yy" = y'2
2934. у'2-
2935.
Найти решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2936. у"у3 = \; 0 = 1, //' = 1 при x = y-
2937. уу"-\-у'2=\; у=\, г/' = 1 при х = 0.
= 0 при д:=1; г/=1 при х = е2.
2 + \пх; у = ±, у' = 1 при *=1.
2940. y"=^-(l+ln^); у = \, у' = 1 при х=1.
2941. у" — j/'2 + у'(у— 1) = 0; г/ = 2, у'=2 при л; = 0.
2942. Зу'у" = у + у'3 + \; у = —2; у' = 0 при jc = O.
2943. у2 + у'2—2уу" = 0; у = \, у' = 1 при jc = O.
2944. уу' +у'* + уу"=О; у = 1 при х=-0 и (/ = 0 при л; = — I.
2945. 2t/' + (t/'2 —6х)-г/" = 0; г/ = 0, у' = 2 при л; = 2.

§ 10] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 341
2946. у'у2 + уу"—у'2 = 0; у=\, у'= 2 при х = 0.
2947. 2уу" — 3у'2 = 4у2; у=\, у' =0 при х = 0.
2948. 2г/у"+у2 —г/'2 = 0; у = \, у' = 1 при x = 0.
2949. у" = у'*-у, у = —\, у'=\ при х=1.
2950. if + -pev1y'-2yy'> = 0; г/=1, г/' = епр *
2951. 1+уу"+у'2 = 0; у = 0, у =\ при х=1.
2952. (\+уу')у" = (\+у'2)у'; у=\, у' = \ при х = 0.
2953. (х+1)//"+*у'а = г/'; 1/ = —2, у'= 4 при х = \.
Решить уравнения:
2954. у' =ху"*+у"\
2955. у' = ху" + у"—у"К
2956. t/'"a = 4/.
2957. уу'у" = у'3 + у'"*. Выделить интегральную кривую, прохо-
проходящею через точку @; 0) и касающуюся в ней прямой y-\-x=Q.
2958. Найти кривые постоянного радиуса кривизны.
2959. Найти кривую, у которой радиус кривизны пропор-
пропорционален кубу длины нормали. л
2960. Найти кривую, у которой радиус кривизны равен
длине нормали.
2961. Найти кривую, у которой радиус кривизны вдвое
больше длины нормали.
2962. Найти кривые, у которых проекция радиуса кривизны
на ось OY постоянна.
2963. Найти уравнение каната подвесного моста, предпола-
предполагая, что нагрузка распределена равномерно по проекции каната
на горизонтальную прямую. Весом каната пренебречь.
2964*. Найти положение равновесия гибкой нерастяжимой
нити, укрепленной концами в двух точках и имеющей постоян-
постоянную нагрузку q (включая вес нити) на единицу длины.
2965. Тяжелое тело без начальной скорости скользит по
наклонной плоскости. Найти закон движения, если угол наклона
равен а, а коэффициент трения [i.
Указание. Сила трения равна [iN, где jV—сила реакции плоскости.
2966*. Силу сопротивления воздуха при падении тела можно
считать пропорциональной квадрату скорости. Найти закон
движения, если начальная скорость равна нулю.
2967*. Моторная лодка весом 300 кГ движется прямолинейно
с начальной скоростью 66 м/сек. Сопротивление воды пропорцио-
пропорционально скорости и равно 10 кГ при скорости 1 м/сек. Через
сколько времени скорость будет равна 8 м/сек?

342 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
§ 11. Линейные дифференциальные уравнения
Iе. Однородные уравнения. Функции j/i = <Pi(*), #a = <Pa(*)i •••
• ¦•i Уп = Фв W называются линейно зависимыми на (а, Ь), если существуют
постоянные Сх, Сг, ...,Сп не все равные нулю, такие, что
+ С2у2 -|- ... + Спуп = 0 при а < * < Ь;
в противном случае данные функции называются линейно независимыми.
Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения
yWJrPi(x)yln-14---.+Pn(x)y = 0 A)
с непрерывными коэффициентами Р[(х) (i=\, 2, ..., п) амеет вид
У = CiJ/i + С2у% + ... + Спуп,
где ух, уг, ...,уп—линейно независимые решения уравнения A) (фундамен-
(фундаментальная система решений).
2°. Неоднородные уравнения. Общее решение неоднородного
линейного дифференциального уравнения
i/n) + Pi (х) i/'"-1'-!- ...+Р„ (х) V = f{x) B)
с непрерывными коэффициентами Р/ (х) и правой частью } (х) имеет вид
где у0—общее решение соответствующего однородного уравнения A) и Y —
частное решение данного неоднородного уравнения B).
Если известна фундаментальная система решений у1} у2, ..., Уп однород-
однородного уравнения A), то общее решение соответствующего неоднородного урав-
уравнения B) может быть найдено по формуле
y = C1(x)yi + C2 (x) уг+ ...+С„(х)у„,
где функции С/ (х) (i=l, 2, ..., п) определяются из системы уравнений
С[ (х) yi + C-2 (х)у2 +... +С'п (х) уп = 0,
1 (х) уГ~2) + Сз (х) у[п -2)+...+С'п (х) у\?-2) =-- О, |
1 (^л^ t/i -j— L<2 ^л^ I/a —j— . , ,, -j— U/i ^л^ ^л — / \л/ )
C)
(метод вариации произвольных постоянных).
При м е р. Решить уравнение
ху" + у'=х\ х>0. D)
Решение. Решая однородное уравнение
ху" + у'--=0,
получим:
?/ = С11пл + Са, E)
Следовательно, можно принять
yt = \nx и i/a=I
и решение уравнения D) искать в виде

S 11] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 343
Составляя систему C) и учитывая, что приведенный вид уравнения D) есть
у"-\-—=х, получим
(*)-—Ki M •<) = *.
Отсюда
и, следовательно,
где А и В — произвольные постоянные.
2968. Исследовать на линейную зависимость следующие си-
системы функций:
а) х, х+\; д) х, д;\ х3;
б) х2, —2х2; е) ех, е2х, езх;
в) 0, 1, х; ж) sin х, cosx, 1;
г) х, х-\-1, х-\-2; з) sin2*, cos2*, 1.
2969. Составить линейное однородное дифференциальное
уравнение, зная его фундаментальную систему решений:
г) у^ — е", у%=ехs\nx, y3—excosx.
2970. Зная фундаментальную систему решений линейного
однородного дифференциального уравнения
найти его частное решение у, удовлетворяющее начальным усло-
условиям
2971*. Решить уравнение
зная его частное решение у1 = .
2972. Решить уравнение
х*(\пх— \)у"—
зная его частное решение yt = x.

344 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Методом вариации произвольных постоянных решить неодно-
неоднородные линейные уравнения:
2973. х2у"—ху'==3х3.
2874*. х*у" + ху'—у = х*.
2975. y'"+y'=secx.
§ 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
с постоянными коэффициентами
1°. Однородное уравнение. Линейное уравнение 2-го порядка
с постоянными коэффициентами р и q без правой части имеет вид
y"JrP'/ + qy=O- " 0)
Если ki и fea — корни характеристического уравнения
О, B)
то общее решение уравнения A) записывается в одном из следующих трех
видон:
1) у = CJe!tix~\-C2ekix, если кг и й2 вещественны и к± Ф k2;
2) y = e*i*(Ci + Cajc), если kj=k2;
3) и = еах{,С1 cos $x + C2sinfix), если k^ = a + p» и fe2 = a — Pi (P ^ 0).
2". Неоднородное уравнение. Общее решение линейного неод-
неоднородною дифференциального уравнения
У"Л-РУ' + ЯУ = ИА C)
можно записать в виде суммы
У
где у„— общее решение соответствующего уравнения A) без правой части, оп-
определяемое по формулам 1) —3), и Y — частное решение данного уравнения C).
Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов
в следующих простейших случаях:
1. / (х)=еахРп(х), где Рп(х) — многочлен степени п.
Если а не является корнем характеристического уравнения B), т. е.
<р (а) фО, то полагают Y = eax Qn(x), где Qn (х) — многочлен степени п с не-
неопределенными коэффициентами.
Если а есть корень характеристического уравнения B), т. е. <р(а) = О, то
Y- xreaxQn (х), где г — кратность корня а (г=1 или г==2).
2. f{x)=eax [Рп (х) cos bx + Qm (x)s\nbx].
Если ф (а ± bi) ф 0, то полагают
У = е"х [Sn (x) cos bx + Гдг (х) sinbx],
где 5д'(>) и Тд1 W — многочлены степени Л' = тах{я, т).
Если же (р (а i bi) =0, то
К = Л;геад; [SN (x) cos Ь^ + Гд/ (л;) sin bx],
где л — кратность корней а± Ы (для уравнений 2-го порядка г=1).
В общем случае для решения уравнения C) применяется метод вариации
произвольных постоянных (см. § 11).
Пример 1. Найти общее решение уравнения 2у" — у'—у = 4хегх.
Решение. Характеристическое уравнение 2/г2 — k—1=0 имеет корни
&х=1 и &а = 5". Общее решение соответствующего однородного уравне-

12] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА 345
ния (первый вид) yo = Clex-{-C2e 2 . Правая часть заданного уравнения
{(х) = Ахе2х = еахР„ (х). Следовательно, Y =е2х (Ах + В), так как п—[ и
/¦ = 0. Дифференцируя Y два раза и подставляя производные в данное урав-
уравнение, получим:
Сокращая на е2х и приравнивая друг другу коэффициенты при первых сте-
степенях х и свободные члены в левой и правой частях равенства, имеем5Л = 4
л Ой
и 7Л+5В = 0, откуда & = -§ и в = ~25"
Таким образом, Y = егх [-гХ — ^гЛ , а общее решение данного уравнения
Пример 2. Найти общее решение уравнения у"— 1у'-\-у--хех.
Решение. Характеристическое уравнение k2— 2fe-)-l=0 имеет дву-
двукратный корень ft=l. Правая часть уравнения имеет вид f(x) = xex; здесь
а \ и п=1. Частное решение Y = х2ех (Ах +В), так как а совпадает с дву-
двукратным корнем fe=l и, следовательно, /- = 2.
Дифференцируя Y два раза, подставляя в уравнение и приравнивая коэф-
коэффициенты, получим A = -jt-, В = 0. Следовательно, общее решение данного
уравнения запишется в виде
Пример 3. Найти общее решение уравнения у"-\- у — х sin x.
Решение. Характеристическое уравнение k2jr\~0 имеет корни 6] = i"
и k2-- — ?. Общее решение соответствующего однородного уравнения будет
[см. 3), где а = 0 и 0=1]:
у о — Сх cos х + С2 sin х.
Правая часть вида
/ (*) = е"х [Рп (х) cos Ъх + Qa (х) sin bx],
где а = 0, 6=1, Рп(х) — 0, Qm(x) = x. Ей соответствует частное решение
Y = х ЦАх-\- В) cos x+ (Cx + D) sin x\
(здесь N=\, a = 0, 6 = 1, /-=1).
Дифференцируя два раза и подставляя в уравнение, приравниваем коэф-
коэффициенты в обеих частях равенства при cos я, ясоэлг, sin ж и х sin x. В резуль-
результате получается четыре уравнения 2Л+ 2Д = 0, 4С = 0, —2В + 2С=0, —4/1= I,
из которых и определяются А = —г/4, В = 0, С = 0, D = 1/i. Поэтому Y =
X" X
— —j- cos *+-т- sin л;.
Общее решение
= Ci cos a: + С2 sin jc —j- cos x -\- — sin x.

346 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. IX
3е. Принцип наложения решений. Если правая часть уравне-
уравнения C) есть сумма нескольких функций
н К,- (» = 1, 2, ....я) — соответствующие решения уравнений
y"+py' + qy=fi(x) (' = 1.2, л),
то сумма
является решением уравнения C).
Найти общие решения уравнений:
2976. у" — 5у'+6у = 0. 2977. у" — 9у*=0.
2978. у"—у' = О 2979. у»+у = О.
2980. у" — 2у'+2у = 0. 2981. #" + 4/ + 13у = 0.
2982. у" + 2у'+у = 0. 2983. г/" — 4Jy'
2984. y'' — ky = O (кфО). 2985. у =
2986. 2-ZJi = 3.
Найти частные решения, удовлетворяющие указанным усло-
условиям:
2987. у" — 5у' + 4у = 0; у=5, у'= 8 при х = 0.
2988. у" + Зу' + 2у = 0; у=\, у' = —1 при а: = 0.
2989. у° + 4у = 0; у = 0; у'= 2 при х = 0.
2990. у" + 2у' = 0; у=\, у' = 0 при х = 0.
2991. y' = ^; t/ = a, г/' = 0 при х = 0.
' 2992. у" + Зу'=0; у = 0 при х = 0 и # = 0 при л; = 3.
2993. г/" + л2г/ = 0; г/ = 0 при ^ = 0 и г/ = 0 при х=\.
2994. Указать вид частных решений для данных неоднород-
неоднородных уравнений
а) у" — 4у =
б) " 9
в) /—
г) tf +
Д) г/"-/ у ( )
е) у"—2у' + Ъу = хех cos 2ж—хЧх sin 2дг.
Найти общие решения уравнений:
2995. у" — 4у' + 4у = х*. 2996. у"—у' +у = х3
2997. у" + 2у' + у = е2х. 2998. у" — 8у' + 7у=
2999. у"—у = ех. 3000.
3001. у" + у' — 2у = 8 sin 2л; 3002.
3003. /—2f/' + ^ = sinx + shA;.
3004. г/" + у' = sin2 *.
3005. y"—2y' + 5y = e*cos 2x.

§ 12] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА 347
300б.; Найти решение уравнения у" + 4*/ = sinх, удовлетво-
удовлетворяющее условиям у=\, «/' = 1 при х = 0.
Решить уравнения:
3007. -г-! + со2 х = A sin pt. Рассмотреть случаи: 1) рфа>;
2) /> = ©.
3008. у" — 1у' + \2у= — е*х.
3009. у" — 2у' = х* — 1.
ЗОЮ. у" — '
ЗОИ. у" — у
3012. у" — 2у' — 8y = ex—8cos2x.
3013. t/' + y' = 5;c + 2e*.
3014. у" — г/' = 2х— 1— Зех.
3015. у" + 2г/'-Ьг/ = ед: + е-д;.
3016. у" —
3017. у" —
3018. у" — Зу' = +
3019. Найти решение уравнения у"—2у' = е2* + д;2 — 1, удов-
удовлетворяющее условиям: у = -%, у' = 1 при х =
Решить уравнения:
3020. y" — y = 2xsmx.
3021. i/"—4у = е2л sin 2л;.
3022. y" + 4y = 2sin2x — 3 cos
3023. у" —
3024. у" =
3025. :/ y
3026. у"—2у' —Зг/==х
3027. г/" —2г/' = 2
3028. у" — 4у'+ 4у = хе2*.
3029. у" + 2у —3y = 2
3030*. yy
3031. г/" —2j/ = 2xex(cosx—sinx).
Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить
уравнения:
3032. y" + y = tgx.
3033. y" + y = ctgx.
3034. y"- J
3035.
3036. у" + у = —!—. 3037.
J ' э cos л;
. 3037. у + у Д
cos л; э э sin л;
3038. а) у"—y = thx; б) у" —2у = 4л:2е*2.

348 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
3039. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины.
Найти уравнение движения, которое будет совершать один из
этих грузов, если другой оборвется.
Решение. Пусть увеличение длины пружины под действием одного груза
в состоянии покоя равно а и масса груза т. Обозначим через х координату
груза, отсчитыаае;иую по вертикали от положения равновесия при наличии
одного груза. Тогда
d2x_
где, очевидно, k ——- и, следовательно, -гг5 =—— х. Общее решение есть
а , at2 a
л Сх cos Л/ — /fC2sin 1/ — t. Начальные условия дают х = а и ~т- — 0
та Va at
при ^ = 0; отсюда Сх = а и С2 = 0, следовательно,
а
3040. Сила, натягивающая пружину, пропорциональна увели-
увеличению ее длины и равна 1 кГ, когда длина увеличивается на 1 см.
К пружине подвешен груз весом 2 кГ. Найти период колеба-
колебательного движения, которое получит этот груз, если его слегка
оттянуть книзу и затем отпустить.
3041*. Груз весом Р = 4 кГ подвешен на пружине и увели-
увеличивает ее длину на 1 см< Найти закон движения груза, если
верхний конец пружины совершает вертикальные гармонические
колебания у = 2 sin 30/ см и в начальный момент груз находился
в покое (сопротивлением среды пренебрегаем).
3042. Материальная точка массы m притягивается каждым
из двух центров с силой, пропорциональной расстоянию (коэф-
(коэффициент пропорциональности равен k). Найти закон движения
точки, зная, что расстояние между центрами 2Ь, в начальный
момент точка находилась на отрезке, соединяющем центры, на
расстоянии с от середины его, и имела скорость, равную нулю.
3043. Цепь длины 6 м скользит вниз с подставки без трения.
Если движение начинается с момента, когда свисает 1 м цепи,
то во сколько времени соскользнет вся цепь?
3044*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угло-
угловой скоростью to около перпендикулярной к ней вертикальной
оси. Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без
трения. Найти законы движения шарика относительно трубки,
считая, что:
а) в начальный момент шарик находился на расстоянии а
от оси вращения и начальная скорость шарика равна нулю;
б) в начальный момент шарик находился на оси вращения
и имел начальную скорость v0.

$ 131 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ 2-ГО 349
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами порядка выше 2-го
1°. Однородное уравнение. Фундаментальная система решений
Уъ Hi. ¦•-, Уп однородного линейного уравнения с постоянными коэффициен-
коэффициентами
. + ап-1г/Чавг/=о A)
строится на основе характера корней характеристического уравнения
+eB_1ft + eB = O. B)
А именно: 1) если k есть вещественный корень уравнения B) кратности т,
то ему соответствует т линейно независимых решений уравнения A):
У\=екх,
2) если ос ± E( — пара комплексных корней уравнения B) кратности т,
то ей соответствует 2т линейно независимых решений уравнения A):
2/i = eax cos (Ъс, у2 = еах sinfix, y3 =
.... угт _ t = хт ~ Чах cos fix, yim = хт~Чах sin fix.
2°. Неоднородное уравнение. Частное решение неоднородного
уравнения
C)
отыскивается на основе правил § 12, 2° и 3°.
Найти общие решения уравнений:
3045. у'"— 13у" + 12у'=0. 3046. у'" — у'= 0.
3047. у'" + у = О. 3048. yiV — 2y"=0
3049. у'"— Зу" + 3у' — г/ = 0. 3050. i/IV + 4*/ = 0.
3051. r/lv+8f/" + 16j/ = 0. 3052. t/
3053. ylv—2y"+y = 0. 3054. t/
3055. i/IV —6у"+9г/ = 0. 3056. yxw + a*y" = 0, a
3057. !/'v + 2(/'" + (/" = 0. 3058. y
3059. (/(«) + |^-i)+'il^=ili/(»-2) + ...
3060. (/IV — 2y'"+y" = ex. 3061. f/IV—2г/'"
3062. tJ'" — y = x3 — \. 3063. ?/IV + y'"
3064. y'
3065. г/'
3066. y' + / g
3067. Найти частное решение уравнения
у'"Ч-2у"
удовлетворяющее начальным условиям у @) = у' @) = у" @) = 0.

350 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. IX
§ 14. Уравнение Эйлера.
Линейное уравнение вида
= f(x), A)
где а, Ъ, Ai, ..., Ап-\, Ап—постоянные, называется уравнением Эйлера.
Для области ах-\-Ь > 0 вводим новую независимую переменную Л полагая:
ах-\-Ь = е*.
Тогда
и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными
коэффициентами. При ах-\-Ъ < 0 полагаем ах^-Ъ =— е*.
Пример 1. Решить уравнение хгу" -\-ху' -\-у = I, х > 0.
Решение. Полагая я = в', получим:
dx dV dx* [dt* dtj'
dx
Следовательно, данное уравнение примет вид
d2y _j
откуда
у = С^ cos t-\-C2 sin t-\-1
или
y = Cx cos (In л) -f C2 sin
Для однородного уравнения Эйлера
при х > 0 решение можно искать в виде
У = х*. C)
Подставляя в B) у, у', ..., (/(«', определяемые из соотношения C), получим
характеристическое уравнение, из которого можно найти показатель к.
Если k—действительный корень ' характеристического уравнения кратно-
кратности т, то ему соответствуют т линейно независимых решений
Если а ± pi — пара комплексных корней кратности т, то ей соответствует
2т линейно независимых решений
i (Р In х),
у3 = ха In х cos (C In x), i/4 = xa In jc sin (P In л:),
,_l = *a (In x)m~x cos (P In л), у2т = ха (In a;I"-1 sin

§ 15] СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 351
Пример 2. Решить уравнение хгу"— Зху' + 4у = О,
Решение. Полагаем
Подставляя в данное уравнение, после сокращения на хк получим характе-
характеристическое уравнение
k2
Решая его, находим:
кг
следовательно, общее решение будет:
у = С1х2
Решить уравнения:
3068. х*р[ + Зх^ + у=0.
dx2 ' dx ' у
3069. х*у"—ху'—Зу = 0.
3070. &у" + ху' + 4у = 0.
3071. х3у'" — Зх*у" + 6ху' — 6у = 0.
3072. (Зх + 2)у"+7уг =0.
3073. у" = Ч.
3074. y" + ^ + J = O.
3075. ху — 4ху' + 6у = х.
3076. A +л:Jг/" —3A +х) у' + 4г/ = A +хK.
3077. Найти частное решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям: у = 0, у' = 1 при #=1.
§ 15. Системы дифференциальных уравнений
Метод исключения. Для нахождения решения, например, нормаль-
нормальной системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, т. е. системы
вида
йу , , dz . . ...
?=f (х, у, z), ^=g (x, у, г), A)
разрешенной относительно производных от искомых функций у и г, диффе-
дифференцируем по х одно из них. Имеем, например:
d*y_df д[ df
Определяя г из первого уравнения системы A) и подставляя найденное вы-
выражение
Ud?) C)

352
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
в уравнение B), получим уравнение 2-го порядка с одной неизвестной функ-
функцией у. Решая его, находим:
I/ = -ф (*, Ci, C2), D)
где С1 и С2 — произвольные постоянные. Подставляя функцию D) в форму-
формулу C), определяем функцию г без новых интеграции. Совокупность формул
C) и D), где у заменено на i|>, дает общее решение системы A).
Пример. Решить систему
dz
Решение. Дифференцируем первое уравнение по х:
1х*^2<1х^~4Лх = 4'
\ I du \
Из первого уравнения определяется г—-г\ 1 +4*—Т~~^У и Т0ГДа
4 \ dx j
из вто-
второго будем иметь: -т- = -?-х2-f х + -= ^-у—-ггг ¦ Подставляя г и -j- в
uX Ji 4^4 0-Х CIX
уравнение, полученное после дифференцирования, приходим к уравнению 2-го
порядка с одной неизвестной у:
Решая его, найдем:
и тогда
Аналогично можно поступать и в случае системы с большим числом урав-
уравнений.
Решить системы:
dJL
3078.
3080.
-z
3081.
du
3079. \ df2
(dx
и = У-
dt~2'
dt~x-

16] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
( dx.
dy
353
3082.
3084.
3086.
3088. а)
б)
3083.
3085.
3087.
dz
= 0, 2 = 0 при x = 0.
dx
: = 0, у= 1 при t = l
dx dy dz
dx
dy
dz
:т;
dz
Z—X X — у '
x—у х +
в)* —^—= —^—= —^—, выделить интегральную кри-
вую, проходящую через точку A; 1;—2).
3089.
3090.
d2 , J2_
dx, х^У ~
3091**. Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью
va под углом а к горизонту. Найти уравнение движения сна-
снаряда, принимая сопротивление воздуха пропорциональным
скорости.
3092*. Материальная точка М притягивается центром О с
силой, пропорциональной расстоянию. Движение начинается
из точки А на расстоянии а от центра с начальной скоростью
v0, перпендикулярной к отрезку О А. Найти траекторию точки М.
§ 16. Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов
Если интегрирование дифференциального уравнения при помощи элемен-
элементарных функций не удается, то его решение в некоторых случаях можно
искать в виде степенного ряда
CD
Под ред. Б. П. Демидовича

354 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УР-АВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Неопределенные коэффициенты сп (я = 0, 1, 2, ...) находятся путем подста-
подстановки ряда A) в уравнение и приравнивания коэффициентов при одинако-
одинаковых степенях бинома х — х0 в левой и правой частях полученного равенства.
Можно также искать решение уравнения
У' = Н*.У) B)
в виде ряда Тейлора
где у (хо) = уа, у' (xa) = f(x0, у0) и дальнейшие производные (/<"> (х0) (л = 2, 3, ...)
последовательно находятся при помощи дифференцирования уравнения B)
и подстановки вместо х числа х0.
Пример 1. Найти решение уравнения
если у = Уо, у' = Уа при х =
Решение. Полагаем
отсюда, дифференцируя, получим:
у" = 2.1с,-| 3.2с3х+ • •. +л (я-1) спх»-* + (п+ 1) ncn+i х"
Подставляя у и у" в данное уравнение, приходим к тождеству
[2.1с2-!-3-2с3*:+...-|-л(л — \)с,1хп-^-\-(п+\)псп + 1х"-1-\-
+ 1) сп + гх"+. ..]—х [со-{-с1х+ ... +спх»+.. .] ^ 0.
Собирая в левой части полученного равенства члены с одинаковыми степе-
степенями х и приравнивая нулю коэффициенты при этих степенях, будем иметь
5.4с5-с2 = 0, с6 = ^ и т.д.
Вообще,
?о ?i_
0 (A=l, 2, 3, ...).
Следовательно,
D)
где со = уо и С! = #о-
Применяя признак Даламбера, легко убедиться, что ряд D) сходится при
— ОЭ < X < -f- 00.

S 17] ЗАДАЧИ НА МЕТОД ФУРЬЕ 355
Пример 2. Найти решение уравнения
(/'=* + //; yo==y(O)=L
Решение. Полагаем
Имеем (/о = 1. {/о = О+1 = 1. Дифференцируя обе части уравнения у' = х-\-д,
последовательно находим y"=l-\-y', j/o=l + l=2, у'"—у", у'о" = 2, и т.д.
Следовательно,
Для разбираемого примера найденное решение можно записать в конечном виде
у=\+х-\-2(ех—\—х) или у = 2ех—1_ х<
Аналогично следует поступать в случае, дифференциальных уравнений
высших порядков. Исследование сходимости полученных рядов, вообще го-
говоря, сложно и при решении задач этого параграфа обязательным не пред-
предполагается.
Найти с помощью степенных рядов решения уравнений при
указанных начальных условиях.
В №jS|b 3097, 3098, 3099, 3101 исследовать сходимость полу-
полученных решений.
3093. у' = у + х\ у = —2 при * = 0.
3094. у' = 2у-\-х —\; у = у0 при х=1.
3095. у' = у* + х3; у = ^ при х = 0.
3096. у'=х* — уг; у = 0 при х = 0.
3097. A—х)у' = \+х—у; у = 0 при х = 0.
3098*. ху" + у = 0; у = 0, у' = \ при х = 0.
3099. у" + ху = 0; у=1, у' = 0 при х = 0.
3100*. у"+^у'+у = О; у=\, у' = 0 при х = 0.
3101*. у" + 1у'+у = 0; у=\, у' = 0 при л = 0.
3102. -^-+*cos/ = 0; л; = а, -^- = 0 при / = 0.
§ 17. Задачи на метод Фурье
Для нахождения решения линейного однородного дифференциального
уравнения в частных производных по методу Фурье сначала отыскивают
частные решения этого уравнения специального типа, каждое из которых
представляет собой произведение функций, зависящих только от одного аргу-
аргумента. В простейшем случае имеется бесконечная совокупность таких реше-
решений ип (и=1, 2, ...), линейно независимых в любом конечном числе между
собой и удовлетворяющих заданным граничным условиям. Искомое решение и
12*

356 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ?ГЛ. IX
представляется в виде ряда, расположенного по этим частным решениям:
/7=1
Остающиеся неопределенными коэффициенты Сп находятся из начальных
условий.
Задача. Поперечное смещение и-=и(х, t) точек струны с абсциссой х
в момент времени t удовлетворяет уравнению
д'-и __ , д*и
~W~~a~ дх* ' A)
Т
где о2 = —Д (Го — сила натяжения, р — линейная плотность струны). Найти
форму струны в момент времени t, если концы ее х = 0 и х=1 закреплены
и в начальный момент ^ = 0 струна имела форму параболы и = -^- х (I — х)
(рис. 107) и точки ее имели ско-
Z/j)l рость, равную нулю.
Решение. Согласно условию
задачи требуется найти решение
и = и(х, t) уравнения B), удовлет-
удовлетворяющее граничным условиям:
«@, 0 = 0, иA, 0 = 0 C)
и начальным условиям:
Ah
Рис.107. и(х,0) = -р-хA—х),
u't(x, 0) = 0.
Ищем ненулевые решения уравнения B) специального вида и~Х (х) Т (t).
Подставив это выражение в уравнение B) и разделив переменные, получим:
Т" (/) _ X" (х)
аЧ @ ~ X (х) - к '
Так как переменные х и t являются независимыми, то тождество E) воз-
возможно лишь в том случае, когда общая величина отношения E) будет посто-
постоянной. Обозначая эту постоянную через —Я2, найдем два обыкновенных диф-
дифференциальных уравнения:
2-Г@ = 0 и
Решая эти уравнения, получим:
Т (t) = A cos a U-+ В sin а У,
X (х) — С cos Xx + D sin \x,
где А, В, С, D—произвольные постоянные. Из условия C) имеем: Х@) = 0
и -Y(/) = 0, следовательно, С = 0 и sin А/ = 0 (так как D не может одновре-
менно с С равняться нулю). Поэтому ^м==~г~ < где ^—целое число. Легко
убедиться, что мы не потеряем общности, взяв для k лишь положительные
значения (й=1, 2, 3, ...). Каждому значению Яд соответствует частное

§ 17] ЗАДАЧИ НА МЕТОД ФУРЬЕ 357
решение
/ . kan . kan Л . knx
aft=^ftcos-j-/+Bftsin—M sin-у-,
удовлетворяющее граничным условиям C).
Составим ряд
^ч / , kant . kant\ . knx
„_2д ftCOS —- .sm—jsin—,
сумма которого, очевидно, удовлетворяет уравнению B) и граничным усло-
условиям C).
Подберем постоянные Аь и В& так, чтобы сумма ряда удовлетворяла
начальным условиям D). Так как
ди ¦*--, kan ( , . kant , „ kant\ . knx
то, полагая t=0, получим:
u(x.
ди(х,
dt
0)
0)
k=\
00
k=l
AkS'u
kan
1
knx
Ah
= 1*
knx
1
Следовательно, для определения коэффициентов Аъ и Вь надо разложить
Ah
в ряд Фурье по одним синусам функцию и (х, 0)=-ргх (I — х) и функцию
ди (.у, 0) _
Ш '
По известным формулам (гл. VIII, § 4, 3е) имеем:
I
. . knx , 32/i
2 Г 4/i
о
если k — нечетное, и >4^ = 0, если k — четное;
kan 2 f . Ых_
О
Искомое решение будет:
B/2+Пая*
„„, м COS -г1

358 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
3103*. В начальный момент / = 0 струна, закрепленная на
концах х = 0 и х = I, имела форму синусоиды и = A sin -^ , причем
скорости точек ее были равны нулю. Найти форму струны в мо-
момент времени t.
3104*. В начальный момент / = 0 точкам прямолинейной
струны 0 < х < I сообщена скорость ~ = 1. Найти форму струны
в момент времени /, если концы ее х = 0 и х = 1 закреплены
(см. задачу 3103).
3105*. Струна длиной /=100 см, закрепленная на концах
х = 0 и х — 1, в начальный момент оттянута в точке л; = 50 см
на расстояние к = 2см, а затем опущена без толчка. Определить
форму струны для любого момента времени t.
3106*. При продольных колебаниях тонкого однородного пря-
прямолинейного стержня, ось которого совпадает с осью ОХ, сме-
смещение и = и(х, I) поперечного сечения стержня с абсциссой х
в момент времени t удовлетворяет уравнению
dt* дх* '
где я2 = — (Е — модуль Юнга, р — плотность стержня). Опреде-
Определить продольные колебания упругого горизонтального стержня
длины / = 100 см, закрепленного на конце х = 0 и оттянутого
на конце х=100 на длину А/=1 см, а затем опущенного без
толчка.
3107*. Для прямолинейного однородного стержня, ось кото-
которого совпадает с осью ОХ, температура и = и(х, t) в сечении
с абсциссой х в момент времени I при отсутствии источников
тепла удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди „ д2и
¦ = а
2
2 »
dt ~ "¦ дх
где а —постоянная. Определить распределение температуры для
любого момента времени t в стержне длины /=100 см, если
известно начальное распределение температуры
и(х, 0) = 0,01л;A00—х).

ГЛАВА X
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1, Действия с приближенными числами
1°. Абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностью (абсо-
(абсолютной ошибкой) приближенного числа а, заменяющего точное число А, на-
называется абсолютная величина разности между ними. Число Д, удовлетворяю-
удовлетворяющее неравенству
|Л-в|<Д, A)
называется предельной абсолютной погрешностью. Точное число Л находится
в границах а — Д<Л<а + Д или, короче, А = а ± Д.
2°. Относительная погрешность. Под относительной погреш-
погрешностью (относительной ошибкой) приближенного числа а, заменяющего точ-
точное число А (А > 0), понимается отношение абсолютной погрешности числа а
к точному числу А. Число б, удовлетворяющее неравенству
называется предельной относительной погрешностью приближенного числа а,
Так как на практике А х а, то за предельную относительную погрешность
часто принимают число 6=—,
3°. Число верных десятичных знаков. Говорят, что поло-
положительное приближенное число а, записанное в виде десятичного разложения,
имеет л верных десятичных знаков (цифр) в узком смысле, если абсолютная
погрешность этого числа не превышает -~- единицы п-го разряда. В этом слу-
случае при п > 1 за предельную относительную погрешность можно принять
число
где k—первая значащая иифра числа а. Обратно, если известно, что
1 / 1 \"~г
6< -г-г , то число а имеет п верных десятичных знаков в узком
z (к + 1) \luj
смысле. В частности, число а заведомо имеет п верных знаков в узком смысле,
если .-I"-"

360 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превышает еди-
единицы последнего разряда (таковы, например, числа, возникающие при измере-
измерении с точностью до соответствующей единицы), то говорят, что все десятичные
знаки этого приближенного числа верные в широком смысле. При наличии
большего числа значащих цифр в приближенном числе последнее, если оно
является окончательным результатом вычислений, обычно округляют так,
чтобы все оставшиеся цифры были верными в узком или широком смысле.
В дальнейшем мы будем предполагать, что в записи исходных данных все
цифры верные (если не оговорено противное) в узком смысле. Что касается
результатов промежуточных вычислений, то они могут содержать одну-две
запасные цифры.
Заметим, что примеры этого параграфа, как правило, представляют собой
результат окончательных вычислений, и поэтому ответы к ним даются при-
приближенными числами, содержащими лишь верные десятичные знаки.
В дальнейшем, в теоретических введениях, приводятся лишь краткие
указания; за подробностями следует обращаться к специальной литературе.
4°. Сложение и вычитание приближенных чисел. Пре-
Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чисел
равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих чисел. Поэтому, чтобы
иметь в сумме небольшого количества приближенных чисел, все десятичные
зеоки которых верны, лишь верные цифры (по меньшей мере в широком
смысле), следует подравнять все слагаемые по образцу того слагаемого, деся-
десятичная запись которого обрывается ранее других, сохраняя в каждом из них
запасной знак. Затем сложить полученные числа, как точные и округлить
сумму на один знак.
Если приходится складывать неокругленные приближенные числа, то их
следует округлить, сохраняя в каждом из слагаемых- один-два запасных знака,
а затем руководствоваться приведенным выше правилом сложения, удерживая
соответствующие лишние знаки в сумме до конца выкладок.
Пример 1. 215,21 + 14,182 + 21,4 = 215,2A)+ 14,1 (8) + 21,4 = 250,8.
Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превы-
превышает наибольшей нз относительных погрешностей этих слагаемых.
Относительная погрешность разности не поддается простому учету.
Особенно неблагоприятна в этом смысле разность двух близких чисел.
Пример 2. При вычитании приближенных чисел 6,135 и 6,131, с че-
четырьмя верными десятичными знаками, получаем разность 0,004. Предельная
i. 0,001+10,001 ,
относительная погрешность ее равна 6=^^
довательно, ни один знак разности не является достоверным. Поэтому сле-
следует по возможности избегать вычитания близких между собой приближенных
чисел, преобразуя, в случае надобности, данное выражение так, чтобы эта
нежелательная операция отсутствовала.
5°. Умножение и деление приближенных чисел. Пре-
Предельная относительная погрешность произведения и частного приближенных
чисел равна сумме предельных относительных погрешностей этих чисел.
Исходя из этого и применяя правило числа верных знаков C°), мы сохраняем
в ответе лишь определенное количество знаков.
Пример 3. Произведение приближенных чисел 25,3-4,12=104,236.
Предполагая, что все знаки сомножителей верные, получаем, что пре-
предельная относительная погрешность произведения
6=^0,01+^0,01 «0,003.
Отсюда число верных знаков произведения равно трем и результат, если он

§ и
ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
361
является окончательным,
25,3-4.12= 104,2 ± 0,3.
(iJ. Возведение в
ближенных чисел
следует писать так: 25,3-4,12 = 104 или точнее
степень и извлечение корня из при-
приПредельная относительная погрешность т-й степени
приближенного числа а равна m-кратной предельной относительной погреш-
носш этого числа.
Предельная относительная погрешность корня m-й степени из прибли-
приближенного числа а составляет ю часть предельной относительной погреш-
носш числа а.
7. Вычисление погрешности результата различных
действий над приближенными числами. Если Aalt .. ., Да,,—
предельные абсолютные погрешности приближенных чисел а1э .... а„, то пре-
предельная абсолютная погрешность AS результата
приближенно может быть оценена по формуле
да„
Предельная относительная погрешность S тогда равна
К
I/I
дап
Аап
1/1
dlnf
да±
LlUn U til I . ,
ГТТ= "лГ^ Да1 +
дап
Аа„.
Пример 4. Вычислить S = ln A0,3+ /4,4); приближенные числа 10,3
и 4,4 нерпы в написанных знаках.
Решение. Подсчитаем сначала предельную абсолютную погрешность AS
в общем виде: S —1п(а!-/й), AS = ^= ( Да-|—= т=" 1 ¦ Имеем Да =
а+уЬ \ 2 у b )
— Ab * —; /4,4^2,0976...; мы оставляем 2,1, так как относительная по-
погрешность приближенного числа /4,4 равна ~ is •-aj\—ju\\ абсолютная по-
:2-—= т-г; за десятые доли можно поручиться.
грешность тогда равна
Следовательно,
1
10,3+2,1
I
1
2 20-2,1 У " 12,4-20
; 0,005.
Значит, сотые доли будут верны.
Теперь ведем вычисления с одним запасным знаком:
lg A0,3 Ь /5Л) я lg 12,4=1,093; In A0,3+ /51) и 1,093-2,303=2,517.
Получаем ответ: 2,52.
8°. Установление допустимых погрешностей прибли-
приближенных чисел при заданной погрешности результата
действий над ними. Применяя формулы пункта 7° при заданных нам
величинах AS или й5, считая при этом равными друг другу все частные диф-
df
ференциалы
да/.
или величины
1
да/,
\f\ '
мы вычисляем допустимые
абсолютные погрешности Aalt ..., Да,,, или, соответственно, относительные

362 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
погрешности 6ai, ..., Ьап приближенных чисел at, ,ч, ап, входящих в дей-
действия (принцип равных влияний).
Следует отметить, что иногда при подсчете допустимых погрешностей
аргументов функции невыгодно пользоваться принципом равных влияний, так
как последний может предъявить практически невыполнимые требования.
В этих случаях рекомендуется разумно перераспределить погрешности, если
это возможно, с таким расчетом, чтобы суммарная погрешность не превышала
заданной величины. Таким образом, поставленная задача, строго говоря,
неопределенна.
Пример 5. Объем «цилиндрического отрезка», т.е. тела, отсеченного
от кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания,
2
равный 2R, под углом а к основанию, вычисляется по формуле V=^r R3tga.
о
С какой точностью следует измерять радиус R» 60 см и угол наклона а,
чтобы объем цилиндрического отрезка был известен с точностью до 1%?
Решение. Если AV, AR и Да—предельные абсолютные погрешности
величин V, R и а, то предельная относительная погрешность вычисляемого
объема V есть
.„ АУ=ЗА# 2Аа
V R +sin2a
_ 34Д 1 2Да 1 _
Полагаем -^-«200 И ШШ<200- °ТСЮДа
R 60 a ,
sin 2a
<
Итак, мы обеспечим требуемую точность ответа в 1%, если будем изме-
измерять радиус с точностью до 1 мм, а угол наклона а с точностью до 9'.
3108. В результате измерения получены верные в широком
смысле в написанных знаках приближенные числа:
а) 12°07'14"; б) 38,5 см; в) 62,215 кг.
Вычислить их абсолютные и относительные погрешности.
3109. Вычислить абсолютные и относительные погрешности
приближенных чисел, верных в узком смысле в написанных
знаках:
а) 241,7; б) 0,035; в) 3,14.
3110. Определить число верных знаков*) и дать соответст-
соответствующую запись приближенных чисел:
а) 48 361 при точности в 1%; в) 592,8 при точности в 2%.
б) 14,9360 при точности в 1%;
3111. Произвести сложение приближенных чисел, верных
в написанных знаках:
а) 25,386 + 0,49 + 3,10 + 0,5; в) 38,1+2,0 + 3,124.
б) 1,2.102 + 41,72 00
*) Верные знаки понимаются в узком смысле.

§ 1] ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ 363
3112. Произвести вычитание: приближенных чисел, верных
в написанных знаках:
а) 148,1—63,871; б) 29,72—11,25; в) 34,22—34,21.
3113*. Вычислить разность площадей двух квадратов, стороны
которых по измерению равны 15,28 см и 15,22 см (с точностью
до 0,05 мм).
3114. Вычислить произведение приближенных чисел, верных
в написанных знаках:
а) 3,49-8,6; б) 25,1-1,743; в) 0,02-16,5.
Указать возможные границы результатов.
3115. Стороны прямоугольника равны 4,02 м и 4,96 м (с точ-
точностью до 1 см). Вычислить площадь прямоугольника.
3116. Вычислить частное приближенных чисел, верных в на-
написанных знаках:
а) 5,684:5,032; б) 0,144:1,2; в) 2,16:4.
3117. Катеты прямоугольного треугольника равны 12,10 см
и 25,21 см (с точностью до 0,01 см). Вычислить тангенс угла,
противолежащего первому катету.
3118. Вычислить указанные степени приближенных чисел
(основания степеней верны в написанных знаках):
а) 0.41582; б) 65,23; в) 1,52.
3119. Сторона квадрата равна 45,3 см (с точностью до 1 мм).
Найти площадь квадрата.
3120. Вычислить значения корней (подкоренные числа верны
в написанных знаках):
а) /2Т7Т5"; б) j/6572; в) /81,1.
3121. Радиусы оснований и образующая усеченного конуса
равны: /? = 23,64см±0,01 см; г = 17,31 см + 0,01 см; / = 10,21 см±
±0,01 см; число л =3,14. Вычислить по этим данным полную
поверхность усеченного конуса. Оценить абсолютную и относи-
относительную погрешности результата.
3122. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна-
15,4 с/и + 0,1 см; один из катетов равен 6,8 ом ±0,1 см. Как
точно могут быть определены по этим данным второй катет и
прилежащий к нему острый угол? Найти их значения.
3123. Вычислить удельный вес алюминия, если алюминиевый
цилиндр диаметром 2 см и высотой 11 см весит 93,4 г. Относи-
Относительная погрешность измерения длин равна 0,01, а относитель-
относительная погрешность взвешивания равна 0,001.
3124. Вычислить ток, если электродвижущая сила равна
221 вольт ± 1 вольт, а сопротивление равно 809 ом ± 1 ом.
3125. Период колебаний маятника длины / равен
т=\

364 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
где g—ускорение силы тяжести. С какой точностью следует
измерить длину маятника, период колебаний которого близок
к 2 сек, чтобы получить период его колебаний с относительной
погрешностью в 0,5%? Как точно должны быть взяты числа
л и g?
3126. Требуется измерить с точностью в 1% площадь боко-
боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований кото-
которого 2 м и 1 м, а образующая 5 м (приближенно). С какой
точностью следует измерить радиусы и образующую и со сколь-
сколькими знаками следует взять число л?
3127. Для определения модуля Юнга по прогибу стержня
прямоугольного сечения применяется формула
г- 1 РР
4 d3bs •
где I—длина стержня, b и d — основание и высота поперечного
сечения стержня, s — стрела прогиба, Р — нагрузка. С какой
точностью следует измерить длину / и стрелу s, чтобы погреш-
погрешность Е не превышала 5,5% при условии, что Р известна
с точностью до 0,1%, величины dub известны с точностью
до 1%, /«50 см, s да 2,5 см?
§ 2. Интерполирование функций
Iе. Интерполяционная формула Ньютона. Пусть х0,
*i, ..., хп— табличные значения аргумента, разность которых А = Дл,-
(Ах[ = Х[+1 — хс i = 0,l, ...,п—1) постоянна (шагтаблицы) и уа, ух, ...,уп—
соответствующие значения функции у. Тогда значение функции у для проме-
промежуточного значения аргумента х приближенно дается интерполяционной
формулой Ньютона
где q = ^—~- и Ауо = У1 — Уо> Д2#о== A#i — Ау0. ...—последовательные конеч-
конечные разности функции у. При x = .r,-(t = 0, 1, ... п) полином A) принимает
соответственно табличные значения i/,-(i = 0, 1, ..., п). Как частные случаи
формулы Ньютона получаем: при ;г=1—линейное интерполирование; при
и—2 — квадратичное интерполирование. Для удобства пользования формулой
Ньютона рекомендуется предварительно составлять таблицу конечных разностей.,
Если y = f(x) — многочлен п-й степени, то
и, следовательно, формула A) является точной.
В общем случае, если / (х) имеет непрерывную производную [(п + 1)(х) на
отрезке [а, Ь], включающем точки х0, xlt ..., хП и х, то погрешность фор-
формулы A) равна
;f g+§ B)

§2]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
365
где |— некоторое промежуточное значение между *,-((= О, 1,
практике пользуются более удобной приближенной формулой
.., л) и х. На
Я,,
A+1I
<7(<7— О ••¦ (Ч — п).
Если число /г можно взять любым, то его следует выбирать так, чтобы
разность Дя + 11/0 я; О в пределах данной точности; иными словами, разности
Д"(/о должны быть постоянны в заданных десятичных разрядах.
Пример 1. Найти sin26°15', пользуясь табличными данными
sin 26° = 0,43837, sin 27° = 0,45399, sin 28° = 0,40947.
Решение. Составляем таблицу
с
0
1
. 2
26°
27°
28°
«i
0,43837
0,45399
0,46947
л*,
1562
1548
Д!1/(-
—14
Здесь Л = 60', <7 =
26°15' — 26°
60'
4 '
Применяя формулу A), используя первую горизонтальную строку таб-
таблицы, имеем:
sin 26°15' =0,43837+— 0,01562+-
2!
. (—0,00014) = 0,44229.
Оценим погрешность R2. Используя формулу B) и учитывая, что если
siux, то |{/(п)|<1> будем иметь:
.4D 0 D 2)( я у_ 7_
3! \18OJ 128'57,333
1
Таким образом, все приведенные знаки sin26°15'—верные.
С помощью формулы Ньютона можно также по заданному промежуточ-
промежуточному значению функции у находить соответствующее значение аргумента х
(обратное интерполирование). Для этого сначала определяем соответствующее
значение q методом последовательных приближений, полагая:
*,пУ-Уо
я!
Ауа
(i =0, 1, 2, ...).
За g принимаем общее значение (с заданной точностью!) двух последователь-
последовательных приближений ^(m) = ^<m + i). Отсюда x — xa-\-q-h.

366 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Пример 2. Пользуясь таблицей
[ГЛ. X
X
2,
2,
2,
2
4
6
4
5
6
,457
,466
,695
1
1
л.
,009
,229
0
А*
,220
приближенно вычислить корень уравнения sh;t: = 5.
Решение. Принимая f/0 = 4,457, имеем
1,009 ~1,009 "•"""¦
0,538-0,462 0,220
Ауа
= 0,538+-
^
2 * 1,009
= 0,538 + 0,027 = 0,565;
=0,538 + 0,027 = 0,565.
2 1,009"
Таким образом, можно принять
* = 2,2+ 0,565-0,2 = 2,2 + 0,113 = 2,313,
2°. Интерполяционная формула Лагранжа. В общем слу-
случае полином степени п, принимающий при х = Х( заданные значения
y;(i = 0, I, .ii( «), дается интерполяционной формулой Лагранжа
У = 1
0 — Xl) (Х0-Х2).. .(
\ У о ~\— т~^ ъц_1' * п
— Хп)
(x—xo)(x—x1)...(x—xk-1)(x—xk+1)...(x—xtt)
" (хк—х0) (хк—х1)...(хк—хк-1) (хк—хк+1)... (хк—хп) *"*"'
¦ " ^{Хп-Хй) (Xn-Xl). . .(Ха-«„_!
3128. Дана таблица значений величин х и у:
X
У
1
3
2
10
3
15
4
12
5
9
6
5
Составить таблицу конечных разностей функции у.
3129. Составить таблицу разностей функции у = х3 — 5х2 + х—1
для значений х=\, 3, 5, 7, 9, 11. Убедиться в том, что все
конечные разности 3-го порядка равны между собой.
3130*. Используя постоянство разностей 4-го порядка, со-
составить таблицу разностей функции у = х* — 1 Ох3 + 2х2 + Зх для
целых значений х, заключенных в промежутке 1<10

2]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
367
3131. Дана таблица
lg 1=0,000,
lg 2 = 0,301,
lg 3 = 0,477,
lg 4 = 0,602,
lg 5 = 0,699.
Вычислить с помощью линейного интерполирования числа: lg 1,7,
Ig2,5, Ig3,l и Ig4,6.
3122. Дана таблица
sin 10а = 0,1736, sin 13° = 0,2250,
sinll° = 0,1908, sinl4° = 0,2419,
sin 12° = 0,2079, sin 15° = 0,2588.
Уплотнить таблицу, вычислив по формуле Ньютона (при п = 2)
значения синуса через полградуса.
3133. Составить интерполирующий многочлен Ньютона для
функцли, заданной таблицей
X
У
0
1
1
4
2
15
3
40
4
85
3134*. Составить интерполирующий многочлен Ньютона для
функции, заданной таблицей
X
У
2
3
4
11
6
27
8
50
10
83
Найти у при х = 5,5. При каком х величина у = 20?
3135. Функция задана таблицей
X
У
— 2
25
1
— 8
2
— 15
4
— 23
Составить интерполирующий многочлен Лагранжа и найти зна-
значение у при х = 0.

368
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
3136. Из опыта найдены величины удлинения пружины (х мм)
в зависимости от нагрузки (Р кГ) на эту пружину:
X
р
5
49
10
105
15
172
20
253
25
352
30
473
35
619
40
793
Найти нагрузку, дающую удлинение пружины на 14 мм.
3137. Дана таблица величин хну
X
У
0
1
1
—3
3
25
4
129
5
381
Вычислить значения у для # = 0,5 и для х — 1: а) с помощью
линейного интерполирования; б) по формуле Лагранжа.
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений
1° Установление начальных приближений корней.
Приближенное нахождение корней данного уравнения
/(*) = 0 (I)
складывается из двух этапов: 1) отделения корней, т. е. установления про-
промежутков, по возможности тесных, внутри которых находится один и только
один корень уравнения A); 2) вычисления корней с заданной степенью точности.
Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а,Ь], причем
f(a)-f(b) < 0, то на [а, Ь] находится по меньшей мере один корень | уравнения
A). Этот корень будет заведомо единственным, если /' (х) > 0 или /' (х) < 0
при а < х < Ь.
Для приближенного нахождения корня ? рекомендуется на миллиметро-
миллиметровой бумаге построить график функции y = f(x). Абсциссы точек пересечения
графика с осью ОХ и являются корнями уравнения /(х) = 0. Иногда удобно
данное уравнение заменить равносильным ему уравнением ф (*) = г|) (х). Тогда
корни уравнения находятся как абсциссы точек пересечения графиков у = ($ (х) и
у = М}(х).
2°. Правило пропорциональных частей (метод хорд).
Если на отрезке [а,Ь] находится единственный корень ? уравнения /(jc) = O,
где функция f(x) непрерывна на отрезке [а,Ь], то, заменив кривую y = f(x)
хордой, проходящей через точки (а; / (а)) и (й; / (Ь)), получим первое при-
приближение корня
Для получения второго приближения с2 формулу B) применяем к тому из
отрезков [а, сх] или [съ Ь], на концах которого функция f (х) имеет значения
противоположных знаков. Так же строятся и следующие приближения. По-
Последовательность чисел с„(и=1,2, <..) сходится к корню ?, т. е.
lim с„ = ?,>
n-*oo

§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИИ 369
Вычисления приближений съ с2, •>>, вообще говоря, следует производить
до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые нами в ответе деся-
десятичные знаки (в соответствии с заданной степенью точности!); для промежу-
промежуточных выкладок надлежит брать один-два запасных знака. Это замечание
имеет общий характер.
Если функция / (х) имеет отличную от нуля непрерывную производную
{' (х) на отрезке [а, Ь], то для оценки абсолютной погрешности приближен-
приближенного корня с„ можно воспользоваться формулой
где ц= min |/*(*)|.
а < х < Ъ
3° Способ Ньютона (метод касательных). Если /' (х) Ф О
и f" (х) ф<) при а<х<6, причем / (а) /(Ь) < 0, / (а) /" (а) > 0, то последова-
последовательные приближения хп(п = 0, 1,2, ...) корня ? уравнения }(x) = Q вычисля-
вычисляются по формулам
хо^а, x. = xB-i-K»-l}. (n=l,2, ...). C)
При данных предположениях последовательность хп (п= 1, 2, ,..) —мо-
—монотонная, и
lim xn = %i
Для оценки погрешностей можно воспользоваться формулой
где (г= min \f (x)\.
а < *< Ь
Практически удобнее пользоваться более простыми формулами
хй = а, х„ = хп-г — af(xn-t) (n=l,2, ...), C')
где а= , дающими примерно ту же точность, что и формулы C).
Если / (Ь) I" (Ь) > 0, то в формулах C) и C') следует положить хо = Ь,
4°. Способ итерации. Пусть данное уравнение приведено к виду
* = Ф(*). D)
где | ф' (х) | < г < 1 (г — постоянная) при а<:х^Ь. Исходя из начального
значения хй, принадлежащего отрезку [а,Ь], построим последовательность
чисел Xi, jca, ... по следующему закону:
*1 = ф(*о). xi = (f(x1), ..., д:„ = ср(л:н_1)>... E)
Если а<хп<6 (я=1, 2, ...), то предел
является единственным корнем уравнения D) на отрезке [а, Ь], т. е.
хп суть последовательные приближения корня g.
Оценка абсолютной погрешности л-го приближения хп дается формулой
it v i —-1^д+i ^д I
IS —хп I ^> j f •

370 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
Поэтому, если хп и хп + 1 совпадают с точностью до е, то предельная абсолютная
, е
погрешность для хп будет — ,
1 — Г
Для преобразования уравнения f(x) = O к виду D) заменяем последнее
эквивалентным уравнением
х = х—Xf (х),
где число X ф 0 выбирается так, чтобы функция —т-\х — ?./(л;)] = 1—Xf (x)
была малой по абсолютной величине в окрестности точки х0 (например, можно
положить 1—Xf (xo) = O).
Пример 1. Привести уравнение 2х — In*—4 = 0 при начальном при-
приближении корня хо = 2,5 к виду D).
Р е ш е н ие. Здесь f (х) = 2х— 1п х—4; f'(x)=2 . Пишем эквивалент-
эквивалентное уравнение х = х—X Bх — 1п х — 4) и в качестве одного из подходя-
подходящих значений X берем 0,5 — число, близкое к корню уравнения
1_хB-—)\ =0, т. е. к-г^ я 0,6.
V X J \ лг=2,5 1.6
Исходное уравнение приводится к виду
х = х — 0,5 Bх— In* — 4)
или
Пример 2. Вычислить с точностью до 0,01 корень ? предыдущего
уравшния, заключенный между 2 и 3.
Вычисление корня по способу итерации. Используем ре-
результат примера 1, полагая лго = 2,5. Вычисление ведем по формулам E)
с одним запасным знаком.
*i = 2 + -i-ln2,5 я 2,458,
*2 = 2 + yln2,458 w 2,450,
x3 = 2 + i-ln 2,450;=; 2,448,
1
г. — 9 j In 9 44Я ~ 9 44Я
Итак, 5 ~ 2,45 (процесс дальнейших приближений можно прекратить,
так как третий десятичный знак (тысячные) закрепился).
Приведем оценку погрешности. Здесь
<р(*) = 2 + 11п*иФ'(*) = 4-.
Считая, что все приближения хп лежат на отрезке [2,4; 2,6], получим:
"Р'М1 = о4-т = 0,21.

§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ 371
Следовательно, предельная абсолютная погрешность приближения .v3 B силу
приведенного выше замечания есть
?^ 0.001.
Таким образом, точный корень ? уравнения содержится в границах
2,447 < I < 2,449;
можно принять I и 2,45, причем все знаки этого приближенного числа будут
верными в узком смысле.
Вычисление корня по способу Ньютона. Здесь
На отрезке 2 < х < 3 имеем: /' (х) > 0 и f" (х) > 0; / B) / C) < 0; / C) /" C) > 0.
Следовательно, условия пункта 3° при хй — Ъ выполнены.
Принимаем
«=B-1)-'=0.6.
Вычисления ведем по формулам C') с двумя запасными знаками
Zl = 3 —0,6B.3—1пЗ — 4) = 2,4592;
Хъ = 2,4592 — 0,6 B -2,4592 — 1п 2,4592 — 4) = 2,4481;
х3 = 2,4481 — 0,6 B ¦ 2,4481 — In 2,4481 — 4) = 2,4477;
*4 = 2,4477 — 0,6B-2,4477— In 2,4477 — 4) = 2,4475.
На этом этапе вычисления прекращаем, так как число тысячных больше
не изменяется. Даем ответ: корень ?== 2,45. Оценку погрешности мы опускаем.
5°. Случай системы двух уравнений. Пусть требуется вы-
вычислить, с заданной степенью точности, действительные корни системы двух
уравнений с двумя неизвестными
1 (*. «/) = 0.
F)
и пусть имеется начальное приближение одного из решений (?, г\) этой си-
системы х = ха, у — у0.
Это начальное приближение можно получить, например, графически,
построив (в одной и той же системе декартовых координат) кривые f (х, г/) = 0
и ф(д:, у) = 0 и определив координаты точек пересечения этих кривых.
а) Способ Ньютона. Предположим, что функциональный опреде-
определитель
,д([, Ф)
д (х, у)
не обращается в нуль вблизи начального приближения х = Хо, У — У«' Тогда,
по способу Ньютона', первое приближение решения системы F) имеет вид
*i = *о + «о. т = У а + Ро. где а0, Ро — решение системы двух линейных уравнений

372 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 1ГЛ. X
Второе приближение получается тем же приемом:
где оч, pi — решение системы линейных уравнений
/ / (Ч, Уд +aifx (xlt уг) + $/у(Ч, Vi) = О,
I ф (*
Аналогично получаются третье и последующие приближения.
б) Способ итерации. К решению системы уравнений F) можно при-
применить и способ итерации, преобразовав эту систему к эквивалентному виду
\ у = Ф{х,у)
и предполагая, что
\F'x(x.y)\+\®Ux.y)\<r<l; \р'у(х,у)\ + \Фу(х,у)\<г<1 (8)
в некоторой двумерной окрестности U начального приближения (х0, у0), со-
содержащей и точное решение (|, 1|) системы.
Последовательность приближений (хп% у„) (п= 1,2, ...), сходящаяся
к решению системы G), или, что то же, к решению системы F), строится по
следующему закону:
xt -:= F (хй, г/о). У1=Ф(*о. Уа),
хя = F (х2, уг), у3 = Ф (х2, уг).
Если все (хп, уп) принадлежат U, то lim xn^|, litn yn = r\.
Для преобразования системы уравнений F) к виду G) с соблюдением
условия (8) можно рекомендовать такой прием. Рассмотрим систему уравнений
( а/ (х, у) -|- Рср (*, г/) = О,
эквивалентную системе F) при условии, что
а E
V
, у) --[-- Рф (лг, y)^-F(x, у),
, У) + 6ф (ж, г/) = Ф (дс, {/).
Ф 0. Перепишем ее так:
Выберем параметры а, р, ^. ° такими, чтобы частные производные функций
F(x, i/) и Ф (л;, {/) были равны или близки к нулю при начальном приближе-
приближении, т. е. находим а, C, у, 6 как приближенные решения системы уравнений
f'x (х0, у0) + рф^ (*0, у„) = 0,
а/у (лг0, г/о) + Рф^ (-«о. ^о) = 0,
yf'x(Xa, yB) + (xf'x(xa, уа) = 0,
1 + yf'y (х0, у0) + ду'у (х0, уа) = 0.
При таком выборе параметров а, р, у, д, в предположении, что частные
производные функций / (а:, у) и <р (х, у) изменяются не очень быстро
в окрестности начального приближения (х0, уа), условие (8) будет соблюдено.

3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
Пример 3. Привести систему уравнений
373
\ х3—у = 0
при начальном приближении решения *о = О,8, 0о = О,55 к виду G).
Решение. Здесь / (х, у) = х2 + у2—\, <р (х, у)=х3 — у; f'x(xQ, J/0) = l,6,
/j/(*o. г/о) = 1,1; <fi (*о, Уо) =1,92, <р'и(х0, уо) = —1.
Записываем систему, эквивалентную исходной,
( а.
3-у) = 0, /\а
в виде
Выбираем в качестве подходящих числовых значений а,
системы уравнений
1 + 1,ба+1,92р = 0,
1,1а—р = 0,
1,6Т+1,926 = 0,
1+1,1V—6 = 0,
р, у и & решение
т. е. полагаем а й;—0,3, E « — 0,3,
Тогда система уравнений
— 0,5, б » 0,4.
< х = х — 0,3
\ у = у~0,5
эквивалентная исходной, имеет вид G), причем в достаточно малой окрестно-
окрестности точки (х0; г/0) условие (8) будет выполнено.
Методом проб отделить действительные корни уравнений и
с помощью правила пропорциональных частей вычислить их
с точностью до 0,01.
3138. х3—х+1 =0.
3139. х4 + 0,5а:— 1,55 = 0.
3140. л:2 — 4л:— 1 =0.
Исходя из графически найденных начальных приближений,
способом Ньютона вычислить с точностью до 0,01 действитель-
действительные корни уравнений:
3141. х3 — 2х — 5 = 0. 3142. 2* — 3 1п% — 3 = 0.
3143. 2* = 4х. 3144. lgx = —.
ь X
Используя найденные графическим путем начальные прибли-
приближения, способом итерации вычислить с точностью до 0,01 дей-
действительные корни уравнений:
3145. х3 — 5х + 0,1 =0.
3146. 4x=cosx.
3147. х*—х — 2 = 0.

374 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
Найти графически начальные приближения и вычислить
с точностью до 0,01 действительные корни уравнений и систем:
3148. х* —Зх+1=0. 3149. ж» — 2х2 + 3х—5 = 0.
3150. х* + х2 — 2х—2 = 0. 3151. jc-lnx—14 = 0.
3152. х3 + 3х—0,5 = 0. 3153. 4х—7sinx = 0.
3154. хх + 2х—6=0. 3155. е* + е-?*—4 = 0.
3I57- \ y — \gx—l=0.
3158. Вычислить с точностью до 0,001 наименьший поло-
положительный корень уравнения igx = x.
3159. Вычислить с точностью до 0,0001 корни уравнения
h l
§ 4. Численное интегрирование функций
Iе. Формула трапеций. Для приближенного вычисления интеграла
ь
J / м <**
а
(л) —непрерывная на [а, Ь] функция) делим промежуток интегрирования
[а, Ь] на п равных частей и выбираем шаг вычислений 1г = . Пусть
Xi = xo-\-ih (xo = a, xn = b, i = 0, I, 2, .... п) — абсциссы точек деления и
yi — f(xi) — соответствующие значения подынтегральной функции </ = /(*)<
Тогда по формуле трапеций имеем:
(^ ^ A)
а
с абсолютной погрешностью
/г2
где М2 = max | f" (*) | при а < х < Ъ.
Для достижения заданной точности е при вычислении интеграла шаг
вычислений h определяется из неравенства
т. е. h должен иметь порядок У г. Полученное значение h округляется в
сторону уменьшения так, чтобы
Ь — а
—-,— —я

§4]
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
375
было целым числом, и это дает нам число делений п. Установив h и п, по
формуле A) вычисляем интеграл, беря значения подынтегральной функции
с одним или двумя запасными десятичными знаками.
2°. Формула Симпсона (параболическая формула). Если
п — четное число, то в обозначениях Iе справедлива формула Симпсона:
C)
с абсолютной погрешностью
D)
где М4 = max | /iv (х) | при а < х < Ь.
Для обеспечения заданной точности е при вычислении интеграла шаг
вычислений Л определяется из неравенства
А4
т=г.(Ь-а)М4<8, E)
180
т. е. шаг h имеет порядок i/ в. Число h округляется в сторону уменьшения
Ь—а
Ь
так, чтобы п=
было целым четным числом:
h
Замечание. Так как определение шага вычислений h и связанного с
ним числа п из неравенств B) и E), вообще говоря, затруднительно, то на
практике h определяют грубой прикидкой. Затем, получив результат, удваи-
удваивают число п, т. е. половинят шаг h. Если новый результат совпадает с прежним
в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисление заканчивается. В про-
противном случае этот прием повторяют и т. д.
Для приближенного вычисления абсолютной погрешности R квадратурной
формулы Симпсона C) можно также использовать принцип Рунге, согласно
которому
V у"|
#=-
15
где 2 и S — результаты вычислений по формуле C), соответственное шагом А
и Я = 2Л.
3160. Под действием переменной силы F, направленной вдоль
оси ОХ, материальная точка переместилась по оси ОХ из поло-
положения л = 0 в положение х = 4. Вычислить приближенно работу
А силы F, если дана таблица значений ее модуля F:
X
F
0,0
1,50
0,5
0,75
1,0
0,50
1,5
0,75
2,0
1,50
2,5
2,75
3,0
4,50
3,5
6,75
4,0
10,00
Вычисление провести по формуле трапеций и по формуле Симп-
Симпсона.

376 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
1
3161. Вычислить приближенно j (Зх2 — 4x)dx по формуле тра-
0
пеций, полагая л =10. Вычислить этот интеграл точно и найти
абсолютную и относительную погрешности результата. Устано-
Установить верхнюю границу А абсолютной погрешности вычисления
при л = 10, используя формулу погрешности, приведенную
в тексте.
3162. Вычислить с точностью до 10~4 по формуле Симпсопа
1
-7-^4. принимая п=Ю. Установить верхнюю границу А абсо-
0
лютпой погрешности, используя формулу погрешности, приве-
приведенную в тексте.
Вычислить с точностью до 0,01 следующие определенные ин-
интегралы:
3163.
о
1 2
3165. С-г^Цг. 3166. \x\gxdx.
о
3167. \^dx. 3168.
о
3169. —dx. 3170.
Q 1
я
J 1
„ , _ , Г COS X , с
3171. rr^dx. 3172. \e-x*dx.
о о
3173. Вычислить с точностью до 0,01 несобственный интеграл
dx 1 „
——, применив подстановку х = —. Проверить вычисление,
ъ
применив формулу Симпсона к интегралу \ х 2 , где Ь выбрано
J ^ i х
1
так, чтобы
ь
3174. Плоская фигура, ограниченная полуволной синусоиды
y-~s,\nx и осью ОХ, вращается вокруг оси ОХ. Вычислить по
формуле Симпсона с точностью до 0,01 объем тела вращения.

§ 5] ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 377
3175*. Вычислить по формуле Симпсона с точностью до 0,01
длину душ эллипса -у--f- ^222J = 1¦ расположенной в первой
координатной четверти.
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных
дифференциальных уравнений
Г. Метод последовательных приближений (метод Пп-
кара). Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка
0'=/(*.»)' A)
при начальном условии у = Уа при х — хй.
Решение у (х) уравнения A), удовлетворяющее заданному начальному
условию, вообще говоря, может быть представлено в виде
у{х) = lim </,(*), B)
где последовательные приближения {/,- (х) определяются по формулам
У а (х) = У о,
(t = 0, l, 2, ...)•
Если правая часть / (я, у) определена и непрерывна в окрестности
R{\x—хо\<а, \у—уо\^Ь]
и удовлетворяет в этой окрестности условию Липшица
(L — постоянная), то процесс последовательных приближений B) заведомо
сходится в промежутке
где
= ппп а, -г;
R \ М
М = max \f(x, y)\.
R
При этом погрешность
(я+1)! '
если только
|*—*0|«Л.

378 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
Метод последовательных приближений (метод Пикара) с незначительными
видоизменениями применим также к нормальным системам дифференциальных
уравнений. Что касается дифференциальных уравнений высших порядков, то
их можно записывать в виде систем дифференциальных уравнений.
2°. Метод Рунге—Кутта. Пусть требуется на данном промежутке
хо^.х^,Х найти решение у (х) задачи A) с заданной степенью точности е.
Для этого сначала выбираем й= (шаг вычислений), деля отрезок
[х0, X] на п равных частей так, чтобы Л4 < е. Точки деления Х[ определяются
по формуле
(t = 0, I, 2, .,,, n).
Соответствующие значения t/i = y(xi) искомой функции по методу Рунге
Кутта последовательно вычисляются по формулам
где
» = 0, 1, 2 я
и
ki = {(Х{, у{) А,
, h
C)
Метод Рунге—Кутта имеет порядок точности Л4. Грубую оценку погреш-
погрешности метода Рунге — Кутта на данном промежутке [ха, X] можно получить,
исходя из принципа Рунге:
d 1 Угт —Ут I
R~ 15 '
где п = 2т, у1т и ут—результаты вычислений по схеме C) с шагом h и ша-
шагом 2/г.
Метод Рунге—Кутта применим также для решения системы дифферен-
дифференциальных уравнений
y' = f(x,y,2), z' = q>(x,y,z) D)
с заданными начальными условиями: у = у0, г = г0 при * = *„,
3°. Метод Милна. Для решения задачи A) по методу Милна, исходя
из начальных данных у = Уо при х — Хо, находим каким-нибудь способом по-
последовательные значения
искомой функции у (х) (например, можно воспользоваться разложением реше-
решения у (х) в ряд (гл. IX, § 16) или найти эти значения методом последователь-
последовательных приближений, или применить метод Рунге—Кутта и т.п.). Приближе-
Приближения yi и yi для следующих значений yi(i = 4, 5, 11ч nj последовательно

§ 5] ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 379
находятся по формулам
' - _ 4ft
. h -
где
fi = f(x;,y;) и ~fi =
Для контроля вычисляем величину
l7F
F)
Если е,- не превосходит единицы последнего сохраняемого нами в ответе
десятичного разряда 10~т для у (х), то в качестве у; берем у,- и переходим
к вычислению следующего значения у;+1, повторяя процесс. Если же е,- > 10-,
то следует начать работу сначала, уменьшив шаг вычислений. Величина на-
начального шага приближенно определяется из неравенства /i4 < \0~т.
Для случая решения системы D) формулы Милна отдельно пишутся для
функций у (х) и 2 (х). Порядок вычислений остается прежним.
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение у' = у — х с начальным
условием i/@) = 1,5. Вычислить с точностью до 0,01 значение решения этого
уравнения при значении аргумента х=1,5. Вычисления провести по комби-
комбинированному методу Рунге — Кутта и Милна.
Решение. Выбираем начальный шаг вычислений h из условия ft4 < 0,01.
Избегая сложной записи h, остановимся на h = 0,25. Тогда весь участок ин-
интегрирования от я = 0 до д;=1,5 разобьем на шесть равных частей, длиной
0,25, с помощью точек Х{ (t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6); соответствующие значения
решения у и производной у' обозначим через у[ и у[.
Первые три значения у (не считая начального) вычислим по методу
Рунге — Кутта (по формулам C)); остальные три значения—yit уъ, ув — по
методу А^илна (по формулам E)).
Значение ув будет, очевидно, ответом задачи.
Вычисления проведем с двумя запасными знаками по определенной схеме,
состоящей из двух последовательных таблиц 1 и 2. В конце таблицы 2 мы
получаем ответ.
Вычисление значения i/f. Здесь
f(x, у)= — х + у, ха = 0, 1/0=1,5, /г = 0,25.
Имеем
= -^-@,3750 + 2.0,3906 + 2-0,3926 + 0,4106) = 0,3920;
) = И*о. У о) h = (—0 + 1,5000) 0,25 = 0,3750;
l)
-%-) А = (-0,125+ 1,5000 + 0,1875) 0,25 = 0,3906;
*о+ у. Уо~\—|—);/г= (—0,125+ 1,5000 + 0,1953) 0,25 = 0,3926;
^(-0,25+1,5000 + 0,3926) 0,25 = 0,4106;

380
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
Vi = Уо + &Уо = 1,5000 + 0,3920 =1,8920 (первые три знака в этом прибли-
приближенном числе гарантированы).
Аналогично вычисляются значения у2 и у3. Результаты вычислений при-
приведены в таблице 1.
Таблица I
Вычисление j»lt J>2, J>a по методу Рунге — Кутта.
Л = 0,25
Зна-
Значение
1
0
1
2
3
Зна-
Значение
i
0
1
2
3
0
0,25
0,50
0,75
,( л
1,5703
1,7323
1,9402
2,2073
1,5000
1,8920
2,3243
2,8084
0,3926
0,4331
0,4850
0,5518
1,5000
1,6420
1,8243
2,0584
f (*,• + К
1,6426
1,8251
2,0593
2,3602
0,3750
0,4105
0,4561
0,5146
0,4106
0,4562
0,5148
0,5900
...4-)
1,5625
1,7223
1,9273
2,1907
0,3920
0,4323
0,4841
0,5506
0,3906
0,4306
0,4818
0,5477
1,8920
2,3243
2,8084
3,3590
Вычисление значения уА. Имеем: / (х, у)=—х-\- у, h = 0,25, хА=\
1/0=1,5000, i/!= 1,8920, i/2 = 2,3243, уэ = 2,8084;
У'о= 1,5000, 1/1=1,6420, 1/2=1,8243, у'3 = 2,0584.
Применяя формулы E), находим:
4Л/„ '
4 лос
= 1,5000+-^-^- B-1,6420 —1,8243 + 2.2,0584) = 3,3588;
О
~A = f(xi, У*) = —1 + 3,3588 = 2,3588;
^Р B,3588 + 4• 2,0584 + 1,8243) = 3,3590}
\j О
. 1У4-У4 1_ |3,3588-3,3590| _ 0,0002 1
84~ 21 ~~ 29 ~ 29 ~/-Ш <-2-'U>UUi'
следовательно, пересмотр шага вычислений не требуется.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
381
Получаем yi = {/4 = 3,3590 (первые три знака в этом приближении гаран-
гарантированы).
Аналогично производим вычисления значений уъ и у&. Результаты вычис-
вычислении даны б таблице 2.
Таким образом, окончательно имеем:
у A,5) = 4,74.
4°. Метод Адаме а. Для решения задачи A) по методу Адамса, ис-
исходя из начальных данных у (х0) = у0 мы находим каким-нибудь способом
следующие три значения искомой функции у (х):
(эти три значения можно получить, например, с помощью разложения у (х)
в степенной ряд (гл. IX, § 16), или найти их методом последовательных при-
приближений (п. 1°), или применяя метод Рунге—Кутта (п. 2°) и т. п.).
С . помощью чисел х0, хх, хг, х3 и у0, ylt у2, Уз мы вычисляем величины
<7о. Яъ Яг, <7з. где
' a, y0), qi = hy\ = hf (хъ yj,
У2), ?3= %3 = Л/(*3. Уз)-
Составляем
X
х0
Xl
х2
х3
Xi
х-„
ха
У !
Уо
Ух
Ун
Уз
У\
Уъ
4/6
, далее, таблицу конечных
Ау =
-ип + \ ~ Уп
А{/о
Дг/i
ДУя
Д(/4
Ays
и' —
='! (*. у)
/ (хв, Уо)
/ (Хъ S/i)
f(x*, Уъ)
f fe Уз)
f (JC4. t/4)
/(*5. Ун)
<; =
= </'А
Ял
Qi
92
9з
94
95
разностей
/±q =
= 1 + 1-1,1
Д<?о
Д<71
Д^2
А?3
А94
величины <7^
= 4"« + 1-4"г1
А29о
Д2^1
Д29,
А29а
А3^о
А3?!
А3?2
Метод Адамса заключается в продолжении таблицы разностей с помощью
формулы Адамса
~5-Д3<?п-з-
G)
Так, используя числа q3, A?2' Д291> А39о, расположенные в таблице раз-
разностей по диагонали, мы с помощью формулы G), полагая в ней п = 3, вычис-
вычисляем ,.;
1 5 3
Дг/з = <7з + у A?2 + J2 Д2(?1 + "g- Д3(?о-

Вычисление J»4, уь, ув по методу Милна. / (х, у) =— х-\-у; /г = 0,25.
(Курсивом обозначены входные данные')
Таблица 2
to
Зна-
Значение
i
0
1
2
3
4
5
6
0 1,5000 1,5000
0,25 1,8920 1,6420 1
1 1 1 1 III 'I 1 II 1
0, 50 2,3243 ' 1,8243
0,75 2.80S4 2,0584-
1 1 1
1,00 3,3588 2,3588 3,3590
1,25 3,9947 2,7447 3,9950
1,50 4,7402 3,2402 4,7406
Пересмотр шага
, вычислений
el Bi Уi = 1 (*,-, дЛ (следуя показа.
' ЛИЯМ
формулы F))
Nil J МП 1 1 II 1 1
1 11" ''
ss7-10-e 3,3590 2,3590 не требуется
и 10-5 3,9950 2,7450 не требуется
ss ,4-10"? 4-7406 не требуется
Ответ: у A,5) = 4,74
ПРИБ.
к
ЕННЫЕ
ВЫЧИСЛЕНИ5
[ГЛ
X

§ 5] ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 383
Найдя значение Ау3, мы вычисляем
Ул = Уз + &Уз-
Зная же *4 и г/4, мы вычисляем
qi = lif(xv ух),
вносим у}, &Уз и (?4 в таблицу разностей и пополняем затем ее конечными
разностями Дг?3. Д2<72. A;!<7i, расположенными вместе с qt по новой диаго-
диагонали, параллельной прежней.
Затем, используя числа новой диагонали, мы с помощью формулы G),
полагая в ней я = 4, вычисляем hyv yr, и q5 и получаем следующую диагональ:
<75, Л(?4. Д29з. Ал?2- С помощью этой диагонали мы вычисляем значение ув
искомого решения у (х) и т. д.
Формула Адамса G) для вычисления Л(/ исходит из предположения, что
третьи конечные разности A'Jq являются постоянными. В соответствии с этим
величина Л начального шага вычислений определяется из неравенства
Л4 < 10~т (если мы желаем получить значение у (х) с точностью до 10-'л).
В этом смысле формула Адамса G) эквивалентна формулам Милна E) и
формулам Рунге — Кутта C).
Оцеш<а погрешности для метода Адамса сложна и практически беспо-
бесполезна, так как в общем случае дает сильно завышенные результаты (см.,
например, Л. К. Коллатц, Численные методы решений дифференциальных
уравнений, гл. I, 4.8—4.9). На практике следят за ходом третьих конечных
разностей, выбирая шаг h столь малым, чтобы соседние разности Д:!^,- и
Д3<7,-+1 отличались между собой не более чем на одну-две единицы заданною
разряда (не считая запасных знаков).
Для повышения точности результата формула Адамса может быть
пополнена членами, содержащими четвертые и высшие разности величины q.
При этом возрастает число первых значений функции у, нужных нам для
начального заполнения таблицы. Формулы Адамса повышенной точности мы
не будем здесь приводить.
Пример 2. Вычислить при л: =1,5 с точностью до 0,01 по комбиниро-
комбинированному методу Рунге — Кутта и Адамса значение решения дифференциального
уравнения у'--у — х с начальным условием (/@)=1,5 (см. пример 1).
Решение. Используем значения у у, у2, Уз, полученные нами при ре-
решении примера 1. Их вычисление приведено в таблице 1.
Последующие значения </4> !/s- Уа мы вычисляем по методу Адамса (см.
таблицы 3 и 4).
Значение (/G = 4,74 будет ответом задачи.
Для случая решения системы D) формула Адамса G) и схема вычислений,
показанная в таблице 3, применяются отдельно для обеих функций у у<)
и г (х).
Найти три последовательных приближения решений указан-
указанных ниже дифференциальных уравнений и систем:
3176. у'=хг+у2; #@) = 0.
3177. y'=x + y + z, z'=y — z; y@) = l, z@) = — 2.
3178. y" = -y; j/@) = 0, y'@)=l.
Методом Рунге—Кутта, полагая шаг Л = 0,2, вычислить при-
приближенно для указанных промежутков решения данных диффе-
дифференциальных уравнений и систем:
3179. у' = у—х; г/@)=1,5 (
3180. у'=-Л-уъ у(\)=\
3181. у' = 2+1, г' = у—х\ 0(О)=1, z@) =

384
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
Таблица 3
Основная таблица для вычисления j>4, уь, ув по методу Адамса.
/(*. «/) = — * + «/; Л==0,25
(Курсивом обозначены входные данные)
Значение i
0
1
2
3
4
5
6
xi
0
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
Si A
1,5000
1,8920
2,3243
2,8084 0,5
3,3588 0,6
3,9944 0,7
4,7394
у. y'i=
1 =fCf Уд
1,5000
1,6420
1,8243
504 2,0584
356 2,3588
450 2,7444
Ответ:
0,3750
0,4105
0,4561
0,5146
0,5897
0,6861
4,74
0,0355
0,0456
0,0585
0,0751
0,0864
0,0101
0,0129
0,0166
0,0213
Д'<7;
0,0028
0,0037
0,0047
Таблица 4
Вспомогательная таблица для вычисления по методу Адамса.
1 Значение i
3
4
5
0
0
0
,5146
,5897
,6861
l
2
0
0
0
,0293
,0376
,0482
s
12
0
0
0
,0054
,0069
,0089
3
8
0
0
0
ДЧ-3
,0011
,0014
,0018
0
0
0
А"/,-
,5504
,6356
,7450

6]
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
385
3185#
Применяя комбинированный метод Рунге —Кутта и Милна
или Рунге—Кутта и Адамса, вычислить с точностью до 0,01
значения решений указанных ниже дифференциальных уравне-
уравнений и систем при указанных значениях аргумента:
3182. у'=х-\-у; у=\ при х = 0. Вычислить у при х = 0,5.
3183. у' = х2-\-у; у=1 при х=0. Вычислить у при х=].
3184. у'= 2у—3; у=\ при х = 0. Вычислить у при х = 0,5.
J у' = — х + 2у + г,
\ z' = x + 2y + 3z; у = 2, г = —2 при а = 0.
Вычислить у и z при X = 0,5.
( у' = — Зу — 2,
3186. \ , „ . л
| г =у—г; у — 2, г——\ при л: = 0.
Вычислить у и г при х = 0,5.
3187. у" = 2—у; у = 2, у'= — 1 при х = 0.
Вычислить у при „*=1.
3188. «/V-г 1=0; «/=!.«/'= 0 прил:=1.
Вычислить у при д;= 1,5.
3189. -^t+Y cos 2/ = 0; х = 0, л;'= 1 при/ = 0.
Найти х (л) и х' (л).
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье
Схема 12 ординат. Пусть !/„ = /(*„) («=, 1, ..., 12) —значения
функции y = f(x) в равноотстоящих точках *„ = -— отрезка [0, 2п], причем
о — У12- Составим таблицы:
Суммы B)
Разности (Д)
I/O У\ Уг Уз 1/4 i/5 У
Уи Уia У» Уз У-1
"о
 «3   «в
Суммы
Разности
Ua Uj Ц2 U3
"в  «4
So Sj S2 S3
Суммы
Разности
t»2
t2
Коэффициенты Фурье в„, Ь„ (а = 0, 1, 2, 3) функции y = f(x) прибли.
женно могут быть определены по формулам:
6а0 = «о + Si + s2 + s3,
6aI = <e+-0,866/i + 0,5/2
6c2 = s0 — Sg + 0,5 (Sj —s
661 = 0,50! + 0,866a2 + o3,
662 = 0,866 (т
6b3 = a!—c3,
A)
13 Под ред. Б. П. Деыидовича

386
где
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
Имеем:
/ (х) « -?~\-2^ (^п cos nx-\-bn sin пх).
п=\
Употребительны также другие схемы. Для облегчения вычислений исполь-
используются шаблоны (см., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики,
т. II, 1962, гл. VI, 424—430).
Пример. Найти полином Фурье для функции y = f(x) @<*<2л),
заданной таблицей
Уа
38
</i
38
Ун
12
Уз
4
г/4
14
Уъ
4
Ув
—18
У-i
—23
Ув
—27
Ув
—24
«/ю
8
Ун
32
Решение. Составляем таблицы:
У
и
V
38
38
38
32
70
6
12
8
20
4
4
—24
—20
28
14
—27
— 13
41
4
—23
— 19
27
—18
— 18
и
S
t
38
—18
20
56
70
— 19
51
89
20
—13
7
33
—20
—20
V
а
1
6
27
33
—21
4
41
45
—37
28
28
По формулам A) имеем:
а2=Ю,3;
2 = —8,4;
Следовательно,
/ (х) к 4,8 + B4,9 cos x+13,9 sin x) + A0,3 cos 2x—8,4 sin 2x) +
+ C,8 cos Зх + 0,8 sin Зх).
Пользуясь схемой 12 ординат, найти полиномы Фурье для
следующих функций, заданных на отрезке [0, 2я] таблицами
своих значений, соответствующих равноотстоящим значениям
аргумента (yo = yi2):
3190. уо = — 7200 1/з = 4300 у, = — 7400 «/«=7600
¦^ = —300 г/4 = 0 #7 = — 2250 г/1О = 4500
«/» = — 5200 #„ = 3850 уп 25д

S 6] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ 387
3191. уо = О Уз = 9,72 г/,= 7,42 у, = 5,60
^ = 6,68 у, = 8,97 у, = 6,81 у10 = 4,88
#2 = 9,68 #5 = 8,18 f/8 = 6,22 уц = 3,67
3192. г/0 = 2,714 «/з=1,273 */„ = 0,370 у, =—0,357
г/1 = 3,042 г/4 = 0,788 {/, = 0,540 у10 = —0,437
^ = 2,134' #5 = 0,495 ^ = 0,191 ^ = 0,767
3193. Вычислить несколько первых коэффициентов Фурье по
схеме 12 ординат для следующих функций:
а) f(x) = ^(x3
б) /(*) = ^(*-л)а @<х<2л).

ОТВЕТЫ
Глава I
1. Решение. Так как а = (а—Ъ)-\-Ь, то I a |<| a—6| + |6|. Отсюда
&1|| 16| ] 6 | |6||6 | | | С
()\, || | + ||
|а—&1^|а| —16| и ] о—6 | = |6—о|5г|6 | —| о|. Следовательно,
\а—Ь\^\\а\ — \Ь\\. Кроме того, | а—Ь | = | а+ ¦(— Ъ) |<| а | + | — Ь\ =
= |а| + |6|. 3. а) — 2 < х < 4; б) х<— 3, х > 1; в) — 1 < х < 0; г) * > 0.
4. — 24; —6; 0;0;0;6. 5. 1; 1^-; )/7+7а; UI-'J^T+T2; \j\ 1 + лга. 6. re;
?; 0; 7. /(Ж)=,_|.ж+у. 8. / (х)=-1-дс» —^ж+1. 9.0,4.10. 1
11. а) — 1<*< + оо;б) — оо<лг< + оо. 12. (—со, —2), (—2, 2), B, '+<»).
13. а) —оо < х<— \Г2, У~2<х < + оо;б)ж = 0, |л;|^"|/. 14. — К*<2.
Решение. Должно быть 2-\-х — х2^0, или х2 — х — 2s?0, т. е.
(x+l) (х — 2)<0. Отсюда или л:+15г0, х — 2<0, т. е. — l??*<2;
или же л+1<0, л;—2 5г 0, т. е. *¦=?— 1, х^2,~ что невозможно. Таким
образом, — 1«S*«S2. 15. —2<х<0. 16. — оо<х< —1, '
17. — 2 < * < 2. 18, —1<д;<1, 2<л:<+оо. 19. — —
20. 1<х<100. 21. *п^х<*я+у(й = 0, ± 1, ±2, ...). 22.ц,(х
— 5jc2—-10, ij)(x) = — 3«3-f-6x. 23. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) не-
нечетная; д) нечетная. 24. У к а з а н ие. Использовать тождество / (ж) = — [/ (х) +
1 2
+/Ч—x)\-\~~rrlf(x) — f(—х)\- 2^- а) Периодическая, 7"=—л; б) периоди-
ческая, 7" = -т-; в) периодическая, Г = я; г) периодическая, 7" = я; д) непери-
непериодическая. 27. у== — х, если 0<*<с; у = Ъ, если с < *<а; S=7r-xi, если
= 6jc—^-, если с < *<а. 28. т = цг
при /j < д:</Н-/я; m = q1l1+q2li + q!l(x — /j — /2) при
+ /а = /. 29. ф(г))(^))=22*; г|) (<р W) = 2*1. 30. х. 31.
37. — у ; 0; -^-. 38. а) // = 0 при х = — 1, (/ > 0 при *> — 1, у < 0 при
*: < — 1; б) (/ = 0 при л:=— 1 и х = 2, у > 0 при — I < .« < 2, у < 0 при
— оо<а:< — 1 и 2 < х < -\-ао; в) у > 0 при — оо <х<+оо; г) у = 0 при

ответы 389
jt = O, х = ^У и x=V~3, у>0 при — ]/ < л- < 0 и |/} < л-<+ ое,
1/ < О при — »<д;<-/ЗиО<а;</3; д)(/ = Опридс=1, i/>0 при
— оо < х < — 1 и 1 < х < -|- оо, у < 0 при 0 < ж < 1. 39. а) дс = " A/ —3)
(— оо < t/ < + со); б) х= 1/у+ 1 и х = — У у т 1 (—1<1/< + оо);
в) * = j/1 — у3 (— оо < у < + оо); г) х = 2.10.1' (— оо < у < + со);
Д) x=—tg у ( —о"<У<-о-). 40. х = у при — оо < у <0; лс = >/~у при
0<у<-\-оо. 41. a) y = ul<>, и = 2х — 5; б) (/ = 2", ы = cos *, в) у = ]g и,
X
u = tgu, ^ = -q- ; г) j/ = arcsinu, u = 3a, ii = — х2. 42. a) (/—-sin2*;
С) у = arctg |^lg x; в) j/ = 2(x2—1), если |x|«?l, и у = 0, если |х|>1.
43. а) у = — cos*2, }/" 7Г< | л: | ^уг2я; б) у = Ig A0— 10*);- — оо < х < 1;
е) {/ = -^- при — оо <л<0 и 1/ = дг при Ог^х<-|-оо. 47. Указание. См.
о
приложение VI, черт. 1. 51. У к а з а н и е. Дополнив квадратный трехчлен до
полного квадрата, будем иметь у = уо-\-а(х — *oJ. где *о = —bjia и
Уо = Dас—Ь2)/4а. Отсюда искомый график есть парабола у = ах2, сдвинутая
вдоль оси ОХ на величину х0 и вдоль оси 0Y на величину уй, 53. Указа-
Указание. См. приложение VI, черт. 2. 58. Указание. См. приложение VI,
черт. 3. 61. Указание. График представляет собой гиперболу, сдвинутую
едоль оси ОХ на величину ха и вдоль оси 0Y на величину уа. 62. У к а-
2 13 / / 2 \
з а н и е. Выделив целую часть, будем иметь у=-^ К \х~\—5") (СР' ^ ^')-
65. Указание. См. приложение VI, черт. 4. 67. Указание. См. прило-
приложение VI, черт. 5. 71. Указание. См. приложение VI, черт. 6. 72. Ука-
Указание. См. приложение VI, черт. 7. 73. Указание. См. приложение VI,
черт. 8а. 75. Указание. См. приложение VI, черт. 19. 78. Указание.
См. приложение VI, черт. 23. 80. Указание. См. приложение VI, черт. 9.
81. Указание. См. приложение VI, черт. 9. 82. Указание. См. прило-
приложение VI, черт. 10. 83. Указание. См. приложение VI, черт. 10. 84. Ука-
Указание. См. приложение VI, черт. 11. 85. Указание. См. приложение VI,
черт. 11. 87. У к а з а н и е. Период функции Т = 2я/я. 89. Указание.
Искомый график есть синусоида i/ = 5sin2x с амплитудой 5 и периодом л,
сдвинутая вправо вдоль оси ОХ на величину 1 — . 90. Указание. Полагая
а = Лсовфи6 = —A sin ф, будем иметь y = Asin(x — ф), где А — ^a2-f6a
и ф = Агс1§ ( J. В нашем случае А = 10, ф = 0,927. 92. У к а з а н и е.
cos2 x= т|- A +cos2jc). 93. Указание. Искомый график есть сумма гра-
графиков yi = x и 1/2 = sin х. 94. У к аз а н и е. Искомый график есть произве-
произведение графиков yi = x и i/2 = s\nx. 99. Указание. Функция—четная.
Для х > 0 определяем точки, в которых 1) i/ = 0, 2) у=1 и 3) (/ = —1.
При х—>-+оо у—>-1. 101. Указание. См. приложение VI, черт. 14.
102. Указание. См. приложение VI, черт. 15.103. Указание. См. при-
приложение VI, черт. 17. 104. Указание. См. приложение VI, черт. 17.
105. Указание. См. приложение VI, черт. 18. 107. Указание. См. при-
приложение VI, черт. 16. 118. Указание. См. приложение VI, черт. 12.

390
ОТВЕТЫ
119. Указание. См. приложение VI, черт. 12. 120. Указание. См при-
приложение VI, черт. 13. 121. Указ?ние. См. приложение VI, черт. 13.
132. Указание. См. приложение VI, черт. 30. 133. Указание. См. при-
приложение VI, черт. 32. 134. Указание. См. приложение VI, черт. 31.
138. Указание. См. приложение VI, черт. 33. 139. Указание. См. при-
приложение VI, черт. 28. 140. Указание. См. приложение VI, черт. 25.
141. Указание. Составим таблицу значений
X
У
0
0
0
1
1
1
2
4
8
3
9
27
,,,
...
>¦¦
— 1
1
— 1
— 2
4
— 8
—3
9
— 27
Построив полученные точки (х, у), получим искомую кривую (см. приложе-
приложение VI, черт. 86). (Параметр t при этом геометрически не откладывается!)
142. См. приложение VI, черт. 19. 143. См. приложение VI, черт. 27. 144. См.
приложение VI, черт. 29. 145. См. приложение VI, черт. 22. 150. См. приложе-
приложение VI, черт. 28. 151. Указание. Разрешив уравнение относительно у, по-
получим у= ± У25—х2. Теперь искомую кривую легко построить по точкам.
153. См. приложение VI, черт. 21. 156. См. приложение VI, черт. 27. Достаточ-
Достаточно построить точки (х, у), соответствующие абсциссам х=0, ±-=-, ±а. 157. У к а-
зание. Разрешая уравнение относительно х, будем иметь х= 10 lgу—у (*).
Отсюда получаем точки (х, у) искомой кривой, давая ординате у произвольные
значения (у > 0) и вычисляя по формуле (*) абсциссу х. Следует иметь в виду,
что Igy—>—оо при у—)-0. 159. Указание. Переходя к полярным коор-
координатам г= Ух*-\-у2 и tg9=—, будем иметь г = еч> (см. приложение VI,
X
черт. 32). 160. Указание. Переходя к полярным координатам х = гсозф
*- 3 sin ф cos Ф . ... пп.
и y = rsmw, будем иметь г = т.—-.—г-^- (см. приложение VI, черт. 22).
я т J cos-^ + sin3(j>4
161. F = 32+l,8C. 162. у = 0,6хA0—х);
=l5 при х=5. 163. У=%> sin x;
у при *=у. 164. a) xt=~, д-2 = 2; б) х = 0,68; в) Xi= 1,37, х2= 10;
г) х = 0,40; д)л=1,50; е) * = 0,86. 165. a) *i = 2, yi = 5; х2 = 5, у2 = 2,
б) *,= —3, !/i = — 2; х2 = — 2, уг=— 3; х3 = 2, у?, = 3; *4 = 3, yt = 2;
в) ^ = 2, yt = 2; x2x3,l, у2я—2,5; г) х^— 3,6, у^— 3,1; х2х— 2,7,
5я
: 2,9, у3 sj 1,8; *4 ?
. 166. п >
3,4,
1
4 s; — 1,6; д) Xi—-?, yi=-
а) п^4; б) п > 10; в) п ^ 32.
167. п>-—1=ЛЛ a) iV = 9; б) ^ = 99; в)
= 999. 168. в=-|-(е < 1).
О
а) 0,02; б) 0,002; в) 0,0002. 169. a) lg* <— N при 0 < х < S (Л^); б) 2* > ЛГ

ОТВЕТЫ
391
при x>X(N); в)
N при \х\ > X (N). 170. а) 0; б) 1; в) 2; г) ~.
171. -г-. 172. 1. 173. — ~. 174. 1.175.3. 176. 1. 177. -f , 178. -^ . Указа-
2 2 4 о
н и е. Использовать формулу 12 + 22+ ... -fn2=-^- п (п+ 1) Bл + 1). 179. 0.
180. 0. 181. 1. 182. 0. 183. оо. 184. 0. 185. 72. 186. 2. 187. 2. 188. оо. 189. 0.
190. 1.191.0. 192. 00.193.— 2. 194. 00.195. 4" - 196. 2^. 197. З*2. 198. — h
199. 4-- 20°- 3. 201. -i 202. ±-. 203. -~ . 204. 12. 205. 4' 206-  •
J о У ОО ^ О
207. 1. 208.—\=г . 209. .* _ . 210.—4". 211. 0. 212.-?-. 213. —4- 214.4".
2 }Гх 3 »/*а 3 2 2 2
215. 0. 216. a) 4"sin2; б) °- 217. 3. 218. -5-. 219. 4" • 22°- п- 221- 4""
222. cos а. 223. — sin а. 224. п. 225. cos х. 226. -)— . 227. а) 0; б) 1. 228. — .
229. -^-. 230. 0. 231. —-4=-- 232- 4-(—«г)- 233. ~ . 234. 1. 235. |-.
236. — . 237. —4-. 238. я. 239. 4" ¦ 240. 1. 241. 1. 242. 4"' 243- °- 244.4-
я 4 4 4 2
245. 0. 246. е-1. 247. е2. 248. е~1. 249. е~*. 250. е*. 251. е. 252. а) 1. Ре-
1 1 1
ш е н и е.
im (cos*)* =lim [1 — A — cos*)] x =lim fl— 2sina4V —
lim
X
2 sin» T
= lim
lim I
— 2sin2-
= — 2 lim
lim I
2 »ln> -f-
. Так как
=—2-1-lim 4=0. то
x-+0 4
lim (cos x) * = e° = 1. 6) —f=t . Решение. Аналогично предыдущему
jt-+ 0 у е
1 lim
(см. a)), lim (cos*)*" =ex~*
X-+Q
. х_- 2
Sln 2 \ х2
= —2 lim
x-+o
, Так как lim
Л-..0
— 2 sin2 y
(
J_ _1_
i3 = e" 2 =-!=-. 253. In2.

392 ответы
254. IOIge. 265. !. 2бв. I. 257. — -g-. 258. 1. Указание. Положить
е* —1=а, где а—>-0. 259. In а. Указание. Использовать тождество
а = е[па. 260. 1па. Указание. Положить —=а, где а—»-0 (см. № 259).
261. а—Ь. 262. 1. 263. а) 1; б) ~. 264. а) —1; б) 1. 265. а)—1;
б) 1. 266. а) 1; б) 0. 267. а) 0; б) 1. 268. а) — 1; б) 1. 269. а) — 1; б) 1.
270. а) — ао; б) + оо. 271. Решение. Если х Ф kn (fe = 0, ± 1, ± 2, . ..).
то cos2 х < 1 и у = 0; если же x = kn, то cos2x=l и (/=1. 272. у = х при
0<х < 1; У=-п ПРИ *='; У = ° ПРИ х>1. 273. у = |х|. 274. i/=—y
прн л: < 0; у = 0 при * = 0; </ = 7г при х > 0. 275. (/= 1 при 0s?x< 1; (/ = *
при 1<х<+а>. 276. -^-.277. л^—* — -?-; *2—* оо. 278. п. 279. 2л/?.
280. —"—г- . 281. 1 ^ ¦ 282. ? е""<"' . 284. lim ДС„=4" ¦ 285. ^ . 286. k=.--1,
6 = 0; прямая (/ = * является асимптотой криво. i t/= 2 .
287. <Э!П) = Qo ( Ч ) , где ' k — коэффициент пропорциональности («закон
сложных процентов»); Qt = Qoekt- 288. \х\ > — ; а) |дс| > 10; 6) | х \ > 100;
в) |х|>1000. 289. |Л_1|<-1 при 0 < е < 1; а) | х— 1 | < 0,05;
б) | лг— 1 | < 0,005; в) |*—1|< 0,0005. 290. \х—2|<-^- = б; а) 6 = 0,1;
б) 6=0,01; в) 6 = 0,001. 291. а) Второй; б) третий. 4". 4" • 292- а) '; б) 2;
в) 3. 293. а) 1; б) — ; в) j-; г) 2; д) 3. 295. Нет. 296. 15. 297. — 1. 298. — 1. 299.3.
300. а) 1,03 A,0296); б) 0,985 @,9849); в) 3,167 C,1623). Указание. ]/"То=
= jA9+l=3|/ 1+|, г) 10,954 A0,954). 301. 1) 0,98 @,9804); 2) 1,03A,0309) =
3) 0,0095@,00952); 4) 3,875C,8730); 5) 1,12A,125); 6) 0,72@,7480); 7) 0,043
@,04139). 303. а) 2; б) 4; в) ~ ; г) J-. 307. Указание. Если * > 0, то
при | Ах | < х имеем | у^ + Дх— |/~* | = | Ах |
309. Указание. Воспользоваться неравенством | cos (л; + Ах) — cos х | < | Д*|.
310. а) хф у-|-^я, где k — целое число; б) х Ф kn, где k — целое число.
311. У к а з а ни е. Воспользоваться неравенством 11 д; + Длг| — | х \ |<| Ах\.
313. А = 4. 314. /@)=1. 315. Нет. 316. а) / @)=п; б) / @) = у; в) f@) = 2;

ОТВЕТЫ 393
г) /@) = 2; д) /@) = 0; е) /@)=1. 317. х = 2 — точка разрыва 2-го рода.
318. х = —1—устранимая точка разрыва. 319. х — —2—точка разрыва 2-го
рода; * = 2 — устранимая точка разрыва. 320. х = 0—точка разрыва
1-го рода. 321. а) х = 0—точка разрыва 2-го рода; б) * = Q—устранимая
точка разрыва. 322. * = 0—устранимая точка разрыва, x = kn (k= ± 1,
±2, ...)—точки бесконечного разрыва. 323. x = 2nk±-^- (ft = O, ± 1,
±2, ...) — точки бесконечного разрыва. 324. x = kn(k = Q, ±1, ±2, ...)—•
точки бесконечного разрыва. 325. * = 0—точка разрыва 1-го рода.
326. х = —1—устранимая точка разрыва; х=1—точка разрыва 1-го рода.
-327. х = —\— точка разрыва 2-го рода. 328. х = О—устранимая точка раз-
разрыва. 329. х=1 — точка разрыва 1-го рода. 330. х = 3—точка разрыва
1-го рода. 332. х= 1—точка разрыва 1-го рода. 333. Функция непрерывна.
334. а) * = 0—точка разрыва 1-го рода; б) функция непрерывна; в) х = кя
(k — целое)—точки разрыва 1-го рода. 335. a) x = k (k — целое)— точки раз-
разрыва 1-го рода; б) x = k(k^Q—целое)—точки разрыва 1-го рода. 337. Нет,
так как функция у = Е(х) разрывна при х=\. 338. 1,53. 339. Указание.
Показать, что при *0 достаточно большом имеем Р (—х0) Р (xQ) < 0.
Глава II
341. а) 3; б) 0,21; в) 2h-\-h*. 342. а) 0,1; б) — 3; в) jj/o~pi—?/<Г
344. а) 624; 1560; б) 0,01; 100; в) —1; 0,000011. 345. а) аАх; а; б) Зх2Дх-[-
. в) -2^
; -^-'"(ч-^) ¦ 346- а) — •; б) °-'; в) — h'< °- 347-
348. 15 смЮек. 349. 7,5. 350.
. Дф ,. dw ,. Дф ,
352. а) —гг I б) —гг= lim -гт-, где ф — величина угла поворота в момент Л
Дг dt д/ _у о Дг
353. а) -г-;-; б) -77-= lim — , где Т — температура в момент t. 354. -jy-=a
дг at &; _ о Дг "'
= lim —гт-. где Q — количество вещества в момент t. 355. a) -j— ; б) lim -г— .
О Д» &х Дх-+0 ajc
356. a) -Is,-0,16; б) -^ и—0,238; в) -щ w —0,249; у'х-г =
= -0,25. 357. sec2 л;. Решение. / = lim
о cos jccos {x-\-Ax)~ cos2a:
-sec"*. 358. а) Зх»; б) -±; в). ^; г)

394
ответы
Решение. /'(8) = l
Д
Lm
lim
8 + Д*—8
ОД*
Ига
j
' —=-р?« 360. /'@) = —8, /'A) = 0.
j +2 ?/8+Д*+4 12 w
/'B) = 0. 361. *i = 0; *2 = 3. Указание. Уравнение /' (л:) = / (*) для дан-
данной функции имеет вид 3*2 = *3. 362. 30 м/оек. 363. 1,2. 364. — 1.
365. /' (*0) = ^-. 366. — 1; 2; tg<p = 3. Указание. Использовать резуль-
Хо
таты примера 3 и задачи 365. 367. Решение, а) /' @) = lim
Д
А*
1
= lira -г—=¦=«; б)/'A)= lim
ах+о l/Ax W д^*
= lim
- о
ах бл ->¦ - о Д*
— lim Is'" А* | __х 368^ 5*<—12*2 + 2. 369. —-^-+2*—i
370.
371. —
372.
(m + n)
- 374. —4"' 375. 2* 3 — 5х 2 — З*. 376. ~х 3 . Указа-
ха з
ние.
377.
-2**-6*+25
За;2 у
1-4*
Зд:
378.
382. 5cos* — 3sin*. 383. . * . 384. -^ — ^
sin2 2* (sin* — cos*J
. 385. /а sin t. 386. i/'=0.
387. ctg* t4~' 388. arcsin*-|— *
Sin * V/ J y2
391.
v о
392. ex—^-. 393.
389. л;arctg *. 390.
¦ . 394. e* (cos *—sin*).
395. *ae*. 396. e*(a.xosmx-\
398. 3*4n*. 399. A+H
* '
1 — x2 J
397.
400.
*B1n*~'
In2 a;
401. sh* + *ch*,
.„.
404-
402.
* In 10 *
403. -th2*,
—2*2
*ln2*sh2*
,07. ^-^'-'^^ 408.
. 410. |
3. 411.

412. 16* C + 2*2K. 413.
ответы
У2 Г
395
414.
. 415. ¦
4,6. -
cos2*
4,9
—1
420. 2— 15 cos2 x sin*. 421. ¦ з оу ~~ • Указание. * = sin-2
422.
42S.
427
429.
(l-3cosxK
423.
cos4*
424.
2 sin2 л; /ctg х
os-2 t,
3cos* + 2sin*
2 /15 sin x —10 cos x
3 j/srnx cos4jc
1 3
2/1—x3 ^l+arcsinx
3(arcsinxJ
2(l+x2)
X cos (л2 — 5*+l)
430.
cos2
3 j/Be*—2Л+1J
433. —asin(ou:
(arotg лJ'
432. Bл:-5)X
435. —2
436.
. 434. sinB/+<p).
437. *cos 2x2 sin 3x*.
439.
442.
~2
x Y^—\
440.
443. —
2 V* —
441.
+x*
x\ 444. —2*5~
445. 2*102*(l+*ln 10). 446. sin 2l + 2ft cos 2* ln2. 447. ~
448. s-4-7- 449- ctgxlge, 450. -f=^-, 451.
2 + 7 ь I*2
I—*2
rAj. eix
x x\nx
452.
454.
—4arcsin*) У 1-
11
I
,
I
arotgx
2x
x
. 455. Решение, у' = (sin3 5x)' cos2-r
3
I x\' x x f x\ \
+ sin3 5л: cos2 -5- ) =3 sin2 5x cos 5*-5 cos2-5-4-sin35^- 2 cos -5- — sin-^-) —
\ d J О О \ О J О
о А Л 3
у о хх
= 15 sin2 5* cos5xcos2 -= 5- sin35ACCos -5- sin — ,
00 00
x^A-ix 6 x1
457. * ,:"b. 458. ,. * ..... . 459.
x 1
456.
¦. 460.
461. -
465.
468.
, 462.
У} ~Т V X
_ ; . 463.
. 464.
4x + 3
(x — 2K-'
1
YWtW
1
2/
466.
469
¦ 467"
а-дг

396 ОТВЕТЫ
470. 'д*,2 -=-¦ 471- 2G^ + 4) уЩ~2. 472. - У~а
6 У7 У(У+ V7Y V Way-у*)*
473. ' 474. sin3xcos2x. 475. -r-r-^ j-. 476. 10 igbx sec2bx.
у ex_j_ i sin4* cos4*
477. *cos*2. 478. 3*2sin2*3. 479. 3 cos x cos 2x. 480. tg4x. 481. E?^
s sin4 x
482 (a—P) sin 2* J_ arosin x B arocos * —arcsin x)
2 I/a sin2 x+p cos2*' ' 2 >/"l —x2
485. Aj . 486. ^-L^ . 487. *™<***-VJ=E.. 488. T?==l .
УЧг\ И-*2 A-л:2)^ |/a-6*2
489. l/^P^(a>0). 490. 2 /as — л2 (a > 0).491. Zf__ . 492. arcsin Y~x~
г а + х у 2x — x2
' i
493. . . 494. , . 495.
496. — . 497. 4* Л/ т • 498. т „—. -—. „
5-г4sin* r b — x 1-f cos2* 2
Ч1Л 2
500. sin2*esln2*. 501. 2/я2р Bmamx + b)P-1amx Ina. 502. еа* (acos fit—f>sin fit).
503. eajcsinP*. 504. <?-*cos3*. 505. *n-ie-** (n — 2x* In a).
506. —iytg*(l+/S^lno). 507. -| ^fr*. 508.
2 ^ ь v ' ' ' / 1 \2
iytg*(l+/S^lno). 507. -| ^fr*. 508. f . .
ж sin —
I
1 т/Т I 2
509. , 510. -r ,._ . 511. ,. 512.
513. __Ltg^-!. 514. <а2^ "у ¦ Указание. j, = 51n(*-2)-
515. 3jt,a~'faJ9 ¦-, . 516. -^-^ . 517.
(л— 1) (л: — 2)(* — 3) sin3 л: cos л:
15flln*(a* + b) 2 52,
)" 5'9' ^T* ¦ 52°- V^^ '
522. }T2 sin In x. 523. -±^ . 524. HiJ^l . 525.
sin адг
/ ——^— sin дх i
CO? ^^__^^^___^^^Г О^^"П 3X 1 — () I f) /1 лглллг *Э v^ 1 ^07 I QCOS OX \x\ *\ . 1. IV
*lfcw« "' ^^ [ л 111 ^ ~T" ,u II —г a' Ct-U& OX / \. O?, /«\ <J IIJ «J ^~ ,, , 1 /\
a cos ax cos bx-\-b sin ax sin bx 1 q
X c~b~s~4x • 5Z l+2sin*' "
/
530. ' + —+ ' 531.-- '
Y\-x* arosin x x ^ xy\—]n*x ' ' * (• +ln2 *) '
532. - * 533. , . 534. . , . 535. -р-Ц .
*4 + ^2-2 cos x У sin ж *4~! !+*"
536. arCS1" f . 537. 6 sh2 2л: • ch 2x. 538. e«* (a ch рл + Р sh Px).
A — Xs) /f
539. 6th22x(l— th22*). 540. 2cth2A;. 541. ,—L=. 542.
/« + 4

ответы 397
543. —l-rr. 544. -^-. 345. , 2 „. 546. * Arth дг. 547. *Arsh*.
cos 2x sin x 1 —x2
548. a) y' = 1 при x > 0; (/' = —1 при x < 0; у' @) не существует; б) у' = | 2jc | .
1 . (—1 при х<0, I т/Т
549. {/' = —. 550. /'(*)=< . 552. J-+JLi. 553. 6п.
s x ' v ( — е-* при х > 0. 2 ' 3
554. а) /1@) = -1. /;@) = 1; б) /1 @) = 1, /;<0)==?; в) /1@) = !,
/'+@) = 0; г) /1 @) = /+ @) = 0; д) /1@) и /^ @) не существуют. 555. 1—*.
556. 2+^^. 557. —1. 558. 0. 561. Решение. Имеем у' = е~х A — х).
Так как е-* = ^-, то у'=У-(\—х) или лу' = (/ A — х). 566. A+2*) X
570
C—1) (х —2)» • 5ЬИ- 3(л:2+1)
—24
572. д:* A + 1п х). 573. **s + 1 A+2 In л). 574. f/~x У
575. х Х~~ (\^-^\пх\. 576. х*хх* (— + !nx + ln2x \ .
577. x'^xf^HL^-cosx\nx). 578. (cos x)sin * (cos л: In cosx-sin x tg x).
579. (l+ _)*rin(l+l)—j-i-1. 580. (arotgx)-*X
Г L x У 1 J .1
X Inarctg ж + т;—;—57 j • 581. а) Хц= ., ;—5- ; б)
|_ ' A+x2) arotg xj * 3A +x2) '
2 —cosx
582. |/.. 583. ^. 584. ^.. 585.
С —1 при t < 0,
592. ух={ , . 593. — 2e3t. 594. tg/. 596. 1. 597. оз. 599. Нет.
[ 1 при i > 0.
600. Да, так как равенство является тождеством. 601. —. 602. j- .
603. —-,. — ^^ "
7 /п
605. _ |/ L. 606. - |/ i
.I. 620. а) 0; б) ±; в) 0.
х 2

398 ответы
622. 45°; arctg2 я 63°26'. 623. 45°. 624. arotg — « 36°21'. 625. @; 20); A; 15);
(—2; —12). 626. A;—3). 627. у = х2—х+\. 628. k = ~^-. 629. (~;
J i \ о
~Y§Y 631. у—5 = 0; *+2 = 0. 632. х—1=0; у = 0. 633. а) у = 2х;
#=—-1*; б) х—2у—1=0; 2х+У—2 = 0; в) 6* + 2#—я = 0;
2*—6у+Зя = 0; г) # = *—1; у=\— х\ д) 2*+{/—3 = 0;
х—2у~\-\=0 для точки A; 1); 2* — у + 3 = 0; х + 2у—1=0 для
точки (—1; 1). 634. 7х— 10# + 6 = 0, 10* + 7i/ —34 = 0. 635. у = 0;
я — 4) (/ — ^1|-^- = 0. 636. 5л + 6г/—13 = 0. 6*—5у + 21 =0.
637. х+у—2 = 0. 638. В точке A; 0); у = 2х—2; </ = -Цр^; в точке B; 0):
у = —л: + 2; у = х—2; в точке C; 0): t/ = 2jc—6; у=——. 639. 14*—
— 13f/+12 = 0, 13*+14у—41 = 0. 640. Указание. Уравнение каса-
касательной \—^—=1. Следовательно, касательная пересекает ось ОХ в точке
А Bдс0,0) и ось 0Y в точке В @,2уа). Находя середину отрезка АВ, получим точку
(х0, у0). 643. 40°36'. 644. В точке @; 0) параболы касаются; в точке A, 1) — пе-
пересекаются под углом arotg у « 8°8', 647. St = Sn = 2; * = n =
L tg 1; Sn=asmt,
656. Sf = a; Sn = 4; t = V
фо
/t= — V~a2+rl\ tgp, = —ф0. 657. 3 см/сек; 0; —9 см/сек. 658. 15 ли/сек.
659. —jr-MjceK, 660. Уравнение траектория y^xtga —-
л
2&о cos2 a
Дальность полета равна — . Величина скорости у v\—
.. tinsina—et ,.
угловой коэффициент вектора скорости — — • Указание.
Vq COS Cd
Для определения траектории нужно исключить параметр t из данной системы.
Дальность полета — абсцисса точки А (черт. 17). Проекции скорости
на оси: — и -4т' Величина скорости у 1-у-,А +(;гг) > вектор ско-
скорости направлен по касательной к траектории. 661. Убывает со скоростью 0,4.
662. (9/8, 9/2). 663. Диагональ растет со скоростью ~3,8 см/сек, площадь —
со скоростью 40 см21сек. 664. Площадь поверхности растет со скоростью
0,2я м21сек, объем—со скоростью 0,05я ма/сек. 665. -^- см/сек. 666. Масса
всего стержня составляет 360 г, плотность в точке М равна 5дс г/см, плот-
плотность в точке А равна 0, плотность в точке В есть 60 г/см. 667. 56*'+ 2 Юле4.
668. е**Dха + 2). 669. 2cos2*. 670. 2 A — х2)/3 A +*2K. 671. — х/ У

ответы 399
„_„ , ,2л: ... 2 , 2xarcsinjc „_. 1 , х __л ... .
672. 2arctg*¦+ ..а- 673- Т И ГГ' 674- —<Л —. 679. #'"==6.
1 1+JC2 1-х2 ' A—**) /« a a
A
680. /'"C) = 4320. 681. yV = (x2+i)b' 682- </VI = — 64sin2*. 684. 0; 1;
2; 2. 685. Скорость у = 5; 4,997; 4,7. Ускорение а = 0; —0,0С6; —0,06,
686. Закон движения точки М1 есть х = а cos at; скорость в момент t равна
—aatsinait; ускорение в момент t: —auPcasait. Начальная скорость 0; начальное
ускорение: —аш2; скорость при х — 0: =р аш; ускорение прид; = 0: 0. Макси-
Максимальное значение абсолютной величины скорости аш. Максимальное значение
абсолютной величины ускорения аш2. 687. у^п1 = п\ап. 688. a) nl A —х)-<п + Ч;
Г2(— 1)»д:2 + 2я(—l)n-i
691. у<«>(О) = (я—1)! 692. a) 9t3; б) 2/2 + 2; в) — Vl—t*.
693. а) -^гг] б) ъ ' . .; в) —- ; - г) ~'
a sin3 t За cos4 t sin t .-it
4a sin* -^-
694. a) 0; б) 2еъ<А. 695. a) A +l2) (I +3^2); 6) ^^7^ . 696. ~">*
697. Имеем y = ex—1 и -г4
(cos
= 1. Обычное правило дифференцирования здесь
неприменимо. 699. °^~/ . 700. 4е2 B sm ^~Cl^gil 70Ь —бе3* A
н sin/ (sin t+ cos г'M v
702 m"fm 704 ^ ' W • " х—^ L/ (*)] /
709. 111/256. 710. —1/16. 711. a) 1/3; б) — За2х/у\ 712. Ду = 0,009001;
di/ = 0,009. 713. d{\— jc3)=1 при х=\ и Лл; = —1/3. 714. dS = 2xhx,
*. 17П. При х = 0. 718. Нет. 719. di/ = — ^ «— 0,0436.
720. ^ = ^«0,00037. 721. ^ = ^«0.0698. 722.
723. ^L^, 724. -=^==. 725. ^Ц. 726. -
(l*J Уг % хг\а?
727, inxdx. 728. =^. 729. _i±^aq,. 730.
1-Х2 Sin2 ф т

400 ответы
732. -'i^^dx. ' 733. -У Udx=-L-dx. 734. X-±±dx.
7x-\-by __? x — у х — у
у2-хе у
735. Xjzdx. 737. а) 0,485; б) 0,S65; в) 1,2; г) —0,045; д) ~+ 0,025 » 0,81.
738. 5&5_см3. 739. /б"» 2,25; /T7j« 4,13; /70 и 8,38; /640 и 25,3.
740. p/l0ss2,16; j!/70«4,13; (/^200 « 5,85. 741. а) 5; б) 1,1; в) 0,93; г) 0,9.
742. 1,0019. 743. 0,57. 744. 2,03. 748. ~~(йх)* ¦ 749. ~*<d*>2
(!_*¦)'/, A-*«)¦•
_,„ / . , , 2 cos я sin дс\ ,, .„ __, 2 In л—3 .. ,„
750. I—sinjclfuH =- ) (dx)*. 751. , (dxJ.
\ хх2) х3
752. — е~х(хг — 6x + 6)(dxK. 753. ¦ .. [ ' . 754. 3-2" sin { 2x + 5 + —)(dx)n.
B—xf \ 2 J
755. excosa sin(xsina + na) (dx)». 757. Нет, так как /B) не существует.
758. Нет. Точка я = —— точка разрыва функции. 762. | = 0. 763. B, 4).
765. а) 1 = ~; б) Ъ =---%-. 768. In х=(х— 1) — 4- (х— \J +^~ГГУЯ , где
9 4 2 3§3
— 1), 0 < 0 < J. 769. sinx = * — fr + ^rcos?,, где gi=6;.v,
О < 6, < J; sinx==x — ^- + |j-)-||-cosg2, где ?г = 02дс, 0<0,<1.
770. „=,+^ + ^ + -+...+^- + 5^. где 1 = вх, 0<е<1.
1 л3 5 х3
772. Погрешность: а) ———_—; б) ^у ——-—1^-; в обоих случаях ?-&*;
3 1
0< б< 1. 773. Погрешность меньше —-=— . 775. Решение. Имеем
о! 4U
j_ _i_
—!— = 1 1-4 ) 1 . Разлагая оба множителя по степеням х,
а—х \. в/ \ а )
(. , х\Т , , 1 х I х2 (, х\~— , . 1 х , 3 л2
„случим: A+-J «!+_____; ^,_-j «,+__+__.
Перемножая, будем иметь: 1/ "л "" я: 1-\ Ьп~а • Далее1 разлагая е" по
X .
•С — X X J
степеням —, получаем тот же многочлен еа « 1 -) Ьп~~г- ^77. —г-.
778. оо. 779. 1. 780. 3. 781- -^- . 782. 5. 783. оо. 784. 0. 785. ~ . 786. 1. 788. —.
789. 1. 790. 0. 791. а. 792. оо для п > 1; а для я=1; 0 для я < 1. 793. 0.
795. 4"- 796. ~. 797. —1. 799. 1. 800. е3. 801. 1. 802. 1. 803. 1. 804. —.
5 12 е
805. —. 806. — . 807. 1. 808. 1. 810. Указание. Найти lim -к ,
ее . а-» а ^ и ,

ОТВЕТЫ 401
R2
где S = -^-(a—sina) — точное выражение площади сегмента (/? — радиус
соответствующей окружности).
Глава 111
811. (—оо, —2)—возрастает; (—2, оо) — убывает. 812. (—оо, 2) —убывает;
B, оо) —возрастает. 813. ( — оо, оо) — возрастает. 814. (—оо, 0) и B, оо) —
юзрастает; @, 2) — убывает. 815. (—оо, 2) и B, оо) — убывает. 816. (—оо, 1) —
возрастает; A, оо)—убывает. 817. (—оо, —2), (—2, 8) и (8, оо) —убывает.
818. (в, 1) —убывает; A, оо) —возрастает. 819. (—оо, —1) и A, оо) —возрас-
—возрастает; (—1, 1) —убывает. 820. (—оо, оо)—возрастает. 821. ( 0, — J — убы-
убывает; ( — ,оо ) — возрастает. 822. (—2, 0) — возрастает 823. (—оо, 2) — убывает;
B, оо) — возрастает. 824. (—оо, а) и (а, оо) —убывает. 825. (—оо, 0) и
9 1
(О, 1) — убывает; A, оо) — возрастает. 827. </тах = ~т ПРИ х = -д-. 828. Экстре-
Экстремума нет. 830. ут\п=-0 при * = 0; (/min = 0 при х = 12; утп=\296 при
дс = 6. 831. j/min яз —0,76 при х я 0,23; ута% я 0 при х= \; ут;п я —0,05 при
х~ 1,43. При х = 2 экстремума нет. 832. Экстремума нет. 833. утз%=—2
9 "
при х = 0; {/min = 2 при ж =--2. 834. утй% = jg при х = 3,2. 835. </тах = —3 V3
о _ о
при х = —; i/min = 3 1^3 при X—-JZ-.. 836. ym3%=V2 прих==0.
837. г/тах = — /3 при х = —2 /3"; утЫ= /3 при х=2 /3 . 838. ут1„ = О
приж=±1; г/тах=1 при х = 0. 839. (/min = —-^ /3 при х= U —— ) л;
Утах=-п- УЗ^ при *=--(? + — ]я (fe = 0, ±1, ±2, ...). 840. (/тах = 5 при
l \ о I
2л / 2 \ я
x=12fen; I/max = 5cos— при ж= 12 I k ± -р- я; </min = —ocos-j- при
]r)n; «/m-,n=l при * = 6Bfe+l)n (ft = 0, ±1, ±2,
841. </min = 0 при х=0. 842. yrain = — — при х = —. 843. ушах = ^- при
*=^Г; г/т1п = 0 при х=1. 844. ymin= 1 прил = 0. 845. j/min = —— при
4
дс =—1. 846. i/min = 0 при ^ = 0; утах = ^" ПРИ * = 2- 847- S/min = e при
jc=1> 848. Экстремума нет. 849. Наименьшее значение т = —-=- при
х = —1; наибольшее значение М = -^- при х=\. 850. т = 0 при дс = О и
х=10; М = 5 при х = 5. 851. т = у при x = Bfc+l)^-; M = 1 при
fen
x = -il (fe = 0, ±1, ±2, ...). 852. т = 0 при х=1; М=п при *=—1.
853. т= —1 при * = — 1; Ж = 27 при Х = 3. 864. а) т = — 6 при дс=1;
Л1=266 при х = 5; б) т =—1579 при л =—10; Л1=3745 при л: == 12.
856. р = —2, д = 4. 861. Каждое из слагаемых должно быть равно -^-.

402 ответы
862. Прямоугольник должен быть квадратом со стороной —. 863. Равнобед-
Равнобедренный. 864. Сторона площадки, примыкающая к стене, должна быть вдвое
больше другой стороны. 865. Сторона вырезаемого квадрата должна быть
равна -^-. 866. Высота должна быть вдвое меньше стороны основания.
867. Тот, высота которого равна диаметру основания. 868. Высота ци-
линдра - -- , радиус его основания R 1/ —, где R— радиус данного шара.
]/3 го
869. Высота цилиндра R ]^2, где R— радиус данного шара. 870. Высота
4 4
конуса -x-R, где R — радиус данного шара. 871. Высота конуса -=- R, где
о о
3
R — радиус данного шара. 872. Радиус основания конуса -^-г, где г—ра-
г—радиус основания данного цилиндра. 873. Тот, высота которого вдвое больше
диаметра шара. 874. ф = я, т. е. сечение желоба —полукруг. 875. Централь-
ныи угол сектора 2л; 1/ —. 876. Высота цилиндрической части должна
быть равна нулю, т. е. сосуд должен иметь форму полусферы.
_з_
877. h— I — —) i 878. ^ Ьтг-=1- 879. Стороны прямоугольника
V ~" I гха *Уа
a J^2 и Ь 1^2, где а и Ь — соответствующие полуоси эллипса. 880. Коорди-
Коордиу у р
наты вершин прямоугольника, лежащих на параболе (-о-а; ±2 1/ ^-j.
881. ( ± —г=\ -г) ¦ 882. Угол равен наибольшей из величин arccos -г- и
\ Уз v й
arctg-i. 883. АМ = а , ,У р_ ^_ . 884. -^, 885. а) х = у = —^\
d V + У ^2 ^2
б) x=yj' y=d }/¦§• 886' Х= }^1Г' Pmin= ^^Q- 887.
Указание. При вполне упругом ударе двух шаров скорость, которую
приобретает неподвижный шар массы mi после удара о него шара массы т2,
2m,v „„„ т /"Щ .
двигавшегося со скоростью v, равна -=—, 888. «= I/ (если это
число не целое или не является делителем числа N, берут ближайшее к най-
найденному значению целое число, являющееся делителем числа N). Так как
внутреннее сопротивление батареи равно -тт-, то физический смысл найден-
найденного решения таков: внутреннее сопротивление батареи должно быть воз-
возможно ближе к внешнему сопротивлению. 889. (/ = —ft. 891. (—оо, 2) —
вогнут вниз, B, оо)—вогнут вверх; М B; 12) — точка перегиба. 892. (—оо, оо)—
вогнут вверх. 893. (— оо, —3)—вогнут вниз, (—3, оо)—вогнут вверх; точек
перегиба нет. 894. (—оо, —6) и @, 6) — вогнут вверх, (—6, 0) и F, оо) —
/ д \ / 9 \
вогнут вниз; точки перегиба УИХ ( — 6; —^-) , О@; 0), М2 ( 6; -^- 1 .
895. (—оо,— Уз) и @, У^З) — вогнут вверх; (— j/~3 , 0) и A^3, оо)—вогнут
вниз; точки перегиба Mlti(±yr3; 0) и 0@; 0). 896. U4fe+1) j,

ответы 403
|Л— вогнут вверх, fDfc + 3)y, Dй + 5)-|Л — вогнут вниз
(й = 0, ±1, ±2, ...); точки перегиба— (Bk+l) у; oV 897. B*я, BА+1)я)—
вогнут вверх, ({2k—1)я, 2йл)—вогнут вниз (fe = 0, ±1. ±2, •*.); абсциссы
точек перегиба равны x = kn. 898. @, —-=) — вогнут вниз, ( —-—, оо )—
\ V<?) \V<P )
/1 3 \
вогнут вверх; М[ ——; —п~з)—точка перегиба. 899. (—оо, 0) —вогнут
\ У е3 le I
вверх, @, оо) — вогнут вниз; О@, 0)—точка перегиба. 900. (—оо, —3) и
(—1, оо)—вогнут вверх, (—3, —1)—вогнут вниз;1 точки перегиба —
Мх(—3\ ^) и mJ—1; |Л . 901. х = 2\ (/ = 0. 902. х=1, х = 3, i/ = 0.
903. х=±2, у=\. 904. у = х. 905. у = —х (левая), у = х (пра-
(правая). 906. у = — 1 (левая), у—\ (правая). 907. ж=±1, у = — х (ле-
(левая), у = х (правая). 908. у = — 2 (левая), у = 2х—2 (правая). 909. у=2.
910. * = 0, у=\ (левая), у = 0 (правая). 911. х = 0, y=U 912. у = 0.
913. х = — 1. 914. у — х—п (левая); у = х-\-п (правая). 915. у=а.
916- г/тах = ° при х = 0; утш = —4 при дг = 2; точка перегиба Л!х A; —2).
917. j/max=l при x—±y~Z\ i/min = 0 при л = 0; точки перегиба
Mi,t\±\; -g-J . 918. i/max = 4 при * = —1; г/тщ = 0 при х=1; точка
перегиба Mi @; 2). 919. j/max = 8 при д; = —2; i/min = 0 при х = 2\ точка пе-
перегиба М @; 4). 920. i/min = —1 при х = 0; точки перегиба Afii2 (± V§\ О)
и Л*з, 4 Г ± 1; —^25 J • 921. (/тах = —2 при * = 0; «/тт = 2 при д; = 2; асимп-
асимптоты х=1, 1/ = д:—1. 922. Точки перегиба AJji г (± 1. Т2); асимптота х==0.
923. j/max = —4 при х =—1; j/min=4 при х=\; асимптота х = 0.
924. ут-ш = 3 при х^1; точка перегиба—М (—/2; о); асимптота я = 0.
925. Утах = "о" ПРИ * = 0; точки перегиба jWii2 ( ±lj -г-) ; асимптота «/==0.
926. г/тах = —2 при ж = 0; асимптоты х—±2 и «/ = 0. 927. t/min = — 1 при
* = —2; #тах=1 при х = 2; точки перегиба —0@; 0) и
Mi,» ( ±2 Уз"; rb-^-fj—); асимптота у = 0. 928. (/щах=1 при х = 4; точка
перегиба — М E; -к-)'• асимптоты х = 2 и i/ = 0. 929. Точка перегиба —
27 8
О@; 0); асимптоты х=±2 и (/ = 0. 930. утзх = — та при х = -г-; асимптоты
х = 0, х = 4 и i/ = 0. 931. Ушах — — 4 при х = — 1; (/т,п = 4 при х=1;
асимптоты л: = 0 и у = Ъх. 932. /4@; 2) и В D; 2) — концевые точки;
2/тах = 2 >^ при х = 2. 933. Л (—8; —4) и В (8; 4) —концевые точки. Точка
перегиба О@; 0). 934. Концевая_ точка А(—3; 0); ут\п = —2 при х = —2.
935. Концевые точки А (— /l; О), О @; 0) и В ( У~3; 0); ута][= У~2
при х = — I; точка перегиба — м1 V^ + 2 У~3, !/ б 1/ 1 + ~7:? )'
936. ушах=1 при * = 0; точки перегиба—Af]i2(±1; 0). 937. Точки пере-
перегиба— Mi@; 1) и Л12 A; 0); асимптота у = —'х. 938. утах = ® при * = —-1;
Ут\п=—1 при д; = 0. 939. утах = 2 при х = 0; точки перегиба Afi,a(±l; у V;
асимптота у = 0. 940. ут\п=~4 при х = — 4; уШах = 4 при х = 4; точка пе-

404 ответы
регяба — О@; 0); асимптота, (/ = 0. 941. ут\а = уЛ при * = 2, ут1^= У 4
при д: = 4; J/max = 2 при л: = 3. 942. угаш = 2 при * = 0; асимптоты х= ±2.
Л5
943. Асимптоты х=±2 и у = 0. 944. ут\п = ~у= при х= У'З;
ymiK = — _ при х = —у; точки перегиба — Mi ( —3; —^-], О@; 0)
У 2 V 2;
/ 3 \ 3
и Мз 13; — ]; асимптоты х— ± 1. 945. i/min = -;—= при х = 6; точка пе-
V 2 I У 2
региба—М A2; ) ; асимптота х = 2. 946. #тах = — при х—\; точка
\ Г/100/ е
перегиба
! 2 \
— М 2; —г ] ; асимптота « = 0. 947. Точки перегиба —
V «2 /
fi ( — За; —~ ] и Мг ( — а,— ]; асимптота у = 0. 948. г/тах=е2 при * = 4;
точки перегиба—Mii2 \ „-^-—; в2 ); асимптота у = 0. 949. утах.—2 при
jt=--O; точки перегиба — 7W12 I ±1; —); асимптота у = 0. 950. утах=1 ПРИ
х=± 1; yrain = 0 при х = 0. 951. </тах = 0,74 при х = е2 » 7,39; точка пере-
перегиба— Af (ев/3 я 14,39; 0,70); асимптоты *==0 и у = 0. 952. fmin = — 4- при
* = —р= ; точка перегиба — М I —-г= ;—тт ) • ^^- Ут\п = е при х = е; точка
У в V У е3 4е /
/ f2 \
перегиба—М I в2; -g- J ; асимптота х==1; </—^0 при х—>-0.
954- Утах = — ~ 0,54 при jc = —g—1 « —0,86; ymin = 0 при л = 0; точка
перегиба — М ( I « —0,63; —и 0,37]; у—>-0 при х—*—1+0 (пре-
(предельная концевая точка). 955. i/min=l ПРИ х=± У 2; точки перегиба
-/Wi>2(± 1.89; 1,33); асимптоты х=± 1. 956. Асимптоты х=0, у = 0. 957. Асимп-
Асимптоты у = 0 (при jc—<-+°°) и у = —х (при х—<¦—оо). 958. Асимптоты
х = ; х = 0; у=1; функция не определена на отрезке , 0 .
959. Периодическая функция с периодом 2я. ут\а = — V^2 при * = -^-я+2?я;
при x = -?-\-2kn (k = 0, ±1, ±2, ...); точки перегиба —
; 0 ] . 960. Периодическая функция с периодом 2я.
= —4 У ПРИ *="з-я + 2йя; Ушах = ^ У^З при x = — -\-2kn (fe = 0,
±1, ±2, ...); точки перегиба— /И^ (кк; 0) и yV^ ( arocos f j )-(-2^я;
3 ¦ \ Ч
т^ У~15 J . 961. Периодическая функция с периодом 2я. На отрезке [—п, п\
1 я
i'mak=-4- при х=± j; ^min = —2 при д;= ± я; f/rain = O при а;==0; точки

ответы 405
перегиба — М1#2(± 0,57; 0,13) и Мзл (± 2,20; —0,95). 962. Нечетная периоди-
периодическая функция с периодом 2я. На отрезке [0, 2я]: утах—1 при *=0;
Vmin = 0,71 при JC = -^- ; ?/max= 1 при х = -^\ Ут\п = — 1 при * = я;
5 3
i/max = — 0,71 при Jc = —я; ymin = — 1 при * = -2"Я; «/max = 1 при х = 2п;
точки перегиба — Мг @,36; 0,86); М2 A,21; 0,86); М3 B,36,0); Мл C,51; —0,86);
Мъ D,35; —0,86); Ме E,50; 0). 963. Периодическая функция с периодом 2я.
т/~2 л y^ з
-I2- при ДГ=-^-+2/гя; (/тах = j- ПРИ Af=~JIl+2to <*=0-
з
±1, ±2, ...); асимптоты x = -j-n-\-kn. 964. Периодическая функция с пе-
/ n l/~2\
риодом я; точки перегиба — М^ ( -j-\-kn; -!-^~ ) (fe = 0, ±1, ±2, ...); аснмп-
3
тоты х=— n-\-kn. 965. Четная периодическая функция с периодом 2я. На
4 1
стрезке [0, я]: wmax = —— при x = arocos -j=; {/max = 0 при *=я;
3 у 3 г 3
4 / 1 \
j/mjn = — при x = arccos/ — ) > J/min = 0 при * = 0; точки пере-
3 ]/ 3 \_ V 3/ _ _
/ я \ / V^24V^7\ / V^2 41/"/Д
гиба —Mi I -^-; 0 ; М2 ( arcsin -'-^ ; —~- ); Af3 ( я—arcsin -4j—; q=— ) ¦
966. Четная периодическая функция с периодом 2я. На отрезке [0, я]: {/тах = 1
при * = 0; W = jy= при ^arccos^--^); ^п=-^= при
x = arccos ; i/min = —1 при х = я; точки перегиба—Mi ( -*¦; 0 ];
]/ 6 \ * J
М2 ( arccos l/ го ; -тг 1/ Т5 ) '> Л'з ( arccos ( — l/ rs ) ; — -к V TS
\ Г 18 9 Г 10/ \ \ Г 18/ У Г 18у
967. Функция нечетная. Точка перегиба — М^ (kn; кл) (fe = O, ± 1, ±2, .-..).
968. Функция четная. Концевые точки — Ai^(± 2,83; —1,57); i/max я 1,57 при
л ^0 (точка возврата); точки перегиба—Ali,2 (± 1,54; —0,34). 969. Функция
нечетная. Область существования —1 < х< \.л Точка перегиба 0@; 0);
гсимптоты *=±1. 970. Функция нечетная. Утах = -2—1+2Ая при
х=—-\-kn; ym-in=-F-n-\-l-\-2kn при *=Tit + to; точки перегиба —
4 Л 4
2k 4-1
М ь (кк, 2kn)\ асимптоты х = —^^я(й = 0, ±1, ±2, ,,.). 971. Функция
четная; (/min = 0 при # = 0; асимптоты i/ = ^-дс—1 (при х—*¦—оо) и
у — -х-х—1 (при х—>-+оо). 972. ут\а = 0 при ^ = 0 (угловая точка); асимп-
тота у=\. 973. i/min=I+-?5" при jc=1; {/max = -o ' ПРИ ¦* = —I; точка
перегиба (центр симметрии) @, я); асимптоты у = х-\-2п (левая)
и у = х (правая). 974. ут\п « 1,285 при х= 1; ута% я 1,856 при дс = —1;
точка перегиба — Л1 ( 0, -д- ) ; асимптоты у= -^ -)- я (при х —> — оо) и

406 ОТВЕТЫ
У=-2 (ПРИ *—>-+00)' 975. Асимптоты х = 0 и у — х—1п2. 976. ут1п « 1,32
при х=1; асимптота * = 0. 977. Периодическая функция с [периодом 2я.
УтЫ = — при « = уЯ-|-2*я; Ушах = е при * = y + 2fai (A = 0, ± 1,
±2, ...); точки перегиба — Мк ( arcsin ~—|-2йя; е
~
— arcsin-1—2 ЬB?+1)п;е j. 978. Концевые точки Л @; I)
и В A; 4,81). Точка перегиба—М @,28; 1,74). 979. Точка пере-
перегиба— М @,5; 1,59); асимптоты у яз 0,21 (при х —-»¦—оо) и у яа 4,81
(при, л:—*+°°)- 980. Область определения функции — совокупность интерва-
интервалов Bkn, 2kn-\-n), где k = 0, ±1, ±2, ... Функция периодическая с перио-
я
дом 2п; 2/тах = 0 при x = — ~-2.kn F = 0, ±1, ±2, <*.); асимптоты дс = йя.
981. Область определения —совокупность интервалов ((^—о" ) я>
2&-|—^-l11), гДе k — целое число. Функция периодическая с периодом 2я.
Точки перегиба — MkBkn; 0) (й = 0, ± I, ±2, ...); асимптоты
* = ± -y-\-2kn. 982. Область определения * > 0; функция монотонно воз-
возрастающая; асимптота ж = 0. 983. Область определения | х—2kn \ < —
(k = 0, ± 1, ±2 ). Функция периодическая с периодом 2я; г/тш=1 при
ж = 2^я (А = 0, ±1, ±2, ii.); асимптоты л:=-^--]-йя. 984. Асимптота
у я: 1,57; у—>-—— при х—»-0 (предельная концевая точка). 985. Концевые
точки — Aiit(± 1,31; 1,57); ymia = 0 при х = 0. 986. yniin=^i-V и 0,69 при
х=—«0,37; у—>-1 при х-—>--)-0. 987. Предельная концевая точка —
А (+ 0; 0);(/тах^ее я; 1,44 при х = е х 2,72; асимптота # = 1; точка пере-
перегиба— Mi @,58; 0,12) и М2 D,35; 1,40). 988. хт1П=— 1 при /=1 (г/ = 3);
?/min = —1 при t = — 1 (х = 3). 989. Для получения графика достаточно изме-
изменять t в пределах от 0 до 2я; хт;п = — а при t = n(y=--0); xmax = a при
t = 0 (у = 0); ут-т = — а (точка возврата) при t = + -?- (д: = 0); утзх = + а
1 \ л л / m - я Зя 5я 7я
(точка возврата) при f = -^" (* = 0)> точки перегиба при ^ = -7", —г-, —г-, —г-
? 4 4 4 4
^=±~^, у=±у=). 990. xmin = --i при t = —\(y = -e), утах = -]-
при/=1 (х = е)', точки перегиба ( — +-= , — у^ eV 2 ] при < = — У~2
(y~2eV2, ¦?— j при i=|/; асимптоты л: = 0 и г/ = 0. 991. «min=l

ОТВЕТЫ
407
н Утт=1 при * = 0 (точка возврата); асимптота у = 1х при *•—»¦+<».
992. </min = 0 при * = 0. 993. ds=— dx; cosoc=—: sina = ,
m e у а а
= ]/oa-J2. 995. ds = —
=|/i-; sina = — |/-|-. 997. ds^ch-^dx;
1 x it
cosa= ; sina = th—. 998. ds = 2a sin — dt; cos a = sin -^ ; sina =
. x a 2 2
ch —
a
t
1000.
999. ds = 3asin t cos *d*; cosa = —
1
=, 1001. ds=-^
. 1002. ds = -
cos3-!-
d(f,
sin a = sin t,
; cos P =
= cos-7t. 1003. ds = a cos-?¦ d<K
sinp = cos'-|-. 1004. ds = r V~l + (InaJ<i<p;
sin 6 =
1005. ds= — d<p;
1006. AT=36. 1007. K = —.
3
1008. АГд=
шинах. 1011. ( ~;
1013. /? =
= 4;. Ю09. K = —%=. 1010. K=—%= в обеих вер-
"а 13 /ТЗ a>^2
и I-о-;
. 1014. R =
1012. ( —
In 2
2 ' 2 /
1015. fl = (
1016. /? =
1019. R=
3
-^- a sin 2i
4 Ф
3-acosf
1023. l-l4a;l4
1017. i? = |a/|. 1018. R = \
1020. Лнаим = |р|- Ю22. B; 2).
1024. (x—с
1025. (*+2J + (y—3J = 8. 1026. рУ2=^(Х—pK (полукубическая парабола),
_2_ _2_ _?_
1027. (aX) 3 +(ЪУ) 3 =c3 , где c2=a2—Ь2.
Глава IV
В ответах этой главы ради краткости произвольная аддитивная постоян-
постоянная С опущена.
1031. yoV. 1032. 2*3 + 4*2+3*, 1033. j-
1034.
,035. %
. 1036.
. 1037.

408
ОТВЕТЫ
1038. а?х — -| а 3 х 3 +-| а 3 X 3 —~ .
5 7 3
1040.
,039.
13 7
1042. 2аУ~ах—4а х + 4х]/~ах — \
1044.
1047.
In
arcsin
5/
ж + /Ю
ртг'"<'+
. 1045. 1п(ж + /4 +ж2). 1046. arcsin-
2 /2 '
1048*. a) tgx—х. Указа-
Указание. Положить tg2 *=sec2 x—1; б) х — th ж. Указание. Поло-
Положить th2 л- = 1 г^-. 1049. а) — ctgx — ж; б) ж — cth ж.
СП " X
1050.
In3+1 "
a In
a—x
Решение.
С
\ dx =
J a — x
. 1052. x+ In | 2*+l
2х + 3
Реше н и е. Разделив числитель на знаменатель, получим = 1 +?
1061. — 26/1 — у. 1062. _±-/(а —
i
x УТ—2 /2
ж /7+2/2
1068. х— /1 arctg -?=.
1070. ж—4- In (ж2 + 4) + arctg 4
1071.
/2Jt+
1072.
1073.
1
3
In
1п|3ж
Eж2 +
2 О I
¦* г
7)-
2
5 .
/б "
ж
х
1075.
/з—
/3 +
|y5J
V
V
*?-
2
2
- 1
^
,.(,/1)
/5+

ответы
489
1076.
!— 4|. 1077. -^- In [x* — 5|. 1078. -j In i
1079. ^-1п(а8хг+6а) + —arctg^. 1080. -j arcsin ^-. 1081. -^-arctg xu.
1082. 4п1*3 + Vx6— 1 |. 1083. 4" /(arcsin xK. 1084.
J о 4
5.4
В
1088. —
л;2). 1087. -—
'л
1091.
3 1n4
1
In a— In 6 U* чх
1089.
а Ъ*\
t; — -z — 2*.
2X
1090. |.e^
1092. -f- i-a2 +а г .
1па \ 3 /
1093. !—. 1094. —^— 7*г. 1095. —е~. 1096. ~5V х. 1097. Inle*—II.
2е*! + * 21n7 Jn 5
,098.--]/(a-
Указание.
1099. ^
П00. i-
In B*
U02. — — In
26
1103. arcsine',
1101.
1104. — —
b
1105. /2sin-i^ . 1106. x — — cos 2ax. 1107. 2 sin V x. 1108.— In lO-c
/2
la
1109. _- 4
. У к а з а н и е. Положить sin2 x = ~ (I — cos 2x). 1110. -=- -+-
2 ?
¦\ j—. Указание. См. указание к задаче 1109. 1111. —tg(ax-{-b).
1113. a In
1115. — Inltg-
1116. ytg(**).
1117. ycos(l—X2).
1118. x —
^
— /2 In
tg-
a —6
1122. 5 In
. 1119. — ln|cosx|. 1120. ln|siru|.
sin 4- • 1123. —2 In | cos У *|.
1121. (o—6) In sin
1124. -i- In | sin(x2+ 1) |. 1126. ln|tgx|. 1126. ~ sin8 ^-. 1127.
1128. —-;—}—,— . 1129. — 4-lriC + cos3x). ИЗО. ~4" У cos 2x-
4a sin4 ax 3 . 2
1131. — 4-У(i+3cos2*K. 1132. -5-tg44-• H33. 4-

410
ОТВЕТЫ
4H-?
1137. ^-ln|6-
x
1138. -|-сЬ5д:—|-
О О
! sin a* j .
1139. — -?+4-sh2jt-
1140. In
«1-=-
. II4I. 2 arctge*. 1142. In | th x |. 1143. Inch*. 1144. In | sh*|.
6. i-ln|«*-
1147.
_=
=-arctg-^-
1148. — le-*1. 1149. л/— arctg (* 1/^—) ^- In (
2 ^2 \ " 2/ /3
1151. ^=-.
1156.
'2+3*2).
1152. ln|* + cos*|,
I
1154. —
1
in**
asin *
1157. -j . M58.
In a
1. |-
ъ . 1159.-^arcsin (л2). 1160. — tga*— x.
1162. arcsin
2 '
1163. a In
1164. ±3/(l+]nx)*. Ц65. -2]n|
1167 cAKi^x I
tg
cos ]/^Л
1166. -i In
tg-^ L
1168. —In | sin x + cos x \.
1169. У 2 Jn
2/2
—2x— /2cos-?=-. 1170.
=, In
л:—
1171. ln|x| + 2arotgx. 1172. еа1п**. 1173. -^^arcsin r -f /4— 3*3.
1180. —
(arocos-^j
1179. -rl
lnx
1174. л:—ln(l+e*). 1175. _J_=-arctg fx l/ -—-J. 1176. ln(e*+ ]Ae2*_2).
1177. —In I tg ал; I. 1178. —4~cos (-,
" 2ji v ^
1181. -e-'e*.
2 —l
,,„„ 1 . /sin2jc\
1182. — arcsin ( _r^ ].
1183. — 2ctg2x. 1184.
1186.
. /5
rrr In —-p=
5 /
[ ** A dx -f
JI+cosaA: J sin2ji; + 2cosa*~J
— sin2x
dx
— yi — x*. 1185.
„87. -pL-arctg
dx
казание.

ОТВЕТЫ 411
1189. — sh(*3-b3). H90. -!—3th\ 1191. a) —L- arccos J—— при х> Y;
|
в) 1 E^-3)8; r) -| У(х + \)*-2
-2 In (l+/*)]. 1194. In
J
1196. In*-!n21n|ln* + 21n2|. 1197. (arcs'n*K,
1198. — (ex — 2) Уех+1. 1199. — (cos2 x — 5) ]/"cos*. 1200. In I "^=f=
1 ? _______ 1
Указание. Положить * = — . 1201. ^- }Л — *2 + -n-arosin*.
1202. — ^У 2— *2 — 4-1^2— x2. 1203. |/"^2—a2—|a|arccosL^J. 1204. arccos—,
> 0, и arocos ( j , если *<0*). Указание. Положить х=—-.
\ х j t
3
если х
1205. Ух2+1— In
1206. !:—; . Примечание.
4х v
Вместо тригонометрической можно применить подстановку х==—.
+ ^-1п|ж-г-V*a —aa|. 1211. xlnAt —Л. 1212. xarctg* — _ln(I+x").
1213. xarcsinx+/l-A:2. 1214. sin x-*cos x. 1215. __l?f+_-i-_t
о У
1216. —^~. 1217. — *2У21- 1218- -^(9ха —6ж+2). Решение. Вме-
Вместо многократного интегрирования по частям можно применять следующий
способ неопределенных коэффициентов:
х2г3х их = (Лха + Вх + С) е3*
или, после дифференцирования,
л:2езл; _ (^Х2 _^- jSa; + С) 3s3* + BЛ* + В) е3х.
Сокращая на е3х и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,
получим: "-
19 2 л
откуда Л = -д-; В = — тр С = 2^.В общем виде V Р„ (x)eaxdx = Qn (x) еах,
*) В дальнейшем, в аналогичных случаях, иногда будет указываться
ответ, годный лишь для какой-нибудь части области существования подын-
подынтегральной функции.

412
ответы
где Р„(х)—данный многочлен степени л и Qn (х) — многочлен степени л с не-
неопределенными коэффициентами. 1219. —е~х (*2 + 5). Указание. См. за-
х_
дачу 1218**. 1220. — Зе 3 (л3+9*2+54*+162). У к а з а н и е. См. задачу 1218**.
.„„„ 2*2 + 10х + 11 . . , 2* + 5
1222. —j—! sin2.*-| ^—cos2*.
,.., ж cos 2х . sin 2х
1221. - 1 —
Указание. Рекомендуется также применить способ неопределенных коэф-
коэффициентов в виде
\р„(х)
= Qn (x) cos px -f Rn (x) sin
где Рп (х) — данный многочлен степени л, Qn (х) и /?„ (*) — многочлены сте-
степени п с неопределенными коэффициентами (см. задачу 1218**).
1223. -5- In х jr..
1224 х)п2х — 2*1п.*^2*.
1П ЗС
1225. — Vt-
1226. 2 |/"л1пд: — 4 Y~x. 1227.
arctg л — у , 1228. ^ arcsin x
—— arosin x -f- — у 1 — x2.
— xctg jc + ln I sin л: |.
3X (sin *-|-cos x In 3)
1229. х
1230. — xctgjc + lnlsinxl. 1231. : 1-In
1 ' SIHJK '
. 1232.
e*(sin x— cos x)
1233-
1235. — [sin (In x) — cos (In x)]. 1236. —
....
1234'
1238. (^ *24
1240. _l5^_
-^ + 4; 3*.
: (a sin b*— b cos to)
(x2+l). 1237. 2eVx{V"x— l).
1—jc
1239.
— X.
1242. ^- arctg 3*-7g- + Tg2 ln
). 1244. x (arcsin л
In
1243.
1241. [l
^ (arctg .vJ-x arctg
1+ y\-x*
1 n | cos 2x |
4^
AfcosB1nx) +2xsin B ln x)
|-2 у 1-х2 arcsin л — 2л:. 1245. —
. 1246. —2 У 1—л: arcsin К"л-Ь2 V х. 1247.
д:
xtg2« .
* i248.
• 1250. -
лагая u = * и ^=
xdx
получим du = dA: и v = —
1249. i. +
1 „
j arc<g x. P e ш е н и е. По-
1
. От-
1
1251. yy f — arotg — -j—j4—j) • Указание. Использовать тожде-

тождеОТВЕТЫ
413
шениё. Положим и— У~аг — хг и dv — dx; отсюда du = —
xdx
имеем
Г Vaa—x*dx = x У а2 хъ Г —x*dx _ yai_xl _
_r(a*-x^zd'dx=x y^rp _ С V^Ti dx + a" С Х dx_^ Сдадо;
} I/ n1 r2 1 1 l//j2 y2
вательно, 2 f У a2 — x2 ^л; = л; У a2—x2 + a2 arosin — . 1253. у У Л+ jc2 +
+ J*.la\x+y А + х*\. Указание. См. задачу 1252*. 1254. — у У"9—л2 +
9 л: 1 х-\-1
+ -jT- arcsin -^ . Указание. См. задачу 1252*. 1255. -75- arctg——.
1256. — In
2
, 7 . 2л; — 7
+—^ arctg-
1257. -JL= arotg
]All
1260. x—j In (лв
4-8 arctg (л;—3).
1264. In
1262. ¦ ,_ arcsin —=—
/2 5
г——— 1хА-1
1266. —2 У 1— л;— х?* — 9arcsin IL .
. 1258. — In (л;2 —7х+13) +
2
1259. -j- In (x2 —4л; f 5)+ 4 arctg (x—2).
~. 1261. x4-31n(x2 — 6jc+ 10) +
1263. arcsin Bл;—1).
1265.
1267. y
1268. In
2 — 4л:+5.
1
1269. — arcsin -==¦. 1270. arcsin ¦
A-х) VI
> V~2)- 1271. —arcsin-
1272.
. 1273.
-.1275.-^-ln
1276.
3 — sin л;
/3
1277.
1C78. — ln|cosxr-)-2+y"cos2.
- 2 arcsin ?+}l-. 1280. -^-rln
/5
a — b
x + a
\. 1279. — У 1— 4 In л: — In2 x —
гфЬ). 1281. ж + 31п|лг —ЗГ—
с—2|. 1282. у2 In
1 101
1283. In
(лг— II (x—4L
1284. 5*+In
1285.
1286. 4-

414
ОТВЕТЫ
ш1п
. 1287. ^
11
2 (х — 2J х—2
8 . 1288, - 9
. 1289.
27
ЗО]
49 (х—5) 49 (х +2) '343
х—5
2(*-3)
I
1291.*+In
1292. *+4"
л:—1
=-arotg
3
'^65'
2х— 1
. 1290. — 7ГГ^
2(х* —
1 1
—^-arotg*. 1293. ^ In | х—3 | —
. 1294. 1
1295.
In
Ь X — X ~~\~ I
У~2 „„. хУ~~2
4|/~2 '" Х*—
1297.
2x— 1
1299.
, arctgje
х + 2
1300.
Зл:—17
2 (*2 —
—^-ln (ж2
1303.
-j-arctgx
;—2). 1301.
1302. ~
X— 1
garctg,. 1304. ,--,
-l). 1305. ^
1—1) 16
f21n(*a-
)- 1306. 1 In |л:4-1
+ 2 In
д:—4
1308. 4-
2х4+1 -
К+1Н
П ,з
-1/
1
л;3
=- . 1307. — :
13
f —4J ' x—4
+
1309.
X— 1
ln
* — 2
г=1|-
1310. ln|jt| —=-1h|jc7+1 I- Указание. Положить
1320. In

ОТВЕТЫ
415
—2 У 2 arctg y\ . 1322. — 2arctg]/"l— *.
. 1326. —?^ У"*2 — x + l-~ In Bx— 1 +
1 oZa¦ I -r T i"~7. л
-In [l~~+R ,
1332. -^ -A
. 2 /1 +
ШЗ. -L
1335. -^
10"'z2-i-z-f
1336. -4-
, 22+1
5.arctg__,
где
. 1338. sinx-4-si
1339. -cosa;+-|-cos3*—rc°s^- 1340. E^_5i^
о 5 о о
1341. 4" cos8 4 —
4 2
x
2 sin2*
, , . , Зя
— 2 In I Sin л |. 1343. -5-
Зя
8 | 4
1—
32
,344. *
1345. ±-
sin Ax , sin3 2x
+
1349. -i^p--
3 1
' 2 tg2 x 4 tg1 л: '
32 " '—"• 6""" 64
— TT7sin36^. 1347. —ctgjc —
'-, 1350.
1352.
48
1346. 16*+-^ sir
. 1348. tg«+-|- tg3 x + -^ tg5..<.
. 1351. i-tg2A; + 3 In | tg x|-
1—+2In|tg|-|. 1353. -^-fln
,2 * 1^1 Z L
COS2 -rr
+ ln
1355.
*(*+*)!]¦
2
1354.
cos л:
4sin4^ ~ 8sinajc
sin Ax
16 cos« 4*+ 32 cos» 4«+32
ctg3*
1363. 2/tgA:.

416
ОТВЕТЫ
1364.
где г=
cos 8* , cos 2*
Ig 1 4—
sin 25* sin 5* 3 . 5л ... x
1 — . 1367. -?-sin-?-}3sn
50
1368. jcosl-l
,369.
sin л: , sin 5* . sin7*
- ~2 ' 20—Г
1373. Ц-ln
4
20 ' 28 "
*
1372. т^-
4
10
. 1370.
1374.
In
* . я
5 -"-6"T-"—-6--
t cos ф sinB(o/ -f-ф)
2 4U~ '
— — cos4*—=-
Jb о
1375. x-ig j.
1376. — x + tgx + secx, 1377. In
1° 5
1379. -j-^JC— -p^ln | 2 sin jc + 3cos*|.
tgy-5
tg-f-з
. 1378. arctg M+tgf).
3" 13
= a<2sinx-f 3 cos
Решение. Положим 3sin;«4-
B sin ж+ 3 cos*)'. Отсюда 2a—30 ==3,
о 12 о 5 >, Г 3 sin л: 4-2 cos*
= 2 и, следовательно, a=T7;, R = ——. Имеем \ 75-^ —5 a* =
13 F 13 J 2sin* + 3cos*
12 С . 5 С B sin * + 3cos*)' . 12 5 , , „ . , „ ,
= -T5 \ dx — т^ \ -Ц-^ 1— '—dx = ~- x — — In 2 sin*-}-3 cos * .
13J 13 J 2sin*4-3cos* 13 13
1380. — In I cos*—sin* |. 138). -^ arctg f ^ ]. Указание. Числитель
и знаменатель дроби разделить на cos2*. 1382. arctg ( -
Указание. См. задачу 1381. 1383. ¦ In
2tg*-!-3—/13
2 tgjc~
. Указа-
Указание. См. задачу 1381. 1384. —In
tg*-5|
tg*
. Указание. См. задачу 1381.
1385. -
1
2A —cos*J'
1 , 5 — sin*
1386. ln(l+sin2*). 1387.
1
' ]n V^2-{-sin2.<
^ — sin 2л:
2)^2
4 '" 1—si
э а н и е. Использовать тождество
2]/" 2
=— . У к а-
1390. — j
I—sin *4-cos *
14-sin*—cos x
B—sin*)C — sin*) 2 — sin* 3 — sin*'
Указание. Использовать тождество
'391.
,392. %

ответы 417
, sh 1x sh Ax sh4x дс , sh 4x I * 1
+ -Т-+12-- im "I"- 1394' -J+-32-' 1395- ln|thT +ЙГТ'
th2 r cth3x
1396. —2cth2x. 1397. In (ch дс)——g— • 1398.д.—cth* j—. 1399. sintg(thx).
1400.
arctg
/ о - \ ,h2*
(или -—- arctg (e* V 5) ) , 1401. — —^- —
——
у 5
sh 2x x 1
—. ТГ-. Указание. Использовать тождество —: :—зэ
4 2 shx — ch дс
A:. 1402. —1=- ln( Y~2 ch x+ y"ch!3c). 1463. i^ /3 — 2л — дс2 +
. 1404. |-
1407. А
Т^г). Н06.
Г^ — г In | дс+
). 1405. -^-
"|Aj7^=^4l. 1408. У
1409. i^- yx* — 6x — 7 —
— 81n | jc — 3+ Ух* — Gx — 7|. 1410. ^ Bл; + 1) (8x24 8x + 17)Ух2 + * + 1 +
Т). 1411. 2/j^. M12. 17^=.
1413.
1415. — (x* —
1 .
2|/ 2
1416. 4-(хз + -
д;созЗл . sin3x . д; cos x sin
1417. 1 jg 1 g 2~
1418. -^-B —sin
4 sin ix 4- cos 4*
17
1423.
-2
1419.
1420.
e*
x) — smx]. 1421. — -g-
1422. x — In
. 1424. x In2
1425. ^._-L
i-
cos л: sin"-1 x . n—1
n
14 Под ред. Б. П. Демидовича

413
ОТВЕТЫ
, Зх cos л: sin3 л: 3 sin 2л: , cos* sin4* 4 . . 8
/4=g- , jg-; /. = g ^cosxsin'x-^cosx.
1429. /„=¦
sin a;
n—2
"-*'
sin* , 1 .
tg 4-+T ;
1431.
arotg
1432. In у лг2 —
_1
1436.
— 4arctg(A;-l). 1433.
. 1434. -4-1
, 1435.
Ц-
1437. 1^-^L-+_L.
x + 3'
X \
/2/
1438. -г
4 Vl-x2
i+ln
,439. ' ,*~2
1440.
д;C + 2
1442. lnfx+y-
2л:—1
1-2
• H43.
. 1441.
.l444. —J_.
1445. -,
1447. In
1449. -^- arcsin Z
2
1446. —2
1450.
1448- -t
*—1
' x2 +1
1451. 4-In
О
1 .
7=- arcsin
8/3
.. 1 1 / 1 1 \
Указание. , , . =-т- — ,
хг +4х 4 \x X + 4J
1452. ^ у7*"=9—-|-1
1453. тПвх— I
64
1454. In
^7 arcsin (8лг— 1)<
1455.
3
1456.
Зл:3
1459. у1
1457. 4 In
1458. — i-lnlz—1
где
г=-
1+JC3
Здс sin 2x sin 4j;
8"i 4~+~32~*

ОТВЕТЫ
1461. ln|tg*| — ctg»*--i-ctg4x.
1463. ^(coe'x-ej/coe»*. 1464. _
1462. — ctg*— -
cos5x
3 cos 5л:
. 5x\
tgy|.
,465.
1466. -r-sin 2л:.
4
1467. tg2
(т+т)
+2 In
cos D+4М-1488- Т-*
1470. arctgBtg*;+l). I471. у
л;
/ig
¦arotg
\ у а / у z
1474. —In (sin ах + V a2-I-sin2 ал).
a v
л;2 л; sin 2л; cos 2л;
1476. —г- -. ; т:—.
«g4~I
;_ . 1469.-1=: arotg f ^=r ) ,
2
. 1472. —f=X
1475. -J
1477. -^
f2x
1478. -гBл;— 1
1479. 4-ln Vl-л:—4-lnU-ll—ттг-^г-^-- 1480.
rl+jc2 arctgл;•
— In (л;+ /"l +;
1483. In | 1 + ctg д: | — с
1 3v- 1 ^v 1 v
,481. -sin T-T5sinT-Ts.nT. 1482. -]
1
1484.
1485. —2ch
1486. \\nch2x. 1487. — x cth x+ In | sh x|. 1488. _L —^-+-i-In | e* —2 |.
1498. -1 Г (л:2 — 2)arctgB
Глава V
T2 210 — 1
^j-, 1503.3. 1504.-^y-. 1505.156.Указание.
1501.b-a. 1502.
Отрезок оси ОХ от х=\ до л; = 5 разбиваем на части так, чтобы абс-
абсциссы точек деления образовали геометрическую прогрессию: Ха = \, Xi=xtq,
14*

420 ответы
1507. 1—cos x. Указание. Использовать
i..+sin/ia = cos-?;—cos \ nJr-pr) a\ ¦
2 sin— L 2 V 2/ J
2^=хо<Л .... xn = xoqn. 1506. In —. Указание. См. задачу 1505.
1507. 1—cos х. Указание. Использовать формулу sin a + sin 2a-j-. . ,
2)^=^.1509. In*. 1510. — VTfx1. 1511. 2*e-*4-e-*s.
+ ' cos-V. 1513. x = nn (n=l, 2, 3, ...). 1514. In 2. 1515. — ^--
1516. e* — e~* = 2sh x. 1517. sin jr. 1518.-^-. Решение. Сумму sn =
1.2, , я— 1 1/1.2, , я— IN
= —^---1—j--(- ... -) — =— I 1 \-... -\ I можно рассматривать ка:с
интегральную для функции f(x)=x на отрезке [0, 1]. Поэтому Игл sn =
п -*- си
1
-к-1 1519. In 2. Решение. Сумму sB = г-\ —-4-...
2 j j n nj^ 1 i „_|_2 '
—=—/—'—r--\ ж—я--{-...-\ —^ можно рассматривать как
nw+— i+— i-f—
\ n 'я 'я
интегральную для функции /(jc) = —— на отрезке [0, 1], где точки деления
1 -\-х
имеют вид Xk = — (k=\, 2, ..., я). Поэтому lim sn= I -j = In 2.
0
1520. —i-r. 1521. -1- I522- ^=33 4"- 152 3. —. 1524.^.
p+l ^ 00 4 3
1525. —I- . 1526. 4-|n"T- 1527. In-|-• 1528. 35-^ —32 In 3. 1529. arctg3 —
— arctg2 = arctgy , 1530. Inj. 1531.-^. 1532. 1 7= • 1533.-?.
1534.^-. 1535. \-\r\X+Y5- I536- -^+4-- 1537. -| • 1538. In 2.
о о J, о 4 о
1539. 1—cosl. 1540. 0. 1541. т=г+т- 1542. arctge—-^ • 1543. sh 1 =
9/36 4
= y[e—-] . 1544. th(ln3) — th(ln2) = i-. 1545.—y+-i-sh2n. 1546.2.
1547. Расходится. 1548. , если р < 1; расходится, если p ^ I. 1549. Pac-
1 —p
ходится. 1550. -75-. 1551. Расходится. 1552. 1. 1553. г, если p > 1; pac-
1 p— I
ходится, если p< 1.1554. n. 1555. , . 1556. Расходится. 1557. Расходится.
V 5
1558. -Др;. 1559. Расходится. 1560. ~ . 1561. Расходится. 1562. -|- . 1563.^.
In 2 lna k 8
1564. —+-jln3. 1565. —^г-. 1566. Расходится. 1567. Сходится. 1568. Рас-

ответы 421
ходится. 1569. Сходится. 1570. Сходится. 1571. Сходится, 1572. Расходится,
1
Т 1
1573. Сходится. 1574. Указание. В (р, q)={ f(x)dx+\ f(x)dx, где
о j_
2
/(х) = лгЯ-1A—ж)*-1; так как lim f(x)x1~P = \ и lim (I — лI-?/ (х) = 1, то
оба интеграла сходятся при 1—р < 1 и 1—q < 1, т. е. при р > 0 и (J > 0.
1 ее
1575. Указание. Г(р)=С ( (x)dx+ С f(x)dx, где / (л) = хР-1 е-*. Первый
0 1
интеграл сходится при р > 0, второй —при р произвольном. 1576. Нет.
2 ~2~ In 3
1577. 2 /2 f /1<H. 1578. f A d/ , .1579. f d/. 1580. П
J J У1+ sin2 i J J
1 ?_ In 2 0
6
1581. x = (b—a)t + a. 1582. 4 — 2 In 3. 1583. 8 ^ я. 1584. 2 — — .
1585. -?=. 1586. , " 1587. 1— ^-.1588. V^^-^1- '589. 4 —л.
/5 2 У 1 +aa 4 3
1590. -^ln 112. 1591. In nr . 1592. ^- + -^.1593.^-. 1594. -^f.
1599. -J —1. 1600. 1. 1601. .^4-^- !602- 4"(«я+1)- 1603. 1. 1604. -ir^-r,-
1 о Л а'-\-ь*
ф
b С
1605. 24_ ,a . 1606. Решение. Г (p-f 1)= \ jc^e-* dx. Применяя формулу
о
интегрирования по частям, полагаем хр = и, е~х dx — dv. Отсюда
du = pxp~l dx, u = — е~Л
P-1e-*dA; = pr (p). (*)
о
Если р является натуральным числом, то, применяя формулу (*) р раз и
до
учитывая, что Г A) = I e~*dx= 1, получим:
0
1-3.5. . .B*— 1) л
—
2.4.6...2k
,„., , 1-3.5. . .B*— 1) л о,
1607. I-tk = —2 4 б —2fe— ~2 • если п~2* — число четное;
, если n = 2fe+l—число нечетное.
' 1-3-5.. .BА+1)'
, 128 , 63л

422 ответы
,608. ^-^'Д-,0' • 1609. I В (« + 1, ф) . У к а з а н и е. Положить
sin2x=t. 1610. а) Плюс; б) минус; в) плюс. Указание. Начертить график
подынтегральной функции для значений аргумента на отрезке интегрирования.
1 13
1611. а) Первый; б) второй; в) первый. 1612. —. 1613. а. 1614.---. 1615. -j-.
1616. 2 arcsin 4- • 1617. 2 < / < У~5. 1618. -^ < / < % . 1619.-^п < / < %¦ я.
я2
1620. 0</<5о- Указание. Подынтегральная функция монотонно растет.
I i/*~2 32 1
1621. 4г < 1 < ^77- * 1623. 5 =-^. 1624. 1. 1625. -$-. Указа н и е. Учесть
2 2 о Л
внак функции. 1626. 4~ 1627.2. 1628. In 2.1629. т21пЗ. 1630. па2. 1631.12.
1632. 4-Р2- 1633- 44"- 1634- 104-- 1635- 4- 1636- ^- 1637- V—"Г-
о 2 о о 2 о
1638. е+-—2 = 2 (ch 1 — 1). 1639. ab [2 У~~3 — In B+ VH)]. 164О.-^-па2.
4
Указание. См. приложение VI, черт. 27. 1641. 2а2е~1. 1642. —а2.1643.15я.
о
9
1644. у1пЗ. 1645. 1. 1646. Зла2. Указание. См. приложение VI, черт. 23.
1647. а2 B-1—5-) . Указание. См. приложение VI, черт. 24. 1648. 2я-|—г
г~ г~
и 6я-^-. 1649. ^it-^-V^ и ^я + -Чт^. 1650. |-яа6. 1651.
о о о о о о
о
1652. я(Ь2 + 2аЬ). 1653. вла2. 1654. -z-a2. У к аза н и е. Для петли параметр t
меняется в пределах 0< <«?+ оо. См. приложение VI, черт. 22. 1655. -^-яя2.
Указание. См. приложение VI, черт. 28. 1656. 8я3а2. Указание. См. при-
приложение VI, черт. 30. 1657. -^-. 1658. а2. 1659. ^~. Указание. См. при-
приложение VI, черт. 33. 1660. |-я. 1661. 14~3 У2 а2ш 1662. —пр* -¦.
A е )'
1633. а2 ( -5—|—^=— I i 1664. п / 2. Указание. Перейти к полярным коор-
о
динатам. 1665. „т^10 V^IO— l). 1666. V~h2 — а2. Указание. Использовать
формулу ch2 a—sh2 а =1. 1667. У~2 + In (l + У"й). 1668. УТ+^—У~2 +
-rr-ln —. 1670. ln(e+ Т^е2—1).
1671. 1пB+/"з), 1672. -^(е2+1)- 1673. а1п-|-. 1674. 1а
1675. In 2a_, -|-д—6=ln-r—¦ 1676. -п-^2- Указание. См. приложе-
приложение VI, черт. 29- 1677. 4 ^^^. 1&78. 16а. 1679. па

ответы 423
+ |-1пBя+/1+4я2). 1680. 8а. 1681. 2в[/2 + 1п( /3+1)]. 1682.
+ ln3i"| 5. 1683. a Vl+"»a ( 1684. ~[4 + 1пЗ]. 1685. ^ . 1686. 4
1687. ^(е2 + 4 —е-2). 1688. -|-я2. 1689. чж = —. 1690. чу=у
1691. vx=^-\ v =2п. 1692. 1Ё???. 1693. Щпа3. 1694. 4"ЯР3- 1695- TFi*-
2. О 1 и U
1696. ^ A5- 16 In 2). 1697. 2я2я3. 1698.-5^-. 1699. {|я/Аг. 1701. а) 5л2а3;
б) 6я3а3; в) 2^(9я2 —16). 1702. -^па3. 1703. -|-яа^ 1704- Д"п-
,705. ЦАВ+Щ^+ab), 1706. ^. 1707. }|а3. 1708. | т*6.
1709. 4-ло2/!. 1710. ^а3. 1711. па2 YJq. 1712. яа№ f 1+^2V 1713. -^лаЬс.
1714. ^L(yvP-{); ^па2 E/-8). 1715. 2я[/~2+ In (/ 2+ l)].
о о
1716. я
ттл 2
1718. ~
1721. 4n2ab. Указание. Здесь у = Ь ± V а2-—д;2. Взяв знак плюс, получим
внешнюю поверхность тора, а знак минус — получим внутреннюю поверх-
поверхность тора. 1722. 1) 2nb2+2i^!.arcsine; 2) 2па2+—ln|^, где
е=— (эксцентриситет эллипса). 1723. а) —=—; б) 16л3я2; в) -^-яЛ
а о о
1724. ^яа2. 1725. 2яа2B-/~2). 1726. ^яа2. 1727. Мх=-^ /ZV^":
О О ?i
1728. Ма=^-; Мь=^-. 1729. МХ=МУ=-^-;
=Му=^га2\ х = у==~а. 1731. 2яаа. 1732. Зё==О;
О О
- a 2 + sh2 ,_„_ — asina — л ,__. - — 4 ,_-- — 4а
У = --г , , * 1733. х= ; г/ = 0. 1734. х = па; г/ = ~а. 1735. л: = ^—;
^=-^-( 1736. х = ? = 1, 1737. 1 = яа; ^ = -|а' 173Sl @; 0; I")' P е"
ш е н и е. Разбиваем полусферу на элементарные шаровые пояса площади da
горизонтальными плоскостями. Имеем da = 2nadz, где dz — высота пояса. От-
а
2я [ az dz
сюда7= •—?—j—=Т ' В силу симметРии * = У = 0. 1739. На расстоянии
о
-j высоты от вершины конуса. Решение. Разбиваем конус на элементы
плоскостями, параллельными основанию. Масса элементарного слоя dm =
~ynp2dz, где у — плотность, z—расстояние секущей плоскости от вершины

424 ответы
h
С г2
конуса, p=—z. Отсюда г = j =— h. 1740. @; 0; -j—-^ a
ft I n • 4 \ о
¦Jnrh
Решение. В силу симметрии х=у=0. Для определения г разбиваем полушар
на элементарные слои плоскостями, параллельными горизонтальной плоскости.
Масса такого элементарного слоя dm = ynrdz, где у— плотность, z— расстояние
секущей плоскости от основания полушара, г= }^а- — г2 — радиус сечения.
а
я [ (a2 — z2)zdz
Имеем: F= — , =-|а. 1741. / = яа3. 1742. Га=-^аЬ3; 1ь = ^аЪ.
1743. /=-^/!б3. 1744. /а = ^яай3; 1ь--=^псРЬ. 1745. / = -^ я (Я^-Я?!.
Решение. Разбиваем кольцо на элементарные концентрические кольца.
Масса такого элемента dtn==y-2nrdr и момент инерции / = 2л X г3 dr =
= —л(/?2 — i?i); (v=1)- 1746- /=т^л./?4Яу. Р еш ен ие. Разбиваем конус
на элементарные цилиндрические трубки параллельно оси конуса. Объем та кол
элементарной трубки dV = 2nrhdr, где г — радиус трубки (расстояние
до оси конуса), Л = ЯA тг)— высота трубки; тогда момент инерц;:н
1 = у\2пН\1—=-)/-3d;-=l_——, где V— плотность конуса. 1747. I-=
J V л I 11)
2
= -=-Л4а2. Решение. Разбиваем шар на элементарные цилиндрические
О
трубки, осью которых является данный диаметр. Элементарный объем dV —
г2"
1 j ее высота. Тогда момент
а
инерции 1 = Апау \ Л/ 1—^__Лз^г_ паъу, где у — плотность шара, а так
J r a 15
0
как масса М=-^яа3у,то 1=—Маг. 1748. У = 2л2а26; 5 = 4л2а6. 1749. а) I-=
о о
— 2 — — 9 — — 4 л
= i/ = v-a; б) x = y=Ti?p. 1750. а) * = 0, 1/=-^ • Указание. Оси ко-
О 1U о IX,
ординат выбраны так, что ось ОХ совпадает с диаметром, начало координат —
в центре круга; б) х = -тг • Решение. Объем тела—двойного конуса, по-
полученного от вращения треугольника вокруг его основания, равен V =
— -^nbh2, где b—основание, Л —высота треугольника. По теореме Гульдена
тот же объем V=1nx — bh, где х—расстояние центра тяжести от основа-

ответы 425
^ ? ( ^
ния. Отсюда х = ~ . «751. vot-^ . 1752. ?- In ( 1 +-^§- ). 1753. х
p = -|Be. 1764. S=IO«*. «755. t. = -± In (^); Л = ± X
х — (а — Ы1)\п—-77- ¦ 1756- A = ~ R2H2. Указание. Элемен-
Элементарная сила (сила тяжести) равна весу воды в объеме слоя толщиной dx, т. е.
dF —ynR*dx, где у — вес единицы объема воды. Следовательно, эле-
элементарная работа силы dA = ynR2 (H — x) dx, где х— расстояние слоя волы
от дна. 1757. A=^yR2H2. 1758. Л=^ Я4-103 я; 0,79-10' кГм. 1759. А =
— yKR3H. 1760. Л =—=Ц-; Acri=mgR. Решение. Сила, действующая
1 I
на тело массы т, равна F = k—5-, где г — расстояние от центра Земли.
f
Так как при r = R имеем F = mg, то kM—gR'2- Искомая работа будет иметь
С . тМ , , ,, ( I I \ mgh ,
вид А— \ k —г- dr = kmM -„- — n ,¦ =—2-г-. При я=а> имеем
J г \ « K + nj . , n
« ' "^"
An--=mgR. 1761. 1,8-104 эрг. Решение. Сила взаимодействия зарядов
F =-^~-дин. Следовательно, работа при перемещении заряда et из точки xt в
х2 будет: А=ейеЛ-^-=еае1( j = 1,8- 104эрз. 1762. А =-800я In 2 кГм.
Решение. Для изотермического процесса pv = povo. Работа при расширении
газа от объема v0 до объема v1 равна Л=\ р dv — pav0 In—— . 1763. А^а
и 15000 кГм. Решение. Для адиабатического процесса справедлив закон
"с k Г /\*-п
Пуассона pvk~p0vo, гдей я; 1,4. Отсюда А= \ ——dv=^-^z 1 — ( — )
j и'' ft — 1 |_ \ "i / J
4
1764. Л=-=-:тцРа. Решение. Если а — радиус основания вала, то давле-
ние на единицу площади опоры р = —j . Сила трения от кольца шириной dr,
2\хР
удаленного от центра на г, равна 2 г dr. Работа силы трения на кольце при
полном обороте есть dA= ""^' r2 dr. Поэтому полная работа А = —-—- х
а
С 4 1
X \ ridr=-^ пцРа. 1765. -^-MR2^. Решение. Кинетическая энергия
о
элемента диска dK=—x—= „ da, где da = 2nrdr—элемент площади, г —
М
расстояние его от оси вращения, р — поверхностная плотность, р==—н». Таким

426 ответы
образом, ЛС-^-г-Л. Отсюда *-*? J/Чг-?**. 1766. /С=| X
ХЛ/Я2ш2. 1767. АГ=у /?2<а2=2,3. 10»/с/л. Указание. Количество необходимой
работы равно запасу кинетической энергии. 1768. Р=-д- ¦ 1769. Р = _ '—я*
я11,3-1037\ 1770. P = abynh. 1771. Р = —5—(вертикальнаясоставляющая
щ
направлена снизу вверх). 1772. 533 -^-г. 1773.99,8 кал. 1774. М = —~ Гсм
о 2,
a
1775. —.—^77 (*—постоянная тяготения). 1776.^7- .Решение. Q=\v-2nrdr=*
a(a + l) 8\il J
0
2b
яр Г и2г2 г4  а про С 2 дб2
г^~~п—1\ * п— ^~ — I =~= * 1777.0^^ \ uq dy^^— p i
О
Указание. Ось абсцисс направить по большой нижней стороне прямоуголь-
прямоугольника, ось ординат—перпендикулярно к ней, в середине. 1778. Решение
а
i
S= \ —dv, с другой стороны, -Tf=a> откуда dt=—dv, а следовательно,
X
f
0
X
время разгона *=f^=S, 1779. Л/Л = — f -^- (x—t) dt +-y-
. .780. Лж
+ Ах=^-(Р—х2). 1781. С = 0,12ГЛ/?кал. Указание, Использо-
Использовать закон Джоуля — Ленца
Глава VI
1782. У=-о-(</2—х"-)х. 1783. S=-j(x + y) у 4z2 + 3 (x—уJ,
A \ я "а » v2 »2 »2 г2
y;3j=|-; /(I; -l) = -2.
. 1786. f(x, x*) = l+x-x*. 1787. 2=-^^. 1788. /(^)=
Указание. Представить данную функцию в виде / ( — ) = ± Т/ ( — ) +1
и 'заменить — на х, 1789. / (х, у) = —$—?¦. Решение. Обозначим
L X ?
_ U-\-V U — V ., . U-\-V U — V ,
х+у=и, x—y = v. Тогда х=—^-, у = —^—\ f (и, v) = —^- . —^— +
/и_у\а и2
I —-—) =—
—«у
-г—, Остается переименовать аргументы и и а в х и у.
1790. /(u) = «2 + 2u; г = х— \-\-Уя- Указание. В тождестве
х= l-{-f(Y~x— l) положим Vх— 1 = и; тогда х=(и + 1J и, следовательно,

ответы 427
1791. УИ
I I
имеем тождество V 1+(/2 = 1 • f D-), т. e. f (y)= ^~l + y2. Тогда / f — J =
= x у l + flV=± }/^a+i/2. 1792. а) Единичный
B + 21)
круг с центром в начале координат, включая окружность (х2 + ;/2<1);
б) биссектриса I и III координатных углов у = х\ в) полуплоскость, расположен-
расположенная над прямой *+у = 0 (х-\-у > 0); г) полоса, заключенная между прямыми
у=± 1, включая эти прямые (— 1<(/<1); д) квадрат, образованный отрез-
отрезками прямых х=±1 и i/=±l, включая его стороны (— 1<х<1,
— 1<i/<1); е) часть плоскости, примыкающая к оси ОХ и заключенная
между прямыми у= ± х, включая эти прямые и исключая начало координат
(— *<1/<л: при х > 0, *<«/<—х при х < 0); ж) две полосы я 5= 2,
— 2<i/<2 и х<—2, —2<у<2; з) кольцо, заключенное между окружно-
окружностями x2Jry2 = ai и я2 + 1/2 = 2а2, включая границы; и) полосы 2пл<л:«^
<Bп+1)я, уЭгО и B/1+1) я <л< B/t+2) я, j/<0, где «—целое число;
к) часть плоскости, расположенная выше параболы у = —я2 (х2 + г/ > 0);
л) вся плоскость XOY; м) вся плоскость XOY, за исключением начала коор-
координат; н) часть плоскости, расположенная выше параболы у2 = х и вправо от
оси OY, включая точки оси OY и исключая точки параболы (жэ=0, у > У^ж)»
о) вся плоскость, за исключением точек прямых х=\ и у = 0; п) семейство
концентрических колец 2лй^;с2 + 1/а< я B/г+1) (Л = 0, 1, 2, ...).
1793. а) I октант (включая границу); б) I, III, VI и VIII октанты (исключая
границу); в) куб, ограниченный плоскостями х=±\, у=±1 и г=±1,
включая его грани; г) шар радиуса 1 с центром в начале координат, вклю-
включая его поверхность. 1794. а) Плоскость; линии уровня —прямые, параллель-
параллельные прямой * + i/ = 0; б) параболоид вращения; линии уровня —концентри-
—концентрические окружности с центром в начале координат; в) гиперболический пара-
параболоид; линии уровня — равносторонние гиперболы; г) конус 2-го порядка;
линии уровня — равносторонние гиперболы; д) параболический цилиндр, обра-
образующие которого параллельны прямой х + г/+1 = 0, линии уровня — парал-
параллельные прямые; е) боковая поверхность четырехугольной пирамиды, линии
уровня — контуры квадратов; ж) линии уровня — параболы f/ = Cx2; з) линии
уровня — параболы у = сУ~х; и) линии уровня — окружности С (х2 + у2) = 2х,
1795. а) Параболы у = С—х2 (С > 0); б) гиперболы xi/ = C(| С |< 1); в) окруж-
окружности х2 + у2 = С2; г) прямые у = ах-\-С; д) прямые у = Сх (х Ф 0). 1796. а) Пло-
Плоскости, параллельные плоскости * + i/ + z = 0; б) концентрические сферы
с центром в начале координат; в) при и > 0—одно полостные гиперболоиды
вращения вокруг оси OZ; при и < 0—двуполостные гиперболоиды вращения
вокруг той же оси; оба семейства поверхностей разделяет конусх2-\-у2—za = 0
(u = 0). 1797. а) 0; б) 0; в) 2; г) ек; д) предел не существует; е) предел не
существует. Указание. В пункте б) перейти к полярным координатам,
В пунктах д) и е) рассмотреть изменение х и у вдоль прямых y = kx и по-
показать, что данное выражение может стремиться к различным пределам
в зависимости от выбранного k. 1798. Непрерывна. 1799. а) Точка разрыва
х = 0, i/ = 0; б) все точки прямой х = у (линия разрыва); в) линия раз-
разрыва—окружность х2-\-у2=\; г) линии разрыва — координатные оси,
1800. Указание. Положив у=у± = const, получим функцию cpi (я) = —^-т ,
х2+
+У
которая непрерывна всюду, так как при yi ф 0 знаменатель х2-\-у\ ф0,а при
У1 = 0 щ(х)=0. Аналогично при x = Xx~const функция фг(у)=—s—^— не-
Xi+У2
прерывна всюду. По совокупности переменных х, у функция z имеет разрыв

428 ответы
в точке @, 0), так как не существует limz. Действительно, перейдя к поляр-
*->¦ о
!/-*О
ным координатам (х = г cos ф, у = гэшф), получим z = sin2(p, откуда видно,
что если х—уОиу-—!-0 так, что ф== cijnst @<фг?2я), тог—>¦ sin 2ф. Так как
эти предельные значения функции г зависят от направления ф, то г не имеет
предела при х— *0 и у —+ 0. 1801. ^ = 3(х2 —ау), -^ = 3 (у2 —ах).
дг Ъ-! дг 2х ,803 дг » д21
,803
ду (х + уJ' 10UJ- дх
.805. *
ду ух2_у2 ' ' дх
у дг ] sin Т у ,.,. дг
cos-г . — = —« cos -^-. 1810. —=
л; ' ду х х ' ' дх \ у | (х*—у4)
¦.у)*-1, ^ = (ху)* ln(xy). 1813. -^ = 'уг*У\пг.
1814. f'xB, 1) = 4". /iB, 1)=0.
1815. /;A;2; 0)=1, /^A;2;0) = у, }'г A; 2; 0) = i- . 1820. - j -^- .
и ха 1
1821. г. 1826. z = arctg— + ф (х). 1827. z = -^- +y2 In x +siny— -^.
1828. 1) tga = 4, tgP=oo, tgv = -r; 2) lga=oo, tgB = 4, tgv = —.
4 4
1829. — = —/г, -^r = Yh' Ж=~ ^a + b|- 1830- Указание. Проверить,
что функция равна нулю на всей оси ОХ и на всей оси OY, и воспользоваться
определением частных производных. Убедиться в том, что f'x @, 0) = f'y @, 0) = 0.
б) Д/ —d/ = 0,062. 1833. dz = 3(x2— y)dx-\-3(y2 — x)dy. 1834. dz = f ""
1835. йг= ^ (ydx — xdy). 1836. dz = sin 1xdx—sin 2y dy.
1837. dz = y2xS'-1dA:-f хУ{\+у In x)dy. 1838. dz= 2
2
^
1839. d/ = —i— fdx —— dy^i . 1840. dz = 0. 1841. dz = —^—^ (dy—^-dx\.
1842. d/(l, ]) = dx — 2dy. 1843. dtt
1844. du= ^ (xdx-]-ydy + zd2). 1«45. du =
/<42 + *
1846. du^-^—j^^+xdy-^dz^. 1847. d/ C, 4, 5) =

ответы 429
= ^Edz —3d*—idy). 1848. dt = 0,062 см; Л/ = 0,065 см. 1849. 75 ел»
(относительно внутренних размеров). 1850. -^ см. Указание. Положить
дифференциал площади сектора равным нулю и найти отсюда дифференциал
радиуса. 1851. а) 1,00; б) 4,998; в) 0,273. 1853. С точностью до 4 л (точнее
4,25 л). 1854. Jiag~T— . 1855. da = — (dy cos a—dx sin a).
gVlg P
gVg
18o8. -jt=—,. , .—-. 1857. —= r_ ctg —т=
d^ fi2* d* Y V y
,85, *.IMBA,(+?±jltfi+E±«j!li. ,85,
x ( x \
ctg —т= 6—o~r ¦
18-ЗЭ. ^ = (sin*)cos* (cosxctg* — sinxlnsinx). 1861. ^ = — -
d.v 1 + x2
1865. J5 = J/ Г x L
+ /^ (*f {/, г) [ibi (л, (/) + "фц(д;, {/) ф' (х)~[. 1873. Периметр возрастает со скоро-
1 42/2+34
стью 2 м/сек, площадь возрастает со скоростью 70 м21сек. 1874.
1875. 20 }А — 2 |/2 кл!/час. 1876. — -Цр^ ¦ 1877. 1. 1878.^. 1879. —
1880. §§ . 1881. ^a+cosHcos1 J882_ а) B; Q). g) (Q; Q) ,. . 2;
1884. 91—Зу. 1885. ^-E/—ЗУ). 1886. 6/ + 3/ + 2А. 1887. | grad ы|==6;
2 2 1 3
cosa=— ,cosP = 5", cos7 = nr- 1888. cosqp=—7== , 1889. tg (p = 8,944;
О О О у [Q
1891. р2=
дх2
(+y)
дгг _2(у~х2) д2г 2х
1893. ^4"= У „ ¦ 1894. f4-=0. 1895. |4=
5хс1у 1г дхду ох2
f4-=0. 1895. |4=^—^-.1896. ^=^
дхду ох2 гг ах1 ду1
,897. ^V1
дхдудг
1898. j^-~ =—x*y cos (jci/)—2jcsin(jej/). 1899. /хх @, 0) =m (m — 1);
/ад(°. 0) = тя; /'да @, 0) = п(га—1). 1902. Указание. Проверить, поль-
пользуясь правилами дифференцирования и определением частной производной|
что fx(x, y)=y ^-^-^+(x2 + ^)aJ (ПРИ *2 + г/2^0), /,@, 0) = 0 и, сле-
следовательно, f'x @, i/) = —i/ при х = 0и при любом у. Отсюда fxy @, у)=—1,
в частности, fxyifi, 0) = —1. Аналогично находим, что /^@, 0) = 1.

430 ответы
1903. |J= 2/1 (и, v) + Aj*fm (и, v) + 4xyfuv («, о) + y*fv° (и, v);
(и, v) + 2 (х* + у*) fw (и, v) +xyf"n (в, v)
p (", ») + 4*y/i (и, »)
1904. g=/;>;& (;)ч ^
1905. ¦, 2 = /uu (ф*J+ 2/ивф*^+ fw (^jtJ-f /иф*х + fvtyxxl
дЧ
дхду '
1914. u(jk, у) = <р(х) + У(у) 1915. и(х, у) = р(у) + Ц(у)
1916. d2z = exy[(ydx+xdyJ+2dxdy]. 1917. d2u = 2 (л di/ dz+y dx dz+z dx dy).
1918. d*z = 4<p'(t)(xdx+ydy)* + 2q,'(t)(dx* + dy*). 1919. d2 = ^i-
)
+ 2 (xy In — In — + In — \dxdy+ (x* In2 — -—) dy*] .
V У еу^ у J *^\ ey у ) * ]
1920. d2z = a2/;u(«, f)dx2+2ab/^(u, o) dxdy + b2}'^, (и, в) di/2,
1921. d22 = (ye*/;+ea4'/uU + 2(/e^+i'/;t,+i/2^u) йл:2 +
+ 2 (ev f'u + e*^ + хеЩ"ш + e*+tf A + xy) fuv + ye2*/™) dx dy +
+ (/„+ fuU+fuv+rvv)dy\ 1922. d32 =
= e*(cosi/dA;3—3sinydx2dy—3 cos у dx dy2 + sin у dy3). 1923. d32 =
= — ycosxdx3—3sinxdx2dy—3cosydxdy2+ xsinydy3. 1924. df (\; 2)=0;
d2/(l 2) 6d2 + 2dd + 45d2 1925. d2/@, 0, 0) = 2d2 + 4d2 + 6d2
1926. xy-\-C. 1927. л3!/—-^- + sinx+C.
1928.^ \-\n\x-\-y\ + C. 1929. 4"ln (*2 + Уа) + 2 arctg — + C<
*+ У * У
1930. — + C. 1931. >/"л:2+1/2 + С. 1932. o = —1, b = — l, z= ?2~УЛ + С,
1933. *2 + l/2
1935. x2yz —
1937. У х2 + (/2 + г2 + С 1938. Я = —1. Указание. Написать условие пол-
полного дифференциала для выражения Xdx-\-Ydy. 1939. f'x = fy 1940. м =
f/(z)dz+C. 1941. ^ = —^; ^| = _-4i; fj^ = _^!f. 1942. Урав
J dx a?y dx2 a2!/? d#3- а*уь-
„ di/ r/* In у
dx 1 — xi/*"
-1- (*y\ ¦
l< \d*)x=t
di/ w* In i/
нение, определяющее у, есть уравнение пары прямых. 1943. -р=-р jri>
'i*

ОТВЕТЫ
431
= 8 или -8.1946. *У=
dx
¦ т у / |947 ч».=_у_.
dx ax—у' dx* (ах—уK ' dx x'
d2u 2u <лао аг х2—yz dz 6u2 — Зхг—2 «„.„ дг 2sinx—cos u
—— =—— 1948. —= -—' —=—- . 1949. —= 3
dx2 х2 а* ху — гг ду 3 (ху — г2) дх cos х—у sin г
дг xslny—cos г
• =.. , ,..— 2 ' gx a22' gy ¦¦«-•
-=т-= : 4
01/ cos х—у sm 2
1954. dz = — — dx—z-
2 2
. 1955. d2 = 0; d22 = ^
-xJ]dx2. 1963. g==g==l; ^=^rir=^ = 0;
dx7
l+y l+y
1966. a) 31 = -
л дг 1 . . , Зг ! . .
I967. gj=^r(r, ф)созФ-
дг с
—
. ,96, g+g+^fO. 1970.^=0. ,„,.,) 0-^1=0,
.1974. ^=0.1975. и~
ди ди
6)^=0. 1972. tg|i=-^. 1973.
= 0. 1976. ^4-ЦтV^+— -^- = 0. 1977.
1 дг .„__ dw „
= ^-^-- 1978. —— =0.
2а d
= -?-. 1981. a) 2x-4(/-2-5 = 0; ^=2-^-
х —4у — 32 —4
x—/? cos a у — tfsina г—R
cos a ~~
122—169 = 0,

432 ответы
1985. x + 4y + 6z = ± 21. 1986. х ± у ± z= ± ya^+WTc^ . 1987. В точках
(I; ± •; 0) касательные плоскости параллельны плоскости X0Z; в точках
@; 0; 0) и B; 0; 0) — плоскости YOZ. Точек, в которых касательная плоскость
была бы параллельна плоскости XOY, на поверхности нет. 1991. -у.
о
\ х--г</ — х#—1 =0.
1994. Проекция на плоскость X0Y: { ~ ' Проекция на пло
скость YOZ: \ Зу2 .«in Проекция на плоскость XOZ: 1 Зл2 2 i_n
I ~4~'i~2 —1=0. I —4—"~z — —
Указание. Линия касания поверхности с цилиндром, проектирующим эту
поверхность на какую-нибудь плоскость, представляет ссбой геометрическое
место точек, в которых касательная плоскость к данной поверхности перпен-
перпендикулярна к плоскости проекции. 1996. / (x-\-h, y-^-k) = ax2^-2bxy-{-cy2Jr
+ 2(ax+by)h + 2(bx + cy)k + ah2 + 2bhk-\-ck2. 1997. / (х, у) = 1 — (х + 2K +
-)- 2 (лг + 2) (t/— 1) + 3 (г/— 1)а. 1998. Д/(ж, {/) = 2A-fft + u3 + 2ftftH h"-k.
1999. f(x, у, г) = (*-1J + (у-1J+B-1J + 2(*-1H/-1)-({/-1)(г-1).
2000. /(* + Л, y + k, z + l)=f(x, у,
h, k, I). 2001. y + xy + °ХУ3] У . 2002. 1 - 2,
2003. l-f.(s,_l) + (x_l)(s,_l). 2004.
1'. 2005- a)
^ 1+
^4m)a2 —2mnap" ;-Cn2 —4/г)Р2]. 2006. a) 1,0081; 6H,902. Указа-
Указание. Применить формулу Тейлора для функций: а) / (х, у) = У~х у у в окре-
окрестности точки A; 1); б) / (х, у)=у* в окрестности точки B; 1). 2007. г —
= 1 Н- 2 (jc— I) — (i/-l)-8(x-lJ+ \0(х-1)(у-1) _3({/-1J+ ...
2008. гт1П = 0 при дс=1, у = 0. 2009. Экстремумов нет. 2010. гт1П = — 1
при х=\,_у = 0. 20П. гтах=]08 при дг = 3, у = 2. 2012. zmin = —8
при х= У 2, у = — V 2 и при дг = — |/ 2, (/= |^2. При * = !/ = 0 экстре-
М1, об aft a
мума нет. 2013. zmax = ——=- в точках х- = —у= , у = —7z= и х =
3 У 3 /3 /3
Уз |Гз >^з
у=—=?, 2014. zmax=l при л = </ = 0. 2015. zmin = 0 при х = у = 0;
нестрогий максимум z=—в точках окружности х2~\-у2=]. 2016. zmax =
/ при дс=1, </ = —I. 20I6.1. zmin = 6 при Jt = 4, j/ = 2.
2016.2. гтах = 8е-2 при дс = —4, у = —2; экстремума нет при * = 0,
4 2 1
у = 0. 2017. umin = — у при х = — —, (/ = — — , г=1. 2018. umin = 4
при *=-q- I J/=l» z=l. 2019. Уравнение определяет две функции, из ко-
которых одна имеет максимум (гшах = 8) при х=\, у = —2, другая —
минимум (гт-1П = —2) при х—1, у = ~2; в точках окружности (х—1J +
-f (j/ + 2J = 25 каждая из этих функций имеет краевой экстремум 2 = 3.

ответы 433
У к а з а н и е. Упомянутые в ответе функции определяются явно равенствами
2=3 + У~25—(х—IJ—(у-\-2J и существуют, следовательно, только внутри
и на границе окружности (х—1J+((/ + 2J = 25, в точках которой обе функ-
функции принимают значение 2 = 3. Это значение является наименьшим для пер-
первой функции и наибольшим для второй. 2030 Одна из функций, определяе-
определяемых уравнением, имеет максимум (zmax =—2) при х = —1, у = 2, другая —ми-
—минимум (zmin=l) при jc =—1, у = 2\ обе функции имеют краевой экстремум
в точках кривой 4х3 — 4(/2— 12х+ \6у —33 = 0. 2021. rmax=-j при х =
= у = —. 2022. zmajl = 5 при х=\, у = 1, гт\а=— 5 при
36 18 12
х = — 1, у = — 2. 2023. zmin=j2 при *=3з' У~13'
2024. zmax=-^Y— ПРИ *=-g—Ия. У=-§-+Ая; гт-т= ^ ПРИ
= -^1+Ь, у=^+*л. 2025. umin = -9 при дс = -1, у = 2, г = -2;
;гг,ах = 9 при x=\, y = —2, z = 2. 2026. ишах = а при x= ± a, y = z--=0;
^min = c при x = y = 0, z=±c. 2027. "max = 2-42-63 при *=j"
, = 6. 2028. итах = 4± в точках (±; | ; 1 j ;
-^-i 4; t)' "min=4 в точках B; 2; 1) B; 1; 2) A; 2; 2). 2030. а) Наи-
л о a j
большее значение z = 3 при x = Q, y=\; б) наибольшее значение г = 2 при
2 /~2
х=1, (/ = 0. 2031. а) Наибольшее значение z = jz=? при х=± 1/ -^-,
/Т 2 , ,/2~
-^-; наименьшее значение г = т=" ПРИ *=i I/ vi J/=
3 3 )/ 3 го
= — l/ -v ; б) наибольшее значение z=l при дг=±1, у =01 наименьшее
3
значение г = — 1 при х = 0, у=±\. 2032. Наибольшее значение z = —
при х = у = — (внутренний максимум); наименьшее значение г = 0 при д; =
о
= у = 0 (краевой минимум). 2033. Наибольшее значение г = 13 при д; = 2,
у =—1 (краевой максимум); наименьшее значение г = — 1 при дс = j/ = 1
(внутренний минимум) и при х = 0, у =—1 (краевой минимум). 2034. Куб.
2035. 1/2V; V^\ 4" V2V- 2036. Равносторонний треугольник. 2037. Куб.
2038. а=у а- \/~а-\/~а- \/а. 2039. М -j; -j\ . 2040. Стороны треуголь-
ника: 3 3 р 2И1л = вд^а^а
4 4^ 2 mj + m2 + m3
2042. -—1--Т-Н— = 3. 2043. Измерения параллелепипеда: ; , —==¦, ¦ . .
a^b^c v /3 /3 ]Лз
где а, Ь и с—полуоси эллипсоида. 2044. х = у = 26-{- ]/2V, г =--*>
2045. дс=± ° , «=± —г=- . 2046. Большая ось 2а = 6, малая ось 26 = 2.
Y 2 V2
Указание. Квадрат расстояния точки (х, у) эллипса от его центра (начала

434 ответы
координат) равен х2-\-у*. Задача сводится к отысканию экстремума функции
х2+у* при условии 5х2-{-8ху + 5у2 = 9. 2047. Радиус основания цилиндра
R /~ 2 / 2
¦j- I/ 2-J——; высота R у 2 j=, где R — радиус шара. 2048. Канал
должен соединять точку параболы ( —; -j-J с точкой прямой (-jri —g-J;
его длина Z-O-. 2049. ^ /2730. 2050. ?l?L^=J!i s Указание. Оче-
8 14 ' sin p v2
видно, точка М, в которой луч переходит из одной среды в другую, должна нахо-
находиться между Ах и Bi, причем AM = , ВМ = 5, A1M = aiga, В±М =
COS Оь COS р
= 6tgB. Продолжительность движения луча равна 1 р. Задача
V\ COS Q* Uq COS р
сводится к отысканию минимума функции /(а, Р)= ] т при ус-
условии, что a tga+6tg Р = с. 2051. а=р\ 2052. I1:Ii:Is = ^r-:-5-:~ . У к а-
«1 «2 «а
8 а н и е. Найти минимум функции / (Ilt /2, /3) = /?/?i+ /аЯ2+ /з^а ПРИ усло-
услоЛ + / + / ^ 2053 И @0) 2054 Т
у фу / (l 2 3) 2+ за Р у
вии, что Л + /а + /а = ^- 2053. Изолированная точка @;0). 2054. Точка возврата
2-го рода @; 0). 2055. Точка самоприкосновения @; 0). 2056. Изолированная
точка @; 0). 2057. Узел @; 0). 2058. Точка возврата 1-го рода @; 0). 2059. Узел
@; 0). 2060. Узел @; 0). 2061. Начало координат—изолированная точка, если
а > Ь, — точка возврата 1-го рода, если а = Ъ, и —узел, если а < Ъ. 2062. Если
среди величин а, Ъ и с нет равных между собой, то кривая не имеет особых
точек. Если а = Ь < с, то А (а, 0) — изолированная точка; если а < Ь = с, то
В (Ь, 0)—узел; если а = Ь = с, то А (а, 0)—точка возврата 1-го рода.
2063. у=±х. 2064. у* = 2рх. 2065. y=±R. 2066. хг/>+у'/г =1%/'.
2067. хУ=-к S. 2068. Пара сопряженных равносторонних гипербол, уравнения
которых, если оси симметрии эллипсов принять за оси координат, имеют вид
с
jfi/=±-n— . 2069. а) Дискриминантная кривая i/ = 0 является геометрическим
местом точек перегиба и огибающей данного семейства; б) дискриминантная
кривая у = 0 является геометрическим местом точек заострения и огибающей
семейства; в) дискриминантная кривая i/ = 0 есть геометрическое место точек
заострения и не является огибающей; г) дискриминантная кривая распадается
на прямые: х = 0 (геометрическое место узловых точек) и х = а (огибающая).
2070. {,=¦?! —Ifl. 2071. 7—, 2072. уг9 + 4яа. 2073. /3"(е'— 1). 2074. 42.
2075. 5. 2076. xo + zo. 2077. 11-|—2^—. 2079. а) Прямая; б) парабола; в) эллипс;
У
г) гипербола. 2080. 1) ^-а°; 2) а^; 3) ~а<> + а^-. 2081. ?
2082' 4'<'2+1)- 2083. * = 3cos^,
= Аsin t (эллипс); v = 4j, w = — 3i при t = 0;v= 3 ' 2 l+2Yj,
w = — 3 *2 2 1—1 ]Л2./при t = ^; v = —2,i, w = — 4j при t=^. 2084. x=
= 2cosJ, r/ = 2sin <, г = 3/ (винтовая линия); « = — 2isin t-\-2ycos / + 3*,
t>= j/"l3 при любом /, w = —2icost — 2jsint, w = 2 при любом t;

ответы 435
w = —11 при * = 0; « = —2*+3ft, w = —2/ при < = -у«
2085. x=cosacos tot, i/ = sinacos со/, z = sinco/ (окружность); « =
= — u/cosasinco/—(o/sinasincu/ + coft cos a>/, u=|co|, W = — e>4 cos a cos of-—
— ш2/sin a cos (of — (o^ftsinw/, ai = co2. 2086. и = Куо*+аод+О)ог—8lJi
wx = wy = 0; ш2 = — g; w=g. 2088. a>J/a2-f-/i2, где ш=тт —угловая ско-
рость вращения винта. 2089. у a2w2 + Uo—2fl(ou0sin <в/. 2090. т=
v=—/, 0 = 1-1. (*_*). 2091. т=—L-[(cos/ — si
^ 1^3 ^
j= [(sin/ + cos t) i+(sint — cos 0Л: c°s (t, z) = -i ; cos (v, z) = 0.
i+4/+ 2ft ~« + 5y—8ft —2^ + ft x—acost
2092. т= Д ; v = ^-J= ; p= t^-. 2093. =
/2l >^105 К 5 —a sin/
u—a sin/ z — 6/ . . x—a cos/ у—а sin/ z—6/
= 2 = —;— (касательная);—;—:—:—==-—; -= (бинормаль);
a cos/ b ч &sin/ —6 cos/ a '
х-acos __y —flsl—_=_z_^— (главная нормаль). Направляющие косинусы
cos / sin / 0 v J
a sin / . a cos / Ь ,,
касательной: cos a = ; ms ft = ; ms ¦»= Ня.
}^аг + Ь2 Уа* + Ь2 У^а2 + Ь2
правляющие косинусы главной нормали: cos ai= cos /; cos Pi = sin /; cosyi==0.
2094. 2x — г = 0 (нормальная плоскость); у—1=0 (соприкасающаяся пло-
у 2 и 4 2 8
скость); х-\-2г—5 = 0 (спрямляющая плоскость). 2095. —j—= = ¦
(касательная); х-\-Ау-\-\2г—114 = 0 (нормальная плоскость); \2х—6y-\-z —
/4 t3 /2
Х ~4~ У 3~ Z ~2~
— 8 = 0 (соприкасающаяся плоскость). 2096. —т^—=—-, =—j (ка-
t* t3 t2 /4 t3
Х 4~ ^ 3" Z 2~ Х "Т" ^ 3"
сательная); 7Fl~o7==~i—7Г==—оТз—т (главная нормаль); j—¦= о7~ =
2 ¦ (бинормаль); М, (\ ; _1; IV М2 f 4; —| ; 2^ , 2097. SL-?.
~ /2
= =—^— (касательная); x + i/ = 0 (соприкасающаяся плоскость);
е —2 J/ + 2 г —2 , ч *—2 о + 2 z —2 „
—:—=—Lj-= г- (главная нормаль); —j—— i—=—n— (бинормаль);
/ъ /ч /%/\^чл \ ^^ ^^
cos ^2 = 0. 2098. а)
л,
(касательная); х\ 2—z = 0 (нормальная плоскость); б) —j—=^-j—=—-т—
„ Г)
(касательная); x-\-y-\-te—10 = 0 (нормальная плоскость); в) у= =
,._ 2 К 3
„ 2у 3 z 3 —
= — = -==¦ (касательная); 2 Y"ix-\-y—2 УЗг = 0 (нормальная
1 —2 у 3

436 ОТВЕТЫ
плоскость). 2099. x + i/ = 0. 2100. х — у — г У~~2 = 0. 2101. а) Ах — у —
— 2 — 9 = 0; б) 9х — 6г/+2х — 18 = 0; в) ЬЧ\х—а2у1у-\-(а*—й2) Цг =
— a2b2 (а2— й2). 2102. 6х — 8у — 2 + 3 = 0 (соприкасающая плоскость).
х—1 у— 1 2 — 1 х—1 у— 1 Z—1 .,
—х-—= па =—^- (главная нормаль); ——===!——=—.— (бинормаль).
у Л \
2103. их — 2 = 0 (соприкасающаяся плоскость); ~~ ' > (главная нормаль);
* + fa = °-U.HOPMMb>; * = -#?=.: Р = ^&; v=/ 2.06. 2х +
3(/+19г —27 = 0. 2107. а) У~2; б) -^ . 2108. а) К^6
-^. 2112. К = 2, ^т = 0, и>„ = 2 при /=0; К^
09
Глава VII
о 2т п 0 па2
2113. 4j. 2114. ln^~ . 2115. j^. 2116. -j . 2117. 50,4. 2118.^-. 2119.2,4.
2120. -^ . 2121. х=--^~ 1, * = 2 — г/; j/ = — 6, i/ = 2. 2122. г/=л:2, у = х + 9;
х=\, л; = 3. 2123. j/ = x, i/= 10 —л; i/ = 0, у = 4. 2124. у = ^-, у = 2х;
О
х--=1, х=3. 2125. у = 0, u= f25—х2; jc = 0, л = 3. 2126. «=х2, и = х + 2;
12 2 1
0 0 0 0
11 1 х 1 2-у
= 2. 2127.
1 х
2128. \dy\f (*• г/) d*= $d* 5 / (ж> г/) dy- 2129- $ dJ/ $ /(*• у) dx =
0 0
2 2х+3
2130. JdAT J f(x,y)dy =
0 у 0 0 0 0
I 1 2 2-х 2 2х+3
$j J J
0 0 10
4 2 5 2
Jj J
2 1 4 ^
2
1 g V~2 V2^f'
2131. ^dy ^f(x, y)dx+ J dy J /(x, y)dx= J dx ^ / (x, i/) di/ +
О -У 1 -V2^i
1 V'2-л» . 12 ^
jc J f(x,y)dy. 2132. Jd« J/(*,y)(fy = J^ J f(x. y)dx
x -1 2jc» 0 A

ответы 437
2133. J dx ^ f(x,y)dy+^dx J /(*, у) d«/+ $ dx $ f(x,y)dy+
-2 _f4-^ -1 -Ki^2 -' ^T^x2
2 V'4 - .r2 -1 Vi - y2 1 -Vl - y*
^dx J /(*,</) d(/= J dy J /(*>^*+$ d# S
) _ V'4 - л2 -2 - Vi - y* ~l -Vi - yi
^4 - y2 2 >^4 - I/*
d</ J / (x, у) dx -K J dff J / (Jt, y) dx.
-1
2134.
3
*¦
— 2 у О v2
-J -Vs-x*
-У 9 - x'
2 Vl + *2
/ (x, y) dy + J dx jj f (x, y) dy +
-2
-1 -V"'!/» - 1 -1 V9-
5 d</ 5 /(x, J 5
l Vg - y2 15" -Vu% - i V'T 1^9 - y2
dy J /(x,»)dx+ J dy J / (*, у) dx + jj Лу J f(x,y)dx.
-1 _V9 - y2 • -V'9 - j/2 1 >V - 1
1 1 - x 1 1 - у а Уаг - л;2
2135. a) ^dA; J / (*, y) dy = J dy ^ f(x,y)dx; 6) ^ dx ^ f(x,y)dy
0 0 0 0 -a -Va* - x"
a Va* - y2 1
= I dy J / (*, 1/) d^;; в) J dx J / (jc, j/) di/ =
-/a! _ yi ° -Yx - x'
1 + V\ - 4;/'
2 11 1 И
Vi 2
= \ dy J / (jc, !/) dx; r) J d* J / (x> У) dy = \ dy J / (at, j,) dx;
'/ ТГ7 1 Л 1 1
/. i --КТГ47 -1 Л -1 -1
a # + a ax 2a a 3a a
A)[dy f / (jc, j/)dx = (d«f !(x,y)dy+ \dx\ f (x, y)dy+ \ dx \ f(x,y)dy.
$ I So' 0 0 2a »-J2a
48 У Т 2 2 3 1
2136. [ dy [ f(x,y)dx, 2137. ^dy ^ f (x, y)dx+^dy ^ f (x, y)dx.
0 у ° JL 2 JL
12 3 3
a
2138. [dy [ f(x,y)dx+\dy \ f(x,y)dx.

438 ответы
a VT
la а а
2139
. J dy^f(x,y)dx+ J dy J f{x.u)dx.
0 T
J ^ J J
0 О. a VT a - Va* - y1
a a-Va*-y* a ?a laVi 2a
2140. J dy J f{x, y)dx + ^ dy ) / (*, y)dx+ J dy J / (*, (/) dx.
0 ?_ 0 a + 'Ka2-;/2 a ^
4a 4a
0 Vl_jci 1 1 -x 2
2141. J d* S /(*.У)^+5^ J f(x,y)dy. 2142. J d* J f(x,y)dy +
-10 0 0 0 0
К УТ
VT l VT Vjr~^ 2 V«2_j,t
+ J dx J / <x. y)Bgf + J dx J f(x,y)dy. 2143. J Л/ J f(x,y)dx.
_1_ 0 yj ° ° У
2
1 n-arcslns
2144. Crfy (" /(л;, i/) dx. 2145. -^-. 2146. -i . 2147. ¦? a. 2148. -^ . 2149. 6.
0 arc sin у
2150. -i. 2151. In 2. 2152. a) 1; б) Щ^\ в) 2-| . 2153. -^"P5-
3 Vl - (x-2)«
2154. {dx Г xydy=^, 2155. -| a ^. 2156. |-n#3. Указа-
1 0
1nH y = f(x) 2Л «A-cosO
я и e. \\ydxdy= [ dx \ у dy = [ R A—cos t) dt \ У dy, где
(S) 0 0 0 0
последний интеграл получается из предыдущего в результате замены
X=R(t — sin 0- 2157. ~, 2158. i-. 2159. a2 + 4~ '
iL i _я_ 1
4 COS ф 2 Sin ф
2160. \ dy \ rf (r cos ф, /¦ sin ф) dr + \ d<$ \ r/ (r cos ф, г sin ф) dr,
oo ^i_ о
4
iL 2 . .Зя. 1
4 cos ф 4 sin ф
2161. С ^ф f rf(r)dr, 2162. f йф С г/ (r cos ф, /¦ sin ф) dr.
oo _я_ о
4
Я !lin ф ЗЯ 1 sin ф
4 cos2 ф 4 sin ф a cos2 ф
ф
2163. ^f(tgf)df ^ rdr+^f (tgif)d<p
о °

ответы 439
_Я_ 5Я
4 a Veo» 2ф 4 a Vcos2qi
2164. С Лр С rf (r cos<f, r sin<p)dr+ \ d<p \ rf{rcosi(,rsm<p)dr.
_я_ о зя о
~ 4 4
я
2 a coi <p
2165. C*p С r2sir^dr=-2~. 2166. -|na4. 2167. 2~.
2
2171. —лоб. Указание. Якобиан l = abr. Пределы интегрирования:
о
с
1 + Й 1 - v
2172. \ do \ /(и— uv, uv)udu. Решение.
а О
1 + a
Имеем х = и(\—и) и y = uv; якобиан 1 = и. Определяем пределы и как
функции от v: и A — и)=0 при * = 0, откуда м = 0 (так как 1 — v ф Q);
и = -j при х=с. Пределы изменения к: так как j/ = oa, то
/v ft
un = au(l—v), откуда v=-r~i—• Для У = $х находим v= jP, .
2 2 - и
-и 1 и - 2
02 + Ч 12-0
2 J
"I
-1
— 1 — ч 0 v
Указание. После замены переменных уравнения сторон квадрата будут
u = v; u + v = 2; u-v = 2; u = -v. 2174. аЪ \^-^ arctg g+g] .
a2
Решение. Уравнение кривой /¦* = л2 ( -г%- cos2 ф—r^sin29 J, откуда ниж-
ний предел для г есть 0 и верхний г= / -^ созгф — -р- sin2 ф. Так как г
а2 Ь2
должно быть вещественным, то -t-j-cos^ — -r% зт2ф^:0; отсюда для первого
координатного угла имеем tgф<r7-i Вследствие симметрии области интег-
интегрирования относительно осей можно вычислить -j- всего интеграла, ограни-
чиваясь первым квадрантом: \\dxd(/ = 4 \ <^Ф \ abrdr.
(S) О О

¦ 440 ответы
I V~ 4 VJ a Va* - &
2175. a) 4-1-; ^ dy j dx + f dy j d*; 6) ^—^; Jrf* J Л/.
Ь _ 1/^" \ y-2 0 a-jt:
2176. a) -j; 6) h + if) °?. 2177. ^! . 2178. ~аг. 2179. п. Ука-
Указание. —1<*<1. 2180. ^ /Ш. 2181. 3 f4+4"V 2182.^-/3.
2183. -яа1. 2184. 6. 2185. 10л. Указание. Сделать замену
4
переменных х — 2у = и, 3x-\-4y~v. 2186. -=- (Л—а) (р—<х).
11 1 X
2187. у(Р —аIп-^. 2188. v=*\ dy\ {\-х) dx=[dx ^([—x)dy. 2193. ^.
2.94. |. 2195. '. 2.96. 4- ^197. ^. 2.98. iii^L. 2199.^.
4 б 3 4а 5 10>>
2200. -^-. 2201. ^. 2202. лал (а —Р). 2203. |м»B/2-1).
2204. 4"(/^-0- 2205.-^-. 2206. -флаЬс. 2207. -Ц^- (б /1-5) .
о о о о
2208. ^а?. 2209. даA-в-«2). 2210. ^- . 2211. 3
/~2 —
2212. -Ц5—B/2—-l). Указание. Сделать замену переменных ху~и,
о
2- = v. 2213. -^ f fl'i' + bV + cV, 22.4. 4 (in — n)/?2. 2215. -I^t- a2.
Указание, Интегрировать в плоскости YOZ. 22.6. 4a2. 2217. 8a? arcsin — .
2218. тлй2C |^3—l). 2219. 8a2. 2220. Зпа2. Указание. Перейти к
о
полярным координатам. 2220. 1. л. Указание. Спроектировать поверхность на
Г — 1
координатную плоскость X0Z. 2220.2.а2 /2. 2221. а=-тгла2 f 1+-V ) —1 .
Указание. Перейти к полярным координатам. 2222. ~а3 и 8а2. Указа-
/1
ние. Перейти к полярным координатам. 2223. 8а2 arctg ^-=—. Указание.
. Интегрировать по ча-
ча\ dx \ =Р,л. \ arcsi
2 /а*—х
о / . ,
= —^ sin ^;
стям, а затем сделать подстановку х = —^ sin t; ответ преобразовать.
2224. %-lb УьЧ^-а Va2+c2 + ca In b+V]^±^\ Указание.

ответы 441
Перейти к полярным координатам. 2225. ^—. 2226.
аЧ .
12 ' 24 *
- 2 — я
jr=O. 2230. JC=-F-; J/ = 0. 2231. /y=4. 2232. a) /„=-— (Di — d4);
6) /x=-^-(D1 —d4). 2233. / = -7-a1. 2234. —a*. Указание,
a V ax
l=\dx \ (y + aJd(/. 2235. 16!n2—9-g-. Указание. Расстояние
0 _ T^ax
I Л— 4 I
точки (х, (/) от прямой х = у, равное d = -— _ , находится с помощью
нормального уравнения прямой. 2236. / = —Аа5[7 / 2+3 In (/2+l)],
где k — коэффициент пропорциональности. Указание. Поместив началч
координат в ту вершину, расстоянию от которой пропорциональна плотность
пластинки, направим оси координат по сторонам квадрата. Момент инерции
определяется относительно оси ОХ. Переходя к полярным координатам, имеем:
Л. —
4 a sec ф 2 а cosec ф
\ kr (/- sin «рJ г dr-\- \ dy \ Ar(rsin9Jrdr. 2237./0=—яа4.
оо л о
4
2238. /0=—^— . 2239. -г=па4. Указание. Принять за переменные инте-
1 1 _ х 1 - х -у
грирования < и I/ (см. задачу 2156). 2240. \dx\dy \ f (х, у, г) dz.
2241.
2242.
2243.
Sdx
- R
а
S dX
—
Т
a
a
'1-
R'
: r:
s
'r x'2
dy
и
dy\
0
d</
1 ~
0 0 0
иг, j/, z) dz.
/ {х, у, г) dz.
j / (*, if, z) ^.
2244. ^ C1 +12 /2-27 / 3). 2245. 4" | 2 . 2246.^1. 2247.=^.
2248. Iln2-A- 2249. iH-fls/l-^) . 2250. ^ я*.
2251. JI^El. 2252. -i яаЬс. 2253. ?^1. 2254. nR3. 2255. —а\

442 ответы
2256. -I"'3 (я — -|Л. 2257. ^aR*. 2258. ?г. 2259. ^ааЛ. 2260. ^-па3.
а \ 3 J 15 10 9 4
х' + у' я_ _г>_
2fl V2ax — x' 2а 2 2а cos ф |2а
Решение. t)= 2 \ d« \ d« \ dz = 2 \ dm \ rdr \ dh =
-2)dx ] dy ) dz = 2 \dm I rdr]
0 0 0 0 0 0
1 2ct d
oo о
19
зание. Перейти к сферическим координатам. 2262. -^-я. ,Указание.
я я
~ 2а cos ф 2
r3dr\ Г Bа cos фL „_3 . оос< 2яв»/2
а
3
а
Перейти к цилиндрическим координатам. 2263. — (Зя —4). 2264. nabc,
У
2264.1. -^|. 2264.2. Щ-{ /2-1) abc. 2265. ^
2266. -^-Fса-аа-Ьа). 2267. 7=0; 7=0; 7=-|а. Указание.
— 4 — -
Ввести сферические координаты. 2268 х=—, </ = 0, г= 0.
о
2269. —r=— Ca2 + 4/i2). Указание. Ось цилиндра принимается за ось OZ,
плоскость основания цилиндра — за плоскость XQY. Момент инерции вычис-
вычисляется относительно оси ОХ. После перехода к цилиндрическим координатам
квадрат расстояния элемента rdydrdz от оси ОХ равен r2 sin2 (p + z2.
2270. —^r—BЛ2 + За2). Указание. Плоскость основания конуса принимает-
принимается за плоскость X0Y, ось конуса — за ось OZ. Момент инерции вычисляется
относительно оси ОХ. Переходя к цилиндрическим координатам, для точек
а .
поверхности конуса имеем: /¦=— (п. — г), причем квадрат расстояния элемента
rd(fdrd2 от оси ОХ равен г2 sin2 ф + г2. 2271. 2nkph(l—cosa), где А—ко-
А—коэффициент пропорциональности и р —плотность. Решение. Вершина ко-
конуса принимается за начало координат, а его ось—за ось OZ. Если ввести
сферические координаты, то уравнение боковой поверхности конуса будет
¦ф=4^ —а, а уравнение плоскости основания г=-—-. Из сим-
симметрии следует, что результирующее напряжение направлено по оси OZ.
Масса элемента объема dm = рг2 cos я|] dcf Л|з dr, где р — плотность. Компо-
Компонента по оси OZ притяжения этим элементом единицы массы, находящейся
в точке 0, равна —-а—sini|) = /!psini|) cos if Л[) Лр dr. Результирующее притя-
— -а
2л 2 A cosec \jf
жение равно \ d<p \ dty \ ftp sin гр cos г|) dr. 2272. Реше н и е. Вве-
оо о
дем цилиндрические координаты (р, <р, г) с началом в центре шара и
осью 01, проходящей через материальную точку, массу которой полагаем
равной т. Расстояние этой точки от центра шара обозначим через %. Пусть
/•=Ур2 + (|—гJ—расстояние от элементарного объема dv до массы /п.

ответы 443
Сила притяжения элементарного объема dv шара и материальной точки т
. dv M
направлена вдоль г и численно равна —kym —5-, где y=:—z
плотность шара и dv = pd<fdpdz—элементарный объем. Проекция этой силы
на ось 01 будет:
2я R Vi^-z2
С , С lt . . f pdp , 4 _, 1 .
Отсюда F = — kmy \ dtp \ (i—z)dz \ s-~=kmy -~nR6-^, но так
о -r о
как -^ ynR3 = M, то F=—р—. 2273. —
х
227S. a) j (р > 0); б) -^-^ при р > а; в) р2^рз (р > 0); г) р2^ (р > 0),
1 2
2276. у . 2277. —j , Указание. Продифференцировать два раза
= —. 2278. In А, 2279. arctg -?—arctg — . 2280. ¦?- In 11 +a I.
p a mm J.
о •
2281. п(/Г^«-1), 2282. arcctg-^-. 2283. 1. 2284. y. 2285. ^-.
2286. -7—a • Указание. Перейти к полярным координатам. 2287. -^—•
2288. -к-¦ 2289. Сходится. Решение. Исключим из S начало координат
о
вместе с его е-окрестностью, т. е. рассмотрим /е = \ \ In У~х*-\-у2 dxdy,
(se)
где удаляемая область — круг радиуса е с центром в начале коорди-
2Я 1
нат. Перейдя к полярным координатам, имеем /е = \ d(f \ r In r dr =
о в
2ЯГ 1 1
С г2 , 1 1 Г . . „ / е2 е2 1 \ -
= \ — In г —^- \ /¦ dr шр = 2я1-т о~'П8~т)' Отсюда
0 L e J
lim /e = =-. 2290. Сходится при а > 1. 2291. Сходится. Указа-
е->- 0 *
ние. Окружаем прямую у = х узенькой полоской и полагаем
г г d*dy_=lim CdxT JL_+Um [dx f
JJ У(х-УJ e-oj J ]/(x-yY e->oj J
S v 0 0 v 0 4
JJ У(У) j J ]/yY j
(S) v 0 0 v 0
3 l/~~5 -f-3
2292. Сходится при «>у 2293. 0. 2294. In »

444 ответы
2298. аъ У \+т*/5т, 2299. а2 /. 2300. (об /7—1)/54.
У /
2301. ^^ arctg-J^p. 2302. 2яа2. 2303. I5(l0/l0-l). Указание.
\ f (х, у) ds
f ( ) можно геометрически интерпретировать как площадь цилиндри-
с
ческой поверхности с образующей, параллельной оси 01, основанием—кок-
туром интегрирования и высотами, равными значениям подынтегральной функ-
С 3
ции. Поэтому S=\ xds, где С—дуга ОА параболы У = -тг*2. соединяющая
с
точки @; 0) и D; 6). 2304. а / 3. 2305. 2 { й2Ч —=
\ у а1 —
Va2 h2
arcsin ?=
== arcsin
у а1 — б2 а
2306. угоЧГЬ~2(")/'а2 + 4лЬа+-^-'п 2"И" Ya + ^ьЛ п{у] Dfl/3j 4а/3).
2308. 2яа2 У^а^+б5- 2309. Ш/пЬ/У^аН б2K- 2ЗЮ. 40^. 2311. —1па".
4 12
2312. а) -тг-; б) 0; в) —-; г) —4; д) 4. 2313. Во всех
о о
случаях 4. 2314. —2я. Указание. Использовать параметрические
уравнения окружности. 2315. -^аЪ-. 2316. —2 sin 2. 2317. 0. 2318. а) Ь;
о
б) 12; в) 2; г) у; д) In (* + «/); е) J <p (x) dx+ J г^ (;/) dy.
2319. а) 62: б) 1; в) -j+ln2; г) 1 + ]/.
2322. a) x2 + 3xy — 2i/2 + C; 6) x3—x\
r) \n\x-\-y\-\-C. 2323. — 2ла(а + Ь). 2324. —
2326. a) —2; 6) aic—1; в) 5/1; г) 0. 2327. У = \ \ у2 dx dy.
(S)
2328. —4/3. 2329. яЯ4/2 2330. —1/3. 2331. 0. 2332. a) 0; 6) 2tm. Указа-
Указание. В случае б) формула Грина применяется в области, заключенной ме-
между контуром С и окружностью достаточно малого радиуса с центром в на-
начале координат. 2333. Решение. Если считать, что направление касатель-
касательной совпадают с направлением положительного обхода контура, то
, я) = cos(V, О = гз • следовательно, Ф cos(X, n) ds= ф —¦ ds=(b dy=
= 0. 2334. 2S, где S —площадь, ограниченная контуром С. 2335. —4.
Указание. Формулу Грина применять нельзя. Данный интеграл
несобственный, так как в точках пересечения контура интегрирова-
интегрирования с прямой *-)-(/ = 0 подынтегральное выражение принимает вид —.
2336. nab. 2337. |-яаг. 2338. бяа2. 2339. -|-а2.
Указание. Положить y = tx, где / — параметр.
2340. -|^-. 2341. n(R-\-r){R-\-1t)\ 6я/?а при /? —г. Указание. Уравнение
R + r
эпициклоиды имеет вид *= (R + r) cos t— r cos—¦—t, y = (R-l-r)smt —

ответы 445
— л sin Л где / — угол поворота радиуса неподвижного круга, про-
3 1?
веденного в точку касания. 2342. я (R — r) (R — 2r); -ц-я/?2 при /¦=-—.
Указание. Уравнение гипоциклоиды получается из уравнения соответст-
соответствующей эпициклоиды (см. задачу 2341) заменой г на —г. 2343. FR.
h
2344. mg (zt— z2). 2345. -^{a-— b2), где k — коэффициент пропорционально-
пропорциональности. 2346. а) Потенциал U ——mgz, работа mg (zj — z2); б) потенциал
t/=iL, работа ^ -; в) потенциал (/ = — —- (л2 + г/2 + г2),
работа -^-(«2-r3). 2347. -| яа*. 2348. 2ltcr K
2350. -inaic. 2351. ^-\ 2352. 1. 2353. ^VJj\a. 2354. iLJpl /-,..
3 2 4 10E ]A 5-1) 2
2355. a) 0; 6) —\\ (cos a 4- cos p -f cos 7) dS. 2356. 0. 2357. 4л. 2358. —лгг2.
(S)
2359. -a». 2360. ^=^, f- = |?.. f- = -?-. 2361. 0.
1Э1/ Эг dz Эл to 3i/
2362. 2[{ (x + y + z)dxdydz 2363. 2 Г Г Г ^L^dz
(V) (V)
2364- Ш(^+^+^)Л*Л- 2365'3a4- 2366- T- 2367- t
im2/J
2368. —^—. 2371. Сферы; цилиндры. 2372. Конусы. 2374. Окружноста
jc= -[-.f/B = с?, z = c2. 2376. gradf/(Л) = 9/ —ЗУ —ЗА; | grad U (A) | = )A99 =.
= 3VTT; Z2 = xj/; х = у = г. 2377. a) L-; 6) 2r; в) --^-; г) /' (г) у.
2378. grad(cr)=C, поверхности уровня — плоскости, перпендикулярные к
вектору с. 2379. ~- = ^~, -^- = |grad t/1 при а = 6 = с. 2380. -^- =
-=0при/1г. 2382. 2. 2383. dlva = l
/^7 f ЪС С
2385. a) divr = 3; rotr = 0; б) div(re)=— , rot (rc) = —^—; в) div (/(/¦) с) =
= L^-(cr), rot(/(r)o) = -^cxr. 2386. div» = 0; rot я = 2<о, где ш =
= cofe. 2387. 2шя°, где и0 —единичный вектор, параллельный оси вращения.
2388. div grad t/=^+|^-+|^-; rot grad t/=0. 2391. ЗлЯ2Я.
2392. а) 1я/?3ЯC/?2 + 2Я2); б) -^яЯ2Я (/?2 + 2Я2). 2393. div/:' = 0 — во
всех точках, кроме начала координат. Поток равен —4ят. Указание.
При вычислении потока использовать теорему Остроградского—Гаусса.
г
2394. 2ягА2. 2395. ~^R" . 2396. U= С rf (/¦) dr, 2397. — . 2398. а) Не имеет;
о J г
б) U=xyz + C; в) U =ху-\-хг + уг-\°С. 2400. Да.

446 ответы
Глава VIII
2416. Расходится, 2417. Сходится. 2418. Расходится, 2419. Расходится,
2420. Расходится. 2421. Расходится, 2422. Расходится. 2423. Расходится,
2424. Расходится. 2425. Сходится. 2426. Сходится. 2427. Сходится. 2428. Схо-
Сходится. 2429. Сходится. 2430. Сходится, 2431. Сходится. 2432. Сходится,
2433. Сходится. 2434. Расходится. 2435. Расходится. 2436. Сходится. 2437. Рас-
Расходится. 2438. Сходится. 2439. Сходится. 2440. Сходится. 2441. Расходится,
2442. Сходится. 2443. Сходится. 2444. Сходится. 2445. Сходится. 2446. Сходится,
2447. Сходится. 2448. Сходится. 2449. Сходится. 2450. Расходится. 2451. Схо-
Сходится. 2452. Расходится. 2453. Сходится. 2454. Расходится. 2455. Расходится,
2456. Сходится. 2457. Расходится. 2458. Сходится. 2459. Расходится. 2460. Схо-
Сходится. 2461. Расходится. 2462. Сходится. 2463. Расходится. 2464. Сходится,
2465. Сходится. 2466. Сходится. 2467. Расходится. 2468. Расходится. Указа-
Указание. a"+i > 1.. 2470. Сходится условно. 2471. Сходится условно. 2472. Схо-
Сходится абсолютно. 2473. Расходится. 2474. Сходится условно. 2475. Сходится
абсолютно. 2476. Сходится условно. 2477. Сходится абсолютно. 2478. Сходится
абсолютно. 2479. Расходится. 2480. Сходится абсолютно. 2481. Сходится условно,
2482. Сходится абсолютно. 2484. а) Расходится; б) сходится абсолютно; в) рас-
расходится; г) сходится условно. Указание. В примерах а) и г) рассмотреть
ряд 2j (a2*-i + a2fc)i а в примерах б) и в) исследовать отдельно ряды
оо оо
2 «2ft-1 и 2 °як' 2485. Расходится. 2486. Сходится абсолютно. 2487. Схо-
днтся абсолютно. 2488. Сходится условно. 2489. Расходится. 2490. Сходится
абсолютно. 2491. Сходится абсолютно. 2492. Сходится абсолютно. 2493. Да,
v-ч 1-4-( l)n V4 1
2494. Нет. 2495. У, —~hi— > сходится, 2496. У, о ,0 тг'< сходится.
2497. Расходится. 2499. Сходится. 2500. Сходится. 2501. |#4| < т™ • I #в'| < чххЛ
#4 < 0. У?5 > 0. 2502. Rn < оГТТ=оп/о„ i n „i ' Указание. Остаток
(+)
ряда можно оценить с помощью суммы геометрической прогрессии, пре-
вышающей этот остаток: ^ = ^[т^Ь+(тK (я+ 1)(п + 2) +""' ] <
2503- К<
<*.<¦!. Решение. /?п=
Т) ^+) (+)( + )l[ 5- ДлЯ
данного ряда легко можно найти точное значение остатка:
16\

ответы 447
Решение. Я„ = (п+1) f -^-J +(t + 2)f—j +... Умножим
Вычитая, получим:
15 n / 1 Y» . / 1 \s" , ( 1 \2n+2 , /¦ 1 Yn+* ,
»
1 76
Отсюда находим приведенное выше значение Rn. Полагая п = 0, находим
сумму ряда S=(^V . 2506. 99; 999. 2507. 2; 3; 5. 2508. S=h Указа-
Указало/
ние. а„= -J-T, 2509. S=l при х > 0, S = —1 при х < 0; S = 0
при х = 0. 2510. При х > 1 сходится абсолютно, при *<1 расходится.
2511. При х > 1 сходится абсолютно, при 0<ж<1 сходится неабсолютно,
при jc<0 расходится. 2512. При х > е сходится абсолютно, при 1 < *<е
сходится неабсолютно, при Ж1 расходится. 2513. —оо < х < оо.
2514. —оо < х < оо. 2515. Сходится абсолютно при х > 0, расходится при
Решение 1) |in|<-r-j, а при х > 0 ряд с общим членом
б
сходится; 2) -^5я1 при х<0, a cos га* не стремится к нулю при п-—>-»
т. е. при л:<0 не выполнен необходимый признак сходимости. 2516. Схо-
Сходится абсолютно при 2kn < х < Bfe+l)t (* = 0, ±1, ±2, ...); в осталь-
остальных точках расходится. 2517. Расходится везде. 2518. Сходится абсолютно
при х Фй. 2519. х> 1, х<— 1. 2520. х> 3, х< 1. 2521. *Ss 1, Ж—1.
2522. хЗ=5у, *<4-д-' 2523. х > 1, х < — 1. 2524. —1 <*<—— ,
-=- < х < 1. Указание. При этих значениях х сходится как ряд^ хк, так
fc=i
CD
и РЯД z_< ¦ При |х|5=1 и при |л;|^-^- общий член ряда не стремится
к нулю. 2525. — 1 < х < 0, 0 < х < 1. 2526. —1 < * < 1. 2527. —2<х < 2.
2528. — 1 < х < 1. 2529. т=<х<-—. 2530. —1<*<1. 2531. — 1<х<К
V 2 1^2 .
2532. — 1<х<К 2533. — оо<*<оо. 2534. * = 0. 2535. — оо<а:<оо.
2536. — 4 < X < 4. 2537. - j < х < -i . 2538. — 2 < * < 2. 2539. — е < х < е.
2540. — 3<*<3. 2541. — 1 < х < 1. 2542. —1<х<1. Решение. Рас-
Расходимость ряда при |*|Э? 1 очевидна (интересно, однако, отметить, что рас-
расходимость ряда на концах интервала сходимости х=± 1 обнаруживается не

448 ответы
только с помощью необходимого признака сходимости, но и с помощью
признака Даламбера). При | х | < 1 имеем:
lira
|
п-*х> л-> со л->оо
X |
(последнее равенство легко получить с помощью правила Лопиталя).
2543. —1<x<1. Указание. С помощью признака Даламбера можно не
только найти интервал сходимости, но и исследовать сходимость данного ряда
на концах интервала сходимости. 2544.—1г?л:аё:1. Указание. С помощью
признака Коши можно не только найти интервал сходимости, но и исследо-
исследовать сходимость данного ряда на концах интервала сходимости. 2545. 2<ж8.
2546. —2<л<8. 2547. — 2 < х < 4. 2548. 1<*<3. 2549. — 4^л:<— 2
2550. jc = —3. 2551. — 7 < х < — 3. 2552. 0< х < 4. 2553. — -г < х < 4 ¦
4 4
2554. — е — 3 < * < е —3. 2555. —2<*«?(). 2556. 2 < ж < 4. 2557. 1 < х<3.
2558. —3<*«?—1. 2559. 1—- < х < 1+—¦ Указание. При *= 1 ± —
6
тГ 1
ряд расходится, так как lim ——= ф. 0. 2560. —2 < х < 0.
2561. 1 < х<3. 2562. 1<*<5. 2563. 2<х<4. 2564. |г| < 1. 2565. |г|< 1.
2566. |г—2t| < 3. 2567. \г\ < У~2. 2568. г = 0. 2569. |г| <оо. 2570. |г| < у.
2576. —In A-х) (—1 ^jc < 1). 2577. In A +х) (—1<*<1).
2578. lln|±^(h:|< 1). 2579. arotg* (| х |< 1). 2580. —L^ (| *|< 1).
2581. д' (\х\< 1). 2582. A_хK {\х\< 1). 2583. _ (| х | > 1).
2584. i-farctg*--i]n j^) (|л:| < 1). 2585. " |f ? . У к а з а н и е. Рас-
Рассмотреть сумму ряда л:—-—|-— ... (см. задачу 2579) при х — —-=г .
6 b у о
ОС
2586. 3. 2587. а*= 1 + V *"'""а (— оо < л < оо). 2588. sin f^+4l =
2589. cos (л:+а) =cosa — x sin a — -^ cosa + -^y sina-\--j-} cosa+ ...
[]
Обув O2n-lv.2n r
+1 + (-1)"-1 Bя)| + ¦..(-« <Д?< оо). 2591. 1пB+ж) = In2+|—
Указание. При
исследовании остаточного члена воспользоваться теоремой об интегрирова-
интегрировала
нии степенного ряда. 2592. , *~s,=— 7 , (fl + 3)xn ( | ^ 1 < 1).

ответы 449
2593. _^_4- = _V II+-* )x* (Ixkl), 2594. «-**:
- 2595- е*г = 1+?
n=l
-r (—00 < X <00),
n=0x"" ' '' я=1
П— 1
260°- IH)"^iH<»<3). 2601.
, 1-3.5^ , , 1-3.5...Bn— 1) x2"
+2X62' + --- 2.4-6. ..2n
ЕУ2Л + 1
s+т^к1)- 2603-
00
2604. x + ^i-l)'—-_.(|x|<l). 2605.
-" (
n = 2
2606
2606.
2607.
2 3+2.4 5 ""^ ' 2-4-6...2n 2n+P "
2609. 1
2610. ?
2612. -
2613. 1
15 Под
со
/1=2
ее
л= 1
v2 0
00
1 S(
n=l *
00
3 у
/1=1
ред. Б. П.
+ 2j
' 1
A +
,и-1
п\
п\
1 '
Bи)!
Демидовича
ос
2608. ^ (—
п=1
(—00 < ДС <00),
(-оо<л;<оо). 2611. 2 + оа Q i,
Пи_!2-5-8.а.C/г—4)х" . ,
п--0

450 ответы
2615. In2-f >.(— l)"-*(I+2-«) —
¦™™ ft
2616- 1'-""
Ev-Vn + l
(~')ПBп+1)»| (I *!<*)• 2618-
Bп+1)»|
2620. , + *.+*!+.„. 262«. ,_*. + ?_...
. - A-+JL+JL+.., J . 2625. *+*«+-g- *«+
й
2623. 1 +y+^-+ -.. 2624. (J
2626. Указание. Исходя из параметрических уравнений эллипса * = ,
«/ = 6 sin /, определить длину эллипса и полученное выражение разложить в
ряд по степеням е. 2628. х3—2х2—5х—2 = — 78 + 59 (х+4) —14 (х+4J +
+ ( + 4K( ) 2629/( + Л = 5д:3 — 4л:2 — 3* + 2 + A5*2 — 8л: — 3)А+
; — оо < А<«). 2630.
. 263». ^ (—•)"(*— О" @ <х< 2) 2632. ^ (
П = 0 /7 = 0
(—2 < лг < 0). 2633. 2B-"-1-3-»-1)(л: + 4)п (-6 < х <-2).
л = 0
СЮ
2634. X (-1)" ^Йг- (-2-/3 < х <-2+
2635. ,-^1 + ffci^J (,„<„. 2636.
JIJ5 (x- 4K 1-3 5 (л:—4)« 1-3-5.. .Bn—3) (x —4)"
'4-6 ' 2e 4-6-8' 2е -Г'"-г1 ^ 4-6-8...2n ' 22« '"'"
@<д:<8), 2637. 1(-1)"ЦЙ)Г (UK00)- 2638. 1
@<*<оо). Указание. Сделать замену =< и разложить 1п * по степе-
„ям/ ^+'/ * V
+
). 2641. |А!|<|Г<1. 2642.

ответы 451
(±У AЛ5
1\2/ 1 ¦ 3 V 2 /
4—jr- '—\-к—7 _ й 0,523. Указание. Чтобы доказать, что ошибка
А о Z * 4 о
не превышает 0,001, нужно оценить остаток с помощью геометрической про-
прогрессии, превышающей этот остаток. 2644. Два члена, т. е. 1—^-. 2645. Два
7
х3 ¦v"' 1
члена, т. е. х—^-. 2646. Восемь членов, т. е. 1 + J^—r • 2647. 99; 999.
2648. 1,92. 2649. \R\< 0,0003. 2650. 2,087. 2651 Г] * | < 0,69; | х | < 0,39;
U|< 0,22. 2652. |jc|<0,39; |*|<0,18. 2653. 4~~23-3-3! ~0|493L
2654. 0,7468. 2655. 0,608. 2656. 0,621. 2657. 0,2505. 2658. 0,026.
2659. 1 +
00
2660. Х(-1)"(*У)дГв)* + У) (-»<^<оо; -oe<j,<oo),
2661. 2* (—l)"-lV Bw—1I ' (—«><Jt<«! — <x<y<a>). 2662.1 +
n= 1
2
-*)"; |Jt-»|<l. Указание. __±iL=_l +
Воспользоваться геометрической прогрессией. 2663. — ^ —-^—(— 1<л< 1;
л=1
1). Указание. 1 — х—у-\-ху = {1—х) A — (/).
(-!)"- 2^Л (—К*<1; —1<у<1). Указание.
л = 0
arctgy^-=arctgA:-|-arctgi/ (при|лс|<1, | (/1< 1). 2665.
= ах2 + 26^1/ + су" + 2 (а* + Ьу) А + 2 (Ьх + а/) ft + аи2 + 2b/ifc+cft2.
2666. /A+А.2 + А) — / A,2) = 9А — 21ft + 3/i2 + 3Afc—12fta+A3—2ft3.
2667.
л=1 л=1
v2 y2 уЗ 3XU3
2669. l+x+t-jf--}-* ™y +... 2670.
2672.
? f Ч
л=0 v г ' л=1
2
15*
2673. ^

452
2674.
ответы
— sh an\ к- +У\ 2_. „, (acos nx—n sinrc*) I; S(± n) =
L «=i J
ch an.
2675. "¦""""'^ ^ (—pn_ _t еслиa—нецелое; sinадс.еслиa—целое;S(±n)=0;
n=l
2676.
2sinan
inan 1 , v4 / i ч „ a cos nx I
p—^~2m (— ) ~~г г" I • если a — не Целое: cosax, если
L n=i J
a-целое; S (±П) =cos ая. 2677.
2678.
„„,„
2679.
Sin ПХ
П=1
б)
27T-2681-
cos Bn— 1) jc я2
И=1
^rt
; 2) w
n= 1
2683. a)—^[l —(—1)"
П л=1
2684. a) —
я
1 2
6) T+-
Sln
n=l
2685. a) —2^ (— ')"-J
n
2686.
l
2691. 1 —
„.„„ 2h
2690. —
n
. 2692. 1
sinn/i\2
n=\
4/г2— 1
2694. Решение. 1)
It 2
*2 С 2 С
ain=—\f{x)cos2nxdx = —\f (x) cos 2nx d x+
о о

ответы
453
я
-\—\ / (х) cos Inxdx. Если сделать замену t = -^ — x в первом интеграле и
я
2
. п
f = #—— во втором интеграле, то, воспользовавшись предположенным тож-
тождеством /(—-}-М =—М~о"~0 ' легк0 обнаружить, что а2„ = 0 (п = 0, 1,
я
я Т я
= — Г / (ж) sin 2mje djf4- — \ f (x) sin
о
2, ...);
Та же замена, что и в случае 1), с учетом предположенного тождества
/ (—-{-*)=/ (-к-—') приводит к равенствам Ь2п = 0 (/г = 1, 2, ...).
2695. 1_Д
2 я-
2697. sh/
• ¦> 4
(-1)"
, nnx . nnx
I cos — nn sin —г—
. nnx
sin——
п=1
sin ¦
i ¦»
4/
со:;
л=1
Bя~1)ях
л=1
. пх
siny Где
n=l v
re» 4
4п
2702 а) 1У(
2702. a) jpi^i-
-
> 3
. Bп+\)пх
3'" 2
2пти
Bп+1J *
п—\
Глава IX
2704. Да. 2705. Нет. 2706. Да. 2707. Да. 2708. Да. 2709. а) Да; б) нет. 2710. Да.
2714. у — ху'=О. 2715. ху' — 2у = 0. 2716. у — 2ху' =0. 2717. xdx + ydy = Q.
2718. у'=у. 2719. ty—xi = '2xyy'. 272Q. хуу'(ху* + \)=1. 272\. у = ху'\п—.
2.2ад"+0'=О. 2723. </"-у'-2у = 0. 2724. у"+4у = 0. 2725. (/'"-2/+
/'=0 2726. у"=0. 2727. у'"=0. 2728. A +(/2) t/'" — 3y't/"a = 0.

454 ответы
2729. у2 —*s = 25. 2730. у = хе2х. 2731. </ = —cos*. 2732. У = ^(— 5е~
+ —4е2х). 2738. 2,593 (точное значение у = е). 2739. 4,780 (точное значе-
значение </ = 3(е— 1)). 2740. 0,946 (точное значение у=1). 2741. 1,826 (точное
значение у= /1). 2742. ctg2i/ = tg2* + С. 2743. х= rCy г ;
у = 0. 2744. *2 + </2 = lnC*2. 2745. у=а + Сх > 2746. tg(/ =
1 -j- dX
= CA— e*K; * = 0. 2747. y = Csin*. 2748. 2e 2 = V~e A + e*). 2749. 1 +
2750. y=l. 2751. arotg(* + y) = je + C. 2752.
2753. * + 2</-{-3 In | 2л: + 3у—7 | = C. 2754. 5д;
2755. p= |_^os— или (/2 =
1 (/2
2756. In P = -g 5 'n |cos(p| + C или In | x |—~^=С. 2757. Прямая у=Слг
Q
или гипербола #=— , Указание. Длина отрезка касательной равна
X
у
-J^Y, 2758. уг— х2 = С. 2759. у = Сеа , 2760. у2 = 2рх. 2761. у=
J
=ajc2. Указание. По условию -^ =-~х. Дифференцируя дважды по х,
о
получим дифференциальное уравнение. 2762. у2 = -^х. 27.63. у= ± f V4—*а -|-
2 i/ ^5" \
+ 21п^) 2764 Пучок прямых y kx 2765 Семейство подобны
2 1/4 x2 \
+ 21n -.—j 1. 2764. Пучок прямых y = kx. 2765. Семейство подобных
эллипсов 2х2-\-у2 — С2. 2766. Семейство гипербол х2—у2 = С. 2767. Семей-
Q
ство окружностей х*-\-(у —Ь)г = Ь2. 2768. у = х\п
2769. *=¦?—-.
2770. * = С?» . 2771. (^_CJ-j/s = C2; (x-2J-ya = 4
2772. |/ky+Ia|Vf=C. 2773. у = ^хг-^.; х==0. 2774.
= С. 2775. y = xyi—~-x. 2776. (* + у — 1K= С(х—
2777. Зл;+(/4-2 ln|.x+y—1 | = С. 2778. In | 4х + у + \ + у
2779. лг2 = 1—Чу. 2780. Параболоид вращения. Решение. В силу симмет-
симметрии искомое зеркало является поверхностью вращения. Начало координат
помещается в источнике света; ось ОХ—направление пучка лучей. Если
касательная в любой точке М (х, у) кривой сечения искомой поверхности
плоскостью X0Y образует с осью ОХ угол <р, а отрезок, соединяющий
начало координат с точкойМ (х,у), —угол а,то tga=tg 2<p=-j— , . Но-
tg.a=— , tg(p=y'. Искомое дифференциальное уравнение у—уу"* = 2ху' и его

ответы 455
решение у2 = 2Сх-\-С2. Плоское сечение—парабола. Искомая поверхность ~-
параболоид вращения. 2781. (х —уJ —Су = 0. 2782. Х2 = С Bу-\-С),
X
2783. B</2—*2K = Сх2. Указание. Использовать, что площадь равна \ у dx.
2784. у = Сх — х\п\х\< 2785. у = Сх + х2, 2786. у =-I ** + ?j .
2787. х V^l -\-y2-\-cos y = C. Указание. Уравнение линейно относительно
х.н^-. 2788. х = Су2-±-, ^ аЬ-ев
2790. y = i(x/r^ + arcsin*)]/[±^. 2791. 4 =
2792. (/(ж2 + Сл:) = Ь 2793. </а = л:1п-^-. 2794. л2 = ' а ,
2795. 1/3C + СеСО5Л)=л:; 2797. ху = Су* + а*. 2798. j/
2799. x = yln^-. 2800. —+~ =•• 2801. x2 + i/2
2802. -^ + ху + у* = С< 2803. y + ^2 + -«2 = C. 2804. ^-A
^-=С, 2805. Jc2 + i/2 — 2arctg^- = C. 2806. л2— у2=Су*.
о X
2807. у +уе"=2, 2808. 1п|х|-^- = С. 2809.-^- + — = С.
2810. — lnjc+y i/2 = C. 2811. (xs\ny + ycosy — siny)ex = C.
2812. (х2С2 + 1—2Ciy)(*2 + C2—2С{/) = 0; особый интеграл хг—у2=0.
2813. Общий интеграл ((/+СJ = л;3; особого интеграла нет, 2814. Общий
B \ I 2 \
р (/) р
(х2 \ I и2 \
-д J/ + CIJJ;—^- + С)==0; особого интеграла нет(
1 J \ 2 /
2815. Общий интеграл_ у2 ~\-С2 = 2Сх; особый интеграл х2—у2 = 0,
/" f i + l
1 г/3
2816. ^-^-cos^^psin*. 2817,
2818. i*^ + A« + C. 2819.
Особое решение у — 0.
—
2820. 4{/ = jc2 + p2, ln|p—х\ = С-\—^— . 2821. In уГрЧГгГ2 +arctg — = С,
» = !„?!+?!. Особое решение » = Д 2822. f * = '" I PI Z
2р \
2823. 0 = C + —; y= ±2x. 2824. Iх C<?/~
( - —
х=-^(Ср г -p),
2825. <| t Указание. Дифференциальное уравнение, из
' I J/= — BCp 2 -fp2).
которого определяется л как функция от р, однородно. 2826. у~Сх-{-С2; (/=-—-,

456 ответы
2827. у = Сх-\-С; особого решения нет. 2828. у = Сх-\- У^\ +Са; д:2 + уа=1,
1
2829. у = Сх-\--^'< у* = 4х. 2830. ху = С. 2831. Окружность и семейство ее
касательных. 2832. Астроида х*/3-{-уг/3 = 12!з. 2833. а) Однородное;
у = хи; б) линейное относительно х и Ху\ x = uv; в) линейное; y = uv;
г) уравнение Бернулли; у = иу; д) с разделяющимися переменными;
е) уравнение Клеро; привести к виду у = ху' ± У у'3; ж) уравнение
Лагранжа; дифференцировать по х; з) уравнение Бернулли; y = uv;
и) приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными; « = * + у;
к) уравнение Лагранжа; дифференцировать по х; л) уравнение
Бернулли относительно х; x=uv; м) уравнение в полных дифферен-
дифференциалах; н) линейное; y = uv; о) уравнение Бернулли; y = uv.
2834. a) sin— = — In |*|-|-C; б) х = у-еСУ + х. 2835.
2836. у = -^-7,. 2837. ху (с ~^-1п2 х] = 1. 2838. у=-Сх+С1пС;
х +ь \ z j
\ j
особое решение у = —е~(х + 1К 2839. у — Сх+У—аС; особое решение
? nlJ3471)'tl = C2841. ^е»~еУ- arctg «/-I
2842. у = л;2 \ \+Се* ) ¦. 2843. х=у2(С — е~У). 2844. {/ = Ce~s
2845. у = ах + С V\\— Х2\. ' 2846. у =
2 ^
2847. лг = Се"п|'—2a(l+sini/). 2848. -4-+3* + у + 1п [(л^—3)^° | у— 1 |3]=С.
2849. 2arctg ^^ = In | Сх\. 2850. л:2=1— — + Се "*" . 2851. х3 = СеУ—у—2.
2. у |-+lnl * |=С
2852. у |-+lnl * |=С 2853. у = *arcsin (С*). 2854.
+-T-COSX. 2855. ху = С(у— 1). 2856. лг = СеУ—-i- (sin у + cos у).
2857. w = C(p-l). 2858. 2^^
2859. (ху-\-С)(х*у-{-С) — 0. 2860. ух*4-уг = С. 2861. хеУ—д* — (
У
2862. \ рг 2р ^2р*'"^[ г '-гг " 2863.
[y = 2px+V~r+PT.
2864. 2ех — у*^Су2. 2865. In [ y + 2 | + 2arctg y'r"-=C.
ML у
2866. Уг + Се 2 +-—2 = 0. 2867. х2.у=СеТ. 2868. х+ — = С.
2872. (у-.Сх)(у*-х* + С) = 0. 2873. y j
2874. xs + jcty —*?*—jr> = c. 2875. p2f4(/2 = Ci/3. 2876. у = х—
2877. ^ = д:. 2878, у = 2. 2879. 1/ = 0. 2880. у = i- (sin x +cos x).

ответы 457
2881. </ = -^Bх2 + 2*-И). 2882. у = --e~*: + 2х — 2. 2883. а) </ = х;
б) у = Сх, где С — произвольно; точка @; 0) — особая точка дифференци-
дифференциального уравнения. 2884. а) </2 = х; б) уг = 2рх; @, 0)—особая точка.
2885. а) (х — СJ + </2 = С2; б) нет решения; в) х2 + у* = х; @, 0) —особая
X
точка. 2886. у = еу, 2887. (/ = ( У~2а ± К^J- 2888. i/2=l — е~*.
2889. л = Сеа1р. Указание. Перейти к полярным координатам,
2890. Зу2 — 2л: = 0. 2891. r = kq>. 2892. х2 + (у — ftJ = 62.
2893. у2+16* = 0. 2894. Гиперболы у2 — хг = С или окружности *2 + (/2 = С2.
2895. y = -p-(e* + e-*). Указание. Использовать, что площадь равна
* X
{ydx, а длина дуги Г V^l + у'2 dx. 2898. х = —+С(/. 2897. i/2 = 4С (С+а—х).
о о
2898. Указание. Пользоваться тем, что равнодействующая силы тяжести
и центробежной силы нормальна к поверхности. Принимая ось вращения за
ось ОУ и обозначая через со угловую скорость вращения, получаем для
плоского осевого сечения искомой поверхности дифференциальное уравнение
g-r- = (a*x. 2899. р =е-о.0001б7Л указание. Давление на каждом уров-
уровне вертикального воздушного столба можно считать обусловленным только
давлением вышележащих слоев. Использовать закон Бойля — Марнотта, по
которому плотность пропорциональна давлению. Искомое дифференциальное
уравнение dp = —kpdh. 2900. s = -^-klw. Указание. Уравнение ds =
= kw-l-^-dx. 2901. &=(р-\-^ш\ kl. 2902. Т = а-\-(Та-а) е~Ы. 2903. Че-
( 3 \'
рез час. 2904. <o= 100 (—) об/мин. 2905. За 100 лет распадется 4,2%
dQ
начального количества Qa. Указание. Уравнение ~~тг~ — &Q\ Q =
t
1600 . 2906. t и 35,2 сек. Указание. Уравнение я (/i2 — 2h) dh =
= "llV) vdL 2907- 1Ш' Указание- Уравнение dQ = — kQdh; Q =
= Qo (-к- ) 3 • 2908. v —>¦ l/ ?j— при / —>¦ oo (k—коэффициент пропорциональ-
пропорциональности). У к а з а н и е. Уравнение m —yj- = mg—kv^\ v= Л/ 2_th f ^ 1/ -sL. J .
18,1 кг. Указание. Уравнение ~гг = 'г ( "q—чТшг
Й909.
2910. (— „a i /2 2 [(^ s'n M^ — t<ocosa)f) + i.<oe ^ ]¦ Указание. Урав-
Уравнение Ri + L -%f = E sin co<. 2911. y = xla\x\ + C1x + Ci. 2912. l+C,i/2=
. 2913. y=ln|e2* + C,.|-* + C2. 2914. j/ = Ci + C2 In j x [.

458
2915. </ = <
ОТВЕТЫ
x. 2916. i/=:
. 2918. x — C1 = a\n
iln|x| + C2. 2920. x = -^-\
2917. ¦ i/=
при а
-)-C2; (/ = C. 2921. </ =
i)ln
]
. 2919. y = ~ (In | x |
1
2922. y=± -~ \ xy C'l — xz + C\ arcsin
2924. y = (C1x—Cl)eC~Si +C2;y = -^-x2-
x3
X(x—C1)+C2; у=-тг-+С(особоерешение).
о
2927. у = ± sin(Ci+j;)+C2a;+C;
. u=Cx2. 2932. //=
1 —
2934.
jC=c:1—-i-
у
2936. 2у2 — Ах2=\. 2937. «/ =
или у= „ , . |JC1>- 4- -^—:—In 1x1.
in-^-l+C2. 2923. i/=(C1e*+])x + C2.
(особое решение). 2925. j/ = C]j:X
х|+Са*+.С3.
f-1). 2930. (/=
; y = C. 2933. дс =
2935. x = C
2938. u= ^~
. 2928. у=х3+3х. 2929. у=-1
1
(ea—1
2941. y = 2e*. 2942. д; = —| ((/+2) 3
е—е-
2945. , =
2939. (/ = — x2. 2940. y = -^x\
2943. </ = <?*. 2944.
2946' У = 2Т^'
*¦ «/= y^'
€-1 *
2947. у = sec3 x.
2948. t/ = sinx+l. 2949. j/ = ^- —у . 2950. л: = —ye"*'. 2951. Решения
1 (х1Г2 П
2954 = 'J
1
пет. 2952. у = е*. 2953. j/ = 21n|^| . 2954.
2- Особое решение1/ = С. 2955. г/ =
1—С?)л:+С2.
Особое решение у= 71 +C.
2956.
</ = —
12
особое решение
" = 0. 2960. Цеп-
2957. y = Cl + CieClX\ y=\—ex
У=-^— .2958. Окружности. 2959. (x — CxK — (
ная линия j/ = ach—^—2-. Окружность (х—хаJ-\-у2 = а2. 2961. Парабола
(x—xaJ = 2ay—а2. [Циклоида x—xB = a(t — sin/), y = a(l — cost).
2962. ea*+Cl==sec(ax + C1). 2963. Парабола, 2964. у =
Г. Н ~х \ tf —jrx X + C
1 " или i/ = a ch —¦ f C2, где H—постоян-
2
a
ное горизонтальное натяжение, а — = а. Указание. Дифференциальное
d2u о / / du \% d2s
уравнение -т^-=^ 1/ 1 + ( -~- \ , 2965. Уравнение движения -572=

ответы 459
'at2
= g(sin<x—ficosa). Закон движения s = ~(sina—^.cosa). 2966. s =
d2s
=-j-lnch( t I/ g— 1< Указание. Уравнение движения
ft \ ' f^1 /
= mg — ^(/7") ' 2967. Через 6,45 сек. Указание. Уравнение движения
— 7*7г' = — "^' ^968. а) Нет; б) да; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) нет; з) да.
2969. а) у" + у = 0; б) у" —2(/' + г/ = 0; в) х*у" —2*г/' + 2г/ = 0; г) (/"'—Зг/" +
+ 4(/' — 2{/ = 0. 2970. у = 3*—5*2 + 2*3. 2971. .(/ = — (Сх sin>: + Cu cos jc).
Указание. Применить подстановку у=У\и. 2972. i/ = C1x + C'3 In x. 2973. (/=
л:2 В
= А-\-Вх2-{-хл. 2974. У = -^--\-Ах-\ . Указание. Частные решения од-
о х
нородного уравнения yi = x, у2 — —. Методом вариации произвольных по-
А
X Х^
стоянных находим: Ci = -H--f Л; С2 = —г" + ^- 2975. y = A-\-Bsinx-}-
+ С cos л:-fin | sec x + tgxl + sin x\n | cos x |_ x cos Хш 2976. y = Cv
2977. y = Cye~3x + C2e3x. 2978. y = Cl + C,iex. 2979. y = Cx cosjc + C2 sinx.
2980. y = ex (Cx cos x+C2sin.*:). 2981. у = е~гх (Cl cos 3* + C2 sin 3*). 2982. i/ =
= (С1 + С2л:)е-Х. 2983. i/ = ea* (c^^2 +С4е"^2 ). 2984. Если fe > 0, {/=
= C1e* +C2e~ fe; если fe < 0, 1/ = С1созуГ—kx-\~C2 sin}/— A; a:. 2985. i/==
x / VT VT \
2986. u = eM C.cos-V-*+C2sin-4r—* К
2987. (/ = 4e* + e4*. 2988. y = e~x. 2989. 0 = sin2*. 2990. j/=l.
2991. i/ = ach —. 2992. i/ = 0. 2993. y = CsinnA:. 2994. a) xeix
6) 4cos2x + Bsin2x; в) A cos 2jc + B sin 2x + Cx2e2x; г) е* (Л cosx + B sin^:);
д) ex(Axi + Bx'+C) + xe2x(Dx + E); e) xe* [(Ax2 + Bx+C) cos 2x-]-
4
. 2995. v = (Ci + C2x| е2д; + 4- Bя2 + 4х + 3). 2996. у =
' О
Casin х^3Л4-^3 + Зл:2. 2997. у^^ + С^х) е~х
4-^-е2*. 2998. (/ = de* + C2e^ + 2. 2909. {/==С1е* + С2е-*+-^- хе*. 3000. «/==
1 о
= C!COsx:+ Casinx + -o-*sinx- 3(W1- У = С1е*+С2е-2дс—-=-Csin2x + cos2jc).
2, о
3002. {, = Cl^ + C2e-3* + x^-l)e^. 3003. »
^e« — |г». 3004. t/ = Ci + C2e-*+y ;r + ^Bcos2x—sin 2л).
3003. j/ = ex(CiC»s2x + C2sin2*) + -^-eJCsin2x. 3006. у = cos 2* +
1
^-(sinj«; + sin2A:). 3007. 1) Ar = dcos a>t +C2 sin at -\—= = sin pt; 2) x==
о <й* — p*
A
— Y~t cosco/. 3008. i/= CiS3* + C2e4*—д;е4л. 3009. y =

460
ОТВЕТЫ
Сге%х + -рг
2
-J-^-|1. 3010. у =
—% х. 3012. i/ = Сге~2х +
2
ЗОН. y =
4
—^ <?* 4-4" <3 cos 2*4- sin 2x).
У о
—3*<>* — х—
J2<- I 2
3013. 0 = d4-de~J4-eJf4—r" x2—5x- 3014- # = (
/ 1 \ 1
3015. 2/= ( d 4-d* 4-"o" *2 )e~x + -rex. 3016. у = (Cx cos 3* f C2 sin
4-^= (sin 3*-)-6 cos 3*) 4-^. 3017. (/ = (d + d*4-*2)e!jc4-^4^- 3018. i/=d4-
(cos * + 3sin*)— ^ — -g- . 3019. y=-g-e-x D*+l) — |- —
-* —*sin* —cos *. 3021. i/ = C1e-2jf4-
_{. С2е2дг — -^—(sin 2л; J-2 cos 2a-). 3022. у = d cos 2*4-d sin 2* —
cos 2*) 4—j. 3023. // = e-v(dcos*-j-dsin* —2*cos*).
i
3025. i/ = d cos 3*4- d sin 3*4-
f. 3026. y = Cx
3027. y = Ci + Cieix — 2xex —
3029. y = de~
3030. i/ = dcos*4-dsin*-
— ^—J-—. 302A. {/ =
4 ' 4
3024. y = (
3028
4
Jo
:- f/=(d + d*4-^)e2jf-
x2
si
lo
x x x 3
4--j-cosa:4—7-sin.t—j- cos-3a:4-o75 sin За:. Указание. Произведение
4 4 о oZ
~Jtl
косинусов преобразовать к сумме косинусов. 3031. y = de
4-*е*з!п*4-«лсоз* 3032. ^ = C1cos* + C2 sin *4-cos* In
3033. y = Ci cos*4^d sin *-|-sin x- In
jr
3034. у = (С1-\-Сгх)е*
+ xe*\n\x\. 3035. y=(C1-\-C2x)e-* + xe-*]a\x\. 3036. y = d4
-j- C2 sin л-f-JCsin jc + cos лг In |cosx\. 3037. i/= Cxcos jc4-d s'n x—x cos x-\-
4-sin * In | sin *|. 3038. а) у = С1ех + С&-х + (ех-\-е~х) arotg ex; б) у =
= deJC>^4-de~Jcl'/24-eJcJ. 3040. Уравнение движения — C^)== 2 —
/T 2/isin30i — 60 K^sin }/~gt
(fe=l); Г = 2я1/ — ce/c.
3041. x =
Указание. Если х отсчитывать от положения покоя груза, то —х" = А —
— k(xa-\-x—у — /), где х0 — расстояние точки покоя груза от начальной
точки подвеса пружины, / — длина пружины в состоянии покоя; поэтому
4 йгх
*(*о—0 = 4> следовательно, —— = — k(x—y), где fe = 4, g = 98\ см/сек2.
3042. m~=k(b~x)~k(b + x), x^ccos (t у ~j . 3043. 6 ^p-=gs;

ОТВЕТЫ 461
t== у— lnF+ У5)- 3044. a) /¦=y(<>w'+e-«0; б) г = ^ (еш< —
Указание. Дифференциальное уравнение движения -т-^=с
3045. </ = С1 + С2е* + Сзе12*. 3046.
3047. у = С1е-* + е2 f C2cos ^x + C3sin-OxJ . 3048. y =
+ 3 + 4Т. 3049. у = ех (Ci-\-C2x + C3x2). 3050. у = е* (d cos x+
+С2 sin х) + е~* (С3 cos х+С4 sin х). 3051. j/=(C1+C2x) cos 2x+(C3+C4x) sin 2х,
uU9^> у — UJ -pO2c -f- e ( Ьз COS —~— X -p L#4 Sin —jr— X I i oUOO. ^ — \
+ C2x)e-x-\-(C3JrCix)ex. 3054. (/ = dea* + C2e~a*+C3 cos ax-j-C4 sin ax,
3055. u = (Ci + CnX)eVsx + (C^+C,x)e-V3x. 3056. « = (
) (+)
C4sinax. 3057. y = C1 + C2x + (C3+Clix)e-x. 3058. (/ = (
C + C4A;)sinA;. 3059. y = e~x (Ci+C2jc+ ,.. +Cnx
3060. tf = Ci+C^+fc3 + C4x + y^e*. 3061. t/=C+C+ 122 + 34
T| -, cos 1^. x+d sin -L^x)_^3_5i
3063. y = C1+C2x + C3x2 + C4e-* + ^gDcos4x—sin4x). 3064. ?/ =
|x2-lx3+lxi + e*(|-.c-^. 3065. y =
-^—-g-J. 3066. (/=
— tgx-sinx + xsinx. 3067. y = e-x + e 2 fcos-^-x-|——
+ X—2. 3068. (/ = (d + C2lnx)i, лг>0. 3069. (/ = С,х3 + -^-,
3070. y = C1cosBlnx)+CisiaBlnx), x>0. 3071. y = C1x + C2x2+Csx3.
3072. 0 = СХ + C8Cx + 2) -'/•. 3073. y = Clx2 + — . 3074. у = d cos (In x) +
+ C2sin(lnx), x > 0. 3075. y = C1x3 + C2x1+~ x. 3076. jc = (x+IK [Ci+
+ C2ln(x+l)]+(x+lK, x> —1. 3077. v = x(lnx + ln2x), x > 0.
3078. (/ = С!СОЗх4 C2sinx, z = C2cos x — d sin x. 3079. y = e~x (d cos x +
+ Cssinx), 2 = 4-e-*[(C2 — 2d)cosx — (С! + 2С2) sinx]. 3080. y = (d-~C2 —
e-2*, 3081. х=С^+е~~(с2 cos
3082. x=

462 ответы
1083. !/ = Ci + i
3084. y=Ci + C2x + 1 i(+)
3085. y=(C2 —2d—2C2x)e-*—6*+14, z= (Cj-fCa*) <f-*+5x—9;
C 9 С 4 14'AJC + 4) 9(l) + E + 4*).
10.
6) In V*2 + y2= arotg —+Cf, — =C2. У к а за н не. Интегрируя од-
* У*а+«/я
нородное уравнение = J" , находим первый интеграл In у'л3 + (/а="
= arctg— -\-Cf. Далее, пользуясь свойствами производных пропорций, имеем
следовательно, —-==С2; в) х-\-у + г = 0, х2-\-у2-\-г2 = 6. Указание.
Применяя свойства производных пропорций, имеем: =—-—= ¦ =
у— г z—x х—у
dx4-dy4-dz , . ,
= _ ; отсюда dx-\-dy-\-dz = Q и, следовательно,
Аналогично
х dx у dy zdz x dx + у dy -f z dz
о
! x dx -f- у dy + z dz = 0
и х*-\-у2-\-г2 = Съ. Таким образом, интегральные кривые—окружности
x+y-\-z = Ci. x2-{-y2-\-z2 = C$. Из начальных условий *=1, у=1,
г = —2 будем иметь Ci = 0, C2 = 6.
3089. y = Ci*2+-^—^-C1п2х—21пх),
X 1о
3090. у = СхехУг +С2е~хГ2 +C3cosA;+C4sinx + ex—2x,
3091. Л=
-2-. Решение. m—rr=—kvx\ m—r- = —kvy—mg при начальных
условиях: хо=«/о = О, ^0=yocosa> Ууо^и0sinа ПРИ ' t=0, Интег-
рируя, получим: иЛ = t»0cos a• e m , kvy + mg= (kvusm a + mg) e ,
3092. * = acos—z=t, j/= " sin г, —j--)—^=1. Указание.
Vm Ь Ym «2
d^x d^u
Дифференциальные уравнения движения: т-г-^ = —k2x; т—г^ = —k2y.
3093. 1/ = -2-2*-д:2. ^ i^

ОТВЕТЫ 463
+2 + WJ4+i5 + 1 3096- * = т"-Г5-1 +
2 х2 ж3 *4
11-27 *""""* 3097' y = X+T2^^JrTAJr'"' рЯД СХ°ДИТСЯ ПРН
у = х—щ^+щ^-щщ+...\ ряд сходится при
— оо <jc< +оо. Указание. Использовать метод неопределенных коэф-
1 1-4 1-4-7
фициентов. 3099. у = 1— -дГ*3 + "ёг*6 qT—*8+-"I РяД сходится при
о! о! У1
— оо < к < + оо. 3100. у = , Указание. Использовать метод неопре-
х2 х* х6
деленных коэффициентов. 3101. у= 1— -ёрЛ-щ-П—о1 42 б2~^~"" ряд сх0"
дится при |х|<+оо. Указание. Использовать метод неопределенны»
коэффициентов. 3102. х = а(\ ~ **+-?¦ /4—|j- '6+"|f '"— "¦) •
3103. u = Л cos —j— sin —j- • Указание. Использовать условия:
в @, 0 = 0. u(t, 0=0, в (ж, 0) = 4sin-^-, а" (^' 0) = 0.
о.Л. 2/ ^ 1 . Bk+\)nat . Bk-\-\)nx .,
fc=o
да (х. 0)
Использовать условия: и @, 0=°> ы ('¦ 0=°. «(*. 0) = 0, —^—'-=1.
о<п>г 8Л\^ 1 . пп nnat . ппх ,. т,
3105. и =-| > —j-sin -g- cos—-—sin—-—. Указание. Использовать
я= 1
условия:
да(х 0) ( 2-Т ДЛЯ 0<Jc^T'
—4г^=0,а@, 0=0, b(U)=0. "(*.0)=< , Ч ,
( 2/tf 1-jj для ^-<х</.
»«л» V< , Bп+\)ал( . Bи+1)пд: ,. .
3106. и=У. A" cos —~9i sin^ ТГ—• где коэффициенты Ап —
4(т ^n {2n\?nXdx= ,98<П1Г* • Указание. Использовать
.. ,. n 3u (I, 0 л . .. л; Зм (дс, 0) л
условия: и @, 0 = 0. —^ -=0, и (х, 0) = — , —^-—^-=0.
CD u^fl^n^t
3107. и = —ГУ —^- A— cos пя) sin 4к?-е 10°* . Указание. Использо-
Использовать условия: ы@, 0 = 0, аA00, 0 = 0, ы (*, 0) = 0,01д: A00—ж).
Глава X
3108. a) *?l"; <0,0023%; б) <1 мм; <0,26%; в) <; 1 г; <0,0016%.
3109. а) <0,05; <0,02И/0; б) <0,0005; <1,45%; в) <0,005; <0,16%.
3110. а) 2 знака; 48-Ю3- или 49.103, так как число заключено между 47 877 и

464
ОТВЕТЫ
48 845; б) 2 знака; 15; в) 1 знак; 6-Ю2. Практически результат следует
писать в виде E,9 ± 0,1)- Ю2. 3111. а) 29,5; б) 1,6 102; в) 43,2. 3112. а) 84,2.
б) 18,5 или 18,47 ± 0,01; в) результат вычитания не имеет верных знаков, так
как разность равна одной сотой при возможном значении абсолютной погреш-
погрешности в одну сотую. 3113. 1,8 ± 0,3 си2. Указание. Воспользоваться фор-
формулой приращения площади квадрата. 3114. а) 30,0 ± 0,2; б) 43,7 ±0,1;
в) 0,3 ±0,1. 3115. 19,9 ±0,1 л2. 3116. а) 1,1295 ± 0,0002; б) 0,120 ± 0,006;
в) частное может колебаться между 48 и 62. Следовательно, в записи част-
частного нельзя считать достоверным ни один десятичный знак. 3117. 0,480.
Последняя цифра может отличаться на 1. 3118. а) 0,1729; а) 277-103; в) 2.
3119. B,05 ±0,01).!О3 си2. 3120. а) 1,648; б) 4,025 ± 0,001; в) 9,006 ± 0,003.
3121. 4,01 • 103 см2. Абсолютная погрешность 6,5 см2. Относительная по-
погрешность 0,16%. 3122. Катет равен 13,8 ± 0,2 см; sin а= 0,44 ± 0,01;
а = 26°15' ±35'. 3123. 2,7 ±0,1. 3124. 0,27 ампер. 3125. Длину маятника
следует измерить с точностью до 0,3 см; числа п и g взять с тремя знаками
(по принципу равных влияний). 3126. Радиусы и образующую измерить с от-
относительной погрешностью 1/300. Число я взять с тремя знаками (по прин-
принципу равных влияний). 3127. Величину / измерить с точностью 0,2%, a s из-
измерить с точностью 0,7% (по принципу равных влияний).
3128.
X
1
2
3
4
5
6
и
3
10
15
12
9
5
Лу
7
5
—3
—3
—4
А*у
2
—8
0
— 1
Д3У
—6
8
— 1
14
—9
А'»
—23
3129.
X
1
, з
5
7
9
11
у
—4
-16
4
104
332
736
— 12
20
100
228
404
Д2</
32
80
128
176
Л» у
48
48
48

ОТВЕТЫ
465
3130.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
у
0
—4
-50
— 162
—340
-560
—774
—910
—872
—540
230
Ду
—4
—46
— 112
— 178
—220
—214
— 136
38
332
770
Д2</
—42
—66
-66
—42
6
78
174
294
438
Д"у
—24
0
24
48
72
96
120
144
A'ij
24
24
24
24
24
24
24
Указание. Вычислить первые пять значений у и, получив Д4у0 = 24,
повторить число 24 по всему столбцу четвертых разностей. После этого осталь-
остальная часть таблицы заполняется с помощью действия сложения (двигаясь справа
налево). 3131. а) 0,211; 0,389; 0,490; 0,660; б) 0,229; 0,399; 0,491; 0,664. 3132.
0,1822; С,1993; 0,2165; 0,2334; 0,2503. 3133. \+х+х2+х3. 3134. У=-дп *4~7§ х? +
+ =2 х2—jtj х-\-8; у л: 22 при * = 5,5; j/ = 20 при х я 5,2. Указание. При
вычислении х для # = 20 принять i/0=ll. 3135. Интерполирующий много-
многочлен у = х2—Юх+1; у=\ при х = 0. 3136. 158 кГ (приближенно).
3137. а) у @,5) = — 1, г/B)= 11; б) у @,5)= -}^ , у B) = — 3. 3138. -1,325.
3139. 1,01. 3140. —1,86; —0,25; 2,11. 3141. 2,09. 3142. 0,52; 3,28. 3143. 0,31;
4. 3144. 2,506. 3145. 0,02. 3146. 0,24. 3147. 1,27. 3148. —1,88; 0,35; 1,53-
3149. 1,84. 3150. 1,31; —0,67. 3151. 7,13. 3152. 0,165. 3153. i 1,73 и 0
3154. 1,72. 3155. 1,38. 3156. х = 0,83; г/ = 0,56; х = —0,83; у = — 0,56.
3157. х=1,67; i/=l,22. 3158. 4,493. 3159. ± 1,1997. 3160. По формуле тра-
трапеций 11,625; по формуле Симпсона 11,417. 3161. —0,995; —1; 0,005; 0,5%;
Л = 0,005. 3162. 0,3068; Д = 1,3-10-5. 3163. 0,69. 3164. 0,79. 3165. 0,84.
3166. 0,28. 3167. 0,10. 3168. 1,61. 3169. 1,85. 3170. 0,09. 3171. 0,67. 3172. 0,75.
3173. 0,79. 3174. 4,93. 3175. 1,29. Указание. Воспользоваться параметри-
параметрическими уравнениями эллипса х = cos /, у = 0,6222 sin / и преобразовать формулу
длины дуги к Еиду \ У~1 — ?3cos21 dt, где е—эксцентриситет эллипса.

466 ОТВЕТЫ
х3 х3 х? х3 х7
3176. yi(x) = T. j,aW = T+_, Уз(дс) =_ + _+_+__ ^
„__ . . jc2 . , . v x3 , 3x* , , . ч x* x3 . 3**
3177. yi(x)=-? x+l, Уг(х)=-?-\—g x+l> Уз(х) = -^ g-+^
x3 7x3
— jc+1; 2i(x) = 3x—2, za(jt) = -g—2jc* + 3jc—2; z3(x)=:-g—2л;а + 3л;—2.
3178. yi(x) = X, yt{x) = x-?-, y,{x) = x-?+j?5. 3179. j/(l) = 3,36
3180. jjB) = 0,80. 3181. (/A)=3,72; z(l)=2,72. 3182. y=l,80. 3183. 3,15.
3184. 0,14. 3185. у @,5) = 3,15; г @,5) = —3,15. 3186. у @,5) = 0,55j
z@,5)=—0,18. 3187. 1,16. 3188. 0,87. 3189. *(я)=3,58; *'(я)=0,79.
3190. 429+ 1739 cos x—1037 sin x—6321 cos 2jc+ 1263 sin 2x —1242 cos 3x —
— 33sin3*. 3191. 6,49— l,96cos* + 2,14sin x— 1,68 cos 2*+ 0,53 sin 2* —
— 1,13 cos 3* + 0,04 sin 3x. 3192. 0,960+0,851 cos # + 0,915 sin * + 0,542 cos 2jc +
+ 0,620sin2x + 0,271cos3x + 0,100sin3*. 3193. a) 0,608 sin x + 0,076 sin 2x +
+ 0,022 sin3*; 6) 0,338 + 0,414cosx + 0,lll cos2# + 0,056 Cos3*,

ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Греческий алфавит
Act—альфа
Bfl—бэта
Гу—гамма
До—дельта
Ее — эпсилон
Z?—дзета
Нг)—эта
вв — тэта
li —йота
Ки—каппа
ЛЯ,— ламбда
Ми—мю
Nv—ню
Е| —кси
Оо—омикрон
Пя—пи
Рр-ро
Ха — сигма
Тт—тау
Ти—ипсилон
Фф—фи
X/—хи
Wi|3—пси
йсо—омега
II. Некоторые постоянные
Величина
Я
2я
л
т
я
- т
1
я
яа
Уя
^н
е
X
3,14159
6,28318
1,57080
0,78540
0,31831
9,86960
1,77245
1,46459
2,71828
lg*
0,49715
0,79818
0,19612
1,89509
1,50285
0,99430
0,24857
0,16572
0,43429
Величина
1
е
е2
ут
ж=1п1°
1 радиан
arc Iе
8
X
0,36788
7,38906
1,64872
1,39561
0,43429
2,30258
57е 17'45"
0,01745
9,81
lg*
1,56571
0-, 86859
0,21715
0,14476
1,63778
0,36222
2,24188
0,99167

468 приложения
III. Обратные величины, степени, корни, логарифмы
X
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2.2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
i
X
1,000
0,909
0,833
0,769
0,714
0,667
0,625
0,588
0,556
0,526
0,500
0,476
0,454
0,435
0,417
0,400
0,385
0,370
0,357
0,345
0,333
0,323
0,312
0,303
0,294
0.286
0,278
0,270
0,263
0,256
0,250
0,244
0,238
0,233
0,227
0,222
0,217
0,213
0,208
0,204
0,200
0,196
0,192
0,189
0,185
xl
1,000
1,210
1,440
1,690
1,960
2,250
2,560
2,890
3,240
3,610
4,000
4,410
4,840
5,290
5.76Q
6,250
6,760
7,290
7,840
8,410
9,000
9,610
10,24
10,89
11,56
12,25
12,96
13,69
14,44
15,21
16,00
16,81
17,64
18,49
19,36
20,25
21,16
22,09
23,04
24,01
25,00
26,01
27,04
28,09
29,16
x.
1,000
1,331
1,728
2,197
2,744
3,375
4,096
4,913
5,832
6,859
8,000
9,261
10,65
12,17
13,82
15,62
17,58
19,68
21,95
24,39
27,00
29,79
32,77
35,94
39,30
42,88
46,66
50,65
54,87
59,32
64,00
68,92
74,09
79,51
85,18
91,12
97,34
103,8
110,7
117,6
125,0
132,7
140,6
148,9
157,5
V7
1,000
1,049
1,095
1,140
1,183
1,225
1,265
1,304
1,342
1,378
1,414
1,449
1,483
1,517
1,549
1,581
1,612
1,643
1,673
1,703
1,732
1,761
1,789
1,817
1,844
1,871
1,897
1,924
1,949
1,975
2,000
2,025
2,049
2,074
2,098
2,121
2,145
2,168
2,191
2,214
2,236
2,258
2,280
2,302
2,324
YlQx
3,162
3,317
3,464
3,606
3,742
3,873
4,000
4,123
4,243
4,359
4,472
4,583
4,690
4,796
4,899
5,000
5,099
5,196
5,292
5,385
5,477
5,568
5,657
5,745
5,831
5,916
6,000
6,083
6,164
6,245
6,325
6,403
6,481
6,557
6,633
6,708
6,782
6,856
6,928
7,000
7,071
7,141
7,211
7,280
7,348
r
,000
,032
,063
,091
,119
,145
,170
,193
,216
,239
1,260
1,281
1,301
1,320
1,339
1,357
1,375
1,392
1,409
1,426
1,442
1,458
1,474
,489
,504
,518
,533
,547
,560
,574
,587
,601
,613
,626
,639
,651
,663
,675
,687
,698
,710
,721
,732
,744
,754
2,154
2,224
2,289
2,351
2,410
2,466
2,520
2,571
2,621
2,668
2,714
2,759
2,802
2,844
2,884
2,924
2,962
3,000
3,037
3,072
3,107
3,141
3,175
3,208
3,240
3,271
3,302
3,332
3,362
3,391
3,420
3,448
3,476
3,503
3,530
3,557
3,583
3,609
3,634
3,659
3,684
3,708
3,733
3,756
3,780
УТйО~х
4,642
4,791-
4,932
5,066
5,192
5,313
5,429
5,540
5,646
5,749
5,848
5,944
6,037
6,127
6,214
6,300
6,383
6,463
6,542
6,619
6,694
6,768
6,840
6,910
6,980
7,047
7,114
7,179
7,243
7,306
7,368
7,429
7,489
7,548
7,606
7,663
7,719
7,775
7,830
7,884
7,937
7,990
8,041
8,093
8.143
(ман-
(мантиссы)
0000
0414
0792
1139
1461
1761
2041
2304
2553
2788
3010
3222
3424
3617
3802
3979
4150
4314
4472
4624
4771
4914
5051
5185
5315
5441
5563
5682
5798
5911
6021
6128
6232
6335
6435
6532
6628
6721
6812
6902
6990
7076
7160
7243
7324
In x
0,0000
0,0953
0,1823
0,2624
0,3365
0,4055
0,4700
0,5306
0,5878
0,6419
0,6931
0,7419
0,7885
0,8329
0,8755
0,9163
0,9555
0,9933
,0296
,0647
.0986
,1314
,1632
,1939
,2238
,2528
,2809
,3083
,3350
,3610
,3863
,4110
,4351
,4586
,4816
,5041
,5261
,5476
,5686
,5892
,6094
,6292
,6487
,6677
,6864

ПРИЛОЖЕНИЯ
469
Продолжение
X
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7 3
7',4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
9,
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
10,С
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
0,
0
0
о
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X
182
179
175
172
169
167
164
161
159
156
154
151
149
147
145
143
141
139
137
135
133
132
130
128
127
125
123
122
120
119
118
116
115
,114
,112
,111
,110
,109
,108
,106
,105
,104
,103
,102
,101
,100
X'
30,
31,
32,
33,
34,
36,
37,
38,
39,
40,
42,
43,
44,
46,
47
49
50
51
53
54
56
57
59
60
62
64
65
67
68
70
72
73
75
77
79
81
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
25
36
49
64
81
00
21
44
69
96
25
56
89
24
61
00
41
84
29
76
25
76
29
84
41
00
61
24
89
,56
,25
,96
,69
,44
,21
,00
,81
,64
,49
,36
,25
,16
,09
,04
,01
,00
х'
166,
175,
185,
195,
205,
216,
227,
238,
250,
262,
274
287,
300,
314
328
343
357
373
389
405
421
439
456
474
493
512
531
551
571
592
614
636
658
681
705
729
753
778
804
830
857
884
912
941
970
1000
4
6
2
1
4
0
0
3
0
1
6
5
8
4
5
0
9
2
0
2
9
0
5
6
0
0
4
4
,8
,7
,1
,1
,5
,5
,0
,0
,6
,7
,4
,6
,4
,7
,7
,2
,3
,0
V7
2,
2
2
з',
9
^,
2,
2,
2*,
2,
2*,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
345
366
387
408
429
449
470
490
510
530
550
569
588
608
627
646
665
683
702
720
739
757
775
793
811
,828
,846
,864
,881
,898
,915
,933
,950
,966
,983
,000
,017
,033
,050
,066
,082
,098
,114
,130
,146
,162
V\Qx
7,
7,
7,
7,
7,
7,
7,
7,
7,
8,
8,
8,
8,
8,
8
8,
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
10
416
483
550
616
681
746
810
874
937
000
062
124
185
246
307
367
426
485
544
602
660
718
775
832
888
944
000
055
ПО
165
,220
,274
,327
,381
,434
,487
,539
,592
,644
,695
,747
,798
,849
,89
,950
,000
1,
* у
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
Г,
1,
1,
1
1
1
1
1
¦1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
765
776
786
797
807
817
827
837
847
857
866
876
885
895
904
913
922
931
940
949
957
966
975
983
992
000
008
017
025
033
041
,049
,057
,065
,072
,080
,088
,095
,103
,110
,118
,125
,133
,140
,147
,154
V
3,
3,
з,
з,
з,
з,
3,
з,
3,
4,
4,
4,
4,
4,
4,
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
803
826
849
871
893
915
936
958
979
000
021
041
062
082
102
121
141
160
179
198
217
236
254
273
291
309
327
344
362
380
397
414
431
,448
,465
,481
,498
,514
,531
,547
,563
,579
,595
,610
,626
,642
l/lOOx
8,
8,
8,
8,
8,
8,
8,
8,
8,
8,
8,
8,
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
10
193
243
291
340
387
434
481
527
573
618
662
707
750
794
837
879
921
963
004
045
086
126
166
205
244
283
322
360
398
435
473
,510
,546
,583
,619
,655
,691
,726
,761
,796
,830
,865
,899
,933
,967
,000
(ман-
(мантиссы)
7404
7482
7559
7634
7709
7782
7853
7924
7993
8062
8129
8195
8261
8325
8388
8451
8513
8573
8633
8692
8751
8808
8865
8921
8976
9031
9085
9138
9191
9243
9294
9345
9395
9445
9494
9542
9590
9638
9685
9731
9777
9823
9868
9912
9956
0000
1,
1,
• у
1 f
1 ,
1 1
* J
* »
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
П X
7047
7228
7405
7579
7750
7918
8083
8245
8405
8563
8718
8871
9021
9169
9315
9459
9601
9741
9879
0015
0149
0281
0412
0541
0669
0794
0919
1041
1163
1282
1401
1518
,1633
,1748
1861
,1972
,2083
,2192
,2300
,2407
,2513
,2618
,2721
,2824
,2925
,3026

470
ПРИЛОЖЕНИЯ
IV. Тригонометрические функции
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42.
43
44
45
X
(радианы)
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
0,1222
0,1396
0,1571
0,1745
0,1920
0,2094
0,2269
0,2443
0,2618
0,2793
0,2967
0,3142
0,3316
0,3491
0,3665
0,3840
0,4014
0,4189
0,4363
0,4538
0,4712
0,4887
0,5061
0,5236
0,5411
0,5585
0,5760
0,5934
0,6109
0,6283
0,6458
0,6632
0,6807
0.6981
0,7156
0,7330
0,7505
0,7679
0,7854
sin х
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
COS X
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
ctgje
ctg x
09
57,29
28,64
19,08
14,30
11,43
9,514
8,144
7,115
6,314
5,671
5,145
4,705
4,331
4,011
3,732
3,487
3,271
3,078
2,904
2,747
2,605
2,475
2,356
2,246
2,145
2,050
1,963
1,881
1,804
1,732
,6643
,6003
,5399
1,4826
,4281
,3764
,3274
1,2799
,2349
,1918
,1504
,1106
,0724
,0355
,0000
'g*
cos*
1,0000
0,9998
0,9994
0,9986
0,9976
0,9962
0,9945
0,9925
0,9903
0,9877
0,9848
0,9816
0,9781
0,9744
0,9703
0,9659
0,9613
0,9563
0,9511
0,9455
0,9397
0,9336
0,9272
0,9205
0,9135
0,9063
0,8988
0,8910
0,8829
0,8746
0,8660
0,8572
0,8480
0,8387
0,8290
0,8192
0,8090
0,7986
0,7880
0,7771
0,7660
0,7547
0,7431
0,7314
0,7193
0,7071
¦In x
1,5708
1,5533
1,5359
,5184
,5010
,4835
,4661
,4486
,4312
,4137
,3963
,3788
,3614
,3439
,3265
,3090
,2915
,2741
,2566
,2392
,2217
,2043
,1868
,1694
,1519
,1345
,1170
,0996
,0821
,0647
,0472
,0297
,0123
0,9948
0,9774
0,9599
0,9425
0,9250
0,9076
0,8901
0,8727
0,8552
0,8378
0,8203
0,8029
0,7854
X
(радианы)
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45

приложения 471
V. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1.9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
,0000
,1052
,2214
,3499
,4918
,6487
,8221
2,0138
2,2255
2,4596
2,7183
3,0042
3,3201
3,6693
4,0552
4,4817
4,9530
5,4739
6,0496
6,6859
7,3891
8,1662
9,0250
9,9742
11,0232
12,1825
13,4637
14,8797
16,4446
18,1741
20,0855
22,1979
24,5325
27,1126
29,9641
33,1154
е~х
1,0000
0,9048
0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5488
0,4966
0,4493
0,4066
0,3679
0,3329
0,3012
0,2725
0,2466
0,2231
0,2019
0,1827
0,1653
0,1496
0,1353
0,1225
0,1108
0,1003
0,0907
0,0821
0,0743
0,0672
0,0608
0,0550
0,0498
0,0450
0,0408
0,0369
0,0334
0,0302
shjt
0,0000
0,1002
0,2013
0,3045
0,4108
0,5211
0,6367
0,7586
0,8881
1,0265
1,1752
1,3356
1,5095
1,6984
1,9043
2,1293
2,3756
2,6456
2,9422
3,2682
3,6269
4,0219
4,4571
4,9370
5,4662
6,0502
6,6947
7,4063
8,1919
9,0596
10,0179
11,0764
12,2459
13,5379
14,9654
16,5426
chJC
1,0000
1,0050
1,0201
1,0453
1,0811
1,1276
1,1855
1,2552
1,3374
1,4331
1,5431
1,6685
1,8107
1,9709
2,1509
2,3524
2,5775
2,8283
3,1075
3,4177
3,7622
4,1443
4,5679
5,0372
5,5569
6,1323
6,7690
7,4735
8,2527
9,П46
10,0677
11,1215
12,2366
13,5748
14,9987
16,5728
thJt
0,0000
0,0997
0,1974
0,2913
0,3799
0,4621
0,5370
0,6044
0,6640
0,7163
0,7616
0,8005
0,8337
0,8617
0,8854
0,9051
0,9217
0,9354
0,9468
0,9562
0,9640
0,9704
0,9757
0,9801
0,9837
0,9866
0,9890
0,9910
0,9926
0,9940
0,9950
0,9959
0,9967
0,9973
0,9978
0,9982
sin x
0,0000
0,0998
0,1987
0,2955
0,3894
0,4794
0,5646
0,6442
0,7174
0,7833
0,8415
0,8912
0,9320
0,9636
0,9854
0,9975
0,9996
0,9917
0,9738
0,9463
0,9093
0,8632
0,8085
0,7457
0,6755
0,5985
0,5155
0,4274
0,3350
0,2392
0,1411
0,0416
—0,0584
—0,1577
-0,2555
—0,3508
cos x
1,0000
0,9950
0,9801
0,9553
0,9211
0,8776
0,8253
0,7648
0,6967
0,6216
0,5403
0,4536
0,3624
0,2675
0,1700
0,0707
—0,0292
—0,1288
—0,2272
—0,3233
—0,4161
-0,5048
—0,5885
—0,6663
—0,7374
—0,8011
—0,8569
—0,9041
—0,9422
-0,9710
—0,9900
—0,9991
—0,9983
—0,9875
—0,9668
—0,9365

472
ПРИЛОЖЕНИЯ
VI. Некоторые кривые (для справок)
1. Парабола 2. Кубическая парабола 3. Равноосная гипербола
4. График дробной функции
п
5. Локон Аньези
У
6. Парабола (верхняя ветвь)
7. Парабола

ПРИЛОЖЕНИЯ
473
у=х3 или \
86. Полукубическая
парабола
= х3 или
f x = t*.
9. Синусоида и косинусоида
i и у =
ч
3:
2
v
А
М
I |
\ 1
Л
г л
" г
Y
3
г
1
V
Л
| ;
i i
/\
J
г
-г
3
я
fV
А
\1
А
..
V
А
у
Л,
Д
к
10. Тангенсоида и котангенсоида
y = tgJt и i/ =

474
ПРИЛОЖЕНИЯ
I
J
Зл -я
г
i
i
§
i
I
I
з
V
л
(\
s
Y\
-/
2~/
С
>
X
2
У
у
f
ж
\1
-л
.Ттг
2.
-г*
0
\
\
\
1
f i
1
i
i
Ч' у
"Ш
0\х
\
1
1
1
1
i
щ
12. Графики
i
У «=cosecx
К 1
1 »
V '
X
/
/
j
А
\
\
К
я к Зл
2
-1
-г
-з
1
1
2
А
/ \
1 Л
Hi Графики функций
у = sec х и j/ = cosec л1
У,
/-V=Arcsin:s
/
/ Л -/
\
2л
М
л
\
2
У
0
_л_
-л
\
-'•
"S
—и
А
¦
и
i
А
!
!
i
i—|-
1 >
1 1
\
X
\
\
J
X
2jc Sjgx Зл
V
T
JL
l
2
•
1
1
1
/
/J/-mcess
1 X
\ A_
обратных тригонометрических функций
/ = Arcsinx и г/ = Агссо

ПРИЛОЖЕНИЯ
475
13. Графики обратных тригонометрических функций
у — Arctg х и у = Arcctg х.
14. Графики показательных функций
у = ех и y = e~xt

476
ПРИЛОЖЕНИЯ
15. Логарифмическая кривая
у = 1пх.
17. Графики гиперболических функций
ех—е~х
у==.&Ъх=
и
2
e* + e-x
(цепная линия).
16. Кривая Гаусса
,-x1
18. Графики гиперболических
функций
е*_ е-х
e*-\-e-*

ПРИЛОЖЕНИЯ
477
20. Гипербола
-Г5-=1 ИЛИ
, , , (для правой ветви)
d» ОМ'АВ
22. Декартов лист 23. Циссоида Диоклес
= 0 или „ х3
3at

478
ПРИЛОЖЕНИЯ
24. Строфоида
а—х
26. Циклоида
( x = a(t—sint).
\у = а A— cost),
25. Лемниската Бернулли
(*» + *»)» = * (**-*»)
или /•2 =
27, Гипоциклоида (астроида)
I x = a cos3 /,
1 1/ == a sin3 /
ИЛИ
28. Кардиоида
29. Эвольвента (развертка) окружности
xk=a(cosi+ t sin'0,
^ —/cos /).
вольвен
{xk=

ПРИЛОЖЕНИЯ
479
30. Спираль Архимед»
0 J X
31. Гиперболическая спирало
324 Логарифмическая опираль 33. Трехлепестковая роза
34„ Четырехлепестковая роза л^а|sin2ф|.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Под редакцией Б. П. Демидовича
М., 1978 г., 480 стр. с илл.
Редактор Ф. И. Кизнер
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор Л. С. Сомова
И Б № 1 1 170
Сдано в набор 19.12.77. Подписано к печати 03.05.78.
Бумага бОХЭО'/и. тип. № 3. Литературная гарни-
гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 30. Уч.-изд.
л. 30,98. Тираж 150 000 экз. Заказ № 2262.
Цена книги 1 р.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28.