/
Author: Гуров К.П.
Tags: физика теплофизика металлы теоретическая физика задачи по физике кинетика
Year: 1966
Text
К. П. ГУРОВ
ОСНОВАНИЯ
КИНЕТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ
МЕТОД Н. Н. БОГОЛЮБОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966
530.1
Г 95
УДК 530.10
АННОТАЦИЯ
В книге изложена общая кинетическая
теория газовых систем (идеальные газы,
электронный газ в металлах и т. д.).
Подробно описан вывод кинетических
уравнений методом акад. Н. Н. Боголюбова, дан
анализ этих уравнений и указаны способы
их решения. Описан метод нахождения
явного вида кинетических коэффициентов
(вязкость, теплопроводности и т. д.). Очень
подробно изложен математический
аппарат теории для квантовых систем. В
заключение рассмотрены конкретные
вопросы металлооптики и атомной диффузии в
металлах и сплавах.
Книга рассчитана на научных
работников, а также может быть полезна
аспирантам и студентам старших курсов вузов,
специализирующимся в области
теоретической физики, теплофизики, физики
твердого тела и металлофизики.
2-3-2
Ш1Г
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 7
Глава I. Метод Боголюбова 10
§ 1. Общий формализм и главные задачи кинетической теории ... 10
§ 2. Вывод уравнений для функций распределения 15
§ 3. Вывод кинетического уравнения 20
§ 4. Уравнение Больцмана 33
1. Вывод уравнения Больцмана по Боголюбову [1] 33
2. Другие методы вывода уравнения Больцмана '. 36
§ 5. Общий анализ уравнения Больцмана 39
1. Анализ отдельных членов уравнения Больцмана 39
2. Форма уравнения Больцмана, явно учитывающая законы
сохранения 44
3. Я-теорема Больцмана 45
4. Действие внешних сил и оценка времени релаксации 48
5. Распределение Максвелла и оценка времени релаксации для
газа Максвелла 50
6. Замечания о способах решения кинетических уравнений ... 55
7. Метод Филлипса оценки времени релаксации 57
§ 6. Обоснование принятых допущений и границы их применимости 60
1. Анализ в рамках общих квантовомеханических представлений 60
2. Анализ допустимости введения одного времени релаксации . . 71
3. Замечания о принципе детального равновесия 73
4» Общие замечания об ограничениях схемы Боголюбова вывода
кинетических уравнений 75
§ 7. Обобщение уравнения Больцмана на случай «смеси газов» . . 77
1. Вывод системы кинетических уравнений 77
2. Общий анализ системы кинетических уравнений 81
3. Случай, когда все четыре интеграла столкновений сравнимы
между собой по величине 84
4. Случай, когда интеграл столкновений А1 1 много больше
интеграла столкновений А1 н, но, наоборот, интеграл
столкновений Аи п много меньше интеграла столкновений Аи 1 . . . . 85
5. Случай, когда интеграл столкновений А^ j много больше
интеграла столкновений А^ п и одновременно интеграл
столкновений Аи п много больше интеграла столкновений Ап 1 . . . 94
§ 8. Кинетическое уравнение для системы заряженных частиц . . . 102
1. Общие замечания 102
2. Вывод уравнения Ландау . т , , f , ПО
I*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
3. Анализ уравнения Ландау 118
4. Релаксация в двухтемпературной системе 121
5. Применение метода Боголюбова 128
6. Анализ результатов с точки зрения схемы Боголюбова .... 138
7. Выполнение программы Боголюбова 143
§ 9. Вывод гидродинамических уравнений 154
1. Общая характеристика метода 154
2. Вывод гидродинамических уравнений 160
Глава П. Квантовомеханические обобщения 184
§ 10. Общий формализм и вывод квантовых кинетических уравнений 184
1. Формализм матриц плотности 184
2. Вывод квантовых кинетических уравнений 197
3. Анализ квантовых кинетических уравнений 215
4. Метод вывода кинетических уравнений с использованием
корреляционных матриц 227
5. Перенормировка одночастичного спектра 233
6. Формализм квантовых функций распределения 238
§ 11. Квантовый интеграл столкновений для системы заряженных
частиц 248
§ 12. Квантовая гидродинамика 269
1. Общая характеристика метода . . 269
2. Вывод выражений для Ait £", Сь > ...»..,. 280
Глава III. Некоторые конкретные вопросы 288
§ 13. Кинетические проблемы металлооптики 288
1. Постановка задачи 288
2. Вывод Гуржи квантового кинетического уравнения 296
3. Приближенные оценки частот столкновений 307
§ 14. Диффузия в металлах 313
1. Общая постановка задачи 313
2. Самодиффузия в чистом металле 317
3. Диффузия в бинарной системе 319
4. Электроперенос 325
5. Термодиффузия 327
6. Соотношение между энергией активации самодиффузии и де-
баевской характеристической температурой 330
7. Эффекты корреляции при диффузии 334
8. Общие замечания 339
Литература ' 346
ПРЕДИСЛОВИЕ
К настоящему времени развит целый ряд методов изучения
кинетических процессов в газах, жидкостях, твердых телах и плазмах.
Исторически первый метод — метод составления кинетических
уравнений и их последующего анализа и решения с целью получения
явных выражений для кинетических коэффициентов, входящих в
уравнения переноса,—да сих пор не утратил своей актуальности и
успешно применяется для решения большого числа задач.
Эффективное направление развития этого метода было намечено Энскогом и
Чепменом. Н. Н. Боголюбов в своей известной монографии «Проблемы
динамической теории в статистической физике» дал строгое
обоснование этого направления, разработал в рамках классической физики
соответствующий математический формализм и эффективно
модифицировал применяемую методику теории возмущений. Характерной
особенностью схемы Боголюбова является то обстоятельство, что
математическая сложность выводов не затемняет их физического
содержания.
Эта схема вывода кинетических уравнений и сходная с ней схема
решения этих уравнений (в которой применение теории возмущений
основано на том же методе «вариации произвольных постоянных»)
носит название метода Боголюбова.
В последующем метод Боголюбова был обобщен на квантовые
системы, для которых был развит соответствующий формализм. Метод
Боголюбова с некоторыми модификациями успешно применяется также
при рассмотрении систем заряженных частиц (электронный газ в
металлах, плазма).
Настоящая монография посвящена изложению общей кинетической
теории, построенной на основе метода Боголюбова.
В первой главе излагается метод Боголюбова для классических
систем. Описываются также близкие по физическому содержанию
работы Кирквуда и его учеников. Кроме «гидродинамического» метода
решения кинетического уравнения, дается также общий анализ
кинетического уравнения Больцмана и приближенных методов оценок
частот столкновений. В специальном параграфе рассмотрены системы
частиц с кулоновским взаимодействием.
6 ПРЕДИСЛОВИЕ
Во второй главе излагаются квантовомеханические обобщения
метода Боголюбова.
В третьей главе рассмотрены два конкретных вопроса
кинетической теории, не нашедших еще должного освещения в
монографической литературе, — кинетические проблемы металлооптики и метод
исследования диффузии в металлах на основе модели разреженного
газа «дырок».
Метод Боголюбова содержит громоздкие математические выводы,
в которых к тому же применяется ряд математических ухищрений.
Однако ни в одной опубликованной работе эта сторона метода
подробно не освещается. Поэтому было сочтено целесообразным на
рассмотренных типичных задачах показать всю «математическую
кухню» метода Боголюбова. Такие пояснения в особенности полезны
при изложении квантовомеханического формализма метода.
Список литературы, приводимый в конце книги, не претендует
на полноту — в нем упомянуты лишь отдельные работы по вопросам,
затронутым в настоящей книге.
Автор выражает глубокую благодарность Николаю Николаевичу
Боголюбову за внимание к настоящей монографии.
Автор признателен также Юрию Львовичу Климонтовичу,
Виктору Павловичу Силину и Сергею Владимировичу Тябликову за
полезное обсуждение ряда вопросов по теме монографии и
предоставление литературы.
К. Гуров
ВВЕДЕНИЕ
Кинетическая теория вещества полностью основывается на
статистической физике — ее методах, законах и математическом форма*
лизме. Главной особенностью статистических физических теорий
является то, что они строятся исходя из конкретного знания
микроскопической (молекулярной, атомной или электронной) структуры
макроскопических объемов исследуемых веществ. Макроскопическим
объемом называется объем, содержащий столь большое число частиц,
что к их совокупности применимы статистические (вероятностные)
закономерности.
Изучение поведения во времени и в фазовом пространстве (в
пространстве координат и импульсов всех частиц) такой системы частиц
при заданных внешних условиях и есть предмет статистической
теории. Однако она дает при этом также и макроскопические
характеристики вещества. Знание среднего числа частиц в некотором
макроскопическом объеме позволяет определить плотность вещества,
средняя энергия хаотического движения частиц определяет температуру
вещества, средний импульс частиц позволяет определить плотность
макропотока вещества и т. п.
Однако введение указанным выше путем макрохарактеристик ве*
щества имеет смысл только в том случае, если значение
макрохарактеристики, полученное в результате усреднения соответствующих
микровеличии по некоторому макроскопическому объему, остается
тем же самым при усреднении только по части (но обязательно
макроскопической) выбранного ранее объема.
Если сформулированное выше требование не выполняется, то в
общем случае нельзя построить теорию макрохарактеристик,
базирующуюся на статистической физике. Однако существует широкий
класс явлений, для которых можно указать достаточно малые, но
макроскопические объемы, где приближенно выполняется
сформулированное выше требование — при делении этих объемов на более
малые макроскопические части макрохарактеристики приближенно не
изменяются. В этих случаях возможно статистическое рассмотрение,
причем макрохарактеристики оказываются меняющимися в
пространстве функциями.
8 Ё6ЕДЕНЙЁ
Очевидно, что для применимости статистической теории
необходимо, чтобы размеры макрообъемов, по которым проводится
усреднение, были много меньше характерных масштабов, на которых
заметно меняются макрохарактеристики. Количественные критерии
выполнимости этих условий получаются при сравнении пространственных
и временных масштабов, характерных для макроявлений и
соответствующих микропроцессов.
Если в начальный момент времени система имеет пространственно
меняющиеся макроскопические характеристики и если система
предоставлена самой себе (отсутствуют внешние воздействия), то в системе
происходят макроскопические процессы, в результате которых за
конечное время происходит выравнивание макрохарактеристик по всему
объему. Если же на систему действуют внешние силовые поля, то
в определенных случаях пространственная неоднородность
макрохарактеристик может поддерживаться длительное время и в системе
возникают длительные макропроцессы. Если выполняются
сформулированные выше условия, которые означают, что характерные
масштабы макропроцессов много больше характерных масштабов
микропроцессов, то макропроцессы могут быть описаны на основании
анализа методами статистической физики соответствующих
микропроцессов. Построенные таким образом теории называются кинетическими
теориями. Макропроцессы, которые могут быть описаны при помощи
кинетических теорий, называются процессами релаксации, или
процессами переноса.
Пространственная неоднородность в плотности вещества вызывает
перенос массы за счет микроскопического механизма
перераспределения частиц в пространстве. Соответствующий макропроцесс
называется процессом диффузии. Пространственная неоднородность в
плотности макропотока вещества вызывает перенос количества движения
за счет пространственного перераспределения импульсов частиц.
Соответствующий макропроцесс называется внутренним трением.
Пространственная неоднородность температуры вещества вызывает
перенос тепловой энергии за счет пространственного перераспределения
кинетических энергий частиц. Соответствующий макропроцесс
называется теплопроводностью. Кроме того, диффузия в системе
заряженных частиц в определенных условиях может привести к электро-
переносу. Наличие внешнего электрического поля вызывает в такой
системе электропроводность (или электроперенос), причем нарушается
равновесное распределение импульсов частиц.
Перечисленные процессы являются основными процессами,
изучаемыми кинетической теорией.
Во всех этих процессах можно выделить два конкурирующих
процесса — направленный перенос, вызванный внешними силовыми
нолями, и релаксационное восстановление невозмушрнных
распределений в фазовом пространстве. В зависимости от конкретных уело-
ВВЕДЕНИЕ 9
вий, может доминировать один из этих процессов или же может
установиться стационарное равновесие между ними.
Теории всех этих процессов могут быть построены методом
Боголюбова при помощи развитого им математического формализма для
классических систем [1, 2] и обобщения этого формализма на случай
квантовых систем [3].
В основе метода и формализма Боголюбова лежат представления,
развитые Энскогом и Чепменом и впервые подробно изложенные
в монографии Чепмена и Коулинга [4]. Квантовое обобщение можно
выполнить в формализме матриц плотности Неймана [5] или
квантовых функций распределения Вигнера [75].
В гл. I в общем виде изложен метод Боголюбова для
классических систем. В гл. II описывается формализм для квантовых систем.
В гл. III даны применения общих результатов к некоторым
кинетическим процессам в металлах.
ГЛАВА I
МЕТОД БОГОЛЮБОВА
§ 1. Общий формализм1) и главные задачи кинетической теории
Пусть для макроскопической системы, занимающей объем V,
известна микроскопическая структура — система состоит из N
взаимодействующих частиц, каждая из которых подчиняется законам
классической динамики. Для простоты положим, что
частицы—бесструктурные, т. е. не имеют внутренних степеней свободы.
Микроскопическое состояние системы определяется точкой в фазовом
пространстве 6N измерений с координатами гj, r\t r\> ..., rlN, r2Nt
r%> Pv P2v Pv •••• P1n> P2n> P% ИЛИ< в вект0РН0М представлении,
rlt ..., rN% pl% ..., pN, где rit pt — радиус-векторы в
координатном пространстве и пространстве импульсов i-й частицы, г?, р?
(а=1, 2, 3) — декартовы координаты этих радиус-векторов.
Нахождение системы в элементарном объеме фазового пространства
drx . . . drNdpi ... dpN (через drt и dpt для краткости обозначены
объемы dr\ dr\ dr\ л dp] dp] dp]) около точки (rv ..., rN, pv ..., pN)
в момент времени t определяется вероятностной функцией
распределения FN(i, rit ..., rN, pi> ..., pN). В силу самого физического
смысла функции FN она нормирована на единицу
?N (^» Г1* • • • » Pn)^^1 ' ' ^Pn === 1»
где интегрирование по каждому rt ведется в пределах объема и
по каждому pf—от —оо до +оо.
При помощи этой функции можно определить макроскопические
характеристики системы.
1) Всю схему Боголюбова вывода классических кинетических уравнений
можно изложить не только в описываемом ниже формализме функций
распределения в фазовом пространстве, но и в формализме, основой которого
является представление в числах заполнения в фазовом пространстве —
своего рода метод «вторичного квантования» в фазовом пространстве. Этот
формализм разработан Климонтовичем [138]. Поскольку этот метод подробно
описан в монографии Климонтовича [139], здесь мы излагать его не будем.
§ и Общий формализм 11
Плотность вещества в точке г, по определению, равна
PC г)= J p(r)FN(t. rv ..., pN)drx ... dpN. (1.1)
где p(r) — оператор плотности (здесь и для классических систем
удобно ввести понятие операторов):
N
mt — масса /-й частицы (в частном случае гомогенной системы все mi
одинаковы), 6 (г — rt) — дельта-функция Дирака, причем 6(г) =
= 6 (г1) 6 (г2) б (г3).
Плотность потока в точке г, по определению, равна
J(t. r)=j J(r) FN (t, rv ..., pN) drx... dpN, (1.2)
где J(r) — оператор плотности потока:
Плотность кинетической энергии в точке г, по определению, равна
E(t. r)=j B(r)FN(t, rv ..., pN)drx ... dpN, (1.3)
где E(r) — оператор кинетической энергии:
Если система гомогенная (все mt = т), то плотность кинетической
энергии в точке г просто связана с температурой в той же точке:
E(t, r) = akT(t, r)-lp(f.- r) + K{J{t. r)),
где k — постоянная Больцмана, а — численный множитель, зависящий
от числа трансляционных степеней свободы в системе (для
совершенно свободной частицы а = 3/2), К — плотность кинетической
энергии макропотока в точке г.
Кроме перечисленных основных макрохарактеристик системы, для
заряженных частиц можно ввести еще одну — плотность потока заряда:
Я'. r)=j Jir) FN (t. rv ..., pN) drx... dpNt (1.4)
где j(f) — оператор плотности потока заряда:
N
et — заряд /-й частицы.
12 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. Г
Задача кинетической теории заключается в выводе и анализе
выражений указанных макрохарактеристик и уравнений их временных
эволюции на основе анализа микроскопического механизма, лежащего
в основе макроскопических изменений во времени в системе в
данных конкретных условиях. Следовательно, надо составить явные
выражения для р(/, г), J(*. г), E(t, г), j(f9 г) и для Ф(^) Щ^
ад ft г) dj(t,r)
dt dt '
Формально из формул (1.1) — (1.4) имеем:
f
= J
Г
dJ
дЕ Г ~ dF
} E
dJ Г
так как операторы р, У, Ё и j коммутируют с оператором -^р
Функция FN есть функция от практически бесконечного числа
аргументов, и в явном виде провести анализ с такой функцией,
очевидно, невозможно. Однако при выражении макровеличин через
микрохарактеристики по общей формуле усреднения
A(t9 r)= J A(r)FN(t, гг pN)drx ... dpN
имеется одна важная особенность. Подавляющее большинство
операторов макровеличин имеет вид
N N
j9 Pj)b(r-rj). (1.5)
Здесь операторы выражаются через линейную комбинацию
операторов, действующих на динамические переменные только одной частицы*
Частными случаями таких операторов являются приведенные нами
операторы р, У, Б и j. Иногда встречаются операторы бинарного
типа:
N N
Здесь операторы выражаются через линейную комбинацию
операторов, действующих на динамические переменные только двух частиц.
§ I] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 13
Примером оператора такого типа является оператор потенциальной
энергии системы, которая складывается из потенциальных энергий
парных взаимодействий между частицами системы. Обычно эти
взаимодействия происходят по центральному закону:
N
Ф(г', г")=4
Операторы, составленные из линейной комбинации операторов,
действующих сразу на динамические переменные трех, четырех и
большего числа частиц, в кинетической теории газов практически
не встречаются.
Поэтому целесообразно ввести одночастичную Fx(t, rt, pt),
двухчастичную F2(t, ri, rJt ph pj) и т. д. функции распределения. Из
соображений удобства нормировки эти функции определяются
следующим образом:
Flit, ri% pt) =
= V J FN(t, rx, ... pN)drx ... dr^xdrl+x ... drNdpx... dPi_x X
X dpi+l ... dpNt
F2(t, ri% rj, pt, pj) =
= F2J FN(t, rx pN)dr, ... dr^xdrM ... drj_xX
X drj+l ... drN dpx ... dpi^xdpi+x ... dpj_xdpj+x ... dpN.
Вообще,
Fs(t, rx, ..., rs, pv ..., p,) =
= VS J FN(t, rx, ..., rN, px, ..., pN)drs+l ... drNdps+{ ... dpN.
Из условия нормировки
-iy J Fs(t. rlf ..., ps)drx ... dps= 1 (1.7)
вытекает, что -^-Fs(t, rx ps) есть вероятность того, что
совокупность s частиц системы из N частиц в момент времени t будет
находиться в элементарном фазовом объеме drx ... drsdpx ... dps
6$-мерного фазового пространства около точки (гх, ..., г5, р1э ..., ps).
Между функциями имеются следующие соотношения:
Fs(t, rx, ..., rs, pv ..., ps) =
= -у j Fs+X(t, rx rs+x, pv ..., Ps
14 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. 1
Использование этих функций упрощает запись макровеличин.
Так, для макровеличины, описываемой оператором (1.5), имеем
N С
A(t.r) = % J Aj(rJt Pj)b(r — rj)FNdrl ... dpN =
N 0
" T 2 J Aj (r> pJ>Fl ('• r> ^ dpf.
Если все Лу одинаковы, Лу = а (у=1, 2, ..., N), то
^С. ^) = т J "(r> P)Fi<?' r> P)dP = \ J "(Г. p)Ft(r. p)dp,
где v — объем, приходящийся в среднем на одну частицу. Для
макровеличины, описываемой оператором (1.6), имеем
N
A(t,r',r") = \ 2 ^ JAu(r'>P'i>r",pJ)F2(t,r',r",pi,pJ)dpidpr
c/Vo
Если все Л^у одинаковы, Atj = a, то
Л (/, г/, О = ^уТ0 j £(!*•?• г", f) F2 (?, г', г", р\ р") dp' df**
«-ST J 2 (Л />'. r^. p'0^2^ r\ r\ p', p")dp'dp\
так как N ~^> 1.
Таким образом, для основных макрохарактеристик получаем в
случае систем, состоящих из одинаковых частиц:
^t, r, p)dp, (1.8)
J(f, r) = \ J pFx(t, r, p)dp, (1.9)
'(1.13)
d-16)
§2] ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 15
Исследование уравнений (1.8) — (1.11) и уравнений (1.12)—(1.15)
проводится методически по-разному. В первой группе уравнений
надо найти явный вид Fx(t9 r, р), для чего надо составить
уравнение для Fx вида .Р
!
где L — некоторый оператор, решить это уравнение при заданных
конкретных условиях и составить затем явные выражения для
макрохарактеристик. Уравнение (1.16) называется кинетическим уравнением.
Составление и решение этого уравнения, по существу, является
центральной задачей кинетической теории. В большинстве случаев решение
уравнения удается провести только приближенными методами и
макрохарактеристики тогда можно проанализировать только качественно.
Уравнения (1.12) — (1.15) исследуются по-другому. Путем анализа
микроскопического выражения —тр и его преобразования
приближенными методами удается получить макроскопические уравнения, свя-
до dJ
зывающие -^, -^- и т. д. с различными макроскопическими
характеристиками и их пространственными производными. Эти
макроуравнения (например, уравнения гидродинамики) можно вывести и
феноменологически, без анализа микроскопического механизма процессов.
Однако ценность вывода «кинетическим методом» заключается в том,
что он дает явные выражения для коэффициентов макроуравнений, т. е.
эти коэффициенты выражаются через Fb F2 и т. д. Таким методом
можно, например, найти явный вид коэффициента диффузии,
коэффициентов внутреннего трения, коэффициента теплопроводности и т. д.
Кроме того, если макрохарактеристики известны как функции
времени и пространственной точки, то последний метод может
служить для приближенного решения соответствующего кинетического
уравнения (так называемый «гидродинамический метод решения
кинетических уравнений»).
§ 2. Вывод уравнений для функций распределения
Для системы из N частиц справедлива теорема Лиувилля *):
1) Здесь и всюду ниже символ -^ означает векторное
дифференцирование (градиент), вектор имеет составляющие —- (а = 1, 2, 3): символ
dk ok
з
д д д д V д д
-тг-. зг означает скалярное произведение: — • — = У. ^7Г ' Т^Г •
Оя о\ оН ol ^™ ok ol
8sl
1G МЕТОД БОГОЛЮБОВА (ГЛ. I
Поскольку каждая частица подчиняется законам динамики, т. е.
ее движение определяется уравнениями Гамильтона:
дН • дН
r P
(Н— функция Гамильтона системы), то «уравнение движения» для
системы можно записать в форме уравнения Пуассона:
^ [tf. Fn\> (2-1)
где {, ] — символ обобщенных скобок Пуассона:
\Ш dFN дН dF
Проинтегрируем уравнение (2.3) по фазовым пространствам N — s
частиц. Тогда получим
1 dF8(t9 гь ..., ps) С и р
-ys ft — J 1^э ^Лг1
Как обычно, положим, что потенциальная энергия системы
определяется суммой энергий парных взаимодействий между частицами и
энергий взаимодействий частиц с границей
N
2 J</( k,-r^i )*>„,.
где rrp — точка в слое у граничной поверхности и объемный
интеграл берется по бесконечно тонкому поверхностному слою.
Если U быстро спадает с расстоянием и мы интересуемся
явлениями, в которых заведомо доминируют объемные эффекты, то
влиянием границ можно пренебречь и рассматривать асимптотический
случай замкнутой системы с N—>-oo, V->oo, но с конечной средней
1 N
плотностью числа частиц — ==-^г. Нормировка (1.7) при этом будет
иметь вид
tim^ ^r J F,(t. r, ps)drx ...dps=\.
Таким образом, функция Гамильтона системы записывается в виде
Если имеются частицы нескольких сортов, то удобно сгруппировать
нумерацию частиц по сортам и ввести двойную нумерацию (греческий
индекс указывает номер сорта, а латинский индекс — номер частицы
§2] ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 17
внутри сорта):
а. 0=1
фф)
o=l t=l o=l l,}=l
С/* О
здесь первое слагаемое означает кинетическую энергию частиц,
второе слагаемое — потенциальную энергию взаимодействия между
частицами, одного сорта, третье слагаемое — потенциальную энергию
взаимодействия между частицами разного сорта. Эту форму функции
Гамильтона в дальнейшем мы учтем. Однако при выводах общих
формул проще рассматривать систему одинаковых частиц, а затем
уже провести обобщение результатов на систему частиц разных сортов
Примем, таким образом, функцию Гамильтона в виде
1
т. е. не будем учитывать граничных эффектов; в конечных же
результатах будем переходить к асимптотическому пределу бесконечно
большого объема и бесконечно большого числа частиц, но при
конечной средней плотности числа частиц. Тогда из (2.2) получаем:
L V дФ(Ю-гУ1) дР8
Vs dt ~ Vs 2j m dr. ~+"2VS Za dr. др.
N
Г Y
j
N
дф('n""rj')dFs+1 (ti Гъ ''" r^' rji pu
_ Y Г Y
Vs+i 2u J 2u dr. др.
f дф(|Г/""Г^) dFs+l & r" -'" г* rJ>plt'— ps
f
J
,.,,—. - н дг< "I
J
— rj\)
X
dFSi.2 (t, rt rs, ri, rj, pi ps, pi, pj)
X г;-1 '- drt drj dpf dp,
2 К. Ц.
18 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
В этой формуле последние три слагаемые равны нулю, если
принять, что при |ry|->oo -g—/7Л—>0 и при |Р/|->оо jfi-Fn^Q-
Заметим еще, что
N
S J
dFs+i ft rx rsi rJt pt ps, pj)
*Pi
Kl Г дФ* s+i dFs+
когда интересуются только подсистемами 5 частиц с
Таким образом,
-^ Za J dr дрГ drs+iaPs+x>
dt — "•" • '
где H^s) обозначает функцию Гамильтона замкнутой системы из s
частиц.
Характерной особенностью уравнения (2.3) является то, что это
уравнение движения совокупности 5 частиц содержит член, который
характеризует незамкнутость рассматриваемой подсистемы, т. е.
в уравнение для Fs входит Fs+1.
При абсолютно строгом подходе следовало бы сразу решать всю
цепочку получаемых уравнений, что, конечно, практически настолько же
невозможно, как и решение исходного уравнения для F^.
Однако в ряде случаев на основе модельных представлений,
учитывающих особенности рассматриваемой системы, удается «оборвать»
бесконечную цепочку уравнений на конечном их числЬ. Это означает,
что Fs+1 на основе модельных представлений приближенно удалось
выразить через Fs, Fs^t и т. д. Тогда остается система 5 уравнений
относительно Fb .. ., Fs. Прототипом таких модельных
представлений служит схема обрыва в равновесных системах; этот вопрос
рассмотрен в работе Гурикова [67].
При построении упрощенных моделей наиболее существенным
учитываемым свойством системы является характер взаимодействия
между частицами в системе, а также плотность частиц. Так, если
взаимодействие только бинарное (не групповое1)), что можно ожи-
1) Попытка учета тройных столкновений была сделана в работах Коха
и Уленбека [6] и Дорфмана и Когена [252]. В общем виде учет «групповые
столкновений» рассмотрен в работах Когена [7, 8].
$ 21 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 19
дать при не очень больших плотностях частиц, то для функции Fz
в ряде случаев допустима одна из следующих аппроксимаций г):
а) ?г « у {^1 (ГХ. Pi) F2 (Г2, г8, р2, р3) +
+ Fx(r2, PdF2(rv ip8, A, P3) + ^i(>V Pz>F2(rt, r2, р1э p2)};
p ^2 (/*!, Г2> pj, p2) /^2 (Г2, Гз, Ръ Рз) ?2 (/*!, Г3> ph p3)
0) Гз^ Л(ГьР1)Л(г2,р2)Л(г3,Рз)
а система уравнений сводится к двум уравнениям:
J_ Г (
v J \
г^ Г2> А
Г3 |) ^3 V, Гlt ГЪ Г3> ръ Ръ Рз)
(2.4)
■ ^Ф (1 г2 — Гз 1) ^з ft rlt r2> r3, Рь р2, Рз) 1 ^г dp
рде вместо F3 подставляется приближенное выражение (например,
а или б).
Аппроксимация а была предложена Боголюбовым,
аппроксимация б—Кирквудом (так называемое суперпозиционное условие Кирк-
вуда). Допустимость аппроксимации б была проанализирована в
работе Града [15], суперпозиционные условия для равновесных систем
рассмотрены в работе Коля [27] и Гурикова [66, 67]).
Ченом [32] была предложена модификация аппроксимации а:
Fz**Fi(ri. Pi)F2(r2f r3, p2, P3) +
2, p2)F2{rb r3, px, Pd + Fdr* pz)F2(rb r2, pv P2) —
r3, p3),
причем им эта аппроксимация была проанализирована для
простейшего случая, когда
Ft(t9 r, p)^Fl(t1 p),
г, Л р, p') = F2(t, |r-r'|. p, p') =
= Ф(Л |r —r'l, p,
так что
^«^(РОфС^г — Г8|. Р2> Рз) + /?1(Р2)ф(к1 — r3|. Pi, Рз) +
+ F1(p3)q>(\rl — r2|, А, р2).
Применение этой аппроксимации для решения цепочки уравнений
1) Аппроксимаций F3 для случая да л ыю действующих сил предложена
в работе Пригожина, Балеску и Крйгера [116].
20 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
рассмотрено в работе Салмона [33]. Модификация аппроксимации б
предложена Фишером и Копеловичем [154].
Как мы уже отмечали, в кинетической теории стремятся получить
для каждого рассматриваемого процесса кинетическое уравнение
вида dFl/dt=L(F1). Очевидно, для получения такого уравнения
требуется ввести аппроксимацию для F2i исходя из конкретных условий
задачи. Вообще говоря, аппроксимация для F2 не всегда возможна.
Если, однако, при этом возможна аппроксимация для F3, то
рассмотрение соответствующего процесса в рамках развиваемой схемы
кинетической теории вполне допустимо*), но с использованием вместо
основного кинетического уравнения двух уравнений для Fx и F2 и
некоторых дополнительных условий статистического характера.
Примером выполнения такой схемы может служить работа Кли-
монтовича и Эбелинга [221], которые рассмотрели случай, когда
характерные времена релаксации Fx и F2 сравнимы и поэтому схема
Боголюбова сводится к выводу замкнутой системы из двух (а не из
одного) уравнений. Кинетическое уравнение для F2 получено также
в работе Силина [205].
Анализ цепочки уравнений для Fs дан в работах Людвига [237]
и Шротера [236]. Общий анализ этих уравнений как системы
рекуррентных дифференциальных уравнений проводится в работах Струг
минского [253, 254].
§ 3. Вывод кинетического уравнения
Рассмотрим центральную задачу кинетической теории —
составление кинетического уравнения при заданных конкретных условиях.
Кинетические уравнения имеют некоторые общие характерные черты,
которые облегчают составление конкретных уравнений. Об этом речь
будет идти ниже, а предварительно мы дадим общий вывод
кинетического уравнения методом Боголюбова [1] и выясним степень
приближенности такого вывода.
Прежде всего заметим, что макроскопические характеристики
в силу своего именно макроскопического характера должны иметь
также характерный макроскопический масштаб времени, порядок
величины которого характеризует промежутки времени, при которых
заметны макроскопические изменения в системе. Микроскопический
масштаб времени, характеризующий изменения Fs% много меньше
макроскопического масштаба. Однако, по определению, мы ввели
соотношение между плотностью вещества и функцией Fx (см. формулу (1.8)):
т ' п '* " p)dp.
•) Использование аппроксимаций типа а или б при решении
кинетических задач рассмотрено в работе Кавасаки и Оппенгеймера [148].
§3] ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 21
Из этой формулы видно, что явная зависимость р от времени
определяется очень медленной (с точки зрения микроскопического
масштаба времени) эволюцией во времени функции Fv Быстрые
флуктуации, таким образом, во внимание не принимаются. Из физического
смысла левой части соотношения (p(t, г) — макрохарактеристика) и
структуры этого соотношения ясно, что зависимость Fx от t (и г)
понимается «огрубленно», как зависимость, усредненная по физически
малому макрообъему около пространственной точки г. Именно в силу
этого обстоятельства можно пренебречь быстрыми флуктуациями.
Однако функция Fx(t, r, р) все же может измениться во времени
с характерным микроскопическим временным масштабом этой
эволюции, но так, что при усреднении по импульсам эта зависимость от
времени исчезает («процесс релаксации в пространстве импульсов»).
Характерные изменения во времени функции F2 происходят за
интервалы времени микроскопического масштаба. Важно отметить,
что в силу уравнения (2.4) должна иметь место некоторая
корреляция между изменениями во времени F2 и Fv Если время
«согласования» т2 изменения F2 с изменением Ft меньше характерного
интервала времени заметной эволюции Fb то можно ввести модельное
представление, согласно которому всякое возмущение в виде
функции F2 за время т2 изменяется так, что значение функции F2
приходит в соответствие со значением функции Fv практически
постоянным в интервале времени Т21)- Поэтому не релаксационная эволюция
функции F2 полностью определяется «медленной» эволюцией
функции Fv Поскольку при построении кинетического уравнения
функция F2 нас интересует из-за того, что она входит в уравнение (2.4),
определяющее изменение в пространстве и времени функции Fb то
для F2 можно учитывать только «медленные» (нерелаксационные)
изменения и вместо явной зависимости от времени можно
рассматривать эту зависимость как неявную, определяемую более медленным
изменением во времени F$
С указанной точки зрения, поскольку имеется цепочка уравнений,
связывающих Fs с f5+1, для 5 = 3, 4 и т. д., также можно изучать
только «медленную» временную эволюцию Fs=Fs(Ft).
Критерий пригодности этой модели определяется для конкретной
системы. Если модель применима, то можно составить кинетическое
уравнение (общее обсуждение этого вопроса см. на стр. 75—76).
Покажем, при каких условиях эта модель применима для газа
одинаковых частиц, взаимодействующих только посредством
«столкновений». Под «столкновениями» будем, по определению, понимать
1) Такое релаксационное изменение F2 подробно рассмотрено в работе
Льюиса [155].
22 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
парное взаимодействие отталкивания с конечным радиусом действия
и монотонным ослаблением с расстоянием между частицами, причем
радиус действия г0 много меньше средней длины свободного пробега
и время взаимодействия твз много меньше среднего времени
свободного пробега. Кроме того, для разреженного газа средняя длина
свободного пробега много больше среднего расстояния между
частицами. Но в то же время в такой системе должно быть справедливо
неравенство
у
где v = -jt — средний объем, приходящийся на одну частицу.
Безразмерный параметр ryv может быть использован как параметр
малости для применения теории возмущений.
Заметим, что все возможные модели системы, приводящие к
допустимости применения теории возмущений, заложены в структуре
уравнения (2.3) для Fs. В развернутом виде это уравнение имеет
следующую форму:
~ Z* m drt "i" 2 Zd
bi
dt ~ Z* m drt "i" 2 Zd drt dpt
bill
/=1
Введем безразмерные переменные: ^ = //т, где х— характерный
масштаб времени — время пробега на характерном расстоянии rv,
равном среднему расстоянию между частицами; rv имеет порядок vlf*;
таким образом, uo—rv/x есть средняя скорость частицы, которую
можно отождествить со скоростью свободной движения. Для
классических систем ти% = 3kT.
Сообразуясь с этими соотношениями, ввддим безразмерную век-
торную координату г'. — r./rv и безразмерный импульср' = p.lmuQ=
=zp'JpQ (/= 1, 2, .. ., s). Учитывая, что Ф{г) практически отлична
от нуля только при г<г0, где г0 — эффективный радиус
взаимодействия между частицами, вместо элемент^ объема drs+i удобно
ввести безразмерную величину dr's+l — —^*-. Для потенциальной
го
энергии Ф(г) введем характерную величину Ч?о, так что Ф (г) =
= ф . Кроме то.го, заметим, что Fs+idps+i имеет ту же
размерность, что и Fs, равную [p]~Ss*
§ 3] ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 23
С учетом этих замечаний безразмерная форма уравнения (3.1)
будет иметь следующий вид:
dF's
(3'2)
Из этой формы ясно, что возможны следующие модели:
г3
1) случай, когда —<^.1. Это соответствует модели
разреженного классического газа, для которого можно принять сильное, но
короткодействующее взаимодействие (Wo— kT)\
2) случай, когда -r^^l (при —— l). Это соответствует
слабому взаимодействию между частицами. В более общей форме этот
случай запишется в виде -=?-<^1, где Е — средняя энергия свобод-
ного движения частицы. Такая модель обычно принимается для
квантовых систем, для которых теория рассеяния применяется в первом
борновском приближении;
3) особый случай для систем с кулоновским взаимодействием
(модель Дебая — Хюккеля), когда принимается, что "T^d 1 на Рас"
стояниях между частицами, при которых практически и происходят
все взаимные рассеяния («столкновения»), причем эти расстояния
определяются характерной большой плотностью пространственного
г3 kT
распределения частиц — = —-^> 1;
W г3
4) случай, когда -^ <^ 1 и — <^ 1 — разреженный газ со
слабым взаимодействием.
В первом случае поправочным членом уравнения (3.1) или (3.2)
является третий член правой части уравнения, во втором случае —
второй и третий члены (имеющие один и тот же порядок величины),
в третьем случае — второй член и в четвертом случае — второй и
третий члены, причем третий член имеет более высокий порядок
малости, чем второй.
Первый случай мы рассмотрим в настоящем параграфе, второй —
в § 10, третий — в § 8 и 11. Четвертый случай не представляет
особого интереса.
Итак, рассмотрим модель классического разреженного газа, когда
параметром малости принимается ведичина rl/v. Положим F§ = ^/Ц
24 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
-f-f?* + •••» где F^P — величина первого порядка малости в
разложении Fs по степеням rl/v, F^— величина второго порядка
малости и т. д. Уравнение (2.3) разобьется тогда на ряд уравнений:
(3.3)
* у Г ^°t
irZb)
и т. д.
Для приближенного решения этих уравнений удобно
предварительно проанализировать замкнутую систему из 5 частиц с функцией
гамильтона H^SK Обозначим совокупность координат г/э рь каждой
частицы через хь (точка в фазовом пространстве одной частицы).
Изменение xt со временем определяется динамическими законами.
Между положением хь некоторой частицы в своем фазовом
пространстве в момент времени t и положениями в момент времени
£ = 0 всех 5 частиц имеется однозначное соответствие. Чтобы
отразить это однозначное соответствие, введем оператор динамического
сдвига частиц, преобразующий координаты частиц xv ..., xs в
координаты Хг, ..., Xs, которые должны принять частицы через время t,
если в начальный момент они имели координаты хг, ..., xs и
система в течение всего этого промежутка времени оставалась
замкнутой:
(Xv .... Xs)=$s)(xu .... xs).
В силу обратимости во времени для движений в системе,
подчиняющейся законам классической механики, очевидно, имеем
... X,).
Справедлив также закон аддитивности:
o/j ot2 —btl+t2.
Очевидно также
Для любой функции от динамических переменных системы имеем
lt ..., xs).
В силу самого физического смысла оператора динамического
сдвига имеем
-It
= Ws\ S(Jk(xt xt)\. (3.5)
§3) 6ЫВ6Д КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЯ 25
При явной зависимости функции ф от времени
Xi X,) = SP(t, xu .... xs),
= [/7 , O_/lp(f, X\
(s) dtyjt, XU >..,
/
Используем эти результаты для решения уравнений (3.3) и (3.4).
Введем подстановку
(140). хи .... xs).
A „(0)
0Us ,o fi
<36
s 0:>-t (0)
Из уравнения
г H{s) p(0)i
и соотношений (3.6) и (3.5) следует:
-дГ=0'
«?" = const = af (0, xi xs) = F(s\0, xt xs),
так как 5^ = 1. Отсюда
F?\t, хи .... xs) = S<i\Ff\0, х,, .... xs). (3.7)
Далее, напишем для краткости уравнение (3.4) в виде
<)(<'S ^=[^\ Fs\t, Xl *.)]+Ф(*. *, xs).
Введем подстанрвку
F?(tt хи .... xs) = SilW})(t, Xi xs).
Тогда, аналогично предыдущему,
ди(1}
= 5Гф('. х1% .... xs).
s)
t
ttf (tt xi xs) = u{}] (0, xu ..., xs) + j S[s)q> (т, хг xs) dxt
и
t, xi *,)=»•
t
^\ j'\x, Xl xs)dx,
2б МЕТОД бОГОЛЮБОВА [ГЛ. t
Подставляя опять вместо <р явное выражение и представляя fl
по формуле (3.7), получим
, хи
V f Г c f
— 2jJj5-'+M W, Ъ-х 3ft
Таким образом, окончательное выражение формального решения
уравнения имеет вид
Fs(t, хи .... х,) = 8{1\Р3(0, хи ...
^.. (3.8)
ro
Заметим, что если закон взаимодействия между частицами
определяется функцией потенциальной энергии парного взаимодействия,
положительной и монотонно уменьшающейся с расстоянием между
частицами и практически обращающейся в нуль с некоторого
конечного расстояния, то в замкнутой системе двух частиц всегда
S^t\rx — r2|->oo при t->-\-oo.
Поэтому если частицы находятся на расстояниях меньше г0
(частицы взаимодействуют), то в моменты |±^|^>твз (т. е. «после и
до столкновения») частицы являются свободными (взаимодействие
между ними отсутствует). После столкновения они будут иметь
некоторые предельные постоянные импульсы Р* и Р*2\ аналогично, до
столкновения их предельные постоянные импульсы были Рг и Р2.
В силу закона сохранения импульса замкнутой системы,
В силу правила теории вероятностей о том, что вероятность двух
некоррелирующих событий равна произведению вероятностей каждого
из этих событий, имеем
SS {^2(0, xv x2)-Fx(0, хг)Рг(0. *2)}->0.
Эти условия Боголюбовым названы условиями ослабления корреляций.
Аналогично для 5 «взаимодействующих» частиц, т. е. частиц,
находящихся в малой области, где происходят их «попарные
§ 3] ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 27
стрлкновения», имеют место условия
lim Si$(/%((). xl9 .... х3)— П^1(0. *у)}-*0. (3.9)
Условие
lim S(-i(/%(0, xl% .... ^)-П^1(0, *у)} = 0 (3.10)
примем за «начальное» условие нашей задачи. Это условие не связано
с динамическим рассмотрением и имеет вероятностную природу законов
массовых явлений. Именно благодаря введению этого условия решение
имеет особый характер и удовлетворяет так называемой //-теореме
Больцмана, связанной с термодинамической необратимостью 1).
Условие (3.10) накладывает ограничения на поведение системы
в «бесконечно-прошлом». Выбор второго условия (3.9) привел бы
к ограничениям в «бесконечно-будущем». Однако, как показали Ко-
ген и Берлин [9], использование условия в бесконечно-будущем
вместо условия в бесконечно-прошлом при выводе кинетического
уравнения приводит к уравнению, которое отличается от обычного
уравнения Больцмана знаком перед так называемым интегралом
столкновений. Решение этого уравнения соответствует необратимости,
противоположной по направлению необратимости, предсказываемой
Я-теоремой Больцмана. Таким образом, выбор условий в бесконечно-
будущем приводит к физически неверным результатам.
Таким образом, если рассматривать только t^>xB3, то с учетом
условия (3.10) выражение для Fs (3.8) примет следующий вид:
X
l) Как было отмечено на стр. 20, в некоторых случаях нельзя составить
одно кинетическое уравнение и приходится рассматривать два уравнения,
для Fx и F2. При выводе этой «системы кинетических уравнений»
необратимость также вносится начальными условиями статистического характера.
Например, Град [15] показал, что необратимость появляется, если в качестве
начального условия принять суперпозиционное условие Кирквуда (см. стр. 19)
в «бесконечно-прошлом».
В работе Леонтовича [68] были рассмотрены статистические условия
к динамическим уравнениям, благодаря которым получающееся кинетическое
уравнение соответствует необратимым процессам. В работе было показано,
что процесс, описываемый кинетическим уравнением, есть частный случай
Марковских процессе^, *
28 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
где и(р и и^+1) — средние скорости частицы в замкнутых системах
из 5 и 5+1 частиц. Поскольку усреднение проводится по интервалу
времени ^!^>твз, т. е. по интервалу времени, в подавляющей части
которого частица движется как свободная с импульсом Р(5), можно
приближенно считать, что
Итак,
* p(s)
i
о—
52 J s-<
/ = 1 0
Отсюда видно, что за некоторое время релаксации тр функция F8
с s^>2 испытывает быстрый процесс релаксации и приобретает вид»
согласующийся с видом Fv Если за рассматриваемое время t > тр
функция Fx практически не изменилась, т. е. Fx(t)^F\(0), то такое
разложение Fs по степеням малого параметра имеет физический смысл
и можно говорить о релаксации Fs как быстром процессе, и
медленной эволюции Fs, «синхронной» Fv так что для описания этой
эволюции можно положить Fs — Fs(Fi, хь ..., xs), т. е.
предположить неявную зависимость Fs от времени t через Fv
Однако поправочный член в формуле (3.11) растет с ростом t.
Возникает вопрос: какое это накладывает ограничение на
применимость формулы (3.11)?
Заметим, что Ф(|/^ — Гу+il) отлично от нуля только при
\rt — /•5+i|</'o и» кроме того, если в некоторый момент /-я и
s 4- 1 -я частицы сблизились на расстояние меньшее г0, то в течение
времени т порядка го/иср величина 5^(1^—Гя-il) отлична от
нуля. Поэтому если принять по методу подобия в качестве
безразмерных переменных га/г0 (а=1, 2, 3) и т/(го/#ср), то
подынтегральное выражение будет порядка единицы и интегрирование dr\r\
приближенно проводится по области порядка единицы. После
интегрирования по dx/(ro/ucg) тогда получается, что поправочный член имеет
порядок величины
*0 '«ср
§ 3] ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 29
Чтобы рассматриваемый член можно было считать поправочным,
необходимо выполнение условия
4 . tucp
т. е.
^--4-- (3.12)
4
Поскольку ^^>rg, то условие (3.12) допускает, что t много
больше го/йср, т. е. рассматриваемое приближение (поправочный член)
применимо также в интервалы времени «после» окончания
взаимодействия между частицами, когда
S[s)
Таким образом, за релаксацией Fs можно следить и после
окончания времени взаимодействия, если только при этом Ft практически
остается неизменной.
Рассмотрим теперь, каков интервал времени, на котором можно
считать, что Fx практически не изменяется.
Заметим для этого, что решение для Fx можно также
представить в виде
# J / й
, r, p) +
-г'|). s?tF,(o. г,
(3.13)
Если пренебречь поправочным членом, то Fx не изменяется во
времени. Действительно, заметим, что S^l\p = p при любом t, т. е.
вероятностное распределение импульсов одночастичной системы в
первом приближении не изменяется со временем. Далее, S*i\r = r — *^"т-
Но, как было указано на стр. 21, F1(t9 r, р) имеет
«макроскопический» характер зависимости от пространственной точки г. Поэтому
интервал времени, при котором станет заметным изменение явного
вида Fx из-за изменения г со временем, будет макроскопического
масштаба. Следовательно, в рамках микроскопических масштабов
времени нулевое приближение выражения (3.13) можно считать
постоянной величиной, т. е. в этом приближении можно считать, что
Fx не изменяется во времени. Однако это приближение законно
г3 tu
до тех пор, пока — • —~<С^ 1 (к^к и в предыдущем случае), т. е.
30 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
в течение времени tt ограниченного неравенством
~4'~п^'
Таким образом, «быстрый» релаксационный процесс для Fs (s^-2)
вполне допустимо рассматривать по описанной выше схеме. Однако
рассмотрение «медленной» эволюции Fv а следовательно, и
медленной эволюции Fs (s > 2) только в интервале t < Дг • -^-, может
4 "ср
оказаться явно недостаточным, так как характерные масштабы
времени изменения Fl9 очевидно больше, чем -^- • -^-, поскольку Ft
го аср
начинает заметно изменяться только при £^-^-*-^-.
г0 "ср
Из изложенного выше можно заметить, что можно говорить
о существовании четырех характерных масштабов времени — времени
взаимодействия твз = г0/#ср, времени релаксации в системе 5 частиц
) тр«-^-«-^-, времени релаксации т в пространстве импуль-
г0 аср
сов одночастичного распределения Fx(t9 r, р) и макроскопического
характерного интервала времени, определяемого конкретным
макропроцессом. Этот интервал времени всегда больше т.
На полезность введения этих характерных интервалов времени
обратили внимание Пригожий и Балеску [10]. Характерные интервалы
времени анализируются также в работе Мори [11] и Андрью [12].
Перейдем теперь к рассмотрению основной задачи настоящего
параграфа.
Нам необходимо построить .кинетическое уравнение вида
где L — некоторый функциональный оператор, причем это уравнение
должно описывать «медленную» эволюцию Fx (по сравнению с тр)
во времени и пространстве.
Как уже указывалось выше, описанная процедура приближений
для этого непригодна — разложение Fx по степеням малого параметра
приводит к тому, что эволюцию Fx удается изучить только в
начальный период, соответствующий времени релаксации Fs(s^2).
В связи с этим Боголюбов предложил другую методику.
Примем опять за малый параметр l/v (как мы видели, формально
разложение можно явно записывать в виде ряда по степеням l/v,
а не по степеням r*/v\ и рассмотрим эволюцию Fx в интервалы
времени, большие времени релаксации Fs(s^2), Тогда можно
§3] ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЙ 31
ПОЛОЖИТЬ
/%('. г\ г„ р, Р) = Ра(Г\> .... ps; Fd =
ssPf + LPOi + ±P?+ ... (3.14)
Положим также, что уравнение
можно представить в виде
-^L = 4>(/?i) + -J-A('?i)+ ••• (3.15)
Из уравнения (2.4) и формы гамильтониана системы
р2
где К(Р)~-^> следует
+ | J [Ф(|/--/-'|). ^2(г. г', р, р'; Fx)]dr'dp'.
Отсюда с учетом соотношения (3.15) получаем
Vi) = [*(/»• Fi(f.r,p)\.
= Г [Ф(|г-г'|), ^0)(л г'. P. P'; FOJdr'rfp',
(3.16)
= J [Ф(|г —г'|). F$\r. r', р, р'; F^dr'dp'
и т. д.
Будем искать явный вид кинетического уравнения первого
приближения, т. е. найдем явный вид уравнения
^ ^ (3.17)
Так как нас интересует эволюция Fx в интервалы времени,
большие, чем время релаксации F2, то в выражение для Ff} нужно
подставить асимптотическое выражение F?\F\). Это выражение
получается следующим образом.
Заметим, что операция dFJdt при Fs = Fs(Fl) будет иметь вид
«в» ЛЯ* ЛЯ*
Л г-л где -£тг- — функциональное дифференцирование. Таким
32 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
образом, выражение для dFJdt будет следующим;
причем -~- входит в выражение Ч? линейно. Учитывая последнее
обстоятельство и формулу (ЗЛ7), имеем
Таким образом, операции косвенного дифференцирования по t
можно представить в виде ряда некоторых операций, полученных
разложением по степеням малого параметра —:
Сравнивая формально эту операцию с уравнением для Fs (2.3),
с учетом разложения (3.14)
сразу получаем
Так как операция Lq(Fx) = [К(р), Fx(t, r, p)] означает только
сдвиг одночастичного распределения, то, очевидно, операцию V
можно записать в виде
s
)_ д F(0)
(
(напомним, что замена F\ на S^XF\ в выражении для Fs не изменяет
функциональную зависимость Fs от Fv так как операция SL\ есть
операция сдвига распределения Fx в пространстве координат и
импульсов без явного изменения формы распределения во времени).
Тогда имеем
/f (^ p.; sVO-
Согласно (3.7) решение уравнения (3.18) имеет вид
ps; S^F^S^Ff^r, ps; Ft),
или
Решение верно при любом т. Поэтому запишем
§4] УРАВНЕНИЕ ВОЛЬЦМАНА 33
и учтем «начальные условия» (3.10), из которых следует
S
t. г.,
lim S^\F^(rl ps;
И Т. Д.
Таким образом, для F^ имеем
Ff>(rv rv pv p2; F^ty^F^t, RfK
где
= Hm 5(5Д1)гх= lim
Pf)= lim SMSWp = lim S®a
t>+oo t->+oo
так как
выражения для R® и Pf} аналогичны.
Итак, получаем кинетическое уравнение первого приближения:
dP>«dir'p)=[K<J»,F1(t,r,p)] +
/Ф(|г-r'\), F&, Л(2), P^Fti, R}2V, ^y)]dr'dp', (3.19)
или
dFi (t, г, р) p dF%{t,r,p) ■
dt ~~ nt dr T
+ | J [Ф(к-r'|), Z7!^. 1^. P*2»)/',^ Л<2)'. P^')]^'^'. (3.20)
Формально это уравнение дополнил Коген [13], рассмотрев общие
выражения для р[п) (разложения F2 по степеням плотности
распределения частиц) и вписав эти выражения в интеграл в правой части
уравнения (3.20).
§ 4. Уравнение Больцмана
1. Вывод уравнения Больцмана по Боголюбову [1]. Рассмотрим
частный случай однородного распределения в пространстве
координат. Введем специальное обозначение для этого случая:
Fx = w(t9 p)
с нормировкой
j w(t,
3 К. П. Гуров
34 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. 1
Кинетическое уравнение (3.19) теперь примет вид
Л = 1 J [Ф(|г-г'|), •(*. /»<>(*
Заметим, что из самого определения Р^ (s — любое) как
предельных неизменяющихся импульсов следует тождество
для любой функции ф. Поэтому
[rf\ «(*./*>)«(*. ЯЮ')] = О. (4.1)
Так как
Я(2) = К (р) 4- К (р') + Ф (| г - г' |),
то, согласно (4.1),
[<D(|r-r'|), • (*. #*»)•(*. #*>')] =
т дг
т дг'
ибо предельные импульсы Р(2) и Я(2)' зависят от г и г' только через
разность \г — г'\ (в силу центрального закона взаимодействия между
частицами).
Таким образом, уравнение свелось к виду
di — ¥ J ~S SF ar aP-
Проведем в правой части интегрирование по гг. Для этого
перейдем к цилиндрической системе координат, причем направление оси
цилиндра выберем по положительному направлению вектора pf — р.
Тогда
J
р'-р
~7H
дР
со 2я +оо
0
§ 4] УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА 35
Заметим, что
суть импульсы, с которыми выходят из бесконечности два тела
до взаимодействия, но при этом после взаимодействия они окажутся
в динамических состояниях р, г и р', г'. Отсюда очевидно
определение
как импульсов после соударения. Между р*, р*' и р, р' имеется
зависимость. В частности, согласно закону сохранения импульса
системы, должно быть р* + Р* ==Р + Р'* В общем виде зависимость
р*, р*' от р, р' запишется так:
Р* = Р*(Р> Р'> а, Ф).
р*' = р*'(р, Р'> л, <р).
Таким образом, кинетическое уравнение принимает вид
dw(t,p) _
Ш
2я оо
11/| {«(/. р*)«(Л р'')—!»(^, Р) 9(t, p')) a da d<p dp'.
1J J
о о
J J 1
о о
(4.2)
Это кинетическое уравнение называется уравнением Больцмана;
здесь ■■■ Р абсолютная величина относительной скорости двух
частиц после столкновения, а — «прицельное расстояние». Правую
часть уравнения (4.2) принято называть «интегралом столкновений».
Боголюбов показал, что эту форму кинетического уравнения
с достаточным приближением можно получить и в случае
пространственно неоднородного распределения:
dF, ft г,р)_ р dFx ft г, р) , 1 f f Г \Р'-Р\ v
dt ~ m dr "^"vJJJ m л
о о
X {Z7!^, r, p*)Fx{tt r, p*')-Fx(tt r, p)F1(t. r, pPhadadydpr. (4.3)
Строго говоря, в модели твердых шаров с диаметром шара,
равным av кинетическое уравнение следует записывать в виде
dFx ft г, р) _
О О
, r—jav p'))adad<fdp\
36 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
где j— единичный вектор вдоль оси столкновения двух шаров. Эту
форму кинетического уравнения предложил Боголюбов [1].
Подробный вывод этой формы кинетического уравнения дан в работе Зен-
герса и Когена [14]. Симон [117] проанализировал вывод уравнения
Больцмана для случая, когда размеры частиц сравнимы со средним
расстоянием между ними. Вывод уравнения Больцмана по схеме
Боголюбова дан также в работе Гофмана и Куртиса [206]. Уточнение
уравнения Больцмана содержится в работах Грина [168], Коха и
Уленбека [б], Ресибуа [170] и Раиса, Кирквуда и Гарриса [169].
2. Другие методы вывода уравнения Больцмана. Кроме
Боголюбова, вывод уравнения Больцмана был предложен также рядом
других авторов. Подробный анализ вывода кинетического уравнения
этими авторами дан в работе [16].
Наиболее близкий метод был развит в работе Борна и Грина
[17, 18] (см. также [197]). Эти авторы также составляли цепочку
взаимосвязанных уравнений для функций распределения, при решении
уравнения для F2 рассматривали только нулевое приближение и
вводили условие аппроксимации F2 через произведение двух
функций Fx вне интервала времени, соответствующему столкновению.
Ивон [19] рассматривал уравнение для видоизмененной бинарной
функции распределения F2, в которой в качестве аргументов
фигурировали импульсы обеих частиц и их взаимное расстояние (а не
координаты каждой частицы в отдельности). Накладывалось условие,
что при расстояниях больше радиуса взаимодействия эту функцию
можно выразить через функции Fv В остальном физическое
содержание метода близко к методу Боголюбова. Однако, как у Борна
и Грина, так и у Ивона не подчеркнута явно физическая сущность
связи F2 с Fv В методе же Боголюбова предположением
функциональной зависимости F2 от Fx и характером связи Fx и р явно
подчеркивается физическая идея о том, что метод дает возможность
описать «медленную» эволюцию во времени Fx и отдельно
рассматривать быстрый релаксационный процесс F2.
Отличным по форме, но* близким по физическому содержанию,
является метод, развитый в работах Кирквуда и его учеников [20—26].
Кирквуд1) вводит «сглаженные во времени» функции
распределения (анализ проводимого усреднения по времени дан в работе Ирвинга
и Кирквуда [49]):
X
i) = \ J
х) Строгий, но очень громоздкий вывод уравнения Больцмана
приводится в первой работе Кирквуда- [20]; в работе Коллинза и Раффела [38]
дается упрощенное изложение вывода. Ниже излагается вариант
упрощенного вывода.
§ 4] УРАВНЕНИЕ БОЛЫДМАНА 37
Тогда из уравнения Лиувилля для пространственно-однородной
системы получается уравнение
д» ft Pl) _NV д Г Г дФ(\п-г2\)
dt ~ х дрх J J дгх
X DN(t + x\ rlt рь ..., rN, pN)dx'dr2 ... dpN. (4.4)
По теореме Лиувилля следует
Отсюда уравнение (4.4) можно переписать в виде
' ft p{) _ NV д f Г
Tt — ~"T~3prJ J
о
XD(t, rf\ .... p($)dx'dr<® ... dpf$. . (4.5)
Величина Ар^т') есть изменение импульса частицы за счет
суммарного действия всех сил. Если предположить, что рассматривается
результат только одного парного взаимодействия (что законно, если
вероятность тройных, четверных и т. д. столкновений пренебрежимо
мала), то
Aft(tO = -J
t.° (4.6)
Далее, заменим -^ > . » Тогда
X^^, /f, pf». 4°),
Кирквуд вводит условие
?2('. »f. pf>.,if. P?) = F1(t, rf\ l^F^t. tf\ ftf), (4.7)
если \rf> — 40>|>V где ro — P^Hyc взаимодействия.
38 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
В рассматриваемом пространственно-однородном случае можно
произвести следующие замены под знаком интеграла:
б (/f + Arj (tO - г,) -* б (/f - г,),
F^t. /f, Pf)/^. /f>. p^^Ft{t. rf. pf*)*7,?. 4°). pf).
Далее, заметим, что
Поступая дальше в точности как в методе Боголюбова, т. е.
переходя от drf*dr$ к drf)dr$ и при интегрировании по г$ используя
цилиндрические координаты, получим уравнение, в котором
произведена приближенная замена F2 на FiFx:
п<°) __ 1,(0) _
X 2 тИ1 w (t. p(°>) w (t, pf)dp?) dpfbdbdip.
Интегрирование по pf) с учетом дельта-функции
t) — р2) даст выражение с р* = р1 — Др^т), т. е. со
значениями импульса первой частицы «до столкновения». В силу закона
сохранения импульса двухчастичной системы при этом должно быть
Таким образом получается уравнение Больцмана1):
, Pi) _
dt
~1> J l/?2^Pil {*"(*» Р^™(*> Р%) — ™(*> Р^)™(*> P2)}bdbdq>dpr
Основные допущения вывода заключаются в рассмотрении только
функций распределения, усредненных по интервалу времени (0, +т),
много большему времени столкновения, но много меньшему среднего
времени свободного пробега (времени между двумя
последовательными столкновениями).
Вывод Кирквуда по своему физическому содержанию согласуется
с выводом Боголюбова2), но имеются и отличия. Кирквуд
рассматривает «огрубленные» (усредненные) функции распределения Fl9 F2,
1) Вывод кинетического уравнения в форме уравнения Больцмана из
уравнения Кирквуда дан в работе Пригожина и Ресибуа [166].
2) Физическая эквивалентность методов Боголюбова и Кирквуда
показывается в работе Сандри [120] и Уленбека и Форда [202].
§ 6] ОБЩИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ БОЛЬЦМАНА 39
F3 и т. д.1), у Боголюбова «огрубление» затрагивает только
функцию Fx благодаря условию (1.8), связывающему Fx с
макрохарактеристикой р. В функции же F2 «медленная» эволюция выделяется
предположением, что F2(t)^F2(Fi). Согласуются также в выводах
Кирквуда и Боголюбова задания начальных условий. У Кирквуда
вводится условие (4.7) для момента времени t—т, т. е. для момента
времени «до столкновения» (см. стр. 26).
Как показал анализ [9, 28], усреднение по интервалу (0, +т),
а не по интервалу (—т, 0) является существенным, чтобы условие
ослабления корреляции привело к необратимости, правильно
соответствующей //-теореме Больцмана. Здесь получается ситуация,
аналогичная возникающей в выводе Боголюбова (см. стр. 27).
Как отмечено в [9], работы Шенберга [29] и Фриша [30],
воспроизводящие схему Кирквуда вывода кинетического уравнения из
уравнения Лиувилля, дают неверное кинетическое уравнение благодаря тому,
что эти авторы провели усреднение по интервалу (—т, 0), в
результате чего условия ослабления корреляции были взяты для
«будущего», а не «прошедшего».
Вывод кинетического уравнения из уравнения Лиувилля
рассмотрен также в работе Ресибуа и Леава [119] и Айзеншица [199].
Обобщение вывода на случай системы частиц с внутренними
степенями свободы дано в работах Вальдмана [129],Моншика, Яна и
Мезона [130], Курта и Снайда [241] и Морзе [182]. Вывод
кинетического уравнения в пространственно неоднородном случае дан также
в работах Людвига, Мюллера и Шротера [238, 239].
§ 5. Общий анализ уравнения Больцмана
1. Анализ отдельных членов уравнения Больцмана. В самом
общем случае следует еще предусмотреть действие на частицы
внешней силы с потенциалом U (г). Обобщенное уравнение Больцмана
запишется в виде
№\ ft Л р) р дРг ft г, р) ■ dU (r) dF{ ft г, р) ,
dt т дг ■ дг др ■
2я оо
— ^10. г, p)Fi(t% r, p')}adadydp'. (5.1)
1) Подробный анализ «огрубления» функций распределения по схеме
Кирквуда дан в работе Града [15]. Возможные приемы «огрубления»
функций рассматриваются также в работах Грина [34], Кога [35], Броута [36],
Форда [118], Шротера [236], Раиса и Аллнатта [242], Хиройки, Грея и
Раиса [243] и Айзеншица [198].
40 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. t
Проанализируем физический смысл каждого члена этого
уравнения. Очевидно, что явное изменение во времени функции
распределения частиц в пространстве координат и импульсов, определяемое
членом -зр* вызвано тремя факторами, описываемыми тремя
членами в правой части уравнения.
Первый член в правой части уравнения описывает изменение Ft
во времени за счет инерциального движения частиц в системе,
имеющей первоначально неоднородное распределение в пространстве
координат. За счет этого фактора изменяется распределение частиц
в пространстве координат, но не в пространстве импульсов. Если
система бесконечного объема представлена самой себе и если
принять гипотезу «молекулярного хаоса», то в системе в течение
некоторого времени за счет этого фактора установится пространственно-
однородное распределение (если не учитывать флуктуации в
интервалах времени и пространственных областях, меньших или сравнимых
с соответствующими характерными макромасштабами системы; неучет
этих факторов предопределяется выбором соотношения (1.8) для
связи между Fx(tt r, р) и макроплотностью р(/, г)). Этому
кинетическому процессу релаксации соответствует макропроцесс переноса
вещества, называемый самодиффузией.
Второй член в правой части уравнения (5.1) описывает
изменение Fx во времени за счет действия внешней силы. В частном случае,
dU(r) ,
когда эта сила, т. е. Т~^» не зависит от г» она вызывает
изменение в распределении только импульсов.
Третий член в правой части уравнения (5.1) требует подробного
рассмотрения. Прежде всего отметим, что при анализе уравнений,
при их упрощении и преобразовании, для контроля полезно
проверять сохранение правильных соотношений между размерностями
отдельных частей уравнений. Проверим, например, размерность
кинетического уравнения (5.1). Все физические величины будем выражать
через массу (размерность [т]), длину (размерность [/]) и время
(размерность [t]).
Размерность Fx равна размерности [p~z] = [ni\~z[l]~~3[tf, так
как согласно условию нормировки (1.7),
-\r\ Fi(t, r, p)drdp=l;
размерность —~И равна [nt] [I] [t]~2; размерности остальных
величин, входящих в уравнение (5.1), очевидны. Нетрудно убедиться,,
что размерность всех членов уравнения (5Л) одинакова и равна
Для анализа физического смысла третьего члена в правой части
уравнения (5.1) положим, что рассматривается процесс, связанный
§5]
ОБЩИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
41
только с этим членом. Для простоты тогда можно положить, что
распределение частиц однородно в пространстве. Таким образом,
рассмотрим уравнение
dw (/, р) _
dt
2я оо
= V J JJ
(5.2)
В случае столкновения по закону абсолютно твердых шаров
радиуса г очевидно, что при
а > ах = 2г «столкновения» не
произошло и р*==р, так что
w(t, p*)w(t, p*') = w(t, p)X
X^w(t, р'). При а < ах следует
рассматривать вспомогательную
задачу о «столкновении»
точечной частицы, летящей со
скоростью, равной относительной
скорости двух фактически
рассматриваемых частиц, с неподвижным
абсолютно твердым шаром
радиусом av Как видно из рис. 1,
«угол падения» частицы а
(равный, в силу абсолютно упругого удара, «углу отражения» а)
связан с «углом рассеяния» Э соотношением
а = 1(я — 6).
Рис. 1.
С другой стороны, a = alsina. Отсюда
а = ах cos -j, da = — -j ax sin -к dQ, ada
= ~ sin 9 dQ = -j- dcos 0.
Таким образом, уравнение (5.3) можно представить в виде
— w (t, p)w(t, p')}dQdp', (5.3)
а\
где 5ДИф = -^ дифференциальное (на единичный телесный угол 2
в направлении рассеяния) сечение. Это уравнение постулируется и на
общий случай центрального взаимодействия с потенциалом, монотонно
спадающим с расстоянием. При этом дифференциальное сечение 5диф
будет зависеть от телесного угла и ряда других параметров. Оценка
42 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
полного эффективного сечения в этом случае требует специального
рассмотрения для конкретных заданных условий. Однако если
потенциал взаимодействия достаточно быстро спадает с расстоянием, то
можно ввести эффективное значение ах% приняв, что при а > аг
«рассеяния» практически не происходит, и по порядку величины
полное эффективное сечение равно
Определенные общие выводы можно сделать и в случае
произвольной «быстроты» монотонного уменьшения абсолютной величины
потенциала парного взаимодействия с расстоянием. На стр. 41 мы
отмечали, что в случае абсолютно жестких шаров радиуса г при
прицельных расстояниях а > ах — 2г «рассеяния не происходит» и
р* = р, р*' = р\ т. е. состояние движения двухчастичной системы
не изменяется. При произвольном, но монотонно уменьшающемся
с расстоянием взаимодействии, очевидно, можно считать, что чем
больше а., тем меньше «в среднем» изменяется состояние движения
при рассеянии. Если ввести относительную скорость движения двух
частиц, то абсолютная величина относительной скорости не изменяется
при рассеянии, а меняется только направление относительной
скорости на угол рассеяния Э. Таким образом, «в среднем» этот угол Э
будет тем меньше, чем больше а. При этом 5диф будет
параметрически зависеть от абсолютной величины относительной скорости
н, 9, <р).
«Усреднение» заключается в интегрировании по всем возможным
углам ф. Так, для оценки 5 имеем формулу
5 = J 5диф (яотн, 9, Ф) <ZQ = J 5диф (яотн, в) dQ.
При оценке 5ДИф(#0ТН, Э) можно ввести такую функциональную
зависимость 5ДИф от 0, что при уменьшении 0 уменьшается также и
5ДИф. Изменение 5диф с 0 будет иметь разную «быстроту», однако
при малых 0 это изменение имеет общий характер, который можно
выявить следующим образом.
Рассмотрим кинетическое уравнение в форме (6.2). Обозначим
функцию w(p)w(p') через ^(р, р') и введем новые переменные
ип. м. и «отн (скорость центра масс и относительная скорость):
$51 ОБЩИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 43
В силу закона сохранения импульса двухчастичной системы имеем
В подынтегральном выражении интеграла столкновений в
уравнении (5.2) будет, таким образом, стоять множитель
*(•*«, «D-^Km, «oxh)-
Выбирая соответствующим образом ориентацию координатной
системы для »отн и #*тн и учитывая соотношение (5.4), имеем
я*тн = uQm cos 0 + j sin в cos ф + * sin 0 sin ф,
где j и k — единичные взаимно перпендикулярные векторы в
плоскости, перпендикулярной к иотн.
При малых изменениях состояния движения системы (малых углах
рассеяния 0) можно приближенно написать
;[— ЯотнО— COS 0)+ 7 Sin 6 COS ф + * Sin 9 Sin ф) ^ (Щ^н.. *vnd m
(5.5)
В подынтегральном выражении интеграла столкновений зависимость
от угла ф связана только с приведенной зависимостью (5.5) для
множителя ^(Иц м, #*тн) — ^(йц м» #Отн)- ^Ри интегрировании по ф
(«усреднении»), таким образом, получим
2Я
s= — 2я(1 —cos0)ao.
Отсюда вытекает явное выражение оценочной формулы для
ь, иотн) • 2я J (1 — cos 0) a da.
При больших а угол 0 мал и (1—cos0) малб. Поэтому условие
ах->оо не препятствует сохранению конечного дифференциального
сечения, так как при ах->оо (1—cos0)->O. Это обстоятельство
разрешает ввести некоторое условное предельное эффективное
прицельное расстояние, а также учитывать, что в интеграле
столкновений доминирует вклад от области малых значений угла рассеяния
(так как «столкновения» происходят при дальнодействующем законе
взаимодействия, главным образом с прицельными расстояниями,
близкими к выбранному предельному эффективному а{). Это дает
44 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. Г
возможность ввести в выражение интеграла столкновений
упрощающие приближения. Такие упрощающие приближения введены,
например, Ландау [40] при рассмотрении системы с кулоновским
взаимодействием (результаты Ландау будут изложены в § 8).
2. Форма уравнения Больцмана, явно учитывающая законы
сохранения. В общем случае уравнение (5.3) удобно преобразовать
с учетом того обстоятельства, что состояния движения частиц до и
после взаимодействия должны удовлетворять законам сохранения
импульса и энергии системы. Уравнение (5.3) тогда можно
преобразовать так. Импульсы в уравнении (5.3), для удобства
обозначим следующим образом: р через рь р' через р2% р* через pz, Р*
через р4. Тогда закон сохранения импульса в двухчастичной системе
имеет вид рх + р2 = р3 Ч~ Ра и может быть учтен умножением правой
части уравнения (5.3) на дельта-функцию Дирака f>(pi + p2— Рз — Рд
и интегрированием полученного произведения по импульсному
пространству р4- (Напомним, что 6(р) = б (рх)6 (ру)б(pz) и
размерность Ь(рх) равна размерности величины pj1. Таким образом, легко
убедиться, что при таком учете закона сохранения размерность
уравнения не нарушается.)
Для учета закона сохранения энергии Е (рг)-\-Е (р2) = Е (pz)-{-E (p4)
умножим еще правую часть уравнения (5.3) на 6(Е1-\-Е2— Ez — Е4)
и проинтегрируем по шкале Ez (при этом размерность уравнения
также не нарушится). Тогда уравнение (5.3) примет вид (здесь и
далее введено обозначение и 12 = ' ) :
** тп )
dWftPl) =^ J *125дифМ'> А)«С Р4)-<*(*. Л)«С. Л)1 X
EsdQ. (5.6)
Для классических систем, для которых £=-——, имеем
следующие очевидные соотношения:
Отсюда получаем следующую форму кинетического уравнения, в
которой в явном виде учтены законы сохранения (причем введено новое
обозначение для эффективного сечения 5з4-»12 = 5ДИф,
подчеркивающее, что это эффективное сечение относится к процессу, при
котором в результате взаимодействия в двухчастичной системе частицы
§ 6} Общий анализ уравйения больЦмайА 45
перешли из состояний ръ и р4 в состояния рг и р2\ заметим, что
величина 5з4-»12 всегда положительна, так же как и величина и12):
dt v J
• о *,2 n2\ //1% И t% sf ft (t\ *7\
Вместо множителя 2//?3, очевидно, можно также написать (-—| j
(для более симметричной формы записи).
3, //-теорема Больцмана, Заметим, что выражение
w(t,p3)w(t,p4)dp3dp4.W3^n, (5.8)
где
^34+12 =Т
(5.9)
означает число переходов из состояния движения двух частиц с
импульсами, лежащими внутри элементарных объемов dps и dp4 около
импульсов рг и /?4, в состояние с импульсами, лежащими внутри
элементарных объемов dpx и dp2 около импульсов рх и р2, причем
переходы вызваны взаимодействием частиц и ограничены законами
сохранения. Очевидно, имеем
Wm+12=W*+21. (5.10)
Кроме того, согласно принципу обратимости (принцип детального
равновесия)
W (5.11)
Переходы 12—>34 называются обратными переходами, а переходы
34 —> 12 — прямыми переходами.
Таким образом, если обозначить число всех возможных прямых
переходов с участием частицы с импульсом р{ через bdpit а число
всех возможных соответствующих обратных переходов через adpu
то уравнение (5.7) можно записать в виде
(5.12)
Уравнение (5.12) означает изменение w(tt p) во времени за счет
изменения во времени баланса прямых и обратных переходов.
Рассмотрим характер изменения этого баланса, а следовательно, и
характер эволюции во времени функции w(t, p). Для этого составим
выражение
ф = Г w (t, p)lnw (t, p) dp
46 МЕТОД БОГОЛЮБОВА
и продифференцируем его по t:
-^-=4 J
Подставляя вместо -w **' р) правую часть уравнения (5.7), получим
(t p2)} X
Xdpxdp2dpzdp4. (5.13)
Можно также написать
-^-=4 J tt2iS43->2i M*. P4)^C. Рз) —«('• Pb)«0- Pi)l X
Xdp2dp{dp4dpZt (5.14)
^. = 1 J «345^34 {«(*, P!)«(*. p2) — wV> Pi)«C. P4)} X
pz4 (5.15)
J^.eI J «48^21^43 {»(*. A)«(/. Pi)" «С P4>«('- A» X
Xdpidpidp2dp1. (5.16)
Сложим (5.13), (5.14), (5.15) и (5.16) с учетом (5.10) и (5.11)
и разделим на 4. Тогда получим
*£. = _-! J «12S34.M2 {«(*. Pi)«С Рд — «(*• Pi) «С P2)} X
X{In [да(*, pa)«С P4)l—ln[«(*. Pi)w('. P2)l}6(pi + P2 —Рз-Р4)Х
" dpidp2dp,dp4. (5.17)
В подынтегральном выражении правой части формулы (5.17) вели-
чины #12, 5з4->12, — существенно положительны. Произведение двух
разностей, стоящих в фигурных скобках, может быть положительным
или равным нулю. Действительно, очевидно, что если величина
в первой скобке положительна, то и во второй скобке положительна,
а если в первой скобке отрицательна, то и во второй скобке отри-
§ 5] ОБЩИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА 47
цательна, так что в обоих случаях произведение положительно.
Возможен также случай, когда величины обеих скобок равны нулю.
Таким образом,
тг<°- <5Л8>
Формула (5.18) называется //-теоремой Больцмана. Условие (5.18)
означает, что положительная величина Ф с течением времени
монотонно убывает и при t->-\-oo Ф—>► const. Обратиться в постоянную
величина Ф может только при
Л)«С Р4> —даС Pi)«С Pi).
Из уравнения (5.6) тогда получаем
т. е.
Распределение wo(p) называется равновесным распределением, а
уравнения (5.6) или (5.7), таким образом, описывают процесс релаксации
к равновесному распределению.
Важно помнить, что wo(p) не зависит от t постольку, поскольку
для Fx(t, р) мы интересуемся эволюцией, характерной для
макровеличины р(/) (соотношение (1.8)) в пространственно-однородном
случае, т. е. в рассматриваемой схеме не учитываются
флуктуации wo(p).
Таким образом, можно ввести понятие релаксации в
распределении импульсов в системе. Это понятие сохранится и в случае
системы, неоднородной в пространстве. Заметив, что F(t, r, р) связана
соотношением (1.8) с макрохарактеристикой р(/, г), можно считать,
что в каждом физически элементарном макрообъеме, где р постоянно,
происходит релаксация импульсов к своему равновесному
распределению по импульсам. После окончания таких процессов релаксации
явное изменение Fx со временем может быть обусловлено только
неоднородностью Fx в пространстве1).
Таким образом, частный случай уравнения (5.1)
2я оо
— Fx(tt г, р)/7!^, г, p')}adadq>dp'
1) В самом общем виде соответствие кинетических уравнений
необратимым процессам рассмотрено в работе Ван Кампена [186]. Исторический
обзор представлений о способе перехода от механической картины к стати*
стической необратимости дан в работе Андрью £222].
48 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
описывает процесс релаксации распределения импульсов в
макрообъеме около точки г.
4. Действие внешних сил и оценка времени релаксации.
Представляет интерес, проанализировать кинетическое уравнение в случае
наличия внешних сил в пространственно-однородной системе.
Уравнение в этом случае имеет вид
dw (t, p) _ Y dw (t, p)
dt dp
v dU (r)
где л = -^ внешняя сила, в рассматриваемом случае не
зависящая от г (иначе не выполнялось бы условие пространственной
однородности системы); / — интеграл столкновений, т. е. правая часть
уравнения (4.5) или (4.6). Величина / отлична от нуля только в
течение процесса релаксации. Возможны три случая:
£|. (5-20)
/ <С \ Л -г , (0.Z1 )
I dp I
(5.22)
Первый случай означает, что релаксационный процесс
доминирует. Если система в начальный момент была в неравновесном
состоянии, то она обязательно придет к состоянию, близко
соответствующему третьему случаю. Если, кроме того, сила X очень
мала, то такой процесс можно рассматривать как квазистатический,
т. е. время релаксации системы к равновесному состоянию много
меньше характерного интервала времени, при котором заметно
меняется w из-за действия силы X.
Второй случай означает, что за счет внешней силы система
неограниченно удаляется от равновесного распределения.
Особенно важен третий случай. В этом случае -^- = 0 (т. е.
общий процесс стационарен) — отклонение от равновесного
распределения, вызываемое внешней силой, все время уравновешивается
релаксационным процессом. Поэтому начальное неравновесное
состояние сохраняется. Стационарные процессы являются важным классом
физических явлений; к ним относятся, например, постоянный
электрический ток в проводнике, стационарная теплопроводность (в этом
случае внешней силой является обобщенная в термодинамическом
смысле сила — пространственный градиент тепловой энергии системы;
подробнее об этом см. § 10). Стационарное однородное кинетическое
уравнение имеет вид
§ 5] ОБЩИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЫДМАНА 49
Чтобы качественно определить, к какому случаю, (5.20), (5.21)
или (5.22), относится какой-либо рассматриваемый процесс, надо уметь
качественно сравнивать величины LY-^- и /. Однако в общем
случае процесс релаксации может быть сложным составным процессом
и прямая оценка величины / очень затруднительна. Лишь тогда,
когда можно ввести одно время релаксации, имеется возможность
качественной оценки /. Действительно, здесь можно положить
w (*, р) = w0 (р) + wx (р) е-«*, (5.23)
где т—время релаксации1). Тогда уравнение (5.19) при Х = 0 сразу
дает
fg_wl(tp) t (524)
где Wi(t, p) = wl(p)e~t/x. Из (5.7) с учетом (5.24) тогда имеем
приближенную (по порядку величины) оценку времени релаксации:
где
Если принять для системы модель твердых шаров, то величину 5
легко оценить по порядку величины (S «s 4jtr^, где rQ— радиус шара).
Таким образом,
1 «i. u12, (5.25)
где и12 — среднее значение абсолютной величины относительной
скорости двух частиц, из которых одна имеет заданный импульс, так
как, по определению функции w(t, p),
J
В общем виде оценить это среднее значение и12 невозможно, ибо
неизвестна функция w(t, p2), которую можно определить, только
1) Заметим, что условие нормировки
w(t,p)dp=l
тогда дает
l, J
4 К. П. Гуро&
50 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
решив кинетическое уравнение. Однако если ограничиться
рассмотрением случаев, для которых заведомо известно, что система не очень
сильно отклоняется от своего равновесного распределения по
импульсам, т. е. в выражении w(t, p) = wo(p)-\-wl(t, р) можно wx(t, p)
рассматривать как поправочный член при любом t (в том числе и
в начальный момент), то в приближенных оценках допустимо
проводить усреднение по равновесному распределению
«12 « J
(5.26)
Это выражение, вообще говоря, зависит от рг. При грубых
оценочных расчетах можно провести усреднение и по равновесному
распределению импульсов другой частицы:
«и= J tiuw0{pl)w0{p2)dpldp2= J 'pl~?2' w0(рг)w0(p2)dpxdp2;
приближенная допустимость такого усреднения вытекает из анализа
характера равновесного распределения (у классического
распределения имеется острый пик).
5. Распределение Максвелла и оценка времени релаксации
для газа Максвелла. Для равновесного распределения согласно (5.8)
Как мы уже видели, это может быть только в случае, если
^о (Pi) Щ (Р2) = wo (Рз) wo (Pa)- (6.27)
Для изотропного случая wo(p) есть функция только модуля р или,
проще, квадрата р. Условие (5.27) можно тогда записать также в виде
=1п %
С другой стороны, для системы одинаковых классических частиц
(твердых шаров) из закона сохранения энергии при соударениях
имеем
Р\ + Р\ = Р\ + Р\. (5.29)
Соотношения (5.28) и (5.29) совместны только, если
wo(p2) = Ae-a?. (5.30)
Таким образом, мы нашли равновесное распределение для
классической системы «газа частиц». Это распределение называется
распределением Максвелла. Постоянные Л и а выражения (5.30)
находятся из условия нормировки и соотношения (1.10) в предположе-
нии? что макрохарактеристика E(t, r) известна. Если в системе нет
$5] ОБЩИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 51
макропотоков *), то для классической системы газа частиц
E(t. г) = 6(*. r) = ^kT±-p(t, r) (5.31)
(k — постоянная Больцмана). Если система однородна, то — р = — и
С другой стороны, для однородной системы из соотношения (1.10)
имеем
Таким образом, для определения постоянных в выражении (5.30)
имеем соотношение
j£ (5.32)
где температура Т считается известной.
Кроме того, из условий нормировки имеем
Последнее
или
0 Если J4
условие
5=0, ТО
J wo(p)dp =
дает
A J e~aP*dp =
оо
4яЛ Г p2e~aP2dp
0
1.
1,
=
о ур о ур
где К («О — плотность энергии потока, 0 = -?г = тг Р —•
Z V L ТП
Легко проверить это соотношение. Действительно,
Е
1 Г j (p—
3 kT mUl 3 kT Ul
52 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ, i
оо
Табличный интеграл Г p2e~aP2dp равен ]/л;/4а8/2, откуда
или
Тогда из условия (5.31) имеем
ИЛИ
о
Табличный интеграл \ р4е"аР2 dp равен 3]At/8a5/2, откуда
о
оо
О
ИЛИ
1
~— 2mkT'
Итак, равновесная функция Максвелла имеет вид
(5.33)
Нетрудно убедиться, что в случае наличия в пространственно-
однородной системе макропотока равновесная функция распределения,
тождественно обращающая в нуль интеграл столкновений, будет иметь
вид (этому вопросу посвящена специальная статья Харлея [209]):
[^^^ (5.34)
где Uo — скорость макропотока У, т. е.
или для пространственно-однородного случая
J = ^U0. (5.35)
Действительно, по определению,
§S) Общий анализ уравнения больцмана
Подставляя выражение (5.34) для w(p), получим
= ± J [(p-
53
-mUo) = % Uo, (5.36)
(так как ] pw0 (р) dp = ОJ. Результат (5.36) совпадает с
выражением (5.35), в чем и требовалось убедиться.
Подставляя выражение (5.33) в формулу (5.26), в принципе
можно было бы вычислить #K. Однако в случае распределения (5.53)
и12 можно оценить проще. В задаче двух тел можно вместо
рассмотрения движения двух частиц рассматривать движение их центра
масс и относительное движение их приведенной массы, причем
скорости этих движений также подчиняются распределениям Максвелла.
Тогда получается [31]:
«12 = Vr2«i = /2^. (5.37)
Этот результат подсказывает общий метод приближенной оценки а12
в смеси газов. Заметим, что если массы частиц одинаковы, то
результат (5.37) получается также из формулы
так как для распределения Максвелла V я? » l,l#i и ргр2 =
= J Р\Щ(Р\)йр1 \ p2wo(P2)dp2 — ®' Отсюда следует в общем
случае смеси классических газов
«12»
(5.38)
Этот результат будет использован в § 7.
Вернемся к формуле (5.37). Для классического газа (т. е. в случае
равновесного распределения Максвелла)
;,=J >
54 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. 1
оо 2
Табличный интеграл I рхе dpx равен 1/2а2. Отсюда
«12= )/
пт
и из формулы (5.31) имеем
4nrl V ШТ *
Таким образом, в классическом газе время релаксации
пропорционально Г~!/*:
Чтобы иметь представление о порядках величин, дадим грубые
средние оценки для «молекул воздуха», рассматриваемых как
классический идеальный газ. В этом случае
"А
где Vr.-M = 22,4 • 103 смъ— объем грамм-молекулы идеального газа,
NA = 6t02 • 1023 — число Авогадро. Нормальная плотность воздуха
равна рв« 10~3 г/смг. Отсюда mB = vpB^ 4 • 10~23 г. Размеры
молекул воздуха г0ж2 • 10~8 см. Таким образом,
c=-^-i/^r«io-9.
Anrl У 16*
Для «молекул воздуха» при комнатной температуре (7« 300° К)
время релаксации по порядку величины, таким образом, равно
т«1(Г10 сек.
Рассмотрим уравнение (5.12). В нем Ь означает число возможных
прямых переходов в единицу времени, а — число возможных
обратных переходов в единицу времени.. Следовательно, если можно
представить, например, а в виде vw(p)dp, то v, очевидно, будет означать'
число актов парного взаимодействия одной частицы с остальными
частицами за единицу времени, т. е. «частоту столкновений».
Величина, обратная v, есть, очевидно, среднее время свободного пробега
частицы между двумя последовательными столкновениями, tCBtTl?=l/v.
Если начальное распределение w(p) не сильн4 отличается от
равновесного wo(p), то, как легко убедиться, офнка *св.пр в точности
такая же, как и оценка времени релаксации в рассматриваемой системе.
§ б] ОБЩИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 55
Таким образом, по порядку величины время релаксации равно
среднему времени свободного пробега:
т~*св.пР. (5.39)
Равновесное распределение наступает за время, соответствующее всего
нескольким столкновениям частицы. Это очень важный вывод теории.
6. Замечания о способах решения кинетических уравнений.
Решение интегро-дифференциального нелинейного уравнения типа (5.19),
а тем более уравнения для случая наличия пространственной
неоднородности, строго практически невозможно. Однако в работе Карле-
мана [43] было доказано для пространственно-однородного случая
и взаимодействия по закону абсолютно твердых шаров, что такое
строгое решение существует и оно единственно. Для общего случая
пространственной неоднородности и произвольного центрального закона
взаимодействия такое доказательство существования и единственности
решения дал Повзнер [44], частную модель системы в дополнение
к Карлеману рассмотрел Дорфман [81], доказательство единственности
решения дано также в книге Кеннарда [208], упрощенный вариант
доказательства дал Харлей [209].
При практическом решении кинетического уравнения в случае
малого отклонения начального распределения от равновесного
обязательно проводят линеаризацию уравнения. При чисто релаксационном
процессе линеаризацию проводят подстановкой вместо w(tt р)
выражения (5.23). В общем случае полагают
w (*. р) = «о (р) + wx (t, p), (5.40)
где wx(tt р) — поправочный член, малый по сравнению с wo(p) при
любом t.
При решении конкретных задач можно сделать дополнительные
предположения о форме wv Например, удобно представить wx(tt p)
в виде
t, p). (5.41)
Линеаризованное кинетическое уравнение тогда будет иметь вид
. А)+А(*. Рд — Н*. А) — * С Р2)}6(Р1+Р2-РЗ-Р4)Х
В этом выражении, очевидно, учтено, что внешняя сила мала
(иначе нельзя было бы считать, что отклонение от равновесного
распределения мало при любом t), так что можно пренебречь
членами X dw*(p) h(t, р) и Xwo(p) dhf p) . Линеаризованная форма
56 МЕТОД БОГОЛЮБОВА - ГГЛ. Г
интеграла столкновений получена с учетом закона сохранения
энергии, благодаря которому для классических систем (т. е. с максвел-
ловским равновесным распределением) wo(p3)wo(p4)==wo(pl)wo(p2)
(учтено также, что при подстановке вместо w(t, p) равновесных
распределений wo(p) интеграл столкновений / тождественно
обращается в нуль).
При ^ = 0 получаем прежний результат для оценки интеграла
столкновений:
j_ v>o (Р) h (*, р)
х
Поэтому в общем виде при оценочных исследованиях кинетического
уравнения последнее можно также записать в форме
dh(tt р) _ х 1 dwo(p) h(t, p)
dt wo(P) дР . x
Если Х не зависит от /, то целесообразно положить
hit, p) = Xb(t р).
Тогда для 6 будем иметь уравнение
p) = 1 dwo(p) b(t,p)
=
dt wo(p) ^P т f
или
db(tt p) _ d\nwo(p) b(t, p)
dt ~ dp x
Можно также подставить
_ d\nwQ(E) j£
p — dE dp*
где wo(E)—равновесное распределение Максвелла как функция энергии.
По определению, для любой системы -^— = а, где и — скорость
частицы (для классической системы это самоочевидно, и = —\.
б
Таким образом,
_ d\nwo(E) b(t,p)
~ dE x
dt ~ dE x
Из формы уравнения очевидна подстановка
Отсюда
g(t, p) _ d\nwc(E)
х ~ dE
dt ~т~ х ~ dE
Очевидно, что решение для g не будет зависеть от /?, т. е. g=
§ 51 ОБЩИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 57
Подставляя сюда wQ в явном виде (5.26), получим
dg(t) , g(t)_ I
dt ~^ х ~ kT '
Если процесс стационарен, т. е. ^/ = 0, то
w(p) = w0 (р) {1 + рХх (mkT)-1}. (5.41а)
В работах Керсиньяни [45, 248] был предложен метод
аналитического решения линеаризованного стационарного пространственно-
неоднородного кинетического уравнения вида
^^ = Z.(K). (5.42)
где К — неравновесная добавка к равновесному распределению!
F\(?> r> p)=tg;0(р)[1 -(—К(^, г, р)], L(К)—линеаризованный интеграл
столкновений. Этот метод прямо связан с решением
гидродинамических уравнений. В методах такого типа главной целью является
нахождение явных выражений для кинетических коэффициентов
макроскопических уравнений переносов, а решение кинетического
уравнения дается по формальной схеме последовательных приближений.
Схема такого метода была предложена Энскогом (см. [4]) и
усовершенствована Боголюбовым [1]. Изложению этого метода будет
специально посвящен § 9. Общий анализ методов решения
линеаризованного уравнения Больцмана содержится в работах Арсеньева [249] и
Мак-Ленана [250].
Метод вычисления линеаризованного интеграла столкновений
предложен также в работах Люкка и де Вольта. [175] и Финкельштей-
на [251]. Способ упрощенного выражения интеграла столкновений
был предложен Деслогом и Матхайтом [47].
7. Метод Филлипса оценки времени релаксации. Особый прием
оценки времени релаксации предложил Филлипс [37].
Рассмотрим кинетическое уравнение в форме (5.2) для
пространственно-однородного распределения w(t, р). Допустим, что
отклонение от равновесного распределения wo(p) (5.33) невелико и можно
ввести одно время релаксации т, так что применима аппроксимация (5.23)
w(t% p) = wo(p) + wl(p)e-t'\
Рассмотрим случай, когда отклонение от равновесного
распределения таково, что Wi(p) = W\(p)- Обозначим для удобства wx(p) =
= wo (Р) Ф О7)» так что
В силу принятого условия ty(p)e~t/x<^ 1 при любом t, тогда
интеграл столкновений в кинетическом уравнении можно линеаризовать и#
58 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. f
как отмечено выше, в первом приближении кинетическое уравнение
принимает вид (обозначим h(t, p) = t/
или
— h(tt p) — h(t,
qh (t, p)=-± j lP'~Pl W Щ (p') a da dq> dp', (5.43)
где для краткости обозначено
[h (t9 p*) + h (t9 p*') -h(t, p)-h (t9 p')} = [h) и \^q.
По аналогии с задачами квантовой механики интегральное
уравнение (5.43) можно исследовать как задачу на отыскание
собственных функций hn и соответствующих собственных значений qn.
Подобно рассмотрению в квантовой механике введем «скалярное
произведение»:
(/. h)=jf(p)h(p)wo(p)dp.
В частности, для собственных функций hn имеем
(*л. *«) = J К (р) К (р) w0 (p) dp,
причем, очевидно,
(A.. hm) = (hm, hn), (5.44)
(hn, hn) > 0. (5.45)
Составим выражение
- ~ J / (P) W Щ (Р) Щ (Р') lP~mP'1 a da dq> dp' dp.
Из уравнения (5.43) следует, что это выражение при подстановке
в него в качестве h одной из собственных функций hn будет равно
qn\f (Р) К (Р) Щ (Р)dp = qn (/» hn). (5.46)
Напишем также
Ят \ ё (Р) hm (P) wQ(p) dp = qm (g, hm\ (5.47)
где g(p) — другая произвольная функция. Пусть f(p) = hm(p) и
= hn(p). Тогда из (5.46) и (5.47) и условия (5.44) вытекает
§ б] ОБЩИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 59
Если qn Ф qm, то отсюда получается условие «ортогональности
собственных функций»:
(**• Ю = ° ПРИ пфм-
Если в равенстве (5.46) подставить f(p) — hn(p), то из условия
(5.45) и положительности левой части равенства следует
qn^0 для всех п.
Пусть дп расположены в порядке возрастания их величины, так
что q0 есть наименьшее собственное значение. Составим выражение
~т} |/?'юР1 w°(/?)w°(//)^с*н*(/?)Scjhj(/?)adaйчdprdp-
i j
Обозначим для краткости это выражение через [О, О] (0=2 ci^i\ .
В силу условия ортогональности собственных функций ht имеем
с учетом (5.46):
[О. O\ = ^c)qj{hr h^qj^c){hr h.) = qo(G, О).
Итак,
J5TG
Вариационная задача решается с помощью пробных собственных
функций. В частном случае взаимодействия частиц по закону l/rs,
где г — расстояние между частицами, можно строго показать, что
собственными функциями будут полиномы Сонина Sm, определяемые
соотношением (см. [4])
[-ХЩ1 -t)},
/л=0
причем
(Sm,Sn) = 0 при тфп.
В общем случае взаимодействия по закону монотонно
спадающего с расстоянием потенциала можно принять
где
Р =
О
Заметим, что 50 = const и, следовательно, [S0] = 0; S^ = у — Р2
и, следовательно, в силу закона сохранения энергии [S{] = 0, т. е.
интеграл столкновений при подстановке 50 и Sx тождественно
60 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. 1
обращается в нуль. Поэтому разложение надо начинать с 52. Можно
ограничиться несколькими Sm, например, можно принять O = c2S2.
Тогда в первом приближении
п
Чо — т^
W2
В случае взаимодействия по закону твердых шаров (радиуса а)
_j*2 InkTVk а2
q°~ 15 \ т j v '
§ 6. Обоснование принятых допущений
и границы их применимости
1. Анализ в рамках общих квантовомеханических
представлений. Данный в предыдущем параграфе анализ кинетического
уравнения содержал ряд явных и неявных допущений, которые требуют
специального обоснования. Такое обоснование в то же время
определит границы применимости полученных в предыдущем параграфе
результатов. Обоснование можно получить в рамках общих
квантовомеханических представлений, по отношению к которым
классические результаты являются лишь частичным (асимптотическим)
случаем.
Система из N частиц газа описывается смешанным квантовым
ансамблем. Это значит, что имеется набор чистых состояний \F(;)(£, r),
смешанных в некоторой пропорции, т. е. каждое чистое состояние
входит в смешанный ансамбль с весом оо(;), причем 2<°(;)= 1, 0(;)>О.
J
Пусть задана ортонормированная система стационарных собственных
функций i|?a(r) некоторого оператора (а — дискретные состояния)
где 6ag — символ Кронекера, бар==0 при а Ф р, баа= 1. Тогда можно
написать
где dj) — комплексные коэффициенты
aU) _ I aU) I о /<pa *
аа — | аа i e
Если можно ввести понятие одночастичного спектра собственных
значений и соответствующих им собственных функций, то это значит,
что взаимодействие между некоторой частицей и другими частицами
или «внешними» воздействиями («рассеивателями») рассматривается
как слабое возмущение, могущее привести лишь к перебросу частицы
§6] ОБОСНОВАНИЕ ДОПУЩЕНИЙ И ГРАНИЦЫ ИХ ПРИМЕНИМОСТИ 61
из одного собственного состояния в другое без деформации самого
спектра собственных значений. В этом случае для рассмотрения
эволюции функции Ч*(;)(£, г) во времени применима квантовая теория
возмущений, зависящих от времени.
Однако для смешанного квантового ансамбля рассмотрение только
эволюции во времени функции Чг(;)(/, г) недостаточно. Следует еще
рассмотреть веса <а(;), которые a priori неизвестны.
В одном частном случае рассмотрение этой задачи очень
упрощается, причем получаются результаты, которые в силу своего
физического содержания должны иметь место во всех случаях.
Рассмотрим систему частиц, в которой начальное отклонение от
равновесности заключается только в наличии некоторой малой
неизотропности в распределении ориентации векторов импульсов частиц;
распределение же частиц по энергиям — равновесное (для системы
можно задать постоянную температуру). Пусть пространственное
распределение частиц тоже однородно (плотность числа частиц равна
1 N\
— = -тН. Рассмотрим процесс релаксации в этой системе за счет
рассеяния частиц (по законам упругих столкновений) на
статистически равномерно распределенных в пространстве силовых
неподвижных центрах («тяжелых примесях»).
В таких условиях релаксационный процесс распадается на
изолированные релаксационные процессы, каждый из которых связан
с совокупностью состояний одного чистого ансамбля (совокупность
некоторого веса ©(•/>). Поэтому просто можно рассматривать только
одну такую совокупность. Можно, следовательно, отдельно
рассматривать макроподсистему из Л^(;) (Л^(</)^> l) частиц, релаксация
в которой связана только с выбранной совокупностью чистых
состояний.
Вероятность нахождения частицы этой макроподсистемы в объеме dr
около некоторой пространственной точки г равна, очевидно.,
r, (6.1)
где временно для простоты (без ущерба для точности) под а
понимаются простые (не кратные) состояния с дискретным спектром.
В пространственно-однородном случае эта вероятность равна —y-dr.
Если проинтегрировать в пространственно-однородном случае
равенство (6.1), то с учетом ортонормированности функций фа получим
(всюду далее везде значок у будем опускать, так как это не вызовет
недоразумений)
2
62 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Из физического содержания этого равенства следует, что
"a = «>KI2
имеет смысл числа заполнения состояния а, а -~ относительного
N
числа заполнения.
Подразумевается, что каждая частица находится в статистических
«внешних условиях». В задачах о рассеянии частицы предполагается,
что число рассеивателей очень велико. Во всех случаях необходимо
для рассматриваемых величин проводить усреднение по
статистическому разбросу внешних условий, в предположении, что разброс
подчиняется закону случая (например, гипотеза молекулярного хаоса,
вводимая при рассмотрении столкновений между частицами газа, или
предположение о статистически равномерном пространственном
распределении примесей *)). Из последнего условия вытекает важное
свойство коэффициентов аа — независимость их фаз, т. е. при усреднении
по статистическому разбросу внешних условий имеем
a*ao = \a I \aQ\e (фр~фа) = О при а Ф В, (6.2)
так как
Z(V^) = 0 при а Ф р.
Величины
можно назвать средними числами заполнения состояния а.
Легко найти связь между средним числом заполнения п и
функцией распределения w(p) для непрерывного спектра состояний.
Функция w(p)dp означает относительное (w(p) нормирована на единицу)
число частиц в состояниях в фазовой области V dp около точки р
в импульсной области. С другой стороны, согласно общим
представлениям квантовой механики одно состояние приходится на
объем (2яй)3 в фазовой области (в случае бесспиновых частиц).
Поэтому заполнение объема V dp ъ фазовой области будет
характеризоваться числом заполнения
V dp
Для сопоставления пр и w(p) необходимо учитывать различие их
нормировки. Удобнее поэтому ввести относительное число
заполнения np/N, для которого нормировка имеет вид
пр Vdp
N
1.
1) В литературе последних лет вопрос о статистических «внешних
условиях», способах их учета и их роли при выводе кинетических уравнений
рассмотрен, исходя из общих представлений квантовой механики, в работе
Дерра [39] и —в классической схеме—в работе Холлингера [71].
§ 6) ОБОСНОВАНИЕ ДОПУЩЕНИЙ И ГРАНИЦЫ ИХ ПРИМЕНИМОСТИ 63
Очевидно,
"(Ей)8" (Ь-^
(где ^ = -w-j есть вес состояния р. Для сравнения вероятностной
функции w(p) с пр надо перейти к статистическим средним пр,
усредненным в указанном выше смысле. Тогда, очевидно,
(6.4)
В квантовых системах с непрерывным спектром состояний при
исследовании задач кинетики удобнее иметь дело с пр (t), чем с w (t, р),
поскольку np(t) являются безразмерными величинами, как это видно
из (6.4) (напомним, что w(t, p) имеет размерность [р~3]).
Итак, в нашем случае все свелось к исследованию эволюции
чистых состояний во времени. Точнее, надо составить и
проанализировать уравнение эволюции во времени np(t). Ниже такой анализ
выполнен по схеме, изложенной в книге Гуревича [187].
Рассмотрим сначала случай дискретных состояний.
Заметим, что —-%г^ можно искать из выражения na(t-\-kt) —
~na(t) с последующим делением на Д£ и переходом к пределу Д£->0#
Если при конечных, но малых Д* можно считать, что na(t~-{-kt) не
сильно отличается от na(t), то поставленная задача разрешима.
Заметим, что na(t) = \aa(t)\2. Таким образом, следует искать
\ua(t-^-At)\2 — |#а(0|2» причем для aa(t) имеется уравнение
где
* { [Ea~E&) } (6-6)
Нвош—член возмущения в одночастичном гамильтониане, Еа —
стационарные уровни энергии невозмущенной одночастичной системы,
соответствующие волновым функциям ф^1).
1) Уместно напомнить вывод уравнения (6.5) в квантовой механике.
Имеем
где г|)а — решение уравнения Шредингера для невозмущенной одночастичной
64 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Если принять предположение, что
то это накладывает определенные ограничения на Va*(t), причем
такие, что при решении уравнения (6.5) применим метод теории
возмущений, зависящих от времени.
Положим, что в начальный (рассматриваемый) момент времени
все аа равны некоторым фиксированным значениям а£К По теории
возмущений положим
«. (0 = <0) + «£>(0 + ар (0 + ...,
где каждый последующий член есть поправка более высокого
порядка малости к предыдущим членам. Уравнения соответствующих
приближений имеют вид
даР i
dt ~ Ь
д№ i
и т. д.
системы
Тогда
где Н = Но -f- //Возм»
Отсюда
Умножая обе стороны последнего уравнения на ty и интегрируя с
учетом ортонормированности г|за, получим уравнение (6.5).
§ 6] ОБОСНОВАНИЕ ДОПУЩЕНИЙ И ГРАНИЦЫ ИХ ПРИМЕНИМОСТИ 65
Их решения с учетом начальных условий дают
а а * \У-*)
ag», (6.8)
Р о
/ V
< Ю = - -W 2 J J КаР СО
Р 0 О
2 J J
Р, Y0 О
И Т. Д.
Нас интересует разность
Очевидно, с точностью до второго приближения
% о I2=I *? |2
(6-9)
(6.10)
С учетом (6.7), (6.8) и (6.9) для разности (6.10) имеем:
«а(0-«„(0) = -4 |а<,0)|2 J (Vaa-VUdf-
о
t t
-IS аП0> J каР <w+tS а«0) J v^ ^'+
Э о p о
J v
P, Y
P, Y
—p-la«0)i2S J /^(о
—р-2а2"ЧО) J J
P, Y 0 0
t V
P.V 0 0
(6.11)
5 К- П. Гуров
66
МЕТОД БОГОЛ16БОЁА
[ГЛ. I
Заметим прежде всего, что в силу условия эрмитовости
оператора V^ (6.6)
первое слагаемое в правой части (6.11) тождественно обращается
в нуль. Далее, после усреднения по статистическим условиям задачи
в силу условия (6.2) обратятся в нуль все члены, содержащие
«перекрестные» множители типа п^*а^ с а Ф р. Таким образом, имеем:
t t'
—fSK0
В силу условия эрмитовости (6.12) можно написать
/ /' t v
Я/* г
0 0 0 0
Отсюда, опять в силу свойств эрмитовских операторов, имеем
% V t V
с с с с
о о
J J
0 0
\dt'\ \
о \r>t'
J
J
tn <t*
Итак,
Преобразуем это выражение с учетом явного вида (6.6)
оператора Va^:
t t
• V° dtf = 1
f V^ (/') Of - J exp {- it'
§ 6] ОБОСНОВАНИЕ ДОПУЩЕНИЙ И ГРАНИЦЫ ИХ ПРИМЕНИМОСТИ 67
где
В конкретных задачах наибольший интерес представляет случай
непрерывных состояний. Поэтому в выражениях для вероятностей
переходов конечные состояния должны входить с весом (6.3):
Итак,
sin2 -^ t
/
p. (6.13)
Удобно произвести замену, учитывающую явно разброс конечных
состояний по энергиям:
3
или
dTa
В явном виде с учетом (6.3) можно также написать
dEa
da,*
(6.14)
где ^CTco^ — элемент поверхности в импульсном пространстве с
постоянным значением оа« (или ЕаЛ.
Подставим (6.14) в (6.13) и рассмотрим интеграл
. р с sin2 —к— t
v 4 I т/0 12 2
————— • —— I III/ n(i I • ~~^—^— *
(2лй)3 Ь2 J J ! aPl 02
dEn
-1
X
Заметим, что функция
X {лэ(0) —He(0)} de^da^. (6.15)
sin* -f-1
(6.16)
68
МЕТОД БОГОЛЮБОВА
[ГЛ. I
имеем максимум при o)ag = 0 и монотонно спадает от него в обе
стороны по шкале со™ обращаясь в нуль при
^-t=n (6.17)
(дальнейшие осцилляции функции незначительны и быстро затухают
с ростом (Dag по абсолютной величине). Из соотношения (6.17) сразу
становится очевидным, что максимум функции (6.16) тем острее и
уже, чем больше t.
Если можно считать, что область, где функция (6.16) существенно
отлична от нуля, настолько узка, что в этой области функции
1-1
/гй(0) и da& практически постоянны и равны
своим значениям при coag = 0, то по отношению к перечисленным
четырем функциям при интегрировании по состояниям функция (6.16)
ведет себя как дельта-образная функция Дирака б(соар). С другой
стороны, если в силу только что указанной причины интеграл (6.15)
представить в виде
х
X
Г
j
sin*
то в силу свойств функции (6.16) интеграл по-прежнему можно
считать распространенным по шкале соа„ от — со до -f-oo и
/
sin'
Таким образом, (6.13) можно записать в виде
dEa
-1
В силу сказанного выше, можно также написать
Г'х
••»-
X {«„ (0) - я. (0)} 6 (<oap) d(
§ 6] ОБОСНОВАНИЕ ДОПУЩЕНИЙ И ГРАНИЦЫ ИХ ПРИМЕНИМОСТИ 69
или, с учетом (6.14),
МГ)-МО) = ' • |г J Кр|2б(с*„р) Moj-мо)} <*гр.
Чтобы подчеркнуть, что здесь мы имеем дело с законом
сохранения энергии, целесообразно писать также
Отсюда сразу получаем кинетическое уравнение
(6.19)
Приведенный вывод явно показывает делаемые допущения и
границы применимости кинетических уравнений.
Заметим прежде всего, что в силу (6.17) уравнение справедливо при
(6-20)
Неравенство (6.20) означает, что чем больше t, тем строже
выполняется закон сохранения энергии. Здесь этот закон выражает
равенство энергии начального состояния («до» взаимодействия —
рассеяния) и конечного состояния («после» взаимодействия). В процессе
взаимодействия закон сохранения, конечно, тоже выполняется, но при
этом надо учитывать энергию взаимодействия, зависящую от времени.
Такой учет, однако, в общем случае выполнить невозможно.
«Приближенность» выполнения закона сохранения энергии
означает наличие разброса в значениях £«, т. е. отличие от нуля
величины A£ap = |£a — £р|, что связано с соотношением ЬЕ f^2rth
Однако приближенность выполнения закона сохранения энергии (в
указанном выше смысле) ограничена определенным условием.
При выводе кинетического уравнения мы, переходя от
выражения (6.15) к выражению (6.18), положили, что ряд величин под
интегралом можно заменить их значениями при соар = О (т. е, при
Д£ар = О). Если имеется разброс значений £р, т. е. Д£ар=£0, то
следует положить, что внутри интервала Д£ао соответствующие
подынтегральные величины можно принять постоянными. Заметим,
однако, что распределение w или число заполнения п* резко меняются
в случае распределения Максвелла на интервале порядка kT, то же
самое имеет место и для квантовых статистик (распределение Бозе
и распределение Ферми). Поэтому предположение о постоянстве
подынтегральных величин внутри интервала А£а« во всех случаях
справедливо только при условии
70 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Отсюда можно усилить неравенство (6.20)
(6.21)
или
При комнатных температурах (Г ж 300° К) это дает
Интервал времени -т~-, в течение которого заведомо играет роль
энергия возмущения, можно назвать «временем столкновения».
Неравенства (6.21) справедливы для любого кинетического
уравнения, содержащего интеграл столкновений..
Таким образом, при помощи кинетического уравнения можно
анализировать эволюции w(t) или n(t) за время, много большее времени
столкновения. Но, с другой стороны, если нет внешней силы, то вся
эволюция w(t) или п (t) во времени практически заканчивается за время
релаксации. Поэтому при помощи кинетических уравнений можно
анализировать только процессы, время релаксации которых
подчиняется неравенству
^ (6-22)
Так, для классического газа «молекул воздуха» при комнатной
температуре (стр. 54)
т« 1(Г10 сек,
т. е. неравенство (6.22) выполняется.
Имеется еще одно существенное условие возможности вывода
уравнения Больцмана. Заметим, что, по существу, предположение,
что Fs с s^-2 зависит от времени не явно, а только через
зависимость от времени Fv означает огрубление рассматриваемого всюду
масштаба времени, так что в результате получается кинетическое
уравнение, описывающее медленную (по сравнению с характерным
временем релаксации функций Fs с s^>2) эволюцию функции Fv
Соответственно огрубляется пространственный масштаб: если через Д£
обозначить огрубленный масштаб времени, то огрубленный
пространственный масштаб будет равен Al = ucp* At, где #ср — средняя
скорость частиц системы. Налагаемые на такое огрубление условия при
выводе уравнения Больцмана очевидны. Во-первых, для того, чтобы
при помощи кинетического уравнения Больцмана можно было следить
за деталями релаксации в пространстве импульсов одночастичной
функции распределения Fv должно быть A^<^t, где т— время
релаксации в пространстве импульсов функции Fv Во-вторых, мае-
§ 6] ОБОСНОВАНИЕ ДОПУЩЕНИЙ И ГРАНИЦЫ ИХ ПРИМЕНИМОСТИ 71
штаб Д£ должен быть много больше интервала времени, в течение
которого происходит релаксация функций Fs с s^2. Согласно
результатам, полученным на стр. 29, релаксация Fs c^>2 заведомо
должна закончиться за время -^- •—, так что должно быть
4 "
Р
JL ,-JL^ Заметим также, что v=-r\ , где г —среднее расстоя-
r0 tfcp
ние между частицами, и что, кроме того, для случая разреженного
газа гср ^> г0. Поэтому можно усилить неравенство, учтя, что
v rcp #
го
Итак, масштаб огрубления времени при выводе уравнения Больц*
мана определяется неравенствами
Гср
В конце § 5 мы установили, что время релаксации т сравнимо с
временем свободного пробега tCBnp. Поэтому можно также написать
Отсюда сразу же получаем условия для масштаба пространственного
огрубления:
где /Св.пр = *св.пр'Яср — Длина свободного пробега.
Таким образом, уравнение Больцмана можно получить только
в случае, если среднее расстояние между частицами много меньше
длины свободного пробега.
2. Анализ допустимости введения одного времени релаксации.
Вернемся к кинетическому уравнению (6.46), которое запишем в виде
В свете изложенного выше величина WaJ>(Ea — ^^в означает
вероятность перехода одной частицы в единицу времени из
состояния а в состояние (5 внутри области Л\ с учетом закона
сохранения энергии. Интеграл здесь означает суммирование по всем
квантовым состояниям, совместимым с законом сохранения энергии, даваемым
дираковской функцией. Следовательно, интеграл
72 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. 1
означает вероятность перехода частицы в единицу времени из
состояния а в любое другое состояние, совместимое с законом сохранения
энергии, т. е. вероятность ухода частицы за единицу времени из
состояния а.
Очевидно, что за время, равное по порядку величины среднему
времени между двумя столкновениями частицы (время свободного
пробега tCBt пр), частица с вероятностью, приближенно равной единице,
уходит из своего состояния в любое другое состояние из числа
совместимых с законом сохранения. Отсюда следует
или
*св. пр
Таким образом,
Рассмотрим, далее, интеграл
|вуК£0-Ер)йр<*Гр. (6.23)
Очевидно,
г 1
(6.24)
J
Согласно так называемой эргодической гипотезе, или принципу
равновероятности состояний с одинаковой энергией (гипотеза
молекулярного хаоса), вероятность ухода частицы из некоторого
состояния р в другое состояние а той же энергии одна и та же для всех а.
Следовательно, W~a равно вероятности того, что частица из
состояния р уйдет в любое другое состояние той же энергии, деленное
на число таких состояний, т. е.
Таким образом, интеграл (6.23) равен
Но
fnp6(£a —£p)rfTp _
— (»>"
§ 6] ОБОСНОВАНИЕ ДОПУЩЕНИЙ И ГРАНИЦЫ ИХ ПРИМЕНИМОСТИ 73
где {п) « означает усреднение п по всем одночастичным состояниям
постоянной энергии Еа.
Итак, кинетическое уравнение принимает вид
а его решение есть
t
Tijt) = {/г>Е« + {па(0) — {п)Ц е~ 'св. пР.
Как видим, при t-±oo na(t)-^{n)Ea. Если начальное
распределение #о(0) мало отличается от равновесного (п)Еа, то можно
считать, что за время tCBt пр устанавливается равновесное распределение.
Таким образом, мы пришли к результату (5.39) относительно
равенства по порядку величины времени свободного пробега частицы и
времени релаксации.
Как видно из формулы (6.24), время свободного пробега, а еле*
довательно, и время релаксации зависят в общем случае от Еа, т. е.
в общем случае нельзя ввести одно время релаксации в системе.
Однако во многих важных конкретных случаях т слабо зависит от Еа,
а за кинетические эффекты в основном ответственны частицы,
энергии которых лежат внутри интервала величиной kT. В этих случаях
допустимо вводить одно время релаксации.
Для классического газа частиц, для которых можно принять модель
твердых шаров, введение одного времени релаксации является
удовлетворительным приближением. Этот вопрос уже был рассмотрен
на стр. 54.
3. Замечания о принципе детального равновесия. Если
имеются два дискретных простых (невырожденных) состояния аир,
то принцип детального равновесия гласит, что вероятность
перехода Wa^ (отнесенная к единице времени) из состояния а в
состояние р равна вероятности перехода W~a из состояния р в состояние а:
Если состояние а имеет кратность соа, а состояние р имеет
кратность (Dp, то Wa^ означает вероятность перехода из состояния a
в любое из состояний р и аналогичный смысл имеет U^ga. Поэтому
принцип детального равновесия имеет вид
^-. (6.25)
илц
V (6-26)
74 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Для случая простых дискретных одночастичных состояний
кинетическое уравнение можно записать в виде
Таким же будет уравнение в случае кратных состояний, но только
Waa будет означать не вероятность перехода между двумя простыми
состояниями, а вероятность перехода в любое из подсостояний
вырожденного состояния.
На случай вырожденных состояний легко обобщить
доказательство наличия релаксационного свойства у функции wa. Действительно,
составим функцию
Тогда
dt \ a )
a, P
Составим такое же выражение, поменяв местами равноправные
индексы а и р, и возьмем полусумму этих выражений. Тогда получим
a, P
или, с учетом принципа детального равновесия,
Замечая, что оза > 0, как и прежде, убеждаемся, что
и wa(t) релаксирует к равновесному состоянию, при котором
—— = —£- при любых аир.
©а °>р
Заметим, что в формулировках (6.25) и (6.26) принципа
детального равновесия под «состоянием» можно понимать и многочастичные
состояния, а не только одночастичное.
Эти результаты нетрудно обобщить на случай непрерывного
спектра. Рассмотрим двухчастичное состояние, характеризуемое одним
(общим для обеих частиц) элементарным объемом в пространстве dV
и шестимерным элементарным объемом в импульсном пространстве
dp\dpv и вероятность, перехода из этого состояния, а, в другое
§ 6] ОБОСНОВАНИЕ ДОПУЩЕНИЙ И ГРАНИЦЫ ИХ ПРИМЕНИМОСТИ 75
двухчастичное состояние, р, характеризуемое тем же элементарным
объемом dV и шестимерным элементарным объемом в импульсном
пространстве dp3dp4.
Вероятность перехода из начального состояния в конечное U^a«,
как известно, пропорциональна «кратности» конечного состояния
Кратности рассматриваемых непрерывных состояний аир будут
Таким образом,
_ (dV)*dPldp2 ___ (dV)'dp3dp<
■~ (2я/))в ' В~~ (
w _д (dVYdp3dpt
Согласно принципу детального равновесия
или
!%«>«= «VV (6-29)
Из (6.28), (6.27) и (6.29) тогда сразу получаем две очень
удобные для использования формулы принципа детального равновесия для
двухчастичных состояний:
\dddd или Aap = Apa.
Именно эта формула принципа детального равновесия была
использована в § 5 (формула (5.9)) при исследовании релаксационных
свойств функции w(t, p), а величина
равна вероятности Дз4->12-
4. Общие замечания об ограничениях схемы Боголюбова вы*
вода кинетических уравнений. В работе Сандри [120] особое
внимание сконцентрировано на ограничениях общего характера схемы
Боголюбова вывода кинетических уравнений. Вообще говоря, эти
ограничения физически очевидны й вкратце оговаривались самим
Боголюбовым [1J: после того как из уравнения Лиувилля составлена
цепочка взаимосвязанных уравнений для Fs, решения уравнений для
F2, F%, ... ищутся не общие а ограничиваются только частным
классом возможных решений вида Fs(t) = Fs(Fx} для 5 = 2, 3, ...
Выбор такого класса решения совершенно не означает постулирования
наличия в действительности только систем и конкретных
условий, которым соответствует такой класс решения. Это является
наиболее общим ограничением схемы Боголюбова. Не все системы и не
при всех конкретных условиях могут быть описаны при помощи
7б МЕТОД БОГОЛЮБОВА [tft. 1
кинетического уравнения. По терминологии Сандри, не все системы
находятся в «кинетическом режиме». В схеме Боголюбова
нахождению в кинетическом режиме соответствует выполнение условия
ослабления корреляции и определенных условий относительно
сравнительных величин характерных интервалов времени различных процессов
временной эволюции системы!). Для случая классического
разреженного газа условия, накладываемые на взаимосвязь характерных
интервалов времени различных типов временных эволюции, рассмотрены
нами на стр. 30. В общем случае выполнение или невыполнение
этих условий в первую очередь связано с характером потенциала
взаимодействия в системе (законность представления взаимодействия
только через бинарные взаимодействия, величина бинарного,
взаимодействия, сравнительные величины эффективного радиуса
взаимодействия и среднего расстояния между частицами) и степенью
начального возмущения системы (степень отклонения начального состояния
системы от равновесного состояния).
Сандри показал, что условием нахождения системы в
кинетическом режиме является «условие отсутствия параллельных движений
в системе». Под «параллельным движением в системе» понимается
явление, когда заметные (макроскопические) доли частиц системы
имеют взаимные относительные скорости, практически равные нулю.
Физически это означает, что хар'актер взаимодействия в системе и
пространственная плотность распределения частиц таковы, что имеется
существенная многочастичная корреляция, так что в возмущенное
движение одной частицы синхронно за счет корреляции вовлекается
большая совокупность соседних частиц. Наиболее типичным примером
таких коллективных движений являются плазменные колебания.
Если время релаксации («рассасывания») таких коррелированных
(«коллективных») движений много меньше интервала времени, при
котором происходит заметное изменение функции Fv то
кинетический режим безусловно существует. В противоположном предельном
случае метод кинетических уравнений непригоден. Таким образом,
по существу, это есть условия, налагаемые на характер релаксации
функций Fsc s>2. В работе Джонса [234] обращено внимание на
то, что скорость рассасывания начальных корреляций различна
в различных рассматриваемых приближениях.
Случай сравнимых (по порядку величины) характерных масштабов
времени для эволюции Fs с s^2 и Fx требует особого рассмотре-
1) В работе Грина и Пиккирелли [178], а также в более ранних работах
Грина [179,168] подробно исследуется допущение Боголюбова Fs (t) = Fs (Fi)
(s>2). В этих работах подчеркивается, что только в предельно
асимптотическом случае сама функциональная форма зависимости Fs от F\ может
считаться не зависящей от времени. По существу, этот вопрос связан с
относительными величинами характерных масштабов времени быстрой
эволюции Fs (s > 2) и релаксационного изменения Fi (t, r, p).
§ 7] ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ «СМЕСИ ГАЗОВ» 77
ния в каждом конкретном случае. На стр. 269 мы кратко упоминаем
результаты такого рассмотрения Климонтовичем и Кухаренко для
квантовой системы с кулоновским взаимодействием. Главньш
результатом является то, что в определенных условиях можно составить
кинетическое уравнение, но это уравнение, кроме обычного интеграла
столкновений, будет содержать члены, отражающие
«интерференционные эффекты» между парными столкновениями и коллективными
взаимодействиями. Применительно к классическим системам этот
вопрос рассмотрен в работах [189—192] и подробно обсужден в
монографии Климонтовича [139] и обзоре Веденова, Велихова и Саг-
даева [188].
Сандри обратил также внимание на то, что в схеме Боголюбова
подстановка в уравнение для Fs определенного высшего
приближения решения для Fs+1 приводит к появлению в уравнении для Fs
расходимостей. Однако эти расходимости не вызывают
принципиальных затруднений. Они означают, что в данном приближении спектр
собственных значений ^-частичных состояний следует
«перенормировать» на учет корреляций с состояниями остальных частиц.
Применительно к спектру одночастичных состояний этот вопрос
рассматривался в работе Боголюбова и автора [3]; в настоящей книге такая
перенормировка рассматривается на стр. 233.
Обсуждение расходимостей в высших приближениях содержится
также в работе Су [171].
Таким образом, от расходимости такого типа кинетических
уравнений всегда можно освободиться, заменив реальные частицы
системой квазичастиц с перенормированным одночастичным спектром.
Однако в большинстве случаев этого не требуется, так как
расходимости проявляются лишь в высших, обычно не учитываемых
приближениях.
Общий анализ допущений в схемах вывода кинетических
уравнений содержится также в работе Су [233].
§ 7. Обобщение уравнения Больцмана на случай «смеси газов»
1. Вывод системы кинетических уравнений. Рассмотрим для
определенности бинарную систему: полученные для нее результаты
легко распространить на любое число компонентов смеси.
Рассмотрим систему, состоящую из двух сортов частиц с массами т{
и Шц. Состояние системы определяется функцией распределения
подчиняющейся уравнению Лиувилля
78 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. 1
где функция Гамильтона системы имеет вид
i—\ i=l L j
U > i)
4- X ФПг(П> — Kn)h4- У\{
и > n
Введем по прежним правилам функции распределения
W, р«> р(П,
= K*'+*" J 1Ъ1+"„ dr?)+1 ... dr^ Л<ВД+1 ... rfrU» rfp(i>
Как и прежде, получим цепочку уравнений:
dFi(t> С'
— f
^ J
4»)|), f3(^, 40, 41), 4"),
и аналогичные уравнения для /^(f, r<n), p(II)). ^C» 4П)> 4П>>
^"). ^(^ 4°. 4П). Pin. pH и т- Д-1)
^4
Решение уравнений для Fs принципиально не отличается от
решения, данного в § 3. Оно лишь формально усложняется двумя
обстоятельствами:
') В наиболее общем виде вывод уравнений для функций распределения
в случае многосортной системы дан в работе Глаубермана [59]. Им же дано
обобщение схемы Боголюбова на случай нецентрального взаимодействия [94].
Вывод и методика решений кинетических уравнений в газовой смеси
с учетом химических реакции рассмотрены в работах Валандера, Егоровой
и Рыдалевской [255, 256].
$ 7J ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ «СМЕСИ ГАЗОВ» 79
1) если рассматривается функция Fs($^2), содержащая
переменные обоих сортов частиц, то следует предположить, что
зависимость Fs от времени не явная, а функциональная, через зависимости
от времени Fx(t. /f\ р[») и Fx(tt r{ll\ pfQ), т. е.
+ ^„ (г</) р(«), ^ (I), ^ (II),
где 4х! линейно зависит от —j^ и Ч?п линейно зависит от —^г^*
2) решение ищется в виде ряда по степеням — и —, т. е.
и
«Начальное условие» обобщается очевидным образом:
Повторяя с соответствующими усложнениями выкладки § 3,
получим для Fs нулевое "приближение:
Отсюда получим кинетические уравнения первого приближения
(Л У = 1. Н. J + t):
г (t, И*), j/')) ■ 1 Г [ф ( I ^ /О I) f
Fx(t.
+ J_ J
80 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Здесь
P(i)(2u) = lim S
/>(/) (2н) есть предельный не изменяющийся импульс частицы сорта /,
полученный в задаче о взаимодействии в замкнутой системе из двух
частиц одного сорта.
Аналогично,
есть предельный не изменяющийся импульс частицы сорта I,
полученный в задаче о взаимодействии в замкнутой системе из двух
частиц разного сорта,
Оператор S^£/) означает оператор динамического сдвига
координат частицы сорта / в замкнутой системе из двух частиц разного
сорта.
Далее,
lim
l
^ lim
Если рассматривать пространственно-однородный случай, то
соответствующие интегралы в уравнениях (7.1) можно преобразовать
с помощью решения побочной задачи о замкнутой системе двух тел
точно так же, как это было сделано в § 4. Повторяя все
преобразования § 4, окончательно получим два уравнения (с / = I, у=*=И
и / = П, у = 1), аналогичные по форме уравнению (5.6):
=ч[ J
-w(t,
X Uf. D 2(/> Л dfl) dpf dp<j\ (7.2)
§ 7] ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ «СМЕСИ ГАЗОВ> 81
где
у-J)
=* (р;/>+№ - Pi" - Pi").
(такая симметрия в форме записи обусловлена очевидной
равноправностью переменных интегрирования р№ и р[^); SVjJ\2 —
дифференциальные эффективные сечения для рассеяния частиц одинакового
сорта, а 5з4'_>12 — дифференциальные эффективные сечения двух частиц
разного сорта; ufy l)—абсолютное значение относительной скорости
двух частиц одинакового сорта, и& *) —-LJ L; #(*, Л — абсо-
tjii
лютное значение относительной скорости двух частии разного сорта,
I ti mj
Вывод кинетического уравнения, типа уравнения Больцмана, дан
также Мураками [25] по упрощенной модели.
2. Общий анализ системы кинетических уравнений.
Уравнение (7.2) описывает эволюцию во времени функции распределения
по импульсам частиц /-го сорта, происходящую благодаря двум
релаксационным процессам, которым соответствуют интегралы
столкновений с частицами того же сорта и с частицами другого сорта.
Что эти интегралы соответствуют релаксационным процессам, можно
убедиться методом, аналогичным методу анализа, проведенного в § 5.
Действительно, составим функцию
= ^J- (
и продифференцируем ее по времени с учетом уравнений (7.2). Тогда
получим:
dt
Х{1п«(*. Р(1))+1}6£' [)^1)ф
К- П- Гуров
82 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. 1
X
п
X {In «(г, р<») + 1J
х «(л р^)1 6JJI(
Составим еще три таких выражения путем одновременной
перестановки индексов 1, 2, 3, 4 у рШ и pw>; сложим эти четыре
выражения и результат разделим на 4. При сложении учтем принцип
детального равновесия (см. § б, п. 3) и соотношения симметрии,
в частности:
Тогда получим:
X {In (да (Л р<«) w (t. p«)) ) - In (w (t, p«) « (t, p<«) )} X
X {«>(*, р?»)в(/. t^) — w{t.
/. Pi,1"))
X 6J,". i) 2'"' " rfpf1' dpf dp^ dpj). (7.3)
6J,
§ 7] ОЁОБЩЕНИЁ НА СЛУЧАЙ «СМЕСИ ГАЗОВ» 83
В правой части формулы (7.3) каждое из четырех слагаемых^ О
и, следовательно, -~7/-<>0-
Таким образом, w(tt p№) и w(t, p(II)) могут изменяться только
монотонно, стремясь асимптотически к предельным выражениям
w^(Pl) и w§1Kp11)* пРи которых все четыре слагаемые обращаются
в нуль. Следовательно, система кинетических уравнений (7.2)
описывает релаксационные процессы перехода распределений частиц
сорта I и сорта II в равновесные распределения. Физический смысл
правых частей уравнений (7.2) очевиден и был указан выше. Каждое
слагаемое есть соответствующий интеграл столкновений. Все
слагаемые монотонно стремятся к нулю. Обращение в нуль означает
наступление соответствующего «частного равновесия». Первое слагаемое
правой части уравнения (7.2) с / = 1, У = 11 соответствует
релаксации в системе частиц сорта I за счет взаимодействий
(«столкновений») между этими частицами; обращение в нуль этого слагаемого
означает наличие равновесия внутри подсистемы частиц сорта I.
Второе слагаемое правой части этого же уравнения соответствует
релаксации в подсистеме частиц сорта I за счет взаимодействий
с частицами сорта II; обращение в нуль этого слагаемого означает
наличие равновесия между подсистемами частиц сортов I и II.
Аналогично, в правой части уравнения (7.2) с / = Н, j = \ первое
слагаемое соответствует взаимодействию частиц в подсистеме II,
второе— взаимодействию частиц сорта II с частицами сорта I. Обращение
в нуль первого слагаемого означает равновесие внутри подсистемы II,
а второго слагаемого—равновесие между подсистемами II и I.
Величины каждого из этих слагаемых характеризуют быстроту
соответствующих релаксационных процессов. Для краткости запишем
кинетическое уравнение (7.2) в следующей форме:
(7.4)
(7.5)
Как и в случае односортной системы, здесь можно ввести понятия
времен релаксации. Каждому интегралу столкновений соответствует
свое время релаксации:
*л 1л 1л 1
Aл лии — "Z—» А\\\
41
ТП ЧН 41II ТП1
Кроме того, аналогично (5.19) каждой подсистеме (каждому сорту
частиц) можно приписать свое одно время релаксации:
84 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. 1
Из (7.4) и (7.5) тогда, очевидно, получаем
+
Т1 Т11 Т1II
JL = J | L
Каждое из парциальных времен релаксации приближенно (по
порядку величины) определяется формулами
Согласно результатам § 5 для смеси максвелловских газов в
модели твердых шаров имеем
' 7=—V^- (76)
(7.7)
В зависимости от сравнительной величины А\ Jf Ли п, А{ п и Лп г
возможны различные физические процессы, описываемые уравнениями
(7.4) и (7.5). Конкретные задачи особо удобно решать в предельных
случаях. Ниже мы рассмотрим наиболее характерные случаи.
3. Случай, когда все четыре интеграла столкновений
сравнимы между собой по величине. Этот случай означает, что
установление равновесия в системе в целом и в подсистемах каждого сорта
частиц происходит сразу. Равновесие характеризуется единой
температурой системы.
Из условия сравнимости по величине времен парциальных
релаксаций т1П и т1П и сопоставления выражений (7.8) и (7.9) следует,
что плотности числа частиц обоих сортов должны быть одного
порядка величины:
— «—. (7.10)
С учетом (7.10) сравнение выражений (7.6) и (7.7) тогда дает
V'mi
$ i\ обобщение нА случай «смеси гАзоё» 85
Одновременное же сравнение всех четырех выражений (7.6)—(7.9)
показывает, что простейшим случаем равенства по порядку величины
всех четырех парциальных времен релаксации будет примерное
равенство плотностей частиц обоих сортов, их масс и размеров.
4. Случай, когда интеграл столкновений А{ х много больше
интеграла столкновений Ащ, но, наоборот, интеграл
столкновений Ли н много меньше интеграла столкновений Ли,. В этом
предельном случае процесс релаксации в подсистеме I можно
рассматривать вне зависимости от состояния подсистемы II. Время
релаксации tj практически равно Т! г. Релаксационный же процесс в подсистеме II
определяется равновесными характеристиками подсистемы I. Время
релаксации тп практически равно тп 1в Температура в системе в целом
определяется температурой, установившейся в подсистеме L
Из формул (7.6) — (7.9) видно, что для максвелловских газов
рассматриваемый случай осуществляется, когда плотность числа частиц
сорта I много больше плотности частиц числа сорта II, или же
величина r\lYm\ много больше величины rVYm\v Если шары однород-
\1у'
г\1ущ г—1 г—
ные, то отношение 2 у . равно отношению у гх\ у гп .
Следовательно, при приближенном равенстве плотностей числа частиц обоих
сортов время релаксации Т! практически будет определяться
парциальным временем релаксации тп, если гг^>Гц и, как следствие
однородности шаров, т1^>тц.
Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае (при 1М«1/г>п)
время релаксации Тц будет определяться парциальным временем
релаксации Тщ.
Действительно,
В рассматриваемом случае mu<^mi, гг^>Гц и, следовательно,
1/Тц i j^> 1/Тц п, т. е. Тц определяется в основном временем
релаксации т1П.
Совершенно аналогичен случай, когда Аи и ^> Ли ь но А\ i<^^i ц.
Специальное рассмотрение интеграла столкновений ЛП1 в случае,
когда средняя плотность частиц сорта I много больше средней
плотности частиц сорта И, т. е. —^> —, было выполнено в работе
i n
Моро и Салмона [42] с целью упрощения формы кинетического
уравнения.0
86 Метод Боголюбова [ГЛ. i
Интеграл столкновений ЛП1 запишем в виде (5.3):
2л Л
^г И J
), (7.11)
где 5(11>!) может зависеть от я!"'!) и 8. В рассматриваемом случае
^п i ^> ^и н и ^i i^> А\ и- Поэтому в интеграле (7.11) в качестве W
можно подставить равновесное распределение ^h
Моро и Салмон рассматривают случай, когда отклонение от
равновесного распределения в пространстве импульсов изотропно. Такое
допущение вытекает из характера поставленной задачи. Положим
по (5.40) и (5.41):
Тогда интеграл Л1П примет вид
2Л Л
=■£- J J J
При интегрировании по р$> введем сферические координаты:
оо 2я я 2я я
VI
X SiU' °(»!"' "> e) »!"'"<*Ф sin 6 <*6 • pf dpf dysinprfp.
Найдем явное выражение для pfn\ Рассмотрим рис. 2. Имеем
очевидные соотношения:
(«(». D) = _ В£> sin р cos У,
(7.12)
(7.13)
2
/»*<"•J)) = (в("> — 4« cos p) cos <p' sin 0 — 40 cos 6 sin p,
£"• 0) = B(y. 0sinФ'sine,
и"' П)г = «4" Sin P C0S Ф'
~~ Й2Г> C0S
§ 7) ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ «СМЕСИ ГАЗОВ»
С учетом закона сохранения импульса имеем
uf
ll)
87
(7.14)
Из соотношений (7.12) — (7.14) имеем:
= («f 9 — и1^ cos p) cos ф' sin 8 cos Y +
+ 4n sin PC1— cos 8) cos y —
— «g» !> sin ф' sin 8 sin Y,
— 41) cos p) cos ф' sin 8 sin y +
— cos8)sinY+
$ !> sin ф' sin 8 cos y,
= «J> sin p cos ф' sin 8+
+ 4^(1—cos 8) cos p.
Возводя в квадрат эти три
соотношения и складывая, получим, приняв для
осей xf и у' на рис. 2, б, такую ориентацию, чтобы ф' =
(рис. 2, в):
I)[(J2L+ i)sinpsin6sinqp-f (-51— l)cosp(l — cos 6)1 -j-
88 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Обозначим для краткости 5 = "^f-- Таким образом, получаем
f
ufl) = af i) (1 + s2 + 5 cos 0)I/8 X
21Щ K5 + ^ sin P sin 0 sinФ + (s~ *) cos P (1—cos 9)] +
Vt
X
или
1 + s2 4- ^ cos 0
(7.1a)
/>*<»> = рШ) (l+s' + s cos 9)V'X
P?
2 —щ s [(s +1) sin P sin 9 sin ф + (s — 1) cos P (1 — cos 9)]
X
Это явное выражение для pfll) подставляется в интеграл
столкновений Л1П. В общем виде получаемый интеграл проинтегрировать
по всем углам практически невозможно, однако можно по
отдельности рассмотреть предельные случаи.
Для этого, прежде всего удобно перейти от переменных р к
переменным и. Интеграл столкновений AU{ будет, тогда иметь такой вид:
2я Я 2я я оо
1
X SP- >£' \ e)^1'l) d9slnud9dysln№ • ufduf
Стоящая в подынтегральном выражении функция uWwW
пик в области значений «W около и^ « (kTjm$2 « +
с эффективной шириной порядка [—) *. Только от этой области
\т\ I
имеется существенный вклад в интеграл по и^К Поэтому при
рассмотрении кинетического уравнения можно обособленно рассматривать
три области значений «(»>: 1) я£н>':>ир; 2) и™2 <С 4П* и
3) и№жИф\ Рассмотрим сначала наиболее интересный случай !)♦
Условие
§ 71 ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ «СМЕСИ ГАЗОВ» 89
означает также условие
Так как область эффективных значений и^2 лежит около
и имеет ширину ~кТ1щ, то можно также положить
Это позволяет значительно упростить выражения для интеграла
столкновений.
Однако особенно упрощенные выражения получаются при
условии разности масс частиц (которые, как это было показано на
стр. 85, имеет место в рассматриваемом случае):
Из условия равновесия
или
получаем, что при небольших отклонениях от равновесия (для
которых и допустим весь развиваемый формализм кинетической теории)
порядок малости величин sll* — (mufm№ и u$fttfl) одинаков. Моро
и Салмон вывели упрощенную форму для интеграла столкновений,
сохраняя в выражениях величины вплоть до порядка малости u£)2/u^W
или $. Во избежание громоздкости их вывода мы разобьем вывод
на два этапа, рассмотрев сначала лишь приближение порядка малости
и^ju^l\ или $4*.
Из (7.1а) имеем
ufl)a*u[ll)\ 1 +-^ж [sinpsinBsinф — cosp(l— cos6)] +
(uil) \2Г 1 1
-Н-щ! (1 —cos0) sinpsin^sin29 cos2p(l —cos9)2 +
+ 8трсо$р8тф8и1б(1 —cos9)1 —s(l —cos9)+ ..
((I) \2
90 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. 1
Из этих формул видно, что ufll) мало отличается от и^.
Поэтому можно положить
<"> (го) £^!1 ("Г-4П))г х
— cosp(l — cos6)] X
1 1 dh(u{ll>)
cos2 p (1 — cos в)2 + s«<"> >* ' (1 — cos в)+
2 J OBj
1
7 tsin P sin <P sin 9 - cos p (1 - cos 9)]2
COS 6 «
Поскольку в подынтегральном выражении интеграла
столкновений Лп j член h (#*(П)) — ^! (я^) содержится как общий сомножитель
порядка малости u$fuW\ то в принятом нами приближении в
разложениях я!"'1) и 5( '1) следует ограничиться членами нулевого
приближения. Таким образом, следует подставить
-w tf(in) [sin p sin 9 з!пф — cos р(1 — cos 0)]
Учитывая форму выражения (7.15), можно заметить, что
подынтегральное выражение будет состоять из двух алгебраических
слагаемых, первое из которых содержит множитель sincp, а второе не
зависит от ф. Поэтому при интегрировании по ф первое слагаемое
§7] ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ «СМЕСИ ГАЗОВ» 91
обратится в нуль, а во втором появится множитель 2л. Аналогичный
множитель появится при интегрировании у, так как все
подынтегральное выражение не зависит от у. Зависимость от р в
подынтегральном выражении дается тригонометрическим сомножителем cos p sin р */р,
л
так что интеграл J cospsinpdp=0. Следовательно, в этом прибли-
о
жении Ли 1 = 0.
Перейдем поэтому к следующему приближению. Подынтегральное
выражение будет содержать сомножитель из трех алгебраических
слагаемых: произведение члена первого порядка малости в
разложении h(ufll)) — A(eJ!n) на член первого порядка малости в
разложении eg1»J); такое же произведение, но на член первого порядка малости
в разложении S*11'!); произведение члена второго порядка малости
в разложении А(я**П))— h(u^\ на члены нулевого порядка малости
в разложениях и^}'1) и 5(IIf l\ При составлении этих произведений
следует учитывать, что выписывать слагаемые, содержащие
тригонометрические функции от ф, не следует, так как при
интегрировании соответствующих выражений по ф они обратятся в нуль.
В подынтегральном выражении останутся только члены, не зависящие
от ф, и интегрирование по ф и у в совокупности даст множитель 4я2.
Кроме того, в подынтегральном выражении следует выписывать
только те слагаемые, которые содержат произведение четного числа
одинаковых тригонометрических функций от р, так как члены,
содержащие нечетное число множителей, при интегрировании по р
обращаются в нуль.
С учетом этих замечаний, получаем:
—cos6) + (l—cos6)cos2p —jsin26sin2p —
(1— cos в)2 cos2 рЫ ш) МП)(1— cose)cos2p) +
i(i-cose)wp]]-
-cosO)} X
X w0 (uf) sin 0 sin p up2 dQ d$ йЩ\
92 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. 1
После интегрирования по (J получим:
со Я
Ап, -i£ eo(ef 0) J J' wo(«<»){ «fCl -cos 0) X
При интегрировании по «^> учтем условие нормировки
о
и соотношение (5.32):
В результате получим
х Js{lhl)(a[lI), e)(i—cose)sinede+
0
? "(«<">, e) Q
4 J<i-cos9
'M'l e)(i-cose)Sinede).
j
Обозначим
0
§ 7] ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ «СМЕСИ ГАЗОВ» 93
и заметим, что имеют место соотношения
Таким образом, можно написать
1 , /tnxf дЛ («
4,, - -«,оМ»)( -Arf
Далее заметим, что
да Ио^ \Ш ~Г Wq ди W) w0 \ ди J
tt2 w0 { ди2 w0 ди да *[w0 \ да ) w0 ди2 \W]
d2w , 2mu dw
В результате интегралу столкновений можно придать следующую
упрощенную компактную форму:
д
Эта форма интеграла столкновений впервые была выведена в
монографии Чепмена и Коулинга [4].
Рассмотрим теперь второй предельный случай, когда
Учитывая здесь снова, что распределение по и№ имеет пик при
эффективной ширины кТ/т^ получаем условие
причем очевидно, что и$1) может лишь пренебрежимо мало
отличаться от нуля. Поэтому для грубых оценок можно просто подста-
Ъитъ во все рассматриваемые выражения а^ОкО. Тогда сразу
94 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
получим (при
ufl) = 2u? sin ^,
и1=*£ w0 (a}') J J <j("> D („(0, e) | д (2e?> sin |_) _ A (0) J
5. Случай, когда интеграл столкновений Ац много больше
интеграла столкновений А{,, и одновременно интеграл
столкновений Ац и много больше интеграла столкновений Ац f. В этом
случае практически в каждой подсистеме первоначально происходит
свой процесс релаксации за счет соударений между частицами только
своего сорта. Времена этих релаксаций соответственно равны %ц
и т11П. В каждой подсистеме устанавливается квазиравновесное
распределение (для классических подсистем это будут максвелловские
распределения). Однако основной термодинамический параметр
распределения— температура — в каждой подсистеме будет свой. Лишь
после установления квазиравновесных распределений в подсистемах
начнется процесс выравнивания температур. Если первоначально
температуры подсистем не сильно отличаются друг от друга, т. е.
выполняется основное условие применимости рассматриваемой здесь
кинетической теории, то изменение температур также будет
характеризоваться временем релаксации, определяемым интегралами столкновений
Ащ и Аи1.
Впервые этот вопрос был рассмотрен Ландау [40] для систем
заряженных частиц с кулоновским взаимодействием (вывод выражения
для соответствующего времени релаксации в системе заряженньйс
частиц дал также Кихара [41] *)).
Работа Ландау будет рассмотрена в § 8, посвященном системам
заряженных частиц. Ниже дается вывод формулы для оценки
соответствующего времени релаксации в общем случае классических
систем незаряженных частиц, следуя работе автора [82].
Пусть имеется смесь двух классических газов. Плотности числа
частиц подсистемы равны соответственно — и —, массы частиц
равны т{ и т.ц. Пусть в каждой системе установилось
квазиравновесное распределение Максвелла с температурами Tt (/ = 1, II):
««> (/><<>) = (2nmikTi)-'k exp { - -^r }. (7.16)
l) В работе Кихары имеются неточности.
§ t] ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ «СМЕСИ ГАЗОВ» &5
При подстановке выражения (7.16) в интегралы столкновений Аи
(с / = 1, II) последние тождественно обращаются в нуль. Но Ац
(]Ф1) при подстановке выражений (7.16) в нуль не обращаются,
Зависимость выражений (7.16) от времени t здесь неявная, через
зависимость от t температур Tt. Произведя явное дифференцирование
по времени выражений (7.16), получим (/, / = 1, II; /Ф1):
VШЩ ~ 27 —Tt Ш— л<7- С7-17)
Умножим (7.17) справа и слева на
ihTi 2}
\2mi
и проинтегрируем по р^К
При интегрировании левых частей обратим внимание, что с
учетом явного вида w^ (p(/)) подынтегральные выражения зависят только
от модулей \р{1)\- Таким образом, переходя слева к сферическим
координатам, получим уравнение
где
Слева стоят интегралы, которые берутся по формуле
1О С /Or» 1Ч
I
ехр (_ ар2) dp =
=1, 2 а>0).
При п = 1 интеграл равен я?/*/4а\ при /г = 2 — Зл^/ва8^, при
л = 3 — 15я!/*/16аГ/*- Следовательно,
схэ
J («'/.р
exp (_ ap2) dp ^
96 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
В результате получаем уравнение
Преобразуем теперь правую часть уравнения (7.18) для / = 1,
j = 11. В силу принципа детального равновесия при
квазиравновесных выражениях для w, очевидно, имеем
J4, <*/></>=о,
J р[*Аиарр =- J рГA4dpf =i. J (p[V-
Таким образом, правая часть уравнения (7.18) сводится к виду
(для 1 = 1, У = 11):
-5^ J (/f ~ Pf ) «Й П)
(I. II)
Согласно теории упругих столкновений ufyll) = u&lV; кроме того,
Sft4Ji2 == $й?-Й4. Поэтому, с учетом законов сохранения, имеем
ai Г
хбГ'Г
х<
В результате уравнение (7.18) можно записать в виде
(О < К) х
ш (I ш
х
В силу закона сохранения энергии можно также написать
х «& &iWC
§ 7] ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ «СМЕСИ ГАЗОВ» 97
Аналогично,
х «<»
х
Замечая, что S^J{2==^34-lIi2' я^1'Г) = t% ll\ легко убедиться, что
интегралы, стоящие в уравнениях (7.19) и (7.20), равны по величине,
но противоположны по знаку. Таким образом, получаем:
_ 1 /1 П Г Up?' рГ\ (рГ рГ)\ у
dt
X e& »>5gi i>W) «i1»^"») X
X
Заметим, -что
Если представить и^П) в виде
u^ill) = ufy n> cos в + ju12 sin 0 cos ф + kul2 sin 0 sin ф,
где j и k — единичные взаимно перпендикулярные векторы в
плоскости, перпендикулярной к вектору и^2*и\ то, очевидно, после
интегрирования в правой части уравнения (7.21) по пространствам
импульсов рг и р4 отличным от нуля останется только интеграл,
в который входит множитель u^ll)(l—cos0).
Итак, мы получили уравнение
х «#> (/f) ЧП) (р{21)) dP? Ml)> (7-22)
где
Ф П) = J Sfo% (I - cos 0) ф "> 2а П)
= J Sfo% (I - cos 0) ф
Имея в виду, что искомое уравнение служит для оценки времени
релаксации рассматриваемого процесса, которое определяется только
по порядку величины, дадим приближенную оценку величины Q{' *.
Для этого пренебрежем в подынтегральном выражении
множителем cos© а перейдем ог переменных р^\ р§{) к />34 = Рз1)*+ Р^1) и
7 К. П. Гуров
98 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
р(1) р(И)
иод~— —• Якобиан преобразования равен [г3, где ц— при-
веденная масса (A «JL + J-).
В
В этих переменных имеем
Интегрирование по Ри тривиально благодаря наличию дельта-
функции. При интегрировании по им перейдем к сферическим
координатам с отсчетом широты от вектора Я12. Тогда интегрирование
по «34 также тривиально благодаря наличию дельта-функции, а
интегрирование по угловым переменным не представляет труда, если
допустить, что от этих переменных не зависит S34->i2. Тогда получим
12
Имея в виду оценку времени релаксации по порядку величины, Q('
можно аппроксимировать следующим образом [31]:
/ I* m\
при большой разнице масс j переходит в —- для
j переходит в —
В уравнении (7.22), как обычно, приближенно можно положить
к
fufy И) — среднее значение), так как в интеграле Г (р[1) + р^П)) X
х й^11)^)(р11))Ч11Ч^211))^1)^11) после замены ^hll) — ubl)—uill)
интегралы, содержащие pfa^ и p£l)trfK обратятся в нуль, а
интегралы, содержащие р[{) и^ и р{2П)и$1\ будут равны ЪкТ{ и ZkTiX
соответственно.
Далее, приближенно полагаем (см. (5.38))
где ji — приведенная масса.
§ 7] ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ «СМЕСИ ГАЗОВ» 99
Таким образом, уравнение, определяющее процесс выравнивания
температур, имеет следующий приближенный вид:
djTn — Tj) _ /1,1
или
dt
Если для релаксационного процесса ввести время релаксации
Т2 — Г1 = Вехр(— t/xlu),
то для этого времени релаксации получим оценочную формулу
(7.23)
Отметим, что соответствующая формула Ландау для системы
заряженных частиц разного сорта может быть получена из формулы (7.23)
как частный случай (при шц ^> mi и 5(1) П) — эффективном сечении
рассеяния в системе с экранированным кулоновским
взаимодействием) х).
Заметим также, что для сравнимых температур (Ти«Т{) наша
оценка совпадает с оценкой Когана [123], выведенной для
соответствующего процесса в плазме. Можно также в уравнении (7.22) вместо
указанных выше приближенных оценок провести вычисления
интеграла в правой части по схеме, близкой к схеме расчета Когана.
Для этого в интеграле
i{-k+"k)Q{Ul) J ^■I42'
перейдем от переменных р^>, /^п> к переменным P12 = P^)-hfi^1) и и12
(якобианом преобразования будет ц,3). Тогда интеграл будет иметь вид
X
J
l) В работе Деслога [60] также рассмотрена релаксация в двухтемпе-
ратурной смеси газов. Его результаты при переходе к системе заряженных
частиц не совпадают с формулой Ландау.
Релаксацию в двухтемпературной смеси классических газов с. резким
различием масс частиц рассмотрел Осипов [122], а релаксация в двухкомпо-
нентной системе с разными Г и J была рассмотрена в работе Морзе [183].
100 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
где
С = (2nmikT{T%lt (2птикТпГг/2,
lmll[kTl kTu) mxmlx Щ
mlmll[kTl kTu) mxmlx Щ\ Тп
При интегрировании как по Р12, так и по и12 переходим к
сферическим координатам, Р^{Р-^, в, ф), п12(и12, в7, ф7), причем угол
широты в7 сферической системы координат для вектора и12 будем
отсчитывать от фиксированного при интегрировании по щ2
вектора Р12, так что P12»12 = -P12tt12cos9/. Тогда интеграл будет иметь
вид
оо оо Л Л 2rt 2jt
АИИП иЪРЪC0S6/еХр(~аЯ'2~Рви-Ypi2«i2cos90 X
ооооо о
X sin 0 sin в7 dP12da12 dQ dV dtp Ap.7.
где ^ = -^1 1 )Q{l'U)\izC. Интегрирование по 9, ф, ф' дает
6 \vi v\\l
множитель 8я2. Интегрирование по 97 сводится к следующим
операциям:
л
J
о
y>22 exp (— yP12u12 cos 97) cos 97 sin 97 <*97 =
1
= J
где обозначено
Следовательно, интеграл принимает вид
§7] ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ «СМЕСИ ГАЗОВ» 101
Заметим, что f(x) есть четная функция,, так что Р?2ехр(—аР^) X
Х/СУ^и^и) есть четная функция относительно Р12. Поэтому инте-
грал ... dP12 можно заменить на у ... dPlv Благодаря этому
0 —оо
интеграл по Р12 приводится к табличному виду:
Таким образом, весь интеграл сводится к виду
Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям без труда.
Окончательный результат имеет вид
За'2 В.— 4-
Если
Ti
1, то y2f4a <^ p, и в знаменателе можно
пренебречь членом Y2/4a. Тогда в развернутом виде для t! п будем иметь
следующее выражение:
+ АШ^фЪ кТГ'>> I X
+^)
При сравнимых температурах (Tuz&T{) отсюда имеем
1 «<а»)/1 , М
ТП1 3 \Р1 vIl
т. е. получим прежний результат (численные множители практически
совпадают).
102 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
§ 8. Кинетическое уравнение для системы заряженных частиц
1, Общие замечания. Составление и анализ кинетического
уравнения для системы заряженных частиц представляет значительные
трудности.
Как Uu видели, использование самого общего формализма с
применением функций распределения Fs (s= I, 2, ...) приводит к
уравнениям
dFl%rt1'Pl)=[K(Pl), F^t. rv р$ + \ J
F2(t, ru r2, Pi, p2)]dr2dp2,
(8.1)
и_гь ft, ft) =[K(Pl) + K(p2), F2(t, rb r2,
—ra|). F2(t, rv r2,
F3(t, rv r2, r3, pv p2, р3)](1г3(1рл,
(8.2)
В случае заряженных частиц O(|rt—r2\) есть потенциальная
энергия кулоновского взаимодействия:
где е — заряд частицы, г — расстояние между частицами.
Особенностью такого закона взаимодействия является «медленное» убывание
Ф(г) при больших г и бесконечное возрастание абсолютной величины
Ф(г) при г—>0. Из-за обоих свойств функции Ф(г) могут возникать
расходимости рассматриваемых интегралов.
Для облегчения рассмотрения этой ситуации предварительно
обратим внимание на следующее.
Рассмотрим решение уравнения (8.2) для F2 в равновесном слу-
чае, т. е. когда —г^- = 0. Очевидно, что искомое решение имеет вид
r2. pv A) = w(Pi)w(p2)er(ki —г2|). (8.3)
где w(p) — равновесное распределение Максвелла (5.33).
Для функции Fz, входящей в уравнение (8.2), примем
аппроксимацию а), приведенную на стр. 19. С учетом (8.3) она будет
§ 8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 103
иметь вид
r2, r3, pi, р2, Pa) = j{Fi(rv Pi)F2(r2. r3, p2, pz) +
+ Ft(r2, p2)F2(rz, rv p3, Pi)-\-Fi(r3, pz)F(rb r2, pv p2)\ =
(8.4)
Таким образом, необходимо решить уравнение
. F2(rv r2, р„ рг)] +
-г2|), F2(rv r2, Pl, p2)] + -^ |[ф(|г,-г8|) +
+ Ф (| г2 — г31), /=з (Ги г2, гг, ру, р2, рг)\ йгъ dp3 = 0.
С учетом (8.3) и (8.4) это уравнение имеет следующий
развернутый вид:
(8.5)
Это уравнение легко упростить. Заметим, что
дг'
дФ(\г' — г"\) .
дг"
dg(\r'-r"\)_ dg(\r'-r№\).
дг' ~ дг" '
J
J
dw (p3)
opt
4P3 = O;
^7
- J
= f £
1G4 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. t
(интеграл равен нулю, так как подынтегральное выражение есть
нечетная функция);
= J
так как, очевидно, О должна быть четной функцией,
В результате уравнение (8.5) сводится к виду
— гг|) _^
ИЛИ
1 дФ<г) . . 1 dG (г)
^Г дг ёКГ) 3vkT дг
Формальное решение этого уравнения имеет вид
-4г J ^^(r)rfr-з^гО(г) (8.7)
(не следует забывать, что (8.7), по сути, есть интегральное
уравнение относительно #(г)).
Если бы мы вернулись к модели, принятой в предыдущих
параграфах, ?. е. к системе «разреженного газа», для которого l/v является
малым параметром, то в нулевом приближении имели бы
(8.8)
}
т. е. мы получили бы известное равновесное распределение
Максвелла — Больцмана.
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ Ю5
Легко видеть, что наличие в выражениях, множителя типа (8,8)
обеспечивает «обрезание» выражений в «опасной области»1).
Однако в случае дальнодействутощего закона взаимодействия
наибольший интерес представляет рассмотрение результата «дальних
взаимодействий». Это рассмотрение возможно только с применением
приближенных методов. Основой применяемых методов является
предположение о «слабости взаимодействия».
Исходными работами в этой области являются работы Власова [50i
51] и Ландау [40].
Власов предположил, что доминирует эффект коллективного
воздействия всех частиц на состояние движения одной частицы; учет,
«парных столкновений» формально можно предусмотреть в
уравнении для эволюции функции распределения, но конкретного
рассмотрения соответствующий член не требует, так как вклад его
пренебрежимо мал. Уравнение Власова имеет вид
dFl%r>P)=lK(P)' FiV- r, p)\ + [U<f. r), F(t, г, />)] + { }Ф
(8.9)
Здесь { )si — член, соответствующий парным столкновениям, а
U(t. r) = ± j ®(\r-r'\)Fx(t, /•', p')dr'dp'=*
, r')dr'. (8.10)
Если пренебречь членом { }st, то ураввание (8.9) есть обычное
уравнение с самосогласованным полем. Если в каждой сколь угодно
малой макрообласти распределение по импульсам мало отличается от
равновесного, то в выражение для U(t, г) можно подставить
известное равновесное распределение Fx и нелинейное уравнение
Власова (8.9) заменяется соответствующим линеаризованным уравнением.
Следует при этом иметь в виду, что уравнение с самосогласованным
полем без члена { }st не соответствует релаксационному процессу,
приводящему с течением времени к равновесному распределению по
импульсам. Это уравнение полностью обратимо, как и любое урав-
1) Это утверждение верно только в случае газа частиц, заряд которых
одного знака. Если же рассматривать смесь газов из частиц с зарядом раз*
ных знаков, то, наоборот, множитель ($.8) вносит дополнительную
трудность, так как тогда Ф (г) < 0 и при г -> 0 функция g (r) -> оо. В работе
Трубникова и Елесина [193] предложено обходить эту трудность, учитывая
квантовую корреляцию при г < X, где X — де-бройлевская длина волны электрона,
деленная на 2я, т. е. X = fijpt где /?~ характерный- для системы импульс
электрона. Такую корреляцию рекомендовано учитывать, даже если в.
остальном систему можно рассматривать как классическую. В результате вместо
потенциала Ф(г) будет эффективный потенциал, не приводящий к
расходимости для g (r) при г -> 0*
106 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. 1
нение классической механики. Упомянутому релаксационному процессу
соответствует только член { }st. Действительно, если в
кинетическом уравнении
dFx(tt г, р) _ р dF{(tfrtp) , dU{r) dFx{tt г, р) . ,
dt ~ т дг ' дг др ""*"
не учитывать интеграл столкновений /, то для //-функции,
составленной для замкнутой системы, т. е. взятой в виде
iV- r' P)In/7i('' r' P)dpdr
(интегрирование по всему фазовому пространству, занятому
системой), получим
t r, p))dr]dp +
. p)lnFx(t. r, p))d
так как при |р|->оо или |г|~>оэ функция Fx(t, r, р)->0 в силу
условия нормировки (точнее, в силу самого физического смысла
функции Fxy, в то же время \nFl стремится к бесконечности медленнее,
чем Ft стремится к нулю, так что при |р|-»оо или |г|-»оо имеет
место
Fx{tt r, p)\nFx(t, r, р)->0.
Постоянство Н во времени означает постоянство энтропии системы и
обратимость рассматриваемых процессов.
Следует обратить внимание, что необратимость связана только
с членом / в кинетическом уравнении. Даже если этот член мал,
необратимость эффектов макропереносов (диффузионное выравнивание
плотности, выравнивание температур и т. д.) физически существенно
связана с процессом, описываемым членом /.
Например, пусть в двух соседних макрообъемах системы имеются
различные квазиравновесные условия (скажем, разные плотности и
разные температуры). Тогда за счет градиентов температуры и
плотности может происходить несбалансированный перенос частиц и
кинетической энергии частиц из одного макрообъема в другой. В
результате в каждом макрообъеме нарушается квазиравновесное
распределение, но за счет процессов соударений происходит релаксация
§ 8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 107
к новым квазиравновесным распределениям, характеризуемым новыми
значениями плотности и температуры в каждом макрообъеме. После
этого процесс повторяется. Первая часть процесса может быть
описана кинетическим уравнением без члена /. Но только последний член
«приготавливает» статистические условия, приводящие к эффекту
необратимости.
Ситуация здесь полностью аналогична известному примеру
перемешивания шаров; в двух закрытых ящиках лежат шары разного
цвета; не глядя в ящики, многократно обменивают попарно шары —
по одному шару из каждого ящика. Процесс асимптотически
необратимо приводит к выравниванию количества шаров разного цвета
в каждом ящике лишь при условии «встряхивания» (перемешивания)
шаров в каждом ящике перед каждым обменом. Здесь встряхивание
приготавливает статистические условия, приводящие к необратимости
эффекта.
Из сравнения уравнения Власова (8.9) и наиболее общего
уравнения (8.1) можно сделать определенные выводы о характере
приближений, делаемых в схеме Власова. Уравнение (8.1) можно
представить так, чтобы явно выделить самосогласованное поле:
dF{trP) Fx(tt r,
+ v J [Ф(к--г'|), (F2(t,r, r', р, p')-Fx(t, r, p)Fx{t, r'.p'))] X
Xdr'dp'. (8.11)
Из этой формы уравнения видно, что члену { }st уравнения
Власова соответствует последний член правой части уравнения (8.11).
Посмотрим, при каких условиях им можно пренебречь.
Представим формально Ф(г) в виде
где функция Фг (г) на больших расстояниях воспроизводит исходную
функцию Ф(г), т. е. соответствует реальному дальнодействию и,
в соответствии с законом зависимости Ф(г) от г, на больших
расстояниях мала по абсолютной величине; при г—>0 функция Ф\(г)
остается конечной и малой по абсолютной величине; функция Ф2(г)
при больших г равна нулю, а при г—>0 воспроизводит зависимость
исходной функции Ф(г)1).
В дальнейшем рассмотрении пренебрежем членом Ф2(г) в
выражении (8.12) для Ф(г). Строгого обоснования для такого
пренебрежения не существует. Оно мотивируется чисто физическими сообра-
х) В работе Харта и Раиса [244] кратко отмечается, что в случае
систем незаряженных частиц можно рассматривать два «интеграла
столкновений», соответствующих Ф1 и Ф2.
108 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
жениями о «превалировании эффекта дальнодействия». Результат
такого пренебрежения фактически означает, что пользуются исходным
реальным законом взаимодействия Ф(г), но в интегралах, где из-за
поведения Ф(г) при г —>0 появляется расходимость, исключается
область интегрирования, соответствующая малым г. Тогда, если
исключаемую область выбрать так, что |Ф(г)| вне этой области была бы
много меньше средней кинетической энергии частицы, т. е.
в принятых условиях равновесная функция распределения Максвелла —
Больцмана может быть приближенно представлена в форме
г7, р, pf) = w(p)w(p')g(\r-r'\) =
В общем случае малого отклонения от равновесного состояния по
аналогии можно положить
F2V. r, г' р, pf) = Fx{U r, p)Fx(tt r, p){l-o(t, r, г')},
Ф(| гг|)
где а имеет порядок малости величины —Vl ,т——.
Учитывая малость отклонения Fx от равновесного распределения
и соотношение (8.6), получаем, что в уравнении (8.11) второй член
правой части имеет первый порядок малости по сравнению с первым
членом, а третий член содержит множитель второго порядка малости.
Таким образом, если принять обоснованность полного исключения
из рассмотрения «близкодействия», то релаксационным членом можно
пренебречь по сравнению с членом, соответствующим действию
самосогласованного поля, при условии, что в интеграле, фигурирующем
в релаксационном члене, нет расходимости из-за медленного
спадания (по абсолютной величине) функции Ф(г) с ростом г.
Однако составление релаксационного уравнения представляет
самостоятельный интерес. Впервые вывод такого уравнения дал Ландау
для случая -пространственно-однородного распределения. Ниже мы
воспроизводим вывод Ландау, следуя его работе [40], в которой
рассматривалась система заряженных частиц.
Прежде чем приступить к изложению результатов работы Ландау,
заметим, что в случае системы одинаково заряженных частиц в силу
дальнодеЯствующего отталкивания между частицами невозможно
установление равновесного состояния в конечной области пространстэа —
частицы разлетятся на бесконечные расстояния. Поэтому
нейтральность системы является обязательным условием задачи. Отсутствие
нейтральности может рассматриваться лишь как задача на возмуще-
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 109
ние нейтральной системы, вносимое конечным (малым) числом
лишних зарядов одного знака.
Наипростейшей моделью будет система N частац одинакового
заряда е (скажем, электронов) и нейтрализующего фона из
«размазанного» с равномерной плотностью заряда противоположного знака.
Суммарный заряд фона равен взятому с обратным знаком суммарному
заряду N частиц, т. е. суммарный заряд фона равен — Ne, а
пространственная плотность распределения заряда фона равна — eN/V=—e/v.
Как обычно, при рассмотрении кинетических задач для исключения
эффекта границ при конечном объеме системы будем рассматривать
бесконечную систему, для чего положим ЛА->оо, К->оо, но l/v=N/v
остается неизменной конечной величиной. Закон взаимодействия между
зарядами как одноименного знака, так и разноименных, один и тот
же, потенциальная энергия взаимодействия отличается только знаком.
Поэтому если функция Ф(|г — г'\) означает потенциальную энергию
взаимодействия между двумя одноименно заряженными частицами,
расположенными в точках г л г', потенциальная энергия
взаимодействия частицы, расположенной в точке г, с противоположно
заряженным нейтрализующим систему фоном будет равна
Уравнение (8.9) для системы заряженных частиц с
нейтрализующим фоном следует записывать, таким «образом, в видоизмененном
виде:
F^t, r, p)\ + [U<r), Fx{t, r, p)\-
~[т J <b(\r-?№' Fit*' г, р)] + { L,
или, с учетом выражения (8.10),
4-}^'. Flit, Г, р)] + { }sl.
Заметим, что в пространственно-однородном случае —р = —.
Следовательно, выражение
ФС г)Ц±р<*. г)-!}
дает отклонение плотности распределения частиц в точке г в момент
времени t от пространственно-однородного распределения.
Таким образом, в случае .пространственно-однородного
распределения эффект действия самосогласованного поля исчезает. Кроме того,
110 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ.1
Уравнение (8.9) сводится к чисто релаксационному уравнению
(8.13)
Здесь эволюция во времени функции распределения частиц по
импульсам полностью определяется «интегралом столкновений». Именно
нахождение явного вида этого интеграла и было задачей Ландау.
2. Вывод уравнения Ландау. Следуя Ландау, рассмотрим
уравнение (8.7) с точки зрения баланса прямых и обратных переходов,
т. е. в форме уравнения (5.12):
- = Ь-а. (8.14)
Величины Ъ и а можно представать в различной форме
(например, при помощи формул (5.2) и (5.7)). Ландау выбрал наиболее
целесообразную для поставленной задачи форму представления:
*= \
где импульсы частиц pj и p* «до столкновения» выражаются через
импульсы частиц р{ и р2 «после столкновения» и ряд параметров,
характеризующих «столкновение»; dYl есть произведение
дифференциалов этих параметров. Функция W(jp*, р*2, pv p2^dU означает
вероятность перехода из двухчастичного> состояния p*v р*2 в
двухчастичное состояние рг, р2.
Сделаем замену переменных:
Обозначим
Учитывая закон сохранения импульса «до» и «после»
столкновения
получим для W следующие выражения:
p*. р\, pv р2)= W(Pl +f, р2 --§-, д. -q) ,
pv p\, pl)= w(Pl + %, p2-f, -q, q).
§ 8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 11 1
Из свойств функции W, рассмотренных на стр. 73, очевидно,
что
А—£. 9, -?) = ^(pi + f. A—f- -
так что можно просто написать
Таким образом,
X {«(Л + q)w(P2 — q) — w(pl)w(p2)}dUdp2^ (8.15)
Для дальнейших преобразований Ландау делает следующие
допущения: при кулоновском законе взаимодействия подавляющее
большинство «столкновений» происходит при больших «прицельных
расстояниях», т. е. частицы вступают во взаимодействие на таких
пролетных расстояниях, при которых заведомо потенциальная энергия
взаимодействия частиц много меньше средней кинетической энергии,
т.е. \Ф(гг—r2\)l<^kT. Но в таком случае рассеяние происходит
на очень малые углы, и изменение импульса частицы в результате
«столкновения» малб:
Используя это обстоятельство, разложим в ряды W и w и
ограничимся в разложениях членами второго порядка малости по q:
(8.17)
(12
МЕТОД БОГОЛЮБОВА
[ГЛ. I
Подставим разложения (8.16) и (8.17) в формулу (8.15). Тогда
получим
Интегрирование по параметрам, характеризующим столкновение,
означает в конечном счете интегрирование по всем дозволенным
характером взаимодействия значениям q. По постановке задачи область
возможных значений q не обладает какой-либо анизотропией. Поэтому
первое слагаемое в подынтегральном выражении при интегрировании
по упомянутым параметрам даст в результате нуль, так как это
слагаемое есть нечетная функция относительно q (как было отмечено
выше, W(pv p2, q) есть четная функция относительно q).
Итак, остаются только члены второго порядка относительно q:
»—j
Некоторые слагаемые в (8.18) можно преобразовать. Заметим, что
V (p,. ft. ») «(ft.
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 113
так как производная т £ и функция w(p2) при /?£'-> ± оо обра-
щаются в нуль. В результате убеждаемся, что в выражении (8.18)
второе и последнее слагаемые взаимно сокращаются, а третье и пятое
можно объединить.
Таким образом, получаем*
Это выражение можно также записать в следующей равнозначной
форме:
а, 0=1
А*лш /Г» \ "I
w (Pi> P2> Я) dTl dp2. (8.19)
Преобразуем это выражение, для чего рассмотрим интеграл
2, q)dU. (8.20)
Сравнивая исходную форму записи кинетического уравнения через
вероятностные функции двухчастичных переходов W с обычной
формой записи кинетического уравнения (4.2), получаем
Я)
I Р\ — Р2 I
где #12 = -b£i—££±, а—«прицельное расстояние», ф—«азимут
столкновения», т. е. угол, определяющий положение вектора а в плоскости,
перпендикулярной к вектору и12.
Найдем теперь выражение для q. Формально, очевидно, можно
написать
а
4
= Г
J
6
J dfx
-6о
т. е. изменение импульса первой частицы определяется результирую*
щим эффектом действия силы на &ту частицу со стороны второй
8 К. П. Гуров
114 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ.1
частицы за все время взаимодействия между частицами (пределы
интегрирования взяты от времени «до взаимодействия» до времени
«после взаимодействия»). Здесь
t t
= 0+ J [ul(s) — u2(s)]ds = a + J u12(s)ds.
Заметим, что согласно законам упругих столкновений абсолютная
величина а12 до и после столкновения не изменяется. С другой стороны,
согласно исходному допущению в рассматриваемом случае угол
рассеяния мал. Поэтому, следуя Ландау, можно положить
t
J u
о
о
Таким образом,
+ 00
Г
J
да
— 00
ИЛИ
+ 00
Г a + ul2t
Г
~ J
12*1)
+ 00
a d<b(\a + ul2t\)
2t\)
так как второе слагаемое есть интеграл от нечетной функции
относительно t, т. е. этот интеграл равен нулю.
Перейдем теперь к конкретному виду закона взаимодействия
(закону Кулона):
Тогда
+00
udt
— _ 2 f
~ в J
Представим модуль следующим образом:
= + V
== + У а?
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 115
так как
ая^ = аи12 cos 90° = 0
(на стр. 113 было отмечено, что вектор а лежит в плоскости,
перпендикулярной к вектору и12). Таким образом, интеграл сводится
к виду
+ОЭ +ОО
еЧ^ Г dx _ _ е2а Г dy _ 2 е2а
9~ I J —
ип * (аг-\-х*)12 и12аг _•>
В результате для интеграла (8.20) мы получили следующее
выражение (с учетом (8.21)):
2л оэ
Рассмотрим интеграл
2л
Поворотом координатных осей на некоторые углы перейдем к
новой системе координат, в которой ось zf направлена по вектору #12
и, следовательно, оси xf и у' лежат в плоскости, в которой лежит
вектор а. Выберем при этом оси х' и у' так, что a* = acosq),
#y = asinq). Согласно общим правилам преобразования координат
имеем
Y
Отсюда
Y',e' = l
В нашем случае az' =0. Поэтому
aaap = l^ fa {axj + lay hy WJ + (hx' hr +
или
a«aP = a2 {lax> l^> cos2 cp + lay 'l$y sin2 cp -\-(lax' hy+kiy V)sin Ф cos Ф} •
Далее, заметим, что
2Л 2Л
Г cos2cptf(p== J sin2q>d(p=n.
о
2л
Г
о
2л
116 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ.1
Отсюда получаем
J ^
о
Воспользуемся свойством 1ар —элементов определителя
преобразования координат —
з
где бар — символ Кронекера:
6ар = 0 при а Ф р,
6аа= 1, при а = р.
Имеем отсюда
Заметим, что элементы 1а§> являются косинусами угла между
соответствующими координатными осями в старой и новой системах
координат. Но ось z' направлена по вектору и12. Поэтому, очевидно,
и12* ^ и12
Итак, мы получили
2 1+ц/ —— л
,2
Отсюда интеграл (8.20) сводится к виду
Интеграл — расходится как на нижнем, так и на верхнем
пределах. Как мы уже отмечали, во всех случаях, в которых мы
интересуемся дальнодействием, обязательно предполагается слабость
взаимодействия, что, как следствие, приводит к необходимости
исключать из рассмотрения короткодействующие силы, т. е. такие
«прицельные расстояния», при которых возникают взаимодействия с
энергией, превышающей среднюю кинетическую энергию частиц (т. е. kT).
Ландау также вводит это допущение для исключения расходимости
интеграла на нижнем пределе. Интервал интегрирования по а снизу
§ 8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 117
обрезается на значении а0, при котором
£ = *7. ао = £. (8.22)
Ландау также обрезает интервал интегрирования по а сверху,
исходя из того, что в действительности каждую заряженную частицу
«экранирует совокупность всех остальных» частиц, так что
эффективный потенциал действия частицы с зарядом е в точке,
расположенной на расстоянии г, дается не формулой Кулона, а формулой
f ехр(— иг), (8.23)
где и — параметр экранирования (потенциал (8.23) называется
экранированным кулоновским потенциалом). Параметр х определяется
по теории Дебая—Хюккеля формулой
1 е2
U ~ V)'
М
)
Можно считать, что эффективный радиус действия имеет порядок
величины X"1. Таким образом, верхний предел интегрирования по а
обрезается на значении
(1 />2 \-Vl
ттг) • <8-24>
Отсюда
а0
Объединяя все полученные результаты, приходим к кинетическому
уравнению Ландау1):
з
dt =
где
1) Пригожий и Балеску [54] предложили наиболее общую и в то же
время компактную форму записи этого уравнения (без явного обрезания
расходимостей; об этом уравнении см. ниже, стр. 143).
118 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ.!
Заметим, что согласно (8.22) вместо (8.24) можно также написать
или
v *= а0*
По самому смыслу верхнего и нижнего пределов обрезания интеграла
должно быть
аг > а0,
откуда следует
или
a\>v,
'"ср»
где rCpt&vlh — среднее расстояние между частицами.
Следуя Ландау, обычно принимают аг = %~1 = га (jd—дебаевский
радиус экранирования), так что условие приобретает вид
rd>rcp. (8.28)
Физический смысл этого условия очевиден: для экранирования
взаимодействия двух частиц требуется, чтобы между ними находились
другие частицы. Выполнимость условия (8.28) является существенной
для применимости модели экранирования по теории Дебая—Хюккеля.
Аналогичное условие имеется в случае квантовых систем (см. стр. 249).
Если условия такого типа не выполняются, то это не значит, конечно,
что экранирование отсутствует, а означает лишь, что экранирование
описывается по другой модели и соответственно последней надо
выбирать значение аь которое всегда должно быть больше, чем а0.
Далее мы покажем, что результаты Ландау можно также получить
и по схеме Боголюбова. Однако при этом существенно необходимо
введение параметра малости
v
Это условие еще более ограничивает область применимости дебаевской
модели экранирования.
3. Анализ уравнения Ландау. Покажем, что уравнение (8.26)
действительно является кинетическим, т. е. релаксационным
уравнением. Для этого докажем, что это уравнение удовлетворяет Я-тео-
реме Больцмана (см. формулу (5.18) на стр. 47).
Составим функцию
t(t, p)lnw(tt p)dp
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 119
и докажем, что
Для краткости запишем уравнение Ландау в виде
где
Очевидно,
/"(Р2. /»i) = -^(Pi. Л).
Заметим также, что можем написать
так что
Рассмотрим выражение для -дз-:
n«>(/, Pl)]dPldp2 =
так как У0^, р2) = 0 при
120 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Далее, можно написать
з
ш+
+/■<*.
>
—it J а„. й
Подставим теперь явное выражение для Ja(pi> p2).
S
а, 3=1
"12
^In
Имеем
з
VI 2 д Г dlnw (p{) dlnw (p2) 1 Г din w (p{) д In w (p2)
2 Г^Ina^(pi) dlnw(р2)"|2
U12 L Sp] Sp^ J f
з
Vi ft о fdlno' (pO d In w (p2) "I Г d In w (pi) д In w I
\d\nw(pl) (/2))
Таким образом,
ГДIn*(Pi)
L dpi
(dlnw (px) д In w(p2)Y\*
Здесь Q > 0, —3- > 0, ^(p)>0 (согласно физическому смыслу w(p)).
Выражение в фигурных скобках, имеет вид
А*В2 — (Л#)2 = Л2В2 (1 — cos2 0) > 0
(0 — угол между векторами Л и В).
Следовательно,
что и требовалось доказать.
§8) КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 121
Покажем также, что равновесным распределением,
удовлетворяющим уравнению Ландау, является распределение Максвелла, т. е.
докажем, что интеграл столкновений в уравнении Ландау
тождественно обращается в нуль при подстановке
wo(p) = Ae-^ (v>0).
Имеем
следовательно, интеграл столкновений имеет вид
3 . 9
Легко видеть, что
2 [«ИА» ~
Р=1
т. е. интеграл столкновений тождественно равен нулю, что и
требовалось доказать.
4, Релаксация в двухтемпературной системе. Ландау на основе
выведенного им кинетического уравнения рассмотрел процесс
релаксации температур в двухтемпературном газе электронов и ионов х)4
Распределение по импульсам как ионов, так и электронов
принимается максвелловским (квазиравновесные распределения, см. стр. 94).
Ниже мы приводим результаты Ландау. Индексом 1 будем обозначать
ионы, индексом 2 — электроны.
Уравнение (8.14) дает изменение в единицу времени
относительного числа частиц с импульсом р за счет баланса прямых и обратных
переходов. Соответствующее изменение энергии, очевидно, равно
Е(р)ф-а).
Полное изменение энергии в подсистеме, скажем, ионов, таким
образом, равно
JE(Pl)(b-a)dPl.
Используем выражение (8.19) для баланса Ъ — а и учтем, что
распределения как ионов, так и электронов равновесные, но с разной
температурой, благодаря чему в интеграле столкновений могут быть
только слагаемые, связанные со столкновением разных частиц (иона
1) Процесс релаксации в двухтемпературяой смеси газов ионов и
электронов рассмотрен также в работе Дугала и Гольдштейна [61] и Когана [123]^
122 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ.1
с электроном), а не одинаковых. Имеем
з
E(p1)(b — a)dp1= ^ Q j E(PJyT><
х
Проинтегрируем это выражение по частям и учтем, что w(P\) и
w(p2) обращаются в нуль при ра->±.оо. В результате получим
з
Г Л/7 (п \
X
I W (Р\) о— ~~" W \Pi) 5— I —о йРх йРч* (о.лУ)
I ^/^2 ^Р\ I ^12
Заметим, что
1 2т '
Л
dw(pn) pt tt2
a/?| т2ЛГ2 V/^27 ЛГ2 2'
Подставляя в (8.29), получаем
J Е (р{) (* — в) rfpi «= 2d Q J W (pdw (pi) и? X
Запишем
___f ^
кТ2 ~ kTt kT
Подставим (8.31) в (8.30) и заметим при этом, что
у о «ia»tf-g&«?a _Q
§ 8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 123
В результате получим
E(Pl)(b-a)dPl =
= £ «Wt-t
£ WttW I ww ;
a,p=l 12
Поскольку масса ионов много больше массы электронов
можно положить
Тогда
Аф^-4Л ji *Mw-«?***. (832)
a,P=l ^12 a, pel ^
Отсюда получаем
/i 1 \ Г
а,Э=1 2
Заметим, что w(px) и w(p2) являются четными функциями своих
аргументов. Поэтому
4
при р =^= а; кроме того,
J У w(p1)w(p2)dp1dp2=0
Следовательно, интеграл (8.32) сводится к виду
г
_ / 1 1 \ г
a=l 2
Перейдем при интегрировании по р2 к сферическим координатам.
Тогда
v tin * v
1 о
124 МЕТОД БОГОЛЮБОВА Ц\Л. I
Для интеграла
иа)2 * * T
L
Г (иа)2 f* * T (иа)
J ±jjLw(p2)dp2 = m\ J J J ±j!
2 о О О U<1
при а = х получаем
2л Л оо
a2sinzQ cos2(pw(p2)dp2dQdq) = -^-т2 u2w(p2)dp2,
ooo о
при а = у получаем
2л Л оо
e2sin86sin29w(p2)^/'2^tf9=-7-iif| u2w(p2)dp2,
ooo о
при a = z получаем
2л Л оо
*2 u2cos2QsinQw(p2)dp2dQdq> ==-7£-т% I u
ooo
Отсюда имеем
= X mlQ (Ж ~ ж) J "2W (/>2М/?2 J "^
Заметим, что
о
Отсюда
Далее,
^^ / 9 \
J и2да (p2) dp2 = щ (2ящ11ТУ*!> J /»2 exp ^— ^ J
о о
9
J dp2 =
Итак,
(8.33)
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 126
С другой стороны, изменение энергии ионов в единицу времени
можно представить выражением
д Г д IZkTx
-sr E (Pdw^pi) dpi = -^r\—рг—
Сравнивая с (8.33), получаем
дТг 4(2л)1/*т$2 (Т2—Т
dt 3k(kT2)^2 mi \ T2
Следует сделать замечание о явном виде Q. В случае одного
сорта частиц (и нейтрализующего однородного фона) Q задавалось
формулой (8.27):
В случае двух сортов частиц (ионов и электронов) выражение
для Q следует уточнить. Плотность l/v перед знаком логарифма
появилась в выражении для Q в результате подстановки в
рассматриваемое кинетическое уравнение выражения типа (7.11).
Рассматриваемое кинетическое уравнение есть уравнение релаксации в
подсистеме одного сорта за счет «соударений» с частицами другого
сорта. Согласно формулам (7.4) и (7.2) в этом случае, когда
рассматривают релаксацию в подсистеме 1 (ионов), в качестве l/v
перед знаком логарифма в выражении (8.34) для Q следует взять l/v2
(среднюю плотность электронов), а когда рассматривают релаксацию
в подсистеме 2, то следует взять l/vx (среднюю плотность ионов).
Далее, логарифм в выражении для Q появился в результате
обрезания на верхнем и нижнем пределах. Теперь, когда играют роль
взаимодействия частиц разных сортов (электронов заряда —е и
ионов заряда ~\-Ze), для нижнего предела будем иметь
kT
Верхний предел определяется параметром экранирования к;
В случае разных сортов частиц (зарядов et и плотностей l/vt)
этот параметр дается формулой (Т — средняя температура)1)
1) Эта формула, вообще говоря, в случае зарядов разного знака
требует уточнения. Согласно изложенному в примечании на стр. 105,
потенциал Ф(г) взаимодействия частиц разного знака должен быть заменен
на эффективный потенциал, учитывающий квантовую корреляцию. Однако
126 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
В рассматриваемом нами случае
2 / ZV e2
В силу нейтральности системы общий заряд в единице объема равен
нулю, т. е.
откуда
Таким образом, получаем
J •
Следовательно, вместо формулы (8.25) получаем
Z
Отсюда в формуле для релаксации подсистемы ионов имеем
Для релаксации в подсистеме электронов формула будет иметь
следующий вид:
дТ2 = 4(2д)'/'т^/Г2-Г1\
где
*l
Объединяя результаты, получим
-LJ - = ft L 1 )(T2 — Tl)Lt
(8.36)
такая замена существенна только на расстояниях дебройлевской длины
волны электрона X. Поэтому если дебаевский радиус много больше X, то
формула (8.35) является хорошим приближением. Такой случай
осуществляется, например, при определенных условиях в электронно-ионной
плазме.
В § 11 на стр. 253 будет отмечено, что для сильно вырожденных
квантовых ферми-систем радиус квантовой корреляции хотя и меньше дебаевского
радиуса, но не намного. Поэтому в этом случае квантовый аналог
формулы (8.35), а именно формула (11.1) может рассматриваться только
в качестве ориентировочной оценки.
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 127
где
L = l
В § 7 мы в общем виде вывели формулу для релаксации
температур в системе, состоящей из двух классических подсистем. Для
времени релаксации там мы получили (формула (7.23)):
Время релаксации можно также вывести из уравнения (8. 36),
полученного нами непосредственно из результатов Ландау. Для этого
надо положить
и подставить это выражение в уравнение (8.36). Тогда получим
- = 57-— 1 U- (8-38)
Если учесть, что mi^>ni2> так что
1 1,
\i mx *
то формула (8.37) приобретает вид
1 1,1 1
— = « —,
\i mx * m2 m2
(8-39)
Из сравнения формул (8.39) и (8.38) видно, что результаты Ландау
можно получить из общих выводов § 7, если положить
(8<40)
38/' (kT2)2
Полученные результаты дают также возможность указать формулу
для приближенной оценки времени релаксации в системе
заряженных одинаковых частиц (с однородным нейтрализующим фоном).
Общая оценочная формула имеет вид (5.25)
t vu
(это же получается из формулы (8.39), если подставить — == —
и шг = тЛ, причем следует подставить выражение для 5 по
формуле (8.40) (с Z= 1, если заряд частицы равен е)% a. ui2 определяется
i 28 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
в зависимости от статистики системы (для классической системы
— /~3kT\
мы уже получили и 12 = "1/ 1.
Итак, в развернутом виде формула для приближенной оценки
времени релаксации в пространственно-однородной системе
заряженных частиц (электронов), подчиняющихся классической статистике
(т. е. при высоких температурах), имеет следующий вид:
1 _ 28W 1
т Zvm1* (kT)%t2
5. Применение метода Боголюбова. Общий анализ вывода
кинетического уравнения для классической системы заряженных частиц
с кулоновским взаимодействием (при наличии нейтрализующего фона)
дал Боголюбов [1]. В дальнейшем выводом кинетического уравнения
и анализом получаемых результатов занимались также ряд других
авторов [52, 53]. Вывод кинетического уравнения для системы
заряженных частиц по схеме Боголюбова по своему математическому
формализму подобен формализму, изложенному § 2. Однако параметр
малости, используемый для применения модифицированного варианта
теории возмущений в случае заряженных частиц, очевидно, должен
быть другой. Правильный выбор параметра малости должен быть
сделан на основе анализа физических условий задачи.
Поскольку выше мы дали подробный вывод уравнения Ландау,
то целесообразно в настоящей книге обоснование выбора параметра
малости начать с анализа физического содержания результатов Ландау.
Легко видеть, что в выводе Ландау допущения вводятся, если
так можно выразить, «поэтапно». Сначала делается предварительное
предположение о «слабости взаимодействия» и, как следствие,
предполагается, что рассеяние происходит на малые углы и с малыми
изменениями импульсов -частиц. На основе этого предварительного
допущения строится весь вывод кинетического уравнения. Лишь после
построения кинетического уравнения вводятся дополнительные
предположения, необходимые для «обрезания» интеграла, который
получился расходящимся.
Предварительное предположение Ландау означает допущение, что
потенциальная энергия парного взаимодействия при всех расстояниях
много меньше средней кинетической энергии частиц, т. е.
Очевидно, что это допущение автоматически также предусматривает
«обрезание» на малых расстояниях г, т. е. исключает из
рассмотрения короткодействующие силы. Как мы уже отмечали, такое исклю-
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 129
чение по необходимости предусматривается в любом выводе (в том
числе и в схеме Боголюбова).
Казалось бы естественным положить в схеме Боголюбова
где 8 имеет порядок малости отношения |Ф(г)|/А7\ и выбрать
величину е в качестве параметра малости, по которому производятся
разложения. Однако, как видно из результатов Ландау, при этом
получится кинетическое уравнение, содержащее расходимость при
больших пролетных расстояниях между частицами. Отсюда можно
заключить, что выбор такого параметра малости не соответствует
физическому содержанию задачи, в которой упор делается на
характер взаимодействия при больших расстояниях.
Заметим, что для обрезания интеграла при больших пролетных
расстояниях Ландау делает предположение исходя из теории Дебая—
Хюккеля — в качестве верхнего предела интегрирования вводится
дебаевский радиус экранирования
J_ = x2==i5£i (8.41)
rd vkT
(см. стр. 117). Если принять применимость теории Дебая—Хюккеля
в рассматриваемой системе, то естественно и в схеме Боголюбова
параметр малости выбирать, сообразуясь с этой теорией.
Согласно этой теории
kT
Поэтому в качестве параметра малости удобно выбрать величину
или, с учетом явного вида Ф(г),
4ле2
8 — rdkT #
Учтем выражение (8.41) для rd. Тогда получим
.—1-4.
г3 ЪТ г3
rd Rl rd
Таким образом, если в рассматриваемых уравнениях перейти
к безразмерным переменным и в качестве характерного масштаба
расстояния выбрать дебаевский радиус rd, то в этих уравнениях
члены, содержащие множители различных степеней (W/*|). будут
9 К П. Гуров
130 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
иметь соответствующие порядки малости. Можно в явном виде не
переходить к безразмерным переменным, а просто подразумевать,
что наличие в члене множителя vn указывает, что этот член имеет
я-й порядок малости.
Для правильного учета порядка малости каждого члена
представим Ф(г) в виде
Ф (г) = «¥(/•).
Очевидно,
Считается, что Ф (г) всюду конечно (как уже отмечалось, заранее
предусматривается обрезание при малых г).
После выбора малого параметра разложений можно перейти
к составлению кинетического уравнения по схеме Боголюбова.
Имеем исходные уравнения (с учетом нейтрализующего фона,
см. стр. 109):
=[/С(Рх), Ft(t9 rv Pl)] + [U(t, rd. FiV, rv
rl9 r2, pl9 p2) —
— Fi{t, rl9 POPiV9 r2, p2)]dr2, dp2,
ft ru£, Pu ft) =
Fs(t9 rb r2, r3, pl9 p2, pd — Ft(t9 r3, pOF2(t9 rv r2,pltp2)]drzdpz.
Здесь
^, r', p')dp'-\)]dr'v
Далее поступаем так же, как и раньше. Положим, что F2 и Fz
неявно зависят от / через зависимость от t функции Fx. Введем
разложение
F*(rv r3, pv p2, Fl) = F^(rv r2, pv p2, )
+ vFip(rvra, pv pv
и аналогичное разложение для F3. Кинетическое уравнение будем
искать в виде ряда по степеням v:
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 131
Тогда операцию диференцирования F2 no t можно представить в
следующей форме:
<^2 П /
dt о'
где Do — операция косвенного диференцирования с подстановкой Ло
вместо —иг-, Di—то же, но с подстановкой Av и т. д. Заметим
от 1 1
также, что самосогласованное поле U (t, r), очевидно, зависит от t
только косвенно, через зависимость от t функции Fv
Подставляя Ф (г) = v Ч? (г), имеем формальные выражения для At:
А) = [К (рг) + U (rlf FJ. Fx (t9 rl9 Pl)] + J [ЧГ (| гг - r21),
Ai= J F(Iri~r21)• F2](rv rr Pv Pi> ^i)]dr2dP% (8-43)
и т. д.
Уравнение для F2 распадается на ряд уравнений:
F?(rv rv pv pv
r2, rv Pv p2, Pv F,)-
p3) Ff) (rv r2> pv p2, Ft)\ dr3dp3, (8.44)
v p2, Ft)]+
^{rv r3, pv p2, F1)\drzdpv (8.45)
и т. д.
«Начальные» условия примем в форме
Um k\{FP(rv r2, pv р2, J
5(W> rv Pi^W rv P2)} = 0, (8.46)
lim S<t\ {ПХ) (rv rv pv p2, S^F,)} = 0 (8.47)
И Т. Д.
Здесь S®\ — оператор динамического сдвига в фазовом
пространстве замкнутой системы из двух частиц за счет свободного
9*
132 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
движения этих частиц за интервал времени (t, t — т). Условие (8.46)
можно, очевидно, переписать также в следующей форме:
lim k\{nO)(rv rv Pv p2, Sa>F$ = Ft(t. rv pJF^t, rv p2).
При таком начальном условии решение уравнения (8.44) для F$>
находится тривиальным образом. Очевидно, это решение есть
r2. pv p2, F) = Ft (t. rv Pl) Fl (t, r2, p2). (8.48)
Действительно, оно удовлетворяет начальному условию:
= lim [F(t. r,. Pi)F1(t, r2, pi)}=F1(t, rb pdF.it, r2, p2).
Простой подстановкой решения в уравнение (8.44) убедимся, что
при этом последнее уравнение превращается в тождество. Заметим
предварительно, что мы, чтобы не усложнять выкладки,
рассматриваем уравнение для F2, а не общее уравнение для Fs с s^-2.
Однако для s > 2 все результаты, очевидно, получатся подобными
результатам для s==2. Так, для Ff] уравнение и начальные
условия подобны уравнению и начальным условиям для Ff\ Решение
также будет подобным:
' Г2- гг> Pv Pi- Pv Л) = /71(^ rv Рх)Рх{^ r2> P2)/7i('. rv рг).
Тогда имеем
-г3\). Ff(rv rr rv Pv p2, Pz, F,)-
-Ft(t, rv Pl)Ff>(rv ra, pv py Ffldr^saO.
Заметим еще, что при F^ вида (8.48) будем, очевидно, иметь
Таким образом, уравнение (8.44) сводится к виду
C. rlt px)A0(t, rt. P2)+Fl(t, r2, р2)Л0(^. гь px) =
= FiV, rb Pi)[K(p2)-\-U(r2, FJ. Ft(t. r2, p2)] +
t, r2. p2)[K(pl)-\-U(r1, FJ, F^t, ru Pl)\.
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 133
Подставляя в это уравнение выражение (8.42) для Ао и замечая,
что в этом выражении последнее слагаемое тождественно равно нулю
при F^(rv r2, pr р2, F^F^t, rv р2)/*,(*, r2, p2), убеждаемся,
что уравнение (8.44) тождественно удовлетворяется выбранным
решением.
Таким образом, мы нашли F*§\ Подстановка этого решения в
выражение для Ло, т. е. в нулевое приближение уравнения для Fl9
приводит к уравнению с самосогласованным полем:
Ft(t, rl
По развитой ранее методике можно составить уравнение
следующего приближения. Эта процедура в случае
пространственно-неоднородного распределения частиц очень сложна из-за наложения
эффекта действия самосогласованного поля и релаксационных
эффектов, связанных с парными «соударениями». Имея в виду изучение
чисто релаксационных эффектов, мы составим уравнение первого
приближения для пространственно-однородного случая, заменив
Fx(t, rlf рх) на w(t, p).
В пространственно-однородном случае, как показано на стр 109,
U (г, />,)==<>.
А) С г, p) = [K(p)+U(r, FJ. w(t, p)] = 0.
Поэтому кинетическое уравнение рассматриваемого приближения
имеет вид
. = ^1(*. ги Рх),
где Ах определяется выражением (8.43).
Заметим, что в уравнении для F$* (8.45) DoF^^eO, так как Do
есть операция косвенного дифференцирования по t с подстановкой Ло
вместо —si-* а в рассматриваемом случае Л0 = 0. Таким образом,
уравнение для F^p сводится к виду
. r2, pv p2, «) =
rv rv Pl. Pl. w)\ +
(|r2-r8|). F$>(rv rv r,, pvPr pv w)-
— w(t, p^F<£)(rv rv pvpv w)]dr8 <*/>,+
+ rP(\ri~r2\)' ПО)(Г1- rv Pv Pv «)J- (849)
Учтем найденный явный вид для F(^:
Ff> = w(t. Pl)w(t, p2).
134 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ.1
Тогда
^wit, Pl)Ax(t, r2, p2) + w{t, р2)А^, rv Pl) =
•('• *) J Fd^-^l)- WCr rv Pv Pv
«('• Pi) J F(lri-r3l> ^(rr r3> Pv Pv
pi) J ^(l^-^3l)^'(r,y2,P,,
J "(1^|)%у
(остальные два алгебраические слагаемые в правой части последнего
выражения равны нулю, так как содержат равные нулю множители
Далее,
Г|Г(1Г1-Г»1
На стр. 19 указывались возможные аппроксимации для F3.i
Сообразуясь с этими аппроксимациями, положим
FJP(rv r2, г,. pv pv py w) = w(t, pJFP(ry r,. p2, p3,
+ w(*. Pj,)/^)^, г3, рх, р3,
Тогда
|), П1'^' rr rv Pv Pv Рз.
rv pv pr w)]dr3dp3 =
*8|> •('• PiWV r8. P2> P3.
P2)F21)(rv rv Pv Py ™)]drzdp3 =
I {""UT^" ^'PC, ^ л- p, -)+
$8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 135
[\ ^(Кх—г3|)
J I dFi ( '
+■
причем здесь также не выписаны члены, содержащие равные нулю
множители
J др3
Подставляя полученные результаты в уравнение (8.49) и сокращая
на одинаковые справа и слева члены, получаем для F$ следующее
уравнение:
,. гг, р,. P
*>■ \ ""IT*"
Исходя из структуры этого уравнения, можно предположить
F^(rv r2, pv pv w) = g{rl — rv pv p2, w).
Обозначая r = rx — r2, будем иметь
),
_ Pi ^ (**! — /"2, Pi, P2, W) P2 dg (П — Г2, pb p2, tgf) _
m дг\ т dr2
_ P1—P2 dg (г, Рь Р2.
m dr
— J
J ЯГ('йГГ>1)^(^ -a- P
- J (^
A. ft,
136 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ, I
Таким образом, уравнение (8.50) принимает вид
Р\ — Р2 dg (г, ри Ръ w) _
т дг
I (-r', р2> р3, w)dr'dp3-
Учитывая выражение (8.43) для Аь мы видим, что формально
кинетическое уравнение в рассматриваемом приближении можно
представить в виде
^Л = v J
^ J p, w)]Лг§ (8.52)
где
h(rt р, ^)= J g-(r, р, р\ w)dp'.
Задача составления явного вида кинетического уравнения, таким
образом, сводится к отысканию явного вида h (r, p, w). Для
нахождения уравнения для h (r, р, -а/) поступим следующим образом.
Обозначим правую часть уравнения (8.51) через #(г, р1э р2, w).
Формально заменим г на г—Pi~"2 x. Тогда уравнение (8.51)
запишется в форме
Учитывая очевидное равенство
дх
можно также написать
-*^*- Л. А. •)—Я(г-^^т. л, р2>
Решение этого уравнения имеет вид
—Px~Pi^ Pi' Р2. *>j—g(r, р„ р2, -0») =
■■— [ Н{г —
р2, «) dt'. (8.53)
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 137
Заметим, что
х> Pb P2> «>)=g(ri— Г2— Pl~P2*> Pb
i' rv Pv P25(»- (8-54)
Соотношение (8.53) верно при любых т. Поэтому перейдем
к пределу т-» + оо и учтем начальное условие (8.47). Согласно
этому условию и соотношению (8.54), имеем
llm g(r— р1~~Ргх, Рь р2, w) = 0.
Тогда получим
00
g(r. Pi. Рь v)= J н(г—р1~р2х, pv p2, w}dx.
Следовательно,
h(r, pv w)= J g(r, pi, p2, w)dp2 =
oo
= j § H[r-b=£LXt Pl, p2, w)dp2dx.
0
Подставляя сюда явный вид Ht получим интегральное уравнение
относительно А (г, р, w):
о
X А (— г', р2, w) dr' dp2 dx —
- J **&*£ J J *(|r-/'-uift
i
"A- (866)
1 38 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
6. Анализ результатов с точки зрения схемы Боголюбова.
Физическое содержание уравнения (8.55) можно выяснить,
проанализировав его с учетом структуры и особенностей кинетического
уравнения Ландау. Для такого анализа полезно рассмотреть кинетическое
уравнение, получаемое по схеме Боголюбова путем разложения по
параметру малости порядка величины \Ф(г)\/кТ. Вывод такого
уравнения дал Боголюбов [1]. Мы этот вывод воспроизводить не будем,
так как он совершенно аналогичен выводу кинетического уравнения
путем разложения по параметру v. Выпишем здесь только конечный
результат Боголюбова:
dw (t, pi) 1
w(t, рх)w(t, p2)] ] dr2dp2, (8.56)
где аг2 = **1~"**2 и подразумевается, что Ф (г) = £ф (г), <р — конечная
величина при всех г (с учетом обрезания при малых г).
Сравним это кинетическое уравнение с кинетическим
уравнением (8.52), полученным при разложении по степеням v в
предположении Ф (г) = v*¥ (г). Сравнивая уравнение (8.56) с
уравнением (8.52), в которое вместо h(r, р, w) должно быть подставлено
решение уравнения (8.55), сразу же замечаем* что два
рассматриваемых кинетических уравнения совпали бы, если в уравнение (8.55)
в правой части оставить только третье слагаемое.
Действительно, заметим, что г = гг — г2, так что
! — Г2|), «(*. p{)W(t. p2)].
h (r, p, w) =
о
t px)w(tt p2)]dp2dx.
Подстановка этого выражения в уравнение (8.52) приводит к
уравнению, тождественному по форме уравнению (8.56).
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 139
Рассмотрим подробнее уравнение (8.56).. Найдем развернутую
форму этого уравнения. Для этого заметим:
j j Ф(|гх —r2|), J
w(t, pjwit, p2)J\dr2dp2 =
. Pi) • (*. Рг>] dr2 dp2 +
w(tt px)w(t, p]
w(t, pi)w(t, p2)]dr2dp2 =
_V д Г Г дФ(г) 7 дФ(\г
-щ2т\)
X ^К»1—«»*!> rft/ ^ V'> «(/. р2)-
Й(|г-Й12т|) \ ^
Для рассматриваемого здесь кулоновского взаимодействия
|ф(г) =—1 последнее выражение сводится к виду
.VI д Г Г га 7 r^—utx
е* У —- -г / ^-^
х
140 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Совершим преобразование координат в пространстве г, повернув
координатные оси так, чтобы ось z совпала с направлением вектора и12,
2
Y'
Очевидно, тогда
Кинетическое уравнение будет иметь вид
,Pl)_* у ^ * f Г р'„Уту'-
Очевидно, можно написать
где a — вектор прицельного расстояния и 6j_a; Ъ направлен по
направлению вектора и12 (т. е. по оси z), так что можно написать
Перейдем, далее, в пространстве г к цилиндрическим
координатам с цилиндрической осью по оси zr (т. е. по направлению
вектора и12) и с азимутом ф, отсчитываемым от оси хг, Очевидно,
вектор а лежит в плоскости х'у'.
Тогда кинетическое уравнение примет такой вид:
зз °° +°° ^ °°
dw (t, рЛ е
—оо О О
(а) (ди12) (Ф) (г)
Заметим, что
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 141
и выполним интегрирование по <р. В результате получим
з 2я
Yr, e'=l
2rt
'a2 COS2 ф+/ау'/ру'#2 Sin2 ф+(/алг'/ру' ~HpWay') a2 Sinф COS ф-|-
(lax'hz' Ч- V*a*') Я COS фЯ 12? -f (/ay'/jfc' + /ру'/агО п Sitl фЙ1
^ C0S 4Ul2X-lay'h
\2q (q -
так как
2л lay'lfry' —
Yf = l
Заметим также, что
так как вектор а перпендикулярен к вектору я12 и, следовательно,
аи12 = 0. Таким образом, кинетическое уравнение сводится к виду
оо +оо с»
/, р2) (.
1
X dx d (a12g) da dp2.
142 МЕТОД БОГОЛЮБОВА 1ГЛ. I
Выполним теперь интегрирование по т. Заметим, что
dx _ 1
Г
J
r-= l Г
q
f (g — t)^t _ 1 Г ul2(x — q)d[ul2(T — q)] _^
]o [a2 + u\, (q - t)f W?2 j
[a2 + u212(x — qff2
ии ю № + 'Л2)'2 tti2 L (*2 + Л2)72 J +оо tti2 (а2 + м22^2) 2
В результате получаем кинетическое уравнение в виде
4 3 д оо - •-
1p1)=^fl у -1. Г Г
2 (а)
J ifio(az4-uioa г
В правой части этого уравнения второе слагаемое в квадратных
скобках равно нулю, так как в этом интеграле по q подынтегральное,
выражение есть нечетная функция относительно q. Интеграл от
первого слагаемого в квадратных скобках равен:
+ ОО +ОО
Г +
-2)8/2 "12а
Итак, мы пришли к окончательной развернутой форме
кинетического уравнения, получаемого при разложении по параметру
малости е порядка величины |Ф(г)|/^Г:
3 °° 2 ft
dw(t,p) neq у* д [ [ da иг26а^ — t%i%
~A2
_ пе* у. д Г Г da
V *d ~dpf J J ~
a, 6=1 yi (p2) 0
Как мы видим, это уравнение полностью совпадает с уравнением
Ландау. Оно также требует обрезания на больших прицельных рас-
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 143
стояниях. Заметим, что уравнение Ландау было выведено без
привлечения модели теории Дебая—Хюккеля. Последняя модель была затем
использована лишь для обрезания интеграла на больших прицельных
расстояниях. При выводе же уравнения (8.55) для h (r, p, w) с самого
начала мы исходили из модели Дебая — Хюккеля, подбирая параметр
разложения в соответствии с этой моделью. В то же время выше
было выяснено, что в уравнение для h (r, p, w) (8.55) входит
слагаемое, которое, если бы не было двух других слагаемых, привело бы
к уравнению Ландау. Отсюда Боголюбов делает вывод, что два других
слагаемых в правой части уравнения для h (r, p, w), полученных
в схеме, основанной на использовании модели теории Дебая и
Хюккеля (предусматривающей экранировку кулоновского взаимодействия
за счет поляризации «окружающей среды»), как раз ответственны
за то, что получаемое решение уравнения для h (г, p, w) обладает
необходимыми «экранирующими свойствами». Подстановка этого
решения в уравнение (8.52) должна привести к кинетическому
уравнению, в котором интеграл столкновений не будет содержать
расходимости на больших прицельных расстояниях^ а форма интеграла даст
возможность интерпретировать «столкновения» как взаимодействия
с экранированным кулоновским потенциалом. В своей монографии [1]
Боголюбов отмечает, что такое рассмотрение удобнее всего провести
в импульсном представлении, заменив функцию h (r, p, w) на ее
фурье-образ:
h (r, p, w)= J eikrh(k, p, w)dk.
7. Выполнение программы Боголюбова. Общее направление
указанной программы нашло отражение в работах Пригожина и Балеску
[52, 54—56]. В своих работах они рассмотрели преобразование Фурье
соответствующих выражений. В частности, они получили уравнение
Ландау в форме
(8.57)
Здесь ■ пе2 есть фурье-образ потенциальной энергии парного
взаимодействия по закону Кулона.
Легко показать тождественность этого уравнения с обычной
формой уравнения Ландау. Действительно, перейдем в пространстве q
к сферическим координатам, причем будем отсчитывать угол широты 0
от направления вектора #12. Тогда
= 5 (qu12 cos 9) = —!— 6 (cos 0). (8.58)
1 44 МЕТОД БОГОЛЮБОВА ГГЛ. I
Интегрирование по углу 0 с учетом свойства дельта-функции
6(cos0) приведет к тому, что составляющие qa в подынтегральном
выражении могут быть только такими, которые образуют вектор q,
лежащий в плоскости, перпендикулярной к вектору #12.
Следовательно, отличные от нуля qa имеют смысл составляющих вектора
прицельного расстояния а. Далее, поступая как на стр. 140, приходим
к обычной форме уравнения Ландау. Заметим, что уравнение (8.57)
имеет логарифмическую расходимость при больших прицельных
расстояниях, подобную расходимости, рассмотренной на стр. 117.
В общей постановке задачи Пригожина и Балеску искомое
кинетическое уравнение записывается в виде
= J
Pi PN)dp2 ■ • • dpN.
Подразумевается, что оператор R за счет фурье-преобразования
приведен к виду, в котором он содержит лишь операции, действующие
только на переменные р. Явный вид этого оператора находится с
помощью диаграммной техники1). Рассматриваются все возможные
диаграммы. Отмечается, что они соответствуют слагаемым преобразования
Фурье, содержащим в разных сочетаниях степени е2 и l/v. С учетбм
теории Дебая—Хюккеля диаграммы группируют по различным
степеням параметра малости теории, содержащимся в соответствующих
диаграммам выражениях. Тогда получается формальное выражение для
кинетического уравнения
i
a=l * х
в котором Q(px, q) определяется из интегрального уравнения.
Как видим, эта процедура по своей сути аналогична программе,
предложенной Боголюбовым.
Балеску [52] в пространственно-однородном случае дал решение
уравнения для Q(px, q). Подстановка этого решения в уравнение (8.59)
приводит к следующей форме кинетического уравнения:
з
dw (t, р:) 16я3£4 V4 v
a,P=l
dp" J J
X { ^f± • it. a) - ^^Й1 w q, Pl) j dq dp2, (8.60)
l) Применение диаграммной техники для решения задач по кинетической
теории описано в монографии Пригожина [185].
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 145
где
Р — главная часть в смысле Коши.
Сравним уравнение (8.60) с уравнением (8.57). Легко видеть, что
все различие заключается в том, что в уравнении (8.60) под знаком
интеграла стоит множитель
1 , (8.61)
а в уравнении (8.57) стоит множитель \jqA. В уравнении (8.57)
множитель 4ле2/д2 означает фурье-образ энергии кулоновского
взаимодействия. Значит, изменение соответствующего множителя можно
интерпретировать как замену кулоновского взаимодействия «эффективным
взаимодействием». Однако интерпретация этого эффективного
взаимодействия даже в рассматриваемом здесь случае пространственно-
однородной системы очень сложна из-за наличия под знаком модуля
в формуле (8.61) комплексного выражения (не забывать, что 6_(л:) =
-Я6(ДО-1Р(1)).
В работе Ахиезера и Ситенко [57] было показано, что для малых
значений рг/т (т. е. для малых скоростей) мнимой частью в
выражении (8.61) можно пренебречь и фурье-образ эффективного
взаимодействия, таким образом, сводится к виду
т. е. к виду, соответствующему экранированному взаимодействию:
ФЭфф(0 = -7-ехр(— иг).
Если, кроме того, предположить, что w(t, р) мало отличается
от равновесного распределения и в формулу (8.61) подставить
равновесную максвелловскую функцию wo(p), то для к2 получим
выражение, в точности совпадающее с выражением (8.41) для \\т2й, где
rd — дебаевский радиус экранирования.
Наиболее последовательно программу Боголюбова выполнил Лен-
нард [53]. Кинетическое уравнение (8.52) он выразил через фурье-
представление функций "ЧР" (г) и Л (г, р, w), составил фурье-предста-
вление уравнения (8.55) для h (г, р, w), нашел решение этого уравнения
и найденный явный вид фурье-представления функции h (г, р, w)
подставил в кинетическое уравнение, в результате чего стало возможным
10 К. П. Гуров
146 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
убедиться, что уравнение автоматически предусматривает
экранирование кулоновского взаимодействия.
Фурье-образ функции
имеет вид
= Г ЧЧг)*-1*'rfr = -£ J je~ikrdr =
= -£ I* Г J* e-ifcrcosQrsinQd(pdQdr = ^- \ (eikr — e~ikr)dr =
боб
Заметим, что W (k) —-вещественная функция, четная относительно k:
Далее,
A (ft, p, w)= I A (r, p, w)e~ikrdr.
Подставим эти фурье-образы в кинетическое уравнение. Для этого
заметим, что
J рГ(г), А (г. р, w)]rfr = ^ J ^У3-*(г. P.
= 4" J J J [■£<*(*>'*'']*(*. P.
^iJL [ [ [ k'eir (*+*') ^(ft') A (ft, p, w)dkdk'dr =
— iJ!-[[ k'b(k + k')4 (k')h(k, p, w)dkdk' =
В силу общего свойства фурье-образа
легко видеть, что A(ft, p, да) не может быть в общем случае
вещественной функцией, так как тогда она была бы четной функцией
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 147
относительно ft,
Ъ (— ft, p, w) = h* (ft, p,w) = h (ft, p, w)
и, следовательно, интеграл
JftW(ft)£(ft, p, w)tfft
был бы тождественно равен нулю, как содержащий нечетное
относительно ft подынтегральное выражение. В таком случае
уравнение (8.52) тождественно обратилось бы в нуль, что соответствовало бы
равновесному состоянию. Таким образом, в общем случае Л (ft, p, w)
должна быть комплексной функцией, причем в силу только что
данного объяснения должно быть
J ft\F(ft)Re£(ft, p,
J ft¥(ft)%(ft, p, w)dk==:i J kW(k)lmh(k, p, w)dk.
Итак, искомая форма кинетического уравнения имеет вид
dwftP) = v -^ J ft^ (ft) Im Л (ft, p, w) dk, (8.62)
или
^£L = ine2V^ J ^imA(ft, p, w)dk.
Задача, таким образом, сводится к нахождению мнимой части
функции h (ft, p, fe>). Для этого составим фурье-образ уравнения (8.55):
J k(r. Л. .),--./•= J J J [*$**-*<-'. A.
X A(r'. a.
J
Преобразуем правую часть этого уравнения. Имеем
10*
148 МЕТОД БОГОЛЮБОВА
так как 1Р(г) = 0 при г->оо. Далее,
[ГЛ. I
J yp(\r — r' — u12%\)e
= e-ikr'e-ikux,x J V[r (/?) e-ikR dR _ £-/*r ^
Заметим также, что
J e-tto'hi—r', p2, w)dr' = J eikr'fi(r', p2, w)dr' = h*(k, p2, w)
Итак, фурье-образ уравнения (8.55) имеет вид
оо
А(*. plt w) = /ft J J e-
p2, w)-
A.
Используем формулу
где а > 0, a — малая величина. Тогда имеем
1 k
— /а
где й^2 = а12 -j- — составляющая вектора и12 по направлению
вектора k. Заметим также, что
k д д k д д
k дрг др\ ' k др2 dpi *
Таким образом, получаем уравнение
Заметим, что мы можем провести интегрирование в
пространстве импульсов р2 по координатным осям, перпендикулярным
§fi] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 149
к единичному вектору к = — . Тогда будем иметь
//(ft, р1 «) = JI (ft, Pv w)dP\dp%
где р\ и pi*— составляющие вектора р по координатным осям,
перпендикулярным к вектору х.
Можно также написать
Я (ft, p\% w) = J A(*. />2, w
Аналогично,
Г (к, р*)= J w(p2)rf^rf^= J
Отсюда получаем
+ 0О
- (8-63>
Таким образом, мы пришли к интегральному уравнению,
содержащему простой интеграл вместо трехкратного в исходном
уравнении. Решение этого уравнения требует знания явного вида Н.
Поэтому лучше перейти к интегральному уравнению относительно //,
для чего уравнение (8.63) проинтегрируем по составляющим р\ и р\
вдоль осей, перпендикулярных к вектору х. Тогда получим
(8.64,
Заметим, что функция Н (ft, pk, w) вещественна. Дадим
доказательство от противного. Пусть //(ft, pfct w) есть чисто мнимая функция.
150 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ.1
Обозначим
pk, w) =
Обозначим для краткости тайке
dp*
Имеем общую формулу
+ ОО +ОО
lim Г -г -TA(p*\dpk = m lim
Нш f -T-^T
'■ — pS — ia
-оо * А • ^2
>h (8.65)
где Р — главная часть интеграла в смысле Коши. Применим эту
формулу к правой части формулы (8.64) и выделим мнимую часть
(напомним, что, как указывалось на стр. 146, Ч? (ft) есть чисто
вещественная функция). Поскольку принято, что X есть чисто мнимая
функция, а У— чисто вещественная функция (она целиком
определяется вещественной функцией w), то первые два слагаемых в
формуле (8.64) должны быть взяты как главная часть интеграла, а
вторые два слагаемых должны войти в результат в форме последнего
слагаемого формулы (8.65). Однако в нашем случае imnA(p^\
сводится к виду
Таким образом, будем иметь
х(pf)=P
Рассмотрим функциональные преобразования X (z) и Y (z), где
z — комплексный аргумент в верхней полуплоскости (т. е. Im z > 0)/
Аналитическая функция X (z) регулярна в верхней полуплоскости,
lim ^(2) = 0 и однозначно определяет функцию Х(р^). Аналогичны
§8] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 151
определение и свойства Y (z). Составим функцию X (К—1), которая
тоже регулярна в верхней полуплоскости, и рассмотрим предельное
выражение
lim lm{X(Y — 1)} = lim {Im X . ReK + Im Y . Re* — Im*} =
\ \
+0° k
2
Согласно принятому определению функции X(p!f), это выражение
тождественно равно нулю. Функция Y(pk), связанная с w(p),
произвольна (начальные условия для w(p) можно задать произвольно)
и поскольку она однозначно связана с Y(z), а последняя заведомо
не равна единице (К(г)=^0), то, следовательно, тождественное
равенство нулю выражения (8.66) возможно только в том случае, если
X (£) = 0 и, как следствие, X (/?*) = 0. Значит, функция H(k, p, w)
есть чисто вещественная функция. Соответствующее вещественное
уравнение для этой функции, получаемое из уравнения (8.58), имеет вид
Найдя решение этого уравнения и подставив его в уравнение
для h, можно было бы найти явный вид Н. Однако удобнее просто
преобразовать совместно оба уравнения. Для этого умножим уравне-
дт(рЛ dW(Pi)
ние (8.64) на Ч^-» а уравнение (8.63) на ^—-, и вычтем
др\ дрг
из второго уравнения первое. Тогда получим
где
7 dA dw(pl)
Нас интересует мнимая часть функции h (так как только она
входит в кинетическое уравнение). Заметим, что wt W и Н являются
152 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
вещественными функциями. Таким образом, сразу получаем
1 dp* W dp\
Iml
dp\
Итак,
Преобразуем теперь выражение для
Для этого заметим, что 6(/?J—нрЛ можно записать в виде
б (р* — хр2) = kb (крг — kp2),
так что
\)= k J w(p2)b(kPl-kp2)dp2.
Кроме того, заметим
к д _k д
Следовательно, окончательно имеем
J {i?if
Подставляя это выражение в уравнение (8.62), получим искомое
кинетическое уравнение
„,„ (8.в7)
§81 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 153
где
(ft. Л) = J
Как и в случае результата Балеску, из структуры выражения
для Qaa видно, что в кинетическом уравнении кулоновское
взаимодействие заменено в определенных случаях экранированным.
Покажем теперь, что уравнения типа Боголюбова — Леннарда
действительно являются релаксационными кинетическими уравнениями,
т. е. покажем, что они соответствуют //-теореме Больцмана, и что
равновесным решением этих уравнений является распределение
Максвелла.
Доказательства аналогичны соответствующим доказательствам для
уравнения Ландау (стр. 118 и 121).
Рассмотрим —-гг, где
Ф(0= J *»(*, P)lnw(f, p)dp.
Запишем
i
где
/•(ft. *) = <
fiiPi* P2) определяется формулой (8.68), причем Qa^(p2* Pi) =
Q4(Pi> P2I так что
Ja(Pv P2) = -Ja(p2> Pi).
Аналогично выводу, данному на стр. 119, получаем
з
dt
а=1
3
|6(*ft-*A) X
(fe) )2 , , ( дIn
щ'(Р)да(Р)|
f ^ In ге> (p.) g In у (p2) 1 .
xi a,g 0^ у PlPi
154 МЕТОД БОГОЛЮБОВА (ГЛ. I
Заметим, что
з
kakP \ dlnw (Pi) d In w (p2) | i д In w (pt) д In w (p2) |
| i д In w (
И »A
Остальные сомножители под знаком интеграла положительны.
Следовательно,
что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что подстановка распределения Максвелла
wo(p) = Ae-yp2 (y>0)
в интеграл столкновений уравнения (8.67) тождественно обращает
этот интеграл в нуль.
Интеграл столкновений можно представить в виде
Подстановка wQ = Ae-w* дает:
о
X ^о (/^2) (*Pi — *Р2)6 (*Pi — *Р2> <*Ь dp2 = О
(последний интеграл тождественно равен нулю из-за наличия
множителя (ftpi — *Рг)*(*р1 — *Рг))-
Фурье-образ уравнения Боголюбова (8.55) рассмотрел также
Темко [58], который вывел таким путем уравнение Фоккера — Планка
для описания эволюции состояния инородной заряженной частицы
в плазме.
§ 9. Вывод гидродинамических уравнений
1. Общая характеристика метода. В § 1 мы отмечали, что
одной из основных задач кинетической теории является вывод
выражений для эволюции во времени р, J и Е, исходя из молекулярно-
кинетических представлений, т. е. вывод «гидродинамических урав-
§9] ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 155
нений» и нахождение явного вида кинетических коэффициентов этих
уравнений на основе решения кинетического уравнения.
Этой задачей занимались многие авторы. Наибольший вклад
в решение этой проблемы внесли Энског, Боголюбов и Кирквуд.
Энског предложил метод последовательного приближения для
вывода гидродинамических уравнений и попутного приближенного
решения кинетического уравнения. Результаты Энскога изложены в
монографии Чепмена и Коулинга [4].
Боголюбов существенно модифицировал метод Энскога,
проанализировав физические условия, характерные для данной задачи
(макроскопический или «гидродинамический» масштаб времени
рассматриваемой эволюции, см. § 3), выделив тем самым искомый класс
решений кинетического уравнения. Метод Боголюбова решения этого
уравнения и попутного составления гидродинамических уравнений
имеет глубокую аналогию с методом вариации произвольных
постоянных. В качестве последних взяты «параметры состояния», т. е.
физические величины, которые, по предположению, при данных условиях
задачи должны определять собой форму молекулярного описания
при статистическом равновесии. Параметрами состояния классических
систем будут плотность, плотность потока и плотность тепловой
энергии. При статистическом равновесии эти три величины (две
скалярные и одна векторная) являются постоянными и полностью
определяют собой соответствующее равновесное состояние («параметры
состояния»). В случае отклонения от равновесного состояния величины
указанного типа по-прежнему считаются параметрами состояния,
но рассматриваются как медленно меняющиеся функции времени и
пространственных координат. Подробно этот метод изложен в
монографии Боголюбова [1] и статьях Боголюбова [204] и автора [46].
Условия применимости схемы Энскога — Боголюбова и общий анализ
выводов дан в работах Сандри [120], Холла [137] и Моншика [128].
В работах Кирквуда и его учеников составляются выражения для
коэффициентов макропереносов на основе развитого Кирквудом
формализма для сглаженных функций распределения (см. стр. 36) и
особых условий «ослабления корреляций» между частицами (супер-
позиционное приближение Кирквуда).
Результаты Кирквуда изложены в серии взаимно связанных
статей, опубликованных под общим названием «Статистическая теория
процессов переноса» в американском «Журнале химической физики»
в сороковых и пятидесятых годах ([20—26, 49, 131, 134, 135] и др.).
Обзор работ Кирквуда и его сотрудников дан в статье Раиса и
Фриша [167]. В работе Ресибуа [245] сопоставляется метод вывода
кинетических коэффициентов по схемам Боголюбова и Кирквуда и
метод вывода по схеме Кубо.
Особую схему составления корреляционных функций и
нахождения на их основе явного вида кинетических коэффициентов
156 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
гидродинамических уравнений развили Каданов и Мартин [124]. Вывод
гидродинамических уравнений из кинетических уравнений дан также
в работе Ричардсона [126]. В работе Жданова [127] рассматривается
случай вывода гидродинамических уравнений для многосортной системы.
Обобщение вывода гидродинамических уравнений на случай систем
частиц с внутренними степенями свободы и вывод явных выражений
кинетических коэффициентов для многосортной системы дан также
в работах Моншика, Яна и Мезона [130], Эрнста, Дорфмана и Коге-
на [223] и Таненбаума [235].
Вывод гидродинамических уравнений с целью нахождения явных
выражений для кинетических коэффициентов дан также в работах
Деслога [180, 181], причем основой вывода является разложение одно-
частичных функций распределения в специальные ряды (в ряды по
полиномам Эрмита и по полиномам Лагерра).
В настоящем параграфе излагается метод Боголюбова.
Метод Боголюбова можно сформулировать следующим образом.
Введенные на стр. 14 величины р, У и @ = Е — K(J) в равновесном
случае являются постоянными величинами, которые принимаются за
«параметры состояния», т. е. форма функции распределения Fx в
рассматриваемом случае полностью определяется этими параметрами. При
отклонении от равновесного состояния мы по-прежнему принимаем,
что пять скалярных величин р, У1, У2, У3 и 0 остаются параметрами
состояния, т. е. в каждый момент времени t форма функции Fx
полностью определяется заданием р, У" и 6 для того же момента
времени, причем теперь эти пять величин рассматриваются как медленно
меняющиеся функции времени и пространства. Форма этих последних
функций дается решением пяти дифференциальных уравнений,
определяющих поведение этих пяти величин,—гидродинамических
уравнений. Основная задача как раз и заключается в составлении в явном
виде этих уравнений.
Прежде всего заметим, что функции р, / и 6 имеют
макроскопический характер. Поэтому в силу соотношений (1.8) — (1.15) нужно
учитывать, что использование функции распределения Fx для
построения гидродинамических уравнений автоматически предусматривает
усреднение этой функции по пространственному объему с размерами,
много большими эффективного радиуса действия между частицами
системы г0, и по интервалу времени, много большему интервала
времени го/иср (#ср — средняя скорость частицы), характерного для
микроскопических масштабов. На такие усредненные функции Fx условие
медленной эволюции макрохарактеристик в пространстве и времени
накладывает определенное ограничение; пространственные
производные этих функций Fx должны быть малы, причем, если первая
пространственная производная имеет первый порядок малости, то
вторая производная имеет второй порядок малости, и т. д.
§9] ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 157
Удобно формально ввести параметр [х, указывающий порядок
малости соответствующего члена. Например, в слагаемое, содержащее
в качестве сомножителя первую пространственную производную от Z^,
введем множитель [х; в слагаемое, содержащее вторую
пространственную производную от Fb введем множитель у? и т. д., т. е. фор-
мально положим -j±- = jx/?, -^~- = \i2Q и т. д. Очевидно, что тогда
формально вместо Fl(ti г, р) можно написать F\(t, \ir, p), так
•ЧГ1 "NO P
как тогда автоматически -^ = jmR, ~^-± = \x2Q и т. д. В конечных
результатах можно вернуться к исходной записи, положив [х= 1 (что,
очевидно, никак не изменит порядка величины).
Заметим, что производные от р, Ja и 0 по времени t должны
автоматически обращаться в нуль в пространственно-однородном
случае; формальным условием последнего является |i->0. Поэтому
искомые гидродинамические уравнения представим в виде
*. = M
*jL2+ .... (9.2)
+ ..., (9.3)
где явный вид Ль Л2, .... £д, Вг, .... Съ С2, ... следует еще
найти.
Мы приняли, что форма Fx для любого момента времени
полностью определяется пятью параметрами для того же момента времени.
Это значит, что среди решений кинетического уравнения для Fx мы
выбираем только такой класс решений, в котором зависимость Fx от
времени не явная, а косвенная — через форму зависимости функций р,
Ja и в от времени.
В таком выборе заложен глубокий физический смысл. Прежде
всего заметим, что, поскольку мы считаем параметры состояния медленно
меняющимися функциями пространства и времени, то из (9.1) — (9.3)
следует, что \х нужно положить «малой величиной». Далее, раз
зависимость Fx от времени определяется только формой зависимости от
времени функций р, Уа и G, то отсюда вытекает, что выражение для
производной —5г- будет линейно зависеть от правых частей
уравнений (9.1) — (9.3), в которые для р, / и 0 подставлены их решения
из этих уравнений, т. е. порядок величины производной •-— в
конечном счете будет определяться порядком величины \х, который
как мы указали, должен быть малым. Таким образом, можно сказать,
158 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
что изменение Fx во времени синхронизируется с изменением пяти
параметров:
Ft(t. г, p) = Fl(lir1 p, р, A J\ J\ 0),
где запись р, Уа, 0 в качестве аргументов означает косвенную
зависимость Ft от t через форму этих параметров.
Теперь можно сформулировать способ нахождения явного вида
А\, Лг, .. ., В?, В%, .... С\, Сг, ... Поскольку величина \i мала,
рассматриваем ее как параметр теории возмущений и ищем решение
для Fx в виде
/>! = /f (цг. р; р, /. J\ J\ 0) + [iM1)(^, р, р, Л Л J8. ©)+ ...
(9.4)
Выражение (9.4) должно удовлетворять уравнению для Fv но в нем
-^ следует представить в виде p,D1 + fi2D2+ . . ., где под Dx
понимается операция косвенного дифференцирования с подстановкой вместо
~SF * ~W *~дГ выРажений Ai> ^г,С\, причем считается, что в А\,
Ва\, С\ входят в качестве р, Уа, 0 решения уравнений (9.1) — (9.3)
и т. д.
Исходное уравнение для Fx(t, r, р) в самом обобщенном виде
можно представить в следующей форме (формула (3.15)):
^ L^.. (9.5)
В рассматриваемой схеме операторы Lt можно разложить по
степеням \х в предположении, что они мало отличаются от
соответствующих пространственно-однородных операторов Lf*:
•• (9.6)
И Т. Д.
Кроме того, можно ввести второе разложение, соответствующее
разложению (9.4) функции Fb на которую действуют операторы L\j):
• • (/. У = 0. !. 2. .. .),
где выражение L\j1)(f'i\ F[l)) линейно относительно ff'. L(/2)(Ff\
линейно относительно F^ и т. д. Таким образом, имеем
§9] ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 159
следующие разложения:
И»)
и т. д.
Из формул § 3 и 4 следует, что в отсутствие внешних сил
6^^ P)
> = 0 при / = 0. 2, 3. ... и любом у; W^-JL6^^
при любом у (см. формулу (3.20)); —ii0</) есть интеграл
столкновений Больцмана для пространственно-однородного случая, но с
подстановкой не w (t, p), a FiJ)(r, p, p, J1, А А в) (см. формулу (4.3)).
Таким образом, в рассматриваемой схеме уравнение (9.5)
разбивается на ряд уравнений:
(9-8)
И Т. Д.
К этим уравнениям имеются дополнительные условия. Вводим их
в целях устранения возможной неоднозначности разложений Рг в ряд
(9.4). Условия эти можно получить просто при подстановке (9.4)
в (1.8) —(1.10) в виде
= 1
1
/r<
P°F?
f 2
Л P)^P.
/^(r. p)dp-
-K(J).
(9.9)
(9.10)
(9.11)
160 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
где /С(У)=-р(г)-~— («о — скорость макропотока, / = ри0; см
стр. 52),
j FiJ)(r, p)dp = 0 при 7=1,2 (9.12)
4\r, p)dp = 0 при 7=1.2..... (9.13)
jp2Fij)(r, p)dp = 0 при 7=1.2 (9.14)
Если формально представить -£ , -дт- и -зт- исходя из (1.8) —
(1.10) и явной формы кинетического уравнения (9.5), то сразу
заметим, что явный вид Аи В*}, Сх определится при решении
уравнения (9.7) с учетом дополнительных условий. Если бы мы затем
решили уравнения (9.1) — (9.3) в первом приближении, то тем самым
можно было бы полностью определить явный вид функций,
полуда? m
чающихся в результате операций -д— и DiFy. Однако общий (не
детальный) вид Лг, В%, С2 можно найти и без решения уравнения (9.8)
при дополнительных условиях (9.9) — (9.14), причем используется
общий качественный анализ только что указанных операций.
Аналогично поступают и дальше при нахождении следующих приближений.
Такова схема Боголюбова.
Другой способ вывода гидродинамических уравнений предложен
Градом [194]. Решение кинетического уравнения ищется в виде ряда
по полиномам Эрмита — Чебышева, причем коэффициенты ряда
определяются тринадцатью гидродинамическими параметрами. Эти
параметры в свою очередь выражаются через одночастичную функцию
распределения, и между ними с учетом формы кинетического
уравнения можно установить определенные соотношения. Если ряд
разложения одночастичной функции распределения оборвать на нескольких
членах разложения, то легко получить гидродинамические уравнения.
Недостатком метода является произвол в обрыве ряда, так как пока
не найдено способа обоснования такого обрыва. Подробно метод
Града освещен в монографии Климонтовича [139].
2. Вывод гидродинамических уравнений. Для иллюстрации
применим изложенную схему Боголюбов^ к выводу гидродинамических
уравнений в первом приближении, используя в качестве
кинетического уравнения первое приближение в разложении по степеням
средней плотности:
*^ ±Ll(Fl). (9.15)
$ 91 ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 161
В качестве явной формы для уравнения (9.15) выберем
классическую форму уравнения Больцмана (уравнение (4.3)!)). Выбор
уравнения (4.3) означает, что в разложении (9.6) оператора Lx мы
ограничиваемся приближением
Тогда уравнения (9.7) и (9.8) примут вид
4°°>(Л) = 0, (9.16)
1 /Г И». М") = - П10) (Р?)+Dx/f >
или, в явной форме,
(r. Р>Г(г, /)-/f>(r. p)F?>(r, p')}x
' = 0, (9.17)
a=l
причем (следует помнить, что здесь 1-зт) = А\, \лг] ~ **i
dp ydFf>d^ dFf> д&
(вообще говоря, при учете конкретного вида Ff] эти соотношения
можно заменить более простыми).
Решение уравнения (9.17) при дополнительном условии (9.10)
было дано в § 5 (выражение (5.34)). С учетом условия (9.9) оно
]) В монографии Боголюбова [1] приводится и более общая форма для
уравнения (9.15) в случае пространственной неоднородности, однако, как мы
уже отмечали на стр. 35, форма (4.3) является удовлетворительным
приближением.
11 К. П. Гуров
162 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. 1
будет иметь вид
^[(Pyy] (9.19)
После того как мы нашли нулевое приближение для Fu можно
приступить к составлению гидродинамических уравнений в первом
приближении:
С другой стороны, имеем
ф т [ dFx , л* Г , - . « т Г , . >и Г
так как всегда
jL^p==O. (9.20)
Правильность соотношения (9.20) проще всего проверить, если
использовать для Lx исходное выражение (3.16), из которого затем
в пространственно-однородном случае был получен обычный
интеграл столкновений Больцмана. В развернутом виде выражение (3.16)
примет форму
!,(/>,)= |[ф(|г-r'|), Ff^r, r', р, p
аФ(|г-г'|) <И?' , дФ(\г-г'\)
Г/
= J I
д? дГ~\ д?
дФ(\г-г'\)
Г
= J
w
Функция F$\ так же как и F2, нормирована на конечную
величину. Поэтому должно быть /40)->0 при р->оо или р'->оо. От-
f' ^0)
так что
у у р р р
сюда сразу получаем -^—tfp = 0 и д , dp' = Q,
Г L1(F1)dp = 0, что и требовалось доказать.
Как указывалось на стр. 159, в разложении Lo в ряд (9.6)
отличен от нуля только член L^ = ~~7Г~* Таким образом, в
рассматриваемом приближении имеем
I ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 163
Согласно дополнительному условию (9.10) отсюда имеем
з
dJa
,—■*'~2-
Заметим сразу, что все следующие приближения имеют вид
Отсюда с учетом дополнительного условия (9.13) получаем
Aj = 0, / = 2, 3, ...
Таким образом, мы получили уравнение
а=1
Это уравнение есть известное уравнение непрерывности среды.
Оно записывается обычно в форме (здесь, как в окончательном
результате, положено ji=l):
Перейдем теперь к выводу второго гидродинамического
уравнения, т. е. к нахождению явного вида £?, В% Заметим, что
в принятом приближении (относительно разложения по степеням —)
имеем
-4 J P**it*P = »i S РФ dP + W J ГЬ*Р (9-22)
(здесь учтено, что из всех Lo отлично от нуля только L^).
Рассмотрим каждое слагаемое в правой части по отдельности.
Имеем с учетом дополнительных условий (9.9), (9.10), (9.12) и (9.13):
m2a«aP} F, dp\ =
3-1
164 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Если разложить F\ в ряд: F\ = F\]-f-\iF^] + •••» легко заме
тить, что в силу явного вида F(\] = Ff] (\p — та0|) будет
т. е. члены с р^=а равны нулю.
Рассмотрим теперь второе слагаемое в правой части
уравнения (9.22). Запишем его в виде
(x JL-
J*. J paUdp =
(9.23)
Рассмотрим, однако, сначала выражение для — paLldp в общей
форме:
х
у '
= _^ J ^(lr-r-l)^o)(r> r/) p( p/> POdpdl/dr,. (9.24)
так как
f „'
I p "
J dp ' J dpa J
(величина pF2-+0 при р-*оо% что учитывается при интегрировании
по частям).
9] ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 165
Рассмотрим полученное выражение. Легко видеть, что интеграл
J »(1^»^, г', р, р', F^dpdp'dr'
не зависел бы от пространственной координаты г, если бы F^
имела форму
F{2\r — r\ p, p', Fx). (9.25)
Действительно, тогда
J ™(\г-г'\) Мо)(г> ^ р р,
= f дФ(/Г~'2) Ff\r-r', p, p',
J d{ra — г )
Таким образом, пространственно-однородному распределению
частиц соответствует форма (9.25). В общем случае отступления
от пространственно-однородного распределения F^ запишем в форме
где g = r — г\ координаты г и q рассматриваются как независимые,
причем
bFf _ dFf[r,q,p,p',F^ d"Ff _ dF? (r, q, p, p', F,)
-jpi ^ ^5 "^р--^ ^Г ИТД
Однако учитывается соотношение, вытекающее из свойства
симметрии функции F^K
Fp(r, г', р, р', Ft) = FT (rf, r, p', p, Fi). (9.26)
Это соотношение выводится следующим образом:
/4V. —Я, р', Р, Fx) = Ff(r+r' — r, -q, p\ p, F,) =
= F!iO)(r-q, -q, p', p, Fi) = FiO)(r, -q, p', р, />,)-
~^Ф-~^\г, -q, p', р,
&Y=l
166 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
В силу соотношения (9.26) отсюда получаем 1)
q,p,p\ Fi) =
з
= F(?\r, -q, p', p, Fd-V^j^F^ir, q, p, p, Ft) -f
3
+ Y\ ^ 2) фдУ 1^У F®(r- q' p' p'' Fl) ~ ■ • ■ (9'27)
P. Y=l
Продолжим теперь рассмотрение выражения (9.24). Заметим, что
дФ(\г-г'\) _ да
так что анализируемое выражение сводится к виду
Имеем очевидное соотношение
i J ^-^-^(Г. q, p. p\ Fl)dpdp'dq =
=-w J f T-^0'^ -'• p'> p-
Поэтому выражение (9.28) можно записать в виде
Si^{^°>(Г ЯР?Г)1Ф<г -Я, Р'.Р,
(9.29)
С учетом соотношения (9.27) выражение (9.29) равно
-*%Ь[Ъ J
■ •• "■
l) Заметим, что вместо использования соотношения (9.27) те же
окончательные результаты можно было бы получить, если от переменных г, г'
перейти не к переменным г, q = г — г', а к переменным /? = —-^—,
q = r — г'. Тогда z
F2 (г, г', р, р', /=",) = F2 (Я, ?, р, р', Z7,) = F2 (г, ^, р, р', Л) +
) F(Л ^ Л рГF)+[(1
причем здесь
?2 (г, - <7, р, pv, Z7!) - Fx (г, ?, р, р', />,).
Эта схема применяется в § 12 при рассмотрении квантовой гидродинамики,
§9] ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 167
Сравнивая полученный результат с выражением (9.23), сразу
получаем
Р=1
i J
Если затем разложить члены с учетом разложения pf] = Ff* -f-
-f М-М1* + • • •. т0 окончательно получим
p=i
Однако в силу четности относительно q функции Fi (r, q, p, p pf])
подынтегральное выражение в интеграле
Pt{rt q p p, F?)dpdp>dq
будет нечетной функцией относительно q при
т. е. при любых a, (J и у. Следовательно, этот интеграл
тождественно равен нулю. Для краткости в дальнейшем введем обозначения
G2(r, q, F[j))= J Ff\r, q, p, p , Ff)dpdp'.
168 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. t
Таким образом, получим
Проанализируем выражение для £?. Заметим, что явное
выражение Ff* нам уже известно (выражение (9.19)). Из него видно, что
Ff* имеет следующую структурную особенность:
F[°\tt r, p) = F?)(\p-mu(t1 r)\, p(f, r), T(t, r)). (9.31)
Из (9.31) непосредственно следует
J (/ -тиа){/-ти?) Ff>dp = 6„р J (ра -maa)2 /f dp =
J
где 6ав — символ Кронекера, 6„в = 0 при а ф р и 6aa=l.
Далее, G2(f> Q, Ff') есть четная функция относительно q. Поэтому
Итак,
я,
дР
где введено обозначение
^-SisJcP—w/^rfP- gL JV*flLOi(r. 9. Ff)^. (9.32)
Учитывая структуру (9.31) функции Fi0), заметим, что интеграл
f](\p — mu\, p, T)dp
не зависит от и, а зависит только от р и Т. Далее, в функции
0) Я> Р* Р * ^О переменные q, p и р' являются независимыми.
§9] ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 169
Замечая, что, с другой стороны, при q~>oo зависимость от р (и р')
должна быть такая же, как зависимость от р у функции Ff\ с
учетом структуры F^ заключаем, что функция
О2(г, q, F?) = J FiO)(r, q, р, р, F{0))dpdp'
не зависит от и, а зависит только от р и Г. Таким образом,
P = P(p(t. r), T(t, r)).
Следовательно, второе гидродинамическое уравнение в первом
приближении имеет вид
v '
dt ^
или
„ dp , диа . „V d(pap) , S? * диа дР
Но, согласно уравнению непрерывности среды, в любом приближении
др . у д(9и?) =0
Поэтому уравнению (9.33) можно придать 'Вид
Из этой хорошо известной формы гидродинамического уравнения
для идеальной (невязкой) жидкости следует, что Р имеет физический
смысл давления. Таким образом, формула (9.32) дает выражение
макроскопического параметра среды через микроскопические
характеристики системы.
В общем виде (в любом приближении) второе гидродинамическое
уравнение можно записать в форме
диа ^ диа Л 1 дТаа
где Та& — симметричный тензор второго ранга:
г«р=i J(jpa ~ m"a) (р* ~ тФ) Fi dp ~
170 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Перейдем теперь к составлению третьего гидродинамического
уравнения.
Имеем
дв _ 1 Г _9 а/*ж(г,р) - dK(J)
~W~ 2mv J p dt ap dt '
Как и ранее, имеем в принятом приближении (относительно
разложения по степеням —J:
Ш \ Р2ЁЖ*Р = » 2ШГ J №*Р + Ш> J *ЬЛР. (9-37)
Рассмотрим первый интеграл в правой части:
о
£Ш/\ (9-38)
Заметим, что р$р2 можно представить в виде
з
= (рР _ т^Р) (р — ти? + 2^2 «Y/?p/?Y — пРФ
y=i
з
— 2т2 2 и^иУрУ + ^3«2^ = (/?Р — ти?) (р —
y=i
з з
2 иУ № — ™>*$) (Ру —тиУ) + 2т
Y=l Y=l
3 3
+ 2т2 2 «p«vpv — 2/n3 2 «3 0*Y)2 — w2^
Y=l Y=l
3
+ тФр2 — 2m2 2
Y = l
Заметим также, что !)
-JL_ J ^^rfp^
]) Выражения «потоков» этих величин, т. е. выражения — paFt dp,
— paP^F\ dp, o Pap2F\ dp, рассмотрены в работах Борна и Грин.3
[195] и Айзенщица [196].
§9] ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 171
Таким образом,
-^ j p*p*Fx dp = -^ J (pP - та*) (р - muf Fx dp +
3 3
+i 2 *Y J (/?p ~
l
Y=l
Y=l
3
TZ5 S ttV J ^ -
Y=l
Рассмотрим теперь второй интеграл в правой части формулы (9.37)
у ,-. г,)
2mt/2 J ^r op r г
Интегрируя по частям, имеем
(с учетом, что p2F^->0 при р->оо).
Таким образом,
= l- S J Р» 'Ф(1г,7Г/|) ^0>(г. г'. Р, Р'. Л
p=i
Как и ранее, вводим независимые переменные г и q = r — rr.
Тогда
= -it J ^^|MV. ff. P. P'. ^rfp^p'^. (9.40)
р=1
172 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. Г
Легко видеть, что интеграл в правой части формулы (9.40) не
изменится, если вместо р$ будет р/Р. Запишем поэтому интеграл
в виде
Как и на стр. 166, учтем нечетность подынтегрального
выражения относительно q. Запишем в силу этого
ХИ0)(Л q, р, p\ Fi) — Ff\r, -q, p\ р, F{)]dpdp'dq
и учтем перестановочное соотношение (9.27). В результате полупим
1 [
— j
ХР$*(Г, q, p, p', Fi)dpdp'dq+ ••-,
причем следующий член разложения будет содержать множитель \iz
(так как член с \х2 равен нулю в силу нечетности относительно q
соответствующего подынтегрального выражения).
Учитывая, что р и рг в полученном выражении равнозначны,
удобно снова выражение писать в виде (меняем также обозначения
немых индексов)
з
1 ^ГЧ д Г p^q^q^
2mv2 ~ дг$ J q
Разложим теперь L(/J в ряд: Z,iX) = Z,i3
i10) f цМП) + , т. е.
i
,. p. p
^j dr J q dq
X /'f (r. ?. p. p', Fll))dpdp'dq + ...
§3] ЁЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЙ
Как мы уже отмечали на стр. 169, функция F20)(Fi0)) зависит
от р в виде рР(р10)) = ц>(\р — ти\)\ поэтому интеграл,
содержащий нечетную функцию от переменной интегрирования, равен нулю:
т. е.
JL J J» \ M q, Ff>). (9.41)
JL J
Подобно тому как были введены дополнительные условия
(9.9) — (9.14) в целях устранения неоднозначности разложения по
степеням малого параметра (i, так и теперь введем с той же целью
следующее дополнительное условие, учитывая полученное
соотношение (9.41):
± J
r, q, p, p\ F[
С учетом этого условия имеем
члены третьего и более высокого порядков малости относительно
Итак,
иУ
[i J{p* - тф) (рУ - тиУ) Fidp ~
-± J *
Введем обозначение
а_ 1 Г
и учтем выражения для Таа (9.36) и К (У). Тогда получим
з г з \ d(£HL\
174 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Заметим, что в силу гидродинамических уравнений (9.21) и (9.35)
Далее заметим также, что
з
Учитывая равнозначность пары немых индексов, в результате
получаем третье гидродинамическое уравнение в следующей общей форме:
Проанализируем выражение для Clf т. е. первое приближение
гидродинамического уравнения. Имеем
= 0.
т. е. в первом приближении уравнение (9.42) принимает форму
Итак, мы вывели в общей форме три гидродинамических
уравнения и уравнения для различных приближений функций
распределения F\, т. е. для FfK F^ и т. д. Решив затем уравнение (9.16)
для FfK при помощи явной формы этого решения (9.19) и
соображений о структуре G2(r, q, F^) мы нашли явное выражение через
ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1 75
и Gi(r, q, F[]) для единственного параметра в
гидродинамических уравнениях первого приближения—давления Р (выражение (9.32)).
Перейдем теперь к разбору методики нахождения явных
выражений для параметров, фигурирующих в гидродинамических уравнениях
второго приближения. Для этого надо подробно рассмотреть
выражение (9.30) для Вп. и выражение для Сг. Очевидно, что прежде
всего надо найти решение уравнения для F^ и затем уточнить
структуру O2(r, q, F[1}).
Рассмотрим уравнение (9.18) для F^\ Выпишем его здесь снова:
f
■г- J f J
° °
F\l) (р) /f> (р) - /f (/,') Ff (р)} a da *p dp' =
о,(р,
Найдем явный вид правой части этого уравнения с учетом явного
вида (9.19) для Ff\ Важно отметить, что
/f = /f>(|p-«m|, p, T).
Поэтому целесообразно в методе «вариации произвольных
постоянных» в качестве варьируемых параметров выбрать не р, /\ в,
а р, иа, Т.
Имеем (см. стр. 51)
e~|£p. (9.45)
Отсюда
дТ 2т 1 дв 1 т dp ,0 А~,
Г^ (946)
С учетом уравнений (9.21) и (9.43) далее имеем
о о
дТ _ 2т 1 VI dip р. й. 2/и 1 Y ди® й_
1Г~ "aTTiH"**" ~u~9fi**
3
Т
Подставляя выражение (9.45) для в, окончательно получаем
3 Л 3
дТ 2т 1 V <^Р п, т\ V в <*r
176 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. t
Очевидно,
dp d/f> дТ у a/f> ди"
диу V dt
где Irsr) и т. д. означают производные от решений в первом при-
ближении соответствующих гидродинамических уравнений.
С учетом уравнений (9.21), (9.34) и (9.46) имеем
Щ"> дР(р, Т)
i^B™ OVL OV О ^^^ ОН ОГ
Заметим, что
дР _ дР др , дР дТ
Таким образом, правая часть уравнения (9.44) в развернутой
форме имеет следующий вид:
з
Э=1
V Ф [ 1 в 6Ч dF? 1 дР dF[°n
^" <Эгр L /я dp р ф дир J
- m
v диУ Г l p
Так как /^ имеет форму F\(\p — mu\, р, Г) и Я = Р(р, Г), то
выражения
I d/'p ^Z7^ 2m P d/f>
§ 91 ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1 77
являются функциями вида ЧЦр— ти\, р, Г), а
dF^dP — rnu\t р, Т) _ / — miP dF[0)(\p — mu\, p,T)
диР \р — ти\ д(\р — ти\)
= — (Рр — nuifyWdp — лш|, p, Г),
так что
1 дР dF[0) 1 (?Я dF[0)
р dp диР р дТ да
являются функциями вида
— (/?Р — mifi)W{\p — nttt\, p, Г).
Отсюда имеем
|. р.
3
3
^ -»e|. Р.
+ 6рД4(|р-ОТ«|, р. Г)].
Из полученной структуры правой части уравнения (9.44) следует,
что решение этого уравнения будет иметь вид1)
з
' —ш*|, р,
#)Yi(\p — n*\* Р> T) —
P,Y=1
Qi(\P— m*l P» T)}. (9.47)
l) В работе Деслога [48] интуитивным путем предложено искать
решение уравнения Больцмана в виде
Г 3
Л IP) = 1°> (Р) 1 + 2 (/ - ^«Р) ^ +
Ц
Р, v = i
Это решение использовано им для упрощения выражений интеграла столк-
12 к, П.
178 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Уточнение структуры G2(rt q, F^) проводится совершенно
аналогично уточнению структуры G2(r, q.F^). Именно, учтем, что
/72°)(г» Я* Р> Р> М1*) при q->oo должна переходить в произведение
функций F^K В силу независимости переменных q и р (или р')»
характер зависимости F^ от р должен быть один и тот же при
любых q, т. е. эта зависимость имеет вид (9.47). Поэтому после
интегрирования по р и рг мы получим
02 (r, q
Из самого физического смысла функций G2{rt q, F^) следует,
что м|, Л^2, Z|Y являются вещественными; кроме того, очевидно,
Z|Y есть симметричный тензор. С учетом этого обстоятельства и
замечая, что Ж^, N$ и zfv рассматриваются далее только в
выражениях под знаком интеграла по qt в которых остальные
сомножители зависят только от модуля q, можно так ориентировать
координатную систему в (^-пространстве, что
AlS(er. P. T) =
t p, T)
(подразумевается, что в каждом интеграле ориентировка в
^-пространстве проводится по-своему, т. е. она разная для м\> N\ и Z^v).
новений и интегралов, отличающихся от интеграла столкновений только
тем, что в подынтегральном выражении содержится дополнительный
множитель -±—, или (pa/m)(p$/m\ или (pa/m)(p2/2m). Эти интегралы
фигурируют в выражениях для потоков массы, количества движения и тепловой
энергии. Сравнение получаемых выражений с соответствующими
выражениями элементарной теории переносов дает выражение дли коэффициентов
диффузии, вязкости и теплопроводности.
В связи с этим подчеркнем еще раз, что преимущество метода Энс-
кога — Чепмена — Боголюбова заключается в том, что в этом методе наряду
с выводом выражений для кинетических коэффициентов «попутно» полу-
чс различные приближения решения кинетического уравнения..
§9] ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 179
Таким образом, получим члены второго приближения
гидродинамического уравнения;
3 f 3
e-S"p"jiS J (Pa-
—ir 21 J(/?a-
Y, 6=1
—Ш 21
Y, 6=1
Подынтегральные выражения, содержащие Л\, К1э Л"2 и К2»
являются нечетными функциями от переменных интегрирования. Соот:
ветствующие интегралы равны нулю. Поэтому
3
mv ~ dry J
Y=i
i y dtfi f
12*
180 Метод б6гоЛюбоёА fftl
Рассмотрим подробнее член
-i JM^W'^HSH- (9-49)
P» у» о ~»i
Из всех слагаемых по р, у и б отличны от нуля только те, при
которых подынтегральное выражение будет четной функцией.
Возможны следующие комбинации (при фиксированном а):
Р = а, тогда б = у;
Р ф а, тогда 6 = a, Y = P и * = P. Y = <*•
Соответствующее слагаемое в рассматриваемом члене для случая
р = а имеет вид
^' (9-50)
а для случая р Ф а соответствующее слагаемое имеет вид
£[±JH(5+£)- (961)
Упростим эти интегралы. Интегралы в формуле (9.51) имеют
следующий вид (с учетом условия р Ф а) в сферических
координатах:
оо 2я Я
Г (/?«)? (/?Р)2 Rx (p)dp= J J J a6 sin5 0 cos2 <p sin2 q>Rx (a) e/в dy da —
(9.52)
В формуле (9.50) имеются как слагаемые с интегралом, в
котором у Фа» так и слагаемое с интегралом, в котором у = «- Для
первых слагаемых получим по-прежнему результат (9.52), а для
§§] ВЫЁОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 181
случая Y = « имеем
оо 2я я
J О»")4 #1 (/>)<*/»= { J J «6cos40sine/?1(a)d0^rfa =
ОО
-З.-g Jo"/?,(a)da.
О
Таким образом, член (9.49) сводится к виду
Совершенно аналогичным образом получаем
з
диЧ 1 Г
^12? J
p,v,6=1 - i - l— - Я
дФ\
182 МЕТОД БОГОЛЮБОВА [ГЛ. I
Далее, остальные интегралы в формуле (9.48) упрощаются
очевидным образом:
Итак,
[■&■
3
oo
2л f ,
—й? J «-
Гидродинамическое уравнение для эволюции иа во втором
приближении имеет, таким образом, следующий вид (коэффициент ц
в полученном конечном результате опущен, как это было
предусмотрено в начале вывода):
1 дРф, Т)
р дга
з
+1^
§ 9] ВЫВОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 183
где
&1*Т }'[ <9'53»
<954>
Из общей формы уравнения видно, что это есть уравнение
движения «вязкой жидкости»; кг и к2 — коэффициенты вязкости,
зависящие от параметров р и 7\ но не и, как это и должно быть.
Получение формулы (9.53) и (9.54) и является одной из целей
кинетической теории — выражения макроскопических коэффициентов через
микроскопические характеристики. Из формул (9.53) и (9.54) видно,
что как в выражение кг, так и в выражение к2 входят члены,
имеющие различное происхождение. Члены, содержащие /?2 и Фг»
соответствуют внутреннему трению в системе за счет взаимодействия
частиц соседних малых макрообластей, благодаря чему меняется
средний импульс частиц в каждой макрообласти; члены, содержащие
Ri и Qv соответствуют взаимной диффузии частиц двух соседних
макрообластей, за счет чего также меняется средний импульс частиц
в каждой макрообласти.
Вывод гидродинамических уравнений второго приближения
(«гидродинамика вязкой жидкости») и подробное обсуждение результатов
приводится также в работе Чо и Уленбека [203].
ГЛАВА II
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ
§ 10. Общий формализм и вывод
квантовых кинетических уравнений
1. Формализм матриц плотности. В случае квантовомеханиче-
ских систем схема метода Боголюбова вывода кинетических уравнений
остается без изменений. Квантовомеханическое обобщение метода
проявляется в первую очередь в специфическом математическом
формализме (матричные или операторные уравнения), в расчете
вероятностей переходов по законам квантовой механики и особой форме
задания «начальных условий», учитывающей свойства симметрии
волновых функций рассматриваемой системы. Эти начальные условия,
как мы отмечали, вносят статистичность в динамическое поведение
системы; в случае классических систем они вызывали одностороннюю
релаксацию системы к равновесному классическому распределению
Максвелла. Свойства симметрии волновых функций, учитываемых
в начальных условиях, приводят к квантовым статистикам и
соответствующим равновесным распределениям (бозе- и ферми-распре-
деления).
Формализм квантовомеханического описания при помощи матриц
плотности изложен в работах автора [62, 46]. Ниже описан
формализм для систем частиц, не обладающих спином.
Рассмотрим квантовую систему из N бесспиновых частиц,
находящихся в объеме V'. Будем изучать асимптотическое поведение во
времени этой системы при N->oo и V—>оо, но N/V=l/v —
конечной величине. Такая система описывается совокупностью
состояний Ч?*;)(£, rv ..., rN), каждое из которых имеет статистический
вес со<А Следуя Дираку, введем матрицу
rN). (10.1)
101 ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 185
Матрица FN является эрмитовой матрицей:
FN\t> Г\ Ov> fi Глг) = /7лг(^ Г\ **лг> Г\ Глг)-
Имеет место условие нормировки
p/7* = J /^С- П />, rx rN)drx ... drN =
Из условия симметрии функции Чг(^) (£, гх г^) для бозе-
систем
гг гг rk rN)
получим условие симметрии для FN:
где Pkl — оператор перестановки переменных rk и rt, если этот
оператор стоит слева от FN, и переменных г'к и г'г если этот оператор
стоит справа от FN (вообще, это правило записи касается любых
операторов, действующих на FN).
Среднее значение (математическое ожидание) физической величины,
описываемой оператором L, определяется формулой
L = ±SpiLFN-\ FNL). (10.2)
Как и в случае классических систем, практически физические
величины описываются только операторами вида
N
или вида
Поэтому целесообразно ввести новые матрицы распределения
Fs(t, Г\ rst r[ r's) (5=1, 2, 3, ...), определяемые
формулами
Fs(tt ru .. ., rs, r\ r's) =
= Vs Sp FN(t, n rN, ru ..., rN). (Ю.5)
186 КЁАНТОВОМЕХАНИЧЁСКИЁ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
где для краткости введено обозначение
Sp Fnv* И* ..., tw, Г\ /*#) —
(5 + 1, •••,ЛГ)
= 1 • • • I Fnv> т\ г5, rs+i ?n* /*ь
v v
..., r's, rs+u •. •, rN)drs+i ... drN. (10.6)
Из определения Fs вытекает следующее соотношение между Fs
и Fs+v
Fs(t, n rs, r[ r's) =
= VJ Fs+1(t, n rs, r,+i, r\ rs% rs+i)drs+i.
С учетом условия нормировки FN также имеем;
4-SpFl = -^ J Fi^ ri- ^i)^i==l. (Ю.7)
С помощью матриц /^ и F2 средние значения физических величин,
определяемых операторами вида (10.3) и (10.4), задаются в
следующей простой форме, получаемой из общего выражения (10.2):
£(4)^() (.0.8,
И
L- * S
\Jl 2
так как Л^ ^> 1.
Таким образом, для изучения изменения во времени средних
значений физических величин необходимо знать эволюцию во времени
матриц Fx и F2.
В главе I было приведено выражение для оператора плотности
классической системы частиц одинаковой массы, отнесенного к
пространственной точке /У. Такой же вид имеет квантовый аналог этого
оператора:
N
7 = 1
По формуле (10.8) получаем
§ 10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 187
Вообще среднее значение физической величины в пространственной
точке /?, задаваемое оператором вида
равно
Матрицу — Fx (/, г, гг) принято называть матрицей плотности
числа частиц. Впервые ее ввели Нейман [5] и Ландау [63]. В
работах Блохинцева [64] и Терлецкого [65] были указаны способы
сопоставления квантовой матрицы плотности с классической функцией
распределения в одночастичном фазовом пространстве.
Рассмотрим фурье-преобразование матрицы плотности:
Как обычно, имеем
р(*. г, r') = 72i6~ QC» *• k')elkre-ik'
Можно также написать (учитывая, что p = hk)
p(t, r, r') = ,0V* f Q(tt 4» -iri^e ~dpdp'.
Введем обозначение
Тогда
ipr ip'r'
Л r* ff)=-^w Jp(/> pi
По правилу обращения интеграла Фурье отсюда получаем (в
асимптотическом случае при V->oo, N—>oo, но неизменной конечной
величине N/V = l/v):
ipr ip'r'
, г, r')e h e h drdr' =
1 С Hp-p")r i (P1-pw)r'
-Г48- p(^. p", p'")*~ h e h dp" dp'" dr dr'=
= (2яй)3р(*. р, p'),
так как при V-ь-оэ
188 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
ИЛИ
P(t, р, Р0 = то^г PC r> r')e h e * drdr'. (10.9)
Элементы матрицы р(/, г, г') имеют размерность [г~3]. Как видно
из формулы (10.9), размерность элементов матрицы р(/, р, р') есть [/?~3].
Нормировка матрицы р(/, г, г') следует из условия
нормировки (10.7):
Г N С
Spp= p(/, r, r)dr = -y- F(t> r, r)dr = N.
Однако такая нормировка неудобна, так как мы рассматриваем
асимптотический случай, при котором N->oo. Поэтому нормировку
зададим в виде
lim -7TSpp= lim -y- = — .
Отсюда определяем нормировку матрицы р(£, р, р'):
lim -=7Spp= lim -^ p(/, p, p)dp =
У К->оо v J
J
ip (г~гГ)
= lim у J p(/, r, r')b(r — r')drdr'= lim -^ Jp(/,r, f)dr=^.
(10.10)
Таким образом, р (/, г, г') и p (/, p, pO — одна и та же матрица
плотности числа частиц в координатном и импульсном представлениях.
Для физических величин, описываемых операторами вида
N
среднее значение равно
±^) J . p, p)dp.
= J
В пространственно-однородном случае матрица Fx(t, r, г')
обладает очевидным свойством инвариантности относительно
пространственных трансляций:
Flit, r + rOt r' + r^F^t, r, r').
Поэтому в пространственно-однородном случае матрицы Fx(t, r, г')
и р(/, г, г') имеют вид
Ft(t, г, г/) = /7х(Л г —г0.
p(ft r, г0 = р(Л г — г0.
§ 10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 189
Отсюда в импульсном представлении получим
ip(r-r') I (p-pr) rf
=-сшг J ^ r~r')e ^~e ' drdr'=
-p')t (10.11)
где
/(p)== p(/, r — r')e~ h dr= J p(/, q)e h dq.
Учитывая размерность р(/, q), получаем, что f(p) есть
безразмерная функция.
Для выяснения нормировки f(p) рассмотрим условие
нормировки (10.10) для р(/, р, р') и при этом учтем, что для
исключения неопределенности выражения, связанной с появлением
множителя 6(0), необходимо вместо 6(0) = [6(р — Р'У\Р'тр писать исходное
выражение:
1 Г
?*w J
Тогда из условия нормировки
*<р-р')г 1 1
h \ ?У
получаем
ИЛИ
Функция
имеющая размерность [p~z] и нормированная на единицу,
соответствует классической функции распределения по импульсам. Из общих
физических соображений это уже было показано в § 6, где, кроме
того, было выяснено, что f{p) имеет смысл усредненных по
статистическому разбросу «внешних условий» чисел заполнения состояния
С ИМПуЛЬСОМ р, /(р) = Пр,Л /Оя^З еСТЬ ВеС ЭТОГО СОСТОЯНИЯ.
Таким образом, «усреднению в пространственной точке /?» в
пространственно-однородном случае соответствуют две эквивалентные
190
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ
[ГЛ. II
операции
I Г ( Arb(r-R)Ft(tt r-r^ + A^bjr'-^F^r-r')
J I
I Г (
v J I
1 J Apw(t, p)dp,
причем последняя операция может трактоваться в обычном
классическом смысле усреднения по импульсам в некоторой
пространственной точке (примеры эквивалентности этих операций приведены ниже
на стр. 191 и ел.).
Эти результаты подсказывают способ рассмотрения матриц
распределения в пространственно-неоднородном случае.
Рассмотрим матрицу р(/, г, г'). Произведем очевидно допустимую
замену переменных
р(*. г, гО-*р(*. -Цг^-. г-г')
и перейдем к «смешанному» представлению. Для этого, как обычно,
проводим фурье-преобразование
*¥■■ '-
Обозначим
По общему правилу имеем
Г / г 4-г'
и, аналогично,
§ 10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 191
Отсюда видно, что р|£, —~^г , р\ имеет размерность [р~~г] [г~3],
(г -4- г1 \
tt —^—, р\ имеет размерность [/?~3].
Для матрицы в «смешанном» представлении имеем соотношение:
1 Г / г 4-г'
= -(2Hfip-J Р('. -^у^ •'•-
= Jp^--^^-' ^-'•'J * с-- о ^ (/•-/•')=
Если < "1ГГ > рассматривать как параметр, то, как обоб-
щение результатов пространственно-однородного случая, получается:
есть статистически усредненное «число заполнения состояния р»,
зависящее от пространственной координаты /?, а функция
, /?, р) = ^р- J p(/, R, q)
Ji^^ Q)e"^dq (10.13)
e * ^=
есть функция распределения по импульсам в точке /?, полностью
соответствующая классической функции распределения
(соответствующее пространственное огрубление описания квантовых систем
рассмотрено в работе Савелла [240]).
Однако усреднение в локальной пространственной области («в
пространственной точке R») не во всех случаях полностью
соответствует классическим результатам, что связано с введением «смешанного»
представления и рассмотрением в этом представлении
пространственно-локальных величин.
В качестве примера приведем средние значения в точке R
(отнесенные к единице объема) физических величин, описываемых
оператором плотности, оператором импульса и оператором энергии
невзаимодействующих частиц в пространственно-однородном случае
192 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЁ ОБОБЩЕНИЙ Ц\Л. И
(когда не используется «смешанное» представление) и пространственно-
неоднородном случае.
В пространственно-однородном случае будем иметь следующие
выражения:
1. Для оператора плотности, параметрически связанного с
пространственной точкой /?,
Заметим, что
i(t, p)e h dp.
Следовательно,
[Fx{t. r — rf)}rfssrsR = F1(tt 0)=jw(t, p)dp
и
2. Для оператора импульса
Обозначим
Тогда
д
Следовательно,
5_ <Й [ dFx (t, q) )
~t Щ ff.o*
Выше мы получили
FxV, Ч)=\ *>(*. P)
отсюда
xV, Ч)=\ *>(*. P)eH dp,
f'PQ
§ 101 ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 193
и, окончательно,
P = l j pw(t, p)dp.
3. Для оператора энергии
N
Заметим, что
d*Fx ft r —r') _ d2Fx ft r —r') ^ d*F{ ft q)
dr2 dr'2 dq2
так что
ъ^ h2 td2Fl(t,q)\
2mv \ dq2 /^=0*
Как и выше, получим
~9 1рч
откуда
В пространственно-неоднородном случае обозначим
Л С г. гО = /
Заметим, что
л
Следовательно,
Далее,
ih \ dFx ft |, q) ( dl dl
dl \ dr dr'
13 К. П. Гуров
194 КВАНТОВОМЕХАЙИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Имеем
ГТ7 ,
Следовательно,
и, далее, аналогично пространственно-однородному случаю получаем
Р = \ I pw(t.R, p)dp.
Наконец,
— ~4mv\ dl* l\dr
С учетом (10.16) отсюда имеем
(«••«о
Переходя к «смешанному» представлению, получим
(10.19)
Итак, в пространственно-однородном случае все результаты
пространственно-локального усреднения аналогичны классическим. Однако
в пространственно-неоднородном случае выражение для энергии
h2 д2 Г
содержит член —g—-s^ w(tt /?, p)dp, не имеющий аналога
в классическом случае1). Только после дополнительного усреднения
по всему объему системы можно получить классический результат,
если из обычных физических соображений, связанных с нормировкой
1) О необходимости учета этого члена в определенных случах указано
в работах автора [46] и Парментера [80].
§10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 195
функции w(t, /?, р), положить
w(tt R, р)->0 при |#|->оо,
} -*° ПРИ 1*1->°о.
Тогда
1= Нш 4 Г EdR= lim 4" f oSr^C R>P)dpdR.
К-»оо
Заметим также, что развиваемый здесь формализм соответствует
системам, не имеющим определенным образом вырожденных состояний.
Рассмотрим исходное описание - системы. Система описывается
смешанным ансамблем, состоящим из совокупности чистых состояний,
каждое из которых входит в смешанный ансамбль с определенным
весом. Каждое чистое состояние можно разложить по системе
собственных функций, соответствующих какому-либо оператору:
¥(*, rl9 ..., rN) = %aaq>a(tt гг rN).
а
Отсутствие вырождения означает, что среди состояний, по которым
производится разложение, нет.одинаковых. Смешанному ансамблю мы
сопоставили матрицу FN(t, rv .. ^rN% r'v .. -,/e]v) по формуле (10.1).
Затем., мы ввели матрицы Fs(t, r.v ..., rs, r'v ..., r'X полученные
по определению из матрицы FN. Из анализа формулы (10.5),
определяющей матрицу Fs, можно сделать вывод, что матрице Fs можно
сопоставить смешанный ансамбль чистых состояний. В частности, это
имеет место для Fl(ti г, г'). Одночастичные чистые состояния также
можно разложить по собственным функциям некоторого оператора:
Мы разлагали по непрерывному спектру состояний импульса одной
частицы и в результате для пространственно-однородного случая
получили непрерывную функцию w(t, p), нормированную на единицу
(в соответствии с нормировкой Fi(t9 r, г')) и соответствующую по
своему физическому смыслу классической функции распределения.
Однако существуют вырожденные системы,' характеризуемые
отсутствием непрерывности у функции w(t, p). Так, для системы
квазичастиц, описывающих поведение жидкого гелия, в определенных
условиях имеется «конденсат состояний», и функция распределения
по импульсам имеет вид
w(t, p) + C6(p).f (10.20)
13*
196 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
где С — положительное число, a w(tt р)— непрерывная функция
от р при 0<;|р|<оо (вырожденная бозе-система). Покажем, что
функция (10.20) не удовлетворяет нашему формализму. Пусть
F\(t% r» r0 B пространственно-однородном случае {F\{tt r, г')=
=Fl(tt г — r') = Fi(t, q)) удовлетворяет условию
Fi(t, Я)^с при |?|->оо. (10.21)
Тогда можно написать
Л С ?)
Отсюда по формуле (10.13) имеем
J /<'• ^е Н ^ + -Р)Г J e H dq = w{t. р)+СЬ{р).
Таким образом, условие (10.21) соответствует распределению
(10.20) для случая вырожденных систем.
Очевидно, при условии (10.21) нормировку функции Fx(t, q)
нельзя задать в принятой форме. Действительно, нормировка в форме
lim -7/SpFx— I,
-»оо V
в пространственно-однородном случае для «невырожденных» (в
указанном смысле) систем дает
или
F(t, 0) = l.
Для вырожденных систем (в указанном смысле) будем иметь
im ±SPFi= Iim V f {/(^J
lim \ \cdq = f{t, 0) + C. (10.22)
Величина С показывает кратность вырождения, т. е. всегда С> 1.
Поэтому нормировка на единицу в формуле (10.22) привела бы
к физически бессмысленному результату f(t, 0)< 0. Но нормировка
на единицу предопределена безусловной нормировкой на единицу
исходной матрицы FN (в силу ее физического смысла) и способом
задания матрицы Fs (10.5). Следовательно, необходимо в этом случае
пересмотреть способ задания матрицы Fs, т. е. отказаться от
принятого формализма. Итак, описываемый формализм пригоден только
§ 10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 197
для невырожденных (в указанном смысле) квантовых систем. В рамках
этого формализма можно дать последовательное обобщение метода
Боголюбова вывода кинетических уравнений.
2. Вывод квантовых кинетических уравнений. Аналогично
методу Боголюбова для классических систем, исходным
уравнением должно служить уравнение эволюции во времени матрицы
FN(t, rv ..., rN, r[, ..., r'Ny Таким уравнением является
квантовый аналог уравнения Пуассона1)»
^f- = [И, FN] = -1 [HFN- FNH).
1
где [Я, FN] — квантовые скобки Пуассона. Гамильтониан Н имеет
вид (в работе Ресибуа [246] сделана попытка учета «тройных
взаимодействий»)
т т
Путем операции Sp (определение этой операции дано фор-
(5 + 1, ...,ЛГ)
мулой (10.6)) получаем уравнение для Fs, аналогичное уравнению
для классических систем:
-Qi i" » ж sJfy^i c\*'.. L>*7» s+i» ^*s+i\ (10.23)
7 = 1(
где
В частности,
О* 2 rr/ ж? i . r/T\ r? i I * O^ г/Тк » ГГ| С* 1 МП 24^
dt
l) Вывод этого уравнения элементарен. Имеем:
г, rv . . ., rNj f ^f, г1Э . . ., rNj
*= IF 2)
=^-{//^-/7w«}.
198 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
или, в развернутой форме,
*> rv rr r[, r2)dr2].
dF2(t, rv r2, r'v r2) _
.«"1. '* r'v
T J
X^3(^. г,. rv г,, г;,
Так как мы ищем уравнение вида
то при решении уравнения для ^ (5^-2) нас интересуют только
решения вида
Fs(t,rv ....r;)-Pa(rx r's,Fx).
Решение ищется модифицированным Боголюбовым методом теории
возмущений, описанным в § 3.
При рассмотрении квантовых систем наиболее частым
предположением является предположение о слабости взаимодействия между
частицами. Поэтому для введения малого параметра е теории
возмущений положим
г/ —гу|).
Как и в § 3, положим
= DQF{P + tD^P + ... (s > 2),
где Dk — оператор косвенного дифференцирования по времени,
в результате которого получается выражение, линейно зависящее
от Lk.
$ 101 ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 199
В результате уравнение для Fs (10.23) распадается на ряд
уравнений:
^0) = [a:5. Ff], (10.25)
И Т. Д.
В § 3 для классических систем было показано, что операция LO(FX)
означает только сдвиг одночастичного распределения, так что
где S{DX — оператор динамического сдвига в одночастичной системе.
Аналогом классическому оператору 5(i}t в квантовомеханическом
случае будет унитарный оператор касательного преобразования
Для квантовой системы, таким образом, имеем
и уравнение (10.25) принимает вид
S ?(г,
Сделаем подстановку:
Тогда
/ +
200 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ {ГЛ. II
Следовательно, из уравнения (10.26), записываемого теперь в виде
г
получается
%(ri К, Umsfa) == const =ФДг, г;, />,).
так как
Uj*)=U$) = l при ft=l, 2, ...
Таким образом,
Можно также написать
Ff](rv ••" ^ ^0 = £/(£)т.Р<?) (л-1 г;, U
Так как левая часть этого равенства не зависит от т, то
окончательно имеем
г, /•;, /=",)= lim£/(f>T/f>(г, r
Квантовый аналог «начальных условий» для классических систем
имеет вид1)
Km UwiFf^ г;,
- Y, П ^(Т1}Л (^. r'j) U W J t/(i»T - 0,
(10.27)
lim £/(£>т {У») (гг .... г;, U^F^W)} U% = 0, ft = 1, 2
г;,
(10.28)
!) Как и в случае классических систем, начальные условия такого
типа являются инородными дополнительными условиями статистического
характера к уравнениям, построенным на основе квантовомеханических
закономерностей. Именно &ти условия приводят к тому, что конечное
кинетическое уравнение соответствует необратимому релаксационному
процессу. Этот вопрос обсужден в работе Вонсовского [69], в которой,
кроме того, рассмотрены вопросы усреднений по шкале времени
рассматриваемых матриц Fs (в формализме Боголюбова этому усреднению
соответствует выбор частных решений для Fs вида Fs (F^ и
требование соответствия временной эволюции Fx с эволюцией макроплотности р).
§ 10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 201
Здесь ys — оператор симметризации, учитывающий свойства
симметрии квантовых систем ф — нормировочный множитель, b = (sl)~1,
где 5 — число перестановок):
где PJk т— оператор перестановки.
Заметим, что
где
U^ = expj F^-Tl- (10.29)
Поэтому можно также написать:
Inn </<f>tFf (r, r's, U^F1UW)U% = ys Д F,{rr г').
X -> OO j =: 1
Отсюда получаем решение для Ffh
и квантовое кинетическое уравнение первого приближения:
p
Найдем теперь второе приближение этого уравнения, для чего
решим уравнение для F^:
D0Fil\\, 2) = [*Г2, ^О. 2)]+ [^1,2, ^0) (1, 2)] +
+ -Lsp[¥1,3 + ^2,3, ff(l. 2, 3)]-D!^0)(l, 2),
v (3)
где для краткости записи введены обозначения
FiU) = Fx{rrr)).
F2(J. b) = F2(rr rk, r'r r'k)
и т. д.
В работе Блохинцева [70] рассмотрен вопрос о справедливости
принципа детального равновесия для квантовых систем, необходимого для дока*
зательства //-теоремы Больцмана, выражающей необратимость
релаксационного процесса. Показано, что в случае центрального закона взаимодействия
между частицами принцип детального равновесия выполняется безусловно.
Однако в случаях взаимодействий, зависящих от угловых координат,
требуется специальное рассмотрение, так как принцип детального равновесия
в таких случаях выполняется не всегда. В частности, это относится к
системам со спиновым взаимодействием (см. также стр. 219).
202 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ {ГЛ. II
Вместо Ff) и FW и т. д. подставим полученные явные
выражения. Учтем, что Dx есть оператор косвенного дифференцирования
по t с подстановкой вместо -^- оператора LX{F^), который, как
теперь нам известно, имеет вид
f\l, 2)]= ±-
SppF,^. ff\l, 2)] p
В результате получим
.2)= ф Ю1Р1 (1)F,(2)=
(3)
+ /71(2)P
(3)
Заметим также, что смысл оператора Do остается без изменений.
Таким образом, уравнение для F^ имеет вид
A^i)(i, 2, U^xFxU^x) = [Kv ^)(1, 2, UVxFpQ)x)] + Bt (10.30)
где
в = Fi, v it 2)^Л^)^Х • ^(2^i (2)£/« ] + т sp x
(3)
(3)
Уравнение (10.30) отличается от уравнения (10.26) только
наличием свободного члена В. Поэтому, используя вывод решения
уравнения (10.26), путем подстановки
/f>(l. 2, f/(i)xF1f/(i)t) = t/(-W(l, 2, U%^)U
сразу получаем
Отсюда имеем
, 2, £/2>т^>т) = ф(1, 2,
$ Ю1 Общий формализм 203
или
/f (1. 2. Л) = ^)х^1)(1. 2, и<й
+ J 1/«
О
Левая часть этого равенства не зависит от т. Поэтому перейдем
к пределу т->оо. Тогда в силу начального условия (10.28) первый
член в правой части обратится в нуль. Во втором члене произведем
предварительно замену переменной интегрирования. Обозначим %' =
= — л' + т, rft/ = — dr\'. Тогда
J u*w.b №1х.ргй®х.) t/L2U' dx = ] и%в (и$ргй«1) й%, ац\
о о
При т->оо также т]->оо. Таким образом,
оо
Р2(1, 2, Fi)= J U^B{U^FiUf)U{lidx. (10.31)
о
В выражение В координаты г3 и г'ъ входят только в виде г'ъ = г3
и, кроме того, по г3 производится интегрирование. Поэтому
касательные операции £Д1з) и Щг) в этом выражении можно опустить,
так как это не изменяет результата. Прежде чем выписать правую
часть формулы (10.31), заметим, что
так как
Аналогично,
Отсюда, например, имеем
u^u^
= j[U™Vh 2и(Ц, # 2)U^ [U^F, (1) U™ • U^F, (2) й™
где обозначено
204 КВЛНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ.
Таким образом, развернутое выражение для F^ имеет вид
з> *2>
1
7
и кинетическое уравнение второго приближения имеет следующий вид:
-[Ф12, ^.«[Ф,,,. ^'^(ОЛ^ЛС3)]]-
- Pi, v Ht2) ft, з' У? *>Fi (О Л (2) Л (3)] ])}.
Это уравнение можно несколько упростить, объединив три
последних члена под знаком Sp и выполнив в них в явном виде
операции симметризации. Три последних члена записываются в виде
[Ф1>2, Я(1, 2, 3)],
где
В(1. 2, 3) = [ФХ 3+<52i3. Ya1'2'3'^1)^2)^3)]-
- <$. 2> [Фг 3, Y2'' 3)Рг (1) Ft (2) Fl (3)] -
- Y2''2) [«а, 3. # «Л (1) Z7! (2) ^ (3) j.
Выполнив симметризацию в явном виде, будем иметь:
B{rvrvrvr[,r'v г^) =
г (г,, /-з) Л (г,, rj) ^ (г,. г0]} - -±г {[Ф (| гх - г, |) -
101 ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 205
r'2)F2(r2, r[)Fv(ry
r*)Fi(r2> ^
. з. *Vi (1) Ft (2) Ft (3)] +
Таким образом, в рассматриваемом приближении кинетическое
уравнение имеет следующий вид:
p
iSp(1 H-Pb) ([*i.8. ^23^1 (О Fi (2) Z7!(3)] +
W (3)
.8. ^13^1(1)^1 (2) Ft(3)1)}]}. (10.32)
206 КЁАНТОВОМЕХАНИЧЕСКЙЁ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. if
Это уравнение принимает более простую форму в пространственно-
однородном случае (когда Fx(r, r') = Fx(r^-r') = F(q)}. В этом
случае
Второй член уравнения (10.32) соответствует приближению
самосогласованного поля с учетом обмена. В пространственно однородном
случае этот член также равен нулю. Действительно,
так как
- J4f(\q\)Fl(r1-r'l-q)Fl(q)dq = 0.
Таким образом, для пространственно-однородного случая
кинетическое уравнение имеет вид
dFx (1) _ е
| Sp [Чи 2, (1 +Я12) {[% з, P2ZFX (1) Fx (2) Fx (3)] +
(3)
+ 1*2,3. Vi(0^i(2)^i(3)]}l) (10.33)
или
p[1>2 ( )]+pp
(2) v (2) (3)
где
ili = isp[<l>i>2> Л(1, 2)]H-lsPSp[Oi)2> В(1,2, 3)1,
2) = [Ф12,
, 2, 3) = (1+Р12){[Ф1>3, ^
+ [Ф2)3. />13/
§ 101 ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 207
Физическую интерпретацию уравнения (10.33) особенно удобно
провести, если перейти к р, /^-представлению:
-Ф(р1'. p'l P'v
+ -Й5Г J {Ф(^' 'г Pi P*)B(P'l Pi P* & P* P*)~
-Ф(Р'1 P'l P'v /»2)s(/»i' Pv Pz> P'v Pi P3)}dpldp;dp2dp3t
Здесь
X exp | —i (pjr, + p2r2 — pft — p^ j. rfr, dr2 dr\ dr'2 =
Xexp |-i-(Pl_p;) (r,-r2)} exp {-■£ (pt + p2-p'-p'2) r2
V
причем очевидно, что функция
v (p) = J Ф (г) exp (- ±pr) dr (10.34)
есть четная функция своего аргумента:
v(—p) = v(p).
Далее, найдем явное выражение для A(pv p2, р[, р.0:
v Pv P'v ЛО—й" J (*('«• ^ Р"' P
1 Pl Р'г-
208 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Запишем
P'v p2) = ®(Pv Pv P'v Р'г)Чр1> Рг> Pv K) =
V(P P')RiP Р P' P^iP + P~ Pi - Р'г\
#(P.. Pv Pv Рг) =
OO
Учтем, что согласно (10.11) и (10.12)
О рО, (Ю.36)
поэтому
Следовательно, целесообразно перейти к уравнению для (pi)
проинтегрировав исходное уравнение по р[. Это мы учтем в
дальнейшем.
Выражение для A(pv pv p'v p'^ таким образом, можно
представить в виде
A{Pv Pv P'v P$ =
X w{p'[)w{p°2) [Щ -
KO^K» pI №W
^рЖр2-р^+Кр-р1№
P'v P2)4Pi + P2-Pl-P2){[4Pi-Pd +
(10.37)
так как, очевидно,
Имея в виду, что в рассматриваемом уравнении производится
интегрирование по трем переменным из четырех, и учитывая, что в
выражении (10.37) стоит множитель Ь(рг-\-р2—Р\~~р2) и V(P) — чет"
пая функция, мы можем заменить в этом выражении v(jp2 — pQ на
§ 10] общий формализм 209
v(Pi — /»з)- Тогда
A(Pv Р2, р[. p'2) =
X [v(p, -р[) + ^(Рг -Р'г)\ [
(подразумевая, конечно, что A(pv p2, р[, р£) стоит под знаком
интеграла по одному из этих переменных).
Найдем теперь явное выражение для B(pv pv p3, p'v р2, p^:
B(Pv Pv Pv P'v P'v Р'г) =
=ж{ J [ф(л- p* Pi- pI)f№> PiViiPr p's)W P2)-
-4Pv Pi-
+ J
-Щр'г', Pi P'v
+ J Ф(Р,. P3, P"v P^Wu P'2)Fi{P
- J «(Pa- Pi. Pv Р'гУМ' PlVx{Pv Pl)P{Pz> P[
+ J «*(P, Рз. Pi' PlVx{Pv P'zVi{Pl> P[)F№> P*)dpldpl-
- J Ф (p"v pi. p[, p'3) F, (pv pi) Px (p2. p'{) Px (p3i p'2) dp{ dp; }.
С учетом выражения (10.36) для Fx(p, p') будем иметь:
(pv Р2, Pv P'v P'v /»з) =
(. РУ P'v
- Ф (Pv Pv P'v P'z) 5 (Рз - Pi') w (Pi) « (P2) w (Рз) +
. Р3. P'v
. P2. P2
+ф(р2. P3. Pi'. #0*(i»,-i»0»(#i)*(
~Ф(Р2. Pv P'v Ps)4P3-
14 К. П. Гуров
210 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. И
Имея в виду, что мы будем рассматривать только выражение В,
которое интегрируется по всем переменным, кроме рг, допустимо
с учетом соотношений, задаваемых имеющимися в выражении для В
дельта-функциями, произвести целесообразную замену переменных.
В результате выражение- для В, стоящее под знаком интеграла, можно
свести к виду
V Р2, Ру Р[, Р'2, Рз) = т[{Ф(*1' Рз- P'v
+Ф>2. Р3. P
. Р3> P
. PV P'v Р^6(Рз-Р0 + Ф(Рг Pv P'v
+ Ф(Р2. PV P'v P^(P3-P2)}
Далее, подставим в это выражение явный вид Ф:
B(Pv Pv PzP'v Pv Р'г) =
= Т[№-*0Я(Рг Рз. P'v P'2)4Pl +P3-Pl-P'z)b(p-P'3)+
з. Pv Р
Pv P'v
. Pv P'v
Pv P'v
. Pi. P'v
Снова будем иметь в виду, что В стоит под знаком интеграла
по />3 ПРИ Рз==Рз> Т°гда с учетом соотношений, задаваемых дельта-
функциями, можно v(p2—/>2') заменить на v(px—pQ и v(p2 —р{) —
на v(Pj—р'Л (здесь учитывается также, что v(p) — четная функция
своего аргумента). С учетом очевидных перестановочных свойств
§to) Общий формализм 211
функции R тогда получим
B{Pv Pv Py P'v P'v Р'г) =
Ш^ Pv Pv P0X
4 R(P3. P3, Pv P2)
-[v(P,-P0+v(Pi-P2')][/?(Pr Pv Pv Р'з)Х
x 6(p,+p2-p;-p;)e(p8-p2')+*G'i- pv Pa. Рз)б(р1+р2-р2'-Рз) x
X 6 (Pa - P,OJ « (Pi) * (P2) « (P8)|'
или, учитывая явно, что В входит в кинетическое уравнение только
в (Pv Рр р,. р;, pi. Рз)=-т1 [v(P! - ро+v(p, -рО] х
х {[«(л. р8. р
,. Р2. Рг. P3)6(Pi+P2—Рг—
Поскольку 5 стоит под знаком интеграла, это выражение можно
преобразовать. Например, вместо R(pvp3, p[, P2')6(Pi+p3~"Pi~p2)X
Х6(Р2— Рз)можно написать R(pv p2, р[. р'2)Ь(р1-\-р2-р[ — р0Х
X 6(р2 — Рз). Аналогично преобразовываются остальные члены. В
результате получим
B(pv p2, р3, р[. р-2, p3)=i2
X
Заметим, что кинетическое уравнение можно представить в
следующей форме:
14*
212 КвАНтовомёханйческие обобщения if л. it
Поэтому выполним операцию Sp В:
(3)
J B(pv pv р3, р[, p'y
X R(PV Pv P'v P'2)b{pl+P2-p[-p'2){w{p[)w{p'2)[w{pl)-{-w{p2)]-
-w(Pl)w(p2) [w(p'1) + w(p2)]}. (10.39)
Объединяя результаты (10.38) и (10.39), получим
A{pv р2, р[, р'2)+\ J B(pv р2, р3, р[, p'v
=£?«(р1. Pv p'v jWi+^-pI-
X [v(p, -Pl)+v{Px ~P',)\{™{P[)™{P',) X
Pv Pv Pv p^6(pi+p2_p;_
x [v(p,-
Pv P'v P*)*(* + P2-p; -P'2) X
§ \Ь) ЪбЩйй формализм
Таким образом, кинетическое уравнение мы преобразовали к
следующему виду:
X [v(tf-|»O+v(tf-jfl]*W. Pi P'
x
- v (rf - pQ [v (ft-jQ + v (*-,£)]/?(*. p2, ft*. p2")X
X
Заметим, что в силу соотношений, задаваемых дельта-функциями,
и четности функции v(p) относительно своего аргумента, можно
v(pj—р2) заменить на v(p2 — р2). Кроме того, очевидно, можно
написать
В результате после выполнения интегрирования по р[ получим
дГ~~ vb2(2nh)* J v(Pi~PDX
X [R(pl. Pi pv Pt)-X(Pv Pv Pi Pl)]dpldpldp2,
214 КВАНТОВОМЕХАНЙЧЁСКЙБ ОБОБЩЕНИЯ (ГЛ. II
Рассмотрим теперь [Я (/>;', р\, pv p3)—R(pv pv p"v p"2)]i
R(P"V p"v Pv P2)~
= J «pf-
CO
- J «pf-T
0
сю
= J ехр{-¥
0
—со
- J ™p{—i
о
+co
= 2Khb(K{Pl)+K{p2)-K(pl)-K{p'2')). (10.40)
Итак, мы получили следующую форму кинетического уравнения:
J ЧРг-рдНр -
X
x
Из структуры этого уравнения видно, что переменные интегри*
рования р'[ и pi совершенно равноправны. Поэтому вместо
можно написать
Итак, мы получили окончательную фор^у кинетического
уравнения:
/
х (i +«!_w(Pl)) (i + £*£-•(*>) -•(pD*(ft) x
x (
§ ю] общий формализм 215
В § 6 мы отмечали, что для квантовомеханических систем
удобнее рассматривать усредненные по «внешним статистическим
условиям» числа заполнения пр, а не w(p). Учитывая установленную
связь между пр и w(p) (формула (6.4)), получим вариант записи
кинетического уравнения в форме, по существу, тождественной с
предыдущей:
Гп ,(1 +л(АWa(
Xdp[dp'2dp2. (10.42)
Вывод квантовых кинетических уравнений рассмотрен также
в работах Сиу [141], Накаяма [133], Росса и Кирквуда (23], Мори
и Оно [200], Уленбека и Уелинга [201], Гофмана и др. [257].
3. Анализ квантовых кинетических уравнений.
Проанализируем полученное уравнение (10.42). Очевидно, правая часть
уравнения дает баланс, отнесенный к единице времени, вероятностей
прямых переходов во все возможные состояния и обратных переходов
из всех возможных состояний частицы / в результате
«столкновений» с частицей 2, находящейся во всех возможных состояниях и
переходящей в результате столкновений во все возможные
состояния. Возможные состояния частиц «до» и «после» столкновения
ограничены законами сохранения импульса и кинетической энергии
двухчастичной системы, задаваемыми дельта-функциями. В отличие
от классических систем, в квантовых системах вероятность прямых
и обратных переходов зависит не только от усредненных
относительных чисел заполнения исходных состояний сталкивающейся пары
частиц, но и от усредненных относительных чисел заполнения
«конечных» состояний. В этом проявляется особенность квантовой
статистики системы.
Характер изменения импульса частицы в результате столкновения
определяется выражением
Xdp[dp'2.
Размерность Q равна [см?/се/с] (размерность v равна [эрг • см\
размерности дельта-функций обратны размерности их аргументов).
Исходя из принципа соответствия с классическими результатами,
216 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
с учетом формы классического кинетического уравнения, величину Q,
следовательно, можно трактовать как произведение
дифференциального эффективного сечения 5 (размерности [см2]) на абсолютную
величину относительной скорости сталкивающихся частиц а12
(напомним, что для упругих столкновений эта величина «до» и «после»
столкновения одна и та же).
Анализ величины Q сводится к анализу явного вида величин
v(Pi~ Pi) и v(Pi~P2)- Прежде всего заметим, что v(p) = T](|p|).
Действительно, если перейти в r-пространстве к сферической системе
координат и выбрать начало отсчета так, чтобы угол между
переменным вектором г и фиксированным вектором р был равен углу
широты О, то
v (р) = J exp {—jpr) Ф (г) dr =
2л Л оо
= J | J
о о" о
Далее, будем иметь в виду, что г) стоит под знаком интеграла,
содержащим дельта-функцию, выражающую закон сохранения
импульса. Тогда
Заметим, что
Удобно переписать это выражение в декартовой системе
координат с осью 2, направленной по вектору рх — р2:
Вектор р[ — prv согласно законам упругих столкновений,
отличается от вектора рх — р2 только изменением ориентации в про-
§ 10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 217
странстве на угол рассеяния (абсолютные же величины равны:
\Р\ — Рч | = | Р\ — Pi I = таи)' Введем сферическую систему
координат для вектора р[—р2 с таким началом отсчета, чтобы угол
широты был равен углу рассеяния 0. Тогда
тЧ\2{\ — cos в)2 + т2и\2sin2 8 cos2q> -f m2u\2 sin2 0 sin2<p =
nt2u\2 [(1 — cos 0)2 -f- sin2 0] = m2u\2 (1 — 2 cos 0 -f- cos2 0 + sin2 0) =
= 2m2u\2 (1 — cos 0) = 4m2u\2 sin2 j.
Отсюда
^(|P1-p;j) =
Аналогично,
Различие заключается только в том, что угол между рх — р2
и р2 — р[ равен, как в этом легко убедиться, я — 0. Следовательно,
(ft \
mul2cosj).
Можно также просто написать, подчеркивая основную зависимость
выражений:
(|#|) (в)
Таким образом, при оценке рассматриваемого интеграла
столкновений возможно определенное квазиклассическое приближение —
придание интегралу формы, подобной по структуре классическому
интегралу столкновений, но учитывающей обменные эффекты в
выражении эффективного сечения и приводящей к равновесным
распределениям, соответствующим статистике Бозе. Другими словами, как
и в^ случае классических систем, для приближенной оценки интеграла
столкновений необходимо знание средней относительной скорости
частиц а12 и эффективного сечения «S.
Рассмотрим снова выражение v(px — pQ. Это выражение можно
записать так:
i_ j_ »
J Р1ГЬр*гdr.
218 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Последнее выражение можно трактовать как матричный элемент
перехода между квантовыми состояниями, задаваемыми плоскими
волнами, в результате возмущения, определяемого потенциальной
функцией Ф(г). Но такая трактовка автоматически приводит к тому, что
если в нашем выражении (10.42) выбросить v(|pj—Р'Л\ то правая
часть этого выражения будет балансом вероятностей прямых и
обратных переходов, определенных в первом борновском приближении
теории упругого рассеяния. Этого и следовало ожидать, поскольку
критерий применимости первого борновского приближения — малость
потенциальной энергии частицы по сравнению с ее кинетической
энергией — является основным допущением нашего вывода
кинетического уравнения.
Наличие в нашем выражении для интеграла столкновений члена
\(рг—р'Л означает учет обменного эффекта в эффективном сечении.
В первом борновском приближении эффективное сечение тогда будет
иметь вид
5 = const [ф (9) + ф (я — 9)]2.
Явный вид выражения эффективного сечения в первом борновском
приближении, как с учетом, так и без учета обменного эффекта,
хорошо известен для различных законов взаимодействия между
частицами (см., например, [150]).
Равновесным распределением, соответствующим рассматриваемому
кинетическому уравнению, является распределение Бозе
-п 1
"> К{р)
Ае kT -1
Легко убедиться, что подстановка в интеграл столкновений
функции
тождественно обращает этот интеграл в нуль. Действительно,
(+\
Р\ Р2 \ Pl)\ Р-2) Pi
А2 { / I*
Имея в виду, что в интеграле столкновений стоит дельта-функция
Ь(К (рг) + К (Р2) — К (р[) — К (Рг)) мы можем в полученном
выражении К (р[)-\~-К (р0 заменить на К{р^ + К (р2) и в итоге получим
тождественный нуль. Параметры распределения Лир находятся из
§10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 219
условия нормировки и условия равенства средней кинетической энер«>
о
гии частицы (энергии теплового движения) величине -кЫ при
предельно больших Т (из принципа соответствия с классическими
системами).
\i_
Параметр А можно записать в виде е кТ , где \i — лшический
потенциал системы (отнесенный к одной частице).
Приведенная выше схема вывода подразумевала, что мы имеем
дело с частицами, энергия которых связана с импульсом обычным
соотношением
L— 2m '
Однако общая форма полученного кинетического уравнения верна
также для систем квазичастиц, подчиняющихся статистике Бозе и
имеющих другие соотношения между энергией и импульсом.
Например, для фоноцов импульс квазичастицы равен bk, где ft —волновой
вектор, а энергию с достаточной степенью точности можно
аппроксимировать линейной зависимостью E = bkc, где с — скорость звука
в среде. Для этой системы кинетическое уравнение остается прежним,
но дополнительное условие будет только одно, так как полное число
частиц системы является известной (в принципе) функцией
температуры. Химический потенциал. системы с переменным числом частиц
равен нулю (jm = O, т. е. Л=1). Для фононов должен существовать
предельный (для заданной температуры) максимальный импульс частиц
системы. Параметр р может быть определен из приципа соответствия.
При kT ^> М-о распределение Бозе переходит в классическое
распределение и р легко определяется из обычного классического
соотношения между средней энергией свободной частицы и температурой.
Для систем частиц, описываемых антисимметричными волновыми
функциями* в общем случае необходимо учитывать спиновые
переменные. Матрицы распределения задаются в виде
rs>
с условием нормировки
где операция Sp означает интегрирование по г (при г' = г) и
суммирование по а (при о'=?=о). Если закон взаимодействия между
частицами зависит от спиновых переменных (но допускает вывод
кинетического уравнения; см. замечания на стр. 201), то вывод
кинетического уравнения очень громоздок, хотя в принципе вся схема
вывода остается без изменений. Полная аналогия с предыдущим
выводом получается для частиц, закон взаимодействия между которыми
220 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
не зависит от спиновых переменных. В этом случае при составлении
уравнения для nPf0 следует учитывать, что при столкновении двух
частиц со спинами ог и сг2, поскольку закон взаимодействия не зависит
от спиновых переменных, конечные состояния двух частиц будут
иметь те же спины ог и а2 (в силу квантовой неразличимости частиц,
мы, конечно, должны также учитывать эффект обмена). Поэтому
интеграл столкновений будет содержать суммирование только по
одной спиновой переменной сг2 (хотя по импульсным состояниям
интегрирование производится по переменным р[, р2, р2). Если обе
ориентации спина статистически равновероятны, то nPi0 = np для любого
значения спина а. В этом случае суммирование по а2 в интеграле
столкновений приводит просто к появлению множителя 2. Таким
образом, все различие вывода кинетического уравнения для ферми-
систем сводится к тому, что теперь в «начальных условиях» для
матриц Fs следует учитывать отличные от бозе-систем условия
симметрии. В результате кинетическое уравнение получается в виде
W)-*(*Q-*(*Q){
p[dp'2dp2. (10.41a)
Вывод по схеме Боголюбова такого квантового кинетического
уравнения для системы частиц, подчиняющейся статистике Ферми, дан
в работе Александрова, Кухаренко и Ниукканена [152]. В работах
этих же авторов [174, 143] сделана попытка обобщения вывода
квантового кинетического уравнения на случай
пространственно-неоднородной ферми-системы.
Результат анализа кинетического уравнения (10.41а) аналогичен
результату анализа уравнения (10.42). Вероятность переходов здесь
также выражена в первом борновском приближении с учетом
обменного эффекта. Наличие множителей типа (пр—1) характерно для
статистики Ферми. Как легко убедиться, равновесное распределение,
обращающее тождественно в нуль интеграл столкновений, есть
распределение Ферми:
пр= *Г(р)~ •
е kT +1
Химический потенциал \х (отнесенный к одной частице) называется
также энергией уровня Ферми одночастичного спектра. При H-^$>kT
(условие вырождения, которое во многих практических случаях имеет
место) п° практически отличается от нуля или от единицы только
§ Ю] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 221
в области около К(р) = \*> шириной (по шкале энергии) порядка kT
(область размытия распределения Ферми). Вне этой области при
состояниях р, соответствующих меньшей энергии, п° практически равно
единице, а при состояниях большей энергии пР практически равно
нулю. В силу наличия в выражениях вероятностей переходов
множителей вида (1 —пр), вероятность перехода в заведомо занятое
состояние (с пр=\) равна нулю. Это полностью соответствует принципу
Паули. Аналогично, в силу наличия в выражениях вероятностей
переходов множителей типа пр заведомо нет переходов из состояний
с пр = 0 (это физически тривиальный результат). При равновесии
(когда интеграл столкновений тождественно равен нулю) число
прямых и обратных переходов в единицу времени между любыми
состояниями одинаково. Следовательно, переходы практически
осуществляются только между состояниями, лежащими в области размытия
распределения Ферми. При слабом отклонении от равновесного
распределения по-прежнему основной вклад в интеграл столкновений
дают только состояния в области размытия распределения Ферми.
Этот результат существен для приближенной оценки интеграла
столкновений.
Наиболее грубая оценка может быть выполнена по следующей
примерной схеме.
Пусть отклонение от равновесного распределения малб. Тогда
можно написать:
где п°—равновесное распределение Ферми, <р —малая поправка.
Вводим время релаксации хр для столкновений электронов с
импульсом р со всеми электронами. Тогда
дп _ <РР
Как обычно, для грубой оценки (по порядку величины) в интеграле
столкновений выделяем члены, содержащие (рр. В результате получим
222 КВАНТОВРМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Учитывая, что переменные р[ и р!2 в интеграле совершенно
равноправны, отсюда имеем
Xб(/С(РХ)+/С (р2) -/С(Р[))-(2)) [
(10.43)
Поскольку основной вклад в интеграл дает область размытия
распределения Ферми и можно считать, что в этой области v(p) почти
ке меняется, для грубой оценки возьмем вместо п° и п°, средние
Рг Р\
значений этих величин в области размытия, равные 1/2.
Интегрирование по переменным р[ и р'2 означает просто выполнение учета
законов сохранения. В результате остается только интеграл по р2»
распространенный на область размытия распределения Ферми.
Аналогично тому, как это было отмечено на стр. 217 для бозе-систем,
величину
г +Р2 -Pi ~lQ X
-К (p'2))dp[dp'r
по аналогии с классикой, при грубых оценках можно положить
равной произведению эффективного сечения на среднюю относительную
скорость и12. В нашем случае в процессе в основном участвуют
только частицы из области размытия распределения Ферми. Поэтому
скорость всех сталкивающихся частиц по порядку величины одна и
та же (скорость на уровне Ферми равна uF = У^/я/?^, где ^=^1—
энергия на уровне Ферми; разброс скоростей максимально равен
V2mAEp upAEp up kT
Дя _ r = r r- = -jf- ——; по условию вырожденной
2yE tZ г ь
BF J № ~Рг) -ЧРг -
системы kT<^EF\ следовательно, —^-<С1, т- е- все скорости
F
частиц в области размытия распределения Ферми имеют один и тот же
порядок величины). Абсолютная величина относительной скорости
колеблется, таким образом, от нуля до 2uF, и средняя величина
относительной скорости по порядку величины равна uF.
В результате мы получим следующую оценку:
5^2
§ 10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 223
где
Q= J dp,
Q — объем в импульсном пространстве в области размытия
распределения Ферми. Можно также написать для получения большей
аналогии с классическим рассмотрением:
где
(10.45)
Очевидно, Nc есть число состояний (без учета спина) в фазовом
объеме vQ. Заметим, что множитель 1/2 в формуле (10.44) означает
среднее число заполнения (усредненное, кроме того, по внешним
статистическим условиям) каждого состояния в фазовом объеме vQ.
Следовательно, -kNc есть общее заполнение этого фазового объема.
Отсюда сразу получаем следующее общее выражение для заполнения
фазового объема:
JS^ (10.46)
где n°F — статистически среднее число заполнения на поверхности
Ферми, v\(EF) — плотность состояний на поверхности Ферми на
единичный интервал энергии, &Ер — ширина по шкале энергии области
размытия распределения Ферми. Величина n°F всегда равна 1/2,
величина v\(FF) для каждой конкретной системы имеет свое характерное
значение. В рассматриваемом случае идеального газа свободных ферми-
частиц
V [ dp PF + S
J
Отсюда
/7~. (10.47)
224 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Здесь, очевидно, ц(Ег) отнесена к объему, приходящемуся на одну
частицу.
Величина AEF, как мы уже отмечали, по порядку величины
равна кТ.
Итак,
Это выражение необходимо усреднить по всем состояниям р,
дающим существенный вклад в интеграл столкновений (т. е. по
состоянию внутри области размытия распределения Ферми):
?#- <10-48>
С учетом формул (10.45) и (10.46) имеем
-7 = i (Л (EF) )2 SuF (*Г)*. (10.49)
Формула (10.49) есть основная формула для грубой оценки
времени релаксации любой системы ферми-частиц. Для газа свободных
ферми-частиц, подставляя выражение (10.47) для r\(EF), получим
Рассмотрим еще раз формулу (10.48) применительно к
электронам в металлах:
т (2лй)3 J т^ р р ТфИКС J р
f n
тфикс ^
Ep~fkT
£2
Интеграл Г n°(E)r\(E)dE есть число занятых состояний одного
Ех
спина в данной области энергий полосы. Заметим, что полное число
занятых состояний в полосе проводимости равно J n°(E)r\(E)dE,
о
где Еп — энергия потолка полосы. Величина этого интеграла не
изменяется с температурой. Поэтому она равна соответствующему
§ 10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 225
вР
интегралу при Г = 0, т. е. она равна величине Г r\(EF)dE. Если
о
г\(Е) слабо зависит от Е (это, например, имеет место для внешней
s-полосы электронного спектра металлов), то можно положить
BF
Г ц(E)dE = r\(EF)EF — const = q. Отсюда x\(Ep) — qlEF. Таким
о
образом, число столкновений электронов в единицу времени и в
единице объема дается выражением
Величина гкл есть соответствующее число столкновений для
случая, если бы система рассматривалась как классическая (но со
средней скоростью, равной ир). Отличие, как видим, заключается в
наличии множителя I —р—/ . Легко уяснить физический смысл этого
множителя —он показывает, во сколько раз по сравнению с
классикой уменьшилось число переходов между электронными состояниями
в силу принципа Паули, который допускает* в основном только
переходы между состояниями, лежащими в области размытия Ферми
ширины кТ (множитель 1/2 указывает среднее заполнение состояний
в этой области), а не между всеми состояниями.
Эффективное сечение S определяется формулой
4я** 2 16***4 (10 50)
m ui
Строго говоря, в эту формулу должен входить поправочный
множитель, характеризующий экраяирование по модели Дебая —
Хюккеля, но он не изменяет порядка величины 5, хотя играет
существенную роль при переходе от дифференциального эффективного
сечения к интегральному (устраняет появление расходимостей при
интегрировании).
Рассмотренные здесь выражения могут применяться для грубых
оценок (по порядку величины) времени межэлектронной релаксации
в металлах.
Следует еще привести очевидное обобщение полученной формы
кинетического уравнения на случай смеси газов двух сортов частиц,
подчиняющихся разным квантовым статистикам (статистике Бозе
и статистике Ферми). Обозначим величины, относящиеся к системе
15 К. П. Гуров
226 КВАНТОВОМЕХАНИЧЁСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Ферми, значком I, а к системе Бозе — значком II. Система из двух
кинетических уравнений запишется в следующей форме:
Г J [^(P1-P'1
В заключение следует еще сделать существенные замечания о
дополнительных ограничениях вывода квантовых кинетических
уравнений по сравнению с ограничениями в случае классических систем,
рассмотренными в § 6 раздела 4.
В пространственно однородном случае мы получили квантовый
аналог классического кинетического уравнения, т. е. уравнение,
в котором содержатся только диагональные элементы одночастичной
матрицы плотности (точнее, просто функции w (p)t. имеющие
классический ^мысл), поэтому это уравнение интерпретируется (с учетом
особенностей квантовой статистики) точно так же, как и их
классический прототип, и точно таким же образом доказывается,
необратимость релаксационного процесса, присущего диагональным элементам
одночастичной матрицы плотности. Однако в общем случае
уравнения, содержащего недиагональные элементы, такого доказательства,
дать нельзя. На это впервые обратил внимание Паули [176].
§ 10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 227
Из нашего вывода квантовых кинетических уравнений, а также
из приведенного анализа этих уравнений следует, что при получении
«диагональной формы» уравнений существенно использовались
свойства функции v(p) (см. (10.34)), т. е. в конечном итоге
использовалось предположение о центральном законе взаимодействия вида
Ф(\г(—/*/()• Наличие прямой связи между выбранной формой
закона взаимодействия и возможностью «диагонализации» уравнения
для матрицы плотности доказывается в работе Ван Хова [177].
В несколько ином аспекте (в связи с рассмотрением принципа
детального равновесия, необходимого для доказательства Я-теоремы
Больцмана) этот же вывод следует из работы Блохинцева [70],
упомянутой в примечании на стр. 201.
Следует еще заметить, что чистые одночастичные квантовые
состояния, из которых составляется одночастичная матрица
плотности, выражаются в случае пространственной однородности плоскими
волнами. Отсюда сразу можно сделать вывод, что «диагональную
форму» уравнений можно приближенно получить и в
пространственно неоднородном случае, если характерный пространственный
масштаб длины, на котором заметно меняются макропараметры
системы, много больше длины плоских волн квантовых волновых
функций. Тогда можно вывести кинетические уравнения, причем они
параметрически будут зависеть от пространственной точки
(«гидродинамическое приближение», см. § 12).
4. Метод вывода кинетических уравнений с использованием
корреляционных матриц, В работе Боголюбова и автора [3] было
показано, что развитый выше метод вывода кинетических уравнений
для квантовых систем имеет тот недостаток, что в высших
приближениях получаются расходящиеся выражения. Поэтому был
предложен другой метод вывода кинетических уравнений, который, однако,
для кинетических уравнений второго приближения (т. е. с учетом
членов порядка малости е2) дает те же результаты, как и описанный
выше. Тем самым подтверждается применимость описанного выше
метода для вывода кинетического уравнения с учетом только членов,
порядок малости которых не выше второго (т. е. решение для F2
должно искаться в приближении, в котором учитываются только
поправки первого порядка малости к решению нулевого
приближения). Ниже кратко излагаются основные результаты работы [3]
для бозе-системы.
Заметим, что предположение о слабости взаимодействия между
частицами позволяет упростить рассмотрение путем введения
корреляционных матриц. В отсутствие взаимодействия между частицами
имеет место следующее соотношение (учитывающее свойство симметрии
квантовой системы): Fs(l s) — ysFt(l) ... Fx(s). При наличии
слабого взаимодействия (потенциальная энергия взаимодействия пары
частиц порядка малости параметра е) к этим выражениям следует
15*
228 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
добадить корреляционные поправки:
F2(\, 2) = y2F1(l)F2(2) + eg'2(l, 2), (10.51)
/>з(1. 2, Z) = yzFl(l)Fl(2)Fl(3)-\-ey3{g2(l1 2)Ft(S) +
l, 2, 3) (10.52)
и т. д.
Уравнение для Fx имеет вид
, 2)]. (10.53)
Из уравнения (10.24) для F2, уравнения (10.53) и соотношений
(10.51) и (10.52) получается уравнение для g2:
p {№,, з ^ (1) Fj (2) f1! (3)] + pFj, 3> Pj^j (1) Fx (2) ^ (3)]} +
(3)
(3)
, 3)F1(2)] +
>,з. ft(1.2. 3)]. (10.54)
Будем по-прежнему искать только частные решения g2t явно не
зависящие от времени t, а зависящие от t только косвенно, через Fx:
g2(t, I, 2) = §20» 2, Fx). Тогда операция д/дТ применительно к g2
распадается на ряд операций д/дТ = D0-\-eDx-{-e2D2-\- ..., где
Dt — оператор косвенного дифференцирования с подстановкой
вместо —st^ члена степени г1 из правой части уравнения (10.53),
в которое в качестве g2 подставлено ее решение в (/—1)-м
приближении; результат операций Dtg2 линейно зависит от члена
степени г1 правой части уравнения (10.53).
Будем рассматривать пространственно однородный случай. В этом
случае в правой части уравнения (10.53) первый и второй члены
тождественно равны нулю, и уравнение сводится к виду
p1>2, ft(l, 2)1. (10.55)
§ 10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 229
Следствием тождественного равенства нулю первого и второго
членов в правой части уравнения (10.53) является тождественное
равенство нулю результатов операций Dog2 и Dxg2. Таким образом,
в рассматриваемом случае -4р заменяется выражением, имеющим
порядок малости не ниже второго.
В описанном выше методе решение для F2 было найдено в
первом приближении; это соответствует решению для g2 в нулевом
приближении. Здесь мы рассмотрим решение для g2 вплоть до
первого приближения. Для такого решения в уравнении (10.54) следует
сохранить члены нулевого и первого порядка по е. Поскольку, как
мы только что убедились, результат операции —~- дает выражение
порядка малости не ниже второго, то этим членом можно пренебречь.
Можно по той же причине пренебречь членом, содержащим g$.
Тогда уравнение для g2 сводится к виду
[K2t ft(l. 2)] + Л(1, 2, Р{) + гВ(1. 2, Fv #2) = 0. (10.56)
Представим уравнение (10.56) в р, р'-представлении. В
результате получим
K{Pl)-K{p2))g2{pv p2, р[. р'2, />,) =
v р2, p'v prv /71) + е5(р1, р2, p'v p'v Fv g2)}. (10.57)
Процедура нахождения явного вида А и В в р, р'-представлении
совершенно аналогична тем математическим преобразованиям,
которые были выполнены при описании предыдущего метода. Заметим,
что в выражение для В элементы матрицы g2 входят линейно.
Поэтому, если представить g2 в виде g2 = g^ + eg^ + .. ., для В
получим
Поскольку мы ищем решение для g2 с точностью до первого
порядка по е, то во всех выражениях следует сохранить только B(g"J,0)).
Заметим также, что в пространственно однородном случае
Л (Р. Р') = (2я*03«(р) б (р - р') = vnp6(p- p').
В результате для А и B(gfi\ получаются следующие выражения:
A(Pv Pv P'v P'v n) = b{Pl-{-p2 — p[ — p'2)W{pv p2, p[, p'v re),
B(PV PV P[, P'v~n, g^) = {O(P1) + G(p2)-O(p^-O(p'2)}X
Pr P'v P'v ")+L{Pv Pi' PV P'v П>
230 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
где
v(p) = J W(r)e~*dr, Q(P) = ^ J \(p — p')w(p')dp',
v p.. Pi- p» «" ^0))=>>
x J {v(P1-P0+v(
X«f (p2. P'y p8. Р'
X J {v(ft-P$) + v(P3-P0
x«f (p,. p3. p8. pQw
X J {v (px-p0 + v (p,-p0) б (Pl + p3 - p^ - pQ ej» (p2. pj. p3, p;)X
xrfP3^3+-rea!F{*(p0-»(ft)} J {v(p2-p0+v(p
X 6 (p2+p3 - p[ - p'z) gf> (pv p'3, p3> pQ dp3 dp^ +
+ 2ih(2nhy 0 +"p, + «/>2) J {v(P1-P3)+v(P2-P3)} X
X 6 (p, + P2 - P3 - P'z) gf (P8. Рз. Pi> P
+^ + »р2) J {v(P;-
x б (P;+p^ - p3 - рз) ^to (pv p2, p3, p,
Казалось бы, естественным путем решения уравнения (10.57)
является обычный метод теории возмущений. Уравнение (10.57)
разбивается на два уравнения:
р2, р[, p'v ») =
ihb(p, 4-Р2 - Р[ - PQ W(р,. р2, pj, pj. я), (10.58)
= Ш(р1> р2, р[, p'v n, g^). (10.59)
Заметим, что начальные условия (10.27) и (10.28) соответствуют
физическому представлению о том, что волновые функций,
соответствующие матрице Fv не являются сходящимися из бесконечности
§10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 231
волнами. В теории бинарных столкновений Дираком был развит
метод решения уравнений типа (10.58) и (10.59), законный при
выполнении указанного условия. Согласно этому методу решения
уравнений (10.58) и (10.59) имеют вид
«jp = 2лйб+ (К (р[) + К (р'2) - К (Pl) -K(p2))X
X Ь(р1 + р.2-р[-р'2) W(pv p2, p'v p'2i я), (10.60)
XB(pv p2. p[. p'2, n, gf), (10.61)
где
ИЛИ
Подстановка решений нулевой степени, т. е. выражения (10.60^
для gf), в уравнение (10.53) приводит к кинетическому уравнению,
в точности совпадающему с уравнением (10.42), полученным
предыдущим методом. Это и следовало ожидать, так как выражение для
R(pv Р2> р[> Р2) из Ф°РмУлы (Ю.40), как легко убедиться, просто
равно 2пЬЬ+ (К (pj) + К (р£) — К (рх) — К (р2) ). Легко убедиться
в наличии такого же совпадения между следующими приближениями
(если бы соответствующее приближение было выполнено предыдущим
методом). Однако подстановка первого приближения g£\ т. е.
выражения (10.61) в уравнение (10.53) приводит к расходящимся членам.
Действительно, выражение для gp после подстановки найденного
выражения для g^ примет вид
v Pv Pv Pv
p2, p[, p'v n, gtf).
(10.62)
Подстановка выражения gf\ содержащего множитель б+, в
выражение для L к расходимости не приводит, так как в этом
выражении g"2°) зависит от переменных, по которым производится
интегрирование. Подстановка в кинетическое уравнение последнего члена
правой части выражения (10.62) по той же причине также не
приводит к расходимости. Однако первый член правой части
выражения (10.62), содержащий 6+, при подстановке в интеграл столкновений
232 квантовомеханйческиё обобщения [гл. и
приводит к расходимости последнего. Следовательно, такая же
расходимость получается в предыдущем методе вывода кинетического
уравнения при учете высших приближений.
Таким образом, обычным методом теории возмущений получить
решение не удается.
Исключить такую расходимость можно следующим образом.
Запишем уравнение (10,57) в форме
i.) {b{Pl + p2-p[-p'2)W(pv р2, р[, p'v «)
>1, ру р[, p'v n, g2)},
где
ЩГ J viP-p')n(P')dp\
и применим для его решения методику Дирака. Тогда получим
x Hp1+p2~p[-p'2W{Pv p2, p[, p'2, «)
p2, p'vp'2~n> g2)}
или
Xf>(p1-+-p2—pf1—p2)w(Pv Pv Pv Pv n)> (Ю-63)
X L(pv pv p[, p'y n. 4°>). (10.64)
Отсюда сразу видно* что все отличие от описанной на стр. 230
методики заключается в том, что там мы фактически разлагали в ряд
по степеням малого параметра е функцию б+, что незаконно. В то же
время, если пренебречь всеми членами порядка е, в том числе и
ъ аргументе функции б+, то 6+(Е(р)) переходит в 6+(К(р)) и
выражение (10.63) для g^ переходит в выражение (10*60). Этим
объясняется правильность результата первого приближения для F2
в первоначальном методе и неправомочность этого метода при рас*
смотрении высших приближений.
Подстановка выражений (10*63) и (10.64) в уравнение (10.55)
приводит к следующей форме кинетического уравнения:
дп ^ /*
J \Z(pv pv p'v p'^-\-Z(pv pv p'v p[)\2X
°21-E(P1)-E(P'2))X
Vfw ,n ' (\
§ 10) ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 233
где
Z(PV P2, P'V P2) = ™(P1-P[) +
J ^-/>зНр;-рз) еы+вы1вы-ем х
Хб(р1 + Р2 — Р[— Р'г)
Из этой формулы видно, что во втором приближении получается
прежнее кинетическое уравнение, но в следующем приближении
вероятность переходов \Z(pv pv p[, p'2)-\-Z(pv p2, р2, p[)\2
зависит от чисел заполнения, и энергетическое соотношение, задаваемое
дельта-функцией Ь(%Е(р)) не есть простой закон сохранения
энергии при столкновении, а функционально зависит от чисел заполнения.
Однако получаемое энергетическое соотношение можно рассматривать
как закон сохранения перенормированных одночастичных энергий.
Перенормировка обусловлена корреляцией между частицами
исходной системы. В определенных условиях таким путем интеграл
столкновений можно интерпретировать как интеграл столкновений для системы
квазичастиц («элементарных возбуждений»).
Рассмотрим в связи с этим несколько подробнее физическую
сущность такой перенормировки одночастичной энергии.
5. Перенормировка одночастичного спектра. Рассмотрим сначала
пространственно однородный случай. Гамильтониан плотности энергии
сильно коррелирующих частиц, связанный с пространственной точкой /?,
имеет вид
N
Среднее значение плотности энергии в точке R имеет вид
!£ ±j £w(R, p)dp +
?, r,R,r)dr.
Введем корреляционную матрицу
F2(rv rv r'v r'^Fx{rv r[)Fx(rv r'2) +
rv r2, r'y r$
234 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
и подставим
/>! (г, г') = Fj (г - /•') = J 10 (р) ет<г"'
- г«- <• Г2) = "(2^ J ^(Pl> Рз> pi
В результате получим
j®(\R-r\)F1(0)F1(0)dr=
X exp | -i (/?-r) (p-pO J dp dp' dr=j\(p-p')w(j))w (p') dp dp'.
г|)^(Л. г, R, r)dr =
— (P2 — Pi) Г] } dPl dPl dP'\ dP2 dr-
Учтем при этом, что в силу самого физического смысла g2 при
центральном взаимодействии должно быть g2(r1, r2, ги г2)=У2(г\—гг)>
откуда (ф есть фурье-образ функции g)
J Ф(|/г_г|)^2(Л, г, R, r)dr= J v(p-p')%(pv pv p[, p!2)X
X 6 (Px + P2 - Pi - P9 dpx dp2 dp; dp^.
Здесь всюду введено обозначение
v(p)= j<b(r)eTr"dr.
Итак,
ё = ^ J £да^>^+^ J "WP+W* J v(P-P')™<J>')dP'X
X j v(p)dp+-fr f vip — p^ip. p')w(p)dpdp',
где
V(P. PO= J t(ft C2'^' ^ 4P + P2-P'-P2)dP,dPr
Следовательно, нам удалось представить среднюю плотность
энергии системы в виде
1=1 j s(p)w(p)dp. (10.65)
§ 10) 6БЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 235
Величина l/v = N/V есть среднее число частиц системы в единице
объема. Поэтому выражение (10.65) можно трактовать так: средняя
плотность энергии системы равна сумме «одночастичных энергий»,
дисперсионное соотношение которых имеет вид
. P')dp'.
Рассмотрим физический смысл каждого члена перенормированной
одночастичной энергии. Физический смысл первого члена остался
без изменений. Второй член означает добавку за счет корреляции
между частицами в приближении классического самосогласованного
поля (приближение Хартри). Эта добавка тривиальна» так как она
означает только перенос нуля отсчета по шкале энергии на
постоянную величину. Третий член означает добавку за счет корреляции
между частицами из-за их квантовой неразличимости (обменная
корреляция в приближении самосогласованного поля» приближение Фока).
Четвертый член означает «силовую корреляцию», так как он
обусловлен корреляционной матрицей g2, которая отражает наличие
взаимодействия между частицами. Очевидно, что порядок величин второго
и третьего членов определяется порядком величины энергии
взаимодействия Ф(г). Если применима теория возмущений, основанная на
предположении, что энергия взаимодействия много меньше, чем
то второй и третий члены будут первого порядка
малости, а четвертый член — второго порядка малости (так как
диагональные элементы g*2(ri» **2» гг> *2) = Ф2(Г1 — Ъ) того же порядка
малости, что и Ф(г)); поэтому четвертым членом обычно пренебрегают.
В статистике Ферми все изменение в полученных результатах
сводится к замене знака плюс перед третьим членом на знак минус и
учете спиновых переменных. Полученный нами результат в
пренебрежении четвертым членом соответствует модели ферми-жидкости
Ландау [79] (анализ перенормировки одночастичной энергии
применительно к ферми-жидкости дан в обзоре Климонтовича и Силина [76]).
Полученные результаты можно обобщить на пространственно-
неоднородный случай. Ниже рассмотрим такое обобщение в
пренебрежении силовой корреляцией.
Как мы уже видели (см. стр. 190), в пространственно
неоднородном случае матрицу плотности Fx (r, г') можно представить в виде
Рг(гш г')==/г(1> Я), где g = £±llf q = r-r'.
Будем рассматривать слабое отклонение от пространственно
однородного распределения, при котором —~ имеет порядок
236
КВАНТОЁОМЁХАНЙЧЁСКЙЕ ОБОБЩЕНИЯ
[ГЛ. U
имеет порядок \х2 и т. д. («гидродинамическое приближение»,
см. § 12).
Тогда
9 г>) = М1. Я) = -&££- J
Усредняя рассмотренные матрицы в «пространственной точке /?»
получим
F2(rv rv r[, r'^
r'2) ± ^(r,. r'2)Fx(rv r[)+ ... =
= /,(6. 4)fx{l. г2-г
х<%, q)X
При г^ = гх и Г2 = /*2 отсюда получаем
(/•i. r2. rt, r2) = f1(R, 0)/x(*. 0) + (r2-
+ ... ±/х(Л Л-r^/,(Л, г2 —Л)±
±\(г3-Л)[-|- (Л(|, /?-г2) • /, (|, г2-R))] ±... (10.66)
Тогда с учетом формулы (10.66) и условия нормировки для w(R, p)
§ 10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 237
после несложных преобразований получим
X J «(Л p)dp±2^ J { J v(p — p')w(R, p')dp' j w
а=1
3
a, 0=1
о
a, 3=1
+W"№p)Fp^±tttI (10<67)
и т. д.
Второй член правой части формулы (10.67) имеет чисто квантовое
происхождение (см. стр. 194), не связанное с корреляционными
эффектами.
Заметим, что в силу свойств нечетных функций:
v« (0) = J гаФ (г) dr = 0,
^[v}(p-pO + v«(p'-p)] = ^{J^
= J гаФ (г) cos [г (р — р')] t/r = 0
(cosr(p — рО есть четная функция от г),
j № (Р - РО + v§3 (р' _ р)] = ^ J Г2Ф (г) cos [г (р - р')] rfr
где 6ag—символ Кронекера.
238 КБАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЙ [ГЛ. Н
Как видим, все гидродинамические поправки первого приближения
тождественно обращаются в нуль. Обычно вторым гидродинамическим
приближением пренебрегают и, следовательно, перенормировка одно-
частичного спектра в пространственно неоднородном случае по форме
такая же, как и в пространственно однородном случае. Отличие
заключается лишь в учете зависимости нормировки w(R, p) от
пространственной точки /?. Выражение для Е имеет вид:
;(/?, p)w(Rt p)dp,
где
е(Я, р) =
Следует заметить, что развитая схема получения поправок
предусматривает обращение в нуль Ф(г) на конечном расстоянии (иначе
в поправках появляются расходящиеся интегралы). Поэтому в случае
систем заряженных частиц под Ф(г) следует понимать эффективный
(экранированный) потенциал.
Кинетическое уравнение для квантовой системы частиц с
перенормированным одночастичным спектром рассмотрел Кроссман [258].
6. Формализм квантовых функций распределения. Кроме
описанного выше формализма, прототипом которого послужил формализм
матрицы плотности Неймана [5] и Ландау [63], существует еще один
формализм описания статистических квантовых систем, введенный
Вигнером [75]. Как показали Силин и Климонтович [76—78], этот
формализм удобен для описания кинетических процессов в квантовой
системе из заряженных частиц (плазма, электронный газ в металлах)
благодаря наличию определенного наглядного соответствия с
классическим описанием. Однако в этом формализме условия квантовой
симметрии не имеют такого простого вида, как в формализме Неймана,
и их учет приводит к значительным усложнениям. Ниже кратко описан
формализм Вигнера.
Введем, по определению, функцию
Ьхм \
...,rN f-)dx{...dxN.
где FN — матрица распределения системы N частиц, соответствующая
формализму Неймана.
§ 10} ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 239
Следует обратить внимание, что в литературе по формализму
Вигнера, в частности, в обзоре Климонтовича и Силина [78], в
отличие от нашего определения (см. стр. 184)
; r'N),
матрица распределения в формализме Неймана определяется формулой
FN(t,rv...,rN,r[ fM) = y»frj(t.rv....r/t)V/(t.r'l r'N).
Очевидно, что Fn = Fn> и определение fN через матрицу FN
имеет вид
/nV* гг rN% рх, .... Р^) = ЩШ J expj— ^
(напомним, что матрица FN обладает свойством эрмитовости). Ниже
при описании формализма Вигнера мы будем использовать матрицу FN,
т. е. будем придерживаться обозначений работы [78]1). При этом
следует помнить об имеющихся различиях в уравнениях и
преобразованиях Фурье для FN и FN:
*' Г1
-^Lv J Fn('' Pi Pn- Pi ^
| N |
~ Vnh)*» J ^^' Pv- Pn- Pv ■ ■ • %J X
l) Начиная с формулы (10.68) и всюду далее будут использоваться
только матрицы Fs (s = 1, ..., N). Однако для простоты будем их рбрзнз-
чать через F^.
240 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
На это обстоятельство обязательно нужно обращать внимание
при сравнении различных работ.
Как будет видно дальше, функция fN является формальным
аналогом классической функции распределения, поэтому она и названа
квантовой функцией распределения.
Рассмотрим подробнее функцию fN. Заметим прежде всего, что
эта функция вещественная. Действительно, в правой части стоит
ЗМ-кратный интеграл. При этом для каждого однократного
интеграла можно написать (для краткости введены обозначения: АМ\ =
/ \
+оо
оо
0
J
0
оо
j
так как FN — эрмитова матрица. Как видим, подынтегральное
выражение есть вещественная величина. Следовательно, и интеграл по
вещественному аргументу будет вещественной величиной. Однако
квантовая функция распределения не при всех значениях своих
аргументов является положительной величиной. Она может принимать
и отрицательные значения. Поэтому ее физический смысл нельзя
отождествлять с физическим смыслом классической функции
распределения в Af-частичном фазовом пространстве. Легко проверить, что
физический смысл имеют только выражения Г fN(t^N\ p^N))dp^N)
и [ /лг(г(лг)» P{N))dr{N) (здесь и далее для краткости через r{N\ p{N)
и т. д. обозначены совокупности координат и импульсов, a ^N)
= drx ... drN и dp{N) = dpi ... dpN). Действительно,
(10.68)
§10] общий формализм 241
Как мы уже знаем, диагональные члены FN в г, /"'-представлении
дают вероятность (в классическом смысле) нахождения TV частиц
в точках rx rN. Далее,
X
x 6(p'<"> _Р"(ЛГ)) exp {-^i (р'(лг)+P"(Af))} ^(iV) йр'(лг) <*р"(лг)
= J
Здесь также диагональные элементы матрицы FN в р, р'-пред-
ставлении дают вероятность (в классическом смысле) нахождения
N частиц в точках рг, ..., pN импульсного пространства.
Из функции fN, по определению, можно найти функции fs
р<*))=v*jи(/•<">.р(лг))аГз+1 ...drNdPs+t ...dPff=
Vs
(согласно определению F5 по формуле (10.5)).
Усреднение при помощи квантовых функций распределения
очевидно; например, для «одночастичной физической величины» А среднее
к;, п. гуРо9
242 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ {ГЛ. II
значение в пространственной точке R дается формулой
N
=у% J A(rj9
=4 f Л<*
где Л (г, р)—«значение физической величины в фазовом пространстве».
Найдем уравнение для /д. Имеем:
Подставим в явном виде уравнение для Fx (t% r% rr)\
{
1 J [Ф(к-г2|)-Ф(|г'-г2|)] F2(t, r, r2, r'. r2)dr2]. (10.70)
Преобразуем первый член правой части этого уравнения:
X ехр { — i- (rp' - г'Л } dp' dp".
Тогда соответствующий член в уравнении (10.69) будет иметь вид
f w-
)» J
Й(2я6)'(2я)»
ri J ™ P1' 2P-P')exP{-^(p'-
«-5F J /7l('>r' f ' Г' + "Т)Х
10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 243
)
X 6 (г' — г) ехр | Щ- (г — /•')} ехр {— /тр} dr' tft =
)3 J * ûà à 2 ' Г^ 2 jflT— 1Й" а? '
Преобразуем теперь член уравнения (10.69), получающийся после
подстановки в это уравнение второго члена правой части
уравнения (10.70):
Имеем
Xe-l">F2(t, r-Ц, r2, r + -^,
F2[t, r-Ц-, r2, Г+Ц-, r2) =
r-^- r--^ гЧ-^1
2 ' Г2 2 ' r^ 2 '
X exp {/ fa (т — t') - p2x"\) dx\ dp2dx' dx"'
С другой стороны, заметим
, r, r2, ц, Рг) = -^)в J ^Ц'. г j-, r2 j->
Следовательно,
Отсюда получаем
Итак, уравнение для fx(t, г, р) имеет вид
dfx & г, р) . p a/t ft r, jo) _
^ -1" m dr ~
^ rt r2. ч, p2)exp {/t (t) — p)}dxdr\dr2dp2.
16*
244 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Как видим, уравнение имеет определенную аналогию с классическим
уравнением для функции распределения.
Составим уравнение для /2(rlf r2, pv p2). Имеем
*/.*.«. п. РиРй = -^ J ехр (- /тЛ - ix2p2) X
J ехр (~/TlPl ~"/T2i52) х
X | 2in LV»-|-+ ^^
(10.71)
Преобразуем это уравнение. Обозначим для краткости
Заметим, что
f П f |^ //
г — Г1 + Г1 • г Г2 + Г2 ■ йт _-." -/. Лт _-.» „/
Г1 2 2 2 ' 1 — 1 1' 2 — Г2 ' 2'
Следовательно,
4 ri^ Vftti dr, a (fit,)*
V2 i v2 4- V2 -+- — • д
v2v2 IJLJL
§ 10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 245
Аналогично,
г2 г"2 Ь дг2 " дх2 '
Будем дифференцировать по т по частям с учетом условия F2->0
при т«, т£->±оо. Окончательно получим
Pi d/2 (ri, г2, Pi, p2) p2 df2 (rt, r2, Pi, рг) /ift 701»
—-"■£" 5?^; "^ 5^2^ • (1U-7^
Далее преобразуем второй член правой части уравнения (10.71).
Можно написать
^^- J ехр (- itlPl - ix2p2) { Ф (| /-, - г2 -1 (Tj - tj) |) —
t, dt2 = -^g- J exp (- /t^! -
х{ф(|/-1-г2-4(т1-т2)|)-ф(|г1-г2+|(т1-т2)|}х
/ Ъх[ йт2 Ьх[ Ьх'А
X6(t,- т|) б (т2 - х>2) dx[ dx'2 dxx dx2 =
]
— Ф (I r, — /-2 +1 (*i — ta) |)} exP (— *iPi — 1ЬР2) X
^
X exp {/4l (t, — x[) H- /n2 (т2 - tQ} F2 (/-j — ^-, r
ri + "T" • r2 + ~t) d^i rftl2 dx\ dx'2 dxx dx2 =
Xexpt/Кчх —р1)т1 + (ч2 —р2)т2]}/2(г1, r2, 4i»
246 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. ft
Рассмотрим теперь первую часть последнего члена уравнения
(10.71) (вторая часть этого члена преобразуется аналогично):
— ф( I г, ~ г3 + -^-1) } ехр (- txlPl — ix2p2) F3 (г, — -Y-;
Ьх2 hx3 hx[ bx2 hxA
X 6 (t, - x[)6 (t3) dr3 dx[ dxx dx2 dx3 = -^jj J { ф(| г.-г.-Щ )-
}ехр(-/т1р1-/т2/>2-/ТзР3)ехр{/(т1-^)Ч1
Ъх2 At, hx[ hx2 bx
^|)}1, r2, r3, щ, р2, P3)X
Аналогично,
-^1^ j &кР(-1х1р1-1х2р2){ф[\г2-г3-Щ) -
— r3 + -^ |)} ехр {—ix2(р-2-Ц2)} ACi- ra. ^ Pi
Итак, уравнение для /2 имеет вид
У, гь г2, ри р2) ■ Pi dfiV, гиг2, рър2) ■ р2
dt ' т drt ' /п
г,. г2
10] ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ 247
Xexp{i(ti,— p1)x1}fz(t, rv г2. r3, ni. P2-
Xexp{/(r]2 — p2)x2}fz(t,rx, r2, /-3, px, ч2, pz)drzdpzdx2dr\2.
Особый интерес имеет пространственно однородный случай. В силу
свойства трансляционной инвариантности легко убедиться, что
матричные элементы Fx (г ^~, г + -£-\ можно представить в виде Fx (Jhx),
г. е. Fx не зависит от г и, следовательно, согласно определению /х(г, р),
функция /t также не зависит от г. Тогда уравнение для fx(tt p)
приобретает вид
Xf2(t, rv r2, tj, p2)exp{ir(r\ — pl)}dr\dr2dp2dx.
Кроме того, если F2, входящее в явный вид /2, представить
в форме
F2(rv r2. r'v r^ = Fx{rv r[)Fx{rv r'2)±Fx(rv r'2)Fx(rv r^
rv rv r'v
го, как было показано на стр. 206, в уравнении (10.53) члены,
соответствующие приближению самосогласованного поля (в том числе
с учетом обмена), в пространственно однородном случае обратятся
в нуль, и в правую часть уравнения для /х войдет только g2 (rv r2, pv p2):
X g (r, 4> p2) exp {It (tj — px)) dx\ dp2 dr dx,
где r = rx — r2,
X exp (— ixxx\ — /т2р2) dxx dx2
и в силу трансляционной инвариантности в пространственно
однородном случае
248 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Таким образом, чтобы составить кинетическое уравнение в
пространственно однородном случае, необходимо только знать явный
вид g-2 (г, р1% р2).
Вывод квантового кинетического уравнения в формализме Вигнера
рассмотрен также в работе Ресибуа [140].
§ 11. Квантовый интеграл столкновений
для системы заряженных частиц
Для квантовой системы заряженных частиц главной проблемой,
как и в классике, является вывод кинетического уравнения, в
котором автоматически предусматривалось бы исключение расходимости
интеграла на больших прицельных расстояниях из-за кулоновского
закона взаимодействия между частицами,
Как было показано в § 8 для классических систем заряженных
частиц, решение этой задачи связано с физически правильным
выбором малого параметра теории возмущений и решением в нулевом
приближении уравнения для корреляционной функции g2. Для
классических систем таким параметром является параметр теории Дебаь—
Хюккеля:
где дебаевский характерный радиус rd равен
Отсюда также имеем
Поэтому формально разложение можно вести по степеням параметра v%
положив при этом
Ф (г) «=«¥(/■).
Аналогичная ситуация имеет место для квантовых ферми-систем,
с тем только отличием, что в характерных для квантовых
ферми-систем случаях kT <^ Ppj2m (pF — граничный импульс распределения
Ферми при Г = 0) радиус rd равен
Ъпе2т
§ П] ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 249
Как уже отмечалось на стр. 118, следует иметь в виду
ограниченную применимость дебаевской модели экранирования. Для
квантовых систем критерием применимости модели (в целях обрезания
интеграла столкновений на верхнем ах = rd и нижнем а0 пределах по
прицельному расстоянию) может служить условие (для квантовых
систем минимальное прицельное расстояние а0 равно дебройлевской
длине волны заряженной частицы системы X~hlpp)t
аг>а0, или -х>1-
Для возможности разложения по малому параметру е это условие
должно быть усилено:
Например, для электронного газа в металлах это условие не
выполняется и дебаевская модель экранирования является заведомо
слишком грубым приближением. Характер экранирования в металлах
рассмотрен в целом ряде работ [210—220].
Представим F2(lt 2) и Fz(l, 2, 3) через корреляционные мат*
рицы g2(l, 2) и §зО« 2, 3) по формулам (10.51) и (10.52), полагая
в них параметр разложения равным v. Тогда для g2 получим
уравнение, подобное уравнению (10.54):
vdg2(l,2) =v[K
p
i3* ViO^i(2)/
(3)
. 2)^(3) +ft(2, )F(l)) + />
2, 3)]. (11.2)
Чтобы получить отсюда уравнение нулевого приближения
(т. е. для g$\ где gt2 = erj9 + v^1>+ ...), надо учесть
соотношение Ф = гЛР и, кроме того, как обычно в рассматриваемом методе,
предположить отсутствие явной зависимости g2 от времени и наличие
лишь косвенной зависимости через Fv Тогда оператор -^т разложится
в ряд вида Д) + vDx-\- ..« Уравнение для Ft в рассматриваемой мо*
дели имеет вид
250 К6АНТО6ОМЕХАНИЧЕСКЙЕ ОБОБЩЕНИЯ (ГЛ. 11
С учетом порядка (по v) каждого слагаемого правой часта этого
уравнения отсюда можно определить явный вид. Do, D% и т. д.
Как мы знаем, в пространственно однородном случае первые два
члена в правой части этого уравнения тождественно равны нулю,
и уравнение принимает вид
^ pP1>2^(2)]. (11.3)
Следовательно, D0 = 0 и Dx имеет порядок vt откуда v-§f- имеет
порядок v2.
Таким образом, в нулевом приближении в уравнении (11.2) можно
пренебречь членом в левой части и третьим и последним членами
в правой части и уравнение принимает вид
1 Sp ЦФ,, з, Vi (1) ^i (2) Fi (3)]+1Ф2, з. /Vi О) Fi (2) Fi (3)]}+
(3)
7 !,3.
(3)
+ ^2 (2, 3) Fг (1)) + P2zg2 (1,3) Fx (2)] + [Ф2> з (1 + P13 + P23) X
X(^2(l. 2)F1(3) + ^2(1, 3)/71(2)) + P13^2(2,3)F1(l)]}=0. (11.4)
Как видим, полученное уравнение очень сложно по своей
структуре из-за наличия перестановочных операторов.
Первую попытку обхода этой трудности предприняли Климонто-
вич и Темко [83]. Они не пытались решить уравнение для g2(rv *"2,
rv Г2)> н0 пУтем Ряда преобразований этого нулевого приближения
уравнения для g2 получили выражение
— ё2 (— г* Ч> Р2>1 ехР \ix (Ч — Pi)} dxi dp2 dr dx
в предположении, что движение выделенной частицы не нарушает
статистического равновесия всех остальных частиц.
Легко убедиться, что это выражение тождественно равно
Для этого надо только в выражении
X [ix (ц — рг)} dx\ dp2 dr dx
произвести замену переменного г на —г'.
§ II] ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 251
Таким образом, указанные авторы получили развернутое
выражение для уравнения (11.3). Их результат совпадает с уравне*
нием (10.41), полученным Боголюбовым и автором, с тем только
существенным отличием, что вместо обычного выражения
эффективного сечения рассеяния в борновском приближении с учетом обмена,
У [v fa ~Pi)±v (Pi - PdY> v <*) = J ф (
которое в качестве множителя входит в интеграл столкновений в
уравнении (10.41), у Климонтовича и Темко в интеграле столкновений
стоит множитель
v (Рг — р[) v (Л — р[) , v (рг — р[) v (р{ — р'2)
Л '
Р\ — Р\
В интеграле, столкновений величина k = г— или (с учетом
обмена) k = —Ц:—- имеет смысл величины передаваемого импульса
от одной частицы к другой при их «столкновении» (рассеянии друг
на друге). Чем больше прицельное расстояние при рассеяний, тем
меньше передаваемый импульс.
В случае ферми-системы с кулоновским законом взаимодействия
между частицами расходимости интеграла столкновений на больших
прицельных расстояниях соответствует сингулярность при k -> 0 в
интеграле столкновений в уравнении (10.41). Эта сингулярность по своей
структуре имеет вид
J|v(ft)P ... rfft = const f ...
В уравнении же, полученном Климонтовичем и Темко,
соответствующий интеграл имеет вид
const Г k2;{\d£m .
причем в В (ft) при малых k главным членом является
Таким образом, сингулярность автоматически снимается, что можно
трактовать как замену кулоновского потенциала экранированным.
В работах Силина [84, 85] уравнение для квантовой функции
g2(r, Pi* Pi) решается приближенно за счет полного исключения из
рассмотрения обменных эффектов.
252 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Общим обоснованием такого приближения могут служить
следующие рассуждения.
Заметим, что в формализме Неймана в случае «невырожденных»
(в смысле отсутствия «бесконечного конденсата состояний», см. об этом
стр. 195) квантовых систем имеет место условие (в пространственно'*
однородном случае):
F\(r — г')->0, когда \г — г'|->оо.
С другой стороны, в рассматриваемых уравнениях благодаря
аппроксимации
/^(п. Г2. r[, r2) = /7i(ri, r[)Fi(r2, r'^ — Fx{r\, rZjFifc, r[)
появляются два однотипных интеграла по г = гх—г2, в одном из
которых множитель F1(0)Fl(0) есть постоянная величина, а во
втором поведение множителя Fi(r)Fx(—г) при больших \г\ следует
еще исследовать. Другими словами, нужно сравнить фактическую
область интегрирования, где практически отличен от нуля
«эффективный» потенциал взаимодействия между частицами, и область
интегрирования, где Fx(r) заметно отличается от нуля, т. е. область,
где сказывается обменная корреляция между частицами. Если вторая
область много меньше, то вклад от интегралов, выражающих
обменные эффекты, можно считать поправкой к определяющему вкладу от
остальных интегралов.
Для такой оценки следует учесть свойство фурье-образа любой
функции: чем более «локализована» функция ф(г), тем более
«распространена» функция ф(&) ее фурье-образа, причем приближенно
Аг • A&~U где Аг и Ak— области распространения функций ф(г)
и <р(£), или, соответственно, Аг • Ар ~ Ъ.
В рассматриваемом нами пространственно однородном случае
функции F\{r\—r[) соответствует функция распределения по импульсам
w(p). Если состояние системы мало отличается от равновесного, то
область распространения функции w(p) практически совпадает с
областью равновесного распределения Ферми. Для большинства
рассматриваемых ферми-систем (в том числе для «электронного газа» в
металлах) область размытия распределения Ферми по шкале энергии (т. е.
величина порядка kT) много меньше энергии уровня Ферми. Поэтому
область распространения w(p) практически определяется величиной
импульса pF на уровне Ферми. Отсюда имеем оценку для «радиуса г0
обменной корреляции»:
Из общих физических соображений следует, что грубую оценку
«эффективного радиуса взаимодействия» можно получить для
квантовых систем по формуле (11.1) (при kT <^Ef = p2F/2m).
§ II] ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 253
Для электронного газа в металлах, например, имеем Егж 10 эв =
= 10~п эрг, v « 10~23 смг, pF « 10~19 г • см/сек. Следовательно,
в этом случае
г0 ~ 10"8 см, rd ~ 10""8 — 10""7 см.
Как видим, величина rd, хотя, вообще говоря, больше, но
ненамного (в лучшем случае, на один порядок). Поэтому неучет
квантовых обменных эффектов является грубым приближением.
В этом приближении путем решения уравнения для квантовой
корреляционной функции g2 Силин показал [84], что квантовый
интеграл столкновений для системы заряженных частиц имеет структуру,
явно учитывающую экранировку кулоновского взаимодействия между
частицами.
Как мы уже отмечали в конце § 10, нахождение явного вида
интеграла столкновений связано с решением уравнения для g2 (r, plt р2)«
Удобно, однако, несколько упростить постановку задачи.
Уравнение для ft в пространственно однородном случае можно
представить в виде (см. стр. 247 и 250)
X{g2(r. П. P^ — gii—r, Ц. p2)}exp{it(t\—p{)}di\dp2drdT.
Введем функции
(напомним, что v(*) есть функция только модуля k),
g2(k, p, p')=j g2(r, p, p')exp(lrk)dr.
Тогда
J ф(|г —-у-|)^(г, ч. р2)ехр{/т(т|— рх)) drdx\dp2dx =
= J v (ft) exp (- irk + -^1) g2 (ft', ц, p2) exp (- ikS) X
X exp {it (n — p{)} dr dr\ dp2 dx dk dW =
= (2я)В J v (ft) g2 (ft', n. А) о (ft + ft') 6 (ч - Pl + Щ X
X dr\ dp2 dk dk' = (2я)6 J v (ft) g2 (— ft. Pi — -^, p2) dp2 dk.
254 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Аналогичным преобразованием получим:
= (2я)б J v (ft) g2 (- ft, Pl + Щ., p2) dk dp2,
J ф(|г —-y-|)^2(—r, r\, p2)^P{^(y\—Pi))drd^dp1dt =
= (2я)б Jv(ft)^2 (ft. Px-~, p2)dkdp2.
Т-|)^(— г. Ц,
= (2я)б J v (ft) ^2 (ft, p, + -y-, p2)
Итак, уравнение для квантовой функции fx в пространственно
однородном случае имеет вид
.^L)+*(-*. p-^)\dk% (11.5)
где
h (ft, p) = v (ft) J ^ (ft, p, p') dp'. (11.6)
Таким образом, задача сводится к нахождению явного вида
h(ft, р). Составим с этой целью уравнение для g2(?> Р\, Р2) B ПРИ"
ближении Силина (т. е. без учета обменных эффектов).
Из уравнения (П.4) имеем в рассматриваемом приближении
p
(3)
X /71(ЗН-^2(2. 3)/=-,(1)ЖФ2,3. ft(l. 2)^(3)+ftO. 3)^(2)]} = О-
В пространственно однородном случае (/^ (г, г') — Fj (г — г'),
F,(r, r) = F(0)=l)
Sp[<J\,3. *а0. 2)/'1(3)J=s-4«P2('-i. r2. rj. r'2)X
(3)
X J {«(|r1-r,|)-O(|r(-r,|)}rfr,-i0.
p
(3)
Аналогично,
§р[Ф2,з>
(3)
II) ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 255
Таким образом, уравнение принимает вид.
[К2, ft(l. 2)] + |[Ф1>2. Pi(})FiW] +
|li3, ft (2. 3)^(1)1-1-[Фад. ft(l.
p
(3)
Подставим сюда #2(1, 2) = g2[rl — -Др-. г2 — -^-, r1 + J^L,
I1) умножим это уравнение на 2 6 ехр(— nxpi — /т2р2) и
проинтегрируем по тг и т2, а затем умножим на exp(/ftr) и
проинтегрируем по г (где г = гг — г2). Тогда получим в развернутом
виде:
■щи J *
X dti dx2 dr + (2я)26йг) J exp (ikr — ix^ — tx&d X
^L. r3)x
= 0. (11.7)
Согласно (10.72) первое слагаемое равно
Но, как мы уже отмечали, для пространственно однородного
случая g2 зависит от гх и г2 только как от разности г = гх — г2.
256 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГГЛ. tl
Поэтому -з—g2 = —-5—g*2- Таким образом, первый член
уравнения (11.7) имеет вид
рь
-<*(£-£)*.<*. а. А>
(здесь мы интегрировали по частям с учетом условия g% (r, pv р2)->0
при г->оо).
Преобразуем теперь второй член уравнения (11.7). Имеем в
пространственно однородном случае (когда, например,
~Г1
Wfi^ J Ф (|r ~4 <Ti - T
— ttipi) dxx dx2 dr = (2nfbv J
С t)}dtdx = ^v(*)/ (p - ^-) fx
Аналогично,
W J °
Далее, преобразуем третий и четвертый члены уравнения (11.7).
Имеем
г2-\—g2., r3j exp(ikr — itxpi ~
6 (4
§ II] ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 257
г' + Т1 • ir) ехР ( -ikr> - *iPi - *зРз) X
X <*т2 rf*3 dr' dp3 = -^ J v (ft) /, (Pl - Щ X
X ft ('•'. P2. Рз) exp (— /*/•') dr' dp3 =
= IF v (*> /i (л —Г") J ft (~ *• P*
Аналогично,
~y- > r^ exp (/ftr — /t1p1 — /X2p2) dx, dt2 dr drz =
p,+-^) Jft(-*. P2.
Гз-^|)^(йх2)?2(г1-^> r3,
-£*-, r3, j exp (iftr — /X!/»! — /т2р2) dti dx2 dr drz =
= -^ v (*) /, (p2 - ^) J ^2 (*. Pi. Рз) <*Рз.
rx + -^-, r3) exp (/ftr — /Xx/?! — te2p2) dix d<z2 dr drz =
= ^rv(ft)/1 (P2+-Y-) J S2(k, pv pz)dpz.
Таким образом, уравнение для g2(k, p\, Рг) имеет вид
Sx (Pi - Щ h (А + -Г") + /l (Pi + Щ J ^2 (~ *• Р2.
- /i (pi — Tf) J ft <-*• Л. Рз) ^Рз+Zi (л H- t) J ^2 (*. Pi. Рз) ^Рз—
- /i (ft - ^) J ft (*. А. Рз) <*Рз } • (И -8)
Имея в виду, что нас интересует g2(k, pv p2) постольку,
поскольку эта функция входит в уравнение для fx(t, px), причем в этом
уравнении g2(k, Pv P2) стоит под знаком интеграла по р2»
17 К. П. Гуров
258 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ (ГЛ. II
произведем деление уравнения (11.8) на — — методом,
описанным на стр. 231. Там соответствующее деление на некоторую
величину х заключалось в умножении правой части уравнения на
операторный множитель
— 2я/6+ (х) = /лб (*)'+ Р j (11.9)
(символ Р означает, что интеграл, куда входит множитель —,
берется в смысле главного значения) при одновременном исключении
множителя х из левой части уравнения. Учитывая замечание,
сделанное на стр. 239 в связи с тем, что в разделах, в которых
применяется формализм Вигнера, мы пользуемся обозначениями, в которых
все матрицы распределения в представлении Неймана являются
комплексно сопряженными матрицам, использованным в других разделах,
следует обратить внимание, что в рассматриваемом здесь случае
оператор, на который следует умножить правую часть уравнения (11.8)
при выполнении операции деления на —^ —, имеет вид
т т ) kpi kp2 \ т т )
т т
После выполнения этой операции умножим уравнение на \(k)
и проинтегрируем по /?2- Т°гДа> вводя по (11.6) функции h (kt p),
будем иметь
или
(11.10)
§ II] ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 259
где
±ь P2)dp2.
Из выражения (11.10) видно, что если бы удалось независимым
путем определить функции Я \—^-, ft, ±), то тем самым стала бы
известной и функция h (ft, р). Такое определение возможно способом,
аналогичным развитому Леннардом (см. стр. 145 и ел).
Для этого рассмотрим функции комплексного переменного ©:
т
© —
т
8(0, к)=1 +^[B((Ot k, +)_Д(о, ft, —)]. (11.11)
Функция Н аналитична как в верхней, так и в нижней
полуплоскости комплексного переменного, но претерпевает скачок на
действительной оси. Предельные значения этой функции на
действительной оси подчиняются соотношению
т
где Н+ — предел сверху и Н~ —предел снизу. Очевидно, что
функция Я, стоящая в выражении (11.10), есть функция Я"", функция В
есть функция В~ и функция е — функция е"*.
Составим уравнение для Н±. Для этого умножим уравнение (11.10)
6 ((о —) и проинтегрируем по pv При этом учтем,
на
17*
260 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
= 6+(х) + 6_(х) и (см. (11.9))
, p)dp =
ni J lip
© —
m
и т. д.
Тогда будем иметь
— В+ (0, ft, +)£" (со, ft, —) — В~ (<д, ft, —)£~((о, ft, +) +
+ £+(g>, ft, +)#(<«>, *» — ) + #"(<*>. *. —)Х
X [#"(*>, ft, +) — Я~*(со, ft, —) — S+(o, ft, +) + #+(0, ft, —)]),
или
Я" (о, ft, +)-#+(G>, ft, +)K(g>, ft) —Я" (о, ft, —)^-X
= -^-[^+(0, ft, — )£~(CD, ft, +)—5+(0, ft, +)£~(CD, ft, —)].
Замечая, что
^p[£~(co, ft, +) —5^(0, ft, — ) + #+(co, ft, —) — 5+(». *. +)] =
= 8-(0, ft)— 8+(0, ft),
окончательно будем иметь
[H~ (0, ft, +) — Я+ (0, ft, -Ь)]г~" (0, ft) —Я" (0, ft, —) X
X[e-(0, ft) —г+(0, ft)] =
= -r- Ifi (©. *. —) В (®> *• +)—5 С0» *• +) В (0, ft, —)]. (11.12)
й
Второе уравнение получим, заменив в уравнении (11.12) знаки
у © и ft на противоположные. Будем иметь
[#"(©, А, —) —Я+(©, ft, —)]е+(©, ft,)—Я+(©, ft, +)X
Х[е-(©, ft) —e+(©, ft)] =
в- ^f [в+ (ю, ft, —) ВТ (©, ft, +)-В+ (©, ft, +) В" (©, ft, —)]. (11.13)
Заметим, что правые части уравнений (11.12) и (11.13) равны
между собой. Поэтому имеем соотношение
\Н~ (©, ft, +) — Я" (©, ft, —)] е" (©, ft) =
= [Я+(©, ft, +) — Я+(©. ft, —)]e+(©, ft).
I И] ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 261
Это соотношение означает, что функция
[Я (со, ft, +) — Я (со, ft, — )]г(со, ft) (11.13a)
аналитична во всей области комплексного переменного ©, т. е. не
имеет скачка на действительной оси. Условие обращения в нуль
функции Я (со, ft, t) на бесконечности с учетом аналитичности
функции (11.13а) по всей комплексной области приводит к условию
[Я(со, ft, +)—Я(®, ft, — )]г(со, ft) = 0.
Если г (со, ft) не имеет нулей в комплексной области, то
Я (со, ft, +) = Я(со, ft, —) (11.14)
(далее в связи с этим будем обозначать Я (со, ft, ±) через Я (со, ft)).
В монографии Силина и Рухадзе [85] показано, что г (со, ft) есть
диэлектрическая постоянная изотропной среды. Отсутствие у
функции г (со, ft) нулей означает устойчивость системы заряженных частиц
(с нейтрализующим фоном) относительно возмущений, связанных
с изменением плотности заряда, т. е., другими словами, всякое
возмущение такого типа сопутствуется быстрым релаксационным
процессом и не вызывает устойчивых (или нарастающих) колебаний
плотности (плазменных волн).
С учетом равенства (11.14) уравнение (11.12) записывается
следующим образом:
Н" (0, к) Н+ (о, к) Ъп
е- (о, к) е+ (о, к) ~ Ы+ (о, к) е- (о, к) X
X {S+(co, ft, — )S""(co, ft, +) — Я+(со, ft, +)B"(o. ft, —)}.
Легко проверить (с учетом выражений для г+(со, &) и г"" (0, &)),
что правая часть этого уравнения может быть преобразована к
следующему виду:
Н~ (©, к) Н+ (©, k)
е- (©, ft) e+ (о, к)
В+ (0, ft, -) + В+ (0, ft, +) В" (0, ft, -) + В' (0, ft, +)
-~ 2е+ (о, ft) 2e - (о, к)
В+ (0, ft, -) + Д+ (0, ft, +)-£- (0, ft, -)-£- (0, к, +) /it lex
2е+ (©, к) е- (о, ft) * l ' J;
Силиным было дано решение уравнения для Я (со, ft) на основе
соотношения (11.15), определяющего скачок функции Я (со, ft)/e(co, ft)
при переходе через действительную ось в плоскости комплексного
переменного 0. Однако в таком решении нет необходимости для
составления явного вида кинетического уравнения.
Заметим, что искомое кинетическое уравнение нам удалось свести
к виду (11.5), в котором h(fi, p) входит только в виде линейной
262 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
комбинации
А(к. р) =
или
A(k, p) = [
Заметим, что
Поэтому кинетическое уравнение (11.5) сводится к виду
Согласно (11.10) имеем
»', k,
+ я" («>', *, -) i/, (p+ьк) - /, (р)]} - heJ(TJkLk)
X {/i(p)£~ (—<»'. — ft. -) — /(p + /ift)S'(-(o', -ft,
+ Я" (- ©', - ft, -) [/, (p) - /, (p + Aft)} =
е-(«о', ft)—i
Здесь
Заметим, что
tf" (— ш, — ft, —) =
e-(-»',-
<B"1" m
=-т ((0' *•
§ II] ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИИ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 263
Аналогично,
В'(—а, —k, ±) = — В* (a, к, q:).
Но
е-(_(о, _ft) = 14-^[5"(—©. —к, -+-) —£"(—«>, —к, —)] =
~-[—В+(ф, к, _)-(-5+(«), k, +)J = e+
Таким образом,
" « *.-) Д+«*,-)1
e-(e',ft) е+ (<а, ft) J
«fe,+) g+(o',ft,+)1 .
е- (<о, ft) е+ (со', ft) J~Г"
С учетом (11.14) и (11.15) отсюда получаем:
. Гб-(ш', ft,-) B+ «р>. ft, -) ■
В |/1^^пя;[ е- (<»', Лг) е+ («', ft) Г
g+ ((D/, ft, -) + В+ (a', ft, +) В" (ю/, ft, -) + Д~ («о', ft, +) -
2е+ (ш', ft) 2e~ (<»', ft) "+"
g-*" (о', ft, -) + B+ (u)', ft, +) Д" (a', ft, -) + B~ (&', ft, +) 1
2e+ (<»', ft) e- (<»', ft) 2e+ (ш', ft) e~ (ш', ft) J
ГВ~(®', ft,+) Д+« A!, +) . B+(m',k,-) + B+(<o',k,
JiW)[ e- (,»', ft) e+ (,»/, ft) "Г 2e+ («a', ft)
g" {a', ft, -) + В" (ш', ft, +) В+ (a, ft, -) + g+ (a', ft, +)
2e- (щ', ft) 2e+ («a', ft) e~ (a', ft) "•"
~^~ 2е+ (©', k) е- (©', k) J j
2mv (А?) (\В~ (©', k, --) — В' (©', к, +) . В+ (0, А?, +) ~ В+ (ю, А?, ~>)
Й U 2е- (©', А?) "Г" 2е+ (©', Л)
2е+ (©', k) е- (©', A?) L~i J X
X/i(/H-^—[ 2е~ (©', ^) ' 2е+ « Л)
J34 (0', А?, —-) + В+ (&', k, +) — В" (&', k, —-) — Д" (о/, А?, +) 1 / / Л
~ 2е+ (©', к) е- (о', A?) J /i W J •
(11.17)
264 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Из (11.11) имеем
£*(*>, й, +) —5±(0, ft, — ) = -2~7[г±((о, ft)—1].
Следовательно,
В~ (©', А?, —) — Б" (о/, А?, +) . В+ (со', k, +) — В+ (©', А?, —) _
е~ (©', ft) "+■ е+ (©', k) ~
А__ Г 1 — е- (о7, А?) , s+ (&', ft) -- 1 ] _ J}_ [s+ (о/, А?) — £" (о', А?)] _
~ 2ш* L е- (©', А?) "1" е+ (©', A?) J ~~ 2ш [ е+ (©', /г) е" (©', k) J ~
В+ (©^, А?, +) - В+ (©^, А?, -) - В" (о', А?, +) + В~ (<о/, ft, -) Л1 1оч
= е+«Л)е-«Л) • (ИЛ8)
Подставляя (11.18) в (11.17), получим
Далее, так как
— [Д~(©. ft, +)-B+((o', k,
то
В~ ((о, ft, ±) — £+(со, ft, ±) =
Итак,
(в)', А) е- (в)', ft) J I и
Введем замену переменного рл = р" ^—. Тогда
»', ft) е- (в)', ft) J ° Г т ^~ 2/к j X
X {Л (Р + А*) /, (р" — -6ft) — /, 0») /, (р")) dp". (11.19)
§ И] ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 265
Введем новые обозначения для переменных p = pv p" = p2 и
новые переменные р[ и prv используя соотношения
Введение новых переменных формально можно выполнить следующим
образом. Введем тривиальную замену
А (
Кроме того, учтем, что всегда можно формально написать
а и=a (p.) J *(pi - Pi -
A(p2)=A(p2) J b(p'2-
Таким образом, выражение (11.19) преобразуется к виду
*(*.*+£)--*(-*. *+£)=
= ^5+(У,*) е-«ft) J T ^-+2^)6(Pi-Pi-
X б (р!2 - р2 + hk) (Д (pQ /, (^ - Д (Pl) Д (р2)} dp[ dp>2 dp2.
Имея в виду, что это выражение подставляется в интеграл
по й, можно вместо 6(р{ — рг—ЪЩЬ(р'2—p2-\-hk} написать
(\
(
Р
1 (Р\ — Р\ \
"JF * {Р\ + Pf2 — Р\—Р^\—Ъ */' а в пеРвой Дельта-функции
вместо hk подставить р[—рх или р2—prv т. е.
(P2-P2Y)
)
mh ~т~ 2тЪ тЪ ~^~ 2тЬ
)
Подставляя эти результаты в (11.16) и интегрируя по k, получим
кинетическое уравнение в следующей форме:
X Q (Р| - PV Р'г ~ Р?) {A (Pi) /1 (PQ - /1 (Pi) /1 (Р2)} dPi dP'i dPv
(11.20)
266 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
где
VV и\ —их) 7-72 ; ; \/72\ ; г*
.JPi -Pi P1-P1) JPi -Pi Pi-Pi)
\ 2m ' ft /e V 2m ' ~Ъ /
Наличие в знаменателе выражения для Q множителей е+8~
обеспечивает сходимость интеграла столкновений при больших
прицельных расстояниях, т. е. при &->0. Характер сходимости по принципу
соответствия должен быть таким же, как и в случае классического
аналога. Поэтому рассмотрим предельный переход полученного
уравнения к классике. При этом, как и при описании работы Ландау
(см. стр. 111), будем учитывать, что основную роль в
рассматриваемом процессе как раз играют упругие столкновения на больших
прицельных расстояниях, так что передаваемый импульс мал.
Подставляя опять в (11.20) k = (p[—рЛ/й» или p[=pl-\-hk, и
интегрируя по prv в силу закона сохранения импульса сталкивающихся
частиц, выражаемого дельта-функцией, получим р'2 = р2—hk.
Обозначим
Таким образом,
, p2-hk)dkdp2,
(11.21)
где учтено, что
dp[ = d(px + hk) = h* dk,
и введено обозначение
D (Pl + hk, p2 -hk) = f{px + hk) Д (p2 - hk) - fx
В силу принятой модели |^*|<ClPil и l**l<d|P2l- Поэтому
разложим подынтегральное выражение в ряд по степеням hk и
ограничимся членами до второй степени по hk включительно. Заметим,
что член нулевого порядка разложения тождественно равен нулю
из-за равенства нулю нулевого члена разложения D. Точно так же
тождественно даст нуль член первого порядка, так как произведение
члена первого порядка разложения / на член нулевого порядка ра&-
ложения D равно нулю из-за равенства нулю последнего сомножи-
§ II] ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 267
теля, а произведение члена нулевого порядка разложения / на член
первого порядка разложения D будет нечетной функцией k и при
интегрировании по k даст нуль. Таким образом, неисчезающими
членами будут произведение членов первого порядка разложений /
и D и произведение члена нулевого порядка разложения / на член
второго порядка разложения D. Это можно записать в виде
Подставим это выражение в развернутом виде в (11.21); при этом
учтем, что fx (р) обращается в нуль при ра -> ± оо, так что
интеграл вида —-"{.. -}dp2 равен нулю. В результате получим
dfx (U Pi) _ 2я у J_ Г (2я)3 у2 (к) kak$ 6 (kax - ku2)
dt v Jj^x d/?J J e+(kuu k)e-(kuu k)
X { ^f^ h it p2) - Д {t. Pl) ^^ [ dk dp2. (11.22)
Здесь е+ и е"" являются пределами функции е(со, k) сверху и
снизу на действительной оси комплексного переменного со, причем
эта функция для классической системы имеет вид
* (П.23)
Как мы видим, уравнение (11.22) полностью совпадает с
уравнением Ландау, записанным в форме (8.57), с тем только отличием,
что в знаменателе уравнения (11.22) стоят дополнительные
множители е+е"", которые и обеспечивают сходимость интеграла
столкновений при больших прицельных расстояниях.
Итак, для квантовых систем по принципу соответствия
сходимость интеграла столкновений в кинетическом уравнении (11.20)
объясняется экранировкой заряда частицы за счет поляризационных
свойств среды, выражаемых функциями е+ и е~, которые должны
быть определены из квантовомеханической модели1), но в
классическом пределе должны соответствовать выражению (11.23).
Вывод интеграла столкновений для систем частиц с кулоновским
взаимодействием, но с учетом поляризации среды, Силин [86] дал
также в формализме матриц Неймана. Предпосылки для такого
1) Явное выражение для диэлектрической постоянной в модели одно-
частичного спектра с учетом обменной корреляции выведено в работе
Кухаренко [232].
268 КвАНТОВОМЕХАнИедсКИЕ ОБОБЩЕНИЙ 1ГЛ. П
вывода были заложены в работах Елеонского, Зырянова и
Силина [88, 89].
В работе {87] Силин дал формальное обобщение кинетического
уравнения (11.20) на случай обмена. Полученное им уравнение
отличается от уравнения (11.20) только учетом обмена в выражении
эффективного сечения, т. е. вместо |v(px—pQ|2 стоит |v(px—р'Л —
— v(Pi—Р2)\2* и Учетом квантовой статистики Ферми при
заполнении состояний, т. е. вместо {Д (pQ fx (pQ — fx (px) fx (p2)} стоит
Кроме этого, формально предполагается, что при определении е~ и е+
учтены обменные эффекты.
Вывод кинетического уравнения с учетом обмена и поляризации
среды в формализме Вигнера дан в работе Соловьева [146], который
рассмотрел, кроме того, обобщение своего уравнения на случай
ферми-жидкости.
Вывод квантового интеграла столкновений, в котором
автоматически учитывалось бы экранирующее действие «среды», дан также
в работах Константинова и Переля [90] и Балеску и Тейлора [91].
Полученные результаты, как мы уже отметили на стр. 261,
соответствуют случаю отсутствия устойчивых или нарастающих
плазменных волн. Это предположение требует дополнительных пояснений.
В принципе, в системе всегда могут возникнуть большие флук-
туационные возмущения одночастичной плотности распределения
в локально малых объемах. В силу свойств функций с s> 1 (5 = 2,
3, 4, . . .) в системе должен возникнуть волновой процесс —
плазменные волны. Их затухание определяется релаксационными
свойствами функций Fs с s> 1. С самого начала настоящей монографии
мы подчеркивали, что развиваемый формализм кинетической теории
ограничивается случаем, когда время релаксации Fs с 5 > 1 много
меньше времени релаксации Fv причем Fs в процессе релаксации
изменяется так, что ее эволюция во времени становится «синхронной»
с эволюцией во времени Fv
Следовательно, полученные выше результаты относятся к случаю,
когда время жизни плазмонов много меньше времени ударной
релаксации Fv Однако допустимо, сохранив данный формализм,
расширить круг явлений, им описываемый. Для этого в функциях Fs
с 5 > 1 необходимо формально ввести два аргумента времени.
Зависимость от одного характеризует быстрый процесс релаксации Fs,
приводящий к определенной синхронизации с Fv Зависимость от
второго аргумента характеризует колебательные свойства среды.
i 12] К6АНТ0ВАЙ ГИДРОДИНАМИКА 269
Такое обособленное рассмотрение двух зависимостей дает
возможность сохранить весь описанный формализм для ударной релаксации
и в то же время включить в общую схему описание поведения
плазменных волн, даже если время жизни плазмонов сравнимо со
временем релаксации одночастичного распределения за счет
столкновений между частицами (см. стр. 77).
Такую программу выполнили Климонтович л Кухаренко [92] для
случая, когда время жизни плазмонов сравнимо с временем урарной
релаксации. Полученное ими кинетическое уравнение содержит два
интеграла столкновений. Первый из них совпадает с интегралом
Силина (с учетом квантовых обменных эффектов), а второй
характеризует одночастичную релаксацию за счет «рассеяния» заряженной
частицы на плазмонах и других более сложнмх эффектов, связанных
с затуханием плазменных волн.
Вопрос о поведении Fs (с s > 1) для различных режимов
плазменных возбуждений рассмотрен в работе Иорданского и
Куликовского [93].
§ 12. Квантовая гидродинамика
1. Общая характеристика метода. Операторные уравнения
квантовой гидродинамики впервые были сформулированы Ландау [72].
Ландау составил по аналогии с гидродинамическими уравнениями
классической физики дифференциальные уравнения для операторов
плотности и макроскорости и в дополнение к этим уравнениям
установил соответствующие перестановочные соотношения.
В настоящем параграфе излагается обобщение на случай квантово-
механических систем описанного в § 10 метода Боголюбова для
построения гидродинамических уравнений и попутного решения
кинетического уравнения. Это обобщение развито в работах автора [46, 73].
В настоящем параграфе описывается несколько модифицированная
методика по сравнению с изложенной в указанных работах.
Как уже отмечалось в § 10, метод Боголюбова имеет глубокую
аналогию с методом вариации произвольных постоянных. В качестве
последних в методе Боголюбова фигурируют «параметры состояния»,
т. е. физические величины, которые, по предположению, при данных
условиях задачи должны определять собой форму микроскопического
описания при статистическом равновесии. Для построения
классической гидродинамики в качестве параметров состояния выбираются
плотность, плотность потока (плотность импульса или макроскорости)
и плотность энергии теплового движения частиц. При статистическом
равновесии эти три величины (две скалярные и одна векторная)
являются постоянными и полностью определяют соответствующее
равновесное состояние. В случае отклонения от равновесного
состояния указанные величины по-прежнему считаются параметрами
270 КВАНТОВОМЕХАНЙЧЁСКЙЕ ОБОБЩЕНИЙ [Nl. tt
состояния, но рассматриваются как медленно меняющиеся функции
пространственных координат и времени.
Такая аналогия с «методом вариации произвольных постоянных»
сохраняется и при квантовомеханическом обобщении, причем за
параметры состояния по-прежнему можно взять те же физические
величины !).
В квантовой механике эти величины описываются операторами:
где
(U — макроскорость).
Для гидродинамических задач характерна зависимость от
пространственных координат и от времени средних значений
физических величин, описываемых этими операторами. Как мы уже
показали в § 10 (формулы (10.14), (10.15), (10.17), (10.18) и (10.19)),
в пространственно неоднородном случае средние значения этих
величин имеют вид
Pit, *) = ■£-{/>,(*. g. q)}l=Ktq=0 = -%- Jw('. Л P)dp. (12.1)
= \j\ pw(t,R,p)dp, (12.2)
—2ЙГ{ W
, (12.3)
( 0У, ft 1, g) ) & ( d*Ft ft 1,
]) Только в проблеме сверхтекучести параметров будет больше (две
макроскорости). Однако эта задача требует специального рассмотрения,
поскольку, как мы указали на стр. 196, для вырожденной бозе-системы
требуется модифицированный математический формализм. Формализм для
гидродинамики сверхтекучей жидкости описан в работе Боголюбова [144].
§ 12] КВАНТОВАЯ ГИДРОДИНАМИКА 27)
где
Г±г1, q = r-r>.
Напомним, что в пространственно однородном случае, в силу
инвариантности элементов матрицы Fx по отношению к
пространственной трансляции, матрицу Fx(r, г') можно представить в виде
F\(q), a w(t, /?, р) переходит в w(t, р). Таким же свойством
инвариантности обладают матрицы Fs (s = 2, 3, ...)» т. е. в
пространственно однородном случае имеет место равенство
Поэтому в общем пространственно неоднородном случае
целесообразно перейти к новым переменным по формулам
Fs(ri <)-»fs($i 5.. я, я,).
Легко убедиться, что при добавке ко всем переменным rr rrt
(/=1, 2, ..., s) одной и той же величины<г0 переменные qt не
изменятся, a \t возрастут на величину г0. Следовательно, наличие
только переменных qt характерно для пространственно однородного
случая, а наличие переменных %1 указывает на пространственную
неоднородность системы.
Заметим, что формально можно написать
s 3
22® — Ф Г Jr/.(Si 6i. 6*. h h. Яг Я A +
1=2 0=1 L 6' JSi=S,
Ж 2 2 Ф-ФФ-ФХ
^,/=2 a, 3=1
Z^-Z-R fs(h il« If Si il- tj' il ll> Я\ Яз)\ =
+■5-2 [((|'-г,)(4:) }
"=l ' (12.4)
272 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
где обозначено
fsilv 9v ---> 9s) = fs(h> ---* h> 9i 9s)
и учтено, что
Si. 61. Si 61. 9i 9s)} =
= ■^/.(61. *i 9s)- (12.5)
Эти функции /5(§! %v 9i 9s) используются для
усреднения любого оператора, связанного с пространственной точкой /?.
При таком усреднении, как мы уже знаем, необходимо положить
qt = 0, /=1,2 s; lj = rJt / = 2.3 s; lx = R
и проинтегрировать по всем Гу, / = 2, 3 5. В соответствии
с (12.4), получаемое таким образом выражение для «физической
величины в тачке R» будет содержать члены с —£-/*(#» 9\ 9S)>
dR
д2
/s(#» ^1» •••• ^5) и т- Д- Параметр /? характеризует про-
dRa(
странственную неоднородность системы. В гидродинамических
условиях задачи все макровеличины медленно меняются в пространстве
и времени. Поэтому в «гидродинамическом приближении» полагают,
что —5е Л (Л q\ q{) имеет порядок малости некоторого харак-
0R
терного гидродинамического параметра рк^ 1, —-—§/5(/?, q\ qs)
dR dR}
имеет порядок малости \i2 и т. д. Тогда ряд (12.4) можно оборвать
на требуемом приближении.
Заметим, что функция fs(R, qv ..., qs) соответствует исходной
матрице Fs вида fs (/?, гх rs, r[ r's), где гх r8% r[ r's
обладают свойствами трансляционной инвариантности:
fs(R, rx + r0 r's + r0) = fs(R, rx r's).
Матрица fs эрмитова, ее зависимость от R рассматривается как
параметрическая. Свойства симметрии получаются из анализа
перестановочных свойств выражения (12.4). В зависимости от статистики,
имеет место соотношение
где Ptj—оператор перестановки гь и Гр если Ptj стоит слева от Fs,
и г\ и г'г если P.j стоиг справа. Согласно условию (12.6) должно
быть
Ptjfsih 6*. 9i 9s)Pi = f7(h Is* 9i 9s)- (12.7)
12] КВАНТОВАЯ ГИДРОДИНАМИКА 273
С другой стороны, в явном виде имеем
li h lj h> 9i 9t <tj 9s)Ptj =
li tj h I*. 4x 4j 4i 9s)pu =
Я\ 4} 4t gs).
Следовательно, операция перестановки никак не сказалась на
зависимости fs от |Л (&=1 s). Если в выражении (12.15)
разложить fs в ряд (12.4), то в результате получим
fsilv Я\ Я] Яг Яз) =
= /,(6i. Ях Я1 4i q8). (12.8)
Это перестановочное соотношение имеет место при любых / и j
(в том числе и при /= 1).
Отсюда мы имеем частное следствие. Запишем /2 в виде
матрицы /2(/?, rv rv rrv r2). Тогда перестановочное условие (12.8)
с учетом трансляционной инвариантности можно записать в виде
Л (^» Г2 ГГ Г\ rV Г2 ri) = f2\R> Г\ Г2» Г2 Г2» Г\ Г2).
(12.9
Для диагональных элементов отсюда получим
MR. г2 — гь 0, г2 — г1) = /2(/?, гх — г2, 0, гг— г2)
или, вводя очевидное новое обозначение,
*2(Л —r) = h2(R, r). (12.10)
Это перестановочное соотношение, указывающее просто четность
функции h2 относительно аргумента г, мы используем при выводе
гидродинамических уравнений.
Заметим также, что выражение (12.4) теперь можно записать так:
/,(». S, 1,- «, «,) = /,(«. 'i
*•"*••*• „ *
18 К. П. Гуров
274 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Нетрудно убедиться, учитывая свойство инвариантности
элементов матриц Fs по отношению к пространственной трансляции в
пространственно однородном случае, что величины р, J и 0,
определяемые формулами (12.1) — (12.3), в пространственно однородном случае
являются постоянными во времени и в пространстве. Наша
последующая макроскопическая трактовка этих величин предопределяет
фактическое усреднение правых частей формул (12.1) — (12.3) по
пространственному объему, размеры которого велики по сравнению
с «радиусом действия» г0 межчастичных сил, и по интервалу
времени, длительному по сравнению с характерным микроскопическим
масштабом времени гот/\р\ср, где |р|ср — математическое ожидание
(среднее значение) абсолютной величины импульса частицы.
Уже сам выбор метода вариации произвольных постоянных
предусматривает, что мы имеем дело с функциями, медленно
меняющимися во времени и пространстве по сравнению с указанными
областями микроскопического масштаба. Такое предположение
обосновывается характером гидродинамических задач. Отсюда можно сделать
заключение, что решение уравнения
(Hs — гамильтониан замкнутой системы из 5 частиц) для Fs,
удовлетворяющее условиям (12.1) — (12.3), должно лишь мало отличаться
от соответствующего пространственно однородного решения, которое
для этого уравнения всегда существует. Математически это можно
выразить введением малого параметра [х, формально записывая
функцию Fs в виде
^ = ЛИ> ri ',• r[ r's) (12.12)
при предположении, что при [х->0 решения Fs непрерывно
переходят в соответствующие рашедая для пространственно однородного
случая. Отсюда сразу вытекает, что первая производная по | от
функции F5 будет иметь величину порядка малости ji, вторая
производная будет второго порядка малости и т. д. Заметим, кроме
того, что мы выбираем класс решений для Fs, который
характеризуется только косвенной зависимостью от времени через зависимость
от времени параметров состояния. Поэтому результат операции
дифференцирования по t также должен быть малой величиной, порядок
которой связан с порядком малости параметра [А. Формальное
введение параметра fix диктуется соображениями наглядности оценок
порядков величин. В конечных результатах \х следует положить равным
единице. Далее этот параметр под знак аргумента мы подставлять
будем не везде, но в выражениях производных будем его явно
учитывать.
§ 12] КВАНТОВАЯ ГИДРОДИНАМИКА 275
Согласно результатам § 10 (стр. 208) выражение /г в р, р'-пред-
ставлении имеет вид (/? рассматривается как параметр):
p,p P')> (12ЛЗ)
где
?> q)e h dg; (12Л4)
в силу эрмитовости матрицы / функция 12/(1, р) является
вещественной.
Выражения параметров (12.1) — (12.3) теперь можно
переписать так:
= -^/(/?> 0) = ^ j w(Rt p)dp,
= -Jlr{-^MR> Я)} _o = ^ \ pw(R, p)dp,
(12.15)
Как мы видим, отличие выражения (12.15) от своего
классического аналога выражается членом второго порядка малости по
параметру [х. Поэтому в нулевом и первом приближениях он не
сказывается на результатах и получается полная аналогия с классическим
случаем. Такая полная аналогия с классикой в форме записи
параметров состояния в нулевом и первом приближении приводит к
важным следствиям. Во-первых, если всюду переменную | рассматривать
как параметр, то вещественную функцию w(R,p) можно трактовать
в классическом духе, как «функцию плотности распределения
импульсов в пространственной точке/?»; во-вторых, аналогия в форме записи
и указанная трактовка функции w(R, p) свидетельствуют в пользу
правильности выбора р, pU и в в качестве «параметров состояния».
Опишем теперь схему составления гидродинамических уравнений.
Прежде всего заметим, что производные по времени от р, pU и 0
должны автоматически обращаться в нуль, когда наступает
равновесное состояние; формальным условием последнего является условие
Поэтому искомые уравнения представим в виде
.., (12.16)
(12.18)
18*
К&АНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ бБОВЩЁЙИЙ [ТЛ. И
где явный вид Аг, Л2 Bv B2 Сг, С2, ... следует еще
найти.
Здесь уместно временно снова вернуться к анализу fs. Уравнение
для fs получается после подстановки выражения (12.9) в уравнение
(12.5). Мы приняли, что форма fs для любого момента времени
полностью определяется пятью скалярными параметрами для того же
момента времени. Это значит, что среди решений уравнений для fs
мы выбираем только такой класс решений, в котором зависимость fs
от времени не явная, а косвенная — через форму зависимости от
времени функций р, р{/ и 0. В таком выборе заложен глубокий
физический смысл. Прежде всего заметим, что поскольку мы считаем,
что параметры состояния являются медленно меняющимися функциями
пространства и времени, то из (12.16) — (12.18) следует, что,
действительно, параметр \х нужно считать «малой величиной». Далее, раз
зависимость fs от времени определяется только формой зависимости
от времени функций р, pU и 0, то отсюда вытекает, что выражения
для производных fs по времени (s=l, 2, ...) будут линейно
зависеть от правых частей уравнений (12.16) — (12.18), в которые для р,
р[/ и 0 подставлены решения соответствующего приближения этих
уравнений. Таким образом, порядок величины производных по
времени от fs в конечном счете будет определяться порядком величины [х,
который, как мы убедились, обязательно должен быть малым.
Таким образом, можно сказать, что мы выбираем «сглаженные»
функции /5, т. е. определенным образом усредненные. Физически это
весьма закономерно. В самом деле, /г служит для описания
микроскопической картины и в то же время с ее помощью мы определяли р,
pU и 0 (формулы (12.1) — (12.3)); поэтому переход к
макроскопическому описанию автоматически требует такого усреднения. По сути
дела, все усреднение уже заключается в записи fx в виде /i([x/?,
гх г5) и предположении, что [х мало. Кроме того, эволюцию fs
(с s^>2) во времени мы определяем как синхронную с эволюцией
во времени Д (см. § 10). Поэтому все выводы о характере
огрубления Д относятся также и к fs.
Будем рассматривать \х как параметр теории возмущений и будем
искать решения уравнения для /ДА rv .... rQ в виде ряда по
степеням [х:
>(A rv ...
(12.19)
Явный вид уравнения для /Д/?, r{ rQ получается из
уравнения (12.11). Для этого рассмотрим уравнение (12.11) с учетом
преобразований, делаемых при переходе от Fs (t, rx г'^ к fs (tt
li h* Яг 9s)-
I 18]
RBAHtOBAfl ГИДРОДИНАМИКА
27?
Рассмотрим сначала в первом слагаемом правой части уравнения
(12.11) член, соответствующий свободному движению. В развернутой
форме имеем
IF
JL
i\2
dr,
rt dq,
fk 1
s 3
2
/=u, p=i
так как
Подставим сюда выражение (12.4) для
Тогда получим:
( * 3 Г
g5, glf ...,
y=2 Y=
Y, 6=1
;*
«...](-
—4-1-4 S f' +± Sw-
I a, 0=1 L /=2 y=1
У,
• X
КбАЙТОВОМЕХАНИЧЁСКЙЕ ОБОБЩЕНИЙ (ГЛ. П
Явные выражения для остальных членов очевидны. Поэтому
выписываем все уравнение в явном виде, используя матрицы
r8+1)dr8+v (12.21)
Выражение (12.19) должно удовлетворять уравнению (12.21), но
д
в последнем операцию -дт- следует представить в виде
-^ = ^ + ^2+ .... (12.22)
где под Dx понимается операция косвенного дифференцирования с
подстановкой вместо -5J-, -gj-t -37" выражений Лх, Blf Cv в которые
входят в качестве р, pU, G решения уравнений (12.16) — (12.18)
первого приближения; под D2 понимается то же, но с подстановкой Л2,
В2, С2 и т. д. Уравнение для fs разбивается, таким образом, на ряд
§ 12] КВАНТОВАЯ ГИДРОДИНАМИКА 279
уравнений:
'
Здесь Ks — оператор кинетической энергии, действующий только на
переменные гг г\ (/= 1, 2 s), но не на /?.
Поскольку р, р(7, 0 связаны с /х, далее нас в первую очередь
будет интересовать уравнение для fv В целях устранения возможной
неоднозначности разложения fx в ряд по степеням \х вводим
дополнительные условия:
(12.25)
. *)}f.0=v J ^(0)(/г' P)dp- (12-26)
- (12-27)
ДЛ (/?, 0) = | «(Л (я, p)dp = 0 (/=1.2....). (12.25а)
g)) _o= J р«(Л(Л p)dp =0 (12.26а)
)
(7=1. 2. ...),
р2
(/=1. 2. ...).
280 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Исходя из (12.12) — (12.14), мы можем написать
ар (R) _ т \ dfx (Я, q) \
dt ~ v \ dt fg=0'
>(R)U(R) _ it ( д dAJR.q)
dt ~~ v \ da dt
_ ib i d df,
— v \dq q
dfx (/?, q) \ d9(R)U>(R)
(последний член в (12.28) так же выражается через
Итак, схема вывода гидродинамических уравнений заключается
в следующем. Во-первых, ищутся решения уравнений (12.23) для /<°>
и Д°> Эти решения содержат в качестве параметров равновесные
значения р, Ua и 0. После этого находятся явные выражения для А\*
5J и Сх. Затем ищутся решения для /^ и Д1), причем —rj/^ вы-
ражается в виде
P=l
a Dxf®) выражается в виде
Операции типа f-g— ffn и т. д. нам теперь известны; известны
также выражения для Ль 5?, С\. После нахождения /М и Д1*
находим явные выражения для А^ В? и Сг и т. д. Так, путем
последовательных приближений строим уравнения квантовой гидродинамики.
Близкая схема вывода гидродинамических уравнений для
квантовых систем дана в работах Грина (см. [18]). Обобщение описанной
выше схемы на случай нецентрального закона взаимодействия между
частицами дано в работе Желязны [74]. Квантовый формализм вывода
макроуравнений переносов рассмотрен также в работе Мак Ирвинга [149]
и Каданова и Мартина [124].
2. Вывод выражений для Аи В* и С/. Результаты выводов
выражений для Л/, 5?, Ct совершенно аналогичны классическим.
Поэтому с иллюстративной целью мы дадим здесь полный вывод только
для Аг и Bi%
§ 12] КВАНТОВАЯ ГИДРОДИНАМИКА 281
Уравнение для fx имеет вид
X [l +»A('-2--4rL)-^-+ • • -]/2(Я; rv rv r[, r2)dr2. (12.29)
Заметим, что
X [l + ц(г-£?) -A.+ ...]/2(*. q, r)dr.
где ?==rt — rj, r = r2 — r[ (при ^ = 0 r = r2 — r{).
Следовательно,
Согласно дополнительным условиям (12.25) и (12.25а), отсюда имеем
В результате получим гидродинамическое уравнение
непрерывности среды:
или
Как мы видим, вывод этого уравнения полностью аналогичен
классическому случаю.
Рассмотрим уравнение
Имеем
Ц) _ № \ д д/АЬд)
dt — v \ dq dt
». r)]} dr.
282 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. И
Очевидно,
где штрих означает производную по аргументу и
t г) = /2(Л, 0, г2 — г{).
Следовательно,
Далее, заметим
д2
Кроме того, согласно условию (12.10) четности функции h(R, r)
относительно аргумента г будем иметь
§ 12] КВАНТОВАЯ ГИДРОДИНАМИКА 283
Следующий член в (12.30) будет отличен от нуля по той же
причине
Следует обратить внимание, что следующий (не выписанный) член
будет равен нулю:
Поэтому среди невыписанных членов старший будет иметь
величину порядка малости jli3, т. е. невыписанные члены в (12.30) по
крайней мере на два порядка меньше выписанных.
Итак, мы получили гидродинамическое уравнение
(3=1
где
j(pamUa)(p"mU^)w(Rt p)dp-
. (12.31)
Га« — симметричный тензор второго ранга. Попутно, с очевидностью,
имеем
P=i
з
где Т% — выражение (12.31), в которое вместо w(R, p) и h(R, r)
подставлены w(0)(R, р) и h(0)(R, г), Г$— то же, но с подстановкой
«<i> (Л, р) и А<« (/?, г).
В заключение следует сделать общие замечания о некоторых
особенностях методики «гидродинамического» решения уравнений для fs.
Схема решения в общем плане та же, что и для классических
систем. Нулевое решение /ю> получается при решении уравнения (12.23).
Очевидно, решением для w(0) (/?, р) будет равновесное распределение
по импульсам. Этому распределению соответствуют равновесные
функции ff (R, p). ffl(R>qv g2) и т. д. (или матрицы Д°)(Л, rv r[),
284 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
ЛО)(Г1' r2' rv гг) и т* д*)* ПРИ отсутствии макропотоков (£/(/?) = 0)
функция w{0) (/?, р) и все ff) параметрически зависят только от р (R)
и в(/?); кроме того, w^0) зависит только от модуля p:w^0)(Rt \р\\
р(#), в(#)), ff>(R, qv ..., qs; р(#), ©(#)). При наличии
макропотока (U(R) Ф 0) решение для w^0) сохраняет свою форму, но имеет
вид <*«»(& \p — mU\; p(/?), 0(/?)).
Введем специальное обозначение для случая U(R)^0:
ZS(R, qv .... qa, p(/?), 0(/?)) = /f (/?, ^, .... ^. p(/?), O(/?)).
Заметим, что
Z^/?, q) = Zx{R, -q).
Это ясно видно из соотношения
«>HR> \p\)e h dp.
В силу условий (12.25) — (12.27), введенных для получения
однозначного решения уравнения (12.23) для ffK и требования
однозначного соответствия решений Д0)(5^2) решению ff>, должно быть
ZS(R> 9v --.. qs) = Zs(R, —qv ..., — qs),
так как из структуры уравнения (12.23) вытекает, что если
ZS(R, qlt ..., qs) есть решение этого уравнения, то ZS(R, —q^ .. .
. .., —qs) также будет его решением.
При £/(/?)=£ 0 имеем
q)= j w(o) (#, \p — mU\)e h dp =
= J
iq{p-mU) imqU
, \p — mU\)e h e h
Аналогично,
щи
Легко убедиться, что решение такого типа удовлетворяет уравнению
для /(?) и дополнительным условиям (12.25) — (12.27). Знание формы
решения в нулевом приближении помогает упростить форму
гидродинамических уравнений. Это упрощение в точности такое же, как
и в классическом случае (см. § 9). Поэтому приводить здесь мы его
не будем.
Заметим также, что вместо использования цепочки уравнений
для fs (5=1, 2, ...) можно исходить прямо из квантового
кинетического уравнения. Такая программа выполнена в диссертации
* 12] КВАНТОВАЯ ГИДРОДИНАМИКА 285
автора [145]. В работе Прангля и Каданова [151] рассмотрен вывод
гидродинамических уравнений, исходя из квантового аналога
кинетического уравнения Ландау. Можно также искать неравновесные
решения методом последовательных приближений по параметру \х только
для fv а для /2 принять в качестве конечного результата
равновесное распределение Д°). Такая схема рассматривается в работе
Мураками [125].
Наконец, возможно также аппроксимировать /2 по /г без учета
корреляционных поправок:
/2(Я, rv rv rj. rQ =
= f1(R, rv <)/,(/?, rv r'2)±fl(R, rv r'Jf^R, ry r\y
Обоснованность такой аппроксимации обусловлена тем, что в
гидродинамических задачах в уравнении (12.29) для fx члены, связанные
с действием самосогласованного поля по Хартри, и самосогласованного
поля по Фоку, уже не будут равны нулю, причем эти члены по
порядку величины будут больше, чем члены, содержащие
корреляционную матрицу (так как для квантовомеханических задач обычно
допустимо предположение о слабости взаимодействия). С применением
этой аппроксимации Боголюбов, например, рассматривает
гидродинамические задачи сверхтекучей жидкости. Здесь, для примера, мы
найдем в этом приближении явный вид для Ct.
Рассмотрим уравнение
Как мы уже отмечали на стр. 275, член — "9~~2" ^2 dR2 не
учитывается, так как после дифференцирования по времени он даст в
искомом уравнении член порядка цА
Таким образом, можно написать
_ (р Ъ> ( & dfAR,q
dt ~ dt 2mv \ dq2 dt q
Как и в классическом случае (см. уравнение (9.34)),
Поэтому
286 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ [ГЛ. II
Далее,
_ ih ( д* d^jR.q)
dt ^.„""mW dRdq
r^rt. (12.32)
Имеем
^ m m\dq> dRdq \q=Q ^ d& J m 2m ^
Здесь мы получили выражение, полностью совпадающее с
выражением (9.38) для классического случая. Дальнейшее его
преобразование такое же, как и в § 9 (с учетом, конечно, дополнительных
условий (12.20) — (12.25)). Окончательный результат имеет вид (9.39)
с подстановкой w(R, p) вместо Fv
Далее, подставим в (12.32) в рассматриваемом приближении
/2(/?, rvrv r'vr2) =
= /,(/?, rx-r[)fx{Rt 0) ± /,(/?, rx-r2)fx{Rt r2-r[) =
= Л(Л я) MR. 0)±MR> я—г) MR. r).
Заметим, что Г Ф(|# — r\)dr есть величина постоянная, независящая
от q; поэтому -д— Ф(|? — r\)dr = 0. Кроме того, нетрудно
убедиться, что
/Л г)MR. 4-r)dr.
В результате получаем
[ф J {Ф(к—г|)—Ф(|г|)}Х
X {/, (/?. q) Л (/?. 0)+/, (/?, ^ _ r) д (/?> r)j rfr] = о.
JO
Таким образом, следует рассмотреть следующий по порядку член,
который можно записать так:
X -щ
§ 121 КВАНТОВАЯ ГИДРОДИНАМИКА 287
Заметим, что одно дифференцирование по q обязательно должно
касаться множителя {Ф(|#—г\) — Ф(|/*|)]. Иначе этот множитель
даст нуль при q = 0. Далее, член с множителем q/2 по той же
причине равен нулю, а член, получающийся после дифференцирования
этого множителя по q, будет нечетной функцией относительно г,
так как
где Ф'(г) означает производную по аргументу.
Таким образом, отличным от нуля будет только следующий член:
± Л (#. q — г) Л (/?, г)}1 йг. (12.33)
Положим, как обычно,
Тогда выражение (12.33) сводится к виду
_Л У д
а, 0=1'
±w(R, p)e
Обозначим
- niU )(jp — ntU) w (/?, p) dp —
~ IS S J "^7" Ф' ^ pPw (/?> p) L/i (#» 0) ± /x (/?,
Тогда после объединения всех результатов совершенно так же, как
это было сделано на стр. 174 для классических систем, получим
3 Г 3 Ъ
д&
ГЛАВА III
НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 13. Кинетические проблемы металлооптики
1. Постановка задачи. Измерения оптических постоянных металлов
представляют интерес в связи с тем, что к настоящему времени
разработаны приближенные схемы расчетов, на основании которых из
данных металлооптических измерений можно получить оценку
эффективного числа электронов проводимости и оценки (с учетом плотности
электронных состояний у поверхности Ферми) других электронных
характеристик металлов — средней скорости электронов на
поверхности Ферми, эффективной массы электронов, энергии электронов на
поверхности Ферми, частот столкновений электронов между собой,
с фононами и примесями. Эти характеристики являются
определяющими для таких свойств металлов, как электропроводность,
теплопроводность, термоэлектронная эмиссия, теплоемкость при низких
температурах и др.
Все расчеты базируются на вполне определенном модельном
представлении: предполагается, что электронная структура такова, что
в эффектах, в которых происходит возбуждение электронной системы
металла, для описания возбуждения применимо приближение
изотропной эффективной массы, т. е. электронную систему, участвующую
в рассматриваемом эффекте, можно представить в виде системы
квазичастиц, имеющих тот же заряд, что и электрон, и подчиняющихся
той же статистике (статистике Ферми), но энергия Е сязана с
импульсом соотношением
Е = Е0+-±гР> (13.1)
ила
р_ Р2 (13.2)
где в каждом случае применяется своя система отсчета по шкале
энергии, а эффективная масса т* не равна истинной массе электрона.
Если бы не предполагалась изотропность системы, то в таком
приближении эффективная масса была бы тензорной величиной.
§ 13] КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТАЛЛООПТИКИ 289
Такое модельное представление означает, что рассматриваемая
система свободных квазичастиц, не связанных внутренним
потенциальным полем. Число таких частиц в единице объема равно
оо
N*=jg(E)fo(E)dE, (13.3)
О
где нуль отсчета энергии согласно (13.2) в каждом случае различный
или же, согласно (13.1), вместо нуля в качестве нижнего предела
интеграла надо взять Е = Е0, если отсчет по шкале энергии вести
от состояния «вакуума». Практически в блоховской одноэлектронной
схеме энергетического спектра металла интеграл берется от «дна»
(или от «потолка») соответствующей полосы энергии и только в
пределах этой полосы.
В формуле (13.3) /0 (£) есть равновесное распределение Ферми:
\ (13.4)
где EF — энергия уровня Ферми. Функция g{E) есть плотность
состояний (включая и спиновых) по шкале энергии, отнесенная к
единице объема. Если бы электроны были совершенно свободные, то
g(E) не зависела бы от температуры 7, и изменение 7 вызывало бы
только перераспределение электронов по состояниям согласно
распределению Ферми (13.4) без изменения их числа N. Тогда, положив
7 = 0, можно N представить в виде
N=j g(E)dE, (13.5)
о
так как при 7 = 0 /0(£)=1 для Е<£> и /0(£) = 0 для E>EF.
Для системы, описываемой в приближении эффективной массы, g (E),
а следовательно, и N*9 зависят, вообще говоря, от 7; однако в
области не очень высоких 7 (7 меньше или сравнима с дебаевской
температурой металла в) зависимость g(E) от 7 пренебрежимо мала,
так что можно положить аналогично (13.5):
N*=) g(E)dE.
0
Здесь мы пренебрегли отличием /0 (Е) при 7 Ф 0 от /0(£) при 7 = 0
в области размытия Ферми, так как ширина этой области порядка
и поэтому ошибка в величине интеграла пренебрежимо мала.
Для совершенно свободных электронов число их в объеме равно
удвоенному числу квантовых ячеек в фазовом объеме, равном VQt т. е.
19 К. П. Гуров
290 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
равном произведению объема V на сферический объем Q в
импульсном пространстве внутри поверхности (сферы) Ферми:
Q4ji о
Таким образом, число N в единице объема равно
так как Е = р2/2пг.
Сравнивая (13.6) и (13.5), видим, что
откуда имеем
где uF — скорость на поверхности Ферми.
Совершенно аналогично для системы, описываемой в
приближении эффективной массы,
N* = ±g(EF)m*uP. (13.8)
В опытах по возбуждению электронной системы интерпретация
полученных результатов всегда проводится (в приближении
эффективной массы) при помощи соотношений вида
где А — измеряемая на опыте величина, а Ф — некоторая известная
функция от N*/m* и ряда других микроскопических параметров.
Например, электропроводность а равна
v~~ m*v '
где е — заряд электрона, v — суммарная частота столкновений
квазичастиц с фононами, между собой и с примесями. Поэтому вместо N*
целесообразно ввести новое «эффективное число электронов»,
равное, по определению,
ЭФФ= Иг*'
Тогда из (13.8) имеем
(13.9)
§ 13] КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТАЛЛООПТИКИ 291
Определяемое по формуле (13.9) Мэфф можно независимым путем
вычислить из данных металлооптических измерений (см. [95, 96]).
Таким образом, при использовании результатов металлооптических
измерений формула (13.9) может служить для определения g(EF),
если известно ир, и наоборот. В работе [97] наряду с металлоопти-
ческими измерениями на тех же образцах проводились измерения
электропроводности, благодаря чему вычислялись М>фф, и ир, а формула
(13.4) служила для определения g(EF). В работе [98] определялось ир
из данных для g(Ep)t полученных на основании теоретических
расчетов электронных структур. Такие расчеты за последние годы
выполнены для ряда металлов [99—103].
Следует обратить внимание на существенное допущение, которое
делается при выводе и использовании формулы (13.9).
Предположение об изотропности электронной структуры означает
предположение о сферичности поверхности Ферми и, следовательно, о
постоянстве скорости uF вдоль этой поверхности. В действительности же
почтадля всех металлов (монокристаллов) электронная структура
анизотропна. Поэтому в опытах такого типа в качестве образцов всегда
используются поликристаллы с мелкозернистой структурой.
Предполагается, что в силу хаотичности ориентации монокристалликов
(зерен) образца можно оперировать с изотропными характеристиками,
соответствующими усреднению по поверхности Ферми. Формула (13.9)
фактически теперь имеет вид
т
где черта сверху означает усреднение по поверхности Ферми. При,
использовании этой формулы для определения ир (или g(Ep)) по
данным о М>фф и g(Ep) (или Up) неявно делается существенное
допущение о том, что величина g(EF) и\ приближенно равна g(EF)-u2F
и, кроме того, конечно, подразумевается под скоростью на уровне
Ферми uF среднеквадратичная скорость + («/?) 2.
Таким образом, с учетом указанных допущений скорость на
поверхности Ферми определяется по формуле
'=1014
(так как т = 9 • 10 г)*
Из формулы (13.7) с Е= "*" имеем
^_ 8л (т*)2ир
19*
292 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
Отсюда
или, с учетом формулы (13.9),
■Ч"
Ч «6,2- 10"27
Итак, мы убедились, что важнейшие электронные характеристики
могут быть оценены, если известна оценка для А^Эфф.
Как мы уже отмечали, оценку Л^эфф можно выполнить, если
известны оптические характеристики металла, получаемые в опытах
по отражению определенным образом поляризованного излучения
от металлической поверхности (см. [95]).
Для разработки методики определения Л^эфф из оптических
постоянных необходимы определенные модельные представления о
микроскопическом механизме явления. Физическая картина явления
подробно рассмотрена в работах Гинзбурга и Мотулевич [95], Гуржи
[104—106] и Силина [86], а также в монографии Соколова [121].
Наиболее строгий подход заключается в рассмотрении чисто
квантовой системы фотонов (квантованное электромагнитное поле), ферми-
квазичастиц (приближение эффективной массы для электронов в
металле) и фононов (квантование тепловых колебаний решетки).
Поглощение электромагнитного излучения в металле рассматривается как
процесс второго порядка — поглощение или испускание фотона с
одновременным испусканием или поглощением фонона и изменением
импульса ферми-частицы. Кроме того, учитывается возможность
квантового фотоэффекта—поглощение (или испускание) фотона с
одновременным перебросом ферми-частицы (электрона) в другую зону Брил-
люена. Наконец, возможен процесс поглощения (или испускания)
фотона при «столкновении» двух ферми-частиц, при котором не
происходит междузонного перехода, но зато имеется корреляция между
состояниями ферми-частиц (модель ферми-жидкости Ландау [79, 108]).
Задача, таким образом, заключается в составлении и совместном
решении кинетических уравнений для электронно-фононной системы
и уравнений квантовой электродинамики.
При решении этой задачи разными авторами вводились различные
упрощающие предположения, соответствующие конкретным условиям
задачи.
Главное и вполне обоснованное допущение заключается в том,
что во всех конкретных задачах по металлооптике числа заполнения
состояний фотонов велики. Поэтому кванты поля — фотоны —
следует рассматривать только при исследовании процессов
«столкновений» в системе, а в остальном поле можно рассматривать как клас-
§ 13] КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТАЛЛООПТИКИ 293
сическое. Это означает, что вместо уравнений квантовой
электродинамики будут фигурировать классические уравнения Максвелла, а
в выражении оператора импульса частицы
где Р = — it)-* обобщенный оператор импульса частицы в поле,
вместо оператора А следует подставить величину классического
вектор-потенциала поля. Последнее обстоятельство учитывается при
составлении кинетических уравнений. Кроме того, учитывается, что
поле рассматривается как малое возмущение, и все уравнения
выводятся с точностью до линейных по полю членов. В результате
кинетическое уравнение для ферми-частиц приобретает стандартную
форму: эволюция во времени одночастичной матрицы плотности
(в формализме Неймана) или одночастичной квантовой функции
распределения (в формализме Вигнера) в полученном кинетическом
уравнении определяется членом, соответствующим инерционному движению
частицы, членом, выражающим действие внешнего классического
электрического поля, и релаксационными членами, конкурирующими
с действием внешнего классического электрического поля. Последние
члены обусловлены процессами «столкновений» и имеют квантовые
специфические особенности; часть из них, по принципу соответствия,
переходит в предельном случае в классические интегралы
столкновений, а часть в пределе h -> О обращается в нуль, т. е. имеет чисто
квантовое происхождение.
Следующий этап упрощения модели заключается в замене ферми-
жидкости ферми-газом, т. е. в пренебрежении корреляцией между
состояниями ферми-частиц. Для совершенно свободных частиц
поглощение фотона невозможно, и в кинетическом уравнении исчезают
соответствующие релаксационные члены.
В металлооптических измерениях можно четко выделить область
полосы поглощения по шкале длин волн (частот) падающего
излучения. Наиболее простая интерпретация результатов получается,
когда работают вне этой полосы, точнее, в области частот о < сокр,
где сокр — частота края полосы поглощения. В случае излучения
в этой области частот заведомо нет междузонных переходов, и
происходит возбуждение электронных состояний внутри одной полосы.
Соответствующее упрощение модели заключается в исключении из
кинетического уравнения члена, отвечающего междузонным переходам.
Однако, при таком упрощении одновременно приходится
считаться с условием 0 < о)кр. Это условие практически означает, что
вся модель должна строиться применительно к инфракрасной области
спектра. Последнее обстоятельство приводит к важным следствиям.
294 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
Как известно, высокочастотное поле имеет некоторую (малую)
глубину проникновения в металл (глубина скин-слоя 60). Эта глубина
зависит от частоты падающего излучения — чем меньше частота, тем
больше глубина проникновения б0. Электрическое поле вызывает ток
и поляризацию среды. Эти эффекты могут быть локальными и
нелокальными, т. е. ток и поляризация в точке определяются полем
в той же точке, или же ток и поляризация в точке определяются
значениями поля во всех точках в некоторой окрестности данной
точки. Первый случай называется нормальным скин-эффектом,
второй— аномальным скин-эффектом. Математическая теория этих
эффектов различная. Это различие обусловлено характерным различием
физических условий, при которых происходят указанные два процесса.
Легко сообразить, что если на расстоянии длины свободного
пробега заряженной частицы электрическое поле изменяется
незначительно, то можно говорить о локальном эффекте появления тока;
в противном случае на этом расстоянии одночастичное распределение
(одночастичная матрица плотности или одночастичная квантовая
функция распределения) под действием поля меняется сильно, и этот
эффект нелокален. Поле существенно меняется на расстоянии 60.
Отсюда вытекает, что условие локальной связи между током и
электрическим полем должно иметь вид
где / — длина свободного пробега заряженной частицы, или
где и — средняя скорость заряженных частиц, v — частота
столкновений.
Чтобы эффект поляризации среды был локальным, необходимо,
чтобы смещение заряженных частиц за один период колебаний поля
t0 было мало по сравнению с длиной волны X. Это условие имеет
вид
или, так как to = —j- (n — показатель преломления)
(13.11)
В металлах при любых температурах в качестве и можно взять
иР, которая, как показывает опыт, имеет порядок 108 см/сек.
Поэтому условие (13.11) приобретает вид
В инфракрасной области это условие для металлов выполняется.
§ 13] КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТАЛЛООПТИКИ 295
Второе условие (т. е. условие (13. 10)) зависит от температуры.
Для металлов возможны случаи как выполнения, так и невыполнения
этого условия.
В целом, можно утверждать, что, за исключением области
гелиевых температур, в металлах должен наблюдаться или нормальный
или слабо аномальный скин-эффект при близком инфракрасном
излучении.
Очевидно, что если рассматривать поглощение электромагнитного
излучения в объеме металла в случае нормального скин-эффекта,
всегда можно пренебречь в кинетическом уравнении
пространственными производными квантовой функции распределения, или
элементов матрицы плотности. В случае слабого аномального скин-эффекта
эти члены в кинетическом уравнении при решении последнего можно
рассматривать по теории возмущений как поправочные. Такую
программу выполнила Мотулевич [107].
Однако, кроме объемного поглощения (за счет потери электроном
приобретенной избыточной энергии в «столкновениях» в объеме),
существует и поверхностное поглощение. При самом строгом подходе
нельзя обособленно рассматривать эти два типа поглощения. Но
поверхностное поглощение существенно зависит от поведения одно-
частичного распределения как функции пространственной точки.
Поэтому при таком строгом подходе необходимо с самого начала
задаваться условиями аномального скин-эффекта. На это обращают
внимание в своих работах Гинзбург, Гуржи и Силин. Однако
последующий опыт показал, что в металлах, в пределах точности эксперимента,
при всех температурах, за исключением гелиевых, достаточно
приближение нормального или слабо аномального скин-эффекта.
Следующим этапом упрощения задачи является предположение,
что энергия, приобретенная электроном на пути свободного пробега
/ под действием поля Е, мала по сравнению с kT, т. е.
eEl <C kT.
Это означает, что электрон при воздействии фотона не может быть
далеко выброшен из области размытия Ферми, так что все
процессы в основном разыгрываются внутри этой области. В таком
случае все рассмотрение можно вести в рамках классической теории.
Это значительно упрощает составление кинетического уравнения.
Такое рассмотрение выполнено в работе Гинзбурга и Мотулевич [95].
Возможные различные усложнения задачи в рамках классического
кинетического уравнения рассмотрены Силиным [108, 109, 110].
Полученные результаты имеют очень ясную физическую интерпретацию —
в этом основное преимущество рассмотрения в рамках классического
формализма. Однако, по существу, в металлооптике условия, при
которых возможно классическое рассмотрение, очень ограничены.
296 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
Основным условием, как мы отметили, является условие
где /?ю— энергия падающего фотона. Учитывая, что Я = 2я£/оэ,
получаем, что даже при комнатных температурах (Г « 300° К должно
быть к^$>40мк, т. е. условия выполняются для области спектра,
который в металлооптике практически не применяется.
Поэтому наиболее правильно теоретическое рассмотрение
выполнять в квантовом формализме. Ценность же классического
рассмотрения заключается в том, что, по принципу соответствия, оно
способствует физической интерпретации результатов в случае квантовой
системы. Наиболее обстоятельное рассмотрение электронно-фононной
системы, возмущенной электромагнитной волной, в классической
схеме выполнено в работе Гинзбурга и Силина [112].
Первой работой такого типа (т. е. в квантовом формализме) была
работа Гольштейна [111], который вычислил поглощательную
способность металла, рассматриваемого как пространственно однородная
квантовая система.
Наиболее обстоятельное решение этой задачи дано в серии
работ Гуржи [104, 105, 106]. Общий обобщающий результат
содержится в работе Силина [86], который дал вывод кинетического
уравнения в случае быстропеременного внешнего поля и с учетом
поляризации среды. Дальнейшее обобщение содержится в работе Рона [113],
который учел коллективные свойства среды, благодаря чему для
времени релаксации получено выражение, зависящее от частоты
падающего излучения.
Ниже мы излагаем результаты работ Гуржи, являющихся
хорошей иллюстрацией применения метода Боголюбова.
2. Вывод Гуржи квантового кинетического уравнения.
Рассмотрим систему, состоящую из электронов в приближении
эффективной массы (газ свободных ферми-частиц) и фононов. Фононы в
условиях задачи образуют пространственно однородную в
гидродинамическом смысле (Т постоянна во всем объеме) систему. Поэтому в
матрицах распределения системы удобно фононные переменные сразу
выражать в импульсном представлении и учитывать, что отличными
от нуля будут только диагональные элементы (так как согласно § 10
и 11 в г, гг-представлении аргументами были бы только r(— rj,
/= 1, 2, ..., а в р, рт-представлении матрица распределения имела бы
5
вид Fs(pv .... Ps)Tl^(Pi — Р/)« Будем далее через г, р
обозначать электронные переменные, а через q — импульсы фононов.
В рассматриваемой задаче возмущение фононов несущественно.
Поэтому необходимо составить кинетическое уравнение, описывающее
возмущение электронов электромагнитной волной и релаксацию за
§ 13] КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТАЛЛООПТИКИ 297
счет квантовых процессов взаимодействия с фононным «термостатом».
Такая постановка вопроса означает, что надо совместно рассмотреть
уравнение для одночастичной электронной матрицы распределения,
в котором учтено только взаимодействие с фононами (но не с
другими электронами), и уравнение для двухчастичной электронно-
фононной матрицы распределения. Общий метод такого рассмотрения
описан в § 10.
Уравнение для электронной одночастичной матрицы распределения
имеет вид
** ft О в [/fg)> Fl{t, r, /)]+£ Sp [Яв/> Pt(i, r, qs, r>, gs)l
а для электронно-фононной двухчастичной матрицы распределения
,. г, д. г', д)} +
sp[,l/f Fz{t, r, r2, q, /, ri
s
Sp [H*fs> F*V> r' 1- **s> r'> Я> Я*)]. (13.12)
^ = 2 (fs)
Здесь Н^ — гамильтониан заряженной частицы (электрона с
эффективной массой) в поле
—гамильтониан фонона;
где hvq — энергия фонона с импульсом q, bq и bq — операторы
порождения и уничтожения фононов с импульсом q\ в представлении
чисел заполнения
Hef — гамильтониан взаимодействия электрона с фононом,
Hef =aqk {b% exp(—iqr/h) + bqexp(tqr/h)}. (13.13)
Символ 2 Sp означает взятие диагонального следа в представлении
чисел заполнения фононных состояний и интегрирование по q.
Постоянная а электронно-фононного взаимодействия принимается
за малый параметр теории возмущений (учитывается, что величина \q\
298 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
ограничена сверху). Тогда вместо F2 и Fz можно ввести матрицы
злектронно-фононной корреляции:
F2(t, г. q, r', q) = Fx(tt r, r')Fx(t, q, q) + G2(t, г, qt г', q\ (13.14)
Fz{*> r. r2, q, r', r'v q) = Fx(tt r, r')Fx{tt r2, r'2)Fx(U q, q)-
- Fx (t. r, rj) Fx (t. rv r') Fx (t. qt q) + Fx (t. r, r') G2 (/. rv q, r'v q)\
+ Fx(tt rv r'2)G2(t, r, q, r\ q)-Fx(t, r, r'2)G2(t, rv q, r', q) —
-Fx{t, rv r')G2{t, r, q, rj. q) + Gz(tt r, rv q> r\ r'v q) (13.15)
и аналогичное выражение для F3(t, r, qt qs, r', q, qs).
В выражении (13.14) второй член в правой части имеет первый
порядок малости по параметру теории возмущений (т. е. по
постоянной а злектронно-фононного взаимодействия), а в правой части
выражения (13.15) члены с третьего по шестой имеют первый порядок
малости, а седьмой — второй порядок малости.
Искомое кинетическое уравнение будем составлять с точностью
до второго порядка малости по параметру теории возмущений.
Поэтоту в уравнении для F2 можно ограничиться первым
приближением и, следовательно, уравнение для О2 можно решать в нулевом
приближении.
Составим уравнение для G2, исходя из уравнения (13.12) для F2
и выражений (13.14), (13.15). При этом учтем, что фононная
система у нас находится в равновесии. Это означает, что в
представлении чисел заполнения матрица Fx(t, q, q) будет иметь отличными
от нуля только диагональные члены1)
[ ф 0 при Nq = Ng9
{*Г,\РгЦ. q. q)\N$ ! '
( = 0 ПрИ Nq ф Nq.
Кроме того, эти числа заполнения при Nq — Nq здесь могут быть
заменены на средние равновесные числа заполнения Nq, так что
Fi(t* q* q) B таком представлении в условиях нашей задачи есть
просто равновесная функция распределения фононов по состояниям,
т. е. Fi(t, q, q) есть просто бозе-распределение:
Для краткости далее Fx(t, q, q) будем записывать через F(q).
Заметим также, что у оператора Hef в представлении чисел
заполнения фононных состояний соответствующие диагональные эле-
!) Этот вывод подробно обсужден в работе Блюма [114], в которой
развивается формализм вывода квантовых кинетических уравнений для смеси
бозе и ферми-частиц.
§ 13] КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЁТАЛЛООПтИКЙ 299
менты тождественно равны нулю. Поэтому операторные выражения
вида
тождественно равны нулю.
Итак, уравнение для G2 в нулевом приближении имеет вид
"bVO K О,(/. г, д, г'. д)} +
+ [Hef, Fi(t. r, rOf^l-iSp^/, F(q)X
X {Ft(t, r, r^F^t, rv r'2)-Fx(t, r, r§Fx(t. r2, r')] ]
Чтобы получить кинетическое уравнение, надо решить это
уравнение, и результат решения подставить в уравнение
/. г, /)]+isPp 2(?
(13.17)
Однако следует помнить, что сама по себе электроино-фононная
система находится в равновесии. Равновесие нарушается из-за
возмущающего действия поля. По предположению, поле мало, и его
действие также можно рассматривать по методу теории возмущений.
Тогда, ограничиваясь первым приближением, будем искать Рг и О2
в виде
Fx(t, r, г/) = /7ю(г, rO+Z'iiP. r, г'),
г, qt r\ q) = G20(t, r, q, r', ff)+G21(*. r, g, r',
где Fi0 и О20 соответствуют равновесной (без поля) электронно-фо-
нонной системе.
Кроме того, в самом общем виде вектор-потенциал поля можно
представить в форме
A (t. г) = Л» (г) еш + А+ (г) е
ш + А+ (г) е~ш;
аналогично представляется и поле Е. Поэтому в первом
приближении (т. е. в случае уравнения, содержащего лишь линейные по А
или Е члены) можно Fn и G21 искать в виде
Ur. г')е-ш,
O2i= О21т(г, д, г', д)еш-\-О1ы(г, д, г', д)е~ш.
300
Некоторые конкретные вопросы
(гл. г»
(13.18)
Заметим, что уравнение для О2 можно свести к простой форме,
рассмотренной нами на стр. 228:
ОТ
где
В == [Hef, Fx (t. r, r') F (q) ] — I Sp [Неъ f, F (q) X
X {/^(Л r, r^F^t, r2, rQ —Fj^, r, r§Fx(tt r2,
Как и на стр. 199, решение ищем .с помощью оператора сдвига
Ux = ехр
(в отличие от формулы (10.29), здесь необходимо учитывать, что
Н{}] зависит от времени через А (г, t\ и поэтому необходимо
произвести интегрирование на временнбм интервале сдвига (0, т)) и
учитываем условие ослабления корреляции
lim UxG2U$=0.
Тогда, решая уравнение (13.18) в точности так же, как на стр. 203,
получим
у
со t + X
О2 (0 = - J Л ехр 4" J
В (t + т) X
Хехр
t+x
На стр. 208 мы показали, что операторы Ux и Ux приводят
в выражении для G2 в р, р'-представлении к множителю R (10.35),
который в кинетическом уравнении дает дельта-функцию,
выражающую закон сохранения энергии. Множитель R можно выразить также
через функцию 6+ (см. формулу (10.60)). В рассматриваемом теперь
случае ситуация аналогична, с тем только отличием, что
рассматривается столкновение электрона, имеющего в поле обобщенный
импульс Р, с фононом и, кроме того, выражение для £(£ + т),
содержащее
Fx{t. r, r/) = /7io(r, ^ ш
в первом приближении имеет вид
§ 13] КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТАЛЛООПТИКИ 301
где
В0(Г. rf, q) = [Hef, F10(r, r')F(q)\-±Sp \HeJ, F(q) X
v (2) l
X {F10(r. r')Fl0(r2, r'2)-F10(r, r'2)Fl0(rv r'))].
Вы(Г, r', q) = [Hef, FUe>(r. r')F{q)\ — ^р[Нег/, F(q)X
X {Fnjr, r')Fna)(rr r'2)~Fne>(r, r2)FUe>(rv r')}]
(выражение для В\& аналогично). Поэтому в Р, Р'-представлении
в слагаемом, содержащем BQi множитель типа R будет равен
2nh6+ (Е (р') — £ (Р) + Nqhvq — Nqhvq).
т. е. он соответствует изменению энергии электрона в поле за счет
поглощения или испускания фононов, а в слагаемых первого
приближения множитель типа R будет равен
2nhb+ (E(p') — E(P)-+-Nqhvq — Nqhvq ± йсо), (13.19)
т.е. он соответствует процессу второго порядка — изменению
энергии электрона в поле за счет поглощения (или испускания) фотона
и испускания (или поглощения) фононов.
Исходя из результатов § 10, сразу можно ожидать, что
подстановка полученного выражения для G2 в уравнение для Fx(l) (где
аргумент 1 относится к электронным переменным) должна привести
к кинетическому уравнению, близкому к виду (10.32), но
модифицированному наличием внешнего поля. Рассматривая уравнение (10.32)
в условиях теперешней задачи, следует учесть, что аргументы 1 и 3
относятся к электронным переменным, а аргумент 2 — к фононным.
Тогда исчезнут (следует приравнять нулю) все операторы
перестановки Р12 и Р23, а оператор симметризации y^1j2) следует положить
равным единице. Кроме того, член линейный по е, исчезнет, так как
этот член имеет вид (13.16) и, как уже нами объяснено на стр. 298,
такой член тождественно равен нулю.
Рассматривая преобразованное таким образом уравнение, сразу же
можно сделать несколько выводов.
Во-первых, подстановка в уравнение (13.17) решения G20
приводит к интегралу «столкновений классического» типа, т. е. получается
тривиальное уравнение для равновесной электронно-фононной системы
(без внешнего поля):
/ 0
Чтобы в этом убедиться, необходимо обратить внимание на второй
важный вывод, который вытекает из рассмотрения уравнения (10.32).
Принятая форма для оператора электронно-фононного
взаимодействия (13.13) означает возможность порождения или испускания
302 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. lit
только одного фонона, так что Nq— Л^=±1. Из (10.32) следует,
что в нулевом приближении по полю, когда Fx не зависит от
времени и пространственной точки,
(см. стр. 208), у нас получится уравнение
p^ {[Heft ()(д)] + р
(/) (2)
где смысл знака волнистой черты над Hef объяснен на стр. 208.
Если рассмотреть сначала только действие на фононные переменные,
то из свойств оператора Hef и матрицы F(q) вытекает, что в
представлении чисел заполнения матричные элементы операторного
выражения
[Не/. [Hef, ...F(q)]]
содержат только следующие множители, зависящие от фононных
переменных:
± 2лШд б (Е (р') — Е(р) — hvq)
О - Е (р) + hvq).
Это обстоятельство остается в силе и при подстановке в уравнение
(13.17) G2K0 и G^, но с тем отличием, что в соответствии с (13.19)
изменится дельта-функция, т. е. будем иметь
± nhNq
и
Для нулевого приближения тогда сразу получаем
+ b<J>'-p-q)b(E<j>')-E(j>)-hvq)[(Nq+l)w(p')X
X (l -
§ 131 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТАЛЛООПТИКИ 303
причем интеграл по q берется по области, ограниченной некоторой
предельной величиной абсолютного значения \q\.
Решение этого уравнения есть равновесное распределение Ферми:
= [exp {[E(p) -EF]/kT] + I]"1. (13.20)
где Е(р) = -£^ (т* — эффективная масса), Ер — энергия электрона.
на поверхности Ферми.
Очевидно, справедливо также уравнение
где в дельта-функции, выражающей закон сохранения энергии,
стоит Е(Р).
При составлении явного вида уравнения первого приближения
по полю надо исходить не из р, р'-представления, а из Р, Р'-пред-
ставления (результаты, относящиеся к фононным переменным, мы уже
обсудили выше).
Рассмотрим условия нормального скин-эффекта, т. е. рассмотрим
пространственно однородное приближение, в котором
Ft(t9 r, r') = Fx(tt г —г') или Ft(t9 Р, P')=(27ih?w(t, Р)Ь(Р-Р').
Тогда в уравнении (13.17), выраженном в Р, Р'-представлении,
и удобно, как и в § 10, произвести операцию интегрирования по Р'.
Но тогда, как легко убедиться, первый член в правой части
уравнения (13.17) обратится в нуль. Действительно, в Р, Р'-представ-
лении Н^ имеет вид
«CD _ р2 i еАР 1 е2А*
так что
+ Ц-(Р'— Я)A ]w(f, P)6(P' —P)dP' = 0.
В результате уравнение (13.17) принимает следующую форму:
Как мы уже ранее положили, w(tt P) = wo(P)-\-wl(t, P) и
J. 9r) = °2o(1» flr) + °2i(^ !» ?)» причем подстановка wQ(P)
304 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
в левую часть уравнения (13.21) тождественно обращает этот член
в нуль, а подстановка G20(l, q) в правую часть также обращает эту
часть в нуль. Таким образом, уравнение первого приближения имеет
вид
J
SP [Hefk, Qa(t.
V k)
Процедура нахождения явного вида правой части этого уравнения
остается прежней. В результате справа получим линеаризованный
интеграл столкновений как функционал от wx(t$ P)$ причем в дельта-
функциях, выражающих закон сохранения энергии, будут стоять Е(Р).
Закон сохранения импульса можно писать по любому, так как
Р — Р = р' — р.
Этот линеаризованный интеграл столкновений имеет следующий
вид:
+ 6 (/>' -P - q) I [6 (E (П -E (P)-tivq + to) + 6 (E (P')-E (Я) -
- /zv, - to)] • [(Nq + 1) wx (/>') - Nqwx (JP) -
}} (13.22)
Заметим, что Р = р — — А. В рассматриваемой задаче Л считается
малой величиной. Поэтому формально применим к полученному
выражению теорию возмущений — разложим w(t, P) и дельта-функции
в степенные ряды по Л и ограничимся линейными по А членами.
При этом учтем формальное свойство
Имеем
§ 13] КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТАЛЛООПТИКИ 305
Тогда в линейном приближении
Wl(t, P) = wl(t1 p)-^A^0Lt (13.23)
6 (Е (Pr) —E(P)± hvq ± &o) =
= Ь(Е (//) -Е{р)± hvq ± Щ-±^Р^£^Л^ X
X 6 (Е (//) — Е(р)± hvq ± й©).
В результате линеаризованный интеграл столкновений принимает вид
где f(w}(p)) — интеграл, получаемый при подстановке в (13.22)
первых членов разложений wx и дельта-функций, выражающих закон
сохранения энергии. Этот интеграл при h->0 (классический
предельный случай) переходит в линеаризованный классический интеграл
столкновений. Интеграл fx получается в результате подстановки
в (13.22) второго члена разложения wx и первого члена разложения
дельта-функций, а интеграл /2 — в результате подстановки первого
члена разложения wx и второго члена разложений дельта-функций.
Эти интегралы при h -> 0 уничтожаются, т. е. имеют чисто
квантовую природу. Заметим также, что во всех этих трех интегралах
можно прямо перейти от интегрирования по Рг к интегрированию
по рг и, кроме того, взамен Ъ(РГ — P±q) можно написать
b''—p±q), так как Р'—Р = р' — р.
Остается еще преобразовать член Wx\l—-• Из (13.23) имеем
dw{ (t, P) _ dWjjt, p) e dA dwo(p)
dt dt c dt dp '
В результате кинетическое уравнение принимает вид
(Р) + еЕ
Гуржи [104] обобщил это уравнение на пространственно
неоднородный («гидродинамический») случай, для которого длина волны
де-Бройля электронов, участвующих в процессе, т. е. для
электронов с состояниями около поверхности Ферми, много меньше
характерного гидродинамического, масштаба длины, на котором заметно
меняются Л, Е и w. Тогда формы /, 1Х и /2 остаются без
изменений, только wQi wb А и Е будут функциями пространственной
точки (см. об этом стр. 227 и 191). Кроме того, в левой части
уравнения добавится член
р dw (/?, р)
т* 6R
20 К. П. Гуров
306 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
Полученное Гуржи квантовое кинетическое уравнение проявляет
свои специфические квантовые особенности при низких температурах.
Гуржи [105] на основании квантового кинетического уравнения
в общих условиях аномального скин-эффекта (пространственно
неоднородный случай) вычислил объемную поглощательную
способность А металла и сравнил результат вычисления с известным
результатом вычисления на основе уравнения без 1Х и /2.
Для последнего случая результат имеет вид
где хкл(Т) — время релаксации, соответствующее классической модели.
Результат, получаемый из квантового кинетического уравнения,
также можно представить в форме
Функция ф(Г) имеет вид
в/г
где y = h(d/kT.
Для близкой инфракрасной области, в которой обычно проводят
все металлооптические измерения, выражение для <р(Г) упрощается.
Для указанной спектральной области имеют место условия ^1
u/^6 Тогда
в/т
j
При »^
<р « 2в/57\
В высокотемпературной области (7"^>в) ткл(Т) пропорционально Т~1\
если использовать это высокотемпературное выражение, то в
низкотемпературной области х(Т) можно представить в виде
Таким образом, оценку частоты столкновений электронов с фоно-
нами vef можно свести к оценке у^ = 1/ткл(Г) с последующим
уточнением квантовых эффектов по формуле
131
КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ MEfАЛЛООПТИКИ
307
с подстановкой функции <р(Г) для данного 7\ определенной из
графика рис. 3 [247], по формуле <р (Г) = vtf//vj£.
Как видно из рис. 3, при высоких температурах ход х(Т)
практически совпадает с ткл (Г). Однако при низких температурах имеется
значительное расхождение.
0,9
0,8
07
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
У
\/
/
/
OJ 02 0,3 0,4 0,5 0,6 07
Рис. 3.
0,9 I
3. Приближенные оценки частот столкновений. Как уже
указывалось в начале настоящего параграфа, металлооптические
измерения дают оценку ЛГэфф, а через нее можно оценить ир и т*.
В работе автора Лексиной и Пенкиной [98] предложена
практическая методика оценки из этих данных v£J, если известны дебаевская
характеристическая температура и скорость звука в рассматриваемом
металле!).
Как уже отмечалось в § 11 (стр. 221), для оценочных расчетов
можно положить
%р кл
и в линеаризованной форме 1кл(щ(р)) типа (13.22) оставить под
знаком интеграла только те слагаемые, в которые входит wx(p).
1) Общая схема оценок частоты столкновений электронов с фононами
впервые была намечена (применительно к полупроводникам) Давыдовым
(см. обзор Давыдова и Шмушкевича [207]).
20»
308 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. Ill
Тогда получим после интегрирования по р' с учетом дельта-функций,
выражающих закон сохранения импульса:
1 ад2 J q [b{E{p-q)-E{py+hvq)\N^\-^(p-q)\+
где no(p) = ^~—Wo(p) — равновесное распределение Ферми (см.
формулу (13.20).
Для фононов можно принять простейшее дисперсионное
соотношение:
hvq = qU,
где U— скорость звука, причем
*макс
в—дебаевская температура), так что
_ №
Умакс — ~ц~ •
При интегрировании по q перейдем к сферическим координатам:
dq = — q2dqd<pdl,
где £ = cos8, а ориентация сферической системы выбрана так, что
угол 0 есть угол между вектором q и фиксированным при
интегрировании вектором р. Тогда
Р2 л_ Я2
- --—|+и.
Интегрирование по <р даст множитель 2л:
+1
> кл J
i i3] кинетические Проблемы металлооптйки 309
где
С учетом свойств дельта-функции Дирака в результате
интегрирования по £ получим:
О
Вычислим три получившихся интеграла:
в/Г
/
в/Г в/Г
кТ\г Г ( 1 1
_ 1 k*TB2 \ t 1 в , 1 /в\2|
?макс
г
310 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. Ш
Итак,
Согласно изложенному на стр. 224, чтобы получить отсюда v™
надо величину \/хркл усреднить при помощи равновесной
функции wo(p) по всем электронным состояниям:
Подставляя (13.26), получим
v«
где
R R
Заметим, что интеграл Г п0 (Е) dE равен площади под кривой п0 (Е);
эта площадь одна и та же при любом Т\ для Т = 0 эта площадь
равна площади прямоугольника со сторонами 1 и EF. Таким образом,
Г no(E)dE = EF. Далее, функцию ^ приближенно можно
аппроксимировать дельта-функцией:
Тогда
ИЛИ
В металлах всегда kT<^,EFt поэтому третьим членом в фигурных
скобках можно пренебречь.
Развернутое выражение для коэффициента Вг получается
подстановкой в (13.26) выражения (13.24). В получаемое выражение
войдет а2, где а — постоянная электронно-фойонной связи. Наиболее
§13] КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТАЛЛООПТИКИ 311
общепринято ее оценку давать по формуле
где Еср— средняя энергия электрона проводимости в металле, Есря&
жО,6Ер, М — масса атома элемента металла, vx — объем
элементарной ячейки кристалла. В металлах кубической кристаллической
структуры с постоянной решетки а обычно можно положить
v « vx = az. Итак,
v'7 ~ (2nh)* tiMU* {1 + 24 [ T )
Практически удобная форма для расчета по этой формуле имеет
вид
••кл —
УеТ — MU4
где EF выражено в электрон-вольтах, а — в ангстремах и $ = m*/m
(m — масса электрона).
Гуржи [106] дополнил свое квантовое кинетическое уравнение
учетом релаксации за счет межэлектронных столкновений при условии
рассмотрения электронной системы как ферми-жидкости (модель
Ландау [79]).
В приближении пространственно однородной системы по модели
Ландау имеем
E(t. p) = E0U>) + bE(t. p).
где
J
Ф(р,
wl(t, p) — неравновесная добавка к функции распределения,
обусловленная полем,
w(t, p) = wo(p) + wl(tt р),
Ф(р, р') — функция корреляции между электронными состояниями.
Совершенно аналогично описанному выше, получается квантовый
линеаризованный «интеграл межэлектронных столкновений», который
разлагается в ряд по полю и по Д£, причем ряд ограничен линейными
приближениями. Кроме того, полученный ранее интеграл электронно-
фононных столкновений теперь дополнительно надо разложить по Д£.
В результате для поглощательной способности металла в случае
изотропной поверхности Ферми получено выражение
Л (v+v
312 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
где
Y(Pf)= J
dSP'—элемент сферической поверхности радиуса р\ а(р)—
скорость электрона,
v^(7) — «классическая» частота столкновений между электронами.
Общее приближенное выражение этой частоты было рассмотрено
на стр. 224 (формула (10.49)), где.было показано, что v™
пропорциональна Г2. Следовательно, квантовая добавка не зависит от
температуры.
Рассмотрение межэлектронной релаксации с учетом модели Ферми-
жидкости дано также в работе Гейне [115].
Оценка частоты столкновений электронов со статистически
распределенными примесями (инородными ионами) не представляет
затруднений. Раз масса примесей много больше массы электронов, то
их можно рассматривать как неподвижные рассеивающие центры,
причем рассеяние происходит по центральному закону, и для
электронов при рассеянии выполняется закон сохранения энергии, но не
выполняется закон сохранения импульса. Тогда кинетическое
уравнение типа (10.41), но с симметрией Ферми, примет вид (С —
концентрация примесей в единице объема)
(13.27)
и оценка времени релаксации дается формулой (см. формулы (10.43)
и (10.48))
~h= /(W J J WP-P'WW^-K^^PWptp'- (13.28)
Следует обратить внимание, что в уравнении (13.27) и формуле (13.28)
нет ограничений, связанных с принципом Паули. Интегрирование по рг
благодаря наличию дельта-функции фактически проводится по сфере
радиусом р. Результат этого интегрирования, как мы уже отмечали
на стр. 224, грубо можно представить в виде
:^ = -(2§F J Sufh(P)dP = lCSuF J
где и — средняя скорость электронов, приближенно равная -^ uF%
S — эффективное сечение рассеяния электрона на примеси, задаваемое
выражением вида (10.50), но с учетом отличия заряда примеси от
§ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 31Э
заряда электрона. Величина f ц (Е) п0 (£) dE есть относительное число
занятых состояний одного спина. Это число не изменяется с
температурой. Поэтому эту величину можно написать для 7 = 0, т. е.
в виде Г х\ (Е) dE. У металлов плотность состояний во внешней за-
о
нятой s-полосе очень слабо зависит от п. Поэтому в случае металлов,
у которых электронами проводимости являются s-электроны, можно
положить
(см. стр. 225).
В работе Кошино и Сигехару [142] рассмотрена поправка к этому
выражению на учет тепловых колебаний примеси. Как и следовало
ожидать, поправка пропорциональна температуре.
§ 14. Диффузия в металлах
1. Общая постановка задачи. В настоящем параграфе излагается
предложенный автором [156] гиатематический формализм, удобный
для описания процессов атомной диффузии в металлах и сплавах,
а также смежные вопросы.
С самой общей («гидродинамической») точки зрения процесс
диффузии, т. е. перенос массы (перераспределение вещества) в
пространстве определяется макроуравнением непрерывности среды (см.
уравнение (9.21)):
•у = — <Hv/. (14.1)
С точки зрения теории диффузии вся задача заключается в
нахождении явного вида выражения для J через характеристики
микроскопической теории.
Феноменологическая теория, как известно (см., например, [157]),
для J дает выражение
t
(5=1
дФ , ч
где g понимаемая в широком (термодинамическом) смысле
«сила», являющаяся причиной данного процесса переноса, £а« — так
называемые кинетические коэффициенты. Использование этого
выражения сводит задачу диффузии к исследованию явного вида
коэффициентов La, если известна причина, вызывающая данный процесс
314 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
/ дФ \
переноса 1т. е. известна «сила» g—I. В частном случае, когда
причиной является наличие градиента вещества~ (-^- ф 0),
формула (14.2) сводится к первому уравнению Фика:
0=1
а подстановка (14.3) в (14.1) дает второе уравнение Фика:
Daa — коэффициенты диффузии; в изотропном случае Da^ = D.
Для нахождения явного вида £>ар (или D) необходимо ввести
модельные представления о структуре вещества и микроскопическом
механизме явления.
Металлы обладают кристаллической структурой, т. е. узлы
кристаллической решетки являются центрами равновесного положения атомов,
совершающих тепловые колебания при заданной температуре Т. Если
бы структура была идеальной, без нарушения геометрии решетки и
(главное) с полным заполнением всех узлов атомами, то
колебательное движение атомов строго описывалось бы в гармоническом
приближении; потенциальная энергия каждого атома имела бы форму
параболической ямы с дном в данном узле и со стенками, имеющими
бесконечную высоту на растояниях порядка радиуса первой
координационной сферы. В такой модели процесс диффузии происходить
не может. Процесс диффузии обусловлен наличием при данной
температуре некоторого числа вакантных узлов, благодаря чему
колебательное движение атомов, расположенных по соседству с
вакантным узлом («дыркой»), описывается в ангармоническом приближении,
и потенциальная энергия этого атома всюду имеет конечную величину
на линии, соединяющей атом с дыркой. Благодаря этому возможен
перескок атома в соседний вакантный узел («вакансионный механизм
диффузии»).
Итак, модель структуры вещества следующая. При данной
температуре Т имеется идеальная во всех отношениях кристаллическая
структура, за исключением наличия некоторого числа вакантных узлов
(дырок).
Относительно микроскопического механизма явления принимается
ряд модельных допущений, одно из которых является основой
теоретического рассмотрения диффузии.
Заметим, что если отсутствуют внешние силы, то процесс диффу-
8ии является чисто релаксационным процессом, величина Ф в фор-
§ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 815
муле (14.2) есть одна из характеристик системы; в процессе диффузии
она изменяется, стремясь к своему равновесному значению,
постоянному в пространстве и времени, т. е. конечным итогом процесса
будет обращение в нуль потока J. Следовательно, определяющей
процесс характеристикой будет неравновесная характеристика (такой
может быть, например, концентрация данного вещества или
температура как функции пространства и времени). Однако все
характеристики системы взаимосвязаны — изменение одной из них обязательно
вызывает изменение остальных. Основное модельное допущение,
касающееся механизма диффузии, заключается в том, что в процессе
диффузии система проходит через совокупность состояний, каждое
из которых характеризуется квазиравновесными значениями всех
(кроме Ф) характеристик системы, соответствующих данному
текущему значению Ф, рассматриваемому (условно) как равновесное
значение. Физически это означает, что характерные масштабы
изменения Ф во времени много больше времен релаксации всех остальных
характеристик к своим квазиравновесным значениям. Поскольку
в процессе диффузии величина Ф различна в разных
пространственных точках, то и указанные квазирав-новесные значения характеристик
системы будут функциями пространственной точки. Только в частных
случаях, когда начальное отклонение Ф от своего равновесного
значения мало, принимается, что все остальные характеристики постоянны
во времени и пространстве (в таких условиях рассматривается,
например, процесс самодиффузии и химической диффузии, т. е. процесс
миграции в металле ничтожного числа инородных атомов).
Правомочность такого допущения оправдывается хорошим
совпадением построенной на его основе теории с опытными фактами.
В этой теории, таким образом, все параметры, кроме Ф, считаются
равновесными характеристиками, которые можно определить из
термодинамических соотношений.
Следующее модельное представление касается элементарного акта
диффузии — уже описанного на*Й1 перескока атома в дырку. Из
сочетания таких элементарных актов и складывается весь процесс
диффузии. Перескок атома в дырку определяется вероятностью
нахождения по соседству с атомом дырки и вероятностью для атома
преодолеть потенциальный барьер1). Согласно описанному выше
допущению, обе эти вероятности определяются равновесными параметрами.
Каждой температуре Т соответствует определенное равновесное число
дырок. Это соответствие выражается больцмановским множителем:
*) Более усложненную модель предложил Райе [160, 161]. Кроме
указанных выше вероятностей, он учитывает также вероятность того, что в
результате хаотического теплового движения другие атомы могут «помешать»
перескоку, случайно увеличивая эффективную величину потенциального барьера.
316 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
где Pg— вероятность образования дырки в системе; Eg— энергия,
требуемая для образования одной дырки; k — постоянная Больцмана.
Энергию Eg по порядку величины можно приравнять энергии
сублимации (отнесенной на атом). Установлено (см., например, [159]), что
при всех температурах ниже температуры плавления равновесное число
дырок ng много меньше числа узлов в кристаллической системе N,
т. е. концентрация дырок много меньше единицы:
Оценки дают cga* 10~~3—10~4. Таким образом, в любом
макроg
объеме V (с числом узлов N^>\) число дырок ng много меньше
числа атомов NA(NA = N — ng), так что корреляциями между
положениями дырок можно пренебречь и рассматривать дырки как
«разреженный газ» (следует помнить, что в макрообъеме V всегда fig^$> 1.
хотя ng<§^N). Такая модель очень удобна для исследования
статистическими методами. Прежде всего, тогда можно положить, что
дырки в макрообъемах распределены статистически равномерно, и
вероятность нахождения дырки в каком-либо узле по соседству
с атомом равна с(\—cf (z — координационное число, т. е. число
ближайших соседей, множитель (1—с) дает вероятность отсутствия
по соседству с дыркой другой дырки; здесь, по существу, использо-
п
вана основная аппроксимация модели разреженного газа Fn= Ц Рг (/)).
Далее, всякий перескок атомов связан с перескоком в обратном
направлении дырки. Поэтому формально можно проследить за
потоком дырок (что в модели разреженного газа не представляет
затруднений) и лишь из конечных результатов сделать выводы о
поведении потока атомов.
Однако следует помнить, что рассмотрение потока дырочного газа
является формальным приемом (на удобство такого формального
приема впервые обратил внимание Пинес [158]). Фактически при
заданной температуре во всех пространственных точках поддерживается
условие квазистатичности, т. е. концентрация дырок определяется
в равновесных условиях. Только в случае эффекта Киркендала можно
говорить об истинном потоке дырок, но и при наличии этого потока
концентрация дырок во всех точках определяется равновесными
значениями. Поэтому в конечных результатах все производные по
времени и по пространственным координатам от концентрации (или
плотности распределения) дырок следует приравнять нулю, учитывая при
этом соотношения:
дс№ дс я дсо
1 +++°
§ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 317
где сА, св, ... — концентрации атомов различных сортов, из которых
состоит система. В результате получается информация о потоке атомов.
2. Самодиффузия в чистом металле. Рассмотрим по этой схеме
самодиффузию в металле. Зададим условно наличие неравновесных
условий для распределения дырок. Тогда дырочный газ подчиняется
уравнению неразрывности
до „.
где р^ — вероятностная плотность дырок,
пя N N \
(cg — концентрация дырок), Jg—плотность потока дырок.
Для нахождения явного вида Jg зададимся, не нарушая общности
результатов, упрощающими условиями и конкретной кристаллической
структурой.
Положим, что возможные изменения концентрации происходят
только вдоль координатной оси х, и по этому же направлению
действуют возможные внешние силы. Тогда все производные по у и z
входить в результаты не будут, и
dp 6J
так как 7^ = 7| = 0. Примем также, что решетка обладает объемно-
центрированной кубической структурой.
Обозначим координаты некоторого рассматриваемого узла через О
(начало координат), а координаты всех восьми ближайших соседей
занумеруем произвольным образом. Тогда поток дырок в точке О
(отнесенный к единице объема) представится как баланс всех
возможных «потоков» из узла 0 в восемь узлов ближайших соседей и
обратных «потоков» из этих узлов в узел 0:
^=S1{P,(*)e^ + P,(0)aJ,}. (И.5)
где и*0 и uxs — составляющие по оси х скоростей соответствующих
«потоков». Эти скорости суть средние скорости перескоков дырок
между соответствующими двумя узлами.
Очевидно,
гх гх
,,х _ 1£2 „г — Os
U U
причем r£5 = — rxs0. Здесь rxsQ — составляющая по оси х вектора
е началом в узле s и концом в узле 0; т^ — время жизни дырки
318 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
в узле 5 по отношению к перескоку в узел 0. Вероятность
перескока дырки (за единицу времени) из узла s в узел 0, т. е. 1/т^,
образуется из вероятности нахождения в узле 0 иона, равной сА(0),
и вероятности преодоления потенциального барьера, равной wsQ =
= v5Oexp(—Qso/kT). В однородном металле с кубической структурой
решетки величины v и Q не зависят от номеров узлов. По
определению, можно ввести понятие времени жизни дырки в узле при
условии, что все восемь ближайших соседей заняты ионами:
Y = Sw, т = -^- при cA(s)=l.
Таким образом,
8
Полагая, что р^ и сА медленно меняются в пространстве (мало
меняются на расстояниях порядка постоянной решетки), можно
написать
(14.6)
(14.7)
дс А (0) до (0)
Учитывая, что согласно (14.4) р^(0)—^—=cg(0)
имеем
dpg(O)
= ЬЫП)2<а(0)
Для объемноцентрированной кубической структуры при четырех
значениях s значение rxsQ равно а/2 и при других четырех
значениях 5 значение rjo равно —а/2. Следовательно,
ldog \
Учитывая теперь условие квазистатичности l-g— =0),
формально получаем для потока вещества
где по определению, D = a2cg/4x — коэффициент самодиффузии (или
D~2a2cg/x'9 где %г — время жизни дырки относительно перескока
§14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 319
/ Ф*
в какой-либо один узел, т =8т). Но (так как се-\-сА = 1 и ^А=
\ « А ох
для однородного металла имеем тождественно —р*-=0, т. е. поток
массы отсутствует.
В условиях опытов применяют радиоактивные изотопы,
подвижность которых (характеризуемая величиной т) считается такой же,
как и у неактивных изотопов. Тогда (звездочкой отмечены
величины, характеризующие радиоактивные изотопы, нулем — неактивные
изотопы)
Ох
Полный поток по-прежнему равен нулю. Но существует поток-
радиоактивных изотопов
доступный измерению и, следовательно, могущий служить для
определения D.
3. Диффузия в бинарной системе. В случае бинарной системы
нахождение явного вида Jg надо произвести заново, используя в
качестве исходного выражение (14.5). Учтем, что теперь
где т^ — время жизни дырки в узле s по отношению к перескоку
в узел 0 при условии, что в этом узле находится ион сорта / с
вероятностью, определяемой концентрацией ионов сорта /. Энергия
активации Q для перехода и множитель v будут различными при
/=1 и / = 2.
Аналогично случаю однородного металла, напишем
так что
8тО> 1 8т(2)
аналогичное выражение получается для u*s. Производя аналогичные
выкладки, получаем
320 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
Вводя, по определению, коэффициенты диффузии в данной
системе для каждого компонента /:
приближенно принимая -g—=0 и учитывая условие (14.8), из
которого с.
дырок
9лх дРл,
рого следует -g-1- = g-^-, окончательно получим для потока
Если Dt Ф D2, то и в отсутствие внешнего силового поля при
наличии градиента концентрации компонентов происходит
квазистатический поток дырок, т. е. имеет место обратный по направлению
перенос того компонента /, Dt которого больше (эффект Киркендала).
Таким образом, в этом случае происходит, во-первых, процесс
диффузионного выравнивания концентраций компонентов,
определяемый уравнениями (если считать Dx > D2)
. —п > *
Этот процесс аналогичен процессу диффузионного выравнивания
концентрации радиоактивных изотопов в однородном металле, но только
интенсивность процесса для одного из компонентов теперь
характеризуется не собственным коэффициентом диффузии, а коэффициентом
диффузии второго компонента.
Кроме этого процесса, происходит еще стационарный процесс
/ фл \
[при котором всюду, кроме границ, —^- = 01 переноса массы
первого компонента. Этот процесс определяется первым членом правой
части уравнения
Д%i--D2-^. (14.9)
Интенсивность этого процесса определяется коэффициентом (Dx—D2).
Следует заметить, что в приведенном для бинарной системы
выводе сделано упрощающее предположение о том, что можно написать
1 сА (0)
Время жизни 8т(/) относительно перескока атома в узел, с
достоверностью занятый атомом сорта /, определяется условиями тепловых
§ 14] ДИФФУЗИЯ Й МЕТАЛЛАХ 321
колебаний атомов (некоторой характерной частотой колебаний v(/))
и вероятностью преодоления потенциального барьера ехр(—
где Q(/)—высота потенциального барьера (энергия активации для
диффузии атомов сорта 1% отнесенная к одному атому), т. е.
где у — структурный множитель.
Таким образом, форма записи (14.10) означает предположение
об отсутствии зависимости v(/) и Q(/) от пространственного
распределения узлов 5 и 0. Однако такое допущение справедливо не всегда.
В общем случае необходимо (14.10) записывать в форме
4 (14.11)
и при составлении «баланса потоков в точке» учитывать изменение
vio и Q1S от точки к точке. Эта программа выполнена в работе
автора и Чудинова [225].
Рассмотрим снова бинарную систему, состоящую из атомов сорта
А и В (твердый раствор), в решетке с объемноцентрированной
кубической структурой. Пусть отличны от нуля только потоки вдоль
ОСИ X.
Рассмотрим формулу (14.5), которую с учетом разложений (14.6)
и (14.7) запишем так:
я я
«£«2р,<о){«ь+*}+2'&-^«5г (14Л2)
5 = 1 5=1
Если пренебречь -j£- (уточнение см. стр. 325) и считать
&сп дс л
-"з-£- = -^, са~*гсв—^* т0 формула (14.12) примет вид
ох ох
5=1 5=1
так как /& = —г*.
В формуле (14.13) четыре узла лежат слева (по оси х) от узла 0
и четыре узла — справа. Процессы перескоков для каждой четверки
узлов происходят в одинаковых физических условиях. Поэтому
обозначим «типичный».узел слева через s== 1 и «типичный» узел справа
через 5 = 2, причем rfo = -~f r£0 = — у. Тогда формула (14.13)
21 К. П. Гуров
322 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. Ш
примет вид
Ji=2apg(0)lU Ц — U -Н. (14.14)
В бинарной системе следует различать обмен местами дырки
с атомами разного сорта, так что
1 1,1
т10 т10 т10
где т^— время жизни дырки по отношению к скачку в узел О
с обменом местами с атомом сорта А; аналогичен смысл xfQ.
Согласно (14.11)
Имеем
а дсАф)
ъ-£г-
Величина v£x определяется условиями тепловых колебаний атомов
сорта Л в узлах слева от узла 0, так что можно написать y^=v<A(l).
Тогда
a dv,(0)
Как будет показано на стр. 333, для чистых металлов Q можно
оценить в гармоническом приближении
где у' — безразмерный множитель, зависящий только от структуры
кристаллической решетки и универсальных физических констант.
С требуемой точностью это соотношение имеет место и в
рассматриваемом случае бинарной системы, только теперь F будет не
постоянной, а функцией пространственной точки:
Тогда, очевидно,
А a
От = FA(2) = Fa(0)~2
§ 141 ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 323
В результате формула (14.14) примет следующий вид:
Jxg = 2aPg (0){ ехр (- РА (0)/*7) сА (0) vA (0) [ехр (- ~
а дРл(0)\\ а
tJ\ + -2
| ехр (- FB (P)/kT)£ ieB(0) vB (0)] • [ехр (-
= - 4арг (0) { ехр (- FA (0)/кТ) сА (0) vA (0) sh (
+ exp {-FB (0)/A7) cB (0) vB (0) sh (^ -^
- exp(- FA (0)/kT) -^ [cA (0)vA (0)] ch
- exp (- FB (0)/kT) ^ [cB (0) vB (0)] ch (
a d, a dFR
По условию задачи величины ^r-= .л и "nyf—^- много меньше
a dF, a dFR
единицы. Поэтому в линейном приближении положим sh zmz, chzzal.
Тогда
(-FA(O)/kT)[cA(O)vA(O)^
_ дсл (О)
(0) vB(0) X
Можно написать (учитывая, что в нашем приближении сА-{-св= 1,
дх дся дх * дх дсо ШГ'
дРв дс
в
324 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. Ш
В результате получаем:
J*A (0) = - 2а\ (0) cg (0) ехр (- Рл ф)/кТ) ^j~ X
1
дсА kT дсА
(0) = - 2а\в (0) cg (0) ехр (- FB (0)/kT) -%^- X
здесь учтено равенство pgcA =
Из феноменологического определения D по формуле (14.3)
получаем, что парциальный коэффициент диффузии равен
ИЛИ
где
Од = 2a2cgvA ехр (— Q^T). (14.16)
С учетом изложенного для случая самодиффузии очевидно, что D*
можно рассматривать как коэффициент самодиффузии атомов А
в силовом поле, тождественном с условиями в точке 0 в имеющемся
составе.
С другой стороны, феноменологическая теория дает (см.,
например, [158]):
где уА— активность компоненты А в системе. Сравнивая формулы
(14.15) и (14.16), получаем:
д In у * д In v
А — г А
— = с
д\псА л дСл kT дсА .
или
д In y л д In v. 1 дО А
'Л А х А
осА осА kl осА
Отсюда
§ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 325
Случай сА =г 1 означает чистый металл. Но для чистого металла Ул = !•
Таким образом,
In уА (сА) = In [т^рпу] - W &л (<*) - Ял ('а = 1)Ь
ИЛИ
Итак, мы получили микроскопическую расшифровку
термодинамического понятия активности.
Легко показать (см. стр. 329), что учет в формуле (14.12)
Ф„ Р„ дЕ дсА
члена -р , равного —-^ -^ -gj, приводит к формуле (14.15), но
А
в которой FA = QA — Eg. Соответственно изменяется выражение для
активности уА.
4. Электроперенос. Рассмотрим подвижность дырок в
однородном металле в случае наличия внешнего электрического поля Е,
направленного по положительному направлению оси х. На ионы
в поле действует результирующая сила F действия поля и действия
«электронного ветра» — электронного тока, созданного полем.
Следуя Френкелю [163], положим, что наличие силы не меняет
в выражении
частотный множитель vs0 = -gV, но изменяет энергию активации
х
£-F9 так что
*50 А ч
С учетом этих изменений рассмотрим выражение (14.5) для
326 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
Произведем суммирование по узлам, учитывая, что rj)(= — ros)—
= ± -Ц- . Тогда получим
aF\ а2 ф^ laF\ а2 дс я f aF
Учтем условие квазистатичности, из которого для однородного
Неметалла следует также -jf- = 0. Тогда для потока ионов получим
(учитывая, что pgcA = CgpA, /д = —</£):
т. е. в чистом металле при наложении внешнего электрического поля
возникает квазистатический поток массы.
Описанный метод исследования, таким образом, показал, что
поток массы в чистом металле обусловлен тем, что
результирующая сила поля и «электронного ветра» стремится «выгнать» дырки
из кристалла, что приводит к квазистатическому потоку дырок.
Сами же по себе ионы в атомных узлах в идеальном кристалле
должны оставаться в механическом равновесии при наложении
электрического поля
Если в условиях опыта применяются радиоактивные изотопы
Й) ^)' то имеем
Первый член справа в формуле (14.17) описывает перенос массы
за счет результирующей силы F. Второй член соответствует
диффузионному выравниванию концентрации радиоактивного изотопа,
причем в этом члене гиперболический косинус указывает на
корреляцию влияний неравномерности распределения изотопов и силового
поля^
Однако в реальных условиях -j- не может быть больше kT%
так кам»в противном случае механизм электропереноса определялся бы
не диффузионной подвижностью атомов. В осуществляемых опытах,
aF .„
как правило, —j-<^.kTt поэтому
-D-—-. (14.18)
Таким образом, мы пришли к известному соотношению Эйнштейна.
Формула (14.18) показывает, что в рассматриваемом
приближении отсутствует корреляция между диффузионными потоками за счет
электрического поля ц неравномерности состава (по объему).
§ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 327
Следует также обратить внимание на то, что, вопреки мнению
некоторых авторов [184], наш вывод показал, что в соотношение
Эйнштейна не должен входить какой-либо дополнительный
структурный множитель. Влияние структуры кристаллической решетки
учтено в выражении коэффициента диффузии D.
В принятом приближении (aF/4<^kT), в отсутствие корреляции
между действием неравномерности состава и действием силового
поля, обобщение на случай бинарной системы производится
автоматически. Здесь силы, действующие при перескоке дырки в узлы,
занятые ионами разного сорта, не равны между собой, Fx ф F2. Для
переноса массы получим
fx_9AlDlFl 9AD2F2
Для потока ионов одного сорта имеем
Такое же выражение будет и для потока радиоактивных изотопов:
б. Термодиффузия. Рассмотрим процесс диффузии в наиболее
общем случае — для бинарного твердого раствора при наличии как
градиента концентрации, так и градиента температуры.
Исходное выражение для составления потока дырок остается
прежним:
и, как и раньше, преобразуется к виду (индексы аир обозначают
узлы, соответственно «слева» и «справа» от узла 0):
( I 1 1 1 1 др*(О) f 1 11
,£(0) = 2арЛ0) 1 _a2j^H — + — .
Для бинарной системы по-прежнему
т0а т0а т0а
4" = Ус л («)vA («) ехР (- fa
т0а
Можно полагать, что и в условиях термодиффузии величину FA(a)
можно определять в гармоническом приближении. Тогда —■£-==—j-.
та0 тр0
328 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. Ill
Заметим, что функции v и F зависят от состава и, следовательно,
в принципе, эти функции зависят от температуры, так как
сл + св + ^= 1 и в то же время равновесная концентрация дырок cg
есть функция температуры. Однако в рассматриваемом диапазоне
температур зависимостью v и F от изменения числа дырок при
изменении температуры можно пренебречь. Здесь ситуация точно такая
же, как в проблеме зависимости от температуры дебаевской
характеристической температуры. Поэтому в нашей задаче функции v и F
можно считать только функциями состава. Это учитывается при
разложении указанных функций в ряды:
а dvA(0) дся(О)
А
2 дсА дх
(О)
В результате получим
кТф)\\ 2сАф) дх
dvA(0) дсА(О) a dFA(0) дсАф) aFA(0) дТ(0)
дсА дх ^ 2kT (0) дсА дх 2kT2 (0) дх
Аналогично
a dvA(0) дсА(О) a dFA(0) дсА(О) aFA(0) дТ (0) 1
^ 2vA(0) дсА Yx 2kT (0) дсА ^~1Гх *" kT2(0) дх Г
Заметим также, что в гармоническом приближении
ТА ГА
Т„л Тип
Итак, мы получили:
1 1 <?ул(0) ,1 dFA(0)'\dcA(0) 7^(0)(0)
сА(0) у>Аф) дсА kT(0) дсА J дх + kT2(0) d* Г
j
§ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 329
др„ (0)
Преобразуем теперь выражение для —| . Заметим, что
равновесная плотность дырок задается выражением
pff(0) = const. ехр[ — -jf^j. (И.19)
где Eg—энергия образования одной дырки в заданных условиях.
Эта энергия есть функция состава и (в принципе) температуры.
Однако по указанным выше причинам зависимостью от температуры
будем пренебрегать. Тогда
dpg(O) __ Pg(0) dEg(0) дсАф) pg(0) дТф)
дх kT (0) дсА дх ' kT2 (0) дх '
Таким образом, (здесь учтено, что pg(O)cA(O) = cg(O)pA(O));
, д[Еяф)-ГАф)
д9вф)
kT2 (0) дх ] '
где величина
DA (0) = 2уa?cg (0) vA (0) exp |—
есть коэффициент диффузии атомов сорта А в пространственно-
однородной системе, тождественной по составу и температуре с
условиями в точке О в рассматриваемой системе.
Отсюда для потока атомов сорта Л получаем
-Рл(0)
Аналогичное выражение получается для потока атомов сорта В.
Проанализируем это выражение. Рассмотрим предельный случай
чистого металла (все градиенты по составу равны нулю, сА = \,
£в = 0, рА = —, где v—объем, приходящийся на один атом в дан-
Ной кристаллической структуре). Выражение для потока атомов будет
330 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
тогда иметь вид
DA \Е„ф)— FA (0)1 дТ(0)
Ja W = ~ JT
Такое выражение для случая чистых металлов было получено рядом
авторов [226—231]. Из выражения видно, что, во-первых, в случае
термодиффузии в чистых металлах имеется нескомпенсированный
поток дырок и противоположный ему поток атомов, т. е. имеет
место явление, аналогичное эффекту Киркендала; во-вторых,
величина и направление потока определяется сравнительной величиной Eg
и FA, т. е. имеются два конкурирующих потока. Физически это
понятно. Рассмотрим два соседних узла а и р и пусть Г(а)>Г(р).
Тогда равновесная концентрация дырок согласно формуле (14.19)
будет больше в узле а. В связи с этим должен доминировать поток
атомов от р к а. Интенсивность этого потока определяется
величиной Eg. С другой стороны, атомы, находящиеся в узле а, имеют
большую вероятность преодолеть потенциальный барьер, чем атомы,
находящиеся в узле р. По этой причине поток должен доминировать
в направлении от акр. Интенсивность этого потока определяется
величиной FA. Эти два потока конкурируют между собой и
направление результирующего потока зависит от сравнительной
величины Eg и FA.
В случае бинарной системы результаты усложняются. Направление
и величина нескомпенсированного потока дырок (а следовательно, и
атомов) определяется теперь не только значением (Eg — FA), но и
производными по концентрации от величин \А vB, (Eg—FA) и (Eg~FB).
Нескомпенсированный поток дырок складывается из потока,
обусловленного наличием пространственного градиента концентрации
(чистый эффект Киркендала), и потока, связанного с чистой
термодиффузией, выражение для первого потока имеет вид
а для второго потока
-4+й£+*$е?1]}£.
6. Соотношение между энергией активации самодиффузии и
дебаевской характеристической температурой. На стр. 322 мы
отметили, что Q0<y можно представить как функцию точки s. В
настоящем разделе это показано при рассмотрении связи между Q и
дебаевской характеристической температурой 0,
§14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 331
При переходе атома из равновесного положения на вершину
потенциального барьера потенциальная энергия системы изменяется как
непрерывная монотонная функция величины смещения атома из
положения равновесия. Поэтому если считать расстояние от равновесного
положения атома до вершины барьера малой величиной,
потенциальную энергию системы при нахождении атома на вершине барьера
можно разложить в ряд Тейлора по степеням величины смещения и
ограничиться несколькими первыми членами ряда.
Приближенный вид потенциальной энергии системы
следующий [259]:
где Ф(|rt — гу|) — потенциальная энергия парного центрального
взаимодействия двух атомных остовов, мгновенные положения
которых определяются радиус-векторами гь и Гу, Ф(|/^— г\) —
потенциальная энергия взаимодействия атомного остова, находящегося
в точке г,-, с электронным зарядом, размазанным в пространстве
с плотностью р(г), причем эта плотность зависит от положения всех
атомов; множители перед знаком сумм получаются при усреднении
по всем возможным (в равновесных условиях) положениям п некор-
релирующих дырок в кристаллической решетке из N узлов (так как
n<^N; в дальнейшем эти множители мы будем считать равными
единице). Таким образом, величина рассматриваемого барьера дается
в нулевом приближении (все атомы, кроме одного, находятся в своих
равновесных положениях — узлах кристаллической решетки Rt)
следующей формулой:
N N
/=2 U /=2
U > D
N N
/=2
у, /si
U>t)
N
где гх — радиус-вектор точки, соответствующей вершине барьера.
Если считать величину |Дгх 1 = 1/*! — Rx\ малой, то члены в
написанной выше формуле можно разложить в ряды Тейлора. В результате
332 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
получим
N
или, учитывая соотношения
N
имеем
Итак
"^ '
где С — поправочные члены разложения третьей и более высокой
степеней по Arx. В этом разложении мы непосредственно
использовали результаты Бренига [164]. Согласно этому же автору, для
дебаевской характеристической температуры 0 имеем:
/=2
где р—множитель пропорциональности, зависящий от
кристаллической структуры, М — масса атома.
Таким образом, для высоты потенциального барьера получаем
выражение
$ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 333
Далее, положение вершины потенциального барьера зависит от
структуры решетки, поэтому можно положить (ДгЛ2 = р^а2, где а—
постоянная решетки, рх < 1.
Отсюда для энергии активации самодиффузии (на моль) имеем
где NA — число Авогадро.
Поскольку как множитель р~\ так и множитель р^ зависят только
от кристаллической структуры, то их можно объединить в один
структурный множитель, положив
Таким образом, для энергии активации самодиффузии
окончательно получается следующая формула, дающая приближенное
соотношение между этой величиной и дебаевской характеристической
температурой:
причем здесь учтено равенство
МИА
H
"л~ 1,008 '
где А — атомный вес рассматриваемого элемента, Мц — масса атома
водорода.
Возникает вопрос: насколько существенны в этой формуле
поправочные члены С? Если выбрать какую-либо конкретную
кристаллическую структуру, то можно установить численное значение
множителя Pj и выяснить быстроту сходимости ряда. Оказалось, например,
что для объемно-центрированной кубической структуры (&г = ]/~3/4)
ряд сходится довольно медленно; то же имеет место для гранецен-
трированной структуры. Поэтому законность пренебрежения
поправочными членами можно выяснить только на основе анализа опытных
данных.
В таблице дано сравнение опытных данных с вычисленными
значениями по формуле (14.21) для ряда металлов. В случае гране-
центрированной структуры у принято равным 6,7 • 10~10, а в случае
объемноцентрированной структуры у принято равным 9,9 • 10~~10.
Как видно из таблицы, теория дает вполне удовлетворительные
результаты, так что пренебрежение поправочным членом С вполне
обосновано. Физически это означает следующее. Если бы
кристаллическая структура была совершенно идеальной, т. е. полностью
отсутствовали бы дырки, то кривая потенциальной энергии любого
334
НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ
[ГЛ. III
Таблица
Металл
А1
Y-Fe
Y-Co
Ni
Си
Pd
Ag
Pt
Аи
Pb
Cr
a-Fe
Mo
Та
W
A
Я'108, см
Гранецентрированные
27,0
55,8
58,9
58,7
63,6
106,7
107,9
195,2
197,2
207,2
4,04
3,56
3,54
3,52
3,61
3,88
4,06
3,92
4,07
4,94
в, °к
кубические
390
415
385
375
315
273
212
225
170
88
Объемно-центрированные кубические
52,0
55,8
96,0
180,9
183,9
2,87
2,86
3,14
3,30
3,16
490
430
380
245
310
^эксп'
кал/г-атом
структуры
36 000
68 400
67000
66 200
46500
63 600
45 900
68 200
53000
27 500
i структуры
85000
60300
114000
110000
142000
^вычисл'
кал/г-атом
38 200
69400
62300
58300
46 800
68200
46000
86 600
53 800
22 200
84500
67600
114600
99200
148100
атома (в объеме) этой системы как функция точки имела бы вид
параболической ямы, «стенки» которой имеют бесконечную высоту
уже на расстоянии первой координационной сферы («гармоническое
приближение»). В таких условиях процесса диффузии быть не может.
Перескок атома обусловлен конечностью потенциального барьера,
что является следствием наличия по соседству дырки
(«ангармоничности» в условиях задачи). Однако истинная кривая отклоняется от
описанной параболы, только «на периферии» и в точке вершины
потенциального барьера это отклонение еще не велико. Именно
поэтому «гармоническое» приближение оказывается таким хорошим
приближением.
В работе Ощерина [165] на основе анализа большого числа
опытных фактов сделан вывод, что формула (14.21) является хорошим
приближением оценки Q по данным о других параметрах системы.
Следует обратить внимание, что в опытах измеряют Q-\-Eg;
однако Eg^£.Q. Именно поэтому формула (14.21) является хорошим
приближением.
7. Эффекты корреляции при диффузии1)- В любом опыте по
диффузии фиксируется результат окончательного («чистого»)
смещения определенного сорта атомов в определенном направлении.
Например, в опытах с мечеными атомами радиоактивный слой атомов
!) Общий обзор см. в работе автора [224].
§ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 335
наносится на одну сторону образца, а затем фиксируется появление
радиоактивных атомов на противоположной стороне образца. На
языке стохастической теории случайных процессов это означает, что
для рассмотренного явления существенным является асимптотическая
вероятность вида
Игл
т. е. вероятность перехода атома из точки гг в точку г2 за время to,
много большее характерного масштаба времени микромеханизма,
лежащего в основе наблюдаемого макропроцесса. Поэтому при
построении микроскопической теории диффузии в металлах, где
принимается вакансионный механизм диффузии, следует исходить из
рассмотрения не вероятности однократного скачка какого-либо
фиксированного атома в соседний вакантный узел в заданном направлении, а
вероятности такого же «безвозвратного скачка», учитывающей
вероятность всех возможных коррелятивных скачков между
фиксированным атомом и данной дыркой, предшествующих окончательному
(с точки зрения корреляции с данной дыркой) смещению атома
в заданном направлении. Вероятность (в единицу времени)
однократного скачка, как известно, задается выражением (в предположении
идеальной во всех отношениях кристаллической структуры, за
исключением того, что в решетке имеется некоторое число вакантных
узлов):
l (— Q/kT), (14.22)
где т — время жизни атома по отношению к однократному скачку,
с — равновесная концентрация дырок, v — частотный множитель,
равный по порядку величины частоте тепловых колебаний атомов
в кристаллической решетке, Q — энергия активации (на атом), В — чис-
ленный структурный множитель. Формально учет многократных
скачков за счет корреляции атома с одной и той же дыркой может
быть выполнен за счет введения в правую часть выражения (14.22)
дополнительного корреляционного множителя /.
Задача заключается в микроскопической расшифровке этого
множителя за счет одного возможного частного механизма корреляции.
Прежде всего следует отметить, что общепринятое выражение
(14.22) содержит допущение об отсутствии корреляции между
дырками. Такое допущение можно считать обоснованным, так как при
температурах 7\ когда происходит заметная диффузия (порядка
1000° К), равновесная концентрация дырок с имеет порядок величины
10"~3—10"~4 [159]. Отсутствие корреляции, например, означает, что
вероятность F2(Rt, Rf) нахождения двух дырок в узлах Rt и Rj
есть статистически независимое событие, такое, что
с2—Ю"6^ КГ8*
336 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
Отсюда вытекает важное следствие: вероятность нахождения Двух
дырок в соседних узлах пренебрежимо мала и всегда можно считать,
что дырки находятся друг от друга на расстояниях порядка 10—20
межатомных расстояний для данной кристаллической структуры.
Следовательно, если в некоторый момент времени фиксированный
атом окажется по соседству с дыркой, то в течение времени
Д£^т никакой другой дырки по соседству с фиксированным атомом
быть не может, а могут происходить лишь коррелятивные
последовательные скачки обмена местами между фиксированным атомом
и данной дыркой. Время Д* по сравнению с характерным временным
интервалом микропроцесса т велико, так что можно рассматривать
асимптотические вероятности в указанном в начале этого раздела
смысле.
Если некоторый атом с достоверностью совершил скачок в
соседний вакантный узел в заданном направлении, то последующие
корреляции между этим атомом и данной дыркой можно представить
себе в двух вариантах.
Во-первых, данная дырка за счет обмена местами с другими
атомами в течение времени Atx < At блуждает в окрестности
фиксированного атома и может по закону случая заново один или
несколько раз обменяться с ним местами. При этом, в зависимости
от местоположения дырки относительно фиксированного атома
перед очередным обменом местами, вероятность такого обмена
увеличивает или уменьшает общую вероятность смещения атома в
заданном направлении. Путем расчета вероятности всех возможных
блужданий дырки таким способом определяется соответствующий
корреляционный множитель. Эта задача рассмотрена в работах Маннинга
[172,173].
Во-вторых, раз атом с достоверностью совершил обмен местами
с дыркой, то это означает, что в результате тепловых флуктуации,
обусловленных взаимодействием между колеблющимися атомами,
он приобрел перед перескоком положительную энергию,
превышающую энергию потенциального барьера, т. е. величину Q (> 0).
Поэтому сразу после перескока при колебании .в новом положении
равновесия он в течение некоторого времени %' будет обладать этой
повышенной энергией. До тех пор, пока он не потеряет эту
избыточную энергию за счет взаимодействия с остальными атомами, он
может совершать маятникообразные перескоки в ту же дырку, при
условии, конечно, что дырка не уйдет из соседнего узла в
результате перескока в него другого атома. Рассмотрение этого типа
корреляции выполнено в работе автора и Чудинова [162].
Опишем подробнее этот процесс корреляции. Рассмотрим сначала
для простоты линейную цепочку атомов вдоль оси х с расстоянием
между атомами, равным а. Будем интересоваться чистым смещением
атомов вправо. Пусть фиксированный атом с вероятностью (отнесен-
§ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 337
ной к единице времени), равной Я, совершил прыжок вправо,
обменявшись местами с дыркой. По теории сложных вероятностей,
вероятность того, что атом за единицу времени совершит прыжок
вправо и затем вернется в исходный узел, равна РР\ где Рг —
безразмерная вероятность возвращения атома в исходный узел при
условии достоверности прямого перескока вправо. Следовательно,
вероятность того, что атом окончательно сместится вправо после
одного прыжка, равна Р(\— Pf). Из допустимости корреляции
следует учесть также вероятность того, что атом окончательно
сместится вправо после прямого прыжка вправо, затем возврата обратно
и, наконец, вторичного прыжка вправо. Это вероятность, очевидно,
равна Р(Р')2(1—Р'). Далее следует учесть вероятность прямого
скачка с последующими двухкратными маятникообразными скачками
назад и затем опять вправо. Эта вероятность равна Р(Р')4(\—Р').
Так последовательно нужно рассмотреть весь эффект последствия.
Кроме того, нужно вычесть вероятность всех тех скачков, которые
заканчиваются возвращением атома в исходный узел. Полная
вероятность смещения вправо при учете корреляции рассматриваемого
типа равна:
я=0
Величина Я(1—Р')/(\-\-Р') есть эффективная вероятность
перескока вправо за единицу времени; введем соответствующее ей
эффективное время жизни атома по отношению к истинному смещению
вправо:
1
Отсюда определяется корреляционный множитель
1-Я'
Найдем также явное выражение для Рг и дадим численную оценку
величины /.
Рассмотрим для этого подробнее физическую картину явления.
Пусть атом преодолел потенциальный барьер, получив перед этим
избыточную энергию. Можно сказать, что атом находится в
«возбужденном состоянии». Время жизни этого возбужденного состояния
малб, но конечно, и определяется скоростью передачи возбужденного
состояния от атома к атому. В первом приближении эту скорость
22 к. п.
338 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
можно принять равной скорости звука и. Таким образом,
Величина 1/т' есть отнесенная к единице времени вероятность того,
что атом потеряет избыточную энергию. Следовательно, вероятность
того, что атом потеряет за один период колебаний т0 избыточную
энергию, равна то/т', а вероятность того, что он за один период
колебаний останется в возбужденном состоянии (и, следовательно,
заново в обратном направлении сможет преодолеть потенциальный
барьер), равна 1 —то/т'. Однако, как уже отмечалось, чтобы атом
возвратился в исходное положение, необходимо также, чтобы за
время т0 дырка не ушла из этого узла, обменявшись местами с
другими атомами. Отнесенная к единице времени вероятность ухода
дырки из данного узла равна
Очевидно, что выражение 1/т" отличается от выражения 1/т
только тем, что в первом случае дырка с достоверностью находится
в определенном узле, а во втором случае ее нахождение в некотором
узле определяется вероятностью, равной с. Таким образом,
вероятность того, что дырка за один период колебаний не уйдет из
данного узла, равна 1 — ^. Отсюда получаем
Заметим также, что в силу данного определения 1/to = v. Итак,
■+(«-*)(■-*) *-£-«-»(-£
Для реальных трехмерных структур различие заключается в
конкретном численном значении В и величине межатомного расстояния а
(его связи с постоянной решетки).
Для ориентировочных численных оценок можно принять типичные
значения постоянных. Так, можно принять v = vD, где vD — дебаевская
частота, так что v« 1013 сек"1, а « 1СГ8 см, и ж 104— 10б см/сек,
Вж\, Q»1(T12 эрг/атом (Q«105 кал/моль), ехр(— Q/kT)a* 1СГ5.
Следует обратить внимание, что всегда £ехр(—Q/kT)<^u/av, так
что можно написать
а
§ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 339
Для u/av имеем оценку: я/av^O, 1— 1. Следовательно,
Итак, в частных случаях рассмотренный тип корреляции играет
заметную роль в микроскопическом механизме процессов диффузии
в металлах.
8. Общие замечания, В заключение настоящего параграфа
сделаем некоторые пояснительные замечания.
В термодинамике необратимых процессов постулируется линейная
дФ
связь между «потоком» J и «термодинамической силой» ^—.
Этот постулат подразумевает допущение о малости отклонения от
термодинамического равновесия в течение всего рассматриваемого
процесса. Критерий малости в рамках термодинамики не
конкретизируется; не расшифровываются также явные выражения для
кинетических коэффициентов Z,/;- (коэффициентов Онзагера). Практически
составление выражения для J в случае диффузии в рамках
термодинамики необратимых процессов проводится так. Опыт указывает
причину данного процесса диффузии. Такой причиной, например,
может быть наличие градиента концентрации вещества, -^- Ф 0.
Этой причине сопоставляются термодинамические силы и находится
явное выражение, связывающее соответствующие термодинамические
силы с -j-. При составлении явного выражения сообразуются
со вторым началом термодинамики и учитывают общие
термодинамические равновесные соотношения, применимость которых
оправдывается «малостью отклонения от равновесия». Тогда выражение для
потока принимает вид
з
Здесь <р(7\ Р, ...) — некоторая функция от равновесных
термодинамических параметров среды — температуры Г, давления Р и т. д.
Величина <р в зависимости от значения своих аргументов может сильно
изменяться по абсолютной величине и может даже менять знак. Именно
такие результаты анализа <р (7\ Р, ...) и являются основным
достоинством термодинамической теории диффузии.
Выводы термодинамической теории хорошо аппробированы опытом
для широкого круга дуффузионных явлений. Поэтому в
микроскопической теории диффузии постановка задачи не претендует на
большую ширину охвата явлений. Задача микроскопической теории — дать
расшифровку выражения /,/уф(7\ Р, ..♦)» исходя из молекулярно
кинетических представлений. При такой постановке задачи, очевидно,
22*
340 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
сохраняется основное допущение термодинамической
теории—допущение о малости отклонения от равновесия.
В формализме одночастичных функций распределения это
допущение будет иметь вид
I /i (*, г, р)
l
l/oftr.p)
/0(^, **> Р) — функция распределения в условиях пространственно-
локальных равновесий, fx(t, г, р)— неравновесная добавка; черта
сверху над fx означает усреднение по интервалу времени,
характерного для рассматриваемого макропроцесса диффузии; общая черта
сверху над всем выражением означает усреднение по всем р\ последнее
усреднение физически означает, что рассматривается относительная
величина пространственной флуктуации.
Расшифровка условия (14.23) очевидна: для его выполнения должна
быть мала или причина, вызывающая возмущение, или отношение
времени релаксации функции распределения к локальному
распределению к характерному интервалу времени макропроцесса диффузии.
Поясним это путем разбора двух примеров — случая диффузии
благодаря наличию градиента концентрации вещества
Пусть имеется бинарная система А—В и пусть DA>DB. Тогда
согласно изложенному выше в этом параграфе, в системе будет не-
скомпенсированный поток дырок и соответствующий ему нескомпен-
сированный поток в обратном направлении атомов сорта А. В
рассматриваемой схеме единственной возможной причиной возмущения
локального равновесия, имеющего место в каждой
кристаллографической плоскости, перпендикулярной к направлению процесса
диффузии, может являться только «некомпенсированный скачок» атома
сорта Л. Частоту таких скачков, приходящихся на одну вакансию
(дырку), обозначим через —.
хь
Формально для плотности нескомпенсированного потока дырок
можно написать
где ихь — составляющая по оси X (в направлении потока) «средней
скорости» переноса дырками возмущения. Очевидно,
где г* — составляющая по оси X среднего расстояния между
ближайшими соседями. В этом параграфе мы все рассматривали приме-
§ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 341
нительно к кубической объемноцентрированной структуре. Тогда
|г*| = •£"• Таким образом,
гх _ °*и
С другой стороны, согласно формуле (14.9) некомпенсированный
поток дырок при эффекте Киркендала равен
Приравнивая эти два выражения для Jxgt получаем
ИЛИ
apg дх
1 дрА 1 дсг
/ 1 дрА 1
1таккак f;-dF=7;
xb acg дх
Следовательно, при определении /х функцию fx надо усреднить
по только что определенному интервалу хь. Найдем выражение для /х,
учитывая, что это выражение можно рассматривать как полученное
по формуле (5.41а) для стационарного случая:
где ~ «скорость» частицы, имеющей энергию Е, хр(Е) — время
релаксации при энергии Е, т. е. характерное время рассасывания
возмущения, R — «статическая» сила, получаемая в результате
усреднения по интервалу %ь. Эта сила является причиной появления
неравновесной добавки fi к локально равновесной функции распределения /0.
Такое возмущение обусловлено тем, что в нескомпенсированных
перескоках участвуют только «нагретые» атомы, т. е. атомы, имеющие
энергию, большую или равную энергии активации (E^>Q). «Излишняя
энергия», приносимая при одном возмущающем перескоке, в
среднем равна
со со
J
xe~xdx
342 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. Ill
и, соответственно, средняя «лишняя величина импульса», приводящая
к неравновесности в распределении, равна
т — масса атома. Эта величина, деленная на хь, и будет статической
(усредненной по т^) силой возмущения. Следовательно,
Рх
rP _ У В лгп,ЬТ Ь
~T — ~W~V v-г-л/ ТГ-
К Ж V « (VJ V.
О О
Усредним это отношение по всем энергиям Е; тогда приближенно
получим (учитывая, что E = kT)
-V
Проанализируем это выражение.
Для процессов диффузии в металлах и сплавах Q всегда заметно
больше, чем kT(Q/kT« Ю-н 50). Поэтому единицей под знаком
корня можно пренебречь. Далее, в выражении для — разность
хь
DA — DB по порядку величины может изменяться от 0 до порядка
величины DA (DA — DB « 0 -г- DA). Учитывая точность опытов по
диффузии (при определении D эта точность составляет примерно 10%
от измеряемой величины), практически следует предположить, что
величина DA — DB лежит в интервале 0,1Ол-нОА. Тогда
Согласно изложенному на стр. 324,
D - a?cgvA ехр (— -ф) = a*cg. \.
где х — среднее время жизни дырки в узле. Следовательно,
где АсА — разность концентрации компонента А в двух соседних кри-
/а дсл\
сталлографических плоскостях I А^А ж а -^-1.
Итак,
§ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 343
©иыт показывает, что 1/ -£у-«(3-*-10). Следовательно,
С точки зрения этого соотношения требование выполнимости условия
.(I/i 1//о) ^1 * означает проверку интервала Ас, где это условие
выполнимо. Заметим, что значение Ас может меняться в интервале
0-*- 1, требуемое условие может наложить ограничение на значение Ас
только сверху. Поэтому рассмотрим наиболее неблагоприятный случай:
Задача сводится, таким образом, к оценке —.
Оценим 1. Имеем -^r~ 10-*-50, ехр(—
Следовательно,
Оценим хр. Как мы уже отметили, возмущение есть просто
пространственная флуктуация, связанная с появлением (или
исчезновением) излишних (против равновесного распределения) «нагретых»
атомов. Поэтому механизм рассасывания пространственной
флуктуации соответствует микроскопическому механизму решеточной
теплопроводности. Для ориентировочных оценок, таким образом, можно
положить
где / — характерный размер объема, приходящегося на одну
вакансию (/«10~7 см), ит — скорость решеточной теплопроводности
(ti~ 103-г- 104 см/сек). Таким образом,
т^Ю^-г-КГ11 сек,
откуда
Следовательно, условие
ХР 1Л-23 in-2
~ 10 — 10 .
выполняется при всех значениях Ас (0 < Ас ^ 1).
344 НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. III
Рассмотрим теперь случай термодиффузии в металлах. Здесь
ситуация несколько сложнее. Возмущение связано не только с
некомпенсированным потоком дырок (а следовательно, и атомов), который
согласно формуле (14.20), равен
J -Do E*~Q dT
но и с тем, что при обмене атомов из двух соседних слоев
(скомпенсированные встречные потоки) в среднем баланс переносимой
энергии не будет равен нулю. Действительно, как мы видели,
«нагретые атомы» при перескоках приносят с собой в среднем энергию,
равную Q-\-kT. В условиях наличия градиента температуры,
встречный обмен мест атомов из двух соседних кристаллографических
плоскостей приводит к следующему изменению энергии
(Q + кТг) -<Q + kT2) = k (Тг - Т2) ^ak^.
Дальнейшие оценки приводятся по описанию выше в схеме. Для
нескомпенсированного потока частота хь равна
1 рРл Eg-Q dT D Eg-Q dT
р =
x'b pg akT2 dx acg kT dx *
Для скомпенсированных перескоков частота хь равна частоте
перескоков атомов, т. е.
где т — время жизни дырки. Следовательно,
Т7ГГ л/"0~ Eg-Q dT хр a dT Чр
"7Г~ У ~kf kT* а!х"~-гТ*7х~~:
a dT
Анализ выражения аналогичен предыдущему. Слагаемым 1 в скобках
можно, очевидно, пренебречь. Величина Eg — Q имеет порядок
величины Q или несколько меньше (0,lQ-*-Q). Таким образом,
Q \8/* xD a dT
Как мы уже отмечали, (Q/kT)4* « 3^- 10, Т ж 1000° К. При анализе
условия
§ 14] ДИФФУЗИЯ В МЕТАЛЛАХ 345
рассматриваем наихудший вариант. Тогда будем иметь
где AT — перепад температуры на расстоянии а. Отсюда получаем
условие
Согласно нашим оценкам в наихудшем случае ^-«100. Следо
р
вательно, перепад температур должен быть не более примерно 10°К
на 1А, что является очень слабым (всегда имеющим место в
эксперименте) условием.
Эти примеры поясняют физический смысл условия
квазиравновесности процессов диффузии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н. Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории в статистической
физике, Гостехиздат, 1946.
2. Н. Н. Боголюбов, J. Phys. USSR 10, 257 (1946).
3. Н. H. Б о г о л ю б о*, К. П. Г у р о в, ЖЭТФ 17, 614 (1§47).
4. S. Chapman, Т. Cowling, The Mathematical Theory of Nonuniform
Gases, Cambridge, 1939. [Есть русский перевод: С. Чепмен, Т. Каулинг,
Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, I960.]
5. F. Neuman, Gottin. Nadir. 246 (1927).
6. S. К о с h, G. U h 1 е n b e с k, Thesis Univ. of Michigan, 1958.
7. E. Cohen, Physica 28, 1045 (1962).
8. E. Cohen, Physica 28, 1060 (1962).
9. E. Cohen, T. Berlin, Physica 26, 717 (1960).
10. L. P r i gо g i n e, R. В a 1 e s сu, Physica 26, 145 (1962).
11. H. Mori, Phys. Rev. 115, 298 (1959).
12. F. A n d r e w s, J. Math. Phys. 2, 91 (1961).
13. E. Cohen, Physica 28, 1025 (1962).
14. J. S e n g e r s, E. С о h e n, Physica 27, 230 (1961).
15. H. G r a d, J. Chem. Phys. 33, 1342 (1960).
16. H. H о 11 i n geг, С. С u r t i s, J. Chem. Phys. 33, 1386 (1960).
17. M. Born, H. Green, Proc. Roy. Soc. A188, 10 (1946).
18. H. Green, The Molecular Theory of Fluids, Amsterdam, 1952.
19. J. Yvon, Actualites, Scientifiques et Industrielles, Paris, 1935.
20. J. К irk woo d, J. Chem. Phys. 14, 180 (1946).
21. J. К irk wood, J. Chem. Phys. 15, 72 (1947).
22. J. К i r k w о о d, J. Ross, Proceedings International Sumposium on
Transport Processes in Statistical Mechanics, Brussels, 1956, N. Y., 1958.
23. J. R о s s, J. К i r k w о о d, J. Chem. Phys. 22, 1094 (1954).
24. J. Ros s, J. Chem. Phys. 24, 375 (1956).
25. S. Rise, J. Kirk wood, J. Ross, R. Zwanzig, J. Chem. Phys. 31,
575 (1959).
26. S. Rise, J. Chem. Phys. 31, 584 (1959).
27. G. Cole, Proc. Phys. Soc. 73, 713 (1959).
28. E. Cohen, Physica 27, 163 (1961).
29. M. Schonberg, Nouvo cimento 10, 419 (1953).
30. H. Frisch, J. Chem. Phys. 22, 1713 (1954).
31. Я. И. Френкель, Статистическая физика, Изд-во АН СССР, 1948t
32. С. Тс hen, Phys. Rev. 114, 394 (1959).
33. J. S a 1 m о n, J. phys. et rad. 23, 363 (1962).
34. M. Green, J. Chem. Phys. 20, 1281 (1952).
35. T. Koga, J. Chem. Phys. 23, 2275 (1955).
36. R. В rout, Physica 22, 509 (1956).
37. N. P h i 11 i p s, Proc. Phys. Soc. 73, 800 (1959).
38. F. Collins, H. Raff el, Advances Chem. Phys. I, 135 (1958).
39. V. Derr, Phys. Rev. 117, 1471 (1960).
ЛИТЕРАТУРА 347
40. Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 7, 203 (1937).
41. Т. К ih ara, J. Phys. Soc. Japan. 14, 402 (1959).
42. Е. Мб г е a u, J. S a 1 mо n, J. phys. et rad. 21» 217 (1960).
43. Т. С а г 1 e m a n, Problemes mathematiques dans la theorie cinetique de
gaz, Uppsala, 1957. [Есть русский перевод: Т. Карлеман,
Математические задачи кинетической теории, ИЛ, I960.]
44. А. Я. П о в з н е р, Матем. сборник 58, 65.(1962).
45. С. С е г с i g n a n i, Ann. of Phys. 20, 219 (1962).
46. К. П. Гуров, ЖЭТФ 18, ПО (1948).
47. E. D e s 1 о g, S. M a t h у a s, Amer. J. Phys. 28, I (1960).
48. E. Deslog, Amer. J. Phys. 30, 911 (1962).
49. J. I г v i n g, J. К i г k w о о d, J. Chem. Phys. 18, 817 (1950).
50. А. А. В л а с о в, ЖЭТФ 9, 25 (1945).
51. А. А. Власов, Теория многих частиц, Гостехиздат, 1950.
52. R. В а 1 е s с u, Phys. of Fluids 3, 52 (1960).
53. A. L e n n а г d, Ann. of Phys. 3, 390 (1960).
54. L. P г i gо g i n e, R. В a 1 e s с u, Physica 23, 555 (1957).
55. L. P г i g о g i n e, R. В a 1 e s с u, Physica 25, 281 (1959).
56. L. P r i g о g i n e, R. В a 1 e s с u, Physica 25, 302 (1959).
57. А. И. A x и е з e p, А. Г. С и т е н к о, ЖЭТФ 23, 162 (1952).
58. С. В. Тем ко, ЖЭТФ 31, 1021 (1956).
59. А. Е. Г л а у б е р м а н, ЖЭТФ 25, 560 (1953).
60. Е. D eslog, Phys. of Fluids 5, 1223 (1962).
61. A. D оu g a 1, L. Gо 1 d s t ei n, Phys. Rev. 109, 615 (1958).
62. К. П. Гуров, Вестник МГУ Nb 1, 135 (1947).
63. Л. Д. Л а н д а у, Zs. Phys. 45, 430 (1927).
64. Д. И. Блохинцев, J. Phys. USSR 2, 71 (1940).
65. Я. П. Тер л едкий, ЖЭТФ 7, 1290 (1937).
66. Ю. В. Гуриков, ЖФХ 37, 1455 (1963).
67. Ю. В. Г у р и к о в, ЖФХ 37, 2420 (1963).
68. М. А. Леонтович, ЖЭТФ 5, 211 (1935).
69. С. В. В о н с о в с к и й, ЖЭТФ 16, 908 (1946).
70. Д. И. Блохинцев, ЖЭТФ 17, 924 (1947).
71. Н. Н о 11 i n ge г, J. Chem. Phys. 36, 3028 (1962).
72. Л. Д. Ландау, ЖЭТФ И, 592 (1941).
73. К. П. Гуров, ЖЭТФ 20, 279 (1950).
74. R. Zelazny, Phys. Rev. 117, 1 (1960).
75. Е. Wigner, Phys. Rev. 40, 749 (1932).
76. Ю. Л. Климонтович, В. П. Силин, ДАН СССР 82, 361 (1952).
77. Ю. Л. Климонтович, В. П. Силин, ЖЭТФ 23, 151 (1952).
78. Ю. Л. Климонтович, В. П. Силин, УФН 70, 247 (1960).
79. Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 30, 1058 (1956).
80. R. Parmenter, Phys. Rev. 118, 1173 (1960).
81. R. Dorf man, Proc. Nat. Acad. Sci. (USA) 50, 804 (1963).
82. К. П. Гуров, ЖЭТФ 46, 1641 (1964).
83. Ю. Л. К л и м о н т о в и ч, С. В. Т е м к о, ЖЭТФ 33, 132 (1957).
84. В. П. Силин, ЖЭТФ 40, 1768 (1961).
85. В. П. Силин, А. А. Рухадзе, Электромагнитные свойства плазмы
и плазмоподобных сред, Госатомиздат, 1961.
86. В. Ц. Силин, ФММ 13, 180 (1962).
87. В. П. Силин, ФММ 11, 805 (1961).
88. В. М. Елеонский, П. С. Зырянов, В. П. Силин, ФММ 11, 955
(1961).
89. В. М. Елеонский, П. С. Зырянов, В. П. Силин, ЖЭТФ 42, 896
(1962).
90. О. В. Константинов, В. И. Перель, ЖЭТФ 39, 861 (I960)..
348 ЛИТЕРАТУРА
91. R. Balescu, H. Teylor, Phys. of Fluids 4, 85 (1961).
92. Ю. Л. Климонтович, Ю. А. Кухаренко, ФММ 19, 161 (1965).
93. С. В. Иорданский, А. Г. Куликовский, ЖЭТФ 46, 732 (1964).
94. А. Е. Глауберман, ЖЭТФ 31,218 (1956).
95. В. Л. Гинзбург, Г. П. Мотулевич, УФН 55, 469 (1955).
96: Г. П. М о т у л е в и ч, ЖЭТФ 37, 1770 (1959).
97. А. И. Г о л о в а ш к и н, Г. П. Мотулевич, А. А. Шубин, ЖЭТФ
38, 51 (I960).
98. К. П. Гуров, И. Е. Лексина, Н. В. Пенкина, ЖЭТФ 43, 1957
(1962).
99. J. G г е е п, М. М а п п i n g, Phys. Rev. 63, 203 (1943).
100. F. Hoar, В. Jates, Proc. Roy. Soc. A240, 42 (1957).
101. Z. M a t i a s s, Phil. Mag. 39, 429 (1948).
102. J. Rayne, Phys. Rev. 118, 1545 (1960).
103. G. Ray nor, Rep. Progr. Phys. 15, 173 (1959).
104. P. H. Гуржи, ЖЭТФ 33, 451 (1957).
105. P. H. Гуржи, ЖЭТФ 33, 660 (1957).
106. Р. Н. Гуржи, ЖЭТФ 35, 965 (1958).
107. Г. П. М о т у л е в и ч, ЖЭТФ 46, 287 (1964).
108. В. П. С и л и н, ЖЭТФ 33, 495 (1957).
109. В. П. Силин, ЖЭТФ 33, 1282 (1957).
ПО. В. П. Силин, ЖЭТФ 34, 707 (1958).
111. Т. Н о 1 s t e i п, Phys. Rev. 96, 535 (1954).
112. В. Л. Гинзбург, В. П. Силин, ЖЭТФ 29, 64 (1955).
113. A. Ron, Phys. Rev. 131, 2041 (1963).
114. L. Blum, J. Phys. Soc. Japan 16, 616 (1961).
115. V. H eine, Phil. Mag. 7, 775 (1962).
116. L. Prigogine, R. Balescu, I. Kriger, Physica 26, 529 (1960).
117. S. Simon, Phil. Trans. Roy. Soc. A253, 137 (1960).
118. J. Ford, Phys. Rev. 112, 1445 (1958).
119. P. Resibois, B. Leaf, Bull cl. Sci. Acad. Roy. Belg. 46, Mb 3, 148
(1960).
120. G. S a n d r i, Annals of Phys. 24, 332 (1963).
121. А. В. Соколов, Оптические свойства металлов, Физматгиз, 1961.
122. А. И. Осипов, Вестник МГУ, физика, астрономия, № 1, 13 (1961).
123. Б. И. Коган, Физика плазмы 1, 130 (1958).
124. L. Kadanoff, P. Martin, Annals of Phys. 24, 419 (1963).
125. Т. М u r a k a m i, J. Phys. Soc. Japan 16, 633 (1961).
126. J. Richardson, J. Math. Analysis a. Applic. 1, 12 (1960).
127. В. М. Ж Д а н о в, ПММ 26, 280 (1962).
128. L. Monchick, Phys. of Fluids 5, 1393 (1962).
129. L. W a 1 d m a n, Zs. Naturforsch. 18a, 1033 (1963).
130. L. Monchick, K. Jun, E. Meson, J. Chem. Phys. 39, 654 (1963).
131. J. К i r k w о о d, D. F i 11 s, J. Chem. Phys. 33, 1317 (1960).
132. O. Roos, Phys. Rev. 120, 1641 (1960).
133. S. N a k a j i m a, Progr. Theor. Phys. 20, 948 (1958).
134. R. H a r г i s, S. R i с e, J. Chem. Phys. 32, 538 (1960).
135. A. Aliant, J. Chem. Phys. 34, 409 (1961).
136. M. Offerhaus, Proc. Koninkl. nederl. akad. wet B64, 115 (1961).
137. L. Hoi 1. Annals of Phys. 20, 383 (1957).
138. Ю. Л. Климонтович, ЖЭТФ 33,982 (1957).
139. Ю. Л. Климонтович, Статистическая теория неравновесных
процессов в плазме, Изд. МГУ, 1964.
140. P. Resiboi.s, Phys. Rev. Letters. 5, 411 (1960).
141. О. Syu. «Proceedings International Simposium on Transport Processes in
Statistical Mechanics», Brussels, 1956, N. Y., 1958.
ЛИТЕРАТУРА 349
142. Ко s h i п о, S i ge h a r u, Progr. Theor. Phys. 24, 484 (1960).
143. И. Б. Александов, Ю. А. Кухаренко, А. В. Ниукканен, ДАН
СССР 149, 557 (1963).
144. H. Н. Боголюбов, К вопросу о гидродинамике сверхтекучей
жидкости, ОИЯИ, Препринт Р-1395, Дубна, 1963.
145. К. П. Гуров, Диссертация, МГУ, 1946.
146. В. А. С о л о в ь е в, Дипломная работа, МГУ, 1962.
147. Е. Meson, L. Мопс hick, J. Chem. Phys. 36, 1622 (1962).
148. К. Kawasaki, I. Oppengeimer, Phys. Rev. Letters. II, 124 (1964).
149. E. M с I г v i n g, Phys. Rev. 115, 1537 (1959).,
150. А. С. Давыдов, Квантовая механика, Физматгиз, 1963.
151. R. Р г а п g I, L. К a d a n о f f, Phys. Rev. 134, 566 (1964).
152. И. Б. Александров, Ю. А. Кухаренко, А. В. Ниукканен,
Вестник МГУ, физика, астрономия, № 1, 11 (1963).
153. L. W а 1 d m a n, Physica 30, 914 (1964).
154. Л. 3. Фишер, Б. Л. Копелович, ДАН СССР 133, 81 (1961).
155. М. Lewis, Phys. Rev. 134, 1410 (1964).
156. К. П. Гуров, ФММ 11, 496 (1961).
157. И. Пригожий, Введение в термодинамику необратимых процессов,
ИЛ, 1960.
158. Б. Я. Пин ее, Очерки по металлофизике, Изд. Харьковского ун-та, 1961.
159. И. Я. Дехтяр, УФН 62, 99 (1957).
160. S. Rice, Phys. Rev. 112, 804 (1958).
161. S. Rice, Phys. Rev. 113, 1455 (1959).
162. К. П. Гуров, М. Г. Чудинов, ФММ 20, 179 (1965).
163. Я. И. Френкель, Введение в теорию металлов, Гостехиздат, 1948
164. W. Brenig, Zs. f. Phys. 142, 163 (1955).
165. Б. Н. Ощерин, Phys. status solidi 3, № 2, K61 (1963).
166. I. Prigogine, P. Resibois, Physica 27, 629 (1961).
167. S. Rice, H. Frisch, Amer. Rev. Phys. Chem. 11, 187 (1960).
168. M. Green, Physica 24, 393 (1958).
169. S. Rice, J. Kirk wood, R. Harris, Physica 26, 717 (1961).
170. P. Resibois, J. Math. Phys. 4, 166 (1963).
171. С Su. Phys. of Fluids 7, 1248 (1964).
172. J. Manning, Phys. Rev. 116, 819 (1959).
173. J. M a n n i n g, Phys. Rev. 124, 470 (1961).
174. И. Б. Александров, Ю. А. Кухаренко, А. В. Ниукканен,
Вестник МГУ, физика, астрономия, № 2, 15 (1963).
175. J. L о и с k, G. D e V a u 11, Phys. of Fluids 7, 1388 (1964).
176. W. P a u 1 i, Sommerfelds Festschrift, Leipzig, 1928.
177. L. Van Hove, Physica 21, 517 (1955). (Есть русский перевод в
сборнике «Вопросы квантовой теории необратимых процессов». ИЛ, 1961.)
178. М. Green, R. Pice i r el И, Phys. Rev. 132, 1388 (1963).
179. M. Green, J. Chem Phys. 25, 836 (1956).
180. E. D e s 1 о g, Amer. J. Phys. 32, 733 (1964).
181. E. Deslog, Amer. J. Phys. 32, 742 (1964).
182. T. Morse, Phys. of Fluids 7, 159 (1964).
183. T. Morse, Phys. of Fluids 6, 1420 (1963).
184. K. Com pa an, J. Haven, Trans. Faradey Soc. 52, 786 (1956).
185. И. Пригожий, Неравновесная статистическая механика. Изд-во
«Мир», 1964.
186. N. VanKampen, Physica 20, 603 (1954).
167. Л. Е. Г у р е в и ч, Основы физической кинетики, Гостехиздат, 1940.
188. А. А. Веденов. Е. П. Велихов, Р. 3. Сагдаев, УФН 73, 70!
(1961).
189. А. А. Веденов, Е. П. Велихов, ЖЭТФ 43,963 (1962).
350 ЛИТЕРАТУРА
190. А. А. Веденов, Атомная энергия 13, 5 (1962).
191. В. Д. Ш а п и р о, ЖЭТФ 44, 613 (1963).
192. В. И. К а р и м а н, ДАН СССР 152, 587 (1963).
193. Б. А. Т р у б н и к о в, В. Ф. Е л е с и н, ЖЭТФ 47, 1279 (1964).
194. Н. Grad, Comm. Pure and Appl. Phys. 2, 331 (1949).
195. M. Born, H. Green, Proc. Roy. Soc. A190, 455 (1947).
196. R. Eisenschitz, Phys. Rev. 99, 1059 (1955).
197. H Green, J. Chem. Phys. 25, 836 (1955).
198. R. Eisenschitz, Statistical Theory of Irreversible Processes,
London, 1958. [Есть русский перевод: Р. Айзеншиц, Статистическая
теория необратимых процессов, ИЛ, 1963.]
199. R. E i s e n s с h i t z, Proc. Roy. Soc. A215, 29 (1952).
200. H. Mori, S. О no, Progr. Theor. Phys. 8, 327 (1952).
201. G. Uhlenbeck, E. Uehling, Phys. Rev. 43, 552 (1933).
'202. G. Uhlenbeck, G. Ford, Lectures in Statistical Mechanics, Rhode
Island, 1963. [Есть русский перевод: Дж. Уленбек, Дж. Форд,
Лекции по статистической механике, Изд-во «Мир», 1965.]
u203. S. С h о h, G. Uhlenbeck, The Kinetic Theory of Phenomena in dense
Gases, Navy Theor. Phys., Contract No 1224(15), 1958. [Есть русский
перевод: С. Ч о, Д ж. Уленбек, Кинетическая теория плотных газов,
Дополнение к русскому изданию книги Уленбека и Форда [202].]
204. М. М. Боголюбов, Р1вняния пдродинамики в статистичшй мехашци.
36. праць 1н-ту матем. № 10, 41 (1948). [Есть русский перевод: Н. Н. Б о-
г о л ю б о в, Уравнения гидродинамики в статистической механике,
Дополнение к русскому изданию книги Уленбека и Форда [202].]
205. В. П. Силин, Изв. Вузов. Физика, № 1, 21 (1965).
206. D. Н о f f m a n, С. С u r t i s e, Phys. of Fluids 7, 1887 (1964).
207. Б. И. Давыдов, И. М. Шмушкевич, УФН 24, 21 (1940).
208. Е. К е п п а г d, Kinetic Theory of Gases, N. Y., 1938.
209. J. H a r 1 e y, Amer. J. Phys. 33, 242 (1965).
210. N. Takimoto, J. Phys. Soc. Japan 14, 1142 (1959).
211. E. Me Irvine, J. Phys. Soc. Japan 15, 928 (1960).
212. R. Harrison, A. Pa skin, J. Phys. Soc. Japan 15, 1902 (1960).
213. J. L anger, S. Vosko, J. Phys. Chem. Solids 12, 196 (1960).
214. T. R о w 1 an d, Phys. Rev. 119, 900 (1960).
215. W. Коhn, S. Vosko, Phys. Rev. 119, 912 (1960).
216. J. Fried el, Suppl. Nuovo cimento, No. 2, 287 (1958).
217. M. К о h e n, J. P h i 11 i p s, Phys. Rev. 124, 1818 (1961).
218. K. Umeda, Kabayashi, J. Phys. Soc. Japan 13, 148 (1958).
219. Le С lair, Phil. Mag. 7, 141 (1962).
Ш. J. Mullen, Phys. Rev. 124, 1723 (1961).
.Ю. Л. Климонтович, В. Эбелинг, ЖЭТФ 43, 146 (1962).
222. F. Andrews, Proc. Nat. Acad. Sci. (USA) 54, 13 (1965).
223. M. Ernst, J. Dorfman, E. Cohen, Physica 31, 493 (1965).
224. К. П. Гуров, Статья в сборнике «Подвижность атомов в кристаллах»*
Киев, 1965.
225. К. П. Гуров, М. Г. Чуди но в, Статья в сборнике «Диффузионные
процессы в металлах», Киев, 1966.
226. A. Le Clair, Phys. Rev. 93, 344 (1954).
227. J. В г i n k m a n, Phys. Rev. 93, 344 (1954).
228. W. Shockly, Phys. Rev. 93, 345 (1954).
229. A. A11 n a 11, S. R i с e, J. Chem. Phys. 33, 573 (1960).
230. G. S chott ky, Physica Status Solidi 8, 357 (1965),
231. L. Cirif alco, Phys. Rev. 128, 2630 (1962).
232. Ю. А. К у x a p e н к о, ФММ 20, 21 (1965).
233. С. Su, J. Math. Phys. 5, 1273 (1964).
ЛИТЕРАТУРА 351
234. G. Jones, J. Math. Phys. 5, 651 (1964).
235. B. Tanenbaum, Phys. Fluids 8, 683 (1964).
236. J. Schroter, Physica 31, 1 (1965).
237. G. Ludwig, Physica 28, 841 (1962).
238. G. Ludwig, W. Muller, J. Schroter, Phisica 30, 479 (1964).
239. G. Ludwig, W. Muller, J. Schroter, Phisica 31, 1649 (1965).
240. G. Sewe 11, Phisica 31, 1520 (1965).
241. F. Me Curt, R. Snide, J. Chem. Phys. 41, 3185 (1964).
242. S. R i s e, A. A11 n a 11, J. Chem. Phys. 34, 2144 (1964).
243. K. Hiroike, R. Gray, S. Rice, J. Chem. Phys. 42, 3134 (1965).
244. V. Hurt, S. Rice, J. Chem. Phys. 42, 4061 (1965).
245. P. R e s i b о i s, J. Chem. Phys. 41, 2979 (1964).
246. P. R e s i b о i s, Physica 31, 645 (1965).
247. P. H. Гуржи, Диссертация, ФИАН, 1958.
248. С. Ceriganni, F. Sernagiotto, Ann. Phys. 30, 154 (1964).
249. А. А. Арсеньев, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 5, 864 (1965)
250. J.Mc. Lennan, Phys. Fluids 8, 1580 (1965).
251. L. F i n к e 1 s t e i n, Phys. Fluids 8, 431 (1965).
252. J. Dorfman, E. Cohen, Phys. Rev., Letters 16, 124 (1965).
253. В. В. Струминский, ДАН СССР, 165, 293 (1965).
254. В. В. Струминский, ДАН СССР, 158, 70 (1964).
255. С. В. В а л а н д е р, И. А. Егорова, М. А. Р ы д а л е в с к а я, Статья
в сб. «Аэродинамика разреженных газов» № 2, 14 (1965).
256. С. В. В а л а н д е р, И. А. Егорова, М. А. Р ы д а л е в с к а я, Статья
в сб. «Аэродинамика разреженных газов» № 2, 122 (1965)\
257. D. Hoffman, J. Mueller, С. Curtiss, J. Chem. Phys. 43, 2878
(1965).
258. S. Crossmann, Phys. Rev., Letters 15, 40 (1965),
259. R. Fey man, Phys. Revs 56,355 (1939),
Кирилл Петрович Гуров
Основания кинетической теории
(метод Боголюбова)
М., 1966 г., 352 стр. с илл.
Редакторы Я. Г. Вирко, Д. А. Мартова
Техн. редактор Я. Ф. Б руд но
Корректор Е. А, Белицкая
Сдано в набор 27/1 1966 г. Подписано
к печати 28/V 1966 г. Бумага 60x90Vie.
Физ. печ. л. 22. Условн. печ. л. 22. Уч.-изд. л. 21,42.
Тираж 7000 экз. Т-08225. Цена книги 1 р. 55 к.
Заказ 57.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете
Министров СССР. Измайловский проспект, 29.