/
Author: Найфэ А.
Tags: физика математическая физика прикладная математика задачи по механике теория возмущений
Year: 1976
Text
А.Х.Найфэ
МЕТОДЫ ВОЗМУЩЕНИЙ
В книге элементарно и на современном уровне описываются методы малого
параметра в применении к широкому кругу задач механики и математической
физики. Наряду с классическими методами в ней рассматриваются и
оригинальные, разработанные автором. Многочисленные примеры и задачи,
имеющие также и самостоятельный интерес, делают изложение ясным и
понятным. Большое количество примеров дается в заключение глав в качестве
упражнений.
Книга представляет интерес для специалистов, работающих в области
прикладной математики и механики, а также для студентов и аспирантов,
специализирующихся в указанных областях.
Содержание
Предисловие редактора перевода
Предисловие
Глава 1. Введение
1.1. Возмущения по параметру
1.1.1. Алгебраическое уравнение
1.1.2. Осциллятор Ван-дер-Поля
1.2. Возмущения по координате
1.2.1. Уравнение Бесселя нулевого порядка
1.2.2. Простой пример
1.3. Символы порядка и калибровочные функции
1.4. Асимптотические разложения и последовательности
1.4.1. Асимптотические ряды
1.4.2. Асимптотические разложения
1.4.3. Единственность асимптотических разложений
1.5. Сравнение сходящегося и асимптотического рядов
1.6. Неравномерные разложения
1.7. Простейшие действия над асимптотическими разложениями
Упражнения
Глава 2. Прямые разложения и источники неравномерности
2.1. Бесконечные области
2.1.1. Уравнение Дюффинга
2.1.2. Модель слабой нелинейной неустойчивости
2.1.3. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла
2.1.4. Обтекание сферы при малых числах Рейнольдса
2.2. Малый параметр при старшей производной
2.2.1. Пример второго порядка
2.2.2. Обтекание тела при больших числах Рейнольдса
2.2.3. Релаксационные колебания
2.2.4. Несимметричный изгиб предварительно напряженных
кольцевых пластин
2.3. Изменение типа дифференциального уравнения в частных производных 48
2.3.1. Простой пример
2.3.2. Длинные волны на поверхности жидкости, стекающей по
наклонной плоскости
2.4. Наличие особенностей
2.4.1. Сдвиг особенности
2.4.2. Задача о космическом корабле Земля — Луна
2.4.3. Термоупругие поверхностные волны
2.4.4. Задача с точкой возврата
2.5. Роль координатных систем
Упражнения
Глава 3. Метод растянутых координат
3.1. Метод растянутых параметров
3.1.1. Метод Линдштедта — Пуанкаре
3.1.2. Переходные кривые для уравнения Матьё
3.1.3. Характеристические показатели для уравнения Матьё (метод
Унттекера)
3.1.4. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной
задаче трех тел
3.1.5. Характеристические показатели для треугольных точек
в эллиптической ограниченной задаче трех тел
3.1.6. Простая линейная задача на собственные значения
3.1.7. Квазилинейная задача на собственные значения
3.1.8. Квазилинейное уравнение Клейна — Гордона
3.2. Метод Лайтхилла
3.2.1. Дифференциальное уравнение первого порядка
3.2.2. Одномерная задача о космическом корабле Земля — Луна
3.2.3. Твердый цилиндр, равномерно расширяющийся в неподвижном
воздухе
3.2.4. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла
3.2.5. Разложения с использованием точных характеристик:
нелинейные упругие волны
3.3. Метод Темпла
3.4. Метод перенормировки
3.4.1. Уравнение Дюффинга
3.4.2. Модель слабо нелинейной неустойчивости
3.4.3. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла
3.4.4. Сдвиг особенности
3.5. Ограничения метода растянутых координат
3.5.1. Пример слабо нелинейной неустойчивости
3.5.2. Малый параметр при высшей производной
3.5.3. Задача о космическом корабле Земля — Луна
Упражнения
Глава 4. Метод сращивания асимптотических разложений и составные
разложения
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений
4.1.1. Введение: метод Прандтля
4.1.2. Высшие приближения и усовершенствованные процедуры
сращивания
4.1.3. Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами
4.1.4. Уравнение Рейнольдса для скользящей опоры
4.1.5. Несимметричный изгиб предварительно напряженных
кольцевых пластин
4.1.6. Термоупругие поверхностные волны
4.1.7. Задача о космическом корабле Земля — Луна
4.1.8. Обтекание сферы при малых числах Рейнольдса
4.2. Метод составных разложений
4.2.1. Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
4.2.2. Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами
4.2.3. Краевая задача с ивчальными условиями для уравнения
теплопров одности
4.2.4. Ограничения метода составных разложений
Упражнения
Глава 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
5.1. Вариация произвольных постоянных
5.1.1. Решения уравнения Шредингера, зависящие от времени
5.1.2. Пример нелинейной устойчивости
5.2. Метод усреднения
5.2.1. Методика Ван-дер-Поля
5.2.2. Методика Крылова— Боголюбова
5.2.3. Обобщенный метод усреднения
5.3. Методика Страбла
5.4. Методика Крылова — Боголюбова— Митропольского
5.4.1. Уравнение Дюффинга
5.4.2. Осциллятор Ван-дер-Поля
5.4.3. Уравнение Клейна— Гордоив
5.5. Метод усреднения с использованием канонических переменных
5.5.1. Уравнение Дюффинга
5.5.2. Уравнение Матьё
5.5.3. Качающаяся пружина
5.6. Методика фон Цайпеля
5.6.1. Уравнение Дюффинга
5.6.2. Уравнение Матьё
5.7. Усреднение с использованием рядов и преобразований Ли
5.7.1. Ряды и преобразования Ли
5.7.2. Обобщенные алгоритмы
5.7.3. Упрощенные общие алгоритмы
5.7.4. Схема процедуры
5.7.5. Алгоритмы для канонических систем
5.8. Усреднение с использованием лагранжианов
5.8.1. Модель диспергирующих воли
5.8.2. Модель взаимодействия волна — волиа
5.8.3. Нелинейное уравнение Клейна—Гордона
Упражнения
Глава 6. Метод многих масштабов
6.1. Описание метода
6.1.1. Метод многих переменных (процедура разложения
производной)
6.1.2. Процедура разложения по двум переменным
6.1.3. Обобщенный метод —нелинейные масштабы
6.2. Приложения метода разложения производной
6.2.1. Уравнение Дюффинга
6.2.2. Осциллятор Ван-дер-Поля
6.2.3. Вынужденные колебания осциллятора Ван-дер-Поля
6.2.4. Параметрический резонанс — уравнение Матьё 272
6.2.5. Осциллятор Ван-дер-Поля с запаздывающей амплитудой 276
6.2.6. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной 279
задаче трех тел
6.2.7. Качающаяся пружина
6.2.8. Модель для слабой нелинейной неустойчивости
6.2.9. Модель взаимодействия волна — волиа
6.2.10. Ограничения метода разложения производной
6.3. Процедура разложения по двум переменным
6.3.1. Уравнение Дюффинга
6.3.2. Осциллятор Ван-дер-Поля
6.3.3. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной 295
задаче трех тел
6.3.4. Ограничения рассматриваемой методики 296
6.4. Обобщенный метод 296
6.4.1. Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами 296
6.4.2. Общее уравнение второго порядка с переменными 301
коэ ффициентами
6.4.3. Линейный осциллятор с медленно меняющейся 303
восстанавливающей силой
6.4.4. Пример с точкой возврата 305
6.4.5. Уравнение Дюффинга с медленно меняющимися 308
коэ ффициентами
6.4.6. Динамика входа
6.4.7. Задача о космическом корабле типа Земля — Луна
6.4.8. Модель диспергирующих воли
6.4.9. Нелинейное уравнение Клейна — Гордона
6.4.10. Преимущества и ограничения обобщенного метода
Упражнения
Глава 7. Асимптотические решения линейных уравнений
7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка
7.1.1. Разложения в окрестности нерегулярной особенности
7.1.2. Разложение функции Бесселя нулевого порядка для больших
значений аргумента
7.1.3. Задача Лиувилля
7.1.4. Высшие приближения для уравнений, содержащих большой
параметр
7.1.5. Малый параметр при старшей производной
7.1.6. Однородные задачи с медленно меняющимися коэффициентами
7.1.7. Динамика входа сивряда
7.1.8. Неоднородные задачи с медленно меняющимися
коэ ффициентами
7.1.9. Последовательные приближения Лиувилля — Грина (ВКБ-
приближения)
7.2. Системы обыкновенных уравнений первого порядка
7.2.1. Разложения в окрестности иррегулярной особой точки
7.2.2. Асимптотическое разбиение систем уравнений
7.2.3. Субнормальные решения
7.2.4. Системы, содержащие параметр
7.2.5. Однородные системы с медленно меняющимися
коэ ффициентами
7.3. Задачи с точкой возврата
7.3.1. Метод сращивания асимптотических разложений
7.3.2. Преобразование Лангера
7.3.3. Задачи с двумя точками возврата
7.3.4. Задачи с точками возврата высших порядков
7.3.5. Высшие приближения
7.3.6. Неоднородная задача с простой точкой возврата — первое
приближение
7.3.7. Неоднородная задача с простой точкой возврата—высшие
приближения
7.3.8. Неоднородная задача с точкой возврата второго порядка
7.3.9. Задачи с особенностями в точках возврата
7.3.10. Задачи высшего порядка с точками возврата
7.4. Волновые уравнения
7.4.1. Разложение Борна — Неймана и диаграммы Фейнмана
7.4.2. Методы перенормировки
7.4.3. Метод Рытова
7.4.4. Приближение геометрической оптики
7.4.5. Равномерное разложение на каустике
7.4.6. Метод сглаживания
Упражнения
Список литературы
Предметный указатель
Предметный
Автоколебания 103
Алгоритм для канонических систем
229—233
— Кемела186
Аномалия 92
Асимптотическая
последовательность 21, 23, 25,
28
по дробным степеням 151
содержащая логарифмы 151,
159
факториальная 21
Асимптотические ряды 18—20, 24—
25
Асимптотическое разбиение систем
уравнений 349—353
— разложение 21, 23, 28—29, 33, 92,
равномерное 27—29
расходящееся 25
— условие сращивания, см.
Сращивание асимптотических
разложений
Аэродинамика 125, 253
Броуновское движение 253
Быстропериодическая часть 184—
207,231
Вариационный подход 233—240, 244
Вариация произвольных; постоянных
63, 174—240
Вековые члены 33—36
исключение 78, 80, 280, 309,
323
Вибрация 250, см. также Колебания,
Волны
ВКБ-приближенне 59, 329, 337, 342,
346—347,358,362,410
Возмущение координат 13—15
— параметров 10—12,329
Волиа Россби 90, 252
Волновое число 69, 89, 285
Волны 69, 71, 89, 91, 103, 233, 234,
251,252
447
указатель
— на воде 67, 68, 69, 89, 234, 251, 252
— ударные 63, 91, 97, 98, 99, 114,
116,253
— упругие 103, 108
Вронскиан 175
Вырождение 84—86
Гамильтониан 195, 198, 199, 202,
205— 216, 218, 229—233, 241,
242
Гармонический баланс 236
— резонанс 237—238, 252, 281—288
Гаусснан 389, 392, 395, 398
Геометрическая оптика 330, 387,
400—403, 406
Геофизика 125
Гидравлический прыжок 103
Граница тени 405
Движение непериодическое 204, 253
— периодическое 204
Диаграмма 390—392
— «голая» 390
— двойная 390
— «одетая» 391
— связанная 396, 397, 399
Динамика снаряда 251,312—316,
342—343
Дисперсионное соотношение 193,
234, 236, 237, 238, 240, 244, 286,
322
Дифракция 370, 406
— Френеля 407
Жесткость на изгиб 47
Задача Бенара 90
— Гретца 411
— двух тел 217
— Дирихле 48
— для уравнения теплопроводности
166—168
— Лиувилля 336
— на собственные значения,
линейная 81—84
нелинейная 84—88
— однородная 387
с точками возврата 376—388
— о космическом корабле Земля —
Луна 54, 55, 96—97, 117, 118,
121, 151 — 154, 168—170, 250,
316—319,324
— трех тел 214, 250, 296
Закон теплопроводности Максвелла
56
Затухание 57, 91
Звуковой хлопок 91
Изгиб оболочек и труб 66, 378
Изменение типа уравнения 33, 48—
53
— характеристик 103
Импульс 195, 198, 205, 214, 242
Интеграл уравнений движения 34,
215
Интегральное уравнение 396, 407
Источники неравномерности 33—66,
155
Калибровочная функция 16
Калибровочное преобразование 249
Каноническая система 206, 217
Канонические переменные 196, 198,
199,211,218,233,242
— уравнения 196, 215
Каноническое преобразование 196,
203,207
Каустика 251, 401—407
Качающаяся пружина 120, 201—205,
231—233,242,281—283
Квант 69, 397, см. также Уравнение
Шредингера
Кинетика реакций 91,92
Колебания 35, 45, 103, 244, 250, 324
— балки 120, 121, 171, 244, 238
— релаксационные 45—46
— со скачками 45
Консервативная форма уравнений
243
Координаты возмущенные 9, 13—15,
31,331—336,379
— оптимальные 61—62
— параболические 92
— сферические 39
Корреляция 389
Космический корабль, см. Задача о
космическом корабле Земля —
Луна
Коэффициент Пуассона 47, 58
Коэффициенты Ламе в теории
упругости 56, 104
Краевое условие, перенос 37
потеря 42, 44, 48, 66, 125, 129,
137
Лагранжиан 195, 201, 233—240
Ламннарность 50, 66
Ландау символы 16, 17
Луна, см. Задача о космическом
корабле Земля — Луна
Малый делитель 212
— параметр при старшей
производной 33, 41—48, 114,
399—340
ограничение метода
растянутых координат 114,
115—117
Масштаб 63, 124,247—250, 324, см.
также Метод многих
масштабов
Матрица Якоби 219
Маятник 118, 242, см. также
Качающаяся пружина
Медленно меняющаяся часть 184,
207,226,231
Мембрана 382
Метод Бенин 49—53
— Ван-дер-Поля 180—181
— Кемела 241
— Крылова — Боголюбова 181 —
183,240
— Крылова — Боголюбова —
Мнтропольского 189—195, 199,
210, 228, 229, 240, 241, 265, 266,
325
— Лайтхилла68, 90—108, 121—123
ограничения 79, 113—114, 122,
123
-Латты 159—168
- Линдштедта — Пуанкаре 67, 68,
69—71, 109, 110,201,216
- линеаризации 69, 108—109
- многих масштабов 62, 111, 115,
168, 245—328, 337, 339—342,
362,385,394,405,411
- — — обобщенная форма 249,
259— 262, 296—324
ограничения 324—325
- перенормировки 68, 109—113,
118—122, 330, 387, 393—399
- Прандтля 125, 128
- Притуло, см. Метод
перенормировки
- Пуанкаре — Лайтхилла — Го, см.
Метод Лайтхилла
- разложения двух переменных 262,
324
ограничения 296
описание 248, 258—259
- разложения производной 324
ограничения 288—290
описание 247, 254—258
- растянутых координат 62, 63, 67—
124, 129, 171,253,324
ограничения 92, 113—118,
122—124,324,325
параметров 67, 69—91, 111,
113,114,118,120
- Ритца — Галеркина 70
- Рытова 387, 399—400
- Рэлея — Шредингера 67, 81, 84
- сглаживания 330, 387, 407—409
- составных разложений 159—170,
340
ограничения 168—170
сращивания асимптотических
разложений 48, 58, 63, 92,
124—159, 163, 168, 170, 253,
339,370,405,411
ограничения 171, 324, 362
приложение к задачам о
точках возврата 359—362
— Страбла 187—189, 192, 199, 210,
240
ограничения 189
— Стюарта — Ватсона — Экхауса
177—179
— Темпла68, 108—109
— Уизема 234—240
— Унттекера 74—76, 79—81, 119,
201,216
— усреднения 174—244
— — обобщенный 183—186, 207,
228, 240—242
— Фробениуса 13, 332
— характеристик 400
Механика полета 250
Модель нелинейной неустойчивости
35—36,61,66, ПО, 111, 114,
115,284—286
— Томаса — Ферми 253
Модуль Юига 47
Наложение 127, 134
Начальный слой 33
Небесная механика 250
Неравномерность разложений 25—
27, 34—41, 43, 45, 48, 49, 53, 55,
57—66, 114, 140, 151, 246, 305,
306, 337, 358, 393, 403—404
Несимметричный изгиб пластины
46—48,142—148,171
Неустойчивость 91, 288, см. также
Модель нелинейной
неустойчив ости
— Рэлея — Тэйлора 90, 252
Нормальное решение 69, 71, 79, 332,
348, 354
Область бесконечная 34—41
— внешняя 127, 136
— внутренняя 127, 137, 162, 168
— краевого эффекта 125
— неравномерности 26, 27, 29, 33,
131, 148, 152, 155,305,359,
403—407
Обобщенный вектор 195
Оболочка 251
Обтекание сферы 39—41, 154—159,
173
— тела 43—44, 127
Оператор интенсивности 398
— массы 398, 408
— самосопряженный 178, 179
— сопряженный 179
— Фааде Бруно 208
Оптимальное управление 92
Орбиты 76
Особая точка, определение 330—331
— — разложение вблизи
нерегулярной 330—333, 348—
349
регулярная 13, 331
Особенность 16, 33, 43, 48, 54, 55, 94,
95,97,99, 100, 117, 151,383—
385
Осцилятор Ван-дер-Поля 11—12,
45—46,64,65,118,183,185—
186, 192— 193, 226—229, 240,
241, 264—266 276—279, 292—
295,325, 326
— линейный демпфируемый 244—
262
Парадокс Уайтхеда 41
Параметр большой 337, см. также
Точка возврата
— возмущения 10—12, 25, 329, см.
также Малый параметр при
старшей производной, Метод
растянутых параметров
— характеристик 103, 108
Параметризация 101, 105
Переменная внешняя 134, 135, 159,
160
— внутренняя 134, 135, 159, 165, 169
выбор, 129—131, 137—138,
141, 148—149, 152—153
обобщенная 161
— Озееиа158
— Стокса159
Перенормировка Борна 393—399
Переходная кривая для точек
либрации 76—81, 279—281, 295
для уравнения Матье 71—76,
199—201, 210—216, 272—276
Период 184,207
Плазма 69, 91, 233, 234, 251, 252, 393
Пластичность 104
Поверхностный слой 125
Пограничный слой 27, 33, 44, 92, 125,
126,162,250,378
расположение 129—131, 137,
142—147
Потенциал 36, 97, 103
Поток в канале 66, 234
— гиперзвуковой 91
— по наклонной плоскости 48—53,
113
Предел внешний 126, 131, 134, 143,
153,160
— внутренний 126, 132, 134, 144,
145,153
— Озеена 155
— приемлемый 359
— промежуточный 134
— Стокса155
Предельный цикл, точка, решение 46,
114,123
Преобразование Депри 218
— каноническое 196, 206, 207, 215
— Лангера 329, 370, 374, 411
обобщение 365
— Ли217
— Лиувилля — Грина 59, 337, 363
— Олвера 365, 411,412
— почти тождественное 62, 68, 184,
206,217
Преобразование растяжения 125, 128,
129, 131, 132, 137—138, 148,
152— 153, 166, 305, 359, 403—
404
— сжатия 155
— фон Цайпеля 186, 207, 214, 218
— Хори 218
Приближение Борив 388
— Грина — Лнувилля 59, 337—339,
342, 346—347, 358
Производящий вектор 217
Разложение Борна 329, 387—393, 399
— внешнее 55, 58, 124, 126, 129, 131,
139, 141, 143—144, 153, 161
— внутреннее 124, 126, 128, 132, 139,
142, 144—151, 154, 160, 162,
164
в задачах о точках возврата 359
— Неймана 387, см. также
Разложение Борив
— обобщенное, см. Разложение
составное
— Озеена 155—159
— по характеристикам 68, 100—108,
324
— составное 129, 136, 139, 142, 147,
151, 154,372—374,411,412
построение 136
Рассеяние 68, 110, 253, 387, 390, 393,
394
Расслоение 234
Растяжение зависимых переменных
113,123
— характеристик 101, 103
Резкое изменение 118, 124,324
Резонанс 201, 205, 213, 243, 250, 267,
343—346
— параметрический 252
Решение внешнее 127, 129
— внутреннее 126, 127
— периодическое 45, 90, 114, см.
также Уравнение Матьё,
Устойчивость эллиптических
треугольных; точек
— составное 127
— Стокса 40
Ряды, см. Асимптотические ряды
— и преобразования Ли 186, 215—
233,242,325
— Неймана 389
Сдвиг 90
— особенности 53—54, 63, 64, 92—
96, 108—109, 112—113, 118,
120,121
Седловая точка 271
Символы порядка 16, 17
Сингулярное возмущение 27, 114, см.
также Неравномерность
разложений
Скользящая опора 65, 140—142
Скорости характеристические
волновые 104
Скорость 67, 69, 89, 90, 104, 105
— волиРэлея57, 148
— групповая 194, 236, 238, 287, 321
— фазовая 89, 90
Случайная функция 386—388, 391,
392, 396, 407, 408, 409
Собственное значение 67, см. также
Задача ив собственные
значения
Соотношение Рэнкина — Гюгонно 97
Спутник 250, 296
Сращивание внешнего и внутреннего
разложений 62, 124, 129, 131,
134— 136, 139, 142, 144—147,
150—151,154,405
— — в задачах о точках
возврата 360—362, 367
— промежуточное 134
— процедура Прандтля 126, 133
усовершенствованная 133—134
— условие Ван Дайка 128, 134—136
Каплуна 134
Статистическая механика 253
Субнормальное решение 333, 353—
354
Сферическая каверив 91
Сферический маятник 242
Сшивка асимптотических
разложений, см. Сращивание
внешнего и внутреннего
разложений
Теория крыла 113, 253, 325
сверхзвуковая 36—38, 61, 91,
100—103,107,111,112
— ньютоновская 92
— Флоке 71, 74, 76, 79
Теплопроводность 56, 92, 97, 171,
366,411
Термоупругие волны 56—58, 148—
151
Течение Кельвина — Гельмгольца
90,253
Точка ветвления 95
— возврата 59—60, 128, 137, 305—
307, 329, 330, 358—386, 403—
407
Точки либрации, см. Устойчивость
эллиптических треугольных
точек
— треугольные 250, см. также
Устойчивость эллиптических
треугольных точек
Треугольник Ли 221, 222
— Паскаля 221
Узел 271
Упругость 56, 70, 103, 378
Уравнение Беллмана 32
— Вернулли 97
— Бете — Салпетера 398
— Больцмана 253
— Брезертона 237—238, 244, 286-288
— Власова 91, 233
— волновое 386—409
— Гамильтона — Якоби 197, 198,
202, 206, 215
— Гельмгольца 251
— гиперболическое 48, 53, 68, ИЗ,
406
— Дансона398, 408
— диффузии 48
— Дюффинга 34—35, 60, 61, 65, 69—
71, 110—111, 118, 119, 182,
187—189, 190—192, 198—199,
208—210, 240— 245, 290—292,
308—312
— Клейна — Гордона 89—90, 120,
190, 193—195, 239—240, 243,
251,322—324
— Ландау 409
— Лиувилля 253, 407, 409
— Матьё 64, 70—73, 76, 118, 199-
201, 210—216, 240, 272, 276,
325
— Озеена 156
— Орра — Зоммерфельда 233, 385
— параболическое 48, ИЗ, 406
— переноса 400, 405
— присоединенное 364
— Рейнольдса, см. Скользящая опора
— теплопроводности, краевая задача
с начальными условиями 166—
168
— Фоккера — Планка 253
— Хилла 71
— Шредингера 67, 84, 175, 362, 366,
368, 370
— эйконала 400, 404, 405
— Эйри 333
— эллиптическое 48—53, 113, 252,
324, 386
Уравнения в вариациях 187, 198, 200,
206
— Лагранжа 195
— Навье — Стокса 39, 43, 49
— Эйлера — Лагранжа 233, 236, 238,
240
Условие прилипания 44
— разрешимости 167, 323
— совместности 235, 240
Усреднение 195—240
Устойчивость 71, 90, 91, 114, 115,
177—179,252,271,378,385
— эллиптических треугольных точек
76-81, 279-281, 295
Фаза 194, 217, 406
— быстро вращающаяся 183, 217,
251
Фейнмановские диаграммы 329,
387—399
Фокус 271
Фон Цайпеля процедура 205—216,
218,248
ограничения 214
Функции Бесселя 9, 14, 25, 31, 334—
337,351—353,411
— Вебера 369, 405, 407
— Ломмеля 378
— параболического цилиндра 368,
405
— растягивающие 68, 91, 101, 114,
116,117,122
— Уиттекера370
— цилиндрические 384, 405, 407
— ЭйрибО, 359, 360, 405
— эллиптические Якоби 204
Функция Грниа 388, 390, 407
— Матье 362
— производящая 197, 200, 205, 208,
211,212,215,218,232
— тока 39, 44, 50, 68, 127, 155
Характеристический показатель 69,
74,79
Цилиндр твердый расширяющийся
97— 100
— эллиптический 370
Частота 67, 69, 111, 180, 270,
Число Маха 37, 97, 98
— Рейнольдса 50, 385
большое 43, 145
малое 39, 40, 154
Эксцентриситет 76, 250, 370
Энергетический уровень 67, 69
Энтропийный слой 92
Ядро 396
Предисловие редактора перевода
Предлагаемая книга посвящена методам возмущений, или
асимптотическим методам малого параметра для решения диф-
дифференциальных уравнений. Методы малого параметра представ-
представляют собой одно из наиболее мощных средств современной при-
прикладной математики. Они позволяют получать приближенные
аналитические представления решений весьма сложных линейных
и нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производ-
производных.
Методы малого параметра широко применяются в механике,
физике и других науках, оперирующих дифференциальными урав-
уравнениями. Большинство этих методов (например, метод Пуанкаре,
метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально воз-
возникли именно при решении конкретных задач механики и физики,
а затем уже были развиты и обобщены. Впоследствии многие
методы получили строгое математическое обоснование. Однако до
сих пор целый ряд методов малого параметра, особенно приме-
применительно к нелинейным уравнениям в частных производных,
нельзя считать строго обоснованными, и успех их применения
часто бывает связан с глубоким и неформальным проникнове-
проникновением в суть задачи, с пониманием процессов, описываемых дан-
данными уравнениями. В настоящее время, в эпоху быстрого разви-
развития вычислительной техники, методы малого параметра отнюдь
не утрачивают своего значения. Они служат для выяснения
качественных особенностей задач, для получения асимптотик и
анализа особых точек, для построения опорных „тестовых" реше-
решений, а в ряде случаев являются также основой для разработки
вычислительных методов.
Книга Али Хасана Найфэ представляет собой интересную и,
на наш взгляд, успешную попытку дать систематическое и пол-
полное изложение многочисленных методов малого параметра. Автор
подробно описывает различные варианты методов, дает их срав-
сравнительную оценку. Значительное место в книге занимают собст-
собственные результаты автора—известного специалиста в области
асимптотических методов и их приложений. Изложение иллюстри-
иллюстрируется большим числом задач из многих областей науки: небес-
небесной механики, гидродинамики, газовой динамики, теории упру-
упругости, теории колебаний и волн и др. К некоторым задачам
6 Предисловие редактора перевода
автор обращается многократно на протяжении всей книги, при-
применяя к ним различные методы. Книга содержит также большое
число интересных и поучительных задач, предлагаемых читателю
в качестве упражнений.
Стиль изложения автора можно назвать промежуточным между
математическим и физическим. С одной стороны, в книге не дается
строгого обоснования рассматриваемых методов (хотя во многих
случаях такие обоснования имеются), а с другой стороны, автор
не обращается к физической интуиции читателя и не вникает
в анализ физической сущности задач, рассматриваемых для ил-
иллюстрации асимптотических методов. Такой подход придает книге
цельность, ограничивая имеющийся огромный материал, и поз-
позволяет сосредоточиться на изучении самих асимптотических мето-
методов, не требуя от читателя знакомства с отдельными областями
физики и механики.
Книга снабжена обширной библиографией, которую мы допол-
дополнили некоторыми работами советских авторов за последние
10—15 лет. В авторских ссылках на книги советских авторов
нами указаны последние издания.
При переводе книги встретились некоторые новые термины,
введенные автором, а также такие термины, для которых в рус-
русской литературе по прикладной математике используется не-
несколько различных вариантов перевода. В этих случаях пере-
переводчики и редактор стремились не к дословной близости, а к
передаче смысла оригинала.
Главы 1,2,5—7 перевел А. А. Меликян, главы 3, 4—А. А. Ми-
Миронов.
Ф. Л. Черноусько
Предисловие
Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня физики,
инженеры и специалисты по прикладной математике, не поддаются
точному решению. Среди причин, затрудняющих точное решение,
можно указать, например, нелинейные уравнения движения,
переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на
известных или неизвестных границах сложной формы. Для реше-
решения подобных задач мы вынуждены пользоваться различного
рода приближениями, или численными методами, или комбина-
комбинацией тех и других. Среди приближенных методов основными
являются методы возмущений (асимптотических разложений) по
большим или малым значениям параметра или координаты. На-
Настоящая книга посвящена описанию этих методов.
В соответствии с методами возмущений решение задачи пред-
представляется несколькими (обычно двумя) первыми членами воз-
возмущенного разложения. Для качественного и количественного
представления решения возмущенные разложения, даже если они
расходятся, могут оказаться более полезными, чем равномерно и
абсолютно сходящиеся разложения.
Прямые, непосредственные разложения по степеням параметра
имеют, как правило, ограниченные области пригодности и нару-
нарушаются в некоторых областях, называемых областями неравно-
неравномерности. Для приведения этих разложений к равномерно при-
пригодному виду исследователи, работающие в различных областях
физики, техники и прикладной математики, разработали ряд
методов. Некоторые из этих методов между собой совершенно
несхожи, другие являются различными интерпретациями одной и
той же основной идеи.
Цель настоящей книги—рассмотреть некоторые из упомяну-
упомянутых методов, выявить их сходства и различия, преимущества и
ограничения. Для описания различных методов сначала исполь-
используются примеры с модельными простыми обыкновенными урав-
уравнениями, которые могут быть точно решены, затем, по мере
усложнения, рассматриваются примеры с дифференциальными урав-
уравнениями в частных производных. Примеры взяты из разных об-
областей физики и техники. Каждому примеру предпослано краткое
физическое описание задачи.
Различные методы описаны как формальные процедуры, без
попытки строгого их обоснования. Разложения, полученные для
8 Предисловие
некоторых сложных примеров, рассмотренных в данной книге,
еще не имеют на самом деле строгого математического обоснова-
обоснования.
В конце каждой главы даются упражнения, которые распо-
расположены в порядке возрастающей сложности и снабжены допол-
дополнительными ссылками.
От читателя не требуется понимания физической сути приме-
примеров, используемых для описания методов. Предполагается, однако,
что он знаком с основами анализа, а также с элементарными
свойствами дифференциальных уравнений—обыкновенных и в
частных производных.
Глава 1 содержит обозначения, определения и действия над
асимптотическими разложениями. Источники неравномерности
в разложениях возмущения классифицированы и рассмотрены
в главе 2. Глава 3 посвящена методу координатных преобразо-
преобразований, в котором равномерность достигается путем разложения
как зависимой, так и независимой переменных в ряды по новым
независимым параметрам. В главе 4 описываются метод сращи-
сращивания асимптотических разложений и метод составных асимпто-
асимптотических разложений. Первый метод позволяет выразить решение
с помощью нескольких разложений, пригодных в различных
областях и согласованных между собой с помощью процедуры
сращивания; второй метод представляет решение в виде единст-
единственного всюду пригодного разложения. В главе 5 для исследо-
исследования медленных изменений амплитуд и фаз слабо нелинейных
волн и колебаний используются понятия быстрых и медленных
переменных в сочетании с методом вариации произвольных пос-
постоянных. Методы глав 3, 4 и 5 обобщены в главе 6 и объединены
в одну из трех разновидностей метода многих масштабов. В главе 7
рассмотрены существующие методы построения асимптотических
решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
и уравнений в частных производных.
Первые слова благодарности я обязан сказать доктору В. С. Са-
рику и моим братьям—д-ру Аднану Найфэ и Муниру Найфэ —
за обсуждения и поддержку в процессе написания этой книги.
За плодотворные обсуждения и критику я обязан также некото-
некоторым своим коллегам, в частности д-рам Д. Т. Муку, Д. П. Телио-
нису, А. А. Кемелу и Б. X. Стефану, а также О. Р. Асфару
и М. С. Цею. Эта книга не была бы написана, если бы не тер-
терпение и поддержка моей жены и настойчивость моих родителей
Xасана и Хадры, которые, будучи неграмотными, настояли на
том, чтобы я получил высшее образование. Поэтому я посвящаю
эту книгу моим родителям и жене.
Али Касан Найфэ
Блэксбург, Виргиния
май 1972 г.
ГЛАВА 1
Введение
Большинство физических задач, с которыми сталкиваются
сегодня инженеры, физики и специалисты в области прикладной
математики, обнаруживает ряд существенных особенностей, кото-
которые не позволяют получать точные аналитические решения. Та-
Такими особенностями являются, например, нелинейности, пере-
переменные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные
граничные условия на известных или, в некоторых случаях,
неизвестных границах. Если даже точное решение некоторой
задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для
математической и физической интерпретаций или численных рас-
расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя боль-
большого порядка при больших значениях аргумента и двоякоперио-
дические функции. Таким образом, для получения информации
о решениях уравнений мы вынуждены прибегнуть к аппроксима-
аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов.
Среди приближенных методов прежде всего следует назвать
асимптотические методы возмущений, которые и являются пред-
предметом этой книги. Согласно этим методикам, решение представ-
представляется несколькими первыми членами асимптотического разложе-
разложения, число которых обычно не превышает двух. Разложения
могут проводиться по большому или малому параметру, который
естественно возникает в уравнениях или вводится искусственно
для удобства. Такие разложения называются возмущениями по
параметру. С другой стороны, разложения могут быть проведены
по координатам для больших или малых значений; в этом слу-
случае они называются возмущениями по координатам. Примеры
разложений по параметру и координате и их существенные харак-
характеристики даны в § 1.1 и 1.2. Для формализации понятий пре-
пределов, оценок погрешности в § 1.3 введены определения символов
порядка и другие обозначения. Параграф 1.4 содержит опредег
ления асимптотического разложения, асимптотической последо-
последовательности и степенного ряда; в § 1.5 дается сравнение сходя-
сходящегося и асимптотического рядов. Затем, в § 1.6 определены
равномерные и неравномерные асимптотические разложения. Крат-
Краткая сводка операций над асимптотическими разложениями дана
в § 1.7.
10 Гл. 1. Введение
1.1. Возмущения по параметру
Математическая формулировка многих физических задач, в ко-
которых встречается функция вида и (х, е), может быть дана с по-
помощью дифференциального уравнения L(u, х, е) = 0 с граничным
условием В {и, е) = 0, где х—скалярная или векторная независи-
независимая переменная, а е— параметр. Такая задача, вообще говоря,
не может быть решена точно. Однако если существует е = е„
(выбором отсчета е можно добиться е0 = 0), для которого выше-
вышеупомянутая задача решается точно или сравнительно легко, то
для малых е можно искать решение, скажем, в виде разложения
по степеням е, т. е. в виде
.. , A.1.1)
где и„ не зависит от е, а и0 (х) — решение задачи при е = 0. Это
разложение можно подставить затем в равенства L (и, х, е) = 0 и
В (и, е) = 0, разложить их для малых е и сгруппировать коэф-
коэффициенты при каждой степени е. Поскольку эти уравнения
должны удовлетворяться для всех значений е и последователь-
последовательность степеней е линейно независима, коэффициент при каждой
степени е обращается в нуль независимо. При этом обычно полу-
получаются простые уравнения относительно ип, которые последова-
последовательно решаются. Следующие два примера иллюстрируют сказан-
сказанное.
1.1.1. Алгебраическое уравнение
Рассмотрим сначала решение алгебраического уравнения
при малом е. Для е = 0 имеем и = 1. Пусть е мало и отлично
ОТ НуЛЯ; ПОЛОЖИМ
и = 1 -f- tiii + ?2u2 + е3"з + • •. » A.1.3)
Тогда A.1.2) принимает вид
etij +E2u2 + e3w3+ ... =еA +eu, + E2u24-e3u3 + .. -K- A-1-4)
Проведя в A-1.4) разложение при малом е, получим
ги1 -{-?2ua -f-e3u3-f- ... =е [1 +3eut -f-3e2 (u2 + и\) + ...]• A.1.5)
Сгруппировав коэффициенты при одинаковых степенях е, будем
иметь
е(ы,— 1) -}-Е2(ыа—Зыг) + е*(иа—3u2--3ua)+ ... =0. A.1.6)
Поскольку это уравнение выполняетс-я тождественно по е, коэф-
коэффициент при каждой степени е обращается в нуль независимо.
/./. Возмущения по параметру 11
Таким образом,
«,-1=0, A.1.7)
u2—3^=0, A.1.8)
ы3—3u2—3uf = 0. A.1.9)
Решением уравнения A.1.7) является
«, = 1. A.1.10)
Тогда решением A.1.8) будет
u, = 3u, = 3, A.1.11)
а решением A.1.9)
u3 = 3us + 3uf-'12. A.1.12)
Следовательно, A.1.3) принимает вид
+ 12е3+... , A.1.13)
где многоточием заменены все члены, содержащие г" при п ^
Таким образом, A.1.13) является аппроксимацией решения урав-
уравнения A.1.2), которое равно 1 при е = 0.
1.1.2. Осциллятор Ван-дер-Поля
В качестве второго примера рассмотрим уравнение Ван-дер-
Поля [1922]
g + u = e(l_u2)|L A.1.14)
для малого е. При е = 0 оно сводится к уравнению
^ 0, A.1.15)
общее решение которого имеет вид
u=acos(*+cp), A.1.16)
где а и ф—постоянные. Для определения лучшего приближения
к решению уравнения A.1.14) будем искать возмущенное разло-
разложение вида
u(t;e) = u0V)+Bu1(t) + e*ut(t) + ... , A.1.17)
где многоточие заменяет слагаемые, пропорциональные степеням е,
большим двух. Подставляя это разложение в A.1.14), будем иметь
т...]. A-1.18)
12 Гл. 1. Введение
Проведя разложение для малых е, получим
-.... A.1.19)
Поскольку ип не зависит от е и A.1.19) справедливо для всех
достаточно малых значений е, коэффициенты при одинаковых
степенях е в обеих частях этого уравнения должны быть равны.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих
частях A.1.19), получим:
для коэффициентов при е°
^г + «о = О, A.1.20)
для коэффициентов при е
^"'4-ri — П «2\ ^2. (\ 1 9П
CLZ ut
для коэффициентов при е2
^ + u2 = (l_w2)^__2u0u,^. A.1.22)
Заметим, что уравнение A.1.20) совпадаете A.1.15) и его общее
решение имеет вид A.1.16), т. е.
w0 = acos(/ + cp). A.1.23)
Подставляя в A.1.21) выражение для и0, получаем
Используя тригонометрическое тождество
перепишем это уравнение в виде
^ ^1:^ i . A.1.24)
Частным решением его является функция
— ~ a3 sln3(t+(p). A.1.25)
Коль скоро известны и0 и и1г известна и правая часть уравне-
уравнения A.1.22), и его аналогичным образом можно разрешить отно-
относительно «2. Вопрос о том, насколько полезно полученное таким
образом разложение, является предметом изучения этой книги.
1.2. Возмущения по координате 13
1.2. Возмущения по координате
Пусть некоторая физическая задача математически описы-
описывается дифференциальным уравнением L(u, х)=0 с граничным
условием В(и) = 0, где х—скаляр, и пусть известен вид ио ре-
решения и при х—>¦ х0 (х0 можно сделать равным 0 или схз). Тогда
можно попытаться найти отклонение функции и от и0 для х,
близких к хв, раскладывая это отклонение по степеням х при
х„ = 0 или по степеням х~1 при х0 = оо. Эта техника демонстри-
демонстрируется на следующих двух примерах.
1.2.1. Уравнение Бесселя нулевого порядка
Мы будем рассматривать решение уравнения
& + Ч'в0- A-2.1)
Это уравнение имеет регулярную особую точку х = 0, что наво-
наводит на мысль искать решение у в виде степенного ряда, используя
метод Фробениуса (например, Айне [1926, раздел 16.1]). Пола-
Полагаем, таким образом,
У 2 т, A-2.2)
т=0
где число \\ и коэффициенты ат должны быть определены так,
чтобы A.2.2) было решением уравнения A.2.1).
Подстановка A.2.2) в A.2.1) дает
+ z. .
m=0 m=0
ИЛИ
00 00
m = 0 m m=0 m
что можно записать в виде
2
т=2
14 Гл. 1. Введение
Заменив в первой сумме индекс т на т + 2, можем переписать
это уравнение в виде
Т A.2.4)
j
Поскольку A.2.4) является тождеством по х, коэффициент
при каждой степени х должен обратиться в нуль независимо,
т. е.
|i«flo = 0, A.2.5)
(ц+1Jа,=0, A.2.6)
2)*ат+, + аа = 0, т = 0, 1,2, .... A.2.7)
Если положить а0 ^ 0, то из первого уравнения следует р, = 0;
тогда A.2.6) дает с, =0, а из A.2.7) следует
^+2=-(|Х+О„Г+2J, т = 0,1, 2 A.2.8)
Следовательно,
atra+i==0> m=l, 2, 3, ...,
?l п = а° п °о
„ __?l п = ° п
2 22 ' ^ 22*42 *
?l п = п
22 ' ^ 22*42 * 22-42*62 *
д — I ivi _?» f] oq\
/1 \ li 22-42-62 BnJ ' vl-A-J/
При а0 = 1 полученное решение представляет собой функцию
Бесселя нулевого порядка и часто обозначается через J0(x). Та-
Таким образом,
д;2 х^ Xе Х^п
"о(л')=:' ~2% ' 22-42 22-42-62 ' ' ' ^ ' 22-42-62 BпJ ">"••••
A.2.10)
Поскольку отношение n-го члена к (п—1)-му равно —л;2/BпJ
и стремится к нулю при п —«¦ оо для всех значений х, ряд
A.2.10) для функции J0(х) сходится равномерно и абсолютно
при всех значениях х.
В п. 7.1.2 получено разложение /„(я), справедливое для
больших значений х; в § 1.5 оно сравнивается с разложением,
полученным выше.
1.3. Символы порядка и калибровочные функции 15
1.2.2. Простой пример
В качестве второго примера мы рассмотрим решение уравнения
при больших х. Будем искать это решение при больших х в виде
у= 2а,пх-». A.2.12)
т=\
Подстановка этого разложения в A.2.11) дает
00 00
2 -таахг«^+ 2 оидг- + (а1-1)х-» = 0. A.2.13)
Заменив во второй сумме индекс т на т-\-\, можем переписать
это уравнение в виде
00
(fll_l)x-i+ 2 (ат+1-тат)х-"-1=0. A.2.14)
т-\
Полученное уравнение является тождеством по х, поэтому коэф-
коэффициент при каждом х~т должен обратиться в нуль независимо,
т. е.
с, = 1, ат+1=та,п для т^\. A.2.15)
Следовательно,
о, = 1, а3 = 2!, о. = 31, аа = {п — 1)\,
и A.2.12) принимает вид
^ + ^ + S + S++i^1+ A216)
Поскольку отношение n-го к (п — 1)-му члену равно (n — 1)a;-1
и стремится к бесконечности при п —> схз независимо от значе-
значения х, то ряд A.2.16) расходится при всех значениях х. В §1.4
показано, что, несмотря на расходимость, этот ряд оказывается
полезным для численных расчетов; он носит название асимпто-
асимптотического ряда.
1.3. Символы порядка и калибровочные функции
Предположим, что мы интересуемся функцией единственного
вещественного параметра ё, которую будем обозначать /(е). При
выводе аппроксимаций нас будет интересовать предел /(е) при ь,
16 Гл. 1. Введение
стремящемся к нулю, что будем обозначать как е—»-0. Этот
предел может зависеть от того, стремится ли е к нулю снизу,
что обозначаем как е f 0, или сверху, е j 0. Если предел функции
/ (е) существует (т. е. у нее нет существенных особенностей
при е = 0, таких, как у функции sine), то имеет место одна
из трех возможностей:
0 j
j
f(e)-+A \ при е —*0, 0 < А < оо. A.3.1)
В первом и последнем случаях скорости сходимости /(е)—>¦ 0 и
/ (е) —>¦ оо оцениваются сравнением f (е) с известными функциями,
которые называются калибровочными функциями. Простейшими
и наиболее употребительными из них являются следующие:
..., е~", ..., е~2, е, 1, е, е2, ..., е", ... .
В некоторых случаях к ним должны быть добавлены функции
loge, log (logе), ее~\ е~Е~' и т. д.
Другими примерами калибровочных функций являются функции
sine, cose, tg e, she, che, the и т.д.
При сравнении поведения функции /(е) с калибровочной фун-
функцией g(e) при е—>-0 используется один из двух символов
Ландау: О или о.
Символ О
Мы пишем
fW = O\g(e)] при е^О, A.3.2)
если существуют положительное число А, не зависящее от ь, и
значение е0 > 0, такие, что
всех |е|^е0. A.3.3)
Это условие может быть заменено следующим:
lim I ±р-1 < оо. A.3.4)
Например, при е—*0 имеем
sine=O(e), sine2 =0 (е2),
sin7e = O(e), sin 2е — 2е =О(е3),
cose = 0(l), I—cose=0(e2),
Jo{e)=O(l), Jo(e)-l=O(e2),
she = O(e), che=O(l),
the = O(e), tge=O(e),
cthe=O(e), ctge=O(e).
1.3. Символы порядка и калибровочные функции 17
Если, кроме ь, функция / зависит и от другой'переменной х,
a g(x, e) — калибровочная функция, то по-прежнему пишем
f(x, e)=O\g(x, е)] при е —0, A.3.5)
если существуют положительное число А, не зависящее от ь, и
е0 > 0, такие, что
\f(x, e)\^A\g(x, e)\ для всех |е|<к0. A.3.6)
Если А и е0 не зависят от х, то говорят, что соотношение A.3.5)
выполняется равномерно. Например,
sin (л;4-е) = 0A) =0 [sin (x)] равномерно1) при е—«-О,
в то время как
е~Е' —1=0 (е) неравномерно при е—»-0,
1/х + е—угх = О(е) неравномерно при е —»-0.
Символ о
Мы пишем
/(e)=ofe(e)] при е —О, A.3.7)
если для каждого положительного числа б, не зависящего от е,
существует е0 > 0, такое, что
IMe)|<fi|g(e)| для |е|<ев. A.3.8)
Это условие может быть заменено следующим:
lim
г-* О
Таким образом, имеем при е
sine=o(l),
= 0. A.3.9)
cthe =о(ь"а/г), clge = o[e-<n+l)/n] для положительных п,
1—cos3e==o(e), exp(—e-1)=o(e") для всех п.
Если f — f(x, e) и g = g(x, e), то говорят, что A.3.7) выпол-
выполняется равномерно, если б и е0 не зависят от х. Например,
sin (я+ е) =о(е~1/3) равномерно при е—>О,
в то время как
е~ы — 1=о(е1/2) неравномерно при е—*0,
неравномерно при е—>О.
1) Второе из приведенных соотношений выполняется равномерно по к для
интервалов изменения к, в которых sin x jt 0.— Прим. ред.
18 Гл. 1. Введение
1.4. Асимптотические разложения и последовательности
1.4.1. Асимптотические ряды
Мы установили в п. 1.2.2, что частным решением уравнения
является ряд
^Т + ^ + 1? + ^ + + A42)
который расходится для всех значений х. Чтобы выяснить, на-
насколько этот ряд может оказаться полезным при вычислении
частного решения нашего уравнения, определим остаток при
усечении ряда на п-м члене. Для этого заметим, что частное
решение дифференциального уравнения задается интегралом
x~lexdx, A.4.3)
сходящимся при отрицательных х. Интегрируя A.4.3) по частям,
получим
==T + i + i + 3le~x J x~^xdx^
— 00
1 . 1! , 2! . 3! , , (л — 1)! . , „ Г п 1 *j /1 - *ч
= 7 + ^ + ^+ !?+•••+ х» +nle J *-"-1е*4х. A.4.4)
Следовательно, если мы усечем ряд на n-м члене, то остаток как
функция п и х будет иметь вид
x-"-xexdx. A.4.5)
Для сходимости ряда предел iim Rn должен равняться нулю.
п -* оо
В нашем примере это не выполнено. Действительно, при п —> оо
имеем Rn—*oo, так что ряд расходится для всех х, в согласии
с тем, что мы установили в п. 1.2.2, используя другой признак
сходимости. Поэтому ряД A.4.2) может оказаться полезным только
1.4. Асимптотические разложения и последовательности 19'
при фиксированном п. Для отрицательных х имеем
A.4.6)
Таким образом, ошибка, связанная с усечением ряда на п-м
члене, численно не превосходит первого отброшенного члена, а
именно (п+1)-го. Более того, при фиксированном п и |х|—>¦ оо
имеем Rn—*0. Поэтому, хотя ряд A.4.2) и расходится, для фик-
фиксированного п первые п членов ряда могут представлять у с
ошибкой, которая может быть сделана произвольно малой при
выборе достаточно большого значения \х\. Подобный ряд назы-
называется асимптотическим рядом типа Пуанкаре (Пуанкаре [1892])
и обозначается
00
Е^111 0-4.7)
Вообще, для заданного ряда 2 (arJxm), гДе °-т не зависит
от х, мы говорим, что он является асимптотическим рядом, и
пишем
00
У~Е^ "Ри 1*1— °° A-4-8)
т=0
тогда и только тогда, когда
п
$ 1*1 —оо. A.4.9)
Условие A.4.9) можно переписать в виде
л-1
ПРИ И —«>• A.4.10)
т=0
В качестве другого примера рассмотрим, как это было сде-
сделано Эйлером [1754], вопрос об оценке интеграла
^dx A.4.11)
О
для больших положительных о. Поскольку
OS
О)
{—^~, если х< со, A.4.12)
ш=0
20 Гл. I. Введение
кйх = т\, A.4.13)
б
имеем
f(«>) = ?, ~jrm'- A.4.14)
fn= 0
Поскольку отношение m-го члена к (т—1)-му, равное —тш,
стремится к бесконечности при т—юо, ряд A.4.14) расходится
для всех значений со.
Чтобы выяснить, является ли ряд A.4.14) асимптотическим,
вычислим остаток, получающийся при усечении ряда на п-и
члене. Заметим для этого, что
л-1
ТП vffl I I \tl vtl
л I \ Ч л 1\ Л 1 с\
Следовательно,
^+^, d-4.16)
т=0
где
e-5s-- <L4-i7>
Итак, ошибка, обусловленная усечением ряда на п-и члене,
численно не превосходит первого отброшенного члена, и мы
имеем1)
b^! ). A.4.18)
Поэтому ряд A.4.14) является асимптотическим:
m=U
') В формулах A.4.17), A.4.18) оригинала' имеются неточности, которые
исправлены при переводе.— Прим. ред.
1.4. Асимптотические разложения и последовательности 21
1.4.2. Асимптотические разложения
Для предста&аения функции вовсе не обязательно использо-
использовать степенной ряд. Вместо него можно использовать последо-
последовательность функций общего вида б„ (е), если только
6B(e)=o[6B_l(e)] при е^О. A.4.20)
Такая последовательность называется асимптотической последо-
последовательностью. Примерами таких асимптотических последова-
последовательностей являются
е", е"/", (loge)-", (sine)", (ctge)"". A.4.21)
В терминах асимптотических последовательностей мы можем
определить асимптотические разложения. Итак, про заданную
птдт(в), где ат не зависит от е, а бт(е) есть асимп-
т=0
¦готическая последовательность, мы говорим, что она является
асимптотическим разложением, и пишем
00
У- Е аяЬт(е) при е-»0 A.4.22)
oi= О
тогда и только тогда, когда
л-1
У= Е а«А» (е)+0 [6п (е)] ПРИ е~*0- A-4.23)
т=0
Очевидно, что асимптотический ряд есть частный случай асимп-
асимптотического разложения.
В качестве примера асимптотического разложения, не являю-
являющегося асимптотическим степенным рядом, мы снова рассмотрим
интеграл A.4.11). Следуя Ван-дер-Корпуту [1962], мы представим
/(со) в терминах факториальной асимптотической последователь-
последовательности [(co-f l)(w4-2) ... (со4-«)]~1 при со—>оо. Для этого заме-
заметим, что
11 х _
<о 4- х со (о (со 4- х)
_ J X Х{Х— 1) _
со со(со 4-1) ш(со4- I) (со4~х)
~~~~ы со (со 4- I) со (со 4-1) (со 4-2) со (со 4-1) (со 4-2) (со 4-х)' ^-
И вообще,
п
to _ V^ (~ 1)тх(х— I) ... {х-\-\— т)
"^Го (ш4-1)(со4-2)...(со-| т) +
2) ... (со +л
22 Гл. 1. Введете
Это равенство доказывается по индукции следующим образом.
Если A.4.25) верно для п, то мы покажем, что это равенство
верно и для п + 1. Для этого заметим, что
п
со _ у (— \)тх(х— 1)...(х+1— т)
+ (со+1)(со + 2) ... (со + я+1)~~
(— 1)п + 1х(х—I) ... (х—п)
(ш+1)(со +
(-1)"+1*(*-1)...(*-П)
"^ (со + 1) (со + 2) ... (со + п) (со + х)'
Объединяя два последних слагаемых и распространяя суммиро-
суммирование до п + 1, мы можем переписать это выражение в виде
п+1
со __ у (—1)'"х(х—1) ... (х+\—т)
171=0 /V
1) (со + 2) ... (со + п+ 1)
Таким образом, если равенство A.4.25) верно для п, то A.4.26)
устанавливает его справедливость для п + 1. Поскольку, согласно
A.4.24), равенство A.4.25) верно для п = 0, 1 и 2, оно верно и
для п = 3, 4, 5, ... . Поэтому оно верно для всех п.
Умножая A.4.25) наехр(—х) и интегрируя от х = 0 до л: = оо,
получим
/И= 2 атЬа(со) +«,(@), A.4.27)
т=0
где
)e~xdx, A.4.28)
(co + m)]-1, A.4.29)
GO
Rn = —6n{<a) Г^^—1) •••(*-") e-xdA:- A.4.30)
" "v 'J со + п + д;—n v '
о
Поскольку со—большое положительное число,
¦—n + l)e~xdx =
= |а„|.|б„(со)|. A.4.31)
Таким образом, ошибка, связанная с тем, что мы сохраняем
только п первых членов, численно не превосходит n-го члена, и,
1.4. Асимптотические разложения и последовательности 23
следовательно,
/ (©) = 2 атЬт (©) +0 [бп (со)]. A.4.32)
т=0
Поскольку бт(со)—асимптотическая последовательность при
to—>¦ оо, имеем
00
/ (со) ~ 2j «mSm (со) при со — оо. A.4.33)
0
1.4.3. Единственность асимптотических разложений
В предыдущих двух пунктах мы показали, что имеют место
соотношения
/И~ ? (~'}Гт! при ю^с» A.4.34)
т=0
= О
- 0-4.35)
Таким образом, асимптотическое представление функции / (со)
при со—* оо не единственно. В самом деле, функция f(co) может
быть представлена бесконечным числом асимптотических разло-
разложений, поскольку существует бесконечное число асимптотических
последовательностей, которые могут быть использованы для та-
такого представления. Однако для заданной асимптотической
последовательности бт(со) представление функции /(со) с ее по-
помощью единственно. В этом случае имеем
оо
/» ~ 2 атЬт{со) при со->оо, A.4.36)
т=0
где ат единственным образом определяются соотношениями
V „ « и* A.4.37)
> CI.ff.Qfj} (СО) *
a_=lim w-~ . . .
24 Гл. 1. Введение
1.5. Сравнение сходящегося и асимптотического рядов
Мы установили в п. 1.2.1, что одно из решений уравнения
Бесселя
задается рядом
" о \х) = 1 Т | 22-42 22-42-62 ' ' " "Т~22-42
22-42-62
равномерно и абсолютно сходящимся для всех значений х.
Другое представление для Jo можно получить, заметив, что
замена переменных
0 = *-i;i0i A.5.3)
преобразует уравнение A.5.1) в
^=0. A.5.4)
При х—> оо это уравнение стремится к виду
=0 A.5.5)
с решениями
y1=e±t*. A.5.6)
Это наводит на мысль о преобразовании вида
Уг=е'*уг, A.5.7)
которое приводит к уравнению
Это уравнение формально удовлетворяется рядом
„ -1 1 • '-32 1.32.5* 1.3»-5>.7« п
Заменив в этом ряду i на —i и комбинируя полученный
ряд с исходным, получим следующие два независимых решения:
yiv ~ х-1/2 (и cos х + v sin x),
1.6. Неравномерные разложения 25
где
— 1 1-32 1-32-52-72
Используя интегральное представление
A.5.12)
л
мы получаем связь между Jo (x) и этими двумя независимыми
решениями (см. п. 7.1.2):
h [U
COS(A;~
Проверка сходимости рядов с помощью отношения двух соседних
членов показывает, что уг, и и и, а следовательно, и правая
часть A.5.13), расходятся для всех значений х. Однако для
больших х слагаемые в и и v убывают быстро с ростом номера,
так что A.5.13) задает асимптотическое разложение для больших х.
Для малых х первые несколько членов в A.5.2) дают вполне
хорошую точность. В самом деле, первые 9 членов дают значение
УоB) с точностью до 11 значащих цифр. Однако с ростом х
число членов, необходимых для обеспечения такой точности,
быстро растет. При х = 4 восемь членов дают точность до третьей
значащей цифры, в то время как такую точность обеспечивает
первый член асимптотического разложения A.5.13). При даль-
дальнейшем росте х с гораздо меньшей затратой труда можно полу-
получать хорошую точность, используя асимптотический расходящийся
ряд A.6.13).
1.6. Неравномерные разложения
В задачах с возмущениями по параметру функции, подлежа-
подлежащие разложению, могут зависеть" от одной или большего числа
переменных, не считая параметра возмущения. Если построить
асимптотическое разложение функции f (х; е), где jc—скалярная
или векторная переменная, не зависящая от е, по асимптотиче-
асимптотической последовательности б„(е), то получим
f(x; е)~ 2 ат(х)бт(е) при е —0. A.6.1)
т= 0
Здесь коэффициенты ат являются функциями только перемен-
переменной х. Говорят, что разложение A.6.1) равномерно пригодно.
26 Гл. 1. Введение
если
/(*; е)= S am(x)8m(e) + RN(x; е), A.6.2а)
т=0
/?д. (а;; е) = О [&N (е)] равномерно для всех
рассматриваемых х. A.6.26)
В противном случае говорят, что разложение является неравно-
неравномерно пригодным (такое разложение часто называют сингуляр-
сингулярным разложением возмущения). Для того чтобы условия равно-
равномерности A.6.2) выполнялись, необходимо, чтобы для каждого
т слагаемое ат (х) 6т (е) было мало по сравнению с преды-
предыдущим ат_1{х)бт^1 (е). Поскольку при е—*0 имеем 6т (в) =
=о[6(В_| (к)], для равномерности разложения мы должны тре-
требовать, чтобы для всех рассматриваемых х ат(х) было не
более сингулярным, чем am_t (x). Другими словами, каждый член
должен быть малой поправкой к предыдущему члену независимо
от значения х. Равномерно пригодным разложением является
следующее:
sin (х + е) =
= sin x cos e + cos x sin e =
8 8 8 8
— sime + ecosjc—тп- sin x—-rrcosje + -n-sin jc + -=—cosjc—
—-ly-sinA;—-|7-cosa;+... при е —*0. A.6.3)
Заметим, что коэффициенты при всех степенях е ограничены для
всех значений х, поэтому ат{х) не более сингулярно, чем ат_, (х),
и как следствие этого разложение является равномерно при-
пригодным.
Для получения неравномерно пригодного разложения раз-
разложим для малых е функцию f (х; е) = ]/^х +е. Получим
Каждый член этого разложения, исключая первый, имеет осо-
особенность при х = 0 и является более сингулярным, чем преды-
предыдущий. Следовательно, разложение не является равномерно при-
пригодным. Справедливость его нарушается в окрестности х = 0.
Размеры области неравномерности могут быть оценены в неко-
некоторых случаях с помощью предположения о том, что два после-
1.6. Неравномерные разложения 27
довательных члена имеют один и тот же порядок. Для A.6.4)
это дает
~ = 0A), х = О(е). A.6.5)
Это можно было усмотреть, вспомнив, что ряд Тейлора функции
[1 + (г/х)]1/2 сходится только при |e/jc|, меньшем единицы.
В качестве второго примера неравномерно пригодного разло-
разложения рассмотрим разложение ехр(—в/) для малых в. Эта функ-
функция имеет следующий равномерно сходящийся для всех t ряд
Тейлора:
е-ы=^(_1)»^р. A.6.6)
п = 0
Ясно, что функция ехр (— в/) может быть приближенно пред-
представлена конечным числом членов только в том случае, когда
произведение в/ мало. Поскольку в — малая величина, сказанное
означает, что 2 = 0A). Если t имеет порядок О (г'1), то вели-
величина в2 не мала, и усеченный ряд перестает быть справедливым.
Например, для / = 2в~1 первые два члена дают для ехр(—2)
значение, равное —1. Нетрудно установить, что если в приве-
приведенном выше ряде сохранить конечное число членов, то усечен-
усеченный ряд может давать удовлетворительное приближение только
до некоторого значения t, после которого функция ехр (— в/)
и усеченный ряд отличаются друг от друга на величину, пре-
превосходящую заданный предел точности. Добавление дополнитель-
дополнительных членов к усеченному ряду увеличит значение t, вплоть до
которого усеченный ряд дает удовлетворительное приближение,
до нового значения V. Однако при t > t' разность между ехр (— et)
и новым усеченным рядом вновь превзойдет заданную точность.
Таким образом, для получения разложения, удовлетворительного
для всех t, необходимы все члены ряда.
То обстоятельство, что асимптотические разложения по па-
параметру не являются равномерно пригодными и перестают быть
справедливыми в некоторых областях, является скорее правилом,
чем исключением. Эти области, которые упоминаются иногда как
пограничные слои, носят название областей неравномерности.
Фридрихе [1955] обсуждал появление этих неравномерностей
в различных областях математической физики в обзорной статье.
Большинство методов теории возмущений было развито с целью
превратить неравномерные разложения в равномерно пригодные.
В гл. 2 обсуждаются источники неравномерности; в остальных
главах развивается техника сведения неравномерных разложений
к равномерным.
28 Гл. 1. Введение
1.7. Простейшие действия над асимптотическими разложениями
Для определения приближенных решений дифференциальных
и интегро-дифференциальных уравнений мы предполагаем, что
разложения можно подставлять в уравнения и выполнять над
ними простейшие действия, такие, как сложение, вычитание, воз-
возведение в степень, интегрирование, дифференцирование и умно-
умножение. Правила действий будут выведены без обоснования, хотя
некоторые из разложений расходящиеся. Условия, при которых
указанные действия могут быть обоснованы, изучались Ван-дер-
Корпутом [1956], Эрдейи [1956] и де Брейном [1958].
Правила сложения и вычитания могут быть обоснованы в об-
общем случае. Если, например,
f(x\ е)~"?ап{х)(рп(Е) при е—*0,
g(x; е) ~ 2Ж М Ф« 00 при е—О,
где ф„(е)—асимптотическая последовательность, то имеем (Эр-
(Эрдейи [1956])
affo e)+P?(x; е)~2[сшп(*)+РМ*)]фп(е)- A-7.2)
Если, кроме того, f (х; е) и ап (х)—интегрируемые функции х, то
ая(*)<1х ПРИ е~*°- A-7-3)
а а
Если же } (х; г) и Ф„(е)—интегрируемые функции е, то
f e
J/(x; e)dB~'%aa{x)lipa(e)de при в —0. A.7.4)
о о
Правило умножения для общего случая не определяется,
поскольку в формальном произведении рядов ^ап(х)ц>п(е) и
%Ьп(х)(рп(е) встречаются все произведения вида фп(е)фяг(е),
которые в общем случае невозможно расположить так, чтобы
получить асимптотическую последовательность. Иными словами,
умножение определено в тех случаях, когда в результате полу-
получается асимптотическое разложение. Это имеет место для всех
асимптотических последовательностей ф„, для которых произве-
произведения (р„(рт либо образуют асимптотическую последовательность,
либо имеют асимптотическое разложение. Важным классом таких
последовательностей является набор степеней е. Так, если при
е—*0 имеем
/(х; е)~2М*>е". ,
Упражнения 29
то при е—*0 справедливо соотношение
fix; e)g(x; в) ~ ^сп(х)г", A.7.6)
где
е„(*)= %ат(х)Ьп_т(х). A.7.7)
т=0
Возведение в степень не может быть обосновано для общего
случая. Формальное проведение этой операции в том случае,
когда она не обоснована, приводит к неравномерностям. Напри-
Например, равенство
( ±| ?) при е^О A.7.8)
не обосновано при e/jc = OA), потому что его правая часть яв-
является неравномерным разложением в области х = О(в). Анало-
Аналогично, равенство
1—г^— =1— вх + е2х2 — е3х»+... при в —>0 A.7.9)
1 —j~ &Х
не обосновано при ex = 0A), потому что правая часть его не-
неравномерна для больших х.
В общем случае не обосновано также дифференцирование
асимптотических разложений по такой переменной, как х, или
по параметру возмущения е. Так же как при возведении в сте-
степень, дифференцирование, не будучи обоснованным, ведет к не-
неравномерностям.
Упражнения
1.1. Определить при е -»-0 порядок следующих выражений:
1 — cos e е3
4я%, ЮООе1'2, In(l-fe),
1 — cos e '
„tge ,
I + cos в ' 1 + sin е '
sech - х е,
1.2. Расположить следующие выражения в ряд по убывающему порядку
при малых е:
е*. е1/2, inOne-1), I, e1/2 Ine, elne-1, e~1/e, lne-i,
е3/2, е, еЧпг-1.
30 Гл. I. Введение
1.3. Разложить каждое из следующих выражений при малом е, сохранив
три члена:
(a)
F) A+ecos/)-1,
(в)
(г) sin
(д) arcsin I
\ V * ~т
,. , l+2e — e2
<e) In ,Д.___
1.4. Пусть ц=цо + ец1+е*щ, Л = C/2) [l — \Г\ — ЗцA — ц)]. Разложить
величину Л при малом е, сохранив три члена.
1.5. Найти с точностью до второго порядка решение уравнения
и сравнить его с точным решением при е=0,1 и е=0,001.
1.6. Показать, что асимптотическое разложение функции
COS / .
= \
для больших х имеет вид
1.2! 4! , \ . . / 1 3! . 5!
г — ... j COS X.
Сходится ли этот ряд? Оценить остаточный член сверху и показать, что при
х -»- оо он стремится к нулю быстрее, чем последний член разложения.
1.7. Найти при х=0 два члена разложения для s, если x=s—(b/3s2)—
— Ce2/10s«).
1.8. Пусть x=s+eB—B/3) sm) + D2/5) e2s1/2. Показать, что решение
уравнения dx/ds=O имеет вид
Найти затем значение к, соответствующее этой величине.
1.9. Пусть
Уо (s) + eyt (s) + e2y2 (s)+ ... =/4
и
1 = s + ел:, (s) + e2x2(s)+ ... •
Показать, что
s=l —8^A)—
и найти затем уо(\), ухA) и у2A).
Упражнения 31
1.10. Рассмотреть уравнение
У' + У = еу\ у@)=\.
(а) Определить три члена разложения решения для малого е.
(б) Показать, что точное решение имеет вид
(в) Разложить это точное решение для малого е и сравнить с результатом п. (а).
(г) Справедливо ли это разложение для всех х?
1.11. Для решения уравнения
определить разложение по координате вида
п=0
1.12. Определить с точностью до второго порядка (т. е. найти три члена)
разложения для решений
(а) й + и = еы2, е<1,
(б) й-\-и — — ей
при условиях и@)=а, и@) = 0. Являются ли эти разложения равномерно
пригодными?
1.13. Найти при малом е разложение первого порядка (двучленное) для
решения системы
dx
s—=
§J = e-1, *0)=l.
1.14. Используя асимптотическое разложение A.5.13), показать, что боль-
большие нули | функции Jo (x) являются решениями уравнения
и что
1.15. Показать, что уравнение
32 Гл. 1. Введение
удовлетворяется при t -> оо разложениями (Левинсон [1969])
sin t + b2 cos/) Г
где с,- и 6,-—постоянные.
1.16. Показать, что уравнение Беллмана [1955]
при / -> оо удовлетворяется разложениями (Левинсон [1969])
и=ае-1— а2е~* +0 (е-3'),
/4+
где а и с,-—постоянные.
ГЛАВА 2
Прямые разложения и источники
неравномерности
В § 1.6 было указано, что разложения типа Пуанкаре (пря-
(прямые разложения), такие, как
/(х;е)~ S в„(е)/.(*),
т=0
где 6т(е)—асимптотическая последовательность по параметру е,
являются, как правило, неравномерно пригодными и нарушаются
в областях, называемых областями неравномерности. Некоторыми
из источников неравномерностей являются следующие: бесконеч-
бесконечная область, малый параметр при старшей производной, измене-
изменение типа дифференциального уравнения в частных производных
и наличие особенностей.
В случае бесконечной области неравномерность заявляет о
себе наличием так называемых вековых членов вида x"cosx и
x"sinx, из-за которых отношение fm(x)/fm_1(x) не ограничено,
когда х стремится к бесконечности. В случае малого параметра
при старшей производной разложение возмущения не может
удовлетворить всем граничным и начальным условиям и, таким
образом, является непригодным в пограничных и начальных
слоях. Поскольку граничные и начальные условия, необходимые
для корректной постановки задачи, зависят от типа рассматри-
рассматриваемого дифференциального уравнения в частных производных,
то неравномерности могут возникнуть и в том случае, когда тип
возмущенных уравнений отличается от типа исходного уравнения.
В четвертом случае в разложении в некоторой точке могут
появиться особенности, которые не имеют места в точном реше-
решении и становятся более выраженными в последующих членах.
Для каждого из источников неравномерности дается несколько
примеров, иллюстрирующих возникновение неравномерных раз-
разложений и способы их распознавания. Эти примеры поясняют
также технику получения возмущений по параметру. Кроме
того, большинство из этих примеров вновь появляется в после-
последующих главах, где они приводятся к равномерно пригодному
виду. В заключение главы обсуждается роль координат (как
зависимых, так и независимых) в получении равномерных или
34 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
неравномерных разложений, а также роль методов возмущений
в выборе координатных систем, в которых разложения стано-
становятся равномерно пригодными.
2.1. Бесконечные области
2.1.1. Уравнение Дюффинга
Рассмотрим колебания массы, соединенной с нелинейной пру-
пружиной, которые описываются уравнением Дюффинга
и + и + еи3 = 0, ы@) = а, u@)=0, B.1.1)
гдее—малое положительное число. Эта задача допускает интеграл
2. B.1.2)
Из уравнения B.1.2) следует, что при положительном е значе-
значения и ограничены для всех моментов времени.
Будем искать приближенное решение в виде асимптотического
разложения типа Пуанкаре
2
т=0
B.1.3)
Подставив его в B.1.1), разложив по степеням е и приравняв
коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующие
задачи для определения и0 и иг:
ыо = 0, uo@) = a, Uo@) = 0, B.1.4)
! = -«?, М0) = 0, п,@)=0. B.1.5)
Решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет для и0
следующий вид:
«0 = acos/. B.1.6)
Подставляя это значение ив в B.1.5) и используя тригономет-
тригонометрическое тождество cos3t — 4cos3/—3cos2, получим
. B.1.7)
Решением уравнения B.1.7) с начальными условиями B.1.5) яв-
является функция
^ -g-(cos3/—cost). B.1.8)
2.1. Бесконечные области 35
Таким образом,
u = acost + ea8 Г — -| *sin/ + ^(cos3f—cosf)! + 0(е2). B.1.9)
Из-за наличия слагаемого ts'mt имеем их1иа—>-оо при t—>-оо,
поэтому приведенное выше двучленное разложение не является
приближением к решению при t—>-оо. Слагаемое fsinf назы-
называется вековым членом; оно стремится к бесконечности при t—> оо,
в то время как выше мы выяснили, что и должно быть огра-
ограничено для всех t. Разложение B.1.9) нарушается не только
при бесконечном значении переменной t; если < = 0(е~1), то вто-
второй член сравнивается по порядку с первым в противоречие с
нашим предположением при выводе B.1.9) о том, что euj является
малой поправкой к и0. При дальнейшем вычислении членов
ряда будут появляться вековые члены вида t"{cost, s'mt). Хотя
результирующий ряд и является сходящимся, но сходимость
эта медленная, и представить решение для всех / конечным
числом слагаемых не удается.
Появление вековых членов характерно для задач о нели-
нелинейных колебаниях; следовательно, в этих случаях нельзя ожи-
ожидать, что прямое разложение окажется равномерно пригодным.
2.1.2. Модель слабой нелинейной неустойчивости
В качестве модели слабой нелинейной неустойчивости стоячей
волны рассмотрим следующую задачу:
ин-ихх—и = и\ B.1.10)
и(х, 0) = еcoskx, ut(x, 0) = 0. B.1.11)
Начальные условия наводят на мысль о разложении вида
+e3us+. .. . B.1.12)
Подставляя это разложение в B.1.10) и B.1.11), получим, при-
приравнивая коэффициенты:
при е
Щи — U-лхх и1 =0»
B 1 НЪ
их (х, 0) = cos kx, ult (x, 0) = 0; к ' '
при е2
«2tt— U.2XX— =0,
М*,0) = и,«(х, 0)=0; ^¦1Л4)
при е3
3» ЗХХ 3 It .
36 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
Решение задачи B.1.13) для первого порядка имеет вид
ut ^cosaj cos kx, ol = k*—l. B.1.16)
Таким образом, волна устойчива при k > 1 и неустойчива при
k < 1. Особый случай k= 1 разделяет устойчивые и неустойчивые
волны.
Решением задачи B.1.14) для второго порядка является функ-
функция ы2 = 0. Подставляя в B.1.15) выражение B.1.16) для и, и
решая задачу, получим
о
us = 5* [12A^ sin a^H-cos d]/—соэЗа^] cos&x +
128G]
+ I3 (cos Oit~cos V^ + b2 (cos 3{Ji^—cos nt)] cos 3kx, B.1.17)
где |i2 = 9k2— 1. Следовательно,
[9
2^- fsin(j]f
+ члены, ограниченные при t —> oo . B.1.18)
Здесь вновь прямое разложение нарушается при t — O(e~3) или
при больших значениях / вследствие наличия векового члена
t sin Ojt.
2.1.3. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла
В качестве третьего примера, поясняющего ответственность
бесконечной области за неравномерность в разложении типа
Пуанкаре, рассмотрим равномерное невязкое сверхзвуковое обте-
У,
у=±еПсс)
V
Симметричное
npttno
Рис. 2.1.
кание тонкого симметричного крыла, изображенного на рис.2.1.
Представим вектор скорости в виде q = ?/ grad(x4^); потенциал
Ф для стационарного двумерного безвихревого изэнтропического
течения удовлетворяет уравнению
== М* [ 1^1 BФх
+ BФ* + ФЭ Ф« + 2 A + Фх) Ф„Ф„, + фуу] , B.1.19)
2.1. Бесконечные области 37
где Вг = М2 — 1, М — число Маха свободного потока1). Нормаль-
Нормальная составляющая скорости обращается в нуль на поверхности
крыла, т. е. течение на поверхности происходит по касательной.
Следовательно, имеем
при у = ЕТ(х), 0<х</, B.1.20)
где /—длина хорды крыла. Граничные условия на бесконечности
вверх по течению имеют вид
Ф(ж, у) = 0. B.1.21)
Используя метод последовательных приближений, Ван Дайк
[1952] получил для уравнения B.1.19) с граничным условием
B.1.21) решение второго порядка при малом, но конечном е.
Будем искать разложение типа Пуанкаре, приняв в качестве
параметра возмущения е. Пусть
B.1.22)
В силу малости е мы сможем существенно упростить задачу,
перенеся граничное условие B.1.20) с кривой у = еТ(х) на отре-
отрезок у=0 с помощью следующего разложения в ряд Тейлора;
гТ) = ц>(х, 0) + гТц>у(х, 0) + ±е*Т*%у(х, 0)+... .
Перепишем B.1.20) в виде
щ (х, Q)+eT<pw (х, 0) + • • ¦ __ Т, /у 0<л:</ B 1 23\
Подставляя B.1.22) в B.1.19), B.1.21) и B.1.23), разлагая для
малого е и приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
степенях е, будем иметь для коэффициентов:
при е
Фзд—В«ф1яя=0, B.1.24)
Ф1в (х, 0) = Г (х), 0 < х < /, B.1.25)
Ф1 (х, у)=0 (на бесконечности вверх по течению); B.1.26)
при е2
B.1.27)
„ -Ф1ТО7' при у = 0 и 0<х</, B.1.28)
Ф2(х, у) = 0 (на бесконечности вверх по течению). B.1.29)
У—показатель изэнтропы.—Прим. ред.
38 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
Общее решение уравнения B.1.24) имеет вид
<Pi = f(E) + gD), B-1-30)
где
| = дг— By, i\ = x + By.
Из условия на бесконечности B.1.26) следует, что g=0, а усло-
условие B.1.25) дает f = —T(l)/Bx). Поэтому
<h=-T(l)/B. B.1.31)
Подстановка % в B.1.27) дает
Ч>*уу-В\%хх = М*(у + 1) f'f". B-1-32)
Записав левую часть B.1.32) в переменных | и ч\, будем иметь
Решение этого уравнения имеет вид
B-1.34)
Из B.1.28) можно получить, что функция К (\) должна иметь вид
. B.1.35)
Поскольку осевая составляющая скорости и, равна {УA+фх)>
имеем
^L уТ'Т"— ТТ"\ + О (е3). B.1.36)
Для у= 0A) третий член в B.1.36) ограничен и является поэтому
малой поправкой ко второму члену, который в свою очередь при
е—»-0 является малой поправкой к первому члену. Однако с
ростом у до значений порядка О(е~1) или больших третий член
сравнивается по порядку со вторым и, далее, с первым членом.
Это объясняется наличием слагаемого A/2) (у + 1) М*В-3уТ'Т",
из-за которого отношение u2/ttj не ограничено при у—»оо. Хотя
в рассматриваемой задаче и не присутствуют тригонометрические
функции, слагаемое это может трактоваться как вековой член.
1) Здесь строится решение в верхней лолуплоскости У5*0. Поток в ниж-
нижней полуплоскости будет симметричен ему относительно прямой у = 0.—
Прим. ред.
2.1. Бесконечные области 39
2.1.4. Обтекание сферы при малых числах Рейнольдса
Четвертым примером, показывающим трудность, возникающую
при бесконечной области, является несжимаемое равномерное
обтекание сферы при малом числе Рейнольдса. Для осесиммет-
ричного течения полная система уравнений Навье—Стокса в
Рис. 2.2.
сферической системе координат, изображенной на рис. 2.2, задает
следующее безразмерное уравнение относительно функции тока
|:-% | + 2 ctg 6^-2-^) ®Ж B-1.37)
где R = Uajv—число Рейнольдса (v—кинематическая вязкость)
и использовано обозначение
®. * +«!1в|У 1 |\ B.1.38)
дг2 ' г2 дв V Slne дб/ '
Граничные условия на поверхности сферы требуют обращения в
нуль скорости; в безразмерном виде будем иметь
в)=т1)гA, 6) = 0. B.1.39)
Из условия равномерности потока на бесконечности имеем
¦ф(г, e)-*-i-r2sin2e при г-*оо. B.1.40)
Соотношения B.1.37) — B.1.40) определяют корректно поставлен-
поставленную задачу относительно функции тока if.
Будем искать формальное разложение типа Пуанкаре, спра-
справедливое при малых R:
6; /?)= S R^m(r, в). B.1.41)
т=0
40 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
Подставляя B.1.41) с учетом условия B.1.40) в уравнение B.1.37),
разлагая при малом R и приравнивая коэффициенты при одина-
одинаковых степенях R, получим для коэффициентов:
при R0
^¦фо=О, B.1.42)
ФоО, в) = тЫ1. 6) = 0, B-1.43)
•Фо(г, 6) —*• yг2 sin2 6 при г —* оо; B.1.44)
при R
*i(l, в) =^,A,6) = 0, B.1.46)
tp,(r, 6) = о(/-2) при г—юо. B.1.47)
Условие B.1.44) подсказывает, что % надо искать в виде
¦фо = /(/¦) sin2 G. B.1.48)
Подставив функцию этого предполагаемого вида в B.1.42), полу-
получим уравнение
Г~?+-5Ё—-J-0. B-1.49)
общее решение которого имеет вид
f = c4r< + c2r2+Clr + c_,r-1. B.1.50)
Из граничного условия B.1.44) имеем с4 = 0, с2 = 1/2, а гранич-
граничные условия B.1.43) дают ct = —3/4, c_t = l/4. Окончательно
имеем
TlH = 4B/-2-3/-+!)sin*e. B.1.51)
Это решение было получено Стоксом [1851].
Подставив i]H вида B.1.51) в уравнение B.1.45), получим
Уравнение B.1.52) и граничные условия B.1.46), B.1.47) под-
подсказывают, что частное решение будет иметь вид
^,=g(r)sini!ecose. B.1.53)
Функция g должна удовлетворять следующим уравнению и гра-
граничным условиям:
? ^«(?_? + ?). B.1.54)
=0, B.1.55)
при г—-оо. B.1.56)
2.2. Малый параметр при старшей производной 41
Общее решение уравнения B.1.54) имеет вид
Из граничного условия B.1.56) следует, что fcg=fc5 = 0. Однако
даже такой выбор Ь3 и Ьь не обеспечивает требуемого поведения
функции g при г—»-оо из-за наличия члена —C/16) г2. Ясно,
что никаким выбором Ьв и Ь_г этот недостаток нельзя устранить.
Более того, невозможно отыскать другое частное решение урав-
уравнения B.1.52), которое обеспечило бы соответствующее поведение
функции гр! при г—»-оо. Граничные условия B.1.55) требуют,
чтобы Ь0 = Ь_2 = —3/32. Следовательно,
-г—Зл +1 — -7 + 7И sinfiecos6. B.1.58)
Трудность, связанная с прямым разложением, здесь вновь
возникает из-за наличия бесконечной области. Двучленное раз-
разложение
xsin26cose + 0(/?2) при R^O B.1.59)
удовлетворяет граничным условиям на поверхности и не удовлет-
удовлетворяет граничным условиям на бесконечности. Таким образом,
это разложение перестает быть справедливым при больших г.
Это обстоятельство носит название парадокса Уайтхеда [1889],
впервые получившего это решение [1889] методом последователь-
последовательных приближений и указавшего первым на его неравномерность.
2.2. Малый параметр при старшей производной
2.2.1. Пример второго порядка
Чтобы проиллюстрировать трудность, связанную с наличием
малого параметра при старшей производной, рассмотрим следую-
следующий пример (Латта [1964]):
0, 0<*<1, B.2.1)
у{0)=а, уA) = Ь. B.2.2)
Здесь е—малое положительное число. Будем искать сначала пря-
прямое разложение вида
i/-i^,W. e^l. B.2.3)
n=0
42 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
Подстановка в B.2.1) и приравнивание коэффициентов при рав-
равных степенях е приводит к уравнениям
0, B.2 А)
-Уп-г- B.2.5)
Нетрудно видеть, что для приближения порядка п величину
t/n_t можно считать известной, и, следовательно, уп для любого
п задается дифференциальным уравнением первого порядка.
Отсюда следует, что решения уравнений B.2.4) и B.2.5) не могут
удовлетворить обоим граничным условиям B.2.2), и одно из них
должно быть опущено. В п. 4.1.2 показано, что должно быть
опущено граничное условие в нуле. Решив уравнения для пер-
первых двух слагаемых и наложив граничное условие y(l) = b, по-
получим
). B.2.6)
Значение в нуле г/ = ЬеA+е), вообще говоря, отличается от а
из B.2.2). Следовательно, погрешность в B.2.3) не является
равномерной на [0, 1] и разложение вблизи нуля нарушается.
Для понимания природы неравномерности обратимся, далее,
к точному решению уравнения B.2.1) с условиями B.2.2):
(ae
У«,<*
где
Si,2 = 2ё " B.2.8)
Можно показать, что предел при фиксированном х
Mm y(x, e)=be1~x B.2.9)
соответствует первому члену в B.2.6) и удовлетворяет гранич-
граничному условию у(\) = Ь. Чтобы понять, что же происходит в гра-
граничной точке х = 0, вычислим у, используя B.2.7), с точностью
порядка е, обозначив эту величину через у. При е—*0 имеем
Sl = —1+0 (е), sa=—|+1 + 0(е). B.2.10)
Следовательно,
у = Ьё1-*+(а~Ье)е-№+х + О(г). B.2.11)
В проведенных выше вычислениях член, пропорциональный
ехр[—(х/е) + х], был учтен, поскольку оценка проводится
2.2. Малый параметр при старшей производной
43
не только для случая е—»-0, но также и для случая х—>О.
По способу построения B.2.11) можно сделать вывод, что поря-
порядок погрешности равномерен на [0, 1]. На рис. 2.3 схематически
показано поведение у и первого слагаемого из B.2.6), которое
будем обозначать у. Видно, что у согласуется с у всюду, за
исключением малой окрестности нуля, в которой у быстро ме-
меняется, чтобы удовлетворить граничному условию. Таким обра-
У
е=0,0
и0,0
0,5
Рис. 2.3.
1,0 х
зом, функция у (х; е) является непрерывной при е > 0 и при
е=0 терпит разрыв. В самом деле, справедливы соотношения
B.2.12)
lim lim у (х; е)=с,
е-*0х -* 0
lim lim y(x; г)=Ье,
х -*¦ 0 в ->¦ О
B.2.13)
которые показывают, что точное решение у(х; г) сходится к у
(первое слагаемое в B.2.6)) неравномерно.
2.2.2. Обтекание тела при больших числах Рейнольдса
Рассмотрим двумерное вязкое несжимаемое обтекание тела
поступательным потоком, показанного на рис. 2.1. Полная сис-
система уравнений Навье—Стокса для установившегося течения
44 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
определяет следующее уравнение для функции тока я); (ы = i|)y,
t> = —i])x; и и t;—компоненты скорости по осям х и у):
0- B-2Л4)
Здесь R = UL/\—число Рейнольдса, v — кинематическая вязкость
жидкости. Уравнение B.2.14) нужно дополнить граничными усло-
условиями. На поверхности тела, y = F(x), обращаются в нуль обе
компоненты скорости; таким образом,
F'% [x, F (х)] + ух [х, F (х)] = 0, B.2.15)
y[x,F(x)] = 0. B.2.16)
Второе условие означает обращение в нуль касательной к телу
составляющей скорости (так называемое условие прилипания),
в то время как первое условие означает обращение в нуль
нормальной составляющей скорости. Третье условие имеет вид
гр(л\ у)—*у (на бесконечности вверх по течению). B.2.17)
Пытаясь построить прямое разложение вида
!>(*, У. Я)= 2 6„(ЯI>»(*.0) при Я-* оо, B.2.18)
т=0
где
6„(Я)=1, 6я(/?) = о[6я_1(/?)] при Я — оо,
мы получим следующее уравнение для первого слагаемого (не-
(невязкое течение):
(!^H' <2-2-19>
Это уравнение является дифференциальным уравнением не чет-
четвертого, а третьего порядка. Поэтому % не может удовлетво-
удовлетворить всем граничным условиям B.2.15) и условию B.2.17); одно
из них следует опустить. Поскольку при невязком течении воз-
возможно скольжение по телу, опустить следует граничное условие
B.2.16). Поэтому полученное решение для я|H является при
R —* оо очень хорошим приближением точного решения вдали
от тела и становится несостоятельным вблизи тела. Касательная
составляющая скорости должна обратиться в нуль на поверх-
поверхности независимо от того, сколь мала вязкость (сколь велико
число R). По этой причине при больших R точное решение
близко к % всюду, за исключением тонкого слоя около тела,
в котором оно претерпевает быстрое изменение, чтобы восстано-
восстановить условие прилипания. Этот тонкий слой и есть пограничный
слой Прандтля.
2.2. Малый параметр при старшей производной
45
2.2.3. Релаксационные колебания
Следующей задачей, которую мы рассмотрим, будет задача
об отыскании периодических решений для уравнений вида
eu" = f(u',u) B.2.20)
при малом е и при условии, что уравнение f(u', ы) = 0 периоди-
периодических решений не имеет. Впервые к задачам такого рода обра-
обратился Ван-дер-Поль [1927], пытаясь объяснить колебания со
Рис. 2.4.
срывами (релаксационные колебания) в электрической цепи. Эти
колебания описываются следующим уравнением, которое назы-
называют теперь уравнением Ван-дер-Поля:
B.2.21)
Положив v = u', х — и/а и е = а~2, приведем B.2.21) к виду
V — —-X
I *• B.2.22)
do
При е = 0 имеем уравнение x = v—(р3/3), которое определяет
кривую, показанную на рис. 2.4. Предположим, что е очень
мало, но отлично от нуля, и рассмотрим интегральную кривую,
начинающуюся в точке Р. Поскольку точка Р находится вдали
от кривой Г, то вплоть до точки Plt в которой интегральная кри-
46
Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
пг
вая достигает кривой Г, величина dv/dx равна приближенно—со.
В точке Ру имеем dv/dx = 0.
Поскольку вдали от кривой Г величина dv/dx равна прибли-
приближенно ± со, то интегральная кривая стремится отслеживать
кривую Г, не отходя от нее, до тех пор пока не достигнет окрест-
окрестности точки Р2. В этой точке интегральная кривая сворачивает
почти вертикально вверх до пересечения с кривой Г в точке Р3.
Поскольку вдали от кривой Г имеем dv/dx к, ± оо, то интеграль-
интегральная кривая отслеживает по часовой стрелке кривую Г, оставаясь
над ней до некоторой окрестности точки Pt, где она почти вер-
вертикально поворачивает вниз до пересечения с кривой Г в точке Рь.
Затем она отслеживает путь от Ръ до Р2. Поэтому предел пе-
периодического решения при е —+ 0 состоит из дуг РЬР\ и P3Pt
кривой Г и двух вертикальных отрезков Р„Р5 и P%PS. Таким
образом, предельное решение при
е —>• 0 удовлетворяет уравнению
f(u'y ы) = 0 всюду, за исключени-
исключением некоторых точек, в которых
функция v = u' имеет скачкообраз-
ный разрыв.
2.2.4. Несимметричный изгиб предвари-
предварительно напряженных кольцевых пластин
Последним примером рассмат-
рассматриваемого класса является не-
несимметричный изгиб предвари-
предварительно напряженной кольцевой
пластины, исследованный Альц-
хаймером и Дэвисом [1968]. На-
Наружная кромка пластины жестко
заделана, отверстие кольца содер-
Рис. 2.5. На верхнем рисунке— жит твердое включение (показано
вид недеформированной пластины на рис 2.5). К твердому вклю-
СВТои^иноеМсоРстГниГДе- чению приложен момент, который
стремится повернуть его вокруг
диаметра и вывести из плоскости пластины. Для тонкой коль-
кольцевой пластины без поверхностного нагружения, на которую
действуют силы, направленные по плоскости пластины, Тимо-
Тимошенко и Войновский-Кригер [1959] вывели следующее уравне-
уравнение относительно поперечного смещения со:
1 да> , 1 б2ш
Здесь пг, щ и nrQ—силы в плоскости на единицу длины. В B.2.23)
полярный радиус и поперечное смещение приведены к безраз-
2.2. Малый параметр при старшей производной 47
мерному виду и измеряются в единицах внешнего радиуса лг
и толщины пластины h соответственно. Жесткость на изгиб за-
задается формулой D = Ehs/l2(l—v2), где Е—модуль Юнга, v —
коэффициент Пуассона.
Относительно сил в плоскости пластины предположим, что
они создают начальное равномерное радиальное предварительное
напряжение и достаточно велики, чтобы их можно было считать
постоянными величинами при последующем поперечном движении
(т.е. пг = пв—постоянны, пге = 0). Таким образом, уравнение
B.2.23) сводится к виду
eVca— V2cu = O, B.2.24)
где
г\п
Пользуясь рис. 2.5, можно выписать следующие граничные
условия:
^ при r=b, B.2.25)
со =4^ = 0 при л = 1. B.2.26)
Здесь а предполагается настолько малым, чтобы sin a я» а,
и b = rjrit где г2—радиус твердого включения.
Граничные условия B.2.25) и B.2.26) подсказывают решение
вида
w = «(r)cose. B.2.27)
Тогда будем иметь
г dr TS)\dr*^~r dr
u{b)^ba, 2p(&) = a, B.2.29)
и{1) = 0, ^A) = 0. B.2.30)
При е—>0 уравнение B.2.28) сводится к виду
i!?i_i_±^_ii_0 (О 9 ЯП
dr2 + г dr г*"и« (ЛЛ<51)
который представляет собой уравнение второго порядка. Поэтому
его решения не могут удовлетворить четырем граничным уело-
48 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
виям B.2.29) и B.2.30), и, следовательно, два из них должны
быть опущены. Пытаясь построить прямое разложение вида
2
п=0
B-2.32)
мы обнаружим, что каждое ип удовлетворяет уравнению B.2.31).
Следовательно, разложение B.2.32) не является пригодным для
всех г из отрезка [Ь, 1]. В п. 4.1.5 с помошью метода сращи-
сращивания асимптотических разложений получено равномерно при-
пригодное разложение.
2.3. Изменение типа дифференциального уравнения
в частных производных
В зависимости от типа дифференциального уравнения в част-
частных производных для корректной постановки задачи требуются
те или иные граничные и начальные условия. Если исходное урав-
уравнение при нулевом значении малого параметра меняет свой тип,
становясь, скажем, из эллиптического параболическим или гипер-
гиперболическим, то могут возникнуть трудности. Этот класс задач
можно рассматривать как подкласс задач, которые обсуждались
в п. 2.2.1—2.2.4. Ниже мы опишем два примера, а также труд-
трудности, которые возникают при разложении в одном из них.
2.3.1. Простой пример
Рассмотрим следующую задачу Дирихле относительно функции
Ф (л;, у, г):
— ф,
Ф(О,"
ф(Х,
фA,
Ф (*!
, = 0, 0<х, j/<1,
у) = а(у),
0)=fc(x),
у) — с (у),
1) = d (x).
B.3.1)
B.3.2)
B.3.3)
B.3.4)
B.3.5)
При е > 0 эта задача является корректно поставленной и допус-
допускает единственное решение. Однако при е = 0 B.3.1) сведется
к уравнению
Ф„ = О, B.3.6)
которое является параболическим (уравнением диффузии). Реше-
Решение уравнения B.3.6), вообще говоря, не может удовлетворить
всем граничным условиям B.3.2)—B.3.5), и одно из них должно
быть опущено. Из рассмотрений п. 4.1.2 следует, что нужно
опустить условие B.3.5), и тогда полученное решение окажется
2.3. Изменение типа дифференциального уравнения 49
непригодным вблизи у=\. Можно предположить, что при малом е
решение редуцированного уравнения близко к точному решению
всюду, за исключением узкой области возле у = 1, в которой
последнее быстро меняется и успевает удовлетворить опущенному
граничному условию.
Следует отметить, что сингулярная природа задачи зависит
не только от изменения типа уравнения, но также и от заданной
области, в которой получено решение. Хотя решение уравнения
B.3.1) в области О^х, у^1 и не стремится равномерно к ре-
решению уравнения B.3.6), в верхней полуплоскости решение
B.3.1) равномерно стремится к решению B.3.6).
Далее рассмотрен пример, в котором изменение типа уравне-
уравнения не приводит к неравномерностям.
2.3.2. Длинные волны на поверхности жидкости, стекающей
по наклонной плоскости
В этом пункте мы рассмотрим различные характеристики волн
на поверхности жидкой пленки, стекающей вниз по наклонной
плоскости (рис. 2.6). Этот довольно сложный пример рассмат-
Рис. 2.6.
ривается здесь потому, что он иллюстрирует общую методику
для длинных нелинейных диспергирующих волн. Течение опи-
описывается уравнениями Навье—Стокса
^ + 4 = 0, B.3.7)
дх ду
§ +t+gstoB + vVU. B.3.8)
dt дх ду 9 дх
dv . -^ dv . л dv I dp r. , Лл /г»ол\
-~ + u-^+v-^ = — -z-^r—gcose + w2f. B.3.9)
dt дх ду Р ду
Здесь и и v—компоненты скорости по направлениям х и у, р —
давление жидкости,? — время, р и v — плотность жидкости и кине-
кинематическая вязкость соответственно. На поверхности раздела
50 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
жидкость—твердое тело обе компоненты скорости исчезают, т. е.
ы = и = 0 при у = 0. B.3.10)
Если поверхность жидкости гладкая (т. е. волны отсутствуют),
то существует следующее ламинарное установившееся решение:
B.3.11)
Р = Ро—PgcosQ{y—h0).
В этом решении использовано граничное условие ди/ду = 0 при
y = h0 (т. е. сдвиг отсутствует).
Далее мы рассмотрим возмущения в этой картине установив-
установившегося течения. Введем безразмерные величины следующими
соотношениями:
B.3.12)
t=tUL/l, P = P/pghu sin 6,
Здесь U L=ghls\nQ/2\, / — характерная длина волн, а—безраз-
а—безразмерная величина, количественно описывающая глубину жидкости.
Подставив B.3.12) в уравнения B.3.7)—B.3.9) и используя
B.3.11), получим следующие уравнения для безразмерных воз-
возмущений:
B.3.13)
B.3.14)
v j^vvv ), B.3.15)
где R = ULhJv—число Рейнольдса жидкой пленки, U = 2у—у2,
а штрих означает дифференцирование по у.
Уравнение B.3.13) может быть решено введением функции
тока ty{x, у, t), такой, что
(и, v) = (%, — фя).
Тогда уравнения B.3.14) и B.3.15) можно будет объединить соот-
соотношением
%у B.3.16)
Уравнение B.3.16) должно быть дополнено граничными усло-
условиями. Из B.3.10) имеем условие на поверхности раздела твер-
2.3. Изменение типа дифференциального уравнения 51
дое тело—жидкость
%(х, О, *)=!>(*. О, 0 = 0. B.3.17)
На свободной поверхности нормальная составляющая скорости
жидкости равна скорости самой поверхности раздела, т. е.
= 0 при y = h(x). B.3.18)
Кроме того, условие отсутствия касательного напряжения на сво-
свободной поверхности дает
-a^xx)(l~a*hl)-4a^xvhx = 0 прн y = h. B.3.19)
Наконец, из непрерывности нормального напряжения на этой
свободной поверхности следует
= 0 при у = А. B.3.20)
Здесь рх, согласно B.3.14), имеет вид
B.3.21)
и принято обозначение
г — Л
где a — поверхностное натяжение жидкости.
При выводе уравнения, описывающего безразмерное изменение
возмущенной поверхности, мы будем следовать Бенни [1965а] *):
сначала найдем разложение по степеням а для возмущенного
решения задачи B.3.16), B.3.17), B.3.19)—B.3.21) и затем под-
подставим это разложение для tp в B.3.18). Итак, положим в пре-
предыдущих уравнениях
я]) = я]H+ «!])!+..., B 3 22)
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях а. Полу-
Получим, приравнивая члены:
') Волны в тонком слое вязкой несжимаемой жидкости, стекающей по вер-
вертикальной стенке, были впервые исследованы П. Л. Капицей в 1948—1949 гг.
Асимптотический анализ волн в слое вязкой жидкости на наклонной плоскости
был проведен Ю. П. Иваниловым [1961]. См. обзорную статью Н. Н. Моисеева
11967].— Прим. ред.
52 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
порядка а0
порядка а
причем
1
Решение
я1)о=1Фо|/ = 0 при у = 0,
"$Оуу — 2(У—1) при y = h,
^оууу = ® при y = h;
¦ф, = i]7lb( = 0, при у — О,
^вд = ^ ПРИ y—ht
ро = (Л—I)ctg6—Т cosecQhxx при y=h,
l
задачи B.3.23)—B.3.26) имеет вид
B.3.23)
B.3.24)
B.3.25)
B.3.26)
»,]. B.3.27)
B.3.28)
B.3.29)
B.3.30)
|>J. B.3.31)
B.3.32)
Тогда уравнение B.3.27) примет вид
и при условии B.3.28) будет иметь сюим решением функцию
Ъ - А {х, 0 ^ + В (*, 0 у3 + 4" (ft<y4 + i M^5) • <2-3-33)
Подставив ijjj в B.3.29)—B.3.31) и решив полученные уравнения
относительно А и В, будем иметь
В = 4 {К ctg 6—Т cosec вАяжя),
233
Поскольку
J- № (^. У. ОI „.*] = (%
то B.3.18) можно переписать в виде
/ц + BА-Л«)Л, + ^[Ч>(*. у, OUa] = 0. B.3.35)
Подставив if = i)j0 + О (а) в это уравнение, будем иметь
x = 0. B.3.36)
2.4. Наличие особенностей 53
Тогда
ф,(х, й, 0 = — -|ft8(ft*
Положив в B.3.35) ty = ty0-j-aty1+O (а*), получим
hxx +lcosec
hi + 2TcosecQh2hxhxxx] +O(a2) = 0. B.3.37)
Резюмируем проделанное в этом пункте. Начав с эллиптичес-
эллиптического уравнения B.3.16), мы заменили его уравнениями B.3.23)
и B.3.27), которые, очевидно, не являются эллиптическими. От
этих уравнений возмущения мы пришли к уравнению B.3.37),
которое явно гиперболическое. Таким образом, изменение типа
уравнения не привело к возникновению неравномерностей, по-
поскольку рассматриваемая область была неограниченной.
2.4. Наличие особенностей
В данном классе задач разложения в рассматриваемой области
имеют особенности, которые не содержатся в точном решении. Более
того, в членах высших порядков особенности не только сохра-
сохраняются, но и становятся более выраженными.
2.4.1. Сдвиг особенности
В качестве первого примера указанного класса рассмотрим задачу,
изучавшуюся Лайтхиллом [1949а]:
(x + ey)d? + B + x)y = 0, у(\) = е~\ B.4.1)
Это уравнение имеет особенность на прямой х =— гу. Граничное
условие, однако, обеспечивает положительность точного решения
у (х) для х^О; следовательно, у (х) не имеет особенностей при
0<х<оо.
Для отыскания прямого разложения положим
У = У,(х) + гу1{х) + ... . B.4.2)
Подстановка B.4.2) в B.4.1), разложение по степеням е и при-
приравнивание коэффициентов при е° и е даст нам
0, уоA)=е-\ B.4.3)
-у00?, 1/1A) = 0. B.4.4)
Решение задачи нулевого порядка имеет вид
уо = х-ге-*. B.4.5)
54
Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
Подставив у0 в B.4.4) и решив полученное уравнение, будем иметь
)dt. B.4.6)
При х—>-0 имеем у0 = О(х~2), в то время как уг —О(х~ъ). Таким
образом, хотя и точное решение не имеет особенности при х~0,
решение нулевого порядка имеет особенность в точке д; = 0, и эта
особенность далее становится сильней.
2.4.2. Задача о космическом корабле Земля — Луна
Далее мы рассмотрим движение космического корабля массы т
в гравитационном поле двух фиксированных притягивающих
центров. Масса Ме Земли много больше массы Мт Луны. В де-
Космачеспий
корабль
{ос,у)
Земля
Луна
Рис. 2.7.
картовой прямоугольной системе координат, показанной на
рис. 2.7, безразмерные уравнения движения имеют вид1)
dt2 - U W гг V-
X— 1
B.4.7)
B.4.9)
где
х) Уравнения B.4.7) и B.4.8) справедливы при условии, что притягивающие
центры неподвижны. При рассмотрении движения точки в поле притяжения
Земли и Луны необходимо учитывать, что система координат ху вращается
вместе с Землей и Луной. Это приводит к появлению в уравнениях B.4.7),
B.4.8) дополнительных членов, обусловленных переносными и кориолисовыми
силами инерции.— Прим. ред.
2.4. Наличие особенностей 55
Для введения безразмерных расстояния и времени использованы
соответственно расстояние d между притягивающими центрами
и величина
Г d3 "I i/2
[G(Mm+Me)\ '
где G — постоянная всемирного тяготения. Лагерстром и Кевор-
кян [19666] изучали эту задачу при начальных условиях
х = 0, 0 = 0, § = -!^с при t = 0, B.4.10)
ft = —P2, ?ф\, B.4.11)
где h—полная энергия корабля.
Поменяв ролями х и t, рассмотрим следующие прямые раз-
разложения для малого jut:
* = *,(*)+ИМ*)+ ••-. B.4.12)
у =№ + .... B.4.13)
Подстановка B.4.12) и B.4.13) в B.4.7)—B.4.9) и приравнива-
приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях ц. дают
-|=4. B-4.14)
|#^' BЛ5)
44i/i + § 0. B.4.16)
'о 'о л
Решения этих уравнений при начальных условиях B.4.10) и
B.4.11) имеют вид
= ^ arcsin p K^—^2 Vx A -р2аг), B.4.17)
^1 = _сх. B.4.19)
Таким образом, приведенное выше разложение при х ->¦ 1 нару-
нарушается, поскольку tx имеет логарифмическую особенность. Можно
показать, что в высших приближениях особенности в окрестности
*=1 усиливаются. В самом деле,
*)-*] при х-+1. B.4.20)
56 Г л- 2. Прямые разложения и источники неравномерности
2.4.3. Термоупругие поверхностные.волны
Рассмотрим влияние теплопроводности на распространение волн
по поверхности изотропного упругого полупространства. Вместо
закона теплопроводности Фурье будем использовать модифици-
модифицированный закон Максвелла, чтобы учесть то малое время, которое
необходимо для установления стационарной теплопроводности
после внезапного возникновения градиента температуры в твердом
теле. Будем предполагать, таким образом, что поток тепла h
определяется соотношением
^ . B.4.21)
Здесь 0 означает изменение исходной абсолютной температуры 0О,
k—коэффициент теплопроводности, т0 — время термической рела-
релаксации. В уравнении B.4.21) предполагается, что тепловые си-
сигналы распространяются не мгновенно, а имеют конечную скорость
распространения. В наших рассмотрениях здесь мы будем сле-
следовать Найфэ и Неммат-Нассеру [1971].
Поскольку материал предполагается изотропным, мы будем
рассматривать двумерное движение в плоскости (х, у), обозначая
смещения соответственно через и и v. Ось х лежит на свободной
поверхности, а ось у перпендикулярна к ней и направлена внутрь
тела. Пусть f>2 = (K-\-2\x)/i\, где К и |д.—коэффициенты упругости
Ламе, пусть Ь = [2 + (ЗЯ,/|х)] ос0о, где а—коэффициент линейного
теплового расширения, и пусть g = а(ЗЯ- + 2(х)/рс„, где р—плот-
р—плотность материала, cv—удельная теплоемкость при постоянном
объеме. Тогда совместные уравнения теории упругости и тепло-
теплопроводности запишутся в виде
дв
B-4-
dt
В приведенных уравнениях для введения безразмерных времени
и длины использованы соответственно величины 1/ш* и vp/oi*, где
иР = "^- B.4.25)
На свободной поверхности обращаются в нуль нормальные
и касательные напряжения и градиент температуры, т. е. имеем
2.4. Наличие особенностей
57
при у = у)
= 0, B.4.26)
|-Ь0 = О, B.4.27)
| = 0. B.4.28)
Решение задачи B.4.22)—B.4.28) будем искать в виде
(и, v, 0) = (а1, ал, а3)ехр(—щ -\-mt-\-iqx), B.4.29)
где а имеет положительную вещественную часть. Тогда волно-
волновая скорость будет задаваться равенством c = co/Re<7, а коэффи-
коэффициент затухания — равенством s = Im q. Подстановка B.4.9) в
B.4.22) — B.4.25) и приравнивание нулю определителя линейной
системы уравнений относительно ак дают следующие три решения
для а, выраженные через q и ы:
ос? = <72—Р2(о\ B.4.30)
— тсо2 —со2A+те)-НшA+е), B.4.31)
—<72ш2тA+е). B.4.32)
Здесь принято обозначение e=bg/P2. Для каждого а существует
собственный вектор вида
и вида
для * =
Подставим собственные функции, соответствующие собственным
векторам B.4.33) и B.4.34), в уравнения B.4.26) —B.4.28) и
приравняем нулю определитель системы уравнений относитель-
относительно alk. Устремляя со-*оо, получаем
где
-с«т)—с«та,
B.4.36)
Положив в B.4.35) и B.4.36) е = 0, можно получить клас-
классическую скорость волн Рэлея. При Р2 = 3 (соответствует коэф-
58 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
фициенту Пуассона 1/4) имеем с2 =0,2817. Для малого е можно
попытаться построить такое разложение для с2, первый член
которого совпадает с решением Рэлея. Итак, положим
C2=4(l+^i+e2c2+...). B.4.37)
Подставив B.4.37) в B.4.35) и B.4.36), разложив по степеням е
и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в обеих
частях, получим
B'4'38)
где
F = 2—c%{\ + т)+ 21/A— с^)A— тс%). B.4.39)
Из равенства B.4.38) видно, что при значениях т, близких к с~$,
коэффициенте, становится неограниченным, и разложение B.4.37)
нарушается. Можно показать, что при т = с#2 высшие прибли-
приближения более сингулярны, чем второй член.
При т > с^2 разложение B.4.37) следует модифицировать; в
противном случае величина А2 окажется отрицательной, а в силу
B.4.32) станет отрицательной действительная часть одного из
слагаемых, составляющих а. Модифицированное разложение име-
имеет вид
с2= —A+ее,+е2с2+ ...). B.4.40)
Функции Cj и с2 можно определить, подставив B.4.40) в B.4.35)
и приравняв коэффициенты при е и е2 в обеих частях. Проделав
это, получим
с, = ^т, с2 = — ., т" .. Г—;М2, B.4.41)
где М является корнем уравнения
Разложение B.4.40) является особенным при t = Cr2, поскольку
в этой точке коэффициент при М2 обращается в нуль. Можно
показать, что в высшем приближении эта особенность услож-
усложняется. Таким образом, первое из вышеприведенных разложений
справедливо при т < с#2, второе—при т > с^2; оба разложения
нарушаются вблизи т = с^2. Разложение, пригодное в окрестности
этой особенности, построено в п. 4.1.6 с помощью метода сращи-
сращивания асимптотических разложений.
2.4. Наличие особенностей 59
2.4.4. Задача с точкой возврата
В качестве последнего примера рассмотрим асимптотические
разложения решений уравнения
у" + %*(\— х*)у = 0 B.4.43)
при больших К. В области |х|<1 решения этого уравнения
имеют колебательный характер, а при |д;|>1—экспоненциаль-
|д;|>1—экспоненциальный. Это обстоятельство наводит на мысль о разложении вида
у=екч(х-. X)f B.4.44)
где
Ф = Ф0 (х) + Х-1Ф, (*)+-.. • B.4.45)
Подставив это разложение в B.4.43) и приравняв коэффици-
коэффициенты при одинаковых степенях %, получим
Фо2 = -A-*2), B-4.46)
2ф;ф; + ф'о = О. B.4.47)
Решениями этих уравнений являются функции
\ — тМт при |х| <1,
ФоН / B-4-48)
1
Ч^1с1т при |jc|>1,
= — -|- In фо + const. B.4.49)
при | л; | < 1 B.4.50)
при \х\> 1, B.4.51)
где at и Ь{—постоянные.
Разложения B.4.50) и B.4.51) называются приближениями
Лиувилля — Грина или ВКБ-приближениями (п. 7.1.3). Эти раз-
разложения имеют особенность при х = ±\ и поэтому не являются
равномерно пригодными. Точки х = ±1 называются тючками воз-
60 Гл. ?. Прямые разложения и источники неравномерности^
врата. Неравномерность в этом примере возникла вследствие
того, что решения представлены в элементарных функциях, а
именно в экспоненциальных и тригонометрических функциях.
Из разложений видно, что при переходе через значения |х| = 1
характер решения меняется с колебательного на экспоненциаль-
экспоненциальный. Следовательно, для представления решений нужны функ-
функции, имеющие аналогичное качественное поведение. Подходящими
для этой цели являются функции Эйри (п. 7.3.1).
2.5. Роль координатных систем
При получении возмущения по параметру для некоторой ве-
величины и{х\ е) мы сначала выбираем независимую переменную,
которая не обязательно совпадает с физической независимой пе-
переменной х, а является некоторой функцией ? от х и малого
параметра е. Затем мы полагаем
оо
«=2бв(е) ит К(х; г)] при е -0, B.5.1)
иг=0
где бга(е)—асимптотическая последовательность. Мы подставляем
это разложение в рассматриваемые уравнения, полагая ? фикси-
фиксированным, проводим разложение при малом е и затем прирав-
приравниваем нулю коэффициент при каждом 6га. Таким образом,
«о=
е-»0 L°o
фиксировано
ы„= lim
е-»0
J фиксировано
"¦' B.5.2)
в„(е)
Очевидно, что при заданной последовательности 6„ величины ит
зависят от выбора ? (х; г).
При одном выборе ? получаются неравномерные разложения,
при другом—равномерные разложения. Например, положив в
B.1.1) ? = /, мы получили неравномерное разложение
u(t; E)=acost+Ras\ — -^tsmt+-^(cos3t~cosf)]+0(e2) B.5.3)
для уравнения Дюффинга (п. 2.1.1). Если бы мы выбрали ? =
= [1 +¦ C/8) ел2] t, то получили бы разложение
+ ^[cos3?—coSy+0(e2), B.5.4)
2.5. Роль координатных систем 61
которое является равномерно пригодным. Координаты типа ? =
= [1 + C/8) га2] t, которые приводят к равномерным разложениям,
называются оптимальными координатами (Каплун [1954]).
В качестве второго примера рассмотрим модельную задачу о
слабой нелинейной неустойчивости из п. 2.1.2. Равенство B.1.18)
задает следующее разложение:
и = е cos o,f cos kx -\-
Г 9 Л
+ е3 5^— t s'n °it c°s &*+члены, ограниченные при t -* оо . B.5.5)
Это неравномерное разложение соответствует выбору l = i. Если
бы мы выбрали ? = о, [1—(9/32o2)]t, то получили бы разложение
u = zcos?,coskx + O(E3), B.5.6)
равномерно пригодное при всех t. Следовательно, в последнем
случае С—оптимальная координата.
В качестве третьего примера рассмотрим сверхзвуковое обте-
обтекание тонкого крыла (п. 2.1.3). Равенство B.1.36) задает сле-
следующее разложение для осевой составляющей скорости:
и 1 с7" 1 c'f ' (l М4(?+
-Ц^-ТруГГ-ТГ^+Оф), B.5.7)
где Т = Т(х—By), у=гТ(х) (форма крыла).
Это разложение получено при фиксированных х и у. Считая
фиксированными переменные
1=у и х-Ву = 1 _е*±!^БГЙ), B.5.8)
мы бы получили разложение
g+]>)]B«). B.5.9)
которое является равномерно пригодным. Следовательно, B.5.8) —
оптимальные координаты.
Следует отметить, что координата может оказаться оптималь-
оптимальной для точности порядка О (г), но не оптимальной для О (г2).
Например,
t=(l+|-ea»)< B.5.10)
является оптимальной координатой для уравнения Дюффинга при
точности О (в), в то время как для высших порядков она
62 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
не является оптимальной. Однако
?=(l+|-ea»—^a^t B.5.11)
является оптимальной для B.1.1) при точности О (в2).
Поскольку большинство прямых разложений теории возмуще-
возмущений (полученных при фиксированных физических координатах)
является неравномерным, были развиты методы превращения этих
разложений в равномерно пригодные. В методе координатных
преобразований (гл. 3) некоторые из этих разложений приво-
приводятся к равномерно пригодному виду с помощью определения
оптимальных координат как почти тождественных преобразований.
В некоторых из рассмотренных задач, например в задаче
B.2.1) и B.2.2), равномерно пригодное разложение (заданное
соотношением B.2.11)) имеет вид
j/ = bexp(l— х) + (а—Ье)ехр (х—^) + О(г). B.5.12)
Это разложение нельзя получить, считая фиксированным х или
х/г. При фиксированном х мы бы получили разложение
y = bexp(l—х) + О(е), B.5.13)
которое нарушается в окрестности х = 0, ибо, вообще говоря,
у@) = афЬе. Зафиксировав, однако, х/в, мы бы пришли к раз-
разложению
() B.5.14)
неравномерная пригодность которого следует из соотношений
у(\) =b=j?= be. Таким образом, решение представлено двумя раз-
различными разложениями, использующими координаты (масштабы)
х и х/г. Поскольку эти разложения являются различными асимп-
асимптотическими представлениями одной и той же функции, они могут
быть соотнесены друг другу с помощью так называемого прин-
принципа сращивания (гл. 4). Из сказанного следует, что для полу-
получения равномерно пригодных разложений можно сначала с помощью
разных масштабов построить разные разложения, соотнести эти
разложения с помощью принципа сращивания и затем объединить
их. Это есть метод сращивания асимптотических разложений, опи-
описанных в гл. 4.
Прежде чем получить, скажем, два разложения с помощью
двух разных масштабов для представления решения задачи B.2.1),
мы фиксируем значения х и х/е либо значения некоторых функ-
функций от них и затем выводим разложения. Это означает, что мы
увеличиваем число независимых переменных до двух и преобра-
Упражнения 63
зовываем исходное обыкновенное дифференциальное уравнение
в дифференциальное уравнение в частных производных. Данный
метод представляет собой метод многих масштабов, описанный в гл. 6.
В задачах теории колебаний, описываемых уравнением
u + u = ef(u, и),
невозмущенное решение (решение при 6=0) имеет вид
B.5.15)
где а и 0—постоянные. При е=^0 решение все-таки может быть
выражено в приведенной выше форме, если считать а и G изме-
изменяющимися во времени. С помощью метода вариации произволь-
произвольных постоянных (п. 5.1.1) можно получить следующие уравне-
уравнения для а и ф:
^ = — б sin ф/[a cos ф, —автф], B.5.16)
2^ = 1 — -^ cos ф/[а cos ф, —аэшф]. B.5.17)
Для определения равномерно пригодного разложения решения
этих уравнений вместо почти тождественного преобразования
независимой переменной (как в методе координатных преобразо-
преобразований) мы можем ввести почти тождественное преобразование
обеих зависимых переменных а и ф. Это есть метод усреднения,
описанный в гл. 5.
Упражнения
2.1. Для уравнения
определить трехчленное разложение решения, близкого к единице. Будет лн оно
пригодным для всех значений т?
2.2. Вычислить три члена в асимптотическом разложении решения задачи
еу'+ху = -1, у@) = \.
Какова здесь область неравномерности?
2.3. Задача о изоэнергетических цилиндрических ударных волнах может
быть приведена к виду (Леви [1959])
где а и р—постоянные. Для а<^1 определить разложение g до второго по-
порядка по а и рассмотреть вопрос о его равномерности.
64 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
2.4. Для малого е определить разложение первого порядка (двучленное)
в задаче
х+х=е(х—j*?\ x@)=a, i@)=0.
Является ли это разложение равномерно пригодным?
2.5. Рассмотреть задачу
(а) Определить в этой задаче разложение второго порядка (трехчленное),
предполагая, что б<^1.
(б) Какова область его неравномерности?
(в) Показать, что точное решение задачи имеет вид
y=——-
(г) Разложить точное решение для малого е н сравнить с результатом
п. (а). Можете ли вы сделать какой-либо вывод об источнике неравномерности?
2.6. Найти при малом в разложение первого порядка (двучленное) для
задачи
I
Какова область его неравномерности?
2.7. Определить разложение первого порядка для малого в:
Какова область его неравномерности?
2.8. Определить двучленное разложение частного решения уравнения
ей" 0— x2)u — f(x).
Какие условия нужно наложить на /, чтобы это разложение оказалось равно-
равномерным?
2.9. Определить прн большом А разложение вида
у=ехр [Тир, (л:)+ф0 (х)+ ...]
для решения уравнения
Где это разложение нарушается?
2.10. Определить двучленное разложение для решения уравнения
Справедливо ли это разложение при всех значениях ©?
Упражнения 65
2.11. Определить при малом е разложение второго порядка (трехчленное)
для решения задачи
и@) = а, о@) = 0.
Для каких значении 6 это разложение будет неравномериым?
2.12. Показать, что разложение первого порядка при малом ц в задаче
имеет вид
1п 1±
Какова область его неравномерности?
2.13. Для каких значений а > 0 разложение
и=аcost—g- (a8—4а) t cos <+-^-а8 cos 3t +•..
является равномерно пригодным? Существует ли значение с > 0, при котором
разложение
еа8 ( \ \
u=acost-\~g- ( — cos3/—3/ sin t L-.-.
равномерно пригодно?
2.14. Положить во втором разложении упр. 2.13 < = A-|-eo)s и разложить
полученное выражение с точностью до О (е) при фиксированном s. Можно ли
подобрать такое о, чтобы это разложение оквзалось равномерно пригодным?
2.15. Для уравнения
ввести новую переменную
В полученной задаче определить разложение первого порядка. Является ли
оио равномерно пригодным? Можно ли высказать какое-либо суждение о роли
независимых переменных в приведении разложений к равномерно пригодному
виду?
2.16. Рассмотреть задачу
66 Гл. 2. Прямые разложения и источники неравномерности
где h = h(x)—заданная функция. Определить разложение для больших Л.
Обсудить неравномерность этого разложения. Опустить условие р A) = 1 и вы-
вычислить два члена.
2.17. Рассмотреть задачу
возникающую при изучении изгиба цилиндрических труб (Рейсснер и Вайнич-
ке [1963]). Определить разложение с точностью О (а2) при малом а и обсудить
вопрос о его равномерности.
2.18. Задача о ламинарном течении в канале с равномерно пористыми стен-
стенками различной проницаемости может быть приведена к виду (Праудман [I960];
Террил н Шреста [1965])
f'"+R(ff"-n=c,
1, Г@)=0,
П1> 0
Показать, что прн малом а справедливы соотношения
f= 1 +аЛ [2 (e-** + Rx— 1)—R A — е-Я) х2]+ О(а2),
« (а2),
и определить А.
2.19. Определить разложение первого порядка в задаче
иц—ихх-\-и = еи3, е<^1,
и (х, 0) = a cos kx, щ (х, 0) = 0,
и обсудить вопрос о его равномерности.
2.20. Определить прямое разложение первого порядка при малом е в задаче
"it—с2ихх = гиих,
и (х, 0) = / (х)+g (x), ut (х, 0) =с [g' (x)—f (х)\.
Здесь f(x), g(x)—ограниченные функции х. Обсудить вопрос о его равномер-
равномерности.
ГЛАВА 3
Метод растянутых координат
Эта глава посвящена методике сведения приближенных реше-
решений некоторых дифференциальных уравнений, описанных в пре-
предыдущих главах, к равномерно пригодным. Эта методика осно-
основана на введении почти тождественных преобразований незави-
независимых переменных и восходит к девятнадцатому столетию, когда
астрономы, такие, как Линдштедт [1882], Бохлин [1889] и Гюль-
ден [1893], разработали способ, позволявший избежать появления
вековых членов в возмущенных решениях уравнений вида
u + (o2ou = Ef{u, и), е<^1.
В основе метода Линдштедта лежит идея, почерпнутая из
следующего наблюдения: нелинейность изменяет частоту системы
от значения соо, отвечающего линейной системе, до со(е). Чтобы
учесть это изменение частоты, Линдштедт ввел новую переменную
% = wt и разложил to и и по степеням е:
и = ии (т) + гих (т) + е2ыа (т) + ...,
Затем он выбрал параметры со,-, /^ 1, так, чтобы предотвратить
появление вековых членов. Пуанкаре [ 1892] доказал, что разло-
разложение, полученное Линдштедтом, является асимптотическим.
Различные формы этого метода используются для получения
приближенных решений задач физики и техники. Идея заклю-
заключается в том, чтобы найти параметр задачи, изменяющийся при
возмущении (например, частота, волновое число, волновая ско-
скорость, собственное значение или энергетические уровни), и раз-
разложить зависимые переменные вместе с этим параметром, скажем,
по степеням интенсивности возмущений. Возмущения параметра
выбирают так, чтобы получить равномерно пригодное разложение.
Этот метод мы называем методом растянутых параметров.
Эта идея лежит в основе метода Рэлея—Шредингера —метода
получения приближенного стационарного решения уравнения
Щредингера, при котором раскладывается не только волновая
Функция, но также и энергетический уровень (Шредингер [1926]).
Эту же идею применил Стокер [ 1957] при исследовании волн конеч-
68 Гл. 3. Метод растянутых координат
ной амплитуды на воде, разложив функцию тока и волновую
скорость по степеням коэффициента крутизны волн.
Если разложение параметра интерпретировать как почти тожде-
тождественное преобразование, то метод Лайтхилла сведения прибли-
приближенных решений к равномерно пригодным будет обобщением
метода растянутых параметров. Идея метода Лайтхилла [1949а],
[1961] заключается в следующем. Пусть разложение функции
u(xltx2, ...,xn; е) по степеням е неравномерно по одной из не-
независимых переменных, скажем, по хг. В этом случае мы будем
раскладывать по степеням е не только функцию и, но также и
независимую переменную xlt используя новую независимую пере-
переменную, т. е.
и = 2 еиыи(s, х2, х3, ...,х„) + 0(eN),
m= О
*i = s+ % emtm(s, x2, xs х„) + О(е
m=l
Последнее разложение можно рассматривать как почти тождест-
тождественное преобразование переменной хх к переменной s. Функции
%т называются растягивающими функциями и выбираются так,
чтобы разложение для и было равномерно пригодным. Другими
словами, должно выполняться условие ит/ит_1 <оо для всех рас-
рассматриваемых значений xlt или, что то же самое, высшие прибли-
приближения должны быть не более сингулярными, чем предыдущие.
Заметим, что если ?m = wms с постоянными ат, то метод Лайт-
Лайтхилла переходит в метод Линдштедта—Пуанкаре. Так как в ме-
методе Лайтхилла преобразуется координата, а не параметр, то
этот метод назван методом растянутых координат.
Для гиперболических уравнений метод Лайтхилла эквивален-
эквивалентен разложению зависимых и независимых переменных по неко-
некоторым или всем точным характеристикам уравнения (Уизэм [ 1952],
[1953]; Линь [1954]; Фокс [1955]).
Вместо того чтобы вводить преобразование в дифференциаль-
дифференциальное уравнение, а затем выписывать разложение по новым пере-
переменным, Притуло [1962] предложил вводить преобразование
в неоднородное прямое разложение. Преобразование затем может
быть найдено непосредственно решением алгебраических, а не
дифференциальных уравнений. Это является другой формой метода
перенормировки (п. 7.4.2), введенного Рэлеем при анализе рас-
рассеяния. Рэлей получил разложение u = uo-Jreu1 для рассеяния
в тонком слое и затем представил разложение в форме и—
=иоехр(еи1/ио), чтобы сделать его верным для многих слоев.
В следующем параграфе дано описание метода растянутых
параметров на примере нескольких физических задач. В § 3.2
метод Лайтхилла применен сначала к обыкновенным дифферен-
3.1. Метод растянутых параметров 69
циальным уравнениям, а затем к уравнениям в частных произ-
производных. Далее следует описание метода линеаризации Темпла.
Метод перенормировки рассмотрен в § 3.4, в то время как огра-
ограничения метода растянутых координат обсуждены в § 3.5.
3.1. Метод растянутых параметров
Как следует из приведенного выше обсуждения, этот метод
основан на наличии параметра задачи, зависящего от величины
возмущений. В следующих параграфах показано, что этим пара-
параметром может быть частота в слабо нелинейной системе, энерге-
энергетические уровни в задачах квантовой механики, характеристи-
характеристический показатель в нормальном решении линейной задачи
с периодическими коэффициентами, волновое число или частота
в колебаниях плазмы и волновая скорость или частота поверх-
поверхностных волн конечной амплитуды.
3.1.1. Метод Линдштедта — Пуанкаре
Простые примеры из п. 1.1.2 и 2.1.1 показывают, что усечен-
усеченные прямые разложения по степеням е уравнения вида
il + (olw=Ef(u, й) C.1.1)
пригодны лишь для короткого интервала времени из-за наличия
вековых членов. Сущность метода Линдштедта—Пуанкаре заклю-
заключается в том, чтобы предотвратить появление вековых членов
введением новой переменной
s+-..)- C.1.2)
Тогда C.1.1) примет вид
A -few! + e2cos+...)-*-^
= е/ [и, A +гщ +е*юа + .. .)"»-?] . C.1.3)
Положим в C.1.3)
ы«2е""я- C-1.4)
Приравняв коэффициенты при равных степенях е, получим урав-
уравнения для последовательного определения ит. Решения для ит
не содержат вековых членов только при определенных значе-
значениях сот.
Этот метод применялся для широкого круга физических и мате-
математических задач. Например, Келлер [1968] модифицировал этот
метод для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
70 Гл. 3. Метод растянутых координат
Сочетание этого метода с методом Ритца—Галеркина часто исполь-
используется при исследовании динамической реакции упругого тела
(например, Хан [1965]; Бауэр [1968]; Свит [1971]). Рассмотрим
в качестве примера уравнение Дюффинга:
C.1.5)
Применив преобразование C.1.2), получим
Подставив C.1.4) в C.1.6) и приравняв коэффициенты при рав-
равных степенях е, получим
«о=О, C.1.7)
и*—2С0А, C.1.8)
+ ы2 = — Зи^ — 2ш1(«1 + «8о)-(со« + 2(о2)ы0. C.1.9)
Общее решение уравнения C.1.7) имеет вид
C.1.10)
где а и ф—постоянные интегрирования. Тогда C.1.8) с уче-
учетом C.1.10) преобразуется к виду:
"*2" 1 / 3 \
= — -г a8 cos 3 (s -Ьф) — (-т-аа-|-2со1 acos(s-)^). C.1.11)
Если использовать прямое возмущенное разложение, то (о„ = 0
и уравнение C.1.11) перейдет в B.1.7), частное решение которого
содержит вековые члены. Чтобы избежать появления этих веко-
вековых членов, со, выбирается так, чтобы коэффициент при cos (s -j- ф)
в правой части уравнения C.1.11) исчез. Из этого условия опре-
определяем щ:
щ = — ^а*. C.1.12а)
Тогда решением уравнения C.1.11) будет
"i==ia8cos3(s + (P)- C.1.126)
Подставляя выражения для ы0, иг и со, в C.1.9), получаем
(ЗЛЛЗ)
3.1. Метод растянутых параметров 71
где через NST обозначены слагаемые, не порождающие веко-
вековых членов. Вековые члены уничтожатся, если
со2 = ^я*. C.1.14)
Поэтому
^ ), C.1.15)
где а и 0—постоянные интегрирования, и
C.1.16)
8.1.2. Переходные кривые для уравнения Матьё
В качестве второго примера найдем переходную кривую, раз-
разделяющую устойчивые и неустойчивые решения уравнения Матьё:
u + F + ecos20u = 0. C.1.17)
Это уравнение изучалось довольно интенсивно. Оно является
частным случаем уравнения Хилла, которое в свою очередь
является линейным дифференциальным уравнением с периодичес-
периодическими коэффициентами. Аналогичные уравнения появляются во
многих задачах прикладной математики, в частности в задачах
об устойчивости поперечной колонны, подверженной периодичес-
периодической продольной нагрузке; об устойчивости периодических решений
нелинейных консервативных систем; о распространении электро-
электромагнитных волн в среде с периодической структурой; о движении
Луны, а также в задачах о возбуждении некоторых электричес-
электрических систем.
Качественную природу уравнения C.1.17) можно описать,
используя теорию Флоке (см., например, Коддингтон и Левинсон
[1955, гл. 3]). Это уравнение имеет нормальное решение вида
и»0"ф(О, C.1.18)
где ф — периодическая функция / с периодом л; или 2я, у—дей-
у—действительное или комплексное число, зависящее от б и е. В теории
Флоке показано, что переходная кривая в плоскости б—е, раз-
разделяющая устойчивые и неустойчивые решения, соответствует
периодическим решениям уравнения C.1.17). Некоторые из этих
кривых будут найдены ниже с помощью разложений б и и как
72 Гл. 3. Метод растянутых координат
функций от е. Положим
2 + ..., C.1.19)
2+..., C.1.20)
где п—целое число или нуль, а отношение ujuo ограничено для
всех т. Последнее требование необходимо для того, чтобы C.1.20)
было равномерно пригодным асимптотическим разложением.
Подставляя C.1.19) и C.1.20) в C.1.17), раскладывая C.1.17)
в ряд по e и приравнивая коэффициенты при равных степенях е,
получим
йо + п3ио = О, C.1.21)
ы1 + п2ы1 = — (б, + cos 20 «о. C.1.22)
и2 + п2и2 = — F, + cos 20 ы, — б2ы0. C.1.23)
Решение уравнения нулевого порядка имеет вид
(cos nt,
"°=W « = 0,1,2,.... C.1.24)
Найдем высшие приближения в случаях п = 0, 1 и 2.
Случай /г = 0
В этом случае ио=1 и C.1.22) примет вид
C.1.25)
Для того чтобы C.1.20) было равномерно пригодным асимптоти-
асимптотическим разложением, 6Х должно обратиться в нуль, поэтому
«,=^-cos2*+c, C.1.26)
где с—постоянная. При известных ив и «j уравнение C.1.23)
примет вид
«,=• —6,—g~ccosa—g-cos4f. C.1.27)
Для того чтобы отношение ujuo было ограниченным, необходимо,
чтобы ба = — V8, следовательно,
6 = — 1е2 + О(е"). C.1.28)
Случай п = 1
В этом случае и0 = cos / или sin t. Положим и0 = cos t, тогда
C.1.22) примет вид
|cos3^. C.1.29)
ЗА. Метод растянутых параметров 73
Для ограниченности отношения ut/uB величина бх должна быть
равна 6Х = — х/2, и поэтому
ul=-icos3/. C.1.30)
Уравнение C.1.23) тогда примет вид
cos/+JLcos3*-^cos5*. C.1.31)
Условие ограниченности отношения uJuB приводит к равенству
62 = —1/32, откуда получим
б = 1_|е_^е» + О(е8). C.1.32)
Если бы мы использовали в качестве нулевого приближения
uo = sin/, мы получили бы переходную кривую
1е_1
C.1.33)
Случай п = 2
В этом случае u0=cos2/ или sin 2/. В первом случае урав-
уравнение C.1.22) предстанет в виде
u1+4u1= — ^—81cos2t—Ycos4L C.1.34)
Поскольку отношение ujuo должно быть ограниченным, бх должно
обратиться в нуль. Поэтому
«, = — ± + ± cos At. C.1.35)
Подставляя выражения для и„ и uf в C.1.23), получаем
C.1.36)
Из условия ограниченности иг/ив следует, что ба = 5/48, поэтому
6 = 4+^е* + О(е*). C.1.37)
Положив M0 = sin2f, придем к равенству
6=54-lea + O(88). C.1.38)
74 Гл. 3. Метод растянутых координат
3.1.3. Характеристические показатели для уравнения
Матьё (метод Уиттекера)
В теории Флоке (см., например, Коддингтон и Левинсон [1955],
гл. 3) показано, что уравнение C.1.17) имеет решение вида C.1.18),
где ф—периодическая функция с периодом л или 2л, ау—дей-
ау—действительная или комплексная постоянная. После подстановки
C.1.18) в C.1.17) и соответствующих преобразований получим
(p + 2Y<p + F + Y2 + ecos2/)(p=0. C.1.39)
Поскольку переходная кривая соответствует у = О, то вблизи нее
можно получить приближение для ф (Уиттекер [1914]), введя
следующие разложения для ф, б и у:
Ф = Ф0 + еф1+е*ф2 + ..., C.1.40)
6 = 60+е61+е«61+..., C.1.41)
.. . C.1.42)
Ниже будет получено решение в случае 60 = 1-
Подставив C.1.40) — C.1.42) в C.1.39) и приравняв коэф-
коэффициенты при равных степенях е, получим
C.1.43)
= — 2yi<Po—(«i + cos 20 ф0, C.1.44)
ytq,0—(y\ + bt)fp0—(b1 + cos2tL>1. C.1.45)
Общее решение уравнения C.1.43) имеет вид
n^, C.1.46)
где а и Ь—постоянные. Таким образом, уравнение C.1.44) пре-
преобразуется к виду
4-+6i) a] cos/-
—у a cos 3/— —bsmSt. C.1.47)
Так как ф—периодическая функция, то слагаемые, которые по-
порождают вековые члены, должны исчезнуть, т. е.
Vi6=0- C.1.49)
Для существования нетривиального решения этой системы урав-
уравнений относительно а; и b необходимо, чтобы ее определитель
3.1. Метод растянутых параметров 75
был равен нулю, т. е.
|(|) C.1.50)
Далее
b = —Qt-r-a. C.1.51)
4
Решение уравнения C.1.47), подчиненное условиям C.1.48),
C.1.49), имеет вид
^^шЗЛ C.1.52)
Использовав полученные выше результаты, перепишем C.1.45)
в виде
) ] . C.1.53)
Вековые члены исчезнут, если
^) C.1.54)
C.1.55)
Поскольку Ь и а связаны соотношением C.1.51), то C.1.54)
и C.1.55) могут быть одновременно удовлетворены тогда и только
тогда, когда
% = 0иб2 = -т?-^. C.1.56)
Поэтому для первого приближения имеем
+O(e«), C.1.57)
е3). C.1.58)
6, = 4-cos2o, C.1.59)
Обозначим
76 Гл. 3. Метод растянутых координат
тогда
Y1=Tsin2a, 6g=^(cos4a—2),
b sin 2a , /o i CA\
— = s r = — ctgo. C.1.60)
a cos 2a— 1 6 v
Следовательно, C.1.57) и C.1.58) примут вид
u = Q>/4>(»m20)ef rsin(*—o) + ^esinC*—a)l+0(e2), C.1.61)
6=.l+i-ecos2a + ^e2(cos4o —2) + 0(e3), C.1.62)
где a— постоянная.
3.1.4. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче
трех тел
Рассмотрим систему четвертого порядка с периодическими
коэффициентами, связанную с устойчивостью треугольных точек
в эллиптической ограниченной задаче трех тел. Математически
задача определяется системой уравнений
0' (ЗЛ-63)
°> (ЗЛ-64)
где штрихом обозначено дифференцирование по / и
|i)]. C.1.65)
Уравнения C.1.63)—C.1.65) описывают движение частицы, линеа-
линеаризованное около треугольных точек в ограниченной задаче трех
тел. Здесь е—эксцентриситет орбиты двух масс, ц—отношение
меньшей массы к сумме двух масс. В случае е = 0 известно, что
движение устойчиво при 0 <; ц < \i » 0,03852 и неустойчиво при
fi^fj,1). Иначе говоря, ц определяет точку пересечения пере-
переходной кривой, разделяющей устойчивые и неустойчивые движе-
*) Этот результат справедлив лишь в линейном приближении. Анализ устой-
устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограниченной задаче трех
тел, основанный на точных нелинейных уравнениях и использующий резуль-
результаты В. И. Арнольда [1963], был проведен в работах А. М. Леонтовича [1963],
Депри [1962] и Депри—Бартоломе [1967] и А. П. Маркеева [1968], [1969].
Окончательный результат состоит в том, что точки либрации устойчивы для
всех 0 < ц < [г, кроме двух критических значений fi,* = 0,0135I60 и ц1 =
= 0,0242938, для которых они неустойчивы.— Прим. ред.
3.1. Метод растянутых параметров 77
ния, с осью ц в плоскости \i—е. Кроме того, как известно из
теории Флоке, переходным кривым соответствуют периодические
решения с периодами 2л и 4л. В интервале O^fi<fi период 2л
соответствует ji=0, а период 4л соответствует h, = (l — 2]//3)/2.
Через точку ц = 0 проходит переходная кривая, совпадающая
с осью е. Ниже мы приведем анализ, данный Найфэ и Кеме-
лом [1970а], и определим переходную кривую, пересекающую
ось ц в точке jx0.
Предположим
x=ie»xn(f), C.1.66)
л = 0
У=2е»уа(Г), C.1.67)
ц=2е»|1„. C.1.68)
п = 0
Подставив C.1.68) в C.1.65) и разложив при малых е, получим
со
К = 2 ап (\i0, fXi, ..., цп) е", C.1.69)
п = 0
со
Ь*=2Ж(Ио. Hi. •-., Ц„)е", C.1.70)
п=0
где
а.. 6.= [|0+*), тО-*)]. *=-|/д. <ЗЛ-71>
n1. C.1.72)
Подставив затем C.1.66)—C.1.70) в C.1.63) и C.1.64) и при-
приравняв коэффициенты при равных степенях е, получим
со
х"п — 2у'п= 2 (—iyxjbtcas*f, C.1.73)
(=0, s=0, r=0
n=s+r+t
со
у"п + 2К- 2 (—l)*y,a,cos*/. C.1.74)
^=0, s =0, r=0
Уравнения нулевого порядка допускают следующие периоди-
периодические решения с периодом 4я:
x0 = cost, уо=— asinx, C.1.75)
C.1.76)
78 Гл. 3. Метод растянутых координат
где
4 |( + 1) = 1G-^33). C.1.77)
Существуют две переходные кривые, пересекающие ось ц при
H=ji0, соответствующие указанным двум независимым решениям.
Взяв решение C.1.75), мы получим следующую задачу для пер-
первого приближения:
A — ty'i—&Л ={bi — yb0)cosT—i-6ccos3x, C.1.78)
\—aBy1= —a^al + ^aB\smx + ~aaosin3T. C.1.79)
Члены, пропорциональные cos т и sin т, приводят к появлению
вековых членов в частном решении для дс, и ух. Чтобы опреде-
определить необходимые условия уничтожения вековых членов, рас-
рассмотрим частное решение вида
. C.1.80)
Подставив C.1.80) в C.1.78) и C.1.79) и приравняв коэффи-
коэффициенты при cos т и sin т, получим
. C.1.81)
Условие обращения с в нуль приводит к равенству
h-\bu = — a*(ai + -i-a0). C.1.82)
Так как Ъх — — аи то
Поэтому из C.1.72) получаем
^«—0,05641. C.1.84)
Таким образом, переходная кривая с точностью до первого
порядка имеет вид
ц = 0,02859—0,05641е + О (е2). C.1.85)
Если бы мы использовали решение C.1.76) для задачи нулевого
порядка, мы бы получили вторую ветвь
ц = 0,02859 + 0,05641е + О (е2). C.1.86)
Приведенное выше исследование можно непосредственно продол-
продолжить до высших порядков. Оно было выполнено Найфэ и Кеме-
лом [1970а] вплоть до четвертого порядка.
3.1. Метод растянутых параметров 79
3.1.5. Характеристические показатели для треугольных точек
в эллиптической ограниченной задаче трех тел
Из теории Флоке известно, что уравнения C.1.63) и C.1.64)
имеют нормальные решения вида
C.1.87)
где ф и я];—периодические функции с периодом 2зт и 4зх, у—
действительное или комплексное число. Подстановка C.1.87)
в C.1.63) и C.1.64) приводит к
1+^а, = 0, (ЗЛ.88)
' + 2Ф' ftL
Переходная кривая соответствует у = 0, следовательно, вблизи этой
переходной кривой у мало. Поэтому для того, чтобы получить
разложения для ф и if, пригодные вблизи переходной кривой,
пересекающей ось ц в точке ц0, положим
..., C.1.90)
..-. C.1.91)
C.1.92)
-.. • C.1.93)
Подставляя C.1.90)—C.1.93) в C.1.88), C.1.89) и C.1.65) и при-
приравнивая члены с равными степенями е, получим
Нулевой порядок (е°)
ф;—2^;—&0ф0=о, C.1.94)
^; + 2ф;—ао% = О. C.1.95)
Первый порядок (с)
Ф1—2чЙ—60фх=—2'ухфо + 2у1я1зо + 61фо—боФоСов/, C.1.96)
^i + 2i]3i—аоф, =—г^уЖ—г'УхФо + Ох'Фо—Oo4|30cos/. C.1.97)
Общее решение уравнений C.1.94) и C.1.95) имеет вид
ф0 = Лсозт + В81Пт, C.1.98)
¦ty0=aBcosT—«Лэтт. C.1.99)
Это решение определяет правые части уравнений C.1.96) и
C.1.97), поэтому
Ф;—2^х—бофх = fxi cost + Qn sin т—
—~b0Acos3x—^-b0B sin Зх, C.1.100)
х—aoipx = Р12 cos т+ Qlg sin т—
—i-aoaB cos Зт +у соаЛ sin Зт, C.1.101)
80 Гл. 3. Метод растянутых координат
где
Рх, =Yi («-2) А + а («,-f ) В,
Qu = -Vi Bо-1) Л+ (^ + 1) В,
Так как функции ф и -ф—периодические, то вековые члены
в решениях для ц>1 и тр, должны исчезнуть. Чтобы уничтожить
эти вековые члены, положим
Ф,=0, ч]^ =c1cosx + casinx. C.1.102)
Подставив C.1.102) в C.1.100) и C.1.101) и приравняв коэффи-
коэффициенты при sinx и cost в обеих частях уравнений, получим
I
T
Исключение ^ и сг из C.1.103) дает
Pu = aQ», Qti = -oP«. C.1.104)
После подстановки выражений для Р и Q в C.1.104) и перегруп-
перегруппировки членов получим
+ !)]л-?1A-4а + аа)? = 0, C.1.105)
+^+bf + a^a, -|)]в=0. C.1.106)
Для существования нетривиального решения системы уравнений
C.1.105), C.1.106) относительно Л и В ее определитель должен
обратиться в нуль. Это условие приводит к равенству
„2
C.1.107)
Далее
l a / i \
x=——2 !¦ и i 2ч2—- = tg°- C.1.108)
A Y, A—4ot+a2) ь v
Поэтому для первого приближения получим
C.1.109)
3.1. Метод растянутых параметров 81
Переходная кривая C.1.85), C.1.86) соответствует у1 =0, а C.1.75)
и C.1.76) можно получить из C.1.109), положив ух=0 и а=0
или л/2.
Настоящий анализ можно непосредственно продолжить до
более высоких порядков, несмотря на сложность алгебраических
выкладок. Найфэ [1970а] получил разложение до второго порядка.
3.1.6. Простая линейная задача иа собственные значения
Рассмотрим теперь задачу определения собственного значения
К и собственной функции и, где
u"+[k + Bf{x)]u = 0, /(*) = /(—*), C.1.110)
и@) = ыA) = 0 C.1.111)
и е — малый параметр. Если е = 0, то собственные функции и
собственные значения соответственно будут равны
un=V2smnnx, « = 1,2, 3, ..., C.1.112)
C.1.ИЗ)
Вышеприведенные собственные функции ортонормированы, т. е.
6mn, C.1.114)
где 6тп—символ Кронекера, определяемый следующим образом:
f 0, тфп,
mn~\ I, m = n.
Для малых ненулевых е получим приближенное значение для
ип и Кп, положив
и„ =Vr2smnnx-\-Runi 4-е2ыпа+ ..., C.1.115)
„2-1-... . C.1.116)
Подставляя C.1.115) и C.1.116) в C.1.110) и C.1.111) и при-
приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получим
0)-и«,A)-0. (ЗЛП7)
г = — f(x) ипл - Кп1ипЛ — Кгипв,
"«@)-aBI(l)=0. C.1.118)
Здесь задача нулевого порядка тождественно удовлетворяется и
ипи — У 2 sin плх.
82 Гл. 3. Метод растянутых координат
Будем предполагать, что ип1 может быть выражено в виде
линейной комбинации собственных функций нулевого порядка
ипВ, т. е.
со
"ш= 2 апт V2 sin тпх. C.1.119)
т—\
Это решение удовлетворяет граничным условиям для ип1. Под-
Подставляя C.1.119) в C.1.117), получаем
со
2 К2зха(п2 — т2)апт sin тпх = — V%f (x) sin nnx—
m=I
— у 2Кп1 sin nnx. C.1.120)
Умножая C.1.120) на \f2sinknx, интегрируя от 0 до 1 и исполь-
используя свойство ортонормированности C.1.114) собственных функ-
функций C.1.112), получаем
ni(ni—k2)anh = — Fnu—'kn,bnht C.1 121)
где
Fnk = 2 ^ / (х) sin nnx sin knx их. C.1.122)
о
Если k=n, то левая часть C.1.121) обратится в нуль. Следо-
Следовательно,
Однако при
Условие C.1.123) эквивалентно уничтожению вековых членов.
В этом случае функции ип1 будут
Кп1 = — Fnn = — 2 \ f (x) sin2 nnx их. C.1.123)
о
ип1 = -
к2) V2 sin knx+ annV2 sin nnx. C.1.125)
ft =it n
Заметим, что а„„ еще не определены, но в окончательном реше-
решении они определяются нормировкой ип.
Переходя ко второму порядку, предположим, что
со
"п2 = 2 bnr V~2 sin лл*. C.1.126)
3.1. Метод растянутых параметров 83
Подставляя выражения для ы„2, ип1 и ип0 в C.1.118), получаем
я2 2 («2—г2) V2bnr sin га* = —- 2 anft V~2 f (x) sin Аэтл:—
— 2 o-nkKi V2 sin Аях—Яп2 К2 sin плх. C.1.127)
Умножая C.1.127) на j/2sinsnA;, интегрируя от 0 до 1 и исполь-
используя свойство ортонормированности C.1.114), получаем
Q0
«•(«•—«•)&«=—51 a»»^ito—a»Ai—^вА*- C.1.128)
Если s = n, то левая часть C.1.128) обращается в нуль, в то
время как правая часть дает
*„, = - X "Л= X ra=F)- C.1.129)
Если s^=n, то C.1.128) дает
L ^Г^ ' ' nk* kS °ПП* nS * ПП* nS /О
ns~ 2-. Л4(«2— fe2)(«2 — S2) Л2(«2_82) Л4(«2—S2J' W-
Здесь Ъпп также еще не определены, но определятся при норми-
нормировке ип.
Для нормировки ип потребуем, чтобы
\ ydx=\. C.1.131)
о
Поскольку ип0 нормирована, то
1
\umiinldx=Q, C.1.132)
о
1
0. C.1.133)
5
о
Условие C.1.132) дает а„„ = 0, а условие C.1.133) дает
C.1.134)
84 Гл. 3. Метод растянутых координат
Поэтому с точностью до второго порядка имеем
е ]Г n8 (^2"lfe2) V2 sin А:ял: +
J Ij* /2 sin/ww\+0(e3), C.1.135)
2n*(n2—fc2J f
C.1.136)
Метод разложения, описанный в этом пункте, называется мето-
методом Рэлея—^Шредингера. Он был развит Шредингером [1926] для
исследования стационарных решений уравнения Шредингера. За
большей библиографией и более полным изложением мы отсылаем
читателя к книге под редакцией Уилкокса [1966] и к статье
Хиршфельдера [1969].
3.1.7. Квазилинейная задача на собственные значения
Рассмотрим теперь задачу на собственные значения
//cp + tap=eF((p) C.1.137)
при однородном граничном условии
Д(<р) = 0, C.1.138)
где Н—линейный, a F—нелинейный операторы, действующие на
<р. Мы ищем приближенное решение для малых е в виде
+ + C.1.139)
C.1.140)
Подставляя C.1.139) и C.1.140) в C.1.137) и C.1.138) и при-
приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получаем
=О, C.1.141)
= 0. C.1.142)
Необходимо различать два случая в зависимости от того,
являются собственные значения задачи C.1.141) различными или
нет. Первый случай называется невырожденным, в то время как
второй называется вырожденным, поскольку кратному собствен-
собственному значению соответствует более одной собственной функции.
Оба случая излагаются ниже.
3.1. Метод растянутых параметров 85
Невырожденный случай. Допустим, что задача C.1.141) решена
и ее решение дает собственные функции и„, соответствующие
собственным значениям ц„, и=1, 2, ... . Предположим далее,
что lim?= Ц„, если тфп,и что собственные функции \ип\ обра-
образуют ортонормированное семейство, т. е.
\ипптйх~Ьтп, C.1.143)
где х—вектор, изображающий координаты, и—комплексно со-
сопряженная к и функция, а интегрирование ведется по всей рас-
рассматриваемой области D. Чтобы решить C.1.142), мы, так же
как и в двух предыдущих пунктах, разложим функцию q>t по
ортонормированному базису {«„}, т. е.
т=\
C.1.144)
Таким образом, фх удовлетворяет краевому условию В(ц>х) = О,
так как В(ит) = 0 для всех т. Полагая фо="«„ и Я0=цп и под-
подставляя C.1.144) в C.1.142), получаем
Q0
2 (Vn-Vm)amum = -Kun+F(un). C.1.145)
2
Умножая C.1.145) на us, интегрируя по области D и используя
условие ортонормированности, придем к равенству
(\in-lis)as~ — K8ns + Fns, C.1.146)
где
Fns^^Fiu^dx. C.1.147)
D
Если n==s, C.1.146) дает
K = Fnn. C.1.148)
Если n=jt=s, то
Таким образом,
ип. C.1.150)
86 Гл. 3. Метод растянутых координат
Коэффициенты апп можно положить равными нулю, если, так же
как и в предыдущем пункте, предположить, что функция <р =
= ф„+ Еф1 + О(е2) нормирована. Поэтому для первого порядка
имеем
Ф=Ы„ + е V -?mu.Um + O(B*), C.1.151)
тфп
K = lin+EFnn + O(e*). C.1.152)
Рассмотрим в качестве примера задачу
§ + Яф = -еФ3, C.1.153)
<р(О) = фA)=О. C.1.154)
Здесь D — интервал [0, 1] и
un=V~2smnnx, ^„ = п2я2. C.1.155)
Поскольку F(q>) =— ф3 и ит = ит, имеем
1
Fnm = — 4 \ sin3 ппх sin тлх их =
с/
= \ (sin Зплх—3 sin raw) sin mnx dx =
о
1 3
= -2"em, an— убпи. C.1.156)
Поэтому C.1.151) и C.1.152) принимают вид
Ф = 1/2 sin гатя—-^^sin3rt^ + O(e2), C.1.157)
| ). C.1.158)
Вырожденный случай. В этом случае пусть Цп+ь — ^п Для
= 0, 1, 2, ... , М. Тогда
2*. C.1.159)
Подставив выражения для фх и ф0 из C.1.144) и C.1.159)
в C.1.142) и положив ЯО = |Л„, получим
оо М Г М 1
2 (Цц — \^m)CLmUm = Я, 2 ЬА«п+А + ^ 2 ^А«п+* • C.1.160)
3.1. Метод растянутых параметров 87
Умножим C.1.160) на us и проинтегрируем по области D. Имеем
м
(|iB-|i,)a, = -^2]ftA,»+ft+^(bo.bi. --..M. C.1.161)
k = 0
где
ff'^S^fSMn+J^dx, C.1.162)
D U = 0 J
если s = n-|-&, для й = 0, 1,2, ..., М, то C.1.161) даст
?"„+* 0о, «>i. • ¦..&«) —*А = 0, А = 0, 1,2, ...,Ж. C.1.163)
Соотношения C.1.163) образуют систему из М -\- 1 однородных
алгебраических уравнений относительно УИ + 1, неизвестных Ьт
и собственного значения Ях. Если s=f=n-\-k, k = G, I, ...,M, то
о У«0с fci Ы_ C.1.164)
В качестве примера рассмотрим задачу
3 + 5^§ + Яф = вФ^, C.1.165)
ф@) = ф"@) = фA) = ф"A) = 0. C.1.166)
В этом случае решение линеаризованной задачи имеет вид
и„ = \/~2 sin ппх, цп=п2E —п2)д4. C.1.167)
Таким образом, ji, = ji2 = 4л4, и мы имеем дело с вырождением.
Предположим, что функция, соответствующая собственному зна-
значению (ilf имеет вид
<р0 = Ь01/~2 sin пх+^Уй sin 2лх. C.1.168)
Тогда
=я [—ЬД sin nx+bl sin 2nx+3bJ>1 sin Зяд; + Щ sin 4ях]. C.1.169)
Следовательно,
F (ф0) sin snx dx =
о
88 Гл. 3. Метод растянутых координат
При известном Ws соотношения C.1.163) примут вид
= 0, C.1.171)
= 0, C.1.172)
а выражение C.1.164) даст
ЗиЛ —bi^ C.1.173)
40 у 2na 90 у 2я3
Поскольку Ьвф0, из C.1.171) получим
Ь1= —-^Я,. C.1.174)
Подставляя выражение для Ьх в C.1.172) и разрешая относи-
относительно %lt получаем
1 ?-' C.1.175)
Следовательно,
bi=-±ib0. C.1.176)
Поэтому
ф = bB V~2. sin лх ± ibn У~2 sin 2пх + 8 j at j/ sin ял; +
+ a2 /2 sin 2ял; ± щ^-ibl sin Зял;—^ ft?sin 4ял; I +0 (e2), C.1.177)
^ = 4=F-^-B/ft0 + O(B«). C.1.178)
Постоянные at и а2 могут быть связаны с Ьо при нормировке ф„.
Решения, соответствующие \in, n> 1, имеют вид
), C.1.179)
C.1.180)
Следует отметить, что для реализации вышеизложенной про-
процедуры должно существовать разложение функции Р(ц>0) по соб-
собственным функциям задачи нулевого порядка. Например, если
в C.1.165) положить Р(ф) = ф2, то попытка применить описан-
описанную процедуру потерпит неудачу. Действительно, в этом случае
F (ф„) = Ы + Ь\ + 2bob1 cos nx—bl cos 2ялг—
—2b0b,cos3nx—btcosAnx. C.1.181)
Откуда ^,=0 для всех s, и выражение C.1.150) для фх будет
непригодным.
3.1. Метод растянутых параметров 89
3.1.8. Квазилинейное уравнение Клейна—Гордона
В этом пункте мы рассмотрим задачу определения периоди-
периодических распространяющихся волн конечной амплитуды для урав-
уравнения
ии—а*ихх + у*и = $и*. C.1.182)
Если пренебречь нелинейным членом ры3, то мы получим реше-
решение в виде линейных распространяющихся периодических волн
u=acos(kx—at), co2 = a2A:2 + Y2- C.1.183)
Фазовая скорость этих волн равна <o/k и не зависит от ампли-
амплитуды. В нелинейной задаче фазовая скорость будет, вообще го-
говоря, функцией амплитуды.
Для определения зависимости фазовой скорость с от ампли-
амплитуды мы предположим, что
тогда C.1.182) примет вид
(с2 —а2)и" + y2«=P«3, C.1.184)
где штрих означает дифференцирование по 6. Предполагая, что
амплитуда и мала, разложим и я с
и —аи, 4-а?и3+ ...,
, , C.1.185)
Если бы мы включили в эти разложения члены ctCi и а2и2, то
получили бы, что с1=0, а ы2 удовлетворяет тому же уравнению,
что и иг. Поэтому ы2 не включено в разложение.
Подставив C.1.185) в C.1.184) и приравняв коэффициенты
при равных степенях а, получим
(с«—о«)и1 + у*и,=0, C.1.186)
(с*—а*) и;+72ы3 = — 2с0сХ + ри!. C.1.187)
Для уравнения C.1.186) возьмем решение вида
~а C.1.188)
так, чтобы C.1.185) совпадало с C.1.183) с точностью до О {а).
Тогда C.1.187) примет вид
(с*—a2)«3 + Y2«3 = BcoC2A2 + -|-p)cos^e-f i-pcos3^6. C.1.189)
Вековые члены будут устранены, если са= — Зр/8со&2. Тогда
и8 = —з^г cos ЗЛО.
90 Гл. 3. Метод растянутых координат
Поэтому
u=acoskQ—~
C.1.190)
Методика, использованная в этом пункте, была формализована
Стокером [1957] для описания поверхностных волн в жидкости.
Эта методика была использована при рассмотрении взаимодейст-
взаимодействия капиллярных и гравитационных волн на воде бесконечной
и конечной глубины Пирсоном и Файфом [1961] и Баракатом и
Хаустоном [1968] соответственно. Она использовалась также Мэслоу
и Келли [1970] при рассмотрении волн в течении Кельвина —
Гельмгольца.
Вместо того чтобы раскладывать фазовую скорость, можно
было бы разложить волновое число и определить сдвиг волно-
волнового числа, или разложить частоту и определить сдвиг частоты.
Разновидности этого метода применялись к целому ряду задач.
Так, например, Малкус и Веронис [1958] рассматривали задачу
конвекции Бенара. Педловский [1967] определил реакцию огра-
ограниченного океана на поверхностный ветер, осциллирующий вблизи
одной из волновых частот Россби. Келлер и Тин [1966] и Мил-
лман и Келлер [1969] получили периодическое решение для раз-
различных систем, описываемых нелинейными уравнениями в част-
частных производных; Келлер и Миллман [1969] рассматривали
распространение нелинейных электромагнитных и акустических
волн. Радзяппа [1970] исследовал нелинейную неустойчивость
Рэлея—Тэйлора.
3.2. Метод Лайтхилла
Сущность метода Лайтхилла заключается в разложении не
только зависимой переменной и(х1г х2, ..., хп; е) по степеням
малого параметра е, но также и в разложении одной из неза-
независимых переменных, скажем х1г по степеням е. Лайтхилл [1949а],
[1961] ввел новую независимую переменную и затем разложил
и и х1 по степеням е с коэффициентами, зависящими от s. Для
первого приближения он предположил, что х1 и s совпадают.
Таким образом, Лайтхилл предположил следующие разложения
для и и хг:
00
m=0
00
Xi=S+ 2 emtem(S, *g. XB, ...,Xn). C.2.2)
m= 1
3.2. Метод Лайтхилла 91
Ясно, что прямое разложение (типа Пуанкаре) состоит только
из C.2.1), в котором s заменено на хх. Поскольку это прямое
разложение не является равномерно пригодным, Лайтхилл ввел
C.2.2) и выбрал \т (называемые растягивающими функциями)
так, чтобы оба эти разложения стали равномерно пригодными;
т. е. он выбрал \т так, чтобы результирующее приближение было
равномерно пригодным. В некоторых случаях это достигается,
если потребовать, чтобы
-^в- и -—_ были ограниченными. C.2.3)
Другими словами, высшие приближения не должны быть более
сингулярными, чем первое.
Сравнивая C.2.1) и C.2.2) с C.1.2) и C.1.4), мы видим, что
метод Лайтхилла является обобщением метода растянутых пара-
параметров.
Го [1953], [1956] модифицировал этот метод, чтобы применить
его к потоку вязкой жидкости. Поэтому Цянь Сюэ-сэнь [1956]
назвал его методом ПЛГ, что значит метод Пуанкаре —Лайт-
—Лайтхилла — Го.
Этот метод применялся к ряду задач, преимущественно к за-
задачам о распространении волн в средах без дисперсии. Лайтхилл
[19496] рассмотрел конические ударные волны в стационарном
сверхзвуковом потоке. Уизэм [1952] определил картину ударных
волн на осесимметричном снаряде в стационарном сверхзвуковом
потоке, он же исследовал распространение сферических ударных
волн в звездах [1953]. Легра [1951], [1953] и Ли и Шеппард
[1966] применили этот метод к исследованию стационарного сверх-
сверхзвукового обтекания тонкого крыла; Рао [1956] применил его
к звуковым хлопкам1). Хольт и Шварц [1963], Сакураи [1965],
Хольт [1967] и Акинсет и Ли [1969] исследовали эффекты при
схлопывании сферической каверны; Джасмен [1968] рассмотрел
схлопывание сферической каверны, наполненной газом. Сириньяно
и Крокко [1964] проанализировали неустойчивость горения, обу-
обусловленную химической кинетикой. Сэведж и Хасегава [1967]
изучили затухание импульсов в металлах; Сакураи [1968] рас-
рассмотрел эффект импеданса плазмы в задаче обратного пинч-эф-
фекта. Эйнауди [1969, 1970] применил тот же метод для описа-
описания распространения акустических гравитационных волн. Левак
[1969] и Завадский и Левак [1971] решили уравнение Власова.
Эспедал [1971] использовал сочетание этого метода с методом
г) В работе Ф. Л. Черноусько [1961] при помощи метода Пуанкаре—Лайт-
Пуанкаре—Лайтхилла— Го было исследовано отражение от центра, оси или плоскости симмет-
симметрии сходящихся ударных волн, распространяющихся в газе переменной плот-
плотности.— Прим. ред.
92 Гл. 3. Метод растянутых координат
сращивания асимптотических разложений для определения эф-
эффекта ион-ионных столкновений в ионно-акустических импульсах
в плазме.
Асано и Таниути [1969, 1970] и Асано [1970] перенесли этот
метод на распространение волн в слабо неоднородной среде без
дисперсии. Мельник [1965] применил его к энтропийному слою
в окрестности конически симметричного крыла. Мак-Интайр [1966]
исследовал задачу оптимального управления с разрывными уп-
управляющими функциями. Росс [1970] применил его к кинетике
биохимических реакций при диффузии.
Баруа [1954] проанализировал вторичные потоки, вызванные
вращением в ненагреваемой трубе; Мортон [1959] изучил лами-
ламинарную конвекцию в нагреваемой трубе; Моррис [1965] исследо-
исследовал случай ламинарной конвекции в вертикальной трубе. Чан,
Акинс и Банкофф [1966] проанализировали свободную конвекцию
жидкого металла от однородно нагреваемой пластины.
Крейн [1959] сделал асимптотическое разложение для погра-
пограничных слоев равномерно пригодным. Гольдбург и Чен [1961]
обсуждали аномалии, возникающие при применении этого метода
и параболических координат к исследованию пограничного слоя
на задней кромке. Окендон [1966] исследовал точки отрыва
в ньютоновской теории гиперзвукового потока.
Поскольку метод Лайтхилла является обобщением метода
растянутых параметров, то первый метод дает результаты, сов-
совпадающие с результатами, полученными при использовании
второго метода, всегда, когда последний может быть применен.
Поэтому ниже рассматриваются задачи, которые не могут быть
исследованы методом растянутых параметров.
3.2.1. Дифференциальное уравнение первого порядка
Первым примером, который исследовал Лайтхилл, было диф-
дифференциальное уравнение первого порядка
^ y = r(x), уA)=Ь>0. C.2.4)
где q(x) и г (х) — регулярные функции при всех рассматривае-
рассматриваемых значениях х. Вазов [1955] нашел необходимые условия схо-
сходимости разложений Лайтхилла для этой задачи. Ашер [1971]
исследовал необходимые условия применимости этого метода
к уравнениям вида
Камсток [1968] показал, что метод Лайтхилла может привести
к ошибочным разложениям (см. упр. 3.28) для уравнения
' + nxn~1y=tnxm~1, j/(l) = a> 1.
3.2. Метод Лайтхилла 93
Бернсайд [1970] исследовал равномерность разложения, получен-
полученного растяжением переменной г = х" вместо х.
Ясно, что областью неравномерности является окрестность
точки х = 0. Для е = 0 уравнение C.2.4) имеет решение вида
у~ [ехр |-Ш dt] [f -^ (ехр $«?>*) dt +c]. C.2.5)
Положим q @) =» ^о» тогда
.Д(х), C.2.6)
где через R (х) обозначена функция, регулярная при д: = 0. По-
Поскольку г (х) регулярна при х = 0, то
y = R{x) + O{x-4t) при аг—*0, C.2.7)
кроме тех случаев, когда q0—целое отрицательное число. В этом
случае
при х—*0. C.2.8)
Из равенств C.2.7) и C.2.8) мы видим, что для нулевого при-
приближения решение уравнения C.2.4) ограничено или неограни-
чено в зависимости от того, имеет ли место д„ < 0 или q0 ^ 0.
Чтобы продемонстрировать детали описываемого метода, мы при-
применим его для частного случая q0 = 2.
Для этого рассмотрим следующую задачу, исследованную
Лайтхиллом [1949а] и Цянь Сюэ-сэнем [1956]:
^ Ае-\ C.2.9)
где А — постоянная. Следуя Лайтхиллу, мы предположим, что
во
у 2 аи, C.2.Ю)
0
Тогда
2 e"*»(s). C.2.11)
m=\
op
*L 2
Г V • C.2.12)
Чтобы учесть граничное условие, необходимо определить значе-
значение s, соответствующее х = 1. Обозначим его через s. Таким
94 Гл. 3. Метод растянутых координат
образом, мы пришли к уравнению
s=l-2e\(S). C.2.13)
т — 1
Разложим s по степеням е
C.2.14)
Подставив C.2.14) в C.2.13), разложив и приравняв коэффици-
коэффициенты при равных степенях е, придем к равенству
s = l-ex1(l)-et[*2(l)-*i0K (!)]+..- • C-2.15)
Граничное условие теперь может быть записано в виде
^-1 = ^0) + в[у,A)-^A)х1A)]+... C.2.16)
или
уо(\) = Ае-\ C.2.17)
у1{1)=У'0A)х1A). C-2.18)
Подставив C.2.10)—C.2.12) в C.2.9), разложив и приравняв
коэффициенты при е° и е к нулю, получим
C.2.19)
'Jx1—yey'i>. C.2.20)
Решение для у0 имеет вид
уЛ = Ае-'$-: C.2.21)
Поэтому C.2.20) преобразуется к виду
Если лгх =0, то уравнение C.2.22) приведется к уравнению для
членов первого порядка в прямом разложении, где у1 более син-
сингулярно при л; = 0, чем у0. Действительно, у0 =О(х~г), в то время
как у1—О(х~ъ) при х—»0. Чтобы сделать это разложение рав-
равномерно пригодным, хг можно выбрать так, чтобы yt было не
более сингулярно, чем у0, обратив для этого в нуль правую часть
уравнения C.2.22). Однако Лайтхилл нашел, что равномерно
пригодное разложение можно получить, выбрав хг так, чтобы
устранить главную особенность. Поэтому мы положим
^ х±А C.2.23)
S S
или
3.2. Метод Лайтхилла 95
Тогда C.2.22) примет вид
'U] = -Н-Ч-+ At- (* + *) , C.2.25)
dslyo\ 3s» s4 ' Vs3 ' s4;1 v '
i-Je-e(^ + l)d6J. C.2.26)
следовательно,
Растягивающая функция х2 может быть найдена из условия устра-
устранения главной особенности в у2 и будет в этом случае иметь вид
х = _3?! C.2.27)
I Os
Поэтому
где
Самое грубое приближение, равномерно пригодное вблизи нуля,
имеет вид
y = Ae~ss~\ C.2.30)
где s—корень уравнения
X — S оГа" , C.2.31)
который приближенно равен х, когда х^О и е<^1. Предпола-
Предполагается, что это разложение начинается при положительном зна-
значении х, и требуется его продолжить в сторону уменьшения х
через точку х = 0. Для физических задач это продолжение пре-
прекратится, если до нуля найдется действительная точка ветвле-
ветвления s как функция от х. Точка ветвления дается условием
dx/ds = 0, что эквивалентно х-}-еу = 0, а это является особен-
особенностью исходного уравнения C.2.9). В этом случае точка ветвления
дается выражением s^(—2Ле/3I/3, которое положительно тогда
и только тогда, когда А < 0. Поэтому вышеприведенное разло-
разложение будет пригодным вплоть до нуля, если А > 0, и пригодно
лишь до точки х»C/2)(—2Ле/3I/3, если А < 0.
96 Гл. 3. Метод растянутых координат
Если А = 1, то х = 0 соответствует значению
Следовательно, при х =
Г
»-(тГ-йD
3.2.2. Одномерная задача о космическом корабле Земля — Луна
ском корабле Зе
и приведена к
у
Одномерная задача о космическом корабле Земля—Луна (см.
п.2.4.2I изучена Найфэ [1965а] и приведена к уравнению:
Предположим, что
, C.2.35)
C.2.36)
Подставив C.2.35) и C.2.36) в C.2.34) и приравняв коэффици-
коэффициенты при равных степенях ц, получим
2C = s, M0)=0, C.2.37)
4 = 4.+? + 7—П=7- М0) = *'„@)Хх@). C.2.38)
Решение уравнения C.2.37) имеет вид
V2to = ^-sa". C.3.39)
Если jq = 0, то fj = О [In A —х)] при л; -> 1. Особенность в tt может
быть устранена, если правая часть уравнения C.2.38) обратится
в нуль, т. е.
Решение этого уравнения имеет вид
^-l+js-^lnii^-fs. C.2.41)
Поэтому для первого приближения
C.2.42)
*) См. примечание на стр. 54.— Прим. ред.
3.2. Метод Лайтхилла 97
где s—корень уравнения
[I 14_ «I/2 9 1
l_i.s-./Mni±J—+|sj+O(n2). C.2.43)
3.2.3. Твердый цилиндр, равномерно расширяющийся
в неподвижном воздухе
Рассмотрим далее решение задачи о цилиндрической ударной
волне, вызванной цилиндрическим твердым телом, расширяющимся
равномерно из нуля в невязком, нетеплопроводном и неподвиж-
неподвижном воздухе. Эта задача также была рассмотрена Лайтхиллом.
Предположим, что радиальная скорость расширения равна еа0,
где аа—скорость звука в неподвижном воздухе и е—малый па-
параметр. Скачок распространяется с постоянной скоростью Мап,
где М—число Маха для скачка. Поток между цилиндром и удар-
ударной волной—адиабатический и изэнтропический, следовательно,
он может быть описан с помощью потенциала ф (г, t) (радиаль-
(радиальная скорость <7 = Фг). удовлетворяющего уравнению
C.2.44,
где а — местная скорость звука, связанная с а0 уравнением Бер-
нулли, т. е.
[SKSJ]< <3-2-45>
где у—отношение удельной теплоемкости газа при постоянном
давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме. Газ
предполагается совершенным с постоянными удельными тепло-
емкостями. Потенциал ср должен удовлетворять трем граничным
условиям. Первое граничное условие: скорость воздуха на по-
поверхности цилиндра равна скорости его расширения, т. е.
fr(zaot) + eao. C.2.46)
Вторым граничным условием будет условие непрерывности потен-
потенциала ф при переходе через ударную волну. Поскольку в покоя-
покоящемся воздухе Ф = 0, то
Ф=(Ма„О = 0. C.2.47)
Третьим условием будет соотношение Рэнкина—Гюгонио между
скоростью ударной волны и скоростью воздуха за ней:
C.2.48)
98 Гл. 3. Метод растянутых координат
Поскольку задача не имеет характерного линейного размера,
все характеристики потока являются функциями лишь от r/aBt.
Положим
x = ^-t. C.2.49)
Тогда задача примет вид
Граничные условия примут вид
df
-dx(e) = e, C.2.51)
f(M) = O, C.2.52)
Поскольку имеются три граничных условия, наложенные на диф-
дифференциальное уравнение второго порядка, то должно существо-
существовать соотношение между М и е.
Так как е мало, то / мало, следовательно, члены нулевого
порядка в прямом разложении являются решением линейной
части уравнения C.2.50). Она имеет вид
A__к«)^ + —? = 0. C.2.54)
v ' dx2 ' х dx v '
Используя приведенные граничные условия, найдем, что
— Id*, M = l. C.2.55)
Это приближенное решение не имеет физического смысла для
х > 1, а число Маха распространяющейся ударной волны должно
быть больше единицы.
Чтобы получить пригодное разложение при х > 1 и опреде-
определить, насколько М превышает единицу, представляется удобным
преобразовать уравнение второго порядка C.2.50) в два урав-
уравнения первого порядка. Положим
*L = e C.2.56)
dx &'
3.2. Метод Лайтхилла 99
Предположим, что имеют место следующие разложения:
/---е2/0 + Б"/1 + ..., C.2.57)
g = e*go + e«g1 + ..., C-2.58)
х = s +e% (s) + ?%, (s) -f • • •, C.2.59)
УИ = 1+е2М,+е4УИ2 + ... • C.2.60)
Члены нулевого порядка определяются из уравнения C.2.54)
заменой х на s, т. е.
C.2.61)
Al)dt
Задача первого порядка имеет вид
Si(V-V(sgo-fo)-^ = 0, C.2.62)
C-2.63)
При s -»- 1 имеем gn -+ K2 A —s), /0 -»¦ — -g-1/^2 A —sK/2, следова-
следовательно, C.2.62) примет вид
gl = v^=7) +T + 1 +0(/I=i) при s -и. 1. C.2.64)
Таким образом, gl не будет иметь особенности при s = l, только
если *!=(), и, следовательно, gi(l)=Y + l-
Чтобы определить Mlt используем краевое условие на удар-
ударной волне. Если s соответствует положению ударной волны х=М,
то до порядка es будем иметь
, + ... . C.2.65)
Граничное условие C.2.53) дает
1 + ...)+...=^-fe2M, + ... . C.2.66)
Подставив выражение для g0 из C.2.61) и приравняв коэффици-
коэффициенты при е2, получим М, = 0. Следовательно,
.... C-2.67)
Далее C.2.52) и C.2.57) дают
/1A}=0. C.2.68)
100 Гл. 3. Метод растянутых координат
Уравнение второго порядка для g2 дает
__2х*~_ШЖ- + 0П) при s —1. C.2.69)
S2— 2/2A—s) W F '
Для устранения особенности в gz положим
C.2.70)
Следовательно, s = l+e4[Ms—(у + 1J/2], и с точностью до чет-
четвертого порядка граничное условие C.2.53) дает
Решение этого уравнения имеет вид М2 = 3(у +1J/8. Следова-
Следовательно,
УИ = 1+-|(у + 1Jе4 + 0(е6). C.2.72)
Пэнди [1968] исследовал случай цилиндра, равномерно рас-
расширяющегося в неподвижной воде.
3.2.4. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла
В качестве четвертого примера применения метода Лаитхилла
рассмотрим построение равномерно пригодного разложения в
задаче о сверхзвуковом обтекании тонкого крыла, которая об-
обсуждалась в п. 2.1.3. Прежде чем выписывать разложение, удобно
преобразовать исходное уравнение второго порядка в систему
двух уравнений первого порядка. Положим
u = q>x, v=<py.
Тогда уравнения B.1.19) — B.1.21) примут вид
vy—В2их — М* [(у + 1) иих + (у— 1) uvy + 2vvx -f кубические члены],
C.2.73)
uy = vx, C.2.74)
=°- C-2-75)
и(х, y) — v(x, y) = 0 вверх по потоку. C.2.76)
Прямое разложение для этой задачи было найдено в п. 2.1.3,
но оно становится непригодным при у -* оо. Поскольку и и v
обращаются в нуль вверх по потоку, равномерно пригодное раз-
разложение может быть получено растягиванием исходящих харак-
3.2. Метод Лайтхилла 101
теристик (т. е. х—6# = const). Положим поэтому
и = гщ (I, ц) + е*и, F, tj) + . . ., C.2.77)
.., C.2.78)
где
х-Ву = %+гС1?, г]) + гЮ2а, ч) + ..., C.2.79)
0 = 4. C.2.80)
Растягивающие функции G,- можно определить, наложив ус-
условие, что разложения C.2.77) и C.2.78) должны быть равно-
равномерно пригодными для больших расстояний, т. е. uz/u1 и vt/vt
должны быть ограниченными. Показано, что это условие экви-
эквивалентно требованию, чтобы g было исходящей характеристикой
нелинейных уравнений (Лайтхилл [1949а]; Уизэм [1952], [1953];
Линь [1954]; Фокс [1955]).
Поскольку характеристики уравнения B.1.19) определяются
уравнением
уравнение для исходящих характеристик имеет вид
их
dy
= 0, C.2.81)
= с, C.2.82)
5=const
где
c=2B + ~{[B2(y—l) + {y+l)]u—2Bv} + ... . C.2.83)
Уравнение C.2.82) может быть переписано в виде
^- = с^-. C.2.84)
or] dr\ v '
Задача, таким образом, свелась к разложению зависимых пере-
переменных и и v, а также независимой переменной х как функций
переменной г\=у и исходящей характеристики ? по степеням е.
Таким образом, C.2.79) эквивалентно разложению
C.2.85)
где
х0 = I + Вх[ и xt = G,- для i > 1. C.2.86)
Для устранения произвола в параметризации необходимо задать
начальное условие для х. Это условие принимается в виде
х{1, 0) = 1. C.2.87)
102 Гл. 3. Метод растянутых координат
Это эквивалентно такому выбору G,-, при котором они обраща-
обращаются в нуль при # = 0.
Чтобы перейти от независимых переменных х и у к ? и ц,
заметим, что
д д
х
ду'
Здесь были учтены равенства C.2.80) и C.2.84). Следовательно,
дх~хъд1' ду~ дц х^дГ (o.z.cej
Подставляя C.2.77), C.2.78) и C.2.85) в C.2.73) —C.2.76),
C.2.83), C.2.84) и C.2.87), используя C.2.88) и приравнивая
коэффициенты при равных степенях е, получаем
порядок е
+ 52« 1б) = 0, C.2.89)
C.2.90)
о,(Е, 0)=Г(Ё), C.2.91)
, C-2.92)
x,(U)=0. C.2.93)
Решение уравнений C.2.89) — C.2.91), которое обращается в нуль
вверх по потоку, имеет вид
», = ГШ, «,= — Я-1Г(Б), C.2.94)
что совпадаете линеаризованным решением. Таким образом, C.2.92)
примет вид
JCin = — уМ*(т + 1)?-2Г(Е). C.2.95)
Решение этого уравнения, подчиненное условию C.2.93), имеет вид
*,= — 4ММТ + 1)В-2Г|Г'A). C.2.96)
Поэтому первый порядок равномерно пригодного разложения
дается первыми членами в C.2.77) и C.2.78), где
х—Ву = 1—1вМ*(у+ l)B-*yT'(Z)+O{e*) C.2.97)
в соответствии с C.2.85), C.2.86) и C.2.96). Это решение пока-
показывает, что равномерно пригодное разложение первого порядка
3.2. Метод Лайтхилла 103
для гиперболических систем уравнений есть просто линеаризо-
линеаризованное решение, в котором линеаризованные характеристики за-
заменены на характеристики, вычисленные при включении нели-
нелинейных членов первого порядка.
Тем же путем можно построить высшие приближения. Ли и
Шеппард [1966] получили второе приближение.
В общей задаче потенциал скоростей <р не обращается в нуль
вверх по потоку. В этом случае равномерно пригодное разложе-
разложение можно получить разложением зависимой и обеих независи-
независимых переменных х и у как функций е и обеих характеристик
нелинейного уравнения | и г\. Таким образом мы увеличим
систему уравнений C.2.83), C.2.84) добавлением уравнений, опи-
описывающих приходящие характеристики г\, и включением разло-
разложения для у, аналогичного C.2.85). Ниже такая процедура
будет показана на примере более общей системы гиперболических
уравнений.
3.2.5. Разложения с использованием точных характеристик:
нелинейные упругие волны
Для рассмотренных выше гиперболических дифференциальных
уравнений равномерно пригодное разложение было получено растя-
растяжением одной из характеристик линеаризованного уравнения.
Результирующая растянутая координата была лучшим прибли-
приближением к точной характеристике. Линь [1954] и Фокс [1955]
обобщили метод Лайтхилла для задач с гиперболическими диф-
дифференциальными уравнениями с двумя независимыми перемен-
переменными, выбрав характеристические параметры в качестве незави-
независимых переменных. Эта процедура сводится к растяжению двух
семейств характеристик. Таким образом они смогли рассмотреть
общие волны в потоке жидкости, в котором исходящие и прихо-
приходящие волны взаимодействуют.
Верхаген и Ван Вейнгарден [1965] применили этот метод к за-
задаче о гидравлическом прыжке. Гиро [1965], Осватич [1965] и
Циреп и Гейнатц [1965] применили его к газодинамическим вол-
волнам конечной амплитуды. Гретлер [1968] разработал косвенный
метод расчета течения при плоском обтекании крыла, а Ван Вейн-
Вейнгарден [1968] проанализировал колебания в открытой трубе,
близкие к резонансу. Чу и Йин [ 1963], Рем [1968] и Гендерсен
[1967] рассмотрели термически возбуждаемые нелинейные одно-
одномерные колебания проводящей жидкости. Чу [1963] и Мортелл
[1971] изучили автоколебания в трубе. Лик [1969] проанализи-
проанализировал распространение волн в изэнтропических, химически реа-
реагирующих сжимаемых жидкостях, а Лессер [1970] изучил рас-
распространение волн в неоднородной среде. Паркер и Варлей [1968]
рассматривали нелинейное взаимодействие волн растяжения и
104 Гл. 3. Метод растянутых координат
изгиба в упругих мембранах и струнах. Мортелл и Варлей [1971]
исследовали нелинейные свободные колебания упругой панели.
Ричмонд и Моррисон [1968] применили этот метод к осесиммет-
ричной задаче пластичности. Девисон [1968] получил разложение
до второго порядка для нелинейных упругих волн в изотропной
среде с использованием характеристик в качестве независимых
переменных. Сейчас мы продемонстрируем этот метод на примере
определения первого приближения для нелинейных упругих волн
в анизотропной среде.
Пусть и и v—перемещения вдоль направлений х и у. Тогда
ax, C.2.98)
xx, C.2.99)
где р—плотность материала. Положим Р = их, Q—vx и предпо-
предположим, что напряжения а и т являются полиномами от Р и Q,
такими, что
tp—>-0,tq—*\i
при Р и Q—>0. Здесь К и \i—коэффициенты Ламэ в линейной
теории упругости. Таким образом,
-jasQ*+... , C.2.101)
-ybs<22 + .-. , C.2.102)
где
ср = —— , cs = -^- C.2.103)
Здесь с^ и cs—скорости распространения продольных и попереч-
поперечных волн. Полагая
R = ut и s = »t C.2.104)
и подставляя C.2.101) и C.2.102) в G.2.98) и C.2.99), получаем
Я,—с?Ях=аЯж + РBж + .-. , C.2.105)
St—c*Qx = yPx + 8Qx+ ... , C.2.106)
где
а = а,Ян Q2Q, 6 = q^ + q3Q, C.2.107)
Y = b^ + b2Q, b = b2P + b3Q. C.2.108)
Поскольку Р = их и Q — vx, то C.2.104) дает
Pt=Rx, Qt = Sx. C.2.109)
3.2. Метод Лайтхилла 105
Заметим, что мы представили систему двух дифференциальных
уравнений второго порядка C.2.98), C.2.99) как систему четы-
четырех дифференциальных уравнений первого порядка, которая
является более удобной для применения метода растянутых
координат.
Для окончательной формулировки задачи необходимо устано-
установить начальные условия. Мы рассмотрим случай, исследованный
Девисоном [1968]. В этом случае в начальный момент времени
материал, занимающий полупространство х^О, покоится и на-
находится в ненапряженном состоянии, а возмущение возникает
в точке л; = 0; т. е.
при *>О, П9 11ГП
Р(х, O) = Q(jc, 0) = R(x, O) = S(jc, 0) = 0 при х>0, К '
<p(t) = y(t) = O при *<0, C.2.111)
где ф и \р—известные функции, а е—малая, но конечная без-
безразмерная величина. Условие C.2.111) означает, что вдоль при-
приходящих характеристик Р и Q обращаются в нуль. Чтобы по-
получить равномерно пригодное разложение для этой задачи, мы
разложим зависимые и независимые переменные как функции
от е и параметров исходящих характеристик ? и т], т. е.
C.2.112)
C.2.113)
C.2.114)
C.2.115)
... • C-2.116)
.. • C.2.117)
Для членов первого порядка в разложениях Р и Q харак-
характеристические волновые скорости могут быть определены из соот-
соотношений C.2.105), C.2.106) и C.2.109) и определяются равенством
Таким образом, с точностью до О(Р, Q) исходящие характери-
характеристики определяются из
хч = с^ч, C.2.119)
4 = c2tb C.2.120)
где с, и са—положительные скорости, определяемые соотноше-
соотношениями C.2.118). Чтобы зафиксировать параметризацию, необхо-
необходимо поставить начальные условия для х к t. Выберем эти уело-
106 Гл. 3. Метод растянутых координат
вия в виде
*F, 6) = 0 и t(l, 6) = 6- C.2.121)
Начальные условия C.2.110), выраженные через новые незави-
независимые переменные, примут вид
Р{1Л) = Щ (I), Q (I.6) = еф (|),
При переходе от независимых переменных х и t к ? и rj за-
заметим, что
дг] дц \ dt +C]
Следовательно,
g _ 1 / 1 д \_JL\
дх сг~сЛ V Ч д1 {г) *| / '
д _ —1 / Cl a c2 a \
Л С2 —С, \ <Б ^ 'ц ^1 / ¦
Подставляя C.2.112) —C.2.117) в C.2.105), C.2.106), C.2.109)
и C.2.118)—C.2.122), используя C.2.124) и приравнивая коэф-
коэффициенты при равных степенях е, получим
порядок е°
хт— ^«,=0, C.2.125)
*<,?—с,*„Е = О, C.2.126)
xo(l, ?) = 0, foF. Е) = Е. C.2.127)
порядок е
= 0, C.2.128)
= O, C.2.129)
= 0, C.2.130)
1)n = 0, C.2.13 )
^ C-2.132)
±cr (b,/\ +b,Q,) f os, C.2.133)
?)=<,№, E)=0, C.2.134)
Л (O,ti) = Q1 F,0) = ^@,4) = 5,F,0K=0.
3.2. Метод Лайтхилла
107
Решение задачи C.2.125)—C.2.127) имеет вид
up — 4s
Cp—Cs
C.2.136)
и является просто линеаризованными характеристиками
Подставив выражение для /0 из C.2.136) в уравнения C.2.128) —
C.2.131) и решив полученные уравнения при условиях C.2.135),
получим
^(|',г1)=-сяф(|),1 ka.ri)=-cMr\), C-2Л37>
что является просто решением линеаризованной задачи без мно-
множителя е. Подставив это решение в C.2.132) и C.2.133), получим
(Xl -cptl)n = 1>,Ф (i) + ГАф (ц), C 2 138)
где (Г\, Г2) = -A/2)(cp—cs)-1(cs/cp, —cp/cs). Решение уравне-
уравнений C.2.138), подчиненное условию C.2.134), имеет вид
*i —сА = Г,а, (л — Е) Ф F) + TjG, J
6
C.2.139)
хх -сЛ = ГА jф Ц) dl + Г2Ь3 (Е-Л) * (Л)-
Поэтому равномерно пригодное разложение первого порядка
имеет вид
),
где | и т] определяются из равенств
х—cpi =—с
х—cst =—
ах (-л—Е) ф (Е)
L ч
C.2.141)
Как и в описанной в предыдущем разделе задаче о сверхзвуко-
сверхзвуковом обтекании тонкого крыла, равномерно пригодное разложение
до первого порядка есть просто линеаризованное решение, в ко-
108 Гл. 3. Метод растянутых координат
тором линеаризованные характеристики заменены характеристи-
характеристиками, вычисленными с использованием нелинейных членов пер-
первого порядка.
Решение может быть непосредственно продолжено до высших
порядков. В изотропном случае решение до второго порядка
получили Девисон [1968] и Наир и Неммат-Нассер [1971] для
однородных и неоднородных материалов соответственно.
3.3. Метод Темпла
Чтобы определить равномерно пригодное разложение для задачи
-?¦ = ?(*, и, е), ы(хо) = «о, C.3.1)
Темпл [1958], подобно тому, как это делал Лайтхилл, ввел новую
независимую переменную s и предположил, что
« = «(s, e), x=x(s, e). C.3.2)
Лайтхилл предполагал, что
.. , C.3.3)
, C.3.4)
и выбирал х,- так, чтобы оба эти разложения были равномерно
пригодными. Темпл же заменил исходное уравнение двумя экви-
эквивалентными уравнениями
^=U(x,u,s,e), ^=X(x, и, s, е), C.3.5)
такими, чтобы U и X были регулярными по е. Затем он нашел
прямое возмущенное разложение для и и х. Таким образом, ме-
метод Темпла систематическим образом определяет xt. Аналогичный
подход использовали Уизэм, Лайтхилл, Фокс, Линь и Девисон.
Он обсуждался ранее в случае гиперболических уравнений, где
построение равномерно пригодных разложений достигалось раз-
разложением по одному или нескольким параметрам характеристик.
В качестве примера рассмотрим задачу
(х + гу)^ + B + х)у = 0, у(\) = е-К C.3.6)
Этот пример обсуждался Темплом. Он является частным случаем
Звдачи C.2.9). Темпл заменил вышеприведенное уравнение на
« = * + •* « =
3.4. Метод перенормировки 109
Эти уравнения аналитичны по е и обладают следующими разло-
разложениями:
+ О(е»), C.3.8)
C.3.9)
где
S
(f)(s) = \is-ie-sds. C.3.10)
При s—>-0 имеем
1 л | f\ / л ^ л\ / О О 1 1 \
у С ос * 1 | / |С'С— »\ ( л Л I I 1
Л О л С/О —] L/ 1с о I, 1О»О.11|
,, с—2 ос-4 _1 П /о2с— 6\ /Q Ч 1 04
Следовательно, при # = 0
C.3.13)
что согласуется с выражением C.2.33), полученным методом
Лайтхилла.
3.4. Метод перенормировки
Притуло [1962] показал, что для определения равномерно
пригодного возмущенного разложения для данной задачи нет
необходимости вводить в дифференциальные уравнения преобра-
преобразование C.2.2) и затем определять |„. Вместо этого можно вы-
выписать прямое разложение, выраженное через исходные пере-
переменные, и лишь затем ввести преобразование C.2.2) в полученное
прямое разложение. Чтобы сделать это разложение равномерно
пригодным, мы наложим условие Лайтхилла, требующее, чтобы
особенность не увеличивалась с ростом порядка приближения.
Таким образом, для определения |„ мы получим не дифферен-
дифференциальные, а алгебраические уравнения, что упрощает всю про-
процедуру. Однако Притуло предполагал, что коэффициенты ряда
C.2.1), за исключением, быть может, лишь и0, удовлетворяют
линейным уравнениям, и утверждал, что при этом условии метод
становится эффективным. Этот метод был вновь открыт Аше-
ром [1968].
Метод, предложенный Притуло, примыкает к методу, описан-
описанному в п. 7.4.2, который впервые был применен в работе Рэлея
ПО Гл. 3. Метод растянутьа координат
по рассеянию. Определив рассеяние в тонком слое, он придал
ему вид экспоненты, чтобы сделать его пригодным для многих
слоев.
Мы применим этот метод к некоторым примерам, рассмот-
рассмотренным ранее в этой книге, и сделаем полученные выше разло-
разложения равномерно пригодными.
3.4.1. Уравнение Дюффинга
Задача, которая будет сейчас рассмотрена, была сформули-
сформулирована в п. 2.1.1, там же было построено прямое разложение,
имеющее вид
Г— ^-t sin /+^(cos3/ — cos/) + 0(e2)! . C.4.1)
Равномерно пригодное разложение было получено в п. 3.1.1
с помощью метода Линдштедта—Пуанкаре.
Чтобы сделать разложение C.4.1) равномерно пригодным,
введем преобразование C.1.2) в этот ряд. Разложив и собрав
коэффициенты при равных степенях е, получим
« = qcoss—е а (со, ^--^а2 jssins—~~as(cos3s—coss) -|-0(е2).
L \ ° J JZ J
C.4.2)
Вековые члены исчезнут, если
co1 = -4a2. C.4.3)
Поэтому равномерно пригодное разложение имеет вид
1
32
и = a cos s -f- ™ ta3 (cos 3s—cos s)-\-0 (e2), C.4.4)
где
t=s( 1 —о-еа2] + 0(е2), C.4.5)
что соответствует соотношениям C.1.15) и C.1.16), полученным
при использовании метода Линдштедта—Пуанкаре.
3.4.2. Модель слабо нелинейной неустойчивости
В качестве второго примера сделаем равномерно пригодным
следующее прямое разложение:
( 9
и = е cos oxt cos kx + e3 ( ^— t sin Oj? cos &x -)- члены, ограниченные
1 \
при t—>-ooj, C.4.6)
полученное в п. 2.1.2 для модельной задачи B.1.10), B.1.11).
3.4. Метод перенормировки 111
Положим
* = s(l+e2co2+...). C.4.7)
Подставив это выражение в C.4.6) и разложив при малых е,
получим
« = ecosajscosfe>c4-e3 ( 0*1 tog] s sin a^ cos kx-\- члены,
ограниченные при t —>- oo .
Вековые члены уничтожатся, если со2=9/32о|. Поэтому равно-
равномерно пригодное разложение имеет вид
и =е cos at cos kx + O(e3), C.4.8)
= VW=\ [l -32 (У_ 1}] + О (в"). C.4.9)
где
Если /г > 1, то а—действительное число, и разложение C.4.8)
пригодно до времен порядка 0(е~2). В этом случае оно имеет
вид стоячих волн с частотой, зависящей от амплитуды. Однако
если k < 1, то а—мнимое число, и C.4.8) имеет вид растущих
волн. Поскольку через короткий промежуток времени функция
chd>at, где а—действительное число, будет преобладать над chat,
то разложение C.4.8) будет пригодным лишь для коротких про-
промежутков времени. Из равенства C.4.9) следует, что а—> оо при
k —> 1, и если k — 1 =0(е2), то второй член в правой части C.4.9)
имеет тот же порядок, что и первый. Поэтому, хотя это разло-
разложение пригодно для широкого диапазона значений k, пригод-
пригодность нарушается, как только k—1=0(е2). В п. 3.5.1 показано,
что применение метода растянутых параметров к построению
разложения вблизи k = 1 приводит к ошибочным результатам.
Разложение, пригодное вблизи k = 1, получено с использованием
метода кратных масштабов в п. 6.2.8.
3.4.3. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла
В качестве третьего примера применения метода перенорми-
перенормировки сделаем равномерно пригодным прямое разложение для
продольной компоненты скорости, полученное в п. 2.1.3 в случае
сверхзвукового потока, обтекающего тонкое крыло. Согласно
B.1.36), прямое разложение имеет вид
), C.4.10)
112 Гл. 3. Метод растянутых координат
Чтобы сделать его равномерно пригодным, положим
). C.4.11)
Подставив это выражение в C.4.10), разложив и собрав коэф-
коэффициенты при равных степенях е, получим
. C.4.12)
Разложение может быть сделано равномерно пригодны^ для
всех у, если выбрать
tAs,y) = -y^M4/Tl(s). C.4.13)
Поэтому равномерно пригодное разложение имеет вид
±^ ), C.4.14)
где
? = s-e^AW(s) + 0(e*)f C.4.15)
что полностью совпадает с формулами C.2.94) и C.2.97), полу-
полученными путем использования метода Лайтхилла.
3.4.4. Сдвиг особенности
В качестве четвертого примера рассмотрим задачу из п. 2.4.1.
Прямое разложение, полученное в этом пункте, имеет вид
f = x-2e~x
у = х-Ч~х\ 1 + е \ e-4-s(l + 2t-1)dt + 0(е2). C.4.16)
• J
Чтобы сделать его равномерно пригодным, положим в C.4.16)
x = s + ex1(s)+... . C.4.17)
Собрав коэффициенты при равных степенях е, получим
) при s—*0. C.4.18)
Это разложение будет равномерно пригодным, если выбрать
xx = -±s-> C.4.19)
3.5. Ограничения метода растянутых координат ИЗ
и удалить таким образом главную особенность. Поэтому равно-
равномерно пригодное разложение имеет вид
, C.4.20)
где
), C.4.21)
что полностью совпадает с C.2.30) и C.2.31), полученными ме-
методом Лайтхилла.
3.5. Ограничения метода растянутых координат
В предыдущих параграфах было показано, что метод растя-
растянутых координат является мощным средством для построения
равномерно пригодных разложений в различных физических
задачах. Однако, несмотря на успех при исследовании гипербо-
гиперболических дифференциальных уравнений для волн, распространя-
распространяющихся в одном или в двух направлениях, этот метод не может
быть применен для построения равномерно пригодных разложе-
разложений эллиптических дифференциальных уравнений. Хотя Лайт-
хилл [1951] и получил равномерно пригодное разложение до
второго порядка для обтекания несжимаемой жидкостью тонкого
кругового крыла, Фокс [1953] нашла высшие приближения, ко-
которые не являются равномерно пригодными. Она доказала также,
что для обтекания тонкого крыла сжимаемым газом не может
быть получено равномерно пригодного разложения даже второго
порядка. В связи с этим Лайтхилл [1961] в более поздней статье
рекомендовал применять его метод только для гиперболических
дифференциальных уравнений. Несмотря на это, Вальо-Лорен
[1962] успешно применил этот метод в сочетании с методом ин-
интегральных соотношений в задаче о тупом теле (смешанная крае-
краевая задача). Более того, Эмануэль [1966] и Куйкен [1970] успешно
применили этот метод к параболическим задачам, связанным
с исследованием нестационарного турбулентного потока при диф-
диффузии и химических реакциях, а также потока вдоль наклонной
поверхности, вызванного сильным впрыскиванием жидкости.
Следует упомянуть, что Хугстратен [1967] модифицировал
этот метод применительно к задачам о дозвуковом обтекании
тонкого крыла. Он ввел функцию, равномерно приближающую
отображение физической плоскости на плоскость, в которой
крыло представлено своей хордой.
Цянь Сюэ-сзнь [1956] высказал предположение, что ограни-
ограниченность применения метода растянутых координат к исследова-
исследованию задачи о тонком крыле объясняется тем, что разложения
для функций выписываются вблизи нерегулярной точки. К счастью,
114 Гл. 3. Метод растянутых координат
можно заметить, что особенности переносятся с зависимых пере-
переменных на растягивающие функции, и таким образом можно
обнаружить неоднородность в результирующем разложении.
Юнь [1968] разложил функцию вблизи нерегулярной особой
точки, чтобы получить разложение, пригодное вблизи критиче-
критического волнового числа, соответствующего разрыву струи, для
нелинейной устойчивости жидкой цилиндрической струи. Однако
результирующее разложение не имело особенности, хотя, как
показал Найфэ [1970с], оно нарушалось при критическом вол-
волновом числе. Мы покажем трудности, с которыми столкнулся
Юнь, на примере модельной задачи о слабо нелинейной неустой-
неустойчивости стоячих волн (п. 3.5.1).
Как показал Леви [1959], метод растянутых координат не-
непригоден для класса задач с сингулярными возмущениями, в ко-
которых малый параметр стоит при высших производных (п. 3.5.2).
Он показал, что этот метод приводит к ошибочным результатам
в задаче о цилиндрических ударных волнах. Тем не менее можно
показать, что растяжение зависимых вместо независимых пере-
переменных приводит к равномерно пригодному разложению (упра-
(упражнение 3.33).
Несмотря на то что этот метод дает равномерно пригодные
разложения для периодических решений в слабо нелинейных
колебательных системах, Найфэ [1966] показал, что эти разло-
разложения не содержат никакой информации, кроме предельных
циклов и предельных точек. Вообще, если амплитуда изменяет-
изменяется, то метод растянутых координат неприменим.
Мы покажем трудности метода растянутых координат на сле-
следующих примерах.
3.5.1. Пример слабо нелинейной неустойчивости
Как было показано в п. 3.4.2, разложение C.4.9) для о ста-
становится непригодным, если k —1=0(е2). Чтобы применить метод
растянутых параметров к этому разложению, положим в C.4.9)
fe = a + r2?2. C.5.1)
Тогда, раскладывая C.4.9) для малых в и собирая коэффициенты
при равных степенях е, получим
(з.5.2)
Чтобы коэффициент при е2 был не более сингулярным, чем пер-
первый член при a—> 1, положим ks =9/32. Тогда C.5.2) примет вид
3.5. Ограничения метода растянутых координат 115
что ограничено при а—>1. Нейтральная устойчивость соответ-
соответствует о —0, т. е. а=1, или, согласно C.5.1),
k = l+~e"+... . C.5.4)
Чтобы показать непригодность разложения C.5.3), достаточно
показать непригодность условия нейтральной устойчивостиC.5.4).
Конфигурация системы при нейтральной устойчивости по опре-
определению не зависит от времени, следовательно, она определяется
уравнением
ихх + и = — и3. C.5.5)
Положим
со
и = еcoskx + 2 &пcosnkx> An~0(e2).
n=2
Подставив это выражение в C.5.5) и приравняв коэффициент
при cos foe к нулю, получим
Следовательно,
ft = l+|-es + ... , C.5.6)
что отличается от C.5.4). Поэтому разложения C.5.3) и C.5.4)
неверны. Верное разложение, пригодное вблизи k — 1, получено
в п. 6.2.8 с помощью метода кратных масштабов.
3.5.2. Малый параметр при высшей производной
Леви [1959] показал, что применение метода растянутых
координат к задаче о цилиндрической ударной волне (приведен-
(приведенной в упражнении 2.3) приводит к некорректным результатам.
Толщина ударной волны, которую нашел By [1956], не зависела
от величины скачка, что противоречило результату, полученному
Леви с помощью топологического анализа. Вместо того чтобы
показывать непригодность разложения на примере цилиндрической
ударной волны, мы, следуя Леви, обсудим более простую задачу,
обладающую теми же особенностями, но имеющую точное решение
для сравнения. Уравнение имеет вид
г% = -ху-1, C.5.7)
где е—малое положительное число. Точное решение этого урав-
уравнения, проходящее через точку (х0, ув), имеет вид
C.5.8)
116 Гл. 3. Метод растянутых координат
Прямое разложение метода возмущений можно получить,
положив
00
0=2е„(*)- C-5.9)
п = 0
Подставив C.5.9) в C.5.7), приравняв коэффициенты при равных
степенях е и решив полученные уравнения, придем к решению
# = —х-1 — елг3— ... —1-3-5.. .B/г— ^е"*-2"-1— ... . C.5.10)
Можно проверить, что C.5.10) является асимптотическим разло-
разложением точного решения C.5.8) при больших х. Заметим, что
это разложение становится непригодным вблизи х = 0, потому
что первый член сингулярен, а члены высших порядков все
более и более сингулярны. Если х = О(е1/2), то все члены этого
разложения имеют порядок О (е-1'2). Таким образом, это разло-
разложение никогда не будет адекватным разложением в области
х = О(е1'*).
Чтобы применить метод растянутых координат к этой задаче,
в разложении C.5.10) положим
.. , C.5.11)
разложим полученное равенство по е при малых е и соберем
коэффициенты при равных степенях е. Растягивающие функции
затем выбираем так, чтобы члены высших порядков были не
более сингулярны, чем первый. В данной задаче это приводит
к уничтожению всех членов, за исключением первого. В резуль-
результате имеем
где
~- + ^+...+-gl+.--, C-5.13)
[m-2 "I
m—\
r= 0
Из последних соотношений следует, что
а„>2"-2(п—1)!, п>2. C.5.15)
Поэтому разложение C.5.13) расходится; фактически оно яв-
является „более" расходящимся, чем C.5.10), и теряет смысл, ког-
когда х подходит к О (е1/2). Все, что достигнуто,— это замена не-
3.5. Ограничения метода растянутых координат 117
пригодного разложения по одной переменной на непригодное
разложение по другой переменной. Причина непригодности по-
полученного разложения заключается в отбрасывании высшей
производной, что мало сказывается при больших х, но стано-
становится существенным, когда х приближается к области О (г1'2).
3.5.3. Задача о космическом корабле Земля — Луна
Ниже мы покажем, что применение метода растянутых коор-
координат к двумерной задаче о космическом корабле Земля—Луна
(введенной в п. 2.4.2) приводит к непригодным разложениям.
Чтобы сделать разложение B.4.17) и B.4.18) равномерно при-
пригодным, применим метод растянутых координат. Подставив
x = s + |ix1(s)+... C.5.16)
в это разложение, получим
V2t =1 sin-» p Vs-±Vs(l~p*s) +
| vr ; v ;
Растягивающая функция х1 выбирается так, чтобы выражение,
стоящее в квадратных скобках, было не более сингулярно, чем
первый член, если s—>-1. Таким образом,
*i = -2A.ip2)ln(l-s). C.5.18)
Здесь растягивающую функцию можно было бы выбрать так,
чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль. В ре-
результате получим разложение первого порядка
pFs(l— P^s) + O(^), C.5.19)
C.5.20)
где
- C.5.21)
Сравнивая это разложение с точным решением, Найфэ A965а)
показал, что оно дает отклоняющуюся траекторию вблизи Луны,
хотя разложение, полученное в одномерном случае, достаточно
хорошо согласуется с точным решением. В одномерном случае
имеет место особенность при х=1-{-мУA—Р2) + О(ц2), которая
118 Гл. 3. Метод растянутых координат
находится вне интересующей нас области O^x^l. В прямом
разложении особенность сдвигается в точку л:= 1, и растяжение х
перемещает особенность из точки х=1 в правильное положение.
Однако в двумерном случае имеет место резкое изменение в на-
направлении движения космического корабля в окрестности Луны,
и растяжение порядка О ((.i) не может компенсировать такое рез-
резкое изменение.
Упражнения
3.1. Рассмотреть задачу
(а) Определить прямое разложение второго порядка (три члена) и исследо-
исследовать его равномерность.
(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, используя метод пере-
перенормировки.
(в) Построить равномерно пригодное разложение первого порядка (два
члена), используя метод растянутых парамеров, и сравнить результат с п. (б).
3.2. (а) Показать, что свободное движение точечной массы вдоль параболы
x2 = 2pz, вращающейся вокруг своей оси с угловой скоростью ш, описывается
уравнением
(б) Определить двучленное прямое разложение для малых амплитуд и ис-
исследовать его равномерность.
(в) Сделать это разложение равномерно пригодным, используя метод пере-
перенормировки.
г) Построить одночленное равномерно пригодное разложение помощью
метода растянутых параметров и сравнить результат с п. (в).
3.3. Определить двучленное равномерно пригодное разложение при малых
амплитудах для решения уравнения
ё +у- sin 6 = 0,
описывающего колебания маятника.
3.4. Построить равномерно пригодное разложение второго порядка для
периодического решения уравнения
и-\-и = е A —и2) и,
заметив, что амплитуда не произвольна.
3.5. Построить равномерно пригодное разложение первого порядка для
периодического решения системы уравнений
и-\-и — е A —г) и,
%Z -j- 2 = U2,
где т^ постоянная.
Упражнения 119
3.6. Рассмотреть уравнение
и+к»о" = еы2 + k cos at.
Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для периоди-
периодических решений, если
(а) ш0 и 2ш (указание: положить ш0 = 2ш + ео и ы = ыо + кы1 .., где н0 =
= о cos Bшг + Р) + A/3) /ш~2 cos юг, затем определить а и C из уравнения для Uj);
(б) ш0 я <о/2 (а в этом случае произвольно).
3.7. Рассмотреть уравнение
и -j- шоы = еы3 -f- fe cos wf.
Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для периоди-
периодических решений, если (а) ш0 « Зш и (б) ш0 ж а/3.
3.8. Определить разложения второго порядка для нечетных решений, соот-
соответствующих переходным кривым уравнения
где 6 близко к 1 или к 4.
3.9. Рассмотреть уравнение
(а) Построить разложения второго порядка для переходных кривых вблизи
6 = 0, 1, 4 (Шень [1959]).
(б) Используя метод Уиттекера, построить разложение второго порядка
для и вблизи этих кривых.
3.10. Рассмотреть уравнение
•• , 8—е cos2 t „
и + т =-; и = 0.
1—е cos21
(а) Определить разложения второго порядка для первых трех переходных
кривых (Рэнд и Дзен, [1969]) (т. е. вблизи 6=0, 1 и 4).
(б) Используя метод Уиттекера, найти и вблизи этих кривых.
3.11. Рассмотреть уравнение
ii s3 t)u — 0.
Определить разложения второго порядка для первых трех переходных кривых,
используя метод растянутых параметров и метод Уиттекера.
3.12. Определить с точностью до О (е) периодическое решение уравнения
<Малхолланд [1971])
A— ы2 — и2 — и2)(и+и).
3.13. Построить разложение первого порядка для уравнения
подчиненное условиям: (а; и @) = ы(л) = 0 и (б) и
120 Гл. 3. Метод растянутых координат
3.14. Определить разложение первого порядка для системы уравнений
и. + \и = е (sin 2t -f и2) и,
3.15. Построить разложения первого порядка для задач
(а)
(б)
3.16. Определить разложение первого порядка периодического решения при
малых амплитудах для системы уравнений
х+— x+g(l — cos 6) — 6
которая описывает колебания качающейся пружины длиной I. k — постоянная,
3.17. Свободные колебания шарнирно закрепленной балки на упругом
основании описываются краевой задачей
"хххх + Y" + еу«3 + ии = 0,
«@, t) = u(n, t) = uxx@. 0 = и«(\ 0 = 0,
'и (х, 0) = a sin х, щ (х, 0) = 0,
где у, а и е—постоянные. Построить разложения до О (е) для частоты коле-
колебаний (Хан [1965]).
3.18. Продолжить разложения нз п. 3.1.4 и 3.1.5 до второго порядка.
3.19. Рассмотреть решение следующего уравнения в виде однородных рас-
распространяющихся волн
Решения искать в виде u = aexpi(kx—Ш)-\- высшие гармоники. Определить
сдвиг частоты и волнового числа.
3.20. Рассмотреть задачу
и (х, 0) = a cos kx, щ (х, 0) = 0.
(а) Построить прямое разложение первого порядка.
(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, применив метод пере-
перенормировки.
(в) Определить разложение, пригодное для t = O(e~1), используя метод
растянутых параметров.
(г) Показать, что частота становится непригодной вблизи fe=l.
(д) Удалить особенность, применив метод перенормировки к этой частоте.
(е) Показать, что в результате получится ошибочное разложение.
Упражнения 121
3.21. Рассмотреть задачу на собственные значения
(f(x, 0) = <p(x, я) = ф@, {/) = ф(я, i/) = 0.
Построить разложение первого порядка, если X близко к 2 или к 5.
3.22. Рассмотреть задачу
=е/(х, у, г)ф.
где ф обращается в нуль иа поверхности куба со стороной я. Построить раз-
разложения первого порядка, если 1яЗ или 6, если (a) f = x2 и (б) f = x2y.
3.23. Поперечные свободные колебания шарнирно закрепленной балки при-
приводят к краевой задаче
EJwxxxx—Twxx + pwtt = О,
I
ES Г
r=2TJ (
о
ш@, t)=*w(l. t) = wxx@, t) = wxx(l, 0 = 0,
SIX
w (x, 0) = a sin —j- , Щ (x, 0) = 0,
где E, I, p, S, а и I — постоянные. Построить разложение первого порядка для
малых амплитуд (Ивенсен [1968]).
3.24. Рассмотреть задачу
у = 0, 5/A)= 1.
(а) Построить прямое разложение второго порядка. Какова область неодно-
неоднородности?
(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, используя метод пере-
перенормировки.
(в) Построить разложение первого порядка (два члена по у и три члена
по *), используя метод Лайтхилла, и сравнить его с разложением, найденным
в п. (б).
(г) Найти точное решение, поменяв ролями зависимую и независимую пе-
переменные, и сравнить с решениями, найденными в п. (б) и (в).
3.25. Показать, что равномерно пригодное разложение для задачи
(х-\-гу) у' -\-ху — Ье~х,
имеет вид
где x = l — R(&
3.26. Рассмотреть задачу
(а) Построить прямое разложение второго порядка и исследовать его равно-
равномерность.
(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, используя метод пере-
перенормировки.
122 Гл. 3. Метод растянутых координат
(в) Получить разложение первого порядка, используя метод Лайтхилла, н
сравнить результат с п. (б).
3.27. Используя метод перенормировки, сделать разложение из упражне-
упражнения 2.12 равномерно пригодным.
3.28. Рассмотреть задачу
(х
(а) Показать, что точное решение имеет вид
'1+ 2 т
(б) Показать, что применение метода Лайтхилла дает
6 2 (п—m)im + n(o—
(в) Показать, что приближенное решение непригодно вблизи х = 0, за исклю-
исключением некоторых значений тип (Камсток [1968]).
(г) Ввести новую переменную z = х" в исходную задачу и затем, растянув г,
построить приближенное решение для у. Определить условия, при которых
новое разложение будет пригодным вблизи начала координат (Бернсайд [1970|1.
Исходя из этого, определить роль замены независимой переменной в превра-
превращении приближенного решения в равномерно пригодное.
3.29. Рассмотреть задачу
(а) Определить прямое разложение первого порядка при е<^1 и исследо-
исследовать его равномерность.
(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, используя метод пере-
перенормировки.
(в) Построить разложение первого порядка, используя метод Лайтхилла, и
сравнить результат с п. (б).
3.30. Рассмотреть задачу
и@, <)==еср(О. ф@ =
и {х, 0) = 0 при
(а) Построить прямое разложение первого порядка и сделать его „равно-
„равномерно пригодным", используя метод перенормировки.
(б) Определить разложение первого порядка, используя метод Лайтхилла,
и сравнить с п. (а). Показать, что перенормировка и вместо их приводит к не-
неверным результатам.
3.31. Рассмотреть задачу (Лайтхилл [1949а]):
ди , п Id2v , dvy
и(х, 0) = v(x, 0)=0,
и@, у) = щ(у)у-«, 0 < п
Упражнения 123
где ф@) = 0. Показать, что равномерно пригодное разложение первого порядка
имеет вид
3.32. Рассмотреть задачу
и (х, 0) = / (х) + g (х), Хщ (х, 0) = с (g' (х) - Г (х)),
где f (л:) и g(x) — ограниченные функции х.
(а) Определить прямое разложение первого порядка. Можно ли сделать его
равномерно пригодным, используя метод перенормировки?
(б) Получить разложение первого порядка, используя метод растянутых
координат.
3.33. Рассмотреть задачу
(а) Показать, что метод Лайтхилла не дает равномерно пригодного разло-
разложения.
(б) Показать, что растяжение у вместо х дает равномерно пригодное раз-
разложение
(в) Исследовать, может ли растяжение у' дать равномерно пригодное раз-
разложение для
где
) = а,
3.34. Рассмотреть задачу
ы + u = ef (и, и).
(а) Показать, что метод растянутых координат (МРК) приводит к
и = а sin ф + О(е), ф =
2П
1 Г
at"x—a.~—— \ / [о sin ф, a cos ф] cos ф dq>,
о
1 р
1а1'л = Р = — \ f[a sin ф, a cos ф] sin ф dtp.
и
(б) Показать, что а = 0 и Р —постоянная, такая, что ^, = A/2) Pa-1 s + const.
(в) Исходя из этого показать, что МРК дает только предельные циклы или
предельные точки для этой задачи (Найфэ [1966]).
ГЛАВА 4
Метод сращивания асимптотических
разложений и составные разложения
Результаты § 3.5 показывают, что с помощью метода растя-
растянутых координат нельзя получить равномерно пригодные разло-
разложения в случаях, когда в некоторых областях изменения неза-
независимых переменных зависимые переменные испытывают резкие
изменения. В таких случаях, как правило, прямые разложения
становятся непригодными в указанных областях, и почти тождест-
тождественные преобразования независимых переменных (растянутые
координаты) не могут компенсировать этих резких изменений.
Чтобы получить равномерно пригодные разложения, мы должны
выяснить и использовать тот факт, что эти резкие изменения
характеризуются увеличенными масштабами, отличными от харак-
характерных масштабов изменения зависимых переменных вне областей
резких изменений.
Один из методов, связанных с этой проблемой, заключается
в построении прямых разложений (называемых внешними разло-
разложениями) с использованием исходных переменных и в построении
разложений (называемых внутренними разложениями), описываю-
описывающих эти резкие изменения и использующих увеличенные мас-
масштабы. Внешние разложения становятся непригодными в областях
резких изменений, в то время как пригодность внутренних раз-
разложений нарушается при выходе из этих областей. Чтобы связать
эти разложения, используют так называемую процедуру сращи-
сращивания. Этот метод называется методом внешних и внутренних
разложений, или, по Брезертону [1962], методом сращивания
(сшивки) асимптотических разложений.
Другой метод построения равномерно пригодных разложений
основан на предположении, что каждая зависимая переменная
является суммой, состоящей из: 1) части, характеризующейся
исходными независимыми переменными, и 2) частей, характеризую-
характеризующихся увеличенными независимыми переменными, причем каждой
области резких изменений отвечает своя часть в этой сумме. Это
является простейшей формой метода составных разложений.
В последующем параграфе мы опишем метод сращивания
асимптотических разложений. За более подробной библиографией
и приложениями этого метода мы отсылаем читателя к следую-
следующим работам: Ван Дайк [1964], Вазов [1965], Коул [1968] и
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 125
О'Малли [19686]. Кэрриер [1970] сделал обзор применений этого
метода в геофизике, а Жермену [1967] принадлежит обзор его
применений в аэродинамике.
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений
4.1.1. Введение: метод Прандтля
Чтобы описать метод сращивания асимптотических разложе-
разложений, рассмотрим простую краевую задачу
еу"+у'+у = 0, D.1.1)
у@)=а, уA) = Р, D-1.2)
введенную в п. 2.2.1. При в—*0 уравнение D.1.1) приводится
к виду
у'+у = 0. D.1.3)
Это уравнение является уравнением первого порядка и не может,
вообще говоря, удовлетворить общим граничным условиям D.1.2).
Следовательно, одно из этих граничных условий должно быть
опущено. В п. 4.1.2 будет показано, что должно быть опущено
условие у@)=а. Это можно видеть также и из точного реше-
решения B.2.7).
Если в—>0, то при фиксированном х=?0
у-+№~х, D.1.4)
что является решением предельного уравнения D.1.3), подчинен-
подчиненным условию уA) = р. Решение предельного уравнения обозна-
обозначим через у" и будем называть внешним решением. При малых в
решение предельного уравнения близко к точному решению B.2.7)
всюду, за исключением малого интервала возле конечной точки
х = 0, где точное решение быстро изменяется так, чтобы удовле-
удовлетворить краевому условию у@) =<х, которое было почти потеряно.
Этот малый интервал, в котором у очень сильно изменяется,
называется пограничным слоем в механике жидкости, областью
краевого эффекта в механике твердого тела и поверхностным
слоем в электродинамике.
Чтобы определить разложение, пригодное в пограничном слое,
мы увеличим этот слой, введя преобразование растяжения
бН--- DЛ-5>
Определение подходящего преобразования растяжения будет об-
обсуждено ниже в этой главе. После этого преобразования урав-
уравнение D.1.1) примет вид
?10> DЛ-6)
126 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
и при фиксированном ? приводится к
где е—>-0. Общее решение этого уравнения имеет вид
, D.1.8)
где А и В— постоянные. Так как это решение пригодно в погра-
пограничном слое, то оно пригодно в начале координат и, следова-
следовательно, должно удовлетворять краевому условию у (х = 0) = а.
Поскольку ?=0 соответствует х = 0, то г/(? = О)=сс; следова-
следовательно, В = а—А, и выражение D.1.8) примет вид
г/ = Л + (а—А)е~к D.1.9)
Это выражение содержит одну произвольную постоянную А.
Обозначим это решение через у' и назовем его внутренним реше-
решением или внутренним разложением.
Чтобы определить А, заметим, что
iimy° = Pe. D.1.10)
х->- О
Кроме того, из D.1.5) следует, что любое малое фиксированное
значение х0 соответствует g —- оо при е —> 0, и
lim y'=A. D.1.11)
е-* со
Таким образом, эти пределы представляют собой одно и то же
значение у при очень малом значении х = хо^=О. Следовательно,
Л = Ре. D.1.12)
Поэтому
у* = ре + (а—Ре) е-С D.1.13)
При определении внешнего и внутреннего разложений мы
использовали два различных предельных процесса: внешний пре-
предел, определяемый
у°= lim y(x;e), D.1.14)
е->- 0
к фиксировано
и внутренний предел
у'= lim у(е;;е). D.1.15)
е->-0
I фиксировано
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 127
Процесс определения А называется сращиванием. Мы использо-
использовали следующее условие сращивания:
lim у° {х; е) = lim 2/ (?; е), D.1.16)
что эквивалентно равенству
внутреннего предела внешнего решения, обозначенного че-
через (у0)', внешнему пределу внутреннего решения, обозначен-
обозначенному через (у')°. D.1.17)
Приближенное решение исходной задачи дается D.1.4) для х
вне окрестности нуля и D.1.13) для х, близких к х = 0. Чтобы
вычислить у как функцию от х, необходимо при возрастании х
переключиться с одного решения на другое при некотором малом
значении х, например при таком х, когда оба решения могут
пересечься. Это переключение неудобно, и поэтому из этих двух
решений мы построим одно равномерно пригодное решение, назы-
называемое составным решением и обозначаемое через ус. Оно имеет
вид (Эрдейи [1961])
D.1.18)
Поскольку
то
(ус)°=у0+(у')°—(у°У=у°,
(УСУ = (У0У+У' — (У°У = У'- D.1.19)
Таким образом, составное решение является хорошим приближе-
приближением во внешней области как внешнее решение и во внутренней
области как внутреннее решение. Это наводит на мысль, что со-
составное решение является равномерным приближением на всем
интервале изменения х, включая промежуток между внешней и
внутренней областями. Успех сращивания обусловлен наличием
общей области, в которой как внешнее, так и внутреннее реше-
решение пригодно, и, следовательно, между этими областями нет
пробела.
Сложив D.1.4) и D.1.13) и вычтя Ре, равное (у°)' = (у')°,
в силу D.1.17), получим
ус = pei-x _;_ (а_ре) е-х;г + о (е). D.1.20)
Метод, рассматриваемый в этом пункте, был развит Прандт-
лем [1905] для решения задачи обтекания тела потоком вязкой
жидкости при больших скоростях. Функция тока, описывающая
двумерное обтекание тела, должна удовлетворять уравнению
в частных производных четвертого порядка. Для вязкой жид-
128 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
кости как нормальная, так и тангенциальная компоненты ско-
скорости на поверхности тела должны обратиться в нуль. Последнее
условие называется условием прилипания, потому что любая
незначительная вязкость заставляет жидкость прилипать к телу.
Если вязкость обращается в нуль, то уравнение для функции
тока приводится к уравнению третьего порядка (п. 2.2.2) и, сле-
следовательно, не может удовлетворить всем граничным условиям.
Поскольку невязкая жидкость может проскальзывать, то условие
прилипания опускается, и в результате решение будет представ-
представлять движение жидкости всюду, кроме малой области вблизи
тела, называемой пограничным слоем Прандтля. В этой области
тангенциальные компоненты скорости изменяются очень сильно
от значения, полученного из предельного уравнения (с вязкостью,
равной нулю), до нуля, чтобы удовлетворить краевому условию
прилипания, которое ранее было опущено. Для описания течения
в этой области Прандтль увеличил ее, введя преобразование рас-
растяжения, оценил порядок величины различных членов исходного
дифференциального уравнения и отбросил малые члены. Получен-
Полученные таким образом уравнения были решены, и их решения были
сращены с решением задачи для невязкой жидкости с использо-
использованием условия сращивания D.1.16).
Аналогичную процедуру сращивания использовали Рэлей
[1912], Ганс [1915], Джеффри [1924], Вентцель [1926], Крамере
[1926] и Бриллюэн [1926] для соединения приближенных разло-
разложений с различных сторон от точки ветвления (ср. п. 7.3.1).
Аналогичные методики применялись в девятнадцатом столе-
столетии: 1) Лапласом [1805] для решения задач о большой невесомой
капле на плоскости и о широком мениске; 2) Максвеллом [1866]
для решения задачи о крутильных колебаниях круглых дисков,
вращающихся между близкими фиксированными дисками; 3) Кирх-
Кирхгофом [1877] для решения задачи о конденсаторе, состоящем из
двух различно заряженных конечных круглых дисков.
4.1.2. Высшие приближения и усовершенствованные процедуры сращивания
Спустя годы многие исследователи расширили и обобщили
метод Прандтля. В их числе можно назвать таких ученых, как
Вейль [1942], Фридрихе [1942], Дородницын [1947], Латта A951 ],
Каплун [1954], [1957], [19671, Каплун и Лагерстром [1957], Пра-
удман и Пирсон [1957], Вишик и Люстерник [1957], Васильева
[1959], [1963] и Ван Дайк [1964]х). Процедуру сращивания фор-
1) Обзор работ и библиографию по методу Вишика — Люстерника и его
приложениям см. в обзорной статье В. А. Треногина [1970], а по асимптоти-
асимптотическим методам в теории обыкновенных дифференциальных уравнений — в об-
обзорной статье В. Ф. Бутузова, А. Б. Васильевой и М. В. Федорюка [ 1969].—
Прим. ред.
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 129
мализовали Васильева [1959], [1963], Ван Дайк [1964] и Каплун
и Лагерстром [1957]. Кэрриер [1953], [1954] на частных приме-
примерах сравнил метод растянутых координат и метод сращивания
асимптотических разложений.
В этом пункте мы определим высшие приближения для задачи
D.1.1) и D.1.2). Начнем с выяснения вопроса, какое краевое
условие можно опустить, и попутно найдем соответствующее пре-
преобразование растяжения. Затем найдем внешнее и внутреннее
разложения и срастим их, используя условие Ван Дайка. В конце
мы построим равномерно пригодное составное разложение.
Какое краевое условие должно быть опущено? Как отмечалось
в предыдущем пункте, если е обращается в нуль, то D.1.1) при-
приводится к уравнению первого порядка D.1.3), решение которого
не может одновременно удовлетворить двум краевым условиям
г/(О)=сс и г/A) = Р, и, следовательно, одно из них должно быть
опущено. В окрестности того конца, где краевое условие опус-
опускается, у изменяется очень быстро и выходит на заданное гра-
граничное значение. Такое поведение у сильно отличается от пове-
поведения решения предельного уравнения. Эта малая область
называется пограничным слоем, или областью неоднородности.
Чтобы выяснить, должно ли быть опущено краевое условие
) = р\ введем следующее преобразование растяжения:
? = A_-х)е-\ Х>0. D.1.21)
Тогда уравнение D.1.1) преобразуется к виду
5Ll0- DЛ-22)
При в—>-0 уравнение D.1.22) будет принимать различные пре-
предельные формы в зависимости от %.
Случай Я, > 1
¦^г=0 или у' = А + В1. D.1.23)
Поскольку предполагалось, что решение предельного уравнения
D.1.3) пригодно при х = 0, то
у° = ае~х (внешнее решение). D.1.24)
Условие сращивания D.1.16) требует, чтобы
lim (Л -f Bt,) = Hm ае~*
?->• со х ->• I
ИЛИ
? = 0 и Л=ае~1. D.1.25)
130 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
Следовательно,
D.1.26)
Поскольку это решение пригодно при х=1, то оно должно удо-
удовлетворять краевому условию г/(х = 1) = р, следовательно,
Р=ае~\ D.1.27)
что, вообще говоря, не верно. Мы отбросим этот случай, поскольку
он не приводит к удовлетворению обоих граничных условий.
Случай к < 1
¦^-=0 или г/ = Л = р. D.1.28)
Этот случай должен быть отброшен, так как он не может удов-
удовлетворить условию сращивания.
Случай к = 1
-Jf— -^ = 0 или у' = А + Ве^. D.1.29)
Из условия сращивания следует
Mm {A+Bel) ~ lim ae~x,
В=0 и A = ae~K D.1.30)
Таким образом, этот случай также должен быть отброшен, по-
поскольку краевое условие г/(х=1) = р приводит к D.1.27).
Таким образом, пограничный слой не может существовать
в окрестности х—1, и, следовательно, краевое условие в этой
точке нельзя опустить.
Чтобы исследовать вопрос, можно ли опустить краевое усло-
условие 2/@)= а, введем преобразование растяжения
? = хе-\ 1>0, D.1.31)
тогда уравнение D.1.1) примет вид
В этом случае также существуют три предельные формы этого
уравнения при в—*0 в зависимости от X.
Случай К> 1
•)Уг = О или t/ = A+BZ. D.1.33)
Случай К < 1
4р = 0 или у' = А. D.1.34)
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 131
Случай Я, = 1
|f + f = O, y' = A + Be-Z. D.1.35)
Первые два случая должны быть отброшены по причинам, кото-
которые были рассмотрены выше. Третий же случай при использо-
использовании краевого условия у @) = а дает внутреннее решение
г/' = Л + (а — Л)е-С. D.1.36)
Условие сращивания требует
lim [Л + (а— А)е~Ц— lim (Ре1"*), или Л = Ре, D.1.37)
Б-»-» х->о
откуда
y'=pe-f(a—Ре)е~Е. D.1.38)
Таким образом, пограничный слой существует в окрестности
точки х = 0, и краевое условие у @) = ее не может быть наложено
на предельное уравнение D.1.3). Попутно мы нашли преобразо-
преобразование растяжения
? = xe-i, D.1.39)
которое использовалось в D.1.5). Следовательно, область неодно-
неоднородности имеет вид
х = О(е). D.1.40)
Внешнее разложение. Будем искать внешнее разложение в виде
')• D.1.41)
Используя внешний предельный переход
в—>- 0, х фиксировано, D.1.42)
имеем
у0 (х) = lim у (х; е)
е->- 0
к фиксировано
У— 2 г"Уп (X)
Ут (х) = Ит ^ . D.1.43)
е->-0 ь
х фиксировано
132 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
Чтобы определить это разложение, подставим D.1.41) в D.1.1)
и приравняем коэффициенты при равных степенях е. Получим
5б+И> = 0, D.1.44)
У'п + Уп = — У"п-1, «>!• D.1.45)
Как было отмечено в предыдущем пункте, это внешнее решение
пригодно всюду, за исключением области х~О{г). Следовательно,
оно должно удовлетворять краевому условию г/°A) = р, которое
вместе с D.1.41) приводит к
УоA) = Р, У«A)=0 при п>1. D.1.46)
Решение уравнения D.1.44), подчиненное условию г/0A) = Р.
имеет вид
У 0 = №~х. D.1.47)
Решение уравнения D.1.45) при и=1, подчиненное условию
г/„A) = 0, имеет вид
*. D.1.48)
Поэтому
). D.1.49)
Внутреннее разложение. Чтобы построить разложение, при-
пригодное вблизи начала координат, применим преобразование рас-
растяжения D.1.39) и преобразуем D.1.1) к виду
=0. D.1.50)
Будем искать внутреннее разложение в виде
N~l
2), D.1.51)
используя внутренний предельный процесс
в—>0, ?, = хе-1 фиксировано. D.1.52)
Таким образом,
У„(С)= Hm i/(e?; e),
е-*0
?, фиксировано
т-1
у (Л,; г)- 2е«К„©
У««)= Ит -^ . D.1.53)
е->-0 ь
? фиксировано
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 133
Чтобы определить это разложение, подставим D.1.51) в D.1.50),
приравняем коэффициенты при равных степенях е и, учитывая,
что ?—независимая переменная, получим
Y-o + Y'0 = 0, D.1.54)
= -Ya.lt n>l. D.1.55)
Хотя это внутреннее разложение и удовлетворяет краевому усло-
условию при х = 6, но, вообще говоря, не предполагается, что оно
удовлетворит краевому условию при х=1. Поскольку х=0
соответствует ? = 0, краевое условие г/(х = 0)=а вместес D.1.51)
дает
Уо@)=а, У„@)=0 при п>1. D.1.56)
Решение уравнения D.1.54), подчиненное условию Y0@)=a,
имеет вид
У0=а—Д,A—е-«). D.1.57)
Решение задачи D.1.55), D.1.56) при п=1 имеет вид
Y^A^l -е-1)-[а-А0A+е-Щ. D.1.58)
Поэтому
()
D.1.59)
Это внутреннее разложение содержит произвольные постоянные
Ло и Аг, которые должны определиться при сращивании с внеш-
внешним решением D.1.49).
Усовершенствованная процедура сращивания. Простейшая форма
сращивания внутреннего и внешнего решений—это условие
Прандтля:
lim у° = lim у1. D.1.60)
х -»-0 g -»• оо
Это условие приводит к сращиванию первых членов внешнего
и внутреннего разложений и дает
Л0 = а—ре. D.1.61)
Легко видеть, что это условие сращивания не может быть исполь-
использовано при сращивании других членов. Действительно,
lim#° = pe(l+e) + O(e2), D.1.62а)
1->0
в то время как
lim г/'=а-Л0 + е[Л1-(а-Л0)д+0(82). D.1.626)
Z -*¦ <"
134 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
Поскольку в силу условия сращивания D.1.60) оба эти разло-
разложения должны совпадать для всех значений Z,, то
D.1.63)
Это нарушает предположение, что Л, =0A), которое было исполь-
использовано при выписывании разложения D.1.59).
Более общая формулировка условия сращивания имеет вид
внутренний предел (внешнего предела) равен
внешнему пределу (внутреннего предела). D.1.64)
Еще более общая форма условия сращивания имеет вид
внутреннее разложение (внешнего разложения) равно
внешнему разложению (внутреннего разложения). D.1.65)
Соответствующие разложения строятся с использованием внеш-
внешнего и внутреннего предельных процессов, определяемых D.1.41)—
D.1.43) и D.1.51) — D.1.53) соответственно. Ван Дайк [1964] пред-
предложил следующее условие сращивания:
m-членное внутреннее разложение (n-членного внешнего раз-
разложения) равно
n-членному внешнему разложению («г-членного внутреннего
разложения), D.1.66)
где т и п—два произвольных целых числа, которые могут быть
равны или не равны. Чтобы определить /n-й член внутреннего
разложения (n-го члена внешнего разложения), перепишем пер-
первые п членов внешнего разложения и выразим их через внутрен-
внутреннюю переменную, затем разложим их для малых е при фиксиро-
фиксированном значении внутренней переменной до т членов. Аналогично
получаем правую часть D.1.66). Условие сращивания Ван Дайка
широко используется благодаря своей простоте. Более общее
и строгое условие предложил Каплун [1967], который использо-
использовал промежуточные пределы. Френкель [1969] сравнил эти усло-
условия сращивания и пришел к выводу, что хотя условие сращивания
Ван Дайка и может быть некорректно, но оно проще в употреб-
употреблении, чем принцип наложения Каплуна.
Условие сращивания Ван Дайка. Чтобы показать действие
условия сращивания Ван Дайка, мы применим его к сращиванию
внешнего разложения D.1.49) с внутренним разложением D.1.59),
взяв m = n = l; m=l, n = 2; m = n = 2.
Для сращивания одночленного внешнего разложения с одно-
одночленным внутренним разложением будем действовать следующим
образом.
Одночленное внешнее разложение: y~pV~*. D.1.67а)
Выразим через внутреннюю переменную: = pV~e?. D.1.676)
4.1. Метод сращиеания асимптотических разложений 135
Разложим при малых е: = реA—s?+...). D.1.67в)
Одночленное внутреннее разложение: —fie. D.1.67г)
Одночленное внутреннее разложение: у ~ а—Ло A—е~%). D.1.68а)
Выразим через внешнюю переменную:
= а—АоA— е-*'*). D.1.686)
Разложим при малых е: =а—Ло. D.1.68в)
Одночленное внешнее разложение: =а—Ло. D.1.68г)
Приравняв D.1.67г) и D.1.68г) в соответствии с условием сращи-
сращивания D.1.66), получим
Ре=а—Ло или Л0 = а—ре. D.1.69)
Теперь срастим одночленное внешнее разложение с двучлен-
двучленным внутренним разложением. Положим т = \ и п=2. Имеем
Одночленное внешнее разложение: г/~Ре1-х. D.1.70а)
Выразим через внутреннюю переменную: = ре1~!*. D.1.706)
Разложим при малых е: =фе П— Б? + у е2?2+... ) . D.1.70в)
Двучленное внутреннее разложение: == рс A—е?). D.1.70г)
Двучленное внутреннее разложение: у~а—ЛоA—в~Е)+
+ e^1(l-rt)-[o-i40(l+e-t)g}. D.1.71а)
Выразим через внешнюю переменную: =а—АоA — е~х/е) +
+ в|л1A-е-^)-[а-Л0A+е-^)]|}. D.1.716)
Разложим при малых е: =(а— Ло)A—х)-\-еА1. D.1.71в)
Одночленное внешнее разложение: =(а—Ло) A—х). D.1.71г)
Приравняв D.1.70г) и D.1.71г) в соответствии с условием сращи-
сращивания D.1.66), получим
РеA—е?) = (а—Д,)A—х). D.1.72а)
Поскольку x — eL,, то
а—Л0=ре или Л0=а—ре. D.1.726)
Таким образом, мы не получили никакой информации относи-
относительно Аг.
Положив /л = п = 2 в D.1.66), получим
Двучленное внешнее разложение: у~$ [1+вA—х)"\ё1~х. D.1.73а)
Выразим через внутреннюю переменную: =р [1+еA—еЩе1'^.
D.1.736)
Разложим при малых е: = РеA+е—е^+...). D.1.73в)
Двучленное внутреннее разложение: =реA+е—е^). D.1.73г)
Двучленное внутреннее разложение: у~и—ЛоA—е~Ц +
+ 8{Л1A'^)-[а-Л0A+^)]^. D.1.74а)
Выразим через внешнюю переменную: =а—Ло A —е~х/е) -f-
{ } D.1.746)
136 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
Разложим при малых е: =(а—Ло)A—х)+вА1. D.1.74в)
Двучленное внешнее разложение: =(а—Ло)A—х)-\-е.А1.
D.1.74г)
Приравняв D.1.73г) и D.1.74г) в соответствии с условием сращи-
сращивания D.1.66), получим
Л0 = а-ре, Л1==ре. D.1.75)
Поэтому
у' = ре + (а - Ре)е-5 + е ^ A — с*) — [Ре —(а—бе) е~Ц ?} + 0 (е2).
D.1.76)
Составное разложение. Как обсуждалось выше, внешнее раз-
разложение непригодно в окрестности начала координат, в то время
как внутреннее разложение, вообще говоря, непригодно нигде,
кроме области х = 0(е). Чтобы найти разложение, пригодное на
всем интервале, построим составное разложение ус (Василье-
(Васильева [1959]; Эрдейи [1961])
' — {у1H. D.1.77)
Эти два выражения эквивалентны в силу условия сращива-
сращивания D.1.66), требующего, чтобы
О/0)'=0/0°. D.1.78)
А поскольку
{У')' = У1, (У°)° = У°, D.1.79)
то D.1.77) приводит к
{УС)°=У° и (УСУ = У{- D.1.80)
Поэтому ус будет таким же хорошим приближением для у, как у°
во внешней области и как у1 во внутренней области.
Поскольку как D.1.73г), так и D.1.74г) определяет (у0)', то
составное разложение можно получить, прибавив к внешнему
разложению D.1.49) внутреннее разложение D.1.76) и вычтя
внутреннее разложение внешнего разложения D.1.74г). Таким
образом, получим
ус = р [1 -fe A —Х)] е1~х + [(а—Ре) A +х)—е$е] е~х/Е + 0 (е2).
D.1.81)
4.1.3. Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами
В этом пункте мы построим равномерно пригодное разложе-
разложение первого порядка для решения задачи
= 0, D.1.82)
р, D.1.83)
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 137
где е<^1, а(х) и Ь(х) — аналитические в интервале [О, 1] функ-
функции от х. Уравнение D.1.1), которое обсуждалось в двух пре-
предыдущих пунктах, можно записать в виде D.1.82), положив
а(х) =Ь(х)= 1. Если е обращается в нуль, то уравнение D.1.82)
приводится к уравнению первого порядка
а(х)у'+Ь{х)у = 0, D.1.84)
решение которого не может удовлетворить обоим краевым усло-
условиям, и, следовательно, одно из них должно быть опущено. Как
будет показано ниже, ответ на вопрос, какое условие должно
быть опущено, зависит от того, какой знак принимает а (х) на
интервале [0, 1]. Если а(х)>0, то необходимо опустить условие
у @) = а и внутреннее разложение строить в окрестности точки
х = 0, сращивая его с внешним разложением. Если а < 0, то надо
опустить условие у A) = Р и строить внутреннее разложение вблизи
точки х=1, сращивая его с внешним разложением. Однако если
а(х) меняет знак в [0, 1], то у может изменить характер с осцил-
осциллирующего на экспоненциально растущий или выродиться в ок-
окрестности нуля а(х). Такие нули называются точками поворота
или точками ветвления. Задача о точках ветвления исследуется
в § 7.3.
Какое краевое условие должно быть опущено? Чтобы исследо-
исследовать вопрос, может ли быть опущено условие у @) =а (т. е. обра-
образуется ли пограничный слой в окрестности нуля), введем пре-
преобразование растяжения
?=хе-\ К>0. D.1.85)
Тогда D.1.82) примет вид
0^ О. D.1.86)
При в—>-0 D.1.86) примет вид
0 = 0 при Л >1,
|| = 0 при X < 1, D.1.87)
Чтобы можно было срастить решение уравнения D.1.87) с внешним
решением, определяемым предельным уравнением D.1.84), необхо-
необходимо, чтобы существовали решения уравнения D.1.87), ограни-
ограниченные при ?—»-оо. Ограниченными решениями в первых двух
случаях будут постоянные, следовательно, они должны быть от-
отброшены как приводящие к определенным противоречиям, анало-
138 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
гичным тем, с которыми мы столкнулись в п. 4.1.2. Аналогично,
если а@)<0, то ограниченным решением в последнем случае
(т. е. при Л = 1) будет также лишь постоянная, и этот случай
надо будет также отбросить. Следовательно, в точке х = 0 не
будет пограничного слоя. Если а@)>0, то общее решение при
X = 1 имеет вид
D.1.88)
Это решение ограничено при ?—>оо и содержит две произволь-
произвольные постоянные, следовательно, оно может быть принято за внут-
внутреннее разложение, так как вместе с решением предельного урав-
уравнения может удовлетворить обоим краевым условиям.
Чтобы исследовать, должно ли быть опущено условие у A) = р\
введем преобразование растяжения
т) = A—*)е-\ Я>0, D.1.89)
и преобразуем D.1.82) к виду
^^e\) = 0. D.1.90)
При е—>-0 это уравнение примет вид
-gr = 0 при Ь>1,
-|j- = 0 при Ь<1, D.1.91)
Решением уравнения D.1.91), ограниченным при ц—> оо, будет по-
постоянная, если К=Ф 1 или если аA)>0и >.= 1, и, следовательно,
эти случаи надо отбросить. Однако, если аA)<0 при Л = 1,
общее решение D.1.91) имеет вид
г/'" = Л+?еоA)Г1. D.1.92)
Это решение ограничено при rj—>оо, следовательно, оно может
быть принято в качестве внутреннего разложения, так как оно
содержит две произвольные постоянные, которые позволяют соче-
сочетать его с внешним решением и удовлетворить обоим краевым
условиям.
Таким образом, пограничный слой будет при
х = 0, если а (х) > 0,
и при
х=\, если а{х)<0. D.1.93)
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 139
Далее мы определим равномерно пригодное разложение первого
порядка для первого случая.
Случай а (х) > 0. В этом случае первый член внешнего раз-
разложения D.1.41) определяется из уравнения
а(х)у' + Ь(х) г/ = 0, г/A) = р D.1.94)
что приводит к
г/°=Рехр — \j7fidt . D.1.95)
Общее решение для первого члена внутреннего разложения D.1.51)
дается D.1.88). После преобразования D.1.85) краевое условие
у (х = 0) = а преобразуется к виду у (? = 0) = а, следовательно,
г/'=а—В + Ве-°{оЛ. D.1.96)
Чтобы срастить у" и у', мы положим т — п = \ в D.1.66).
Имеем
одночленное внутреннее разложение (одночленного
о
внешнего разложения) = р ехр I — \ -Щг dt I, D.1.97)
[-\т*\
одночленное внешнее разложение (одночленного
внутреннего разложения) = а—В. D.1.98)
Приравняв D.1.97) и D.1.98) в соответствии с условием сращи-
сращивания D.1.66), получим
Г ° 1
J^ D.1.99)
Г ° 1
= а-Рехр -J^d* .
Сформируем составное разложение. Для этого к D.1.95) при-
прибавим D.1.96) и вычтем D.1.98); получим
хехр[— ^*j+O(e). D.1.100)
Положив а(х) =Ь(х)= 1, придем к
у = Рв»-* + (о—$е)е-х/е + О(е), D.1.101)
что соответствует D.1.20). Положив а(х)=2х-\-\ и Ь(х) = 2,
получим
^ . D.1.102)
140
Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
4.1.4. Уравнение Рейнольдса для скользящей опоры
Распределение давлений в изотермическом сжимаемом слое
в бесконечно длинной скользящей опоре (см. рис. 4.1) опреде-
определяется из уравнения Рейнольдса, которое в безразмерных пере-
переменных имеет вид
D.1.103)
Здесь расстояние х, толщина слоя h и давление р приведены
к безразмерному виду с помощью следующих характерных пара-
параметров задачи: длины опоры вдоль направления движения L,
толщины слоя смазки Т на заднем конце опоры и внешнего
давления ра. Число Л определяется выражением A = 6iiLU /раТ2,
где ц—вязкость жидкости, а U—скорость верхней поверхности.
Граничные условия имеют вид
р=1 при х = 0 и х=\. D.1.104)
Следуя Ди Прима [1969], будем искать асимптотическое решение
этой задачи при больших Л, используя метод сращивания асимпто-
асимптотических разложений.
Внешнее разложение ищем в виде
р° = ро(х) +Л" >,(*) + ••• • D.1.105)
Подставив это разложение в D.1.103) и приравняв коэффициенты
при равных степенях Л, получим
?(ЙА,) = 0, D.1.106)
2
D.1.107)
Поскольку эти уравнения являются уравнениями первого по-
порядка, то одно из граничных условий должно быть опущено,
и внешнее разложение будет непригодным вблизи этой границы.
Так как Л и Л положительны, то по соображениям, анало-
аналогичным тем, которые использовались в п. 4.1.2 и 4.1.3, придем
к выводу, что должно быть опущено краевое условие при х=1.
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 141
Следовательно, условие р°@) = 1 вместе с D.1.105) дает
/>„@) = 1, Рг@)=0. D.1.108)
Поэтому решение для р0 имеет вид
Ро=^, D.1.109)
а решение для рг имеет вид
/g !*-№)¦-*'Ml. DЛЛ10)
п \Х)
Это внешнее разложение необходимо дополнить внутренним
разложением (решением в пограничном слое) вблизи х=1. Введя
преобразование растяжения
? = A-х)Л°, а>0, D.1.111)
преобразуем D.1.103) к виду
]|СЛ-0)р]. D.1.112)
При Л—»¦ оо это уравнение приводится к одному из трех видов
d ( dp\ г, ^ .
-¦? = 0 при а> 1,
|- = 0приа<1, D.1.113)
|(р|) = _| ПрИ а==1.
Первые два случая должны быть отброшены. Действительно,
решением второго уравнения является постоянная, а решение
первого уравнения выходит на постоянную при t,—»• оо1), и,
таким образом, оба эти случая не могут удовлетворить гранич-
граничным условиям. В третьем случае уравнение имеет первый ин-
интеграл вида
Р% + Р = А> D.1.114)
где А—постоянная. Решение уравнения D.1.114) имеет вид
—1 = Р + А \п(р—А) + В, D.1.115)
где В—другая постоянная. Это решение, таким образом, явля-
является первым членом Ро внутреннего разложения
1Л (?)+... D.1.116)
*) Точнее, ограниченные при ?—»¦ оо решения первого уравнения D.1.113)
суть постоянные.— Прим. ред.
142 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
и, следовательно, оно должно удовлетворять краевому условию
р(х=1)=1 или р'(? = 0) = 1, что вместе с D.1.116) приводит к
Р„@)=1. D.1.117)
Подставив D.1.117) в D.1.115), получим
В = — 1 — Л1пA— Л). D.1.118)
Следовательно, Ро неявно определяется уравнением
±=±f-. D.1.119)
Чтобы определить А, положим m = n = l в условии сращива-
сращивания D.1.66). Имеем
одночленное внутреннее разложение (одночленного
внешнего разложения) = h0, D.1.120)
одночленное внешнее разложение (одночленного
внутреннего разложения) = А. D.1.121)
Равенство D.1.121) получено в результате разложения уравне-
уравнения D.1.119) при больших ? с учетом неявной зависимости Рв
от ?. Приравняв D.1.120) и D.1.121) в соответствии с условием
сращивания, получим
A=h0, D.1.122а)
следовательно,
—t = P0—l+ftoln?=? D.1.1226)
Составное равномерно пригодное разложение первого порядка
в соответствии с
имеет вид
Ус = Т& + ро&)-Ьо + 0(А-1), D.1.123)
где Ро определяется из D.1.1226).
4.1.5. Несимметричный изгиб предварительно напряженных
кольцевых пластин
Рассмотрим теперь задачу о несимметричном изгибе предва-
предварительно напряженных кольцевых пластин, которую поставили
Альцхаймер и Дэвис [1968] и которая обсуждалась в п. 2.2.4.
Эта задача приводит к краевой задаче для обыкновенного диф-
дифференциального уравнения четвертого порядка B.2.28) с краевыми
условиями B.2.29), B.2.30). При е-*0 уравнение B.2.28) при-
d е2 |2 Ы*и
J U [
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 143
водится к уравнению второго порядка B.2.31), решение кото-
которого, вообще говоря, может удовлетворить только двум из четы-
четырех краевых условий. Следовательно, его решение не будет при-
пригодным в окрестности одной или обеих границ, где необходимо
вводить пограничные слои.
С помощью рассуждений, аналогичных использованным
в п. 4.1.2, 4.1.3, можно прийти к выводу, что пограничный
слой будет образовываться в окрестностях обоих концов, т. е.
при г =Ь и г = 1. Пограничный слой при r=b характеризуется
преобразованием растяжения
? = (г—Ь) е-1. D.1.124)
Тогда в окрестности точки г =& уравнение для и примет вид
е du ие2 1
eZdZ F + e?JJ
D.1.125)
При г = 1 пограничный слой характеризуется преобразованием
растяжения
г] = A— г)е~\ D.1.126)
и поэтому в окрестности точки г = 1 u(g) должно удовлетворять
уравнению
d"- Ed e2 I2 Г^__5 йи ир2 1 _р
dri2 I— eri dri (I— eriJ| U [dr\2 1— ец d-ц A—eriJJ '
D.1.127)
Внешнее разложение. Будем искать разложение вида
/V-1
и° = 2 еп«„ (г) + О (е") D.1.128)
с помощью внешнего предельного перехода: е—*-0 при фикси-
фиксированном г. Для этого, подставив это разложение в B.2.28) и
приравняв коэффициенты при равных степенях е, получим
Ж + ТЧГ-Т*^ ПРИ всех "• D.1.129)
откуда
ип = ^ + Впг, D.1.130)
где Ап и В„—постоянные. Поскольку пограничный слой при-
присутствует в обоих концах, то мы не можем использовать гра-
граничные условия для определения этих постоянных. Они опре-
определятся при сращивании внешнего решения с решениями в по-
пограничных слоях.
J44 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
Внутреннее разложение в окрестности г =Ь. В этом случае
внутреннее разложение мы будем искать с помощью внутрен-
внутреннего предельного перехода е—*0 при фиксированном ?,—
= (г—Ь)г~1. Пусть
Б) + ... . D.1.131)
Подставив это разложение в D.1.125) и приравняв коэффициенты
при равных степенях е, получим
Это разложение должно удовлетворять граничным условиям
B.2.29), т. е.
u'(E = 0)=te, ^(S = 0) = ea. D.1.134)
Последние условия вместе с D.1.131) приводят к
U0@)=ba, f/;@)=0, D.1.135a)
?/1@) = 0, ?/1@)=а. D.1.1356)
Общее решение D.1.132) имеет вид
t D.1.136)
Постоянная dB должна быть равна нулю, иначе Uo будет экспо-
экспоненциально расти и его нельзя будет срастить с внешним раз-
разложением.
Краевое условие D.1.135а) требует, чтобы
Ьв = с0, ао+со=Ьа.
Таким образом, ?/0 может быть записано в виде
l), D.1.137)
где с„—постоянная, которая должна будет определиться при
сращивании. Чтобы произвести сращивание, положим т — п=\
в условии сращивания D.1.66). Имеем
D.1.138)
Ьа, если с0 = 0.
Следовательно,
^ D.1.139)
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 145
Для того чтобы определить Ло и Во, требуется еще одно соот-
соотношение между ними, которое может быть получено только при
сращивании внешнего разложения с внутренним при г = 1.
В этом примере можно было бы сразу выписать разложение
до высших порядков и затем применить сращивание. При этом
возникли бы громоздкие алгебраические выражения, пропор-
пропорциональные с0. Вообще говоря, не удается определить внешнее
и внутреннее разложения до любого порядка и затем применить
сращивание для определения произвольных постоянных. Напри-
Например, в задаче об обтекании тела при больших числах Рейнольдса
приходится строить разложение последовательно шаг за шагом
(см., например, Ван Дайк [1964]).
Если UB=ba, то решение уравнения D.1.133), удовлетво-
удовлетворяющее краевому условию D.1.1356) и не растущее экспо-
экспоненциально, имеет вид
^i =с, (<?"* + ?—1)+а? D.1.140)
Чтобы определить clt мы срастим двучленное внутреннее разло-
разложение с двучленным внешним разложением. Имеем
двучленное внутреннее разложение (двучлен-
(двучленного внешнего разложения) =
^)\ D.1.141)
двучленное внешнее разложение (двучленно-
(двучленного внутреннего разложения) = ba -f- (cx+ ос)х
X{r — b) — ее,. D.1.142)
Приравняв D.1.141) и D.1.142) в соответствии с условием сращи-
сращивания, потучим
1+а)(г—Ь)—ес1. D.1.143)
Поскольку ? = (/"—Ь)е~х, имеем
* ^ D.1.144)
Таким образом, мы имеем два уравнения для Alt Вх и сх;
третье соотношение между ними получается при сращивании
внешнего разложения с внутренним в точке г = \.
Внутреннее разложение в окрестности точки г = \. Внутрен-
Внутреннее разложение вида
D r\)+... D.1.145)
146 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
вблизи точки г — 1 будем искать с помощью внутреннего пре-
предельного перехода е—*0 при фиксированном т] = A—г)г~1.
Подставив это разложение в D.1.127) и приравняв коэффициенты
.при равных степенях е, получим
tto? l) d4 ' 14.
Поскольку г = 1 соответствует х\ = 0, то и1 должно удовлетворять
граничным условиям B.2.30), т. е.
ы' = ^ = 0 при т]=0. D.1.148)
Эти условия в сочетании с D.1.145) дают
00@) = 0, й;@)=0, D.1.149)
^г@) = 0, f?,'@)=0. D.1.150)
Решение задачи D.1.146), D.1.149), не растущее экспонен-
экспоненциально, имеет вид
О — 1). D.1.151)
Чтобы определить с0, срастим одночленное внешнее разложение
с одночленным внутренним разложением. Получим
=с01-^-, D.1.152)
откуда
со = О и Ло + Во=0 D.1.153)
и
С/о = 0. D.1.154)
Решив D.1.139) и D.1.153) относительно Ло и Во, получим
Ло = —В0=-^г. D.1.155)
Следовательно,
D.1.156)
Поскольку DB = 0, то решение задачи D.1.147), D.1.150), не
растущее эксполенциально, имеет вид
O1=c1(e-ll-f л— 1). D.1.157)
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 147
Чтобы определить с1г срастим двучленное внешнее разложение
с двучленным внутренним разложением. Имеем
двучленное внутреннее разложение (двучленного
внешнего разложения) = 0 +е BАвг\ + Ах + Bt), D.1.158)
двучленное внешнее разложение (двучленного
внутреннего разложения) =^A — г) — гс1. D.1.159)
Приравняв D.1.158) и D.1.159) в соответствии с условием сра-
сращивания, получим
^5 lj D.1.160)
Поскольку Л„ и Вв определяются из D.1.155), то D.1.144)
дает
*i = -T=W. D.1.161)
а из D.1.144) и D.1.160) следует
) д _ 2ab(\+b)
Это завершает определение всех постоянных интегрирования для
разложения второго порядка.
Составное разложение. Сначала соберем все результаты пре-
предыдущих трех пунктов
D.1.165)
D.1.166)
D.1.167)
Таким образом, составное разложение, равномерно пригодное в
интервале [Ь, 1], имеет вид
{и°У — (и°у =
D.1.168)
148 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
4.1.6. Термоупругие поверхностные волны
В п. 2.4.3 задача о термоупругих поверхностных волнах была
сведена к решению алгебраических уравнений B.4.35) для квад-
квадрата волновой скорости х = с2. Прямое разложение для решения
этого уравнения при малых е (см. п. 2.4.3) имеет вид
+ 0(e2) D.1.169)
при малых т и
при больших т, где F(c%) и М(с%) определяются из B.4.39) и
B.4.42) соответственно, и
xR=c% «0,2817 (квадрат скорости волн Рэлея).
Скорость волн Рэлея является решением уравнения
\-cR. D.1.171)
Ясно, что разложение D.1.169) становится непригодным, если
x\\lxR. Действительно, х—> «), если т—>-l/xR. Второй член
разложения D.1.170) показывает, что оно становится непригод-
непригодным при т 11, а из рассмотрения третьего члена следует, что
пригодность этого разложения нарушается задолго до т = 1.
Поскольку из D.1.171) G{xR)=l—xR, то коэффициент при М2
в B.4.42) обращается в нуль, если т= l/xR& 3,550. Следова-
Следовательно, как М, так и х стремятся к бесконечности при т| l/xR.
Таким образом, оба эти разложения становятся непригодными
при xR = \lxR.
Чтобы определить разложение, равномерно пригодное для
всех т, мы будем рассматривать вышеприведенные разложения
в качестве внешних разложений и дополним их внутренними
разложениями вблизи т = тд. Во всех примерах, рассмотренных
до сих пор, нам приходилось применять преобразование растя-
растяжения только к независимым переменным. Однако в этом случае
мы нашли, что преобразование растяжения необходимо приме-
применить как к независимой переменной т, так и к зависимой пере-
переменной х. Введем следующее преобразование:
•-XR~* е-, 0</ге, п< 1. D.1.172)
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 149
Прежде чем делать замену переменных в B.4.35), заметим, что
= A — хг + АJ—2л:теA — лгт-J-Л)+0 (е2) =
= A — л:тJ+ 2ЛA— хх) + А2 — 2ел:тA— л:т + Л) + О (е2) ==
= A — хх) fa —хх— Х+2А— ел:т-^=^±^-1 +О(е2).
Следовательно, соотношение B.4.35) может быть переписано
в виде
После преобразования D.1.172) получим
о о 1 — зт/2
)] /
+0F)- D.1.174)
Чтобы получить нетривиальный результат при е—»-0, положим
2
т =n=-g-,
тогда при е—>-0 равенство D.1.174) примет вид
Полагая
6» = Х —Г, D.1.175)
можно переписать это уравнение в виде
Ъ* + ТЪ = К, D.1.176)
где
Следовательно, решение этого кубического уравнения дает пер-
первый член внутреннего разложения. Это кубическое уравнение
имеет один или три корня в зависимости от того, положительно
выражение
или нет. При положительных или малых отрицательных Т вели-
величина D положительна, и уравнение имеет только один действи-
действительный корень:
1= У—$ К-г УЪ- У^К + ^О. D.1.177)
150 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
При Т <—3^//С2/4 существуют три действительных корня для |.
В этом случае мы выберем тот, который определяется выраже-
выражением D.1.177), если в нем изменить знак при D. Срастим это
внутреннее разложение с внешними разложениями D.1.169) и
D.1.170) и затем построим равномерно пригодные составные
разложения.
Разложение для 0 ^ т ^ xR. Срастим внутреннее разложение
с внешним разложением D.1.169), положив в D.1.66) т = п = 2.
Имеем
двучленное внутреннее разложение (двучленного внешнего
разложения) =
Г" TS —I
D.1.178)
двучленное внешнее разложение (двучленного внутреннего
разложения) =
D.1.179)
Написав D.1.179), мы нашли решение уравнения D.1.176) при
больших отрицательных значениях Т и выбрали корень
l = V~=T— §f+... при Т-*—оо, D.1.180)
так как выражение D.1.177) непригодно для больших отрица-
отрицательных Т. Поскольку D.1.178) и D.1.179) равны, то внешнее
разложение D.1.169) фактически уже сращено с внутренним
разложением, представленным D.1.176). Поэтому составное раз-
разложение, пригодное для всех 0^т^тЛ, дается выражением
хс=х°+х'—(х°У =
( Л 1-*
D.1.181)
Заметим, что это разложение регулярно при т = xR, так как
вклад в сингулярность члена порядка е в точности уничтожается
членом e^KlV^f-
Разложение при т ^ xR. В этом случае Т положительно.
Срастим внешнее разложение D.1.170) с внутренним, положив,
так же как и в предыдущем случае, пг = п = 2. Имеем
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений ПН
двучленное внутреннее разложение (двучленного внешнего
разложения) =
{l^T) D.1.182)
двучленное внешнее разложение (двучленного внутреннего
разложения) =
[±=^ ] D.1.183)
Так как выражения D.1.182) и D.1.183) равны, то эти разло-
разложения фактически уже сращены. Составное разложение, равно-
равномерно пригодное при т^Тд, имеет вид
хс=х°-}-х' — (х°у =
= Т- 7?Т~е2/3^2 + 0(е2)- D.1.184)
Найфэ и Неммат-Нассер [1971] первыми исследовали эту
задачу с помощью метода сращивания асимптотических разложе-
разложений. Результаты этого пункта показывают, что внешнее и внут-
внутреннее разложения, вообще говоря, не могут быть представлены
в виде одинаковых асимптотических последовательностей, скажем,
по степеням е. В этом примере внешние разложения строились
по целым степеням е, в то время как внутреннее разложение
по дробным степеням е. Кроме того, этот пример служит демон-
демонстрацией того, что неоднородность может возникать внутри об-
области, а не только на границе, как это было в ранее рассмот-
рассмотренных примерах.
4.1.7. Задача о космическом корабле Земля — Луна1)
В примерах, обсуждавшихся до сих пор, асимптотические
последовательности содержали либо целые степени е", либо дроб-
дробные степени ет'п малого параметра. В некоторых случаях эти
асимптотические последовательности могут оказаться неспособ-
неспособными представить решение. Тогда их приходится дополнять чле-
членами, содержащими log(l/e), которые, будучи умноженными на
любую дробную степень е, стремятся к нулю. Из настоящего
примера видно, что следует иметь в виду тот факт, что может
оказаться необходимым дополнить эти последовательности чле-
членами, содержащими такие логарифмы, как log(l/e), log[log(l/e)],
log {log [log A/e)]}, или им эквивалентные.
Рассматриваемая задача математически представлена уравне-
уравнениями B.4.7)—B.4.9) в п. 2.4.2. Одномерная задача исследова-
исследовалась в п. 3.2.2 с помощью метода растянутых координат.
В п. 3.5.3 показано, что в двумерном случае метод растянутых
координат приводит к ошибочным результатам.
1) См. примечание к п. 2.4.2.— Прим. ред.
152 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
Если вместо t в качестве независимой переменной выбрать х,
то прямое разложение (полученное с использованием внешнего
предельного перехода (J, —*0 при фиксированном х) дается выра-
выражениями B.4.17) — B.4.19). Было отмечено, что вблизи точки
х=\ это разложение становится непригодным, так как второй
член в разложении B.4.18) имеет логарифмическую, а третий —
алгебраическую особенность вблизи х = 1. Величину неравно-
неравномерности, а значит, и соответствующее преобразование растяже-
растяжения, можно оценить, рассматривая отношение наиболее сингу-
сингулярной части члена 0((i2) к наиболее сингулярной части члена
0((i). Эта оценка наводит на мысль, что областью неоднород-
неоднородности является 1—x = O(ii). Если бы мы взяли отношение син-
сингулярной части члена 0((i) к первому члену, то пришли бы к
выводу, что областью неравномерности является 1—x = O(e~1/il)t
что неверно.
Лучшим способом оценки величины неоднородности и опреде-
определения преобразования растяжения является исследование по-
порядка величины разных членов в уравнениях, как мы это делали
в более ранних примерах. Введем преобразование
1-~, ?=-*?, Ч=-НГ. аир>0, D.1.185)
fi fi fi
где т—время, необходимое для достижения х=\. Преобразуем
B.4.7) к виду
Левая часть этого уравнения представляет собой ускорение кос-
космического корабля; первый член правой части равен вкладу
притяжения Земли в ускорение космического корабля, последний
член представляет собой вклад притяжения Луны в это ускорение.
Если мы пренебрежем силой притяжения Луны в сравнении с
силой притяжения Земли, то мы получим внешнее разложение
B.4.12), которое непригодно в окрестности точки х = 1. Таким
образом, чтобы получить разложение, пригодное вблизи Луны,
(т.е. х= 1), надо считать, что вклад в ускорение космического
корабля от притяжения Луны имеет тот же порядок, что и само
ускорение, т. е.
За—2Р = 1. D.1.187)
Этому условию могут удовлетворить бесконечно много значений
а и р. Поскольку внутреннее разложение должно быть сращено
с внешним, то скорость d%/dr\ в окрестности Луны должна иметь
тот же порядок, что и скорость dxjdt = O{\) вдали от Луны;
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 153
следовательно,
а = р. D.1.188)
Поэтому
а = Р = 1 D.1.189)
и исходное уравнение может быть переписано с использованием
внутренней переменной | = A—х)ц~% в виде
<41Л90>
Ниже мы рассмотрим одномерный случай. Лагерстром и Ке-
Кеворкян [1963b] рассмотрели двумерный случай, а Лагерстром и
Кеворкян [1963а] и Брекуэлл и Перко [1966] исследовали случай
вращающихся центров масс.
Положим у = 0 и проинтегрируем уравнение B.4.7) с началь-
начальными условиями B.4.10) при /г = р = О. Имеем
^+T^. '«>)-0. D-1.192,
Внешнее разложение (полученное с использованием внешнего
предела jj,—*-0 при х фиксированном) имеет вид (упражнение 2.12):
V~2t° =jx^+li (j-x^ + Vx—^-ln |+ У? j+QH- D.1.193)
При л;—> 1 оно становится непригодным. Чтобы описать решение
вблизи д;=1, положим | = A—x)(x-1. Тогда уравнение D.1.192)
примет вид
}-^ + D
Используя внутренний предельный переход \i—*0 при | фикси-
фиксированном, будем искать внутреннее разложение в виде
ф + О(ця). D.1.195)
Приравнивая коэффициенты при равных степенях \х, получим
'+ D
Общее решение этого уравнения имеет вид
Arsh VI+ xlf D.1.197)
154 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
где ti и т„—постоянные, которые должны определиться при
сращивании, так как это разложение непригодно вблизи л: = 0
и мы не можем использовать начальное условие /(л: = 0) = 0.
Чтобы произвести сращивание, положим m = n = 2 в D.1.66)
и получим
двучленное внутреннее разложение (двучленного внешнего
разложения) =
Б+J—1п2 + у1пц+^ Ing], D.1.198)
двучленное внешнее разложение (двучленного внутреннего
разложения) =
= ^2т„-1 +Х-1Х [4—1п2—т,—i-ln-^]. D.1.199)
Приравняв D.1.198) и D.1.199) в соответствии с условием сра-
сращивания, получим
| ^^ D.1.200)
Откуда
D.1.201)
Это разложение кроме членов 0([i) содержит член ц
Составное разложение, равномерно пригодное на интервале
[0, 1], может быть получено в соответствии с
откуда
D.1.202)
4.1.8. Обтекание сферы при малых числах Рейнольдса
В качестве последнего примера рассмотрим задачу обтекания
сферы при малых числах Рейнольдса, которая обсуждалась
в п. 2.1.4. Этот пример отличается от предыдущих тем, что он
описывается дифференциальным уравнением в частных произ-
производных. Кроме того, он показывает, что иногда необходимо пре-
преобразование сжатия, а не растяжения. Функция тока удовлет-
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 155
воряет уравнению в частных производных четвертого порядка
B.1.37) и граничным условиям B.1.39) и B.1.40).
Разложение Стокса. В п. 2.1.4 было получено прямое раз-
разложение B.1.59), которое Лагерстром и Коул [1955] назвали
разложением Стокса. Оно было получено с помощью так назы-
называемого предельного перехода Стокса: R—>-0 при фиксирован-
фиксированном г. Как было отмечено в п. 2.1.4, разложение Стокса удов-
удовлетворяет условию B.1.39) на поверхности сферы, но не удовлет-
удовлетворяет условию на бесконечности B.1.40). Таким образом, раз-
разложение Стокса становится непригодным при г —> оо (парадокс
Уайтхеда).
Разложение Озеена. Чтобы выяснить причину этой неравно-
неравномерности, Озеен [1910] исследовал относительную величину
„конвективных" членов, которыми Стоке пренебрег, и „вязких"
членов, которые были Стоксом оставлены. Правая часть урав-
уравнения B.1.45) показывает, что
пренебрегаемые члены = О ( -^), D.1.203а)
в то время как перекрестные члены, оставляемые в B.1.42),
равны
в д [ I д\~\ , „( 1 \ ... опо_
)Р°Ы DЛ.2036)
Следовательно,
^^ 0(Rr) при ,-*». D.1.203b)
и разложение Стокса становится непригодным при г, возрастаю-
возрастающем до 0(R~1).
К этому выводу можно прийти также, заметив, что причиной
неравномерности является член —C/16) Rr2 sin2 0 cos 0 в частном
решении, который не ведет себя надлежащим образом при г—j- оо.
Следовательно, разложение Стокса пригодно, пока этот член мал
в сравнении с членом — C/4) г sin2 6 в я)),,, и разложение Стокса
становится непригодным, если эти члены имеют одинаковый по-
порядок, т.е. если rR = 0{\).
Эти соображения позволили Озеену [1910] получить прибли-
приближение к потоку, пригодное везде. Это два первых члена того,
что Лагерстром и Коул [1955] назвали разложением Озеена.
Разложение Озеена получается с помощью предельного перехода
Озеена: R—*-0 при фиксированном p = Rr. Отметим, что переход
к р является преобразованием сжатия, а не растяжения. В но-
156 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
вых переменных уравнение B.1.37) примет вид
-2T)D^' DЛ-204)
где
Поскольку общее решение дифференциальных уравнений
в частных производных, вообще говоря, не известно, то, по-ви-
по-видимому, более удобно и целесообразно строить внутреннее и
внешнее разложения последовательно, член за членом, приме-
применяя условие сращивания в качестве ведущего принципа при
формировании этих разложений. Так как решение Стокса B.1.51)
равномерно пригодно, то мы можем найти первый член в раз-
разложении Озеена, применив предельный переход Озеена в B.1.51).
Чтобы определить вид второго члена, используем условие сра-
сращивания
одночленное разложение Стокса (двучленного разложения
Озеена) = двучленному разложению Озеена (одночленного
разложения Стокса) =
|^|ie. D.1.206)
Таким образом, разложение Озеена (обозначаемое через
должно иметь вид
Yh i P- 6)" D-1-207)
Первый член соответствует решению Стокса. Подставив это раз-
разложение в D.1.204) и приравняв коэффициенты при R, получим
. D.1.208)
Это уравнение называется уравнением Озеена. Оно было полу-
получено Озееном из физических соображений.
Чтобы решить уравнение Озеена, мы, следуя Голдстейну
[1929], положим
D.1.209)
и имеем
= 0. D.1.210)
4.1. Метод сращивания асимптотических разложений 157
Вместо того чтобы искать общее решение уравнения D.1.208),
решая D.1.209), D.1.210), и затем использовать условие сращи-
сращивания D.1.206) для выделения членов, соответствующих решению
Стокса, Праудмен и Пирсон [1957] срастили сначала &>2tys и ЙJф°.
Поскольку
«f-lJsin-e+oc/?) D12П)
и условие сращивания означает, что
одночленное разложение Стокса (одного члена <2>24|)°) =
= одночленному разложению Озеена (одного члена ?D2tys),
D.1.212)
то получим
3 1
одночленное разложение Стокса (?J?1) = у — sin2 8. D.1.213)
Чтобы удовлетворить этому условию, будем искать решение в виде
(p = sin26/(p). D.1.214)
Имеем
(? |) = 0. D.1.215)
Решение для /, не растущее экспоненциально, имеет вид
)e. D.1.216)
Тогда
+
ф D.1.217)
Следовательно,
2А 1
одночленное разложение Стокса (D2XFr) = •„- — sin2 0. D.1.218)
В этом случае D.1.213) дает А =3/4 и D2lFj принимает вид
D2iFx = -|(l -f A)sin2ee-<i/2>p<1-c°se>. D.1.219)
Частное решение уравнения D.1.219) имеет вид
| D.1.220)
158 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
Поэтому
иг ш I jf_ /I _i_ rnc fl\p-(i/2) p (i-cos 6) (л 1 991 \
Тогда из D.1.206) получим
о
одночленное разложение Стокса: (?1(,) = — -k-A+cos0)- D.1.222)
Следовательно, Чг1с = —3(l+cos6)/2 и разложение Озеена при-
примет вид
D.1.223)
Второй член в разложении Стокса. Из уравнений B.1.51),
B.1.52) и B.1.58) следует, что разложение Стокса второго по-
порядка имеет вид
Г =4 (V-3r + y) sin2
D.1.224)
где 4|)lc—дополнительное решение уравнения B.1.52). Чтобы
найти я|Iс, срастим два члена rps с двумя членами я))". Имеем
двучленное разложение Стокса: ty ~|Фо + ^('ф1/. + 'ф1с)- D.1.225а)
Запишем через переменные Озеена:
-^, б). D.1.2256)
Двучленное разложение Озеена: =2^
члены порядка 0A) по R^lc(-?-, бI. D.1.225в)
Двучленное разложение Озеена: ф ~ ^^ р2 sin2 6 —
D.1.226a)
4.2. Метод составных разложений 159
Запишем через переменные Стокса: =-^-r2 sin2 6—
— A(i_|_cose)[l_ e-(i/2)^(i-cos6)] D.1.2266)
Двучленное разложение Стокса: = ( — г2 — хг ) s'n2 ^ ~Ь
+ ^ r*R sin2 6A — cos 6). D.1.226в)
Приравнивая D.1.225в) и D.1.226в) в соответствии с условием
сращивания, получим
одночленное разложение Озеена: (tylc) = jg r2 sin2 6. D.1.227)
Это наводит на мысль, что решение надо искать в виде
4j,lc = f(r)sin2e. D.1.228)
Тогда из B.1.50) получим
г-1. D.1.229)
Условие сращивания D.1.227) требует, чтобы с4 = 0 и с2 = 3/16,
в то время как граничные условия ^A, 6) = ф1ЛA, 6) = 0 озна-
9 3 ,-,
чают, что ct= — gg , c_! = ™. Поэтому
. D.1.230)
Высшие приближения. Праудмен и Пирсон [1957J нашли, что
частное решение для ijJ содержит In г, что приводит к появлению
In R при сращивании. Это является еще одним примером, в ко-
котором возникают логарифмы параметра возмущения в результате
сращивания разложений, одно из которых содержит логарифмы
независимой переменной.
4.2. Метод составных разложений
Составные разложения, полученные в п. 4.1.1—4.1.7, явля-
являются частным случаем разложений вида
у(х; г) = у°(х; е) + у'&; *)-(у°У = у° + у'-(уУ, D.2.1а)
где у—зависимая переменная, в—малый параметр, х—внешняя
переменная, ?—внутренняя переменная. Составное разложение
может рассматриваться как сумма двух членов F (х; г) = у° и
G(? е) = г/'-(г/°)', т. е.
у (х; e) = F(x; e) + G(?; в). D.2.16)
160 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
Вместо того чтобы определять внешнее и внутреннее разло-
разложения, сращивать их и затем строить составное разложение,
Бромберг [1956] и Вишик и Люстерник [1957] предположили,
что решение имеет вид D.2.16) и пригодно всюду. Следовательно,
оно удовлетворяет всем граничным условиям. Взяв внешний пре-
предел от D.2.16) получим
у°(х; e)=F + G°. D.2.1в)
Эта функция должна удовлетворять исходному дифференциаль-
дифференциальному уравнению, выраженному через внешнюю переменную.
Аналогично, функция
y'^F' + G D.2.1г)
должна удовлетворять исходному дифференциальному уравнению,
записанному через внутреннюю переменную. Чтобы найти приб-
приближенное решение, F и G раскладывают по е и для каждого
уровня приближения получают уравнения и краевые условия.
Этот метод применил Чудов [1966] для вязкого обтекания пло-
плоской пластины. Вариант метода Бромберга заново открыл О'Мал-
ли [1971].
Другой метод составных разложений ранее был предложен Латта
[1951]. В соответствии с этим методом предполагалось, что решение
также имеет вид D.2.16), но G является функцией внешней пере-
переменной и внутренней переменной ?, которая имела более общий
вид g(x)/S(z), а не х/8(е), причем функция g определялась
в результате анализа. Кроме того, Латта исследовал внутреннее
разложение и искал специальные функции, которые могут быть
использованы для представления G (х, ?; в).
Ниже мы проиллюстрируем оба метода, применив их к част-
частным примерам.
4.2.1. Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим задачу
ъу" + У'+У = 0, 0<х<1, D.2.2а)
у@)=а, УA)=Р. D.2.26)
Как показано в п. 4.1.1, прямое разложение становится непри-
непригодным вблизи точки х—-0, а чтобы описать поведение у в об-
области неравномерности, вводилось внутреннее разложение, исполь-
использующее преобразование растяжения ^ — хе'1. Было показано,
что внутреннее разложение содержит функцию е~^ = е~х/е. По-
Поскольку при дифференцировании функция е~х/е выражается через
саму себя, то нет других специальных функций, необходимых
для представления составного разложения. Поэтому Латта пред-
4.2. Метод составных разложений 161
положил, что у имеет равномерно пригодное разложение вида
У = 2 «^„ (х) + е-** 2 в"Л„ (*)• D-2.3)
п=0 п=0
Подставляя D.2.3) в D.2.2а) и D.2.26) и приравнивая к нулю
коэффициенты при в" и гпе~х!г для всех п, получим уравнения
для /„ и Л„. Уравнения для п — 0, 1 и 2 имеют вид
/о + /о = О, Л;-ЛО=О, D.2.4)
Л= —Я, К—К=К, D.2.5)
=-f'i, л;—ля=л;. D.2.6)
Краевые условия имеют вид
D.2.7)
>1. D.2.8)
Здесь мы пренебрегли экспоненциально малыми членами е~ЬЕЛ„A).
Решения уравнений D.2.4) с краевыми условиями D.2.7)
имеют вид
h=№~*, Л0 = (а—Ре)е*. D.2.9)
Подставив D.2.9) в D.2.5) и решив полученные уравнения при
краевых условиях D.2.8), получим
л:)^-*, 1г1 = [—$е + (а—$е)х]ех. D.2.10)
Подставляя решение первого порядка в D.2.6) и решая получен-
полученные уравнения при краевых условиях D.2.8), получим
f, = -§-P(l-*)E-*)e*-*,
у(а—ре) Xs] ех. D.2.11)
Используя полученные решения, найдем разложение D.2.3).
Имеем
—x)+-g-(l—*)E—
[— Ре + (а—ре) ]
). D.2.12)
Легко проверить, что внешнее разложение (предел при в—>0
и фиксированном х) первых двух членов этого разложения
дается выражением D.1.49), а внутреннее разложение (в—>0 при
фиксированном ?, = х/е) дается выражением D.1.76). Таким обра-
162 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
зом, метод составных разложений дает равномерно пригодное
разложение непосредственно без определения внешнего и внут-
внутреннего разложений, сращивания их и построения затем состав-
составного разложения.
Найдем теперь разложение для у с использованием метода
Бромберга и Вишика и Люстерника. Предположим, что
у(х; e) = F(*; e) + G(?; в) =
=F0 (*)+G0 (?)+в [F, (x)+G1 (?)] +в= [F2 (x)+G2 (?)]+..., D.2.13)
причем функцией G (?; е) вне внутренней области можно пренебречь
(Бромберг [1956]), т. е. G (?; е)—>0 при ?—оо, поэтому
j/°(x; e)=F(x; е) = F0(x) + bF1 (x) + e"F, (х)+ ... . D.2.14)
Поскольку я = е?, то
у' (х; е) = Fo @) + Go (?) + е [F; @) ? + ^ @) + G,
Так как предполагается, что функцией G(t,; в) вне погранич-
пограничного слоя можно пренебречь, то F (х; в) удовлетворяет гранич-
граничному условию г/A)=р. Следовательно,
^оA) = Р. Fa(l) = 0 при /г>1. D.2.16)
Граничному условию г/ @)=а должна удовлетворять функция F-\-G,
т. е.
/?o(O) + Go(O)=a, fn@)+Gn@) = 0 при п>1. D.2.17)
Чтобы найти уравнения для Fn, подставим D.2.14) в D.2.2а)
и приравняем коэффициенты при равных степенях в, предпола-
предполагая х фиксированным. Получим
ro + Fo = O, D.2.18)
= — rn.1 при п>1. D.2.19)
Чтобы определить уравнение для Gn, выразим сначала D.2.2а)
через внутреннюю переменную ?. Имеем
^ + -| + вУ=0. D.2.20)
Подставляя D.2.15) в D.2.20), приравнивая коэффициенты при
равных степенях в и считая ? фиксированным, получим
=o, D.2.21)
^(O)-^o(O), D.2.22)
+ G; = - G,-[FJ @) + Fl@)] C-F:@)-Fx (O)-FJ @). D.2.23)
4.2. Метод составных разложений 163
Решение уравнения D 2.18) при условии D.2.16) имеет вид
/=„=0^-*. D.2.24)
Следовательно, из D.2.17) G0@) = a—ре, и, таким образом,
решение уравнения D.2.21), стремящееся к нулю при ?—»-оо,
имеет вид
G0=(cc—§е)е~к D.2.25)
Решение уравнения D.2.19) при краевом условии D.2.16)
в случае п = 1 имеет вид
x)(*-*t D.2.26)
что вместе с условием D.2.17) дает G1@) = — Ре. Подставляя
выражения для F, и G, в D.2.22), получим
Решение этого уравнения, подчиненное условию G1@) =— Ре
и стремящееся к нулю при ?—юо, имеет вид
G,=[(a-Pe)?-Pe]e-C. D.2.27)
Переходя ко второму порядку, получим, что решение уравне-
уравнения D.2.19) при условии D.2.16) имеет вид
F, = ±Q{l—x){5—x)<*-*. D.2.28)
Поэтому из D.2.17) получим G2@) = —5ре/2, и уравнение D.2.23)
примет вид
Решение этого уравнения при условии G2@)=—5pe/2, стремя-
стремящееся к нулю при ?—> оо, имеет вид
|]-e. D-2.29)
Таким образом, первые два члена результирующего равно-
равномерно пригодного разложения в точности совпадают с решением
D.1.81), полученным ранее с помощью метода сращивания асимп-
асимптотических разложений.
4.2.2. Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами
В качестве второго примера рассмотрим следующую задачу,
которая является частным случаем задачи, рассмотренной в
п. 4.1.3:
D.2.30)
D-2.31)
164 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
Поскольку коэффициент при у' положителен? неравномерность
будет иметь место в окрестности х = 0. Чтобы описать поведение
у в области неоднородности, необходимо ввести преобразование
растяжения ^ = xe и внутреннее разложение описывать с по-
помощью функции е~^ — е~х''Е. Поскольку задача содержит пере-
переменные коэффициенты, то у имеет равномерно пригодное разло-
разложение вида
У = 2 е»/„ (х) + е-« о/в 2 е»Л„ (х), D.2.32)
л=0 я = 0
где функция g(x), которая определится при анализе, эквива-
эквивалентна" х при х—>О. Подставляя D.2.32) в D.2.30) н D.2.31) и
приравнивая нулю коэффициенты при е" и e"e~sW'E при всех п,
получим уравнения для определения g, fn и hn. Первые три
уравнения и краевые условия имеют вид
Aog'[g'-Bx+l)]=0, D.2.33)
0, D.2.34)
^^=0, D.2.35)
fo A)-= Р, L@)+A0@)=a. D.2.36)
Чтобы существовало нетривиальное решение для Ло, в силу
D.2.33) требуется, чтобы
g'=0 или g'= 2x4-1. D.2.37)
Первый случай D.2.37) приводит к g = const и должен быть
отброшен, так как g(x)/x—^1 при х—*0. Следовательно,
D.2.38)
Решение уравнения D.2.34), подчиненное условию /0A)=Р.
имеет вид
Д D-2.39)
Подставив D.2.38) в D.2.35) и решив получелное уравнение при
условии D.2.36), получим
fte = a—зр. D.2.40)
Поэтому
^ . D.2.41)
Рассмотрим далее применение второго варианта метода состав-
составных разложений в этой задаче. В этом случае можно приме-
применить D.2.13)—D.2.17). Подставляя D.2.14) в D.2.30), прирав-
4.2. Метод составных разложений 165
нивая коэффициенты при равных степенях е к нулю и полагая х
фиксированным, получим
=0, D.2.42)
-r0. D.2.43)
Чтобы получить уравнение для Gn, выразим D.2.30) через
внутреннюю переменную ?=х/е. Имеем
g | 0. D.2.44)
Подставляя D.2.15) в это уравнение, приравнивая коэффициенты
при равных степенях е и считая ? фиксированным, получим
D.2.45)
)-^@). D.2.46)
Решение уравнения D.2.42), подчиненное условию D.2.16),
имеет вид
rn- D.2.47а)
Это выражение вместе с D.2.17) дает Go@)=a—Зр. Следова-
Следовательно, решение уравнения D.2.45), стремящееся к нулю при
?—»¦ сю, имеет вид
G0 = (a—3P) е-Ь. D.2.476)
Подставляя выражение для Fo в D.2.43) и решая получен-
полученное уравнение при условии D.2.16), придем к
D 2 48)
ti~ 3A +2xf ¦ D./.4Й)
Тогда D.2.17) дает G1 @) =—1бр/3, а D.2.46) принимает вид
Решение этого уравнения, стремящееся к нулю при
имеет вид
^ ]-*. D.2.49)
Поэтому
-е [| р + (ее- Зр) ?*] е-Е + О (е«). D.2.50)
166 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
4.2.3. Краевая задача с начальными условиями для
уравнения теплопроводности
В качестве третьего примера применения метода составных
разложений рассмотрим краевую задачу с начальными условиями
для уравнения теплопроводности, поставленную Келлером [1968].
Предположим, что температура и (х, /; е) зависит от одной про-
пространственной переменной х, которая изменяется от 0 до b (st),
где b—известная функция, а е—малый параметр. Таким обра-
образом, b—слабо меняющаяся функция t. Математически задача
записывается в виде
«<=«**, 0<*<&(е0, D.2.51)
«(О, t) = (f(et), u[b(et), t] = 0, D.2.52)
и(х, 0) =!}(*), 0<*<&@). D.2.53)
Заменив переменную t на x = Et, уравнение D.2.51) и краевые
условия D.2.52) перепишем в виде
шх = ихх, 0<х<6(т), D.2.54)
и@, т) = Ф(т), и[Ь(х), т] = 0. D.2.55)
Поскольку е умножается на ыт, то прямое разложение метода
возмущений при малом е и фиксированном т не может, вообще
говоря, удовлетворить начальному условию D.2.53) и неравно-
неравномерно вблизи т = 0 всюду, за исключением окрестности концов.
Чтобы описать поведение функции и в окрестности ?=0, необ-
необходимо применить преобразование растяжения t = x/e. Как под-
подтвердится ниже, функция, описывающая поведение в этой области,
имеет вид ехр[—g(t)/e], где g(x)/x—»¦ 1 при т—>0. Поэтому
предположим, что равномерно пригодное асимптотическое разло-
разложение для и имеет вид
«= 2 *nfn(x, x) + e-sw/? 2 e"M*, T)- D.2.56)
л=0 гг=О
Подставляя это разложение в D.2.53)—D.2.55) и приравнивая
к нулю коэффициенты при е" и нпе~^т/е для всех п, получим
h.x* = 0, МО, т) = Ф(т), fo[b(x), xj=O, D.2.57)
K**+&ho = 0, fto(O, т)=0, hB[b(r), т]=0, D.2.58)
fo(x, O) + ho{x, 0) = -ф (jc), 0<x<b@) D.2.59)
и при n^ 1
• fn, xx = f_i. x, fn @, t) = fn [b (t), t] = 0, D.2.60)
= hn_ux, hn@,T) = hn[b(x),x] = 0, D.2.60)
= hn_ux, ftn@, т)=А„[& т), т] = 0, D.2.61)
^(je,O) + ftB(*,O) = O, D.2.62)
где через g' обозначено dg/dx.
4.2. Метод составных разложений 167
Решение задачи D.2.57) имеет вид
] D.2.63)
Поскольку краевые условия для h0 однородны, то уравнение для
h0 имеет нетривиальное решение, только если g' равно одному
из собственных значений
Й] fe=1'2 D.2.64)
Соответствующие нормированные собственные функции имеют вид
[2 "I v2 . knx
J &т
Следовательно,
т), D.2.66)
где а0—неизвестная пока функция, которая определится при
исследовании уравнения для h1.
При известном h0 уравнение D.2.61) в случае п=\ примет
вид
К , xx+g'kK = «oXfc + ao%k, т.
А1@,т) = Л1[&(т),т] = 0. D.2.67)
Предположим, что hl может быть разложено по собственным
функциям ik, т. е.
s=l
D-2.68)
Подставляя D.2.68) в D.2.67) и используя тот факт, что %SiXX~
= — g's%s, получим
ее
(Ph—рл с у = a Y/ -4- а у», . D.л.оУ)
Если мы теперь умножим это уравнение на %Л и проинтегрируем
от х = 0 до Ь(х), то правая часть обратится в нуль, так как ^fc
ортогональна у^ при fe=#=s, a g's = g'k при k = s. Поэтому
S («oXi + ao%k, %%k) dx = 0. D.2.70)
о
Это является условием разрешимости задачи D.2.67). Поскольку
= 1, D.2.71)
16ь Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
то
Ь(т) Ь(т)
^ Jxldx=0=&'(T)xl[b(T),x]+2 JxftX»,xdx = O. D.2.72)
Так как %k[b(т), т] = 0, то
* = 0- D.2.73)
о
Следовательно, D.2.70) и D.2.71) приводят к
со = const. D.2.74)
Поэтому решение нулевого порядка имеет вид
и (х, т; е) = ф (т) [l—JL]
\^i] D-2J5)
где ak — постоянная, определяемая равенством
Ь@)
1 {А])- D-2-76)
4.2.4. Ограничения метода составных разложений
При попытке применить метод Латты и нелинейным задачам
могут возникнуть осложнения. Кроме того, могут возникнуть
трудности, если для описания поведения рассматриваемой функции
во внутренней области необходимо использовать большое число
специальных функций. Несмотря на эти ограничения, этот метод
является отправной точкой для развития метода многих масшта-
масштабов, описанного в гл. 6.
Модифицированный метод составных разложений Бромберга,
Вишика и Люстерника преодолевает эти осложнения, как будет
показано на примере применения этого метода к нелинейному
уравнению
описывающему одномерную задачу о космическом корабле Земля—
Луна, которая изучалась в п. 4.1.7 с помощью метода сращи-
сращивания асимптотических разложений.
4.2. Метод составных разложений 169
Предположим, что составное разложение имеет вид
t (х; ii) =F0 (х) + Go (I) +tx ^ (x) + G, (I)} +..., D.2.78)
где | = A—хI\у — внутренняя переменная, найденная в п. 4.1.7,
и Gn—y0 при |-м». Начальное условие t@)=0 дает
F0@)=F1@)=0. D.2.79)
Из D.2.78) имеем
x)+-.- • D.2.80)
Это разложение, будучи подставленным в D.2.77), дает
2F? = x, D.2.81)
Решения этих уравнений, подчиненные условиям D.2.79), имеют
вид
лШи 2 - i л Г- 1,1+^ D.2.82)
Из D.2.78) и D.2.82) следует
V2tl =| + l^G0(i) +tx [-1+1 + 1^^ + ^^A)]+... .
D.2.83)
Чтобы определить Go и Glt перейдем в уравнении D.2.77) к внут-
внутренней переменной |. Имеем
= z + ± D284)
Подставляя D.2.83) в это уравнение и приравнивая коэффици-
коэффициенты при равных степенях р, получим
G'0 = 0, D.2.85)
/2. D.2.86)
Решение уравнения D.2.85), стремящееся к нулю при |->-оо,
есть G0 = 0, в то время как решение уравнения D.2.86), стремя-
стремящееся к нулю при |—>-оо, имеет вид
V2G, = Е-Vm + T) + ArshVl-тIn6 +|-1п2. D.2.87)
170 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
Подставляя в D.2.78) выражения для Fo и F, из D.2.82) и
используя найденные значения Go и G,, получим разложение,
в точности совпадающее с D.1.202), которое было получено с по-
помощью метода сращивания асимптотических разложений.
Упражнения
4.1. Рассмотреть задачу
f/@)=a,
(а) Определить трехчленное внешнее разложение.
(б) Определить трехчленное внутреннее разложение.
(в) Срастить оба эти разложения и построить составное разложение.
(г) Определить трехчленное равномерно пригодное разложение, используя
метод составных разложений (МСР) и сравнить результат с результатом (в).
4.2. Определить разложения второго порядка (трехчленные разложения)
для задачи
{/@)=а,
используя а) метод сращивания асимптотических разложений (МСАР) и б) МСР.
4.3. Определить равномерно пригодные разложения второго порядка для
задач
еу"
используя а) МСАР, б) метод Латты и в) метод Бромберга — Вишика—Люс-
терника.
4.4. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для
задачи
гг/'-а (х) у' + Ь{х) у = 0, а(х) > О,
у@) = а, f/(l) = p,
используя а) МСАР и б) МСР.
4.5. Рассмотреть задачу
цу'"—у'+у=о,
а) Показать, что пограничный слой существует у обоих концов и характе-
характеризуется преобразованиями растяжения
¦ц=х/и и ? = A— х)/е.
б) Определить равномерно пригодное разложение второго порядка, исполь-
используя МСАР.
в) Определить разложение второго порядка, используя МСР и полагая
y = F (х-
где G -»0 при т) —»оо и Я->0 при
Упражнения 171
4.6. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка (дву-
(двучленные равномерно пригодные разложения) для задачи B.2.28)—B.2.30),
используя оба варианта МСР.
4.7. Показать, что МСАР не может быть использован для получения рав-
равномерно пригодного разложения для
{/@)=а, {/A) = р.
Можно ли из этого примера заключить, что МСАР неприменим к задачам
колебаний?
4.8. Рассмотреть задачу, определяемую B.2.28) при а</-<6 с граничными
условиями
и(Ь) = Ьа, ^ф)=а.
Определить двучленные равномерно пригодные разложения, используя а) МСАР
и б) МСР.
4.9. Колебания балки с жестко закрепленными концами описываются
уравнением
dxi dx*
u@) = u (') = «' @) = u'(l) = 0.
Определить разложение первого порядка при малых е для и и X.
4.10. Теплопередача в одномерном стационарном потоке без диссипации
описывается краевой задачей (Ханке [1971])
d2T dT
+хх1 °
Определить разложения первого порядка, используя а) МСАР и б) два вари-
варианта МСР.
4.11. Определить равномерно пригодное разложение первого порядка для
уравнения
используя МСАР. Можно ли сделать вывод, что метод растянутых координат
(МРК) является более пригодным к таким задачам?
4.12. Определить одночленные разложения для решения задач
используя МСАР и МСР.
4.13. Определить одночленные разложения для
у"+а(х)у'+у* = 0,
172 Гл. 4. Метод сращивания асимптотических разложений
используя МСАР и МСР, если а (х) а) отрицательно и б) положительно на
интервале 0<д:< 1.
4.14. Определить разложение первого порядка для задачи из предыдущего
упражнения, если а (х) имеет простой нуль jx, где 0<;ц<;1.
4.15. Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для
гу" ± уу' — у = О,
у(О) = а, уA) = р,
используя МСАР и МСР.
4.16. Ламинарный поток в канале с пористыми стенками в случае всасы-
всасывания приводит к задаче (Праудмен [I960]; Террил и Шреста [1965])
е/'"-Я" + Г=с(е),
=l-a = o, f@) = 0,
При положительных а: а) показать, что внешнее и внутреннее разложения
первого порядка имеют вид
fo = achxb-ret1(x)-\-...,
1]— е-Ч)+..., г) = A— х)/е.
и определить Ь, В, р1 и ft; б) сформировать составное разложение; в) опреде-
определить разложение первого порядка, используя МСР.
4.17. Рассмотреть задачу из предыдущего упражнения в случае а < 0.
а) Показать, что равномерно пригоднее разложение дается выражениями
и определить ft и |31#
б) Построить составное разложение.
в) Определить разложение первого порядка, используя МСР.
4.18. Рассмотреть задачу
и(х, 0) = G1(x), u(x, \) = G2(x).
а) Показать, что пограничный слой присутствует при х = 0, если а(х) > 0,
и при х=1, если а(х) < 0. В первом случае он характеризуется переменной
% = х/г, а во втором — ? = A—х)/е.
б) Найти уравнения, определяющие первые члены внешнего и внутреннего
разложений, и срастить эти разложения.
в) Используя метод Латта, показать, что
и = А (х, у) + В (х, у) е- <2 <»/е+О (е),
Упражнения 173
где
Q(x)=[a (х) dx при а (х) > О
о
i
Q (х) = С a (x) dx при а (х) < О.
Определить уравнения для А и В.
4.19. Рассмотреть задачу
е(ыХх + ы1/Ь) + °(л:' У)их + Ь(х, у)и = 0,
и(х, 0) = F1(x), u(x, ]) = F2(x),
u(O,y) = G1(y), mi.y) = Gt[y).
а) Найти уравнения для первых членов внешнего и внутреннего разложе-
разложений и срастить эти разложения.
б) Использовать МСР для получения равномерно пригодного разложения
первого порядка.
4.20. Рассмотреть задачу
е2у4ы + й(л-, у)ихх + Ь(х, у)их-\-с(х, у) иу = 0,
и (х, 0) = Z7! (х), и(х, 1) = F2 (x),
иф, y) = Gl(y), u(\,y) = G2(y).
Определить уравнения для первых членов внешнего и внутреннего разложений
и срастить их.
4.21. Используя МСР, получить равномерное разложение при больших R
для задачи B.1.37)—B.1.40), описывающей обтекание сферы.
ГЛАВА 5
Вариация произвольных постоянных
и метод усреднения
5.1. Вариация произвольных постоянных
Эта методика первоначально была развита для решения не-
неоднородных линейных уравнений при условии, что известны
общие решения соответствующих однородных уравнений. В каче-
качестве примера рассмотрим общее линейное неоднородное уравне-
уравнение второго порядка
y" + p(x)y'+q(x)y = R(x). E.1.1)
Пусть уг(х) и у2 (х)—два линейно независимых решения соот-
соответствующего однородного уравнения. Будем искать решение
уравнения E.1.1) в виде
y = A1{x)y1(x) + A,(x)yt{x). E.1.2)
где функции А1 и Л2 подлежат определению. Отметим, что в вы-
выражении для общего решения однородной задачи величины Л,
и Л2 являются постоянными, в неоднородном же случае они
могут изменяться. Отсюда и название метода — „вариация произ-
произвольных постоянных".
Дифференцирование E.1.2) по х дает
у' = А1у'л + А2у2 + А[у1 + А2у2. E.1.3)
Поскольку для трех неизвестных функций (Аи Л2, у) имеем всего
два уравнения — E.1.1) и E.1.2),—то мы вольны наложить на
Alt ЛЕ, у еще одно условие. Потребуем, чтобы
A'1yi + A',yt = 0. E.1.4)
Тогда E.1.3) примет вид
y' = A1y'l+Aty't. E.1.5)
Дифференцирование E.1.5) по х дает
У" = Аху\ + А2у\ + А[у[ + А'2у1 E.1.6)
Подставляя в E.1.1) выражения для у, у', у" и используя
тот факт, что уу и у2 являются решениями соответствующего
однородного уравнения, получим
R. E.1.7)
5.1. Вариация произвольных постоянных 175
Решив систему E.1.4), E.1.7) относительно А[ и А'2, получим
.,_ R (х) у2 (х)
, q
A*~ W(x) ¦ ^Л-9)
Величина W (х) называется вронскианом и задается равенством
W{x)=y1{x)y'Ax)-y\(x)yt(x). E.1.10)
Общее решение уравнения E.1.1) примет вид
у = с1у1(х)+с2у2(х) + ур{х), E.1.11)
где сх и с2—постоянные, а частное решение ур задается формулой
EЛЛ2)
Изложенная методика обобщена и может применяться для
нахождения решений в задачах, где неоднородность представлена
функцией как зависимой, так и независимой переменной. Причем
зависимая переменная может входить в правую часть и нелиней-
нелинейным образом. Ниже будут рассмотрены два примера; первый из
них—линейный, второй—нелинейный.
5.1.1. Решения уравнения Шредингера, зависящие от времени
Рассмотрим уравнение Шредингера
при однородных граничных условиях. Здесь Но и Hi—линейные
операторы, соответственно независящий и зависящий от времени.
Предположим, что уравнение
при тех же однородных граничных условиях имеет решение
Ф = Еа»"в(*)е-'ш»', wn=^En. E.1.15)
п— I
Здесь ап — постоянные, ип и Еп—соответственно собственная функ-
функция и принадлежащее ей собственное значение задачи
Нои = Еи E.1.16)
176 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
при тех же однородных условиях. Собственные функции ип пред-
предполагаются ортонормированными в некоторой области D.
Следуя Дираку [1926], мы будем предполагать, что решения
возмущенной задачи имеют тот же вид E.1.15), но величины ап
меняются во времени. Подстановка E.1.15) в E.1.13) дает
Ос ээ
а„[Нйип(х)—Е„ип{х)}е~т«' +2~^'^?4-^jUn{x)e~m"i =--
п=\
= -2^,k"B(«)e~to"']- E-1.17)
В соответствии с E.1.16) первое слагаемое в левой части этого
уравнения обращается в нуль, и тогда E.1.17) принимает вид
V ^„„(x),r'V =-^? H1[anun{x)e~ii""t\. E.1.18)
Умножая E.1.18) на ит(х), интегрируя по области D и исполь-
используя ортонормированность функций ип, получим
ОС
da^__2my ешт1 г, ,,- , ]q>
dt h J-* 1M1 \o.i.iv)
n= 1
где
Himn = S «.» (x) Hi Wun {x) е~ш" ] dx. E.1.20)
D
Если Ht не содержит производной по /, то E.1Л9) запи-
запишется в виде
00
dcim 2ж ^у ш i 7j /с^ i Oi \
где
«„„ = Щ- (Е„-Еп), Н1ап = J иа (х) НЛ [и„ {х)] dx. E.1.22)
D
Уравнение E.1.21) эквивалентно полной задаче, определяемой
уравнением E.1.13). Если Я3 является малым возмущением, то
мы можем разложить ат в ряд
em=amo + aml + ami + ... , E.1.23)
где атв—постоянная, которая равна а,„ при ?=0, и выполнено
атп'^:ат««-и- Тогда первое приближение к ат будет задаваться
5.1. Вариация произвольных постоянных 177
уравнением
*г»1.__2™У a eia">"' H E 1 24)
п= i
Если, кроме того, будем иметь an0 = 6nk, то E.1.24) запишется
в виде
daml 2ш i<Qmktfr /r j 9Г)
^ — ^ е "link- yO.L.^U)
Положим, для примера,
Н{§ = Ц (х) sin со/. E.1.26)
Тогда
#1ЯЙ = L, sin at = -117«* (*'«* -е-**), E.1.27)
где
f «ft = S Йи (Ж) / (X) Uk (Л") d.V.
Подставляя эти выражения в E.1.25) и разрешая относительно
ат1, получим
'(Mrafc-'°)f il
ni
wmft —со J '
а -гЩь\е- . L__! ni тфкт E.1.28)
5.1.2. Пример нелинейной устойчивости
Метод вариации произвольных постоянных в сочетании с раз-
разложением по собственным функциям был развит и широко при-
применялся в нелинейных задачах об устойчивости следующими
авторами: Стюартом [1958], [1960а, Ь]", [1961], Ватооном [1969],
Экхаусом [1965], Рейнольдсом и Поттером [1967]. Эта методика
приобрела единообразие и получила последовательное изложе-
изложение благодаря Экхаусу [1965].
Для описания этой методики рассмотрим вслед за Экхаусом
[1965] следующий пример:
М<Р)--^ = ^(Ф). E-1.29)
где L—линейный, a F (ц>)—нелинейный операторы. Предполо-
Предположим, что L зависит от одной пространственной переменной, ска-
скажем, х, с областью изменения O^x^l, и что функция ц>
удовлетворяет линейным однородным граничным условиям
fix(9)=0 при х = 0, 52(ф)=0 при х = 1. E.1.30)
178 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Очевидно, что линейная задача
^- = 0 E.1.31)
при граничных условиях E.1.30) допускает решение вида
ц> = и(х)е-}', E.1.32)
причем
L(u) + Ku = Q, E.1.33)
В,(и) = 0 при х = 0, В2{и) = 0 при х = 1. E.1.34)
Предположим, что задача на собственное значение E.1.33),
E.1.34) разрешима для счетного множества собственных значе-
значений к„ (действительных или комплексных), соответствующих
собственным функциям и„. Собственные числа предполагаются
отличными друг от друга и пронумерованными так, что Re Kn >
>ReXn_,. Пусть L—самосопряженный оператор, так что соб-
собственные функции ип являются взаимно ортогональными. Пред-
Предположим, что они нормированы согласно условию
= Ьап. E.1.35)
Тогда общее решение линейной задачи запишется в виде
Ф = 2в„"„ (ж)*"*»', E-1.36)
где ап—постоянные, определяемые из начальных условий.
Предположим, что решение нелинейной задачи также выра-
выражается в виде E.1.36) с ап, зависящими от времени, и запишем
его в форме
00
Ф = 2)ЛВ @ "»(*). E-1-37)
П— 1
где принято Ап= а„ехр(—knt). Подстановка E.1.37) в E.1.29)
дает
n=I
Аи (О L [и„ (*)]-? d-?f (t) ип {х) =
An(t)un(x)
E.1.38)
5.1. Вариация произвольных постоянных 179
Поскольку L(un) = — "к„и„, то E.1.38) можно переписать в виде
Г со
n(x)=F\^tAn(t)unix)\. E.1.39)
L J
Помножая E.1.39) на ит(х), интегрируя от л: = 0 до л: = 1 с уче-
учетом условия ортонормированности E.1.35), получим
= - j F X An @ «„ W «„ W dx E.1.40)
dt
для т = \, 2, ... .
Если L не является самосопряженным оператором, то соб-
собственные функции и„ не будут взаимно ортогональны. Однако
можно определить сопряженный к L оператор М, удовлетво-
удовлетворяющий условию
^я1J)], E.1.41)
где ¦»!>!, я)J—функции л;; Р—билинейная форма. С учетом этого
определения сопряженную задачу можно задать с помощью
уравнения
Мй + ки=0 E.1.42)
и граничных условий обращения в нуль формы Р (и, и) в обеих
точках А' = 0 и х = 1. Тогда функции ип и ип окажутся ортого-
ортогональными и могут быть нормированы условием
E.1.43)
Данный случай рассматривается так же, как и самосопря-
самосопряженный с заменой и,„(х) на ит(х). В частности, E.1.40) при-
принимает вид
§F\-?An(t)un(x) \um(x)dx. E.1.44)
180 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
5.2. Метод усреднения1)
5.2.1. Методика Ван-дер-Поля
В данном пункте описывается методика, развитая Ван-дер-
Полем [1926] для исследования периодических решений уравнения
^ + ekXcosXt E.2.1)
носящего его имя. Величина е в E.2.1) предполагается малой,
X (частота возбуждения) считается отличной от со0 (собственной
частоты) на малую величину порядка е. В этих предположениях
решение уравнения E.2.1) ищется в виде
и {t) =a, (t) cos Xt + аг (t) sin Xt, E.2.2)
где ах (t) и fl2 (t) предполагаются слабо меняющимися функциями
времени, а именно dfl,/d/ = O(e), d2a,-/d72 =0(е2).
Дважды продифференцировав E.2.2), получим
и = — Я2Й! cos Xt — Х2а2 sin Xt—2at^sin Xt -f-
+ 2агХ cos Xt + a, cos Xt +a2 sin Xt. E.2.3)
Здесь точка над буквой означает дифференцирование по времени.
Подставим E.2.2), E.2.3) в E.2.1) и отбросим члены, порядок
которых выше е, вспоминая, что а,=0(е) и й, = 0(е2). Прирав-
Приравнивая коэффициенты при cos Xt и sin Xt в обеих частях, получим
2а, + Л2~ю° о, —ее, A —р) =0, E-2.4)
п* ^2 (Of) /I v / /С О С\
?П — ?1 - QQ, I | ¦ О I ^= в/2 \1-' • ^ • Э)
где принято обозначение
Р=^ = ^Ц— ¦ E-2.6)
Обращаясь к изучению периодических решений уравнения
E.2.1), отметим, что они соответствуют стационарным решениям
уравнений E.2.4) и E.2.5), т. е. соответствуют решениям урав-
уравнений
2оа20-я10A-Ро) = 0, E.2.7)
— 2oai0—«20A—Ро)=&, E.2.8)
J) Более полное и строгое изложение асимптотических методов, связанных
с усреднением, содержится в монографиях: Боголюбов, Митропольский [1974],
Митропольский [1964], Моисеев [1969], Болотов, Моргунов [1971]. Обзор и
библиографию работ по асимптотическим методам типа усреднения и их прило-
приложениям можно найти в упомянутых книгах, а также в обзорных статьях: Бо-
Болотов, Моисеев, Моргунов, Черноусько [1965], Волосов [1968].— Прим. ред.
5.2. Метод усреднения 181
где о — коэффициент расстройки, равный
о = ^^. E.2.9)
В уравнениях E.2.4), E.2.5) опущены члены порядка 0(е2).
Возведя обе части равенств E.2.7) и E.2.8) в квадрат, сложив
их и учитывая E.2.6), получим частотную характеристику
p0[4o2-f A—РоJ]=-^-. E.2.10)
5.2.2. Методика Крылова — Боголюбова
Рассмотрим эту методику применительно к общему слабо не-
нелинейному уравнению второго порядка
d*u , ... ,(__ *Л E2л1)
При е = 0 решение уравнения E.2.11) записывается в виде
u = acos((a0t + e), E.2.12)
где а и G—постоянные. Для нахождения приближенного реше-
решения уравнения E.2.11) при малом, но отличном от нуля е Кры-
Крылов и Боголюбов [1947] предположили, что решение имеет тот
же вид E.2.12) при условии, что
¦^- = — flOoSincp, ф = соо^ + е, E.2.13)
и величины а и G изменяются во времени. Таким образом, эта
методика аналогична методике Ван-дер-Поля, обсуждавшейся в
предыдущем пункте. Единственная разница заключена в виде
первого члена.
Дифференцирование E.2.12) по t дает
du__ _ . da _ dQ .
Следовательно, с учетом F.2.13) имеем
da dG . „ ._ „ , .,
-^-соэф—a-^smq>=0. E.2.14)
Дифференцирование E.2.13) по t дает
d4i , da . d6
a dQ
—coo-^j-sinq>—йсоо—
182 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Подставив это выражение в E.2.11) и используя E.2.12), по-
получим
co0-^-sirKp + acon-^-cos(p = —ef[acos<$, — awosinq>]. E.2.15)
Разрешая E.2.14) и E.2.15) относительно da/dt и dO/dt, будем
иметь
-?-=—^- sinq)/ [асоэф, —flcoosincp], E.2.16)
"dr==~e^COS(^'acosq)' ~"aco<>sin(p]. E.2.17)
Таким образом, исходное дифференциальное уравнение E.2.11)
относительно и заменено системой двух дифференциальных урав-
уравнений первого порядка E.2.16) и E.2.17) относительно ампли-
амплитуды а и фазы G.
Приступая к решению системы E.2.16) и E.2.17), заметим,
что правые части ее уравнений периодичны по ф, и, следова-
следовательно, da/dt = 0(e), dO/dt = 0 (е). Таким образом, а и G—слабо
меняющиеся функции времени (поскольку е мало) и их измене-
изменение за время 71 = 2я/соо, равное периоду правых частей, очень
мало. Усредняя E.2.16) и E.2.17) по интервалу [/, / + Т], в
течение которого величины с и 6 в правых частях этих уравне-
уравнений могут считаться постоянными, получим
ж=-кш- E-218)
ж—зкеМ- E-2Л9)
Здесь принято обозначение
г
2 г
fi ia) = у \ sln 4>f ia cos Ф. —аыоsm ф] dt =
о
2л
= —\ 51пф/"[йсозф, —йсооз1пф]^ф, E.2.20)
о
= —\
л J
g1(a) = —\ соэф^ссоэф, —асооэтф]йф. E.2.21)
Отметим, что fl и ^ являются попросту двумя коэффициентами
в разложении в ряд Фурье функции /.
В качестве примера рассмотрим уравнение Дюффинга B.1.1),
в котором
f(u,u)=—us. E.2.22)
5.2. Метод усреднения 183
Следовательно,
/, (а) = 0, gt (a) = —|- а3. E.2.23)
Тогда из E.2.18) следует, что а—постоянная, а из E.2.19),—-
что
„ „ -.-,-„. E.2.24)
Поэтому в первом приближении имеем
(J-O(e). E.2.25)
В качестве второго примера рассмотрим осциллятор Ван
дер-Поля, в котором
f(u, ы) = A_„«)^. E.2.26)
В этом случае имеем
/1== —co^l — 1а2),^=0. E.2.27)
Из E.2.19) следует, что 6 = 00—постоянная, в то время как
d/ 2 V 4
Интегрируя E.2.28), получим
В основе метода Леверье [1856] лежит та же идея, что и в
данной методике.
5.2.3. Обобщенный метод усреднения
Рассматриваемая методика трактует равенства E.2.12) и
E.2.13) как преобразование переменных и и duldt к перемен-
переменным а и ф, при котором выполнено
^^p[p, —aco0sin<p],
Ж = «о—^соэф/^соэф, —ааHзтф].
Переменная ф называется быстро вращающейся фазой. Мы не
будем интегрировать эти уравнения, как это сделали в преды-
184 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
дущем пункте, а определим почти тождественное преобразование
(см. Боголюбов и Митропольский [1951], стр. 412)
.., E 2 31)
Ф = Ф + ефх (а, ф) + е2ф2 (а, Ф) + ...,
переменных а, ф к переменным а, ф, которое периодично по ф
с периодом 2л и приводит систему E.2.30) к виду
где Л,- и В; не зависят от ф. В указанной процедуре а и ф
вовсе не обязаны быть скалярными функциями (Меттлер [1959];
Сетна [1963]; Моррисон [1966в]). Эффекты высших порядков
были получены Волосовым [1961], [1962], Мьюзеном [1965],
Забрейко и Ледовской [1966]. Крускал [1962] предложил пре-
преобразование, обратное к E.2.31); основываясь на этой процедуре,
Стерн [1970в] разработал алгоритм последовательного получения
высших приближений. Стерн [1971 в] использовал эту методику
при изучении медленно меняющихся возмущенных систем.
Подставив E.2.31), E.2.32) в E.2.30), разлагая по степеням
е и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е,
получим уравнения вида
^ + Ап = Р„{а. Ф),
7 E.2.33)
% Я СД )
соо% + Я„ СДа, ф),
в которых правые части являются известными функциями чле-
членов более низкого порядка в E.2.31) и E.2.32). В общем случае
величины Fn и Gn содержат быстропериодические члены (обо-
(обозначаемые верхним индексом s) и медленно меняющиеся члены
(обозначаемые верхним индексом /). Выберем Ап и Вп равными
медленно меняющимся членам, т. е. положим
An = Fln, Bn = Gln. E.2.34)
Тогда придем к уравнениям
<»„§? = П. aA=G%, E.2.35)
сдр сдр
которые последовательно разрешаются относительно ап и ф„.
В качестве примера рассмотрим осциллятор Ван-дер-Поля,
5.2. Метод усреднения 185
в котором
f(u,u) = (\ — u2)u, о)„=1.
В этом случае уравнения E.2.30) приобретают вид
-тт- = -?-е [а D—а2)—4асоэ2ф +а3соэ4ф],
-^ = 1 + -g-e [2 B—а2) sin 2ф—а2 sin 4Ф].
Подставив E.2.31), E.2.32) в E.2.36) и приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях е, получим для членов, имеющих
порядок е
I-U Д —_
8
1 = -й-аD—а2)—-5-a cos 2+3
_ , _ _ E.2.37)
^ + 51 = ^B-а2):
порядок е2
+ JLul[A—3a2—i
+ -^-а<рх [2 sin 2ф — a~2sin4^], E.2.38)
d(f да д(р
— -j-flfli B sin 2ф + sin 4ф) +
+ уФ, [B—a2)cos2(p—a2cos4(pj. E.2.39)
Приравнивая At и А2 медленно меняющимся членам в пра-
правой части E.2.37), получим
Л1=1аD—a2), fit = 0. E.2.40)
После этого система E.2.37) примет вид
я* -8 - E.2.41)
?^- = 4- B—a2)sin 2ф—4-a2 sin 4ф
бф 4 °
If6 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
и имеет своим решением
^ g2
, _ - , _ _ E-2.42)
Ф, = —g B—a2) cos 2ф + 32а2 соэ4ф.
С учетом E.2.40) и E.2.42) уравнения E.2.38) и E.2.39)
приобретают вид
?§
— быстропериодические члены,
р
д<Р, , D 1 , 3 - 11 - , Л E.2.43)
-=•+/? 2=—-g- + jg a2—ggg a4 + быстропериодические
члены.
Приравнивая А2 и В2 медленно меняющимся членам в правых
частях системы E.2.43), получим
Л2 = 0, в,= —±+1а*-^&. E.2.44)
Поэтому с точностью до второго порядка имеем
м=асоэф, E.2.45)
где
1 Г 1 . Т
а = а—-jea в1п2ф—-ga2sm4<p +O(e2),
_ _ , г - - 1 - 1 <5-2-46)
ф = ф_—е B—а2)соэ2ф—^-а2соэ4ф +О(е2);
/СО Л *7\
Это решение находится в полном соответствии с решением, кото-
которое получено в п. 5.7.4 с помощью алгоритма Кемела.
Для канонических систем преобразование E.2.31), E.2.32)
можно осуществить в более изящной форме, если применить
процедуру фон Цайпеля (§ 5.6) или ряды и преобразования Ли
(п.5.7.5). Последний способ представляет собой простой и эффек-
эффективный алгоритм, основанный на рекурсивном применении не-
нескольких элементарных операций, и является поэтому очень
удобным для расчетов на ЭВМ. С помощью преобразований Ли
(§ 5.7) был сформулирован эффективный рекурсивный алгоритм
для неканонических систем.
5.3. Методика Страбла 187
5.3. Методика Страбла
Страбл [1962] развил методику для рассмотрения слабо не-
нелинейных колебательных систем, описываемых уравнением
п + ю?" = е/(ы, й, t). E.3.1)
Он выразил при малом е асимптотическое решение этого уравне-
уравнения в виде
N
u = acos{u0t—Q)+ 2 епи„Ц) + О(еР+1), E.3.2)
п=1
где а и 6—слабо меняющиеся функции времени. Если положить
каждое м„ = 0, то E.3.2) примет вид того решения, которое Кры-
Крылов и Боголюбов использовали для получения первого прибли-
приближения к и (см. п.5.2.2). Мы не будем проводить выкладки для
функции общего вида /, а зададимся лишь частным видом ее,
соответствующим уравнению Дюффинга.
Итак, рассмотрим уравнение
E.3.3)
Подставляя E.3.2) в E.3.3). получим
6 . d2a
da . d2e . o da dQ 1 . , , Q4
= — ea3cos3(cu0*—6)—Зе^^сов2 (coo^—Q)-\ . E.3.4)
Если, учитывая члены порядка до О(е), приравняем коэффи-
коэффициенты при cos(coe?—6) и sin (соо/ — В) в обеих частях уравнения
E.3.4), то получим следующие так называемые уравнения
в вариациях:
3 - /с q сч
<535>
da , d2Q , о da dQ
+ а + 2
После этого будем иметь следующее так называемое уравнение
возмущения:
^ |^-6). E.3.7)
188 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
В первом порядке по е уравнения E.3.5), E.3.6) сводятся
к виду х)
do__Q d6__ 3_ 2 ,- „ „
Следовательно,
о
п. = а 8 = Ea2t -1-8 С5 3 9^
где о0, 80—постоянные. Тогда решение уравнения E.3.7) в пер-
первом порядке по е можно получить, считая а и 6 постоянными.
Проделав это, получим
«! = —2a3cos3(oy—8). E.3.10)
32ю0
Следовательно, решение первого порядка имеет вид
К*—6), E.3.11)
где а и 9 задаются равенствами E.3.9).
При известном и1 для второго слагаемого из правой части
E.3.4) имеем
+ 2 cos 3 (ay—6) + cos 5 (oj0<—8)]. E.3.12)
Кроме того, для следующего шага нужно вычислить члены по-
порядка О(е) в выражении (d2Ml/d/2) + b)?M1, т. е. нужно рассмот-
рассмотреть слагаемое
^а^созЗКг-б). E.3.13)
Учитывая теперь члены порядка до О(е2), получим уравнения
в вариациях
3 . 3 „ , /с „ . ..
ЕаЕа EЗЛ4)
о da d2e do d6 n ,K „ ,_.
-2(оо^- + а17Г + 2^-ж = 0 E.3.1o)
и уравнение возмущения
+ a>S«, = —j^j a512 cos 3 (coef -6)+cos 5 (coo^ - 6)] -
*) Точнее, уравнения E.3.5), E.3.6) будут удовлетворены с точностью до
членов порядка е, если положить в них E.3.8).— Прим. ред.
5.4. Методика Крылова— Боголюбова— Митропольского 189
Отправляясь от E.3.9), методом последовательных прибли-
приближений можно получить следующие решения для E.3.14) и E.3.15):
а = ао, е=-Аш^+_^е2а4, + е0 + О(н3), E.3.17)
в которых а0 и Во—постоянные. Найдя из E.3.9) dQ'dt, подста-
подставив в E.3.16) и разрешив получающееся уравнение, получим
с точностью до членов 0(е)
и2 = — a5cos3(co0f —9)H — a6cos5(oy—В). E.3.18)
lO24tog 102404 '
Отсюда будем иметь для решения второго порядка
где
-i т -г +0 e3. (d.3.20)
Чтобы получить решение третьего порядка, нужно вычислить
члены порядка О(е2) в d?-u1ldt2 и члены порядка 0(е) в d2u9_'di2
и затем составить уравнения в вариациях и уравнение возмуще-
возмущения. Это обстоятельство является главным ограничением в при-
применении изложенной методики. Вторым ограничением является
способ решения уравнения в вариациях—метод последователь-
последовательных приближений. Систематический путь к рассмотрению подоб-
подобных задач указывают методика Линдштедта — Пуанкаре (п.3.1.1),
методика Крылова — Боголюбова—Митропольского (§ 5.4), ряды
и преобразования Ли (§ 5.7) и метод многих масштабов, рас-
рассмотренный в гл. 6.
5.4. Методика Крылова — Боголюбова — Митропольского1)
В ходе уточнения первого приближения к решению уравнения
E.2.11), рассмотренного в п.5.2.2, Крылов и Боголюбов [1947]
развили методику определения решения в любом приближении.
Боголюбов и Митропольский [1961] углубили и обосновали эту
методику, Митропольский [1965] распространил ее на случай
нестационарных колебаний. Они рассматривали асимптотическое
разложение вида
N
E.4.1)
См. примечание на стр. 180.— Прим. ред.
190 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
в котором каждое ип является периодической функцией i|) пери-
периода 2п, а величины а и ф изменяются во времени согласно
уравнениям
N
5? E.4.2)
N
E.4.3)
п=\
причем функции и„, Ап и i|)n подбирались таким образом, чтобы
функция E.4.1) при условиях E.4.2), E.4.3) удовлетворяла
дифференциальному уравнению E.2.11). Для однозначного опре-
определения Ап и 1|)„ потребуем, чтобы все ип не содержали cosi|).
Производные преобразуются согласно равенствам
d da д . dip д .,..,.
Ж = ~d7 да~~*~ ~dT Ity ' @.4.4)
d2a д ? da d-ty d2 (&ty\2 d2 d*ty д
^ + ) dq2 "+" dt* dxp '
dT2~~{dl ) da2 + dt2 da~^ dt dt dadty+ \ dt ) dq2 "+" dt* dxp
E.4.5)
п dAn
d-a d I da\ da d I da\ da
~d!*r='dt[~dT)==~dTda\~dT)==~dT^" da
А Л
), E.4.6)
N
dt2 dt \dt I dt da\dt ) dt ^ da
Далее эта техника иллюстрируется применением ее к уравне-
уравнениям Дюффинга, Ван-дер-Поля и Клейна—Гордона.
5.4.1. Уравнение Дюффинга
Рассмотрим нелинейный осциллятор
jju = — ем3, E.4.8)
который ранее изучался в п. 3.1.1, 5.2.2, § 5.3. Подставляя
E.4.1) —E.4.7) в E.4.8) и приравнивая коэффициенты при равных
5.4. Методика Крылова—Боголюбова—Митропольского 191
степенях е до е2 включительно, получим
| = 2a0^,acosя|з -f 2сооЛ, sin ^—a3 cos8ч|з, E.4.9)
0)„
E.4.10)
Чтобы и, оказалась периодической функцией, в правой части
E.4.9) должны исчезнуть те слагаемые, которые порождают
вековые члены. Поскольку cos3i|) = C cos я|) + cos 3i|))/4, то это
условие дает
Тогда решением уравнения E.4.9) является функция
^ф. E.4.12)
Подставляя это решение первого порядка в E.4.10), получим
a cos
^- B1 cos 3i|>—3 cos бф). E.4.13)
I28u)o
Вековые члены будут исключены при условии
Тогда решение уравнения E.4.13) будет иметь вид
^E.4.15)
M2 4B1
Поэтому будем иметь для и с точностью до второго порядка
и —a cos я); + —-?- cos Зя);—
32соо
^—A2\cosSty—cos 5я]з) + О (е3), E.4.16)
1024coJ
причем
¦^- = 0, или a = ac = const, E.4.17)
dij) Зео2 15е2о4
ы1
E-4Л8)
192 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
где %—постоянная. Это решение согласуется с решением E.3.19),
E.3.20), полученным методом Страбла.
5.4.2. Осциллятор Ван-дер-Пол я
Далее мы рассмотрим нелинейный осциллятор
ы + ы=вA — ы2)й, E.4.19)
изученный в п. 5.2.2 и 5.2.3. Подставляя E.4.1) — E.4.7) в E.4.19)
и приравнивая коэффициенты при равных степенях е до е2 вклю-
включительно, получим
^--j-Mj = 2я1Iасоэ'ф + 2Л1 sin "ф —
\ i
-a3sin3i|\ E.4.20)
+ [2(Лг + АМ + аА,^-] sin-ф—
X ( Л1 cosij)—a^ sin ^ + -^-J +а2щ sin 2ф. E.4.21)
Вековые члены будут исключены, если на правую часть в E.4.20)
наложить условия
4^ = 0, A^ja^l — a^. E.4.22)
Следовательно,
Щ. = —J sin Зф. E.4.23)
Имея это решение, можем переписать E.4.21) в виде
+ 2Л, sin -ф + °3 (f2^ 8) cos Згр + -^ cos 5ф. E.4.24)
Чтобы в м2 не было вековых членов, положим
Следовательно,
5.4. Методика Крылова— Боголюбова— Митропольского 193
Поэтому с точностью до второго порядка решение имеет вид
--™-sin3i|)—
тЖ [4 ]), E.4.27)
причем
dt
L==l+erA(^i_i+lfl\_—
dt ^ [2a [da 1+4a j 256
где а0—постоянная. Используя E.4.22) и E.4.28), можем пере-
переписать E.4.29) в виде
=l(iaE.
dt 16 8а \ 4 / dt '
Следовательно,
^ = ^-4/-|по + Йо2 + <Ро. E-4.30)
где -ф0—постоянная.
5.4.3. Уравнение Клейна — Гордона
В качестве третьего примера рассмотрим, следуя Монтгомери
и Тидману [1964], нелинейные волны, описываемые уравнением
ии—с2ихх + №и = е/ (и, щ, их). E.4.31)
При е = 0 уравнение E.4.31) допускает решение вида
u = acos(k0x—соо/ + ф), E.4.32)
где а и ф — постоянные, a kB и соо удовлетворяют дисперсион-
дисперсионному соотношению
©«=с«?; + гл E.4.33)
Для малого, но конечного е будем искать разложение вида
u=acos\p-\-su1 (a, ip)+ ..., E.4.34)
где а слабо меняется в зависимости от времени и состояния
согласно уравнениям
^ .., E.4.35)
., E.4.36)
194 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
а я])—новая фазовая переменная, совпадающая с фазой в E.4.32)
при 8=0 и удовлетворяющая уравнениям
^ = - соо + еС, (а) + г*С2(а)+..., E.4.37)
U (а) + e«D, (а) + .... E.4.38)
В данном случае вновь ни одно ип не содержит основной
тон cos яр.
Подставляя E.4.34) —E.4.38) в E.4.31), используя E.4.33)
и приравнивая коэффициенты при е в обеих частях, получим
Сг +c2k0D1)cos <p +
+ f[acosty, acoosinij3, — akos\mp]. E.4.39)
Разложим теперь функцию / в ряд Фурье по переменной ¦$
f[a cos ij), oco0sinij3, —oft0sini)j] =
00
= ^o(«)+2 \f„(a)sin ny+ga(a)cosn$\. E.4.40)
/i=i
Исключая вековые члены, придем к равенствам
i=Ma), E.4.41)
00,)=^, (с). E.4.42)
Тогда решение уравнения E.4.39) имеет вид
ос
„ _go(Q)
Подставляя Л,, В,, Сх и D, из E.4.35)—E.4.38) в E.4.41) и
E.4.42), получим
^ + M;J = e^, E.4.44)
dt ° их 2w0 '
|E + m;* = ebW, E.4.45)
где 03'0 = d(o0/dk0—групповая скорость, а
Р = 1]з-йоХ + соо/. E.4.46)
При /х = 0 будем иметь
a = hl(x—g#), E.4.47)
/^ ^-«оО, E-4.48)
5.5. Метод усреднения с использованием канонических переменных 195
где ht и h2 определяются из начальных или граничных условий.
Уравнения E.4.44) и E.4.45) могут быть легко решены, если
а и Р являются функциями только времени, или только со-
состояния.
5.5. Метод усреднения с использованием
канонических переменных
Рассмотрим консервативную динамическую систему, описы-
описываемую следующими уравнениями Лагранжа:
где q = {<7i> Ян •••> 4n)—вектор обобщенных координат, t—не-
t—независимая переменная, а точка над буквой означает дифферен-
дифференцирование по t. Далее L(q, q, t)^T—V представляет собой
лагранжиан, Т и V—кинетическую и потенциальную энергии
соответственно. Определим вектор обобщенных импульсов р =
= {рх, р2, .... pN) равенством
p,=|i, E.5.2)
dqi
а гамильтониан Н равенством
H=pTq—L, E.5.3)
где рг—результат транспонирования р (если р—вектор-столбец,
то рг—вектор-строка). Считая Н функцией только от р, q и t,
можем записать
Из E.5.3) имеем также
—эг#. E.5.5)
j
(=1 (=1 (=1 °4t t=l
Согласно E.5.2), второе и третье слагаемые в правой части
E.5.5) сокращаются. Кроме того, из E.5.1) и E.5.2) следует,
что pi^dLjdqb поэтому E.5.5) можно переписать в виде
N N
dH = ?fcdp,—? Pidqi-~dt. E.5.6)
196 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Сравнив E.5.4) с E.5.6), получаем следующие канонические
уравнения Гамильтона:
E.5.7)
E.5.8)
E.5.9)
Эти уравнения заменяют уравнения Лагранжа.
При переходе от переменных q и р к переменным Q(q, p, t)
и P(q, p, /) уравнения E.5.7), E.5.8) преобразуются к виду
, Q, t), E.5.10)
J, CM)- E.5.11)
<7i =
P--
dL
dt ~~
dH
dH
dH
dt
Если существует функция /С (Р, Q, 0. такая, что
fi=zdFi' ?'' = ~7)Q7>
то E.5.10) и E.5.11) записываются в виде
^ P
E.5.12)
E.5.13)
a Q и Р называются каноническими переменными. Переход от
q и р к Q и Р называется каноническим преобразованием отно-
относительно функции К.
Каноническое преобразование может быть получено с помощью
так называемой производящей функции S(P, q, t) в соответствии
с равенствами (см., например, Голдстейн [1965], гл. 8; Мейрович
[1970], гл. 9i))
dS .-. dS ,r _ ...
*=Wi- °' = ф7- E-5Л4)
Коль скоро эти уравнения будут разрешены относительно
q = q(P, Q, f) и р=р(Р, Q, t), функция К выразится через И
следующим образом:
К (Р, Q, Г) = Н [р (Р, Q, 0. Я (P. Q. 0. П + |г • E-5-15)
Если удастся найти каноническое преобразование, такое, что
/( = 0, то, согласно второму соотношению в E.5.13), вектор Р
будет постоянным. Поскольку из первого соотношения в E.5.14)
*) Подробнее о канонических преобразованиях и уравнениях Гамильтона —
Якоби см. в книге Гантмахер [1966].— Прим. ред.
5.5. Метод усреднения с использованием канонических переменных 197
имеем p; = dS/dqi, то функция 5 должна удовлетворять следую-
следующему так называемому уравнению Гамильтона — Якоб и:
ds ds ds Л , dS А ,с с 1С.
ЧЧqt)+w = O. E.5.16)
Если 5 — полный интеграл уравнения E.5.16), то соотношения
E.5.14) доставляют общее решение системы уравнений
Для функции Н общего вида невозможно получить полный
интеграл уравнения E.5.16). Пусть, однако, Н ~Н0 + Н, где Н
мало по сравнению с Яо и найден полный интеграл S0(P1, ...
..., PN, qx, ..., qN, t) для уравнения
Тогда с помощью метода усреднения и метода вариации произ-
произвольных постоянных может быть получено приближенное реше-
решение уравнений E.5.17). Рассмотрим в качестве производящей
функции
5 = 50(Л, ...,PN,qi, ...,qN,t), E.5.19)
где вектор Р не постоянен, а меняется во времени. Тогда Р и Q
определяются уравнениями
^' ~ 5Q; ' Vl~dPi' (O.O./,0)
где с учетом E.5.18)
К = НВ + Н + ^ = Н. E.5.21)
Пусть решение qo(P, Q, t), po(P, Q, 0 системы E.5.17) при
Н = Н0 периодично по t с периодом Т. Тогда приближенное ре-
решение системы E.5.17) опять-таки задается величинами q0 и р0,
в которых, однако, Р и Q меняются согласно E.5.20), причем
в последних уравнениях функция К заменена своим средним
значением по периоду Т, т. е. значением
г
K(P,Q,t)dt. E.5.22)
В E.5.22) векторы Р и Q предполагаются постоянными.
Далее мы проиллюстрируем эту технику на трех частных
примерах.
198 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
5.5.1. Уравнение Дюффинга
Вновь рассмотрим уравнение
<7 + cojj<7+e<73 = O. E.5.23)
Этому уравнению соответствует гамильтониан
H = ±(f+<olq*) + -jtup. E.5.24)
Уравнение Гамильтона — Якоби при е = 0 имеет вид
Это уравнение может быть решено разделением переменных. По-
Полагая
5 = St(g) + a(t), E.5.26)
получи . вместо E.5.25)
ст =— а, или ст = —а/, E.5.27)
№Л" + а>«0« = 2а, или S, = $ |/2а—сого<?2 dq. E.5.28)
Следовательно,
5 = — at + J j/2a—co2o<?2^. E.5.29)
где а—новый импульс. Соответственно новая координата р за-
задается равенством
E.5.30)
откуда получаем
Это решение можно было бы написать сразу по виду уравнения
E.5.23) при е = 0. Однако канонические переменные аир были
найдены естественным путем при решении уравнения Гамильтона —
Якоби E.5.25).
Поскольку Н = A /4) е<74 = (ea2/coj) sin4coo (t + Р), то уравнения
в вариациях E.5.20) записываются в виде
5.5. Метод усреднения с использованием канонических переменных 199
Из вида
Н = ^ [|—у cos 2соо (* + Р) +1 cos 4соо (* +
получаем
<Я>=^-. E.5.326)
Следовательно, имеем из E.5.32а)
а = const, P = -^if + P0, E.5.33)
где Ро — постоянная. Поэтому в первом приближении будем иметь
q= IK sin к (l + |-^)< + сооро1 , E.5.34)
что согласуется с разложениями, полученными в п. 5.4.1 и § 5.3
с помощью методик Крылова — Боголюбова—Митропольского и
Страбла, если отождествить К2оо/со0 с ав.
5.5.2. Уравнение Матьё
В качестве второго примера рассмотрим уравнение
«? + (co2 + ecos20<7=0 E.5.35)
при положительном со. Положив
q = p, E.5.36)
получим из E.5.35)
р = — (co2+ecos20<7. E.5.37)
Эти уравнения могут быть записаны в виде
дН дН .г. с oov
P = --W' q = W E'5-38)
где
^ = ^(p2 + coV) + ye^cos2^. E.5.39)
Действуя как в п. 5.5.1, получим для E.5.38) при е = 0
решение
q = J^L cos <o(t + P). E.5.40)
200 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Следовательно, Н = A /2) е?2 cos 2t = (еа/со2) cos 2t cos2 со (t + p),
и уравнения в вариациях E.5.20) запишутся в виде
дН а дН ,_ _ ,
а=-ж- р=^- E-5-41)
Из представления
W=g{cos2^ + ycos2[(co+l)< + cop]+i-cos2[(co-l)/ + cop]j-
получаем
( 0, если со далеко от 1 \
<Н>= [ -^cos2 [(со— 1)/ + соР], если со—1=О(е)| "
E.5.42)
Если в E.5.42) имеет место первый случай, то а и 0 в первом
приближении являются постоянными. Если имеет место второй
случай, введем новые канонические переменные а* и р* с по-
помощью производящей функции
S« = of[(fi)—1)* + сор]. E.5.43)
Тогда
dS*
сс=-щ = ыа*, E.5.44)
Следовательно, а* и р* являются каноническими переменными
относительно гамильтониана
-^ = ^cos2p« + (co-l)a\ E.5.46)
Поэтому
a* = —W~^S'm2V*' E.5 AT)
P*=-t-s=co—1+-^-cos2p*. E.5.48)
Исключив / из E.5.47) и E.5.58), получим
* -j— d (cos 28*)
aa. 4co
"S5r=~@_j , _?_cos2o, '
Следовательно,
lna* = —lnj^w—l + ^-cos2p*l +const. E.5.49)
5.5. Метод усреднения с использованием канонических переменных 201
Таким образом, движение неустойчиво (а* не ограничено), если
В первом приближении имеем
Кривые
-2-е или со > 1—-^-
co=l±-^e или со2 = 1 zfcy
E.5.50)
E.5.51)
отделяют на плоскости со—е области устойчивости от областей
неустойчивости. Эти кривые согласуются с кривыми, полученными
в п. 3.1.2 с помощью метода Линдштедта—Пуанкаре и в п.3.1.3
с помощью метода Уиттекера.
5.5.3. Качающаяся пружина
Следуя Кейну и Кану [1968], рассмотрим нелинейные коле-
колебания пружины, качающейся в вертикальной плоскости, как по-
показано на рис. 5.1. Эту задачу ввели в рассмотрение Витт и
Горелик [1933] для иллюстрации внутреннего резонанса. Кине-
Кинетическая и потенциальная энергии массы т равны соответственно
Э2], E.5.52)
cos 6), E.5.53)
где х—удлинение пружины относительно длины в положении
равновесия. Отсюда
| x)(l— cos0)—^kx\
E.5.54)
202 Гл. б. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Для импульсов и гамильтониана имеем следующие выражения:
рх=д± = тх, Рв = ^- = тA + хГв, E.5.55)
дх <Э6
Н = хрх + 6ре — L =
4
f4 + ^GT^] + mg(l + x)(lcosQL^kx\ E.5.56)
Для малых х и 6 и при х = ОF) можно записать следующее раз-
разложение для Н:
Если сохранить в Н квадратичные члены, то полный интеграл
соответствующего уравнения Гамильтона — Якоби можно получить
так. Уравнение Гамильтона — Якоби в этом случае имеет вид
4 ЬИ? )"+"•]+4 Щ§ )¦+•«*]+?=»• <^>
где S = 5(x, 6, /). Положив
S = -(a1+a2)* + H71(x) + H72F), E.5.59)
придем к уравнениям
Имеем поэтому
Px-^ = Vm{2a1-kx% E.5.62)
Vm^(^glQ^, E.5.63)
S = — (a, +a2) t + J Vm{2a1—kxz)dx + J V m/2 BaE—tng№)dB.
E.5.64)
Следовательно,
ft <3S , , f mdjc , , -. /~m~ . , /~~k~
Pi = д—= —^+ I r = — —t -f- 1/ -г- arcsinx 1/ x—,
дсн ^J YmBa.x — kx*) ^ У к Г 2а,'
E.5.65)
-arcsme |/ ^
E.5.66)
5.5. Метод усреднения с использованием канонических переменных 203
и, далее,
*= yr^rs'mBi> E.5.67)
1, E.5.69)
ре = /1'' 2ma2 cos B2, E.5.70)
где приняты обозначения
В, = со,- (* + Р,-), ш, = |/ А , со2 = |/f .
В первом приближении уравнения в вариациях записываются
с помощью1)
1 sin [A0,-210,) * + Ш.Р, -2«2р2] |. E.5.71)
Таким образом, Н—быстро меняющаяся величина, если только
не выполнено со,—2«2=е, где е—малая величина. В последнем
случае медленно меняющаяся часть Я имеет вид
<Я>= —^-p=-a2 |/^sin(ef+ CO.P, —2to2ps). E.5.72)
Чтобы исключить явную зависимость <#> от t, сделаем еще одно
каноническое преобразование переменных а, и Р, к переменным
а* и Р* с помощью производящей функции
(а,, р., и^^—t-4-^-=-<XiPi. (о.о./о)
ли2 ziu2
Таким образом,
" ' E.5.74)
uS^_ _ _е_ t ,Щ_ о v ;
да.; ~2щ1-^Ъ>>2^>
r^^in2to2(P;-P1)- E-5.75)
х) Выражение E.5.71) содержит члены третьего порядка малости по кано-
каноническим переменным из гамильтониана E.5.57).—Прим. ред.
204 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Поскольку dK/dt = 0, то К—постоянная. Уравнения в вариациях
записываются в виде
dfii
дК Г» У~< 1 / * /С С -7-7\
а2 = — -^~=—2<в2ьа2 у ajCcsy, E.5.77)
E.5.78)
E.5.79)
где
C=^VSk' Y = 2co,(P;—Р,)- E-5.80)
Меттлер [1959] и Сетна [1965] с помощью метода усреднения по-
получили уравнения, сходные с E.5.76)—E.5.80).
Сложив уравнения E.5.76) и E.5.77) и проинтегрировав, по-
получим
= ? = const. E.5.81)
Следовательно, движение полностью ограничено1). Исключая у из
E.5.75) и E.5.77), получим
= С2[/Г2(«2)—G2(a2)], E.5.82)
где
1 Г,. /С ™ \
E.5.83)
Функции F(a2) и G (а2) схематически показаны на рис. 5.2. Для
реального движения величина G2 не должна превосходить F2.
Точки, в которых значения G и F равны, соответствуют обра-
обращению в нуль обеих производных а2 и а\. Кривая типа Gx, ко-
которая пересекает обе ветви графика функции F или одну ветвь
в двух различных точках, соответствует периодическому движению
для фаз и амплитуд и, следовательно, соответствует непериоди-
непериодическому движению. Решение для фаз и амплитуд может быть
выражено в эллиптических функциях Якоби. Однако точки,
') В самом деле, из соотношении E.5.81), E.5.74), E.5.60), E.5.61) выте-
вытекает ограниченность обеих координат х, 6.— Прим. ред.
5.6. Методика фон Цайпеля
205
в которых кривая G2 касается ветвей графика функции F, соот-
соответствуют периодическим движениям, при которых нелинейность
настраивает частоты (% и ю2 на точный резонанс.
F.G
Рис. 5.2.
5.6. Методика фои Цайпеля
В § 5.5 для определения первого приближения в гамильтоно-
вых системах использовался метод вариации произвольных посто-
постоянных в сочетании с методом усреднения. Фон Цайпель [1916]
предложил методику для нахождения высших приближений.
В этом параграфе дается ее описание и рассматривается ее при-
применение к первым двум примерам предыдущего параграфа. Суть
этой методики состоит в разложении производящей функции S
со
в ряд по степеням малого параметра е, S= 2 e"*Sn> и в после-
п = 0
довательном определении Sn как решений цепочки дифференци-
дифференциальных уравнений в частных производных.
Пусть гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид
n=0
E.6.1)
где q—вектор обобщенных координат, а р—сопряженный вектор
импульсов. Пусть S0 = S0(P, q, t)—полный интеграл уравнения
206 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Гамильтона — Я коби
4fo'H+^o=0' E-6-2)
и пусть р = р(Р, Q, t) и q = q(P, Q, t)—решения уравнений
Pi~dqr 4i~dPr (О.ь-d)
Предположим, что векторы Р и Q не постоянны, а меняются во
времени, и выберем функцию S = S0(P, q, t) в качестве произво-
производящей функции для перехода от канонических переменных р и q
к каноническим переменным Р и Q. Тогда гамильтониан Н пре-
преобразуется к виду1)
со
Я (Р, Q, 0 = X е«Я„ [р (Р, Q, /), q (P. Q, t). *\+j* =
= 2e"//n[p(P,Q, 0. Q(P,Q, 0. t\ =
00
= 2 е»Я„ (Р, Q, 0- E-6.4)
n=\
Следовательно, Р и Q описываются уравнениями в вариациях
E-6.6)
4=1
Для определения приближенного решения уравнений E.6.5),
E.6.6) с точностью любого порядка введем в рассмотрение почти
тождественное преобразование канонических переменных Р и Q
в канонические переменные Р* и Q* с помощью производящей
функции
S= 2 PiQi+ 2 e«Sn(P*. Q, t). E.6.7)
i= I n= !
Так что
OD
^ = ^- + Se"?(p*. Q. 0. E-6-8)
Согласно общей формуле E.5.15).— Прим. ред.
5.6. Методика фон Цайпеля 207
а гамильтониан Н преобразуется к виду
n=l n=\
CO
"e-^. E.6.9)
n=i
Для определения Кп разложим при малом е правую часть в E.6.9)
и затем приравняем коэффициенты при равных степенях е в обеих
частях. Получим уравнения
^ E-6.10)
|f f, E.6.П)
Kn=Fn + ^f-, E.6.12)
где Fn^=Fn(P*, Q, /)— известная функция от Hlt Й2, ..., Нп и
Slt S2, ..., Sn_!. Функции Sn остались неопределенными и могут
быть выбраны по нашему усмотрению. Поскольку в общем случае
F,, содержит быстропериодическое слагаемое Fsn и медленно меняю-
и_егся слагаемое Fln, то можно положить
Kn = F'a, ^f = -F%. E.6.13)
Таким образом, К.„ содержит только медленно меняющееся сла-
слагаемое, в то время как Sn содержит только быстропериодичес
кое слагаемое. Функции Sn могут быть найдены последователь-
последовательным решением цепочки дифференциальных уравнений в частных
производных из E.6.13).
В основе рассматриваемой методики и обобщенного метода
усреднения п.5.2.3 лежит одна и та же идея. Стерн [19716] по-
показал, что для гамильтоновых систем методики Крускала и фон
Цайпеля эквивалентны. В обеих методиках вводятся почти тож-
тождественные преобразования старых зависимых переменных, кото-
которые содержат быстропериодические и медленные слагаемые, к
новым зависимым переменным, которые содержат медленно ме-
меняющиеся слагаемые. Основное различие между двумя методи-
методиками состоит в том, что в методе фон Цайпеля преобразование
должно быть каноническим, в то время как обобщенный метод
усреднения не предполагает преобразование каноническим, а сис-
систему—гамильтоновой. Моррисон [1966b] показал, что вплоть до
второго порядка процедура фон Цайпеля представляет собой
208 Гл. б. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
частный случай обобщенного метода усреднения. Джакалья [1964]
вывел разложение для произвольного порядка; Баррар [1970]
исследовал сходимость в методике фон Цайпеля, Мьюзен [1965]
показал, что с помощью операторов Фаа де Бруно [1857] урав-
уравнения, определяющие разложение, записываются в компактной
форме. Ниже выводятся разложения второго порядка для пер-
первых двух примеров, обсуждавшихся в предыдущем параграфе.
6.6.1. Уравнение Дюффннга
В качестве первого примера рассмотрим уравнение Дюффинга
E.5.23), которое соответствует гамильтониану E.5.24). В п.5.5.1
было найдено, что решение задачи, соответствующей Но, задается
соотношением E.5.31). Следовательно,
^0( + P), E.6.14)
too
Чтобы найти приближенное решение уравнения E.6.15), введем
в рассмотрение почти тождественное преобразование переменных
а и Р к переменным а* и Р*, задаваемое с помощью производя-
производящей функции
[a*, P, f) + e2Ss(a*, P, 0+--- • E.6.16)
Следовательно,
. . dst , „as, . ._ _ ,_.
a = a* +2-^ + г2-^-+ ... , E.6.17)
Op Op v '
а гамильтониан Н преобразуется к виду
E.6.18)
Приравняв коэффициенты при равных степенях е в обеих частях,
получим
[f ! ]!g!, E.6.19)
E-6-20)
5.6. Методика фон Цайпеля 209
Положив /Ci равным медленному слагаемому в правой части
E.6.19), будем иметь
*¦=!!?¦ E-6-21)
Следовательно, E.6.19) принимает вид
]=0. E.6.22)
Решением уравнения E.6.22) является функция
S,=|^6[sin2Wo(* + P)-4sin4«o(' + P)]- E.6.23)
Уравнение E.6.20) при этом значении Sx перепишется в виде
E.6.24)
Приравняв К2 медленному слагаемому в правой части этого урав-
уравнения, получим
К E.6.25)
Следовательно, будем иметь во втором порядке
E.6.26)
и, далее,
а*=—7jrS = 0, или а* = const, E.6.27)
откуда
где Ро—постоянная.
Поскольку S, найдено, то имеем
« = «' + '§+•¦¦ =
'*), E.6.29)
но
~ [sin2(oo(^+P)—i-sin4(o0(^+P)]+O(e2). E.6.30)
210 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Разрешив уравнения E.6.29), E.6.30) относительно а и Р, полу-
получим для них следующую зависимость от а* и р*:
а= a* + ^[cos2«0(/ + p*)-Tcos4M' + P*)l+°(82)' E.6.31)
2 L 4 J
Р = Р*—^7 [sin 2t°o (' - Р*)-4"sin 4юо (t + P*)l + О (в*). E.6.32)
Для сравнения этих разложений с разложениями, полученными
с помощью других методов, подставим а и р вида E.6.31) и
(.1.6.32) в равенство E.6.31) и разложим его при малом е, пред-
предполагая а* и Р* фиксированными. Получим
^ 0 E633)
где
(о=(ооA+р*). E.6.34)
Положив
будем иметь
Следовательно,
l + O(e2), E.6.36)
где
Это разложение согласуется с разложением, полученным в § 5.3
с помощью метода Страбла, и с разложением, полученным в
п. 5.4.1 с помощью метода Крылова—Боголюбова—Митрополь-
ского.
5.6.2. Уравнение Матьё
Ниже будет построено разложение второго порядка для урав-
уравнения Матьё E.5.35), которое соответствует гамильтониану E.5.39).
Решение, соответствующее Но, может быть записано в виде (см.
5.6. Методика фон Цайпеля 211
п. 5.5.1)
^ V ). E.6.38a)
Следовательно, а и Р являются каноническими переменными
относительно гамильтониана г)
H = e^cos2(o{t+$)cos2t. E.6.386)
Перейдя с помощью производящей функции E.6.16) от перемен-
переменных а и Р к переменным а* и Р*. с учетом E.6.17) будем иметь
+ е2-^+.... E.6.39)
Приравняв в E.6.39) коэффициенты при одинаковых степенях е,
получим
+ у cos 2 [(to — 1)* + сор]} , E.6.40)
K* = w+&wcost<u{t+fi)cos2t- E-6-41)
В зависимости от того, находятся ли значения ш вблизи от 1
(резонанс) или вдали от нее, следует рассмотреть два случая.
Начав со второго, мы рассмотрим далее оба случая.
Случай, когда « принимает значения вдали от 1. В этом
случае все слагаемые в правой части E.6.40) являются быстро-
периодическими. Следовательно, /Ci=0 и
S- a* /ring/ I sin2[(o-H)'+toPl , sin2|(m-l)
Подставляя это значение S, в E.6.41), получим
! COs2[(tu+1W + (oPl I /^[(m-lW + mpn
( @+1 """ @—1 I
__dS., a* I ю cos2[(o—2)< + toP] cos 2 [(со - 2) t +
a/~ 16oj3((o2 —1+ +
(o+l
. cos4f((o+l)f + cuP| cos4[(o—1)/ ^
""¦ 2 ((o+l) ^
2 ((o+l) ^ 2((o—1) +
4/+2cos2(o(/+P)(
_ j f • (O.O.4O)
См. п. 5.5.2, уравнения E.5.41).— Прим. ред.
212 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Если значения « находятся также вдали от 2, то имеем
поскольку остальные слагаемые в правой части E.6.43) являются
быстропериодическими и в совокупности должны быть приравне-
приравнены— dSjdt. В этом случае будем иметь
K = -T6e2^W=T) + 0W- E-6-45)
Следовательно,
«*= —-|рг = О или а* = const, E.6.46)
Рё ^ 3) E-6-47)
и, далее,
O(e'). E.6.49)
Таким образом, в рассматриваемом случае координата q ограни-
ограничена, и движение устойчиво.
Для значений со, близких к 2, величина cos2[(«—2)/-fa>p]
меняется медленно и должна быть включена в К2', в противном
случае в выражении для S2 будут содержаться вековые члены
или малая величина в знаменателе в соответствии с тем, равно
ли значение « в точности 2 или не равно. Приравняв К2 медлен-
медленно меняющимся членам в правой части E.6.43), получим
cos 2 [((о-2)/ + <ФП /сект
5=] )¦• E.6.50)
С погрешностью О (г2) величина р в E.6.50) может быть заменена
на р*. Чтобы изучить движение в рассматриваемом случае, исклю-
исключим явную зависимость функции К от переменной t, совершив
переход от переменных а* и р* к переменным а' и Р' с помощью
производящей функции
S'=o'[((o—2) *+<#•]• E.6.51)
Таким образом,
а* ©а' E.6.52)
E.6.53)
E.6.54)
5.6. Методика фон Цайпеля 213
Следовательно,
'а> <Ж!_ Е2 «' cjn 28' /5 6 55)
= -д-г = С0—Z — Tc-5 T~H 5 Г • @.0.06)
00. \Ьи>* |_ со—1 or—1J v '
Как и в п. 5.5.2, можно получить, что уравнения E.6.55) и
E.6.56) допускают интеграл
. E.6.57)
Отсюда получаем следующие условия неустойчивости:
е2
16ш2(со—1
или иначе
5е2
СО— Z —
16(й(Сй
2—
^ ), со>2—^2 + О(е3). E.6.58)
В плоскости (со2, е) переходные кривые, отделяющие область
устойчивого движения от области неустойчивого движения, исхо-
исходят из точки со = 2 и задаются соответственно уравнениями
«2 = 4 + -^ + 0(83), со2 = 4-^+0(е3) E.6.59)
в согласии с тем, что было получено в п.3.1.2.
Случай, когда со принимает значения, близкие к 1. В этом
случае величина cos2[(со— \)t + cop] меняется медленно и поэтому
должна быть оставлена в выражении для К^', в противном слу-
случае, как это с очевидностью следует из E.6.42), функция S,
будет иметь особенность в точке со = 1. Приравняв Кх медленно
меняющимся членам в E.6.40), получим
co— l)/ + oop]. E.6.60)
Следовательно,
§=-?-{cos2'+Tcos2KC0 + 1)'+(°l4!'- E-6-61)
Решением уравнения E.6.61) является функция
2(co+l) (¦ E.6.62)
Подстановка Sj в E.6.41) приводит к уравнению
cos2ю('+Р)cos2^- E-6-63)
214 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Приравняв /С2 медленно меняющимся членам в E.6.63), получим
Поэтому во втором порядке имеем
/С — ~4~г"cos Kw— ' "Т" wr]— з/—т~п + 0(е3) E.6.65)
и, кроме того,
«=*+ef +-•• =
cos2[(co+l)if+coP]+0(fi2), E.6.66)
T-i 1)
-Р-^ {sin 2t + sin
Разрешив уравнения E.6.66), E.6.67) относительно а и Р, полу-
получим для них следующую зависимость от а* и Р*:
а = а*- 4ш (Г+ |) cos 2 [(со + 1) ^ + top*] + О (е2), E.6.68)
Р = Р* + ^21sin 2t + sin 2'У+;>;+""} + О (в»). E.6.69)
Подставив выражение для р в E.6.65), получим
E.6.70)
В присутствии последнего слагаемого в правой части урав-
уравнения E.6.70) проявляется недостаток процедуры фон Цайпеля
в ее настоящем виде, в котором для определения быстро и мед-
медленно меняющихся членов в E.6.40) использовались смешанные
переменные (новые импульсы и старые координаты). Если бы
равенство E.6.39) было выражено в новых переменных а* и
Р*, то функция S2 поглотила бы это последнее слагаемое и сама
должна была бы быть отнесена к медленно меняющейся части
/С3. Действительно, Брекуэлл обнаружил (см. Шехтер [1968]),
что подобное представление в смешанных переменных при рас-
рассмотрении движения частицы в окрестности треугольной точки в
ограниченной задаче трех тел приводит к неверному результату
(Брекуэлл и Прингл [1966]). Учтя это обстоятельство, Шехтер
для определения медленно меняющейся части (членов с большим
периодом) выразил гамильтониан в новых переменных до усред-
5.6. Методика фон Цайпеля 215
нения и получил правильное разложение. Мьюзен [1965] развил
алгоритмы, с' помощью которых с точностью до любого порядка
могут быть выполнены преобразования переменных величин и
произвольных функций от старых переменных к новым и обратно.
Лацина [1969а, Ь] и Стерн [1970а, 1971а] получили в общем виде
выражения для почти тождественных канонических преобразо-
преобразований старых переменных в новые. С помощью этих преобразо-
преобразований они модифицировали уравнение Гамильтона — Якоби. По-
Получающиеся в итоге схемы метода возмущений могут быть соот-
соотнесены с другими схемами, использующими канонические пере-
переменные, путем соответствующего выбора некоторых выражений,
входящих в эти преобразования.
Уиттекер [1916, 1937], Черри [1927], Контопулос [1963], Мак-
намара и Уайтмен [1967] и Коффи [1969] разработали методику
получения интегралов движения для гамильтоновых систем.
В основе этой методики лежит тот факт, что любой интеграл
канонических уравнений движения
• дИ • дН
Ч p
удовлетворяет уравнению
W> "i-Fq"^ ~др" ~Щ~~
Эффективную и мощную методику выполнения преобразований
переменных величин и произвольных функций к новым перемен-
переменным разработали Хори [1966, 1967]—с помощью рядов Ли,
Депри [1969] и Кемел [1969, 1967]—с помощью преобразований
Ли. Эта методика изложена в § 5.7.
Выразив равенство E.6.39) в новых переменных, мы бы полу-
получили
^^ )- E-6.71)
Исключим явную зависимость К от t, совершив переход от пере-
переменных а* и Р* к переменным а' и Р' с помощью производящей
функции
. E.6.72)
Следовательно, имеем
а* = |^==(оа'> E.6.73)
E.6.74)
216 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
и, далее,
Поэтому
^ ^ E-66)
Подобно тому как это было сделано в п.5.5.2, получаем для
системы E.6.76), E.6.77) интеграл
lna' = —In -?- cos 26'-
Следовательно, переходные кривые определяются равенством
е
4ю
СО —1 —
82
32ш2(ш+1)
откуда получаем
ю — I ЗГ 4 t g4 ь "Г и (Ъ ) (D.O.I У)
ИЛИ
со2 = 1 ±-7гЕ—з2е2+О(е3). E.6.80)
Эти кривые согласуются с кривыми, полученными в п. 3.1.2
с помощью методики Линдштедта — Пуанкаре и в п. 3.1.3—с по-
помощью методики Уиттекера.
5.7. Усреднение с использованием рядов и преобразований Ли
При изучении колебаний слабо нелинейной системы уравнения,
описывающие эти колебания, обычно преобразуются к стандарт-
стандартному виду
00
У f (v* р\ \ с ^„\ /с у i\
т=0
где
при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь
х и f—векторы с N компонентами. Вектор х может иметь в ка-
5.7. Усреднение с использованием рядов и преобразований Ли 217
честве своих компонент, например, амплитуды и фазы системы,
или орбитальные параметры в невозмущенной задаче двух тел.
Обозначим компоненты вектора fm через fmn. Говорят, что ком-
компонента xk вектора х является быстро вращающейся фазой, если
О
Ранее было установлено (см. п. 5.2.3), что при изучении
системы этого стандартного вида полезно рассмотреть почти тожде-
тождественное преобразование
х = Х(у; е) = у + еХ1(у) + е«Х1(у) + ... E.7.2а)
переменной х в переменную у, такое, что система E.7.1) приво-
приводится к виду
E.7.26)
= g(y; в) = 2 |?gB(y),
в котором функции g,, содержат только медленно меняющиеся
члены. В п. 5.2.3 функции Х„ и gn определялись с помощью
подстановки E.7.2) в E.7.1), выделения быстро и медленно меня-
меняющихся членов и предположения о том, что Х„ содержит только
медленно меняющиеся члены.
5.7.1. Ряды и преобразования Ли
В этом пункте преобразование E.7.2а) определяется
решение системы N дифференциальных уравнений
как
е), х|Е=0=У-
E.7.3)
Вектор W называется производящим вектором. На первый взгляд
кажется, что мы попали в порочный круг: для упрощения исход-
исходной системы дифференциальных уравнений предлагаем решить
опять-таки систему N дифференциальных уравнений. Однако это
не так, ибо мы интересуемся решением системы E.7.1) при боль-
больших t, в то время как решение системы E.7.3) интересует нас
при малых е; последнее обстоятельство существенно упрощает
нашу задачу.
Уравнение E.7.3) порождает так называемые преобразования
Ли (Кемел [1970]), которые, будучи близкими к тождественному
преобразованию, являются обратимыми. Если W не зависит от е,
то уравнение E.7.3) порождает так называемые ряды Ли. При
рассмотрении канонической системы Хори [1966, 1967] и Депри
[1969] полагали
q
p
у =
Q
P
E.7.4а)
218 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
где q — вектор координат системы, р—вектор сопряженных им-
импульсов, /—время, и определяли вектор W равенством
W =
A
о
= S(q, р, /; 8), E.7.46)
где S—производящая функция.
00
Для преобразования гамильтониана #=2 (8"М!)#Л<Ь Р> О
со
к виду К= 2 (е"/п!)/С„(О. Р, t) Хори [1966] построил нерекур-
рентный алгоритм, использующий ряды Ли. Другой алгоритм
для рекуррентного построения функции /С с помощью преобра-
преобразований Ли построил Депри [1969], Кемел [1969а] упростил
этот алгоритм. Кемел [1969в], Кэмпбелл и Джеффрис [1970] и
Мерсман [1970] показали, что теории Хори и Депри эквивалентны.
Хори [1970] показал, что преобразования Ли эквивалентны
методике фон Цайпеля вплоть до второго порядка. Шнайад [1970]
доказал, что преобразование фон Цайпеля эквивалентно преоб-
преобразованию Депри; Мерсман [1971] установил эквивалентность
преобразований Хори, Депри и фон Цайпеля. Следует упомя-
упомянуть, что теория возмущения, основанная на рядах и преобразо-
преобразованиях Ли, имеет несколько преимуществ по сравнению с мето-
методикой фон Цайпеля. Производящая функция не является функ-
функцией смешанного набора старых и новых переменных, теория
эта канонически инвариантна, и для любой функции старых
переменных можно получить прямое разложение в новых пере-
переменных.
Кемел [1970] ввел в рассмотрение преобразование E.7.3) и
построил алгоритм приведения системы стандартного вида E.7.1)
к виду E.7.26). Кроме того, он построил алгоритмы, с помощью
которых можно: 1) преобразовать любую вектор-функцию от
старых переменных к новым; 2) найти преобразование E.7.2а)
и его обращение. Более глубокое изучение математической и
прикладной значимости этих алгоритмов провели Анрар [1970] и
Кемел [1971]. Ниже мы построим эти обобщенные алгоритмы и
затем в п. 5.7.5 приспособим их к случаю канонических систем.
5.7.2. Обобщенные алгоритмы
Пусть х = Х(у; е) — решение уравнения E.7.3), и пусть
y = Y(x; e)—его обращение. Тогда
dx = Xydy, dy = Yxdx, E.7.5)
5.7. Усреднение с использованием рядов и преобразований Ли 219
где приняты обозначения
XY=|?f (матрица Якоби) и XYdy = |^dyy..
Из равенств E.7.5) имеем
dx = XYYxdx,
откуда
XYYX = / (единичная матрица).
Следовательно,
Yx=(Xy)~1 (обращение матрицы XY). E.7.6)
Из второго соотношения в E.7.5) получаем равенство
y = Yxx,
которое с учетом E.7.1) можно переписать в виде
y = g(y. e) = Yxf|x=X(y: e>. E.7.7)
Мы хотим получить разложение правой части E.7.7) по сте-
степеням е вида
" еп frig
y=2L~nl~fcF е=0- E-7-8)
Из E.7.7) имеем
Справедливо равенство
J ^(S) E.7.10)
Поскольку равенство у = Y (х; е) является обращением равенства
х = Х(у; е) (которое задает решение уравнения dx/de=W(x; e)
при условии х(е = 0)=у), то имеем
dy п д\ v dx д\
0 +Y+
откуда следует
220 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Тогда E.7.10) можно переписать в виде
? |^ E.7.11)
Используя это выражение и замечая, 4TC>dX/de = W, перепишем
соотношение E.7.9) в виде
~Ж = Ж Pxf)x=X(y. e,] =
После упрощения получим
Ж = Ж KY"f)«=х (у; е) ] = [YxDf]x=x (y; е), E.7.12)
где использовано обозначение
Df =|L + fxW—Wxf. E.7.13)
Повторно используя соотношение E.7.12), можно получить
—-^ — \YxD"f] -х E 7 14)
Поскольку из условия х|Е=0=у следует
YX|E=O = / (единичная матрица),
то имеем
SLo=D"fLy.e=O- <5-7Л5>
Для нахождения Dn\ предположим, что вектор W может быть
разложен в ряд
со
w=X-frwn+1, E-7-16)
так что преобразование E.7.3) может быть проведено последова-
последовательно до любого порядка. Если имеет место представление
= 2 (e"/n!)fn, то соотношение E.7.13) принимает вид
00 00
f 4-V V —— Г^-1
ni~2-i 2-i n\ от! L<5X
n=0
л=1 n=0m=0
5.7. Усреднение с использованием рядов и преобразований Ли 221
Полагая n = k+l в первом члене и n=k—т во втором члене,
можно переписать это выражение в виде
nf__V_!if +У il У г* f3*z»w dwm+1 I
*=0 ' fc=0 ' m=0 L '
или сокращенно
со
D*=l.iW- E-7.17)
Здесь использованы обозначения
f?' = **+i + 2 CkmL»+iU-m, E.7.18a)
m = 0
Повторно используя соотношения E.7.17) и E.7.18) и полагая
fft=ffto\ получим
D"f=2^fr, E.7.19)
где
Г = f&IH + 2 CkmLm+tfjfc*. E.7.20)
m = 0
Следовательно, имеем
y=2o-|-f("), f("'=CU=y. E.7.21)
Рекуррентное соотношение E.7.20) может быть наглядно пред-
представлено с помощью треугольника Ли, введенного Депри [1969];
он несколько напоминает треугольник Паскаля и показан на
рис. 5.3.
Имеем, например,
f B) f Ш I / f <1>
222 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
При выводе решений методом возмущений часто бывает необхо-
необходимо выразить некоторый вектор
е=о'
E.7.23а)
в зависимости от новой переменной у в виде
G(y; B) = F[X(y; e); e] =
00
V^ e" d"F
Ad n\ \3 >' \У) Ap/l
x=y, E = 0
где приняты обозначения
E.7.236)
E.7.23b)
I I i
Рис. 5.З. Треугольник Ли.
Используя E.7.16) и E.7.23а), можем выразить это последнее
равенство (аналогично выводу E.7.17)) в виде
где
de
"к ~ ' ? + 1
k=o
т = 0
— W
dX Wra-
Повторное применение E.7.24) и E.7.25) дает
de" А* ь\гь '
k=0
E.7.24)
E.7.25)
E.7.26)
E.7.27)
5.7. Усреднение с использованием рядов и преобразований Ли 223
Здесь приняты обозначения
Пт = Fftr" + 2 С*т2п+, F?r», FJ» = Fft. E.7.28)
m = 0
Следовательно,
G (у; е) = 2 " F("\ F<m = Fon) I *= у E.7.29)
Уравнения E.7.27)—E.7.29) отличаются по виду от уравнений
E.7 19)—E.7.21) только наличием другого оператора ?\ поэтому
соотношение E.7.28) также может быть наглядно представлено
с помощью треугольника Ли.
5.7.3. Упрощенные общие алгоритмы
Для упрощения алгоритма, задаваемого, например, с помощью
соотношения E.7.20), Кемел [1969], [1970] записывал сначала
это соотношение в виде
k-i
m = 0
Затем он последовательно исключал функции из правой части,
чтобы наконец выразить f^ в виде линейного функционала
от функций f<n+*>f f(n+ft-i)> wwmf fm\ Предположим поэтому, что
к
f<n. =fiB+*)_ 2 C^G,f<n+*-J', E.7.31)
где линейный оператор Gy- является функцией операторов Лу-,
Ly-!, ....Lj. Подставив E.7.31) в E.7.30), получим следующее
рекуррентное соотношение:
Gj = /.,- 2 Ct\LmGj.m, 1 </< л. E.7.32)
т= 1
Например, имеем
G, = L,—Lt (La — L1L1) — 2L,Ll. E.7.33)
При n = 0 и п = 1 из E.7.31) имеем
f(ft) = f*+ 2 Cff„,_,-, E.7.34)
/ i
H+i, E-7.35)
224 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
где
f^G.f'W/'»- S C^Lm\t.m,t. E.7.36)
Это и есть упрощенный алгоритм Кемела. При f(l) = 0 будем
иметь fy(. = 0, поскольку в рекуррентном соотношении второй
индекс i фиксирован.
Кемел получил более удобную форму этого алгоритма, запи-
записав E.7.35) в виде
f«*»=fj?L1+2ic?-v-/- E-7-37)
Из E.7.18а) имеем, что
Поэтому E.7.37) можно переписать в виде
f(ft)=f*+ S [c?iiv*-/+c/"lf/.*-/]+L*fo- E-7-38)
Вспомнив, что dx/de = W, будем иметь из E.7.3):
где
в=о,х=у для
Тогда из соотношений E.7.16) и E.7.34) следует
ft-;
х<*. = W* + 2 Cf-^j,^. k> 1, E.7.40)
где
ху,, = J2>,x<'>- 2 ат-}^ях{.п,,. E.7.41)
m=l
Для нахождения обратного преобразования
со
У = х + ?5у(пЧх) E.7.42)
п=1
5.7. Усреднение с использованием рядов и преобразований Ли 225
следует исключить разность х—у из соотношений E.7.39) и
E.7.42). Это дает
GO
S jy). E.7.43a)
Поскольку, однако,
со »
U = Z % u« (x) = E S utn> &>• E.7.436)
n=l n=l
то имеем
un(x)=y<n)(x), u(">(y)= —x(n>(y), n>l. E.7.43b)
Тогда из E.7.34) можно получить
у"" (х) = - х<*> (х) + S Ck,xJtk_Jt к > 1, E.7.44)
где x7i/определено соотношением E.7.41).
5.7.4. Схема процедуры
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, записан-
записанную в стандартном виде
00
x = Z5Ux). E.7.45)
п=0
Суть алгоритмов, рассмотренных в предыдущем пункте, заклю-
заключается в том, что с помощью перехода от переменной х к пере-
переменной у уравнение E.7.45) приводится к виду
S <5-7-46>
п=0
в котором величины gn не содержат быстропериодических чле-
членов. Для этого строится почти тождественное преобразование
вида
Это преобразование приводит некоторый вектор
F»W E-7-48)
n=0
226 Г л, 5. Вариация произвольных постоянных и нетоо усреднения
к виду
00
Алгоритмы, описанные в предыдущем пункте, могут быть ре-
реализованы на ЭВМ, поскольку их действие сводится к повтор-
повторному применению элементарных операций. Ниже будет описана
процедура для второго порядка точности. Положим для начала
go (У) = »о (У). f4 7V)\
Затем, приступая к разложению первого порядка, запишем ли-
линейное дифференциальное уравнение в частных производных
g,(y)=My) + Mo- E.7.51)
Положим g, равным медленно меняющимся членам t, и разрешим
получающееся уравнение относительно W,. Тогда могут быть
вычислены величины
x"' = Wlt
FIlO = J271F«», E.7.52)
F'^-F.+F,,,,.
Вычислив
gi.i=z-igi.
мы можем приступить к разложению второго порядка. Запишем
дифференциальное уравнение
+'-.»» E.7.53)
и положим g2 равным медленно меняющимся членам правой
части. Этим завершается построение разложения второго порядка.
Проиллюстрируем эту процедуру, применив ее к уравнению
Ван-дер-Поля
q, E.7.54)
решение которого прн е=0 имеет вид
E.7.55)
Используя метод вариации произвольных постоянных, уравнение
E.7.54) можно заменить системой (см. п. 5.2.3)
[(la2)C + 3C] E-7.56)
E-77)
5.7. Усреднение с использованием рядов и преобразований Ли 227
где
Cn=cosn<p, Sn = sinnq>.
Уравнения E.7.56) и E.7.57) имеют вид E.7.1), причем
у о (! «2)С +
E.7.58)
E.7.59)
E.7.60)
fn = O при n> 1. E.7.61)
Совершим теперь переход от переменной х= к у= Г*» .
й E750) E759)
Из соотношений E.7.50), E.7.59) получим
С помощью E.7.186) и E.7.59) находим, что
Следовательно, E.7.51) принимает вид
E.7.62)
E.7.63)
E.7.64)
Считая, что быстропериодические члены в fj отнесены к Wlt
найдем
(,7.65,
Решив полученное в результате уравнение, будем иметь
E.7.66)
где S* = sinmp* и C*=cosn(p*.
С учетом E.7.61) и E.7.63) уравнение E.7.53) принимает вид
-^. E-7.67)
228 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Считая, что быстропериодические члены отнесены к W2, получим
i>- E-7.68)
Поскольку gj состоит только из медленно меняющихся членов,
a Wj—только из быстропериодических членов, имеем <L1g1>=0.
Следовательно,
L 4 + 8
128
Тогда имеем
У =
E-7.69)
E.7.70)
в соответствии с разложением, полученным в п. 5.2.3 с помощью
обобщенного метода усреднения.
Чтобы сравнить разложение, полученное в этом пункте, с раз-
разложением, которое получено в п. 5.4.2 с помощью методики
Крылова — Боголюбова—Митропольского, необходимо соотноше-
соотношение E.7.55) выразить в новых переменных. В нашем случае
причем
F0
Из E.7.50) имеем
7„=0 при
E.7.71)
E.7.72)
E.7.73)
Fw) = a* cos ф».
Тогда соотношения E.7.52) и E.7.26) дают
FliB = J2P1 (a* cos ф*) = [cos ф*, — a* sin ф*] Wj =«
= — ~ а* ( 1 — ~ а*") sin ф* —^ a*3 sin 3 ф*.
Следовательно, имеем равенство
q=a* cos ф*— -^ га*\ ( 1 —\а** \ sin ф* +\а** sin Зф* 1 +0 (е2),
E.7.74)
которое можно переписать в виде
ю*3
q =а* cos яр—-^- sin 3 ф -f- О (е2),
E.7.75а)
5.7. Усреднение с использованием рядов и преобразований Ли 229
где
Результат согласуется с разложением, которое получено в п. 5.4.2.
с помощью методики Крылова — Боголюбова—Митропольского.
5.7.5. Алгоритмы для канонических систем
Для преобразования гамильтониана
(p, q, t-, е)=2-яг^»(р. q. 0 E-7-76)
n=0
в новый гамильтониан
К {P. Q, t; e) = ? %Kn(P. Q. О E.7.77)
n!
n=0
Хори [1966, 1967] и Депри [1969] использовали соответственно
ряды и преобразования Ли.
Если положить
X=P • У= Р ' E.7.78)
W= -SJ, f= -Я,, E.7.79)
то гамильтониан /( порождает вектор g согласно равенству
Г /Cpl
g = \-Kq I E.7.80)
В этом случае алгоритм п. 5.7.3 сводится к скалярному виду
(Кемел [1969а]) согласно соотношениям
KB=nB(Q, P, t),
п—\
Kn = Hn + Yl [С^ЩНпЧ + С]-хК1,п-А—Ш?-' F.7.81)
230 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
в которых приняты следующие обозначения:
rf_df3S/ dfdS, «
Lll ~'дйдР~Шдп ' E
E.7.826)
— I'.К У, С'-1 I'К (Ь 7 82r^
2
В результате преобразования, приведенного выше, старые пе-
переменные будут выражаться через новые согласно равенствам
оэ
q=Q+Z3q(n)(Q, р, о.
"Г1 E.7.83)
p=p+Z3pim(Q'p- '>.
п=\
в которых введены обозначения
п-1
E.7.84а)
(= >
тГ_\ E.7.846)
m=l
До третьего порядка вышеприведенные алгоритмы будут зада-
задаваться следующими соотношениями:
КО = НВ, E.7.85)
E.7.86)
E.7.87)
If LJ I Г * LJ | С)Т г LJ 1^ Of'li' I 1 ' К } '* If 2У*^3 /С, *7 QQ\
*\я — " ч ~Т~ *-^лП о ~Т~ ^be/ii ~т" ?L,-\i\ п -г~ i-'sA 1 i-Ji А 1 т^--- , (О. / .Оо)
E.7.89)
5.7. Усреднение с использованием рядов и преобразование Ли231
} E.7.90)
P ~ ЯП
Далее мы проиллюстрируем эту процедуру на примере кача-
качающейся пружины с гамильтонианом E.5.57). Используя решение
E.5.67)—E.5.70), приведем этот гамильтониан к виду
Н = Н1+±Н,+ ..., E.7.91)
где
Я, =2? i/?|! [sin* 62—2cos2 BJ sin Bu E.7.92)
n4fi2 + -W^sin-!B1cos2Bg, E.7.93)
и В^и, ( Р,)
С помощью алгоритма, описанного соотношениями E.7.85)—
E.7.87), перейдем от переменных а, Р и гамильтониана Я соот-
соответственно к величинам а*, р* и /<¦ = /(„ + /Сх + -н- К2-\- • • • . По-
Поскольку Я0 = 0, то из E.7.85) получаем, что Ко = 0, а из
E.7.826),—что 3)Sn/3)t = dSjdt. С учетом E.7.92) соотношение
E.7.86) запишется в виде
4 sin (В; + Э +
|^. E.7.94)
Все слагаемые в Л^ будут быстропериодическими, если только
не выполнено условие а^ л; 2со2. Если же оно выполнено, то
величина sin [(со,—2aa)t + a$l—2&2$1] будет иметь большой
период (медленно меняющийся). Полагая, что быстропериодиче-
быстропериодические члены исключаются с помощью Sit придем к равенствам
E.7.95)
ОЙ 1/ а
Г^ 2
cos fit.)_ 3 cos (fij + 2Bl)
-^Г+ 2(«.1+2со2)
Если считать, что в E.7.87) быстропериодические члены
исключаются с помощью S2, то получим
?;//i> + </4Ai>. E.7.97)
232 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Усредненные величины в выражении для К2 задаются равенствами
<1'^>==(ж^Жж^)-('^г^М^^/> E-7-98>
9to,
4(cu,+2co2)
9a,aa
~ТШ2"-
E.7.100)
В соотношениях E.7.99) и E.7.100) использовано то обстоятель-
обстоятельство, что со, ж 2со2 (т. е. Ы як 4mg, как это следует из определе-
определения со, и со2). Имеем, следовательно,
и, далее,
/с=/с„ ч- /с, + -J- /с2 ч-
E.7.102)
Чтобы исключить явную зависимость К от t, совершим пере-
переход от переменных а* и р* к переменным о' и р; с помощью
производящей функции
С' ri' I (mi — 2(og) t , u*l j^ „'a* /R 7 1ПЧ*
l| ш^ rPil +«аР2. (O./.lUd)
Будем иметь
«T = S = «i. E.7.104)
dPi
«2 = 5 = ^' E.7.105)
op2
gfi&^L' E.7.106)
E.7.107)
5.8. Усреднение с использованием лагранжианов 233
и, далее,
». ">• E-7108)
Вспоминая, что а| = —д/C/dfr- и ^^дК'/да'с, можем записать
E-7Л09)
E.7.110)
39сха I ft)t —2fji>2
E-7Л11)
где принято обозначение
Y = co16; — 2со2р. E.7.113)
5.8. Усреднение с использованием лагранжианов
Для использования канонических переменных нужно знать
гамильтониан. Старрок [1958], [1962], идя по другому пути, раз-
развил методику, в которой не используются канонические пере-
переменные. Суть ее состоит в усреднении лагранжиана и выписы-
выписывании затем соответствующих уравнений Эйлера—Лагранжа.
Уизэм [1965а], [1967а, 19676, 1970] разработал подобную методику
для изучения волн, в которых частота и волновое число, так же
как и амплитуда, являются медленно меняющимися функциями
пространственных координат и времени. Более строгое обо-
обоснование этой методики предложил Бишоп [1969]. Эта мето-
методика не столь изящна, как процедуры, использующие канониче-
канонические переменные, однако она обладает тем преимуществом, что
непосредственно приложима как к уравнениям в частных про-
производных, так и к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Каваками [1970], Каваками и Ягисита [1971] для решения
нелинейного уравнения Власова использовали канонические
переменные в сочетании с гамильтонианами.
Эта методика нашла приложение в разнообразных задачах
распространения волн в жидкости и плазме. Лайтхилл [1965],
[1967] применил теорию Уизэма к волнам умеренной амплитуды
в глубокой воде; Карпман и Крушкаль [1969] использовали
234 1л. Ь. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
теорию Уизэма для получения распада плоской волны на отдель-
отдельные волновые пакеты, Хау [1967] изучал установившееся течение
в открытом канале вдоль твердой поверхности, имеющей форму
конечного набора волн. Брезертон [1968] рассмотрел линейное
распространение волн в слабо меняющихся волноводах; Брезер-
Брезертон и Гарретт [1968] изучили медленно меняющиеся волны в
неоднородных средах. Гарретт [1968], Дрейзин [1969], Рарити
[1969] исследовали нелинейные внутренние гравитационные волны;
Гаррет и Дрейзин определили соответственно эффекты сдвига и
слабого атмосферного расслоения. Симмонс [1969] изучил взаи-
взаимодействие капиллярных и гравитационных волн; Гримшоу [1970]
рассмотрел уединенные волны в воде переменной глубины. Крап-
пер [1970] исследовал возникновение капиллярных волн под
влиянием гравитационных. Доерти [1970], Галлоуэй и Крофорд
[1970], Галлоуэй и Ким [1971] рассматривали нелинейные волны
в плазме. Дьюар [1970] исследовал взаимодействие магнитогидро-
динамических волн с неоднородной средой; Тан и Сивасубрама-
ниан [1971] изучили нелинейную неустойчивость модулированных
волн в магнитной плазме. Лоуэлл [1970] рассмотрел распростра-
распространение волн в решетках с ангармоническим потенциалом. Дадим
описание этой теории и ее применение к трем примерам.
5.8.1. Модель диспергирующих волн
В качестве первого примера рассмотрим решение в форме
ряда волн для модельного уравнения Брезертона [1964]
Ф« + Ф*««-ЬФ**-ЬФ = еФ3- E.8.1)
Вместо нелинейного члена вф* здесь записан член вф8. Если
пренебречь нелинейным членом е.ф?, то уравнение E.8.1) допускает
решение в форме бегущей волны
Ф=йсо80, 0=А>х—(of, E.8.2)
в котором со и k удовлетворяют дисперсионному соотношению
со1 = *•—*•+1. E.8.3)
Медленно меняющееся решение в форме ряда волн будем искать
с помощью вариационного подхода; запишем сначала лагранжиан,
соответствующий уравнению E.8.1)
^ = уФ?—\ч>1* + \&—4ф*Ч--^ф*. E.8.4)
Нетрудно проверить, что уравнение E.8.1) является уравнением
Эйлера—Лагранжа, соответствующим этому лагранжиану. Будем
5.8. Усреднение с использованием лагранжианов 235
искать разложение вида
со
Ф = a cos 6 + е 2 Л„cos пб + О (е2), E.8.5)
л = 2
где
/2 = 6,,, со=—0Ь E.8.6)
а величины а, со, k и Л,- являются медленно меняющимися функ-
функциями от л; и I. В предположении, что 6 дважды непрерывно
дифференцируема, из E.8.6) можно получить условие совмест-
совместности
А>, + сох = 0. E.8.7)
Поскольку в прямом разложении вековые члены впервые
появляются среди членов порядка О (е), то будем предполагать,
что величины ах, at, coX) cot, kx и kt имеют порядок О(е). Таким
образом,
—ek 2 nAn sin /гб +0(е2),
fj = 2
ос
= — aft2 cosG—2]
Подставляя эти выражения в E.8.4), получим лагранжиан, не-
неявно зависящий от х и t через функции 0, а, со, k и Л,-. Члены,
зависящие от 0, в выражении этого лагранжиана периодичны
по 0 с периодом 2я. При изменении 0 на интервале [0, 2л]
остальные параметры претерпевают очень малое изменение. По-
Поэтому с изменением х и I изменение лагранжиана L, обуслов-
обусловленное зависимостью от 0, происходит намного быстрее, чем
изменение, обусловленное зависимостью от остальных парамет-
параметров. Как и в других разновидностях метода усреднения, вели-
величину L следует усреднить по 0 на интервале от 0 до 2я, пред-
предполагая а, со, к и Л,- постоянными. С этой целью усредним
сначала отдельно каждый член в L. Будем иметь
2я
236 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Следовательно,
Z l| ). E.8.8)
Усредненный лагранжиан 2? явно зависит от а и неявно —
от 6 через посредство со и k. Запишем теперь уравнения Эйле-
Эйлера—Лагранжа, соответствующие переменным а и 0. Уравнение
Эйлера—Лагранжа, соответствующее а, будет иметь вид
djg7cto = O; отсюда получаем дисперсионное соотношение
со2 = ?4—?8+1 + |-еа2 + 0(е2). F.8.9)
Отметим, что дисперсионное соотношение можно получить с по-
помощью принципа гармонического баланса, т. е. подставив
(p = acos0 в уравнение E.8.1) и приравняв коэффициенты при
cos0 в обеих частях. В силу равенств со=—0, и k = Qx уравне-
уравнение Эйлера—Лагранжа, соответствующее переменной G, запи-
запишется в виде
д(дХ\ д(дХ
или
-
С учетом соотношений
будем иметь
E.8.12)
Чтобы упростить E.8.12), продифференцируем обе части в
E.8.9) по k. Получим
где «а' = d(j3/dk—групповая скорость. Следовательно, E.8.12)
перепишется в виде
или
[^|J ] = 0. E.8.13)
5.8. Усреднение с использованием лагранжианов 237
Поскольку для co = co(fe) имеем щ — io'kt, то второй член в E.8.13),
согласно соотношению E.8.7), обращается в нуль. Следовательно,
уравнение E.8.13) запишется в упрощенном виде как
*L2 + J^) = O. E.8.14)
Кроме того, имея в виду, что co = co(fe), можно переписать E.8.7)
в виде
дх
E.8.15)
Таким образом, изменения в пространстве и во времени ампли-
амплитуды а, частоты со и волнового числа k задаются соотношениями
E.8.9), E.8.14) и E.8.15).
5.8.2. Модель взаимодействия волна — волна
Проведя в предыдущем пункте разложение до второго по-
порядка, мы пришли бы к соотношению
Ф =аcos8+ 32(9^-1) cos36 + ° (е2)- E.8.16)
Будучи справедливым для широкой области значений k, это
разложение нарушается вблизи k2 = 1/3. В этом случае говорят,
что имеет место резонанс в третьей гармонике; величины cos 6
и cos 3G удовлетворяют при этом одному и тому же дисперсион-
дисперсионному соотношению. Последнее означает, что основная и третья
гармоники имеют одинаковые фазовые скорости, равные оз/k.
Чтобы построить для уравнения E.8.1) разложение, справед-
справедливое вблизи &2=1/3, будем предполагать, что это разложение
имеет вид
n(n n) + (), E.8.17)
, 3
где
вп = кпх— со„/ + Р„, со? = ?«-?*„+1, E.8.18)
причем
&3«3^, сОз^Зсо^ E.8.19)
Отметим, что главный член разложения содержит основной тон
cos01 и его третью гармонику cos03. Поскольку нас интересует
случай k\ як 1/3, то будем считать со,- и k( постоянными, а вели-
величины р,-, v,-, at и А(—медленно меняющимися функциями от х
и t. Подставим, далее, это разложение в E.8.4) и усредним по-
получающийся лагранжиан по переменным 6;, предполагая р(, v;,
а, и А( постоянными.
238 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Проводя усреднение, следует помнить, что, хотя переменные
0,- и являются быстрыми, величина 63—30, меняется медленно.
Таким образом,
1 = 1, 3
Ф?=4 У (??
(=1,3
(=1, 3
С учетом этих выражений лагранжиан Jg7 запишется в виде
/=1,3
+ §§(ai + 4a?aS + a$)+-|-a1»a,cos6, E.8.20)
где
6 = 03—30! = (&з—3ft,)x—(co3—Зсо^^+Рз—З^!. E.8.21)
При получении E.8.20) мы использовали дисперсионное соотно-
соотношение E.8.18) и следующее определение групповой скорости:
со; =B??-?,-)/«,,
При постоянных со; и kt величины щ и р1, удовлетворяют
уравнениям Эйлера—Лагранжа
^- = 0, E.8.22)
д (дХ\ д 1дХ\_дХ .,«„.
Подставляя „g5 из E.8.20) в эти уравнения и используя E.8.21),
получим
о,.
^ 0,0)8 6], E.8.24)
?a,-1 cos 6], E.8.25)
Эти уравнения согласуются с уравнениями, полученными в пункте
6.2.9 с помощью метода многих масштабов.
5.8. Усреднение с использованием лагранжианов 239
5.8.3. Нелинейное уравнение Клейна — Гордона
В качестве последнего примера рассмотрим вслед за Уизэмом
[1965а] нелинейное уравнение Клейна—Гордона
utt-uxx + V'(u) = 0, E.8.28)
где V (и) — произвольная нелинейная потенциальная функция,
обеспечивающая уравнению колебательные решения. Скотт [1970]
рассмотрел частный случай V(u) = — cos u, который описывает
распространение магнитного потока в контакте Джозефсона.
Рассматриваемому уравнению соответствует лагранжиан
L = ~uf — ^ul—V(u). E.8.29)
Для решения в форме бегущей волны и F) уравнения E.8.28)
имеем
(со2—k2)um + V'(u) = 0, E.8.30)
где
со = — 6Ь k=Qx. E.8.31)
Уравнение E.8.30) имеет первый интеграл
!(со*-?2)«1 + 1/(ы)=?. E.8.32)
Интегрируя это равенство, получим
d» E.8.зз)
Предположим, что период периодической функции и нормиров-
нормировкой может быть сведен к единице, так что
<и= 1. E.8.34)
Для определения приближенных уравнений, которым удо-
удовлетворяют медленно меняющиеся величины Е, со и k, подста-
подставим в E.8.29) вместо и функцию и@) и усредним получающийся
лагранжиан по интервалу [0, 1]. С учетом E.8.32) будем иметь
L = y (ю2—k2)ul—V/(u) = (co2—k'z)ui — E. E.8.35)
Следовательно,
2=*\l \иЩ dO = (to2 — k2) J ы| Од— Е ) сЮ =
О
1 2(со2 — k*)h\/ Ж^Т(п) du - Е. E.8.36)
240 Гл. б. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
Изменение S', связанное с изменением Е, определяется диспер-
дисперсионным соотношением E.8.34). С учетом i авенств со = —Qt
и k = Qx уравнение Эйлера—Лагранжа, соответствующее пере-
переменной 6, запишется в виде
д (дХ\ д (дХ
y +
Подставив в E.8.37) выражение для S', получим
= 0, E.8.38)
где
W= V^a^^^VE — V(u)du. F.8.39)
Постановка задачи окажется завершенной, если к соотношениям
E.8.34) и E.8.38) присоединить условие совместности
dk дш * ,-. я дп.
Упражнения
5.1. Используя методику Стюарта — Ватсона—Экхауса, определить прибли-
приближенные решения задач
(а) и + Яи = еы8, и@) = ы(я) = 0;
(б) ии—ихх + и=еи*.
и (х, 0) = a cos х, щ (х, 0) = 0.
5.2. Используя методику Страбла, определить равномерные разложения
второго порядка для уравнений (Страбл [1962])
(а) ы+ы = еA—ы2)ы,
(б) «
5.3. Используя методику Крылова — Боголюбова, определить приближен-
приближенные решения уравнений
(а) ы+ <oou = — ги\ и |;
ou
(б) u
(в) "и + (8 + е cos 20 и = 0.
5.4. Рассмотрим уравнение Матьё
и + F + е cos 2/) и = 0.
Определить равномерные разложения второго порядка, используя (а) методику
Крылова—Боголюбова—Митропольского; (б) обобщенный метод усреднения;
(в) преобразования Ли.
Упражнения 241
5.5. Рассмотрим уравнение
"q 4- C0JJ9 = eg3 + К cos Ш.
(а) Показать, что оно соответствует гамильтониану
(б) Определить разложение первого порядка, полагая, что К = 0A) и зна-
значения со далеки от Зсо0, соо, шо/3;
(в) К = 0A) и ш близко к Зо)„;
(г) К = 0A) и ш близко к юо/3;
(д) К = 0 (г) и со близко к соо.
5.6. Рассмотрим уравиеиие
O9 e(l
Используя метод Крылова—Боголюбова, определить разложения первого по-
порядка для случаев, перечисленных в упр. 5.5.
5.7. Используя обобщенный метод усреднения, метод Крылова—Боголю-
Крылова—Боголюбова—Митропольского и метод Кемела, определить разложения второго по-
порядка для решения уравнения
и-\-и= е A —и2) и-\-еи3.
Сравнить результаты, полученные тремя методами. Какую из этих методик вы
бы рекомендовали для подобных задач?
5.8. Рассмотрим задачу
и + 2\ш + v2u = —sf (и, и).
При е —* 0 имеем
и=сое~д/cos (соо/ + фо), со„= |^v2— ц2.
(а) Для е ф 0 определить равномерное разложение, положив, следуя Мен-
Мендельсону [1970], и = и(а, ¦(])) и
(б) Определить разложение, используя методику Крылова — Боголюбова —
Митропольского.
(в) Какое из этих разложений является более точным?
5.9. Рассмотрим задачу
-\-eb2un~1—e63«"~l cos %t=0.
где 6, е, Ь,- и Я—постоянные, п—четное, т—нечетное натуральные числа,,
причем /и > п.
242 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
(а) Для малого е иайти решение "вида
и = а (О cos6, 8 = arf —ф@, се = Л./П,
и с помощью метода усреднения определить уравнения для а и ф (Цо и Кои
[1965]).
(б) Определить гамильтониан, соответствующий вышеприведенному уравне-
уравнению, затем с помощью канонических переменных определить разложение пер-
первого порядка для случая, когда 6 близко к со2.
(в) Сравнить результаты, полученные двумя методиками.
5.10. Задача о сферическом маятнике (т. е. о частице, движущейся под
действием силы тяжести по поверхности гладкой неподвижной сферы) форму-
формулируется с помощью гамильтониана (Йохансен и Кейн [1969])
2m gV ^-1* 2ml*
Здесь qt и р, —координаты и компоненты импульса частицы, т — ее масса,
g —ускорение свободного падения и I — радиус сферы.
(а) Определить для малых амплитуд решение первого порядка, используя
метод осреднения в канонических переменных.
(б) Определить разложение второго порядка, используя преобразования Ли.
(в) Сравнить полученные три разложения.
5.11. Рассмотрим задачу о качающейся пружине с демпфированием:
ё+
sin
Положим Wi—к/т и (ol=g/l. Используя обобщенный метод усреднения и пре-
преобразования Ли, определить равномерные разложения второго порядка для
случаев (а) со, « 2со2; (б) со, и Зсо2.
5.12. Рассмотрим уравнения C.1.63)—C.1.65).
(а) Показать, что им соответствует гамильтониан
^ +e cos /)-».
(б) Используя метод усреднения в канонических переменных, определить
разложение первого порядка в окрестности переходных кривых, исходящих из
точки (ц0, е), где Mo=(l— 2 //3)/2.
(в) С помощью преобразований Ли определить в окрестности этих пере-
переходных кривых разложение второго порядка.
5.13. Рассмотрим движение частиц, описываемое гамильтонианом:
где б — постоянный параметр, (а) Показать, что при 6=1 круговые частоты
в линеаризованной задаче равны 1 н 2; (б) используя метод усреднения в ка-
Упражнения 243
ионических переменных, определить для малых амплитуд разложение первого
порядка при 8sl; (в) с помощью метода усреднения определить разложение
первого порядка; (г) какую из этих методик вы рекомендовали бы для подоб-
подобных задач?
5.14. Рассмотрим задачу (Сетна [1965])
i cos kt,
Говорят, что имеет место внутренний резонанс, если tox x 2to2 или to2 ~ 2@^
при Я 5j to, или to2 говорят о резонансном возбуждении; случай /Cf = eft,-, где
kj = O(\), соответствует мягкому возбуждению и, наконец, случаи /С,-==О A) —
жесткому возбуждению. Используя метод усреднения, определить разложения
первого порядка для следующих случаев:
(а) жесткое нерезонансное возбуждение при отсутствии внутреннего резо-
резонанса;
(б) жесткое нерезонансное возбуждение при внутреннем резонансе;
(в) мягкое резонансное возбуждение при отсутствии внутреннего резонанса;
(г) мягкое резонансное возбуждение при внутреннем резонансе.
5.15. Бегущие волны в холодной плазме описываются уравнениями
|г.+|{рн)=о,
dt ' дх г
ди ди
dt ' дх
Пусть р = 1+0(е), и = О (е) и Е = О(е). Используя метод усреднения, опреде-
определить временное и пространственное изменение амплитуды и фазы монохромати-
монохроматической бегущей волны.
5.16. Рассмотрим задачу
(а) Показать, что функция
q> = acostj, V = kx — to/
является решением этого уравнения при условии, что to2 = ft2 + l.
(б) Показать, что вышеприведенное уравнение может быть записано
в виде законов сохранения (Уизэм A965])
д
ф!-Ф2)] =0.
(в) Положим в уравнениях закона сохранения q> = acos6, причем а — а (х, t),
k = Qx и to=—6(. Предположим, что a, to и к—слабо меняющиеся функции от
х и t. Осреднить эти уравнения по 0 на интервале от 0 до 2л, предполагая а.
244 Гл. 5. Вариация произвольных постоянных и метод усреднения
со и k постоянными, и получить соотношения
5.17. Рассмотрим уравнение
"ft—с2и^ + ы = еи3.
(а) Выписать лагранжиан, соответствующий этому уравнению.
(б) Определить разложение первого порядка для бегущих волн с постоян-
постоянным волновым числом, но амплитудой и фазой, меняющимися во времени и про-
пространстве.
5.18. Задача о нелинейных поперечных колебаниях однородной балки со
свободными концами и с нелинейной связью между моментом и кривизной
описывается лагранжианом
1 a[fd*w\* 1 ГдЧв\
где р, Р и е — постоянные. Определить разложение первого порядка для бегу-
бегущих волн со слабо меняющимися амплитудами и фазами: (а) используя вариа-
вариационный подход; (б) выписывая уравнения движения и применяя метод
усреднения.
5.19. Рассмотрим модельное уравиение Брезертона [1964]
Ч>П + Ухххх + 4>хх + ф + ф2-
(а) Показать, что в линейной задаче дисперсионное соотношение имеет вид
(б) Определить волновое число, соответствующее резонансу в я-й гармонике.
(в) Используя метод усреднения, определить разложение первого порядка
в окрестности резонанса во второй гармонике (амплитуды и фазы считать
функциями от х и /).
(г) Выписать соответствующий лагранжиан, затем, применяя вариационный
подход, определить разложение первого порядка в окрестности резонанса во
второй гармонике.
ГЛАВА в
Метод многих масштабов
6.1. Описание метода
Существуют три разновидности метода многих масштабов.
Мы дадим их описание на примере линейного демпфируемого
осциллятора
х+х = — 2ех. F.1.1)
Этот пример мы выбрали потому, что можно, во-первых, срав-
сравнить полученное приближенное решение с точным и, во-вторых
ясней продемонстрировать различные варианты метода, не при-
прибегая к алгебраическим выкладкам.
Получим сначала прямое асимптотическое разложение для
малого в. Пусть
x = xo + sxl+e2xt + ... . F.1.2)
Подстановкой F.1.2) в F.1.1) и приравниванием коэффициентов
при одинаковых степенях е получаем
Я = О, F.1.3)
-2*o. F-1.4)
—2х1. F.1.5)
Общее решение уравнения F.1.3) имеет вид
xB = acos(t + (p), F.1.6)
где а и ф—произвольные постоянные. Подставив хв в F.1.4) и
решив полученное уравнение, получим
х1 = — at cos (/ + ф). F.1.7)
Подставив, далее, хх в F.1.5) и решив это уравнение относи-
относительно xs, получим
xs=ya^cos(f+ у) + ±-at sin (t +у). F.1.8)
Следовательно,
х = a cos (t + ф)—eat cos (t + ф) +
+-i e2a [t* cos (t + ф) +1 sin (t + <p)] + О (е3). F.1.9)
246 Гл. 6. Метод многих масштабов
Очевидно, что F.1.9) дает плохое приближение для х, если t
имеет порядок е. В этом случае второй (ел:,) и третий (г2х2)
члены уже не малы по сравнению соответственно с х0 и ехг
(х1 и х2 содержат вековые члены), как это предполагалось при
выводе полученного разложения. Таким образом, прямое разло-
разложение перестает быть справедливым, когда / достигает величины
Ofe). Как это обсуждалось в п. 2.1, трудность здесь заклю-
заключается в том, что область определения бесконечна.
В несостоятельности прямого разложения можно убедиться,
рассмотрев точное решение уравнения F.1.1), которое имеет вид
x = ae-et cos [У I — е2 t + q>]. F.1.10)
Равенство F.1.9) может быть получено разложением решения
F.1.10) при малом е и фиксированном /. Экспонента и косинус
представляются в виде
ехр(— et) = \ — et + ±-E4*+..., F.1.11)
cos (}/l —е2 / + ф) = cos (/ + Ф) + yeH sin (/ + <р) + ... . F.1.12)
Ясно, что ехр (— et) можно аппроксимировать конечным чис-
числом членов только при условии, что et мало. В силу малости е
это означает, что /=ОA). Если же t имеет порядок е, то et
уже не мало, и приближение с помощью усеченного ряда ока-
оказывается неудовлетворительным. Приведенный выше усеченный
ряд дает хорошее приближение только до некоторого значения t,
после которого ехр (—Et) отличается от усеченного ряда на
величину, превышающую заданный предел точности. Добавле-
Добавлением новых членов к усеченному ряду значение t можно увели-
увеличить до некоторого нового значения V, в пределах которого
новый усеченный ряд будет давать удовлетворительное прибли-
приближение. Однако при / >/' разность между ехр(—nt) и новым
усеченным рядом вновь превосходит заданную точность. Для
того чтобы разложение ехр(—е^) оказалось удовлетворительным
для всех значений /, следует учесть в нем все члены. Таким
образом, при построении разложения, справедливого для времен
порядка е, произведение е/ следует рассматривать как одну
переменную величину 7\=0A). Тогда любое усеченное разло-
разложение ехр (—et), справедливое для времен порядка е~х, имеет вид
ехр(—е*) = ехр(—7\). F.1.13)
Аналогично, усеченное разложение F.1.12) является неудов-
неудовлетворительным при / порядка О(е~2). Для получения усечен-
усеченного асимптотического разложения cos(]/l—еЧ + ф]> справед-
ливого при t =О(я~2), комбинацию e2tf следует трактовать как
6.1. Описание метода 247
одну переменную величину 7% = 0A). Тогда будем иметь
cos[]/~l—E*t + ф] = cos I t—jTt + ф— -i-e4/ + ... 1 =
= cos[/—
F.1.14)
Разложение F.1.14) справедливо и при /=0(е-2), так как по-
поправочный (второй) член имеет порядок О (г2) или меньший
вплоть до времен порядка 0(е~2). Однако при /=0(е~4) это
разложение нарушается, ибо второй член уже не мал по срав-
сравнению с первым. Чтобы получить разложение, справедливое для
времен порядка О(е~*), следует ввести еще одну переменную
Tt=e.H=O(l).
В проведенных выше рассуждениях предполагалось, что
x{t\ е) явно зависит от t, et, e2t, ... и от е. Это можно усмот-
усмотреть и из точного решения. Таким образом, для получения усе-
усеченного разложения, справедливого для времен порядка 0(е~м),
где М—целое положительное число, мы должёы считать х зави-
зависящим от М+1 разных масштабов времени Тв, Г,, ..., Тм, где
7-»=е«/. F.1.15)
Масштаб времени 7\ соответствует более медленному времени,
чем масштаб Тв, а Д соответствует более медленному времени,
чем масштаб 7\. В общем случае время Тп медленнее Тп_±.
Итак, предположим, что
x(t; в)=х(Т0, Г, Тт; е) =
м-\
= 2e"*«,G\» Tu .... Тм) + О(гТм). F.1.16)
Остаточный член в F.1.16) записан в виде О(еТм), чтобы на-
напомнить читателю, что рассматриваемое разложение справедливо
вплоть до времен порядка 0(г~м). Желая сохранить равномер-
равномерное приближение вне этого интервала времени, мы должны
использовать другие масштабы времени. Из F.1.15) и F.1.16)
можно видеть, что исходная задача с обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением перешла в задачу с уравнением в частных
производных. Если же в исходной задаче рассматривалось урав-
уравнение в частных производных, то введение разных масштабов
времени увеличит число независимых переменных. Применив
правило дифференцирования сложной функции, получим, что
дифференцирование по времени изменится в соответствии с ра-
равенством
248 Гл. в. Метод многих масштабов
Равенства F.1.15) вместе с F.1.17) определяют одну из разно-
разновидностей метода многих масштабов, а именно метод многих
переменных. Эта методика развита в работах Старрока [1957],
[1963], Фримена [1963], Найфэ [1965 в, г], [1968] и Сандри [1965],
[1967]. Из F.1.16) и F.1.17) видно, что при получении разло-
разложения с равномерным приближением вместе с зависимой пере-
переменной по степеням малого параметра разлагается и оператор
дифференцирования. Поэтому Старрок и Найфэ назвали этот
метод методом разложения производной.
Подставляя F.-1.16) и F.1.17) в F.1.1) и приравнивая коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях е, получим уравнения, из
которых определяются х0, хг, ..., хм. Решения этих уравнений
будут содержать произвольные функции от масштабов времени
7\, Т2, ..., Тм. Для определения этих функций необходимо
потребовать выполнения некоторых дополнительных условий.
Поскольку равенство F.1.16) должно выполняться для времен
порядка е~м, то величина emxm должна быть малой поправкой
к em~1xm_1. Последняя в свою очередь должна быть малой по-
поправкой к гт~гхт_2. Итак, мы требуем, чтобы
-*s- < оо для всех То, Ти ..., Тм.
Это условие не означает, что каждое хт ограничено. На самом
деле каждое хт может быть неограниченным. Однако, как и
в методике Лайтхилла (§ 3.2), это условие требует, чтобы осо-
особенность высших приближений не превосходила особенности пер-
первого члена. Это условие эквивалентно исключению вековых членов.
Вторая разновидность метода многих масштабов была
введена Коулом и Кеворкяном [1963] и применена Кеворкяном
[1966а] и Коулом [1968] при решении некоторых примеров. Мор-
рисон [1966а] показал, что эта процедура с точностью до вто-
второго порядка эквивалентна методу усреднения; Перко [1969] уста-
установил их эквивалентность до n-го порядка. Кеворкян [1966b]
показал эквивалентность этой процедуры в первом порядке методу
фон Цайпеля. Рассмотрев точное решение F.1.10), мы заметим,
что время t фигурирует в нем в одной из двух комбинаций: е/
или \^\—e2t. Следовательно, для получения разложения, спра-
справедливого для больших времен, необходимо ввести два масштаба
времени
e2е*+)' F.1.18)
Поэтому Коул и Кеворкян [1963] предположили, что
x(t; e)=iF, т]; е)= 2 в»*» F; т|) + О(в«), F.1.19)
0
2
171=0
6.1. Описание метода 249
где
*, F.1.20)
а ю„—постоянные величины. В данном случае g медленнее,
чем т), а производная по времени преобразуется в соответствии
с равенством
1 = е|+A+е2шв+в3«3+...+е^ж)^. F.1.21)
Обе эти разновидности можно значительно обобщить. Так,
метод многих переменных можно обобщить (Найфэ [1967в]), при-
применив вместо степеней е асимптотическую последовательность
6„(е), т. е., положив
7\, = 6„(е)', F.1.22)
м
? = Уб (Е)±- F.1.23)
Уравнения F.1.22) и F.1.23) можно далее обобщить, положив
r» = 6»le)S»llUe>fl. F-1.24)
к.
К(^]г, F.1.25)
где ц„(е)—другая асимптотическая последовательность. Таким
образом, F.1.24) позволяет рассмотреть линейные и нелинейные
масштабы времени.
Аналогичным образом может быть обобщена процедура раз-
разложения по двум переменным. Так, обобщив F.1.20) и F.1.21),
можно записать
м
8=|1(е)*, т,= 2бп(е)?„Ие)*], F.1.26)
га=0
)jL. F.1.27)
В таком общем виде эта техника была развита несколькими
исследователями, в том числе Кузмаком [1959], Кокраном [1962],
Махони [1962] и Найфэ [1964], [1965в]. Клима, Рамнат и Санд-
ри [1970] исследовали роль преобразований масштабов в полу-
получении равномерных асимптотических разложений.
Метод многих масштабов столь популярен, что его заново
открывают почти каждые полгода. Он применялся к широкому
кругу задач физики, техники и прикладной математики.
Коул и Кеворкян 11963], Найфэ [1965с], [1967в], [1968], Кевор-
кян [1966а], Дэвис и Олфренд [1967], Швертассек [1969], и
250 Гл. 6. Метод многих масштабов
Мькяа [1970], Расмуссен [1970] и Рейсе [1971] изучали слабо
линейные и нелинейные колебания, описываемые обыкновенными
дифференциальными уравнениями второго или третьего порядка.
Кузмак [1959] изучал нелинейные колебания, описываемые диф-
дифференциальными уравнениями второго порядка со слабо меняю-
меняющимися коэффициентами. Кокран [1962], Найфэ [1964], [1965b]
и Фаукес [1968] использовали обобщенную форму метода для
изучения задач с точкой ветвления в линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнениях второго порядка. Кокран [1962], Найфэ [1964],
[1965b] и Рамнат и Сандри [1969] использовали обобщенный
метод для изучения линейных уравнений с переменными коэф-
коэффициентами, в то время как Чен и By [1970] исследовали дейст-
действенность масштабов в задаче о старении пружины. Ноердлингер
и Петросян [1971] рассматривали линейное неоднородное уравне-
уравнение со слабо меняющимися коэффициентами, которое описывает
влияние космологического расширения на систему самогравити-
рующих частиц. Кеворкян [1971| исследовал задачу прохождения
через резонанс для одномерного осциллятора со слабо меняю-
меняющейся частотой. Кокран [1962], О'Малли [1968а], |1968Ь1 и
Сёрл [1971] применили обобщенный метод к краевым задачам
для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений вто-
второго порядка, в то время как Кокран [1962] и Акерберг и
О'Малли [1970] применили этот метод к уравнениям второго
порядка с точками ветвления или пограничным слоем. Там [1968]
использовал обобщенную разновидность для решения уравнения
Орра —Зоммерфельда.
В механике космического полета Найфэ [1965а] применил
обобщенную разновидность метода при анализе задачи о полете
аппарата Земля—Луна. Тин и Брофман f 1964] и Найфэ [1966]
проанализировали задачу старта спутника с малой тягой с кру-
круговой орбиты, Ши и Экштейн 11966] исследовали старт с эллип-
эллиптической орбиты g малой тягой, Кеворкян [1966а] и Броф-
Брофман [1967] изучили движение спутника с малыми тягой или
сопротивлением и Экштейн и Ши [1967] рассмотрели движение
спутника с переменной массой и малой тягой. Экштейн, Ши и
Кеворкян [1966а] определили движение спутника вокруг основ-
основного тела в ограниченной задаче трех тел, в то время как
Олфренд и Рэнд [1969] определили устойчивость треугольных
точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел. Экштейн,
Ши и Кеворкян [1966с] оценили члены высших порядков в дви-
движении спутника, используя интеграл энергии, а также влияние
эксцентриситета и наклонения [1966b]. Ши и Экштейн [1968]
рассмотрели движение искусственного спутника, период обра-
обращения которого соизмерим с периодом вращения основного тела.
В окрестности коллинеарных точек либрации Олфренд [1970] и
Найфэ [1971b] изучили резонансы при отношении частот два
6.1. Описание метода 251
к одному, а Найфэ и Кемел [1970b] и Олфренд [1971b] — при
отношении частот три к одному. Для гамильтоновых систем
с двумя степенями свободы Олфренд [1971а] исследовал резо-
нансы при отношении частот два к одному.
Для задач механики полета Эшли [1967] обсуждал роль
различных масштабов времени; Найфэ и Сарик [1971b] изучали
нелинейные резонансы при движении снаряда со слабой асим-
асимметрией. С помощью обобщенной разновидности метода Найфэ
[1969а] изучал движение вращающегося снаряда с переменными
скоростью вращения и динамическим давлением, но с линейными
аэродинамическими характеристиками, в то время как Найфэ и
Сарик [1972а] изучали движение с нелинейными динамическими
характеристиками и переменными скоростью вращения и дина-
динамическим давлением. Рамнат [1970b] изучал динамику переход-
переходных процессов для летательного аппарата.
В механике твердого тела Амазиго, Будянски и Кэрриер [1970]
рассматривали нелинейное выпучивание неидеальной колонны;
Рейсе и Матковский [1971] исследовали нелинейное динамиче-
динамическое выпучивание сжатой упругой колонны. Мортелл [1968] рас-
рассматривал задачу о бегущей волне в цилиндрической оболочке
и распространение волн по сферической оболочке [1969]. Келли
[1965] и Морино [1969] изучали нелинейный флаттер панели,
Сприггс, Месситер и Андерсон [1969] рассматривали флаттер
мембраны.
В теории дифференциальных уравнений в частных производ-
производных Кокран [1962], Найфэ [1965b] и Камсток [1971] изучали
эллиптические уравнения. Фаукес ([1968], часть II) получил
равномерно пригодные разложения для задач о каустике. Ной-
берт [1970] получил решения уравнения Гельмгольца для турбу-
турбулентной воды. Уингейт и Дэвис [1970] рассматривали распрост-
распространение волн в неоднородном стержне. Келлер и Когельман [1970]
для уравнения в частных производных исследовали задачу с не-
нелинейными начальными условиями.
Люк [1966] изучал уравнение Клейна—Гордона и общие
вариационные уравнения второго порядка; Эмери [1970] иссле-
исследовал случай нескольких зависимых переменных и несколько
быстро вращающихся фаз. Абловитц и Бенни [1970] для урав-
уравнения Клейна — Гордона исследовали эволюцию многофазных
колебаний. Найфэ и Хассан [1971] и Найфэ и Сарик [1972b]
исследовали нелинейные диспергирующие волны на поверхности
раздела двух жидкостей и в горячей электронной плазме. Пар-
Паркер [1969] рассматривал влияние релаксации и диффузионного
демпфирования на диспергирующие волны.
В теории взаимодействия волн Бенни и Саффмэн [1966],
Бенни [1967], Дейвидсон [1967], Бенни и Ньюэлл [1967], Хоулт
[1968], Ньюэлл [1968] и Бенни и Ньюэлл [1969] исследовали
252 Гл. в. Метод многих масштабов
нелинейное взаимодействие случайных волн в среде с дисперсией.
Дейвидсон [1969] изучал эволюцию во времени волновых кор-
корреляций в равномерно турбулентной совокупности слабо нели-
нелинейных систем с дисперсией.
В теории волн на воде Кэрриер [1966] рассматривал гравита-
гравитационные волны в воде переменной глубины, Хугстратен [1968],
Фримен и Джонсон [1970] изучали волны в мелкой воде в тече-
течениях со сдвигом. Джейкобе [1967] решал уравнения приливов.
Меррей [1968] рассматривал поверхностные колебания в баке,
возникающие при истечении жидкости. Чу и Мей [1970] изучали
медленно меняющиеся волны Стокса. Мак Голдрик [1970] и
Найфэ [1970b] рассматривали случай резонанса во второй гар-
гармонике при взаимодействии капиллярных и гравитационных волн,
в то время как Найфэ [1970d], [1971a] исследовал случай резо-
резонанса в третьей гармонике.
В теории атмосферы Ньюэлл [1969] рассматривал резонансное
взаимодействие пакетов волн Россби, Стоун [1969] — задачу обаро-
клинных волнах. Шаббар [1971] исследовал механизм резонанса,
поддерживающего волны Россби; Линдзен [1971] изучал распро-
распространение экваториальных волн Танаи и Кельвина.
В физике плазмы Болл [1964], Тауссиг [1969] и Там [1969],
[1970] рассматривали распространение нелинейных волн в холод-
холодной плазме; Найфэ [ 1965с] и Дас [1971] исследовали нелинейные
колебания в горячей электронной плазме. Дейвидсон [1968] рас-
рассматривал нелинейные колебания в плазме Власова — Максвелла.
Пей ре [1966] изучал волны в плазме, возникающие в ускорителе;
Батлер .и Гриббен [1968] рассматривали нелинейные волны в не-
неоднородной плазме. Мароли и Поццоли [1969] изучали проникно-
проникновение высокочастотных электромагнитных волн в слабо ионизиро-
ионизированную плазму. Абрахам-Шраунер [1970а] [1970в] исследовал
подавление ухода электронов в газе Лорентца. Чень и Левак [ 1970],
Чень [1971] и Прасад [1971] изучали параметрическое возбуж-
возбуждение в плазме, в то время как Левак [1971] рассматривал
взаимодействие электростатических волн в плазме. Добровольный
и Роджистер [1971] и Роджистер [1971] рассматривали распро-
распространение гидромагнитных волн в плазме с большой концентрацией
электронов.
В теории гидродинамической устойчивости и устойчивости
плазмы Фримен и Резерфорд [1964] развили кинетическую теорию
для слабо неустойчивой плазмы; Олбрайт [1970] рассматривал
стабилизацию поперечной неустойчивости плазмы. Келли [1967]
исследовал устойчивость невязкого слоя со сдвигом. Бенни
и Роскес [1969] рассматривали неустойчивость гравитационных
волн. Киан [1969] и Найфэ [1969в] изучали неустойчивость
Рэлея—Тейлора; Ньюэлл и Уайтхед [1969] рассматривали после-
критическую конвекцию Рэлея — Бонара. Найфэ [ 1970с] исследо-
6.1. Описание метода 253
вал нелинейную устойчивость жидкой струи. НайфэиСарик[1971а1
изучали нелинейную неустойчивость Кельвина — Гельмгольца;
Пюри [1971] исследовал влияние вязкости и наличия мембраны
на колебания двух жидкостей, имеющих общую границу. Стюарт-
сон и Стюарт [1971] рассматривали нелинейную устойчивость
плоского течения Пуазейля. Митчелл [1971] применил эту методику
для исследования неустойчивости горения.
В механике жидкости Жермен [1967] и Лик [1970] дали обзор
исследований, выполненных в последнее время по аэродинамике
и нелинейному распространению волн в жидкостях с помощью
методов сращивания асимптотических разложений, координат-
координатных преобразований и многих масштабов. Бенни [1965] иссле-
исследовал картину течения, которая возникает, когда на стационар-
стационарное вращение диска накладываются колебания с конечной ампли-
амплитудой; Барсилон [1970] рассматривал линейную вязкую теорию
установившихся течений вращающейся жидкости. Рабберт и Лан-
дал [1937] изучали задачу о трансзвуковом обтекании крыла.
Пейре [1970] рассматривал задачу об установившемся течении
в канале проводящей сжимаемой жидкости. Чон и Сирович [1971]
изучали задачу газовой динамики для установившегося сверх-
сверхзвукового течения с диссипацией. Чень, Кирш и Ли [1971] рас-
рассматривали поведение сильной ударной волны, вызванной точечным
взрывом и непрерывно продвигаемой наружу внутренней поверх-
поверхностью контакта.
В общей физике Кои и Пейн [1967] использовали сочетание
метода многих масштабов и метода сращивания асимптотических
разложений для решения уравнения Фоккера—Планка, которое
описывает реакцию самовозбуждающихся осцилляторов на случай-
случайные возбуждения. Браун [1967] разработал стохастическую тео-
теорию диссоциации и рекомбинации двухатомных молекул. Рам-
нат [1970а] получил приближение к модели Томаса —Ферми
в атомной физике и рассмотрел класс нелинейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, возникающих в астрофизике [1971]. Мейер [1971]
исследовал рэлеевское рассеяние лазерного луча на тяжелом
релятивистском атоме с двумя уровнями энергии; Нинхус [1970]
изучал броуновское движение с вращательной степенью свободы.
В статистической механике Маоли [1966] решал уравнение
Больцмана, чтобы построить кинетическую теорию высокочастот-
высокочастотного резонансного пробоя в газе; Калдирола, де Барбьери
и Мароли [1966] решали уравнение Больцмана для функции рас-
распределения электронов. Де Барбьери и Маоли [1967] решали
уравнение Лиувилля для исследования динамики слабо ионизиро-
ионизированных газов; Голдберг и Сандри ]1967] и Раманатан и Санд-
ри [1969] вывели системы иерархических уравнений.
В оставшейся части этого параграфа мы опишем три разно-
разновидности метода многих масштабов и рассмотрим их применение
254 Гл. 6. Метод многих масштабов
к простому линейному демпфируемому осциллятору, который
описывается уравнением F.1.1). В следующих параграфах мы
применим эти методики к различным задачам математической
физики.
6.1.1. Метод многих переменных
(процедура разложения производной)
Подставив F.1.16) и F.1.17) в F.1.1) и приравняв коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях е, получим следующие урав-
уравнения для х0, Xj и х2:
5 F.1.28)
> <6Л-29>
д2х2 | v о faj с, o2*i д2х0 9 д2х0 о дх0
Z Z
о faj с,
~ дТ
дТ0дТ2 Z дТ, ¦
F.1.30)
Общее решение уравнения F.1.28) имеет вид
*о = ЛоG\, T%)itT'+~A0(Tl, T,)e-lT', F.1.31)
где Ло и Ао—комплексно сопряженные величины. Мы полу-
получили, попросту говоря, решение F.1.6), в котором величины а
и ф не постоянны, а являются функциями масштабов медленного
времени 7\ и Т2. Подставляя х0 из F.1.31) в F.1.29), получим
-.. F.1.32а)
Общее решение уравнения F.1.32а) имеет вид
Сравнение соотношений F.1.326) и F.1.31) показывает, что вели-
величина ejtj является малой поправой к х0 только при условии, что
еТв=ег мало. Чтобы получить разложение, пригодное для боль-
больших времен порядка О(е~'), следует потребовать обращения
в нуль вековых членов Г„ехр (± iT0) в F.1.326). Таким образом,
откуда
А0 = ав(Та)е-т*. F.1.34)
6.1. Описание метода 255
Тогда равенство F.1.326) примет вид
*i = Л, (Ти Т2) е«° + At (Tu Тш) в-'Ч F.1.35)
Используя в F.1.30) выражения для xv и хи получим
^ Q(T»Tt)e-"'t F.1.36)'
01 о
где принято обозначение
<ЦТг, T2) = 2iAi+2i-^L-aoe-^ + 2i-p-e-r<. F.1.37)
Слагаемые в правой части уравнения F.1.36) порождают вековые
члены, поскольку оно имеет частное решение вида
x,=iiQ(Tit Тй)Тое<т°-±Щ(Ти Г2)Гое-'Ч F.1.38)
Из-за наличия вековых членов величина егх2 сравнивается по
порядку с гх1 при больших t порядка О(е-1). Чтобы исключить
эти вековые члены, нужно потребовать обращения в нуль вели-
величины Q, т. е.
Й4 <^)"ri- FЛ-39)
Чтобы прийти к уравнению F.1.39), вовсе не обязательно, вообще
говоря, находить решение для хг. Достаточно только, изучив
уравнение F.1.36), исключить те слагаемые, которые порождают
вековые члены. Общее решение уравнения F.1.39) имеет вид
-ji (-a0 +2*^O'.] е-**. F.1.40)
Подставляя это значение Аг в F.1.35), получим
F.1.41)
где символом СС обозначено выражение, комплексно сопряжен-
сопряженное к предыдущему выражению. Имеем, однако,
x0 = [a0eiT°+aoe-iT°]e-T'. F.1.42)
Поэтому, хотя при 7\—>-оо и выполнено х0—»-0, xt—>О, но вели-
величина ext при увеличении t до значений порядка О(е~2) приобре-
приобретает порядок О(хо). Таким образом, разложение хо-\-е,х1 нару-
нарушается для значений t порядка О (е~2), если только не обратился
в нуль коэффициент при Tt в круглых скобках в F.1.41), т. е.
256 Гл. 6. Метод многих масштабов
если только не выполнено
-ao+2i-^- = O, F.1.43)
или
ао=йоое-^/2, F.1.44)
где й00—постоянная. Тогда равенство F.1.40) принимает вид
А1=а1{Тш)е-Т*. F.1.45)
Следовательно,
+ е [а, (Т2) eiT° + а, (Тй) е~1т°]\ + О (е2). F.1.46)
Доведя разложение до третьего порядка, можно получить функ-
функцию а, (Т2) вида
al(T,)=alie-lT^. F.1.47)
где аи — постоянная. Предположив, что начальные условия за-
задаются равенствами jt @) = a cos ф и х@) = — a(sinq>l^\—е2+
-}- е cos ф), и заменив Тп на ent, получим
*t + ) + R F.1.48)
где R—остаточный член. Из F.1.10) и F.1.48) находим, что
R=ae~et I cos(t]/\ — е2 + ф)—cos(t—^-гН +ф) 1 =
= — 2ae~?'sin \^[V\ — еа + 1 — -^е2) t + Фj X
X sin [1(/1^?-1+|
= — 2ae-etsm Jl^b=e2 + 1—1) + ф]
=0(е4/). F.1.49)
Для линейных уравнений вида F.1.1) можно вводить разные
масштабы времени, не прибегая к разложению х. Так, исполь-
используя F.1.17), получим для уравнения F.1.1)
6.1. Описание метода 257
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, прихо-
приходим к соотношениям
гJ у
?г3к?- <6Л-53>
Общее решение уравнения F.1.51) имеет вид
х = А{Т,,Т,)е"° + А(Т„Т,)е-"°. F.1.54)
Подставляя его в F.1.52), получим
)-^=0. F.1.55)
Поскольку уравнение F.1.55) справедливо при любом То, коэф-
коэффициенты при ехр (tT0) и ехр (—iT0) должны обратиться в нуль,
т. е. должно быть выполнено
щ + А=0, F.1.56)
откуда имеем
А=а(Т2)е~тк F.1.57)
Подстановка F.1.54) в F.1.53) дает
мщЮСТ° сс=°- Fл-58)
Таким образом,
Подставляя А вида F.1.57) в F.1.59), получим
о- да п
21дт2~а = °- F-1.60)
Следовательно, имеем
а=аое-'т*/2, F.1.61)
где о0—постоянная.
Поэтому решение F.1.54) принимает вид
т./2>+сС. F.1.62)
258 Гл. 6. Метод многих масштабов
Выразив F.1.62) через t, получим
1е2* + Ф) , F.1.63)
где а0 = A/2)аехр(i<p). Этот результат находится в полном со-
согласии с F.1.48).
6.1.2. Процедура разложения по двум переменным
Заменив независимую переменную t на переменные ? и т] со-
согласно F.1.21), приведем уравнение F.1.1) к виду
(l + e*«2+..-J^ + 2e(l+e^2+...)|| + esg + * =
= _2e.l+e4o2 + ...)|—2e*|. F.1.64)
Будем искать разложение вида
.. . F.1.65)
Подставляя F.1.65) в F.1.64) и приравнивая коэффициенты при
равных степенях е в обеих частях, Получим
? + Х 0, F.1.66)
Общее решение уравнения F.1.66) имеет вид
«о = Л„ (I) e»i + Ао а) е-'Ч F.1.69)
С учетом этого решения уравнение F.1.67) примет вид
F.1.70)
Желая исключить в F.1.70) те слагаемые, которые порождают
вековые члены, придем к уравнению
^ . F.1.71)
Следовательно,
Л'1(Е)в-«п. F.1.72)
6.1. Описание метода 259
Решение уравнения F.1.71) имеет вид
Ло=аое-б, F.1.73)
где а0—постоянная.
Подстановка полученных выше решений для х0 и хг в F.1.68)
даст
[(^ ) ] . F.1.74)
Исключая в F.1.74) те слагаемые, которые порождают вековые
члены, придем к уравнению
^ + Л, = — 1 ?Bсо2 + 1)аое-?, F.1.75)
которое имеет своим решением функцию
Л1 = а^-6—j i Bсо2 + \)ао1е~\ F.1.76)
Подставив Л, в F.1.72) и сравнив результате F.1.69), увидим,
что отношение хх1х0 при ?->-оо не ограничено, если только не
выполнено условие
ю2 = — \. F.1.77)
При выполнении этого условия равенство F.1.65) запишется
в виде следующей функции от t:
x = ae~El cos
(t—^-еЧ + ф J + O(e!), F.1.78)
где принято ao-t-ea, =A/2) а ехр (йр). Это выражение полностью
согласуется с выражением, полученным с помощью метода мно-
многих переменных (метода разложения производной).
6.1.3. Обобщенный метод—нелинейные масштабы
Преобразуем сначала уравнение F.1.1) с помощью новой пере-
переменной т = е/ к виду
= 0- F.1.79)
Чтобы получить равномерно пригодное разложение, положим
Ч^ т) + .... g,- @) = 0, F.1.80)
260 Гл. 6. Метод многих масштабов
где величины g{ будут определены в процессе вычислений. Про-
Производные по т преобразуются тогда в соответствии с равенствами
^. F-1.82)
Предположим, что х представляется равномерно пригодным раз-
разложением вида
?, Ч)+... • F.1.83)
Подставляя F.1.81) — F.1.83) в F.1.79) и приравнивая коэффи-
коэффициенты при одинаковых степенях е, получим
%*, F.1.84)
$ + 2^ёф + g_t <|° 4- Jfcl, Ц + 2^1, ^ = 0. F.1.85)
Общее решение уравнения F.1.84) имеет вид
хо-Ло(Е)ехр((-?-) + ^о(Е)ехр(Г—iA-). F.1.86)
Подстановка этого выражения для х0 в F.1.85) дает
У^|() F.1.87)
Слагаемые в правой части F.1.87), вообще говоря, порождают
вековые члены. Чтобы избежать вековых членов, следует положить
ig'-J^r- ) +2izlr]A0=0. F.1.88)
)
-i / 13 J,
Уравнение F.1.88) должно выполняться для любого т|, а вели-
величина Л0^0 для нетривиального решения; потребуем поэтому
gl, =0 или g_, =cg, поскольку т]@)=0. F.1.89)
Здесь с—произвольная постоянная, которую, не теряя общности,
можно положить равной единице. Тогда уравнение F.1.88) примет
6.1. Описание метода 261
ВИД
A'o + (l+ig-o)Ao=0 F.1.90)
и будет иметь своим решением функцию
Ло=яое-?-'«°<б>, F.1.91)
где а0—постоянная. Поскольку Ло и g_t найдены, имеем
хо = аое-хе1<х>е> + aoe-Te~*x/e\ F.1.92)
Из равенства F.1.92) видно, что величина gD сократилась, и,
следовательно, решение не зависит от значения g0. Поэтому без
потери общности можно положить ее равной нулю. Тогда Ао
принимает вид
Ло = аое-6. F.1.93)
С учетом F.1.88) получим следующее решение для хх:
x±=At (Е)в"> + Л; (?) е~"К F.1.94)
Зная функции g'_1 = 5 и go=0, можно получить уравнение
для *2. Подставим с этой целью соотношения F.1.81) — F.1.83)
в F.1.79) и приравняем нулю коэффициент при е2. Получим
Подстановка выражений для х0 и хл в F.1.95) дает
d^ . F.1.96)
Исключая в F.1.96) слагаемые, которые порождают вековые
члены, получим
Ai + A1=-^H2g'1 + l)aoe-K F.1.97)
Решение уравнения F.1.97) имеет вид
Ах = flle-«—у iaB Bgl + g) e"8, F.1.98)
где aj — постоянная. Из равенства F.1.98) видно, что отношение
х1/хе при | -* оо не ограничено, если только не выполнено
&=—§¦?• F-1.99)
При использовании переменной < =т/в разложение примет вид
), F.1.100)
262 Гл. 6. Метод многих масштабов
где принято ао + еа1 = A/2)аехр (|<р). Это разложение опять-таки
согласуется с разложениями, полученными с помощью разновид-
разновидностей метода многих масштабов—метода разложения производ-
производной и метода разложения двух переменных.
6.2. Приложения метода разложения производной
6.2.1. Уравнение Дюффннга
Вторым примером, к которому мы применим метод разложе-
разложения производной, является уравнение Дюффинга
=^ + со2оы+еы3=О. F.2.1)
Предположим, что имеет место разложение вида
« = 2 «"«„(Го, А. Тг) + 0(е3), F.2.2)
п = 0
тогда
l = D0+eD1+e"D, + ...f А, = ^;. F.2.3)
Подставив F.2.2) и F.2.3) в F.2.1) и приравняв нулю коэффи-
коэффициенты при каждой степени е, получим
=0, F.2.4)
=— 2DoDlUo—ы30, F.2.5)
=— 2D0DlUl—2D0Dsu0—Z)J«0—Зы^- F.2.6)
Решение уравнения F.2.4) имеет вид
uo = A(Tlt TJW' + AiTvTJe-'vT: F.2.7)
С его учетом уравнение F.2.5) примет вид
' F.2.8)
Для того чтобы отношение и1/и0 было ограниченным при любом То,
следует исключить слагаемые, порождающие вековые члены.
Положив
2ш0ОИ + ЗЛМ =0, F.2.9)
получим для щ следующее решение:
A F.2.10)
6.2. Приложения метода разложения производной 263
Обращаясь к решению уравнения F.2.9), положим A = (l/2)aec<f,
где а и ф—действительные величины, и выделим в нем действи-
действительную и мнимую части. Получим
^ = 0, _coo^ + ffl*=0. F.2.11)
Следовательно, имеем
а = а{Т2), Ф=8^а2Г1 + Фо(Гг). F.2.12)
Подставив «0 и их в F.2.6), получим
8шо L ^шо
-Q(TU Т,)е*ьЪ + СС, F.2.13)
где принято обозначение
Q =2ш0Р1Д + ЗЛ8Д + 6ААВ + 2ia0DtA — l5i4'f* ¦ F.2.14)
8й>
Вековые члены будут исключены при выполнении условий
В=0, F.2.15)
2«ооЯгЛ = 1М^1, F.2.16)
8соо
т.е. при Q=0. Для «2 получим решение вида
F.2.17)
в котором не учтено решение однородного уравнения. Полагая
в F.2.16) Л =A/2)ае'ч) и отделяя действительную и мнимую части,
получим
? *Ёл F-18)
Из равенств F.2.12) и F.2.18) следует, что а—постоянная. Сле-
Следовательно, имеем
фо=__15та4Г2 + Х) F.2.19а)
где %—постоянная. Поэтому
264 Гл. 6. Метод многих масштабов
Подставляя выражения для и0, их и и2 в F.2.2), вспоминая
равенство А = A/2)аехр (iq>) и выражая результат через перемен-
переменную t, получим
_eV cos5 0 F.2.20а)
где принято обозначение
В последних двух членах в F.2.20а) величина соо заменена на со
с ошибкой порядка О (е8).
6.2.2. Осциллятор Ван-дер-Поля
В качестве второго примера рассмотрим осциллятор Ван-дер-
Поля
** + и=вA-И-)?. F.2.21)
Подставив F.2.2) и F.2.3) в F.2.21) и приравняв коэффициенты
при одинаковых степенях е, получим
Do«o + «o = O, F.2.22)
Dlu, + щ = -2D0Dxu0 + A - ul) DBu0, F.2.23)
Dlu2 + u2 = —2DBDtux —D\u0—2D0D2u0 +
+ A -н2) DoUl + A -ul) D1u0-2u0u1D0u0. F.2.24)
Решение уравнения F.2.22) имеет вид
ио = А{Ти Та)е1Т» + ~А{Т1, Т2)е-'т°. F.2.25)
Подстановка и0 в F.2.23) дает
D20«! + «! = — / BDtA — А + Л2 J) e'7"-—iA3ealT« + СС. F.2.26)
Чтобы исключить слагаемые, которые порождают вековые члены,
потребуем обращения в нуль коэффициентов при ехр (±*Т0):
ОГ) Л Л Л 2 Л 1С. О 97\
?il*J ] Л /l ' г\ IX ¦ Ш.Ань! I
Тогда решением уравнения F.2.26) будет функция
и1~В(Т1, Т2)е'7'-\- -^iA3e3tT« + CC. (o.^.zo)
6.2. Приложения метода разложения производной 265
Чтобы решить уравнение F.2.27), положим
А=\аG\, Т%)ехр ир G\, Т,). F.2.29)
Выделяя в F.2.27) действительную и мнимую части, получим
dip _п да
дТ^"' дТг :
Следовательно, имеем
Ф = Ф(Г2), аг = *—-¦=-. F.2.31)
Если нас интересует первое приближение к и, то мы должны
считать В, ф и с постоянными. Если, кроме того, положить
ы@)=а0 и du(O)/dt =0, то имеем
и =acos t -J- О (е), F.2.32)
где принято обозначение
Найденный результат согласуется с разложением, полученным
в п. 5.4.2 с помощью методики Крылова — Боголюбова — Митро-
польского.
Для нахождения второго приближения нужно определить
функции В, ф и с. Подставим с этой целью выражения для ив
и «[ в F.2.24) и получим уравнение
Tu T2)e~'^ + NST, F.2.34а)
в котором принято обозначение
Q=— 2ШхД+»A— 2AA)B — iA2B—2iD2A— D\A +
+ A — 2A~A)D1A — AW.J + jA3!2, F.2.346)
а через NST обозначены слагаемые, не порождающие вековых
членов. Вековые члены будут исключены при условии Q=0.
Чтобы решить уравнение F.2.346) при Q=0, положим В=
=A/2) ibexp ир, где Ь—действительное число, а ф определено
в F.2.29). Подставив А и В в F.2.346) при Q-=0 и выделив
действительную и мнимую части, получим
-щ = 0, или а=а(Т1), F.2.35а)
F.2.356)
266 Гл. 6. Метод многих масштабов
С помощью соотношений F.2.30) уравнение F.2.356) можно пе-
переписать в виде
о * 2 da . о / dtp . 1 \ . / 7 1 \ da ,с о ос .
Имеем, таким образом,
-(^+А)^+Йй-гаК <6-2-366)
Интегрируя, получаем
- + m)T'+iia3-ialna+ab°{TJ- F.2.36b)
Чтобы отношение ых/и0 было ограниченным при всех 7\, ко-
коэффициент при Tj в приведенном выше выражении для Ъ должен
обратиться в нуль. Из этого условия имеем
Ф=-^Г2 + Ф0, F.2.37)
где ф0—постоянная. Тогда разложение и во втором приближе-
приближении запишется в виде
-е{(^а«—ialna+abo)sin[(l—^
|2), F.2.38)
где а определено соотношением F.2.33), а Ьо—постоянная с точ-
точностью того же порядка, что и указанная ошибка. С ошибкой
порядка О (е2) это выражение можно переписать в виде
и =а cos (t —6)—^га3 sin 3 (t—6) + О (е2), F.2.39а)
где принято
1 1 7
6 = ^ez^ + -g-e lna—^е-а2 + %, F.2.396)
а 60 = — ф0—eb0—постоянная. Последняя форма решения пол-
полностью согласуется с решением, полученным в п. 5.4.2 с помощью
метода Крылова — Боголюбова—Митропольского.
6.2. Приложения метода разложения производной 267
6.2.3. Вынужденные колебания осциллятора Ван-дер-Поля
Рассмотрим отклик на внешнюю периодическую силу осцил-
осциллятора Ван-дер-Поля, изученного в предыдущем пункте, т. е. рас-
рассмотрим колебания, описываемые уравнением
g + fi,;«=e(l_««)g-l-/CcosW, F.2.40)
где К. и К—действительные постоянные. Следует различать че-
четыре случая в зависимости от того, является ли возбуждение
(внешняя сила) „мягким" (т.е. /С = О(е)) или „жестким" (т.е.
/^ = 0A)) и является ли возбуждение резонансным [т. е. К—соо=
= 0(е)] или нерезонансным (т.е. К—сос-=0A)).
Мягкое не резонансное возбуждение. В этом случае имеем /С=е/г,
Где k = 0A), и cosKt можно выразить в виде cosKT0. Для на-
нахождения первого приближения к и положим
), F.2.41)
причем Го = * и T,=et. Подставив F.2.41) в F.2.40) и при-
приравняв коэффициенты при е° и е в обеих частях, получим
= O, F.2.42)
ы20) Douo +k cos %T0. F.2.43)
Решение уравнения F.2.42) имеет вид
ий = А G\) e'w»r« + ЛG\) е -to«7'«. F.2.44)
Подстановка и0 в F.2.43) дает
/сооЛ3е3140»7'» + СС. F.2.45)
Чтобы не было вековых членов, потребуем выполнения условия
2Л' = Л — А* А. F.2.46)
Здесь штрих означает дифференцирование по 7\. Тогда решением
уравнения F.2.45) будет функция
щ = В G\) е"*»т» +1 -^-^ е*т» + ^ esto«r« + СС. F.2.47)
Положив" в F.2.46) А =A/2)аехр ир, выделив действительную
и мнимую части и решив полученные уравнения, можно уста-
установить, что ф — постоянная, в то время как о определяется
равенством F.2.33).
268 Гл. 6. Метод многих масштабов
Имеем поэтому в первом приближении
u = acos<a0t + O(e), F.2.48)
где а определено в F.2.33).
Из равенств F.2.33) и F.2.48) видно, что наличие мягкого
нерезонансного возбуждения не влияет в первом приближении
ни на фазу, ни на амплитуду. Более того, поскольку вынужда-
вынуждающая функция мягкая, то собственные колебания системы (со-
(соответствующие случаю /г = 0) преобладают над вынужденными
колебаниями, как и следовало ожидать. Однако при приближе-
приближении вынуждающей частоты % к собственной частоте соо вынуж-
вынужденные колебания становятся более значительными и стремятся
к бесконечности, как это можно видеть из F.2.47). Приведенное
выше разложение при этом становится непригодным.
Жесткое нерезонансное возбуждение. В этом случае К. =0A),
а уравнения F.2.42) и F.2.43) преобразуются к виду
D20u0+<olu0= К cos К То, F.2.49)
D;Ui+ ©;«,=— 2D0Dt и0 + A—и!) Douo. F.2.50)
Решение уравнения F.2.49) имеет вид
-т^т cosKT0. F.2.51)
COq— Лг
Подстановка и0 в F.2.50) дает
, F.2.52)
где г| = 1—/С2/2(соо—№у. Чтобы исключить вековые члены, по-
потребуем выполнения условия
2A' = Av\ — A*A. F.2.53)
Чтобы решить уравнение F.2.53), положим в нем А = A/2)аехр i<p,
выделим действительную и мнимую части. Получим, что ф — по-
постоянная, и, кроме того, должно быть выполнено уравнение
<6-2-54>
Разделением переменных можно найти следующее решение урав-
уравнения F.2.54):
In а2 — In ( т)—j а2 \ = т)Т, + const.
Если положить и @) =ао+ [KJ(<o&2)] и du @)/d/ — 0, то первое
приближение к и будет задаваться равенством
^F.2.55)
6.2. Приложения метода разложения произеодной 269
где принято обозначение
4T1 v —• F.2.56)
Стационарное решение (т. е. решение, получающееся при /—>оо)
зависит от знака г| (т. е. от того, больше ли К'1, чем 2(tog — Я.2J,
или меньше). Для отрицательного г| имеем ехр(—er\t)—> оо при
t—*оо; следовательно, при t—» оо имеем а—>-0 и стационарное
решение имеет вид
^. F.2.57)
us^cosK
ш0 —л2
Однако для положительного ц при / —>• оо имеем ехр (—erjf)—*0
и а:—>2|/г|. Стационарное решение соответственно имеет вид
+--^ cos It + О (г). F.2.58)
<!> Л2
Поэтому при отрицательном т| собственные колебания системы
затухают и стационарное решение состоит только из вынужденных
колебаний. Однако при положительном г\ стационарное решение
образовано сочетанием собственных и вынужденных колебаний,
причем наличие жесткого возбуждения изменяет амплитуду соб-
собственных колебаний.
Мягкое резонансное возбуждение. В этом случае имеем K = ek,
& = ОA)иХ — соо=се, причем расстройка о =0A). Чтобы в рас-
рассматриваемом случае получить пригодное асимптотическое раз-
разложение, выразим функцию возбуждения через Та и 71, в соот-
соответствии с равенством
К cos Kt = ek cos (<в0/ + aet) = ek cos (сооГ„ + аГ,). F.2.59)
Для функции возбуждения такого вида величины и0 и их из
F.2.41) будут удовлетворять уравнениям
020й0 + соХ=0, F.2.60)
DJu, + со2оы, = —2D0D,m0 + A - «§) Douo + k cos (щТ0 + oT',).
F.2.61)
Общее решение уравнения F.2.60) имеет вид
«0 = Л (Г,) е'-оГо + А (Г,) е- "--Ч F.2.62)
Уравнение F.2.61), следовательно, примет вид
) +
= I
—2А' + А — ЛМ) у
F.2.63)
270 Гл. 6. Метод многих масштабов
Поскольку выражение в квадратных скобках в F.2.63) зависит
только от Т1У то слагаемые, пропорциональные ехр (± ш0Т0),
порождают вековые члены относительно масштаба времени То.
Чтобы отношение и1/и0 было ограниченным при всех То, следует
потребовать
2Л' = Л — ЛМ—J-ikeiaT'. F.2.64)
Для решения уравнения F.2.64) положим в нем А = A/2)аехр j<p
и, выделив действительную и мнимую части, получим
А81п(оГ1_,ф)> F.2.65)
Ф). <6-2-66>
Желая исключить в правых частях F.2.65) и F.2.66) явную
зависимость от времени, положим
^, = аГ1_ф или -*t = a-?L. F.2.67)
Уравнения F.2.65) и F.2.66), следовательно, примут вид
, F.2.68)
Периодические решения возбуждаемого внешними силами осцил-
осциллятора F.2.40) соответствуют стационарным решениям уравнений
F.2.68) и F.2.69), т. е. соответствуют равенствам da/dT1 =
ddT1 = 0, или иначе
^sin* = O, F.2.70)
а-\—^cos^ = 0. F.2.71)
2аа
Величины, помеченные волной, относятся здесь к стационарному
решению. Исключив из этих уравнений ^, получим следующее
уравнение для частотной характеристики:
р=-^!_=/^ р=* F.2.72)
4Ш ^
Для заданных амплитуды ek и частоты Х = соо-)-еа возбуждения
соотношение F.2.72) определяет значение р и, следовательно,
амплитуду гармонических колебаний. В первом приближении
гармоническое колебание задается равенством
, F.2.73)
6.2. Приложения метода разложения производной 2Л
причем частота колебаний равна
^ -5Г = <» + ва = Ь. F-2.74)
Следовательно, при приближении % к соо собственные колебания
совпадают с вынужденными. В результате выходной сигнал
синхронизируется с частотой возбуждения.
Для исследования устойчивости этих гармонических колебаний
положим
а = а + Аа, -ф = чр -f- А-ф. F.2.75)
Разлагая правые части уравнений F.2.68) и F.2.69) по степеням
Аа и Дг]5 и сохраняя только линейные члены, получим
= 1A-4^) Да+ ACos^, F.2.76)
^cos^Aa ^=- sin ¦фД-ф. F.2.77)
2ш0а2 2ша
Предположим, что Аа и А-ф пропорциональны ехрт7\. Тогда
коэффициент т должен удовлетворять уравнению
т2 — &т + Д=0, F.2.78)
где приняты обозначения
Q = l-2p, Д==!A_4р + Зр*) + с*. F.2.79)
При выводе этих соотношений мы воспользовались уравнениями
F.2.70) и F.2.71). Дискриминант уравнения F.2.78) равен
D = p2—4о2. F.2.80)
Кривые, определяемые равенствами Q = A~D = 0, называются
сепаратрисами и показаны на рис. 6.1. Кривая Д = 0 представ-
представляет собой эллипс с центром в точке р=2/3, с=0; геометри-
геометрическим местом точек, удовлетворяющих уравнению D = 0, явля-
являются две прямые линии р = ±2с. Точки, лежащие внутри эллипса,
соответствуют наличию седловой точки; следовательно, соответ-
соответствующие им гармонические колебания неустойчивы. Точки,
лежащие вне эллипса, соответствуют наличию узла при D^O
и наличию фокуса при D < 0. Гармонические колебания, соот-
соответствующие этим точкам, будут устойчивыми или неустойчивыми
в зависимости от того, больше ли р, чем 1/2, или меньше.
Жесткое резонансное возбуждение. Данный случай может быть
исследован как частный случай предыдущего, соответствующий
Л причем амплитуда возбуждения /С = ОA). Следовательно,
272
Гл. б. Метод многих масштабов
k—очень большая величина, поскольку 8 мало. Тогда из F.2.72)
следует, что для о, близких к нулю, существует только одна
амплитуда р гармонических колебаний, и последние являются
устойчивыми. При неограниченном увеличении k амплитуда также
растет неограниченно.
Р
D=0
6.2.4. Параметрический резонанс — уравнение Матьё
Вернемся к уравнению Матьё, рассмотренному в п. 3.1.2,
а именно к уравнению
==0. F.2.81)
Согласно теории Флоке линейных дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами, плоскость параметров б—е
разбивается переходными кривыми на области устойчивости и
неустойчивости, причем на самих кривых решение и периодично
с периодом л или 2л. В п. 3.1.2 были определены приближения
к переходным кривым с помощью метода Линдштедта—Пуанкаре.
В данном пункте будут найдены не только переходные кривые, но
также и решения и, следовательно, степень устойчивости или не-
неустойчивости, как это было сделано в п. 3.1.3 с помощью метода
Уиттекера. Чтобы выполнить это, положим при положительном соо
6 = о»2о F.2.82)
и предположим, что
ы = ио(Гв, Tlt T
Tlt
F.2.83)
6.2. Приложения метода разложения производной 273
Следует различать случаи, когда значение ю0 близко к целому
числу п и когда оно далеко от целочисленных значений.
Решение для значений ю0, далеких от целого числа. Выразим
cos 2/ через масштаб времени То в виде COS27V Подставив F.2.83)
в F.2.81) и приравняв нулю коэффициенты при е°, е и е2, получим
F.2.84)
F.2.85)
e. F.2.86)
Решение уравнения F.2.84) имеет вид
и, = ИG\, Г2)е1и»7'о+й(Г1, Т2)е-Ш°т°. F.2.87)
Подстановка ие в F.2.85) дает
F.2.88)
Поскольку значение ю0 далеко от 1, то вековые члены будут
отсутствовать при условии DXA = 0, т. е. А=А(Та). Тогда ре-
решением для «! будет функция
Подстановка и0 и г/, в F.2.86) дает
= -2 Гш00,^
,^4 г
16(o)n—1)
Ael ""»+41 r- r^ p- Ae1 !M--4) T° + CC. F.2.90)
16@) — 1) V ;
Поскольку значение ю0 далеко от I и от 2, то вековые члены
будут исключены при условии
D2A = ~ -.А. F.2.91)
16ш0 (шо— 1)
Положив А = (I/2)аехр 1ц> и отдечив действительную и мнимую
части, получим
&а „ jd^ I ,6 2 q2.
Отсюда имеем
а = const, ф = — -—-гЦ гГ2 + ф0, F.2.93)
274 Гл. 6. Метод многих масштабов
где ф0—постоянная. С учетом условия F.2.91) решение уравне-
уравнения F.2.90) имеет вид
128(шо+1)(шо + 2)/1е -l-128(to0-l)((Oo-2)/le ^^'
F.2.94)
Суммируя, получим решение для и с точностью до членов по-
порядка О(е2):
и = a cos (at + ф0) +
+ f {^TTTcos [(«+ 2) f + Фо]-^n cos [(@-2)/ + Фо]}+
} F-2-95)
где принято обозначение
f ). F.2.96)
« = со0 f2 ,
1бш„(шо—
Вновь подчеркнем, что полученное разложение справедливо
только при условии, что ю0 далеко от 1 и от 2. При ю0—> 1 или
2 имеем и—»-оо. Разложение, справедливое в окрестности со0 = 1,
будет построено ниже.
Решение для значений (о0, близких к 1. В этом случае полагаем
6=1+е61+е262 + ... , F.2.97)
причем 6j и б2 =0A). Равенство F.2.97) преобразует уравнения
F.2.84) —F.2.86) к виду
?>5ио + Ио = 0, F.2.98)
?>;«,+(*,=»— 2DBD1uB — 6lWo—uBcos2TB, F.2.99)
Dlu2 + u2 = —2D0Dlu1—(D\ + 2DnD2) щ—Ь^ — 62u0 — u, cos 27V
F.2.100)
Решением уравнения F.2.98) является функция
ив = А(Ти T2)ei^ + A(T1, T2)e-iT°. F.2.101)
Подстановка ив в F.2.99) дает
^) <Т°—4 AeSiT° + сс- <6-2-102>
Вековые члены относительно масштаба времени 7*0 будут исклю-
исключены при условии
F.2.103)
6.2. Приложения метода разложения производной 275
Тогда решение уравнения F.2.102) будет иметь вид
u1=-^(AestT' + Ae-siT"). F.2.104)
Чтобы решить уравнение F.2.103), предположим, что
A = Ar + iAh F.2.105)
где АгиА;—действительные величины. Отделив действительную
и мнимую части, получим
4@'' F.2.106)
'- F.2.107)
Решениями этих уравнений будут функции
Аг = а, (Т2) в*г, + а, (Г,)e-v.^,, F.2.108)
At=~^- [a^TJeV'^—aATJe-v*7*], F.2.109)
где
^=' fl_6fV F.2.110)
4 \ 4 I
Здесь ал и а2—действительные функции масштаба времени Т2;
в первом приближении, однако, а, и а2 — постоянные.
Из равенств F.2.108)—F.2.110) видно, что А экспоненциально
растет вместе с 7\ (т. е. вместе с /), если уг—действительная
величина, т. е. если выполнено |61|^1/2. Если же у,—мнимая
величина, т. е. выполнено |61|^1/2, то А осциллируете ро-
ростом 7\ (в этом случае решение выражается через cos у,Г,
и sinytT1,). Следовательно, границы (переходные кривые),
которые отделяют область устойчивости от области неустойчи-
неустойчивости и исходят из точки 6 = 1, е = 0, задаются в первом при-
приближении равенствами 61 = ±1/2, или
6 = 1±-^е + О(е2). F.2.111)
Чтобы определить второе приближение к и и к переходным
кривым, подставим и0 и и, в уравнение F.2.100) и перепишем
его в виде
Dfri, + и2 = — I 2Ш2А + D\A + (б2 +1) А ] e'r« + CC+ NST.
F.2.112)
276 Гл. 6. Метод многих масштабов
Чтобы не было вековых членов, нужно, чтобы выполнялось
условие
( + ^j /1=0. F.2.113)
Вспоминая, что Л=ЛГ-И'Л,-, и отделяя в уравнении F.2.113)
де; гвительную и мнимую части, получим следующие уравнения
для Аг и Л,-:
= 0, F.2.114)
= 0, F.2.115)
где
a = tf + 6, + ^- F.2.116)
Заменим Аг и Л,- на выражения F.2.108) и F.2.109) и прирав-
приравняем нулю коэффициенты при ехр(±у,7\), поскольку они явля-
являются функциями Т2. Получим уравнения
ndat ' 2Yi -- n 4Vl-$- + afll=0, F.2.117)
|-е,
<6-2118>
Из этих уравнений следует
^J- = ^L = O или а, = const, aa = const, F.2.119)
at 2 "/ ?
а==0 или 62=— у?—1. F.2.120)
Таким образом, решение во втором приближении задается
соотношениями C.1.57)—C.1.62), которые были получены мето-
методом Уиттекера.
6.2.5. Осциллятор Ван-дер-Поля с запаздывающей амплитудой
В качестве следующего примера в отличие от предыдущих
примеров второго порядка рассмотрим задачу третьего порядка.
В безразмерном виде она задается уравнениями
g 2M^ [(l-Z)v] + 2fr F.2.121)
_^ , Z = v\ F.2.122)
dt '
6.2. Приложения метода разложения производной 277
Здесь v—напряжение, < —время, е—возбуждение, со0—собствен-
со0—собственная частота, т—время запаздывания, Z—выход низкочастотного
фильтра, ц — характеристика усиления во вспомогательном кон-
контуре. Впервые этот осциллятор был изучен Гоулеем [1964] и затем
Скоттом [1966] и Найфэ [1967b], [J968]. Здесь мы рассмотрим
свободные колебания (т. е. примем е = 0), отослав читателя,
интересующегося случаем вынужденных колебаний," -к Найфэ
[1968].
Для нахождения первых приближений к решениям приведен-
приведенных выше уравнений предположим, что
v = vB (То, Тг) + цв, (Тв, 7\) + . - •, F.2.123)
Tn,Tl)+..., F.2.124)
причем
T0 = t, T1 = [it. F.2.125)
Подставив F.2.123)—F.2.125) в уравнения F.2.121) и F.2.122)
и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях [i, получим
D04 + c^0 = 0, F.2.126)
iDBZB+Z0 = vl F.2.127)
>Х + cofo = 2D0 [A -Z0)ve-DjDe], F.2.128)
l. F.2.129)
Решение уравнения F.2.126) имеет вид
v0 = А (ГО ёа«т« + А G\) е-ш«тк F.2.130)
Подстановка v0 в F.2.127) дает
тДЛ + го = ЛЛ + Л2е2'"оГп-|-СС. F.2.131)
Решением этого уравнения является функция
Zo = В (Тг) е~т°п + 2АА +4т^г Ь ^т~о- • F-2.132)
0 х ]/ ' ' 1-I-2icoot 1—2(ш„т v '
Поскольку vB и Zo найдены, уравнение F.2.128) можно запи-
записать в виде
«—2АВ (ш0—~
где принято обозначение
^-О,Л. F.2.134)
278 Гл. 6. Метод многих масштабов
Вековые члены будут исключены при условии Q = 0. Тогда ре-
решение для vt имеет вид
Чтобы решить уравнение Q=0, положим в нем А = A/2) ае'®,
где а и ф—действительные величины, и отделим действительную
и мнимую части в F.2.134). Получим уравнения
F.2.136)
J_=—1^, F.2.137)
где
Hi ? <6-2Л38>
Решения уравнений F.2.136) и F.2.137) имеют вид
4
\ао
а. = 4 , F.2.139)
)
F-2Л40)
где а0—начальная амплитуда, cp0 — постоянная.
Для нахождения В подставим выражения для v0, Zo и v,
в F.2.129). Придем к уравнению
1+2tl)«V ААВ] e~T^ + NST. F.2.141)
1+4ш0т2 J
Для того чтобы отношение ZjZu было ограниченным для всех
То, коэффициент при ехр( — Т0/х) должен обратиться в нуль.
С учетом равенства А = A/2)аехргср получим
F.2.142)
D1fi2fQfi.
1+4а),,х2
Подставив выражение для а2 из F.2.139) в F.2.142) и разрешив
полученное уравнение, найдем
F.2.113)
L "о J
где
? —
6.2. Приложения метода разложения производной 279
Следовательно, имеем в первом приближении
F.2.144)
F.2.145)
Здесь а, ф и В задаются соответственно равенствами F.2.139),
F.2.140) и F.2.143).
6.2.6. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче
трех тел
В качестве двух следующих примеров рассмотрим задачи чет-
четвертого порядка, причем первая из них—линейная, вторая —
нелинейная. Рассмотрим сначала устойчивость треугольных точек
в ограниченной задаче трех тел, исследованной в п.3.1.4 и 3.1.5
с помощью методов Линдштедта — Пуанкаре и Уиттекера. С по-
помощью метода многих масштабов эта задача впервые была рас-
рассмотрена Олфрендом и Рэндом [1969]. Математически задача
сводится к исследованию устойчивости решений уравнений C.1.63)—¦
C.1.65). В этом пункте с помощью метода многих масштабов
определим переходные кривые, пересекающие ось \л, в точке
jio = (l—2|/ 2/3)/2, и выявим поведение х и у в окрестности
этих кривых.
Положим cos/ = cosjT0 и предположим, что
* = *о (То, TJ + ех, (Тв, 7\) + ..., F.2.146)
У = Уо(То,Т1)+еу1(Тв,Т1)+..., F.2.147)
..., F.2.148)
причем
T0 = f. T^ef. F.2.149)
Имеем, следовательно,
| ..., Dn = ?-. F.2.150)
Подставим F.2.146)—F.2.150) в уравнения C.1.63)—C.1.65) и
приравняем нулю коэффициенты при ё° и е. Получим, прирав-
приравнивая члены:
порядка е°
0—&оХ0 = 0, F.2.151)
e—адо = 0; F.2.152)
280 Гл. 6. Метод многих масштабов
порядка е
l-bBxi = -2D()DlxB + 2D1yB+b1xB-bBx()cosTB, F.2.153)
— аоуу = —2DaDlyB—2Dlxa—b1yB—a()y0 cos To.
F.2.154)
Здесь а,- и Ь,- задаются соотношениями C.1.71) и C.1.72).
Решение системы F.2.151) и F.2.152) имеет вид
%„ = А G\) cos ~ТВ + В G\) sin ± Тв, F.2.155)
F.2.156)
где
а = (ав -f -^ Y1 = Ьв + j = -i G—1/33). F.2.157)
Решение нулевого порядка определяет правые части уравнений
F.2.153) и F.2.154). Таким образом, они запишутся в виде
1 ^ . ^ .,.. 1 „ , »гг,™ F.2.158)
F.2.159)
где приняты обозначения
F.2.160)
F.2.161)
F.2.162)
Q2 = (a—2)Б'+сс(ь1 — ~aB"j А. F.2.163)
Для нахождения первого приближения не обязательно решать
уравнения для х, иг/,; достаточно только обеспечить ограничен-
ограниченность отношений xJxB и t/j/г/о при всех Тв. Именно по этой
причине мы выписываем слагаемые, которые порождают вековые
члены. Для того чтобы исключить вековые члены, можно найти
сначала частное вековое решение и определить затем условие
его обращения в нуль. Такое частное решение может быть за-
записано в одном из видов
F.2.164)
F.2.165)
6.2. Приложения метода разложения производной 281
Таким образом, задавшись частным решением вида F.2.164) или
F.2.165), можем получить условия, при которых вековые члены
исключаются. Используя любой из видов решения, получим один
и тот же результат. Подставив F.2.164) в F.2.158) и F.2.159)
и приравняв коэффициенты при cos (TB/2) и sin (TB/2) в обеих
частях, получим
R^Q» 51=-Р„ F.2.166)
/?! = — аР2, S1 = — aQ2. F.2.167)
Исключив /?! и S1 из F.2.166) и F.2.167), получим искомые
условия; они имеют вид
Л=«<32. Qi = — aP2- F.2.168)
Подставляя выражения для />,, Р2, Qt и Q2 из F.2.160)—
F.2.163) в F.2.168), получим следующие два уравнения для
А и В:
= 0, F.2.169)
A— 4а + а2)Б' — ГA — а2N,—\{b0—a2a0)J A=0. F.2.170)
Для решения этих уравнений положим в них
, F.2.171)
и получим уравнения
A_4а + а*)У1я+[A-а*)^ + 4(Ь0-а*я0)]& = 0, F.2.172)
— [A—«¦)&,— ^-(Ьо—а2а0)]а + A—4а + а2Nу,=0. F.2.173)
Эти уравнения совпадают с уравнениями C.1.105) и C.1.106),
полученными с помощью метода Уиттекера. Следовательно, у, и
b/а задаются соотношениями C.1.107) и C.1.108), а л: и у—со-
у—соотношениями C.1.109). Олфренд и Рэнд [1969] продолжили это
разложение до второго порядка.
6.2.7. Качающаяся пружина
Ниже рассмотрим нелинейную качающуюся пружину, иссле-
исследованную в п.5.5.3 и 5.7.5 и описываемую лагранжианом
E.5.54). Этому лагранжиану соответствуют уравнения движения
— cosG) — (/-f-л:) б2 = 0, F.2.174)
^6 F.2.175)
282 Гл. 6. 'Метод многих масштабов
Для малых, но конечных значений х и Э будем искать решения
этих уравнений вида
x(t) = Bxl(Te, 7^ + 6%G„, 7\)+..., F.2.176)
в(О = вв1G'о, Л) + г% (То, Л)+..., F.2.177)
где Tn = e"t, a e—величина того же порядка, что и амплитуда
колебаний.
Подставим F.2.176) и F.2.177) в F.2.174) и F.2.175) и при-
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим,
приравнивая члены:
порядка е
порядка е2
Решения уравнений первого порядка имеют вид
Э, = В (Г,) еш*г»+ В(Т,)е-ш*т'.
С учетом этих решений уравнения F.2.180) и F.2.181) примут
вид
F.2.
F.2.
F.2.
178)
179)
180)
F.2.181)
F.2.
F.2.
182)
183)
+ со?*, = -1 ^
F.2.184)
+ ш2 (uJ-2Mi) Лде, (т1_т1) Го + СС- F.2.185)
При постоянных А и В частные решения уравнений F.2.184)
и F.2.185) имеют вид
±\ F.2.186)
i—4co2
= _со2(И2 + 2со1)л ¦ (ffli+e)i, г «Мм.
2 toi @I+20J) toxt©!—2oJ)
F.2.187)
6.2. Приложения метода разложения производной 283
При со, —у 2со2 они стремятся к оо. Следовательно, разложения
F.2.176) и F.2.177) нарушаются при со1 » 2со2.
Чтобы получить разложение, пригодное для щ « 2со2, положим
а1 — 2со2 = еа, а = 0A), F.2.188)
причем будем считать Л и В не постоянными, а функциями 7\.
Кроме того, используя F.2.188), выразим ехрBш2Т0) и
[(а>!—щ)Т0] в уравнениях F.2.184) и F.2.185) в виде
exp Bi(o27o) = ехр (м^о-ш
exp [i (щ — со2) То] = ехр (Ш2Т0
Получим
^ ^) +СС + NST,
F.2.189)
^Л + СС + ^VST.
F.2.190)
Исключая вековые члены, получим
= — -|gfisexp(— ioTJ,
= (И2~2И1) Л Б ехр (iaTx). ^
Полагая Л = —A/2) iax exp («WjPj) и В = —A/2) ia2 exp (Ш2Р2)
при действительных а,- и C,- и отделяя действительную и мнимую
части, получим
<h= ща22 cosy, F.2.192)
— ^ata2 cosy, F.2.193)
Й F.2.194)
f^ F.2.195)
где принято обозначение
— 2и2) /. F.2.196)
Если в уравнениях F.2.192)—F.2.196) положить a? = coja*/(o2& и
a\ — 2ajmgl, то они перейдут в уравнения E.5.76)—E.5.80), по-
полученные с помощью метода усреднения в канонических пере-
переменных.
284 Гл. 6. Метод многих масштабов
6.2.8. Модель для слабой нелинейной неустойчивости
Ниже рассмотрим модельную задачу
ин — ихх — и=и3, „
u(x,0)=ecoskx, ut(x,0)=0 V '
о слабой нелинейной неустойчивости стоячих волн, которая была
исследована в п.2.1.2, 3.4.2 и 3.5.1. Для значений k, далеких
от k = l, равномерно пригодное решение для стоячих волн имеет
вид (п.3.4.2)
ы= е cos at cos kx + 0 (e3), F.2.198)
где
Очевидно, что это разложение нарушается при k — 1 =О(е2).
Для нахождения разложения, пригодного в окрестности k = l,
введем новую переменную \=kx и приведем F.2,197) к виду
««-*•"№-« =«". F 2 199)
U(g,0)=ecosg, ы,(|,0)-0. К ' ' ;
Кроме того, положим
2, Л, = 0A) F.2.200)
и предположим, что
ы(|, /;е)=ыG'о, Л, Г2; е) =80, +е*ы, +е»ыя + . .., F.2.201)
где Т„=Е'Ч.
Подставим F.2.200) и F.2.201) в F.2.199) и приравняем коэф-
коэффициенты при равных степенях е. Получим, приравнивая члены:
порядка е
F.2.202)
^-=0 при Г„ = 0;
порядка е2
даца д2и2 _
дТвдТ,'
F.2.203)
-о ^l-_^iL ппи г -П-
а — и> дТ0~~ dTi ^ у« —и.
6.2. Приложения метода разложения производной 285
порядка е3
| дТ2 * дТодТ%
=0. Ш—щ-w; при т"=°- <6-2-204>
Решение задачи первого порядка имеет вид
щ=а(Ти T2)cosl, a@,0) = l. F.2.205)
Тогда F.2.203) запишется в виде
° * F.2.206)
„ ди2 ( да \ «. 'г п
=0> ~д~т;^~\дт\ jc0S^ при г«=0-
Решение задачи F.2.206) будет содержать член, пропорциональ-
пропорциональный Тв, из-за которого отношение «2/м, не ограничено при
Т„—-сю. Этот член исчезнет при условии да/дТг=0 для
71, =Т2=0. Тогда получим
и,=Ь(Тх, 7\)cos|, 6@, 0)=0. F.2.207)
При известных решениях первого и второго порядков уравнение
для и3 запишется в виде
¦^f—йрг — "s=( jo3 — 2^ a—^-icosS + ^G^cosSe. F.2.208)
Вековые члены будут исключены при условии
=0. F.2.209)
Выше были получены начальные условия для а в виде
с = 1, J^ = 0 при Г„ = 0. F.2.210)
Для нахождения функции Ь(Т1г Т2) и зависимости а от Г2
нужно получить разложение более высокого порядка. Если огра-
ограничиться в вычислениях точностью О(е3), то с точностью 0(e2t)
величина а может считаться функцией 71,.
Задача F.2.209) и F.2.210) допускает интеграл
= 4(ci-1)(ci-P)' Р=^~1- F2.211)
Поскольку а(Т,)—действительная величина, то правая часть
в F.2.211) должна быть положительной. Следовательно, значе-
286 Гл. 6. Метод многих масштабов
ние а2 должно лежать вне интервала с концами 1 и р. Из усло-
условия а@) = 1 следует, что а2 неограниченно растет при р<1 и
колеблется между значениями 0 и 1 при Р> 1. Поэтому значе-
значение Р = 1 или &2=3/8 отделяет область устойчивости от области
неустойчивости. Следовательно, условие нейтральной устойчи-
устойчивости имеет вид
* = 1+-|е« F.2.212)
в согласии с C.5.6). Решение для а задается эллиптической
функцией Якоби.
6.2.9. Модель взаимодействия волна — волна
Рассмотрим вновь модельное уравнение Брезертона [1964]
еф3, F.2.213)
которое было исследовано в п. 5.8.1 и 5.8.2 с помощью вариа-
вариационного подхода. Линейная задача допускает решение в форме
однородной бегущей волны
F.2.214)
Здесь a, k, со и C — постоянные, а со и k удовлетворяют диспер-
дисперсионному соотношению
соа=А:4—/га-И- F.2.215)
Резонанс в гармонике может возникнуть, когда пары (со, k)
и (mo, nk) при некотором п ^ 2 удовлетворяют соотношению
F.2.215). Это имеет место для всех k2 — l/n при п^2. Для
указанных волновых чисел основная и п-я гармоники имеют
одинаковую фазовую скорость.
Поскольку в нашем уравнении нелинейность является куби-
кубической, то порядок О(е) будет иметь только взаимодействие
основной гармоники, соответствующей &2=1/3, с третьей гармо-
гармоникой (k2=3). Если же нелинейность имеет вид гц>т при неко-
некотором т, то порядок О(е) будет иметь взаимодействие основной
гармоники (k2=l/m) с m-й гармоникой (k2 — m). Если рассматри-
рассматривать взаимодействия более высокого, чем е, порядка, то даже
для кубической нелинейности могут возникнуть резонансы в гар-
гармониках, отличных от третьей.
Чтобы построить разложение первого порядка, пригодное
в окрестности &а = 1/3, положим
Ф = ФоGо, 7\, Хо, XJ + up^To, TltXu, Хг) + ..., F.2.216)
где
6.2. Приложения метода разложения производной 287
Подставляя это разложение в F.2.113) и приравняв коэффициенты
при одинаковых степенях е, получим
= 0, F.2.217)
0
л
4 d
Решение уравнения F.2.217) запишем в виде
F.2.219)
©X = *J-^+l, F.2.220)
со3 » 3@и &3 » 3/Sj.
Отметим, что вид ф0 предполагает две взаимодействующие гар-
гармоники. Можно показать, что функция ф0, в которой содержится
только ехр(Ю1), является непригодной (см. п. 5.8.2 и и 6.8.4).
Подставив выражение для ф0 в F.2.218), получим
п=1,3
+ 3 BА1А1 + А3А3) А ,е*в
+ ЗА1А Зе1 <е'+2б-'+ ЗЛ \ А З
+ЗЛ1Л32е'<2е=+е'> +ЗЛ1Л1е'<ге»-°') +СС. F.2.221)
Здесь (о'п = d(on/dk — групповая скорость.
Вследствие взаимодействия двух гармоник в уравнении
F.2.221) возникают слагаемые, порождающие вековые члены и
отличные от слагаемых обычного вида ехр (?Э„). Чтобы выделить
эти слагаемые, рассмотрим случай точного резонанса, при кото-
котором 63 = 36!, так что выражения exp(tBj) и ехр C/6,) порождают
вековые члены. Непосредственно видно, что слагаемые expCt'0i)
и exp[tF3 — 20,)] порождают вековые члены. Вековой характер
этих слагаемых вблизи резонанса можно показать, выразив их
через ехр (Шх) и ехр (/03). С этой целью заметим, что
е,—3et = г=(*,—з*,) х0—(©,—3©,) т0.
Хотя Хо и То имеют порядок 0A), величина Г при k3 —+ 3kt и
со3—>-3g)j становится медленно меняющейся. Чтобы описать это
медленное изменение, выразим Г в виде
Г =*<Ldui Xi _из-3со, т^ F.2.222)
288 Гл. 6. Метод многих масштабов
С помощью этой функции величины exp^i^) и exp[iF3—26,)]
примут вид
ехр (ЗЮ,) = ехр [i F,-Г)], exp [i F,-26,)] = ехр [i (9, + Г)].
Исключая в правой части уравнения F.2.221) слагаемые,
порождающие вековые члены, найдем
)Л1-ЗЛ}ЛД F.2.223)
з) 43-Л?<?-<т. F.2.224)
Положив в уравнениях F.2.223) и F.2.224) Ап = A/2) а„ехр(ф„)
с действительными ап и р„ и отделив действительную и мнимую
части, получим
F-2-226)
(б-2227>
Ж + (°; Й; = ^(баГ + З^ + а^г1 cos 6). F.2.228)
Здесь принято обозначение
6 = Г + Р,—ЗР,. F.2.229)
Уравнения F.2.225)—F.2.228) вполне согласуются с уравне-
уравнениями E.8.24)—E.8.27), полученными с помощью вариационного
подхода.
6.2.10. Ограничения метода разложения производной
Этот метод применим только к задачам волнового типа. Он
не применим при наличии неустойчивости, за исключением тех
случаев, когда неустойчивость является слабой. Подобная неус-
неустойчивость имела место в нелинейной задаче устойчивости, рас-
рассмотренной в п. 6.2.8. При ?> 1 величина и ограничена, и раз-
разложение F.2.198) пригодно для времен порядка е~2, если только
значения k далеки от 1. Если ?< 1 и k далеко от 1, то это
разложение пригодно только для малых времен. В окрестности
k = 1 неустойчивость является слабой, и соотношение F.2.211)
задает решение, пригодное для времен порядка ъ~х.
В случае гиперболических уравнений этот метод может быть
применен к диспергирующим волнам, если только начальные усло-
условия представляются суперпозицией конечного числа синусоид.
6.2. Приложения метода разложения производной 289
В волновых задачах, в которых в линейном приближении дис-
дисперсия отсутствует, как, например, в следующей задаче:
S?-S- = e"S' F.2.230)
и(х, 0) = /(*), ^(*,0)=0, F.2.231)
этот метод не позволяет получить решение, если даже / (х) —
синусоидальная функция типа cos*. Чтобы установить это,
положим
и = ио(х,То,Т1) + ещ (х, То, Т,)+ ..., F.2.232)
где
Подставим F.2.232) в F.2.230) и F.2.231) и приравняем коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим, приравнивая
члены:
порядка е°
5^ = 0, F.2.233)
ив(х, 0, 0) = cosx, 1^- (х, 0, 0) =0; F.2.234)
порядка в
ы(х,0,0) = 0, -^-(х,0,0) = -р-(х,0,0). F.2.236)
Решение задачи F.2.233), F.2.234) имеет вид
ц, = А (Тг) el w-r«> + А (Тг) е~1 ^~Т'К, F.2.237)
причем
А -1
0 — 2 '
Подставив это решение задачи для нулевого порядка в F.2.235),
получим
д2и, , д2и, о. дА , 1Г т . о. дА ,.г т . ,
-mi+-o^—2lw:etl')-2lw;e +
+2АА + А *e2i i'-7"»» + "А 2е~2i <*- Т°К F.2.238)
Правая часть полученного уравнения содержит слагаемые, кото-
которые порождают вековые члены. Такими слагаемыми, кроме чле-
290 Гл. 6. Метод многих масштабов
нов, содержащих exp[±i(x—То)], являются члены, пропорцио-
пропорциональные exp[±2i(jc—То)]. Для того чтобы отношение ujuo было
ограничено при всех То, названные слагаемые должны быть
исключены. Однако нет способа, с помощью которого это можно
сделать. В предыдущих примерах подобные слагаемые были
пропорциональны ехр[± i(x—To)], и коэффициент А выбирался
так, чтобы исключить их. Если в рассматриваемом случае мы
хотим получить нетривиальное решение, то коэффициент А можно
выбрать таким образом, чтобы исключить слагаемые, пропорцио-
пропорциональные exp[±t(x—То)]. Получающееся при этом разложение
содержит вековые члены и, следовательно, не является пригод-
пригодным для больших времен.
Разложения для волн без дисперсии, пригодные при больших
временах и начальных условиях общего вида, были получены
в п. 3.2.4 и 3.2.5 с помощью метода координатных преобразо-
преобразований.
6.3. Процедура разложения по двум переменным
6.3.1. Уравнение Дюффинга
Вновь рассмотрим уравнение
^ ем3=0. F.3.1)
Будем предполагать, что существует разложение вида
и = «о (е. 'Л) + ем, (l,i\) + е2«а (|, ¦л) + ..-, F.3.2)
где
Е=е/, г] = A+е2(о2+е3оK+•-•)*¦ F.3.3)
Подставив F.3.2) и F.3.3) в F.3.1) и приравняв коэффициенты
при одинаковых степенях г, получим
= 0, F.3.4)
д2иЛ , g r, d^Un „ 1Г. о с\
¦%+ + <и, = -2 gpj— и", F.3.5)
-3u!«l. F.3.6)
Общее решение уравнения F.3.4) имеет вид
"о = A* (I) cos ыоц + Во (|) sin wotj. F.3.7)
6.3. Процедура разложения по двум переменным 291
С учетом его уравнение F.3.5) примет вид
cos ад-f-
— j- (A30-3A0Bl) cos Зад
~(BSO—3AIBO) sin 3w0f]. F.3.8)
4
4
Вековые члены будут исключены при условиях
2ы0В'0 + ^(А1 + А0В20) = 0, F.3.9)
2тоА'о—j(Bl + A%B0) = 0. F.3.10)
Умножая F.3.9) на Во, а F.3.10)—на Ло и складывая получаю-
получающиеся уравнения, получаем
d
щ 1)=0, или Л||4-?? = а2=хСот1:. F.3.11)
Используя F.3.11), можем записать уравнения F.3.9) и F.3.10)
в виде
В; + <оИ, = 0, А'о—сойВо = 0, F.3.12)
где
Таким образом,
Ло = a cos (со^ + ф), Во= — esin(o>xi-f-<p)- F.3.13)
Здесь ф—постоянная. Решение для щ после исключения веко-
вековых членов будет иметь вид
«1 = A~i (I) cos o)or] + Бл (g) sin (оот) +
+ -J-5- (Л30—ЗЛ0В?) cos Зад —
——^(Б?—ЗЛ02В0)8тЗ(о0г]. F.3.14)
Подставляя в и0 и щ выражения для Ло и Во, получаем
ы0=асозе, F.3.15)
^_ cos 36, F.3.16)
S2a>o
292 Гл. 6. Метод многих масштабов
где принято обозначение
^ + 43. F.3.17)
Заменив и0 и «, в уравнении F.3.6) их выражениями F.3.15) —
F.3.17), будем иметь
-\
F.3.18)
Вековые члены будут исключены при условиях А1=В1 = 0 и
или иначе
со2 = ^Ц-о*. F.3.19)
2 266coS '
Следовательно, во втором приближении получим
u = acos (со/ + Ф)Ч - cos 3 (со/ + ф) + 0(е2), F.3.20)
32юо
где
— — ( n-ifr 4-2 л- И1
или
). F.3.21)
Это разложение вполне согласуется с разложениями, получен-
полученными в п. 3.1.1 с помощью метода Линдштедта — Пуанкаре,
в п. 5.4.1—с помощью метода усреднения и в п. 6.2.1—с по-
помощью метода разложения производной.
6.3.2. Осциллятор Ван-дер-Поля
Вторым примером, рассматриваемым в этом параграфе, будет
осциллятор Ван-дер-Поля
^ + u=e(l_u2)jg.> F.3.22)
который изучался в п. 5.4.2, 5.7.4 и 6.2.2. Предположим, что
функция и допускает следующее равномерно пригодное разложе-
6.3. Процедура разложения по двум переменным 293
ние Коул и Кеворкян [1963], Кеворкян [1966а]:
u = uo(?> Tl) + ewi(i» tj) +еяыя(g, т]) + ..., F.3.23)
где переменные | и т] определены в F.3.3). Подставив F.3.3) и
F.3.23) в F.3.22) и приравняв коэффициенты при одинаковых
степенях е, получим
" +«„=0, F.3.24)
-ио2)^, F.3.25)
2"B"^- F-3-26)
Общее решение уравнения F.3.24) имеет вид
e(i)sinT]. F.3.27)
С его учетом уравнение F.3.25) примет вид
Ua30—3A0Bl)sinЗг] + ]-(B30—3AWo)cos3r). F.2.28)
Для того чтобы вековые члены отсутствовали, необходимо вы-
выполнение следующих условий:
^±^)„ = 0, F.3.29)
B=0. F.3.30)
Умножая уравнение F.3.29) на Вв, а уравнение F.3.30) на Ао
и вычитая из второго первое, получаем
p'-p(l-jp)=0. F.3.31)
Здесь р—квадрат амплитуды решения нулевого порядка, т. е.
F.3.32)
294 Гл. 6. Метод многих масштабов
Интегрируя уравнение F.3.31) методом разделения переменных,
получим равенство
аг= 4 F.3.33)
D)е
в котором а0—начальная амплитуда. Выразив Ло и Во через
фазу ф и амплитуду а, получим
Л0=асозф, Во = — a sin ф. F.3.34)
Подставив эти выражения в одно из уравнений F.3.29) или
F.3.20) и используя F.3.31), получим
ф' = 0 или ф = фо = const. F.3.35)
Следовательно, ив может быть записано в виде
u0=acos(r) + (pB). F.3.36)
С учетом условий F.3.29) и F.3.30) решение уравнения F.3.28)
будет иметь вид
иг = Аг (g) cos(т] + Фо) + Вх (|) sin (т] + «po)_?isin 3 (т]+ф0). F.3.37)
Подставив и0 и иг в F.3.26), придем к следующему урав-
уравнению:
[ — (l—f-a2) Л,] sin(T] + Фо) + NST.
F.3.38)
Для исключения вековых членов потребуем, чтобы
2fiJ-(l—1а«)я1=2св,а--дЧ-A—t«2)«'+iJ, F.3.39)
2Л; — (l—|-а2)л1=0. F.3.40)
С помощью F.3.31) и F.3.32) эти уравнения примут вид
', F.3.41)
F.3.42)
Решениями полученных уравнений являются функции
F.3.43)
F.3.44)
6.3. Процедура разложения по двум переменным 295
где а1 и Ьг — постоянные. При t—»-оо имеем ?—»-оо и а—*2.
Поэтому отношение ujuo при | —> с» будет неограниченным, если
только не выполнено условие
со2=-~. F.3.45)
Во втором приближении, следовательно, будем иметь
cos [A —- е2 ) f + Фо] —
+ Ф„]+
|[(^ ]}), F.3.46)
где
а = г 2 . F.3.47)
/Ч)
/
Отождествив ав с ao + ea%alt заметим, что полученное разложе-
разложение полностью согласуется с разложением F.2.38), полученным
с помощью метода разложения производной.
6.3.3. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче
трех тел
Вновь рассмотрим задачу о параметрическом резонансе, кото-
которая была исследована в п. 6.2.6 с помощью метода разложения
производной. Математическое описание задачи дается соотноше-
соотношениями C.1.63) — C.1.65). Чтобы с помощью процедуры разложе-
разложения по двум переменным найти равномерно пригодное разложе-
разложение в окрестности переходных кривых, следует воспользоваться
масштабами времени, отличными от F.3.3). Подходящими масшта-
масштабами времени являются следующие:
? = (е + со2е2 + ...)t, i\ = t. F.3.48)
Будем предполагать, что хну допускают разложения вида
(?, 4)+-.., F.3.49)
.(E *]) + •¦- • F-3.50)
Алгебраические детали построения решения здесь не приводятся.
Подробности, связанные с решением первого порядка, будут
такими же, как в п. 6.2.6 при | = Г, и ц = Т0. Читателя, инте-
интересующегося деталями решения второго порядка, отсылаем
к Олфренду и Рэнду [1969]. Их результаты полностью согласу-
согласуются с результатами, полученными в п. 3.1.5 с помощью метода
Уиттекера.
296 Гл. Ь. Метод многих масштабов
6.3.4. Ограничения рассматриваемой методики
Приведенные выше примеры показывают, что при подходя-
подходящем выборе двух переменных результаты, полученные с помощью
процедуры разложения по двум переменным, согласуются с ре-
результатами, полученными с помощью метода разложения произ-
производной. В некоторых случаях для получения равномерно при-
пригодных разложений необходимо использовать более двух пере-
переменных. Такая ситуация имела место в задаче о движении
спутника вокруг малой планеты в ограниченной задаче трех тел
Экштейн, Ши и Кеворкян [1966а] и в задаче о движении искус-
искусственного спутника, период обращения которого соизмерим
с периодом вращения планеты Ши и Экштейн [1968].
В случае гиперболических уравнений рассматриваемая мето-
методика, так же как и метод разложения производной, применима
только к волновым задачам с диспергирующими волнами. В зада-
задачах, в которых дисперсия отсутствует, подобных задаче, рассмот-
рассмотренной в п. 6.2.10, этот метод не позволяет получать реше-
решения.
6.4. Обобщенный метод
6.4.1. Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами
Рассмотрим следующую частную задачу второго порядка
(Найфэ, [1964], [1965b]):
| 0, F.4.1)
= а, 0A) =р, F.4.2)
которая изучалась в п. 4.1.3 и 4.2.2 с помощью методов сращи-
сращивания асимптотических разложений и составных асимптотических
разложений. Из рассмотрений п. 4.1.3 следует, что точка л: = 0
является источником неравномерности прямого разложения. Раз-
Размеры области неравномерности определяются равенством ж = О(е).
Для исследования этой задачи с помощью метода сращивания
асимптотических разложений рассматривалось внутреннее разло-
разложение, пригодное для х = О(г) и использующее внутреннюю пе-
переменную т]=л:/е. Это внутреннее разложение сращивалось с
внешним и затем строилось составное разложение, которое и яв-
являлось равномерно пригодным разложением.
Чтобы получить равномерно пригодное разложение с помощью
обобщенной разновидности метода многих масштабов, введем
в рассмотрение масштабы
6=*. F.4.3)
). <6'4)
6.4. Обобщенный метод 297
где функции gn будут определены в процессе вычислений. Потре-
Потребуем выполнения равенств g0 @) = g,@) =0. Тогда при х—>-0
будем иметь go(x)—*x, и, следовательно, г) будет стремиться
к внутренней переменной х/е. Производные по переменной х пре-
преобразуются в соответствии с равенствами
L
их
С помощью введенных переменных уравнение F.4.1) примет вид
F.4.7)
Здесь штрихом обозначено дифференцирование по аргументу.
Отметим, что переменную х, встречающуюся в уравнении F.4.1),
мы заменили на ?; именно выражение 2х+1 записано в виде
2|+1- Кроме того, функции gn и их производные выражены
через переменную ?. Предположим теперь, что решение уравне-
уравнения F.4.7) допускает равномерно пригодное асимптотическое
представление вида
N-1
У— 2 е"#«A. Ц) +O(eN), F.4.8)
ч=0
в котором выполнено
Уп-1
< сю F.4.9)
для всех |=д: и т] = т](д:; е), где х принимает значения из инте-
интересующей нас области. Последнее условие является математи-
математическим выражением того факта, что разложение F.4.8) регу-
регулярно во всей рассматриваемой области.
Подставив F.4.8) в уравнение F.4.7) и приравняв коэффи-
коэффициенты при одинаковых степенях е, получим следующие урав-
298 Гл. 6. Метод многих масштабов
нения относительно у0, #, и у2:
1^0 = 0, F.4.10)
= 0, F.4.11)
5i/l О- 9/, — П Г6 4
Поскольку при х—+0 выполнено §„(л;)->-х, то go^0. Поэтому
решение уравнения F.4.10) запишется в виде
F.4.13)
где принято обозначение
ут = ^Р-- F.4.14)
go
Уравнение F.4.11) тогда примет вид
йт2) Во]} e-w. F.4.15)
Решением полученного уравнения является функция
go V
1A , 1
go2 I2 V
e-w. F.4.16)
Для того чтобы отношение t/x/^/o было ограниченным при всех ц,
коэффициенты при tj, T]e~VT1 и T]2e~VT1 должны обратиться в нуль,
т. е. должно быть выполнено
F.4.17)
F.4.18)
tf =0. F.4.19)
6.4. Обобщенный метод 299
Общее решение уравнения F.4.17) имеет вид
где а0—постоянная. Поскольку у, а следовательно, и у0 удовлет-
удовлетворяют двум граничным условиям, то имеем Воф0. Тогда из
уравнения F.4.18) получаем
¦у'=0. F.4.21)
Таким образом, у—постоянная, которую без потери общности
можно взять равной единице. Из соотношения F.4.14) будем иметь
& = ?• + ?• F-4.22)
Здесь использовано условие go@)=0, которое отражает то об-
обстоятельство, что неравномерность имеет место в окрестности
точки |=«0. Уравнение F.4.19) запишется в виде
=0. F.4.23)
Решением этого уравнения является функция
B0=*V>g.<&>, F.4.24)
где Ьо—постоянная интегрирования. Таким образом, в первом
порядке имеем
у = -^у + Ьоеёг <5>е-[ъ <!>/*] -в. (В + О (е) =
Поскольку функция gt (|) независимо от ее значений не входит
в полученное разложение, то без потери общности можно поло-
положить gt = 0.
Проведенные выше рассмотрения показали, что величина у
должна быть постоянной. Не теряя общности, мы положили ее
равной единице. В показателе экспоненты (см. F.4.13)) величина у
умножается на ц. Поэтому при не постоянном у производная
по | будет содержать члены, пропорциональные степеням ц, из-за
которых отношение yjya будет неограниченным при т]—>-оо. Сле-
Следовательно, в подобной ситуации можно с самого начала поло-
положить у равным единице. Кроме того, чтобы получить условие
ограниченности yjyo для всех ц, нет необходимости решать урав-
уравнение F.4.15). Для этого достаточно, исследовав уравнение F.4.15),
потребовать обращения в нуль тех членов, которые порождают
частные решения, дающие неограниченное отношение у±1уй. К чле-
членам указанного типа относятся все члены, пропорциональные
300 Гл. 6. МетоО многих масштабов
решениям однородного уравнения. Поскольку решениями одно-
однородного уравнения являются e~vti и 1, мы и потребовали выпол-
выполнения условий F.4.17) и F.4.19).
Для отыскания второго приближения положим gi=0, у=\
и, подставив выражения для уь, у, и g0 в F.4.12), получим
F.4.26)
Для ограниченности yjyo при всех ц необходимо выполнение
условий
0, F.4.27)
0. F.4.28)
С учетом F.4.20) получим следующее решение уравнения F.4.27):
А — д 2а
1
где at—постоянная интегрирования. Условию F.4.28) можно
удовлетворить, положив
В; = 0, ^ = 0. F.4.30)
Тогда будем иметь
Bi = bi, ga = const, F.4.31)
где bj—постоянная интегрирования, aga^0, поскольку §2@)=0.
Таким образом, во втором приближении у задается равенством
+е
Наложив граничные условия у@) =а и уA) ={5, получим ао=3|},
Ь0 = а—Зр, а1 = —2Р/3, 6Х = — 16Р/3. Соотношение F.4.32) запи-
запишется в виде
^ F 4 33)
Разложив е-*-*2/8) при малом х*/е, заметим, что разложение F.4.33)
согласуется с разложением D.2.50), полученным с помощью
метода составных разложений. Таким образом, в отличие от метода
6.4. Обобщенный метод 301
сращивания асимптотических разложений, в котором строятся
два разложения, подлежащих сращиванию, метод многих мас-
масштабов задает единственное равномерно пригодное разложение.
6.4.2. Общее уравнение второго порядка с переменными коэффициентами
В качестве второго примера рассмотрим задачу (Кокран [1962],
Найфэ [1964], [1965b])
гу"+а{х)у'+Ь{х)у = с(х), F.4.34)
0@)= а, 0A) = Р, F-4.35)
где на интервале [0, 1] выполнено а (х) > 0. Случай, когда а (х)
обращается в нуль внутри интервала [0, 1], называется задачей
с точкой ветвления. Задачи с точкой ветвления кратко рассмотрены
в п. 6.4.4 и подробно—в п. 7.3.1—7.3.9. При с = 0 данный при-
пример переходит в пример, рассмотренный в п. 4.1.3 с помощью
метода сращивания асимптотических разложений.
Поскольку имеем а (х) > 0, то неравномерность имеет место
в окрестности точки х — Ь. В п. 4.1.3 мы ввели в рассмотрение
внутреннюю переменную х/е и определили разложение, пригод-
пригодное в области х = О(г), которое затем было сращено с внешним
разложением. Чтобы найти равномерно пригодное первое при-
приближение с помощью метода многих масштабов, предположим,
что у допускает асимптотическое разложение вида
т])+...( F.4.36)
где
g=jc, т]^^, g(x)-+x при л: —0. F.4.37)
Подставив F.4.36) и F.4.37) в уравнение F.4.34) и приравняв
нулю коэффициенты при е° и е1, получим
Г'=О, F.4.38)
F.4.39)
Функции а(х), Ь(х), с(х) и g(x) выражены здесь через пере-
переменную |.
Поскольку g^0, то общее решение уравнения F.4.38)
имеет вид
F.4.40)
302
Гл. 6. Метод многих масштабов
где
F.4.41)
Из рассмотрений предыдущего пункта следует, что у должна
быть постоянной; в противном случае производные по ? порож-
порождают в F.4.39) члены, пропорциональные у'1). и как следствие,
отношение yjyo становится неограниченным при г)—»-оо. Для
равномерно пригодного разложения без потери общности можно
положить у=\. Тогда, учитывая, что при х—*-0 выполнено
g(x)—>-x, получим
F.4.42)
n. F.4.43)
Подстановка у0 в F.4.39) приводит к уравнению
Чтобы отношение yjyo было ограниченным при всех tj, потребуем
выполнения условий
аА'+ЬА=с,
Решениями этих уравнений являются функции
т
f [t>@/o@]<"
F.4.44)
F.4.45)
F.4.46)
F.4.47)
где а0, Ьо —постоянные интегрирования.
В первом приближении у задается равенством
-J
«.+Н
. . f [6 (О/о (О] Л
dx
Г [6 (О/о (О] ^< -е-»/о@
dt
+ 0(е).
F.4.48)
Пределы интегрирования в F.4.46) и F.4.47) выбраны так, чтобы
постоянныеа0 и Ьо просто выражались через параметры граничных
6.4. Обобщенный метод 303
условий F.4.35). Так, ао=р\ а
° м J 16 (О/о (О] Л
. F.4.49)
Разложение F.4.48) представляет собой составное разложение,
которое согласуется с внутренним и внешним разложениями,
полученными в п. 4.1.3 для внутренней и внешней областей
соответственно. Записав формулу F.4.48) для частного случая
Ь(х) = 2, с(х) = 0, F.4.50)
рассмотренного в предыдущем пункте, получим
?= jf^ + (а-ЗР) ?-[<**+*>/*]+О(в). F.4.51)
Здесь учтены равенство ао = р и соотношение F.4.49). Получен-
Полученное разложение вполне согласуется с первым членом разложе-
разложения, выведенного в предыдущем пункте.
6.4.3. Линейный осциллятор с медленно меняющейся
восстанавливающей силой
Оба рассмотренных выше примера могли быть исследованы
как с помощью метода многих масштабов, так и с помощью
метода сращивания асимптотических разложений. Ниже рассмот-
рассмотрим пример, который не поддается исследованию с помощью
последнего из указанных методов; именно, рассмотрим уравнение
у"+Ь(ех)у = 0, F.4.52)
в котором Ь(ех)=^0 и е—малый параметр. Чтобы получить раз-
разложение, равномерно пригодное для больших х, предположим,
что у допускает асимптотическое разложение вида
У=Уо A, Ц) + т (S, Ц) + • • •, F.4.53)
где
1 = ех, Т1 = Л+ F.4.54)
Такой выбор масштаба ц обусловлен тем, что частота колебаний
будет удовлетворять условию: ш = (йц1йх) —g' (?) =0A). Подста-
Подставив F.4.53) и F.4.54) в уравнение F.4.52) и приравняв нулю
304 Гл. 6. Метод многих масштабов
коэффициенты при е° и е, получим
^ F.4.55)
0. F.4.56)
Общее решение уравнения F.4.55) имеет вид
уо = А (Е) е*т + В (?) е~*\ F.4.57)
где
^7%- <6А58)
В предыдущих двух пунктах было показано, что для получения
разложения с ограниченным при всех ц отношением yjyo следует
положить у=1. Таким образом,
g=,\VT(t)dt. F.4.59)
о
Подставив у0 в F.4.56) и помня, что у=\, получим
'2 = - i (ё"А + 2g'A') e* + i {g"B + 2g'B')e-'ч. F.4.60)
Для ограниченности уг1уй при всех ц потребуем обращения
в нуль коэффициентов при ехр(гЫ'т]) в правой части F.4.60):
A'^O, F.4.61)
B'=0. F.4.62)
Решения этих уравнений имеют вид
h h F-4-63)
где а0 и Ъо—постоянные интегрирования.
При b (гх) > 0 имеем для у
^cosfe f VW)dt)+bBsin[E^ \ VbJt)dt)\+O(B),
1/
F.4.64)
где ае и bB—постоянные. При b(ex)<0 имеем
8* "I
о J
+ beexp(— e~» f ]Л=Т@Л) +О(е). F.4.65)
J
6.4. Обобщенный метод 305
Разложения (С.4.64) и F.4.65) называются ВКБ-приближениями
к решению уравнения F.4.52) (см. п. 7.1.3).
Очевидно, что эти разложения непригодны в окрестности
точки, в которой функция b (ex) обращается в нуль. В самом
деле, при стремлении л: к нулю функции Ь(ех) полученные разло-
разложения стремятся к бесконечности. Нули функции Ь(ех) называются
точками возврата и подробно рассмотрены в п. 7.3.1—7.3.9.
Один пример с точкой возврата исследован в следующем пункте
с помощью метода многих масштабов.
Замена переменной х на переменную | в уравнении F.4.52)
дает
^ + М>A)у=0, Я. = -1- F.4.66)
Полученная задача содержит большой параметр Я. Таким обра-
образом, приближение, построенное выше, применимо также и к этой
задаче.
6.4.4. Пример с точкой возврата
Рассмотрим задачу
0, F.4.67)
где Я—большое положительное число, /(л:)—регулярная поло-
положительная функция. Положив в F.4.64) и F.4.65)b(et)=(\—x)f(x)
и е = Я~1, можно увидеть, что при х-*-1 ВКБ-приближение стре-
стремится к бесконечности. Чтобы построить всюду пригодное разло-
разложение с помощью метода многих масштабов, определим сначала
степень неравномерности. Перейдя с этой целью в уравнении
F.4.67) к переменной ? = A—х) ЪУ, v > 0, получим
|| + Ь—»/A-?*.-*)& =0. F.4.G8)
При Я->-оо получим следующие предельные уравнения в зави-
зависимости от значения v:
|| = 0 при v>-|,
# = 0 при v<-|, F.4.69)
0 + f(l)& = O при v = -|.
Подходящим является последнее уравнение, поскольку его ре-
решение имеет экспоненциальный характер при ? < 0 (т. е. при
х> 1) и колебательный характер при ?>0 (т. е. при х < 1).
306 Гл. 6. Метод многих масштабов
Таким образом, оно может быть использовано для соединения
решений F.4.64) и F.4.65) при прохождении через точку возврата.
Итак, предположим, что решение уравнения F.4.67) допус-
допускает асимптотическое представление вида (Кокран [1962]; Найфэ
[1964], [1965b]; Фаукес [1968, часть I])
.., F.4.70)
где
1 = х, ч = ^/»?(х)+..., F-4.71)
g(x)=(l—x)h(x), h(x)>0. F.4.72)
Функции независимой переменной х, встречающиеся в F.4.67),
отнесены к переменной |. Исключение составляет выражение
1 —х, которое обусловливает неравномерность; оно заменено на
r\X~2lah(x). С учетом сказанного уравнения F.4.67) примет вид
{§iW = <>- F.4.73)
Подставив F.4.70) в F.4.73) и приравняв нулю коэффициенты
при Я4/8 и Я2У3, получим
F.4.74)
-0. F.4.75)
Общее решение уравнения F.4.74) имеет вид
У* = Л а) Ч1/«/1/3 [у F) гK/2] + В (Е) л1*/-!/, [у (?) ч»/«], F.4.76)
где J±1,a—функции Бесселя порядка ±1/3, а
Из рассмотрений п. 6.4.1 и 6.4.2 следует, что для ограниченности
отношения у1/у0 при всех ц следует положить у=\. Имеем по-
поэтому
g1 (I) W* A) = - 4 [f(t)Y'*- F-4.78)
При этом знак минус в F.4.77) выбран для того, чтобы выпол-
выполнялось h(x)>0. Помножив обе части уравнения F.4.78) на
(I — II/2, получим
6.4. Обобщенный метод 307
Поскольку g A) = 0, имеем
х
g*<*=-\[(\-t)f(t)Y"dt. F.4.79)
При известном ув и у= 1 уравнение F.4.75) принимает вид
= - щ [Bg'A' + g"A) n^J1/s (ti«/«) + i2g'B' +g"B) №-
F.4.80)
Чтобы отношение yjya было ограниченным для исех х\, правая
часть уравнения F.4.80) должна обратиться в нуль, т. е. должно
быть выполнено
2g'A'+g"A=0,
2g'B'+g"B=0. (b.4.81)
Следовательно,
F.4.82)
где а, Ь—постоянные интегрирования.
Таким образом, в первом приближении имеем
• •' F.4.83а)
где а0 и Ьо — постоянные. При х-*- I имеем
и, следовательно,
у -> A -ху >* { а0J1/s [| Я VJJV) A -^
-- • F.4.836)
Здесь а0 и Ьв— постоянные. Поскольку при t -*¦ 0 имеем
то решение F.4.836) будет ограниченным при х-+1.
308 Гл. 6. Метод многих масштабов
6.4.5. Уравнение Дюффиига с медленно меняющимися коэффициентами
Ниже рассмотрим уравнение
F.4.84)
где принято
Кузмак [1959] изучал асимптотические решения этого уравнения
С помощью метода многих масштабов.
Если а и Р —постоянные, то решение уравнения F.4.84) вы-
выражается в эллиптических функциях Якоби, т. е. представляется
в одном из видов:
и = A sn (Kt, v), A en (Kt, v), A dn (Kt, v). F.4.85)
Здесь v—модуль, К (v)—полный эллиптический интограл. При-
Приведенные функции удовлетворяют дифференциальным уравнениям
F.4.86а)
!), F.4.866)
F.4.86b)
где x=Kt. Дифференцируя обе части в F.4.86), получим
), F.4.87а)
: 0, F.4.876)
F.4.87b)
Поскольку рассматриваемые эллиптические функции затабулиро-
ваны для значений 0< v< 1, выразим решение через одну из
этих табулированных функций.
Если а и р—не постоянные, а медленно меняющиеся функ-
функции, то будем предполагать, что решение зависит как от мед-
медленного масштаба времени ?=е?, так и от быстрого масштаба
времени t. Кроме того, в первом приближении решение может
быть выражено в виде F.4.85), где А = А (I), К =К {%) и v = v(?).
Таким образом, в случае медленно меняющихся коэффициентов
будем полагать
E,n) + ..., F-4-88)
6.4. Обобщенный метод 309
где
!, = ??> + ... ИЛИ ? = g-(E)+... ¦
Решение этого вида отличается от решения, построенного Куз-
маком, в котором предполагалось л =#'(?)/¦ Подставив F.4.88)
в F.4.84) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е,
получим
^ F-4.89)
-^. F.4.90)
В качестве решения уравнения F.4.89) возьмем одну из эл-
эллиптических функций F.4.85), скажем, sn. Таким образом,
F.4.91)
Следовательно, отношение ujA должно удовлетворять уравнению
F.4.87а) при tj = t, т. е.
^ + [l+v»(E)]«o-^«! = 0. F.4.92)
Для того чтобы уравнения F.4.89) и F.4.92) совпадали, должно
быть выполнено
[l + v2(i)]g'2 (?) = <*(!), F.4.93)
2v2(l)?'2(S) = -P(?M2(g). F.4.94)
Эти равенства представляют собой два соотношения между вели-
величинами Л(|), v(?) и g(?). Третье соотношение определяется из
условия ограниченности отношения ы,/и0 при всех tj, которое
необходимо для того, чтобы F.4.88) было равномерно пригодным
асимптотическим разложением.
Дифференцируя F.4.89) по г), получим однородную часть
уравнения F.4.90). Следовательно, див/дц является решением
однородной части уравнения F.4.90). Чтобы отношение utlu0 было
ограниченным при всех ц, неоднородная часть в F.4.90) должна
быть ортогональной решению однородной части, т. е. должно
быть выполнено
y[Sfc fcJ?«n-O. F.4.95)
причем sn(T]j, v) = 0, a T—период функции sn(rj, v) по перемен-
переменной т|. Это условие является обобщением условия исключения
слагаемых, порождающих вековые члены. Уравнение F.4.95)
310 Гл. 6. Метод многих масштабов
можно переписать, в виде
откуда имеем
g'tt) I (SfJ*l = const. F.4.96)
Поскольку u0 = Л sn (tj, v), to rji можно положить равным
нулю, а Т = 4К, где /С—следующий полный эллиптический ин-
интеграл второго рода
1
К= ) [A_Л;2)A_у2Л.2)]1/2 • F.4.97)
о
Подставляя в F.4.96) выражение для ив из F.4.91), получим
g'(l)A4l)L[vHt)] = c, F.4.98)
где с—постоянная, а
причем ?=sn(»i, v). Используя F.4.86а), можно выразить L
в виде
или
L(l —{— v2) E (v)—A — v2) К (v) ic л irv\\
== 3^j . (b.4.1UU)
Здесь E (v)—следующий полный эллиптический интеграл пер-
первого рода
F.4.101)
Условия F.4.93), F.4.94) и F.4.98) дают три соотношения
для определения А (?), v (Q и g' (?). Разрешая F.4.93) относи-
относительно g1, получим
V$m- F-4Л02)
14 -12 -10 -8
-6
a
-4
9 -1
2 g
0
^P
-2
-4
-6
-8
40
-/2
-/4
-16
48
W
2.0
5,0
6,0
б
Рис. 6.2.
312 Гл. 6. Метод многих масштабов
Исключая g' из F.4.93) F.4.94) и разрешая относительно А,
получаем
~ У P(i)
Возведя F.4.98) в квадрат и подставив значения g' и А из
F.4.102) и F.4.103), получим
.......
F.4.104)
Используя последние три соотношения, можем вычислить сна-
сначала v(|) из F.4.104) и затем g' и А из соотношений F.4.102)
и F.4.103). График решения уравнения F.4.104) был построен
Кузмаком и приведен на рис. 6.2.
В зависимости от знаков а(^) и р (?) имеют место три раз-
различных случая:
A) а(?)>0, Р(?)<0. В этом случае имеем р > 0, а из урав-
уравнения F.4.94) видно, что y = v2(?,)>0- Следовательно, кривая,
соответствующая у, лежит в первом квадранте. Решение для у
существует при условии 0<р<2/9. В точке \с, удовлетворяю-
удовлетворяющей условию рAс)= 2/9, асимптотическое решение теряет свой
колебательный характер. При условии р > 2/9 или а (?) < 0 и
Р (?) < 0 уравнение F.4.89) периодических решений не имеет.
B) а(?) > 0, р (|) > 0. В этом случае имеем р > 0, а из F.4.94)
следует, что у < 0. Следовательно, кривая, соответствующая у,
лежит в четвертом квадранте. Решение для у существует при
0<р<оо.
C) а (|) < 0, р (I) > 0. В этом случае имеем р < 0, а из F.4.94)
следует, что у < 0. Следовательно, кривая соответствующая у,
лежит в третьем крадранте. Решение для у существует при
— оо < р < — 4/9.
Поскольку эллиптические функции и интегралы обычно зата-
булированы для действительных значений v на интервале 0 < v < 1,
то в случаях B) и C) предпочтительнее выразить колебательные
решения через функции en (tj, v) и dn (tj, v).
6.4.6. Динамика входа
Движение тела с переменным вращением вокруг собственной
оси, подверженного при входе в атмосферу действию нелиней-
нелинейных аэродинамических сил, имеющего малое смещение центра
тяжести и аэродинамическую асимметрию, описывается уравне-
6.4. Обобщенный метод 313
ниями (Найфэ и Сарик [1972а])
iN, F.4.105)
Ф = р, F.4.106)
р = e2v0 + evta + e2v2p, a= lm {ge-"»}. F.4.107)
Здесь ? = p4-i'a, )||—синус полного угла атаки, р—угловая
скорость вращения, гК — амплитуда возбуждения с помощью
аэродинамической асимметрии, е—малая, но конечная величина,
имеющая порядок синуса начального полного угла атаки. Вели-
Величины ы0, К, у, И/. Ъ и vi являются медленно меняющимися
функциями времени, / и 1Х—постоянные.
При отсутствии затухания и нелинейных членов (т. е. при
Y = i-i,-= %i = 0) решение уравнения F.4.105) для постоянных р,
К и соо имеет вид
^ F.4.108)
где Ах и А2 — комплексные постоянные и
F.4.109)
Частоты щ и со2 называются частотами нутации и прецессии.
Для статически устойчивых тел (т. е. при со„ > 0) и положитель-
положительных р частота coj положительна, а со2 отрицательна. В зависи-
зависимости от того, близко ли значение р к щ или нет, следует
различать два случая. Первый случай, при котором вынужден-
вынужденный отклик стремится к бесконечности при р—«-со^ называется
вращательным резонансом. До того как значения р приблизятся
к coj, затухание и нелинейные аэродинамические силы существен-
существенно изменят отклик системы. Случай вращательного резонанса
рассмотрен в данном пункте для К = ъ k. Читателя, интересую-
интересующегося нерезонансным случаем, отсылаем к Найфэ и Сарику
[1972а].
Для нахождения приближенного решения уравнений F.4.105)—
F.4.107) при р л; щ будем использовать обобщенную разновид-
разновидность метода многих масштабов. Заметим с этой целью, что
экспериментальные данные о фактических полетах и численные
расчеты движения тел с шестью степенями свободы выявляют
существование по крайней мере четырех масштабов времени:
медленного масштаба времени Т2=вН, характеризующего изме-
изменение величин К, ш0, у, v,-, %(- и ц.,-, и трех быстрых масштабов,
характеризующих нутацию, прецессию и вынужденную состав-
314 Гл. 6. Метод многих масштабов
ляющую угла атаки. Итак, будем предполагать разложения вида
?(/; е) =8^D1. Ч.. Л) + е'Е.(Ч1. Ч„ <Р, Г,)+ • • • F.4.110)
а(г1„г12, ф, Га)+..., F.4.111)
где
f< F.4.112)
здесь coj (Т2) — частота нутации, со2 (Т2) — частота прецессии. Про-
Производные по времени в этих переменных преобразуются согласно
равенствам
др д др д др д
др д
f
Подставив F.4.110) — F.4.114) в F.4.105) и F.4.107) и прирав-
приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, найдем
L(U = 0, F.4.115)
F.4.116)
S ^ fS7 1Im(^--). F.4.117)
Здесь использовано обозначение
( д
СО, 5
Решение уравнения F.4.115) имеет вид
F.4.119)
6.4. Обобщенный метод 315
С его учетом уравнение F.4.117) переписывается в виде
jr;+vo+v2po +
, F.4.120)
где Ап = ап exp (iQn) с действительными ап и 6„. Поскольку
роя^со1; то величина т^ — ф является медленно меняющейся
функцией времени. Будем считать ее функцией Т2. Далее, реше-
решение уравнения F.4.120) содержит члены, которые стремятся
к бесконечности при т],, т]а или ф—>-оо (т. е. при t—юо), на-
нарушая тем самым наше разложение, если только не выполнено
условие
If^+v^+vAsin^-^+ej. F.4.121)
При выполнении этого условия р2 будет иметь вид
-Ф). F.4.122)
Зная gj, можем переписать F.4.114) в виде
+ у) A\j
+ Y) АХА& ^-ш), F.4.123)
где
dA
Qi = —' К —со2) -^— tc
{(i^! + Xi) + (—»V + Хг + wi^2) О? +
[—2t"v + 2xa + (со, +coa) ца] a\) A, + kel №+ч>.-ч.>. F.4.124)
+ Xi) + [—2t'Y
.- F.4.125)
Вековые члены в F.4.123) будут исключены при условии Qj =
= Qa=0. Полагая в F.4.124) и F.4.125) Л„ = апехр((9„) с дей-
действительными ап и 6„, учитывая, что Qi = Qa = Oi и разделяя
316 Гл. в. Метод многих масштабов
действительную и мнимую части, получаем
sin Г. F.4.126)
F.4.127)
F4128>
W; = i^&* + <t>. F-4.129)
Здесь принято обозначение
Г = Ф-т]1-е]+ф0, F.4.130)
[Ки, К12, Я,13] = ^—-^-[co^j+X!—w',, со1ца+Ха,(со1+со2Iл
F.4.131)
[к21, К22, К23] = — Ш1__Шг Кщ +%г—а2, соа^а + хг,
(©i + «1)n. + 2xJ. F.4.132)
Объединяя F.4.128) и F.4.130) и вводя параметр расстройки о,
определяемый соотношением
получаем
? + 2а|) + г ^-cos Г. F.4.133)
г/ (to, —ш2)с, v '
6.4.7. Задача о космическом корабле типа Земля — Луна
Следующим примером будет одномерная задача о космическом
корабле типа Земля —Луна, которая рассматривалась в п.2.4.2,
3.2.2 и 4.1.7 и задается соотношениями
Если при малом |i разложить t по степеням х, то полученное
разложение будет иметь особенность в точке х = 1 и область
неравномерности порядка 1—x = O(|i). Таким образом, для на-
нахождения разложения, пригодного для всех х, методом многих
масштабов введем две переменные (Найфэ [1964], [1965а])
6 1-х
В этих переменных уравнение F.4.134) примет вид
6.4. Обобщенный метод 317
где все функции х считаются зависящими от ?, за исключением
источника неравномерности, выражения 1—х, которое записано
как функция т] в виде цт]. Предположим теперь, что t допускает
следующее равномерно пригодное разложение:
.. • F.4.136)
Подставив F.4.136) в F.4.135) и приравняв коэффициенты при
одинаковых степенях ц., получим
|р = 0, F.4.137)
F-4лз8)
- F-4л39)
Общее решение уравнения F.4.137) имеет вид
|/2*0 = Л(Б), F.4.140)
где А определяется из условия ограниченности отношения tjtu
при всех т]. Решение уравнения F.4.138) имеет вид
F.4.141)
При tj—>схз равенстю F.4.141) переходит в следующее:
- 1/2 ^ = [VT— А' (Е)| 4 + 4" 5 Kl-Is/2 In 2 j/f +
+ 5(E) + 0(V1)- F.4.142)
Таким образом, выражение для t, содержит два члена, достав-
доставляющих особенность при ц—>• сю: это — слагаемое, пропорциональ-
пропорциональное г\, и слагаемое, пропорциональное In (tj). Первое слагаемое
может быть исключено при условии
A'(t) = VI, /4=|б»л+а, F.4.143)
где а — произвольная постоянная. Относительно второго члена
заметим, что In (г]) меняется медленно вместе с х и ц, хотя и ц
является быстрой переменной. Поэтому этот член должен быть
выражен через переменную ?, т. е. должен быть записан в виде
In 2 j/| =
318 Гл. 6. Метод многих масштабов
Тогда tt имеет особенность при |—»¦ 1 и будет ограничено при
? —»¦ 1, если выполнено условие
B(E)=4E'/sln(l-6) + CG). F.4.144)
Функция С (?) определится из требования ограниченности отно-
отношения t2ltl при ц—>¦ оо.
Подставив полученные выше решения в F.4.139), найдем
+ 4 KfArcsh |/|— |-VTIn A-6) + ±?1-С'№. F.4.145)
При т]—>¦ сю уравнение F.4.145) принимает вид
Здесь вновь член lnVri следует выразить через |. Уравнение
F.4.146) соответственно примет вид
Для ограниченности отношения /,/fj при tj—>схз должно быть
выполнено
откуда
где с—постоянная интегрирования.
Выразив tu и tj через л; и использовав начальное условие
г(л: = О)=О( получим а = с = 0. Следовательно,
+ Vi [
x*/* Arcsh j/^^^ +
ii^] F.4.148)
6.4. Обобщенный метод 319
Рассмотрим теперь иной метод (Найфэ [1965а]) определения
функций А (?) и В (%). Поскольку разложение
V2t = А&) +ii[A' a)n^-Vb]K+f) + l3/2 Arsh Y\-
+О (ц2) F.4.149)
предполагается равномерно пригодным для всех х, то вдали от
х= 1 оно должно сводиться к прямому разложению (см. упр. 2.12).
Для нахождения /4 (|) и В(|) вместо условия ограниченности
tnltn-\ ПРИ всех S и Л может быть использовано это условие.
Выразив F.4.149) через к и разложив при малом \i, получим
V'21 = А (х) + к [А' (х) !=^- l=f J/I—
i^^]i2). F.4.151)
Чтобы первые члены в F.4.150) и F.4.151) совпали, должно
быть выполнено
A(x)=^xs/*. F.4.152)
Тогда вторые члены совпадут при условии
5(ж)=_1ж»/«-У^ + |ж»/Мп^=^+11п^5^- F.4.153)
Подставив эти выражения для А и В в разложение F.4.149) и
выразив результат через х, получим в точности разложение
F.4.148).
6.4.8. Модель диспергирующих волн
Вновь рассмотрим модельное уравнение Брезертона [1964]
**+Ф** + Ф=еФ3- F.4.154)
Линеаризованное уравнение допускает решение в форме бегущих
волн
Для отыскания волн, параметры которых медленно меняются
в пространстве и во времени, будем следовать Найфэ и Хассану
320 Гл. 6. Метод многих масштабов
[1971], предположив, что имеется разложение вида
Ф=Фо(в, Xlt Г1) + еф1(в, Xlf 7\)+..., F.4.156)
где
e = e-t(X1,711), X1=ex,T1=et,
*-<•.-&. -^—sh- <6-4Л57)
В новых переменных 6, X, и Г, пространственная и временная
производные примут вид
а'2 __ г Л
д2 д2 д2 dk д дг
k2 + 2efe + е + е2
дХ2
л4 ае4 +
Подставив F.4.156) в F.4.154) и приравняв коэффициенты при
одинаковых степенях е, получим
^ = О, F.4.158)
Решение уравнения F.4.158) должно иметь вид
Ф0 = Л(Х1) Г^^ + Л:^, 7\)в-«, F.4.160)
где
co2=--fe4—Л2 + 1.
Подставив выражение для ф0 в F.4.158), получим
M«Pi)-Q(Xi. ri)e» + i4Ve + CC, F.4.161)
где
F.4.162)
Для того чтобы вековые члены отсутствовали, должно вы-
выполняться условие Q =0. Для упрощения этого условия заме-
6.4. Обобщенный метод 321
тим, что
око'=2А:3—k, F.4.163)
где со' = du>/dk— групповая скорость. Дифференцирование F.4.163)
по переменной Xt дает
^щ+^жг^-^т- F-4Л64)
Если функция ? дважды непрерывно дифференцируема, то со и k
удовлетворяют условию совместности
или иначе
¦щ+°>'жг°- <6-4Л65>
Следовательно,
дш , дк ,« дк
и уравнение F.4.164) может быть переписано в виде
С помощью равенств F.4.163) и F.4.166) условие Q=0 может
быть упрощено и записано в виде
=iAi~A- F-4Л67>
Полагая в F.4.167) А =A/2)аехр(ф) и разделяя действитель-
действительную и мнимую части, получаем
|2l + _iL(c0'G2) = 0, F.4.168)
Решение, полученное в этом пункте с помощью метода мно-
многих масштабов, является другим представлением решения, полу-
полученного в п. 5.8.1 с помощью усреднения лагранжиана. В самом
деле, уравнения, описывающие изменение амплитуды и волнового
числа, имеют в точности тот же вид. Однако в п. 5.8.1 фаза
отсутствовала, зато дисперсионное соотношение E.8.9) зависело
от амплитуды. В данном пункте дисперсионное соотношение ие
зависит от амплитуды, во решение задает изменение фазы. Чтобы
показать эквивалентность этих представлений, разложим вели-
322 Гл. 6. Метод многих масштабов
чину 6 из п. 5.8.1 в виде
е=ео-ф.
Имеют место соотношения:
К ~ дх дх ~~ ° дх '
F.4.170)
со=соо + е-^-.
Подставив F.4.170) в E.8.9) и приравняв коэффициенты при
одинаковых степенях е, получим
За2
Последнее уравнение совпадает с уравнением F.4.169).
6.4.9. Нелинейное уравнение Клейна — Гордона
Последним примером, рассмотренным в этой главе, будет
уравнение
u) = 0, F.4.171)
изученное в п. 5.8.3 с помощью метода Уизема усреднения лаг-
лагранжиана. В нашем изложении мы следуем Люку [1966].
Предположим, что и допускает равномерно пригодное разло-
разложение вида
и(х, /) = ыв@, Х1г Г1) + еы1(б. Xi, T1) + ..., F.5.172)
где 6, Xt и Т1 определены в F.4.157). Подставив F.4.172)
в F.4.171), используя выражения для производных из преды-
предыдущего пункта и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях е, получаем
5 К) = О, F.4.173)
. _™_Ю0 _W)_W<o f6 4 174)
дХх дб dTt дд '
Проинтегрировав однократно уравнение F.4.173), придем к
уравнению
6.4. Обобщенный метод 323
Решение этого уравнения имеет вид
„ Г,,, F.4.176)
где E(Xlt 7\) и ц(Хи 7\)—неизвестные функции, которые оп-
определяются из анализа уравнения F.4.174). Обратив равенство
F.4.176), найдем
«оF, Xlt 7\) = /(e + t), E, ю«-й«). F.4.177)
Предположим, что функция / периодична с постоянным перио-
периодом, который нормировкой может быть сведен к единице, т. е.
предположим, что
= 1, F.4.178)
Это равенство дает одно соотношение между величинами ю, k
и Е, которое является дисперсионным соотношением.
Частное решение уравнения F.4.174) содержит члены, из-за
которых отношение ujuo не ограничено при 6—*оо, если только
правая часть F.4.174) не ортогональна решению сопряженного
однородного уравнения. Это условие иногда называют условием
разрешимости. Оно представляет собой обобщение условия ис-
исключения вековых членов, которое широко применялось в этой
книге. Поскольку уравнение F.4.174) является самосопряжен-
самосопряженным, то условие разрешимости означает, что его правая часть
ортогональна решению однородного уравнения, которое, как легко
показать, имеет вид иу = дыо/д0. Таким образом, требования
условия разрешимости сводятся к равенству
<? Bk д2и° I 2а а2ц° I дк ди« I дш дщ \ ди« dQ О
которое можно переписать в виде
[/(*И-°- F'4179)
Взяв в качестве переменной интегрирования вместо 0 перемен-
переменную и0 и подставив из F.4.175) выражение для дио/дд, можем
привести это условие к виду
F-4-
324 Гл. 6. Метод многих масштабов
Это равенство задает второе соотношение между (о, k и Е. Третьим
соотношением является условие совместности F.4.165).
Результаты этого пункта согласуются с результатами, полу-
полученными в п. 5.8.3 с помощью вариационного подхода.
6.4.10. Преимущества и ограничения обобщенного метода
Этот метод применим, конечно, ко всем задачам, которые
могут быть изучены с помощью метода разложения производной
или процедуры разложения с двумя переменными. Кроме того,
он применим также и в тех случаях, когда оба названных метода
терпят неудачу. Это имеет место в задачах, требующих нелиней-
нелинейных масштабов (например, в случае осциллятора с медленно
меняющимися коэффициентами), или в задачах с резкими изме-
изменениями (например, в задаче о космическом ксрабле типа
Земля—Луна). Однако данный метод требует сложных вычис-
вычислений, и в задачах нелинейных колебаний с постоянными коэф-
коэффициентами предпочтительными являются метод разложения
производной и процедура разложения с двумя переменными.
Для получения равномерно пригодных разложений в задачах,
которые поддаются рассмотрению с помощью метода координатных
преобразований, может быть использован метод многих масшта-
масштабов. Кроме того, этот метод может быть использован в тех слу-
случаях, когда метод координатных преобразований неприменим, как
это имеет место в задачах с затуханием и резкими изменениями.
В тех случаях, когда применим метод координатных преобразо-
преобразований, он может иметь преимущество, связанное с неявным зада-
заданием решения. Для гиперболических уравнений без дисперсии
желательным является получить разложение в точных характе-
характеристиках. Метод многих масштабов, однако, может быть рассмот-
рассмотрен как обобщение метода координатных преобразований, если
масштабы задаются неявно в исходных переменных.
Примеры, рассмотренные в этой главе, показали, что метод
многих масштабов применим как к задачам, которые могут быть
изучены с помощью метода сращивания асимптотических разло-
разложений, таким, как задача о космическом корабле Земля—Луна,
так и к задачам, которые не могут быть изучены с помощью
последнего метода, таким, как задачи о нелинейных колебаниях.
Метод многих масштабов дает одно равномерно пригодное раз-
разложение в отличие от метода сращивания асимптотических
разложений, в котором рассматриваются два разложения, под-
подлежащих сращиванию. Хотя и в методе многих масштабов
обыкновенное дифференциальное уравнение преобразуется в диф-
дифференциальное уравнение в частных производных, получение
первого приближения не представляет больших трудностей, чем
решение первого внутреннего уравнения. Однако трудными для
Упражнения 325
решения могут оказаться уравнения, определяющие различные
масштабы (Махони [1962]). Кроме того, данный метод еще не
применялся к дифференциальным уравнениям в частных произ-
производных, для которых первый член разложения является нели-
нелинейным, как, например, в задаче о вязком обтекании тела, и к
эллиптическим дифференциальным уравнениям в частных произ-
производных с неоднородными граничными возмущениями, таким, как
в задаче об обтекании тонкого крыла.
Метод многих масштабов применим к задачам, которые могут
быть изучены с помощью метода усреднения, метода Крылова —
Боголюбова — Митропольского и с помощью преобразований Ли,
равно как к задачам, которые не поддаются изучению этими
методами. Если система задана своим гамильтонианом, то метод
преобразований Ли имеет то преимущество, что высшие прибли-
приближения могут быть найдены рекуррентно. Однако метод многих
масштабов в сочетании с преобразованиями Ли может быть при-
применен непосредственно к гамильтониану.
Упражнения
6.1. Определить равномерное разложение первого порядка для уравнения
« = e/ (и, и)
и получить затем частные случаи, соответствующие функциям f =
«2)п и —\й\й.
6.2. Определить равномерные разложения второго порядка для уравнения
при 6, близком к 0 и 4.
6.3. Определить равномерное разложение второго порядка для уравнения
u + F+ecos8/)u = 0.
6.4. Определить равномерные разложения первого порядка для уравнения
u + F-J-e cos 2<) u = e/(u, и)
и получить частные случаи при / = Р«3, —\и\и и A—и2) и.
6.5. Рассмотреть уравнение
l — и9)п] +К cos Ш.
Определить равномерное разложение первого порядка для случаев
(а) ft =0A) и значения ш далеки от соо, Зсоо и шо/3,
(б) /Г = 0A) и соиЗсОо,
(в) К = 0A) и to wtoo/3.
(г) К = О (е) и (О w соо-
326Гл. 6. Метод многих масштабов
6.6. Рассмотреть систему
d
;м 2е —-[A—г) u]+2/C cos at,
Определить равномерные разложения первого порядка для случаев, пере-
перечисленных в упражнении 6.5.
6.7. Задача о старте спутника с малой тягой с круговой орбиты может
быть приведена к виду
eft2
ы" + и—ft2= (su'-\-cu),
его3
u@) = I, u'@)=0, o<P) = l.
где штрих означает дифференцирование по 6, а е, s и с— постоянные. Показать,
что при малом е имеют место разложения (Найфэ [1966])
где^=A—4es9I/4. Является ли это разложение пригодным для всех G?
6.8. Рассмотрим задачу, определяемую соотношениями F.4.105) и F.4.106)
при постоянных соО) р, у, [г,- и yj.
(а) Определить равномерное разложение первого порядка для случая
К = 0A) и значений р, далеких от cdj. (б) Показать, что это разложение не-
непригодно при риО или 2со1—со2, и определить равномерные разложения пер-
первого порядка, пригодные в этих случаях (Найфэ и Сарик [19716]). (в) Опреде-
Определить равномерное разложение первого порядка для случаев К = О (е2) и р и Wi,
используя сначала метод многих масштабов (Найфэ и Сарик [19716]) и затем
метод усреднения (Клэр [1971]). Сравнить оба результата.
6.9. Используя метод многих масштабов (МММ), определить равномерные
разложения второго порядка для задач
(а) гу"^у'-\.у = О,
(б)еу"ц:у'=2х,
()"B1)/ 1
с граничными условиями
у@)=а, {/A) = р.
6.10. Определить равномерные разложения первого порядка для задач
(а) гу"-а (х) у' + Ъ (х) у=0, а (х). > 0,
(б) чГт »' + »¦ = 0,
(в) еу"^уу'—у=О,
(г) егЛтBд:+1)г/Ч-г/2 = 0,
(д) ьу" Т У' + Уп = 0, п—натуральное число, с граничными условиями
«/@)=а,
Упражнения 327
6.11. Используя МММ, определить равномерное разложение первого по-
порядка для задачи
гу" +а(х)у' = 1,
{/@)=а, f/(l) = P
при условии, что а(х) имеет простой корень в точке ц из интервала [0, 1].
6.12. Используя МММ, определить равномерное разложение первого по-
порядка для уравнения
y"+k4l-x)"f(x)y=0,
где п—натуральное число, } (х) > 0 и к^> 1.
6.13. Определить равномерные разложения первого порядка для уравнения
F.4.84), имеющие вид
(а) и = А A) en h, v (|)], (б) и = А (!) dn [ч, v (?)].
6.14. Рассмотреть уравнение
в котором (p — (u(?t). Определить равномерные разложения первого порядка
для случаев
(а) /С = О A) и значения to далеки от соо, Зсоо и <во/3,
(б) К = 0A) и со кЗсоо,
(в) К = О(\) и to w соо/3,
(г) К =0 (е) и to я too.
6.15. Рассмотрим задачу, определяемую соотношениями F.4.105)—F.4.107)
с переменными коэффициентами. Определить равномерное разложение первого
порядка для случая, когда /( = 0A) и значения р далеки от щ. Показать,
что это разложение непригодно при р к, 0 или 2щ—со2, и определить равно-
равномерные разложения, пригодные в этих случаях (Найфэ и Сарик [1972а]).
6.16. Решить упражнение 5.14, используя МММ.
6.17. Определить равномерное разложение для малых амплитуд в системе
х—у'+ 2х+Зх2 + 2{/2 = О,
полагая 6 я; 1.
6.18. Рассмотреть задачу
иц —с2ихх—у2и = ей3,
и (х, 0) = a cos kx, щ (х, 0) = 0.
Определить равномерное разложение первого порядка при условии
с2/?2 w у2.
6.19. Рассмотреть уравнение
ип—с2ихх + у*и = еиа.
Используя МММ, определить разложения первого порядка для бегущих волн
при условиях: (а) амплитуда и фаза меняются медленно при изменении состоя-
328 Гл. 6. Метод многих масштабов
ния и времени; (б) волновое число, частота, амплитуда и фаза меняются медленно
с изменением состояния и времени.
6.20. Продольные колебания свободной однородной балки с нелинейной
зависимостью между моментом и кривизной задаются уравнением
где с и в—постоянные. Используя МММ, определить равномерные разложения
первого порядка при малом 8 для случаев, перечисленных в упражнении 6.19.
6.21. Используя МММ, определить во втором порядке равномерные реше-
решения в форме бегущей волны для задачи, описанной в упражнении 5.15, для
случаев, указанных в упражнении 6.19.
6.22. Вновь рассмотреть модельное уравнение Брезертона
ФИ+ф****+Фх*+Ф=еНф. Ф*. Ф*)
теперь уже с нелинейной функцией / общего вида. Используя МММ, определить
при малом е равномерно пригодные разложения для случая резонанса в п-й
гармонике. Применить результаты в частных случаях, соответствующих: (а) ре-
резонансу во второй гармонике; (б) резонансу в третьей гармонике.
6.23. Используя МММ, дать формулировку задач, из которых определяются
равномерные решения первого порядка в примерах
8
хх + т+а(х, у)их = 0,
е (ихх + uvv) + а (х, у)их + Ь (х, у)
eV"+«(*. У)ихх + Ь(х, у)их+с(х, y)uy+d(x, y)u=0
с граничными условиями
и (х, 0) = Ft (х), и (х, 1) = Fа (х).
ГЛАВА 7
Асимптотические решения линейных
уравнений
В этой главе дадим описание новых методов, которые вместе
с некоторыми методами, описанными в предыдущих главах, будут
использованы для получения асимптотических решений линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в част-
частных производных. Нас будут интересовать дифференциальные
уравнения с переменными коэффициентами. Применяемый подход
состоит в том, чтобы, использовав наличие большого или малого
параметров, получить возмущения по параметру, или, использо-
использовав малые или большие значения координат, получить возму-
возмущения по координате.
Если для системы обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений бесконечно удаленная точка является регулярной особой
точкой, то решения могут быть получены в виде сходящихся
рядов по обратным степеням координаты; исключение составляют
лишь некоторые случаи задач с регулярной особой точкой, в ко-
которых одно из решений может содержать логарифм координаты.
В данной главе нас будут интересовать случаи с нерегулярной
особенностью, когда решение должно быть представлено асим-
асимптотическим разложением. При получении возмущений по пара-
параметру последний может быть малым или большим, причем первый
случай охватывает также случай с медленно меняющимися коэф-
коэффициентами. В этих случаях разложения получаются с помощью
преобразования Лиувилля—Грина (ВКБ) и его обобщений. По-
Получающиеся разложения являются пригодными всюду, за исклю-
исключением некоторых точек, называемых точками возврата, или пе-
переходными точками. Разложения, пригодные всюду, включая
и точки возврата, получаются с помощью преобразования Лангера
и его обобщений.
Рассмотрение дифференциальных уравнений в частных произ-
производных ограничено случаем приведенного волнового уравнения
с переменным показателем преломления. Вначале с помощью про-
процедуры Борна— Неймана строится разложение для случая, когда
показатель преломления мало отличается от постоянной, и затем
решение представляется диаграммами Фейнмана. Получающееся
разложение пригодно только на коротких расстояниях, а область
его равномерности может быть расширена с помощью метода
330 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
перенормировок. Затем описаны приближение геометрической
оптики и метод сглаживания.
Поскольку рассматриваемые задачи являются линейными, то
существует обширная литература, посвященная их асимптоти-
асимптотическому решению и математическому обоснованию этих решений.
В этой главе мы даем описание методов получения формальных
асимптотических разложений для решений уравнений, не вдава-
вдаваясь в математическое обоснование их. Кроме того, процитировано
ограниченное число статей. Читателя, интересующегося более
обширными ссылками и математической строгостью, отсылаем
к Эрдейи [1956], Джеффрису [1962], Чезари [1971], Беллману
[1964], Уилкоксу [1964], Вазову [1965], Фещенко, Шкилеву и Ни-
коленко [1967], Вазову [1968] и Фришу [1968].
Сначала, в § 7.1, рассмотрены обыкновенные дифференциаль-
дифференциальные уравнения второго порядка; системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений первого порядка рассмотрены в § 7.2.
Задачи с точками возврата исследуются в § 7.3, приведенное
волновое уравнение изучается в § 7.4.
7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка
В этом параграфе мы будем иметь дело с асимптотическим
разложением решения уравнения
g % = г(х; е), G.1.1)
где е—параметр, который может быть малым или большим. Будем
предполагать, что функции р и q не обращаются одновременно
в нуль на интересующем нас интервале. Сначала исследуем
асимптотические решения этого уравнения в окрестности нере-
нерегулярной особой точки. Затем опишем методику отыскания асимп-
асимптотического решения уравнения G.1.1) для случая, когда оно
содержит большой параметр. Затем рассмотрим особые задачи
возмущений с малым параметром при старшей производной.
Наконец, опишем методы получения асимптотических разложений
для случаев, когда р, q и г являются медленно меняющимися
функциями х.
7.1.1. Разложения в окрестности нерегулярной особенности
Исследуем асимптотическое поведение решений уравнения
^ d 0 G.1.2)
при х—»оо и при условий, что бесконечно удаленная точка
является нерегулярной особой точкой. Прежде чем взяться за
7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 331
намеченное, дадим определения регулярной особой точки и ир-
иррегулярной особой точки. Предположим, что р (х) и q (x) допускают
разложения по возрастающим степеням (х—хв), х0 < с», вида
р(х)=ро(х—xB)*[l+Pl(x—хо)+], ро^,
q (х) = Яо(х~х)Ц1+Я(х-х) + ] Я^О ( '
Точка х„ называется обыкновенной точкой, если а^О и Р^О,
в противном случае она называется особой точкой. Особая точка
называется регулярной особой точкой, если а^—1 и р^—2;
в противном случае она называется иррегулярной особой точкой.
Приведенные выше определения таковы, что природа конечной
точки х0 определяется почти с одного взгляда. Природа беско-
бесконечно удаленной точки может быть определена преобразованием
ее в начало координат. Итак, положив в G.1.2) x = z~1, получим
Бесконечно удаленная точка является обыкновенной точкой
исходного уравнения, если начало координат является обыкно-
обыкновенной точкой преобразованного уравнения, т. е. если выполнено
_2_PJ^) = 0
г г2 * "
, 1ч При 2—*0.
^
Этим соотношениям соответствуют в исходном уравнении соотно-
соотношения
при лг-^оо. G.1.5)
— L) уХ ).
Для того чтобы бесконечно удаленная точка была регулярной
особой точкой G.1.2), начало координат должно быть регулярной
особой точкой преобразованного уравнения; т. е.
> 2 р(г~1)_
Z 2^
Этим уравнениям соответствуют соотношения:
332 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Таким образом, если р(х) и q(x) разлагаются в ряд по убы-
убывающим степеням х вида
р(х) = роха + ..., q(x) = qoxP-\-..., р0, qo?=0,
то бесконечно удаленная точка будет обыкновенной точкой при
р"<!—4 и при а = —1, ро=2 либо при а<!—2. В этом случае
уравнение G.1.2) имеет два решения в виде сходящихся рядов
по степеням х~х. Если указанные условия не выполнены и а<1—1,
Р<;—2, то бесконечно удаленная точка является регулярной
особой точкой. В этом случае уравнение имеет два решения,
представимых сходящимся рядом по степеням х~х вида (Фро-
бениус [1875]):
-* +...), G.1.7)
где о удовлетворяет так называемому показательному уравнению
7о = 0, если а = —1, Р==—2.
Исключение составляют частные случаи, когда корни этого урав-
уравнения совпадают либо отличаются на целое число; в этих слу-
случаях решения могут содержать logx.
Если из неравенств
а>—1, Р>—2
выполнено одно или оба, то бесконечно удаленная точка является
иррегулярной особой точкой. Это и есть случай, интересующий
нас в данном параграфе. В этом случае уравнению G.1.2) удовлет-
удовлетворяют решения вида
). G.1.8а)
Здесь и(х) = О(\) при х—>-оо, причем и(х) не обязательно схо-
сходится; Л (л:)—полином относительно хт/п. Обозначив через Xxv
старший член в Л (х), подставив вышеприведенное решение
в G.1.2) и выделив в каждом члене главную часть, получим
Х^х™- * + polvxv+a-» + q^ = 0. G.1.86)
Тогда v определяется одним из равенств
v=a+l, 2v = P + 2, G.1.8b)
а именно тем, которое доставляет большее значение v. Если v —
натуральное число, то приведенное выше решение называется
нормальным решением (Томе [1883]) и имеет вид
у = exp (Kxv + Av-i*v- * + • • • + Кх) х°(\ +а1х~1 +..-)• G.1.8г)
7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 333
Если же v не является натуральным числом, то это решение
называется субнормальным решением; в этом случае Л представ-
представляет собой полином относительно х1/2, а и является рядом по
возрастающим степеням лгх/2. До сих пор мы предполагали, что
р и q представляются в виде степенных рядов по х с натураль-
натуральными аир. Если а и р не являются натуральными числами,
то v — рациональное число, которое может быть представлено
в виде несократимой дроби v = n/k. Тогда субнормальные реше-
решения имеют следующий общий вид:
у =ехр(Ьял« + • •
т = ?-*. G.1.8д)
Для нахождения нормального или субнормального решения
следует подставить в G.1.2) решение соответствующего вида,
приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х и полу-
получить уравнения, которые в свою очередь могут быть последова-
последовательно решены относительно %т, а и ат.
Рассмотрим в качестве примера частный случай
СО СО
/>(*)= 2 РпХ~", ?(*)= 2 ?«*"¦" при х— оо, G.1.9)
п=0 п=0
где р„ и <7„ не зависят от х. Из равенств G.1.8в) имеем для рас-
рассматриваемого случая: v = l. В соответствии с G.1.8г) уравнение
G.1.2) при условии G.1.9) имеет формальное асимптотическое
решение вида
00
у = еь*хо 2 с„х-", G.1.10а)
л=0
где "К, согласно G.1.86), является корнем уравнения
= 0. G.1.106)
Подставив G.1.10а) в G.1.2) с учетом G.1.9), приравняв коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях х, найдем, что
G.1.10В)
и получим рекуррентные соотношения относительно сп.
Якоби [1849] получил разложения в виде нормальных решений
для функций Бесселя первого порядка при больших значениях
аргумента. Аналогичные результаты для уравнения Эйри получил
Стоке [1857]. Хорн [1903] дал обоснование асимптотическим ре-
решениям в виде произведения экспонент и рядов по убывающим
степеням х.
334 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
7.1.2. Разложение функции Бесселя нулевого порядка для больших значений
аргумента
Функция Бесселя нулевого порядка задается с помощью урав-
уравнения
d2y I dy „ _ . ш
Ъё+ТТх + У-"- G.1.11)
Здесь
<?о = 1, 9« = 0 для
Следовательно, из G.1.10) получаем
«
у = е'хх~1'2 2 стх~т при лг-^сю. G.1.12)
т=0
Подставив это разложение в G.1.11) и приравняв коэффициенты
при одинаковых степенях х, получим следующее рекуррентное
соотношение:
G.1.13)
Поэтому, взяв со=1, будем иметь
L? ЬЗ' l-ffl-5» ЬЭ».5»-7»
при л;—^оо. G.1.14)
Поскольку отношение двух последовательных членов
tB/n+lJ
8(/л+
сю при т— > сю,
то правая часть в G.1.14) расходится при всех значениях х.
Однако для больших значений х имеем асимптотическое разло-
разложение, так как с возрастанием m последующие члены убывают
очень быстро.
Заменив в G.1.14) i на —i, можно получить другое линейно
независимое разложение у вида
1-3'-Б» ¦ ЬЗ»-Б»-7»
З»-Б»-7» Л
43-23-3! *3 "Г4а-2*-4! ** • # ' ' J"
G.1.15)
7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 335
Действительные решения могут быть получены с помощью ли-
линейных комбинаций рядов G.1.14) и G.1.15):
G.1.16)
t/2~ y~7.y =Ar-l/2(«sin;t—ocosa;).
Здесь
/\_i l-3a , l-32-52-72 ,
U(X)— 1 42.22.2! x* "¦ 44-24-4!*4 ' ' ' "'
G-L176>
Поэтому функция Бесселя Jo задается асимптотическим соотно-
соотношением
ПРИ *—>"°°, G.1.18)
где Л и В— постоянные. Из G.1.16)—G.1.18) следует, что
Hm;t1/!iJ0(A:)=4cos;t+fisin;t, G.1.19)
J?->- СО
Птл;1/г./;;(*:)= — A sin x + Bcosx. G.1.20)
X ->- СЮ
Имеем, следовательно,
Л = Птх1'2 [Jo(x) cosx—J'0(x) sinx], G.1.21)
д: -> со
Б = lim х1'2 [Jo (x) sin д; + J'o (x) cos д;]. G.1.22)
X -*¦ сю
Однако Jo имеет интегральное представление вида (см., на-
например, Айне [1926], раздел 8.22I)
л
Jo = 1 Г cos (a: cos 6) d6, G.1.23)
о
Подставив это выражение в G.1.21), получим
Л= lim \ [cos х cos (a: cos 6) -f- sin x cos 6 sin (a: cos G)] d6 =
1/2 n / a \ a
= lim -— \ cos I 2a; sin2 -f-) cos2 ^-dQ +
+ lim ^^ cosBA;cos2-|-)sin2|-de.
x) См. также, например, И. С. Градштейн и И. М. Рыжик, „Таблицы
интегралов сумм, рядов и произведений", М., «Наука», 1971.— Прим. ред.
336 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Положив |/2# sin 6/2 = <р в первом интеграле и \/^2х cos 6/2 = а
во втором, получим
Л = J—- Г cos ф2 dq> + С cos a2 da = -^.
я [J J J v«
Аналогично находим, что B = 1/J/ji. Поэтому, объединяя G.1.16)
и G.1.18), получаем
— jt^J при ^_оо.
G.1.24)
7.1.3. Задача Лиувилля
Лиувилль [1837] и Грин [1837] одновременно рассмотрели
поведение решений уравнения
$ + [Ьш<1Лх) + чЛх)]У = 0 G.1.25)
для больших Я и при условии, что qt{x) — положительная дважды
непрерывно дифференцируемая функция, а q%(x) непрерывна на
рассматриваемом интервале [а, Ь]. С помощью преобразования
G.1.26)
уравнение G.1.25) приводится к виду
G.1.27)
Выбрав ф и я]э такими, что
ф —==«| (}} — ф , (/.1.ZO)
или, что то же самое,
можно свести G.1.27) к уравнению
^+X*v = 6v, G.1.30)
где
6 = -L-?L—1^_й. G.1.31)
4 оа 16 о? О."
7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 337
Поскольку q1 дважды непрерывно дифференцируема, a q2 непре-
непрерывна на интервале [а, Ь], то б мало по сравнению с Я2. Следо-
Следовательно, в первом приближении функция v будет решением
уравнения G.1.30) при 6 = 0, т. е.
m'kz, G.1.32)
где а и Ь — постоянные. Поэтому имеем в первом приближении
у = ^ * L i J . G.1.33)
V Я\ (х)
Если функция 9i (x) отрицательна, то соотношение G.1.33) заме-
заменится на
сехрГяС Y — qi(x)dx~\ + bcxp Г—Я \ V—Qi(x)dx~]
у= L^ * L *- =!. G.1.34)
V —Ях(х)
Эти разложения вполне согласуются с разложениями, получен-
полученными в п.6.4.3 с помощью метода многих масштабов. Следует
отметить, что эти разложения нарушаются в окрестностях нулей
функции <7i (*)• Эти нули называются точками возврата или
переходными точками. Задачи с точками возврата рассматри-
рассматриваются в § 7.3.
Математики называют преобразование G.1.26), G.1.29) пре-
преобразованием Лиувилля — Грина, в то время как физики называют
решения G.1.33) и G.1.34) ВКБ-приближениями в честь Вент-
целя [1926], Крамерса [1926] и Бриллюэна [1926]. Однако при-
приближенное решение такого же типа для функции Бесселя при
большом порядке и больших значениях аргумента получил Кар-
лини [1817].
7.1.4. Высшие приближения для уравнений, содержащих большой параметр
Рассмотрим асимптотическое разложение решений уравнения
?K)y = 0 G.1.35)
для больших Я и при условии, что
00
q(x, k)=l* 2 *,-"?„(*) при Я, —оо, G.1.36)
0
причем qo^O на рассматриваемом интервале, a k—натуральное
число. Асимптотическое решение этой задачи можно искать
338 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
в виде одного из следующих двух формальных разложений:
G.1.37)
2M)Up2gn(
п=0 J | л = 0
2 Ь-"?„(*)]• G.1.38)
0 J
2
Обоснование разложений такого вида было дано Хорном [1899].
Подставив одно из этих формальных разложений в G.1.15) и
G.1.36) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях "К,
получим уравнения для последовательного определения ап и gn.
Для формального разложения G.1.37) при /г=1 эти уравне-
уравнения имеют вид
? G.1.39)
G.1.40)
-1 = 0 для т>1. G.1.41)
s=l
Решение уравнения G.1.39) имеет вид
G.1.42)
Решением уравнения G.1.40) является функция
которую можно переписать в виде
ао = с [<?„ (х)] -1/. exp ± [-g- J (^^ dxj , G.1.43)
где с—постоянная. Следовательно, в первом приближении будет
иметь место
где сх и са—постоянные, а
[^]. G-1.45)
Высшие приближения могут быть получены последовательным
решением уравнений G.1.41) относительно ат.
Если вместо G.1.37) мы использовали бы второе формальное
разложение G.1.38) при том же значении k — \, то получили бы
7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 339
следующие уравнения для определения gm:
= 0, G.1.46)
'm + Qm + 2 g'sg'm-s +g"m-1 = 0 ДЛЯ Щ > 1. G.1.47)
m-x
s=x
Решение уравнения G.1.46) задается равенством G.1.42). Урав-
Уравнения G.1.47) при т=\ задают уравнение
решением которого является функция
Ш^ GМ8)
Подставив выражения для g0 и g1 в G.1.38), получим в точно-
точности соотношения G.1.44) и G.1.45).
7.1.5. Малый параметр при старшей производной
В этом пункте мы будем рассматривать уравнение
$? я г(х) GЛ.49)
при е—>-0. Асимптотические разложения решений этого уравне-
уравнения были получены в п.4.1.3 с помощью метода сращивания
асимптотических разложений, в п.4.2.2—с помощью метода
составных разложений и в п.6.4.2—с помощью метода многих
масштабов.
Используя преобразование (Голдстейн [1969])
X
G.1.50)
приведем уравнение G.1.49) к нормальному виду
При г = 0 уравнение G.1.51) принимает вид G.1.35), G.1.36),
в котором k= 1, % = 1/2е, qo= —рг и q1 =2q—р'. Следовательно,
частное решение уравнения G.1.51) имеет вид
^ G.1.52)
где
^[^]? ±$*Л ,7.1.53)
340 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Приближенное частное решение уравнения G.1.49) можно полу-
получить, положив е = 0. Проделав это, получим
-<b. G.1.54)
Следовательно, в первом приближении имеем
йх- GЛ-55)
Высшие приближения можно получить, предположив, что раз-
разложение имеет вид
СО 00
у= 2 г"Ап(х)е-м'в+ 2 «"^W, G.1.56)
где
X
fdx. G.1.57)
Разложение такого же вида мы предполагали и в п.4.2.2, в ко-
котором применялся метод составных разложений. Тогда мы опре-
определяли величины М, А„ и Вп подстановкой разложения в исход-
исходное уравнение и приравниванием нулю коэффициентов при е" и
е"ехр( — М/г).
Для случая р=р(х, е) и q = q(x, в) Вазов ([1965], глава 7)
взял асимптотическое разложение вида
ж со
У- Ii Д,(х)ехрГСМ*, в)<**1+ 2 5п
n=0 LJ J ч=о
+ 2б«С„(*), G.1.58)
где ^! и Яв являются корнями уравнения
, e) = 0 при е—>О. G.1.59)
Таким образом, если р и <7 не зависят от е, то Kt=—р/е,
Я2 = 0, а равенство G.1.58) принимает вид G.1.56).
7.1.6. Однородные задачи с медленно меняющимися коэффициентами
В этом пункте мы рассматриваем уравнение
g ;«)g+?(e*; вH = О, G.1.60)
7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 341
где в—малый параметр и
^1 п /?\. п 'V епп 1%\ ? G 1 R]\
Асимптотическое разложение общего решения уравнения G.1.60)
имеет вид (историю вопроса и литературу см. Фещенко, Шкилев
и Николенко [1967])
У = 2 еМ„ (Б) & + 2 е"Б„ (Б) е\ G.1.62)
л=0 п=0
где
~=Ы1)> G.1.63)
а Я, и %ъ являются корнями уравнения
^2 + РоШ^ + 9о(Е) = О. G.1.64)
Предполагаем, что на рассматриваемом интервале %г и Я2 раз-
различны. Величины 6{ и Б в G.1.62) предполагаются независимыми.
Это эквивалентно методу многих масштабов, описанному в пре-
предыдущей главе. Производные преобразуются в соответствии
с равенствами
d , д , , д , д
ЩЩ
где Ц =A^/A1.
Обозначим через А и В коэффициенты при exp Fj) и ехр F2).
Подставив G.1.62) в G.1.60) и приравняв нулю коэффициенты
при ехр F,-), получим
К + р) А' + вКА +г*А"=0, G.1.65)
+ 4) В + гB%а + р) В' +гк'2В + е2Б" = 0. G.1.66)
Положив в уравнениях G.1.65) и G.1.66) вновь
00 00
А = 2 еМ„, В = 2 е"Бп G.1.67)
0 0
2
л=0
и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получим
уравнения для последовательного определения Ап и Вп. Первые
342 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
члены Ао и Во задаются уравнениями
Ло^0, G.1.68)
Bo = 0. G.1.69)
Решения этих уравнений представляются в виде
А.. Д^ехр-J^ffi + ftdE. G.1.70)
В случае р = 0 и qn = 0 для
А --?- В - b
где а и Ь—постоянные. Поэтому в первом приближении имеет
место
COS
~" G.1.71)
Это есть приближение Лиувилля—Грина или ВКБ-приближение
к решению уравнения
S e*)f/=0. G.1.72)
7.1.7. Динамика входа снаряда
Комплексный угол атаки симметричного снаряда описывается
уравнением (Найфэ [1969а])
=0. G.1.73)
В этом уравнении величины и, Q, D и М являются медленно
меняющимися функциями времени, а р и у—постоянные. Сле-
Следовательно, оно имеет тот же вид G.1.60) при
G.1.74)
Штрихом обозначено дифференцирование по медленному времени
! = в*, в то время как точка означает дифференцирование по
7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 343
быстрому времени t. Подставив р0 и q0 в G.1.64), получим
te + ip(l+V)b + y(p*c~P2) = 0. G.1.75)
Следовательно,
¦A— VJP* + VPl G.1.76)
Тогда с помощью G.1.70) получаем
— л —Л + ДЛ Pi — р — Л — ДЛ /7 1 Т7\
о— I е » ?><)— _/ е » yi.i.ii)
У сои У ыи
где
G.1.78)
Поэтому в первом приближении имеет место
Л + ДЛ—4-i(
—Л—A^V—-j '(I +Y) Р—«©] } • G.1.79)
В числе других авторов динамика снаряда исследована Фау-
лером и др. [1920], Фаулером и Локом [1921], Грином и Уиве-
ром [1961], Мерфи [1963] и Коукли [1968].
7.1.8. Неоднородные задачи с медленно меняющимися коэффициентами
В этом пункте мы рассматриваем асимптотическое разложе-
разложение общего решения уравнения
g + p(E,e)g + <7(E,e)y=/'(E,8)e*«*.«> G.1.80)
где
-g = co(?), g = ex, G.1.81)
р=-2г»рп&), Я=Ъ*ПЯЛ1), г=^еТ„A). G.1.82)
п=0 п=0 п=0
Следует различать два случая в зависимости от значений /со и
корней Хг и ^2 уравнения
= 0. G.1.83)
344 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Если в одной или более точках рассматриваемого интервала
имеет место равенство tco = A1 или К2, то говорим о резонансном
случае; в противном случае имеет место нерезонансный случай.
Сначала рассмотрим последний из случаев.
Не резонансный случай. В этом случае будем предполагать, что
у = А (I, е) ев. + в (I, е) в». + С (g, е) е*, G.1.84)
где
=М1) GЛ85)
Уравнения для А и В совпадают с уравнениями G.1.65) и G.1.66).
Для того чтобы найти С, примем в G.1.80) у = Сехр(щ) и,
приравняв в обеих частях коэффициенты при ехр (»ф), получим
(— со2 + Шр + q)C + e BШ + р) С + гесо'С + е2С" = г. G.1.86)
Положив в G.1.86)
2A) G.1.87)
2
л=0
и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получим
уравнения для последовательного определения сп. Первый из
коэффициентов задается равенством
с = =
_Ш2+i(opo+?о
G.1.88)
Решения для Л и В те же, что в п. 7.1.6. Поэтому в первом
приближении будет иметь место равенство
где а и 6 — постоянные.
Резонансный случай. Разложение G.1.89) нарушается, как
только величина ш станет равной Я., либо Х2 в одной или более
точках, поскольку в таких точках последний член становится
неограниченным. Предположим, что Ш равно Xt в одной или
более точках, в то же время ia=^X2 на рассматриваемом интер-
интервале. Асимптотические разложения, пригодные в этом случае,
были получены Фаулером и др. [1920], Фаулером и Локом [1921].
7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 345
В рассматриваемом случае частное решение имеет вид
G.1.90)
где
¦37 —[G(S, б) — Кй]т1 + Я(|, e). G.1.91)
Подставив G.1.90) и G.1.91) в G.1.80) и приравняв в обеих
частях коэффициенты при каждом из выражений TjexpO'cp) и
exp (t<p), получим
= 0, G.1.92)
= г. G.1.93)
Полагая в G.1.92) и G.1.93)
S ?(Е) G-1.94)
SB() ?
л=0 л=0
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, по-
получим уравнения для последовательного определения Gn и Н„.
Первые два члена определяются с помощью уравнений
l G G.1.95)
, G.1.96)
(Go+ /7o + i(o)//,=/¦„, G.1.97)
= r1. G.1.98)
Из уравнения G.1.95) видно, что G0 = X1 либо Х2. Мы примем
G0 = X1, потому что по предположению Я., становится равным ш
в одной или более точках. Из уравнения G.1.96) получаем
Решения уравнений G.1.97) и G.1.98) имеют вид
И =
0
Тогда общим решением уравнения G.1.81) будет функция
e)&, G.1.101)
где Л и В определены в п. 7.1.6.
Частное решение уравнения G.1.80) можно получить с по-
помощью следующей методики, отличной от методики, использо-
использованной в п. 7.1.6. Будем предполагать, что существует решение
346 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
вида
уе = Ъ{х,г), fx = F(\, e) С. G.1.102)
Подставив G.1.102) в однородную часть уравнения G.1.80),
получим
Fa + pF + q + zF'=0. ' G.1.103)
Положив в G.1.103)
л=0
G.1.104)
и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получим
уравнения для определения Fп. Первые два из этих уравнений
имеют вид
П + РоРо + Яо = 0, G.1.105)
2Fof 1 + P*?i + PS* + Яг + Го = 0. G.1.106)
Так же как и уравнение G.1.64), уравнение G.1.105) имеет два
корня Я, и Я2. Тогда уравнение G.1.106) дает
Следовательно,
§[ ^^Й^ Н G-1.108)
Интегрируя G.1.108), замечаем, что ус имеет тот же вид, что и
решение, полученное в п. 7.1.6. Предлагаемый метод разложения
совпадает с тем, который определяется соотношением G.1.38).
7.1.9. Последовательные приближения Лиувилля — Грина
(ВКБ-приближения)
Для получения высших приближений к решению уравнения
§ 0 G.1.109)
при малых е Имаи [1948] предложил использовать последова-
последовательные преобразования Лиувилля —Грина (ВКБ-преобразова-
ния). Итак, введем в рассмотрение преобразование
dXl=k(BX)dx, yi = [k(ex)?'*y(x), G.1.110)
которое преобразует уравнение G.1.109) к виду
dxi
7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 347
где
Поскольку k меняется медленно при изменении х, то можно
считать, что k\ta\. Тогда приближенное решение уравнения
G.1.111) имеет вид
yl=acosxxJrbsmx1, G.1.113)
где а и Ь—постоянные. Следовательно, первым приближением
к решению уравнения G.1.109) является функция
a cos \ fcdx+ftsin \kdx
*—&
Для нахождения второго приближения к у заметим, что
уравнение G.1.111) имеет вид G.1.109). Тогда уточненное реше-
решение уравнения G.1.111) можно получить, рассмотрев преобразо-
преобразования
3 fdk\4 .- . llc.
[) j G.1.116)
Уравнение G.1.111) при этом приведется к виду
—т + ?!#2=0, G.1.117)
где
ч -п т\а-\- G.1.118)
2ki dxl 4kl KdxJ l '
Поскольку dk1/dx1=k~1 (dk1/dx)=O(e,), то последние два члена
в G.1.118) малы по сравнению с 1, и, следовательно, первое
приближение к у2 имеет вид
и =acosx 4-bs'mx G 1 119)
Поэтому второе приближение к у задается равенством
14-— — 3 / dk у
у= 8fe3 ^ i;l6fe4 ^ ^ ' (a cos x2 + b sin x2), G.1.120)
где
И. [_d^._L._^_(Eh-\2]bd G 12П
4fe3 dx2 8fe4 \ dx ) J
Аналогичным образом могут быть получены высшие прибли-
приближения введением новых преобразований вида
dxn+l=kndxn, yn+l=V%yn. G.1.122)
348 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
7.2. Системы обыкновенных уравнений первого порядка
В этом параграфе мы рассмотрим сначала асимптотические
решения уравнений в окрестности бесконечно удаленной иррегу-
иррегулярной особой точки. Затем обсудим уравнения с малым или
большим параметром. Наконец, опишем асимптотические разло-
разложения для уравнений с медленно меняющимися коэффициентами.
7.2.1. Разложения в окрестности иррегулярной особой точки
Рассмотрим поведение системы п линейных уравнений
d? G.2.1)
при х—*оо. Здесь q—целое число, q^—1, а матрица предста-
вима в виде
00
А {х) = 2] Лтх-т при х—-оо. G.2.2)
т=0
При q— — 1 точка л: = оо является регулярной особой точкой
системы G.2.1), при <7 >—1 — иррегулярной особой точкой.
Поведение решения в окрестности иррегулярной особенности
зависит от того, будут ли все собственные значения матрицы Ао
различными или нет. В этом пункте будем рассматривать случай
различных собственных значений.
Скалярное уравнение вида G.2.1) может быть решено явно,
и решение его имеет вид
у (х) = U (х) х°е<1 «*», G.2.3)
где G,—вообще говоря, комплексная постоянная, a Q (х) — по-
полином относительно х вида
С 0 при <7 =—1,
"у о хт G-2-4)
и, далее,
U (х) = 23 Vmx-». G.2.5)
В случае системы уравнений асимптотическое решение опять-таки
имеет вид G.2.3), в котором величины G, Qm и Uт являются
постоянными матрицами. Томе [1883] назвал такое разложение
нормальным решением.
7.2. Системы обыкновенных уравнений первого порядка 349
Для отыскания асимптотических разложений решений системы
G.2.1) и G.2.2) зададимся формальным решением вида
у = и(х)х°еАю, G.2.6)
где с—постоянная, а А(х) имеет вид
^?+...+M. G.2.7)
причем Х_т = 0 при /п>0 и, наконец,
и(х)= 2 итх-т при лг—оо. G.2.8)
т=0
Здесь Л — скаляр, а у и и—векторы-столбцы. Подставив G.2.6)—
G.2.8) в G.2.1) и G.2.2) и приравняв коэффициенты при равных
степенях х, получим уравнения для последовательного опреде-
определения Хп, о и и„. Первое уравнение имеет вид
(A,-Vi/)un = °. G-2-9)
где /—единичная матрица. Для существования нетривиального
решения системы G.2.9) детерминант ее должен обратиться
в нуль. Из этого условия получаем следующее алгебраическое
уравнение n-го порядка:
\Ao-Kq+lI\=0. G.2.10)
Если собственные значения матрицы Ло различны, то уравнение
G.2.10) определяет и различных значений для Яв+1, которые
соответствуют п линейно независимым решениям вида G.2.6).
7.2.2. Асимптотическое разбиение систем уравнений
Сибуя [1958] развил методику упрощения системы уравнений
G.2.1) путем сведения ее к некоторым дифференциальным урав-
уравнениям специального вида, которые могут быть решены легче,
чем исходная система. Суть этой методики в следующем. Положим
y = P{x)v(x), G.2.11)
где Р—неособая матрица размером (пхп), подлежащая опреде-
определению, v — вектор-столбец. Уравнение G.2.1), следовательно,
преобразуется к виду
? = x*B(x)v, G.2.12)
где
350 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
откуда получаем
G.2.13)
Суть методики состоит в отыскании такой матрицы Р (х), чтобы
матрица В (х) имела каноническую жорданову форму. Положим
с этой целью
В= 2 Втх~т при х — оо,
т=о A./Л4)
се
/>= 2 РтХ~т
0
Здесь Вт—-матрицы в канонической жордановой форме.
Подставив G.2.14) в G.2.13) и приравняв коэффициенты при
одинаковых степенях х, получим
Д,/>0—/>0Я0 = 0, G.2.15)
т-\
АиР1П~РтВ0= 2 {PsBm-s-Am_sPs)-(m^q~l)P ,
s=0 ч
G.2.16)
для т^\, причем при т—q—1<0 имеем Р/я_<г_1 = 0. Если
матрица Ао имеет различные собственные значения, то Ро можно
выбрать таким образом, чтобы матрица
В0 = Р?А0Р0 G.2.17)
была диагональной. Помножив уравнение G.2.16) слева
на Ро1, получим
G.2.18)
где
Wm = P?Pmt G.2.19)
т—\
F.n^-P^A^o + Po1 2 (PsBm-s-Am_sPs)~
-(m-q- )Wm_q_l. G.2.20)
Обозначив через F% компоненты матрицы Fт, выберем матрицу Вт
следующим образом:
e«=-F«, B% = 0 при »#/. G.2.21)
Поскольку матрица Во имеет различные собственные значения,
то из системы G.2.18), G.2.21) может быть найдена матрица
Wm и, следовательно, матрица Рт из системы G.2.19).
7.2. Системы обыкновенных уравнений первого порядка 3!И
В случае кратных собственных значений разбиение системы
уравнений на более простые системы проводится по той же схеме.
Предположим, что матрица Ло имеет кратные собственные зна-
значения и что существует матрица Ро, такая, что
ВГ 0 .
G.2.22)
причем матрица BJ1 имеет собственные значения X,- (i = 1, 2,..., г),
а матрица В22—собственные значения Xj (/ = /•+!, г + 2, ..., п),
такие, что X,- Ф Xj. Проведем разбиение матриц Wт и Fm в соот-
соответствии с равенствами
w m w т \ I Гт гт\ _ _
U721 IF22/1 t'»~\pn f22J» A.4.16)
w m w m J \г т г т/
где Wm- и F"—матрицы размером (rXr), a W^ и Fm — размером
((и—г)х(п — г)). Выберем
П7П — IK'S"! _ П RU /7Н «28 С-22 /7 О 244
•»т — " т—ui Dm—• гmt Dtn—¦ ' т- {1.4.44)
Тогда уравнение G,2.18) примет вид
В22ТУ/21 11У2Ю11 ?721 /Т О ОК\
П VY л ГУ rri D (I ^— /"^ «Т. I / , Zj , /*\У\
Эти уравнения решаются единственным образом относительно
Wm и Wm. поскольку у матриц В11 и Вц2 нет общих собствен-
собственных значений.
В качестве примера рассмотрим уравнение Бесселя
Полагая
у = ил, ^ = и2, G.2.27)
приведем уравнение G.2.26) к виду
% = А(х)и,
1
и=1ц)' Л= 14-п2 ' • G-28)
Следовательно, в рассматриваемом случае q = 0, Лт = 0 для
т>2 и
О ON - /0 0\
и2 О/
352 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Поскольку собственными значениями Ао являются ±t, то, положив
2 2/
получим
Тогда из G.2.20) получаем
F^-P^AS^-^ l_lh G.2.32)
Из G.2.21) и G.2.25) получаем
1 0
Поскольку Wj и Bt известны, то из G.2.20) следует
i_4n2 2—4
G'2-33)
?ч2 + 4п 1 + 4лУ G-2-34)
Следовательно,
д 'A + 4^) Л 0\ м^/0 1
в,- 8 ^0 _{J. w.- g—^j o
Подставив выражения для Во, Bj и В2 в G.2.12), получим
о\ ,/i o
Имеем, следовательно,
= -4= exp
l = -4= exp [te + /1±
+ О (х-*)] ,
G.2.36)
где а и 6—постоянные. Имеем для матрицы Р
7.2. Системы обыкновенных уравнений первого порядка 353
G.2.37)
V~4i ~l~bc/
Следовательно,
-^). G.2.38)
Отметим, что матрица Р2 не использована в G.2.37) и G.2.38),
поскольку погрешность для v имеет порядок 0(х~ь'*). Для срав-
сравнения этих результатов с результатами, полученными в п. 7.1.2,
разложим ехр[±» A+4л2)/8х] по степеням а—1. Поскольку для
решения у
то
G.2.39)
что согласуется с G.1.14) при и = 0. Высшие приближения могут
быть получены непосредственным (и довольно утомительным)
вычислением дальнейших значений Вт и Wm. Методика, исполь-
использованная в п. 7.1.2, несравненно более проста в применении, чем
методика, описанная в этом пункте.
7.2.3. Субнормальные решения
Если матрица Ав из системы G.2.1) имеет кратные собствен-
собственные значения, то не удается разбить все уравнения на группы
выбором диагональной матрицы В. Вместо этого мы проведем
354 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
такое разбиение системы уравнений, чтобы получить более про-
простые системы вида
= х"В' (х) v', В{ = ? В1тх-т, G.2.40)
т= 0
где собственные значения Я( матрицы В{, отличны от собственных
значений 'kj матрицы В[ при i Ф /. Таким образом, величина Вт,
соответствующая отдельному собственному значению Яст, является
скаляром, и уравнение G.2.40) может быть решено. При <7 = 0
имеем
xr = axr*f*x 1+ 2-7=T *~r+1 ' G2-41>
L ' = 2 J
где а — постоянная, а с, выражаются через Bf для г ^2. Сле-
Следовательно, существует нормальное решение, соответствующее
этому собственному значению исходной системы G.2.1). Для соб-
собственных значений кратности Ks матрица Bs имеет ранг ms.
Может оказаться, что приведенная система ms уравнений, а сле-
следовательно, и исходная система не имеют нормального решения,
соответствующего этому собственному значению. Однако она
может иметь так называемое субнормальное решение вида G.2.3)—
G.2.5), в котором Q и V разложены по степеням х1^, где г—
целое число.
Приведем в качестве примера уравнение
О, G.2.42)
которое имеет общее решение
у=ае?~х{х-*'*—*-•/«) +be~v~x(x-s" +*-•/«), G.2.43)
состоящее из двух субнормальных решений. Уравнение G.2.42)
эквивалентно системе
У
|, u = ( dy_
dx, G.2.44)
А
Лх 16л;2 х.
В этом случае нормального решения не существует, потому что
матрица
0 1\
о о;
имеет собственное значение К = 0 кратности два.
7.2. Системы обыкновенных уравнений первого порядка 355
7.2.4. Системы, содержащие параметр
Рассмотрим систему п линейных уравнений
еЛ^=Л(*. в)у, G.2.45)
где е—малое положительное число, h—целое число, А(х, е) —
матрица размером (пхп), допускающая асимптотическое
разложение вида
00
Л (х, е) = 2 етАт (х) при е—+0. G.2.46)
т=0
При h, отрицательном или равном нулю, у представляется асимп-
асимптотическим разложением
00
m = 0
При h > 0 асимптотические разложения решений системы G.2.45)
зависят от того, имеет ли матрица Ло (х) различные на всем рас-
рассматриваемом интервале собственные значения. Точка, в которой
матрица Ло (х) имеет кратные собственные значения, называется
точкой возврата или перехода. Задачи с точкой возврата рас-
рассматриваются в § 7.3.
Если собственные значения матрицы Ло (х) различны, то асимп-
асимптотическое представление п линейно независимых решений системы
G.2.45) имеет вид
у = и (х, е) ехр [ J К (х, в) dx] , G.2.48)
где
ь
I (х, е) = 2 е~гЯг (х), G.2.49)
00
и(*, е)=2 ъгиг(х). G.2.50)
г = 0
Подставив G.2.48)—G.2.50) в G.2.45) и G.2.46) и приравняв
коэффициенты при одинаковых степенях е, получим уравнения,
из которых последовательно определяются Кг и ur. Существуют
п линейно независимых решений вида G.2.48)—G.2.50), соответ-
соответствующих п собственным значениям матрицы А0(х), т.е. реше-
решениям уравнения
[А0(х)-К0(хI\=0. G.2.51)
356 . Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
7.2.5. Однородные системы с медленно меняющимися коэффициентами
В этом пункте будем рассматривать асимптотические решения
системы
%=Аа,в)у,1=ас, G.2.52)
где
со
А F, е)= 2 ътАт{Ъ) при е —0. G.2.53)
т=0
В этой задаче х—быстрая, а Ъ, — медленная переменные.
Как и в п. 7.2.2, предположим, что существует неособая
матрица Р0(Ъ), такая, что
В, (I) = Р? (I) Ао (I) Ро (I) =(В°0A) В1 (|)), G.2.54)
где матрица 6J1 имеет собственные значения Х,(/=1, 2, ..., г),
а матрица Bf — собственные значения Яу(/ = г+1, г + 2, ...,п),
причем Ki^kj. В этом случае исходную объединенную систему
уравнений G.2.52) можно свести к двум несвязанным системам
порядков г и п—г. С этой целью рассмотрим преобразование
у (ж, е) = РF, b)v(«, e), G.2.55)
которое приводит систему G.2.52) к виду
-? = ?«, в) v, G.2.56)
где матрица Р удовлетворяет уравнению
AL. — АР рв
или
в^.= АA, г)РA,г)-РA, г)ВA, е). G.2.57)
Будем искать асимптотические представления матриц Р и В
вида
Я = S е"/5,» (I), В = 2 е»Би (?), G.2.58)
гп=0 m = 0
где Вт—блочные диагональные матрицы. Подставив G.2.58) в
G.2.57) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е,
получим
АР-РВ = 0
7.2. Системы обыкновенных уравнений первого порядка 357
где
m-l
Рт=У\ {PsBm_s—Am_sPs)—АтРй-{- m~1. G.2.60)
S = 1
Выбирая матрицы Во и Ро в соответствии с G.2.54), умножим,
как и в п. 7.2.2, второе из уравнений G.2.59) слева на Р^1 и,
используя G.2.19), получим
B0Wm WmB0 = Bm-\-F , G.2.61)
где
W = Р~гР F = Р-гР П 2 F>1\
Чтобы решить систему G.2.61), рассмотрим разбиение матриц
Fm и Wm вида
/ ГЦ pi2 \ / TJ/ll Q712 \
_1Гт Гт \ I wm Wm\
т V F2i FS2 г т — v W21 И722 /' ' .4.vo)
где F% и W%—матрицы размером (гхг). Положив
iv/ii —тк'гг —о он — mi rm /722 /7 9 fi4\
приведем систему G.2.61) к виду
Ш11К'12 IW12 D22 __ СЧ2 /7 9 К^Ч
M-Jf)nm ** тLJq * т 9 \' .?*.и\1)
S22IW21 IW21 D11 Р21 /7 9 fifi^
Эти уравнения разрешимы относительно W™ и W% единственным
образом, поскольку матрицы В" и В^2 не имеют общих собствен-
собственных значений.
Если матрица Ло имеет различные собственные значения, то
с помощью описанной выше схемы исходную систему можно
свести к системе п не связанных друг с другом уравнений вида
G.2.56) с диагональной матрицей В. Подробности вывода здесь
такие же, как и в п.7.2.2.
Более легкая методика для определения асимптотических
решений системы G.2.52) может быть использована в том случае,
когда матрица Ло имеет различные собственные значения. Асимп-
Асимптотическое представление имеет вид
у = и(|, е)ее"'Е), G.2.67)
где
со
11F, в)=2е*и,(Б). G.2.68)
s=0
Е-Мб)- G-2-69)
358 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Здесь К (I)—собственное значение матрицы Ло(?). Существуют п
линейно независимых решений вида G.2.67), соответствующих п
собственным значениям матрицы Ло. Подстановка G.2.67)—G.2.69)
в G.2.52) и G.2.53) приводит к уравнениям для последователь-
последовательного нахождения ит.
7.3. Задачи с точкой возврата
В п.7.1.3 мы установили, что приближение Лиувилля — Грина
(ВКБ-приближение) для решений уравнения
¦jt + \№Ц\ (х)Л-Яг (•*•)] У== О G.3.1)
при больших Я и положительном д1 (х) имеет вид
а2 cos Гя С Vqx (x)dx+b1 sin Гя С VЦ\ W йд:1
У — «Тгтт • Ц-о.г,)
а при отрицательном ?iW—ВИД
—qi (x)dx\ + 62ехр \-К [ У~ q()]
^L J- G.3.3)
Как было отмечено в п.7.1.3, эти приближения пригодны, коль
скоро значения х далеки от корней функции дг (х). Из уравнений
G.3.2) и G.3.3) видно, что решение у имеет колебательный ха-
характер по одну сторону от нуля функции <7j (x) и экспоненци-
экспоненциальный характер—по другую; отсюда и название такой точки —
переходная точка. Ее называют также точкой возврата, потому
что в классической механике это есть точка, в которой кинети-
кинетическая энергия движущейся частицы становится равной ее потен-
потенциальной энергии, и частица меняет направление движения.
Точка х = ц называется точкой возврата или переходной точкой
порядка а, если точка лг = |х является нулем кратности а функ-
функции qx(x).
Если функция д2(х) имеет особенность в точке возврата, то
точка возврата называется особой точкой возврата; в противном
случае это регулярная точка возврата. В этом пункте, начав
с уравнений второго порядка, таких, как уравнение G.3.1), дадим
описание методики получения асимптотических решений в задачах
с точкой возврата.
7.3. Задачи с точкой возврата 359
7.3.1. Метод сращивания асимптотических разложений
Предположим, что q2{x)—функция без особенностей, а
, G.3.4)
где f (x)—положительная функция. Следовательно, приближенное
решение уравнения G.3.1) задается равенством G.3.2) при х > ц
и равенством G.3.3) при х < ц. Эти разложения, называемые
внешними разложениями, нарушаются в окрестности точки х = [х.
Чтобы найти область неравномерности этих разложений, поло-
положим в G.3.1) Ь, = (х—^)^v с положительным v и приведем это
уравнение к виду
Третий член в G.3.5) при Я—»-оо стремится к нулю для всех
положительных v. Однако вид предельного уравнения зависит
от значения v. При 'к—»-оо уравнение G.3.5) имеет предельный вид
2
#=0 при v<g-,
•0- = О при v>-|, G.3.6)
d2u 2
-S^- + Ef(u)t/ = O при v = —,
ас, " о
Очевидно, что первые два предела неприемлемы, поскольку с
помощью их решений не удается срастить разложения G.3.2) и
G.3.3). Поэтому приемлемым является предел, выделенный зна-
значением v = 2/3 и задаваемый третьим уравнением в G.3.6). По-
Положив в этом уравнении
z=— lVW\ G-3.7)
придем к уравнению, которое в первом порядке описывает внут-
внутреннее решение
f^—zy = O. G.3.8)
Его общее решение имеет вид
y = asAi(z) + bsBi(z), G.3.9)
где Ai(z) и Bi (z)—функции Эйри первого и второго родов со-
соответственно.
Отвлечемся на миг, чтобы дать некоторые свойства функций
Эйри, которые нам понадобятся в дальнейшем. Эти функции
допускают следующие интегральные представления (см., напри-
360 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
мер, Эрдейи [1956], раздел D.6):
G.3.10)
/. G.3.11)
Эти функции выражаются также через функции Бесселя порядка
1/3 при помощи формул
^| G.3.12)
Ш (г) = |/ | [/-!/,(« +Л/. (С)], G.3.13)
i4i(-z)=yVT[/_1,(C) + yI/,ft)], G.3.14)
fli(—z)= ]/A-|- [./-1,з (?)-¦/1,з (?)], G.3.15)
где ? = B/3)г3'2. Для больших положительных значений г эти
функции имеют следующие асимптотические разложения:
Ai(z) = ^y=z-v*e-\ G.3.16)
Ai{—z) = y=-z-"*sin (t+ty, G.3.17)
Bi(z) = -^z-44*; G.3.18)
у n
(i) G.3.19)
Для того чтобы срастить внутреннее решение G.3.9) с внеш-
внешним решением G.3.2), выразим последнее через ?, — (х—ц,)К2/3 и
найдем его предел при К—>-оо. В этом случае имеем х > ц и
и
Следовательно,
G.3.20)
7.3. Задачи с точкой возврата
361
Выразив G.3.9) через g, получим
у = asAi (- g 3//Й) +63fii (-
Используя G.3.17) и G.3.19), можно получить для этой функ-
функции разложение для большого
Принцип сращивания требует равенства G.3.20) и G.3.21); имеем
поэтому
T + b, cos
Я1
G.3.22)
Следовательно, равенство G.3.2) принимает вид
4
G.3.23)
где
(а8, Ь3) = —Т7==—(а3, Ь3).
У л
Обращаясь к сращиванию G.3.9) с внешним решением G.3.3),
заметим, что
Равенство G.3.3), следовательно, примет вид
G-3.24)
Поскольку в этом случае |—отрицательная величина, то г=
=—| i/f(p-) — величина положительная. Тогда с помощью G.3.16)
362 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
и G.3.18) можно получить следующее асимптотическое поведение
внутреннего решения G.3.9) при больших г:
)] ..- • G.3.25)
Приравняв G.3.24) и G.3.25), получим
) G.3.26)
Следовательно, внешнее решение G.3.3) при отрицательном q1(x)
имеет вид
G.3.27)
Таким образом, приближенное решение уравнения G.3.1)
с точкой возврата х = \х задается тремя отдельными разложе-
разложениями: разложением G.3.9)—в окрестности точки возврата, раз-
разложением G.3.23)—при х > [х и разложением G.3.27)—при х < ц.
Сращивание дает связь между постоянными alt bx и а2, Ь2. Впер-
Впервые эта связь была получена Рэлеем [1912] в исследовании по
полному отражению звуковых волн от переходного слоя; явное
представление он дал только для экспоненциально затухающего
решения. Ганс [1915] дал формулы связи для обоих решений;
Джеффрис [1924] вновь открыл их в применении к функции
Матьё. Эта связь была еще раз открыта почти в одно и то же
время Вентцелем [1926], Крамерсом [1926] и Бриллюэном [1926]
при исследовании уравнения Шредингера. Поэтому в физической
литературе название этого метода обычно образуется из букв W,
/( и В; позднее к ним стали добавлять букву J в ознаменова-
ознаменование вклада, который внес Джеффрис.
Цваан [1929] вывел формулы связи путем интегрирования на
комплексной плоскости вдоль пути, который обходил точку воз-
возврата. Этот метод развил далее Кембл [1935].
Недостатком этой методики является то обстоятельство, что
решение задается тремя разными разложениями. В п. 6.4.4 с по-
помощью метода многих масштабов было получено одно разложение,
равномерно пригодное для всех х. В следующем разделе мы
рассмотрим весьма эффективный метод изучения задач с точкой
возврата, который был предложен Лангером [1931], [1934] и раз-
развит Лангером и рядом исследователей, см. п. 7.3.2—7.3.10.
7.3. Задачи с точкой возврата 363
7.3.2. Преобразование Лангера
Суть подхода Лангера состоит в использовании того обстоя-
обстоятельства, что приблизительно одинаковые уравнения имеют при-
приблизительно одинаковые решения. Он понял, что любая попытка
выразить в элементарных функциях асимптотические разложения
решений в задачах с точкой возврата обречена на неудачу
в областях, содержащих точки возврата. Поэтому разложение,
равномерно пригодное для всех х, должно быть выражено в не-
неэлементарных функциях с теми же качественными особенностями,
что и у решений уравнения.
Решающим шагом в подходе Лангера является введение сле-
следующего преобразования зависимой и независимой переменных:
, G.3.28)
которое приводит уравнение
g *)]f/ = O G.3.29)
к виду
d2v . 1 / . 2ф'я|А do .
dz2 <р'Ч я|з / dz
'] = 0. G.3.30)
При условии
tp=W G.3.31)
средний член обратится в нуль, и уравнение примет вид
=о. G.3.32)
ф'2 ф'гП4ф'4 2 «p's
Положив
¦2l=1 или ^=\V~qJx)dx, G.3.33)
ф' J
мы вернемся к преобразованию Лиувилля—Грина. Получающееся
при этом решение выражается, как и в п. 7.1.3, в тригономет-
тригонометрических функциях и имеет особенность в_точках возврата (ну-
(нулях функции <7i(*))- Из равенств ¦ф = Кф' и ^'—\rq1 имеем
•ф = v^tT; поэтому преобразование G.3.28) имеет особенность в ну-
нулях функции q1\x).
Для получения равномерно пригодного разложения в задаче
с точкой возврата в точке х=ц и функцией qx(x) вида
Яг W - (*-И) / (*). / W > 0, G.3.31)
364 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
положим, следуя Лангеру [1931], [1934],
¦%= ф- G.3.35)
Тогда уравнение G.3.32) примет вид
^+K2zv = bv, G.3.36)
где
Решение уравнения G.3.35) имеет вид
X
при
„ G.3.38)
и
и
| (_ фI/. = J |/(ц—т) f (т) dx при
При а;—»• \i имеем ф —> '\/f (\k) (x—ц.) и чр —> l/f (ц); следовательно,
6 = 0A), если только функция д2(х) непрерывна. Кроме того,
преобразование G.3.28) является регулярным всюду, включая
точку возврата x = \l. Поскольку 6=0A), а X—большой пара-
параметр, то функция v приближенно определяется уравнением, ко-
которое Лангер назвал присоединенным уравнением,
^ + k*zv = O. G.3.39)
Решение этого уравнения имеет вид
v =ctAi (— 1г/3 г) + сл Bi (— h*'sz), G.3.40)
где с, и с2 — постоянные интегрирования. Следовательно, в пер-
первом приближении
{Ai [- Л«'«ф (x)]+c2Bi [- №<р (*)]}, G.3.41)
где ф определено в G.3.38).
Это—единственное разложение, равномерно пригодное для
всех х, включая и окрестность точки возврата а: = (и. Используя
асимптотические разложения G.3.16)—G.3.19), справедливые для
больших значений, аргумента функций Эйри Ai и Bi, можно
7.3. Задачи с точкой возврата 365
получить
у
-J 1 при х>[1, G.3.42)
,л-^/-=тт jciexP — % [V—4i(i)fa \ +
У я y—qi(x) ( L J J
+ с2ехр X [V—qx(%)dx \\ при х < ц. G.3.43)
Эти формулы согласуются с результатами предыдущего пункта.
Олвер [1954] обобщил преобразование Лангера, записав его
в виде
С = С (г) = \ Vqx (x) dx, G.3.44)
где независимая переменная г является пока не определенной
функцией х. Это преобразование приводит уравнение G.3.29)
к виду
+ W'v = to. G.3.45)
где
G-3.46)
Если нам удастся подобрать функцию ?(z) такой, чтобы имело
место 6 = 0A), то решения присоединенного уравнения
^+^?'•0=0 G.3.47)
будут асимптотически эквивалентны решениям уравнения G.3.29)
при больших Я. Чтобы 6 имела порядок 0A), функция х дол-
должна быть регулярной и не обращаться в нуль на рассматри-
рассматриваемом интервале. Следовательно, функция ? должна быть выбрана
такой, чтобы порядок и местоположение нулей и особенностей
функции ?'* были такими же, как у функции <?, (х), и чтобы
366 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
и* и ql (х) были одновременно положительны или отрицательны.
Кроме того, желательно ?,' выбрать и таким, чтобы присоеди-
присоединенное уравнение G.3.47) решалось в известных функциях. Общее
преобразование такого типа было вновь открыто Моригути [1959].
Положив
Чх (*) = (*-и) / (*). f (*) > О, Ъ'г = ± г, G.3.48)
придем к преобразованию Лангера.
7.3.3. Задачи с двумя точками возврата
Рассмотрим случай, при котором
, ря>ц1г f(x)>0, G.3.49)
так что уравнение G.3.29) имеет две простые точки возврата
в точках х=\а1 и x — \l2. Подобные задачи с двумя точками
возврата возникают, например, при решении уравнения Шредин-
гера (см., например, Джеффрис [1962]; Пайк [1964]) для тун-
туннельного перехода или в задачах с классическим осциллятором,
а также при определении переноса тепла в трубе (см., напри-
например, Джейкоб [1949], стр. 451—480).
Применив результаты предыдущего пункта к точке возврата
x = [i1, получим
У =17=i={M*"[-^/3Фг(х)] +КШ[-А,»/»ф1 {х)]\, G.3.50)
У ()
где
X
2ф;/« = J V(x—jiiXn,—x)/(x)dx при х > jilt
Z G-3.51)
J dT при х<ц,.
При х—>-^2, однако, (pi = O[(A;—цяI/а]- Поэтому разложение
G.3.50) нарушается в окрестности точки x = \l2 и пригодно для
значений ^2—х > б2, где б2—положительная малая величина.
Применив результаты предыдущего пункта к точке возврата
х — \к%, получим
G.3.52)
7.3. Задачи с точкой возврата 367
где 6Д—малое положительное число и
Us
^(т-^)(ц2—x)/(x)dx при x<li2,
G.3.53)
dT при х>щ.
Поскольку оба разложения G.3.50) и G.3.52) пригодны в ин-
интервале fij + ^i < * < М-2—б2, то их можно срастить. Разложив
G.3.50) для больших значений аргумента и для х > ци получим,
используя G.3.17) и G.3.19),
1cos(|^:/1'+i)]. G.3.54)
Аналогично, разложив G.3.52) для больших значений аргумента
и для х < jijj, получим
Г в1 sin D *ф!"+
D;/1j)]. G.3.55)
Приравняв G.3.54) и G.3.55), придем к уравнению
= а2 sin (|^фГ + j) +b2 cos(lk<pl» +f) . G.3.56)
Введя обозначение
^ = у
Hi
G.3.57)
получим
Тогда из G^3.56) следует
а, = Ь. sin Д—й2 cos Д,
G.3.58)
368 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Если теперь у—ограниченная функция х, как это имеет место
для решений уравнения Шредингера, то в силу предельного
соотношения Bi (г)—> n-42z~x/a ехр [B/3) гз/г] при г—>оо будем
иметь bv Ь2 = 0. Следовательно, второе из уравнений G.3.59)
дает
sin A = 0, Д = шт, G.3.59)
где п—целое число. Тогда в силу G.3.57)
"--о) л
-J
G.3.60)
Чтобы не представлять решение в виде двух разложений,
Миллер и Гуд [1953], Казаринов [1958] и Лангер [1959в] пред-
предложили выразить решение с помощью одного равномерно при-
пригодного разложения в терминах функций параболического
цилиндра. Обращаясь к преобразованию G.3.44), выберем функ-
функцию ?'* такой, чтобы она имела два простых нуля. Будем
считать, что они расположены в точках г = ±1, причем точка
г = —1 соответствует точке х = ^г, и положим (Пайк [1964])
?'г = 4а2A — гг). G.3.61)
Выберем а таким образом, чтобы г = 1 соответствовало бы точке
х~=\к2. Тогда из G.3.44) получаем
G.3.62)
Здесь ветви квадратного корня должны быть выбраны таким
образом, чтобы г была бы регулярной функцией х и чтобы
области qt (х) > 0 и дг (х) < 0 отображались бы соответственно
в области г2 < i и г2 > 1. Выбрав точку г=1, соответствующую
точке x = [i2, мы получили следующее уравнение для а:
1 Us
2а
-1 -и.
Следовательно,
^)dT. G.3 63)
С учетом G.3.61) присоединенное уравнение запишется в виде
+ 4«Jl«(lV = 0. G.3.64)
7.3. Задачи с точкой возврата 3691
Решениями этого уравнения будут функции
v=WvBVakz), v + ~ = ah, G.3.65)
где Wv—функция Вебера порядка v. Если у ограничена на бес-
бесконечности, то и функция v должна быть ограниченной. Следо-
Следовательно, v = «, где п—целое число. А тогда
G-366,
что согласуется с G.3.60).
Задачи с двумя точками возврата изучались также Олвером
[1959] и Моригути [1959]. В числе других авторов задачами
с несколькими точками возврата занимались Евграфов и Федорюк
[1966], Хзи и Сибуя [1966], Сибуя [1967], Линн и Келлер [1970].
7.3.4. Задачи с точками возврата высших порядков
В этом пункте положим
qi = (х_и)« f (x)t f (x) > о, G.3 67)
где а—положительное действительное число. Для нахождения
одного равномерно пригодного разложения положим ?'2 = га, так,
чтобы функция ?'* имела бы такое же число нулей, что и qt (x).
Следовательно,
G-3'68>
где ветви квадратного корня выбраны таким образом, чтобы
области <7i (*) > 0 и Я\ (х) < 0 отображались в области га > О
и г™ < 0 соответственно. Это преобразование приводит к при-
присоединенному уравнению вида (Лангер [1931])
^ G.3.69)
Решение уравнения G.3.69) имеет вид
|]}, G.3.70)
370 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
где V — B-j-a). Следовательно, в первом приближении
Г с « l/i Т/2
М ( Г г
j_W J I j \%\\lx „\а
G.3.71)
Маккелви [Ц955] выразил асимптотические решения задачи
с точкой возврата второго порядка (т. е. при а = 2) через функции
Уиттекера. Задача с точкой возврата второго порядка возникает
при рассмотрении дифракции на эллиптических цилиндрах с
почти единичным эксцентриситетом (Гудрич и Казаринов [1963])
и при решении уравнения Шредингера (Фосс [1933]). Первое
исследование задачи с точкой возврата второго порядка провел
Голдстейн [1931] с помощью метода сращивания асимптотических
разложений, как это сделано в п. 7.3.1.
7.3.5. Высшие приближения
До сих пор в наших рассмотрениях мы получали только
первый член асимптотического разложения. Существуют четыре
разных подхода к определению членов высшего порядка.
Подход Лангера. Суть этого подхода состоит в том, что вся-
всякий раз решение того уравнения, которое надо решить, связы-
связывается с решением некоторой более простой задачи со сходной
структурой, которая может быть явно решена в трансцендентных
функциях (Лангер [1949]). Недостатком этого подхода является
то, что он не пригоден для численных расчетов, так как коэф-
коэффициенты асимптотических разложений являются функциями как
независимой переменной, так и параметра возмущения. Кроме
того, разложения определяются путем нескольких преобразова-
преобразований. Ниже мы увидим, что, используя подход Олвера, можно
получить эквивалентные разложения более простым путем.
Подход Черри. В 1949 и 1950 гг. Черри развил методику
получения членов высшего порядка в задаче с простой точкой
возврата. С помощью преобразования Лангера (п. 7.3.2) эта
задача приводилась к виду
г, /,)]t)=0, G.3.72)
где
ш
grB, к)= 2j Л~ gnB). G.0.73)
7.3. Задачи с точкой возврата 371
В рассмотрениях Черри отсутствуют все gn с четными индек-
индексами п. Будем искать формальное разложение вида
где ?! и ?2—функции Эйри первого и второго родов соответст-
соответственно. Поскольку справедливы равенства
5 ' + Лф")^+ЛФ'2-^ G.3.74)
то уравнение G.3.22) принимает вид
(Л" + ^ФФ'гЛ-^гЛ + ^Л)?,- + BЛ'ф' + Лф")^| = 0. G.3.75)
Приравнивая нулю коэффициенты при ?,- и d?,;/d(p, получим
2Л'ф' + Лф" = 0, G.3.76)
В силу G.3.76)
к G.3.78)
Уравнение G.3.77), следовательно, запишется в виде
~^r = 0. G.3.79)
Чтобы решить это уравнение, положим в нем
.. G.3.80)
и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях I, полу-
получим уравнения для последовательного определения ф„. Первые два
из этих уравнений имеют вид
22ф2 + ф2= — g,— 2ф, — 2ф,ф1.
Их решениями являются функции
G.3.82)
Г 8i w+тф;' (т)+2ф, (т) ф; (т) .
- j 2 ^_ ат.
372 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Нижний предел в этих интегралах выбран таким, чтобы функции
Ф, и ф2 были бы регулярными в точке г = 0.
Таким образом, решение v задается формальным разложением
' G.3.83)
Ф(г: X) =
Это формальное разложение является равномерным приближением
к решению исходной задачи всюду, за исключением малых окрест-
окрестностей нулей функции v, в которых Черри использовал следую-
следующую модифицированную формулу:
A At
G.3.84)
Если справедливо разложение
то ап и Ь„ могут быть определены из G.3.83). Для этого следует
разложить ф' и Л/(А2/Зф) в точке ф=г и использовать соотно-
соотношение d2Ai/dz2 = k2 zAi.
Подход Олвера. Олвер [1954] предложил отыскивать полное
.асимптотическое разложение, предположив, что
v = A{z; k)Z;(k*>*z) + B(z; Щ\(№*г). G.3.85)
Этот вид совпадает с окончательным видом разложения, полу-
полученного Лангером [1949], и с модифицированной формулой Черри
G.3.84). Это разложение может быть рассмотрено так же, как
результат применения метода составных разложений, описанного
в §4.2.
Из равенства
С == k*zit, v=а%+(Л+в1)с;+в%=
имеем
v"=(Л"+к*в+к*гвг) с,-+BЛ'+къв+в") с;+(л + в1) с=
= [Л" + к*В + Я2г (Л + 2В1)} С + BЛ' + кЧВ + В") R.
Следовательно, G.3.72) принимает вид
=0. G.3.86)
7.3. Задачи с точкой возврата 373
Приравняв нулю коэффициенты при ?,- и ?[г получим
0. G.3.87)
Этим уравнениям удовлетворяют формальные разложения вида
А = S Я,-М„ (г),
"=° G.3.88)
Я=2>-"Я„(г),
где
G.3.90)
m=\
Решение системы G.3.89) имеет вид
sh
Г в.(т)
Следовательно, решение системы G.3.90) задается равенствами
G.3.92)
о
z
0
где
г
1 Г Г
G.3.93)
374 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
В том случае, когда
системе G.3.87) удовлетворяют формальные разложения вида
G-3.94)
Подставив эти разложения в G.3.87) и приравняв коэффициенты
при одинаковых степенях к, получим
G.3.95)
2А'п = — В"п —gDBn — 2 gmBn_„ = «„,
„ gi 2j IfiB^n-ra-
Решение этой системы имеет вид
G.3.96)
Последовательные преобразования Лангера. Для нахождения
высших приближений к решению уравнения
%H + Wq{x)y = 0. G.3.97)
в котором <7(х) обращается в нуль на рассматриваемом интервале,
Имаи [1948], [1950] предложил повторно применять преобразо-
преобразование Лангера. Моригути [1959] применил и значительно рас-
расширил эту методику. В случае простой точки возврата при х = ц
мы вводим сначала преобразование Лангера
с помощью которого уравнение G.3.97) приводится к виду
*» + [Кг-Цг)]о = 0. G.3.99)
7.3. Задачи с точкой возврата 375
где
л dz2 — л dx2 '
Поскольку 6 = 0A) и К—большое число, то v приближенно за-
задается решениями уравнения
^ и--=О, G.3.100)
которые имеют вид
G.3.101)
где ?х и ?2—функции Эйри первого и второго родов.
Чтобы уточнить разложение G.3.101), перепишем уравнение
G.3.99) в исходной форме G.3.97) и заменим независимую пере-
переменную г на X] по формуле
х^г-ц,, G.3.102)
где щ—корень уравнения Я2г—6(г) = 0, т.е.
1%^—6(цх) = 0. G.3.103)
Тогда уравнение G.3.99) может быть записано в виде
^ + k*[a1x1+R1(x1)]v = 0, G.3.104)
где
G.3.105)
Это уравнение совпадает по виду с уравнением G.3.97), и, сле-
следовательно, его приближенное решение может быть получено
с помощью преобразования
G.3.106)
Это преобразование приводит уравнение G.3.104) к виду
^-+[^2z1—61{z1)]v1 = 0, G.3.107)
где
fii~-%ГШ VX'2 ;- G.3.108)
376 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Первым приближением к vt является решение уравнения
4т- + ^2гА = 0- G.3.109)
Следовательно,
и1 = С-(^/3г1). G.3.110)
Совершив теперь обратный переход к переменным хну, по-
получим уточненное приближение к решению исходного уравнения.
Из G.3.106) имеем
о
Следовательно,
г,= ^
Xl = a
Из равенств
„_= ц_
/х
следует, что два независимых решения уравнения G.3.97) приб-
приближенно задаются соотношением
У = УЩ) Ь ^2/8aJ''3 <г W-^i)]. G-3-112)
где z(x) определено в G.3.98).
Высшие приближения могут быть получены повторным при-
применением описанной выше процедуры.
7.3.6. Неоднородная задача с простой точкой
возврата — первое приближение
В этом пункте мы найдем первое приближение к частному
решению уравнения
%? + №Лх) + Чш(х)]у = №(х) G.3.113)
дли больших К и при условии, что gl(x) имеет простой корень
в точке х = ц. Разделив G.3.113) на К2 и положив К—>• оо, полу-
получим в качестве приближенного частного решения функцию
G-ЗЛ14)
7.3. Задачи с точкой возврата 377
Это решение имеет особенность в точке х — ц, если только функ-
функция G(x) не имеет в точке х — ц простого корня или корня
большей кратности.
Для нахождения первого приближения к частному решению
в случае, когда G(\x)^0, применим сначала преобразование
y=Y=r G.3.115)
к уравнению G.3.114) и приведем его к виду
-8)v = X2g(z), G.3.116)
где 6 определено равенством G.3.37) и
g(z) = {<t'[x(z)]\-*G[x(z)]. G.3.117)
Поскольку 6 = 0A) и к— большое число, то первое приближе-
приближение к уравнению G.3.116) можно записать в виде
0 + A.«zo = **g(z). G.3.118)
Для нахождения частного решения запишем g(z) в виде суммы
двух слагаемых
G.3.119)
и определим частные решения, соответствующие каждому из них.
Если функция g(z) дифференцируема в точке г = 0, то частное
решение, соответствующее второму слагаемому, приближенно
задается равенством
g(»)g(Q> G.3.i20)
равномерно для всех г. Для нахождения частного реиления, со-
соответствующего первому слагаемому, положим \ = %2lsz и приве-
приведем уравнение G.3.118) к виду
^ G.3.121)
Частное решение этого уравнения имеет вид
G.3.122)
где функция Г(?) определяется из условий
^. + ?7-= 1, ГF) = { при HI — оо. G.3.123)
378 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Таким образом, Т (?) может быть выражено через функции Лом-
Ломмеля (см., например, Ватсон [1944], стр. 345—351) согласно
равенствам
oo,
|Е|<оо,
|arg||<-|b, G.3.124)
где через S0,i/3 обозначена функция Ломмеля.
Поэтому частное решение уравнения G.3.118) приближенно
задается равенством
v = Я,2/3 g@) Т (№ z) +8(z)~8@) . G.3.125)
Совершив обратное преобразование к переменным х и у, получим
у = № ^М--- Т (К*'3 г) +-L- [G (х) -С У-^!72] , G.3.126)
где
Неоднородные задачи с точками возврата возникают при ис-
исследовании устойчивости пограничного слоя (Холстайн [1950]),
при рассмотрении тонких упругих тороидальных оболочек и из^
гиба кривых труб (см., например, Кларк [1964]). Вышеизложен-
Вышеизложенная методика развита Гольштайном [1950], Кларком [1958], [1963]
и Тумаркиным [1959]. Стил [1965] получил одно частное реше-
решение уравнения второго порядка, выраженное через общие функ-
функции Ломмеля Sn, v •
7.3.7. Неоднородная задача с простой точкой
возврата — высшие приближения
Чтобы найти полное асимптотическое представление решения
уравнения
^ *)]У = М(х, %), G.3.127)
в котором функция / (х) имеет простой нуль в точке х = \х, и
G»W при Я —оо,
2 Xn(), D^
п=0 л=0
7.3. Задачи с точкой возврата 379
применим сначала к этому уравнению преобразование
. y = v/VV- G.3.128)
Тогда это уравнение приведется к виду
^L+[k*z + kq(z, k)]v = k*g(z, k), G.3.129)
где
q(г(х), X) = Р>(х)%{х,к) + Ь-*Р*(х)Р"(х),
Предположив, что справедливы разложения
СЛ ОЭ
g(z, К) = 2 ^~п8п(г)< У(г> ^)== ^ ^~"9п(г) ПРИ ^—*"°°i
л=0 1=0
G.3.131)
сосредоточим наше внимание на уравнении G.3.129).
Будем предполагать, что полное асимптотическое разложение
частного решения задачи G.3.129) и G.3.131) имеет вид
v = С (г, к) + № А (г, к) Т (I) + №В (г, к) Т (I), I = № г,
G.3.132)
где Т (|) определена в G.3.124) как решение уравнения
T" + 1-T = l, T = j при |||—>оо. G.3.133)
В силу равенств
JfL = С' 4- Я2/3 А'Т + к1'3 (кА 4- В') V 4- ЯВГ" =
= С' + кВ + №3 (А' — кгВ) Т + к1'3 (к А 4- В') Т',
|!|= С" + 2кВ' 4-ЯМ 4- Я2/3 (Л"—Я2 Лг—ЯВ—2ЯгБ') Т +
4-Я»/3BЯЛ' — к*гВ+В")Т'
уравнение G.3.129) принимает вид
[(Я2г 4- Я<?) С 4-С" 4- 2ЯВ' 4- ЯМ — k*g] +
[A"—kB — 2kzB' + kqA] T +№ [2kAr +
+ B" + kqB]T'=0. G.3.134)
380 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Для того чтобы соотношение G.3.134) было тождеством, необхо-
необходимо, чтобы коэффициенты в квадратных скобках обратились
в нуль, т. е. чтобы были выполнены равенства
0, G.3.135)
0, G.3.136)
0. G.3.137)
Для решения уравнений G.3.135)—G.3.137) предположим,
что имеют место формальные разложения вида
^ ""СП> G.3.138)
и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях к, по-
получим
гСп=дп-А„-2В'п_1-С"я^-^ Чп-ъ-,Ск, G.3.139)
fcO
л-1
2гВ'п + Bn-q0An =A'a_l+ 2 qn.k Ak, G.3.140)
fc=0
2A'n + qBBn = ~B"n_1-J!tqn_kBk. G.3.141)
Здесь все коэффициенты с отрицательными индексами равны
нулю по определению. Положив
п
MzAn = А»(г)+ 2qn_k^(z) Ah(z),
объединим уравнения G.3.140) и G.3.141) в одно уравнение
2\Г~гип - iqBun = »VM»-i-J/"*^,,-! G.3.143)
с общим решением
г
ип =(«„ + »Р„ ±
п =(«„ + »Р„) е w + ± J
+ iMzBn_1]dr, n = 0, 1, 2, .... G.3.144)
Здесь а„ и р„ — произвольные постоянные и
t. G.3.145)
7.3. Задачи с точкой возврата 381
Поскольку коэффициенты с отрицательными индексами равны
нулю, то при п = 0 формула G.3.144) принимает вид
«о=(Оо+»Ро)в'"в- G.3.116)
Следовательно,
Ай =а0 cos Э-ро sine, ni\in\
г— I / .О. 1 "Г / )
]/7В0 = а„ sin е+Ро cose.
Поскольку 6@) = 0, то для ограниченности Вй при г—*0 необ-
необходимо, чтобы Рое==О. Далее, уравнение G.3.139) при п = 0 за-
записывается в виде
zCB=ge-AB. G.3.148)
бходимо,
G.3.149)
Для того чтобы Св было ограниченным при г—*0, необходимо,
чтобы выполнялось
Тогда для v в первом приближении имеем
-g, @) cos e
v=gB () {) gp ()
G.3.150)
При ^0=0 (T- e- 6=0) эта формула сводится к G.3.125).
Вообще, чтобы Вп были регулярными в точке г = 0, будем тре-
требовать выполнения равенств р„ = 0, а для регулярности С„
в точке г = 0 будем требовать, чтобы
-2 ?«-*-! @)Сп0), п = 0, 1, 2, .... G.3.151)
/г = 0
Следовательно,
^(г)-в(т)]Л*гВв_^т, G.3.152)
о
г
-i- J sin [6 (г) — G (т)] /Их В,^, dr. G.3.153)
382 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Это общее решение было получено Тумаркиным [1959] и обо-
обосновано Кларком [1963].
7.3.8. Неоднородная задача с точкой возврата
второго порядка
В исследованиях по тороидальным мембранам с внутренним
давлением Сандерс и Липинс [1963] столкнулись с неоднородной
задачей, содержащей точку возврата второго порядка и описы-
описываемой уравнением вида
$ + Vq{x)y = №(x), G.3.154)
где q(x) имеет двукратный нуль в точке х = |х. Чтобы найти
первое приближение к частному решению этого уравнения, по-
положим
G.3.155)
и приведем уравнение G.3.154) к виду
Тр-Н-^*-6H = *"*(*). G.3.156)
в котором б и g определены соотношениями G.3.37) и G.3.117).
Поскольку 6 = 0A), а К—большое число, то частное решение
уравнения G.3.156) задается приближенно уравнением
% Vg(z). G.3.157)
Для нахождения приближенного частного решения уравнения
G.3.157) выразим g(z) в виде суммы трех слагаемых согласно
равенству
g'{0J] G.3.158)
и определим частные решения, соответствующие этим трем членам.
Если существует g"@), то частное решение, соответствующее
последнему члену, приближенно задается равенством
g-W« G.3.159)
равномерно для всех г. Для нахождения частных решений,
соответствующих двум другим слагаемым Bg(z), положим | = Я/
7.S. Задачи с точкой возврата 383
и преобразуем уравнение G.3.157) к виду
Л2„.
G.3.160)
Сандерс и Липинс [1963] определили две функции 7\(?) и T2(Q,
удовлетворяющие условиям
у = ~ при|Е| —оо,
t=± при |Е| —оо.
G-3.161)
С помощью этих функций частное решение уравнения G.3.160)
может быть записано в виде
vt = ba{0)T1(l) + №sg'@)T9(l). G.3.162)
Поэтому частное решение уравнения G.3.157) приближенно
задается равенством
Р=*(г)-*<°>-*'@)г + Kg@)T1(t) + V/2g' (O)T,(l). G.3.163)
Совершив обратный переход к переменным х и у, можем полу-
получить равномерно пригодное первое приближение к решению
исходного уравнения.
7.3.9. Задачи с особенностями в точках возврата
Рассмотрим асимптотические разложения решений уравнения
§] 0 = 0 G.3.164)
для больших К и при условиях
-М, G.3.165)
ц)] v К
Задачи, рассмотренные в предыдущих разделах (в которых /¦„=()
и а^О), являются частными случаями настоящей задачи, в ко-
которой го^0иа может иметь отрицательные значения. При х—>-ц
уравнение G.3.164) стремится к виду
] = 0. G.3.166)
Поэтому в качестве присоединенного мы выберем уравнение
= O, G.3.167)
384 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
решения которого выражаются в виде
G.3.168)
Здесь цилиндрические функции #v(/) удовлетворяют дифферен-
дифференциальному уравнению
^0-?) *•=»¦ <7-3169>
Функции Бесселя, Неймана и Ганкеля (Jv(t), Yv(t), H\(t) и #*(/))
являются частными видами цилиндрических функций.
Исследование задач с особенностями в точках возврата было
начато Лангером [1935]. Значительный вклад в изучение этих
задач внесли также Кэшуэлл [1951], Олвер [1954], Свенсон [1956],
Казаринов и Маккелви [1956], Эрдейи [1960] и Вазов [1965].
Чтобы определить асимптотические разложения решений урав-
уравнения G.3.164), введем в рассмотрение преобразование
G.3.170)
которое приводит уравнение G.3.164) к виду
Для того чтобы это уравнение приближенно совпадало бы с урав-
уравнением G.3.167), потребуем выполнения равенства
Ф«Ф'* = <?(*). G.3.172)
откуда следует, что
х
сх+2
и
Следовательно, уравнение G.3.171) принимает вид
^+(liza+^)v = F(z)v, G.3.174)
где
При х—>fi
7.3. Задачи с точкой возврата 385
откуда следует
Ф— qy^ix—v), ф' — дГа+2>, q^qlma+i\ G.3.176)
Следовательно, первое приближение к v задается решением
G.3.168) уравнения G.3.167). Тогда у приближенно задается ра-
равенством
9= U 4/_ J »v Я. S Vq(x)dx . G.3.178)
L J
Используя подход Олвера (п.7.3.5) и предположив, что
v = Л (г, Л) С, (г; Я) + В {г, К) К (г; Я), G.3.179)
где gx и ?2— независимые решения уравнения G.3.167), можно
получить высшие приближения к решению уравнения G.3.174).
7.3.10. Задачи высшего порядка с точками возврата
Интерес к задачам с точкой возврата для дифференциальных
уравнений порядка выше двух обусловлен большей частью за-
задачей о гидродинамической устойчивости параллельных течений.
Линейная задача об устойчивости параллельного течения может
быть сведена к решению так называемого уравнения Орра —
Зоммерфельда (см., например, Линь [1955])
> =iaR \[U{y)—с](<р'—а2Ф) — ?/"(#) ф} G.3.180)
относительно амплитуды возмущения ф (у). В этом уравнении про-
профиль скоростей невозмущенного потока U (у)—известная функция.
Параметры а и R являются положительными постоянными,
представляющими собой волновое число возмущения и число
Рейнольдса для потока соответственно. Параметр с—комплексная
постоянная, действительная часть которой сг определяет волно-
волновую скорость, а мнимая часть с,-—скорость затухания или воз-
возрастания возмущения. Это уравнение, дополненное четырьмя
однородными граничными условиями, при известных а и R обра-
образует задачу на собственные значения с собственной функцией ф
и собственными значениями сг и с,-. Система является неустой-
неустойчивой при с,-> 0, устойчивой при С; < 0 и при Cj = O находится
в состоянии безразличного равновесия.
Для больших aR можно получить два независимых решения
этой задачи в виде
ЯГ1Ф,и/)+..- . G.3.181)
.186 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Два других решения могут быть получены в виде
ф =e± »^Rс [(t/— с)-»/» +(а/?)~'Л /, (у) +...]. G.3.182)
г/
где ? = j ]/*?(?/—c)dt/. Вышеприведенное решение нарушается
.'/о
в окрестности нулей функции U—с, которые являются точками
возврата для уравнения G.3.180).
Толлмин [1947] и Вазов [1953] получили равномерно пригод-
пригодные асимптотические решения первого порядка для уравнения
<7.3.180). Полные равномерно пригодные разложения были полу-
получены Лангером [1957], [1959а], Рабенстайном [1959], Линем и
Рабенстайном [1960], [1969]. К. Там получил для уравнения
G.3.180) равномерно пригодные разложения с помощью метода
многих масштабов. Задачи с точкой возврата для уравнений п-го
порядка изучал Сибуя [1963а], [1963b].
7.4. Волновые уравнения
В этом параграфе мы опишем некоторые из известных мето-
методов, с помощью которых можно определять приближенные ре-
решения задач с линейным волновым уравнением и связанных сними
эллиптических задач. При описании этих методов мы будем ис-
использовать волновое уравнение вида
с2 (г) V2 v—vu—cog(r)v = с2 (r)g (г)еш. G.4.1)
Положив
v = u(r)eltat, G.4.2)
придем к уравнению
Vs«fW(r)w=g(r). G.4.3)
Здесь кип представляют собой волновое число и коэффициент
преломления и задаются равенствами
k==SLt „2=^k)_f,, G.4.4)
с0 ' ш2 с2 (г)' * '
где с0—некоторая характерная скорость. В этой задаче будем
предполагать, что g—детерминированная функция, в то время
как п может быть случайной функцией. Таким образом, резуль-
результаты могут быть применены к распространению волн в случайной
среде.
При постоянном п однородная задача допускает решение в виде
плоской волны
G.4.5)
7.4. Волновые уравнения 387
где А — постоянная. Решение неоднородной задачи задается
интегралом
где переменный вектор 1 пробегает объем рассеяния V. Если,
однако, п не является постоянной величиной, будем искать асимп-
асимптотические разложения решений уравнения G.4.3). Выбор того
или иного асимптотического метода для получения приближенного
решения зависит от значения k и характера пространственного
изменения п. Если п мало отличается от постоянной, то можно
применять так называемое разложение Борна, разработанное
физиками, или разложение Неймана, разработанное математиками,
а также методы перенормировок или метод Рытова. Если же
значения k велики, а п—медленно меняющаяся функция состоя-
состояния, то можно использовать метод геометрической оптики. Хотя
эти методы были разработаны для детерминированных задач, они
могут быть использованы также в стохастических задачах. Для
последних мы опишем также так называемый метод сглаживания,
который является аналогом метода усреднения, рассмотренного
в гл. 5. Область применения этих методов и дальнейшие ссылки
читатель может найти в книгах Чернова [1960], Татарского [1959],
Бабича [1970], [1971] и в обзорной статье Фриша [1968].
7.4.1. Разложение Борна—Неймана и диаграммы Фейнмана
Эта методика применима в случае, когда п мало отличается
от постоянной. Будем считать, что при этом k и п нормированы
таким образом, что постоянная составляющая п равна единице.
Тем самым мы получаем возможность записать п2 в виде
и2 = 1+ех(г), G.4.7)
где е мало, a % = ОA). Для статистической задачи мы будем
предполагать, что случайная функция у от переменной г центри-
центрирована таким образом, что ее среднее значение, обозначаемое
через <%>, равно нулю. Для получения разложения Борна [1926]
положим
со
«= 2 e*«m. G.4.8)
m=0
Подставив это разложение в G.4.3) и приравняв с учетом G.4.7)
коэффициенты при одинаковых степенях е, получим
?(««>)=?. G.4.9)
!(««) = — k\um_x для m^l. G.4.10)
388 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Здесь оператор L определен равенством
L = V+k\ G.4.11)
Уравнения G.4.9) и G.4.10) могут быть последовательно ре-
решены. Для некоторого заданного т правая часть G.4.10) счи-
считается известной из решения предыдущего уравнения. Следова-
Следовательно, решение задается равенством
l, G.4.12)
где гт — переменный вектор, пробегающий объем рассеяния V,
а Go— функция Грина свободного пространства:
е«*|г-||
Со (г, $) = -4я|г_6|. G-4-!3)
При g = 0 уравнение G.4.9) допускает следующее решение в виде
плоской волны:
G.4.14)
где А — постоянная. Тогда из G.4.12) имеем
V
V
um = A(—l)mk2m
xe'k''GB(r;
r.) <?•¦"¦
$x(r>
V
rJGn
UO\'« ' 1
**Ge(r;
)x («¦.)••
r.JG.tr.jr,)*,
• X(r«)x
1)...Ge(r1;r1)di
G.4.
,dr2, G.4.
Г^Г2..^ГИ
G.4.
15)
16)
17)
Член ей, в этом разложении называется первым приближением
Борна, а член e,mum—пг-м приближением Борна.
Если х—центрированная случайная функция г, то среднее
значение функции и можно получить, усреднив G.4.8). В резуль-
результате будем иметь
= Aeikr + As2k* S <у. (rj у. (r2)>e'kriG0(r; ra)G0 (r,; г^^ dr2+...+
v
+ А (-еГк™ S <y. (rt) x (r.) • ¦ • X (ги)> X
xelkr'G0(r; rm)G0(rm; r..^.. -G0(r2; rjdr.dr,.. .drm + ... .
G.4.18)
Усредненные величины <x(ri)x(ra)- • x(rm)> зависят от располо-
расположения точек ru r2, ..., rm, так как для большинства случайных
7.4. Волновые уравнения 389
сред существует масштаб корреляции / (т. е. значения % в точках,
отстоящих друг от друга на расстоянии, превышающем /, не кор-
релированы). Чтобы получить зависимость от масштаба корреля-
корреляции, разложим эти усредненные величины в ряды по расширяю-
расширяющимся группам переменных следующего вида:
<x(ri)x(r,)> = /?(r1, r2),
<Х (rt) X (г*) X (гз)> = R fa, г2, г,),
<Х(«-1)х(г2)х(Гз)х(г4)> = ^(г1) r2)R(r3, O + /?(rlf г3)Я(г2, rt) +
+ R(rlt rt)R (г„ г,) + R(rlt г2, г„ rj, G.4.19)
<X MX (г.)---X («¦»)>= 2
где ^,-^2. Так, суммирование в последнем уравнении проводится
по всем возможным разбиениям множества точек г,, г2, ..., тт на
группы, содержащие по крайней мере две точки. Если % — центри-
центрированная гауссовская случайная ункция, то все корреляционные
функции обратятся в нуль, за исключением двухточечных корре-
корреляционных функций. С помощью G.4.19) и G.4.18) можно полу-
получить для <«> выражение, зависящее от й-точечных корреляци-
корреляционных функций.
При g^O частное решение уравнения G.4.9) имеет вид
«о (г) = Mg = $ g (r0) Go (r; r0) dr0. G.4.20)
v
Тогда из G.4.12) имеем
ит (г) = (-l)^2-» S g (г0) у. (г,) X (г,) • ¦ • х(г») Go (г; г J х
xG0(rm;rm_1)...G0(r2; rJGo^ir,,)*,,^...^ G.4.21)
или, в операторной форме,
ит = (— ЙШХГ Mg, G.4.22)
где оператор М определен в G.4.20). Поэтому имеет место
ее
и (г) = Mg+ 2 еи (— ft2Mx)m Alg. G.4.23)
l
Этот ряд математики называют также рядом Неймана. К этому
ряду можно прийти также, обратив соотношение G.4.3) в интег-
интегральное уравнение
u = Mg—ek*M%u G.4.24)
и решая его методом последовательных приближений.
390 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Из G.4.23) можно определить функцию Грина G для урав-
уравнения G.4.3) в виде
G (г; г„) = Go (г; г0)—г№ J у. (ri) Go (г; тх) Go (гх; г„) drL +
+ е*Л« J у. (ri) X (г2) Се (г; г,) Со (г,; гг) Со (гх; r0) dr, dr, +
+ ... + (—1)-е-Л« J х (ri) X (г,). • • X (r J С„ (г; ги) х
xG0(rra; r^^).. .Ge(r,; rJG,,^; ro)rfridr2. ..*„+.... G.4.25)
В операторной форме эта функция будет иметь вид
т=0
G.4.26)
Этот ряд был представлен Фришем [1968] с помощью, как он
назвал, „голой" диаграммы. При этом он использовал следующие
условные обозначения: Go представляется сплошной линией,
а ??—точкой. Тогда G представляется диаграммным рядом
го г п го г гг ri го
G.4.27)
Этот ряд физически интерпретируется с помощью многократного
рассеяния. Член с номером т соответствует волне, которая сво-
свободно распространяется от г0 к тх, рассеивается на неоднород-
ностях в гх, распространяется свободно до г2, рассеивается на
гг и так далее. Фриш [1968] представил двойную функцию Грина
(тензорное произведение функции G на комплексно сопряжен-
сопряженную величину)
= G(r; ro)G(I; lB)
в виде следующего ряда двойных „голых" диаграмм:
го т ri го г го
to t «i С fa «о G.4.28)
Г1 ГО
to
Здесь каждая двойная диаграмма соответствует тензорному про-
произведению оператора, представляемого верхней линией, на one-
7.4. Волновые уравнения 391
ратор, комплексно сопряженный оператору, представляемому
нижней линией.
Если у—центрированный случайный процесс, то <С> может
быть представлено следующим „одетым" диаграммным рядом
(Фриш, [1968]):
А
_ + Г\ +—/ \ \ + П\ Г\ +
G.4.29)
В этом диаграммном ряде использованы следующие условные
обозначения:
A) Точки, принадлежащие данной группе, соединены пунк-
пунктирной линией.
B) Каждой „голой" диаграмме, содержащей функцию у в виде
k множителей, мы сопоставляем столько „одетых" диаграмм,
сколько существует разных разбиений множества rt, r2, ..., rk
на группы, содержащие по крайней мере две точки.
C) Для вычисления по „одетой" диаграмме сплошные линии
следует заменить на Со, пучок пунктирных линий, оканчиваю-
оканчивающихся в г^ г2, ..., Гу,— на множитель
(—ek*YR(rlt r2, .... г,),
а интегрирование следует проводить по всем промежуточным
точкам. Так, имеем
G.4.30)
Л «L Л ^ У0 J °(' *™*' зКо(Гз; Г8)С°^; rl)Go0Ti; Го)
rx drz dr3 dtt
G.4.31)
392 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Аналогично, ковариацию <.G(X)G> можно выразить в виде сле-
следующего ряда „одетых" двойных диаграмм:
/ Ч
G.4.32)
Здесь имеем, например,
г . ri
; ro)Go($;
х R(tlt ?x) dtt db
ti to
G.4.33)
o(r; r2)G0(r2; ^G^; r0)
X R(t2s Г]} dtt dtg
to
В случае гауссовскои случайной функции не обращаются в нуль
только двухточечные корреляционные функции; следовательно,
в G.4.29) такие диаграммы, как 3 и 7, а в G.4.32) такие, как 5,
исчезают.
Представление формальных рядов возмущения с помощью
диаграмм впервые применил Фейнман [1948]. Эти диаграммы,
называемые диаграммами Фейнмана, широко используются в ста-
статистической термодинамике (см., например, Пригожий [1962]),
в задаче многих тел (см., например, Ван Хов, Гугенхольц и
Хауленд [1961]) и в квантовой электродинамике (см., например,
Балеску [1963]). Для решения линейных стохастических урав-
уравнений диаграммы Фейнмана первым применил Крайхнан [1961].
При исследовании распространения волн в случайной среде
диаграммы Фейнмана были введены в рассмотрение Бурре [1962а],
[1962b], Фуруцу [1963] и Татарским [1954] для случая гауссо-
гауссовых процессов и Фришем [ 1965] — в общем случае.
7.4. Волновые уравнения 393
Фриш [1968] показал, что разложения, полученные в этом
пункте, являются расходящимися. Более того, он показал также,
что эти разложения содержат вековые члены, из-за которых
пригодность этих асимптотических разложений ограничивается
малыми значениями аргумента. Поскольку величина ^(г^х
хх(гг)-•-х(г2/л)> равна сумме двухточечных корреляционных
функций в количестве 1-3-5...Bт—1), то это число слагаемых
быстро растет с увеличением т, и это обстоятельство является
еще одной причиной, обусловливающей расходимость разложе-
разложений G.4.29) и G.4.32). Шкарофский [1971[ модифицировал разло-
разложение Борна для случая обратного рассеяния на турбулентной
плазме, чтобы исследовать явление насыщения и поперечной
поляризации. Рэлей [1917] разработал метод улучшения равно-
равномерной пригодности таких разложений, с тем чтобы разложение,
полученное им для однократного рассеяния на тонком слое,
сделать пригодным для многих слоев. Эта методика называется
перенормировкой. Она была развита и расширена рядом иссле-
исследователей (см. следующий пункт).
7.4.2. Методы перенормировки
Чтобы проиллюстрировать природу неравномерности, которая
может возникнуть в разложении Борна (Неймана), и наметить
пути ее устранения, рассмотрим простой пример
e)u=0, u@) = l, G.4.34)
где k—постоянная, определяемая равенством
N
?=2е"А!п. G.4.35)
п=0
Уходящие волны задаются точным соотношением
/ n \
и = еск№>х =ехр ix 2е"?„ . G.4.36)
Однако разложение Борна, полученное для G.4.34), имеет вид
N
1 + i&k^x + e2 (ik%x — j k\xz) -f
= elk°x [
-f-в3(iksX—k^zX2~**¦*•) +...]. G.4.37)
Очевидно, что это разложение пригодно только для коротких
расстояний и нарушается, когда значения kxx имеют порядок
394 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
О (е-1) или больший. Источник неравномерности можно обнару-
обнаружить, сравнив это разложение Борна с точным решением G.4.36).
/' N \
Разложив в точном решении выражение expl ix 2е"^« ) в РЯД
ч n=i /
N
Тейлора по величине ix 2 E"kn, разложив, далее, выражение
Л' \т
по степеням е и сгруппировав члены с одинаковой
степенью е, можно получить из точного решения разложение
Борна. Хотя ряд Тейлора, полученный разложением ехр ф по ф,
сходится равномерно и абсолютно для всех значений ф, конеч-
конечным числом членов ряда нельзя приблизить значение ехрф
с заданной точностью для всех значений ф. Следовательно, любое
равномерно пригодное для всех ф разложение функции ехр ф
должно совпадать с самой функцией ехр ф. Таким образом, чтобы
из G.4.37) получить разложение, равномерно пригодное для зна-
значений х порядка О(е~х), следует просуммировать последова-
последовательность
1 -f iekiX -f- ... -f (iekjX^/tnl + ... .
Эта сумма равна ехр (ikxx). Тогда G.4.37) принимает вид
mi(
т=0 ' \ л=2
A . G.4.38)
Это разложение нарушается при k2x = O(e~2). Чтобы увеличить
область пригодности этого разложения до значений х = 0(г~2),
00
следует просуммировать последовательность 2 (ie2k2x)m/m\. Если
т=0
не известна явная функциональная зависимость, то эффективным
методом суммирования этих последовательностей является метод
многих масштабов гл. 6. Суммирование вековых членов можно
также произвести другим способом—методом перенормировки.
Метод перенормировки был первоначально разработан Рэлеем
[1917] с целью обобщить свои результаты по рассеянию на тон-
тонком слое на рассеяние на многих слоях. Для однократного
рассеяния на одном слое он получил разложение вида
и = elk°* A -f m\ix). G.4.39)
Чтобы получить решение, пригодное для многих слоев, он при-
придал этому разложению вид экспоненты, т. е. записал его в виде
и = ехр [i (k0 -f ец) х]. G.4.40)
7.4. Волновые уравнения 395
Таким способом он эффективно вычислил сумму 2 {ie,\ix)m I ml
последовательности вековых членов. Процесс суммирования раз-
разложений с целью сделать их „более" равномерно пригодными назы-
называется перенормировкой. Эта методика была заново открыта
Притуло [1962], о чем говорилось в § 3.4.
Чтобы расширить область равномерной пригодности двучлен-
двучленного разложения Борна и = ио-{-ъи1, придадим ему следующий
экспоненциальный вид:
и = иоееи*'"°. G.4.41)
Если для и0 имеем ио = Аоехр iS0(r), то тогда
u = AeiS<r\ G.4.42)
где A = Aoexp[eRe(uJu0)] и S = S0 + Blm{uJu0).
Метод перенормировки был расширен, что позволило полу-
получить кинетические уравнения для слабо нелинейных систем
(см., например, Ван Хов [1955], [1957]; Пригожий [1962]; Ба-
леску[1963]; Альтшуль и Карпман [1965]). В соответствии с этим
методом последовательности вековых членов выделяются и сум-
суммируются с применением диаграмм Фейнмана или без них. Сум-
Суммирование главных последовательностей вековых членов приводит
к квазилинейным уравнениям.
Метод перенормировки широко применялся также при изу-
изучении распространения волн в случайных средах (см., например,
Татарский [1959, глава 6]; Келлер [1962]; Карал и Келлер [1964]).
Итак, чтобы расширить область равномерной пригодности раз-
разложения для <G> из G.4.29), придадим величине <G> экспонен-
экспоненциальный вид
Gji*. G.4.43)
Следовательно, первая перенормировка дает
* = ¦§;. G-4.44)
где
G,=e«# SGotorJGoOv.rJGoO^r^flOy, r2)dr,dr2. G.4.45)
Бурре [1962а], [1962b], Фуруцу [1963], Татарский [1964] и
Фриш [1965] использовали диаграммный метод суммирования
для нахождения уравнений перенормировки произвольного по-
порядка. Татарский [1964] расположил диаграммы для <G> и
<GQ?)G> таким образом, что удалось обнаружить, что эти диа-
диаграммы соответствуют разложениям Неймана для двух интеграль-
396 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
ных уравнений с двумя ядрами, имеющими бесконечное число
членов. Для случая, когда показатель преломления является
центрированной гауссовской величиной, диаграммное разложение
для <G> имеет вид
10
. I i j i j j V L + i i \ i \ \
12 13 14
15 16
18 19
\
\
f
\
17
t *
"N,
20
У
G.4.46)
Для получения интегрального уравнения для <G> с ядром,
состоящим из бесконечного ряда, рассмотрим топологию диаграмм
в G.4.46). Введем следующие определения.
A) Диаграммой без концов будем называть диаграмму с уда-
удаленными внешними отрезками сплошных линий. Так, например,
диаграмма 2 без концов имеет вид ?~\ , а диаграмма 4 без
концов имеет вид i t\\
B) Диаграмма без концов называется связной, если ее нельзя
разбить на две или более диаграммы, не разрывая ни одной
пунктирной линии. Диаграммы 4, 5, 10, 11 и 13—20 являются
связными, в то время как диаграммы 3, 6, 7, 8, 9 и 12 не явля-
являются связными. Несвязные диаграммы могут быть разбиты на
множители; например, диаграмма >'~~\ /'"\
7.4. Волновые уравнения 397
может быть записана в виде произведения следующих пяти диаг-
рамм:
C) Массовым оператором Q, обозначаемым через •, называется
сумма всевозможных связных диаграмм, входящих в <G>; т. е.
имеем
/ \ \ /• ,-ч \
I \ I . J 1 \ \
G.4.47)
Все несвязные диаграммы, состоящие из двух связных диаг-
диаграмм, встречаются в сумме диаграмм вида • • , а все не-
несвязные диаграммы, состоящие из трех связных диаграмм,
встречаются в сумме диаграмм вида • • •. Из ска-
сказанного следует, что величина<О, обозначаемая линией »*—. ,
описывается следующим уравнением Дайсона (Татарский [1964]):
или в аналитическом виде
<G(r; ro)> = Go(r; ro) + $Go(r; rt) Q (ri; r2)<G(r2; ro)>drxdr2.
G.4.49)
Аналогичное уравнение, введенное впервые Дайсоном [1949],
широко использовалось в квантовой электродинамике, квантовой
теории поля и в задаче многих тел. Если функция % однородна,
то массовый оператор Q инвариантен по отношению к переносу
и представляет собой оператор свертки, преобразование Фурье
которого является оператором умножения на обычные функции.
Следовательно, совершив преобразование Фурье в G.4.49), получим
F^? jb>. G.4.50)
коль скоро
Go(*) = #cbs- G.4.51)
Разрешая уравнение G.4.50) относительно <G(x)>, получим
! G-4-52)
Таким образом, при известном Q величина <G> может быть
найдена обращением <G (»«)>. Однако точное выражение для Q
398
Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
так же трудно найти, как и выражение для <G>. Поэтому при-
прибегают к приближенным методам определения Q. Простейшее
приближение, основанное на уравнении Дайсона, соответствует
удерживанию в массовом операторе только первого члена. Имеем
при этом
G.4.53)
или, в аналитическом виде,
<G(r;ro)> =
= G0(r;r0) + e2A>4 $G0(r; г^СОч; г2)Я (г,; r2)<G (r2; ro)>ar1art.
G.4.54)
Это уравнение, называемое первым уравнением перенормировки,
в диаграммном виде было введено в рассмотрение Бурре [1962а],
[1962b].
Следует отметить, что уравнения G.4.49) и G.4.54) не могут
быть решены методом итераций, поскольку это привело бы
к появлению вековых членов. Варватсис и Сансер [1971] полу-
получили приближенное решение уравнения G.4.54) в виде
где
=?4 $G0(r; rJGJr,; r2)G0(r2; го)Я(г,;
G.4.55)
2. G.4.56)
Это решение равным образом годно как для однородных, так и
для неоднородных сред. Мы пришли бы к этому же решению,
записав выражение <G> = G0-{-e2Gz в экспоненциальном виде.
С помощью диаграммной техники Татарский [1964] и Фриш
[1968] получили следующее уравнение Бете—Салпетера для слу-
случая, когда показатель преломления является гауссовским цент-
центрированным процессом или имеет общий вид
<G®G> G.4.57)
состоит из всех связных
Здесь оператор интенсивности
диаграмм без концов, входящих в разложение для <.G&)G>, т. е.
7.4. Волновые уравнения
399
имеем
X
G.4.58)
Впервые это уравнение было введено Салпетером и Бете [1951]
при рассмотрении релятивистских задач со связанным состоянием.
7.4.3. Метод Рытова
Для получения приближенного решения уравнения
]u = O G.4.59)
положим, следуя Рытову [1937] (см. также Татарский [1959,
стр. 121—128]; "Чернов [1960, стр. 58—67]),
ы=е* G.4.60)
и преобразуем G.4.59) к виду
у2ч1L-уя1).уф-И2A+ех) = 0. G.4.61)
Предположим теперь, что i|> допускает следующее асимптоти-
асимптотическое разложение:
«=о
G.4.62)
Подставив G.4.62) в G.4.61) и приравняв коэффициенты при
одинаковых степенях е, получим
V2il>o + V'tyo • V^o = — kz, G.4.63)
G.4.64)
G.4.65)
т=0
Эти уравнения могут быть решены последовательно. Полу-
Получающееся при этом разложение в точности соответствует разло-
00
жению Борна и — 2 Е"ип Для уравнения G.4.59). Действительно,
п=0
разложение Рытова может быть получено из ряда Борна, если
последнему придать экспоненциальный вид. Полагая
СО / 00 \
2 е»и„ = ехр 2 е^ ), G.4.66)
400 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
разлагая экспоненту при малых е и приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях е, можно получить для первых членов
G.4.67)
Таким образом, разложение Рытова представляет собой резуль-
результат перенормировки разложения Борна и, следовательно, должно
иметь более широкую область равномерной пригодности, чем
разложение Борна. Однако этот вывод представляется спорным
(Хафнагель и Стэнли [1964]; де Вольф [1965], [1967]; Браун [1966]
[1967], Фрид [1967]; Хайдбредер [1967]; Тейлор [1967]; Стробен
[1968]; Сансер и Варватсис [1969], [1970]).
7.4.4. Приближение геометрической оптики
Целью нашего рассмотрения является получение асимптоти-
асимптотического решения уравнения
V2u + k2n2(r)u = 0 G.4.68)
для больших волновых чисел k (т. е. для малых длин волн
"k==2njk). Для больших k решение уравнения G.4.68) допускает
асимптотическое разложение вида (Келлер [1958])
00
и = eikS "¦> 2 {Щ~т ит (г). G.4.69)
т=0
Подставляя G.4.69) в G.4.68) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях к, получаем
VS-VS = nz(r), (уравнение эйконала) G.4.70)
= 0, (уравнения переноса) G.4.71)
*-i Для т>1. G.4.72)
Уравнение G.4.70) может быть решено методом характеристик,
т. е. с помощью уравнений
Е=2Лп., G-4-73)
7.4. Волновые уравнения 401
где о — параметр, а X—множитель пропорциональности. Исклю-
Исключив VS из первого и третьего уравнений, получим
Тогда решение второго уравнения в G.4.73) имеет вид
T, G.4.75)
где г (о)—решение уравнения G.4.74) при начальных условиях
г(о„)=г0, dr(o0)/da = r0. Положив 2К = п~1 и считая о длиной
дуги вдоль лучей, можем переписать G.4.74) и G.4.75) в виде
T. G.4.77)
Вдоль лучей уравнение G.4.71) принимает вид
Решением этого уравнения является функция
«о = «о [г (<т0)] ехр |-1 ^Щ-] dx|. G.4.78)
Аналогично, решением уравнения G.4.72) будет функция
"m"CMF(^)]~J 2л [г (х)] MFW|dT'
где с—постоянная, определяемая из начальных условий.
Разложение, полученное в этом пункте, является непригод-
непригодным на каустике (т. е. на поверхности, огибающей лучи), на
границах тени, в фокусах лучей и в окрестности источников.
В таких областях соседние лучи пересекаются, и площадь по-
поперечного сечения трубки лучей обращается в нуль. Поскольку
в трубке лучей энергия сохраняется, амплитуда поля в этих
областях должна быть бесконечной. Ниже будет показано, что
на каустике поле является неограниченным; в следующем пункте
будет получено разложение, пригодное всюду, в том числе и на
каустике.
402 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Для того чтобы показать, что разложение этого пункта на-
нарушается на каустике или в ее окрестности, рассмотрим частный
случай п(г)=1. Из G.4.76) имеем, что в этом случае лучи яв-
являются прямыми линиями, а из G.4.77) следует, что S=S0 —
— <то+<т. Выразим теперь решения уравнений G.4.71) и G.4.72)
паустипа.
О
Рис. 7.1.
в координатной системе, отнесенной к каустике, которую будем
предполагать гладкой и выпуклой. На рис. 7.1 изображена
точка Р, расположенная вне каустики, и два луча, проходящие
через нее. Выбрав на каустике некоторое направление, мы тем
самым введем направление на каждом луче, который обязательно
касается каустики в некоторой ее точке. Таким образом, каж-
каждая точка Р, лежащая вне каустики, располагается на двух
лучах, один из которых направлен от каустики, другой направ-
направлен к ней.
Для двумерного случая обозначим через s длину дуги вдоль
каустики и через о—длину отрезка луча от точки касания до
точки Р. Таким образом, местоположение точки Р определяется
числами s, и О! или s2 и а2. В этих координатах радиус-вектор
г точки Р задается равенством
G.4.80)
где r = ro(s)—уравнение каустики, a e1 = dr0/ds—единичный век-
вектор, касательный к каустике. Поскольку de1/ds=p~1e2, где р —
кривизна в соответствующей точке каустики, то, дифференцируя
G.4.80), будем иметь
Заменив переменные а и s на
G.4.81)
7.4. Волновые уравнения 403
получим
dt = е, dn -f 11 ~ e2 ^?- G.4.82)
P
Следовательно, имеем
V/ = -^— e, н—^-r- -т=- е9. G.4.ОО)
С помощью равенств, получаемых из G.4.81),
дц да' й| ~ ds да
можно переписать G.4.83) и G.4.84) в виде
~ а да [до] ^ с [ ds да) [ с \ ds да
G.3.85)
Рассмотрев частный случай S(s, ao) = s-\-ao, будем иметь
S(s, a) = s+a. G.4.86)
Эта функция является двузначной в соответствии с тем, направлен
ли луч от каустики или к ней. Используя в G.4.78) и G.4.79)
соотношения G.4.85) и G.4.86), получим
, G.4.87)
«»(s, or) = ue(s, o0) |/?-y|]/^ V2«m-t(s, x)dx. G.4.88)
Эти функции не ограничены при а—>-0 (т. е. на каустике). Мо-
Модифицированное разложение, пригодное всюду, включая и окрест-
окрестность каустики, получено в следующем пункте.
7.4.5. Равномерное разложение иа каустике
Для нахождения разложения, пригодного на каустике, мы
должны в первую очередь определить размеры области неравно-
неравномерности и форму решения в этой области. Положим с этой
целью в G.4.68)
G.4.89)
404 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
и, полагая п(г)=1, получим
&2г1>[1— (VSJ] + ^BvS-V^ + ^v2S) + V2^ = 0. G.4.90)
Предполагая, что главным является член, пропорциональный k2,
получим
VS-vS=l (уравнение эйконала), G.4.91)
2^ = 0. G.4.92)
Возьмем в качестве решения уравнения G.4.91) функцию S -— s -\-o.
Тогда G.4.92) примет вид
G.4.93)
Чтобы выявить характер решения уравнения G.4.93) в окрест-
окрестности каустики, подвергнем это уравнение преобразованию рас-
растяжения
и получим
G.4.94)
Параметр % определяется из требования, чтобы наибольшая сте-
степень k в выражении в фигурных скобках (в том выражении,
которым мы пренебрегли в главном члене прямого разложения
в предыдущем пункте) была бы равна степени k в первом члене
(т. е. в главном члене при разложении по лучу). Это означает,
что мы полагаем
1 + Х = 4Х, Я,=у. G.4.95)
Тогда при k—>-оо уравнение G.4.94) стремится к виду
Полагая в нем
^ = e-"'^p'V(z), г = f , G.4.97)
Р v 4р
придем к уравнению
+ zV Ot G.4.98)
7.4. Волновые уравнения 405
решениями которого являются функции Эйри Ai(—z) и Bi{—2)
(см. п. 7.3.1). Если бы мы проанализировали поведение решения
в окрестности границы тени, мы бы нашли, что решение должно
быть выражено в функциях Вебера или функциях параболиче-
параболического цилиндра. Теперь мы можем либо срастить это внутреннее
разложение с внешним разложением, полученным в предыдущем
разделе, и с другим внешним разложением внутри каустики
(Бюшал и Келлер [I960]), либо построить одно равномерно при-
пригодное разложение по примеру разложений в задачах с точкой
возврата (см. § 7.3).
Следуя Кравцову [1964а], [1964b], Людвигу [1966] и Зауде-
реру [1970b], будем искать асимптотическое разложение вида
G.4.99)
где 0 и ф определяются в процессе вычислений, а V (г) задается
с помощью G.4.98). Подставив G.4.99) в G.4.68), используя ра-
равенство V" -\-zV -f-V = O и приравнивая нулю коэффициенты при
V и V, получим
—I]—2*»epAve.v<p+i*[2ve-v?+gv2e+
?Л + ф/1У2Ф+/1(?фJ] + У2? = 0, G.4.100)
— 1]— k*gVQ-Yy+ik[2Vy-Vg+gV2<i> +
+ 2ve-V/i + /iV26] + V2/i==0. G.4.101)
Коэффициенты при k2 в G.4.100) и G.4.101) обращаются в нуль
при условиях
Чтобы решить получающиеся уравнения, положим в них
Л (г, k) =
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях /г. Урав-
Уравнения первого порядка имеют вид
>'?2Ф+/1(?ФJ=О,
= О 1 '
Уравнения G.4.102) эквивалентны уравнению эйконала G.4.70),
в то время как уравнения G.4.104) эквивалентны уравнению
переноса G.4.71). Аналогичные уравнения получил Фаукес [1968,
часть II] с помощью метода многих масштабов.
Система G.4.102) представляет собой нелинейную систему
уравнений, которая является эллиптической при ф < 0 (теневая
406 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
область), гиперболической при <р > 0 (освещенная область) и
параболической при ф=0 (каустическая кривая или поверхность).
Для выпуклой и аналитической каустики системы G.4.102) и
G.4.104) могут быть решены разложением величин 6 и ф в сте-
степенные ряды в координатной системе, отнесенной к каустике.
Для того чтобы увидеть связь между системой G.4.102) и
уравнением эйконала G.4.70), умножим второе уравнение в G.4.102)
на ±2|Лр (мы рассматриваем освещенную область, в которой
Ф > 0) и результат сложим с первым из этих уравнений. Полу-
Получим уравнение
которое можно записать в виде
(VSJ = 1, G.4.105)
где
5± = 6±-|фЗ/2. G.4.106)
Аналогичным образом, умножив второе уравнение в G.4.104) на
+V ф, сложив результат с первым из этих уравнений и исполь-
использовав равенство \6-\(р =0, получим
[ у]±=0, G.4.107)
где
Ф±=го±1/фЛо. G.4.108)
Уравнение G.4.107) отличается от уравнения переноса G.4.71)
только наличием члена ± A/2) ф~1/2 (V<pJ, из-за которого
коэффициент при ij;* становится ограниченным в окрестности
каустики.
Заменив V и V их асимптотическими разложениями для
больших значений аргумента, придем к разложению геометри-
геометрической оптики, полученному в предыдущем пункте (для случая
освещенной области, <р > 0). Заменив V и V их асимптотическими
разложениями для больших значений аргумента в случае <р < 0,
получим некоторое разложение в теневой области, которое мо-
может быть интерпретировано с помощью комплексных лучей, фаз
и коэффициентов переноса.
Обзор работ по равномерным асимптотическим разложениям
в задачах распространения волн и дифракции был дан Людви-
Людвигом [1970b] и Бабичем [1970], [1971]. Роль координатных систем
в приведении разложений к равномерно пригодному виду была
исследована Заудерером [1970а].
7.4. Волновые уравнения 407
Бабич [1965] получил единое равномерно пригодное разложе-
разложение для задачи о точечном источнике, в то время как Авила
и Келлер [1963] для нее получили сращивание трех разложений.
Заудерер [1964b], Буслаев [1964], Гримшоу [1966], Людвиг
[1967], Льюис, Блайстайн и Людвиг [1967], в числе других авто-
авторов, рассматривали задачи дифракции на выпуклых телах. Диф-
Дифракция на прозрачном теле была исследована Ральфом [1968].
Равномерные разложения в задаче дифракции вблизи вогну-
вогнутой стороны некоторого тела (колебания типа шепчущей галереи)
были получены, в числе других авторов, Кравцовым [1964b],
Матковским [1966], Людвигом A970а].
Характеристические переходные области, в которых две ка-
каустики расположены близко друг к другу, аналогичны точкам
возврата второго порядка. В этих случаях в равномерные разло-
разложения входят функции Вебера или функции параболического
цилиндра. Некоторые задачи указанного типа изучены Кравцо-
Кравцовым [1965], Бабичем и Кравцовой [1967], Вайнштейном [1969]
и Заудерером [1970а], [1970b].
Дифракцию на тонком экране (дифракцию Френеля) исследо-
исследовали Вольф [1967], Керстен [1967], Алувалиа, Льюис и Боерсма
[1968].
Области многократного перехода возникают при касательном
пересечении двух или более каустик и границ тени, как, напри-
например, вблизи границ каустик (Леви и Фельзен [1967]), угловых
точек на каустиках (Людвиг [1966]) и точек дифракции гладких
тел (Людвиг [1967]). Задачи с переходными областями, в числе
других авторов, исследовали Заудерер [1964а], [1970а], Фок
[1965], Ральф [1967] и Блайстайн [1967].
7.4.6. Метол сглажнвання
Для того чтобы применить эту методику к уравнению G.4.3)
с центрированной случайной функцией П2(г), преобразуем сна-
сначала его в интегральное уравнение
и = Mg—ek2Mxu. G.4.109)
Здесь оператор М определен равенством
(r")G» С""- r°) dr°> G.4.110)
где Go—функция Грина свободного пространства. Фриш [1968]
показал, что многие другие линейные уравнения математической
физики, такие, как уравнение Лиувилля для системы взаимо-
взаимодействующих классических частиц, уравнение Хопфа в теории
турбулентности и уравнение Фоккера — Планка, могут быть све-
сведены к интегральному уравнению вида G.4.109).
408 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
Вообще говоря, для нас представляет интерес не сама функ-
функция «, а ее проекция Ри на некоторое подпространство исход-
исходного пространства, на котором определена функция и. Например,
в задаче распространения волн в случайной среде можно счи-
считать Р« = <ы>, а в случае N взаимодействующих частиц проек-
проекция Ри представляет собой функцию распределения скоростей
для системы N частиц, полученную интегрированием и по всем
пространственным координатам. Введем обозначение
Ри = ис, «,=(/—Р)ы. G.4.111)
В задачах распрсстранения волн в случайных средах ис пред-
представляет собой когерентную составляющую поля (среднее значе-
значение), в то время как щ представляет собой некогерентную со-
составляющую (флуктуирующую составляющую). Для детерминиро-
детерминированной функции g и центрированной случайной функции % имеем
Pg=g, PM=MP, Р%Р = 0. G.4.112)
Действуя оператором Р на G.4.109) слева, получим
ис = Mg—ek2MP% (Ри + U;) = Mg—ek2MP%Ui. G.4.113)
Действуя опять-таки на G.4.109) оператором /—Р слева, по-
получим
и, = — ek2M (I — Р) х (ис + щ) =
= — ek2M (I — P) %uc—vk2M {I—P) %uh G.4.114)
Применив для решения G.4.114) формально метод последова-
последовательных приближений, получим следующую зависимость «,- от ис:
[y]uc. G.4.115)
n=l
Подставив это выражение для щ в G.4.113), будем иметь
2 [— ek2M(I—P)%]n\uc.
Поскольку ис= Рис, то это уравнение можно записать в виде
uc = Mg + MQuc, G.4.116)
где
Q=— 2 ?k2Px[—ek2M(I — P)%]"P. G.4.117)
i
Для случайных операторов уравнение G.4.116) представляет
собой в точности уравнение Дайсона G.4.49), в котором Q —
массовый оператор.
Упражнения 409
Фриш [1968] назвал эту методику методом сглаживания, по-
поскольку она является как бы аналогом метода усреднения (гл. 5),
в котором зависимые переменные состоят из медленных и быстро-
периодических слагаемых. Для стохастических уравнений эту
методику впервые ввели Примас [1961], Эрнст и Примас [1963],
Татарский и Герценштейн [1963]. Цванциг [1964] применил ее
для уравнения Лиувилля.
Сглаживание первого порядка задается соотношением G.4.116),
в котором использован один член выражения G.4.117), т. е. за-
задается равенством
Q = ъ*к*РуМ (I—P) %Р = еЧ
Следовательно,
. G.4.118)
Это уравнение совпадает с уравнением Буре G.4.54) для линей-
линейных случайных сред и с уравнением Ландау для задачи Лиу-
Лиувилля (см., например, Пригожий [1962]). Для линейных случайных
сред это первое приближение получили также Келлер [1962] и
Кубо [1963].
Упражнения
7.1. Определить для больших значений х асимптотические разложения
решений уравнений
(б) ^-
(в) х*у''
(д)
7.2. Определить для больших значений х асимптотические разложения
решений уравнений
(в) ^
(г) у" + х-113у'+х-2у=0.
7.3. Рассмотреть уравнение
у"—к*х-2у=0.
410 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
(а) Показать, что точное решение имеет вид
где тъ 2= 1/2 ± +/
(б) Определить первое приближение ВКБ.
(в) Сравнить это приближение с точным решением (Джеффрис, [1962]).
7.4. Определить первое приближение для больших Я в задаче на собст-
собственные значения
u = 0, f(x)>0,
u@) = u(l) = 0.
7.5. Рассмотреть уравнение
«"+ /M+2e"?«f*> u=0-
Положить
tt=l
где
Определить уравнение для <р и затем найти ф„ (Брулл и Соулер [1966]).
7.6. Определить равномерное асимптотическое разложение для решения
уравнения
где е—малый параметр, a f—ограниченная непериодическая функция rf.
7.7. Рассмотреть уравнение
и + со2 (erf) и = fe cos ф,
в котором ф=Я,(е<). Определить равномерные асимптотические разложения
для случаев: (а) значения к не близки к со; (б) при некотором < = <0 > 0 имеет
место Я=со (Кеворкян [1971J).
7.8. Рассмотреть уравнение
и—i [cot (et) + со2 (erf)] й—cot (erf) co2 (erf) u = / (erf),
где точки над буквой означают дифференцирование по rf, a e—малый пара-
параметр. Определить равномерные асимптотические приближения к решениям
этого уравнения для случаев: (a) /(erf) = 0; (б) /(е<) —ограниченная неперио-
непериодическая функция t; (в) / (е<) = к ехр (йр), причем ф=Х(е<) ^ со,-; (г) функция
/ (е<) имеет тот же вид, что и в пункте (в), но при некотором < == <0 имеет
место Я=со1.
7.9. Определить равномерное асимптотическое разложение общего реше-
решения уравнения
Упражнения 411
7.10. Функции Бесселя Jn (nx), Yn (nx) и //(n' ¦ 2) (nx) являются решениями
дифференциального уравнения
х2у"+ху' + п2 (х2— 1) j/ = 0.
Определить равномерное асимптотическое разложение для общего решения
этого уравнения при больших п.
7.11. Определить равномерные асимптотические разложения решений
уравнения
„/1 I у.\ сг1
Л У1 1Л) Ь1А п i ^ „ ^ „
при малом е и а—постоянном.
7.12. Рассмотреть задачу Гретца о теплопроводности в трубе
ы"+Я2A — x2)f(x)u = 0,
в которой Я ^> 1 и f (x) = f (— х) > 0. Определить первое приближение к к
и к собственным функциям, используя: (а) метод сращивания асимптотических
разложений (Селлерс, Трибус и Клейн [1956]); (б) метод многих масштабов
или преобразование Лангера (Найфэ [1965b]).
7.13. Дано, что / (х) > 0 и Х^>1. Определить первые приближения в
следующих задачах на собственные значения:
(а) у" + Я2A —x)f(x)y = 0,
(б)
уA) = 0, у@)<со;
(в) {/" + Я2A—х)п f (х) у=0, п—натуральное число,
(г) ху"-{-у'-}-k2xnf (х)у=0, п—натуральное число,
(д) у"-\-Х2(х—1)" B—x)mf(x)y — 0, т и п — натуральные числа,
у < оо для всех х.
7.14. Рассмотреть задачу Гретца о теплопроводности в трубе
ги" + и' + Я2/- (I —а2) / (г) и = 0,
u(l) = 0, u@) < оо,
для случая, когда Я^1 и / (г) > 0. (а) Определить разложение, пригодное
вдали от точек л = 0 и г=\; (б) определить разложения, пригодные к окрест-
окрестности точек г = 0 и /¦= 1; (в) срастить эти три разложения, определить X,
получить равномерно пригодное составное разложение (Селлерс, Трибус и
Клейн [1956]).
7.15. Вновь рассмотреть упражнение G.14). (а) Определить с помощью
преобразования Лангера разложение, пригодное вдали от точки г~0; (б) опре-
определить разложение, пригодное вдали от точки г= 1, используя преобразование
Олвера; (в) для нахождения Я срастить эти два разложения; (г) получить
составное равномерно пригодное разложение; (д) сравнить полученные резуль-
результаты с результатами упражнения 7.14.
412 Гл. 7. Асимптотические решения линейных уравнений
7.16. Рассмотреть уравнение
у"—Я2 (х— 1) B-х) у = 0.
Определить приближенное решение этого уравнения при условии, что
и у < ое для всех х.
7.17. Рассмотреть задачу
и" + Я2 A-х)" (х — ц)т f (х) u = 0,
u(l) = iiQi)=O,
в которой Я^> 1, f (х) > 0, а п и т — натуральные числа, ц < 1. Определить
разложения, пригодные вдали от точек х = \л, и х=\, используя преобразо-
преобразование Олвера; срастив нх, найти Я; построить составное разложение.
7.18. Рассмотреть задачу
ги" + ци' + Xrn (\~r)m f (г) и = 0,
мA) = 0, и@)<ое,
в которой Я^1, /(/¦) > О, (г—действительное число, а и и т — натуральные
числа. Используя преобразование Олвера, определить разложения, пригодные
вдали от точек г = 0 и г = 1; срастив их, найти X; построить составное раз-
разложение (Найфэ [1967а]).
7.19. Дано, что / (х) > 0 и Я> 1. Определить первые приближения в
следующих задачах на собственные значения:
(а) xy"+y' + k4(l-x)f(x)y=Q,
(б) xy" +
Здесь т и п—натуральные числа, а собственные функции удовлетворяют ус-
условию у < оо для х 3= 0.
7.20. Каким способом можно определить частное решение уравнения
u"-\-№z3u = №g(z)
при Я>1 в следующих случаях: (a) g@)?^0; (б) g@) = 0, ио g' (О) г 0;
(в) g @) = g' @) = 0, но g" @) ф 0; (г) g @) = g' @) = g" @) == 0?
Список литературы
Абловитц, Бенин (Ablowitz M. J., Benney D. J.)
A970] The evolution of multi-phase modes for nonlinear dispersive waves,
Stud. Appl. Math., 49, 225—238.
Абрахам-Шраунер (Abraham-Shrauner B.)
[1970a] Suppression of runaway of electrons in a Lorentz plasma. I, Harmo-
Harmonically time varying electric field, J. Plasma Phys., 4, 387—402.
[1970b] Suppression of runaway of electrons in a Lorentz plasma. II, Crossed
electric and magnetic fields, J. Plasma Phys., 4, 441—450.
Айне (Ince E. L.)
[1926J Ordinary Differential Equations, Longmans, Green, London. Русский
перевод: Анне Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения,
Харьков, Научно-техническое изд-во Украины, 1939.
Авнла, Келлер (Avila G.S.S., Keller J. В.)
[1963] The high frequency asymptotic field of a point source in an inhomo-
geneous medium, Comm. Pure Appl. Math., 16, 363—381.
Акерберг, О'Малли (Ackerberg R. C, O'Malley R. E., Jr.)
[1970] Boundary layer problems exhibiting resonance, Stud. Appl. Math.,
49, 277—295."
Акннсет, Ли (Akinsete V. A., Lee J. H. S.)
[1969] Nonsimilar effects in the collapsing of an empty spherical cavity in
water, Phys. Fluids, 12, 428—434.
Алувалиа, Льюис, Боерсма (Ahluwalia D. S., Lewis R. M., Boersma J.)
[1968] Uniform asymptotic theory of diffraction by a plane screen, SIAM
J. Appl. Math., 16, 783—807.
Альтшуль Л. М., Карпман В. И.
[1965] К теории нелинейных колебаний в плазме без столкио еиий, ЖЭТФ,
вып. 8, 515—525.
Альцхаймер, Дэвис (Alzheimer W. E., Davis R. Т.)
[1968] Unsymmetrical bending of prestressed annular plates, J. Eng. Mech.
Div. Proc. ASCE, 4, 905—917.
Амазиго, Будянски, Кэрриер (Amazigo J. С, Budiansky В., Carrier G. F.)
[1970] Asymptotic analyses of the buckling of imperfect columns of nonli-
nonlinear elastic foundations, Int. J. Solids Structures, 6, 1341—1356.
Аирар (Henrard J.)
[1970] On a perturbation theory using Lie transforms, Celestial Mech., 3,
107—120.
Арнольд В. И.
[1963]* Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классиче-
классической и небесной механике, Успехи матем. наук, 18, № 5A13).
Асано (Asano N.)
[1970] Reductive perturbation method for nonlinear wave propagation in
inhomogeneous media. Ill, J. Phys. Soc. Japan, 29, 220—224.
Асано, Таниути (Asanc N., Taniuti T.)
[1969] Reductive perturbation method for nonlinear wave propagation in
inhomogeneous media, I, J. Phys. Soc. Japan, 27, 1059—1063.
414 Список литературы
[1970] Reductive perturbation method for nonlinear wave propagation in
inhomogeneous media. II, J. Phys. Soc. Japan, 29, 209—214.
Ашер (Usher P. D.)
[1968] Coordinate stretching and interface location. II. A new PL expan-
expansion, J. Computer Phys., 3, 29—39.
[1971] Necessary conditions for applicability of Poincare-Lighthill pertur-
perturbation theory. Quart. Appl. Math., 28, 463—471.
Бабич В. М.
[1965] О коротковолновой асимптотике решения задачи о точечном источнике
в неоднородной среде, ЖВМиМФ, 5, 949—951.
Бабич (Babich V. М.)
[1970] Mathematical Problems in Wave Propagation Theory, Part I, Ple-
Plenum, New York.
[1971] Mathematical Problems in Wave Propagation Theory, Part II, Ple-
Plenum, New York.
Бабич В. М., Кравцова Т. С.
[1967] О распространении колебаний типа волновой пленки с квантованной
толщиной, ПММ, 31, 204—210.
Балеску (Balescu R.)
[1963] Statistical Mechanics of Charged Particles, Wiley, New York. Рус-
Русский перевод: Балеску Р., Статистическая механика заряженных
частиц, М., «Мир», 1967.
Баракат, Хаустон (Barakat R., Houston A.)
[1963] Nonlinear periodic capillary-gravity waves on a fluid of finite depth.
/. Geophys. Res., 73, 6545—6554.
Баррар (Barrar R. B.)
[1970] Convergence of the von Zeipel procedure, Celestial Mech., 2, 494—504.
Барсилон (Barcilon V.)
[1970] Some inertial modifications of the linear viscous theory of steady
rotating fluid flows, Phys. Fluids, 13, 537—544.
Батлер, Гриббен (Butler D. S., Gribben R. J.)
[1968] Relativistic formulation for nonlinear waves in a non-uniform plasma,
J. Plasma Phys., 2, 257—281.
Бауер (Bauer H. F.)
[1968] Nonlinear response of elastic plates to pulse excitations, J. Appl.
Mech., 35, 47—52.
Беллман (Bellman R.)
[1955] Research problems, Bui . Am. Math. Soc, 61, 192.
[1964] Perturbation Techniques in Mathematics, Physics and Engineering,
Holt, New York.
Бенни (Benney D. J.)
[1965] The flow induced by a disk oscillating about a state of steady rota-
rotation, Quart., Mech. Appl. Math., 18, 333—345.
[1966] Long waves on liquid films, J. Math, and Phys., 45, 150—155.
[1967] The asymptotic behavior of nonlinear dispersive waves, J. Math,
and Phys., 46, 115—132.
Бенни, Ньюэлл (Benney D. J., Newell A. C.)
[1967] Sequential time closures for interacting random waves, /. Math, and
Phys., 46, 363—393.
Список литературы 415
A969] Random wave closures, Stud. Appl. Math., 43, 29 53.
Бенни, Роскес (Benney D. J., Roskes G. J.)
[19691 Wave instabilities, Stud. Appl. Math., 48, 377—385.
Бенни, Саффмэн (Benney D. J., Saffman P. G.)
[1966] Nonlinear interactions of random waves in a dispersive medium,
Proc. Roy. Soc. (London), A289, 301—320.
Бернсайд (Burnside R. R.)
[1970] A note on Lighthill's method of strained coordinates, SI AM, J. Appl.
Math., 18, 318—321.
Бишопп (Bisshopp F.)
[1969] A modified stationary principle for nonlinear waves, J. Diff. Equa-
Equations, 5, 592—605.
Блайстайн (Bleistein N.)
[1967] Uniform asymptotic expansions of integrals with many nearly statio-
stationary points and algebraic singularities, J. Math. Mech'., 17, 533—559.
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М.
[1969]* Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике, «Наукова
думка», Киев.
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А.
[1974] Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, М., «Наука».
Блехман Н. И.
[1968]* Метод малого параметра. Сборник „Механика в СССР за 50 лет",
т. I, «Наука», М.
Болл (Ball R. Н.)
[1964] Nonlinear theory of waves in a cold homogeneous plasma without
magnetic field, Stanford Microwave Laboratory Rept. No. 1200.
Борн (Born M.)
[1926] Quantum mechanics of impact processes, Z. Phys., 38, 803—827.
Бохлин (Bohlin K. P.)
[1889] Uber eine neue Annaherungsmethode in der Storungstheorie, Akad.
Hand). Bihang., 14 (Afdl. Stokholm).
Браун (Brown W. P., Jr.)
[1966] Validity of the Rytov approximation in optical propagation calcu-
calculations," J. Opt. Soc. Am., 56, 1045—1052.
[1967] Validity of the Rytov approximation, J. Opt. Soc. Am., 57, 1539—1543.
Брезертон (Bretherton F. P.)
[1962] Slow viscous motion round a cylinder in a simple shear, J. Fluid
Mech., 12, 591—613.
{1964] Resonant interactions between waves. The case of discrete oscilla-
oscillations, J. Fluid Mech., 20, 457—479.
[1968] Propagation in slowly varying waveguides, Proc. Roy. Soc. (London),
A302, 555—576.
Брезертон, Гарретт (Bretherton F. P., Garrett С J. R.)
[1968] Wavetrains in inhomogeneous moving media, Proc. Roy. Soc. (Lon-
(London), A302, 529-554.
Брекуалл, Перко (Breakwell J. V., Perko L. M.)
[1966] Matched asymptotic expansions, patched conies, and the computa-
416 Список литературы
tion of interplanetary trajectories. In Progress in Astronautics and
Aeronautics, Vol. 17, Method in Astrodynamics and Celestial Mecha-
Mechanics (R. L. Duncombe and V. G. Szebehely, eds.), Academic, New
York, pp. 159—182.
Брекуэлл, Прингл (Breakwell J. V., Pringle R., Jr.)
[1966] Resonances affecting motion near the earth-moon equilateral libra-
tion points. In Progress in Astronautics and Aeronautics, vol. 17,
Methods in Astrodynamics and Celestial Mechanics (R. L. Duncombe
and V. G. Szebehely, eds.), Academic, New York, pp. 55—74.
Брнллюэн (Brillouin L.)
[1926] Remarques sur la mecanique ondulatoire, J. Phys. Radium, 7,
353—368.
Бро (Brau C. A.)
[1967] On the stochastic theory of dissociation and recombination of diato-
diatomic molecules in inert diluents, J. Chem. Phys., 47, 1153—1163.
Бромберг (Bromberg E.)
[1956] Nonlinear bending of a circular plate under normal pressure, Comm.
Pure Appl. Math., 9, 633—659.
Брофман (Brofman W.)
[1967] Approximate analytical solution for satellite orbits subjected to small
thrust or drag, A'lAA J., 5, 1121—1128.
Брулл, Соулер (Brull M. A., Soler A. I.)
[1966] A new perturbation technique for differential equations with small
parameters. Quart. Appl. Math., 24, 143—151.
Бурре (Bourret R. C.)
[1962a] Propagation of randomly perturbed fields, Can. J. Phys., 40, 782—790.
[1962b] Stochastically perturbed fields, with applications to wave propagation
in random media, Nuovo Cimento, 26, 1—31.
Буслаев Н. С
[1964] Коротковолновая асимптотика в задаче дифракции на гладких вы-
выпуклых контурах, Труды МИАН им. Стеклова, т. 73.
Бутузов, Васильева А. Б., Федорюк М. В.
[1969]* Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, Итоги науки, Матем. анализ, 1967, стр. 5—73.
Бэруа (Barua S. N.)
[1954] Secondary flow in a rotating straight pipe, Proc. Roy. Soc. (Lon-
(London), A227, 133—139.
Бюшал, Келлер (Buchal R. N., Keller J. B.)
[I960] Boundary layer problems in diffraction theory, Comm. Pure Appl.
Math., 13, 85—144.
ВальоЛорен (Vaglio-Laurin R.)
[1962] On the PLK method and the supersonic blunt-body problem,
/. Aeron. ScL, 29, 185—206.
Вазов (Wasow W. A.)
[1953] Asymptotic solution of the differential equation of hydrodynamic
stability in a domain containing a transition point, Ann. Math.,
58, 222—252.
[1955] On the convergence of an approximation method of M. J. Lighthill,
/. Rat. Mech. Anal., 4, 751-767.
Список литературы 417
[1965] Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations VVilev
New York. Русский перевод: Вазов В. А., Асимптотические разло-
разложения решений дифференциальных уравнений, М., «Мир», 1968.
Ц968] Connection problems for asymptotic series, Bull. Am Math Soc
74, 831—853.
Вайнберг М. М., Треногий В. А.
[1969]* Теория ветвления решений нелинейных уравнений. «Наука», М.
Вайнштейн Л. А.
[1966] Открытые резонаторы и открытые волноводы, М., «Советское радио»,
Ван Вейнгарден (Van Wijngaarden L.)
[1968] On the oscillations near and at resonance in open pipes, /. Eng.
Math., 2, 225—240.
Ван Дайк (Van Dyke M. D.)
[1952J A study of second-order supersonic flow theory, NACA Rept. No.
1081.
[1964] Perturbation Methods in Fluid Mechanics, Academic, New York.
Русский перевод: Ван Дайк, Методы возмущений в механике жид-
жидкости, М., «Мир», 1967.
Ван-дер-Корпут (Van der Corput J. G.)
[1956] Asymptotic developments I. Fundamental theorems of asymptotics,
J. Anal. Math., 4, 341—418.
[1962] Asymptotic Expansions, Lecture notes, Stanford University.
Ван-дер-Поль (Van der Pol B.)
[1922] On a type of oscillation hysteresis in a simple triode generator, Phil.
Mag., 43, 177—193.
[1926] On oscillation hysteresis in a simple triode generator, Phil. Mag.,
43, 700—719.
[1927] liber Relaxations schwingungen, Jahrb. Drahtl. Telegr Teleph, 28,
178—184.
Ван Хов (Van Hove L.)
[1955] Quantum-mechanical perturbations giving rise to a statistical tran-
transport equation, Physica, 21, 517—540.
[1957] The approach to equilibrium in quantum statistics, Physica, 23,
441—480.
Ван Хов, Гугенхольц, Хаулэнд (Van HoveL., Hugenholtz N., Howland L.)
[1961] Quantum Theory f Many Particle Systems, Benjamin, New York.
Варватсис, Сансер (Varvatsis A. D., Sancer M. I.)
[1971] On the renormalization method in random wave propagation, Radio
Sci., 6, 87—97.
Васильева А. Б.
[1959] О многократном дифференцировании по параметру решений систем
обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром
при производной, Матем. сборник, 48, 311—334.
[1963а] Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелиней-
нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при стар-
старших производных, УМН, 18, вып. 3, 15—86.
[1963Ь|* Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений с малым параметром при старших производных. ЖВМ
и МФ, 3, № 4, 611—643.
418 Список литературы
Ватсон (Watson G. N.)
[1944] A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Macmillan, New York.
Русский перевод: Ватсон Дж. Н., Теория бесселевых функций, М.,
ИЛ, 1949.
Ватсон (Watson J.)
[1960] On the nonlinear mechanics of wave disturbances in stable and
unstable parallel flows. Part 2. The development of a solution for
plane Poiseuille ilow and for plane Couette flow, J. F uid Mech.,
9, 371—389.
Вейль (Weyl H.)
[1942] On the differential equations of the simplest boundary-layer prob-
problems, Ann. Math., 43, 381—407.
Вентцель (Wentzel G.)
[1926] Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingung fur die Zwecke der
Wellenmechanik, Z. Phys., 38,518—529.
Верхаген, Ван Вейнгарден (Verhagen J. H. G., Van Wijngaarden L.)
[1965] Non linear oscillations of fluid in a container, J. Fluid Mech.,
22, 737—751.
Вингейт, Дэвис (Wingate R. Т., Davis R. T.)
[1970] Perturbation solution of a hyperbolic equation governing longitudi-
longitudinal wave propagation in certain nonuniform bars, J. Acoust. Soc.
Am.. 47, 1334—1337.
Витт А., Горелик Г.
[1933] Колебания упругого маятника как пример колебаний двух пара-
параметрически "связанных линейных систем, Журнал технической фи-
физики, III.
Вишик М. И., Люстерник Л. А.
[1957] Регулярное вырождение и пограничный слой для нелинейных диф-
дифференциальных уравнений с малым параметром, УМН, 12, вып.
5, 3-122.
Болотов В. М.
[1961]* О высших приближениях при усреднении, ДАН СССР, 137,
№ 5,1022—1025.
11962]* Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений,
УМН, 13, вып. 6,3—126.
[1963]* Некоторые виды расчетов в теории нелинейных колебаний, связан-
связанные с усреднением. Журнал вычислительной математики и мате-
математической физики, 3, № 1, 3—53.
[1668]* Метод осреднения в теории нелинейных колебаний, „Механика в
СССР за 50 лет" т. 1, М., «Наука».
Волосов В. М., Моргунов Б. И.
[1968]* Метод расчета стационарных резонансных колебательных и враща-
вращательных движений некоторых нелинейных систем. Журнал вычисли-
вычислительной математики и математической физики, 8, № 2, 251—294.
Волосов В. М., Моисеев Н. Н., Моргунов Б. И., Черноусько Ф. Л.
[1965]* Асимптотические методы нелинейной механики, связанные с осред-
осреднением, Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и приклад-
прикладной механике, Обзорные доклады, вып. 2, М., «Наука», стр. 35—50-
Список литературы 419
Волосов В. М., Моргунов Б. И.
A971]* Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем
М., «Наука». '
Вольф (Wolfe P.)
[IE67] A new approach to edge diffraction, SI AM J. Appl Math 1 15
1434—1469. ' ' '
By (Wu Y. T.)
[19Б6] Two-dimensional sink flow of a viscous, heat-conducting, compres-
compressible fluid; cylindrical shock waves, Quart. Appl. Math., 13, 393.
Галлоуэй, Крофорд (Galloway J. J., Crawford F. W.)
[1970] Lagrangian derivation of wave-wave coupling coefficients, Proc. 4th-
European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics,
Rome (CHEN), 161.
Галлоуэй, Кнм (Galloway J. J., Kim H.)
[1971] Lagrangian approach to nonlinear wave interactions in a warm plas-
plasma, J. Plasma Phys., 6, 53—72.
Гандерсен (Gundersen R. M.)
[1967] Self-sustained thermally driven nonlinear oscillations in one-dimen-
one-dimensional magnetohydrodynamic flow, Int. J. Eng. Sci., 5, 205—211.
Ганс (Gans R.)
[1915] Propagation of light through an inhomogeneous media, Ann. Phys.,
47, 709—736.
Гантмахер Ф. P.
[1966] Лекции по аналитической механике, М., «Наука».
Гарретт (Garrett С. J. R.)
[1968] On the interaction between internal gravity waves and a schear
flow, J. Fluid Mech., 34, 711—720.
Гиро (Guiraud J. P.)
[1965] Acoustique geometrique, bruit balistique des avions supersoniques
et focalisation, J. Mecanique, 4, 215—267.
Глиден (Glyden H.)
[1893] Nouvelles recherches sur les series employees dans les theories des
planets, Ada Math., 9, 1—168.
Го (Kuo Y. H.)
[1953] On the flow of an incompressible viscous fluid past a flat plate at
moderate Reynolds numbers, J. Math, and Phys., 32, 83—101.
[1956] Viscous flow along a flat plate moving at high supersonic speeds,
/. Aeron. Sci., 23, 125—136.
Голдберг, Сандри (Goldberg P., Sandri G.)
[19671 Power series of kinetic theory. Parts 1 and II, Phys, Rev., LI54,
188—209.
Голдбург, Чен (Goldburg A., Cheng S. I.)
[1961] The anomaly in the application of Poincare-Lighthill-Kuo and pa-
parabolic coordinates to the trailing edge boundary layer, J. Math.
Mech., 10, 529—535.
Голдстейи Г. (Goldstein H.)
[1965] Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Mass. Русский пере-
перевод: Голдстейн Г., Классическая механика, «Наука», М., 1975.
420 Список литературы
Голдстейн С. (Goldstein S.)
[1929] The steady flow of viscous fluid past a fixed spherical obstacle at
small Reynolds numbers, Proc. Roy, Soc. (London), A-123, 225—235.
[1931] A note on certain approximate solutions of linear differential equa-
equations of the second order, Proc. London Math. Soc., 33, 246—252.
[1969] Applications of singular perturbations and boundary-layer theory
to simple ordinary differential equations. In Contributions to Mecha-
Mechanics (D. Abir, ed.), Pergamon, Oxford, pp. 41—67.
Гольштайн (Holstein V. H.)
[1950] Uber die aussere and innere Reibungsschicht bei Storungen laminarer
Stromungen, ZAMM, 30, 25—49.
Горн (Horn J.)
[1899] Ueber eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einem
willkurlichen Parameter, Math. Ann., 52, 271—292.
[1903] Untersuchung der Intergrale einer linearen Differential gleichung in
der Umgebung einer Unbestimmtheitsstelle vermittelst successiver
Annaherungen, Arch. Math. Phys., 4, 213—230.
Гоулей (Golay M. J. E.)
[1964] Normalized equations of the regenerative oscillator-noise, phase-lock-
phase-locking, and pulling, Proc. IEEE, 52, 1311—1330.
Гретлер (Gretler W.)
[1968] Eine indirekte Methode zur Berechnung der ebenen Unterschallstro-
mung, /. Mecanique, 7, 83—96.
Гримшоу (Grimshaw R.)
J1966] High-frequency scattering by finite convex regions, Comm. Pure
Appl. Math., 19, 167—198.
[1970] The solitary wave in water of variable depth, J. Fluid Mech,
42, 639—656.
Грин (Green G.)
J1837] On the motion of waves in a variable canal of small depth and
width, Trans. Cambridge Phil. Soc, 6, 457—462.
Грин, Уивер (Green G. S., Weaver A. K.)
[1961] The estimation of the three-dimensional gyrations of a ballistic
missile descending through the atmosphere, Royal Aircraft Establi-
Establishment Tech. Note G. W., 596 (London).
Гудрич, Казаринов (Goodrich R. F., Kazarinoff N. D.)
[1963] Diffraction by thin elliptic cylinders, Michigan Math. J., 10, 105—127.
Дайсон (Dyson F. J.)
[1949] The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feyman, Phys.
Rev., 75, 486—502.
Дас (Das K- P.)
[1971] Interaction among three extraordinary waves in a hot electron plasma,
Phys. Fluids, 14, 124—128.
Де Барбьери, Мароли (De Barbieri О., Maroli С.)
11967] On the dynamics of weakly ionized gases, Ann. P/ij/s., 42, 315—333.
Список литературы 42!
Де Брейн (De Bruijn N. G.)
11958] Asymptotic Methods in Analysis, North-Holland, Amsterdam Inter-
science, New York. Русский перевод: Брейн Г., де. Асимптотичес-
Асимптотические методы в анализе, М., ИЛ, 1961.
Де Вольф (De Wolf D. A.)
[1965] Wave propagation through quasi-optical irregularities, / Opt Soc
Am., 55, 812—817.
[1967] Validity of Rytov's approximation, J. Opt. Soc. Am., 57, 1057—1058.
Дейвидсон (Davidson R. C.)
[1967] The evolution of wave correlations in uniformly turbulent weakly
nonlinear systems, J. Plasma Phys., I, 341—359. "
A968] Nonlinear oscillations in a Vlasov-Maxwell plasma, Phys. Fluids,
11, 194—204.
[1969] General weak turbulence theory of resonant fourwave processes, Phys.
Fluids, 12, 149—161.
Девисон (Davison L.)
[1968] Perturbation theory of nonlinear elastic wave propagation, Int. J.
Solids Structures, 4, 301—322.
Депри (Deprit A.)
[1969] Canonical transformations depending on a small parameter, Celestial
Mech. 1, 12—30.
Депри, Депри-Бартоломе (Deprit A., Deprit-Bartholome A.)
[1967] Stability of the triangular Lagrangian points, Astron. J., 72, No. 2.
Джасмен (Jahsman W. E.)
[1968] Collapse of a gas-filled spherical cavity, J. Appl. Mech., 35, 579—587.
Джакалья (Giacaglia G.E.O.)
[1964] Notes on von Zeipel's method, NASA X—547—64—161.
Джейкоб (Jakob M.)
[1949] Heat Transfer, vol. 1, Wiley, New York.
Джейкобе (Jacobs S. J.)
[1967] An asymptotic solution of the tidal equations, /. Fluid Mech.,
30, 417—438.
Джеффрис (Jeffreys H.)
[1924a] On certain approximate solutions of linear differential equations of
the second order, Proc. London Math. Soc., 23, 428—436.
[1924b] On certain solutions of Mathieu's equation, Proc. London Math. Soc,
23, 437—476.
[1962] Asymptotic Approximations, Oxford University Press, Oxford,
Дн Прима (Di Prima R. C.)
[1969] Higher order approximations in the asymptotic solution of the Rey-
Reynolds equation for slider bearings at high bearing numbers, J. Lubrica-
Lubrication Technology, 91, 45—51.
Дирак (Dirac P. A. M.)
[1926] On the theory of quantum mechanics, Proc. Roy. Soc., All2, 661—677.
Добровольный, Роджистер (Dobrowolny M., Rogister A.)
[1971] Nonlinear theory of hydromagnetic waves in a high В plasma,
/. Plasma Phys., 6, 401—412.
422 Список литературы
Доерти (Dougherty J. Р.)
[1970] Lagrangian methods in plasma dynamics. I. General theory of the
method of the averaged Lagrangian, J. Plasma Pliys., 4, 761—785.
Дородницын A. A.
[1947] Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля, ПММ, XI.
11952]* Асимптотические законы распределения собственных значений для
некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго по-
порядка. УМН, т. VII, вып. 6.
Дрейзин (Drazin P. G.)
[1969] Nonlinear internal gravity waves in a slightly stratified atmosphere,
/. Fluid Meek., 36. 433—446.
Дьюар (Dewar R. L.)
[1970] Interaction between hydromagnetic waves and a time-dependent,
inhomogeneous medium, Phys. Fluids, 13, 2710—2720.
Дэвис, Олфренд (Davis R. Т., Alfriend К. Т.)
[1967] Solutions to van der Pol's equation using a perturbation method,
Int. J. Non-Linear Mech., 2, 153—162.
Евграфов М. А., Федоркж М. B.
[1966] Асимптотика решений уравнений w" (г)—р(г, К) = 0 при Я—> оо
в комплексной плоскости г, УМН, XXI, вып. 1, 3—50.
Евтушенко Ю. Г., Черноусько Ф. Л.
[1964]* Asymptotic Methods for the solution of Some Problems of Satellite
Dynamics. Proceedings of the XV-th International Astronautical Con-
Congress, Warszawa, v. I, p. 277—296.
Жермен (Germain P.)
[1967] Recent evolution in problems and methods in aerodynamics, J. Roy.
Aeron. Soc., 71, 673—691.
Забрейко П. П., Ледовская И. Б.
[1966] О старших приближениях метода усреднения Боголюбова — Кры-
Крылова, ДАН СССР, 171 № 2, 262—265.
Завадский, Левак (Zawadszki E. M., I.ewak G. J.)
[1971] Penetration to second order of an electrostatic field into a warm
plasma, /. Plasma Phys., 5, 73—87.
Заудерер (Zauderer E.)
[1964a] Wave propagation around a convex cylinder, J. Math. Mech., 13,
171—186.
[1964b] Wave propagation around a smooth object, J .Math. Mech., 13,187—199.
[1970a] Boundary layer and uniform asymptotic expansions for diffraction
problems, SI AM J. Appl. Math., 19, 575—600.
[1970b] Uniform asymptotic solutions of the reduced wave equation, J. Math.
Anal. Appl., 36, 157—171.
Иваиилов Ю. П.
[1961]* Катящиеся волны в наклонном канале, ЖВМ и МФ, 1, № 6,
1061—1076.
Имаи (Imai I.)
[1948] On a refinement of the W. К. В. method, Phys. Rev., 74, 113.
J1950J Asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the
second order, Phys. Rev., 80, 1112.
Список литературы 423
Йохансен, Кейн (Johansen К. F., Kane T. R.)
[1969] A simple description of the motion of a spherical pendulum J Appl
Mech., 36, 408—411. '
Каваками (Kawakami I.)
[1970| Perturbation approach to nonlinear Vlasov equation, J. Phus Soc
Japan. 28, 505—514.
Каваками, Ягисита (Kawakami I., Yagishita T.)
[1971] Perturbation approach to nonlinear Vlasov equation, II, Nonlinear
plasma oscillation of finite amplitude, J. Phys. Soc. Japan, 30, 244—253.
Казаринов (Kazarinoff N. D.)
[1958] Asymtotic theory of second order differential equations with two
simple turning points. Arch. Rat. Mech. Anal., 2, 129—150.
Казаринов, Маккелви (Kazarinoff N. D., McKelvey R. W.)
[1956] Asymptotic solution of differential equations in a domain containing
a regular singular point, Can. J. Math., 8, 97—104.
Калдирола, Де Барбьери, Мароли (Caldirola P., De Barbieri O., Maroli C.)
[1966] Electromagnetic wave propagation in a weakly ionized plasma. I,
Nuovo Cimento B42, 266—289.
Камсток (Comstock C.)
[1968] On Lighthill's method of strained coordinates, SI AM J. Appl.
Math., 16, 596—602.
A971] Singular perturbations of elliptic equations, /, S/AM J. Appl. Math.,
20, 491—502.
Каплун (Kaplun S.)
[1954] The role of coordinate systems in boundary-layer theory, Z. Angew.
Math. Phys., 5, 111—135; также Chapter 1 of Kaplun A967).
[1957] Low Reynolds number flow past a circular cylinder, J. Math. Mech.,
6, 5Э5— 603; также Chapter 3 of Kaplun [1967].
[1967] Fluid Mechanics and Singular Perturbations (a collection of papers
by S. Kaplun, edited by P. A. Lagerstrom, L. N. Howard, and
С S. Liu), Academic, New York.
Каплун, Лагерстром(Кар1ип S., Lagerstrom P.A.)
[1957] Asymptotic expansions of Navier-Stokes solutions for small Reynolds
numbers, J. Math. Mech., 6, 585—593; также Chapter 2 of Kaplun
[1967].
Карал, Келлер (Karal F. C, Keller J. B.)
[1964] Elastic, electromagnetic, and other waves in a random medium,
/. Math. Phys., 5, 537—547.
Карлики (Carlini F.)
[1817] Richerche sulla convergenza della serie che serve alia soluzione del
Sroblema dj Keplero. Memoria di Francesco Carlini, Milano; также
acobi's Ges Werke, 7, 189—245; также Astron. Nachrichten, 30,
197—254.
Карпман В. И., Крушкаль Е. М.
[1968] О модулированных волнах и нелинейных диспергирующих средах,
ЖЭТФ, 55, № 2.
Кеворкян (Kevorkian J.)
11966аJ The two variable expansion procedure for the approximate solution
of certain nonlinear differential equations, Space Mathematics. Part.
424 Список литературы
3 (J. В. Rosser, Ed.) American Mathematical Society, Providence,
R. 1., p. 206—275.
[1966b] Von Ziepel method and the two-variable expansion procedure, Astron.J.,
71, 878-885.
[1971] Passage through resonance for a one-dimensional oscillator with slowly
varying frequency, SI AM J. Appl. Math.. 20, 364—373.
Кейн, Кан (Kane Т. R., Kahn M. E.)
[1968] On a class of two-degree-of-freedom oscillations, J. Appl. Mech.,
35, 547-552.
Келлер (Keller J. B.)
[1958] A geometrical theory of diffraction, calculus of variations and its
applications, Proc. Symp. Appl. Math., 8, 27—52.
[1S62] Wave propagation in random media, Proc. Symp. Appl. Math., 13,
227—246.
[1968] Perturbation Theory. Lecture notes, Mathematics Department, Michi-
Michigan State University.
Келлер, Когельман (Keller J. В., Kogelman S.)
[1970] Asymptotic solutions of initial value problems for nonlinear partial
differential equations, SI AM J. Appl. Math., 18, 748—758.
Келлер, Миллман (Keller J. В., Millman M. H.)
[1969] Perturbation theory of nonlinear electromagnetic wave propagation,
Phys. Rev., 181, 1730—1747.
Келлер, Тин (Keller J. В., Ting L.)
[1966] Periodic vibrations of systems governed by nonlinaer partial diffe-
differential equations, Comm. Pure Appl. Math., 19, 371—420.
Келли (Kelly R. E.)
[1965] Stability of a panel in incompressible, unsteady flow, AIAA J.,
3, 1113—1118.
[1967] On the stability of an inviscid shear layer which is periodic in space
and time, J. Fluid Mech., 27, 657—689.
Кембл (Kemble E. C.)
[1935] A contribution to the theory of the B. W. K. rrethod, Phys. Rev.,
48, 549—561.
Кемел (Kamel A. A.)
[1969a] Expansion formulae in canonical transformations depending on a
small parameter, Celestial Mech., 1, 190—199.
[1969b] Perturbation theory based on Lie transforms and its application to
the stability of motion near sun-perturbed earth-moon triangular
libration points, SUDAAR Rept. No. 391, Stanford University.
[1970] Perturbation method in the theory of nonlinear oscillations. Celestial
Mech., 3, 90—106.
[1971] Lie transforms and the Hamiltonization of non-Hamiltonian systems,
Celestial Mech., 4, 397—405.
Керстекн (Kerstein P. H. M.)
[1967] Diffraction of an electromagnetic wave by a plane screen, Ph. D.
Thesis, Technische HochshulT, Eindhoven.
Киан (Kiang R. L.)
[1969] Nonlinear theory of inviscid Taylor instability near the cutofi wave
number, Phys. Fluids, 12, 1333—1339.
Список литературы 425
Кирхгоф (Kirchhoff G.)
[1877] Zui Theorie des Condensators, Berlin, Akad.,Monatsber, p. 144 162
Кларк (Clark R. A.)
[1958] Asymtotic solutions of toroidal shell problems, Quart. Appl. Math.,
16. 47—60.
[1963] Asymtotic solutions of a nonhomogeneous differential equation with
a turning point, Arch. Rat. Mech. Anal., 12, 34—51.
[1964] Asymtotic solutions of elastic shell problems, in Asymptotic Solutions
of "Differential Equations and Their Applications (С. Н. Wilcox, ed.),
Wiley, New York, pp. 185—209.
Клима, Рамнат, Сандри (Klimas A., Ramnath R. V., Sandri G.)
[1970] On the compatibility problem for the uniformization of asymptotic
expansions, J. Math. Anal. Appl., 32, 482—504
Клэр (Clare T. A.)
[1971] Resonance instability for finned configurations having nonlinear
aerodynamic properties, J. Spacecraft Rockets, 8, 278—283.
Коддингтон, Левинсон (Coddington E. A., Levinson N.)
[1955] Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, New York.
Русский перевод: Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений, М., ИЛ, 1953.
Кои, Пейн (Caughey Т. К., Payne H. J.)
[1967] On the response of a class of self-excited oscillators to stochastic
excitation, Int. J. Non-Linear Mech., 2, 125 | 51.
Кокран (Cochran J. A.)
[1962J Problems in singular perturbation theory, Ph. D. Thesis, Stanford
University.
Контопулос (Contopoulos G.)
[1963] On the existence of a third integral of motion, Astron ./.,68, 1—14.
Коукли (Coakley T. J.)
[1968] Dynamic stability of symmetric spinning missiles, J. Spacecraft
Rockets. 5. 1231 — 1232.
Коул (Cole J. D.)
[1968] Perturbation Methods in Applied Mathematics, Blaisdell, Waltham,
Mass. Русский перевод: Коул Дж., Методы возмущений в приклад-
прикладной математике, М., «Мир», 1972.
Коул, Кеворкян (Cole J. D., Kevorkian J.)
[1963] Uniformly valid asymptotic approximations for certain nonlinear dif-
differential equations, Nonlinear Differential Equations and Nonlinear
Mechanics (J P. LaSalle and S. Lefschetz, eds.), Academic, New
York, p. 113—120.
Коффи (Coffey T. P., Jr.)
[1969] Invariants to all orders in classical perturbation theory, J. Math.
Phys., 10, 426—438.
Кравцов Ю. A.
[1964a] Об одной модификации метода геометрической оптики, Известия
вузов. Радиофизика, 7, № 4,664—673.
426 Список литературы
[19646] Асимптотическое решение уравнений Максвелла вблизи каустики,
Известия вузов. Радиофизика, 7, №6,1049—1056.
[1965] Модификация метода геометрической оптики для волны, просачива-
просачивающейся через каустику, Известия вузов. Радиофизика, 8, № 4,659—
667.
Крайхнан (Kraichnan R. Н.)
[1S61] Dynamics of nonlinear stochastic systems, J. Math. Phys., 2, 124—148.
Крамере (Kramers H. A.)
[1926] Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung, Z. Phys., 39, 828—
840.
Kpannep (Crapper G. D.)
[1980] Nonlinear capillary waves generated by steep gravity waves, J. Fluid
Mech., 40, 149—159.
Крейн (Crane L. J.)
[1959] A note on Stewartson's paper on asymptotic expansions in the
theory of boundary layers, J. Math, and Phys., 38, 172—174.
Крускал (Kruskal M.)
[1962] Asymptotic theory of Hamiltonian and other systems with all solu-
solutions nearly periodic, J. Math. Phys., 3, 806—828.
Крылов Н. М., Боголюбов Н. H.
[1937] Введение в нелинейную механику, Киев, Изд-во АН УССР.
Кубо (Kubo R.)
[1963] Stochastic Liouville equation, J. Math. Phys., 4, 174—183.
Кузмак Г. Е.
[1959] Асимптотические решения нелинейных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами, ПММ, XXIII,
вып. 3, 515—526.
Куйкен (Kuiken H. К.)
[1970] Inviscid film flow over an inclined surface originated by strong fluid
injection, J. Fluid Mech., 42, 337—347.
Кампбелл, Джеффрис (Campbell J. A., Jefferys W. H.)
[1970] Equivalence of the perturbation theories of Hori and Deprit, Celestial
Mech., 2, 467—473.
Кэрриер (Carrier G. F.)
[1953] Boundary layer problems in applied mechanics, Advan. Appl. Mech.,
3, 1—19.
[1954] Boundary layer problems in applied mathematics, Comm. Pure Appl.
Math., 7, 11—17.
[1966] Gravity waves on water of variable depth, J. Fluid Mech., 24,
641—659.
[1970] Singular perturbation theory and geophysics, SI AM Rev., 12, 175—193.
Кэшуэлл (Cashwell F. D.)
[1951] The asymptotic solutions of an ordinary differential equation in which
the coefficient of the parameter is singular, Pacific J. Math., 1,
337—353.
Список литературы 427
Лагерстром, Коул (Lagerstrom P. A., Cole J. D.)
[1955] Examples illustrating expansion procedures for the Navier-Stokes
equations, J. Rat. Mech. Anal., 4, 817—882.
Лагерстром, Кеворкян (Lagerstrom P. A., Kevorkian J.)
[1963a] Eearth-to-moon trajectories in the restricted three-body problem
J. Mecanique, 2, 189—218.
[1963b] Matched-conic approximation to the two fixed force-center problem,
Astron. J., 68, 84—92.
Лайтхилл (Lighthill M. J.)
[1949a] A technique for rendering approximate solutions to physical problems
uniformly valid, Phil. Mag., 40, 1179—1201.
[1949b] The shock strength in supersonic „conical fields", Phil. Mag., 40,
1202—1223.
[1951] A new approach to thin airfoil theory, Aeron. Quart., 3, 193—210.
[1961] A technique for rendering approximate solutions to physical problems
uniformly valid, Z. Flugwiss., 9, 267—275.
[1965] Contributions to the theory of waves in non-linear dispersive sys-
systems, J. Inst. Math. Appl., 1, 269—306.
[1967] Some special cases treated by the Whitham theory, Proc. Roy. Soc.
(London), A299, 28—53.
Лангер (Langer R. E.)
[1931] On the asymptotic solutions of differential equations, with an appli-
application to the Bessel functions of large complex order, Trans. Am.
Math, Soc., 33, 23—64.
[1934] The asymptotic solutions of certain linear ordinary differential equa-
equations of the second order, Trans. Am. Math. Soc, 36, 90—106.
[1935] On the asymptotic solutions of ordinary differential equations with
reference to the Stokes phenomenon about a jsingular point, Trans.
Am. Math. Soc, 37, 397—416.
[1949] The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of
the second order, with special reference to a turning point, Trans.
Am. Math. Soc, 67, 461—490.
[1957] On the asymptotic solutions of a class of ordinary differential equa-
equations of the fourth orher, with special reference to an equation of
hydrodynamics, Trans. Am. Math. Soc, 84, 144—191.
[1959a] Formal solutions and a related equation for a class of fourth order
differential equations of a hydrodynamic type, Trans. Am. Math.
Soc, 92, 371—410.
[1959b] The asymptotic solutions of a linear differential equation of the second
order with two turning points, Trans. Am. Math. Soc, 90, 113—142
Лаплас (Laplace P. S.)
[1805] On the figure of a large drop of mercury, and the depression of mer-
mercury in a glass tube of a great diameter, In Celestial Mechanics
(transl. by Nathaniel Bowditch, Boston, 1839), Chelsea, New Jork, 1966.
Латта (Latta G. E.)
[1951] Singular perturbation problems, Ph. D. Thesis, California Institute
of Technology.
[1964] Advanced Ordinary Differential Equations, Lecture notes, Stanford
University,
Лацина (Lacina J.)
[1969a] New canonical perturbation method for complete set of integrals of
motion, Czech. J. Phys., B19, 130—133.
428 Список литературы
[1969b] New canonical perturbation method for complete set of integrals of
motion, Ann. Phys., 51, 381—391.
Левак (Lewak G. J.)
[1969] More uniform perturbation theory of the Vlasov equation, J. Plasma
Phys., 3, 243—253.
[1971] Interaction of electrostatic waves in collisionless plasmas, J. Plasma
Phys., 5, 51—63.
Леверье (Le Verrier U.J.J.)
[1856] Sur la determination des longitudes terrestres, Paris, Compt. Rend.,
43, 249—257.
Леви (Levey H. C.)
[1959] The thickness of cylindrical shocks and the PLK method., Quart.
Appl. Math., 17, 77—93.
Леви, Фельзен (Levey L., Felsen L. B.)
[1967] On transition functions occurring in the theory of diffraction in in-
homogeneous media, J. /nst. Mat. Appl., 3, 76—97.
Левинсон (Levinson N.)
[1969] Asymptotic behavior of solutions of nonlinear differential equations,
Stud. Appl. Math., 48, 285—297.
Легра (Legras J.)
[1951] Application de la methode de Lighthill a un ecoulement plan super-
sonique, Compt. Rend., 233, 1005—1008.
[1953] Nouvelles applications de la methode de Lighthill a l'etude des on-
des de choc. O.N.E.R.A. Publ. No. 66.
Леонтович
[1962]* Об устойчивости лагранжевых периодических решений ограничен-
ограниченной задачи трех тел, ДАН СССР, 142, № з.
Лессер (Lesser M. В.)
[1970) Uniformly valid perturbation series for wave propagation in an in -
homogeneous medium, J. Acoust. Soc. Am., 47, 1297—1302.
Ли, Шеппард (Lee D. H., Sheppard L. M.)
[1966] An approximate second-order wing theory, A1AA J., 4, 1828—1830.
Лик (Lick W.)
[1969] Two-variable expansions and singular perturbation problems, SI AM
J. Appl. Math., 17, 815—825.
[1970] Nonlinear wave propagation in fluids, Annual Review of Fluid
Mechanics, vol. 2 (M. van Dyke, W. G. Vincinti, and J. V. We-
hausen, eds.), Annual Reviews, Palo Alto, Calif., p. 113—136.
Линдзен (Lindzen R. S.)
[1971] Equatorial planetary waves in shear: Part 1, J. Atmos. ScL, 28,
609—622.
Линдштедт (Lindstedt A.)
[1882] Ueber die Integration einer fur die strorungstheorie wichtigen Diffe-
rentialgleichung, Astron. Nach., 103, Col. 211—220.
Линн, Келлер (Lynn R.Y.S., Keller J. B.)
[1970] Uniform asymptotic solutions of second order linear ordinary diffe-
differential equations with turning points, Comm. Pure Appl. Math., 23,
379- 408.
Список литературы 429
Линь (Lin С. С.)
[1954] On a perturbation theory based on the method of characteristics
J. Math, and Phys., 33. 117—134.
[1955] The Theory of Hydrodynamic Stability, Cambridge University Press,
Cambridge. Русский перевод: Линь Цзя-цзяо, Теория гидродинами-
гидродинамической устойчивости, М., ИЛ, 1958.
Линь, Рабенстайн (Lin С. С, Rabenstein A. L.)
[1960] On the asymptotic solutions of a class of ordinary differential equa-
equations of the fourth order, Trans. Am. Math. Soc., 94, 24—57.
[1969] On the asymptotic theory of a class of ordinary differential equations
of the fourth order. II, Existence of solutions which are approxima-
approximated by the formal solutions, Stud. Appl. Math., 48, 311—340.
Лиувилль (Liouville J.)
[1837] Second memoire sur le developpement des fonctions en series dont
divers termes sont assujettis a satisfaire a une meme equation dif-
ferentielle du second ordre contenant un parametre variable, J. Math.
Pure Appl., 2, 16—35.
Лоуэлл (Lowell S. C.)
[1970] Wave propagation in monatomic lattices with anharmonic potential,
Proc. Roy. Soc. (London), A318, 93—106.
Льюис, Блайстайн, Людвиг (Lewis R. M., Bleistein N., Ludwig D.)
[1967] Uniform asymptotic theory of creeping waves, Comm. Pure Appl.
Math., 20, 295—328.
Людвиг (Ludwig D.)
[1966] Uniform asymptotic expansions at a caustic, Comm. Pure Appl.
Math., 19, 215—250.
[1967] Uniform asymptotic expansion of the field scattered by a convex
object at high frequencies, Comm. Pure Appl. Math., 20, 103—138.
[1970a] Diffraction by a circular cavity, J. Math. Phys., 11, 1617—1630.
[1970b] Uniform asymptotic expansions for wave propagation and diffraction
problems, SI AM Rev., 12, 325—331.
Люк (Luke J. C.)
[1966] A perturbation method for nonlinear dispersive wave problems, Proc.
Roy. Soc. (London), A292, 403—412.
Мак Голдрик (Me Goldrick L. F.)
[1970] On Wilton's ripples: A special case of resonant interactions, J. Fluid
Mech., 42, 193—200.
Мак-Интайр (Mclntyro J. E.)
[1966] Neighboring optimal terminal control with discontinuous forcing
functions, AIAA J., 4, 141—148.
Маккелви (Me Kelvey R. W.)
[1955] The solution of second order linear ordinary differential equations
about a turning point of order two, Trans. Am. Math. Soc, 79,
103—123.
Макнамара, Уайтмен (McNamara В., Whiteman К. J.)
[1967] Invariants of nearly periodic Hamiltonian systems, J. Math. Phys.,
8, 2029—2038.
430 Список литературы
Максвелл (Maxwell J. С.)
[1866] On the viscosity or internal friction of air and other gases, Phil.
Trans. Roy. Soc. London, 156, 249—268.
Малкин И. Г.
[1964]* Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний.
Физматгиз, М.
[1966]* Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. Физматгиз, М.
Малкус, Веронис (Malkus W. V. R., Veronis G.)
[1958] Finite amplitude cellular convection, J. Fluid Mech., 4, 225—260.
Малхолланд (Mulholland R. J.)
[1971] Nonlinear oscillations of a third-order differential equation, Int.
J. Non-Linear Mech., 6, 279—294.
Маркеев А. П.
[1969]* Об устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограни-
ограниченной задаче трех тел, ПММ, 33, № 1,
Мароли (Maroli С.)
[1966] Kinetic theory of high-frequency resonance gas discharge breakdown,
Nuovo Cimento, B41, 208—224.
Мароли, Поццоли (Maroli С, Pozzoli R.)
[1969] Penetration of high-frequency electromagnetic waves into a slightly
ionized plasma, Nuovo Cimento, B61, 277—289.
Матковский (Matkowsky B. J.)
[1966] Asymptotic solution of partial differential equations in thin domains,
Ph. D. Thesis, New York University.
Махони (Mahony J. J.)
]1962] An expansion method for singular perturbation problems, J. Austra-
Australian Mat. Soc., 2, 440—463.
Мейер (Meyer J. W.)
[1971] Rayleigh scattering of a laser beam from a massive relativistic two-
level atom, Phys. Rev., A3, 1431 — 1443.
Мейрович (Meirovitch L.)
[1970] Methods of Analytical Dynamics, McGraw-Hill, New York.
Мельник (Melnik R. E.)
[1965] Newtonian entropy layer in the vicinity of a conical symmetry plane,
AIAA J., 3, 520-522.
Мендельсон (Mendelson K. S.)
[1970] Perturbation theory for damped nonlinear oscillations, J. Math. Phys.,
11, 3413—3415.
Меррей (Murray J. D.)
[1968] On the effect of drainage on free surface oscillations, Appl. Set. Res.,
19, 234—249.
Мерсман (Mersman W. A.)
[1970] A new algorithm for the Lie transformation, Celestial Mech., 3,
81—89.
[1971] Explicit recursive algorithms for the construction of equivalent cano-
canonical transformations, Celestial Mech., 3, 384—389.
Список литературы 431
Мерфи (Murphy С. Н.)
[1963] Free flight motion of symmetric missiles, Ballistic Research Labo-
Laboratories Rept. No. 1216, Aberdeen Proving Grounds, Md.
Меттлер (Mettler E.)
[1959] Stabilitatsfragen bei freien Schwingungen mechanischen Systeme,
Ingenieur-Archiv., 28, 213—228.
Миллер, Гуд (Miller S. C, Good R. H.)
[1953] A WKB-type approximation to the Schrodinger equation, Phys. Rev.,
91, 174—1/9.
Миллман, Келлер (Millman M. H., Keller J. B.)
[1969] Perturbation theory of nonlinear boundary-value problems, J. Math.
Phys., 10, 342—361.
Митропольский Ю. A.
[1964] Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний, М.,
«Наука».
Митчелл (Mitchell С. Е.)
[1971] Analysis of a combustion instability problem using the technique of
multiple scales, AlAA J., 9, 532—533.
Мищенко Е. Ф.
[1957]* Асимптотическое вычисление периодических решений систем диффе-
дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при произ-
производных. Известия АН СССР, серия «Математика», 21, № 5, 627—654.
Моисеев Н. Н.
[1969]* Асимптотические методы нелинейной механики, М., «Наука».
[1970]* Некоторые вопросы гидродинамики поверхностных волн. Механика
в СССР за 50 лет, том 2. Механика жидкости и газа, «Наука», М.,
стр. 55—78.
Монтгомери, Тидман (Montgomery D., Tidman D. A.)
[1964] Secular and nonsecular behavior for the cold plasma equations, Phys.
Fluids, 7, 242—249.
Моригути (Moriguchi H.)
[1959| An improvement of the WKB method in the presence of turning
points and the asymptotic solutions of a class of Hill equations,
J. Phys. Soc. Japan, 14, 1771—1796.
Морино (Morino L.)
[1969] A perturbation method for treating nonlinear panel flutter problems,
A1AA J., 7, 405—411.
Моррис (Morris W. D.)
[1965| Laminar convection in a heated vertical tube rotating about a pa-
parallel axis, J. Fluid Mech., 21. 453—464.
Моррисон (Morrison J. A.)
[1966a] Comparison of the modified method of averaging and the two vari-
variable expansion procedure, SI AM Rev., 8, 66—85.
[1966b] Generalized method of averaging and the von Zeipel method. In
Progress in Astronautics and Aeronautics, Vol 17, Methods in Astro-
dynamics and Celestial Mechanics (R. L. Duncombe and V. G. Sze-
behely, eds.), Academic, New York, 117—138.
432 Список литературы
Мортелл (Mortell M. Р.)
[1968] Traveling load on a cylindrical shell, J. Acoust. Soc. Am., 44,
1664—1670.
[1969] Waves on a spherical shell, J. Acoust. Soc. Am., 45, 144—149.
[1971] Resonant thermal-acoustic oscillations, Int. J. Eng. Sci., 9, 175—192.
Мортелл, Варлей (Mortell M. P., Varley E.)
[1971] Finite amplitude waves in bounded media: Nonlinear free vibrations
of an elastic panel, Proc. Roy. Soc. (London), A318, 169—196.
Мортон (Morton B. R.)
[1959] Laminar convection in uniformly heated horizontal pipes ai low
Rayleigh numbers, Quart. J. Mech. Appl. Mat., 12, 410—426.
Мьюза (Musa S. A.)
[1967] Integral constraints in weakly nonlinear periodic systems, SI AM
J. Appl., Math., 15, 1324—1327.
Мьюзен (Musen P.)
[1965] On the high order effects in the methods of Krylov-Bogoliubov and
Poincare, J. Astron. Sci., 12, 129—134.
Мэслоу, Келли (Maslowe S. A., Kelly R. E.)
[1970] Finite amplitude oscillations in a Kelvin-Helmholtz flow, Int. J.
Non-Linear Mech., 5, 427—435.
Найфэ А., Неммат-Нассер (Nayfeh Adnan, Nemmat-Nasser S.)
[1971] Thermoelastic waves in solids with thermal relaxation, Ada Mecha-
nica. 12, 53—69.
Найфэ (Nayfeh A. H.)
[1964] A generalized method for treating singular perturbation problems.
Ph. D. Thesis, Stanford University.
[ 1965a] A comparison of three perturbation methods lor the earth-moon-spa-
earth-moon-spaceship problem, AlAA J., 3, 1682—1687.
[1965b] An expansion method for treating singular perturbation problems,
J. Math. Phys., 6, 1946—1951.
[1965c] A perturbation method for treating nonlinear oscillation problems,
J. Math, and Phys., 44, 368—374.
[1965d] Nonlinear oscillations in a hot electron plasma, Phys. Fluids, 8,
1896— 1898.
[1966] Take-off from a circular orbit by a small thrust. In Progress in
Astronautics and Aeronautics, Vol. 17, Methods in Astrodynamics
and Celestial Mechanics (R. L. Duncombe and V. G. Szebehely, eds.),
Academic, New York, p. 139—157.
[1967a] Asymptotic solutions of an eigenvalue problem with two turning
points—heat transfer in a tube, J. Math, and Phys., 46, 349—354.
[1967b] The van der Pol oscillator with delayed amplitude limiting, Proc.
IEEE, 55, 111—112.
[1968] Forced oscillations of the van der Pol oscillator with delayed ampli-
amplitude limiting, IEEE Trans. Circuit Theory, 15, 192—200.
[1969a] A multiple time scaling analysis of re-entry vehicle roll dynamics,
AlAA J., 7, 2155—2157.
[1969b] On the nonlinear Lamb-Taylor instability, J. Fluid Mech., 38,
619—631.
[1970a] Characteristic exponents for the triangular points in the elliptic
restricted problem of three bodies, AlAA J., 8, 1916—1917.
[1970b] Finite amplitude surface waves in a liquid layer, J.. Fluid Mech.,
70, 671-684.
Список литературы 433
[1970с] Nonlinear stability of a liquid jet, Phys. Fluids, 13, 841—847.
[1970d] Triple- and quintuple-dimpled wave profiles in deep water Phvs
Fluids, 13, 545—550.
[1971a] Third-harmonic resonance in the interaction of capillary and gravity
waves, J. Fluid Mech., 48, 385—395.
[1971b] Two-to-one resonances near the equilateral libration points, AIAA
J., 9, 23—27.
Найфэ, Хассан (Nayfeh A. H., Hassan S. D.)
[1971] The method of multiple scales and nonlinear dispersive waves,
J. Fluid Mech., 48, 463—475.
Найфэ, Кемел (Nayfeh A. H., Kamel A. A.)
[1970a] Stability of the triangular points in the elliptic restricted problem
of three bodies, AIAA J., 8, 221—223.
[1970b] Three-to-one resonances near the equilaterial libration points, AIAA
J., 8, 2245—2251.
Найфэ, Сарик (Nayfeh A. H., Saric W. S.)
[1971a] Nonlinear Kelvin—Helmholtz instability, J. FluidMech., 46, 206—231.
[1971b] Nonlinear resonances in the motion of rolling re-entry bodies, AIAA
Paper No. 71—74.
[1972a] An analysis of asymmetric rolling bodies with nonlinear aerodyna-
aerodynamics, AIAA J., 10, 1004—1011.
[1972b] Nonlinear waves in a Kelvin — Helmholtz flow, J. Fluid Mech., 55,
311—327.
Нейр, Неммат-Нассер (Nair S., Nemmat-Nasser S.)
[1971] On finite amplitude waves in heterogeneous elastic solids, Int. J.
Eng. Set., 9, 1087—1105.
Нинхус (Nienhuis G.)
[1970] On the microscopic theory of Brownian motion with a rotational
degree of freedom, Physica, 49, 26—48.
Ноердлингер, Петросян (Noerdlinger P. D., Petrosian V.)
[1971] The effect of cosmological expansion on self-gravitating ensembles
of particles, Astrophys. J., 168, 1—9.
Нойберт (Neubert J. A.)
[1970] Asymptotic solution of the stochastic Helmholtz equation for turbu-
turbulent water, J. Acoust. Soc. Am., 48, 1203—1211.
Ньюэлл (Newell A. C.)
[1968] The closure problem in a system of random gravity waves, Rev.
Geophys., 6, 1—31.
[1969] Rossby wave packet interactions, J. Fluid Mech., 35, 255—271.
Ньюэлл, Уайтхед (Newell A. C, Whitehead J. A.)
[1969] Finite bandwidth, finite amplitude convection, J. Fluid Mech., 38,
279—303.
Озеен (Oseen С W.)
[1910] Uber die Stokessche Formel und Ober eine verwandte Aufgabe in der
Hydrodynamik, Ark. Mat. Astron. Fys., 6, No. 29.
Окендон (Ockendon J. R.)
[1966] The separation of Newtonian shock layers, J. Fluid Mech., 26,
563—572.
434 Список литературы
Олбрайт (Albright N. W.)
[1970] Quasilinear stabilization of the transverse instability, Phys. Fluids.
13, 1021—1030.
Олвер (Olver F. W. J.)
[1954] The asymptotic solution of linear differential equations of the second
order for large values of a parameter and the asymptotic expansion
of Bessel functions of large order, Phil. Trans. Roy. Soc. London,
Ser. A, 247, 307—327.
[1959] Uniform asymptotic expansions for Weber parabolic cylinder func-
functions of large orders, J. Res. Natl. Bur. Standards, 63B, 131—169.
Олфренд (Alfriend К. Т.)
[1970] The stability of the triangular Lagrangian points for commensura-
commensurability of order two, Celestial Mech., 1, 351—359.
[1971a] Stability and motion in two-degree-of-freedom Hamiltonian systems
for two-to-one commensurability, Celestial Mech., 3, 247—265.
[1971b] Stability and motion about L4 at three-to-one commensurability,
Celestial Mech., 4, 60—77.
Олфренд, Рэнд (Alfriend К. Т., Rand R. H.)
[1969] Stability of the triangular points in the elliptic restricted problem
of three bodies, AIAA J., 7, 1024—1028.
О'Малли (O'Malley R. E., Jr.)
[1968a] A boundary value problem for certain nonlinear second order diffe-
differential equations with a small parameter, Arch. Rat. Mech. Anal.,
29, 66—74.
[1968b] Topics in singular perturbations, Advan. Math., 2, 365—470.
[1971] Boundary layer methods for nonlinear initial value problems, SI AM
Rev., 13, 425—434.
Осватич (Oswatitsch V. K.)
[1965] Ausbreitungsprobleme, ZAMM, 45, 485—498.
Пайк (Pike E. R.)
[1964] On the related-equation method of asymptotic approximation, Quart.
J. Mech. Appl. Math., 17, 369—379.
Паркер (Parker D. F.)
[1969] Nonlinearity, relaxation and diffusion in acoustics and ultrasonics,
J. Fluid Mech., 39, 793—815.
Паркер, Варлей (Parker D. F., Varley E.)
[1968] The interaction of finite amplitude deflection and stretching waves
in elastic membranes and strings, Quart. J. Mech. Appl. Math., 21,
329—352.
Педлоски (Pedlosky J.)
[1967] Fluctuating winds and the ocean circulation, Tellus 19, 250—257.
Пейре (Peyret R.)
[1966] Ecoulement quasi unidimensionnel dans un accelerateur de plasma
a ondes progressives, J. Mecanique, 5, 471—515.
A970] Etude de l'ecoulement d'un fluide conducteur dans un canal par la
methode des echelles multiples, J. Mecanique, 9, 61—97.
Перко (Perko I.. M.)
[1969] Higher order averaging and related methods for perturbed periodic
and quasi-periodic systems, SIAM J. Appl. Math., 17, 698—724.
Список литературы 435
Пирсон, Файф (Pierson W. J., Fife P.)
[1961] Some nonlinear properties of long-crested periodic waves with lengths
near 2, 44 centimeters, J. Geophys. Res., 66, 163—179.
Понтрягин Л. С.
[1957*] Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных
уравнений с малым параметром при высших производных. Изве-
Известия АН СССР, серия Математика, 21, № 5, 605—626.
Прасад (Prasad R.)
[1971] Effect of ion motion on parametric oscillations of a cold plasma in
a magnetic field, J. Plasma Phys., 5, 291—302.
Прандтль (Prandtl L.)
[1905] tiber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Proceedings
Third Internat. Math. Kongr., Heidelberg, pp. 484—491. Motion of
fluids with very little viscosity. Tech. Memo N. A. C. A. (English
transl.), No. 452, 1928.
Праудмен (Proudman I.)
[1960] An example of steady laminar flow at large Reynolds number,
J. Fluid Mech., 9, 593—602.
Праудмен, Пирсон (Proudman I., Pearson J. R. A.)
[1957] Expansions at small Reynolds numbers for the flow past a sphere
and a circular cylinder, J. Fluid Mech., 2, 237—262. Русский пе-
перевод см. сб. Механика 2D8) A958).
Пригожий (Prigogine I.)
[1962] Nonequilibrium Statistical Mechanics, Wiley, New York.
Примас (Primas H.)
[1961] Uber quantenmechanische Systeme mit einem stochastischen Hamil-
Hamilton-operator, Helv. Phys. Ada, 34, 36—57.
Притуло (Pritulo M. F.)
[1961] On the determination of uniformly accurate solutions of differential
equations by the method of perturbation of coordinates, J. Appl.
Math. Mech., 26, 661—667.
Пуанкаре (Poincare H.)
[1892] New Methods of Celestial Mechanics, Vol. 1—III (English transl.),
NASA TTF—450, 1967. Русский перевод: Пуанкаре А., Новый ме-
метод небесной механики, Избранные труды, М., «Наука», 1971 —1974.
Пэнди (Pandey В. С.)
[1968] Study of cylindrical piston problem in water using PLK. method,
ZAMP, 19, 962—963.
Пюри (Puri К. К.)
[1971] Effect of viscosity and membrane on the oscillations of superposed
fluids, J. Appl. Phys., 42, 995—1000.
Рабберт, Ландал (Rubbert P. E., Landahl M. T.)
[1967] Solution of the transonic airfoil problem through parametric differen-
differentiation, AIAA, J., 5, 470—479.
Рабенстайн (Rabenstein A. L.)
[1959] The determination of the inverse matrix for a basic reference equa-
equation for the theory of hydrodynamic stability, Arch. Rat. Mech. Anal.,
2, 355-366.
436 Список литературы
Радзяппа (Rajappa N. R.)
[1970] Nonlinear theory of Taylor instability of superposed fluids, J. Phys.
Soc. Japan, 28, 219—224.
Ральф (Rulf B.)
[1967] Relation between creeping waves and lateral waves on a curved
interface, J. Math. Phys., 8, 1785—1793.
[1968] Uniform asymptotic theory of diffraction at an interface, Comm. Pure
Appl. Math., 21, 67—76.
Раманатан, Сандри (Ramanathan G. V., Sandri G.)
[1969] Model for the derivation of kinetic theory, J. Math. Phys., 10,
1763—1773.
Рамнат (Ramnath R. V.)
[1970a] A new analytical approximation for the Thomas-Fermi model in
atomic physics, J. Math. Anal. Appl., 31, 285—296.
[1970b] Transition dynamics of VTOL aircraft, AlAA J., 8, 1214—1221.
[1971] On a class of nonlinear differential equations of astrophysics, J. Math.
Anal. Appl.. 35, 27—47.
Рамнат, Сандри (Ramnath R. V., Sandri G.)
[1969] A generalized multiple scales approach to a class of linear differen-
differential equations, J. Math. Anal. Appl., 28, 339—364.
Pao (Rao P. S.)
[1956] Supersonic bangs, Aeron. Quart., 7, 135—155.
Раппопорт И. М.
[1954]* О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных
уравнений. Изд-во АН УССР, Киев.
Рарити (Rarity В. S. Н.)
[1969] A theory of the propagation of internal gravity waves of finite amp-
amplitude, J. Fluid Mech., 39, 497—509.
Расмуссен (Rasmussen M. L.)
[1970] Uniformly valid approximation for nonlinear oscillations with small
damping, Int. J. Non-Linear Mech., 5, 687—696.
Рейнольде, Поттер (Reynolds W. C, Potter M. C.)
[1967] Finite-amplitude instability of parallel shear flows, J. Fluid Mech.,
27, 465—492.
Рейсе (Reiss E. L.)
[1971] On multivariable asymptotic expansions, SIAM Rev., 13, 189—196.
Рейсе, Матковский (Reiss E. L., Matkowsky B. J.)
[1971] Nonlinear dynamic buckling of a compressed elastic column, Quart-
Appl. Math., 29, 245—260.
Рейсснер, Вайничке (Reissner E., Weinitschke H. J.)
[1963] Finite pure bending of circular cylindrical tubes, Quart. Appl. Math.,
20, 305—319.
Рем (Rehm R. G.)
11968J Radiative energy addition behind a shock wave, Phys. Fluids, II,
1872—1883.
Список литературы 437
Ричмонд, Моррисои (Richmond О., Morrison H. L.)
[1968] Application of a perturbation technique based on the method of
characteristics to axisymmetric plasticity, J. Appl. Mech., 35,
117—122.
Роджистер (Rogister A.)
[1971] Parallel propagation of nonlinear low-frequency waves in high-B
plasma, Phys. Fluids, 14, 2733—2739.
Росс (Ross L. W.)
[1970] Perturbation analysis of diffusion-coupled biochemical reaction kine-
kinetics, SIAM J. Appl. Math., 19, 323—329.
Рытов С. М.
[1937] Дифракция света на ультразвуковых волнах, Известия АН СССР,
серия «Физика», № 2, 223—259.
Рэлей (Rayleigh L.)
[1912] On the propagation of waves through a stratified medium, with spe-
special reference to the question of reflection, Proc. Roy. Soc. (London),
A86, 208—226.
[1917] On the reflection of light from a regularly stratified medium, Proc.
Roy. Soc. (London), A93, 565—577.
Рэнд, Дзен (Rand R. H., Tseng S. F.)
[ 1969] On the stability of a differential equation with application on the
vibrations of a particle in the plane, J. Appl. Mech., 36, 311—313.
Сакураи (Sakurai A.)
[1965] Blast wave theory. In Basic Developments in Fluid Dynamics, Vol.
I (M. Holt, Ed.), Academic, New York, pp. 309—375.
11968] Effect of the plasma impedance on the time variation of the inverse
pinch, J. Phys. Soc. Japan, 25, 1671—1679.
Салпетер, Бете (Salpeter E. E., Bethe H. A.)
[1951] A relativistic equation for bound-state problems, Phys. Rev., 84,
1232—1242.
Сандерс, Липинс (Sanders J. L., Jr., Liepins A. A.)
[1963] Toroidal membrane under internal pressure, A/AA J., 1, 2105—2110.
Сандри (Sandri G.)
[1965] A new method of expansion in mathematical physics, Nuovo Cimento,
B36, 67—93.
[1967] Uniformization of asymptotic expansions. In Nonlinear Partial Diffe-
Differential Equations: A Symposium on Methods of Solutions (W. F. Ames,
Ed.), Academic, New York, pp. 259—277.
Сансер, Варватсис (Sancer M. 1., Varvatsis A. D.)
11969] An investigation of the renormalization and Rytov methods as app-
applied to propagation in a turbulent medium. Northrop Corporate La-
Laboratories, Rept. No. 69—28R.
[1970] A comparison of the Born and Rytov methods, Proc. IEEE, 58,
140-141
Свансон (Swanson C. A.)
[1956] Differential equations with singular points. Tech. Rept. 16, Contract
Nonr. 220A1), Department of Mathematics, California Institute of
Technology.
438 Список литературы
Свит (Sweet J.)
[1971] Impulse of a ring with nonlinear material behavior, AIAA J., 9,
332—334.
Селлерс, Трибус, Клейн (Sellers J. R., Tribus M., Klein J. S.)
[1956] Heat transfer to laminar flow in a round tube or flat conduit — The
Graetz problem extended, Trans. ASME, 78, 441—448.
Сетна (Sethna P. R.)
[1963] Transients in certain autonomous multiple-degree-of-freedom nonlinear
vibrating systems, J. Appl. Mech-, 30, 44—50.
[1965] Vibrations of dynamical systems with quadratic nonlinearities,
J. Appl. Mech., 82, 576—582.
Сёрл (Searl J. W.)
[1971] Expansions for singular perturbations, J. Inst. Math. Appl., 8,
131—138.
Сибуя (Sibuya Y.)
[1958] Sur reduction analytique d'un systeme d'equations differentielles
ordinaires lineaires contenant un parametre, J. Fac. Science, Univ.
Tokyo, 7, 527—540.
[1963a] Asymptotic solutions of a linear ordinary differential equation of
nth order about a simple turning point. In International Symposium
Differential Equations and Nonlinear Mechanics (J. P. La Salle and
S. Lefschetz, eds.) Academic New York, 485—488.
[1963b] Simplification of a linear ordinary differential equation of the nth
order at a turning point, Arch. Rat. Mech, Anal., 13, 206—221.
[1967] Subdominant solutions of the differential equation у у"—X2 (x—ax)x
X(x—a2)...(x—an) ф 0. Ada Math., 119, 235—271.
Симмонс (Simmons W. F.)
[1969] A variational method for weak resonant wave interactions, Proc.
Roy. Soc. (London), A309, 551—575.
Сириньяно, Крокко (Sirignano W. A., Crocco L.)
[1964] A shock wave model of unstable rocket combustors, AIAA J., 2,
1285—1296.
Скотт (Scott A. C.)
[1970] Propagation of magnetic flux on a long Josephson tunnel junction,
Nuovo Cimento, B69, 241—261.
Скотт (Scott P. R.)
[1966] Equations of the oscillator with delayed amplitude limiting, Proc.
IEEE, 54, 898—899.
Сприггс, Месситер, Андерсон (Spriggs J. H., Messiter A. F., Anderson W. J.)
[1969] Membrane flutter paradox — An explanation by singular-perturbation
methods, AIAA J., 7, 1704—1709.
Старрок (Sturrock P. A.)
[1957] Nonlinear effects in electron plasmas, Proc. Roy. Soc. (London),
A242, 277—299.
[1958] A variational principle and an energy theorem for small amplitude
disturbances of electron beams and of electron-ion plasmas, Ann.
Phys., 4, 306—324.
[1962] Plasma Hydromagnetic, Stanford University Press, Stanford, Cali-
California.
Список литературы 439
[1963] Nonlinear theory of electromagnetic waves in plasmas. Stanford Uni-
University Microwave Laboratory Rept. No. 1004.
Стерн (Stern D. P.)
[1970a] Direct canonical transformations, J. Math. Phys., 11, 2776—2781.
[1970b] Kruskal's perturbation method, J. Math. Phys., 11, 2771—2775.
[1971a] A new formulation of canonical perturbation theory, Celestial Mech.,
3, 241—246.
[1971b] Classical adiabatic theory, J. Math. Phys., 12, 2231—2242.
[1971c] The canonization of nice variables, J. Math. Phys., 12, 2226—2231.
Стал (Steele С R.)
[1965] On the asymptotic solution of nonhomogeneous ordinary differential
equations with a large parameter, Quart. Appl. Math., 23, 193—201.
Стоке (Stokes G. G.)
[1851] On the effect of the internal friction of fluids on the motion of
pendulums, Trans. Cambridge Phil Soc, 9, 8—106.
[1857] On the discontinuity of arbitary constants which appear in divergent
developments, Cambridge Phil. Trans., 10, 106—128; Coll. Papers,
4, 77—109.
Стокер (Stoker J. J.)
[1957] Water Waves, Wiley, New York. Русский перевод: Стокер Дж. Дж.,
Волны на воде, М., ИЛ, 1959.
Стоун (Stone P. H.)
[1969] The meridional structure of baroclinic waves, J. Atmos. Sci., 26,
376—389.
Страбл (Struble R. A.)
[1962] Nonlinear Differential Equations, McGraw-Hill, New York.
Стробен (Strohbehn J. W.)
[1968] Comments on Rytov's method, J. Opt. Soc. Am., 58, 139—140.
Стюарт (Stuart J. T.)
[1958] On the nonlinear mechanics of hydrodynamic stability, J. Fluid
Mech., 4, 1—21.
[1960a] Nonlinear effects in hydrodynamic stability, Proc. Xth Int. Cong.
Appl. Meek. Stresa, Italy.
[1960b] On the nonlinear mechanics of wave disturbances in stable and
unstable parallel flows, Part. I. The basic behaviour in plane Poi-
seuille flow, J. Fiuid Mech., 9, 353—370.
[1961] On three-dimensional nonlinear effects in the stability of parallel
flows, Advan. Aeron. Sci.. 3, 121—142. Pergamon, Oxford.
Стюартсон, Стюарт (Stewartson К., Stuart J. T.)
[1971] A nonlinear instability theory for a wave system in plane Poiseuille
flow, J. Fluid Mech., 48, 529—545.
Сэведж, Хасегава (Savage J. C, Hasegawa H. S.)
[1967] Evidence for a linear attenuation mechanism, Geophysics, 32,
1003—1014.
Там (Tam С К. W.)
[1969] Amplitude dispersion and nonlinear instability of whistlers, Phys.
Fluids, 12, 1028—1035.
[19701 Nonlinear dispersion of cold plasma waves, J. Plasma Phys., 4,
109-125.
440 Список литературы
Там (Тат К. К.)
[1968) On the asymptotic solution of the Orr-Sommerfeld equation by the
method of multiple scales, J. Fluid Mech., 34, 145—158.
Тамаркин Я. Д.
[1917]* О некоторых общих вопросах теории дифференциальных уравнений
и о разложении функций в ряды, Петроград.
Тан, Сивасубраманиан (Tang T. W., Sivasubramanian A.)
[1971] Nonlinear instability of modulated waves in a magnetoplasma. Phys.
Fluids, 14, 444—446.
Татарский В. И.
[1959] Теория флуктационных явлений при распространении волн в тур-
булетной атмосфере, Изд. АН СССР.
[1964] Распространение электромагнитных волн в среде с сильными флук-
туациями диэлектрической проницаемости, ЖЭТФ, т. 46, вып. 4,
13—99.
Татарский В. И., Герценштейн М. Е.
[1963] Распространение волн в среде с сильными флуктуаииями показателя
преломления, ЖЭТФ, т. 44, вып. 2, 676.
Тауссиг (Taussig R. Т.)
[1969] Macroscopic quasilinear theory of high-frequency radiation in a cold
plasma, Phys. Fluids, 12, 914—922.
Тейлор (Taylor L. S.)
[1967] On Rytov's method, Radio Sci., 2, 437—441.
Темпл (Temple G.)
[1958] Linearization and delinearization, Proc. Intern. Cong. Math. Edin-
burg, p. 233—247.
Террил, Шреста (Terrill R. M., Shrestha G. M.)
[1965] Laminar flow through a channel with uniformly porous walls of
different permeability, Appl. Sci. Res., A15, 440—468.
Тимошенко, Войновский-Кригер (Timoshenko S., Woinowsky-Krieger S.)
[1959] Theory of Plates and Shells, 2nd ed., McGraw-Hill, New York.
Русский перевод: Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С, Плас-
Пластинки и оболочки, М., «Наука», 1966.
Тин, Брофман (Ting L., Brofman S.)
[1964] On take-off from circular orbit by small thurst, ZAMM, 44, 417—428.
Тихонов А. Н.
[1948]* О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого
параметра. Математический сборник, 22.
[1950]* О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры.
Математический сборник, 27.
[1952]* Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые пара-
параметры при производных. Математический сборник, 31.
Толлмин (Tollmien W.)
11947] Asymptotische Integration der Storungsdifferentialgleichung ebener
laminarer Stromungen bei hohen Reynoldsschen Zahlen, ZAMM, 25/27,
34—50, 70—83.
Список литературы 441
Томе (Thome J.)
[1883J Uber Integrate zweiter Gattung, J. Reine Angew. Math., 95, 241—250.
Треногин В. А.
[1970]* Развитие н приложения асимптотического метода Люстерника —
Вишика, УМН, 25, вып. 4A54), 123—156.
Тумаркин С. А.
[1959] Асимптотическое решение линейного неоднородного дифференциаль-
дифференциального уравнения второго порядка с переходной точкой и его прило-
приложения к расчетам торообразных оболочек и лопастей, ПММ,
т. XXIII, вып. 6, 1083.
Уайтхед (Whitehead A. N.)
[1889] Second approximations to viscous fluid motion, Quart. J. Math.,
23, 143—152.
Уилкокс (Wilcox С. Н.)
[1964] Asymptotic Solutions of Differential Equations and Their Applica-
Applications, Wiley, New York.
[1966] Perturbation Theory and its Applications in Quantum Mechanics,
Wiley, New York.
Уиттекер (Whittaker E. T.)
[1914] On the general solution of Mathieu's equation, Edinburgh Math. Soc.
Proc., 32, 75—80.
[1916] On the adelphic integral on the differential equations of dynamics,
Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 37, 95—116.
[1937] Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, 4th ed., Cam-
Cambridge University Press. Cambridge. Русский перевод: Уиттекер Э. Т.,
Аналитическая динамика, М.—Л., Главная редакция технико-теоре-
технико-теоретической литературы, 1937.
Уизем (Whitham G. В.)
[1952] The flow pattern of a supersonic projectile, Comm. Pure Appl. Math.,
5, 301—348.
[1953] The propagation of weak spherical shocks in stars, Comm. Pure Appl.
Math., 6, 397—414.
[1965a] A general approach to linear and nonlinear waves using a Lagran-
gian, J. Fluid Mech., 22, 273—283.
[1965b] Nonlinear dispersive waves, Proc. Roy. Soc. (London), A283, 238—261.
[1967a] Nonlinear dispersion of water waves, J. Fluid. Mech., 27, 399—412.
[1967b] Variational methods and applications to water waves, Proc. Roy.
Soc. (London), A299. 6—25
[1970] Two-timing, variational principles and waves, J. Fluid Mech., 44,
373—395.
Фаа де Бруно (Faa De Bruno F.)
[1857] Note sur une nouvelle formule de calcul differentiel, Quart. J. Pure
Appl. Math., 1. 359—360.
Фаукес (Fowkes N. D.)
11968] A singular perturbation method. Parts I and II, Quart. Appl Math.,
26. 57—69, 71—85.
Фаулер, Лок (Fowler R. H., Lock С N. H.)
[1921] Approximate solutions of linear differential equations, Proc. London
Math. Soc., 20, 127—147.
Фаулер, Галлоп, Лок, Ричмонд (Fowler R. H., Gallop E. G., Lock C. N. H.,
Richmond H. W.)
442 Список литературы
[1920] The aerodynamics of a spinning shell, Phil. Trans. Roy. Soc. Lon-
London, 221, 295—387.
Фейнман (Feynman R. P.)
[1948] Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics, Rev. Mo-
Modern Phys., 20, 367—387.
Фещенко С. Ф., Шкилев Н. И., Николенко Л. Д.
[1966] Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных
уравнений, Киев, «Наукова думка».
Фок В. А.
[1970] Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн
М., «Советское радио»,
Фокс (Fox P. А.)
[1953] On the use of coordinate perturbations in the solution of physical
problems, Project DIC 6915 Technical Rept. No. 1, Massachusetts
Institute of Technology, Cambridge.
[1955] Perturbation theory of wave propagation based on the method of
characteristics, J. Math, and Phys., 34, 133—151.
Фон Цайпель (Von Zeipel H.)
[1916] Movements of minor planets, Ark. Mat, Astron. Fysik, Stockholm,
II, No. 1, 1—58, No. 7, 1—62
Фосс (Voss W.)
[1933] Bedingungen Fiir das Auftreten des Ramsauereffektes, Z. Phys., 83,
581—618.
Френкель (Fraenkel L. E.)
[1969] On the method of matched asymptotic expansions, Parts I—III,
Proc. Cambridge Phil. Soc, 65, 209—231, 233—251, 263—284.
Фрид (Fried D. L.)
[1967] Test of the Rytov approximation, J. Opt. Soc. Am., 57, 268—269.
Фридрихе (Friedrichs K. O.)
[1942] Theory of viscous fluids, Fluid Dynamics, Brown University Press,
Providence, R. 1., Chapter 4.
[1955] Asymptotic phenomena in mathematical physics, Bull. Am. Math.
Soc, 61, 484—504.
Фримен (Frieman E. A.)
[1963] On a new method in the theory of irreversible processes, J. Math.
Phys., 4, 410—418.
Фримен, Разерфорд (Frieman E. A., Rutherford P.)
[1964] Kinetic theory of a weakly unstable plasma, Ann. Phys, 28, 134—177.
Фримен, Джонсон (Freeman N. С, Johnson R. S.)
[1970] Shallow water waves on shear flows, J. Fluid Mech., 42. 401—409.
Фриш (Frisch U.)
[1965] Wave propagation in Random Media, lnstitut d'Astrophysique, Paris.
[1968] Wave propagation in random media, Probability Methods in Applied
Mathematics, Vol. 1 (A. T. Bharucha-Reid, ed.), Academic, New
York, pp. 75—198.
Фробениус (Frobenius G.)
[1875] Ueber die regularen Integrale der linearen Differentialgleichungen,
J. Reine Angew. Math., 80, 317—333.
Список литературы 443
Фуруцу (Furutsu К.)
[1963] On the statistical theory of electromagnetic waves in a fluctuating
medium, J. Res. Natl. Bur. Standards, Sec. D, 67, 303—323.
Хайдбредер (Heidbreder G. R.)
[1967] Multiple scattering and the method of Rytov, J. Opt. Soc. Am., 57,
1477—1479.
Хан (Han L. S)
[1965] On the free vibration of a beam on a nonlinear elastic foundation,
J. Appl. Mech., 32, 445—447.
Ханке (Hanks T. C.)
[1971] Model relating heat-flow value near, and vertical velocities of mass
transport beneath, ocean rises, J. Geophys. Res., 76, 537—544.
Xay (Howe M. S.)
[1967] Nonlinear theory of open-channel steady flow past a solid surface of
finite-wave-group shape, J. Fluid Mech., 30, 497—512.
Хафнагель, Стэнли (Hufnagel R. E., Stanley N. R.)
[1964] Modulation transfer function associated with image transmission
through-turbulent media, /. Opt. Soc. Am., 54, 52—61.
Хзи, Сибуя (Hsieh P. F., Sibuya Y.)
[1966] On the asymptotic integration of second order linear ordinary dif-
differential equations with polynomial coefficients, /. Math. Anal. Appl.,
16, 84—103.
Хиршфельдер (Hirschfelder F. O.)
[1969] Formal Reyleigh—Schrodinger perturbation theory for both degene-
degenerate and non-degenerate energy states, Int. J. Quantum Chem., 3,
731—748.
Хольт (Holt M.)
[1967] The collapse of an imploding spherical cavity, Rev. Roumaine, Sci.
Tech. Ser. Mec. Appl., 12, 407—415.
Хольт, Шварц (Holt M., Schwartz N. J.)
[1963] Cavitation bubble collapse in water with finite density behind the
interface, Phys. Fluids, 6, 521—525.
Хори (Hori G. I.)
[1966] Theory of general perturbations with unspecified canonical variables,
Publ. Astron. Soc. Japan, 18, 287—296.
[1967] Nonlinear coupling of two harmonic oscillations, Publ. Astron. Soc.
Japan, 19, 229—241.
[1970] Comparison of two perturbation theories based on canonical trans-
transformations, Publ. Astron. Soc. Japan, 22, 191—198.
Хоулт (Hoult D. P.)
[1968] Euler — Lagrange relationship for random dispersive waves, Phys.
Fluids, 11, 2082—2086.
Хугстратен (Hoogstraten H. W.)
[1967] Uniformly valid approximations in two-dimensional subsonic thin
airfoil theory, J. Eng. Math., 1, 51—65.
[1968] Dispersion of nonlinear shallow water waves, /. Eng. Math., 2,
249—273.
Цваан (Zwaan A.)
[1929] Intensitaten im Ca—Funkenspektrum, Ph. D. Thesis, Utrecht.
444 Список литературы
Цванциг (Zwanzig R.)
[1964] On the intensity of three generalized master equations, Physica, 30,
1109—1123.
Циреп, Гейнатц (Zierep V. J., Heynatz J. T.)
[1965] Ein analytisches Verfahren zur Berechnung der nichtlinearen Wellen-
ausbreitung, ZAMM, 45, 37—46.
Up, Кои (Tso W. K-, Caughey Т. К.)
[1965] Parametric excitation of a nonlinear system, J. Appl. Mech., 32,
899—902.
Цянь Сюэ-сень (Tsien H. S.)
[1956] The Poincare—Lighthill —Kuo method, Advan. Appl. Mech., 4,
281—349.
Чан, Акинс, Банков (Chang К. S., Akins R. G., Bankoff S. G.)
[1966] Free convection of a liquid metal from a uniformly heated vertical
plate, Ind. Eng. Chem. Fundam., 5, 26—37.
Чезари (Cesari L.)
[1971] Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential
Equations, Springer-Verlag, New York. Русский перевод: Чезари Л.,
Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных
дифференциальных уравнений, М., «Мир», 1964.
Чен, By (Cheng H., Wu Т. Т.)
[1970] An aging spring, Stud. Appl. Math., 49, 183—185.
Чен, Кирш, Ли (Cheng H. К., Kirsch J. W., Lee R. S.)
[1971] On the reattachment of a shock layer produced by an instantaneous
energy release, J. Fluid Mech., 48, 241—263.
Чень (Chen С S.)
[1971] Parametric excitation in an inhomogeneous plasma, J. Plasma Phys.,
5, 107—113.
Чень, Левак (Chen С. S., Lewak G. J.)
[1970] Parametric excitation of a plasma, J. Plasma Phys., 4, 357—369.
Чернов (Chernov L. A.)
[1960] Wave Propagation in a Random Medium, Dover, New York.
Черноусько Ф. Л.
[1961]* Отражение сходящихся слабых ударных волн в газе переменной
плотности, ПММ, XXV, вып. 2, 209—217.
[1963]* Study of Satellite Motion about Center of Mass Using Averaging
Method. Proceedings of the XIY-th International Astronautical Con-
Congress, Paris, v. IV, p. 143—154.
]1963b]*O резонансе в существенно нелинейной системе. Журнал вычислит,
математики и математической физики, т. 3, № 1, стр. 131—144.
Черри (Cherry Т. М.)
[1927] On the transformation of Hamiltonian systems of linear differential
equations with constant or periodic coefficients, Proc. Lend. Math.
Soc., 26, 211—230.
[1949] Uniform asymptotic expansions, J. London Math. Soc, 24, 121—130.
[1950] Uniform asymptotic formulae for functions with transition points,
Trans. Am. Math. Soc, 68, 224—257.
Список литературы 445
Чон, Сирович (Chong Т. Н., Sirovich L.)
[1971] Non-linear effects in steady supersonic dissipative gas dynamics Part
I-Two-dimensional flow, /. Fluid Mech., 50, 161—176.
Чу (Chu В. Т.)
[1963] Analysis of a self-sustained thermally driven nonlinear vibration
Phys. Fluids, 6, 1638—1644.
Чу, Йии (Chu В. Т., Ying S. J.)
[1963] Thermally driven nonlinear oscillations in a pipe with travelling
shock waves, Phys. Fluid., 6, 1625—1637.
Чу, Мей (Chu V. H., Mei С. С.)
[1970] On slowly-varying Stokes waves, Л Fluid Mech., 41, 873—887.
Чудов Л. А.
[1963] О некоторых недостатках классической теории пограничного слоя,
Сб. «Численные методы в газовой динамике», вып. 2, М., Изд-во
МГУ, 98—109.
Шаббар (Shabbar M.)
]I971] Side-band resonance mechanism in the atmosphere supporting Rossby
waves, J. Atmos. Sci., 28, 345—349.
Швертассек (Schwertassek V. R.)
[1969] Grenzen von Mitnahmebereichen, ZAMM, 49, 409—421.
Шень (Shen C. N.)
[1959] Stability of forced oscillations with nonlinear second-order terms,
J. Appl. Mech., 26, 499—502.
Шехтер (Schechter H. B.)
[1968] The effect of three-dimensional nonlinear resonances on the motion
of a particle near the earth-moon equilateral libration points, Second
Compilation of Papers on Trajectory Analysis and Guidance Theory,
NASA PM-67-21, 229—344.
Ши, Экштейн (Shi Y. Y., Eckstein M. C.)
[1966] Ascent or descent from satellite orbit by low thrust, AIAA J., 4,
2203—2209.
[1968] Application of singular perturbation methods to resonance problems,
Astron J., 73, 275—289.
Шкарофский (Shkarofsky I. P.)
[1971] Modified Born back scattering from turbulent plasmas: Attenuation
leading to saturation and cross-polarization, Radio Sci., 6, 819—831.
Шнайад (Shniad H.)
[1970] The equivalence of von Zeipel mappings and Lie transforms, Celes-
Celestial Mech., 2, 114—120.
Шредингер (Schr6dinger E.)
[1926] Quantisierung als Eigenwertproblem, Ann. Phys., 80, 437—490.
Эвенсен (Evensen D. A.)
[1968] Nonlinear vibrations of beams with various boundary conditions,
AIAA J., 6, 370—372.
Эйлер (Euler L.)
[1754] Novi Commentarii Acad. Sci. Petropolitanae, 5, 205—237; Opera
Omnia, Ser. I, 14, 585—617.
446 Список литературы
Эйноди (Einaudi F.)
[1969] Singular perturbation analysis of acoustic-gravity waves, Phys. Fluids,
12, 752—756.
[1970] Shock formation in acoustic gravity waves, J. Geophys. Res., 75, 193.
Экштейн, Ши (Eckstein M. C, Shi Y. Y.)
[1967] Low-thrust elliptic spiral trajectories of a satellite of variable mass,
AIAA J., 5, 1491—1494.
Экштейн, Ши, Кеворкян (Eckstein M. С, Shi Y. Y., Kevorkian J.)
[1966a] A uniformly valid asymptotic representation of satellite motion around
the smaller primary in the restricted three-body problem. In Me-
Methods in Astrodynamics and Celestial Mechanics Progress in Astro-
Astronautics and Aeronautics, Vol. 17, Interchange Progress in Astro and
Aero with Methods... Mechanics R. L. Duncombe and V. G. Szebe-
hely, eds. Academic, New York, p. 183—198.
[1966b] Satellite motion for arbitrary eccentricity and inclination around the
smaller primary in the restricted three-body problem, Astron J., 71,
248—263.
[1966c] Use of the energy integral to evaluate higher-order terms in the time
history of satellite motion, Astron. J., 71, 301—305.
Экхаус (Eckhaus W.)
[1965] Studies in Nonlinear Stability Theory, Springer-Verlag, New York.
Эмануэль (Emanuel G.)
[1966] Unsteady, diffusing, reacting tubular flow with application to the
flow in a glow discharge tube, Aerospace Corporation Rept. No.
TR-669 F240-20)-9.
Эмери (Emery V. J.)
[1970] Eikonal approximation for nonlinear equations, J. Math. Phys., 11,
1893—1900.
Эрдейи (Erdelyi A.)
[1956] Asymptotic Expansions, Dover, New York. Русский перевод: Эр-
Эрдейи А., Асимптотические разложения. М., Физматгиз, 1962.
[1960] Asymptotic solutions of differential equations with transition points
or singularities, J. Math. Phys., 1, 16—26.
[1961] An expansion procedure for singular perturbations, Atti. Accad. Sci.
Torino, CL Sci. Fis. Mat. Nat., 95, 651—672.
Эрнст, Примас (Ernst R. R., Primas H.)
[1963] Nuclear magnetic resonance with stochastic high-frequency fields,
Helv. Phys. Ada, 36, 583—600.
Эспедал (Espedal M. S.)
[1971] The effects of ion — ion collision on a ion-acoustic plasma pulse,
J. Plasma Phys., 5, 343—355.
Эшли (Ashley H.)
[1967] Multiple scaling in flight vehicle dynamic analysis — a preliminary
look, AIAA Paper No. 67—560.
Юень (Yuen M. C.)
[1968] Nonlinear capillary instability of a liquid jet, /. Fluid Mech., 33,
151—163.
Якоби (Jacobi G. G. J.)
[1849] Versuch einer Berechnung der grossen Ungleichheit des Saturns nach
einer strengen Entwickelung, Astron. Nachr., 28, 65—94.