Задачи
по
WI атематическим
Методам
Ф
изики
И. В. Колоколов, Е. А. Кузнецов,
А. И. Мильштейн, Е. В. Подивилов,
А. И. Черных, Д. А. Шапиро,
Е. Г. Шапиро
Эдиториал УРСС • Москва • 2000

¦#
Настоящее издание осуществлено при финансовой
И поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проект № 99—01 — 14121)
Колоколов И. В., Кузнецов Е. А., Мильштейн А. И.,
Подтипов Е. В., Черных А. И., Шапиро Д. А., Шапиро Е. Г.
Задачи по математическим методам физики
М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 288 с.
ISBN 5-8360-O1O5-7
Предлагаемый сборник задач — результат 15-летнего опыта преподавания
по новой методике математических методов физики на физическом факультете
Новосибирского государственного университета. Сборник включает в себя бо-
более 350 задач по уравнениям в частных производных, специальным функциям,
асимптотическим методам, методу функций Грина, интегральным уравнениям,
теории конечных групп, групп Ли и их применениям в физике.
Книга рекомендована студентам, аспирантам и преподавателям физиче-
физических и физико-технических специальностей. Все задачи снабжены ответами,
а многие — подробными решениями. Сборник может быть полезным для
самообразования.
ISBN 5-8360-0105-7
Эдиториал УРСС, 2000

Оглавление
Предисловие 5
Глава 1. Линейные операторы 7
1.1. Конечномерное пространство 7
1.2. Функционалы и обобщенные функции 9
1.3. Гильбертово пространство и полнота 10
1.4. Самосопряженные операторы II
1.5. Кет- и бра-векторы 13
1.6. Примеры 14
1.7. Задачи 23
1.8. Ответы 26
Глава 2. Метод характеристик 29
2.1. Однородные и неоднородные линейные уравнения в частных производных 29
2.2. Квазилинейные уравнения в частных производных 31
2.3. Системы уравнений в частных производных 33
2.4. Примеры 35
2.5. Задачи 51
2.6. Ответы 52
Глава 3. Линейные уравнения в частных производных второго порядка 54
3.1. Канонический вид 54
3.2. Криволинейные системы координат 56
3.3. Разделение переменных 56
3.4. Простейшие уравнения, решаемые методом Фурье 57
3.5. Примеры 58
3.6. Задачи 78
3.7. Ответы 80
Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравиения в частных производных.. 84
4.1. Автомодельность 84
4.2. Нелинейные уравнения в частных производных 84
4.3. Примеры 86
4.4. Задачи 105
4.5. Ответы 105
Глава 5. Специальные функции 106
5.1. Особые точки 106
5.2. Гипергеометрические функции 108
5.3. Ортогональные полиномы 109
5.4. Примеры Ill
5.5. Задачи 136
5.6. Ответы 138
Глава 6. Асимптотические методы 141
6.1. Асимптотические ряды 141
6.2. Интеграл Лапласа 142
6.3. Метод стационарной фазы 143
6.4. Метод перевала 144
6.5. Метод усреднения 146
6.6. Примеры 148
6.7. Задачи 155
6.8. Ответы 158

Оглавление
Глава 7. Метод функций Грина 162
7.1. Функции Грина 162
7.2. Непрерывный спектр 167
7.3. Резольвента 169
7.4. Примеры 171
7.5. Задачи 190
7.6. Ответы 194
Глава 8. Интегральные уравнения 198
8.1. Уравнения Фредгольма 198
8.2. Вырожденные ядра 199
8.3. Теорема Гильберта—Шмидта 201
8.4. Обратная задача для оператора Шредингера 204
8.4.1. Прямая задача рассеяния 204
8.4.2. Уравнение Гельфанда—Левитана—Марченко 205
8.5. Примеры 208
8.6. Задачи 216
8.7. Ответы 222
Глава 9. Труппы и представления 226
9.!. Группы 226
9.2. Представления 227
9.3. Примеры 229
9.4. Задачи 233
9.5. Ответы 235
Глава 10. Непрерывные группы 237
10.1. Группы и алгебры Ли 237
10.2. Представления группы вращений 238
10.3. Примеры 242
10.4. Задачи 249
10.5. Ответы 251
Глава П. Применения теории групп в физике 255
11.1. Гармонические колебания молекул 255
11.2. Расщепление уровней 259
11.3. Правила отбора 260
11.4. Примеры 263
11.5. Задачи 272
11.6. Ответы 272
Сводка формул по специальным функциям 273
П. 1. Г-функиия Эйлера 273
П.2. Гипергеометрическис функции 273
П.2.1. Гипергеометрическая функция Гаусса 2^1 273
П.2.2. Вырожденная гипергеометрическая функция i F| 273
П.З. Цилиндрические функции 274
П.3.1. Функции Бесселя Jv и Неймана У„ 274
П.3.2. Функции Бесселя целого порядка Jn 276
П.3.3. Модифицированная функция Бесселя /„ и функция
Маклональда К„ 276
П.4. Ортогональные полиномы 277
П.4.1. Полиномы Лежандра Р/и присоединенные функции Лежандра Я™ 277
П.4.2. Полиномы Эрмита Нп 279
П.4.3. Полиномы Лагерра 1/п 280
Литература 282

Предисловие
Предлагаемый сборник задач основан на 15-летнем опыте обуче-
обучения студентов физического факультета Новосибирского государствен-
государственного университета методам математической физики (ММФ). В виде
эксперимента преподавание ММФ было поручено физикам-теоретикам.
Была поставлена цель не только обучить студентов основам теории,
но и применению математических методов для решения конкретных
физических задач квантовой механики, классической электродинамики,
оптики, физики плазмы, механики жидкости и газа. В результате заметно
изменилась как программа курса, так и методика его преподавания. Упор
был сделан на решение задач — от простых упражнений, иллюстриру-
иллюстрирующих основные понятия, до сравнительно сложных задач, например,
квантовой механики. Сейчас мы можем с удовлетворением сказать, что
новый подход к преподаванию ММФ полностью себя оправдал.
Обучение ММФ обычно завершает общее математическое образо-
образование студентов-физиков третьего-четвертого года обучения. Считается,
что эти студенты уже знакомы с линейной алгеброй, аналитической гео-
геометрией, математическим анализом, обыкновенными дифференциальны-
дифференциальными уравнениями, теорией функций комплексной переменной в объеме
университетского курса. Стандартный курс ММФ, через который про-
прошли многие поколения студентов, включает в себя, как правило, теорию
уравнений в частных производных. Элементы функционального анализа,
теории специальных функций и теории групп в программах ММФ часто
носят фрагментарный характер и не являются обязательными.
Методы математической физики как университетский курс являет-
является устоявшейся дисциплиной. Этому посвящены многие отечественные
и переводные учебники по всем ее разделам. Но в них не содержится до-
достаточного количества задач. Сборники задач по ММФ немногочисленны
и неполны. Они не охватывают всех необходимых разделов математи-
математической физики и несколько оторваны от исходных физических задач,
из которых возникают эти уравнения. Практически нет задач по урав-
уравнениям Шрёдингера, Дирака и даже Максвелла. Приложения к физике,
как правило, ограничены механикой, теорией теплопроводности, элек-
электричеством и магнетизмом. Устранение всех этих недостатков является
одной из целей предлагаемого задачника.
Программа курса и, соответственно, содержание данного задачника
включает в себя следующие разделы: гильбертовы пространства, метод
характеристик, уравнения второго порядка с частными производными,
автомодельность и нелинейные уравнения, специальные функции, асим-
асимптотические методы, функции Грина, интегральные уравнения (включая

Предисловие
обратную задачу для оператора Шрёдингера), группы и представления,
группы Ли и их применение в физике.
Каждый раздел содержит краткое изложение теории, иллюстрируе-
иллюстрируемое решением типичных задач, а также краткий список рекомендуемой
литературы по данному вопросу. Более полная библиография, в которой
изложены разделы теории, включенные в данный сборник, приведена
в конце книги. Почти все задачи (за исключением простейших) содержат
подробные указания и решения. Порядок расположения задач помогает
усвоению сложных математических понятий и выработке навыков реше-
решения физических задач. Поэтому сборник будет также весьма полезным
для самообразования. Если читатель после работы с этим задачником
сможет самостоятельно решать задачи математической физики и исполь-
использовать полученные знания в дальнейшей работе, то мы сочтем свою
миссию выполненной.
Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность
всем тем, кто в разные годы либо читали курс лекций ММФ на фи-
физическом факультете НГУ, либо вели практические занятия, за вклад
в создание курса и, в частности, этого задачника. Особую признатель-
признательность мы выражаем Б. Г. Конопельченко, В. М. Малки ну, А. М. Рубен-
чику, М.Д. Спектору, М.Г.Степанову, Б. И. Стурману, С. К. Турицыну.
Мы также благодарны А. В.Тельнову, указавшему на ряд опечаток.
Август 1999 г.
Новосибирск

Глава 1
Линейные операторы
1.1. Конечномерное пространство
Линейным оператором, действующим в линейном пространстве X,
называется такой оператор А, для которого для любых двух векторов /
и д из X и двух произвольных комплексных чисел аи/? выполнено
свойство линейности
Если X — n-мерное пространство, то линейные операторы, действующие
в X, суть матрицы пхп.
Пусть А — квадратная пхп матрица. Матрица А*, полученная
транспонированием и комплексным сопряжением А, называется эр-
эрмитово сопряженной к А. Если А = А^, то такую матрицу называют
эрмитовой. Матрица А называется унитарной, если АА^ = А^А = Е.
Следом Ъ А матрицы А называется сумма ее диагональных элементов.
Число А называется собственным значением А, если найдется вектор v Ф О
такой, что Av = Xv, причем t; называется собственным вектором матри-
матрицы А, соответствующим значению А. Многочлен \ХЕ - А\ называется
характеристическим многочленом матрицы А.
Последовательность квадратных матриц
одного и того же порядка называется сходящейся к матрице А, если схо-
сходится последовательность соответствующих матричных элементов. Оче-
Очевидно, что если матрицы Ат и Вт стремятся к А и В при возрастании т,
то Ат+В„, и АтВт стремятся соответственно к А+В и АВ. В частности,
если Т — невырожденная матрица того же порядка п и матрицы Ат при
возрастании т стремятся к А, то Т~' АтТ стремится к Т~*АТ.
Прямой суммой матриц называется блочно-диагональная матрица
•... е a{s) =
1
\
А(\)
0
0
0 ..
А<2> ..
0 ..
. 0
. 0
. аы
\
/

Глава 1. Линейные операторы
где -4';> — квадратные матрицы порядка n<J\ стоящие вдоль диагонали А,
а все прочие элементы А равны нулю. Пусть а0 + О|А + а2\2 + ... +
атАт +... — формальный степенной ряд от комплексной переменной А.
Рассмотрим соответствующий степенной ряд от матрицы А:
а<,Е
aiA + a2A1 + ... +amAm + ... . A.1)
Обозначим fn(A) = uqE + a\A + a2A2 + ... + а„А". Ряд A.1) называ-
называется сходящимся, если последовательность частичных сумм f\(A),...,
fn(A),... имеет предел. Этот предел называется суммой ряда.
Если А не равно какому-либо собственному значению Aj матрицы А,
то матрица А - ХЕ обратима. Обратная ей матрица R\ = (А - ХЕ)'1
называется резольвентой. Под интегралом от матрицы понимается ма-
матрица, составленная из интегралов от матричных элементов. Пусть а —
произвольная константа, которая больше всех |Aj|. Тогда справедливы
равенства
"-Я /
AmjRAdA,
A.2)
|А|=«
разложения
а:
резольвенты
следующие и
в ряд при |А|
Из A.2) следует, что для любой функ-
функции /(А), определенной степенным рядом
при |А| ^ а, выполняется равенство
|А|=а
Рис. 1.1. Контур интегрирова-
интегрирования |Л| = а в комплексной
плоскости спектрального пара-
параметра А
|А|=о
Эта формула является обобщением форму-
формулы Кош и на случай функций от матриц.
Стянем теперь контур интегрирования
так, чтобы он превратился в набор малых
контуров, каждый из которых окружает только одно собственное значе-
значение (рис. 1.1). Тогда формула A.2) при т = 0 дает
= ш ^ «^
где символ (Aj—) обозначает контур интегрирования, охватывающий
собственное значение \j в отрицательном направлении (по часовой
стрелке), но не охватывающий при этом никаких других особых точек

1.2. Функционалы и обобщенные функции
подынтегральной функции. Матрица Р, является оператором проектиро-
проектирования (проектором) на подпространство, соответствующее собственному
значению Ау, т.е.
pt — р. р? — р.
Любой линейный эрмитов оператор 4 можно разложить по проекторам:
а=j:\jPj.
j
1.2. Функционалы и обобщенные функции
Функционалом, действующим на данном пространстве М функций
п переменных, называется отображение этого пространства в комплекс-
комплексную плоскость
Ф :={/(*), х 6 К"} -С.
Обозначим значение функционала Ф на функции / 6 М через Ф[/).
Функционал называется линейным, если отображение линейно:
Ф[а/ + Ря] = оФ[/] + РШ-
Здесь а, Р — комплексные числа, / и д — функции. По заданной функ-
функции F(x) всегда можно построить линейный функционал, действующий
на некотором подмножестве функционального пространства
ФР[д] = JdxF(x)g(x). A.3)
R*
Однако не всякий линейный функционал можно записать в ви-
виде A.3), применяя только гладкие функции F(x). В общем случае можно
по данному функционалу Ф определить обобщенную функцию F(x), так что
Ф[д] выражается в виде A.3). Если Ф является пределом последователь-
последовательности функционалов Ф„, каждый из которых имеет вид A.3) с гладкой
функцией Fn(x), то обобщенная функция F(x) может рассматриваться
как предел последовательности {Fn(x)} и ей можно приписать некоторые
поточечные свойства (как функции аргумента х).
Важным для приложений примером обобщенной функции явля-
является й-функция Дирака, соответствующая линейному функционалу Ф$,
действующему на гладких функциях д(х). По определению,
= Jdx6(x)g(x)=g@)
R"
для любой гладкой функции д. Это равенство эквивалентно следующему
определению й-функции:
= 0 при
Idx6(x)=\,

10 Глава 1. Линейные операторы
где $2о — любая область n-мерного пространства К", содержащая точку
х = 0. Производные одномерной ^-функции определяются через функ-
функционалы
их ——д(х) = -д'@),
i\ По
где функция д(х) подразумевается дифференцируемой достаточное ко-
количество раз.
Всегда следует помнить, что равенства, содержащие й-функцию
и ее производные, означают только равенства значений соответствующих
функционалов на достаточно гладких функциях.
1.3. Гильбертово пространство и полнота
Линейное пространство С называется гильбертовым, если:
1. Для каждой пары f и д его элементов определено скалярное про-
произведение (/,<?) со значениями в С, удовлетворяющее следующим
свойствам:
(а) линейности по второму аргументу
(/> а9\ + Р9г) — <*(/> Si) + P(f, Яг)
для любых /,5i,2 € ?, «. Р € С;
(б) эрмитовости
(/,</) = (</,/)*;
(в) неотрицательности нормы ||/||2 = (/, /) ^ 0,
причем из (/, /) = 0 следует / = 0.
2. В пространстве С имеется счетный бесконечномерный базис, т. е.
счетное множество элементов
такое, что любой элемента 6 ? можно представить в виде линейной
¦ суперпозиции /„: 5 = Е сп/п-
Гильбертово пространство является линейным (векторным) простран-
пространством, поэтому его элементы можно называть векторами.
Любой базис можно превратить в ортонормированный относитель-
относительно данного скалярного произведения, используя процедуру Грамма-
Шмидта. Основной пример гильбертова пространства — простран-
пространство Е2(п) функций /(ж), заданных в области О пространства R" и интег-
интегрируемых с квадратом модуля. Скалярное произведение функций / и g

1.4. Самосопряженные операторы 11
определено следующим образом:
и, очевидно, удовлетворяет условиям A(а)-(в)). В курсе математического
анализа доказывается существование счетного базиса в L2(fi).
Рассмотрим в L2(u) фиксированную ортонормированную бесконеч-
бесконечную последовательность функций
{/п, П = !,-¦• , °°, (/n, /m) = йпт}.
Она является базисом в Ь2(п) тогда и только тогда, когда выполняется
следующее соотношение полноты:
00
?Ш/пB/) = %-2/)- A-4)
Эту формулу нужно понимать как равенство обобщенных функций, ли-
либо как равенство интегралов от произведений обеих частей с гладкой
функцией из L2(il), либо как предел последовательности равенств с обе-
обеими частями, принадлежащими Ь2(П). Последнее возможно потому, что
хотя сама б-функция 6(х) i L2(ii), но в этом пространстве имеется
последовательность элементов, имеющая своим пределом 6-функцию
(см., например, задачи к этой главе).
1.4. Самосопряженные операторы
Под линейностью оператора А понимается свойство
где / и д — векторы гильбертова пространства, а р. и А — комплексные
числа*'.
Всякий линейный оператор, действующий в пространстве функций,
можно записать как интегральный оператор, т. е.
Af(x) = J K(x,y)f(y)dy,
где К(х, у) называется ядром интегрального оператора А. Ядро К(х, у) —
обобщенная функция двух переменных. В частности, если К(х,у) пред-
представляет собой линейную комбинацию б-функиии и ее производных
п
К(х, у) = Yl Ck^kKx ~ У)у то А называют дифференциальным оператором
к=\
порядка п.
*' Антилинейным называется оператор А, для которого А (А/ + цд) = У A f + /i' А д.

12 Глава 1. Линейные операторы
Рассмотрим линейный оператор А, действующий в гильбертовом
пространстве. Это значит, что заданы линейное правило соответствия
/ —> Af и область определения V: f € V. Последняя может быть значи-
значительно меньше всего пространства L2. Например, в L2@,1) (пространство
интегрируемых с квадратом функций на отрезке [0,1]) оператор ^ мо-
может, очевидно, действовать только на те функции, у которых существует
первая производная. Аналогичное утверждение можно сделать и про ^jr.
Кроме того, для дифференциальных операторов подразумевается задание
каких-либо граничных условий. В дальнейшем при указании области
определения V будем явно приводить только граничные условия или же
условия, им эквивалентные. Например, в L2(R) действует
^, 2>={/€L2(R)}. A.5)
Иначе говоря, для функций из L2, определенных на всей вещественной
оси, граничным условием может служить квадратичная интегрируемость
функции, в частности, это означает f(x) —> 0 при х —* ±оо.
Оператор .4*, сопряженный данному оператору А, определяется ра-
равенством
(»,А0 = (!"Ч«). A.6)
Эта формула фиксирует также область определения V* для операто-
оператора А *. Она состоит из таких векторов v, что для любого и из области
определения V оператора А скалярное произведение (v, Аи) может быть
переписано в виде (w, и). (Значит, если такой w существует, то w
и есть A^v.) Область V, вообще говоря, не совпадает с областью V.
В качестве примера рассмотрим в L2@,1) линейный оператор
i-jfc с областью определения, состоящей из функций, обращающихся
в нуль на концах отрезка:
2>={«@) = «A)=0}. A.7)
Скалярное произведение
i i
(v,Au) = fv'i—udx= [(i—v ) udx + tV«|' = (Av,u) A.8)
J ax J \ ax J °
о о
имеет вид (w, и) = (Av, и) для любых v. To есть
А^ = i—, V* — граничных условий нет.
ах
Значит, в этом случае сопряженный оператор А^ имеет то же правило
соответствия, что и А, но более широкую область определения.

1.5. Кет-и бра-векторы 13
Оператор А называется самосопряженным (эрмитовым), если А* со-
совпадает с А вместе с областью определения. Примеры самосопряженных
операторов:
i?, 2>={/@) = /(l)}; A-9)
^, 2>={/@) = /A) = 0}; A.10)
-A+V(r), V = {/ € L2(K3)}- (III)
В последнем примере подразумевается, что рассматриваются такие функ-
функции, для которых интеграл
jV(r)\f(r)\2 dr
сходится.
Оператор U называется унитарным, если он сохраняет скалярное
произведение: для любых и и г» из области определения:
(Uu,Uv) = (u,v)
или
где I — единичный оператор.
Следует заметить, что эрмитовость и унитарность определены по от-
отношению к данному скалярному произведению и не обязательно сохра-
сохраняются при другом определении последнего.
1.5. Кет- и бра-векторы
Понятие линейного функционала можно ввести не только в функ-
функциональном, но и в абстрактном гильбертовом пространстве: это ото-
отображение векторов гильбертового пространства в С, удовлетворяющее
обычным соотношениям линейности. Любому вектору v гильбертового
пространства Н можно сопоставить линейный функционал следующим
образом: для любого и ? Н
Ф„[и] = (">«)•
Из определения Ф»[и] следует, что эти функционалы сами образуют
линейное пространство:
Фшн/ta = а*Ф„ + /9*Ф„.
Иными словами, это пространство изоморфно Н. Это пространство Н*
называется пространством элементов, сопряженных к элементам Н.

14
Глава 1. Линейные операторы
В физической литературе его элементы называют бра-векторами и обо-
обозначают Ф„ как (ю|. Элементы Н называются при этом кет-векторами |м),
а скалярное произведение v и и — действие функционала Ф„ на век-
вектор и — записывается как (v\u).
В терминах кет- и бра-векторов
1. Проектор на вектор v можно записать как Р„ = \v) {v\.
2. Соотношения полноты записываются как
У2 м («ni = /.
3. Разложение вектора \v) по полной ортонормированной системе |и„)
выглядит как
п
Детальное изложение теории гильбертовых пространств можно най-
найти в учебниках [К.Г51, КФ72]. Обобщенные функции рассмотрены, на-
например, в книге [Вла88]. Самосопряженные операторы обсуждаются
в монографии [Соббб].
1.6. Примеры
1. Доказать, что линейное преобразование U векторного простран-
пространства V унитарно тогда и только тогда, когда U не меняет длин векторов.
Решение. Пусть о, b 6 V. Положим Ua = a', Ub = V. По условию
для любого числа а имеем
(a + ab, a + ab) = (U(a + ab), U(a + ab)) = (а' + ab', a + ab').
Выполняя умножение и используя (а, а) = (а1, а'), (Ь, Ь) = (Ь1, Ь1), полу-
получаем
а*(Ь, а) + а(а, Ъ) = а*(Ъ', а) + а(а, Ъ1).
При а = 1
(Ъ,а) + (а,Ъ) = (Ь',а') + (а',Ъ'), A.12)
полагая а = i и сокращая на г, получаем
-(М) + (а, Ь) = -(*>', а')+ («>')•
Последнее равенство вместе с A.12) дает (о, Ь) = (а', Ь1). >
2. Пусть A, B,C,D — квадратные матрицы пхп, АС = С А и А, С —
невырожденные матрицы. Доказать, что
= \AD-CB\.
\DA-BC\.
А
С
А
В
В
D
С
D
=
D
В
D
С
С
А
В
А

1.6. Примеры
15
Решение.
АВ
CD
= \АС\
= \AC\-
— 1
СО
О А
АВ
CD
= \АС\
-I
С А СВ
AC AD
О AD-CB
= \AD - СВ\.
Другие равенства доказываются аналогично.
A.13)
3. Доказать равенство:
det .4 =
a
a
а
а
= xt-x2-
¦х„
Решение. Введем диагональную матрицу
jr=diag(x,,a:2,...,a:n)
и перепишем определитель искомой матрицы в виде det.4 = detJTx
det (/ + JX'1), где все матричные элементы матрицы J равны о, a J —
единичная матрица. Ранг матрицы JX~] равен единице, поэтому един-
единственное отличное от нуля собственное значение этой матрицы равно ее
следу (все остальные собственные значения равны нулю):
г-\
А, = Тг JJT' = — + — + ... +—.
Х2 Х„
Откуда det (/ + JX ') = 1 + А|, а определитель
/о а \
det А = х, ¦ х2 ¦... ¦ хп I 1 + h ... + — ) • >
V х\ хп/
4. Пусть Н — эрмитова матрица. Доказать, что U = ехр (Ш)
унитарна.
Решение. Нам нужно показать, что UW = Е. Нетрудно показать
(см. задачу 19), что ряды
U* = E + (-iH)+^(-il
сходятся. Поэтому
+ ¦¦¦ = ехр (-Ш)

16 Глава I. Линейные операторы
Меняя порядок суммирования, получаем требуемое равенство
L
поскольку
m=0
5. Доказать, что для произвольной матрицы А
det eA = ехр (Тг А).
Решение. Сначала заметим, что равенство, которое требуется дока-
доказать, инвариантно относительно преобразований подобия: если
det еА = ехр (Тг А),
то
det(exp(Q4<?-')) = det (e + QAQ~[ + ^(QAQ-1J + ..Л =
(А)
= det eA = ехр(Тг>1) = ехр
где Q — произвольная невырожденная матрица. Значит, доказав утвер-
утверждение в каком-нибудь фиксированном базисе, мы докажем его сразу
для всех базисов. Если А диагонализуема, то пусть Q — матрица перехода
к диагональному для А базису: QAQ~* = diag (Аь ..., А„). Тогда
det(e'4) = det (ехр (QAQ~f)} = det diag (eA|,..., ел") =
= ехр(А, +... +А„) =exp(Tr(QylQ~')) =exp(Tr4).
В общем случае Q можно выбрать так, что QAQ~l будет прямой суммой
жордановых клеток. Произвольная жорданова клетка Jm
(А 1 0
О А 1 0 ... О
может быть представлена в виде Jm = XIm + Jm, где 1т — единичная ма-
матрица, Jm верхнетреугольная нильпотентная (все собственные значения

1.6. Примеры 17
равны нулю) матрица. Так как единичная матрица коммутирует с любой
другой, то
exp Jm = exp (AIm) exp (Jm).
Непосредственно убеждаемся, что exp (Jm) — верхнетреугольная матрица
с единичными элементами на диагонали. Следовательно,
det exp Jm = det exp (AJm) det exp (Jm) = det exp (AJm) = exp (Tr Jm).
По свойству следа и детерминанта
det exp (Jm, e Jmi 0 ...) =
= det (exp Jm, e exp Jmi © ...) = det exp Jm, det exp Jm,... =
= exp(TrJm, +TrJm2 + ...) =exp(Tr(Jm, 0Jm2e...)),
что доказывает равенство для любой матрицы А. >
6. Доказать, что для любой матрицы А найдется такая унитар-
унитарная матрица В, что матрица А' = В~'АВ является верхнетреугольной
(теорема Шура).
Решение. Пусть Т — матрица, приводящая А к жордановой фор-
форме (т.е. Т~]АТ является прямой суммой жордановых клеток A.15)).
Ортогонализуем столбцы матрицы Т, используя процедуру Грамма-
Шмидта. Попутно заметим, что процесс ортогонализации эквивалентен
умножению матрицы Т на некоторую невырожденную верхнетреуголь-
верхнетреугольную матрицу S справа. Например, для того, чтобы к j-му столбцу
матрицы Т прибавить ее t-й столбец, умноженный на а, достаточно ма-
матрицу Т умножить справа на матрицу 5', у которой матричные элементы
S,'j = 1, I = \,... ,п, S[j = а, а остальные равны нулю. Если 5 — такая
верхнетреугольная матрица, то столбцы TS являются ортонормирован-
ной системой п векторов. Следовательно, U — TS унитарна. Матрица
S~](T~XAT)S является произведением верхнетреугольных матриц 5,
T"'i4T, S. Поэтому U^AU - (S-]T-l)A(TS) — верхнетреугольная. >
7. Рассмотрим матрицу П вида
где А, В, С — матрицы п х п, причем А и С эрмитовы. Поскольку
то ее собственные векторы уже не будут ортогональны относительно
обычного скалярного произведения, а ее собственные значения могут не быть
вещественными. Пусть матрица Е имеет вид
*-{o -in
где 1п— единичная п х п матрица. Показать, что

18 Глава 1. Линейные операторы
(а) если собственный вектор е такой, что (е, Ее) Ф 0, то соответ-
соответствующее собственное значение вещественное;
(б) для любых двух собственных векторов t\ и е2 оператора fi
fie, =А,еь fie2 = A|e2) А, Ф А2,
при (е|,Ев|) Ф 0 и (е2, Ее2) ^ 0 выполнено условие «обобщенной» ортого-
ортогональности
Решение, (а) Явно проверяются соотношения
Е2 = 72n, fif = ЕПЕ, П'Е = Efi.
Из Не = Ае и эрмитовости Е следует, что
(Ее, fie) = А(Ее, е), (fie, Ее) = А*(е, Ее).
С учетом fi'E = Efi получаем:
(А - А')(е, Ее) = О,
откуда при (е, Ее) Ф 0 имеем А = А*.
Решение, (б) Используем равенства
(е,, Efte2) = А2(е,, Ее2), (е,, fi*Ee2) = Afa,, Ee2).
Вычитая эти равенства одно из другого и используя П'Е = Efi, получаем:
(A2-At)(e,,Ee2)-0.
По условию задачи (е,,?е;) Ф 0, t = 1,2. Поэтому А, — вещественны,
и из А| Ф А2 следует, что (в|, Ее2) = 0. >
8. Найти проектор матрицы
/0 0 1\
= 10 0
\0 1 0/
на подпространство, отвечающее собственному значению Х\ = I.
Решение. Найдем сначала резольвенту:
R\ =
Тогда проектор дается интегралом
Р, = — Ф Rxd\ = -ResRx = -[\ 111.
2тг« / л=. 3 \^, , ,)

1.6. Примеры 19
9. Доказать, что в любом гильбертовом пространстве выполняется
неравенство «треугольника»:
Решение. Если одна из норм равна нулю, то неравенство становится
тождеством. Пусть ||/|| > 0, ||g|| > 0. Так как норма вектора h -
\\f\\g - \\g\\f неотрицательна, получаем
2H/IHWI ></,
Отсюда следует, что
II/ + 9\\г = II/II2 + II5II2 + (/¦ 9) + (9, /)
Извлекая квадратный корень, получаем требуемое неравенство.
10. Полиномы Чебышева определены следующим образом:
I
2"
Доказать, что семейство функций
Тп{х) = —- cos (n arccos x).
v2ir
= y—{i—x2) cos (n arccos x), n = 0,1,... ,00,
образует ортонормированный базис »1!(-|,1).
Решение. Воспользуемся полнотой тригонометрического базиса (см.
задачу (а)):
- У^ COS (ПЖ|) COS (пхг) = 6(Х) - Х2), 0 < Х| 2 < Т-
Следовательно,
о »
= — A — ж2) A - у2) ^2 cos (n arccos ж) cos (n arccos у) =
л=0
= (|-ж2) (\-у2) 5(arccosa; - arccosy) = 6(х - у).
Последнее равенство получается с помощью формулы

20 Глава 1. Линейные операторы
где хо — единственное решение уравнения f(x0) = 0 в рассматрива-
рассматриваемом интервале (см. задачу B4)). Ортонормированность проверяется
непосредственным вычислением интефалов. >
11. Полиномы Эрмита определены следующим образом:
Доказать, что функции
образуют ортонормированный базис в L2(—oo, +oo).
Решение. Заметим, что Н„(х) — полином n-й степени по х со стар-
старшим членом 2"х". Скалярное произведение
-оо
+00
Vir2"+mn\m.
—00
при т> п равно нулю, поскольку т-я производная от любого полинома
степени, меньшей гп, равна нулю. При тп = п, учитывая, что
HJx) = 2пх" = 2"n!,
dxn y ' dxn
и вычисляя интефал Пуассона, получаем Nnn = 1. Так как тип входят
симметрично, то
"тип = *mm
т. е. ортонормированность доказана.
При проверке полноты (необходимой для базиса) воспользуемся
следующим равенством:
которое можно получить прямым преобразованием Фурье левой части,
n-кратным интегрированием по частям и взятием оставшегося гауссова

1.6. Примеры 21
интеграла. Ряд
00 .
* : -?= ехр
/ ~? 2"n! dx" C dyn С
4 -^ (ip)" d" _„г
-и* "=0
суммируется как ряд Тейлора:
Таким образом,
+оо
— expl -•—
.2_„2 +0°
-00
что и требовалось доказать.
12. Показать, что оператор
л*е а — вещественное число, унитарен в L2(—оо, +оо).
Решение. А действует на функцию /(х) следующим образом:
2/(*) = /(* +а).
В этом можно убедиться, разлагая в выражении А }(х) экспоненту в ряд
и суммируя получившийся ряд Тейлора для /(ж). Таким образом,
+О0 +ОО
(Af,Ag)= J dxf(x + a)g(x + а) = j dy Г(у)д(у) = (/, д). >
—оо -оо
13. В Z/2@, l) действует оператор
V = {/@) = /@ = О, /€L2@,0}.
Найти его спектр и собственные функции при различных значениях G.

22 Глава 1. Линейные операторы
Решение. Собственные функции оператора -j-i, обращающиеся в О
в точке х — \, являются собственными и для И:
4m2ir2 2irm
Щт = р , ^m = sin——х, т=\,... .
Другая серия собственных функций не обращается в 0 при х = j
и удовлетворяет условию сшивки:
получающемуся из уравнения Н'ф = \ip интегрированием по малому
интервалу, включающему точку х — j. Если подставить
fn = sinknx, х < -, fn = sin к„A - х), х>-, А - fc2,
то условие сшивки дает уравнение на набор к„:
Вещественному А соответствуют как вещественные, так и чисто
мнимые fen. При к„ ? R существует бесконечное множество решений,
определяющих вторую серию собственных значений. Для исследования
чисто мнимых к„ сделаем подстановку
1. ,•,, w С III
Л-п — trt, Л С 1Л>
которая приводит к уравнению
cth / ^ ) = -^-.
Это уравнение имеет решение лишь при G < 0 и начиная лишь с не-
некоторого порогового значения \G\. Действительно, асимптотика левой
части при х -+ +0 равна д и при \G\ < \ функция cth (^) проходит
везде выше, чем ^: точек пересечения нет, то есть нет решений. Если
\G\ > j, то правая часть уравнения при малых н больше, чем левая часть,
а при больших я наоборот. Значит, имеется одна точка пересечения и,
следовательно, одно отрицательное собственное значение А оператора Н.
Заметим, что при G < 0, \G\ > j минимальное вещественное значе-
значение fc| больше, чем Ц- (нет пересечения гиперболы с первой котангенсо-
идой), поэтому соответствующая ему $|(ж) имеет нули на интервале @,0-
По осцилляционной теореме*' чр\ не есть основное состояние, и А| = fc2
не является наименьшим собственным значением. Основное состояние
описывает решение с отрицательным А. >
''См.. например. |ЛЛ74. §2I|.

1.7. Задачи
23
1.7. Задачи
14. Пусть А{,..., Ак, — квадратные матрицы одинакового размера.
Доказать, что
1т(А{ • А7 ¦... • Аь) = 1г(Дг " • • ¦ ' Af А\).
15. Пусть собственные значения матрицы А размера п х п равны
^h ^2> .-. г ^ii)
и / — единичная матрица. Доказать, что
det(J + А) = A + А,) • A + А2) •... • A + А„).
16. Вычислить характеристический многочлен и собственные значе-
значения матрицы
17. Пусть
(cos а sin а \
- sin в cos а J '
'р 1 0 ... О'
_ | 0 р 1 ... О
A.15)
,0 0 0
клетка Жордана порядка п. Показать, что для всех натуральных тп
имеет место формула
Ат = | 0 0 рт ... (%-3рт-п+
,0 0 0 ... р™
тс биномиальные коэффициенты С*,, к ^ т определяются формулой
т(т- 1)... (т- к+ 1)
С* =
jfc!
и при к > т, Сад = 0.
18. Пусть /(А) = оо + а|А + ... +о*А* — некоторый многочлен от А.
Доказать, что если А — жорданова клетка A.15) порядка п, то
f(A) =
(f(p) vf'(p) У"(р) .- j^yf{"
о Пр) hf'(p) ¦¦¦ j^J{n
0
\ о
f(p)

24 Глава 1. Линейные операторы
19. Пусть /(А) = а0 + 0|А + ... + ат\т + ... — формальный сте-
степенной ряд относительно переменной А. Показать, что, для того чтобы
степенной ряд от матрицы А сходился, необходимо и достаточно, чтобы
каждое собственное значение pi матрицы А либо находилось внутри
круга сходимости соответствующего степенного ряда /(А), либо лежало
на границе круга сходимости. Если pt лежит на границе круга схо-
сходимости, то требуется сходимость ряда, полученного (п, - 1)-кратным
дифференцированием ряда /(А), где щ — порядок жордановой клетки,
отвечающей значению р,-.
20. Найти
/ i ™.\
\х\ < 1.
¦»(-)•
21. Доказать равенства:
/ dpexp(ipx) = 6(x).
23. Доказать, что для любой гладкой функции f(x) имеет место
d6(x -a) d6(x —а) к, \ <V(x)
24. Доказать, что если /'(а„) ф О, где {о„} — множество нулей
функции /(ж); /(а„) = 0, то

1.7. Задачи 25
25. Доказать, что двумерную tf-функцию можно записать в полярных
координатах на плоскости следующим образом:
Здесь (г, ф), (г', ф') — полярные координаты точек г, г' соответственно.
26. Доказать, что в трехмерном случае
27. Проверить, образуют ли базис гильбертова пространства следу-
следующие последовательности функций:
(а) в пространстве Ь2@, тг) имеется ортонормированная последова-
последовательность функций
/о(я)=А/-, /„(х)= W-cos(nx), n=l,...,oo;
v тг v n
(б) в пространстве ?2@,2л-) имеется ортонормированная последова-
последовательность функций
у -
fn(x) = у — sin(nx), n=l,...,oo.
28. Найти по оператору L сопряженный оператор L', а также:
(а) определить, каким ограничениям должны удовлетворять функ-
функции р, <7, г и коэффициенты а, р в краевой задаче с условиями типа
III 1урма:
Ly = р(х)у" + q(x)y + r(x)y, x ? [0, 1 ],
a0y@) + /W@) = 0, a,j/(l) + /3,y'(l) = 0,
•побы оператор L был самосопряжен;
(б) показать, что если граничные условия на замкнутой поверхно-
i in .S' имеют вид
ди
u\s — 0 или
дп
| 1С п — нормаль к поверхности, то оператор Лапласа L = Д самосопря-
(в) выяснить, каким ограничениям должны удовлетворять а;у, Ь<, с
оператора
краевой задаче u|s = 0, чтобы оператор L был самосопряжен.

26 Глава I. Линейные операторы
29. При каких ограничениях на коэффициенты оператор Штурма—
Лиувилля
с линейно независимыми краевыми условиями
а„у(а) + ^у'(о) = ЪУ(Ь) + 6?у'(ь)> /* = 1 > 2,
является самосопряженным на отрезке х € [о, Ь]?
30. Является ли эрмитовым оператор импульса р = — ^ на отрезке
ж 6 [0,2тг] с граничными условиями:
(а) и@) = иBтг) = 0;
(б) и@) = иBтг)?
31. Показать, что для унитарности достаточно сохранения нормы:
если для любого у: (Uy, Uy) = (j/, у), то U унитарен.
32. Показать, что унитарные операторы образуют группу, т. е. произ-
произведение унитарных операторов является унитарным оператором. Имеется
ли аналогичное свойство для эрмитовых операторов?
33. Показать явно, что оператор
унитарен в L2(K) при о, b € R.
34. Доказать равенство
35. Показать явно, что оператор
U = еХр Г 4?)
унитарен в 1<2(К) при а € К.
1.8. Ответы
14. Указание: Использовать определение следа матриц.
15. Указание: Собственные значения матрицы I + А равны A + Aj)
t= i,...,n.
16. A2-2Acosa+ 1.
17. Указание: Воспользоваться методом математической индукции.

1.8. Ответы 27
18. Указание: Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
19. Указание: Достаточно доказать теорему для жордановой клетки, так
как f(TAT~*) = Tf(A)T~K Для этого воспользуемся результатом
задачи 17.
20. Указание: Вычислить сначала резольвенту R\
1
( «"А -х \
А (А-О2
и воспользоваться обобщением формулу Коши для матриц. В ре-
результате приходим к ответу
1 /in A-х2)
2\ |„]±§ ln(l-x2)
21. Указание: Использовать определение б-функции.
22. Указание: Рассмотреть интеграл в левой части как предел при а —> +0
абсолютно сходящегося интеграла
00
lim — I dp exp (ipx - a\p\) = 6(x).
a—+0 1Ж J
23. Указание: Использовать определение производной й-функции.
24. Указание: Использовать определение б-функции.
25. Указание: Рассмотреть интеграл / dr от обеих частей равенства
в полярных координатах.
26. Указание: Записать лапласиан в сферических координатах и взять
интеграл / dr от обеих частей равенства.
27. (а) Указание: Сумму
ос
2_] cos (rax) cos (rat/)
n=l
надо вычислять как предел при а —> +0 абсолютно сходящегося ряда
то
2_] exp (—an) cos (nx) cos (ny).
Образует.
(б) Не образует. Базис образует полный набор
\J-sin(nx), W-cos(nz)>.
I V 7Г V 7Г I
Разложение по этому базису — ряд Фурье данной функции.

28 Глава I. Линейные операторы
28. (в) ау = а,-,-, * = ^.
29. q(a) G,«2 - 72«|) = #) («iA - «2)9,) .
В частности, получаются краевые задачи I, II, III рода и периодиче-
периодическая краевая задача:
1° у(а) = у(Ь) = О,
2°у'(а) = у'(Ь) = 0,
3° линейная комбинация 1° и 2°,
4° у(а) = у(Ь), у'(а) = з/'(Ь), q(a) - q(b).
30. (а) Нет.
(б) Да.
31. Указание: Для любых и и v по условию сохраняется норма линейной
комбинации Хи + цг, где А и /i — произвольные комплексные числа
(см. задачу 1).
33. Указание: Подействовать оператором на произвольную функцию
/(ж), проверить сохранение нормы, и воспользоваться результатом
предыдущей задачи.
34. Указание: Рассмотреть действие левой части на произвольную функ-
функцию /(х).
35. Указание: Доказать равенство A7/, Uf) = (/, /), используя предста-
представление функции /(х) в виде интеграла Фурье.

Глава 2
Метод характеристик
2.1. Однородные и неоднородные линейные уравнения
в частных производных
Уравнение
ди ди ди ди ,
0 B
тс вектор а = (в|,...,в„) и неизвестная функция и(х) зависят толь-
только от п переменных х = (х\,... ,хп), называется однородным линейным
у/нтнением в частных производных первого порядка. Введем параметр t, за-
записи м ость от которого функций Xj(t) задается системой п обыкновенных
шфференциальных уравнений первого порядка:
^ =«.,•(*), j=\,2,...,n. B.2)
I.ikiih система называется уравнениями характеристик. Любой первый
ишсграл системы B.2), т.е. функция F(x), для которой
dF
°
¦I шкже произвольная функция g(Fu...,Fk) от первых интефалов си-
. 1гмы обыкновенных дифференциальных уравнений B.2) является ре-
решением уравнения в частных производных B.1). Действительно, прямая
подстановка и = g в B.1) приводит к цепочке равенств
дм dg dFj dxi dg dFj dFj 8g _
a~dx = ai Щ ~dx~ ~ It щ ~dx~ ~ ~dT Щ ~' °'
i ic но повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
Автономная система B.2) имеет п- 1 первый интеграл, не зависящий
щ I. Решение
u(x) = g(Fl(x),...,Fn.t(x)) B.3)
» и иле произвольной функции от всех первых интегралов называется об-
общим решением (общим интегралом) уравнения B.1). Здесь функция д пред-
предпиши астся дважды непрерывно дифференцируемой. (Ниже мы для крат-
кк-1и не будем уточнять требования гладкости встречающихся функций.)

30
Глава 2. Метод характеристик
Уравнение B.1) имеет простую геометрическую интерпретацию.
Считая коэффициенты а(х) компонентами вектора в n-мерном простран-
пространстве, уравнение B.1) означает равенство нулю производной функции и
вдоль направления вектора а. Таким образом, решение уравнения мето-
методом характеристик сводится к восстановлению интегральных кривых Г
по касательным к ним векторам а, заданным в каждой точке х. Вдоль та-
таких кривых решение и(х) постоянно. Если перейти в окрестности точки
неособым преобразованием* к новой системе координат
где г — параметр вдоль интегральной кривой (характеристики), то
уравнение в этой системе приобретает вид -^ = 0, а общим решением
будет произвольная функция п — 1 координат F\,F2,...,Fn-i — первых
интегралов уравнений характеристик B.2).
Пример: Найдем характеристики однородного уравнения
ди ди
Ь и— = 0.
дх уду
Уравнения характеристик а; = I, у = у имеют решение (x(t) = t + C\,
y(t) = Сге') и один первый интеграл
F(x, у) — уе~х = const,
поэтому и(х, у) = g(ye~z), 15
где g — произвольная фун-
функция, есть общее решение. На
рис. 2.1 изображены характери-
характеристики — линии уровня фун-
функции д. Стрелками обозначены
направления касательных век-
векторов о = A,г/) к интеграль-
интегральным кривым. Сами интеграль-
интегральные кривые у = const • ех пока-
показаны сплошными линиями. Ре- Рис. 2.1. Интегральные кривые и касатель-
шение однородного линейного ные векторы к ним для уравнения у = у
уравнения постоянно вдоль характеристик.
Задача Коши ставится к уравнению B.1) следующим образом: требу-
требуется найти решение и(х) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
0
где S — некоторая гиперповерхность (размерности п — 1), f(xo) — за-
заданная функция «начальных» переменных zq. Задача Коши однозначно
* Особой точкой преобразования называется точка, в которой обращается в нуль якобиан
,.T2 Т„)

2.2. Квазилинейные уравнения в частных производных 31
\у.\ (решима по крайней мере в некоторой окрестности начальной гиперпо-
нсрхности 5, если S не касается характеристик. Решение уравнений для
характеристик B.2) с начальными условиями B.4) х = х(х$, t) предста-
мляет собой замену переменных. В этом смысле метод характеристик есть
иг что иное, как применение вполне определенной замены переменных.
В том случае, когда удается получить общее решение B.3), зада-
задачу Коши можно также решить, находя функцию g(F) из начального
условия B.4).
Неоднородное линейное уравнение
me b(x) — заданная функция, имеет, как обычно для линейных урав-
уравнений, решение в виде суммы общего решения B.3) однородного урав-
уравнения B.1) и частного решения неоднородного уравнения B.5). Чтобы
иайги последнее, удобнее перейти на характеристики x(t), тогда левая
¦ыегь B.5) перепишется в виде полной производной
ди ,ди du . .
а— = х— = — = b(x(t)).
дх дх dt у к "
1ничит, функция Ь (x(t)) есть производная по «времени» t при движении
илоль характеристики, откуда получаем искомое частное решение
«ink = / Ь(х(т)) dr.
и
II отличие от решения однородного уравнения, это решение уже не по-
i шин но вдоль характеристики Г.
2.2. Квазилинейные уравнения в частных производных
F-сли коэффициенты а и Ь уравнения B.5) зависят не только от ко-
координат х, но и от искомой функции и(х): а = а(х,и), Ь = Ь(х,и),
id уравнение называется квазилинейным. К квазилинейному уравнению
ыкже применим метод характеристик. Однако его решение уже не есть
i умма решений однородного и неоднородного уравнений. Единственная
модификация метода характеристик для квазилинейного уравнения —
расширение пространства, в котором ищутся интегральные кривые Г.
Кроме п координат Xi, i = 1,..., п введем n + 1-ю координату и. В рас-
расширенном пространстве вдоль характеристик х = а(х,и) уравнение B.5)
i молится к обыкновенному. В результате получаем систему обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка на функции Х{, и
oi параметра t:
Г х{ = (ц(х, и), (. ,v
1 & = Ь(х, и). W

32
Глава 2. Метод характеристик
Обшее решение и квазилинейного уравнения дается неявно уравнением
g(F,,F2,...,Fn)=0,
где g — произвольная функция п первых интегралов Ft уравнений B.6).
Пример: Найдем решение уравнения Хопфа
ди ди
0
описывающего одномерное течение облака невзаимодействующих пы-
пылинок (и имеем смысл скорости пыли). Уравнение для характеристики
имеет вид
х = и,
а уравнение на характеристике
с начальными условиями
х|(=о = Хо, и1«=о
Отсюда находим, что функция х = uo(xg)t+Xo задает неявно зависимость
Жо = Хо(х, t), при подстановки которой в и = щ(х0) дает искомое
решение задачи Коши для уравнения Хопфа. В неявном виде
и = щ(х - ut).
B.7)
Пусть при t = 0 и(х, 0) = t«o(i - th ж). Решение записывается в неявном
виде: u = «o[l - th(x - ut)]. Отсюда частная производная решения по ж
равна:
-щ
и* =
ch2 { -
u(j-.r)
Рис. 2.2. «Опрокидывание» решения
уравнения Хопфа (tj > Ь > tt)
Видно, что при t < t* = jj реше-
решение однозначно. При t —» t* про-
производная uz стремится к бесконеч-
бесконечности при ? = z-itf = 0 — про-
происходит опрокидывание волны. Ре-
Решение становится неоднозначным
при t > Г. Причина опрокиды-
опрокидывания состоит в том, что быстрые
пылинки догоняют медленные, что
приводит к укручению профиля
волны. Плотность пылинок п(х, t),
определяемая из уравнения непре-
непрерывности щ + Jj(n«) = 0, может

2.3. Системы уравнений в частных производных 33
быть явно найдена через начальную плотность и якобиан преобразова-
преобразования х — x(xq, t):
В момент времени t = t* плотность обращается в бесконечность в точке
опрокидывания ? = 0.
Появление бесконечной производной в профиле скорости, а также
обращение плотности в точке опрокидывания в бесконечность означает,
что в окрестности t = t* физическая модель — уравнение Хопфа —
теряет свою применимость.
2.3. Системы уравнений в частных производных
Метод характеристик в некоторых случаях можно обобщить на си-
системы из т уравнений на т функций щ. Если переменных всего две, х
и t, то система линейных уравнений имеет вид
Аи, + Вих = /, B.8)
где А(х, t), B(x,t) — матрицы порядка то, и(х, t) — вектор-столбец
неизвестных функций, a f(x, t) — вектор-столбец заданных правых
частей размерности т. Если и — решение системы, то приращение
функции и при смешении на бесконечно малый вектор (dt, dx) составляет
du = utdt + uzdx. B.9)
Зная дифференциал du, мы можем найти производные щ и их из сис-
системы 2т линейных уравнений B.8), B.9). Однако разрешить систему
при произвольной правой части нельзя, если ее определитель обращается
в нуль:
А В
Edt Edx
= 0, B.10)
где Е — единичная матрица порядка т. Действительные решения x(t)
обыкновенного дифференциального уравнения B.10) называются харак-
характеристиками системы B.8).
Уравнение B.10) представляет собой полином степени m относи-
относительно производных ^|. Если m = 2, а полином имеет два действительных
корня, то система B.8) называется системой гиперболического типа. Если
же действительных решений нет, система B.8) относится к эллиптичес-
эллиптическому типу. Промежуточный случай, в котором B.8) имеет вырожденный
корень, относится к параболическому типу.
Для гиперболических систем с двумя переменными (х, t) можно
использовать метод характеристик. Решение системы B.8), B.9) суще-
существует на характеристиках, только если ранг матрицы системы равен

34 Глава 2. Метод характеристик
рангу расширенной матрицы
Bdx
)=rank(/<tt Edx | I)"
Это равенство называется соотношениями на характеристиках. Оно долж-
должно выполнятся при движении вдоль характеристик. Формулы B.10), B.11)
могут быть применимы не только к линейным, но и квазилинейным ги-
гиперболическим системам.
Пример: Уравнения движения одномерного баротропного газа
др д , . dv dv с2 dp
B12)
где с = */^ — скорость звука, р, pnv — давление, плотность и скорость
газа. Для этой квазилинейной однородной системы
-С), -о?). -(•,:)¦
Формула B,10) позволяет найти уравнения характеристик
x = v±c, B.13)
а B.11) — соотношения dv ± ^ = 0. Интефалы соотношений на харак-
характеристиках, в данном примере
J±=v±f^, B.14)
называются инвариантами Римана. На инварианты J± из B.12) следуют
уравнения
8J+ . ч&7+ „ dJ. , ч&7_ „
¦*+(( + ()?ц Ж + (у~с)-эх-=0-
Нуль в правой части означает сохранение инвариантов Римана вдоль
характеристик. Найти общее решение этой системы не удается, посколь-
поскольку v и с выражаются как через J+, так и через J_. Однако в частном
случае, когда один из инвариантов (например, J_) не зависит от ко-
координаты (например, в силу начальных условий), тогда он не зависит
и от времени в силу второго уравнения. Остается одно квазилиней-
квазилинейное уравнение для J+, решение которого можно найти. Такое решение
называется простой волной Римана.
Понятие характеристик можно обобщить и на некоторые системы
линейных уравнений в частных производных с числом переменных, боль-
большим двух. Характеристики таких систем суть поверхности или гиперпо-
гиперповерхности, такие, что частные производные от решения в направлениях,

2.4. Примеры 35
ортогональных этим поверхностям, не могут быть выражены через на-
начальные данные Кош и на них, а значит, не может быть найдено и само
решение.
Рассмотрим систему m уравнений на функции от п + 1 переменной:
Auf?B{uXi+... +В„иХя = /, «= : 1, /=1 : I, B.I5)
где А, В* — матрицы порядка т. Пусть краевые условия задаются
на гиперповерхности ф(Ь,Х\,... ,хп) — О в п+ 1-мерном пространстве.
Введем в пространстве (t,xi,...,xn) новые координаты. В качестве
одной координаты возьмем функцию ф а остальные at\(t,x\,..., xn),...,
an(t, х\,..., х„) ограничены только условием неравенства нулю якобиана
преобразования:
Р(ф,аи...,ап)
D(t,xu...,xn)
Система B.15) запишется в новых переменных в виде
ф J2 ВФ ) /
B16)
где точками обозначены слагаемые, не содержащие щ. Систему B.16)
нельзя разрешить относительно щ, если обращается в нуль определитель
\Аф1+В1фХ1+... +В„фх,\=0. B.17)
Характеристики для B.15) определяются как поверхности уровня
решения нелинейного уравнения в частных производных B.17). Вектор
градиента этой функции (ф^ фж,,..., фХч), ортогональный характеристи-
характеристическим поверхностям, называется характеристической нормалью.
Детальное изложение теории линейных и квазилинейных уравнений
в частных производных можно найти в книгах [Арн97, Арн84, Арн78,
Три57, Пет61, Кур64, КГ51].
2.4. Примеры
36. Найти и изобразить на плоскости (х, у) характеристики следую-
следующих однородных уравнений:
ди 2ди
^ a;-»V0:
ди ди п
(б) 0

36
[лава 2. Метод характеристик
ди ди
Найти общие решения и проверить их прямой подстановкой.
Решение, (а) Введем параметр t и выпишем уравнения характери-
характеристик:
dx cfy _ _ 2
dt ~ ' dt~ У ¦
Их решение
x(t)=t-tu y(t) =
1
t-h
задает параметрически семейство характеристик на плоскости (х, у). Они
изображены на рис. 2.3. Уравнения характеристик имеют один первый
интеграл
Fix, у) = х = const.
У
Поэтому и(х, у) = д(х — ?), где д — произвольная функция, есть общее
решение. Действительно, вычисляя первые производные
ди(х, у)
, У)
дх *' ду у2"'
видим, что уравнение превращается в тождество при любой функции д.
-10 -5
Рис. 2.3. Семейство характеристик Рис. 2.4. Семейство характеристик
в задаче 36 (а) ( — const = -5; в задаче 36 (б) ( — const = 0;
() (
- const = 0; — const = 5)
(
- const = -I)
Решение, (б) Решение уравнений характеристик

2.4. Примеры
37
задает параметрически семейство характеристик на плоскости (х, у). Они
изображены на рис. 2.4. Общее решение имеет вид
Ф,у)=д(ху).
Решение, (в) Введем параметр t и выпишем
уравнения характеристик:
dx
dy
Их решение
x(t) = A sin (t-tt), y(t) - A cos (t-tf)
задает параметрически семейство характери-
характеристик на плоскости (ж, у) (окружности), которые
изображены на рис. 2.5. Уравнения характери-
характеристик имеют один первый интеграл
F(x, у) - х2 + у2 = const,
поэтому и(х, у) = д(х2 + у2), где д — произвольная функция, есть общее
решение. *
37. Решить задачу Коши
— = у—( «(О, у) = cos у.
Решение. Уравнения характеристик i = 1, у — -у имеют решение
(x(t) = t-tt, y(t) = ехр(-t + *г)) и один первый интеграл
F(x, у) = уех — const.
Поэтому
где g — произвольная функция, есть общее решение. Прямая х — О,
на которой заданы граничные условия, не касается характеристик (у ~
ехр (-х+?|)). Поэтому, подставляя общее решение в граничные условия,
найдем частный вид функции g для задачи Коши:
»@, »)=$(») = cos (у).
Откуда и(х, у) = cos (у ехр (х)). >
38. Решить задачу Коши для уравнения 36 (в) при иA,у) — у2.
Решение. Прямая х = \, на которой заданы граничные условия,
касается в точке A,0) характеристики, задаваемой уравнением х2 +
у2 = 1 (см. решение задачи 36 (в) и рис. 2.5). То есть, решения задачи
Коши может не существовать. Однако, с нашими граничными условиями

38 Глава 2. Метод характеристик
решение задачи Коши существует. В этом нетрудно убедиться, подставив
общее решение задачи 36 (в) в граничные условия.
«(I,у) = д(\ + у2) = у2, откуда g(z) = z-l.
В результате и(х, у) = д(х2 + у2) = х2 + у2 — 1. Это решение определено
и единственно вне единичного круга х2 + у2 > I. Внутри круга решением
задачи является произвольная дифференцируемая функция переменной
? = х2 +у2, равная нулю на окружности единичного радиуса.
) Замечание. Решение задачи вне круга нашлось благодаря симметрии гра-
граничных условий относительно преобразования у —> -у. Так, задача Коши
при и(\,у) = у уже не имеет гладкого решения на всей плоскости. >
39. Показать, что уравнения характеристик бесстолкновительного
кинетического уравнения (уравнения Лиувилля)
dt дг
для функции распределения заряженных частиц f = f(p, r, t) в фазовом
пространстве совпадают с уравнениями движения частиц в электрическом
и магнитном полях.
Решение. Считая t параметром, получаем уравнения характеристик
которые совпадают с уравнениями движения частиц в скрещенных
полях. >
40. Показать, что для уравнения Лиувилля
где Н — функция Гамильтона, а { , } — скобки Пуассона, уравнениями
характеристик являются уравнения Гамильтона.
Решение. Вспоминая определение скобок Пуассона, перепишем урав-
уравнение Лиувилля в виде
df дН df дН df _
dt dp дг дг др~
Поэтому уравнения характеристик
ЭН дН
W р
совпадают с уравнениями Гамильтона.
г ~ дР' р дг

2.4. Примеры 39
41. Решить задачу Коши для неоднородного уравнения
ди ди ,„ .
7Г - У-г- = У. «(О. У) = sin у.
е/ж ay
Решение. Общее решение однородного уравнения получено в зада-
задаче 37: и(х, у) = д(уех). Частное решение неоднородного уравнения
du dx dy
~ш=u*~dt+ щ~т ~Пх ~yUv=у^=ехр^~*+*2^
имеет вид
и = / dr у(т) = / &т ехр (-г +12) = - ехр (-< + «2) + ci = с, - у,
где С| постоянно вдоль характеристик. Полное решение является их сум-
суммой: и(х, у) = д(у ехр (х)) — у. (Постоянная с\ включена в функцию д.)
Подставляя его в граничные условия, находим
«(О, у) = д(у) - У = sin (у), откуда g(z) = sin B) + z,
и «(ж, у) = sin (у ехр (ж)) + у ехр (ж) - у. >
42. Найти общее решение уравнения
ди ди - 2 1\ #м
и решить задачу Коши при «(ж, у, 2)|12+у2=, = 1 — z в области х2 + у2 > 1,
Решение. В силу симметрии задачи, преобразуем уравнение в ци-
цилиндрические координаты р, (р, z:
ди „ 2ди Л
Отсутствие производной по <р означает, что коэффициент перед ней
равен нулю. Уравнения характеристик р = р, ф = 0, z = 2p2 реша-
решаются (<р = (ра, р = ра ехр (t), z(t) = p2 + Zo) и имеют два интеграла
движения: Fi = <р = const и Fi = р2 — z = const. Характеристиками
являются полупараболы (пересечение параболоидов вращения F2 = const
и полуплоскостей F\ = const). Значит,
где g — произвольная функция двух аргументов, есть общее решение.
Цилиндр (р2 = 1), на котором заданы граничные условия, не касается
характеристик. Подставляя общее решение в граничные условия, находим
конкретный вид функции д:
u(\,(p,z)=g(ip,l-z)=l-z, откуда g{FuF2) = F2
и «(ж, у, г) = х2 + у2 - z при х1 + у2 > 1.

40 Глава 2. Метод характеристик
Замечание. Общее решение может быть продолжено до всех точек, кроме
точки р = 0, где уравнение вырождается. >
43. Для уравнения Хопфа
ди ди
0
(а) найти момент «опрокидывания волны», после которого нарушаются
условия применимости уравнения Хопфа для описания одномерного движения
облака пылинок, если и(х, 0) = j — arctgx;
(б) найти момент «опрокидывания волны» при и(ж,0) = -4- /df/e"'.
X
. Решение, (а) Согласно B.7) общее решение уравнения Хопфа имеет
вид и(х, t) = g(?), ? = х - и(х, t)t. Подставляя его в граничные условия,
получаем решение в неявном виде
и(х, 0) = д(х) = — - arctg ж,
7Г
и(х, t) = </(?) = - - arctg(a: - tu(x, t)).
Можно найти его частную производную по х:
1 + (Ж - t«J 1 - t + (X - tUJ
Видно, что их < оо для всех х при ( < С = I и решение однозначно.
При t —> t* производная их стремится к бесконечности в точке х* =
«(?*,<*)<* = j, и происходит опрокидывание — формирование ударной
волны.
Решение, (б) Общее решение уравнения Хопфа имеет вид B.7):
и(х, t) = </(?), ^ = х — и(х, t)t. Подставляя его в граничные условия,
получаем решение в неявном виде
X 00
. , , , 1 Г _„2 , ч >!/¦-„'
и(х, 0) = р(х) = —= I т\ е , и(х, t) = g(?) = —= j at) e ' .
Можно найти его частную производную по х:
е-? . . -1
B.18)
Видно, что |«х| < с» и решение однозначно при t < t* = у/п. При t —»t*
производная их стремится к бесконечности и происходит опрокидывание
при С = 0. Откуда и* = 5(Г) = j. я* = и*Г = 4- >

2.4. Примеры 41
44. Найти решение уравнений одномерных колебаний холодного элек-
электронного газа относительно однородного неподвижного ионного фона плот-
плотности щ. При каких начальных значениях амлитуды скорости электронов Vo
происходит опрокидывание? Начальное распределение скорости и и плотно-
плотности п электронов имеет вид
и(х, 0) = Vo cos kx, п(ж,0)=п0 (k = const). B.19)
Одномерные колебания холодного электронного газа описываются уравнением
непрерывности для плотности электронов п(х, t),
щ + (пи)х = 0; B.20)
уравнением Эйлера для их скорости и,
щ + иих = ~—Е, B.21)
т
где е, т — заряд и масса электрона соответственно, Е — электрическое
поле, и уравнением Пуассона,
— = 4тге(п0 - п). B.22)
Решение. Выражая п из уравнения B.22), подставляя его в B.20) и
интегрируя по х от —оо до х получим:
Et + иЕх = 4жп0и. B.23)
Постоянная интегрирования равна нулю, поскольку на бесконечности
электроны покоятся и поле равно нулю. Для решения квазилинейной
системы B.23), B.21) воспользуемся методом характеристик.
Имеется двукратно вырожденное семейство характеристик, задавае-
задаваемых уравнением
х = и(х, t)
с начальным условиям ж|<=о = Хо'К Соотношения на характеристиках
запишутся в виде
е
и( = Е, Et = Ажщи.
т
Подчеркнем, что производные по времени вычисляются при постоянной
координате xq. Дифференцируя первое уравнение по t и выражая Е\
из второго, сведем его к уравнению колебаний с плазменной частотой
Подставляя начальные данные, получим:
и = Vo cos (u>pt) cos
*' В гидродинамике замену переменных х, t к х0, t' — t называют переходом от эйлеро-
вого описания к лагранжевому.

42 Глава 2. Метод характеристик
Интегрируя это выражение, найдем текущую координату ж электрона,
имевшего начальную координату х0:
х = ж0 Н sin (wp<) cos (Лж0). B.24)
шр
При амплитуде Vo > У„, где У„. = ^, всегда найдется такой момент
времени t = tt, когда производная ^ обратится в нуль в некоторой
точке ж = ж», а значит произойдет опрокидывание волны. >
45. Найти общие решения квазилинейных уравнений:
(а) щ + иих = -ж;
(б) и( + ииг = — р яри г > 0.
Решение, (а) Уравнения характеристик в расширенном пространстве
ж = и, и = -ж решаются (ж(<) = -4 sin (* — ф), u(t) = i4cos(< — ф)).
Видно, что амплитуда и фаза
А2=и2 + х2, ф = t- arctg (-},
постоянны вдоль характеристик. Поэтому решение неявно задается урав-
уравнением
д( и2 + ж2,<-ак^ (-) 1 =0,
где д(?, rj) — произвольная функция. Общее решение можно переписать
в ином виде (/(?) — произвольная функция)
t - arctg - = /(и2 + ж2), или и = х ctg(« - /(и2 + ж2)).
Решение, (б) Уравнения характеристик г = и, и = — р решаются
в расширенном пространстве (вспомним задачу классической механики
о свободном движении в сферических координатах с ненулевым момен-
моментом):
и2 - ~ = Е, «г = E(t - t0),
где Е и <о постоянны вдоль характеристик. Общее решение можно
выписать в неявном виде через произвольную функцию связи Е и to:
„з
46. Решить задачу Коши для уравнения щ + иих = 1 при ш(ж, 0) =
1 - th ж.

2.4. Примеры 43
Решение. Уравнения характеристик в расширенном пространстве
х = и, « = 1 имеют решение (u(t) = t + «о, x(t) = ^-p + Шо) ¦ Ве-
Величины
1 ,
х0 = х и = const, щ = и — t = const
постоянны вдоль характеристик. Уравнение д(и - t,u2 — 2х) = 0, где
#(?> V) — произвольная функция, неявно дает общее решение, которое
можно переписать в более удобном виде
u2(x,t) = 2x + f(u(x,t)-t),
где /(?) — произвольная функция. Подставляя граничные условия в ре-
решение, получаем уравнение на функцию /:
«(ж, 0) = yj2x + /(«) = 1 - th x,
откуда
/(и) = и2 - 2х = и2 - 2 arth A - и).
В результате решение задачи Коши получается неявным:
и2(х, t) = 2х + (и(х, t) - tJ - 2 arth (l - u(x, t)
Его можно переписать в более простом виде
м(ж, t) = 1 +1 - th ( x - tu(x, t) + — j .
47. Найти характеристики системы, соотношения на них и выписать
общее решение:
i ч [v.x + vx + uy- 3vy = 0,
\ «* + »i - Зи„ + «„ = 0.
{x-l)ut-{x+\)v, + ux=0,
(ж + 1)и( -(х- \)v, -vx = 0.
Решение, (а) Перепишем систему в матричном виде
где матрицы имеют вид
А
-(!!)¦
Матрица А вырождена, а матрица В — нет. Умножим систему слева
на В. Для этого умножим первое уравнение на 3 и прибавим ко вто-

44 Глава 2. Метод характеристик
рому, а также умножим второе уравнение на 3 и прибавим к первому.
Получившиеся уравнения поделим на —8:
Уравнения на характеристики определяются из B.10), которое перепишем
в виде
\Edx - Cdy\ = 0.
Откуда з| = А±, где А_ = 0, А+ = — 1 — собственные числа матри-
матрицы С. Значит, семейства характеристик задаются уравнениями х — с,
и х + у = С2- Так как матрица С симметрична, не зависит от пере-
переменных, и ее собственные числа различны, ее можно диагонализовать
С —> Т~*СТ, сделав подстановку
ОМО-Ч?
где Т — матрица составленная из собственных нормированных векторов
матрицы С, записанных в виде столбцов. В результате система принимает
канонический вид
/ Л = °-
\ 9х - 9У = 0.
Уравнения на функции / и g расцепляются. Откуда / = /(#), 9 = 9(Х+У)
есть общее решение, где /(ж), g(z) — произвольные функции. (Факти-
(Фактически мы получили, что / = const является соотношением на характери-
характеристике х = с\, a g = const на характеристике х + у = ei.) Выражая кип
через fag получаем
, У) = (^J (/(*) + 9(х + у)),
v(x,y)= (~У {-f(
Замечание. Этот способ — диагонализации — можно применять, даже
если матрица С зависит от переменных, главное, чтобы от переменных
не зависела диагонализуюшая матрица Т.
Решение, (б) Перепишем систему в матричном виде
О-?)-
Уравнения нехарактеристики определяются из B.10), которое перепишем
в виде
\Adx - Bdt\ = 0.

2,4. Примеры 45
Откуда ff = — j для одного и ^ = jz для другого семейства характери-
характеристик. Решая эти уравнения, получаем, что два семейства характеристик
задаются уравнениями 2х +1 = с\, ж2 — < = сг. Формула B.11) позволяет
найти соотношения на характеристиках. Подставляя в нее 2dx + dt = 0,
получаем, что dv + da = 0 вдоль характеристик 2а: +1 = с\. Значит,
v + и = /|Bж + t), где /| — произвольная функция. Аналогично вдоль
второго семейства характеристик х2 — t = c-i остается константой выра-
выражение и - v = /г(х2 -1), где /2 — другая произвольная функция. Общее
решение получается из соотношений на характеристиках:
48. Найти условие гиперболичности, характеристики и соотношения
на характеристиках системы
{«« + апх + bvx — О,
«1 + сих + dvx = О,
где а, Ь, с, d — константы.
Решение. Перепишем систему в матричном виде
Формула B.10) позволяет найти уравнения характеристик
\Edx - Adt\ = 0, x = A± = ~— ± - у (a - dI + 4bc.
Система является гиперболической, если подкоренное выражение больше
нуля:
D = (а - dJ + 4Ьс> 0.
Если D = 0, то система параболического типа и два семейства ха-
характеристик вырождаются в одно, если же D < 0, то система имеет
эллиптический тип и характеристик не существует. Соотношения на ха-
характеристиках в гиперболическом случае определяются формулой B.11).
Два из возможных представлений интегралов имеют вид
vb + u(a — Ат) = const или uc + v(d- Ат) = const. >
49. Найти инварианты Римана B.14) для политропного газа, у кото-
которого давление и плотность связаны степенной зависимостью pp~~t = const.

46 Глава 2. Метод характеристик
Решение. В политропном газе (рр~7 = const) скорость звука не за-
зависит от скорости среды
Вычисляя интеграл в выражении B.14), получаем для инвариантов Ри-
мана
J± = v ± (c(p) - со), 7 > 1, B.25)
7- 1
где cq — константа интегрирования, которую удобно положить равной
скорости звука при v = О, р = ро в покоящемся газе. >
50. Найти условия, при которых решение уравнений одномерной га-
газодинамики B.12) оказывается таким, что скорость v зависит от х, t
только в виде функции р: v(x,t) = v(p(x, t)). Такое решение называется
простой волной Римана.
Решение. Выражая в уравнениях B.12) частные производные от v
как производные от сложной функции, получим систему из двух диффе-
дифференциальных уравнений на одну функцию р:
dv\ 9p
B.26)
dp dt \ dp p / dx
Она имеет нетривиальные решения, если матрица из коэффициентов при
частных производных от р имеет нулевой определитель, что приводит
к условию
dp)
р2'
р2
Извлекая квадратный корень и интегрируя, видим, что должно выпол-
выполниться одно из равенств
v + I dp = const, v - I -^ dp = const.
J P J P
Таким образом, оказывается, что простая волна Римана возможна, только
если в начальный момент времени v(x, 0) и р(х, 0) согласованы так, что
один из инвариантов Римана имеет одинаковое значение для всех точек
течения. >
51. Пусть в газе задано начальное распределение плотности р(х, 0) =
R(x) и известно, что возникшее течение представляет собой простую волну
Римана с заданным значением инварианта 1+. Найти решение р(х, t).

2.4. Примеры
47
Решение. В случае простой волны Римана уравнения в системе B.26)
эквивалентны, и для описания течения можно выбрать любое из них.
Учитывая, что
преобразуем первое из них к виду
др
at'
Это квазилинейное уравнение решается методом характеристик. Его
решение получается неявным:
52. Справа от поршня при х > 0 на-
находится палитропный газ (рис. 2.6). Пор-
Поршень движется с ускорением а. Найти ско-
скорость газа v(x, t) до момента образования
ударной волны при о>0. „ _
Рис. 2.6. Поршень в трубке с га-
Решение. Пусть о > 0. В этом слу- зом
чае на плоскости х, t (рис. 2.7) газ находится в области, ограниченной
с одной стороны полуосью t = 0, х > 0, на которой граничные условия
имеют вид
Значит, вдоль характеристик, пересекающих эту границу, инварианты
Римана B.25) J± = 0. Уравнения характеристик B.13) в области, где оба
инварианта равны нулю, становятся тривиальными и интегрируются
х- = -c
х0,Ж| > 0.
Отсюда видно, что эта область ограничена прямой х = c^t, она обозначена
на рис. 2.7 цифрой I, а решение в ней имеет вид
v(x,t) = 0, p(x,t) = po.
Рис. 2.7. Семейство характеристик х =
с(р) + v (пунктир) для задачи о поли-
тропном газе перед равноускоренном
поршнем: -у = 3, о = 1, с0 = 1. I —
покоящийся газ; II — движущийся газ.
Слева область II ограничена положением
поршня x(t) — 2j-, а справа — фронтом
возмущения x(t) = Cgt (сплошные ли-
линии). Точка Г = 0,5^, I* = 0,5 — время
и координата опрокидывания волны

48 Глава 2. Метод характеристик
Характеристики ж_ пересекают прямую х = c^t и переносят инвариант
J-(x, t) = 0 с границы (t = 0) в область ж < cot. Значит, во всей области II
на рис. 2.7 выполняются соотношения
J_(s, t) = v(x, t) - — (c(p(x, t)) - со) = 0,
1 - 1
7 — 1
ciplx. tfj == Cq -+ v(x. tj.
2
Откуда
J^a;, t) = ¦«(x, t) + —^ (c(p(a;, t)) - со) = 2t»(a;, t),
ati=y удовлетворяет квазилинейному уравнению
— = -(v + c(p)) — = - ( со + ^—и(ж, t) I —,
общее решение которого имеет вид
о + ~- v(x, t)) t, B.27)
где / — произвольная функция.
С другой стороны газ ограничен поршнем х — \, граничные усло-
условия на котором имеют вид v(^-,t) = at, х = ^. Подставляя их в общее
решение B.27)
at2 ( 7+ 1 \ ( 7«\ v
/И) = -у - («о + -^у-о*J t, /(г) = - (со + П- J -,
получаем решение задачи Коши в области II
27 VV 27 / 7
где знак плюс перед корнем выбран в силу граничного условия v = at при
х = ^-. Распределение плотности р(а;, t) находится из уравнения J_ = 0.
Момент образования ударной волны можно найти, дифференцируя
полученное решение
dv , со аG+ 'К
> оо при v = 1 .
dx 7 27
Поскольку скорость газа в нашем случае положительна, a v* становится
больше нуля только при t > t* — 2с°^1\ то V есть момент образования

2.4. Примеры 49
ударной волны, при этом v* = 0. Из решения видно, что ударная волна
образуется в точке sr* = СцР, т. е. на фронте распространения возмущения.
При а < 0 характеристики на плоскости ж, t выглядят по другому.
Однако снова существует область невозмущенного газа, а в области,
где газ движется, применимы полученные формулы, в которых а надо
заменить на — \а\. Попробуйте сами нарисовать графики характеристик
и решение v(x) при фиксированном t. Покажите, что в момент времени
t* — \a\h-\) плотность газа вблизи поршня обращается в нуль, а при t > t*
газ отсутствует в области х < х* = 2ccYj~^— тр2^ справа от поршня. >
53. Найти общее решение системы уравнений
«,-«!= иг;,
vt + vx = -гм>.
Решение. Сделаем замену переменных ? = x + t, г) = х — t, в которых
система уравнений принимает вид
UV
Поскольку ич = V(, можно сделать подстановку и = f(, v = f4 и перейти
от системы двух уравнений первого порядка к одному уравнению второго
порядка:
, fnf(
Разделив это уравнение на Д и интефируя его по т}, получаем
где G(?) — произвольная функция. Интефируя это уравнение по ?,
получаем
2ехр Q/tt,
где Н(т)) — произвольная функция. Откуда
54. Найти характеристические нормали для систем с четырьмя пере-
переменными:

50
Глава 2. Метод характеристик
(а) уравнений Дирака
где I — единичная матрица,
'0 0 О Г
0 0 10
а| - I 0 1 О О
10 0 0;
'О 0 1
0 0 0-1
10 0 0
,0 -1 0 0,
(б) уравнений Максвелла
'0 0 0 -V
0 0 » 0
0 -* О О
О О О,
1 0 0 0>
0 10 0
0 0-10
,0 0 0-1
Г \дщ дЕъ дЕ2
с dt + ду dz
дН2 ЭЕХ
дНг дЕ2
дх
= 0,
дЩ dH2
J"bz~
= 0,
= о,
с dt ду
i дЕ2 ая,
~c~~dt ЬТ + ~дх~
\дЕ) дН2 дН\ _
~c~dt дх~ + ~ду~ ~ '
Решение, (а) Характеристические нормали if, — -g§- задаются фор-
формулой B.17)
- /0
с
<*\Фх + <*2фу
где / — единичная матрица, а
—
7*
с
Q
Q
7+L
с
= 0,
B.28)
/О 1\ (Q -i\ (

2.5. Задачи
51
— матрицы Паули. Пользуясь равенством A.13) из задачи 2, уравнение
B.28) можно упростить
2
Л2
= 0.
Поскольку Q2 = Т(ф1 + ф\ + ф\), получаем уравнение (^ - ф\-
Фу - Ф2г) = 0> решая которые, получаем, что характеристические нор-
нормали для уравнения Дирака в четырехмерном пространстве имеют вид
@(, фх, ф9, фг), где фг = ±с^ф\ + Ф1 + ф\-
Решение, (б) Перепишем систему уравнений Максвелла в матричном
виде
где
единичная матрица, а
0 0 0
Lx = | 0 О 1
0-10
О 1 О
/О 0 -1\ / 0 1 0\
L2=0 О О, L3=-l О О.
\1 О О/ V О О О/
Характеристические нормали ?,, = ¦$?- задаются формулой B.17):
iz. Пользуясь формулой A.13), перепишем этот
1 -
с
А2фу + А3фг
= о,
B.29)
где Q = L\ у
определитель в виде
= о.
Определитель получившейся матрицы третьего порядка равен (fy — ф1-
Ф\ - Ф\) $¦ = 0. Характеристические нормали определяются векторами
@, Фх, Фу, Фг) И (±С^]ф\+ф1+ф\, фх, фу, фг) .
2.5. Задачи
55. Для каких начальных условий и(х, 0) = /(ж) решение уравнения
Хопфа остается гладким, т.е. |uz| < оо при t > 0.

52 Глава 2. Метод характеристик
56. Найти общее решение уравнения:
57. Найти характеристики системы, соотношения на них и выписать
общее решение:
щ + vt - | («, + vx) - О,
ut-vt + t (ux - vx) = 0.
58. Описать растекание тонкого слоя идеальной жидкости после
поднятия заслонки. Процесс описывается следующей системой уравне-
уравнений:
dh д _ dv dv dh
здесь h — толщина слоя, v — горизонтально направленная скорость
жидкости, которая считается одинаковой по вертикальному сечению,
g — ускорение свободного падения. Начальная толщина /ц.
2.6. Ответы
55. При Ш > 0.
ах
56. u{x,t)=g(x-t)ex.
57. Уравнения на характеристики
dx _ dx _ х
Соотношения на них
d(u - v) = 0 и d(u + v) = 0.
Общее решение
где / и g — произвольные функции.

2.6. Ответы 53
(О, х < -2V5M;
(
"9 \
ч
v(x, t) =
[о,

Глава 3
Линейные уравнения
в частных производных
второго порядка
3.1. Канонический вид
Наиболее общее линейное уравнение в частных производных второго
порядка с двумя независимыми переменными имеет вид
аии„ + 2a\2Uxy + «22%» + Ь\их + Ь2иу + си + / = 0. C.1)
Здесь все коэффициенты зависят только от ж и у.
Обратимым преобразованием переменных уравнение может быть
упрощено. Тип уравнения и его канонический вид определяются знаком
дискриминанта
D = О|2 - в| 1«22-
Замена переменных, приводящая к каноническому виду, выполняется
с помощью решения уравнений на характеристики:
dx~ a,, ' ( '
dy = a!i-L___ C 3)
ax an
Уравнения C.2) и C.3) имеют в общем случае различающиеся интегралы
ф+(х, у) = const, ip-(x, у) = const. C.4)
При D > 0 уравнение C.1) называется гиперболическим. В новых
переменных
оно приводится к первому каноническому виду
щ,, + Ь|«{ + Ь2и,, + си + f = 0. C.5)
Обозначения коэффициентов в уравнении C.5) оставлены те же, что
и в уравнении C.1), хотя сами коэффициенты могут измениться после
замены переменных. Это замечание следует учитывать и далее. Для

3.1. Канонический вид 55
уравнений гиперболического типа принят еще и второй канонический
вид. Сделав в C.5) замену
получим
и„„ - ирр + Ь,иа + Ъ2ир + си + f =0. C.6)
При D = 0 уравнение называют параболическим. Уравнения C.2), C.3)
и их интегралы ф+ и 'ф- в этом случае совпадают. Замена
где tp — любая функция такая, что <р и 'ф функционально независимы,
приведет C.1) к каноническому виду параболического типа
+ Мч + си + / = 0.
При D < 0 уравнение относится к эллиптическому типу. Уравне-
Уравнения C.2) и C.3) в этом случае комплексно сопряжены, их интегралы i>+
и V- тоже. Заменой переменных
i = Re i>+(x, у), J/ = Im^+(x,j/)
уравнение приводится к каноническому виду эллиптического типа
с« + / = 0.
Для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно искать
решение в виде
и = F(C, v>.
Такая замена не испортит канонического вида, но при этом позволит
получить условия на функцию F, при которых уравнение на v не будет
содержать одну или обе производные и( и и,.
Если коэффициенты в уравнении постоянны, то, подставляя
р = еА<+#.ч
и подбирая А и ft, можно привести уравнения гиперболического, пара-
параболического и эллиптического типов соответственно к виду
f?, + IV + / = 0,
Щ + b2vn + / = 0,
Если коэффициенты -у и / уравнения гиперболического типа оказались
равными нулю
v& = 0,
то его общее решение на всей плоскости (?, т/) имеет вид

56 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
Здесь /| и /г — произвольные функции. Возвращаясь к исходным
переменным (ж, у) и функции и, получаем
Ф, У) = [ft U(x, У)) + f2(v(x, У))] F(x, у).
Частный вид функций f\ и f2 для задачи Кош и может быть определен
по начальным условиям, заданным на линии в плоскости (х, у).
3.2. Криволинейные системы координат
В ортогональной криволинейной системе координат в трехмерном
пространстве элемент длины может быть записан в виде
ds2 = h]dq] + h\dq\ + h]dq].
Величины
называются коэффициентами Ламе. Градиент, дивергенция и ротор выра-
выражаются в криволинейных координатах формулами
\ dip 1 dip \ du>
grad ip = e, — —- + e2 — —- + e3 — —-,
djva= |_ fd{h2h^) |
hhh \ 8
rota =
\ 8q\ dq2
If1)'
d d d
h2a2
Здесь в|, е2, е} — локальные орты заданной системы координат.
3.3. Разделение переменных
Метод разделения переменных состоит в том, что решение граничной
задачи для уравнения в частных производных ишется в виде произведения
функций, каждая из которых зависит только от одной координаты**.
В большом числе практически важных случаев это позволяет свести
задачу к поиску решений нескольких обыкновенных дифференциальных
уравнений.
'' В некоторых случаях решение ищут не в виде произведения. Например, в уравнении
Гамильтона—Якоб» переменные могут разделиться, если искать решение в виде суммы
функций от отдельных координат.

3.4. Простейшие уравнения, решаемые методом Фурье 57
Для конкретного уравнения переменные могут разделяться в одних
системах координат и не разделяться в других. Например, в стационарном
уравнении Шрёдингера
переменные разделяются в той системе координат, в которой потенци-
потенциал U может быть записан в виде
m=l
где hm — коэффициенты Ламе.
3.4. Простейшие уравнения, решаемые методом Фурье
Простейшее уравнение гиперболического типа (так называемое од-
одномерное волновое уравнение) имеет вид
«К - С2«хх = 0.
В частности, оно описывает плоские свободные незатухающие колеба-
колебания струны. Мы будем пользоваться этой наглядной интерпретацией.
Тогда и — отклонение струны от равновесного положения, с2 = | —
квадрат скорости волны, выраженный через натяжение струны Г и ее
линейную плотность р. Для этого уравнения мы будем использовать два
типа граничных условий по координате. Граничное условие и(а, t) = 0 мо-
моделирует конец струны, зажатый в точке а. Граничное условие их(а, t) = 0
моделирует конец струны, закрепленный на невесомом кольце, которое
без трения скользит по штанге, перпендикулярной равновесному поло-
положению струны. Начальное отклонение струны и ее начальная скорость
задаются условиями
и(х,0) = <р(х), щ(х,0) = ф(х).
Простейшее уравнение параболического типа (уравнение диффузии
или теплопроводности)
Щ = о2г»хх
описывает, например, распространение тепла вдоль однородного пря-
прямого стержня, теплоизолированного по всей длине и обменивающегося
теплом с окружающей средой только через его концы. В этом слу-
случае и соответствует отклонению температуры стержня от температуры
окружающей среды. Граничное условие и(а, t) = 0 означает совпадение
в точке а температуры стержня с температурой окружающей среды. Гра-
Граничное условие ux(a,t) = 0 моделирует конец стержня, на котором нет

58 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
теплообмена с окружающей средой. Начальное распределение темпера-
температуры задается условием «(ж, 0) = <р(х).
Простейшее уравнение эллиптического типа (двумерное уравнение
Лапласа)
Щх + и»» = 0
описывает электростатический потенциал в области или стационарное
распределение температуры. Мы будем рассматривать граничные задачи
двух видов: задачу Дирихле, когда на границе области задано значение и,
и задачу Неймана, когда на границе задано значение производной от и
по внутренней нормали. Физически задача Дирихле ставится, когда
на границе задан потенциал или температура, а задача Неймана, когда
задана нормальная границе компонента напряженности электрического
поля или плотность теплового потока.
Методы решения дифференциальных уравнений второго порядка,
основанные на приведении к каноническому виду, изложены, напри-
например, в [ТС72, Год71]. Использование криволинейных координат опи-
описано в [МФ60]. Разделение переменных и метод Фурье рассмотрены
[КГС62, Арс84, Сми81].
3.5. Примеры
59. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
(а) ихх + иху - 2иуу - Ъих - 15и„ + 27а; = 0;
(б) ихх + гиг,, + 5и,,„ - 32« = 0;
(в) ихх - 2uly + иуу + их + иу - и = 0.
Решение, (а) Уравнение везде имеет гиперболический тип, посколь-
поскольку D = | > 0. Имеется два семейства характеристик, задаваемых уравне-
уравнениями:
^=2 и ^
dx dx
Общие решения этих уравнений имеют вид
2/ = 2а; + ? и у=-х + г]
соответственно. Здесь ?, г) — произвольные постоянные. Выражая их
через х и у
? = у-2х, Т) = у + х,
видим, что они являются интегралами характеристических уравнений
и их можно использовать в качестве характеристических переменных.
Выражая производные от и по х и у через производные по ( и I)
получаем канонический вид
Щч + 4 + 2ич + Ш - >») = 0.

3.5. Примеры 59
Решение, (б) Уравнение всюду имеет эллиптический тип, поскольку
D = -4 < 0. Комплексное уравнение на характеристики
dy
/ = 1 + 2г
dx
имеет решение
0 = (l+2t)se + (?-i!j).
Выбирая действительную ? = у — х и мнимую т) = 2х части интеграла
в качестве новых переменных, получаем канонический вид
ик + ите - 8и = 0.
Решение, (в) Уравнение параболического типа. Имеется одно семей-
семейство характеристик, которые задаются уравнением
dx
Одна из новых переменных является его интегралом ? = х + у. В качестве
второй можно взять любую независимую функцию, например т] = х. При
таком выборе получится канонический вид
ищ + 2щ + и, - и = 0.
Напомним, что условие функциональной независимости состоит в нера-
неравенстве нулю якобиана перехода от переменных х, у к переменным ?, ц.
При ином выборе переменной т) канонический вид будет другим. >
60. Найти области гиперболичности, параболичности и эллиптично-
эллиптичности и привести в них к каноническому виду:
(а) Уравнение Трикоми ихх + уиуу = 0;
(б) хихх + 7хиху + (х - 1)и„„ = 0.
Решение, (а) В этом случае тип уравнения различен в разных обла-
областях плоскости. Вычисляя дискриминант и характеристики видим, что
уравнение параболическое на оси х. Гиперболическое при у < 0 и имеет
вид
^H
в координатах ? = х + 2^/^, ц = х - 2у/^у. Эллиптическое при у > 0
и имеет вид
1
иИ + ичп ~ ~uv = °
в координатах ? = х, щ = 2у/у.
Решение, (б) Уравнение гиперболическое при х > 0
И<ч + 2(?- )^Щ ~ич) = 0' ? = У~Х + 2^, V = У ~ х - 2%/ж,

60 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
эллиптическое при х < 0
UU + «чч мч = °> ? = У~Х1 4 = 2^-х,
параболическое при х = 0 и имеет канонический вид иуу = 0. >
61. Решить задачу Коши:
«II - 2иху - Ъчуу = 0, и(х, 0) = Зх2, иу(х, 0) = 0.
Решение. Уравнение имеет гиперболический тип и в переменных
? = у -х, Ti = y + 3x приводится к каноническому виду ui4 = 0. Его об-
общее решение имеет вид и = /(О+в(ч)> гДе fi9~ произвольные функции.
Чтобы определить их вид в частном случае, необходимо воспользоваться
граничными условиями, которые удобно переписать в переменные ?, г/.
В плоскости f, 7f граничные условия заданы на прямой т\ = -3$, получа-
получающейся из условия у = 0; х как функция ? на этой прямой выражается
формулой х = Q = ?. Отсюда получаем первое граничное условие
в виде
3«) = 3€2. C.7)
Второе граничное условие имеет вид
%U = /'@+S'(-3?) = 0, C.8)
где штрих означает производную по аргументу функции, а в скобках
стоит то его значение, при котором она вычисляется.
Дифференцируя условие C.7) по ?, имеем
/'(О - звЧ-зо = 6$.
Из уравнений C.7), C.8) получим
/'@ *
Из уравнения C.7) найдем
(-ч)=\ е.
Возвращаясь к переменной i\ = -3^, получаем
Искомое частное решение имеет вид
и(х, у) = - (у - жJ + - (у + ЗхJ = у2 + Зх2.

3.5. Примеры 61
62. Показать, что в сферических координатах оператор Лапласа
может быть записан в виде
где I — оператор момента импульса:
1 = -i [г х V), Р = -(г х Vj[r х VJ.
Решение. Запишем векторное произведение |r x V) в сферических
координатах, используя его представление в форме определителя:
[г xV]
er ee ev
г О О
did I
дг г дв г sin в д<р
Здесь
ет = (sin в cos tp, sin В sin tp, cos в),
e$ = (cos в cos ?>, cos в sin y>, - sin в), C.9)
e^ = (sin (p, cos v, 0)
— единичные взаимно-ортогональные векторы локального базиса, каса-
касательные линиям г, в, ip. Раскрывая определитель, имеем
' »w ,» ' »Л. ,,,о,
Здесь необходимо учесть, что дифференцирования левой скобки дей-
действуют и на единичные векторы er,ee,ev правой скобки. Из определе-
определений C.9) получаем
dev dev
-JL = о, —^ = cos ее, - sm 0er,
т дч> (зи)
det Be, {iU)
— =cosee,, -W = ~er.
Раскрывая выражение C.10) и учитывая формулы C.11), получаем, что
отличны от нуля только три слагаемых, дающих угловую часть оператора
Лапласа:
2 cosj> д 1 JP
2 - —
W + sin» дв
63. Разделить переменные в уравнении Шрёдингера, если потенциал
имеет вид

62 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
(а) в цилиндрических координатах
и = Яр) +
(б) в сферических координатах
Решение, (а) Отыскивая решение в виде
¦ф(р, <р, z) = R(p)<t>(<p)Z{z),
делим уравнение Шрёдингера на ф(р, <р, z) и преобразуем его к виду
1 д 8R , Д / 1 д2Ф д(<р)\
p^~ + f(p)) + IW + ~r) =
Ясно, что равенство возможно, только если С\ — постоянная величина.
Аналогично, разделяя переменные р и <р, получаем уравнения на Ф и R:
где С2 — тоже постоянная величина.
Решение, (б) Если искать решение в виде ф = Я(г)Р(в)Ф((р), то
на Д, РиФ получится система уравнений
l_d_ / 2dflN
It1 dr \ dr j
где с\, С2 — постоянные.
64. Разделить переменные в уравнении Шрёдингера для простран-
пространственного осциллятора с потенциалом вида
(а) в декартовых координатах;
(б) в сферических координатах.

3.5. Примеры 63
Решение, (а) Если искать решение в виде гр(х, у, z) = X(x)Y(y)Z(z),
то уравнение разделяется на три уравнения для одномерного гармониче-
гармонического осциллятора:
d2 ,
—rX + kx2X
dxl
л
-r-^Z + kz2Z = BE - с, - c2)Z.
dz-
Решение, (б) Если искать решение в виде
то для R, Р, Ф получим уравнения
— + с2Ф = О,
sin^3^ ( sine3J ) ~(ci sin2в + с2)Р = О,
dd \ dB J
65. Разделить переменные в уравнении Шрёдингера, используя парабо-
параболические координаты, если поле представляет собой суперпозицию однород-
однородного и кулоновского полей:
U = -- + az.
г
Решение. Уравнение Шрёдингера в параболических координатах
имеет вид (см. задачу (в))
4 \д Л3^\ д ( 0V\1 1 д2 Г 2 а1г Л п
Отыскивая решение в виде
получаем уравнения
<?Ф
d<p2
'Я с,
4 +
4 2

64 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
66. Найти выражение для оператора Лапласа в криволинейной неор-
неортогональной системе координат.
Решение. Задача на собственные значения оператора Лапласа Аф =
Хф с нулевыми граничными условиями на бесконечности эквивалентна
вариационному принципу S[tj>\ = min для функционала
Произведем невырожденное преобразование координат, т. е. перейдем
от переменных х к новым переменным у: z,- = x,-(yi,..., у„), i =
1, 2,..., п. Под невырожденностью понимается отличие от нуля якобиана
преобразования:
J= д(хих2,...,х„)
д(у,,У2,--,Уп)
Квадрат длины интервала и квадрат градиента преобразуются следующим
образом:
2 dyj ду, дф дф
Поскольку, с другой стороны, по определению метрического тензора
ds2 = gjkdyjdyk, мы можем выразить метрический тензор gjk через
частные производные функций xt,
_ dxt дх{
m
Значит, квадрат градиента функции ф можно записать через тензор,
обратный метрическому:
а определитель метрического тензора равен
0 = det(ft») = |J|2.
В новой системе координат функционал запишется как
Остается его проварьировать, считая, что вариация функции ф обраща-
обращается в нуль на бесконечности, и приравнять вариацию нулю:
При выводе последнего равенства мы проинтегрировали по частям, а вне-
интегральный член обратился в нуль из-за фаничных условий. В силу

3.S. Примеры 65
произвольности вариации 6tp(x) должно обращаться в нуль выражение
в квадратных скобках. Отсюда получается формула для лапласиана
I д _, д
67. Решить граничную задачу
«« ~ с2ихх = О,
О <*<?,, «(O,t) = «(L,t) = O, «(at, 0) =
Рассмотреть частный случай
27Г2/
«(ж, 0) = 0, щ(х, 0) = sin ——.
Решение. Решение задачи методом Фурье распадается на два этапа.
Вначале находим частные решения, для которых выполняются толь-
только фаничные условия по координате х. Отыскивая и(х, t) в виде
и разделяя переменные, имеем
Х'(х) _ T"(t)
_
где Л — произвольная постоянная. Общее решение уравнения
при А > 0 имеет вид
X = A cos V\x + В sin л/Ах.
Потребуем, чтобы для Х(х) выполнялись те же фаничные условия, что
и на решение задачи и(х, t):
C.14)
Это возможно, если
А = 0 и V\L = nir, n=l,2,... .
Отсюда получаем спектр допустимых значений А и пространственную
форму решения номер п:
А„
А„ = I — 1 , Х„(э;) = sin —

66 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
Нарисуйте их графики при п = 1,2,3. Подставляя А„ в уравнение C.12),
находим зависимость от времени решения номер га:
. . nnct nirct
Tn(t) = А„ cos —— + Вп sin ——,
L Jj
где Ап,Вп — произвольные постоянные.
Собственные решения Хп(х) образуют полный базис. Общее реше-
решение задачи может быть записано как линейная комбинация базисных
решений:
00
«ОМ) = Х>п(я№,@- C-15)
П=|
На втором этапе амплитуды А„, Вп выражаются через начальные условия
и(х,0) = >р(х), М((а:,О) = 1>(х). При t = 0, используя представление
решения C.15), имеем
оо
ф) = Yj АпХ„(х), C.16)
ОО
f(x) = 53 ХпВпХп(х). C.17)
п=|
Собственные решения задачи C.13), C.14) взаимно ортогональны:
L
J Xn(x)Xm(x) dx = | 6пт. C.18)
о
Умножая равенства C.16), C.17) на Хт(х), интегрируя от нуля до L
L
J
l ь
/ Ф)Х() d B
и учитывая ортогональность собственных решений, имеем
ь
) dx, Bm = ~ f f(x)Xm(x) dx. C.19)
Частное решение равно
L
0 0
L 2nct 2vx
u(x, t) — -— sin —— sin ——.
2яс L L
68. Решить задачу
«и - c2uxx = О,
О < х < L, «(О, t) = uz(L, t) = 0,
Sirs . . irar
«(a, 0) = sin —, щ (x, 0) = sin —.
Попытайтесь решить эту задачу при условии щ(х, 0) = cos —.

3.5. Примеры 67
Решение. Решение задачи выполняется в той же последовательно-
последовательности, что и решение задачи 67. Отличие имеется только при решении
спектральной задачи на функцию Х(х), изменившейся из-за фаничных
условий
X" + XX = О,
Х@) = X'(L) = 0.
Из общего решения
X = A cos n/Аж + В sin ,
используя граничные условия, получаем уравнение на Л:
Его решения равны
2n-l ч2
' га-1'2'-- •
Соответствующие собственные функции имеют вид
Хп(х) = sin тгх.
Нарисуйте их графики при п = 1,2,3. Число А = 0 не является соб-
собственным значением, поскольку ему соответствует нулевое решение X.
Решение дается формулами C.15)—C.17). В частном случае, вычисляя
коэффициенты, получаем
5%ct 5тгх 2L net жх
tt(M)=cos — sin — + _ sin-sin-.
При щ(х, 0) = cos (nx/BL)) задача не имеет решения. Причина в том,
что такое начальное условие не согласовано с граничным условием
и@, t) — 0, из которого следует, что должно быть u(@, t) = 0 для любого
момента времени. >
69. Решить задачу
и« - «« = 0,
O^x^L, ux(Q,t) = ux(L,t)=0,
и(х,0) = х, и,(х,0)=1.
Описать движение струны.
Решение. Спектральная задача
X" + \Х = 0, Х'@) = Х'Щ = 0
имеет нетривиальные решения

68 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
Хв(х) = cos —«, А» =(-?-) > и = 0,1,... .
В этом случае А = 0 является собственным значением, которому соот-
соответствует собственная функция Хо = 1. Зависимость этого собственного
решения от времени носит неколебательный характер, так как из Т" = 0
следует Т — Aq + Bot. Общее решение задачи имеет вид
«2> ( пж nir \ пжх
щх, г) = Ао + Bot +у [А„ cos —t + В„ sin —t 1 cos ——.
п^Л L L J L
Используя начальные условия, видим, что А„, В„ являются коэффици-
коэффициентами разложения в ряд Фурье этих начальных условий. Вычисляя их,
получаем
Струна колеблется относительно среднего положения, которое смещается
с постоянной скоростью. Заметим, что начальное условие не удовлетво-
удовлетворяет граничному условию: uz@,0) = ux(L, 0) = 1 Ф 0. Хотя ряд сходится
к решению, для вычисления производной no x его нельзя дифферен-
дифференцировать почленно. Действительно, ряд, получающийся при почленном
дифференцировании, расходится при t = х = 0. >
70. Струна длины L с закрепленными концами в начальный момент
времени имеет параболическую форму с максимальным отклонением в ее
середине, равным h. Начальная скорость струны равна нулю. Найти зави-
зависимость отклонения от времени.
Решение. Краевая задача имеет вид
пи - с2ихх - О,
м@, t) = u(L, t) = 0,
—, «,(z,0)=0.
XJ~
Общее решение было получено в задаче 67. Из равенства нулю началь-
начальной скорости следует, что все В„ равны нулю. Коэффициенты А„
вычисляются разложением и(х, 0) в ряд Фурье:
4hx(L - х) ¦^ . пжх
л=1
Отсюда имеем
. ч 32Л.А I Bп+\)жЫ Bn+l)irx

3.5. Примеры 69
71. В начальный момент времени струну с закрепленными концами дли-
длины L отклонили на расстояние h в точке хо и отпустили. Сформулировать
граничную задачу и решить ее.
Решение, Граничная задача отличается от предыдущей только на-
начальным условием
—ft. х < Хо;
х0
L-*h x>xa
Решение получается разложением начального отклонения в ряд Фурье
, .ч 2hL2 ^ 1 . nitXQ nnct . пж ^ ^ .
COS ISin X. \3.?Uf
cos
х0) g ^ "" Гcos Т
Построим теперь качественную картину движения струны. Решение пе-
периодично по времени с периодом т = Ц-. При t = | отклонение струны
от равновесного положения равно нулю. Получим форму струны при
О < t < щ. Выразим произведение тригонометрических функций через
сумму
птгс птг 1 / пж, . пж, А . .
-—-1 sin — х = - ( sin —-(х - ct) + sin —(ж + ct) ). C.21)
X/ lj ?.\ Li MJ /
Решение, задаваемое формулой C.20), справедливо на всей прямой
и периодично с периодом 2? по координате. Это, очевидно, относится
и к начальному отклонению струны, хотя оно задано только на отрезке
0 < х < L. Ясно, однако, что сумма ряда C.20) нечетна относительно
точки х — 0. При t = 0 этот ряд является разложением функции,
полученной нечетным продолжением начального отклонения с отрезка
0 < х < L через точку а; = 0 на отрезок -L < х < 0 и последующим
периодическим повторением на всю прямую. Условимся далее называть
начальным отклонением полученную функцию.
Если выражение C.21) подставить в ряд C.20) и собрать слагаемые,
содержащие х — ct, то получившаяся сумма представляет собой разло-
разложение начального отклонения половинной амплитуды, сдвинутое вправо
на расстояние ct. Оставшиеся слагаемые дают половину начального от-
отклонения, сдвинутого влево на то же расстояние. Таким образом,
и(х, t) = ~ (и(х - ct, 0) + и(х + ct, 0)).
Например, для xq = | начальное условие представляет собой пило-
пилообразную функцию. Графически, складывая две пилообразные слегка
сдвинутые кривые, легко получить, что при t < | струна имеет форму,
изображенную на рис. 3.1. Горизонтальный участок струны, расширяясь,
опускается со скоростью равной ^.

70
Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
Рис. 3.1. Форма струны: - —начальное
условие «(ж,0); — — u(x, §с); —
72. Решить граничную задачу для неоднородного уравнения
«н - «и = b sh x,
O^x^L, и@, *) = u(L, t) = «(ж, 0) = «,(z, 0) = 0.
Решение. Решение неоднородного уравнения, так же как и решение
однородного уравнения, можно искать в виде разложения по базисным
решениям граничной задачи, которые для данных граничных условий
были получены в задаче 67. Решение в виде
пжх
C.22)
П=|
удовлетворяет граничным условиям. Чтобы определить An(t), разложим
ft sh ж в ряд по базисным решениям:
л ^ (-l)nnirshL пжх
bshx - -2ft > V ' т-sin .
±Г (пжJ + Ь2 L
C.23)
Подставляя выражения C.22), C.23) в уравнение и учитывая ортогональ-
ортогональность функций sin (^j5), получаем систему обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений:
d2An
шг
(-l)nn*shL
C.24)
с начальными условиями, следующими из начальных условий на u(x,t):
dAn
Ап@) =
dt
= 0, n=l,2,....
(=0
Решая задачу C.24), C.25) и подставляя A,,(t) в C.22), получаем
и(х, t)
sh L
)« / nirt \
;+L2) (cos - - .) sin
пжо;
C.25)
C.26)

3.5. Примеры 71
Иной способ решения задачи состоит в разбиении ее на две задачи.
Вначале решим стационарную граничную задачу
—wxx = 6 sh x, ui(G) = w(L) = 0.
Затем методом Фурье найдем решение граничной задачи для однородного
уравнения:
Щ - vxx = 0,
v@, t) = v(L, t) = 0, v(x, 0) = -w(x), vt(x, 0) = 0.
Подстановкой убеждаемся, что м(х, t) = v(x, t) + w(x) удовлетворяет как
начальным, так и граничным условиям исходной задачи. Окончательно
имеем
и(х, t) = bl —shL — shx\
+ 261/ sh L > —г-—-|—-rr- cos -— sin ——.
f^ пж((пжJ +L2) L L
С физической точки зрения это решение означает следующее: w(x) задает
стационарный прогиб струны под действием внешней силы 6 sh x; v(x, t)
описывает колебания относительно стационарного прогиба. Заметим, что
стационарный прогиб струны в C.27) получен в явном виде, а в C.26)
в виде разложения в ряд. >
73. Решить краевую задачу на отрезке 0 < а; < L:
щ = а2ихх,
(х х<±-
и@, t) = u(L, t) = 0, и(х, 0) = < ' V
{L-X, х>\.
Сравнить решение этой задачи с задачей 71.
Решение. Разделяя переменные, видим, что спектральная задача по-
получается такой же, как и в задаче 67. Зависимость от времени получается
из уравнения
и теперь носит экспоненциально затухающий характер:
Г /«»> 2
Тп = А„ ехр
КтL
Разложение начальных условий в ряд Фурье совпадает с полученным
в задаче 67. В результате имеем
2 "• 2п+1
sin —-— жх.

72 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
Заметим, что решение симметрично относительно середины отрезка:
и(х, t) = u(L - x, t) и это свойство есть следствие симметрии начальных
условий. >
74. Решить краевую задачу
щ = а}ихх - Ри,
О < х 4 L, м@, t) - ux(L, t) = О, и(х, 0) = sin —.
Решение. Задачу можно решать, так же как и задачу 72, разложением
в ряд по базисным функциям. Другой способ состоит в том, чтобы сделать
подстановку u = e'^'v и для v получить однородное уравнение диффузии
с теми же граничными и начальными условиями, что и для и. Решая
задачу для t> методом Фурье, получаем
и(х, t) = exp -fit — I — I a2t\ sin —. >
L V ^^ / J 2-^/
75. Решить краевую задачу
м* = a2uxx - Ри + sin —,
O^x^L, и@, t) = u(L, t) = 0, u(x, 0) = 0.
Решение. Задачу можно решать, так же как и задачу 72, разложением
в ряд по базисным функциям. Другой способ состоит в том, чтобы искать
решение в виде
« = v(x, t) + w(x),
где w(x) — решение задачи для стационарного уравнения теплопровод-
теплопроводности:
a2wxx - Pw + sin —- = 0, tu@) = w(L) = 0.
L
w(x) задает стационарное распределение температуры вдоль стержня.
Частное решение линейного неоднородного уравнения, удовлетворяющее
граничным условиям, имеет вид
2
//та
-((т
их
Подставляя v + w в исходные уравнения и предельные условия, получаем
для v(x, t) задачу
= a2v —
v@, t) = v(L, t) = 0, v(x, 0) = -w(x),
решая которую тем же способом, что и задачу 74, получаем
?- >

3.5. Примеры 73
76. В начальный момент времени в шаре имеется сферически симме-
симметричное распределение температуры и(г, 0) = /(г). Найти зависимость
распределения температуры от времени, если температура поверхности
шара равна нулю. Рассмотреть случай /(г) = Го.
Решение. Уравнение теплопроводности
«( = о2 Д и
в сферических координатах записывается в виде
В операторе Лапласа учтено отсутствие зависимости в задаче от угловых
переменных. Граничные и начальные условия имеют вид
«(Я, 0 = 0, в(г,0) = /(г).
Вначале ищем базисные решения разделением переменных в виде
u[r,t) = P(t)Q(r). C.29)
Подставляя C.29) в уравнение C.28), получаем
r А 330)
Qr*drr dr~ A- (ЗЩ
Для функции Q должны выполняться граничные условия. Одно из них
следует непосредственно из граничного условия на функцию и на по-
поверхности шара:
Q(R) = 0. C.31)
Второе граничное условие не столь очевидно и порождено тем, что
уравнение на Q(r)
i?+h?+w=Q C32)
имеет особенность в точке г = 0, и поэтому его обшее решение расходится
в этой точке. Поскольку нас интересуют только ограниченные решения,
потребуем выполнения второго граничного условия:
Q@) < со. C.33)
Решение уравнения C.32) может быть найдено следующим способом.
Будем искать его в виде
Q@)=p(r)q(r) C.34)
и постараемся подобрать р(г) так, чтобы в уравнении на q(r) не было
первой производной. Подставляя C.34) в C.32), получаем условие нар(г)
и уравнение на q:
Р + ~Р = 0> Pi" ["

74 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
Уравнение на р однородно и имеет решение р = р. Уравнение на q
упрощается до элементарного:
q"
Общее решение уравнения C.32) при А > 0 имеет вид
. . A cos л/Хг + В sin
Собственные решения, удовлетворяющие граничным условиям C.31),
C.33), и соответствующие им собственные значения равны:
1 пят птг
Qn(r) = - sin —, А„ = —, п=!,2,....
Т К К
Собственные значения А < 0 невозможны (почему?). Зависимость соб-
собственного решения от времени получается из уравнения C.30):
а общее решение имеет вид
n=l
Коэффициенты а„ определяются из начальных условий. Чтобы для их вы-
вычисления воспользоваться ортогональностью тригонометрических функ-
функций, умножим ряд на г и положим t = 0. Тогда
х~~* лит 2 f пкр
riv) — /_j an sin —r-1 где о„ = — / pf(p) sin ——- dp.
п=\ 0
В частном случае /(г) = То интеграл вычисляется и решение имеет вид
2ДТо т—\ (— 1)" Г /пжа\ 1 ляг
«(г, t) = 2_j ехР ~ I ~~7Г } Ч Sln ~?Г ¦ ^
77. Найти распределение температуры в шаре, если в начальный
момент времени в его центре включается точечный источник интенсив-
интенсивности Q. Начальная температура шара и температура его поверхности
равны нулю.
Решение. Распространение тепла в пространстве с распределенными
источниками описывается уравнением
я F
щ — — Д и + — -
с с

3.5. Примеры 75
Здесь и — температура, х — теплопроводность, с — теплоемкость еди-
единицы объема вещества, F — интенсивность тепловыделения в единице
объема. В нашем частном случае получается фаничная задача с плотно-
плотностью тепловыделения, которая описывается й-функцией Дирака:
м^ = -Д«Ч , it(r.O)=O, u(R, ?) = 0.
с с v ' ' '
Разделим задачу на две: стационарную
Ди> = - w(R) = 0, C.35)
х
и нестационарную
vt = - Av, v(R, t) = 0, v(r, 0) = -w(r).
Их сумма является решением исходной задачи. Решим стационарную
задачу. При г Ф 0 уравнение на w однородно. Записывая радиальную
часть оператора Лапласа, имеем
d ¦) dw
— г2 — = 0.
dr dr
Интегрируя дважды, получаем
W = Ь С2-
г
Константу с\ определим, интегрируя уравнение C.35) по шару радиуса
г < R. Интефал от его правой части равен -?, а интефал от левой
преобразуется в интефал по сфере от gradw использованием теоремы
Гаусса—Острофадского, поскольку Д = div grad. Отсюда имеем
4тгх
Ci определяется из фаничного условия w(R) = 0. Окончательно получаем
/ \ Q R~r
Wir)=
Нестационарная часть задачи решается разделением переменных, как
и в задаче 76. В результате получаем
О R-т Q v^ 1 Г /пто\2 I пжг
u(r, t) — ^i— > — ехр -1 п sin . >
4пх Rr 2ir2xr *-f n I
78. Решить краевую задачу
«и + »и = 0, 0 < х < L, 0 < у < оо,
и@, у) = u(L, у) = 0, и(х,0) = А ~з , и(х, оо) = 0.
Сравнить с задачами 70 и 93.

76 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
Решение. Отыскивая частное решение в виде и(х, у) = X(x)Y(y)
и разделяя переменные, получаем
X" _ Y" _
~х~-~Т~~х-
Спектральная задача по координате х получается такой же, как и в зада-
задаче 67. Зависимость от у получается из уравнения
решение которого представляется в виде суммы экспонент:
Записывая решение в виде суммы ряда, из граничного условия при
у —> оо имеем В„ = 0 для всех п. Из граничного условия при у = О
вычисляем Ап и окончательно имеем
(-1)" Г Bп+1)тг1 .
ехр I —у\sin
Е
79. Найти распределение потенциала между соосными цилиндрами
радиусов а < Ь для задачи Дирихле:
и(а, <р) = с, и(Ь, <р) = h cos y>.
Решение. Задачи с цилиндрической симметрией удобно решать в ци-
цилиндрических координатах. Уравнение Лапласа имеет в них вид
1 д ди 1 д2и . ^
0- C36)
Здесь учтено отсутствие в задаче зависимости от координаты z. Ишем
частные решения в виде
и = Л{г)Ф(<р). C.37)
Разделяя переменные, получаем уравнения на Ф и R:
ф" + АФ = 0, C.38)
dr2 r dr
Общее решение уравнения C.38) имеет вид
Ф = A cos VXtp + В sin V\(p при А > О,
Ф = Ае^9 + Ве"^9 при А < 0.
Поскольку решение и должно быть однозначным, изменение <р на 2%
не должно менять значения Ф. При А < 0 периодично только нулевое

3.5. Примеры 77
решение. При А > 0 функция Ф периодична с периодом 2тг, если А = т2
где m = 0,1,... . Собственные решения имеют вид
Фт = Ат cos rnip + Bm sin пир.
Уравнение C.39) однородно. Отыскивая его решение при А = то2 в виде
R — ra, получаем
а = ±т.
При т Ф О имеется два линейно независимых решения: гт и г~т.
При т = О общее решение получается прямым интегрированием:
Фо = Ао in г + Во-
Таким образом, общее решение может быть записано в виде суммы
и(г,(р) — Ао In г + 230+
Коэффициенты Ат, Вт вычисляются разложением граничных условий
в ряды Фурье.
Для заданных граничных условий ряд упрощается до вида
«(г, ip) = Ло In г + Во + ( А{г Н—— 1 cos ip.
При г = в имеем
При г = Ь имеем
^о Inа + Во = с,, А\а-\ = 0.
а
А-\
Atb+——=h.
о
Вычисляя коэффициенты из получившейся системы уравнений, оконча-
окончательно получаем
In Ъ - In г Ыт2 - а2)
80. Найти стационарный прогиб прямоугольной мембраны размера axb
с закрепленной границей, если на мембрану действует однородное давление Р,
а ее натяжение равно Т.
Решение. Уравнение равновесия мембраны имеет вид
-Д«=|. C.40)

78 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
Смещение и на границе прямоугольника равно нулю. Направим ось х
вдоль стороны длины а, а ось у вдоль второй стороны.
Будем искать решение в виде разложения в ряд по собственным
функциям оператора Лапласа для этой граничной задачи. Найдем соб-
собственные функции. Задача на собственные значения
- Ди = Аи, и|г = 0 C.41)
решается разделением переменных. Собственные функции и собственные
значения равны
nwx miry /nir\2 /гшг\2
"»•»=sin—sin —'
где п,т — целые положительные числа.
Раскладывая правую часть уравнения C.40) в двойной ряд Фурье:
/nir\2 /гшг\2
"-m=(т)+ \t) '
C.42)
получим ненулевые коэффициенты
^ т BТТТ) (гГП)' м = 0> ''¦¦¦
Ищем решение уравнения C.40) в виде такого же разложения
00
U = Yl ^rnU^m- C.43)
n,m=l
Подставляя разложения C.42) и C.43) в уравнение и используя взаимную
ортогональность функций ипт, получим dn,m = ^-. Окончательно имеем
( ) h
h Bk +
3.6. Задачи
81. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
(а) «„ - A+ y2Juvy -2y(l+ у2)чу = 0;
(б) м„ - 2 sin х uly — cos 2x uyy - cos x uy = 0;
(в) (I + x2JuIZ + Uyy + 2x( 1 + x2)ux = 0;
1 д ( ди\ 1 д2и _
(Г) xdi \Xdx~)+x~idi2~°''
(д) хги1Х + 2хуиху + y2uyt - 2yut + yevl' — 0.

3.6. Задачи 79
82. Найти области гиперболичности, параболичности и эллиптич-
эллиптичности уравнения
хихх + уиУу + 2их + 2иу = О
и привести в них к каноническому виду.
83. Найти условие эллиптичности уравнения Чаплыгина
д , . д , .
84. Привести к каноническому виду и избавиться от первых произ-
производных:
(а) ихх - 4иху + 5иуу - Зих + иу + и = 0;
(б) ихх - ttyj, + их + «j, - 4и = 0.
85. Найти общее решение уравнения
(ж - у)иху - их + иу = 0.
86. Решить задачу Кош и:
4у2ихх + 2A - у2)иху - иуу - } 2 Bиг - и„) = 0,
«(а;,0) = ^), %(*, 0) = f(x).
87. Написать выражение для оператора Лапласа в ортогональной
системе координат.
88. Получить выражения для оператора Лапласа:
(а) в цилиндрических координатах (г, р, <р)
х = pcosip, у = psinip, z = z;
(б) в сферических координатах (г, в, <р)
х = г sin в cos (р, у = г s\n в cos ip, z = rcos0;
(в) в параболоидальных координатах (?, t), <p):
0^^<оо, 0<»7<оо, 0^<p<2ir
х= л/trjcostp, у= y/trjsintp, z=-(i-7]);
(г) в эллипсоидальных координатах (?, т), ф):

8U Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
89. Получить выражения для градиента, дивергенции, ротора
(а) в цилиндрических координатах;
(б) в сферических координатах.
90. Преобразовать в цилиндрические и сферические координаты
оператор проекции момента импульса на ось z:
8 д
91. Разделить переменные и найти собственные решения уравне-
уравнения Шрёдингера для свободного движения (U = 0) в прямоугольном
параллелепипеде с размерами по декартовым координатам а х Ь х с при
условии равенства решения нулю на границе параллелепипеда.
92. Найти колебания струны, левый конец которой закреплен, а пра-
правый, свободно, без трения скользящий по штанге, в начальный момент
отклонен по штанге на расстояние ft.
93. Решить краевую задачу
и( = а7ихх,
cx(L - х)
0 ^ х < L, и@, t) = u(L, t) = 0, и(х, 0) =
Сравнить решение этой задачи с задачей 70.
94. Решить краевую задачу
и, = а2ихх,
O^x^L, и@, t) = ux(L, t) - 0, и(х, 0) = Ах.
95. Найти распределение потенциала в полуполосе 0 < х < сю,
0 < у < L.
и(х,0) = uy(x, L) = 0, и@, у) = f(y), и(оо, t/) = 0.
96. Найти распределение потенциала между соосными цилиндрами
радиусов а <Ь для задачи Дирихле:
и(а, ip) = 0, и(Ь, у?) = АЬ2 sin 2ip.
3.7. Ответы
81. (а) Уравнение имеет гиперболический тип на всей плоскости и при-
приводится к виду и^ — 0 в переменных ? = х + arctg у, щ = х - arctg у.
(б) Уравнение всюду имеет гиперболический тип и приводится к виду
«{,, = 0 в координатах ? = х + у - cos x, tj — -х + у - cos x.

3.7. Ответы 81
(в) Уравнение имеет эллиптический тип и приводится к виду
Чщ = 0 в переменных ? = у, r\=- arctg x.
(г) Уравнение имеет эллиптический тип. Приводится к виду
ит — 0 в координатах ? = у, щ = In x.
(д) Уравнение параболическое всюду и приводится к виду
ft 71
в координатах ? = у/х, rj = у.
82. Уравнение гиперболическое во втором и четвертом квадрантах
(ху < 0) и имеет там вид
3
в координатах
Эллиптическое в первом и третьем квадрантах (ху > 0) и имеет там
вид
«К + «т + 3 ^«« + -«,) = 0
в координатах
На осях координат, разделяющих области параболического и гипер-
гиперболического поведения, уравнение вырождается в параболическое.
Канонический вид получается делением на ненулевую координату.
84. (а) Приводя к каноническому виду и отыскивая и переменных
( = 2х + у, 1) = х в виде
u = w((,tf)cxp—-—,
получаем
15
Щ( + v>m - у w = 0.
(б) В переменных ( = х -у, rj = x + у возможна замена
приводящая уравнение к виду
Wfr - w = 0.

82 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка
85. Избавьтесь от первых производных.
f(x)+g(y)
и =, где / и g — произвольные функции.
х- у
. и(х,у) = <р(х-— \+- / il>(x')dx.
A.(hih2 д W
•-?
87. д=—1—|-^( ^d-^]+-^
Г2 9г \^г ar J + r2sinedo \sm до)
а^_
1 а2
^НГ-1)р) + —1A-4*)— 11 +
4 а2
аи хаи
/1 а^ 1 а^
\дАг dAv\ (дАр д А
рЩр~ ~аГ) + Ctp \~ЪТ ~ ~др
rot A
дАг 1 дА„ 1 dAv
(б) ЛТТ 9и 1 аи 1 at/
/ctge 1 а^р 1 длл
rot А = ег -=- Av+- -—f r-г -г— ) +
Av+ frг г )
1 дАв 1 ал

3.7. Ответы 83
л 2 дАг ctgfl 1 дА„
div А = - АТ + h — А» Л —- Ч
г дг г г 80
АТ +h А» ЛЧт
г дг г г 80 г sin в dip
90. 1г = -t-f-.
д<р
91. Ненормированные волновые функции имеют вид
. /птгаЛ . (тжу\ . //тгЧ
V'n.m.J = Sin I I Sill I —— I Sin I I .
\ a / \ b ) \ с )
Соответствующие им энергии равны
12
Числа п,т,1 — целые положительные.
92. Задача может быть решена стандартной последовательностью дей-
действий — решением спектральной задачи, представлением решения
в виде суммы собственных колебаний и вычислением коэффициен-
коэффициентов разложения по начальным данным. Ответ получается из форму-
формулы C.20) заменой вначале L на 2L а затем подстановкой xq = L.
Почему?
2 1 On 4- Пчгэ-
_, ^. (-1)" Г /Bп+1)*у 21 . 2п+1
94. «(ж,<) = —^- > -^ тт^гехр | — | — 1 о 11 sin rx.
95. «(x, „) = ? «„ exp f-^-t!^ ,1 sin
n=o L 2i J
2
0
„, . ч Ab2 In r-In о 464(г4-о4)
96. u(r, „) = — 1-rn_ - 2(ft4 fl4)r2 cos 2^.

Глава 4
Автомодельность и нелинейные
уравнения в частных производных
4.1. Автомодельность
Говорят, что дифференциальное уравнение в частных производных
для функции двух независимых переменных х, t имеет автомодельное
решение, если существуют такие функции времени A(t) и l(t), что решение
и(х, t) может быть представлено в виде:
и(х, t) = A(t) f
\щ)'
Решение задачи сводится к обыкновенному дифференциальному уравне-
уравнению для /(?). В физических задачах обычно можно найти автомодельную
подстановку, используя анализ размерностей.
Важным частным случаем автомодельных решений являются бегущие
волны, т.е. решения вида
u(x,t) = f(x-Vt), D.1)
где / — функция одной переменной, а V — const. Действительно,
подстановка С, — ех, т — е1 приводит D.1) к виду и(С,т) = fl(CT~K)> где
4.2. Нелинейные уравнения в частных производных
Помимо автомодельных решений, играющих важную роль в физи-
физике, для нелинейных уравнений в частных производных, вообще говоря,
не существует общих методов решения. Однако иногда удается найти ши-
широкий класс решений или даже общее решение нелинейного уравнения,
превратив его заменой переменных в линейное. Таких преобразований
известно немного.
Для некоторых важных в физике эволюционных уравнений уда-
удается определить зависимость от времени интегральных характеристик
решений без явного их построения. Это, в свою очередь, позволяет уви-
увидеть существенные черты решений, такие, как образование особенности
за конечное время.

4.2. Нелинейные уравнения в частных производных 85
Особое место занимают нелинейные уравнения в частных произ-
производных первого порядка. Оказывается, что решение задачи Кош и для
такого уравнения сводится к нахождению общего решения некоторой
системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим для
простоты случай двух переменных х к у. Уравнение рассматриваемого
типа записывается в виде:
F(u,p,q,x,y) = 0, D.2)
где F — некоторая заданная функция, предполагаемая достаточно глад-
гладкой, и = и(х, у) — искомое решение, и р = их, q = иу.
Дифференцируя равенство D.2) по х и у и учитывая, что
д д2и д
получим соотношения:
дхЧ дхду дуР<
др др
ду
D3)
Из них следует, что вдоль любой кривой (х(т), у(т)), удовлетворяющей
уравнениям:
х = F,, y = Fq, D.4)
где точка обозначает производную по параметру т, функции р и q
изменяются так, что
Р = -Fx - pFu, q = -Fy- qFu. D.5)
Производная функции и(х, у) вдоль кривой D.4) также может быть
выражена через u,p,q и х, у:
и = ихх + иуу = pFv + qFq. D.6)
Уравнения D.4)-D.6) образуют уже замкнутую систему. Она опре-
определяет семейство кривых в пятимерном пространстве с координатами
(u,p,q,x,y). Эти кривые называются характеристиками уравнения D.2).
Общее решение системы D.4)-D.6) зависит от пяти произвольных по-
постоянных. Одна соответствует произволу в выборе начала отсчета пара-
параметра г и фиксируется из соображений удобства. Начальные данные для
уравнения D.2) задаются на какой-нибудь кривой Г в плоскости (х,у).
При этом определено как значение самой функции и(х, у)\г, так и произ-
производная вдоль этой кривой, то есть некоторая линейная комбинация р и q.
Таким образом, начальные условия устраняют произвол еще в двух посто-
постоянных. Наконец, учет исходного соотношения D.2) оставляет свободной
только одну константу. Получившееся однопараметрическое семейство

86 Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравнения
кривых при проектировании на подпространство (и, х, у) образует гра-
график искомого решения, то есть поверхность и = и(х, у). Аналитическое
выражение может быть найдено исключением параметра г и оставшейся
произвольной постоянной.
Некоторые методы решения уравнений с помощью преобразований
подобия описаны в [ЗР66] на примере задач газовой динамики. Началь-
Начальные сведения по аналитической теории нелинейных волн можно найти
в [Уиз77] и приведенной там библиографии.
4.3. Примеры
97. Требуется решить уравнение теплопроводности
«( = Х«м D.7)
на вещественной оси (—оо < х < оо) при t > 0. Ищем решение, удовлетво-
удовлетворяющее точечному начальному условию
ф,0) =Q6(x) D.8)
и убывающее на бесконечности
и(±оо, t) -> 0. D.9)
Решение. Решение зависит от обеих независимых переменных х, t
и от параметров задачи х. Q- Размерности этих величин следующие:
[t\ = г, [х1 = L2T~\ [Q] = [и] ¦ L, [х] = L. Здесь T,L, [и] - единицы
размерности времени, длины и величины и соответственно. Найдем
безразмерный параметр задачи ? = t"x\k- На показатели степени имеем
два уравнения: п - к — 0 и 1 + 2к = 0. Для подстановки следует взять
п = к = — |, откуда ? = -4=j. Тогда решение уравнения теплопроводности
можно искать в виде
Ш D|0)
где /(?) — безразмерная функция безразмерного аргумента. Подстанов-
Подстановка D.10) в уравнение D.7) позволяет определить
Характерная ширина I энергосодержащей области (где и велико) растет
со временем как l(t) ~ y/\i, а максимальное значение величины и
убывает как A(t) ~ -^.
Способ построения автомолельных решений можно сформулировать
и в несколько более общем виде, чем анализ размерностей. Имен-
Именно, автомодельная подстановка проходит через уравнение, если оно

4.3. Примеры 87
инвариантно относительно согласованных масштабных преобразований
пространственных переменных г и времени t. При этом автомодельной
переменной ? является инвариантная комбинация ги(. Закон же пре-
преобразования искомой функции может диктоваться как самим уравнением,
так и требованием инвариантности начальных и граничных условий.
Начальное условие D.8) задано в виде б-функции. Если задать
ненулевое начальное условие в области конечной ширины, например
в виде гауссовой функции
Q / х2\
и(х, 0) = -j=- ехр —j),
в задаче появится второй масштаб а, и автомодельное решение D.10) уже
перестанет быть точным решением задачи Кош и, но останется верным
асимптотически на больших временах, когда
и конечностью а в сравнении с характерной шириной решения мож-
можно пренебречь. Вместо граничного условия D.9) в задачах также может
встретиться требование обращения решения в нуль на концах некото-
некоторого конечного интервала: u(±L, t) = 0. В задаче тоже появится второй
масштаб, поэтому автомодельное решение перестанет удовлетворять гра-
граничным условиям. Однако автомодельное решение справедливо на малых
временах до тех пор, пока
Таким образом, в задачах, где характерные масштабы начальных и гранич-
граничных условий существенно различаются (о •< L), автомодельное решение
представляет собой промежуточную асимптотику. >
98. Найти автомодельное решение одномерного уравнения теплопро-
теплопроводности
Щ = ихх
при условии, что в начальный момент времени
00
/
«(ж, 0)dx = 1.
Решение. Изменение масштабов всех переменных
t —> fit, х —» Хх, и —> ии
должно оставлять инвариантными уравнение и начальное условие, откуда
v v , .
D.12)

88 Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравнения
Из D.11), D.12) получаем А = ц^1, и = fi~1^2. Поэтому можно искать
неизвестную функцию в виде
Подставляя в уравнение теплопроводности, получаем обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение для функции /:
(*/)' = о,
которое интегрируется /' 4-1{ = const = С. Общее решение имеет вид
J
Функция / интегрируема только при С = 0; постоянная С\ находится
из нормировки начального условия. Мы видим, что в этом случае
условие автомодельности однозначно определяет решение и(х, t), и,
следовательно, оно совпадает с решением предыдущей задачи при Q = 1:
99. Найти автомодельную подстановку для одномерного уравнения
теплопроводности на полуоси 0 ^ ж < оо и решить задачу Коши, если
(а) и(ж,0) = 0, и@,0= 1;
(б) «(*,<))= 0, u(O,t) = t.
Решение, (а) Вместо D.12) найдем второе уравнение для А, ц, v
из условий задачи. Граничное условие фиксирует и = 1, тогда авто-
автомодельная подстановка
дает уравнение
с граничным условием /@) = 1, /(оо) = 0. Его интегрирование дает:
ос
ос
««,0 = ^/«*(-!.)«•

4.3. Примеры 89
Решение, (б) Граничное условие дает и = ц, откуда получается
автомодельная подстановка
после которой надо решить задачу
/" + ^/'-/ = 0, /@) = 1, /(+оо) = 0.
Одно решение /i = I + ^- легко угадать, но оно не удовлетворяет условию
на бесконечности. Второе решение можно найти с помощью подстановки
/ = f\fi, где /г — новая неизвестная функция. Таким образом,
оо оо -
хр (—г/ /4) &п
—. гп • >
x/yfi
100. Найти автомодельную подстановку и автомодельное решение
нелинейного уравнения теплопроводности
Решение. В нелинейном уравнении теплопроводности (или диффу-
диффузии) вместо D.11) из инвариантности уравнения относительно преобра-
преобразований растяжения получится
Отсюда и из D.12)
и, следовательно, автомодельная подстановка имеет вид
и(*,О = Г1/("+2)-/(»Г1/<11+2)).
Уравнение приводится к обыкновенному дифференциальному
которое можно проинтефировать
п + 2
В силу фаничных условий /'@) = 0, поэтому С\ = 0. Переменные
разделяются, а вторая константа интегрирования находится из условия

90
Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравнения
u(x,t)
Рис. 4.1. Автомодельное решение нели-
нелинейного уравнения теплопроводности
при п = 2. Стрелкой показано направле-
направление распространения волны ( — t = 1;
- t = 2; — t=4)
нормировки. Получается решение типа тепловой ударной волны с резким
передним фронтом (рис. 4.1).
u(x,t) = 0 при х2 > 2(п + 2) t
v(n+2\
В частности, при п = 2: С = ;¦. При я = 0 см. задачу 98. >
101. В полупространстве х > 0 было задано постоянное поле тем-
температур м@, ж) = «о > 0. Начиная с момента времени t = 0 и далее
температура на левой границе х = 0 поддерживается равной u{t, 0) = — «о-
Уравнение эволюции температурного поля и(х, t) имеет вид
D.13)
где функция времени y(t) определяется условием: u(y(t),t) = 0. Найти
и(х, t) и y(t) при всех t > 0. Рассмотреть, в частности, асимптотику
Q — +оо*>.
Решение. Левая часть уравнения D.13) при преобразовании подобия
х —* Хх, t —* \Ч и и —> и, не меняющем граничных и начальных
условий, приобретает общий множитель р. Правая часть D.13) будет
преобразовываться по такому же закону, если мы положим
y(t) =
''Такая постановка является частным случаем задачи Стефана о движении фронта
кристаллизации жидкости, охлаждаемой на поверхности х = 0. Функция y(t) определяет
положение поверхности раздела фаз, и величина Q пропорциональна удельной теплоте
плавления.

4.3. Примеры 91
где а — безразмерная постоянная, а множитель 2у/х выделен для удоб-
удобства. Это означает, что решение задачи имеет автомодельный вид:
u(x,t) = f(z), *=^. D.»4)
После подстановки D.14) уравнение D.13) сводится к обыкновенному:
l -2a) = 0. D.15)
Асимптотика функции f(z) при z —> +оо следует из начального усло-
условия: /(г —> +оо) —> щ. Другим граничным условием для /(г) является
/@) = — «о. Общее решение уравнения D.15) в областях z < 2а и z > 2а
находится без труда:
г
/(z) = Al+Bl I ds e~'2/\ z < 2а;
f(z) = А2 + Вг I ds e~'2/\ z > 2а.
Константы Ait2, Bij и а определяются непрерывностью f(z) при г = 2а,
скачком производной /'Bа + 0) — /'Bа - 0) = —aQ и требованием
u(y(t), t) = /Bа) = 0. В результате получим
щ щ
А, = -«о, Аг = «о, В, = _ , , В2 =
где erf a = -ту / ds e * — интеграл вероятности, и константа а находится
о
из трансцендентного уравнения:
«о / 1 I \ =
/?Vf I -erf а)
При Q —> 0 уравнение вырождается в erf a = j, так что в этом пределе
а и 0,48 и у — 0,96л/х<. При Q —> +оо получим аы\ J^, то есть
Q
Большое тепловыделение замедляет движение фронта кристаллизации. >
102. Уравнение Бюргерса
Щ + ИМХ = flUxz, —ОО < X < +ОО D.16)

92
Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравнения
описывает слабые ударные волны в среде с диссипацией энергии. Найти
решение типа ударной волны, т. е. удовлетворяющее условиям
lim u(x,t) =i*i, lim u(x, t) = u2.
Решение. Подстановка D.1) в уравнение Бюргерса приводит к обык-
обыкновенному дифференциальному уравнению
/" = /'(/ - V)
D.17)
с граничными условиями /(-оо) = «|, /(+оо) = и2. Интегрируя D.17)
от -оо до +оо, получаем
откуда V = Hx-yHi, поэтому скорость ударной волны зависит только
от фаничных значений и не зависит от параметра ц (вязкости среды).
Далее, интефируя D.17) один раз от -оо до ? и учитывая яв-
явное выражение скорости фронта V через И| и «2, получим уравнение
с разделяющимися переменными:
f*f' = \(f-nM-ui)-
Его решение
и, + и2 ехр [(«| -
1+ехр
2/х
удовлетворяет граничным условиям только при «| > «2 (в противном
случае профиль скорости начал бы «распрямляться», и ударная волна
исчезла). Оно изображено на рис. 4.2 при и2 = 0. Ширина фронта
ударной волны (кинка) увеличивается с ростом вязкости среды /*.
f(x-Vt)
-2
О
x-Vt
Рис. 4.2. Решение уравнения
Бюргерса типа ударной волны:
и, = 2, ti2 = 0. Значения вяз-
вязкости ft: — 0,1; — 0,3;
- 0,5. С уменьшением /i фронт
волны становится круче

4.3. Примеры
93
103. Показать, что уравнение Кортевега—де Фриза
щ + 6и«х + «ш = 0
имеет решение в виде бегущей волны. Найти частное решение, обращающееся
на бесконечности в нуль вместе со своими первой и второй производными
по х.
Решение. После подстановки и(х, t) = f(x - Vt) для функции /
получается уравнение третьего порядка /'" + F/ - V)f = 0, которое
можно два раза проинтегрировать:
Чтобы при х —¦ со функция /, ее первая и вторая производные обраща-
обращались в нуль, следует выбрать С\ — Сг = 0. Тогда уравнение интегрируется
в элементарных функциях. Решение
Ч
ch2[s/V/2(x-Vt)]
представляет собой уединенную волну
(солитон — от англ. solitary wave), экс-
экспоненциально затухающую при ? =
х - Vt —» ±оо (рис. 4.3). Характер-
Характерная ширина солитона ё? ~ у-'/2 од-
однозначно связана с его скоростью V
и амплитудой у.
Уравнение Кортевега—де Фриза
описывает волну в среде с дисперсией,
где фазовая скорость зависит от длины
волны. Для волны достаточно боль-
большой амплитуды расплывание волно-
волнового пакета из-за дисперсии может
скомпенсироваться укручением волны
за счет нелинейности. Солитон — это
решение, в котором дисперсия и не-
нелинейность взаимно скомпенсированы, потому он и распространяется
без изменения формы. >
104. Найти решение типа уединенной бегущей волны уравнения нели-
нелинейной струны
«« - «хх + («2)хх + ихххх = 0.
Решение. Подставив бегущую волну и = f(x - Vt) в уравнение не-
нелинейной струны, получим обыкновенное дифференциальное уравнение
Рис. 4.3. Солитонное решение урав-
уравнения Кортевега—де Фриза при
К = 1,7

94 Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравнения
которое два раза интегрируется
Функция / обращается на бесконечности в нуль вместе со своими
производными, поэтому С\ = Ci = 0. Тогда уравнение можно умножить
на /' и еще раз проинтегрировать. Получится
Третья константа также равна нулю для уединенной волны. Получилось
уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Его реше-
решение существует только при |V| < 1 (или в размерных единицах скорость
волны должна быть меньше скорости звука):
\-V2
105. Одномерное движение политропного газа описывается системой
уравнений
Найти автомодельные решения для двух разных начальных условий:
(а) В начальный момент плотность имеет скачок при х = 0:
о(х 0)-(р0' Х> 0:
Р(х »)\
скорость равна нулю: v(x, 0) = 0.
(б) В начальный момент имеется порция газа, сосредоточенная в точке
х = 0. Газ растекается без изменения полной массы.
Решение. Выполняя преобразование подобия
t —> [it, x —> Az, и —> аи, р —> vp,
получаем, что уравнения не изменятся, если
v_ _ иа а _ ^ _ v^_
ц~ X' ti~ Х~ А ' ( '

4.3. Примеры 95
В этой системе уравнений имеется два свободных параметра. Их число
уменьшается до одного разными способами в зависимости от начальных
условий.
(а) В этом случае нужно выбрать v = 1, поскольку на бесконечности
р = ра. Решая D.19), получаем
Ищем решение системы в виде
p = /(sr'), v=g(xrl).
На /, д получается система обыкновенных дифференциальных уравнений
<4J0)
где ? = xt~{, а штрих означает производную по ?.
Тривиальное автомодельное решение получается, если определитель
линейной системы уравнений относительно /', д' не равен нулю. Тогда
/' = Э' = О, D.21)
т. е. /, д постоянны.
Условие равенства определителя нулю дает связь между fug:
Отсюда получаем, что для нетривиальных решений
9 = t±c(f). D.22)
Если условия D.22) выполнено, то уравнения в системе D.20) стано-
становятся эквивалентными. Найдем решение, соответствующее выбору знака
«минус» в уравнении D.22). Тогда
Подставляя выражение для д в уравнение D.20), получаем уравнение
(L) f'=0
2
интегрируя которое, имеем
7- '
где А — произвольная постоянная. Подставляя D.23) в D.22), получаем

96
Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравнения
Решение, соответствующее выбору знака «плюс» в уравнении D.22), полу-
получается изменением в формулах D.23) и D.24) знака перед ? на обратный.
Сконструируем решение начальной задачи из автомодельных ре-
решений D.23), D.24) и D.21). Предположим, что решение D.23), D.24)
с ростом ? справедливо до точки ?о и потребуем, чтобы начиная с нее
оно непрерывно переходило в решение D.21) с / = /»о и g = 0. Усло-
Условие непрерывности дает систему уравнений на А, ?о, решая которую,
получаем
2
?о = «о, А = —— со.
Интервал, на котором справедливо решение D.23), D.24), слева ограни-
ограничен условием / > 0, которое выполняется при ? > ?\ = ~^\- Оконча-
Окончательно имеем в момент времени t > 0:
— при х < tit находится вакуум; v = 0, р = 0;
— при ?\t < х < Ojt скорость v = — ^гт(со — f), а плотность определя-
определяется из D.23);
— при х > cot находится невозмущенный газ: v = 0, р = ро (Рис- 4.4).
р
_.
0
-At
cot
Рис. 4.4. Автомодельное реше-
При t —> +0 это решение стремится
к начальным условиям.
Заметим, что полученное поле ско-
скорости разрывно на границе с вакуумом.
Формально это не противоречит уравне-
уравнениям D.18), так как скорость вакуума
не определена. Физически же это означает,
что вблизи границы газ-вакуум становятся
существенными диссипативные процессы,
Рис. .. Аодьное реше
ние задачи 105 (а) с начальным не учтенные в системе D.18). Им соответ-
профилем плотности в виде
ступенчатой функции
ствуют члены в уравнениях эволюции, со-
держащие пространственные производные
второго порядка. Если их принять во внимание, то разрыв сгладит-
сгладится. Такая тонкая структура ударной волны для одномерных движений
может быть определена в рамках уравнения Бюргерса с некоторыми
эффективными параметрами. Это замечание относится ко всем задачам
подобного типа.
(б) Из сохранения массы получаем
D.25)
Выражая масштабные коэффициенты через ц, имеем
Отыскивая решение в виде
р =

4.3. Примеры 97
на функции / и д получаем систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
, D.26)
2
Интегрируя первое уравнение, получаем, что при / Ф О значение д{0)
равно нулю, когда постоянная интегрирования равна нулю. Тогда имеем
Интегрируя второе уравнение, получаем
| 1/G-0
где С — произвольная постоянная. Второе решение системы D.26)
тривиально:
f=9 = 0.
К сожалению, решения, полученные в предположении D.2S), выража-
выражающем сохранение массы газа, сами описывают движение бесконечной
либо нулевой массы газа. >
106. Построить автомодельное решение, описывающее растекание
газа с «отрицательным давлением»:
до д
dv dv dp _
~m+vdx~"dx ~ '
если в начальный момент вся масса М газа находилась в точке х — 0.
Решение. Вначале решение точно повторяет решение задачи (б) для
7 = 2. Вместо D.26) получается система
-\(П)' + (/<?)' = о.
Т D-27)
решая которую, имеем
Второе решение тривиально: / = g = 0.

98
Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравнения
6
4
2
О
-1
1
1
1
\
1
Решение, описывающее расплывание ко-
конечной массы вещества, имеет вид
U, \x\>
Vcf»;
О
1
Рис. 4.5. Коллапс параболи-
параболического профиля плотности,
«о = 2(— < = 0; - t = 1;
— t = 1,75; — t = 1,95) Заметим, что заменой t —> t0 - t получает-
получается решение, в котором плотность обращается
в бесконечность в момент t = to. Такое явление называется коллапсом
(рис. 4.5). >
107. Найти асимптотику при t
уравнения эволюции:
с нулевыми начальными условиями.
+oo решения /(as, t) неоднородного
D.28)
Решение. Оператор С = jp(\ + х2) эрмитов в гильбертовом про-
пространстве со скалярным произведением
+00
(f,g) = j dx(\+x2)f'g,
D.29)
и его собственные значения отрицательны. Это значит, что если решение
нашей задачи Коши принадлежит такому гильбертовому пространству, то
в асимптотике t —* +оо оно не зависит от времени t. Предположим, что
искомое / нормируемо относительно скалярного произведения D.29).
Тогда при t -> +оо оно удовлетворяет стационарному уравнению:
d2 1
' ~ dx2 \+х2'
имеющему общее решение с двумя неопределенными константами:
_ 1 Сух С
f~~(\+x2J+TTx2' + JTx2'-
Они могут быть определены из начальных данных без решения полной
эволюционной задачи, а с помощью соображений симметрии и закона

4.3. Примеры 99
сохранения. Действительно, уравнение D.28) и начальное условие инва-
инвариантны относительно отражения а: —» —х. Такой же симметрией должно
обладать и решение, что сразу фиксирует С\ = 0. Далее, проинтегри-
проинтегрировав обе части D.28) по всей прямой ж, мы получим, что интеграл
+00
/ dx f(x, t) от t не зависит. Поскольку при t ~ 0 он был равен нулю, то
таким должен оставаться и при t -* +оо. Отсюда определяем, что С = j.
Итак, искомая асимптотика имеет вид
Норма этой функции относительно D.29), очевидно, конечна. >
108. Эволюция поля i>(r,t) в двумерном пространстве определяется
нелинейным уравнением Шрёдингера
Ш2ф = 0. D.30)
(а) Доказать, что функционалы
, H = f dr
являются интегралами движения.
(б) Доказать, что для локализованного в пространстве начального
возмущения величина:
удовлетворяет уравнению:
Используя это соотношение, показать, что при положительном значении Н
в решении i>(r,t) за конечное время образуется сингулярность (критерий
Таланова). Иными словами, существуют такой момент времени V и точка
пространства г*, что при t —»t* и г —» г*: $(r, t) —> оо.
Решение, (а) Выпишем вместе с уравнением D.30) комплексно со-
сопряженное:
-t# + Atf* + MV=0, D.31)
умножим D.30) на ф* и D.31) на ф, вычтем одно из другого и проинте-
проинтегрируем по пространству. Для ij>(r, t), достаточно быстро убывающих при
г —> оо, получим ^ = 0.

100 Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравнения
Далее, подействуем оператором V на уравнение D.30), умножим ре-
результат на Vip*, из полученного равенства вычтем комплексно сопряжен-
сопряженное и проинтегрируем по пространству. Результатом этих преобразований
будет соотношение:
d
%Jt
j dr \Vi/>\2 = / dt (v Л v* - i>* Д V) \i>\2-
Умножение же D.30) на V'M2» вычитание комплексно сопряженного
и интегрирование по пространству даст
\ It I dTW* = / * {Ф А ^ ~ ^ Л ^ ^|2'
что вместе с предыдущим равенством приводит к закону сохранения
dH t\
-ж =°-
Решение, (б) Действие оператором j на/и использование уравне-
уравнения эволюции D.30) даст равенство:
/() D.32)
Повторно дифференцируя по времени, подействуем сначала оператором
^ на первое слагаемое в D.32). Используя явно проверяемое перестано-
перестановочное соотношение
Д(гУ) = (rV) Д +2Д,
получим
Если к этому выражению прибавить его комплексно сопряженное, то это
и будет результат действия ^ на ^ J, то есть:
~ i = 8 J dt[\vi>\2 + ^(rv)M4) = т.
Для перехода к последнему равенству нужно проинтегрировать по частям
и учесть, что в двух измерениях div г = 2.
Интеграл Н имеет смысл гамильтониана нашей континуальной си-
системы, N — числа возбужденных степеней свободы. Постоянство Н
приводит к тому, что уравнение эволюции функционала /легко решается:
Щ = /@) + Ct - 4Ht2. D.33)
Здесь С — некоторая постоянная, определяемая начальной конфигура-
конфигурацией поля ¦ф. Предположим, что начальные условия таковы, что гамиль-
гамильтониан положителен: Я > 0. Тогда при любом конечном значении С
наступит момент, когда I(t) обратится в нуль. Однако функционал I(t)
по построению положителен. Единственный выход из получившегося

4.3. Примеры 101
противоречия — это непродолжимость решения неограниченно по вре-
времени, то есть образование сингулярности, называемое коллапсом. Для
симметричного относительно вращений начального распределения поля
обращение I(t) в какой-то момент времени в нуль означает, что вся
плотность [тр(т, t)\2 в этот момент сосредоточена в точке г = 0, где она,
в силу сохранения интеграла N, бесконечна.
Нелинейное уравнение Шрёдингера описывает, в частности, рас-
распространение света в нелинейной среде. Критерий Таланова дает условие
самофокусировки светового пучка. Нелинейность увеличивает показатель
преломления на оси пучка и действует как собирающая линза. Коллапс
происходит, когда нелинейность пересиливает расплывание пучка из-за
дифракции. >
109. Уравнения D.18), описывающие одномерное движение баротроп-
ного газа, квазилинейны. Каждое частное решение дается двумя функция-
функциями р, v двух переменных х, t:
p = p(x,t), v = v(x,t). D.34)
Переменные р, v могут быть использованы вместо х, t как новые независи-
независимые координаты, если якобиан преобразования не равен нулю. Покажите,
что в переменных р, v уравнения на функции х, t будут линейны*^.
Решение. Дифференцируя уравнения D.34) по р и v и предполагая,
что х, t являются функциями р, v, получаем систему
др дх dp dt _ др дх ^Й_
~дх"др+~о41)р~]' дх~ди: + ~д1~дп~ '
ди дх ди dt &идх ди dt_ _
Ъх^р ЬЧ др~ ' дх ди dt ди ~
Решая эту систему относительно частных производных, входящих в урав-
уравнения D.18), получаем
dp I dt dp 1 дх ди _ 1 dt ди _ 1 дх
= = 1~
где J = Ш ¦ gj — g| • щ — якобиан преобразования. Подставляя эти
выражения в уравнения D.18), получаем систему линейных уравнений
на функции t, х переменных р, v:
дх dt dt
ди p dp ди '
дх dt <?{p) dt
~др vd~p+ р ап ~ '
'' Такая замена называется преобразованием годографа.

102 Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравнения
если J Ф 0, оо. Ясно, что таким способом любая квазилинейная система
двух уравнений на функции от двух переменных может быть преобразо-
преобразована в линейную, если коэффициенты в исходной системе зависят только
от решения. При физически важных значениях у = j[±j общее решение
этой линейной системы находится аналитически [ЛЛ88]. >
110.
(а) Показать, что уравнение Бюргерса D.16) подстановкой Коула—
Хопфа
U = ~2fio4 1П*(!М)
преобразуется в линейное уравнение на в.
(б) С помощью такой подстановки найти периодическое в простран-
пространстве решение уравнения Бюргерса.
Решение, (а) На в получается уравнение
д
Интегрируя по х, имеем
Ь = V»,, + /(*)«, D.35)
где f{t) — произвольная функция. Ее можно положить равной нулю.
Действительно, умножение в(х, t) на любую не обращающуюся в нуль
функцию только времени t не влияет на и. С другой стороны, легко
убедиться, что, отыскивая решение уравнения D.35) в виде в = <р(г)Ф(х, t)
и выбирая в качестве <р решение уравнения
на Ф получаем уравнение D.35) с /(<) = 0.
Решение, (б) Одно из простейших периодических решений уравне-
уравнения 0j = fi6xx имеет вид 0(t, х) = А + е"''* ' sin kx, где А — константа.
Соответствующая функция
е-г*2* cos kx
u(t, x) = -2itd, In 0(t, x) = -2/xfc , D.36)
A + e i* ' sin fca;
не будет иметь особенностей при А > 1. Следовательно, D.36) при А > 1
является периодическим решением уравнения Бюргерса при всех t 5= 1. >
111. Свести квазилинейное уравнение
Ли - (VttJ =
к линейному заменой неизвестной функции.

4.3. Примеры 103
Решение. Подстановка и = «(«) приводит к уравнению (о/" - ш'2)х
(V»J + ш' A v = 0. Выбирая функцию w(») как решение обыкновенного
дифференциального уравнения
и," - (ш'J = 0, D.37)
получаем для v уравнение Лапласа. Уравнение D.37) имеет явное реше-
решение: ш = С\ — In \x — Сг1- >
112. Найти в системе квазилинейных уравнений второго порядка
А в - sin в cos 0(V(pJ = 0,
Д y? + 2ctg0 V0Vy? = 0
решение вида в = /(«), ip = g(v), где v — новая неизвестная функция. По-
Показать, что при условии Av = 0 система сводится к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений на /, д. Решив ее, найти в, <р.
Решение. Замена неизвестных функций в = 0(v), <p = <p(v) приводит
к системе
0"(VvJ + в' A v - sin 9 cos 9 ip'2(Vvf = 0,
<p"(VvJ + tp'Av + 2ctg9 4>'9'{Vvf = 0.
Если v — гармоническая функция, то получится система обыкновенных
уравнений
в" - sin в cos 9(pn = 0, D.38)
tptt + 2cl& 9<p 9' =0. D.39)
Уравнение D.39) после деления на tp' один раз интегрируется:
Тогда можно проинтегрировать и уравнение D.38):
где C|, C2 > 0 — константы. Полученное уравнение снова интегрируется.
В результате имеем решение
l+/32ctg2(C|/3t>)
где /J=^^l,ai» — произвольная гармоническая функция. Эта
система уравнений используется в теории ферромагнетика. >

104 Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравнения
113» Найти решение и(х, t) уравнения
щих - и = 0, D.40)
удовлетворяющее условию и(х, 0) = х2.
Решение. Переписывая D.40) в виде: F = pq - и = 0, мы приходим
к уравнениям для характеристик в пространстве (и, р, q, x, t):
x = Fp = q, t = Fq=p, p=-Fx-pFu=p,
q = -Ft- qFu = q, и = pFp + qFq = 2pq.
Общее решение этой системы содержит пять произвольных констант С,-,
D.42)
Начало отсчета параметра т зафиксируем условием <@) = 0. Это даст
связь С* = -С\. Равенство F = pq - и — 0 определяет С$ = 0. Далее,
из начального условия следует, что при т = 0: и = х2, р — их = 2х,
что дает связи: С|С2 = (С2 + CjJ, С\ = 2 (С2 + Сз). Все это позволяет
выразить постоянные (вдоль характеристик!) С2_4 через С\\
г _ ' г _ 1 г I г
''41' ~ 4 ' 4 ''
< = С,(ег-1), « = 1с2е2т.
4
Выражения D.43) для и, t, x — ни что иное, как параметрическое задание
поверхности и = и(х, t), где параметрами служат т и С\. В нашем случае
их можно исключить и получить явное выражение для и(а;, t):
u(x,t) =
114. Найти решение ф(х, у, t) уравнения типа Гамильтона—Якоби
Ф? -tl- 1>l = 0, D.43)
удовлетворяющее условию
¦ф(х, у, 0) = у/х2 + у2. D.44)
Решение. Обозначая ро = V^ Pi = i>x и Vi — Фу перепишем урав-
уравнение в виде F = pi - р2 - р\ =0. Его характеристики — кривые
в семимерном пространстве, определяемые уравнениями:
Ро = Р\ = h = 0, i-2p0, x = -2pt, y=-2p2, ^ = 0.

4.4. Задачи 105
Требуя, чтобы значению параметра г = 0 соответствовало t = О, получим
решение этой системы с шестью произвольными постоянными:
Ро = Со, Р|=СЬ рг — С2, ф = С3,
< = 2Сог, ж = -2С|Т + В|, t/=-2С2т + В2.
При < = 0 мы знаем выражения ip, р\ = г/>х и р2 = ^у через х и </. По-
Поскольку t = 0 при т = 0, то отсюда следуют связи между константами С,-
d =
IB] + В\
Условие F = 0 дает Со = ±уС\ + С\ — ±1. Таким образом, решение
нашей задачи Коши не единственно; имеются две функции i>±(x,y,t),
удовлетворяющие уравнению D.43) и начальному условию D.44). По-
Поверхности ij) = V±(a:, Vi *) могут быть заданы в параметрическом виде
с помощью двух параметров В\ и В2. Если их исключить, то получится
явное выражение:
¦ф± = ±t + s/x1 + у2. D.45)
4.4. Задачи
115. Решить задачу Коши для одномерного уравнения теплопровод-
теплопроводности на полуоси 0 ^ х < оо, если и(ж, 0) = х3, и@, t) = 0.
116. Найти автомодельную подстановку для нелинейного уравнения
Шрёдингера
117. Решить задачу Коши для нелинейного уравнения первого по-
порядка:
и* + j «х = 0, "(ж, 0) = х2.
4.5. Ответы
115. и(х, t) = <3/2/ ( 4= ) = я3 + 6<а:.
117. tt(x,O=T-j-5.

Глава 5
Специальные функции
5.1. Особые точки
Любое линейное однородное обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение второго порядка можно привести к виду
0+р(г)^+фJ/ = О. E.1)
Особыми точками этого уравнения называются точки, где p(z) или
q(z) обращаются в бесконечность. Если p(z), q(z) аналитичны в круге
\z — Z\ | < R комплексной плоскости переменной z, то в окрестности Z\
существует два линейно независимых решения y\(z),3/2B), образующих
фундаментальную систему решений. Общее решение уравнения E.1)
выражается через их линейную комбинацию
y(z) = А у,(г) + By7(z).
Из E.1) следует, что вронскиан двух решений
удовлетворяет уравнению
dW(z)
dz
которое имеет решение
= -p(z)W(z), E.3)
W(z') = W(z) exp (- У dt p@), E.4)
обращающееся в нуль только тогда, когда y\(z), уг(г) линейно зависимы.
Оба решения можно аналитически продолжить из z\ вдоль контура С,
не проходящего через особые точки. Причем из E.3) следует, что линей-
линейная независимость решений сохраняется.
Пусть 2о — изолированная особая точка. Рассмотрим два линейно
независимых решения y\(z),yi(z), заданных в окрестности неособой
точки г, находящейся вблизи го. Аналитически продолжим эти решения

5.1, Особые точки
107
из точки z в точку г, обойдя по замкнутому
контуру вокруг zq (рис. 5.1), При этом реше-
решения yi(z) переходят в новые функции у?(г),
которые являются линейными комбинация-
комбинациями решений у,(г):
Если функции У] (г) можно выбрать так,
чтобы матрица оу была диагональной: Рис. 5.1. Контур в плоскости
комплексной переменной z
Vj(z) = *.?%(¦*)>
то асимптотика решений в точке z = zq имеет вид
E.5)
*=-оо
Числа pj — 5j; In (Xj) называются характеристическими показателями.
В невырожденном случае (А| Ф Аг) разность pi — pi не является целым
числом.
Если матрица ац не диагонализуется, приведем ее к жордановой
форме, т. е. выберем решения, которые при обходе по замкнутому контуру
(рис. 5.1) преобразуются по закону:
Асимптотика решения j?i в точке z = zq имеет вид E.5) с р\ =
Чтобы найти асимптотику уг, заметим, что функция
yt(z) 2vtX
при аналитическом продолжении вдоль контура (рис. 5.1) переходит сама
в себя: W+(z) = W(z), т. е. асимптотика W(z) в точке z — Zo имеет
вид E.5) с р = 0. Асимптотика уг{г) содержит логарифмические вклады.
Если ряд Лорана в выражении E.5) обрывается снизу (т. е. с* = 0
при к < кц), то zo называют регулярной особой точкой. Если же ряд
не обрывается, то zq — иррегулярная особая точка. Уравнение называется
уравнением класса Фукса, если оно имеет только регулярные особые
точки. Особая точка щ Ф оо является регулярной в том и только в том
случае, если коэффициенты уравнения E.1) при z —> zo удовлетворяют
условиям
\p{z)(z - zo)| < оо, \q{z)(z - zoJ| < оо.

108 Глава 3. Специальные функции
Пусть 2о = оо, конформная замена z = ), jj = -t2 ^ приводит
уравнение E.1) к виду
где
Откуда следует, что z0 = оо является регулярной особой точкой, только
если при z —» оо
\p(z)z\ < оо, \q(z)z2\ < оо.
Точка zo = оо является неособой, только если при z —> оо
|z[2-p(z)z]|<оо, |z49(z)| < оо.
Следовательно, коэффициенты уравнения E.1) класса Фукса с п+ 1
регулярными особыми точками (одна из которых на бесконечности)
можно привести к виду
где Л*, В«, Q — фиксированные комплексные числа, причем
5.2. Гипергеометрические функции
Уравнение с тремя регулярными особыми точками называется ги-
гипергеометрическим уравнением. Пусть zo,Z],z2 — особые точки. Замена
переменной
( ) ( )
t
~ (г - z2) (г, - го)'
конформно отображающая комплексную плоскость переменной на себя,
переводит регулярные особые точки в to — 0, <| = 1, <2 = со. При этом
коэффициенты уравнения E.1) должны принять вид
Ао -Ai ..-. С Во В\
Коэффициенты Вк при р, д^р можно сделать равными нулю
с помощью степенной замены у = f(t - iyF. В результате получим
канонический вид гипергеометрического уравнения
2 W К
«(« - О ^г + [(« + /3 + 1)« - 7] -$ + <*PF = 0, E.6)

S.3. Ортогональные полиномы 109
в котором а, р, 7 связаны простыми соотношениями с А^, Bt, С.
Решением уравнения (S.6) служат гипергеометрические функции Гаусса. Во
всех регулярных особых точках решения имеют степенные асимптотики.
Их можно найти, подставляя в уравнение E.6) функцию вблизи особой
точки ? в виде F ~ (t - t')"{ I + O(t — t')) и отбрасывая малые по t - t'
члены:
F~f\ при t-*0: 1/0 = 0,1-7;
F~(*-l)"', при t —> 1 : 1/, =0, 7-в-/3;
F~ — > при (-юо: ^oo = a, p.
Разложение в нуле решения с щ = 0 в ряд Тейлора имеет вид
Из разложения видно, что если а или р — целое неположительное число,
то ряд обрывается, а значит F превращается в полином.
Вырожденное гипергеометрическое уравнение получается из гипер-
гипергеометрического в результате слияния двух регулярных особых точек.
Сделаем в гипергеометрическом уравнении замену t = | и устремим р
к бесконечности, тогда яо = top = 0, xi = tip —> 00, x-i = tip = 00, так
что две особые точки х\, хг сливаются в одну. В результате получим
вырожденное гипергеометрическое уравнение
в котором точка х = оо является иррегулярной особой точкой. Асимп-
Асимптотика в нуле х ~* 0 степенная: F ~ хщ, где щ = 0 или щ = ! - 7. а при
а; —»оо — экспоненциальная: F ~ ех и степенная: F ~ х~°.
Разложение в нуле решения с vq = 0 этого уравнения в ряд Тейлора
имеет вид
_ ах а(а+\) х2 а(а+
7G+0 2!+ 7G+0G + 2) 3F+" "
Из разложения видно, что если a — целое неположительное число, то
ряд обрывается, а значит, |F, становится полиномом.
5.3. Ортогональные полиномы
Полиномы, задаваемые обобщенной формулой Родрига

110 Глава 5. Специальные функции
где п — степень полинома Рп(х), а R(x) — полином, ортогональны
с весом W(x):
Х2
J
dxW(x)Pn(x)Pm(x) = 6nmhn, W(xl)R(x]) = W(x2)R(x2) = 0 E.9)
на интервале (х\, х2), офаниченном точками, в которых W(x)R(x)
обращается в нуль (см. задачу 124).
Существует три классических типа ортогональных полиномов (см. за-
задачу 123), отличающихся областью определения.
1. Полиномы, заданные на всей числовой оси (-оо < х < оо),
R(x)=\, W(z) = exp(-b2(x-aJ). E.10)
Сдвигом и растяжением переменной такие полиномы сводятся к по-
полиномам Эрмита:
2. Полиномы, заданные на полуоси (о ^ х < оо),
R(x) = x-a, W(x) = е-ь(х-а\х -а)а, а > -1. E.12)
Сдвигом и растяжением переменной такие полиномы сводятся
к обобщенным полиномам Лагерра:
ь°м=х^?х°+Пе~г- E1з)
3. Полиномы, заданные на отрезке (at < х < Яг),
R(x) = (х - at)(a2 - х), W'0(x) = (х - ai)a(a2 - xf,
a>-\, 0>-\.
Сдвигом и растяжением переменной такие полиномы сводятся к по-
полиномам Якоби:
=(,+,ff«y h(ж+1)О+ПA -хГ"- EЛ5)
При a = р = А полиномы Якоби сводятся к полиномам Гегенбауэра,
а при А = 0 — к полиномам Лежандра.
Полиномы всех трех типов являются собственными функциями оператора
(задача 125)
1Р{)
Х) = Щх) Тх (*<«>*<*>SP»<*>) = А"Р"(Ж)' E.16)
х 6 (*,, s2), W(xi)Pn(xt) = W(x2)Pn(x2) = 0,

5.4. Примеры 111
где весовая функция W(x) и полином R(x) имеют вид E.10), E.12)
или E.14). Оператор L является эрмитовым в гильбертовом простран-
пространстве со скалярным произведением, заданным формулой E.9). Уравнение
E.16) для полиномов Якоби сводится к гипергеометрическому, а для
полиномов Эрмита и Лагерра — к вырожденному гипергеометрическому
уравнению (задача 154).
Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений
хорошо изложена в книгах (Сми74Ь, МФ58, Кам76] Читателям, интере-
интересующимся теорией специальных функций мы можем порекомендовать
трехтомник [БЭ73, БЭ74, БЭ67, Олв90]. Таблицы и графики специальных
функций можно найти в справочниках [АС79, ЯЭЛ77].
5.4. Примеры
118. Доказать, что если особая точка Xq Ф оо уравнения E.1)
является регулярной, то коэффициенты E.1) имеют вид
\? o^O/ \*" •«'0/
где Pi(x) и q\(x) — аналитические в окрестности х = xo функции.
Решение. Не теряя общности, можно положить х0 = 0. Если ж = 0
регулярная особая точка уравнения, то асимптотика решений E.5)
и вронскиана E.2) при а; -»0 в невырожденном случае имеет вид
Выражая р(х) и q(x) через у(х) и W(x) с помощью уравнений E.1)
и E.3), находим асимптотику при х —» 0:
dW(x)/dx A
d*yj(x)/dx> dVj(x)/dx В *
я(х)=——м-щг-*
119. Найти регулярные особые точки и характеристические показа-
показатели в уравнении Бесселя:
dx2 dx
Решение. Переписывая уравнение в виде E.1), находим р(х) = |,
q(x) = 1 - ~f. Имеется одна регулярная особая точка х = 0 и одна
иррегулярная х = оо. Асимптотику в регулярной особой точке надо

112 Глава 5. Специальные функции
искать в степенном виде. Подставляя у(х) ~ хр в уравнение и отбрасывая
малые по х члены, получаем при ж —* О
значит, характеристические показатели равны
р± = ±f-
В вырожденном случае (р+ — р_ = 2и = п, где п — целое) в асимптотике
второго решения могут появляться логарифмические члены. Обозначим
за Jn/2(x) ~ х"/2 регулярное в нуле решение n ^ 0. Асимптотику второго
решения найдем с помощью подстановки
х
Уг{х) = Jnn(x) J Л f{t).
На /(х) получаем уравнение
решение которого
разложим в ряд по х вблизи х = 0
Интефируя по х, находим асимптотику У2(х):
Уг(х) —» о0 In (х) при п = 0,
у2(а;) —> аох~п/2 при п > 0.
Если коэффициент о„ ^ 0, то в разложении уг(х) обязательно будут
логарифмические члены, возникающие при интегрировании /(х).
Асимптотику в иррегулярной особой точке будем искать в виде
у(х) -> ехр (Ах") при х —» оо. Подставляя ее в уравнение и отбрасывая
малые по | члены, получаем, что при х —»сю остается три члена.
A Vx2<T + Aff V + х7 = 0.
Предполагая, что лидирующими являются первые два члена, приравни-
приравниваем их друг другу и получаем а = 0. Но поскольку последний член
растет при х —* оо быстрее, мы заключаем, что предположение не верно.
Предполагаем теперь, что лидирующими являются последние два члена,
приравнивая их друг другу, получаем а = 2. Но поскольку в этом случае

5.4. Примеры 113
первый член растет при х —> оо быстрее, мы заключаем, что предполо-
предположение опять не верно. Наконец, рассмотрим последнюю возможность
и приравняем первый и последний члены уравнения. Откуда получаем,
что а = 1, А = ±г, у(х) -»ехр (±ix). >
120. Выразить функции Бесселя Jv(x) через вырожденную гипергеоме-
гипергеометрическую функцию.
Решение. Особые точки уравнения Бесселя (П. 14) и вырожденного
гипергеометрического уравнения E.7) совпадают, а асимптотики в них
отличаются. Решения уравнения Бесселя при х —* 0 стремятся к х*",
а при х —» оо стремятся к ехр (±»х) (задача 119). Выделив эти асимптотики
Jv(x) = х" ехр (-ix)f(x),
на f(x) получаем уравнение
х ~z + [2v + 1 - Их] Ц- - iBv + \)f = 0.
ах1 ах
Сравнивая с уравнением E.7), получаем
Коэффициент пропорциональности найден из сравнения разложений
в ряд E.7) и (П.15) при х -* О
121. Найти характеристические показатели в регулярных особых точ-
точках уравнения Лежандра (уравнение на собственные функции угловой части
оператора Лапласа в сферических координатах):
Решение. После замены переменной х = cos 0 уравнение принимает,
с точностью до переобозначения А на 1A + 1), вид (П.36), в котором три
регулярные особые точки х — ±1, х = оо. Ишем асимптотики при х —> ±1
в степенном виде:
Подставляя их в уравнение (П.36) и отбрасывая малые по 1 ± х члены,
получаем
т т
/>i=±y, Pi = ±j-

Глава 5. Специальные функции
Асимптотику при х —¦ оо ищем также в степенном виде х~р* и для
характеристического показателя получаем квадратное уравнение
Роо(Роо + О = Ат. >
122. Выразить функции Лежандра Р™(х) через гипергеометрическую
функцию Гаусса.
Решение. Особые точки уравнения Лежандра (П.36) хо = 1, х\ = -1,
x-i = оо и гипергеометрического уравнения E.6) отличаются. Сделаем
конформную замену t = ^jp, переводящую регулярные особые точки
1, — 1, оо в to — О, t\ = 1, <2 = со. В новых переменных уравнение примет
вид
Выделяя асимптотики функции F(t) = Р/"A — 2t) при t —¦ 0, ( -> I
(см. задачу 121), получаем, что функция
удовлетворяет гипергеометрическому уравнению E.6):
Щ - 1) § + [2< - 1](т + 1)^ - AA + 1) - т(т+ 1))/ = О,
f(t) = A2Fs(m-l,m + l+ l;m+l;<)-
Осталось найти коэффициент пропорциональности А. Поскольку при
t —» 0 (ж —> 1) гипергеометрическая функция 2F\ стремится к 1, а функ-
функции Лежандра (П.37) стремятся к
РГ(х)
(I + та)!
,,_, ~* 2ram!(l-m)!'
получаем
123. Найти, при каких W(x) и R(x) функции Рп(х), задаваемые
обобщенной формулой Родрига E.8), являются полиномами п-й степени.
Решение. Выразим полином первой степени Р\(х) = A\v(p-x) через
W(x) и R(x) с помощью обобщенной формулы Родрига E.8):
Pt(x) R(x) dW dR
1/(/1_а;) = __ = ___ + __. E.,8)
Рассмотрим E.18) как дифференциальное уравнение для функции W(x)
при различных степенях к полинома R(x): k = 0, к=1чк^2. Решения
этого уравнения имеют следующий вид:

5.4. Примеры 115
1. При R = 1 весовая функция равна с точностью до постоянного
множителя W(x) = ехр (-у<;с~/') ). Подставляя ее в формулу Родрига,
убеждаемся, что
/и(х-цJ\ dn ( u(x-fiJ\
Р-(«) = К ехр (-4^-) dx~« еХР {~2-J
— полином п-й степени. Сдвигом и растяжением переменной такие
полиномы сводятся к полиномам Эрмита.
2. При R = х — а весовая функция W"(x) = (х - о)" ехр (-v(x - a))
зависит от параметра а = и(ц - а) - 1, который мы записали в виде
верхнего индекса. Подставляя ее в формулу Родрига, убеждаемся,
что
Р?(х) = А°(х - а)~а ехр (и(х - а)) ^ (х - а)а+п ехр (-и(х - а))
— полином п-й степени. Сдвигом и растяжением переменной такие
полиномы сводятся к обобщенным полиномам Лагерра.
к
3. При R(x) = П(х ~ аг)> гДе * ^ 2, а все От предполагаются различ-
ными, уравнение (S.18) для W(x) перепишем в виде
1 dW _ и(ц - х) 1 dR _Лу аг
W(x) ~dx ~ R(x) Щх) ~dx ~ f^ x-aT'
Здесь аг — коэффициенты разложения на простые дроби. Решение
этого уравнения для весовой функции можно записать в виде W(x) =
к
Yl(x ~ «г)°г- Прямой подстановкой весовой функции W(x) и R(x)
в обобщенную формулу Родрига получаем, что степень полинома Р„
равна degPn = n(fc - 1). По условию задачи необходимо, чтобы
degPn = n, поэтому к может быть равно только 2. Обозначим
«| = а, аг = /3 и будем указывать эти параметры в виде верхних
индексов
= Аа/(х - <иГ(аг - х)-"-^ (х - а,)"+"(а2 - xf+Г
Сдвигом и растяжением переменной такие полиномы сводятся к по-
полиномам Якоби.
124. Доказать, что полиномы, задаваемые обобщенной формулой Род-
Родрига E.8), ортогональны с весом W(x) на интервале (х\,Х2), ограничен-
ограниченном точками, в которых W(x)R(x) обращается в нуль: W(x\)R(x\) =
W(x2)R(x2) = 0.

116 Глава 5. Специальные функции
Решение. Выражение W(x)R(x) для всех трех танов полиномов,
найденных в задаче 123, обращается в нуль в точках:
1) для E.10) Х\ = -оо, х2 — оо;
2) для E.12) Х\ = а, х2 = оо;
3) для E.14) х, = п], х2 = о2.
Обозначая W"^(x) весовые функции всех трех типов (весовая функ-
функция может зависеть только от одного параметра E.12) или не зависеть
от параметров E.10)), замечаем, что
WaJ)(x)R(x) = Wa+iJ>+l(x). E.19)
Пусть п > т. Полагая для простоты нормировочные константы Ап
равными единице, проинтегрируем по частям скалярное произведение
*2
= J
[
Выражение в квадратных скобках — полином Р°*{ +|(х). Это, в част-
частности, означает, что в точках х\, х2, где W^R = 0, в нуль обращается
также внеинтегральный член при а > -1, р > -1. Повторяя интегри-
интегрирование по частям п — 1 раз (внеинтегральный член каждый раз будет
обращаться в нуль, в силу того что Wa^(x\)R{x\) = Wa^(x2)R(x2) = 0),
получаем
dx(-\)nWap(x)Rn(x) \^}Х)\ = ° "Р« т
Здесь мы учли, что производная n-го порядка от полинома степени т
равна нулю при т < п. Если т > п, то для доказательства обращения
интеграла в нуль надо поменять я и m местами. В результате 1%„! =
к°'^6„т, и ортогональность полиномов доказана. >
125. Доказать, что полиномы, задаваемые обобщенной формулой Род-
рига E.8), являются собственными функциями оператора L E.16), в ко-
котором функции W(x) и R(x) имеют вид E.10), E.12) или E.14). Найти
собственные значения Х„ оператора L.

5.4. Примеры 117
Решение. Воспользуемся тем, что умножение весовой функции на
полином R(x) увеличивает ее верхние индексы на единицу E.19). Опе-
Оператор
jpfi - Д(а;) A. wa()(x\
4 ~W*(x)dxW K)t
где оператор производной действует на все стоящие справа функции,
увеличивает степень полинома Р" (х) на единицу, переводя его в ортого-
ортогональный набор полиномов с индексами а, /?, уменьшенными на единицу:
= g-i ?-\™n+\ \xf- E-22)
Am-I
Здесь А„ — нормировочная константа, а полиномы предполагаются
нормированными на 1. Операторы, увеличивающие степень полинома
на единицу, называются повышающими. Очевидно, что оператор jj
понижает степень полинома на единицу. Воспользуемся полнотой на-
набора ортогональных полиномов P%f{x) и разложим по этому базису
полином n-й степени
— °ЯШ .„_! /
Здесь мы проинтегрировали по частям, и внеинтегральный член обра-
обратился в нуль. Полученное равенство означает, что
Подставляя это выражение в (S.22), получаем, что полиномы удовлетво-
удовлетворяют уравнению
1 I
Ля-1 j
An '
При выбранной нормировке полиномов собственные значения Л?^ вы-
выражаются через нормировочные константы, которые, в свою очередь,

118 {лава 5. Специальные функции
связаны с нормировочными интефалами ?„ E.20). Найдем собствен-
собственные значения для различных весовых функций Wa<P(x) во всех трех
случаях E.10), E.12) и E.14).
1. Для полиномов Эрмита E.11)
, d ,
4 = ехр (ж ) — ехр (-х ),
ах
а нормировочные константы
-00
Откуда А„ = 2п.
2. Для полиномов Лагерра E.13)
-а+1 х d
dx"
а нормировочные константы
?; (?;^ 1).
о
Откуда А™ = п.
3. Для полиномов Якоби E.15)
Г" = (х - aj-"^ - яI""^* - а,Па2 - xf,
а нормировочные константы
= п\2"+р+2п+1 В(а + п+1,
¦А п! Г(п + а+1)Г(п +
Х
п - I + /3 +
_ , 2а+(м„+1 Г(а + п + 1)Гр? + и + 1)
Г( ? 1)
_ ,
Откуда А"" = п(а + /3 + п + 1).

5.4. Примеры 119
126. Выделив асимптотики в особых точках уравнения Лежандра
найти коэффициенты разложения в ряд по х = cos в. При каких Хт ряд
обрывается и имеется ограниченное решение?
Решение. Выделяя степенные асимптотики в точках ж — ±1 (см. за-
задачу A21))
1[ '~ (lx2)™/2'
получаем уравнение на функцию f(x)
A - х2) р, - 2х(т +1)У- + (\т- т(т + 1))/ = 0. E.24)
ах1 ах
00
Подставим f(x) = ^Z <*„:»" в виде степенного ряда по г в уравнение
п=0
и приравняем нулю сумму коэффициентов при одинаковых степенях х.
На о„ получаем рекуррентные соотношения
(п + т)(п + го + 1) - Ат
Коэффициент ак+2 обращается в нуль, а ряд обрывается, только если
Ат = 1A + 1), 2 ^ т, при этом к = 2 — та. >
127. Получить из формулы Родрига (П.37) для полиномов Лежандра
интегральное представление Шлефли (П.43).
Решение. По формуле для вычета в полюсе порядка 2+1, вычет
в точке х равен
dz f(z) I dff(x)
п (z -»)'+' 2! dx1 '
Подставляя сюда f(x) = 2~'(х2 - 1)', получаем интегральное представле-
представление полиномов Лежандра:
которое можно переписать в виде интеграла по отрезку, сделав замену
переменной z на ф:
z = х + i exp (i^)vl - х2, dz = (z - x)i d(j>,
z2 - 1 = x2 + 2x(z - x) + (z - xJ - 1 =2(z-x){x + i\/\ -ж2 cos

120 Глава 5. Специальные функции
г*
/йф ,
—(cos в + i sin в cos ф).
2/К
128. Найти производящую функцию (П.41) для полиномов Лежандра
Pi(x) с помощью интегрального представления (П.43).
Решение. Подставим в выражение для производящей функции ин-
интегральное представление для полиномов Лежандра
,=о { 27Г .=о
i=o { 21Г 1=0
Просуммируем геометрическую прогрессию
2»
F(r,cos0) = / ^ п '. . т, г < 1,
У 2тг 1 -гcostf- trsin0cos0
о
2»
F(r,costf) = / ^ г-Д 7, г > 1.
У 2тг г - cos б — t sin в cos ф
о
Сделаем замену переменной у = i exp Aф):
F(r,cos9) = / -Л -^—- (у2 - 2
/ 2тг* г sin в \
1-rcose ч~'
/ \ г sin в
F(r,cos$) = 4 ( У2 ~ 2 ——-ff-1) > г > 1.
/ 2wi sintf \ sin* /
Вклад в интеграл дает вычет в том из двух полюсов подынтегрального
выражения, который находится внутри окружности единичного радиуса:
- r cos в ±
rsmO
+ г - cos в ± \/\ - 2r cos в + г2
У = —а , т>\.

5.4. Примеры 121
Используя равенство у+у = 1, находим, что \у | < 1, а \у+\ > 1. Поэтому
вычет надо брать в точке у = у~
2 1 1
F{r>x) = <1
129. Получить рекуррентные соотношения (П.39) и формулы диффе-
дифференцирования (П.40) с помощью производящей функции (П.41).
Решение. Дифференцируя производящую функцию, получаем
x) r F( )
х)
г(г х) F(r x)
Умножим эти равенства на 1 + г2 - 2гх. Разлагая в ряд по степеням г
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, находим
(* + 1)Р,+,(х) + (I - 1)Р,-,(ж) - 2х1Р,(х) = -Р,-Х{х) + хР,(х),
Первое равенство перепишем в виде (П.39)
+ lPt-i(x) = xBl
Дифференцируя его и вычитая из второго равенства, умноженного на 1+
или / + 1, получаем (П.40)
130. Доказать ортогональность и выразить нормированные сферичес-
сферические функции Yim через Р™.
Решение. Нормированные ортогональные сферические функции
?1т(в, <р) = A?P™(cos в) ехр (»гоу>)
должны удовлетворять соотношению
1
j du YUO, <p)YVm,@, у) = 2ж6тт, A?A? j dx р}т\х)р]Г\х) = 6тт,6,,.

122 Глава 5. Специальные функции
Иначе говоря, присоединенные функции Лежандра должны быть орто-
ортогональны
F = f dx PJm](x)PJr}(x) = 6IV
1
Положим Г > 2. Воспользуемся формулой Родрига для функций
Лежандра. Интегрируя по частям, получаем
- /
~ J
Произведение в квадратных скобках отлично от нуля только при I — V
и равно в этом случае (~X\?*\f!,t)m^'¦ При /' < / надо поменять 1,1' ме-
стами, таким образом, ортогональность доказана. Вычисляя оставшийся
интеграл F, получим выражение для коэффициентов Af:
(I+M)!
At —
2J+1 (l-\m\)V
131. Нарисовать график зависимости сферических гармоник
\Y,m\(cos6)
от угла в при т = 1 и при т = 0,2 > 1 (в квазиклассическом приближении).
Решение. При т — I из формулы Родрига находим |У»| ~ sin'в.
При m = 0 приведем уравнение (П.36) к стандартному виду операто-
оператора Штурма—Лиувилля с помощью подстановки, исключающей члены
с первой производной:
При sin 0 > { мы можем пренебречь вторым членом в квадратных
скобках. Тогда, за исключением окрестностей в -С {, х -6 <С {, функция
имеет вид

5.4. Примеры
123
Фаза j определяется из требования симметрии функции
При в -+ 0, тг сферическая функция Yio@)
к конечной величине (рис. 5.2).
г Jf(cos0) стремится
Рис. 5.Z. Графики сферических гар-
гармоник с орбитальным моментом
/ = 6. На левом рисунке m = 1,
на правом — m = О
132. Привести радиальную часть трехмерного уравнения Шрёдингера
для частицы, находящейся в связанном состоянии (Е < 0), в кулоновском
поле U = — j (атомные единицы):
ДФ(г) + 2
- Ф(г)=О
к уравнению Лагерра (П.58), выделив асимптотики в особых точках.
Решение. После разделения переменных радиальная часть уравнения
Шрёдингера принимает вид
В этом уравнении особые точки — г = 0 регулярная и г = оо иррегуляр-
иррегулярная — совпадают с особыми точками вырожденного гипергеометричес-
гипергеометрического уравнения E.7), но асимптотики в них другие:
при
при
0:
оо :
г"'
Ф(г) ~ г' или г,
Ф(г) ~ exp (±rV—2E).
Выделяя асимптотики Ф(г) = г' exp (-rV-2E )/(г), на /(г) получаем
уравнение
-f(r)=O,

124 Глава 5. Специальные функции
которое после перехода к новой переменной р = 2rV-2E, сводится
к вырожденному гипергеометрическому уравнению E.7) с f = 2A+ I)
Требование убывания Ф(г) на бесконечности дает условие на
Е = -1-(-а + 1+\)\
поскольку только при целых а ^ 0 вырожденное гипергеометрическое
уравнение сводится к уравнению Лагерра (П.58), которому удовлетворяет
степенное решение (П.59): /(р) = Li'a'(p), растущее на бесконечности
медленнее чем ехр (^). Откуда
133. Найти нормировку радиальной волновой функции электрона в ато-
атоме водорода:
Решение. По определению нормированная волновая функция удо-
удовлетворяет уравнению (в атомных единицах),
Заменим переменную интегрирования г на х = Ц-, где п = /
целое, и, воспользовавшись формулой Родрига для полиномов Лагер-
Лагерра (П.59), перепишем в виде:
L(n-Z-l)!,
о
Интегрируя по частям, получаем
1 "О
о
Выражение в фигурных скобках равно
(-1)"-'-'(*(п- 1I - (п + 1)(п- I - 1)(я- I - 1)!),

5.4. Примеры 125
поэтому интеграл выражается через Г-функции от целого аргумента:
о
3
_/п\3(п-0(п
+1+1)!-(я
(n-i-1)!
Откуда получаем нормированную функцию
134. Найти собственные функции и энергию стационарных состояний
уравнения Шрёдингера для осциллятора:
Решение. Выделяя асимптотику при х = оо, уравнение Щрёдингера
для осциллятора можно свести к уравнению Эрмита. Мы поступим
по-другому. Введя операторы
d \ t % ( d
перепишем уравнение Шрёдингера,
НЩх) = о*аФ(а;) = (Е -
Нетрудно видеть, что оператор Я положительно определен для всех
функций из L2:
I dx tf(x)H4t(x) = I dx 9Цх)&*&Щх) = I dx |йФ(а;)|2 > 0.
Равенство нулю этого выражения достигается, только если
аФо(х) = ^ (? +ж) *•>(*) =°. те- *о(«) = А «р (-у)-
При этом Ео = \. Для нахождения всего спектра энергий рассмотрим
коммутационные соотношения
а»о(о')"Ф(а;) = (а'Jа(о|)"~|Ф(х) + (а*)"Ф(а;) =
= п(в')"Ф(ж) + (о')и+|аф(х).

126 Глава 5. Специальные функции
Поскольку оф0 = 0, из коммутационных соотношений следует, что
функция Ф„(г) = (о')"Ф0(а;) удовлетворяет уравнению
- 1Л Ф„(а;) = Н9„(х) =
Откуда видим, что собственные функции Фп(г) состояния с энергией
Еп = п+-.
выражаются через полиномы Эрмита Н„(х) (П.SO):
где мы воспользовались операторным тождеством (jj -ж)ех2/'2 = е1^2^.
Из соотношения ортогональности для полиномов Эрмита (П.52) получа-
получаем величину нормировочного коэффициента
135. Найти собственные функции и энергию стационарных состояний
уравнения Шрёдингера для двумерного (трехмерного) осциллятора в декар-
декартовых координатах:
--(Д-г2)Ф(г) = ЯФ(г).
Найти кратности вырождения состояний.
Решение. В декартовых координатах переменные в этом уравнении
разделяются. Для двумерного случая полагаем
г = (х,,х2).
На tyJ(xj) получаем одинаковые уравнения
Это уравнение Шрёдингера для одномерного осциллятора, собственные
функции и спектр которого найдены в задаче 134. Таким образом, энергия
стационарного состояния равна сумме энергий Ei = n,- + j одномерных
осцилляторов
En=ni+n2+\=N+\, N,nun2 =0, 1,2,...,

S.4. Примеры \21
а искомые собственные функции есть произведение функций *
Ф^(х2), явный вид которых приведен в задаче 134. Кратность выро-
вырождения N-то уровня gt, есть число линейно независимых собственных
функций с одинаковой энергией Ец, т.е. щ + п2 = N. Так как каждо-
каждому t»ii2 соответствует только одна собственная функция, находим, что
9п = Е 6(ni+n2-N) = N+\.
П|,|>2=0
В трехмерном случае действуем аналогично. Поскольку энергия
стационарного состояния определяется теперь суммой трех целых чисел
EN =п, +п2+п3 + - = ЛГ+-, N,nun2,n} =0,1,2,...,
то кратность вырождения уже другая:
,„= ? t(.,+,,+n,-AD-<'v+lf+2>-
П|,п2,п,=0
136. Найти собственные функции и энергию стационарных состо-
состояний уравнения Шрёдингера для трехмерного осциллятора в сферических
координатах:
Решение. В сферических координатах переменные в уравнении Шрё-
Шрёдингера для трехмерного осциллятора разделяются
9(r) = R(r)Ylm@,<p).
Здесь Yjm@, ip) — сферические функции, выражающиеся через решения
уравнения Лежандра (задача 130). На радиальную функцию получается
уравнение
Асимптотика решения в регулярной особой точке г —»0 этого уравнения
Д(г)~Л р(р+1)-1A+\)=0, р = 1, р=-1-\,
а в иррегулярной г —> оо
Д(г)~ехр(±у).
Выделяя асимптотики R(r) = /(г)г'ехр (-у), для функции /(г) по-
получаем

128 Глава 5. Специальные функции
Сделаем неконформную замену переменной z = г2:
42П*) . (, .3
" dz2
Это вырожденное гипергеометрическое уравнение E.7) сводится к урав-
уравнению Лагерра (П.58) с индексами v = 1+j, 2n = E-l— \, если п — целое
неотрицательное число. Из условия убывания R(r) при г —» со получаем,
что f(z) равна обобщенному полиному Лагерра Lvn(z), а собственные
функции имеют вид
Фп,,,тИ = 4У exp (-y
^лг = - + « + 2n = AT+ -.
Для вычисления кратности вырождения gN уровня с энергией EN вспо-
вспомним, что при фиксированном / имеется 21 + 1 линейно независимых
функций Yim с различными т, поэтому
W2] я
n=0 1=0 n=0
Сравните с ответом к задаче 135 для трехмерного случая. Очевидно, что
полученные собственные функции для iV-ro уровня энергии являются
линейными комбинациями собственных функций с той же энергией
из задачи 135. >
137. Вывести интегральное представление (П.66) для полиномов Ла-
Лагерра, используя преобразование Лапласа уравнения (П.58).
Решение. Подставляя обратное преобразование Лапласа
в уравнение (П.58), получим
J dt f{t)eu [xt2 + {v+i-x)t + n)] = 0.
с
Тождество xeix = ^j- позволяет переписать полученное уравнение в виде
/ dt f(t) (t7 -t)+ Uv + \)t + n)t
J [dt

5.4. Примеры 129
Интегрируя по частям, находим, что
если контур интегрирования С выбран так, чтобы внеинтегральные члены
обращались в нуль. Выражение в квадратных скобках дает дифференци-
дифференциальное уравнение первого порядка для /(<):
»((- 1Х+.)Я0.
решение которого имеет вид
Эта функция имеет полюс при t = О, поэтому контур интегрирования С
можно выбрать в виде окружности радиуса t < 1, как указано в пояснении
к формуле (П.66):
(о+).
Lllx) = Л
t" t
Нормировочная константа А не может быть определена из уравнения,
а задается дополнительным условием нормировки L}J(O) = rA"+iи ' ко'
торое следует из формулы Родрига (П.59). Вычисляя интеграл при х = О,
получаем интегральное представление
138. Доказать, что функция Бесселя выражается через контурный
интеграл (представление типа Шлефли)
@+)
1 Г dz (хг х \
где интегрирование идет по контуру, начинающемуся и заканчивающемуся
в -оо, обходящему точку z = 0 в положительном направлении (рис. П./).
Решение. Подставляя разложение функции

130 Глава 5. Специальные функции
в контурный интеграл, получим для n-го члена ряда при Re(n + v) < 0:
@+)
{-\)n(x/2Jn+v 1
п! 2тг»
Последнее равенство следует из формулы (П.З). Аналитическое про-
продолжение этого выражения по v дает n-ый член разложения функции
Бесселя в ряд по х (П. 15). >
139. Показать, что функции J-n(x) = (— l)"Jn(x) линейно зависимы
при целых п.
Решение. Воспользуемся разложением функций Бесселя в нуле (П. 15)
и тем, что Г(т) = со при целых т<0и Г(т + 1) = т! при целых т ^ 0.
()
= У
?(
Здесь введено переобозначение k = l + п.
140. Показать, что функция Неймана Yv (П.21) остается линейно
независимой к Jv (П. 15) при v —» п.
Решение. Надо вычислить вронскиан W{jv(x),Yv(x)} E.2) и устре-
устремить и —* п:
dx dx
2v
Здесь мы воспользовались тем, что в силу E.4) вронскиан двух решений
уравнения Бесселя имеет вид W(x) = ?—^, а вычислять константу удобнее
при х — 0. Поскольку получившаяся константа (см. (П.З))
2^22
const- Г(
+1)8)п^|/) - r(l-i/)r(i/)sin(»i/) ~ тг
не зависит от и, то в пределе i/ —» п вронскиан остается конечным,
а значит Yn(x) и Jn(x) линейно независимы. >

5.4. Примеры 131
141. Выразить функции Бесселя с полуцелым индексом Jm+i через
элементарные функции.
Решение. Для J\/2(x) имеем (П. 15)
* = V 2 Й fe!r(Jb + 3/2) = V 2 ^
AT...
= V « ™п(х)'
; Bfc+l)!rC/2)
где мы использовали соотношение (П.2)
Г C/2)
• ¦ • 2*
и значение функции Г(|) = ^. Для того, чтобы выразить Jm+i/2(x)
через элементарные функции, воспользуемся формулами дифференци-
дифференцирования (П. 18)
142. Исходя из дифференциального уравнения (П. 14), получить с по-
помощью преобразования Лапласа интегральное представление типа Пуассо-
Пуассона (П.20) для функции Бесселя с целым индексом. Чему равен лапласовский
образ Зй(х)?
Решение. Функция f(x) = x~nJn(x) удовлетворяет уравнению
х l?/(z) + Bп +1) Ъ fix) + xfix) = °'
коэффициенты которого являются полиномами первой степени. Подста-
Подставим в это уравнение обратное преобразование Лапласа
/
«.
с
После интегрирования по частям приравняем подынтегральное выраже-
выражение нулю и получим
-~(
Чтобы внеинтегральные члены не давали вклада при интегрировании
по частям, должно выполняться равенство
exp(xto)(tl + \)g(t0) = exp(xtk)(t2k + \)g(tk),

132 Глава 5. Специальные функции
где t0, tit — начальная и конечная точки контура С. Решая получившееся
дифференциальное уравнение на g(t), находим
Контур С надо выбрать обходящим обе точки ветвления t* = ±г функции
g(t), например, замкнутый контур, проходящий вдоль берегов разреза
от< = -гдо* = »в положительном направлении (рис. 8.1). В результате
J dt exp (xt)(P + 1)
с
"-1/2
где А„ — нормировочная константа. Полученное выражение переходит
в интегральное представление (П.20) после замены переменной t —» гг.
Так как Jo(O) = 1, то, вычисляя интеграл, находим Ай = 1, а образ
Лапласа функции J»(x)
SOW — /-j ^
143. Используя формулы дифференцирования (П. 18), показать, что
производящая функция
00
F(*,a;)= Yi *mjm(x)
т—~ао
имеет вид (П.25).
Решение. Дифференцируя F(z, г) по г и пользуясь формулами диф-
дифференцирования (П.18), получим
BF(z,x) = y> _mdJm(x) =
дх 2-1 Z dx
Решая это дифференциальное уравнение, найдем
Константу С(г) найдем из условия Jn@) = 0 при п 5
144. Вывести интегральное представление Бесселя
/dO
cos (пв - х sin в) —,
о
воспользовавшись производящей функцией (П.25).

S.4. Примеры
133
Решение. Сделаем замену переменной z = exp(tO) в контурном
интеграле, выражающем функцию Бесселя через производящую функ-
функцию (П.25)
— ехр (*ж sin (в) — т#) = / — cos (z sin (в) — пв).
о о
В последнем равенстве мы воспользовались симметрией и периодично-
периодичностью функций sin (в) и ехр (гп0). >
145. Вывести формулу
гйе в — угон между векторами г% игг-
Решение. Подставив г = t ехр (iip) в вы-
выражение для производящей функции (П.25),
получим равенство
00
Y, imexp(imv)Jm(q) =
га=-оо
= ехр (ag cos <р) = ехр (щп),
где у> — угол между вектором q и единичным
вектором n, nJ = 1. Положим g = г' — г,
обозначив за 9 угол между векторами г
и г', а за а — угол между векторами г
и п (рис.5.3). Проинтегрируем полученное
равенство по п, заданному на окружности
единичного радиуса:
53' Ве1СТ°Ры r> r•
Г*ехр(-Якв)Л(г) ? «mexp[*m(a+0)Jm(r')] =
t=-oo
exp(tmO)Jm(r)Jro(r').

134 Глава 5. Специальные функции
у
146. Найти свертку F(y) = J dxJo(x)Jo(y - ж).
о
Решение. Выполним преобразование Лапласа, чтобы превратить
свертку в произведение:
—; g(t) exp (act) = f(x)9(x),
с
Контур С начинается и заканчивается в -оо, обходя в положительном
направлении все особенности в комплексной плоскости лапласовского
образа g(t) функции f(x).
00
F(y) = J dx J0(x)J0(y - х)в(у -х) =
о
оо
= ( ^-.eyigu(t) [ dxjo(x)e-tt= f ^-. gl(t)eyt.
со с
Образ Лапласа функции Бесселя go(t) найден в задаче 142. Подставляя
его, находим
f dt e»(
F(y) = / ——. -^—- = sin у,
с
где контурный интеграл дается вычетами в точках t = ±». >
147. Доказать ортогональность функций Бесселя (П.26).
Решение. Запишем уравнение Бесселя на функцию Jk(Xmt) и умно-
умножим его на Jk(Kt)'
d d
dt dt m
Перепишем это равенство, переставив индексы п, т. Затем вычтем урав-
уравнения друг из друга и проинтегрируем результат от 0 до 1 по tdt:
= -t (jk(Kt) jt Jk{Xmt) - Jk(\mt) jt )
Если А„.,„ являются нулями функции Бесселя Jk(Xn.m) = 0, то интеграл
обращается в нуль при т Ф п, поскольку правая часть равенства обра-
обращается в нуль. Интеграл обращается в нуль и в том случае, когда А„.т

5.4. Примеры 135
являются нулями производной ^п^ = 0. Чтобы найти значение инте-
интеграла при п = т, необходимо раскрыть неопределенность:
¦
dXn
2
1 {dJk(Xm)\2 ( fc2\J|(Am)
~2\ dAm ; +v A2./ 2 •
Откуда следует первая или вторая формула (П.26) в зависимости от того,
являются ли Л„ нулями функции Бесселя или производной от функции
Бесселя. >
148. Найти решение уравнения теплопроводности в цилиндре еди-
единичного радиуса с теплоизолирующими стенками и начальным условием
Di-o = A - гJ:
Решение. В цилиндрической системе координат граничные и на-
начальные условия не зависят от <р и z, поэтому решение будем искать как
функцию только от г и (. Применяя метод разделения переменных
i=0
на функции Riir) и Т<(<)> получаем обыкновенные дифференциальные
уравнения:
at т от от
Решения этих уравнений имеют вид
Ti(t) = exp (-Aj t), Rt(r) =
где J0(x) — функция Бесселя. Константы Ai определяются из условия
отсутствия потока тепла через стенки щ^; = 0:
-Л.—
i dx
Иначе говоря, Aj — нули функции ^др = -J|(A). Коэффициенты Л,
найдем из начального условия, воспользовавшись ортогональностью

136 Глава 5. Специальные функции
функций Бесселя (П.26). Интегрируя U(r, 0) с функцией Jb(Ajr), найдем
f °° } J2(
J r dr Щг, 0)J0(A,-r) = J2
0
Откуда
А
Л
Решение
имеет
2
(АО
вид
/ 1* л
1 1 U
0
EX
i=0
0
Ai exp (-AJ
5.5. Задачи
149. Выразить i.F|(a; о; х) через элементарные функции.
150. Показать, что уравнение с двумя регулярными особыми точками
можно привести к виду
d2y A dy В
dx1 х dx x1
Решить это уравнение.
151. Доказать формулу
152. Выразить полиномы Лагерра L™(x) через вырожденную гипер-
гипергеометрическую функцию.
153. Выразить полиномы Эрмита Н„(х) через вырожденную ги-
гипергеометрическую функцию. Указание: Сделать неконформную замену
х = \/i. В новых переменных в уравнении появляется регулярная особая
точка х — 0. Отдельно рассмотреть полиномы четной и нечетной степени.
154. Привести к гипергеометрическому виду E.6), E.7) уравнение
d2y r(x) dy cr(x)
dx2 s(x) dx s2(x) V '
где r(x) — полином не старше первой степени, а з(х) и <т{х) — не старше
второй степени.

5.5. Задачи 137
155. Показать, что присоединенные функции Лежандра Р™, за-
задаваемые формулой Родрига (П.37), удовлетворяют уравнению Лежан-
Лежандра (П.36).
156. Найти собственные функции и энергию стационарных состо-
состояний уравнения Шрёдингера для двумерного осциллятора в полярных
координатах:
Указание: Выделить асимптотики в особых точках радиального урав-
уравнения и, сделав замену г2 = х, свести его к уравнению Лагерра.
157. Вывести рекуррентное соотношение (П.54) и формулу диффе-
дифференцирования (П.55) для полиномов Эрмита (П.50).
158. Найти производящую функцию (П.56) для полиномов Эрмита,
используя рекуррентные соотношения (П.54).
159. Найти производящую функцию (П.65) полиномов Лагерра с по-
помощью интегрального представления (П.66).
160. Найти производящую функцию
n=0
где Ln(x) = 1%(х) — полиномы Лагерра с v = 0.
161. Найти разложение вблизи х = 0 функций, удовлетворяющих
уравнению
dx2 dx
для нецелых «/.
162. Вывести формулы дифференцирования для функций Бессе-
Бесселя (П.18):
Показать, что функция Неймана (П.21)
Jv cos (жи) - J-v
sin (iru)
удовлетворяет тем же соотношениям.

138 [лава 5. Специальные функции
5.6. Ответы
149. ,F,(a;a;x) = exp(x).
150. Уравнение имеет два линейно независимых решения уи = хх±, где
|-Д ±у/A-А)*-4В).
151. Указание: Подставить равенство в уравнение E.7). Воспользоваться
тем, что правая и левая часть равенства являются регулярными
в нуле функциями.
152. ^
153. Я„(х) = (-1)*| ,F, (-k, ^,х2\ при п = 2к,
154. Указание: Рассмотрим три случая.
1. Если s(x) = 0 имеет два различных корня (например, (П.36))
s(x) = а(х
то уравнение имеет три регулярных особых точки и приводится
к виду E.6) после замены переменных
(«2 - «О
и подстановки
где v и ц — характеристические показатели в регулярных
особых точках t = 0, t — 1.
2. Если корни трехчлена s(x) совпадают, т. е. произошло слияние
двух особых точек х = s\ = $i, то надо перевести иррегулярную
особую точку х = в| на бесконечность с помощью конформной
замены переменных х — 8\ = j. В новых переменных уравнение
сохраняет свой вид, однако s(z) = г теперь полином первой
степени.
3. Если s(x) — полином первой степени, сделаем линейную
замену переменных z = s(x), тогда уравнение имеет одну ре-
регулярную особую точку z = 0 и одну иррегулярную особую
точку z = оо (если r(z) и <x(z) — константы, то точка z = оо

5.6. Ответы 139
является регулярной, но в этом случае уравнение имеет степен-
степенные решения). С помощью подстановки y(z) = г" exp (/iz)F(z)
уравнение приводится к виду
# , , d
z —г F + Ь ~ bz) —F -aF = 0.
dz* dz
При ft ^ 0 это вырожденное гипергеометрическое уравне-
уравнение E.7) в переменных t = bz. При b = 0 асимптотика
на бесконечности F ~ exp {±2y/az). Сравнивая с асимпто-
асимптотикой E.7), видим, что в этом случае привести уравнение
к виду E.7) можно с помощью замены t = Ay/az и подстанов-
подстановки F(t ) = /(*) exp (- {).
4. Если s(x) = const, то подстановкой
коэффициенты уравнения приводятся к виду г(х) = 0, s(x) = 1.
Выделяя в а(х) = ~(а(х - xt)) + ae полный квадрат и делая
его новой переменной z = >/а(х — Х\), получаем уравнение для
квантового осциллятора
у которого одна иррегулярная особая точка z = со с асим-
асимптотикой / ~ ехр (±у). Чтобы свести его к уравнению E.7),
надо сделать неконформную замену z1 = t, которая приводит
к появлению регулярной особой точки ( = 0 и подстановку
/W = *W ехр И).
Указание: Подставьте формулу Родрига для присоединенных функ-
функций Лежандра (П.37) в уравнение (П.36) и получите уравнение E.24)
на функцию / = (%;)mPi- Покажите, что уравнение E.24) получа-
получается из уравнения (П.35) на полиномы Лежандра после применения
к (П.35) операции m-кратного дифференцирования.
5rW exp ("т
EN - 2п+|то| + 1 = N+ 1, n = 0,l,2,..., m — целое.
157. Указание: Выразить первую производную полинома Эрмита через
линейную комбинацию полиномов с помощью (П.50). Точно так же
выразить вторую производную полинома Эрмита через линейную
комбинацию полиномов. Затем воспользоваться уравнением (П.49).

140 Глава S. Специальные функции
158. Указание: Выразить производную по z производящей функции
n=0
через F(z, x) с помощью (П.54). Решить получившееся диффе-
дифференциальное уравнение на F(z, x) и воспользоваться нормировкой
159. Указание: Подставить интегральное представление (П.66) в опреде-
00
ление производящей функции F(z, х) = J3 гпЦ,(х), просуммиро-
п=0
вать ряд и взять интеграл.
160. F(z, х) = exp(z)J0BVzx).
161. Указание: Выделить степенную асимптотику при х = 0 в виде
у(х) = xpf(x). Подставить у(х) в уравнение и разложить в ряд
Тейлора аналитическую в нуле функцию /. Сравнивая члены при
одинаковых степенях х, найти коэффициенты разложения f(x)
в ряд Тейлора. Функция у(х) есть сумма двух линейно независимых
решений Jy(x) и J-V(x), разложение которых вблизи х = 0 имеет
вид (П. 15).
162. Указание: Домножить разложение функций Бесселя в нуле (П. 15)
на x±v и продифференцировать.

Глава 6
Асимптотические методы
6.1. Асимптотические ряды
При решении различных задач возникает проблема приближенного
вычисления интегралов, содержащих большие (или малые) параметры.
При этом ответ представляется в виде так называемого асимптотического
разложения. Формальный ряд
п=0
называется асимптотическим разложением функции f(z) при z
если для каждого значения N
N
п=0
при z -* zq. Здесь f(z) — о(фц(г)) означает, что отношение
при z —» го- Отсюда следует, что
/(*) - ? *«ФЛ*)
aN = Hm ff- . F.2)
Формальный ряд F.1) может быть расходящимся. Асимптотическое раз-
разложение зависит от выбора асимптотической последовательности {фп(г)}.
Кроме того, две разные функции могут иметь одинаковые асимптотиче-
асимптотические разложения, если они различаются на такую функцию i>(z), что для
любых п
«-«, фп(г)
Точку г0 можно считать бесконечно удаленной, так как для конеч-
конечной zQ можно перейти от переменной z к переменной г' — т~ц, которая
стремится к бесконечности при z -* zq. Если фп(г) = ^, то такой асимп-
асимптотический ряд называется степенным. Асимптотические степенные ряды
допускают операции, аналогичные операциям с обычными степенными

142 Глава 6. Асимптотические методы
рядами (сложение, умножение, почленное интегрирование) при выпол-
выполнении определенных условий непрерывности и дифференцируемое™
соответствующей функции.
Очень часто для получения асимптотического разложения функции,
представленной в виде определенного интеграла, удобно использовать
интегрирование по частям. Иногда это эквивалентно почленному инте-
интегрированию разложения в ряд Тейлора.
Пример: Найдем асимптотическое разложение при х -» оо функции
оо
Г(а,ж)= Г e-'f-'dt.
X
Интегрируя по частям, находим
Тот же ответ можно получить, сдвигая переменную интегрирования
t = г + х и разлагая функцию (х 4- т)""' в ряд Тейлора по |:
Г(а,х)~е~*хи-' / dre'T 1 +
6.2. Интеграл Лапласа
Рассмотрим интеграл вида
g(u) = Jev!(l)<p(x)dx,
где </>(а;) и /(ж) — действительные непрерывные функции, ас- боль-
большой параметр. Если функция /(ж) принимает максимальное значение
на границе области (например, в точке а) и /'(а) ф 0, ф(а) Ф 0, то
№)~-SfM$$i{l+O(v-1)). F.3)

6.3. Метод стационарной фазы 143
Если же максимальное значение достигается в точке х = с внутри
интервала а < с < Ь и ф(с) Ф0,то
F.4)
Если максимальное значение достигается на границе (например,
в точке а) и ф{а) ф 0, /'(в) = 0, а /"(в) < 0, то
Приведенные формулы получаются разложением /(ас) вблизи точки,
в которой f(x) принимает максимальное значение, и последующим ин-
интегрированием в бесконечных пределах или по частям. Тем же способом
можно получить асимптотические формулы в случаях, когда ф(а) — О
или ф(с) = 0.
6.3. Метод стационарной фазы
Рассмотрим интеграл вида
g(x) = J' eiv«*
где f(x) — действительная функция, a v —* +оо. Тогда основной вклад
в интеграл дают либо окрестности точек, в которых f'(x) = 0 (точки
стационарной фазы), либо окрестности точек а и Ь, если на отрезке
интегрирования нет точек стационарной фазы. В последнем случае
Если внутри интервала о < х < 6 есть только одна стационарная
точка с, в которой /"(с) Ф 0 и #(с) ?? 0, то
)ехр (iI//(c) =•= т) ^ + оA/"'^• F6)
Эта формула получается разложением f(x) до квадратичных членов вбли-
вблизи х = с и вычислением интеграла Френеля. Знак при фазе '-j совпадает
со знаком второй производной sign (/"(с)). Если внутри интервала ин-
интегрирования есть несколько стационарных точек, в которых /"(с) Ф 0
и ф(с) Ф 0, то g(v) дается суммой всех вкладов вида F.6).

144
Глава 6. Асимптотические методы
6.4. Метод перевала
Поставим задачу оценить интеграл вида
„™W/
(г) dz, v —+ сю,
F.7)
g(u) = I e
J
7
где w(z) и ф(г) — не зависящие от v аналитические функции z в обла-
области Q, содержащей контур интегрирования -у и стационарную точку zo,
в которой w'(zo) = 0. Точка zo может не принадлежать контуру интегри-
интегрирования. Для простоты будем считать, что w"(zo) ф 0, а ф(г) = I. Тогда
существует контур Г 6 П, Zq 6 Г, вдоль которого мнимая часть функции
w(z) = и(х, у) Ч- «f (ж, у) постоянна:
v(x, у) = v(x0, у0) = const,
где z = х + tj/. Функцию w(z) вдоль контура Г можно записать в виде
w(z*) = w(zo)-t(z*), где z* 6 Г, а т(г*) — действительная неотрицатель-
неотрицательная функция. Градиенты функций и(х, у) и v(x, у) ортогональны в силу
соотношений Коши—Римана для аналитических функций
ди dv ди _ dv
дх ~ ду' ду ~ dx
Отсюда следует, что контур Г является линией наискорейшего спуска
для функции и(х, у). Последняя убывает вдоль контура Г в обе сторо-
стороны от точки Zo. которая называется седловой точкой функции «(ж, у)
(рис. 6.1).
. dv ди dv ди п
(Vv, Vtt) = Н = 0.
v ' ' дх дх ду ду
Рис. 6.1. Топография вещественной части функции w(z) вблизи седловой точки
z = z0. Стрелками показано направления, в которых u(z) = Rew(z) убывает
Идея метода перевала состоит в деформировании контура интегриро-
интегрирования 7 так, чтобы основной вклад в интеграл вдоль деформированного
контура набирался на как можно более коротком отрезке, т. е. вдоль
линии наискорейшего спуска. Будем рассматривать только такие де-
деформации в области аналитичности функции w(x), при которых концы
контура интегрирования остаются неподвижными. Контуры 7 '> получа-
получающиеся при таких деформациях, называют эквивалентными, поскольку

6.4. Метод перевала 145
величина интеграла F.7) не зависит от f'. Контур 7' называется мини-
минимаксным контуром, если на нем достигается
min max le""^ = min max evu{z'y) = e1"*"**,
7'eD г€7' ' ' 7'eD *€7'
где D — множество эквивалентных контуров 7'. Другими словами,
из всех эквивалентных контуров 7' выбирается тот, который проходит
через седловую точку zo функции и(х, у) и совпадает в окрестности «о
с контуром Г. При этом функция и(х,у) должна иметь в точке Zq
не только локальный, но и глобальный максимум на контуре у'.
Если минимаксный (перевальный) контур существует, то zq называ-
называется точкой перевала для интеграла F.7). К сожалению, общего алгоритма
поиска перевального контура не существует. Это сложная топологичес-
топологическая задача. Облегчить ее решение можно, если соблюдать следующие три
правила:
1. Нарисовать линии уровня функции и(х, у) (как на топографической
карте, рис. 6.1).
2. Выбрать такой путь от начальной до конечной точки контура инте-
интегрирования, чтобы максимальное вдоль пути значение и(х, у) было
как можно меньше. (Представьте, что вы путешественник, боящийся
высоты, а и(х, у) — высота в точке х, у над уровнем моря.)
3. Вблизи точки с максимальным вдоль выбранного пути значением
и(я;, у) провести контур вдоль линии наискорейшего спуска. (Чтобы
как можно более короткий отрезок вашего пути проходил на большой
высоте и.)
В результате интеграл сведется к эталонному интегралу.
Рассмотрим два простейших случая:
I. Существует перевальный контур, и в стационарной точке «о вы-
выполняется условие на старшие производные |i>*"~2W2te"(zo)| ~> |«i<n>(z0)|,
тогда можно ограничиться разложением w(z) в окрестности точки «о
до квадратичных членов:
w(z) = w(zq) + ^—^(z - zoJ + ....
Основной (экспоненциально большой) вклад в интеграл набирается вдоль
контура Г. Чтобы оценить этот вклад, заменим переменную z на веще-
вещественную вдоль контура Г переменную s = e~'*(z - го) и запишем вторую
производную в виде w"(zo) = ре'в. Тогда старший член асимптотического
по j разложения интеграла есть
д(и) ~ ф(го)е-"м I ds е^ exp (^
У
^e^ J exp (- jPs2) ds. F.8)
r

146 Глава 6. Асимптотические методы
Направление наискорейшего спуска определяется условием exp Biif> +
iO) = — 1, откуда i>\j = ^г^ являются углами между направлениями ка-
касательных к Г в точке го и положительным направлением вещественной
оси. Фаза ф* принимает то из значений У>|,2, которое соответствует напра-
направлению интегрирования вдоль контура 7' в точке zq. Последний интеграл
в F.8) является интегралом Лапласа F.4), поэтому д(у) асимптотически
равен
^. F.9)
Следует отметить, что перевальный контур может проходить через не-
несколько точек перевала z,-, в которых значения Re w(zi) совпадают. В этом
случае надо просуммировать вклады от каждой точки перевала.
II. Перевального контура не существует. Контур интегрирования
можно деформировать так, чтобы максимальное значение «(х, у) вдоль
него находилось в начальной (или конечной) точке Z\ контура 7- Если
выполняется условие на старшие производные |i/"~'«;'(.Z|)| > |w'n>(zi)|,
то можно офаничиться разложением w(z) до линейных членов в окрест-
окрестности ТОЧКИ Z\.
w(z) = w(z,) + w'(zi)(z - z,) + ... .
Из точки z\ выходит одна линия наискорейшего спуска L 6 П, вдоль
которой Im w(z) = Im w(z\). Заменим переменную z на переменную
s = e~I*(z — z\), вещественную вдоль линии наискорейшего спуска L.
Запишем производную в виде w'(z\) = -pexp(—id) и деформируем
контур 7 так, чтобы он совпадал с L вблизи точки z\. Тогда старший
член асимптотического по ? разложения функции д(у) имеет вид
i
где направление наискорейшего спуска определяется равенством %1> = в.
Если максимальное значение и(х, у) находится в конечной точке z-i кон-
контура 7. то аналогичными рассуждениями получим, что старший член
асимптотического по \ разложения функции д(и) имеет вид F.10), в ко-
котором Z| надо заменить на z-i, а знак минус перед дробью — на знак плюс.
6.5. Метод усреднения
Если невозмущенная система с п степенями свободы совершает дви-
движение в ограниченной области фазового пространства, то иногда можно
перейти к переменным действие—угол, в которых дифференциальные
уравнения имеют вид

6.5. Метод усреднения
147
В невозмущенной системе I — набор интегралов движения, а пере-
переменные ф меняются в интервале 0 $ 0,- < 2тт. Возмущенные уравнения
содержат в правых частях добавку, пропорциональную малому параме-
параметру <г:
1 = едA,ф,е), ф = и>A)+ef(I,<j>,e), F.12)
где / и д являются 2*-периодическими функциями каждой из перемен-
переменных ф\. Поскольку переменные I меняются медленно (вследствие малости
параметра е), то возмущенную систему можно заменить гораздо более про-
простой усредненной системой для медленных переменных J(t) = I(t) + О(е):
j = eG(J), G(J)
#
F.13)
При переходе от уравнений F.12) к усредненным уравнениям F.13) про-
проводится процедура усреднения по периодам колебаний функций д. Эта
процедура корректна при п = I. В случае нескольких степеней свободы
усреднение по ф может стать неприменимым, если в системе имеются
резонансы, т.е. частоты w; — компоненты вектора ш в формуле F.11)
удовлетворяют уравнению
= о,
1=1
где ЛГ; — целые числа.
Пример: Дана возмущенная одномерная система с постоянной ча-
частотой"^
/ = е(а + b cos ф), ф = ш.
Она приводит к усредненному уравнению
которое имеет решение J(t) = Jo + eat
(рис. 6.2). В этом случае мы знаем точ-
точное решение I(t) = eat + ^Ssle! и можем
убедиться, что решение усредненного урав-
уравнения не уходит от точного решения, если
w Ф 0: \J(t) - I{t)\ < const • е.
В гамильтоновой системе переменные ф
играют роль обобщенных координат, a J —
обобщенных импульсов, так что уравнения всегда имеют вид
' - ?Ё. ¦ _дн
1~~1ф' ф~~дТ'
Рис. 6.2. Графики зависимо-
зависимости от времени переменной
I(t) и медленной перемен-
переменной 7@ (- Щ; — .7@)

148 Глава 6. Асимптотические методы
Усредняя по ф производную Щ, получаем j = 0. Это означает, что
эволюции медленных переменных не происходит (J — адиабатические
инварианты). Главная трудность применения метода усреднения в общем
случае — выбор подходящих переменных I, которые являются интегра-
интегралами движения невозмущенной системы.
Теория асимптотических рядов и асимптотические методы вычисле-
вычисления интегралов детально разобраны в книгах [МУ72, Фед87, СФШ76,
Эрд62, Олв90, Копбб, ДБ61, Хед65]. Метод усреднения по высокочастот-
высокочастотным колебаниям изложен в книгах [БМ74, Арн78, Коу72, Най76].
б.б. Примеры
163. Найти асимптотику Т-функции Эйлера при х —> +оо
00
Г(х) = IV1 ехр (-<)<«¦
Вывести уточненную формулу Стирлинга, содержащую два члена асимпто-
асимптотического разложения.
Решение. Перепишем интеграл в виде
00
Г(х) = / ехр (-< + (ж - 1) In t) dt.
о
Стоящая множителем при большом параметре х функция In ? неограни-
неограниченно растет при t —» оо, поэтому ни одна из асимптотических формул
F.3)-F.5) неприменима. Дело в том, что точка максимума to подынте-
подынтегрального выражения зависит от большого параметра t0 = х - 1. В этом
случае необходимо сделать такую замену переменной (остановить точку
максимума), чтобы в новых переменных точка максимума не зависела
от a;: t = хт, тогда
00
Г(ж + 1) = а:1+| / ехр (хAп т - т)) dr.
о
Максимум функции /(т) = In т - т достигается при ть = 1 внутри
интервала интегрирования, поэтому главный член асимптотики дает-
дается формулой F.4). Чтобы получить следующий член асимптотического
разложения, необходимо разложить функцию /(г) в ряд по ? = т — 1
до четвертого члена включительно:

6.6. Примеры 149
Подставим это разложение в интефал и сделаем замену
-.у/1:
При а; —» оо можно разложить экспоненциальную функцию в ряд по чле-
членам, содержащим степени х в знаменателе, а пределы интефирования
с экспоненциальной точностью расширить до бесконечности:
-00
В результате получаем уточненную формулу Стирлинга:
Здесь мы учли, что члены, пропорциональные х^2, содержат нечетные
степени переменной интефирования z, поэтому обращаются в нуль при
интегрировании в бесконечных пределах. >
164. Найти асимптотику интеграла
00
= J
при v -> +оо, если /'(с) = /"(с) = 0, <?(с) ф 0, /'"(с) ^0« ие/n других
стационарных точек.
Решение. Поскольку вторая производная в стационарной точке х = с
обращается в нуль, разложение показателя экспоненты в ряд по ? = х - с
начинается с кубического члена:
iuf(x) = iv [/(с) + l-f"'(c)? +
При v —> сю функцию 0(х) можно вынести в точке с из-под знака
интефал а. Получившийся эталонный интефал

150 Глава 6. Асимптотические методы
00
е"™ f
00
exp
-оо
00
с помощью комплексной замены переменной интегрирования "'' ^ =it
сводится к Г-функции. Контур интегрирования по ? вблизи стационарной
точки ? = 0 деформируем в комплексной плоскости так, чтобы новая
переменная интегрирования была вещественной
*~
3 [и\Г(с)\
В результате получаем главный член асимптотического разложения:
165- Найти асимптотику функции Эйри при х —> +оо
Ai(.)
— СЮ
Решение. Заменой переменной t = y/xz интеграл приводится к виду
МХ) = ^ J ^ {xil2w{z)} dz, w(z) = i(j + ?),
где контур интегрирования у идет вдоль вещественной оси. Записы-
Записывая переменную интегрирования в виде z = Re'e, видим, что инте-
интеграл сходится при R —> оо вдоль луча в = const, если выполняется
условие Rew(z) —» л Rj'c < 0. Откуда находим секторы сходимости
на бесконечности: в 6 [0, §] U [у, тг] U [у, у], которые заштрихованы
на рис. 6.3.
Точки перевала z\2 = ±« находятся из условия $г = *B2 + 0 = О-
В обеих точках \mw(z\2) = 0, поэтому для нахождения минимакс-
минимаксного контура достаточно построить линии нулевого уровня мнимой
части фазы. Уравнение Im w(z' + iz") = 0 имеет три решения г' = О
и г' = ±\/3(z" 2 - I), которые изображены на рис. 6.3. Точки пересе-
пересечения линий нулевого уровня совпадают со стационарными л^ = ±i.

6.6. Примеры
151
Рис. 6.3. Секторы сходимости интег-
интегрального представления функции Эйри
при z —* оо. В плоскости комплексно-
комплексного переменного z имеется три линии
Imw = 0: прямая Re г = 0 и две ве-
ветви гиперболы. Направление убывания
Re w указано стрелками
Вдоль этих линий между точками пересечения вещественная часть фазы
изменяется монотонно.
Контур интегрирования можно деформировать в верхнюю ветвь
гиперболы. Максимальное значение Re w(z) вдоль такого контура до-
достигается в точке 2| = t и никакой деформацией контура не может быть
уменьшено. Концы выбранного нами контура остаются в секторе сходи-
сходимости, а сам контур проходит через точку перевала z\ = г вдоль линии
наискорейшего спуска: Re w вблизи z = i убывает вдоль верхней ветви
гиперболы и возрастает вдоль прямой Re z — 0. Вблизи точки перевала
разложение w(z) по ? = z - % имеет вид
2 ¦>
и для вычисления интеграла можно применить метод Лапласа. Поэтому
главный член асимптотического разложения интеграла по х~^2 можно
получить по формуле F.4).
1
ехр ( --
166. Найти асимптотику Г-функции комплексного переменного
00
Г(г)= f tz'1 exp (-t) dt
о
при \z\ -* +оо, в = |argz) ^ | - е < f.
Решение. Сделаем замену переменной интегрирования t = гт, чтобы
остановить стационарную точку:
е-'оо
I ехр(гAпт-т))Л\
Поскольку Re г > 0, то конечная точка интегрирования находится в пра-
правой полуплоскости комплексной переменной т на бесконечности. По-
Подынтегральное выражение обращается в нуль на обоих краях интервала.

152 Глава 6. Асимптотические методы
Контур интегрирования можно деформировать так, чтобы он прохо-
проходил через стационарную точку tq = I. Поэтому перевальный контур
существует.
Контур наискорейшего спуска задается уравнением
Im z(ln r — г) = Im гAп Tq — tq) — -\mz
и имеет сложную форму. Однако вблизи точки перевала направление на-
наискорейшего спуска в комплексной плоскости т легко находится по вто-
второй производной функции -—j"P = -z в точке перевала tq = 1
и составляет угол -§ с положительным направлением вещественной оси:
z(ln т-т) = -г-Щ- + \z\Otf), ? = (т - 1)е"/2.
Откуда, заменяя пределы интегрирования на бесконечные, при \z\ —» оо
находим асимптотику Г-функции
167. Вывести усредненные по периоду осцилляции уравнения для мед-
медленных переменных слабо нелинейного осциллятора
х + ш%х = -ef(x, х), е -* 0. F.14)
Решение. Запишем решение невозмущенной системы в виде
х = I cos ф, х = -/о>о sin ф, ф = о»о< + 1?
и будем рассматривать эти соотношения как переход к новым перемен-
переменным действие—угол (/, г?) для возмущенной системы (преобразование
Боголюбова—Крылова). Считая переменные (J, i?) медленно зависящи-
зависящими от времени, продифференцируем функцию x(t) = /cos0:
х = I cos ф - 1(шо + i?) sin ф.
Поскольку х = -1шо sin </>, получаем первое уравнение на медленные
переменные:
/cos4> = /i?sin0. F.15)
Дифференцируя x(t) = -Iwq sin ф и подставляя в уравнение F.14), полу-
получаем второе уравнение на медленные переменные:
х + ш?)Х = -ш0 (/ sin ф + ib cos ф) — -ef(I cos ф, -Iu>o sin ф). F.16)
Систему F.15), F.16) можно разрешить относительно новых неизвестных
функций
/ = /(Jcos0, -Jai0 sin </>), Ь = —-f(I cos ф, -1ш0 sin ф).

6.6. Примеры 153
Усредняя по быстрой переменной ф и обозначая медленные пере-
переменные в усредненных уравнениях за J(t), 0(t), получаем уравнения
Боголюбова—Крылова.
2»
J = ±G(J), G(J) = -^ J / (J cos ф, -Ju>0 sin ф) sin * йф, F.17)
о
2»
F(J) = ^ J/A<я*ф,-1иояпф)смфёф. F.18)
J
о
Правые части усредненных уравнений содержат фурье-компоненты вы-
вынуждающей силы. >
168. Найти и исследовать на устойчивость предельный цикл уравнения
Ван-дер-Поля
х + шох = еA - х2)х,
где е -»0.
Решение. Усредняя вынуждающую силу f(x,x) = —A — х2)х по пе-
периоду, получаем согласно формуле F.17)
Щ 2 \ 4
Это уравнение первого порядка имеет три стационарные точки, в которых
j = 0, а именно J = 0 и J = ±2. Первая из них при е > 0 неустойчива,
а две других устойчивы. Устойчивая стационарная точка соответствует
предельному циклу в исходном уравнении второго порядка. Уравне-
Уравнение Ван-дер-Поля описывает установление автоколебательного режима
в генераторе. >
169. Найти зависимость от времени усредненной амплитуды линейного
осциллятора при резонансе с внешней силой f(t) = /о cos wot
Решение. Перейдем к медленным переменным /, -в
х = J cos ф, х = -Iu>o sin ф, ф = u>ot + ¦&.
При точном резонансе явную зависимость внешней силы от време-
времени можно выразить через быструю фазу осциллятора ф в виде f(t) =
/о cos (ф-ti). Усредняя вынуждающую силу по периоду, получаем соглас-
согласно формулам F.17), F.18) уравнения для усредненных переменных (J, в):

154 Глава 6. Асимптотические методы
Уравнение на в имеет одну устойчивую стационарную точку 9 = — \.
Средняя амплитуда колебаний нарастает линейно по времени: J(t) = ^.
Этот результат совпадает с асимптотикой точного решения на больших
временах: х = Ш™Ш. +
170. Найти зависимость от времени усредненной амплитуды линейного
осциллятора при параметрическом резонансе п = 2шо, когда собственная
частота изменяется по закону w2@ = wjj( I + е sin Ш):
Решение. Перейдем к медленным переменным I,
x = I cos ф, х — —Iuo sin ф, ф =
При параметрическом резонансе член, описывающий возмущение, мож-
можно записать в виде ~2еш1х cos (ф — ¦&) sin (ф - 0). Откуда, согласно фор-
формулам F.17), F.18), получаем уравнения для усредненных перемен-
переменных (J, в):
J=-~Jc<№29, 0=—-^ sin29.
4 4
Уравнение на в имеет две устойчивые стационарные точки 9 = 0, либо
9 = v (бисгабильность). Средняя амплитуда колебаний меняется в обоих
случаях экспоненциально J(t) = Jo exp (^). >
171. Найти зависимость от времени амплитуды колебаний осцилля-
осциллятора с малым кубическим затуханием
х + ех3 + ш^х = 0.
Решение. Усредненное уравнение F.17)
2»
j = — G(J), G(J) = -JWO ~ f Лфsin V = -\ J^l
Щ 2Ж J a
0
легко интегрируется. Усредненная амплитуда колебаний затухает по сле-
следующему закону:
172. Найти нелинейный сдвиг частоты ангармонического осциллятора
{уравнение Дюффинга)
х + шох = -ехг.

6.7. Задачи 155
Решение. Усреднение по формуле F.17) дает j = 0, что являет-
является следствием гамильтоновости системы. Усредняя по формуле F.18),
получаем уравнение на усредненную фазу
Величина в называется нелинейным сдвигом частоты щ —» o>jvl =
u>o + ^f- и пропорциональна квадрату амплитуды колебаний:
X =
6.7. Задачи
173. Найти асимптотическое разложение интегралов Френеля при
х —* +оо
ОО 00
F, (ж) = / cos (в2) М, F2(x) = I sin @2) dO.
X X
174. Найти асимптотическое разложение интеграла при а —» оо
а
ж2 + о2'
175. Найти асимптотическое разложение интеграла при v —* +оо,
о = const
00
„. . [ dx e-vz
F(u,a)= / ——.
J x + a
о
176. Найти асимптотику интеграла при п —> +оо
Sn = I sin "< d«.
177. Найти асимптотическое разложение функции ошибок при
х —» +оо
то
Erfcx= I exp (-t7) dt.

156 Глава 6. Асимптотические методы
178. Найти асимптотическое разложение интегральной показатель-
показательной функции при х —» +оо
х
179. Найти асимптотику интеграла при а -* +оо
о
Указание: Сделать замену переменной t = тах1ъ.
180. Найти асимптотику полиномов Лежандра для х > 1 при I —» +оо
2*
1 t / / \'
Р,(ж) = — / (г + у ж2 - I cos П <й.
о
181. Найти асимптотику модифицированной функции Бесселя при
х —* +оо
в р (ж cos
о
182. Найти асимптотику функции Макдональда при х > 0 и v -* +оо
1п(х) = — I cos пв ехр (
оо
К„(х) = - /ехр (-W - sc ch *) <й.
183. Найти асимптотику функции •KV(g^j) при с-»оои фиксиро-
фиксированном а > 0.
184. Найти асимптотику интеграла Френеля при я: -+ +оо
185. Найти главный член асимптотики функции Эйри при х —> —оо
АН.) =^/«
-00
Указание: Сделать замену t = тл/^

6.7. Задачи 157
186. Найти асимптотику функции Бесселя целого порядка при п =
const их—* +00
ж
Jn(x) = — / exp (ix sin ф - гпф) йф.
ЛЛ J
187. Найти асимптотику функции Бесселя Jn(n) при п —> +оо.
Указание: Использовать результат задачи 164.
188. Найти асимптотику функции Бесселя Jn(^p) при п —> +оо
и фиксированном 0 < р <\.
189. Найти секторы сходимости на бесконечности в комплексной
плоскости следующих интегралов
00 ОО
F] = I ехр (-х2) dx; F2= I exp (ix3) dx; F3 = / exp (i") dx,
-oo
n > 0 — целое.
190. Качественно изобразить на комплексной плоскости линии уров-
уровня вещественных и мнимых частей функций
(а) w(z) = z;
(б) w(z) = z2- 1;
(в) W(z) = г3;
(г) w(z) = In z;
(д) гф) = 1п(г2-1);
(е) w(z) = e'.
191. Найти стационарные точки z0 функций
wi(z) = «2-l; w2B) = 23; w3(z) = ln(z2 +1).
В каких направлениях от стационарных точек функции Re w(z) убывают,
а в каких возрастают?
192. Доказать тождество
Ai(a:) + шА\(шх) + ш2 Ai(w2a;) = О,
где ш = exp (^y), для функций Эйри
=h Iехр [*
* (у+xt)]dL

158 Глава 6. Асимптотические методы
193. Найти асимптотику интеграла
по
fdt
при х -> +оо и сравнить с результатом задачи 165.
Указание: Учесть вклад вычета в полюсе t = i при деформации
исходного контура интефирования в перевальный контур (см. рис. 6.3).
194. Найти асимптотику полиномов Лежандра при I —»оо, используя
интегральное представление Шлефли
(
с
где контур С обходит полюс z = cos в в положительном направлении.
195. Найти закон затухания амплитуды колебаний осциллятора с вяз-
вязким трением
х + Ъух + w\x = 0.
196. Найти закон затухания амплитуды колебаний осциллятора с су-
сухим трением
х + 27 sign(ai) + ш\х = 0.
197. Найти нелинейный сдвиг частоты маятника
la + g sin a = О
с малой амплитудой колебаний а.
198. Найти и исследовать на устойчивость предельный цикл урав-
уравнения
х-е(\~ \х\) х + ш\х = 0.
6.8. Ответы
173. При х —> +оо
^Г(п+1/2) _2в_, .
? гС»+«/уь-,
и=0
174. При а —> оо

6.8. Ответы
175. При v —» +00 и фиксированном а
176. При п —» +оо
177. При х —» +оо
178. При ж -» +00
179. При а -» +оо
F(a) ~ J^exp (-^Л A+О(«-^)).
180. При 2 —» +00 и фиксированном ж > 1
.1+1/2
181. При г —» оо и фиксированном п
182. При I/ -» оо и фиксированном ж > О
183. При |/ -»оо и фиксированном а > О
184. При ж -» +оо

160 Глава 6. Асимптотические методы
185. При х -* -сю
186. При х —> +оо и фиксированном п
2
—
187. При я -+ +оо
188. При п —> +00 и фиксированном /3
189. Секторы сходимости интегралов в комплексной плоскости перемен-
переменной х = \х\е'0
2эг it 2тг 3-зг
F3 : g— + —- < в < q— + —-, q — целое.
п 2п п 2п
190. Указание: Записать комплексную переменную в виде г — х + iy
и найти уравнения кривых на плоскости (х, у) из Re w(z) = const
или \mw(z) = const. Обратить внимание на нули и особенности
функций iv(z).
191. Все функции имеют одну стационарную точку го = 0. Функции
Rewt(z) и Re ю3(г) возрастают вдоль вещественной оси и убывают
вдоль мнимой оси от седловой точки. Функция Re 102B) возрастает
вдоль направлений в = О, Ц-, у, а убывает вдоль направлений
в = ±|, -к от стационарной точки, где 9 — аргумент г = |г|е'*.
192. Указание: Сделать замену переменной в интегральном представлении
функции Эйри: t —» - во втором слагаемом тождества и t —»
Ьш в третьем слагаемом. Преобразовать сумму интегралов в один
контурный интеграл (см. рис. 6.3).
193. При х -* +оо

6.8. Ответы 161
194. При I —» оо и фиксированном в
195. Усредненная амплитуда осциллятора уменьшается по закону
J@ = J@)exp(-7<).
196. Усредненная амплитуда осциллятора уменьшается по закону
о<«<
47
197. Частота колебаний маятника равна
где а — амплитуда малых колебаний.
198. Уравнение на усредненную амплитуду колебаний имеет вид
При е > 0 это уравнение имеет одну устойчивую стационарную
точку J = х-

Глава 7
Метод функций Грина
7.1. Функции Грина
1. Метод функций Грина позволяет решать неоднородные линей-
линейные дифференциальные уравнения с произвольными правыми частями.
Функция Грина первого рода G(x, x'), х, х' € 2> С К" краевой задачи
где С и В — некоторые линейные дифференци-
дифференциальные операторы, удовлетворяет уравнению
и граничному условию BG(x, x')|l€s = 0. Область
V и ее граница S схематически изображены на
рис. 7.1. Решение задачи G.1) выражается интегра- Рис. 7.1. Область
ломДюамеля определения краевой
/задачи
G{x,x')f(x')dx'.
v
Из разложений прямого и обратного оператора по проекторам
на подпространства собственных функций \п)
с = У2 А» 1"> М ' ?~' = Y1 Т •"> М • А"^° С7-3)
видно, что функция Грина — это интефальное ядро обратного оператора
G(x,x') = (х|?"'|а;')- Отсюда же выводится уравнение G.2). Функция
Грина существует и единственна, если спектральная задача
?|n) = AB|n>, B\n)Us=0 G.4)
не имеет нулевого собственного значения. Из разложения G.3) так-
также следует, что функция Грина самосопряженного оператора (? = СК
см. главу I) подчиняется принципу взаимности

7.1. Функции Грина 163
Чтобы найти функцию Грина дифференциального уравнения, следу-
следует придерживаться следующих правил. Пусть С — обыкновенный диффе-
дифференциальный оператор АГ-го порядка. Проинтегрируем G.2) по бесконеч-
бесконечно малой окрестности точки х' и найдем скачок (N - 1)-й производной
от G в точке ас = х'. Остается выполнить три шага:
1. Решить однородное уравнение.
2. Записать решение в областях х < х' и i > ж' в виде двух различ-
различных линейных комбинаций решений однородного уравнения,
содержащих 2N неизвестных коэффициентов.
3. Найти эти коэффициенты, используя N краевых условий, ЛГ - 1
условие непрерывности производных порядков 0,1,..., ЛГ - 2
и одно условие на скачок производной порядка ЛГ-1 при х = х'.
Функция Грина представляется, вообще говоря, разными формулами
при х < х' и х > х'. Если функция Грина симметрична, т. е. G(x, x') =
G(x',x), эти формулы отличаются только тем, что в них меняются
местами х и х'. Для сокращения записи вместо х, х' будет использоваться
обозначение аг< = min(x, х'), х> = тах(х, х').
2. Если задача G.4) имеет нетривиальные решения |»), г — 1,..., к,
с Л, = 0 (так называемые нулевые моды), то неоднородная задача G.1)
разрешима, когда ее правая часть / ортогональна нулевым модам задачи
?ft! = 0, В!г4 =0, G.5)
где ?' — оператор, сопряженный к С: (v, Си) = (?'«, и), аб'- сопря-
сопряженный оператор граничных условий. Для разрешимых неоднородных
задач используется обобщенная (модифицированная) функция Грина, кото-
которая вместо G.2) удовлетворяет уравнению
к
CG(x, х') = 6{х - *') - $3 «••<*)«?(*'). G.6)
где нулевые моды и, и v, прямой и сопряженной задачи взаимно ортого-
ортогональны и нормированы условием
/ v'i(x)uj(x) их -Ьц, i, j = 1,..., к.
V
Обобщенная функция Грина определяется единственным образом, если
потребовать ее ортогональности к нулевым модам однородной сопря-
сопряженной задачи G.5):
Jv'i(x)G(x,x')dx^0, t=l,...,*. G.7)

164 Глава 7. Метод функций Грина
Разложение по проекторам в подпространстве, ортогональном нулевым
I 100
модам, записывается как ?~' = X) х; I") (п\ , где X) = 12 означает
п n п=*+1
суммирование по ненулевым модам.
Чтобы найти обобщенную функцию Грина обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения с нулевыми модами, надо сначала их норми-
нормировать. В шагах 1, 2 к решению однородного уравнения надо добавить
частное решение уравнения G.6) без 6-функции. В шаге 3 для нахождения
неопределенных коэффициентов не хватает к условий, поскольку каждая
нулевая мода удовлетворяет одновременно двум граничным условием.
Поэтому следует добавить к требований ортогональности G.7). Решение
запишется как
Г *
и(х) = / G(x, x')f(x') dx' + J2
Ъ •='
где С{ — произвольные коэффициенты.
3. Когда вместо G.1) надо исследовать задачу с неоднородными
граничными условиями
?« = 0, Bu\x€S=g, G.8)
тогда требуется найти функцию Грина второго рода G,(x,x'). Решение
задачи G.8) записывается в виде интеграла по границе S области V:
«(*)= fG,(x,x')g(x')dx', x?V.
s
Решение линейной задачи с отличной от нуля правой частью и не-
ненулевыми граничными условиями
Си = /, B«Us = g
можно искать в виде суммы решений двух задач G.1) и G.8). Получается
сумма объемного интеграла по V с функцией / и поверхностного по 5
с функцией д.
Функции Грина первого и второго рода связаны. Их связь для
конкретного уравнения находится с помощью соответствующей форму-
формулы Грина, для вывода которой надо рассмотреть разность скалярных
произведений («, Cv) - (?*М) v) и свести ее к поверхностному интегралу.
4. Назовем фундаментальным решением любое решение уравне-
уравнения G.2), не обязательно удовлетворяющее граничным условиям. Фун-
Фундаментальное решение определено с точностью до любого решения
однородного уравнения. Вид особенности фундаментального решения
уравнения Пуассона
Ag(r,r') = 6(r-r')

7.1. Функции Грина
165
можно найти интегрированием по г вблизи точки г = г'. Для размерно-
размерности п = 1,2,3 получится
Размерность
1
2
3
д(т,т')
\х - х'\
2
In |г - г'|
2*
1
4ir|r - г'|
Функцию Грина первого рода G(x, x') можно построить по фун-
фундаментальному решению д(х,х'), если добавить линейную комбинацию
решений однородного уравнения, не имеющих особенностей при г = г',
и потребовать выполнения граничных условий. Реально найти такую ком-
комбинацию удается, когда область V симметрична. В трехмерном случае
иногда помогает метод изображений, а в двумерном также метод кон-
конформных преобразований. Применение метода изображений основано
на преобразовании инверсии г* —> * уравнения Лапласа (см. задачу 203)
относительно сферы радиуса R, если Т> — шар радиуса Я, или отраже-
отражения относительно плоскости, если V — полупространство. В двумерном
случае уравнение Лапласа ковариантно относительно конформных пре-
преобразований. Конформные преобразования полезны, если с их помощью
удается отобразить область на более простую, для которой функцию
Грина легче построить.
Для эллиптического оператора Гельмгольца С = Д - Аг2 или оператора
Лапласа С = Д разность интегралов по объему выражается через интеграл
по поверхности следующей формулой Грина:
(v, Си) - (?4,) = -
G.9)
где щ обозначает производную по внутренней нормали. Формула вы-
выводится из тождества v А и - и A v = div (vVu — uVv) с помощью
преобразования объемного интеграла в поверхностный.
Возьмем в качестве v(x) функцию G(x, x'), которая подчиняется
уравнению G.2), а в качестве и(х) — решение задачи G.8) и восполь-
воспользуемся формулой Грина G.9). Теперь поменяем обозначения х <-» х',
применим принцип взаимности и получим
u(x) =
*')
du(x') dG(x, x')
дп'
-^-r-u(x)Jdx.
G.10)

166 (лава 7. Метод функций Грина
Отсюда находится функция Грина второго рода для разных граничных
условий. Для задачи Дирихле «(a;)!l€S = g{x) (В — 1) функцию Грина
первого рода надо выбрать удовлетворяющей фаничному условию
Функция Грина второго рода (потенциал двойного слоя) получится из фор-
формулы
on
Для задачи Неймана ~^|,€5 = д(%) {В — щ) функцию Грина первого
рода надо выбрать удовлетворяющей граничному условию
8G(x, х')
= 0.
Функция Грина второго рода (потенциал простого слоя) получится из фор-
формулы
Gs{x,x')=G(x,x')\x^S-
5. Для оператора параболического типа, например, оператора тепло-
теплопроводности С = §f - Д, можно ввести две функции Грина. В безгра-
безграничной по координатам области функция Грина первого рода убывает
на бесконечности и удовлетворяет уравнению
G(r, t; r', t') — 0 при \г - г'| -> оо.
Функция G позволяет решать задачу
Си = /(г, t), к(г, t) -> 0 при t —» -с».
Решение задачи Кош и с начальными условиями
?« = 0, «(г, 0) = 0(г)
выражается через функцию Грина второго рода Gs, которая стремится
к <5-функции в начальный момент
CGs(r,r',t) = Q, Gs(r,r',t)-+6(r-r') при t -> +0.
б. Для оператора С гиперболического типа, например, С = D, су-
существует несколько разных функций Грина. Нами будет использоваться
только запаздывающая функция Грина, определяемая из решения волно-
волнового уравнения
aG = 6(r-r'N(t-t'), О=^^-Д. G.11)
Запаздывающая функция обращается в нуль при t < t' и убывает на бес-
бесконечности вместе со своими первыми производными
G(rJ;r',t') = 0, t<t'; G(r,t:r ',t')~* 0, |г - г'| - оо.

7.2. Непрерывный спектр 167
Если коэффициенты дифференциального уравнения постоянны,
то функцию Грина можно найти с помощью преобразования Фурье. При
выполнении обратного преобразования может возникнуть трудность,
если полюс функции Грина в w, fe-представлен и и попадает на контур
интегрирования. Правила обхода полюсов находятся из физических со-
соображений. Для задачи Кош и с начальными условиями вместо преобра-
преобразования Фурье можно использовать преобразование Лапласа.
7.2. Непрерывный спектр
Мы будем рассматривать в основном дифференциальные операто-
операторы, действующие в L2(fl) — в пространстве квадратично-интегрируемых
функций аргумента х ? П. Величина Л называется собственным значе-
значением оператора А, если существует решение ф\(х) уравнения
принадлежащее L2(Q). Это решение называется собственной функцией.
Принято говорить, что А — собственные значения дискретного спектра
и что все такие А образуют дискретный спектр ор. Для самосопряженного
оператора А = «4*, действующего в L2(il), где ft = D — какая-нибудь
конечная область пространства, имеет место утверждение: собственные
значения А образуют дискретный набор ар = {А„}, п = 0,1,... и соответ-
соответствующие собственные функции, отвечающие различным собственным
значениям, ортогональны.
Для большинства дифференциальных операторов, применяемых
в физике (например, операторов Штурма—Лиувилля и Лапласа), множе-
множество собственных функций образует полный набор в L7(Q). Из них можно
построить ортонормированный базис, выбирая и нормируя подходящие
линейные комбинации в вырожденных случаях. При этом оператор А
можно представить в каноническом виде G.3)
Если А{х, х') — ядро интегрального оператора
(Аф)(*)= J A{x,x')i>(x')dx\
а
то его можно разложить по собственным функциям
А(х, х') = {х \А\ х') = X) А^аШ*'),
G.12)
*.(*)=(«W, ж*') = <ni*f>.
Такое представление оператора называется спектральным разложением.

168 Глава 7. Метод функций Грина
Если же П — некомпактная область, то G.12) может быть уже
неверно и должно быть модифицировано, поскольку у оператора А может
быть непрерывный спектр. Пусть А по-прежнему самосопряжен. Мы
говорим, что интервал (в, Ь) вещественной оси принадлежит непрерывному
спектру <тс, если для всех А 6 <гс = (в, Ь) существуют решения ф\(х)
уравнения
Афх(х) = \фх(х),
не принадлежащие L2(il), но такие, что любая их суперпозиция вида
ь
Ф(х) = J а(\Шх) dX, а(Х) 6 L2(a, Ь)
а
уже лежит в Ь2(п). Говоря на языке квантовой механики, из волновых
функций непрерывного спектра можно построить нормируемые волновые
пакеты, сколь угодно близкие какой-нибудь данной il>\(x) в сколь угодно
большой области пространства. Например, функция
с малым, но конечным е имеет конечную норму, и нормируемый па-
пакет Ф(ж) в области с линейным размером ~ \ будет мало (~ е) отличаться
от функции ф\„(х).
Собственные функции непрерывного спектра самосопряженного
оператора А взаимно ортогональны:
(¦фх, Фх)= I dx 1>l(xI>x(x) = О, А Ф А',
й
и вместе с функциями дискретного спектра образуют полный набор:
любая / € Ьг{п) может быть представлена в виде линейной суперпозиции
f(x) = У] апфп(х) + f dX a(X)fx(x). G.13)
Для функций непрерывного спектра принято выбирать нормировку
«на б-функцию»
x) = 6(X-Xq). G.14)
J
Умножим скалярно обе части G.13) на ip^x). В результате для коэффи-
коэффициентов а(Х) находим
г(Х) = J f(x)i>l
(x)dx. G.15)

7.3. Резольвента 169
Заметим, что изменение нормировки, т. е. появление коэффициента С(А)
при й-функции в G.14), повлечет за собой появление коэффициента щ?
в правой части G.15).
Будем считать, что выбрана нормировка G.14). Тогда спектральное
разложение ядра А(х, х') принимает вид
А(х, х') = ? A»*.(*)itf (*') + / <** А^д(*)^(*'), G.16)
где суммирование производится по дискретному спектру av, интегри-
интегрирование — по непрерывному. В формуле G.16) подразумевается, что
собственные значения непрерывного спектра оператора Л невырождены.
Если же имеется вырождение, то в каждом собственном подпростран-
подпространстве с собственными значениями Л можно выбрать ортонормированный
в смысле G.14) базис щ (х). Спектральное разложение при этом допол-
дополняется суммированием по всем собственным функциям, принадлежащим
данному собственному значению А
А(х, х1) = ? А^хШ*') +fdX\J2 ФЧ\Ф?'(*')- G.17)
i
Возможность вырождения собственных значений дискретного спектра
учитывается в G.16), G.17) тем, что некоторые А„ в первом слагаемом
могут совпадать.
7.3. Резольвента
Резольвентой Rz данного самосопряженного оператора Н называется
следующий оператор, зависящий от комплексной переменной z как
от параметра
Rz = (z-H)\
Из определения следует уравнение на интегральное ядро Яг(х, х') опе-
оператора R:
(г - H)R2(x, х) = 6(х - х).
Собственные функции ^л(^) уЯиЯ,, очевидно, одни и те же, а соб-
собственные значения тривиально пересчитываются. В итоге мы получаем
спектральное разложение для Дг(ж, х'):
При 2 = 0 резольвента с точностью до знака переходит в функцию Грина.
Видно, что в резольвенте Rz(x, x') заключена вся информация о спектре
оператора Я. Как аналитическая функция переменной 2 € С резольвента

170 Глава 7. Метод функций Грина
определена в плоскости с разрезом вдоль
участка вещественной оси, соответствующим
непрерывному спектру, и полюсами, соответ-
соответствующими дискретному спектру оператора
Н (рис. 7.2). Вычет в полюсе z = А„ резоль-
резольвенты Rz(x, x'), как следует из G.18), равен
^-\ » , ,. Рис. 7.2. Комплексная плос-
Res Rz = у j y)nj(x)ipnj(x ), кость спектрального параме-
2 ~ * j тра z с полюсами в точках
л дискретного спектра и раз-
где il>nj(x) — собственные функции: Hil>nj = резом, соответствующим не-
Kfnj, j = 1,... ,х„, где х„ — кратность вы- прерывному спектру
рождения собственного числа А„.
Скачок резольвенты на разрезе может быть найден с помощью
формулы
lim (—1- — ) = -2iriS(z)
t—+о \ z + ie z — ге)
и равен
Это соотношение позволяет по известной резольвенте найти норми-
нормированные согласно G.14) собственные функции непрерывного спектра
с точностью до унитарного поворота в их собственном подпространстве.
Такой поворот оставляет инвариантной билинейную форму
Таким образом, знание особенностей резольвенты как функции своего
комплексного параметра z эквивалентно знанию собственных значений
и собственных функций как дискретного, так и непрерывного спектра.
Метод функций Грина разобран в книгах [Соббб, МУ72, МФ58]. По-
Понятие резольвенты и свойства функций непрерывного спектра описаны
в [Рих82].
7.4. Примеры
199. Найти функцию Грина и выписать решение неоднородного урав-
уравнения и" - /(ж), если и@) = tt(l) = 0, х 6 [0, 1].
Решение. Решение однородного уравнения — линейная функция.
Функцию Грина сразу ищем в виде, удовлетворяющем граничным усло-
условиям
_, i4 Г Ах, если х < х';
G(x, x) = ¦>

7.4. Примеры 171
Здесь O^ar^l, 0 < ж' < I. Условия непрерывности функции и еди-
единичного скачка производной дают систему двух уравнений для коэффи-
коэффициентов А, В
Ах -В(х'-1)=0, В-4=1.
Ответ удобно выразить через переменные х>, х<: G(x,x') ~х< (х> - 1). ь-
200. Доказать, что функция Грина уравнения СТи(г) = /(г) с опера-
оператором
и граничными условиями и@) = и(\) -0 представима в виде
с( ,)=^i(r<)x;(r>) X.W Ыг)
W(r') v'(r) y',(p)
если нулевые моды отсутствуют. Здесь функции Xi(r) — линейно независи-
независимые решения однородного уравнения
Решение. Поскольку х\ удовлетворяет левому фаничному условию,
а Х2 ~ правому, можно сразу искать функцию Грина в виде
G/_ J\ _ / AXi(r), если г < г';
и{г'г}~\ВХг{г), если г > г'.
Граничные условия выполнены автоматически, а требования непрерыв-
непрерывности при г — г' дают систему уравнений на коэффициенты А, В
A Xi(r') - BXi(r') = 0, ВХ'г(г) - АХ\{т) = I.
Отсутствие нулевой моды означает, что \\ Ф хг- Определитель систе-
системы совпадает с вронскианом G.20) фундаментальной системы решений
в точке г = г', а поэтому отличен от нуля. В данном случае вронскиан
W(r') не зависит от г'.
Если граничные условия не разделяются на правое и левое, то
формула G.20) уже дает не функцию Грина Gfar1), а только фундамен-
фундаментальное решение g(r, r'). Фундаментальное решение можно превратить
в функцию Грина, прибавив линейную комбинацию решений однородно-
однородного уравнения, а граничные условия позволят определить коэффициенты.
Приведем формулу для функции Грина, когда нулевые моды отсут-
отсутствуют. Пусть вместо нулевых условий на функцию «(г) в задаче заданы
однородные граничные условия обшего вида Bt« = 0, В^и = 0, где
Б).2 — операторы граничных условий, представляющие собой линейные
комбинации значений функции и первой производной на левой и пра-
правой границах, функция Грина строится по фундаментальному решению

172 Глава 7. Метод функций Грина
с помощью формулы
9(ГУ) Xi И Хг(г)
, Z(r,r') ?1X1 В1Х2
G(r,r) = —-—, Д= , is = Big B1X1 X2
Д S2xi 82X2 о о о
#25 02X1 #2*2
Действительно, формула дает сумму фундаментального решения g(r, r')
и линейной комбинации функций xi,2(r). не имеющих особенностей
при г = г'. При действии операторов By или Bi на определитель Z
получается определитель с парой совпадающих строк, поэтому B\jZ = 0.
Значит G(r, r') удовлетворяет уравнению и краевым условиям**. >
201. Найти обобщенную функцию Грина однородной краевой задачи
Решение. Нулевая мода в данном случае — постоянное решение,
если его нормировать, то щ(х) = 1. Поэтому функция Грина удовлетво-
удовлетворяет уравнению
G"(x, x) = 6(х -х')-1. G.21)
Решение уравнения без ^-функции есть —у, поэтому ищем G в виде
если х < х';
если х > х'.
Граничные условия позволяют найти два коэффициента А = 0, С = 1.
Сшивка при х = х' дает только одно условие В = х' + D. Недостающее
условие возникает из требования ортогональности нулевой моде
I 1 х' I
[ dx G(x, x') = -- [ x2dx+ I Bdx+ f
о о о «•
откуда найдем В = x' — \— |, D = -%- — |, а
G(x,x') = --~X> +2X< +x>. >
202. При каких условиях разрешима неоднородная задача и" = f(x),
и'@) = а, «'(]) = Ь? Выписать решение.
Решение. Умножим уравнение на нулевую моду щ(х) = 1 и проин-
проинтегрируем от 0 до 1. Получаем условие разрешимости
i
Ь-а- [ /(ж) dx = 0, G.22)
'' Как обобщить данную формулу на уравнение /V-ro порядка и на оператор с нулевыми
модами указано в справочнике | Кам76|.

7,4. Примеры
173
т. е. условие ортогональности нулевой моде сопряженной однородной
задачи.
Наглядно можно понять алгебраический смысл получившегося усло-
условия, если вместо дифференциального рассмотреть разностное уравне-
уравнение, как бы подготовив дискретную модель для численного реше-
решения. Для этого приблизим первую производную разностной схемой
и'(х) « г?\хп t a вторую — схемой
\и(х - h) - 2и(х) + и(х + h)] I
- v/ ~ h2 ' JV '
Тогда расширенная матрица системы (N + 1) х (N + 2) примет вид
1
0
0
0
к о
t
-2
1
0
0
0
0
1
~2
1
0
0
0
0
1
-2
0
0
0 ..
0 ..
0 ..
1 ..
0 ..
0 ..
. 0
. 0
. 0
. 0
. 1
. 0
0
0
0
0
_2
1
0
0
0
0
1
-1
ah
/да
/BЛ)Л2
/(ЗЛ)Л2
/A - Л)Л2
-bh
Первая и последняя строки соответствуют граничным условиям, а ос-
остальные отвечают дифференциальному уравнению. Вертикальная черта
отделяет матрицу системы от столбца правых частей. Как нетрудно
заметить, сумма всех строк матрицы системы равна нулю, а значит,
обращается в нуль определитель, и нуль является собственным значением.
Собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению, есть
дискретный аналог нулевой моды. Для разрешимости необходимо, чтобы
сумма элементов последнего столбца тоже обращалась в нуль
N-1
h(a - 6) + ft2
= 0.
k-l
Тогда ранг расширенной матрицы системы N совпадет с рангом матрицы
системы. Отсюда при N —> со и получается условие G.22).
Если бы были наложены условия не на производную, а на функцию
«@) = в, иA) = Ь, то в первой строке пропала бы вторая, а в последней
строке — предпоследняя единица. Тогда матрица системы была бы
невырожденной, нулевые моды бы исчезли, а краевая задача стала бы
разрешимой при произвольных а, Ь, f(x).
Чтобы выписать решение неоднородной задачи, нужно найти ка-
какую-нибудь простую функцию, удовлетворяющую граничным условиям
?/'@) = a, U'(l) = Ь. Выберем, например, U(х) = aj+<^-a>x . Будем искать
решение в виде и(х) = v{x) + U(x). Тогда функция v{x) удовлетворяет
уравнению «" = f(x) + о - 6 и нулевым граничным условиям на про-
производную i>'@) — «'(!) = 0. Задача сводится к предыдущей, а решение

174 Глава 7. Метод функций Грина
запишется как
!
и(х) = J G(x, *')/(*') dx'+ax+ <*-»*** + С,
о
где произвольная константа С — коэффициент при нулевой моде. Мы
не написали а - Ь под знаком интеграла, воспользовавшись условием
ортогональности модифицированной функции Грина и нулевой моды.
Если бы мы выбрали другую функцию U(x), получилось бы решение
п(х) = j G(x, x') [/(*') - U"(x')) dx' + Щх) + С, G.23)
о
которое совпадает с предыдущим с точностью до нулевой моды. Послед-
Последнее можно показать интегрированием по частям. Проверим, что G.23)
является решением задачи. Для этого продифференцируем G.23) дважды
и воспользуемся уравнением на функцию Грина G.21), получится
1
ш"(х) = f(x) - У [/(*') - U"(x')] dx1.
о
Из условия разрешимости G.22) следует, что интеграл в правой части
этого выражения равен нулю. >
203. Показать, что если ф(г) — решение трехмерного уравнения
Лапласа, то и ip(v) = rr - — также решение.
Решение. В сферических координатах
Сделаем замену ?= р, так что ? = },
Ф(~,)=ФA,9,<Р)=Ф(?,0,Ф)- Тогда
204. Найти функцию Грина двумерного уравнения Пуассона Дв = /(г)
в круге радиуса Я, и|г=я = 0. Получить решение задачи Дирихле для
уравнения Лапласа Д« = 0 в круге с граничным условием и|г=д = А(<р),
где <р — угол. Выразить решение в виде контурного интеграла в плоскости
комплексного переменного.

7.4. Примеры 175
Решение. Функцию первого рода найдем методом изображений, по-
поместив заряженную «нить» противоположного знака в точке инверсии
r't = fr и добавив подходящую константу. Тогда
, , 1
G(r, у; г <р) « - In
так что С|г=я = 0, независимо от г', у>'. Функция второго рода находится
дифференцированием
dG
1
~»\ >*-.*-/ dr> T,=R 2vR R2 -2Rrcostf> + r2'
Решение задачи Дирихле дается формулой Пуассона
2*
1 / Я2 - г2 , ,
Задача «Найти аналитическую в круге функцию, вещественная часть ко-
которой принимает на границе круга значение /(«)», решается с помощью
формулы Шварца
i/^ G25)
вещественная часть которой сводится к G.24) с помощью замены z = re'*1,
( = Re1?'. Тогда |? — г|2 = Я2 + г2 - 2Яг cos ij> дает знаменатель функции
Грина, a lft~jfj = ^1^ — саму функцию Грина G,. Гармоническая
функция u(z) есть вещественная часть аналитической функции w(z), >
205. 7}>>>&г радиуса R и бесконечной дайны помещена в грунт на глу-
глубину h и поддерживается при постоянной температуре %. Найти распре-
распределение температуры, если на поверхности земли Т = 0.
Решение. Распределение температуры подчи- т_п п
няетея уравнению Лапласа ДГ = 0. Поскольку Г — , т у
не зависит от координаты вдоль трубы, область,
в которой предстоит решить уравнение Лапласа, —
двумерная (рис. 7.3). Воспользуемся методом кон-
конформных преобразований. При помощи дробно- T=Tt
линейной функции
_ Рис. 7.3. Двумерная
? = ) z-x + iy G.26) область к задаче 205
z + c
можно отобразить в кольцо рассматриваемую область. Прямая z = iy
перейдет в единичную окружность |?|2 = 1, если с — действительное
число. Поверхность трубы также перейдет в окружность |?|2 = а2 радиуса

176 Глава 7. Метод функций Грина
а — -J |^j < 1, если с = Vh2 — R2. Это можно проверить, подставив
z = ft + Retip в дробно-линейное преобразование G.26). Двумерное урав-
уравнение Лапласа ковариантно относительно конформных преобразований,
поэтому в новых переменных температура также удовлетворяет уравне-
уравнению Лапласа. Условия на границах кольца останутся теми же
Г|)С|=1 = 0, Т||(|=а = Го.
Поскольку фаничные условия не зависят от угла <р в полярных коорди-
координатах, задача может быть сведена к одномерной. Двумерное уравнение
Лапласа имеет два решения, не зависящих от угла: In |(| и 1. Их комби-
комбинация, удовлетворяющая граничным условиям, имеет вид
InlCI
ПО =
In a
Возвращаясь к исходным переменным ( = f^jj-^;, находим решение
задачи:
1п(?±й!±»!
206. Найти функцию Грина трехмерного уравнения Гельмгольца
удовлетворяющую условию излучения Зоммерфельда (сходящаяся волна, при-
приходящая из бесконечности, отсутствует) м|г~оо ~ *т~-
Решение. Коэффициенты оператора не зависят от г, поэтому урав-
уравнение
(Д 4- kg)G(r, г') = 6(г — г ')
можно свести к алгебраическому с помощью преобразования Фурье
по переменной г - г':
Функция Грина G(r, г') зависит только от разности г - г', поэтому равна
G(r - г', 0) и находится с помощью обратного преобразования:
Интегрирование удобно проделать в сферической системе координат,
выбрав ось г вдоль вектора г. Интефирование по <р дает 2я\ после
интегрирования по в остается однократный интефал
ikT

7.4. Примеры
177
Полюсы подынтегральной функции
лежат на контуре интегрирования, поэто-
поэтому надо выбрать правило их обхода, ис-
исходя из граничных условий. Чтобы полу-
получить функцию, удовлетворяющую усло-
условию излучения, надо оставить расходя-
расходящуюся волну и отбросить сходящуюся.
Поскольку г — положительная величи-
величина, замкнуть контур следует сверху. Что-
Чтобы интеграл сводится к вычету в точке
к = fco. выбираем контур, указанный на рис. 7.4. Окончательно (после
замены г —» г -г') имеем
-k
Рис. 7.4. Контур интегрирования
для уравнения Гельмгольца
' 4тг|г-г'Г
Такая функция Грина в виде расходящейся сферической волны исполь-
используется, например, в задачах дифракции и теории рассеяния (см. зада-
задачу 237). >
и(
207. Найти функции Грина трехмерного уравнения теплопроводности
Дм и нестационарного свободного уравнения Шрёдингера гщ = — ^г.
Решение. Поскольку коэффициенты уравнений постоянны, функция
Грина может зависеть только от разностей времен и координат. Тогда
уравнения для функций Грина можно записать в виде
G, - Д G = 6(rN(t),
= 6(rN(t),
а в окончательном ответе вернуть исходные аргументы, т. е. выполнить
замену г —» г - г', < —> t - <'.
Преобразование Фурье
= J п(г, 1)еш~*г dr dt, u(r, t) =
приводит уравнения к виду
Обратное преобразование Фурье для уравнения теплопроводности
можно выполнить, интегрируя в плоскости комплексного переменно-
переменного ш. При t < 0 контур следует замкнуть в верхней полуплоскости, чтобы
исчезал интеграл по бесконечно удаленной полуокружности. Единствен-
Единственный полюс подынтегральной функции расположен вне области, которую
охватывает контур, поэтому при t < 0 функция Грина обращается в нуль.

178
Глава 7. Метод функций Грина
При t > 0 контур замыкаем в нижней полуплоскости (рис. 7.5). Интеграл
выражается через вычет
Gk(t) = f ^ 6 '" , 2 = -i Res ~
-iw + k2
Преобразование по к сводится к вычислению гауссового интеграла и дает
(r-r'J}
В случае уравнения Шрёдингера полюс попадает на вещественную
ось, поэтому для сходимости интеграла следует сместить контур ин-
интегрирования с вещественной оси (выбрать правило обхода полюса).
Дополнительным соображением, позволяющим выбрать из двух возмож-
возможностей, может служить принцип причинности — условие обращения
функции Грина в нуль при при t < 0. Тогда при t > 0 контур выбирается
согласно рис. 7.5, а интеграл равен
Gk(t) = -i Res
w - k2/2
= -ie'ikt/2.
После обратного преобразования по * получится запаздывающая функ-
функция Грина
^•'¦'¦•v~i0frM±irLl G27)
которая описывает расплывание волнового пакета, локализованного в на-
начальный момент. Запаздывающая функция Грина позволяет решить за-
задачу Коши с начальными условиями.
Для решения задачи Коши можно вместо преобразования Фурье
выполнить преобразование Лапласа по времени
00
«р + у W = 1, Gpk = J
-" dt.
t>0
Рис. 7.5. Контуры интегрирования для уравнений теплопроводности (слева)
и Шрёдингера (справа)

7.4. Примеры 179
Обратное преобразование Лапласа определяется контурным интефалом
При t > 0 правило обхода полюса определено однозначно: все полюсы
в плоскости комплексного переменного р надо обходить справа. В ре-
результате также получается запаздывающая функция Грина G.27).
В некоторых физических задачах требуется функция, обращающаяся
в нуль при t > 0. Для ее получения полюс надо обходить снизу, и полу-
получается так называемая опережающая функция Грина <7<~) ос в(—t). >
208. Найти функцию Грина G(x, х', t) одномерного уравнения Фокке-
ра—Планка
8и д 1 д2и
Решение. Решение задачи Кош и
Gt = G + xGz + ^Gxz, G(x,x',0) = 6(x-x') G.28)
для функции Грина второго рода G ищем в виде гауссовой функции
Уравнение Фоккера—Планка сохраняет нормировку (число частиц)
G(x,x',t)dx=l,
откуда находится C(t) = BtD(t)) . Подставляя G.29) в G.28) и при-
приравнивая коэффициенты при х, х2, получим обыкновенные дифферен-
дифференциальные уравнения для среднего a(t) и дисперсии D(t)
а = -a, D = 1 - 2D.
Начальные условия а@) = х', D@) = 0 должны обеспечить предельный
переход в й-функцию при t -* +0. Найдем
, ехр \-(х-з/е-гJ/(\-е-*)]
G(x, x', t) = -= 1- i.
y/v >/1 - e~7i
В пределе t С I ответ переходит в функцию Грина диффузионного
процесса:
т

180 Глава 7. Метод функций Грина
На больших временах t > I функция Грина перестает зависеть от коор-
коор6{Х,^ = ^Ы.
Уравнение Фоккера—Планка описывает случайное блуждание частиц,
и такой вид асимптотики на больших временах означает, что после
нескольких столкновений броуновская частица «забывает» начальные
условия.
Данную задачу также можно решить с помощью преобразования
Фурье по координате, которое понижает порядок уравнения со второ-
второго до первого. Получившееся уравнение первого порядка с частными
производными можно решить методом характеристик (см. главу 2). >
209. Найти функцию Грина одномерного волнового уравнения
-т И(| - ихх = f(x, t), u(x, t) -» 0 при t ~+ -оо.
СГ
Решение. После преобразования Фурье по координате и времени
получим функцию Грина в ш, fc-представлении
G
Проведем обратное преобразование Фурье по ш. Обходя полюсы сверху
из соображений причинности, получаем
После обратного преобразования по к имеем
G(x, t; 0,0) = С- [в(х + d) - в(х - <Л)) 0(t). G.30)
Значит, локальное возмущение в точке х', подействовавшее в момент
времени V, оказывает влияние только внутри интервала х' — c(t — ?) <
х < х' + сB - V) из-за конечной скорости с распространения возмущения
(область влияния). >
210. Показать, что решение задачи Коши
D« = 0, и(г,0) = р(г), ut(r,Q) = f(r) G.31)
для волнового уравнения выражается через функцию Грина по формуле
«(г, t) = i j [? G(r, t- r', 0)dr') + G(r, t; r', ОЩг')] dr'.

7.4. Примеры 181
Решение. Волновое уравнение имеет второй порядок по времени,
поэтому задача Кош и для него содержит два начальных условия —
на функцию и первую производную. Следовательно, имеется пара функ-
функций Грина второго рода Gs и Gs , а решение дается формулой
«(г, t) = J G<'>(r, r', Ыт ')*•' + / Gi2)(r, r', 1Щт ') dr '. G.32)
Найдем связь функций G, , G, с функцией Грина первого рода, которая
подчиняется уравнению
П G(r, t; г', О = 6(г - г 'N(t - О G.33)
и стремится к нулю вместе со своими первыми производными при
t —> оо или г —> оо. Для этого умножим уравнение G.33) на и(г, t)
и вычтем из него уравнение G.31), умноженное на G(r, t; r', t'), а затем
проинтегрируем по г по всему пространству и по t в пределах от 0 до оо
при V > 0:
w(r',t')= I drdt(uUG-GUu) =
Интеграл от дивергенции преобразуется в силу теоремы Гаусса в интеграл
по бесконечно удаленной поверхности и обращается в нуль. В первом
слагаемом интеграл по t берется, причем из-за убывания G и G< при
t —» оо остается вклад только нижнего предела t = 0:
и(г ',<') = I у dr
Меняя обозначения переменных г«г',(«Си переходя от дифферен-
дифференцирования функции Грина по <' к дифференцированию по<(^7 = -^),
находим
«(г, 0 = i У dr' ^ (г, t; г ', О)у>(г') + G(r, t; r ', 0)^(г')] •
Сравнивая с формулой G.32), получаем искомую связь:
G[l)(r,rl,t)=±jtG(r,t;r\O), G?\r,r \t) = i G(r, <;r ',0). >
211. Зная функцию Грина одномерного волнового уравнения (зада-
(задача 209), решить задачу Коши
-J ин - пхх = 0; и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = f(x).

182 Глава 7. Метод функций Грина
Решение. Решение задачи Кош и можно записать в виде суммы двух
интегралов (задача 210)
00 00
«(х, t) = j G[[)(x, x', t)V(x') dx' + j G?{x, x', tI>(x') dx'. G.34)
—00 —00
Воспользуемся выражением G.30) для функции Грина одномерного урав-
уравнения, тогда получится
I Я 1
сУ>< ' t) G(t ' °) W
П\ , 1 1 г ,1
Отсюда следует формула Даламбера
x-Hi
и(х, t) = - [<р{х + ct) + уг(ж — ct)\ H / ^>(х') dx'. G.35)
2 2с J
x-ct
Решение в точке х определяется значениями функций (р в точках х' =
x±ct и -ф т интервале х' € (х - ct, х + ct), который называется областью
зависимости. >
212. Построить функции Грина второго рода и выписать решение
задачи Коши для трехмерного волнового уравнения. Показать, что решение
u(r, t) в точке г полностью определяется значениями функций
и нормальной производной ^ на сфере радиуса ct с центром в точке г
(принцип Гюйгенса).
Решение. Пользуясь функцией Грина первого рода (задача 246) и ре-
результатом задачи 210, находим функции Грина второго рода
' ' ~ 4прс '
где р = |г - г'\. Решение задачи Коши для волнового уравнения
„„.о ' П.?
4тг J {
р рс
можно переписать через функционал М, действующий на функциях трех
переменных /*(г) и обозначающий усреднение по единичной сфере
M{fi(r)] = ^ J

7.4. Примеры 183
Получается формула Кирхгофа
213. Найти убывающую на бесконечности функцию Грина уравнения
Гельмгааьца
(До - q2)G(x, х') = 6(х - х'), G.36)
где До — лапласиан в D-мерном пространстве,
Решение. С помощью преобразования Фурье найдем
Знаменатель можно записать как
fc2 + q2
о
и поменять порядок интегрирования. Внутренний D-кратный интефал
является гауссовым и вычисляется по формуле
/
А
ехр {-I
где А — матрица D x D, а Ь — D-мерный вектор, получается
Остается вычислить интеграл по t, который сводится к интегральному
представлению функции Макдональда (П.31)
где а = у - 1, s = }. Отсюда
- X'\)
Рассмотрим частные случаи. Если D = 2, то а = 0, а поведе-
поведение функции Макдональда порядка 0 при малых значениях аргумента
логарифмическое (П.33)

184
Глава 7. Метод функций Грина
что согласуется с обшей таблицей особенностей фундаментального ре-
решения (с. 165). При D > 2 получим для q\x\ < I
G(r,0)~-
4vD/2rD-2-
В частности,
G(r,0).
При нечетных размерностях D =
3,5,... функция Ка выражается че-
рез элементарные функции.
Рассмотрим подробнее частный
случай /? = 4, z = (zo, Z|, хг, х$).
Если в качестве первой координа-
ты подставить xq —> it (совершить
поворот на | в комплексной плос-
плоскости Жо), а вместо q записать та,
то из G.36) получится уравнение
Клейна— Гордона—Фока
Im G(s)
10
которое описывает движение реля-
релятивистской бесспиновой частицы
массы т.
Рис. 7.6. Мнимая часть фейнмановской
функции Грина в зависимости от вели-
величины з = vV - г2 времениподобно-
Функция Грина (называемая го интервала для трех разных масс:
— т\ - 2т; — 4то
фейнмановской) сведется к виду
G(*,0) = -
где г2 = х] + xl + х], с = 1. Когда интервал пространствен ноподобныи
(г2 > t2), z — действительное число и функция д убывает экспонен-
экспоненциально в области г > t: K\(mz) ~ %/jsr7 е~тг- Если же интервал
времениподобный (г2 < t2), то величина г ~ Wt1 - г1 — чисто мни-
мнимая, а функция G осциллирует (рис. 7.6). В нерелятивистском пределе
г2 < t2, mt > 1 можно разложить z ~ i(t - ^) в аргументе функции
Макдональда и получить
G(x% 0) ~
С точностью до постоянного множителя получилась функция Грина
уравнения Шрёдингера G.27). >

7.4. Примеры 185
214. Найти непрерывный спектр оператора А = — д§, х € Ш.
Решение. Чтобы показать, что собственная функция и(х) = ехр (i\x)
оператора А = — |j| принадлежит непрерывному спектру, убедимся, что
Аи = Аи. Остается построить приближенную нормированную собствен-
собственную функцию й и убедиться, что норма \\Ай - \й\\ стремится к нулю.
Выберем приближенную функцию в виде волнового пакета, например
й(а;) = а(а:)ехр(гАа;), а(ж) = ?|/41Г-'/4ехр(-^),где ||а||= I. Найдем
00
\\Ап - Ай||2 = I a'2(x) dx = *- -* 0, е -* 0.
-00
Таким образом, непрерывный спектр совпадает со всей вещественной
осью R. >
215. Найти резольвенту оператора — gjy.
Решение. Уравнение
с нулевыми граничными условиями на бесконечности имеет решение
При этом подразумевается главная ветвь функции \fz: Im s/z > 0. Резоль-
Резольвента аналитична во всей z-плоскости с разрезом вдоль вещественной
положительной полуоси К+ = {г € М, г > 0}. Скачок на разрезе опреде-
определяется значениями квадратного корня из z = fc2 ± it на берегах разреза
к > 0,
и равен
Д*2+;о - Rv-io = -г- cos Нх ~ х>) = ~ Т (cos k* cos ^x' + s'n kx sin fcz').
t № К
Сравнивая с G.19), мы получаем, что оператор —-^р имеет только не-
непрерывный спектр z = fc2 > 0, каждое собственное значение двукратно
вырождено и возможный, нормированный согласно G.14) базис в дву-
двумерном собственном подпространстве, соответствующем собственным
значениям z — fc2, состоит из пары функций
(I) cosfca; B) sinfca;

186 Глава 7. Метод функций Грина
216, Найти резольвенту радиального оператора
с -JLrL
Т~ г дг дг
на пространстве со скалярным произведением (v, и) = / rdr v*(r)u(r).
Решение. Резольвента подчиняется уравнению
откуда интегрированием по rdr получается, что скачок производной
при г = г' равен р. Два линейно независимых решения — это Xi(r) =
Jo(kr), удовлетворяющее условию регулярности при кг —» 0, и хг(г) =
Jo(fcr) + iYo(kr), переходящее в расходящуюся цилиндрическую волну
при кг —* оо, где к = у/г.
Асимптотику второго решения можно проверить, пользуясь опреде-
определением функции Неймана
Y0(x) = ton sinvt/ , G.37)
получится
Jo(z) - V — cos (*--), Y0(x) ~ J— sin (x -
Вронскиан можно найти из асимптотики при г —» оо: W(r') = —,.
Действуя аналогично задаче B00), получим резольвенту
gl(r, г') = Jjo(fer<)[jo(fer>) + <Ув(*г>)].
Ветвь sfz в плоскости г, разрезанной по R+, выбираем из условия
л/Т = +1 на верхнем берегу разреза. При переходе через разрез четная
функция Jq(x) не меняется, а скачок Ко находится из формулы Jv(—x) =
e""Jv(x) и определения G.37):
YQ(+x) - Yo(-x) = -2iJ0<s).
Сравнивая выражение
5i4«? - 9*-ie = -i*Mkr)J0(kr')
с G.19), найдем собственные функции непрерывного спектра
fk(r) = ~

7.4. Примеры 187
Подчеркнем, что эти функции нормируются условием
217. Найти резольвенту оператора —Л в трех измерениях в сфериче-
сферических координатах и построить сферически симметричную нормированную
собственную функцию.
Решение. Уравнение
решается преобразованием Фурье, потому что это уравнение Гельмгольца
с граничными условиями Rz —» 0 при Im -Jz > О и г —> оо (задача 206).
Получается
Резольвента определена в плоскости с разрезом вдоль R+.
Можно разложить резольвенту в ряд по сферическим гармоникам
где n = ?, n' = ^- — единичные векторы. Нас интересует только
коэффициент при Y^ - ^, который находится интегрированием по всем
четырем углам в сферических координатах п — @,^), п' = (в',<р').
Перейдем к интегрированию по углу ¦ф между векторами nun'
gf (r, г') = 2тг I йф sin fRt (|г - г'|),
о
а затем к переменной t = |г - г'|2 = г2 + г'2 - 2rr' cos ^
\/ё Irr'isfi rr'y/z
Функция gf1 аналитична в плоскости г, разрезанной вдоль положитель-
положительной вешественной полуоси R+. Скачок на разрезе z = k2
оо оо
приравниваем к —2тг^(г)^(г'). Так можно найти сферически симмет-
симметричные собственные функции непрерывного спектра

188 Глава 7. Метод функций Грина
Подчеркнем, что эти функции нормируются условием
где интеграл берется по всему трехмерному пространству.
218. Найти значение резольвенты Rz(x, x') оператора
d2
Н = ---J + G[6(x + а) + 6{х - а)],
при х = 0 и х' = 0. Как ведет себя R,@,0) при Ga > I ?
Решение. Резольвента удовлетворяет уравнению
(z-H)R1(x,x') = 6(x-x')
и может быть представлена в виде G.20)
где и(х) и v(x) — решения однородной задачи
(z - Й)и(х) = (г - H)v(x) = 0
с асимптотическими условиями: и(х) —<¦ 0 при х —» +оо и v(x) —» 0 при
а; —* -оо, W — v(x)u'(x) — u(x)v'(x) — их вронскиан.
В интервалах х < —а, х> а и -о < а; < а однородная задача
выглядит просто:
и их решения являются там линейными суперпозициями экспонент
e±ixy/i ?ак функции параметра z они однозначны в комплексной плос-
плоскости с разрезом от г = 0 до бесконечно удаленной точки. Асимп-
Асимптотическим условиям при х -* ±оо можно удовлетворить, если мнимая
часть y/z знакопостоянна. Это так, если разрез проведен вдоль R+.
Выберем в комплексной плоскости такую ветвь y/z, что Int y/z > 0,
тогда
и(ж) = е'*^, х>а; v(x) = e~"v', x<-a.
Значения и(х) и v(x) при -а <х < а (коэффициенты в линейных ком-
комбинациях экспонент е***^*) определяются из требования непрерывности
этих функций при х = ±а и скачков производной

7.4. Примеры 189
и (а + 0) - и (а - 0) = Gu(a),
v'(-a + 0)-v'(-a-0) = Gv(-a).
В результате для — а < х < а получим
«•>
-0+&)<*"-& •¦**
и вронскиан
Отсюда следует, что искомое значение резольвенты равно
Функция Я2@,0) имеет точку ветвления при z = 0, и ее скачок на раз-
разрезе Ж+ определяет точные собственные функции Н, принадлежащие
непрерывному спектру. Пусть теперь Ga » 1, a z ~ -р. В ведущем
приближении по (Ga)' резольвента имеет вид
i 1 _ e2i«s/z
Л@0)
а особенностями в таком приближенном выражении оказываются полюсы
на вещественной оси в точках, соответствующих значениям квадратного
корня
тгBп+1)
Учет следующих порядков по (Ga)'* дает для полюсов значения с нену-
ненулевой мнимой частью
тBп+1) .^2Bп+1) .
1 +-• G38)
Мы видим, что знак мнимой части не соответствует выбранной ветви
функции -Jb, и резольвента для тех г, для которых мы ее строили,
полюсов не имеет. Можно сказать, что ее полюсы лежат на другом
листе римановой поверхности квадратного корня y/z. Тем не менее, при
Ga > 1 эти «нефизические» полюсы лежат близко к разрезу, то есть
к нашему листу римановой поверхности л/г, и это дает основания для
полюсной аппроксимации Rz(x,x'). Таким образом, для z из верхней
полуплоскости резольвента может быть приближенно представлена в виде
суммы полюсных вкладов в точках G.38).

190 Глава 7. Метод функций Грина
Положения таких полюсов обычно интерпретируют как комплекс-
комплексные энергии распадающихся квазистационарных состояний, энергии
которых имеют малую мнимую часть. Квазистационарные состояния
используются для описания распада радиоактивных ядер и нестабиль-
нестабильных частиц [БЗП71]. Пользоваться, однако, полюсным приближением
нужно с осторожностью, потому что, строго говоря, квазистационарные
состояния принадлежат непрерывному спектру. В частности, если опре-
определить собственные функции т/>п(х) с комплексными энергиями через
вычеты резольвенты в таких полюсах, то они окажутся экспоненциально
растущими при )ж| —<• оо. Это, впрочем, не означает, что их нельзя
использовать ни в каких задачах, В ограниченной области пространства
волновая функция распадающегося состояния может быть представлена
как линейная суперпозиция таких ненормируемых собственных функций
с комлексными энергиями. При этом необходимо, чтобы размер этой
области был меньше, чем характерный обратный показатель экспонен-
экспоненциального роста функции i>n(x).
7.5. Задачи
219. Найти функцию Грина оператора L = ^ + 1, действующего
на пространстве функций «(ж), ж € [0,1], с периодическим граничным
условием и@) = иA).
220. Найти функцию Грина и выписать решение неоднородного
уравнения и" = f(x), если:
(а) «<-!)= «A) = 0, *€ 1-1,1];
(б) и@) = «'(!) = 0, ж€ @,1].
221. Найти функцию Грина уравнения третьего порядка и'" = /(ж),
если «@) = «(I) = 0, и'@) = «'(!)-
222. Построить функцию Грина задач с граничными условиями:
АС4
(а) — + kG = 6(х - х), G(x, х') = 0 при х < ж';
dx
(б) —-г + k2G = 6(х - ж'), G(x, ж') = 0 при ж > ж'.
ах
223. Построить функцию Грина для оператора
d2 2
I=~j j, «@) = 0, и(оо)<оо, <Кж<оо.
224. Найти функцию Грина следующих краевых задач для уравнения
колебаний струны и" + к2и — /(ж), х ? [0, 1):
(а) «@) = «<1) = 0;
(б)«'@) = «'0)=0;
(в) «@) = «A), и'@) = «'A).

7.5. Задачи 191
225. Найти функцию Грина уравнения и" - к2и = /(ж) с граничными
условиями:
(а) м@) =0, функция и(ж) ограничена при ж —* +оо на полуоси ж ^ 0;
(б) и(ж) —* 0 при ж —* ±оо.
226. Используя функцию Грина из задачи (б), получить решение
уравнения
¦ф" + к2гр = f(x), Imfc = 0
с граничным условием г/) —> е'кх при ж —> +оо; f(x) —> 0 при ж —• ±оо.
227. Найти функцию Грина уравнения
u"+^u'-T^Tu^f(x), жб[0,1],
X X
с граничными условиями: и(х) ограничена при ж —» 0, «A) = 0. Почему
функция получается несимметричной: G(x, ж') Ф G(x\ ж)?
228. Найти обобщенную функцию Грина для операторов:
(а) Л=-?, и@) = вA), и'(О) = «'(I);
(в) L=-?-1+k\ «'@) = и'A) = 0;
229. Как будет выражаться через обобщенную функцию Грина реше-
решение неоднородных уравнений с неоднородными граничными условиями:
d? ,
(a) Lu = f(x), u@) = о, иA) = Ь, L = —j+ж ;
F)Ly = f(x), и@) - «'@) = а, иA)-и'A) = Ь, Ь = — - 1?
При каких условиях на /(ж) уравнения имеют решения?
230. Найти функцию Грина трехмерного уравнения Пуассона Ли =
/(ж, у, г) в полупространстве z > 0 с фаничным условием и(ж, у, 0) = 0.
231. Найти функцию Грина уравнения Пуассона Ли = f(x,y,z)
в области х > 0, у > 0 с фаничным условием и@, у ^ 0, г) = и(ж ^ 0,0, z) = 0.
232. Найти функцию Грина уравнения Гельмгольца
в полупространстве z>0 с фаничным условием и(х,у,0) = 0.

192 Глава 1. Метод функций Грина
233. Найти функцию Грина уравнения Пуассона внутри полусфе-
полусферы x2 + y2 + z2<R2, z>0 с нулевым граничным условием G(x2 + y2+
22 = Я2) =G(z = 0) = 0.
234. Показать, что двумерное уравнение Лапласа ковариантно отно-
относительно преобразования инверсии г—>?=}**.
235. Используя функцию Грина из задачи 204, решить задачу Ди-
Дирихле it|s = sin2y> в круге
236. Найти решение задачи Неймана для уравнения Пуассона в по-
полупространстве z > 0:
—u(x,y,z)
237. С помощью функции Грина трехмерного уравнения Шрёдингера
1
-(Д + Jfc )G(r,r )-6(r-r ), Hm G(r,r ) = 0
2 Г—.00
вывести интефальное уравнение для волновой функции тр^Цг) с асимп-
асимптотическим поведением на бесконечности: плоская плюс расходящаяся
волна (основное уравнение теории рассеяния). Потенциал предполагается
убывающим U(r) —¦ 0 при г —»оо.
238. Доказать, что функция Грина уравнения теплопроводности
Щ — «« позволяет получить оператор эволюции (функцию Грина второго
рода) по формуле
239. Найти функцию Грина Gs(x - x',t) уравнения теплопроводности
с помощью преобразования Фурье: по времени, по координате, по обеим
переменным.
240. Начальное распределение температуры гауссово:
Ц(,,о)=ехр(;^2а2).
Как оно будет эволюционировать по времени?
241. Найти функцию Грина уравнения теплопроводности щ=ихх
с граничными условиями u(t,0) — 0, u(t,oo) = 0.
242. Найти решение задачи Коши и(а;,0) = х5, и@,<) = 0 для уравне-
уравнения теплопроводности в области ж>0,
*1 Преобразование инверсии — только одно из целой группы конформных преобразо-
преобразований |ЛШ871. оставляющих гармоническую функцию гармонической.

7.5. Задачи
193
243. Построить временную функцию Грина задачи Кош и к уравне-
уравнению Шредингера для одномерного гармонического осциллятора
Q
>=-i-
2 2 ' г дх
244. Найти функцию Грина неоднородного двумерного волнового
уравнения.
245. Найти функции Грина второго рода двумерного волнового
уравнения.
246. Определить запаздывающую функцию Грина трехмерного вол-
волнового уравнения G.11).
247. Точечный заряд движется по закону r = R(t). Пользуясь функ-
функцией Грина, найти скалярный потенциал во всем пространстве (потен-
(потенциал Лиенара—Вихерта).
248. Показать, что решение неоднородного волнового уравнения
и«-им = /(а;,<) может быть получено из решения задачи Коши для
вспомогательной функции v(x,t;r):
1=т
«и - «и = 0, v(x,t;t) = 0, —{х,г;т)
at
где 0 ^ т < t — параметр, с помощью формулы
u(x,t)= v(x,t;r)dT.
249. Найти непрерывный спектр следующих операторов, определен-
определенных на всей вещественной оси:
(а) А = х;
d2
250. Найти непрерывный спектр бесконечной матрицы, у которой
элементы над и под главной диагональю равны единице, а остальные
элементы — нулю:
/0100 ...\
10 10..
0 10 1..
0 0 10..
V
7

194 Глава 7. Метод функций Грина
7.6. Ответы
, если х < х';
2,9. G(*,s<)H ДЦ
, если х > as'.
е- 1
i
^- J(x' - \)f(x')dx'.
X 1
lfZ\ ГЧ-г т'\~ — min/i- f'\ _¦ ii(-r\ f т' tlt>UV-т f il-r'SAv1
\>J) \J\?)? J — IliJll^Xj* J — —'*'<» **\**/ — — J ~ J v** /ь**** ** J J v*** /"•** •
0 2
221. Gfos'H^Cab-lXa:-*').
222. (a) G(a:,a;') = <?B-x')e~*(l~I').
F) G(a, x') = -9(ж' - ж) sin -^——-.
223. G(a:,x') = - —.
3x>
224. (a) Glx,x')-
(a)G(x,x) =, . ,
к sink
F)G{x,x') =V
ksmk
225. (а)С(ж,ж') = — exp(-fea:>)shfca;<,
F) G(jD,a;') = -^exp
00
226. f(x) = eikx-- fsmk(x-x')f(x')dx'.
К J
221.

dX3
(zl/jlx)
I
0
„эД + xp [(x + 1 )q - xv + ( x)/] (fx 'x)Q Г + xv - (x + \ )q = (x)n (g)
о
•xp(x)/xjiuis / =(q + v)x
o
xp[(xq + (x-\ )v) ?jt + ((x)/] (,x 'x)oj+xq + (x-i)v = (x)n (в)
1
-,|-эу-(,х-*)чэ»-[(|я!+*)-1э»г]1,+^»=(/х'*)г)
+
>XJtSO0>XJtUIS
<XJlS03>XJtUIS>X+
>XJtU!S<XJtUIS
<XJtU!S >XJtSO0 >X + >XJl U1S <XJtSO0 <X
S61 пшэвшо 9Z.

196
Глава 7. Метод функций Грина
233. G(r,e,<
F(r,r',f) =
4wy/r2 + r'7-2rrl
= cos0cos0' + sin 0 si
234. &T=l
235. u(r,<p) = r2sin^L.
236. и(а
237.
238. Указание: Начальное условие u(z,0) = <?(#) можно перенести в пра-
правую часть уравнения, получится щ=ихх + ф(хNA).
239.
240. -= ~5—— exp f - -т-j—— j. Дисперсия при расплывании гауссо-
вого пакета растет линейно со временем <г2(<) = а2 + 2<.
242. и(ж, 0 = г5 + 20x4+6Qxt2.
243. G(,,«;,,
244. G(r,ty
2* y/<?T2-p2
1
Решение дается формулой Пуассона
1 ' ' 2irc в* У ^/^-(r-r'
/<?t2-p2

7.6. Ответы 197
246. G(r,t;r',t') = -^6(p-cr), р=|г-г'|, r = t-t'.
247. ф(г,1) = - -. , r' = R(t), t' = t--\r-r'\.
248. Указание: По формуле Даламбера G.35) найдем решение вспомога-
вспомогательной задачи
v(x,t;r) = - I f(x',T)dx.
Дифференцируя по t и х функцию u(x,t), покажите, что она
удовлетворяет неоднородному волновому уравнению.
249. (а) Непрерывный спектр совпадает со всей вещественной осью.
(б) Непрерывный спектр А ^0.
(в) Непрерывного спектра нет. Собственные функции дискретного
спектра — полиномы Эрмита — образуют полный набор.
250. Непрерывный спектр на отрезке —

Глава 8
Интегральные уравнения
8.1. Уравнения Фредгольма
Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интегра-
интеграла, называются интегральными. Как было показано в предыдущей главе,
линейное дифференциальное уравнение
с дифференциальным оператором L, действующим на определенном
классе функций ф(х), а; € О, и линейными граничными условиями может
быть сведено к интегральному уравнению
ф(х) = J С(х,х')Щх'Шх>) dx' + f(x). (8.1)
n
Здесь G(x,x') — функция Грина оператора L,
г(х) — вклад от неоднородных граничных условий.
Уравнением Фредгольма первого рода называется уравнение
0= f K(x,x'Wx')dx' + f(x). (8.2)
n
Уравнение вида
f(x) = A IK(x,x)f(x)dx + f(x) (8.3)
n
называется уравнением Фредгольма второго рода. В этом уравнении А —
спектральный параметр.
Если ядро К(х,х') интегрального оператора в (8.3), (8.2) удовлетво-
удовлетворяет условию

8.2. Вырожденные ядра 199
то интегральные уравнения называют уравнениями Волыперра соответ-
соответственно 1-го и 2-го рода:
0= J K(x,x')t(x')dx' + f(x), (8.4)
^(а;) = А / K(x,x')ip(x')dx' + f(x). (8.5)
х%х
Уравнение (8.3) (а также (8.5)) может быть записано в обозначениях бра
и кет:
A-ХК)\ф) = \/). (8.6)
Здесь К — интегральный оператор, имеющий ядро К(х,х').
Уравнение (8.6) разрешимо, если существует обратный оператор
к А=\-ХК, называемый резольвентой. В этом случае решение (8.6)
записывается в виде
\f) = R\f), R = (l-XK)-1. (8.7)
Явное выражение для резольвенты может быть представлено в виде
ряда по А (разложение Неймана, оно же — метод последовательных
приближений):
п-0
Здесь К" также интегральный оператор, его ядро называют повторным.
Ядро задается формулой:
К„(х,х')= dxt dx2... I dxn-XK{x,X\)K(x\,x1)...K(xn^ux).
on si
Если / \K(x,x')\ dx' < M, то ряд ¦ф = Y2 XnK"f равномерно сходится в кру-
а
ге радиуса |А| < j^. В частности, это означает, что однородное уравнение
0 (8.9)
имеет только тривиальное решение |^)=0. При этом решение (8.7)
является единственным.
8.2. Вырожденные ядра
В другом важном случае — вырожденных ядер, когда
N
К(х,у) = ^2фп(х)^п(у), (8.10)
п=1

200 Глава 8. Интегральные уравнения
решение уравнения Фредгольма (8.3) сводится к чисто алгебраической
процедуре.
Функции {$„(*)}, а также Ц>п(у)} можно считать линейно незави-
независимыми (в противном случае вначале необходимо выразить все линейно
зависимые функции через линейно независимые).
Для нахождения решения уравнения Фредгольма второго рода с вы-
вырожденным ядром
Г
itn(x) / ф„
. J
(8.И)
рассмотрим разность (p(x) = f(x) — f(x). Если разложить эту разность
по функциям i>n(x),
то из (8.11) видно, что на коэффициенты Сп получается система линейных
алгебраических уравнений
(8.12)
где f, =
Решение уравнений (8.12) может быть, например, найдено с помо-
помощью правила Крамера. Если det(l -ХМ)ФО, то
Здесь С,/ — векторы с компонентами С„ и /„. Если det( 1 — АМ) = 0,
то матрица L= I -AM не имеет обратную и решение уравнений (8.12)
разрешимо не для всех /. Для разрешимости необходимо найти решение
сопряженной задачи для оператора L:
(C\L = 0, (8.13)
где (С| — строка. Число линейно независимых решений (СП этой
системы равно N - q, где q — ранг матрицы L.
Условие разрешимости уравнения
A-АМ)|С) = |/) (8.14)
состоит в ортогональности правой части ко всем векторам сопряженной
задачи (8.13):
(Сг|/)=0. (8.15)

8.3. Теорема Гильберта—Шмидта 201
Это условие является необходимым и достаточным. В этом случае реше-
решение уравнения (8.15) определено с точностью до N-q констант Аг:
N-q
r=l
Здесь |/i) = P±|/), Pi = 1 - Y, \CT){Cr| — поперечный к векторам |СГ)
г=1
проектор, а вектора \Са) и (С&\ предполагаются взаимно-ортогональны-
взаимно-ортогональными: (С0|Са) = ба;3.
Сформулированные выше утверждения представляют собой теорему
(альтернатива Фредгольма), которая в общем случае гласит:
• Уравнение (8.5) имеет единственное решение, если однородное урав-
уравнение (8.9) имеет только тривиальное решение \tj>) = 0. При этом
сопряженное к (8.9) уравнение имеет также только тривиальное
решение.
• Если однородное уравнение (8.9) имеет п линейно независимых ре-
решений, то сопряженное к (8.9) уравнение имеет ровно столько же
линейно независимых решений (фь\, а для разрешимости уравне-
уравнения (8.5) необходимо и достаточно, чтобы ($*!/)= 0 для каждого
к=1,...,п. При выполнении этого условия общее решение записы-
записывается в виде (8.16).
8.3. Теорема Гильберта—Шмидта
Для симметричных операторов К{х,у) — К(у,х), удовлетворяющих
условию интегрируемости модуля К(х,у) в квадрате
/ J\K(x,y)\
dxdy< +oo,
п п
справедлива теорема Гильберта—Шмидта: Если f(x) представима через
ядро К(х,у),
/(*) = J K(x,y)g(y)dy,
п
то эта функция может быть разложена в ряд по собственным функци-
функциям |^„) интегрального оператора К, A —
или

202 Глава 8. Интегральные уравнения
Используя эту теорему, можно установить, что ядро К(х,у) может
быть представимо в виде (билинейная формула):
00
п=1
или соответственно
оо
К = '?lKl\1>«)(tn\- (8.18)
Пример: Доказать, что для интегральных операторов вида
JK(x,y)p(y)^(y)dy,
где p(x)"^Q — вещественное и К(х,у) = К*(у,х), собственные функ-
функции с различными собственными значениями взаимно ортогональны
с весом р(х):
/¦
Решение. Собственные функции ^"„(ж) и i>m(x) удовлетворяют урав-
уравнениям:
K(x,y)p{y)i>n(y)dy =
Сначала покажем, что все собственные значения ц„ = Хп1 — веществен-
вещественные. Умножим обе части, например, первого равенства на р(х)ф^{х)
и проинтегрируем по х. Слева получится выражение
K{x,y)p(y)p(x)tn(y)tn(x)dxdy,
вещественное в силу симметрии К(х,у) = К*(у,х) (проверяется ком-
комплексным сопряжением и заменой переменных интегрирования ш*->у).
Вещественность правой части эквивалентна вещественности собственно-
собственного значения. Далее, умножим первое равенство на p(x)tj>n(x), второе —
на р(х)ф^(х) и проинтегрируем по х. Левые части окажутся комплексно
сопряженными друг другу в силу той же симметрии ядра К(х, у). Условие
же комплексной сопряженности правых частей, вместе с вещественно-
вещественностью р,„ и цт, даст:
Отсюда и следует при р.пФРт ортогональность i/>,,(x) и i>m(x) с ве-
весом р(х). , >

8.3. Теорема Гильберта—Шмидта 203
Применение теоремы Гильберта—Шмидта, в частности билинейной
формулы, оказывается весьма важным для решения спектральной задачи
для оператора Штурма—Лиувилля
, d ( dib\
P^\P(x)^)+q(x)y = W (819)
с однородными граничными условиями и некоторыми функциями р(х)
и q(x). В этом случае уравнение (8.19) посредством функции Грина может
быть представлено в виде интегрального уравнения
) = xJG(x,y)p(y)t(y)dy,
где функция Грина является симметричной: G(x,y) = G(y,x). Отсюда, ис-
используя теорему Гильберта—Шмидта, можно показать, что собственные
функции для оператора Гильберта—Шмидта ортогональны с весом р(х).
При этом собственные функции образуют полный набор.
Пример: Определить весовые функции для: а) функций Бесселя Jn{x);
б) полиномов Лагерра; в) полиномов Эрмита, исходя из дифференци-
дифференциальных уравнений, их определяющих.
Решение, а) Уравнение Бесселя может быть переписано в виде за-
задачи на собственные значения:
так что весовая функция р(х) — |. В целом соотношение ортогональности
выглядит так:
J^Jn(x)Jn(x)=O,
о
б) Уравнение для полиномов Лагерра переписывается в виде:
dx dx
в) Уравнение, определяющее полиномы Эрмита, переписывается
в виде:
dx dx
так что р(х) = е'х .

204 Глава 8. Интегральные уравнения
8.4. Обратная задача для оператора Шредингера
Под обратной задачей для оператора Шредингера
с U(x)—»0 при |ж|-*оо понимается задача восстановления потенциала
по данным рассеяния, т. е. асимптотическим состояниям для спектраль-
спектральной задачи для оператора L:
^Л = -&2Ф. (8.20)
Оператор L, как известно, относится к самосопряженным операторам.
Его спектр чисто действителен: Im к2=0. Непрерывный спектр оператора
Шредингера лежит при к2 > 0, дискретному спектру отвечают состояния
с отрицательными энергиями Еп=*к1 <0.
8.4.1. Прямая задача рассеяния
Для любых двух решений (8.20) Ф) и Фг вронскиан
W{*i»*2} = *i»i«-*i»*2 (8.21)
не зависит от х. Причем функции Ф| и Фг линейно независимы, если
вронскиан между ними отличен от нуля. Для определения данных рас-
рассеяния среди решений из непрерывного спектра удобно рассмотреть
специальный класс решений — функции Йоста, определяемые через
асимптотики при |-с| -+ со:
ip(x,k)-*eikx при ж-*оо, (8.22)
Ф(х,*)-*е~'** при х --оо. (8.23)
Определенные таким образом функции i> и ¦ф* очевидно линейно
независимы, образуя при заданном к2 полный базис решений. Поэтому Ф
и Ф* могут быть разложены по $ и $*:
Ф(х,к) = а(кI>'(х,к) + Ь(кМх,к), (8.24)
Ф'(*,*) = Ь'(кI>'(х,к) + а*Ш(х,к), (8.25)
или в матричной записи:
Из (8.24) и (8.25) с помощью (8.21) следует, что
(к)ЪГ(Фф) Цк)
ЪГ(Ф,ф), Цк) = У^(Ф,ф% (8.26)
а также определитель матрицы перехода (или матрицы рассеяния) 5
равен единице:

8.4. Обратная задача для оператора Шрёдингера 205
|o|2-|6|2 = l. (8.27)
Последнее соответствует обычному закону сохранения:
где г = j — коэффициент отражения, a d= ? — коэффициент прохожде-
прохождения. Из (8.24) и (8.25) следует также, что при Imfc = 0
a(k) = a\-k), Цк) = Ь*(-к). (8.28)
В силу определения (8.22), (8.23) функции Йоста ф и Ф аналитически
продолжимы в верхнюю полуплоскость к (Imfc>0), соответственно ф*
и Ф* аналитичны в нижней полуплоскости (см. задачу 257). Поэтому
функция а(к) согласно (8.26) аналитически продолжима в верхнюю по-
полуплоскость. Поскольку при к—>оо ф —*е>кх, Ф—>е~'кх, функция а(к)
при к—>оо стремится к единице. Точки верхней полуплоскости, где
а(кп)—0, соответствуют дискретному спектру. Вронскиан в этих точках
согласно (8.26) равен нулю, т. е. функции Ф и ф линейно зависимы:
Ф(кп) = С„ф(к„). С другой стороны, это есть решение уравнения (8.20),
затухающее как при х —> со, так и при х —> -со (по определению функции
Йоста (8.22) и (8.23)). Таким образом, данное решение описывает связан-
связанное состояние, а нули функции а(к) кп = ixn расположены на мнимой оси.
Совокупность величин а(к), Ь(к), ап и С„ образуют полный набор
данных рассеяния для оператора L.
8.4.2. Уравнение Гельфанда—Левитана—Марченко
Для решения обратной задачи, т.е. восстановления потенциала U(x)
по данным рассеяния, существенную роль играют аналитические свой-
свойства функций Йоста ф и Ф. Поскольку ф аналитически продолжима
в верхнюю полуплоскость Im&>0 (см. задачу 257), то функция ф(х,к)
может быть представлена в виде
оо
ф(х, к) = eikx + J K(x, y)eiky dy, (8.29)
X
где К(х,у) — некоторое действительное ядро. Из этого представления
сразу следует, что ф аналитична при Imfc > 0. Это представление называют
треугольным.
Подставим (8.29) в уравнение (8.20). В результате дифференцирова-
дифференцирования получим:
U(x)eik*--?-[K(x,x)eik*]-?-
ax
eikz+
y=x
J ^2K(x,y)eik4y = -(U(x) + k2) jK(x,y)eik»dy.

206 Глава 8. Интегральные уравнения
Заменяя в последнем интеграле -к2е%к'=-щ^е'ку и интегрируя дважды
по частям, найдем, что
оо
J \ ~К(х, у) - ^2К(х, у) + U(x)K(x,y)] eik» dy +
Это равенство должно быть выполнено при всех к. Поскольку функ-
функции е'ку при различных значениях у линейно независимы, то это равен-
равенство удовлетворяется тогда и только тогда, когда
^2К(х,у) - ^K(x,y) + V(x)K(x,y)=0, (8.30)
Щх) = г?к(х,х). (8.31)
Полученное уравнение (8.30) с граничным условием (8.31) предста-
представляет собой так называемую задачу Гурса, которая при условии
К(х,х + у)—»0 при х—»оо
однозначно разрешима.
К этому следует добавить, что формула (8.31), связывающая ядро
К(х,у) с потенциалом U(x), следует также из асимптотического разложе-
разложения треугольного представления при к —> се с последующим применением
формулы (8.45) задачи 258.
Перейдем теперь к выводу уравнений обратной задачи, определя-
определяющих связь ядра К(х,у) с данными рассеяния. Исходим из соотноше-
соотношения (8.24), которое поделим на а{к), затем вычтем из правой и левой
частей их асимптотическое (при к—»оо) значение -е1*1, умножим далее
на е'ку (у^х) и проинтегрируем по к от —оо до оо:
'" оо . "" '. (8-32)
+ /'r(k)eitl'+t)dk+ fK(x,s) f r(k)e>k{y+ll)dk.
-TO X ~0O
При у>х подынтефальная функция в левой части равенства стремится
к нулю с ростом мнимой части к, поэтому контур интегрирования можно
замкнуть в верхней полуплоскости. Интеграл равен сумме вычетов в нулях
функции а(к).

8.4. Обратная задача для оператора Шрёдингера 207
Если а(к) не имеет нулей, т. е. связанные состояния отсутствуют, то
интеграл слева тождественно равен нулю. В результате получим
00
К(х, у) + F(x + y)+ I K(x, s)F(s + y)ds = 0, (8.33)
где
Это уравнение и есть искомое уравнение обратной задачи рассеяния,
называемое часто уравнением Гельфанда—Левитана—Марченко (ГЛМ).
Если а(к) имеет нули, то левая часть (8.32) равна сумме вычетов
ЕФ(,,^)е_х.у
В точках к = 1н„ функции Ф и ф связаны Ф(х,гхп) = Сп'ф(х,1хп). Для ¦ф
справедливо представление (8.29) через ядро К(х,у). Группируя все
члены в уравнении, окончательно убеждаемся, что уравнение ГЛМ имеет
ту же форму, только в F возникает дополнительная сумма, отвечающая
дискретному спектру оператора L:
(8.35)
Если продолжить первое из равенств (8.28) на комплексные &,
то функция а(к) при мнимых k = ix чисто действительна: а(м) = а*(Ы).
Отсюда следует, что производная a'(ix) чисто мнимая, так что коэффи-
коэффициент М„ = - а,'^ ^ действителен. Более того, этот коэффициент поло-
положителен (см. задачу 279). Уравнение (8.33) позволяет найти ядро К(х,у),
а вместе с тем и U(x)=2?k(x,x) по данным рассеяния а(к), Ь(к), хп
иС„.
Обратимся теперь к простейшим решениям уравнения ГЛМ, ко-
когда в ядре F(x) отсутствует интегральный член. Для таких решений
коэффициент r(fc) = 0. Соответствующие потенциалы называются безо-
безотражательными, они полностью задаются набором {*„} — дискретным
спектром оператора L — и величинами М%.
Пусть F(x) определяется одним значением х\
F{x)=Mle
2 -хх

208 [лава 8. Интегральные уравнения
Подставляя это значение в уравнение ГЛМ, убеждаемся, что зависимость
ядра К(х,у) от у полностью определяется:
К(х,у)=1>0(х)е~-х«. (8.36)
Легко видеть, что в силу (8.30) функция i/>o(x) есть собственная функция
дискретного спектра, для нее
Подставляя (8.36) в уравнение ГЛМ (8.33) и интегрируя, находим, что
* у/ЪсМ ,
где
1н 2н
Соответствующий потенциал
U(X)=-l—- Д \Х,Х):=—5—", Г- (о.3/;
ах chzx(x~q)
Этот потенциал является простейшим безотражательным потенциалом.
В нем только одно связанное состояние с Е— —к2.
Традиционные методы решения интегральных уравнений разобраны
в книгах [Пет65, Соббб, Сми74с]. Методы решения обратной задачи
рассеяния для операторов Шрёдингера обсуждаются в книгах [ЗМНП80,
Мар77, Ныо89].
8.5. Примеры
251. Решить уравнение
-. (8.38)
Решение. Дифференцируя уравнение (8.38) последовательно два ра-
раза, получим
J f j.3
и'(х) = — / su(s)ds-\ ,
х J 4
I f Зх2
и"(х) = р-/ su(s)ds-u(x)+—,

8.5. Примеры 209
откуда следует дифференциальное уравнение
и" + -и + и = х2
X
с граничным условием м@) = и'@) = 0, которое следует из (8.38). Фунда-
Фундаментальная система решений состоит из функций Бесселя Jo и Нейма-
Неймана Уо нулевого порядка. Для решения неоднородного уравнения построим
функцию Грина, обращающуюся в нуль при х = О,
G( ?0(у)Мх)в(у - х) + Му)?0(х)в(х - у) _
(Х'У> WiMx),Y0(*)}
= \у [?0(у)Мх)в(у -х) + Му)?0(х)в(х - у)],
где вронскиан равен
2
W {Jo(y),Yo(y)} = JoY? - J'qYo = — (8.39)
¦ку
(см. задачу 140). Теперь можно выписать решение
00
u(x) = jG(x,y)y2dy.
о
Если воспользоваться рекуррентными соотношениями для цилиндричес-
цилиндрических функций (П. 18) и проинтегрировать по частям два раза, решение и(х)
можно записать явно:
252. Метод определителей Фредгольма позволяет найти резольвенту
по формуле
()
где определитель Фредгольма Д(А) и минор Фредгольма А(х,у;Х) находятся
как суммы рядов
п=1
00 /
Функции В„(х,у) и коэффициенты С„ в свою очередь определяются рекур-
рекуррентными формулами
i
Вп(х,у) = СпК(х,у)-п f K(x,t)Bn^(t,y)dt,

210 Глава 8. Интегральные уравнения
I
о.
о
где Со— 1, В0(х,у) = К{х,у).
„ = JBn.,(x,x)dx, n=l,2,...,
х2у — ху2.
Найти методом определителей Фредгольма резольвенту ядра К(х,у) =
ху2.
Решение. Последовательно получаем Со=1, Bo(a;,j/) = a;2j/-a!2/2,
С,=0,
*-^2 = тзо' ^2 = 0, а значит, обращаются в нуль все последующие ко-
коэффициенты С„ и функции В„. Причиной обрывания ряда является
специальный вид ядра К(х,у) = f(x)g(y) — g(x)f(y) (покажите, что для
таких ядер справедливо соотношение
II i 1
J JK(x,y)K(y,z)K(z,t)dydz = ^K(x,t) j jK(z,y)K(y,z)dydz,
0 0 0 0
с помощью которого можно выразить все повторные ядра через первое
и второе).
253. Решить спектральную задачу для уравнений с ненормируемым
ядром:
i— °°
Ф(х) = у -A I $m(xyL>(y)dy.
о
Решение. Обозначим синус-преобразование Фурье функции ф(у):
Ф(х)^y-j s.m(xy)(f>(y)dy.
о
Применяя синус-преобразование к обеим частям исходного уравнения,
получаем
Ф(х) = Хф(х),
откуда
2

8.5. Примеры 211
Значит у оператора только два собственных значения А = ± 1, а собствен-
собственные функции имеют вид
где д(х) — произвольная функция, для которой существует образ G(x)
при синус-преобразовании Фурье, например,
ф(х) = ехр(-ах)±\1—2—"i 0<ж<оо, а>0. >
254. Найти собственные функции, убывающие на бесконечности
быстрее любой степени, и собственные значения интегрального уравнения
А у К(х,у)ф(у)<1у = ф(х)
-С
с ядром Килсона—Сторера
(840)
Решение. Применяя преобразование Фурье к обеим частям исходно-
исходного уравнения, получаем функциональное уравнение на фурье-образ Ф(к)
функции ф(х)
/ t.2\
Ф(А:) = ХФ(ка) ехр I - A - а2) — J .
Функция д(к) = Ф(к)ехр(^-) растягивается в А раз при растяжении ее
аргумента в а раз:
д(к) = Хд(ка),
откуда д(к) = к" — степенная функция, а значит,
Если v > -1 не целое, собственная функция ф(х) убывает на беско-
бесконечности степенным образом. При целых и = п можно явно выполнить
обратное преобразование Фурье, в результате получаем
фп(х) = Нп(х)ехр(-х2), А„ =сГп, п = 0,1,2,...,
где Нп — полиномы Эрмита. >
255. Найти собственные функции преобразования Фурье
ос
А / ф(у)ехрAху)-?==ф(х).

212 Глава 8. Интегральные уравнения
Решение, Обозначим преобразование Фурье функции ф(у):
оо
Нх) = -=. j exp(ixy)$(y)dy.
—00
Применяя преобразование к обеим частям исходного уравнения, полу-
получаем
Ф(х) = Хф(-х),
откуда
ф(х) = \Ф(х) = Х2ф(-х) = ХгФ(-х) = \4ф(х).
Значит у оператора четыре собственных значения А = ±»,±1, а собствен-
собственные функции имеют вид
ф(х) =д(х) + XG(x) + Х2д(-х) + X3G(-x),
где д(х) — произвольная функция, для которой существует образ G(x)
при преобразовании Фурье, например,
Это собственные функции задачи о квантовомеханическом осцилляторе.
Заметим, что уравнение Шрёдингера осциллятора
переводится преобразованием Фурье в то же уравнение. Четные функции
соответствуют собственным значениям А = ±1, а нечетные — A = ±t. >
256. Найти решения f(y) уравнений Урысона:
+00
(a) lj f(x-y)f(y)ydy=X(\x\+
—00
+00
(б) J
Решение, (а) Вспомним, что если f(w) — фурье-образ функции /(х),
то фурье-образ функции xf(x) равен «/'(w). Выполняя преобразование
Фурье, получаем

8.5. Примеры 213
Чтобы /(ж) была ограниченной, необходимо, чтобы ее фурье-образ
стремился к нулю при ш—>±оо, что позволяет найти константу интег-
интегрирования. Таким образом
Решение, (б) Выполняя преобразование Фурье, получаем
Стремящееся к нулю при ш—>±оо решение этого уравнение имеет вид
Откуда
f(x) =
257. Показать, что функции Поста 4>(x,k) и Ф(х,к) аналитически
продолжаемы в верхнюю полуплоскость k(\mk>0).
Решение. Вначале для свободного оператора Шрёдингера -jp
определим функцию Грина G как решение уравнения
Полагая G(x-x')=O при х>х', легко находим, что
k-sink(x-x') "Ри х'>х> (8.41)
0 при х>х'.
С помощью функции Грина уравнение для функции V превращается
в уравнение Вольтерра
00
Щх, k) = eikx + i I sin k(x - x')U(x', кЩх, к) dx . (8.42)
X
Рассмотрим функцию х(^^)=:^'(а:)^)ехР(~1^:;с)> которая удовлетворяет
уравнению
(8.43)
При вещественных к, по предположению, решение уравнения (8.42)
существует, т. е. интеграл в (8.43) сходится. При выходе в верхнюю

214 Глава 8. Интегральные уравнения
полуплоскость его сходимость улучшится, откуда и следует аналитич-
аналитичность функции х(ж,А;) и, соответственно, функции ф(х,к). Аналогичным
образом можно показать, что функция Ф(х, к) аналитически продолжима
в верхнюю полуплоскость. >
258. Найти связь между асимптотикой функции Йоста %f>(x,k) при
больших к и потенциалом U(x).
Решение. Из (8.43) следует, что при fe —¦ со
j o(jty (8.44)
таким образом,
^-lim7ikX(x,k) = -U(x). (8.45)
ах к—оо ~
259. Найти общий вид безотражательного потенциала с дискретными
уровнями kn = ixn (n =[,...,N).
Решение. В этом случае a(k) имеет N нулей в точках k = ixn, а г(к)
тождественно равно нулю, поэтому F задается в виде дискретной суммы
F(x + у) = J2 Ml ехр [ -х„ (аг+у)\.
П
Зависимость ядра К(х^у) от у имеет вид**
Простые вычисления для фп(х) дают следующую линейную систему
алгебраических уравнений:
±{М)Х]^ (8-46)
m=l Xn + Xm
или в матричной форме
JV
m=l
где
*' В этом случае об уравнении (8.33) говорят как об уравнении с вырожденным ядром.

8.5. Примеры 215
Решение (8.46) находится по правилу Крамера
detBn(x)
detA(x)
где матрица В„(х) получается из матрицы А(х) заменой n-го столбца
на столбец (-М%е~ХяХ). Заметим теперь, что потенциал U(x) (8.31)
определяется только К(х,х), т.е.
N
N Ц
Нетрудно убедиться, что J2detBne~""x = fx , для чего достаточно
71=1
заметить, что производная от определителя есть сумма определите-
определителей, в п-м из которых »-й столбец заменен на его производную
т)х]. Таким образом,
tf
U(x) = 2 — \ndetA. >
260. Найти выражение для малых потенциалов U(x) в отсутствии
дискретного спектра через амплитуду коэффициента отражения r(k) = 44
(первое борновское приближение).
Решение. В отсутствии дискретного спектра
Для малых потенциалов в уравнении (8.33) следует пренебречь инте-
интегральным членом. В результате
K(x,x)?z-FBx)
или для потенциала
U(x) = -2-^FBx) = -- [r(k)ke2ikxdk. >
ах ж J
261. Восстановить амплитуду прохождения d(k) (или а(к)) по ее
модулю при Im& = 0 и положению дискретного спектра kn = ixn.

216 Глава 8. Интегральные уравнения
Решение. В силу свойства а(к): а(к) = а*(-к) при lmfe=O функция
может быть представлена в виде
где а(к) — аналитическая функция в верхней полуплоскости без нулей,
имеющая предельное при к—»оо значение, равное единице.
Рассмотрим функцию Ina(fc) и выпишем для нее одно из соотноше-
соотношений Крамерса—Крон и га
Очевидно, что для lmfe = 0 выполняется равенство In|a(fc)| = ln|a(fc)|.
Поскольку функция In |e(Jfe)| четная, интефал преобразуется к виду
-оо
Таким образом.
2
о
8.6. Задачи
262. Используя разложение (8.17), найти выражение для ядра ре-
резол ьвенты R(x, у) = A — А К)"'.
263. Решение уравнения Вольтерра II рода
X
<l>(x)-fK(x,yL>(y)dy = f(w) (8.47)
о
можно записать через резольвенту интегрального оператора R(x,y)
(8.48)

8.6. Задачи 217
(а) Показать, что резольвента подчиняется интегральному уравне-
уравнению
X
R(x,y)=:K(x,y) + JK(x,t)R(t,y)dt. (8.49)
t
(б) Показать, что резольвента представляется в виде суммы
00
R(x,y) = Y,Kn(x,y) (8.50)
повторных ядер
х
К{(х,у) = К(х,у), Кп+](х,у) = JK{x,t)Kn{t,y)dt, n=l,2,....
У
264. С помощью формулы (8.50) найти резольвенты следующих ядер
уравнения Вольтерра:
(б) ЛГ(х,у) = А(а;-у
(в) К(х,у) = е\р(х-у);
(г) К(х,у) = Aexp(*2-j,2);
to «'*)—¦
265. С помощью преобразования Лапласа найти резольвенты следу-
следующих разностных ядер уравнения Вольтерра:
(а) jRT(x,j/) = sin(z-2/);
(б) K(x,y)=sh(x-y);
(в) К(х,у)=сЬ(х-у).
266. Пусть и(х) — решение обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка
d2u du
L() ()
1 +q(x)u = f0(x) (8.51)
с начальными условиями и(О) = Со, и'@) = С\. Здесь р(х), q(x) предпола-
предполагаются аналитическими функциями.
(а) Свести (8.51) к интегральному уравнению Вольтерра на функцию

218 Глава 8. Интегральные уравнения
(б) Показать, что если известна функция Грина уравнения (8.51),
удовлетворяющая уравнению
LG{x,y) = 6(x-y)
с граничным условием G = 0 при х<у, то резольвента ядра К(х,у)~
—p(x) — q(x)(x-y) при х>у выражается формулой
(в) Методом сведения к дифференциальному уравнению найти ре-
резольвенту уравнения Вольтерра с ядром
(,y) y)
267. Показать, что для разностного степенного ядра
(п-1)!
резольвента дается выражением
где функция g(x,s) подчиняется уравнению
с нулевыми граничными условиями на бесконечности.
268. Решить уравнение с неограниченным ядром {уравнение Абеля)
J y/x-S
О
269. Решение уравнения Фредгольма II рода'*
i
ф(х)-Х J'к(х,у)ф(у)йу=/(х) (8.52)
о
можно записать через резольвенту R(x,y;\)
ф(х) = f{x) + A J R(x, у; \)f(y) dy.
"' В случае произвольных конечных пределов интегрирования уравнение Фредгольма
сводится к виду (8.52) линейной заменой независимой переменной.

8.6. Задачи 219
(а) Показать, что резольвента подчиняется интегральному уравне-
уравнению
Щх,у;Х) = К(х,у) + Х J K(x,t)R(t,y;X)dt.
о
(б) Показать, что резольвенту можно записать в виде ряда Неймана
оо
R(x,y,\) = J2bn~lKn(x,y), (8.53)
где повторные ядра находятся из рекуррентных соотношений
Кх(х,у) = К(х,у), Kn+i(x,y) = fK(x,t)Kn(t,y)dt, n=l,2,....
о
(в) Показать, что произвольное повторное ядро подчиняется фор-
i
Кп(х,у) = J Km(x,t)Ka-m(t,y)dt, п = 2,3,....
о
(г) Показать, что для фредгольмова ядра, для которого
i i
муле
\\K\\2 = J J\K(x,y)\2dxdy<oo,
о о
радиус сходимости ряда Неймана (8.53) дается неравенством |А| < ]щ.
270. С помощью прямого суммирования ряда Неймана (8.53) найти
резольвенты следующих ядер уравнения Фредгольма:
(а) К(х,у)=\;
(б) К(х<У) = ехр(х-у);
(в) К(х,у) = ху.
271. Найти решение уравнений Фредгольма с вырожденными ядра-
ядрами:
(а) J
-00
I
(б) f

220 Глава 8. Интегральные уравнения
i
(в) ф(х)-ХJ'A+х2у2)фШу=х3;
о
1
(г) Ф(х)~х1 ехр(ж-
272. Показать, что если известна функция Грина G(x,y) краевой
задачи
Vk(u) = 40)«@) + 4V(
+)9ftt(l)+isi1V(
где ojf, /9j — константы, к—1,2,...,п, то уравнение Фредгольма
i
u(x) = xJG(x,y)u(y)dy+f(x)
о
сводится к задаче на собственные значения
1и = Хи+Мх), П(«) = 0,
если V*(/)=0. Как связаны функции f(x) и /©(ж)?
273. Путем сведения к дифференциальным уравнениям решить урав-
уравнения Фредгольма:
(а) 4>(x)+\jК(х,х')ф(хУх'=х2-х, К{х,х')=Х<(х>-1), А>0;
о
(б) ф{х) + 1 \x-sW(a)ds=--x.
-1
274. Найти решение уравнения с ненормируемым ядром:
ф(х) = е~х + \ I
о
275. Решить спектральную задачу для уравнений с ненормируемым
ядром:
ф(х) = \1 ехр(-\х~у\)ф(у)йу.

8.6. Задачи 221
276. Решить задачу Коши с начальным условием «(а;,0)=2ехр(-а;2)ж2
для интегро-дифференциального уравнения
00
ди [
— = -uu(x,t) + v I K(x,s)u(s,t)ds
at J
-00
с ядром Килсона—Сторера (8.40).
277. Найти решения ф($) уравнений Урысона:
(а)
X
(б) / ф(8)ф{х — s)ds = sinx.
о
278. Найти все решения уравнений Гаммерштейна с вырожденным
ядром:
i
(а) ф(х)= I xsф2(s)ds + -x;
J *
о
279. Показать, что в ядре F(x + y), определенном формулой (8.35),
коэффициент
положителен.
280. Для потенциала U(x) = ^^ с помощью треугольного предста-
представления найти собственные функции непрерывного спектра.
281. Найти коэффициент прохождения d(k) = -щ для потенциала
282. Для безотражательных потенциалов показать, что ядро тре-
треугольного представления К(х,у) выражается в виде
где ipn(x) есть собственная функция n-го дискретного уровня.

222 Глава 8. Интегральные уравнения
8.7. Ответы
262. Цх,у)^^-^п{х)^п(у).
263. (а) Указание: Подставим решение (8.48) в уравнение Вольтерра (8.47)
и, меняя порядок интегрирования, получим уравнение на резоль-
резольвенту (8.49).
264. (a) R(x,y)=exp(x-y).
(б) R(x,y) = VXshVX(x-y).
(в) R(x,y) = exp2(x-y).
(г) R(x,y) = Xexp[X(x-y) + x2-y2].
(д) R(x,y) = Xexp[X(x-y))—.
265. (a) R(x,y) = x-y.
(х~у\ ( 1 \ yfbix-y)
(в) R[x,y) = exp I—-—I I chr+—pshr I, r = .
266. (а) Дифференциальное уравнение сводится к уравнению Вольтер-
Вольтерра (8.47) с ядром К(х,у) = -р(х)— q(x)(x — у) и правой частью
268. Указание: Уравнение Абеля решается с помощью преобразования
Абеля. Переобозначить x->t, умножить на ^j, проинтегрировать
по dt в пределах от 0 до х, поменять порядок интегрирования
и воспользоваться тем, что f dt(x-t)~^2(t-я)~1^2 = чг.
270. (а) Я(а:,глА) =
(б) R(x,y:X) =
(в) R(x,y:X) =
A-А)-
ехр(х-у)
A-А) •
Щ
A-А/З)

8.7. Ответы 223
271. (а) Указание: Уравнение Фредгольма с вырожденным ядром сводится
к системе алгебраических уравнений.
./_, _2 , V*/2
y/ir/2-l
(б) ф(х) = -^-.
45
i
272. f(x) = jG(x,y)My)dy.
о
273. (а) Ядро К(х,х') служит функцией Грина краевой задачи (а):
«" = /<>(*), «@)=«A) = 0,
а функция f(x) удовлетворяет тем же граничным условиям. Значит
уравнение Фредгольма эквивалентно краевой задаче
Функция Грина такой краевой задачи построена в (а).
ф(х) = —г 1— coskx sinfcxI, k=Vx^irn, n=l,2,....
к [ sinfc J
(б) Указание: Уравнение сводится к дифференциальному ф" + 2ф — 2х
с граничными условиями ф'(-1) + ф'(\)=0,
ф'(\). Решение имеет вид
sin>/2x
ф(х) = х-
275. У оператора нет собственных функций в классе L2(-oo, oo). Имеются
решения на классе ненормируемых, но ограниченных функций:
1+it2
А=——-, ф(х) = е\р(гкх).

224
Глава 8. Интегральные уравнения
Здесь Imfc = O, иначе решение не будет ограниченным на всей оси.
Всякое действительное А > j является собственным значением.
276. Указание: Разделить переменные а: и t и воспользоваться методом
Фурье: разложить решение по найденным в задаче 254 собственным
функциям.
u(x,t) = [l + (-1 + 2s2)exp {-vt(\ - a2))] exp(-sr2).
277. (а) Указание: Уравнение Фредгольма—Урысона типа свертки реша-
решается преобразованием Фурье.
ф(х) = :
,dX,
(8.54)
(б) Указание: Выполнить преобразование Лапласа и решить полу-
получившееся уравнение. Обратное преобразование дается контурным
интегралом
I /" ехр(Аг)
:w 7i...
с
где контур С охватывает точки ветвления ±». Деформируем его так,
чтобы он проходил вдоль берегов разреза (рис. 8.1). После замены
X = i%\n<p (8.54) превращается в интегральное представление Бесселя.
ф(х) = ±Jq(z).
А"
+г!
0
~\
\
1С
(А,
А'
Рнс.8.1. Контур интегрирования для обратного пре-
преобразования Лапласа можно замкнуть и деформиро-
деформировать в контур С. Разрез, соединяющий точки ветвления
подынтегральной функции, заштрихован
278. (а) Указание: Воспользовавшись тем же приемом, что и в задаче (а),
можно свести задачу к квадратному уравнению. Ответ имеет вид
ф{(х)-х, фг(х)-Ъх.
'О-*)

8.7. Ответы 225
279. Указание: Воспользоваться формулой теории возмущений для сдвига
энергии 6Е=—{ф\61/[ф) для оператора Шрёдингера.

Глава 9
Группы и представления
9.1. Группы
Группой называется множество элементов G = {в, 6, с,...} с бинарной
операцией. Бинарной операцией называется отображение, сопоставляю-
сопоставляющее двум элементам gi,g2<:G элемент д$€G, который называется «про-
«произведением» <?| и gj, а обозначается как дъ=9\Я2- Причем выполняются
следующие условия:
(а) (аЬ)с=а(Ьс) (ассоциативность);
(б) существует такой элемент 1, что 1а = о1 =а для любого a&G (суще-
(существование единицы);
(в) для всякого элемента a?G существует такой элемент a~'eG, что
а~1а=аа~1 — 1 (существование обратного элемента).
Группа, состоящая из конечного числа элементов, называется конеч-
конечной. Мощность \G\ множества элементов группы G называется порядком
группы G. Подмножество Я элементов группы G, само являющееся
группой, называется подгруппой группы G. Если для любых элементов
5h52€G имеет место равенство g\gi=g2gu TO такая группа называется
абелевой или коммутативной. Порядком (периодом) элемента х называ-
называется такое наименьшее натуральное число га, что х" = 1, если такое га
найдется.
Отображение G—*Н элементов группы G на элементы группы Я
называется гомоморфизмом группы G на группу Я, если оно сохраняет
операцию,т.е. изд% —*h\ мдг—>hi следует, что<?)<?2—>h\hi- Гомоморфизм
группы G на группу Я, являющийся взаимно однозначным отображени-
отображением, называется изоморфизмом группы G и группы Я. Пусть дана группа G
и подгруппа Я. Множество элементов вида hx, где h — любой элемент
из Я, а ж — фиксированный элемент из G, называется правым смежным
классом по Я и обозначается Их. Аналогично, множество элементов
вида xh, где опять h — любой элемент из Я, называется левым смежным
классом хИ по подгруппе Я. Кардинальное число (мощность множества)
г различных смежных классов называется индексом подгруппы Н в груп-
группе G и обозначается r = \G:H\. Пусть Я,Яж2,.. ,Яжг — множество
смежных классов, которые не пересекаются и исчерпывают всю группу,
что обозначается как G = H' + Hxj +... 4- НхТ.

9.2. Представления 227
Будем говорить, что элемент х группы G сопряжен с элементом у,
если найдется такой z?G, что y = z~lxz. Множество элементов, сопря-
сопряженных с 2, называется классом сопряженных элементов а, содержащим х.
Подгруппа Н группы G называется инвариантной подгруппой или нормаль-
нормальным делителем, если х~'Нх = Н для всех x?G. Это обозначается H<G.
Пусть T<G и G = T+Tx2 + . ¦ ¦ +Тхг. В качестве элементов новой
группы G возьмем смежные классы Тх{. Определим произведение в G
формулой (Txi)(Txj)—Txii, если XiXjGTxt в G. Проверим, что про-
произведение определено однозначно. Пусть t[Xi?Txi и t^XjETxj. Тогда
t\Xit2Xj=t\Xit2XJx ¦xiXj = tixiXj, так как T<G. Но если XiXj€Txk, то
t&iXj ?Txt- Таким образом, все произведения элементов из Тх{ на эле-
элементы из Txj попадают в тот же смежный класс Тж*. Группа G называется
фактор-группой G по Т и обозначается G = §.
9.2. Представления
Будем называть представлением группы G любой гомоморфизм а
группы G в некоторую группу W. Матричным представлением степени
(размерности) п группы G над полем комплексных чисел С называется
гомоморфизм T:g^T(g) группы G в подгруппу группы GL(n,C), где
GL(n,C) — группа невырожденных матриц размерности п над полем
комплексных чисел С. Представление называется точным, если отобра-
отображение а — изоморфизм. Матричное представление является точным,
если из Т(д) — Е, где Е — единичная матрица, следует, что д — единич-
единичный элемент.
Примерами матричного представления конечной группы могут слу-
служить единичное и регулярное представления. Единичное (тривиальное)
представление получается, если все элементы группы отображаются
в единицу, которая рассматривается как матрица размера 1x1. Пусть
G = {g\,-.-,gn} — конечная группа порядка п, а V — n-мерное вектор-
векторное пространство с базисом V|,...,vn. Для того, чтобы определить еще
одно матричное представление Т(д), поступим следующим образом: для
каждого г, 1 ^г<га существует такое однозначно определенное число ;',
1 <j^n, что ggi=gj. Тогда положим T(g)vi = Vj. Таким образом, Т(д) —
матрица преобразования пространства V в базисе vt,...,vn, переводя-
переводящая г-й базисный вектор Vi в j-й базисный вектор Vj. Элемент в О',г)-й
клетке этой матрицы равен 1, а остальные элементы г-ro столбца и j-й
строки матрицы Т(д) равны нулю. Отображение д-+Т(д) и называется
регулярным представлением группы G.
Будем говорить, что два представления Г и Г' эквивалентны, если
существует такая матрица SdGL(n,C), что T'(g) = SlT(g)S для любого
д G G. Матричное представление U: G —* GL(n, С) называется приводимым,
если оно эквивалентно представлению Т вида

228 Глава 9. Группы и представления
via)
о
где Tj(g) матрица rjxrj(j = \,2),rl+r2 = n. В противном случае пред-
представление называется неприводимым. Если V(g) — нулевая матрица, то
представление называется вполне приводимым. Характером х(§) предста-
представления Q группы G называется след G: x(g) — TrQ(<?). Характер непри-
неприводимого представления называется соответственно неприводимым харак-
характером.
Число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу
классов сопряженных элементов в G. Пусть <Ti,...,<t, — множество
классов сопряженных элементов, D^{g),...,D^{g) — матрицы всех
неприводимых неэквивалентных представлений, xl{s)>--->X'(s) — тсе
неприводимые неэквивалентные характеры группы G. Тогда справедливо
соотношение ортогональности неприводимых представлений
a,P=\,...,s, i,j = \,...,na, к,1=1,...,П0,
где па — размерность представления D^{g), s — количество различных
неприводимых представлений группы G.
Рассмотрим какое-нибудь представление, тогда характеры элементов
х(д'), входящих в один класс сопряженных элементов д'€а', равны
между собой, что можно записать в виде х(9')= x(ff')- Напишем таблицу
характеров группы G
хЧя)
х'(я)
х\
х\
... о-,
- х\
- х\
Для строк этой таблицы справедливо соотношение ортогональности ха-
характеров, являющееся следствием (9.2):
i>X><)xVi) = |Gi«a/b (9.3)
где hi — число элементов в классе о^. При этом столбцы таблицы (кото-
(которую можно рассматривать как квадратную матрицу) также ортогональны
между собой, т. е.
XyV.Ox'ViHyW (9.4)
Поскольку характер единичного элемента группы равен размерности
представления х'"'О) =пп» то Для п„ справедлива формула

9.3. Примеры
229
(9.5)
o=l
связывающая размерности представлений и порядок группы.
Произвольное представление Т(д) конечной группы G можно раз-
разложить в прямую сумму неприводимых представлений Т(д) = с,Т^(д)®
С2Т^2Цд)ф...®саТ^(д). Числа с„ показывают, сколько раз неприводи-
неприводимое представление Т'а' встречается в Т(д). Другими словами, существует
базис, в котором матрица приводится к блочно-диагональному виду,
причем блок Т*''(</) встречается С\ раз, блок Т^(д) — сг раз и т. д.
Коэффициенты разложения с„ находятся с помощью соотношения орто-
ортогональности характеров (9.3):
с« = щ ?
Здесь х(д) — характер представления Т(д), а (...) означает усреднение
по группе.
Основы теории групп и представлений изложены с доказательствами
в [Хол62, Сми74а].
9.3. Примеры
283. Построить изоморфизм группы сим-
симметрии треугольника Dj и группы подстановок
трех элементов:
Si =
Решение. Занумеруем вершины треуголь-
треугольника против часовой стрелки цифрами 1, 2, 3
(рис. 9.1). Пусть р поворот на 120° против ча- з
совой стрелки, с — поворот, переставляющий _ .
вершины 1 и 3 и оставляющей вершину 2 ^Й^ЙГ" **"
на месте. Тогда
рс-
03 0
1 2 3
2 1 З
\ 2
2 3
3 2
\ 2 3
з 2 \
12 3
\ 2 З
Легко убедиться, что построенное отображение является изоморфиз-
изоморфизмом. >

230 Глава 9. Группы и представления
284. Доказать, что два левых (правых) смежных класса группы G
по Н или не пересекаются, или совпадают.
Решение. Если Их и Ну не имеют общих элементов, то нечего
доказывать. Поэтому пусть z€Hx и z?Hy. Тогда z = h\x = hzy. Отсюда
x = hjlh,2y и hx = ftftj"lft2y = ft'y. Поэтому НхСНу. Аналогично НуС
Нх. Значит, Нх = Ну. >
285. Пусть G — конечная группа, И — подгруппа группы G. Доказать,
\ = \H\-\G:H\.
Решение. G = H + Hx2 + .-.+Hxr, смежные классы Hxi и Их, со-
содержат одинаковое число элементов, равное \Н\, а число г различных
смежных классов и есть \G:H\. >
286.
(а) Пусть Cg(x) — множество элементов группы G, перестановочных
с x?G. Доказать, что тогда Се(х) — подгруппа группы G.
(б) Пусть Ci некоторый класс сопряженных элементов, x€Ci. Тогда
мощность \Ci\ множества элементов в классе Ci равна индексу \G:Cq(x)\
подгруппы Cg(x).
Решение. Пусть С = Cq(x) и элементы, сопряженные сю помощью
, равны, т.е. g\xxg{ =g^xxgi. Обозначим c=g{g^, тогда
с~' хс=g2gi' xg^' = х => хс = сх.
Значит c?C=>Cgi =Cgi, т.е. 5иЭ2 лежат в одном правом смежном
классе G по С.
Пустьд\,дг лежат в одном правом смежном классе группы G по под-
подгруппе С, т.е.
Тогда
т.е. элементы, сопряженные х с помощью д\, д2, равны. Таким образом,
число различных элементов, сопряженных с элементом ж, равно числу
правых смежных классов группы G по подгруппе С. >
287. Найти порядок группы симметрии куба.
Решение. Пронумеруем вершины куба. Симметриями, порождаю-
порождающими группу, являются два вращения вокруг осей третьего и четвертого
порядка (рис. 9.2) и отражение.

9.3. Примеры
231
-(
2 3 4 5 6 7 8
3 4 16 7 8 5
2 3 4 5 6
4 8 5 2 3
)
-О
2 3 4 5 6 7
5 6 7 8 12 3
А
/
i
•
•
•
/
/
п = 2
Рис. 9.2. Элементы симметрии
куба: оси второго, третьего и
четвертого порядков
Элементы а и Ъ порождают группу G\, отображающие каждую
вершину в любую другую. Это видно из диаграммы
1^2^3-1*4-^5^6^7^8.
Здесь i—*j означает, что элемент х переводит » в j. Элементы, оста-
оставляющие 1 на месте, образуют подгруппу Н) группы G], и мы можем
разложить G| по Н\\
Поскольку все элементы класса H\Xi переводят 1 в вершину г, а вершин
всего 8, то здесь выписаны все смежные классы по Н\ и \G\: Н\ | = 8. Оче-
Очевидно, что Я| ={e,b,b2}, где е — тождественное отображение. Поэтому
\G{| = |Я||• \G:Hi\ = 3• 8 = 24. Отображение с не содержится в Gt, но так
как (?—\, са = ас, cb = a2ba2c, мы видим, что G = G\+G\c, поэтому
|G|=48. >
288. Показать, что подгруппа индекса 2 — инвариантная подгруппа.
Решение. Если G = H+Hx, то G=H+xH. Следовательно, Нх=хН.
289. Показать, что:
(а) характер является функцией класса сопряженных элементов, т. е.
характеры сопряженных элементов равны;
(б) эквивалентные представления имеют равные характеры.

232 [лава 9. Группы и представления
Решение. Если А — матрица п х п, то ее характеристический много-
многочлен равен
где Oi=Tri4. Пусть Т — невырожденная матрица, тогда |Г~'А!Г — Л.Е| =
\Т-*(А-ХЕ)Т\ = \Т-1\-\А-Щ-\Т\ = \А-ХЕ\. Таким образом, матри-
матрицы 4 и Т~ХАТ имеют один и тот же характеристический многочлен и тем
более один и тот же след. Поэтому матрицы T(g^lgg\) = T~x(g\)T(g)T{g\)
и T{g) имеют равные следы, т. е.
290. Показать, что всякое преставление конечной группы эквивалент-
эквивалентно унитарному (представление унитарно, если его матрицы унитарны).
Решение. Пусть T(g),g(zG — комплексное представление степени я
конечной группы G и пусть дх = I,g2>- • • ,3* — элементы группы G. Тогда
— положительно определенная эрмитова матрица, так как каждое слага-
слагаемое в отдельности есть положительно определенная эрмитова матрица.
Заметим, что для любого g€G
Т1((/)МГЫ = _
= 52 T*i9i9)T(9i9) = У] THg,)T(gi) = М.
В курсе линейной алгебры доказывается, что для любой положительно
определенной эрмитовой матрицы М существует такая невырожаенная
матрица С, что &МС = Е. Отсюда получаем М= (С'1) С~'. Подставляя
это выражение для М в тождество (9.6), получаем
откуда
{С
поэтому представление Т'(д) = С~*Т(д)С унитарно.
291. Написать таблицу характеров группы ?)j.
Решение. Группа Dy имеет три класса сопряженных элементов:
а, ={1}, <т,= {р,р2}, as={c,pc,p2c}.

9.4. Задачи 233
Поэтому существует три неприводимых представления группы S3 раз-
размерности щ, пг и Пу. Пользуясь формулой (9.5), получаем
Это равенство выполняется только, если П| = 1, пг = 1, щ = 2. Группа 5з
имеет два одномерных представления, которые можно отождествить с их
характерами:
а) тривиальное представление х'E)=1 ~ гомоморфизм группы S3
на группу, состоящую из одного элемента;
б) представление х2(я) = ^ ~ гомоморфизм группы Sj на группу
{1,-1}, ядром которого является подгруппа, порожденная поворотом
на Ц-. Т.е., если р — поворот на Ц-, то \,р,р2—> 1, а с,рс,р2с—> —1.
Из ортогональности столбцов таблицы характеров (9.3) получим
X1
X2
X3
<*\
1
1
2
<72
1
1
-1
1
_ 1
0
9.4. Задачи
292. Показать, что в любой группе (а&)~! =Ь~'а и вообще
293. Показать, что а и а ' — элементы равных порядков.
294. Показать, что если элементы х и у сопряжены, то они имеют
равные порядки.
295. Показать, что элементы ab и Ъа имеют равные порядки.
296. Показать, что преобразования симметрии равностороннего тре-
треугольника образуют группу. Построить таблицу умножения. Найти под-
подгруппы.
297. Пусть G — группа, Н — подгруппа G. Доказать, что множество
правых смежных классов равномошно множеству левых смежных классов.
298. Показать, что
(а) элемент х группы G сопряжен сам с собой;
(б) если х сопряжен с у, то у сопряжен с ж;
(в) если х сопряжен с у, а у сопряжен с г, то х сопряжен с z;

234 Глава 9. Группы и представления
(г) группа G есть объединение непересекающихся классов сопря-
сопряженных элементов:
299. Показать, что единственной конечной группой с двумя классами
сопряженных элементов является группа порядка 2.
300. Показать, что в группе преобразований пространства поворо-
повороты на угол <р вокруг двух осей сопряжены, если в группе существует
преобразование, переводящее одну ось в другую.
301. Показать, что повороты вокруг одной и той же оси О<У
на углы (р и -уз сопряжены, если:
(а) имеется ось второго порядка, перпендикулярная ОО';
(б) имеется зеркальная плоскость, проходящая через ось ОСУ.
302. Найти классы сопряженных элементов для следующих групп
симметрии:
(а) равностороннего треугольника;
(б) квадрата;
(в) правильного тетраэдра.
303. Подгруппа Н в G инвариантна тогда и только тогда, когда ка-
каждый левый смежный класс Нх есть также и правый смежный класс хН.
304. Пусть Н — гомоморфный образ группы G. Рассмотрим множе-
множество Т элементов t € G, отображающихся на единицу группы Н. Показать,
что Т — инвариантная подгруппа в G.
305. Показать, что группа симметрии куба гомоморфна группе под-
подстановок трех символов.
306. Доказать, что если порядок конечной группы не простое число,
то группа имеет нетривиальные** подгруппы.
307. Множество элементов Z(G), перестановочных со всеми эле-
элементами группы G, называется центром группы G. Доказать, что если
¦щх — циклическая группа, то G — абелева группа.
308. Доказать, что все неприводимые представления абелевой груп-
группы одномерны.
309. Пусть G — группа симметрии квадрата.
(а) Показать, что эта группа порождается двумя элементами симме-
симметрии а и 6, которые удовлетворяют соотношениям а4 = I, б2 = 1, (аЪJ = 1.
*' Тривиальными подгруппами называют единицу группы и саму группу.

9.5. Ответы 235
(б) Пусть матрицы Т(а) и Т(Ь) такие, что
[Т(а)]* = Е, [Т(Ь)]2 = Е, [Т(а)Т(Ь)]2 = Е. (9.7)
Тогда, очевидно, отображение а'Ь* —» [Т(а)]' [Т(Ь)]3 задает представление
фуппы G. Привести примеры матриц, которые удовлетворяют услови-
условиям (9.7).
310. Пусть T(G) — представление конечной группы матрицами
над С. Показать, что тогда:
(а) характер х(я) равен сумме корней из единицы;
(б) х(д-])=х(дУ.
311. Показать, что представление фактор-группы § (H<G) является
и представлением G.
312. Разложить трехмерное представление группы Si, матрицы кото-
которого получаются из единичной перестановками строк, на неприводимые
представления.
313. Задать регулярное представление группы Sj.
314. Разложить регулярное представление группы Sj на неприводи-
неприводимые.
9.5. Ответы
295. Указание: Они сопряжены.
296. Воспользуемся обозначениями задачи 283. Тогда таблица ум-
умножения группы треугольника имеет следующий вид:
1
р
Р2
с
рс
рЧ
1
1
р
Рг
с
рс
рЧ
р
р
Р2
1
рЧ
с
рс
Р2
Р2
1
р
рс
рЧ
с
с
с
рс
рЧ
1
р
Р1
рс
рс
рЧ
с
Р2
1
р
рЧ
рЧ
с
рс
р
Р2
1
В группе треугольника имеется четыре подгруппы, отличных от еди-
единичной и всей группы: Н\ = {\,р,р2}, Н2 = {\,с}, Я3 = {1,рс},
Щ = {\,РЧ}.
297. Указание: Классу дН ставим в соответствие (дН)~1 =Нд~'.

Глава 9. Группы и представления
299. Указание: Пусть а\ = 1 и a-i — классы сопряженных элементов
группы G. Тогда G = e\+oi. Если |G|=n и |<Т2|=и*, то n=l+m,
причем m делит нацело я (задача (б)).
305. Указание: Пусть x,y,z — три прямые, соединяющие центры проти-
противоположных граней куба. Тогда симметрии куба индуцируют группу
подстановок множества (х,у,г).
306. Указание: Пусть g€G и дф\. Рассмотрите подгруппу, состоящую
из всех степеней элемента д: \,д,дг,
308. Указание: Рассмотрим векторное пространство V, на котором абе-
лева группа G реализована как группа линейных преобразований.
Пусть д € G и д ф 1, тогда подпространство собственных векторов
элемента д, отвечающих некоторому собственному значению Л,
является G-инвариантным подпространством, а значит совпадает
с V. Преобразованию д соответствует матрица, пропорциональная
единичной.
309. (б) Приведем пример точного неприводимого матричного предста-
представления группы квадрата:
Т(
«-(М).
312.
313. Т
¦(
5
/О 1 0 0 0 0\
10 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 10
0 0 0 10 0
0 0 10 0 0
/00000 1\
0 0 0 10 0
0 10 0 0 0
0 0 10 0 0
10 0 0 0 0
o о о о 1 о/
314. Т(д) =

Глава 10
Непрерывные группы
10.1. Группы и алгебры Ли
Рассмотрим группу линейных преобразований, элементы матриц
которых являются аналитическими функциями вещественных параме-
параметров. Пусть д(а\,а2,...,аг) — элемент нашей группы G. Параметры
а = (а\,а2,...,аг) выбираются таким образом, что существует взаим-
взаимно-однозначное соответствие между окрестностью начала координат
в г-мерном пространстве параметров и окрестностью единичного эле-
элемента группы. Причем нулевому набору параметров соответствует еди-
единица группы. Если
g(aba2,...,ar)g(a\,a'2,...,ar)=g(a",ai,...,a"),
то
а'*' = <М«1,в2, ...,аг;а'иа2,...,а'г), к=\,...,г.
Если функции фь бесконечно дифференцируемы по всем аргументам,
то такие группы принадлежат к классу групп Ли. Число параметров г
называется размерностью группы G.
Алгеброй Ли называется линейное пространство L, снабженное опе-
операцией, называемой скобкой Ли (коммутированием) и обозначаемой
(ж,у], для которой выполняются следующие условия (x,y,z?L, a€C):
1) [ож + з/,г] = в[а;,2] + [у,г] (линейность);
2) [*i3/l = -(j/,a;] (антисимметричность);
3) [aejj/.z]] + [z,[x,j(]] + [з/,[г,ж]] =0 (тождество Якоби).
Примерами скобок Ли могут служить операции коммутирования ква-
квадратных матриц, скобки Пуассона и векторное произведение векторов
изЕ3.
Рассмотрим матричную реализацию группы G линейных преобразо-
преобразований, имеющую матричные элементы </>* =5»t(aii- • • .ftr)- Введем в рас-
рассмотрение производные от этих матриц по параметрам а/ в точке нуль,
т.е. рассмотрим матрицы // с элементами
«,=а2=...=а,=0

238 [лава 10. Непрерывные группы
Матрицы /| называются иифинитезимадьными операторами (генератора-
(генераторами) группы G. Коммутатор [I*,!,] = !*/, — 1,1k является линейной ком-
комбинацией матриц I;
i
Линейная оболочка генераторов группы образует алгебру Ли Ь, поскольку
введенный коммутатор удовлетворяет свойствам 1—3 скобки Ли. Эта ал-
алгебра называется алгеброй Ли группы Ли. Коэффициенты сы называются
структурными константами алгебры Ли L группы Ли G.
Группу Ли можно восстановить по ее алгебре Ли однозначно, если
группа Ли связна и односвязна (многообразие называется односвязным,
если каждая замкнутая кривая может быть непрерывно стянута в точ-
точку). Так, для восстановления однопараметрической группы справедливо
экспоненциальное отображение:
10.2. Представления группы вращений
Представлением группы Ли G называется гомоморфизм G в группу
преобразований Т(д) линейного пространства V. Представление группы
Ли в векторном пространстве V называется приводимым, если V со-
содержит инвариантное относительно G подпространство, отличное от V
и нулевого подпространства.
Линейное пространство представления может быть и бесконечномер-
бесконечномерным, например, гильбертовым, или таким пространством, пополнение
которого — гильбертово пространство. Обозначим F пространство бес-
бесконечно дифференцируемых функций /(х), ж€М3, заданных на сфере.
Каждому элементу д € SOC) поставим в соответствие линейное преобра-
преобразование
T(g):f(x)-*f'(x) = f(9-lx), (ЮЛ)
отображающее пространство Т на себя. Формула A0.1) определяет дей-
действие элемента группы на функцию. Если за преобразованием Т(д\) следует
новое преобразование T(gi), а именно
то результатом будет композиция
Таким образом. Т{д2)Т(д\) = Т(д2д\). Поэтому соответствие д-*Т(д)
является представлением группы SOC) на бесконечномерном простран-
пространстве функций.

10.2. Представления группы вращений 239
Для определения неприводимых представлений группы вращений
50C) достаточно рассмотреть ее алгебру soC), генераторы которой
(см. задачу (а)) удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Ja, Jp] =i?apiJi,
где Ja — с точностью до множителя t инфинитезимальные операторы
поворота вокруг оси а. В квантовой механике оператор J называют опе-
оператором момента. Поскольку по алгебре Ли может быть восстановлена
группа, то для выделения неприводимых представлений достаточно рас-
рассмотреть соответствующие представления алгебры. Эта задача сводится
к нахождению спектра оператора момента J2 и его собственных векторов.
Каждое неприводимое представление задается собственным значением
jO + 0 оператора J2. Размерность неприводимого представления равна
2j +1 — числу (при заданном j) возможных проекций момента на ось
квантования (г).
Пусть V и V — конечномерные векторные пространства над по-
полем С размерности тип соответственно. Пусть {v,} и {щ} — базисы
пространств V и U соответственно. Для любых v€V, u?U рассмо-
рассмотрим множество конечных сумм формальных произведений вида г>®и
со следующими свойствами:
(v' + v") ® « = ti' ® « + v" ® «,
, A€C.
Построенное таким образом множество является векторным простран-
пространством, натянутым на тхп базисных векторов Vi®Uj = v>ij, где i =
l,...,m, j — l,...,n. Оно называется тензорным произведением про-
пространств V и U и обозначается W = V®U. Если V и U — пространства
со скалярным произведением (.,.), то скалярное произведение в V&U
может быть определено формулой
Введем понятие тензорного {прямого) произведения матриц. Пусть
имеется две квадратные матрицы Г=|[<^|| и Д = ||гу|| порядка пит со-
соответственно. Прямым произведением матрицы Т на матрицу R является
квадратная матрица порядка пхтп, имеющая следующий вид:
tuR t,2R ... *(n
tllRtnR v:t2nR
(
tn\R
Заметим, что Тг(Т® Д)=ТгГ-ТгД.
Пусть заданы представления T(g) и T'(g) группы G, g&G, т.е. ка-
каждому элементу g группы G соответствует линейный оператор Т(д)

240 Глава 10. Непрерывные группы
пространства V и линейный оператор Т'(д) пространства U, при-
причем T(gig2) = T(g,)T(g2) и Т'<3|92) = Г(з,)Т'Ы для любых элемен-
элементов <7i и & из G. Определим тензорное (прямое) произведение пред-
представлений группы. Выберем базисы пространства V и пространства 17:
V = (vuv2,...,vn), U = {u{,U2,...,um). Пусть в этих базисах оператору
Т(д) соответствует матрица D(g), а оператору Tig) соответствует матрица
?><(<?). т.е.:
i
Определим линейные операторы Т"(д), действующие в пространстве
V®U формулой:
Т"(д)Ы ® »*) = T(g)Vi ® ТЧд)ик =
i ' i,'
Легко проверить, что матрица, соответствующая оператору Т"(д), есть
прямое произведение матриц Л(з)® 1У(д)- Это и есть прямое (тензорное)
произведение представлений группы. Прямое произведение представле-
представлений может быть разложено на неприводимые представления (задача
Клебша—Гордана). Для группы SOC) эта задача соответствует квантово-
механической задаче сложения моментов.
Пусть ?>У'' и ?>k'2> — два неприводимых представления группы
вращения со значениями момента j\ и ]г соответственно. Тогда прямое
произведение представлений D^QD^ разлагается на неприводимые
представления в виде (см. задачу 334):
'*". A0.2)
Это и есть разложение Клебша—Гордана для группы SOC).
Из разложения A0.2) следует, что базисы представлений D(J): \JM)
(—J^M^J), могут быть разложены по базису прямого произведения
представлений Iji
Коэффициенты разложения Cj^^^ называются коэффициентами Клеб-
Клебша—Гордана.
Пусть имеется матричное представление размерности п группы G,
т. е. каждому элементу д группы соответствует матрица Д*(<?). Набор
чисел T = 7ii(-,...jf, Tit...ir €<C, it — I,.. .,n, fe= I,.. .,г, называется тензором
ранга г относительно группы G, если Т преобразуется по закону:
..M,. A0.3)

10.2. Представления группы вращений 241
(Здесь по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.)
Числа 2|^2...1, называются компонентами (координатами) тензора. Мно-
Множество всех тензоров данного ранга г образуют векторное пространство
размерности пТ. Тензор Т называется инвариантным относительно дей-
действия группы G, если его компоненты не меняются под действием
преобразований из группы G. Заметим, что инвариантный тензор имеет
столько независимых компонент, сколько раз входит единичное предста-
представление в разложение тензорного произведения представлений группы.
Важным свойством тензоров является тот факт, что операция пе-
перестановки индексов коммутирует с действием группы G. Пусть ST —
группа подстановок г символов. Эта группа состоит из элементов вида
=Г! 2 •• г У
A0.4)
Каждая перестановка определяет линейное преобразование пространства
тензоров ранга г в соответствии с формулой сГа|о2...аг = Т"а, а, ...«,г =
Та„т...аФГ Эти линейные преобразования, соответствующие группе 5Г,
коммутируют с действием группы G. Тензор Т = Т^2...<, называется сим-
симметричным, если зТ = Т для любой подстановки s € Sr и кососимметрич-
ным, если для нечетных подстановок s выполняется sT = —T, а для чет-
четных зТ = Т. Таким образом, симметричные тензоры являются собствен-
собственными векторами любой подстановки из 5Г, отвечающими собственному
значению 1. Поэтому симметричные тензоры образуют инвариантное
относительно G подпространство. Аналогично, множество всех косо-
симмтричных тензоров является G-инвариантным подпространством.
Если G — группа вращений 5ОC), 2i,i2...j. — тензоры п-го ран-
ранга, заданные в трехмерном евклидовом пространстве (точнее говоря,
они — элементы пространства Я3®... ® Я3), то D(g) в законе пре-
преобразования A0.3) есть стандартное представление группы вращений,
отвечающее неприводимому представлению с моментом j = \. В этом
случае DiikiDiJli...Di ^ в A0.3) есть тензорное произведение неприво-
неприводимых представлений с j = l. Это произведение может быть разложено
по неприводимым представлениям. Каждое из неприводимых предста-
представлений для данного тензора п-го ранга будет выделять его инвариантную
часть. Например, тензор второго ранга ац. может быть представлен в виде
1/
<Чк = т I ait
тО|,в,-к j +-(aik-aki)+-aii6ik. A0.5)
Каждый член в этой сумме есть инвариантный тензор относительно
группы вращений 5ОC). Первое слагаемое в A0.5) имеет нулевой след
и соответственно 5 независимых компонент. Этот тензор соответству-
соответствует моменту J = 2. Второе слагаемое отвечает вектору (момент J=l),
а последнее — скаляру (J = 0).

242 Глава 10. Непрерывные группы
По теории групп Ли можно отослать читателя к книгам (Кир78,
Рих84, ДНФ79]. Некоторые вопросы теории групп, имеющие приложение
к атомной и молекулярной физике, рассмотрены в [ЛЛ74].
10.3. Примеры
315. Рассмотрим однопараметрическую группу G—g@). Параметр $
выберем таким образом, что
(Ю.6)
A0.7)
Пусть h = \%)t=0 — инфинитезималъная матрица, соответствующая
параметру в. Показать, что тогда
= ехр A,0). A0.8)
Решение. Продифференцируем обе части равенства A0.6) по 0| и по-
положим затем б|=0, вг=в. Получим $=1вд(9). Эти уравнения имеют
единственное решение, удовлетворяющее начальному условию A0.7). >
316. Пусть д(аиа2,аз) — матрица, соответствующая повороту во-
вокруг оси вращения а = («|,а2,аз) на угол ^(af + aij + a*I^2. Показать,
что тогда
где I\, Jj, Гз — инфинитезимаяьные матрицы группы SOC).
Решение. Рассмотрим однопараметрическую группу поворотов во-
вокруг оси, направленной по вектору а. Воспользуемся формулой A0.8)
з ,
Здесь
щ =0cos(Ox,a), ct2=0cas{Oy,a), а$
Поэтому
317. Найти инфинитезимаяьные матрицы:
(а) группы вращений SOC), параметризованной как указано в зада-
задаче 316.
(б) специальной унитарной группы SUB), состоящей из матриц вида
e'^cosn e'^sinn
e I5
Т (
\

10.3. Примеры 243
Решение, (а) В качестве параметров группы 50C) возьмем три со-
составляющие а\,а2,аз вектора а, направленного по оси вращения и рав-
равного по длине углу поворота:
Отсюда
I _ дд(аи0,0)
да\ о,=0
Аналогично
/10 0 \
д(аи0,0)= I 0 cos«i sinoi I.
\0 —sinai cosoi /
/О 0 0\
= 0 0 1 .
\0 -1 0/
/ 0 0 1\ / 0 1 0\
12=[ 0 0 0, 73= -1 0 0 .
\-1 0 0/ \ 000/
Решение, (б) Унитарные унимодулярные матрицы 2-го порядка име-
имеют вид
тт_( e'^cost; e'^sin»; N
и зависят от трех вещественных параметров ?,i),4>- В качестве двух
генераторов можно выбрать производные
=f(о,о,о,=(; *)--и
Поскольку U(?,t},ip) не зависит от <р при т; = 0, в качестве третьего
генератора можно взять
318. Построить гомоморфизм группы 517B) на группу 5ОC).
Решение. Матрицы из 511B) имеют вид
V-/»* «V'
где а и р — произвольные комплексные числа, подчиняющиеся только
условию аа*+/?/?* = 1. Группа 5^B) всех таких матриц — это группа
линейных преобразований
ti = a«'+/?t/, «=-/3V + aV, A0.9)

244 Глава 10. Непрерывные группы
оставляющих инвариантной форму ии*+от*. С помощью комплексных
переменных можно определить три действительных переменные
х\ =и*у + ь*и, X2 = -i(u*v-v*u), xy=uu*-vv'. A0.10)
При этом
x] + x22 + xl = (uu + v*vJ. A0.11)
Линейное преобразование A0.9), примененное к A0.10), индуцирует
линейное преобразование переменных Ж1,Х2,а;з, принадлежащее в силу
равенства A0.11) ортогональной группе 50C).
Выпишем это линейное преобразование:
+ l-(a2 + a2t +р2 + р){р р)
хъ = (ар* + ар) х\ + i (а*/3 - аД*) х2 + (аа* - ДО') х'3.
Это отображение не точно, матрицы
0\ /-1 0\
О И v о-
представляются единицей группы SOC). >
319. Показать, что трехмерное евклидово пространство, где скоб-
скобкой Ли служит операция векторного умножения, есть алгебра Ли. Какой
группе соответствует данная алгебра Ли ?
Решение. R? есть линейное пространство, в котором задано век-
векторное произведение: [а х Ь] € М3. Векторное произведение удовлетворяет
всем свойствам скобок Ли. Поэтому R3 есть алгебра Ли, ее размерность
равна 3. Для восстановления группы Ли по ее алгебре достаточно за-
заметить, что любому вектору можно поставить во взаимно-однозначное
соответствие антисимметричную матрицу 3x3:
/О а, -а3
а—» I -п\ 0 п2
\ а3 -а2 0
Таким образом, К3 изоморфно алгебре антисимметричных матриц 3x3,
причем в этом случае векторное произведение переходит в коммутатор
матриц. В качестве базисных векторов в алгебре можно взять единичные
вектора, которые, как легко видеть, соответствуют генераторам I\,Ii,Is —

10.3. Примеры 245
инфинитезимальным матрицам поворота (найдены в задаче (а)). Отсюда
следует, что соответствующая группа есть группа ортогональных матриц
3x3, которая представляет собой стандартное представление группы
вращений 50C). Данное представление Z?'1* неприводимо, соответствует
моменту j = \. >
320. Пусть f(e,ip) - функция, заданная на сфере единичного ради-
радиуса, g — поворот на угол а вокруг оси Oz, которому соответствует
матрица Т(д). Найти hfF,ip), где 1$ — генератор поворота вокруг оси z.
Решение. Поскольку T(g)fF,tp) = /@,<р-а),то
(ftp
321. Пусть А\,А2,Аз — антиэрмитовы матрицы, удовлетворяющие
соотношениям
= А\,
— А\ А-} = А2.
Рассмотрим линейные комбинации
H+ — iA\-A2, H
(а) Показать, что
(б) Пусть 1>х — собственный вектор матрицы Hj, соответствующий
собственному значению А. Показать, что H+V\ — собственный вектор Н),
соответствующий собственному значению А+1, a H_v\ — собственный
вектор Яз. соответствующий собственному значению А- 1. Найти норму
векторов Н±ух, если \\v\\\ = 1.
Решение, (а) Коммутационное соотношение получается прямым вы-
вычислением.
Решение, (б) Пусть H}V\ = \v\ — собственный вектор матрицы Яз,
отвечающий собственному значению А. Тогда, согласно коммутационно-
коммутационному соотношению Н± с Яз,
= Я±(Я3 ± 1)»А = (А± 1)Я±г;А.
Значит, Я+, Я^ — соответственно повышающий и понижающий опера-
операторы. Таким образом,
где числа ах и f3x определяются условиями нормировки \vx\ = 1 для всех А.
Найдем числа ах и рх. Так как матрицы Я+ и Я_ эрмитово сопряжены,

246 Глава 10. Непрерывные группы
= Рх,
= aA+i(t;A,t;A)= ал+ь
поэтому
А = аА+|. A0.13)
Три генератора группы А 1,^2,Аз образуют замкнутую алгебру.
Из них можно построить оператор, который коммутирует со всеми ге-
генераторами группы (оператор Казимира) C=-(A] + A\ + AQ. Выразим
оператор Казимира через матрицы Я:
AОи)
— Яз -Ь Н—Н+.+Яз= Яз + Н+Н— — Яз.
Пусть J максимальное собственное значение оператора Яз, т.е. H+vj=Q,
тогда из A0.14) получим
Выберем среди собственных векторов Яз те, которые одновременно явля-
являются собственными векторами оператора С с собственными значениями
J(J+1). Они получаются из vj с помощью многократного действия
оператора Я_.
Пусть А — собственное значение, которое меньше J. Тогда
H+vX-, = — Я+Я_1)А = —
<*л ах
= —
Отсюда, учитывая A0.13), получаем
/3А + 2А = /3А_,. A0.15)
Если A = J, то Я+«А = 0 и, следовательно, /J3_,=2J. Используя A0.15),
по индукции легко получить р\ = J(J+ 1)-A(A+1). Отсюда по A0.13)
имеем a\ = J(J+ 1) - А(А - 1). Таким образом,
= At;A,
H-VX=y/j{J+\)-\(\-l)Vx-U
H+vx = y/j(J+l)-\(\+l)vx+x.
322. Доказать, что все собственные значения матрицы Щ суть целые
или полуцелые числа: -j, —j + l,...,j — \,j.

10.3. Примеры 247
Решение. Действуя последовательно степенями понижающего опе-
оператора Н- на собственный вектор старшего веса vj, получаем набор
собственных векторов vj,vj-\, Последним вектором в этом наборе
будет вектор v-j, так как H~v-j = 0. Число всех собственных векторов
в представлении с данным J равно 2J+1. Значит, J — целое или
полуцелое число. >
323. Найти коэффициенты Клебша—Гордана
\h n»i j2 m2) = liimi) «8i \j2m2), \jm) = \jm, j\ j2)
для]{-\, j2 = 2, j=l, m = 0.
Решение. Начнем с вектора с максимально возможным при j = 1 зна-
значением т= 1 (вектора старшего веса), который разложим по возможным
состояниям с моментами j] и j2, используя соотношение т = т.\ +т2,
|ll) = o|10)|21)+/J|ll>|20>+7|l-1I22), A0.16)
где коэффициенты «,/3,7 надлежит найти. Обозначим буквой V про-
пространство с базисом
a U — пространство с базисом
|2-2), |2-1), |20), |21>, |22).
Тогда повышающий оператор J+, действующий в пространстве V®U,
можно записать как
где Е\Е2 — единичные операторы, a Jl,J+ — повышающие операторы,
действующие в пространствах V, U.
Подействуем на обе части A0.16) повышающим оператором 7+
и воспользуемся формулой для его матричным элементов
Получится
откуда найдем
Третье соотношение дается нормировкой a2+p2+f2= 1, отсюда а =
Теперь подействуем на вектор старшего веса A0.16) понижающим
оператором и приведем подобные члены. Получится разложение

248 Глава 10. Непрерывные группы
В итоге найдем все три искомых коэффициента Клебша—Гордана
2
С|020=7Ш' *
324. Сколько независимых компонент у тензора 1-го ранга, инва-
инвариантного относительно действия группы G, если G является группой
симметрии треугольника ?
Решение. Заметим, что симметрии треугольника образуют подгруппу
группы собственных вращений трехмерного пространства. Далее, вос-
воспользовавшись тем, что повороту на угол >р соответствует характер
\+2costp, и тем, что след тензорного произведения матриц равен произ-
произведению следов сомножителей, можно вычислить характер представления
группы треугольника. Пусть сг\,<т2,сгз — классы сопряженных элементов
группы треугольника, как в задаче 291, тогда
О~2 О~1
X У 0 1
Кратность вхождения единичного представления равна двум, значит
имеется две независимые компоненты. >
325. Показать, что операция перестановки индексов коммутирует
с действием группы G на пространстве тензоров ранга г.
Решение. Этот факт устанавливается непосредственной проверкой.
Пусть элементу g из G соответствует матрица Dv-, тогда
\аТ )а,ог.. .я, = ¦» а»,|)Л«и).. .а„и = "л,,,,*,,,, ¦ ¦ ¦ Da<ltr)k,mTkm{l)_. Jt,{t) =
= Da,kl...Datkr(<rT)k,...kt=(crT)'a,...ar. ^
326. Какова размерность подпространства симметричных тензоров
3-го ранга?
Решение. Для компонент симметричных тензоров 3-го ранга вы-
выполняются равенства: Sijk=Sjki = Skij = Sjik = Skji = Sikj, г =1,2,3, j =
1,2,3, к —1,2,3. Легко видеть, что имеется 17 независимых условий
на компоненты. Поскольку размерность пространства тензоров 3-го ран-
ранга равна 27, то подпространство симметричных тензоров имеет размер-
ность 10. >
327. Представление D* конечной группы G получается из данного D
путем простого комплексного сопряжения. (Если D* и D совпадают, то D
называют вещественным представлением.) Рассмотрим прямое произведе-
произведение D = D("** ® D* неприводимых представлений группы G. Доказать, что
в разложении D на неприводимые тождественное представление может
встретиться только в том случае, если D'n) =,

10.4. Задачи 249
Решение. Разложим прямое произведение двух неприводимых пред-
представлений в прямую сумму неприводимых представлений: D= фсд?)'А'.
л
Найдем, сколько раз встречается тривиальное представление в D. Для
этого умножим характер х(я) = Х^*(9)х^(д) представления D на харак-
характер тривиального представления х'''*(э)= 1 и просуммируем по группе:
g
Последнее равенство получается в силу формулы (9.3). >
10.4. Задачи
328. Образуют ли непрерывную группу:
(а) повороты на плоскости;
(б) растяжения и сдвиги на плоскости;
(в) преобразования Лоренца;
(г) дробно-линейные преобразования комплексной плоскости
, az + b
cz + d'
329. Какова размерность следующих матричных групп Ли, если это:
(а) полная линейная группа GL(n,C);
(б) унимодулярная группа SL(n,C), включающая все матрицы, опре-
определитель которых равен 1;
(в) унитарная группа Г/(п,С);
(г) ортогональная группа О(п,К);
(д) группа вращений S0C).
330. Проверить, что для генераторов группы SOC), параметри-
параметризованной как в задаче 316, справедливы следующие коммутационные
соотношения:
331. Пусть f(O,<p) — функция, заданная на сфере единичного ра-
радиуса, g — поворот на угол а вокруг оси Oz, которому соответствует
матрица Т(д).
(а) Пусть f = Yim(9,<p). Как действует г/3 на /?
(б) Рассмотрим векторное пространство, натянутое на векторы
Найти в этом базисе матрицу D(g), соответствующую повороту на угол а
вокруг оси Oz.

2S0 Глава 10. Непрерывные группы
332. Показать, что повороты на один и тот же угол вокруг различных
осей входят в один и тот же класс сопряженных элементов группы SOC).
333. Найти характер 21+1 -мерного представления группы SOC)
(из задачи (б)).
334. Пусть dW> и dU"> — неприводимые представления группы
SOC). Доказать, что
DU)®D(f) =Du+f)®Du+i''l) ©... ®D(b'n)
(разложение Клебша— Гордана).
335. Найти коэффициенты Клебша—Гордана для разложения D<'/2>®
) на неприводимые представления.
336. Сколько независимых компонент у тензора 2-го ранга, инвари-
инвариантного относительно действия группы G, если G = S0C)?
337. Сколько независимых компонент у тензора 3-го ранга, инвари-
инвариантного относительно действия группы G, если a) G = 5OC); б) G явля-
является группой симметрии треугольника?
338. Разложить тензор 2-го ранга на неприводимые части относи-
относительно действия группы G = SOC).
339. Пусть Т — пространство всех бесконечно дифференцируемых
функций f(x) в R3. Для каждой матрицы вращения Т(д), g?SOC)
положим \gf)(x) = f(T~>(g)x). Построить генераторы этого представ-
представления.
340. Рассмотрим множество однородных полиномов степени п вида
Y2 aklmxky'zm, k,l,m>0.
к+l+msn
Все полиномы образуют векторное пространство.
(а) Найти размерность этого пространства.
(б) Найти размерность подпространства гармонических полиномов
(т. е. полиномов, удовлетворяющих уравнению Лапласа).
(в) Показать, что представление группы SOC) на пространстве
гармонических полиномов является неприводимым.
341. Движение в вещественном двумерном пространстве R2 состоят
из вращений Т€5ОB) и сдвигов. Обозначим группу движений плос-
плоскости Мг. Пусть д = д(,п,в — элемент группы Mi, задающий следующее
отображение плоскости на себя:

10.S. Ответы 251
Напишем соответствие между элементами М2 и матрицами 3x3:
/cos0 -sin<? ?\
д-> I sin0 cose q I. A0.17)
V 0 0 1/
Проверить, что A0.17) является представлением группы Af2.
342. Пусть Т обозначает пространство всех бесконечно диффе-
дифференцируемых функций, определенных для всех хну. Представление
группы М2 из задачи 341 на .F получается путем преобразования каждой
функции f(x,y) в функцию
(а) Показать, что для инфинитезимальных операторов группы ? 1,2,3
справедливы равенства
а а а а
L'e~3?' Ll=-ay-' L3=yai-Xay-
(б) Найти [L,,L2], [ЬиЬъ\, [L2,L3].
(в) Пусть г и <р — полярные координаты плоскости х,у, L± =
L\ ±\L2. Убедиться, что
(г) Проверить, что Л коммутирует со всеми операторами L\,Li,Li.
343. Рассмотрим множество функций
где Jm(ar) — функция Бесселя порядка m (а/0). Показать, что на про-
пространстве Т, базисом которого являются функции Фт с целыми т,
осуществляется неприводимое бесконечномерное представление груп-
группы Mi.
10.5. Ответы
а Ь
328. (г) Да, если
с d
329. (а) 2п2 вещественных переменных,
(б) 2п2-2.

252
[лава 10. Непрерывные группы
(в) п\
(г) И(П~').
(д) з.
331. (a) ihf = m,
(б)
= ехр
/На О О О ... О \
О *(i-l)a О О ... О
О О i(l-2)a О ... О
О О О t(J - 3)а ... О
0
0
0
0
0.
0 e'('-|)a 0 0 ... 0
0 0 e'('~2)a 0 ... 0
0 0 0 e'('-3>a ... 0
0 ... -ila)
0 \
0
0
0
... e-ila /
334. Указание: Воспользоваться тем, что для каждого д € 50C)
Jr(D{i)®Du'))=TTDU)TrDij').
335. Разложение представления D*1/2)®!)'1/2) на неприводимые предста-
представления эквивалентна задаче о сложении двух спинов S\ = \ и 52 = ;.
В разложении присутствуют только два мультиплета с 5 = 1 (триплет,
когда спины параллельны) и 5 = 0 (синглет с антипараллельными
спинами):
Коэффициенты Клебша—Гордана есть коэффициенты в разложении
волновых функций. Для 5= 1
11\ 11\
22/, 22/,'
1 * Ч 2
2 2/+
2 2
22/J'
¦-!> =
2 2/,
2 2

10.5. Ответы 253
Для 5 = 0
1 1
2
2
2 2
2
336. Одна компонента.
337. а) Одна компонента, б) Четыре компоненты.
338. D<l>®Z)<|) = JD<o)eJD<l)el><2>, представление DB) реализуется на
подпространстве симметричных бесследовых тензоров ранга 2,
D^ — на подпространстве кососимметрических тензоров, '
на тензорах вида сбу, где с — число.
д д д д д д
339. U=z--y-, L2 = X--z-, L^y--x~.
340. (а) (П
2
(бJп+1.
(в) Указание: Воспользовавшись формулой Родрига (П.37), получим
т=-п,—п+
Переходя к декартовым координатам
rcos0 = z, rsin$e"t' =
можно установить, что r"Ynm является однородным полиномом
степени п. Любое ограниченное решение уравнения
для функции /, где Дп — угловая часть оператора Лапласа,
можно записать в виде линейной комбинации сферических гар-
гармоник YimF,tp). Поэтому линейная оболочка полиномов г"У„га,
т — —п,-п+ 1,...,п совпадает со всем пространством гармоничес-
гармонических полиномов.
342. (б) [LUL2\= 0, \LKM = -L2, [L2,L3] = L|.
343. Указание: Пространство Т должно преобразовываться само в себя
под действием каждого из операторов L\, L2, L]. Заметим, что
Это следует из рекуррентных соотношений Jm+\(z) = — J'm(z) +
2^, Jm^{z) = J'm{z) + '^^. Поскольку Lx, L2, L3 - линейные
комбинации операторов L+, L', L3, получаем, что пространство Т

254 Глава 10. Непрерывные группы
переходит в себя под действием группы М2. Действуя операто-
оператором L+ на функцию Фт для любого т, получаем необрываюшийся
ряд, поэтому представление бесконечномерно. Для доказательства
неприводимости надо воспользоваться тем, что множество функций
{сФт}, т = 0,±1,±2,..., с€С, сфО, исчерпывает все собствен-
собственные векторы оператора ?з в пространстве Т, и тем, что в любом
М2-инвариантном подпространстве содержится собственный век-
вектор Ьз- Далее, действуя операторами L+ и L~, получим весь набор
функций Фт, т = 0,±1,±2,....

Глава 11
Применения теории групп в физике
11.1. Гармонические колебания молекул
В классической механике гамильтониан молекулы, состоящей из п
атомов с массами М<, 1=1,...,п, в гармоническом приближении имеет
вид
а=1 1=1 ' afi=U,m=]
Здесь q° — а-компонента малого смешения атома относительно поло-
положения равновесия в некоторой декартовой системе координат, р,а —
сопряженный импульс, a V^f — постоянные коэффициенты. В даль-
дальнейшем для упрощения записи будем объединять индекс декартовой
компоненты а и номер атома I в один индекс к, меняющийся от 1 до Зга
(к = 3(/ - 1) + а). Уравнения движения
Зп
«¦** = -!>««,• (П.2)
определяют набор собственных частот ш\ и собственных мод (нормальных
колебаний) ajj* . Будем искать решение уравнений A1.2) в виде qk =
a* cos(u><+ <*>). Подставляя эти зависимости в A1.2), получаем систему
алгебраических уравнений на коэффициенты ак:
Зп
В терминах амплитуд 6* = \/М* о* задача определения нормальных ко-
колебаний системы сводится к задаче о диагонализации эрмитовой мат-
матрицы Bkf
Зп „
сЛ»=]?ад, Bkj= JL^. (и.з)
/МЩ
Симметрии нашей системы — это перестановки атомов с одинако-
одинаковыми массами, повороты и отражения векторов малых смещений атомов,

256 Глава 11. Применения теории групп в физике
сохраняющие вид гамильтониана A1.1). Иначе говоря, группа симметрии
молекулы — это некоторая подгруппа прямого произведения группы 5„
перестановок п атомов и п экземпляров группы несобственных враще-
вращений ОC) (поворотов и отражений):
Sn х 0C) х... х 0C).
Любой ее элемент можно представить в виде прямого произведения про-
простых перестановок Т пары атомов и линейных преобразований R € ОC) —
поворотов и отражений координат bj каждого атома. Напомним, что пе-
перестановка номеров к и I в любой матрице В осуществляется линейным
преобразованием
^ ТBЫ) = В, A1.4)
где матрица Т(ы) получается из единичной перестановкой ife-oro и i-oro
столбцов. При действии на данный вектор bj матрица Цщ переставляет
его к-ю и 1-ю компоненты. Таким образом, в пространстве компонент
Зп-мерных векторов-амплитуд 6 = F|,..., Ьзп) действует линейное пред-
представление группы симметрии молекулы, причем перестановкам атомов
соответствуют преобразования Т, а поворотам и отражениям — преобра-
преобразования Л.
Симметрия системы относительно перестановки одинаковых ато-
атомов Г, поворотов и отражений R или их комбинаций Q означает, что
B = Q{BQ => [B,Q} = 0, A1.5)
где Q — любая матрица из представления группы симметрии, осуще-
осуществляющая перестановки, повороты и отражения компонент Зп-мерных
векторов амплитуд. Это представление (мы будем называть его исходным)
чаще всего является приводимым. С другой стороны, равенство A1.5)
означает, что если Ь — собственный вектор матрицы В, то и Qb — тоже
собственный вектор, соответствующий тому же собственному значению.
Следовательно, любое подпространство Vm собственных векторов, соот-
соответствующих собственному значению ш^
Зп
">mbf = X>ib"' «=1,2,...,*, ba€Vm,
>=i
будет инвариантно относительно действия операторов Q:
к
0=1
Это означает, что операторы Q будут осуществлять в Vm некоторое
fc-мерное представление группы симметрии, a qnp будут матрицами этого
представления. Как правило, такое представление является неприво-
неприводимым. Если оно оказывается приводимым, то говорят о случайном

11.1. Гармонические колебания молекул 257
вырождении, которое свидетельствует о том, что система обладает более
высокой симметрией, чем мы предполагали. Итак, разбивая исходное
представление группы симметрии на неприводимые, мы можем опреде-
определить размерности собственных подпространств, т. е. кратности вырожде-
вырождения собственных частот колебаний молекулы.
Если нормальные моды колебаний использовать в качестве базиса
в Зга-мерном пространстве векторов амплитуд, то гамильтониан системы
в таких переменных приобретает вид диагональной квадратичной формы.
Иными словами, он становится суммой гамильтонианов, каждый из ко-
которых зависит от амплитуды только одной нормальной моды. Переходя
к квантовомеханическому рассмотрению, заметим, что можно произвести
квантование сразу в базисе нормальных колебаний. Тогда структура уров-
уровней и вид волновых функций станет очевидным: система представляет
собой совокупность независимых линейных осцилляторов. Собствен-
Собственные функции ее гамильтониана являются произведениями стационарных
волновых функций каждого из осцилляторов. Если у к осцилляторов со-
совпадают частоты, то это приводит к fc-кратному вырождению колебаний
классической системы. Таким образом, с помощью теории групп мож-
можно найти кратности вырождения колебательных уровней молекулы. Для
этого с помощью теории характеров надо разложить по неприводимым
исходное представление группы симметрии нашей системы в простран-
пространстве Зп-мерных векторов амплитуд.
Заметим, что матрицы преобразования, отвечающие симметрии мо-
молекулы, действуют на векторы малых смещений атомов из равновесных
положений. Энергия, соответствующая данному смещению атома, зави-
зависит в общем случае от направления вектора смещения. Поэтому пре-
преобразования симметрии должны сохранять относительную ориентацию
атомов, т. е. группа симметрии молекулы является подгруппой группы
движений (изометрий) трехмерного пространства. Исходное же предста-
представление возникает, когда мы рассматриваем действие элементов д этой
подгруппы на векторы амплитуд атомных смещений.
Характер Xi'(fl) исходного представления, где преобразование д — по-
поворот, или отражение, или их суперпозиция, является суммой характеров
3-мерных векторных представлений в подпространствах векторов малых
смещений отдельных атомов, не перемещающихся при преобразовании д.
В трехмерном векторном V (псевдовекторном PV) представлениях ма-
матрица поворота Rv(9) = Rpv{9) = R(9) на угол в вокруг оси z и матрицы
отражения Яу(<т), Rpv(<?) относительно плоскости ху имеют вид
/cos^ -sine О
Я@)= I sine cos» О
V 0 0 1
1 0 0\ /-1 0 0
Rv(a)=lo 1 0 , RPV(a)=[ 0-1 0
V0 0 -1/ \ 0 0 1

258 Глава 11. Применения теории групп в физике
Поскольку все повороты на данный угол вокруг любой оси принадлежат
одному классу сопряженных элементов, характер поворота на угол в
вокруг произвольной оси симметрии равен
где Nc — число атомов, не перемещающихся при повороте молекулы
на угол в вокруг оси симметрии (число атомов, лежащих на этой оси).
Характер отражения относительно произвольной плоскости равен
где Np — число атомов, не перемещающихся при отражении молекулы
относительно плоскости симметрии (число атомов, лежащих на этой
плоскости). Характер поворота вокруг произвольной оси, сопровождаю-
сопровождающийся отражением относительно перпендикулярной плоскости, зеркаль-
зеркального поворота равен
Xi(ae) = NsX(RvHR(e)), X(RvHR(e))=2cose-l,
где Ns — число атомов, лежащих на пересечении оси и плоскости
(Ns=0, 1).
Следует помнить, что для свободной молекулы из п атомов в трех-
трехмерном пространстве имеются степени свободы, соответствующие дви-
движению молекулы как целого: три степени свободы соответствуют транс-
трансляции, а три — повороту молекулы как целого*'. Им соответствуют
6 нормальных мод с нулевой частотой — нулевых мод. Удобно с самого
начала исключить эти степени свободы, оставив только колебательные.
Исходное Зп-мерное представление А(</) группы симметрии нашей си-
системы раскладывается в прямую сумму 6-мерного представления Do(g)
в подпространстве нулевых мод и (Зп —6)-мерного представления Dosc(g)
в подпространстве, ортогональном нулевым модам Di = D^®D0Sc. Чтобы
найти характер Xosc{g) представления в таком колебательном подпро-
подпространстве, нужно вычесть из характера х<(в) исходного представления
характер Хо(<?) 6-мерного представления, который определяется только
трансформационными свойствами нулевых мод (трансляций и вращений
молекулы как целого), но не их явным видом.
Трансляция задается трехмерным вектором, а вращение — трехмер-
трехмерным псевдовектором, причем и тот, и другой инвариантны относительно
перестановки Г номеров атомов. Значит, действие элемента RT группы
симметрии молекулы на нулевую моду совпадает с действием одного ли-
линейного преобразования R. Следовательно, характер Хо(я) равен сумме
характеров трехмерных векторного V и псевдовекторного PV предста-
представлений. Характер поворота на угол в вокруг произвольной оси равен
+x{Rpv((>)) =2(\+2cosO).
*' Для линейной молекулы — ротатора — имеется всею две вращательные степени
свободы, а значит 5 нулевых мод.

11.2. Расщепление уровней 259
Характер отражения относительно произвольной плоскости равен
Характер поворота вокруг произвольной оси, сопровождающийся отра-
отражением относительно перпендикулярной плоскости, равен
11.2. Расщепление уровней
В квантовой механике встречаются группы унитарных преобразова-
преобразований в линейном пространстве векторов-состояний. Рассмотрим гамиль-
гамильтониан вида
где Щ — основной гамильтониан, а V — возмущение. Пусть гамиль-
гамильтониан До обладает группой симметрии G, т. е. До коммутирует с ка-
каждым из операторов представления этой группы (см. главу 8). Тогда
в любом d-мерном собственном подпространстве Щ действует d-мерное
неприводимое представление группы G.
Рассмотрим какое-нибудь одно такое подпространство, причем пусть
d>\. Тогда мы говорим, что соответствующее собственное значение Е
оператора Но rf-кратно вырождено вследствие симметрии системы. Если
симметрия V ниже, чем симметрия основного гамильтониана До, то
возмущение частично снимает вырождение. Действительно, в этом слу-
случае группа симметрии F полного гамильтониана Д является подгруппой
группы G. В результате некоторые неприводимые представления груп-
группы G становятся приводимыми представлениями подгруппы F, что
приводит к расщеплению соответствующих вырожденных уровней Е
на подуровни Ej. Каждый из Ej является собственным значением опе-
оператора Д в собственном подпространстве, в котором действует неприво-
неприводимое представление группы F.
Пример: Пусть ||V||—»0, тогда мы можем учесть V по теории возму-
возмущений. Для этого в начале найдем собственные функции оператора До,
принадлежащие «(-мерному собственному подпространству, и выберем
в этом подпространстве некоторый базис {i>n}'-
Нофп=Егрп, n=l,2,...,d. A1.6)
Из функций ipn всегда можно построить такие линейные комбинации,
чтобы

260 Глава 11. Применения теории групп в физике
Значения AEj определяются из секулярного уравнения
\Vmn-AE6mn\=Q,
где Vmn = (ipm,Vipn) — матричные элементы оператора возмущения в ба-
базисе {фп}. Подставляя Ф;- в уравнение Шрёдингера, получаем собствен-
собственные значения оператора Н с точностью до линейных по ||F|| членов
включительно:
(H0 + V)Vj = (E + AEj)Vj. A1.7)
Поправки к энергии AEj являются собственными значениями матри-
матрицы Vmn. Заметим, что собственные функции оператора Н при ||К||—»0
стремятся к Ф^-.
Частичное вырождение тем не менее может остаться. Поскольку
оператор V коммутирует с операторами группы симметрии F полного
гамильтониана, то в подпространстве функций ф$, j = \,2,...,d матри-
матрица Vmn коммутирует с операторами исходного d-мерного представления
группы симметрии F. Формально задача становится эквивалентной зада-
задаче о линейных колебаниях молекулы с d степенями свободы, рассмотрен-
рассмотренной в предыдущей главе. Поэтому кратности вырождения получившихся
подуровней Ej можно найти как размерности неприводимых предста-
представлений в разложении исходного представления группы F. Известным
примером в квантовой механике является вырождение уровней атома
в электрическом поле по знаку проекции М углового момента J.
11.3. Правила отбора
В квантовой механике часто требуется найти матричный элемент
оператора Ofj = (f\O\i). Многие матричные элементы вычислять не на-
надо, потому что они обращаются в нуль благодаря симметрии системы.
Правила, по которым можно заранее определить, какие из матричных
элементов обращаются в нуль, называются правилами отбора. В кван-
квантовой механике квадрат матричного элемента оператора V A1.7) про-
пропорционален вероятности перехода. Если Vji = 0, говорят, что переход
из состояния |«) в состояние |/) запрещен.
Пусть в гильбертовом пространстве С состояний квантовой систе-
системы действует представление группы G: элементу g?G соответствует
унитарное преобразование U(g). Говорят, что набор операторов {О,},
действующих в С, преобразуется по представлению Ф группы G, если
^ = и{д)др-\д) = <М<?N*. A1.8)
Такие операторы называются тензорными по отношению к группе G.
Пусть U(R) — унитарный оператор в гильбертовом пространстве,
отвечающий оператору поворота R трехмерного пространства (г' = Rr

11.3. Правила отбора 261
или r'a = Raprp). По определению, преобразованные волновые функции
есть
$(r') = U(RI>(r') = 4>(r) = t(R~'r'). A1.9)
Опуская штрихи, запишем эти равенства в виде
l ' . A1.10)
Для любых состояний ф и /, которые получены из ф и / под действием
оператора U(R), имеем
, A1.11)
= jdrf(r)(Rr)^(r).
Здесь мы использовали замену переменных R~lr —> г и инвариантность
меры интегрирования при поворотах. Таким образом, мы доказали, что
трансформационные свойства операторов г„ совпадают с трансформаци-
трансформационными свойствами соответствующего матричного элемента
(f\ro№ = Ra0(f\r0m. A1.12)
Для других операторов это свойство доказывается аналогично.
Пример: Пусть G = SOC) — группа вращений трехмерного про-
пространства. Неприводимые представления этой группы имеют размерность
21+1 A=0,1,2,...), где I в физической литературе называется орбиталь-
орбитальным моментом. Тогда:
(а) лапласиан Д инвариантен относительно вращений, т. е. преобразу-
преобразуется по тождественному представлению 0=0);
(б) тройка операторов г„ (а =1,2,3) — компонент радиус-вектора г —
преобразуется по неприводимому представлению с орбитальным
моментом 1=1;
(в) тройка операторов — проекций углового момента 1„ = —i[r x V]n —
также преобразуется по представлению с Z= 1;
(г) пятерка операторов — компонент тензора квадрупольного момента
Яа0 = гагр — j^a/J7 преобразуется по неприводимому представле-
представлению с 1 = 2.
Рассмотрим теперь два набора волновых функций: {ipn} и {фп},
преобразующихся по неприводимым представлениям V и W группы <?:
Шптфт, A1.13)
и набор операторов {Oj}, преобразующихся по неприводимому пред-
представлению A1.8). Тогда справедливо следующее утверждение: для того,
чтобы матричный элемент Мпт = {фп\О}\фт) был отличен от нуля, не-
необходимо, чтобы в разложении прямого произведения представлений

262 Глава 11. Применения теории групп в физике
V* <8> Ф ® W в прямую сумму неприводимых хотя бы один раз встре-
встретилось тождественное представление. Для доказательства рассмотрим
тождество
ML = (i>n\U~](g)U(gNjU-l(g)U(g)\<t>m) =
при выводе которого мы использовали унитарность оператора U(g).
Учитывая трансформационные свойства ф„, фт A1.13) и О, A1.8),
получаем
,' 0 114)
Это равенство справедливо для произвольного элемента д из группы G,
а матричный элемент Mlm в этом равенстве никак от д не зависит. Ма-
Матрицы Т^п, mm,(g) образуют представление группы G, являющееся прямым
произведением неприводимых представлений V*, Ф и W. Разложим это
представление в прямую сумму неприводимых
и просуммируем обе части равенства A1.14) по элементам д груп-
группы G. При этом сумма матриц Dx(g), соответствующих неприводимому
представлению, отличному от тождественного, дает нуль. Это является
следствием соотношения ортогональности неприводимых представлений
(9.2). Отсюда следует, что матричный элемент Mlm может быть отличен
от нуля, только если в разложении прямого произведения представлений
Т = У* ® Ф ®W в прямую сумму неприводимых присутствует тождествен-
тождественное представление.
Согласно результату задачи 327, правило^отбора можно переформу-
переформулировать так: чтобы матричный элемент {фп\О]\фт) был отличен от нуля,
необходимо (но недостаточно!), чтобы в разложении прямого произве-
произведения представлений <&®W на неприводимые хотя бы один раз встре-
встретилось V. Заметим, что доказанное утверждение есть следствие только
трансформационных свойств волновых функций и операторов, а также
инвариантности меры.
Если оператор О преобразуется по приводимому представлению,
то следует разбить его на неприводимые составляющие и установить
переходы, разрешенные для каждой неприводимой компоненты отдельно.
Многочисленные примеры использования теории групп в разно-
разнообразных физических задачах можно найти в книгах [ПТ67, МУ72, ЛЛ74,
РФ70].

11.4. Примеры
263
11.4. Примеры
344. Найти кратности вырождения собственных мод малых колебаний
«молекулы», состоящей из трех одинаковых «атомов», которые могут
двигаться только вдоль окружности (рис. 11.1). Гамильтониан системы
имеет вид
где Xj — отклонение j-го атома от положения равновесия, pj — сопряжен-
сопряженный импульс.
Решение. Группа симметрии системы со-
совпадает с группой ?>з = 5з симметрии рав-
постороннего треугольника. Она разбивает-
разбивается на три класса сопряженных элементов:
е — единичный элемент, сгг — цикличес-
циклические перестановки всех трех атомов (содержит
2 элемента), <г$ ~ перестановки пары атомов
(содержит 3 элемента). Имеется 3 неэквива-
неэквивалентных неприводимых представления этой
группы, и соответствующая таблица харак-
характеров приведена в решении задачи 291. По-
Поскольку в данном случае движение каждого
атома одномерно, то исходное представление
группы Яз действует в трехмерном простран-
стве векторов-амплитуд. Чтобы найти вырождение по частотам, разложим
исходное представление на неприводимые. Для этого найдем характер
этого представления. Он равен числу векторов-амплитуд атомов, не под-
подвергающихся изменению при действии данного элемента группы:
Рис. 11.1. Массы на кольце,
моделирующие «молекулу»
с пяупмыюй симметрией
Разложим характер в сумму неприводимых характеров
^ле Xi(g) — характер элемента g в 1-м неприводимом представлении,
а С| — кратность вхождения представления в разложение. Воспользо-
Воспользовавшись ортогональностью характеров, найдем коэффициенты q: C| = 1,
ci =0, С3 = 1. Таким образом, исходное представление разлагается на одно
единичное и одно двумерное неприводимые представления. Это означает,
что система имеет две собственные частоты, одна из которых двукрат-
двукратно вырождена. Найдем эти частоты. Собственным для тождественного
представления является вектор-амплитуда, не меняющаяся при любых

264 Глава 11. Применения теории групп в физике
групповых преобразованиях, т.е. перестановках атомов. Это, очевидно,
Из уравнений движения
-~<Л,=-2
-~ш2Ь2 = Ъ1~2Ъ2 + Ъ3, A1.16)
1b bb2b
находим, что собственная частота моды 6' равна нулю (однородная
трансляция вдоль окружности не требует сжатия пружин). Ортогональ-
Ортогональное дополнение к Ь* образует двумерное собственное подпространство.
Выберем в нем какой-нибудь вектор, например &* = @,1, —1), и под-
подставим в A1.16). В результате получим выражение для второй частоты:
;= V т-
Правильность нахождения частоты симметричного колебания легко
проверить, заметив, что при таком движении неподвижными остают-
остаются атом и середина противоположной «пружины», поэтому жесткость
«пружины», действующей на массу т, составляет 3fc. >
345. То же для системы из четырех одинаковых атомов, расположен-
расположенных в равновесии в вершинах квадрата. Гамильтониан получается из A1Л 5)
заменой верхнего предела суммирования по j на 4 и периодического граничного
условия на х* — хо-
Решение. Группа симметрии системы совпадает с группой Z>4 симме-
симметрии квадрата. Последняя состоит из 8 элементов и содержит 5 классов
сопряженных элементов: е — единичный элемент, а2 — поворот во-
вокруг центра на 180°, <Тз — отражения относительно двух диагоналей,
04 — отражения относительно двух прямых, проходящих через середи-
середины противоположных сторон квадрата, ff$ — повороты вокруг центра
на 90° и 270°. Размерности неприводимых представлений можно най-
найти из условия (9.5). Только одна сумма пяти квадратов дает число 8,
именно 12+12+12-Н2 + 22 = 8. Так что имеется 4 одномерных предста-
представления Е, А2,А),А4 и одно двумерное представление В. Соответствующая
таблица характеров имеет вид
E
A2
Ai
A4
В
e
1
1
1
1
2
1
1
1
1
~2
<r3
1
-1
1
-1
0
<T4
1
-1
_ 1
1
0
<r5
1
1
-1
— 1
0

11.4. Примеры 265
Характер четырехмерного исходного представления Т(д) в пространстве
векторов-амплитуд:
Х(е) = 4, xfo)=0, x(^) = 2, хЫ = 0, x(<rS)=O.
Воспользуемся ортогональностью характеров неприводимых представле-
представлений и с помощью усреднения по группе найдем коэффициенты разло-
разложения исходного представления по неприводимым:
Это означает, что имеется две невырожденные и одна двукратно выро-
вырожденная частоты колебаний. Частота, соответствующая тождественному
представлению, как и в предыдущей задаче, равна нулю: Ь1 = A,1,1,1),
ш' = 0. Для определения нормальных мод, преобразующихся по предста-
представлениям Аъ,В, воспользуемся тем, что оператор
р« = Щ ? x{R%)T(9) = (х(тг(9)Пд))
ff€G
является с точностью до численного множителя проектором на инва-
инвариантное подпространство, соответствующее неприводимым представле-
представлениям R = E,A} или В, если последнее встречается в разложении Т(д)
по неприводимым ровно один раз. Усреднение проводится здесь по всем
элементам группы, а х'ЛЧ</) обозначает характер представления R(g)*K
В нашем случае неприводимые представления А} и В встречаются
ровно по одному разу. Проще всего построить проектор на подпростран-
подпространство, преобразующееся по представлению В. Для этого, как это видно
из таблицы неприводимых характеров, нужно знать явный вид матриц
исходного представления Т только для двух элементов е и G2'.
(I 0 0 0
0100
0 0 10
0 0 0 1
Действуя последовательно оператором Рв на базисные векторы исходного
представления (достаточно первых двух), получаем, что подпространство,
преобразующееся по представлению В, является двумерным простран-
пространством с базисом:
6 = 0,0,-1,0), Ь' = @, 1,0,-1).
ф> Если одно неприводимое представление встречается более одного раза, то Pr проек-
проектирует в прямую сумму подпространств, в которых действуют представления Rig).

266
Глава 11. Применения теории групп в физике
Подставляя Ь или У в уравнения движения
т 1
- ~w26, = -2Ь
т 2
ТП
О»-17)
собственной частоты двукратно вы-
выполучаем выражение а»2 = у m Д
рожденного колебания системы.
Вектор 6", преобразующийся по представлению А$, однозначно
определяется условием ортогональности к векторам 5*, Ь, V:
Частота, соответствующая этой моде, вычисляется аналогично о»2 и равна
346. Найти кратности вырождения нормальных колебаний молекулы
воды НгО, которую можно схематически представить себе в виде равнобе-
равнобедренного треугольника (рис. 11.2).
Решение. В случае молекулы НгО группа
симметрии Civ состоит из четырех элементов:
единичного е, поворота г на 180" вокруг оси I,
отражения ?| относительно плоскости молеку-
молекулы и отражения & относительно плоскости,
перпендикулярной плоскости молекулы и про-
проходящей через ось I (см. рис. 11.2). Группа,
очевидно, абелева, и каждый элемент образует Р*е>11.2. Молекула Н2О
класс сам по себе. Следовательно, имеются 4 одномерных неприводимых
представления с таблицей характеров:
Хк
Хл
Хв
Хс
е
1
1
1
1
г
1
1
-1
1
1
1
-I
1
1
i
6
1
1
-1
i
Буква Е здесь и ниже обозначает тождественное представление. Из од-
одномерности неприводимых представлений следует, что все частоты ко-
колебаний невырожденные. Исходное представление Ф{ в пространстве
размерности Зп = 9 имеет следующие значения характера:

11.4. Примеры
267
Вычитая из них значения характера
представления в подпространстве ну-
нулевых мод (поступательное движение
и вращение молекулы как целого), для
характера представления Ф в колебатель-
колебательном подпространстве с размерностью
Ъп — 6 = 3 получим:
Используя ортогональность харак-
характеров неприводимых представлений, на-
ходим разложение Ф в прямую сумму ^^ Норные колебания
Ф = 2ВФВ. Все три частоты в этом слу-
случае невырожденные. Равенство единице
характера элемента ?i в представлениях Е и В означает, что во всех
трех нормальных модах атомы колеблются в плоскости треугольника
(рис. 11.3). >
347. Определить кратности вырождения нормальных колебаний ли-
линейной молекулы углекислого газа СОг (рис. 11.4).
Решение. Линейная молекула СОз имеет две вра-
вращательные степени свободы, поэтому число колеба-
колебательных степеней свободы равно Зп-5 = 4. Груп-
Группа симметрии I),»,, является прямым произведением
О
О
Рис. 11.4. Линейная
молекула СОг
группы инверсии и группы С,»,,, которая со-
содержит непрерывную группу вращений вокруг оси молекулы и отражения
в плоскостях, проходящих через ось молекулы. Это приводит к двукрат-
двукратному вырождению частоты колебаний, нарушающих прямолинейность
молекулы: колебания в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, про-
проходящих через ось молекулы, одинаковы. Что касается движений вдоль
оси, то в этом трехмерном подпространстве действует представление Ф
фактор-группы |^=С,- группы симметрии, состоящей из двух элемен-
элементов: единичного и инверсии i относительно положения атома углерода.
Из таблицы характеров этой группы
Хе
Хе»
1 -1
следует разложение нашего исходного представления отклонений атомов
от равновесия вдоль оси молекулы, характер которого равен х(е) = 3,

268 Глава 11. Применения теории групп в физике
= -l*\ на неприводимые
соответствующее симметричному (Е) и антисимметричному (Е*) нор-
нормальным колебаниям и сдвигу молекулы как целого (Е*). >
348. Определить кратности вырождения нормальных колебаний мо-
молекулы аммиака NH3, представляющей собой пирамиду с равносторонним
треугольником в основании, в вершинах которого находятся атомы водорода.
Решение. Группа симметрии Сз„ молекулы состоит из 6 элемен-
элементов, распадающихся на три класса: единичный е; 2 поворота г на 120сггс
и 240° вокруг вертикальной оси, проходящей через атом N; 3 отражения а
относительно плоскостей, перпендикулярных основанию и проходящих
через атом N и один из атомов Н. Таблица характеров этой группы при-
приведена в решении задачи 291. Исходное представление Ф, в пространстве
размерности 4п = 12 имеет следующий характер:
Х.-(е)=12, Xi(r) = l + 2cosy=0, х(<т) = 2.
Вычитая из них характеры представления в подпространстве нулевых
мод, для характеров представления Ф в колебательном подпространстве
размерности 4п - 6 = 6 получим:
Х(е)= 12-6 = 6, х(г) = 0, х(<т) = 2.
Разлагая на неприводимые представления, получаем (в обозначениях
задачи 291)
Ф = 2Г(|H2ТC).
Таким образом, имеется две невырожденные и две двукратно вырожден-
вырожденные частоты колебаний. >
349. Атом с полным моментом J = 1 помещен в вершину тетраэдра
с основанием в виде равностороннего треугольника, образованного атомами
другого сорта (см. рис. 11.5). Учитывая влияние этих атомов, найти
кратности вырождений и разбиение по подуровням состояний с разными
проекциями момента на ось симметрии (высота h).
Решение. Группа симметрии F системы состоит из единицы, двух
поворотов на углы -f и Т в°кРУг высоты h тетраэдра (один класс г, г2)
и трех отражений относительно плоскостей, проходящих через эту высоту
и одну из вершин треугольника основания (класс <7, от, от2). Эта группа
изоморфна группе 5з перестановок трех элементов, ее таблица характеров
вычислена в решении задачи 291. Основной гамильтониан инвариантен
*' Инверсию всегда можно представить виде поворота вокруг оси на 180° и отражения
в плоскости, перпендикулярной этой оси. В нашем случае х(') = ~'- а не ~3, поскольку
рассматривается одномерное движение.

11.4. Примеры 269
Рнс. 11.5. Атом в поле, создаваемом тремя
атомами другого сорта, расположенными
в вершинах правильного треугольника
относительно полной группы вращений 0C), исходное состояние имело
степень вырождения 2J+1 = 3. В нем действовало трехмерное пред-
представление группы ОC). Группа F является подгруппой ОC). Характер
исходного представления можно найти, пользуясь трансформационными
свойствами функций Yj^mF,ip), где в и <р — углы в сферической системе
координат с осью h вдоль высоты тетраэдра:
U(a)YJjnt(O,ip)=Yjtn(e,-<p) = Yj-m($,<p).
Откуда для J = 1
0 0 1 \
0 1 0 =1. A1.19)
1 0 0/
Используя ортогональность характеров неприводимых представлений,
получаем
?> = Т(|)®ТC), A1.20)
где I1'1' — тривиальное, а Г<3* — двумерное неприводимое представление
группы 5з. Таким образом, исходный трехкратно вырожденный уровень
расщепится на два подуровня, один из которых невырожденный, а дру-
другой — двукратно вырожденный. Волновая функция, преобразующаяся
по тождественному представлению, инвариантна относительно поворо-
поворотов. Отсюда следует, что ей соответствует проекция момента на ось
симметрии, равная нулю (нет ^-зависимости):
Волновые функции двукратно вырожденного подуровня ортогональны
к подуровню A1.21), поэтому они являются линейными комбинациями
состояний с проекциями моментов ±1 на ось симметрии. >
350. Атом с полным угловым моментом J = 2 находится в центре
равностороннего треугольника, образованного одинаковыми атомами дру-
другого сорта. Рассматривая их влияние как возмущение, найти, на сколько
подуровней и какой кратности расщепится исходный пятикратно вырож-
вырожденный уровень.

270
Глава 11. Применения теории групп в физике
Решение. По сравнению с предыдущей задачей появляется дополни-
дополнительная образующая группы симметрии F — отражение а относительно
плоскости треугольника, а2 = е. Этот элемент группы образует класс сам
по себе, так как коммутирует с каждым элементом группы. Количество
элементов группы F удваивается (\F\ = 12), так как для любого элемен-
элемента группы существует парный, умноженный на а. Отсюда следует, что
наряду с классами сопряженных элементов г и <т появляются классы
г' и а1 — результат умножения на а. Так как а коммутирует со всеми
элементами F, то в любом представлении Т(а) = ±J, где I — единичная
матрица. Количество неприводимых представлений также удваивается
по сравнению с предыдущей задачей. Рассматривая таблицу характеров
как матрицу, мы получим таблицу характеров как тензорное произведение
матрицы
0-0
и матрицы характеров группы Dy.
Хе
Ха
Хв
Хв'
Ха'
ХВ'
XD
е
1
1
2
1
1
2
5
г
1
1
-1
1
1
-1
-1
а
1
-1
0
1
-1
0
1
а г
1
1
2 -
-1 -
-1 -
-2
1
' &
1
-1
0
-1
1
0
1
Внизу таблицы выписаны характеры исходного представления D, кото-
которые можно получить, если в качестве базиса в 5-мерном пространстве
состояний с полным моментом J = 2 выбрать, например, Yjm, с про-
проекцией момента на ось симметрии третьего порядка тп = -2,-1,0,1,2,
и воспользоваться трансформационными свойствами A1.18), а также
U(o)YJm($,V) = U(a)YJ
U(r') = U(ff)U(r),
ff') = U(cf)U(a).
A1.22)
Заметим, что относительно преобразований группы вращений состо-
состояние с моментом 2 преобразуется как следующие функции единичного
вектора n = (nx,ny,nz):
n+nz,
2 1
nz--,
nl,
A1.23)
где п± =nx±iny.
Соотношение (9.3) ортогональности характеров неприводимых пред-
представлений дает разложение
D = E®B®B'. A1.24)

11.4. Примеры 271
Таким образом, исходный уровень расщепился на три подуровня: один
невырожден, а два — двукратно вырождены. >
351. Найти правила отбора по четности операторов электрического d
и магнитного т дипольных моментов.
Решение. Группа инверсии G = {e,P}, P2 = e имеет только одно-
одномерные неприводимые представления, поэтому функции состояний (/|
и |г) могут быть либо четными, либо нечетными, т. е. преобразуются
по одномерным представлениям А(-Р), 2?/(Р) = ±1. Так как электри-
электрический дипольный момент меняет знак при инверсии, а магнитный
не меняет, то Da — -\, Dm = \. Прямое произведение представлений
содержит тривиальное представление ?>/®2?о®А= 1, если 2?/Д = -1
для d или DfDi = 1 для т. Матричный элемент rf/j ("»/,•) может быть
отличен от нуля, а переходы разрешены, если состояния (/| и \i) имеют
противоположную (одинаковую) четность. >
352. Найти правила отбора оператора электрического дипольного
момента d = er:
(а) по полному орбитальному моменту L.
(б) по проекции орбитального момента М.
Решение, (а) Оператор электрического дипольного момента пред-
представляет собой вектор, поэтому преобразуется по трехмерному неприво-
неприводимому представлению Dj группы SO(b), с J=l. Обозначим через L
момент начального состояния, а через L' — момент конечного, тогда при
L ^ 1 разложение
D = D*L, ® D i ® DL = D'u B>t-1 © DL ® DL+,)
содержит тривиальное представление только при
L' = L,L±\; L^l.
Если же L = Q, то?)| (g>D0 = D\, поэтому D = D'L,®D\ содержит тривиаль-
тривиальное представление только при L' = 1. Поэтому матричный элемент между
двумя S-состояниями обращается в нуль. Заметим, что в атоме водоро-
водорода, содержащем один электрон, переход в состояние с L' = L запрещен
по четности.
Решение, (б) Вращения вокруг направления оси квантования z обра-
образуют абелеву группу SOB), все неприводимые представления которой
одномерны: Dm =exp(iMip). Поэтому произведение D = D*u, ®Dm®Dm
содержит тривиальное, если М' = М + т. Матричный элемент проек-
проекции дипольного момента на ось квантования dz отличен от нуля, если
М' = М, а для М' = М±\ отличны от нуля матричные элементы опе-
операторов d± = dxi:idy, которые преобразуются по представлениям D±\
соответственно. >

272 Глава 11. Применения теории групп в физике
11.5. Задачи
353. Показать, что матричные элементы скалярного оператора между
состояниями, преобразующимися по различным неприводимым предста-
представлениям, обращаются в нуль.
354. Доказать, что в разложении прямого произведения двух раз-
разных неприводимых представлений на неприводимые нет тривиального
представления.
355. Найти правила отбора для векторного оператора при наличии
симметрии ?>з-
11.6. Ответы
353. Указание: Использовать соотношения ортогональности характеров.
355. Запрещены переходы между состояниями, преобразующимися по
разным одномерным представлениям.

Сводка формул
по специальным функциям
П.1. Г-функция Эйлера
Г(х) = /
(П.2)
П.2. Гипергеометрические функции
П.2.1. Гипергеометрическяя функция Iaycca г-Fi
Дифференциальное уравнение для 2F\(a,b;c;x):
х(\ -х)у"+ [с-(а+Ь+ 1)х] у'-аЪу = 0. (П.4)
Разложение в степенной ряд возле я = 0:
„, t . , аЪ х а(а+1NF+1) х2 _ ^
2Fl{a,b;c;x)=U--+ J+\} >- + .... (П.5)
Преобразование Эйлера:
2Fl(a,b;c;x) = (\-xyb2Ft Гс-о,6;с;^уУ (П.6)
Интегральное представление:
О
П.2.2. Вырожденная гипергеометрическая функция tF,
Дифференциальное уравнение для \F](a;c;x):
ху" + (с-х)у'-а у = 0. (П.8)

274 Сводка формул по специальным функциям
Разложение в степенной ряд возле х = 0:
( Л ах
ь—оо \ ' ' ' b) с 1!
Второе решение:
Преобразование Куммера:
]F](a;c;x) = eIiFi(c-a;t
Интегральное представление:
i
0
ReOReo >0.
о(о+1) х2
1 ф+1) 2! ' ¦¦"
с;х).
%-х).
(П.9)
(П. 10)
(П.11)
(П.12)
Асимптотическое поведение:
]Fl(a-,c,x)~Yj2-exxa-c, *-»+oo,
П.З. Цилиндрические функции
П.3.1. Функции Бесселя Jv и Неймана Yv
Дифференциальное уравнение для Л(х):
Разложение в степенной ряд возле х = 0:
"»\-i-^, n!r(n + J/+i) •
n=0 v '
Выражение через гипергеометрическую функцию:
Рекуррентное соотношение:
—Л(ж) = Jv.-,(x) + Jv и(ж)
X

П.З. Цилиндрические функции 275
Формулы дифференцирования:
d
2—Jv(x) = Jv-^x)-Jv^{x),
™ (П.18)
?(«**/,(«)) =±*±'ЛТ|(«)-
Интефальные представления:
ж/2
)V m
/ <tte"'(l-«2)"~l/2. (П.20)
J
В первом интефальном представлении интефирование идет по контуру,
начинающемуся и заканчивающемуся в — оо, обходящему точку г = 0
в положительном направлении (рис. П.1). В интефальном представле-
представлении Шлефли (П.19) при целом v остается только первое слагаемое.
В интефале Пуассона (П.20) Rei/> - \.
Рис. П.1. Контур интегрирования, обходя-
обходящий разрез <?(-оо,0] в положительном на-
направлении
Второе решение:
.... 1
Асимптотическое поведение:
Jv(x)~\l—cos I x—-——I, ж—*+оо.
V TtX \ 2. 4 J
(П.22)

276 Сводка формул по специальным функциям
Случай полуцелого индекса:
J (х) <Я~
V жх
П.3.2. Функции Бесселя
sin ж,
целого
порядка
>=\
Jn
I — cosx.
(П
.23)
J-n(x) = (-\)nJn(x). (П.24)
Производящая функция:
ехр(| (*-;)) =E*V,(x). (П.25)
Соотношения ортогональности:
i
dxxJk('ynx)Jk(ymx)=— I— J ,
о
I dxxJk(Xnx)Jk(Xmx) =— ( I - -^- J Jfc(Am),
П.3.3. Модифицированная функция Бесселя Iv
и функция Макдональда Kv
(П.26)
= 0.
Дифференциальное уравнение для Iv(x), Kv(x):
х2у" + ху'-(х2 + и2)у = О. (П.27)
Разложение в степенной ряд возле а; = 0:
Выражение через обычные функции Бесселя:
Iv(x) = e-ivjl2Jv{ix)- (П.29)
Выражение для Ки через 1„, 1-„:
4М^М. (п.зо)
2smiru

П.4. Ортогональные полиномы
Интегральные представления:
i
с»
К„(х)= fdte~xctlichvt, Rea:>0, (
-v-^dx, Rep>0, Re9>0.
v'2 7
о
Асимптотическое поведение:
(*) Wye*, Kv(x)aJ^e-, *-»+oo. (П.32)
П.4. Ортогональные полиномы
П.4.1. Полиномы Лежандра Pi
m
и присоединенные функции Лежандра Р,1
Дифференциальное уравнение для Щх):
(I -х2)у"-2ху +1A+ \)у = 0.
Дифференциальное уравнение для Pf(x):
Формулы Родрига:
»-nw 2<I!da^ ''
Первые 3 полинома:
Зх2-
Ф
2

278 Сводка формул по специальным функциям
Соотношение ортогональности:
i
пХМГ\ 1Х/Л11 \Х) -— ~} Г~ 0Ц1. II1.JOI
-I
Рекуррентное соотношение:
a;BJ + l)P|(a;) = (I+l)P|+i(x) + JP|-|(i). (П.39)
Формулы дифференцирования:
B1+ l)P,(x) = ?
dx dx (П40)
1Р() P() Р()
1Р,(х) = х—Pi(x)—
Производящие функции:
'S,0 , -1<*<1. (П.41)
1=0
Интегральные представления:
Р,(х) = -L
Y
P((cos0) = - /
В формуле (П.42) интефирование идет по замкнутому контуру вокруг
точки t=OB положительном направлении.
Асимптотическое поведение:
in[(f+l^+*], 2|sin0|»l. (П.44)
Сферические гармоники Yt
Дифференциальные уравнения для yjm:
d
АпУ|г„ = -1A + Wm, «T"

П.4. Ортогональные полиномы 279
где Дд — угловая часть трехмерного оператора Лапласа в сферических
координатах.
Соотношение ортогональности:
j smed0d4>Yim(e,<p)YVm!(O,4>) = %«,»¦»•¦ (П.47)
Соотношение полноты:
]?]?у,т(п)Г4(п') = «(п-п'). (п,48)
1=0 т--\
П.4.2. Полиномы Эрмнтж Н„
Дифференциальное уравнение для Н„(х):
y"-2xy' + 2ny=Q. (П.49)
Формула Родрига:
Нп(х) = {-1)ве*1-?;е-*1. (П.50)
Первые 3 полинома:
Н0(х)=\, Ht(x) = 2x, Н2(х) = 4х2-2. (П.51)
Соотношение ортогональности:
j dxe-xlHm(x)Hn(x) = Л2пп\6та. (П.52)
—00
Соотношение полноты:
v n=0
Рекуррентное соотношение:
Я»+1(г)-2хЯв(а:) + 2пЯп_|(а;) = 0. (П.54)
Формула дифференцирования:
Н()
Производящая функция:
ехрBа!2-г) = 1,^Я»(а:)- (П-56)

280 Сводка формул по специальным функциям
Интегральные представления:
Нп(х) = ~^- Jdzzne-licos (ixz - ™
(П-57)
2" f i
= -= Цх + И)пе-' dt.
v т J
П.4.3. Полиномы Лагерра L"n
Дифференциальное уравнение для Vn(x):
(П.58)
Формула Родрига:*'
^^ib'-**™- (П59)
Первые 3 полинома:
LS(x)=l, L\{x) = v+\-x,
<п-60)
Соотношение ортогональности:
о
Соотношение полноты:
(ххУ^-М'1 У2 n'?(a)L"(? = «(* - «')• (П.62)
v ^-J Г(п + 1/+1)
Рекуррентное соотношение:
l(x)=0. (П.63)
Формулы дифференцирования:
x±-L'n(x) - ^(^-(n + i/JLS.K*), (П.64)
ах
±К{х) = -i?\(x).
'' В книге [ЛЛ74] обобшенные полиномы Лагерра определены иначе.

П.4. Ортогональные полиномы 281
Производящая функция:
I(^)X)^^(*). (П.65)
п=0
Интефальное представление:
Здесь интефирование идет по замкнутому контуру вокруг точки t —
в положительном направлении.

Литература
Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функ-
функциям. М.: Наука, 1979.
Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
М.: Наука, 1984.
Арнольд В. И. Математические методы классической механи-
механики. М.: Наука, 1989.
Арнольд В. И. Лекции об уравнениях с частными производны-
производными. М.: Фазис, 1997.
Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные
функции. М.: Наука, 1984.
Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат,
1970.
Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяния, реак-
реакции, распады в нерелятивистской квантовой механике. М.:
Наука, 1971.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функ-
функции. Т. I: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра.
СМБ. М.: Наука, 1973.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.
Т. II: Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра.
Ортогональные многочлены. СМБ. М.: Наука, 1974.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.
Т. III: Эллиптические и автоморфные функции. Функции
Ламе и Матье. СМБ. М.: Наука, 1967.
Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1978.
Бицадзе А. В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям
математической физики. М.: Наука, 1977.
Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Задачи по математической
физике. М.: Изд-во Московского университета, 1998.

Литература
283
[БМ74] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические ме-
методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
[БСТ87] Будак Б. Л/., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач
по математической физике. М.: Наука, 1987.
[ВдВ38] Ван-дер-Варден Б. Л. Метод теории групп в квантовой меха-
механике. Харьков: Изд-во ХГУ, 1938.
[Виг61] Вигнер Е. Теория групп. М.: ИЛ, 1961.
[Вла88] Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: На-
Наука, 1988.
[Год71] Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1971.
[ГР71) Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. М.: Наука, 1971.
[ДБ61] Де Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ,
1961.
[ДНФ79] Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А. Т. Современная
геометрия. М.: Наука, 1979.
[ЗМНП80) Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П.
Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.
J3P66] Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и вы-
высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука,
1966.
[КА84] Канторович Л. В., Актов Г. П. Функциональный анализ. М.:
Мир, 1984.
[Камбб] Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям
в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966.
[Кам76] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. М.: Наука, 1976.
[Кир78] Кириллов А. А. Элементы теории представлений. М.: Наука,
1978.
[К.Ф72] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций
и функционального анализа. М.: Наука, 1972.
[КГС62] Кошляков Н.С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные диф-
дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физ-
матгиз, 1962.
[Копбб] Копсон Э. Асимптотические ратложения. М.: Мир, 1966.

284
Литература
(Koc77j Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
[Коу72] Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.:
Мир, 1972.
[КГ5!| Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.:
Гостехиздат, 1951.
[Кур64] Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир,
1964.
[ЛШ87] Лаврентьев М.А., Шабат Б. В, Методы теории функций ком-
комплексного переменного. М.: Наука, 1987.
[ЛЛ74] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М.: Наука,
1974.
[ЛЛ881 Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.
[ЛСУ55] Лебедев Н. Н., Скальская И. П., Уфтнд Я. С. Сборник задач
по математической физике. М.: ГИТТЛ, 1955.
[Люб58) Любарский Г. Я. Теория групп и ее применение к физике. М.:
ГИФМЛ, 1958.
[Люб86] Любарский Г. Я. Теория групп и физика. М.: Наука, 1986.
(Мар77) Марченко В. А. Операторы Штурма—Л иувилля и их приложе-
приложения. Киев: Наукова Думка, 1977.
[Мес79] Мессии А. Квантовая механика. М.: Наука, 1979.
[Мих68| Михлин С. Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968.
[МФ58] Морс Ф. А/., Фешбах Г, Методы теоретической физики, т. I.
ИЛ, М., 1958.
[МФ60] Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. П.
М.: ИЛ, 1960.
[МусбЗ] Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.
М.: Наука, 1963.
[МУ72) МэтьюзДж., Уокер Д. Математические методы в физике. М.:
Атомиздат, 1972.
[Най76| Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.
[Нью89| Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. Мир, М., 1989
(перевод: Newell А. С. Solitons in Mathematics and physics. SIAM,
1985).
[Олв90] Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука,
1990.

Литература 285
Петрашень М. И., Трифонов Е.А. Применения теории групп
в квантовой механике. М.: Наука, 1967.
Петровский И. Г. Лекции об уравнениях в частных производ-
производных. М.: Наука, 1961.
Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений.
М.: Наука, 1965.
Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы
и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.
Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы
и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.
Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы
и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986.
Рихтмайер Р. Принципы современной математической физи-
физики. T.I. M.: Мир, 1982.
Рихтмайер Р. Принципы современной математической физи-
физики. Т. 2. М.: Мир, 1984.
Румер Ю. Б., Фет А. И. Теория унитарной симметрии. М.:
Наука, 1970.
Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по тео-
теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1976.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. 1. М.: Наука,
1974.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. 2. М.: Наука,
1974.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. Ч. 1. М.: Наука,
1974.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. 4.2. М.: Наука,
1981.
Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики.
М.: Наука, 1976.
Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1966.
Тихонов А. //., Самарский А. А. Уравнения математической
физики. М.: Наука, 1972.
Трикоми Ф. Лекции но уравнениям в частных производных.
М.: ИЛ, 1957.
[ПТ67]
[Пет61]
[Пет65]
[ПБМ81]
[ПБМ83]
[ПБМ86]
[Рих82]
[Рих84]
[РФ70]
[СФШ76]
[Сми74а]
[Сми74Ь]
[Сми74с|
[Сми81]
[Сми76]
|Соб66]
[ТС72|
|Три57|

286 Литература
[Уиз77] УиземДж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.
[Фед87] Федорюк М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды. СМБ. М.:
Наука, 1987.
[Хамбб] Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим
проблемам. М.: Мир, 1966.
[Хед65] Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов. М.: Мир,
1965.
[Хол62] Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.
[ЭД83] Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике. М.: Мир, 1983.
[Эрд62] Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962.
[ЯЭЛ77] Янке ?., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы,
графики, таблицы. М.: Наука, 1977.

Колоколов Игорь Валентинович
Кузнецов Евгений Александрович
Мильштейн Александр Ильич
Подивилов Евгений Вадимович
Черных Александр Иванович
Шапиро Давид Абрамович
Шапиро Елена Геннадьевна
Задачи по математическим методам физики
Группа подготовки издания:
Директор — Доминго Марин Рикой
Заместители директора — Наталья Финогенова, Ирина Макеева
Компьютерный дизайн — Виктор Романов
Верстка — Наталия Бекетова
Редакционно-корректурные работы — Елена Кудряшова, Анна Шабалина
Обработка графики — Елена Ефремова
Обработка текста — Анна Тюрина, Андрей Стулов
Техническая поддержка — Наталья Аринчева
Издательство «Эдиториал УРСС» 1132ОХ, г. Москва, ул. Чертановская, л 2/11, к и
Лицензия ЛР №064418 от 24.01 96 г. Гигиенический сертификат на выпуск книжной
продукции М°77.ФЦ.8.953.П.27О3 99 от 10 03.99 г Подписано к печати 20.03.2000 г.
Формат 60x84/16 Тираж 1000 экз Печ л. 18. Зак. Ns/2.
Отпечатано в ТОО «Типография ПЭМ». 121471. г. Москва. Мож.мское шоссе, 25