Author: Жамен   Вюльнер   И. Филлипов  

Tags: физика  

Year: 1864

Text
                    полный
КУРСЪ ФИЗИКИ.
По сочиненіямъ ЖАММА и ВЮЛЫІ1ЕРА,
ПЕРЕВЕДЕНЪ И СОСТАВЛЕНЪ
И. Ф8І.ПІП И О В К»І М Ъ,
СТАРШИМЪ УЧИТЕЛЕМЪ ФИЗИКИ ВЪ 7-Й С.-ПЕТЕРБУРГСКОЙ ГИМНАЗІИ -И ПРЕПОДАВАТЕЛЕМЪ
ФИЗИЧЕСКОЙ ГЕОГРАФІИ ВЪ МОРСКОМЪ КАДЕТСКОМЪ КОРПУСѢ.
ТОМЪ I.
САНКТПЕТЕРБУРГЪ.
ИЗДАНІЕ КНИГОПРОДАВЦА -и ТИПОГРАФА М. О. ВОЛЬФА.
1864.

Дозволено ценсурою. С. Петербургъ, Іюля 14 1864 года. Пкнлтлно въ ТЙПОГРЛФІІ М. О. Вольфа. Заман-еки
ПЕРВАЯ ЛЕКЦІЯ. ВВЕДЕНІЕ. Различіе между экспериментальнымъ методомъ изслѣдованія и мате- матическимъ. Наблюденія. Опыты. Физическіе законы. Польза фи- зическихъ законовъ. Математическія теоріи. Системы. Цѣль физики. Общія понятія о молекулярномъ строеніи тѣлъ. Гипотезы не должны быть смѣшиваемы съ физическими законами. Приступая къ изученію математическихъ наукъ, достаточно принять въ основаніе нѣсколько самыхъ простыхъ истинъ для того, чтобы изъ нихъ, путемъ умозаключеній, дойти до цѣлаго ряда точныхъ выводовъ. Эти на- уки, какъ чисто умозрительныя, не подчиняются никакимъ другимъ зако- намъ кромѣ законовъ мышленія. Но, при изученіи природы, у насъ нѣтъ никакихъ готовыхъ истинъ и основаній, взятыхъ изъ области чистаго разума. Въ природѣ мы имѣемъ дѣло съ сложнымъ механизмомъ, управляемымъ неизвѣстными намъ силами, сущности которыхъ угадать невозможно. Въ этомъ случаѣ, намъ остается только разобрать такой механизмъ и добраться до этихъ силъ. Единственный путь къ этому—изученіе явленій, совершаю- щихся вокругъ насъ. Видя множество разнообразныхъ явленій, совершаю- щихся одновременно, мы находимся въ положеніи человѣка, который въ первый разъ увидѣлъ паровую машину. Такой человѣкъ видитъ множество частей машины, движущихся подъ вліяніемъ какого-то скрытаго дѣятеля. Единственная возможность добраться до этого дѣятеля будетъ состоять въ томъ, чтобы разобрать и уяснить себя значенье каждой отдѣльной части машины; такимъ путьемъ придемъ, наконецъ, къ убѣжденію, что двигатель машины есть водяной паръ. Относительно явленій природы мы должны поступать совершенно также, и разбирать отдѣльныя элементы каждаго явленія, котораго причина и механизмѣ намѣ неизвѣстны. Физика I, 1
2 ВВЕДЕНІЕ. Такъ какъ мы ничего не можемъ знать а ргіогі о явленіяхъ міра Физиче- скаго, то, приступая къ изученію ихъ, мы должны отбросить всякія, заранѣе составленныя гипотезы и разбирать явленіе въ томъ видѣ, какъ оно намъ представляется, безъ всякихъ разсужденій относительно причины его. Этотъ способъ изученія называется наблюденіемъ, и Физическія науки, къ кото- рымъ этотъ способъ примѣняется —: наблюдап^^нъіми науками. Не должно, однако же, предполагать, чтобы наблюденіе могло ограничиваться простымъ и поверхностнымъ взглядомъ на явленіе, — нѣтъ, въ этомъ случаѣ, нужно внимательно, тщательно прослѣдить всѣ Фазы явленія и даже найти мѣру отдѣльнымъ элементамъ его. Для того, чтобы лучше понять необходимость, весь ходъ и слѣдствія такого способа изученія, я приведу одинъ при- мѣръ изъ исторіи науки. Во времена очень отдаленныя отъ нашихъ уже дѣлали грубыя наблюде- нія надъ движеніемъ планетъ. Этого было достаточно для того, чтобы дать общее понятіе р движеніи небесныхъ тѣлъ; но съ этими данными нельзя еще было приступить къ вычисленію самаго движенія. Всѣ системы, осно- ванныя на этихъ данныхъ, были далеки отъ истины, потому что не имѣли въ основаніи точныхъ наблюденій. Эти системы рушились тотчасъ же, какъ только Кеплеръ, рядомъ точныхъ наблюденій, доказалъ несостоятельность ихъ. Этотъ ученый, посредствомъ точныхъ измѣреній, опредѣлялъ ежедневно положенія планетъ и время , которое они употребляли для перехода изъ одного положенія въ другое. До сихъ поръ трудъ Кеплера былъ чисто матеріальный и состоялъ въ измѣреніи и собираніи отдѣльныхъ наблюде- ній. Теперь надобно было сравнить эти данныя и, путемъ вычисленія, найти кривую, на которой бы находились всѣ положенія, занимаемыя планетою въ различныя времена;, другими словами, .надобно было опредѣлить орбиту планеты. Кромѣ того, надобно было опредѣлить всѣ перемѣны скорости движенія планеты при переходѣ изъ одного положенія въ другое: Изъ этого видно, что нужно было найти математическое выраженіе, которое по- казывало бы зависимость всѣхъ этихъ отношеній. Такимъ образомъ, Кеплеръ пришелъ къ заключенію, что планеты движутся по эллипсамъ, въ одномъ изъ Фокусовъ которыхъ находится солнце; законъ скоростей показалъ, что про- странства, описываемыя проходящими тѣлами, пропорціональны временамъ. Если я прибавлю къ этому, что Кеплеръ употребилъ 18 лѣтъ для своихъ изслѣ- дованій и что онѣ послужили основаніемъ для системы міра, которую далъ Ньютонъ, то мнѣ кажется, я сказалъ все, что было нужно для того, чтобы показать и самый способъ изслѣдованія, и трудность, и пользу его для науки. Въ началѣ своего развитія, Физическія науки могли только заниматься
ПЕРВАЯ' ЛЕКЦІЯ. 3 тѣми явленіями, которыя совершаются вокругъ пасъ, безъ всякаго содѣй- ствія съ нашей стороны. Ограничиваясь одними наблюденіями явленій, безъ всякаго вліянія на ходъ ихъ, науки эти, очевидно, могли разъяснить очень немногое; въ самомъ дѣлѣ, почти во всѣхъ случаяхъ приходилось наблюдать слѣдствія совокупнаго дѣйствія очень многихъ сложныхъ силъ, и поэтому очень трудно было раздѣлить явленія и отнести ихъ къ на- стоящимъ причинамъ. Вотъ почему впослѣдствіи прибѣгли къ искусству воспроизводить и управлять силами природы; этотъ путь — путь опыта, быстро двинулъ науку впередъ. Наблюдатель, въ этотъ случаѣ, измѣняетъ по произволу условія: напр. онъ нагрѣваетъ или охлаждаетъ тѣло, сжи- маетъ или растягиваетъ его. При этомъ онъ замѣчаетъ цѣлый рядъ явленій, воспроизводитъ и наблюдаетъ ихъ по своему желанію, управляя ими вполнѣ. Такимъ образомъ, напр. замѣтили, что янтарь при трѣніи пріоб- рѣтаетъ свойство притягивать легкія тѣла; воспроизводя это явленіе и ви- доизмѣняя его условія, мало по малу дошли до возможности усилить его,— дошли до устройства электрическихъ машинъ. Послѣднія дали намъ воз- можность открыть множество явленій новыхъ , какихъ мы не встрѣчаемъ въ природѣ. Это не значитъ, однако, чтобы мы создали новыя силы, нѣтъ— силы эти находятся въ природѣ, но мы съумѣли найти и осуществить такія условія, при которыхъ эти силы проявляютъ свою дѣятельность. Такъ какъ, при нашихъ опытахъ, мы можемъ по произволу устранять всѣ побоч- ныя вліянія, усложняющія явленія, то мы всегда стараемся воспроизвести явленія въ самомъ простомъ видѣ, позволяющемъ намъ измѣрить силу его. Такъ, напр., въ природѣ нашли, что-минералъ магнитный желѣзнякъ имѣетъ свойство притягивать желѣзо; свойство это распредѣлено на повер- хности минерала очень не равномѣрно. Вскорѣ нашли средство сообщать это свойство стали и, такимъ образомъ, приготовлять искусственные магниты, ко- торые дѣйствуютъ несравненно правильнѣе и сильнѣе естественныхъ. Это об- стоятельство не только позволило изучить явленіе, но принесло еще и практи- ческую пользу,—повело къ открытію компаса. Такъ точно алхимики, подвер- гая различныя тѣла вліянію различныхъ дѣятелей, хотя и не достигли той цѣли, которую преслѣдовали съ такимъ упорствомъ, однакожъ тѣмъ не менѣе принес- ли большую пользу, открывъ существованіе множества новыхъ веществъ. Такимъ образомъ, часто случайно, при содѣйствіи соображенія, ученые напа- дали на слѣдъ открытій и отказывались отъ пассивной роли наблюдателя. I Но не однѣ открытія новыхъ Фактовъ двинули науку впередъ, этому |содѣйствовало еще усовершенствованіе инструментовъ и приборовъ: хи- кія получила свои печи и снаряды, спеціально назначенные для химиче- 1*
4. ВВЕДЕНІЕ. скихъ работъ; Физика обогатилась множествомъ драгоцѣнныхъ мѣрительныхъ приборовъ. Каждый новый инструментъ давалъ новыя средства для упра- вленія силами природы и открывалъ новое поле дѣятельности въ наукѣ. Такъ, напр., воздушный насосъ показалъ намъ существованіе воздушнаго да- вленія и доставилъ возможность изучить свойство газовъ. Всѣмъ извѣстно къ чему привело открытіе паровой машины, но далеко еще неизвѣстно, къ че- му приведутъ въ будущемъ многія другія открытія, напр. хоть Вольтова столба. Кромѣ приборовъ, назначенныхъ собственно для объясненія явле- ній, есть еще много приборовъ, назначенныхъ для измѣренія отдѣльныхъ элементовъ каждаго явленія (напр. барометръ, термометръ и проч.); только помощію инструментовъ послѣдняго рода Физическія изслѣдованія могли достигнуть высокой степени тонкости и точности. Успѣхи въ наукѣ, слѣ- довательно, двоякаго рода: они состоятъ, съ одной стороны, въ открытіи новыхъ Фактовъ, съ — другой въ изобрѣтеніи приборовъ, позволяющихъ воспроизводить явленія и наблюдать ихъ. Первыя свѣдѣнія о явленіяхъ природы , полученныя путемъ опыта, сначала были очень малочисленны и не имѣли, поэтому, большой связи другъ съ другомъ. Впослѣдствіи, когда пробѣлы въ области Физическихъ знаній мало по малу наполнились, явилась потребность и возможность классифи- каціи Физическихъ явленій?! Всѣ явленія могли быть отнесены къ пяти боль- шимъ группамъ: 1) дѣйствію тѣлъ другъ на друга, 2) теплороду, 3) свѣту, 4) электричеству и 5) магнетизму. Явленія, принадлежащія къ одной и той же группѣ и относимыя къ одной и той же причинѣ, надобно было также и распредѣлить въ порядкѣ, отыскать связь между ними и выразить эту связь общею Формулою закона. Для большой ясности, я здѣсь при- веду примѣръ. Извѣстно, что если лучь свѣта падаетъ на гладкую, поли- рованную поверхность, то онъ быстро измѣняетъ свое направленіе; явленіе это наблюдается при всевозможныхъ углахъ паденія луча и оно названо отра- женіемъ свѣта. Не довольствуясь этимъ общимъ знаніемъ, стали измѣ- рять, помощію круга раздѣленнаго на градусы, углы, составляемые лу- чами падающимъ и отраженнымъ съ отражающею поверхностью. При этомъ нашли, что оба угла всегда равны между собою, и Формулировали эту истину въ законъ, что: «уголъ паденія равенъ углу отраженія». Такой законъ, выведенный изъ опытовъ, называется физическимъ. Отсюда видно, что Физическій законъ выражаетъ постоянное математическое отношеніе между перемѣнными величинами. Законъ, приведенный нами, можетъ поразить своею простотою. Но что всего поразительнѣе, такъ это то, что и всѣ другія явленія, если они не
ПЕРВАЯ ЛЕКЦІЯ. 5 представляли только результата дѣйствія многихъ причинъ, также под- чиняются очень простому закону; явленія притяженія тѣлъ, электричества, магнетизма, свѣта — все это выражается очень простыми отношеніями. Это обстоятельство значительно облегчаетъ изученіе Физическихъ явленій и придаетъ физикѣ тотъ характеръ простоты, которымъ отличаются фило- софскія науки. Изъ всего сказаннаго нами легко понять, почему физики такъ стремятся къ открытію Физическихъ законовъ; каждый законъ слу- житъ общимъ выраженіемъ для всѣхъ частныхъ случаевъ. Для большой ясности я приведу примѣръ. Положимъ, что законъ отраженія свѣта уже извѣстенъ. Возьмемъ зеркало, съ какой угодно поверхностью, лишь бы она имѣла геометрическую правильность; поставимъ передъ зеркаломъ свѣчу и посмотримъ какъ лучи свѣта отразятся отъ такого зеркала. Но мы впе- редъ можемъ сказать, куда пойдетъ каждый изъ лучей свѣта, ибо Форма зеркала намъ извѣстна и мы, помощію математическаго анализа, можемъ вычислить направленіе каждаго отраженнаго луча на основаніи вышепри- веденнаго закона отраженія. Отсюда видно, какую степень практической важности представляютъ Физическіе законы: при помощи математическаго анализа, изъ нихъ можно вывести всѣ слѣдствія. Каждая отрасль физики представляетъ намъ нѣсколько группъ общихъ явленій, изъ которыхъ каждая подчиняется своему общему закону. Между свѣтовыми явленіями, напр., мы имѣемъ отраженіе, преломленіе, прохож- деніе свѣта. Законы для этихъ явленій вполнѣ извѣстны, и потому, взявъ ихъ за основаніе, можно путемъ одного только вычисленія опредѣлить всѣ прочія явленія, представляемыя свѣтомъ при прохожденіи его чрезъ различныя среды. Такимъ образомъ, если бьі намъ были только извѣстны всѣ основные законы въ наукѣ, мы могли бы совершенно оставить путь опыта и вывести всѣ остальныя слѣдствія путемъ математическаго ана- лизамъ настоящее время мы еще далеки отъ этой степени совершенства, тѣмъ не менѣе можно надѣяться, что со временемъ Физика дойдетъ до этого. По крайней мѣрѣ, механика достигла уже такой степени совершенства; а въ началѣ и она была наукою чисто наблюдательною, ибо законовъ для силы и движеній нельзя было угадать а ргіогі и оставалось только выве- сти ихъ изъ наблюденія явленій природы. Законы механики такъ просты и ихъ такъ немного, что они скоро были открыты и тогда механика могла совершенно оставить путь наблюденія и опыта и сдѣлаться наукою чисто математическою. Къ этому стремятся и всѣ прочія отрасли Физическихъ знаній; Астрономія достигла этого, боль-
6 ВВЕДЕНІЕ. шая часть оптики и многихъ другихъ отдѣловъ физики вошли также въ кругъ наукъ математическихъ. И такъ всѣ эти науки занимаются сначала наблюденіемъ только для того, чтобы отъ частныхъ явленій перейти къ общимъ основаніямъ науки и найти законы. Изъ сказаннаго'нами можно замѣтить, что математика играетъ важную роль въ физикѣ и что путь математическаго анализа настолько же необхо- димъ, какъ и путь опыта. Математика въ этомъ отношеніи играетъ двоякую роль: она служитъ орудіемъ для изслѣдованія и вмѣстѣ языкомъ, на который переводятся общіе законы. Такъ какъ математика примѣнима только тамъ, гдѣ наука перешла изъ области неопредѣленныхъ понятій въ область измѣренія и точныхъ чиселъ, то, по степени примѣнимости математики, можно судить о большой или меньшой степени развитія науки. Когда всѣ элементарные законы, для извѣстнаго ряда явленій, сдѣлались извѣстны, математика перестаетъ быть вспомогательнымъ средствомъ для опыта, она дѣлаетъ опытъ совершенно излишнимъ и сама даетъ полную теорію явленій. Такъ, напр., когда стали извѣстны законы электрическаго и магнетическаго притяженія, явилась математическая теорія электричества и магнетизма. Я показалъ здѣсь логическій ходъ развитія Физическихъ изслѣдованій; мы видѣли, что слѣдуетъ начинать съ опытовъ и, на основаніи ихъ, найти общій законъ , изъ котораго впослѣдствіи выводятся всѣ заключенія для частныхъ случаевъ. Но мы не всегда на этомъ и останавливаемся. Вслѣдствіе ли привычки или инстинктивнаго стремленія все объяснить, мы часто придумываемъ объясненія тамъ, гдѣ намъ его не достаетъ. Если, зная - причину, можно легко сдѣлать вѣрное заключеніе о слѣдствіяхъ ея, то, обратно, вовсе нелегко изъ явленій заключить о причинѣ ихъ; въ послѣднемъ случаѣ мы подвергаемся всѣмъ случайностямъ произволь- наго объясненія. Зная, напримѣръ, о существованіи воздушнаго давленія, можно уже легко придти къ заключенію, что вода подымается въ насрсѣ при процессѣ выкачиванія ея. Если мы только знаемъ Фактъ, что вода въ насосѣ подымается, то мы можемъ потеряться въ массѣ догадокъ относи- тельно причины этого явленія и рискуемъ всегда ошибиться. И дѣйстви- тельно прежніе ученые пришли,къ ошибочному заключенію въ этомъ слу- чаѣ, объясняя явленія, тѣмъ, что природа боится пустаго пространства. Точно такое же стремленіе къ объясненіямъ заставило насъ сдѣлать пред- положеніе, что частицы матеріи притягиваются взаимно. Допуская эту гипотезу, мы поступаемъ совершенно также, какъ поступали прежніе уче- ные въ отношеніи къ вопросу о подъемѣ воды въ насосѣ. Правда, Фактъ
ПЕРВАЯ ЛЕКЦІЯ. 7 вѣренъ, что два небесныя тѣла дѣйствуютъ другъ на друга на разстояніи, это доказано механикою, совершенно точно; но предположеніе, что сила, обусловивающая это дѣйствіе, заключается именно во взаимномъ притя- женіи -частицъ матеріи — это есть уже чистая гипотеза, такая же, какъ и предположеніе, что природа боится пустоты. Мы видимъ множество явле- ній тепла, электричества, магнетизма и свѣта и тотчасъ спѣшимъ объ- яснить все это существованіемъ четырехъ невѣсомыхъ жидкостей. Но что такое эти жидкости, какъ не плодъ нашего воображенія ?\/ Мы выдумали эти жидкости , чувствуя нужду въ объясненіи, и при- своили этимъ жидкостямъ различныя свойства, разумѣется такія, какія каза- лись болѣе удобными для объясненія неизвѣстныхъ намъ явленій. Въ этомъ заключается, такъ называемое, построеніе системъ. Надобно, однако же, со- знаться, что часто такія системы прикрываютъ только недостатокъ дѣй- ствительнаго знанія. Иногда такія системы бываютъ даже вредны, ибо онѣ обманываютъ разумъ, пріучая его принимать за-частую слово за- самое дѣло. Такія системы, по мѣрѣ развитія науки, обыкновенно падаютъ; ихъ было придумано очень много и теперь изъ нихъ удержались очень немно- гія; а кто знаетъ, какая судьба ожидаетъ въ будущемъ и эти немногія" системы? Хотя ученые настоящаго времени, въ противуположность уче- нымъ прежняго времени, стараются какъ можно рѣже прибѣгать къ ги- потезамъ, тѣмъ не менѣе многія изъ нихъ еще остались въ полной силѣ. Впрочемъ, надобно замѣтить, что теперь гипотезу принимаютъ не иначе, какъ въ"”'видѣ общаго положенія, изъ котораго можно, путемъ математическаго^ анализа, не только вывести всѣ Физическіе законы, найденные путемъ опыта,| но и предугадать многіе новые законы еще не открытые.| Это условіе дѣлаетъ гипотезу не только очень вѣроятною, но и практически полезною. Такова, напр., вся теорія свѣта: какъ, только допустили предположеніе, что свѣтъ заключается въ колебаніи ЭФира, всѣ извѣстные оптическіе законы стали естественными выводами изъ этой гипотезы; мало того, пу- темъ вычисленія пришли къ такимъ новымъ законамъ, которые вовсе не были извѣстны и были впослѣдствіи подтверждены путемъ опыта; въ этомъ случаѣ опытъ, вмѣсто того, чтобы служить единственнымъ основаніемъ для Физическаго закона, является простою повѣркою теоріи. И такъ, вотъ на какомъ условіи и въ какомъ смыслѣ принимается теперь допущеніе раз- личныхъ системъ. Изъ всего сказаннаго, мы выведемъ теперь два существенныхъ заклю- ченія: 1) прежде всего мы должны открывать, изучать явленія и находить Физическій законъ, которому они подчиняются; 2) единственный путь для
8 ВВЕДЕНІЕ. достиженія этой цѣли: наблюденіе и измѣреніе. Опредѣлимъ теперь цѣль и предѣлы физики. Міръ состоитъ изъ предметовъ или тѣлъ. Предметы, находящіеся вблизи насъ, мы можемъ видѣть и ощупать; предметы, находящіеся далеко отъ насъ, мы можемъ только видѣть. Во всякомъ случаѣ, мы убѣждаемся въ существованіи тѣхъ и другихъ посредствомъ впечатлѣнія, которое они оказываютъ на наши органы чувствъ. Мы не знаемъ изъ чего собственно состоятъ предметы и называемъ это неизвѣстное начало—веществомъ или матеріею. И такъ матерія составляетъ всѣ предметы міра вещественнаго, она-то и есть самая сущность всѣхъ тѣлъ; ей-то именно и обязаны тѣла своими свойствами и способностью производить впечатлѣніе на наши органы чувствъ. И Физика, и химія занимаются изученіемъ матеріи; но обѣ эти науки разсматриваютъ вопросъ съ двухъ различныхъ точекъ зрѣнія. Такъ какъ различныя тѣла имѣютъ различныя свойства, то, очевидно, что должно существовать много различныхъ видовъ матеріи или веществъ; изученіемъ и классификаціею этихъ веществъ занимается химія. Эта-наука показала, что существуетъ извѣстное число простыхъ веществъ, которые, соединяясь между собою, могутъ производить другія тѣла, находящіяся въ природѣ и даже множество такихъ, какихъ въ природѣ не встрѣчается. Химія извлекла изъ тѣлъ составныя ихъ части или элементы и показала способы соединять ихъ между собою для полученія сложныхъ веществъ. Роль химіи, слѣдовательно, опредѣляется очень ясно: эта наука изучаетъ индивидуальный характеръ каждаго вещества и всѣ явленія постоянныхъ измѣненій въ составѣ веществъ. Физика оставляетъ эти вопросы въ сто- ронѣ и занимается только тѣми явленіями, которыя не составляютъ по- стоянныхъ, глубокихъ измѣненій въ самомъ составѣ веществъ. Вотъ ея программа въ немногихъ словахъ: она изучаетъ общія свойства тѣлъ во всѣхъ трехъ состояніяхъ: твердомъ, жидкомъ и газообразномъ; это состав- ляетъ задачу первой части ея. Затѣмъ она разсматриваетъ четыре большія группы явленій, причины которыхъ хотя и находятся въ связи, но не при- нимаются за тождественныя. Сюда относятся явленія: тепла, электричества, магнетизма и свѣта. Эти четыре группы составляютъ предметы занятія четырехъ большихъ отдѣловъ физики. О строеніи веществъ. Вещество дѣлимо, ибо каждое тѣло можно раздѣлить на нѣсколько меньшихъ частей; эти, въ свою очередь, можно раздѣлить еще на болѣе
ПЕРВАЯ ЛЕКЦІЯ. 9 мелкія части и т. д. Предѣла дѣленію указать невозможно. Лучшій при- мѣръ этому слѣдующій: гранъ мускуса распространяетъ въ комнатѣ силь- ный запахъ, отдѣляя постоянно часть своего вещества, которая и распро- страняется въ воздухѣ. Тѣмъ не менѣе мускусъ можетъ пролежать, такимъ образомъ, цѣлые годы, не теряя нисколько въ вѣсѣ; это доказываетъ, что отдѣляющіяся частицы вещества такъ малы, что ускользаютъ отъ всякихъ способовъ измѣренія. Видя такіе примѣры дѣлимости, можно составить себѣ двѣ гипотезы о строеніи веществъ: или что вещество дѣлимо до безконечности, или что есть все-таки конецъ такому дѣленію и что пре- дѣлъ дѣленію будетъ недѣлимая частица, атомъ. Если принять первую гипотезу, то должно допустить, что всякое тѣло составляетъ сплошную массу. Принимая вторую гипотезу надобно придти къ заключенію, что тѣла составлены. изъ собранія множества мельчайшихъ частицъ , которыя лежатъ другъ возлѣ друга, не прикасаясь взаимно, могутъ притягиваться и отталкиваться, удерживаться неподвижно, дыхъ тѣлахъ, или же быть подвижными какъ это мы видимъ въ твер-^ и свободными, какъ напр. въ жидкостяхъ и газахъ. Такъ какъ при изученіи какого либо предмета надобно, прежде все- го, составить себѣ опредѣленіе его, то прежде нежели мы приступимъ къ изученію свойствъ матеріи, мы должны задать себѣ вопросъ: что та- кое матерія?—Если намъ удастся составить себѣ удовлетворительное понятіе о внутреннемъ строеніи матеріи, тогда всѣ свойства ея должны явиться необходимыми слѣдствіями этого строенія. Первымъ дѣломъ въ этомъ случаѣ будетъ рѣшеніе вопроса: принять ли матерію за сплошную массу, дѣлимую до безконечности, или за собраніе недѣлимыхъ атомовъ. Такъ какъ химія занимается составомъ тѣлъ, то она и должна дать намъ отвѣтъ въ этомъ случаѣ. Мы постараемся изложить здѣсь въ немногихъ словахъ основные законы, выработанные этою наукою и теоріею, на которой она остановилась. I. Если мы введемъ въ сосудъ одинъ литръ кислороднаго газа и два литра водорода, то они смѣшаются, проникаясь взаимно, безъ всякаго даль- нѣйшаго измѣненія; всѣ свойства ихъ останутся тѣ же и разъ приведен- ные въ покой, оба газа могутъ оставаться въ такомъ видѣ, сколько угодно. Но стоитъ только привести эту смѣсь въ прикосновеніе съ какимъ-либо горящимъ тѣломъ или электрическою искрою, какъ мгновенно происходитъ взрывъ, сопровождаемый явленіями свѣта, тепла и электричества. Явленія эти не постоянны и продолжаются только до тѣхъ поръ, покуда все не придетъ опять въ покой.
10 ВВЕДЕНІЕ. II. Изслѣдуя потомъ содержимое въ сосудѣ, мы не найдемъ тамъ ни кислорода, ни водорода,—оба газа исчезли и, вмѣсто ихъ, явилось новое вещество — вода. Если сосудъ съ заключавшимися въ немъ газами былъ предварительно взвѣшенъ, то новое взвѣшиваніе, послѣ опыта, не пока- жетъ никакой разницы въ вѣсѣ: ничего не прибавилось и не убавилось. Можно сказать, что кислородъ и водородъ приняли только другой видъ и, соединившись вмѣстѣ, произвели воду, количество которой равно суммѣ коли- чествъ обоихъ газовъ. Такой процессъ называется химическимъ соединеніемъ, и состоитъ въ томъ, что два вещества сливаются вмѣстѣ въ одно новое вещество, заключающее въ себѣ оба первые; внутренняя работа, происхо- дящая въ этомъ случаѣ, проявляется въ отдѣленіяхъ тепла, свѣта и элек- тричества. Самый существенный Фактъ въ этомъ случаѣ—образованіе но- ваго Вещества по свойствамъ совершенно отличнаго отъ веществъ, чрезъ соединеніе которыхъ оно произогило. Это явленіе общее, и Фактъ, приве- денный нами, составляетъ только одинъ изъ частныхъ случаевъ. III. Теперь мы приведемъ одинъ основной законъ, важный по своему значенію. Въ предъидущемъ примѣрѣ мы видѣли, что, если смѣшать два объема водорода съ одинъ объемомъ кислорода, то оба газа, при соединеніи, исчезаютъ совершенно. Если бы мы теперь повторили опытъ, прибавивъ къ смѣси еще нѣкоторое количество одного изъ двухъ газовъ, то нашли бы, что оно совершенно излишнее, что оно не вошло бы въ соединеніе; коли- чество воды было бы тоже, что и при первомъ опытѣ, а излишекъ газа остался бы безъ всякаго измѣненія. Это показываетъ, что отношеніе между количествомъ кислорода и водорода, нужное для образованія во- ды, не есть произвольное, а постоянное, а именно: на 1 объемъ кислорода требуется всегда 2 объема водорода, для превращенія смѣси въ воду. Вообще: всякое химическое соединеніе совершается въ опредѣленныхъ про-, порщяхъ и вѣсовыя отношенія между количествомъ составныхъ частей всегда постоянны. Поэтому, достаточно узнать, путемъ химическаго ана- лиза, составъ одного обращика какого либо тѣла для того, чтобы знать составъ другихъ экземпляровъ тако’го же тѣла. Сравнивая анализы различ- ныхъ тѣлъ между собою, можно дойти до общихъ законовъ, по которымъ со- вершаются химическія соединенія. IV. Первый законъ относится до различнымъ соединеній, которыя могутъ быть образованы двумя простыми тѣлами. Два простыхъ тѣла могутъ соеди- няться въ нѣсколькихъ различныхъ, хотя и постоянныхъ пропорціяхъ, при этомъ образуются новыя тѣла, не имѣющія между собою ничего общаго, кромѣ развѣ того, что они составлены изъ однихъ и тѣхъ же элементовъ. Примѣромъ
ПЕРВАЯ ЛЕКЦІЯ. 11 этому могутъ служить соединенія азота съ кислородомъ; если количество азота, находящагося въ одномъ изъ этихъ соединеній—закиси азота, по- ложимъ = К, а количество кислорода = О, то относительныя количества кислорода, при такомъ количествѣ азота, въ прочихъ соединеніяхъ выразятся чрезъ 20, 30, 40 и 50. Итакъ, азотъ съ кислородомъ даетъ пять соединеній, въ которыхъ количества послѣдняго будутъ относится какъ 1 : 2 : 3 : 4 : 5, при одномъ и томъ же постоянномъ киличествѣ азота. Это и есть такъ называемый законъ кратныхъ пропорцій, м Впрочемъ не во всѣхъ случаяхъ отношеніе между количествами со- ставныхъ частей бываетъ именно такое; напр., мы находимъ, что желѣзо соединяется съ кислородомъ въ двухъ пропорціяхъ и что если Е выра- жаетъ количество желѣза, а 0 количество кислорода, то пропорціи будутъ въ одномъ случаѣ ЕО въ другомъ 2Е 30., Во всякомъ случаѣ видно, что отношеніе это очень простое и что, зная относительныя количества двухъ веществъ въ одномъ соединеніи, можно всегда найти такое отношеніе и для прочихъ соединеній чрезъ умноженіе этихъ количествъ на цѣлыя и очень простыя числа. V. Такъ какъ всѣ химическія тѣла вполнѣ опредѣляются ихъ соста- вомъ, который постояненъ, то очевидно, что весьма важно имѣть таблицы, заключающія въ себѣ вѣсовыя отношенія всѣхъ простыхъ тѣлъ вступаю- щихъ въ соединенія. Положимъ, что первое мѣсто въ таблицѣ займетъ кислородъ, подъ нимъ мы напишемъ всѣ прочія простыя тѣла. Передъ кислородомъ мы поставимъ число, условно принятое для выраженія отно- сительнаго количества кислорода, вступающаго въ соединеніе, положимъ что это число будетъ 100. Передъ прочими тѣлами мы выставили числа, со- отвѣтствующія числу хоть, напримѣръ, граммовъ этихъ тѣлъ соединяю- щихся съ 100 граммами кислорода. Если тѣло соединяется съ кислоро- домъ только въ одной пропорціи, то придется выставить только одно число, если же въ нѣсколькихъ пропорціяхъ (какъ-то бываетъ напр. для азота), то нѣсколькс) чиселъ. Какъ скоро мы имѣемъ такую таблицу мы тотчасъ замѣтимъ, что ее можно значительно упростить. Въ самомъ дѣлѣ, нагірим., числа, выражающія относительное количество азота въ соединеніяхъ его съ кислородомъ будутъ: 178 475 175 175 V- ѵ -• ѵ- йзъ этого видно, что достаточно помѣстить въ таблицахъ одно первое чи- сло и потомъ помнить только цифру, на которую слѣдуетъ его раздѣлить для полученія прочихъ чиселъ. Вообще, въ таблицахъ слѣдуетъ сохра-
12 ВВЕДЕНІЕ. нить то число, которое соотвѣтствуетъ соединенію наименѣе кислородному. Такое число называется паемъ *) или эквивалентомъ, относительно кисло- рода; это число выражаютъ одною или двумя буквами, взятыми изъ ла- тинскаго названія простаго вещества, напр. если О (оху§’епіит)= 100, то Ы (Ыііго^епішн) — 175, (8и1рЬпг) 8 = 200, С1 (СЫогит) — 443 единицамъ вѣса. Очевидно, что паи эти имѣютъ значеніе весьма условное и относятся собственно только до кислородныхъ соединеній. Таблица эта не указы- ваетъ намъ на количественныя отношенія, напр. хлористыхъ, фосфори- стыхъ и др. соединеній. Для послѣднихъ слѣдуетъ также составить от- дѣльныя таблицы, принявъ за исходную точку, хлоръ, фосфоръ и т. д. Для того, чтобы не усложнять дѣла, всего проще взять для этихъ элемен- товъ числа, стоящія уже въ первой таблицѣ; напримѣръ, для хлора число 443 и относить къ нему всѣ количества другихъ элементовъ, соединяющихся съ хлоромъ. Такимъ образомъ, получатся новыя таблицы, гдѣ числа для всѣхъ элементовъ будутъ выведены въ отношеніи къ хлору, фосфору и т. д. Изъ сравненія всѣхъ этихъ таблицъ между собою легко найти об- щій законъ пайныхъ отношеній. Числа, отвѣчающія въ различныхъ та- блицахъ одному и тому же тѣлу, или тождественны, или находятся въ чрезвычайно простомъ отношеніи другъ къ другу. Поэтому такое мно- жество таблицъ можно замѣнить очень легко одною общею таблицею, въ которой будутъ находиться всѣ числа. Вмѣсто того, чтобы разсма- тривать паи въ отношеніи къ паю того только тѣла, которое послужило для прямого опредѣленія ихъ, можно всѣ паи отнести къ паю одного ка- кого нибудь элемента и затѣмъ разсматривать отношенія, какъ неизмѣн- ныя и постоянныя. Если, напр., пай сѣры 8=200, пай углерода С=75, то какія бы соединенія сѣры съ углеродомъ ни получались, въ нихъ всегда относительное количество сѣры и углерода будетъ выражаться 200 и 75, взя- тыми цѣлое число разъ. Вообще если А и В суть паи двухъ тѣлъ, то составъ всевозможныхъ соединеній этихъ двухъ тѣлъ будетъ выражаться общею *) Здѣсь разумѣются старые паи или эквиваленты взятые въ смыслѣ только про- проціоналъныхо чиселъ. Современное понятіе о паѣ измѣнилось и пай или эквивалентъ нельзя смѣшивать съ пропорціональными числами. Съ понятіемъ объ эквивалентѣ свя- зано понятіе о химической Функціи, тогда какъ пропорціональное число не зависитъ отъ нея. Впрочемъ, если числа, отвѣчающія тому или другому понятію и певсегда тождест- венны, то онѣ находятся, по крайней мѣрѣ, въ очень простомъ отношеніи другъ съ другомъ.
ПЕРВАЯ ЛЕКЦІЯ. 13 Формулою 9пА-|-иВ, гдѣ т и п числа цѣлыя. Законъ этотъ справедливъ и для болѣе сложныхъ тѣлъ, заключающихъ въ себѣ три или четыре элемента, какъ, напримѣръ, гидраты, двойныя соли и пр. Всѣ они могутъ быть выражены общею Формулою: тиА -Д- «В + дО и т. д. гдѣ А, В, С, В... суть паи, а т, п, р, д... цѣлыя числа. Органическія тѣла состоятъ обыкновенно изъ углерода, водорода, кислорода, а иногда и азота.цгЧисло ихъ громадно и возрастаетъ съ каждымъ днемъ, не смотря на то, что элементы, составляющіе ихъ, собственно все одни и тѣ же; это объясняется тѣмъ, что число паевъ, входящихъ въ составъ тѣлъ, чрез- вычайно разнообразно. Несмотря на такое разнообразіе, и здѣсь законъ кратныхъ пропорцій подтверждается вполнѣ. Вотъ главнѣйшіе законы, выработанные химіею. Они показываютъ: 1) что процессъ химическаго соединенія сопровождается являніями тепла, свѣта и электричества; 2) продуктъ химическаго соединенія есть новое тѣло, от- личное, по свойствамъ отъ составныхъ частей его; 3) количественныя от- ношенія составныхъ частей въ сложномъ тѣлѣ постоянны; 4) существо- ваніе кратныхъ пропорцій въ томъ случаѣ, если два тѣла даютъ нѣсколь- ко соединеній; 5) въ каждомъ сложномъ тѣлѣ число паевъ составныхъ частей есть цѣлое. Мы здѣсь имѣемъ рядъ общихъ законовъ, найденныхъ прямымъ опы- томъ и несвязанныхъ ни съ какою идеею о веществѣ. Намъ остается те- перь посмотрѣть, которая изъ двухъ гипотезъ о строеніи матеріи болѣе согласуется съ этими опытными законами; и тогда та изъ нихъ, которая удовлетворительно объясняетъ весь рядъ этихъ общихъ явленій, и будетъ заслуживать предпочтеніе, какъ болѣе вѣроятная. Допустивъ предположеніе, что матерія составляетъ сплошную массу, трудно представить себѣ, какимъ образомъ два вещества соединяются между собою? Положимъ, можно сказать, что два вещества проникаются другъ дру-' гомъ. Но тогда какъ объяснить себѣ, почему соединенія происходятъ въ по- стоянныхъ пропорціяхъ? почему существуютъ кратныя пропорціи? почему паи постоянны? И такъ эта гипотеза не показываетъ ни какой связи между всѣми этими явленіями не даетъ никакого отчета обо всемъ этомъ. Напротивъ того, гипотеза, представляющая вещество состоящимъ изъ собранія малѣйшихъ недѣлимыхъ частицъ — атомовъ, вполнѣ отвѣчаетъ на всѣ эти вопросы; общіе законы, найденные опытомъ, дѣлаются необходимы- ми логическими слѣдствіями этой гипотезы. Соединеніе двухъ веществъ объ- ясняется здѣсь тѣмъ, что каждый атомъ одного изъ нихъ ложится возл$
14 ВВЕДЕНІЕ. атома другаго вещества, составляя, такимъ образомъ, сложную частицу; изъ цУ собранія такихъ сложныхъ частицъ составляется новое, сложное вещество. Понятіе о соединеніи здѣсь опредѣляется ясно; посмотримъ теперь какіе вы- воды должно сдѣлать, принявъ эту гипотезу. 1) Соединеніе атомовъ должно непремѣнно сопровождаться молекуляр- нымъ (частичнымъ) движеніемъ, которое продолжается только въ моментъ са- маго соединенія; такое движеніе должно обнаруживаться явленіями, непо- стоянными, переходными; они должны прекратиться тотчасъ, какъ* скоро химическое соединеніе совершилось. Опытъ показалъ, что таковы явленія свѣта, тепла и электричества, сопровождающіе процессъ химическаго соединенія. 2) Когда два тѣла, какъ напр. кислородъ и водородъ, находятся въ свободномъ состояніи, то каждое изъ нихъ состоитъ изъ особенныхъ, ему свойственныхъ частицъ или атомовъ; кислородъ — изъ кислородныхъ ато- мовъ, водородъ — изъ водородныхъ. Свойства этихъ газовъ будутъ тѣ же, что и свойства отдѣльныхъ частицъ, составляющихъ эти тѣла. Какъ ско- ро оба газа соединились и ‘произвели воду, атомы ихъ образовали новыя сложныя частицы, состоящія изъ соединенія частицъ двухъ разнородныхъ элементовъ. Свойства сложной частицы воды должны отличаться отъ свойствъ простой частицы кислорода или водорода, поэтому и самая вода должна имѣть другія свойства, нежели кислородъ и водородъ, что и на са- момъ дѣлѣ бываетъ. 3) Какъ бы атомы малы ни были, все таки они должны имѣть извѣстный Вѣсъ, который хотя и различенъ для разнородныхъ атомовъ, но всегда постоя- ненъ. Если а и Ъ означаютъ вѣсъ атомовъ двухъ разнородныхъ простыхъ тѣлъ, то каждая частица сложнаго тѣла должна состоять изъ т атомовъ одного элемента и п атомовъ другаго; вѣсовыя отношенія для каждой от- дѣльной частицы постоянны и будутъ выражаться та, и&; поэтому и все тѣло будетъ имѣть постоянный составъ. 4) Возьмемъ, напримѣръ, азотъ: каждая частица его можетъ соединяться съ 1, 2, 3, 4, 5, частицами кислорода, образуя, приэтомъ, сложныя частицы пяти различныхъ соединеній азота съ кислородомъ. Въ каждомъ изъ этихъ соединеній количественныя отношенія кислорода къ азоту будутъ 4 , 2, 3, 4, 5: I. Отсюда, законъ кратныхъ пропорцій. 5) Вообще, положимъ, что вѣса атомовъ различныхъ тѣлъ извѣстны; они будутъ: а, Ь, с, й. Соединяясь между собою, они образуютъ сложную ча- стицу, гдѣ числа входящихъ разнородныхъ атомовъ будутъ т, п,р, д; вѣсъ такой сложной частицы = та Л~'РС + Вѣсовыя количества со-
ПЕРВАЯ ЛЕКЦІЯ. 15 ставныхъ частей въ сложномъ тѣлѣ также должны относиться между собою какѣ та: пЪ: рс: дсі, т. е. какъ произведенія вѣсовъ атомовъ на И/іьлыя числа. Этотъ законъ также найденъ опытомъ, только тамъ вмѣсто вѣса ато- ма говорится о паѣ. 6) Очевидно, что невозможно выразить вѣсъ атома въ дробныхъ частяхъ грамма, т. е. пай и абсолютный вѣсъ атомовъ; тѣмъ не менѣе очень легко найти относительный ихъ вѣсъ. Возьмемъ для сравненія такую единицу вѣса, чтобы вѣсъ атома кислорода былъ = 100; вѣсъ атома хлора= С1, азота = К и пр. можетъ измѣряться тою же единицею; соединеніе хлора съ кисло- родомъ можетъ быть выражено т 100 -}- п С1, гдѣ та и и цѣлыя и очень про- стыя числа. Отношенія количества хлора къ количеству кислорода будетъ п СП т 100 ~ С1: 100; химическій анализъ даетъ намъ возможность т опредѣлить это количество— С1, т. е. произведеніе вѣса атома хлора на . и дробь-. Изъ этцго видно, что тѣ же химическіе анализы, которые даютъ намъ возможность опредѣлять паи, могли бы служить и для опредѣленія вѣса ато- ма, если бы только были извѣстны числа та и п; но, къ сожалѣнію, мы не имѣемъ прямаго способа для опредѣленія этихъ чиселъ, ибо мы никогда не знали сколько атомовъ соединяются вмѣстѣ для образованія сложной частицы. Впрочемъ, руководствуясь аналогіею и пользуясь изученіемъ из- вѣстныхъ Физическихъ свойствъ, до нѣкоторой степени это возможно. Но этотъ вопросъ не входитъ въ задачу, которую мы себѣ задали, поэтому мы ограничимся доказательствомъ, что атомистическая гипотеза объясняетъ всѣ химическіе законы, и потому заслуживаетъ вѣроятія и принимается наукою. Мы замѣтили только, что атомистическая теорія представляетъ три періода развитія. Первый изъ нихъ состоитъ въ наблюденіи, опытѣ, анализахъ и собираніи Фактовъ; во второмъ періодѣ эти Факты группиру- ются, изъ нихъ выясняются общіе эмпирическіе законы. До сихъ поръ все это дѣло прямаго опыта. Въ заключеніе является система, которая объясняетъ намъ связь всѣхъ явленій. Должно замѣтить, впрочемъ, чтобъ этомъ, третьемъ періодѣ мы выходимъ изъ области достовѣрнаго въ об- ласть вѣроятнаго.
Таблица паевъ простыхъ тгьлъ ВЪ ОТНОШЕНІИ КЪ ВОДОРОДУ = 1, и къ кислороду =100. Металлоиды. Водородъ. Н . . 1,00 12,50 Кислородъ о . . 8,00 100,00 Сѣра .... 8 . . 16,00 200,00 Селенъ 8е . . 39,75 498,75 Теллуръ. . Те . . 64,50 806,25 Фторъ. . . . . . И . . 19,00 237,50 Хлоръ СІ . . 35,50 443,75 Бромъ .... Вг . . 80,00 1000,00 Іодъ .... I . . 127,00 1587,75 Азотъ .... Аг . 14,00 175,00 Фосфоръ . РЬ. . 31,00 387,50 Мышьякъ . Аб . . 75,00 937,50 Сурьма 8Ь . . 122,00 1525,00 Углеродъ . С . . 6,00 75,00 Боръ .... Во . . 10,89 136,21 Кремній . 8і . . 21,00 262,50 Цирконій . 2г . . 33,58 419,73 Таллій. . • 5> Металлы. » Цезій . . . . Сб . . 123,35 1541,88 Рубидій . . . . вь . . 85,36 1067,00 Калій . . . . . к . . 39,14 489,30 Натрій . . . . Ха’ . 23,00 287,50 Литій .... . . . . Ьі . . 6,53 81,66 Барій .... Ва 68,50 856,25 Стронцій .8г . . 43,75 546,87 Кальцій . . . . Са . . 20,00 250,00 Глицій .... . . . . Н 6,96 87,12 Алюминій . . . . . А1 . . 13,67 170,99 Магній .... . . . . . 12,00 150,00 Торій .... . . . . ть . . 59,50 743,86 Иттрій .... .... У 32,18 402,31 Церій .... .... Се . . 47,26 590,80 Лантаній . . Ьа 48,00 600,00 Дидимій , , , , , . , І)і , .
ПЕРВАЯ ЛЕКЦІЯ. 17 Марганецъ . Мп . . 27,50 343,75 Уранъ. ....... . И . 60,00 750,00 Пелопій . » • » Ніобій . » Эрбій . » » Тербій Желѣзо . Ее . . 28,00 350,00 Никкель . КЧ . 29,50 368,75 Кобальтъ . Со . . 29,50 368,75 Цинкъ . Хп . . 32,75 409,75 Кадмій . . . са . 56,00 700,00 Хромъ . Сг . . 26,28 328,50 Ванадій . Ѵп . 68,46 855,84 Тунгстенъ . дѵ . 92,00 1150,00 Молибденъ . Мо . 48,00 600,00 Осмій : Оз 99,50 1243,75 Танталъ. Та . 92,29 1153,62 Титанъ . 4 Ті . 25,10 314,70 Олово . ... 8п 59,00 737,‘50 Висмутъ . Ві . . 106,43 1330,88 Свинецъ . РЬ . . 103,50 1293,50 Мѣдь . Си . . 31,75 396,50 Ртуть • . . 100,00 1250,00 Серебро • . . 108,00 1350,00 Родій. . . ВЬ . . 52,16 652,00 Иридій . Іг . 98,57 1232,08 Палладій . ра . . 53,23 665,47 Рутеній . Ви . . 52,16 652,04 Платина. ...... . Рі . 98,58 1232,08 Золото,,.*. . Аи . 98,18 1227,19 СА Физика I. 2
ВТОРАЯ ЛЕКЦІЯ. Приборы служащіе для измѣренія. Компараторъ. —Дѣлительная машина. —Ноніусъ. — Сферометръ. — Катетометръ. — Теодолитъ. Одно изъ самыхъ главныхъ дѣйствій въ Физическихъ наукахъ—измѣреніе. Это отчасти мы видимъ уже изъ предъидущей лекціи. Если бы не су- ществовало химическаго анализа — понятія о химическихъ соединеніяхъ до сихъ поръ оставались бы туманными и неопредѣленными. Они стали вы- ясняться только тогда, когда количество веществъ, входящихъ въ соединеніе, были взвѣшиваемы и выражаемы въ числахъ; изъ сравненія этихъ чиселъ ясно вполнѣ опредѣлились и самые законы химическихъ соединеній. Не- обходимость измѣреній одинаково чувствуется во всѣхъ отрасляхъ физики; приходится измѣрять не только вѣсъ, но и длину, углы, поверхности,объемы, давленія, температуры, количества тепла и свѣта—все, что приходится срав- нивать. Для большей ясности снова обратимся къ примѣру, который былъ приведенъ нами въ предъидущей лекціи. Если лучь свѣта падаетъ на зер- кало — онъ отражается. Является необходимость измѣрять углы, образу- емые падающимъ и отраженнымъ лучемъ съ поверхностію зеркала. Такія измѣренія производятся при всевозможныхъ наклоненіяхъ зеркала; углы паденія луча и соотвѣтствующіе имъ углы отраженія записываютъ и потомъ сравниваютъ и находятъ, что оба угла въ каждомъ частномъ случаѣ равны между собою. Изъ постоянства отношенія во множествѣ частныхъ наблюденій заключаютъ, что отношенія эти всегда постоянны; это заклю- ченіе получаетъ силу общаго Физическаго закона. Доказательство существованія Физическаго закона заключается, слѣдо- вательно, въ совпаденіи чиселъ,.найденныхъ путемъ измѣренія, съ числами вычисленными изъ какого либо математическаго отношенія. Если сущест- вуетъ такое совпаденіе для большаго числа отдѣльныхъ случаевъ, то отно-
ВТОРАЯ ЛЕКЦІЯ. 19 шеніе принимается за постоянное. Но разсматривая этотъ вопросъ ближе, легко замѣтить, съ какою осторожностію должно пользоваться этимъ методомъ. Для измѣренія угловъ паденія и отраженія употребляютъ кругъ, раздѣ- ленный на градусы; положеніе лучей свѣта опредѣляютъ положеніемъ под- вижнаго металлическаго радіуса, который устанавливаютъ такъ, чтобы напра- вленіе его совпадало съ направленіемъ свѣтоваго луча. Но тутъ сейчасъ же является множество источниковъ ошибокъ при измѣреніи: недостатокъ точ- ности дѣленій на кругѣ, невозможность совершенно вѣрно отсчитывать гра- дусы, множество затрудненій при установкѣ подвижнаго радіуса. Ре- зультатомъ всего этого бываетъ не совершенно вѣрное, а только приблизи- тельное измѣреніе. По этому и уголъ паденія луча никогда не получится совершенно равнымъ углу отраженія; между ними всегда будетъ разница— большая или меньшая, смотря по степени трудности опредѣленія ихъ и ловко- сти наблюдателя. Въ этомъ случаѣ разсуждаютъ такимъ образомъ: такъ какъ нѣтъ никакой возможности устранить совершенно всѣ ошибки' при измѣ- реніяхъ, то и дѣлается рѣшительно невозможнымъ полное совпаденіе между числами, найденными путемъ измѣренія, и тѣми, которыя вычислены по Формулѣ найденнаго закона. Но такъ какъ разность эта очень мала, то она должна быть приписана несовершенству способовъ измѣренія; она была бы равна нулю, еслибы способы были безошибочны, и потому выведенный законъ можетъ быть принятъ за точный. Но такое разсужденіе должно быть допускаемо съ большою осмотри- тельностію и въ извѣстныхъ предѣлахъ. Если, въ нашемъ случаѣ, напри- мѣръ, дѣленія на кругѣ очень грубы, подвижные радіусы сдѣланы дурно, самыя измѣренія производились безъ соблюденія надлежащихъ предосторож- ностей,—то можетъ случиться, что разность между углами паденія и углами отраженія возрастетъ до нѣсколькихъ градусовъ. Въ такомъ случаѣ, мы кромѣ перваго заключенія, можемъ допустить еще нѣсколько другихъ, ибо най- денныя нами числа будутъ приближаться въ одинаковой степени къ нѣ- сколькимъ, одинаково вѣроятнымъ, математическимъ отношеніямъ. Выборъ между ними сдѣлается невозможнымъ. Если обратно — кругъ раздѣленъ возможно точнымъ образомъ, всѣ части прибора устроены съ величайшею тщательностію, самъ наблюдатель обла- даетъ ловкостью и навыкомъ къ подобнаго рода изслѣдованіямъ, тогда и ошиб- ки будутъ очень малы. Если при этомъ разность въ числахъ будетъ на- ходиться въ предѣлѣ возможныхъ ошибокъ, то общій законъ получитъ огромное вѣроятіе. Только при этихъ условіяхъ физикъ имѣетъ право до- 2’
20 ВТОРАЯ пустить разсужденіе, о которомъ мы упоминали выше. Мы увидимъ впо- слѣдствіи какъ иногда слишкомъ торопились принимать результаты гру- быхъ измѣреній за непреложные законы, и какъ потомъ приходилось измѣ- нять ихъ, когда способы измѣренія стали точнѣе. И такъ недостаточно измѣрять явленія—надобно еще, чтобы эти из- мѣренія представляли возможную степень точности. Доказавъ всю важность измѣреній для физики, мы считаемъ всего удобнѣе начать изученіе этой науки съ изученія мѣрительныхъ приборовъ. Мы здѣсь опишемъ нѣкоторые изъ нихъ. Компараторъ (сравнителъ). — Мы условились относить всякую дли- ну къ одной опредѣленной единицѣ.— метру. Метръ равняется одной десятимилліонной части четверти меридіана *). Но такъ какъ одного опре- дѣленія еще недостаточно для того, чтобы найти длину метра, то сначала сдѣлали одинъ нормальный метръ изъ платины и онъ уже служилъ для приготовленія другихъ метровъ. Такой нормальный метръ сохраняется въ Парижскомъ архивѣ. Сдѣлать другой метръ совершенно подобный первому — дѣло далеко не очень легкое и даже совершенно невозможное безъ пособія особенныхъ инструментовъ называемыхъ, компараторами. Мы здѣсь опишемъ одинъ изъ самыхъ простыхъ компараторовъ (рис. 1), — ком- Рис. 1. параторъ Фортеня. Приборъ состоитъ изъ гладкой чугунной доски; на одномъ концѣ ея находится прибавокъ С, сдѣланный изъ стали и укрѣп- ленный неподвижно помощью винтовъ. Этотъ прибавокъ выдается въ видѣ тупаго ножа и служитъ точкою опоры для метра. На другомъ концѣ при- бора находится стальной прутъ Б Е, который можетъ двигаться взадъ и впередъ по направленію своей оси. Онъ окруженъ упругою спиралью, ко- торая давитъ на него по направленію отъ Е къ Б; поэтому, какое бы по- ложеніе мы не сообщили пруту, онъ всегда возвратится въ прежнее мѣсто, въ Б, — если только предоставить ему свободу. Близъ конца Е находится рычагъ 26гЕ, движущійся около оси 6г. Короткое плечо рычага, СгЕ, прижимается, помощью пружины Е, къ концу стальнаго прута. Дру- *) 1 метръ=3,28090 рус. Фута=1,40610_ аршина.
ЛЕКЦІЯ. 21 гое плечо въ 100 разъ длиннѣйшее, движется свободно въ видѣ стрѣлки на дугѣ раздѣленной на градусы. Лупа I служитъ для отсчитыванія числа дѣленій, указываемыхъ концомъ стрѣлки 2. 4 - Самое сравненіе двухъ метровъ между собою производится такимъ об- разомъ: сначала берутъ нормальный метръ АВ, кладутъ его такъ, чтобы онъ концомъ В опирался на ножъ С, боковою стороною на два возвышенія МиНа концомъ А на конецъ подвижнаго стальнаго прута В. При этомъ прутъ, отъ давленія, производимаго концомъ метра А, движется по напра- вленію отъ В къ Е, и нажимая на плечо рычага (ЗЕ заставляетъ стрѣлку Сг2 также подвинуться; тогда замѣчаютъ на сколько дѣленій подвинулся конецъ стрѣлки 2 и записываютъ это число. Послѣ этого, нормальный метръ вынимаютъ и кладутъ вмѣсто него другой, который хотѣли провѣ- рить. Если число дѣленій, показываемое концомъ стрѣлки, въ этотъ разъ будетъ тоже, что и въ первомъ случаѣ, то значитъ оба метра имѣютъ совершенно одинакую длину. Если же этого нѣтъ, то число дѣленій, на- блюдаемое во второмъ случаѣ, указываетъ на сколько одинъ метръ ко- роче или длиннѣе другаго. Чтобы судить о чувствительности прибора, достаточно припомнить, что дѣйствительная разность въ длинѣ двухъ мет- ровъ представляется на дугѣ съ дѣленіями, въ 100 разъ увеличенною, вслѣдствіе описаннаго устройства рычага: а такъ какъ на дугѣ очень 1 легко замѣтить миллиметра, то значитъ приборъ въ состояніи показат . 1 разность въ длинѣ двухъ метровъ на -удоо миллиметра. Мы должны замѣтить однако, что сравненіе длины двухъ метровъ про- изводится при такихъ простыхъ условіяхъ, только въ томъ случаѣ, когда оба метра сдѣланы изъ того же самаго вещества напр. платины. Мы зна- емъ, что тѣла отъ дѣйствія тепла расширяются и потому даже нормаль- ный метръ имѣетъ дѣйствительную длину метра, принятаго ва единицу, только при температурѣ таянія льда. Потому сравненіе двухъ метровъ между собою должно быть произ- водимо при этой температурѣ; если измѣреніе дѣлается при высшей тем- пературѣ, то оба метра будутъ нѣсколько расширены и притомъ различ- нымъ образомъ, если они приготовлены изъ разныхъ веществъ напр. одинъ изъ платины, другой изъ мѣди. Въ этомъ случаѣ надобно принять въ разсчетъ расширеніе и сдѣлать поправку, какъ мы это покажемъ впо- слѣдствіи. Мы здѣсь ограничимся только указаніемъ на это обстоятельство, усложняющее производство опыта.
22 ВТОРАЯ И такъ помощью компаратора мы можемъ во всякое время имѣть метръ совершенно такой же длины какъ и нормальный метръ, взятый за единицу. Теперь остается намъ раздѣлить его на равныя части: десиметры, санти- метры и миллиметры. Это дѣйствіе столько же деликатно какъ и предъ- идущее; оно производится посредствомъ особаго прибора: дѣлительной машины. Дѣлительная машина. Самая существенная часть этой машины заключается въ такъ называемомъ микрометрическомъ винтѣ. Винтъ этотъ нарѣзанъ на стальномъ или бронзовомъ цилиндрѣ-’ длиною отъ 50 до 80 цантиметровъ. Посредствомъ особенныхъ механическихъ способовъ, кото- рыхъ мы здѣсь не намѣрены описывать, винтъ нарѣзываютъ такъ, чтобы высота каждаго винтоваго хода была ровна миллиметру; такимъ образомъ винтъ будетъ имѣть столько ходовъ, сколько онъ имѣетъ миллиметровъ въ длину. Безъ сомнѣнія, невозможно устроить приборъ, вполнѣ удовлетво- ряющій этому условію, потому должно сдѣлать винтъ, который бы при- близительно имѣлъ такую высоту ходовъ и позволялъ бы провѣрять ее. Поку- да предположимъ что мы имѣемъ дѣло съ совершенно точнымъ винтомъ. Оба конца винта помѣщаются въ отверзтія Р и В (рис. 2), такъ что. винтъ можетъ свободно вращаться, не передвигаясь нисколько по своей Рис. 2. длинѣ. Винтъ приводится въ движеніе посредствомъ рукоятки А; на него надѣта гайка (^), которая не можетъ- вращаться вмѣстѣ съ нимъ и потому должна двигаться взадъ или впередъ, смотря по тому, въ которую сторону мы поворачиваемъ винтъ. Гайка сообщаетъ движеніе полосѣ Е, .которая привинчена къ ней неподвижно. На другомъ концѣ полосы находится ме- ханизмъ съ стилетомъ Н, который слѣдовательно движется также по од- ному направленію съ гайкою и на столько же какъ и эта послѣдняя. Ясно что если, помощью рукоятки, мы повернемъ винтъ на полный оборотъ, то гайка подвинется на высоту одного винтоваго хода, т. е. на одинъмилли- 111 метръ.Если рукоятка описываетъ уд ’ ’ іооо' оборота—гайка подвигается 10 Іоб 1000 миллиметра. И такъ, для того чтобы опредѣлить на ка-
ЛЁКЦІЙ. 23 кую долю миллиметра подвинулась гайка, а Слѣдовательно, и стилетъ Н, достаточно только знать, на какую часть оборота мы поворотили руко- ятку. Для этой цѣли на переднемъ концѣ винта находится кругъ, окруж- ность котораго раздѣлена на 100 дѣленій. Кругъ этотъ вращается вмѣстѣ съ винтомъ, п неподвижный указатель С позволяетъ намъ опредѣлять, ка- кую часть оборота описываетъ кругъ и винтъ при каждомъ движеніи ру- коятки. Если требуется помощью этой машины сдѣлать равныя дѣленія напр. на стеклянной трубкѣ, то оба конца послѣдней зажимаютъ въ К и Ь неподвижно, въ снарядъ, позволяющій трубкѣ вращаться около своей оси безъ всякаго смѣщенія по длинѣ. Стилетъ Н, снабженный алмазнымъ кон- цомъ, нажимаютъ слегка на трубку одною рукою, а другою поворачиваютъ трубку около оси; черта, полученная такимъ образомъ, служитъ начальнымъ дѣленіемъ. Потомъ рукоятку поворачиваютъ такъ, чтобы она описала дугу въ п дѣленій; при этомъ стилетъ подвинется на миллиметра. Тог- да дѣлаютъ вторую черту, и снова поворачиваютъ рукоятку на п дѣле- ній и т. д. Этотъ приборъ представляетъ дѣлительную машину въ ея первоначаль- ной простотѣ. Теорія этой машины безукоризненна, но въ практикѣ требуется еще много усовершенствованій, имѣющихъ цѣлью довести машину до же- лаемой степени точности. Такой усовершенствованный приборъ изображенъ на (рис. 3). Основаніе М прибора сдѣлано изъ чугуна; оно имѣетъ видъ Рпс. 3. рельсовъ. Винтъ находится въ Е, а гайка прикрѣплена къ доскѣ Сг, дви- жущейся по рельсамъ. На этой доскѣ помѣщается предметъ Ь 17, на которомъ хотятъ начертить дѣленія. Стилетъ въ точкѣ Н утвержденъ непод-
24 ВТОРАЯ вижно; въ этомъ случаѣ подвигается не онъ, а предметъ, на которомъ же- лаютъ сдѣлать дѣленія. Для большаго удобства, рукоятка въ А сообщаетъ движеніе винту посредствомъ двухъ зубчатыхъ колесъ, В и В\ располо- женныхъ подъ прямымъ угломъ одно въ отношеніи къ другому. Устрой- ство машины понятно въ томъ видѣ какъ мы ее описали. Мы только обратимъ вниманіе здѣсь 1) на расположеніе стилета 2) на измѣреніе оборотовъ винта. Черты, показывающія подраздѣленія на метрѣ должны быть различной длины: первая черта длинная, слѣдующія че- тыре короткія, потомъ одна черта средней длины, затѣмъ опять четыре короткія, и наконецъ снова одна длинная и т. д. На прежней дѣлительной машинѣ это производилось отъ руки и потому требовало большаго внима- нія и навыка, при всемъ томъ черты никогда не могли имѣть надлежащей правильности. Расположеніе системы стилета, которое изображено на рис. 3 въ перспективѣ, а на рис. 4 въ прооилѣ, устраняетъ вполнѣ это неудобство. Для того чтобы сдѣлать черту, поступаютъ такимъ образомъ: крючекъ 17 (рис. 4) сначала слегка приподнимаютъ и притягиваютъ къ себѣ, по- Рпс. 4. томъ опускаютъ и подвигаютъ въ противуположномъ направленіи, тогда кончикъ стилета, упираясь въ лежащій подъ нимъ предметъ производитъ на немъ черту. Для того, чтобы черта вышла надлежащей длины, нужно, слѣдо- вательно, ограничить движеніе при- бора взадъ и впередъ. Это до- стигается такимъ устройствомъ: Надъ системою стилета находится колесо Ь V X, которое можетъ вращаться около неподвижной оси. Колесо это состоитъ изъ двухъ круговъ, діаметры которыхъ неравны между собою. Большій кругъ снаб- женъ зубцами направленными въ одну сторону; меньшій кругъ имѣетъ вырѣзки, поперемѣнно болѣе и менѣе глубокія, отдѣленныя другъ отъ друга цѣльнымъ краемъ окружности круга. Въ то время когда крючекъ 17 подымаютъ и тянутъ впередъ, выдаю- щаяся часть прибора, X, проникаетъ въ вырѣзку и, упираясь въ ея дно, позволяетъ системѣ стилета двигаться далѣе. Когда, послѣ этого, крю- чекъ подвигаютъ въ противуположную сторону, то система стилета дви-
ЛЕКЦІЯ. 25 жется до тѣхъ поръ, пока не упрется въ конецъ винта Т. Во время этого движенія, выступъ X выходитъ изъ вырѣзки, крючекъ В, задѣваетъ зубчатое колесо и поворачиваетъ его на одинъ зубецъ. Вмѣстѣ съ тѣмъ поворачивается и другое колесо, такъ что при слѣдующемъ движеніи сти- лета впередъ, выступъ X встрѣчаетъ уже не вырѣзку, а край колеса; въ этомъ случаѣ движеніе системы стилета болѣе ограничена, нежели въ пер- вомъ, и потому черта выходитъ короче. Четыре черты сряду дѣлаются при тѣхъ же самыхъ условіяхъ и потому выходятъ одинаково коротки; на- конецъ, когда проводится пятая черта, то выступъ X снова встрѣчаетъ вырѣзку — черта выходитъ длиннѣе; но такъ какъ вторая вырѣзка менѣе глубока, нежели первая, то и черта въ этомъ случаѣ короче первой черты. При такомъ устройствѣ, длина черточекъ умѣряется самимъ приборомъ, безъ особаго участія со стороны того, кто приводитъ приборъ въ дѣйствіе; всѣ черточки выходятъ равной длины, кромѣ 5-хъ и 10-хъ дѣленій, кото- рыя отмѣчаются черточками особенной, имъ свойственной длины. Второй механизмъ, усложняющій дѣлительную машину, назначенъ для того, чтобы самый процессъ дѣленія на равныя части сдѣлать со- вершенно механическимъ и независящимъ отъ участія лица, управляю- щаго приборомъ. При употребленіи машины первоначальнаго устройства, для произведенія дѣленій одинаковой величины, нужно было поворачивать винтъ на одно и тоже число градусовъ круга; это требовало нѣкоторыхъ .ариѳметическихъ соображеній. Положимъ что мы отъ 0° повернули винтъ на 12°, тогда слѣдующій обо- ротъ должно сдѣлать отъ 12° до 24°, потомъ отъ 24° до 36° и. т. д. Весь этотъ разсчетъ требовалъ соображенія и взиманія; кромѣ того каждый разъ на- добно установить винтъ именно на томъ дѣленіи на которомъ нужно; опе- рація эта требовала времени и, при недостаткѣ вниманія, могла сдѣлаться источникомъ ошибокъ. Въ машинахъ новаго устройства, всѣ эти неудобства устранены совершенно. Микрометрическій винтъ (рис. 5) движется въ ХЫ около своей оси, безъ всякаго смѣщенія по длинѣ. На передней части винта находится зуб- чатое колесо В, зубцы котораго всѣ обращены въ одну сторону; колесо это придѣлано неподвижно къ винту и потому движется вмѣстѣ съ нимъ. Продолженіе винта составляетъ гладко-выточенную ось АА, которая охва- тывается частію прибора ОС БЕ, изображенною на рисункѣ въ разрѣзѣ. На этой части, находится широкій сплошной кругъ Е, на ободкѣ котораго сдѣланы винтовые нарѣзы, назначеніе которыхъ мы скоро увидимъ. Вся означенная часть можетъ свободно вращаться около оеи и сообщается посред-
26 ВТОРАЯ Рис. 8. пружина перескакиваетъ по зубцамъ ствомъ системы зубчатыхъ колесъ ВиВ’съ рукояткою; ясно, что при движеніи рукоятки будетъ обра- щаться только часть СС БЕ а микрометрическій винтъ будетъ оставаться въ покоѣ. Для сообщенія движенія вин- ту, на ободѣ круга Е утвержде- на пружина II Е, свободный ко- нецъ которой помѣщается между зубцами колеса В. Зубцы по- слѣдняго направлены такъ, что при движеніи круга отъ Е къ И, свободно, не упираясь въ нихъ; тогда винтъ остается въ покоѣ. Но лишь только кругъ Е начинаетъ обра- щаться въ другую сторону, отъ ЕГ къ Е, конецъ пружины упирается меж- ду зубцами колеса В и заставляетъ его слѣдовать за движеніемъ круга Е; вмѣстѣ съ тѣмъ движется конечно и вийтъ. Вслѣдствіе такого устройства, винтъ теряетъ способность вращаться въ обѣ стороны: всякое движеніе рукоятки отъ ЕГ къ Е сообщается и винту, тогда какъ движеніе отъ Е къ ЕГ оставляетъ винтъ въ покоѣ. Подъ кругомъ Е находится тонкій зубчатый ци- линдръ К, зубцы котораго входятъ въ углубленія винтовой нарѣзки на кругѣ Е. Когда кругъ дѣлаетъ одинъ оборотъ, цилиндръ—поворачивается на одинъ вубецъ, въ ту или другую сторону, смотря по движенію круга. На кругѣ находится поперечный выступъ I, а на цилиндрѣ подобный же выступъ 2; когда эти выступы сходятся, какъ показано на рисункѣ 5, то дальнѣйшее движеніе круга Е и цилиндра К дѣлается невозможнымъ. Приведя части прибора въ это положеніе, дѣлаютъ первую черточку на предметѣ, назначенномъ для дѣленія. Потомъ кругъ Е поворачива- ютъ по направленію отъ ЕГ къ Е. При этомъ движеніи, цилиндръ К поворачивается по направленію отъ X къ 2 до тѣхъ поръ, покуда выступъ X цилиндра не встрѣтитъ выступа I), находящагося на кругѣ. Тогда дальнѣйшее движеніе круга снова дѣлается невозможнымъ. Въ это время проводятъ вторую черту дѣленія. Послѣ того кругъ Е поворачи- ваютъ въ противуположномъ направленіи т. е. отъ Е къ ЕГ, причемъ винтъ остается недвижимъ. Какъ скоро выступъ I встрѣчается съ вы- ступомъ 2, движеніе опять останавливается; кругъ обращаютъ тогда снова въ направленіи отъ ЕГ къ Е, при чемъ винтъ опять приходитъ въ
ЛЕКЦІЯ. 27 движеніе и поворачивается до тѣхъ поръ, пока выступы X и В не встрѣ- тятся во второй разъ. Тогда движеніе остановится, а винтъ въ это вре- мя, помощью такого расположенія двухъ задерживающихъ системъ, со- вершитъ извѣстную часть оборота; нажимая стилетъ проводятъ тогда вто- рую черту. Въ такомъ же порядкѣ поступаютъ далѣе. Очевидно, что при каждомъ движеніи круга отъ 17 къ Р, величина поворота винта будетъ одна и та же, а слѣдовательно, и разстояніе черточекъ одной отъ другой будетъ одинаково. Величина поворота будетъ зависѣть отъ расположенія выступовъ I и 2, X и Б. Выступы I и 2 неподвижны, тогда какъ выступы Хи В можно перестав- лять по произволу; измѣняя надлежащимъ образомъ положеніе послѣднихъ, мы всегда можемъ сообщить винту такую величину поворота, какая намъ нуж- на. Для этой цѣли, на кругѣ СС сдѣланы градусы, позволяющіе опредѣ- лять, на какую часть окружности подвигается винтъ при каждомъ своемъ движеніи. Мы не будемъ говорить здѣсь о многочисленныхъ примѣненіяхъ этой машины, и возвратимся опять къ построенію метра, служащаго намъ ис- ходною точкою для всѣхъ измѣреній. Положимъ что у насъ есть готовая металлическая полоса, длиною ровно въ метръ и что надо раздѣлить ее на миллиметры. Если бы наша машина была точна до совершенства, то было бы достаточно установить подвижные выступы Хи Б такимъ обра- зомъ, чтобы винтъ при движеніи описывалъ полный кругъ; тогда каждое дѣленіе на метрѣ равнялось бы 1 миллиметру и въ промежуткѣ между двумя концами полосы умѣстилось бы равно тысячу дѣленій. На самомъ же дѣлѣ машина никогда не представляетъ такихъ условій, и потому прежде нежели мы приступимъ къ раздѣленію метра, мы должны изучить нашу машину. Для этого метръ укрѣпляютъ на подвижной доскѣ Сг (рис. 3) параллельно винту; надъ метромъ устанавливаютъ микроскопъ, снабжен- ный внутри двумя перекрестными нитями. Метръ передвигаютъ* подъ микроскопомъ до тѣхъ поръ, пока одинъ изъ концовъ метра не совпадетъ съ точкою пересѣченія нитей. Тогда начинаютъ обращать рукоятку машины и считать число оборотовъ, которое нужно сдѣлать для того, чтобы противу- положный конецъ метра пришелъ въ уровень съ мѣстомъ пересѣченія ни- тей въ микроскопѣ. Такъ какъ значительная длина метра непозволяетъ сдѣлать этого въ одинъ пріемъ, то метръ раздѣляютъ сначала на произ- вольное число частей и считаютъ число оборотовъ для каждой части от- дѣльно, а потомъ берутъ сумму всѣхъ оборотовъ, которая обыкновенно небываетъ равна 1000. Положимъ, что сумма всѣхъ оборотовъ винта равна
28 ВТОРАЯ 998; это значитъ, что въ метрѣ высота каждаго отдѣльнаго винтоваго хода заключается 998 разъ и что она равна не 1 миллиметру, а 1000/998 милли- метра т. е. 1,002 мил. По этому, если мы хотимъ умѣстить на метрѣ 1000 равныхъ дѣленій, то нужно, чтобы на каждое дѣленіе приходился не цѣлый винтовой ходъ, т. е. не полный оборотъ винта, а только 998/1000 его долей; со- образно этому устанавливаютъ выступы X и В и приступаютъ къ раздѣленію метра въ полной увѣренности, что ровно 1000 равныхъ дѣленій умѣстится въ промежуткѣ между обоими концами метра. При помощи этой машины, мы можемъ приготовлять линейныя мѣры съ дѣленіями на миллиметры для различныхъ мѣрительныхъ приборовъ; но этого иногда бываетъ недоста- точно. Намъ во многихъ случаяхъ требуется знать подраздѣленія милли- метра. Для этой цѣли мы пользуемся очень простымъ приборомъ, кото- рый называется ноніусомъ. Ноніусъ. Возьмемъ мѣдную полоску длиною въ девять миллиметровъ и раздѣлимъ ее, помощью дѣлительной машины, на десять равныхъ частей. По- томъ приложимъ эту полоску къ метру такимъ образомъ, чтобы она могла дви- гаться свободно вдоль его раздѣленнаго края. Эта полоса будетъ составлять но- ніусъ. Такъ какъ длина его 9 миллиметровъ и онъ раздѣленъ на 10 частей, то каждое дѣленіе ноніуса будетъ равно 9/10 миллиметра, тогда какъ каждое дѣленіе метра равно одному миллиметру или 10/І0; разность между обоими дѣленіями, І0/<0 — 9/10 = ‘/ю- Изъ этого слѣдуетъ, что если обѣ черты 0 мет- ра и ноніуса (ргіс. 6.) совпадаютъ, то обѣ черты 1 будутъ расходиться на У10 Рис. 6. / ----------------------------------г-----------------------.. \ Г Г Г Г Г Г Г Г I______________________________ О 7 & І-7 И І7 І« 15 I 1 і 1 і і і миллиметра, черты 2— на 2/10 миллиметра и т. д.; если другія, какія либо черты совпадаютъ, то разности слѣдующихъ дѣленій будутъ также уі0, 2/10 и т. д. Предположимъ теперь, что намъ нужно измѣрить какой либо предметъ (рис. 7), т. е. сравнить его длину съ длиною метра; положимъ, что длина этого предмета будетъ 4 сантиметра, 5 миллиметровъ и еще дроб- Рис. 7.
ЛЕКЦІЯ, 29 Рис. 8. ная часть миллиметра, которая представляетъ разстояніе между 5 милли- метромъ и концомъ предмета. Требуется найти мѣру этой дробной вели- чины. Для этой цѣли ноніусъ прикладываютъ къ концу предмета, возлѣ метра и смотрятъ, которая изъ черточекъ ноніуса совпадаетъ съ какою либо чертою метра; въ нашемъ примѣрѣ это будетъ 6-я черточка. Тогда, считая отъ этой черты, мы находимъ 5, 4, 3,...о дѣленія ноніуса, ко- торыя рознятся отъ дѣленій метра на */10, 2/10, 3/іо>• •-6/юі это пока- жетъ намъ, что искомая, дробная часть миллиметра будетъ 6/10. И такъ число десятыхъ долей миллиметра всегда будетъ выражаться цифрою дѣ- ленія ноніуса, которое совпадетъ съ дѣленіемъ метра. Положимъ, что мы хотимъ примѣнить этотъ способъ къ измѣренію вы- соты ртути въ барометрѣ. Уровень ртути находится въ А (рис. 8) между 760 и 761 дѣленіями барометрической скалы. Помощью винта мы опускаемъ -ноніусъ до тѣхъ поръ, пока черта О совпадетъ съ уровнемъ ртути; длина, которую намъ нужно измѣрить, есть разстояніе между чертою О ноніуса и 760 дѣленіемъ скалы. Тогда мы ищемъ дѣленіе ноніуса, которое бы совпадало съ какимъ либо дѣленіемъ скалы; положимъ, что это будетъ седьмое дѣленіе ноніуса; это значитъ, что длина искомой части равна 7/10 миллиметра. Мы взяли для примѣра случай, когда ноніусъ, длиною въ 9 миллиметровъ, раздѣленъ на 10 частей; мы могли бы взять ноніусъ въ 19, 29, 39 миллиметровъ, раздѣлить его на 20, 30, 40 частей и тогда мы могли бы измѣрять %о> ’/30, ’/10 миллиметра. Увеличивая число черточекъ но- ніуса, можно дойти наконецъ до того, что разность между дѣленіями ноніуса и дѣленіями скалы сдѣлается такъ ма- ла, что не будетъ никакой возможности различить, которая- именно изъ чертотекъ ноніуса совпадаетъ съ дѣленіемъ скалы. Въ такомъ случаѣ, уменьшая ширину черточекъ и разсматривая ихъ черезъ увеличительное стекло, можно дойти до возможности опредѣлять ‘/100 долю миллиметра; однако и при такихъ условіяхъ нельзя идти въ дѣленіи дальше извѣстныхъ предѣловъ. Ноніусъ примѣняется ко всѣмъ линейнымъ мѣрамъ; онъ также и къ измѣренію дуги круга; если кругъ раздѣленъ то ноніуръ показываетъ напр. 60-тыя части градуса, т. е. примѣняется на градусы,
30 ВТОРАЯ Сферометръ. Микрометрическій винтъ служитъ не только для дѣли- тельныхъ приборовъ; онъ можетъ быть употребленъ и для всякихъ дру- гихъ приборовъ, имѣющихъ цѣлью измѣрять очень малыя разстоянія; онъ составляетъ часть такъ называемыхъ микрометрическихъ приборовъ. Мы здѣсь опишемъ приборъ, назначенный для измѣренія толщины очень тонкихъ пластинокъ съ параллельными сторонами. Сферометръ состоитъ изъ треножника, (рис. 9), ножки котораго окан- чиваются остріями изъ хорошо закаленной стали. Въ срединѣ его находится Рис. 9. гайка, въ отверзтіи которой движется микрометри- ческій винтъ, имѣющій высоту винтоваго хода=‘/2 миллиметра. Треножникъ стоитъ неподвижно на гладкошлифованной стеклянной пластинкѣ. Что же касается до винта, то нижній конецъ его, находящійся сначала въ прикосновеніи съ пластинкою, можно поднимать по произволу, обо- рачивая винтъ. Такъ какъ высота подъема въ этомъ случаѣ будетъ пропорціональна высотѣ оборота винта, то остается измѣрять только эту высоту для того, чтобы знать разстояніе меж- ду нижнимъ концомъ винта и пластинкою. Для этой цѣли, на одной изъ ножекъ прибора вертикально утверждена линейка, край кокорой раз- дѣленъ ца полулиллиметры. Верхній конецъ винта снабженъ гори- зонтальнымъ кругомъ, окружность котораго раздѣлена на 500 частей. Кругъ этотъ движется вмѣстѣ съ винтомъ, причемъ дѣленія круга встрѣ- чаются съ дѣленіями вертикальной лив ки; для управленія оборотами винта, сверху круга находится еще шщ сая пуговка. Установимъ теперь винтъ таким ь образомъ, чтобы край круга совпадалъ съ дѣленіемъ 0° линейки, а край послѣдней съ дѣленіемъ 0° круга. Поворачивая понемногу нть, мы увидимъ, что передъ краемъ линейки будутъ проходить послѣдовательно 1-е, 2-е, 3-е..... дѣ- ленія круга. Но такъ какъ всѣхъ дѣленій круга 500, а высота винтоваго хо- да — ‘/2 миллиметра, то, слѣдовательно, при поворотѣ винта на 1, 2, 3. дѣленія круга, винтъ будетъ подниматься на ‘/1000, 2/1Ооо> 3/юоо. милли- метра. Когда мы сдѣлаемъ полный оборотъ винта, то дѣленіе 0° круга опять остановится противъ края линейки, но такъ какъ при этомъ винтъ поднимется на ‘/2 миллиметра, то край круга станетъ въ уровень не съ 0° линейки, а съ 1°. Продолжая поворачивать винтъ, мы поднимемъ его, положимъ, на высоту между 3 и 4 дѣленіями линейки, причемъ противъ
ЛЕКЦІЯ. 31 края послѣдней придется 25-е дѣленіе круга; значитъ въ это время винтъ поднялся на 3 полумиллиметра и 25/1000 миллиметра, 3/2 -р 0,025 — 1,525. Для опредѣленія высоты подъема винта надъ 0°, нужно, слѣдовательно: 1) замѣтить на линейкѣ число дѣленій, пройденныхъ, кругомъ при движеніи винта, и раздѣлить это число на 2; 2) замѣтитъ, которое изъ дѣленій круга совпадаетъ' съ краемъ линейки и раздѣлить это число на 1,000; сумма найденныхъ чиселъ выразитъ величину подъема винта. Покажемъ теперь какимъ образомъ приборъ этотъ примѣняется къ из- мѣренію толщины пластинокъ съ параллельными плоскостями. Для этого сначала опускаемъ конецъ винта ниже плоскости опредѣляемой остріями ножекъ прибора и ставимъ приборъ на шлифованную подставку. Приборъ въ такомъ положеніи можетъ стоять только на трехъ точкахъ: двухъ нож- кахъ и концѣ винта, причемъ третья ножка всегда будетъ приподнята; чрезъ это приборъ дѣлается неустойчивымъ и, при каждомъ движеніи, дол- женъ шататься, что узнается по особенному звуку, происходящему отъ удара ножекъ о подставку. По мѣрѣ подъема винта, звукъ этотъ и шатаніе при- бора уменьшаются, и наконецъ прекращаются вовсе, какъ скоро всѣ три ножки и конецъ винта будутъ находиться въ одной и той же плоскости. Искусство наблюдателя заключается именно въ умѣніи уловить этотъ мо- ментъ. Того же достигаютъ еще легче слѣдующимъ образомъ: въ то время, когда конецъ винта опущенъ ниже плоскости опредѣляемой остріями но^ жекъ, подставкѣ прибора сообщаютъ легкій толчокъ въ горизонтальномъ направленіи. Отъ этого сферометръ вертится около конца винта, какъ около оси, ножки скользятъ по подставкѣ и издаютъ при этомъ осо- бенный звукъ, который дѣлается все глуше и глуше, по мѣрѣ того, какъ винтъ поднимаютъ и, наконец ъ,совершенно прекращается, когда конецъ винта станетъ въ уровень съ концами ножекъ. Этотъ то моментъ и слѣ- дуетъ уловить. При всемъ навыкѣ наблюдателя, всегда будетъ существо- вать маленькая разность между двумя послѣдовательными измѣреніями; впрочемъ эта разность не должна превышать 1 или 2 дѣленій круга. Когда концы ножекъ и конецъ винта лежатъ въ одной плоскости, при- ступаютъ къ вычисленію высоты, на которую поднятъ винтъ надъ 0°; пусть эта высота будетъ напр. 1,525 миллиметра. Тогда СФерометръ при- поднимаютъ и подъ конецъ винта подкладываютъ пластинку, толщину ко- торой хотятъ измѣрить. Послѣ этого винтъ начинаютъ понемногу подни- мать и поступаютъ вообще, какъ выше сказано. Положимъ, что въ послѣд- немъ случаѣ высота подъема винта будетъ 3,826 миллиметра; толщина пластинки выразится разностію: 3,826 — 1,525.
32 ВТОРАЯ Если бы мы хотѣли измѣрить толщину волоска или вообще такого предме- та, который нельзя положить непосредственно подъ конецъ винта, то можно поступать слѣдующимъ образомъ: сначала подъ винтъ кладутъ тонкую стеклянную пластинку и измѣряютъ высоту подъема винта, потомъ подъ пластинку кладутъ волосокъ и т. и. и снова измѣряютъ высоту подъема; раз- ность между обоими измѣреніями будетъ представлять толщину волоска. Рцс. 10. Катетометръ. Въ продолженіе нашего курса намъ часто при- дется опредѣлять раз- ность уровня двухъ столбовъ жидкости. Необходимость осо- беннаго прибора для измѣренія этой раз- ности ощущается на каждомъ шагу. Пер- вый подобный приборъ изобрѣтенъДюлонгомъ и Пти (Впіоп^ еі Реііі) по поводу ихъ работъ надъ расшире- ніемъ жидкостей. Пулье (Ропіііеі) ввелъ его во всеобщее упо- требленіе, усовершен- ствовалъ и,далъ ему названіе катетомет- ра. Въ новѣйшее вре- мя имъ пользовался преим ущес тв ен но Магнусъ, при своихъ изслѣдованіяхъ надъ расширеніемъ газовъ и паровъ; наконецъ, упругостью водяныхъ изслѣдованія Реньо (Ве^паиіі) до такой
ЛЕКЦІЯ. 33 степени распространили употребленіе этого инструмента, что знакомство съ нимъ сдѣлалось необходимымъ для каждаго занимающагося физикою. Су- щественную, часть прибора (рис. 10) составляетъ вертикальная линейка съ дѣленіями, но которой движется горизонтальная зрительная труба. Для опредѣленія разности высоты двухъ точекъ, на нихъ поочередно наводятъ зрительную трубу; искомая разность измѣряется разностью высотъ, на ко- торыя нужно было передвинуть трубу въ первый и второй разъ. Нѣтъ ничего удобнѣе этого прибора, если онъ хорошо устроенъ; за то и нѣтъ ничего обманчивѣе его, если только онъ не совсѣмъ вѣренъ. Это обсто- ятельство заставляетъ насъ разсмотрѣть устройство катетометра въ под- робности. Представленный на рисункѣ катетометръ, описаніе котораго слѣдуетъ далѣе, .есть отличный образецъ, приготовленный механикомъ Штаудинге- ромъ въ Гиссенѣ. На массивной желѣзной ножкѣ, опирающейся на три уравнительные винта 88, утверждена вертикально стальная ось, которая на рисункѣ видна при Ь, гдѣ снята часть латуннаго ея Футляра. Около нея можетъ сво- бодно вращаться пустой латунный цилиндръ НН'. Для того чтобы сдѣ- лать это вращеніе болѣе свободнымъ, верхній конецъ цилиндра при Н имѣетъ стальной винтъ посредствомъ котораго и опирается на вершину стальной оси. Отъ легкаго поднятія винта, треніе на нижнемъ концѣ ци- линдра, гдѣ онъ опирается на ободокъ окружающій ножку, можетъ дѣ- латься весьма слабымъ, потому что тогда цилиндръ удерживается почти только на винтѣ. На цилиндрѣ утверждены, съ одной стороны, масштабъ АВ, строго параллельный стальной оси, а съ друго й массивный цилиндръ СгСг* изъ латуни, равнаго вѣса съ масштабомъ и уравновѣшивающій его. Масштабъ состоитъ изъ призмы литой стали, на сторонахъ которой сдѣ- лана углубленная въ видѣ желобка продольная полоса шириною въ 8 мил- лиметровъ, съ чрезвычайно - гладкою поверхностью. Масштабъ, равно какъ и противовѣсъ, сверху и снизу прочно соединены съ цилиндромъ. Осно- ванія и передняя сторона призмы масштаба весьма ровны и гладки. По- срединѣ этой стороны проходитъ серебряная полоса въ 1,1 метръ дли- ною и 8 миллиметровъ шириною. Она на длинѣ одного метра раздѣлена на миллиметры. По гладкимъ шлифованнымъ сторонамъ призмы скользятъ полозьями, вверхъ и внизъ, обхватывающія ее салазки Не, удерживающія на себѣ зрительную трубу съ принадлежностями. Эта скользящая часть состоитъ изъ двухъ частей, означенныхъ на рисункѣ буквами <7 и е. Салазки, съ Физика і, 3
34 ВТОРАЯ весьма слабымъ треніемъ, которое уменьшается еще отъ смазки неболь- шимъ количествомъ масла, скользятъ по призмѣ совершенно правильно и безъ малѣйшаго шатанія въ стороны. Посредствомъ нажимательнаго винта д, прижимающаго къ сторонѣ призмы подвижную латунную пластинку, можно удерживать салазки на желаемой высотѣ призмы; въ салазкахъ надъ бук- вой с/ сдѣлана прорѣзь со скошенными краями, чрезъ которую видна часть передней стороны призмы съ ноніусомъ, который лежитъ прямо на скалѣ серебряной полосы. Положеніе солазокъ на скалѣ читается посредствомъ лупы I на ноніусѣ, который прямо даетъ дѣленія до 0,05 миллиметра. Верхняя часть салазокъ покоится, вмѣстѣ съ маленькой стальной ру- кояткой, на верхнемъ концѣ микрометрическаго винта т и всегда плотно прижимается къ нему помощью стальнаго пера. А посредствомъ микро- метрическаго винта, эту часть салазокъ можно немного приподнимать и опускать, для того чтобы возможно точнымъ образомъ направлять зритель- ную трубу на разсматриваемый предметъ. Зрительная труба СВ покоится на развилинѣ совершенно неподвижно, а уровень Я установленъ строго въ параллельномъ направленіи съ опти- ческой осью трубы. • Таковъ общій видъ прибора. Теперь посмотримъ, какимъ образомъ со- общить ему надлежащую точность й управляться съ нимъ. Зрительная труба составляетъ оптическій инструментъ о которомъ мы будемъ гово- рить впослѣдствіи подробно; теперь же ограничимся только описаніемъ главныхъ, общихъ свойствъ инструмента. Внутри зрительной трубы на- ходится система нитей, состоящая изъ двухъ очень тонкихъ паутинокъ перекрещивающихся подъ прямымъ угломъ; система эта видна одновре- менно съ изображеніемъ предмета въ трубѣ; такое устройство позволяетъ наводить трубу съ большою точностью на точку, положеніе которой хо- тятъ опредѣлить; для этого нужно только, чтобы эта точка совпала съ мѣс- томъ пересѣченія нитей. Въ зрительной трубѣ есть одна постоянная ли- нія, такъ называемая оптическая осъ трубы. Линія эта проходитъ чрезъ точку пересѣченія нитей и центръ предметнаго стекла; когда труба наве- дена на какую нибудь точку, то можно быть увѣрену, что точка эта на- ходится на продолженіи оптической оси трубы. Оптическая система зрительной трубы состоитъ изъ стеколъ заключен- ныхъ въ трубу изъ латуни. Труба обхватывается двумя кольцами совер- шенно одинаковыми, ибо онѣ сдѣланы изъ одного и того же цилиндра, разрѣзаннаго на двѣ части; ось ихъ общая: она тождественна съ геомет- рическою осью трубы. Изъ этого устройства слѣдуетъ, что, если мы бу-
ЛЕКЦІЯ. 35 демъ обращать трубу, лежащую на вилкѣ, то геометрическая ось ея ни- сколько не перемѣстится. Этого нельзя сказать объ оптической оси, ибо оптическая ось не тождественна съ геометрическою; поэтому, прежде всего мы должны установить оптическую ось такимъ образомъ, чтобъ она совершенно совпадала съ геометрической осью. Этого достигаютъ измѣняя надлежащимъ образомъ положеніе системы нитей. Для того чтобъ увѣ- риться въ полномъ совпаденіи обѣихъ осей, трубу наводятъ на какую либо точку, и потомъ поворачиваютъ ее около геометрической оси. Если условіе выполнено удачно, то мѣсто перекрещиванія нитей будетъ посто- янно совпадать съ точкою на которую наведена труба. Тогда опредѣленіе положенія оптической оси, при каждомъ отдѣльномъ наблюденіи, будетъ сводиться только на опредѣленіе положенія геометри- ческой оси, что производится съ большою легкостью, какъ мы это сейчасъ остается выполнить еще три условія: 1) установить тру- ея уровню X, 2) перпендикулярно металлическимъ поло- Рис. 11. Ъ' в А.’ ~і! Ъ’ В' X увидимъ. Послѣ этого бу параллельно самъ, по которымъ она движется, 3) сообщить оси вращенія катетометра вертикальное направленіе. I. Пусть XV (рис. 11) означаетъ ось зрительной трубы, АВ уро- вень, т— положеніе воздушнаго пузырька въ немъ; если XV и АВ па- раллельны между собой, то, при поворотѣ зрительной трубы такимъ образомъ, чтобы она изъ положенія XV перешла въ положеніе обратное, уровень долженъ также занятъ положеніе В’ А’, при этомъ пузырекъ т сохранитъ въ отношеніи къ наблюдателю то же положеніе какое имѣлъ прежде. Если же уровень находился первоначально въ положеніи а Ъ, то, при по- воротѣ трубы, онъ перейдетъ въ положеніе а'Ъ', и тогда воздушный пу- зырекъ т передвинется. Чтобы сдѣлать уровень параллельнымъ трубѣ, его устанавливаютъ посредствомъ особеннаго винта до тѣхъ поръ, пока пузырекъ т, при сказанномъ выше поворотѣ трубы, не будетъ оставаться на прежнемъ мѣстѣ. II, Удовлетворивъ этимъ условіямъ, мы должны установить трубу пер- пендикулярно къ оси ММ', (рис. 12^), для этого приборъ поворачиваютъ на полкруга около оси ММ’. Если труба перпендикулярна, то послѣ поворота 3*
36 ВТОРАЯ го винта, который поворачиваютъ нѣ не будетъ оставаться на томъ она должна занять положеніе парал- лельное ея первоначальному положе- нію; если же она не находилась съ осью подъ прямымъ угломъ, а напр. въ положеніи аЪ, то при поворотѣ около оси ММ' она приметъ положеніе а’ Ь* и тогда пузырекъ т въ уровнѣ пе- редвинется. Трубу устанавливаютъ въ перпендикулярномъ положеніи, на- клоняя надлежащимъ образомъ вилку поддерживающую трубу; установка эта производится посредствомъ особенна- тѣхъ поръ, покуда пузырекъвъ уров- і мѣстѣ, при поворотѣ трубы на пол- круга. III. Наконецъ слѣдуетъ установить въ вертикальномъ положеніи ось ММ'. Для этой цѣли трубу укрѣпляютъ въ положеніи параллельномъ двумъ винтамъ чугунной подставки прибора. Одинъ изъ этихъ винтовъ вращаютъ до тѣхъ поръ, пока пузырекъ уровня не остановится на 0°. Тогда трубу поворачиваютъ около оси ММ' на 90°, укрѣпляютъ неподвижно и, помо- щью третьяго винта подставки, опять устанавливаютъ пузырекъ уровня на нулѣ. Вотъ, рядъ операцій., которыя слѣдуетъ совершить для того, чтобы сдѣ- лать катетометръ точнымъ. Но и при этихъ условіяхъ необходимо еще имѣть въ виду различныя несовершенства, неизбѣжныя въ каждомъ при- борѣ. Такимъ образомъ каждый разъ, когда мы поднимаемъ и опускаемъ систему зрительной трубы, пузырекъ уровня измѣняетъ нѣсколько свое мѣсто; это доказываетъ, что положеніе трубы послѣ движенія не остается совершенно параллельнымъ первоначальному положенію. Если же труба въ двухъ положеніяхъ А и В (рис. 13) не остается параллельною, то раз- ности измѣряемыхъ высотъ А' В', А" В", Рис> 13> никогда не будутъ равны величинѣ АВ, отмѣриваемой на приборѣ; ошибка при из- ..... мѣреніи будетъ тѣмъ больше, чѣмъ больше с=и’ разстояніе между приборомъ и измѣряемымъ предметомъ. По этому, при каждомъ измѣ- _________цг_____,, реніи, нужно провѣрять положеніе трубы и приводить пузырекъ уровня къ нулю.
лекція. 37 Чтобы избѣжать неудобства устанавливанія вертикальной оси по выше- описанному способу, къ ножнѣ инструмента придѣлываютъ еще два уровня, находящіеся подъ прямымъ угломъ другъ къ другу; ихъ провѣряютъ и укрѣпляютъ одинъ разъ на всегда, и потомъ уже руководствуются ими при установленіи прибора во время наблюденій. Теодолитъ. Кромѣ измѣреній длины, часто встрѣчается необходи- мость, особенно въ оптикѣ, въ точномъ измѣреніи угловъ. Оно произво- дится посредствомъ теодолита. Теодолитъ, въ его болѣе или менѣе со- вершенномъ видѣ, есть давно уже извѣстный угломѣрный инструментъ, изобрѣтатель котораго неизвѣстенъ, также какъ и значеніе названія самаго инструмента. Попытка произвести это названіе изъ греческаго языка, дала объясненіе и неопредѣленное, и натянутое. Теодолитъ—есть угло- мѣрный снарядъ, Состоящій изъ зрительной трубы и двухъ круговъ съ дѣле- ніями: горизонтальнаго и вертикальнаго. Предлагаемый рисунокъ (рис. 14) и наше описаніе относятся къ теодолиту, хранящемуся въ кабинетѣ математическихъ приборовъ Брейтгаупта въ Касселѣ. Основаніе инструмента составляетъ массивный тре- ножникъ, поддерживаемый тремя уравнинтельыми вин- тами. На средней части его утвержденъ посредствомъ спицъ латунный кругъ К въ горизонтальномъ поло- женіи. По краю круга на ложена серебряная полоска съ точнымъ круговымъ дѣ- леніемъ. Въ одной плос- Рис. 14. кости съ этимъ кругомъ и совершенно концентрически съ нимъ, распо- ложенъ малый кругъ, внѣшній край котораго лежитъ при внутреннемъ
38 ВТОРАЯ краѣ круга К. Малый кругъ можетъ вращаться около оси проходящей чрезъ его центръ и утвержденной въ средней точкѣ треножника. Кругъ этотъ называется алидаднымъ кругомъ или лимбомъ. На обоихъ концахъ од- ного изъ его діаметровъ находятся ноніусы К, показывающіе полуминуты и еще меньшія части градуса, смотря по дѣленію круга. А надъ ноні- усами помѣщены на кругѣ небольшіе микроскопы. Алидадный кругъ мо- жетъ быть установленъ посредствомъ нажимательнаго винта 8, къ кото- рому присоединенъ еще микрометрическій винтъ з, для болѣе точнаго установленія. На привинченномъ къ этому кругу столбѣ ШТ. покоится зрительная труба ЕЕ'. Оптическая ось ея пересѣкается осью вращенія столба И, со- ставляющей продолженіе оси алидаднаго круга. Труба утверждена на оси вращенія В, перпендикулярной къ ея оптической оси, совершенно параллельной съ горизонтальнымъ кругомъ и вставленной своими концами въ отверзтія В, въ которыхъ она можетъ обращаться. На трубѣ нахо- дится уровень Ь. На той же оси В, перпендикулярно къ ней, неподвижно утвержденъ, вмѣстѣ съ трубою, вертикальный кругъ V. При обоихъ кон- цахъ его горизонтальнаго діаметра находятся два неподвижныхъ ноніуса А и В. Отъ точекъ на кругѣ, соотвѣтствующихъ нулевымъ дѣленіямъ ноніусовъ, идутъ въ обѣ стороны дѣленія, отъ 0° до 90°. Оптическая ось трубы должна проходить черезъ нулевыя точки дѣленія вертикальнаго круга. Если трубу съ кругомъ повернуть, то ноніусы покажутъ величину оборота. Вертикальный кругъ устанавливается въ желаемомъ положеніи помощью нажимательнаго винта (^), съ присоединеннымъ къ нему микрометрическимъ винтомъ. Весь приборъ стоитъ на штативѣ, къ которому онъ прикрѣпленъ по- средствомъ винта и спиральной пружины. Если нужно измѣрить посредствомъ теодолита напр. угловое разстояніе двухъ точекъ па горизонтальной плоскости, то нужно сначала повѣрить приборъ подобнымъ же образомъ какъ и катетометръ и испытать паралле- ленъ ли ватерпасъ съ осью трубы, перпендикулярна ли ось вращенія трубы къ ея оптической оси, находятся ли онѣ обѣ въ плоскости перпен- дикулярной къ оси вращенія алидаднаго круга и наконецъ, перпендику- лярна ли эта послѣдняя ось къ горизонтальному кругу. Потомъ достаточно только горизонтальный кругъ установить строго въ горизонтальномъ поло- женіи, для того, чтобы ось вращенія алидаднаго круга была вертикальна *). *) Прекрасное описаніе всѣхъ поправокъ теодолита находится въ ЕІетепіе <1ег Ѵегтеззип&зкшісіе, БауерпФеііпда, Т. I.
ЛЕКЦІЯ. 39 Приготовивъ такимъ образомъ приборъ, нужно направить трубу'сна- чала на одну изъ данныхъ точекъ и замѣтить показаніе ноніуса. Потомъ повторить тоже самое относительно другой точки. Тогда полученная раз- ность показаній ноніуса и будетъ искомое угловое разстояніе. Ноніусы даютъ каждый разъ два показанія взаимно повѣряющія другъ друга и служащія вмѣстѣ съ тѣмъ къ поправкѣ случающихся ошибокъ дѣленія.
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦІЯ. Тяжесть. Движеніе.—Инерція}—Силы.—Движеніе равномѣрное и неравномѣр- ное.—Направленіе силы тяжести.—Отвѣсъ.—Отношеніе направленія тяжести къ поверхности воды въ спокойномъ состояніи.—Вѣсъ.—Центръ тяжести.—Изслѣдованіе движенія производимаго тяжестью. —Вліяніе сопротивленія воздуха.—Приборъ Морена.—Наклонная плоскость Гали- лея.—Атвудова машиіна.—Законъ пространства и скорости.—Про- порціональность между силою и ускореніемъ движенія. Точка находится въ покоѣ, когда она неизмѣнно занимаетъ все одно и то же мѣсто въ пространствѣ; она находится въ движеніи, когда положе- ніе ея въ пространствѣ измѣняется. Такъ какъ вокругъ насъ нѣтъ насто- ящаго покоя, ибо мы движемся въ пространствѣ вмѣстѣ съ земнымъ ша- ромъ, то мы можемъ наблюдать движенія только относительныя. Только этого рода движеніе мы и можемъ изслѣдовать Физически; поэтому мы должны ограничиться изученіемъ законовъ относительныхъ движеній въ томъ видѣ, какъ они намъ представляются, оставляя на время безъ вни- манія то общее движеніе, въ которомъ мы сами участвуемъ; чтобы съ по- мощью этихъ выводовъ, придти, по аналогію, и къ познанію законовъ дви- женія абсолютнаго. Инерція. Мы видимъ, что матерія подвижна; но мы знаемъ также, что она не измѣняетъ своего движенія безъ вліянія особенныхъ причинъ, вызываю- щихъ такое измѣненіе. Если тѣло въ покоѣ, то оно и остается въ этомъ состояніи; если же оно въ движеніи, то и продолжаетъ двигаться. Это свойство матеріи называется инерціей', причины, вызывающія перемѣну въ состояніи матеріи, называются силами. ?Не должно полагать, что ма- терія сама по себѣ не можетъ производить движенія. Мы увидимъ далѣе,
ТРЕТЬЯ ЛЕКЦІЯ. 41 что достаточно сблизить между ссбою два тѣла для того, чтобы въ нихъ развилась сила отъ которой они оба придутъ въ движеніе.! Инерція со- стоитъ только въ томъ, что каждая частица' вещества, находящаяся сво- бодною въ пространствѣ, остается въ покоѣ, если она первоначально находилась въ этомъ состояніи, и на оборотъ: если она была въ движеніи, то и продолжаетъ двигаться по прямой линіи, не ускоряя и не замедляя движенія, причемъ въ равные промежутки времени, она пробѣгаетъ рав- ныя пространства. Такое движеніе называется равномѣрнымъ. Движеніе равномѣрное и неравномѣрное. Равномѣрное движеніе можетъ быть болѣе или менѣе скорымъ или медленнымъ, смотря по тому большее или меньшее пространство пробѣгаетъ движущееся тѣло въ одинако- вый промежутокъ времени. Съ понятіемъ о скорости, слѣдовательно, свя- зано понятіе о пространствѣ, пробѣгаемомъ въ равные промежутки времени; по этому, для измѣренія скорости, сравниваютъ пространства пробѣгаемыя тѣломъ въ единицу времени, напр. въ 1 секунду. Если мы говоримъ, что скорость движенія какого либо тѣла=1, 2, 3... метрамъ, то подъ этимъ должно понимать что тѣло въ 1 секунду прохо- дитъ разстояніе въ 1, 2, 3... метра. Изъ этого слѣдуетъ, что пространство это, при равномѣрномъ .движеніи, можетъ быть выражено ^Формулою: е — ѵі гдѣ е означаетъ пространство, ѵ скорость, і время. Мы знаемъ, что тѣла могутъ имѣть также движеніе неравномѣрное, то есть пробѣгать неравные пути въ равныя времена. Ихъ скорость при этомъ измѣняется въ каждое мгновеніе, и мы не можемъ болѣе опредѣ- лить ее, какъ это дѣлалн прежде, отношеніемъ пространства е, пробѣга- емаго тѣломъ во время і, ко времени і. Объ опредѣленной скорости тѣ- ла, имѣющаго такое движеніе, можно говорить только относительно из- вѣстнаго мгновенія, и въ такомъ случаѣ должно обозначать ту скорость, которую оно имѣло бы, еслибы, начиная отъ даннаго мгновенія, оно про- должало свое движеніе совершенно равномѣрно. Въ теоретической меха- никѣ эта скорость находится слѣдующимъ образомъ. Представимъ себѣ, что, начиная отъ опредѣленнаго мгновенія, въ - продолженіе весьма корот- каго промежутка времени Д^, тѣло проходитъ весьма малое пространство . Де Де, тогда отношеніе — выразитъ намъ среднюю скорость, съ которою тѣло проходитъ этотъ путь, то есть, когда тѣло, впродолженіе времени Ді(, движется’со скоростью выраженною этимъ отношеніемъ, то оно_про- бѣгаетъ пространство Де. Представимъ себѣ теперь Д#, а, слѣд^жм$Дцот\ гГХлК/г
42 ТРЕТЬЯ и Де безконечно малыми. Тогда сказанное отношеніе достигнетъ извѣстнаго предѣла и при этомъ выразитъ намъ скорость, съ которою тѣло пробѣ- гаетъ безконечно малое пространство. Величина эта потому называется скоростью тѣла въ данное мгновеніе. И такъ неравномѣрное движеніе измѣняетъ свою скорость въ каждое мгновеніе. Положимъ теперь, что измѣненіе скорости впродолженіе при- нятаго нами весьма малаго промежутка времени Ді, будетъ Дг/л. Въ та- • Д«о комъ случаѣ отношеніе между этими величинами, ~ снова выразитъ намъ Ді характеръ движенія. Когда это отношеніе имѣетъ постоянную величину, то движеніе называется равномѣрно перемѣнчивымъ и именно равномѣрно ускорительнымъ, если сказанное отношеніе есть величина положительная, или равномѣрно укоснительнымъ, если оно представляетъ величину от- рицательную. Отношеніе показываетъ насколько прибавляется скорость въ единицу времени, наприм. въ секунду, если она въ каждый проме- жутокъ времени Д2 прибываетъ на равную величину Дад. Это отношеніе называется ускореніемъ. Когда не есть величина постоянная, то это значитъ, что возра- № станіе скорости въ разные моменты времени различно. Тогда движеніе называется неравномѣрно ускорительнымъ или неравномѣрно укоснитель- нымъ, смотря потому ускоряется ли оно или замедляется. ' Измѣреніе силъ. Чтобы знать всѣ элементы опредѣляющіе силу, необ- ходимо узнать: 1) точку на которую сила дѣйствуетъ—т. е. точку при- ложенія силы; 2) направленіе движенія, которое совершается‘подъ влія- ніемъ силы: — т. е. направленіе силы, и наконецъ 3) напряженіе силы. Всякую силу можно уравновѣсить извѣстнымъ вѣсомъ, дѣйствующимъ на туже самую точку но въ противуположномъ направленіи. По этому, при сравненіи силъ, можно руководствоваться сравненіемъ вѣсовъ, и такимъ образомъ измѣрять силы помощью вѣса и выражать въ килограммахъ. Приборъ служащій для этой цѣли называется динамометромъ. Каковъ бы ни былъ источникъ происхожденія силы, ихъ можно всегда раздѣлить на два рода. Однѣ изъ нихъ всегда дѣйствуютъ въ одномъ и томъ же направленіи и въ каждый моментъ времени уравновѣшиваются однимъ и тѣмъ же числамъ килограммовъ; такія силы называются посто- янными. Другія силы въ различные промежутки времени *требуютъ раз- личнаго числа килограммовъ для своего уравновѣшенія, и вмѣстѣ съ измѣне-
ЛЕКЦІЯ. 43 ніемъ напряженія, измѣняютъ и свое направленіе; ихъ называютъ поэтому перемѣнными или непостоянными силами. Теперь предстоитъ задача: узнать какъ будетъ двигаться тѣло, нахо- дящееся во все время движенія подъ вліяніемъ силы. Рѣшеніе этой за- дачи составляетъ предметъ цѣлой науки, которая объемлетъ множество Физическихъ вопросовъ. Очевидно, что рѣшенія этого нельзя было достиг- нуть однимъ путемъ мышленія; здѣсь, какъ и въ другихъ Физическихъ вопросахъ, надобно было прибѣгнуть къ опыту. Вотъ путь, которомуѵ должно слѣдовать: сначала мы наблюдаемъ нѣсколько”п'ростыхъ случаевъ движенія, изъ нихъ выводимъ эмпирическіе законы, и потомъ стараемся отыскать такія общія начала, изъ которыхъ законы эти выводились бы какъ неизбѣжныя слѣдствія, и кромѣ того предвидѣлись бы всѣ резуль- таты дѣйствія силъ при всевозможныхъ условіяхъ. Это составитъ теорію силъ, а начала принятыя нами — основаніе математической науки, назы- ваемой механикою. Мы въ этомъ случаѣ прибѣгаемъ къ эксперименталъ^- ному Физическому способу изслѣдованія: 1) мы сначала наблюдаемъ законы дѣйствія силъ въ отдѣльныхъ, частныхъ случаяхъ; 2) стараемся най- ти общія начала, которыя дали бы намъ возможность объяснять эти законы и предвидѣть ихъ; до сихъ поръ мы находимся еще въ предѣ- лахъ физики; 3) наконецъ, намъ остается еще вывести всѣ логическія слѣд- ствія изъ этихъ началъ, путемъ математическаго анализа; это входитъ уже въ область раціональной механики. Есть одинъ рядъ явленій, къ изученію котораго чрезвычайно удобно примѣняется сказанный методъ, именно: дѣйствіе тяжести. Мы разсмот- римъ эти явленія, сначала не прибѣгая ни къ какой гипотезѣ, и поста- раемся выполнить вышеупомянутую программу изслѣдованія. Направленіе тяжести. Тяжесть составляетъ причину паденія тѣлъ; она дѣйствуетъ по опредѣленному направленію, которое постоянно для каждой мѣстности. Направленіе это опредѣляется посредствомъ слѣдую- щаго опыта: тѣло привязываютъ къ ниткѣ, верхній конецъ которой укрѣп- ляютъ неподвижно. Сначала тѣло качается на ниткѣ, но вскорѣ приходитъ въ состояніе покоя; такъ какъ оно не падаетъ, то, слѣдовательно, сила тяжести уравновѣшивается здѣсь сопротивленіемъ нитки, дѣйствующимъ въ направленіи противоположномъ тяжести. И такъ, направленіе тяжести можетъ быть опредѣляемо ПомбіЦьЮ от- вѣса. Его можно согласовать, помощью точныхъ инструментовъ, съ относи- тельнымъ положеніемъ небесныхъ тѣлъ, что и составляетъ одну изъ обык- новенныхъ геодезическихъ операцій; наконецъ, можно просто сравнивать по-
44 ТРЕТЬЯ ложеніе нити съ поверхностью жидкости находящейся въ покоѣ. Для это- го достаточно погрузить гирьку отвѣса въ какую-либо темную жидкость и наблюдать въ одно время положеніе нити и отраженное изображеніе ея въ жидкости. При какихъ бы условіяхъ ни дѣлались наблюденія, мы всегда найдемъ, что нитъ и ея отраженіе въ жидкости образуютъ одну прямую линію. Изъ этого слѣдуетъ заключить, что положеніе нити всегда перпендикулярно поверхности жидкости. Вѣсъ.—Центръ тяжести. Тѣло состоитъ изъ собранія частицъ; каждая изъ нихъ находится подъ вліяніемъ тяжести. Сумма всѣхъ силъ, дѣйствующихъ на отдѣльныя частицы, можетъ быть выражена одною рав- нодѣйствующею: это будетъ — вѣсъ тѣла, сила, вызывающая паденіе тѣла. Напряженіе и направленіе силы въ одной и той же мѣстности всег- да одинаково; но для различныхъ тѣлъ эта сила будетъ различна. Точка приложенія силы тяжести постоянна и называется центромъ тяжести. Центръ тяжести есть точка приложенія равнодѣйствующей всѣхъ силъ, дѣйствующихъ па отдѣльныя частицы тѣла; всѣ способы вычисленія этой силы основаны на послѣднемъ опредѣленіи. Должно замѣтить, что укрѣпляя неподвижно центръ тяжести какого либо тѣла, мы уничтожаемъ дѣйствіе тяжести на тѣло, въ какихъ бы положеніяхъ оно ни находилось. Поэтому центръ тяжести мы можемъ опредѣлить еще такимъ образомъ: это есть точка, на которой тѣло дер- жится въ равновѣсіи при всевозможныхъ положеніяхъ. Законы паденія тѣлъ. Вліяніе противодѣйствія воздуха. Прежде нежели мы займемся изученіемъ законовъ паденія тѣлъ, замѣтимъ, что скорость паденія не оди- накова для различныхъ тѣлъ. Свинцовая пуля, листъ бумаги, перо, падаютъ съ весьма различною скоростью, такъ что съ перваго взгляда можетъ по- казаться, что и самые законы паденія для каждаго изъ этихъ тѣлъ раз- личны. Весьма простой опытъ приводитъ насъ, однако, къ другому .заключе- нію. Опытъ состоитъ въ слѣдующемъ: берутъ широкую стеклянную трубку (рис. 15) длиною около 2 метровъ; одинъ конецъ трубки герметически запирается мѣднымъ колпакомъ, другой оканчивается втулкою съ кра- номъ и винтовою нарѣзкою въ видѣ гайки; этимъ концомъ приборъ, можетъ навинчиваться на трубку воздушнаго насоса. Въ трубку помѣща-. ютъ вещества представляющія самую разнообразную скорость паденія при
ЛЕКЦІЯ. 45 обыкновенныхъ условіяхъ. Изъ трубки выкачиваютъ воздухъ Рис. 15. помощью воздушнаго насоса, и запираютъ кранъ; потомъ труб- ку быстро оборачиваютъ верхнимъ концомъ внизъ; тогда тѣла, [ заключенныя въ трубкѣ, падаютъ. Наблюдая паденіе тѣлъ при этихъ условіяхъ, мы увидимъ, что всѣ они падаютъ съ оди- наковой скоростью. Потомъ, открывая кранъ на весьма короткое время, впускаютъ, въ трубку немного воздуху и заставляютъ тѣла падать снова; въ этомъ случаѣ паденіе болѣе легкихъ | тѣлъ нѣсколько замедляется. Наконецъ, кранъ отворяютъ совер- I шенно, при чемъ вся трубка наполняется воздухомъ; тогда раз- | ность скорости паденія, дѣлается чрезвычайно велика. Изъ этого опыта видно, что воздухъ оказываетъ . сопротивленіе па- і дающимъ тѣламъ и при томъ въ различной степени для различ- ныхъ тѣлъ. Слѣдовательно, если изучать законы паденія въ безвоздушномъ пространствѣ, то они должны быть одинаковы для всѣхъ тѣлъ вообще-. | Я приведу поэтому поводу еще два опыта. Берутъ какую- I нибудь монету и кружокъ, вырѣзанный изъ листа тонкой бу- маги и имѣющій діаметръ равный діаметру монеты. Наблюдая I паденіе этихъ тѣлъ порознь, мы найдемъ что кружокъ падаетъ I медленнѣе чѣмъ монета. Когда же мы положимъ кружокъ на [ монету и заставимъ ихъ падать вмѣстѣ, то увидимъ что они | ' упадутъ въ одно и тоже время. Это зависитъ отъ того, что ! воздухъ во второмъ случаѣ не оказываетъ болѣе сопротивленія бумажному кружку и потому послѣдній можетъ слѣдовать за КлЖ, движеніемъ монеты. М Второй опытъ требуетъ особеннаго прибора, который состоитъ ш изъ стеклянной трубки запаянной кругло съ одного конца, вытянутой и от- крытой съ. другаго конца. Ее наполняютъ до половины водою, и нагрѣ- ваютъ. Когда жидкость начнетъ кипѣть и пары ея выгоняютъ изъ при- бора весь воздухъ, конецъ трубки запаиваютъ и даютъ прибору охладиться. Если трубку послѣ этого быстро оборотить верхнимъ концомъ внизъ, то вода упадетъ всею массою вдругъ, не встрѣчая болѣе сопротивленія воз- духа; при этомъ она сильно ударится въ дно трубки. Такой приборъ но- ситъ названіе водянаго молотка. Изъ всего сказаннаго слѣдуетъ, что достаточно изслѣдовать законы паденія для одного какого-нибудь тѣла, ибо законы эти одни и тѣ же и для всѣхъ прочихъ тѣлъ. Мы должны только помнить, что воздухъ ока-
46 ТРЕТЬЯ зываетъ сопротивленіе паденію тѣлъ. Всего лучше было бы производить опыты въ безвоздушномъ пространствѣ; но это сопряжено со множествомъ затрудненій; поэтому опыты производятъ все таки въ воздухѣ, выбирая для этой цѣли такія тѣла, для которыхъ сопротивленіе воздуха будетъ наименьшее, сюда относятся напр. металлы. Теперь мы перейдемъ къ описанію приборовъ назначенныхъ для изученія законовъ паденія. Приборъ Морена. Онъ состоитъ изъ деревяннаго станка съ тремя ножками, въ 2 или 3 метра вышиною; на станкѣ расположены всѣ про- чія части прибора, изъ которыхъ самая существенная находится въ С (рис. 16); она состоитъ изъ Рис. 16. сплошнаго желѣзнаго цилиндра, нижняя часть котораго оканчивается конусомъ. Эта часть можетъ падать по направленію двухъ вертикальныхъ, металлическихъ проволокъ. Наверху прибора находится подвижной крючокъ съ рычагомъ Г., который можетъ подниматься посредствомъ снурка Сг. Пе- редъ началомъ опыта, цилиндръ С вѣша- ютъ на этотъ крючокъ и дергаютъ за сну- рокъ Сг; при этомъ цилиндръ С срывается и падаетъ въ трубку В. Остается изслѣ- довать движеніе его во время паденія. Для эрой цѣли, вблизи желѣзнаго цилиндра на- ходится большой, вертикальный цилиндръ АВ изъ сосноваго дерева. Цилиндръ этотъ можетъ вертѣться очень быстро около своей оси. Движеніе цилиндра производиться по- средствомъ безконечнаго винта, находя- щагося на продолженіи вертикальной оси; зубчатое колесо Е, на горизонтальной оси ГІ, служитъ для передачи движенія винту. Самое же движеніе горизонтальной оси совершается вслѣдствіе паденія гири Р висящей на веревкѣ, которая наматы- вается на ось помощью рукоятки I. Руко- ятка удерживается неподвижно посред- ствомъ крючка съ рычагомъ и снуркомъ Н. Чтобы пустить приборъ въ ходъ, дер- гаютъ снурокъ Н, причемъ крючокъ поднимается и горизонтальная ось при-
ЛЕКЦІЯ. 47 ходитъ въ движеніе. Для того, чтобы движеніе не ускорялось и остава- лось равномѣрнымъ, къ прибору придѣлано маховое колесо съ четырьмя крыльями. Когда движеніе установится, начинаютъ самый опытъ. Желѣзный цилиндръ С имѣетъ съ боку карандашъ, остріе котораго, вслѣдствіе давленія особенной пружины придѣланной къ карандашу, посто- янно упирается въ поверхность деревяннаго цилиндра; на деревянный ци- линдръ навертываютъ листъ бумаги и пускаютъ цилиндръ въ ходъ. Пока желѣзный цилиндръ не падаетъ, карандашъ описываетъ на поверхности деревяннаго цилиндра горизонтальную, круговую линію; какъ скоро начи- нается паденіе, карандашъ слѣдуетъ за движеніемъ цилиндра С и оста- вляетъ на бумагѣ кривую линію, которая можетъ служить для опредѣленія законовъ паденія. Начертимъ на цилиндрѣ его производящія, на равныхъ разстояніяхъ другъ отъ друга, начиная отъ точки происхожденія кривой линіи. Такъ какъ движеніе деревяннаго цилиндра равномѣрно, то производящія прохо- дятъ послѣдовательно, одна за другою въ промежутки времени = О, 1, 2, 3.... передъ вертикальною линіею, по которой движется карандашъ. Раз- стоянія х производящихъ линій отъ начальной точки должны быть пропор- ціональны временамъ т. е. х = аі. Съ другой стороны, части у произво- дящихъ, находящіяся между круговою линіею и кривою описываемою ка- рандашемъ во время паденія, — измѣряютъ пространства, пройденныя тѣ- ломъ т. е. у == е. Развертывая листъ, мы вмѣстѣ съ тѣмъ развернемъ и поверхность цилиндра, вслѣдствіе чего всѣ точки кривой будутъ находить- ся въ одной плоскости и кривая тогда можетъ быть опредѣлена помощью прямыхъ линій, которыя будутъ ея координатами. Измѣряя послѣднія, мы найдемъ что наша кривая будетъ парабола, ибо она удовлетворяетъ урав- ненію: у ~ а1 х\ Замѣняя въ уравненіи х и у выраженіями аі и е получимъ: е = а2 аЧ2 или е = А^2. Приборъ Морена позволяетъ намъ изобразить законъ паденія кривою, начерченною самимъ падающимъ тѣломъ и выразить этотъ законъ матема- тическою Формулою. Для того, чтобы выразить его въ числахъ, нужно опре- дѣлить постоянную величину А, что впрочемъ очень легко: для этого нуж- но только знать скорость вращенія деревяннаго цилиндра. Мы найдемъ что величина А равна 4,9 метра... Величину эту принято обозначать чрезъ слѣдовательно:
48 ТРЕТЬЯ — = 4,9 метр., е=-|- #2. Что означаетъ: 1) что въ первую секунду тѣло пробѣгаетъ простран- ство въ 4,9 метра; 2) что при дальнѣйшемъ движеніи, пройденное про- странство равно произведенію 4,9 метра на квадратъ времени, выражен- наго въ секундахъ. Наклонная плоскость. Приборъ Морена позволяетъ изслѣдовать за- коны паденія, не измѣняя нисколько самаго движенія падающаго тѣла. Всѣ прочіе приборы этого рода измѣняютъ паденіе, но за то даютъ намъ воз- можность изучать нѣкоторыя другія стороны явленія. Галилей, которому мы обязаны первыми свѣдѣніями по этому предмету, отказался наконецъ отъ надежды опредѣлить законы тяжести посредствомъ свободнаго па- денія тѣлъ и возымѣлъ мысль замедлить движеніе падающаго тѣла и такимъ образомъ сдѣлать его болѣе удобнымъ для наблюденія. Для этой цѣли онъ придумалъ приборъ извѣстный подъ именемъ наклон- ной плоскости. Представьте себѣ проволоку, укрѣпленную неподвижно од- нимъ концемъ (рис. 11) и опирающуюся въ В на блокъ, который можно уста- р', эта подвижная система представляетъ навливать на какой угодно высотѣ. Проволока натяги- вается вѣсомъ Р, привѣ- шеннымъ къ свободному ея концу. Она образуетъ съ горизонтальною линіею уголъ х, который можно измѣнять по произволу. По проволокѣ движется маленькій блокъ, съ при- вѣшенною къ нему гирькою падающее тѣло. Помѣстивъ блокъ съ гирькою въ точкѣ А, мы пускаемъ его катиться по проволокѣ. Если мы по прошествіи одной секунды остановимъ его и измѣримъ прой- денное пространство, то найдемъ, что оно будетъ менѣе 4,9 метра; пусть о' оно = у _ Измѣримъ послѣ этого пространства, пробѣгаемыя тѣломъ въ теченіе 2, 3, 4... секундъ и сравнимъ ихъ съ мы найдемъ что онѣ слѣдуютъ вполнѣ закону свободнаго паденія тѣлъ; слѣдовательно е=~ і2. Повторяя тоже самое при другихъ углахъ наклоненія проволоки, мы найдемъ, что и въ этихъ случаяхъ движеніе будетъ совершаться согласно
ЛЕКЦІЯ. 49 9" съ закономъ паденія, только постоянныя величины будутъ другія = — » м лиі -у и т. д. \ Вотъ результаты опыта; теперь посмотримъ какія слѣдствія можно вы» вести изъ нихъ. При свободномъ паденіи тѣлъ въ воздухѣ, оно увлекается полнымъ своимъ вѣсомъ; къ движенію же по наклонной плоскости оно побуждает- ся только составляющею, параллельною движенію, т. е. только нѣкоторою долею этого вѣса; но эта доля остается постоянною во все время паде- нія тѣла. Итакъ тѣло подвергается дѣйствію постоянной силы, которая бываетъ тѣмъ меньше, чѣмъ меньше уголъ наклоненія плоскости и нако- нецъ совсѣмъ уничтожается, когда этотъ уголъ обращается въ нуль, т. е. когда плоскость дѣлается горизонтальною. Наоборотъ, сила паденія уве- личивается по мѣрѣ приближенія плоскости къ вертикальному направленію и дѣлается равною вѣсу тѣла при достиженіи этого направленія. Явленіе, которое мы наблюдали, относится къ движеніямъ происходящимъ отъ дѣй ствія постоянныхъ силъ. Опытъ показалъ намъ, что такое движеніе всегда выражается закономъ: е= 2**’ и что всякій разъ когда измѣняется напряженіе силы, измѣняется также и значеніе постоянной величины Сг. Движенія такого рода называются рав- номѣрно ускоренными', паденіе тѣлъ составляетъ только частный случай, въ которомъ двигающая сила равна вѣсу тѣла. ' Атвудова машина. Приборъ этотъ, обыкновенно пріобрѣтаемый для Физическихъ кабинетовъ, имѣетъ тоже назначеніе, что и наклонная пло- скость, но устройство его болѣе удобно для производства опытовъ; онъ состо- итъ въ слѣдующемъ (рис. 18). На площадкѣ, утвержденной на вершинѣ деревяннаго столба, около 3 метровъ вышиною, (Юруск. ф.) находится мѣд- ный блокъ САВ, который долженъ быть сколь возможно легокъ и подви- женъ на своей оси. Для того, чтобы увеличить эту подвижность, хорошо полированную ось его А кладутъ обоими концами на двѣ пары колесъ С и В, расположенныхъ такимъ образомъ, что въ каждой парѣ одно ко, лесо заходитъ за другое. Ось, при своемъ обращеніи, приводитъ въ дви- женіе и эти колеса. Этимъ ’ способомъ треніе оси дѣлается незначитель- нымъ. При опытахъ можно вовсе не принимать во вниманіе ни этого тре- нія, ни тяжести блока. Физика I. -
50 ТРЕТЬЯ Рпс. 18. Черезъ блокъ проходитъ толковая нить, на концахъ которой висятъ двѣ гирьки Р иР'; онѣ взаимно урав- новѣшиваются, когда равны по вѣ- су; когда же одна изъ нихъ немного тяжеле, то, перевѣшивая другую и спускаясь на нити сверху внизъ, за- ставляетъ вторую гирьку подниматься на другомъ концѣ той же нити сни- зу вверхъ, такъ что вся эта система приходитъ въ движеніе. Въ этомъ слу- чаѣ вся масса, приводимая въ дви- женіе, равняется суммѣ вѣсовъ Р и Р', а сила производящая это дѣйствіе, есть Р — Р'. Слѣдовательно, различіе между свободнымъ паденіемъ тѣлъ и движеніемъ на этой машинѣ состоитъ въ томъ, что въ первомъ случаѣ наша си- стема приводилась бы въ движеніе си- лою, равною суммѣ вѣсовъ РР' а во второмъ — разности ихъ Р — Р'. Такимъ образомъ сила, производящая движеніе въ нашемъ приборѣ, умень- шается въ отношеніи Р—Р' къ Р+Р' и отношеніе это остается неизменнымъ во все продолженіе опыта. Сверхъ того, пріемъ употребленный на этомъ при- борѣ, имѣетъ то общее свойство съ приноравленіемъ при опытѣ съ на- клонной плоскостью, что даетъ воз- можность приводить въ движеніе тѣло дѣйствіемъ силы, постоянной въ каж- домъ опытѣ, которую однакожъ можно увеличивать или уменьшать поже- ланію. Часовой механизмъ съ маятникомъ, выбивающимъ секунды, утвержденъ на томъ же столбѣ; стрѣлка показываетъ секунды, а сторожокъ при ма- ятникѣ производитъ, при каждомъ размахѣ его, звукъ, па которому ихъ можно отсчитывать. Рычажокъ Е, помѣщенный въ верхней части прибора для поддержанія гирьки, находится въ сообщеніи съ часовымъ механиз-
ЛЕКЦІЯ. 51 момъ посредствомъ рычага ЕГСг, такъ что, въ тотъ самый моментъ какъ стрѣлка отходитъ отъ нуля на циферблатѣ, рычажокъ опускается приво- димымъ въ дѣйствіе его механизмомъ и гирька начинаетъ падать. Приборъ дополняется деревянной линейкой НК, утвержденной въ отвѣс- номъ направленіи сзади рычажка и раздѣленной на сантиметры ('или на дюймы и линіи). Подвижная площадка К, состоящая изъ горизонтальной мѣдной пластинки, можетъ быть укрѣплена, посредствомъ нажимательна- го винта, на какой угодно высотѣ линейки. На эту пластинку падаетъ гирька и обозначаетъ конецъ своего паденія звучнымъ ударомъ объ нее, моментъ котораго замѣчается также какъ и бой маятника. Если хотимъ произвести опытъ, то помѣстимъ болѣе тяжелую гирьку на подставку при самомъ нулѣ дѣленія линейки. Рычажокъ опустится дѣйствіемъ сторожка при первомъ же ударѣ маятника, въ тотъ же мо- ментъ начинается движеніе обѣихъ гирь и продолжается до встрѣчи съ пла- стинкой К, которая ихъ остановитъ. Повторяя опытъ, можно найти поло- женіе на линейкѣ, въ которое нужно привести пластинку, для того, чтобы ударъ гирьки объ нее произошелъ въ одинъ и тотъ же моментъ со вто- рымъ ударомъ маятника. Когда найдено это положеніе, то можно быть увѣренъ, что паденіе гирьки до пластинки продолжается ровно одну се- кунду и что проходимое ею пространство въ эту секунду обозначается на линейкѣ у самой пластинки. Опытъ повторяется потомъ для другихъ, болѣе низкихъ положеній пла- стинки, находимыхъ опытомъ и до которыхъ гирька доходитъ впродол- женіе 2, 3 и 4 секундъ. Такимъ образомъ получатся слѣдующіе ре- зультаты: Время паденія...............1, 2, 3, 4, сек. Пройденныя разстоянія . . 10, 40, 90, 160 - сан. гдѣ нижній рядъ чиселъ можетъ быть написанъ такъ: 10,.10.22,10.32,10.42, изъ чего видно, что пространства, пробѣгаемыя падающимъ тѣломъ, рав- ны тому, которое пробѣгается имъ въ первую секунду, помноженному на квадратъ соотвѣтствующаго времени, что и выражается Формулою ____ Сг ,О е = 5-і’. р — Р' При всякой перемѣнѣ величины измѣняется напряженіе силы, дѣйствующей на гирьку, и также всѣ полученныя числа, но общее най- денное нами отношеніе останется неизмѣннымъ, а будетъ только съ другимъ 4*
62 ТРЕТЬЯ значеніемъ постоянной величины Сг. Повторимъ здѣсь заключенія, выра- женныя нами по поводу наклонной плоскости. Всякая постоянная сила, дѣйствующая на подвижное тѣло, про- изводитъ двгиженіе равномѣрно-ускоргтельное, а случай свободнаго па- денія тѣла, подчгтяющагося дѣйствію его собственной тяжести, есть только частный случай этого общаго закона. Л Скорость. — Понятіе о скорости при измѣняющихся движеніяхъ не такъ просто, какъ при движеніи однообразномъ. Оно можетъ быть объяс- нено слѣдующимъ образомъ. Представимъ себъ какое нибудь измѣняюще- еся движеніе и положимъ, что отъ данной точки движущееся тѣло про- бѣгаетъ дугу Д е въ очень короткій промежутокъ времени Д I. Оно про- шло бы тоже пространство, еслибы сохраняло во время Д і постоянную среднюю скорость равную -у4, съ которою была пройдена дуга. Если за А Ь . а , А е тѣмъ мы предположимъ, что Ді неопредѣленно уменьшается, то -у— достиг- нетъ своего предѣла, который и будетъ выражать среднюю скорость, съ которою движущееся тѣло пробѣгаетъ безконечно малую дугу. Она то и называется скоростью движущагося тѣла въ данный моментъ, а въ слу- чаѣ движенія равномѣрно ускор'ительнаго мы имѣемъ СП* Де е^-^ѵ = пред. — = &. Слово скорость, опредѣленное такимъ образомъ, представляетъ понятіе исключительно теоретическое. Нужно найти для него Физическое значеніе и опытный способъ измѣренія. Замѣтимъ при этомъ, что, если сила, дѣй- ствующая на движущееся тѣло будетъ вдругъ устранена въ данный мо- ментъ, то тѣло будетъ продолжать свое движеніе съ той же скоростью, А в пред. ур, сдѣлавшейся теперь постоянною. И такъ можно сказать, что скорость въ данный моментъ есть скорость равномѣрнаго движенія, прі- обрѣтаемаго движущимся тѣломъ въ томъ случаѣ, когда уничтожается въ этотъ моментъ сила дѣйствующая на это тѣло. Такимъ образомъ мы имѣемъ средство опредѣлять скорость опытнымъ путемъ; оно состоитъ въ уничтоженіи въ данный моментъ дѣйствующей силы и атвудова машина даетъ намъ возможность легко достигать этой цѣ- ли. Для того на ней есть, кромѣ площадки, останавливающей движеніе гирекъ, еще кольцеобразная пластинка Н, сквозь которую онѣ мотутъ про- ходить, если имѣютъ цилиндрическую Форму и будутъ на ней останавли- ваться, имѣя Форму продолговатую въ поперечномъ направленіи. Въ та- комъ случаѣ берется восходящая тяжесть Р' (рис. 18) и нисходящая Р,
ЛЕКЦІЯ. 53 которая состоитъ изъ цилиндрической гирьки, равной гирькѣ Р, и изъ продолго- ватой пластинки р, которая и задержится на кольцѣ Н сквозной пластинки. Система гирь падаетъ, какъ и въ предъидущихъ опытахъ; она полу- читъ перемѣнное движеніе и сохраняетъ его до того момента, когда при- бавочная тяжесть р задержится кольцомъ, но послѣ этого момента, когда обѣ тяжести, восходящая и нисходящая, сдѣлаются равными, никакая си- ла не побуждаетъ ихъ болѣе двигаться и онѣ будутъ продолжать свое движеніе съ постоянною скоростью, равною той, которую онѣ пріобрѣли во время своего перемѣннаго движенія. Помѣстимъ, напримѣръ, кольце- образную пластинку на разстояніи 10 сантиметровъ; тогда, если отноше- нія тяжестей остаются прежнія, — это разстояніе будетъ пройдено въ 1 секунду: за тѣмъ будемъ послѣдовательно устанавливать площадку К на извѣстныхъ разстояніяхъ ниже той пластинки и постараемся опредѣлить, какія разстоянія будутъ пройдены тяжестью между двумя пластинками въ 1, 2, 3 и пр. секунды; тогда мы получимъ: протекшее время......................1, 2, 3, 4, . . . все пройденное пространство. . . 10, 30, 50, 70, . . . пространство пройденное по- слѣ первой секунды. . . . -. — 20, 40, 60. Это намъ показываетъ, во первыхъ, что послѣ ускорительнаго паденія въ первую секунду, движущееся 'тѣло получаетъ другаго рода движеніе, которое заставляетъ его проходить 20, 40, 60 сантиметровъ въ 1, 2 и 3 секунды, и которое, слѣдовательно, равномѣрно. И такъ справедливо, что по уничтоженіи силы, скорость дѣлается постоянною. Во вторыхъ, скорость этого движенія равна 20 сантиметрамъ и при- томъ она выражаетъ собою ту скорость, которая сообщается движущему- ся тѣлу отъ дѣйствія тяжести по прошествіи первой секунды, послѣ то-^ го, какъ оно прошло 10 сантиметровъ. Но какъ эти 10 сантиметровъ изо- Сг бражаются въ нашей Формулѣ выраженіемъ то 20 сантиметровъ вы- разятся количествомъ Сг. Слѣдовательно: скорость, пріобрѣтаемая сво- боднопадающимъ тѣломъ по истеченіи единицы времени, вдвое больше пройденнаго имъ пространства. Подобнымъ же образомъ можно опредѣлить скорости, пріобрѣтаемыя падающимъ тѣломъ послѣ 2, 3, 4 . . . секундъ ускорительнаго движенія. Для это достаточно только кольцеобразную пластинку послѣдовательно ут- верждать въ тѣхъ точкахъ линейки, до которыхъ доходитъ тяжесть при своемъ паденіи по истеченіи этихъ временъ, т. е. на разстояніи 40, 90?
54 ТРЕТЬЯ 160 сантиметровъ и потомъ находить, посредствомъ испытанія, тѣ раз- стоянія, которыя пробѣгаются тѣломъ при его движеніи, тогда уже рав- номѣрномъ, въ каждую послѣдующую секунду. Такимъ образомъ найдемъ время ...... 1, 2, 3, 4 сек. скорость............ 20, 40, 60, 80 сант. и, слѣдовательно, будемъ имѣть: ѵ — СгЛ Р—Р' Всякій разъ когда станемъ измѣнять отношеніе р-рр, будетъ измѣ- няться и величина Сг; но законъ скорости останется всегда одинъ и тотъ же, какова бы ни была дѣйствующая сила, лишь бы только она была постоянна во все время опыта, и частный случай свободнаго паденія за- ключается въ общей теоремѣ. И такъ, для движенія производимаго постоянной силой, мы имѣемъ двѣ Формулы: СИ* лг е = — ’ ѵ =. ш. •'4 Пропорціональность силъ съ ускореніями. КоеФФиціентъ Сг вы- ражается въ единицахъ длины; онъ представляетъ или скорость пріобрѣтен- ную по истеченіи 1-ой секунды, или двойное разстояніе пройденное въ это время; онъ характеризуетъ всякое движеніе равномѣрно-измѣняющееся и отличаетъ его отъ другаго, болѣе или менѣе быстраго движенія. КоеФФиціентъ этотъ называется ускореніемъ. Теперь нужно найти законъ, который бы связывалъ ускоренія съ силами. Для этого мы всетаки обратимся къ опыту. Возьмемъ опять на- клонную плоскость и назовемъ а уголъ, образуемый ею съ горизонталь- ной плоскостью; тогда составляющая тяжести, параллельная наклонной плоскости, изобразиться чрезъ р. зіп а. Но если опредѣлимъ величину полученнаго ускоренія движенія, то найдемъ его равнымъ §. зіп а, срав- нивъ же это движеніе съ движеніемъ свободно падающаго тѣла, найдемъ что, при существующемъ отношеніи между силами р. зіп. а. къ ^.ускоре- нія находятся между собой въ такомъ же отношеніи, §. зіп. а. къ §, т. е. что ускоренія пропорціональны силамъ. Но производя опытъ, мы убѣждаемся, что эта пропорціональность не вполнѣ оправдывается; и именно потому, что здѣсь, какъ и во всѣхъ Физи- ческихъ опытахъ, дѣйствуютъ причины возмущающія, которыя наруша- ютъ законъ: въ нашемъ случаѣ, это есть треніе. Но, по мѣрѣ того какъ оно уменьшается мало по малу, согласіе между получаемыми результатами
лекція. 55 и числами, найденными гіб закону пропорціональности, дѣлается все болѣе и. болѣе удовлетворительнымъ. Сверхъ того, можно сдѣлать весьма простой опытъ для повѣрки закона паденія по наклонной плоскости. Если будутъ устроены двѣ наклонныя пло- скости съ равнымъ основаніемъ Ь, но съ углами наклоненія дополнительны- ми одинъ къ другому а. и 90°—а, то длины плоскостей будутъ и с~3(9ро_^ = а соотвѣтствующія имъ ускоренія 8Іп л и д. аіп (90°—а) = д. С08 а. Но по Формулѣ е = ~ квадратъ времени, употребляемаго дви- жущимся тѣломъ для пробѣганія всей длины наклонной плоскости, равенъ этой длинѣ, раздѣленной на половину ускоренія. Слѣдовательно, здѣсь будутъ для іі2 двѣ величины, находящіяся въ отношеніи между собой какъ^ * віп къ 1 . віп а соіГ«’ т‘ е’ Равныя ДРУГЪ ДРУГУ- А изъ этого слѣдуетъ, что два тѣла, начавъ въ одинъ и тотъ же моментъ стукаться по двумъ наклон- нымъ плоскостямъ, такъ сказать дополнительнымъ между собою, достиг- нутъ и конца ихъ въ одно время. Заключеніе это можетъ быть выражено также слѣдующимъ образомъ: подвижное тѣло, скользящее безъ тренія вдоль сторонъ прямоугольнаго треугольника, гипотену за котораго распо- ложена вертикально, употребитъ одинакое время для пробѣганія вдоль каж- дой изъ трехъ сторонъ. Это потому, что ускореніе равно д для верти- кальной стороны, длина которой выразится чрезъ —- ’ обозначая 1 1 г 1 81П а СО8 а чрезъ Ь перпендикуляръ опущенный изъ вершины прямаго угла на ги- потенузу. Эта теорема удобно повѣряется на опытф. Можно также и посредствомъ атвудовой машины повторить подобные опыты. Для этого поступаютъ такимъ образомъ: къ двумъ концамъ нити прикрѣпляютъ двѣ равныя тяжести Р, составленныя изъ одинаковаго числа маленькихъ тяжестей равныхъ между собою и равныхъ тяжести по- томъ берутъ одну такую тяжесть съ верхней части восходящей тяжести и кладутъ ее на тяжесть нисходящую. Тогда разность въ вѣсѣ или сила, приводящая систему въ движеніе, будетъ 2р и тогда опредѣляется соот- вѣтствующая величина д'. Затѣмъ снова переносится еще тяжесть р, съ восходящаго на нисходящій грузъ, отчего общій вѣсъ системы неизмѣ- нится, но сдѣлается разность грузовъ или длижущая сила равною 4р и тогда произведенное движеніе будетъ имѣть новое ускореніе д". Продол- жая поступать такимъ образомъ, наблюдаютъ движенія, сообщенныя одной и той же движущейся массѣ, силами 2р, 4р, 6р: тогда будутъ найдены
56 ТРЕТЬЯ ЛЕКЦІЯ. соотвѣтствующія имъ ускоренія д9, д", д9" и окажется, что онѣ пропор- ціональны силамъ. Но для того, чтобы эти опыты были вполнѣ успѣшны, необходимо чтобы блокъ имѣлъ большую подвижность и чтобы тяжесть грузовъ была значительна: этимъ уменьшится погрѣшность опытовъ, зависящая отъ блока, его тяжести и несовершенной подвижности. Такимъ образомъ будетъ доказано, что одна и таже подвижная масса, послѣдовательно увлекаемая ея собственнымъ вѣсомъ и силою Е, полу- чаетъ равномѣрно-ускорительное движеніе при величинахъ ускоренія рав- ныхъ д и Сг, и что получится отношеніе: 4=4илие^&. По этому, если извѣстно ускореніе Сг, то сила Е получится отъ умноже- р р нія Сг на — и на оборотъ, найдется ускореніе отъ раздѣленія 'Е на —. Теперь понятно, что опытъ не можетъ дать намъ ничёго болѣе по этому вопросу касательно дѣйствія постоянныхъ силъ; потому что, имѣя только вѣсъ Р подвижнаго груза, легко вычислить величину ускоренія Сг для всѣхъ величинъ силы Е, прилагаемой къ этому грузу, а съ помощію Фор- мулъ движенія получатся пройденныя грузомъ пространства скорости и пріобрѣтенныя по истеченіи извѣстнаго времени. Выведя эти законы, мы обратимся теперь къ другой части предположенной нами программы и постараемся вывести предъидущія явленія изъ общихъ началъ, въ ко- торыхъ нуждается механика.
ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦІЯ Тяжесть (продолженіе). Законъ независимости дѣйствія, производимаго силою на тѣло, отъ предварительнаго движенія, пріобрѣтеннаго этимъ тѣломъ. — Законъ независимости дѣйствій, оказываемыхъ силами, которыя одновременно приложены къ одному и тому же тѣлу. — Доказательство опытнымъ путемъ м обобщеніе этихъ законовъ. — Масса.—При равныхъ мас- сахъ, силы приложенныя къ нимъ, относятся между собою какъ про- изводимыя ими ускоренія. — Отношеніе между силой, массою тгьла, на которое она дѣйствуетъ, и ускореніемъ, проистекающгімъ изъ этого дѣйствія. — Общіе законы равномѣрно -ускорительнаго движенія. — Различныя задачи. Независимость дѣйствія силъ отъ предварительно-пріобрѣ- теннаго движенія. — Формула ѵ — Сг# показываетъ намъ, что въ на- чалѣ каждой послѣдующей секунды, тѣло, подверженное дѣйствію посто- янной силы, получаетъ скорости: о, а, за, за, 4а; и, слѣдовательно, впродолженіе каждой секунды, сила оказываетъ свое дѣйствіе увеличеніемъ скоростей на постоянное количество а, а, а, а. Поэтому можно сказать, что дѣйствіе, оказываемое силою на движимое тѣло, есть одно и тоже, было ли оно сначала въ покоѣ или уже двигалось съ какою-нибудь пріобрѣтенною скоростью. Если мы затѣмъ разсмотримъ пространства, пробѣгаемыя во времена 1", 2", 3", 4",...., ТО они будутъ
58 ЧЕТВЁРТАЯ а втеченіе каждой послѣдующей секунды пройденныя пространства будутъ Сг о О Г Сг г, Сг 2-’ 3Г 6 Г 7У Если тѣло движется только подъ вліяніемъ скоростей, пріобрѣтенныхъ имъ въ началѣ каждой изъ послѣдующихъ секундъ, то оно пройдетъ въ эти секунды пространства о, а, 2» за. Слѣдовательно, разность между этими числами и предъидущими предста- витъ намъ результатъ дѣйствія силы втеченіе каждаго изъ этихъ проме- жутковъ времени; но эта разность постоянна и равна о а а а __і —і .—> —• 2 2 2 2 Изъ этого видно, что дѣйствіе оказываемое силою на движимое тѣло со- вершенно одинаково, находилось ли это тѣло предъ началомъ разсматри- ваемаго движенія въ покоѣ или уже двигалось съ какою-нибудь скоростью. Но сдѣланное нами замѣчаніе прилагается только къ тому случаю, когда разсматриваемая сила дѣйствуетъ въ томъ же направленіи, въ какомъ происходило и начальное движеніе тѣла; однакожъ его можно обобщить большимъ числомъ наблюденій. Если, напримѣръ, корабль движется равно- мѣрно, то мы не чувствуемъ этого движенія, находясь въ каютѣ корабля и замѣчаемъ притомъ, что результаты силъ, приводимыхъ нами въ дѣй- ствіе въ какой нибудь точкѣ корабля, будутъ совершенно тѣ же самыя, какъ и во время его неподвижности. Слѣдовательно, они не зависятъ отъ первоначальнаго движенія движимаго тѣла. И такъ мы можемъ обоб- щить наше прежнее замѣчаніе и выразить слѣдующее общее правило: Если всѣ точки какой нибудь системы имѣютъ движеніе съ по- стоянною и равною скоростью, притомъ въ одномъ и томъ же напра- вленіи, и если одна изъ этихъ точекъ подвергнется дѣйствію особой силы, то пріобрѣтенное ею движеніе относительно остальныхъ то- чекъ, будетъ тоже самое, какъ еслибы онѣ вовсе не двигались, а на нее дѣйствовала таже самая сила и въ томъ же направленіи. Независимость одновременно дѣйствующихъ силъ.—Мы уже показали опытомъ, что двѣ постоянныя силы, одновременно приложенныя къ одному и тому же тѣлу, сообщаютъ ему, въ равныя времена, скорости пропорціональныя напряженіямъ этихъ силъ. Поэтому, если сила Г про- изводитъ скорость ѵ, то сила 2Р, образуемая двумя равными и одновре- менно дѣйствующими силами Р, произведетъ скорость 2ѵ и заставитъ тѣло пробѣгать двойное пространство въ тоже время. Вообще если многія
ЛЕКЦІЯ. 59 силы дѣйствуютъ въ одномъ направленіи на одно и тоже подвижное тѣ- ло, то дѣйствія ихъ, которыя можно считать независимыми одно отъ дру- гаго, слагаются; если же распространимъ это замѣчаніе и на тотъ слу- чай, когда направленіе силъ различны, то выведемъ слѣдующее правило: Если двѣ силы Е и Е' дѣйствуютъ на одно и то же подвижное тѣло въ какихъ нибудь направленіяхъ, то сообщаютъ ему движеніе совмѣщающее въ себѣ два движенія, которыя были бы сообщены тѣ- лу послѣдовательно, еслибы эти силы дѣйствовали на него отдѣль- но одна за другою, то есть, иначе, говоря, относительно системы точекъ, приведенныхъ въ движеніе силою Е', тѣло приметъ такое же движеніе огпъ силы Е, какое было бы принято имъ, еслибы сгіла Е не дѣйствовала и система точекъ оставалась въ покоѣ. Параллелограмъ силъ. Мы должны еще прибавить нѣсколько выво- довъ, относительно того случая, когда силы, дѣйствующія одна послѣ другой или одновременно, не имѣютъ одного и того же направленія. Очевидно что тѣло, при дѣйствіи на него двухъ силъ въ разныхъ напра- вленіяхъ, не можетъ двигаться по одному изъ нихъ, но должно пойти по какому то среднему направленію, лежащему между направленіями обѣихъ силъ. На основаніи прежнихъ положеній, намъ легко будетъ опредѣлить это направленіе. Каждая изъ силъ, какъ мы видѣли, дѣйствуетъ такъ, какъ-будто бы другой й не было; точка которой достигло тѣло напримѣръ, по прошествіи одной секунды при дѣйствіи обѣихъ силъ вмѣстѣ, была бы достигнута имъ также и въ томъ случаѣ, еслибы вмѣсто одновременнаго дѣйствія обѣихъ силъ, мы заставили ихъ дѣйствовать одну послѣ другой впродолженіе одной секунды. На этомъ основаніи, черезъ точку, ко- торой достигло тѣло отъ дѣйствія одной силы, проведемъ прямую линію, параллельную тому направленію, по которому вторая сила сама по себѣ заставила бы двигаться тѣло, и отложимъ на ней длину, которую прош- ло бы тѣло въ одну секунду отъ дѣйствія этой силы; тогда конецъ этой линіи будетъ дѣйствительно та точка, въ которую придетъ тѣло отъ об- щаго дѣйствія обѣихъ силъ, и линія, соединяющая эту точку съ точкою первоначальнаго положенія тѣла, и по направленію и по длинѣ, будетъ означать путь, дѣйствительно пройденный тѣломъ. Отсюда видно, что этотъ путь, и по направленію и по длинѣ, совпа- даетъ съ діагональю параелллограма, который можно построить изѣ пря- мыхъ, проходимыхъ тѣломъ, въ одно и тоже время, отъ дѣйствія каждой изъ силъ отдѣльно. А для этого приложимъ сказанныя прямыя линіи къ точкѣ первоначальнаго положенія тѣла, по соотвѣтствующимъ направле-
60 ЧЕТВЕРТАЯ ніямъ, и построимъ параллелограмъ, опредѣляемый величиною этихъ ли- ній и угломъ который между ними заключается. Если извѣстенъ путь, проходимый тѣломъ отъ дѣйствія силы въ дан- ное время, то извѣстна и сила, двигающая его. Поэтому можно опредѣ- лить и силу, которая вмѣсто двухъ существующихъ силъ, сообщала бы твлу такое же движеніе, какое сообщаютъ ему эти силы вмѣстѣ. Но тогда можно оставить въ сторонѣ данныя силы и разсматривать только эту си- лу, какъ происходящую отъ нихъ. Величину этой силы, замѣняющей по направленію и по величинѣ двѣ данныя силы, можно получить построе- ніемъ совершенно подобнымъ прежнему. Но для нашего построенія, вмѣсто пространствъ, проходимыхъ въ данныя времена, возьмемъ ускоренія, производимыя отдѣльными силами, потому что силы пропорціональны сво- имъ ускореніямъ и могутъ быть представлены ими. Поэтому мы прямо при- ходимъ къ тому положенію, что равнодѣйствующая сила двухъ данныхъ силъ, и по величинѣ, и по направленію, опредѣляется діагональю параллело- грама, построеніе котораго обусловливается величинами тѣхъ силъ и угломъ между ними. Этотъ законъ, особенно важный для теоретической механики, и выведен- ный только какъ необходимое слѣдствіе изъ сказаннаго прежде, называется закономъ параллелограма силъ. Отсюда видно, какимъ образомъ можно дѣйствіе цѣлаго ряда силъ, дѣй- ствующихъ по различнымъ направленіямъ, привести къ разсмотрѣнію одной силы, совершенно замѣняющей ихъ. Обратно, изъ сказаннаго ясно видно, что движеніе можно разсматривать какъ равнодѣйствующее двухъ предполагаемыхъ боковыхъ движеній, а слѣ- довательно, и силу, производящую это движеніе, — какъ равнодѣйствующую двухъ предполагаемыхъ боковыхъ силъ. Такъ какъ всякую линію можно раз- сматривать какъ діагональ безконечнаго множества параллелограмовъ, то и всякую силу можно разложить на безконечное множество различныхъ боко- выхъ силъ. Каждая изъ этихъ боковыхъ силъ можетъ быть, въ свою оче- редь, разсматриваема какъ равнодѣйствующая другихъ боковыхъ силъ, такъ что всякая сила можетъ быть разложена на произвольное число боковыхъ силъ. Масса. — Если извѣстное тѣло послѣдовательно подвергается дѣйствію силъР, Г, Г', Р",...., выраженныхъ въ килограммахъ, и изъ которыхъ пер- вая равняется вѣсу самаго тѣла, то оно получитъ ускоренія Сг, Сг', Сг"...., выраженныя въ метрахъ, и тогда, на основаніи начала пропорціональности силъ съ ускореніями, получится рядъ равныхъ отношеній.
ЛЕКЦІЯ. 61 р р/ р/і р — = т. Если только разъ найдена величина этого отношенія для тѣла, то бу- детъ извѣстно и дѣйствіе какой нибудь силы Р, потому что можно вы- числить ускореніе Сг, а затѣмъ и скорость, и пространство пройденное тѣломъ къ исходу извѣстнаго промежутка времени. Наоборотъ, если най- дено ускореніе Сг, получаемое тѣломъ отъ-дѣйствующей силы, то можно опредѣлить и величину Р самой силы. Это отношеніе называется массой тѣла. Для опредѣленія ея' достаточно приложить къ данному тѣлу какую-ни- будь силу Р, найти ея ускореніе Сг и потомъ раздѣлить Р на Сг; но такъ какъ все равно какую для этого брать силу, то лучше выбрать такую, которая удобнѣе измѣряется, т. е. равную вѣсу Р, и производящую по- 1 р стоянное ускореніе д=г$а, 8. Бъ такомъ случаѣ масса тѣла будетъ — • Поэтому можно принимать массу только за численный КоеФФиціентъ рав- „ Р ныи — д Часто массу разсматриваютъ какъ величину особаго рода и измѣря- ютъ ее соотвѣтственной единицей. Два тѣла, подвергающіяся неравнымъ дѣйствіямъ отъ одной и той же силы, можно сравнивать, отнцсительно сопротивленія,которое они оказываютъ дѣйствію этой силы, совершенно такимъ же образомъ, какъ ихъ сравни- ваютъ по отношенію ко всѣмъ другимъ ихъ свойствамъ. Говорятъ, что тѣла имѣютъ равныя или неравныя массы, когда одна и таже сила дѣйствуетъ на нихъ равнымъ или неравнымъ образомъ. Поэтому равными массами называются такія, которыя подъ вліяні- ' емъ равныхъ силъ получаютъ и равныя ускоренія. Отъ этого опредѣленія равенства массѣ, перейдемъ къ значенію какого бы то ни было отноше- нія между ними: двѣ массы относятся между собою какъ т къ п, когда онѣ могутъ быть разложены, первая на т, а вторая на п равныхъ массъ. Принявъ это, разсмотримъ двѣ массы т и т' приводимыя въ движе- ніе, первая своимъ вѣсомъ Р, а вторая какимъ-нибудь вѣсомъ Р', и по- лучающія ускоренія СгиСг'. Единица массы будетъ подвержена, въ этихъ р Р' обоихъ случаяхъ, силамъ — и и получитъ ускоренія д и дг. Тогда, на основаніи начала пропорціональности, будемъ имѣть Р . Р' _ . , т ' т‘ 9' 9 ИЛИ
62 ЧЕТВЕРТАЯ Р тд . Р' т'д1 Пусть Р' будетъ равна 1 килограмму, 1 метру, и согласимся прини- мать т' за единицу массы; тогда получимъ р Р = тд, а это значитъ, что масса выражается въ единицахъ массы тѣмъ же чи- сломъ, какъ и отношеніе Р къ д, или, проще выражаясь, мѣра массы равна Р — въ томъ же смыслѣ, какъ говорятъ, что мѣра площади прямоугольни- ка есть произведеніе его основанія на высоту. Что же касается до единицы, избранной для измѣренія массы, то за нее принимается такая масса, которая, побуждаясь къ движенію тяжестью 1 килограмма, принимаетъ ускореніе равное 1 метру. Но 1 кубическій дециметръ воды при температурѣ 4° Ц. вѣситъ 1 килограммъ и, при сво- емъ паденіи принимаетъ ускореніе въ 9м, 8. Слѣдовательно, 9, 8 куби- ческихъ дециметровъ воды, подъ вліяніемъ силы равной 1 килограмму, полу- читъ ускореніе въ 1 метръ. По этому единица массы есть масса 9, 8 ку- бическихъ дециметровъ воды при темпер. 4°, вѣсящая 9, 8 килограммовъ. Нѣкоторые ученые опредѣляютъ массу количествомъ вещества содер- жимаго тѣломъ. Это понятіе происходитъ отъ значенія придаваемаго слову масса въ обыкновенномъ языкѣ; но оно столь же шатко какъ и призрачно, потому что вещество не есть предметъ намъ извѣстный и ко- торый бы мы могли измѣрять. Въ строгомъ смыслѣ, можно сравнивать, напримѣръ, мѣдь только съ мѣдью и свинецъ со свинцомъ, и нѣтъ ни- какого соотношенія между веществомъ одного и другаго изъ этихъ метал- ловъ, мѣди и свинца. Желающіе сохранить такое понятіе о массѣ должны прежде всего опредѣлить, что они называютъ равными количествами ве- щества или равными массами; отвѣтъ ихъ тотъ, что «равныя массы суть тѣ, которыя имѣютъ равный вѣсъ», но въ такомъ случаѣ онѣ суть такія массы, которыя, побуждаясь къ паденію равными вѣсами, получаютъ и равныя ускоренія. Не лучше ли и начинать съ этого опредѣленія равныхъ массъ, не предпосылая ему шаткое представленіе о количествѣ вещества. Общіе законы равномѣрно-ускорительнаго движенія.—Два приведенныя нами выше общія основанія достаточны для разрѣшенія мно- гихъ вопросовъ изъ механики: чтобы хорошенько объяснить это, посмот- римъ какимъ образомъ можно вывести изъ нихъ законы движенія, произ- водимаго постоянной силой. Это значитъ дѣлать синтетическій выводъ изъ явленій, которыя мы уже анализировали помощію опыта.
ЛЕКЦІЯ. 63 Пусть Р будетъ вѣсъ даннаго тѣла; положимъ, что оно напередъ по- лучило постоянную скорость а, направленную вертикально сверху внизъ или снизу вверхъ и что притомъ оно подчиняется дѣйствію какой ни- будь постоянной силы Е, дѣйствующей сверху внизъ. Такъ какъ дѣйствіе этой силы не зависитъ отъ пріобрѣтеннаго тѣломъ вначалѣ движенія, то она и сообщитъ ему скорость Сг#, которая и при- бавится къ скорости а, если дѣйствуетъ въ томъ же направленіи, или будетъ вычтена изъ нея, если направленіе ея противуположно направле- нію этой послѣдней. Такимъ образомъ будетъ ^ = а-|-Сг# или ѵ = а— Сг#, и вообще ѵ — а ± Сг#. Такъ какъ, по опредѣленію, скорость есть производная отъ Функціи вы- ражающей пройденныя пространства, то мы получимъ выраженіе для пространства, переходя отъ производной къ произведшей ее Функціи, т. е. будемъ имѣть е=а#±^+С гдѣ С есть величина постоянная, выражающая пройденное пространство отъ начала времени. Мы можемъ предположить, что ее вовсе нѣтъ, тогда , -4- Ст/І ѵ — аі ± а « Но тутъ надо знать величину Сг, которую мы найдемъ съ помощію второго начала, состоящаго тъ томъ, что ускоренія пропорціональны си- ламъ, и мы будемъ имѣть Р д_, Г Сг уравненіе, изъ котораго опредѣлимъ Сг. Изъ предъидущаго видно, что, принявъ два общія начала, мы выводимъ изъ нихъ, какъ простое слѣдствіе, общій законъ равномѣрно-ускорительнаго движенія. Предположивъ что а — о, мы найдемъ тѣ же самыя Формулы, которыя намъ далъ опытъ, р,, ~ Сй 2 / Р \ р \ у / а если Е будетъ равно вѣсу тѣла, то Сг сдѣлается равнымъ д и тогда по- лучатся законы свободнаго паденія тѣлъ: ѵ^ді, е = Ѵ Но общія Формулы прилагаются. къ такому случаю, который не выво- дится изъ опыта, т. е. тому, когда тѣло имѣло уже начальную и посто- янную скорость П- Разсмотримъ теперь, что произойдетъ, когда тѣло бу-
64 ЧЕТВЕРТАЯ детъ брошено снизу вверхъ и если оно при этомъ подчиняется дѣйствію тяжести: , , діг ѵ~а—ді, е — аі — Скорость уменьшается по мѣрѣ истеченія времени и совсѣмъ уничтожает- ся когда а высота, до которой достигаетъ брошенное тѣло, най- дется при замѣнѣ і этой величиной въ уравненіи, выражающемъ пройден- ное тѣломъ пространство; сдѣлавъ это, мы получимъ а 9? а? в — СЪ ' о а "37" 9 %д 29 Достигнувъ этой высоты, тѣло приходитъ въ неподвижное состояніе, но тотчасъ же подчиняется дѣйствію тяжести, которая заставляетъ его падать, такъ что оно получаетъ обратное движеніе, Формулы котораго будутъ . 9іг ѵ = ді, е = —. когда же оно снова достигнетъ земли, откуда оно сначала было брошено, то пройденная имъ оно достигло при тѣломъ для своего , аг высота опять будетъ ~ т. е. та самая, до которой своемъ движеніи вверхъ. Время употребленное этимъ обратнаго паденія на землю найдется при замѣнѣ ве- а? личины е выраженіемъ — въ уравненіи пространства, и мы ПОЛУЧИМЪ для него і — —1 9 скорость же пріобрѣтенная тѣломъ, будетъ а ѵ = д. -=а, то есть, что для своего ниспаденія, оно употребило такое же время, какъ и для восхожденія, и что, достигнувъ земли въ томъ же мѣстѣ, откуда было брошено, оно пріобрѣло туже самую скорость, какую имѣло въ мо- ментъ верженія, но въ обратномъ направленіи. Изъ приведеннаго примѣра видно, что принятыя нами начала, не толь- ко воспроизводятъ выводы, получаемые изъ опытовъ, но что даже можно выводить изъ нихъ совсѣмъ новыя слѣдствія и также пользоваться ими для рѣшенія частныхъ вопросовъ: когда уже разъ построена теорія, то остается только примѣнять ее къ даннымъ случаямъ. Далѣе мы сдѣлаемъ, это еще для двухъ примѣровъ. Нѣкоторыя понятія изъ механики. Изъ нашего уравненія для скорости движенія отъ дѣйствія постоянной силы Р
ЛЕКЦІЯ. 65 гдѣ М означаетъ массу, получаемъ мы непосредственно Мг>=Р*. Произведеніе движимой массы на достигнутую ею скорость равно про- изведенію дѣйствующей силы на время, впродолженіе котораго она дѣй- ствовала. Еслй дѣйствуетъ сила Р' на массу М' и сообщаетъ ей въ то же вре- мя і скорость ѵ', то М'г>'_ Р'# и Мг>: М'г>'=Р*: Р7 = Р: Р'. Произведеніе Мг> массы тѣла на его скорость называется количест- вомъ движенія тѣла. Потому мы можемъ эту пропорцію выразить такъ: дѣйствующія силы относятся между собою какъ количества движенія, со- общаемыя ими двумъ тѣламъ, но только съ тѣмъ предположеніемъ, что эти силы дѣйствуютъ въ одинаковыя времена. Произведеніе Р^ называется иногда стремленіемъ силы во время і. Мы имѣемъ изъ перваго уравненія р2 р и вставляя 9, — і2 — е '2 м у2=Че откуда % Мг>2 = Ре. То есть: произведеніе половины массы на квадратъ скорости равно про- изведенію двигающей силы на длину пути, на протяженіи которой она дѣйствовала. Если двѣ силы Р и Р' дѣйствовали на протяженіи одинаковаго про- странства на 2 массы М и М' и сообщили имъ скорости ѵ и ѵ’, то имѣетъ мѣсто уравненіе -41 Мг>2: М'г>'в=Р : Р'. Произведеніе Мѵ2 называется живою силою двигающихся массъ; такъ Физика I. -4^' 5
66 ЧЕТВЕРТАЯ что силы имѣютъ законъ: двигающія силы, дѣйствующія на двѣ массы на протяженіи одинаковаго пути, относятся между собою какъ живыя силы, сообщаемыя ими массамъ. Выраженія, связывающія различнымъ образомъ условія движенія тя- жести особенно важны въ прикладной механикѣ, такъ какъ въ большей части случаевъ задача ея состоитъ въ передачѣ данныхъ движеній и про- изведеніи давленія на извѣстномъ протяженіи. Здѣсь достаточно указать только на эти отношенія, такъ какъ дальнѣйшіе выводы этой задачи, от- носительно законовъ поступательнаго движенія, не относятся сюда: они отвлекли бы насъ далеко въ предѣлы чистой и прикладной механики. Паденіе .по наклонной плоскости.— Положимъ, что движимое тѣло будетъ вѣсъ р, а уголъ наклоненія плоскости а; тогда составляющая, па- раллельная направленію движенія, то есть производящая его сила, будетъ р 8Іп а. Ускореніе Сг будетъ дано на основаніи втораго начала, Формулою Сг Р 8ІП а п ’ ИЛИ Сг— О 81П 9 Р а уравненія движенія будутъ , . а 8ІП а , ѵ — ді 8ііі «, е = —д—• г. Когда тѣло, начавъ свое движеніе отъ точки А, достигнетъ точки В (рис. 47), то будетъ пройдено имъ пространство АВ = ^Д-^, разумѣя здѣсь подъ И высоту наклонной' плоскости. Замѣнивъ этимъ выраженіемъ .е во второмъ уравненіи и рѣшивъ его относительно і, мы получимъ вре- мя паденія, изъ перваго же уравненія тогда найдемъ пріобрѣтенную тѣ- ломъ скорость і — \/. 2Ік „Ѵ—\ /2 дк. Ѵ д 8ІП»« V Изъ этого видно, что, въ томъ случаѣ, когда к есть величина посто- янная, то время паденія увеличивается при уменьшеніи угла а; скорость же, пріобрѣтенная этимъ тѣломъ въ концѣ его паденіи съ высоты 7г., остается независимой отъ направленія наклонной плоскости, и притомъ она будетъ та же самая, какая была бы при паденіи тѣла съ той же высоты въ вер- тикальномъ направленіи. Движеніе брошенныхъ тѣлъ въ пустомъ пространствѣ. — Представимъ себѣ тѣло брошенное- косвенно въ направленіи ОТ (рис. 19) съ начальною скоростью равною а. На основаніи перваго начала, оно бу- детъ подчиняться дѣйствію двухъ причинъ движенія, независимыхъ другъ отъ друга: одна изъ нихъ есть скорость а, а другая дѣйствіе тяжести. Скорость а можетъ быть разложена на двѣ новыя, изъ которыхъ од-
ЛЕКЦІЯ. 67 на будетъ горизонтальная, а сов а, а другая вертикальная, а віп «. Что же касается до тяжести, то она дѣйствуетъ сверху внизъ, то есть обратно дѣйствію а віп «, и происходящая отъ нея скорость вычитается изъ а 8Іп «. По этому выраженія для горизонтальной и вертикальной скоростей брошеннаго тѣла будутъ ѵі — а сов ѵг = авіпа—ді. Слѣдовательно, пройденныя тѣломъ пространства мы получимъ изъ этихъ же выраженій скоростей, когда перейдемъ отъ нихъ, какъ произ- водныхъ Функцій, къ Функціямъ производящимъ, и тогда получимъ , Х = аІйОйа, у=а^8іпа—V’ 17 2 по исключеніи же і изъ этихъ двухъ выраженій, мы получимъ уравненіе траекторіи, пробѣгаемой движущимся тѣломъ у = X Іапп’ а — - 2 3 — X2 ° 2 а2 С082 а Замѣнивъ здѣсь а2 вёличиной 2 дк, гдѣ к означаетъ высоту, которой достигаетъ тѣло брошенное вертикально со скоростью а, мы будемъ имѣть х Іап о' а — ~----------------------------— Итакъ тѣла, брошенныя косвенно въ пустомъ пространствѣ, описыва- ютъ своимъ движеніемъ часть параболы, ось которой вертикальна и при- томъ путь ихъ представляетъ двѣ части: восходящую и нисходящую, сим- метрически расположенныя относительно этой оси. Сдѣлавъ ?/ = 0, найдемъ для х двѣ величины х' и х", х' = о, х" — 2 к 8Іп 2 гдѣ х" представляетъ, горизонтальное разстояніе ОМ пробѣгаемое бро- шеннымъ тѣломъ и называемое амплитудой верженія. Изъ Формулы ви- дно, что она увеличивается сначала вмѣстѣ съ возрастаніемъ угла «, до- стигаетъ наибольшей величины, когда а. — 45°, и затѣмъ уменьшается; сверхъ того, она пропорціональна высотѣ к или квадрату начальной ско- рости а. 5*
68 ЧЕТВЕРТАЯ Когда и = 45° ± то амплитуда составляетъ 2 1і зіп (90° ± 2 и) = 21і соз 2 у- Слѣдовательно, она получаетъ равныя величины, когда наклоненіе верже- нія увеличивается или уменьшается, отходя отъ 45°. Наибольшая высота, которой достигаетъ брошенное тѣло, соотвѣтству- етъ точкѣ Ы, то есть срединѣ линіи ОМ; принявъ на этомъ основаніи х = к зіп 2а и стараясь опредѣлить соотвѣственную величину для у, мы получимъ у = к 8Іп -л. Эта наибольшая, для даннаго случая, высота возрастаетъ вмѣстѣ съ увеличеніемъ угла а и дѣлается равною к для а = 90°. Это будетъ тотъ случай когда тѣло брошено вертикально снизу вверхъ. Скорость брошеннаго тѣла одинакова въ каждыхъ двухъ точкахъ, равно возвышенныхъ на двухъ дугахъ кривой, обозначающей путь брошеннаго тѣла въ пространствѣ. И въ самомъ дѣлѣ, если составляющія скорости суть щ и г>2, то для равнодѣйствующей скорости V будемъ имѣть V2 — щ2 4-г>22 = а2 — 2д [аі зіп «— = а2— 2ду, и мы видимъ здѣсь, что скорости равны для одной и той же величины у и симметричны относительно средней ординаты РЫ. Отсюда очевидно, что время употребляемое брошеннымъ тѣломъ для его восхожденія на наибольшую высоту своего пути, равно тому времени, которое ему потребно для нисхожденія съ этой высоты до земли. Можно предположить себѣ отыскать величину, которую долженъ имѣть уголъ а, то есть найти то направленіе, по которому должно быть бро- шено тѣло, для того чтобы оно достигло опредѣленной точки; а для этого необходимо, чтобы координаты х9 и у9 этой точки удовлетворяли уравне- нію параболы, то есть чтобы было у9 — х9 (агщ « + (1 + «) == о и, слѣдовательно, ОС Здѣсь мы имѣемъ два рѣшенія, соотвѣтствующія двумъ знакамъ и, слѣ- довательно, существуютъ двѣ параболы удовлетворяющія вопросу. Но когда коренное количество обращается въ нуль, то оба рѣшенія соединяются въ одно. Если количество, стоящее подъ кореннымъ знакомъ есть положительное, то вопросъ возможенъ для разрѣшенія; если же оно отрицательное, то невозможенъ. Полагая же его равнымъ нулю, получимъ уравненіе кривой,
ЛЕКЦІЯ. 69 раздѣляющей тѣ точки, которыхъ тѣло можетъ достигнуть, отъ тѣхъ, ко- торыхъ оно достигнуть не можетъ. Кривая эта есть парабола, называемая предѣльной пораболой. Вотъ ея уравненіе .г1 2 47гу — 47г2 — о или ж2 = 47г (А — у). Ось ея совпадаетъ съ осью ординатъ; ея вогнутость обращена къ оси абсциссъ, вершина ея находится на высотѣ 7г, а параметръ ея есть 47г; а изъ этого слѣдуетъ, что Фокусъ ея находится въ точкѣ О. Теперь по- нятно, что предѣлъ точекъ, которыхъ тѣло можетъ достигнуть, удаляется вмѣстѣ съ возрастаніемъ величины 7г, то есть съ увеличеніемъ скорости пріобрѣтаемой тѣломъ отъ перваго толчка. Оканчивая наши разсужденія объ этомъ предметѣ, повторимъ вкрат- цѣ сущность ряда опытовъ и разсужденій, составляющихъ предметъ этой и предъидущей.лекціи. Мы имѣемъ дѣло съ постоянными силами, то есть такими, для уравно- вѣшенія которыхъ требуется неизмѣнное сопротивленіе, и мы изучали так- же, съ помощію опыта, законы движенія, которое сообщается движи- мому тѣлу приложеніемъ этихъ силъ къ его центру тяжести. Законы эти найдены нами; ихъ три, и они выражаются слѣдующими уравненіями: 1, е=р2; 2, ѵ ~ Сг#; о р _ 9 .. . Ё — сГ Ими вполнѣ опредѣляется произведенное движеніе, когда извѣстны Р, вѣсъ тѣла Р и ускореніе д, которому подчиняется тѣло при своемъ па- деніи отъ дѣйствія этого вѣса. Затѣмъ мы сдѣлали замѣчанія на эти законы. Изучая два изъ этихъ замѣчаній, мы видѣли, что дѣйствіе силы на движимое тѣло одинаково какъ въ томъ случаѣ, когда оно уже имѣло прежде пріобрѣтенную имъ скорость, такъ и въ томъ, когда оно при началѣ этого дѣйствія находи- лось въ покоѣ; замѣчаніе это было потомъ передѣлано нами посредствомъ наблюденія явленій болѣе общихъ, и тогда мы признали начало независи- мости дѣйствія силъ отъ пріобрѣтенныхъ тѣломъ скоростей. Третій законъ показалъ намъ, что силы пропорціональны ускореніямъ, сообщаемымъ ими тому же тѣлу или, другими словами, что двѣ силы, дѣйствуя вмѣстѣ и въ одномъ и томъ же направленіи, производятъ дѣй- ствіе равное суммѣ частныхъ дѣйствій, какія онѣ оказали бы если бы дѣйствовали отдѣльно, одна за другой. Мы обобщили это замѣчаніе и
70 ЧЕТВЕРТАЯ вывели изъ него второе начало, состоящее въ независимости дѣйствій, производимыхъ одновременно дѣйствующими силами. Принявъ потомъ эти начала, не какъ доказанныя, но только какъ вѣ- роятныя, мы показали что онѣ совершенно достаточны для того чтобы из- слѣдовать математически различные вопросы о дѣйствіи силъ. Послѣ того, съ помощію этихъ примѣровъ, мы показали, какъ поступаютъ въ механикѣ, когда основанія, въ которыхъ она нуждалась, уже открыты и признаны ею. Но механика нуждается еще въ принятіи третьяго начала о дѣйствіи и воздѣйствіи, которымъ мы и займемся далѣе. О вращательныхъ движеніяхъ. Мы уже нѣсколько разъ упоми- нали, что отвѣсъ, выведенный изъ своего вертикальнаго положенія, не возвращается въ него непосредственно, но совершаетъ колебательное дви- женіе около этого положенія. Совершенно то же самое замѣчаемъ мы, ког- да прикрѣпимъ твердый брусокъ однимъ изъ его концовъ къ горизонталь- ной оси, такъ чтобы онъ могъ двигаться только въ вертикальной плоско- сти. Предоставленный самому себѣ, онъ опускается и совершаетъ коле- банія около отвѣснаго положенія. Такое движеніе, когда каждая точка опи- сываетъ кругъ около неподвижнаго центра, радіусомъ равнымъ ея разсто- янію отъ оси вращенія, называется вращательнымъ движеніемъ. Въ та- комъ вращательномъ движеніи, также какъ и въ поступательномъ, могутъ имѣть мѣсто скорость и ускореніе, которыя однако относятся здѣсь не къ абсолютно пройденнымъ пространствамъ, а къ дугамъ, описываемымъ отдѣльными точками вращающагося тѣла. Поэтому два вращающихся тѣ- ла представляютъ равныя условія скорости,, если ихъ отдѣльныя точки въ равныя времена описываютъ равныя дуги; напротивъ того, скорости ихъ не равны, когда не равны между собою дуги, описываемыя ими въ равныя времена. Ясно, что пути проходимыя различными точками при равной угловой скорости, могутъ быть и неравны между собою, такъ какъ абсолютная длина дугъ пропорціональна разстоянію точекъ отъ оси вращенія. Если угловая скорость неравномѣрна, то все что мы сказали выше о поступательномъ движеніи, имѣетъ мѣсто и здѣсь, стоитъ только вмѣ- сто длины прямыхъ линій ввести описанныя дуги въ угловой мѣрѣ. Вращательное движеніе, точно также какъ и поступательное, произво- дится силами, но легко видѣть что эти силы дѣйствуютъ только въ опре- дѣленномъ направленіи. Предположимъ что нашъ брусокъ можетъ двигаться только въ плоско- сти вращенія* ясно, что всѣ силы, перпендикулярныя къ этой плоскости
ЛЕКЦІЯ. 71 и, слѣдовательно, параллельныя оси вращенія, не могутъ произвести ника- кого движенія, и что только та часть силъ, дѣйствующихъ наклонно къ этой плоскости, можетъ произвести движеніе, направленіе которой со- впадаетъ съ этой плоскостью, т. е. часть, получаемая отъ разложенія всей силы на двѣ: одну — перпендикулярную къ плоскости вращенія и другую — совпадающую съ этой плоскостью. Но и эта часть не всегда можетъ вполнѣ служить къ произведенію движенія. Если наприм. на брусокъ АВ, {рис. 20) который можетъ дви- гаться около горизонтальной оси при А, дѣйствуетъ при В сила по на- правленію Вс, то мы можемъ .раз- ложить ее на двѣ взаимно перпен- дикулярныя части, одну — дѣйст- вующую по направленію В<7, другую— по направленію Ве. Первая изъ этихъ силъ, В<7 тянетъ по направленію перпендикулярному къ оси; неподвижность точки А и связь частицъ бру- ска АВ уравновѣшиваютъ ее. Только другая сила Ве можетъ произвести вращательное движеніе бруска около оси при А. И такъ мы видимъ, что изъ всѣхъ силъ, дѣйствующихъ на тѣло, ко- торое можетъ вращаться около неподвижной оси, только тѣ могутъ про- извести вращательное движеніе, которыя дѣйствуютъ въ плоскости пер-\^ пендикулярной къ оси вращенія, перпендикулярно къ прямой линіи, сое- диняющей точку приложенія силы съ осью вращенія. Въ нашемъ случаѣ, такая сила есть тяжесть привѣшанная къ бруску, въ точкѣ В. Если брусокъ имѣетъ горизонтальное направленіе, то вѣсъ каждой его частицы заставляетъ его двигаться внизъ и потому онъ опустит- ся. Колебательныя движенія около отвѣснаго положенія будутъ слѣдствіемъ того, что тяжесть, лишь телько брусокъ выведенъ изъ горизонтальнаго положенія, дѣйствуетъ только своею частью, такъ какъ его заставляетъ двигаться только одна составляющая сила, которая притомъ уменьшается по мѣрѣ приближенія бруска къ отвѣсному направленію, а съ другой стороны его восходящее движеніе задерживается тяжестью. Но прежде болѣе близкаго изслѣдованія этого движенія, намъ нужно обратиться къ вопросу: имѣетъ ли вліяніе на произведенное движеніе разстояніе точки приложенія силы къ бруску, отъ оси вращенія. Моменты равновѣсія. Если мы повѣсимъ брусокъ на вертикальной неподвижной оси вращенія С, то, на основаніи предъидущаго, тяжесть, дѣйствующая теперь параллельно оси вращенія, не можетъ сообщить ему
72 ЧЕТВЕРТАЯ никакого движенія. Если мы приложимъ къ бруску одну и ту же силу, сначала въ А (рис. 21), потомъ въ С и наконецъ въ В, то дѣйствіе ея будетъ каждый разъ иное. Когда она при- Рпс‘ ' ложена въ точкѣ А, то производитъ вра- А с _________ і щеніе, когда въ точкѣ С, то не произво- дитъ никакого движенія, а когда въ В, то ,, получается вращеніе въ противуполож- ную сторону, Сила поэтому, производитъ различныя дѣйствія, смотря по точкѣ приложенія. Разсмотримъ теперь какъ измѣняются эти дѣйствія съ перемѣной точки приложенія. Для этого возьмемъ однородный брусокъ одинаково толстый во всѣхъ своихъ частяхъ, такъ что равныя длины этого бруска имѣютъ равный вѣсъ. Если мы черезъ средину его проведемъ ось, утвердивъ ее въ го- ризонтальномъ направленіи, то найдемъ, что онъ остается въ покоѣ, что не произойдетъ рикакого вращенія отъ дѣйствія тяжести. Причина этого явленія очевидна послѣ сдѣланнаго примѣчанія; тяжесть стремится при- вести обѣ половины бруска во вращательное движеніе въ противуполож- ныя стороны; но такъ какъ обѣ половины бруска не могутъ вращаться отдѣльно другъ отъ друга, то эти дѣйствія взаимно уничтожаются. Если приложимъ къ концу В бруска повѣшеннаго такимъ образомъ, (рис. 22), Рис. 22. вѣсъ Р, то брусокъ долженъ принять вращательное движеніе, такъ какъ теперь дѣйствуетъ сила, перпендикулярная къ ли- ніи, соединяющей точку прило- женія съ осью и находящаяся въ плоскости перпендикулярной къ оси вращенія. Если же къ той же точкѣ В приложимъ дѣйствующую вверхъ силу, совершенно равную преж- ней, прикрѣпивъ къ В напр. нить, проведенную черезъ не- подвижный блокъ В, съ привѣшеннымъ на другомъ концѣ вѣсомъ то не произойдетъ никакого вращенія бруска. Этого можно было ожидать и изъ сказаннаго прежде: вѣсъ Р уравновѣшивается совершенно равнымъ ему вѣсомъ,, но дѣйствующимъ въ противоположную сторону. ’ Передвинувъ вѣсъ Р. отъ В къ Р, мы тотчасъ замѣтимъ, что бру-
ЛЕКЦІЯ. 73 сокъ начинаетъ вращаться и именно въ сторону противуположную преж- нему вращенію; онъ повинуется дѣйствію вѣса <5, несмотря на то, что совершенно равный вѣсъ стремится повернуть его внизъ. Отсюда слѣдуетъ, что сила тѣмъ легче можетъ повернуть тѣло, чѣмъ дальше точка ея при- ложенія отъ оси вращенія. Увеличивая постепенно вѣсъ Р, мы скоро за- мѣтимъ, что можемъ наконецъ совсѣмъ уничтожить вращеніе. Если напр. СБ = % СВ, то вращеніе прекращается при' удвоеніи Р, т. е. какъ только въ В мы привѣсимъ вѣсъ—2Р. Новое передвиженіе вѣса вызываетъ снова движеніе, которое будетъ направляться внизъ, когда приблизимъ вѣсъ къ точкѣ В, или вверхъ, когда приблизимъ его къ оси. Какое бы ни было разстояніе а, точки приложенія вѣса отъ С, мы всегда най- демъ, что соотвѣтствующее измѣненіе вѣса возстановляетъ равновѣсіе и именно когда мы измѣнимъ вѣсъ Р такъ, чтобъ имѣло мѣсто отношеніе Р : = СВ : а или чтобъ а.Р=^.СВ. Отсюда слѣдуетъ, что двѣ силы, которыя стремятся сообщить тѣлу про- тивуположныя вращенія, будутъ въ равновѣсіи, если онѣ относятся обрат- но-пропорціонально ихъ разстояніямъ отъ оси вращенія, или если произ- веденія силъ на разстоянія точекъ приложеній ихъ отъ оси равны между со(эой. Эти произведенія называются моментами равновѣсія или механи- ческими моментами; поэтому сказанный законъ мы можемъ выразить ‘гакъ: двѣ силы стремящіяся сообщить тѣлу вращеніе въ противуположныя сто- роны, будутъ находиться въ равновѣсіи, когда механическіе моменты ихъ равны между собою. Мы только что видѣли, что сила, приложенная между А и С и на- правленная внизъ, стремится пбверйуть брусокъ въ ту же сторону какъ и тяжесть (^. Вмѣсто того чтобъ прикладывать силу, дѣйствующую вверхъ между С и В, мы можемъ приложить совершенно равную ей, въ такомъ же разстояніи отъ С, между С’ и А. II въ этомъ случаѣ не можетъ быть никако- го движенія, если моменты равны. Опытъ подтверждаетъ это непосредственно. Если мы вмѣсто тяжести Р приложимъ рядъ различныхъ тяжестей р, Р9> Р99.въ разстояніяхъ Л, сѴ, сі”..., и вмѣсто тяжести ср, д".... въ разстояніяхъ е, в', еР..., то непосредственно можемъ-вывести, что подтверждается и опытомъ, что равновѣсіе произойдетъ въ такомъ случаѣ, когда сумма моментовъ силъ дѣйствующихъ въ одномъ направленіи бу- детъ равна суммѣ моментовъ силъ другаго направленія, т. е. когда рЛ -\-р9 сР р,г сі" $ е' Ц" е" .
74 ЧЕТВЕРТАЯ Обозначивъ, какъ это принято въ геометріи, противуположными знака- ми силы р, д, дѣйствующія въ противуположныя стороны, или направле- нія е, а, идущія въ обратныя стороны отъ оси вращенія, мы можемъ нашъ законъ выразить такъ: вращаемое тѣло будетъ въ равновѣсіи, если сумма вращательныхъ моментовъ дѣйствующихъ на него силъ равна нулю. Хотя нами и были исключены изъ изслѣдованія силы дѣйствующія не перпендикулярно къ линіи соединяющей точку ихъ приложенія съ осью вра- щенія, однакожъ выведенный законъ можно распространить и на нихъ, нужно только вмѣсто разстоянія точки приложенія силы отъ оси враще- нія ввести перпендикулярное разстояніе направленія силы отъ оси. Ибо, если напр: на брусокъ АВ (рис. 239 дѣйствуетъ сила Р, приложенная къ плечу рычага ВС (такъ называется разстояніе точ- ки приложенія силы отъ оси вращенія, а рычагомъ весь брусокъ), но не въ перпендикулярномъ къ не- му направленіи, то будетъ дѣйствовать только часть этой силы, равная если « есть уголъ РВР; моментъ силы будетъ: Р. СО8 я. ВС. Но перпендикулярное разстояніе силы Р отъ оси вращенія равно С6. А такъ какъ С6 перпендикулярно къ 6Р и СВ перпендикулярно къ 79В то Д ЬСВ = а и С6 = СВ. соа «; слѣдовательно Р. СЪ = Р. 008 а. СВ. Отсюда видно, что все равно, что принять за моментъ силы Р: р.СВ или Р. СЪ. Слѣдовательно, на основаніи этихъ объясненій, законъ о моментахъ справедливъ и для силъ неперпендикулярныхъ къ плечу рычага. Центръ тяжести. Если мы имѣемъ рычагъ АВ, къ которому при- ложенъ рядъ силъ такъ, что сумма ихъ моментовъ, относительно точки опоры, равна пулю, то не произойдетъ никакого вращенія. Если бы мы_ вдругъ освободили точку опоры, то брусокъ принялъ бы поступательное движеніе, вслѣдствіе дѣйствія на него параллельныхъ силъ. Это движеніе однако мы можемъ остановить, если приложимъ въ С силу (рис. 249 съ противуположнымъ направленіемъ и равную суммѣ силъ Р (^, укрѣпивъ проведенную черезъ блокъ нить, съ привѣшеннымъ къ ней вѣсомъ Р(^.
ЛЕКЦІЯ. 75 Слѣдовательно, приложенный къ точкѣ С вѣсъ Р -|- уравно- вѣшиваетъ отдѣльно приложен- ныя къ точкамъ А и В тяжести Р и (^, то есть, эти двѣ силы дѣйствуютъ точно также, какъ и одна сила приложеннная въ точкѣ С и равная ихъ суммѣ Р + <2. Отсюда мы заключаемъ, что и параллельныя силы имѣютъ равнодѣйствующую, которая рав- на суммѣ ихъ и приложена въ той точкѣ, относительно которой сумма моментовъ данныхъ силъ равна нулю; т. е. отдѣльно приложенныя силы дѣйствуютъ относительно поступательнаго движенія точно такъ, какъ будто бы онѣ всѣ были приложены къ одной этой точкѣ, которая потому и называется центромъ параллельныхъ силъ. По расположенію силъ, представленному, на нашемъ рисункѣ, мы при- ложили къ центру параллельныхъ силъ силу ₽-)-(,), равную и противу- положную равнодѣйствующей. Слѣдовательно сумма всѣхъ приложенныхъ къ системѣ силъ равна 0, точно также какъ и сумма моментовъ дѣйству- ющихъ въ ней силъ. Отсюда мы заключаемъ, что всякая система силъ находится въ равновѣсіи, когда сумма этихъ силъ, также какъ и сумма ихъ моментовъ равна нулю. Если мы представимъ себѣ рядъ параллельныхъ силъ, дѣйствующихъ по одному направленію и приложенныхъ вмѣсто бруска въ разныхъ точ- кахъ твердой плоскости, то и эти силы, по предъидущему, должны имѣть и общую равнодѣйствующую и общій центръ. Ясно, что мы можемъ сое- динить въ одну равнодѣйствующую всѣ силы приложенныя къ одной пря- мой линіи на этой плоскости; то же самое можемъ сдѣлать и относительно всѣхъ другихъ прямыхъ, лежащихъ въ той же плоскости. Затѣмъ, полу- ченныя такимъ образомъ равнодѣйствующія можемъ соединять между собою, пока наконецъ точка приложенія послѣдней равнодѣйствующей не предста- витъ намъ центра всей системы силъ. Совершенно подобное же заключеніе мы должны сдѣлать и въ томъ случаѣ, когда какое бы то ни было число параллельныхъ силъ, вмѣсто твердой плоскости, будетъ приложено къ твердому тѣлу; то есть и для
76 ЧЕТВЕРТАЯ тѣла долженъ существовать центръ параллельныхъ силъ, въ которомъ мы можемъ представить себѣ точку приложенія суммы всѣхъ силъ и относи- тельно котораго сумма всѣхъ моментовъ равна нулю. Если эта точка утверждена неподвижно, напр. черезъ нее проведена ось вращенія, то вся система не можетъ принять ни поступательнаго, ни вращательнаго движенія. Если мы измѣнимъ направленіе всѣхъ дѣйствующихъ въ системѣ силъ, но такъ, чтобы онѣ оставались параллельными между собою, то точка приложенія равнодѣйствующей не перемѣнитъ своего положенія, потому что сумма моментовъ относительно этой точки останется равною нулю. Это непосредственно слѣдуетъ изъ закона о моментахъ. Если напр. всѣ силы повернулись на уголъ а, то моменты отдѣльныхъ силъ р, р', , р*".... въ разстояніяхъ сР ,д,", сі'". . . . , если они до вра- щенія были рсі 4" р'сѴ 4- р''с!Р 4- р">4- . . ., послѣ вращенія будутъ р. СІ. СО8 а 4- Р!^'. СО8 а 4“ Р"^" 008 а 4" • • • • слѣдовательно (рСІ 4- Р1 (р 4“ р^дР 4- р,,'Л’и 4- . . . .) С08 а Если сумма рЦ, 4~ р!<Р 4" • • • • прежде была равна нулю, то и помноженная на сое а. останется тоже равною нулю. Всѣ тѣла, подвергаясь дѣйствію тяжести, подчинены такимъ парал- лельнымъ силамъ; потому что тяжесть дѣйствуетъ, какъ мы видѣли, на одномъ и томъ же мѣстѣ по одинаковому направленію; только на весьма отдаленныхъ другъ отъ друга мѣстахъ направленія силы, какъ мы уви- димъ впослѣдствіи, различны между собою. Кромѣ того тяжесть дѣйст- вуетъ на всѣ части тѣла.- Слѣдовательно и для тѣлъ, подверженныхъ тя- жести, есть центръ параллельныхъ силъ, въ которомъ мы можемъ пред- ставить себѣ всѣ дѣйствующія на тѣло силы въ соединеніи и относи- тельно котораго сумма моментовъ равна нулю. Точка эта, въ которой можно представить себѣ сосредоточеннымъ вѣсъ всего тѣла, называется центромъ тяжести этого тѣла; если онъ подпертъ, то тѣло не можеѣЪ принять ни поступательанго, ни вращательнаго движенія; тѣло будетъ въ равновѣсіи. Центръ тяжести въ данномъ тѣлѣ есть совершенно неподвижная точ- ка, неизмѣняющая своего положенія при вращеніи тѣла, потому что вра- щеніе тѣла имѣло бы въ этомъ случаѣ такое же значеніе, какъ и вра- щеніе всѣхъ дѣйствующихъ на него силъ на тотъ же уголъ, при неиз- мѣнномъ положеніи тѣла.
ЛЕКЦІЯ. 77 Аналитическая механика, основываясь на законѣ, что центръ парал- лельныхъ силъ есть точка, относительно которой сумма моментовъ равна нулю, показываетъ какимъ образомъ, помощію вычисленія, можно находить центръ тяжести въ данныхъ линіяхъ, поверхностяхъ и тѣлахъ. Не вдаваясь въ эти вычисленія, мы ограничимся здѣсь только указа- ніемъ способа находить эту точку путемъ опыта; что и послужитъ намъ подтвержденіемъ на опытѣ слѣдствій, выведенныхъ изъ закона о момен- тахъ равновѣсія. Если центръ тяжести подпертъ, то тѣло находится въ покоѣ, если нѣтъ, то тѣло придетъ въ движеніе, которое будетъ вращательное въ томъ случаѣ, когда поступательное задерживается препятствіемъ, и движе- ніе это продолжится до тѣ хъ поръ, пока центръ тяжести тѣла не придетъ въ положеніе отвѣсное подъ точкою опоры. Ибо мы видѣли, что рядъ силъ только тогда не можетъ произвести вращательнаго движенія, когда сумма моментовъ ихъ равна нулю. Такъ какъ мы представляемъ себѣ вѣсъ всего тѣла сосредоточеннымъ въ центрѣ тяжести, то отсюда слѣдуетъ, что мо- ментъ равновѣсія тѣла только тогда равенъ нулю, когда перпендикулярное разстояніе центра тяжести отъ оси вращенія или отъ точки опоры, равно нулю, т. е. когда обѣ точки находятся на одной вертикальной линіи. Прикрѣпимъ тѣло, центръ тяжести котораго мы хотимъ опредѣлить, къ концу нити, и дадимъ ему свободно висѣть; тогда оно можетъ быть въ равновѣсіи только въ одномъ положеніи, вертикальномъ, и мы можемъ быть увѣрены, что въ этомъ случаѣ центръ тяжести тѣла лежитъ на про- долженіи нити. Привяжемъ теперь конецъ нити къ другой точкѣ тѣла и снова по- вѣсимъ его на этой нити;' тогда центръ тяжести его въ положеніи равно- вѣсія будетъ опять на продолженіи нити. Опредѣленныя такимъ образомъ два направленія пересѣкаются въ одной точкѣ, которая и есть центръ тя- жести тѣла, въ чемъ легко удостовѣриться тѣмъ, что она будетъ нахо- диться на продолженіи нити, когда тѣло находится въ равновѣсіи, за ка- кую бы точку оно ни было привѣщено. Такимъ образомъ легко удостовѣриться, что центръ тяжести однород- наго шара совпадаетъ съ его геометрическимъ центромъ; у прямаго ци- линдра или призмы, онъ находится на половинѣ оси, въ треугольникѣ совпадаетъ съ точкою пересѣченія трехъ линій, соединяющихъ вершины угловъ съ срединами противолежащихъ сторонъ; въ треугольной пира- мидѣ лежитъ на ’Д высотѣ ея и ‘т. д. Центръ тяжести можетъ имѣть три различныя положенія на одной
78 ЧЕТВЕРТАЯ вертикальной плоскости съ точкою опоры или осью вращенія; положенія эти соотвѣтствуютъ .тремъ родамъ равновѣсія тѣла: 1) Когда центръ тяжести лежитъ на оси вращенія, то мы можемъ сообщить тѣлу какое угодно положеніе и все таки его центръ тяжести всегда будетъ находиться на одной вертикальной плоскости съ осью вра- щенія, и потому тѣло во всѣхъ положеніяхъ будетъ въ равновѣсіи. Та- кое состояніе равновѣсія называется безразличнымъ равновѣсіемъ. 2) Когда центръ тяжести лежитъ отвѣсно подъ осью вращенія. Если повернуть тѣло около его оси на какой нибудь уголъ, то оно возвратится къ своему прежнему положенію и, послѣ нѣсколькихъ колебаній, остано- вится въ немъ, такъ какъ вѣсъ его, сосредоточенный въ центрѣ тяжести, заставляетъ его опускаться. Такое состояніе равновѣсія называется устой- чивымъ равновѣсіемъ. 3) Наконецъ когда центръ тяжести лежитъ вертикально надъ осью вращенія. Тѣло находится тогда въ неустойчивомъ равновѣсіи. Выведен- ное изъ своего первоначальнаго положенія, оно должно получить движеніе около оси, такъ какъ сумма моментовъ силъ, производящихъ вращеніе тѣла около его оси, не равна нулю. Но тогда тяжесть сообщаетъ ему вращеніе, отдаляющее центръ тяжести отъ его первоначальнаго положе- нія; она повертываетъ его, если нѣтъ внѣшняго препятствія, до тѣхъ поръ, пока тѣло не придетъ въ положеніе устойчиваго равновѣсія. Отсюда слѣдуетъ, что тѣло только тогда стоитъ прочно, т. е. пред- ставляетъ всякой перемѣнѣ его положенія большое сопротивленіе и, послѣ небольшихъ измѣненій, опять приходитъ въ прежнее свое положеніе, когда это измѣненіе производитъ повышеніе центра тяжести. Поставленныя тѣла, которыхъ центръ тяжести лежитъ всегда надъ подпорой, стоятъ прочно на плоскости, и тѣмъ прочнѣе, чѣмъ больше плоскость, на кото- рой они стоятъ. Рис. 24. Положимъ, что мы имѣемъ тѣло АВ СБ (рис'. 24), котораго центръ тяжести лежитъ въ М, то мы можемъ его опрокинуть только вращеніемъ око- ло ребра В или А какъ около оси вращенія. При этомъ центръ тяжести долженъ описать дугу МЫ радіусомъ МВ, и такъ какъ МВ болѣе МО, то центръ тяжести долженъ быть под- нятъ. Можно легко вычислить какую
ЛЕКЦІЯ. 79 силу нужно употребить для того, чтобъ повернуть тѣло около В или А, и этимъ опрокинуть его. Моментъ силы вращенія тѣла относительно оси вращенія, проходящей черезъ В, на основаніи прежняго, будетъ м. ов, если М означаетъ вѣсъ тѣла, который мы можемъ представить сосредо- точеннымъ въ -центрѣ тяжести. Этотъ моментъ стремится сообщить тѣлу вращательное движеніе, при которомъ М двигалось бы внизъ, и которое уничтожается сопротивленіемъ подставки, служащей опорою тѣлу. Чтобъ сообщить тѣлу вращеніе въ противуположную сторону около точки В, нужно приложить къ нему силу, которая имѣла-бы большій мо- ментъ въ этомъ противуположномъ направленіи. Слѣдовательно, чѣмъ больше произведеніе М. ОВ. тѣмъ больше и устойчивость тѣла. Потому этотъ моментъ и принимаютъ за мѣру устой- чивости тѣла, которая и опредѣляется произведеніемъ вѣса тѣла на пер- пендикулярное разстояніе отъ ребра вращенія до вертикальной плоскости, проходящей черезъ центръ тяжести. Практическое приложеніе рычага. Выведенные выше законы имѣютъ на практикѣ большое примѣненіе при устройствѣ машинъ. Почти во всѣхъ машинахъ употребляется, въ той или другой Формѣ, рычагъ, т. е. брусокъ, подпертый въ одной точкѣ, и на которьщ дѣйствуютъ си- лы въ двухъ другихъ точкахъ. Обыкновенный рычагъ, которымъ работники поднимаютъ тяжести, пре-‘ восходящія ихъ силы, представляетъ простѣйшее его приложеніе. Крѣпкая палка подсовывается подъ тяжесть, а подъ палку какъ можно ближе къ тяжести, кладется крѣпкая подставка. Тяжесть поддерживается въ равно- вѣсіи давленіемъ, которое находится съ ней въ обратномъ отношеніи дли- ны плечей рычага. Для поднятія тяжести, нужно только продолжать это давленіе, пока понижается то плечо рычага, на которое дѣйствуетъ сила. Часто можно видѣть, что при подобномъ подниманіи тяжести, палка слу- житъ какъ одноплечій рычагъ, на который обѣ силы дѣйствуютъ съ од- ной стороны точки опоры по противуположнымъ направленіямъ. Точка опоры тамъ, гдѣ палка упирается въ землю; тяжесть давитъ рычагъ внизъ недалеко отъ точки опоры, работникъ поднимаетъ свободный конецъ ры- чага на большемъ удаленіи отъ этой точки. Производимое дѣйствіе по- нятно. Рычагъ имѣетъ приложеніе почти во всѣхъ ручныхъ инструментахъ, при которыхъ употребляется вращательное движеніе, такъ напримѣръ, въ буравчикѣ, гдѣ преодолѣваемое сопротивленіе дѣйствуетъ на окружность
80 ЧЕТВЕРТАЯ желобка буравчика, а преодолѣвающая его сила приложена къ ручкѣ; также въ тискахъ, ключѣ и т. д. Въ колесѣ на валу и въ воротѣ рычагъ примѣняется въ'насколько из- мѣненномъ видѣ. Въ колесѣ на валу черезъ центръ колеса проходитъ цилиндръ или валъ, плотно соединенный съ колесомъ, такъ что получаетъ вращательное движеніе вмѣстѣ съ нимъ. Приборъ этотъ служитъ для под- нятія тяжестей, и для того къ окружности вала прикрѣплена веревка, на которой привѣшена тяжесть, а работникъ дѣйствуетъ на окружность ко- леса. Слѣдовательно, здѣсь тяжесть дѣйствуетъ на полупоперечникъ вала, а сила на окружность колеса. Не трудно видѣть тутъ непосредственное приложеніе законовъ рычага. Воротъ состоитъ изъ того же колеса па 'валу, но съ замѣной колеса рукояткою, на которую дѣйствуетъ сила. Въ шестерняхъ нѣсколько колесъ соединяются на валу. Окружности колесъ и вала снабжены захватывающими другъ друга зубцами, для пе- редачи давленія съ окружности колеса на окружность вала, соединеннаго со вторымъ колесомъ. Блокъ есть также особенная Форма рычага, онъ состоитъ изъ плоскаго кружка, вращающагося около оси и имѣющаго же лобокъ на своей окруж- ности, для помѣщенія въ немъ веревки. Блокъ бываетъ неподвижный, когда ось его вставлена въ неподвижную вилообразную распорку, или под- вижный, когда, вмѣстѣ съ вращеніемъ блока, ось его принимаетъ поступа- тельное движеніе. На неподвижномъ блокѣ (рис. 26) дѣйствуютъ двѣ силы Рпс. 26. на окружность его, и потому для равновѣ- сія онѣ должны быть равны между собою. Выгода представляемая блоками состоитъ въ возможности, помощью ихъ, перемѣнять направленіе, по которому дѣйствуетъ сила. На подвижномъ блокѣ (рис. 27) тя- жесть дѣйствуетъ на плечо рычага, равное полупоперечнику блока; сила, поднимаю- щая тяжесть, на цѣлый поперечникъ бло* ка. Поэтому если Р = у, то система въ равновѣсіи, если Р > У> то тяжесть поднимается. Соединеніе удобно распредѣленныхъ подвижныхъ и неподвижныхъ бло- ковъ называется полиспастомъ. Всѣ описанныя простыя машины имѣютъ цѣлью поднятіе большихъ
ЛЕКЦІЯ. 81 тяжестей меньшими силами. Однако нужно замѣтить, что всѣ эти при- боры служатъ только для болѣе удобнаго распредѣленія работы а не для уменьшенія ея. Мы видѣли выше что работа силы измѣряется произве- деніемъ давленія на длину пути, на протяженіи котораго она производится. Если въ машинахъ большее давленіе преодолѣвается меньшимъ, то это происходитъ только отъ того, что меньшее давленіе дѣйствуетъ на про- тяженіи во столько разъ большаго пути, во сколько разъ поднимаемая тя- жесть больше давленія, употребляемаго для ея поднятія. Если напр. въ колесѣ на валу діаметръ вала = У10 діаметра колеса, то для Р —‘/10 будетъ равновѣсіе. Слѣдовательно, работнику нужно про- извести давленіе равное ‘/)0 (^. Но если нужно поднять тяжесть на а Футовъ помощію ворота, то работникъ, дѣйствуя на окружность, • долженъ протянуть веревку на протяженіи 10 а Футовъ, потому что окружность колеса въ 10 разъ больше окружности вала. Слѣдовательно, произведеніе (^. а равно Р. 10. а. Какъ здѣсь, такъ и на всѣхъ машинахъ, если есть тяжесть, 5 прой- денное ею пространство, Р дѣйствующая сила и го протяженіе, на кото- ромъ она дѣйствовала, то всегда 5 — Р. го. Этотъ Фактъ заключается въ извѣстномъ законѣ прикладной механики, что во всѣхъ случаяхъ, когда въ произведенной работѣ получается вы- игрышъ въ силѣ, то настолько же испытывается потеря въ скорости. Физика I. 6
ПЯТАЯ ЛЕКЦІЯ. Дѣйствіе и противодѣйствіе. I Законъ равенства дѣйствія и противодѣйствія. — Ударъ твердыхъ тѣлъ. — Сила инерціи.— Центробѣэ/сная сила. — Сохраненіе въ неиз- мѣнномъ положеніи плоскости вращенія. — Опытъ Фуко. Представимъ себѣ два тѣла въ опредѣленномъ положеніи и соеди- ненныя сжатаю винтообразною пружиною, которая опирается своими концами на ихъ центры тяжести; понятно, что эта пружина будетъ ока- зывать на оба тѣла одинакое давленіе, но въ противуположныхъ напра- вленіяхъ. Если одно изъ этихъ тѣлъ освободится, то придетъ въ дви- женіе отъ дѣйствія той силы, которая была къ ней приложена; при осво- божденіи другаго тѣла, и оно также придетъ въ движеніе въ обратномъ направленіи, подъ вліяніемъ равной силы; когда освободятся оба тѣла ра- зомъ, то онѣ вдругъ подчинятся дѣйствію тѣхъ же двухъ равныхъ и и противуположныхъ силъ. Наконецъ, если пружина будетъ притягивать ихъ одно къ другому, вмѣсто того чтобы отталкивать, то явленіе будетъ тоже самое, исключая направленія произведенныхъ дѣйствій. Изъ этихъ двухъ силъ, одна составляетъ дѣйствіе а другая противодѣйствіе. Пока- жемъ теперь, что то и другое заключается во многихъ явленіяхъ, кото- рыя мы .приведемъ для примѣра, и что механическіе приводы, передаю- щіе движенье, дѣйствуютъ подобно пружинамъ въ приведенномъ случаѣ. Поставимъ на столъ вертикально. пустой цилиндръ и насильственно опустимъ въ немъ поршень; тогда воздухъ подъ этимъ послѣднимъ сож- мется и произведетъ два равныя, но противуположныя давленія, одно на поршень снизу въ верхъ, а другое на дно цилиндра сверху внизъ. Если мы перестанемъ удерживать поршень въ опущенномъ положеніи, то онъ поднимется; возмемъ столъ изъ подъ цилиндра и цилиндръ вдругъ опу- стится. Здѣсь также дѣйствовала натянутая пружина — это сжатый воз-
ПЯТАЯ ЛЕКЦІЯ. 83 духъ, который производилъ дѣйствіе и противодѣйствіе на противуполож- ныя стороны цилиндра и поршня. Подобное же явленіе происходитъ въ огнестрѣльномъ оружіи: воспламененіе воздуха быстро образуетъ большое количество газа внутри орудія; отъ этого съ одной стороны выталкивает- ся снарядъ, что и составляетъ дѣйствіе, а съ другой отталкивается и откатывается назадъ самое орудіе — это противодѣйствіе. Обсудивъ то, что происходитъ въ цилиндрѣ паровой машины, мы и здѣсь находимъ тоже самое явленіе съ тѣмъ различіемъ, что паръ замѣ- няетъ здѣсь газъ. Пока пары гонятъ поршень съ одной стороны, этотъ послѣдній нажимаетъ на основаніи цилиндра съ другой; если бы поршень оставался неподвиженъ, а цилиндръ могъ бы двигаться, то онъ и дви- гался бы. Вмѣсто газа, можно помѣстить въ пустой цилиндръ какую нибудь жид- кость и это не помѣшаетъ поршню погружаться въ цилиндръ, при дѣй- ствіи на , него силы извнѣ; жидкость въ цилиндрѣ сжимается и затѣмъ оказываетъ дѣйствіе и противодѣйствіе на поршень и основаніе цилиндра. Доказательство сжатія жидкости видимъ въ томъ, что, при открытіи кра- на, изъ него съ силой выбрасывается струя жидкости и затѣмъ прекра- щается всякое дѣйствіе на поршень и цилиндръ. Если возьмемъ столъ, на который положена большая тяжесть, то нож- ки его немного укоротятся, что и можно доказать изм бреніемъ; въ это время онѣ приходятъ въ состояніе напряженія и упругость ихъ, подоб- но пружинѣ, производитъ двѣ равныя и противу положныя силы, изъ ко- торыхъ одна поддерживаетъ тяжесть, это—дѣйствіе, а другая опирается на почву—это противодѣйствіе. Тоже самое произойдетъ, если повѣсимъ тяжесть на крючокъ посред- ствомъ веревки или металлической проволоки; эта поддержка удлиннится и частицы ея раздвинутся, причемъ притягательная сила, развивающаяся между ними, дѣйствуетъ на двухъ концахъ проволоки: на одномъ, для поддержанія и уравновѣшенія тяжести, на другомъ для удержанія ея на крючкѣ совершенно такъ, какъ будто бы эта тяжесть была непосред- ственно на немъ прикрѣплена. Можно также показать подобныя дѣйствія, производимыя животной си- лой. Напримѣръ, если человѣкъ поднимаетъ съ земли тяжесть, то обна- руживаетъ при этомъ силу, дѣйствующую вертикально снизу вверхъ на эту тяжесть, и также равное ей противодѣйствіе въ противуположномъ направленіи, въ самой тяжести, которая тянетъ къ землѣ. Всякому из- вѣстно, что, для перемѣщенія тяжести, нужно преодолѣть представляемое 6*
84 ПЯТАЯ ею сопротивленіе, что для поддержанія тяжести даже нашего собствен- наго тѣла, нужно, какъ говорятъ, имѣть точку опоры. Въ томъ и дру- гомъ случаѣ мы напрягаемъ наши мускулы, имѣющіе тутъ значеніе пру- жины между поднимаемымъ предметомъ и препятствіемъ, которое преодо- лѣваетъ приложенное къ нему противодѣйствіе. Во всѣхъ этихъ явленіяхъ мы видимъ проявленіе дѣйствія на одно изъ тѣлъ, въ одномъ направленіи и противодѣйствіе иа другое тѣло въ противоположномъ направленіи и находимъ причину этого взаимнодѣй- ствія, разсматривая приводъ соединяющій оба тѣла. Будетъ ли этотъ при- водъ состоять изъ тѣла газообразнаго, жидкаго или твердаго, во всякомъ случаѣ въ немъ дѣйствуетъ упругость, подобно пружинѣ, въ противупо- ложныхъ направленіяхъ. Но существуютъ и такія силы, которыя повидимому дѣйствуютъ непосред- ственно или, по крайней мѣрѣ, намъ неизвѣстна ихъ сущность; таковы притяженіе и отталкиваніе магнетизма и электричества. Не смотря на то, хотя мы и не видимъ при этихъ явленіяхъ ни какой связи между тѣлами, которыя взаимно притягиваются или отталкиваются, однакожъ принимаемъ существованіе двухъ противуположныхъ силъ. Такъ напримѣръ: магнитъ притягиваетъ желѣзо, но тоже дѣйствіе оказываетъ и желѣзо иа магнитъ; если одно изъ этихъ тѣлъ неподвижно, то другое приходитъ въ движеніе, если же оба свободны, то оба и движутся навстрѣчу одно другому, и проходятъ при этомъ часть раздѣлявшаго ихъ разстоянія. Сверхъ того, обѣ противуположныя силы равны; это видно изъ того, что, если помѣ- стить магнитъ и желѣао на пробку и пустить ее на воду, то она сама со- бою не получитъ никакого движенія, что необходимо произошло бы въ томъ случаѣ, если бы притяженіе одного изъ этихъ тѣлъ было больше притяженія другаго. Такъ какъ во всѣхъ случаяхъ, когда возможны прямые опыты, дока- зывается существованіе двухъ силъ, дѣйствія и противудѣйствія, несмотря на то, есть ли матеріальная связь между тѣлами, объясняющая эти силы, или она неизвѣстна, то предполагаютъ тоже самое и въ такихъ дѣйстві- яхъ, которыя нельзя изслѣдовать опытомъ. Принимаютъ вообще, что, если солнце притягиваетъ землю, то и земля оказываетъ такое же дѣйствіе на солнце, и если какое нибудь тѣло падаетъ на землю, то и земля, съ своей стороны, падаетъ на это тѣло. Вообще говоря, все что найдено истиннымъ во всѣхъ частныхъ случаяхъ, которые были изучены, обоб- щается и распространяется и на всевозможные случаи, и затѣмъ прини- маютъ слѣдующее общее начало:
ЛЕКЦІЯ. 85 Когда какая нгібудъ матеріальная точка А побуждается къ дви- женію силою, проистекающею гізъ другой матеріальной точки В, то и эта послгьдняя, равнымъ образомъ, подвергается дѣйствію силы рав- ной первой силѣ и противу по ложной ей. Признаніе этого закона приводитъ насъ тотчасъ же къ слѣдующимъ важнымъ заключеніямъ. Возмемъ два шарообразныя тѣла А и В (рис. 28^), массы которыхъ т и т]: поло- , Рис. 28. жимъ, что они оба свободны и приводятся въ движеніе двумя с~ постоянными, равными и проти- л 11 л вуположными силами, приложен- ными къ центрамъ этихъ тѣлъ и направленными одна въ сторону отъ А къ В, другая отъ В къ А; оба эти тѣла получатъ однообразно-уско- ренное движеніе и ускоренія эти будутъ а=—’ т т‘ т. е. что скорости О-і гі ОЧ, въ концѣ равныхъ промежутковъ вре- мени, находятся въ обратномъ отношеніи съ массами двгіэюущгіхся тѣлъ. Этотъ выводъ объясняетъ намъ, какимъ образомъ происходитъ, что снарядъ вылетаетъ изъ орудія съ весьма большой скоростью, тогда какъ самое орудіе получаетъ въ обратномъ направленіи гораздо меньшую ско- рость; это потому что масса орудія гораздо большая. Тѣмъ же самымъ объясняется и то, что земля, масса которой безконечно велика въ сравне- ніи съ массой тѣлъ, приводимыхъ въ движеніе на ея поверхности, не перемѣщается отъ испытываемаго ею противодѣйствія. Изъ приведенныхъ выше уравненій выводимъ, ™тѵ — пі! ѵ'; этимъ выражается, что количества двгіженія двухъ данныхъ тѣлъ равны меж- ду собою. Пусть точка С означаетъ центръ тяжести двухъ массъ А и В при началѣ ихъ движенія, тогда по прошествіи времени і, онѣ будутъ нахо- диться, одна въ точкѣ А', и другая въ точкѣ В', и притомъ окажется что центръ тяжести ихъ остается неподвижнымъ: и въ самомъ дѣлѣ АС___т‘, СВ т Изъ уравненій движенія получаемъ АА'=4^ = ^> откуда
86 ПЯТАЯ АА' ___т' и, слѣдовательно, АС АА' А'С _ т‘. СВ— ВВ7 В'С т , поэтому, если точка С въ какой нибудъ моментъ служитъ центромъ тяжести двухъ тѣлъ, то она остается неподвижной. Изъ этого слѣдуетъ, что, если бы орудіе и выбрасываемое имъ ядро были свободны отъ всякаго сопротивленія, то ихъ общій центръ тяжести оставался бы постоянно одинъ и тотъ же. Слѣдствіе это можетъ быть еще обобщено: такъ, доказывается въ механикѣ, что если бомба, центръ тяжести которой описываетъ пара’болу въ безвоздушномъ пространстѣ, разорвется во время своего полета, то осколки ея примутъ такое положе- ніе, что общій ихъ центръ тяжести будетъ продолжать описывать параболу. Ударъ тѣлъ. — Сдѣлаемъ теперь приложеніе выведеннаго нами на- чала къ удару тѣлъ. Представимъ себѣ двѣ однородныя массы т и т' которыя, получивъ постоянныя скорости ѵ и ѵ*, движутся по напра- вленію отъ А къ В. Если ѵ будетъ больше ѵг, то заднее тѣло догонитъ переднее и ударится объ него; тогда они оба весьма короткое время будутъ вмѣстѣ и затѣмъ одинакая сила Р, зависящая отъ ихъ упругости, распредѣлится между ними: она увеличитъ скорость тѣла В количествомъ х* и уменьшитъ скорость тѣла А количествомъ ж. Но въ томъ случаѣ, когда эти массы не упруги, то онѣ отъ удара получатъ измѣненіе въ Формѣ, останутся одно подлѣ другаго и будутъ продолжать движеніе съ постоянной и одинакой скоростью, которая будетъ ѵ* х' для перваго и ѵ — х для втораго тѣла, такъ что будетъ ѵ — X =2 ѵг ж'. Такъ какъ х и хг суть скорости, происходящія отъ одной и той же си- лы, приложенной въ одно и то же время къ различнымъ массамъ, то должно быть отношеніе х ___т‘ в & т Этихъ двухъ уравненій достаточно для опредѣленія ж и ж' и мы полу- чимъ для нихъ х, _ ™ йі-рт' _____(ѵ—ѵ*) 00 * 1 " І і откуда выведется скорость общая для обѣихъ массъ, тѵ-^т'ѵ1. т-\- т‘ ѵ Отъ того случая, когда скорости имѣютъ одно и тоже направленіе,
ЛЕКЦІЯ. 87 перейдемъ къ другому, когда направленія ихъ взаимно противоположны, измѣнивъ знакъ у ѵг, и тогда получимъ общее выраженіе. , , , тѵ ± т'ѵ' V -- Х — Х'±Ѵ'= -------:---• т -|- т' Мы предполагали до сихъ поръ, что тѣла А и В совсѣмъ лишены упру- гости; но теперь на оборотъ, положимъ, что онѣ вполнѣ упруги, въ та- комъ случаѣ онѣ сожмутся въ моментъ удара, но тотчасъ же снова возстановятъ свою Форму. Тогда масса т сначала потеряетъ скорость х, потомъ отъ упругости получитъ снова скорость х но въ обратномъ направ- леніи; такъ что въ результатѣ, послѣ удара будетъ имѣть скорость ѵ—2х. Масса т' пріобрѣтетъ во время удара скорость х' и другую такую же скорость х’ отъ дѣйствія упругости; по этому скорости обоихъ тѣлъ послѣ удара будутъ: ѵ — 2х и ѵ'-{-2х'; слѣдовательно, мы будемъ имѣть’ ѵ______________2х — ѵ______2 т‘ — 2т'ѵ' + ѵ (т-т')! т 4- т‘ т + т‘ ѵ, і і 2 т (р-р') __ (т'-от), • ~ т + т‘ т + т‘ въ этихъ Формулахъ надо будетъ измѣнить знакъ у ѵг, если скорости взаимно противуположны. Положимъ что т = тг, тогда ѵ— 2х — ѵ', ѵг + 2хг — ѵ, т. е. ударившіяся тѣла обмѣниваются своими скоростями; а если ѵг равно О, т. е. если ударяемое тѣло было до удара въ покоѣ, то получимъ ѵ— 2х — 0, ѵ'-}-2хг = ѵ, то есть, что ударяющій шаръ дѣлается неподвиженъ и сообщаетъ всю свою скорость ударяемому шару. Это замѣчательное слѣдствіе легко по- вѣрить опытомъ (ргіс. 29). Привѣшиваютъ нѣсколько равныхъ шариковъ изъ слоновой кости на общей подставкѣ, такъ чтобы они касались другъ дру- га и чтобы центры ихъ были на одной прямой линіи. Отклонивъ первый изъ нихъ на какой нибудь уголъ, представляютъ его дѣйствію его собствен- ной тяжести; тогда онъ опишетъ дугу, подобно маятнику и ударится о второй шарикъ со скоростью ѵ — Ѵ'я дк- Послѣ удара онъ останется въ покоѣ, но передастъ всю свою скорость второму, отъ котораго она сооб- щится третьему, потомъ четвертому и т. д. до послѣдняго В, который уже йолучитъ движеніе со скоростью пріобрѣтенною шарикомъ А, и под- нимется до точки В'; потомъ упадетъ съ тою же скоростью, которую по- лучитъ отъ сосѣдняго шарика и передаетъ ее такимъ же порядкомъ какъ прежде, но только въ обратномъ направленіи, отъ В къ А, и т. д. Та- кимъ образомъ наша система шариковъ представитъ собою маятникъ, со-
88 ПЯТАЯ Рнс. 29. ставленный изъ промежу- точныхъ частей, т. е. непод- вижныхъ шариковъ и двухъ крайнихъ, которые одни только будутъ попеременно подниматься и опускаться. Этимъ опытомъ очень на- глядно повѣряется передача скоростей отъ одного ша- рика къ другому. Когда т' = оо и ѵ' = 0, то ѵ = 2ж =.— ѵ, а это значитъ, что, если шарикъ ударяется о без- конечно большую массу, то послѣ удара получитъ скорость равную, но противуположную прежней своей скорости. Слѣдовательно, когда шарикъ изъ слоновой кости п'адаетъ на мраморный полъ, то онъ долженъ отскочить отъ него и при этомъ подняться до той же высоты, съ которой онъ упалъ, за тѣмъ повторяетъ свое паденіе и отскакиваніе и т. д. до безконечности. Извѣстно, что та- кое колебательное движеніе дѣйствительно происходитъ, но только съ тою разницею, что размѣры (амплитуда) этихъ движеній вверхъ и внизъ быстро уменьшаются, и это должно приписать тремъ причинамъ: 1°, тому, что сопротивленіе плоскости не безконечно, такъ какъ; при быстротѣ удара, онъ сообщается не всей массѣ мраморнаго пола, а только части ея, 2°, тому, что сопротивленіе воздуха пре- пятствуетъ движенію; 3°, тому, что упругость никогда не бываетъ совер- шенная. Наконецъ, если шарикъ уда- Рис. 30. л ряется о плоскость косвенно, въ на- правленіи АВ (рис. 30), то скорость его разложится на двѣ другія, одну параллельную къ плоскости ВЕ, и другую перпендикулярную къ ней, ВЕ, которая послѣ удара только перемѣняетъ знакъ и обращается въ ВСг, откуда происходитъ равнодѣй-
ЛЕКЦІЯ. 89 ствующая скорость ВН, отъ сложенія скоростей ВЕ и ВСг; по этому оче- видно, что при ударѣ упругаго шара о плоскость, онъ отражается отъ нея такъ, что уголъ отраженія равенъ углу паденія. Всѣмъ извѣстно, что опытъ подтверждаетъ это заключеніе. Приведенное нами изслѣдованіе заключаетъ въ себѣ простѣйшіе слу- чаи удара тѣлъ, то есть такіе, въ которыхъ предполагаются поступатель- ное движеніе шарообразныхъ тѣлъ безъ обращенія ихъ около себя. Не надо думать, что предъидущія Формулы достаточны для изъясненія дѣй- ствій шаровъ на бильярдѣ: тамъ дѣйствительно шары обращаются около себя, и смотря по тому, какъ ударяютъ ихъ кіемъ, повыше или пониже, правѣе или лѣвѣе, имъ сообщается кромѣ поступательнаго движенія, еще весьма сложное вращательное, которое притомъ безпрестанно измѣняется отъ треиід о сукно и отъ удара о борта. Такое усложненіе движенія шаровъ дѣлаетъ теорію бильярдной игры однимъ изъ самыхъ трудныхъ вопросовъ для математическаго анализа. Сила инерціи. — Всякій разъ, когда прилагаютъ къ тѣлу постоян- ную силу посредствомъ нити, приводя его такимъ образомъ въ движеніе, то движеніе это дѣлаетъ равномѣрно ускорительнымъ и опытъ показы- ваетъ, что нить натягивается при этомъ съ постояннымъ напряженіемъ, а это доказываетъ, что на нее въ каждый данный моментъ дѣйствуютъ двѣ равныя силы, изъ которыхъ одна приложена къ прикрѣпленному концу нити и приводитъ тѣло въ движеніе, а другая, равная и протйвуположная первой, дѣйствуетъ на противуположный конецъ, на которомъ виситъ тѣло. Эта послѣдняя сила есть противодѣйствіе оказываемое самимъ тѣломъ; ее называютъ силой инерціи; ее можно объяснить слѣдующими соображеніями. Представимъ себѣ металлическую полосу АМ которая можетъ сво- бодно двигаться въ пространствѣ; раздѣлимъ ее мысленно на весьма тонкіе слои А, В, С, I), Е, въ поперечномъ направленіи. Если будемъ тянуть ее съ большой силой за оба конца, то частицы ея будутъ взаимно удаляться и между каждыми двумя послѣдовательными дѣленіями обра- зуется взаимное притягательное дѣйствіе, стремящееся къ сближенію ихъ, подобное дѣйствію натянутой пружины. Принявъ это, приложимъ къ кон- цу А какую нибудь силу, которая будетъ побуждать первый слой къ движенію и къ удаленію отъ слѣдующаго слоя В; обнаружится сила упру- гости, которая будетъ притягивать В въ направленіи движенія стержня и оказывать на А прот'ивуположное дѣйствіе. Это дѣйствіе возбудится мало по малу отъ перваго слоя до послѣдняго, и полоса перестанетъ быть во время движенія въ одномъ и томъ же состояніи, какъ во время покоя:
90 ПЯТАЯ между каждыми двумя послѣдовательными слоями обнаружится сила, ко- торая будетъ тянуть задній изъ нихъ и приводить его въ движеніе и дру- гая сила, равная той, которая дѣйствуетъ на передній слой въ обратномъ направленіи. Эта передача вытягиванія въ тѣлахъ не только существуетъ, но и требуетъ также опредѣленнаго времени для своего дѣйствія; это до- казывается множествомъ всѣмъ извѣстныхъ явленій. Напримѣръ, когда пуля пробиваетъ оконное стекло, то оставляетъ въ немъ круглое отверзтіе дѣйствуя только на тѣ части стекла которыхъ она коснулась, между тѣмъ какъ равная ей сила, но дѣйствующая медленно на тоже стекло, распредѣлится по всѣмъ его частямъ, не разбивая его. Обращаясь теперь къ разсмотрѣнію криволинейнаго движенія, мы бу- демъ имѣть случай приложить эти замѣчанія къ силѣ инерціи. Положимъ, что движимое тѣло А, имѣющее массу т, (рис. 31^ можетъ уписывать с окружность около точки О, съ которой оно соединено посредствомъ нити. Положимъ, что оно получило вначалѣ постоянную ско- \ ростъ въ направленіи отъ А къ В. По про- \ шествіи безконечно малаго промежутка вре- ® мени і оно придетъ въ точку М, и при \ / этомъ опишетъ дугу, которую, по при- \ „ / чипѣ ея малости, можно принять заодно ____________съ ея хордой. Тѣло не слѣдовало при Л с в этомъ движеніи направленію АВ, потому что побуждалось одной силой пройти въ это время разстояніе АП, тогда какъ первоначальная скорость застав- ляла ее въ то же время пройти разстояніе АС. Но эта послѣдняя можетъ считаться постоянною по величинѣ и направленію въ каждый безконечно малый промежутокъ времени і, по этому АП = -|Д>, гдѣ / означаетъ ускореніе; но съ другой стороны мы имѣемъ АМ -- ѵі, и наконецъ отношеніе АМ2 = 2К X АП, въ которомъ АМ и АП можно замѣнить равными имъ величинами, и тогда получимъ /=-• к гдѣ у выражено въ метрахъ; оно означаетъ ускореніе, зависящее отъ си-
ЛЕКЦІЯ. 91 лы, которая приводитъ тѣло въ движеніе. Для того, чтобы получить вы- раженіе этой силы въ киллограммахъ, нужно умножить ускореніе на мас- су, и тогда получимъ тр__ 1 ~ в ’ откуда слѣдуетъ, что во время движенія, нить будетъ тянуть движимое тѣло къ центру съ силою равной —» и что это тѣло будетъ производить посредствомъ нити противодѣйствіе на центръ, равное и противуположное той силѣ. Первая изъ этихъ силъ есть центро-стремителъная, а вторая центробѣжная сила. Эта послѣдняя стремится удалить движимое тѣло отъ центра, а для того чтобы оно удерживалось на окружности необхо- димо, чтобы она постоянно уничтожалась сопротивленіемъ центра, т. е. центростремительной силой; или же, если тѣло, вмѣсто того чтобы удер- живаться нитью, скользитъ по твердому кольцу, то оно должно оказы- .. . тѵ- вать на это кольцо въ каждый моментъ давленіе равное — ’ т. е. цен- тробѣжной силѣ, а кольцо противупоставитъ этому давленію сопротивленіе равное ему и противуположное. * Можно получить и другое выраженіе для этой силы, замѣтивъ что цѣлая окружность 2пВ пробѣгается тѣломъ со скоростью ѵ во время Т, что даетъ 2кВ = ѵТ, и замѣнивъ ѵ равной ему величиной получимъ р________________________________4я2 В. </ Существованіе этой силы доказывается весьма простыми опытами. Ма- ленькое ведерко, привѣшенное на нити за свое ушко, и наполненное во- дой, можно быстро обращать въ вертикальной плоскости, удерживая его за противуноложный конецъ нити, и ни одна капля воды не прольется, потому что вода при этомъ будетъ давить на дно сосуда перпендикулярно къ описываемой сосудомъ окружности и притомъ съ силою превышаю- щей ея вѣсъ. Есть также приборы, которые могутъ измѣрять эту силу: металлической вертикальной оси ЕЕ (рис. 32), утвержденной на столѣ, можно сообщать вращательное движеніе посредствомъ рукоятки М. На нее помѣщенъ прямоугольникъ ТАВП, три стороны котораго АТ, АВ и ВІІ сплошныя, а четвертая ТИ составлена изъ цилиндрическаго латуннаго стержня, который можно снимать съ прибора. Стержень этотъ продѣтъ сквозь отверстіе въ шарикѣ 8, котораго вѣсъ есть Р; между шарикомъ и боковой стѣнкой прямоугольника помѣщенъ динамометръ В съ указателемъ. Весь этотъ приборъ приводится въ быстрое вращательное движеніе. Въ
92 ПЯТАЯ первую минуту шарикъ опи- Рис. 32. сываетъ спираль, но скоро потомъ начинаетъ сжимать пружину до извѣстной сте- пени; тогда онъ описываетъ кругъ и оказываетъ на ди- намометръ давленіе соот- вѣтствующеецентробѣжной силѣ. Подъ конецъ опыта указатель на динамометрѣ покажетъ это давленіе Р и мы будемъ имѣть тѵ* __тр___Р К д К Можно сравнить результатъ этого ретически. Изъ этого видно, что опыта съ закономъ выведеннымъ тео- центробѣжная сила пропорціональна вѣсу вращающагося тѣла, и. это даетъ-основаніе для любопытнаго опыта. Замѣнимъ въ нашемъ приборѣ стержень ПТ запаянной стеклянйой трубкой въ которой заключаются: воздухъ, вода, кусочки пробки и зерна свинцу. Понятно, что во время вращенія этого прибора, воздухъ будетъ удерживаться около центра вращенія, вода соединится въ два столбика по концамъ трубки, потомъ пробка помѣстится на поверхности воды и наконецъ свинецъ удалится къ самымъ концамъ трубки. Сохраненіе въ неизмѣнномъ положеніи плоскости вращенія. Подобно тому, какъ при вращательномъ движеніи тѣла, всякая перемѣна въ его направленіи встрѣчаетъ сопротивленіе въ центробѣжной силѣ, точ- но также оно стремится сохранить и-положеніе своей плоскости вращенія. Каждая часть тѣла при его вращеніи описываетъ плоскій- кругъ, и имѣетъ во всякій моментъ скорость направленную по касательной къ это- му кругу. Если повернуть вращающееся тѣло такимъ образомъ, чтобы плоскость движенія каждой точки составила уголъ съ первоначальнымъ своимъ положеніемъ, то вмѣстѣ съ тѣмъ должно измѣниться и направле- ніе движенія. Для этого точно также необходима сила, какъ и для перемѣны напра- вленія при вращательномъ движеніи, • происходящемъ въ одной плоскости. По тому, если на вращающееся тѣло не дѣйствуютъ внѣшнія силы, то оно и останется въ своемъ ^положеніи, такъ что круги описываемые от-
ЛЕКЦІЯ 93 плоскости, второе коль- Рпс. 33. дѣльными его точками остаются параллельными постоянно къ одной и той же плоскости. Это хорошо видно на катящемся колесѣ съ узкимъ ободкомъ или плос- комъ кружкѣ. Они не удерживаются въ вертикальномъ положеніи на сво- емъ ободкѣ и тотчасъ падаюѣъ будучи поставлены; но легко сохраняютъ это положеніе когда катятся по плоскости, то есть когда имъ сообщить быстрое вращательное движеніе при горизонтальномъ положеніи ихъ оси. То же самое видно въ неизмѣнности положенія такъ называемыхъ сво- бодныхъ осей вращающихся тѣлъ. Если тѣло вращается около оси, ко- торая раздѣляетъ его на симметрическія части притомъ такъ, что центры тяжести слоевъ, перпендикулярныхъ къ оси, лежатъ на самой оси, то цен- тробѣжная сила тянетъ ось одинаково во всѣ стороны, а потому и дѣйствія ея взаимно уничтожаются. Такая ось, которую центробѣжная сила не тя- нетъ пи въ ту ни въ другую сторону, называется свободною осью, и она удерживаетъ свое направленіе въ пространствѣ. Явленіе это хорошо видно на приборѣ Бон&нбергера, который состоитъ изъ трехъ колецъ помѣщен- ныхъ одно въ другомъ и въ самомъ внутреннемъ изъ нихъ заключается шаръ приводимый въ быстрое вращательное движеніе. Внѣшнее кольцо А (рис. 33^) укрѣплено неподвижно въ вертикальнс цо В можетъ свободно вращаться около верти- кальной оси внутри перваго. Третье кольцо С можетъ свободно вращаться во второмъ около оси, перпендикулярной къ оси вращенія втора- го кольца и наконецъ шаръ можетъ вращаться около оси перпендикулярной къ оси третьяго кольца. Къ оси шара придѣланъ маленькій блокъ, около котораго можно обвить нить. Если вдругъ быстро развить эту навернутую нить, придерживая въ то же время кольцо, то шаръ начнетъ быстро вращатся около своей оси. Ось піара можетъ свободно вращаться во всѣ стороны, благодаря такому расположенію осей трехъ колецъ, въ которыхъ помѣщается шаръ. Когда шаръ не вертится, то, при малѣйшемъ давленіи на одно изъ колецъ, происходитъ враще- ніе его оси. Если же шаръ приведенъ въ быстрое вращательное движеніе, быстрымъ развертыва- ніемъ навитой нити, то приборъ можно оборачивать сколько угодно, и ось
94 ПЯТАЯ шара все таки остается параллельною самой себѣ. — Это особенно хоро- шо видно, когда приборъ утвержденъ на центробѣжной машинѣ и она приведена въ вращательное движеніе. Направленіе оси вращенія шара при этомъ остается неизмѣннымъ. Совершенно подобное явленіе происходитъ и на извѣстной дѣтской игрушкѣ — волчкѣ. Если онъ не вертится, то никакъ не можетъ устоять на своей ножкѣ, находясь при этомъ въ положеніи неустойчиваго равно- вѣсія. Если ему сообщено быстрое вращательное движеніе, то онъ не па- даетъ, хотя бы даже его ось получила наклонное положеніе, такъ что отъ собственной тяжести онъ долженъ бы былъ при этомъ опрокинуться. Вращающееся тѣло обнаруживаетъ сопротивленіе перемѣнѣ положенія своей плоскости вращенія, и силу этого сопротивленія легко почувство- вать, стараясь повернуть ось вращающагося шара въ приборѣ Боненбер- гера. Еще поразительнѣе замѣчается это явленіе на опытѣ, который послу- жилъ механику Фесселю поводомъ къ устройству особеннаго вращатель- наго прибора, названнаго его именемъ. Если латунный кругъ съ толстымъ ободкомъ Рис' укрѣпить на оси, придѣланной къ кольцу, подобно шару въ Боненбергеровомъ приборѣ, и, приведя его въ быстрое вращеніе, повѣсить потомъ кольцо на нити такъ, какъ это показано на рисункѣ 34, то оно не опустится, но будетъ, удерживаясь въ гори- зонтальномъ положеніи, свободно висѣть, такъ какъ при опусканіи измѣнилась бы плоскость вращенія, Чему противодѣйствуетъ вращеніе, хотя вѣсъ прибора довольно значительный. Напротивъ того, на этомъ приборѣ, какъ и на волчкѣ, замѣчается на первый взглядъ весьма странное явленіе: кружокъ поворачивается около отвѣсной нити по направленію, противуположному его вращенію въ коль- цѣ, при чемъ ось вращенія постепенно поднимается. Для всесторонняго представленія этихъ явленій служитъ приборъ Фссселя (рис- 35). Кругъ съ кольцомъ прикрѣпленъ, какъ и въ Бо- ненбергеровомъ приборѣ, ко второму кольцу съ рукояткой, которая мо- жетъ вращаться около горизонтальной оси въ вилообразной распоркѣ Сг. Эта распорка утверждена на вертикальной оси, вращающейся внутри ножки прибора. На продолженіи рукоятки можно привѣшивать гири для уравновѣшиванія вращающагося кружка или вполнѣ или только частью,— Если кругъ виситъ совершенно свободно, то, при вращеніи его, замѣ-
ЛЕКЦІЯ. 95 чается поворачиваніе его со всѣми Рис. 35. кольцами около' вертикалы-юй оси въ противуположномъ направленіи. Если кругъ вполнѣ уравновѣшенъ, то ви- ситъ также покойно, какъ еслибъ онъ и не вращался; еслиже, напротивъ то- го, перевѣсъ на ^торонѣ рукоятки, то, при вращеніи кружка; весь приборъ начинаетъ вращаться въ туже сторону. По появленіи прибора Фесселя, ПогендорФЪ очень наглядно показалъ, что всѣ эти явленія суть только слѣд- ствія касательныхъ скоростей отдѣль- ныхъ частей круга. Если ось вращающагося круга держать сначала горизонтально, какъ на рисункѣ 34 и сообщить ему вра- щательное движеніе въ вертикальной плоскости, то при освобожденіи круга, если онъ не уравновѣшенъ гирей, тяжесть заставитъ весь при- боръ немного опуститься. Чрезъ это произойдетъ небольшое вращеніе круга около горизонталь- ной оси (перпендикулярной къ прежней), отчего движеніе частей круга впереди, гдѣ они поднимаются, и назади, гдѣ они опускаются, будетъ на- рушено. Части эти имѣютъ вертикальныя скорости, тогда какъ кругъ при- нимаетъ наклонное положеніе. По этому вертикальныя скорости получатъ стремленіе выдаваться изъ плоскости круга направо, въ передней его части, гдѣ частицы поднимаются, и налѣво въ задней части, гдѣ частицы опускаются. Такъ какъ части круга не могутъ теперь вполнѣ слѣдовать за эти- ми скоростями, то онѣ производятъ давленіе на кругъ, перпендикуляр- ное къ нему спереди—на право, сзади—на лѣво. Оба эти дѣйствія под- крѣпляютъ другъ друга, и вслѣдствіе того должно произойти вращеніе всего прибора около вертикальной оси, въ направленіи противуположномъ движенію часовой стрѣлки, если смотрѣть на приборъ сверху. Какъ только .произойдетъ это вращеніе прибора около вертикальной оси, то движеніе частицъ будетъ нарушено наверху, гдѣ онѣ движутся напе- редъ, и внизу, гдѣ онѣ имѣютъ движеніе назадъ. Ихъ скорости въ этотъ мо- ментъ будутъ выдаваться изъ положенія круга внизу на лѣво, на верху напра- во. Разложивъ ихъ каждую на двѣ составляющія скорости, одну въ направленіи
96 ПЯТАЯ движенія круга въ этотъ моментъ, другую перпендикулярную къ кругу, можно тотчасъ замѣтить, что силы, перпендикулярныя къ плоскости вращенія кру- га, тянутъ нижнюю точку діаметра круга налѣво, верхнюю направо. Обѣ эти силы должны немного приподнять ось вращенія круга и, слѣдова- тельно, произвести движеніе, противуположное производимому первона- чально, дѣйствіемъ тяжести. Если же вѣсъ прибора уравновѣшенъ гирею, равною,ему по вѣсу, то дѣйствіе тяжести,— этотъ первый толчекъ къ движенію круга, уничтожено и потому не произойдетъ никакого движенія. Если же противовѣсъ болѣе тяжести прибора, то дѣйствіе будетъ прямо противуположное, что непосредственно можно видѣть изъ анало- гичнаго разсмотрѣнія. Подобнымъ же образомъ легко объяснить и движе- ніе оси волчка по конической поверхности около отвѣсной линіи. Опытъ Фуко надъ маятникомъ. Качающійся маятникъ имѣетъ такое же стремленіе къ сохраненію своей вертикальной плоскости колеба- ній, такъ какъ и его части движутся по плоскимъ кривымъ дугамъ окружности. И потому, если нѣтъ никакого посторонняго дѣйствія, маят- никъ будетъ качаться въ одной и той же плоскости. Этимъ свойствомъ маятника воспользавался Французскій физикъ Фуко для доказательства на опытѣ вращенія земли около оси. Представимъ се- бѣ маятникъ, повѣшенный прямо па полюсѣ земли, нанр. на сѣверѣ и качающійся въ плоскости какого нибудь меридіана. Маятникъ и колебанія его останутся параллельными сами себѣ, тогда какъ меридіанъ, съ кото- рымъ маятникъ двигался сначала параллельно, въ 24 часа опишетъ пол- ный подъ нимъ кругъ. Поэтому направленіе колебаній маятника должно постепенно отступать отъ направленія меридіана, и такъ какъ наблюда- тель не замѣчаетъ вращенія земли, то ему должно казаться, что плос- кость колебаній маятника вращается въ сторону противуположную враще- нію земли, и, слѣдовательно, по направленію движенія солнца. Подобное же явленіе должно происходить и на другихъ мѣстахъ зем- ли, только величина вращенія измѣняется съ географическою широтою мѣста. Съ приближеніемъ къ экватору должно уменьшаться кажущееся поворачиваніе плоскости колебаній. На полюсѣ это вращеніе должно совершить полный кругъ въ 24 ча- са, на экваторѣ же напротивъ не должно произойти никакого вращенія, ибо мередіанъ имѣетъ относительно плоскости колебанія не вращательное, но поступательное движеніе, въ которомъ и маятникъ принимаетъ участіе. На мѣстахъ между полюсомъ и экваторомъ кажущееся вращеніе плос-
ЛЕКЦІЯ. 97 кости колебаній должно быть между этими предѣлами, оно должно пово- рачиваться, но для полнаго оборота употребить болѣе 24 часовъ. Назо- вемъ черезъ а, уголъ который описываетъ какая нибудь точка въ из- вѣстное время, то легко показать, что уголъ р, на который повернулся маятникъ, въ одно и то же время равенъ 3 = « 8ІП <р, если означаетъ географическую широту мѣста. Чтобъ показать это, по- ложимъ, (рис. 36) что А означаетъ мѣсто на землѣ въ широтѣ <р, на кото- ромъ качается маятникъ, и пусть, для про- стоты, направленіе колебаній совпадаетъ съ плоскостью меридіана. Это направленіе совпадаетъ съ каса- тельной СА, проведенной въ точкѣ А, такъ какъ, по причинѣ малости обозрѣваемаго нами пространства на землѣ, мы можемъ принять поверхность земли за плоскость и въ такомъ случаѣ горизонтальная плоскость есть касательная къ точкѣ нашего мѣ- стонахожденія. По прошествіи времени Т, точка А опишетъ на параллельномъ кругѣ АР дугу АВ около центра М. Маятникъ же, котораго колебанія остают- ся параллельными АС, будетъ теперь ка- чаться въ плоскости проходящей черезъ линіюВР, параллельную АС, и вертикальную линію ОВ. Кажущееся отклоненіе направленія колебаній маятника отно- сительно опредѣленнаго направленія на горизонтальной плоскости, равно углу, который образуетъ направленіе колебаній съ направленіемъ меридіа- на, такъ какъ мы приняли, что маятникъ первоначально качался по мери- діану. Направленіе меридіана въ В опредѣляется касательной ВС, прове- денной къ меридіану въ точкѣ В. Слѣдовательно уголъ СВО есть уголъ кажущагося отклоненія плоскости колебанія. Но этотъ уголъ равенъ углу АСВ, образуемому обѣими касательными въ точкѣ С. Слѣдовательно, пло- скость качанія совершила кажущееся отклоненіе на уголъ, который обра- зуютъ между собой касательныя къ меридіану въ точкѣ А, въ ея послѣ- дующихъ положеніяхъ. Очевидно, что этотъ уголъ долженъ быть менѣе угла, описываемаго точкою А на ея параллельномъ кругѣ. Физика I. 7
98 ПЯТАЯ Чтобъ найти отношеніе между углами АСВ и АМВ, припомнимъ, что параллельный кругъ АВ есть вмѣстѣ съ тѣмъ основаніе конической по- верхности описываемой касательною АС при ея послѣдующихъ положеніяхъ, и что поэтому длина дуги АВ будетъ АВ = АСВ. АС и съ другой- стороны, такъ какъ АВ дуга параллельнаго круга АР, то АВ = АМВ. АМ. Мы обозначили АСВ = |3, АМВ — а и широту мѣста А. АОЕ — © Но АМ = АО. соз ср = В. соз ср. АС = АО АОС = АО соі$ © = В соі$ <?. Отсюда слѣдуетъ: (3 = СОІ$ ф = а. В. СОЗ <?. сов ф Д — а. —- — Л. 81П Ф. Г СОІ§ ф ' Или уголъ кажущагося отклоненія плоскости качаній равенъ углу поворо- та земли въ это время, помноженному на синусъ широты мѣста. Для полюса © = 90°, зіп © — 1, |3 = я; на полюсѣ плоскость качанія поворачивается такъ же скоро, какъ и земля, для экватора ір = 0, зіп © — 0, (3 = 0, тамъ плоскость качаній совсѣмъ не двигается для Берлина (3 = а. зіп 52° 30' = 0,793 35 а. для Марбурга = а. зіп 50° 50' = 0,775 31 а. Въ 24 часа, когда слѣдовательно я. равно 360°, маятникъ поворачивается въ Берлинѣ на 285° 36' въ Марбургѣ на 279° 6' или для полнаго оборота маятника нужно въ Берлинѣ 30 часовъ 15 минутъ и въ Марбургѣ 31 » 49 » Точно произведенные опыты дали дѣйствительно въ результатѣ числа, согласныя съ теоріей, и, слѣдовательно, дали доказательство вращенія земли около оси. Удобнѣе всего производить эти опыты въ высокихъ помѣщеніяхъ. Къ тонкой длинной проволокѣ прикрѣпляютъ тяжелый грузъ, около точки, надъ которой виситъ спокойно и отвѣсно маятникъ, описы- ваютъ кругъ раздѣленный на части. Не трудно замѣтить, какъ маятникъ постепенно показываетъ на послѣдовательныя черты дѣленія, отъ видимаго вращенія плоскости его качанія по солнцу.
ШЕСТАЯ ЛЕКЦІЯ О маятникѣ. Законъ равновременности и законъ длины маятника, выводимой изъ наблюденія. —Простой маятникъ.—Формула.—Сложный маятникъ. — Моменты инерціи.—Законы колебанія сложнаго маятника тождествен- ны съ законами колебаній простаго маятника, по которому длгі/на опредѣ- ляется вычисленіемъ.— Опредѣленіе посредствомъ маятника ускоренія, производимаго тяжестью.—Способъ совпаденій.—Употребленіе маятника для измѣренія времени,—Формулы колебательнаго движенія прилагаются для сравненія силъ всякаго рода, которыя можноразсматривать какъ по- стоянныя и параллельныя во всякомъ положеніи колеблющагося тѣла. Для того чтобы вычислить ускореніе, сообщаемое тѣлу опредѣленной силой, нужно знать его массу, то есть отношеніе его вѣса къ величинѣ д. Отсюда вытекаетъ необходимость измѣрять эту постоянную величину; а такъ какъ движенія, которыя мы до сихъ поръ разсматривали, могутъ давать только грубое ея измѣреніе, то мы должны обратиться къ другимъ явленіямъ для опредѣленія ея величины съ большею точностью., Обратим- ся же къ этимъ явленіямъ. Представимъ себѣ тяжелый шаръ В (рис. 31), поддерживаемый на неподвижной опорѣ посредствомъ нити, которая можетъ обращаться около точки прикрѣпленія. При- боръ этотъ, называемый маятникомъ, удер- живается въ равновѣсіи въ вертикальномъ положеніи; если же его отклонить въ сто. рону, напр. до точки С, то онъ будетъ Подчиняться двумъ составляющимъ Р' и
100 ШЕСТАЯ Р/.' его вѣса, изъ которыхъ одна направляется по нити, а другая касателыіа къ кривой; она измѣряется величиной Р еіп А и побуж- даетъ шаръ возвращаться къ своему положенію равновѣсія В. Эта си- ла измѣняется каждое мгновеніе, вмѣстѣ съ величиной угла А; она умень- шается, когда шаръ приближается къ В и обращается въ нуль, когда онъ достигаетъ этой точки. Поэтому она непостоянна ни по величинѣ, ни по направленію, и возбуждаемое ею движеніе совершается по сложнымъ за- конамъ, различнымъ отъ законовъ равномѣрно-перемѣнчиваго движенія. Достигнувъ точки В, маятникъ пріобрѣтаетъ извѣстную скорость и про- должаетъ свое движеніе по дугѣ ВС'. Но вѣсъ его, постоянно оказыва- ющій свое дѣйствіе, разлагается, какъ и прежде, на двѣ силы, изъ кото- рыхъ одна, Р 8Іи А, касательная къ описываемой шаромъ кривой, унич- тожаетъ, мало но малу, во время восходящаго его движенія, дѣйствіе толчковъ, полученныхъ имъ во время его нисходящаго движенія, и нако- нецъ скорость шара совсѣмъ уничтожается, когда онъ проходитъ про- странство ВС' — ВС. Затѣмъ онъ снова начинаетъ спускаться, чтобы, продолжая свое движеніе, опять подняться до С, послѣ чего вторично воз- вращается къ С' и т. д.; слѣдовательно онъ получаетъ колебательное дви- женіе, которое недолжно никогда кончиться. Однакожъ, этотъ приборъ невозможно сдѣлать такъ, чтобы онъ не имѣлъ тренія въ точкѣ привѣса и не встрѣчалъ бы сопротивленія въ воздухѣ, который онъ долженъ раз- дѣлять при своихъ колебаніяхъ; поэтому длины или амплитуды его колебаній постепенно уменьшаются и скоро онъ приходитъ въ положеніе равновѣсія. Равновременность маленькихъ качаній маятника.—Можно лег- ко опредѣлить среднюю продолжительность одного колебанія посредствомъ наблюденія. Для этого служитъ счислитель, отсчитывающій, четверти се- кунды и стрѣлка котораго приводится въ движеніе или останавливается, когда надавливаютъ пуговку въ томъ или другомъ направленіи. Отклоняютъ маятникъ на уголъ А, и въ самый моментъ начала его паденія пускаютъ и ходъ хронометра. Затѣмъ отсчитываютъ 100 колебаній и въ концѣ послѣд- няго изъ нихъ останавливаютъ стрѣлку. Тогда хронометръ покажетъ вре- мя этихъ ста колебаній, размахи (амплитуды) которыхъ постепенно умень- шались отъ А до А', а раздѣливъ это время на 100, получится продолжи- А. ~І~ А/ тельность одного колебанія, средній размахъ котораго будетъ —' Не останавливая еще маятника, опредѣляютъ продолжительность слѣдующихъ ста качаній, заключенныхъ въ меньшихъ предѣлахъ, т. е. втутри раз- маховъ А' и А", и такимъ образомъ продолжаютъ наблюденіе до тѣхъ
ЛЕКЦІЯ. 101 поръ, пока оно только возможно, то есть пока колебанія сдѣлаются не- чувствительны, Сравнивая потомъ послѣдовательно полученныя времена, найдемъ, что они уменьшаются вмѣстѣ съ величиною размаха, пока раз- махи довольно значительны, но наконецъ найденные промежутки времени достигаютъ постояннаго предѣла, когда качанія сдѣлаются малыми и не превосходятъ 2° или 3°. При большемъ еще уменьшеніи размаховъ, про- должительность качаній болѣе не измѣняется съ перемѣной величины раз- маха, и можно сказать, что маленькія колебанія равновременны. Этотъ выводъ путемъ опыта имѣетъ большую важность. Маятники различнаго рода.—Доказавъ такимъ образомъ равно- временность маленькихъ колебаній, нужно еще сравнить ихъ продолжи- тельность для шаровъ изъ различныхъ веществъ, выбирая для того такія тѣла, которыя, при равномъ объемѣ, представляютъ наибольшую разность въ вѣсѣ. Пусть, напримѣръ, первый изъ нихъ будетъ стеклянный, напол- ненный водой, второй сплошной желѣзный, третій такой же платиновый. Отклонивъ всѣ три маятника и пустивъ ихъ въ одинъ и тотъ же моментъ, увидимъ, что колебанія, начатыя вмѣстѣ, всегда останутся согласными между собою. Итакъ продолжительность каждаго колебанія независима отъ природы тѣлъ, изъ которыхъ сдѣланы, маятники. Подобнымъ же обра- зомъ легко доказывается, что она не измѣняется и при различномъ вѣсѣ маятниковъ. Законъ длины. — Когда многіе маятники имѣютъ различныя длины, то колебанія ихъ перестаютъ быть одинаковыми. Вотъ какимъ способомъ ихъ можно сравнивать. Возьмемъ четыре равныхъ шара, повѣсимъ ихъ на одну и ту же опору на нити, длины которыхъ будутъ относиться между собою какъ числа 1, 4, 9, 16 т. е. какъ квадраты естественныхъ чиселъ. Затѣмъ, четыре наблюдателя отклоняютъ, каждый отдѣльно, эти маятники, опускаютъ ихъ по дан- ному знаку и считаютъ колебанія до втораго сигнала. По истеченіи извѣстна- го промежутка времени они получатъ слѣдующія числа колебаній 60, 30, 20, 15, слѣдовательно, продолжительности одного колебанія для этихъ четырехъ маятниковъ относятся между собою какъ числа 1, 2, 3, 4 то есть времена колебаній находятся между собой въ прямомъ отношеніи съ квадратными корнами изъ длины маятниковъ. Простой маятникъ.—Приближенная Формула.—Полученные
102 ШЕСТАЯ нами законы, единственные, которые могутъ быть выведены изъ опыта, не достаточны для вычисленія продолжительности отдѣльныхъ колебаній; но для полученія ея необходимо обратиться въ теоретическому рѣшенію вопроса, основанному на началахъ механики. Вотъ приблизительное рѣ- шеніе этого вопроса. Положимъ, что маятникъ будетъ состоять изъ матеріальной частицы В, висящей на нити неимѣющей вѣса; будучи отклоненъ, онъ проходитъ отъ точки С къ какой нибудь точкѣ Е и пріобрѣтаетъ при этомъ скорость равную (рис. 37). Положимъ, что уголъ отклоненія довольно малъ, такъ что дуги СВ и ЕВ, которыя мы означимъ чрезъ а и х, могутъ быть приняты равными ихъ хордамъ. Тогда будемъ имѣть слѣдовательно, скорость'въ точкѣ Е' будетъ (а2-^я2). Развернемъ дугу СВС' въ прямую линію СВС' (рис. 389 и пРеД- ставимъ себѣ, что тѣло коле- блется по направленію этой линіи съ тѣми же скоро- стями, какъ и маятникъ по описываемой имъ дугѣ; тог- да и время, которое упо- требитъ это тѣло для пе- рехода отъ С къ С', будетъ равно продолжительности Рис. 38. одного колебанія маятника. 1 Чтобы найти это время, опишемъ полуокружность СМС' радіусомъ СВ = а и положимъ, что оно пробѣгается вторымъ движущимся тѣломъ съ постоянною скоростью а у/Л? тогда время, употребленное имъ для этого движенія отъ С къ С', будетъ 71 а или 7г./~7~ Но горизонтальная скорость этого движущагося тѣла всегда будетъ равна скорости перваго предположеннаго нами тѣла, въ чемъ легко убѣ- димся, если разложимъ скорость перваго МТ на горизонтальную и вер- тикальную составляющія и получимъ при этомъ
ЛЕКЦІЯ. 103 / 8МТ = / ЕМВ и / МТ8 = / ЕВМ; тогда для горизонтальной составляющей будемъ имѣть «V А 8Іп ѵ I ЕВМ = а\/= \/Я- (а2 — ж2). ѵ і мв ѵ і 7 То есть оба движущіяся тѣла всегда будутъ имѣть одну и ту же горизон- тальную скорость и, слѣдовательно, постоянно будутъ находиться на одной вертикальной линіи, если только они оба начали свое движеніе отъ точки С въ одинъ и тотъ'же моментъ, и они вмѣстѣ достигнутъ точки С, по истеченіи времени \/ —> а это время есть время одного колеба- 9 нія маятника. Результатъ этотъ полученъ въ томъ предположеніи, что дуги опи- сываемыя маятникомъ настолько малы, что ихъ можно принимать за рав- ныя ихъ хордамъ; слѣдовательно, онъ примѣнимъ только къ весьма малымъ размахамъ маятника и подтверждается приведенными выше опытами. И въ самомъ дѣлѣ, изъ полученной Формулы выводятся тѣ же самые законы, которые далъ намъ опытъ, то есть: 1°, что время колебанія не зависитъ отъ величины размаха, если только онъ очень малъ; 2°, что оно постоянно, каковы бы ни были вѣсъ маятника и природа тѣла, изъ котораго онъ со- стоитъ, потому что эти количества не входятъ въ Формулу; 3°, что време- на колебаній пропорціональны корнямъ квадратнымъ изъ длины маятни- ковъ. Но сверхъ того Формула эта намъ показываетъ, что время і нахо- дится въ обратномъ отношеніи съ квадратнымъ корнемъ изъ величины д, и, слѣдовательно, если мы измѣримъ длину I маятника и продолжитель- ность I одного колебанія его, то можемъ вычислить и д, рѣшивъ уравне- ніе относительно д, что намъ дастъ п Но прежде чѣмъ обратимся къ этому, постараемся показать посред- ствомъ опыта, что время і находится въ обратномъ отношеніи съ квад- ратнымъ корнемъ изъ ускоренія. Физическій маятникъ. — Обратимъ вниманіе прежде всего на то обстоятельство, что маятники, употребляемые нами, не суть простые ма- тематическіе маятники, но состоятъ изъ нитей или брусковъ, съ при- крѣпленнымъ къ ихъ нижнему концу вѣсомъ. Каждая точка такого ма- ятника подвержена дѣйствію тяжести, и пріобрѣтаетъ, слѣдовательно, .опре- дѣленную скорость, которая будетъ больше для точекъ близкихъ къ оси вращенія и меньше для точекъ отдаленныхъ отъ этой оси. Но такъ
104 ШЕСТАЯ какъ весь маятникъ имѣетъ общую угловую скорость, что показываетъ намъ наблюденіе, то ясно, что время его колебанія не можетъ быть оди- наково со временемъ колебанія математическаго маятника той же длины. Но силы, дѣйствующія на различныя точки маятника, параллельны между собой, такъ какъ причина движенія маятника есть тяжесть. Но на основаніи прежде сказаннаго мы знаемъ, что параллельныя силы всегда имѣютъ равнодѣйствующую, равную суммѣ ихъ и приложенную въ опре- дѣленной точкѣ, которую въ тѣлѣ составляетъ центръ тяжести. Поэтому мы можемъ себѣ представить, что сумма вѣсовъ отдѣльныхъ частицъ маятника сосредоточена въ его центрѣ тяжести. Если Р есть вѣсъ всего маятника и 2 разстояніе центра тяжести отъ оси вращенія, то моментъ силы при углѣ отклоненія А равенъ Р . 2 . віп. А. Отсюда видно, что двигающая сила та же, что и у простаго маятника, длина котораго равна 2. Поэтому, еслибъ все различіе между Физическимъ и математическимъ ма- ятниками состояло только въ томъ, что въ математическомъ точка приложенія силы находилась на разстояніи I отъ оси, а въ Физическомъ эта сила дѣй- ствовала на всѣ точки, тогда бы движеніе Физическаго маятника можно бы- ло перевести на движеніе математическаго, потому что Физическій маят- никъ качался бы тогда какъ математическій, длина котораго равнялась бы разстоянію центра тяжести Физическаго маятника отъ оси вращенія. Но есть еще и другое различіе между этими маятниками. Движеніе, сообщаемое тѣлу какою нибудь силой, зависитъ не.только отъ величины силы, но и отъ массы тѣла; ускореніе, какъ мы видѣли, обратно пропор- ціонально массѣ тѣла. У простаго маятника, котораго нить принималась невѣсомою, какъ неимѣющая тяжести, движимую массу составляла тяжелая точка, прикрѣпленная къ концу нити. Но такъ какъ масса тѣла пропор- ціональна его тяжести, то въ этомъ случаѣ, при движеніи тяжелой точки, ускореніе, а, слѣдовательно, и все движеніе, независимо отъ массы, такъ какъ въ одинаковомъ отношеніи съ массой растетъ и двигающая сила. Поэтому знаменатель отношенія этихъ двухъ количествъ имѣетъ по- стоянную величину, и именно, равную ускоренію д. Но въ настоящемъ случаѣ это не имѣетъ мѣста. Хотя отношеніе вѣса маятника къ его массѣ и равно ускоренію д, однакожъ оно не будетъ здѣсь произведено вѣсомъ Р, такъ какъ масса маятника не соединена въ точкѣ приложенія силы, именно въ центрѣ тяжести, а распредѣлена по всему маятнику. Эту массу мы не имѣемъ'права принимать сосредо- точенною въ центрѣ тяжести тѣла, подобно тому, какъ мы представляли себѣ сумму всѣхъ силъ, соединенною въ этой точкѣ, потому что сопротив-
ЛЕКЦІЯ. 105 леніе, противопоставленное данной массой вращательному движенію, зави- ситъ не только отъ ея величины, но также и отъ разстоянія ея отъ оси вращенія. Еслибъ мы могли найти массу, которая, будучи приложена къ цен- тру тяжести, относительно движенія, точно также замѣняла бы массу ма- ятника, какъ и вѣсъ его, который мы представимъ тебѣ сосредоточеннымъ въ центрѣ тяжести, то мы могли бы вычислить ускореніе д’, сообщаемое силой Р этой массѣ, а отсюда нашли бы и время колебанія нашего ма- ятника. Тогда наше изслѣдованіе Физическаго маятника приведено было бы къ размотрѣнію математическаго, длина котораго й; сила приложе- нія къ концу его, сообщала бы сосредоточенной тамъ массѣ ускореніе д', и потому время колебанія было бы 9 О моментахъ инерціи. Механика показываетъ, какія массы, помѣ- щенныя въ различныхъ разстояніяхъ отъ оси вращенія, замѣняютъ другъ друга; т, е. какой массѣ, помѣщенной въ разстояніи а отъ оси, данная сила сообщаетъ такую же угловую скорость, какъ и данной массѣ, на раз- стояніи г отъ оси. Пусть будетъ ОВ (рис. 39) невѣсомый брусокъ, длина котораго г и на концѣ его В помѣщена масса яз, дви- Рис. 39. „ жимая силой Р, дѣйствующей непрерывно —-----с в по направленію движенія. Во время I мас- / са т пройдетъ дугу ВТ; спрашивается: / какую массу т1, должны мы, по удаленіи / массы т, сосредоточить въ точкѣ С, вмѣ- д сто массы т въ точкѣ В, чтобъ угловое движеніе бруска осталось то же самое. Если точка В въ данное время описываетъ дугу ВТ, то масса т1 должна въ то же время пройти равную ей по угловой мѣрѣ дугу С8. Абсолютная длина этой дуги въ отношеніи длины дуги ВТ опредѣлится изъ пропорціи С8 : ВТ = а : г, С8 = —• ВТ, Г если а есть разстояніе точки С отъ оси вращенія. Ести напр. г = 4а, то длина дуги С8 равна только четверти дуги ВТ, слѣдовательно, про-
106 ШЕСТАЯ странство, проходимое массою т', должно быть въ четыре раза' менѣе пространства, проходимаго массою т, въ точкѣ В. Масса т прошла пространство ВТ отъ дѣйствія на нее постоянной силы Р, приложенной къ точкѣ В и дѣйствующей по направленію дви- женія. Для уравновѣшенія бруска, въ точкѣ С нужно приложить силу Рг, дѣйствующую въ противоположномъ направленіи и составляющую съ си- лой Р отношеніе Р' : Р = г . а, Р' - Р. а Или по выше приведеннымъ числамъ, Р> = 4Р. Слѣдовательно, давленіе, оказываемое на точку В, производитъ въ точкѣ С давленіе вчетверо большее. Подъ этимъ большимъ давленіемъ масса пР должна пройти про- странство —, меньшее нежели масса ш подъ давленіемъ Р; а это можетъ быть только въ томъ случаѣ, когда , Г2 пѵ = -^. т. а? Потому что, по предъидущему, пространство 8, пройденное въ данное время I массою т отъ дѣйствія силы Р, равно а, слѣдовательно, пространство дѣйствія силы - г будетъ а —. О-------. <- , г т' откуда получаемъ непосредственно , г2 т' = т,. а? и потомъ а2 = г2 т или т'-. т — т*". а? т. е. массы, находящіяся въ различныхъ разстояніяхъ отъ оси вращенія, и пріобрѣтающія одинаковыя угловыя скорости отъ одной и той же силы, приложенной къ одной и той же точкѣ, находятся между собой въ обратномъ отношеніи квадратовъ ихъ разстояній отъ оси вращенія. На разстояніяхъ 1, 2, 3, 4 отъ оси замѣняютъ другъ друга массы т, х/^п., '/<№, ‘/іб т- Этотъ законъ можно выразить такъ: Произведенія массъ т, іпг, т" — з, проходимое искомою массою т' отъ
ЛЕКЦІЯ. 107 на квадраты ихъ разстояній отъ оси г2, г'3, г"3, должны быть равны между собой, если какая нибудь, но одна и та же сила должна сообщить этимъ массамъ, при ихъ разстояніяхъ отъ оси, .равныя угловыя скорости. Произведеніе массы т, какой нибудь точки, на квадратъ разстоянія ея отъ оси, т. е. тг3 называется моментомъ инерціи этой точки т. Слѣдовательно, изъ момента инерціи массы можно узнать, какую массу нужно сосредоточить на разстояніи ровномъ единицѣ, отъ оси вращенія, чтобъ она имѣла одну и ту же угловую скорость съ массою, находящеюся на разстояніи г. Сумма моментовъ инерціи всѣхъ точекъ называется моментомъ инер- ціи тѣла. Изъ опредѣленія ясно видно, что моментъ инерціи тѣла не есть постоянная величина; напротивъ, онъ зависитъ отъ положенія оси враще- нія, около которой вращается тѣло. Моментъ инерціи тѣла, относительно опредѣленной оси, можно иногда найти помощію вычисленія, а именно тогда, когда тѣло имѣетъ однород- ную плотность и легко опредѣляемую геометричестую Форму. Иногда мо- ментъ инерціи можно опредѣлить изъ опыта, что мы увидимъ впослѣдствіи. Приложеніе выводовъ къ Физическому маятнику. Приложимъ теперь предъидущіе выводы къ Физическому маятнику. Мы приняли, что центръ тяжести маятника находится на разстояніи г отъ точки привѣса, требовалось опредѣлить массу М, которую нужно сосредоточить на раз- стояніи 2 отъ оси вращенія, слѣдовательно, въ точкѣ приложенія силы, ко- торая замѣняла бы всю массу распредѣленную во всемъ маятникѣ. Разложимъ маятникъ мысленно на столько маленькихъ частицъ т, т', т", чтобы мы могли разсматривать ихъ какъ отдѣльныя матеріальныя точки на разстояніяхъ г, г', г", отъ оси. Тогда моменту инерціи тѣла относительно оси вращенія будетъ равенъ суммѣ моментовъ инерціи отдѣльныхъ точекъ (т г3 тп' г'3 т^г"3 -{-.......) — %тг3, гдѣ знакъ 2 означаетъ сумму безконечнаго числа. Эта сумма, на основаніи предъидущаго, означаетъ массу, которая, будучи сосредоточена на разстоя- ніи единицы отъ оси, замѣняетъ собою всѣ частицы разсѣянныя въ массѣ. Но массѣ этой равнозначуща масса М, помѣщенная на разстояніи г отъ оси и моментъ инерціи которой равенъ %тг3. А моментъ инерціи массы М, на разстояніи г отъ оси, есть Мг2. Слѣдовательно, для опредѣ- ленія М мы имѣемъ
108 ШЕСТАЯ Мх5 = 2тгг. М = ^2 На эту массу дѣйствуетъ, какъ мы приняли, сила Р, приложенная на томъ же разстояніи х отъ оси. Но сила эта, при постоянномъ дѣйствіи, сообщила бы массѣ ускореніе __р р.ха 9 М Зтг* Такъ какъ время колебанія простаго маятника съ длиною г, отъ дѣйствія силы, сообщающей матеріальной точкѣ на его концѣ ускороніе д( будетъ і = ѵ д‘ то время колебанія нашего Физическаго маятника будетъ ѵ Р.г' ѵ Р,г Означивъ черезъ 1т сумму массъ отдѣльныхъ частицъ, а слѣдова- тельно и массу всего тѣла, мы можемъ положить, что Р = д.іт, вставляя это выраженіе въ предъидущее, получимъ обыкновенную Формулу для выраженія времени колебанія Физическаго маятника ’ д.і.2т Изъ этого выраженія видно, что всякій Физическій маятникъ имѣетъ одинаковое время колебанія съ математическимъ маятникомъ опредѣленной длины. Положивъ 2*»іг4_ . ( 2.2т ’ получимъ Ѵ 9 Слѣдовательно, I естъ длина математическаго маятника, имѣющаго съ даннымъ Физическимъ одинаковое время колебанія. Точка, отдаленная на разстояніе I отъ оси, называется точкой качанія маятника, а длина I математическаго маятника, имѣющаго одно и то же время колебанія съ Физическимъ, называется также и длиною Физическаго маятника. Возьмемъ линейку изъ еловаго дерева (рис. 40), вѣсъ которой былъ бы на столько малъ, что имъ можно было бы пренебрегать при нашихъ вы- численіяхъ, и утвердимъ на концахъ ея двѣ большія свинцовыя массы,
ЛЕКЦІЯ. 109 одна пусть будетъ А и вѣсъ ея Р, а другая В съ вѣсомъ Р р, Положимъ, что эта линейка съ тя- жестями удерживается въ извѣстной плоскости, будучи положена срединой своей длины на остріе ножа въ 0; тогда мы будемъ имѣть сложный маятникъ, дви- женіе котораго удобно наблюдать и подвергать вы- численію. Двѣ равныя тяжести Р, равнодѣйствующая ко- торыхъ имѣетъ точку приложенія въ центрѣ О, бу- дутъ взаимно уравновѣшиваться, такъ что вся си- стема будетъ побуждаться къ движенію только прн- Рис. 40. бавочнымъ вѣсомъ р, дѣйствующимъ на нижнюю массу В, но который однако долженъ сообщать одинакое движеніе двумъ маятникамъ равной длины ОА и ОВ, образованнымъ двумя тяжестями Р и Р р. Дѣй- ствіе было бы то же самое, если бы тяжесть р прилагалась къ одному маятнику той же длины, но вѣсъ котораго былъ бы 2 Р -{- р. Слѣдова- тельно, въ нашемъ опытѣ ускореніе будетъ уменьшено какъ въ атвудовой машинѣ въ отношеніи р къ 2 Р -}-р, и мы будемъ имѣть 9' 9 2 р-рр ’ а для времени отдѣльныхъ колебаній і'—* \/ 2- Ѵ 9' ' Положимъ, что Р постоянно и равно 1 киллограмму, а для р будемъ брать послѣдовательно величины % киллогр., 2/8 киллогр., 2/15 киллогр., въ такомъ- случаѣ, для д' получимъ 111 а времена колебаній будутъ равны величинамъ 2 я У 1, 3 л У — , 4 п У ± 9 9 9 то есть, эти времена колебаній будутъ въ 2, 3, 4 раза больше времени колебаній простаго маятника той же длины. Опыты эти удаются очень хорошо съ приборами, которые всякій можетъ самъ себѣ устроить. Они показываютъ, что, если измѣняется величина ускоренія, то времена коле- баній измѣняются въ обратномъ отношеній съ квадратнымъ корнемъ это- го ускоренія,
110 ШЕСТАЯ Общая Формула простаго маятника. Обратимся теперь къ прило- женію выведенныхъ нами началъ относительно маятника, къ точному измѣре- нію величины д. Дѣйствіе это должно имѣть большую точность и отъ испол- нителя требуетъ самой тщательной внимательности. Прежде всего надо замѣ- тить, что предъидущая Формула, въ строгомъ смыслѣ, вѣрна только для безко- нечно малыхъ колебаній; но какъ, для наблюденія ихъ, они необходимо должны имѣть извѣстное протяженіе, то намъ нужно найти, теоретическимъ путемъ, другое болѣе общее рѣшеніе вопроса, который разрѣшается только ограниченнымъ образомъ помянутою Формулою. Предположимъ сначала воз- можно простѣйшій случай, когда маятникъ состоитъ изъ матеріальной точки, поддерживаемой нитью неимѣющей вѣса, т. е. что мы имѣемъ дѣло съ про- стымъ маятникомъ, и тогда, съ помощію вычисленій, которыя тутъ не могутъ имѣть мѣста, получается слѣдующее выраженіе для времени одно- го колебанія маятника гдѣ Л означаетъ высоту І)В ('рис. 37), до которой поднимается маят- никъ при каждомъ своемъ колебаніи. Изъ этой Формулы видно, что вре- мя I выражается посредствомъ ряда, тѣмъ болѣе сходящагося, съ чѣмъ мень- ше 1і, и который приводится къ единицѣ, когда величина 1і совсѣмъ пре- небрегается: въ такомъ случаѣ эта общая Формула приводится къ тому виду, какой имѣетъ выведевная нами Формула. Положимъ, что въ опы- тахъ, къ которымъ мы теперь приступаемъ, качанія маятника достаточно малы, для того чтобы пренебрегать всѣми членами ряда, кромѣ двухъ пер- выхъ и тогда наша Формула обратится въ слѣдующую (='ѴН1+(Ш]. Мы можемъ замѣтить, что 1і = I — СЮ = I (1 — соз А) = 2^ зігі1 ~ ’ и тогда будемъ имѣть . | / СС, і 1 • 2 А V і= ку ^1 + у зѵп? ) или ^\/ У 9 008 -2
ЛЕКЦІЯ. 111 Сложный маятникъ Борды. Такова Формула, дающая возможность вычислять продолжительность колебаній простаго маятника; но очевидно, что, во первыхъ, такой маятникъ не можетъ существовать въ дѣйствитель- ности, а во вторыхъ, что Формула эта непримѣнима къ колебанію тѣлъ при такомъ устройствѣ маятника, какое мы до сихъ поръ употребляли. Такіе маятники, возможные въ дѣйствительности, называются сложными маятниками. Они и въ самомъ дѣлѣ сложны, такъ какъ состоятъ изъ матеріальныхъ частицъ, расположенныхъ на различныхъ разстояніяхъ отъ точки привѣса и которыя колебались бы весьма неодинаково, если бы были свободны. Но будучи соединены между собою въ одно твердое тѣ- ло, онѣ получаютъ общее, сложное движеніе, зависящее отъ Формы ма- ятника. Поэтому нужно еще разъ прибѣгнуть къ вычисленію и при этомъ доказывается, что всякое тѣло, какова бы ни была его Форма, колеблется по тѣмъ же законамъ, какъ и простой маятникъ опредѣленной длины. Остается только одно затрудненіе—найти эту длину. Для этого есть много способовъ рѣшенія; разомотримъ тотъ, который предложилъ Борда. Онъ устроилъ свой приборъ такимъ образомъ, чтобы сколько возможно болѣе приблизить его къ условіямъ простаго маятника. Маятникъ этотъ состоитъ изъ шара, радіусъ котораго извѣстенъ и ра- венъ а, а для того, чтобы вѣсъ его былъ по возможности больше, онъ сдѣланъ изъ платины и привѣшенъ на весьма тонкой нити, длиною около метра и вѣсъ которой весьма малъ въ сравненіи съ вѣсомъ шара, такъ что можетъ быть пренебрегаемъ при вычисленіяхъ. Итакъ мы имѣемъ шаръ съ радіусомъ равнымъ -а, висящій на нити, неимѣющей вѣса и центръ котораго находится на разстояніи I отъ точки привѣса. Тогда, для выраженія длины I, простаго маятника, колебанія котораго равны колеба- ніямъ нашего маятника, посредствомъ вычисленія, получена Формула I — 1 I 2а,і Изъ этого видно, что, для приведенія прибора Борда къ простому маятни- 2а2 ку, достаточно длину его увеличить количествомъ -тт-, которое очень ма- О 6 ло, такъ что не превышаетъ 25 сотыхъ долей одного миллиметра въ томъ случаѣ, когда а равно 25 миллиметрамъ, I же — одному метру. Слѣдова- тельно поправка мала и легко исполнима. Продолжительность колебаній нашего маятника получится изъ слѣдующей Формулы
112 ШЕСТАЯ Рис. 41, Если надо при этихъ измѣреніяхъ достигнуть возможной степени точ- ности, то нужно еще принять во вниманіе сопротивленіе воздуха, кото- рое маятникъ долженъ преодолѣвать при своемъ движеніи. Механика да- етъ возможность опредѣлить эту при- чину измененія, о которой мы доволь- ствуемся только упомянуть. Борда помѣстилъ свой маятникъ при особомъ приборѣ (рис. 41^) ко- торый состоитъ: 1-е изъ астрономиче- скихъ часовъ, хорошо выправленныхъ, 2-е, изъ желѣзной опоры ЕСгЕ; 3-е изъ маятника СгВ, повѣшеннаго впе- реди часовъ, 4-е изъ стекляннаго Фут- ляра , защищающаго весь приборъ отъ движенія внѣшняго воздуха. Прежде всего нужно позаботиться о томъ, чтобы поддержка маятни- ка была неподвижна и не получала бы потрясеній ни извнѣ, ни отъ ко- лебаній маятника. Поэтому для по- мѣщенія прибора выбираютъ капиталь- ную каменную стѣну, построенную вдали отъ проѣзжихъ улицъ и утверж- даютъ въ ней дугу ЕЕСг изъ кова- наго жедѣза, поддерживаемую такими же контраФорсами, также вдѣланными въ стѣну. На срединѣ дуги находит- ся полированная пластинка Сг изъ за- каленной стали, на которой помѣще- на ось привѣса и чрезъ которую сдѣ- лано отверстіе для пропуска нити, под- держивающей маятникъ. Для привѣса нити употребляется стальной ножъ Сг, остріе котораго опирается на стальную пластинку, а
ЛЕКЦІЯ. 113 къ нему привязана нить. Ножъ долженъ колебаться вмѣстѣ съ маятни- комъ, и такъ какъ вѣсъ его не столь малъ, чтобы можно было имъ пренеб- регать, то могло быть опасеніе, что онъ можетъ оказывать вліяніе на про- должительность колебаній; но эта причина ошибки, какъ бы она ни была мала, устраняется съ помощью весьма простой предосторожности. Подъ но- жомъ придѣлываютъ стержень, который понижаетъ центръ тяжести ножа ниже его острія, а надъ нимъ находится винтъ, на которомъ можно под- нимать и опускать гайку для повышенія и пониженія центра тяжести но- жа. При установкѣ прибора, начинаютъ съ того, что помѣщаютъ ножъ на его подставкѣ и заставляютъ колебаться его одного; потомъ навинчи- ваютъ на винтъ маленькую гайку въ такомъ положеніи, чтобы время одного колебанія ножа вмѣстѣ съ гайкой было бы почти то же самое, какое имѣетъ весь маятникъ. Тогда можно быть увѣрену, что ножъ не измѣнитъ движе- ніе маятника по соединеніи съ нимъ, такъ какъ и отдѣльно онъ колеблет- ся въ такое же время, какъ и этотъ послѣдній. Шаръ этого маятника чаще всего дѣлается изъ платины, но Борда, желая убѣдиться, остается, ли ве- личина д въ строгомъ смыслѣ одна и та же для всѣхъ тѣлъ, имѣлъ надобность въ томъ, чтобы съ удобствомъ можно было снимать шаръ, не измѣняя длины маятника и замѣнять его равными ему шарами изъ различныхъ веществъ. Для этой цѣли придумали привѣшивать на концѣ нити не прямо шаръ, но тонкую вогнутую бляшку въ родѣ опрокинутаго блюдечка, въ которую бы плотно входила выпуклость шара; шаръ соеди- няютъ съ ней, приклеивая его посредствомъ тонкаго слоя сала. Прежде требуемаго изысканія помощью этого прибора, нужно еще сдѣлать нѣсколько предварительныхъ измѣреній: сначала нужно опредѣлить длину радіуса а привѣшеннаго шара. Это можно сдѣлать при пособіи сферометра, поставивъ его ножки на малый кругъ шара, а оконечность винта на полюсѣ этого круга, тогда будетъ извѣстенъ радіусъ окружности проходящей чрезъ три точки, на которыхъ стоятъ ножки СФерометра, а посредствомъ этого радіуса можно вычислить и радіусъ шара. Способъ этотъ достаточенъ; но какѣ онъ еще оставляетъ желать большаго; то луч- ше будетъ, если станемъ находить длину радіуса шара, измѣряя его объемъ помощью тѣхъ способовъ, о которыхъ было говорено въ главѣ о плотностяхъ. Когда найдемъ радіусъ шара, то нужно затѣмъ измѣрить дли- ну I маятника, считая отъ центра шара и до точки привѣса. Это измѣ- реніе было затруднительно во время жизни Бор ;ы, а теперь сдѣлалось весьма просто, когда мы имѣемъ катетометръ: для этого достаточно толь- ко визировать помощью этого инструмента, сначала остріе ножа и потомъ Физика I. 8
114 ШЕСТАЯ нижнее очертаніе шара, причемъ получится искомая длина I, увеличен- ная радіусомъ а. Однакожъ никакъ нельзя довольствоваться однимъ такимъ измѣреніемъ и считать полученную длину за постоянную, потому что дли- на маятника измѣняется, смотря по температурѣ. Поэтому необходимо на- блюдать температуру при всякомъ измѣреніи и потомъ показать посред- ствомъ вычисленія истинныя величины для а и I въ моментъ наблюденія; а вычисленіе это дѣлается съ помощью Формулъ, о которыхъ будемъ еще говорить въ главѣ о расширрміи тѣлъ отъ теплоты. Способъ совпаденія. Мы знаемъ теперь общее отношеніе между' ускореніемъ и продолжительностью колебанія и уже измѣрили постоянныя величины а и I; приборъ описанъ во всѣхъ подробностяхъ, остается толь- ко привести его въ дѣйствіе, чтобы опредѣлить время і. Для этого от- крываютъ колпакъ и приводятъ маятникъ въ колебаніе. Тогда колпакъ опять закрываютъ и наблюдаютъ движеніе маятника посредствомъ зритель- ной трубы, установленной передъ приборомъ въ направленіи ВБ' и въ разстояніи онъ 8 до 10 метровъ (26 — 33 ф.). Въ полѣ зрѣнія трубы проходятъ отдѣльно, маятникъ часовъ, на которомъ заранѣе проведена вертикальная линія В, и нить испытуемаго маятника. Такъ какъ одинъ изъ этихъ маятниковъ, напримѣръ передній, постоянно движется немного скорѣе другаго, то непремѣнно наступитъ моментъ, когда оба маятника совпадаютъ, двигаясь въ одну и ту же сторону. Чтобы уловить это съ возмож- ною точностью, начинаютъ внимательно слѣдить за обѣими линіями маят- никовъ, раньше чѣмъ произойдетъ ихъ совпаденіе. При этомъ видно какъ онѣ сближаются, покрываются одна другою и опять раздѣляются; моментъ, покрытія одной линіи другою есть моментъ ихъ совпаденія, который за- мѣчаютъ на циферблатѣ часовъ и принимаютъ его за начало наблюдаема- го времени. Послѣ того, испытуемый маятникъ опережаетъ часовой и, мало по малу, проходитъ вертикальное положеніе въ одно время съ часо- вымъ, подвигаясь въ обратномъ съ нимъ направленіи и, при наступленіи этого момента, онъ сдѣлалъ уже однимъ колебаніемъ больше нежели часовой. Послѣ того, при постепенномъ возрастаніи разности, наступаетъ новое совпаденіе, моментъ котораго замѣчается какъ и въ первый разъ, и тогда число колебаній, совершенное испытуемымъ маятникомъ, двумя больше чи- сла колебаній часоваго маятника. Итакъ этотъ послѣдній, дѣлая каждое колебаніе въ секунду, совершаетъ столько колебаній между двумя совпа- деніями, сколько секундъ пройдено стрѣлкою на циферблатѣ въ этотъ про- межутокъ времени. Если п означаетъ число протекшихъ секундъ, то п 2 выразитъ число колебаній совершенныхъ въ это время испы-
ЛЕКЦІЯ. 115 туемымъ маятникомъ, а продолжительность каждаго колебанія будетъ I =: п ; оно былобы равно - _ еслибы испытуемый маятникъ ко- лебался менѣе быстро нежели часовой. Слѣдя за этими колебаніями, въ то же время измѣряютъ ихъ амплитуды на дугѣ съ дѣленіями, соединенной съ приборомъ; принимая же А, и А1 ( за начальную и конечную точки расмаха въ моментъ двухъ совпаденій, берутъ для положенія А среднюю величину между А, и А\. Въ этомъ и состоитъ такъ называемый способъ совпаденія; понятно, что онъ представляетъ много удобствъ: во первыхъ, въ немъ наблюдается большое число колебаній для полученія продолжительности одного; при- чемъ погрѣшность измѣренія времени во столько же разъ уменьшается; во вторыхъ, при пособіи увеличенія зрительной трубы и тонинѣ наблю- даемыхъ линій, способъ этотъ даетъ возможность замѣчать безъ большой погрѣшности самый моментъ совпаденія; въ третьихъ, и это главная вы- года способа, онъ даетъ средство отсчитывать колебанія, потому что часы показываютъ колебанія своего маятника. Безъ сомнѣнія, этотъ способъ есть лучшій изо всѣхъ какіе имѣются. Опредѣленіе постоянной величины д. — Такъ какъ уже найденъ способъ измѣрять съ большою точностью различныя количества, входящія въ предъидущую Формулу, то изъ нея опредѣляется величина д съ боль- шимъ приближеніемъ, нежели какимъ либо инымъ способомъ. Но эта ве- личина д будетъ не та, которая находится посредствомъ колебанія маят- ника въ безвоздушномъ пространствѣ. И въ самомъ дѣлѣ, мы увидимъ въ послѣдствіи, что тѣла теряютъ въ воздухѣ часть своего вѣса, равную вѣсу вытѣсненнаго ими воздуха. Слѣдовательно, если вѣсъ шара въ без- воздушномъ пространствѣ есть Р, 'вѣсъ вытѣсненнаго имъ воздуха р, то вѣсъ шара въ воздухѣ будетъ Р —р. Въ первомъ случаѣ, ускореніе бу- Р — и детъ д1, полученное для пустаго пространства, а во второмъ, дг --р-- = д' (1 — р-), величина, получаемая изъ Формулы маятника, соверша- ющаго свои колебанія въ Воздухѣ. Изъ этого видно, что имѣя это по- слѣднее выраженіе, легко вычислить и величину д' для безвоздушнаго пространства. Величина ускоренія, найденная въ Парижѣ, по приведеніи ея къ пу- стому пространству и къ уровню моря, составляетъ 9,809 метра, т. е. она опредѣлена до десятыхъ долей миллиметра. Обратимся теперь къ за- кону уже принятому нами: помѣщая различныя тѣла въ трубку, изъ ко- торой вытянутъ воздухъ и убѣдившись, что тяжесть дѣйствуетъ одинако- 8‘
116 ШЕСТАЯ во на всѣ тѣла, то есть, что, падая подъ вліяніемъ своего вѣса, они всѣ получаютъ одинакое ускореніе. Теперь мы можемъ подтвердить этотъ вы- водъ доказательствомъ болѣе рѣшительнымъ, приводя въ колебательное движеніе шары изъ различныхъ тѣлъ; такимъ образомъ мы найдемъ, что величины д, вычисленныя для каждаго изъ этихъ тѣлъ, не представляютъ ощутительной разницы, каковъ бы ни былъ химическій составъ веществъ, взятыхъ для приготовленія маятника. Другой способъ для опредѣленія д. Способъ Борды для опре- дѣленія д все-таки не вполнѣ точенъ, потому что, при опредѣленіи длины простаго маятника, совершающаго свои колебанія въ одинакое время съ употребляемымъ при опытѣ Физическимъ маятникомъ, пренебрегается мас- са нити. Способъ предложенный въ началѣ нынѣшняго столѣтія тюбин- генскимъ астрономомъ Боненбергеромъ и употребленный позже англійскимъ натуралистомъ Катеромъ, не имѣетъ этой неточности. Этотъ способъ осно- вывается на особенномъ свойствѣ точки качанія сложнаго маятника; а именно: если провести черезъ эту точку ось параллельную прежней оси и заставить маятникъ колебаться около этой новой оси, то качанія его будутъ равновременны съ прежними (т. е. имѣютъ одинаковое время ко- лебанія); тогда точка качанія новаго маятника упадетъ на прежнюю ось вращенія. Это нетрудно доказать. Для длины простаго маятника, имѣю- щаго одинакое время колебанія съ Физическимъ, мы имѣли выраженіе 1 2тт\ Это выраженіе можно преобразовать, на основаніи закона о моментахъ инерціи, и вывести слѣдующій законъ: «Если М есть масса тѣла и М 1? ея моментъ инерціи относительно оси, проходящей черезъ центръ тяжести тѣла, то моментъ инерціи относительно оси, параллельной прежней и на- ходящейся отъ нея на разстояніи 2, будетъ М (&2 Д-22).» Рис. 42. Для доказательства, пусть а будетъ пер- пендикулярное разстояніе точки т отъ оси, проходящей черезъ центръ тяжести 0 пер- пендикулярно къ плоскости чертежа. Это раз- стояніе опредѣлится координатами ж и у такъ а2 = ж2 Д- у*. Моментъ инерціи точки т будетъ тогда та2 — т (ж2 Д- у2), инерціи всего тѣла относительно этой оси:
ЛЕКЦІЯ. 117 2 та2 — 2т (ж2 4~у*) М. А;2. Если вторая ось лежитъ по направленію оси абсцисъ (оси х) въ разтоя- ніи ъ отъ первой, и проходитъ напр. черезъ О', то моментъ инерціи тачки т относительно этой новой оси будетъ та'1 — т ((« — г)24~3/2)- а моментъ инерціи всего тѣла, равный суммѣ моментовъ всѣхъ точекъ 2 т . а/2 = 2 т, {(ж—г)2 + у2}. Послѣдняя сумма равна 2 т {(ж—г/ 4“ у2} — 2тхі -{- 2тг2 4“ 2дау2 — 2&тх или также 2ш (ж2 4“ З/2) 4- . г2 — 2я2>тх. Первый членъ выраженія равенъ М. X;2 второй Мз2, ибо 2т есть сумма всѣхъ частицъ массы, равная массѣ тѣла М, а г2 постоянный множитель каждаго члена этой суммы. Поэтому моментъ инерціи тѣла относительно новой оси будетъ М&2 4" Мз2 — 2г2ш . х = М (&2 4~ я2) — 2%2тх. Но членъ — 2г2шж равенъ О, ибо ось, отъ которой считаются ж-ы, проходитъ черезъ центръ тяжести, а, по опредѣленію, центръ тяжести есть средоточіе параллельныхъ силъ, и слѣдовательно, сумма моментовъ относительно его равна нулю. И такъ для момента инерціи тѣла относительно оси, отдаленной на г отъ оси проходящей черезъ центръ тяжести и параллельной ей, остается выраженіе М (&2 4- г2). Поэтому если моментъ инерціи маятника относительно оси, проходящей черезъ центръ тяжести и параллельной оси вращенія, есть М. к2, то по- лагая, что г есть разстояніе центра тяжести отъ оси вращенія, мы полу- чимъ ,__ 2тгг ___ М (к + г2]_ . я.2,т я . М 2 * г такъ какъ I есть разстояніе точки качанія отъ оси вращенія, то очевид- но, что — означаетъ разстояніе точки качанія отъ центра тяжести. Если мы перемѣнимъ въ маятникѣ точку привѣса, такъ чтобы ось, проходившая черезъ точку качанія, обратилась теперь въ ось вращенія, то очевидно, что длина математическаго маятника, имѣющаго съ нашимъ Физическимъ одинакое время колебанія, будетъ М 6 — я> .М 2 "Г г'
118 Шестая гдѣ означаетъ разстояніе центра тяжести отъ новой оси вращенія. Но очевидно, что оно есть также разстояніе точки качанія отъ центра тя- жести, т. е. , кг я’ = — г откуда получимъ 7/^1 7 V —-----Н 2 —I. г 1 Слѣдовательно, длина простаго маятника, .имѣющаго одинаковое время колебанія съ маятникомъ, въ которомъ мы перемѣнили точку привѣса, равна прежней длинѣ, или, что то же самое, маятникъ, привѣшенный въ точкѣ качанія, имѣетъ одинаковое время колебанія съ прежними своими колебаніями. Поэтому, если мы имѣемъ маятникъ съ двумя взаимно-параллельными осями, одной неподвижной и другой подвижной, то не представляется ни- какой трудности на опытѣ, замѣнивъ одну изъ этихъ осей другою, про- извести въ маятникѣ колебанія равновременныя съ прежними, на которой бы изъ двухъ осей онъ ни былъ привѣшенъ. Такой маятникъ называется оборотнымъ маятникомъ (Ееѵегзіопзрепйеі). Разстояніе обѣихъ, осей есть разстояніе точки качанія отъ оси, а слѣ- довательно, вмѣстѣ съ тѣмъ и длина математическаго маятника, имѣющаго съ Физическимъ одинакое время колебанія. Измѣривъ точно разстояніе между осями и узнавъ изъ наблюденія амплитуду и время колебанія этого маятника, мы имѣемъ всѣ данныя, для вычисленія д по Формулѣ I = к \/Т (1-|-2 8Іп2 % А) откуда 0 = ^(1 + 28т*%АЛ Зная положеніе центра тяжести въ оборотномъ маятникѣ, и измѣривъ точно разстояніе между осями, можно легко вычислить время колебанія математическаго маятника, котораго длина равна разстоянію обѣихъ осей, даже и тогда, когда времена колебаній неравны для обоихъ положеній точки привѣса маятника. Положимъ, что разстояніе центра тяжести отъ первой оси равно а, отъ второй Ъ и пусть время колебанія около первой оси равно і±, около второй Тогда разстояніе между обѣими осями равно а Ь; пусть время ко- лебанія математическаго маятника такой длины есть і, тогда
ЛЕКЦІЯ. 119 г=«\/ѵ........(1> Если т есть масса маятника, а тпА:2 его моментъ инерціи относи- тельно оси, проходящей черезъ центръ тяжести, то на основаніи преж- няго, имѣемъ = " V .......... (2) пренебрегая при этомъ поправкой относительно амплитуды. Изъ этихъ Формулъ имѣемъ изъ (1) . =а-±-‘........................(4) 7 я* р изъ (2) . . ^,2 —.........................(5) изъ (3) . . і/ = Ъ + .....................(6) Изъ (5) и (6) 6 а Л? . ^г= «2 + &2.........................(7) Ъ.і*. №..........................(8) 7Г2 1 Вычитая (8) изъ (7) ~'= (а^ — Ъі^ — аГ — Ь*.....................(9) Подставивъ въ (9) вмѣсто равное ему выраженіе изъ (4) а-^~ (аі* — &<*) — {а-І-Ь) (а—Ь). Раздѣливъ все на а-]- Ь и рѣшивъ уравненіе относительно I, получимъ ........................(10) * а— Ь для опредѣленія отсюда д, воспользуемся Формулой (1), подставивъ въ нее вмѣсто і равное ему количество изъ (10), выраженное въ извѣстныхъ величинахъ а, Ъ, і}> і3 а .1.* — Ъ. 1„г „ а 4- Ъ •-------7----- — ТГ. --- а — Ъ д откуда 2 ’ -Л“ . Я — к ' а. і.» - Ь . «22
120 ШЕСТАЯ Помощію этого маятника нашли замѣтнымъ образомъ ту же величину для д, какъ и прежде: для Парижа на уровнѣ моря д = 9м, 80896. Подставивъ это значеніе д и і — 1 секундѣ въ нашу Формулу, полу- чимъ длину I секунднаго маятника. Для Парижа: I = 0м, 993852. Измѣреніе величины д въ зависимости отъ географической широты мѣста.—-Тяжесть неодинакова во всѣхъ точкахъ поверхности земнаго шара, потому что, при обращеніи земли около своей оси въ двад- цать четыре часа, каждая точка ея поверхности описываетъ кругъ, ра- діусъ котораго равенъ ея разстоянію отъ оси вращенія, вслѣдствіе чего всякое тѣло на землѣ испытываетъ дѣйствіе центробѣжной силы. Эта сила можетъ быть разложена на двѣ составляющія, изъ которыхъ одна касательна къ горизонту, а другая перпендикулярна къ нему, и эта послѣд- няя вычитается изъ силы притяженія земли. Легко видѣть, что, если/ есть ускореніе, зависящее отъ центробѣжной силы, а X — широта мѣста, то /. соя X будетъ представлять эту вертикальную составляющую силу, которая -увеличивается съ приближеніемъ къ экватору, такъ какъ/ при этомъ увеличивается, а широта уменьшается. Поэтому ускореніе д, про- изводимое тяжестью, должно увеличиваться съ удаленіемъ отъ экватора къ полюсамъ. Съ другой стороны, земля не есть совершенный шаръ, но эллипсоидъ, сжатый у полюсовъ, и Форму эту она получила подъ вліяніемъ центро- бѣжной силы, которая была причиною скопленія около экватора части земной массы, прежде чѣмъ та сдѣлалась твердою. Это сжатіе земли, то есть отношеніе разности между экваторіальнымъ и полярнымъ радіусами къ экваторіальному радіусу, равно УІЭЭ. Изъ этого слѣдуетъ, что различныя точки земной поверхности, по мѣрѣ удаленія своего отъ экватора и при- ближенія къ полюсамъ, нѣсколько приближаются къ центру земли. Это обстоятельство составляетъ вторую причину того, что ускореніе при сво- бодномъ паденіи должно увеличиваться съ приближеніемъ къ полюсамъ, потому что, какъ мы скоро увидимъ, тяжесть есть ничто иное какъ при- тяженіе, оказываемое всею силою земли на тѣла, находящіяся на ея по- верхности. Отсюда понятно, что напряженіе тяжести зависитъ отъ общаго вида земли и отъ мѣста занимаемаго притягиваемымъ тѣломъ на ея по- верхности. Доказывается, что притяженіе тѣлъ землею уменьшаются отъ полюса къ экватору. И такъ по двумъ сказаннымъ причинамъ, т. е. что центробѣжная сила увеличивается и притяженіе уменьшается, д должно
ЛЕКЦІЯ. 121 быть тѣмъ меньше, чѣмъ болѣе мы удаляемся отъ полюса и приближаемся къ экватору. Длина секунднаго маятника. — Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что время колебанія одного и того же маятника должно увеличиваться и, слѣ- довательно, часы съ маятникомъ должны отставать по мѣрѣ приближенія ихъ къ экватору. И въ самомъ дѣлѣ-, давно уже Фактъ этотъ доказанъ опытомъ; слѣдовательно, по мѣрѣ удаленія отъ полюса, длина секунднаго маятника должна уменьшаться. Но длина эта находится въ зависимости отъ величины д, такъ какъ і = тг \/ —, ѵ д откуда длина секунднаго маятника, взявъ і = 1, будетъ I — 9— Такъ какъ эта длина пропорціональна количеству д, то достаточно измѣрить ее въ разныхъ широтахъ при уровнѣ моря, для того чтобы най- ти законъ измѣненій этого количества д; изъ разбора наблюденій получе- ны слѣдующія данныя: длина секунднаго величина широта маятника ускоренія 0° 0 “,99103 9 “,78103 45° 0 “,99356 9 “,80606 90° 0 “,99610 9 “,83109 Числа эти и всѣ условія опредѣленныя въ различныхъ мѣстахъ, свя- заны между собою слѣдующими общими Формулами: во 1-хъ имѣемъ I = 0 “,991026 + 0 “,005072 8Іп2!. а замѣстивъ здѣсь 8Іп21 выраженіемъ ‘/2 — ‘/2 со8 21, получимъ 1 = 0 “,993562 — 0 “,002536 С08. 21, по умноженіи же этого уравненія на л2, будетъ пЧ = 0=9“,806056 —0“,025028 сов 21. Здѣсь можно замѣтить, что первые члены этихъ Формулъ представ- ляютъ величины I и д для широты 45°, такъ какъ вторые члены уничто- жаются для 1 — 45° или для 2 1 = 90°. Положивъ 0“,993562 = /' и 9 “,806056 — д' и вставивъ эти количе- ства въ предъидущія уравненія, получимъ 1 = 1' (1 — 0,002552 сов 21) и д =. д' (1 — 0,002552 С08 21)*
122 ШЕСТАЯ Для Парижа напримѣръ А = 48°50'14"; и слѣдовательно 1= 0 м,99390, д = 9 м,8094. Опредѣленіе сжатія земли. — Такъ какъ явленіе измѣняемости ве- личины д въ разныхъ широтахъ зависитъ частью отъ сжатія земли, то и наоборотъ величина д можетъ служить для опредѣленія этого сжатія. Это и сдѣлано на основаніи Формулъ выведенныхъ теоріей, и сжатіе земли, вычисляется такимъ образомъ: Во первыхъ величина д для данной широты выводится изъ слѣдующей Формулы: д = 9м, 78103 + 0,05080. 8Іп2 X затѣмъ, легко вычислить, насколько измѣняется д отъ одного только дѣйствія центробѣжной силы. Ускореніе центробѣжной силы на экваторѣ равно 4тЛ?____40.000.00 ___ „м ~Т^ - (24.60.60)°- • - ° ’ °3368- Радіусы малыхъ круговъ, по которымъ совершаютъ суточное обраще- ніе точки земной поверхности, лежащія внѣ экватора, равны перпендику- лярнымъ разстояніямъ этихъ точекъ отъ оси земли. Радіусъ такого круга равенъ К С08 А, гдѣ X означаетъ широту мѣста. Поэтому, ускореніе цен- тробѣжной силы для мѣста на той же широтѣ, составитъ 0м, 03368 соа X, а составляющая сила, совпадающая съ направленіемъ тяжести и прямо противодѣйствующая ещ равна 0м, 03368 соа2 X’ Если чрезъ Сг мы оз- начимъ ускореніе тяжести независимой отъ центробѣждной силы, то дѣй- ствительное ускореніе д найдется изъ д — Сг — 0,03368 соа2 X. Для мѣстъ на экваторѣ, гдѣ X == 0 . Сг = 9,78103 + 0,03368 Но какъ ускореніе тяжести на различныхъ точкахъ земли измѣняется въ разной степени центробѣжной силой, то наблюдаемое ускореніе, уже уменьшенное дѣйсвіемъ этой послѣдней, равно д = 9м, 78103 + 0м, 03368 — 0м, 03368 соа2 X 1 = 0м, 78103 +0м. 03368 8іп2 X. Но, по вышеприведенной, выведенной изъ наблюденій, Формулѣ, ко- еФФиціентъ при 8Іп X больше этого, такъ чтси на самомъ дѣлѣ ускореніе $ увеличивается быстрѣе, чѣмъ оно увеличивалось бы только отъ умень- шенія центробѣжной силы. Для вычисленія сжатія земли изъ измѣненій ускоренія, служитъ тео- рема Клеро, по которой частное, полученное отъ раздѣленія разности ускоренія на экваторѣ и на полюсахъ, на ускореніе на экваторѣ, сложен-
Лекція.. 123 ное со сжатіемъ земли, равно двумъ съ половиной ускореніямъ отъ цен- тробѣжной силы, раздѣленнымъ на' ускореніе тяжести на экваторѣ, то есть 4-е —2,5 90 1 е 9~о гдѣ Д</ есть разность ускореній на полюсѣ и на экваторѣ, д0 ускореніе на экваторѣ, е сжатіе земли и с ускореніе центробѣжной силы на эква- торѣ. Отсюда получаемъ для сжатія земли е —2,5 _С______ до 9о или, вставивъ только что полученныя величины е = 2,5 » - = 0,003415 = У, (оІМо У^іоЮо хіУх? Отсюда видно, что величина сжатія земли, вычисленная на основаніи колебаній, маятника, при томъ предположеніи, что сплюснутый видъ земли измѣняетъ ускореніе тяжести, мало отличается отъ величины, вычислен- ной изъ геодезическихъ наблюденій. Эта разница незначительна, если принять въ соображеніе, съ одной стороны, трудность измѣренія, а съ другой, вліяніе почвы на колебаніе маятника. Сжатіе, полученное помощью прямаго измѣренія длины градусовъ меридіана, по Бесселю, равно Измѣненіе величины д въ зависимости отъ возвышенія надъ уровнемъ моря. — Есть еще причина измѣняющая величину д, возвы- шеніе мѣста наблюденія надъ уровнемъ моря. И въ самомъ дѣлѣ, очевид- но, что, если тяжесть есть результатъ притяженія земли, и если это при- тяженіе измѣняется въ обратномъ Отношеніи квадратовъ разстояній, то можно сказать, что, возвышаясь надъ уровнемъ моря, мы удаляемся отъ цен- тра земли и вмѣстѣ съ тѣмъ должно уменьшаться и дѣйствіе тяжести согласно съ закономъ притяженія. Если В означаетъ земной радіусъ, Л возвыше- ніе надъ уровнемъ моря, то величины д и д> составятъ слѣдующее от- ношеніе д1 — д (В + Й)4 или, приблизительно: Помощію этого-то отношенія и находятъ величину д для положенія при уровнѣ моря, когда уже опредѣленона извѣстной высотѣ.
124 ШЕСТАЯ Рпс. 43. Приложеніе маятника къ часовому меха- низму. — Такъ какъ продолжительность отдѣльныхъ колебаній маятника постоянной длины остается неиз- мѣнной, то можно пользоваться ими для измѣренія вре- мени. Устройство всѣхъ стѣнныхъ часовъ основано на этомъ законѣ и основаніемъ ихъ служитъ меха- низмъ изображенный на рисункѣ. На валъ навер- нутъ снурокъ съ привѣшенною къ нему гирею Р, (рис. 43}, которая служитъ для его обращенія около оси. Съ другой сторонй, маятникъ, привѣшенный при А посредствомъ гибкой пластинки, увлекаетъ своими колебаніями стержень ВС вмѣстѣ съ дугой СгЕ, заостренные концы которой загнуты внизъ и служатъ для зацѣпленія за зубчатое колесо съ на- клоненными зубцами и утвержденное на валу. Когда маятникъ дѣлаетъ размахъ, зацѣпка Е поднимается и даетъ возможность колесу продолжать свое обра- щеніе; но тотчасъ же зацѣпка другаго конца за- цѣпляется за зубецъ колеса и останавливаетъ его. При размахѣ въ противуположную сторону эта зацѣпка приподнимается въ свою очередь; зацѣпка же Е опускается и задѣваетъ за колесо, но уже не за прежній, а за слѣдующій его зубецъ, такъ что, при каждомъ качаніи маятника взадъ и впередъ, колесо оборачивается на одинъ зу- бецъ. Отъ этого и валъ обращается на равный уголъ при каждомъ коле- баніи, а если на немъ утверждена стрѣлка, то она описываетъ на ци- ферблатѣ равныя разстоянія въ равныя времена. Слѣдовательно, доста- точно только согласовать размѣры колеса съ длиною маятника, чтобы стрѣлка показывала секунды. Замѣтимъ, сверхъ того, что расположеніе зуб- цовъ на колесѣ и зацѣпкѣ таково, что эта послѣдняя получаетъ толчокъ отъ зубчатаго колеса всякій разъ, какъ она отходитъ отъ зубца. Этотъ тол- чокъ передается маятнику и препятствуетъ ему уменьшать свои раз- махи и останавливаться. Общее употребленіе маятника.—Вътеченіе нашего курса мы узнаемъ силы весьма различныя по своему происхожденію, но которыя обнаружи- ваются всетаки притяженіемъ и отталкиваніемъ. Есть два способа для ихъ измѣренія, какъ и для механическихъ силъ: первый состоитъ въ про- тивупоставленіи имъ пружины или вѣса, которые бы уравновѣшивали ихъ; но вообще этотъ способъ даетъ только грубое приближеніе. Второй спо-
ЛЕКЦІЯ. 125 собъ состоитъ въ дѣйствіи силъ, которыя хотимъ измѣрить, на маятникъ. Если испытуемыя силы параллельны при постоянномъ направленіи или же, исходя изъ одного центра, онѣ могутъ дѣйствовать въ довольно боль- шомъ разстояніи на маятникъ малаго размѣра, такъ что ихъ можно при- нимать за параллельныя, то маятникъ будетъ двигаться по законамъ раз- смотрѣннымъ нами. Тогда достаточно измѣрить продолжительность коле- баній и Формула дастъ возможность опредѣлить ускореніе у, которое испытуемая сила про- изводитъ при своемъ дѣйствіи на маятникъ, къ которому она приложена и которому она сообщаетъ равномѣрно-ускорительное движеніе. Когда на- конецъ эти силы измѣнятся вмѣстѣ съ разстояніемъ, на которомъ онѣ обнаруживаютъ свое дѣйствіе, то маятникъ приближаютъ къ нимъ или удаляютъ отъ нихъ, съ тѣмъ, чтобы получить различныя величины для ускоренія у и отыскать, по какому закону онѣ измѣняются.
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦІЯ. О всемірномъ тяготѣніи. Законы Кеплера.—Законъ всемірнаго тяготѣнія, выводимый изъ движенія небесныхъ тѣлъ. — Тождественность тяжести й всемірнаго тяготѣ- нія, выводимая изъ движенія луны. — *Опытъ Кавендиша. — *Укло- неніе отвѣса отъ вліянія горъ. — * Измѣненіе тяжести внутри зем- ли. — * Средняя плотность земнаго шара. — Приливы и отливы. О всемірномъ тяготѣніи. — Въ предъидущихъ лекціяхъ мы по- казали, что всѣ тѣла побуждаются .къ движенію силами, которыя мы на- зываемъ вѣсомъ этихъ тѣлъ и которыя дѣйствуютъ перпендикулярно къ горизонту каждаго мѣста. Это дѣйствіе тяжести на всѣ тѣла, находящіяся на поверхности земли, происходитъ такимъ образомъ, какъ будто бы вся масса земли оказываетъ на всѣ земныя тѣла притяженіе, направляющееся къ ея центру. Такъ какъ она дѣйствуетъ и на тѣла, находящіяся надъ зем- лею, то изъ этого заключили, по наведенію, что дѣйствіе этого притяже- нія распространяется и далѣе, т. е. выше доступныхъ намъ предѣловъ, что оно оказываетъ свое вліяніе даже и на небесныя тѣла, находящіяся въ пространствѣ, но что вліяніе это уменьшается, по мѣрѣ удаленія отъ земли тѣлъ, на которыя она распространяется. Съ другой стороны, по всей вѣроятности, также и всѣ небесныя тѣла представляютъ подобное же явленіе, то есть, что на поверхности ихъ также дѣйствуетъ тяжесть по направленію къ центрамъ этихъ тѣлъ, и что дѣй- ствіе ея распространяется на всѣ остальныя небесныя'тѣла. Руководствуясь этими наведеніями, Ньютонъ пришелъ къ тому заключенію, что небесныя тѣла оказываютъ взаимное притяженіе другъ на друга, что движенія ихъ опредѣляются этимъ взаимнымъ дѣйствіемъ ихъ и что міръ управляется силами, происходящими отъ одной причины —• притяженія.
СЕДЬМАЯ ЛЕКЦІЯ. 127 Если это такъ, то небесныя тѣла должны' имѣть весьма сложныя движенія, такъ какъ число ихъ неимовѣрно велико и какъ каждое изъ нихъ подчиняется вліянію всѣхъ остальныхъ. Однакожъ легко убѣдиться, что вопросъ относящійся до этого движенія, при первомъ же приближеніи, приводится къ неожиданной простотѣ. И въ самомъ дѣлѣ, всѣ небесныя тѣла раздѣляются на два разряда: одни изъ нихъ, притомъ огромное большинство ихъ, называемыя неподвижными звѣздами, находятся на разстояніяхъ столь огромныхъ отъ солнца и земли, что дѣйствіе ихъ мо- жетъ быть пренебрежено при рѣшеніи нашего вопроса. Другія небесныя тѣла, находящіяся на разстояніяхъ сравнительно болѣе близкихъ, соста- вляютъ группу тѣлъ, отдѣльныхъ отъ неподвижныхъ звѣздъ, но зави- сящихъ одно отъ другаго; ихъ составляютъ солнце и планеты; взаимное дѣйствіе только этихъ тѣлъ между собою намъ и нужно разсмотрѣть. Когда впослѣдствіи мы сравнимъ эти тѣла, то увидимъ, что солнце, будучи несравненно больше планетъ, должно оказывать на всю систему преобладающее вліяніе, до такой степени, что, напримѣръ,- планета по- добная землѣ испытываетъ весьма большое притяженіе отъ солнца и срав- нительно ничтожное отъ планетъ. Такимъ образомъ мы приходимъ къ тйму заключенію, что солнце можно разсматривать какъ единственный центръ дѣйствія, а планеты какъ тѣла независимыя другъ отъ друга и совер- шающія свои движенія по тѣмъ же законамъ, по какимъ оно происходило бы, еслибы каждая планета существовала отдѣльно въ присутствіи солнца. Законы Кеплера. — Когда уже вопросъ приведенъ однажды къ этой степени простоты, то остается только изучить, посредствомъ наблюде- нія, движеніе каждой планеты около солнца, считая его неподвижнымъ; Кеплеръ исполнилъ это, и общій результатъ его наблюденій заключается въ трехъ слѣдующихъ законахъ: 1°. Планеты описываютъ около солнца плоскія кривыя линіи и раді- усы векторы ихъ, проведенные отъ солнца къ планетѣ въ разныхъ ея по- ложеніяхъ, описываютъ площади, пропорціональныя временамъ; 2°. Орбиты планетъ суть эллипсисы, въ одномъ изъ Фокусовъ которыхъ находится солнце; 3°. Квадраты временъ обращенія планетъ около солнца пропорціональны кубамъ большихъ осей ихъ орбитъ. Притяженіе планетъ направляется къ солнцу. — Пусть точка О (рис. 44) означаетъ центръ солнца, а точка А центръ планеты въ извѣстный моментъ. Въ безконечно малый промежутокъ времени, планета пройдетъ дугу АВ на своей траекторіи, и при этомъ ея радіусъ векторъ
128 СЕДЬМАЯ Рис- опишетъ площадь АОВ. Затѣмъ, еслибы А в с никакая сила не дѣйствовала на нее, то / / она прошла бы въ слѣдующій безконечно /малый промежутокъ времени, равный пер- / вому, дугу ВС равную АВ и составляя^ щую ея продолженіе, а радіусъ векторъ планеты описалъ бы площадь ВОС, равную площади АОВ. Но въ дѣйствительности движеніе ' планеты не таково; она во вто- рой промежутокъ времени описываетъ дугу ВО, изъ чего уже можно за- ключить, что она подчиняется силѣ, дѣйствующей на нее каждое мгно- веніе. Чтобы найти направленіе этой силы, замѣтимъ, что, по первому за- кону Кеплера, должно быть АНО = ВБО = ВСО. Но для того, чтобы треугольники ОВВ и ОВС были равномѣрны, вершины ихъ должны находиться на линіи ВС, параллельной ОВ, а если мы построимъ параллелограммъ ЕВСО, то увидимъ, что, для прохожденія пространства ВО, планета должна подчиняться двумъ силамъ: первона- чальной скорости, отъ которой она прошла бы отъ В къ С, и силѣ, ко- торая понуждаетъ ее въ тотъ же промежутокъ времени пройти линію ВЕ. И такъ эта сила направляется къ точкѣ О. Изъ этого слѣдуетъ, что пла- неты, двигаясь по кривой, подчиняются постоянно одной и той же силѣ, и что, при пропорціональности проходимыхъ площадей, сила эта направ- ляется къ центру солнца. Это уже подтверждаетъ одну часть гипотезы Ньютона. Законъ притяженія. — Второй законъ Кеплера опредѣляетъ Форму описываемой кривой; онъ прилагается къ планетамъ, орбиты которыхъ имѣютъ неравные эксцентриситеты, и мы вправѣ заключить, что одина- ково относится и къ тому частному случаю, когда эллипсисъ превра- щается въ кругъ, хотя и нѣтъ ни одной планеты, для которой бы это предположеніе имѣло мѣсто. Замѣчая сверхъ того, что эксцентриситеты планетныхъ орбитъ вообще очень малы, мы можемъ предположить, для пер- ваго приближенія, что онъ обращается въ нуль; это и сдѣлалъ Ньютонъ. Въ томъ случаѣ, еслибы орбита планеты составляла кругъ, то солнце находилось бы въ центрѣ его, секторы описываемые въ равныя времена были бы равны между собою и пройденныя дуги тоже были бы равны; скорость движенія была бы постоянна во все время обращенія планеты, и мы имѣли бы тотъ случай, въ которомъ движеніе находится въ непо-
ЛЕКЦІЯ. 129 средственной зависимости отъ центробѣжной силы. Тогда ускоренія центро- стремительной и центробѣжной силъ будутъ 6г — или -=*-> гдѣ В оз- начаетъ радіусъ описываемаго круга или разстояніе планеты отъ солнца, а Т время полнаго обращенія. Такимъ образомъ мы имѣемъ выраженіе ускоренія, а именно притяженіе, оказываемое на единицу планетной массы на томъ разстояніи, на которомъ она находится. Такъ какъ существуетъ много планетъ на различныхъ разстояніяхъ В, В', В"...., совершающихъ свои обращенія во времена Т, Т7, Т77........., то мы получимъ, для силы притяженія оказываемаго солнцемъ на единицу массы различныхъ планетъ, на разстояніяхъ В, В7, В77, слѣдующія вы- раженія р,__ 4я’К'} ___4гг’К" ѵл' — _ Т'* — Т//а Принявъ это, припомнимъ, что по смыслу третьяго закона Кеплера, квад- раты временъ обращенія планетъ, т. е. Т2, Т27, Т277, пропорціональны кубамъ разстояній планетъ отъ солнца, В3, В3/, В377; тогда получимъ рядъ равныхъ отношеній Т>/5 Т>//5 Та т"2 раздѣливъ же предъидущія уравненія на эти послѣднія, получимъ а_4^К, (Л„_ 4^К; а это показываетъ, что притяженіе, оказываемое на единицу массы на разныхъ разстояніяхъ, находится въ обратномъ отношеніи квадратовъ этихъ разстояній. Если мы желаемъ опредѣлить движущія силы А, А7, А77...., то дол- жны раздѣлить массы т, т', т#'.'..., планетъ на ихъ ускоренія; тогда будемъ имѣть А = 4к2К-^ А7=4^К^’ А77=4^К^- гдѣ 4іт2 К означаетъ притяженіе оказываемое цѣлою массою солнца на единицу массы планеты при единицѣ разстоянія; а такъ какъ это притя- женіе есть сумма притяженій всѣхъ частицъ солнца, то оно пропорціо- нально всей массѣ М этого свѣтила, и можно положить 4л2 К = Мср, откуда А = М? А7=М?^> А77=М<р—............................. То есть, притяженіе пропорціонально произведеніямъ массъ взаимно дѣй- ствующихъ тѣлъ и обратно, пропорціонально квадратамъ разстояній. Физика I. 9
130 СЕДЬМАЯ Во всемъ, что мы до сихъ поръ говорили, мы предполагали, что пла- неты описываютъ круги, а не эллипсисы, какъ это есть въ дѣйствитель- ности, но мы имѣли въ виду только объяснить приближеннымъ способомъ, какъ Ньютонъ достигъ открытія закона притяженія. Въ механикѣ разсмат- ривается этотъ вопросъ безъ такого ограниченія, и приводится къ тому же результату посредствомъ неоспоримыхъ доказательствъ. Какой бы ни былъ избранъ путь въ этомъ изслѣдованіи, онъ всегда приведетъ къ доказа- тельству: 1° что планеты приводятся въ движеніе силой направленной къ Солнцу; 2° что сила эта находится въ обратномъ отношеніи съ квад- ратами разстояній; но никогда нельзя доказать, что она есть дѣйствительно результатъ притяженія вещества. Возможно даже, что вещество совершенно пассивно, но что зѳиръ, наполняющій пространство, и въ которомъ погружены небесныя тѣла, составляетъ причину взаимнаго дѣйствія ихъ друтъ на друга. Однимъ словомъ, мы знаемъ, что сила дѣйствуетъ между солнцемъ и планетами, но не знаемъ чему ее^приписать; когда же мы говоримъ, что она зависитъ отъ притяженія вещества, то просто выражаемъ гипо- тезу, составленную для объясненія закона природы. Ньютонъ вовсе не сдѣлалъ въ этомъ ошибки, потому что высказалъ только одно, что явле- нія происходятъ такимъ образомъ, какъ будто бы зто притяженіе дѣйстви- тельно существовало. Такая осторожность Ньютона стоитъ упоминанія и подражанія. Какъ только найдены законы касательно измѣненій силы и доказано ихъ существованіе, то естественно возникаетъ вопросъ, какимъ образомъ планеты приводятся ими къ описанію около солнца кривыхъ, изученныхъ Кеплеромъ. Это вопросъ чисто математическій; покажемъ только возмож- ность его рѣшенія. Еслибы въ началѣ происхожденія планетъ, зем- ля, напримѣръ, находилась въ неподвижномъ состояніи въ присутствіи солнца, также неподвижнаго, то оба эти тѣла, подчиняясь взаимному при- тяженію, приближались бы одно къ другому до встрѣчи другъ съ дру- гомъ. Но еслибы земля получила первоначальный толчокъ въ иномъ на- правленіи, нежели то, которое имѣетъ линія, соединяющая центры обоихъ тѣлъ, то она описывала бы около солнца линію подъ двойнымъ дѣйстві- емъ: первоначальной скорости и притяженія солнца. Вычисленіе показы- ваетъ, что эта кривая всегда есть коническое сѣченіе, и что солнце зани- маетъ въ ней одинъ изъ Фокусовъ, а, смотря по величинѣ первоначальной скорости, это коническое сѣченіе можетъ быть кругомъ, эллипсисомъ, гипер- болой или параболой. Попавъ однажды на эту кривую, небесное тѣло уже слѣдуетъ по ней на неопредѣленное время, постоянно возвращаясь черезъ
ЛЕКЦІЯ. 131 извѣстный періодъ, на прежній путь, если кривая, описываемая ею, есть линія сомкнутая, какова она и есть въ дѣйствительности для пла- нетъ, или же, уходя въ пространство, съ тѣмъ чтобы никогда не возвра- титься къ прежнему мѣсту, если эта кривая есть.гипербола или парабо- ла; нѣкоторыя кометы имѣютъ такой путь. Но сказанное нами еще не заключаетъ въ себѣ полнаго рѣшенія астрономическаго вопроса: нельзя довольствоваться тѣмъ, чтобы считать планеты независимыми другъ отъ друга, такъ какъ очевидно, что каждая изъ нихъ подвергается вліянію всѣхъ остальныхъ, подчиняясь въ то же время и дѣйствію солйца. Но въ такомъ случаѣ законы Кеплера не осуществляются безусловно и всѣ из- вѣстныя планеты, вмѣсто того, чтобы описывать эллипсисъ въ строгомъ смыслѣ, очерчиваютъ сложныя кривыя. Такимъ образомъ общій вопросъ относительно тяготѣнія небесныхъ свѣтилъ дѣлается чрезвычайно слож- нымъ; для рѣшенія его требуются въ одно время и пособіе математическихъ вычисленій, составляющихъ въ этомъ случаѣ предметъ небесной механи- ки, и точныя наблюденія, относящіяся къ области Физической астрономіи. Тождество тяжести и небеснаго притяженія (тяготѣнія,). — Постараемся теперь доказать, что причина паденія тѣлъ на землѣ есть та же самая, которая производитъ и то, что мы называемъ тяготѣніемъ. Дока- зательство это дано еще Ньютономъ. Земля имѣетъ спутника, луну, и цен- тры этихъ двухъ тѣлъ'н^ходяТсТ'на'разстояніи равномъ 60-ти разъ взя- тому среднему радіусу земли. Въ астрономическомъ смыслѣ, это разсто- яніе очень мало, и потому притяженіе, оказываемое землею на луну, го- раздо больше притяженія солнца, такъ что первое можно считать един- ственнымъ дѣйствіемъ, которому подвергается луна. Въ строгомъ смыслѣ это не такъ, но, допуская это положеніе какъ приближеніе, мы можемъ довольствоваться имъ на первый разъ. Изъ него вытекаетъ то слѣдствіе, что луна должна описывать, и дѣйствительно описываетъ, эллипсисъ около земли, если мы предположимъ землю неподвижную. Предположимъ еще, что этотъ эллипсисъ превратился въ кругъ и что земля и луна вполнѣ шарообразны, что и близко къ истинѣ. При такомъ ограниченіи условій, вопросъ о движеніи луны въ теоретическомъ смыслѣ упрощается, а въ чи- сленномъ отношеніи мало удаляется отъ дѣйствительности. На поверхности земли ускореніе дѣйствія тяжести, д — 9м, 8; оно есть результатъ притяженія всей массы земли, какъ будто бы сосредо- точеннаго въ ея центрѣ, то есть на разстояніи отъ ея поверхности, равня- ющемся длинѣ средняго радіуса земли, г. Центръ луны отстоитъ отъ земли на разстояніе равное 60 разъ взятому г, и, слѣдовательно, ускоре- 9*
132 СЕДЬМАЯ д ніе тяжести для луны должно быть равно -^уа если только законъ притя- женія вѣренъ. Съ другой стороны, ускореніе это должно быть изображено, какъ и для всѣхъ планетъ, чрезъ 4л:9 В. Т2 а замѣнивъ здѣсь К величиной 60 г, Т числомъ выражающимъ дѣйстви- тельное время обращенія луны, то есть (39343 X 60) секундъ, получимъ 4 я2 г. 60 _ 2 я г. я , ТР- — (39343)®. 602 — (39343)2. 30 Здѣсь 2 л г означаетъ окружность большаго круга земли, равную 40 милліонамъ метровъ; слѣдовательно у насъ будетъ 4 я2 В__4000000 я. Т3 (39343)~3 Это выраженіе ускорительной силы должно быть равно и потому оно обратится въ ____ 4000000 я. 1200, 3___(39343)» Сдѣлавъ означенныя тутъ вычисленія, мы окончательно получимъ, что <7 — 9», 7. И такъ найдена нами величина ускорительной силы тяжести съ та- кою точностью, на какую только можно было разсчитывать, чѣмъ и дока- зывается тождественность причины паденія тѣлъ на землѣ и причины, удер- живающей луну на ея орбитѣ. Этотъ выводъ служилъ Ньютону первымъ подтвержденіемъ его теоріи. Опыты Кавендиша. — Доказательство дѣйствія притяженія, осно- ванное на наблюденіяхъ астрономическихъ, не было еще признано до- статочнымъ для рѣшенія вопроса о всеобщности притяженія. Оставалось еще доказать, что оно въ самомъ дѣлѣ дѣйствуетъ на поверхности земли и что, напримѣръ, большая масса свинцу замѣтно притягиваетъ малень- кій металлическій шарикъ. Дѣйствіе это было измѣрено, и, сравнивая его съ притяженіемъ земли, можно было опредѣлить и вѣсъ земнаго ша- ра. Опыты эти были произведены Кавендишемъ, но идея ихъ принадле- житъ не ему, а Митчелю, который придумалъ также и устройство прибо- ра, употребленнаго для этихъ опытовъ Кавендишемъ, и завѣщаннаго ему.
ЛЕКЦІЯ, 133 Рычагъ изъ еловаго дерева АВ (рис. 45), легкій и однороднаго сложенія, привѣшенъ за его средину на тонкой металлической проволокѣ укрѣп- ленной верхнимъ концомъ къ потолку запертой комнаты. На обоихъ кон- цахъ рычага привѣшены совершенно одинакіе металлическіе шарики А и В и двѣ пластинки изъ слоновой кости СВ и С' В' съ равными дѣлені- ями. Устроенное такимъ образомъ и повѣшенное коромысло окружено ящикомъ краснаго дерева, предохраняющимъ его отъ движенія воздуха; Рис. 45. оконечности ящика закрыты стеклами, чрезъ которыя можно видѣть дѣ- ленія пластинокъ СО и С'В'; ихъ наблюдаютъ посредствомъ трубокъ съ перекрестными нитями, вдвинутыхъ въ отверзтія, продѣланныя въ стѣнахъ комнаты, и такимъ образомъ наблюдатель, находясь въ сосѣдней комнатѣ, слѣдитъ чрезъ трубку за всѣми движеніями рычага. Прежде чѣмъ будетъ окончено нами описаніе этого прибора, мы дол- жны изучить условія равновѣсія этого рычага АВ, а для того намъ нуж- но привести нѣкоторые результаты теоріи упругости тѣлъ, которая будетъ изложена и доказана нами впослѣдствіи. Сначала надо замѣтить, что, при отклоненіи рычага АВ отъ его положенія равновѣсія, которое онъ принимаетъ самъ собой, скручивается нить привѣса, и что эта нить, стремясь придти въ прежнее свое состояніе, оказываетъ противодѣйствіе скручиванію, зависящее одновременно отъ толщины и длины нити. Озна- чимъ чрезъ / силу, которую нужно приложить къ оконечности рычага, длина котораго принята за единицу, для того, чтобы отклонить его на Дугу, равную единицѣ же. Опытъ показываетъ, что потребна сила /а Для удержанія рычага на отклоненіи а. Это значитъ, что въ приборѣ Ка-
134 СЕДЬМАЯ вендиша противодѣйствіе скручиванію нити привѣса равняется силѣ /а, Та приложенной къ рычагу, длиною равному единицѣ, или силѣ -у* дѣй- ствующей на центръ шарика А, если полудлина АВ равна I. Для измѣренія этой силы предположимъ, что послѣ того, какъ нить была скручена, оставляемъ ее раскручиваться и возвратиться къ положенію рав- новѣсія: она произведетъ тогда рядъ послѣдовательныхъ колебаній оди- наковой продолжительности, и время ихъ будетъ дано Формулой, подобной Формулѣ маятника. гдѣ т выражаетъ массу каждаго изъ шаровъ А и В, а выраженіе означаетъ ускорительную силу колебаній. Количество т можно замѣнить величиной — а изъ Формулы вывести величину /; мы получимъ тогда г,__1 д ‘~Іг • Такъ какъ р, I и д суть количества извѣстныя, то остается только, по- средствомъ колебаній рычага, измѣрить время I одного колебанія, для то- го, чтобы имѣть возможность вычислить у. Поэтому предположимъ, что предварительно сдѣлано это измѣреніе і, что потомъ было отклонено пле- чо рычага и сочтено число п дѣленій, на которое передвинулись пластин- ки СВ и СП)'. Если длина каждаго изъ этихъ дѣленій равна «, то—- будетъ означать длину дуги а, принимая радіусъ за единицу, а противо- дѣйствіе нити будетъ равно силѣ -- или , приложенной къ шару А- і і" По замѣнѣ / равной ей величиной, эта сила будетъ: /па 2 На . рп ~=~<Г ; Наконецъ, можно замѣнить эту силу двумя другими, приложенными къ ша- рамъ А и В и равными половинѣ предъидущей. Пусть Р будетъ озна- чать каждую изъ этихъ силъ и тогда мы получимъ р___рп ~~ д ' і* ' Въ приборѣ, которымъ пользовался Кавендишъ, постоянная величи- на і на — была равна -одр и ПРИ этомъ было
ЛЕКЦІЯ. 135 тр 1 Рп Г 818 I2 • Изъ этого слѣдуетъ, что, при отклоненіи рычага и передвиженіи пла- стинокъ СБ и С/Б/ на п дѣленій, нить будетъ раскручиваться для сво- его возвращенія къ положенію равновѣсія, какъ будтобы она подчинилась дѣйствію двухъ силъ, приложенныхъ, одна къ шарику А, другая къ В, и равныхъ каждая Величину этихъ силъ можно вычислить, если извѣстно р, измѣрено помощію зрительныхъ трубъ число п отодви- нутыхъ дѣленій и опредѣлено время і одного колебанія рычага. Сдѣлавъ такимъ образомъ предварительныя опредѣленія и устроивъ все какъ выше сказано, обратимся теперь снова къ нашему прибору, чтобы окончить его описаніе. Два большіе свинцовые шара М и Я вѣсомъ каж- дый въ 158 килограмовъ (385,5 Фун.) 1, утвержденные на концахъ вра- щающейся линейки, которую можно приводить въ движеніе издали, не входя въ комнату, гдѣ помѣщенъ весь приборъ. При этомъ ихъ можно приводить въ три различныя положенія: одно перпендикулярное къ АВ и два другія МЫ и М'Ы' постоянныя и симметричныя относительно поло- женія равновѣсія рычага АВ. Когда эти шары установлены въ первомъ направленіи, то они дѣйствуютъ одинакимъ образомъ на шарики А и В, а потому не перемѣщаютъ ихъ, и тогда наблюдатель, смотря на обѣ п.іа- стинки, замѣчаетъ ихъ положеніе равновѣсія; послѣ чего онъ приводитъ свинцовые шары въ положеніе МЫ. Тогда масса М притягиваетъ шарикъ А, а масса Ы шарикъ В, нить скручивается, рычагъ отклоняется и при- ходитъ во второе положеніе равновѣсія, когда притяженія, оказываемыя массами М на А, Ы на В, дѣлаются равными двумъ силамъ Г, выража- ющимъ противодѣйствіе нити къ закручиванію. Тогда отсчитываютъ число дѣленій п, пройденныхъ пластинками, и обѣ силы Г или притяженія, съ которыми онѣ уравновѣшиваются, вычисляютъ по предъидущей Формулѣ тр__ 1 пР ' 818' I2 ‘ Въ тотъ же моментъ, когда масса М была приближена къ А, разстояніе МА между центрами обоихъ шаровъ, измѣренное однажды для всѣхъ слу- чаевъ было Б, а по достиженіи ими положенія равновѣсія, оно сдѣлалось Б-— пл — Л. Такимъ образомъ измѣряются въ одно и то же время: при- тяженіе Г обоихъ шаровъ и разстояніе А между ихъ центрами, послѣ че- го дѣлаютъ второе наблюденіе, обращая большіе шары до положенія М'Ы? и тогда берутъ среднюю величину между результатами обоихъ наблюденій.
136 СЕДЬМАЯ Этого достаточно для вычисленія, какъ это мы покажемъ далѣе, всего вѣ- са Р/ и средней плотности земнаго шара. Такъ какъ при разстояніи й между большимъ и малымъ шарами, при- тяженіе оказываемое на А есть Е, то оно будетъ Ей’ въ томъ случаѣ, когда это разстояніе сдѣлается равнымъ единицѣ длины; оно сверхъ того пропорціонально притяженію <р, которое оказываетъ единица вѣса на ша- рикъ А, и вѣсу Р шара М. Отсюда мы имѣемъ ЕЙ2 = Р?. Съ другой стороны, притяженіе оказываемое землею на шарикъ А равно вѣсу р этого шарика при разстояніи равномъ радіусу земли. На разстояніи равномъ единицѣ длины, оно будетъ /эК2; оно также пропор- ціонально <р и вѣсу земнаго шара Р, откуда получимъ рК2 = Р,'<р Изъ этихъ послѣднихъ двухъ уравненій получимъ Е _ РВ2 р Р'а*'’ а замѣнивъ Е равной ей величиной, опредѣленной на основаніи законовъ скручиванія, мы будемъ имѣть Е____ 1 п РВ2 р 818 ' I1 ВтГ2 Въ этомъ уравненіи п, й и і суть выводы изъ наблюденій; Р есть тяжесть 158 килограммовъ; К есть радіусъ земли; а какъ Р'~—тШ3 В, О то можно получить отсюда и величину В, то есть среднюю плотность В земнаго шара. р,_ 818РВМ2 г п. а и наконецъ р _ 613,5. Р- г2 яВ. п. й Не желая прерывать нашихъ разсмотрѣній, мы пропустили одну важ- ную подробность, къ которой теперь, надо намъ возвратиться. Мы ви- дѣли . выше, что для измѣренія п нужно наблюдать пластинки съ дѣле- ніями сначала въ ихъ положеніи естественнаго равновѣсія и потомъ когда онѣ перемѣстились отъ притяженія. Но Кавендишъ замѣтилъ, что эти пластинки никогда не были неподвижны, но постоянно колебались напра-
ЛЕКЦІЯ. 137 во и налѣво отъ того положенія равновѣсія, въ которомъ онѣ должны бы- ли установиться. Положеніе это не могло быть однако измѣрено непосред- ственно, и потому надо было его вывести, взявъ среднюю величину изъ послѣдовательныхъ качаній въ противоположныя стороны. Способъ этотъ, сверхъ того, давалъ возможность опредѣлять одновременно время і отдѣль- ныхъ колебаній и оба положенія равновѣсія,, которыя надо было сравни- вать между собою. Мы не будемъ входить здѣсь во всѣ подробности вычисленій, относя- щихся до этихъ опытовъ, считая достаточнымъ указать только на ихъ ос- нованія. Желающимъ же ближе ознакомиться съ этимъ предметомъ ука- жемъ на мемуаръ Кавендиша, помѣщенный въ «-Лигпаі сіе ГЕсоІе Роіу- іесііпіцпе, XVII тетр. стр. 313. Кавендишъ употреблялъ одну за другою двѣ различныя нити привѣса; одна изъ нихъ была очень тонкая, съ нею колебанія совершались въ 40 минутъ, а число дѣленій пройденное точкой покоя, когда соотвѣтствую- щіе шары были сближены, было равно 16. При опытѣ съ другою, болѣе толстою нитью, получалось і—7, п~5,7. Но въ обоихъ случаяхъ, для В получались величины равныя между собою и числу 5,48. Слѣдователь- но, средняя плотность земнаго шара въ 5 */2 разъ больше плотности воды. Послѣ Кавендиша, опыты эти были повторены, сначала Рейхомъ, по- лучившимъ одни и тѣ же результаты, а потомъ Бальи, по порученію Лон- донскаго астрономическаго общества; Бальи открылъ при этомъ и испра- вилъ нѣкоторыя причины погрѣшностей и окончательно получилъ число 5,67, среднее изъ двухъ тысячъ опытовъ. Потомъ въ 1852 Рейхъ снова опредѣлилъ Б и получилъ 5,58. Отклоненіе отвѣса дѣйствіемъ горъ. Есть второй способъ, по- средствомъ котораго можно опредѣлить среднюю плотность земли, по мы скажемъ объ немъ только то, что необходимо для пониманія его основа- ній. Бугеръ придумалъ, повѣсивъ отвѣсъ подлѣ горы, измѣрять отклоне- ніе испытываемое имъ отъ дѣйствія притягательной силы всей массы горы; но опыты эти приводятъ къ едва замѣтнымъ результатамъ. Маскелинъ вос- пользовался этой идеей и успѣшно осуществилъ ее на опытѣ съ большой тщательностью. Онъ избралъ для этого въ Шотландіи гору Шбкаліенъ, не- сложной Формы, стоящую отдѣльно отъ другихъ горъ, и геологическій со- ставъ которой хорошо извѣстенъ, такъ что нетрудно было.измѣрить ея объемъ и вычислить ея общій вѣсъ и положеніе ея центра тяжести. Сдѣ- лавъ это, онъ избралъ два мѣста А и В (рис. 469 по обѣ стороны горы, лежащія въ плоскости параллельной къ меридіану мѣста и проходящей
138 СЕДЬМАЯ чрезъ центръ тяжести горы; затѣмъ съ каждаго изъ этихъ мѣстъ онъ на- блюдалъ высоту полюса надъ горизонтомъ. Если бы не было горы между Рис. 46. этими двумя мѣстами наблюденія, то двѣ отвѣсныя линіи АР и ВР' со- ставляли бы уголъ равный разности географическихъ широтъ этихъ мѣстъ, измѣренной посредствомъ тріангуляціи; но при дѣйствіи на отвѣсы притя- Рис. 47. Л в бы не было’ горы и гательной силы горы, отвѣсы принимаютъ по- ложенія АС) и ВС)', горизонтальныя плоскости въ обоихъ мѣстахъ наблюденія принимаютъ положеніе нѣсколько приподнятое къ сторонѣ горы, а высота полюса надъ горизонтомъ уве- личивается въ мѣстѣ В и уменьшается въ А; измѣряютъ эти высоты и выводятъ изъ нихъ для каждаго мѣста наблюденія отклоненіе отвѣсной линій. Вслѣдствіе того, на одномъ изъ мѣстъ наблюде- нія, напримѣръ А (рис. 47) притяженіе земли дѣйствовало бы по направленію АВО, если- оно выразилось бы чрезъ . Съ другой сто- роны, притяженіе горы дѣйствуетъ по направленію АСг, предполагая его -р горизонтальнымъ, и сила его выразится чрезъ гдѣ Р означаетъ вѣсъ горы и Л разстояніе ея центра тяжести отъ испытуемаго отвѣса. Поэто- му отвѣсъ, подчиняясь двумъ перпендикулярнымъ силамъ, приметъ поло-
ЛЕКЦІЯ. 139 женіе равнодѣйствующей АС и образуетъ съ линіей ОБА уголъ а, состав- ляющій измѣряемое отклоненіе. Такимъ образомъ мы будемъ имѣть : ~=АВ: ВС СВ ДВ~=*аПЯ« и отсюда р гі» _ РВ» « = Р' рм’ в» Откуда можетъ быть вычисленъ вѣсъ земнаго шара Р/, а также и плотность его, по замѣнѣ Р-' величиной ф лВ3Б; и такъ Б = ^-?~— а яВ.гі’іад^а' Маскелинъ нашелъ для Б число равное около 5. Выводъ этотъ подтверж- даетъ то, что ужебыло йами найдено. Измѣненіе тяжести во внутренности земнаго шара. Надо еще упомянуть объ опытахъ произведенныхъ недавно англійскимъ ученымъ Эри. Легко понять, что, еслибы земной шаръ былъ однороденъ, то тяжесть должна была бы уменьшаться по мѣрѣ углубленія въ землю, начиная отъ ея поверхности, потому что дѣйствіе верхнихъ ея слоевъ вычитается изъ дѣйствія нижней массы. Вычисленіе показываетъ, что притяженіе, оказы- ваемое на какую нибудь внутреннюю точку,земли частью земнаго шара, заключенною между его поверхностью и другою, концентрической съ ней поверхностью воображаемой сферы, проходящей чрезъ взятую точку, со- вершенно ничтожно, и, слѣдовательно, остается только притяженіе массы заключенной въ объемѣ этой послѣдней сферы. Но если плотность земли возрастаетъ отъ ея поверхности къ центру, то тяжесть можетъ увеличи- ваться до извѣстной глубины, и вотъ причина этого: Если съ одной сто- роны точка, взятая внутри земли, не подвергается болѣе притяженію на- ружнаго сферическаго слоя, раздѣляющаго ее отъ земной поверхности, то, съ другой стороны, она находится ближе къ центральнымъ, болѣе плот- нымъ слоямъ, и притягательное дѣйствіе этихъ послѣднихъ можетъ пре- вышать притяженіе земли въ первомъ случаѣ. Рошъ, основываясь на астро- номическихъ соображеніяхъ, нашелъ, что плотность Б, на разстояніи В, отъ центра земли можетъ быть выражена чрезъ Бо (1—0, 8 В,2) гдѣ Бо означаетъ плотность земли у центра, а В, выражено въ частяхъ зем- наго радіуса. Предполагая среднюю плотность земнаго шара равную 5, 5,
140 СЕДЬМАЯ мы будемъ имѣть плотность сго у поверхности равную 1,2, а у центра 10, 6. Изъ этого слѣдовало бы, что тяжесть внутри земли, начиная отъ ея поверхности возрастаетъ до глубины равной 1/6 радіуса; тамъ ді пре- вышаетъ д болѣе чѣмъ на ~ ую долю. Затѣмъ дѣйствіе тяжести умень- шается; на % части длины радіуса, оно дѣлается равнымъ дѣйствію тяжести на поверхности, и наконецъ продолжаетъ быстро уменьшаться до самаго центра, гдѣ уже совсѣмъ уничтожается. Опыты Эри подтвердили этотъ способъ воззрѣнія. Для производства ихъ онъ употребилъ два маятника, изъ которыхъ одинъ онъ помѣстилъ на поверхности земли, а другой на днѣ рудника Г.артона, на глубинѣ 384 метровъ (1259,5 Футъ,). При каждомъ изъ нихъ были астрономическіе часы; колебанія ихъ наблюдались по способу совпаденія, а продолжи- тельность этихъ колебаній опредѣлялась по часамъ. Затѣмъ сравнивали показанія нижнихъ и верхнихъ часовъ помощію сигналовъ, передаваемыхъ безпрерывно электрическимъ телеграфомъ, замѣчая моменты этихъ сигна- ловъ на обоихъ часахъ. Такимъ образомъ было найдено, что нижній ма- ятникъ въ теченіе 24 часовъ опережаетъ верхній на 2% колебанія, а изъ этого заключали, что дѣйствіе тяжести отъ поверхности земли до 1 дна рудника увеличивается на —часть. По Формулѣ Роша соотвѣт- 1 ствующее число было бы • ІУЭііѵ Изъ этого результата легко вывести среднюю плотность земнаго шара. И въ самомъ дѣлѣ, ускорительная сила, происходящая отъ одной внутренней части земли, считая отъ дна рудника, была измѣрена посредствомъ ниж- няго маятника и найдена равною д,, на поверхности же земли она бу- к9 17 детъ д1~-=ді'. Вычитая д,' изъ величины д, найденной посредствомъ качаній верхняго маятника, мы получимъ частную ускорительную силу, происходящую только отъ дѣйствія наружной оболочки земли, заключен- ной между поверхностью земли и мѣстомъ нахожденія нижняго маятника. Но какъ притяженія этой оболочки и ядра земли дѣйствуютъ такъ, какъ будто бы онѣ сосредоточивались въ ея центрѣ, то онѣ и пропорціональны вѣсу этихъ двухъ частей земли и произведеніямъ ихъ объемовъ на плот- ности О иВ,. Слѣдовательно, мы будемъ имѣть Я-9. >' В,2 — 4 п 3 в8 з к п (В5 — В,5) п, д— в/ п,’
ЛЕКЦІЯ. 141 д_ В2 _ 1 К __ 9_ В. — 9' В'* Ч< — 1 > ____________Ь Ю> 1 ь — "Г в,5 1 9і В2 Но изучая породы, составляющія землю выше дна рудника, можно найти среднюю плотность В сказанной оболочки въ сосѣдствѣ того мѣста, гдѣ производится опытъ, а какъ ближайшія части земли оказываютъ преобла- дающее дѣйствіе, то и можно, безъ чувствительной погрѣшности, принять эту среднюю плотность В за среднюю плотность всей оболочки. Слѣдо- вательно можно вычислить и величину В,, т. е. среднюю плотность ядра земли, или внутренней ея части, считая отъ дна рудника. Эри опредѣлилъ эту плотность между 6 и 7-ю.; однакожъ вычисленіе его еще не окон- чены и окончательное число не опубликовано. - Изъ всѣхъ описанныхъ опытовъ можно заключить, что средняя плот- ность земли заключается между 5‘/2 и 6, а потому нужно предположить, что во внутренности земнаго шара заключаются вещества болѣе плотныя, нежели тѣ, которыя составляютъ ея поверхность. По опредѣленіямъ Эри, принявъ глубину Гартонскаго рудника за еди- ницу, В= 16621, 7 откуда В’—16620, 7 Плотность окружающихъ слоевъ В = 2,5. Принявъ во вниманіе отно- шеніе между наблюденною внизу и вверху тяжестью •^ = 1,000 052. „ 9 Можно получить: В’ — 6,566 Слѣдовательно, плотность внутренняго ядра, или, какъ массу внѣш- няго слоя можно принять ничтожною въ сравненіи съ массою ядра, сред- няя плотность земли около 6‘/2 разъ болѣе плотности воды. Этотъ результатъ значительно отличается отъ другихъ, но Эри пола- гаетъ,. и можетъ быть справедливо, что онъ заслуживаетъ такого же до- вѣрія, какъ и прежніе результаты, такъ что среднюю плотность земли можно принять между 5% и 6%. Отсюда мы должны заключить, что внутренность земли состоитъ изъ гораздо болѣе плотнаго вещества, чѣмъ изслѣдованная до сихъ поръ обо- лочка земли.
142 СЕДЬМАЯ Приливъ и отливъ. Весьма замѣчательное явленіе, происходящее на земной поверхности, вслѣдствіе всеобщаго тяготѣнія, есть повышеніе и пониженіе воды въ океанахъ и ихъ частяхъ, два раза въ сутки, причиня- емое притяженіемъ луны и солнца. Мы должны здѣсь ограничиться объ- ясненіемъ явленія только въ главныхъ чертахъ. Различныя точки земли неодинаково сильно притягиваются луною, по причинѣ ихъ различнаго отдаленія отъ этого тѣла. Центръ земли отстоитъ отъ центра луны на 60 земныхъ радіусовъ, тогда какъ точка пересѣченія обращенной къ лунѣ земной поверхности съ прямою, соединяющею центры обоихъ тѣлъ, отстоитъ отъ луны на 59, а противоположная ей точка на 61 радіусъ земли. Обозначивъ черезъ / притяженіе луною единицы мас- сы на единицу разстоянія, черезъ с/ разстояніе центра земли отъ луны и черезъ В, радіусъ земли, притяженіе упомянутыхъ точекъ будетъ / , / . Г й’’ (й—В)’ ’ (й + В)* Разность между двумя послѣдними величинами и первою будетъ -ь — й! • если пренебречь при этомъ членами съ высшими степенями <7. Слѣдова- тельно на такую величину луна притягиваетъ обращенную къ ней точку земли сильнѣе, а противоположную этой точку слабѣе, нежели центръ земли. Еслибы вся земля была тверда и ни одна точка ея не могла бы быть пе- ремѣщена отдѣльно отъ другой, то вслѣдствіе неподвижной связи частицъ, всѣ эти различныя по силѣ притяженія соединились бы въ одномъ общемъ притяженіи центра. Но большая часть земли покрыта водою, частицы ко- торой могутъ свободно перемѣщаться; поэтому, подчиняясь различнымъ при- тяженіямъ, вода должна придти въ движеніе. Если точки пересѣченія пря- мой линіи, соединяющей центры земли и луны, съ земною поверхностью, лежатъ на моряхъ, то вода должна будетъ подняться въ этихъ точкахъ, и потому понизиться въ точкахъ лежащихъ между ними. Такъ какъ вода на сторонѣ, обращенной къ лунѣ, притягивается сильнѣе, на противопо- ложной — слабѣе, нежели центръ земли, то результатъ будетъ тотъ же, какъ еслибъ на этихъ сторонахъ дѣйствовали силы, противоположныя тя- жести и равныя по величинѣ упомянутой разности притяженій,—что на- глядно можно представить себѣ на слѣдующемъ численномъ примѣрѣ.
ЛЕКЦІЯ. 143 Положимъ, что мы имѣемъ три точки А, С, В; точки А и В притяги- ваются къ С силою, равною напр. 10. Къ этимъ же тремъ точкамъ при- ложены силы, дѣйствующія въ одномъ направленіи, напр., направо; но не равныя; на В дѣйствуетъ сила равная 3, на С сила = 2 и на А си- ла = 1. Точки эти сравнительно находятся въ томъ же отношеніи, какъ и раз- сматриваемыя нами точки земли. Во взаимномъ отношеніи ихъ ничего не измѣнится, если мы отъ каждой изъ нихъ отнимемъ по силѣ равной 2 и дѣйствующей направо. Тогда на точку С не будетъ дѣйствовать ника- кая сила; въ точкѣ В останется сила = 1, двигающая ее направо и слѣ- довательно отдаляющая ее отъ С. Къ точкѣ А была приложена дѣйству- ющая направо сила — 1 и потомъ, въ томъ же направленіи, отнята си- ла =2, (или, что то же самое, приложена такая же сила = 2, но дѣйствую- щая налѣво); вмѣсто этихъ двухъ силъ, мы можемъ представить себѣ одну силу = 1, дѣйствующую налѣво, и, слѣдовательно, такъ же какъ и въ В, отдаляющую точку А отъ С и равную разности дѣйствующихъ напра- во силъ въ А и С. Подобное же происходитъ и на землѣ. Вслѣдствіе притяженія луны, на обращенной къ ней точкѣ земли и на противоположной, образуются какъ будто бы силы, отдаляющія воду отъ центра. Отъ этого вода дол- щна подняться въ этихъ точкахъ, но зато понизиться въ точкахъ, лежа- жихъ на срединѣ между ними. Отъ этого образуются на діаметрально противоположныхъ сторонахъ земли приливныя волны, и каждая изъ нихъ должна, по причинѣ суточнаго вращенія земли съ запада на востокъ, обойти землю въ противоположномъ направленіи въ 24 часа. Слѣдовательно, въ морѣ должны быть въ сутки два прилива и два от- лива, такъ какъ луна бываетъ впродолженіе сутокъ одинъ разъ въ зе- нитѣ и одинъ разъ въ надирѣ. Но по причинѣ собственнаго движенія, лу- на проходитъ черезъ меридіанъ, каждыя суткй 50-ю минутами позже. Отъ этого на столько же замедляется приливъ и отливъ. Подобно лунѣ, и солн- це производитъ приливъ и отливъ, но гораздо слабѣе, что легко мож- но видѣть, подставивъ въ выраженіе для силы отдаляющей частицы отъ центра —величины соотвѣтствующія солнцу. Обозначивъ черезъ М массу солнца и черезъ т массу луны, мы должны вмѣсто / подставить /и вмѣсто <7, разстояніе солнца отъ земли сі! = 400 <7, такъ какъ солнце въ 400 разъ болѣе отдалено отъ насъ, чѣмъ луна. Масса солнца
144 СЕДЬМАЯ ЛЕКЦІЯ. въ 355,000 разъ болѣе массы земли, а масса земли въ 88 разъ болѣе массы луны. Поэтому для разности притяженій солнца мы получимъ 2 /’В. 355000, 88 й5, 4005 Это равно почти % разности притяженій луною соотвѣтствующихъ то- чекъ земли. Поэтому солнечный приливъ равенъ только половинѣ лун- наго. Соединенное дѣйствіе луны и солнца или увеличиваетъ или умень- шаетъ высоту прилива. Когда солнце и луна находятся съ одной сторо- ны земли, во время новолуній, или на противоположныхъ сторонахъ, во время полнолуній, то приливы усиливаютъ другъ друга и наступаетъ такъ называемый большой приливъ. Во время квадратуръ, слѣдовательно пер- вой и послѣдней четверти, совпадаютъ на одномъ мѣстѣ солнечный при- ливъ съ луннымъ отливомъ. Тогда приливъ наименьшій и называется ма- лымъ приливомъ. Различныя глубины морей и очертанія твердой поверх- ности земли усложняютъ теченіе приливныхъ волнъ и законъ ихъ измѣ- неній, который однако Лапласъ разрѣшилъ очень удовлетворительно. Мы должны удовольствоваться сдѣланными здѣсь указаніями.
ВОСЬМАЯ ЛЕКЦІЯ. О вѣсахъ. Вѣсы. — Условія для ихъ устройства. — Чувствительность вѣсовъ. — Еслибы точка опоры коромысла и точки привѣса чашекъ лежали въ точности на одной прямой линіи, то чувствительность вѣсовъ не за- висѣла бы отъ количества тяжестей положенныхъ на чашки. —• Опи- саніе точныхъ вѣсовъ. — Способъ двойнаго взвѣгииванія. —Подробности о предосторооюностяхъ необходимыхъ для точнаго взвѣшиванія. — Опредѣленіе плотности тѣлъ. — Опредѣленіе удѣльнаго вѣса тѣлъ. Мы уже опредѣлили, что такое центръ тяжести тѣла: это есть точка приложенія равнодѣйствующей тяжести всѣхъ матеріальныхъ частицъ тѣ- ла. Если данное тѣло имѣетъ геометрическую Форму и притомъ однород- но, то можно вычислить положеніе въ немъ центра тяжести посред- ствомъ теоремы- моментовъ, но это уже вопросъ изъ статики, котораго мы не станемъ разсматривать. Мы примемъ также за извѣстныя всѣ за- мѣчанія относительно равновѣсія тѣлъ, которыя даетъ эта наука, не раз- бирая ихъ вновь. Мы ограничимся только замѣчаніемъ, что для тѣла не- правильной Формы нельзя найти положенія центра тяжести помощію вы- численія, но нужно находить его посредствомъ опыта. Для этого надо повѣсить данное тѣло на нити, и когда оно придетъ въ покойное состоя- ніе, то продолженіе вертикальной нити привѣса пройдетъ чрезъ искомый центръ тяжести. При повтореніи того же опыта, перемѣнивъ только на тѣлѣ точку привѣса, новое направленіе нити пройдетъ опять чрезъ центръ тяжести, и положеніе его будетъ на пересѣченіи этихъ двухъ линій; на этомъ основывается практическій способъ опредѣленія центра тяжести. Вѣсы. —Условія ихъ устройства. — Мы безпрестанно имѣемъ на- добность взвѣшивать тѣла, то есть сравнивать ихъ вѣсъ съ вѣсомъ дру- Физикд I. 10
146 ВОСЬМАЯ творять ворить. вижнаго многочисленнымъ усл Вѣсы состоятъ изъ около горизонтальной Рис. 49. А' С ... В і- З'Г'Я С'і ІР* 1 I ? гихъ тѣлъ, принятыхъ за единицы сравненія и для этого мы употребляемъ вѣсы, которые всякому извѣстны. Но вѣсы, служащіе для производства Физическихъ опытовъ, весьма деликатнаго устройства и должны удовле- івіямъ, о которыхъ мы будемъ теперь го- іеталлическаго коромысла АС, легко под- оси В {рис. 49) и удерживающаго на своихъ концахъ двѣ чашки для помѣщенія тѣлъ, вѣсъ которыхъ мы хотимъ сравни- вать. Разсмотримъ сначала обстоятельство совершенно теоретическое. Предположимъ, 1-е, что три точки привѣса А, В и С лежатъ на одной прямой линіи, и 2-е, что оба плеча рычага АВ и ВС состоятъ изъ тѣ- ла одинакой плотности, имѣютъ одинакую длину и симметрическую Форму относительно плоскости ВСг, 3-е, что чаш- ки имѣютъ одинакій вѣсъ. Ясно, что при пустыхъ чашкахъ, коромысло, уравновѣсившись, придетъ въ горизонтальное положеніе, когда его центръ тяжести Сг будетъ находиться въ вертикальной плоскости, проходящей чрезъ ось опоры коромысла. Равновѣсіе это останется неизмѣннымъ или будетъ нарушено, когда на чашки будутъ положены равныя или нерав- ныя тяжести, и наоборотъ, мы заключаемъ о равенствѣ или неравенствѣ вѣса этихъ тяжестей, когда равновѣсіе коромысла сохраняется или на- рушается. Центръ тяжести коромысла, Сг, можетъ быть помѣщенъ въ плоскости ВСг, или выше или ниже точки опоры или въ самой этой точкѣ; смотря потому, которое изъ этихъ трехъ положеній займетъ центръ тяжести, вѣ- сы могутъ быть удовлетворительны или нѣтъ. Разсмотримъ это обстоя- тельство, всегда предполагая тотъ особенный случай, что три точки А, В и С лежатъ на. одной прямой линіи. Если точка опоры рычага АС будетъ находиться въ самомъ центрѣ тяжести, то онъ будетъ уравновѣшиваться во всѣхъ возможныхъ положе- ніяхъ, какъ при пустыхъ чашкахъ, такъ и при положенныхъ наѵ нихъ равныхъ тяжестяхъ. Если же положить на нихъ неравныя тяжести, то, какъ бы ни была мала ихъ разность, рычагъ наклонится и подъ конецъ сов- сѣмъ опустится съ той стороны, гдѣ больше тяжести. И такъ въ томъ случаѣ, когда центръ тяжести рычага въ точности совпадаетъ съ точкой опоры, вѣсы удерживаются въ равновѣсіи во всѣхъ положеніяхъ при
ЛЕКЦІЯ. 147 равныхъ тяжестяхъ на чашкахъ, и недаютъ никакихъ указаній лишь толь- ко эти тяжести различны: поэтому нельзя пользоваться такимъ приборомъ. Слѣдовательно, не должно быть совпаденія центра тяжести съ осью опоры. Если же мы предположимъ, что центръ тяжести будетъ находиться выше оси опоры, то равновѣсіе будетъ всегда неустойчиво; ему нельзя будетъ установиться ни съ равными, ни съ различнымаи тяжестями; слѣдовательно, не будетъ возможности для ихъ сравненія и вѣсы будутъ еще хуже, чѣмъ въ предъидущемъ случаѣ. Наконецъ, такъ какъ центръ тяжести не можетъ быть помѣщенъ ни въ самой точкѣ опоры, ни выше ея, то, слѣдовательно, долженъ находиться ниже ея, и это есть существенное условіе въ устройствѣ вѣсовъ. Когда оно удовлетворено, то вѣсы хороши. Въ такомъ случаѣ все равно, будутъ ли вѣсы съ тяжестями или безъ тяжестей, они все-таки будутъ находиться въ устой- чивомъ равновѣсіи, если только центръ тяжести лежитъ на вертикали точки опоры; потому если отклонить коромысло отъ этого положенія рав- новѣсія, то оно само собой' будетъ возстановлять прежнее положеніе ря- домъ равновременныхъ, но уменьшающихся колебаній. Наконецъ, если положить на чашки неравныя тяжести, то отъ дѣйствія разности ихъ, коромысло отклонится отъ линіи АС къ положенію А'С' и подниметъ центръ тяжести до точки Сг', т. е. до того положимъ, пока вѣсъ коромы- сла, сосредоточенный въ Сг', уравновѣситъ эту разность тяжестей. Изъ сказаннаго видно, что въ послѣднемъ случаѣ помѣщенія центра тяжести коромысла, вѣсы всегда приходятъ въ горизонтальное положеніе равновѣ- сія, если только на нихъ положены равныя тяжести, или же въ положе- ніе болѣе и болѣе наклоненное, по мѣрѣ того, какъ возрастаетъ раз- ность тяжестей, положенныхъ на чашки. Изъ этого понятна возможность узнавать равенство или неравенство взвѣшиваемыхъ тяжестей посред- ствомъ горизонтальнаго или наклоненнаго положенія коромысла. Чувствительность вѣсовъ. — Для вѣрности вѣсовъ должны быть выполнены сказанныя условія; но ихъ недостаточно еще для чувствитель- ности вѣсовъ, то есть для того, чтобы они могли обнаруживать большимъ отклоненіемъ коромысла весьма малыя разности между тяжестями, взяты- ми для сравненія. Но очевидно, что, при всѣхъ прочихъ одинаковыхъ обстоятельствахъ, наклоненіе коромысла увеличивается, когда уменьшается плечо рычага ВСг, на оконечность котораго дѣйствуетъ тяжесть коро- мысла; слѣдовательно, чувствительность вѣсовъ возрастаетъ по мѣрѣ того, какъ центръ тяжести Сг приближается къ оси опоры. До сихъ поръ мы предполагали, что три точки А, В и С находятся 10*
148 ВОСЬМАЯ на одной прямой линіи и дѣйствительно при устройствѣ вѣсовъ стараются достигать этого условія. Но даже и въ томъ случаѣ, когда удается въ точности достигнуть расположенія означенныхъ точекъ на одной прямой линіи, не. возможно, чтобы онѣ удерживали это положеніе во время взвѣ- шиванія, потому что коромысло сгибается отъ дѣйствія грузовъ привѣ- шенныхъ къ его концамъ. Поэтому намъ надо изслѣдовать общій случай,- когда двѣ точки привѣса А и С, сохраняя свое симметрическое положе- ніе относительно ВСг, будутъ находиться нѣсколько ниже оси опоры В. Пусть будутъ линіи АВ и ВС (рис. 49) означать положеніе двухъ плечей коромысла пока еще не привѣшены къ нему тяжести, положимъ, что они равны между собой и длина каждаго изъ нихъ равна I, но что они не лежатъ на одной прямой линіи а уголъ, со- ставляемый каждымъ изъ нихъ съ горизонтальной линіей 1ѴШ означимъ чрезъ р. Предполо- жимъ центръ тяжести коромыс- ла въ точкѣ С}- на вертикальной линіи и на разстояніи равномъ V отъ точки В. Означимъ чрезъ « вѣсъ коромысла и представимъ себѣ что въ точкахъ А и С привѣшены двѣ тяжести Р и Р-|-^, тог- да вся эта система отклонится на уголъ « и займетъ положеніе А'ВС' СИ. Для того чтобы равновѣсіе имѣло мѣсто въ этомъ случаѣ, алгебраи- ческая сумма моментовъ тяжестей, приложенныхъ къ точкамъ А', С', СИ должна быть равна нулю, то есть, чтобы РХА'Р + “&'О = (Р+?)С^ или Р I СОЙ (« — Р)+ &> V йІПа (Р +/)) I СОЙ (а + (З), Р I (СОЙ а СОЙ @ + ЙІП а ЙІП р) ы V йІП а = (Р 4"Р) (.(сой « СОЙ (3 — ЙІП а ЙІП |3); а взявъ за скобки общихъ множителей йіп а и сой «, получимъ сой а [Р I сой р — (Р I сой р] + ЙІП « [Р I йіп р + (Р ^8ІП р + ы V] = о, а раскрывъ скобки, раздѣливъ все уравненіе на сой а и рѣшивъ его от- носительно іапд «, будемъ имѣть
ЛЕКЦІЯ 149 рі СО8 (3 Іап^ а 2 р 18іп рі зіп -р ы 1‘ ___________1_____________ —(З + ^аёср Уголъ а выражаетъ отклоненіе, которое получаетъ коромысло, когда на одной изъ чашекъ вѣсовъ находится избытокъ тяжести р, а какъ это от- клоненіе всегда очень мало, то іап§' а. можно принимать за мѣру чув- ствительности вѣсовъ. Но въ нашей Формулѣ второй членъ зависитъ отъ величины Р, то есть, это значитъ чувствительность вѣсовъ зависитъ отъ общаго вѣса обѣихъ чашекъ, и что она уменьшается, когда уменьшает- ся и эта тяжесть. Слѣдовательно, вѣсы утрачиваютъ часть своей чувстви- тельности, по мѣрѣ того какъ на нихъ кладутъ больше груза. Если двѣ точки А и С, вмѣсто прежняго своего положенія ниже точки В, будутъ находиться выше ея, то передѣлавъ предъидущее вы- численіе для этого случая, мы не найдемъ въ немъ никакой перемѣны кромѣ знака при (3 и Формула наша будетъ іапе- « =_______р1соа? ° — (2Р + р) /зіп Д -}- о> V При увеличеніи груза, уменьшается знаменатель въ этомъ выраженіи и, слѣдовательно, возрастаетъ чувствительность вѣсовъ. Изъ сказаннаго вид- но, что взаимное положеніе точки опоры и точекъ привѣса чашекъ ока- зываетъ весьма большое вліяніе на свойства вѣсовъ и что вообще чувстви- тельность ихъ измѣняется въ зависимости отъ большей или меньшей тя- жести взвѣшиваемыхъ тѣлъ. Но еслибы три точки А, В, С находились на одной и той же прямой линіи, то уголъ р обратился бы въ нуль и предъидущая Формула обратилась бы въ слѣдующую , Р1 іапе а = ~ Слѣдовательно, въ этомъ случаѣ чувствительность вѣсовъ оставалось бы постоянною и независимой отъ тяжестей Р, помѣщенныхъ на чашки. Именно этого условія и стараются достигнуть при устройствѣ вѣсовъ; когда оно выполнено, то чувствительность ихъ: 1) пропорціональна дли- нѣ I каждаго плеча рычага; 2) обратно пропорціональна вѣсу « коро- мысла; 3) обратно пропорціональна разстоянію V центра тяжести его отъ точки опоры. Поэтому, при устройствѣ вѣсовъ должно руководствоваться слѣдующими теоретическими правилами, если хотятъ, чтобы вѣсы были чувствительны И вѣрны: должно 1) оба плеча коромысла сдѣлать совершенно равными;
150 ВОСЬМАЯ 2) точки привѣса чашекъ и опоры коромысла расположить въ одной прямой линіи; 39 дать большую длину коромыслу; 4) уменьшить вѣсъ его на сколько возможно; 5) стараться помѣстить центръ тяжести коромысла ниже точки опоры и весьма близко къ ней. Описаніе точныхъ вѣсовъ.—Для удовлетворенія этимъ много- сложнымъ и тонкимъ условіямъ, коромысло для вѣсовъ вырѣзываютъ изъ плоской бронзовой или стальной линейки (рис. 50), дѣлаютъ его длиною Рис. 50. около 60 сантиметровъ и толщиною не боьѣе 5 миллиметровъ и даютъ ему Форму продолговатаго ромба, а для уменьшенія его вѣса, дѣлаютъ въ немъ широкія сквозныя прорѣзы, такъ что въ цѣлости остаются только края этого ромба, соединенные поперечными перекладинами. Такимъ обра- зомъ коромысло удовлетворяетъ двумъ условіямъ: легкости и достаточной длинѣ его, сохраняя притомъ во всей силѣ свойство оказывать большое сопротивленіе сгибанію. Не приступая еще къ расположенію осей привѣса, нужно сначала по- заботиться о хорошемъ ихъ устройствѣ, то есть нужно сдѣлать линейныя опоры, перпендикулярныя къ плоскости колебанія коромысла, которыя могли бы выдерживать давленіе взвѣшиваемыхъ тяжестей; притомъ не пе- ремѣщались бы во время колебаній коромысла, и были бы все таки до- вольно подвижны для того чтобы подчиняться движенію зависящему отъ тренія. Фортень придумалъ вдѣлывать въ коромысло призму изъ закален- ной стали Р, опирающуюся своимъ нижнимъ, совершенно прямоли-
ЛЕКЦІЯ. 151 нейнымъ ребромъ на полированную стальную или агатовую площадку. По- нятно, 'Что такая опора осуществляетъ нужную для этого математическую ось. На концахъ коромысла помѣщаются двѣ другія подобныя же призмы V, обращенныя кверху своимъ острымъ ребромъ и назначенныя для при- вѣса вѣсовыхъ чашекъ. Итакъ лезвія или, ребра этихъ трехъ призмъ представляютъ собою три оси опоры вѣсовъ. Ихъ надобно прочно устано- вить въ одной' плоскости, для того, чтобы можно было расположить на одной прямой линіи точки привѣса и точку опоры и при томъ отъ этихъ реберъ крайнихъ призмъ до ребра средней считаются тѣ разстоянія, ко- которыя должны быть равны для того, чтобы образовать равныя плеча ры- чага. Чаще всего строитель вѣсовъ старается разъ навсегда установить три сказанныя призмы, какъ это мы видимъ на вѣсахъ изображенныхъ на рисункѣ. Иногда достиженіе этого предоставляется искусству пользую- щагося вѣсами, и въ такомъ случаѣ двѣ призмы установлены неподвижно, а третья можетъ перемѣщаться посредствомъ двойной системы винтовъ, съ помощію которой можно ее приподнимать и опускать для приведенія въ одну плоскость съ двумя остальными или передвигать ее немного въ горизонтальномъ направленіи для уравненія плечъ рычага. Остается еще въ нашемъ коромыслѣ удовлетворить тому условію, чтобы центръ тяжести его находился ниже точки опоры весьма близко къ ней. Это важнѣйшее изъ всѣхъ условій, потому что отъ него зависитъ устойчивость и -чувствительность вѣсовъ и для соблюденія его придумали слѣдующій механизмъ. На верхнемъ краѣ коромысла, прямо надъ точкой его опоры, утвержденъ въ вертикальномъ положеніи винтъ съ весьма частыми нарѣзками, на который навертываются двѣ гайки Е и Е' въ видѣ пуговокъ. Нижняя толстая и тяжелая, а верхняя~маленькая' и легкая; при пониженіи и повышеніи этихъ гаекъ, центръ тяжести коромысла тоже по- нижается или повышается и притомъ довольно значительно, если дѣй- ствовать нижней тяжелой гайкой, или же медленно, если перемѣщать болѣе легкій противовѣсъ, то есть верхнюю гайку. Сдѣлавъ такимъ образомъ центръ тяжести коромысла подвижнымъ, мы имѣемъ возможность сообщать вѣсамъ большую или меньшую чувствительность по желанію. Механизмъ этотъ еще болѣе усовершенствованъ особымъ приспособленіемъ его. Въ одной изъ сказанныхъ пуговокъ просверлено отверзтіе въ сторонѣ отъ центра, такъ что, поворачивая пуговку, мы вмѣстѣ съ тѣмъ перемѣщаемъ центръ тяжести немного въ сторону и располагаемъ его съ точностью въ вер-
152 ВОСЬМАЯ тикальной плоскости, проходящей чрезъ ребро, служащее опорою коро- мыслу, при горизонтальномъ положеніи этого послѣдняго. Для того, чтобы возможно было замѣчать когда коромысло приходить точно въ горизонтальное положеніе, къ нему придѣлывается указатель 9 (рис. 51), состоящій изъ длинной стальной стрѣлки, которая, утверждаясь Рис. 51. на срединѣ коромысла, опускается свободнымъ концомъ почти до основа- нія подставки вѣсовъ, и тамъ совершаетъ свои колебанія передъ пластин- кой изъ слоновой кости, раздѣленной на равныя части. Когда на вѣсы ничего не положено, то посредствомъ обращенія уравнительныхъ вин- товъ, приводятъ коромысло въ такое положеніе, чтобы стрѣлка указывала на нуль дѣленія. Это дѣленіе есть точка исхода при колебаніяхъ стрѣлки и лишь только коромысло отклонится къ своему прежнему положенію, то и стрѣлка подвинется передъ раздѣленной пластинкой. Понятно, что при большой длинѣ стрѣлки, она обнаруживаетъ даже самыя малыя движенія коромысла. Намъ остается сказать какъ устанавливаютъ вѣсы. Основаніе ихъ со- ставляетъ чугунная ножка ЬЫМ, опирающаяся на уравнительные винты V и V'. На срединѣ этой ножки утвержденъ латунный столбикъ ВС или подпора вѣсовъ, а на вершинѣ его находится стальная плоскость, слу-
ЛЕКЦІЯ. 153 жащая опорой для ребра средней призмы Е. Если бы эта призма посто- янно такъ поддерживала коромысло, то скоро бы притупилась и вѣсы, кромѣ происходящей отъ того весьма скорой порчи, еще нельзя было бы и переносить. Для - устраненія этихъ неудобствъ, на столбѣ вѣсовъ утверждена особая подпорка въ видѣ рзавилины Ш<Т, плеча которой об- хватываютъ коромысло. Развилину эту можно поднимать и опускать по- средствомъ скрытой въ колоннѣ системы зубчатки съ шестерней, приводи- мой въ движеніе помощію наружной пуговки О. При обращеніи этой по- слѣдней, развилина приподнимается, подхватываетъ коромысло и удержи- ваетъ его неподвижно на своихъ плечахъ. При обращеніи пуговки въ обратную сторону, развилина понижается, медленно опускаетъ ребро приз- мы на стальную плоскость и при этомъ оставляетъ коромысло подчиняться дѣйствію его собственной тажести. Сверхъ того, такъ какъ взвѣшиваніе есть всегда дѣйствіе требующее большой тщательности въ исполненіи, то для устраненія причинъ къ погрѣшностямъ, вѣсы помѣщаютъ въ стеклян- ный Футляръ опирающійся на ихъ ножку. Его отворяютъ только для того, чтобы положить на вѣсы или взять обратно съ нихъ взвѣшиваемые пред- меты и снова запираютъ, производя взвѣшиваніе. Такимъ образомъ устра- няются: теченіе воздуха, дѣйствіе влажности на взвѣшиваемое тѣло и въ тоже время предохраняется отъ всякой причины порчи и самый инстру- ментъ, который всегда долженъ быть готовъ для употребленія. На на- шемъ рисункѣ не сдѣланы передняя стѣнка и полъ этого Футляра, для того чтобы удобнѣе было видѣть всѣ части прибора. Способъ двойнаго взвѣшиванія. — Мы видѣли съ какой точ- ностью при устройствѣ вѣсовъ слѣдуютъ предписаніямъ теоріи и какія при этомъ употребляются остроумныя механическія приноровленія. Но надо хорошо знать, что не всѣ эти предосторожности одинаково необхо- димы и что испытатель всегда долженъ имѣть въ виду вознаградить влі- яніе на его опыты несовершенствъ, какія заключаются или могутъ быть въ устройствѣ употребляемаго имъ прибора. Одно изъ самыхъ безъ- условныхъ требованій, которыя должны быть выполнены, обстоятельство дѣлающее вѣсы вѣрными, есть равенство плечей коромысла. Но такъ какъ невозможно выполнить его въ строгомъ смыслѣ, то надо знать какъ можно обойтись безъ него. Для этого служитъ способъ двойнаго взвѣшиванія придуманный Бордой и состоящій въ слѣдующемъ. Кладутъ испытуемое тѣло на одну изъ чашекъ и уравновѣшиваютъ его весьма точно, насыпая на другую чашку свинцовыхъ зеренъ. Потомъ снимаютъ тѣло и замѣня- ютъ его гирьками, которыми опять съ точностью уравновѣшиваютъ грузъ
154 ВОСЬМАЯ другой чашки. Очевидно, что вѣсъ гирекъ совершенно замѣнившихъ испытуемое тѣло на той же чашкѣ, долженъ быть равенъ вѣсу этого тѣ- ла, независимо отъ того равной ли или не равной длины плечи коро- мысла. Поэтому нѣтъ большой необходимости въ вѣрности вѣсовъ; доста- точно, если они будутъ только чувствительны. Теперь намъ надо дополнить нѣкоторыми замѣчаніями то, что мы уже сказали выше объ условіяхъ, имѣющихъ цѣлію увеличить чувстви- тельность вѣсовъ. Мы видѣли, что для этого придаютъ большую длину коромыслу, когда дѣлаютъ въ немъ вырѣзки для уменьшенія его вѣса. Можно, впасть въ крайность, исполняя эти предосторожности, вообще хо- рошія сами по себѣ, напр; уменьшивъ слишкомъ несгибаемость коромысла, что составитъ важное неудобство. Тогда оно отъ дѣйствія взвѣшиваемыхъ тяжестей можетъ подвергаться сгибанію, которое весьма трудно измѣрить и невозможно предъупредить. Тогда призмы на оконечностяхъ коромысла понижаются, точки привѣса и опоры перестаютъ находиться на одной прямой, центръ тяжести понижается и чувствительность вѣсовъ умень- шается вмѣстѣ съ увеличеніемъ взвѣшиваемой тяжести. Такое измѣненіе замѣчается во всѣхъ вѣсахъ, но къ счастью легко вознаградить его. Если хотятъ сначала взвѣсить очень маленькія тѣла, то начинаютъ съ того, что повышаютъ обѣ гайки на коромыслѣ, отвертывая ихъ до тѣхъ поръ, пока получатъ безразличное равновѣсіе, потомъ постепенно пони- жаютъ одну изъ этихъ гаекъ, завертывая ее, до того момента, когда вѣсы начнутъ получать устойчивое равновѣсіе и такимъ образомъ имъ сооб- щается наибольшая чувствительность, какая . возможна въ этомъ случаѣ. Если потомъ пожелаютъ взвѣсить, напримѣръ, 2 килограмма, то кладутъ на чашки приблизительно этотъ вѣсъ; тогда коромысло сдѣлается малопод- вижнымъ потому что будетъ сгибаться. Но ему можно возвратить его прежнюю чувствительность возвышая гайки до того момента, когда оно начнетъ терять свое устойчивое равновѣсіе и получать безразличное. Изъ сказаннаго видно, что передъ взвѣшиваніемъ, нужно предварительно знать съ какимъ вѣсомъ будемъ имѣть дѣло и напередъ установить чувствитель- ность прибора для этого вѣса. Подробности о необходимыхъ предосторожностяхъ для точнаго взвѣшиванія.—Взвѣшиваніе есть одно изъ самыхъ тонкихъ и самыхъ важныхъ дѣйствій въ Физикѣ и потому мы считаемъ нужнымъ сообщить нашимъ читателямъ нѣкоторыя подробности о способѣ хорошо выполнять его. Надо начать съ того, что поставить вѣсы прочно на тол- стый и неподвижный столъ вдали отъ шумныхъ улицъ, потомъ, помѣ-
ЛЕКЦІЯ. 155 стившись передъ вѣсами и опуская тихонько коромысло посредствомъ наружной головки, убѣдиться въ томъ, что стрѣлка останавливается' при нулѣ дѣленія/ а если она не приходитъ въ это положеніе, то надо побу- дить ее къ тому, дѣйствуя уравнительными винтами. Установивъ такимъ образомъ вѣсы, надо положить испытуемое тѣло на одну изъ чашекъ, и насыпать свинцовыхъ зеренъ на другую до приблизительнаго равновѣ- сія, чего не такъ легко достигнуть. Для полученія же точнаго уравновѣ- шенія, надо приподнять развилину, чтобы остановить коромысло, прекра- тить колебаніе чашекъ дотрогиваясь до нихъ рукою, замереть стеклянный ящикъ, снова опустить, но весьма медленно, коромысло и наблюдать за стрѣлкой которая, въ это время будетъ медленно колебаться вправо и влѣ- во отъ нуля дѣленія. Наблюдаютъ четыре или пять послѣдовательныхъ колебаній и если онѣ симметричны, то взвѣшиваніе исполнено хорошо, если же нѣтъ, то нужно осторожно снять съ вѣсовъ одно свинцовое зер- нышко посредствомъ щипчиковъ и снова наблюдать колебанія стрѣлки. Но легко можетъ случиться, что прибавляя одно зерно къ весьма малому недовѣсу, мы его сдѣлаемъ излишнимъ. Въ такомъ случаѣ надо употре- бить или болѣе мелкія зерна или маленькія кусочки бумаги или даже песчинки; слѣдуетъ повторить то же дѣйствіе съ зернами болѣе и болѣе мелкими, пока, наконецъ, колебанія стрѣлки сдѣлаются строго симметрич- ными относительно нуля дѣленій. Тогда надо снять съ чашки испытуемое тѣло, замѣнить его разновѣ- сами, поступая при этомъ точно также какъ съ зернами груза. Легко за- мѣтить, напримѣръ, что искомый вѣсъ-заключается между п и да-|- 1 грам- мами и тогда нужно прибавлять къ вѣсу п тѣ или другія долиграмма. Въ коробкахъ съ разновѣсомъ заключается обыкновенно 9 дециграммовъ вѣсу въ четырехъ гирькахъ, одной въ 5 дециграммовъ, другой въ 2 и двухъ по одному дециграмму; соединяя эти гирьки вмѣстѣ въ различныхъ комбинаціяхъ, можно составить вѣсъ въ 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 дециграм- мовъ. Сначала испытываютъ эти различные вѣсы, начавъ съ самаго боль- шаго и, положимъ, нашли, что искомый вѣсъ заключается между двумя послѣдовательными числами дециграммовъ, напримѣръ, между 9 и 8; слѣ- довательно, взвѣшиваніе вѣрно тогда до 1 дециграмма. Тогда переходятъ къ сантиграммамъ и поступаютъ съ ними точно также. Наконецъ производятъ тоже дѣйствіе съ миллиграммами, наблюдая при этомъ тѣмъ болѣе осто- рожности, чѣмъ мельче дѣленія вѣса, съ которыми мы имѣемъ дѣло. Способъ приготовленія разновѣса.—Нельзя имѣть полнаго до- вѣрія къ точности вѣса мелкихъ дѣленій, наприм. долей грамма въ раз-
156 ВОСЬМАЯ новѣсѣ, находящемся въ продажѣ, и такъ какъ всегда легко приготовить его, то лучше довѣряться самому себѣ. Вотъ какъ можно приготовить дѣленія разновѣса. Выбираютъ тонкую платиновую проволоку, пропущен- ную нѣсколько разъ чрезъ одно и тоже отверзтіе волочильни; каждая часть ея длиною въ 1 метръ вѣситъ, напримѣръ около одного грамма. Отрѣ- завъ часть этой проволоки, которая бы вѣсила немного болѣе грамма, обтачиваютъ ея конецъ напилкомъ до тѣхъ поръ, пока она будетъ вѣсить ровно 1 граммъ. Потомъ ее выпрямляютъ, растянувъ въ прямолинейномъ жолобкѣ, чтобы въ точности вымѣрить ея длину, а какъ каждая десятая доля длины должна вѣсить 1 дециграммъ, то и разрѣзаютъ проволоку па части, которыя бы равнялись 1, 2, 5 десятымъ всей длины; части эти будутъ заключать въ себѣ, 1, 2, 5 дециграммовъ вѣсу. Остается еще пос- лѣдняя часть проволоки вѣсомъ въ 1 дециграммъ. Ее пропускаютъ чрезъ другую волочильню съ болѣе мелкими отверзтіями и вытягиваютъ, на примѣръ, до длины около 1 метра. Съ этой проволокой поступаютъ точно также какъ и съ прежней, для раздѣленія ея на сантиграммы. Продолжа- ютъ то же дѣйствіе и для приготовленія милигграммовъ. Способъ этотъ столько же точенъ какъ и простъ. Наконецъ можно согнуть полученныя части проволокъ и сообщить имъ Форму буквъ или цифръ, которыя бы указывали на ихъ вѣсъ. Измѣненіе тяжести тѣлъ.—Вѣсъ всякаго тѣла не постояненъ при извѣстныхъ условіяхъ: онъ увеличивается при удаленіи тѣла отъ экватора и приближеніи его къ полосу и наоборотъ, и также уменьшается при возвышеніи надъ поверхностью земли, притомъ въ такомъ же отноше- Р ніи, какъ и ускорительная сила д, но такъ, что масса — остается посто- янною величиною. Такъ какъ это измѣненіе вѣса одинаково для всѣхъ тѣлъ, то взвѣшиваніе тѣла на вѣсахъ даетъ всегда одинакій результатъ, въ какой бы широтѣ или возвышеніи надъ землей мы не производили это взвѣшиваніе, то есть, что число граммовъ уравновѣшивающее испы- туемое тѣло всегда остается одно и тоже, но только самый граммъ или вѣсъ кубическаго сантиметра воды не постояненъ и измѣняется нѣсколько, смотря по мѣсту гдѣ находится. А для того, чтобы сдѣлать граммъ еди- ницей совершенно постоянной, надо опредѣлить его вѣсомъ одного куби- ческаго сантиметра воды при температурѣ 4° ц. подъ параллелью 45° широты, то есть почти въ широтѣ Парижа, и притомъ при уровнѣ моря. Поэтому истинный вѣсъ кубическаго сантиметра воды въ разныхъ широ-
ЛЕКЦІЯ. 157 тахъ и возвышеніяхъ надъ землей, измѣняется, подобно ускорительной силѣ д, по выведенной нами Формулѣ, и мы будемъ имѣть р — (1 — 0,002552. сое 21) Г 1 — • X АѴ / Удѣльный вѣсъ.—Вѣсъ однороднаго вещества измѣняется пропор- ціонально его объему. Можно это выразить такъ, Р = Ѵр Ц =р, гдѣ_р есть то, что называется удѣльнымъ вѣсомъ тѣла. Это есть вѣсъ его при объемѣ равномъ единицѣ; онъ постояненъ для одного и того же вещества и при той же температурѣ, но различенъ для разныхъ тѣлъ. Онъ состав- ляетъ одинъ изъ признаковъ характеризующихъ различныя тѣла, изучае- мыя въ химіи, и потому его надо опредѣлять для каждаго тѣла. Но такъ какъ удѣльный вѣсъ обусловливается опредѣленнымъ объемомъ, то онъ измѣняется вмѣстѣ съ величиной единицъ, избранныхъ, для измѣ- ренія вѣса и объема и поэтому различенъ въ разныхъ странахъ. Для то- го чтобы избѣжать этихъ различій, сравниваютъ удѣльный вѣсъ тѣлъ, при одной и той же единицѣ объема, съ удѣльнымъ вѣсомъ воды при 4° Ц., и такимъ образомъ получатся для равнаго объема какого нибудь тѣла.......Р = Ѵр, воды ......................Р' = Ѵр', гдѣ ы означаетъ отношеніе удѣльнаго вѣса даннаго тѣла къ такому же вѣсу воды при температурѣ 4° Ц.; оно составляетъ относительный удѣль- ный вѣсъ даннаго тѣла. Для полученія его нужно найти отношеніе между РиР', то есть между вѣсомъ какого нибудь объема даннаго тѣла и вѣ- сомъ равнаго ему объема воды при температурѣ 4° Ц. Отношеніе это не- зависитъ отъ избранныхъ единицъ вѣса и объема разныхъ странъ. Далѣе у насъ будетъ Р = Р'« = Ѵр' ы, т. е. что вѣсъ даннаго тѣла равенъ произведенію его объема V на его относительный удѣльный вѣсъ и на вѣсъ р' воды въ объемѣ одной еди- ницы, при температурѣ 4° Ц. Во Франціи за единицу вѣса принятъ вѣсъ 1 кубическаго сантиметра воды при 4° Ц., т. е, вѣсъ р9 единицы объема воды. Поэтому наше урав- неніе, въ которомъ р9 равно единицѣ, обратится въ Р = Ѵы. Но это упрощеніе' Формулы имѣетъ мѣсто только въ томъ случаѣ, когда
158 ВОСЬМАЯ употребляются помянутыя единицы мѣры и когда удѣльный вѣсъ опредѣ- ляется относительно воды. Такъ напримѣръ, когда дѣло идетъ о газахъ и парахъ, то уже не вода, а воздухъ служитъ тѣмъ тѣломъ, къ которому относятъ удѣльный вѣсъ. Тогда р* означаетъ вѣсъ 1,293 грамма единицы объема, то есть одного литра воздуха при температурѣ 0° и давленіи атмосферы въ 0,760 метра и, если мы хотимъ получить вѣсъ объема V какого нибудь газа, удѣльный вѣсъ котораго ы извѣстенъ, то будемъ имѣть Р = Ѵ« (1,293 грам.). Плотность. — Мы опредѣлили уже что называется массой тѣла. Она измѣряется отношеніемъ дѣйствующихъ на нее силъ къ ускорительной силѣ, сообщаемой ей этими силами. Но масса измѣняется для одного и того же вещества пропорціонально его объему, такъ что т = Ѵсі, гдѣ <7 называется плотностью, которая, слѣдовательно, есть масса приня- той единицы объема. Можно сравнивать массы различныхъ тѣлъ съ массой воды одинаковаго объема. Если да/, V, сѴ будутъ данныя относительно воды при 4° Ц., то мы получимъ т ~ УЛ, т' = ѴсІ', т _______ й __ т‘ Л‘ Это отношеніе различныхъ массъ при равныхъ объемахъ есть относи- тельная плотность, принимая плотность воды за единицу. Но мы имѣемъ Р , Р' ' т — — > т' — — ’ д д откуда получимъ т ___Р » изъ чего слѣдуетъ, что относительная плотность выражается тѣмъ же числомъ, что и относительный удѣльный вѣсъ; но плотность и удѣльный вѣсъ все-таки суть различныя вещи и единицы служащія тому и другому для сравненія, тоже различны: одно изъ нихъ есть вѣсъ воды при еди- ницѣ объема, а другая — масса воды при единицѣ объема. Въ обыкновенномъ языкѣ, часто смѣшиваютъ ' слова плотность и удѣль- ный вѣсъ и разумѣютъ подъ ними, или удѣльный вѣсъ р, или удѣльный вѣсъ, отнесенный къ водѣ, ы, или плотность й, или относительную плотность
ЛЕКЦІЯ. 159 1 Отъ этого происходятъ частыя смѣшенія понятій, для избѣжанія кото- рыхъ надо помнить высказанныя нами замѣчанія (*). ЛИТЕРАТУРА ПРЕДЪИДУЩИХЪ СТАТЕЙ. Большая часть разсмотрѣнныхъ нами ученій такъ много изслѣдована и изло- жена въ столькихъ превосходныхъ сочиненіяхъ, что указаніе оригинальныхъ источ- никовъ завлекало бы насъ слишкомъ далеко, да притомъ и имѣло бы интересъ чисто историческій. Поэтому-то мы и отсылаемъ читателя, желающаго ближе по- знакомиться съ отдѣльными отраслями этого, отдѣла, къ многимъ превосходнымъ руководствамъ механики, изъ которыхъ назовемъ слѣдующія: 1. Вгіх, А. Р. ЬеЬгЬисЬ сіег йіаіік Гезсег Кбгрег. Вегііп. 184-9. 2. Вгоск, О. Р ЬеЬгЬисЬ сіег МесЬапік. Вегііп ипсі СЬгізііапіа. 1854. 3. Вигд, А. Сотрепбіиш сіег рориіагеп МесЬапік ипсі МазсЬіпепІеЬге. 2. АиП. \Ѵіеп, 184-9. 4. Веіаипау, СИ. Соигз сіе Мёсапідие гаііопеііе. Рагіз. 1863. 5. Викатеі. ЬеЬгЬисЬ сіег ЯпаІуіізсЬеп МесЬапік. ПеиізсЬ ѵоп Пг. О. 8сЫб- тііск. 2 АиЯ. Ьеіргі§, 1858. 6. /оііу, РІі. Ргіпсіріеп сіег МесЬапік. 8сиН§агІ. 1852. 7. МбЫиз, А. Р. ЬеЬгЬисЬ сіег 8іаіік. Ьеіргі^, 1837. 8. Роітоі, Ь. Еіетепіз сіе зіаіідие. 9 ёсі. Рагіз. 184-8. 9. Рошои, 8. В. Тгаіѣё сіе Мёсапідие. 2 ёсі. Рагіз. 1833. 10. ВесІіепЬаскег, Ргіпсіріеп сіег МесЬапік ипсі дез МазсЬіпепЬаиез. Мапп- Ьеіт. 1852. 11. Риіііеп, М. РгоЫётез сіе Мёсапідие гаііопеііе. Рагіз. 1855. 12. Вейсбаха, Юл. Теоретическая и практическая Механика, перев. съ 3-го нѣмец. изд. Н. Соколова и П. Усова. 3 томы. 1861—3 г. Изд. М. Вольфэ. Ради историческаго интереса, мы приведемъ еще имена авторовъ, открывшихъ важнѣйшіе законы и также указанія на источники, въ которыхъ изложены эти за- коны. Прибавимъ сюда еще указаніе на литературу новѣйшихъ открытій, преиму- щественно ученія о поддержаніи своего положенія плоскости колебанія и вращенія, ученія, привлекшаго, благодаря опыту Фуко, всеобщее на себя вниманіе. Кромѣ (*) Делонэ въ своей книгѣ Тгаііё бе Мёсапідие таііопеііе на стр. 262 предлагаетъ сохранить слово удѣльный вѣсъ для выраженія вѣса р единицы объема и принять по- добное ему выраженіе удѣльная, масса для означенія массы й единицы объема; и, какъ ТО, что мы назвали относительной удѣльной плотностью и такимъ же вѣсомъ, суть Равныя между собою отношенія, то лучше присвоимъ имъ общее названіе плотности. Надо желать, чтобы былп приняты эти опредѣленія, которыя устранятъ всякое смѣше- ніе понятій.
160 ВОСЬМАЯ того прибавимъ еще нѣсколько словъ объ опредѣленіи ускоренія и плотности земли. Законы паденія тѣлъ открыты Галилеемъ и изложены въ его: «Сізсогзі е ёішозігахіопі шаІешаІісЬе іпіогпо а ёпе пноѵе зсіепхе аЫепепІі аііа тесапіса её і тоѵітепіі Іосаіі. Ьеіёеп, 1638.» Общіе выводы изъ этихъ законовъ сдѣланы были прежде другихъ Исаакомъ Ньютономъ. Онъ положилъ ихъ въ основаніе своего ученія о силахъ и движеніи въ сочиненіи своемъ: «РЬіІоеорЬіае паіпгаііз ргіпсіріа шаіЬешаІіса. Ьопё., 1687.» Три закона, приложенные имъ въ этомъ сочиненіи, суть: 1) Законъ инерціи (самонедѣятелыюсти или косности), по которому только внѣш- няя сила можетъ измѣнить состоянія движенія. 2) Законъ пропорціональности между перемѣной движенія и дѣйствующей си- лой, производящей эту перемѣну, и 3) Упомянутый нами выше законъ равенства дѣйствія и противодѣйствія. Выраженія Мѵ = Рі и '/г Мѵ2 = Рі, выведенныя нами изъ уравненія для дви- женія отъ дѣйствія постоянной силы, открыты были: первое Декартомъ въ его Ргіпсірііз рЫІозорЬіае, причемъ произведеніе Мѵ принято имъ было за мѣру дви- гающей силы; второе — Лейбницемъ, который, съ своей стороны, полагалъ что, мѣра двигающей силы, есть произведеніе Мѵ2 и противопоставилъ его Декар- товой мѣрѣ въ своемъ сочиненіи «Вгеѵіз ёешопзігаііо еггогіз тетогаЬіІіз Сагіезіі еі аііогшп. Ас(а егшіііогит. Ьеірхід, 1686, Мйгх.» Вслѣдствіе этого возникъ длинный споръ, веденный преимущественно въ Асііз егшіііогшп. Въ 174-3 году д’Аламберъ доказалъ въ своемъ сочиненіи Тгаііё бе ёупашідне, что весь споръ есть только игра словъ, и разрѣшается легко при болѣе точныхъ опредѣленіяхъ. Законы о моментахъ равновѣсія и центрѣ тяжести, даны еще Архимедомъ: «АгскітеЛеі ѵоп Зугаспз ѵогЬапёепе ЛѴегке. Апз Зет бггіесЬізсЬеп ІіЬегзеІгІ ппсі тіі егіаніегпёеп нп<1 кгііізсйеп Аптегкнп§еп ѵегзеЬеп ѵоп Егпзі А’іххе. 8(,іа1- зппё, 1821.» Теоретическія доказательства законовъ рычага даны Декартомъ и Ньютономъ; первымъ въ «Тгасіаіпз сіе шесЬапіса» въ «орпзспііз розіитіз. Атзіеііоё. 1701. послѣдній въ «Ргіпсірііз ІіЬег I; Ье§ез тоіпз, Іех III.» Теорія вѣсовъ развита совершенно Леонардомъ Эйлеромъ въ Соттепіагіеп сіег КаізегІісЬеп Акаёетіе ёег ѴѴіззепзсЬаІІеп гіі РеІегеЬпг§. Тош. X. Законы маятни выведены отчасти еще Галилеемъ, именно, что маятники равной длины имѣютъ одинаковое время колебанія, хотя бы ихъ вѣсъ и не былъ одинаковъ, и что времена колебаній неравныхъ маятниковъ пропорціональны квад- ратнымъ корнямъ изъ ихъ длины. Затѣмъ эту теорію болѣе развилъ Гюйгенсъ въ своемъ сочиненіи: «Ного1о§інш Озсіііаіогінт зіѵе ёе тоін решіиіогит асі 1юго1о§іа аріаіо ёетоп- зігаііопез §еотеІгісае. Рагіз. 1673.» Онъ прибавилъ законы, что только безконечно малыя колебанія совершаются въ одинаковыя времена, и что продолжительность одного качанія относится къ вре- мени свободнаго паденія тѣла, точно также, какъ двойная длина относится къ от- ношенію окружности къ діаметру; т. е. і: 2 \/± = я : I, откуда выводится продолжительность одного колебанія.
ЛЕКЦІЯ. 161 Различіе между простымъ и сложнымъ маятниками, и приведеніе законовъ послѣдняго къ законамъ перваго, какъ это изложено нами, найдено также Гюйгенсомъ- Первое опредѣленіе д сдѣлано Гюйгенсомъ; онъ нашелъ д = 15 Фут. 1 дюйму. Приведенный нами пріемъ опредѣленія д Борды, находится въ »Вазе Ни йузіёше Мёігідие еіс. гес!і§ёе раг М. ВеІатЬге. Тоте III. ра§. 337. Рагіз, 1810.» а съ принятіемъ въ разсчетъ вѣса нити, въ соч.: »Вгоі еі Агадо; Кеспеіі сГоЬзегѵаІіопз ^ёобёзідиез, азігопотідиез еі рЬузідиез ехёсиіёез раг Огсіге сіи Вигеаи сіез Ьопаріисіез. Рагіз. 1821.» Второй пріемъ предложенъ Боненбергеромъ въ его астрономіи. ТйЬіп§еп, 1811. Опытъ капит. Катера описалъ въ • РЬіІозорЬісаІ Ігапзасііопз оГ іЬе Коуаі йосіеіу о Г Ьопсіоп Гог ІЬе уеаг 1818, р. 33 и слѣд.» Законы центробѣжной силы развиты Гюйгенсомъ въ одной статьѣ его, а съ подробными доказательствами находятся они въ Орпзснііз розіитіз, Ьеусіеп, 1703, въ его статьѣ «бе ѵі зепІгіГи§а, р. 401 и слѣд. Боненбергеръ обратилъ вниманіе на законъ сохраненія плоскости вращенія своимъ приборомъ. СіІЬегІ, Аппаіеп, Всі. 60, р. 60. Въ послѣднее время литература этого предмета чрезвычайно увеличилась, съ тѣхъ поръ какъ Фуко предложилъ это свойство вращающихся тѣлъ для Доказа- тельства вращенія земли около оси. Объ этомъ предметѣ кромѣ курсовъ механики въ статьѣ о свободныхъ осяхъ, можно найти между прочимъ еще въ Роіпіоі: ТЬёогіе попѵеііе сіе Іа гоіаііоп сіез согрз. ЬіопѵіПе. ІоптпаІ сіез таіЬё- таііднез 1851. (Роіпзоі, пене ТЬеогіе сіег БгеЬип§ сіег Кбгрег, ІіЬегзеІхі ѵоп 8сЬе11- ЬасГі. Вегіт, 1851.) Ь. Рогісаиіі: 8иг ппе попѵеііе сіетопзігаііоп ехрегітепіаіе сіи тоиѵетепі бе Іа Іегге Гопсіёе зиг Іа йхііё сіи ріап бе гоіаііоп. Сотріез-Вепсіиз ЬеЬсІотесІаігез сіез зёапсез бе ГАсасІётіе сіез зсіепсез. Рагіз. XXXV. р. 421, тоже въ 424, 602. Рег&оп: Ь’аррагеіі бе ВоЬпепЬег§ег реиі зегѵіг а сопзіаіёг Іа гоіаііоп бе Іа •Іегге. С. К. XXXV р. 417, 549 и 753: 7. Рійскег: ПеЬег сІіеЕеззеГзсЬе КоІаІіопзтазсЬіпе. Репс1огй’’з Аппаіеп.Всі. 90. 7. С. РоддепііогІІ: Х’осЬ еіп ХѴ'огѣ ііЬег сііе РеззеІ’зсЬе КоІаІіопзтазсЬіпе. Ро§. Апп. Всі. 90 р. 348. (Приведенное нами объясненіе.) (г. Мадпиі: ѴегЬеззегІе Сопзігисііоп еіпез Аррагаіез хиг ЕгіаиІегип§ ѵег- зсЬіесІепег ЕгзсЬеіпип§еп Ьеі гоіігепбеп Кбгрегп. Репб. Аппаі. В6. 91. Опытъ Фуко былъ сообщенъ въ первый разъ въ сочиненіи: Ь. Роисаиіі: Петопзігаііоп рЬузідие би тоиѵетепі бе гоіаііоп бе Іа Іегге аи тоуеп бе репбиіе. С. К. XXXII. р. 135 и также въ Репб. Апп. ВЗ. 82. Съ тѣхъ поръ появилось множество сочиненій, частью описывающихъ повто- ренія опыта, частью служащихъ къ опредѣленію закона, по которому измѣняется время полнаго оборота въ различныхъ широтахъ. Приведенный нами выводъ въ Магідпас АгсЬіѵез сіез зсіепсез рЬузідие еі паіигеііез. Тоте XVII р. 116. Полный перечень литературы-объ этомъ и предъидущихъ предметахъ нахо- дится въ ВегісЬіеп ііЬег біе ЕогІзсЬгіНе сіег РЬузік. Паг§езІе1П ѵоп Зет рЬузіка- Іівсііеп СезеІІзсЬаГі хи Вегііп іп беи ІаЬгеп 1850 по 1856 и т. д. въ отдѣлахъ о механикѣ: опытъ Фуко. Ученія о всеобщемъ тяготѣніи, развито Ньютономъ въ упомянутомъ сочиненіи Ргіпсіріа еіс. Физика. I. 11
162 ВОСЬМАЯ ЛЕКЦІЯ. Три закона Кеплера, на которыхъ Ньютонъ основывалъ свои выводы, помѣ- щены первые два въ сочиненіи Кеплера Азігопотіа поѵа зіѵе рЬузіса соеіезііз ігасІіЬа соттепіагііз сіе тоіи зіеііае Магііз. Рга§ае 1609; третій, найденный имъ 15 мая 1618 года, въ Ерііотае азігопотіае Сорегпісапае. Ьіпсеі 1618. Различіе величины д на различныхъ мѣстахъ земли подтверждалъ еще Нью- тонъ, а Французскій астрономъ Влскег показалъ въ 1670 году, что секундный маят- никъ въ Каэннѣ подъ 5° сѣв. шир. на 1, 25 линіи короче чѣмъ въ Парижѣ. Точ- ныя измѣренія д описанныя въ беЫег’з РЬузікаІізсЬез ХѴОгІегЬисЬ. 2 АиПа§е, произ- ведены Брандесомъ, Мунке, ПФаФОМъ, Литровымъ, Гмелиномъ, Горнеромъ. Всі. III, Статья Егсіе. р. 891. и слѣд. Опыты Кавендиша для опредѣленія плотности земли помѣщены въ РЬіІозорЬісаІ Тгапзасііопз. ЬХХХѴІІІ, также въ СііЬегі Аппаіеп. Всі. II. Веіск. ѴегзисЬе йЬег сііе тіШеге ПісЬіі^кеіі сіег Егсіе тіі сіег ВгеЬтѵа§е. ЕгеіЬег§. 1838. Ваііу. РЬіІозорЬісаІ Тгапзасі. оГНоуаі 8ос. Гог ѣЬе уеаг 184-3. Веіск. АЬЬапс11ип§еп сіег таіЬетаіізсЬ-рЬузік. Кіаззе сіег к§1. зЬсЬзізсЬеп Се- зеІізсЬаГі сіег \Ѵіз8епзсЬаГіеп. I Всі. 1852. Махкеіупе и Вгііоп, РЬііозорЬ. ТгапзаСЬ. 1775 и 1778. Аігу РЬііозорЬ. Тгапвасі. 1856. Объясненіе прилива и отлива дано Ньютономъ въ его Ргіпсірііз ріііі. паі. ІіЬ. I. ргор. 66 и ІіЬег III. ргор. 24. 36. 37. Вполнѣ изложено Лапласомъ въ Месапідие сёіёзіе Ііѵге IV и XIII. Объ этомъ можно найти въ СеЫег’з РЬузік. ‘ѴѴОіѣегЬисЬ. ВапсІ III. Статья «ЕЬЬе иші ЕІиіЬ.
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦІЯ. Упругость твердыхъ тѣлъ. Объ упругости вообще. — Случай вытягиванія. — Законы упругости обнаруживаемой при вытягиваніи.—Коеффиціентъ упругости.—Из- мѣненіе объема во время вытягиванія. — Опыты Канъяра де Натура.— Опыты Вертейма. — Кубическая сокращаемость. — Упругость при скручиваніи. — Законы упругости при скручиваніи. — Способъ колеба- ній. — Барометръ и манометръ Бурдона. — Предѣлы упругости. Объ упругости вообще. — Всѣ тѣла твердыя, жидкія и газооб- разныя суть собранія сложенныхъ вмѣстѣ частицъ. По чрезвычайно ма- лому объему этихъ частицъ, онѣ ускользаютъ отъ всякаго способа измѣ- ренія.-Способъ или порядокъ ихъ группированія между собою намъ неиз- вѣстенъ, но, по всей вѣроятности, онѣ не соприкасаются другъ съ другомъ, а раздѣлены межчастичными промежутками, которые увеличиваются при нагрѣваніи тѣла и уменьшаются при его охлажденіи и сжиманіи извнѣ. Такъ какъ всѣ тѣла взаимно притягиваются, каковы бы ни были ихъ природа и разстоянія между ними, то надо предположить, что частицы, изъ которыхъ составлено вещество, оказываютъ другъ на друга взаимное дѣй- ствіе. Это дѣйствіе должно быть значительно, потому что частицы распо- ложены очень близко одна къ другой, и побуждаетъ ихъ еще болѣе сбли- жаться, увеличивая свое напряженіе по мѣрѣ того, какъ разстояніе между частицами уменьшается. Изъ этого слѣдуетъ, что частицы могли бы быть въ равновѣсіи только при непосредственномъ соприкосновеніи ихъ между собою и въ такомъ случаѣ скважность не могла бы существовать. Но мы видимъ въ природѣ противное и потому должны предположить существо- ваніе еще другой силы, производящей отталкиваніе, которое усиливается при уменьшеніи разстоянія, такъ что атомы, сблизившись между собою на 11*
164 ДЕВЯТАЯ извѣстныхъ разстояніяхъ, могутъ придти въ положеніе устойчиваго рав- новѣсія подъ вліяніемъ двухъ силъ, равныхъ и противоположныхъ, оста- ваясь все-таки на 'разстояніи другъ отъ друга. Мы не знаемъ особенностей притяженія между частицами: пропор- ціонально-ли оно массамъ, измѣняется-ли вмѣстѣ съ составомъ вещества, дѣйствуетъ-ли оно также обратно пропорціонально квадратамъ разстояній. Неизвѣстно также, каковы свойства и законы измѣненій той отталкива- ющей силы, которую мы себѣ представили; не имѣя возможности узнать причину этой силы, мы видимъ только необходимость предположить ея существованіе, для того, чтобы представить себѣ какимъ образомъ части- цы могутъ удерживаться между собою на разстояніи, при дѣйствіи про- тивоположныхъ силъ. Наконецъ очевидно, что внѣшнія дѣйствія измѣ- няютъ это равновѣсіе. Представимъ себѣ, напримѣръ, цилиндръ стоящій на неподвижной плоскости; можно разсматривать его какъ будто онъ образованъ изъ мно- жества расположенныхъ одни надъ другими горизонтальныхъ слоевъ, АВ, А'В' изъ частицъ (рис. 53}, раздѣленныхъ весьма малыми промежутками. Рис. 53. Положимъ на верхнее основаніе цилинрда АВ, весьма большую тяжесть. Она будетъ надавли- вать слой АВ на слой А'В', уменьшитъ раз- стояніе между ними и равновѣсіе будетъ нару- шено. Тогда отталкивающая сила сдѣлается больше притягательной и разность ихъ-возра- стетъ дотого, что сдѣлается наконецъ равною тяжести Р; она будетъ дѣйствовать снизу вверхъ на слой АВ, для уравновѣшенія тяжести Р, и сверху внизъ на слой А'В', который будетъ нахо- диться въ такихъ же обстоятельствахъ, какъ будто бы тяжесть находилась прямо на немъ. А'В' будетъ дѣйствовать затѣмъ на слѣдующій слой, какъ АВ дѣйствуетъ на А'В’, и такимъ об- разомъ давленіе тяжести будетъ передаваться отъ одного слоя къ другому до нижняго основанія цилиндра. Отъ этого произойдетъ сближеніе между слоями, равное для всѣхъ слоевъ и, слѣдовательно, уменьшеніе длины цилиндра, пропорціональное числу предполагаемыхъ слоевъ, то есть всей длинѣ его и сближеніе это воз- будитъ между каждыми двумя слоями, СВ и С'В', отталкивающую силу, равную наложенной сверху тяжести. Если вмѣсто сдавливаемаго тяжестью цилиндра мы возьмемъ для примѣра линейку, укрѣпленную однимъ концомъ
ЛЕКЦІЯ. 165 и вытягиваемую за другой конецъ, то разстоянія между сосѣдними слоями будутъ увеличиваться вмѣсто уменьшенія и равновѣсіе снова установится, когда избытокъ притягательной силы надъ отталкивающей сдѣлается равнымъ вѣсу, производящему растягиваніе линейки. Эти дѣйстія сжатьтя и вы- тягиванія цилиндра производятъ два наблюдаемыя явленія: во 1-хъ умень- шеніе или увеличеніе длины и во' 2-хъ противодѣйствіе, возбуждаемое между каждыми двумя слоями частицъ и равное силѣ давленія или вы- тягиванія. Но лишь только внѣшнее дѣйствіе прекращается, какъ частичныя си- лы, отъ которыхъ зависѣло первоначальное состояніе равновѣсія частицъ, стремятся снова привести атомы къ тому же положенію, въ которомъ они были при этомъ равновѣсіи. Такимъ образомъ проявляется общее свойство тѣлъ, называемое упругостью, и которое состоитъ въ стремленіи ихъ воз- становить свою первоначальную Форму, когда она испытала небольшое измѣненіе отъ дѣйствія посторонней силы и когда эта сила перестанетъ дѣйствовать ощутительнымъ образомъ. Этому свойству тѣла обязаны своей способностью производить звуча- щія колебанія, изученіемъ которыхъ занимается акустика; упругостью тѣлъ совершается передача силъ въ машинахъ; законами той же упругости должно руководствоваться при построеніяхъ различнаго рода для того, что- бы избѣжать сгибанія, испытываемаго матеріалами для этихъ построеній, и чтобы не перейти предѣла силъ, дѣйствія которыхъ онѣ могутъ выно- сить, не подвергаясь разрыву. Сверхъ того познаніе той же упругости тре- буетъ весьма труднаго изученія, потому что для него пользуются въ одно и то же время средствами и самаго тщательнаго опытнаго изслѣдованія и .са- мыхъ сложныхъ математическихъ теорій. Мы ограничимся относительно этого свойства тѣлъ только нѣкоторыми элементарными случаями и нѣко- торыми теоретическими результатами. Вытягиваніе. — Простѣйшій изъ всѣхъ вопросовъ касательно упру- гости тѣлъ относится къ тому случаю, когда твердый стержень нажи- мается или вытягивается тяжестью въ направленіи'его длины. Мы уви- димъ скоро, что сокращеніе, производимое въ тѣлѣ отъ сжиманія его Дѣй- ствіемъ тяжести сверху, равно вытягиванію его отъ дѣйствія той же тя- жести, привѣшенной къ нему снизу. Мы ограничимся здѣсь только изуче- ніемъ случаевъ вытягиванія и измѣреніемъ отношеній между удлинненіемъ вытягиваемыхъ тѣлъ и тяжестями производящими это дѣйствіе. Опыты производятся при пособіи весьма прочнаго желѣзнаго книса В, (рис. 54), вмазаннаго въ капитальную стѣну и подпертаго снизу распор-
166 ДЕВЯТАЯ кой. На-свободномъ концѣ книса вертикальная плоскость изъ закаленной стали съ продольными нарѣзками какъ у напилка. Къ ней прикладывается Рис. 5і. другая стальная пластинка съ такою же поверх- ностью и которую можно прижимать къ первой посредствомъ болтовъ С. Такимъ образомъ, эти двѣ пластинки составляютъ челюсти прочныхъ тисковъ, между которыми зажимаютъ посред- ствомъ винтовъ верхній конецъ стержня назна- ченнаго для вытягиванія. Стержень этотъ на- правляютъ вертикально и нижній конецъ его зажимаютъ въ тискахъ В, подобныхъ верхнимъ и на которыхъ привѣшиваютъ, посредствомъ крючка, большой и прочный дубовый ящикъ ЕЬШ, въ которомъ помѣщаютъ грузъ горизон- тальными рядами. Когда этотъ грузъ достаточ- но тяжелъ, то стержень чувствительно удлин- няется; по снятіи же груза, снова приходитъ въ свое первоначальное состояніе. Для того, чтобы измѣрить это удлинненіе стержня, нужно принять нѣкоторыя предосторожности. Если вдругъ накладывать грузъ въ привѣ- шенный ящикъ, ' то этимъ сообщаются всему прибору потрясенія, отъ которыхъ можетъ пор- ваться стержень, но должно избѣгать такого дѣйствія и для того ящикъ на нижней своей поверхности снабженъ тремя длинными подъем- ными винтами НН, которые опускаютъ до того, чтобы ящикъ опирался ими объ полъ. Затѣмъ накладываютъ въ ящикъ грузъ и потомъ повы- шаютъ винты мало по малу, чтобы тяжесть по- степенно начинала дѣйствовать на стержень. Это дѣлается постепенно и без^ потрясеній, причемъ надо предупредить еще одну погрѣшность, котбрую легко сдѣлать. Такъ какъ тонкіе стержни имѣютъ всегда непра- вильную кривизну, то первое на нихъ дѣйствіе тяжести служить къ вы- прямленію ихъ; дѣлаясь тогда прямолинейными, они кажутся вытянутыми. Поэтому начать опытъ надо съ того, что положить грузъ, достаточный только для выпрямленія стержня, и потомъ уже постепенно прибавлять
ЛЕКЦІЯ. 167 грузъ. Дѣйствіе только этого послѣдняго и будетъ измѣряться и его одного только и надо брать въ разсчетъ. Такъ какъ удлинненіе стержней отъ вытягиванія всегда очень маф, то измѣряютъ его всегда съ помощію катетометра, который для того по- мѣщаютъ передъ стержнемъ и устанавливаютъ на все время опыта; по- томъ отмѣчаютъ на двухъ концахъ стержня двѣ точки Т и Т' посред- ствомъ мелкой пилы или рѣзца. Какъ бы ни были тонки эти отмѣтки, все-таки онѣ увеличиваются при разсматриваніи ихъ чрезъ трубу и ка- жутся широкими. Поэтому надо всегда направить трубу на извѣстный край этихъ отмѣтокъ; а разстояніе между ними, измѣренное посредствомъ катетометра, покажетъ длину стержня въ каждую часть опыта. Законы упругости отъ вытягиванія. — I. Сдѣлавъ сказанное, мы можемъ сначала испытать, подтверждается ли на опытѣ выраженное нами теоретическое понятіе, что удлинненіе стержня отъ вытягиванія, про- порціонально его длинѣ. Для этого на стержнѣ проводятъ нѣсколько чер- точекъ на равныхъ разстояніяхъ одну отъ другой. Если ихъ разстоянія отъ начальной черточки будутъ 1, 2, 3, 4, при измѣреніи ихъ въ томъ случаѣ, когда на стержень дѣйствуетъ какая нибудь первоначальная тяжесть, то, при увеличеніи вытягивающаго груза, разстоянія эти обра- тятся въ 1 —|-е, 2 + 2е, 3 Зе...., слѣдовательно, удлинненія пропор- ціональны длинамъ стержней: II. Напередъ нельзя знать какъ измѣнятся удлинненія одного и того же стержня, при увеличеніи груза и только опытъ можетъ рѣшить этотъ вопросъ. Испытаемъ грузы Р, 2Р, ЗР,..., и найдемъ тогда удлинненія е, 2е, Зг,..., т. е. что они пропорціональны тяжестямъ. Этотъ выводъ имѣетъ особенную важность, потому что удлинненія стержня представля- ютъ собою суммы возрастанія разстояній различныхъ частичныхъ слоевъ и вытягивающая тяжесть равна притягательной силѣ, которая развивается между ними, когда онѣ удаляются другъ отъ друга; слѣдовательно, эта сила пропорціональна взаимному удаленію частицъ однѣхъ отъ другихъ. III. Выводъ, который можно предвидѣть, состоитъ въ томъ, что удлин- неніе должно быть обратно пропорціонально площади поперечнаго сѣченія стержня, потому что дѣйствіе тяжести распредѣляется равномѣрно на всѣ части этого сѣченія. Если это сѣченіе, оставаясь той же .величины, измѣнитъ только Форму, то дѣйствіе должно остаться то же самое; если оно удвоится, то дѣйствіе будетъ вдвое меньшее, потому что въ этомъ случаѣ будетъ совершенно то же условіе, какъ еслибы одинъ стержень превратился въ два равнаго съ нимъ разрѣза и на каждый изъ нихъ
168 ДЕВЯТАЯ дѣйствовала бы вдвое меньшая тяжесть. Опытъ подтверждаетъ это сообра- женіе и, слѣдовательно, удлинненіе стержня обратно пропорціонально площади его поперечнаго разрѣза. IV. Наконецъ, понятно, что разныя вещества, съ которыми произво- дится опытъ, не представляютъ одинаковой легкости удлинненія отъ вытя- гиванія, при равныхъ остальныхъ условіяхъ: одни вытягиваются больше, другія меньше. Каждое изъ нихъ имѣетъ своего коеффицгента удлинне- нія, который и представляетъ одну изъ постоянныхъ величинъ, характе- ризующихъ тѣло. Въ короткихъ словахъ, удлинненіе е: 1° пройорціонально длинѣ стер- жня; 2° вѣсу Р, который его тянетъ; 3° обратно пропорціонально сѣченію 8; 4° пропорціонально коеффиціенту С. Отсюда получится Формула изъ которой выводимъ Р 1« У-с і' и означая чрезъ р вѣсъ дѣйствующій на единицу поверхности разрѣза, и чрезъ я удлинненіе для единицы длины. Обыкновенно і- означаютъ чрезъ О и эта величина составляетъ то, с что называется, коеффгщіентомъ упругости-, и мы будемъ имѣть. Этотъ коеФФиціентъ упругости представляетъ вѣсъ, который, дѣйствуя на стержень при единицѣ его поперечнаго разрѣза и единицѣ длины, произведетъ удлинненіе «, равное также единицѣ, то есть онъ представ- ляетъ тотъ вѣсъ, который можетъ удвоить длину стержня при попереч- номъ разрѣзѣ его, равномъ единицѣ. Но это опредѣленіе не основывается на опытѣ, потому что нельзя, не разорвавъ стержня, вытянуть его до двойной длины. Въ приведенныхъ Формулахъ принимаются метръ и килограммъ за единицы длины и вѣса, а квадратный миллиметръ за единицу сѣченія. Вотъ таблица коеФФИціентовъ упругости, по Вертейму.
ЛЕКЦІЯ. 169 Коеффиціенты упругости металловъ, отнесенные къ различнымъ тем- пературамъ. отъ 15° до 20°. 100°. 200°. Свинецъ . . . 1727 1630 » Золото . . . . 5584 5408 5482 Серебро . . . 7140 7274 6374 Мѣдь . . . . 10519 9827 7862 Платина . . . 15518 14178 12964 Желѣзо . . . 20794 21877 17700 Литая сталь .... . . . 19561 19014 17926 Англійская сталь. . . . 17278 21292 19278 Измѣненіе объема во время вытягиванія. — До сихъ поръ мы разсматривали только измѣненіе длины, которое испытываютъ стержни, во время ихъ сжиманія по длинѣ или вытягиванія; но легко понять, что и горизонтальное сѣченіе не можетъ оставаться неизмѣннымъ во время этого дѣйствія. По всей вѣроятности, удлинняясь, стержень долженъ дѣ- ' Рис 55 латься тоньше, и это ясно доказывается весьма тщательными опытами Вертейма, для которыхъ онъ бралъ каучуковые стержни, 1 тщательно приготовленные {рис. 55). Они были около 300 миллиметровъ длиною и имѣли Форму призмы съ квадратнымъ основаніемъ, стороны котораго были отъ 9 до 47 миллимет- ровъ длиною. Вертеймъ вклеивалъ концы этихъ стержней въ желѣзныя оправы В и А, каждая имѣла крючокъ, одна для поддержанія всего прибора въ вертикальномъ положеніи на проч- ной опорѣ, другая — для привѣшиванія вытягивающей тяжести Р. По причинѣ большой растяжимости каучука, вытягиваніе стержней было очень значительно и старательно измѣрялось, а какъ сѣченіе стержней было довольно велико, то и можно бы- ло, съ помощію іщркуля, опредѣлить измѣненія въ толщинѣ, которыя испытывали стержни отъ вытягиванія: тогда можно было видѣть, что, удлинняясь, каучукъ дѣлался болѣе тонкимъ, какъ это и предвидѣлось. Первоначальная длина Ь стержня увеличивается при дѣйствіи какого нибудь груза и обращается въ Ь (1 —|— а), гдѣ а представ- ляетъ удлинненіе единицы длины при дѣйствіи употребленнаго груза. Попе- речное же сѣченіе стержня, которое было равной, уменьшается до 8 (1 —(3),
170 ДЕВЯТАЯ если 0 выражаетъ сокращеніе испытываемое единицей сѣченія. Поэтому объемъ Ь8 стержня, до вытягиванія его, обращается, послѣ этого дѣйствія, въ Ь8 (1 -}~й) (1 — б) или> пренебрегая весьма малымъ членомъ — въ Ь8 (!-{-«— [})• И такъ изъ сказаннаго видно, что, если съ одной стороны, стержень удлинняется, то съ другой—дѣлается тоньше и что весь объ- емъ его, подвергаясь двумъ противоположнымъ причинамъ измѣненія, мо- .жетъ увеличиваться или уменьшаться, смотря потому, будетъ ли а боль- ше или меньше нежели р,' и это должно быть рѣшено измѣреніемъ, которое показало, что а больше |3, то есть, что объемъ стержня увеличивается во время вытягиванія и что, слѣдовательно, плотность вещества стержня, въ то же время, уменьшается. Такой выводъ не долженъ насъ удивлять, потому что результатъ произведеннаго дѣйствія состоитъ во взаимномъ удаленіи частицъ. Но для того, чтобы повести наше изслѣдованіе дальше, чтобы найти точныя отношенія между величинами а и р, очевидно надобно обратиться къ математической теоріи упругости или къ опыту, или даже воспользо- ваться разомъ обоими этими способами-. Это и было сдѣлано, но, къ ве- счастыо, все-таки остаются еще касательно этого предмета нѣкоторыя сомнѣнія. Посмотримъ въ чемъ они заключаются. Пуассонъ, а потомъ и другіе аналисты подвергали вычисленію разсмат- риваемый нами вопросъ и пришли къ весьма простому закону, который можетъ быть выраженъ такимъ образомъ: «Удлинненіе единицы длины равно двойному увеличенію единицы объема.» Согласно съ предъидущимъ замѣчаніемъ, мы будемъ имѣть а = 2 (а— р) или <х—2р, то есть: «Уд- линненіе единицы длины равно двойному уменьшенію единицы площади сѣченія стержня.» Съ другой стороны, Коши вывелъ болѣе общія Формулы, заключающія предъидущее рѣшеніе какъ частный случай, но показывающія, что оно не необходимо и что могутъ быть между « и р и другія отношенія, ко- торыя должны быть опредѣлены опытомъ. Опыты Каньяра де Датура. — Подготовленный такимъ образомъ вопросъ необходимо вызвалъ вмѣшательство физиковъ; сдѣланы были положительные опыты и одинъ изъ нихъ исполненъ Каньяромъ де Ла- туромъ. На опорѣ, представлявшей большое сопротивленіе, онъ утвер- дилъ нижній конецъ вертикальной металлической проволоки (рис. 56); верх- ній же конецъ этой проволоки былъ укрѣпленъ на рычагѣ РЬ, подвижномъ на одномъ концѣ и на противоположный конецъ котораго дѣйствовала тяжесть Р. Пока эта тяжесть еще не была привѣшена, проволока имѣла
ЛЕКЦІЯ. 171 извѣстную длину, но потомъ отъ дѣй- ствія тяжести длина эта увеличива- лась. Полученное при опытѣ удлин- неніе проволоки было въ 6 миллимет- ровъ. Испытуемая проволока была ок- ружена тонкой стеклянной трубкой, которая была примазана къ основанію Ми наполнена водою. Діаметры тру- бочки и проволоки были извѣстны. Въ тотъ моментъ, какъ происходило удлинненіе проволоки, уровень воды въ трубочкѣ понизился отъ АВ до Рис. 56. А'В' и это доказывало что погруженная часть проволоки получила мень- шее сѣченіе, какъ уже это мы знаемъ. Съ одной стороны, было измѣре- но удлинненіе «, а съ другой можно было вычислить уменьшеніе р по- перечнаго сѣченія стержня, наблюдая пониженіе уровня въ стеклянной трубкѣ, діаметръ которой былъ извѣстенъ. Сдѣлавъ это вычисленіе, Кань- яръ де Латуръ пришелъ къ тому выводу, что- дѣйствительно а = 2/3, то есть, что и опытъ подтвердилъ то, что предвидѣлось теоріей Пуассона. Опыты Вертеима. — Вертеймъ, напротивъ того, опровергалъ этотъ результатъ. Основываясь на томъ, что предъидущій опытъ не представ- ляетъ большой точности, онъ приписалъ совпаденіе измѣреній съ теоріей Пуассона погрѣшностямъ самаго измѣренія^ и самъ произвелъ опыты, ко- торые, кажется, заслуживаютъ большаго довѣрія и прежде всего надо ска- зать объ опытахъ съ каучуковыми стержнями. Такъ какъ удлинненіе стер- жня и сокращеніе его поперечнаго сѣченія были измѣрены непосредствен- но, то получены были величины « и и найдено было, что увеличеніе объема а — (3 было замѣтно равно не половинѣ, а трети удлинненія а. Опыты другаго рода, изобрѣтеніе которыхъ принадлежитъ Реньо, бйли произведены также Вертеймомъ: онъ вытачивалъ латунныя трубки безъ спаекъ (рис. Ы). Онѣ были утверждены своими обоими концами въ дру- гихъ, короткихъ и болѣе широкихъ трубкахъ В, В', нижней, закрытой съ одного конца, и верхней открытой. На конецъ послѣдней изъ нихъ можно было навинчивать болтъ съ весьма узкой стеклянной трубочкой К на его концѣ. Устроенный такимъ образомъ приборъ можно было поддер- живать сверху и вытягивать за нижній конецъ; онъ удлиннялся подобно
172 девятая Рис. 57. стержню и внутренній объемъ его увеличивался потому же закону, И какъ и сплошная масса цилиндрической Формы того же металла. 8* Испытуемую трубку наполняли водой до высоты Р, потомъ производили вытягиваніе ея и измѣряли, во первыхъ, удлин- йма неніе трубки, а во вторыхъ пониженіе въ ней уровня воды. 1 |в Такимъ образомъ, изъ опыта получались въ одно время, удлин- I I неніе единицы длины а. и увеличеніе единицы объема, а — р и остова лось только сравнить ихъ. Найдено было, согласно съ опытами произведенными надъ каучукомъ и противно теоріи Пуассона, что а — @ составляло третью часть, а не половину величины а. Вотъ результаты опытовъ Вертейма: нумера трубокъ 1 2 “ а— р 1 з " Латунь I . . . . 0,81047 0,52017 0,54032 II . . . 0,87866 0,54363 0,58578 III.. . 0,88949 0,56104 0,59299 Хрусталь I . . . . 5,3650 3,8613 3,5767 II . . . 4,0639 2,4217 2,7093 III .. . 1,5282 1,1472 1,0188 IV. . . 1,1938 0,7786 0,7959 І однимъ словомъ, мы показали, что въ моментъ вытягиванія упругаго стержня увеличивается его длина и уменьшается тол- щина; что дѣйствіе этихъ двухъ измѣненій неодинаково и что весь объемъ стержня увеличивается. Когда же мы хотимъ сравнивать между собою увеличеніе длины и объема, то встрѣ- чаемъ между выводами изъ теоріи и изъ опытовъ значительное разногласіе. Теорія Пуассона показываетъ, что измѣненіе едини- цы объема равняется половинѣ удлинненія единицы длины; но теорія Коши не приводитъ къ этому слѣдствію. Съ другой стороны, опыты про- изведенные искусными Физиками, также несогласны между собою: опыты Каньяра де Латура подтверждаютъ заключеніе Пуассона; изслѣдованія же Вертейма разногласятъ съ нимъ, и потому мы не имѣемъ никакой воз- можности сдѣлать окончательное заключеніе касательно разбираемаго нами вопроса. Но какъ неизвѣстность, останавливающая насъ теперь, должна имѣть вліяніе потомъ и на всѣ остальные вопросы объ упругости, то мы попробуемъ устранить ее посредствомъ отдѣльнаго изученія другихъ воп- росовъ относительно того же предмета и изберемъ для этого тотъ изъ
ЛЕКЦІЯ. 173 двухъ способовъ рѣшенія, который дастъ намъ лучшее объясненіе разсмат- риваемыхъ явленій. Кубическая сжимаемость.—При одновременномъ давленіи на всѣ точки поверхности тѣла, оно уменьшается пропорціонально по всѣмъ своимъ измѣреніямъ, плотность его увеличивается и Форма его остается неизмѣнною при всѣхъ возможныхъ давленіяхъ. Сверхь того, сжимаемость зависитъ отъ упругости вещества, отъ его коеффиціента упругости и можетъ быть опредѣлена посредствомъ вычисленія. Коши принимаетъ, что, при сжиманіи цилиндра посредствомъ давленія, равнаго количеству р на каждую единицу поверхности и производимаго, или только на основанія цилиндра, или на всю его поверхность, это тѣло испытываетъ уменьшенія « и ѵ въ каждой единицѣ своей длины и своего объема, и что получается общая Формула (1) _р = К'а + Кѵ, въ которой К' иК суть коеФФИціенты особенные для каждаго тѣла и за- висящіе единственно отъ вещества тѣла. Коши доказываетъ потомъ, что въ томъ случаѣ, когда давленіе дѣйствуетъ только на оба основанія ци- линдра, между К иК7 существуетъ слѣдующее отношеніе: Опытъ долженъ опредѣлить величины К и КУ. Но изслѣдованія Каньяра де Латура и также Вертейма даютъ намъ другое отношеніе между К и КУ въ случаѣ вытягиванія или давленія, производимаго на основанія цилиндра. По первому изъ этихъ изслѣдованій имѣемъ ѵ = « —р = ПО' второму ' а • Ѵ=а-р=:-> введя же эти результаты въ уравневіе (2), получимъ: по Кавьяру............ К'2К по Вертейму. ....... К' = К. Замѣнивъ же К' равной ему величиной въ уравненіи (1), мы получимъ для общей Формулы сжимаемости: по первому рѣшенію (3) р =. К (2а ѵ), * по второму (4) р = К (« ѵ). Разберемъ теперь слѣдствія, вытекающія изъ этихъ двухъ рѣшеній.
174 ДЕВЯТАЯ Въ первомъ изъ нихъ, когда сжиманіе дѣйствуетъ только на конечныя основанія цилиндра, ѵ — — а., по замѣнѣ же ѵ этой величиной въ Фор- мулѣ, будетъ тг 8 ^ = К 2-я. Если мы сравнимъ эту Формулу съ тою, которая была найдена опыт- нымъ путемъ въ статьѣ о вытягиваніи, то есть, съ р =: а — то .1 2 увидимъ, что коеффиціентъ С линеинаго сжиманія или — равенъ Во вторыхъ, если давленіе, вмѣсто дѣйствія только на основанія ци- линдра, производится на всю поверхность его, при дѣйствіи той же тя- жести р на каждую единицу поверхности, то тѣло сжимается пропорціо- нально во всѣхъ направленіяхъ и каждая единица объема изъ 1 обра- щается въ (1 — а)3 или, приблизительно, въ '(1 — За). Слѣдовательно, сокращеніе единицы объема равно За, то есть ѵ = За, замѣнивъ же а равной ему величиной - въ уравненіи (3), получимъ /2 1 \ ___ -гр- 3 1 = К = V- з слѣдовательно, коеффиціентъ кубической сжимаемости равенъ и мы имѣемъ ' ' С' 2 3 п 3 1. С ~ 3 ИЛИ — 2 ~ 2 О Итакъ, въ томъ случаѣ, когда опыты Каньяра де Латура признаются 3 точными, коеффиціентъ кубической сжимаемости равенъ — коеФФиціента 2 линейной сжимаемости; надо, чтобы опытъ подтвердилъ это. Разсмотримъ теперь слѣдствія, вытекающія изъ опытовъ Вертейма; ови доказываютъ, что сокращеніе единицы объема, въ случаѣ давленія на основа- 1 . а нія цилиндра, равно уменьшенія единицы длины или что ѵ = -у ; а выводимая изъ нихъ общая Формула, связывающая линейную сжимаемость съ кубическою, есть (4) р — К (а -]- г>). Выведемъ изъ нея коеФФиціенты линейной и кубической сжимаемости. Если сжиманіе производится только посредствомъ основаній цилиндра, то мы имѣемъ ___ а , __ Т?- ___ 1 ___ 1 3 коеффиціентъ линейнаго сжиманія С или есть
ЛЕКЦІЯ. 175 Когда же давленіе дѣйствуетъ разомъ на всѣ точки поверхности, то ѵ = Зл, а по замѣнѣ а въ уравненіи (4), тг 4 .1 = К ТѴ = ^Ѵ, коеФФиціентъ кубическаго сжиманія будетъ С-=А. то есть будетъ равенъ коеФФиціенту С линейнаго сжиманія. Для того чтобы опредѣлить, которое изъ двухъ рѣшеній должно при- нять, достаточно узнать чему равняется коеФФиціентъ кубической ежи- маемостй С': равенъ ли онъ — коеФФиціента линейной сжимаемости и а 3 1 - -ф’ какъ это слѣдуетъ изъ опытовъ Каньяра де Латура, или онъ равенъ этому коеФФиціенту, какъ показываютъ это измѣренія Вертейма. Мы ви- димъ, до какой степени различны обѣ теоріи и какъ велика порождаемая ими неизвѣстность, потому что онѣ приводятъ къ весьма различнымъ ве- личинамъ для кубической сжимаемости. Мы видимъ въ то же 'время, что для рѣшенія возникшаго вопроса, надо измѣрить непосредственно, какъ кубическую, такъ и линейную сжимаемость, сравнить ихъ между собою и посмотрѣть потомъ, который изъ двухъ выводовъ согласуется съ измѣ- реніями. Вотъ какъ поступаютъ для этой цѣли. Бе- рутъ для опыта два сосуда, Форма которыхъ и вещество ихъ составлающее точно опредѣлены; напримѣръ, мѣдный шаръ, у котораго радіусъ внутренней поверхности есть В, а внѣшней В', и въ которомъ помѣщается трубка съ заключен- ной внутри ея и припаянной къ ней стеклян- ной, весьма тонкой трубочкой. Или же, вмѣсто того, берутъ хрустальную трубку А (рис. 58), у которой опредѣляютъ съ величайшимъ тща- ніемъ внутреннюю вмѣстимость V и внѣшній объемъ. Трубку эту, какова бы ни была ея Фор- ма, наполняютъ водой до замѣтки С на стек- лянной трубкѣ, и помѣщаютъ въ резервуаръ ВВ, закрытый со всѣхъ сторонъ, также напол- ненный водою и на который производится дав- Рис. 58.
176 ДЕВЯТАЯ леніе Р, выраженное въ единицахъ атмосфернаго давленія. Такимъ образомъ сосудъ А, погруженный въ этотъ резервуаръ, сжимается со всѣхъ сторонъ; объемъ его отъ этого уменьшается на опредѣленное количество, пропорціональное давленію, и, вслѣдствіе того, поднимается жидкость въ стеклянной трубочкѣ. Такимъ образомъ можно измѣрять умень- шеніе ш внутренняго объема сосуда, когда онъ сжимается извнѣ. Реньо произвелъ эти опыты, а Ламе вычислилъ теоретически величину этого уменьшенія1 ш; оно зависитъ отъ упругости и Формы сосуда, и для того случая, когда сосудъ имѣетъ Форму шара, выражается Формулою - “=Ий^+1) с,рѵ- гдѣ С' означаетъ КоеФФиціентъ кубической сжимаемости вещества, изъ * 3 • - •• котораго сдѣланъ шаръ, то есть -у коеФФиціента линеинои сжимаемости •і-» если принимать рѣшеніе Пуассона, подтвержденное Каньяръ-де-Ла- ч туромъ. Реньо опредѣлилъ величины для ю посредствомъ опыта, вычислилъ величину С' по Формулѣ и величину коеФФиціента упругости (^, изъ от- ношенія С'=Л 1; 2 а затѣмъ онъ нашелъ, для употребленныхъ имъ при опытѣ веществъ, мѣди, латуни и стекла, величины болѣе значительныя, нежели тѣ, которыя выведены изъ опытовъ надъ удлинненіемъ стержней. Вертеймъ разбиралъ тотъ же вопросъ, принявъ второе данное имъ рѣ- шеніе и вывелъ Формулу, весьма мало различную отъ предъидущей, а именно “ = 3 (в^-+Сс'-РѴ’ въ которой С'і означаетъ КоеФФиціентъ кубической сжимаемости, пред- 1 полагая его равнымъ -г- ’ • Изъ тѣхъ же опытовъ, Вертеймъ вывелъ новыя величины для ц), мень- шія прежнихъ и оказавшіяся совершенно равными тѣмъ, которыя были опредѣлены изъ удлинненія веществъ, изъ которыхъ состояли сосуды. Предлагаемъ здѣсь полученные имъ результаты:
ЛЕКЦІЯ. 177 ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ <3 ВЫВЕДЕННЫЯ. МѢДЬ. ЛАТУНЬ. СТЕКЛО. 1° изъ удлинненія ....... 2° изъ сжатія по Формулѣ Вер- 10519 9277 6040 тейма 10266 9287 5998 3° изъ сжатія по Формулѣ Ламе 11550 10447 6748 Очевидно, что выводимыя изъ теоріи Пуассона и опытовъ Каньяра-де- Латура величины для слишкомъ велики, между тѣмъ какъ болѣе общее рѣшеніе Коши, дополненное изслѣдованіями Вертейма, представляетъ боль- шее согласіе между вычисленіемъ и измѣреніями; допустимъ на время это рѣшеніе и выразимъ его такъ: 1) При вытягиваніи проволоки вѣсомъ р, дѣйствующимъ на единицу поверхности, получается удлинненіе а на единицу длины, и также Р = —1«; коеффиціентъ удлинненія С равенъ -і, онъ составляетъ также и коеффи- ціентъ сокращенія, когда проволока сжимается вѣсомъ, вмѣсто вытягива- нія ея тѣмъ же вѣсомъ. Вообще, если I, V представляютъ первоначаль- ную и послѣдующую длины проволоки, то г'=г(і±4) 2) При удлинненіи или сокращеніи стержня отъ вѣса^э, дѣйствующаго на его концахъ на единицу поверхности, объемъ стержня измѣняется и измѣненіе единицы объема составляетъ одну треть измѣненія длины а, откуда получается 3) При дѣйствіи давленія разомъ на всѣ точки поверхности, коеффи- ціентъ кубической сжимаемости равенъ коеффиціенту линейной сжимаемости 1 и получается (1± 1). Упругость при скручиваніи.—Всякому извѣстно, что, если про- волоку или упругій стержень укрѣпить однимъ концомъ и потомъ скру- вивать его силой, дѣйствующей на другой конецъ, то обнаруживается сила противодѣйствія въ стержнѣ, которая возрастаетъ по мѣрѣ увеличе- ченія угла, на который производится скручиваніе. Слѣдовательно, если Физика I. 12
178 ДЕВЯТАЯ моментъ силы производящей скручиваніе есть Р, то проволока скручи- вается мало по малу до того, что частицы ея образуютъ съ прежнимъ своимъ положеніемъ уголъ равный и и въ то же время моментъ сопротив- ленія увеличивается до того, что уравновѣшивается съ первымъ. И такъ здѣсь дѣйствуютъ два момента равные между собою и взаимно уничто- жающіеся. Отъ этого зависитъ, что въ обыкновенномъ языкѣ смѣшиваютъ эти два момента подъ именемъ момента скручиванія, относя къ нему и дѣйствующій моментъ и уравновѣшивающій его. Посмотримъ, какія суще- ствуютъ отношенія между угломъ и моментомъ скручиванія. Для этого воспользуемся сначала приборомъ Вертейма (рис. 5Э); онъ состоитъ изъ весьма тяжелой чугунной скамьи, на которой расположены Рис. 59. двѣ стойки, похожія на башенки. Первую стойку В можно передвигать вдоль скамьи и утверждать во всякомъ положеніи посредствомъ болтовъ. Она служитъ для укрѣпленія на ней одного конца испытуемаго стержня. Для этого на ней находится особая часть съ продѣланнымъ въ ней от-
ЛЕКЦІЯ. 179 верзтіемъ, въ которое всовывается конецъ стержня Т17 и укрѣпляется тамъ посредствомъ нажимательнаго винта К. Необходимо, чтобы конецъ 17 стержня былъ неподвиженъ во время скручиванія и въ этомъ убѣждаются посредствомъ особой -помѣщенной на немъ стрѣлки, которая постоянно должна оставаться въ одномъ поло- женіи, указывая всегда на индексъ утвержденный на приборѣ. Другой конецъ Т стержня подобнымъ же образомъ защемленъ въ от- верзтіи оси М полой внутри, обращающейся въ двухъ, неподвижныхъ го- ризонтальныхъ гнѣздахъ. На эту ось насаженъ блокъ Е, по краю кото- раго навертываются два шнура. Первый изъ нихъ, висящій съ передней стороны прибора въ точкѣ Е, натягивается тяжестью Р; второй, прикрѣп- ленный съ другой стороны, направляется вверхъ къ блоку В, огибаетъ его и поддерживаетъ тяжесть 8, равную первой.. Понятно, что обѣ эти тяжести дѣйствуютъ въ одну и ту же сторону, какъ сила, которая застав- ляетъ блокъ обращаться и закручиваетъ стержень. Для измѣренія произведеннаго закручиванія, на одной изъ плоскихъ сторонъ блока начерченъ кругъ съ дѣленіями, а передъ кругомъ непод- вижно утверждена алидада В. Положеніе круга замѣчается сначала передъ дѣйствіемъ тяжестей, потомъ замѣчается второй разъ, когда онѣ уже ока- зали свое дѣйствіе; опредѣленное такимъ образомъ обращеніе круга по дугѣ есть уголъ закручиванія ы. Намъ нужно найти отношеніе ы къ дѣй- ствію вѣса 2Р, приложеннаго къ г, радіусу блока, и моментъ котораго есть 2Рг; означимъ этотъ моментъ чрезъ Е. Законы упругости при закручиваніи. — I. Посредствомъ опы- товъ находится первый и важнѣйшій законъ, состоящій въ томъ, что, при измѣненіи моментовъ силъ пропорціонально числамъ 1, 2, 3, 4, углы закручиванія будутъ ы, 2<», Зи, 4«, то есть, что углы закручиванія про- порціональны моментамъ того же дѣйствія. II. При дѣйствіи одной и той же силы на разныя части того же стержня, длина которыхъ измѣняется какъ числа 1, 2, 3, 4, получаются углы закручиванія равные ы, 2ы, 3«.... То есть углы закручиванія про- порціональны длинамъ испытуемыхъ стержней. Щ. Когда стержни цилиндрической Формы и радіусы ихъ сѣченій от- носятся какъ числа 1, 2, 3, 4, то соотвѣтствующіе имъ углы закручива- вія суть и, Слѣдовательно, при дѣйствій одной и той же силы, углы закручиванія обратно пропорціональны четвертой степени длины ра- діуса сѣченія стержней. 12
180 ДЕВЯТАЯ IV. Наконецъ, при всѣхъ равныхъ измѣреніяхъ и при дѣйствіи оди- накихъ грузовъ, различныя тѣла подвергаются крученію не одинаково и каждое изъ нихъ имѣетъ своего собственнаго коеффиціента крученія, . 1 котораго мы. обозначаемъ чрезъ у’ Всѣ эти законы сокращенно выражаются въ слѣдующей Формулѣ 1 Е/ Т г* ’ ы = Описанный нами способъ примѣнимъ только къ стержнямъ большихъ измѣреній, но для опытовъ съ весьма тонкими проволоками или нитями онъ не можетъ быть полезенъ. -Такъ какъ намъ уже встрѣчалось и еще будетъ встрѣчаться приложеніе упругости этихъ волосныхъ нитей, то по- лезно будетъ изложить .здѣсь способъ, посредствомъ котораго Куломбъ изучалъ дѣйствіе ихъ скручиванія. Способъ колебаній. — Положимъ, что верхній конецъ одной изъ этихъ нитей укрѣпленъ на неподвижной опорѣ А (рис. 60}, а на ниж- ній конецъ ея привѣшивается тяжелое тѣло, напримѣръ металлическій Рис. 60. шаръ. Давъ этой нити съ шаромъ придти въ состояніе покоя, повертываютъ шаръ на какую нибудь часть полнаго оборота и опять предостав- ляютъ его самому себѣ. Тогда противодѣйствіе скручиванія окажетъ себя, нить будетъ раскру- чиваться, а шаръ вращаться около своей верти- кальной оси съ возрастающей скоростью, такъ какъ дѣйствіе силы продолжается; нить скоро придетъ въ то же положеніе, которое она имѣла передъ скручиваніемъ и въ этотъ моментъ ско- рость вращенія шара будетъ наибольшая. За тѣмъ она будетъ продолжаться уже съ этою пріобрѣтенной скоростью, отчего нить будетъ скручиваться въ обратную сторону противъ прежняго, скорость вращенія будетъ умень- шаться и наконецъ уничтожится, когда уголъ обратнаго скручиванія сдѣлается равнымъ углу первоначальнаго. Послѣ этого скорость измѣ- нитъ знакъ и повторятся тѣ же измѣненія, какъ въ маятникѣ, все-съ уменьшающимися амплитудами, что зависитъ отъ тренія прибора о воздухъ и также отъ несовершенной упругости тѣла. Куломбъ. такимъ образомъ доказалъ, 1-е, что, если моментъ
ЛЕКЦІЯ. 181 сила скручиванія нити въ каждое мгновеніе пропорціональна углу скручи- ванія, то колебанія должны быть одинаковой продолжительности, каковы бы ни были ихъ размѣры, хотя бы они обнимали нѣсколько окружностей или ограничивались нѣсколькими дѣленіями градуса; 2-е, когда эта равно- временность имѣетъ мѣсто, то сила скручиванія необходимо пропорціональна углу того же дѣйствія. Для подтвержденія перваго изъ этихъ принятыхъ нами законовъ, достаточно убѣдиться посредствомъ опыта, постоянна ли продолжительность колебаній. Для производства этого наблюденія со всею точностію, которую только оно допускаетъ, поступаютъ точно такъ же, какъ и въ томъ случаѣ, когда надо было доказать равновременность колебаній маятника. Утверждаютъ нить на опорѣ А, приклеиваютъ къ нижней поверхности привѣшеннаго шара легкую стрѣлку С, и располагаютъ подъ шаромъ кругъ СБ съ дѣ- леніями для измѣренія амплитудъ колебаній. Наблюдатель помѣщается на разстояніи съ зрительной трубой, которую онъ наводитъ на стрѣлку для наблюденія, и имѣя при себѣ счислитедя для отсчитыванія секундъ. Онъ прижимаетъ пуговку, дающую ходъ, въ самый моментъ прохожденія стрѣлки передъ перекрестными нитями, и, отсчитавъ п колебаній съ амплитудой равной А, онъ останавливаетъ секундныя стрѣлки и замѣчаетъ протекшее время. Онъ повторяетъ потомъ то же измѣреніе для различныхъ колебаній, большихъ и маленькихъ, даже обнимающихъ нѣсколько окружностей. Опытъ, произведенный такимъ образомъ, доказываетъ съ чрезвычайной точностью равенство временъ этихъ колебаній, какова бы ни была ихъ амплитуда; отсюда заключаютъ, что уголъ скручиванія пропорціоналенъ силѣ, произ- водящей это дѣйствіе. Если означимъ чрезъ/силу, соотвѣтствующую дугѣ отклоненія, равной единицѣ и описанной радіусомъ, равнымъ единицѣ; другими словами, если означимъ такъ силу, приложенную къ радіусу, равному 1 метру, который описываетъ дугу длиною въ 1 метръ и тогда для момента Г, произвог дящаго скручиваніе на дугу ы, мы будемъ имѣть Г =/м. Понятно, что сила скручиванія присутствуетъ единственно въ нити, и что она не зависитъ ни отъ природы, ни отъ вѣса привѣшеннаго шара. Но какъ та же самая сила заставляетъ шаръ вращаться, то скорость, со- общаемая. ему, и продолжительность производимаго имъ колебанія зависятъ отъ массы т и Формы привѣшенной тяжести. Въ механикѣ доказывается, что эта продолжительность есть
182 ДЕВЯТАЯ М&2 есть моментъ инерціи шара, обращающагося около своего вертикаль- 2 Ма2 . п наго діаметра; онъ равенъ—, гдѣ а есть радіусъ этого шара. Отсюда О выходитъ і— *). V Ц ’ Когда, наконецъ, будемъ сравнивать двѣ нити, различныя по длинѣ, природѣ ихъ вещества и радіусамъ ихъ толщины, то мы должны прикрѣп- лять ихъ по очереди къ той же опорѣ, привѣшивая къ нимъ одинъ и тотъ же шаръ, и тогда сравнивать продолжительность производимыхъ ими колебаній. Для двухъ такихъ нитей получимъ V 5/ V б/' откуда _С — У_- V Итакъ, величины / обратно пропорціональны квадратамъ временъ коле- баній, а измѣряя эти времена, находимъ: 1-е, что у пропорціонально чет- вертой степени длины радіуса поперечнаго разрѣза нити; 2-е, пропорціо- нально множителю Т, различному для разныхъ веществъ; 3-е, обратно про- порціонально длинѣ нитей: р__Тт4 I и слѣдовательно, р Т М г1 1 VI г = —“« = -- а Формула эта была уже прежде найдена изъ опытовъ надъ скручива- ніемъ. Для полученія величины Т, достаточно только выразить / посред- ствомъ времени колебанія і, воспользовавшись принятою прежде Формулою; мы найдемъ тогда, что __ р_____ 2 я2 Ма2 _ 2я8а2Р) ? 5 Г- 5 д? ’ и, слѣдовательно, гр_ _2Р//яа\2 г4 од \г* і)- *У Если бы, подобно тому, какъ въ опытѣ Кавендиша, тѣло, привѣшенное на нити, состояло изъ двухъ массъ, равныхъ М, весьма малыхъ и помѣщенныхъ на одинаковомъ разстояніи I отъ нити, то моментъ инерціи МА;2 былъ бы_ равенъ 2М/\ Формула эта была принята нами выше.
ЛЕКЦІЯ. 183 къ другому, свободному концу В при- Рис. 61. Упругость при сгибаніи.—Если. полосу АВ утвердить однимъ концомъ въ тискахъ (рис. 61^ и вѣсить тяжесть, то полоса со- гнется и приметъ кривую Форму; но потомъ будетъ удерживаться въ равновѣсіи. Тогда противо- дѣйствіе полосы будетъ уравно- вѣшивать тяжесть Р. Понятно, что при этомъ движеніи верх- няя горизонтальная сторона по. лосы расширится, тогда какъ нижняя сократится, и что вза- имное удаленіе и сближеніе ча- стицъ стремятся развивать силы, которыя приведутъ полосу въ ея пер- воначальное положеніе, лишь только она освободится отъ тяжести. Для изученія этого явленія, можно наблюдать, посредствомъ катето- метра, концы А и С, или, лучше, замѣтки, сдѣланныя на этихъ концахъ. Сначала эти концы лежатъ въ одной горизонтальной плоскости, потомъ привѣшиваютъ къ концу С тяжесть и смотрятъ, какъ опустится замѣтка до точки В:‘пониженіе « замѣтнымъ образомъ пропорціонально описанной Дугѣ. Когда испытуемая полоса имѣетъ Форму призмы, которой длина I, вер- тикальная толщина е и ширина Ъ, то можно найти, что сгибаніе « про- порціонально вѣсу Р и кубу длины, обратно пропорціонально ширинѣ, кубу толщины и частному коеФФиціенту Р зависящему отъ вещества, изъ котораго сдѣлана испытуемая полоса; слѣдовательно, будетъ ___________________________________Р^_ а Еіе3' Эта Формула была найдена прямо теоретически и подтверждается опытомъ. Мы не намѣрены останавливаться здѣсь ни на этой Формулѣ, ни на подтверждающихъ ее опытахъ, но должны только указать на одно слѣд- ствіе изъ нихъ. Сгибаніе а пропорціонально вѣсу Р, а изъ этого слѣдуетъ, что, при отклоненіи стержня отъ его положенія равновѣсія, онъ обнаруживаетъ стремленіе возвратиться къ тому же положенію отъ дѣйствія силы, кото- рая въ каждое мгновеніе пропорціональна разстоянію каждой частицы стержня отъ ея положенія равновѣсія. Но въ механикѣ доказывается, что,
1'84 ДЕВЯТАЯ при удовлетвореніи этому условію, колебанія, которыя стержень совер- шаетъ, чтобы возвратиться къ своему положенію равновѣсія, всѣ равновре- менны, какова бы ни была ихъ амплитуда. Очень легко доказать эту рав- новременность, потому что колебанія, будучи очень быстры, производятъ звукъ, высота котораго измѣняется согласно съ числомъ колебаній, но эта высота звука остается неизмѣнной, когда колебанія измѣняютъ свои амплитуды. Это явленіе неизмѣняемости высоты звука есть въ одно и то же время и доказательство, и слѣдствіе предъидущаго закона, то есть пропорціональности дѣйствующей тяжести и производимаго ею сгибанія стержня. Барометръ и манометръ анероиды.—Устройство динамометровъ основывается именно на этой пропорціональности сгибанія съ вѣсомъ, но описаніе ихъ не можетъ имѣть здѣсь мѣста. На упругости сгибанія осно- вано также дѣйствіе пружинъ въ карманныхъ часахъ и рессоръ у эки- пажей. Мы ограничимся только описаніемъ барометра и манометра ане- роидовъ Бурдона. Упругая трубочка кольцеобразной Формы, сдѣланная изъ тонкой латуни и закрытая съ обоихъ концовъ, сама собою выпрям- ляется или закругляется, когда увеличивается или уменьшается давлевіе изнутри заключеннаго въ ней воздуха. Это простое явленіе служитъ осно- вой въ устройствѣ двухъ приборовъ, которые мы хотимъ здѣсь описать. Въ барометрѣ анероидѣ (рис. 62^ трубочка утверждена въ точкѣ У и имѣетъ свободные концы В и А; изъ нея предварительно вытянутъ воз- Рис. 62. духъ. Когда атмосферическое давленіе увеличи- вается, то концы трубочки В и А сближаются и рычагъ ВЕ, утвержденный въ С, движется и заставляетъ вращаться секторъ ССг, который передаетъ свое движеніе стрѣлкѣ и та пробѣ- гаетъ своимъ концомъ по кругу съ дѣленіями. Пока изъ трубки еще не вытянутъ воздухъ и она сообщена съ пневматической машиной, то, при разрѣженіи воздуха внутри трубки, она сгибается и приборъ служитъ тогда указате- лемъ степени разрѣженія воздуха. Манометръ состоитъ изъ коробки, заключаю- щей въ себѣ трубку, подобную предъидущей и завернутую въ нѣсколько оборотовъ. Когда внутри ея увеличивается давленіе воздуха, то она раскручивается, и стрѣлка указателя, движущаяся
ЛЕКЦІЯ. 185 по кругу съ дѣленіями, показываетъ степень давленія. Приборъ этого рода, при локомотивахъ, замѣняетъ манометры съ ртутью. Предѣлы упругости. — До сихъ поръ мы предполагали, что измѣ- ненія объема и Формы тѣлъ, производимыя внѣшними силами, суть явле- нія преходящія, и что тѣла возвращаются къ своему первоначальному со- стоянію, лишь только силы перестаютъ дѣйствовать на нихъ. Но это не всегда бываетъ такъ: часто произведенная въ тѣлахъ перемѣна Формы и объема сохраняется въ нихъ постоянно. Напримѣръ, проволока, вытяну- тая небольшими тяжестями, удлинняется и потомъ снова возстановляетъ свою прежнюю длину, когда тяжесть будетъ удалена; но та же самая про- волока, подвергшись дѣйствію значительныхъ тяжестей, сохраняетъ послѣ вытягиванія часть полученнаго ею удлинненія и частицы ея приходятъ въ другое состояніе равновѣсія. Явленіе это встрѣчается во всѣхъ раз- смотрѣнныхъ нами случаяхъ. Можно скручивать стержень на малую часть оборота, не измѣняя его Формы; но если при этомъ перейти извѣстный предѣлъ скручиванія, то стержень останется скрученнымъ. Можно сгибать пружину до опредѣленной с'гепени, но когда неумѣренно увеличиваютъ дѣйствующую на нее силу, то производятъ такое измѣненіе въ Формѣ, что она уже не возстановляется. Къ явленіямъ этого рода относятся: вытяги- ваніе проволоки, пропускаемой чрезъ волочильню, отчеканка монетъ уда- ромъ шибала, дѣйствіе плющильни на металлическіе листы, клейма на металлѣ и вообще подобныя измѣненія Формы, производимыя безъ разрыва матеріала. Слѣдовательно, существуютъ предѣлы упругости тѣлъ и внѣшняго дѣйствія на нихъ, которые нельзя перейти, не измѣнивъ Формы тѣла. Но не всѣ тѣла одинаково скоро доходятъ до этого предѣла; Напримѣръ, каучукъ можетъ подвергаться чрезвычайнымъ измѣненіямъ Формы, не удерживая ихъ, между тѣмъ какъ свинецъ измѣняетъ свою Форму тот- часъ же, какъ только будетъ вытянутъ, скрученъ или сдавленъ. Этотъ предѣлъ упругости изучали только для одного случая, для вытягиванія. Возьмемъ проволоку какой нибудь длины съ поперечнымъ сѣченіемъ въ 1 квадратный миллиметръ и отыщемъ предѣльный вѣсъ, при дѣйствіи котораго уже начинаетъ обнаруживаться въ проволокѣ постоянное удлин- неніе. Изслѣдованіе это труднѣе, чѣмъ можно было бы предполагать, по- тому что оно зависитъ отъ чувствительности измѣрительныхъ приборовъ, а когда доказывается существованіе постояннаго удлинненія, то уже ис- комый предѣлъ пройденъ. Условились принимать за искомый вѣсъ тотъ, который производитъ удлинненіе въ 0,ми05 на каждый метръ.
186 ДЕВЯТАЯ , Встрѣчается тутъ еще. одно затрудненіе въ томъ, что время, въ ко- торое продолжается дѣйствіе, имѣетъ вліяніе на производимое постоянное удлинненіе. Когда удлинненіе уже началось, то и продолжается медленно, и если оно нечувствительно впродолженіе нѣсколькихъ минутъ, то на- конецъ дѣлается значительнымъ послѣ нѣсколькихъ часовъ. Такимъ обра- зомъ рессора утрачиваетъ свою упругость съ теченіемъ времени, балки потолка сгибаются мало по малу и зданія осѣдаютъ въ своемъ основаніи. Поэтому предѣлъ упругости не есть нѣчто. такое, что можно было бы въ точности измѣрять, но возможно только приблизительное измѣреніе. Въ таблицѣ, приведенной ниже, находятся нѣкоторыя числа для предѣла упру- гости, найденныя Вертеймомъ. Изъ таблицы видно, что приведенные тамъ металлы изслѣдованы въ двухъ состояніяхъ, прокаленномъ и вытянутомъ посредствомъ пропусканія чрезъ волочильню; предѣлъ -упругости ихъ уменьшается, когда они про- калены, что особенно замѣтно въ желѣзѣ и стали. Изъ этого надо заклю- чить, что при пропусканіи чрезъ волочильню прокаленной проволоки, она легко будетъ вытягиваться, а предварительно прокованная не вытянется, и это оправдывается на опытѣ. То же самое повторяется и во всѣхъ другихъ случаяхъ; вотъ почему ^пружины дѣлаются изъ закаленной, а не отваренной стали; по той же причинѣ, послѣ нѣсколькихъ пропусканій ме- талла чрезъ плющильню, и нѣсколькихъ ударовъ медали посредствомъ ши- бала, и то и другое надо прокалить, для того, чтобы можно было про- должать ихъ обработку. Вязкость (іёпасііё). —Испытуемое тѣло не только можетъ удлин- иться постояннымъ образомъ, подвергаясь дѣйствію вытягиванія, перехо- дящаго предѣлъ упругости, но можетъ также и разорваться при увели- ченіи груза. Опредѣлены тяжести, которыя могутъ разорвать проволоку какой нибудь длины и въ 1 миллиметръ толщиною; онѣ представляютъ коеффиціенты разрыва и измѣряютъ вязкость металла; величины ихъ по- казаны во второмъ столбцѣ таблицы. Для опредѣленія этихъ коеФФиціентовъ встрѣчаются тѣ же затрудне- нія, какъ и въ предъидущемъ изслѣдованіи. Лишь только вытягиваніе переходитъ за предѣлъ упругости, какъ проволока начинаетъ мало но малу удлинняться, частицы ея сначала только перемѣщаются и потомъ вдругъ разъединяются, такъ что, подъ вліяніемъ умѣренной тяжести, дѣй- ствіе которой продолжается долгое время, можно разорвать стержень, ко- торый выдержалъ бы дѣйствіе гораздо большей тяжести, но болѣе ко-
ЛЕКЦІЯ. 187 роткое время. Это медленное уменьшеніе вязкости есть явленіе, которое нужно брать въ соображеніе при постройкахъ разнаго рода. Разные металлы имѣютъ вязкость весьма неравную, начиная со свинца, у котораго она весьма слабая, и оканчивая сталью, обладающею наиболь- шею вязкостью. У каждаго металла вязкость уменьшается послѣ того, какъ его подвергнутъ прокаливанію. Замѣчается также, что между тя- жестью, производящей разрывъ, й тяжестью, выражающей предѣлъ упру- гости, разность бываетъ неравная; она тѣмъ больше, чѣмъ больше вяз- кость металла. Однакожъ вязкость не можетъ быть опредѣлена сравне- ніемъ сказанныхъ коеФФиціентовъ, потому что, йропуская металлъ чрезъ волочильню, подвергаютъ его двумъ дѣйствіямъ, вытягиванію и попереч- ному давленію; явленіе это сложнѣе предъидущаго. МЕТАЛЛЫ. ПРЕДѢЛЪ УПРУГОСТИ. КОЕФФИЦІЕНТЪ РАЗРЫВА. кил. КИЛ. Свинецъ . і вытянутый 0,25 2,07 | прокаленный . 0,20 1,80 Олово . । вытянутое. 0,40 2,45 | прокаленное . 0,20 ' 1,70 Золото. Г вытянутое. 13,50 ‘ 27,00 | прокаленное . 3,00 10,08 Серебро . 1 вытянутое. 11,00 .. 29,00 | прокаленное . 2,50 16,02 Мѣдь .; . (вытянутая. . ... 12,00 40,30 [ прокаленная . . 3,00 30,54 Платина . | вытянутая. 26,00 34,10 [ прокаленная . . 14,50 23,50 Желѣзо | вытянутое. 32,50 61,10 [ прокаленное . 5,00 46,88 Сталь литая | вытянутая. ' 55,60 83,80 | прокаленная . 5,00 65,70 Стальная про - | вытянутая. 42,50 70,00 волока . . [ прокаленная . 15,00 40,00 ^Принятое здѣсь выраженіе вязкость замѣняетъ часто употребляемое въ курсахъ физики выраженіе абсолютная твердость или твердость^ разрыва. Еще незвѣстны ‘законы, по которымъ измѣняется твердость тѣлъ въ за-
188 ДЕВЯТАЯ висимости отъ ихъ размѣровъ; но приблизительно вѣрные результаты по- лучены отъ примѣненія законовъ упругости къ твердости разрыва, при- нимая, что она пропорціональна разрѣзу. Однакожъ опытъ показываетъ, что по испытаніямъ надъ проволаками малыхъ размѣровъ нельзя сдѣлать заключенія относительно стержней большихъ размѣровъ. Относительная твердость или твердость разлома была изслѣдована много разъ съ практическою цѣлью, для опредѣленія прочности балокъ, осей и проч. Различаютъ еще одинъ родъ твердости—жесткость или рѣжущую твер- дость, которая обнаруживается тѣмъ, что тѣло представляетъ большее или меньшее сопротивленіе черченію или прорѣзыванію остріемъ или, острымъ краемъ. Въ этомъ отношеніи тѣла раздѣлены на 10 группъ, для которыхъ опредѣлена твердость этого рода, какое изъ этихъ тѣлъ можетъ чертить другое и какимъ оно само чертится. Рядъ 10 тѣлъ, принятыхъ Мосомъ для сравненія съ нимъ твердости всѣхъ вообще минераловъ, пред- ставляютъ разныя степени твердости отъ наименьшей до наибольшей. Тѣла эти суть слѣдующія: 1) Талькъ, 2) Каменная соль, 3) Известковый шпатъ, 4) Плавиковый шпатъ, 5) Апатитъ, 6) Полевой шпатъ, 7) Кварцъ, 8) Топазъ, 9) Корундъ, 10) Алмазъ. Поэтому, означаютъ твердость какого нибудь тѣла чрезъ 5, когда оно можетъ чертить плавиковый шпатъ и само чертится полевымъ шпатомъ. Тѣла, которыя взаимно чертятся другъ съ другомъ, имѣютъ одинаковую твердость. О треніи. — При движеніи двухъ тѣлъ одного на другомъ, всегда требуется извѣстная сила, чтобы поддерживать это движеніе, даже и въ томъ случаѣ, когда оно происходитъ на совершенно горизонтальной плос- кости. Отъ взаимнаго прикосновенія тѣлъ пораждается сопротивленіе ихъ движенію одного на другомъ. Оно-то и составляетъ треніе и происхо- дитъ только тогда, когда одно тѣло начинаетъ двигаться на другомъ, на плоскости ихъ взаимнаго соприкосновенія. Треніе бываетъ тѣмъ сильнѣе, чѣмъ болѣе шероховаты движущіяся одна на другой поверхности, а'потому въ этой шероховатости и нужно искать главной причины тренія; части тѣлъ при взаимномъ треніи задер-
ЛЕКЦІЯ. 189 живаются другъ другомъ и потому при всякомъ движеніи тѣлъ одного на другомъ должно происходить небольшое приподниманіе ихъ для преодо- лѣнія неравностей на ихъ поверхностяхъ. Поэтому, чѣмъ глаже поверх- ности движенія, тѣмъ меньше ихъ треніе. Но треніе зависитъ также и отъ природы тѣлъ; поэтому нельзя полагать единственную причину его въ неровности трущихся поверхностей. Такъ напримѣръ, извѣстно, что при всѣхъ прочихъ равныхъ обстоятельствахъ, наименьшее треніе проис- ходитъ при движеніи одной на другой поверхностей стали и латуни. Для объясненія тренія мы должны допустить еще дѣйствіе притяженія между частями взаимно касающихся тѣлъ, которое однако должно отли- чаться отъ частичнаго притяженія, потому что, какъ мы сейчасъ увидимъ, треніе не зависитъ отъ величины трущихся поверхностей. Различаютъ два рода тренія:. скользящее и вращающееся; первое бы- ваетъ въ томъ случаѣ, когда двѣ - плоскости двигаются одна на другой или иныя поверхности скользящія одна по другой, какъ напримѣръ цап- фы въ своихъ гнѣздахъ. Вращающееся треніе происходитъ, когда тѣло, ограниченное кривою поверхностью, движется по другому ограниченному плоскостью, такъ что въ каждое послѣдующее мгновеніе все иныя точки движущагося тѣла касаются твердой поверхности, напримѣръ, когда ко- лесо катится по плоскости. Скользящее треніе представляетъ гораздо боль- шее сопротивленіе движенію, нежели вращающееся. Скользящее треніе изслѣдовано подробнѣйшимъ образомъ; для этого изслѣдованія клали тѣло на гладкую горизонтальную плоскость и потомъ пробовали опредѣлить, какая нужна сила, чтобы привести это тѣло въ дви- женіе. Наименьшая тяжесть, производящая это дѣйствіе, служитъ мѣрою для тренія. Помощію подобныхъ испытаній, Куломбъ *), Ренни **) и осо- бенно Моренъ ***) опредѣлили слѣдующіе общіе законы. 1) Треніе пропорціонально давленію, которое оказываетъ тѣло на свою опору. ,2) Треніе, при одинакомъ вѣсѣ тѣла, зависитъ не отъ протяженія тру- щихся поверхностей, если только онѣ не имѣютъ неровностей, но един- ственно отъ ихъ природы и степени гладкости. 3) Отношеніе тренія къ давленію, то есть та часть вѣса тѣла, кото- *) СоиІотЪ, Мётоігев ргёвепіёв а ГАеайёшіе йе Рагів. Т. X. **) Неппіе, Ехрегішепів оп ѣЬе Ггісііоп еіс. Рііііов. Тгапв. 1829. ***) Могіп, Мопѵеііев ехрёгіепсев виг 1е Ггоііетепі. I Мётоігев ргёвепіёв а ГАеаД. <іѳ Рагіѳ. т. іѵ. 1833. П Мётоіге. Рагів. 1834. III Мётоіге. Рагів. 1835. Роѵе’в Верегіогіит. В<1.1,
190 ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦІЯ. рая можетъ приводить его въ движеніе и которая по предъидущему, по- стоянна для одного и того же тѣла, называется коеФФиціентомъ тренія. Такъ напримѣръ, коеФФиціентомъ тренія при движеніи желѣза на желѣзѣ = 0,108 латуни на чугунѣ — 0,180 и т. д. Треніе вообще немного увеличивается, когда тѣла долгое время сопри- касались между собою; однакожъ оно обнаруживается только при пере- ходѣ тѣла изъ состоянія покоя въ движеніе, но лишь только тѣла однаж- ды сдв-инуты съ мѣста, то КоеФФиціентъ тренія снова дѣлается такимъ же, какъ прежде.
ДЕСЯТАЯ ЛЕКЦІЯ. Объ упругости жидкостей. Сжимаемость жидкостей.—Опыты Кантона.—Опыты Эрстета.—Не- обходимость поправки относительно сжимаемости сосуда. — Опыты Колладона и Штурма. — Опыты Реньо. — Таблица коеффиціен/товъ сжимаемости. Жидкости имѣютъ упругость подобно твердымъ тѣламъ; если помѣс- тимъ какую нибудь жидкость въ прочный сосудъ и станемъ давить на нее поршнемъ посредствомъ тяжести, то произведемъ этимъ сближеніе частицъ жидкости и между ними разовьется отталкивательная сила. Но лишь только давленіе перестаетъ дѣйствовать, какъ эти силы приводятъ частицы къ ихъ первоначальнымъ взаимнымъ разстояніямъ и жидкость въ прежнее ея состояніе. Постараемся отыскать здѣсь тѣі два явленія, кото- рыя мы видѣли въ твердыхъ тѣлахъ: во-первыхъ, уменьшеніе всего объ- ема испытуемаго тѣла, происходящее отъ сближенія его элементовъ, то есть сжимаемость; во-вторыхъ — напряженіе, проистекающее изъ этого дѣйствія, уравновѣшиваетъ произведенное давленіе и развивается во всей массѣ тѣла. Явленіе это называется давленіемъ жидкости. Разсмотримъ теперь сжимаемость и потомъ постараемся найти законы, по которымъ со- вершается передача давленія. Извѣстно, что Флорентійскіе академики старались доказать сжимае- мость воды и не имѣли успѣха. Они брали стеклянную трубку съ дву- мя изгибами въ видѣ сифонэ, и двумя шарами на концахъ ея, наполнен- ными водой; промежуточная трубка заключала въ себѣ воздухъ и весь приборъ былъ герметически закрытъ. При нагрѣваніи одного изъ шаровъ образовались пары и оказывали давленіе на воду въ другомъ шарѣ, но при этомъ не замѣчалось ни малѣйшаго пониженія уровня. Понятно, что
192 ДЕСЯТАЯ пары должны были сгущаться въ холодной части трубки и увеличивать тамъ количество жидкости, въ то же время когда давленіе уменьшало ея объемъ. Если бы физики сіеі Сішепіо взяли предосторожность отдѣлить эту жидкость слоемъ масла, то вѣроятно успѣли бы доказать явленіе, су- ществованіе котораго предполагали. Они потомъ пробовали сжимать воду столбомъ воды въ 24 Фута вышиною и не получили никакого уменьшенія объема въ испытуемой ея части. Наконецъ они подвергали сильному давленію серебрянный шаръ наполненный водой, но извѣстно, что при' этомъ жидкость продавливается сквозь стѣнки вмѣстилища. Опыты эти заставили тогда думать, что вода неспособна сжиматься. Опыты Кантона.—Въ 1761 году, Джонъ Кантонъ для того же из- слѣдованія употребилъ приборъ лучше соображенный, который состоялъ изъ шара, соединеннаго съ волосной трубочкой и походилъ на большой термометръ. Приборъ этотъ наполнили водой и, разогрѣвъ его, запаяли конецъ трубочки. По охлажденіи, уровень воды въ приборѣ понизился до опредѣленной высоты, неизмѣняемой для той же температуры, а надъ жидкостью образовалось пустое пространство. Тогда отломили оконечность трубочки и атмосферическое давленіе, подѣйствовавъ мгновенно на внут- ренность прибора, вдругъ понизило вершину жидкаго столба въ трубоч- кѣ. Но явленіе это произошло отъ двухъ причинъ: сжатія воды и рас- ширенія объема сосуда. Чтобы измѣрить это расширеніе, Кантонъ окру- жилъ шаръ безвоздушнымъ пространствомъ, .отчего уменьшилось давленіе атмосферы на сосудъ съ внѣшней стороны; но съ внутренней стороны оно должно было произвести прежнее увеличеніе объема сосуда. Кантонъ измѣрилъ пониженіе уровня воды при этомъ опытѣ, вычелъ его изъ пони- женія замѣченнаго въ первомъ опытѣ и полученная разность выразила сжатіе испытанное жидкостью. Такимъ образомъ было доказано, что вода дѣйствительно способна къ сжатію. Паркинсъ подтвердилъ это заключеніе посредствомъ опытовъ, произведенныхъ въ большомъ размѣрѣ и съ тѣхъ поръ этотъ Фактъ былъ признанъ всѣми. Оставалось только произ- вести точные опыты для измѣренія сжимаемости различныхъ жидкостей, но въ этомъ отношеніи надо было преодолѣть большія затрудненія. Опыты Эрстедта.—Эрстедтъ устроилъ съ этой цѣлью приборъ, на- зывамый пьезометромъ, который, подобно кантонову прибору, состоялъ изъ широкаго сосуда Сг (рис. 63^ съ волосной трубкой О на его вер- шинѣ, всегда открытой и оканчивающейся маленькой воронкой. Эта тру- бочка должна быть строго цилиндрической Формы и по всей ея длинѣ долж- ны быть сдѣланы дѣленія на равныхъ разстояніяхъ. Прежде всего надо про-
ЛЕКЦІЯ. 193 извести измѣреніе этого прибора, относительно вмѣ- стимости его всего и каждаго его дѣленія отдѣльно. Это дѣлается по общему способу, который мы опи- шемъ здѣсь для всѣхъ случаевъ, когда онъ можетъ намъ понадобиться впослѣдствіи. Сначала взвѣшиваютъ пустую трубку, потомъ вводятъ въ нее ртуть. Но просто влить ея въ со- судъ нельзя, потому что трубочка очень тонка и воз- духъ . заключающійся въ сосудѣ будетъ удерживать ртуть. Но надо для этого прежде всего разогрѣть намъ сосудъ, потомъ опрокинуть его трубочкой внизъ, погрузить ея конецъ въ ртуть и дождаться, пока со- кращеніе воздуха отъ охлажденія, заставитъ ртуть подняться внутрь сосуда. Потомъ надо повторить этотъ пріемъ столько разъ, сколько понадобится для наполненія всего сосуда. Достигнувъ этого, остав- ляютъ конецъ трубочки въ ртути и охлаждаютъ весь приборъ, окружая его льдомъ. Черезъ десять ми- Рис. 63. нутъ принимаютъ приборъ прочь и въ немъ тогда ртуть имѣетъ температу- ру 0°; взвѣшиваютъ его и изъ полученнаго вѣса Р вычитаютъ вѣсъ пустой Р ____________________ трубки р, и тогда —~ будетъ выражать вмѣстимость прибора, если И означаетъ плотность ртути при 0°. Нагрѣвая немного приборъ, заставляютъ изъ него выдти немного ртути и потомъ снова охлаждаютъ его во льду, причемъ замѣчается, противъ ка- кого дѣленія трубки будетъ находиться уровень ртути. Тогда окажется, какую часть трубки занимала ртуть выгнанная изъ нея? Положимъ, что эта часть заключаетъ въ себѣ п дѣленій. Снова взвѣшиваютъ приборъ и тогда полученное уменьшеніе вѣса Р — Р', раздѣленное на Б, выразитъ - Р —Р' объемъ п дѣленій трубки, а —будетъ означать вмѣстимость одного дѣленія. Сдѣлавъ такимъ образомъ этр .предварительное измѣреніе вмѣстимости сосуда, Эрстедтъ наполнялъ свой піезометръ жидкостью, которую хотѣлъ изслѣдовать и помѣщалъ въ маленькую воронку на концѣ трубочки кап- лю ртути, которая опускаясь въ трубочку во время сжатія заключенной- въ ней жидкости, имѣла назначеніе пробки, и служила также указате- лемъ для измѣренія объема испытуемой жидкости. Затѣмъ приборъ ут- верждался на латунной пластинкѣ, присоединялись къ нему термометръ Ь Физика. I. ‘ 3
194 ДЕСЯТАЯ и обращенная трубочка К, наполненная воздухомъ, которая должна была служить манометромъ; наконецъ, весь приборъ погружали въ сосудъ Е, на- полненный водой, гдѣ предназначалось производить давленіе на него. Сосудъ этотъ есть толстая стеклянная трубка, вмазанная въ латунную ножку Г и на верхній конецъ которой насажена трубка съ поршнемъ Б. Въ сосудъ наливается вода посредствомъ трубочки съ краномъ В до тѣхъ поръ, пока она начнетъ выливаться, по наполненіи всего сосуда, изъ боковаго отверзтія А. Тогда закрываютъ кранъ В и потомъ пони- жаютъ поршень помощію нажимательнаго винта С. Опускаясь, поршень сна- чала выгоняетъ воздухъ находившійся выше А, потомъ приходитъ на уровень съ этимъ отверзтіемъ, и, если продолжаетъ опускаться, то за- пираетъ его и сжимаетъ воду въ сосудѣ Е. Произведенное такимъ образомъ давленіе на жидкость, дѣйствуетъ въ то же время на внѣшнюю поверхность піезометра, а, посредствомъ ртут- наго указателя, также и на содержимую въ немъ жидкость. Можно ви- дѣть, что указатель при этомъ понижается на извѣстное число дѣленій, служащее мѣрою для видимаго уменьшенія объема этой жидкости. Дѣй- ствуя на жидкость, давленіе сообщается также и воздуху, заключенному въ манометрѣ; уменьшеніе его объема, происходящее отъ этого, измѣря- етъ самое давленіе. Такимъ .образомъ получается, съ одной стороны, дав- леніе Р, сжимающее жидкость, съ другой испытываемое ею уменьшеніе объема, ы. Раздѣливъ это количество ы выражающее сокращеніе объема жидкости, на ея объемъ V и на давленіе Р, выраженное посредствомъ атмосфернаго давленія, получимъ то, что называется среднимъ коеффи- ціентомъ видимой сжимаемости жидкости. Эрстедтъ нашелъ, что этотъ коеФФиціентъ равенъ 46 миллиметрамъ для воды, и принялъ этотъ выводъ за выраженіе дѣйствительной сжимае- мости этой жидкости. Вотъ его разсужденіе: пГезометръ не долженъ былъ измѣнить своей вмѣстимости, потому что подвергался одинакому давленью съ внутренней и внѣшней своей поверхности; если же онъ и потерпѣлъ это йзмѣненіе, то оно могло произойти только отъ уменьшенія толщины стѣнокъ самаго сосуда и должно быть нечувствительно. Но Эрстедтъ ошибался. И въ самомъ дѣлѣ, предположимъ, что піезометръ, вмѣсто на- полняющей его воды, - заключалъ бы въ себѣ сплошную массу стекла. Тогда, при дѣйствіи сжатія, онъ получилъ бы давленіе извнѣ, которое бы сообщилось внутренней массѣ стекла и уменьшило бы ея объемъ по за- конамъ кубической сжимаемости. Въ той же мѣрѣ уменьшилась бы и вмѣс- тимость оболочки, то есть самаго сосуда. И такъ въ предположенномъ
ЛЕКЦІЯ. 195 нами случаѣ, внутренняя масса стекла получила бы давленіе отъ оболоч- ки; испытавъ отъ этого сокращеніе въ своемъ объемѣ, она подѣйствова- ла бы обратно на оболочку съ равной силой. И такъ эта оболочка под- вергалась бы сжиманію снаружи внутрь и изнутри наружу дѣйствіемъ одинакаго давленія. Наполненная водою въ опытѣ Эрстедта, она подвергается тѣмъ же дѣйствіямъ, а слѣдовательно, и вліяніе на нее должно быть то же самое, то есть, что вмѣстимость ея должна уменьшиться, какъ уменьшился въ предположенномъ случаѣ объемъ внутренней Массы стекла, наполняв- шей эту оболочку, и она будетъ подвержена тому же давленію. Поэтому вотъ въ чемъ заключаются обстоятельства опыта Эрстедта. Положимъ, что V означаетъ вмѣстимость піезометра, Р давленіе, « КоеФФиціентъ сжи- маемости воды. Тогда испытанное ею уменьшеніе объема будетъ р-РѴ; оно и наблюдалось бы прямо, если бы вмѣстимость сосуда не измѣнялась. Но если С7 означаетъ КоеФФиціентъ кубической сжимаемости сосуда, то вмѣстимость его уменьшится на С'РѴ и на столько же поднимется уро- вень воды. Потому, означивъ наблюдаемое сокращеніе объема чрезъ « мы будемъ имѣть « = р.РѴ—С'РѴ или .й=^-с' Слѣдовательно, изъ наблюденія получится количество у. — С'; а что- бы найти у, нужно къ. этому количеству прибавить КоеФФиціентъ кубиче- ской сжимаемости стекла. Этого не сдѣлалъ Эрстедтъ, и потому получен- ные имъ результаты не точны. Опыты Колла дона и Штурма. — Колладонъ и Штурмъ показали ошибку, сдѣланную Эрстедтомъ, рѣшились исправить ее и предприняли для этого опыты съ приборомъ, который существенно не отличался отъ предъидущаго. Это тоже былъ піезометръ (рис. 64) съ такимъ же устройствомъ и такими же дѣленіями, какъ у прибора Эрстедта; онъ былъ заключенъ въ широкую и толстую трубку С, наполненную водой, на которую производилось давленіе. Все различіе между этими двумя приборами состояло въ томъ, что новый піезометръ былъ расположенъ горизонтально, и что давленіе измѣрялось манометромъ со ртутью КД съ Дѣленіями, сдѣланными болѣе тщательно, притомъ болѣе длиннымъ и, слѣ- довательно, болѣе чувствительнымъ. Давленіе производилось посредствомъ поршня, стержень котораго Д подвигали посредствомъ натягиванія шнур- 13‘
196 ДЕСЯТАЯ ка, навернутаго на воротъ, который приводился въ движеніе безконеч- нымъ винтомъ Н. Рис. 64. Колла донъ и Штурмъ замѣтили скоро причины погрѣшностей, хотя и незначительныхъ самихъ въ себѣ, но оказывающихъ значительное вліяніе на результатъ, потому что измѣряемая сжимаемость весьма мала. Ртут- ный указатель, помѣщенный на концѣ В піезометра, представлялъ неудоб- ства: онъ приставалъ къ стеклу и не двигался непрерывно, но послѣдо- вательными скачками, при увеличиваніи внѣшняго давленія. Ртуть замѣ- нили для указателя сѣрнистымъ углеродомъ или маленькимъ воздушнымъ столбикомъ, и тогда ходъ опытовъ получилъ большую правильность. Сверхъ того піезометръ есть настоящій термометръ и притомъ весьма чувстви- тельный, такъ какъ резервуаръ его очень великъ, а стержень весьма то- нокъ. Указатель подвигается впередъ, или отступаетъ, когда температура возвышается или понижается; а такъ какъ нельзя сжать воду, не разо- грѣвъ ее, или расширить ее безъ охлажденія, то при опытѣ наблюдают- ся сложныя явленія, производимыя въ одно и то же время измѣненіями давленія и температуры. Но эта причина погрѣшности устранена помѣ- щеніемъ резервуара въ лахань съ водой для поддержанія одинакой тем- пературы во всемъ приборѣ. Опыты эти не оставляютъ ничего болѣе желать.
I ЛЕКЦІЯ. 197 Но надобно было исправить мѣру сжимаемости стекла; и для этого совершенъ рядъ опытовъ слѣдующаго рода. Взятъ былъ стеклянный стер- жень цилиндрической Формы въ 1 метръ длиною и съ поперечнымъ разрѣ- зомъ въ 13,9 квадратныхъ миллиметровъ. Его вытягивали посредствомъ тяжести въ 8 килограммовъ и онъ удлиннился на 0м, 00006; потомъ отъ дѣйствія того же вѣса онъ сократился на такую же величину. Но желая опредѣлить какое давленіе оказываетъ атмосфера, на каждое оконечное сѣченіе стержня, найдемъ, что оно равно 138,8 граммами такъ какъ оно должно укоротить стержень пропорціонально этому вѣсу, то мы получимъ коли- чество 0м,0000011 для этого сокращенія длины: оно представитъ линей- ную сжимаемость для 1 метра длины и для атмосферическаго давленія. Колладонъ и Штурмъ были удивлены тѣмъ, что стеклянный стержень не испытываетъ никакого болѣе измѣненія, кромѣ сокращенія длины на 0м,000011 и что сѣченіе его не измѣняется, когда атмосферическое дав- леніе дѣйствуетъ только на оба его основанія. Они удивились также, уз- навъ, что при сжиманіи всей внѣшней поверхности стержня разомъ, онъ испытываетъ пропорціональное уменьшеніе во всѣхъ своихъ размѣрахъ; такъ что 1 длины обращается въ 1(1 — 0,0000011), радіусъ основанія — въ г (1 — 0,0000011) и что первоначальный объемъ л г21 измѣнеятся' въ л г2 ?(1 — 0,0000011)3; или приблизительно л г21 (1 — 0,0000033). Итакъ кубическое сжатіе для единицы объема и атмосферическаго дав- ленія есть 0,0000033, то есть равно тройной линейной сжимаемости. Кол-- ладонъ и Штурмъ признали этотъ результатъ точнымъ. Но мы показали выше, что при сжиманіи стержня въ одномъ направленіи, онъ испытываетъ въ одно и то же время сокращеніе длины и увеличеніе поперечнаго сѣче- нія, и что законы кубической сжимаемости не согласны съ положеніями Колладона и Штурма. Поэтому предъидущее разсужденіе не точно, и принятая поправка не основательна. Мы уже говорили о сжимаемости твердыхъ тѣлъ и сообщили, что Пу- ассонъ съ своей стороны и Вертеймъ съ своей вывели величину куби- ческой расширимости, одинъ изъ теоріи упругости, другой изъ своихъ опытовъ и Формулъ Коши. По Пуассону, эта величина равна линейнаго
198 ДЕСЯТАЯ сжатія, а по Вертейму, оба они равны по своимъ численнымъ величи- намъ. Въ предъидущемъ примѣрѣ, кубическая сжимаемость стекла поэто- му должна быть 0,0000016 по Пуассону, или 0,0000011 по Вертейіиу. Если теперь намъ надо исправить прямые результаты, полученные изъ опытовъ Колладона и Штурма, то мы должны къ найденнымъ резуль- татамъ прибавить уменьшеніе вмѣстимости сосуда, то есть 0,0000033, или 0,0000016, или 0,0000011, смотря потому, какой взглядъ на этѵгъ предметъ примется за истинный: Колладона и Штурма, Пуассона или Вертейма. Слѣдовательно, въ этомъ отношеніи остается еще неизвѣстность, уже встрѣчаемая нами прежде; къ несчастію, она значительная, такъ какъ бываютъ случаи, когда измѣренное дѣйствіе меньше самой поправки, ко- торую нужно сдѣлать для него. Возьмемъ для примѣра ртуть. Видимое' ея сжатіе весьма мало: для давленія атмосферы, оно составляетъ 0,00000173 доли всего объема. Къ этому числу надо прибавить тотъ или другой изъ предъидущихъ коеФФиціентовъ. Сдѣлавъ это, мы получимъ: безъ поправки................ 0,00000173 съ поправкой по Колладону и Штурму...... 0,00000503 по Пуассону................ 0,00000333 по Вертейму................. 0,00000283 Изъ этихъ чиселъ видно, какъ значительна поправка, которую надо внести въ опытъ, и что, не обладая точной величиной сжимаемости со- суда, разные испытатели приведены были къ результатамъ очень проти- ворѣчащимъ другъ другу. Предполагая сверхъ того, что нѣтъ никакой теоретической неизвѣстности относительно требуемой поправки, мы встрѣ- тимъ однако совершенно практическое затрудненіе въ этомъ отношевіи. Упругость вещества, изъ котораго сдѣланъ піезометръ, опредѣлена по- средствомъ вытягиванія даннаго образчика этого тѣла и полученное число должно было служить намъ для вычисленія сжатія сосуда, который пред- ставляетъ совсѣмъ другой образчикъ подобнаго же тѣла, неимѣющій ни той же плотности, ни того же частичнаго состоянія, даже иногда не' имѣетъ того же химическаго состава. И такъ понятно, что при весьма неравной упругости различныхъ родовъ стекла, которую однакожъ прини- мали за одинакую, испытатели впадали хвъ значительныя погрѣшности при вычисленіи сжимаемости піезометра, основываясь на удлинненіи вы- тягиваемаго стержня. Опыты Реньо/—Реньо, занимаясь другими изслѣдованіями, случайно былъ приведенъ къ разсмотрѣнію вопроса, занимающаго насъ теперь, и опыты его, которые онъ предпринялъ съ этой цѣлью, основаны на совер-
ЛЕКЦІЯ. 199 Рис. 65. шенно новой методѣ, и даютъ средство измѣрять, въ одно и то же время, сжимаемость и сосуда и жидкости. Онъ придалъ своему піезометру въ точности правильную геометрическую Форму: это былъ или металлическій шаръ, радіусы котораго, внутреній и внѣшній, были тщательно опредѣлены, или цилиндръ съ' плоскими основаніями, или трубка съ концами въ видѣ полушарій, какъ изображено на (рис. &5). Піезометръ его окан- чивался стеклянной термометрической трубкой СВ, хорошо калиброванной, и съ дѣленіями по всей ея длинѣ. Помощью предватительныхъ опы- товъ, онъ измѣрилъ вмѣстимость всего резер- вуара и каждаго дѣленія трубки. Резервуаръ піезометра былъ заключенъ въ мѣдный цилиндръ ВВ, наполненный водой и плот- но закрытый крышкой, прикрѣпленной къ сосуду посредствомъ болтовъ. Сквозь крышку прохо- дитъ примазанная къ ней трубка СВ; посредствомъ крана В можно открывать ея верхній конецъ и тѣмъ предоставлять дѣйствію атмосфери- ческаго давленія внутреннее содержаніе трубки; или вмѣсто того, посред- ствомъ трубки съ краномъ ЕЕ, приводить его въ сообщеніе съ резер- вуаромъ сжатаго воздуха. Такимъ образомъ піезаметръ можно, по жела- нію, подвергать изнутри сжиманію или ограждать отъ него. Съ другой стороны, сжатый воздухъ изъ того же резервуара можетъ передавать свое давленіе чрезъ трубку ЕСг въ сосудѣ ВВ; но можно так- же закрыть кранъ Сг и открыть Н, то есть можно или подвергать сжа- тію воду въ сосудѣ ВВ, или открывать ей сообщеніе съ атмосферой. Слѣ- довательно, здѣсь есть возможность подвергать піезометръ: 1) внѣшнему давленію; 2) внѣшнему и внутреннему въ одно время; 3) одному только внутреннему. Всѣ эти три рода опытовъ производятся послѣдовательно. I. Производятъ давленіе на сосудъ ВВ. Этотъ опытъ уже описанъ нами по поводу кубической сжимаемости. Жидкость, заключенная въ піезометрѣ, не испытываетъ на себѣ никакого дѣйствія въ этомъ случаѣ, только со- судъ А сжимается, уменьшается его объемъ, и уровень жидкости въ трубочкѣ поднимается. Пусть ы' означаетъ видимое возрастаніе объема жидкости; въ такомъ случаѣ мы знаемъ уже, что для сосуда сферической формы, эта величина выразится посредствомъ Формулы
200 ДЕСЯТАЯ -И'=3та-С'рѵ. Измѣривъ изъ опыта, зная величины радіусовъ сосуда В и В\ вмѣ- стимость его V, произведенное давленіе Р, можно вычислить (У, которое 1 • равно -г и выражаетъ коеФФиціентъ кубической сжимаемости вещества, изъ ч котораго сдѣланъ сосудъ, II. Производятъ въ одно время внутреннее и внѣшнее давленіе. ..Въ этомъ случаѣ піезометръ испытываетъ тѣ же дѣйствія, что и въ опытахъ Эрстедта а также Колладона и Штурма; наблюдаютъ уменьшеніе объема, удовлетворяющее отношенію и" = мРѴ —С'РѴ, а такъ какъ изъ перваго опыта опредѣлено (У, то по второму опредѣ- лится /л. Ш. Наконецъ производятъ сжатіе только изнутри; вода испытываетъ сокращеніе объема, сосудъ расширяется, и наблюденіе даетъ величину «, которую потому нѣтъ надобности вычислять. Но можно замѣтить, что одновременное давленіе изнутри и снаружи производитъ такое же дѣйствіе, какъ и при отдѣльномъ давленіи изнутри и снаружи; а потому ыі / = ы —а/; это отношеніе условіи подтверждается опытомъ, и это показываетъ точ- ность наблюденій. Въ заключеніе нашего разбора изслѣдованій этого рода приводимъ таблицу сжимаемости различныхъ жидкостей, по опредѣленію Грасси. Можно замѣтить здѣсь, что коеФФиціентъ сжимаемости какой нибудь жид- кости не есть величина постоянная: онъ уменьшается для воды, когда температура ея возрастаетъ, и напротивъ того, увеличивается при томъ же условіи для алькоголя, эѳира и хлороформа. Кромѣ того легко замѣтить но даннымъ этой таблицы, что коеФФиціентъ р постепенно увеличивается, по мѣрѣ того, какъ названныя три жидкости подвергаются все болѣе и болѣе сильному давленію. Явленіе это въ первый разъ показалъ Депрэ; онъ высказалъ, что вообще сжимаемость не пропорціональна давленію и что она, по всей вѣроятности, есть сложная Функція температуры и дав- ленія.
ЛЕКЦІЯ. 201 Таблица коеффиціентовъ сжимаемости. НАЗВАНІЕ ЖИДКОСТЕЙ. ТЕМПЕРАТУРА. СЖИМАЕМОСТЬ. ДАВЛЕНІЕ ВЪ АТМОСФЕРИ- ЧЕСКИХЪ ДАВЛЕНІЯХЪ, ИЗЪ КОТОРАГО ВЫВЕДЕНА СЖИМАЕМОСТЬ. Ртуть 0 0,0 0,00000295 « Вода 0,0 0,0000503 « ій 1,5 0,0000515 ій 4,1 0,0000499 ій 10,8 0,0000480 ' « ій 13,4 0,0000477 « ій 18,0 0,0000463' 4 ій. . . » 0,0000460 а ій 25,0 0,0000456 в ій 34,5 0,0000453 а ій 43,0 0,0000442 а ій 53,0 0,0000441 « Эѳиръ 0,0 0,000111 3,408 ій 0,0 0,000131 7,820 ій 14,0 0,000140 1,580 ій 13,8 0,000153 8,362 Алькоголь 7,3 0,0000828 2,302 ій 7,3 0,0000853 9,450 ій. . ' 13,1 0,0000904 1,570 ій 13,1 0,0000991 8,97 Древесный спиртъ. . . 13,5 0,0000913 » Хлороформъ. . . . . . 8,5 0,0000625 ій 12,0 0,0000648 1,309 ій ... 12,5 0,0000763 9,2
202 ДЕСЯТАЯ ЛЕКЦІЯ. РАСТВОРЕННОЕ ВЕЩЕСТВО. ТЕМПЕРАТУРА. СЖИМАЕМОСТЬ. Хлористый кальцій п° 1 . . . 17,5 0,0000306 іа п° 2. . . 15,8 206 іа м. ... 41,25 229 Хлористый натрій п° 1 . . . 18,5 321 іа п° 2 . . . 18,1 257 іа іа. ... 39,6 263 Іодистый калій 15,5 260 Азотнокислый натръ 18,1 295 Углекислый натръ 16.6 297 Морская вода 17,5 • 436 8О3+ 2НО ...... 13,6 242 8О3+ ЗНО 14,6 250 8О3 Н- 4НО 16,5 271 8О3+ 5НО 14,7 279 8О3+ 6НО 14,2 , 283 8О3 + ЮНО 14.6 315
ОДИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦІЯ. О равновѣсіи жидкостей. Гипотеза о сложеніи жидкостей. — Законъ Паскаля: давленіе, произ- водимое внутри жидкости на элементъ поверхности, перпендикулярно къ этой поверхности и независимо отъ ея положенія. — Законъ равно- мѣрной передачи давленій: если производитъ давленіе на единии/у плоской поверхности жидкости, то давленіе, сообщаемое чрезъ то ка- кой нибудъ плоской поверхности взятой внутри жидкости или на стѣнкахъ сосуда, заключающаго ее, равно произведенному давленію, умноженному на протяженіе этой поверхности. — Примѣненіе предъ- идущихъ законовъ къ тяжелымъ жидкостямъ.—Положеніе свободной поверхности жидкости. — Давленія внутргі жидкости. — Поверхности уровня.—Давленіе на стѣнки и особенно на дно сосуда. — Опытная повѣрка явленій. — Гидравлическій прессъ. — Приборъ Галъда. —• Раз- личные опыты. — Гидростатическій парадоксъ. — Сложеніе давленій производимыхъ на плоскую поверхность: на стѣнки сосудовъ; на по- груженныя тѣла. Гипотеза относительно частичнаго сложенія жидкостей. — Показавъ, что жидкости способны къ сжиманію и упруги, разсмотримъ те- перь въ частности, какимъ образомъ давленіе, оказываемое на нихъ извнѣ, распространяется въ ихъ массѣ; но сначала замѣтимъ, что жидкости имѣ- ютъ свойство характеризующее ихъ и служащее для ихъ опредѣленія. Вообще онѣ сами по себѣ не имѣютъ никакой Формы, но получаютъ ее отъ сосудовъ, въ которыхъ онѣ заключены. Частицы ихъ, не сцѣпля- ясь между собою, какъ въ твердыхъ тѣлахъ, могутъ скользить однѣ по Другимъ, безъ тренія, подъ вліяніемъ самой незначительной силы и без- прерывно перемѣщаться; причемъ каждая изъ нихъ послѣдовательно за-
204 ОДИННАДЦАТАЯ нимаетъ и покидаетъ опредѣленныя мѣста, замѣщаясь другою, безъ об- щаго нарушенія равновѣсія. Какъ естественное слѣдствіе изъ этой дознанной подвижности частицъ жидкости, предполагаютъ, что, если бы жидкость, заключаясь въ сосудѣ, не подвергалась дѣйствію ни тяжести, ни какихъ либо силъ происхо- дящихъ отъ стѣнокъ сосуда, то она должна быть составлена одинакимъ образомъ во всей своей массѣ, изъ частицъ, удерживаемыхъ на равныхъ разстояніяхъ во всѣхъ направленіяхъ около всѣхъ точекъ въ жидкости. А изъ этого необходимо слѣдуетъ, что свойства жидкости одинаковы во всѣхъ частяхъ сосуда и во всѣхъ направленіяхъ около каждой точки, ка- ково бы ни было ея положеніе. Съ другой стороны, частицы эти оказываютъ другъ на друга взаим- ныя дѣйствія. Если, помощію какой либо силы, будетъ произведено вза- имное сближеніе или удаленіе частицъ, то онѣ будутъ взаимно отталки- ваться или притягиваться и стремиться возстановить свои прежнія раз- стоянія; по причинѣ же симметріи, существующей во всѣхъ направле- ніяхъ, въ жидкости эти упругія силы должны быть равны во всѣхъ точ- кахъ и во всѣхъ направленіяхъ. Но понятіе это относительно частичнаго сложенія жидкостей, устра- ненныхъ отъ дѣйствія тяжести, какъ ни кажется оно основательнымъ, есть однакоже не болѣе какъ гипотеза. Но когда она допущена, то свой- ства жидкостей дѣлаются . легко понятными и предвидятся теоретически. Мы будемъ держаться слѣдующаго порядка въ разборѣ этихъ свойствъ. Сначала мы предположимъ жидкости неимѣющими вѣса и разсмотримъ, какія бы онѣ имѣли свойства въ такомъ случаѣ; потомъ мы изслѣдуемъ, какое дѣйствіе на нихъ должна производить тяжесть, и повѣримъ на опы- тѣ предсказанные нами законы. Равновѣсіе жидкостей устраненныхъ отъ дѣйствія тяжести.— Представимъ себѣ сосудъ V какой нибудь Формы (рис. 66) съ двумя трубками А и В равнаго діаметра, наполнен- ными какою'нибудь жидкостью до М и М'; по- Рис. 66. -----------ложимъ, что въ части М трубки находится подвижный поршень, и что нажимая на него, Л мы заставляемъ его опускаться. Тогда всѣ час- тицы жидкости будутъ перемѣщаться въ одно время, сохраняя первоначальныя разстоянія меж- ду собою; ничто не измѣнится въ сложеніи жид- кости, и она сохранитъ свой объемъ, но только перемѣстится и уровень
ЛЕКЦІЯ. 205 ея въ трубкѣ В поднимется" на такую высоту, на какую онъ опустится въ трубкѣ А. Если же, не оставляя болѣе трубку В открытой, мы ее закроемъ въ части М', то опытъ будетъ совсѣмъ иной и результатъ его совершенно перемѣнится. Жидкость не будетъ болѣе имѣть возможности подниматься въ М', а поршень опускаться отъ М до Ы, безъ значительнаго давленія на него; но при такомъ давленіи жидкость сожмется и придетъ въ новое состояніе равновѣсія, оставаясь однородною, а частицы ея сблизятся между собою, помѣстившись на разстоянія другъ отъ друга меньшія, нежели прежде, но равныя во всѣхъ частяхъ сосуда и во всѣхъ направленіяхъ около каждой точки. Между всѣми сближенными частицами развивается упругое отталки- ваніе, которое стремится возстановить ихъ прежнія разстоянія; оно дѣй- ствуетъ также и на стѣнки сосуда, заставляя ихъ раздаваться и снова оказывать ему противодѣйствіе для поддержанія сжатой жидкости. Вслѣд- ствіе того жидкость и сосудъ будутъ находиться въ состояніи напряже- нія и произойдетъ равновѣсіе между отталкивательными силами частицъ и противодѣйствіемъ стѣнокъ сосуда. Разсмотримъ послѣдствія этого напряженнаго состоянія: 1) . Представимъ себѣ какой нибудь элементъ М въ массѣ жидкости (рис. 67). Частицы, раздѣляемыя имъ, съ той и съ другой стороны отъ него, оказываютъ другъ на друга взаимное от- талкиваніе, какъ будто бы между ними находилась Рис- 67• напряженная пружина. Сила эта называется давлс- ніемъ на элементъ. Она одинакова съ обѣихъ сто- / і \ ровъ, такъ какъ здѣсь есть равновѣсіе, а по причи- I / / нѣ симметріи жидкости во всѣхъ направленіяхъ, \ ] эта сила перпендикулярна къ поверхности М, неза- висимо отъ ея направленія, и одна и та же для всѣхъ элементовъ, равныхъ первому и между собою, какіе мы только можемъ представить себѣ внутри жидкости или у стѣнокъ сосуда. Въ этомъ и со- стоитъ то, что называется закономъ Паскаля или равномѣрностью дав- ленія. 2) Законъ этотъ справедливъ нетолько для элементарныхъ поверхнос- тей, но примѣняется также и ко всѣмъ другимъ плоскимъ поверхностямъ, равнымъ между собою, потому что эти послѣднія составлены изъ одина- коваго числа равныхъ элементовъ, получающихъ одинакое давленіе, и въ одномъ и томъ же направленіи. Поэтому, если будетъ открыто въ стѣн-
206 ОДИНАДЦАТАЯ кахъ сосуда отвер вставленъ въ него Рис. 68. гіе А съ разрѣзомъ равномъ а (рис. 68^ и будетъ плоскій поршень, нагнетаемый тяжестью Р, то оно будетъ испытывать со стороны жидкости противодѣй- ствіе, равное тяжести Р, такъ какъ эта послѣдняя будетъ уравновѣшиваема имъ. Слѣдовательно и вся- кая плоская поверхность а внутри жидкости или на стѣнкахъ сосуда будетъ испытывать то же давленіе Р. Поэтому, если будетъ открыто отверзтіе В или С, равное а, то, для поддержанія въ равновѣсіи этихъ частей стѣнокъ сосуда, нужно производить на нихъ извнѣ внутрь давленіе равное Р. Тогда говорятъ, что давленіе, производимое на А, передается въ В и С, и подъ этимъ надо разумѣть; что жидкость, уменьшившись въ объемѣ, оказываетъ упругое противодѣйствіе, равное во всѣхъ направленіяхъ и во всѣхъ частяхъ жидкости. Изъ этого выводится слѣдующій законъ, называемый закономъ равномѣрной передачи давленій. Всякое давленіе, оказываемое на жидкость плоскою частью стѣ- нокъ сосуда, передается съ тѣмъ же напряженіемъ каждой равной ей части плоской поверхности, взятой въ жидкости или на стѣнкахъ со- суда. 3) Такъ какъ давленіе вѣса Р, оказываемое на жидкость посредствомъ поршня А, передается отдѣльно на каждую изъ сосѣднихъ площадей В и С, равныхъ а, (рис. 69), то можно предположить ихъ и соединен- ными, и въ такомъ случаѣ онѣ будутъ соотвѣтствовать Рис. 69. поршню съ поверхностью равною 2а, и выдержива- ющему давленіе равное 2Р. Подобнымъ же образомъ, если бы поршень былъ равенъ За, то онъ произ- X ''Й водилъ бы давленіе равное ЗР, и вообще, онъ ока- I ) зывалъ бы давленіе Р' равное Р , если бы онъ \ ’ / имѣлъ какую нибудь поверхность равную 6; и такъ --—мы будемъ имѣть слѣдующее общее отношеніе Р___ а_г Р' ~ ~ъ' и предъидущій законъ получитъ обобщеніе: Когда заключенная со всѣхъ сторонъ жидкость подвергается внѣш- нему давленію, то всѣ плоскія поверхности, какія только можно пред- ставить себѣ внутри сосуда, испытываютъ давленія, пропорціональ- ныя ихъ квадратнымъ протяженіямъ.
ЛЕКЦІЯ. 207 Мы должны остановиться преимущественно на двухъ слѣдствіяхъ изъ этого общаго закона, такъ какъ онѣ весьма любопытны и притомъ легко могутъ быть повѣрены опытомъ. Если надавливающій поршень несетъ тяжесть Р и сѣченіе его равно 1, то давленіе, оказываемое жидкостью на поверхности, равныя 1, 10, 100, 1000, будетъ равно Р, 10 Р, 100 Р, 1000 Р. Слѣдовательно, посредствомъ малаго вѣса можно произвести какое угодно большое давленіе. Можно измѣнить выраженіе этого вывода и представить его въ та- комъ видѣ: если возьмемъ нагнетательные поршни съ сѣченіями равными 1, 10, 100, 1000, и на которые дѣйствуютъ тяжести Р, 10 Р, 100 Р, 1000 Р, то они всегда произведутъ посредствомъ жидкости одно и то же давленіе Р на плоскую поверхность, протяженіе которой равно единицѣ, то есть произведутъ одинакое давленіе внутри жидкости. Равновѣсіе тяжелыхъ жидкостей. — До сихъ поръ мы говорили только о случаѣ совершенно гипотетическомъ, когда жидкости устранены отъ дѣйствія тяжести. Но когда эта сила дѣйствуетъ, то она измѣняетъ ихъ состояніе равновѣсія, производя давленія внутри ихъ, но не нару- шая ихъ основныхъ свойствъ. Поэтому, всякій разъ, когда производится на жидкости внѣшнее давленіе, то онѣ подвергаются въ одно и то же время, и этому давленію, и дѣйствію тяжести, такъ что оба эти дѣйствія совмѣщаются. Слѣдовательно, всѣ выводимые нами законы относительно передачи давленій сохранятъ свое значеніе и въ этомъ случаѣ, то есть когда дѣйствуютъ и частичныя измѣненія, производимыя тяжестью, из- мѣненія, которыя мы легко можемъ предвидѣть, примѣняя къ нимъ предъ- идущіе законы. Но не приступая пока къ этому, и желая облегчить себѣ изученіе дѣйствій тяжести, разсмотримъ прежде особенный случай: предположимъ, что сосудъ какой нибудь Формы наполненъ жидкостью, неимѣющею тя- жести, и что на эту жидкость давитъ своею тяжестью горизонтальный поршень ВЕ какого нибудь протяженія (рис. 70), составленный изъ плас- тинки однообразной толщины. Рис. 70. Онѣ произведетъ давленіе равное своему и-яц| вѣсу на всю поверхность жидкости, равную Д||г площади его разрѣза. На поверхность АВ, рав- ИІік ную половинѣ этой площади, онъ окажетъ давле- МИГ ніе, равное половинѣ его вѣса, или равное вѣ- Ц|||| су половины ВС всего поршня. Вообще же на т какое нибудь протяженіе ВЕ онъ произведетъ
208 ОДИННАДЦАТАЯ давленіе равное вѣсу части поршня СгН, протяженіе которой равно ВЕ. То же самое будетъ и въ томъ случаѣ, когда разсматриваемая поверхность будетъ не горизонтальна, какъ мы до сихъ поръ предполагали, а наклонна или вертикальна., Слѣдовательно, всякая плоская поверхность, какое бы она ни имѣла положеніе, взятая внутри жидкости или на стѣнкахъ со- суда, будетъ находиться въ такихъ же условіяхъ, какъ если бы она была покрыта частью поршня равною ей самой. Кромѣ того, этотъ поршень можетъ имѣть какіе бы то ни было раз- мѣры, не измѣняя производимаго имъ дѣйствія, потому что, еслибы по- верхность его была равна 1, 10, 100..., то соотвѣтствующій вѣсъ его былъ бы Р, 10 Р, 100 Р...., и онъ, во всѣхъ этихъ случаяхъ, произво- дилъ бы одинакое давленіе Р на каждую единицу поверхности внутри жидкости. Такимъ образомъ, давленіе, оказываемое такимъ поршнемъ на жид- кость: 1) одинаково во всей жидкости; 2) независимо отъ направленія поверхностей испытывающихъ давленіе; 3) равно и противоположно само- му себѣ на двухъ сторонахъ каждаго элемента поверхности; 4), дѣй- ствуетъ на всякую поверхность такимъ образомъ, какъ будто бы она подвергалась вѣсу части поршня, равной ей самой; б), давленіе не измѣ- няется при перемѣнѣ поверхности поршня. Разсмотримъ теперь жидкости въ томъ видѣ, какъ онѣ намъ пред- ставляются, теперь какъ имѣющія тяжесть. Свободная поверхность ихъ должна располагаться горизонтально, потому что, еслибы она была на- клонна (рис. 71,), то можно было бы принимать, что на какую нибудь Рис. 71. частицу М дѣйствуютъ двѣ составляющія ея вѣсъ, одна перпендикулярно, а другая параллельно къ по- верхности жидкости. Первая не произведетъ ника- кого дѣйствія, а вторая, напротивъ того, заставитъ частицу скользить по наклонной поверхности. Слѣдо- вательно, равновѣсіе можетъ установиться только въ томъ случаѣ, когда эта составляющая уничтожится, то есть когда повер- хность жидкости сдѣлается перпендикулярной къ направленію тяжести: Такимъ образомъ выводится и объясняется отношеніе, постоянно подтвер- ждаемое опытомъ. Доказавъ это, предположимъ, что масса жидкости въ сосудѣ (рис. 12) раздѣлена на безконечно тонкіе горизонтальные слои; они будутъ давить на слои лежащіе подъ ними и сами будутъ выносить давленіе осталь- ныхъ слоевъ, лежащихъ надъ ними, какъ будто бы эти послѣдніе состав-
'ЛЕКЦІЯ. 209 Рис. 72. ляли столько же поршней, налегающихъ одинъ на другой. Но такъ какъ, по нашему предполо- женію, каждый слой имѣетъ элементарную тол- щину, то можно принимать, что давленіе въ нихъ неизмѣнное, или, говоря иначе, что жид- кость, заключенная въ каждомъ изъ слоевъ, можно разсматривать какъ неимѣющую тяжести. И такъ мы пришли къ уподоб- ленію каждаго элементарнаго слоя МЫ невѣсомой жидкости, подверженной давленію вѣса налегающаго на него жидкаго слоя неизмѣнной толщины. Этотъ послѣдній сло^ въ точности осуществляетъ собою тотъ вообража- емый поршень, который мы себѣ представляли выше. Слѣдовательно, этотъ слой долженъ производить тѣ же дѣйствія, что и означенный поршень, 'и всѣ выведенныя нами слѣдствія для дѣйствія этого поршня оправдаются и для слоя МЫ: намъ остается только повто- рить ихъ въ болѣе развитомъ видѣ. 1) Давленіе одинаково во всемъ протяженіи слоя МЫ. Такимъ обра- зомъ мы приходимъ къ общему слѣдствію, выражающему одно изъ самыхъ важныхъ свойствъ тяжелыхъ жидкостей, то есть, что давленіе одинаково на всемъ протяженіи одного и того же горизонтальнаго слоя. 2) Если мы представимъ себѣ въ слоѣ жидкости какой нибудь эле- ментъ поверхности, въ горизонтальномъ, вертикальномъ или наклонномъ положеніи, помѣщенный въ жидкости или на стѣнкахъ сосуда, то онъ бу- детъ испытывать такое давленіе, какое получилъ бы, еслибы, совершивъ вращеніе около своей оси,1 онъ сдѣлался горизонтальнымъ. 3) Всякая поверхность, взятая внутри жидкости, испытываетъ давленіе съ обѣихъ своихъ сторонъ отъ силъ вертикальныхъ, равныхъ между со- бою и противоположныхъ другъ другу, дѣйствующихъ въ каждой точкѣ этой поверхности. 4) Давленіе производимое на какую нибудь элементарную поверхность РР', равно вѣсу жидкости налегающей сверху, то есть вѣсу цилиндри- ческаго столба жидкости, имѣющаго своимъ основаніемъ эту элементар- ную поверхность, а высотою — разстояніе этой послѣдней отъ уровня жид- кости. 5) Такъ какъ давленіе, производимое тяжелымъ однороднымъ пор- шнемъ, не измѣняется вмѣстѣ съ его поверхностью и какъ онъ замѣ- няется здѣсь рядомъ тяжелыхъ элементарныхъ слоевъ, налегающихъ другъ на Друга, то давленіе не зависитъ отъ протяженія каждаго изъ нихъ. Слѣдовательно, все равно будетъ ли сосудъ расширенъ или съуженъ Физика I. 14
210 ОДИННАДЦАТАЯ къ своей вершинѣ, будетъ ли онъ прямой или наклонный, или получитъ какую нибудь сложную Форму, во всякомъ случаѣ останется одно и то же давленіе въ слоѣ, лишь бы только высота жидкаго столба оставалась не- измѣнной. 6) Если наконецъ, мы пожелаемъ дополнить этотъ перечень свойствъ жидкостей, то должны припомнить, что давленіе производимое механи- ческимъ дѣйствіемъ на данную поверхность стѣнокъ сосуда, передается равномѣрно всѣмъ равнымъ ей поверхностямъ и пропорціонально ихъ протяженіямъ, если онѣ не равны. Явленія эти присоединяются къ тѣмъ, которыя производитъ тяжесть, не измѣняя ихъ. Таковы слѣдствія теоріи. Теперь остается повторить ихъ, показавъ, что всѣ опыты служатъ къ ихъ подтвержденію. Гидравлическій прессъ. — Доказавъ, что давленіе, производимое поршнемъ съ сѣченіемъ равнымъ 1, передается увеличенное въ 10, 100, 1000 разъ, другому поршню съ сѣченіемъ равнымъ 10, 100, 1000, Пас- каль придумалъ воспользоваться этимъ закономъ для произведенія весьма значительныхъ механическихъ дѣйствій помощію весьма малой силы и изобрѣлъ гидравлическій прессъ (рис. 73). Существенную часть его со- Рис. 73. ставляетъ маленькій нагнетательный насосъ АВ, посредствомъ котораго вода вталкивается въ сосудъ съ широкимъ и подвижнымъ, восходящимъ поршнемъ СВ. Нагнетаемая туда вода поднимаетъ этотъ поршень и за- ставляетъ его прижимать къ прочной перекладинѣ пресса предметы поло- женные сверху поршня. Приборъ этотъ, имѣя назначеніе примѣнять за- конъ давленій къ полезной цѣли, можетъ служить и для доказательства этого закона. Положимъ на большой поршень грузъ въ 1000 килограм-
ЛЕКЦІЯ. 211 Рис. 74. мовъ и посмотримъ какую тяжесть нужно положить на малый поршень, чтобы уравновѣсить этотъ грузъ. Окажется, что для этого достаточно 1 килограмма, если отношеніе между поверхностями обоихъ поршней какъ 1000 къ 1, что и служитъ подтвержденіемъ закону пропорціональной пе- редачи давленій. Приборъ Паскаля.—Стеклянный сосудъ М, (рис. 74) удержива- емый на подставкѣ, оканчивается снизу пустымъ металлическимъ цилинд- ромъ, нижніе края котораго отшлифованы въ одной плоскости. Къ нимъ приклады- вается плоская заслонка ВС и удержи- вается въ этомъ положеніи посредствомъ нити, привязанной къ чашкѣ вѣсовъ и натягиваемой посредствомъ тяжестей поло- женныхъ на другую чашку. Заслонка эта, слѣдовательно, составляетъ дно сосуда М. Потомъ наливаютъ въ сосудъ воды, кото- рая и производитъ давленіе на дйо, мало по малу возрастающее, до того, что сдѣ- лается равнымъ вѣсу, положенному на дру- гую чашку вѣсовъ. Лишь только давленіе на дно превыситъ этотъ предѣлъ, засло- ночка тотчасъ же понизится и вода бу- детъ выливаться въ сосудъ Е. Тогда уро- вень ея понизится, давленіе уменьшится и заслонка возвысится, снова при- станетъ къ нижнему концу сосуда и закроетъ его. Повторяя много разъ этотъ опытъ, измѣряютъ уровень жидкости въ моментъ нарушенія равно- вѣсія, замѣчая его положеніе посредствомъ остроконечія А. Послѣ того снимаютъ съ подставки сосудъ М, привинченный къ цилиндру Е, и замѣняютъ его другими сосудами различной Формы и ши- рины и доказываютъ тогда, что вода начинаетъ вытекать изъ сосуда снизу всегда въ тотъ моментъ, когда жидкость достигаетъ въ сосудѣ прежняго уровня. Изъ этого заключаемъ, что давленіе на дно сосудовъ независитъ отъ ихъ Формы. Можно достигнуть еще большей опредѣли- тельности въ этомъ началѣ: свѣсимъ воду, которую мы должны налить въ цилиндрическій сосудъ М' для уравновѣшенія прибора и тогда най- демъ, что вѣсъ ея равенъ тяжести, положенной на вѣсы. Слѣдовательно, давленіе, оказываемое жидкостью на заслонку СБ, равно вѣсу налегающаго на нее цилиндрическаго столба воды. 14*
212 ОДИННАДЦАТАЯ Другой приборъ (рис. 75^, служащій для той же цѣли, имѣетъ и устройство подобное же, съ тою только разницею, что коромысло вѣсовъ Н поддерживаетъ за- Рис. 75. слонку, закрывающую нижнее отверзтіе со- суда, не сверху, но подпираетъ ее сни- зу въ з. Приборъ Галь- да.—Третій приборъ, придуманный Галь да, служитъ для подобна- го же опыта (рис. 76/ Онъ состоитъ изъ стеклян- ной трубки СВ съ двумя вертикальными колѣнами на обоихъ концахъ. Одинъ изъ нихъ, В, свободенъ а дру- гой оканчивается металли- ческой трубкой, на которую- навинчиваются сосуды различной Формы, какъ въ предъидущемъ опытѣ, и также съ вертикальнымъ остріемъ для обозначенія уровня. Трубка СВ наполнена ртутью, уровень которой въ С образуетъ дно сосуда, и на Рис. 76. него то производится давленіе. На- ливъ въ сосудъ воды до уровня А, мы замѣтимъ, что уровень ртути въ В поднимется и можно обозначить его посредствомъ подвижнаго металличе- скаго кольца, обхватывающаго трубку. Потомъ сосудъ опоражниваютъ помо- щію крана В и замѣщаютъ его по- слѣдовательно двумя ' другими сосу- дами М' и М" и наполняютъ ихъ водою до прежней высоты: тогда и ртуть въ В поднимется настолько же какъ и прежде; а изъ этого надо заключить, что давленіе, оказываемое жидкостью на дно сосудовъ, не зависитъ отъ ихъ Формы.
ЛЕКЦІЯ. 213 Давленіе снизу вверхъ.—Теорія показываетъ, что давленіе на обѣ стороны погруженной въ жидкость пластинки, одинаково. Къ отшли- фованнымъ краямъ нижняго конца широкой трубки ЕБ, прикладывается, въ видѣ заслонки, плоское матовое стекло, или еще лучше, тонкая карта А незначительнаго вѣса (рис. 77). Потомъ приборъ этотъ погрузимъ въ Рис. 77. воду придерживая карту посредствомъ нити, при- крѣпленной къ верхней ея сторонѣ. Карта или сте- клянная пластинка не отпадетъ отъ отверзтія трубки и тогда, когда мы опустимъ нить; слѣдовательно, та или другая будетъ удерживаться на своемъ мѣстѣ давленіемъ жидкости снизу. Если мы захотимъ из- мѣрить то давленіе, то должны произвести противо- положное давленіе, наливая воды въ трубку до тѣхъ поръ, пока пластинка не начнетъ опускаться, а это произойдетъ тогда, когда уровень въ трубкѣ будетъ находиться почти на одной высотѣ съ уровнемъ въ сосудѣ. Въ эту минуту давленіе снизу вверхъ на заслонку А будетъ равно давленію сверху внизъ, то есть вѣсу цилиндрическаго столба воды, основаніе котораго будетъ составлять заслонка, а высоту—разстояніе этой послѣдней отъ уровня воды въ сосудѣ. Тотъ же опытъ можетъ быть произведенъ и съ искривленной трубкой, нижнее отверзтіе которой будетъ косвенно или вертикально; онъ дока- жетъ существованіе въ жидкости давленія въ косвенномъ и горизонталь- номъ направленіяхъ, согласно съ законами выведенными изъ теоріи. Боковое давленіе жидкости. — Для доказательства того, что жид- кость въ сосудѣ Указываетъ давленіе и по сторонамъ, чаще всего до- вольствуются слѣдующими опытами. На пробковый поплавокъ помѣщаютъ сосудъ наполненный Рис.. 78. водой (рис. 7%) и имѣющій съ одной стороны от. верзтіе съ краномъ А. Когда кранъ закрытъ, то жид- кость находящаяся въ немъ испытываетъ давленіе отъ А/ къ А, а противоположная стѣнка А/ полу- чаетъ равное ему и обратное давленіе; такъ что оба эти давленія уравновѣшиваются. Когда же откроемъ кранъ, то оба эти давленія произведутъ свое дѣй- ствіе: одно заставитъ вытекать воду, а другое будетъ побуждать самый сосудъ двигаться въ сторону, про- тивоположную отъ крана.
214 ОДИННАДЦАТАЯ Приборъ, извѣстный подъ названіемъ сегнерова колеса (рис. 79), ос- нованъ на томъ же началѣ. Онъ состоитъ изъ сосуда наполненнаго во- Рис. 79. дой и установленнаго такимъ образомъ, что онъ можетъ обращаться около своей вер- тикальной оси.- При вершинѣ этого сосуда находится кранъ, а около основанія—двѣ горизонтальныя и согнутыя подъ угломъ весьма узкія трубочки. Пока кранъ закрытъ, вода удерживается въ сосудѣ дѣйствіемъ атмосферическаго давленія, когда же от- кроемъ его, то вода начнетъ вытекать изъ оконечностей горизонтальныхъ трубочекъ. Отъ противодѣйствія давленія въ сторону противоположную этимъ оконечностямъ, со- судъ будетъ вращаться около своей оси. Гидростатическій парадоксъ. — Законы равновѣсія жидкостей приводятъ къ слѣдствіямъ, которыя съ перваго взгляда кажутся весьма странными. Если возьмемъ цилиндрическую трубку (рис. 80) съ основа- Рис. 80. А В ніемъ равнымъ- 1 квадратному десиметру и вольемъ туда 1 килограммъ воды, то вода бу- детъ доходить въ трубкѣ до высоты равной 1 десиметру, а давленіе, которое она произве- детъ на дно трубки, будетъ равно вѣсу этой воды, то есть 1 килограмму. Если же сосудъ будетъ не цилиндрическій, а расширенный до того, что высота жидкаго столба уменьшится до 1 сантиметра, то давленіе, которое будетъ вы- держивать дно этого сосуда приравняется */10 килограмма. По той же причинѣ, если сосудъ съузится сверху и прежнее количество жидкости поднимется въ немъ до высоты 10, 100, 1000 десиметровъ, то и давленіе этого столба воды будетъ равно 10, 100, 1000 килограммамъ. Однакожъ во всѣхъ означенныхъ, случаяхъ, если свѣсимъ нашъ сосудъ съ водой на вѣ- сахъ, то всегда получимъ вѣсъ содержимой въ немъ воды равный 1 килограм- му. Повидимому, здѣсь есть противорѣчіе, такъ какъ давленіе на дно различ- но, а вѣсъ жидкости неизмѣненъ; это то кажущееся противорѣчіе и на- зывается гидростатическимъ парадоксомъ. Но обсудивъ полученное яв- леніе, мы найдемъ, что въ первомъ случаѣ разсматривается исключитель-
ЛЕКЦІЯ. 215 но то давленіе, которое производится на дно сосуда; оно дѣйствительно измѣняется при разныхъ опытахъ. Во второмъ же случаѣ вѣсы даютъ намъ вертикальную составляющую всѣхъ давленій, производимыхъ на всѣ стѣнки сосуда. Эта составляющая или сумма всѣхъ сказанныхъ давленій равна вѣсу жидкости, какъ это мы докажемъ ниже, разсмотрѣвъ сначала сложеніе давленій. Сложеніе давленій. — Какая нибудь горизонтальная поверхность взятая внутри жидкости, испытываетъ во всѣхъ своихъ элементахъ дав- ленія равныя, параллельныя между собою и пропорціональныя глубинѣ. Если мы хотимъ найти для всѣхъ этихъ давленій одну равнодѣйствую- щую, то должны поступить точно также, какъ и для отысканія центра тяжести, и точка приложенія этой равнодѣйствующей, называемая цент- ромъ давленія, совпадаетъ поэтому съ центромъ тяжести, а напряженіе равнодѣйствующей равно вѣсу жидкости, производящей давленіе. Вопросъ будетъ сложнѣе для какой бы Рис. 81. то ни было поверхности АВСБ (рис. 81/ Откинемъ ее въ горизонтальное положеніе АГВ'СЯО и представимъ себѣ, что на каж- дый ея элементъ опирается тонкій столбъ жидкости, вѣсъ котораго выражаетъ дав- леніе, испытываемое элементомъ. Понятно, что тогда высота 'каждаго такаго столба будетъ равна глубинѣ или разстоянію каж- даго элемента отъ уровня жидкости. Всѣ эти жидкіе столбы взятые вмѣстѣ со- ставятъ многогранникъ АВСБА'ВС Вѣсъ этого многогранника, приложенный къ его центру тяжести Сг, представитъ полное давленіе, испытываемое поверх- ностью А'В'СТ), а точка Р, въ которой вертикальная линія СгР встрѣ- чаетъ данную поверхность, приведенную нами въ горизонтальное поло- женіе, составитъ центръ давленія. ' Въ томъ случаѣ, когда поверхность АВСЮ, испытывающая давленіе есть вертикальный прямоугольникъ, основанія котораго АВ и СР гори- зонтальны и притомъ первая изъ нихъ расположена на уровнѣ жидко- сти, построенный нами прямоугольникъ есть призма; центръ тяжести ея въ точкѣ Сг, на разстояніи двухъ третей длины линіи, соединяющей точ- ку Е съ срединой прямоугольника АВСР. Опустивъ же перпендикуляръ изъ центра тяжести Сг на линію ЕЕ, точка встрѣчи его съ горизонталь- ной плоскостью будетъ Р, на разстояніи двухъ третей высоты ЕЕ пря-
216 ОДИННАДЦАТАЯ моуголышка, считаа ее отъ Е. Точка Р въ этомъ частномъ случаѣ озна- чаетъ положеніе центра давленія. Но если поверхность испытывающая давленіе погрузится въ жидкость, оставаясь параллельною самой себѣ, то центръ давленія перемѣнитъ мѣ- сто и поднимется ближе къ АВ. Разсмотримъ, напримѣръ, два равныхъ прямоугольника АВІК, и АВСБ (рис. 82) гдѣ сторона КЯ расположе- Рис 80 на на уровнѣ жидкости. Откинемъ всю поверх- ность въ горизонтальное положеніе и построимъ многогранникъ совокупностью жидкихъ столбовъ 4 к / опирающихся на всѣ точки этой поверхности. \ ...\ч Центръ давленія прямоугольника АВІК, отки- \ нутаго въ положеніе А'В'ЬМ, найдется какъ А \ и въ ПредЪИдущемъ случай, а центръ давленія ................прямоугольника АВСВ, откинутаго въ положе- о -—\/ ніе А'В'СО, найдется, когда будутъ отысканы ь центры тяжести налегающихъ на нее двухъ призмъ прямоугольной и трехгранной. Верти- кальныя линіи, проходящія чрезъ эти центры тяжести, встрѣтятся съ горизонтальной плоскостію: одна въ точкѣ О, на разстояніи КО равномъ половинѣ высоты прямоугольника, вторая—въ точкѣ Р, на разстояніи КР, равномъ двумъ третямъ этой высоты. Остается найти точку приложенія равнодѣйствующей двухъ вѣсовъ, приложенныхъ къ точкамъ О и Р. Пер- вый изъ этихъ вѣсовъ вдвое больше втораго, и искомая точка будетъ на линіи РО, на трети ея длины, считая отъ О, и на двѣ трети длины отъ точки Р. Изъ этого видно, что центры давленія двухъ равныхъ прямоу- гольниковъ, погруженныхъ въ разную глубину, не находятся въ одной и той же точкѣ. Центръ давленія измѣняетъ свое положеніе не только при большемъ или меньшемъ погруженіи поверхности, испытывающей давленіе, но онъ перемѣщается также и при обращеніи данной Фигуры самой около себя. Разсмотримъ, напримѣръ, вертикальный треугольникъ АВС, вершина ко- тораго первоначально находится на уровнѣ жидкости, а основаніе гори- зонтально. Пусть АВС (рис. 83) означаетъ данный треугольникъ въ его дѣй- ствительномъ положеніи, а А'ВС—его отклоненное положеніе. Многогран- никъ, вѣсъ котораго измѣряетъ давленіе испытываемое даннымъ треуголь- никомъ, есть прямоугольная пирамида А'СВВЕ. Центръ тяжести ея въ точкѣ Сг, на трехъ четвертяхъ длины линіи А'Е, соединяющей вершину
ЛЕКЦІЯ. 217 пирамиды съ центромъ основанія ея ВСВЕ, а перпендикуляръ, опущен- ный изъ этой точки, падетъ въ точку Р, лежащую на трехъ четвертяхъ длины линіи А'Н, проведенной отъ вершины А' къ срединѣ стороны ВС. Слѣдовательно, по приведеніи треугольника въ его прежнее положе- ніе АВС, центръ давленія будетъ находиться на трехъ четвертяхъ дли- ны линіи, соединяющей точку А съ срединой основанія ВС. Если мы предположимъ, наконецъ, что три вершины А, В, С тре- угольника будутъ послѣдовательно помѣщены на уровнѣ жидкости и три сторон