Text
полный
КУРСЪ ФИЗИКИ
По сочиненіямъ ЖАМЕНА и ВІОЛЬНЕРЛ.
ПЕРЕВЕДЕНЪ И СОСТАВЛЕНЪ
Д. ІІІІТКІІШЫІГЬ
ТОЖСЪ IV.
САНКТПЕТЕРБУРГЪ и МОСКВА.
ИЗДАНІЕ КНИГОПРОДАВЦА и ТИПОГРАФА М. О. ВОЛЬФА,
1868.
Въ типографіи М. О. Вольфа
(Спв., Караванная, № 24).
О ДВИЖЕНІИ ВОЛНЪ.
тто
СЕМДЕСЯТЪ ПЯТАЯ ЛЕКЦІЯ.
Теоретическіе принципы движенія волнъ.
Колебательное движеніе точки. — Законы колебательнаго движенія
точки. — Геометрическое изображеніе колебаній точки.' — Колеба-
ніе ряда точекъ. — Образованіе волнъ. — Математическое изобра-
женіе волнообразнаго движенія ряда точекъ. — Интерференгыя волно-
образныхъ движеній, распространяющихся по противоположнымъ
направленіямъ. — Образованіе неподвижныхъ волнъ. — Соединеніе мно-
гихъ волнообразныхъ движеній, колебанія которыхъ происходятъ не въ
одинаковомъ направленіи; эллиптическія колебанія. — Колебанія си-
стемы точекъ. — Принци/пъ Гюйгенса. — Переходъ волнообразнаго
движенія изъ одной системы въ другую. — Отраженіе волнъ. — Пре-
ломленіе волнъ.
Колебательное движеніе точки. — Матеріальная точка А (рис. 1)
удерживается какою-нибудь силою въ извѣстномъ положеніи, такъ что
какъ скоро она будетъ выведена изъ этого положенія, то снова возвра-
щается къ нему этою силою; если эта точка А рис г
какою-нибудь внѣшнею силою будетъ отнесена, А а
изъ своего состоянія равновѣсія въ В, и затѣмъ і---------------і
будетъ оставлена на произволъ силы, стремящейся привести ее въ со-
стояніе покоя, то эта точка снова возвратится къ прежнему своему по-
ложенію. Но такъ какъ сила, тянувшая точку назадъ, дѣйствуетъ на нее
до тѣхъ поръ, пока она снова займетъ свое положеніе въ А, то движе-
ніе, сообщенное ей, будетъ въ А ускоренное, и точка А снабжена здѣсь
извѣстною скоростію, по направленію къ С. Вслѣдствіе этой скорости,
точка должна двигаться далѣе А, по направленію къ С, подобно тому,
1*
4
СЕМІЕСЯТЪ ПЯТАЯ
какъ маятникъ выходитъ изъ своего вертикальнаго положенія, двигаясь
далѣе. Но какъ только точка переступитъ положеніе покоя по другую
сторону, сила, тянущая ее назадъ, снова начинаетъ на нее дѣйствовать.
А такъ какъ въ настоящемъ случаѣ дѣйствіе этой силы противоположно
движенію, то это послѣднее будетъ укосненное, до тѣхъ поръ, пока точка
не придетъ въ состояніе покоя, на разстояніи АС отъ А, вслѣдствіе
уничтоженія пріобрѣтенной точкою скорости на пути ВА, дѣйствіемъ
силы, направленной отъ С къ А.
Разстояніе АС равняется разстоянію АВ, потому что двигающаяся
точка получила въ А скорость отъ силы, направленной къ А, а это та
же самая сила, которая задерживаетъ движеніе этой точки. Отъ С раз-
сматриваемая точка возвращается въ А, точно также, какъ передъ тѣмъ
отъ В; точно также, вслѣдствіе пріобрѣтенной на этомъ пути скорости,
она будетъ двигаться далѣе за А, по направленію къ В; потомъ опять
отъ В черезъ А къ С, и такъ далѣе. Короче, точка будетъ продолжать
движеніе взадъ и впередъ около точки А, смотря по тому, приближается
или удаляется она отъ состоянія равновѣсія, вслѣдствіе своего стремле-
нія принять это положеніе.
Такое движеніе точки, въ отношеніи извѣстнаго положенія, называется
колебательнымъ; оно всегда наступаетъ въ томъ случаѣ, когда какая-ни-
будь точка выведена изъ состоянія равновѣсія, но не переведена, въ
другое такое же положеніе. Примѣръ такого движенія мы уже прежде
видѣли въ маятникѣ, совершающемъ подобное движеніе около вертикаль-
ной, вслѣдствіе силы тяжести. Другіе виды колебательныхъ движеній
отдѣльныхъ частей твердыхъ, жидкихъ и газообразныхъ тѣлъ, мы раз-
смотримъ въ скоромъ времени.
Разстояніе крайнихъ точекъ пути, проходимаго движущеюся точкою отъ
положенія покоя, длину АВ, называютъ шириною колебанія, или амплиту-
дою колебанія; время же, употребленное точкою для совершенія колебанія,
т. е. для совершенія пути отъ В до С и назадъ, называется временемъ коле-
банія. Состояніе движенія точки, въ какое-либо время, или въ какой-либо
точкѣ а на ея пути, называютъ періодомъ колебанія; такъ что это со-
стояніе, помощью разстоянія Аа отъ положенія покоя, опредѣляетъ ско-
рость и направленіе движущейся точки, въ извѣстное время. Въ продол-
женіе всего колебанія, движущаяся точка проходитъ всевозможныя поло-
женія, т. е. она принимаетъ всѣ вообще при колебаніи возможныя по-
ложенія. Очевидно, что время, нужное для того, чтобы точка снова при-
шла въ извѣстное положеніе, также равняется цѣлому времени колебанія.
ЛЕКЦІЯ.
5
Положенія, отдѣленныя другъ отъ друга половиною времени колебанія,
называются противоположными. Движущаяся точка находится тогда въ
одинаковыхъ, но въ отношеніи направленія противоположныхъ, положе-
ніяхъ колебанія; разстоянія отъ точки покоя тогда равны, но на различ-
ныхъ отъ нея сторонахъ; точно также одинаковы и скорости, по напра-
вленія ихъ противоположны.
Мы передъ этимъ приняли, что колебательное движеніе точки про-
изошло отъ того, что внѣшняя сила удалила ее къ В, и затѣмъ эта точка
была предоставлена дѣйствію силы, направляющей ее къ А. Но оче-
видно, что колебательное движеніе можетъ быть произведено и тѣмъ,
что точкѣ А передается извѣстная скорость, по направленію къ В, по-
мощью толчка. Тогда она будетъ двигаться . въ направленіи къ В до
тѣхъ поръ, пока пріобрѣтенная точкою скорость не будетъ уничтожена
дѣйствіемъ силы, обратно дѣйствующей, по направленію къ А; вслѣдствіе
этого, точка будетъ ускоренно двигаться назадъ къ. А, затѣмъ далѣе до
С, и потомъ такимъ же образомъ черезъ А къ В, и совершитъ разсмо-
трѣнныя нами колебанія.
Законы колебательнаго движенія точки. — Для опредѣленія
колебательнаго движенія какой-либо точки, необходимо знать, въ каждый
моментъ, мѣсто и скорость прохожденія точки, въ отношеніи величины и
направленія. Намъ нужно поэтому найти уравненіе, въ которомъ бы вы-
разилось разстояніе движущейся точки отъ положенія покоя; далѣе, ско-
рость движенія въ зависимости отъ времени. Очевидно, что и то, и дру-
гое существенно зависятъ отъ того, по какимъ законамъ измѣняется сила,
двигающая точку въ состояніе равновѣсія, и разстояніе этой точки отъ
точки покоя.
Предположимъ, что сила, постоянно дѣйствующая на точку, пропор-
ціональна разстоянію точки отъ точки покоя. Обозначимъ силу, притя-
гивающую точку назадъ, во время отстоянія ея у отъ состоянія равновѣ-
сія черезъ ф, буквою р обозначимъ непремѣнную величину; тогда наше
предположеніе выразится въ
у = —р.у,
Мы должны дать выраженію для ф отрицательное значеніе, потому что
направленіе, по которому точка притягивается, всегда противоположно
направленію, по которому точка была выведена изъ состоянія равновѣсія.
Если точка находится направо отъ А, въ а (рис. 1), то она притяги-
вается влѣво отъ А. Обозначимъ въ нашемъ уравненіи $ разстояніе
у = 1., тогда
6
СЕМДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
?=—Р,
такъ что р означаетъ силу, дѣйствующую на точку, по направленію къ
точкѣ покоя, когда она находится на единицу разстоянія отъ этой по-
слѣдней.
Силу р удобнѣе всего измѣрить посредствомъ ускоренія, сообщаемаго
ею разсматриваемой нами точкѣ; назовемъ это ускореніе к, а массу
точки т, тогда (см. т. I, лек.-ІѴ)
к = ^
т
если же <у будетъ ускореніе, сообщаемое дѣйствующею силою, на раз-
стояніи у, то
<? = — к.у.
При этомъ частномъ, но совершенно достаточномъ- для послѣдую-
щаго предположеніи, совершенно ясно, что величина амплитуды не имѣетъ
никакого вліянія на время колебанія. Потому что, такъ какъ движущая
сила пропорціональна разстоянію точки отъ положенія покоя, ускоре-
ніе, а слѣдовательно и скорость движенія, увеличивается совершенно въ
такомъ же отношеніи, какъ и амплитуда колебанія. Большее пространство
будетъ пройдено, при относительно большей скорости, въ то же самое
время, какъ и меньшее пространство съ меньшею скоростью.
Поэтому примемъ колебаніе, послѣ котораго точка приходить въ по-
ложеніе покоя, по выхожденіи ея вначалѣ изъ онаго, за нѣчто замкнутое
цѣлое и обозначимъ время, которое точка требуетъ для этого, черезъ Т,
тогда всего удобнѣе начать измѣрять время і отъ начала такого колебанія
и по частямъ времени колебаній; і есть время, отъ котораго мы хотимъ
показать зависимость разстоянія у точки отъ положенія покоя, равно и
соотвѣтствующую этому разстоянію скорость.
Назовемъ теперь амплитуду колебанія а; тогда, на основаніи аналити-
ческой механики, мы получимъ, для взятаго нами случая, для ускоряю-,
щей силы изъ соотвѣтствующаго ей уравненія
<? = — к.у
уравненіе между у и і
у = « . 8ІП 2п .у’
и уравненіе для скорости ѵ движущейся точки ко времени
2л- о і п і
ѵ = а. — . СО8 21Г — = (3 . СО8 2л
при этомъ мы примемъ, что во время — 0 или въ началѣ движенія дви-
жущаяся точка находится въ покоѣ и такимъ образомъ, посредствомъ
толчка, приводится въ движеніе,
ЛЕКЦІЯ.
7
Мы должны отказаться изъ уравненія для <р вывести выраженія для
у и ѵ, потому что этого нельзя сдѣлать безъ приложенія интегральнаго
исчисленія. Вмѣсто этого, мы попробуемъ доказать, что изъ перваго
уравненія
для разстоянія точки отъ положенія покоя во время і, происходитъ
уравненье, выражающее скорость; и что это уравненіе ведетъ къ выра-
женію ускорительной силы движенія, выраженнаго уравненіемъ (I), со-
вершенно тожественнаго съ принятымъ нами. Далѣе мы покажемъ, что
выраженное посредствомъ уравненія (I) движеніе есть именно то, кото-
рое мы описали въ предъидущемъ параграфѣ.
Мы видѣли прежде, что при разнородныхъ движеніяхъ мы получаемъ
скорость движущагося тѣла, на какомъ-либо мѣстѣ пути его прохожденія,
изъ частнаго
гдѣ ку означаетъ такую малую часть пробѣгаемаго тѣломъ пространства,
что мы можемъ принять скорость тѣла, пробѣгающаго это пространство,
за извѣстную; Д^ же есть время, употребляемое тѣломъ для прохожденія
этого пространства.
Если же
у = а . 8ІП 2тг
а тѣло проходитъ въ малое время Д^ путь Ду, то мы получимъ
у 4- Д7 •=. л . 8ІП 2тг (-^4-
Выразимъ теперь синусъ суммы, по извѣстной тригонометрической
мулѣ, синусомъ и косинусомъ слагаемыхъ; тогда
іа • л I с 21 . сі I • О
у 4- &У “ а 81П . т • С08 2к . - Іа . С08 2тт . . 8ІП 2? . 7р
Вычтемъ изъ обѣихъ половинъ уравненій у, тогда
Ду = а . ВІП 2тт . . С08 2тг . 4-СО8 « 2тт . . 8ІП 2*'. — а.8ІП 2тт Ь
Такъ какъ мы можемъ принимать Д^ произвольно малымъ, даже без-
конечно малымъ, не нарушая точности, то примемъ
о м 1
С08 2-п-. — = 1.
8іп 2к . — — 2тг. =-
8
СЕМДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
Отсюда получимъ
Ау = а. 8ІП 2л. Л*2л . . СО8 2л . — а . 8ІП 2л.
или
Ау = а. 2л . — . СО8 2л . -
и наконецъ, если мы обѣ части раздѣлимъ на Д/,
У=^ = а.^. СО8 2л.4„. (II).
Такимъ образомъ мы видимъ, что при движеніи, при которомъ раз-
стояніе у движущагося тѣла отъ положенія покоя, выражается уравне-
ніемъ (I), скорость во время і будетъ выражена уравненіемъ (II).
Совершенно подобнымъ же образомъ можно доказать, что это движе-
ніе производится силою, пропорціональною разстояніямъ у, или что
<р = — к.у — — к . а 8ІП 2л .
Мы уже видѣли, что при разнородныхъ движеніяхъ, при которыхъ
скорость обыкновенно измѣняется, ускореніе движенія выражается въ каж-
дый моментъ частнымъ
Лѵ
гдѣ Дѵ есть величина, на которую увеличивается скорость тѣла въ весьма _
малое время Д#; самое же частное показываетъ на сколько увеличилась бы
скорость въ единицу времени, если бы она увеличивалась въ каждую
частицу времени ДС на равныя величины Дѵ. Мы назвали уже прежде
ускореніе точки на разстояніи у отъ положенія равновѣсія, <?; отсюда
слѣдуетъ, что
До
выраженіе, позволяющее намъ получить ускореніе движенія въ каждый
моментъ его скорости.
Примемъ теперь, что въ нашемъ случаѣ, во время Д/ скорость из-
мѣнилась на Дѵ, тогда по ураненію (II), дающему намъ скорость ѵ, въ
какое-либо время і,
іа 2л л (I і
V + Дѵ = а . т . С08 2л .
и также какъ и прежде
V 4- ДѴ —а т • С08 2тг . - . СО8 2я . — — у. — • 8Ш 2л. т .8Ш 2л
Такъ какъ мы здѣсь можемъ Д? тзкже принять безконечно малымъ, то
опять;
ЛЕКЦІЯ.
9
С08 2п . т = 1,
. о Лі П Лі
81П 2п . ,
также
. . 2я г, I 4л* . , • о 1.
у 4- Ду . С08 2к . - — «. Д^ • 8Ш
вычтемъ изъ обѣихъ сторонъ ѵ, тогда
л ^л* д. • л 1
&Ѵ= — « . . 81П 2к т-
наконецъ раздѣлимъ на А# и получимъ:
?=^ = —«.Т8.8іп 2іг.т ... (ІП),
выраженіе, совершенно согласное съ нашими предположеніями, что
? = — к . у,
если мы примемъ извѣстную величину для к:
, 4л*
™
или
4л*
Ч = —тГ-У-
Итакъ, мы видимъ, что посредствомъ уравненія (Г) представленное
движеніе происходитъ отъ силы, пропорціональной разстоянію движущейся
очки отъ положенія покоя. А такъ какъ изъ предъидущаго параграфа мы
видѣли, что если подобныя силы дѣйствуютъ на точку, выведенную изъ
положенія равновѣсія, то происходитъ колебательное движеніе, то отсюда
слѣдуетъ, что уравненіе (I) выражаетъ движеніе одинаковое съ описан-
нымъ въ предъидущемъ параграфѣ. Посредствомъ ближайшаго разсмотрѣ-
нія уравненія легко доказать, что оно изображаетъ колебательное движеніе.
Прежде всего весьма ясно, что представленное уравненіемъ
у = а. . 8ІП 2к
движеніе, періодично; ибо мы получаемъ:
у— 0 при = О, ‘/2 Т, 2/2 Т, 3/2 Т„ Т, */2 Т, ®/2 Т ....
у = « при і — % Т, % Т, % Т ....
у = —« при < = 3/4Т, Ѵ4Т, »/4Т....
Потому что въ первомъ случаѣ
у =. а . 8Ш ПК — О,
во второмъ
у =: а . ѲІП (4п 4“ 1) | — «
10
СЕМДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
и въ послѣднемъ
у — а. , 8ІП (4п 4“ = — й-
При всѣхъ другихъ значеніяхъ і, мы получаемъ значенія для у, ле-
жащія отъ 0 между а и — а.
Это совершенно согласно съ разсмотрѣнными нами движеніями, по-
тому что для 1 = 0, движущаяся точка находится въ покоѣ, точно также
послѣ всякаго числа полуколебаній, такъ какъ точка употребляетъ поло-
вину времени колебанія для прохожденія, отъ А 'къ В или С и назадъ.
Въ концѣ первой четверти времени колебанія, точка находится на крайней
точкѣ своего пути, точно также и въ концѣ всякой нечетной четверти; та-
кимъ образомъ, значеніе у равняется а. Въ концѣ 1, 5, 9... и вообще вся-
кой (4п 4- 1) четверти, точка находится въ В; въ концѣ же каждой 3,
7, 11.... вообще всякой (4п4~3) четверти въ С, на противоположной
сторонѣ отъ положенія равновѣсія; поэтому, знаки для разстояній должны
быть въ этихъ случаяхъ противоположны.
Для всѣхъ другихъ временъ, разстоянія находятся или на положитель-
ной, или на отрицательной сторонѣ отъ А; притомъ онѣ болѣе 0 и ме-
нѣе а, какъ это показываетъ наше уравненіе.
Далѣе въ уравненіи:
у= я. аіп 2я.
значенія у увеличиваются сначала быстрѣе, потомъ медленнѣе отъ і = 0
до I = */4 Т, такъ какъ выраженіе 2п. въ это время проходитъ черезъ
всѣ значенія отъ 0 до 5 и синусы дугъ растутъ сначала въ такомъ же
отношеніи, а потомъ гораздо медленнѣе, чѣмъ дуги. Отъ времени і =
до 1 = У2, значенія у убываютъ, сначала медленнѣе, потомъ быстрѣе,
но имѣютъ отъ I = 0 до і = */2 Т тотъ же знакъ. Для всѣхъ же значе-
ній между і =: */2 Т и і = Т, у получаетъ противоположный знакъ;
значеніе же его, отъ і=у,Т до і=ъ/^ Т, увеличивается точно также
какъ отъ I = 0 до і = '/* Т, отъ і = 3/4 Т до і =. Т уменьшается по
тѣмъ же законамъ, какъ и отъ I = у4 Т до I = */2 Т.
Тому же закону слѣдуютъ разстоянія у движущейся точки отъ поло-
женія покоя, въ различные періоды колебанія. Въ первой четверти коле-
банія точка, съ уменьшающеюся скоростью, движется по направленію къ
В, такъ что разстоянія растутъ сначала быстрѣе, а послѣ медленнѣе; во
второй четверти точка, съ усиленною скоростью, возвращается назадъ
въ А, и такимъ образомъ разстоянія ея уменьшаются вначалѣ медлен-
ЛККЦІЯ.
11
нѣе, а послѣ скорѣе. Во время всей второй половины колебанія точка
находится на противоположной сторонѣ А, разстоянія такимъ образомъ
имѣютъ противоположные знаки; въ третьей четверти они растутъ, въ
четвертой убываютъ точно также, какъ и въ первой и во второй чет-
вертяхъ.
Отсюда видно, что наше уравненіе совершенно опредѣляетъ разстоя-
нія точки, такъ какъ мы, помощью его, можемъ для всякаго времени по-
лучить мѣсто движущейся точки.
Точно также, разсматривая отдѣльные періоды, легко замѣтить, что
уравненіе (II)
V =|3 . соя 2тг.
даетъ скорость движущейся точки для всякаго времени.
Скорость ѵ уменьшается, когда увеличиваются разстоянія движущейся
точки, потому что силы, дѣйствующія на точку, тянутъ ее къ положенію
покоя; если разстояніе равняется амплитудѣ колебанія, тогда скорость
равняется 0, потому что тамъ направленіе движенія измѣняется въ обрат-
ную сторону. Во время возвращенія движущейся точки къ положенію
покоя движеніе ускоряется, скорость имѣетъ противоположный прежнему
знакъ; но она увеличивается до того мгновенія, когда у — 0, т. е. когда
точка снова , пришла въ положеніе покоя. Во время третьей четверти ко-
лебанія, когда точка снова удаляется отъ положенія покоя, скорость
уменьшается до тѣхъ поръ, пока она къ концу этого времени не срав-
няется съ 0. Съ этото момента скорость опять увеличивается, въ то время,
когда у уменьшается, до тѣхъ поръ, пока при г/= О, она не достиг-
нетъ наибольшей своей величины. Тѣ же самыя значенія видны въ урав-
неніи (II). Косинусъ есть 1 при ^ = 0 и уменьшается отъ —О до
і= */4 Т. Между і — х/ц Т и % Т косинусъ увеличивается отъ О
до — 1, а послѣ отъ і = ’/2 Т до і = 3/4 Т онъ переходитъ отъ — 1
до 0. Въ слѣдующее затѣмъ время онъ опять увеличивается отъ 0 до 1,
въ то время, когда і отъ 3/4 Т увеличивается до Т.
Итакъ видно, какъ уравненія (I) и (II) совершенно представляютъ
законы колебательнаго движенія точки, движимой силами пропорціональ-
ными ея разстоянію отъ положенія покоя, потому что онѣ намъ даютъ
для каждаго момента какъ мѣсто, такъ и скорость движущейся точки,
на основаніи величины и направленія.
Уравненіе (III) даетъ намъ также возможность опредѣлить продолжи-
тельность цѣлаго колебанія, если мы знаемъ силу, ускоряющую движеніе.
Ибо мы имѣли:
12
СЕМДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
а отсюда;
Если мы въ состояніи какимъ-нибудь образомъ опредѣлить к, неза-
висимо отъ Т, то тогда изъ него мы можемъ вычислить Т. Поэтому, мы
употребимъ впослѣдствіи это выраженіе съ этою цѣлью.
Геометрическое изображеніе колебаній точки. — Если мы ра-
діусомъ г, равнымъ амплитудѣ колебательнаго движенія, опишемъ кругъ,
и примемъ, что продолжительность одного колебанія Т изображается ве-
личиною круговой линіи, то синусъ и косинусъ
дуги этого круга дадутъ намъ разстоянія точки
отъ положенія покоя и соотвѣтствующія этимъ
разстояніямъ скорости.
Представимъ себѣ, что движущаяся точка,
во время і = 0, находится въ центрѣ круга
(рис. 2) и что она движется по діаметру Са,
взадъ и впередъ, тогда послѣ ‘/12 колебанія она
будетъ находиться въ ?/,, ибо:
Уі = <*. віп 2я. АІ
этомъ скорость пропорціональна косинусу дуги
Рис. 2.
и существующая при
'/,2 Т или длиннѣ у<ѵ. Послѣ Т точка находится въ а, разстояніе
достигло своей наибольшей величины и соотвѣтствующая скорость рав-
8/ Т п
няется 0, равняется со» 2тг — сов Точно также и въ послѣдую-
щихъ временахъ, измѣренныхъ дугами круга, "синусы у", у,н соотвѣт-
ствующихъ дугъ, даютъ разстоянія точки и принадлежащія косинусы
пропорціональны скоростямъ въ различные періоды движенія.
Колебанія ряда точекъ. — Образованіе волнъ. — Если мы въ
ряду точекъ, удерживаемыхъ какими-нибудь силами, дѣйствующими среди
ихъ, въ положеніи равновѣсія, приведемъ одну точку въ колебательное
движеніе, то этимъ самымъ не только нарушимъ равновѣсіе одной этой
точки, но всего ряда точекъ. Такъ какъ положеніе равновѣсія обусловли-
вается дѣйствіемъ остальныхъ точекъ, то при измѣненіи положенія одною
изъ точекъ, необходимо измѣнится и положеніе сосѣдней съ нею, а от-
сюда нарушеніе равновѣсія перенесется на дальнѣйшія точки,
ЛЁКЦій.
15
Мы принимаемъ, что отдѣльныя точки взаимно притягиваются, и что
сила притяженія измѣняется съ отдаленіемъ точекъ другъ отъ друга. Кромѣ
того, мы предполагаемъ, что совершенному приближенію точекъ другѣ къ
другу противодѣйствуютъ отталкивающія силы, которыя также измѣняются
съ отдаленіемъ точекъ другъ отъ друга, какъ и сила притяженія, но
только по другимъ законамъ. Если мы примемъ, что съ приближеніями то-
чекъ другъ къ другу, отталкивающія силы увеличиваются гораздо бы-
стрѣе, нежели притягивающія, то помощью такой системы силъ положе-
ніе равновѣсія будетъ совершенно опредѣлено. Въ немъ, въ каждой точкѣ,
противодѣйствующія силы равны. Если точка а {рис. 3) выведется изъ
положенія равновѣсія и перенесется въ «', то разстояніе между а и Р отъ
этого увеличится. Съ измѣне- з
ніемъ разстояній «Р и а'Р измѣ-
нятся и силы дѣйствующія отъ » і—і і і і г і і і і ц і
а. къ (3; какъ притягательныя, % і
такъ и отталкивающія силы
уменьшатся. Но- такъ какъ отталкиваніе гораздо быстрѣе уменьшается,
чѣмъ притяженіе, что результатъ этихъ измѣненій будетъ тотъ, что р
будетъ при этомъ сильнѣе притягиваться къ «'. Такъ какъ силы, дѣйствую-
щія на (3 при состояніи равновѣсія уничтожатся, то точка Р должна
вслѣдствіе увеличенія притяженія къ а9 приближаться къ «, но не въ на-
правленіи р«', а въ другомъ направленіи РР'. Потому что съ движеніемъ
отъ р внизъ, точно также измѣняется разстояніе Ру, и здѣсь тоже, вслѣд-
ствіе быстраго ослабленія отталкивающихъ силъ, притяженіе должно пе-
ревѣшивать. На точку р, такимъ образомъ, дѣйствуютъ два притяженія,
одно къ , а другое къ у; Р будетъ двигаться, поэтому, по направле-
нію равнодѣйствующей Р'.
Если же точка « двигается по направленію къ а", то р на тѣхъ же
основаніяхъ должна двигаться къ р", но въ то же время точка у. должна
оставить свое равновѣсное положеніе, такъ какъ теперь притяженіе отъ
р къ у перевѣшиваетъ отталкиваніе, и двигаться отъ у къ у9.
Если послѣ этого « прошла первую четверть своего колебанія, движе-
ніе переходитъ на рядъ точекъ до точки <?,. точки же «, р, у оставили
свое положеніе равновѣсія; видъ ряда точекъ изображенъ на рис. 3.
Если же теперь « измѣнитъ направленіе своего движенія и будетъ
двигаться въ слѣдующее затѣмъ время по направленію къ положенію по-
коя,—р, вслѣдствіе скорости, пріобрѣтенной ею въ р", будетъ двигаться
нѣкоторое время еще далѣе и потомъ вслѣдствіе притяженія со стороны
14
СЕМДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
а и у возвратится въ положеніе покоя. То же самое будетъ позже сѣ
точкою у. Когда а. уже достигла положенія покоя, то точки (3 и у будутъ
находиться въ положеніи представленномъ на рис. 4. Но движеніе отъ
у имѣло въ это
>
4
‘ I *
время слѣдствіемъ движеніе отъ а это въ свою очередь
рис 4 движенія отъ е и точно также
какъ передъ тѣмъ двигались точ-
і і • • і Ь 3 ки^иу вслѣдствіе движенія
» отъ а. Точка 5 въ это время до-
стигла своего наибольшаго раз-
стоянія, такъ какъ у уже его перешла и въ изображенный на рис,. 4
моментъ, какъ точка у, такъ и е притягиваютъ точку д къ положенію
равновѣсія Итакъ, если а. пришла уже въ положеніе равновѣсія, то одна
изъ точекъ, лежащая на извѣстномъ разстояніи отъ а, достигла своего
наибольшаго разстоянія и намѣревается направить обратный путь къ по-
ложенію покоя; вообще же движеніе распространилось на двойное раз-
стояніе отъ а до и. Рис. 4 представляетъ положеніе точекъ въ этотъ
моментъ.
Въ послѣдующее затѣмъ время точка а. двигается далѣе положенія по-
коя къ а"' {рис. 5); точки |3 и у слѣдуютъ за ней. Точка 5, которая
въ моментъ прохожденія точки а. черезъ положеніе покоя, вступила въ
обратный путь, прошла то же самое пространство, какъ и прежде, и воз-
Рис. 5.
«' і
і
вратилась кѣ положенію покоя.
Слѣдующія за нею точки е,
у; находятся въ томъ же положе-
і і 6 1 ніи и въ томъ же періодѣ дви-
і • женія, какъ и точки д, у, 5 въ
• разсмотрѣнный передъ тѣмъ мо-
когда точка а возвратилась въ положеніе покоя, а точка 5 достигла
крайняго положенія.
такъ какъ въ концѣ первой четверти колебанія, движеніе распро-
ментъ,
своего
Но
странилось отъ а до 5, точно также оно теперь распространилось на
точки & и і, и точка х начинаетъ уже свой движеніе внизъ.
Если же, наконецъ, точка а. совершила послѣднюю часть своего ко-
лебанія и енова пришла въ положеніе равновѣсія, тогда положеніе точекъ
отъ а до ѵ получило слѣдующій видъ (рис. 6). Точки (3, у перешли уже
свои крайныя положенія и находятся на возвратномъ пути къ положенію
покоя; точка 5 въ то время, которое требовала точка а для своего дви-
ЛЕКЦІЯ.
15
женія отъ крайняго положенія до положенія покоя, отошла отъ Положе-
нія покоя до своего наибольшаго разстоянія; точки е и ^перешли поло-
женіе покоя; точка п изъ сво-
Рис. 6.
его крайняго положенія перешла »
въ тоже, какъ и точка а; точки { * * «
& и і прошли тотъ же путь, 3 • і
какъ р и у; точка х, которая « х •
въ концѣ предъидущаго времени * •
начала свое движеніе, достигла наибольшаго разстоянія; точки же X и п
получили то же движеніе, какъ (3 и у въ распространенное нами сначала
время, е и і. въ слѣдующее за нимъ, а & и і въ послѣдующее непосред-
ственно затѣмъ время. Такимъ образомъ движеніе распространилось до
точки ѵ, которая готова уже начать свое движеніе.
Такимъ образомъ, вслѣдствіе того, что точка «—изъ ряда точекъ, удер-
живаемыхъ притягательными и отталкивающими силами въ положеніи
равновѣсія,—получила колебательное движеніе, всѣ слѣдующія точки полу-
чили также колебательное движеніе, которое распространяется во всемъ
ряду отъ точки къ точкѣ. .Если движеніе точки а продолжается далѣе,
то также послѣдуетъ и движеніе остальныхъ точекъ. Отъ ѵ движеніе про-
должается точно такимъ же образомъ: во время перваго колебанія отъ ѵ,
которое одновременно со вторымъ колебаніемъ отъ «, на пространство въ
длину равное а.ѵ, и такъ далѣе. Одинаковымъ образомъ движеніе пере-
дается и въ противоположное направленіе, такъ что мало-по-малу всѣ
точки нашего ряда получаютъ колебательное движеніе.
Если точки, при ихъ колебательномъ движеніи, оставятъ свой рядъ,
какъ это мы приняли для ббльшей ясности на нашихъ Фигурахъ, то |іядъ
точекъ получаетъ въ продолженіе движенія волнообразный видъ; почему
самое движеніе носитъ названіе волнообразнаго движенія.
Пространство, на которое распространилось колебательное движеніе
во время цѣлаго колебанія точки а, имѣетъ видъ волны, почему его и на-
зываютъ волною или длиною волны. Иа этомъ пространствѣ находятся всѣ
періоды колебанія, которыя переходитъ отдѣльная колеблющаяся точка
мало-по-малу, потому что каждая точка на этомъ пространствѣ начи-
наетъ свое колебаніе немного позже, чѣмъ а, и затѣмъ продолжаетъ его
совершенно также, какъ она.
Каждая волна состоитъ изъ двухъ одинаковаго вида частей, передней и
задней или возвышенной и пониженной (вершина и основаніе волны) полу-
волны, въ которыхъ гомологическія точки, т. е. равноотстоящія отъ на-
18
СЕМДЕСЯТЪ НЯТаЯ
.чала каждой полуволнъ^ снабжены одинаковыми, но противоположно на-
правленными скоростями. Равноотстоящія отъ начала каждой полуволны
точки находятся въ противоположныхъ періодахъ. Чтобы выразить это
противоположеніе употребляется названіе возвышенная (вершина) и пони-
женная полуволна (основаніе), при чемъ каждой изъ двухъ половинъ
можно дать то или другое названіе.
При распространеніи движенія, рядъ точекъ дѣлится на рядъ такихъ
волнъ, и, если условія въ цѣломъ ряду точекъ тѣ же самыя, то и длина
волнъ въ немъ будетъ одинакова. Поэтому, если движеніе во время і
распространилось на длину х, и если время г = пТ, гдѣ Т, какъ и прежде,
означаетъ продолжительность колебаній точки, то длина х разложилась на
п частей, равныхъ длинѣ волны, изъ которыхъ въ каждой точки двига-
ются такимъ образомъ, какъ точки, лежащія между «и ѵ. Но такъ какъ,
при такомъ предположеніи, продолжительность колебаній та же самая, то
во время Т распространенія колебательнаго движенія на длину одной
волны, скорость, съ которою движеніе переходитъ на другія точки, ско-
рость распространенія движенія волнъ должна быть постояннною.
Мы до сихъ поръ не дѣлали никакихъ предположеній, касательно на-
правленія, по которому движутся отдѣльныя точки, для того, чтобы обоб-
щить этотъ обзоръ. Направленіе обуслоэливается первоначальнымъ напра-
вленіемъ точки « и силами, дѣйствующими на точки даннаго ряда.
Если точка « двигается первоначально по направленію ряда точекъ,
очевидно, что всѣ точки также должны передвигаться по тому же на-
правленію, потому что тогда дѣйствуютъ только силы, дѣйствующія по
этому направленію. Направленіе движенія только совпадаетъ съ направле--
ніемъ, которому слѣдуетъ распространеніе движенія. При этихъ, такъ на-
7 эываемыхъ продольныхъ
колебаніяхъ, или продоль-
• ••• • • о • • •••• ныхъ волн'ахъ, не обра-
зуется измѣненія ряда то-
чекъ, но только поперемѣн-
• ••••••<>•• • • > ное сгущеніе и разрѣже-
ніе, смотря по тому, при-
******** * ** ближаются ли точки другъ
• •••••••••••• къ Другу или отдаляются
(рис. 7).
Если движеніе точекъ производится перпендикулярно къ ряду, то ко-
лебанія называются поперечными; направленіе, по которому двигаются
ЛЕКЦІЯ.
17
точки будетъ тогда перпендикулярно тому, по которому совершается
распространеніе движенія. Такое поперечное колебательное движеніе не
всегда наступаетъ тогда, когда первоначальное движеніе первой точки
было тоже поперечнымъ, но только тогда, когда равнодѣйствующая всѣхъ
силъ, дѣйствующихъ на вышедшія изъ равновѣсія точки, перпендику-
лярна относительно ряда точекъ. Мы ниже разсмотримъ подобные случаи.
Далѣе, возможно, что продольное и поперечное движенія соединятся^
вмѣстѣ, и что отдѣльныя точки черезъ это опишутъ изогнутые или кри-
вые пути. Примѣры этого мы увидимъ при нѣкоторыхъ видахъ водяныхъ
волнъ.
Математическое изображеніе волнообразнаго движенія ряда
точекъ. — Чтобы совершенно представить движеніе отдѣльныхъ точекъ
цѣлаго ряда, мы должны опредѣлить для каждаго момента времени, мѣ-
сто каждой точки изъ даннаго ряда, также ея скорость въ отношеніи
величины и направленія, Мы здѣсь должны поэтому, также какъ при
колебательномъ движеніи одной точки, найти уравненіе, которое намъ
дало бы требуемыя величины въ зависимости отъ времени и положенія
ихъ въ ряду точекъ.
Изъ предъидущаго слѣдуетъ, что всѣ точки ряда имѣютъ совершенно
такое же колебательное движеніе, какъ и первая точка, отъ которой дви-
женіе сообщилось всему ряду точекъ, но что все-таки каждая изъ даль-
нѣйшихъ точекъ начинаетъ свое движеніе немного позднѣе.
Если амплитуда колебанія первоначально движущейся точки а, то
разстояніе этой послѣдней у во время і отъ положенія равновѣсія
(см. стр. 4)
у = а. . 8ІП 2п .
гдѣ Т означаетъ продолжительность всего колебанія.
Какая-нибудь изъ точекъ, находящаяся на разстояніи х отъ точки «
начинаетъ свое колебаніе на V времени позднѣе; назовемъ черезъ г время,
которое прошло отъ момента; когда эта точка начала свое колебательное
движеніе; тогда разстояніе у этой частицы отъ положенія равновѣсія вы-
разится въ уравненіи:
у — л . 8ІП 2л
и і
потому что эта точка начинаетъ свое движеніе во время т == 0. Для т
мы можемъ принять
Т і — I',
Физика. IV,
3
18
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
ибо время т начинается съ того момента, когда отъ начала времени
прошло время I'. Поэтому мы имѣемъ
у — а . 81П 2тг—=г~’
-і 1
какъ разстояніе точки, отдаленной на х отъ положенія равновѣсія во
время I.
Назовемъ скорость распространенія волнообразнаго движенія, путь, по
которому она распространяется въ одну секунду черезъ с, тогда
х—с.і9,
потому что точка отдаленная отъ начала на х начинаетъ двигаться во
время I'; такимъ образомъ, въ это время движеніе распространилось на
пространство х.
Отсюда слѣдуетъ, что
і' =
е
и если мы вставимъ это выраженіе въ наше выраженіе для у, то по-
лучимъ
' г/ = «.8Іп2тг —
Во время Т, какъ мы уже видѣли, движеніе распространяется на
протяженіе одной волны; обозначимъ ее черезъ Л, тогда
с . Т = Л
и ,
У = а.8іп2я(1—
Это выраженіе представляетъ разстояніе у каждой точки ряда отъ ея
положенія равновѣсія во время I, стоитъ только вставить соотвѣтствую-
щее разстояніе х данной точки отъ первоначальной точки движенія.
Далѣе видно, какъ это выраженіе представляетъ намъ состояніе ряда
точекъ, именно такимъ, какъ мы его вывели въ предъидущемъ пара-
графѣ. Разсмотримъ какой-нибудь моментъ времени, въ который точка,
отъ которой началось распространеніе движенія, прошла цѣлое колебаніе,
гдѣ т — пТ. Для первой точки х — 0, поэтому
у — а . 8ІЦ 2пя = 0.
То же самое будемъ имѣть для всѣхъ точекъ, которыя отдалены отъ
первоначальной точки на какое-либо число цѣлыхъ волнъ; потому что
для нихъ
х = т.'А;^-==т
у =. а. . 8ІЦ 2 (п — т) я = 0.
ЛЕКЦІЯ. 19
Также и тѣ точки, которыя отдалены отъ начальной точки на какое-
нибудь нечетное число полуволнъ, находятся въ равновѣсіи; для нихъ:
/п і ч \ . х №п 4- 1)
х = (2т + 1) -> - = ' —г ’
и Л лі
у— 8Іп (2п — (2т + 1)) * = 0.
Послѣднія точки имѣютъ скорости, противоположныя предъидущимъ.
Мы получимъ скорости колеблющихся точекъ на основаніи предъидущаго
(стр. 11) изъ уравненія
ѵ = (3. СО8 2л — уУ
Вставимъ здѣсь оба значенія
въ первомъ случаѣ будетъ
« = (3. сое 2(п — т)л = (3. сое 2л —
во второмъ: 1 •
V = р. СО8 (2п — (2ш-|-1))л — (3. СО8 Л = — 0.
Точки, отдаленныя отъ первоначальной на т. X, имѣютъ, поэтому, ту
же скорость и въ томъ же направленіи, какъ и первоначальная точка;
отдаленныя на ‘/2 X по величинѣ имѣютъ почти ту же скорость, но по
противоположному направленію.
Остальныя точки ряда, смотря по распространенію движеній, нахо-
дятся внѣ равновѣсія.
Вставимъ, напримѣръ, х = (т -]- ‘/4)Х, тогда
у = а. 8ІП 2л(та — т— у4) — а 8ІП----= — а,
а сдѣлаемъ х = (т 3/4) X, тогда
У — а.. 8ІП 2л(та — <т — 3/4) — а . 8ІП — 3/2 Л = а.
На пространствѣ отъ х — пй до х = (т %)Х находятся такимъ
образомъ точки по одну сторону положенія равновѣсія, а на простран-
ствѣ отъ х — (ір,У2)Х до’ х — (т -]- 1)Х другіе, на противоположной
сторонѣ.
Будетъ излишнимъ далѣе распространять наше сравненіе выраженій съ
доказательствами предъидущаго-параграфа, потому что приведенное доста-
точно показываетъ, что это выраженіе вполнѣ даетъ движеніе ряда точекъ.
Соединеніе нѣсколькихъ волнообразныхъ движеній (интер-
ференція).— Если на различныхъ мѣстахъ одного ряда точекъ, точки
будутъ приведены въ движеніе, то движенія передаются отъ каждой изъ
нихъ на весь рядъ; спрашивается, какое движеніе получатъ точки, на ко-
3*
20
СЕМДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
торыхъ распространилось движеніе отъ двухъ первоначальныхъ точекъ?
Каждая изъ этихъ точекъ, до которыхѣ доходятъ одновременно два дви-
женія, получаетъ тогда два импульса, и совершенно ясно, что движеніе
ея опредѣляется ими обоими.
Мы видѣли прежде, что двѣ силы, дѣйствующія одновременно на одну
и ту же точку, вліяютъ на нее независимо одна отъ другой, и что точка
подчиняется каждой изъ обѣихъ силъ такъ, какъ будто бы другая не дѣй-
ствовала. Поэтому, если силы дѣйствуютъ по одному направленію, то онѣ
дѣйствуютъ суммою, такимъ же образомъ слагаются скорости и, вслѣдствіе
дѣйствія обѣихъ силъ, проходимыя пространства. Если же силы дѣй-
ствуютъ по различнымъ направленіямъ, то законъ параллелограма силъ
даетъ намъ равнодѣйствующую по величинѣ и направленію, и при по-
средствѣ этой послѣдней равнодѣйствующую скорость, также какъ и
вслѣдствіе полученной скорости проходимое пространство. Совершенно та-
кимъ же образомъ должна опредѣляться, скорость, равно какъ и пройден-
ное во время і пространство при колебательномъ движеніи изъ отдѣль-
ныхъ импульсовъ или изъ скоростей и пройденныхъ путей. Если движе-
нія параллельны другъ къ другу, т. е. въ каждой изъ ихъ волнъ про-
дольны или поперечны и параллельны, то движенія дѣйствуютъ своею
суммою; ускоряющая сила, также какъ й скорость частицы, на которую
дѣйствуютъ всѣ силы, есть алгебраическая сумма ускоряющихъ силъ и
скоростей, которыя бы дѣйствовали на частицу отдѣльно, если бы каждое
движеніе дѣйствовало на частицу независимо отъ другаго. Движенія, про-
тивоположно направленныя, при образованіи этой суммы должны быть
взяты съ противоположными знаками.
Если бы частица, вслѣдствіе отдѣльнаго импульса во время і была
перенесена въ у, у', у" ... . уа, то, на основаніи предъидущаго, слѣ-
дуетъ, что дѣйствительное разстояніе точки У будетъ тоже сумма от-
дѣльныхъ разстояній, или что
У = У’ + У" + у’" + • • • у*
Разсмотримъ сперва этотъ случай и Примемъ, что въ ряду точекъ
начинаются одновременно два движенія и продолжаются по разу въ од-
номъ и томъ же направленіи. Первоначальныя точки отстоятъ другъ отъ
друга на а. ,
Назовемъ разстояніе какой-нибудь точки ряда отъ первой изъ двухъ
точекъ черезъ х, то для разстоянія у этой точки отъ положенія равно-
вѣсія во время і будетъ:
ЛЕКЦІЯ.
21
У = 2г ^-0,
гдѣ а означаетъ амплитуду, Т продолжительность колебанія, а А длину
волны этого движенія. ,
, Назовемъ разстояніе той же точки отъ начальной точки втораго дви-
женія черезъ то для разстоянія точки и во время і, когда до него до-
стигло второе движеніе, мы получимъ выраженіе
у' = • 81П 2л (у —Т
X А а /
при чемъ я9 есть амплитуда втораго движенія, продолжительность же
колебанія Т и длина волны А въ обоихъ случаяхъ одинаковы.
Отстояніе второй средней точки волнообразнаго движенія отъ первой
названо нами а,' поэтому мы можемъ вмѣсто х9 вставить:
х9 = х — а,
и получимъ тогда для у9
У9 —о- . 8Іп 2л (у — *4=0.
Разстояніе У точки одновременно затронутой обоими движеніями есть,
какъ мы это уже видѣли, сумма обоихъ разстояній у-\-у9', и такъ
У = « . яіп 2л — 0 -|- . 8ІП 2л 0 — 010
или
Т = 8Іп2к(?-0{
а + а9 СО8 2л у|
+ СО8 2л (у — 0 | а9 . 8ІП 2л у}.
Возьмемъ теперь двѣ величины А и Б, такъ что:
А .. С08 2 л у = а а9 С08 2л у
А . 8Іп 2л _ 8|л 2тт
I л
тогда для У мы получимъ выраженіе:
У = А . сое 2л у. 8Іп 2 л (у— -0 4- А . 8Іп 2л у . с08 2л (у — 0,
или
Т = А.вш2к(і-^ + ?).
Изъ обоихъ волнообразныхъ движеній составляется одно новое, кото-
раго амплитуда А и котораго періоды различаются съ первымъ на В, а
со вторымъ движеніемъ на а — В. Продолжительность колебанія Т и
длина волны X не измѣнились.
22
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
Для А мы получимъ изъ предъидущихъ выраженій:
А2 . СО82 2к р а2 + 2а*' СО8 2іг у «,2 СО82 2тс у
А2 . 8ІП2 2іг ~ = > а'2 8ІП2 2я у
А2 = «2 -|- а*2 "Ь %аа' СО8 Т
А= \/ а2 4- а'2 -V 2аа/ СО8 2п у
а для В получимъ тогда:
• л П а1 • л а
8П1 2тг - = — 81П 2я —.
А А л
Эти выраженія служатъ намъ удобнымъ средствомъ, помощью геометри-
ческаго построенія, получить значеніе А и В.
Рис. 8. Если мы изъ а и а' построимъ параллелограмъ и
>—.--“—уголъ,заключающійся между этими двумя сторона-
/ / ми, сдѣлаемъ равнымъ 2я - (рис. 8), то діагональ
/ аЪ дѣлящая уголъ 2п ~ параллелограмма есть
—г '• новая амплитуда А. Ибо извѣстно, что
аб2 — а2 -}- а'2 — 2аа' . С08 С
с= 180° — 2тг у
СО8 С = — СО8 2тг |
йб2 = «2 + а'2 + 2аа' . СО8 2л у = А2. ’
Уголъ же, заключающійся между аЪ и а, есть искомый уголъ
2к> . -у, потому что
аЪ : а' = зіп с : зід Ъас
а
• т а1 . 8ІП 2тг -~г~ • съ &
8Ш Ъас — а = зіп 2к —.
А
Выраженіе для А показываетъ, что амплитуда равнодѣйствующаго
волнообразнаго движенія, кромѣ зависимости отъ амплитудъ частныхъ дви-
женій, зависитъ еще существенно отъ величины а,—разстоянія возбужден-
ной средней точки, или' что то же, отъ различія періодовъ обоихъ со-
ставляющихъ движеній. Выраженіе:
А2 = а2 + а'2 2аа' СО8 2п .
ЛЕКЦІЯ к 23
имѣетъ, смотря Но значенію третьяго члена, различныя значенія, лежащія
между шахіпшт и тіпітит.
Если а — п . А, то
СО8 2к . -у = СО8 2пл = 1,
А2 = а? + «'2 + 2«а' = О + «')2,
А — а -|-
Итакъ, если различіе періодовъ движенія частицъ есть 0, или въ нѣ-
сколько разъ болѣе длины волны, то амплитуда равнодѣйствующей есть
сумма частныхъ амплитудъ. Это также непосредственно проистекаетъ изъ
природы самого-движенія, потому что въ этомъ случаѣ каждая точка, за-
тронутая обоими движеніями, движется по одному и тому же направле-
нію, и, такъ какъ импульсы тогда просто складываются, то и амплитуда
равнодѣйствующаго движенія должна быть равна суммѣ частныхъ ам-
плитудъ.
Но если а равняется половинѣ длины волны, или нечетному числу
половины, то
(2и+і4
СО8 2 1Г. — ~ СО8 2тг. -----— СО8 (2п -|- 1) 7Г = —: 1,
А2 = «2-]-«'2 — 2а«г — (« — ®Г)2,
А = а — х'
въ случаѣ же, когда
х ~ х1
А = 0.
Одновременнымъ дѣйствіемъ обоихъ движеній, движеніе точки будетъ
уничтожено, — точка останется въ покоѣ.
Это также непосредственно видно, потому что въ этомъ случаѣ оба
волнообразныя движенія встрѣчаются въ противоположныхъ періодахъ; им-
пульсы, вліяющіе на отдѣльныя точки, въ случаѣ равенства а и со-
вершенно одинаковы, но различно направлены; поэтому движеніе должно
прекратиться. Если-импульсы не одинаковы, то точка двигается съ раз-
ностью скоростей, по направленію сильнѣйшаго импульса.
Для всѣхъ остальныхъ значеній а, равнодѣйствующая амплитуда ле-
житъ между суммою и разностью частныхъ амплитудъ Поставимъ, на-
примѣръ:
« = (п + %) А
тогда:
С08 2я. “ = СО8 (2п-|-’/2) тг — СО8^-= О,
24
СЕМДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
А4 = 7* + я'«
А --- \/ а* -|~ а'2
Если же я = я', то параллелограмъ (рис. 8) будетъ квадратъ и
А = а. V 2 ,
2тг .2 = 45° = %*,
В = ‘/8л.
Такимъ образомъ, равнодѣйствующее волнообразное движеніе на */8
длины волны отстоитъ отъ обоихъ составляющихъ движеній. Изъ (рис. 9)
Рис. 9.
видно, какъ это слѣдуетъ изъ самыхъ свойствъ разсматриваемаго дви-
женія, что обѣ пунктированныя линіи принадлежатъ составляющимъ дви-
женіямъ, начерченная же линія представляетъ равнодѣйствующее движеніе.
На каждомъ мѣстѣ ряда равнодѣйствующее разстояніе равно суммѣ раз-
стояній составляющихъ; отсюда слѣдуетъ, очевидно, что въ этомъ случаѣ
равнодѣйствующее движеніе, равно какъ и бблыпая амплитуда, отстоятъ
на */8 длины волны отъ составляющихъ.
Допустимъ, что а увеличивается отъ Д° (Д+Уа) \ то-
гда амплитуда равнодѣйствующаго движенія уменьшится до 0; тогда
какъ она увеличится до я -}- я', если разница періодовъ уменьшится отъ
(п~^У4) А ДОМА.
То же измѣненіе видимъ между (п-У'/а) А и (п-|-1) А: амплитуда
увеличится; она при (п -|- 3Д) А равна |/ а* + а'9, а при (п + 1) А
опять равна я -|- я'.
Движеніе, производимое отъ интерференціи (взаимодѣйствія) многихъ
волненій въ ряду точекъ, зависитъ поэтому существенно отъ разницы пе-
ріодовъ движеній составляющихъ; сообразно съ этимъ, движеніе можетъ
усиливаться или ослабѣвать, совершенно прекратиться или сдѣлаться рав-
нымъ суммѣ составляющихъ его частныхъ движеній.
Интерференція (взаимодѣйствіе) волнообразныхъ движеній,
распространяющихся по противоположнымъ направленіямъ.
Образованіе неподвижныхъ волнъ. Въ предъидущихъ параграфахъ
мы разсмотрѣли равнодѣйствующее движеніе, происходящее отъ соедине-
ЛЕКЦІЯ.
25
нія двухъ волнообразныхъ движеній, распространяющихся въ ряду точекъ
по одному и тому же направленію. Но какъ мы видимъ, движеніе рас-
пространяется отъ каждой первоначальной точки волнообразнаго движенія
въ обѣ стороны. Поэтому, если исходныя точки двухъ волнообразныхъ
движеній отстоятъ другъ отъ друга на разстояніе а, то поэтому про-
странству должны распространяться два волненія въ противоположныхъ
направленіяхъ. Поэтому, спрашивается: какъ движутся точки, находящіяся
на зтомъ пространствѣ? Очевидно, что и на это разстояніе имѣетъ силу
законъ интерференціи (взаимодѣйствія), разсмотрѣнный въ предъидущемъ
параграфѣ. Равнодѣйствующее движеніе равняется суммѣ составляющихъ;
отсюда, чтобы получить состояніе движенія находящихся на этомъ про-
странствѣ точекъ, мы должны, какъ и прежде, опредѣлить и сложить
движенія точекъ вслѣдствіе отдѣльныхъ волнъ.
Пусть С и С' будутъ двѣ другъ отъ друга на а отстоящія точки
(рис. 10) и пусть движеніе продолжается отъ С къ С' и отъ С' въ про-
тивоположномъ направленіи къ С. ₽ис. ю.
Пусть теперь разстояніе на х отъ
С отдѣленной точки р отъ положе- к / —
нія равновѣсія, во время і вслѣдствіе
движеніе идущаго отъ С, равняется у; тогда мы будемъ имѣть
3/ = «.8Іп2тг.(4-і)-
Примемъ далѣе, что точка С' начинаетъ двигаться въ то же время и
что движеніе имѣетъ ту же амплитуду и ту же продолжительность коле-
банія. Обозначимъ разстояніе точки р отъ С' черезъ х', то мы получимъ
для разстоянія уг этой точки отъ положенія равновѣсія во время і, въ
слѣдствіе отъ С' идущаго движенія:
у'= а . аіп 2тг .
Чтобы выразить х* черезъ х мы имѣемъ:
х -|- х' — а
х' = а — х,
вставимъ это значеніе въ выраженіе для у*
, . п / і а — х\
у' — а. . 8111 2~ . ( —-— у
Это выраженіе, очевидно, представляетъ направленіе распространенія
движенія, противоположнаго первому, потому что х получается съ отрица-
тельнымъ знакомъ.
26
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
Для разстоянія точки р отъ положенія равновѣсія во время I, вслѣд-
ствіе обоихъ одновременно дѣйствующихъ движеній, получимъ мы по за-
кону интерференціи (взаимодѣйствія)
^=уЛ-у'
' У — а . 8ІП 2я . у) + « • 8ІП 2а . —
Вставимъ теперь вмѣсто суммы обоихъ синусовъ, на основаніи извѣст-
ной тригонометрической Формулы
зіп 4" 8іп 7 = 2 віп % (р 4- д) сое % (р — д')
двойное произведеніе синуса полусуммы и косинуса полуразности обѣихъ
дугъ, то тогда
УЛ . п (I а \ а — 2х
= 2х . 81П 2тг ---— ) С08 ІГ . -:--’
\ л л/ у Л
или, взявъ во вниманіе, что сов—р = со8р
Х7" Л ® * Л / ® \
У = 2а . С08 —----Я . 81П 2іг ( ~ — — .
Л \Л лх- /
Въ этомъ выраженіи для У, х уже не имѣетъ, какъ прежде, связи
съ I, поэтому оно болѣе не опредѣляетъ періодовъ, т. е. направленія и
скорости точекъ. Разстоянія отъ положенія равновѣсія, которыя дости-
гаются отдѣльными точками въ различныя времена I, опредѣляются для У
послѣднимъ Факторомъ уравненія
отсюда х исчезаетъ, поэтому- различныя точки ряда пробѣгаютъ не посте-
пенно отдѣльные періоды движенія.
Коэфиціентъ
„ 2х — а
2 а . С08 —-— л
опредѣляетъ амплитуду движенія; она получаетъ, смотря по значенію х,
различныя значенія; она можетъ имѣть различные знаки, смотря по тому,
- д
имѣетъ ли сов —-— 2л положительный или отрицательный знакъ. Всѣ
точки, лежащія такъ, что этотъ коэфиціентъ положительный, лежатъ въ
одно время по одну сторону положенія равновѣсія; всѣ же точки при коэ-
фиціентѣ отрицательномъ лежатъ на противоположной сторонѣ.
Точки одной и той же группы находятся всѣ одновременно въ одномъ
и томъ же періодѣ, точки же различныхъ группъ въ періодахъ противо-
положныхъ. Отдѣльныя группы отдѣляются точками, для которыхъ х
имѣетъ такое значеніе, что сов——= 1), которыя такимъ образомъ, не
смотря на значеніе I, всегда остаются въ положеніи равновѣсія.
ЛЕКЦІЯ.
27
Поэтому, рядъ точекъ распадается па извѣстное число частей, которыя
заключены между двумя покоюіцимися точками; отдѣльныя точки этихъ
частей находятся въ томъ же періодѣ, но амплитуды ихъ различны,
смотря по значенію х. Колебаніе въ этомъ случаѣ называется неподвиж-
нымъ, а часть, заключенная между двумя покоющимися точками, назы-
вается неподвижною волною.
Чтобы ближе изслѣдовать состояніе ряда точекъ, предположимъ, что
разстояніе а обѣихъ точекъ въ нѣсколько разъ болѣе длины волны, тогда
х •=. п . Л.
Тогда наше выраженіе для У получитъ видъ:
У = 2а . СО8 — П л 8ІП 2л (дг—
У = 2а . { СО8 ИЛ СО8 л 8ІП ИЛ 8ІП л 1
{зіп 2л ~ СО8 ПЛ — С08 2л 8ІП пл
Но извѣстно, что
С08 ИЛ — ± 1,
8ІП ИЛ = О,
отсюда
У = 2а . СОзД— л 8ІП 2л 4г-
л X
Изъ этого видно, что во времена і — О, I =. Т, і — 2Т . . .1 — пТ,
зіп 2л . О,
слѣдовательно всѣ точки въ одно время переходятъ черезъ положеніе
равновѣсія.
Далѣе, во время і = (2п -|- 1)
а
зіп 2л зіп (2и -}- 1) л = 0.
Опять всѣ точки ряда находятся въ положеніи равновѣсія,
т
Напротивъ, во время I =. (4=п 1)
зіп 2л . — зіп (4и 4- 1) 4'= 1,
точки находятся всѣ на крайнихъ концахъ ихъ пути, значеніе разстоя-
нія различно въ различныхъ точкахъ ряда. Отыщемъ эти значенія.
Наше выраженіе для У будетъ тогда:
У — 2а . соз ~ л.
Л
28
СЕМДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
Если же х = 0, то у = 2<х
х = у у = О
4 . *7
У = —2*
ЗЛ А
ж = 4 У — О
х = л у = 2а
® = %л у = О
х == 3/2Х у = — 2а и т. д.
Итакъ, наши прежніе выводы подтверждаются при изслѣдованіи отдѣль-
ныхъ точекъ; это показываетъ, что длина отдѣльныхъ неподвижныхъ
волнъ, разстояніе покоющихся точекъ, равняется половинной длинѣ волны
въ продолжающемся движеніи.
Мы только что покинули положеніе ряда точекъ во время і — Т,
или +1- Т; если время увеличится отъ */4 Т до */2 Т, или Т
(4п + 2) т -чт
до -—-— Т, то значеніе У уменьшается одновременно и равномѣрно
а -
до 0, ибо въ каждый моментъ времени разстоянія всѣхъ точекъ должны
быть умножены на тотъ же коэфиціентъ; а если і = */2 Т, тогда всѣ
точки будутъ снова въ положеніи равновѣсія. Если значеніе і увеличится
далѣе, то коэфиціентъ
зіп 2-п- —
сдѣлается отрицательнымъ, потому что тогда 2тг > тг. Точки будутъ на-
ходиться тогда на противоположной сторонѣ положенія равновѣсія, а именно
на самомъ дальнемъ разстояніи, если
і = 3/4 т или —-— Т; 8іп 2іг .р = 8іп —-— іг = — 1.
Тогда для
Ж = 0,^,3^,5^. . .
V = — 2а, 0, 2а, 0, — 2а, 0 . . .
Л Л
такъ что точки, соотвѣтствующія разстояніямъ -, 3/4 А, % . . .(2п + 1) -г
отъ С все время находятся въ покоѣ и только между ними лежащія точки
совершаютъ движеніе взадъ и впередъ. Точки ряда, находящіяся постоянно
въ положеніи равновѣсія, называютъ узлами колебанія, и отсюда ясно, что
они потому остаются всегда въ покоѣ, что черезъ нихъ почти одновре-
менно проходятъ въ противоположныхъ направленіяхъ пониженія и по-
ЛЕКЦІЯ.
29
вышенія волны. Точки, лежащія въ срединѣ между узлами колебаній,
суть точки наибольшаго колебанія; въ нихъ встрѣчаются всегда, одновре-
менно два повышенія или два пониженія волны. На основаніи этого, видъ
т
ряда точекъ (рис. 11) во время і~ 2к — будетъ прямая МХ, во время
а
Рис. 11.
Т
і = (4п 1) если мы примемъ, что колебаніе совершилось поперечно,—
а
пунктированная линія М'№; во время (2п-}_1)^ опять прямая МХ и
А
т
наконецъ во время і = (4п 3) - — волнообразная линія М"№'.
- а
Вслѣдствіе интерференціи (взаимодѣйствія) двухъ въ противополож-
номъ направленіи распространяющихся волнообразныхъ движеній, весь
рядъ точекъ раздѣлится на отдѣльныя части, равныя по длинѣ полу-
волнѣ; въ каждой изъ такйхъ частей, всѣ точки находятся въ томъ же
самомъ періодѣ колебанія; точки же, находящіяся въ чередующихся ча-
стяхъ, находятся въ противоположномъ періодѣ движенія. Продолжитель-
ность такого неподвижнаго колебанія равняется продолжительности колеба-
нія обоихъ волнообразныхъ движеній, которыхъ равнодѣйствующая есть не-
подвижное колебаніе.
Скорость распространенія волнообразнаго движенія. — Выше,
на стр. 12—17, мы видѣли, что волнообразное движеніе, въ какомъ-нибудь
ряду точекъ, распространяется съ опредѣленною скоростью и далѣе, что оно
въ продолженіе одного колебанія распространяется на длийу одной волны.
Обозначимъ поэтому продоляіительность колебанія черезъ Т, длинну волны
черезъ )і, а скорость распространенія, т. е. пространство, на которое
распространилось движеніе въ одну секунду, черезъ с, тогда между этими
тремя величинами будетъ слѣдующее отношеніе:
Х = С.Т; Т = ^; с=4-
Но этого отношенія еще недостаточно для опредѣленія абсолютной
длины волны или скорости распространенія, которая всегда зависитъ отъ
свойствъ силъ, дѣйствующихъ въ ряду точекъ. Но если бы мы могли
отыскать еще другое отношеніе между этими величинами, которое бы
намъ дозволило уничтожить ОДНО ИЗЪ НИХЪ, ТО ₽ъ извѣстномъ случаѣ
30
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
было бы достаточно разсмотрѣнія одной изъ этихъ трехъ величинъ, для
опредѣленія двухъ другихъ, а съ тѣмъ вмѣстѣ и для полнаго опредѣленія
волнообразнаго движенія. Помощью изложенныхъ въ предъидущемъ па-
раграфѣ законовъ неподвижныхъ волнъ, мы можемъ получить такое отно-
шеніе между Т и X.
Продолжительность колебанія Т какой-нибудь неподвижной волны, на
основаніи выводовъ предъидущаго параграфа, равняется продолжительности
колебанія точекъ распространяющейся волны, интерференціею (взаимо-
дѣйствіями) которыхъ образовались неподвижныя волны. Длина Ь непод-
вижной волны равняется половинѣ распространяющейся волны.
Продолжительность колебанія неподвижной волны также дана урав-
неніемъ:
Т = 2тг. \/Г,
ѵ к
гдѣ,- если мы обозначимъ черезъ р силу, движущую одну точку волны
на единицу разстоянія отъ положенія равновѣсія, а черезъ т — массу
движущуюся въ этой точкѣ,
к = р-
т
означающее ускореніе, сообщенное разсматриваемой точкѣ въ единицу
разстоянія. Чтобы показать это ускореніе, мы ссылаемся на то, что для
каждой точки неподвижной волны существуетъ отношеніе между ея уско-
реніемъ <р и ея разстояніемъ у отъ положенія покоя, <р — — ку, это вы-
раженіе служитъ основаніемъ для продолжительности колебанія и изложено
выше.
друга, чѣмъ когда онѣ находятся
Рис. 12.
Въ неподвижной волнѣ существуетъ сила движущая точки,—притяже-
ніе и отталкиваніе точекъ другъ отъ друга,—которая образуется отъ того,
что точки при движеніи няходятся на другихъ разстояніяхъ другъ отъ
?ъ положеніи покоя.
Пусть (рис. 12) представ-
ляетъ положеніе точекъ неподвижной
волны, поперечно или продольно коле-
блющагося ряда точекъ. Если волне-
ніе происходитъ поперечно, тогда дѣй-
ствительно вертикальныя разстоянія
точки (3, у. . . отъ агі суть разстоянія
точекъ отъ положенія равновѣсія; если
же точки колеблются продольно, тогда
Рис. 13.
а 4 « і I і І
< і' / і І
ЛЕКЦІЯ.
31
разстоянія точекъ отъ ат> представляютъ сдвиженіе точекъ отъ положенія
равновѣсія (рис. 13), причемъ сдвиженія въ мѣстѣ положенія равновѣ-
сія, напримѣръ а(? — а@, а/ — ау и проч. представлены перпендикулярно.
При сдвиженіи точекъ изъ ихъ равновѣснаго положенія происходитъ
также' сдвиженіе точекъ другъ къ другу, т. е. измѣняются разстоянія, на *
которыхъ находились точки другъ отъ друга въ положеніи равновѣсія.
Измѣненія, этихъ разстояній вызываютъ къ дѣйствію Притяженіе и оттал-
киваніе между точками. Силу, происшедшую вслѣдствіе такого измѣненія
между частицами какого-нибудь тѣла, мы назовемъ упругостью и какъ
мѣрило этой силы мы поставимъ силу, съ которою частицы взаимно при-
тягиваются, если разстоянія ихъ удвоилось. Далѣе мы видѣли, что сила,
съ которою вообще частицы притягиваются, пропорціональна сдвиженію,
или, что при сдвиженіи измѣренномъ первоначальными разстояніями,
эта сила
У = I . а . е,
если мы черезъ е обозначимъ силу, съ которою частицы взаимно притя-
гиваются, при удлинненіи тѣла и при удвоеніи разстоянія. Притомъ а
есть опредѣленная величина, на которую мы должны умножить коэфи-
ціентъ упругости, чтобы получить силу, съ которою частицы снова при-
водятся въ положеніе равновѣсія, при другомъ сдвиженіи, направленномъ
въ направленіи соединенія частицъ, когда такимъ образомъ сдвиженіе
равняется первоначальному разстоянію частицъ, т. е. і; равняется 1.
Опредѣленная величина а будетъ равняться 1, если при нашемъ обозна-
ченіи сдвиженіе будетъ продольное.
Эти законы, доказанные въ ученіи объ упругости, мы можемъ непо-
средственно перенести на нашъ рядъ точекъ; мы дѣлаемъ впередъ пред-
положеніе о свойствахъ частичныхъ силъ, дѣйствующихъ между точ-
ками ряда, возможность допущенія которыхъ доказана уже въ ученіи объ
упругости.
Пусть 5, е, \{рис. 12) будутъ три точки, непосредственно лежащія
другъ подлѣ друга, и которыя такимъ образомъ находятся въ положеніи
равновѣсія; если мы, какъ въ предъидущемъ параграфѣ, опредѣлимъ по-
ложеніе точекъ посредствомъ ихъ разстоянія х отъ неподвижной точки,
отстоящія другъ отъ друга на весьма малую величину Дж, то разница
Л между обоими вертикальными разстояніями обѣихъ точекъ ; и г отъ ат?
есть величина, на которую измѣнилось разстояніе точки е и 'С, въ положе-
віи равновѣсія, во время движенія. Если точки колеблются вдоль, то слу-
чай этотъ совершенно подходитъ подъ сказанное, если же точки колеблются
32
СЕМДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
поперекъ, то только приблизительно, потому что кромѣ этого сдвиженія
точекъ другъ другу происходятъ небольшія колебанія въ разстояніяхъ по
направленію Не обращая вниманія на эти измѣненія, мы допускаемъ
маленькую неточность, если предположимъ, что длина волны относительно
амплитуды движенія или разстоянія каждой точки, очень велика; потому
что тогда длина а&7 весьма незначительно разнится отъ ат,, а ра-
вняется %Ъ.
Упругость ряда точекъ старается привести точки, выведенныя изъ
относительнаго положенія равновѣсія, силою, пропорціональною измѣненію
положенія, снова въ положеніе равновѣсія; поэтому сила, дѣйствующая
на е вслѣдствіе сдвиженія еб отъ і. будетъ
Л
ДГ • а ’ е’
если мы обозначимъ черезъ А я разстоянія равновѣснаго положенія и бу-
демъ измѣрять сдвиженіе помощью этого разстоянія, какъ мы это видѣли
выше и раньше * *).
Тогда ё сдвинута также къ точкѣ 5 изъ соотвѣтствующаго разстоянія
отъ положеніи равновѣсія, а именно, какъ видно изъ прежняго, на вели
чину еЬ', черезъ это происходитъ опять вліяніе точки <5 на е, которое
стремится привести точку ё, въ отношеніи 5, въ положеніе равновѣсія,
и которое равно
Послѣдняя сила дѣйствуетъ по направленію совершенно противополож -
ному первой; первая тянетъ точку къ Ь', послѣдняя же къ Ь. Равнодѣй-
ствующая этихъ обѣихъ силъ, понуждающая двигаться точку е въ напра-
вленіи Л и дѣйствительному положенію равновѣсія будетъ поэтому:
Точка е преимущественно, даже можно сказать единственно, притяги-
вается сосѣдней съ нею точкою; поэтому, только что найденное нами вы-
Рис. 14.
раженіе дѣйствительно соотвѣтствуетъ
силѣ двигающей точку е. Чтобы ее
совершенно опредѣлить нужно только
еще вычислить разность гб—Мы
достигаемъ этого слѣдующимъ обра-
*) Си. параграфъ, въ которомъ мы выводимъ сходное съ этимъ выраженіе
Лекція.
зомъ: вертикальныя разстоянія отдѣльныхъ точекъ 0, у... (рис. 14) отъ ли-
ніи ау. опредѣлятся изъ предъидущаго параграфа уравненіями:
у~2л. СОЙ — ТГ . 81П 2я - .
л А *
гдѣ х означаетъ разстояніе разсматриваемой точки отъ исхода волнообраз-
наго движенія. Изъ этого уравненія мы получимъ для каждаго’ времени I,
разстоянія у отдѣльныхъ точекъ отъ аг, если мы вставимъ соотвѣтствую-
щія имъ знанія х. Обозначимъ разстояніе положенія равновѣсія точки о,
отъ точки исхода волнообразнаго движенія черезъ х, тогда разстояніе
точки е отъ той же точки х -|- Да? = хг, а разстояніе точки равняется
х' + Да; = х". Вертикальныя разстоянія дсі = у, ае= у', с'С = у" мы по-
лучимъ, если вставимъ въ уравненіе для у значенія х, х' х".
Тогда гЪ = у' — у,,-.) — у — у*, а искомая нами разность:
еб — ьЪ' = (у' — у") — (у — у'). *
Произведемъ это. вычисленіе; тогда, если мы обозначимъ длину не-
подвижной волны, черезъ Ь, мы получимъ:
у — 2а . СОЙ г тг . 8ІП 2л
ѵ ь т
у* — 2а . СО8 п . 8ІП 2тг
* л • л Г Л* /\ Д? • Д? • /\ Д? 1
2х . 81п2тГ“<СО8 г тг . СОЙ =- к — Й1П -р * • 81П =-КІ.
1 ( Іл іи 1л Іл }
Такъ какъ, по нашему предположенію, разстояніе Да? двухъ точекъ
очень мало, то мы можемъ, не опасаясь большой неточности, сдѣлать
Д® ч . Д® Д®
соя л = 1, 8Ш ~ л = л
1л 1л 1л
а также.
у' =. 2а . 8ІП 2тг 4ІСО8 ТГ
ѵ ТІ ь
д®
ь
• д?
ТГ . 81П ѵ тг
іл
и
— у — уг = тг . 8ІП — тг . 2а . 8ІП 2тг
ѵ а Ъ Ь Т
Значеніе для у" мы получимъ, если мы въ значеніи для у вмѣсто х
вставимъ х 4“ 2Да?, или, что тоже, если мы въ выраженіи для у', полу-
ченное изъ у посредствомъ вставленія х Да?, величину а? снова пере-
мѣнимъ на х Да?. Тогда
„ „ . ~ I і ® 4- Д® Д® . х 4- Лх і
у"—2а.. 8іп2л 7? • { СО8 ----Г-- тг----— тг . 81П -тА
Т I 1л Іл Іл I
/> л . ~ і I Дж • . Дд?
Уі9 = 2х . 81П 2п - . СО8 -т- тг . СОЙ —81И г К . 81П -==?-- г
1 I ІЛ ІЛ ІЛ Іл
/\д? . л* Дж Лос х . Лх »
--,8іп — 7Т . С08 =7- я ==—7Т . СОЙ 7 Г. . 8Ш =7— К I
1 Іл Іл Іл ІЛ Іл |
Физика. IV. 8
34
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
и если мы опять вставимъ
Д® ,' Д® Д®
СО8 V- к = 1 , 81П Т. К
I. іи 1л
.. „ . „ I ( X п Д® . X Дх* „ X 1
у" =. 2а . 81П 2л —'С08у- л — 2-~- л . 81П — Л---- л2 . С08 т- л
1 1 1л іл 1л Ъ* 1л/
Отсюда слѣдуетъ
7 . •• л • л 1 I Дх . х . Лх* , X )
іЪ = у' — у" = 2а . 81П 2л—. л. 8Ш г л -4--=^— л2 СО8 -р л [
и наконецъ
еЬ — $Ь, = ^- л2.сов-^-л . 2а . зіп 2л -А,
1л* 1л А
ИЛИ
еЪ — еЬ* = . л2 . у.
1л
Вставимъ опредѣленную разность сдвиженій въ найденное передъ
тѣмъ выраженіе, которое даетъ намъ силу, дѣйствующую на г къ Ь, тогда
получимъ
л’Д®
-іу- . а. е. у.
Чтобы получить ускореніе, полученное точкою е отъ этой силы по на-
правленію Ъ, мы должны раздѣлить это выраженіе еще на массу т точки
е; тогда получимъ
я’Дл
-т-7- . а . е . у.
Ь2т с а
Величина Дж обозначаетъ разстояніе двухъ точекъ нашего ряда въ
положеніи равновѣсія; соотвѣтствующее значеніе этого, или
1
Д® ’
поэтому означаетъ число точекъ, заключающихся въ единицѣ длины въ
ряду точекъ. Введемъ это значеніе, тогда ускореніе точки по направленію
къ Ь будетъ
я8 ае
ІЛ тп ' У
Величина тп, произведеніе массы одной точки на число точекъ въ
единицѣ длины, есть масса точекъ заключающихся въ единицѣ длины въ
ряду точекъ; мы можемъ назвать ее плотностью ряда точекъ. Назовемъ ее
Л, тогда наконецъ ускореніе точки е будетъ
я2 ае
а ' У'
Сообразно выбранному нами на стр._ 12 выраженію, мы должны
этому ускоренію дать отрицательный знакъ, такъ какъ вслѣдствіе ея умень-
ЛЕКЦІЙ.
35
шается разстояніе у точки е отъ положенія равновѣсія, такъ что наконецъ
ускореніе точки неподвижной волны будетъ
лг ае
? = У-
Сравнивъ это выраженіе съ выраженіемъ, принятымъ нами на
стр. 12 за законъ, по которому дѣйствуетъ сила, имѣющая слѣдствіемъ
колебательное движеніе точки
<Р = — ку,
мы ихъ найдемъ равными. Уравненіе для продолжительности^ колебанія
точки, для котораго мы имѣли
Т = 2к\/2_
ѵ к
годится и тутъ; а взявъ во вниманіе найденное значеніе для к, получимъ
Такимъ образомъ продолжительность колебаній неподвижной волны
прямо пропорціональна длинѣ волны и корню квадратному изъ плот-
ности среды, и обратно пропорціональна корню квадратному изъ упругости
ряда точекъ. Но такъ какъ продолжительность колебанія неподвижной
волны равняется продолжительности распространяющейся волны, взаимо-
• дѣйствіемъ которой произошла первая, то выраженіе
Т -АЬ\/1 ,
2 .
при —— == А, годится также и для выраженія продолжительности коле-
V а
банія распространяющейся волны.
Такъ какъ между длиною распространяющейся волны )., скоростью ея рас-
пространенія с и продолжительностью ея колебанія существуетъ отношеніе:
і.
с
то . ;
с =-----' _
АІд/А
а такъ какъ 1 = 2Ь, то если мы вставимъ 7Га ~ С, то
7 А ѵ
с = С \/І .
ѵ а'
Скорость распространенія волны прямо пропорціональна корню квадрат-
ному изъ упругости ряда точекъ и обратно пропорціональна корню квадрат-
ному изъ плотности.
3*
86
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
'^Соединеніе многихъ волнообразныхъ движеніи, колебанія
которыхъ происходятъ не въ одинаковомъ направленіи; элип-
тическія колебанія. — До сихъ поръ мы наблюдали особенный слу-
чай соединенія волнообразныхъ движеній, въ которыхъ колебанія напра-
влены одинаково. Точно также возможно, что въ ряду точекъ распро-
страняются два движенія, которыхъ направленія не совпадаютъ; одно
волнообразное движеніе съ продольными колебаніями и одно съ попереч-
ными колебаніями, или два движенія съ вертикальными колебаніями, кото-
рыя все-таки образуютъ собою уголъ.
Какъ мы уже видѣли на стр. 19 — 24, въ этомъ случаѣ мы полу-
чаемъ силу, равнодѣйствующую дѣйствію обоихъ движеній изъ закона о
паралеллограмѣ силъ; въ каждый моментъ, діагональ паралеллограма, со-
ставленнаго изъ силъ ускоряющихъ частныя движенія, на основаніи вели-
чины и направленія, даетъ равнодѣйствующую силу, а также скорость
и путь движеній точки.
Предположимъ, что оба волнообразныя движенія имѣютъ одинаковую
продолжительность колебанія, а также одинаковую длину волнъ, тогда
равнодѣйствующая также имѣетъ ту же продолжительность колебанія; путь,
описываемый точками, не можетъ совпадать, ни съ тѣмъ, ни съ другимъ
движеніемъ, но онъ необходимо долженъ быть въ той же плоскости, ко-
торая образуется направленіемъ движеній въ отдѣльныхъ волнахъ. Чтобы
получить этотъ путь, всего удобнѣе исходить изъ математическаго выра-
женія для движенія точки, вслѣдствіе каждаго изъ движеній, и полученный
такимъ образомъ выводъ разсмотрѣть ближе.
Ясно, что намъ нужно опредѣлить только путь одной точки и что
пути всѣхъ остальныхъ точекъ ряда должны съ нимъ согласоваться. По-
тому что, такъ какъ на основаніи предположенія, каждое частное движе-
ніе распространяется въ ряду точекъ съ одинаковою скоростью, путь
всѣхъ точекъ долженъ быть тотъ же самый.
Назовемъ разстояніе одной изъ точекъ ряда, находящейся на разстояніи
х отъ исходной точки движенія, отъ положенія равновѣсія во время і,
черезъ у, тогда мы имѣемъ
У-=.0.. 8ІП 2тг —......................(1).
Вслѣдствіе втораго движенія, если оно дѣйствуетъ отдѣльно, точка
отдалится по другому направленію отъ своего равновѣснаго положенія;
пусть разстояніе точки отъ этого положенія во время і будетъ г. Пред-
положимъ далѣе, что исходная точка этого движенія отстоитъ отъ пер-
ЛЕКЦІЯ.
37
вой на разстояніе а, движеніе же это началось также въ моментъ С; тогда
для г мы имѣемъ выраженіе:
2 = 0.8Іп2тг ...............(2).
Выведемъ изъ этихъ двухъ выраженій для разстояній у и г, уравне-
ніе между у и 2; тогда это уравненіе дастъ намъ взаимное разстояніе въ
одномъ и другомъ направленіи, или мѣсто точки въ каждый моментъ,
если мы опредѣлимъ разстояніе точки въ одномъ направленіи изъ одного
изъ вышеприведенныхъ уравненій. Это уравненіе дастъ намъ также путь
двигающейся точки.
Изъ обоихъ выше означенныхъ уравненій непосредственно получаемъ
два слѣдующія:
А = ВІп2*(і-^...........................(3)
- = ВІП 2тг (~ — у) СОВ 2* . у + СОВ 2* —у^ВІп2я. . (4).
Помножимъ уравненіе (3) на сов 2к . у тогда
-. сов 2* у = віп 2тг Гу — 1) с08 . “..............(5)
вычтемъ теперь уравненіе (5) изъ (4), то получимъ
і V _ а п [ I х\ . п а ...
----- . СОВ 2* . у = СОВ 2а - — у ВІП 2тг . у . . . . (6).
р а Л \ X Л / Л
Возвысимъ уравненіе (6) въ квадратъ и прибавимъ
і -V віп2 2тг. у = віп 2* (у — р) віп2 2* . у,
тогда получимъ
(тУ + (!/•{ 8ІП’2*.“ +сов 2*. —2^. ?сов2^. =
= віп2 2^ .4{віп22*(і —-Л) + сов22* /у— у)},
или
/ѵ\2 і/*\2 п У 2 п а • о о а ’ /п\
-) + —-) — 2 — . - сов 2* . у = віп2 2* . -- . . . (7).
\а} 1 \ р ) а ? 1 Л 47
Уравненіе (7) даетъ намъ разстояніе точки отъ положенія равновѣсія
параллельно направленію перваго движенія, для всякаго значенія, которое
можетъ имѣть разстояніе точки параллельно второму движенію. Аналити-
ческая геометрія показываетъ намъ, что всѣ точки, которыхъ взаимныя
разстоянія отъ опредѣленной точки параллельны двумъ извѣстнымъ напра-
вленіямъ, опредѣляются уравненіемъ (7), и лежатъ на опредѣленной линіи,
элипсисѣ, котораго центръ есть именно та опредѣленная точка, отъ кото-
рой отсчитаны разстоянія у и 2- Если два волнообразныя движенія рас-
38
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
пространяются въ ряду точекъ и притомъ съ различнымъ направленіемъ коле-
баній, то точки двигаются по эллипсису около своего равновѣснаго положенія.
Въ наше выраженіе (7) для пути точекъ входитъ также и разность
моментовъ и смотря по различному значенію а, отношеніе между у и 2
можетъ измѣняться; при различномъ значеніи для а, для опредѣленнаго 2,
получается всегда другое значеніе для у. Хотя всѣ эти значенія должны
согласоваться съ тѣмъ условіемъ, чтобы подходить подъ уравненіе (7),
и притомъ пути точекъ должны быть элипсисами, все-таки положеніе и
видъ элипсисовъ различаются, смотря по значенію а. Разсмотримъ видъ
элипсисовъ при нѣкоторыхъ значеніяхъ для а.
Если мы предположимъ, что направле-
нія колебаній образуютъ другъ съ другомъ
уголъ ф и что направленіе положитель-
ныхъ разстояній 2 (^жс. 15) точки Р, от-
стоящей на х отъ исходной точки движе-
нія, находятся направо отъ положенія
покоя, направленіе же положительнаго у
считается вверхъ, т. е? что движеніе, при
положеніи точекъ одновременно направо
вверху, находится въ томъ же періодѣ въ
обоихъ частныхъ движеніяхъ, при движе-
ніи же точекъ внизъ и направо движеніе
находится въ различныхъ періодахъ. Если же разность періодовъ обоихъ
движеній равняется 0, или равному числу полуволнъ, то
СО8 2л . у == 1; віп 2л . у = 0,
У8 2у^ ___л
а’ а/3 ।
± = 0
а 0 '
2 Р'
Въ этомъ случаѣ значенія для у и 2 стоятъ въ опредѣленномъ отно-
шеніи, въ отношеніи амплитудъ « : (3. Поэтому опредѣлимъ соотвѣтствую-
щія временамъ і', Iй, Т, разстоянія г,', г", (3 и проведемъ отъ 2' 2", р
параллельно Ру линіи 2* р', 2" р", |ЗР', такъ что
2* р' : г' Р ~2" р" : 2" Р — 0 Р' : @ Р — <х : |3,
тогда длины 2* р*, р" и проч. суть значенія для у, соотвѣтствующія
этимъ значеніямъ 2, а точки р', р", Р принадлежатъ пути, совершаемому
Рис. 15.
ЛЕКЦІЯ.
39
точкою. Изъ подобія треугольниковъ слѣдуетъ, что точки Р,^', рп, Р' лежатъ
на одной прямой линіи; поэтому путь, совершенный точкою, есть прямая
линія, идущая черезъ положеніе равновѣсія точки Р, направленіе кото-
рой лежитъ между направленіями частныхъ движеній.
Для амплитуды РР' равнодѣйствующаго движенія мы получаемъ по
закону паралеллограмма силъ
РР Р'З2— 2Р(3 .Р'іЗ • «08 Р^Р',
А — Р «2 р2 2*3 . сое у
а для угла, образуемаго путемъ точки и х, если мы обозначимъ его
черезъ гр, мы получимъ изъ пропорціи:
РР': Р'З = 8Іп РрР': 8Іп Р'Рз ,
8ІП ф — . 8ІП <р.
Величина и направленіе равнодѣйствующей амплитуды зависитъ по-
этому отъ величины частныхъ амплитудъ и отъ угла, образуемаго част-
ными -движеніями. Равнодѣйствующая амплитуда получитъ наибольшее
значеніе при <у = О
А = « + |3.
Направленіе всѣхъ трехъ движеній осталось одинаковымъ и равно-
дѣйствующая амплитуда есть сумма частныхъ амплитудъ.
Чтобы узнать путь движенія точки намъ не надо было искать уравненія(7),
потому что этотъ выводъ непосредственно получается изъ уравненій (1) и (2),
потому что если а — 0, или 2и . у, то
2/ = «-віп2я (у-у),
2=з /3 • 8ІП 2п —т) ,
а отсюда
у__________________________________ “.
(3
Если разность періодовъ не равняется 0, или четному числу полу-
волны, то путь движенія точки есть эллипсисъ. Движеніе начинается
тогда въ различныя времена и не увеличивается равномѣрно, какъ въ
прежнемъ случаѣ; то быстрѣе увеличивается у, то быстрѣе увеличивает-
ся г; у даже можетъ уменьшаться при увеличеніи г. Если а менѣе */4Л,
то (рис. 16) точка Р прошла уже часть своего пути по направленію къ
2; если же движеніе началось послѣ у, то точка находится въ Р\
потому что если у = 0, то уравненіе (2) или (7) дастъ
40
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
2 = Р . ЗІП 2тг . у
если напримѣръ а = 3/16’л, то
ъ — (3 . зіп 67°, 5 = 0,923р. '
Рис. 16. Когда теперь точка проходитъ
послѣднюю часть своего пути по
I направленію къ 2, но двигается
/ • уже по направленію къ у, — она
I =\7 опишетъ путь р' Р9. Точка при-
/ .х у--------7*' шла въ Р9, она достигла такимъ
-•----у2-----у------------« образомъ, въ направленіи къ 2, сво-
і/ / / / его наибольшаго разстоянія, если по
/V- ' уравненію (7) '
* / — -4- 1 — 2 —. сой 2п . 4 = зіп2 2п .
/ а9 1 а л А ,
е_2^ соз 21Г. У + соз2 2к. “ = 0,
а2 а А Л
у — у9 — а. . соз 2тг . у
при принятомъ нами значеніи для а — 3/16 Л, у = <* • соз 67°,5, или ра-
венъ 0,382а. Вовремя отдаленія точки по направленію къ у отъ положе-
нія равновѣсія, она возвращается по направленію къ 2 опять назадъ, она
описываетъ путь, Р9Р" и находится уже въ Р", гдѣ у = <*, если точка
по направленію къ 2 приблизилась къ точкѣ исхода на
2 — р . соз 2тг. у = 0,382 (3
Съ этого времени у и 2 одновременно уменьшаются, но 2 умень-
шается быстрѣе у, потому что точка въ этомъ направленіи находится
ближе къ положенію покоя; точка двигается, пока 2 сдѣлается равнымъ
0, къ р", гдѣ у въ то же время — 0,923а. Далѣе точка двигается по на-
правленію 2 въ отрицательную сторону до р"9, въ то же время разстоя-
ніе у уменьшается до 0 и т. д., такъ что точка двигается черезъ р999 ,
Р9", Рѵ, р™ опять въ р9, если у сдѣлался опять равнымъ 0. Если им-
пульсы продолжаются по обоимъ направленіямъ, то точка въ слѣдующее
затѣмъ время проходитъ тотъ же путь назадъ, который, какъ намъ по-
казываетъ уравненіе (7), есть эллипсисъ.
Если а=’/4Л, то двигающаяся точка находится, по направленію къ
2, на дальнѣйшемъ разстояніи отъ положенія покоя и начинаетъ свое
обратное движеніе, когда начинаетъ двигаться по направленію у. Когда
ЛЕКЦІЯ.
41
она возвращается по направленію 2 назадъ, она послѣ у достигаетъ
наибольшаго своего разстоянія, или для 2 = 0, у = а. Когда 2 =—
то у = 0, когда же 2 опять сдѣлается равенъ 0, то у = — а, такъ-что
такимъ образомъ соотвѣтствующія значенія у и 2 для этихъ четырехъ
положеній будутъ:
?/ — 0, у - «, у = 0, у = — а, у = 0
2=&, 2=0,2 =— (1,2= 0, 2=$.
Поэтому эллипсисъ проходитъ въ этомъ случаѣ черезъ конечныя точ-
ки частныхъ амплитудъ и направленія движеній перпендикулярны другъ
къ другу, его положеніе и Форма совершенно другая, чѣмъ въ предъиду-
щемъ случаѣ, но движеніе точки слѣдуетъ прежнему направленію. Это
слѣдуетъ изъ вида, которое принимаетъ тогда уравненіе пути.
Направленія колебанія опредѣляются тогда двумя соединенными діа-
метрами элипсиса.
Если, въ особенности въ этомъ. случаѣ, обѣ амплитуды равны, а на-
правленія движенія перпендикулярны другъ другу, то путь проходимый
точкою есть кругъ. Ибо въ такомъ случаѣ наше уравненіе для пути
будетъ
Такъ какъ оба направленія у а г другъ къ другу перпендикулярны,
то а означаетъ разстояніе точки отъ неподвижной точки, отъ которой
отсчитываются разстоянія у и 2.
Точки проходимаго пути лежатъ такимъ образомъ на линіи, которая
опредѣляется тѣмъ, что всѣ ея точки отстоятъ отъ неподвижной точки,
лежащей внутри ея, на опредѣленную величину, а именно равную а; а
это, какъ извѣстно, свойство круга.
Уравненія (1) и (2) даютъ также это непосредственно, безъ помощи
уравненія (7), потому что, если а = '/., л, то
а отсюда
у=а. 8111 2я^ —-
- 2= а . СО8 2тт (у—
у2 2і = Х2
I
42
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
Если же разность періодовъ болѣе, то путь до а — у2 А во всякомъ
случаѣ есть эллипсисъ, положеніе котораго и видъ легко получить на
основаніи предъидущаго.
Если тогда то уравненія (1) (2) или (7) даютъ намъ со-
отвѣтствующія значенія для у и г.
а
у — — — г.
Такимъ образомъ Форма пути опять прямая линія, которая, однако,
лежитъ иначе, нежели въ томъ случаѣ, когда а было равно 0. Она ле-
житъ теперь (рис. 17) въ углу, образуемомъ положительнымъ направле-
ніемъ у и отрицательнымъ — 2, потому что
точка Р начинаетъ теперь двигаться одно-
временно по отрицательному направленію
г и по положительному у, и такъ, что
ясегда
_____ 3
а
двигается отъ Р къ Р', по-
Р къ Р" и т. д. взадъ и
по линіи Р'Р", пока
какомъ-нибудь еще большемъ значеніи
будетъ снова элипсисъ,
поэтому она
томъ черезъ
продолжаются оба импульса. .'
а путь, совершаемый
по которому точка однако же будетъ
впередъ
При
точкою,
двигаться въ обратномъ направленіи, чѣмъ прежде. Разсмотримъ случай,
когда а = 11/16Х. Если точка Р (рис. 18) начинаетъ свое движеніе по на-
правленію у, или когда такимъ образомъ
у = л-
Рис. 18.
то
2 = /? . віп “/ея = — 0,923/?.
Точка Р находится въ точкѣ р*.
Въ то время,, когда г увеличивает-
ся до — /?, точка двигается по на-
правленію положительнаго у до тѣхъ
поръ, пока
у = — а . соз — 0,382 а
Точка двигается отъ р' къ Р'.
увели чивается, точка снова приближается
Если у — а, то 2 — /3 СО8
Когда далѣе разстояніе у
до направленію г къ положенію покоя.
ЛЕКЦІЯ.
43
п/8 іг = — 0,382 /?, тогда точка находится въ Р"; такимъ образомъ она
прошла путь Р'Р^. Придальнѣй шемъ движеніи точка приближается, какъ
по направленію у, такъ и г,, къ положенію равновѣсія до тѣхъ поръ, пока
она не находится въ р". Послѣ этого она удаляется по направленію
положительнаго 2, въ то же время, когда она по направленію у прибли-
жается къ исходной точкѣ движенія; она двигается къ р,и, Р"' й т. д.;
такъ что точка проходитъ элипсисъ пути въ направленіи Р', Р", Р,г/,
РІѴ, совершенно по противоположному направленію, чѣмъ на рис. 16,
гдѣ разность періодовъ была 3/1вХ.
Между разностью періодовъ ‘/2 А и А точка проходитъ каждый рай
элипсисъ, который для каждаго а имѣетъ другое положеніе и другой
видѣ, движеніе же совершается по только-что разсмотрѣнному нами на-
правленію. Видъ элипсиса претерпѣваетъ также измѣненія, какъ и' въ
„ . 31
передъ этимъ разсмотрѣнной разности періодовъ; онъ сначала при а = —’
дѣлается округлѣе, а потомъ до а — X площе, до тѣхъ поръ, пока для
послѣдней разности періодовъ снова не сдѣлается прямою линіею, кото-
рая опять лежитъ такъ же, какъ и въ случаѣ, когда а — 0.
Въ случаѣ, когда составляющія движенія имѣютъ одинаковые періо-
ды, путь прохожденія всякой точки есть элипсисъ, и притомъ для всѣхъ
точекъ одинъ и тотъ же. Различія въ одновременныхъ положеніяхъ, при
движеніи отдѣльныхъ точекъ, состоятъ тогда въ томъ, что они находятся
на различныхъ точкахъ элипсиса и двигаются съ различною скоростью.
Видъ ряда вслѣдствіе движенія точекъ различенъ, смотря по направ-
ленію, которому слѣдуютъ составляющія движенія. Если одно иаъ дви-
Рис. 19.
женій продольно, а другое поперечно, точки описываютъ элипсисы, ко-
торыхъ поверхности заключаютъ направленіе, въ которомъ продолжается
движеніе. Такимъ образомъ рядъ точекъ получитъ видъ подобный тому,
какъ при поперечномъ волнообразномъ движеніи. Напримѣръ, пустѣ рядъ
точекъ приведенъ одновременно яъ продольное и поперечное колебанія;
продольное движеніе пусть началось на четверть волны ранѣе противъ
поперечнаго и пусть амплитуды будутъ одинаковой величины, тогда
(рис. 19) представляетъ взаимное положеніе точекъ на длйнѣ одной воЛй&і,
44
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
«, /3, у ... ѵ суть положеніе точекъ въ покоѣ. Точка а хочетъ
начать новое движеніе въ поперечномъ направленіи, въ продольномъ
направленіи она уже сдѣлала первую четверть пути своего колебанія;
она находится въ а'. Точка $ кончила цѣлое колебаніе въ продольномъ
направленіи, въ поперечномъ же она находится только еще въ концѣ
третьей четверти колебанія, въ наибольшемъ разстояніи отъ положенія
покоя въ отрицательную сторону. Для точки , чтобы оставить прежнее
обозначеніе: у — 0, 2 = — /3, для и, у = а, 2 — 0, а для ѵ опять
у — 0 и 2 — /3. Каждая изъ дугъ круга показываетъ путь точекъ, кото-
рый она прошла со времени I = Т, гдѣ началось уже поперечное
движеніе точекъ.
Если оба движенія поперечны, то поверхности элипсическихъ путей
стоятъ перпендикулярно на линіи распространенія движенія; ряды поверх-
ностей путей образуютъ элиптическій цилиндръ, ось котораго составле-
на рядомъ точекъ въ положеніи покоя. Винтовая линія, проведенная на
этомъ цилиндрѣ, вышина которой равняется длинѣ волны, заключаетъ
въ себѣ, какъ это легко видно, точки въ различные періоды ихъ коле-
банія.
Колебанія системы точекъ. — Если въ системѣ точекъ выпол-
няющей пространство, нарушено будетъ равновѣсіе одной-какой нибудь
точки, то оно должно быть нарушено и во всѣхъ остальныхъ точкахъ, если мы
предположимъ, что здѣсь, какъ и въ ряду точекъ, разсмотрѣнныхъ нами
выше, система удерживается въ равновѣсіи притягивающею и отталкивающею
силами, дѣйствующими между отдѣльными точками Каждую систему то-
чекъ, находящуюся въ пространствѣ, можно разсматривать .какъ состоя-
щую изъ рядовъ точекъ, которые получатся, если черезъ одну какую-
нибудь точку провести прямыя линіи въ пространствѣ, по всѣмъ направ-
леніямъ. Тогда эти линіи расходятся отъ точки въ разныя стороны, какъ
радіусы шара отъ центра, а каждый изъ безконечнаго числа радіусовъ
представляетъ рядъ точекъ. Если первая точка будетъ приведена въ ко-
лебаніе, то это послѣднее должно распространиться, по выведеннымъ уже
нами законамъ, на всѣ ряды точекъ, потому что эта точка въ одно и
то же время принадлежитъ всѣмъ рядамъ.
Смотря потому какъ распредѣлены точки въ пространствѣ, распро-
страненіе движенія въ системѣ можетъ быть весьма различно. Если точ-
ки расположены такъ, что разстоянія ихъ по всѣмъ направленіямъ, т. е.
на всей длинѣ радіусовъ, равны, и упругость въ каждомъ мѣстѣ каждаго
ряда точекъ одинакова, какъ мы это принимали при разсмотрѣніи ряда
ЛЕКЦІЯ.
45
точекъ, то систему называютъ однородною. Въ такой системѣ волнообраз-
ное движеніе распространяется по всѣмъ направленіямъ съ опредѣленною
скоростью; на всей длинѣ радіуса, длина волны одинакова, потому что
въ этомъ случаѣ, для каждаго направленія частное \/ -!> выражающее
' ѵ й
скорость распространенія движенія,—опредѣленно. Колебательное движе-
ніе въ такой системѣ мы можемъ опредѣлить непосредственно помощью
нашихъ выводовъ для колебанія ряда точекъ.
Если разстоянія точекъ другъ отъ друга, на различныхъ разстояніяхъ
отъ точки исхода движенія, не одинаковы, или если упругость на отдѣль-
ныхъ радіусахъ съ увеличеніемъ разстоянія отъ точки исхода измѣняется,
или же если и сила упругости и, взаимныя разстоянія точекъ измѣняют-
ся, но въ различныхъ отношеніяхъ, то система называется неоднородною
или разнородною.
Въ такой системѣ движеніе распространяется не съ одинаковою ско-
ростью на различныхъ разстояніяхъ. Длины волны на всемъ протяженіи
радіусовъ не одинаковы, но измѣняются тамъ, гдѣ встрѣчается измѣненіе
разстоянія между точками или силъ упругости, потому вездѣ въ этомъ
случаѣ является измѣненіе въ частномъ \/^
Однородныя системы точекъ могутъ быть или изртропичны, или ани-
зотропичны. Изотропичныя системы суть тѣ, въ которыхъ разстоянія
всѣхъ точекъ другъ отъ друга и силы, удерживающія ихъ въ состояніи
равновѣсія, не только одинаковы на всемъ протяженіи радіусовъ, но въ
то же время равны на всѣхъ радіусахъ, проведенныхъ черезъ одну точ-
ку системы; или же гдѣ при различіи разстояній точекъ другъ отъ друга,
по различнымъ направленіямъ, упругость измѣняется точно въ такомъ же
отношеніи.
Для такихъ системъ точекъ частное V ~ опредѣленно для всѣхъ ра-
* й
діусовъ, которые мы можемъ провести черезъ одну изъ точекъ, такимъ
образомъ для всѣхъ рядовъ точекъ, составляющихъ систему. Поэтому
колебательное движеніе, вызванное въ одномъ мѣстѣ, распространяется
по всѣмъ направленіямъ, во всей системѣ, съ опредѣленною скоростью.
Если частное \/— опредѣленно не для всѣхъ направленій, то систему
» й
называютъ: анизотропическою и гетеротропическою; это въ томъ случаѣ,
когда плотность различныхъ рядовъ точекъ или ихъ упругость различна,
46
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
когда, такимъ образомъ, въ одномъ направленіи, точки лежатъ ближе
другъ къ другу, или съ большею силою удерживаются въ равновѣсномъ
положеніи, нежели въ другомъ. Въ каждомъ ряду точекъ волнообразное
движеніе распространяется съ опредѣленною скоростью, которая, однако,
измѣняется для каждаго ряда.
Разсмотримъ подробнѣе распространеніе волнообразнаго движенія въ
изотропическихъ средахъ.
Если мы, по прежнему, обозначимъ продолжительность колебанія че-
резъ Т, а скорость распространенія волнообразнаго движенія черезъ с,
то, по прошествіи времени Т, колебательное движеніе передалось всѣмъ
точкамъ цѣлаго шара, описаннаго радіусомъ В, = с. Т около точки исхо-
да движенія а, такъ какъ въ этой системѣ колебательное движеніе рас-
пространяется съ одинаковою скоростью по всѣмъ направленіямъ. Точки,
лежащія на поверхности шара, начинаютъ тогда свое движеніе, когда
точка а совершила цѣлое колебаніе, точки же, составляющія радіусы
круга, находятся въ различныхъ періодахъ колебанія; тѣ, которыя уда-
сТ . сТ
лены на — отъ а совершили своего колебанія, удаленныя на — отъ
а — половину и т. д. Очевидно, что всѣ точки, лежащія на поверхности
шара, описаннаго около а, находятся въ одинаковыхъ періодахъ колебанія.
Состояніе движенія, совершающагося въ концѣ времени Т внутри
шара, описаннаго радіусомъ В = сТ, распространяется въ слѣдующее
время Т далѣе по направленію радіусовъ, такъ что въ концѣ времени
2Т всѣ точки шара, описаннаго радіусомъ 2сТ, принимаютъ участіе въ
движеніи. Точки, лежащія на поверхности зтого шара, готовы начать свое
колебаніе; точки же на шарѣ, описанномъ радіусомъ сТ, совершили уже
свое первое колебаніе. Точки, находящіяся между поверхностями обоихъ
шаровъ, совершили большую или меньшую часть своего колебанія; онѣ
находятся въ томъ же періодѣ, какъ и соотвѣтствующія имъ точки вну-
три шара, описаннаго радіусомъ сТ, во время Т. Точки, отстоящія отъ
а на 5/4 сТ совершили 3/4 своего колебанія, точки, удаленныя на 3/2
сТ — */2 своего колебанія.
Точки, лежащія внутри шара, описаннаго радіусомъ сТ, находятся
въ томъ же періодѣ колебанія, какъ и во время Т, если возбужденіе
продолжается въ центрѣ движенія; теперь они совершаютъ свое вто-
рое колебаніе.
Въ слѣдующее время Т состояніе движенія пространства, лежащаго
Между шарами, описанными радіусами 2сТ и сТ, распространяется по
ЛЕКЦІЯ.
47
направленію радіусовъ, удаленныхъ на разстояніе меньшее ЗсТ отъ точ-
ки а; шаръ, описанный радіусомъ ЗсТ, есть граница движенія. Тамъ
точки начинаютъ свое первое колебаніе тогда, какъ на поверхности шара,
бывшаго границею движенія во время 2Т, онѣ начинаютъ свое второе
колебаніе. Всѣ точки, находящіяся между этими двумя шарами, совер-
шили уже большую или меньшую часть своего колебанія, смотря по раз-
стоянію ихъ отъ точки исхода движенія или отъ шара, который въ предъ-
идущее время былъ границею движенія.
Совершенно ясно видно, какъ постепенно пространство, около точки
а, дѣлится на рядъ шаровыхъ поверхностей, разстояніе которыхъ между
собою равняется всегда сТ и въ пространствѣ между которымъ точки,
ровно отстоящія отъ границы этого пространства, находятся въ одинако-
выхъ періодахъ колебанія. Каждый радіусъ, проведенный нами отъ точки
а. къ наружной границѣ движенія, точно также раздѣлился на извѣстное
число частей, равныхъ длинѣ волны, какъ мы это прежде уже видѣли
для отдѣльныхъ рядо.ъ точекъ. Поэтому и здѣсь разстояніе между двумя
шаровыми поверхностями, описанными радіусами п . сТ и (п—1) сТ,
называютъ длиною волны, а все пространство, заключающееся между
этими шаровыми поверхностями — волнами.
Изъ всего сказаннаго можно вывести, что въ изотропической системѣ
колебательное движеніе распространяется шарообразными волнами. .
Если черезъ нѣкоторое время колебательное движеніе точки а прекра*
щается, то и вср точки, слѣдующія за а, приходятъ, на всѣхъ радіусахъ,
въ состояніе покоя, такъ какъ колебательное движеніе ихъ обусловли-
вается движеніемъ а, которая при своемъ движеніи тянетъ ихъ за собою.
Поэтому, кромѣ наружной границы движенія, существуетъ еще внутрен-
няя, на которой движеніе точекъ прекращается.
Эта внутренняя граница также должна быть шаръ, центръ котораго
есть а, а радіусъ постоянно растетъ со временемъ і, какъ и радіусъ
наружной границы. Изъ этого слѣдуетъ, что отъ времени, въ которое а
перестаетъ двигаться, всѣ двигавшіяся точки заключаются въ простран-
ствѣ между двумя шаровыми поверхностями, разстояніе между которыми
равняется сі, если мы черезъ і обозначимъ время, въ продолженіе кото-
раго двигалась точка «. Для времени 1 границами будутъ два шара, опи-
санные радіусами сі' и с (Іг — і), изъ которыхъ первый есть наружная
граница, а второй—внутренняя. Съ увеличеніемъ времени, пространство
между шаровыми поверхностями увеличивается все болѣе, но остается
всегда
48
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
а' — с (іг — і) = сі
т. е. всегда опредѣленнымъ.
Въ неизотропичныхъ системахъ, волнообразное движеніе можетъ распро-
страняться и не шарообразными волнами; здѣсь разстояніе, ' на которое
переходитъ движеніе въ одинаковыя времена по различйымъ направле-
ніямъ, зависитъ отъ плотности радіусовъ и отъ упругости этихъ рядовъ.
Чтобы по этому получить въ этомъ случаѣ границы движенія, мы должны
знать законъ, по которому измѣняются свойства рядовъ точекъ. Мы бу-
демъ имѣть случай позже разсматривать, въ ученіи о свѣтѣ, распростра-
неніе колебательныхъ движеній въ подобныхъ системахъ.
Не однородную систему точекъ мы можемъ разсматривать какъ со-
единеніе прилежаіццхъ другъ къ другу однородныхъ системъ точекъ.
Распространеніе колебательныхъ движеній въ этихъ послѣднихъ мы мо-
жемъ подвести подъ распространеніе движенія въ однородныхъ системахъ
точекъ, только необходимо изслѣдовать измѣненія, претерпѣваемыя коле-
бательнымъ движеніемъ при переходѣ изъ одной однородной системы въ
другую, также однородную.
Принципъ Гюйгенса (Ниу§Ьепз).— Можно сдѣлать себѣ нѣсколько
иное представленіе о распространеніи волнообразнаго движенія, впервые
примѣненное Гюйгенсомъ и основанное на принципѣ одновременнаго су-
ществованія нѣсколькихъ небольшихъ движеній. Этотъ принципъ совер-
шенно можетъ быть выраженъ слѣдующимъ образомъ: точка какой-нибудь
системы, возбуждаемая многими импульсами, совершаетъ движеніе, ко-
торое опредѣляется какъ равнодѣйствующее на основаніи закона о парал-
лелограммѣ силъ. Если далѣе, вслѣдствіе движенія этой точки, будутъ
двигаться также и сосѣднія съ нею точки системы,—при чемъ движеніе
этихъ послѣднихъ есть только слѣдствіе одного изъ составляющихъ дви-
женій первой точки,:—то эти точки двигаются такъ, какъ бы первая точка
двигалась вслѣдствіе одного изъ составляющихъ движеній.
Если въ системѣ точекъ происходитъ волнообразное движеніе, достиг-
шее до извѣстной поверхности, то движеніе какой-нибудь изъ точекъ
системы, не лежащей въ этой поверхности, есть равнодѣйствующая всѣхъ
частныхъ движеній, которыя посылаются къ ней различными точками волны.
Пусть СИ (рис. 21) будетъ наружная, (УГИ внутренняя граница вол-
ны, происшедшей отъ движенія точки а. Мы можемъ разсматривать всѣ
точки, лежащія между границами СВ и СП)', какъ новые центры волны,
отъ которыхъ распространяется во всѣ стороны колебательное движеніе,
какъ бы исходя изъ точки а.
ЛЕКЦІЯ.
49
Эти волны, происшедшія отъ отдѣльныхъ точекъ, при предположеніи, что
система изотропная, будутъ шарообразны, также какъ и поверхности, ко-
торыхъ разрѣзъ суть СБ и С'Б'.
Движеніе отъ точки ѵ во вре-
мя і распространяется, напри-
мѣръ, на шаръ, описанный ра-
діусомъ ѵл = с . і, изъ центра
ѵ. То же самое будетъ и для
всѣхъ точекъ шаровой поверхно-
сти СБ; изъ всѣхъ этихъ то-
чекъ исходятъ движенія по всѣмъ (
направленіямъ въ видѣ шаро-
образныхъ волнъ, которыхъ ра-
діусы равны с . I.
Наружная граница, до ко-
торой такимъ образомъ дошло
волнообразное движеніе, будетъ
поверхность, соприкасающаяся
Рис. 20.
ко всѣмъ этимъ шарамъ, т. е.
обнимающая ихъ всѣ собою. Эта поверх-
ность очевидно есть шаръ ЕЕ, имѣющій центромъ точку « и котораго
радіусъ равняется аѵ с . і — ал. Потому что точки шаровъ, находящіяся
на самомъ дальнемъ разстояніи отъ точки а, суть точки, образующія
изъ радіусовъ ѵл и аѵ прямую линію; точки же эти лежатъ на поверх-
ности шара, котораго радіусъ равняется аХ.
То же самое мы имѣемъ и для движеній всѣхъ точекъ, лежащихъ
между СБ и С'Б'; отъ нихъ также идутъ движенія по всѣмъ направле-
ніямъ, и состояніе колебанія какой-нибудь точки шара, лежащаго между
СБ и С'Б', перешло на поверхность шара, лежащаго отъ точки а на с. і
далѣе. Внутренняя граница волны поэтому будетъ поверхность шара Е'Е',
описаннаго около точки а радіусомъ аѵ' ѵ'л', потому что эта поверх-
ность соприкасается ко всѣмъ шарамъ описаннымъ отъ всѣхъ шаровой
поверхности С'Б' радіусами ѵ'Л'.
Такимъ образомъ, помощью примѣненія построенія Гюйгенса, мы по-
лучимъ совершенно тѣ же волнообразныя поверхности, какъ если бы мы
исходили отъ подвижной точки а по направленію радіусовъ, если мы
каждую точку волны будемъ разсматривать, какъ центръ движенія, отъ
котораго движеніе распространяется далѣе.
Физика. IV. 4
50
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
Но намъ недостаточно показать, что по этому построенію ограничива-
ніе волны каждый разъ то же самое, какъ будто бы мы принимали про-
стое распространеніе по радіусамъ, проходящимъ черезъ центры движе-
нія, но мы должны тоже доказать, что движеніе каждой точки въ этихъ
волнахъ то же самое, какъ по нашему первому представленію, и оправдать
сдѣланное тогда безъ объясненія предположеніе о прямолинейномъ рас-
пространеніи волнъ въ системѣ точекъ.
Пусть поэтому шаръ АВСВ, описанный около точки а, есть поверх-
ность волны въ какое-нибудь время і, а /х пусть будетъ точка системы,
лежащая на радіусѣ аѵ и удаленная на разстояніи й отъ точки ѵ (рис. 21).
рис. 21. Если движеніе распростра-
Ѳняется, то точка /х, по проше-
ствіи извѣстнаго времени т, бу-
детъ имѣть движеніе, распро-
страняющееся отъ ѵ по напра-
---------------------------влен'ю радіуса у/х. Если мы пред-
положимъ, что точка у въ концѣ
'''------------------------времени I' или въ началѣ вре-
мени т начинаетъ свое движеніе,
то періодъ колебанія точки /х
опредѣляется изъ уравненія:
у — л. 8111 2т. I—----- ,
если мы обозначимъ черезъ а амплитуду, черезъ Т продолжительность
колебанія, а черезъ X — длину волны колебательнаго движенія.
По нашему предположенію, всѣ точки поверхности волны суть центры
движенія, отъ которыхъ распространяются колебанія по всѣмъ, направле-
ніямъ. Во время т, поэтому, движеніе со всѣхъ точекъ поверхности волнъ
АВСВ перенесено'* на точку /х. Но такъ какъ разстоянія отдѣльныхъ то-
чекъ у/ отъ /х, какъ между собой, такъ и отъ у/х, различны, то одновре-
менно въ /х пришедшія движенія вышли изъ волны АВСВ въ различныя
времена; отсюда слѣдуетъ, что періоды одновременно на точку у. дѣйствую-
щихъ движеній различны какъ между собою, такъ и съ движеніемъ исхо-
дящими изъ у. Назовемъ разстояніе какой-нибудь точки 7’ отъ /х черезъ
тогда разстояніе точекъ /х отъ положенія равновѣсія, вслѣдствіе этого
движенія, будетъ
?/'= а . 8Іп 2я — у )’
ЛЕКЦІЯ.
51
а разность періодовъ обоихъ движеній будетъ разность
Эта разность, смотря по положенію точки ,уг, имѣетъ всегда другое
значеніе; она тѣмъ болѣе увеличивается, чѣмъ далѣе лежитъ точка отъ
ѵ, такъ что одновременно всѣ движенія дѣйствуютъ на точку р во всѣ воз-
можные періоды. Чтобы получить равнодѣйствующую всѣхъ этихъ дви-
женій представимъ себѣ, что поверхность волны СИ разложена на рядъ
поясовъ // цУ1 „у" у" кругами, центры которыхъ лежатъ на ар и кото-
рые перпендикулярны къ ар, такъ что разстоянія слѣдующихъ другъ за
другомъ точекъ ѵ отъ р всегда различаются между собою на ‘ДХ; такъ что
Р- — іѵ'Р = іѵ'р — ѴР = иѵ"р —іѵ"р іѵ"р — »р= 73Х.
Всѣ движенія, которыя начинаются въ точкахъ, лежащихъ на поясахъ,
ближе всего находящихся около ѵ, подвигаютъ во время т точку р по тому же
направленію, потому что разность періодовъ этихъ движеній менѣе ‘/2Х.
Движенія же, исходящія изъ точекъ 2-го пояса // нуг "у и\)", подви-
гаютъ точку р. въ противоположную сторону, потому что всѣ лучи этого
пояса, въ сравненіи съ соотвѣтствующими точками поясовъ, находящихся
ближе всего къ точкѣ ѵ, отодвинуты на половину волны. Движенія же,
происходящія изъ третьяго пояса, въ сравненіи съ первымъ, отодвинуты
на цѣлую волну; они не имѣютъ никакой разности въ періодахъ съ пер-
выми, а потому двигаютъ точку опять по тому же направленію. Совер-
шенно противоположно имъ дѣйствуютъ лучи четвертаго пояса, имѣющіе
съ точками третьяго пояса разность въ періодахъ происходящихъ отъ
нихъ движеній въ */2Х.
Совершенно то же самое мы имѣемъ для 5-го и 6-го пояса, такъ что
перемежающіеся поясы производятъ движенія въ имѣющія разность въ
періодахъ на половину волны. Движеніе, получаемое точкою отъ какого-
нибудь пояса, будетъ слабѣе движенія происходящаго какъ отъ предъиду-
щаго, такъ и отъ послѣдующаго ближайшаго пояса.
Если, поэтому, первый поясъ заключилъ въ себѣ столько же двигаю-
щихся точекъ, какъ и второй, третій столько же, сколько и четвертый,
и т. д., и всѣ движенія, происходящія отъ этихъ точекъ и достигающія р.
имѣли то же напряженіе, т. е. тѣ же амплитуды, то точка р отъ дѣйствія
ихъ всѣхъ не получила бы никакого движенія и осталась бы въ покоѣ.
Но легко замѣтить, что не всѣ поясы одинаковой величины, такъ какъ
точки у, разность разстояній которыхъ отъ равняется */2 л, все болѣе
и болѣе сходятся, и такъ какъ радіусы шаровыхъ поясовъ постоянно измѣ-
няются. Посредствомъ вычисленія можно доказать, что величина каждаго
4*
52
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
пояса равняется полусуммѣ предъидущаго и ближайшаго послѣдующаго
пояса. Такъ второй поясъ равняется половинѣ перваго, плюсъ половина
третьяго; четвертый равняется половинѣ третьяго, плюсъ половина пятаго
и т. д. Движеніе, исходящее изъ второй половины пояса, лежащаго пер-
вымъ къ ѵ, и движеніе второй половины втораго пояса по направле-
нію къ ѵ имѣютъ разность періодовъ въ половину волны, точно также
и движеніе первой половины втораго и первой половины третьяго пояса.
Такъ какъ второй поясъ равенъ суммѣ половины перваго и половины
третьяго пояса, то движеніе, переходящее отъ втораго пояса въ ,п, уни-
чтожится дѣйствіемъ второй половины перваго и первой половины третьяго
пояса. Точно также дѣйствіе четвертаго пояса уничтожится дѣйствіемъ
второй половины третьяго и первой половины пятаго пояса; дѣйствіе
шестаго пояса уничтожится остальною половиною пятаго и первою поло-
виною седьмаго и т. д. на протяженіи всей первичной волны. Какъ видно,
такимъ образомъ, остается только дѣйствіе половины ближе всѣхъ лежа-
щаго къ ѵ пояса; движеніе точки /х остается то же самое, какъ если бы
движеніе распространялось только по направленію аѵ/х, т. е. по напра-
вленію радіуса, проходящаго черезъ « и ѵ.
Посредствомъ построенія Гюйгенса, мы приходимъ совершенно къ тѣмъ же
результатамъ, какъ и помощью воззрѣнія на распространеніе волнообразнаго
движенія, изложеннаго въ предъидущемъ параграфѣ; поэтому въ послѣдую-
щихъ случаяхъ, мы можемъ примѣнять то одинъ, то другой способъ воззрѣнія
Переходъ волнообразнаго движенія изъ одной системы то-
чекъ въ другую. Отраженіе волнъ. — Неоднородную систему
точекъ, какъ уже было выше изложено, мы можемъ разсматривать какъ
составленную изъ нѣсколькихъ однородныхъ системъ точекъ. Поэтому
распространеніе волнообразнаго Движенія въ отдѣльныхъ частяхъ системъ
слѣдуетъ законамъ движенія однородной системы. Движеніе будетъ рас-
пространяться въ шарообразныхъ волнахъ при изотропныхъ системахъ и
въ другой Формѣ при анизотропныхъ системахъ. Поэтому, для точнаго
опредѣленія распространенія волнъ въ неоднородныхъ системахъ, мы
должны изслѣдовать явленія, которыя представляются при переходѣ
волнообразнаго движенія изъ одной системы точекъ въ другую.
Если волнообразное движеніе распространяется въ какой-нибудь одно-
родной средѣ, т. е. въ средѣ однородной плотности и упругости, то
оно не можетъ возвратиться назадъ; чаще всего оно, при переходѣ въ
новые слои, оставляетъ предъидущіе въ абсолютномъ покоѣ. Точно такъ
же, какъ шаръ, при столкновеніи съ другимъ, равной съ нимъ массы,
ЛЕКЦІЯ.
53
послѣ толчка остается въ покоѣ, передавъ тому всю свою скорость, —
всякая колеблющаяся точка передаетъ всю свою скорость' слѣдующей за
нею и совершенно равной съ нею по величинѣ точкѣ. Придя въ поло-
женіе покоя, она не оставляетъ его болѣе, если на нее не подѣйствуетъ
новый импульсъ изъ центра движенія. Такимъ образомъ, волнообразное
движеніе, въ однородной системѣ точекъ, идетъ впередъ, не возвращаясь.
Мы видимъ совершенно другое, когда волнообразное движеніе проис-
ходитъ по границѣ двухъ совершенно различныхъ системъ точекъ. Если
какой-нибудь шаръ ударяется о другой, не равной съ нимъ массы, то
онъ продолжаетъ двигаться и послѣ удара. Если второй шаръ состоитъ
изъ ббльшей массы, чѣмъ первый, то этотъ шаръ будетъ отброшенъ на-
задъ; шаръ, получившій ударъ, двигается впередъ, ударившій же дви-
гается по противоположному направленію перваго своего движенія. Если
второй шаръ имѣетъ мёньшую массу, то ударившій шаръ продолжаетъ
свое движеніе въ томъ же направленіи. То же самое должно быть и при
волнообразномъ движеніи, гдѣ движеніе отдѣльныхъ точекъ есть слѣд-
ствіе вліянія сосѣднихъ точекъ. Если движеніе дойдетъ до границы двухъ
различныхъ срединъ, то движеніе перейдетъ на другую среду и обра-
зуетъ тамъ волненіе, которое распространится далѣе, по законамъ дѣй-
ствующимъ для этой среды. Въ то же время точки, лежащія въ послѣд-
немъ слоѣ первой среды, продолжаютъ еще свое движеніе.
Если вторая система менѣе плотна, то точки, лежащія въ погранич-
номъ слоѣ, продолжаютъ просто свое движеніе, только амплитуда послѣ-
дующаго движенія будетъ меньше. Вслѣдствіе этого, эти точки дѣлаются
центрами новыхъ волнъ, распространяющихся назадъ въ первой системѣ;
а такъ какъ движенія центровъ этихъ новыхъ волнъ происходятъ совер-
шенно какъ бы онѣ были слѣдствіемъ новыхъ импульсовъ приходящихъ
волнъ, то волны, возвращающіяся отъ границы, должны быть только
продолженіемъ приходящихъ, т. е. періоды колебаній возвращающихся
волнъ, на какомъ-нибудь разстояніи отъ границы, совершенно тѣ же са-
мые, какъ еслибы движеніе распространилось по первоначальному на-
правленію на равное пространство.
Пусть (рис. 22) представляетъ приходящую волну на границѣ
двухъ срединъ, изъ которыхъ вторая менѣе плотна, нежели первая.
Точка у будетъ двигаться вслѣдствіе впадающей волны и послѣ і/і коле-
банія будетъ находиться въ Но такъ какъ эта точка отдаетъ точкамъ
второй среды, далѣе лежащимъ, только часть своей скорости, то она
сохраняетъ часть переданнаго ей движенія. Это то ж& самое, если бы
54
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
точка 7 передавала все свое движеніе, но въ то же время получила бы
новый импульсъ, по тому же направленію, по которому она движется,-
поэтому, движеніе, направленное внизъ — основаніе волны, — въ моментъ-
движенія точки у, продолжается также на-
задъ. Такъ какъ движеніе въ ряду точекъ
распространяется съ тою же скоростью на-
задъ, съ какою оно идетъ впередъ, то отра-
женное движеніе, послѣ */4 колебанія, рас-
пространяется до у', такъ что передня®
половина отраженнаго основанія волны и
задняя половина приходящаго основанія
волны совпадаютъ въ или въ у'дС
Глубина происшедшаго на границѣ осно-
ванія волны есть, такимъ образомъ, сумма
глубины основаній приходящей и отражен-
ной волны. Далѣе еще на */4 колебанія,
точка у снова пришла, въ положеніе покоя
въ и вершина волны а|3е дошла до-
границы Но основаніе отраженной
волны отошло также на половину длины волны
назадъ и находится въ Поэтому на границѣ движеніе на одну
секунду прервется, вслѣдствіе того, что при интерференціи приходящихъ
и отражающихся волнъ точки, находящіяся между х" и будутъ дви-
жимы только разностью противоположныхъ импульсовъ.
Еще послѣ % колебанія, основаніе отраженной волны перейдетъ до
точка, находящаяся на границѣ, вслѣдствіе набѣжавшей
вершины волны, подвинулась въ противоположную сторону въ і"'. На
движеніе этой точки перешло снова на точки, лежащія позади, потому
что, вслѣдствіе меньшей плотности второй среды, оно не передало послѣ-
дующимъ точкамъ такой большой части своей скорости. Поэтому, вышина
вершины волны на границѣ гораздо значительнѣе вышины вершины
волны, распространяющейся впередъ; за основаніемъ же отраженной отъ
границы волны слѣдуетъ вершина. Послѣ новой */4 колебанія, основаніе
отраженной волны находится въ уІѴ<?ІѴ/3ІѴ, а слѣдующая за нимъ вер-
шина въ ріѵеіѵаіѵ.
Слѣдовательно, какъ въ приходящемъ волнообразномъ движеніи, такъ
и въ отражающемся основаніе волны предшествуетъ вершинѣ; движеніе
же вѣ отраженной волнѣ то же самое, какъ если бы она продолжалась
ЛЕКЦІЯ.
55
ненарушимо, только съ меньшею амплитудою. Совершенно подобно тому,
какъ основаніе идущей волны въ слѣдующей части ряда точекъ образуетъ
основаніе, а вершина волны новую вершину, — основаніе приходящей
волны при отраженіи образуетъ возвращающееся основаніе, а приходя-
щая вершина — возвращающуюся вершину.
Совершенно другое происходитъ, если вторая среда имѣетъ ббльшую
плотность. Точки, движущіяся при продольномъ колебаніи ко второй средѣ,
отталкиваются, а отдаляющіяся отъ границы—притягиваются; такимъ
образомъ, во всякомъ случаѣ, приходящее движеніе превращается въ
обратное. То же самое и при поперечномъ движеніи: точки, находящіяся
по ту или по другую сторону положенія покоя, будутъ притягиваться
слѣдующими за ними точками другой среды сильнѣе, нежели при одина-
ковой плотности послѣдующихъ слоевъ. Поэтому, дѣйствіе плотнѣйшей
среды будетъ то же, какъ если бы точки, находящіяся на границѣ, при
замедленіи ихъ движенія, получили противоположный импульсъ. Че-
резъ это онѣ становятся центрами новаго движенія, въ тотъ самый мо-
ментъ, когда проходитъ первое и притомъ по направленію противопо-
ложному первому движенію. Это движеніе, противоположное первому,
распространяется въ первой системѣ точекъ назадъ.
Пусть, поэтому, {рис. 23) пред-
ставляетъ приходящую волну, на границѣ
двухъ различныхъ срединъ, йзѣ которыхъ
одна, направо отъ МЫ, плотнѣе; тогда
основаніе приходящей волны будетъ отра-
жено какъ вершина. Послѣ времени, рав-
наго */4 колебанія, положеніе точки, лежа-
щей между $ и границею, будетъ опре-
дѣляться разностью приходящихъ и отра-
женныхъ волнъ; основаніе имѣетъ гораздо
меньшую глубину, чѣмъ, при ненарушен-
номъ распространеніи движенія. Послѣ
слѣдующей затѣмъ колебанія, вершина
волны, отраженной отъ основанія пришед-
шей волны, распространилась до положе-
нія точно такж.е вершина волны
ае/ придвинулась до У стѣны
образуется болѣе высокая вершина волны, какъ равнодѣйствующая преж-
нихъ обѣихъ вершинъ. Въ послѣдующее время, вершина отраженной
56
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
волны переходитъ въ приходящая же находится до половины
въ до половины же, какъ отраженное основаніе, въ у
стѣны образуется вершина меньшей вышины. По прошествіи новой */,
колебанія, вершина отражаемой волны отъ основанія приходящей нахо-
дится, наконецъ, въ уІѴ(3ІѴ(3ІѴ, а послѣдняя пришедшая вершина отражена
какъ основаніе и находится въ положеніи /5'1ѵгІѵа1ѵ.
Такимъ образомъ, въ то время, когда при приходящемъ движеніи
основаніе волны предшествуетъ вершинѣ, — въ отраженномъ движеніи,
наоборотъ, вершина предшествуетъ основанію. Поэтому отраженное дви-
женіе имѣетъ съ пришедшимъ движеніемъ противоположные періоды. При
ненарушенномъ распространеніи движенія, преходящее основаніе волны
въ послѣдующее время было бы причиною образованія новаго основанія,
здѣсь же оно вызвало вершину. Итакъ, при отраженіи, отражающійся
лучъ отодвинутъ отъ падающаго на половину длины волны.
Въ обоихъ случаяхъ отражаемыя движенія находятся на равныхъ раз-
стояніяхъ отъ границы въ противоположныхъ періодахъ; когда въ пер-
вомъ находится основаніе волны, то во второмъ — вершина, и наоборотъ.
Отсюда слѣдуетъ, что если волнообразное движеніе доходитъ до гра-
ницы двухъ системъ, въ которыхъ коэфиціентъ у/ 2. имѣетъ различное
значеніе, то оно производитъ всегда отъ границы движеніе двухъ системъ
волнъ, одну назадъ въ первую среду, — отраженную волну, — и вторую,
распространяющуюся далѣе во вторую среду.
Предположимъ, что обѣ системы точекъ изотропны, тогда, съ по-
мощью построенія Гюйгенса, легко получимъ продолжающуюся и отра-
женную волны. Начнемъ со второй и предположимъ, что шарообразная
волна дошла до плоской границы двухъ срединъ.
Пусть Р (рис. 24) будетъ центръ волны въ первой средѣ; СВ пусть
будетъ разрѣзъ волны, а МК разрѣзъ плоскости, отдѣляющей первую
среду. Далѣе, пусть Р(^ будетъ перпендикулярна къ МК, тогда бу-
детъ первая точка, приведенная въ движеніе. Каждая точка границы бу-
детъ центромъ новой волны, возвращающейся въ первую среду, какъ
только она будетъ затронута приходящимъ движеніемъ. Вслѣдствіе этого
сначала отъ точки распространится движеніе въ первой средѣ. Но
такъ какъ мы уже видѣли, что скорость распространенія волны въ упру-
гой системѣ точекъ зависитъ только отъ частнаго \/_, то отраженная
ѵ А
волна распространяется съ тою же скоростью, съ какою распространяется
падающая волна. Такимъ образомъ, во время, когда колебательное движе-
ЛЕКЦІЯ.
57
ніе распространилось до П' или С' отъ точекъ О или С (пусть Б и С,
для симметріи, будутъ равно удалены отъ Р), гдѣ, начиная отъ этихъ
точекъ, движеніе уже начинаетъ отражаться, оно распространилось отъ
до полушарія, котораго радіусъ =. ОС?. Точки, лежащія возлѣ
Рис. 24.
пограничный слой д', д", д, д", начинаютъ двигаться всегда позд-
нѣе и именно на столько позднѣе, сколько требуется для движенія при-
ходящей волны, чтобы пройти пространство сР дг, И" д". Поэтому, въ то
же время, въ которое движеніе распространяется до полушарія, описан-
наго радіусомъ (^г, оно распространяется отъ д> до полушарія, описан-
наго радіусомъ д'г' — Ог— д^д?\ отъ ди оно распространяется до полу-
шарія, описаннаго радіусомъ д"т" := — д"Л" и такъ далѣе, отъ
всѣхъ прочихъ точекъ, до полушарія, радіусъ коего на столько же ме-
нѣе (^г, сколько осталось волнообразному движенію до требуемой точки,
для приведенія ея въ колебаніе.
Поэтому граница, до которой распространилось волнообразное движе-
ніе въ первой средѣ назадъ, есть поверхность, заключающая въ себѣ
всѣ шары, притомъ всѣхъ ихъ касаясь. Легко замѣтить, что поверхность
58
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
должна быть поверхность шара, котораго центръ есть Р', ле-
жащій на одинаковомъ разстояніи за МЫ, какъ и Р передъ МЫ, —
точка, отъ которой началось волнообразное движеніе. Потому что если
мы представимъ себѣ, что волна могла бы безъ задержки распростра-
няться далѣе, тогда, по построенію Гюйгенса, другія полушарія, описан-
ныя около д', изображали бы поверхность волны до
которой должно было бы дойти движеніе въ то же самое 'время, въ ка-
кое оно дошло бы до СС', распространяясь по направленію РС. Поверх-
ность, обнимающая собою эти шары, съ одной стороны есть, какъ мы
уже видѣли, шаръ, описанный радіусомъ РС'= Р(^ = РВС Поверх-
ность, обнимающая собою эти же шары съ другой стороны, должна быть,
поэтому, шаръ, описанный тѣмъ же радіусомъ; эта поверхность своею
выпуклостью обращена, конечно, въ противоположную сторону, центръ
же ея лежитъ въ Р', такъ что Р(^' = Р'г, или такъ какъ
Р'<2=Р<2.
, Отъ плоской границы двухъ системъ точекъ приходящая волна бу-
детъ отражаться такъ, какъ будто бы она исходила изъ центра, который
лежитъ на такомъ же разстояніи за границей, на какомъ лежитъ центръ
приходящей волны передъ границею.
Это положеніе можетъ быть выражено еще въ нѣсколько другой
Формѣ, въ которой оно въ нѣкоторыхъ случаяхъ легче примѣнимо.
Изъ равенства РЧ5 = Р(^ слѣдуетъ, что треугольники Р'С'(^ и РС'(^,
Р'д7^ и Р</'(^, Р'<?'(^ и Рд'(^ и проч. совмѣщаются, а слѣдовательно,
и углы
Р^ = Рд^,
Р'д^ = Рд^ и проч.
или, такъ какъ углы Р'д'^ = С' и Р'д^ = суть при
центрѣ, то углы
Р?"(3 —
Рд'<2 ='^'0',
или углы, подъ которыми радіусы приходящей и отражаемой волны пе-
ресѣкаютъ поверхность границы, равны между собою. При нашемъ пер-
вомъ обозрѣніи способа распространенія волнообразнаго движенія въ си-
стемѣ точекъ, радіусы волновыхъ поверхностей были единственные ряды
точекъ, по которымъ распространялось движеніе. Соображаясь съ этимъ,
назовемъ радіусы лучами волнъ, тогда мы можемъ наше положеніе вы-
разить еще слѣдующимъ образомъ: что при отраженіи волнообразнаго
ЛЕКЦІЯ.
59
движенія лучи отраженія и лучи паденія образуютъ ровные углы съ от-
ражающею поверхностью.
Перпендикуляръ, построенный въ точкѣ разъединенія обѣихъ срединъ,
называютъ обыкновенно перпендикуляромъ паденія, а уголъ, образуемый
падающимъ лучемъ съ этимъ послѣднимъ — угломъ паденія; уголъ же,
образуемый отраженнымъ лучемъ съ зтимъ перпендикуляромъ, называютъ
угломъ отраженія.
Если углы, образуемые падающимъ и отраженнымъ лучемъ съ отра-
жающею поверхностью равны между собою, то равны и углы, образуе-
мые этими лучами съ перпендикуляромъ паденія; откуда слѣдуетъ, что
волнообразное движеніе отражается такимъ образомъ, что падающій и
отраженный лучи лежатъ въ одной плоскости съ перпендикуляромъ паде-
нія, и что уголъ паденія равенъ углу отраженія.
Эта Форма нашего положенія въ особенности удобна для полученія
законовъ отраженія отъ кривыхъ поверхностей. Мы можемъ ихъ разсма-
тривать какъ непрерывный рядъ маленькихъ плоскостей, которыхъ нор-
мальныя направлены иначе, чѣмъ у плоскости, въ которой онѣ всегда
параллельны. Для каждой самой маленькой плоскости примѣняется нашъ
законъ отраженія; поэтому, если извѣстны законы наклоненія нормаль-
ныхъ въ слѣдующихъ другъ за другомъ маленькихъ плоскостяхъ, то въ
то же время извѣстно направленіе для всѣхъ точекъ, по которому па-
даетъ и отражается лучъ волнообразнаго движенія.
Если, напримѣръ, граница двухъ срединъ есть шаровая поверхность,,
то всѣ перпендикулярныя, построенныя изъ каждой точки поверхности,
совпадаютъ съ радіусомъ шара. Поэтому волновое движеніе будетъ от-
ражаться здѣсь такимъ образомъ, что всѣ падающіе и отраженные на
отдѣльныхъ точкахъ лучи образуютъ съ пограничною поверхностью рав-
ные углы. Если движеніе исходитъ изъ центра шара, т. е. по направле-
нію радіусовъ, то каждый лучъ будетъ отражаться назадъ къ центру и
движеніе возвратится также къ центру шара.
Р' Преломленіе волнъ. —Мы уже видѣли, что отъ границы двухъ
системъ точекъ волнообразное движеніе распространяется какъ назадъ
въ первую систему, такъ еще и впередъ во вторую. Каждая точка погранич-
наго слоя дѣлается, при дохожденіи до нея движенія, центромъ волны,
распространяющейся во вторую систему, но только съ другою скоростью,
чѣмъ было въ первой системѣ. Если вторая система плотнѣе первой, т. е.
если частное \/ — менѣе для второй системы, нежели для первой, то
60
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
движеніе распространяется во второй средѣ медленнѣе; если же это част-’
ное больше, то распространеніе совершается быстрѣе.
Пусть СВ {рис. 25) будетъ небольшой кусокъ поверхности волны,
движущейся въ первой системѣ по направленію РВ къ границѣ двухъ
срединъ МЫ. Далѣе, предположимъ, что центръ приходящей волны, ко-
Рис. 25.
торой кусокъ есть СВ, такъ далеко отстоитъ, что мы можемъ при-
нять СВ за плоскость перпендикулярную къ плоскости ЫВР, а лучи
волнъ РВ и РС за параллельные. Въ моментъ, когда кусокъ волнъ СВ
коснется границы МЫ въ В, отъ В распространится волна во вторую
систему.
Если скорость распространенія въ первой системѣ будетъ ѵ, а во вто-
рой ѵ', то разстоянія, проходимыя волною въ равныя времена, будутъ от-
носиться какъ ѵ къ ѵ'.
Радіусъ Вг шара, черезъ который распространяется волновое движе-
ніе во вторую среду, въ то время когда оно въ первой средѣ проходитъ
отъ С до С\ будетъ поэтому
Вг = СС'.-.
V
Точно также движеніе распространяется отъ точекъ, лежащихъ между
В и С' во вторую среду, но только настолько позднѣе, насколько позд-
нѣе до нихъ дойдетъ распространяющееся движеніе. Отъ какой-нибудь
ЛЕКЦІЯ.
61
точки (!' движеніе начинаетъ распространяться только тогда, когда дви-
женіе въ первой средѣ достигло до с'г7'. Если движеніе въ первой средѣ
распространилось до С', то во второй средѣ движеніе отъ (!' распро-
странилось по шару, радіусъ котораго р равняется
р = с'С'.
Граница, до которой дошло движеніе во второй средѣ въ то время,
въ которое оно достигло въ первой до С', есть поверхность соприкасаю-
щаяся со всѣми шарами, описанными изъ различныхъ точекъ (I.
Мы получимъ эту поверхность, если проведемъ касательную черезъ
С' къ полукругу, описанному около В, и если построимъ плоскость пер-
пендикулярную къ плоскости С'Вг. Потому что эта плоскость не только
касается шаровъ описанныхъ изъ В радіусомъ Вг, но и всѣхѣ шаровъ,
описанныхъ изъ точекъ с? соотвѣтствующими радіусами. Потому что, если
мы опустимъ перпендикуляръ (Гг' изъ на С'г, то треугольники С'гВ
и С'г'с?' будутъ подобны, а потому:
Вг = С'с?': С'В.
Точно также будутъ подобны и треугольники СВС7 и с'с//(У, слѣ-
довательно:
С'^':С'В = с'С': СС'.
А такъ какъ
Вг = СС'. - ,
то
<?г':СС'.- = с' СС: СС'
V
ИЛИ
Л'г' = С'с'. — ,
ѵ
это значитъ, что опущенный изъ на Сгг перпендикуляръ есть радіусъ
шара, описаннаго радіусомъ р около с?', или Сгг есть касательная при
пересѣченіи шара съ плоскостью КВР, и такимъ образомъ, плоскость,
проходящая черезъ Сг, есть касательная плоскость къ шару, описанному
изъ точки (21. То же самое и для всѣхъ шаровъ, описанныхъ около то-
чекъ сі.
Обозначимъ углы СВС' и ВС'г, образуемые приходящею и пере-
шедшею во вторую систему волнами съ граничною плоскостью, черезъ
<р и <р', тогда будемъ имѣть:
рр/
8ІП(Р = с^’
62
СЕМЬДЕСЯТЪ ПЯТАЯ
V’
. , Вг у - СС
8Ш <р ~ С ТГ"
а отсюда:
віп у ѵг
ЗІП <?1 V1
Уголъ, образуемый перешедшею во вторую систему волною съ гранич-
ною плоскостью, не есть тотъ же самый, который образуется приходящею
волною и граничною плоскостью, или, что то же самое, волновые лучи,
перешедшіе во вторую среду, образуютъ съ перпендикуляромъ паденія
другіе углы, чѣмъ образуемые приходящими лучами. А такъ какъ отно-
. V
шеніе — для обѣихъ системъ есть величина опредѣленная, то отсюда слѣ-
дуетъ, что приходящая волна можетъ придти подъ какимъ угломъ ей
угодно, она все-таки будетъ двигаться далѣе подъ такимъ угломъ къ гра-
ничной плоскости, что отношеніе синуса угла, подъ которымъ она пріи-
детъ, и угла, подъ которымъ она движется далѣе, будетъ всегда постоянно.
Въ то же время видно, что падающій и преломленный волновые лучи и
перпендикуляръ паденія лежатъ въ той же плоскости.
Каждая шарообразная волна, приходящая къ граничной плоскости,
можетъ быть нами разсмотрѣна, какъ послѣдовательный рядъ маленькихъ
плоскостей, различно наклонныхъ къ граничной поверхности, но наклоне-
ніе жоторыхъ опредѣляется углами, образуемыми принадлежащими имъ вол-
новыми лучами, радіусами, съ перпендикуляромъ паденія. Съ помощью
нашего выраженія легко построить волну, распространенную во вторую
систему точекъ.
Изъ нашего положенія, какъ непосредственное его слѣдствіе, выте-
каетъ, что при переходѣ волнообразнаго движенія изъ одной системы то-
чекъ въ другую, частное которой \/— менѣе, чѣмъ для первой, уголъ,
» й
образуемый лучемъ, перешедшимъ’во вторую среду, меньше, чѣмъ уголъ,
заключенный между этимъ послѣднимъ и проходящимъ лучемъ. Если же,
напротивъ того, частное это болѣе для второй среды, чѣмъ для первой,
то уголъ, образуемый лучемъ, перешедшимъ во вторую среду, будетъ такъ
же больше. При переходѣ волнообразнаго движенія изъ одной среды въ
другую всѣ лучи будутъ преломляться; при переходѣ въ среду болѣе
плотную они будутъ преломляться къ перпендикуляру паденія, при пере-
ходѣ же въ менѣе плотную среду они преломляются отъ перпендикуляра
.паденія.
ЛЕКЦІЯ.
63
Каждую кривую поверхность, какъ мы уже замѣтили, можно разсма-
тривать, какъ послѣдовательный рядъ безконечно малыхъ плоскостей, ко-
торыя послѣдовательно одна за другою находятся въ наклонномъ положе-
ніи. Для кривыхъ границъ двухъ срединъ законъ преломленія долженъ быть
поэтому тотъ же самый; для опредѣленія же пути отдѣльныхъ лучей
должно знать законъ, по которому слѣдуетъ наклоненіе отдѣльныхъ, без-
конечно малыхъ, плоскостей или ихъ перпендикуляровъ паденія другъ къ
ДРУі’У *)•
*) Законы, разсмотрѣнные въ этой главѣ, особенно хорошо развиты въ этой Формѣ
въ сочиненіи Френэля и другихъ о теоріи колебаній свѣта. Въ особенности же вы-
водъ уравненій для колебательнаго движенія; они находятся въ
Етеипеі. Мёшоіге зиг іа бійгасііоп бе іа іитіёге. Мётоігез бе 1’Асаб. бе Ггапсе.
Тоте V. Ро^еоб. Апп. Вб. XXX.
Законы интерфекацін волнъ въ той же статьѣ Френэля и Зсйѵѵегб, біе Веи^ип^вег-
зсЬеіпип^еп без Еісіііез. Маппііеіш, 1835.
Неподвижныя волны, образуемыя интерФерепціею противоположныхъ волненій,
также какъ и скорость распространенія волнъ, Ргезпеі разсматриваетъ подобнымъ же
образомъ въ своемъ сочиненіи о двойномъ преломленіи свѣта: Мётоігез бе ГАсаб. бе
Ггапсе. Тоте VII. Ро^еоб. Апп. XXIII.
Внервые обратилъ вниманіе на эллиптическія колебанія Ргезпеі, въ своемъ сочи-
неніи объ отраженіи поляризованнаго свѣта: Аппаіез бе сіііт. еі бе рЬуз. ХЬѴІ- Ро§-
#епб. Апп. XXII Аігу о двойномъ преломленіи свѣта въ горномъ хрусталѣ въ 4 томѣ
Тгапзасііопз о! (Ье СашЬгіб^е РііііозорЬісаі восіеіу. Ро^&епб. Апп. XXIII. Нашъ выводъ
есть въ сущности выводъ Ыешпапп’а въ его АЫіапб1ип§ ііЬег біе Вейехіоп ап Меіаііеп.
Ро^епб. Апп. XXVI. См. также объ этомъ въ Веег’а, Еіпіеіінп^ іп біе ЬоЬеге Оріік.
ВгаипзсЬтѵеі^, 1853.
Распространеніе волнъ въ системахъ точекъ и принципы Нпу^Ивпз’а развиты
внервые Ниу^Ьепз’омъ въ его Тгаііё бе Іа Іитіёге, Ьеібеп, 1690, точно также,выводъ
закопа отраженія и преломленія. Подробно изложено это Ргезпеі’емъ въ упомянутомъ
уже сочиненіи объ отклоненіи свѣта и въ прибавленіи къ нему объясненія отраженія
свѣта но теоріи колебанія. Первый обратилъ вниманіе на различіе отраженія въ плот_
ныхъ и рѣдкихъ системахъ ТЬотаз Уоііпр. Оп іЬе іЬеогу о! 1і§Ы апб соіопгз. РЬііс-
зорЬ. Тгапзасі. оГ іЬе Воуаі Зосіеіу Гог 1802.
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ ЛЕКЦІЯ.
О волнообразномъ движеніи твердыхъ тѣлъ.
Колебательное движеніе отдѣльныхъ частей твердыхъ тѣлъ, вслѣд-
ствіе упругости. — Продольныя колебанія прутовъ и струнъ. — Про-
должительность колебанія прутовъ и струнъ. — Дѣленія колеблю-
щихся прутовъ.—Узловыя точки. — Поперечныя колебанія струнъ.—
Стоячія (неподвижныя) колебанія въ нитевидныхъ тѣлахъ, упругихъ
вслѣдствіе напряженія. — Вліяніе жесткости струнъ. — Попереч-
ныя колебанія прутовъ. — Поперечныя колебанія пластинокъ. — Клад-
ніевы звуковыя фигуры. — Сложныя колебанія. — Вращательныя
колебанія прутовъ.
Колебательное движеніе отдѣльныхъ частей твердыхъ тѣлъ,
вслѣдствіе упругости.—Явленія движеній, теоретически выведенныя
нами въ предъидущей лекціи изъ прежде извѣстныхъ законовъ о дѣйствіи
силъ, могутъ быть вызваны нами въ тѣлахъ весьма разнообразными спо-
собами. Всѣ тѣла состоятъ изъ маленькихъ частей, удерживаемыхъ въ
равновѣсіи притягательными и отталкивающими силами, дѣйствующими
между ними отдѣльно, какъ это бываетъ въ твердыхъ тѣлахъ, или при
помощи внѣшнихъ силъ, какъ это встрѣчается въ тѣлахъ жидкихъ и газо-
образныхъ.
Вслѣдствіе измѣненія силъ дѣйствующихъ на тѣла, происходитъ все-
гда измѣненіе этого равновѣснаго положенія; въ твердыхъ тѣлахъ насту-
паютъ измѣненія въ Формѣ, въ тѣлахъ же жидкихъ и газообразныхъ—
движенія.
Ограничимся сначала твердыми тѣлами; мы видѣли, что пруты удли-
нялись отъ привѣшиванія къ нимъ тяжестей и укорачивались вслѣдствіе
давленія; далѣе, что отъ обращенія прутовъ около внутри ихъ лежащей
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ ЛЕКЦІЯ.
65
оси, отдѣльные слои этихъ прутовъ сдвигались другъ къ другу, или же,
что вслѣдствіе сгибанія прутовъ, они принимали другую Форму.
Вмѣстѣ съ тѣмъ мы видѣли, что, при измѣненіи равновѣснаго поло-
женія какого-нибудь тѣла, наступаетъ реакція, показывающая намъ, что
вслѣдствіе этого измѣненія въ тѣлѣ появляется извѣстнаго рода усиліе
между частицами — стремленіе возвратиться въ равновѣсное положеніе.
Этотъ возвратъ наступалъ вслѣдъ за прекращеніемъ измѣненія дѣйствую-
щихъ силъ; когда удлиненіе или укорачиваніе прута, вслѣдствіе подвѣ-
шенныхъ тяжестей не переходило границъ упругости, то прутъ, послѣ
снятія тяжестей, снова принималъ свою прежнюю длину; когда сгибаніе
было не такъ велико, чтобы частицы могли принять другое положеніе
равновѣсія, то прутъ принималъ снова свою прежнюю Форму.
При этомъ возвратѣ въ равновѣсное положеніе, предпочтительно про-
являются движенія, которыя мы упустили изъ виду, обративъ наше вни-
маніе на конечное состояніе тѣлъ, но свойства которыхъ намъ, на осно-
ваніи предъидущаго, будетъ весьма легко узнать.
Когда мы удлиняли посредствомъ тяжестей прутъ извѣстной длины
и извѣстнаго діаметра, то опытъ показывалъ намъ, что это удлиненіе было
пропорціонально дѣйствующимъ силамъ. Это удлиненіе было конечнымъ
состояніемъ тѣла, въ которое оно приводилось продолжительнымъ дѣй-
ствіемъ силы; притомъ, оно наступало тогда, когда проявлявшаяся, вслѣд-
ствіе удаленія частей другъ отъ друга, сила упругости уравновѣшива-
лась тянувшею тяжестью. Удлиненіе есть удаленіе отдѣльныхъ слоевъ
прута другъ отъ друга, поэтому непремѣнно удаленіе частей другъ отъ
друга и удлиненіе будутъ пропорціональны; это значитъ, что при двойномъ,
тройномъ и вообще при та-номъ удлиненіи прута, отдѣльные слои его
удалились вдвое, втрое, вообще на п-ную величину другъ отъ друга,
или, что то же самое, отъ ихъ положенія равновѣсія.
А такъ какъ удлиненіе прута пропорціонально привѣшенной тяжести
и такъ какъ, при конечномъ состояніи, силы, которыми притягиваются
отдѣльные слои назадъ, равны по величинѣ тяжести, но противоположны
въ отношеніи направленія, то отсюда слѣдуетъ, что сила, съ которою
какой-либо слой прута, находящійся внѣ положенія равновѣсія, будетъ
притягиваться къ этому послѣднему, пропорціональна разстоянію этого
слоя отъ положенія равновѣсія.
При возвратѣ каждаго слоя въ его равновѣсное положеніе, движеніе
его, поэтому, будетъ ускоренное; прійдя въ равновѣсіе, слой имѣетъ из-
вѣстную скорость, помощью которой онъ движется далѣе положенія равно-
Физика. IV. 5
66
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
вѣсія. Когда слой перешелъ положеніе равновѣсія, то на него дѣй-
ствуютъ силы въ обратномъ направленіи и постепенно уничтожаютъ пріо-
брѣтенную ими скорость. Такъ какъ послѣ этого на слой дѣйствуетъ
снова сила упругости, то наступаетъ обратное движеніе, при которомъ
снова повторяется то же самое; такимъ образомъ слой этотъ получаетъ
колебательное движеніе. На основаніи того, что законъ, по которому из-
мѣняются силы, по удлиненіи слоя изъ положенія равновѣсія, остается
тотъ же самый, какъ и принятый нами въ основаніе выводовъ для коле-
бательнаго движенія точекъ, то мы можемъ непосредственно перенести
полученные нами результаты на происходящія такимъ образомъ колебанія
твердыхъ тѣлъ.
То же самое должно сказать и о движеніяхъ, совершаемыхъ тѣломъ,
выведенномъ изъ равновѣсія помощью сгибанія, при возвращеніи его къ
этому положенію; въ этомъ случаѣ сгибаніе пропорціонально дѣйствую-
щей силѣ, а слѣдовательно, сила упругости, являющаяся вслѣдствіе сги-
банія, пропорціональна разстоянію отдѣльныхъ частей отъ равновѣснаго
положенія. При возвратѣ къ равновѣсію, тѣло должно совершать коле-
банія, слѣдующія выше изложеннымъ законамъ.
Продольныя колебанія прутовъ и струнъ. — Если укрѣпить
прутъ въ серединѣ, или на одномъ, или же на обоихъ его концахъ, и уда-
рить его быстро молоткомъ по одному изъ концевъ или потереть по на-
правленію его длины рукою, предварительно натертою кэнифолью, или же
сильно тереть прутъ мокрымъ сукномъ, то части его приходятъ Въ про-
дольныя колебанія, т. е. онѣ двигаются взадъ и впередъ по направленію
продольной оси прута. При этомъ движеніи, измѣненія наружной Формы
незамѣтны, но внутри его образуются поперемѣнно уплотненія и разря-
женія, которыя распространяются въ прутѣ, по способу, описанному на
стр. 12—19; при чемъ въ ограниченномъ прутѣ они будутъ отражаться
отъ границы и тѣмъ образуютъ стоячія (неподвижныя) колебанія прута.
Продольныя колебанія прута не бываютъ видны непосредственно; впро-
чемъ, Саваръ сдѣлалъ ихъ видимыми слѣдующимъ образомъ *). Онъ укрѣ-
пилъ стекляные или металлическіе пруты различныхъ размѣровъ на тяже-
лой свинцовой подставкѣ въ 80 килограммовъ вѣсомъ. Съ концемъ прута
приводился въ прикосновеніе СФерометръ съ горизонтальнымъ винтомъ;
затѣмъ отмѣчалось положеніе винта, винтъ повертывался обратно, и прутъ
приводился въ колебаніе. Потомъ винтъ снова осторожно приближался къ
*) Заѵагі. Аппяіев де сЬіт. еі де рЬуз. ЬХѴ, р. 337.
ЛЕКЦІЯ.
67
пруту, и при извѣстномъ положеніи оказывалось, что винтъ въ извѣстные
промежутки времени отталкивался прутомъ,—доказательство того, что прутъ
поперемѣнно то вытягивался, то съеживался.
В. Веберъ *) сдѣлалъ, другимъ способомъ, видимыми движенія при
продольныхъ колебаніяхъ. Если взять цилиндрическую трубку длиною
отъ 1 до 1‘/2 метра, при внутреннемъ діаметрѣ отъ 6 до 10 милиме-
тровъ и при толщинѣ стѣнокъ въ 1 милиметръ, если одинъ конецъ этой
трубки заткнуть пробкою, хорошо прирѣзанною къ трубкѣ, и затѣмъ, по-
ставивъ трубку вертикально заткнутымъ концемъ внизъ, держать ее
слегка за середину; потомъ мокрымъ сукномъ сильно начать тереть верх-
нюю ея половину, сверху внизъ,—тогда пробка подвигается вверхъ до
середины трубки, до узловъ колебанія, гдѣ она и останавливается. Даже
если трубка имѣетъ слегка коническую Форму, то пробка все-таки поды-
мается кверху.
Веберъ наливалъ на пробку столбъ воды въ нѣсколько дециметровъ
вышины и повторялъ опытъ. Пробка, вслѣдствіе продольныхъ колебаній,
такъ сильно подымалась вверхъ, что даже приподымала водяной столбъ.
Впрочемъ, для удостовѣренія въ продольныхъ колебаніяхъ не нужно и
этихъ способовъ; они яснѣе узнаются по вызываемому ими звуку.
Этотъ звукъ мы можемъ посредствомъ опытовъ разсмотрѣть только въ
отдѣлѣ акустики, гдѣ мы изслѣдуемъ сейчасъ выведенные нами законы.
Намъ нечего болѣе прибавлять о распространеніи движенія въ неогра-
ниченномъ прутѣ, оно должно происходить по законамъ, которые мы во-
обще вывели для распространенія колебательныхъ движеній въ ряду то-
чекъ (стр. 12—17). Правда, что мы тутъ имѣемъ дѣло не съ простыми рядами
точекъ, но все-таки прежде выведенные законы можно перенести сюда, по-
тому что всѣ точки слоя, параллельные съ продольною осью, имѣютъ то же
самое движеніе; поэтому мы можемъ разсматривать пруты, какъ пучекъ
параллельныхъ точекъ.
Точно также, для скорости распространенія волнъ въ такомъ прутѣ,
намъ пригодится выраженіе стр. 35
с=СѴ1.
Если мы вмѣсто е, упругости, вставимъ степень упругости изслѣдуе-
маго вещества—а подъ с/ будемъ подразумѣвать однородную массу еди-
*) ЛѴ. ЛѴеЬег іп 8еЬ\ѵеі^ег Доигпаі іііг СЬетіе ип(1 РЬувік. ЫП, 308.
5*
68
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
ницы длины прута при поперечникѣ въ 1 квадратный миллиметръ, такъ
какъ есть тяжесть, вытягивающая прутъ по его длинѣ, то, по нашему
выводу стр. 35, постоянную величину С = Ѵ~а нужно предполагать
равною 1, потому что обозначенная нами тамъ величина е обозначаетъ
коэфиціентъ упругости, тогда *)
Это выраженіе часто встрѣчается въ другой Формѣ. Вставимъ вмѣсто
его значеніе, выведенное нами уже прежде, тогда
если черезъ Р мы обозначимъ тяжесть, которая вытягиваетъ прутъ въ I
длины и въ поперечникѣ д на е длины. Преположимъ I равнымъ 1 метру,
а вѣсъ прута въ д поперечника и въ одинъ метръ длины равнымъ п,
тогда
<2=4,
если 5 есть удлиненіе прута въ метръ длины тяжестью, равной вѣсу
прута.
Предположимъ, что абсолютный вѣсъ прута равняется з, тогда мы
получимъ
/-х дз з
= -=т.
Вставимъ это выраженіе для въ наше уравненіе для скорости рас-
пространенія движенія, тогда
С=ѴІ’
г да
Л, по прежнему, есть масса единицы объема движущагося прута, а такъ
какъ 5 есть вѣсъ прута, то вѣсъ прута въ метръ длиною и въ одинъ
миллиметръ въ поперечникѣ будетъ
<1 = -
9
а наконецъ отсюда:
С=Ѵ|.
Чтобы на основаніи этого опредѣлить'скорость распространенія волно-
образнаго движенія въ прутѣ, нужно только знать ускореніе д, въ дан-
) Смотри также Роіззоп въ Мётоігез сіе ГАеасі. Воуаіе сіе Ггапсе. ѴШ, р. 441.
ЛЕКЦІЯ.
69
номъ случаѣ, и удлиненіе, которое претерпѣваетъ прутъ въ метръ дли-
ною/ вытягиваемый тяжестью равною его вѣсу.
Мы убѣдимся по опыту въ слѣдующемъ отдѣлѣ, изъ ’ скорости рас-
пространенія звука въ длинныхъ прутахъ, въ вѣрности этого выраженія.
Продолжительность колебанія прутовъ и струнъ. — Если
мы начнемъ бить молоткомъ по свободному концу какого-нибудь прута,
укрѣпленнаго за другой конецъ, или будемъ тереть и тѣмъ приведемъ
его въ продольное колебаніе, то самый простой случай при зтомъ будетъ
тотъ, если всѣ части прута будутъ одновременно двигаться по тому или
другому направленію. Чтобы получить продолжительность колебанія, мы
должны только вспомнить, что эти неподвижныя (стоячія) колебанія обра-
зуются отъ интерференціи движеній, возбужденныхъ на свободномъ концѣ
и отраженныхъ на укрѣпленномъ концѣ. Продолжительность колебанія та-
кого прута получается поэтому изъ нашихъ выраженій (стр. 29—36) для
продолжительности колебанія неподвижныхъ (стоячихъ) волнъ.
Рис. 26. Пусть аЪ (рис. 26),
будетъ прутъ, укрѣплен-
ный при а въ тискахъ
и свободный въ Ъ. Если
онъ будетъ приведенъ въ Ъ
помощью ударовъ въ про-
дольныя колебанія, то онъ
поперемѣнно, то удли-
няется, то укорачивается, и понятно, что конецъ Ъ совершаетъ наиболь-
шія колебанія, тогда какъ укрѣпленный конецъ остается въ покоѣ.
При сравненіи съ (стоячими) неподвижными волнами, прутъ соста-
вляетъ половину (стоячей) неподвижной волны, такъ какъ одинъ конецъ
его, подобно серединѣ (стоячей) неподвижной волны, совершаетъ наиболь-
шія движенія. Поэтому продолжительность колебаній равняется продолжи-
тельности колебанія (стоячей) неподвижной волны двойной длины.
Чтобы яснѣе показать это согласованіе, мы можемъ точнѣе прослѣ-
дить образованіе (стоячей) неподвижной волны. Вслѣдствіе ударовъ .мо-
лотка, прежде всего приводится въ колебаніе конецъ Ь, и эти колебанія
распространяются отъ частицы къ частицѣ. При точкѣ а наступаетъ от-
раженіе, а именно вслѣдствіе того, что конецъ укрѣпленъ, т. е. при а
находится болѣе плотная система, такъ что періоды отраженной волны
имѣютъ противоположные знаки съ періодами приходящей волны.
70
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
Назовемъ теперь часть распространяющейся продольной волны, въ
которой всѣ части удалились въ одну сторону отъ положенія равновѣсія,—
вершиною волны; другую же половину, въ которой онѣ находятся на
противоположной сторонѣ, назовемъ основаніемъ волны. Пусть во время
і, считая отъ начала движенія при 6, первая вершина волнъ приходитъ
въ а, тогда по предъидущему одно основаніе волны пойдетъ назадъ въ Ь,
какъ отраженное движеніе.
Если аЪ = ’Д л, если мы черезъ А обозначимъ длину волны, то пер-
, Т
вая вершина волны приходитъ въ а во время і =—, въ то время, ко-
гда частица Ъ достигла своего наибольшаго разстоянія отъ положенія
равновѣсія и хочетъ возвратиться назадъ. Во время і, поэтому, вторая
половина вершины волны продолжаетъ распространяться отъ Ь къ а, то-
гда какъ основаніе волны начинаетъ распространяться отъ а къ Ь; или
изъ точекъ а и Ъ, удаленныхъ другъ отъ друга на разстояніе А, рас-
пространяются по пруту двѣ волны въ противоположномъ направленіи,
разность періодовъ которыхъ равна */4 длины волны.
Представимъ себѣ, что движеніе точки Ъ исходитъ изъ точки Ъ*, ле-
жащей назади на разстояніи */4 д отъ Ь, равномъ аЪ, то тогда точка Ъ'
т
должна была бы начать свое движеніе на время — прежде точки "6; она со-
т
вершила бы */2 колебанія во время і= — , тогда какъ точка Ь совершила бы
только ’/4 колебанія. Отъ точки 6', поэтому, въ то время, когда отъ Ъ
распространялась вторая половина вершины волны въ а, распространилось
основаніе волны къ а. Такимъ образомъ,- движеніе прута аЪ есть равно-
дѣйствующее изъ интерференціи .обѣихъ волнъ, распространяющихся безъ
разности періодовъ одновременно въ противоположныхъ направленіяхъ
изъ точекъ а и Ъ', удаленныхъ другъ отъ друга на разстояніи */2 а.
Вслѣдствіе этого образуется (стоячая) неподвижная волна, потому
что по стр. 24—29 равнодѣйствующее движеніе, происходящее изъ мѣста
удаленнаго' на х отъ а, отъ двухъ волнъ, одновременно распространяю-
щихся изъ 2-хъ точекъ, удаленныхъ на 5 другъ отъ друга и при томъ
распространяющихся другъ другу навстрѣчу,
У — 2а. СО8 тг. . 8ІП 2т/1 —
если же мы вставимъ соотвѣтствующее нашему случаю значеніе для 5
У = — 2а. 8ІП тг. . СО8 2тг •
л л
ЛЕКЦІЯ.
71
или періодъ колебанія различныхъ точекъ для всего прута .одинъ и тотъ
же; точка а, для которой х~0, совершенно не двигается, точка Ь,
для которой х — К, совершаетъ наибольшія колебанія, ибо для нее
. 2ж . я ,
81П 1Г — = 81П— = 1.
А '
Для всѣхъ остальныхъ точекъ амплитуда менѣе, потому что для всѣхъ
значеній
х < ‘Да, зіп -т- < 1.
' Л
Впрочемъ, надо замѣтить, что въ этомъ выраженіи время і отсчи-
тано не отъ начала движенія точки Ь, но отъ момента, когда отражен-
ная волна отъ а двигается къ Ъ, т. е. на Т позже. Чтобы, поэтому,
въ нашемъ выраженіи для V считать время отъ начала движенія точки
Т 9
Ъ, мы должны для і вставить і -|- .
Вслѣдствіе этого
У— 2«. 8ІП . 8ІП 2?г ,
А Д. •
чѣмъ вполнѣ выражается опять колебательное движеніе прута. Для точки
Ъ, напримѣръ, мы получимъ для і = о
У _ 0,і = */4 Т, У = 2«, і = % Т, V = 0 и т. д.
Продолжительность колебанія прута равняется поэтому продолжитель-
ности колебанія (стоячей) неподвижной волны, равной двойной длинѣ
прута, потому что самъ прутъ двигается, какъ половина такой волны.
Если мы назовемъ длину прута черезъ I, то для продолжительности ко-
лебанія Т мы получимъ
' Т = ^ = А.й.у?.
Число же колебаній, совершаемыхъ прутомъ въ секунду, будетъ
т а. 2/ ѵ а
Опредѣленная величина А уже выведена изъ предъидущихъ парагра-
фовъ, по которымъ
С = 1,
потому что по стр. 35
1=0
А = с=2-
Откуда слѣдуетъ, что
Т = 4А\/1 , И = % I.уТ
72
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
По предъидущиму
равняется скорости распространенія волнообразнаго движенія, поэтому мы
получимъ
я=і-
Число продольныхъ колебаній, совершаемыхъ въ секунду прутами,
укрѣпленными однимъ концемъ и съ свободными*другимъ равняется част-
ному отъ дѣленія скорости распространенія движенія на четверную длину
прута *).
Продолжительность колебанія прутовъ съ свободными концами и укрѣ-
пленныхъ слегка на серединѣ будетъ другая; также если они будутъ
укрѣплены на обоихъ концахъ 1). Въ обоихъ случаяхъ продолжительность
колебанія есть половина продолжительности колебанія прута, укрѣплен-
наго съ одного конца. Въ первомъ случаѣ это происходитъ отъ того, что
въ серединѣ прута образуется узелъ колебанія, и каждая половина его
колеблется такъ, какъ весь прутъ въ только что разсмотрѣнномъ случаѣ;
во второмъ—отъ того, что прутъ, по всей своей длинѣ, образуетъ (стоя-
чую) неподвижную волну, равную по длинѣ цѣлому пруту. Поэтому, въ
обоихъ случаяхъ, длина (стоячей) неподвижной волны, съ которою прутъ
колеблется одновременно, равняется длинѣ прута, а потому, такъ какъ
А = 2, , _
т=2г\/1
ы—- V- =-
21 V д 21
Не трудно вывести это такимъ же способомъ, какимъ мы это сдѣ-
лали для того случая, когда прутъ укрѣпленъ однимъ своимъ концемъ;
поэтому будетъ достаточно, если мы выведемъ колебательное движеніе
свободнаго съ обоихъ концевъ прута, слегка укрѣпленнаго посерединѣ,
изъ интерференціи другъ другу навстрѣчу идущихъ волнъ, чтобы из-
слѣдовать образованіе узловъ колебанія на серединѣ прута.
Пусть наконецъ аЪ будетъ опять прутъ длиною въ I, который посерединѣ
слегка придерживается рукою и пусть конецъ Ъ будетъ приведенъ въ
*) Рошоп. Мётоігез де ГАсадётіе Воуаіе де Ггапсе Т. ѴШ, р. 452.
Саисііу. Ехегсісез де МаіЬётаіідие. Т. Ш, р. 269 еі зед.
ЛЕКЦІЯ.
73
продольныя колебанія помощью ударовъ молотка, или тренія мокрымъ
сукномъ (рис. 27). 0>гъ Ъ колебанія ненарушимо распространяются ио
пруту къ а, и въ а онѣ отражаются къ &; но теперь, такъ какъ конецъ
а свободенъ, слѣдовательно около
а граничитъ болѣе рѣдкая среда,
то періоды отраженнаго движенія
имѣютъ одинаковыя знаки съ пе-
ріодами движенія приходящаго. Если къ точкѣ а, во время і, послѣ начала
движенія, придетъ вершина волны, то она идетъ назадъ къ Ь, какъ вер-
шина. Если длина аЬ равняется */2 А, то точка Ь находится во время і
въ положеніи равновѣсія; она совершила половину своего колебанія и хо-
четъ удалиться отъ положенія равновѣсія, въ противоположную сторону,
или во время і отъ Ь распространяется основаніе волны къ а. Такимъ
образомъ, отъ обѣихъ на ‘/2 X отдаленныхъ другъ отъ друга точекъ, рас-
пространяются по пруту въ противоположныя стороны двѣ волны, имѣю-
щія между собою разность въ періодахъ, равную половинѣ длины волны.
Было бы очень легко вычислить отсюда равнодѣйствующее движеніе;
но чтобы вычисленіе подходило возможно болѣе къ нашимъ прежнимъ
вычисленіямъ, мы предположимъ опять, что движеніе приходитъ изъ
точки Ь' сзади Ь и притомъ на разстояніи половины длины волны отъ
точки Ъ. Отъ точки Ъ' идетъ тогда, во время і, вершина волны, если
отъ Ъ къ а распространяется основаніе волны; равнодѣйствующее дви-
женіе въ аЪ мы можемъ, поэтому, разсматривать какъ происходящее отъ.
интерференціи двухъ волненій, удаленныхъ другъ отъ друга на длину
волны и исходящихъ одновременно, безъ разности періодовъ, изъ двухъ
точекъ, удаленныхъ другъ отъ друга на цѣлую длину волны. Для равно-
дѣйствующаго движенія какой-либо точки, удаленной на х отъ а, мы
имѣемъ, какъ и прежде
хг о 2ж — <) . о / I
У = 2а. СО8 тг---5---. 8ІП 2щ т? — -хт ;
Л \ х /
вставимъ вмѣсто $ его значеніе
8 г=. А
ч У = 2а. СО8 2тг4. 8ІП 2тг
' А х
или, взявъ во вниманіе, что время і въ этомъ выраженіи отсчитано отъ
Т
і + — и находится въ зависимости отъ первоначальнаго і,
а
У = — 2а. СО8 2тт у . 8ІП 2тг
74
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
Изъ этого выраженія непосредственно вытекаетъ, во-первыхъ, что при
с образуется узелъ колебанія, и во-вторыхъ, что (стоячая) неподвижная
волна, съ которою одновременно колеблются обѣ половины прута, имѣютъ
длину прута.
т
Разсмотримъ моментъ времени і = (4п + 3) гдѣ отдѣльныя точки
достигли наибольшаго ихъ разстоянія въ одну сторону, такимъ образомъ
8ІП 2тг ~ = — 1.
тогда, какъ значенія для У, мы получимъ
при х = 0, У = 2а
х = т’ О
4
» = У = — 2а.
Л
Итакъ точка с, средина прута, остается всегда въ покоѣ, или въ ней
образуется узелъ колебанія. Такъ какъ далѣе, въ одно время на обоихъ
концахъ прута находятся два наибольшихъ противоположныхъ колебанія,
которыя, какъ мы видимъ, постоянно удалены другъ отъ друга на раз-
стояніе одной (стоячей) неподвижной волны, то отсюда слѣдуетъ, что
длина (стоячей) неподвижной волны равняется длинѣ I прута.
Продолжительность колебанія поэтому есть
Т = А. Ь.
г е
или, взявъ во вниманіе, что А = 2,
Т= 2/.
какъ мы и прежде это вывели.
Дѣленіе колеблющихся прутовъ. Узловыя точки.—Выведен-
ныя въ предъидущемъ параграфѣ, продолжительности колебаній или чи-
сла колебаній, соотвѣтствуютъ самымъ медленнымъ продольнымъ колеба-
ніямъ, въ которыя могутъ быть приведены пруты. Помощью прежняго
сильнаго тренія на извѣстныхъ точкахъ, мы можемъ довести пруты до
болѣе быстрыхъ колебаній съ болѣе короткими длинами волнъ. Вслѣд-
ствіе этого образуются болѣе короткія (стоячія) неподвижныя волны и въ
прутахъ образуются узловыя точки. Разсмотримъ сначала самый простой
случай прута, свободнаго на обоихъ концахъ.
Предположимъ, что возбужденная волна имѣетъ длину прута, тогда
вершина волны, приходящая въ точку а во время і = Т, будетъ воз-
вращаться какъ вершина.
ЛЕКЦІЯ.
75
Въ то же самое время, когда отъ Ь распространяется вторая вершина
волны къ а, отъ а отражается вершина волны къ Ь.
Для равнодѣйствующаго движенія какой-либо точки, удаленной на х
отъ а, мы имѣемъ, также какъ и прежде,
У = 2а .'008 2тг 7 . зіп 2тг ’
А С
тогда какъ прежде А было равно 21, теперь 1 = 1.
(Стоячая) неподвижная волна, соотвѣтствующая уравненію, имѣетъ длину
Ь = ‘/2 А = */21; поэтому продолжительность колебанія прута будетъ:
Т = 2Ь . \/ ѣ = I . \/17
^=7=24,
такимъ образомъ продолжительность колебанія есть половина той, ко-
торую имѣетъ прутъ при самомъ медленномъ движеніи.
Чтобы получить состояніе колебанія прута и узлы колебанія, намъ
нужно только отыскать значеніе У для
Т I
1 = (4п-[-1) ’ зіп 2я - = 1.
Какъ значенія для У мы получимъ х
для х = 0; У = 2а . сое 0 = 2а
» X = і/і1; У = 2а . 008 ~ = О
А
1) х — У = 2а . соз 7Г = — 2а
» X = У — 2а . 008 ~ = О
л
» х = У =: 2а . соз 2тг = 2а.
Такимъ образомъ прутъ разложился на три колеблющіяся части, от-
дѣльныя другъ отъ друга узлами колебанія; они лежатъ на разстояніи
‘/4 длины прута отъ его концевъ.
Если длина волны колебательнаго движенія равняется 2/31, то мы
получимъ подобнымъ же образомъ, какъ и прежде, для равнодѣйствую-
щаго движенія
У = — 2а . 008 2тг у • 8ІП 2я ’
* 1
гдѣ X = 2/з I. Образующаяся неподвижная волна имѣетъ длину Ь = х/2 /.
= 7з I, и продолжительность колебанія прута будетъ
т = 2ь уі = г/ъ1 • \/Г
76
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
ХГ 3/7 \/ « о Л*
— /2 4 V ° • 2/
Продолжительность колебанія въ три раза менѣе, число колебаній въ
три раза болѣе противъ того, какъ при самомъ медленномъ колебаніи
прута. Для положенія узловъ колебанія мы получимъ:
х = % I, х — 3/6 I, х = 5/в I.
Прутъ раздѣлился на .четыре колеблющіяся части, отдаленныя другъ
отъ друга тремя узлами колебанія. Оба крайніе узла лежатъ каждый на
разстояніи % длины прута отъ его концевъ, отстояніе же узловъ рав-
няется У3 длины прута.
Подобнымъ же образомъ прутъ можетъ разложиться на 5, 6 . . . ко-
леблющихся частей , которыхъ продолжительности колебанія будутъ
Т = */2 I. у/Д , Т = */ъ I у/ — , такъ какъ тогда длина неподвиж-
ныхъ волнъ будетъ У4 I, і/ъ1 . . .
а ихъ числа колебаній будутъ
2І \/7 — 4 21 = 2Г \/^ ==
Итакъ возможныя числа колебаній будутъ:
‘ ' * 21 21 6 21 ^21 0 21 * ' *
или вообще
если п означаетъ естественный рядъ чиселъ.
Тѣ же самыя числа колебаній получаемъ для прутовъ и струнъ, укрѣп-
ленныхъ на обоихъ концахъ. Мы можемъ представите себѣ, что непод-
вижныя колебанія ихъ произошли изъ интерференціи обѣихъ волнъ, от-
раженныхъ съ укрѣпленныхъ концовъ. Вслѣдствіе тренія прута по его
серединѣ, въ обѣ стороны распространяются вершины волны, которыя
отъ обѣихъ сторонъ, будутъ отражаться какъ основанія; отъ этого обра-
зуется, если длина прута равняется половинѣ длина волны, неподвижная
волна, равная длинѣ прута; если она равняется длинѣ волны, то обра-
зуются двѣ неподвижныя волны съ узломъ колебанія посерединѣ прута.
Продолжительность колебанія будетъ вдвое менѣе, число колебаній вдвое
болѣе. При длинѣ волны равной 2/3 I образуются три неподвижныя волны
съ двумя узлами колебанія и т. д., короче и здѣсь продолжительность
колебанія можно представить
ЛЕКЦІЯ.
77
т=?-\Л-
а число колебаній
Совершенно будетъ иное, если прутъ будетъ свободенъ съ одного
конца и прикрѣпленъ другимъ концемъ; для самаго простаго случая было
т=4іѵ/Г. и=і,
а длина прута была равна четверти длины волны колебательнаго движе-
нія или равна половинѣ неподвижной волны. Ясно, что въ прутахъ съ
однимъ свободнымъ концемъ могутъ образоваться только такія отдѣленія
колебаній, для которыхъ свободный конецъ, источникъ движенія, соот-
вѣтствуетъ серединѣ неподвижной волны. Потому что такъ какъ свобод-
ный конецъ есть центръ движенія, то движеніе всего прута должно пре-
кратиться, если ежеминутно образующееся вновь движеніе будетъ уничто-
жаться интерференціею съ отраженнымъ движеніемъ.
Поэтому прутъ, свободный съ одного конца, не можетъ совершать
никакихъ колебаній, при которыхъ прутъ имѣетъ длину (стоячей) непо-
движной волны, но второе возможное колебательное движеніе есть то, ко-
тораго длина волны равняется 4/3 длины прута. Если мы разсмотримъ
состояніе колебанія прута совершенно подобнымъ же образомъ, какъ и
прежде, то мы найдемъ, что прутъ разложился на двѣ колеблющіяся ча-
сти, отдѣленныя другъ отъ друга узломъ, отстоящимъ на */3 длины прута
отъ его свободнаго конца. Кусокъ прута, лежащій между укрѣпленнымъ
концемъ и узловою точкою, образуетъ цѣлую волну; кусокъ же, лежащій
между узловою точкою и свободнымъ концемъ, образуетъ половину (стоя-
чей) неподвижной волны. Длина неподвижной (стоячей) волны будетъ
такимъ образомъ 2/3 длины прута, а продолжительность колебанія
Т = 4/3 I . \/ А ,
число же колебаній будетъ
Дальнѣйшія возможныя числа колебаній можно вывести совершенно
такимъ же путемъ, и ближайшія изъ нихъ, при которыхъ длина прута
содержитъ 6/4, 7/4 • • • Длины волны
78
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
будутъ вообще возможными числами колебаній, если самыя медленныя при-
нять за единицу ряда нечетныхъ чиселъ, или вообще
К=(2п-1)^’
гдѣ п есть естественный рядъ чиселъ.
Только что признанныя нами возможными дѣленія прутовъ или струнъ
довольно трудно произвести на дѣлѣ; можно ихъ вызвать тѣмъ, что укрѣ-
пить впередъ опредѣленныя мѣста; впрочемъ, рѣдко удается произвольно
получить совершенно опредѣленное дѣленіе прута многими узловыми точ-
ками. Но дѣленіе является часто безъ укрѣпленія различныхъ мѣстъ про-
должительнымъ продольнымъ треніемъ прута или многократными ударами
по его концамъ; въ слѣдующемъ отдѣлѣ мы узнаемъ это по различію
тоновъ, издаваемыхъ, прутомъ.
Поперечныя колебанія струнъ. — Если натянуть тонкій, по воз-
можности гибкій шнурокъ значительной длины и если подвергнуть его,
помощью быстрыхъ поднятій и опусканій одного конца, въ поперечныя
колебанія, то видно, какъ эти колебанія, на томъ мѣстѣ, которому они
были переданы, исчезаютъ, но затѣмъ появляются постепенно на другихъ
мѣстахъ; они распространяются далѣе по шнурку какъ вершина и осно-
ваніе волны. Мало-по-малу другія части шнурка получаютъ Форму вол-
ны, какъ мы это вывели въ предъидущей главѣ, при поперечныхъ коле-
баніяхъ ряда точекъ.
Поперечныя колебанія шнурка состоятъ изъ восходящихъ и нисхо-
дящихъ, перпендикулярныхъ къ продольному направленію, движеній от-
дѣльныхъ точекъ; поэтому они имѣютъ слѣдствіемъ измѣненія Формы
шнурка, которыя непосредственно видны и при не очень быстрыхъ дви-
женіяхъ могутъ быть довольно хорошо наблюдаемы.
Законы распространенія поперечныхъ волнъ въ тонкихъ шнуркахъ или
струнахъ, не упругихъ самихъ по себѣ, но слабо натянутыхъ тяжестью,
такъ что каждая точка имѣетъ извѣстное положеніе покоя, должны со-
гласоваться съ законами распространенія поперечныхъ волнъ въ рядахъ
точекъ, выведенными въ предъидущей главѣ, если шнурки или струны
на столько толсты, что мы можемъ принять, что всѣ точки поперечнаго
разрѣза двигаются совершенно одинаковымъ образомъ, и что выгибы
такъ малы, что мы можемъ не обращать вниманіе на удлиненія, происхо-
дящія отъ выгиба.
ЛЕКЦІЯ.
79
Потому что въ шнуркѣ, натянутомъ тяжестью, всѣ слои, перпенди-
кулярные къ длинѣ шнурка, удерживаются напряженіемъ въ извѣстномъ
положеніи покоя; они будутъ также сильно притягиваемы натягивающею
тяжестью въ одну сторону, какъ и крѣпкимъ соединеніемъ—въ другую
сторону. Если мы выведемъ одинъ или нѣсколько слоевъ, помощью выги-
банія изъ положенія равновѣсія, то они вслѣдствіе напряженія тяжести
будутъ оттягиваться назадъ.
Если мы прикрѣпимъ шнурркъ съ одной стороны, а на другой при-
вѣсимъ тяжесть Р, то тяжесть эта заступаетъ мѣсто величины е въ на-
шемъ выраженіи для скорости распространенія поперечныхъ волнъ.
Наше выраженіе было
С = с\/І
Замѣстимъ е напрягающею тяжестью Р, тогда
с = С\/~
ѵ а
Величина сі есть масса единицы длины шнурка; обозначимъ вѣсъ ея,
поэтому, черезъ р, тогда
я
Обозначимъ далѣе поперечный разрѣзъ шнурка черезъ д, а его абсо-
лютный вѣсъ черезъ 5, тогда мы получимъ
р = Ч • 8,
а, вставивъ это выраженіе въ наше уравненіе для с,
С=с.
Это выраженіе для скорости распространенія поперечныхъ волнъ въ
струнахъ, натянутыхъ тяжестью, было выведено уже Леонгардомъ Эйле-
ромъ *) и изъ его вычисленій выходитъ, что мы должны постоянную ве-
личину С предположить равною 1 и что поэтому
Это/выраженіе для скорости распространенія поперечныхъ волнъ въ
натянутыхъ шнуркахъ было подтверждено до совершенства практически,
опытомъ братьевъ В. и Е. Г. Веберъ.
') Еиіег въ Асііа Реігороійапіз рго 1779. Тош. I. Реігор. 1782.
80
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
Рис. 28.
Они употребляли для своихъ опытовъ круглый шнурокъ, сплетенный
на машинѣ изъ очень тонкой бумаги, который былъ весьма однообразно
гибокъ, мало упругъ и который, при длинѣ 16,058
метровъ, вѣсилъ 52,612 граммовъ. Юнъ былъ натя-
нутъ горизонтально такимъ образомъ, что его при-
крѣпляли однимъ концемъ къ винту, а другимъ къ
колесу (рис. 28). Колесо имѣло діаметръ болѣе 30
центиметровъ и было насажено на ось, весьма точно
сдѣланную, чтобы сдѣлать его какъ можно подвиж-
нѣе. Шнурокъ былъ при а прикрѣпленъ на разстоя-
ніи 14,4 сантиметровъ отъ оси блока, такъ что онъ
тянулся касательною къ колесу. При Ъ былъ при-
крѣпленъ шнурокъ, на которомъ висѣла корзиночка,
служившая для пріема тяжести.
Волны были возбуждаемы на 15 сантиметровъ отъ конца шнурка бы-
стрымъ толчкомъ и было видно, что они перебѣгзли къ одному концу
шнурка и опять возврзщались, какъ отраженныя волны, при чемъ вер-
шины отражались, какъ основанія, и наоборотъ; такъ какъ шнурокъ при
а былъ укрѣпленъ, то такимъ образомъ граничилъ съ болѣе плотною средою.
Время, которое употребляла волна, чтобы пробѣжать шнурокъ, измѣря-
лось часами, точными до У6О секунды, и наблюдалось всегда время, въ кото-
рое исходящая волна возвращалась къ колесу два, три или четыре раза.
Опыты показали, что, во-первыхъ, скорость распространенія волнъ
независима отъ величины волнъ, потому что волна постоянно употребляла
то же самое время, чтобы пробѣжать шнурокъ, не. смотря на то, была ли
она вызвана короткимъ или слабымъ ускореніемъ помощью пальца, или по-
мощью продолжительныхъ и сильныхъ ударовъ. Въ первомъ случаѣ волна
должна быть короче, какъ и показало наблюденіе.
Далѣе, братья Веберъ нашли, что волны, какъ .этого требуетъ наша
теорія, двигаются съ равномѣрною скоростью, ибо чтобы пробѣжать шну-
рокъ 2, 3, 4.... раза, волна употребляла двойное, тройное и четверное время.
Послѣ этихъ предварительныхъ опытовъ они сдѣлали точныя измѣ-
ренія и нашли, что Формула, данная Эйлеромъ, совершенно подтверждается.
Шнурокъ былъ напряженъ тремя различными тяжестями другъ за дру-
гомъ, а именно 610,5 — 2027,5 —4226,4 граммами *).
*) Е. Н. чпіі УѴ. УѴеЬег. "УѴеІІепІеЬге аиГ Ехрегітепіе ^е^гйпііеі еіс. ѵоп (Іеп Вгіісіет
Е. Н. УѴеЬег ипіі УѴ. УѴеЪег. Ъеіргі#, 1825. р. 464 еі вед.
ЛЕКЦІЯ.
81
Далѣе получилось, что въ первомъ случаѣ волна пробѣгала простран-
ство въ 33,244 метровъ въ 46 терцій, во второмъ случаѣ — то же про-
странство въ 24,8 терцій, а въ третьемъ случаѣ — въ 16,25. Скорость
распространенія или пространства, пробѣгаемыя въ этихъ трехъ случаяхъ
въ одну секунду,
въ первомъ случаѣ
с1==6°-334п6І; 244-= 431П , 361,
во второмъ случаѣ
с^60'5244=8°т’429>
въ третьемъ случаѣ
с,=^=122ш.ш.
Чтобы эти числа сравнить съ нашею Формулою, мы должны въ на-
шемъ выраженіи
С=ѴП
Г д. 8
вставить для Р требуемыя напряженія, для д.з вѣсъ единицы длины
шнурка, а для д ускореніе тяжести, 9,808.
Вѣсъ всего шнурка въ 16,622 метра былъ 52,612 граммовъ, поэтому
вѣсъ единицы длины
52,612 •
8 76,622 ’
если же мы вставимъ данныя числа въ Формулу, то
=1/’9>ОЖ5Л6Ж2 _ 43т 483
1 V 52,612
/9^08.2027,5.16,622 _ 7?т 254
а 2 V 52,612 ’ ' '
з =Ѵ 9,808.4226,4.16,622 =ш т 434
3 V 52.612
Очевидно, что согласованіе наблюдаемыхъ и вычисленныхъ чиселъ
такъ велико, что даетъ лучшее доказательство вѣрности теоріи и точно-
сти измѣренія.
Если мы сравнимъ выраженіе для скорости распространенія попереч-
ныхъ волнъ, съ выраженіемъ для продольныхъ волнъ, то получается за-
мѣчательно простое отношеніе *).
Для продольныхъ волнъ мы имѣли
*) Роівзоп. Мётоііев сіе 1’Асайётіе сіе Егапсе. Тоше VIII., р. 422 п 442.
Физика. IV. 6
82
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
°=Ѵ|-
или такъ какъ <7 = - , если мы черезъ $ обозначимъ абсолютный вѣсъ,
для поперечныхъ
е-= Ѵ'іі,
т Ч8
отсюда получается
сі. — Х/ЕЕ, : Х/-^ = X/— •
с * д. з * з ’ д.
Но прежде мы видѣли, что удлиненіе Е прута I длины, ([ попереч-
ника посредствомъ тяжести Р, если есть степень упругости, рав-
няется
г —1 рл
Е~<г Т’
отсюда
Е' » 1 Р
-- — с) — — . — .
I 9
Отсюда слѣдуетъ, что
или, что отношеніе скорости распространенія поперечныхъ и продольныхъ
волнъ, вслѣдствіе напряженія въ упругомъ нитеобразномъ тѣлѣ равняется
корню квадратному изъ удлиненія, претерпѣваемаго единицею длины
тѣла, отъ тяжести, впередъ предполагая, что ею не переступается граница
упругости,.
Неподвижныя колебанія въ нитевидныхъ тѣлахъ, упру-
гихъ вслѣдствіе напряженія. — Если тихонько потянуть струну За
середину изъ ея положенія равновѣсія и потомъ предоставить ее самой,
себѣ, то она колеблется поперечно во всей своей длинѣ. Если всѣ точки
струны одновременно колеблются взадъ и впередъ въ ту или другую сто-
рону, то струна образуетъ неподвижное колебаніе во всю свою длину.
Мы можемъ здѣсь опять разсматривать неподвижное колебаніе, какъ
результатъ обѣихъ волнъ^ отраженныхъ отъ обоихъ укрѣпленныхъ кон-
цевъ въ противоположныя направленія, и поэтому получить продолжи-
тельность колебанія неподвижныхъ волнъ. Потому что, вслѣдствіе того,
что мы тянемъ струну за ея середину, въ обѣ стороны отъ средины
распространяется вершина волны; придя туда, каждая вершина волны
превращается, вслѣдствіе отраженія, въ основаніе волны, потому что
ЛЕКЦІЯ.
83
струна укрѣплена на ея концахъ, а потому тамъ она граничитъ съ бо-
лѣе плотною средою. Оба основанія волны, прійдя на противоположный
конецъ, отражаются опять, какъ вершины и т. д. до тѣхъ поръ, пока
движеніе продолжается.
Если длина струны равняется половинѣ длины распространяющейся
волны, то струна, по-прежнему, колеблется взадъ и впередъ по всей
своей длинѣ, потому что въ этомъ случаѣ мы получимъ, какъ равнодѣй-
ствующій періодъ какой-нибудь точки, отстоящей на х отъ одного конца
струны, во время і,
У = 2я. еіп 2тг у . еіп 2к ,
-гакъ какъ разстояніе обѣихъ точекъ другъ отъ друга, отъ которыхъ по
струнѣ одновременно двигаются двѣ волны но различнымъ направленіямъ,
безъ разности періодовъ, равняется половинѣ длины волны.
Это выраженіе непосредственно показываетъ, что струпа колеблется
взадъ и впередъ по всей своей длинѣ, если мы для У получимъ значе-
ніе въ точкахъ х=0 и х =. */2Х, значеніе 0,—'Для всѣхъ другихъ точекъ
Т
значенія это, если і не равняется 0, или — и проч. будетъ различно отъ
л
0; оно растетъ отъ х~0 до и потомъ уменьшается.
Продолжительность колебанія такой неподвижной волны, какъ мы ви-
дѣли, равняется продолжительности колебанія какой-нибудь точки въ рас-
пространенной волнѣ
Т = = А. Ь..
V к * е
Вставимъ вмѣсто (2 и е, опредѣленныя нами въ предъидущемъ пара-
графѣ значенія, тогда для шнурка, или струны въ I длины, будетъ
Т = А/.
Г д.Р
Для А мы получили, какъ при продольныхъ колебаніяхъ на стр. 35
|=с=і.
А = 2
и такъ
Т = 2'Ѵ^
или для числа колебаній, число колебаній въ одну секунду.
1=4.. ѴІЕИ.
Т 21 » д.»
84
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
Такимъ образомъ, продолжительность колебанія струны пропорціо-
нальна длинѣ струны, корню квадратному изъ. ея толщины и ея абсолют-
ному вѣсу, и обратно пропорціональна корню квадратному изъ натягиваю-
щей струну тяжести.
При достаточной длинѣ струны и при небольшой напрягагающей ея
тяжести, можно прямо наблюдать продолжительности колебаній и числа
колебаній. Братья Веберы *) вывели это изъ опытовъ на прежде упо-
мянутомъ нами шнуркѣ; они приводили его въ колебанія, простиравшіяся
на всю длину шнурка, и получили въ совершенной точности числа, тре-
буемыя теоріею.
Вставимъ вмѣсто выраженія, находящагося подъ знакомъ корня, со-
образно предъидущему параграфу:
г д. з
тогда
ѵ — т — -
21 ’ с ’
Продолжительность колебанія равняется времени, въ которое распро-
страняющаяся волна, изъ которой образовалось неподвижное колебаніе,
прошла бы двойную длину шнурковъ.
Это время въ Веберовскихъ опытахъ было 46; — 24,8 и 16,25 тер-
цій. Въ первыхъ трехъ случаяхъ, когда шнурокъ былъ натянутъ тяжестью
610,5 граммовъ, они получили продолжительность колебанія
Т = 46,735 терцій,
какъ среднюю изъ многихъ опытовъ; число сколько возможно соглас-
ное съ теоріею. Дальнѣйшее опытное подтвержденіе этого положенія да-
дутъ намъ, въ особенности для болѣе короткихъ и сильнѣе натянутыхъ
струнъ, въ слѣдующемъ отдѣлѣ, образующіяся отъ колебаній струнъ тоны.
р' 2д Точно также, какъ прутъ, при
а продольныхъ колебаніяхъ, можетъ
____' Разложиться на многія части, от-
О —-''йі дѣленныя другъ отъ друга узло-
выми точками, можетъ разложить-
ся и поперечно колеблющаяся струна. Сначала струна можетъ быть равна
длинѣ цѣлой волны. Представимъ себѣ струну, укрѣпленную посерединѣ,
♦) ХѴсІІепІеЬге, аиГ Ехрегіпіепіе йе^гііпбеі: ѵоп Е. Н. ТѴеЬег ипі IV. ІѴеЬег. Ьеір-
аі&, 1825, р. 463.
ЛЕКЦІЯ.
85
м одну ея половину сЪ (рис. 29) приведенную въ положеніе сЬд,; тогда
тамъ она образуетъ вершину волны. Затѣмъ представимъ себѣ, что струна
предоставлена самой себѣ и освобождена посерединѣ.
т
Послѣ времени — вершина волны дойдетъ до сеа и тотчасъ въ Ъ явится
а '
т
какъ отраженное основаніе сёРа. Въ концѣ времени - отъ а будетъ рас-
а
пространяться отраженное основаніе къ Ъ, а отъ Ь слѣдующая за осно-
ваніемъ сМЪ, вершина волны. Итакъ, въ одно время распространяются
по струнѣ отъ а къ Ъ основаніе волны, а отъ Ъ вершина волны. Изъ
прежняго можно замѣтить, что періодъ какой-нибудь точки, удаленной па
ж отъ а будетъ данъ выраженіемъ
У = — зіп 2тг . соз 2тг
л х
Потому что, такъ какъ а и Ъ, по предположенію, отдѣлены другъ
ютъ друга, на длину волны, то если двѣ волны распространяются изъ
этикъ точекъ навстрѣчу другъ другу съ разностью періодовъ въ поло-
вину длины волны,—онѣ двигаются другъ къ другу въ то же время, какъ
-будто бы исходя изъ двухъ точекъ удаленныхъ другъ отъ друга на 3/2
.длины волны, и притомъ безъ разности періодовъ.
Видъ колеблющейся струны представляется непосредственно изъ одно-
т
временныхъ значеній У. Для і — - , напримѣръ
а
У = 0 при х = 0, х — 4, х —А
а
У = 2« при х — , У — — 2« при х = .
Видно, что струна раздѣлилась на двѣ неподвижныя волны длиною
ъъ ‘/2 X, или, такъ какъ длина струны I — X, длиною въ ’/2 I. Отсюда,
продолжительность колебанія будетъ
Т = 2Ь.ѴЕ/ = ѴІІ ,
ѵ д-Р ѵ д Р
а число колебаній
Ы = 1. \/^І = 2.—.
I * 2/
Такимъ образомъ, струна колеблется вдвое скорѣе, чѣмъ въ предъиду-
щемъ случаѣ.
Подобнымъ же образомъ можно раздѣлить струну двумя узловыми
точками на три колеблющіяся части, которыя находятся на */3 длины
86
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
струны другъ отъ друга и отъ концовъ струны; тогда продолжительность
колебанія и число ихъ
Т = "/3(.\/аТ;№3.±.
Вообще струна можетъ быть разложена помощью п — 1 узловыхъ то-
чекъ на п колеблющихъ частей, какъ это легко получается при продол-
женіи этого изслѣдованія. Продолжительность колебаній и число ихъ въ
какомъ-либо порядкѣ могутъ быть представлены помощью выраженія
Т = ІЛѴ^А;Х = Я.^,
ъ
гдѣ п можетъ представлять каждое число изъ естественнаго ряда чиселъ.
Можно легко вызвать и наблюдать дѣленіе струны при поперечномъ
колебаніи.
Должно укрѣпить струну АВ (рис. 30), въ какой-нибудь точкѣ с
г * 1
такъ, чтобы Длина ос равнялась бы — длины струны, напримѣръ ‘Д, и
затѣмъ повить на струну нѣсколько такъ называемыхъ наѣздниковъ, не-
Рис 30 большіе легкіе кусочки бумаги.
ь Если затѣмъ потереть струну
невдалекѣ отъ Ъ или нажать ее
внизъ посерединѣ между Ъ и
с и предоставить потомъ самой себѣ, то наѣздники будутъ вездѣ сбро-
шены струною; они останутся висѣть только въ мѣстахъ узловъ колебанія,
при д, и е, не выказывая значительнаго движенія.
Отсюда слѣдуетъ, что струна раздѣлилась на нѣкоторое число ку-
сковъ ае, есі, (1с, сЬ, которые колеблются отдѣльно и отдѣлены
отъ друга неподвижными точками,— узлами колебанія. Если при
опытахъ употреблять возможно гибкія нити, то положеніе узловъ,
дѣленіе струны, получится соотвѣтственно теоріи; мы получимъ
п — 1 узловыхъ точекъ, которыя удалены другъ отъ друга и отъ кон-
1
цевъ струны на - длины струны.
То же отношеніе, которое мы видѣли въ предъидущемъ параграфѣ,
между скоростью распространенія продольнаго и поперечнаго волнообраз-
наго движенія, должно выказаться и между числами колебаній.
Число колебаній- продольно-колеблющейся и укрѣпленной на обоихъ
ея концахъ струны, вообще есть
К — -- А,
2 ’ I
другъ
этихъ
т. е.
всегда
ЛЕКЦІЯ.
87
Ы' — Л
2 1
с'
дня поперечныхъ колебаній
Отсюда слѣдуетъ, что
гдѣ, какъ и прежде, 5 означаетъ отношеніе удлиненія колеблющейся
струны, вслѣдствіе напрягающей ее тяжести Р, къ длинѣ струны, или ра-
стяженіе куска струны, длиною въ единицу длины помощью тяжести.
Этотъ результатъ, требуемый теоріею, былъ подтвержденъ опытомъ
Каньяра Датура, который сообщенъ Пуассономъ въ его Мёгаоіге зпг Іез
шоиѵетепіз йез согрз ёіазіідиез *).
Струна въ 14,8 метра приводилась поперемѣнно то въ продольное, то
въ поперечное колебаніе и затѣмъ опредѣлялись числа колебаній. По-
лучилось
^= 0,0593.
Удлинненіе 5 единицы длины струны равняется частному отъ дѣленія
цѣлой струны « на длину ея I; поэтому мы получимъ
« = I (-|^)2 = 14т, 8.0,003513=0,т052.
Изъ отношенія продольныхъ и поперечныхъ колебаній вычисляется
поэтому удлиненіе струны на 0т,052, вслѣдствіе напрягающей тяжести.
Измѣреніе Каньяра Латура дало
« — 0т,05,
число, отличающееся только на ‘/25 отъ вычисленнаго.
Вліяніе жосткости струнъ. — Если мы будемъ производить опыты
надъ положеніемъ узловъ колебаній и числами колебаній струнъ, съ боль-
шою точностью, то мы найдемъ въ результатахъ, въ особенности при ме-
таллическихъ струнахъ, замѣтныя отклоненія отъ теоріи. Эти отклоненія
будутъ тѣмъ больше, чѣмъ короче и толще будутъ струны. Причину
зтихъ отклоненій легко усмотрѣть; она зависитъ отъ того, что струны
не абсолютно гибки, какъ это предполагается при теоретическихъ выво-
дахъ и получаютъ упругость только отъ напрягающихъ ихъ тяжестей;
но что они уже сами по себѣ жостки. Такимъ образомъ, вслѣдствіе
*) Роіввоп. Мёшоігев сіе ГАсад. гоуаіе де Ргапсе. Тоте VIII, р. 436.
88
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
взаимнаго притягиванія отдѣльныхъ частицъ между собою, этимъ послѣд-
нимъ дается уже извѣстное положеніе равновѣсія.
Легко замѣтить, что собственная жосткость струны дѣйствуетъ со-
вершенно такъ, какъ бы струна была абсолютно неупруга, но напряжена
болѣе сильною тяжестью, чѣмъ привѣшенная и принятая въ вычисленіе.
Числа колебаній поэтому будутъ больше, чѣмъ выведенныя по теоріи.
Этотъ же результатъ дали и опыты Н. Савара *), который поставилъ
себѣ задачею отыскать законъ, по которому измѣняются числа колебаній
отъ собственной жосткости струнъ.
Н. Саваръ укрѣплялъ струны въ твердыхъ желѣзныхъ тискахъ, сна-
чала ущемивъ ихъ въ клещахъ съ свинцовой подстилкой. Помощью при-
вѣшенной тяжести Р, которая была постепенно измѣняема, струна натя-
гивалась и кусокъ ея, въ 80,5 миллиметровъ длиною, на-крѣпко вклады-
вался въ пару тисковъ съ обоихъ концовъ.
Числа колебаній струнъ неизмѣнной длины, при различныхъ напря-
гающихъ ихъ тяжестяхъ, опредѣлялись помощью наблюдавшихся тоновъ,
происшедшихъ отъ колебаній, и вычислялись по Формулѣ
если мы черезъ р — . I. з обозначимъ теоретически вычисленный вѣсъ
колеблющейся струны.
Если мы обозначимъ черезъ X полученныя изъ наблюденія числа ко-
лебаній, то Н. Саваръ нашелъ, что это И въ дѣйствительности больше,
.чѣмъ п.
Изъ своихъ опытовъ онъ вывелъ дальнѣйшее заключеніе, что разность
между квадратами чиселъ колебаній опредѣленна, или что
№ — п2 = С.
Опредѣленная величина С должна быть, по Савару, квадратомъ чиселъ
колебаній, получаемыхъ для струны отъ колебанія ея только подъ влія-
ніемъ собственной ащсткости. Обозначимъ число колебаній въ нашемъ
случаѣ черезъ п0, тогда
'№ — и2 + <.
Дюгамель * **) пробовалъ теоретически объяснить это правило, выведен-
ное Саваромъ изъ его опытовъ.
’ *) У. Яаѵагі. Аппаі. <1е сЬіт. еі. <іе рЬуа. III 8ёгіе. Т. VI; также Ро^егкІ. Апп. Вй. ЬѴШ.
**) Оикатеі, Сотріез-гепйиз. Тоте XIV. Ро^епсі. Апп. Вй. ЬѴІІ.
ЛЕКЦІЯ.
89
Именно, если обозначить черезъ п и Р число колебаній и напряже-
ніе абсолютно гибкой струны, то на основаніи предъидущаго
если д означаетъ ускореніе отъ тяжести, I — длину, ар— вѣсъ струны.
Если мы имѣемъ настоящую струну длиною въ I и вѣсомъ въ р, то
она имѣетъ, вслѣдствіе жосткости, извѣстную упругость, помощью кото-
рой она имѣетъ п0 числа колебаній и безъ напрягающей ее тяжести.
Абсолютно гибкой струнѣ мы можемъ сообщить напряженіе только по-
мощью тяжести Ро, чтобы она получила совершенно то же движеніе, ко-
торое происходитъ въ жосткихъ струнахъ отъ упругости и при которомъ
она совершаетъ п0 колебаній. Въ этомъ случаѣ мы получимъ
Если прибавить къ напряженію Ро гибкой струны еще напряженіе
Рп то она будетъ находиться въ томъ же состояніи, какъ и жосткая
струна, если она напряжена тяжестью Р,. Но напряженіе абсолютно гиб-
кой струны будетъ тогда Ро 4“ Рі и ея число колебаній получится изъ
№ =-Л (Р« + Р')
или, такъ какъ для струны данной длины и даннаго вѣса, число колеба-
ній, при опредѣленномъ напряженіи, Ро опредѣлено
№ = и2 Ц- ?г(12.
Совершенно все равно, получила ли струна извѣстное напряженіе по-
мощью собственной упругости, или вслѣдствіе привѣшенной тяжести; по-
этому и для жосткой струны, которая, вслѣдствіе ея собственной упру-
гости, совершаетъ п0 колебаній, дѣйствительное число колебаній должно
быть, при напряженіи Р
И = \/ п* + п0\
Августъ Зэбекъ '*) доказалъ, между тѣмъ, что этотъ выводъ Дюга-
меля не строгъ и вѣренъ только для извѣстнаго случая, потому что это
положеніе приложимо только къ извѣстному виду колеблющейся струны. Если
помощью тяжести Ро можно и неупругой сгрунѣ дать то же самое чи-
сло колебаній, то нельзя ей сообщить вообще во всѣхъ частяхъ того же
*) А. ЗееЬеск. ВегісЫе <Дег Кд-1. васИвівсИеп СгевеІІвсЪай дег УѴіввепвсЪаЙеп, 1846 — 1847
анвги^І. ѵоп ЗееЬеск веІЬві. Соѵе Верегіогіиш. В<1. VIII.
90
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
движенія, которое получаютъ части жосткой струны. Поэтому, для вы-
вода правила Савара, это положеніе не можетъ быть употреблено, ибо
струны въ опытѣ Савара не соотвѣтствуютъ условію, слѣдующему по по-
ложенію Дюгамеля.
Поэтому, правило Савара годно только приблизительно.
Зэбекъ даетъ другое выраженіе для чиселъ колебанія жосткихъ струнъ,
выведенное имѣ теоретически и подтверждаемое опытами. Для обыкновен-
ныхъ струнъ, которыхъ жосткость очень незначительна, это выраженіе
будетъ довольно просто, а именно
гдѣ п, дѣлаетъ колебанія абсолютно гибкой струны, при напряженіи Р,
г означаетъ радіусъ, I — длину, а — коэфиціентъ упругости струны,
какъ мы его уже опредѣлили раньше.
Отсюда видно, какъ отношеніе обоихъ чиселъ колебанія все болѣе
приближается къ единицѣ, смотря потому, увеличивается ли напрягаю-
_ «• <2
щая тяжесть, или уменьшается частное обѣихъ тяжестей - какъ этого
и должно было ожидать, такъ какъ вліяніе жосткости, т. е. собственной
упругости струны, должно на столько же ослабѣвать.
Поперечныя колебанія прутовъ. —Если согнуть какой-нибудь
упругій, призматическій или цилиндрическій прутъ и потомъ предоставить
его самому себѣ, то онъ приходитъ въ неподвижное (стоячее) колебаніе.
И въ этомъ случаѣ мы -можемъ разсматривать Неподвижныя (стоячія)
волны, какъ результатъ двухъ отраженныхъ отъ концовъ прута волнъ,
интерферирующихъ между собою и распространяющихся по противополож-
нымъ направленіямъ. Поэтому, продолжительность колебанія такихъ пру-
товъ можно опредѣлить точно такъ же, какъ и продолжительность коле-
банія неподвижныхъ (стоячихъ) волнъ, т. е. мы опять имѣемъ
Т— —
Ѵ~к
какъ на стр. 30. Но мы должны дать здѣсь величинѣ к нѣсколько другое
опредѣленіе, такъ какъ мы имѣемъ здѣсь дѣло не съ движеніемъ рядовъ
Пусть аЪ (рис. 31) будетъ прутъ,
сгибаемый въ Ь тяжестью; мы видили
прежде, что сгибъ, разстояніе ЪЬГ, зависитъ
отъ длины, ширины и толщины прута.
Если мы предположимъ, что онъ призма-
точекъ, какъ это было прежде.
Рис. 31.
ЛЕКЦІЯ.
91
тическій и обозначимъ его длину черезъ I, ширину черезъ (3, а толщину
черезъ к, то, если мы еіце при этомъ обозначимъ тяжесть черезъ Р, мы
по-прежнему будемъ имѣть
или сила упругости Р, приводящая согнутый прутъ въ положеніе равно-
вѣсія, будетъ
р __ у 66'. д. д5
Если мы обозначимъ черезъ коэфиціентъ упругости прута, то мы
можемъ вмѣсто Е поставить
если у будетъ опредѣленное число, такъ какъ сила, приводящая прутъ
обратно въ состояніе равновѣсія, образуется только тѣмъ, что вертикаль-
ные слои по продольному направленію приближенные другъ къ другу у
нижняго конца, удалены въ верхнемъ.
Далѣе, такъ какъ сила упругости пропорціональна сгибанію, то от-
сюда слѣдуетъ, что однажды согнутый и затѣмъ самъ себѣ предостав-
ленный прутъ, будетъ совершать около своего равновѣснаго положенія
изохроническія колебанія.
Пусть двигающая сила при колебаніи, при которомъ ЪЪ' = 1, будетъ
р, тогда мы будемъ имѣть
Р = /> . ЪЪ'
Это и есть сила, старающаяся привести согнутый прутъ длиною въ
I, снова въ положеніе равновѣсія, если конецъ Ъ' находится на единицу
разстоянія отъ положенія равновѣсія. Эта сила приложена къ концу Ъ.
Чтобы получить теперь продолжительность колебанія прута мы имѣемъ
т_____
ѴТ
гдѣ к означаетъ ускорительную силу движенія, такимъ образомъ
т
если т означаетъ движимую массу. Если мы обозначимъ массу прута
черезъ т', то мы получимъ
т =/' т',
гдѣ у означаетъ опредѣленную величину, такъ какъ для полученія уско-
рительной силы мы должны вмѣсто т вставить массу, находящуюся въ
32
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
точкѣ Ь, которая замѣняетъ тамъ массу прута, такъ какъ сила р дѣй-
ствуетъ въ точкѣ Ъ. Эта масса во всякомъ случаѣ пропорціональна массѣ
прута.
Отсюда мы получимъ для ускорительной силы движенія
7. __ Р _ /а .
т /'. т' . Р
Если же мы обозначимъ абсолютный вѣсъ прута’ черезъ з, то мы
имѣемъ
, в . Л. I.
т' = -------
9
а также
7. — Л . 9_^
с~ р.р 5
а отсюда для продолжительности колебанія такого прута
Т —_________2л: = А - • \/ 5
1/ЛЛ1. 9_Ъ . Л V д-0. ’
і ’ Г-і' «
если мы сдѣлаемъ
, 2я \/г1 = А.
Ѵ Г
Отсюда для чиселъ колебанія мы получимъ
К = і = А-.|.-\/ф-
Это же самое выраженіе пригодно и для цилиндрическихъ прутовъ,
если мы вмѣсто толщины Л вставимъ его радіусъ г; но тогда постоянная
величина А' будетъ другая, какъ это видно изъ выраженія, получаемаго
для Р, если мы вмѣсто параллелопипедообразныхъ прутовъ употребили
цилиндрическія.
Мы вывели это выраженіе, предположивъ, что прутъ укрѣпленъ однимъ
концомъ, между тѣмъ теорія упругости намъ показываетъ, что оно
годится и для случая, когда оба конца прута укрѣплены, или же оба
свободны, такъ какъ выраженіе для Р, въ этихъ случаяхъ, отличается
только другими постоянными величинами.
Отсюда слѣдуетъ, что вообще продолжительность колебанія упругихъ
прутовъ обратно пропорціональна квадрату ихъ длины, тогда какъ она
прямо, пропорціональна толщинѣ прутовъ или ихъ радіусамъ и не зави-
ситъ отъ ширины прутовъ. Совершенно также, какъ при продольныхъ
колебаніяхъ, мы должны и здѣсь различить ряды случаевъ, смотря по
способу прикрѣпленія прутовъ.
ЛЕКЦІЯ.
93
Мы не можемъ здѣсь, какъ въ прежнихъ случаяхъ, теоретически
выводить числа колебаній и дѣленія прутовъ, но должны довольствоваться
сообщеніемъ результатовъ, полученныхъ частью теоретически, частью
изъ опытовъ Эйлеромъ, Пуассономъ, Коши (СапсЬу), Зэбекомъ и дру-
гими. Мы различаемъ слѣдующіе случаи *).
1) Одинъ конецъ прута свободенъ, другой укрѣпленъ; прутъ колеблет-
ся по всей своей длинѣ взадъ и впередъ, онъ образуетъ половину не-
подвижной волны. При употребленіи цилиндрическаго прута будетъ
Я =0,28 у? \/у-^.
2) Оба конца прута укрѣплены, или оба свободны; число самыхъ
медленныхъ колебаній въ обоихъ случаяхъ будетъ:
М = 1,78р ' ѵ/^3.
3) Далѣе, одинъ изъ концевъ прута можетъ быть положенъ на под-
ставку, а другой совершенно укрѣпленъ, или защемленъ въ тиски, или
же совершенно свободенъ. Въ обоихъ случаяхъ для самыхъ медленныхъ
колебаній, которыя прутъ можетъ совершать, мы получимъ:
М = 1,23 I’ .
4) Наконецъ, оба конца прута могутъ быть только подперты, тогда для.
самыхъ медленныхъ колебаній
X = 0,785
Зэбекъ соединяетъ выраженіе для всѣхъ этихъ случаевъ, въ слѣ-
дующее: **)
Ѵ’-у.
гдѣ е, для каждаго изъ случаевъ, измѣняетъ свое значеніе, а именно:
е = 0,59686, если одинъ конецъ прута укрѣпленъ, а другой свободенъ,
г — 1,50562, если оба конца прута свободны, или оба укрѣплены,
е — 1,24987, если одинъ изъ концевъ лежитъ, а другой укрѣпленъ или
' свободенъ,
е — 1, если оба конца прута лежатъ.
*) Роіззоп. Мётоігез сіе ГАсасІ. сіе Ргапее. Тоте VIII, р. 484 еі зед.
Саисііу. Ехеге. Де тай. Тоте III, р. 270 еі вед.
ЗееЬескі Вегісіііе сіег к§1. ваеіів. Оезеіівскай сіег АѴіззепзсІіаГіеп, 1846— 47, р. 159.
Воѵе Кер. Всі. 8, р. 46.
**) ЗееЪеск. 1. с.
94
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
Во всѣхъ этихъ случаяхъ могутъ явиться еще ряды чиселъ колебаній,
соотвѣтствующія самымъ частымъ колебаніямъ прутовъ; пруты разла-
гаются тогда на рядъ самостоятельно колеблющихся частей, отдѣлен-
ныхъ другъ отъ друга узловыми точками.
Зэбекъ даетъ слѣдующую таблицу значеній е во всѣхъ четырехъ слу-
чаяхъ.
1-й случай. Одинъ конецъ прута укрѣпленъ, другой свободенъ. По-
слѣдовательный рядъ чиселъ колебаній получается изъ значеній
е = 0,59686; 1,49418; 2,50025; 3,4999 .... •
А
Отсюда видно, что числа колебаній даннаго прута I длины и г ра-
діуса, начиная съ третьяго, будутъ выражаться черезъ
Для п — 1 и п = 2 числа колебаній отъ этого уклоняются, такъ
какъ выше вычисленныя числа для п =. 1 — слишкомъ малы, а для
п = 2 — слишкомъ велики.
2-й случай. Оба конца прута или укрѣплены, или же свободны. Чи-
сла колебаній получатся изъ значеній
=- = 1,50562; 2,49975; 3,5001; 4,5000 .... -п '
Л
Поэтому, если мы предположимъ для самыхъ медленныхъ колебаній
я = 1, то и здѣсь числа колебаній даннаго прута будутъ выражены
посредствомъ
но, конечно, во всякомъ случаѣ только начиная съ третьяго числа коле-
баній, и тѣмъ точнѣе, чѣмъ далѣе мы идемъ въ порядкѣ чиселъ коле-
баній.
3-й случай. Если одинъ изъ концевъ прута лежитъ, другой совер-
шенно укрѣпленъ или совершенно свободенъ, то получается рядъ чиселъ
колебаній, если мы сдѣлаемъ
____+1 ,
‘ “ 4
гдѣ опять п означаетъ естественный рядъ чиселъ, и гдѣ для самыхъ
медленныхъ колебаній надо предположить п = 1.
Для этого случая мы вывели, что е — 1,2498; легко замѣтить, какъ
это число весьма мало уклоняется отъ вычисленнаго по Формулѣ.
4-й случай. Если оба конца прута только лежатъ, то рядъ чиселъ
колебаній получится, если мы для самыхъ медленныхъ колебаній предпо-
ЛЕКЦІЯ.
95
ложимъ г = 1, а для слѣдующихъ поставимъ естественный рядъ чиселъ;
такимъ образомъ с = п. Поэтому числа колебаній относятся между со-
бою какъ 1, 4, 9,.........
Такимъ образомъ, въ этомъ случаѣ, уравненіе для чиселъ колебаній
получаетъ наипростѣйшій свой видъ, оно будетъ
гдѣ, мало-по-малу, вмѣсто п надо вставлять значенія 1,2,3'. . .
Такимъ образомъ числа колебаній одного и того* же прута могутъ
быть весьма различны, смотря по способу укрѣпленія его; если мы пред-
положимъ самыя медленныя колебанія при первомъ способѣ укрѣпленія
равными 1, то мы получимъ числа колебаній:
1-й случай . . 1; 6,26; 17,54; 34,38; 56,84;
2-й » . 6,36, 17,54; 34,38; 56,84; 84,91;
3-й » . . 4,38; 14,21; 29,50; 50,70; 77,22;
4-й > . . 2,80; 11,20; 25,20; 44,86; 70,00.
Чтобы изъ этой таблицы получить дѣйствительныя числа колебаній
для цилиндрическихъ прутовъ, намъ надо только эти числа помножить на
0,35621. я, г . /
4/’ V — •
Точно также мы можемъ получить совершенно такимъ же способомъ
числа колебаній параллелопипедовидныхъ прутовъ; намъ надо только вмѣ-
Л
сто радіуса г въ Формулѣ вставить рр- , если мы обозначимъ, какъ
прежде, черезъ Л толщину прута *).
И здѣсь наибольшія числа колебаній происходятъ отъ дѣленія пру-
товъ на нѣсколько неподвижныхъ волнъ; но пруты дѣлятся здѣсь не на
нѣсколько равныхъ частей, но конечные члены дѣленія различаются раз-
стояніями узловъ въ самомъ прутѣ. Положеніе отдѣльныхъ узловъ мо-
жетъ быть вычислено также точно, какъ и числа колебаній. Такъ, напри-
мѣръ, Зэбекъ нашелъ, для отстоянія узловъ отъ ближайшихъ концовъ съ
обоихъ концовъ укрѣпленнаго прута:
первое второе третье т-ное
1,322 , 4,9820 , 9,0007 , 4т — 3 ,
4п -|- 2 " 4п 4~ 2 4п 4~ 2 ’ 4п + 2
*) Списку 1. с.
96
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
При самыхъ медленныхъ колебаніяхъ, такимъ образомъ, являются два
узла, лежащіе на 0,2242 длины прута отъ его концевъ и на 0,5516
другъ отъ друга. При второмъ болѣе скоромъ колебаніи образуются три
узла, одинъ въ серединѣ, какъ это видно изъ выраженія для втораго
узла, дающаго для отстоянія отъ ближайшаго свободнаго конца 0,498;
два другихъ удалены на 0,132 отъ концевъ прута. При третьемъ числѣ
колебаній образуется четыре узла, удаленныхъ на 0,0944 и 0,3558 отъ
концевъ прута. Отстояніе обоихъ среднихъ узловъ другъ отъ друга
0,2888, а среднихъ отъ крайнихъ 0,2614.
Въ послѣдующемъ затѣмъ случаѣ образуются пять узловъ, которыхъ
положеніе вычисляется точно также, и такъ далѣе.
Эти теоретическіе результаты можно вывести изъ опыта. Что числа
колебаній согласны съ приведенными нами, мы покажемъ въ слѣдующемъ
отдѣлѣ.
Положеніе узловыхъ точекъ всего лучше опредѣляется на тонкой по-
лоскѣ, значительной ширины и длины. Стрельке (81геЫке) *) употре-
блялъ стальные пруты въ 1т — 1ОТ,3 длины, 12 — 15 миллиметровъ
ширины и въ 4 миллиметра толщины и посыпалъ ихъ на верхней по-
верхности, по примѣру Хладни **), сухимъ, свободнымъ отъ пыли пе-
скомъ. Песокъ сбрасывается съ колеблющихся мѣстъ прута и собирается
на покоющихся мѣстахъ, такъ что этимъ самымъ положеніе узловыхъ
точекъ дѣлается видимымъ. Эти пруты натягиваются между двумя кони-
ческими остріями въ мѣстахъ двухъ узловъ и приводятся въ колебаніе
помощью скрипичнаго смычка. Тогда песокъ переходитъ на узловыя линіи
и остается тамъ въ покоѣ.
Узловыя линіи представляются въ видѣ тонкихъ, перпендикулярныхъ къ
продольной оси прута линій, и ихъ положеніе, по измѣреніямъ Стрельке,
вполнѣ соотвѣтствуетъ теоріи.
Пуассонъ, въ своемъ сочиненіи о движеніи упругихъ тѣлъ, обра-
щаетъ вниманіе также на простое отношеніе продольныхъ • и попереч-
ныхъ колебаній прутовъ, когда они совершаютъ свои самые медленныя
колебанія ***).
Если прутъ съ обоихъ концевъ укрѣпленъ, или свободенъ, мы полу-
чимъ для числа поперечныхъ колебаній
*) 8іге!Ме. Ро^епсі. Апп. XXVII. Боѵе Еереіі. Всі. III. р. 111.
**) СМа(1пі. ЕпШескип&еп ииг ТЬеогіе сіез КІап&ез. Ьеірхі^, 1787.
***) Рошоп. Мётоігез сіе ГАсасі. сіе Егапсе. Тоте ѴШ. 486.
ЛЕКЦІЯ.
97
К — 4/.
Для продольныхъ колебаній самыхъ медленныхъ, мы имѣли, стр. 69—74
И' = Ѵ'М-
Поэтому мы получимъ:
'-2~ у = 3,5608
К' ' - і і
Ф. Саваръ опытами доказалъ это отношеніе, впервые выведенное
Пуассономъ. Для этого были наблюдаемы колебанія однороднаго цилиндри-
ческаго прута, приблизительно въ 1 метръ длиною, и затѣмъ попереч-
ныя колебанія куска прута, заключавшаго въ себѣ ’/8 длины- всего пру-
та. Числа колебаній были опредѣлены изъ тоновъ прутовъ, по методу,
объясненному ниже, въ слѣдующемъ отдѣлѣ.
Чтобы получить числа, годныя для сравненія, наблюденное число про-
дольныхъ колебаній всего прута было помножено на 8, отчего получили
число колебаній % всего прута. Потомъ, по выведенному выше уравне-
нію, изъ этихъ чиселъ было вычислено число поперечныхъ колебаній
и такимъ образомъ вычисленное число
К = 3,5608 у. К'
было сравнено съ наблюдаемымъ числомъ колебаній
Результаты опытовъ суть слѣдующіе:
/ = % . 0т,825
Наблюдаемое X = 1422.
1 = */в. 0™,825
Наблюдаемое К = 1067.
1=УВ. 0т,88
Наблюдаемое X = 1843.
Латунный прутъ.
т - 2,пт,4
Вычисленное К — 1415.
Мѣдный прутъ.
т — 1тт 7
Вычисленное Ы — 1082.
Желѣзный прутъ.
г = 2тт,25
Вычисленное К — 1842.
№ = 17066
Разность = — 7.
К' = 18432
Разность = Д- 15.
№ = 22757
Разность = — 1.
Разности между вычисленіемъ и наблюденіемъ, какъ это легко замѣ-
тить, достаточно малы, чтобы ихъ приписать безъ опасенія къ неизбѣж-
нымъ ошибкамъ при наблюденіяхъ *).
*) Рошоп. Мёшоігез сіе ГАсай. Де Егапсе. Тоте ѴШ, р. 487.
Физика. IV. 7
98
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
Поперечныя колебанія пластинокъ. — Звуковыя Фигуры
Хладни.—Если стукнуть или провести смычкомъ по краю тонкой пла-
стинки, или какой-нибудь перепонки, натянутой посредствомъ тяжестей
по краямъ, или же по краю стекляной или металлической пластинки, то
ихъ можно точно также, какъ и пруты или полоски, привести въ непод-
вижныя колебанія. Законы колебанія перепонокъ довольно подробно были
теоретически изложены Пуассономъ *). Какая-нибудь перепонка можетъ
колебаться какъ цѣлое, или разлагаться на колеблющіяся части, отдѣлен-
ныя другъ отъ друга покоющимися или узловыми линіями. Пластинка ни-
когда не можетъ колебаться, какъ нѣчто цѣлое, но всегда разлагается на
рядъ колеблющихся частей, отдѣленныхъ другъ отъ друга узловыми ли-
ніями.
Теорія, до сихъ поръ, еще мало объясняетъ колебанія пластинокъ,
между тѣмъ какъ множествомъ опытовъ извѣстны весьма разнообразныя
дѣленія пластинокъ.
Чтобы познакомиться съ дѣленіемъ пластинокъ, надо узнать только
узловыя линіи; для того же, чтобы видѣть послѣднія, Хладни придумалъ
вышеизложенный способъ. Онъ посыпалъ изслѣдуемыя пластинки чи-
стымъ, свободнымъ отъ пыли кварцовымъ пескомъ, который сбрасывается
колеблющимися частями пластинки
Рис. 32.
и собирается на покоющихся линіяхъ.
Чтобы привести пластинку въ ко-
лебанія, ее прикрѣпляютъ въ сере-
динѣ, или въ другомъ мѣстѣ въ изо-
брѣтенную Стрельке**) вилку (рис.32),
завинчивая ее между обѣими голов-
ками а и Ь, обложенными сукномъ.
Сукно, которымъ обложены эти головки,
должно быть иногда перемѣняемо, для
того, чтобы песчинки, собирающіяся
на сукнѣ, не царапали пластинки.
Затѣмъ, по краю пластинки прово-
дятъ скрипичнымъ смычкомъ, предва-
рительно натертымъ кэнифолью, придерживая при зтомъ пальцемъ пла-
стинку въ какомъ-нибудь другомъ мѣстѣ. Должно водить смычкомъ пер-
пендикулярно по краю пластинки и треніе должно производить до тѣхъ
*) Роіззоп, 1. с.
**) ЗітеМкс. РоещепЗ- Аппаі. Всі. VI.
ЛЕКЦІЯ. 99
поръ, пока ни одна песчинка не лежитъ болѣе отдѣльно на пластинкѣ,
но всѣ собираются въ отдѣльныя линіи звуковыхъ Фигуръ.
Чтобы Фигуры получились рѣзче, не слѣдуетъ сыпать много песку на
пластинку, такъ какъ въ противномъ случаѣ отдѣльныя линіи дѣлаются
слишкомъ широкими, а потому и самыя Фигуры не точными.
Узловыя линіи означаютъ границы частей, которыя одновременно ко-
леблются по противоположнымъ направленіямъ; отсюда слѣдуетъ, что Фи-
гура, составленная этими линіями, должна раздѣлить пластинку вообще
на четное число частей, тдкъ какъ противоположныя колебанія должны
являться всегда парно. Число колебаній пластинокъ, колеблющихся въ из-
вѣстномъ числѣ дѣленій, могутъ быть опредѣлены только изъ опыта на
основаніи тоновъ, вызываемыхъ изъ пластинокъ посредствомъ колебанія.
Изъ опытовъ получился слѣдующій законъ. Если двѣ пластинки различ-
ной величины и различной толщины показываютъ ту же звуковую Фи-
гуру, т. е. если они будутъ раздѣлены одинаковымъ образомъ, то число
колебаній обѣихъ пластинокъ прямо пропорціонально ихъ толщинамъ и
обратно пропорціонально квадратному содержанію, или
И ___
И' д ‘ гі’’
Если пластинки круглыя, то
= г2~, $ — г'^,
а поэтому
Ы ___г'» а
к7 т^'а'-
Числа колебаній обратно пропорціональны квадратамъ радіусовъ. За-
конъ этотъ заключаетъ слѣдующее. Число колебаній пластинокъ, другъ
другу подобныхъ, т. е. у которыхъ гомологическія измѣренія находятся
въ тѣхъ же отношеніяхъ, относятся другъ къ другу, при одинаковомъ дѣ-
леніи пластинокъ, какъ гомологичныя измѣренія.
Напримѣръ, если радіусъ одной пластинки г, другой а . г, а также
толщина одной с?, другой — а . Л, то по предъидущему закону
№ а’. гг д, а
М' ~ г* ' аП I
это, какъ видно, есть математическое выраженіе для слѣдствія, выведен-
наго изъ перваго положенія.
Различные способы, по которымъ дѣлится колеблющаяся пластинка,
также какъ и положеніе и число узловыхъ линій, весьма точно были из-
слѣдованы Хладни, Стрельке и другими.
7*
100
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
Если употребить сперва круглую, однородную, металлическую или
стекляную пластинку, то въ ней возможны многіе способы дѣленія. Или
она дѣлится на рядъ концентрическихъ поясовъ, или на четное число,
секторовъ, одинаковой величины, отдѣленныхъ другъ отъ друга діаметраль-
ными узловыми линіями, или, наконецъ, оба способа дѣленія являются
одновременно, — появляются круговыя и радіальныя узловыя линіи.
Если защемить круглую пластинку посерединѣ и кромѣ того прикос-
нуться къ краямъ ея въ одномъ или въ нѣсколькихъ мѣстахъ и затѣмъ
провести смычкомъ по краю пластинки въ нѣкоторомъ разстояніи отъ то-
Рис. 33.
чекъ прикосновенія, то получимъ радіальныя Фигуры; такъ напримѣръ,
Фигуры «, р (рис. 33), если защемить пластинку при а, придерживать
ее при с и с', а при Ъ провести смычкомъ.
Если, напротивъ того, защемить пластинку въ точкѣ а (рис. 33 у),
которая лежитъ на 0,68 части радіуса отъ центра, и провести смыч-
комъ въ точкѣ Ъ, то получится Фигура у, кругъ, котораго радіусъ есть
0,68 радіуса пластинки; если защемить (рис. 3) при а на разстояніи
0,385 радіуса отъ центра, придержать пластинку въ с на разстояніи
0,84г и провести смычкомъ при Ъ, то получатся два концентрическихъ
круга (рис. 3). ' '
Если же защемить пластинку при а (рис. 33 ?), держать ее при с
и провести смычкомъ при Ъ, то получается Фигура е,—соединеніе радіаль-
ныхъ линій съ круговыми. Рис. 33 X. представляетъ соединенныя рис.
а. и у такимъ образомъ, что придержавъ точки а, е, с1, проводятъ смыч-
комъ при Ь; наконецъ, г, и & представляютъ, часто появляющіяся и еще
Хладни нарисованныя, измѣненія, если постоянно придерживая пластинку
ЛЕКЦІЯ.
101
въ точкахъ, означенныхъ черезъ а, с, с', а на мѣстахъ означенныхъ че-
резъ Ь водить смычкомъ. Хладни и другіе получили такимъ образомъ
большое число Фигуръ; Хладни приводитъ, въ своемъ первомъ извѣстіи
объ этомъ предметѣ до 80 рисунковъ *).
Также разнообразны Фигуры, которыя можно получить на четыре-
угольныхъ пластинкахъ. Тамъ можно также различить двѣ системы узло-
выхъ линій; въ одной изъ нихъ главныя линіи параллельны сторонамъ
квадрата, въ другой — параллельны діагоналямъ, и наконецъ обѣ системы
линій появляются вмѣстѣ.
Такъ {рис. 34 а) получается, если укрѣпить пластинку въ серединѣ и
водить смычкомъ на какомъ-нибудь углу, напримѣръ, при &: (рис. 34
Рис. 34.
«ели укрѣпить пластинку въ обѣихъ точкахъ а, а при Ъ провести смыч-
комъ. Точно также во всѣхъ другихъ рисункахъ точки укрѣпленія пласти-
нокъ означены черезъ а; точки же, при которыхъ водятъ смычкомъ, озна-
чены черезъ Ъ.
Эти рисунки нарисованы по Стрельке **), который доказалъ:
1) Что узловыя линіи, составляющія звуковую Фигуру на квадрат-
ныхъ пластинкахъ, суть постоянно кривыя линіи, такъ Фигуры а и 3,
напримѣръ, образуютъ двѣ вѣтви гиперболы. , ,
2) Что линіи никогда не пересѣкаются. Кажущееся пересѣченіе въ
большинствѣ случаевъ зависитъ отъ того, что на пластинку насыпано
*) Скіаііпі. ЕпЩескип^еп гиг ТЬеогіе сіев Кіап^ез. Ьеірхі#, 1787.
8ігеІМе. Ро^епсі. Аппаі. Всі. IV.
Заѵагі. Аппаі. сіе сЫт. еі сіе рЬуз. Тоте XXXVI.
**) 8ітеЫке, 1. с.
102
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
слишкомъ много песку, и что при покоющихся линіяхъ колебанія слиш-
комъ слабы для того, чтобы песокъ могъ быть сброшенъ.
Подобнымъ же образомъ, какъ и плоскія пластинки, колеблются коло-
кола, которые въ сущности суть не что иное, какъ изогнутыя пластинки.
При самыхъ медленныхъ колебаніяхъ, колокола дѣлятся на четыре части;
покоющіяся линіи лежатъ другъ отъ друга на разстояніи дуги въ 90° и
простираются по всей высотѣ колокола. Это дѣленіе можетъ быть легка
сдѣлано видимымъ, етоитъ только наполнить колоколъ, немного болѣе
чѣмъ на половину, водою. Въ мѣстахъ самыхъ сильныхъ колебаній вода
будетъ сильно отталкиваться и приводится въ волнообразное движеніе,
тогда какъ въ мѣстахъ узловъ, удаленныхъ отъ этого на 45°, она остается
въ покоѣ. Часто даже отбрасываются отъ мѣста сильнѣйшихъ колебаній
на поверхность жидкости, капли воды, которыя довольно долго держатся
и могутъ собираться въ правильныя рисунки.
Особенный рядъ Фигуръ наблюдалъ Саваръ *) на колеблющихся
пластинкахъ, если йа нихъ вмѣсто свободнаго отъ пыли песка насыпать
песокъ съ пылью или плауновое сѣмя съ пескомъ.
При плауновомъ сѣмени, если пластинку укрѣпить посерединѣ и во-
дить смычкомъ по углу, являются, кромѣ собственно покоющихся линій,
Рпс. 35.
Рпс. 36.
около четырехъ угловъ крутящіяся облачка овальной Формы (рис. 35) и
притомъ всегда такъ, что заостренная часть основанія облачка обращена
къ углу. Если колебательное движеніе пластинки дѣлается слабѣе, то на
каждомъ изъ четырехъ угловъ остается группа полушарообразныхъ воз-
вышеній. Рис. 36 изображаетъ квадратную пластинку, придержанную за
четыре угла, посерединѣ одной изъ сторонъ которой былъ веденъ смы-
чокъ; плауновое сѣмя собирается въ серединѣ, но при этомъ надо замѣ-
тить, что черезъ эти облака проходятъ еще кривыя линіи незначительной
ширины. Эти кривыя видимы только въ моментъ сильнѣйшихъ сотрясеній.
*) 8аѵагІ, 1. с.
ЛЕКЦІЯ.
103
Саваръ видѣлъ въ этомъ доказательство втораго рода дѣленія пла-
стинки. По его мнѣнію., пластинка заключаетъ въ себѣ многіе, другъ
друга захватывающіе роды дѣленія, изъ которыхъ въ особенности вы-
даются два; одинъ изъ нихъ есть обыкновенный являющійся въ Фигу-
рахъ изъ свободнаго отъ пыли песка; второй является всегда съ первыми
и обусловливаетъ то, что въ срединѣ колеблющихся отдѣленій, извѣстныя
пространства остаются горизонтальными; на нихъ собираются частицы,
не остающіеся на сотрясенныхъ мѣстахъ и приходятъ въ крутящееся
движеніе.
Противъ этого объясненія Фарадэ (Еагасіау) *) приводитъ, что даже
при наклоненіи пластинки къ горизонту отъ 6 — 10°, которое во всякомъ
случаѣ болѣе наклоненія колеблющихся частей, образуется поднятіе плау-
новаго сѣмени, противно законамъ тяжести, къ центрамъ вибрацій, и что
пыль остается тамъ до тѣхъ поръ, пока пластинка сильно сотрясается.
Фарадэ производитъ эти Фигуры изъ воздушныхъ токовъ, текущихъ отъ
узловыхъ линій къ точкамъ самыхъ сильныхъ сотрясеній. Съ этимъ согласно
то, что эти рисунки являются только при употребленіи легкой пыли, тогда
какъ тяжелый песокъ не относится съ мѣста воздушными токами. Точно
также Фарадэ видѣлъ, что если по близости къ центрамъ вибрацій при-
крѣплялись маленькіе кусочки карты, угловатой Формы, такъ чтобъ одна изъ
сторонъ приходилась параллельно сторонѣ квадратной пластинки (рис. 36),
то тогда пыль шла въ уголъ, такъ какъ бы токи воздуха улавливались
стѣнками карты. Мелкій кремнеземъ, посыпанный на книгу и приближен-
ный на сколько возможно къ колеблющейся пластинкѣ, летѣлъ на нее,
какъ будто отъ порошка шелъ токъ воздуха на пластинку.
Вѣрнѣйшимъ доказательствомъ правильности объясненія Фарадэ слу-
житъ состояніе пластинки, посыпанной плауновымъ сѣменемъ, въ разря-
женномъ воздухѣ. Стекляная пластинка клалась на четырехъ пробковыхъ
ножкахъ подъ колоколъ воздушнаго насоса и, помощью прута, перпенди-
кулярно прикрѣпленнаго къ ея плоскости, выведеннаго наружу черезъ
сальникъ и приводимаго внѣ колокола въ продольныя сотрясенія, приво-
дились въ вибрацію. Такъ какъ прутъ перпендикуляренъ къ плоскости
пластинки, то пластинка эта помощью продольныхъ колебаній прута, при-
водится въ поперечное движеніе. До тѣхъ поръ, пока воздухъ въ коло-
колѣ имѣлъ плотность атмосфернаго воздуха, пластинка представляла
обыкновенныя рисунки изъ ныли. Но если воздухъ былъ разряженъ до
*) РагаЛау. РЬіІоворЬіеаІ Тгапвасі. Гог іЬе уеаг 1831. Ро^еікІ. Апп. ВсІ. XXVI.
104
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
5 — 3 центиметровъ ртутнаго давленія, то порошокъ направлялся попе-
регъ пластинки къ покоющимся узловымъ линіямъ, какъ это дѣлаетъ пе-
сокъ въ свободномъ воздухѣ и облака на центрахъ вибрацій не показы-
вались.
Изъ этихъ опытовъ ясно слѣдуетъ, что эти пыльныя Фигуры не
имѣютъ никакого прямаго отношенія къ колебаніямъ пластинки, что онѣ
такимъ образомъ не вторичныя звуковыя Фигуры и не слѣдствіе втораго
дѣленія пластинки, какъ полагалъ Саваръ, но что для ихъ образованія
требуется въ значительной степени присутствіе воздуха.
Токи воздуха, которые по всему этому суть основаніе явленія, обра-
зуются отъ механическаго дѣйствія колеблющейся пластинки на окружаю-
щій ее воздухъ. Какъ только колеблющаяся часть пластинки подвигается
вверхъ, воздухъ, находящійся надъ ней, будетъ вытѣсняемъ съ своего
мѣста и тѣмъ сильнѣе, чѣмъ ближе онъ къ мѣсту сильнѣйшаго колебанія,
и тѣмъ меньше, чѣмъ ближе онъ находится къ узловымъ линіямъ. Если
пластинка, при началѣ второй половины своего колебанія, возвращается
въ положеніе равновѣсія, то воздухъ находящійся надъ мѣстомъ сильнѣй-
шихъ колебаній и имѣющій скорость, направленную отъ пластинки, не
можетъ возвратиться назадъ, какъ пластинка. Поэтому образуется пустое
пространство, въ которое стремится воздухъ отъ узловыхъ линій, гдѣ онъ
находится въ покоѣ. Отъ этого необходимо долженъ образоваться токъ
воздуха, направленный со всѣхъ сторонъ отъ узловыхъ линій къ мѣсту
сильнѣйшаго колебанія и влекущій за собою на это мѣсто и плауновое
сѣмя. Очевидно, этотъ воздухъ долженъ возвратиться другими путями къ
узловымъ линіямъ. Въ мѣстахъ сильнѣйшаго колебанія токи пріостана-
вливаются, и отъ этого образуется слабый поднимающійся токъ воздуха,
который узнается потому, что плауновое сѣмя приподнимается надъ мѣ-
стами сильнѣйшихъ колебаній и переходитъ опять немного въ сторону по
пластинкѣ.
Подобныя же явленія, какъ и въ воздухѣ, Фарадэ видѣлъ, если онъ
покрывалъ пластинку какою-нибудь жидкостью. Вслѣдствіе образующихся
теченій, образованіе звуковыхъ Фигуръ можетъ быть совершенно задержано.
Тогда появлялись только скопленія употребленнаго порошка, латунныхъ
опилокъ или песка, въ мѣстахъ сильнѣйшаго колебанія.
Сложныя колебанія. — Если тереть прутъ по его длинѣ, то мы
уже видѣли, что онъ приводится этимъ въ продольныя колебанія. Но эти
продольныя колебанія не наступаютъ никогда однѣ, какъ это показалъ Са-
варъ, но всегда въ соединеніи съ поперечными колебаніями. Если посы-
ЛЕКЦІЯ.
105
пять пескомъ продольно колеблющійся параллелопипедообразный или ци-
линдрическій прутъ, то песокъ располагается на прутѣ, какъ это было
наблюдаемо Саваромъ * **)), въ извѣстныя линіи, при чемъ онъ не подска-
киваетъ, какъ при поперечномъ колебаніи пластинки, но быстро передви-
гается параллельно по поверхности. Такія узловыя линіи образуются уже
въ большомъ числѣ на прутахъ, которые, будучи свободны съ обоихъ
концевъ, совершаютъ самыя медленныя свои продольныя колебанія, тогда
какъ прутъ въ отношеніи продольныхъ колебаній имѣетъ только одну уз-
Рис 37.
и--=___------ Ь ----- У --- ------- у ---- у
”———1______— » ----- * —> ? -— ; — „
ловую линію, лежащую въ серединѣ. Песокъ двигается по поверхности
1/ІЛ (рис. 33), какъ зто показываютъ стрѣлки, отъ точки Ь, въ обѣ
стороны, къ точкѣ К.
Далѣе Саваръ нашелъ, что если обозначить на верхней сторонѣ прута
линіи скопленій песка, потомъ перевернуть прутъ и насыпать на него
снова песку, послѣ того, какъ его привели въ колебанія, то тогда ли-
ніи скопленія песка на зтой сторонѣ лежатъ между линіями верхней сто-
роны, что онѣ (рис. 37) отъ точки I, лежащей насупротивъ точки К, дви-
гаются по направленію точекъ п.
На прутахъ съ квадратнымъ или круглымъ поперечнымъ разрѣзомъ
онѣ лежатъ .на винтообразной линіи, которая вьется около прута, завора-
чиваясь направо или налѣво, или же заворачиваясь изъ середины въ
одну сторону направо, а въ другую налѣво.
Изъ многихъ опытовъ надъ прутами, бывшими съ обоихъ концевъ сво-
бодными, Саваръ нашелъ слѣдующіе законы для промежутковъ зтихъ ско-
шеній песка *).
Промежутки скопленій песка:
1) въ прутахъ съ прямоугольнымъ разрѣзомъ постоянны, при различ-
ной ширинѣ, если только толщина и длина прутовъ не измѣняется;
2) пропорціональны корню квадратному изъ толщины, при той же
длинѣ.
*) Яаѵагі. Аппаіев де сЪіт. еі рЪув. XIV, XXV. Ооѵе Верегі. VI.
**) Заѵагі. Аппаіев де сйіт. еі де рйув. ЬХѴ. Воѵе Верегі. VI. 60 (въ изло-
женіи Зэбека)
106
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
3) пропорціональны корню квадратному изъ длины, при той же толщинѣ.
Уже изъ этихъ законовъ слѣдуетъ, что эти скопленія песка зависятъ отъ
поперечныхъ колебаній прута, сопровождающихъ продольныя колебанія и
изохррническихъ съ ними.
Потому что, по первому закону, они не зависятъ отъ ширины пру-
товъ; мы знаемъ, что это имѣетъ мѣсто какъ для продольныхъ, такъ и
для поперечныхъ колебаній.
По второму закону они пропорціональны корню квадратному ихъ тол-
щины. Продольныя колебанія независимы отъ толщины прутовъ, попе-
речныя же обратно пропорціональны. Если же колебанія должны быть
изохроническими, то поперечныя неподвижныя волны, при болѣе толстыхъ,
прутахъ, должны на столько удлиниться, чтобы быть медленнѣе въ та-
комъ же отношеніи, какъ вслѣдствіе измѣненной толщины при той же
длинѣ онѣ сдѣлались бы быстрѣе. Продолжительность поперечныхъ ко-
лебаній пропорціональна квадрату длины. Поэтому, если длины относятся
въ неподвижныхъ волнахъ, при различной толщинѣ прутовъ, какъ корни
квадратные изъ ихъ толщины, то колебанія пзохроничны.
Точно также согласуется и третій законъ, потому что, такъ какъ про-
должительность продольнаго колебанія пропорціональна длинѣ, а продол-
жительность поперечнаго колебанія пропорціональна квадрату длины, то
при различной длинѣ прута, длины поперечныхъ волнъ должны измѣняться
пропорціонально корню квадратному изъ этой длины, чтобы быть изохро-
ничными съ продольными колебаніями.
Саваръ находитъ, что при натянутыхъ полосахъ или струнахъ, про-
межутки этихъ узловъ пропорціональны длинѣ и корню квадратному изъ
напряженія. Это согласно съ тѣмъ предположеніемъ, что линіи эти про-
исходятъ отъ изохроническихъ поперечныхъ движеній.
Далѣе также, ёсли мы обозначимъ на прутѣ песочныя мѣста и за-
тѣмъ приведемъ его помощью смычка въ обыкновенныя поперечныя ко-
лебанія, такъ что длина неподвижной волны равняется разстоянію одного
песочнаго мѣста на верхней сторонѣ отъ ближайшаго песочнаго мѣста
нижней поверхности,—-то числа колебаній дѣйствительно будутъ тѣ же
самыя, какъ при продольномъ колебаніи; то же самое имѣетъ мѣсто и
при'натянутыхъ струнахъ или полосахъ. Мы не будемъ приводить объ-
ясненія, которое даетъ Саваръ для этихъ линій, такъ какъ Зэбекъ дока-
залъ ихъ невѣрность; вмѣсто нихъ мы приведемъ объясненіе Зэбека *).
*) ЗееЬеск іп Воѵе Керегіогіит. Всі. ѴШ, р. 53
ЛЕКЦІЯ.
107
Вслѣдствіе одновременнаго сосуществованія поперечныхъ и продоль-
ныхъ колебаній частицъ прутовъ, эти частицы описываютъ равнодѣй-
ствующее этихъ движеній (стр. 36—44), вообще эллиптическіе пути. Если
равнодѣйствующая направлена противъ песка, то она толкаетъ его въ своемъ
направленіи, т. е. подъ острымъ угломъ къ горизонтальной поверхности
прута; если же она въ продолженіе ближайшей половины колебанія бу-
детъ направлена отъ песка, то онъ остается въ бездѣйствіи. Отсюда
весьма просто явствуетъ, что песокъ долженъ быть перемѣщаемъ на по-
перемѣнные узлы поперечныхъ волнъ.
Пусть, напримѣръ, АЕ будетъ кусокъ прута (рис. 38), который про-
дольно колеблется въ правую сторону; ординаты нарисованныхъ волнооб-
Рис. 38.
разныхъ линій пусть представляютъ поперечныя скорости, такъ что точки,,
лежащія между В и С, одновременно двигаются направо и вверхъ; точки
же, лежащія между С и И, двигаются направо и внизъ и т. д. Отсюда'
видно, что равнодѣйствующія скорости обоихъ движеній между В и С,
также какъ и въ другихъ мѣстахъ, имѣютъ направленіе, показанное стрѣл-
ками, пересѣкающими волнообразную линію, и легко видно, что песокъ,
лежащій на ВС, будетъ перенесемъ въ С, песокъ, лежащій на БЕ пе-
ренесется въ Е, тогда какъ песокъ, лежащій на'СП и ЕЕ останется
теперь на мѣстѣ. Въ слѣдующее затѣмъ время, оба движенія переходятъ
въ противоположныя (рис. 39). Продольное движеніе на всемъ протяже-
Рпс. 39.
ніи АЕ направлено отъ правой руки къ лѣвой, поперечное между ВС
и ПЕ внизъ, между СП и ЕЕ—вверхъ. Равнодѣйствующее движеніе
имѣетъ направленіе стрѣлокъ пересѣкающихъ на чертежѣ волнообразную
линію, и теперь видно, какъ песокъ передвигается отъ СП къ С, отъ
ЕЕ къ Е, тогда какъ онъ остается на мѣстѣ между ВС и ПЕ. Поэтому
песокъ собирается въ С и Е; напротивъ того, мѣста В, П, Е будутъ
пусты, или чередующіеся узлы поперечныхъ колебаній должны покры-
ваться пескомъ.
108
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
Если мы перевернемъ прутъ, такъ что ния:няя передъ тѣмъ сторона
сдѣлается верхнею, то непосредственно изъ прежняго вывода получается,
что непокрытыя передъ тѣмъ узлы колебанія теперь покроются, а по-
крытыя передъ тѣмъ теперь будутъ пусты, т. е. на нижней сторонѣ пе-
сокъ собирается въ точкахъ В, В, Г, а точки С и Е будутъ пусты.
Это объясненіе Зэбекъ подтвердилъ еще опытомъ. На пескѣ изъ зер-
кальнаго стекла, длиною около одного метра, продолжительность колебанія
самыхъ медленныхъ продольныхъ колебаній соотвѣтствовала поперечнымъ
колебаніямъ, при которыхъ полоска получила отъ 14 до 15 узловъ коле-
банія, и притомъ ближе къ послѣднимъ, нежели къ первымъ. Послѣ того
какъ Зэбекъ обозначилъ на продольно-колеблющемся прутѣ скопленія
песка, онъ привелъ его помощью смычка въ поперечныя колебанія съ
15 узлами и нашелъ, что скопленія песка продольнаго колебанія соот-
вѣтствоваіли узламъ 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14 на одной сторонѣ и 2,
4, 6, 9, 11, 13, 15 узламъ поперечнаго колебанія на другой сторонѣ.
Болѣе скользящее, чѣмъ подскакивающее движеніе песка показываетѣ,
что поперечное движеніе слабѣе продольнаго, съ чѣмъ согласна также
незначительная сила движенія и нарушеніе правильности скопленій песка
въ серединѣ, не вдалекѣ отъ узловъ колебанія продольнаго движенія.
Мы уже узнали прежде еще одно соединеніе колебаній, соединеніе
многихъ одновременныхъ поперечныхъ колебаній и видѣли, что, въ слу-
чаѣ равной длины волнъ соединенныхъ движеній, пути точекъ, смотря
по разности періодовъ движеній, будутъ или прямыя линіи, или эллип-
сисы, проведенные вправо или влѣво. Появленіе этихъ Фигуръ мож-
но легко доказать помощью металлическаго прута съ квадратнымъ попе-
речнымъ разрѣзомъ, на концѣ котораго помѣщено блестящее тѣло, на-
примѣръ, стекляный шарикъ, наполненный ртутью.
Вслѣдствіе быстраго движенія блестящей точки путь ея представляет-
ся въ видѣ блестящей линіи. Если такой прутъ привести въ колебаніе,
то можно получить всѣ линіи путей точки, выведенныя нами на стр.
36 — 44.
Пусть ас {рис. 40) будетъ кваідратный поперечный разрѣзъ прута;
•если мы толкнемъ его въ направленіи ОХ, то онъ будетъ колебаться въ
этомъ направленіи, и блестящая пуговка покажетъ линію, параллельную
ОХ. Если мы толкнемъ прутъ параллельно ОХ, то мы получимъ бле-
стящую линію, параллельную ОХ. Такъ какъ толщина прута есть аЪ—Ъс,
то колебанія въ обѣ-стороны будутъ изохроничны. Если же мы толкнемъ
прутикъ въ какомъ-нибудь другомъ направленіи, то мы можемъ полученное
ЛЕКЦІЯ.
10»
отъ этого движеніе разсматривать какъ составленное изъ одного параллель-
наго ОХ и другаго, параллельнаго ОУ; такъ какъ оба движенія не имѣ-
ютъ разности періодовъ, то мы получимъ прямую ли-
нію, которая наклонена къ ОХ подъ какимъ-нибудь
угломъ. т .
Если же мы сообщимъ пруту движеніе, парал- /
лельное ОУ и дадимъ послѣ этого колеблющемуся /
пруту толчекъ по направленію ОУ, то являются /
эллипсисы, которыхъ Форма зависитъ отъ разности /
періодовъ, которую имѣютъ тогда оба движенія. На- 10И_____________Л'
примѣръ, мы получимъ элипсисъ (рис. 16) если мы * 1
толкнемъ прутъ по направленію У, когда онъ прошелъ уже 3/4 своего пути
по направленію къХ, и если будемъ смотрѣть сверху, то движеніе пуговки
окажется противоположнымъ движенію часовой стрѣлки; мы получимъ кругъ,
если мы также сильно толкнемъ его по направленію къ У, какъ и прежде
къ X, въ моментъ наибольшаго его разстоянія поэтому направленію.
Если мы толкнемъ прутъ къ У, когда онъ уже сдѣлалъ 3/4 своего пути
въ противоположную сторону къ X, то мы получимъ эллипсисъ (р?хс. 17),
и движеніе будетъ слѣва направо по направленію къ часовой стрѣлкѣ.
Если прутъ въ одномъ направленіи аЪ толще, чѣмъ въ другомъ, та
колебанія по направленію У совершаются быстрѣе, чѣмъ по направле-
нію къ X. Если разница въ толщинѣ очень незначительна, такъ что
колебанія по направленію къ У очень немногимъ быстрѣе, то, если мы
толкнемъ прутъ по направленію ОХ и ОУ, мы получимъ то же самое,
какъ еслибы мы вызывали мало-по-малу различныя разности періодовъ,
при той же продолжительности колебанія; поэтому мы увидимъ постепен-
ное образованіе Фигуръ, которыя мы уже выводили. При первомъ коле-
баніи, если мы толкнемъ прутъ по направленію Р, мы видимъ линію,
параллельную ОР. Колебаніе въ положительную сторону У начинается
тогда во второй разъ нѣсколько ранѣе, чѣмъ въ сторону X, прямая ли-
нія, поэтому, переходитъ въ очень плоскій эллипсисъ, точка поворачи-
вается, какъ часовая стрѣлка, большая ось эллипсиса лежитъ въ квадра-
тѣ ХОУ.
При слѣдующихъ колебаніяхъ разность періодовъ дѣлается все больше,
такъ какъ колебаніе подвигается все ближе къ У; отъ этого эллипсисъ
вначалѣ будетъ менѣе плоскимъ, потомъ переходитъ въ кругъ, затѣмъ
сплющивается, но только такъ, что теперь большая ось находится въ
квадратѣ УО — X. При дальнѣйшей разности періодовъ эллипсисъ пре-
110
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
вращается опять въ прямую линію, перпендикулярную къ ОР и т. д.,
являются всѣ Фигуры, которыя мы уже видѣли, одна за другою, и кото-
рыя могутъ быть вызваны при различныхъ толчкахъ прутовъ съ квадрат-
нымъ поперечнымъ разрѣзомъ.*
Если разница въ толщинѣ значительнѣе, такъ что, напримѣръ, точка
дѣлаетъ два колебанія въ сторону У въ то время, когда она дѣлаетъ въ
сторону X только одно колебаніе, то Фигуры'точекъ будутъ очень за-
путаны.
Фигуры (рис. 41) «, (3, у представляютъ пути точки, въ томъ пред-
положеніи, что она совершаетъ два колебанія въ сторону У, въ то вре-
мя, когда въ сторону X совершаетъ только одно колебаніе; «, въ томъ
предположеніи, что движенія начинаются одновременно, {3 — что движе-
Рис. 41.
ніе къ У впереди на */8 длины волны, а у впереди на ’/4 длины волны.
Въ первомъ случаѣ, точка, идя къ У и X, одновременно оставляетъ
положеніе равновѣсія. Но она двигается быстрѣе къ У и совершаетъ
уже путь оа -|- а0> когда она приходитъ въ Ъ, поэтому она совершаетъ
путь отЪ. Въ слѣдующее время точка двигается по направленію X отъ
Ъ къ о, по направленію У отъ о къ а' и назадъ въ о. Въ отношеніи
обоихъ движеній точка одновременно приходитъ въ положеніе равновѣ-
сія. Путь точки идетъ черезъ о; онъ будетъ Ъпо. По другую сторону
отношеніе тоже самое; по направленію къ У точка совершаетъ половину,
къ X четверть колебанія; путь точки будетъ тамъ орЪ^о, тожествен-
ный съ отЪпо. Движеніе точки совершается, какъ показано стрѣлками.
ЛЕКЦІЯ.
111
На рисункѣ (41) Р, гдѣ точка на '/8 колебанія впереди, по направ-
ленію У, она находится въ д, когда движеніе по направленію X только
что начинается; въ то время, когда она двигается къ Ъ по направленію
X, по направленію У она доходитъ до разстоянія а; потомъ опять въ о,
за о далѣе до д1, до тѣхъ поръ, пока она не пройдетъ половины коле-
банія; поэтому путь ея будетъ дтпи. Въ слѣдующее затѣмъ время, въ
которое точка отъ Ъ переходитъ до о, по направленію У, она совер-
шаетъ путь д'а'од-, путь ея, поэтому, будетъ ирд. По другую сторону
движеніе повторяется совершенно также, кусокъ пути дгзід тожественъ
съ первымъ, оба куска совпадаютъ въ д, такъ какъ точка возвращается
въ д, когда ея разстояніе по направленію X сдѣлалось равнымъ 0. На-
правленіе, по которому двигается точка, обозначено и здѣсь стрѣлками.
На рисункѣ (41) у, точка опередила. по направленію къ У движе-
ніе по направленію къ X на длины волны; она находится въ а и
хочетъ возвратиться назадъ въ о, когда начинается движеніе къ X. Въ
то время, когда точка, по направленію X, удалилась до разстоянія оЬ,
по направленію У она совершаетъ половину колебанія и достигаетъ раз-
стоянія а* и Ъ; путь точки поэтому будетъ атп. Если точка возвратит-
ся назадъ въ о, то она въ это время описываетъ пути а'а и Ъо; по-
этому точка возвращается по тому же пути въ а, по которому она до-
стигала отъ а до п. Въ то время, когда точка находится во второй поло-
винѣ своего колебанія по направленію XX къ Ъ и двигается опять
назадъ къ о, она совершаетъ по направленію къ УУ цѣлое колебаніе
отъ а къ а' и опять назадъ въ а. Поэтому путь точки по эту сторону
оказался ард и обратно дра, точно также какъ и по другую сторону.
Поэтому точка проходитъ линію дратп, то по одному, то по другому
направленію.
Уитстонъ (’^ѴЪеаГэіопе) устроилъ маленькій приборъ, въ которомъ
нѣсколько прутиковъ съ блестящими остріями представляютъ различныя
Фигуры, потому что они въ обоихъ направленіяхъ ихъ поперечниковъ
различныхъ измѣреній; онъ назвалъ этотъ приборъ калейдофонъ, или Фо-
ническій калейдоскопъ *).
Въ новѣйшее время Лиссажу изслѣдовалъ эти различные виды интер-
ференціи и хотѣлъ ихъ примѣнить въ акустическомъ отношеніи * **).
♦) ТѴкеаізІопе. (2иаіег1у Доигпаі оГ всіепсе еіс. Кетѵ авгіев № II. IV. ѴѴеЬег іп ЗсЬтѵеі-
&ег Зеійеі ДаІігЬиеІі 50 Вб.
**) Ьімарім, Аппаіев йе сЫт. еі <1е рііуз. ПІ. 8ёг. Т. Ы.
112
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ
Вращательныя колебанія прутовъ. — Мы уже прежде изучили
третій родъ колебаній, движенія вслѣдствіе крученія нитки. Мы употреб-
ляли его, чтобъ узнать коэфиціентъ крученія тонкой проволоки, и по-
лучили какъ выраженіе для продолжительности колебанія такой нитки:
Т = 2- \/-X
ѵ Г
гдѣ Т теперь означаетъ продолжительность цѣлаго колебанія, цѣлаго хода
С
взадъ и впередъ такой нитки, и означаетъ ускореніе, которое при-
даетъ сила крученія ниткѣ съ привѣшеннымъ къ ней шаромъ, если нит-
ка повернута на такой уголъ, что конечная точка рычага, крѣпко при-
вязаннаго къ ниткѣ и предположеннаго перпендикулярнымъ къ оси кру-
ченія, описываетъ дугу, равную по длинѣ рычагу.
Если мы обозначимъ черезъ г радіусъ проволоки, а черезъ I ея дли-
ну, то тогда мы получимъ для силы крученія
гдѣ С означаетъ опредѣленный коэфиціентъ.
По опытамъ Вертгейма, изложеннымъ тогда, законъ крученія годится
точно также для толстыхъ прутовъ, т. е. для нихъ также сила крученія
пропорціональна обращенію, снабженному пруту. Поэтому, если мы вер-
тѣли прутъ и потомъ предоставляли его себѣ самому, то онъ долженъ
былъ прійдт:і въ колебанія, которыхъ законы вполнЬ согласуются съ законами
другихъ колебаній, или которыхъ продолжительность колебанія можетъ
быть выражена черезѣ
2л-
Т=.~,
V *
если мы черезъ к обозначимъ ускорительную силу движенія.
Тогда мы предполагали, что самая нитка не висѣла, и потому раз-
сматривали только массу, долженствовавшую двигаться и привѣшенную
къ ниткѣ, чтобъ достаточно ее натянуть. Моментъ бездѣйствія этой мас-
сы есть знаменатель частнаго подъ знакомъ корня.
Если мы предположимъ сначала цилиндрическіе пруты, то движущая
сила будетъ
/= С. г
Движимая масса есть масса прута; но такъ какъ мы здѣсь имѣемъ
дѣло съ вращательнымъ движеніемъ, то для опредѣленія ускорительной
силы для мзссы прута мы должны предположить ту массу, которая за-
ЛЕКЦІЯ.
113
мѣняетъ массу прута въ точкѣ приложенія силы на разстояніи 1 отъ оси
вращенія, лежащей въ серединѣ прута; если замѣнить движимую массу
моментомъ бездѣйствія прута въ отношеніи оси вращенія, совпадающей
съ осью цилиндра. Моментъ бездѣйствія цилиндра въ отношеніи его оси,
какъ доказано въ аналитической механикѣ,
если мы черезъ Р обозначимъ вѣсъ, черезъ г — радіусъ прута.
Если же длина прута есть I, то мы имѣемъ
Р = г2 т.І. з,
гдѣ мы черезъ $ обозначимъ абсолютный вѣсъ прута. Поэтому движимая
при вращеніи масса будетъ
п . I . Г*і
Ш =-----ѣ--- >
%9
а отсюда
,___2_____ С , 2г4д_ 2Су ,
' т тгРг'х пІ*з
если же мы выраженіе для к вставимъ въ наше выраженіе для Т, то
т = 2к Х/^. \/~±-.
ѵ 2Сд У 2 Ѵ Сд
Величина С въ этомъ выраженіи есть коэФіщіентъ скручиванія, какъ
мы. его уже прежде опредѣлили; та сила, которая удерживаетъ равновѣ-
сіе въ проволокѣ изъ матеріала прута, имѣющей 1 длины и радіусъ,
равный 1, на разстояніи 1 отъ оси вращенія силы скручиванія нитки,
если точка приложенія силы описываетъ дугу, равную единицѣ длины.
Такъ какъ сопротивленіе скручиванія есть только другое проявленіе
силы упругости, которая стремится укоротить вытянутый прутъ, то мы
можемъ предположить
С = А<2,
гдѣ <2 есть коэфиціентъ упругости, какъ мы его уже прежде опредѣ-
лили. Вслѣдствіе этого
Т = . 21 \/Т В . 21 \/Х
' 2А Ѵ Чд * <ід
а для чиселъ колебанія мы получимъ
Число колебаній цилиндрическкго прута, поэтому, обратно пропор-
ціонально длинѣ прута.
Физика. IV.
114
СЕМЬДЕСЯТЪ ШЕСТАЯ ЛЕКЦІЯ.
Для того случая, когда прутъ на обоихъ концахъ свободенъ или укрѣп-
ленъ, по Пуассону, будетъ *)
В' = 0,632.
Для отношенія вращательныхъ колебаній къ продольнымъ №, мы по-
лучимъ, такъ какъ
Х = 0,632 №.
И здѣсь прутъ можетъ колебаться весь, или только частью; если онъ
раздѣлится, то вообще
если Ы, означаетъ самыя медленныя колебанія, а п есть какое-нибудь
число изъ естественнаго ряда чиселъ.
Если прутъ укрѣпленъ съ одного конца, а съ другаго свободенъ, то
число его колебаній есть половина колебаній предъидущаго случая, какъ
это бываетъ и при продольныхъ колебаніяхъ.
*) Роізюп. Мёшоігез <іе 1’Асайёшіе сіе Ггапсе. Тоте ѴШ, р. 456.
СЕМЬДЕСЯТЪ СЕДЬМАЯ ЛЕКЦІЯ.
Волнообразное движеніе жидкихъ н газообразныхъ тѣлъ.
Продольныя волны въ жидкостяхъ и газахъ. — Неподвижныя (стоя-
чія) волны въ цилиндрическихъ столбахъ жидкостей. — Поперечныя
волны въ жидкостяхъ. — О причинахъ волнъ въ жидкостяхъ. — Пе-
рекрещиваніе и отраженіе волнъ.
Продольныя волны въ жидкостяхъ и газахъ. — Газы и жид-
кости, какъ мы видѣли, не имѣютъ самостоятельнаго вида; поэтому, въ
нихъ не можетъ образоваться никакихъ колебательныхъ движеній, вслѣд-
ствіе упругости, соединенныхъ съ измѣненіями вида тѣла; не можетъ
быть поперечныхъ колебаній. Но такъ какъ жидкости имѣютъ самостоя-
тельный объёмъ и, какъ мы это прежде видѣли, упруги, а также какъ
и воздухъ, вслѣдствіе давленія, подъ которымъ онъ находится на по-
верхности земли, имѣетъ извѣстную плотность и упругость, то и въ
жидкостяхъ, и въ воздухѣ, могутъ образоваться и распространяться про-
дольныя волны.
Такъ какъ и вода, и воздухъ, какъ ти-
пы капельно-жидкихъ и упруго-жидкихъ
тѣлъ, однородны и изотропичны, то по-
прежнему волны, возбужденныя внутри ихъ
на какомъ-нибудь мѣстѣ,должны распростра-
няться въ видѣ шаровъ.
Чтобы получить ясную картину образо-
ванія и распространенія этихъ волнъ пред-
ставимъ себѣ шаръ С {рис. 42) внутри
жидкости, приведенной въ продольныя коле-
банія, такъ что шаръ этотъ въ быстрой
лослѣдовательности то увеличивается, то
8*.
116
СЕМЬДЕСЯТЪ СЕДЬМАЯ
уменьшается. Увеличеніе шара будетъ отталкивать всѣ окружающія его
части жидкости, по направленію радіусовъ, и такимъ образомъ сообщать
этимъ частицамъ движеніе по направленію отъ шара, вокругъ всей его
поверхности. Вслѣдствіе этого движенія, направленнаго кнаружи, около
шара образуется уплотненіе жидкости, и, вслѣдствіе этого уплотненія,
этотъ слой жидкости производитъ болѣе сильное давленіе на слѣдующіе
слои изнутри кнаружи, чѣмъ противоположное давленіе окружающей
жидкости снаружи внутрь. Отсюда происходитъ то, что это распростра-
няющееся движеніе расходится все далѣе около шара.
Если шаръ достигъ своего наибольшаго расширенія, то онъ снова
сжимается. Въ пустое пространство, образовавшееся вслѣдствіе этого сжа-
тія, со всѣхъ сторонъ будетъ стремиться жидкость, подъ вліяніемъ давле-
нія окружающей среды; поэтому, слой жидкости, около шара, получаетъ
обратное движеніе. Отъ этого около шара наступаетъ разрѣженіе, вслѣд-
ствіе котораго и слѣдующіе слои получаютъ обратное движеніе. И разрѣ-
женіе и обратное движеніе распространяются, слѣдуя также за уплотне-
ніемъ и движеніемъ впередъ, совершенно также около шара, какъ и послѣднія.
Вслѣдствіе вибраціи шара, части жидкости, непосредственно приле-
жащія къ шару, прежде всего приходятъ въ колебательное движеніе,
распространяющееся на каждый изъ радіусовъ шара, который мы предпо-
ложили начерченными около центра шара — е, совершенно такъ же, какъ и
колебанія въ прежде разсмотрѣнныхъ нами рядахъ точекъ и какъ про-
дольныя колебанія въ- прутахъ твердыхъ тѣлъ.
Такимъ образомъ, продольныя колебанія въ жидкости, въ капельно-
жидкой или упруго-жидкой, есть случай прежде разсмотрѣннаго распро-
страненія волнообразнаго движенія въ упругой системѣ точекъ. Если мы,
при продолжающемся колебаніи, обозначимъ круги а, а', мѣста, въ кото-
рыхъ точки находятся въ равныхъ періодахъ движенія, гдѣ они, напри-
мѣръ, начинаютъ свое движеніе впередъ въ а, а во второй разъ въ а',
то разстояніе обоихъ круговъ есть длина волны, и всѣ періоды колебанія
проходятъ черезъ разстояніе аа'. Кругъ Ъ означаетъ тогда всѣ точки
около шара, которыя совершили половину колебанія и хотятъ начать свое
обратное движеніе отъ положенія равновѣсія. Поэтому назовемъ и здѣсь
тотъ кусокъ радіусовъ, на которыхъ находятся частицы жидкости по одну
сторону ихъ положенія равновѣсія, вершиною волны, а ту часть, въ коко-
рой частицы находятся по другую сторону положенія равновѣсія, назовемъ
основаніемъ волны; тогда разстоянія Ъа, Ь'а' суть вершины волнъ, а
разстоянія Ъа', Ъгс суть основанія волнъ.
ЛЕКЦІЯ.
117
Такъ какъ эти продольныя волны имѣютъ основаніемъ своимъ только
упругость жидкостей и распространяются вслѣдствіе силы упругости,
дѣйствующей между отдѣльными частицами жидкости, то мы можемъ,
для опредѣленія скорости распространенія, употребить, непосредственно
полученное уже прежде уравненіе
С = С.\/1
у й
гдѣ е означаетъ силу упругости и сі плотность жидкости.
Чтобы на основаніи этого получить скорость распространенія, мы
должны только опредѣлить эти двѣ величины для этихъ частныхъ слу-
чаевъ. Начнемъ съ капельно-жидкихъ тѣлъ.
Величина е означаетъ силу упругости, съ которою частицы, прибли-
женныя по направленію радіусовъ, отталкиваются другъ отъ друга, или
съ которою удаленныя другъ отъ друга частицы снова взаимно притяги-
ваются. Поэтому представимъ себѣ столбъ жидкости, заключенный въ со-
судѣ, стѣнки котораго нерастяжимы; предположимъ также, что частицы
жидкости сближены, вслѣдствіе давленія. Тогда сила упругости въ этомъ
случаѣ будетъ мѣрою величины е, потому-то и здѣсь расширеніе и сжи-
маніе возможны только по направленію радіусовъ, такъ какъ каждая нить
жидкости заключена въ окружающей ее жидкости.
Мы видѣли прежде, что жидкости сжимаемы, и что уменьшеніе
объема, выраженное въ дробныхъ частяхъ первоначальнаго объема черезъ
ѵ, пропорціонально наружному давленію. Назовемъ коэфиціентъ сжимае-
мости, уменьшеніе объема съ увеличеніемъ давленія на одну атмосферу че-
резъ р, тогда для давленія Р атмосферъ
ѵ — у-Р.
Если жидкость заключена въ сосудѣ съ нерастяжимыми стѣнками, то
уменьшеніе объема проявляется въ укорачиваніи столба жидкости. Если
длина столба жидкости была I, и если длина его послѣ сжатія равна V,
то, если поперечный разрѣзъ столба жидкости равенъ д,
если мы измѣненіе длины въ дробныхъ числахъ обозначимъ черезъ <?.
Мы получимъ также
о = ^Р.
Сила упругости, съ которою этотъ укороченный столбъ жидкости
стремится снова удлиниться на <5, совершенно равняется по величинѣ
сжимающей силѣ, или
118
СЕМЬДЕСЯТЪ СЕДЬМАЯ
р = -г
дастъ намъ давленіе въ атмосферахъ, съ которымъ укороченный столбъ
снова хочетъ удлиниться. Мы видимъ, что эта сила пропорціональна
укороченію, которое претерпѣлъ столбъ; поэтому, коэфиціентъ есть мѣра
силы упругости жидкости, или
е =
выраженное въ атмосферахъ'. Чтобы выразить ее въ вѣсѣ, пусть Н бу-
детъ высота ртутнаго столба, производящаго то же давленіе, какъ и ат-
мосфера, а а абсолютный вѣсъ ртути. Тогда выраженное въ вѣсѣ
Н. а. в
е = —-—•
Поэтому, намъ только нужно вставить вмѣсто е его значеніе.
Величина Л есть масса единицы длины колеблющагося столба жид-
кости; поэтому, если плоскость жидкости будетъ з, то
а=^>
9
а также, если мы оба выраженія вставимъ въ уравненіе для с,
" /* . 3
Мы можемъ, какъ и прежде, выраженію для скорости распространенія
продольныхъ волнъ въ твердыхъ тѣлахъ, придать нашему выраженію
другой видъ:
р есть укороченіе единицы длины столба жидкости при давленіи одной
атмосферы или давленіи ртутнаго столба Н. А такъ какъ укороченіе про-
порціонально внѣшнему давленію, то отсюда слѣдуетъ, что укороченіе
единицы длины, вслѣдствіе давленія ртутнаго столба въ одинъ метръ
д': /х= 1 : Н; *=•§’
и далѣе для укороченія помощью давленія столба волнообразно коле-
блющейся жидкости
'на
такъ какъ вѣсъ такого столба составляетъ ртутнаго столба.
Поэтому выраженіе подъ знакомъ корня будетъ:
Н. в 1
—— —____>
р . 9 (Г*
ЛЕКЦІЯ.
119
или
с=С.ѵ/І’
* V
т. е. мы получимъ скорость распространенія продольнаго волнообразнаго
движенія въ капельной жидкости, если мы ускореніе, въ данномъ слу-
чаѣ, раздѣлимъ на укороченіе, претерпѣваемое столбомъ жидкости дли-
ною въ одинъ метръ, вслѣдствіе своей тяжести, и помножимъ корень
квадратный изъ этого частнаго на С.
Опредѣленная величина С и тутъ должна быть равна единицѣ, какъ
по выводамъ стр. 29—36, гдѣ введенная величина а равна единицѣ, такъ
какъ движеніе совершалось продольно *), такъ и на основаніи опытовъ
Колладона и Штурма **), къ которымъ мы еще вернемся въ слѣдующемъ
отдѣлѣ.
Такъ для воды мы получимъ
= 0,0000499 при 4°,
д — 9,808,
Н= 0,760,
<7 = 13,598,
5=1.
__» /9,808.0,76.13,59.10000000 _^4 8
— V 499 ’
Опыты Колладона и Штурма дали
с = 1435.
Разность этихъ двухъ чиселъ не достигаетъ и одного процента. , л
Скорость распространенія продольныхъ волнъ въ упругихъ жидкостяхъ
получается еще легче. И здѣсь мы подъ е должны подразумѣвать силу,
съ которою укороченный столбъ газа стремится снова расшириться.
Газы вообще не имѣютъ самостоятельнаго объема; онъ зависитъ отъ
давленія, подъ которымъ находятся газы; при увеличеніи давленія, уменьше-
ніе объема просто равняется этому увеличенію давленія. Итакъ какъ двой-
ное увеличеніе давленія производитъ уменьшеніе объема газа .наполо-
вину или наполовину укорачиваетъ столбъ газа, находящагося въ не-
растяжимомъ цилиндрѣ, то отсюда слѣдуетъ, что давленіе, подъ которымъ
находится газъ, есть мѣра его упругости. Какъ мы уже видѣли въ уче-
*) Смотри также Ройхоп, Ттаііё <3е Мёсапідие. Ьіѵге віхіёте, сЬар. II, § 667.
**) СоІІаЛоп ип<1 8іигт. Аппаіеа Де сЫт. еі йе рЬуа. Т. XXXVI. Ро^епбоНГ»
Аппаіеп, ВсІ. XII.
120
СЕМЬДЕСЯТЪ СЕДЬМАЯ
ніи о газахъ, сила, съ которою газы стремятся расшириться, всегда ра-
вняется давленію, подъ которымъ они находятся. Поэтому, если газъ на-
ходится подъ давленіемъ Н метровъ ртутнаго столба, то
<з = Н.
Если мы предположимъ столбъ воздуха въ 1 поперечника, то это да-
вленіе или равная ему упругость газа, по вѣсу
е = Но-.
Для (і мы должны вставить массу единицы длины воздушнаго столба.
Если 5 есть плотность воздуха, то
й = -. '
9
Плотность 5 есть плотность газа подъ давленіемъ. Если мы обозна--
чимъ плотность газа, подъ давленіемъ столба ртути въ 760тт, т. е.
одной атмосферы черезъ з', то
з:з' —Н:0,76,
з'.Н
5 0,76
Сообразно съ этимъ отношеніемъ, выраженіе для скорости волнообраз-
наго движенія будетъ
с — с у/Е5? =С\/^_оЗ® .
5 8
Опредѣленная величина С должна опять равняться единицѣ, потому
что колебанія продольны (стр. 29—36), а слѣдовательно и а = 1.
Назовемъ также и здѣсь укороченіе, претерпѣваемое столбомъ воздуха,
въ метръ длиною, вслѣдствіе тяжести, равной его собственной, черезъ
д, то, какъ очевидно,
5 = —,
а также
Поэтому, мы получимъ вообще, какъ для твердыхъ, такъ и для жид-
кихъ и газообразныхъ тѣлъ, скорость распространенія обратно пропорціо-
на іьною корню квадратному изъ укороченія, претерпѣваемаго столбомъ раз-
сматриваемаго тѣла, вслѣдствіе собственной тяжести.
Мы должны сдѣлать еще нѣсколько замѣчаній касательно опредѣленія
скорости распространенія волнообразнаго движенія въ газообразныхъ
тѣлахъ. Плотность з газа зависитъ не только отъ одного 'давленія, подъ
которымъ находится газъ, но также и отъ температуры; и мы ниже уви-
димъ, что при одинаковыхъ давленіяхъ Н, плотности з и з' относятся
ЛЕКЦІЯ.
121
5 : = 1 аі> : 1
если черезъ I и I' обозначимъ температуры, соотвѣтствующія 5 и зі,
опредѣлимъ ихъ по градусамъ скалы сотенныхъ дѣленій, притомъ, если пред-
положимъ, что
« = 0,003665,
коэфиціенту расширенія газа. Если з0 означаетъ плотность газа подъ
давленіемъ 0т,76 при температурѣ 0° тающаго льда, то вообще плот-
ность з, при температурѣ і и томъ же давленіи, будетъ
о = . *<>
1 ад
Поэтому мы должны это выраженіе вставить въ наше уравненіе, для
того, чтобы получить скорость распространенія при всякой температурѣ.
Плотность з0 при температурѣ 0° и при давленіи 0га,76 въ различ-
ныхъ газахъ различна. Такъ для атмосфернаго воздуха она будетъ
50 =0,001293,
предполагая плотность воды равною 1.
Мы должны ввести въ наше уравненіе для с еще другую поправку;
мы должны его помножить на опредѣленный коэфиціентъ к, который для
атмосфернаго воздуха есть
к = ѴМ2.
Значеніе этой опредѣленной величины яснѣе выражено въ ученіи о
теплотѣ; она потому входитъ въ наше уравненіе, что при уплотненіи и
разрѣженіи воздуха отъ волнообразнаго движенія происходитъ измѣненіе
въ его температурѣ, а также и въ упругости. А именно, при уплотненіи
является нагрѣваніе газа, при разрѣженіи на разрѣженныхъ мѣстахъ
является охлажденіе газа; отъ этого уплотненныя мѣста получаютъ боль-
шую упругость, они дѣйствуютъ поэтому сильнѣе на частицы воздуха, чѣмъ
при вышеприведенномъ предположеніи опредѣленной упругости, измѣряе-
мой давленіемъ Н. Наступающее же охлажденіе, при разрѣженіи, произ-
водитъ въ охлажденныхъ мѣстахъ уменьшеніе упругости, такимъ обра-
зомъ болѣе сильное стремленіе окружающаго воздуха въ разрѣженныя
пространства. Такимъ образомъ, оба дѣйствія производятъ сокращеніе
продолжительности колебанія при неизмѣненной длинѣ волнъ волнообраз-
наго движенія, т. е. ббльшую скорость распространенія и при томъ такъ,
какъ будто бы упругость была болѣе въ отношеніи 1 1,42.
Отсюда мы получимъ скорость распространенія волнообразнаго дви-
женія
122
СЕМЬДЕСЯТЪ СЕДЬМАЯ
С = \/9,808.13,59.0,76 . х 42
V 0,001293 ѵ
если воздухъ имѣетъ температуру, равную или
с=гЗЗЗт,5 .ѴТ+^І
число, совершенно согласное съ полученнымъ изъ опытовъ надъ скоростью
распространенія звука.
Неподвижныя (стоячія) волны въ цилиндрическихъ стол-
бахъ жидкостей. — Если мы заключимъ какую-нибудь жидкость въ
цилиндрическій сосудъ и возбудимъ въ одномъ мѣстѣ цилиндра жидкости
колебательное движеніе, то оно распространится по столбу, будетъ отра-
жаться на концахъ и, вслѣдствіе интерференціи прямыхъ и отраженныхъ
волнъ, образуются неподвижныя (стоячія) колебанія. Такъ какъ мы мо-
жемъ, по предъидущему параграфу, примѣнить къ волнообразному движе-
нію подобнаго рода непосредственно нашу прежнюю теорію продоль-
ныхъ колебаній, то для продолжительности колебаній этихъ неподвижныхъ
(стоячихъ) волнъ мы имѣемъ выраженіе
Т = А . Ь \/І’
или, на основаніи того, что
А = -’
С
а С равняется 1:
Т = 2Ь\/-=—’
’ е с
и намъ только нужно опредѣлить длину Ь неподвижной (стоячей) волны
колебанія столба жидкости.
Мы можемъ и здѣсь различить случаи, когда столбъ жидкости свобо-
денъ на обоихъ концахъ, или же когда онъ укрѣпленъ однимъ концемъ,
а съ другаго конца свободенъ. Первый случай произойдетъ тогда, когда
мы приведемъ въ колебаніе столбъ жидкости, заключенный въ стекляной
трубкѣ въ видѣ ливера, открытой съ обоихъ концевъ, или въ стекляной
трубкѣ, опущенной однимъ концемъ въ массу жидкости. Потому что и
въ послѣднемъ случаѣ окружающая жидкость до нѣкоторой степени ме-
нѣе плотна, чѣмъ заключенная въ трубку, такъ какъ жидкость внѣ трубки,
при приходящемъ къ концу трубки уплотненіи, можетъ уклоняться во
всѣ стороны, а слѣдовательно, и гораздо легче, чѣмъ жидкость, находя-
щаяся въ трубкѣ, которая можетъ двигаться только по длинѣ трубки. Въ
обоихъ этихъ случаяхъ наступаетъ отраженіе безъ измѣненія знака, безъ
потери половины длины волны.
ЛЕКЦІЯ.
123
Другой случай встрѣчается тогда, когда мы приводимъ въ колебаніе
столбъ жидкости, заключенный въ прямой, внизу замкнутой трубкѣ; тогда
на нижней границѣ является отраженіе съ потерею половины длины вблны.
Приходящая вершина волны отражается, какъ основаніе волны.
Продолжительность колебанія и числа колебаній такого цилиндриче-
скаго столба жидкости получаются поэтому непосредственно, какъ и при
продольно колеблющихся прутахъ, если мы употребимъ то же средство,
какъ и на стр. 69 — 74. Для цилиндрическаго столба жидкости, сво-
боднаго съ обоихъ концевъ
гр__________________________________
С
Длина неподвижной (стоячей) волны равняется длинѣ цилиндрическаго
столба жидкости, а поэтому
Ы=—.
2Ь
Для втораго случая
гр_______________________________
с '
Неподвижная (стоячая) волна имѣетъ длину вдвое большую, чѣмъ цилин-
дрическій столбъ жидкости, продолжительность колебанія двойная противъ
предъидущаго случая. Число колебаній вдвое мёныпее:
X — —.
4Ь
Эти числа соотвѣтствуютъ самымъ медленнымъ колебаніямъ, возмож-
нымъ для цилиндрическихъ столбовъ жидкостей. И здѣсь цилиндры мо-
гутъ разложиться на самостоятельно-колеблющіяся части, имѣющія боль-
шія числа колебаній, по причинѣ ихъ мёньшей длины.
При томъ способѣ, который мы употребляли на стр. 74 — 78,
мы найдемъ, что возможныя числа колебаній для свободнаго съ обоихъ
концевъ столба жидкости будутъ
гдѣ п можетъ означать каждое число естественнаго ряда чиселъ; а для
возможныхъ чиселъ колебаній столба жидкости, заключеннаго въ замкну-
тую трубку, получимъ
К = (2п-1)^.
Такъ какъ доказательство атихъ законовъ на основаніи опыта возможно
только вывести изъ тоновъ, произведенныхъ колебаніями жидкости, то мы
можемъ разсмотрѣть опыты Каньяра, Латура и Вертгейма только въ слѣ-
дующемъ отдѣлѣ.
124 СЕМЬДЕСЯТЪ СЕДЬМАЯ
Столбы воздуха, заключенные въ трубкахъ, также могутъ быть при-
ведены въ неподвижныя колебанія, помощью сотрясательнаго движенія на
одномъ изъ концевъ. Если трубки замкнуты съ одного конца, то тамъ
является отраженіе съ потерею половины длины волны; если онѣ открыты,
то является отраженіе въ окружающемъ воздухѣ безъ потери половины
длины волны, такъ какъ частицы воздуха внѣ трубки подвижнѣе во всѣ
стороны, а потому легче чѣмъ въ трубкѣ. Поэтому воздухъ, прилежа-
щій къ трубкѣ нѣкоторымъ образомъ менѣе плотенъ, чѣмъ въ трубкѣ.
Полученныя продолжительности колебаній и ихъ числа колебаній будутъ,
поэтому, для самыхъ медленныхъ колебаній, въ открытыхъ трубкахъ
Т—2Ь\/1 = ^’
ѵ е с
к=і\Д=-
2с г 2Ѣ
а вообще возможныя колебанія
х = и . Л •
2Ь
Для закрытыхъ же съ одного конца трубокъ, мы получимъ
Т = 4Ь \/- = -
ѵ е с
К = 1\/І = ±’
4ЬѴ а 4Ь
и какъ возможныя числа колебаній
Ы = (2?г - 1)
Мы воспользуемся этими выраженіями въ слѣдующемъ отдѣлѣ при
опредѣленіи тоновъ въ открытыхъ и закрытыхъ органныхъ трубахъ и
вмѣстѣ съ этимъ дадимъ доказательство этихъ положеній изъ опытовъ.
Поперечныя волны въ жидкостяхъ. — Кромѣ продольныхъ
колебаній можно сообщить капельно-жидкимъ тѣламъ также и попереч-
ныя колебанія. Жидкость, заключенная въ сосудѣ, имѣетъ извѣстное по-
ложеніе равновѣсія, и силы, дѣйствующія на жидкость, предоставленную
ея собственному вѣсу, обусловливаютъ горизонтальную плоскость поверх-
ности жидкости. Если равновѣсіе жидкости будетъ нарушено въ какомъ-
либо мѣстѣ, и тамъ произойдетъ движеніе, то это нарушеніе равновѣсія
распространяется постепенно на другія мѣста жидкости.
Если бросить камень въ покоющуюся массу воды, или уронить каплю
на поверхность какой-нибудь жидкости, находящейся въ широкомъ со-
судѣ, то скоро увидимъ, какъ жидкость волнообразно подымается въ видѣ
ЛЕКЦІЯ.
125
круга около мѣста паденія. Этотъ валъ жидкости распространяется во-
кругъ, но въ томъ мѣстѣ, гдѣ вода поднялась впервые надъ поверх-
ностью, является углубленіе жидкости. Это углубленіе распространяется
въ жидкости также, какъ и волнообразное возвышеніе. Большею частью,
при такомъ нарушеніи равновѣсія, является не по одному такому возвы-
шенію и углубленію, а по нѣскольку; онѣ распространяются поперемѣнно
другъ за другомъ на поверхности жидкости, какъ вершины и основанія
волнъ того же числа.
Что мы имѣемъ здѣсь дѣло съ дѣйствительнымъ волнообразнымъ дви-
женіемъ, т. е. съ движеніемъ отдѣльныхъ частицъ жидкостей взадъ и
впередъ, а не съ движеніемъ продолжающимся только впередъ, совер-
шенно ясно видно изъ опытовъ братьевъ Е. Г. и В. Веберовъ *).
Чтобы изслѣдовать движенія отдѣльныхъ частицъ жидкости, оба брата
Веберы употребляли жолобъ. Этотъ жолобъ состоитъ (рис. 43) изъ пря-
мой, гладко выстру-
ганной сосновой дос-
ки, длиною около 1,6
метра, АВ, въ кото-
рую вдѣланы крѣпко
въ двухъ глубокихъ
Рис. 43.
бороздахъ два тол-
стыя звена, на разстояніи около 15 миллиметровъ другъ отъ друга. Эти
оба звена III, ККК, кромѣ того, крѣпко удерживаются двумя вертикаль-
ными досками Е и Е, въ которыя они также вдѣланы. Закрѣпы звеньевъ
въ бороздахъ совершенно непроницаемы для воды. Узкое пространство
около 1,5 метра длины, 15 миллиметровъ ширины внутри и около 16 оен-
тиметровъ глубины, заключенное между обоими'звеньями, наполняется, до
извѣстной высоты, смотря по надобности, водою, молокомъ, ртутью и проч.
При этомъ звенья, для предохраненія ихъ отъ сгибанія и перелома, заще-
мляются нѣсколькими крѣпкими деревянными вилками **).
Когда жолобй, наполнены до извѣстной высоты водою, то часть ея
поднимается съ одного конца помощью всасыванія въ стекляную трубку
вверхъ; отпуская жидкость обратно, производятъ .волну, которая распро-
страняется по жолобу.
*) УѴеІІепІеЬге, ап? Ехрегітеоіе ^е^гйпйеі ѵоп Деп ВгііДегп Е. Н. ѴѴеЪег ипД IV-
ХѴеЪег. Ьеірхі^, 1825.
**) Ьосо сіС. р. 105.
126
СЕМЬДЕСЯТЪ СЕДЬМАЯ
Тогда поперечный разрѣзъ возбужденной водны видѣнъ сквозь стекля-
ныя стѣнки, что позволяетъ совершенно точно опредѣлить Форму волны.
Точно также, сквозь стекляныя стѣнки, если кинуть въ жолобъ малень-
кіе кусочки янтаря, равнаго абсолютнаго вѣса съ водою, и если смотрѣть
противъ свѣта, видно движеніе этихъ твердыхъ частицъ и можно опредѣлить
ихъ путь. Такъ какъ эти частицы имѣютъ совершенно такое же движе-
ніе, какъ и частицы воды, которыхъ мѣсто онѣ занимаютъ, то на осно-
ваніи этого можно точно опредѣлить движеніе самой жидкости.
Братья Веберы убѣдились своими опытами, что частицы жидкостей
при возбужденіи волны приходятъ дѣйствительно въ движеніе взадъ и
впередъ, а не въ распространяющееся впередъ; а именно, если слѣдую-
щія другъ за другомъ волны имѣютъ одинаковую или почти одинаковую
Форму, то частицы на поверхности, или вблизи ея, двигаются по замкну-
тымъ, почти эллиптическимъ путямъ (рис. 44). Если по жолобу дви-
гается волна отъ В къ А и притомъ вершиною впередъ, то частицы
рис воды двигаются, когда уже прошла
* ѣ ' вершина волны, по дугѣ а{3у вверхъ,
впередъ, внизъ, по тому же напра-
--------у У" вленію, по которому проходитъ вер-
шина волны. Если затѣмъ слѣдуетъ
основаніе волны, глубина которой равняется высотѣ вершины волны, то
частицы двигаются далѣе по дугѣ -/5 а назадъ въ а. Перпендикулярное
разстояніе высшей точки /3 этого пути отъ уровня ау равняется высотѣ
вершины волны, а разстояніе глубочайшей точки 5 отъ ау равняется глу-
бинѣ основанія волны.
Если основаніе волны предшествуетъ вершинѣ, то частица воды дви-
гается сначала черезъ у$ въ а, а послѣ по дугѣ а^у въ прежнее свое
положеніе у—назадъ. Распространяющееся движеніе во время вершины
волны всегда имѣетъ направленіе распространяющейся волны; во время
прохожденія основанія волны, направленіе противоположное.
Пути колебаній жидкости не возвращаются сами въ свое прежнее по-
ложеніе, если основанія, слѣдующія за вершинами, не равны этимъ
послѣднимъ.
Если слѣдующее за вершиною волны основаніе меньше вершины, то
путь частицъ жидкостей будетъ рис. 44 Ъ\ если же предшествуетъ осно-
ваніе, по направленію отъ А къ В и за нимъ слѣдуетъ меньшая ей по ве-
личинѣ вершина, то путь будетъ рис. 44 с. Въ обоихъ случаяхъ, частица
жидкости не достигаетъ своего первоначальнаго положенія покоя въ а.
ЛЕКЦІЯ.
127
Колебательное движеніе частицъ жидкостей не ограничивается только
поверхностью жидкости и частицами, близъ ея лежащими, но частицы
жидкости выказываютъ колебательное движеніе на очень большой глубинѣ
отъ поверхности жидкости. Опыты брат'ьевъ Веберовъ показали, что на глу-
бинѣ, превышающей въ 350 разъ высоту волнъ, т. е. разстояніе высо-
чайшей точки вершины волны отъ самой глубокой точки основанія волны,
все еще было ясно замѣтно колебательное движеніе. Но, между тѣмъ,
была очень замѣтная разница въ путяхъ частицъ. Именно, когда точки,
ближайшія къ поверхности, совершали почти круговые пути, вертикальная
высота эллипсисовъ дѣлалась все меньше, чѣмъ глубже находились ча-
стицы жидкости отъ поверхности ея. На глубинѣ, превышавшей около 120
разъ высоту волны, перпендикулярное движеніе частицъ было почти не-
замѣтно, а еще на большей глубинѣ движеніе частицъ стояло въ пе-
ремѣщеніи ихъ взадъ и впередъ по горизонтальному направленію.
Такъ, напримѣръ, Веберы нашли, что при волнѣ, имѣвшей высоту
около 2тт, вблизи къ поверхности, вертикальная высота пути равнялась
высотѣ волны, горизонтальный діаметръ равнялся 2,5 миллиметрамъ; на
глубинѣ 230 миллиметровъ вертикальная высота пути равнялась только
0,5 миллиметра, а горизонтальный діаметръ равнялся 1 миллиметру. На-
конецъ, на ббльшой глубинѣ вертикальный діаметръ былъ уже неизмѣ-
римъ, тогда какъ горизонтальный діаметръ только незначительно умень-
шался, а близъ дна такъ даже снова немного увеличивался.
Изъ этого рода движенія частицъ жидкостей мы видимъ, что онѣ одно-
временно двигаются по двумъ различнымъ направленіямъ, внизъ и вверхъ,
Рис. 45.
впередъ и назадъ. Отсюда слѣдуетъ, что Форма волнъ жидкости должна
быть та же, которая нами разсмотрѣна раньше, рис. 19, или, что она
должна быть длиннѣе, если основаніе волны, слѣдующее за верши-
ною, имѣетъ глубину, равную высотѣ вершины. Волна должна имѣть,
какъ это непосредственно видно, Форму рис. 45. Волна распространяется
по направленію отъ В къ А и отдѣльныя частицы жидкости пробѣгаютъ
здѣсь предположенные кругообразные пути въ направленіи, показанномъ
128
СЕМЬДЕСЯТЪ СЕДЬМАЯ
стрѣлками; въ вершинахъ волнъ впередъ и по горизонтальному направле-
нію, а въ основаніяхъ волнъ назадъ къ ихъ положенію равновѣсія.
Братья Веберы видѣли, что водяныя волны дѣйствительно имѣютъ
этотъ видъ; они постоянно видѣли, что при одинаковой глубинѣ, длина или
ширина основанія волны были болѣе длины или ширины вершины волны.
Скорость распространенія водяныхъ волнъ. — Колебательное
движеніе частицъ жидкости, вызванное на ея поверхности, и соединен-
ное съ измѣненіемъ Формы, распространяется, на основаніи предъиду-
щаго, по двумъ направленіямъ; во-первыхъ по направленію къ поверх-
ности, которой оно придаетъ волнообразный видъ, во-вторыхъ, въ глу-
бину, потому что мы видѣли, что частицы получаютъ колебательное дви-
женіе и на глубинѣ, если волна проходитъ черезъ жидкость. Спраши-
вается: съ какою скоростью распространяется движеніе по обоимъ на-
правленіямъ?
Что касается, во-первыхъ, распространенія движенія въ глубину, то
ни при возбужденіи, ни при горизонтальномъ ходѣ волнъ не замѣчается
ихъ постепеннаго распространенія; но колебательное движеніе, кажется,
совершается одновременно, какъ на поверхности, такъ и на глубинѣ, по
крайней мѣрѣ, насколько объ этомъ можно судить. Частицы жидкости,
лежащія вертикально или почти вертикально одни подъ другою, кажутся
находящимися одновременно въ одинаковыхъ періодахъ колебанія.
Этотъ результатъ долженъ быть предположенъ изъ перваго параграфа
этой лекціи, потому что движеніе жидкости на глубинѣ можетъ быть
только слѣдствіемъ распространеннаго толчка, измѣненія плотности на
поверхности жидкости, при возбужденіи п продолженіи колебательнаго
движенія; поэтому движеніе распространяется внизъ также скоро, какъ
продольныя волны, разсмотрѣнныя нами въ предъидущихъ параграфахъ.
Совершенно иное при распространеніи волнообразнаго движенія на
поверхности жидкости; оно гораздо медленнѣе, такъ что можно довольно
хорошо прослѣдить отдѣльныя волны.
Сперва братья Веберы доказали, что и при этихъ волнахъ совер-
шенно также, какъ мы это развили въ первой лекціи этого отдѣла, движе-
ніе распространяется совершенно точно на длину одной волны, въ то
время, когда одна какая-ннбудь частица жидкости совершитъ одно коле-
баніе. Потомъ они показали, что при этихъ волнахъ жидкостей, скоро ть
распространенія не для всѣхъ волнъ одинакова и не всегда зависитъ отъ
упругости и плотности жидкостей, но что скорость распространенія зави-
ситъ отъ массы обстоятельствъ.
в диаі,э: 'ЛЕКЦіяи<шз:і
(129
ітвд Скорость, »вадвъ!іжидкоеѵигізн&читеиьно /зависитъ; отъ’іныскхгы1іиыійлины
волн'цыпоѳюмуі/ивс'Ыюбсшоя.теаьіотва^іизм'йняфщія иысотуэсяргдиинунводнъ,
іизмѣннютъ такжеііи:г.<ркорость')/]міспространеніяі.іі аэ:п.ваіаеіая ынілЯ
1ЭО[-!Вьі661к ёе'^ѣй'Вёбё^і^іайрй^'йбіш-ь
прежде всего зависитъ отъ силы толчка, возбудившаго волну;-‘ЗДЮХёйіій-
нѣетолчокъ,-тѣмъвышеволна.Атакъ.какъ,1брдѣе „высокая-волна рас-
атэочояэ ; '7'П71, '•*п--лэ апуэтпя । . ;
то скорость1 вол’Н№увеличивается! съ иу «сличеніемъ
•доа <гя г । .кТ„г.оп
лаііі.щі атэочоиэ
простравяется быстрѣе,
г . Пгѵ.тч ои | .а-доа ая
силы толчка,- ее-йрзбудившаго.-----------------;------------------
.(шкнтпод ?• гій I .іітэминіэл 8.<Ъ" I .атчиуиыіі І.а
Если волна^распространяется,; все на больше пространство,
” ! іг\“л I Л Г г. ! Р А Г /1 < «, птш
Если волна ^распространяется,; все на больше пространство, то вы-
шина волны ^того уменыі^ѣся[; поэтому ярость ріайі'фоёіфаненія
будетъ, тѣмъі менѣе, чѣмъ далѣе ^удаляется, въ данномъ случаѣ волна отъ
точки ёяПнро^со^кдёніяГ Вѣ ,ртомъ легко' убѣдиться,’ если произвести
волны діа покоющрйся поверхности жидкости, бросивъ въ нее камен^.
।Тогда образуйся |рядъ волнъ, фоторыя распространяются ййё'^бб'^кійми |и
большими кріуёйми. Если вызвйтв новую систему* г йолщъ, бросивъ камень
такоидяіе ^величины между распространенными~уже Волнами^ 7~°~ видно,
какъ волны при эітомъ распростадняются гораздо* р^іс(рѣе.
— ! " ,,|>і " Го» і .і|тоиіітиэіі <('1 і
I ,<г.Скорость , і распространенія ‘'^зависитъ далѣе *сг^ь глубины жидкости;
ічѣмъ глубже жидкость, тѣмъ быстрѣе распространяется волна. Причину
[этого надо ир^атф во-первыхъ?„,въ Ітреніи жидкорди о дно( И( въ, ррилрпа-
|ніи къ нему; далѣе, также въ томъ, что вблизи дна, какъ это мы вй-
-!П]рВЬ10НТ^’!ШЛЕ?ГЭ ^ЮТО^1ШбрТОо‘]І1ЭЕС[ ВЭіГЯ ОТІИІТОЛ.ОЭОв О'ІПНЯПГ.ЕВІ] ІІЭТЭ'ІИ
чая ЙРЙШ.<?^ояРЙВР^Шг.оУЩЬ
Лин^ТО0(^т н^ем^еттовя!аб отс а дэшмэ сгяото(]тэ л Я . ы ' о '
,д»НПі0цыть)йн0РйійЩ&кг;э«от^рйіхд>уибратьія сВ&б&рыпівывелш ,-деиі! изложенія,
. ійыли лрримедерылтадъіміда; отісв-лйная]ітруібк!ао прикрѣп4ял.арь(;і#ъ одному
изъ концевъ жолобй ітанимѣчрбраэо^ѣр <Ѵ!Г0 ртедоті^цНахр^илосп я іСО-
н₽ерддаио,рЗош> йа-к’2 — в&Дйі’йОДйрійадртйій жилко^и^Досртккаоіо вса-
. -,рыр?ЩЯ) инртдадагкж идноріги .гбы-Иі > з ывіаіема зПрмощвю. часовъ,;, но -
д’#ай^н^и^ъ9і/а’б»г,дак)уіндііп.иямйпувдиріъог^ьі уднр^аннымиыи ігонова/.шу-
.ными9।даждігі я, ,дальцемъѵ іжбфдадреы, предай. и прихода, ] вер-
..дадарр рр^ы ^^друтму кдрдцуігЖіРйРб|а..гт/Я#ед пускались въ . то время,
іГКСгдах^ІЗйШИт^АбѣдВОДП^лиуСКали .ПШ^Ъ.иіИ ЗйДвржвдалцеь, і.при-.др-
СТИЖРНННЛРР^ЖДО; ^ЛН^а-ДруіУйКРіиідацаб-.іікрДеба'.!: НйСТДЫЯ і.ОѣЪт/ДФле-
нія длины жолоба на наблюдаемыя времена давали скорость распро-
страненія. .Д.1І.Э и і)і>1 . <]ТЭ 9ІЭ . і‘І-з'11 .11 11 .II .1'1
Физика. IV.
9
130
СЕМЬДЕСЯТЪ СЕДЬМАЯ
Мы сообщаемъ здѣсь результаты нѣкоторыхъ опытовъ, чтобы дать
понятіе о скорости, съ которою распространяются подобныя волны.
Волны вызывались въ одинаково глубокихъ различныхъ жидкостяхъ
столбами тѣхъ же жидкостей и также одинаковой вышины. Получилось
слѣдующее:
ГЛУБИНА ЖИДКОСТИ. ВЫСОТА СТОЛБА ЖИД- КОСТИ, ВЫЗЫВАВШАГО ВОЛНЫ. СКОРОСТІ въ водъ. волны: ВО РТУТИ.
2,7 центиметр. 5,4 центиметр. 8,1 19,8 16,2 21,6 53,3 центиметр. 54,4 55,5 56,9 „ 56,9 51, 3 центиметр. 54, 0 55,76 „ 60, 3 п 62, 1
5,4 центиметр. -5,4 8,1 Ю,8 16,2 21,6 75,3 75,9 77,4 77,0 75,9 60,9 „ 64,3 66,3 „ 4,3 69,2
10,8 центиметр. 8,1 16,2 32,4 48,6 97,2 Ю0,1 я 100,1 ВЪ ВОДКѢ. 81,8 центиметр. 86,8
21,6 центиметр. 32,4 135 135
Далѣе, изъ одного взгляда на эти числа слѣдуетъ, что волны жид-
костей различнаго абсолютнаго вѣса распространяются съ замѣтно рав-
ною скоростью, если онѣ возбуждены столбами жидкостей одинаковой вы-
соты. Въ строгомъ смыслѣ это бываетъ только въ томъ случаѣ, когда
жидкости имѣютъ значительную глубину; при незначительной глубинѣ,
вліяніе дна, различная степень прилипанія жидкости къ нему и къ стѣн-
камъ сосуда производятъ то, что скорости различны*).
О причинахъ волнъ въ жидкостяхъ. — Если мы сравнимъ эти
законы скорости распространенія видимыхъ волнъ жидкостей съ преж-
ними законами скорости распространенія волнъ вслѣдствіе упругости въ
твердыхъ, жидкихъ и газообразныхъ тѣлахъ, то непосредственно выхо-
дитъ отсюда, что мы не можемъ разсматривать эти волны какъ проис-
шедшія отъ упругости жидкостей. Для волнъ распространяющихся отъ
упругости тѣлъ мы имѣли, какъ выраженіе скорости распространенія,
*) Е. Н. н ѴѴ. ѴѴеЬег. ѴѴеІІепІеЬге еіс стр. 166 и слѣд.
ЛЕКЦІЯ.
131
е=С\/І.
Скорость распространенія движенія была прямо пропорціональна квад-
ратному корню изъ силы упругости и обратно пропорціональна корню
квадратному изъ плотности разсматриваемаго вещества; она не зависѣла
отъ длины волны и не зависѣла отъ ея высоты, т. е. отъ величины ам-
плитуды. А для теперь нами разсматриваемыхъ волнъ жидкостей, совер-
шенно обратныя условія; скорость ихъ распространенія почти незави-
ситъ отъ природы жидкости, но измѣняется значительно, смотря по длинѣ
и высотѣ волнъ. Если мы продолжимъ сравненіе значеній, полученныхъ
•братьями Веберами, для скорости распространенія волнъ въ различныхъ слу-
чаяхъ со скоростью распространенія волнъ, образующихся вслѣдствіе упру-
гости, то изъ этого сравненія увидимъ, что причины разсматриваемыхъ
нами волнъ нельзя искать въ упругости жидкости; ибо для скорости
распространенія волнъ, вызванныхъ упругостію, мы имѣли, напримѣръ,
для воды болѣе, чѣмъ 1,400 метровъ, а здѣсь только нѣсколько деци-
метровъ.
Еще другое обстоятельство ясно указываетъ, что этотъ родъ волно-
образныхъ явленій не есть слѣдствіе силы упругости жидкостей, именно
высота волнъ. Мы видимъ на поверхности жидкости уже замѣтное воз-
вышеніе, какъ только капля жидкости упадетъ на поверхность. Но при
крайне-ограниченной сжимаемости жидкостей, сжатіе ихъ, вслѣдствіе та-
кой малой силы, можетъ быть только неизмѣримо мало, а слѣдовательно,
и слѣдующее за сжатіемъ расширеніе жидкости и вмѣстѣ съ тѣмъ повы-
шеніе ея надъ уровнемъ также неизмѣримо малы и не могутъ быть срав-
ниваемы съ замѣчаемой высотою волнъ.
Стоитъ только припомнить, что вслѣдствіе дѣйствія тяжести, жид-
кость должна принимать горизонтально-плоскую поверхность, то станетъ
-очевиднымъ, что волнообразное движеніе начинается и распространяется
вслѣдствіе тяжести. Если въ какомъ-нибудь мѣстѣ при помощи всасыва-
ванія поднять надъ уровнемъ окружающей жидкости какой-нибудь столбъ
ея и затѣмъ, опустить поднятый столбъ, то, по законамъ гидростатики, эта
жидкость должна погрузиться; но для возстановленія гидростатическаго
^равновѣсія вокругъ этого мѣста жидкость должна подняться; и такъ какъ
это уравненіе не можетъ мгновенно распространиться по всей жидкости,
то на томъ мѣстѣ жидкость подымется въ видѣ вала надъ общимъ уров-
немъ. На томъ мѣстѣ, гдѣ жидкость первоначально была поднята и за-
тѣмъ опущена, она обладаетъ направленною внизъ скоростью; поэтому
9’
132
СЕМЬ ДЕСЯТЬ^'СЕДЬМАЯ
она не можетъ придти въ спокойное , состояніе въ общемъ уровнѣ, но
опустится болѣе, такъ какъ жидкость, на которую она упала, какъ бы
•рвЙДавУЙ5Йи"ЙбЙ|І^ГѢ'-ЙІЙСТаЯйаДбЙІ^’ р ІН'ЗЖВЯЬ В.НЭНС.’ ДОС-ріЭб-] оК<>]!?;).?
^іщСлѣДоватёлЩорчёреЗЪкороткОе врем'я.'л'йй томъ мѣстѣ;"Сдѣ жидкость
ПерйоначаЛьнОбЫла - всосана,11 образуется’’ оснОваніе-волйЫ;' ' й Вокругъ-' вер-
•Щййа'-йблйМ. Но атй верши на'ясиЛоіЩ'тяжёбтИ' ’тйН&Тсй іѣ№гёеІ вййвЪщ'от-
•чего 'вокругъ ё’я кнаружѣ лжидкосѣь; вОЗВышаётсЧ, ‘ДйЛьшеьёбргізуёТсйтвёр-
-ШинаивойнЫ;п а ітамъ,'-гдѣ]она; находилась, 'должно образоваться' основаніе.
ШСКо 'йоНяТ-ь,'' какъ-'Вслѣдствіе'такого' й'аруШён'ій1 'р'а'в'новѣсій" Отъ а'Дѣйётвія
•ѣйжёсти^ Вершины "И е-осйовашяЛ'-'волнЪ с до лЖйьі "распространиться по
ЖИДКОСТИ; НІІІ'З '. 'ГЯ .Г.ЧІ.ОЗ НI..Ті. д ЭО'ІІГЗб'] НГО'- ^и:-;-} > !‘тд :3 КУ.НЛ!?'
-/'ЩТо’-жё должно -Случиться 'е.слИ'лёрВбначальнБій-тОлчёкъ на"М-ѣётѣ-’' 66-
"разбванія волны I произошелъ не оТЪ'поднятія: Жидкости, а какимъ-нибудь
„другимъ 'йіособ'ёмъ;' । напримѣръ,о гвсйѣдсТвіе^ * брОшёгін'атб въ!СжиДК6сть
•йаімй'я;; ЗтО не Требуетъ дальИѣ'йщаСо обЪйёнёні'я. «а'-’-'’-:- :.:нона.,ігэ..<рг:г. ;
-іОѵ.’.'Изъ'вышеёйазаНйагр явствуетъ,"'] что о іѣёлЙооЬрйЗ'нёё Двй'Жёніё-’ 'Проис-
ходитъ вслѣдствіе гидростатическаго давленія столба жидкости, -Щр'йііод-
-нятаго -въ вершинѣ оводны и погружающагося отъ-тяжестй;-слѣдоййеыьно,
сеслй’ч устранить!) какимъщибудвж образомъ-1 гидростатическое даёлёйіё .‘~'въ
-томъ'мѣстѣ;-<гдѣ'щриподнята; жидкоогър'тО вОйноОбрВзндё’Сдвиженіе'йёрас-.
щростіранитсячдаиѣеіі .и -гт • ..нт ' - оэі.шк зі.пьз ояз:.?: з ,г'ін-іш!.:-
і-ьт Братья-Веберы доказали:Що весьма"просТьіМъ О[іытдМъІІ!йр ітакйМъ-дб-
. разомъ доказали сйраведййврсТь вШшёиЗложеннагд т'о'бъйснёнія. ;;Однй ::изъ
• боковыхъ стѣнокъ • Правильной - чётЫреуг6льнОй|!' '0Ъ:.обѣихъ ЖонДовѣ-' з‘а-
•йр^И'ойі, Дерёай’нйой!!Трубки-' была, 'і!ірбверчёнаІзттгійЪ,!:';чтб йо-'Ъёёй -ДлИнѣ
трубки, было нѣсколько другъ подлѣ -друга1 по ИряМой' іііййіи0 лежащихъ
•'отверстій. Въ одно изъ отверстій, ближайшее'' къ бдному :иЗъ-' Коіщевъ
^Трубки, была плоТро вставлена- стекляная Трубочка,' Пп'П&тоМъ:, всяДере-
вянная трубка- Наполнялась і рФутЬЮ; Затѣмъ вЪ сТё!клян-укі трубку ёбасы-
-вался ртутный, столбъ около 2,6'Щентим. й снова деревянная трубка на-
Шолнялась 'ртутью до тѣхъ поръ, пока, ртуТь' нё Выстайлялаёь пойуша-
рами изъ -всѣхъ отверстій. Вслѣдъ' за этиМъ; • подйятЫй 1 ёТолбЪ’ ртутй:опу-
'Скался, и. оказывалось, что: ртуть' вытекала только изЪ бЛйж'айшагб' къ ётё-
зкляіной трубкѣ отверстія; :въ дальнѣйшихъ же отверстіяхъ не 'замѣчалось
никакого движенія ртути. Такъ-какъ изъ ближайшаго Къ стеклянёй іѣрубкѣ
-отверстія ртуть вытекала въ то ъремя, какъ только образовывалась" вер-
- шина волныр то' 'увеличенное' гиДростатиЧеское' давлёніё’устранялоЬь- этимъ
истеченіемъ,.а съ- тѣмъ, вмѣстѣ-:устранялась и' причина'1 повышенія ^даіль-
ЛЕКЦІЯ. ,
133
нѣйшихъ1 частей, то тамъ не происходило і болѣе вершины; волны,, и ртуть
болѣе не вытекала. ' • • •
•. Когда же во всѣ отверстія были плотно: вставлены трубки и такимъ
образомъ истеченій не могло имѣть мѣста, то во всѣхъ стекляныхъ труб-
кахъ1 замѣчались постепенный; возвыііі’енія ртути; вершина волны распро-
странялась и; слѣдовавшія за возвышеніями : пониженія ртути показывали,
пто за вершиной волны слѣдовало ея основаніе; . ' ; :. е
І.Этотѣ опытъ показываетъ въ; то :же время справедливость нашего по-
ложенія, что уравненіе ; нарушеннаго гидростатическаго давленія совер-
шается не мгновенно во всей жидкости; потому; что если бы это'было,
то одновременно изъ всѣхъ отверстій вытекало бы одинаковое количество
ртути. Взвѣшиванія; вытекшей ртути показали, между тѣмъ, что изъ сте-
кляной трубки ближайшаго отверстія вытекало наибольшее количество
ртути-, а >;изт>/ дальнѣйшихъ .тѣмъ; меньше, чѣмъ они болѣе были удэдены
отъ первой ;стекляной ..трубки. Въ, трубкѣ было 9 отверстій; при подня-
тіи въ стекляную-трубку столба ртути около 1$ центим. ,-, она. вытекала изъ
первыхъ пятицртверстій; изъ, перваго вытекало 72 драима, изъ втррагр
52, изъ третьяго 26, иаъ четвертаго 12 и иаъ пятаго 0,5 граммъ
РТУТИ.*). , і; I. С / • 1. I .. і і ? Е/. г. 5; . . . а ; , - <
.। д)тотъ опытъ совершенно, подтверждаетъ, также предложенія вышеизлр-
женнаго объясненія .водяныхъ волнъ. .. г , . • .
Въ соотвѣтствіи съ ними находятся также выіпеописанныягявленія дви-
женія . отдѣльныхъ 'Частицъ жидкортц въ .волнахъ и движеніе волнъ. ,,
,Чтр,, касаеуся ( до кривыхъ путей частицъ 'жидкостей, .то частица «
,46),, въ то время, каръ первичный приподнятый въ А столбъ Жид-
кости опускается,— дрлжн.а быть отодвинута на- 46
право, ррирірдцэдц и двигаться цо направленію. . .
къ (3. Съ вершины волны она снова погру-. •• /-дХ
жается внизъ, удерживая еще свое стремящее-
н;, і. ;*'-»! К • •• «гньоя эні іііь-ото н еікващ
ся впередъ движеніе, и движится къ у. Придя
/ Нгі;піг с.іічн юн . і: і.і;-.-.;:::? ......
туда, она, вслѣдствіе при паденіи полученной скорости, погружается
.>:! я \і і е.А;;ші ; ѵ- :. ?: , . >
дальше и при этомъ движется налѣво, потому что въ это время влѣво
л . [-ію. і.ч;--: и. а /
отъ1 у находится основаніе волны, а слѣдовательно давленіе справа- на-
лѣво сильнѣе, такъ что, когда основаніе совсѣмъ пройдетъ, разсма-
н..ш п •. . н.: , . ір. л:: . Іі
триваема точка подвинится черезъ о къ а, или, какъ въ другихъ слу-
чаяхъ, не совершенно возвратится въ а.1 ‘ и/ь 7 ' Е 1 д
*) Е. Н. и УѴ. ѴѴеЪег. УѴеІІепіеЬге ;еіс. стрі 280 й слѣд' II і Л\ .
134
СЕМЬДЕСЯТЪ СЕДЬМАЯ
По этому способу объясненія, и скорость распространенія должна уве-
личиваться съ высотою волны, ибо такъ какъ движеніе въ продолженіе
одного колебанія частицы распространяется на длину волны, то при рав-
ныхъ длинахъ волнъ, скорость распространенія должна быть тѣмъ больше,
чѣмъ быстрѣе колеблется частица. Итакъ, чѣмъ больше движущая сила,
первый толчокъ, тѣмъ выше подымается частица, а чѣмъ она выше по-
дымется, тѣмъ больше ускорится ея движеніе отъ тяжести, а съ тѣмъ
вмѣстѣ и колебаніе и скорость распространенія станутъ быстрѣе. Для
волнъ, возбуждаемыхъ силою упругости, было другое; тамъ ускоряющая
сила была пропорціональна разстоянію движущейся точки отъ положенія
равновѣсія, стало быть, при большемъ разстояніи и скорость частицы уве-
личивалась въ томъ же отношеніи, какъ и разстояніе; продолжительности
же колебанія была постоянна.
При измѣненіи же продолжительности колебанія въ одномъ и томъ же
ряду точекъ, измѣнялась также и длина волны, между тѣмъ какъ уско-
ряющаяся сила была обратно пропорціональна квадрату длины волны, а
съ тѣмъ вмѣстѣ длина волны и продолжительность колебанія увеличива-
лись и уменьшались въ одномъ и томъ же отношеніи.
Здѣсь, гдѣ движущаяся сила происходитъ отъ взаимнаго дѣйствія
частицъ, это отношеніе не существуетъ; поэтому скорость распростра-
ненія зависитъ какъ отъ продолжительности колебанія, такъ и отъ
длины волнъ.
Что скорость распространенія зависитъ не отъ плотности жидкости,
слѣдуетъ также непосредственно, потому что если двигающая сила уве-
личивается, вслѣдствіе большаго вѣса поднятыхъ частицъ, то и двигаемая
масса увеличивается въ такомъ же точно отношеніи, при одинаковой вы-
сотѣ волнъ; ускореніе же, а также и скорость движимыхъ частицъ,
остается, поэтому, та же самая.
Перекрещиваніе и отраженіе волнъ *).—Явленія интерферен-
ціи, отраженія волнообразнаго движенія и образованія неподвижныхъ
(стоячихъ) волнъ, вслѣдствіе распространившихся и отраженныхъ волнъ,
могутъ быть прекрасно представлены помощью опытовъ обоихъ Веберовъ
надъ волнами жидкостей.
Явленія интерференціи показываются при возбужденіи волны одновре-
менно на обоихъ концахъ жолоба.
Е. Н. п Пг. ХѴейет. 'ѴѴ'еІІепІеЬге еіс стр. 212 п слѣд.
ЛЕКЦІЯ.
135
Въ серединѣ жолоба, обѣ идущія вершины соединяются въ одну но-
вую, имѣющую своею высотою почти сумму высотъ отдѣльныхъ вершинъ
волнъ, какъ этого требуетъ теорія интерференціи, по которой движеніе,
вслѣдствіе взаимодѣйствія многихъ частныхъ движеній, должно быть сум-
мою этихъ послѣднихъ. Поэтому, если волны встрѣчаются безъ разности
періодовъ, то должны образоваться вершина и основаніе вдвое ббльшія.
Какъ среднее изъ двѣнадцати измѣреній, братья Веберы нашли для вы-
соты равнодѣйствующей вершины волны 1,8 если высота обоихъ со-
ставляющихъ движеній была равна единицѣ; разность наблюдаемой и тео-
ретической высоты такъ мала, что этотъ опытъ можетъ быть принятъ, если
только это необходимо, за подтвержденіе закона интерференціи.
Если вершина и основаніе волны пройдутъ одно черезъ другое, то вы-
сота вершины, или глубина основанія, будетъ разностью этихъ обоихъ;
если же высота вершины равняется глубинѣ основанія, то поверхность
останется плоскою. Это бываетъ каждый разъ, какъ мы это сейчасъ уви-
димъ, при отраженіи волнъ.
Послѣ перекрещиванія, каждая волна идетъ ненарушимо далѣе; вер-
шины и основанія волнъ находятся въ такомъ положеніи другъ отъ друга,
какъ будто бы въ каждомъ изъ волненій не произошло никакой помѣхи.
Это наблюденіе есть доказательство второй части принципа, положеннаго
нами въ основаніе ученія объ интерференціи, того положенія, что если
изъ мѣста интерференціи движеніе сообщается точкамъ, принимающимъ
движеніе только одного изъ волненій, то движеніе этихъ тѣлъ совершается
такъ, какъ бы интерференціи и не существовало.
Движеніе частицъ жидкостей въ мѣстѣ интерференціи есть требуемое
самымъ закономъ интерференціи. Если обѣ волны двигаются къ противопо-
ложнымъ направленіямъ, то горизонтальное движеніе частицъ жидкости, при
волнахъ не имѣющихъ разности періодовъ, совершается потому же напра-
вленію, вертикальное же—по направленію противоположному. Поэтому,
горизонтальное движеніе должно прекратиться, вертикальное же удвоиться.
Это было подтверждено наблюденіемъ братьевъ Веберовъ. Оказалось,
что если они наблюдали перпендикулярно къ тому мѣсту, гдѣ находилась
оконечность равнодѣйствующей вершины, гдѣ, такимъ образомъ, движе-
ніе встрѣчалось совершенно безъ разности періодовъ, то тамъ частицы
двигались вверхъ и внизъ совершенно въ вертикальномъ направленіи.
Если волны встрѣчаются не совсѣмъ безъ разности періодовъ, то и
горизонтальное движеніе прекращается не совсѣмъ; братья Веберы видѣли
также, что въ сторонѣ отъ упомянутаго мѣста пути частицы были не
СЕМЬДЕСЯТЪ" СЕДЬМАЯ
1Ш
перпеПДИкулярйЫ''0"нд|/наклОннЫ"ІкЪ1 вёртИка.Шйому;ійаправ]іёШЮ"|Эй "тѣмъ'
болѣе , чѣмъ далѣе' переноёйлосБ'/наблюДеНіе/ отъ1'МѣстаОІполйаТОо'йерекрёВ'
ЩиваніЯволйъІ"™'1 011 (ПІрііэі|ЭФѵ|9тпіі ві<|оэт сгтоубоцт оіоте <гиви ,л’ін.оа
Хотя волйЫ"'на отбйькоШйеніаруіпйМб ‘йерёк'рёЩйѣйЮтей},1''‘"Ч>іЮ Дййжѳніё"
жидкости остается0'Тб;| йё!1 бамое1 вѣ0ѣажДёмѣ'0УолйѳніЩ"і'какъ ‘будто -бы/
перекрещиванія й"не0йроисходййО'"івёеитаки"(прй)іэтбмъ" бываетъ' Пёбодьи’
шая потеря Ійрёмёнй,.°'Ѳіпйты;братвѳѣъ;Вёбёроівъ'йОказа1ли,"'что въ,'тоіврёмя^і
когда1' одна'1 воянажроходилас'жблобъ'въ '2,'288і0Сейу®Дѣі7аей^Зона-не пёре"-
крещиѣаласБесЪ'другоюі'вІолноюр'прйі,перекрёЩйвайій"Двухъ.волнъ" ъолйа1,0
равной" величины 'Съ''йредъидущими;то'для,тйрбк0Ждейгя того-'же 'прострай^і
ства, употрёб'іійлй' врёМЯ' въ'2(4 сёкундцпатдоп ва .оиндохбоои ото ^иатот
-""ЭтО замедленіе-оба физика /представляли 'Сёбѣ-елѣдующимъ|о©бразомъ.
При' кенару шённомѣ-'Щрохождёній вожы'вшдѣ частицы двигаютсяі'поі'Круг'О-'-
образнымъ йли:І'эллййТйчё'скимъ"путямѣрчаотйцы 'остаются всегда въ-уско"'
рённомЪ ;ДвйжёнійрІІ'прй! перекрещиваній же'ейолнъ/тСгдѣ'о.горизонтальныя'
скорости прекращаются и частицы только двигаются вверхъіи-внизъ, вёр^
тикаЯьно; ' наступаетъІ'йремя; 'когда ' Движеніе1 частицъ возвращается 'назадъ,,
гдѣ, •?такййъг ббр'азоій!ъ;"оскброс:тві"егоітдѣ'лаетсякісовершенно!'іравною" нуиииц
Тблькб0''послѣі’;ёТдгО’' 'МоМёйіа, "частица,олбпускянсь./" -снова мпріобрѣтаетъ'
ускоренйоеР'двиЖёйіед-Отшода/ кажете я/я должно слѣдовать, что При переб
крещиваніи щвухъогравныхъ полвшцчирѣнволнъ, "пропадетъ '"столько вре*
мёни'рюколвк'ОЧёголПОтрвбновнаопотерю ускореннагондвиженія во время со-»
ёДйненія'іволнъ'Л'тПослѣ перекрещиванія"!частицы'і волны- палучаютъ"йхъ
прежнее ускореніе и тѣмъ.оеамымъгихъипрежнее -движеніе, ыо .гавя ,сгивт
'" 'Явленія отражёнія(|воднънобыкн0венно і встрѣчаютсяінчащеивсего'і/ при
перпендикулярномъ'' іударѣнволнѣр 'Оі'какУ'Оннибудь"-твердую стѣну.: "Такъ1
какъ жидкость Окбл0" стѣны"двйжется! (совершенно свободно:,-. то"отраженіе,
воднъ'отъ стѣны" должн0'іпроизойти ,'тдкъ іже,оіікацъг/отражѳніеэіволнъинаі
границѣ' 'двухъ системъ"точекърііизъ"которыхъ -вторая • менѣепплртна,"чѣмъ
первая, 'ѣ. е1.- приходящая' вершина'Г.воднын'.должнан'быть, отражена-жакъ
вершина/ 4а основаній ОТражаётсяі/і'въ-'ВИДѣшосновдні/патПоэтомуід явіёнія
ЭТИ- ОКОЛОІ'СТѢНЫ- ДОЛЖНЫ "происходить /0ЛѢДіуЮЩИМЪІ.образомъЛНО Ш.Э9 ОТР
По прошествіи ^);колебанія,,інепосредста₽нноаокбло.(стѣнкі должна:ва-о
ходиться половина вершины"волны-шсрединою прилежащая . кънстѣщбрівын
шина । ікоторо-й - .почти-' вдвое' Щолѣе‘ іпростой'іприходящей ііволнрція такъ - какъ,
она "состоитъ- рзъ 'первой [половинки .отраженной-івершцныі волны: и-втёрой
половины.[Приходящей веріпины ‘волнылвшвсраоцп оінужіпц. эонамлноЕыцот
ПІ Ні.иіГ) кЦНПОКР "!'(Щ "ТО.ѢМ. очступкмопу .гто ѣноцотэ ля ОТР .ѲЖЯ6Т
ВА1МЛЛЕКЦІЯЦЗ 3/,.11/139
т
і.імПоипрошествіио слѣдующей <колебйінія;і/:лслѣдующеец,зачгвершиыоюі
волнБінооно&айів! дошло доисгрны,) {щоовъ.О’д-жёС; время; первая«вершина;
отражена;! ужес|доверціенноі9 и «распространена;!;, на;э половину одлицщ вранъ;
отъ стѣнырі ровно она столь^орна; [сколько распространи етря;>>сдѣдурщееіза
вершиною! основаніешПоэтомуддвиженіеоу стѣнки эдолжнопрекратитьер^іиі
поверхносты'оводьі оюколоі.стѣны «должна іаотаться' плоскою >і.на; тціоловииу
длины волны. .нтутс] аі.эпвя ояш.оаогіті шп.эцг;т упш.ѳцѳэ бн атмто
і.сВъ» слѣдующуго^затѣмъичетверть/колебганія^ртраженнаяиверіпинагвойны
распространяетсярна«четверть длинъ® сролныннавадткр приходящееіоснованіе
волньгина столвкоиженвпередъ^нтакъ что» самоа» глубокое мѣсто юснованір!
волныі ндходитря йакрсразъ. около«стѣньккНо ;івъ/ .моментъ,ркогдаа прихоДя-»
щееюерованіе волны одостщлотдоустѣныи’і1распространяется;;!также д-іот»і
раженное /основаніе. волны;.; [такимътобразомъі,ірівъг.разшатриваемышонами1
моменту -'около < стѣны е находится; вторая; полови наі в іприхадящаію!. и «первая!
половина11 отражающагося;;осщваніяіволныргтамш'!должіна.!і находиться; іполо-і
вина основанія «волны, «глубиною вдвое; болѣрі іприходядцаго основаніярвлу«
бо^айшее мѣсто; котораго;! находится; ікакъі разъоколо «стѣны. .ѣэуяоФ «гноя
(‘іНаконец'рі, по прошествіи, послѣдней;четвертиі колебанія;, киносцованге':
волны совершенно уже оТражены-о вершинат волны удалиларвннаполовину;
длиныіволны іотъ стѣныіо.іВсятволна: отразиласысіи; движется аназадъ' по
'жидкосѣиі'вершиноюивпередъигвііяш.в ньн вдоі.ож тиш.і. вэтокнавц а'хырот
-то Такимъ;.образомъ,т вёршина іи.'основаніщводны. цомѣнялисьімѣстами от-;'
восительиот.стѣныі оіпреждеа «вершина; была;ібнижеінйъо стѣнѣ, в1 теперь;.же{
основаніерчзершииаі 'йі' основаніе!.волны, проходятъ другъ черезъ;'другаш оя
кэ> Это;' изображеніе; случая отраженія/ пвыведенноец.<на>ііосновіаніи < предъ-
идущаго, ;лучшейвсёгоііподтверждается наблюденіями;при опытахъ съіжр+;
лобами;н< измѣренія высотыгверщины'івволнвн ишплубины; основанія «около
стѣны)|'въ первый1'иптретійіі.'моментъофазсмотрѣнцдго.і шами .промежутка;
времени^.показалиѣчислаі’длянвышины(іт требуемыя теоріеюи ілВысота звер-
иійнвювъ) пѳрвыйііпромежутокъ.'разсмотрѣннагопнами.;временир'ігіря.прихо^
дящей волнѣ, высотою въ 6,2 миллимметра, была равна 10,35 миллима
метрамър тбоеьсболѣеіічѣмъкЗДвпрщсодящей волны.іжубеоя іяішл, і -дЭ
а 11 [ Движеніе частицъ жйдкостиркъи твердой.»। стѣнѣ о должно/асогласоватвОя
съ «движеніемъ:, частицъ ; жидкости «при .перекрещиваніи волнъ ;миіэто «было,
доказано,юпытами«братьевъ іВеберовъш .ііэтэгл' а-хчцт ат;п і’.щ.жі.іі .ыг/ср.
; ііі.іЕсли ; какая+аибудыволна;(прцходия’ъс®е( перпендикулярно къістѣнѣ, то
она доджна быть отброшена; тёкъ,, что лучъ;отраженной волны обрдзуетътсъ
перпендикуляромъ паденія уголъ, равныйіуплу.падающёйъо'лны (стр. 52-^59)
138
СЕМЬДЕСЯТЪ СЕДЬМАЯ
и это подтвердилось опытами. Именно изъ положенія слѣдуетъ, какъ мы
это уже говорила на стр. 52—59, что кругообразная волна, возбужденная въ
центрѣ кругообразнаго сосуда, при удареніи ея о кругообразную стѣну,
должна распространяться опять, какъ кругообразная волна, назадъ, къ
центру сосуда. Опытъ ясно зто показываетъ, если, напримѣръ, наполнить
тарелку ртутью и изъ бумажной воронки съ маленькою дырочкою выпу-
стить на середину тарелки нѣсколько капель ртути.
Если подобнымъ же образомъ выпустить капли ртути въ Фокусъ эл-
липтическаго сосуда, наполненнаго ртутью, то волны, кругообразно рас-
пространяющіяся изъ этого Фокуса, должны опуститься такъ, что онѣ
, сбѣгутся въ другомъ Фокусѣ сосуда, опять въ Формѣ кругообразныхъ
волнъ, такъ какъ радіусы векторы образуютъ равны? углы съ перпенди-
куляромъ паденія, на различныхъ мѣстахъ нормальной. Въ другомъ Фо-
кусѣ, соединенныя волны обусловливаютъ образованіе конусообразнаго
возвышенія, дающаго, вслѣдствіе своего опусканія, новую возвращаю-
щуюся систему волнъ, которыя въ свою очередь соединяются въ пер-
вомъ Фокусѣ, тамъ опять образуютъ новую систему волнъ и т. д. Эти
многократныя сбѣганія и разбѣганія волнъ легко видны на красиво кру-
жащейся поверхности жидкости при этомъ опытѣ.
Если въ жолобахъ вызывать мало-по-малу нѣсколько волнъ, длина ко-
торыхъ равняется длинѣ жолоба или аликватной его части, то, вслѣдствіе
интерференціи волнъ, распространяіощихся изъ мѣста возбужденія и от-
ражающихся отъ стѣны, должны образоваться неподвижныя (стоячія)
волны, которыхъ узлы колебанія должны лежать точно также, какъ и
узлы колебанія, свободнаго съ обоихъ концевъ и продольно колеблющагося
прута. Поэтому, если возбуждать волны, ровно двойной длины противъ
жолоба, то черезъ середину его всегда проходитъ въ одну сторону вер-
шина волны, а въ другую — основаніе волны; поэтому, въ серединѣ
долженъ образоваться всегда узелъ колебанія и каждая половина жо-
лоба колеблется взадъ и впередъ, какъ половина неподвижной (стоячей)
волны.
Если длина возбуждаемой волны равняется длинѣ жолоба, то видно
образованіе двухъ узловъ колебанія, которые оба отстоятъ на четверть
длины волны отъ стѣнокъ жолоба и наполовину длины волны другъ отъ
друга. Каждая изъ трехъ частей, на которыя распадается жидкость, по
своей длинѣ, колеблется самостоятельно, какъ неподвижная (стоячая)
волна, длиною вполовину длины жолоба. У стѣнокъ находятся средины
обѣихъ волнъ — тахішит колебанія.
'ЛЕКЦІЯ. / 139
Такимъ способомъ, какъ это показали братья Веберы, можно легко
получить 3, 4 и болѣе узловъ колебанія, а вмѣстѣ съ этимъ и легко
видимое опытное доказательство прежде высказаннаго положенія объ
образованіи неподвижныхъ (стоячихъ) волнъ, вслѣдствіе интерферен-
ціи двухъ въ противоположныхъ направленіяхъ распространяющихся си-
стемъ волнъ.
1.1Ь?Ц> ВіХІЛѵР*
Ніи ‘пілхт вг иЬоіывоно-іожііріхі’ нэііЬэвчѳнімхг ЬддліЬосхЬуннюігГнхси сн-
с^Ьэзовэнін ныіотви:і!шчх.і> (сіонаихл’) во-шг* вс'і.р7слвіе ннюЬфьЬѳн-
уігипіоб онриноо Ѵокэззіечрсхво иЬеж/іѳ вріскдзэннэьо иоюжѳнін ов-р
лоі/.ннір у -ф н соіі.рь лзновр кочеваніи* 9 вя^сіг* с^> э.інуц> н 'іеько
Х9ИІІ7ЦР СІЮСОвОИЦР* КІЛ’.Р ЭЮ НОК939ЧН вЬяіРИ ДбОбЬі'І* ЛОЖНО Ч61К0
1ЕЕІІІН- ‘ ХЭЭ
АКУСТИКА.
СЕМЬДЕСЯТЪ ОСЬМАЯ ЛЕКЦІЯ.
О числовомъ измѣреніи звуковъ.
Измѣреніе числа колебаній. — Сирена. — Зубчатое колесо. — Гра-
фическій методъ. — Монохордъ. — Музыкальные аккорды. — У нис-
санъ. — Гармоническіе аккорды. — Сложные аккорды. — Гамма. —
Діезы и бемоли. — Модифицированіе. — Абсолютное число колебаній
тоновъ. — Камертонъ. — Предѣлы воспринимаемыхъ ухомъ звуковъ.
Звукомъ называется впечатлѣніе, воспринимаемое ухомъ. Акустика
есть наука, занимающаяся сравненіемъ, произведеніемъ, распростране-
ніемъ и собираніемъ звуковъ.
Первоначальное происхожденіе всѣхъ звуковъ есть рядъ поперемѣн-
ныхъ движеній; но каковы бы они ни были, они должны производиться
черезъ равные и весьма близкіе интервалы времени частицами твердагр,
жидкаго или газообразнаго тѣла. Это мы покажемъ на нѣсколькихъ при-
мѣрахъ.
Натянутая и укрѣпленная съ обѣихъ концовъ струна; прутъ, сжатый
тисками; упругая пластинка, укрѣпленная въ нѣкоторыхъ мѣстахъ,—про-
изводятъ звуки, если ихъ по укрѣпленіи въ положеніи равновѣсіи предо-
ставить самимъ себѣ. Тогда онѣ совершаютъ періодическія движенія,
опредѣляемыя ихъ упругостію. Эти движенія усматриваются или изъ на-
блюденія двойнаго контура, такъ какъ глазъ замѣчаетъ одновременно оба
крайнія принимаемыя ихъ тѣлами положенія, или изъ наблюденія за тол-
чками, которыя передаются лоскуткамъ бумаги, насаженнымъ на струны
или прутья, либо песчинкамъ, насыпаннымъ на пластинки. Если по
краю повѣшеннаго колокола провести смычкомъ, то онъ станетъ періодично
ударять объ острее, находящееся въ недальнемъ разстояніи отъ его на-
ружной поверхности (рис. 47); происходящій звукъ передаетъ также
весьма замѣтные толчки шарику, положенному внутри колокола (рис. 48).
144
СЕМЬДЕСЯТЪ ОСЬМАЯ
Въ этихъ различныхъ примѣрахъ, число которыхъ, если бы требова-
лось, легко было бы увеличить, періодическія движенія звучащихъ тѣлъ
опредѣляются ихъ упругостью; но можно также произвести звукъ меха-
ническими дѣйствіями, повторяемыми черезъ весьма малыя промежутки
времени; напр., если карту приложить къ окружности движущагося зуб-
чатаго колеса и она будетъ то опускаться, то подыматься, смотря по-
тому, прохр^ЩйЗад’ь ІММйуЮ стрУю газа
Рис. 47. Рис. 48.
.а'иол^аЕ иінад^ксіі лткономш5 О
-эммЧ
ШМй’ЬэкОІ
6ІЕ
.«МЕщадО — '.««июбэ&оі
•о» — .бЬ^оъокоМ. —
•—- .мѴцууом эглэ;
-- .оН
□М96
эму
КМѴОКЙОЭО
вянтзуя/. .лмох
-ѳнБдтэодпэг.д (<гм
.влуіз атээ
ЧБіИаЕБп
жэнѵ эшэсукм.ѵЛА.
.бЬо МѴЛЭЭРШ^
• 8М0Э
8ООМО4ГС
,9Ін<Гктбрѳпя в
і/іэінэнабдэ вэкецоіеиннбе
<ГМ9ІН6С]иЭ0Э Н <ГМѲІН
9Онаг.бРбнонд9П
ея бн ;йінэжынд <гхіан
бмаээа'п зынаед «геэдэр
оіБнавдЭооЕБ'г ныі о'тбиднж
а
- на’модоміі—.ітііі
вэатндоя
,о,тбьц9ят пмлднтэбР ннэиэдя ыьбадотнщ ѳіяе
-нщі «гхгіял.ояоѣн бн <гмэжблоп ым отб .бі.ат
или жидкости направить на движущійся пробуравленный кружокгь,п<такъ
іінго-.;с.труіягуа[а прохрдитъядаяБше^хнйз&спрерывавтеія/а’^л'и неаииуввртііъ въ
.<гао;
:эінэд;і
но ы
-в^ад-у^ѣ/каное^аибудіыаесимжтричвокаб'сршо, гинттэді/іикітіудоу- ршблонт
-о^эрЗвуки'Гироизврдятсявтакж^движеніяМйіі'ііОВйдййОму^йеі/рёр'Ывййгмщячто
.случается виогдап.етруя гаваоіуирріяѳто'йно пра'ИЙ, к^КЪ-1 вѣиобййновеииоійъ
свисткѣ іп. іН» э въг, эігомъч 'случаѣ' потру я; '{іа здѣлщиед1 йй -ДВѢ, в М8Ѣ» ііКб'ТорЬіхъ
г.бднанвходитънвъ свистовъ^. -а<:гдрутя ухтодитъЕ'>ВѢ'|а,гМос'Феруі;?іііі0рвіаіЯотоТ-
-ічасъ;г,сжимдеііъиетолб(ь внутриновиотна иахоДйщагібсйі<айздуха;!'(5лижаЙЩб'го
мкп/іррани; втотъі'стоабъ,, івоиѣдствіе'. свіоейнупрурбстр^нпр'ОТЩі'И'тся новому
овходуіг(газаа до г тѣхъ паръ; !/', покаппеі /.передаетъ нісаобщеннаго і’е'муПдавленія
осяѣдум)щимів-9€ілоямьио Итакъщавъщвиженіи'ргазаіЯ'Ту'і’Ъоеоть'эіібріоДіийё'еЩе
перерывы/,) кошорые./иі убуславлившотъ ілройокоадшіейздуйй. <гбо дтвдбі.у
би:?ібіГанъ'9кан^ і8вукъѵпройврсди(гЕЯ(«и]ФстеНеііным^) сатряоейійййп какдав-ед-
.(будьэтѣ.іа;;г.'то (очевцдноуі чтоіюнъомодаетъіицередаваться уху -йгрй ПбйоЩи
ЛЕКЦІЯ.
145
упругой среды, способной передавать движеніе дальше и дальше. Обык-
новенно такой посредствующей средой служитъ воздухъ. Это легко
показать, если повѣсить на шелковой или льняной ниткѣ въ шарѣ,
изъ котораго вытянутъ воздухъ, колокольчикъ и заставить его зве-
нѣть, двигая аппаратъ. Изъ пустаго шара звукъ не доходитъ; но стоитъ
только возстановить сообщеніе между звучащимъ тѣломъ и ухомъ, и
звукъ слышенъ Для этого надо или впустить въ шаръ воздухъ, или
наполнить его какой-нибудь жидкостью, или просто привѣсить колоколь-
чикъ на упругой проволкѣ, которая бы непрерывно достигала уха.
Итакъ, твердыя, жидкія и газообразныя тѣла имѣютъ свойство пере-
давать звукъ; это объясняется тѣмъ, что каждое движеніе звучащаго
тѣла обусловливаетъ чередующіяся сгущенія и разрѣженія, которыя рас-
пространяются дальше и дальше. Обыкновенно называютъ простымъ
колебаніемъ всякое движеніе въ одну сторону, сжимающее или разрѣжаю-
щее воздухъ, и двойнымъ движеніе взадъ и впередъ, обусловливающее
поперемѣнныя сжатія и разрѣженія.
Качество звука. — Впечатлѣнія, воспринимаемыя ухомъ, разнятся
до безконечности.
1. Нѣкоторыя изъ нихъ рѣзки и, такъ сказать, мгновенны; такія обык-
новенно называются шумомъ; другія — продолжительны и мелодичны: это
музыкальные звуки. Шумъ отличается отъ звука единственно тѣмъ, что
его продолжительность короче, и Саваръ показалъ, что между различными
родами шума есть такія же отношенія въ высокости тона, какъ и между
музыкальными нотами. Изъ многихъ опытовъ мы избираемъ слѣдующій,
по его очевидности. Берется семь пластинокъ изъ твердаго дерева, оди-
наковой толщины и ширины, но длина которыхъ возрастаетъ соотвѣт-
ственно закону, который мы изложимъ ниже. Если бросить одну изъ нихъ
на полъ, то она издаетъ шумъ, повидимому, неимѣющій никакого музы-
кальнаго характера; но если бросать ихъ одна за другой, по ихъ возра
стающей длинѣ, то получаются ноты гаммы. Разсказываютъ, что Пиѳагоръ
случайно наблюдалъ четыре молота различной и опредѣленной величины,
которые при ударѣ о наковальню издавали совершенный аккордъ.
2. Звуковъ, издаваемыхъ различными музыкальными инструментами,
даже когда они въ унисонѣ, нельзя смѣшать. Они различаются между
собою особымъ качествомъ, которое называется тембромъ; ухо ясно это
слышитъ, но причина тембра мало извѣстна. По всей вѣроятности, тембръ
долженъ измѣняться, когда нѣсколько колебаній различной періодичности
происходятъ одновременно. Онъ долженъ также разниться при измѣне-
Физикд. IV. 10
146
СЕМЬДЕСЯТЪ ОСЬМАЯ
ніи самыхъ законовъ колебанія. Напр., два колеса, имѣющія равное чибло
зубцовъ и общее движеніе, ери ударѣ о карту, издаютъ звуки одинако-
вой высоты, но различнаго тембра, если отношеніе зубцовъ къ отдѣляю-
щимъ ихъ пустотамъ не равно, т. е. если сжатія и разрѣженія, пере-
даваемыя воздуху, продолжаются не 'одно и то же время.
3. По мѣрѣ приближенія или удаленія отъ звучащаго тѣла, звукъ,
воспринимаемый ухомъ, болѣе или менѣе силенъ. Тогда говорятъ, что
звукъ имѣетъ ббльшее или мёньшее напряженіе (густоту). При одинако-
выхъ условіяхъ, напряженность пропорціональна силѣ, производящей дви-
женія, передаваемыя уху.
4. Наконецъ, есть еще четвертое качество звука; это его музыкаль-
ная высота. Такъ какъ всѣ опыты доказали, что нота тѣмъ выше, чѣмъ
быстрѣе производящія ея колебанія,—то для оцѣнки высоты звуковъ Мы
должны измѣрить число колебаній, производимыхъ даннымъ звучащимъ
тѣломъ въ единицу времени. Измѣренія эти производятся при помощи
аппаратовъ, описаніемъ которыхъ мы теперь и займемся.
Измѣреніе числа колебаній.
Сирена. — Сирена, изобрѣетнная г. Каньяръ де-Латуръ, изображена
на рис. 49) Цилиндрическій барабанъ КВВ, въ который воздухъ вду-
Рис. 49.
и
Рис. 51.
агатами
вается черезъ трубу К, сверху закрытъ плоскимъ кругомъ, на окруж-
ности котораго проверчено нѣсколько дыръ на равномъ одна отъ другой
разстояніи. Положимъ, что ихъ 8. Сверху этого кружка и очень близко
отъ него, находится другой металлическій кругъ СЕ, движущійся около
вертикальной оси АЕ; въ немъ также 8 дыръ, которыя могутъ по вре-
менамъ совпадать съ отверстіями нижняго круга, и такимъ образомъ про-
ЛЕКЦІЯ.
147
пускать или останавливать струю воздуха. Если верхній кругъ движется
быстро, то онъ поперемѣнно въ продолженіе одного обращенія, 8 разъ от-
крываетъ и закрываетъ отверстія, и вслѣдствіе этого наружный воздухъ
получаетъ 8 толчковъ, отдѣляемыхъ другъ отъ друга 8-ю промежутками.
Итакъ, во время одного обращенія происходитъ 8 двойныхъ и 16
простыхъ колебаній.
Но чтобы подвижная пластинка приводилась въ движеніе импульсами
струи самаго воздуха, постоянныя и подвижныя отверстія пробуравлены
наискось, первыя слѣва направо, а вторыя справа налѣво {рис. 50).
Такимъ образомъ, струя воздуха, принужденная внезапно измѣнить свое
направленіе, производитъ на верхнюю пластинку импульсъ по касатель-
ной, вслѣдствіе чего она движется съ большей или мёньшей скоростью,
смотря по силѣ давленія воздуха въ барабанѣ.
Если трубку В соединить при посредствѣ крана съ раздувательнымъ
мѣхомъ, то аппаратъ начинаетъ вертѣться съ увеличивающеюся скоростью
и происходитъ звукъ, сперва весьма низкій, который дѣлается все выше
и выше и наконецъ становится неуловимымъ для уха при слишкомъ бы-
стрыхъ колебаніяхъ. Управляя краномъ, можно поддержать происходящій
звукъ на постоянной высотѣ, и такъ какъ во время одного обращенія
происходитъ 16 колебаній, то стоитъ только сосчитать число обращеній
въ секунду для полученія числа колебаній въ продолженіе этого времени.
Для этой цѣли ось АЕ въ верхней части снабжена безконечнымъ
винтомъ; онъ зацѣпляетъ за зубцы колеса Сг и двигаетъ его на одинъ
зубецъ при полномъ оборотѣ; движенія колеса обнаруживаются подвиж-
ной стрѣлкой на внѣшнемъ циферблатѣ {рис. 51). Положимъ, что число
зубцовъ колеса и дѣленій циферблата равно 100; то тогда каждое дѣле-
ніе соотвѣтствуетъ 16 колебаніямъ, а полный кругъ циферблата 16 X 100
колебаніямъ. Когда колесо Сг совершитъ полный оборотъ, то одинъ изъ
его зубцовъ, болѣе длинный, зацѣпляетъ за зубецъ другаго колеса ЕН,
движенія котораго обнаруживаются соотвѣтствующею ему стрѣлкой. Слѣ-
довательно, если въ извѣстное время Т, вторая стрѣлка, прошла п дѣленій,
а первая п', то число колебаній будетъ равно п'Х 100 X 16 Н п’ X 16.
Наконецъ, вся эта система колесъ устроена такимъ образомъ, что ее
можно подвигать изъ стороны въ сторону и такимъ образомъ приближать
колесо Сг къ безконечному винту, или удалять отъ онаго. Поэтому, для
произведенія измѣренія, сначала при помощи крана звукъ возвышаютъ
до желаемой высоты, и когда онъ получится, заводятъ сирену, т. е. про-
водятъ колесо Сг въ сообщеніе съ безконечнымъ винтомъ, и въ то же
10*
814
СЕМЬДЕСЯТЪ ОСЬМАЯ
время пускаютъ въ ходъ секундныя часы; затѣмъ, по истеченіи достаточ-
наго времени, отводятъ колесо отъ винта и останавлив'аютъ секундныя
часы. При этомъ одновременно получается число колебаній и время.
Зубчатое колесо. — Саваръ пробовалъ замѣнить сирену зубчатымъ
колесомъ, которое онъ приводилъ въ движеніе при помощи ремня, обви-
вавшагося около, маховаго колеса съ ручкой (рис. 52). Карта, или
Рис. 52.
клинообразная пластинка изъ
легкаго дерева, приложенная къ
ободу колеса, производила столь-
ко двойныхъ колебаній въ одинъ
оборотъ, сколько зубцовъ на ко-
лесѣ; число колебаній измѣря-
лось тѣмъ же приборомъ, что
въ сиренѣ; но по причинѣ
огромной массы подставокъ, труд-
ности получить правильное дви-
женіе и плохаго качества про-
изводимыхъ звуковъ, этотъ приборъ неудобенъ, дорого стоитъ и мало
годенъ для предназначеннаго употребленія.
Графическій способъ. — Дюгамель изобрѣлъ общій способъ, болѣе
Рис. 53.
простой, и состоящій въ
томъ, что звучащее тѣло
намѣчаетъ само претерпѣ-
ваемыя имъ колебанія. Для
этого къ поверхности зву-
чащаго тѣла приклеивается
небольшая металлическая
проволока В (рис. 53),
упирающаяся свободнымъ
концемъ о стекляный, по-
крытый сажею цилиндръ,
держащійся на безконеч-
номъ винтѣ АВ. Если за-
ставить вертѣться цилиндръ
въ то время, когда тѣло
не звучитъ, то конецъ про-
волоки снимаетъ сажу и весьма тонко описываетъ правильный винтъ;
напротивъ, когда тѣло звучитъ, описанный винтъ точно начерченъ дрожа-
ЛЕКЦІЯ.
194
щею рукою, и каждая извилина будетъ соотвѣтствовать колебанію; число
извилинъ покажетъ число колебаній, произведенныхъ въ продолженіе опыта.
Не слѣдуетъ поддерживать колебанія помощію смычка, потому что
каждый ударъ его произведетъ возмущеніе колебаній, вслѣдствіе чего
прервется извилистая кри-
вая линія; пусть колебанія
продолжаются сами собою,
вслѣдствіе упругости, до
тѣхъ поръ, пока она ста-
нетъ незамѣтна; такъ какъ
онѣ быстро прекращаются,
то опытъ не всегда можетъ
быть продолженъ достаточ-
ное время. Но этотъ спо-
собъ вполнѣ превосходенъ,
если требуется опредѣлить
отношеніе чиселъ колеба-
ній, производимыхъ звуча-
щимъ тѣломъ и камерто-
номъ. Тогда камертонъ и
звучащее тѣло располага-
ютъ одинъ надъ другимъ
противъ одного и того же
цилиндра; каждый изъ нихъ
чертитъ кривую линію, и
Рис. 54.
извилинъ между двумя производящими ци-
стбитъ только счесть число
линдра. Если оно будетъ равно п для одной
кривой и п' для другой,
то искомое отношеніе будетъ —То же
самое Вертгеймъ опредѣлялъ при
помощи слѣдующаго прибора {рис. 54).
Стекляный цилиндръ замѣняется покрытымъ сажей бронзовымъ коле-
сомъ В, обращающимся около вертикальной оси № при помощи часоваго
механизма, скрытаго въ ящикѣ Т. Напротивъ колеса В находятся:
1) струна ЕЕ, или прутъ, или другое какое звучащее тѣло, прилично
установленное и колебанія котораго требуется измѣрить; 2) нормальный
камертонъ В (дающій тонъ а), производящій 435 простыхъ колебаній
въ секунду. И къ струнѣ и къ камертону приклеено по очень тонкому
металлическому острію; каждое начерчиваетъ соотвѣтствующія колебанія
150
СЕМЬДЕСЯТЪ ОСЬМАЯ
но эти острія находятся въ опредѣленномъ разстояніи отъ колеса, и для-
того, чтобы они могли касаться его и снимать сажу, надобно колеса при-
близить при началѣ опыта.
На этотъ случай есть педаль А, которая движетъ колесо и всѣ его-
подставки вокругъ горизонтальной оси, и это движеніе приводитъ ободъ
колеса въ соприкосновеніе съ обоими остріями. Въ то же время движе-
ніе этой педали опускаетъ рычагъ В(^С, конецъ котораго С раздвигаетъ
вилку камертона и приводитъ его, такимъ образомъ, въ колебательное со-
стояніе. Для произведенія опыта сперва приводятъ въ движеніе колесо В;
когда оно приметъ однообразное движеніе, приводятъ въ колебаніе стру-
ну ЕЕ, затѣмъ придавливаютъ педаль въ продолженіе времени, нѣсколько
короче, какое требуется для одного оборота колеса. Тогда камертонъ на-
чинаетъ колебаться и въ то же время колесо приходитъ въ соприкосно-
веніе съ обоими остріями, рисующими двѣ извилистыя линіи. При по-
мощи лупы Ь можно сосчитать, что п колебаній струны соотвѣтствуютъ
п' колебаній камертона; а такъ какъ послѣдній совершаетъ 435 колеба-
ній въ секунду, то число ихъ для струны будетъ равно 435 въ-
секунду.
Монохордъ. — Другой способъ опредѣлить число колебаній для то-
новъ основывается на примѣненіи законовъ упругости, которые позво-
ляютъ, какъ мы видѣли въ предъидущемъ отдѣлѣ, вычислить число ко-
лебаній даннаго тѣла изъ его свойствъ. Онъ особенно удобенъ для срав-
ненія числа колебаній различныхъ тоновъ; мы увидимъ, что по числу ко-
лебаній даннаго тона можно вычислить числа всѣхъ другихъ, и потому
почти всегда этотъ способъ употребляется для опредѣленія числа колеба-
ній тоновъ.
Употребительнѣйшій, основанный, на этомъ способѣ пріемъ, есть опре-
Рис. 55.
дѣленіе чиселъ колебаній, помощью монохорда, т. е. струны, натянутой
на ящикѣ изъ сухаго дерева (рис. 55). Струна при а укрѣплена по-
ЛЕКЦІЯ.
151
мощью винта; для сообщенія струнѣ точно опредѣленной длины для дан-
наго изысканія, она покоится на двухъ острыхъ кобылкахъ 88' и затѣмъ
идетъ черезъ блокъ В, который долженъ обращаться въ своей распоркѣ
съ наименьшимъ треніемъ.
Къ свободному концу струны прикрѣпленъ крючекъ 1і, на который
можно привѣшивать различныя тяжести. Разстояніе 88' между обѣими
кобылками раздѣлено на 1,000 равныхъ частей; установивъ на извѣст-
номъ мѣстѣ подвижную кобылку, можно заставить дрожать какой угодно
кусокъ струны.
Чтобы опредѣлить число колебаній какого-нибудь тона, надо сперва
настроить въ этомь тонѣ монохордъ по камертону или какому-нибудь дру-
гому инструменту; для этого надо измѣнять привѣшиваемую тяжесть или
длину струны до тѣхъ поръ, пока при простомъ ударѣ или треніи смыч-
комъ, струна будетъ точно издавать тонъ камертона.
Изъ опредѣленной длины струны, привѣшенной тяжести и вѣса еди-
ницы длины струны мы получимъ — если не надо принимать въ разсчетъ
жосткости струны — число колебаній по выведенной нами въ предъиду-
щемъ отдѣлѣ Формулѣ >
21 Ѵ д .
гдѣ I обозначаетъ длину струны, Р привѣшенную тяжесть, д поперечный
разрѣзъ и 5 абсолютный вѣсъ струны, а слѣдовательно д . 8 вѣсъ еди-
ницы длины струны.
Чаще для монохорда употребляются металлическія струны, ибо ихъ
можно правильнѣе выдѣлать, чѣмъ другія, а также потому, что при оди-
наковомъ напряженіи они не столь легко подвергаются измѣненіямъ,
вслѣдствіе ббльшей или мёньшей влажности воздуха. Если такая струна
не очень тонка и совершенно гибка, какъ напр., стальныя, употребляемыя
для Фортепіано, струны, — то при исчисленіи числа колебаній надобно
употреблять полную Формулу Зэбека, гдѣ принята въ разсчетъ жосткость
струнъ.
Другой способъ, предложенный Шейблеромъ *) для опытнаго опредѣ-
ленія при помощи монохорда абсолютнаго числа колебаній даннаго тона,
мы разсмотримъ въ слѣдующей лекціи.
*) ПеЬег 8сІіегЫет'& Ѵегяисііе. НоеЬег іп'Ро^ешІ. Апп. В(і. 32 и въ Воѵез Керег
іогіиід, В(і. III.
152
СЕМЬДЕСЯТЪ ОСЬМАЯ
Музыкальные аккорды.
Простые аккорды. — Мы видѣли.выше, что звуки, издаваемые раз-
личными инструментами, могутъ быть одинаковой высоты, не смотря на
различіе въ тембрѣ. Тогда говорятъ, что они въ унисонѣ. Возьмемъ для
примѣра ноту обыкновеннаго камертона; она можетъ быть произведена
сиреною или зубчатымъ колесомъ, если имъ сообщить опредѣленную ско-
рость, или струнами, прутами и упругими пластинками соотвѣтствующихъ
размѣровъ; и можно измѣрить счетными приборами или графическимъ спо-
собомъ число колебаній, производимыхъ въ секунду всѣми этими тѣлами,
издающими ноты въ унисонъ. Изъ опытовъ извѣстно, что всѣ эти числа
равны, и отсюда выводится слѣдующій основной законъ акустики:
Всѣ звуки одинаковой высоты, каково бы ни было издающее ихъ
звучащее тѣло, соотвѣтствуютъ равнымъ числамъ колебаній, и обратно.
Отсюда слѣдуетъ, что данная нота опредѣляется числомъ п соотвѣт-
ствующихъ ей колебаній и можетъ обозначаться этимъ числомъ.
Если сразу произвести два звука различной высоты, то ихъ совмѣст-
ное звучаніе производитъ на наше ухо пріятное или непріятное впеча-
тлѣніе. Въ первомъ случаѣ, два звука образуютъ созвучный аккордъ или
созвучіе, во второмъ—диссонансъ или какаФонію.
Существуетъ значительное число различныхъ между собою аккордовъ;,
ухо имѣетъ способность ихъ различать, сравнивать и классифицировать.
Акустика должна отыскать, какія отношенія должны существовать между
числами колебаній двухъ нотъ при произведеніи того или другаго аккорда.
Мы изложимъ результаты опытовъ для этого произведенныхъ.
Возьмемъ для примѣра двѣ ноты, образующія извѣстный и легко схва-
тываемый аккордъ, е и с естественной гаммы; ухо показываетъ намъ, во-
первыхъ, что этотъ аккордъ съ тѣмъ же относительнымъ характеромъ
можетъ существовать между двумя или очень высокими, или очень низ-
кими нотами, и что, слѣдовательно, онъ независимъ отъ абсолютнаго числа
колебаній. Во-вторыхъ, измѣренія показываютъ, что всякій разъ, когда
осуществляется этотъ аккордъ, числа колебаній находятся въ постоянномъ
отношеніи, равномъ 5/4 и обратно, что этотъ аккордъ замѣчается ухомъ
всегда, когда это отношеніе равно 5/4. Обобщая этотъ примѣръ, можно
утвердить второй акустическій законъ, столь же важный, какъ и первый:
Всякій музыкальный аккордъ между двумя нотами опредѣленъ и
можетъ бытъ выраженъ отношеніемъ двухъ чиселъ колебаній.
ЛЕКЦІЯ.
153
Когда отношеніе равно единицѣ, ноты въ унисонѣ; съ увеличеніемъ
его, они все болѣе и болѣе разнятся въ высотѣ. Ихъ музыкальный ин-
тервалъ не зависитъ отъ абсолютнаго числа колебаній, но единственно
отъ ихъ отношенія.
Теперь намъ остается отыскать значенія отношенія опредѣляющія
созвучные аккорды. Для этого мы изучимъ музыкальные интервалы, кото-
рые признаны изъ опыта за пріятнѣйшіе для уха, т. е.: октаву, квинту,
кварту, большую и малую терцію. Найдено, что
п
равняется
для октавы.............2/1;
» квинты.............3/2,
» кварты.............У3,
» большой терціи . . 5/4,
» малой терціи . . . 6/5.
Обобщая эти результаты, выводимъ слѣдующій третій законъ:
Если заставить одновременно звучать двѣ ноты, выражаемыя
двумя членами естественнаго ряда чиселъ 1, 2, 3, 4, 5, 6...., то
образующійся аккордъ будетъ тѣмъ созвучнѣе, чѣмъ проще отношеніе
между этими числами, и онъ будетъ переходить въ диссонансъ, тѣмъ
болѣе непріятный, чѣмъ оно сложнѣе.
Ноты 1, 2, 3, 4...., разсматриваемыя относительно, называются въ
музыкѣ рядомъ гармоническихъ нотъ. Онѣ не только образуютъ созвуч-
ные аккорды, но имѣютъ, кромѣ того, особенное свойство, которое позво-
ляетъ до нѣкоторой степени объяснить ихъ Физіологическое дѣйствіе; онѣ
производятся одновременно ббльшею частію звучащихъ тѣлъ и ясно раз-
личаются при звучаніи колоколовъ и тамъ-тамовъ. Такъ какъ эти тѣла
обнаруживаютъ колебательное движеніе, производящее одновременно эти
различныя гармоническія ноты, то и ухо, въ которомъ есть натянутая
перепонка, барабанъ, весьма вѣроятно, должно также одновременно полу-
чать и отдавать рядъ звуковъ 1, 2, 3...., между тѣмъ какъ оно можетъ
испытывать непріятныя ощущенія при одновременномъ звучаніи нотъ, не
слѣдующихъ этому закону. Объясняетъ ли это замѣчаніе созвучія или
нѣтъ, оно тѣмъ не менѣе устанавливаетъ любопытную аналогію между
гармоническими нотами, схватываемыми ухомъ и тѣми, которыя одновре-
менно производятся упругими тѣлами.
Значеніе
пі
для сексты будетъ. . . 5/3.
154
СЕМЬДЕСЯТЪ ОСЬМАЯ
Сравнивъ это отношеніе и вышенаписанныя, мы увидимъ, что октава
дѣлаетъ два колебанія въ то время, когда основной тонъ дѣлаетъ одно;
секста пять, когда основной тонъ 3 или 3/3, когда основной тонъ совер-
шаетъ одно колебаніе. Выше было замѣчено, что чѣмъ проще отношеніе
тѣмъ аккордъ совершеннѣе; отношенія секунды % и еще болѣе малой
секунды 16/13 считаются за диссонансы.
Сложные аккорды. — Теперь легко предвидѣть, что три, четыре
и т. д. ноты, числа колебаній которыхъ находятся въ простомъ отношеніи,
и которыя, взятыя по двѣ, производятъ гармоническое впечатлѣніе, должны,
если ихъ заставить звучать одновременно, произвести сложный созвучный
аккордъ. И это, дѣйствительно, происходитъ. Между примѣрами, которые
можно бы привести, самые замѣчательные образуются звуками 4, 5, 6
или 10, 12, 15. Три первые, при попарномъ сравненіи, даютъ отношенія
3Д, ®/3, 3/а и обусловливаютъ соединеніемъ, этихъ трехъ созвучныхъ ин-
терваловъ, такъ называемый совершенный мажорный аккордъ. Три дру-
гія ноты 10, 12, 15, представляющія отношенія %, 3/4, 3/2 и отличаю-
щіяся отъ предъидущихъ единственно порядкомъ двухъ первыхъ интер-
валовъ, образуютъ совершенный минорный аккордъ. Названія этихъ трой-
ныхъ аккордовъ показываютъ, какъ впечатлѣніе, производимое ими, пріятно
для слуха. Умножая предъидущія ноты на 2, 3, 4 и т. д. и располагая
полученныя произведенія по величинѣ, получимъ рядъ совершенныхъ
аккордовъ, мажорныхъ и минорныхъ, всѣ ноты которыхъ, взятыя по двѣ,
созвучны:
4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18,.....
10, 12, 15, 20, 24, 30, 36, 45,.....
Гамма.—Теперь мы узнали условіе, которому должны удовлетворять
два или нѣсколько звуковъ, чтобы ихъ одновременное звучаніе произво-
дило аккорды. Ясно, что музыка, принужденная подчинять свои комбина-
ціи этимъ гармоническимъ законамъ подъ страхомъ проступиться противъ
своей цѣли, должна была принять рядъ звуковъ, который позволялъ бы
осуществлять всѣ созвучные интервалы. Этотъ рядъ называется гаммою;
онъ состоитъ изъ семи нотъ, названія которыхъ и числа колебаній, срав-
ненныя съ числомъ колебаній первой, суть слѣдующія:
с, Л, е, /, д, а, 4, с(.
1 9/ 3/ 4/ 3/ 3/ 13/ 9
х» /8> /4» /з; /21 /3> /8і
Эта гамма продолжается второй, третьей и т. д., изъ которыхъ каж-
дая послѣдующая начинается тѣмъ с, которымъ кончается предъидущая.
ЛЕКЦІЯ.
155
Каждая гамма составляется изъ тѣхъ же рядовъ въ томъ же отношеніи
возвышающихся нотъ; ихъ различаютъ цифрами, которыя ставятся внизу
названія ноты; такъ для второй с(, сі, и т. д.; для третьей с2,
и т. д. Подобнымъ же образомъ продолжаютъ ряды нотъ и по обратному
направленію другими низходящими гаммами, которыя обозначаются про-
писными буквами въ С, С, (или отрицательными знаками).
Долго спорили, какія причины повели къ первоначальному изобрѣтенію
гаммы. Вѣроятно, что музыкальное чувство играло въ этомъ изобрѣтеніи
ббльшую роль, чѣмъ теоретическія соображенія. Безъ всякаго желанія пу-
скаться въ разборъ этого вопроса музыкальной эрудиціи, мы только за-
мѣтимъ, что гармоническія ноты
8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
даютъ отношенія
19/ 5/ И/ з/ 13/ 7/ 15/ 1/
-*> /8> /4> /8> /2> /8> /4> /8> /2
и выражаются нотами
с, 3, е, —, д, —, —, к, сѵ
между которыми достаточно было вставить /и а, которыя немногимъ раз-
нятся у отъ “/8 и а отъ 13/8 и г/4.
Намъ остается принять гамму за Фактъ и показать, что при комби-
націи одного изъ составляющихъ ея звуковъ съ тѣми, которыя предше-
ствуютъ ему однимъ, двумя, тремя.... рядами,' точно получаются гармо-
ническія отношенія колебаній, которыя пріятны для слуха. Такимъ обра-
зомъ, мы повѣримъ гамму д, розіегіогі. Вотъ таблица этихъ отношеній:
Значенія музыкальныхъ интерваловъ.
& і і а
СЕКУНДЫ
ТЕРЦІИ
КВАРТЫ квинты СЕКСТЫ СЕПТИМЫ
{/. 9 5. Л /8 а
С С С ,
а о сэ в Н <2 1 8 9/ 80/ 18 / 86/ 34/ Ій- /8!— .8* /бі* /2»
а к Л,
7 /і Цв/_в/ и/ е /»~ /»• /1» 1 о; і»; 34/ с Ій— Ій- /ій
к с іі, е,
-Ы М/ 81/ /»* /14* /ВО гіг г 1
-‘V «7 ТГ [^,9/ 80/ __|«/ 80/ 34/ „ /й' /ві— /в* /вг /а
9 9 9 9
81/ ,, /»• /ВО А.в/ —.8/ 84/ й~ /2в 9/ _Ш/ «4/
а а а
к '* — */ к '* е* т сі. д /в* /81— /В* /8Г /М
156
СЕМЬДЕСЯТЪ ОСЬМАЯ
Вотъ какія замѣчанія можно сдѣлать объ этихъ результатахъ:
' Интервалы секунды, т. е. какой-нибудь ноты къ предшествующей ей,
имѣютъ три различныя значенія: первое 9/8 называется мажорнымъ то-
номъ; второе 10/9 = э/8. 8О/81 есть минорный тонъ; онъ разнится отъ
предъидущаго на такое малое количество, что ухо не замѣчаетъ его; этой,
разницей пренебрегаютъ, и она называется коммою; третье 16/1Й, равное
10/9, помноженнымъ на 24/2й, есть такъ называемый большой полутонъ;
а такъ какъ 16/1Й >( 28/24 = 10/9, то изъ этого слѣдуетъ, что тонъ 10/9 мо-
жетъ раздѣлиться на два интервала, одинъ ‘6/|й, большой полутонъ, дру-
гой 2а/24, который короче и есть малый полутонъ; въ музыкѣ употре-
бляется кратчайшій.
Изъ таблицы видно, что гамма есть послѣдовательность двухъ тоновъ,
одного полутона, трехъ тоновъ и одного полутона.
Г
Терціи бываютъ двухъ родовъ, за исключеніемъ которая меньше
на комму: однѣ равныя а/4, большія; другія 6/Б = а/4. 2у2й, малыя;
послѣднія равны первымъ, умноженнымъ на 24/2й, т. е. ослаблены на ма-
лый полутонъ.
Л
Г
Всѣ кварты равны 4/3, за
исключеніемъ
которая увеличена на
малый полутонъ 2б/24.
Квинты всѣ равны 3/2, за исключеніемъ одной, которая разнится на
комму. Сексты бываютъ большія и равныя а/3 и малыя ,а/8; послѣднія
уменьшены на полутонъ 2а/24.
Наконецъ, всѣ октавы равны между собой и 2.
Словомъ, взятыя по двѣ, ноты гаммы представляютъ слѣдующія от-
ношенія колебаній:
2/ «5/ 9/ 8/ 8/ 3/ 4/ 6/ 6/ 9/ «О/ <6/ 26/
/I» /8» /5> /6» /3» (2» ІЪі /4» /6’ /8) /9» /16» (24»
онѣ позволяютъ осуществлять всѣ комбинаціи въ простомъ отношеніи, ка-
кія можно образовать съ гармоническими звуками
1, 2, 3, 4, 5, 6, —8, 9, 10, —15, 16, —24, 25;
и такъ гамма составлена весьма удобно для произведенія ббльшей части
созвучныхъ интерваловъ.
Діезы и бемоли. — Для увеличенія средствъ музыки придумали по-
вышать или понижать всѣ ноты гаммы на малый полутонъ; для чего
надо помножить данную ноту на 2а/24 или 24/2й; это называется діезиро-
вать или бемолизироватъ ноту; мы увидимъ, какія изъ этого произошли
выгоды. '
ЛЕКЦІЯ.
157
Если въ двунбтномъ аккордѣ діезировать болѣе низкую и бемолизиро-
вать болѣе высокую, то интервалъ между нотами уменьшится на минор-
ный полутонъ и отношеніе чиселъ ихъ колебаній помножится на 24/25.
Тогда:
1. Большія терціи, кварты, сексты и септимы сдѣлаются малыми.
2. Мажорный тонъ % превратится въ э/8. 24/25 = 27/25 = 16/|6 . 81/80.
и минорный тонъ 10/9 въ 10/9 X 24/25 = 16/ш слѣдовательно, оба станутъ
почти равны большому полутону (не равны на комму).
Ежели, напротивъ, бемолизировать низкую и діезировать высокую
ноту какого-нибудь аккорда, то интервалъ возвышается на полутонъ, и если
онъ былъ минорнымъ, то становится мажорнымъ.
Этимъ пользуются при транспортированіи мелодій, т. е. для воспроиз-
веденія съ тѣми же интервалами, причемъ всѣ ноты повышены или по-
нижены на извѣстное количество. Положимъ, напримѣръ, что требуется
увеличить на два тона; для этого слѣдуетъ начать замѣненіемъ нотъ
с, (I, е, /, д, а, к, с
нотами
е, /, д, а, к, с„ е,,
но эта новая гамма состоитъ изъ полутона, трехъ тоновъ, полутона и
двухъ тоновъ; и такъ въ ней не будетъ тѣхъ интерваловъ, какія въ гаммѣ
с и мелодія измѣнится. Слѣдовательно, надо не только измѣнить порядокъ
нотъ, какъ мы это сдѣлали, но измѣнить ихъ значенія и написать,
е, /"Ф, дФ, я, к, с, ф , с/і ф ,
Теперь интервалы тѣ же, что и въ естественной гаммѣ.
Наконецъ, при помощи діезовъ и бемолей, можно перейти изъ мажор-
наго тона, каковъ тонъ естественной гаммы, въ минорный, обусловленный
различной отъ первой гаммой, состоящей изъ тона, полутона, двухъ то-
новъ, полутона и двухъ тоновъ; но мы не станемъ подробно разбирать
этой спеціальности музыки.
Модификація. — Для удовлетворенія всѣмъ этимъ различнымъ тре-
бованіямъ, очевидно слѣдовало бы, чтобы инструменты съ постояннымъ
звукомъ, какъ Фортепіано, были снабжены струнами и соотвѣтствующими
клавишами, не только для каждой естественной ноты, но также' и для бе-
моля и для діезы каждой ноты; это потребовало бы 21 клавишу и струну
на октаву. Это, очевидно, усложнило бы постройку инструмента и игру
на немъ. Но надо замѣтить, что многія ноты разнятся весьма мало, напр.,
сф и сР, с/ф и е^, е и /к Это видно изъ слѣдующей таблицы:
158
СЕМЬДЕСЯТЪ ОСЬМАЯ
| # С = СІЗ
| Ъ Л = (іез
( <7
а—аіз
Ъ е = ез
( 6 /=/ез
I # е = еіз
/
I*/
\Ь д—дез
9
д = діз
I Ъ а = аз
а
I # а = аіз
\ъ к =.ъ
к
(Ъ с
I # И = кіз
унисонъ.
большой полутонъ,
малый полутонъ,
большая секунда,
чрезмѣрная секунда,
малая терція.
большая терція,
уменьшенная кварта,
чрезм. терція (иі ті Ф).
чистая кварта,
чрезмѣрная кварта,
уменьшенная квинта,
квинта.
чрезмѣрная квинта,
малая секста.
большая секста,
чрезмѣрная секста,
малая септима,
большая септима,
уменьшенная октава,
чрезм. септима (иі 8І #).
октава.
Такъ какъ множитель ,28/125 принадлежитъ къ разряду коммъ, то оче-
видно, что ноты, соединенныя скобкою, имѣютъ почти равное значеніе.
Поэтому, для упрощенія постройки инструмента съ постоянными звуками,
каждая такая группа изъ двухъ нотъ замѣняется среднимъ тономъ, кото-
рый служитъ и за ту и за другую. Такимъ образомъ, хроматическая
гамма распадается на двѣнадцать полутоновъ, и такъ какъ они разли-
чаются между собою весьма мало, имъ обыкновенно придается общее
значеніе, для чего октава раздѣляется на двѣнадцать строго между собою
равныхъ интерваловъ, называемыхъ средними полутонами.
Такимъ образомъ измѣненная гамма называется модифицированной;
она неправильна; за исключеніемъ октавъ, всѣ интервалы измѣнены; но
измѣненіе столь ничтожно, что ухо не замѣчаетъ его. Отношеніе двухъ
слѣдующихъ другъ за другомъ тоновъ (средній интервалъ) въ такой гаммѣ
можетъ быть выражено:
ей й ііз е { с,
- • = — — — = . . . . = -±=г;
с сг$ <1 йеі е п ’
ЛЕКЦІЯ.
159
слѣдовательно, сІ8~ і . с, Л — і . сІ8 — і* . с . . . с± = ік — і12. с,
ИЛИ І = 12|/”с-
А такъ какъ октавный интервалъ равняется 2, то каждый изъ двѣнад-
цати равныхъ полутоновъ равенъ 12/2:= 1,060; большая терція=(12ѵ'2)4,
малая (‘Ѵі)3, а квинта (12/2)г- Вотъ сравнительное значеніе точ-
ныхъ и модифицированныхъ интерваловъ:
Малый полутонъ
Большой полутонъ .
Малая терція
Большая терція .
Квинта . . . .
Истинное
значеніе.
25/24 = 1,042
І6/15 = 1,067
% =1,200
% —1,250
% =1,500
Приблизительное
значеніе.
12Ѵ'1 = 1,060.
12Ѵ& = 1,189.
121/^ = 1,260.
‘Ѵ2’ = 1,498.
Абсолютное число колебаній тоновъ. — Камертонъ. —Мы до
сихъ поръ выставляли отношеніе тоновъ одного къ другому. Мы видѣли,
что отношеніе музыкальныхъ тоновъ одинаково, какъ для высокихъ, такъ
и для низкихъ нотъ; отсюда ясно, что все равно какое , число колебаній
принять за число колебаній основнаго тона, все равно какой бы тонъ ни
послужилъ исходной точкой. Но для согласнаго настраиванія различныхъ
инструментовъ и, главное, для обозначенія опредѣленныхъ тоновъ выше-
приведенными знаками, приняли для извѣстнаго тона, который стоитъ
почти въ серединѣ употребляемыхъ въ музыкѣ тоновъ, опредѣленное зна-
ченіе. За такой тонъ условились принимать а.
Этимъ тономъ опредѣляются всѣ другіе. Низшій на сексту тонъ бу-
детъ с1. Употребительнѣйшіе въ музыкѣ тоны лежатъ частію выше, ча-
стію ниже этого с,, и именно на три октавы вверхъ и на четыре внизъ.
Только немногіе инструменты имѣютъ болѣе семи октавъ.
Для опредѣленія и установленія тона а4, по которому настраиваются
инструменты, устроили камертонъ. Онъ состоитъ изъ вилообразно-согну-
таго стальнаго прута, къ низу котораго, подъ дугой, придѣлана палочка
{рис. 56). Для произведенія тона нужно ударить однимъ изъ роговъ по
твердому тѣлу; тогда камертонъ приходитъ, какъ показываетъ рис. 57, въ
колебательное движеніе съ двумя узлами колебанія, находящимися неда-
леко отъ дуги, подобно свободному па обѣихъ концахъ пруту, приведен-
ному въ поперечное колебательное движеніе. Оба рога движутся одновре-
менно внутрь, а дуга внизъ; затѣмъ, рога кнаружѣ, а дуга вверхъ.
160
СЕМЬДЕСЯТЪ ОСЬМАЯ
Тоны камертона сами по себѣ весьма слабы, и, Для усиленія ихъ, камер-
тонъ ставится на столъ, который, вслѣдствіе резонанса, какъ мы увидимъ
послѣ, усиливаетъ тонъ. Большіе камертоны, издающіе не а,, а с, или с,
Рис. 56.
Рис. 57.
обыкновенно прикрѣпляются къ
особеннымъ резонирующимъ ящи-
камъ; слои воздуха, находящіеся
въ немъ, приходятъ въ колеба-
тельное движеніе и такимъ обра-
зомъ черезъ ихъ колебанія тонъ
значительно усиливается.
Измѣренія числа колебаній
опредѣленнаго тона а, камертона
показали, что этотъ тонъ далеко
не повсемѣстно имѣетъ одинако-
вое число колебаній. Фишеръ въ
1822 г. нашелъ, что число ко-
лебаній тона а, оркестра Берлинскаго театра равно 437; тоже оркестра
большой Парижской Оперы = 431, театра Ееуйеап = 428 и ТЬёаіте
Ііаііеп = 434 колебаніямъ въ секунду *).
Шейблеръ**) нашелъ въ 1833 г., что тонъ 5 парижскихъ а, камертоновъ
разнился отъ 426,7 до 440,7 колебаній; одного камертона берлинскаго ор-
кестра 441,62 и 6 камертоновъ вѣнскаго оркестра отъ 433,66 до 444,87.
Шейблеръ сдѣлалъ въ 1834 году, на собраніи нѣмецкихъ естество-
испытателей и врачей въ Штутгартѣ, предложеніе установить тонъ а, въ
440; но, не смотря на это, настраиваніе инструментовъ, въ оркестрѣ не
приведено къ извѣстной нормѣ до сихъ поръ. Недавно, установлено во Фран-
ціи ***) (и отчасти въ Россіи), чтобы тонъ а1 принимать въ 435 колебаній.
Исходя изъ этого числа колебаній, мы получимъ:
С‘ = 1,68179 ~ 1,68179 ~
Колебанія другихъ тоновъ будутъ:
Болѣе низкіе тоны: Болѣе высокіе тоны:
32,33 с2 = 517,30
С = 64,66 с3 — 1034,60
с — 129,32 с4 = 2069,20
с1== 258,65 с6 = 4138,40;
*) ЕізсЬег въ ВепквсЬгійеп сірг Вегііпег Акасіетіе Гііг 1824.
**) По отчету ВбЬег’а. Воѵе ВерегСогшт III.
Мопііеиг ітіѵегзеі Де 25 Геѵгіег 1859.
ЛЕКЦІЯ.
16
отсюда легко вычислить числа колебаній всѣхъ другихъ употребительнѣй-
шихъ въ музыкѣ тоновъ.
Предѣлы воспринимаемыхъ ухомъ звуковъ. — Когда колебанія
звучащаго тѣла становятся все быстрѣе и быстрѣе, или все медленнѣе и
медленнѣе, то наконецъ наступаетъ время, когда слишкомъ низкіе или
слишкомъ высокіе звуки становятся неслышными. Прежде принимали,
что предѣлы воспринимаемыхъ ухомъ звуковъ постоянны и заключаются
между 32 и 10,000 колебаній въ секунду; но потомъ доказано, что они
различны для различныхъ лицъ и, кромѣ того, зависятъ отъ амплитуды ко-
лебаній. Одно и то же лицо слышитъ однимъ ухомъ высокія ноты лучше
Рпс. 58.
чѣмъ другимъ. Брюстеръ (Вгоѵкіег) пишетъ, что онъ чириканье сверчка
слышитъ только однимъ ухомъ, между тѣмъ какъ обыкновенные тоны
обоими *).
*) Вгехѵзіег. РЫІозоріпсаІ Мядахіпе ѵоі. XXV.
Физика. IV.
11
162
СЕМЬДЕСЯТЪ ОСЬМАЯ ЛЕКЦІЯ.
При помощи зубчатыхъ колесъ большаго діаметра, съ широкими зуб-
цами, Саваръ производилъ необыкновенно сильный звукъ, который исче-
залъ, когда число колебаній въ секунду доходило до 48,000. Депрецъ
расширилъ эти границы, изучая камертоны, интервалы тоновъ которыхъ
равнялись октавѣ, и которые были установлены на резонансирующихъ
ящикахъ. Онъ получалъ звуки до 73,000. Ясно слышанная нота была въ
первомъ случаѣ /г57 съ 24,000 колебаній, а во второмъ <78 былъ слышенъ
при болѣе чѣмъ 36,000 колебаніяхъ.
Съ другой стороны, Саваръ утверждалъ, что нижній предѣлъ воспри-
нимаемыхъ звуковъ равнымъ образомъ отодвигается съ увеличеніемъ на-
пряженности звука. Онъ обращалъ желѣзную полосу около горизонтальной
оси {рис. 58) и располагалъ ее такъ, что она при каждомъ полуоборотѣ
проходила сквозь щель, прорубленную въ доскѣ. Во время вхожденія,
слышенъ родъ взрыва и при довольно скоромъ обращеніи слышится,
кромѣ послѣдовательнаго шума, необыкновенно низкій звукъ, соотвѣтствую-
щій 14 или 15 простымъ колебаніямъ. Но Депрецъ оспариваетъ послѣд-
ствія этого опыта; ибо, если вмѣсто одной полосы взять двѣ, то не
происходитъ октавная нота, какъ бы это должно было случиться. Впро-
чемъ, можетъ быть, что звукъ происходитъ отъ другой какой-нибудь
причины. Во всякомъ случаѣ, органныя трубы не могутъ быть длиннѣе
32 Футовъ, и самый низкій звукъ, который они только издаютъ, соотвѣт-
ствуетъ 32 простымъ или 16 двойнымъ колебаніямъ.
СЕМЬДЕСЯТЪ ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦІЯ.
•
Тоны, получаемые при колебательномъ движеніи твердыхъ, жид-
кихъ и газообразныхъ тѣлъ.
При колебаніи твердыхъ тѣлъ получаемые тоны: прутовъ и пласти-
нокъ. — Тоны при колебаніи газообразныхъ тѣлъ. — Трубы съ отду-
гиинами и трубы съ язычками. — Тоны при колебаніи сгполбовъ жид-
костей. — О трубахъ съ язычками. — Духовые инструменты. —
Человѣческій голосъ. — Языкъ.
Тоны, получаемые при колебательномъ движеніи твердыхъ
тѣлъ. — Мы видѣли въ предъидущемъ отдѣлѣ, что твердыя тѣла мо-
гутъ быть приведены въ три различные рода колебаній: продольное, по-
перечное и вращательное, соотвѣтствующія тремъ направленіямъ, по ко-
торымъ обнаруживается упругость тѣлъ. Всѣ эти колебанія производятъ
звуки, приводя окружающій воздухъ въ колебательное движеніе, вслѣд-
ствіе котораго звукъ достигаетъ нашего уха.
Мы видѣли, что общее выраженіе для числа колебаній прута, приве-
деннаго въ продольное движеніе, будетъ:
, АЪ V в
гдѣ Ь обозначаетъ длину, коэфиціентъ упругости и з плотность прута.
Итакъ, ,число колебаній, а слѣдовательно и тонъ, при продольныхъ
движеніяхъ прута, зависятъ, кромѣ вещества, изъ котораго прутъ сдѣланъ,
единственно отъ длины его, и не зависятъ ни отъ его толщины, ни отъ
поперечнаго разрѣза.
Этотъ законъ уставилъ еще Хладни опытами надъ продольнымъ коле-
баніемъ прутовъ и происходящими при этомъ тонами, раньше чѣмъ тео-
рія этихъ движеній была вполнѣ развита *).
•) СКІаЛпі, Акиаіік, ра§. 103 — 109.
11*
164
СЕМЬДЕСЯТЪ ДЕВЯТАЯ
Итакъ, при всѣхъ другихъ одинаковыхъ условіяхъ, изъ нашего выра-
женія слѣдуетъ, что числа колебаній, а также и высоты тоновъ при про-
дольномъ колебательномъ движеніи прутовъ, относятся между собою, какъ
квадратные корни изъ частнаго упругости на плотность; и это было до-
казано опытами Хладни.
Хладни приводилъ нѣсколько свободныхъ съ обоихъ концовъ прутовъ,
въ два Фута длины, въ колебательное движеніе и получилъ тоны:
при колебаніи серебрянаго прута въ 15 лотовъ . . .
» » мѣднаго » » » » . . . д^
» » желѣзнаго » » » » ... сіз&
Числа колебаній этихъ тоновъ относятся между собою, если число
колебаній с4 принять за единицу, какъ
9/ . 3/ .25/
/8 • /2 • /12»
или если принять за единицу число колебаній какъ
1 .4/ .50/
• /3 • /27»
или если принять модифицированные тоны, какъ
1 : 1, 33484 : 1,88775.
Мы видѣли, что коэфиціентъ упругости равенъ (см. т. I, лек. IX):
для серебра (^ = 7140000 грам.; 8=10,47
» мѣди = 10519000 » 8 = 8,78
» желѣза = 29794000 » 8 = 7,74
Если мы вставимъ эти значенія въ наше выраженіе для Ы, то всѣ
три числа колебаній будутъ относиться между собою
Ы, : : Х3 = 2582 : 3427 : 5116,
или какъ
1 : 1,325 : 1,97.
Итакъ, наблюденные Хладни тоны соотвѣтствуютъ теоріи; отступленіе
при самомъ высокомъ тонѣ немногимъ больше коммы. Хладни самъ го-
воритъ, что полученный тонъ только приближался къ сіз. Во всякомъ
случаѣ, соотвѣтствіе столь велико, какъ оно только можетъ быть при
высокихъ тонахъ, гдѣ незначительныя разности въ высотѣ весьма трудно
уловить.
При опредѣленіи чиселъ колебаній, при продольномъ колебаніи прута,
мы различали три случая:
1) Прутъ совершенно укрѣпленъ съ одного конца. Тогда
Ы = 2п~ 1\/^‘
4Е У з
Числа колебаній прута относятся между собою; какъ 1 : 3 : 5 и т. д.
ЛЕКЦІЯ.
165
И это доказывается опытами Хладни, который, принявъ за основной
тонъ тонъ медленнѣйшаго колебанія, даетъ слѣдующее обозначеніе тоновъ,
получаемыхъ при продольномъ колебаніи свободнаго съ одного конца
прута,
с ді е2 Ъ2 аз.
Отрицательный знакъ при Ъ означаетъ, что получаемый тонъ былъ
нѣсколько ниже Ъ; это именно тонъ г/4 не встрѣчающійся въ гаммѣ ок-
тавы, с2.
2) Прутъ свободенъ съ обоихъ концевъ.
3) Прутъ укрѣпленъ съ обоихъ концевъ.
Въ обоихъ случаяхъ число колебаній будетъ
Возможныя колебанія суть 1, 2, 3, 4....; онѣ относятся между со-
бою, какъ естественный рядъ чиселъ. Основной тонъ, при этомъ способѣ
укрѣпленія прута, есть октава того тона, который получается, когда
прутъ съ одного конца свободенъ. Соотвѣтственно этому и у Хладни по-
лучились тоны
^2» ^2> ^3» &3>
если основной тонъ, т. е. тонъ октавы основнаго тона въ предъидущемъ
случаѣ, означить черезъ с(.
На основаніи нашей Формулы, мы можемъ также вычислить тонъ,
найденный Хладни изъ опыта, и такимъ образомъ представить новое под-
твержденіе нашей прежней теоріи. Конечно, при этомъ мы не можемъ раз-
считывать на абсолютно точное согласованіе, такъ какъ мы не можемъ
принять, что длина прутовъ опредѣлена Хладни абсолютно точно, а
равнымъ образомъ потому, что, какъ мы знаемъ, и 8 для одного и того
же вещества могутъ имѣть различныя значенія, смотря потому, какъ оно
было выдѣлано.
Хладни опредѣлялъ абсолютное число колебаній для с5 въ 4086 коле-
баній, слѣдовательно меньше, чѣмъ по теперешнему строю. Значеніе сіз6
поэтому должно простираться до 4296. Если мы теперь вычислимъ число
колебаній для желѣзнаго прута, полагая при этомъ, что единица длины,
Принятая Хладни, рейнскій Футъ = 0,313 метра, то получимъ
Ы = Л .5116 = 4093.
1,25 '
Итакъ, наблюденный Хладни тонъ выше вычисленнаго нами на 1,04,
разница, которую можно объяснить, принявъ въ соображеніе вышепри^
веденныя обстоятельства.
166
СЕМЬДЕСЯТЪ ДЕВЯТАЯ
Какъ общее выраженіе для числа колебаній поперечно колеблющихся
натянутыхъ струнъ, мы получили, оставляя тѣ же обозначенія,
ѵ д 5
Отсюда слѣдуетъ, что числа колебаній, а также и высота тоновъ у
струнъ одинаковой длины измѣняются прямо пропорціонально корню ква-
дратному изъ напряженія струны и при одинаковомъ напряженіи обратно
пропорціональны вѣсу единицы длины струны. Это вполнѣ подтверждается
опытомъ, и въ практической акустикѣ именно эти законы прилагаются
при регулированіи высоты тона струнныхъ инструментовъ.
Поэтому у всѣхъ смычковыхъ инструментовъ тѣ струны, которыя
должны издавать низкіе тоны—толще и не такъ туго натянуты, и ббль-
шею частію низкія струны, для увеличенія вѣса, обвиваются тонкой про-
волокой. Всѣ эти инструменты можно настроить, единственно натягивая
струны, которыя на одномъ концѣ укрѣплены, а другой конецъ которыхъ
наматывается на колокъ, вращая который можно натянуть струну. То же
самое и въ Фортепіано, да кромѣ того, въ немъ струны разной длины.
Въ смычковыхъ инструментахъ различные тоны воспроизводятся равнымъ
образомъ укорачиваніемъ струны, для чего играющій придавливаетъ струну
въ различныхъ мѣстахъ къ грифу.
Изъ нашего уравненія для числа колебаній натянутыхъ струнъ слѣ-
дуетъ также, что высота тона для одной и той же струны пропорціо-
нальна длинѣ колеблющейся части, и струна, если она колеблется не по
всей длинѣ, разлагается на п колеблющихся частей. При опытахъ Хладни
и Г. Вебера получился для натянутой струны рядъ тоновъ, совершенно
соотвѣтствующій теоріи. Если мы примемъ основной тонъ струны = 1
и обозначимъ его С, то получится, по Хладни, слѣдующій рядъ тоновъ *):
12345678
С с д с, е( д{ Ь, — с,
9 10 11 12 13 14 15 16
®2, /і~\~ 9% а2 С3
Г. Веберъ **). доходилъ до раздѣленія струны на уз2 части, и полу-
чалъ при этомъ С4.
Такъ какъ рядъ тоновъ чаще обозначаютъ по длинамъ струнъ моно
хорда, то часто обозначаютъ и тоны не по числу колебаній, а по длинѣ
*) Хладни, 1. с., р. 67.
**) Віпйяеіі, Аккивіік, рар. 110.
ЛЕКЦІЯ.
167
струны для соотвѣтствующаго тона; ясно, что тогда обозначающія тонъ
числа будутъ имѣть обратныя значенія противъ вышеупотребленныхъ чи-
селъ, и поэтому способу обозначенія будутъ
с Л е / д а к сі
1 8/ 4/ 3/ 2/ 3/ 8/ 1/
л /9 /5 /4 /3 /5 /15 /2*
Для поперечныхъ колебательныхъ движеній упругихъ прутовъ мы
получили Формулу
42» ѵ «
Поэтому, числа колебаній для цилиндрическихъ прутовъ будутъ прямо
пропорціональны радіусу и обратно пропорціональны квадрату его длины.
Въ томъ же отношеніи будутъ и высоты тоновъ.
Опыты Савара относительно абсолютнаго числа колебаній цилиндри-
ческихъ прутовъ мы передали выше. Латунный прутъ 0™, 103 длины и
2гат,4 радіуса производилъ 1442 колебанія, слѣдовательно, получался тонъ
нѣсколько выше /3; цилиндрическій мѣдный прутъ той же длины и
1тт,7 радіуса издавалъ тонъ нѣсколько выше с3. Мы показали соотвѣт-
ствіе этихъ чиселъ съ теоріей.
Тоны, которые можетъ издавать приведенный въ колебательное дви-
женіе прутъ, какъ мы видѣли, могутъ различаться, смотря по способу
укрѣпленія прута; мы различали четыре случая, именно:
1) Одинъ конецъ прута свободенъ, другой укрѣпленъ. Возможныя
числа колебаній для самыхъ медленныхъ, если они принадлежатъ къ од-
ному ряду, принимая п равнымъ 1, были
к_(2п-1)’.
4
Слѣдовательно, тоны для одного и того же прута должны относиться
между собою, какъ
1 : 9 : 25 : 49 : 81,
при чемъ, какъ мы говорили, три первые тона будутъ излишне выше от-
носительно послѣдующихъ.
Хладни *) вторымъ ‘ тономъ получилъ тонъ на двѣ октавы и одну
чрезмѣрную квинту выше основнаго тона; третьимъ на одну октаву и
одну уменьшенную квинту выше, чѣмъ второй; четвертый былъ ниже на
октаву; пятый на одну сексту выше. Если за основной тонъ принять С,,
то полученные имъ тоны относятся, какъ
♦) СЫайпі, Акивіік, ра& 94—103,
168
СЕМЬДЕСЯТЪ ДЕВЯТАЯ
С( діз <і2 <і3 — Ь3/л+,
числа колебаній которыхъ суть:
1 25/ 144/ 288/ 288/ 256/
1 /4 /8 /8 /5 /3
1 6% 18 36 57% 85%.
Эти числа почти тѣ же, что на стр. 95 найденные ряды чиселъ для
подобнаго случая. Мы можемъ ихъ написать
1, 0,700.9, 0,702.25, 0,703.49, 0,705.81, 0,705.121,
начиная съ третьяго, числа колебаній относятся между собою почти
такъ же, какъ квадраты нечетныхъ чиселъ.
2) Оба конца прута или свободны, или совершенно прикрѣплены.
Число колебаній будетъ
х _ (2п + I)3.
4
Тоны, слѣдовательно, должны относиться между собою, если длина
прутовъ одна и та же, какъ квадраты нечетныхъ чиселъ, начиная съ 3,
то есть какъ
9 : 25 : 49 . . .
Слѣдовательно, если прутъ той же величины и имѣетъ прочія одинако-
выя качества, какъ въ предъидущемъ случаѣ, то самый низкій тонъ долженъ
совпасть со вторымъ при прежнемъ способѣ укрѣпленія. То же получи-
лось и изъ опытовъ Хладни, который въ этомъ случаѣ приводитъ слѣ-
дующіе тоны:
' діз сі2 сі3 — &зЛ+-
тоны, которые, какъ мы только что доказали, имѣютъ числа колебаній,
находящіяся въ требуемомъ отношеніи.
3) Одинъ конецъ прута на чемъ-нибудь покоится, другой свободенъ
или твердо укрѣпленъ.
Въ обоихъ случаяхъ число колебаній будетъ
Н_(4п+1)\ '
16
Ихъ отношенія между собою, слѣдовательно, таковы
25 : 81:169...
и первый тонъ долженъ быть на двѣ октавы ниже третьяго въ первомъ
случаѣ, когда одинъ конецъ укрѣпленъ, другой свободенъ, при одинако-
вой длинѣ прута и при равныхъ прочихъ качествахъ,—такъ какъ и въ
этомъ случаѣ знаменатель будетъ 4.
Хладни показываетъ слѣдующіе тоны:
с? Ъх -]1- /г2— діз3 сііз^ а4,
ЛЕКЦІЯ. 169
I > '
отсюда видно, какъ два первые тона соотвѣтствуютъ третьему и пятому
въ первомъ случаѣ, но теперь они на двѣ октавы ниже. При вычисленіи
соотвѣтствующихъ чиселъ колебаній и въ настоящемъ случаѣ получаются
соотвѣтствующія отношенія.
4) Четвертый случай, когда оба конца только покоятся на чемъ-
нибудь; прутъ приходитъ въ колебательное движеніе или по всей своей
длинѣ, или дѣлится на п частей; число колебаній, слѣдовательно, будетъ
К = пг.,
Числа колебаній, а равнымъ образомъ и высоты тоновъ, будутъ от-
носиться, какъ
1, 4, 9, 10. . .
Къ первому роду колебаній, гдѣ одинъ конецъ свободенъ, а другой
укрѣпленъ, числа колебаній самаго низкаго тона, когда и = 1, будутъ
относиться, какъ 1 : */4, если въ первомъ случаѣ самый низкій тонъ
принадлежитъ къ ряду колебаній. Но мы видѣли, что въ первомъ случаѣ
самый низкій тонъ не соотвѣтствуетъ числу колебаній */4, а квадрату
0,59686 или приблизительно 0,36; высота самаго низкаго тона, при
этомъ способѣ укрѣпленія, должна относиться поэтому къ высотѣ перваго
тона въ первомъ случаѣ, какъ 1 : 0,36 или 2®/э. Слѣдовательно, если
основной тонъ въ первомъ случаѣ мы означимъ С(, то теперь долженъ
быть Ріа, увеличенная кварта ближайшей вверхъ октавы.
Хладни, не зная теоріи, опредѣлилъ слышанные имъ тоны, относи-
тельно основнаго тона С( въ первомъ случаѣ, какъ
Різ /І8, діз* /І83 діз4
1 4 9 16 25 36;
слѣдовательно, тоны относятся между собою, какъ квадраты естествен-
ныхъ чиселъ и на двѣ октавы выше, чѣмъ соотвѣтствующіе тоны при
первомъ способѣ укрѣпленія, ибо тогда отношенія чиселъ колебаній 9 и
25 соотвѣтствовали тонамъ діа и б?2.
Тоны, издаваемые упругими прутами, рѣдко употребляются въ му-
зыкѣ; кромѣ нижеописанныхъ трубъ съ язычкомъ, существуетъ весьма
немного, въ оркестрахъ впрочемъ неупотребляемыхъ инструментовъ,
въ которыхъ звукъ производится поперечными колебаніями прута. Прак-
тическое примѣненіе колебаній прутовъ, свободныхъ на одномъ концѣ; и
укрѣпленныхъ на другомъ, встрѣчается въ желѣзной скрипкѣ, которая
состоитъ изъ желѣзныхъ штифтиковъ, прибиваемыхъ полукругомъ къ ко-
былкѣ на гармонической (резонансирующей) доскѣ; на ней играютъ при
помощи скрипичнаго смычка. Колебанія прутовъ, свободныхъ на обоихъ
170
СЕМЬДЕСЯТЪ ДЕВЯТАЯ
концахъ, нашли примѣненія въ такъ называемой деревянной гармоникѣ.
Она состоитъ изъ деревянныіъ, стекляныхъ или стальныхъ прутовъ, или
маленькихъ полосокъ, оба узла колебаній которыхъ, обнаруживающія при
низкихъ тонахъ, лежатъ на скрученной соломѣ и на какой-нибудь другой
мягкой подстилкѣ; по прутьямъ или по полоскамъ ударяютъ молоточкомъ.
Въ оперѣ Моцарта «Волшебная Флейта» обыкновенно употребляютъ та-
кой инструментъ мри игрѣ Папагено на колокольчикахъ *).
Тоны, издаваемые колеблющимися пластинками и колоколами, также
употребляются въ музыкѣ не часто; натянутыя перепонки—въ бубнахъ,
литаврахъ и барабанахъ. Во всѣхъ этихъ случаяхъ употребляется только
основной тонъ этихъ инструментовъ, происходящій при простомъ ударѣ.
Тоны, производимые пластинками, весьма тщательно изслѣдованы
Хладни **), и онъ нашелъ, что каждому тону соотвѣтствуетъ особый
родъ дѣленій пластинки, но не каждому роду дѣленій соотвѣтствуетъ осо-
бый тонъ, или что два разные тона никогда не производятъ однихъ и тѣхъ
же звуковыхъ Фигуръ, но одинъ тонъ можетъ производить различныя зву-
ковыя Фигуры. Мы приведемъ здѣсь толвко нѣсколько примѣровъ Хладни.
При круглой пластинкѣ, самые низкіе тоны происходили, когда Фигура
состояла изъ двухъ перекрещивающихся діаметровъ. Если этотъ тонъ
былъ С, то при трехъ перекрещивающихся діаметрахъ получался тонъ
на октаву и секунду выше, Л; при четырехъ перекрещивающихся діамет-
рахъ тонъ с8, т. е. третья октава перваго тона. Когда на круглой пла-
стинкѣ Фигура была кругъ (рис. ЗЗу), то получался бгіз, тонъ былъ на
чрезмѣрную квинту выше основнаго; рис. 33 5, два круга, соотвѣтство-
вали діз± +, т. е. на двѣ октавы высшему тону. Кругъ и діаметръ
рис. 33 е соотвѣтствовали Ъ, кругъ и крестъ рис. 33 ? — д±\ два круга
и діаметръ, или равнозначущая рис. 33 7}—е2 -{• и рис. 33 т. е
два креста и два поперечника — Ъ2.
Слѣдованіе тоновъ было иное при квадратныхъ пластинкахъ. И для
нихъ Хладни составилъ полную таблицу полученныхъ тоновъ. Къ ква-
дратной сторонѣ перпендикулярный крестъ соотвѣтствуетъ самому низ-
кому тону, который вообще издаетъ поперечно-колеблющаяся пластинка.
Изъ діагоналей состоящій крестъ соотвѣтствуетъ квинтѣ тона; если пер-
вый былъ О-, то этотъ будетъ с?. Рис. 34 0, двѣ параллельныя одной
*) СкІаЛпі, 1. с. р. 98.
?*) СМаіпі, АкШік, ра§. 117 еі вед.
ЛЕКЦІЯ.
171
сторонѣ линіи и одна къ нимъ перпендикулярная соотвѣтствуютъ тону Л;
двѣ линіи по обоимъ направленіямъ, рис. 34 у, тону Ь,. Рис. 43 е со-
отвѣтствуетъ тону діз и 34 октавой выше предъидущаго діз2
Рис. 34 л соотвѣтствуетъ тону сіз3 и рис. 34 & тону октавой ниже
преЛъидущаго.
Въ заключеніе, надо упомянуть о тонахъ, производимыхъ твердыми
тѣлами, находящимися въ вращательномъ колебательномъ движеніи. Мы
получили слѣдующую Формулу для числа колебаній въ такомъ движеніи
находящихся прутовъ (стр. 113)
21 т 8 і
и вообще для всѣхъ возможныхъ колебаній
К=п.К„
гдѣ обозначаетъ самыя медленныя колебанія. Здѣсь должны быть
также приняты во вниманіе различные способы прикрѣпленія. Для слу-
чая, когда прутъ съ обоихъ концевъ свободенъ или укрѣпленъ, мы по-
лучили для В' значеніе
В'= 0,632.
Въ томъ же случаѣ при продольныхъ колебаніяхъ
Х'= 11/’^-
41 » л
Число колебаній при вращательномъ стало быть будетъ
X = 0,632 №
или приблизительно Х = 2/3№.
Наблюденія Хладни *) привели его къ заключенію, что тонъ, полу-
чаемый при вращательномъ колебаніи прута,—на сколько онъ могъ замѣ-
тить, — на одну квинту ниже соотвѣтствующаго тона при продольномъ
колебаніи. По Хладни, вращательныя движенія также равнялись 2/3 про-
дольныхъ. Саваръ **) нашелъ, что тонъ при вращательномъ движеніи
былъ приблизительно на одну сексту ниже, чѣмъ при продольномъ,
или что
X = 0,6000 Ж.
Теоретическій результатъ занимаетъ, такимъ образомъ, средину между
результатами, полученными изъ опытовъ двумя знаменитыми акустиками,
Хладни и Саваромъ.
*) СЫаіпі., 1. с., р. 110.
**) Въ мемуарѣ Пуассона вш Іев Моиѵетепіз <3ев Согрів ёіавіідиев. Мёщоігев Де ГАсаД.
Де Ггапсе, іоте ѴПІ, р. 465.
172 СЕМЬДЕСЯТЪ ДЕВЯТАЯ
I • ’ .
Вращательныя колебанія совсѣмъ не имѣютъ примѣненія въ музыкѣ;
полученные звуки, стало быть, имѣютъ только теоретическій интересъ.
Звуки, получаемые при колебаніяхъ газообразныхъ тѣлъ.—
Одинъ способъ возбуждать звукъ при помощи колебательнаго движенія
газообразнаго или жидкаго тѣла изучали мы при разсматриваніи сирены.
Гораздо большее значеніе, однако, имѣютъ звуки, которые возбуждаются
неподвижными колебаніями воздушныхъ столбовъ. Въ большинствѣ духо-
выхъ инструментовъ и въ ббльшей части органныхъ регистровъ звуки
возбуждаются именно такимъ образомъ. Какъ типъ духовыхъ инструмен-
товъ можно разсматривать органныя трубы и на нихъ изучать образова-
ніе и ряды звуковъ.
Органныя трубы бываютъ двухъ родовъ, съ отдушиной и съ языч-
комъ. Во-первыхъ, колебательное движеніе производится только токомъ
воздуха безъ помощи твердаго тѣла, слѣдовательно, звукъ зависитъ только
отъ колебательнаго движенія воздушнаго столба; послѣднія представляютъ
комбинацію упругихъ пластинокъ и колеблющихся воздушныхъ столбовъ;
звукъ ихъ обусловливается обоими рядами колебаній; поэтому, мы будемъ
ихъ разсматривать отдѣльно.
Трубы съ отдушиной (рис. 59 и 60) состоятъ
изъ ножки а, которая насажена на отверстіе
। . мѣха, и черезъ которую токъ воздуха проходитъ
въ пространство Ъ, подъ нижнее дно трубки.
Пластинка дна образуетъ съ боковой стѣной
щель, черезъ которую выходитъ токъ воздуха;
здѣсь онъ встрѣчаетъ губу I и раздѣляется;
ж зта губа ограничиваетъ сверху находящуюся
на боковой стѣнкѣ отдушину Іт. Воздухъ, на-
і ходящійся въ трубкѣ непосредственно надъ от-
душиной, оттѣсняется вверхъ и сжимается токомъ
воздуха, частію стремящимся въ трубку. Это
сжатіе дѣйствуетъ такъ, что воздухъ болѣе не
входитъ въ трубку, а только проскальзываетъ
мимо; вслѣдствіе чего сжавшійся въ трубкѣ воз-
духъ снова разрѣжается, и идетъ назадъ внизъ,
I послѣ чего новый токъ воздуха проникаетъ въ
трубку и производитъ новое сжатіе. Такимъ
образомъ, воздухъ близъ отдушины получаетъ
едъ. Это движеніе распространяется въ воздушномъ
ЛЕКЦІЯ.
173
столбѣ трубки и отражается отъ верхней границы. Вслѣдствіе этихъ
распространяющихся по противоположнымъ направленіямъ движеній, воз-
душный столбъ трубки приводится въ неподвижныя колебанія и издаетъ
звукъ, который разнится, смотря по длинѣ трубки и по тому, какимъ
образомъ трубка закрыта сверху.
Образующіяся колебанія воздуха въ трубкѣ В, суть продольныя коле-
банія; если трубка закрыта (рис. 60), то вверху начинается отраженіе
этого движенія, только знаки его будутъ отрицательныя, т. е. приходя-
щая вершина волны будетъ отражаться какъ основаніе, а слѣдующее за
приходящей вершиной основаніе какъ вершина. Точно также, какъ при
колебательномъ движеніи прута, свободнаго на одномъ и укрѣплейнаго
на другомъ концѣ, весь воздушный столбъ можетъ одновременно ко-
лебаться взадъ и впередъ, если имйульсы у губы будутъ слѣдовать такъ
(или, что то же, если время колебанія Т таково), что вершина волны
распространится до стѣнки въ продолженіе того времени, когда воздуш-
ный слой при I совершитъ ’/4 колебанія. Тогда, по предъидущему, про-
изойдетъ неподвижная волна, длина которой равна двойной длинѣ трубки.
Но такъ какъ неподвижная волна вдвое короче, чѣмъ одновременно рас-
пространяющаяся колеблющаяся волна, то длина трубки равна четверти
одновременно распространяющейся колеблющейся волны. Слѣдовательно,
если мы длину трубки обозначимъ черезъ I, то продолжительность коле-
банія этой волны будетъ
Т = 4/ - ,
е
или если вставимъ для <1 и е вышеприведенныя значенія, то
гдѣ Н обозначаетъ давленіе въ метрахъ ртутнаго столба, подъ которымъ
находится воздухъ, а плотность ртути, 5 плотность воздуха и к — 1,42,
т. е. опредѣленному коэфиціенту, на который надо помножить част-
ное у/ * для полученія скорости распространенія волнообразнаго движенія.
Для числа колебаній поэтому мы получимъ
хг___________________— а / 7_____2.
— 4; - у-------~к----4Г
Такъ какъ конецъ съ отдушиной есть мѣсто, гдѣ возбуждается дви-
женіе, то въ немъ не можетъ образоваться неподвижнаго колебанія, длина
котораго была бы равна длинѣ трубки, такъ какъ' іі^эи закрытомъ концѣ
174
СЕМЬДЕСЯТЪ ДЕВЯТАЯ
всегда долженъ образоваться узелъ колебанія; въ противномъ случаѣ от-
раженное движеніе поминутно уничтожало бы вновь возбужденное. Если
сильнымъ вдуваніемъ воздуха въ ножку трубки произвести быстрѣе че-
редующіеся импульсы, то не можетъ образоваться никакого неподвижнаго
колебанія, если движеніе распространится до верхней стѣнки въ то время,
когда первый слой совершилъ половину колебанія,—когда такимъ образомъ
одновременно отъ стЬнки и отъ губы распространяются по трубкѣ вер-
шины или основанія волнъ,—такъ какъ тогда образовалась бы неподвиж-
ная волна въ длину трубки, а вмѣстѣ съ тѣмъ у губы образовался бы
узелъ колебанія, мѣсто непрерывнаго покоя.
Если же импульсы слѣдуютъ другъ за другомъ такъ быстро, что ко-
лебательное движеніе достигаетъ дна трубки только послѣ- того, когда
первый слой прошелъ уже 3/4 своего колебанія, такъ что при этомъ одно-
временно распространяются отъ стѣнки вершина волны, а отъ губы вто-
рая половина основанія, тогда образуются неподвижныя волны, длина ко-
торыхъ 2/3 длины трубки, и въ трубкѣ образуется на 'Д длины отъ губы
узелъ колебанія, а у самой губы находится средина неподвижной волны,
шахішиш колебанія. Продолжительность колебанія этой волны будетъ
Т = 4/3 / . —
‘ л с
и число колебаній
К = з.л.
Далѣе, колебанія могутъ сдѣлаться въ трубкѣ неподвижными, длина
волнъ которыхъ равняетсв 4/Б, 4/7, 4/9 длины трубки, изъ которыхъ мо-
гутъ, черезъ интерференцію приходящаго и отражающагося движенія,
образоваться волны длиною въ
24 /> 7? і, ,
что явствуетъ изъ подобныхъ соображеній, стр. 74—78. Числа колебаній
этихъ волнъ будутъ
Ы = 5^, 7^-, 9 ‘
ш ы ы
или вообще въ трубкѣ могутъ образоваться неподвижныя волны съ слѣ-
дующимъ числомъ колебаній
№ (2п - 1) .Л-,
гдѣ п можетъ обозначать каждое число естественнаго ряда чиселъ.
Стало быть, если основной тонъ трубки С, то мы, помощью ея, мо-
жемъ получить слѣдующіе тоны:
ЛЕКЦІЯ.
175
С д Ъі—
1 3 5 7 9.
Легко убѣдиться въ справедливости этого вывода. Если слабо вдувать
воздухъ въ закрытую трубу, то получается самый низкій тонъ, какой
только эта труба въ состояніи издавать; если, вдувать сильнѣе, то полу-
чается квинта слѣдующей высшей октавы, далѣе терція слѣдующей и т. д.,
какъ это требуется изслѣдованіемъ законовъ колебанія.
Основные тоны, издаваемые различной длины трубами, зависятъ отъ
длины трубокъ; они — согласно вышеприведеннымъ исчисленіямъ, а так-
же согласно опытнымъ изысканіямъ надъ числами колебаній,—обратно
пропорціональны длинѣ трубки. Можно легко подобрать рядъ трубъ раз-
личной длины такъ, что получится цѣлая гамма со всѣми тонами.
Но при этомъ оказывается, что въ этомъ случаѣ тоны не совершенно
пропорціональны къ длинамъ трубокъ; что, смотря по виду и величинѣ
отдушины и поперечнаго разрѣза трубы, тоны болѣе или менѣе укло-
няются отъ теоріи. Еще явственнѣе это выступаетъ при теоретическомъ
вычисленіи тона, который должна издавать трубка данной длины. Мы
выше видѣли, что
к _ ззз д
при температурѣ воздуха = 0.
Если, поэтому, длина трубки въ метрахъ — I, то тонъ трубки дол-
женъ имѣть слѣдующее число колебаній:
ѵт___ 333,5
" ~ 41 '
Опытъ же даетъ вмѣсто этого тонъ нѣсколько низшій, число колеба-
ній котораго
333,5
Лисковіусъ *) показалъ, что при всѣхъ другихъ одинаковыхъ усло-
віяхъ пониженіе тона увеличивается съ шириною трубки, а Вертгеймъ *)
нашелъ, что величина х, при одинаково выдѣланныхъ мундштукахъ, про-
порціональна діаметру трубки; а при одинаковомъ мундштукѣ и одинако-
вомъ діаметрѣ не зависитъ отъ длины трубки. Поэтому, вліяніе на высоту
*) Ілзкоѵіиз, Ро^еий Аппаі. Всі. ЬѴПІ и ЬХ.
•♦) ІРегіЛЛегт, Аппаі. сіе сЫш. еі 4е рЬув. III. 8ёг. Тоте ХХШ. Реп<1 Аппаі.
ЪХХХѴІІ.
І76 СЕМЬДЕСЯТЪ ДЕВЯТАЯ
тона тѣмъ больше, чѣмъ меньше I. Далѣе, значительное вліяніе на нее
оказываютъ Форма и величина мундштука.
Эти данныя объ обстоятельствахъ, обусловливающихъ величину х,
даютъ намъ объясненіе причины уклоненія наблюдаемыхъ тоновъ отъ
теоріи.
Теорія предполагаетъ, что нижній слой одновременно приводится въ
колебаніе, и затѣмъ колебанія распространяются отъ слоя до слоя и кромѣ
того, что труба на нижнемъ концѣ совершенно открыта. Но на практикѣ
это не такъ, ибо токъ воздуха толкаетъ вверхъ только близъ губы лежа-
щія части ближайшихъ слоевъ, и тогда только отдаленнѣйшіе приводятся въ
колебательное движеніе; такъ какъ съ другой стороны отдушина трубки
внизу открыта только отчасти. Вслѣдствіе этого послѣдняго обстоятель-
ства образуются также и у дна трубки частныя отраженія, которыя
обусловливаютъ образованіе шахіпшш’а колебанія не на самомъ днѣ
трубки, и что, поэтому, первый узелъ удаленъ отъ отдушины не
ровно на ’/4 Ь (если черезъ Ь обозначить длину волны колебательнаго
движенія), но нѣсколько менѣе, или, другими словами, что образующаяся
при основномъ тонѣ волна не точно равна четверной длинѣ трубки, но
нѣсколько длиннѣе.
Съ этими объясненіями совершенно согласуются данныя Вертгейма
касательно величины х, ибо такъ какъ одно отступленіе отъ теоріи на-
ходится въ зависимости отъ дна, то, при равныхъ вышесказанныхъ от-
ношеніяхъ, х не долженъ зависѣть отъ длины трубки, и кромѣ того х
долженъ увеличиваться съ увеличеніемъ діаметра трубки; ибо такъ какъ
отдушина находится постоянно только на одной стѣнкѣ трубы, то и
трубка тѣмъ менѣе будетъ снизу открыта, чѣмъ больше ея поперечникъ.
Чѣмъ больше будетъ отдушина, тѣмъ менѣе будетъ отступленіе отъ
теоріи.
Можно также прямымъ наблюденіемъ убѣдиться въ справедливости
этого объясненія. Если въ трубкѣ, снабженной вмѣсто плотной крышки по-
движнымъ поршнемъ, возбудить звуки, напр. четвертый тонъ съ числомъ
колебаній
то получимъ
Если какимъ-нибудь способомъ опредѣлить число колебаній слыши-
маго тона, то при помощи вычисленннаго с, можно опредѣлить величину
лекЦія.
177
77(г-М) = 74ь,
или длину Іи волны слышимаго тона. Длина неподвижныхъ волнъ равна
'/2 Ь или
%Ь = 7г (/ + *)•
Этотъ тонъ есть четвертый тонъ трубки, имѣющій длину I; если уко-
ротить теперь длину трубки на 7т (/-|-ж), вдавивъ поршень въ трубку,
то получится трубка, третій тонъ которой долженъ быть равенъ четвер-
тому предъидущаго; если укоротить еще на 7т (7 +т0 долженъ со-
гласоваться съ предъидущимъ второй, а если укоротить еще на 2/7
то основной тонъ. Опытъ подтверждаетъ это, такъ что этимъ доказы-
Ь
вается, что отдѣльные узлы отстоятъ другъ отъ друга на но что пер-
Ь
вые узлы отстоятъ менѣе чѣмъ на - отъ отдушины, и что, слѣдовательно,
длина волны основнаго тона больше четверной длины закрытой трубки *).
Дюлонгъ **) приложилъ этотъ пріемъ къ экспериментальному опредѣ-
ленію величины ж,- онъ бралъ трубку съ поршнемъ и возбуждалъ, напр.,
четвертый тонъ; затѣмъ опускалъ поршень до тѣхъ поръ, пока третій
тонъ равнялся четвертому предъидущему и получалъ, черезъ измѣреніе
величины, на которую опущенъ поршень, величину или длину
неподвижной волны, вызывающей тонъ. Онъ прилагалъ эти опыты также
для полученія изъ наблюденія величины с, какъ это мы увидимъ ниже.
Вер^геймъ ***) придумалъ другой пріемъ для опредѣленія величины х.
Онъ бралъ цилиндрическія трубки, составленныя изъ нѣсколькихъ ку-
сковъ, которые привинчивались плотно одна къ другой (рис. 61). Крышка
Рис. 61.
к была снабжена соотвѣтствующей гайкой, такъ что могла закрывать лю-
бой кусокъ трубки. Такимъ .образомъ, Вертгеймъ получилъ трубки, кото-
рыя, при совершенно равной ширинѣ и одномъ и томъ же мундштукѣ,
различались только по длинѣ Ь2........
Если въ трубкѣ Ь( длины возбуждались звуки, то первый тонъ имѣлъ
число колебаній
*) Норкіпз Тгапвасі. о Г іЬе СатЬгій^е РЬіІоворЬісаІ Зооіеіу Ѵоі V. Ро^епб. Аппа-
Іеп, ХЬІѴ.
**) Виіопд, Аппаіев <іе сЬіт. еі йе рЬувідие. Т. ХЫ. Ро^епсі. Аппаі. IX.
***) ІѴегіМіеіт, 1. с.
Физика. IV- ІЯ
178
СЕМЬДЕСЯТЪ ДЕВЯТАЯ
ЪТ —_____°___
1 — 4(Ь, + а;)'
Затѣмъ къ трубкѣ привинчивался кусокъ Ь, и она получала длину Ь2,
и когда снова возбуждался первый тонъ, то число колебаній его Ы2 было
иное, а именно:
К —______-___
изъ зтихъ двухъ величинъ легко прямо получить х, не зная с; ибо изъ
нихъ слѣдуетъ:
4^(1^ + ж) = 4Ы2(Ь2 + ж)
Х— ы.-ы, •
Вертгеймъ приводитъ въ своей статьѣ нѣсколько такихъ значеній ж
для различныхъ трубокъ; мы представимъ нѣкоторыя изъ нихъ, дабы
изучить различныя значенія ж.
Значенія ж для различныхъ трубокъ въ воздухѣ, при температурѣ
11,5 град. С.
ИЗЪ ЧЕГО СДѢЛАНА ТРУБКА. ДІАМЕТРЪ. ДЛИНА. ЗНАЧЕНІЯ X.
05 миллиметры миллиме тры милли метры
вв Олова 20 62 30,7
5 — 24 107 34,8
сх — 20 120 27,1
— 42 120 68,1
сС К Латуни 40 298 60,0
о 1 — 20 281 28,5
я — 10 288 17,0
09 Стекла 20 256 32,0
Ч Цинка 50 668 66,1
ВВ И* Стекла 17 875 40,0
Изъ таблицы видно, что съ увеличеніемъ діаметра увеличивается и
величина ж, и что это увеличеніе почти пропорціонально. Отклоненія при
одинаковой толщинѣ зависятъ отъ различной Формы мундштука. Чѣмъ
послѣдній уже, тѣмъ низшій получается тонъ, что слѣдуетъ также изъ
нашего объясненія.
Вліяніемъ Формы и величины отдушины пользуются при органныхъ
трубкахъ для настраиванія трубы въ извѣстномъ тонѣ, когда труба из-
даетъ почти вѣрный тонъ. На концѣ, близъ отдушины, по сторонамъ,
прикрѣплены двѣ подвижныя лопасни, установивъ которыя можно сдѣ-
лать отверстіе больше или меньше и такимъ образомъ измѣнять высоту тона.
ЛЕКЦІЯ
179
Тоны открытой трубы иные, чѣмъ равной съ ней длины закрытой;
основной тонъ открытой трубы есть высшая октава основнаго тона рав-
ной закрытой трубы, такъ что число колебаній X тона равно
Ы = -
2Г
Кромѣ основнаго тона могутъ быть возбуждены также всѣ тоны, со-
отвѣтствующія ряду
т. е., если означить основной тонъ черезъ С, то получатся тоны
С с д сі еі д1
1 2 3 4 5 6
или если мы будемъ исходить отъ основнаго тона равной по длинѣ за-
крытой трубы Сі, какъ отъ 1, то получимъ тоны
2 4 6 8 10 12.
Первый, третій, пятый, вообще (2тг — 1) тоны, суть, слѣдовательно,
тоны ближайшей высшей октавы перваго, втораго и т. д. (2п—1) тона
закрытой трубы; кромѣ того, открытая труба издаетъ также промежу-
точные тоны 2п.
Открытую трубу можно сравнить съ свободнымъ на обоихъ концахъ
прутомъ, приведеннымъ въ продольное колебательное движеніе; доходящія
до открытаго конца колебанія будутъ отражаемы, потому что воздухъ, ле-
жащій внѣ трубки, подвижнѣе и поэтому въ извѣстной степени рѣже,
чѣмъ находящійся внутри трубы. Движеніе поэтому будетъ безъ измѣ-
ненія знаковъ; приходящая вершина волны отразится, какъ вершина;
приходящее основаніе, какъ основаніе. Поэтому, первый возможный родъ
колебанія, который могутъ производить неподвижныя волны въ трубкѣ
есть тотъ, когда длина волнъ равна двойной длинѣ трубки. Колебаніе,
напр., длина котораго, какъ въ случаѣ съ закрытыми трубками, была
равна четвертой длинѣ трубки, имѣла бы слѣдствіемъ (какъ легко вывести
изъ сказаннаго о' колебательномъ движеніи, см. стр. 69—74 и 122—124),
образованіе узла колебанія при отдушинѣ, и, слѣдовательно, такимъ обра-
зомъ не было бы неподвижною волною въ трубкѣ.
То же колебательное движеніе, длина котораго равняется двойной длинѣ
трубы, производитъ въ серединѣ трубки узелъ колебанія и образуетъ,
кайъ неподвижную волну въ трубѣ, двѣ полуволны, длина каждой изъ ко-
товыхъ равна длинѣ трубки. Продолжительность колебанія и число коле-
баній поэюму будутъ
12*
180
СЕМЬДЕСЯТЪ ДЕВЯТАЯ
Т — — — —
с ’ 21 •
Колебательное движеніе, длина волны котораго равна длинѣ трубы,
производитъ въ трубкѣ два узла колебанія, отдаленныя отъ конца трубки
на четверть ея длины. Между ними находится неподвижная волна дли-
ною въ */2 I и между каждымъ узломъ колебанія и концомъ трубы по
полуволнѣ въ */4 I; на обоихъ концахъ такимъ образомъ совершается наи-
большее колебаніе. Было бы излишнимъ объяснять дальнѣйшія дѣленія
трубы, соотвѣтствующія тонамъ ди сг.., ибо ихъ легко вывести непо-
средственно изъ сказаннаго о колебательныхъ движеніяхъ вообще.
При открытыхъ трубкахъ вышеописанное вліяніе отдушины имѣетъ
мѣсто совершенно такъ же, какъ при закрытыхъ; т. е. и въ этомъ случаѣ,
длина волны нѣсколько длиннѣе двойной длины трубки, или
К=——
2(1 Ѵх)
и, кромѣ того, эта величина х должна быть и въ этомъ случаѣ таже, что
въ случаѣ съ закрытыми трубками. Если сравнить вычисленное число
колебаній К съ №, числомъ колебаній для закрытой трубки, то должно
К = 2№,
или тонъ закрытой трубы долженъ быть точно низшей октавой тона от-
крытой трубы. Но на опытѣ это оказывается не такъ; именно тонъ от-
крытой трубы всегда немного ниже высшей октавы. Такъ Вертгеймъ на-
шелъ изъ опытовъ, что при трубѣ въ 24тт въ поперечникѣ слышанный
въ случаѣ съ открытой трубкой тонъ относился къ 2№, какъ 23 : 24, а
въ другомъ случаѣ, при поперечникѣ въ 5О'пт, какъ .43,9 : 46,1, зна-
читъ, тонъ относительно былъ еще ниже.
Слѣдовательно, въ открытыхъ трубахъ должно имѣть мѣсто еще ка-
кое-нибудь обстоятельство, заставляющее происходящіе тоны уклониться
отъ теоріи. Вертгеймъ приписываетъ это тому, что отраженіе колебатель-
наго движенія происходитъ не какъ разъ на верхнемъ поперечномъ раз-
рѣзѣ трубы, но что колебательное движеніе распространяется еще не-
много за этотъ разрѣзъ, отчего колеблющійся и производящій тоны столбъ
воадуха немного длиннѣе, чѣмъ это принимается по теоріи. Въ существо-
ваніи этого небольшаго удлиненія легко убѣдиться изъ опыта: стоитъ
только близко надъ отверстіемъ трубки держать тонкую слабо натянутую,
посыпанную пескомъ, перепонку; тогда по подпрыгиванію песка легко
убѣдиться, чуо движеніе распространяется за предѣлы трубки. Слѣдова-
тельно, для опредѣленія точнаго отношенія тона открытой трубки къ
длинѣ трубки, число колебаній онаго должно положить
ЛЕКЦІЯ.
181
К =______Ч___ .
гсл-ж+у)
Для опредѣленія суммы обоихъ уклоненій х у, Вертгеймъ посту-
пилъ точно такъ же, какъ въ случаѣ съ закрытыми трубками.
Пусть Ь, и Ь2 будутъ длины двухъ различныхъ трубокъ совершенно
равнаго діаметра, Ы, и Ы2 числа колебаній ихъ основныхъ тоновъ, то
мы получимъ совершенно также, какъ прежде:
с = 2Ы, (Ь,-Ц-я;-{-?/)
с — 2Ыа (Ь2 + х у)
и затѣмъ, по исключеніи с,
выраженіе, совершенно подобное полученному для х.
Затѣмъ, чтобы х и у получить раздѣльно, трубку при помощи крышки
превращаютъ въ закрытую и снова опредѣляютъ числа колебанія основ-
ныхъ тоновъ и отсюда вычисляютъ по вышеприведенной Формулѣ вели-
чину х, а при помощи ея у.
Уклоненіе у гораздо меньше величины х; для вышеупомянутыхъ трубъ
они достигали только 1 — 6тш, и только въ одномъ случаѣ, для цинковой
трубы въ 50тш въ поперечникѣ, у былъ равенъ 35,8 миллиметрамъ.
И этимъ обстоятельствомъ можно также воспользоваться для настраи-
ванія данной трубы. Органные мастера обыкновенно снабжаютъ открытыя
трубки наискось поставленными бляхами, которыя можно пригибать и от-
гибать. Если такую бляху нагнуть книзу, то труба сдѣлается отчасти за-
крытою и издаваемый ею тонъ будетъ другой.
Въ музыкѣ тоны часто называются по длинѣ открытыхъ органныхъ
трубъ, ихъ производящихъ; такъ напримѣръ, контра С, С,, дѣлающая въ
секунду 32,33 колебанія, называется 16 Футовымъ С, ибо длина откры-
той трубы, издающей этотъ тонъ, почти 16 Футовъ. Если мы въ этомъ
случаѣ не обратимъ вниманія на величину х и примемъ, что тонъ про-
изводилъ ровно 32 колебанія въ секунду, то
• ол___333
32
1= = 5,17метр-
64
или, такъ какъ 1“ = 3,13 Футамъ,
/=16,1 Фута.
Самый низкій тонъ органа еще на одну октаву, ниже, чѣмъ этотъ
тонъ,—это субконтра С, С2, или 32 Футовое С, дѣлающее 16,1 колебаній
въ секунду.
182
СЕМЬДЕСЯТЪ ДЕВЯТАЯ
Тоны, издаваемые такими трубами, согласуются съ теоріей или соот-
вѣтствуютъ уклоненіямъ до тѣхъ поръ, пока поперечный разрѣзъ трубы
малъ противъ ея длины, ибо только до тѣхъ поръ весь поперечный раз-
рѣзъ приблизительно равномѣрно приходитъ въ колебательное движеніе.
Съ увеличеніемъ поперечнаго разрѣза трубы, получаются совершенно дру-
гіе тоны, и когда ширина трубы немногимъ отличается отъ длины,, то-
гда, по изысканіямъ Савара *), высота тона почти обратно пропорціо-
нальна корню квадратному изъ объема содержащагося въ трубѣ воздуха.
Въ этомъ легко убѣдиться надъ кубическими трубами Савара; это за-
крытая труба съ корнеобразной трубочкой, и въ которую можетъ вдви-
гаться герметически закрывающая стѣнка, параллельная стѣнкѣ трубы,
на которой находится губа. При помощи этой стѣнки, объемъ колеблюща -
гося воздуха, а съ тѣмъ вмѣстѣ и высота тона можетъ быть измѣнена
и повѣренъ законъ отклоненія отъ теоріи.
По вышеизложенной теоріи, образователями тоновъ въ трубахъ
являются колеблющіеся воздушные столбы; стѣнки трубокъ поэтому
должны не оказывать никакого вліянія на высоту тоновъ. Пока стѣнки
сдѣланы изъ твердаго матеріала, онѣ и не оказываютъ вліянія; высота
тона одинакова въ металлическихъ, деревянныхъ или стекляныхъ тру-
бахъ. Но стѣнки оказываютъ значительное вліяніе на тэмбръ тона; это
зависитъ отъ того, что колебанія заключающагося въ трубахъ . воздуха
передаются стѣнкамъ, такъ что ухо воспринимаетъ не только колебанія воз-
духа, но и колебанія стѣнокъ. Напримѣръ, тонъ деревянной трубы болѣе ту-
пой и мягкій, чѣмъ оловянной. Этимъ вліяніемъ стѣнокъ пользуются органные
мастера для приданія различнымъ регистрамъ органа различныхъ тэмбровъ.
Если же стѣнки трубъ сдѣланы не изъ твердаго матеріала, то и
тоны измѣняются; чѣмъ мягче матеріалъ, тѣмъ ниже тонъ. Саваръ **)
показалъ, что трубки съ пергаментными стѣнками издаютъ болѣе низкіе
тоны, чѣмъ со стѣнками изъ твердаго матеріала, и что тонъ дѣлается
ниже, смотря по ослабленію стѣнокъ отъ смачиванія. Лисковіусъ ***) по-
казалъ, что тонъ трубы съ отдушиной понижается, если часть стѣнки
изъ твердаго матеріала замѣнить пергаментомъ, и что пониженіе тона
увеличивается, чѣмъ большая часть стѣнки будетъ замѣнена пергамен-
томъ. Пониженіе меньше, если пергаментъ сдавленъ въ серединѣ, ибо
онъ тогда болѣе натянутъ и колебанія его задерживаются.
*) 8аѵагІ, Аппаіев Де сіііш. еі Де рЬув. Тоте XXIX.
?*) 8аѵагІ, Аппаіев Де сЫт. Де рііув. Т. XXX.
***) Ійкоѵіиі, Ро^'пД. Аппаіев. ВД, ЬѴІІ,
ЛЕКЦІЯ.
183
Если весь пергаментъ сдавить такъ, что онъ не можетъ колебаться,
то тонъ получится какъ въ трубѣ съ твердыми стѣнками. Если перга-
ментъ отъ смачиванія ослабѣетъ, то тонъ будетъ все ниже и слабѣе,
пока наконецъ не исчезнетъ совсѣмъ, когда нижній конецъ трубки изъ
пергамента.
Лисковіусу удалось перестроить тонъ на цѣлую октаву ниже, когда
двѣ стѣнки трубы были сдѣланы изъ пергамента.
Основаніе этого явленія хорошо объясняется изъ вышеописаннаго изыс-
канія Лисковіуса, по которому тонъ достигалъ высоты тона трубы съ
твердыми стѣнками, когда черезъ сдавливаніе задерживались колебанія
пергамента. Основанія этому надо искать въ томъ, что стѣнки трубъ колеб-
лются, какъ цѣлое, и этимъ измѣняютъ колебанія воздушнаго столба; по-
этому, чѣмъ крѣпче натянута стѣнка, тѣмъ звукъ долженъ быть выше.
Однако, не найдено еще полнаго объясненія этого явленія; такого, чтобы
вліяніе стѣнокъ трубъ можно было показать въ вычисленіи при опредѣ-
леніи высоты тона.
Тоны, происходящіе при колебаніи столбовъ жидкостей.—
Мы говорили, что при помощи тока жидкости, проходящаго черезъ про-
буравленный кругъ погруженной въ жидкость сирены, можно возбудить
тонъ. Каньяръ Латуръ и позже обстоятельнѣйшимъ образомъ Вертгеймъ
добились до воспроизведенія неподвижныхъ волнъ и тоновъ въ жид-
костяхъ.
Каньяръ Латуръ*) возбуждалъ тоны въ столбахъ жидкостей, заключенныхъ
въ стекляныхъ трубкахъ, продольнымъ натираніемъ этихъ трубокъ. Высота
возбужденныхъ тоновъ показала, что они происходили не отъ продольныхъ
колебаній стекла, но отъ таковыхъ колебаній столбовъ жидкостей. Онъ показалъ
опытомъ, что тонъ октавой выше, когда трубка открыта съ обоихъ концовъ,
слѣдовательно, столбъ жидкости свободенъ на обоихъ концахъ, противъ тона,
издаваемаго столбомъ жидкости, колебавшейся въ трубкѣ закрытой съ
одного конца, одинъ конецъ которой такимъ образомъ прилегалъ къ твер-
дой стѣнкѣ. Тоны свободнаго на обоихъ концахъ столба жидкости нельзя
получить, если съ обоихъ концовъ открытую трубку просто погрузить въ
воду и натирать вдоль, но они возбуждаются тогда, если трубку согнуть
въ видѣ равноколѣннаго сифонэ и затѣмъ натирать по продольному на-
правленію. Когда одинъ изъ концовъ сифонэ былъ запаянъ и наполнена
СадпіатЛ Ъаіоиг, Аппаіев йе сЬіт, еі йе рЬув. ЪѴІ,
184
СЕМЬДЕСЯТЪ ДЕВЯТАЯ
до одинаковой высоты водою, какъ и открытый, то получался тонъ ок-
тавой ниже, чѣмъ при открытомъ сифонѣ.
Каньяръ Латуръ достигъ и до того, что возбуждалъ тоны въ трубкѣ
подъ водою. Этого же достигъ, въ болѣе совершенномъ видѣ, Вертгеймъ,
который въ наполненной жидкостью трубѣ помощію тока жидкости воз-
буждалъ основной тбнъ и гармоническіе тоны *).
Аппаратъ, употребленный Вертгеймомъ для его опытовъ надъ водою,
изображенъ на рис. 62. ,
Рис. 62.
А
Открытая органная труба ЪЪ покоится горизонтально на подпоркахъ а
въ большомъ наполненномъ водою сосудѣ А. Ножка трубы въ с привин-
чена къ прикрѣпленной къ стѣнкѣ гайкѣ, лежащей насупротивъ насоса.
Всасывающій насосъ В, который приводится въ дѣйствіе приспособлен-
нымъ для этого рычагомъ, всасываетъ воду изъ сосуда А при помощи
широкой трубы к и гонитъ ее въ резервуаръ С.
Внутренность резервуара С находится при помощи крана т и трубки
ѵ въ сообщеніи съ большимъ сосудомъ, наполненнымъ сжатымъ воздухомъ.
При открытомъ кранѣ т, вслѣдствіе давленія этого воздуха, собирающаяся
въ резервуарѣ С вода черезъ кранъ і и трубку ззг гонится въ лежащую
подъ водою органную трубу. При помощи крана і всегда есть возмож-
ность по желанію регулировать притокъ воды.
*) ТѴегі/ікеіт, Аппаіез <Яе сЬіт. ѳі <1ѳ рЬув. ПІ. 8ёг. Тотѳ XXIII. Ро^епсі. Дппаіеп.
В<1, ЕХХѴІІ,
ЛЕКЦІЯ.
185
При резервуарѣ С находится еще кранъ п, который открывается,
чтобы удалить сжатый воздухъ резервуара въ атмосферу, и на который
при г можно поставить сирену для опредѣленія абсолютнаго числа коле-
баній тона, издаваемаго трубой, наполненной водою, а слѣдовательно вы-
соты тона. Кромѣ того, этотъ кранъ служитъ для того, чтобы произво-
дить опыты надъ обыкновенными органными трубками въ воздухѣ.
Для измѣренія давленія, подъ которымъ вода входитъ въ органную
трубу, трубка 53* соединяется при помощи крана п и проводника ж съ
монометромъ Е, и, кромѣ того, находящійся въ сосудѣ С воздухъ сооб-
щается при помощи крана п и трубки иѵз съ монометромъ В.
По приведеніи аппарата въ порядокъ, опытъ начинается тѣмъ, что
при затворенныхъ кранахъ т, п, і вода накачивается при помощи на-
соса В изъ сосуда А въ сосудъ С. Когда въ немъ накопится достаточ-
ное количество воды, сосудъ С, при открытомъ кранѣ п, приводится въ
сообщеніе съ резервуаромъ, наполненнымъ сжатымъ воздухомъ. Вслѣд-
ствіе давленія этого воздуха, при открытомъ кранѣ і, вода стремится въ
органную трубу и затѣмъ насосъ въ продолженіе опыта служитъ для того,
чтобы воду въ С поддерживать на извѣстномъ уровнѣ.
Чтобы опытъ удался, надобно обратить особенное вниманіе на устрой-
ство органныхъ трубъ.
Вертгеймъ приложилъ къ этому изъ нѣсколькихъ кусковъ составлен-
ныя трубы. Первый кусокъ состоитъ изъ винта с, соотвѣтствующаго
гайкѣ при с, ввинченной въ сосудъ А и снабженной внутри тонкой про-
волочной сѣтью (которая задерживаетъ и не пропускаетъ въ трубу пла-
вающихъ въ водѣ мелкихъ частицъ), затѣмъ изъ мундштука <1 и трубки
Ъ, на концѣ которой находится винтъ к, на который навинчивается слѣ-
дующій кусокъ Ь, или крышка к. Обѣ губы отдушины состоятъ изъ пла-
стинокъ (I и е, которыя укрѣпляются при помощи скобки у.
Нельзя пластинокъ, составляющихъ губы, тотчасъ плотно припаять къ
трубкѣ, ибо положеніе губъ оказываетъ значительное вліяніе на легкость,
съ которою труба начинаетъ издавать звуки, и потому первоначально, по-
мощію опыта, надо опредѣлить положеніе, при которомъ труба звучитъ
въ жидкости. Для жидкостей вообще разрѣзъ долженъ быть уже и ко-
роче, чѣмъ для воздуха, отверстіе въ ножкѣ трубки больше и токъ на-
правленъ нѣсколько больше внутрь трубки.
При помощи этого аппарата, Вертгеймъ достигъ, что органныя трубы
подъ водою—при посредствѣ тока воды, издавали тоны, и онъ нашелъ,
чего можно было ожидать,—что тоны слѣдуютъ тому же ряду, что при
186 СЕМЬДЕСЯТЬ ДЕВЯТАЯ
трубахъ, въ которыя вдувается воздухъ. При открытыхъ трубкахъ (а
только такія приводили къ хорошимъ результатамъ) получались тоны
С с д с, с1 д±. . .
12 3 4 5 6
Числа колебаній вообще
если I обозначаетъ длину трубки. Или болѣе точно
Ы —-----------,
2(1+х-і-у)
то есть здѣсь должны, быть приняты во вниманіе тѣ же поправки, что
при трубахъ, въ которыя вдувается воздухъ.
По предшествовавшему, с имѣетъ значеніе
гдѣ Н обозначаетъ давленіе атмосферы въ метрахъ ртути, <т плотность
ртути, р. сжимаемость воды и з плотность воды. Значеніе этого выраже-
нія, какъ мы видѣли,
с = \/ 5^ = 1424,5.
* де
Число колебаній Ы основнаго тона открытой трубки въ I длины,
должно бы быть потому
1424,5
' 21
Опыты Вертгейма однако дали гораздо меньшее значеніе; тоны были
ниже, чѣмъ должны бы быть, а именно наблюдаемое число колебаній
№ было _
№ = у/іы.
Причину этого уклоненія мы объяснимъ въ слѣдующей главѣ; здѣсь
довольно замѣтить, что, по мнѣнію Вертгейма, величина с, обозначающая
скорость распространенія продольныхъ волнъ въ водѣ, имѣетъ здѣсь дру-
гое значеніе противъ вычисленнаго нами; что скорость распространенія
въ столбахъ жидкостей, какъ въ органныхъ трубахъ, другая, чѣмъ въ
неограниченной жидкости, и что именно скорость с' въ столбахъ жид-
кости равна:
Объ органныхъ трубахъ съ язычкомъ. — Трубы съ язычкомъ
отличаются отъ трубъ съ отдушиной тѣмъ, что колебанія возбуждаются
ЛЕКЦІЯ.
187
расширяется.
Рис. 63.
не раздѣляющимся воздушнымъ токомъ, но, подобно какъ въ сиренѣ,
перемежающимся воздушнымъ токомъ. Труба съ язычкомъ (рис. 63 и 64)
состоитъ изъ мундштука аЪсЛ, находящагося въ ножкѣ трубы Е, и ко-
торый, какъ показываетъ рис. 63, вставленъ въ отверстіе трубки В, ко-
торая кверху большею частію конусообразно
Мундштукъ состоитъ изъ полуцилиндра
изъ твердой латунной жести, который за-
крытъ при основаніи а, а сверху открытъ
(рис. 64). Поверхность разрѣза латуннаго
полуцилиндра покрыта плоской металли-
ческой дощечк