И. И. ПРИВАЛОВ и С. А. ГАЛЬПЕРН
ОСНОВЫ АНАЛИЗА
БЕСКОНЕЧНО. МАЛЫХ
ПОСОБИЕ
ДЛЯ САМООБРАЗОВАНИЯ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1959

11-3-1
*•
АННОТАЦИЯ
6 книге дается краткое изложение элементов
математического анализа (т. е. дифференциального и
интегрального исчислений), доступное для учащихся старших
классов средней школы.
Авторы сумели сделать изложение понятным для
возможно более широкого круга читателей, интересующихся
математикой, поэтому книга может быть использована
теми, кто хочет изучать математику путем
самообразования.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию * 7
Предисловие ко второму изданию 7
| Глава I. Понятие функции 9
§ 1. Измерение величин. Математическая величина 9
§ 2. Постоянные и переменные величины 10
§ 3. Независимая переменная и функция 12
§ 4. Геометрическое представление функции 16
§ 5. Примеры геометрического представления функций .... 18
§ 6. Способы задания функций 23
§ 7. Обратные функции 27
I § 8. Графическое решение уравнений 33
1 Задачи к главе I 35
1 Г л а в а 11. Теория пределов 39
1 § 9. Абсолютная величина 39
I § 10. Последовательности 42
1 §11. Точки сгущения последовательности 44
I § 12. Предел последовательности 45
I § 13. Необходимый и достаточный признак существования предела 47
1 § 14. Бесконечно малые последовательности 50
I § 15. Основные теоремы о пределах 53
1 * § 16. Переход к пределу в неравенствах 60
I § 17. Бесконечно большие последовательности 63
1 § 18. Пределы некоторых последовательностей 65
I § 19. Принцип существования предела » . 68
1 § 20. Число е 70
1 § 21. Натуральные логарифмы 76
1 § 22. Подпоследовательности 77
I § 23. Геометрические приложения 78
1 § 24. Предел функции 82
I § 25. Свойства пределов функций 87
■ Задачи к главе II . 91
I Г л а в a 111. Производная 94
I § 26. Приращение функции 95
1 § 27. Понятие непрерывности функции 98
щ § 28. Простейшие свойства непрерывных функций. Непрерыв-
1 ность некоторых функций 105
I

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 29. Предел отношения синуса к дуге 109
§ 30. Касательная 110
§ 31. Производная 115
§ 32. Производная как скорость 118
§ 33. Формула для приращения функции 124
§ 34. Производная постоянной 126
§ 35. Производная целой положительной степени 127
§ 36. Вынесение постоянного множителя за знак производной .. . 12S
§ 37. Производная суммы 129
§ 38. Производные синуса и косинуса 130
§ 39. Производная произведения 132
§ 40. Производная дроби ' 133
§ 41. Производные тангенса и котангенса 135
§ 42. Производная сложной функции, . 136
§ 43. Производная логарифма 139
§ 44. Производная обратной функции . . 141
§ 45. Производная показательной функции 141
§ 46. Производная любой степени 142
§ 47. Производная обратных тригонометрических функций . . . 144
Задачи к главе 111 148
Глава IV. Приложения понятия производной 153
§ 48. Теорема об обращении непрерывной функции в нуль . . . 153
§ 49. Теорема Ролля 155
§ 50. Теорема Лагранжа 159
§ 51. Признаки возрастания и убывания функций 161
§ 52. Максимумы и минимумы функции 166
§ 53. Достаточные условия максимума и минимума функции . . 172
§ 54. Правило нахождения максимумов и минимумов данной
функции ,...., 174
§ 55. Применение теории максимумов и минимумов к построению
графиков функций 177
§ 56. Наибольшие и наименьшие значения функции 180
Задачи к главе IV 183
Глава V. Дифференциал 188
§ 57. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно
малые 188
§ 58. Основной принцип дифференциального исчисления .... 192
§ 59. Понятие дифференциала 193
§ 60. Геометрический смысл дифференциала 196
§ 61. Формулы для нахождения дифференциалов функций ... 196
§ 62. Приложения понятия дифференциала к приближенным
вычислениям 200
Задачи к главе V 201
Глава VI. Элементы интегрального исчисления 204
§ 63. Неопределенный интеграл 204
| 64. Интегрирование степенной функции • •.... 207

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 65. Простейшие свойства неопределенного интеграла.
Интегрирование многочлена 208
§ 66. Интегрирование простейших функций 210
§ 67. Замена переменной. Интегрирование по частям 212
§ 68. Вычисление площади . 215
§ 69. Определенный интеграл 221
§ 70. Простейшие свойства определенного интеграла 224
§ 71. Геометрический смысл определенного интеграла 226
§ 72. Различные применения определенного интеграла 231
§ 73. Некоторые применения неопределенного интеграла .... 235
Задачи к главе VI 237
Заключение * « • 247

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании книга выходит в переработанном
виде. Изменения внесены главным образом в теорию пределов,
которая изложена сначала для последовательностей, а затем
уже для функций. Предел функции вводится с помощью
понятия предела последовательности. Я полагаю, что такое
изложение имеет свои преимущества и вполне доступно.
Исправления, сделанные в других частях книги, связаны в основном
с указанными изменениями в изложении теории пределов.
С. Гальперн
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Многие желали бы познакомиться с разделом математики,
который называется «высшей математикой». Однако
получить первоначальные сведения в этой области, пользуясь
полным курсом анализа бесконечно малых, затруднительно, так
как это требует много времени, а изучать математическую
книгу, опуская какие-либо разделы, часто невозможно.
Необходима также книга, по которой учащиеся старших классов
средней школы, интересующиеся математикой, могли бы
изучить— самостоятельно или в кружках — элементы
математического анализа. Поэтому издание небольшой книги,
содержащей изложение элементов дифференциального и
интегрального исчислений, могло бы удовлетворить все эти запросы
читателей.

3 ПРЕДИСЛОВИЕ
ft.
Во втором издании книга выходит в переработанном виде.
В основном отличие от первого издания, вышедшего в
свет в 1934 г., заключается в добавлении теоремы о среднем
в дифференциальном исчислении и в изменении изложения
интегрального исчисления, однако книга сохраняет элементарный
характер.
Безвременная кончина одного из авторов — известного
математика нашей страны Ивана Ивановича Привалова — не
позволила ему принять участие в подготовке второго издания.
С. Гальперн

ГЛАВА I
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Измерение величин. Математическая величина
В различных прикладных науках приходится встречаться с
величинами разнообразной природы. Так, например, в физике
часто приходится говорить об удельном весе, о плотности
массы, о температуре; в физических задачах мы рассматриваем
силу, скорость, ускорение, время; в геометрии мы изучаем
такие величины, как длина отрезка, площадь, объем и т. п.
Для того чтобы подвергнуть эти величины математическому
анализу, выбирают за единицу измерения произвольную
величину той же самой природы: например, за единицу измерения
длины принимают метр, за единицу веса — грамм, за единицу
времени — секунду и т. д. Тогда отношение данной
конкретной величины к единице измерения будет отвлеченным числом,
показывающим, сколько раз единица измерения укладывается
в данной конкретной величине.
Итак, в результате отвлечения от индивидуальных свойств
той или иной конкретной величины создается математическая
величина, изучаемая в математическом анализе. С точки
зрения математики не имеет значения, будем ли мы иметь дело
с температурой, площадью, массой и т. п. Для нас важно
лишь, что мы имеем некоторую величину, которую мы
обозначаем буквой, например лг, и что значения этой величины мы
можем изображать с помощью чисел.
В математике мы встречаемся только с отвлеченными
величинами, или, иначе, математическими величинами. Благодаря
этому результаты, к которым приводит математика, могут при-,
меняться к разным отделам прикладных знаний, потому что,
какую бы величину мы ни встретили в природе, стоит ее толь-.

10
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[гл. т
ко обозначить какой-либо буквой, например х, а значение ее,
которое получится в результате ее измерения, рассматривать,
как значение этой буквы — математической величины, и мы уже
имеем перевод данной конкретной величины в величину
математическую. Мы в математическом анализе будем пользоваться
только действительными (вещественными) числами. Значения
всех рассматриваемых величин будут всегда только
действительными (вещественными).
Приступая к изучению математического анализа, мы делим
величины на две категории: величины постоянные и переменные.
§ 2. Постоянные и переменные величины
Величина называется постоянной, если она имеет вполне
определенное числовое значение либо независимо от условий
данной задачи, либо лишь в условиях определенного вопроса.
Постоянные величины первого рода носят название абсолютно
постоянных, второго рода — параметров, или произвольных
постоянных. В противоположность этому величину называют
переменной, если она может получать различные числовые
значения в условиях данной задачи. Так, например, сумма
углов треугольника всегда равна двум прямым, каковы бы ни
были длины его сторон. Следовательно, сумма углов
в треугольнике есть величина абсолютно постоянная, потому
что ее значение не зависит от условий данной конкретной
задачи. Точно так же отношение длины окружности к
диаметру, обозначаемое через тг, есть величина абсолютно
постоянная, так как это отношение не зависит от радиуса
окружности. Однако очень часто приходится иметь дело с
величинами постоянными лишь в условиях данной задачи.
Например, при движении точки М по данной окружности
(черт. 1) расстояние этой точки до центра О будет
величиной постоянной, а угол а между подвижным радиусом ОМ
н неподвижным О А будет величиной переменной, так как
в зависимости от положения точки М на окружности угол а
будет иметь то или иное значение. Очевидно, радиус
окружности нельзя считать абсолютно постоянной величиной, потому
что только в условиях данной задачи он будет постоянным,
а вообще может иметь любое положительное числовое
значение. Таким образом, в приведенном примере радиус есть
Личина постоянная, вд не абсолютно достоянная, т. е.

§ 2] ПОСТОЯННЫЕ И ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 11
здесь радиус — произвольная постоянная, или параметр. Кроме
того, важно заметить, что разделение величин на параметры
и переменные устанавливается отдельно для каждого данного
вопроса, и величины постоянные — параметры — в одной задаче
могут быть переменными в другой. Так, например, рассматривая
движение точки М по лучу ОМ, наклоненному под данным
углом а к лучу ОЛ (черт. 2), мы замечаем, что при этих
условиях угол а будет величина постоянная — параметр, а
расстояние движущейся точки М до неподвижной точки О есть
Черт. 1. Черт. 2.
величина переменная. Чтобы пояснить изложенное
распределение величин на постоянные и переменные, разберем два примера.
Пример 1. Шар, расширяясь, сохраняет свою форму
(например, резиновый баллон или мяч надувается газом). Объем
шара V, как известно, связан с радиусом R равенством: 1/=-^тт/?*.
В этом равенстве переменными величинами будут объем
шара V и радиус шара /?, а число тг — постоянной величиной.
Пример 2. Газ, подчиняющийся закону Бойля — Мариотта,
сжимается. В этом явлении давление и объем будут
переменными величинами, а температура и масса газа — постоянными.
Геометрически значения величины х будем изображать
точками на прямой (черт. 3). Для этого поступим так:
возьмем прямую, выберем на ней точку, назовем ее точкой О и
примем за начало отсчета. Выберем масштаб и примем одно
направление на прямой за положительное, а прямо
противоположное — за отрицательное. Тогда, если число х —
положительное, то отложим в положительном направлении от точки
О отрезок О А, по длине равный х. Если число х —
отрицательное (например, —l-i-),TO отложим в отрицательном на-

12 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
правлении от точки О отрезок ОА1% по длине равный —х.
Число(— х) — положительное (так как — (—1 -о~) ^ * Т )' и
потому имеется отрезок, подлине равный —х. Таким образом,
каждое число будет изображено точкой — концом построенного
отрезка. Очевидно, что каждой точке А на прямой отвечает
отрезок ОЛ, и, следовательно, число х — положительное,
I О—I 1 i 1—О—1 ^"
-2 -1 Q 1 2 3 X
Черт. 3.
если отрезок ОА направлен в положительном направлении, и
отрицательное, если отрезок ОА направлен противоположно.
Прямая с установленным на ней направлением и
масштабом называется осью, иногда числовой осью, иногда осью
абсцисс или осью Ох, если она служит для изображения
величины JC.
§ 3. Независимая переменная и функция
Рассмотрим пример. Скорость v истечения идеальной
жидкости через отверстие в сосуде, если высота уровня
жидкости над отверстием равна А, задается формулой г; =-f-"|/2gA,
где g=981 cm J сек2 — ускорение силы тяжести. Здесь две
переменные величины: А и v, причем каждому значению
величины А соответствует одно и только одно значение
величины v. Мы будем говорить, что v является зависимой
переменной, или функцией переменной А. Переменную А будем
называть независимой переменной или аргументом.
Отметим, что наша формула определяет значения функции
только для неотрицательных значений А, т. е. для А^О.
В самом деле, при отрицательном значении А мы не
найдем никакого значения v, так как нет чисел (действительных,
а другими мы не пользуемся), равных корню квадратному из
отрицательного числа.
Мы будем говорить, что наша функция определена
(задана) только для А^гО. Геометрически это означает, что
наша функция определена в точке О и на положительной
части оси переменной А. Это соответствует и физическому

§ 3] НЕЗАВИСИМАЯ ПВрВМЕННАЯ И ФУНКЦИЯ 13
смыслу А. Точка О и положительная часть оси независимой
переменной, на которой определена наша функция, являются
областью определения этой функции.
Рассмотрим еще пример. Пусть у = 2лг\ При помощи
этой формулы мы для каждого значения независимой пере*
менной х можем найти соответствующее значение
переменной у, т. е. функции» Причем независимой переменной х мы
можем давать любые значения. В этом случае областью
определения нашей функции будет вся ось независимой переменной х.
Пусть х — переменная, и пусть в каком-либо вопросе или
задаче эта переменная может принимать значения,
принадлежащие некоторому множеству оси Ох, Это множество может
заполнять всю ось х или какую-либо ее часть. Назовем это
множество областью изменения переменной х.
Определение. Переменная величина у называется
функцией переменной х9 если каждому значению х из
некоторой области изменения этой переменной соответствует
одно и только одно значение у.
Переменная х называется независимой переменной или
аргументом, а область ее изменения называется также
областью определения функции.
Так, например, путь s, пройденный за время t падающим
в пустоте телом, есть функция времени t, так как между
этими величинами $ и t существует соотношение 5 = — (где
g — ускорение силы тяжести), вполне определяющее.
значение s, соответствующее каждому произвольно выбранному
значению независимой переменной t. Действительно, для g =
= 981 cMJceK1 значению *=1 сек соответствует значение
* 98Ы» ЛОЛК
$ = -у- = 490,5 см
(т. е. за одну секунду тело пройдет путь, равный 490,5 см),
значению i = 2 сек отвечает значение
98Ь2» 10Л0 ,
s =—^—=1962 *л;
при t = 1,25 сек получим
Л 981.(1,25)* -аа Л
$ =s y-J- — 766,4 см
и т. д.

14
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[гл. I
Здесь формула s=^- определяет s как функцию t на
всей оси *, однако переменная * t в нашей формуле означает
время, прошедшее от начала падения тела, и потому всегда
t ^ 0; значит, в силу условий задачи мы будем рассматривать
нашу функцию лишь в области tf^O. Эта область и
является областью определения функции.
В качестве второго примера рассмотрим сжатие газа,
подчиняющееся закону Бойля — Мариотта. Давление р и объем v
будут связаны формулой р = «—, где с — постоянная для
данной массы и температуры газа. Каждому значению объема v
соответствует определенная величина давления р, и с
изменением объема v будет меняться и величина давления р.
Следовательно, давление р есть функция объема г>. Здесь
объем v всегда больше нуля, v^>0. Следовательно, мы
должны считать нашу функцию заданной лишь при t>>0.
Эта область и будет областью определения.
Поверхность S шара есть функция его радиуса г, так
как каждому произвольно взятому значению г соответствует
определенное значение S. Здесь закон изменения функции S
с изменением независимой переменной г выражается известной
из геометрии формулой: S = 4*rrr2, которая и дает
возможность определять значения функции S, соответствующие
различным частным значениям аргумента г. Здесь радиус шара
г>0. Следовательно, нашу функцию надо считать заданной
при г>0. Таким образом, областью определения функции
является положительная часть оси переменной г. Часто
функции задаются формулами, тогда областью их определения
будет то множество значений независимой переменной, для
которых формула имеет смысл.
Например, функции у — хг, у = х*—2 имеют областью
определения всю ось Ох. Функция у = У^\—хг определена
только для значений х, содержащихся между — I и -}-1,
включая эти значения, т. е. при — 1 < х ^ 1, потому что
для остальных значений х подкоренное выражение
отрицательно, а квадратный корень из отрицательного числа не
имеет смысла.
14-х
Функция j/=-г-2— определена для всех значений х> за
1 —* X
исключением значения х — 1. Область определения состоит
из двух частей: #<1 и *> 1.

§ 3] НЕЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННАЯ И ФУНКЦИЯ 15
Во всех рассмотренных примерах была установлена
зависимость значений, принимаемых функцией, от значений ее
аргумента. Эту зависимость функции от аргумента принято
называть функциональной зависимостью.
В математике часто приходится рассуждать о функциях
вообще, представляя себе зависимости самые разнообразные.
Фраза <<у есть функция переменной л:» записывается так: у =
= /(*), и читается: «у равняется эф от л;». Следовательно,
запись 5=/(0 означает: «s есть функция /», или и = <р(г>)
означает: «а есть функция г»>, или р = Ф(а) означает: «р
есть функция а» и т. д.
Равенство y=f(x) не дает указания на какой-нибудь
определенный закон зависимости между переменными у и л:,
а устанавливает только факт функциональной зависимости.
Если, как это было во всех рассмотренных примерах, закон
зависимости функции от аргумента дается формулой, то под
символом f(x) следует разуметь совокупность всех тех
действий, которые надо выполнить над значением независимой
переменной х для получения соответствующего значения
функции у. Так, если у = 5хг — Зх + 4, то /{х) = 5л;2 — Здс + 4»
и, значит, для получения значения функции надо значение
аргумента х возвести в квадрат, полученное значение
умножить на пять, затем из результата вычесть утроенное
значение аргумента и, наконец, прибавить четыре. Если 5 есть
площадь круга, а г — его радиус, то $=/(/•), причем под
/(г) надо понимать выражение тгг*, т. е./(г) = тгг*.
Запись /(а) означает, что берется значение функции для
частного значения аргумента, равного а. Так, в приведенном
примере у = 5хг — Злг + 4 при лг = 3 получим
j/=/(3)=5.32 — 3.3 + 4 = 40.
Пример 1. Если /(х) = уТ+1?, To/(3)=V^9uf9 =
=Vr18 = 3T/'2, /(4) = /9 + 16 = 5 и т. д.
Пример 2. Если f{t) = 2tz — 1, то/(0) = — 1, /(2) =
= 15, /(-1) = —3 и т. д.
Пример 3. Если <p(a) = tga, то <р (j\ = 1, <p(a*) =
~Ч№)> ¥pf(*~-l)l =*g [j(*—1)1 э имеем также

16
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[гл. i
<р(тг — а) = — <р(а), так как ср (тс — a) = tg(7T — a) = — tga;
<f(—a) = — <p(a), так как <f (—a) = tg(—a) = — tga.
Заметим, кто когда приходится говорить одновременно
о нескольких различных функциях, то их и обозначают
различно, например: /(лг), F(x)t <р(х), ф(лг), ...
§ 4. Геометрическое представление функции
Для наглядного представления изменения функции в
зависимости от изменения аргумента часто пользуются
графическим изображением, указанным Декартом1) и состоящим в
следующем.
Возьмем две взаимно перпендикулярные
пересекающиеся в точке О (черт. 4) прямые Ох и Оу, называемые осями
м координат; прямая Ох назы-
I вается осью абсцисс или осью
л;, а прямая Оу — осью орди-
v нат или осью у\ точка О их
пересечения носит название
Л о ■ о—Д*-—■*—~дГ~д: начала координат. Условимся
^ г различные значения независи-
I мой переменной х представлять
на чертеже отрезками, откла-
| дываемыми в определенном мас-
q £ штабе на оси абсцисс от точки
I к О; отрезки, соответствующие
положительным значениям ар-
Черт. 4. гумента, будем откладывать
вправо от точки О, а отрезки,
соответствующие отрицательным значениям аргумента, —
влево от точки О; так, например, значению дг = 2
будет соответствовать отрезок ОЛ = 20£, если отрезок ОЕ
принят за единицу масштаба; значению аргумента # = *— 3
будет соответствовать отрезок ОВ, равный тройной длине
ОЕ. Через концы всех таких отрезков проводим прямые,
параллельные оси ординат, и на них откладываем от оси
абсцисс соответствующие значения данной. функции уу
положительные— вверх, отрицательные — вниз; так, например, если
1) Декарт — французский философ и математик, основатель анги
литической геометрии (1596—1650).

§ 4] ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ 17
при х = 2 д>=/(2) =— 3, то на прямой AM,
параллельной оси Оу, отложим вниз отрезок AM, равный трем единицам
масштаба; если/(— 3) = 1, то на прямой ВМ,, параллельной Оу,
отложим вверх отрезок ВМХ, равный единице масштаба.
При таком условии каждому значению независимой
переменной х = а будет соответствовать на чертеже одна вполне
определенная точка, определяющая своим расстоянием от оси
абсцисс (взятым с надлежащим знаком) соответствующее
значение рассматриваемой функции y=f(x). ,
Пусть при х = а = ОА (черт. 5) соответствующее
значение рассматриваемой функции будет j/ = £=/(a)=: AB. Если
мы будем изменять
величину л:, начиная от х = а,
например увеличивать,
придавая ей
последовательно значения х = а, =
= ОЛи х = аг = ОА2,
x = as = OA9, ... , то
этому изменению х будет
соответствовать
перемещение прямой АВ,
которая будет
последовательно принимать положения
АХВ„ АгВ2, АгВг,
параллельные между собой. Вместе с перемещением прямой
АВ будет перемещаться и точка В, занимая последовательно
положения Bt, Вг, Bv ..., причем AlBl=/(al), AtBt=f(at)y
AtB9—f(at). Таким образом, геометрическим местом точек В
при перемещении прямой АВ, т. е. при изменении
переменной х, будет некоторая линия ST. Эта линия служит
геометрическим представлением рассматриваемой - функции
y=f(x) и называется ее графиком.
Уравнение y=f(x), определяющее функцию, называется
уравнением линии ST. Всякой произвольно взятой на линии ST
точке М будет соответствовать пара определенных значений
переменных: х = ОР ку = РМ, называемых координатами этой
точки, причем число х называется абсциссой, а число у —
ординатой. Если значения абсциссы х и ординаты у точки М
подставить в уравнение у=/(х), то оно обратится в
тождество. Линия ST наглядно изображает рассматриваемую
функциональную зависимость. Действительно, будем следить за тече»

18 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
нием этой линии по мере удаления образующей ее точки М
вправо, т. е. по мере возрастания аргумента л;. Если она на
некотором участке поднимается вверх, то это значит, что
функция возрастает, как, например, на участке от точки S до точки
Ви т. е. в пределах изменения аргумента от лггж ОА0 до
x=sQAv Если же линия будет опускаться вниз, как,
например, на участке от Bt до В,, т. е. в ^пределах изменения
аргумента от х = ОЛ1 до я=ОД8, то это будет означать, что
в этих пределах функция убывает. В той точке, где функция
переходит от возрастания к убыванию, как это имеет место
в точке В1Э фуйкция получает значение, наибольшее из
смежных; она, как говорят, достигает максимума. При переходе
функции от убывания к возрастанию она получает значение
наименьшее из смежных, т. е. достигает минимума (точка Bt).
В точке Q линия ST пересекает ось абсцисс, т. е. в этой
точке значение функции равно нулю, и отрезок OQ дает то
значение х, при котором уравнение /(дс) = 0 обращается
в тождество, т. е. величина отрезка OQ дает корень
уравнения f (лг)==0.
Наконец, из черт. 5 усматриваем, что функция f{x)
положительна, когда х изменяется в пределах от х=*ОА0 до лг=
— OQ, так как соответствующая часть SQ линии лежит над
осью абсцисс; наоборот, эта функция отрицательна при
значениях аргумента х> больших чем x*=zOQ, так как
соответствующая часть QT линии лежит под осью абсцисс.
§ 5. Примеры геометрического представления функций
Построение графика данной функции осуществляется в
следующем порядке. Во-первых, составляется таблица. В одной
графе записываются значения аргумента, в другой —
соответствующие значения функции. Значения аргумента задаем
произвольно, но обычно удобнее брать значения через равные
промежутки, например через единицу, т. е. .. • — 3; — 2;
— 1; 0; 1; 2; 3; ..., или через 0,5, т. е. ... —1,5;—1;
— 0,5; 0; 0,5; 1; ... Соответствующие значения функции
вычисляются на основании данной функциональной зависимости.
Во-вторых, выбрав оси координат и масштаб, строят точки,
принимая за их координаты соответствующие пары чисел из
таблицы. Значения аргумента принимают за абсциссы, а
значения функции — за ординаты этих точек. Если построенные

§ 5] ПРИМЕРЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ 19
точки вполне выясняют вид линии, то эта линия
вычерчивается; если же в некоторых промежутках вид линии не ясен,
то дополнительно дают значения аргументу в этих
промежутках, определяют соответствующие значения функции и
строят точки по вычисленным координатам, причем таких
дополнительных точек строят столько, чтобы вид графика
был ясен.
Пример 1. Построить график функции y = j*x* в
промежутке от х = — 6 до # = 6.
а) Давая значения аргументу х через единицу, начиная
с х =— 6 до д:=6, вычисляем соответствующие значения
функции. Полученные результаты заносим в таблицу:
X
Г
-6
3,6
-5
2,5
-4
1,6
-3
0,9
-2
0,4
-1
0,1
0
0
1
0,1
2
0,4
3
0,9
4
1,6
5
2,5
6
3,6
Ь) Выбирая оси координат и масштаб, наносим точки по
данным таблицам (черт. 6). Построенные точки выясняют вид
графика, который мы и вычерчиваем.
-7 -в ^^ТТ^ПТТТТТТ?
Черт. 6.
Пример 2. Построить графики функций у s= xm для т •
1, 2, 3, 4 в промежутке от х = — 3 до #=-{-3.

20 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 1
При т = 1 имеем у — х. Составляем таблицу:
X
У
-3
-3
-2
— 2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
3
з
наносим точки на чертеж. Получаем график / (черт. 7).
При /и = 2 имеем у = х*. Составляем таблицу:
X
1 у
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3 '
9
наносим точки на чертеж. Вид линии не вполне ясен в
промежутке от х =— 1 до дг = -|-1. Добавочно вычисляем:
X
1 У
-Р,5
0,25
-0,25
0,0625
0,25
0,0625
0,5 1
0,25
и наносим эти точки. Получаем график // (черт. 7).
При т = 3 имеем у = х*. Составляем таблицу:
X
У
-3
-27
-2
-8
-1
-1
0
0
1
1
2
8
3
27 '
и наносим точки на чертеж. Для уточнения вида графика в
промежутке от х = — 1 долг — -|-1 дополнительно вычисляем
X
1 у
-0,5
-0,125
0,5
0,125
и наносим эти точки. Получаем график /// (черт. 7).
При т = 4 имеем у = х*. Составляем таблицу:
X
У
-3
81
— 2
16
-1
1
0
0
1
1
2
16
з
81 1

§ 5] ПРИМЕРЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ 21
Для уточнения вида линии в промежутке от х =—1 до
х=-|-1 дополнительно вы-
числяем и наносим все эти
точки.
X
У
-0,5
0,0625
0,5
0,0625
Получаем график IV(черт. 7).
Пример 3. Построить
график функции
y = \gx.
В этом случае значения
функции можно узнать из
таблицы логарифмов. Поль- и 7
зуясь таблицей логарифмов, Черт* *
выписываем значения функции, ограничиваясь тремя знаками.
X
У
1
0
2
0,301
3 1 4
0,477 1 0,602
5
0,699
6
0,778
7
0,845
8
0,903
9
0,954
"ТоП
1
Логарифмы для отрицательных значений аргумента не
имеют смысла, т. е. функция не определена для
отрицательных значений аргумен-
*^ - та; следовательно, гра-
-,, л фик будет целиком рас-
| положен справа от оси
¥~~? е $ & х ординат.Для уточнения
выписываем из таблицы
логарифмов несколько
ЧеРт* 8# значений функции при
значениях аргумента в промежутке от х — 0 до дг=1.
X
1 у
0,5 | 0,3 1 0,1
- 0,301
-0,523
-1
Построив все три точки, получаем график (черт. 8).

22 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
в
Пример: 4. Построить график функции у*=х sin x.
Требуемое построение можно выполнить, пользуясь
таблицей синусов, нанося на чертеж точки по таблице, причем
аргумент измеряется в радианах и откладывается на оси х.
Возможно также при построении графика синуса
воспользоваться геометрическим определением этой функции, что мы
и сделаем.
Из начала координат О (черт. 9), как щ центра, опишем
окружность радиусом О А = 1. Возьмем на этой окружности
какую-нибудь точку т и опустим из нее перпендикуляр тр
Черт. 9.
на ось абсцисс; величина этого перпендикуляра будет
синусом дуги Am. Отложим на оси абсцисс отрезок ОР, равный
дуге Am. Восставив в точке Р оси абсцисс перпендикуляр
и отложив на нем РМ = рт, получим точку Ж,
принадлежащую, очевидно, искомой линии. Выполняя указанное
построение, мы можем определить сколько угодно точек Ж, Aft, ...
Соединив эти точки плавной линией, мы получим искомый
график функции y = sinx, называемый синусоидой. Чтобы
проследить изменение ординаты у с изменением абсциссы х,
достаточно рассмотреть течение синусоиды на протяжении
одной ее волны, т. е. в пределах изменения аргумента от
х = 0 до лг = 2тт.
При изменении абсциссы л: от 0 до ОВ=^ ордината у
будет возрастать от 0 до ВС= 1; при возрастании х от ОВ=-^
до OD = тт ордината у будет убывать от значения АС=1
до 0; при дальнейшем возрастании абсциссы х от 0О = п
до 0£==2тт ордината у, будучи отрицательной, по числовой

§ б] СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ 23
величине изменяется в том же порядке, как и в пределах
изменения от 0 до тт. Дальнейшее изменение ординаты у
для значений абсциссы в промежутке от дг = 2тг до х = 4тт
будет происходить так, как оно происходило в промежутке
от jc = 0 до # = 2it, и т. д. Очевидно, синусоида имеет
волнообразную форму и неограниченно продолжается в обе
стороны. Однообразное повторение волн кривой соответствует
периодичности функции sin*. Синусоида пересекает ось л; в
точках, абсциссы которых кратны тг, что соответствует корням
уравнения sinx = 0.
Абсциссы же точек синусоиды, наиболее удаленных от
оси jc, будут нечетными кратными -^-, что соответствует
корням уравнений sin л: = 1 и sin jc==—1.
§ 6. Способы задания функций
При определении понятия функции (§ 3) мы не касались
способа задания функциональной зависимости. Согласно
определению функция считается заданной (известной), если
возможно для всякого значения аргумента узнать ее значение,
безразлично каким способом. Самая зависимость функции от
аргумента может быть установлена различными способами,
но в математическом анализе преимущественно функция
задается с помощью формулы, указывающей те действия,
которые надо произвести над каждым данным значением аргумента,
чтобы получить соответствующее значение функции. Такая
формула называется аналитическим выражением функции,
и соответственно с этим такой способ задания функциональной
зависимости носит название аналитического. Так, например,
аналитическое выражение объема шара у как функции его ра-
диуса х есть ^/ss^-tut*. Поскольку х — радиус шара, то
область определения функции л;>0. Вообще всякая формула,
как, например, у = , определяет некоторую функ-
х -f- у х2 -f 1
цию у аргумента х. В самом деле, зная эту формулу, мы для
каждого значения х можем найти соответствующее значение у;
для этого стоит только вместо х подставить в формулу
заданное значение аргумента и произвести действия, указанные
в этой формуле. Здесь область определения — вся ось Ох.

24
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[гл. i
Другой иногда встречающийся способ задания
функциональной зависимости есть графический. Для примера
рассмотрим запись на ленте барографа (барографом называется
прибор, автоматически вычерчивающий на ленте график
зависимости давления воздуха от времени). Кривая, записанная
на ленте барографа, определяет давление как функцию времени.
При исследовании явлений природы иногда приходится
встречаться с такими переменными величинами, между
которыми факт функциональной зависимости устанавливается
опытом или наблюдением, но точная связь между которыми еще
не открыта, т. е. не выражена математической формулой.
В таких случаях обыкновенно составляются из наблюдений или
на основании статистических данных таблицы, в которых
содержатся величины рассматриваемой функции, соответствующие
различным частным значениям аргумента. Этот способ
задания функциональной зависимости носит название табличного.
Так, например, распределение температуры воздуха в
зависимости от высоты места может быть задано с помощью
таблицы, составленной в результате произведенных измерений.
Эти три способа задания функциональной зависимости:
а) аналитический, б) графический, в) табличный,
являясь наиболее употребительными, не исчерпывают собой
всех возможных приемов определения функции.
В частности, возможно задать функцию, описав словами,
какие значения она принимает при различных значениях
аргумента. Например, функция y=f(x) будет определена, если
известно, что при положительных значениях аргумента х она
равна значению аргумента, а при
отрицательных значениях х и
при лс = 0 функция равна
квадрату значения аргумента.
В самом деле, на основании
этого описания мы можем
вычислить значение функции для
любого значения аргумента:
/(2) = 2, /(3) = 3,
Черт. 10.
/(-т)яТ- /(-3) = 9
и т. д. Вычислив достаточное число значений функции, мы
щдем построить ее график,(черт., 10), ^

§ б] СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ 25
Эту функцию, имеющую своей областью определения всю
ось Ох, можно записать так:
д/ = лг при #>0,
у — хг при jkts^O,
т. е. при помощи разных формул на разных частях области
определения.
Примечание. Линейная интерполяция. Задание
функции при помощи таблицы имеет то неудобство, что узнать
значения функции мы можем
лишь для значений аргумента,
помещенных в таблице. Если
нужно вычислить значение
функции для значения аргумента,
не находящегося в таблице, то
приходится определять
значение функции приближенно (как
это всегда делается для
вычисления поправок при
пользовании таблицей логарифмов).
Самым простым является
следующий прием. Пусть с — значение Черт. 11.
аргумента, не помещенное в
таблице и находящееся между ближайшим к нему меньшим
значением хх и ближайшим к нему бблыиим значением xv т. е.
*iOOf (черт. 11). Соединим точки Мх и Мг с
абсциссами хх и х% хордой МХМ% и вычислим вместо неизвестной
нам ординаты точки М графика, отвечающей абсциссе с,
ординату NP точки Р хорды МХМ%, соответствующую той же
абсциссе с. Это значит, что в промежутке от х = хх до x = xt
мы заменяем график функции его хордой.
Вычисление производится так: обозначим NxMx=yx,
NtM%=zy„ NP=yc; тогда отрезок KMt=y9—yv отрезок
LP=:yc—ylt отрезок MtL = c— xx, отрезок MtK=xt— xv
Из подобных треугольников tAxPL и МхМгК находим:
LP MXL
— -аГТ>* ИЛИ
KMt — MkK9
Ус~У\ = с~хх

26
откуда следует
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
*-л-£=^0'.-л>
[ГЛ. I
Ус=Уг + ^%(У,-Уг)-
Второе слагаемое в последней формуле — (уш —у.)
Xt ~~ Х1
является величиной, которую прибавляют к табличному
значению функции ух (так называемая «поправка») для
получения значения ус. Заметим, что если у% меньше, чем ухл то ус
будет также меньше, чем уг, и отношение ^с ~~ , оста-
Уг -~ Уг
ваясь положительным, будет равняться отношению катетов
соответствуюших подобных треугольников. В этом случае
«поправка» будет отрицательной.
Этот способ, основанный на замене графика функций
хордой на участке между двумя последовательными табличными
значениями, называется линейной интерполяцией.
Так, например, пусть функция y=f(x) задана таблицей.
X
У
0
1,75
1
2,25
2
2,40
3
2,45
4
2,50
5
2,48
6
' 2,35
Найдем, пользуясь линейной интерполяцией, следующие
значения функции: а) /(2,5); б) /(3,4); в) /(5,1).
а) Для вычисления /(2,5) имеем:
*1==2; *8 = 3; с = 2,5; ^ = 2,40; jyt = 2,45;
следовательно,
/(2,5) ^,^=2,40 + ^7(2,45-2,40) —
= 2,40 + 0,5 • 0,05 = 2,425 =s 2,42.
б) Для определения /(3,4) имеем:
*, = 3; xt = 4; с = 3,4; Л = 2,45; ух = 2,50;

§ 7] ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ 27
следовательно,
/(3,4) ^ ус = 2,45 + 0,05 • 0,4 = 2,47.
в) Аналогично вычисляем:
/(5,1)^2,48 + 0,1(2,35 —2,48) = 2,48 — 0,1-0,13 ^ 2,47.
§ 7. Обратные функции
Когда в задачу входят две переменные величины и мы
хотим установить функциональную зависимость между ними,
то прежде всего нам необходимо выбрать одну из этих
величин за аргумент, тогда другая величина будет функцией этого
аргумента. Какую из двух переменных считать за аргумент и
какую — за функцию, зависит от рассматриваемой задачи.
Однако если мы выбрали одну переменную величину за
аргумент, то во всех дальнейших рассуждениях мы должны ее
считать аргументом, другую же величину — функцией.
Например, если мы ищем логарифм по числу, то здесь независимой
переменной является число, а его логарифм — функцией.
Если же, наоборот, зная логарифм, определяем соответствующее
число, то аргументом будет служить логарифм, а функцией
будет то число, которое соответствует данному логарифму. Решая
эти две задачи, которые часто приходится выполнять практически,
мы меняем, следовательно, роли функции и аргумента.
Решая задачу о свободном падении тела в пустоте, в
физике устанавливают зависимость пройденного пути s от
времени /, отсчитываемого от момента начала падения, при по-
мощи формулы s = ^5-, которая позволяет находить пройденное
расстояние для каждого момента времени. Здесь мы приняли
время t за аргумент, а путь s — за функцию. Если же нас
интересует промежуток времени, за который тело прошло то
или иное расстояние, то, очевидно, мы должны, наоборот, путь
s принять за аргумент, а время t — за функцию.
Соответственно с этим, решая уравнение $=§- относи-
2у /*2?
тельно неизвестного t, получим: **=: —, откуда *=]/—,
причем перед радикалом берется знак плюс, так как по
смыслу задачи время t имеет только положительные
значения. Последняя формула и дает нам выражение времени t как
функцию пройденного пути s.

28 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Т
Таким образом, выбор аргумента производят, сообразуясь
с условиями задачи и удобством получения искомой
функциональной зависимости.
Вообще, когда мы имеем уравнение с двумя переменными
х и у вида у=/(х), то, решая его относительно х, мы
определяем х как функцию у: х = у(у). Такие две функции,
y=z/(x) и Аг = ср (у), называются взаимно обратными;
одну из них называют прямой функцией, а другую — обратной.
Например, для функции у = ах-\-Ь находим ей обратную:
Например, прямым функциям y = x*t j/=10* соответствуют
обратные х= £/j>» x = lgy.
Пример 1. Определить обратную функцию для j/ =
= А+1.
X [
Разрешая данное равенство относительно х, получим
5 5
x — zzTi' Здесь /(*)= }-1, а обратная функция
у —• 1 х
Пример 2. Определить обратную функцию для у =
Разрешая данное уравнение относительно х, получаем
у2 = 1 -\-х и дг=У — 1. Здесь /(х) = }/^-J-*, а обратная
функция ^ (у) —у* — 1.
Покажем, что графики взаимно обратных функций
У=№ 0)
x = <f(y) (2)
совпадают (т. е. график один и тот же для обеих функций).
В самом деле, координаты (х, у) любой точки плоскости
либо одновременно удовлетворяют обоим уравнениям (1) и (2),
либо одновременно не удовлетворяют, так как уравнения (1) и
(2) являются следствием одно другого. Следовательно, графики
функций (1) и (2) состоят из одних и тех же точек, а это
и значит, что графики совпадают.
Представляя геометрически прямую и обратную функции
одним и тем же графиком, мы должны помнить, что в случае

§ 7] ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ 29
прямой функции y = f(x) аргумент считается за абсциссу,
а функция — за ординату точки графика; в случае же
обратной функции лг == ср (_y)f наоборот, аргумент принимается
за ординату, а функция — за абсциссу точки графика.
Такое двойственное геометрическое истолкование
аргумента и функции неудобно, если мы, например,
изображаем графики на одном чертеже. Чтобы устранить это
неудобство, условимся всегда значения аргумента принимать за
абсциссы, а соответствующие значения функции — за
ординаты точек графика, что равносильно следующему изменению
в обозначениях: независимую переменную обратной функции
вместо у обозначить буквой х% а функцию — буквой у вместо х.
Черт. 12. Черт. 13.
Само собой понятно, что при перемене обозначений, т. е.
при переходе от х — у{у) к
У = Ч{х)> (3)
график изменится, потому что если равносильным уравнениям
(1) и (2) удовлетворяли координаты точки Мх (а, Ь)9 то
уравнению (3) будут удовлетворять координаты точки Мгф> а).
Так как точки Мг (а, Ь) и Мг (£, а) симметричны относительно
биссектрисы координатного угла (черт. 12), то и график
обратной функции (3) будет состоять из точек, расположенных
симметрично относительно биссектрисы координатного угла
с точками графика прямой функции (1) (черт, 13). Может

30
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. I
случиться, что при определении х как функции у из равенства
(1) мы получим для х не одно значение, а несколько.
Например, если у = **, то х — ± Yy и каждому значению у (у > 0)
будут соответствовать два значения х. Мы в этом случае
имеем две обратных функции, х^-^У^у и х = — У у,
с областью определения у ^ 0. Геометрически это означает
(черт. 14), что прямая, параллельная оси х, пересекает график
функции у=/(х) в нескольких точках, так как для данного
значения у мы получаем несколько значений х (график функции
у = х* пересекается с
точках).
прямой, параллельной оси х9 в двух
Черт. 14.
Таким образом, данная функция может определять
несколько обратных ей функций. В этих случаях, иногда
говорят, что мы получаем многозначную функцию; а функцию
в том смысле, в котором мы пользовались этим понятием ранее,
называют однозначной.
j_
Пример 3. Функция, обратная у = хт, будет х=ут
или, если изменить обозначения, у = хт. Графики этих
функций:
у=х; y = ±Vx; у=*/х\ У = ±ъ/х,
(для /» = 1, 2, 3, 4) будут линиями, расположенными
симметрично относительно биссектрисы координатного угла с
графиками прямых функций y = xt У=хг, у = х*, ^ = х4,
построенными в примере 2 из § 5, причем при /и = 2 и

§ 7] ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ 31
/я ==4 мы имеем по две обратных функции, а при /ю=1 и
я* = 3 по одной (черт. 15).
Черт. 15.
Черт. 16.
Пример 4. Обратная функция для y = \gx будет
дс=1(У или, если изменить обозначения, у =10*. На черт» 16
иоказаны график / для y = \gx и график // для j/ = 10*.

32 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ . [ГЛ. I ]
Пример 5. Обратная функция для y — slnx будет
Ar = Arcsinj/ (согласно определению арксинуса) или, если
изменить обозначения, j/ = Arcsinjc. График построен на черт. 17
путем симметрии относительно биссектрисы координатного угла
графика прямой функции у = sin jc, изображенного на черт. 9. ]
Из черт. 17 мы усматриваем, что функция y = Arcsin* \
определена лишь на отрезке — 1^лг^+1 оси л: и для каж- \
дого значения х имеет бесконечное множество значений. ]
Последнее означает,что арксинус — многозначная функция. Здесь 1
мы имеем дело с бесчисленным множеством обратных функций. 1
Из многозначной функции можно выделить однозначную, до- 1
бавив некоторые условия. Так, в случае функции у = х2 многознач- 1
ность ее обратной функции можно устранить, добавив условие, |
что х обозначает положительный корень уравнения у = х*\ тогда 1
значение дс = —у у отпадает, и х становится однозначной 1
функцией у, а именно х = -{- j/у. |

§ 8] ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 33
В случае уравнения s\ny = x или у = Arcsin x
многозначность у устранится, если условимся под arcsin x понимать дугу,
лежащую в пределах от ^ до +у; тогда в пределах
— 1 ^ х <: -J-1 каждому значению х будет соответствовать одно
и только одно значение у. Эта функция называется главным
значением Arcsin x и записывается так: у = arcsin x (с малой
буквы а).
В дифференциальном исчислении всегда предполагается,
что рассматриваемые функции однозначны; иначе многие
теоремы дифференциального исчисления потеряли бы смысл.
Поэтому для дальнейшего мы раз и навсегда установим, что
только тогда мы будем называть у функцией от х, когда
каждому значению х (лежащему в области определения
функции) соответствует одно и только одно значение у.
§ 8. Графическое решение уравнений
Геометрическое представление функций можно
применить для графического решения уравнений. Перенося все
члены данного уравнения в левую часть и обозначая
выражения, получившиеся в левой части, через F(x), придадим
уравнению вид F(x) — Q. Требуется определить корни этого
уравнения, т. е. числовые значения л:, обращающие функцию
^(л:) в нуль.
Для определения этих значений х следует вычертить
график функции y = F(x) и найти абсциссы точек пересечения
графика с осью х; в этих точках ордината равна нулю, и,
следовательно, абсциссы этих точек обращают в нуль F(x)y
т. е. являются корнями данного уравнения. Обычно, однако,
уравнение решается более просто, если одну часть его членов
сгруппировать в левой, а другую часть — в правой стороне
уравнения. Тогда уравнение принимает вид <р (х)=/(х), где
у(х) обозначает левую, а /(х) — правую части уравнения.
Для решения этого уравнения следует определить абсциссы
точек пересечения графиков двух функций j/ = cp (x) и у=/(х).
В самом деле, пусть х0 обозначает абсциссу одной из точек
пересечения двух указанных графиков. Так как в точке
пересечения графиков ординаты равны, то <р(*0)=/(•*<>), и xQ
есть корень рассматриваемого уравнения.
* И. И. Привалов и С. А. Гальперн

34 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. !
Группировка членов производится так, чтобы графики
функций j; == ср (лг) и y=f(x) строились наиболее простым
образом или сводились к вычерчиванию уже известных
графиков.
Пример 1. Решить графически уравнение
хг — Ъх— 3 = 0.
Перепишем данное уравнение в виде лг* == Злг—|— 3; строим
графики двух функций у = х* к у = Зх-\-3. Абсцисса их
точки пересечения (корень уравнения) есть *0=^2,15.
Черт. 18. Черт. 19.
Из черт. 18 видно, что других действительных корней нет.
Очевидно, построить два графика у = х* и#у = Зл:-{-3 более ^
просто, нежели один график у = ха — Зх — 3.
Пример 2. Решить графически уравнение
2* = 2л;. :
Строим графики у —2х и у = 2х и находим абсциссы i
точек их пересечения jct == 1, х2 = 2. Полученные числа хх = 1
и х2 = 2 будут корнями данного уравнения. Из черт. 19 видно,
что у наших графиков других точек пересечения нет, и,
следовательно, данное уравнение не имеет иных корней, кроме
указанных.
Пример 3. Решить графически уравнение sin*—0,5jc=0.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
35
Перепишем уравнение в виде sin л: = 0,5л:. Строим
графики y*=sinx и у = 0,5х и вычисляем абсциссы точек их
Черт. 20.
пересечения (корни данного уравнения): хх = 0, хг =5? 1,85,
xs za — 1,85. Из черт. 20 видно, что данное уравнение имеет
только три действительных корня.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
К §§ 2, 3
1. В окружность вписан прямоугольник. Две противоположные
вершины прямоугольника перемещаются по окружности. Являются
ли переменными: а) стороны; б) диагональ; в) центральный угол,
под которым видна меньшая сторона; г) площадь прямоугольника?
Отв. а) да; б) нет, диагональ постоянна; в) да; г) да.
2. Вершина треугольника перемещается по прямой,
параллельной основанию. Являются ли переменными: а) площадь треугольника;
б) углы при основании; в) сумма всех трех углов треугольника; г)
высота, опущенная из угла при основании? Указать, какие из
постоянных будут параметрами и какие — абсолютными постоянными.
Отв. а) параметр; б) переменные; в) абсолютная постоянная;
г) переменная.
3. В конусе, вписанном в шар радиуса /?, основание
перемещается, оставаясь параллельным самому себе. Являются ли
переменными: а) объем конуса; б) высота конуса; в) боковая поверхность
конуса; г) площадь основания; д) угол при вершине треугольника
в осевом сечении конуса?
Отв. а) да; б) да; в) да; г) да; д) да.
4. Установить в предыдущей задаче функциональную зависимость
и указать области определения функций: а) площади основания S от
высоты h конуса; б) площади основания S от угла <р при вершине
осевого сечения конуса; в) объема конуса V от угла <р при вершине
осевого сечения.
Отв. a) S=**(2/? — h)h\ 0<Л<2/?; б) S = те/?1 sin1?'; 0<<?<л;
в) К==1.1с/?88т*<?(1 -f cos?); 0<<?<«.
а*

36 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 1
5. Функциональная зависимость переменной у от переменной х
задана формулой у = 2*. Вычислить значения у при значениях х,
равных: а) 1; б) 0; в) —2; г) — у; д) —; е) — ~.
Отв. а) 2; б) 1; в) ~; г) -L; д) j/J; e) -I-.
4 У2 j/2
6. Найти область определения функций: а) у =—-— ;
б) у = У1Г£2+ У^х\ в) у= Уъ^х\ г) y = lg(l+*).
Отв. а) х*^ 1; б) — 2«^х^ 2; в) вся ось х; г) х > — 1.
7. Полагая /(x) = cos2x, вычислить: а) /(0); б) /(-гг) \
в) /(-J-); г) /Q0; д) /(0,5); е) /(?).
Отв. а) 1; б) - 1; в) 0; г) ~^\ д) /(0,5)== cos 1 =cos57°17'44^
г- 0,5403; е) / (2) = cos 4 =*: — 0,6539.
8. Полагая /(х) = х2 + 2, найти: а) /(х-f-l); б) /(x)-f-l;
в) /(у);^^; д)/(х2);е)[/(х)]8.
Отв. а) х2 + 2х + 3; б) х2 + 3; в) 1+2; г) ^~^; д) x*-f 2;
е) х4+2х2-И.
9. Полагая /(x) = sin3x, показать, что: a) f(x-\—~ J =/(x)
при всяком целом щ б) /(* — х)=/(х); в) /(—х) = —/(х);
Г) f(j-x) — f(n--x).
10. Полагая / (х) = 1g х, ср (х) = ~^-{, найти: a) /[<р (х)]; б) ср [/(х)]; 1
Отв. a) lg(x—1) —lg(x-r-l); 6)|g|,
11. Полагая 9 М === *2 Ч—2 > показать, что ср (х) = ср ( — J.
12. Полагая /(x) = lgx и ср(х)=10*, показать, что: а) /[ср(я)] =
<=*; б) <?[/(*)]=*.
К §§ 4, 5, 6, 7, 8
13. Построить график функции у = х2 — х в промежутке от
х = — 1 до х = 3.
14. Построить в промежутке от х = 0 до х = 2п графики
функций: а) у = cos х; б) ^ = sin 2х; в) > = 3 sin Зх; г) у = sin -^-.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
37
15. Построить графики функций: а) у = 2*; б)^ = 2~*, в
промежутке от # = —5 до я = 5.
16. Построить график функции ^ = tg# в промежутке от х =
% , те
= _тд0* = + Т.
17. Построить графики функций во всей области их определения:
г)у — хг\ б)у = х'\ ъ)у = х\ г) y = Y; $ У — jT' е)у = ^'
18. Построить графики функций во всей области их определения:
a)jy = — х + х'; б) у = х*—~; в) >> = 2*—^; г) j;=x24-*;
Д) >> = *+р--
19. Функция y=f(x) задана таблицей
X
\ у
0
0,30
0,1
1,25
0,2
1,75
0,3
2,18
0,4
2,45
0,5
2,69
0,6
2,95
При помощи линейной интерполяции приближенно определить:
а) /(0,35); б) /(0,15); в) /(0,58); г) /(0,01); д) /(0,03); е) /(0,24).
Отв. а) 2,31; б) 1,50; в) 2,90; г) 0,39; д) 0,58; е) 1,92.
20. Функция y=f(x) задана таблицей
X
У
-1,5
3,40
— 1
3,05
— 0,5
2,80
0
2,65
0,5
2,53
1
2,43
При помощи линейной интерполяции приближенно определить;
а) /(0,75); б) /(- 1,3); в) /(0,2); г) /(0,35); д) /(-1,25).
Отв. а) 2,48; б) 3,26; в) 2,60; г) 2,56; д) 3,23.
3^ 2
21. Найти обратные функции для: а) / (х) = „ , л; б) /(*)==
=~; в) /W = log,x; г) f(x) = 2 + Vx.
Отв. а)?(х) = |£±?; б) <р(х)=~; в) <р(х) = 2*; г) ?(*) =
= (*-2)2.
22. Найти обратную функцию для у = log4 x и построить графики
прямой и обратной функций,
Отв. у =3*,

38 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИЯ [ГЛ. I
23. Найти обратные функции для: а) ^ = cosx; б) y=xsin2x;
в) У = *-у
Л . *v arcsin x. ч п .
Ome. a) arccos х\ б) —^— ; в) 2 arctg х.
24. Каким дополнительным условиям должны удовлетворять
функции: a) Arcsin х; б) Arccos x; в) Arctg х, чтобы быть
однозначными?
Отв. Одни из возможных условий следующие:
а) — -тг < Arcsin х < -^; б) 0<Arccos х<тс; в) — -^< Arctg х < у .
25. Найти функцию <р(х), обратную для ^ = ctgx, и доказать,
что /[<р (х)] = х и ср [/(х)] == х.
26. Показать, что если /(х) = sin х, а <р (х) = arccos x, то
f[? (*)]=/!-Л
27. Показать, что если /(x) = tgx, а <р (х) = arcsin х, то /[?(х)] =
х
28. Решить графически уравнения: a) sin х = 0,2х; б) sinx =
= х- 1,83.
Отв. a) xt =s= 2,6; х, =5= — 2,6; х8 — 0; б) Xj =$s 2,46.
29. Решить графически уравнение х4 — х — 1=0.
Ome. Xi =52 1,22; х, =^ — 0,72.
30. Решить графически уравнения: а) х* + 2х — 7,8 = 0; б) х* —
7 . 3 п
Отв. a) Xj =5s 1,65; б) х1 = — 1,5; х, = 0,5; х, = 1.

ГЛАВА II
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 9. Абсолютная величина
1°. Абсолютной величиной положительного числа или
нуля называется само число. Абсолютной величиной
отрицательного числа называется число с противоположным
знаком.
Абсолютная величина числа а обозначается так: | а |; тогда,
если а^О, то |а| = а; если же а<0, то |д| = — я.
Примеры:,| — 7| = 7; |5| = 5; | — а| = |а|; \пг\=п%.
Очевидно, что абсолютная величина числа ху т. е. \х\>
равняется расстоянию между этой точкой и началом
координат на прямой.
Двойное неравенство т.п ■■»■■ ,«■ . , ^ , ,..;«,»,
-а<х<а (4) ~* * '"'
выражает, что точка х лежит Черт. 21.
между точками —а и -\-а
(черт. 21), а это означает, что расстояние между точкой
с этой абсциссой х и началом координат, т. е. |лг|, меньше а:
\х\<а. (5)
Ясно, что неравенства (4) и (5) эквивалентны.
2°« Абсолютная величина суммы меньше или равна сумме
абсолютных величин слагаемых, т. е.
|a + *|<|a| + |H (6)
В самом деле, если числа а и b одного знака или одно из
них равно нулю, то в соотношении (6) имеет место равенство,
например: |3 + 5| = |3 | + | 5| или | —3 — 5| = | — 3| +
"г I — 51; если же числа а и b разных знаков, то в (6) имеет

40 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
место неравенство, например: I — 3-|-5К|— 314-151, ,так
как |_3 + 5| = 2, а | —3| + |5| = 8.
3°. Абсолютная величина разности больше или равна
абсолютной величине разности абсолютных величин, т. е,
|a-*J>||a|-|*||.
В самом деле, имеем:
а — Ь-\-(а — £),
откуда в силу 2°
\а\<\Ь\ + \а — Ь\
или
\а\-\Ь\^\а-Ь\. (7)
Мы можем также записать:
b = a-\-(b— a),
откуда
\b\^\a\ + \b-a\ = \a\ + \a-b\
или I
— \a-b\^\a\ — \b\. . (8)|
Объединяя неравенства (7) и (8), имеем: 1
— \а — Ь\<\а\ — \Ь\<\а — Ь\
или в силу 1° {
||a|-|ft||<|a-H
что и требовалось доказать. I
Можно установить справедливость последнего неравенства!
и непосредственно (как в 2°), рассмотрев в отдельности слуЛ
чаи чисел одного и разных знаков. I
4°. Абсолютная величина произведения равна произведеМ
нию абсолютных величин сомножителей, т. е. I
|a.A| = |e|.|H I
Например, | — Т.31 ===== | — 7|.|3| или |2.4| = |2|.|4|. I
В самом деле, последнее равенство в силу правил алгебрьи
имеет место для произведения чисел любых знаков. 1
5°. Отрезком мы назовем часть прямой, лежащунш
между какими-либо ее двумя точками, называемыми конМ
цами отрезка, причем эти концевые точки считаются прим
надлежащими отрезку. щ
J

С 9] АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА 41
Другими словами, все точки с абсциссой х,
удовлетворяющие неравенству
а ^ х ^ ft,
образуют отрезок с концами а и ft; этот отрезок будем
обозначать так: [a, ft] (черт. 22а).
a-h a a-J? О Ь х
Черт. 22а.
Промежутком или интервалом мы назовем часть
прямой, лежащую между двумя ее точками — концами, но
эти концевые точки считаются не принадлежащими
промежутку. Другими словами, все точки с абсциссой х,
удовлетворяющие неравенству
а <С х <С *»
образуют промежуток с концами а и ft (причем точки а и ft
промежутку не принадлежат). Промежуток будем обозначать
так: (a, ft) (черт. 22а).
6°. Мы будем рассматривать направленные отрезки,
лежащие на оси. Под величиной такого отрезка АВ мы
понимаем число, равное по абсолютной величине длине отрезка и
, 2 5—^
О В А
Черт. 226.
положительное, если направление отрезка от Л к В совпадает
с направлением оси, и отрицательное — в противоположном
случае.
Легко видеть, что если точка А имеет абсциссу х1У а точка
В — абсциссу xv то АВ = хг—хх.
На черт. 226 изображен отрезок АВ, имеющий
отрицательную величину.
В § 4 мы уже фактически пользовались направленными
отрезками.
7°. Величинау называется ограниченной, если все ее
значения не* превосходят по абсолютной величине некоторого

42 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. IF
числа М, т. е. существует такое Ж, что все значения у
удовлетворяют неравенству
\у\<м.
8°. Любой интервал, имеющий данную точку своей
серединой, будем называть окрестностью данной точки.
Все точки л:, удовлетворяющие неравенству
a — h<x<a-\-h, (9)
где А — положительное число, составляют окрестность точки а
шириной 2А (черт. 22а). Неравенство (9) можно записать и
так:
\x-a\<h. (Ю)
§ 10. Последовательности
Если нам задано некоторое бесконечное множество чисел
и все числа, входящие в это множество, мы смогли
перенумеровать, т. е. приписать каждому числу, принадлежащему
множеству, свой номер, то такое множество мы и назовем
последовательностью.
Определение. Перенумерованное бесконечное множество
чисел называется последовательностью.
Каждое число, входящее в данную последовательность,
называется членом последовательности. Таким образом,
обозначая через ах член последовательности с номером 1, аг —
с номером 2, ап — с номером лит. д., мы запишем
последовательность так:
а\ч av • • • » #л> • • •
Число ап называется общим членом последовательности.
Будем иногда обозначать последовательность так: {ап}.
Члены последовательности будем изображать точками на
прямой, например на оси Ох. Таким образом, мы получим
последовательность точек (черт. 23).
Пример 1. Множество всех целых положительных чисел
1, 2, 3, 4, ..., я, ... является последовательностью;- здесь
ап = п, я=1, 2, ..., л, ...
Пример 2. Множество всех четных положительных
чисел 2, 4, 6, ..., 2л, ... является последовательностью; здесь
а„ = 2я, /1=1, 2, ..., п, ...

\
\
§10] последовательности 43
Пример 3. Множество 1, -^, -j, ...,—, ... является
последовательностью; здесь ая= —, /1=1,2, ..., л, ...
Пример 4. Множество 1, у, 2, у, 3, -j , 4,-g-, ...
является последовательностью; так как каждый член имеет вполне
определенный номер; однако здесь мы запишем два равенства,
а„ а* а, а4 tts
■ 0 0 О ■■ ■ I '■-■О II О'-" О >■■ .
Черт. 23.
определяющие члены последовательности: одно для членов,
стоящих на нечетных, а другое для членов, стоящих на
четных местах, Ъ именно:
вц|-1 = л1 я=1, 2, 3, ..., я, ...;
^n^jfzri» л=1| 2, 3, ..., л, ...
Не следует думать, что во всякой последовательности члены
последовательности либо возрастают, либо убывают с
возрастанием номера. В примере 4 мы видим, что члены
последовательности таким свойством не обладают: они то возрастают,
то убывают.
Заметим, что не всегда удается для данной
последовательности найти формулу, дающую выражение общего члена
последовательности через его порядковый номер я. Еще Евклид
показал, что простых целых чисел (т. е. таких, каждое из
которых делится только на себя и на единицу) бесконечное
множество 1). Тем самым за каждым простым числом имеется
1) Евклид, известный математик Древней Греции, жил в IV—III
веках до нашей эры.
Приведем его доказательство того, что простых чисел бесконечное
множество. Предположим противное, т. е. предположим, что простых
чисел лишь конечное число, и пусть р — последнее (наибольшее)
простое число. Но тогда число р\ +1 не делится ни на одно из чисел 2, 3,
4, ..., р, так как р\ на каждое из этих чисел делится, а 1 нет.
Следовательно, либо (р\ + 1) — само простое число, либо делится на простое
число, большее р, но все это противоречит тому, что р — наибольшее
простое число.

44 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [Г/1. И
следующее, т. е. простые числа образуют последовательность.
Однако формулы, выражающей общий член этой
последовательности ап через номер я, не найдено.
Замечание. Отметим, что, определяя последовательности,
мы не предполагали, что все члены последовательности должны
быть различными между собой, например: множество чисел
О, 1, 0, 1, ..., О, 1, ... является последовательностью. Здесь
a2*-i = °» «=1, 2, ...,«, ...; а2п=\, л =1,2,..., я, ...;
при геометрическом изображении последовательности
точками на прямой мы будем каждую точку считать столько
раз, сколько соответствующее число встречается в
последовательности. В нашем примере точки 0 и 1 встречаются каждая
бесконечное множество раз.
§ 11. Точки сгущения последовательности
Рассмотрим последовательность с общим членом ап = —
(пример 3 § 10). Изобразим члены последовательности точками
на прямой — оси Ох (черт. 24). Мы видим, что какую бы
малую окрестность точки О мы ни взяли, в эту окрестность по-
111
43 2
О 1
Черт. 24.
падет бесконечное множество точек нашей последовательности.
Точки прямой (оси Ох), обладающие таким свойством, будем
называть точками сгущения последовательности.
Определение. Точкой сгущения последовательности
называется такая точка прямой, в любой окрестности
которой (сколь угодно малой) находится бесконечное
множество точек последовательности.
Пример 1. Последовательность -^, -g-, -j-, у, -j-,
5 1
f, ••• (здесь лln-l:=^-qл, л=1>2> 3> •••» п> ---* агп —
= —тг[ > л = 1, 2, ..., л, •.. J имеет две точки сгущения:
0 и 1 (черт. 25).

§ 12] ПрЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 45
пример 2. Последовательность 0, 1, 0, 1, ..., О, 1, ...
(из Замечания к § 10) имеет две точки сгущения: 0 и 1.
Пример 3. У последовательности 1, — -^, у, —-j,...
/ (— 1)" \
(здесь ап = —-—, п = 1, 2, ..., я, ... J имеется только одна
точка сгущения 0, как это легко увидеть, сделав чертеж.
Ill fll
.4 32 43 2
—" - IOOQ»P О ■ -1 ■ — ■ I 0-»»О*в CLj-j-jl. 1 и>»
о . , 1 г я
Черт. 2D.
Можно указать последовательности, имеющие сколько
угодно точек сгущения. Например, чтобы составить
последовательность, для которой данные точки a, b и с являются
точками сгущения, надо положить
агп = а-\- — , я=1, 2, ♦ ..,#, ...;
^-2 = ^+^ «=1,2.
., я,
Таким образом, мы получим нужную последовательность.
Конечно, можно построить бесчисленное множество разных
последовательностей, имеющих одни и те же точки сгущения. Можно
указать последовательности, для которых каждая точка оси будет
точкой сгущения, однако мы на этом не будем останавливаться»
§ 12. Предел последовательности
Определение. Мы скажем, что .последовательность
{ап} имеет своим пределом число а, если вне любой
окрестности (сколько угодно малой) точки а имеется не более
конечного числа членов последовательности.
Запишем это так: lim ад = а1).
Если последовательность {ап\ имеет своим пределом а,
то а является единственной точкой сгущения
последовательности. В самом деле, в любой окрестности точки а лежат
*) lim —это первые три буквы французского слова limite,
означающего предел.

/
46 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. П
все члены последовательности за исключением быть может
конечного числа. /
Пример 1. Последовательность ап = у - (пример 3
§ 12) имеет одну и только одну точку сгущения, именно точку О,
и вне всякой окрестности точки 0 остается конечно^ число
членов последовательности, поэтому '
Пример 2. Последовательности в примерах 1 и 2 § 11
имеют по две точки сгущения и потому предела не имеют.
Пример 3. Последовательность 1, -к , 2, ^, 3, о»,...
...!»• з«э— (здесь а1»-1 = лиа8«=:2й» л=1, 2, ..♦,/*, ...)
имеет единственную точку сгущения 0, но вне
окрестности этой точки остается бесконечное множество точек
последовательности. Последовательность предела не имеет.
Теорема U Изменение величины конечного числа членов
последовательности или удаление конечного числа членов
последовательности не влияет на предел последовательности.
В самом деле, изменение или изъятие конечного числа
членов последовательности, очевидно, сохраняет имеющиеся у
последовательности точки сгущения. Кроме того, если где-либо
на оси (например, вне окрестности данной точки) имелось лишь
конечное число членов последовательности, то после
указанного изменения их останется также конечное число (или, быть
может, ни одной). Если же их было бесконечное множество,
то их останется также бесконечное множество. Это означает,
что если последовательность имела предел, то он сохранится
после наших изменений; если его не было, то он не
возникнет, чем теорема доказана.
Замечание. Отметим, что последовательность {ап\, как
и всякое множество (см. 7° § 9), называется ограниченной,
если существует такое число Ж, что все члены
последовательности удовлетворяют неравенству *
|ай|<Ж.
Теорема 2. Всякая последовательность, имеющая
предел, ограничена.

§\13] ПРИЗНАК СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА 47
V$ самом деле, пусть последовательность {ап} имеет
предел щ тогда вне любой окрестности точки а, например вне
окрестности, имеющей ширину, равную 2, остается лишь
конечное число членов последовательности, а все остальные точки
лежат \а. интервале (а—1, а-j-l) (черт. 26).
1
а-1 a+t
»-—О—О-О I [OOQO I 00 OI О >
О а я
Черт. 26.
Пусть k — наибольшее из расстояний точек
последовательности, не попавших в окрестность {а—1, а-|— 1), до начала
координат (таких точек лишь конечное число). Наибольшее
расстояние точек, лежащих на интервале (а—1, a-f-1), до
начала координат не превосходит наибольшего из чисел | а—11,
|а-|-1|- Таким образом, если обозначить через М
наибольшее из чисел &, \а— 1 | и |a-j- 1 |, то расстояние любой точки
последовательности до начала координат не будет
превосходить Ж, т. е. при всех п
\ап\<,Му
что и требовалось доказать.
§ 13. Необходимый и достаточный признак
существования предела
Теорема /. Для того чтобы последовательность {ап\
имела предел, равный а, необходимо и достаточно, чтобы
для каждого положительного числа е можно было найти
такое число N(e), что для всех номеров п, больших N(s),
будет выполняться неравенство
\ап — а\<г.
Докажем сначала необходимость признака. Предположим,
что а является пределом {ап}> т. е. lim an = a, и покажем,
что признак выполнен. Возьмем окрестность точки а шириной
2s (черт. 27), где е— произвольное положительное число;
тогда вне этой окрестности, в силу определения понятия
предела, останется лишь конечное число членов последовательности.

H-£*4-*-*
48 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ.
Каждый из этих не попавших в выбранную окрестность
/членов последовательности имеет свой определенный нбмер.
Примем за N(s) наибольший из этих номеров. Тогда все/члены
последовательности с номерами я, большими N(s), т./е. при
/z^>yV(s), попадут в выбранную окрестность точки at а это
означает, что их расстояние до точки а меньше е, tJ е. при
n^>N(e) выполняется неравен-
"е"П ство \ап — а|<е, чем необхо-
——i—»* димость признака доказана.
О с-е а а+е Докажем теперь достаточ-
Черт. 27. . ность признака, т. е. докажем,
что если признак выполнен, то
последовательность имеет предел, равный а. Итак, дано, что
для всякого е>0 найдется такое Af(e), что при n^>N(s)
имеет место неравенство
к —а|<в. (И)
Возьмем окрестность точки а шириной 2s. Поскольку за е
можно взять любое положительное число, это значит, что мы
можем взять любую окрестность точки а. Неравенство (11)
показывает, что в эту произвольным образом выбранную
окрестность попадут все члены последовательности с номерами
n^>N(s)y а это означает, что вне этой окрестности могут
остаться лишь члены с номерами, не превосходящими Af(s), a
таких — конечное число. Таким образом, доказано, что а
является пределом последовательности, т. е.
lim an = а.
Пример. Пусть ал=—2, покажем, что lim ап = 0. Для
п и-»оо
этого надо показать, что для всякого е>0 найдется такое
iV(e), что при n^>N(e) выполняется неравенство
14-о
= i<e. (I2)
Ко это неравенство имеет место тогда и только тогда, когда
2-. 1
*2>Т

§\13] . ПРИЗНАК СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА 49
или\ когда
V«
Таким образом, при л>-= неравенство (12) выполняется
У г
и за искомое N($) можно принять -7=-; тем самым мы нашли
1 Ys
В частности, если е = j^g, то /V(s) = —^=-= 10, т. е.
У ТОО
для того чтобы ял = -¥<Сто(), нужно, чтобы «>10.
Если г = Ш>тоМ(г)= —4=== = Kl000^31f 1...,т.е.,
У 1000
начиная с л = 32, неравенство —г^тплл выполняется и т. д.
Докажем теперь более общую теорему.
Теорема 2. Предел последовательности ап = -ь, где
&>0> равен нулю, т. е.
lim Нб==0-
П -> CD
Надо доказать, что для всякого s>0 можно найти такое
N(e), что при n^>N(s) выполняется неравенство
Но неравенство (13) будет выполнено тогда и только тогда,
когда
*v. 1
п >Т
или
*>(т) • w

50 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. k\
(1 \ '
— 1 служит
искомым числом М(г), т. е. N(e)== ( — ] .
«=(4f
Итак, доказано, что при п > N (е) = (— 1 выполняется Щ
неравенство (13), а это и означает, что lim -^ = 0, что и
л-* со П
требовалось доказать.
Определение действий над последовательностями.
Условимся, что суммой двух последовательностей, их раз-
ностью, произведением или частным называются
последовательности, полученные соответственно почленным
сложением, вычитанием, умножением или делением членов
данных последовательностей.
Таким образом, последовательность {сп\ с общим членом
спт=>ап-\-Ъп является суммой последовательностей {ап} и {Ьп}.
Аналогично последовательности с общим членом сп = ап— bni
или сп = апЬпУ или cn—j£ являются соответственно
разнося
стью, произведением или частным последовательностей {ап}
и {*„}•
§ 14. Бесконечно малые последовательности
Определение. Последовательность, предел которой
равен нулю, называется бесконечно малой последователь-
ностью.
Сказать, что последовательность имеет своим пределом 0
или что она бесконечно малая, — одно и то же.
Последовательность ап = -5, 6>0, рассмотренная в §
12,—бесконечно малая.
Замечание. Очевидно, что если последовательность
{ап\ — бесконечно малая, то и последовательность {—<хп\ —
также бесконечно малая, так как |аЛ| = | — аЛ|; поэтому
если при п > N(е) имеет место | лп | < е, то и | — а„ | < е.
Роль, которую играют бесконечно малые в теории пределов,
выясняет следующая теорема.

4 14] БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 61
Теорема /. Если а является пределом
последовательности ап, то разность между членами последовательности
и ее пределом, т. е. ап = ап — а, — бесконечно малая,
и обратно, если разность между членами
последовательности и постоянным ьп = ап — а является бесконечно
малой, то а есть предел ап, т. е. Iim0rt = a.
и-*оо ,
В самом деле, если \iman = a, то это означает, что для
я-» со
всякого е>0 найдется такое /V(e), что при п>N($) имеет
место неравенство
l«J=k.—*!<••
откуда заключаем, что limaw = 0, т. е. {an} — бесконечно
малая последовательность.
Обратно, пусть ап = ап — а — бесконечно малая
последовательность, т. е. lim ап = 0; это означает, что для всякого
$^>0 найдется такое N(e), что при n>N(e) имеет место
неравенство |ал|<$, или, что то же самое, \ап — а|<е, но
тогда lim an = а. Теорема доказана.
«-> се
Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность,
т. е. если {ап\ и {$„} — бесконечно малые последовательности,
то и Ул = ая~гРл — также бесконечно малая
последовательность.
Доказательство. При любых п имеет место
неравенство
Ы<1«.1+1Р.|.
Но так как {осп} и {§п} — бесконечно малые, то для всякого
т^>0 найдется такое Nt (-3*) > что ПРИ л>^11"5")
ККу, (15)
и также найдется такое ^«(у)» чт0 ПРИ пУ>^г[^)
IP-K-I- ^

52 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. И
Спрашивается, для каких п будут выполняться сразу оба
.неравенства (15) и (16). Очевидно, что если за Л/(е) выбрать
наибольшее из двух чисел Ni(4") и ЛМ-^-)» то при
n>N(e) оба неравенства (15) и (16) будут выполнены, и для
этих п мы имеем:
1т.1<КЖЫ<т+Т'
т. е.
1т.К«.
а это и означает, что {у„} — бесконечно малая
последовательность, что и требовалось доказать. ,
Теорема «?. Произведение бесконечно малой
последовательности на ограниченную последовательность является
бесконечно малой последовательностью, т. е. если {хп} —
бесконечно малая последовательность, а {ап} — ограниченная
последовательность, то последовательность {а„ап}
—бесконечно малая.
В самом деле, так как {ап}—ограниченная
последовательность, то существует такое число М} что для всех п
\ап\<М.
Раз {ап\—бесконечно малая, то для любого tj>0 найдется
такое ^(i). что при ">n(^)
К1<Ж-
Но тогда для этих п имеем
la»*J=KII*J<i^
или
а это и означает, что последовательность {<х,пап\—бесконечно
малая, что и требовалось доказать.
Следствие /. Произведение бесконечно малой
последовательности на постоянное число является бесконечно
малой последовательностью. Умножение каждого члена после-

\§ 15} ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 53
довательности {ал} на постоянное число К можно
рассматривать как умножение последовательности {аи} на
последовательность \bn), все члены которой постоянны, т. е. bnz=K,
а эта последняя, очевидно, ограничена числом М = \К\.
Поэтому последовательность {сипК\ —бесконечно малая. В
частности, если последовательность {ал}—бесконечно малая, то
и {—oin} также является бесконечно малой.
Следствие 2* Разность двух бесконечно малых является
бесконечно малой.
В самом деле, разность <хп — р/| = а7г-|-(—рп)
представлена в виде суммы двух бесконечно малых последовательностей
{а„} и {—рп} и, следовательно, по доказанному — бесконечно
малая последовательность.
Следствие 3. Сумма любого конечного числа
бесконечно малых последовательностей является бесконечно
малой последовательностью. Действительно, пусть {ап\,
{Ьп}, {сп\ — три бесконечно малые последовательности; тогда
сумма
я« + ** + *« = К + *й) + **
представлена в виде суммы двух последовательностей {ап-\-Ьп}
и {сп}, из которых {ап-\-Ьп}—бесконечно малая
последовательность в силу теоремы 2 этого параграфа, а {сп\ — по
условию, и потому по той же теореме 2 наша сумма —
бесконечно малая последовательность. Нетрудно показать, что
сумма четырех, пяти и т. д. бесконечно малых
последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
§ 15. Основные теоремы о пределах
Теорема L Предел суммы двух последовательностей
равен сумме их пределов, если эти последние существуют,
т. е. если lim an = a n lim bn — by то
П-ХЭО Л-ЮО
lira (an + bn)=a + b.
Доказательство. Поскольку а является пределом
{ап}у а Ь — пределом {Ьп}у то

64 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
где {аи} и {р„} — бесконечно малые последовательности.
Складывая эти равенства, получим
ая + Ья = а + Ь + [ая + 1я),
откуда видно, что последовательность ап-\-Ьп отличается от
а-\-Ь на последовательность {a„-f-P„}. Но {ап + Рл}, как
сумма бесконечно малых, является бесконечно малой, поэтому
в силу теоремы 1 § 14
Urn (*». +*ж) = в + *,
П-> 00
что и требовалось доказать.
Следствие* Предел суммы конечного числа
последовательностей равен сумме их пределов, если эти
последние существуют.
Проведем доказательство, например, для суммы из четырех
слагаемых. Пусть
lim ал = я, lim bn = b, lim cn = c и lim dn = d.
Л-+00 7Z-+Q0 Л-tOD Л -> 00
Покажем, что lim (an-\-bn-\-cn-\-dn) = a-\-b-\-c-{-d.
Л-ЮО
В самом деле, поскольку
lim (an + bn) = a + b,
И-* СО
ТО
lim (an-\-bn + cn) = llm (в||-f ftj + Иш сп = а + Ъ + с
я~»оо п-*оо л-юо
и
lim {ая + Ья + ся + (1я) = Ит (an + bn + cn) + lim dn =
Л-* 00 Л-* 00 П -► 00
= a-\-b-\-c-\-d%
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Предел произведения двух
последовательностей равен произведению их пределов, если эти
последние существуют, т. е. если
lim ал = а, lim bn — bf
П-> 00
TO
lim anbn = ab.

§15] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 55
В самом деле, так как последовательности {ап} и {Ьп\
имеют пределы, то
»„ = * + &,.
где {ая} и {ря} — бесконечно малые последовательности; тогда,
перемножая, получим
*А=(«+«»>(*+№
ИЛИ
я А = ob + ал* -f ряя + аяря.
Но последовательности {ъпЬ} и {|Зяа} являются произведениями
бесконечно малых на постоянную и потому бесконечно малые
(следствие 1 теоремы 3 § 14). Последовательность {ая §п\
является произведением двух бесконечно малых. Поскольку
какую-либо одну из бесконечно малых, например {[}„}, можно
принять за ограниченную, потому что всякая последовательность,
имеющая предел, ограничена (теорема 2 § 12), то тем самым
{алР«} — бесконечно малая (теорема 3 § 14). Поэтому
последовательность {ana-\-$nb -J-a„|3nb как сумма бесконечно
малых, — бесконечно малая и
lim anbn = ab,
л-*оо
что и требовалось доказать.
Следствие» Предел произведения конечного числа
последовательностей равен произведению их пределов, если эти
последние существуют.
Проведем доказательство для случая, например, трех
сомножителей. Пусть lim an = a, lim bn = b и lim cn = ct
«-►00 П-ЮО Я-»-00
покажем, что iim (anbncn) = abc.
В самом деле, поскольку lim anbn = ab% то
П~¥ 00
lim (anbncn) — lim (anbn) lim cn = abc,
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Предел частного двух последовательностей
равен частному их пределов, если эти последние сущест-

56 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
вуют и предел последовательности в знаменателе не равен
нулю, т. е. если lim ап = а и lim bn — bt причем д=£0,
то
lim & = i
14111 «. ' ]Г^ •
В самом деле, имеем
*. = *4-ая и *» = * + ?«»
где {ал} и {рм} — бесконечно малые.
Рассмотрим разность
v — а + ап <* _ «J - h<*
u—b+K b—(b + K)b-
Нам надо показать, что эта разность, т. е. yrt,— бесконечно
малая. Но {апЬ — фпа}, как разность бесконечно малых,—
бесконечно малая. Покажем теперь, что |. ,. .Л
—ограниченная.
В самом деле, так как {рм} — бесконечно малая, то,
приняв s = '-у-, можно указать такое N ("уЧ » что при n^>N (-У-)
тогда
lb+%\^\^\-\U>\f\-l4[=[T
Следовательно,
1
Ф + К)ь
ь + и^Щ'
^ i h 11 h I — hi *
1*11*1"
Тем самым показано, что, начиная с определенного номера
(при n^>N ( 2 ))» последовательность ограничена. На
остальные члены последовательности можно не обращать внимания,
так как значения конечного числа членов последовательности
на предел не влияют (теорема 1 § 13).

§ 15] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 57
Таким образом, наша разность Чп = (Ь . а \Л^пР — $па)
является произведением бесконечно малой на ограниченную и
тем самым является бесконечно малой (теорема 3 § 14).
Поэтому
п-»оо К Ь
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти
п
lim
л + Г
В этом примере непосредственно нельзя применить
теорему о пределе дроби, ибо пределов знаменателя и числителя
не существует. Поэтому преобразуем наше выражение, деля
числитель и знаменатель на п\ тогда
п __ 1
я + 1-1 W
1 п
последовательность бесконечно малая, и lim — = 0.
Следовательно,
lim » =lim * l=i.
* n
Пример 2. Найти
lim 2*Д + 3
Разделим предварительно числитель и знаменатель на я2,
тогда 3
2/гд + 3 _ 2 + 7*
л* + 2л-1 — 2 1 •
Последовательности /-^ и /—> — бесконечно малые, их
пределы равны нулю, и
2/z'4-3 r ^ nz 2 0
hm „ж ■ оГ—r=lim 5 Г = Т=2-
1^ л л*

58 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. 11
Теорема 4. Предел целой положительной степени
равен той же степени предела, если этот последний
существует, т. е. если
lim ал = а,
Я~*СО
ТО
lim (an)k=a*,
«-►00
где k — целое положительное.
В самом деле, пользуясь теоремой о пределе произведения,
имеем
lim (an)k= lim an.. .ап = а.. ,a = ak,
k раз к раз
что и требовалось доказать.
Теорема 5. Предел корня k-й степени равен корню той
же степени из предела, если этот последний существует,
т. е. если /
lim an = a,
ТО _
lim Yan=Va-
п~кх>
Предполагается, что если k — четное, то ап^0.
В самом деле, ап = а-\-<хп, где {ай} — бесконечно малая.
Предположим сначала, что а=^=0.
Рассмотрим разность
утп~ уъ=*/^к:- */«•
Обозначим эту разность f„, т. е. положим
т.=*/«+«»-*/«.
и покажем, что {у„} — бесконечно малая.
Имеем

§ 15] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 59
Положим рл = ^; последовательность {$п\ — бесконечно ма-
5
а
лая, и
y„=7«(7i+p„-i>..
Вспомним теорему Безу, в силу которой
ak — bk = (a — ft)(a*-, + a*-l*+...+**-1)1).
Тогда
= у а
7(1+м*~'+- + 7,-н»+1
1
(17)
Но так как {ря}—бесконечно малая, то для s=-^
найдется такое N\-j\, что n>N\-7A'< 1М<-2* тогда
(1+?„)>!-|М>Т
(1+Рл)*>(|)*>о.
Следовательно,
1 + 7т+К+7он^,+...+7(ттеРг>1.(18)
!) Эту формулу легко доказать непосредственно.
В самом деле, выражение an~l-\-an~*b +... -\-аЬп~г-\-Ьп~х
является геометрической прогрессией со знаменателем —; поэтому
по формуле для суммы геометрической прогрессии имеем
ап~1 — Ьп~1 —
а
и, умножая обе части равенства на a*— b% мы получаем нужную нам
формулу.

60 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. П
Таким образом, из неравенства (18) получаем:
1 ^
Следовательно последовательность {уя}, как видно из (17),
является произведением бесконечно малой pw на величину
ограниченную, и поэтому {уя} — бесконечно малая. Следовательно
МтУап = \г^.
Я->00
Рассмотрим теперь случай, когда Нтял = а = 0. Требу-
и-*со
ется доказать, что
lim ^/ай=|/а = 0.
Последовательность {ап} — бесконечно малая, надо доказать,
что последовательность {уап}— тоже бесконечно малая. Для
этого возьмем s*>0, тогда найдется такое N(&k), что при
n>N(ek)
К1<е*,
но тогда *
\Va„\=VW\<s-
Значит, {}/<*„} — бесконечно малая, и lim j/a^ = 0. Тем
Cart-» о»
мым теорема доказана.
§ 16. Переход к пределу в неравенствах
Теорема /. Если члены двух последовательностей удов"
летворяют неравенству
<*„<*«> (Щ
то их пределы удовлетворяют такому же неравенству,
если эти последние существуют, т. е. если \\тап = а и
\\mbn =Ь и выполняется неравенство (19), то 4^А

§ 16] ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ В НЕРАВЕНСТВАХ 61
Будем доказывать теорему от противного, т. е.
предположим, что я>£.
Возьмем 8 = -^— , тогда так как а является пределом {ап}у
найдется такое Ыг (^у-) » ч™ при n^>N1 (^Гу
а — Ь
К" а\<"2
или, что то же самое,
а — Ь ^ ^ а, — Ь
<Сап — а<
2 ^~» ^ 2 *
Прибавляя ко всем частям неравенства число а, получим
аА-b ^ ^Ъа — Ь /плч
-f-<an<—2~. (20)
Точно так же, поскольку Ь является пределом {Ьп)у найдется
такое Nt (^тр-) , что при я > N2( —^—)
или
в-*<*я_*<?-*
2 ^ п ^ 2
или
ЪЬ — а
<ЬЯ<Ш. . (21)
2 ^^я^ 2
При я, большем как NA ( —?г— J, так и Л/2 ( 2 ] , оба
неравенства (20) и (21) выполняются. Из неравенства (20)
следует, что
а + Ь
а из (21) следует, что
2 <ап
Следовательно, Ьп<^ап, что противоречит условию* чем
теорема доказана*

62 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. П
Замечание. Если между членами двух
последовательностей имеет место строгое неравенство
ап<Ьп
и последовательности имеют пределы, т. е.
liman==c и limftrt = &,
то в силу теоремы 1 мы заключаем, что а^Ь.
Приведем пример, показывающий, что, в самом деле,
иногда а = *, т. е. в пределе иногда неравенство
превращается в равенство.
Пусть а„ = 1, Ьп=\. тогда 1<1. Но Ига 1=0
и lim —= 0, поэтому lim х-= lim—.
Теорема 2. Если между членами трех
последовательностей выполняются неравенства
я* <*«<*»> (22)
причем пределы {ап\ и {Ьп\ существуют и равны между
собой, то и предел {сп} существует и равен общему
пределу {ап} и {Ьп\, т. е. если имеют место неравенства (22) и
lim an= lim bn = af
«-►00 n-»GO
TO И
lim cn=a.
В самом деле, так как \iman = a, то для любого е>0
существует такое Nt (е), что при я > Nt (г) имеем \ап — а |<е,
или —е<ал — a<s или
a — e<art<a-f-s. (23)
Так как lim bn = a9 то для того же е>0 найдется такое
П-* СО
Nt (е), что при п > Nt (е) имеем \Ьп — а |<еэ или
— г<Ьп — a< + s.
или
а —8<6||<а4-з. (24)

§ 17] БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 63
Тогда при л>М(е), где N(e) — наибольшее из Л/, (s) иЛ/а(е),
оба неравенства (23) и (24) выполняются, и мы имеем:
а — е<аЛ и *„<а-|-е.
Учитывая неравенство (22), при n^>N(e) получим
или
л — е<сп04-8>
или
К —«|<«.
а это последнее означает, что lim £„ = а, что и требовалось
доказать.
§ 17. Бесконечно большие последовательности
Определение. Последовательность {ап} называется
положительной бесконечно большой, если для любого А (как
бы велико оно ни было) найдется такое число N(A), что
для всех n^>N(A) выполняется неравенство
ап>А.
Обозначают это так: lim ап = -\-оо.
я-* со
Например, последовательность с общим членом ап = я* —
положительная бесконечно большая, так как для любого А
(пусть А > 0) пх > Л, как только п > VА. Здесь можно
положить N(A) = ]/rAt т. е. мы имеем
lim л* = -{-оо.
Аналогично определяется отрицательная бесконечно большая.
Определение. Последовательность {ап} называется
отрицательной бесконечно большой, если для любого А
(каким бы большим по абсолютной величине и отрицательным
оно ни было) найдется такое число N(A), что для всех
n^>N(A) выполняется неравенство
а„<А.
Обозначают это так: lim яп = — оо.
Л-»00

64 теория пределов [гл. п
Очевидно, что если {аи\ — отрицательная бесконечно
большая, то {—ап\ — положительная бесконечно большая.
Определение. Последовательность {ап} называется
бесконечно большой, если последовательность {| ап |} —
положительная бесконечно большая. Обозначают это так:
liman = oo.
я-юо
Например, последовательность ап = (— 1 )п пг является
бесконечно большой, так как \ап\ = п2. Эта
последовательность, очевидно, не является ни положительной, ни
отрицательной бесконечно большой. Однако и положительная
бесконечно большая, и отрицательная бесконечно большая
последовательности являются бесконечно большими.
Теорема /. Последовательность, обратная по величине
бесконечно большой, является бесконечно малой, т. е. если
lima„ = oo, то lim — = 0.
я > п
я-*оо я-юо^я
В самом деле, выберем Л = —, где е>0. Тогда, по
определению бесконечно большой, при п > N ( —] имеет место
1
неравенство |я„|> —, или
1 |<е,
а это и означает, что lim — = 0, что и требовалось доказать.
п+соап
Теорема 2. Последовательность, обратная по величине
бесконечно малой последовательности, члены которой не
равны нулю,— бесконечно большая, т. е. если lim од = 0и
я-юо
в* т^°. то
lim — = оо.
В самом деле, выберем s=-j>»0, тогда имеется такое число
N{j)' что при п>Ы{^а)
кк-я-

§ 18] ПРЕДЕЛЫ НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 65
Тогда
га>'4'
а это и означает, что
Игл —=оо,
п-*ссап
что и требовалось доказать.
Пример. Поскольку ап=~ь (* > 0) — бесконечноjuaлая, то
— = nk—бесконечно большая, т. е. lim nfc — oo.
ап п-юо
§ 18. Пределы некоторых последовательностей
1°. Предварительно докажем справедливость неравенства
(1+А)я^1+лА, (25)
где п — целое положительное число и А>0. Воспользуемся
формулой бинома Ньютона
(1 -f- hf = 1 -f nh + ^j=^ Л» + n (" ~ ]Ц£ ~ 2)А'+...+Л".
Поскольку все слагаемые в правой части последнего равенства
положительны, имеем
(1-}-А)п->1+яА,
что и требовалось доказать.
Отметим, что соотношение (25) обращается в равенство
только при п = 1.
2°. Теорема L \\тап = оо, если |а|>1, и Нтап = 0,
и-*ао л-*со
если |а|<1.
В самом деле, пусть |д|>1, тогда число |а| можно
записать так:
|а| = 1+А,
где й]>0, и, пользуясь неравенством (25), получим .
\a\n = (\-\-h)n^\+hn.
Поскольку последовательность {1-f-^} — положительная
бесконечно большая, то {ап\ — бесконечно большая, а это
записывается так: lim an= оо.
п->со .
3 И. И. Привалов и С, А. Гальперн

66 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
Пусть теперь |а|<1, тогда ft = r^> 1,откуда|а |=у
и |а|п = ^; поэтому {\а\п} будет, как обратная бесконечно
большой {£"},— бесконечно малой, следовательно,
и{ап}—бесконечно малая и
liman = 0.
Теорема доказана.
На основании доказанного имеем, например: Нт2п = оо;
Ит (0,3)" = 0; Нт (—1,25)п=оо; Нт(—0,4)" = 0."*°*
П->00 И-*0О Л->00
3°. Геометрическая прогрессия* Вычислим «сумму»
бесконечной геометрической прогрессии
^ + аоЯ + М2 +М* + • - .+<W" + • • •
Здесь прежде всего необходимо определить, что означает
термин «сумма». Мы умеем производить сложение (находить
сумму), только когда мы имеем дело с конечным числом
слагаемых, но мы вовсе не знаем, как найти «сумму» для
бесконечного числа слагаемых, так как обычным способом, сколько
бы мы ни складывали, всех слагаемых мы не исчерпаем.
Чтобы избежать это затруднение, поступим так: найдем
сначала сумму п первых членов прогрессии и обозначим эту сумму
5Я, а затем будем искать lim Sn. Этот предел (если он суще-
«-►00
ствует) и называют суммой бесконечной прогрессии. Из
алгебры известно, что
о До — Ло<7П _£о Др „п
°п~ 1 — 0 — 1-? \-ЯЧ*
Величина у^— есть постоянная (не изменяется с изменением п\
qn стремится к нулю, если |#|<1, и стремится к оо, если
|^|>1(см. 2°). Поэтому, если |#|<1, то

§ 18] ПРЕДЕЛЫ НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ . 67
если же | q | > 1, то qn — величина бесконечно большая, и,
следовательно, предел Sn не существует: Ига 5я = оо.
И->00
В первом случае говорят, что прогрессия сходится и ее
сумма равна 5=11*т5й^=—^; во втором случае говорят,
что прогрессия расходится.
4°. Теорема 2. Нт{/#=1, если а — любое положи-
п-*со
тельное число.
Доказательство распадается на три случая: 1) а>1,
2) 0О<1 и 3) а—\.
1) у^а для а^> 1 будет больше единицы. Обозначим
через. hn разность j/a — 1, т.е. hn = j/a — 1. Члены
последовательности hn меняются с изменением л, оставаясь все
время положительными. Определим а из последнего равенства:
а = (\ -\-hn)n. Пользуясь неравенством (25), получаем
а = (1+*„)"> 1+лАя,
откуда
fi ^
п п
Так как hn — число положительное, т. е. hn > О, получаем
двойное неравенство
п 1
заметив, что lim = 0, по теореме 2 § 16 получим:
л-»оо п
П->О0
lim/zrt = 0, но hn = л/~а—1, поэтому
lim Уа= lim (1-}-*„)= 1.
л-юо п->со
2) Если 0 < а < 1, то, полагая •— = Ъ, получим число *,
большее единицы; тогда
пТъ Уа~n"l>~»7T= lim yf = T = #
V л-*оо V

68 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
3) Если а=1, то у/а= j/l = 1,и,значит,lim {/а = 1.
И-*00
Теорема доказана.
На основании доказанного имеем, например,
lim {/2 = 1, lim {/0^ = 1.
§ 19. Принцип существования предела
Определение. Назовем последовательность, в которой
всякий следующий член не меньше предыдущего, т. е.
0i ^ Д2 ^ az ^ • • • ^ я„ ^ • • • i
неубывающей.
Аналогично назовем последовательность невозрастаю-
щей, если
ах > а2 > я3 > ... > яп > ...
W _ 1
Пример 1. Последовательность ап = (л=1,2,3,...),
имеющая значения °> "о"» у » т» "§"» • • • > является
неубывающей, она даже строго возрастающая.
Пример 2. Последовательность, имеющая значения
1 1 1 ± 1 I -L JL
* ' 2 ' 2* 4 ' 4' *" * ' 2m' 2m ' * * * *
является невозрастающей.
Всякая невозрастающая или неубывающая
последовательность называется монотонной.
Имеет место теорема.
Теорема. Всякая монотонная ограниченная
последовательность имеет предел1).
Дадим геометрическое пояснение. Точка, изображающая
член неубывающей последовательности {ап}, может с
увеличением номера п перемещаться только в положительном
направлении оси Ох (черт. 28). В то же время точка пе
может уйти правее некоторой точки М, так как
последовательность ограничена. Теорема утверждает, что тогда
2) Доказательство этой теоремы требует более углубленного и
строгого изложения теории пределов, поэтому мы это доказательство
опускаем.

§ 19] ПРИНЦИП СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА 69
последовательность имеет предел (не превосходящий М).
Аналогичное пояснение можно дать и для случая невозрастаю-
щей последовательности.
Черт. 28.
п* |
Пример 3. Последовательность ап =—i-—(л=1,2,3,...)
л 3 8 15 31 л2-1
принимает значения 0, ^, -§-, rg» 32'"*' й» > ••• и яв"
ляется возрастающей, но ап = —^~ =1 2 <d 1, а это
означает, что последовательность ограничена.
Такая последовательность, в силу теоремы настоящего
параграфа, имеет предел, что, впрочем, в этом случае и так
очевидно, ибо
"" = Нт (1 i) = l.
lim
п-»оо
Пример 4. Рассмотрим более сложный пример. Задана
последовательность
п радикалов
Очевидно, чтоа1<аг<а3<...<ал<ал+1<... ,т. е.
наша последовательность — монотонно возрастающая. С дру-
' гой стороны, ах = У 2 , яа = 1^2 -{- ах, а3 = У2-\-аг и
вообще я„ = У 2-\-ап_г, откуда следует, что а, <2 (пото-Д
му что /2<2), аа</2 + 2 = 2, я8 <V^f2"=2; про- '
должая, дальше, мы получим ап_1 < 2 и ап <У 2-^-2 = 2,
откуда заключаем, что наша последовательность ограничена и в
силу теоремы настоящего параграфа имеет предел, который

70 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
обозначим буквой х:
im an = х.
П-ЮО
Зная, что предел существует, его легко найти.
В самом деле, зная, что ап = Y2 + ап_г, имеем, возводя
в квадрат: я^==2-}-ап_1 перейдем в этом равенстве к
пределу, получим:
lim <= lim (2 4-ал-1)
n-юо п •+ со
или я2 = 2-{-л;. Значит, искомый предел удовлетворяет
уравнению
х2 — х — 2 = 0.
Следовательно, х=-^^к 1/ -^--{-2 t или дг, = 2, д:2 = *«*1,
но так как аи>0, то отрицательный корень — посторонний,
и, таким образом,
х= lim an = 2.
л-* со
§ 20. Число е
Рассмотрим последовательность ап-= (1 -| ) .Дока- ж
жем, что ап при п—+оо стремится к пределу.
Для этого на основании теоремы § 19 достаточно
показать, что, во-первых, ап с увеличением п возрастает и,
во-вторых, что ап при любом п остается меньше некоторого
постоянного числа.
Разложив ая=(1-|—J по формуле бинома Ньютона,
1учим:
получим:
, я(Я-l)(ji-2) 1 , , -
"1 Г^з ?Т'"Г
, п(п- 1)(17 — 2)., .(п — feH- 1) 1 I
"I i-2-з....л * 7*""^
, П{п — !)(/» — 2) 1 X
•""*" 1*2*3...л 'пп

$ 20] число е 71
Теперь преобразуем каждое слагаемое. Число множителей
в числителе каждого члена равняется показателю степени при
i-, поэтому можно разделить каждый множитель в числителе
на л. Таким образом, общий член запишется:
л(Л_1)(л-2).,.(я-* + 1) 1
1-2.3...* nk
1 п (п-\)(п— 2) (n-k+1) _
Ь2»3...&' п * п п п
-гаЬ('Ч)(«-4)-(«-^)-
Выражение для яЛ перепишется так:
^.=Ч-'+га(1-т)+гЬ(1-т)('-т)н--
•■•+гаЫ«-9('-4)-0^1)+-
•••+пЬ;('Ч)('Ч)-('-"-?1)- W
Покажем теперь, что ап с увеличением я возрастает.
В самом деле, если п увеличивается, то в любой скобке
( 1 ) вычитаемое уменьшается и, следовательно, вся
скобка, оставаясь положительной, увеличивается, поэтому
увеличиваются все слагаемые (кроме двух первых) в
выражении (26), кроме того, увеличивается число слагаемых в том
же выражении. Итак, ап с увеличением п увеличивается.
Покажем, что в то же время ап остается меньше 3.
Заменим в выражении (26) каждую скобку единицей. От
такой замены правая часть равенства (26) увеличится, так
как каждая скобка положительна и меньше единицы, и мы
получим неравенство
йп<^ * "Г1 + Ь2~Г1ПГЗ"Г Г2Т3Т4+ # •*

72 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. П
Заменим в последнем неравенстве в знаменателе каждого
члена все множители, большие 2, числом 2; от такой замены
знаменатели уменьшатся, а дроби увеличатся, и мы получим
ап< 1 + 1+у^+Ь2Т2+i.2.2.2~f~ ' "
•' '"I'l^W.^ 'l'4~T^^i~"2*»* *' i 2?гп '
Суммируя геометрическую прогрессию, получим
1-4
1 2
Итак, 0П остается меньше 3 при любом п.
Условия теоремы § 19 выполнены, следовательно,
существует предал И -| J при п—+оо; этот предел
обозначается буквой е:
lim
и-»оо
О+т)"—- (28>
Теорема /. Последовательность
1
1.2-3,..я
лри л—*оо имеет пределом число е, т. е. iim Sn = e*
И-*00
Прежде всего замечаем, что правая сторона неравенства
(27) есть не что иное, как Sn, поэтому имеем
«.<se; (29)
с другой стороны, рассмотрим ат, где /и>я, и запишем
для этого ат равенство (26), причем, переписывая для ат
равенство (26), явно выделим (п --}-1 )-й член этого равенства
(т. е. формально нам надо в равенстве (26) букву п заменить
буквой т* а в общем члене равенства букву k — буквой п).

§ 20] число е 73
Имеем:
о.= Ч-1+и(1-г)+га-3(1-1)х
х (.-!).. .(.-==1).
Отбросим в правой части последнего равенства все члены,
следующие за (/г —[— 1)-м; тогда, так как мы откидываем
положительные числа, правая часть сделается меньше и
«.>I + I+ib(I-i)+raj('4)(1-?) + -
•••+1гЬ('-±)('-4)-0-"-^)-
Оставляя л неизменным, будем стремить /пкоо, Замечая
что lim am = e (по определению числа е), а предел любой
т-юо
из скобок
(>-^И>-1>-;('-"-^)
при /и—*оо равен единице, и, переходя к пределу в
последнем неравенстве, имеем
*>1 + 1+Ь2 + Ь2^+- '• +1.2-3...п^
Замечая, что правая часть последнего неравенства есть Sn9
имеем
Sn<e. (30)
Объединяя оба неравенства (29) и (30) для Sn в одно,
получаем двойное неравенство:
an<Sn<e-
1) Это неравенство не может обратиться в равенство вследствие
определенности числа е и произвольности числа п. ,

74 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
Замечая, что liman = e и lime = e (как предел постоянного),
по теореме 2 § 16 мы заключаем, что предел средней части
равен числу е, т. е. limSrt = e, что и требовалось доказать.
Замечая, что е > 5Я, определим величину ошибки,
возникающей при замене числа е величиной Sn. Для этого
покажем, что
'~S"<b2.3...(/* + ir
Вычтем из
1
5/И=1+Т + Ь2+--* +1-2.3.. .л +
^l-2-З...л (л+1р '" ' l-2-З...т
(где т^>п) величину
s«=1 + T+n2+' •' + 1.2.3...» •
Замечая, что первые (я-J-*) слагаемых в Sm те же, Зто
и в 5Я, получаем
Sm — Sn ==:: 1 .о.* . /я j. i\ + • •
'Ь2.3...(л+1)~' •' ~ 1-2-3...me
Вынесем теперь общий множитель ?-к-о -,—г-тт за скоб-
ки, тогда
S« — 5»= 1.2-3... (л+1) [1"^(НГ2) +
+ (л + 2)(л + 3)+ ' '' +(л + 2)...т] •
В квадратных скобках последнего равенства заменим все
множители в знаменателях числом 2, тогда знаменатели
уменьшатся, а поэтому дроби увеличатся, и мы получим
Sm — 5«<1.2.3...(л+1) [1+Т + 2^+- •'+2^=iJ *
В квадратных скобках получается убывающая геометрическая
прогрессия со знаменателем у. Суммируя эту прогрессию и
считая ее бескднечндй, цтд только усиливает неравенство*

§ 20] число в 75
так как прибавляются положительные члены, найдем
Sm — 5л<2-1 23 _(||+1).
Будем теперь неограниченно увеличивать /и, оставляя п
2
неизменным; так как \xmSrn=^e, a S и г-^-* бу-
от-*оо 1**.о ... (л-j-1J
дучи независимыми от яг, имеют пределы при /те —► сх>э
равные им самим, то в пределе при т —+ оо мы получим
9 °»^ 1.2-3... (л+1Г
что и требовалось доказать.
Приближенное вычислением.
Заметим, что если мы вычислим Sn при данном п и
примем полученную величину за число е, то, так как е — S„<
<Сп97з /д I in ошибка будет меньше, чем
2
Вычислим,
с
°8
Имеем:
1.2-3.
например,
1 =
1
1""
1
Ь2~~
1
1.2.3~
1
Ь2.3.4~"
1
1.2.3.4.5"""
1
1.2.3.4.5.6""
1
1.2.3-4.5.6.7~
1
1.2.3-4.5.6.7.8"~
«.«
..(«+D'
| 1
" "' 1 1.2.3.4.5.6.7.8#
= 1,000000,
= 1,000000,
: 0,500000,
= 0,166666... ,
: 0,041666... ,
=0,008333... ,
=0,001388... ,
= 0 000198
=0,0000024... ,
: 2,71828.

76 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
Так как
1.2.3-4.5.6.7.8.9<0'000006'
то, если положим ^ ===== 2,71828, ошибка будет заведомо меньше,
чем 0,000006. Число е (так же, как и число тт) —
иррациональное. Приближенно е == 2,718281828...
§ 21. Натуральные логарифмы
Число е=\\т (l+~У = 2,718281828... принято за
основание системы логарифмов. Логарифмы чисел по основа-
нию е называются натуральными логарифмами. Натуральные
логарифмы обозначаются «lnM> вместо «logM>. В
математическом анализе широко пользуются натуральными логарифмами
потому, что в натуральной системе логарифмов некоторые
формулы записываются проще.
Найдем связь между десятичным и натуральным
логарифмами одного и того же числа N.
Положим In N=y; тогда N=ey. Прологарифмируем по
лученное равенство по основанию 10:
lg N=y lg е, или, так как у == In N,
\gN=\nN\ge. (31)
Величина lg e — \g 2,71828... = 0,43429... называется
«модулем перехода» и обозначается буквой М:
М = \ge = 0,43429... (32)
По формуле (32), зная натуральный логарифм числа /V,
можно находить десятичный. Для нахождения натурального
логарифма по данному десятичному перепишем формулу (31)
так:
Ш"=М. (33)

§ 22] ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 77
Для удобства вычислений вводят еще величину, обратную
«модулю перехода»:
-1 = ^ = 2,30258... (34)
М \ge '
Например, по формуле (33) находим
In 2 = lg 2 • 2,30258 = 0,30103.2,30258 = 0,69315,
In 10 = lg 10-2,30258 = 2,30258.
Отметим полезное равенство
^ogab\ogba=\.
В самом деле, обозначим
x = \ogbat
следовательно, а = Ь*. Прологарифмируем обе части последнего
равенства с основанием логарифмов а\ тогда
\ogaa = x\ogab, или * = 1_.
Сравнивая два выражения для лг, имеем \ogba=^-r~j ,
что и требовалось доказать.
§ 22. Подпоследовательности
Подпоследовательностью данной последовательности
называется последовательность, все члени которой
принадлежат данной.
Например, последовательность четных чисел является
подпоследовательностью всех целых чисел.
Последовательность Тл » 20 » зо » • • • » Тсгп» • • • является
подпоследовательностью последовательности 1, у, т, . ..

78 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
Теорема 1. Если данная последовательность имеет
предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот
же предел.
В самом деле, поскольку данная последовательность имеет
предел, то она имеет единственную точку сгущения,
причем какую бы окрестность точки сгущения мы ни взяли
вне этой окрестности, окажется лишь конечное число членов
последовательности, тем более вне этой произвольно
выбранной окрестности может лежать лишь конечное число членов
подпоследовательности. '
Таким образом, доказано, что подпоследовательность имеет
тот же предел, что и данная последовательность.
§ 23. Геометрические приложения
1°. Длина окружности. Впишем в окружность радиуса R
правильный многоугольник. Его периметр обозначим р0.
Удвоим число его сторон. Периметр полученного многоугольника
обозначим р%; повторяя операцию удвоения числа сторон
многоугольника п раз, получим многоугольник, периметр которого
обозначим рп. Покажем теперь, что последовательность рп
стремится к пределу, когда я —*оо. В самом деле, периметр ра
увеличивается с увеличением п. Пусть АВ (черт. 29) — сторона
многоугольника с периметром рп; тогда АС=СВ — стороны
многоугольника, полученного из предыдущего путем удвоения
числа сторон, но ЛС-j- СВ > АВ, и, следовательно, периметр рп+г
многоугольника с удвоенным числом сторон больше периметра
Рп> т- е- Pn+i^Pn- Итак, последовательность рп возрастает
с увеличением я. Теперь опишем произвольный многоугольник
EFGH, его периметр обозначим Р. Все рп меньше Я, так как
периметр всякого выпуклого многоугольника меньше периметра
любого другого многоугольника его объемлющего; итак, ра<^Р
при любом п.
Значит, последовательность ра возрастает и в то же время
остается меньше Р; по теореме § 10 ра стремится к пределу
lim ра = /.
Число / и есть длина окружности.
Покажем теперь, что периметры описанных правильных
многоугольников при неограниченном удвоении числа их
сторон стремятся к тому же пределу.

\
§ 23] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 79
Обозначим Я0 периметр правильного описанного
многоугольника, Рг — периметр описанного многоугольника, полученного
удвоением числа сторон первого, . . . , Рп — периметр
описанного многоугольника, полученного повторением операции
удвоения п раз. Затем обозначим через р0, р,, . . . , рп. . .
периметры одноименных правильных вписанных
многоугольников, через Нп и аа — апофему и сторону многоугольника
с периметром рп. Заметим теперь, что ап стремится к нулю
при п—► оо, так как число сторон многоугольника возрастает»
а периметр остается меньше Р0.
Вспомним, что периметры одноименных правильных
многоугольников относятся, как их апофемы (черт. 30), т. е.
Рп К *
но
следовательно,
Р =Рл^*=р R ..
у Н1-%

80 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
переходя к пределу, получаем:
lim Я„ = Птр„ Нт — =Птрп .-^- = Нт ри = /,
П-ЮО «-►GO Л->СО / щ А Л.-ЮО ^ Я-*О0
) / /г2 л.-
что и требовалось доказать *).
Теорема. Отношение длины окружности к диаметру —
величина постоянная.
Рассмотрим две окружности С и С диаметров D и D'.
Впишем в эти окружности два правильных многоугольника
с одинаковым числом сторон. Будем неограниченно удваивать
число сторон обоих многоугольников. Пусть их периметры
после #-го удвоения соответственно равны рп и р'п.
Периметры одноименных правильных вписанных многоугольников
относятся, как их диаметры: ^-=-=г,. Переходя к пределу и
Рп °
обозначая
получим:
или
lim pa = l и lim p'n = /',
п -> оо п --»• оо
11111 / ;/ — П'
п-»со рп 1 и
I V
I >
D ~~D
т. е. отношение длины окружности к диаметру одно и то же
для всех окружностей.
I V
Постоянная -^=^> обозначается буквой тг, откуда
/ = ttD = 2tc/?,
т. е. длина окружности равна произведению числа тт на
удвоенный радиус.
1) Можно доказать, что предел I последовательности рп не завиг
сит от выбора исходного вписанного многоугольника с периметром/?0.
Можно доказать, что к тому же пределу I стремятся любые
последовательности периметров вписанных многоугольников (даже
неправильных), если только длина наибольшей стороны многоугольника стр$»
мится к нулю и все многоугольники содержат центр окружности^

§ 23] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 81
2°, Площадь круга. Площадь круга равна произведению
числа тт на квадрат радиуса, т. е. 5 = тг/?2, где 5 —
площадь круга, a R— радиус.
Впишем в окружность правильный многоугольник и будем
неограниченно удваивать число его сторон. Пусть Sn —
площадь, рп — периметр, hn — апофема, ап — сторона
многоугольника, полученного после я-го удвоения.
Площадь правильного многоугольника равна половине
произведения периметра на апофему:
Sn=J РпК*
но
и
s«=-2"P/i]/ R2—-£>
переходя к пределу при п—> оо, имеем:
lim S„ = lim ~/vlim Л/ R2 — ^ = 1.2тт/?./? = тт#2.
Так как предел Sn при п —► оо есть площадь круга, то
S = 7T/?2.
Зная длину окружности и площадь круга, легко вычислить
поверхности и объемы цилиндра и прямого конуса.
Ограничимся вычислением боковой поверхности прямого
конуса.
3°. Боковая поверхность конуса. Боковая поверхность
прямого конуса равна произведению длины окружности
основания на половину образующей, т. е.
где А — поверхность конуса, R — радиус основания,
/—образующая.
Впишем в конус правильную пирамиду и будем удваивать
число сторон правильного многоугольника, лежащего в
основании пирамиды,

82 теория пределов [гл. и
Пусть Ап — площадь боковой поверхности, рп — периметр
многоугольника основания, hn — апофема, ап — сторона
правильного многоугольника основания пирамиды после я-го
удвоения числа сторон основания (черт. 31).
Боковая поверхность правильной пирамиды равна
половине произведения периметра основания
на апофему, т. е.
но
Черт. 31.
Переходя к пределу при я, стремящемся к бесконечности,
имеем:
lim Л„=4 Иш Рп- Нш уГ — 4>
НО
1тр„ = 2тт/?, lim l//»_^ = /,
■♦оо и-*оо у *
lim
п
следовательно,
ПтЛл = ~2тг#./=тг#/,
л-*оо *
что и дает величину боковой поверхности конуса.
§ 24. Предел функции
Для определения понятия предела функции yz*=f(x) при л:,
стремящемся к а, т. е. при х—>а, поступим так: возьмем
произвольную последовательность значений аргумента {хп}у
стремящуюся к аг т, е. такую, что lim xn = a. Таких после*

\ \
§ 24]
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
83
довательностей можно выбрать бесчисленное множество.
Каждой такой последовательности значений \хп\ соответствует
последовательность значений функции \/(хп)} или если,
положить yn = f(xn), последовательность \уп) (черт. 32). Все
последовательности {хп\ мы т
предполагаем, очевидно,
принадлежащими области
определения функции.
Если предел любой
такой последовательности {уп}у
где уп=/(хп), существует
и один и тот же для всех
последовательностей {хп\ при
условии, что lim xn = ay то
этот общий предел и называется пределом функции f{x) при
х—>а. Обозначим общий предел буквой Ь, тогда это
запишется так:
lim f(x) = b.
isa
-те/
ш
у
fty
ty &, Яя в Яф &j
Черт. 32.
&
Определение. Пределом функции f(x) при х—+а на-
зывается общий1) предел последовательностей значений
функции {/(*„)}, составленных для любых последователь"
ностей значений аргумента {хп\, стремящихся к а, т. е.
если lim/(#„) = £, какова бы ни была последовательность
п -* оо
{хп}} лишь бы lim.rn=*a, то b называют пределом функции
п -> оо
и записывают это так: lim f(x) = b. Определение сохраняет
силу и для случая, если вместо числа а поставить один из
символов -|~ оо, —^ оо или оо. В дальнейшем мы это и будем
иметь в виду.
1) Можно доказать, что если предел \f(xn)\ существует, какую
бы мы последовательность {*„}, такую, что хп—*а, ни выбрали, то
этот предел будет общим для всех последовательностей. В самом деле,
если бы lim /(л£) = &*, a lim /(x**) = fc** и Ь** уь b*t то предел
значений функции по последовательности xit xx,..., хп> хп ... ,т.е.
предел последовательности /и*), /(л£*), ..., /(**), /(х^*), ... не
существовал бы, так как последняя имеет две точки сгущения
Ь* и Ь**.

84 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
Замечание. Если по одной последовательности {хп},
такой, что хп—+а, последовательность {/(хп)\ имеет один
предел, а по другой последовательности {л;*}, такой, что
х*п—+а, последовательность {/(**)} имеет другой предел, то
общего предела нет и функция при х—>а предела не имеет.
Очевидно, функция не имеет предела при х—у а, если по
какой-либо последовательности хп —► а, последовательность
{/(хп)} предела не имеет.
Определение* Бесконечно малой (функцией) при х—+а
называют функцию, имеющую предел, равный нулю при
х —► а, т. е. а (х) — бесконечно малая при х —► а, если
lim а (х) = 0.
х-* а
Теорема L Число ft тогда и только тогда является
пределом функции /(х) при х-+а, если функция f(x)
отличается от ft на бесконечно малую при х—►«, т. е. если
равенство /{х) = Ь + *(х), (35)
где <х(х)— бесконечно малая при х—► #, имеет место, то
lim f(x) = ft, и, наоборот, если lim f(x) = ft, то а (л;) =/(х) — ft
является бесконечно малой при х—>а.
Из того, что утверждения теоремы справедливы для любой
последовательности {хп}> такой, что хп—>а (теорема 1 § 14),
следует справедливость нашей теоремы.
Пример 1. Докажем, что lim *' = (), где /=~- — ра-
циональное положительное число. Возьмем произвольную
последовательность {хп\ такую, что lim агп = 0. Тогда, в силу
и -+оо
теорем о пределе степени и пределе корня имеем
►00
lim х1п=ит9/хрп = 0.
' /(0) = 0.
о о л. [ /(*) = Sl!l —
Пример 2. Рассмотрим функцию < *
(см. черт. 33). В точках хп == — (п = ± 1, ±2, ..., ± л, ...)
имеем /(.*„) = 5!о/ггс=0, кроме того lim xn=s lim — = 0, по-
п -♦ оо п -+ оо пп
этому Нт/(*л)=0.
а -*оо

§24]
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
85
В точках 4 = — имеем /(**) = sin (у + 2/пг) = 1 ,
■ + 2пк
но
lim л:* = lim -^ = 0, поэтому lim / (х*а) = 1.
Т + 2пп
Таким образом, по последовательностям {хп} и {л:*},
стремящимся к нулю, пределы значений функции разные. Значит,
предела функции при х—>0 нет.
Теорема 1. Предел функции /(*)== Г1 -f- —J как при
х—► -|-оо, так и при лг—►— оо равен числу е, т. е.
lim (l+—}* = * и Urn (1 + —V = *.
Рассмотрим сначала случай х—►-{-сю. Возьмем
произвольную последовательность {хп\, лишь бы хп—►-[-оо. Любой
член последовательности хп можно записать так: хп = тп -\- ап9
где тп — целая часть числа хПУ т. е. число целых единиц,
заключающихся в числе хп; очевидно, 0 ^ ап < 1.
Когда хп—►-j-оо, то и тп—►-(-оо. Имеем неравенства
тп<хп<тп + 1* > (36)
но тогда
1 <-1 -1
т„ + 1 ^*„
тп

86 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
или, прибавляя по 1 ко всем частям неравенства, получим:
Возведем левую часть последнего неравенства в степень тю
среднюю часть — в степень хю а правую часть — в степень
тп-\-\\ этим самым мы в силу неравенства (36) последнее
неравенство только усилим. Получим:
(•+^Г<(.+^<(.+1)-".- (Ю
Воспользуемся теоремой о подпоследовательностях (теорема 1
§ 22) и найдем пределы:
Поэтому, по теореме о пределе в двойном неравенстве
(теорема 2 § 16), имеем:
Так как последовательность хп —>-|-оо—произвольная, то
lim f 1 +—)*=е.
Пусть теперь дг—►— оо. Заменим х через—у, тогда при
х—►— оо, очевидно, у—►-J-°° и
Нш (i+i-V-iin fl-i)"'- «* (У— Г=
= Иш (-ЦУ= lim (у-! + Т-
= .иг.(,+^Глг(,+^)='-
Теорема доказана.

§ 25] СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ 87
§ 25. Свойства пределов функций
Следующие теоремы, доказанные для последовательностей,
имеют место и для функций.
Теорема 1. Предел суммы двух функций равен сумме
их пределов, если эти последние существуют, т. е. если
Hm Д (х) — Ьх, а Ит Д (х) = *„
х -> а х-> а
ТО
"* [Л (*)+/.(*)] — ».+*.•
х-* а
Теорема 2. Предел произведения двух функций равен
произведению их пределов, если эти последние существуют,
т. е. если
11т Д {х) = ftp а Нт Д (х) = bv
х -> а х-* а
ТО
Нт Л (*)/,(*) = *А.
х-* а
Теорема 3. Предел частного двух функций равен
частному их пределов, если эти последние существуют и
предел знаменателя не равен нулю, т. е. если
lim Д (л:) = bv a lira Д (х) = bt ф О,
х -* а х-* а
ТО
Справедливость этих теорем очевидна, так как они имеют
место для последовательностей.
В самом деле, докажем для примера теорему 3.
Возьмем произвольную последовательность {*„}, такую,
что лгя—> а. Тогда согласно определению предела функций
lim Д (хп) = bx n lim Д (хп) = Ь% ф О,
х-» а *-> в
и по теореме о пределе частного для последовательностей
(теорема 3 § 15) имеем

88 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
Поскольку последнее равенство справедливо для любой
последовательности {*„}, для которой лгл —>а, то по
определению
lim £W = .*i
*->„Л(*) V
Аналогично доказываются и теоремы 1 и 2.
Также имеют место теоремы 4 и 5 из § 15 о пределе
степени и корня.
Теорема 4. Если
lim Л(*) = *„ Нш/,(*) = *, и /,(*)</.(*),
то
Теорема 5. Если
ШпД (*) = *, lim/t(*) = * и Л(*Х?(*ХЛ(*).
то
lim <p (*) = £.
* -> а
Справедливость этих теорем немедленно следует из
соответствующих теорем для последовательностей (теоремы 1, 2
§ 16).
Определение /. Функция /(х) называется
положительной (отрицательной) бесконечно большой при х—*а,
если для любой последовательности {хп\, такой, что
хп—>а, последовательность значений функции {/(#„)}
будет положительной (отрицательной) бесконечно большой.
Записывается это так:
lim /(#) = -{■-оо (lim /(лг) = —оо).
х -*• а х -► а
Определение 2. Функция /(*)* называется бесконечно
большой при х —+а, если \/(х) | — положительная бесконечно
большая.
Записывается это так:
lim /(#)==: оо.

§ 25] СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ 89
Теорема 6. Обратная (по величине) бесконечно
большой при х—>а — бесконечно малая, т. е. если
lim /(л;) = оо,
х -* а
ТО
Теорема 7. Обратная бесконечно малой при х—► #, не
обращающейся в окрестности точки а в нуль,— бесконечно
большая, т. е. если
Urn /(*) = Of
х-* а
ТО
Ит -гт-т = оо.
х+а /(*>
Теоремы следуют из соответствующих теорем для
последовательностей (теоремы 1 и 2 § 17).
Очевидно, имеют место теоремы о сумме бесконечно
малых функций и о произведении бесконечно малой на
ограниченную.
Пример 1. lim — = 0; это очевидно, потому что при
х—► со величина х является бесконечно большой, а обратная
бесконечно большой есть бесконечно малая и поэтому
стремится к нулю.
Пример 2. Также очевидно, что lim -г = 0, где k > 0.
1 я
Пример 3. Найти lim 75—tt-i•
Применить непосредственно теорему о пределе дроби мы
не можем, так как предел знаменателя равен нулю. Обращаем
внимание, что предел числителя также равен нулю. (Если бы
предел числителя не был равен нулю, то наша дробь, как
величина, обратная бесконечно малой, была бы бесконечно
большой.) Для нахождения предела преобразуем нашу дробь:
1-х _ 1-х _ 1-х _ 1
2-2xI — 2(1-х2)~2(1-х)(1+х) — 2(1+*)'

90 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. П
тогда
lim
г=^=ж!Й2Йп)=т» так как,й (1+*)==2-
% 2
Пример 4. Найти lim
X
-►2ТЛс2-2-)/*2
Здесь также пределы числителя и знаменателя равны нулю.
Преобразуем наше выражение:
х-2 _(х-2){Ухг=2 + У~2)_
Ухт^2-У2~ (ха-2)-2
= (х-2){Ух1^ + УЪ)_Ухт=2 + У1л
ха-4 х + 2
тогда
г *~2 — U У^2~2 + Уг1_2У"2_Т/"2
А
Пример 5. Найти lim (1 -\-у)3у.
у-+0
Положим у = —; тогда х = —■, и если у —► 0, то д: —► оо,
х у
следовательно,
л(,+л*-.й.(' +т)4-. ?. [(• +x)*]j=
(О \ #
1 -] ) •
. _ х У
8 1 х
Положим— = —•; тогда j/ = -g-, и у стремится к оо,
когда х стремится к оо; имеем:

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II 91
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II
К§9
1. Показать, что 2\ab\^a*-\-b*.
2. Показать, что -I—Ц~-!—I ^ У | ab \
3. Показать, что
£. — !£1
ь\-\ь\-
4. Показать, что если а < Ь < с, то \Ь\ меньше наибольшей из
величин \а\ и \с\.
5. Показать, что если | а |< а, то — а < а < е.
К §§ 10, И, 12
6. Построить точки, изображающие последовательность
п-\-1
а„ = —-—, л=1, 2, 3, ..., л, ...
7. Построить точки, изображающие последовательность
ап"==: ^2 > Я=1| А •.., Я, ...
8. Построить точки, изображающие последовательность
_(2я)* + 1
tt2n /2Й\2 > П *» ^> ' ' • > *•> ' • ' »
Указать точки сгущения.
Отв. Точки сгущения 0 и 1.
9. Построить точки и указать точки сгущения последовательности
а,п = (—1)"~, л = 1, 2, 3,... я,...; а2п+1 = л, л = 1,2, ...,л,...
Отв. Точка сгущения 0.
10. Привести пример последовательности, имеющей точками
сгущения точки—2 и 2.
11. Построить точки, найти точки сгущения и указать, какие
последовательности имеют предел:
п -1— 1
а) л2й = —-—» л = 1, 2,..., л,...; д2и+1=2л» л=1,2,...,л, ....
Отв. Точка сгущения 1. Предела не существует.
® а«=Ц1^-+2> л=1, 2,...,л,,
Отв. Предел равен 2.
в) an = n*t л=1, 2,..., л,...
Отв. Нет точки сгущения.

92 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ГЛ. II
К §§ 13, 18
Найти пределы следующих последовательностей:
,2-Лгаоо(2+т-^)- °™2-
1л нт Зл' —п + 1 ч
i4'nU?ao 2п> + п ' Отв. -|.
15.1im 2в4-я; + ;И + 1. Отв. 2.
16. lim ^L+^+I. Ome. 0.
К §§ 19
Найти пределы последовательностей:
17в lf? 1 . о/» * Отв. 0.
18. lim (2 Уз"— 1). Отв. 1.
19. lira \ 5; ^ I
"-*+00з(!)"_з' 0«в--т-
К§ 20
20.11га (l+-jj-Y\ О/пв. ев.
21. lim (l-J-У. Ome. e'\
(1 \ 2ПЗ
1-{-~) . Owe. е*.
п )
( \\kn%
23. lim (1—я) • От*, е-*
К § 21
Найти натуральные логарифмы:
24. a) In 3; б) In 6; в) In 5; г) In 1000.
Отв. а) 1,09861; б) 1,79176; в) 1,60944; г) 6,90776.
25. Найти: a) lne* б) In —; в) е^\ Отв. а) 2; б) — 1; в) 5.
26. Доказать, что In 10-lg£ = l и, следовательно, что -т> = 1п Ю.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II
к !
28.um Vl-x-Vl+x
х->0 *
29. lim ^r^1! •
лл ,. 2х8 4- Зх2 — х
лг->0 °*
0, ,. х* + Зх-10
31> ^2 Зх*-5х-2'
32. lim Vy + h-Vy
А->о h
33. lim (УГр-УГ).
f->00
5_
34. lim (1+0*.
85. lim (l-V) •
f-ЮО \ */
^.(ттО'
§§ 24, 25
Отв. --р.
4
• Отв.— 1.
Отв. 3.
One.--Jr.
Отв. 1.
Отв.—yrzs.
2Vy
Отв. 0.
Отв. е*.
Отв. -L.
e
Отв. —.
e

ГЛАВА III
ПРОИЗВОДНАЯ
В предыдущих двух главах мы познакомились с понятием
функции и учением о пределах. Мы видели, что
многочисленные задачи геометрии, физики и других дисциплин приводят
нас к необходимости рассмотрения различных функциональных
зависимостей. Отсюда становится ясным то громадное значение,
которое имеет для приложений математический анализ,
основная задача которого заключается в разработке методов
исследования общих функциональных зависимостей. Первые вопросы,
естественно возникающие при рассмотрении той или иной
функции, будут:
а) как изменяется функция, т. е. увеличивается ли она
при возрастании аргумента или, наоборот, уменьшается;
б) существуют ли такие значения аргумента, при которых
возрастание функции сменяется убыванием и убывание —
возрастанием, и если существуют, то как их найти;
в) определить скорость изменения функции в зависимости
от аргумента.
Все эти вопросы, а также и многие другие вполне
разрешаются в дифференциальном исчислении, элементы которого
и излагаются в последующих трех главах. Прежде чем
перейти к определению основной операции дифференциального
исчисления и выводу правил ее составления, мы рассмотрим одну
геометрическую задачу общего характера о проведении
касательной к данной кривой в данной на ней точке; решение этой
задачи приведет нас к понятию производной от данной
функции — основному понятию дифференциального исчисления.
Приступая к решению этой задачи, мы предварительно рассмотрим
классификацию функций на непрерывные и разрывные, тесно
связанную с теорией пределов.

§ 26] ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ 95
§ 26. Приращение функции
Рассмотрим функцию y=f(x). График этой функции
изображен на черт. 34. Дадим аргументу какое-либо значение х,
тогда значение функции при этом значении аргумента будет
равно /(*)• На чертеже это значение изобразится ординатой
ММ в точке х.
Перейдем теперь к другому
значению аргумента х\ тогда
функция получит новое значение,
равное /(#'). Это значение
изобразится ординатой N'M' в точке х\
Разность между новым и
первоначальным значением
аргумента, т. е.х' — х, называется
приращением аргумента; разность
значений функций, т. е.
f{x')—/(*)> называется приращением функции (при
переходе от значения аргумента х к значению х') в точке х.
Геометрически приращение аргумента изображается
направленным отрезком NN' = x' — х, а соответствующее
приращение функции — направленным отрезком KM'=f(x')—f(x).
Приращение переменной обозначается буквой Д (дельта).
Так, например, Д* означает приращение х, Ду означает
приращение j/, if(x) означает приращение f(x) и т. п.
Пользуясь этими обозначениями и полагая у=:/(х), мы
имеем
Ьх = х' — л:, (38)
Черт. 34.
4У =/(*')-/(*)•'
Из равенства (38) следует, что
л:' = х -|~ А*.
Вставляя полученное выражение для х'
Ду=/(*+Д*)-/(*).
(39)
(40)
в (39), получаем
(41)
Пример 1. Если > = 2дг*, то/(дг) = 2х* и /(лг-|-Д*) =
= 2(л;-(-ДJe),, и согласно (41) получаем &у = 2(х-\-Ах)г —
— 2х*, откуда, раскрывая скобки, получаем &у = 2хг 4-
•f 4* Д* + 2 (Д*)8 — 2*г =« 4* Д* + 2 (Д*)*.

96
производили
[гл. п*
П р и м е р 2. Если у = sin х, то /(х) = sin х и /(х -(- Дл:) =
= sin (л: -|- Дл:), тогда согласно (22) имеем Ду = sin (д: -j- Дл;) —
— sin х.
Преобразуя последнее выражение по формуле для
разности синусов, получаем
Ду = 2 sin y cos (x -f- -у J .
Значение функции у=/(х) в точке x-f-'A*, /и. *.
/(дг-^Дд:), называют наращенным значением функции.
Из формулы (41) имеем, что
/(* + Д*)=/(*) + 4у, (42)
или
3/ + Ду=/(л: + Дл:). (43)
Следует обратить внимание, что наращенное значение
функции y-\-ky=f(x-\-kx) = N'M' равняется первоначаль-.
ному значению функции, которое мы обозначили у=/(х) =
= NM = N'K, плюс приращение функции Ly = KM' (черт. 34),
т. е. 1Ш'=ТШ + Щ.
Равенство (41) дает нам общее выражение для приращения
функции. Приращение функции Ду=/(д:-|-Дд:)—f(x)
зависит от значения аргумента х и от значения
приращения аргумента Дд\ Задавая числовые значения х и
Дд:, мы сможем вычислить соответствующие числовые значения
Ду; например, если мы в примере 1 зададим значения #==3,
а Дд: = 0,3 то приращение функции Ду = 4л: Дл: -}- 2 (Дд:)2 получит
значение, равное 4*3• 0,3-f-2*(0,3)2 = 3,78; давая другие
значения независимой переменной х и ее приращению Дд:, мы
будем получать соответствующие значения для Ду.
Подстановка в данное выражение значений входящих в него
величин обозначается вертикальной чертой с пометкой внизу,
какие значения придаются тем или иным величинам, входящим
в данное выражение.
Так, например: 1) Ду|д£^о,з означает, что Ду вычисляется
для значений x=\i Длг = 0,3; 2) by | х~2 означает, что Ду
вычисляется для д: = 2, а так как нет указания
относительно Дд:, то это означает, что Д* остается произвольной;

§26]
3) (<■ —S/.A* — 8)
ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ
97
tx=—-1 означает, что выражение в скобках
«=4
берется при значениях £ =— 1 и № = -£, т. е.
(/2 — З/.Д/ — 8)
*=-! = (_ l)' + 3.l4.-8 = -
*=7
Г5
4
и т. п.
Итак, мы можем давать произвольные значения аргументу
и приращению аргумента.
Обратим внимание на то, что положительному приращению
аргумента геометрически соответствует передвижение точки х
Черт. 35.
Черт. 36.
вправо (т. е. в положительном направлении оси *), потому что
если Дл;>0, то х' — х-\-Ьх>х (черт. 35). Если Дд:<0
(т. е. отрицательно), то #'= л: + Д* < лг, и точка х
передвигается влево (т. е. в отрицательном направлении оси л:)
(черт. 36). Приращения функции также могут быть как
положительными, так и отрицательными.
На черт. 35 мы видим, что Ду = /Ш'<0« Черт. 36 дает
пример Ду = /Ш'>0.
Пример 3. Вычислить Ду *=з , если у =—.
* I Ддр=— 1* ^ X
Наращенное значение функции
И. И. Привалов и С. А. Гальперн
х {х + Дя)

98 ПРОИЗВОДНАЯ [ГЛ. Ill
AyI *=з = JL= *
^1a^=—l 3«2 6
Пример 4. Вычислить Ду
Наращенное значение функции
,у + Ду=/(л; + Д*)
*=i , еслиj/s=oi , , .
х + А*
Ау
2(x + Ax)2+T'
— 2(х + Д*)2 + 1 2х* + 1
Л I -1 _ 1-0,5 _L__o
аЛд*=--о,5— 2(1_0,5)2-И 2.12 + 1~U#
§ 27. Понятие непрерывности функции
Определение. Функция называется непрерывной в
данной точке, если предел приращения функции в этой точке
при стремящемся к нулю приращении аргумента равен
нулю, т. е. функция у = /(лг) непрерывна в точке х, если
\У
(44)
lim Ду = 0.
Ал:-* 0
Из определения
непрерывности следует, что если функция
непрерывна в точке х, то
величина Ду — бесконечно малая
при бесконечно малой Длг, и
наоборот, если в некоторой точ-
^ *. ке х iky — величина бесконечно
** * х малая при бесконечно малой Длг,
Черт. 37. то функция будет непрерывной
в этой точке.
Геометрически приращение функции Ду =/(д: -f- Дд:) —
&-/(х) изображается отрезком KM'=:N'M' — NM (черт. 37),
причем на черт. 37 отрезок КМ' построен как для
положительных значений Дат (справа от точки л:), так и для
отрицательных значений Дд: (слева от точки х). Будем теперь точку N'

§ 27] ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ 99
(безразлично, слева или справа от точки л:) приближать к точке
//, тогда Л/7У' = Дл:—>0, и если при этом ку = КМ' также
стремится к нулю, то функция будет непрерывна в этой точке;
обратно, если функция непрерывна в точке лг, то отрезок
~КМ'—*0 (как слева, так и справа от точки л;).
Определение. Если функция непрерывна во всех точках
некоторого отрезка оси абсцисс, то такая функция
называется непрерывной на этом отрезке.
Черт. 38.
Наглядно график всякой непрерывной функции
представляет линию без «разрывов», так сказать, «сплошную» линию,
хотя эта линия может быть
и очень сложной структуры.
Например, она может иметь
очень большое число
«изломов», представлять очень
волнистую линию и т. п.
(черт. 38).
Черт. 39 дает пример
функции, непрерывной во всех
точках (где вычерчен
график), за исключением
точки а. Наша функция
у=/(х) определяется гра-
фиком черт. 39, причем, как указывает график, ордината NlM1
в точке а равна Ь, т.е. NlM1=f(a) = b. Может возникнуть
вопрос: почему f(a) = b и почему /(а) не равно с или какому-
либо иному числу? Этот вопрос не имеет смысла, потому
4*

100 ПРОИЗВОДНАЯ [ГЛ. Ill
что, согласно определению понятия функции (§ 3), функция
должна иметь одно вполне определенное значение
для каждого значения аргумента, следовательно, и для значения
аргумента, равного а. При х = а мы определили нашу
функцию так, что f(a) = b. Если бы мы считали, что /(a) —с
или /(а) равно какому-либо иному значению, то получили бы
новую функцию, отличную от данной (ибо она отличалась бы
от данной функции значением, которое она принимает в точке а).
Покажем теперь, что условие непрерывности функции в точке а
не выполнено.
В самом деле, Ду \ х-.а = KM J к нулю не стремится, если
Дл; стремится к нулю по положительным значениям (т. е.
справа), а стремится к с — Ь. Поэтому функция в точке а
имеет разрыв.
Иногда удобнее условие непрерывности (44)
представить в иной форме.
Мы знаем, что ку=/(х-{-кх)—/(#)♦ Подставляя это
выражение в (44), получим
lira (/(*+Да:) — /(*)] = 0.
Дх-»0
Так как предел разности равен разности пределов, то имеем
lira /(jc-J-Дл:)—Нт/(д:) = 0. Заметив, что Нт/(л:)==/(лг),
Дх-tO Лх-»0 Д*-»0
потому что f(x) не изменяется при данном х и при
изменяющемся Дл:, получим
Нт/(* + Д*) =/(*)• (45)
д*->о
Полагая х-\-кх=х' и замечая, что х'—► * при Д#—►О,
перепишем (45) в виде
lim/(*')=/(x). (46)
Обратно, если условие (45) или (46) выполнено, то
функция непрерывна; действительно, если
Ига/(д: + Д*) =/(*),
ДХ-+0
то
Ит[/(лг-|-Д*)—/(х)] = 0,
ДХ-+0
ИЛИ
ИтДу = 0.
ДХ-+0

§ 27] ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ 101
Итак, условие непрерывности (44) может быть заменено
условием (45) или, что то же самое, (46).
Таким образом, определение непрерывности может быть
заменено следующим ему эквивалентным:
Определение. Функция называется непрерывной в
данной точке, если предел значений функции, когда аргумент
стремится к данной точке, равен значению функции в этой
точке.
Обращаясь к черт. 37, на котором f(x-\-kx) = N'M\
f(x) = NM, мы видим, что геометрически условие (45)
означает: lim ЛГЖ' = ЛШ, т. е. величина ординаты в точке N'
стремится к величине ординаты в точке N, когда точка N'
стремится к точке N (это должно иметь место независимо
от того, будет ли точка N' стремиться к N справа или слева
от точки N).
На черт. 39 N[M[ не стремится к NxMt, поэтому
функция разрывна.
Пример 1. Исследуем непрерывность функции у = г
при лг=^1.
Имеем
И
А _ 1 1_ jc — 1 — х — Ajc+ 1
*У~х + Ьх-1 *-.1"~"(х + Ах-1)(*-1)--"
-Ах
— (;с4-Д;с-1)(;с-1Г
При всяком л:, не равном единице,
В самом деле, предел знаменателя, равный (х — 1 )2, не
обращается в нуль, так как по предположению хф\> предел
числителя равен нулю, и, следовательно, предел дроби равен
нулю.
Итак, во всякой точке дг^= 1 условие (44) выполнено и,
следовательно, функция непрерывна.

102 ПРОИЗВОДНАЯ [ГЛ. Ш
Для исследования непрерывности функции в точке х = 1
предварительно построим ее график. Составляем таблицу:
X
| У
— 2
1
3
-1
1
2
0
-1
0,5
— 2
0,75
— 4
1,25
4
1,5
2
2
1
3
1
2
4
1
з !
Строим кривую (черт. 40).
При значении л: = 1 функция не определена, так как
знаменатель обращается в нуль, а делить на нуль нельзя; с
другой стороны,
lim ^ = оо,
потому что знаменатель
стремится к нулю, а
величина, обратная бесконечно
малой,— бесконечно
большая. Поэтому какое бы
мы определенное значение
функции в точке х = 1 ни
приписали, т. е. какую бы
мы ординату NlMl =/ (1)
ни взяли, /(1 -f-AA;)=Ni;Wi
не может иметь пределом
f(\)=zNlMl, потому что
lim NiM'x = 00. Условие
(45) в точке х—\ не
выполнено, и функция
имеет в этой точке
разрыв, что наглядно можно
усмотреть из чертежа.
Рассуждения примера 1 можно повторить и для любой
функции у=/(лг) в тех точках дг1Э где Нт/(д:) = оо. В са-
x-*xt
мом деле, если Нт/(л;) = оо, то limf(x) не может равняться
х-*хх х-+хх
f(xt)y ибо /(*,) должно быть, согласно определению понятия
функций, определенным числом; поэтому функция в этих
точках имеет разрывы.
Черт. 40.

27]
ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
103
Итак, если Нт/(л:) = оо, то функция имеет раз-
рыв в точке хг.
Пример 2. Так как lim tg*=:oo, то функция имеет
■к
разрыв в точке х1=^-^.
С другой стороны, мы знаем, что tg jc имеет период тг,
и, следовательно, tgx—юо, когда х—► -^-f"пп (где Л==ЬЬ
Черт. 41.
±2» ±3, ...i ±я> • ••)• Поэтому во всех точках л:=-|- +
+ /йт (где л = ± 1, ±2, ±3,...) функция y = tgx будет
иметь разрывы.
Давая значения х и вычисляя значения у, получаем
график j/ = tgAT (тангенсоида) (черт. 41).

104 ПРОИЗВОДНАЯ
Пример 3. Функция j/ =
[гл. m
имеет раз-
>-1)2(* + 1)(* + 3)
рывы в точках хх = 1, х% = — 1 и xz = — 3, потому
что
2
!^=Sl(^i)(x + i)(x+3)-
:0О,
и аналогично limj; = oo и lim ^ = 00 (черт. 42).
х=-1 *=—3
-5 -4 -J -<? -/
1 2 3 4 £
Черт. 42.
Примечание. Графики функций около точек разрыва
могут иметь более сложную структуру, чем разобранные здесь.
Примером такой функции может служить функция,
рассмотренная в § 24 (пример 2), имеющая разрыв в точке 0.

§ 28] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 105
§ 28. Простейшие свойства непрерывных функций.
Непрерывность некоторых функций
Отметим следующие свойства непрерывных функций.
1°. Если функции f(x) и ср(лг) непрерывны в данной
точке, то их сумма f(x)~\-y(x) будет функцией непрерывной
в этой точке.
В самом деле, обозначим точку непрерывности функций
yz=f(x) и y==(f(x) через а, тогда в силу определения
непрерывности lim / (х) = / (а) и lim ср (л:) = ср (а), но в силу
теоремы о пределе суммы имеем
Нш[/(х) + ?(*)] = Нш/(х)+Нш(р(*)=/(а) + (р(а),
х-*а х-*а х-*а
что и требовалось доказать.
2°. Если две функции /(х) и <р(л;) непрерывны в
данной точке, то их произведение f(x)y(x) будет функцией
непрерывной в этой точке.
Пусть f(x)n<f(x) непрерывны в точке а, тогда Шп/(л;)==
х~*а
=/(а) и limcp(.x;) = <p(a), но в силу теоремы о пределе про-
х-+а
изведения мы имеем
Нт/(дг) <р (х) = Нт/(лг) lim ср (л:) =/(а) ср (я),
х-+а х-*а х-*а
что и требовалось доказать.
3°. Если две функции f(x) и ср(лг) непрерывны в данной
/ (х)
точке, то их частное ^-у4 будет функцией, непрерывной в
этой точке, если только знаменатель <р (х) не обращается
в этой точке в нуль.
Пусть f(x)ntf(x) непрерывны в точке я, тогда Пт/(л;)=
х~*а
=/(а) и Нт ср (х) = ср (я), причем по предположению ср (а) ф. 0.
х-+а
Но по теореме о пределе дроби имеем
lim/(x)
/(*).
х->а /(а)
lim ^)~limM*) *№'
х-*а т V7 *-»а
что и требовалось доказать

106 ПРОИЗВОДНАЯ [ГЛ. Ill
Докажем теперь непрерывность некоторых функций.
4°. Функция у = х непрерывна при всех значениях х.
В самом деле, Ду = Дл: и НгоДу = НшДл: = 0. Отсюда сле-
дует, что функции у = хг\ у = х*у..., y=zxn, являясь
произведениями всюду непрерывных функций, всюду непрерывны.
Следовательно, функция
являясь суммой всюду непрерывных функций, будет функцией
всюду непрерывной. Эта функция называется многочленом или
полиномом.
б . Функциям = h\mTh \т~х 7~—±гёг является частным
"о* -r0iX "Г • • • Т" °т
двух многочленов. Эта функция называется рациональной
функцией или рациональной дробью.
Рациональная дробь, являясь частным двух всюду
непрерывных функций, будет непрерывной, за исключением, быть
может, точек, в которых знаменатель обращается в нуль.
6°. Функция у = Y~* является непрерывной для всех
значений х, для которых она определена. (При нечетном п
функция определена для всех х, а при четном п функция
определена для дг^О.)
В силу теоремы о пределе корня имеем lim {^с== j/a^ а
х-+а
это и означает, что функция у^непрерывна.
7°. Тригонометрические функции у —
^ = sin х и у — cos х всюду непрерывны.
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Синус положительного уг-
\В ла меньше угла, измеренного я
радианах, т. е.
sin х < ху
^ если х^>0.
Возьмем в круге радиуса 1 ост-
Черт, 43. рый угол <К BOA (черт. 43); его
радианную меру обозначим через х и рассмотрим угол
2£ СО А = 2х; тогда хорда СА будет меньше дуги СВА, т. е.
СА<СВА,

§ 28] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 107
но СЛ = 2 sin х, а СВА = 2х, следовательно, 2 sin x < 2лс,
или sin л; О» чт0 и требовалось доказать. Отметим еще, что
если угол х отрицательный, то
| sin х | = | sin | х | К | д: |.
Докажем теперь, что j; = sinA;— функция непрерывная.
Имеем:
Ay = sin (х -f-Длг) — sinA: = 2 cos ( x -f-у) s*n -у»
откуда получаем
|Ду| = |2сов(ж + ^)й1^|;
так как абсолютная величина косинуса всякого угла не
превосходит единицы, то
1м5Г*+^1<1.
(*+¥)!■
а в силу леммы
\*%\<\¥
2 1^1 2 .
Следовательно,
|Ду| = |2со8(^ + т)81пт|<2-Ь|т| = М'
откуда имеем
Иш|Ду| = 0,
Дх->0
чем непрерывность функции y = sinx доказана.
Так же доказывается непрерывность функции j; = cosat:
| Ду | = | cos (лг-{-Длг) — cos х \ =
= |2sin(A: + AA;)sin^|<2|^:| = |AA:|
и lim | Ду | = 0, чем доказана непрерывность функции у = cos*.
Д#->0
8°. Функция y = a*t называемая показательной, и функция,
ей обратная, y = \ogaxi называемая логарифмической,
являются непрерывными всюду, где они определены (функция у = а*
определена для всех значений д:, а функция y = logax
определена для *>0).

108 ПРОИЗВОДНАЯ [ГЛ. II)
Мы не будем доказывать здесь этих утверждений, потому
что, прежде чем привести их доказательство, следует точно
определить, что мы понимаем под иррациональной степенью
какого-либо числа, а это требует длительного исследования.
9°. Часто встречаются функции, которые можно представить
так: y=zf(u)t где и = у(х).
Пример 1. у = sin хг\ полагая и = хг, получим у = sin и,
где и = х2..
Пример 2. j/ = (sin х)2; полагая а = sin jc, получим у = и2у
где a = sinjc.
Пример 3. з' = tg (ад: ~|- Р); полагая и = ал;-[-[}, имеем
y — tgu, где u = olx-{-§.
Функция, представленная как функия некоторого
вспомогательного переменного и, которое в свою очередь
является функцией другого переменного х, называется
сложной функцией переменного х, или функцией от функции.
Дополнительное переменное и будем называть
промежуточным аргументом.
Имеет место предложение:
Теорема. Непрерывная функция от непрерывной будет
непрерывной, т. е. если функция и = <р (х) является
непрерывной в точке а, а функция у=/(и) непрерывна в точке £,
где b = <f (а), то сложная функция /[<?(#)] непрерывна в
точке а.
В самом деле, в силу определения непрерывности (§ 27) имеем:
limф(*) = <р(а) = Ь и lim/(a) =/(#), но когда х—*а, то
и == <р (х) стремится каким-то соответствующим образом
к числу Ь.
Но как бы и = у(х) ни стремилось к 6, раз limf(u) =
==/(*)> то, в частности, /[<р(*)] при х—>а также должно
стремиться к /(£), т. е.
Иш/hW] =/(*)= Д<Р («)],
что и требовалось доказать.
Пользуясь только что доказанным свойством, мы можем
сразу заключить, что такие функции, как у = (sin x)n, или
j/= i/x2~\-5, или у = cos (#8 -\- 2) и т. п., являясь
непрерывными функциями от непрерывных, будут непрерывными.

§ 29] ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ СИНУСА К ДУГЕ Ю9
§ 29. Предел отношения синуса к дуге
Теорема. Предел отношения синуса к своему углу,
если этот угол стремится к нулю, равен единице, т. е.
lim^=l.
х-+0 х
Угол предполагается измеренным в радианах.
Доказательство. Возьмем круг радиуса 1 (черт. 44);
построим угол ЗС BOA, его радианную меру обозначим через
х и рассмотрим ЗС СО А — 2х. Проведем две касательные к
окружности в точках Л и С до их пересечения в точке D.
Тогда хорда СА меньше дуги
СВА, которая в свою очередь ^ \Л
меньше ломаной CDA, т. е.
СЛ<СЙЛ<ЛО + ОС,
но СЛ = 2 sin x, СВА = 2х,
AD + DC—2tgx,
поэтому
2sinAT<2A:<2tgA:.<
Разделив все члены неравенства на 2 sin л; (считаем х
положительным), получаем
К—<—•
^ sin х ^ cos х'
предел левой части при х—►О равен 1;'предел правой части
также равен 1. По теореме 5° § 25 имеем
lim
х-+0
sin я
= 1.
Теперь lim = lim 7- v
х-+0 х х-»0 ( х ,
Vsinxy
Так как sin( — *) =— sin л:, то теорема остается
справедливой и для отрицательных значений х.

110 производная [гл. in
to #
Пример 1. Найти lim-~-.
х^О Х
limtif^iim-ElfL=llm^._L==limE!Lf.1imli_ = i.
х-*0 х x-+0xcosx x-+Q x cosx х-+0
Пример 2. Найти lim .
*->о х
Для того чтобы применить формулу lim -— = 1, нужно
преобразовать дробь так, чтобы получилось отношение синуса
к тому же углу; для этого разделим и умножим нашу
дробь на а:
sin ах sin ах /
х ах " '
и мы имеем
,. sin ах ,. sin (ах) t. sin (ах) -
lim = lim -7-Ц-^*а = а-11т —гЦ-^ = а-1=а.
Пример 3. Найти lim ■ ~~™sxt
х-*о х
Преобразуем дробь, заменяя 1 — cos л; = 2 sin8 ~, получаем:
г 1-cos* r 2sin2T ,. fsinj\ 2 1
lim —-^—= lim —-J—= lim
§ 30. Касательная
В элементарной геометрии мы определяем касательную
к окружности как прямую, которая имеет с окружностью
Черт. 45.
только одну общую точку. Это определение касательной
не годится для любой линии. Черт. 45 наглядно показывает,

§ 30] КАСАТЕЛЬНАЯ 111
что прямая АВ «касается» нашей линии в точке Жив
то же время имеет другие общие точки с кривой
(точки Ж1Э М±).
\ Для определения касательной в точке М к данной линии
поступим следующим образом. Возьмем какую-либо точку М'
(черт. 46), соседнюю с точкой М. Проведем секущую через
тскки М и М'. Выберем какую-либо ось ML, проходящую
через точку Ж, и обозначим через ср угол между секущей и
осью ML, т. е. <f = ЗС LMM'. Будем приближать точку М'
по данной линии к точке М. Угол ср при этом будет
изменяться, и пусть этот угол <р стремится к пределу а. Назовем
прямую, проведенную под углом а к лучу ML, предельным
положением секущей при М'—>М. Это предельное
положение^ секущей и называется касательной.
упределение. Касательной к данной кривой в данной
точке М называется предельное положение секущей ММ\
когда точка М' стремится к М.
Рассмотрим линию, представленную уравнением у=/(х)
(черт. 47 а, 47 б). Возьмем точку М с абсциссой х и точку М! с
абсциссой л:' == дг -j- Длг. Найдем тангенс угла ср, образованного
Черт. 46.
секущей ММ9 с положительным направлением оси х. Из
чертежа видно, что в случае, когда угол ср — острый, отношение
-=—- положительно (черт. 47а, 476), так как оба отрезка
МК
КМ' и МК имеют одинаковые знаки (либо оба'положительны,
~кТлг
либо оба отрицательны) и tgcp = -=-. Если же угол ср — ту-

112 производная [гл. in
пой, то отношение -==- отрицательно (черт. 48, 49) и
tg(ir — <р) =
КМ' .Л
но раз -=-<(), то
Черт. 476.
и Ытт — аЛ =— Ш==г или tsr ф = -==^. Таким образом, всег-
*v *' МК Т МК
да *»вж/ Но_
МК=Ьх = х'— xf
а
KM' = &y=f(x')— f(x);

§ 30] КАСАТЕЛЬНАЯ ИЗ
значит,
или
tg<?
_/(*')-/(*) _f(x + bx)-f(x)
X1 — X
Ах
^<Р = Й'
(47)
(48)
если воспользоваться сокращенным обозначением Ду =
^f{x + bx)—f{x).
Определение. Узловым коэффициентом прямой линии
называется тангенс угла, образованного этой прямой с
положительным направлением оси х.
Формула (48) позволяет вычислить угловой коэффициент
любой секущей ММ\ проходящей через точку Ж.
П
У,
0
; 1
\ 1 -
^АЛ
^х^уя"-^
! ^^s4/SsS.
\И
v^"~
X
Черт. 48.
Черт. 49.
Если теперь точку Ж', лежащую на данной кривой,
будем неограниченно приближать к Ж, то х' будет стремиться
к х; Дд; будет стремиться к нулю. Предельное положение
секущей будет, по определению, касательной, угол ^ в пределе
превратится в угол а между касательной и положительным
направлением оси х; значит, угловой коэффициент касательной,
т. е. tga, мы вычислим, если найдем предел углового
коэффициента секущей:
tga = limtgcp.
м-»лг
Подставляя вместо tg <p его значение из (28), имеем
,^Цт/(* + А*)-/(*)
tga = limr Дх
(49)

114 ПРОИЗВОДНАЯ
или, что то же самое,
tga:
lim £
Дх-*0
Дх*
[гл. ш
(50)
Пример 1. Вычислить угловой коэффициент касательной
к кривой у = х* в точке х = 2. Мы знаем, что
t _/Ш'_Ау
МК
Д#
*=2
(черт. 50),
но
и
Дуи=2 = (2 + Дл:)* — 22 = 4Дл; + Д*8
tg»=£| = 4 + Д*, tga= lim (4 + Д*) = 4.
ог Д#|х=2 ' * Д*-»>0
Пример 2. Найти угловой коэффициент касательной
к кривой у = х— лг8:
а) в точке х = -~ ; б) в
точке х = 0 (черт. 51 дает график
нашей функции).
Черт. 50.
Черт. 51.
МК "Д*|ж 1»
но
КМ' Ду
а) Мы знаем, что tg<p = ==-= д^
И~НМ-(МН(т)-(тЛ-
и
tg(ff:
• Дх*
-Й1-4-
Длг.

§31]
ПРОИЗВОДНАЯ
115
Переходя к пределу, имеем
Av
tga = lim -r£
*==— дх->о
.о'
но
д*-*о Дх
откуда сс = 0.
б) Имеем tg<p = ^
Ду | хз=о = Да: — (Да:)2 и
Переходя к пределу, имеем
tga = lim -^1 =lim (I
откуда ^1 a = 45°
1==:lim ( — Да:) = 0,
AxU=o
д*-*о
■Даг)=1,
Черт. 52.
Пример 3. Найти угловой коэффициент касательной
к кривой 3/ = sinA: в точке # = 0 (черт. 52 изображает нашу
кривую).
Имеем tg<p=nr4 • но
>=£1 =
Дх х=о
sin Ax
= ~Дх~'
1- д3> 1» sin(Ax) t
=llm д£ = hm —ЕГ" — 1»
ДУ |л;=0 = Sin ДЛГ И tglf:
Переходя к пределу, имеем
tga:
откуда ^/а = 45°.
§31. Производная
Определение» Производной данной функции в данной
точке называется предел отношения приращения функции
в этой точке к приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю, т. е. производной функции

116 производная [гл. ш
у=/(х) называется
lim^lim^ + f-^.
Обозначения. Производная обозначается штрихом сверху;
так, например, у' означает производную от у; f (x) означает
производную от / (х); (Зхг— л:)' означает производную от
выражения в скобках.
Иногда бывает необходимо указать, что считают за
аргумент по которому берут производную, тогда наименование
аргумента пишут маленькой буквой внизу; так, например, и!х
означает производную я, причем аргументом является
переменная х\ и\ означает производную и по аргументу t и т. п.
Пользуясь введенными обозначениями, имеем: если у—/(х), то
/=/' (*) = Нт %. (51)
Сопоставляя формулу (50) с определением производной,
выражаемым формулой (51), мы получаем
y = tga. (52)
Следовательно, производная равна тангенсу угла,
образованного касательной к графику функции с положительным
направлением оси абсцисс, или, короче, производная равна
угловому коэффициенту касательной к графику функции.
В этом и заключается геометрический смысл производной.
Для вычисления производной от функции у =/ (х) в данной
точке х будем придерживаться следующего порядка действий:
Правило нахождения производной:
1) давая приращение аргументу, находим наращенное
значение функции . .
y + by=f{x-\-kx)\
2) находим приращение функции Ду; для этого из
наращенного значения функции вычитаем ее первоначальное
значение, т. е. находим
3) делим приращение функции на приращение аргумента;
получаем отношение приращений
АУ=/(* + А*)--/(*) .

§31] производная 11?
4) находим предел отношения приращения функции к
приращению аргумента, когда приращение аргумента стремите»
к нулю, т. е. находим производную у = lim -^-.
Процесс отыскания производной от данной функции
называется ее дифференцированием.
Пример 1. Найти производную от функции у = х*
в точке х.
В нашем примере f(x) = x2. Поступаем согласно правилуt
1) находим наращенное значение функции:
у + Ьу=/(х + Ьх) = (х + Ьх)*;
2) вычитаем первоначальное значение функции, т. е.
определяем приращение функции:
Ду = (х + Д*)2 — х2 = 2х Дд; + А*1;
3) делим приращение функции на приращение аргумента,,
т. е. находим отношение приращений:
4) наконец, переходим к пределу, т. е. находим производную^
У = lim $£= lim (2x + А*) = 2х.
Итак У = (х*)' = 2х. Если мы пожелаем узнать
значение производной, например, в точках 2 и 3, то для этого*
нужно лишь подставить эти значения в общее выражение для
производной; мы получим У |Л.==2 = 2л: \х—2 = 4; y|x==3 =
= 2*L=3 = 6 и т. д.
1
Пример 2. Найти производную от функции у=гг в точке xv
В нашем примере /(#) = — . Поступаем по правилу:
1) находим л; + Дз/=/(* + Дх) = —р-^;
2) вычитаем первоначальное значение функции и находим*
1 1 х —х —Ах — Дх
Ду =
х + Дх х (я + Дх) х (х + Дх) х'

118
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
3) делим на Да:; имеем
Ь^х (х + Дя) х'
4) переходим к пределу при Дл;—*0, т. е. находим
производную:
У ~Адг^О ** _ J ^0 (* + **)* = ~ X2 '
Из выражения для производной в точке х легко получить
частные значения производных для различных числовых
значений х. Так, например:
а) производная в точке—2 будет равна j;'|x=-_2=r^2^=
-^ 1
— 4 ;
б) производная в точке—1,5 будет равна . У|*=_1|5 =
_ 1 _ — 4
— (-1.5)2- 9 ;
в) производная в точке 4 будет равна у |Х5Я4 = -7?~ =
1
= Тс И Т. П.
16
Примечание. Вычисляя производную в точке х9 мы
получаем общее выражение для производной, которое зависит
от величины х. Для нахождения производной при данном числовом
значении х нужно лишь подставить это значение в выражение
для производной, что будем обозначать так: у'\х-.!=/'(!),
или У|х=з2=/'(2), или /[*:-_! =/'(— 1) и т. д.
Если в дальнейшем мы будем говорить о производной,
не указывая точки, для которой эта
производная вычислена, то это будет означать, что мы имеем
дело с общим выражением производной.
§ 32. Производная как скорость
1°. Равномерное движение и его скорость. Как известно
из физики, закон равномерного движения выражается формулой
s = s0-\-vt, где v есть величина постоянная — скорость
равномерного движения, s0— начальный путь, т. е. расстояние,
пройденное телом к моменту t = 0.

§ 32] ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ 119
Таким образом, закон равномерного движения аналитически
выражается с помощью функции первой степени
относительно t, а геометрически — в виде прямой линии на
плоскости с прямоугольными координатами (t, $). Легко видеть,
что, обратно, если у нас есть зависимость вида s = a-\-bt,
где а и b — числа постоянные, то эта зависимость выражает
закон равномерного движения; иначе говоря, путь s
изменяется с постоянной скоростью относительно времени t.
Чтобы в этом убедиться, достаточно вспомнить, как
определяется скорость равномерного движения. Мы должны
рассмотреть промежуток времени от момента t до момента
?' = /-}-Д^ и найти путь, пройденный телом за этот
промежуток времени Li.
Заменяя в нашей формуле t через t' = t -j- Д£, мы найдем
путь, который пройдет тело к моменту f = / -|~ Д^:
s' — s + Ls = a-\-b (*-[-Д0.
Чтобы найти Д$, нужно вычесть из s' величину s\
Ls = s' — s = a + b{t-{-M) — a — bt = bM,
т. е. мы видим, что путь Д$, пройденный телом за промежуток
времени Д£, пропорционален этому промежутку времени и b
, As
есть множитель пропорциональности; иначе говоря, b = jr.
Таким образом, b представляет собой отношение
пройденного расстояния к соответствующему промежутку времени;
величину b в физике называют скоростью равномерного
движения.
Итак, мы видим, что равномерное движение характеризуется
тем, что закон его выражается функцией первой степени, или,
говоря геометрически, прямой линией.
2°. Неравномерное движение и его скорость. Мы видим,
таким образом, что вопрос о скорости равномерного движения
решается очень просто. Однако большинство движений, которые
приходится наблюдать в природе и с которыми приходится
поэтому встречаться при научном изучении явлений природы,
не будут равномерными. Это будут движения неравномерные.
Во всех таких случаях зависимая переменная s — путь,
пройденный телом, будет выражаться через независимую t — время
при помощи соотношения не первой степени, а более сложного.

120
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
Достаточно рассмотреть хотя бы задачу о движении тяжелого
тела под влиянием силы тяжести. Из физики известна формула,
«ыражающая закон падающего тела: s = —y r&eg —
постоянное ускорение силы тяжести, равное 981 см\секг. Это движение
«е будет равномерным, так как формула — второй степени
относительно t. Так как движение неравномерное, то мы можем
говорить лишь о скорости движения в какой-нибудь
произвольный момент времени. Пусть нам нужно узнать скорость
движения по истечении t сек. Для этого мы предположим,
что в промежутке от t до f = t -J- Д£ тело движется равномерно.
Мы будем вычислять скорость этого воображаемого равномерного
движения так, как мы это делали до сих пор:
s' = $ -f- As
откуда имеем
' 2 •
я, значит,
-S = bS = gtU-\-g££
Если бы в течение промежутка от t до f = t-{-M тело
двигалось равномерно, то скорость должна была бы быть
равна -£ = gt \ g2 . Но в действительности тело движется
неравномерно. Ясно, что мы получили лишь приближенное
значение этой скорости, предположив, что в течение промежутка
времени t' — t — M движение совершается равномерно. Мы
получим лучшее приближение, если возьмем промежуток М более
мелким. Этоотношение дт- носит названиесреднеи
•скорости за соответствующий промежуток
времени от момента t до момен та t' = t-\-M..
Таким образом, чтобы получить среднюю скорость за
^какой-нибудь промежуток времени от t до t' = t-\-kt, мы
считаем, что движение в течение этого промежутка времени
-будет равномерно, и вычисляем скорость этого движения, как
путь, пройденный за единицу времени. *

§ 32] ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ 12?
Определение. Скоростью в момент t называется предел
средней скорости для промежутка (t, t-\-kt), когда
величина Ы этого промежутка стремится к нулю, т. е.
v = hm -гт.
В разбираемом примере мы, очевидно, получим
здесь скорость пропорциональна времени.
Обращаясь к общему случаю, обозначим через s путь,,
пройденный телом за время t. Так как каждому значению*
времени соответствует определенное значение пути s, который^
тело прошло за это время, то величина $ будет функцией /,
т. е. s=/(t).
Определим среднюю скорость движения за промежуток
времени от момента t до момента i-\-kt. За время t тела
прошло путь s =/ (/), за время t-\~kt тело прошло путь
$-|-Д.9=/(/-|-Д/). Следовательно, за промежуток времени Д£
от момента t до момента t-\-kt тело прошло путь Д$=*
=/ (/-|-Д*)—/ (t). Мы получим среднюю скорость vcpb
если разделим путь Д$ на промежуток времени Д*, т. е.
ср Д* Д*
Если теперь перейдем к пределу при Д*—► (), то получим»
v = lim v = 11m % = s't =/' (t). (53>
Итак, скорость движения равна производной пути па
времениг).
3°. Скорость изменения. Мы можем определять скорость
не только в случае движения. Рассмотрим какую-нибудь
величину Q, которая будет меняться с течением времени t.
Величина Q будет функцией t: Q=/(/), т. е. каждому
значению времени t будет соответствовать определенное зна-
') Мы здесь определили абсолютную величину скорости движения,
иначе — длину так называемого вектора скорости.

122 ПРОИЗВОДНАЯ [ГЛ. Ill , Щ
чение величины Q. Мы можем поставить себе задачу —
определить скорость изменения величины Q. Так же, как
при определении скорости движения, мы сначала найдем сред*
нюю скорость изменения. В момент времени t величина Q
имеет значение /(*), т. е. Q—f(t). В момент времени
t-\-Lt величина Q получит приращение AQ, и наращенное
значение величины Q будет Q-\-kQ=f (*-[-Д£). Тогда
приращение Q будет Дф=/(*-}-Д/)—/(/). Средняя скорость
изменения величины Q будет
%— м~ д* » <D4>
а за скорость изменения v в момент * или
(просто скорость изменения) принимают предел
средней скорости при Д*—>0, т.е.
Итак, скорость изменения любой величины равна
производной по времени от этой величины.
Пример 1. Рассмотрим процесс нагревания некоторого
тела.
Обозначим температуру тела в градусах Цельсия Г,
время—1\ тогда Г=/(*), потому что в каждый данный момент t
тело имеет определенную температуру 7\ Тогда согласно
формуле (54) средней скоростью нагревания будет mv = —,
а скоростью нагревания в данный момент времени будет
предел средней скорости, т. е. производная от температуры по
времени:
v=\imv =T't=f'(t).
д*-*о р
В частности, если закон изменения температуры со временем
задан формулой Т=0,5/*, то приращение температуры за время
от момента t до момента i-\-№ будет
Д7 = 0,5 (* + ДО2 — 0,5*2 = Ш + 0,5Д*2.
Средняя скорость vc за тот же промежуток времени Д* будет

§ 32]
ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ
123
и скорость нагревания в данный момент будет
v=lim^=lim (/ + 0,5Д/) = *.
Пример 2. Рассмотрим вращение тела вокруг
неподвижной оси АА' (черт. 53).
Обозначим через <р =/(/) угол поворота тела за время t.
Если М — начальное положение точки тела, а Ж' — положение
этой же точки в момент ty то угол
между первоначальным положением
перпендикуляра ОМ, опущенного на ось
вращения АА из точки Ж, и
положением этого перпендикуляра ОМ' в
момент £ равен углу поворота <р. Тогда
средней скоростью изменения <о угла ср
будет
Д<р
w
ср
м
а скорость изменения <о угла ср будет
At-+0 H
Скорость изменения угла <р
называется угловой скоростью вращения.
В частности, если закон изменения
угла со временем задан формулой
у = 0,2/*— /, то приращение угла <р за время от момента t
до момента t-\-kt будет
Ду = 0,2 (t + Д*)2 — (< + Д*) — (0,2** — t) =
= 0,4Ш + 0,2Д** — Д*.
Средняя угловая скорость шСп за тот же промежуток
времени будет
угловая скорость (в данный момент) будет
a>=iim 4|=lim (0,4/4-0,2Д*~ 1) = 0,4/— 1.
M-»0'
Д*-»0

124
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
4°. Относительная скорость изменения* Рассмотрим две
«переменные величины у и л:, связанные функциональной
зависимостью у=/(х). Мы знаем, что если мы дадим некоторое
приращение независимой переменной х, равное Дл:, то у получит
«приращение Ду. Следовательно, изменению величины х на Дл;
•соответствует изменение величины у на Ду.
Отношение — показывает, во сколько раз быстрее
(медленнее) изменяется у по сравнению с изменением х в среднем,
когда х изменяется на Д#, т. е. отношение -£. дает среднюю
относительную скорость изменения величины у по сравнению
-с изменением величины х. Переходя к пределу при \х—►О,
мы получаем т относительную скорость изменения величины у
«о сравнению с изменением х:
ton ^ =у =/(*),
т. е. производная функции у=f (х) является относительной
скоростью изменения переменной у по сравнению с изменением
переменной х.
§ 33. Формула для приращения функции
Пусть функция у=/(х) имеет производную в данной
точке, значит, существует предел
иш §£=/•(*),
«о всякая величина отличается от своего предела на бесконечно
малую, поэтому
где а — бесконечно малая при Д*—►О. Освобождаясь от
знаменателя, имеем
Ду =/' (х) Ддг + осДл;. (55)
Таким образом, если функция имеет производную в дан*
ной точке, то ее приращение в этой точке можно вира*
вить при помощи формулы (55).

ФОРМУЛА' ДЛЯ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ
125
§33]
Следствие. Если функция обладает производной в
данной точке, то она непрерывна в данной точке.
В самом деле, из равенства (55) следует, что
lim Ду— lim f'(x)kx— lim аДлг = 0,
Длг -► 0 Дх -► 0 Ах -* О
т. е. приращение функции Ду — бесконечно малая при
бесконечно малом приращении аргумента Ддг, а это и значит,
что функция непрерывна. Обратная теорема неверна. Функция
д/=|лг| (черт. 54) непрерывна всюду.
В самом деле, если л:>0, то у=^\х\ = х и функция
непрерывна. Если л:<0, то у = \х\ =— х и функция также
непрерывна. При л; = 0 имеем
lim Ду | X=Q = lim | Дл: | = 0.
Да: -> 0 Да? -* 0
Следовательно, и при д:=0 Черт. 54.
функция непрерывна.
Покажем, что в точке л; = 0 производной нет. В самом
деле, разделим обе части равенства (56) на Длг, получим
Ду
Дх
1**1
Дх
X ts О
==-{-1 при Д#>0
Ду| _
Дх
X = 0
при Дл;<0.
Поэтому во всякой последовательности значений Длг,
стремящейся к нулю и такой, что Дл;>0, имеем
lim
Д*>0
Ду| _
А* * «.
= 1;
по всякой последовательности значений Длг, стремящейся

126 ПРОИЗВОДНАЯ [ГЛ. Ill
к нулю и такой, что Дл;<0, имеем
ш. gl — к
Ах-*о ах1 х = о
Д#<0
Таким образом, отношение -Л\ по разным
последовательностям значений \х -* 0 имеет разные пределы, и поэтому
предела это отношение при Lx -* 0 не имеет. Из черт. 54
видно, что у графика функции в начале координат нет
касательной. Начало координат — «угловая» точка (точка
«излома») графика функции.
§ 34* Производная постоянной
Производная постоянной равна нулю, т. е. если у = с,
где с — постоянная, то
у' = (с)' = 0. (57)
Доказательство. Если у = с, то это значит, что
ординаты графика функции во всех точках оси абсцисс
одинаковы и график будет прямой, параллельной оси х (черт. 55).
•
1 Г"
JSL
Черт. 55.
Значение у в точке х равно с, т. е. у —с. Наращенное
значение у (т. е. значение у в точке х-\-кх) будет j/-f-Ay = c,
откуда приращение у будет Ду = £ — £ = 0 (что видно из
чертежа).
Делим теперь Ду на Дл: и получаем ^=j^=U;
переходя к пределу, имеем
у'— lim ^=0,
что и требовалось доказать.
j

§ 34] ПРОИЗВОДНАЯ ЦЕЛОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ СТЕПЕНИ 127
§ 35. Производная целой положительной степени
Если у = хп, то у'=гпх(п~1}, где п — целое
положительное число, т. е.
(хГ)' = пхп-\ (58)
Доказательство. Вычислим производную,
придерживаясь правила § 31. В нашем случае f(x) = xn.
1) Находим наращенное значение функции:
у-\-Ьу=/(х+Ьх) = (х + Ьх)п.
2) Определяем приращение функции, вычитая для этого
из наращенного значения функции первоначальное значение.
Имеем
Ду =/(*+Ддг) — f(x) = (х+Д*)" — Л
Производим вычисления в правой части, разворачивая
(х-\-кх)п по формуле бинома Ньютона. Имеем
Ьу=**Г + пхГ-11х+я1п1~ 1) хп-*(Д*)* + ...
...+пх№)»-г + (Ьх)п — **гжшГ-гЬх-\-
3) Делим выражение для Ду на Длг. Находим
4) Переходим к пределу при Д* -* 0. Замечая, что все
члены, кроме первого в правой части, стремятся к нулю,
имеем
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти у\ если у = х*.
По формуле (58) имеем
/=(*•)'« а*1-1—ал
Пример 2. Найти у\ если j;=^4.
По формуле (58) имеем
У = (^4)' = 4д;4-1 = 4Л

128 производная [гл. in
Пример 3. Найти У \ х _ _ 8 если у = л:5.
По формуле (58) имеем
/ = (дг5)' = 5л;4 и/|,ш1 = 5.( — 3)4 = 405.
Следствие. Полагая в формуле (58) л=1, получаем
у = х и у = (.*)'= *°=1, т.е. производная от
переменной х по х равна единице.
§ 36. Вынесение постоянного множителя за знак
производной
Теорема. Постоянный множитель можно выносить
за знак производной, т. е. если у —си, где с —
постоянная, а и — функция лг, то у' = (си)' = с (и)'.
Доказательство. 1) Даем х приращение Дл: и
вычисляем наращенное значение у. Пусть и = <р(л:), тогда
наращенное значение и будет » ~f- Да == с© (лг -}— Длг), и,
следовательно,
у -{- Ду = с (и -f- Ди).
2) Вычисляем Ду, вычитая для этого первоначальное
значение у = си. Имеем
Ду = г(н + Ди) — си = с&и.
3) Делим Ду на Да:. Находим
Ду Ди
Д^—*Д*#
4) Переходим к пределу в последнем равенстве, получим
А* -+ О *Х А* -* О *Х
Замечая, что
Ду # Ди /
iim^=y, a lim c-r-^cu,
получаем
что и требовалось доказать.
Пример. Найти У, если ^ = 8*°.
У = (8л:*)' = 8 (*6)' = 8. 6л:5 = 48л:§.

§ 37] производная суммы 129
§ 37. Производная суммы
Теорема. Производная суммы равна сумме производных
слагаемых, если производные слагаемых существуют, т. е. если
y = u-\-v, где и и v — функции, обладающие производными,
то/= «' + «*.
Доказательство. Пусть й = ср,(л:), г> = <р2(лг),
тогда J'==¥1W + ?2W; наращенное значение и будет
и J- Д# = yl (x -f- Д#), наращенное значение г> будет
г; -|- Дг; = <р2 (лг ~f- Дл:). Теперь поступаем согласно правилу §31.
1) Находим наращенное значение у:
^ + ДУ = ^* + М + <Р2(* + Д*),
или
у -(- Ду = (и -j- Да) -}- (v -f- Д*>).
2) Вычитая первоначальное значение у = a -{- v, получаем
Ду = (и -|- Ди) -f- (^ -+- Д*0 — (и + v) = Д и -f- Дг>.
3) Делим полученное выражение для Ду на Дл\ Имеем
Ду Аи | Ag
Д# Дх * Да; *
4) Переходя в последнем равенстве к пределу, находим
,. Ду ,. /Ди . ДсЛ .. Ди i ,. Ди
llm Д^= Ilm Д^+Д1)= Ilm Д^+ llm Е»
или
у' = и'-}-г/,
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти /, если _у == л: -f- лт* — л:4.
/ = (х + хг — л:4)' = (х)' + (х9)' — (л:4)' = 1 + Здг* — 4х*.
Пример 2. Найти/, если у = 2-\-Зх*— д:10.
/ = 0 + 3.8д:7— \0х»=:24х7— 10л;9.
Пример 3. Найти /(1), если f(x) = 3-{-2x — *J-f 4хг.
f'(x) = 2 — 3x* + 8x и /(1) = 2 —3.1* + 8.1 = 7.
° И. И. Привалов н С. А. Гальперн

130 ПРОИЗВОДНАЯ [ГЛ. Ill
§ 38. Производные синуса и косинуса
1°. Если у = ъ\пху то у' = со$ху т. е.
(sin л:)' = cos х. (59)
Доказательство. 1) Дадим аргументу х
приращение Ду; получаем наращенное значение функции
у -[- Ду = sin (x -|- Д#).
2) Вычисляем Ду. Имеем
Ду == sin (л: -\- Дд:) — sin x
и, пользуясь формулой для разности синусов, получаем
. х-\-&х-— х х + кх + х
Ay = 2sm—L-^ cos—' 2 '—= •
о . Дх / , Дя\
==2sin-y cos (^ + TJ *
3) Делим Ду на Дд: и находим
а ' sin
Д# Дх
V 2 J ( . кх\
4) Переходим к пределу при Дл: -* 0 и, вспоминая .(§ 29),
что предел отношения синуса к своему углу, когда угол
стремится к нулю, равен единице, получим
г ty v 0Sm V 2 ( . ДлЛ
у■'= Ига т^= hm 2—f-^-cosh:4—?г =
2-sin
== lira ±—--cos ( x + — 1 =cosjc.
Д*~>0 О.—
2
Итак,
/ = cos х,
что и требовалось доказать.
2°. Если у = cos х, то у' — — sin х, т. е.
(cos л:)' = — sin х. (60)

* 38] производные синуса и косинуса 131
Доказательство. 1) Давая приращение Длг
аргументу х, получаем наращенное значение функции
у -\- Ду = cos (х -f- \х).
2) Вычисляем Ду:
Ду = cos (x -f- Да:) — cos x
и, применяя теорему о разности косинусов, получаем
Ду = —• 2 sin ^ ~— sin ^ 2 я
— 2..0 (, + *).<„(£). •
3) Деля Ду на Дх, находим
- 2 sin (х -f- -J-1 sin •
Ах
АУ.
Ajc Ajc
4) Переходим к пределу и пользуемся теоремой § 29.
Имеем
'-л.й-л[-»*(*+*)-^]-
sin (—)
2
Итак,
У = — sin лг,
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти /'(у), если f(x) = 2$inx.
Имеем /' (л:) = 2 cos л: и /'( —) = 2 cos ~ = 0.
Пример 2. Найти у\ если <у = 3лг3 -f" 4 co^jc.
Имеем у' = 9л:2 — 4 sin #.
5»

132 ПРОИЗВОДНАЯ [ГЛ. Ill
§ 39. Производная произведения
Теорема. Производная произведения двух функций
равна сумме произведений каждой функции на производную
другой функции, если производные сомножителей
существуют, т.е. если y = u-v, где и и v — функции, обла
дающие производными, то У = vu' -{-- ttv\ или (uv)' = vu' -f- uv
Доказательство. Пусть u=^<fl(x) и v = yt(x)
тогда y = u-v = <fl(x)-yt(x). Дадим х приращение Длг,
тогда наращенное значение и будет а -|- Да = <pt (jc -f- Длг)
а наращенное значение v будет v-\-\v = yt(лг-|~Длг).
1) Наращенное значение ^ = fp, (*)?, (х) будет
у -f Ду = <р, (* -f Дат) <р f (* + Длг),
или
;; -f- Ду = (и -{- Да) (v + Д^).
2) Вычитая первоначальное значение у = а-г>, получим
Ду = (а-[-До)(^-|-Д^) — uv,
или, раскрывая скобки, имеем
Ду = uv -{- г>Дя -|"tf Аф 4" btikv — uv = г>Д« -f"a^ ~Ь ДиД*>.
3) Деля Ду на Длг, находим
4) Переходя к пределу и помня, что в силу
непрерывности lim Д« = 0 (см. § 27), имеем
^lim ^= lira *to + ita№+ lim Ьи*/.
Так как lim Дат- = 0»г;' = 0, то мы получаем
Дх •+ О Л*
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти у, если y = x*sinx.
Имеем
у' = (л;8 sin jc)' = (л:8)' sin x + (sin *)'. л:8 =
=5 Злг' sin x -J- cos х • х3 = хг (3 sin лг -f- x cos л:).

§ 40] ПРОИЗВОДНАЯ ДРОБИ 133
Пример 2. Найти у'\ „ , если y = x-cosx.
Имеем
у = (л: cos х)' = cos х — sin х • х = cos х — х • sin дс;
^U=L=cos4--TsinT = ^ j—=*
^(1-|)-0,152.
§ 40. Производная дроби
Теорема* Производная дроби равна произведению
знаменателя на производную числителя минус произведение
числителя на производную знаменателя и все разделенное
на квадрат знаменателя; предполагается, что производные
числителя и знаменателя существуют, т. е. если у = —,
где и и v — функции, обладающие производными, то
, VU* — UV9
У <л
или
( и\ vu' — nv'
\у)— у'
Доказательство. Пусть и = ^г(х) и г> = <ра(л;),
тогда у = — = 2ц£|. Наращенное значение и будет и 4- \и =
T=<?l(x-\-kx), а наращенное значение г> будет v-\-lv =
1) Наращенное значение y=2i-^j представится в виде
у + Ду = ср'(х + ^)
' I ау <рг (X -h Д*>
ИЛИ
, А и -4- Да

134 производная [гл. m
2) Вычитая первоначальное значение у=—, имеем Ду=г
и + Ьи и
~%F+Tv v и» ПРИВ0ДЯ к общему знаменателю,
* uv -|~ ^Дц ~- uv — а&У v&a — иА#
(v-f-AvjV {v + bv)V%
Деля Ду на Дх, находим
Ли Ар
Ду Дх Дх
~Дх (v-\-kv)v *
3) Переходя к пределу и помня, что в силу
непрерывности lim Дг/ = 0, имеем
Дя_ At;
, и Ду .. Дх Дх
lim o^. lim и *v
Ах-» 0 Дх д*-*0 Дх _VU'-~ttVr
Итак,
iim {v 4- At/) v
Vtt' — Kt;'
t/2 '
что и требовалось доказать
Прим
Имеем
Пример 1. Найти у\ если у = —5- .
х
,_/sinxV (sinхУ хг ~ (х8)' sinx___х8
cos х ■— Зхг sin х
X1 =
х cos х — 3 sin x
хт
sinx
Имеем
х cos х — sin x
Пример 2. Найти /'(у), если f(x)-
л те .те
-.cos—— sin-rr , 4
**#

§41]
ПРОИЗВОДНЫЕ ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА 135
§ 41. Производные тангенса и котангенса
1°. EcAuy = tgx, то у' = ^г^, т. е.
Доказательство. Представим tgx как , тогда
^ г о cos а;
v = tgA: = . Применяя теорему § 40, получаем
• ° COS X
у \COSXJ
(sin x)' cos x — (cgs x)' sin x
COS2 X
cosx-cosx — (— sinx)«sinx cosa x -f- sin2 x 1
cos2* cos2 л; cos2 x'
Итак,
что и требовалось доказать.
2°. Если у = ctg х, то у' = — -г^, т. е.
<**>'=-ah- <62>
cos х
Доказательство. Представим ctg x как -—, тогда
y = ctgx=:-—. Применив теорему § 40, будем иметь:
sin х
sinx — (sin х)' -cos x
t /cosxV (cosx)'-s
^ \sin xj
sin2 x
(—sin*) sin x — cos x*cos x sin2 x -|- cos2 x ~ 1
sin2 x sin2 x sin2x'
Итак,
' surx'
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти у\ если у — х2 -J-4ctgлг.
Имеем y==2jc
sin2 х'

136 производная [гл. щ
Пример 2. Найти у\ если y = tgx— ctg*.
Имеем
, lil sin**4-cos>* 1 4
У cos2x * sin2x cos2x*sin2x cos2xsin2* sin2 2x"
Пример З. Найти угловой коэффициент касательной
к кривой у = ££ в точках #=-£■ и jc = it.
Имеем
cos2* _ х — 2tgx*cos2 л;
х* я8 cos2*
и, следовательно,
a) tga
х — 2 sin x cos л; х — sin 2jc
#8cos2# x'cos2*
Я _ 1С 11 .
T~Sm/i"4__ T"1 _32fr-4).
(t)cost (t) -t
-ч . я — sin 2те те 1 Л -
6) tga = —i 5— = ~5==-i=^ 0,1.
' ^ |*=n n* COS2 it те8 ic2 '
§ 42. Производная сложной функции
В предыдущих параграфах мы научились находить
производные от целой положительной степени и от
тригонометрических функций. Мы знаем также, как определяются
производные от суммы, произведения и дроби. Однако если нам
нужно будет найти производную, например, от сложной
функции (см. § 28) yz=zsin(x)2 или от функции у = tg our, где a—
постоянная, то этого сделать мы пока не сумеем; правда, мы
могли бы непосредственно вычислить производную (т. е.
вычислить приращение функции, разделить на приращение
аргумента и перейти к пределу), но такие вычисления для
каждого отдельного примера потребовали бы очень много
времени.
Поэтому существенной является теорема, позволяющая
находить производную от сложной функции.

с 42] ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 137
Теорема. Производная сложной функции равна
произведению производной этой функции по промежуточному
аргументу на производную промежуточного аргумента по
независимой переменной, если эти производные существуют,
т.е. если y — F(u), где и = у(х), то j£ = /*(«)• «£ (или
Доказательство. Применим формулу для приращения
функции (§ 33, (55)) к функции y==F(u):
Ду=ж/Чв +Д«) — /г(а) = Г(«)Ди + аДл,
где а — бесконечно малая при Да—►О.
Разделим обе части равенства на Длс, тогда
Ду п-/ / ч д« I ди
Перейдем к пределу при Дл:—>0. По условию
,. Ди ,
но раз функция и = <р (*) имеет производную, она непрерывна
(§ 33), поэтому Дл—► () при Д#—♦ О, и, следовательно а —+ О
при Дл: —* 0.
Получаем
Jim -g= Urn Г(а)£ + Ilm а^=Г(й)»;,
т. е.
jr;=г («)«;, (63)
что и требовалось доказать.
Механическое пояснение производной
сложной функции. Пусть y = F(a), где и — у(х).
Мы знаем (§ 32), что производная от переменной у
по переменной х является относительной скоростью
изменения переменной у по сравнению с изменением переменной л:.
Таким же образом производная у по и есть относительная
скорость изменения у по сравнению с изменением #, а
производная и по х есть относительная скорость изменения и по
сравнению с х.

138 ПРОИЗВОДНАЯ [ГЛ. IH
Итак, ух— относительная скорость изменения у по
сравнению с х,
у'в — относительная скорость изменения у по
сравнению с й,
и'х — относительная скорость изменения и по
сравнению с х.
Тогда по доказанной теореме относительная скорость
изменения у по сравнению с х равна произведению
относительных скоростей у по сравнению с а. и я по сравнению с х.
Приведем простой пример. Если аэроплан движется в а раз
быстрее автомобиля, т« е. а — относительная скорость
движения аэроплана по сравнению с автомобилем, а автомобиль
движется в b раз скорее пешехода, т. е. b — относительная
скорость движения автомобиля по сравнению с пешеходом, то
относительная скорость с аэроплана по сравнению с
пешеходом будет, очевидно, равна произведению относительных
скоростей а и Ь, т. е. с = а-Ь.
Пример 1. Найти у'%, если у = tg(ax-f-b).
Полагая ах-\-Ь = иу имеем сложную функцию y = tgfl,
где и=.ах-\-Ьу и
у' =у'**а' = (tg#)' (axA-b)' ——5-а=—ri—п; •<*•
Пример 2. Найти ух, если j/ = sin(x)*.
Полагая x2 — at имеем сложную функцию у = sin я, где
й = лг2, и
y'x—y'jix = (sin и)д (at2)^ = cos«-2a: = 2a:.cos (х)*.
Пример 3. Найти ух, если у^=sin2 лг.
Полагая sin.*;=tt, имеем сложную функцию ^ = я8, где
и = sin jc, и
y^==^^===(fir2)^(sin^===2«.cosA;===2sinA:.cosjc.
Пример 4. Найти у'у, если y = ctg8.*;.
При достаточном навыке образовывают сложную функцию
в уме. В данном примере будем помнить, что я = 8;е.
Имеем

§ 43] ПрОИЗВОДНАЯ ЛОГАРИФМА 139
§ 43. Производная логарифма
Если y = \ogax, то y' = ~\ogae, т. е.
(\ogax)'=±\ogae. (64)
В частности, если j/ = lnx, то у' = —, т. е.
X
(1п *)' = !. (65)
Доказательство. Имеем y=/(x) = \ogax.
. 1) Даем приращение х; наращенное значение у будет
y-\-\y = loga(x + bx).
2) Вычитая y = \ogaxf получаем
&y = \oga(x + lx)-\ogax==loga(?±^) = loga(\+^),
3) Деля Ду на Длг, находим
Ах ДхJ
Разделим и умножим правую часть последнего равенства
на х и затем множитель перед логарифмом переставим в
показатель, т. е.
Переходим к пределу:
у'= lira £.= lira ±iog„(i+—)
X
Найдем lim (\ -^ if V* . Для этого положим ^=«, тогда
при Длг—*0 величина а, как обратная бесконечно малой,

[гл. m
140 производная
будет бесконечно большой, и
й.(1+¥Г-.«г.0+т),-«-
Вставляя полученные значения в выражение для производной,
имеем
Итак,
В частности, если у = 1плг, то / = -г1пе==—: ,
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти у', если у = In (Зх-4-2).
1 3
Считая 3je-|-2 = tt, имеем У'=з «3 = 3jc i о*
Пример 2. Найти у', если y = lnsinjt.
Считая sin *==**, имеем у' = -— cos * = ctg х.
sin х
Пример 3. Найти у', если у = 1п^ 2 , ,.
Предварительно для упрощения вычисления производной
произведем логарифмирование; имеем у = In (8х* — 5) —
«— In {Зх* -{- 4); тогда
У' - 8^5 <8*' - 5)' - зРТ1 (»*• + 4)' =
_ 24л2 6*
~8jc»-5 3^+4-
Пример 4. Найти угловой коэффициент касательной
к кривой ys=zx\nx в точках х=\ и jt = -j.
Имеем
y' = ln*-|--*T=:=ln* + 1»
тогда
tga|je==1==lnl + l = l; tgal j=ln|+l = l_ln2 =
5=1 — 0,6931=0,3069.

§ 44] ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 141
условию функция
мы знаем, график
§ 44. Производная обратной функции
Теорема. Если данная функция у=г/(дг) имеет
обратную х = у{у) и если функция у=/(х) имеет не равную
нулю производную у'х=/'(х), то обратная функция
имеет производную х' = <p'(j/) и дг' = —.
У Ух
Доказательство. Так как по
y=zf (х) имеет производную, то, как
функции имеет касательную
и >4 = tg а, где а — угол
между касательной и
положительным направлением
оси Ох.
Но график обратной
функции х = у{у) совпадает
с графиком данной (черт. 56),
только независимая
переменная откладывается теперь по
оси Оу, поэтому tgp, где
(5 — угол, составленный той
же касательной с осью Оу, будет равняться производной
т. е.
*;=tgp,
Черт. 56.
х' =
но
■а, поэтому
4-W-£-£.
что и требовалось доказать.
§ 45. Производная показательной функции
Если у = а*, то у' = а* 1п а, т. е.
(а*)' = а*In а. (66)
В частности, если _у==е*, то y' = e*t т. е.
1**)' = **. (67)

142 производная [гл. га
Доказательство. Функции у = а* и x = \ogay
являются взаимно обратными, и, следовательно,
Г
{
но по формуле (64) лт'у = — loga e% поэтому
Так как
г—- = 1па, то у' = а*1пя,
loga e '*
т. е. мы получили формулу (66).
Если теперь положим я = £, то у==е* пух = ех\пе = ех,
т. е. мы получаем формулу (67).
Пример 1. Найти у\ если у = а*х.
Считая Зл: за а, имеем у'= а*х1па(3х)'= 3а'х1па.
Пример 2. Найти у\ если y = 2*inx.
Считая sin* за и, имеем у' = 2sinx (In 2) (sin *)' =
= 2sin^cosA:ln2.
Пример 3. Найти угловой коэффициент касательной
к кривой у = е-~х* в точках х = 0 и х=1.
Имеем / = *г-*а(—2*) = —2**-** и tga|x==0 = 0;
tga|jr==1 = _2^-i = —J-^—0,74.
§ 46. Производная любой степени
Если у = хк, где k — любое число, то y'x = kxk~l, т. е.
(xk)' = kxk-\ (68)
Доказательство. Прологарифмируем обе части
равенства у=:хк; имеем \ny = k\nx, откуда y = ekXnxl).
Следовательно, рассматривая y = ekinx как сложную функцию,
получим yx = ek*nx(klnx)'=eklnx -|.
в
*) Это равенство может служить определением функции у = х'
= **

§ 46] ПРОИЗВОДНАЯ ЛЮБОЙ СТЕПЕНИ 143
Заменяя eklnx через xk> мы получим
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти у\ если у = У~х.
Имеем j/ = a;2, откуда
Пример 2. Найти У, если j/ = l/x\
Имеем
Пример 3. Найти У, если з>=—.
Пример 4. Найти у', если у = ^~ .
Имеем
_—s 2 — 1 — jc 2 +1_ 2х_
Л1+^2У 2V1+X2;
2
Пример 5. Найти у', если у = sin4 x.
Имеем у =-?- sin 4JCl$inJt) sss-rsin 4*cos*=—<7
* . * 4 у/ sin дй*

144 ПРОИЗВОДНАЯ [ГЛ. Ill
Пример 6. Найти угловой коэффициент касательной к
кривой y = V~xinx в точках лг=1 и лг = 4.
Имеем
2 ~ х 2Vx~Vx 2|Ле
И
^и4 = ^ = ^^ -f 1,6931 =0,8465.
§ 47. Производные обратных тригонометрических
функций
1°. Если у = arcsin л\ /ио у' = -р==г, т. е.
(arcsin дг)'==^=~. (69)
Доказательство. Функция у = Arcsin л:—многозначная.
Будем брать значения Arcsinху заключенные между —т и Т»
т.е. —у ^Arcsin х ^ у; при этих условиях _у = Arcsin x
будет однозначной функцией. Эта функция называется главным
значением Arcsinx и записывается так: y = axcsinx.
Геометрически это означает, что из графика функции у = Arcsin x
(черт. 57) мы берем лишь часть линии, заключенную между
точками Мх и М2. Функции у = arcsinx и Ar = sin^—взаимно
обратные, поэтому у'х = —, а так какл^=со5.у, тоу'х— ,
но cosy = Y I —sin2y =\f\ —хг и
1
Ух"~ГТ=*'
что и требовалось доказать.

§ 47] ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 145
При извлечении корня мы взяли перед ним знак плюс,
потому что у, согласно условию, удовлетворяет неравенствам
--?<*<-*
2 и, значит,
cos у — величина
положительная.
Пример 1. Найти У, если
y=sjcarcsin х.
Имеем
У = arcsin х 4- , .
У "/1-х*
Пример 2. Найти У, если
у = arcsin j/jc.
Имеем, считая У^х за и,
1
1
2VT=xVx 2Ух—х*
2°. £аш у = arccos лс, /wo
У =
— 1
'УТ=1
т. е.
(arccos х)' =
-1
УГ
(70)
Доказательство.
Функция j/ = Arccos x многозначная.
Мы условимся брать лишь те
значения Arccos xy которые
заключены между 0 и тг, т. е.
0 ^ Arccos х ^ тг; при этих
условиях мы получим
однозначную функцию. Эта функция
называется главным значением Черт. 57.
функции у = Arccos х и
обозначается так: у — arccos x (черт. 58). Геометрически мы берем
лишь часть графика, заключенную между точками Мг и М%.

146
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. in
Функции у = arccos x и x = cosy — взаимно обратные, поэтому
/=.1
а так как х'у = — sin у, то
/ 1
/
; V
0
Р
j
*
t
! >
./
/
/
1 •
Черт. 58.
Л=—:
sin у
Но
Sin у:
:УТ=Г<
• COS "JJ =3
«КГ=Р,
следовательно,
-1
что и требовалось доказать.
При извлечении квадратного
корня мы взяли перед ним
знак -|-, потому что у
удовлетворяет неравенствам О^у ^ тт,
и, значит, sinj/ — величина
положительная.
3°. Если у = arctg л:, то
/ = (агс1в*У=г^?. (71)
Доказательство.
Функция у = Arctg х— многозначная.
Чтобы сделать ее однозначной,
мы условимся брать те
значения Arctg д:, которые
заключены
между —~ и ^-, т. е.
2 " 2
— Y^Arctg лг^-н-• При этих условиях мы получаем
однозначную функцию, называемую главным значением Arctg x; эта
функция обозначается так: y=arctg x (черт. 59).
Геометрически мы берем ветвь графика, заключенную между у =—~
и j/==
2 •

§ 47] ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 147
Функция у = arctg х и х — tgy — взаимно обратные, поэтому
у'= — , а так как *'== , то у' =cos2v.
Но
cos'y
С0*'У=Т^==ТТ# и /=пЬ-
что и требовалось доказать.
U
^Г ?
2
Черт. 59.
Пример 1. Найти У, если у = arctg(3jc~J~2).
Считая 3*-|-2 за я, имеем
1
1-НЗХ + 2)'
i-3 =
9xz + \2x + S
Пример 2. Найти у\ если j/ = In (arctg x).
Считая arctg л: за и, имеем
У arctg х * i * ' ^(l +л^) arctgx *
Пример 3. Найти /' (0), если /(*) = arctg4дг.
Имеем / (х) = у^?'4 " ^(0) = И™ = 4"

148
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. га
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III
К §26.
2х
и ys=*+$]найти:а>Ау| «.1 •*>*у\ *=2 =в> Ал жшл
Отв. a) =* —0,028; б) =5=s — 0,01; в) =*: —0,079.
2. у=1п *; найти: а) Ду; б) ДЯ *=1; в) Ду I x=sl ; г) Ду | ^2#
| I Д*=0,2 I Д*=— 0,5
Отв. а) A>> = lnfl +^-); б) Ду,^==1 = 1п(1+Дх);
в) =5г 0,18232; г) 5s— 0,28768.
3. y = cos;c; найти: а)Ду; б)Д>М _п ; в) Д^уI x=s0;г) Ду
Д) ДЯ х=2 »e>^| *=i •
| Дх=0,1 I д*=0,2
Отв. а) Д>;=: — 2sin f* + ^) sin^-; б) Ау\ _n =t — sinAjc;
t s= cos 50° — cos 45° ss
*»
'=7
B)^L=o = -2sin«y-; r) Ay
Д*=;
1-Я
0,06432; д) Д>-| ж=2 =со$2,1--со$2=со$120о19'11»_
-со8 114°35'25»^!Го;о8870; е) ^-0,1805.
4. jt»tg« найти: а) Ду; б) ДИ , ; В) ДИ _я;Г) Ду|
V"2 sin Ajc
I /2 | 72
Ome. a) Ay=: , У** ; б) Ду| ft = Vj *"**.,.
cos(* + A*)cos*' '|^ cos^+A*)'
в) s* 0,09131; r) *s 0,05972.
К § 27-2&
6. Найти точки разрыва функции у=—-{-#*.
Отв. х = 0.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1П 149
6. Найти точки разрыва функции у ~ ^ ^ г _ ^.
Отв. х,=0, х, = —1, х8=2, х4-= —2.
7. Найти точки разрыва функции y=cosecx.
Отв. х = ля (где л = 0; ±1, ^2, :*=3,...).
8. Найти точки разрыва и построить графики функций: а) у =в
Ome. a) x =s — 1, б) х, = + 1, х8 •= — 1.
9. Найти точки разрыва и построить графики следующих
функций: a) y = ctgx; б) y=secx.
Отв. а) х=я*; п = 0, и:-1, 2=2, 2=3,..,; б) х = (2л + 1)-~;
л=:0, arl, :*:2, ^З,...
10. Найти точки разрыва функции у = ^ и вычертить гра*
1 + 2*
фик функции около точки разрыва.
Указание. Находим, что у -► 0, когда х -* 0 справа от точки
х = 0 (т. е. по положительным значениям), и что у -+ 1, когда
х -* 0 слева от точки х ss 0 (т. е. по отрицательным значениям),
откуда и можно легко заключить, что функция имеет разрыв
в точке х = 0.
К § 29.
«« ,. sin8x ~ л
11. Urn ——. Отв. 1.
х-» о tg8x
12. lim г . Отв. А
13. lim , * . О/пв. V2.
х-*о у 1 — cosх
8111 "8 1
К § 30.
15. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = 2х*4-1
и построить касательные в точках: а) х = 1; б) х = — 1; в) х = 0.
Отв. а) tga| x-i = *, б) tga| *__,= — 4; в) tg a | x_0 = 0.
16. Найти угловой коэффициент касательной к кривой y = sin2x
и построить касательные в точках: а) х = 0; б) x=-j; в) х= -£-•
Отв. а) tg a |хв0 = 2; б) tgal ^==0; в) tgal L==:-2.
L.

150 производная [гл. m
17. Найти угловой коэффициент касательной к линии д; r= 5jc -f-1
в точках: а) х=1; б) в точке х. Объяснить, почему наклон во всех
точках одинаков и равен 5.
18. Найти угловой коэффициент касательной к линии j>==tg-^
и построить касательные в точках: а) л = 0; б) *=•£-; в) * = -£.
2 о
Отв. a) tg a | xssQ=i.; б) tga
„ =1; в) tga
«- з
К § 31.
19. Найти производную от у = 2х2-\-х и определить: а)/'(0);
Отв. / = 4*4-1; а) 1; б) 5; с) -3.
20. Найти угловой коэффициент касательной к кривой j/=s
=г х9 + 2х в точке х и построить касательные в точках: а) х = 0;
б)х —у,* в) я = 3.
Отв. tga = 3**4-2; а) tga|жяв0 =2; б) tg a | ^ == ^ ;
в) tga/JC==3 = 29-
21. * Найти точки на кривой у = -j-x* 4- 5*, где: а) tg a = 0;
б) tgasrl; в) tga = -l.
0/we. а) х = —10; б) *, = — 8; в) х = — 12.
22. Найти производную от ^ = У^с.
О/ив. / = —«•
7 2/*
К §32.
23. Через отверстие в сосуде вытекает жидкость. Пусть Q —
количество жидкости, находящееся в сосуде в момент t. «Расходом
жидкости» называется количество жидкости, вытекающее в единицу
времени. Определить: а) средний расход жидкости и б) расход
жидкости в момент t.
24. Стержень расширяется при нагревании; пусть / — его длина
при температуре Т°. Определить: а) среднее удлинение стержня и
б) удлинение стержня при температуре 7°.
К §§ 34 — 37.
25. Найти /, если: а) у = 2х* + Ъх - 1; б) у = 4х> + 5х9 - х\
в) у = хп — хт\ г) у = хп — Зх*.
Отв. а)/ = 4x4-3; б) /= 12jc2 -f 30л5 - 1; в) / = лхЛ-1 —
— тхт"1\ г) /ггглх"-1 — 9х2.
26. Найти /' (2), /' (3), /' ( - 1) и /' (0), если у = 4х* - 5х.
Отв. /Ч2) = П; /'(3) = 19; /'(-1) = -13; /'(0) = -5.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III 151
К §§ 38-41.
27: Найти у', если: a) y = x*sinx; б) у = х cos х — 2 sin х;
tgx ч sinx
в)у = -|-; B^osx-sinx'
O/ne. a) y' = 2xsinx-fx2.cosx; б) у' = — со&х — х sin х;
, 2х — sin 2х . . , 1
в' ^ 2x2cos*x * '^ (cos x —sinx)2
28. Найти /' (~\ /*(*), если /(х) = sin x-tgx,
Отв. /(^)=i^;/>)===().
29. Найти производную tgx и ctgx. непосредственно (т: е.
вычисляя приращение функции).
30. Найти производную secx и cosecx.
Отв. (secx)'=|^; (cosecx)'^-^.
К § 42.
81, Найти у', если: а) у = cos ax; б) y = cos(x"); в) у = со$пх;
г) y — tg{ax + b)\ д) y = (ax + b)n\ e) y = sin8x.(2x + 3)e; ж) у =
= *%х-1з)2 ; з) y = sin(cosx); и) y = asin8y; к), y = ctg25x;
.8
л) y = cos1 —.
Отв. а) у = -«- a sin ах; б) у' = — ях*~' sin (xn)\
У' = — П COS""^ Sin X; Г) у' = =-; г-тг
' " cos2(ax-f-&)
е) у' = 8 cos 8х (2х + 3)в + 12 (2х + З)5 sin 8x;
— cos (cos x) sii
16
в) / = -wcosn-1xsinx; r)/ = C0S2{ax + b) ; Д) ? = па(ах'+'ЬУ*
: + З)5 sin 8x;
ч , 3(2х — 5)-2 sin 2 (Зх —2) ч ,
Ж) У = (2x-5)W(3x--2) ' 3)y = -cos(cosx)smx;
1 л х с 3 sin —
ч / . « * х ч , 10«ctg5x , х
32. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у =
= sin8x в точках: а) * = ^; б) *=^-; в) х = ~; г) *=|j.
Owe. а) 0; б) — 8; в) 8; г) 4 Y2.
К §§ 43—45.
33. Найти у', если: а) у = sin (In х); б) у = In (ax 4-% в) y=s
= ln J±i; г) у = е2*'; д) y=esta*; е) ^=3*'; ж) > = lntgl/*
ч , -, f\ 4- Sin X 2* te (лх)

152 производная [гл. m
От. a) / = icos(ln*); 6)/=^; *)/=т~\
г) У = 4л»2*'; д) / = cosxeia*; е) / = 2*3*а.1и3;
21£У"х"-сс*11/Т-У"х" ' " cosx*
*2*ln2-2*-" к) ^JLJno^C,).
' #* ' ^ cos2 ля
84. Найти: a) f (j)l б) f (j)l в) /'(j), если у =
«rinsing. _ X V У
Ow. a) 0; 6) 2; B)^pt.
К §46.
35. Найти /, если: а) y = j/3x + ^+4*» б) У = УТ^Ъ?\
Vx+1. х 1.1
6^ Х« Х* 3
, , 2-х' 2(*-*'>Т
е)у' =—
• 2W + V
К § 47.
36. Найти /, если: a) y = arcsin—; б) y = arcsin^ii-
в) y = earct2*; г) y = arctgx*; д) y = arctgi-; e) y = 2a'csini
Отв. а) /= ' -; б) у' — 1
7 Уа»-*»' ,У У1-2х-х''
в» «' — —— »агс*8*- г> „>_ 2* , 1
е) / = -2""^ 1а 2 '
7 л; Ух2-Г
37. Найти: a) f (1); б) /*(2); в) /'(- 1); г) У (/2), если /(х)=
= arctg 2х.
От. a)-f;6)l;B)4;r)l.

ГЛАВА IV
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 48. Теорема об обращении непрерывной функции
в нуль
Теорема. Непрерывная функция может изменить знак
только при переходе через значение нуль.
Геометрически это свойство представляется очевидным,
потому что если функция в точке а положительна, то
ордината в точке а направлена вверх; если в другой точке Ь
значение функции отрицательно, то ордината в этой точке
направлена вниз (черт. 60). При движении вдоль оси х от
точки а до точки Ь график функции должен где-нибудь
между точками а и b пересечь хоть один раз ось лс, потому
что в противном случае этот график не являлся бы
непрерывным. Очевидно, в точке
пересечения графика с
осью х значение функции
равно нулю.
Доказательство.
Пусть для определенности
/(fl)>0,a/(ft)<0.
Рассмотрим значение
функции в середине отрезка
[а, Ь]. Это значение может быть либо положительным, либо
отрицательным, либо равным нулю. Если это значение — нуль,
то теорема доказана. Если значение функции в середине
отрезка отрицательно, то рассмотрим левую половину отрезка,
которую мы обозначим [atf *,] (в этом случае ах = а, а £,==
= • Т ). Положение на этой половине будет таким же, как
и на всем отрезке [а, Ь\ т. е. значение функции на левом
конце будет положительным, а на правом — отрицательным.
Черт,

154 ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. IV
Если значение функции в середине отрезка [а, Ь] положительно,
то будем рассматривать правую половину всего отрезка,
которую мы обозначим^, Ьг] (в этом случаеа1 = ^4~, bt = b).
Мы опять получим отрезок, на левом конце которого функция
положительна, а на правом отрицательна.
Таким образом, мы всегда можем найти такую половину
\ах, Ьг] отрезка [а, Ь\ на левом конце которой значение
функции положительно, а на правом отрицательно, т. е.
положение на отрезке [а1У ftj будет таким же, как и на всем
отрезке [а, Ь\
С отрезком [аг, Ьх~\ мы поступим так же, как с отрезком
[я, Ь\ т.'е. разобьем его пополам и возьмем ту половину,
на концах которой функция имеет значения противоположных
знаков. Эту половину мы обозначим [а2, ftj. Этот процесс
разбиения мы продолжим неограниченно. В результате получим
последовательность отрезков [а1Э #J, [я2, bt],..., [ал, ftn],...,
каждый из которых составляет половину предшествующего,
причем на левом конце каждого отрезка функция положительна,
а на правом отрицательна.
По построению
а<ах<а% <а3 < ... < ап < ап + , < ...
Таким образом, последовательность а, а1У..., ап, ...
является монотонной.
Все точки ап лежат на отрезке \ау Ь\ поэтому наша
последовательность ограничена и, следовательно, имеет предел,
который обозначим буквой с:
Но iim ап = с.
, ft — а и b — a , b — a
^1—^1=—^» "t— flt = ~2r-i •••• bn — ая = —g-
и
lim ftw= lim a„-f- *ira —5r* = £-
Таким образом, последовательность bx, bv ..., #л, ... имеет
также своим пределом число с.

§ 49]
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ
155
В точках ап значения функции f(an) положительны, а в
точках Ьп значения f(bn) отрицательны:
/(«„)> 0 и /(*„)< 0.
Переходя к пределу в последних неравенствах и замечая, что,
в силу непрерывности функции /(х), как 1\т/(ап)=/(с)у так
п-*со
и lim f(bn)—f (с), получим
iim/(an):
«-►00
=/(с);
Иш/(*.) =/«?)< О,
«-♦ОС
откуда следует, что /(<?) = О, потому что если f(c) было бы
отличным от нуля, то одно из неравенств приводило бы к
противоречию.
Замечание. Если функция f(x) имеет отрицательное
значение в точке а, т. е. /(а)<0, и положительное в точке />,
т. е. /(£)>0, то функция у =— f(x) будет положительной
в точке а и отрицательной в точке д\ Следовательно, по
доказанному найдется точка с, а<£<£, в которой —/(г) = 0,
а значит и /(£)=гО. Таким образом, теорема полностью
доказана.
§ 49. Теорема Ролля
Теорема Рояля. Если функция принимает равные
значения на конках отрезка, непрерывна на этом отрезке и
имеет на отрезке (за
исключением, быть
может, концов)
производную, то существует
точка отрезка, не
совпадающая с его концами, в
которой производная
равна нулю, т. е. если
ys=/(x) непрерывна на
отрезке а ^ х < b и имеет
производную для всех х%
принадлежащих
интервалу а<*<£, и /(а) = /(*), то существует точка с%
я<с<£, в которой /"(£) = 0.
Геометрически мы можем иллюстрировать теорему так:
Хорда АВ (черт. 61) в силу условия f{a) = f(b)
параллельна оси Ох. Если функция у=/(х) прстоянна, то е$
Черт. 61.

156 приложения понятия производной [гл. iv
1
0
У
М
о
\Л
Jfcr..._
d __ 1
Ц
1(b)
1
» '*
Черт. 62.
график совпадаете хордой и теорема становится тривиальной,
потому что производная во' всякой точке отрезка равна нулю
и за точку с можно взять любую точку. Поэтому надо
рассмотреть случай, когда функция не является постоянной. Тогда
найдутся точки графика, лежащие либо с одной стороны
хорды, либо с другой, либо и с той и с другой (как на
нашем чертеже). Будем
перемещать секущую АВ, оставляя ее
параллельной оси Ох, в ту
сторону, где имеются точки
графика (если график имеет
точки по обе стороны хорды, то
можно перемещать хорду в
любую сторону). Тогда найдется
такое положение (по крайней
мере одно), когда секущая
станет касательной.
Так как эта касательная будет параллельна оси Ох, то
производная в соответствующей точке должна равняться нулю.
Это рассуждение не строго. Действительно мы утверждаем,
что при перемещении секущей параллельно самой себе она
станет касательной. Но касательной называется предельное
положение секущей, когда одна из ее точек пересечения с
линией стремится к другой, в то время как эта другая точка
пересечения остается неподвижной. В нашем же случае обе
точки пересечения секущей перемещаются.
Доказательство теоремы1).
Прежде всего заметим, что если разбить отрезок [а, Ь] на
две части [a, d] и [d, b\ то приращение всякой функции на
всем отрезке будет равно сумме приращений этой функции
на отрезках [a, d] и [dy b\ (черт. 62).
Пусть у=/(х); тогда, обозначив приращение функции
на отрезке [а, Ь] так: Ду |*, имеем:
Ay|i =/(»)—/(«); Ajr|<=/«/)—/(a); 4y|5 =/(*)-/(</)
Складывая два последних равенства, мы получим
4y|2+^l5=/(rf)—/(e)+/(ft)-/(rf)=/(*)—/(e).
*) При первом чтении можно пропустить.

§ 49] ТЕОРЕМА РОЛЛЯ 157
Из доказанного свойства приращения функции следует, что,
если разбить отрезок [а, Ь] на конечное число частей, например
на три: [a, d\ [d, /], [/, b\ то приращение функции на всем
отрезке [a, b) будет равно сумме приращений по всем
частичным отрезкам [a, d\ [dy I] и [/, b]\ мы получим
by\i = by\aa + by\ld + by\r (72)
В самом деле, по доказанному
A>l2+4y|i=4y|'.,
откуда и следует равенство (72). Теперь докажем лемму.
Лемма. Если функция у=/(х) непрерывна на отрезке
[а, Ь] и принимает равные значения на концах отрезка,
то всегда можно найти отрезок, по длине равный */,
первоначального, целиком лежащий внутри первоначального и на
концах которого функция принимает равные значения.
Нам нужно доказать, что существует такой отрезок [ах, £,],.
лежащий внутри интервала (а, £), что Ьх — 0,= Т и что
f(ax)=f(bx).
Для этого рассмотрим вспомогательную функцию
¥(*)=/(* + *)—/(*),
, b — а
где Л = —j-.
Функция <р(лг) равна приращению нашей функции y=f(x)
на отрезке, имеющем длину, равную l/f Длины
первоначального отрезка, начало в точке ху а конец в точке x-\-h.
Функцию <р(лг) мы рассматриваем для значений х,
изменяющихся на отрезке [a, a -f- 2ti]\ это нужно для того, чтобы
точка x-\-h не вышла из отрезка [а, Ь]. Сумма
V (а) + <Р (а + *) Н~ ¥ (а "Ь 2^)==
= Дз/|Г+ДД'|^ + ДЗ'|&в+1А = Д^Гв=/(*)-/(а).
Но по условию /(Л)=/(а), следовательно,
?(a) + ¥(a + /*) + ¥(a + 2/*) = 0. (73)
Но если сумма трех слагаемых равна нулю, то либо все они
равны нулю, либо хотя бы два из них отличны от нуля.

158 ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. IV
В. первом случае мы имеем, в частности, у (a -f- h) =■ О,
т. е. <f(a-\-h)=f(a-\-2h) — f(a-\-h) = Ot следовательно,
за отрезок |at, bx\ можно принять отрезок [а-{-/*, а-|-2/&],
и лемма в этом случае доказана.
Во втором случае два слагаемых суммы (73) будут
иметь противоположные знаки (в противном случае сумма
(73) не могла бы равняться нулю), следовательно, функция
<p(jC)=/(;c-|-A) — f(x) имеет значения разных знаков. Эта
функция, являясь разностью двух непрерывных функций
f(x-\~h) и /(*), будет непрерывной. По теореме из § 48
она должна при некотором значении x=xQf отличном от а
и a-\-2hy обратитьсй в нуль: <р(х0) = 0, а<дг0<л-[~2Л, И)
следовательно,
/(*. + *)—/(*.) = О,
или
Тем самым за нужный нам отрезок [а,, Ьх] мы можем принять
отрезок |лг0, ^0Н~Л]. Лемма доказана.
Доказательство теоремы (продолжение).
В силу леммы на отрезке [а, Ь] мы всегда можем указать
отрезок \ах% Ьх] такой, что Ьх — а,^—^— и /(а,)=/(^1).
На отрезке [аг, Ьх] мы можем найти такой отрезок [я8, £f]f
что bt—af = -^— и /(at) ==/(*,) и т. д. Через п шагов
мы получим отрезок [ani bn] такой, что
»•-«» —Т^ й /Ю =/<*•>• (74)
Продолжая процесс неограниченно, мы получим
последовательность вложенных друг в друга отрезков (черт. 63) [а, Ь\
[«и М.--м Iе». *«1» •••
Левые концы наших отрезков образуют монотонно
возрастающую последовательность
я» <в, < *. < • • • <Х <X+t < • •.
лежащую на отрезке [a, b\ и, стало быть, ограниченную. Такая
последовательность имеет предел. Обозначим этот предел
буквой с. Правые концы отрезков образуют монотонно
убывающую последовательность, имеющую тот же предел. В самом

§ 50] ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА 159
h — /у
деле, Нт ап = с; из (74) имеем Ьп = ап-\—«иг, следова-
тельно,
. lim*jl=llmall+lim b-=£ = c.
П->00 Л->00 П-+СО
Отметим, что art <£<£„, откуда следует
ап-с<0; Ьп-с>0,
и следовательно, эти величины противоположных знаков. Но
поскольку f(a„) =/(£„), то и /(а„)— /{с) =/(£„) —/{с)
о* 4
Черт. 63.
т
fM—fic) f(bn)-f(c)
и отношения *-*-^—-^ и -~~—^-7, числители которых рав-
ап с оп с
ны, а знаменатели имеют противоположные знаки, будут сами
иметь противоположные знаки или, быть может, будут
обращаться в нуль.
Но оба эти отношения должны иметь общий предел,
потому что по условию теоремы предел
Х-+С Х С
существует, и, следовательно, по любому способу стремления
л: к с, в частности по последовательности х = ап(п = 1,2, ...)
и по последовательности х = Ьп («= 1, 2,..., л,. ..),
предел должен существовать и быть одним и тем же, равным
/'(с), а это может быть лишь, если /'(с) = 0, ибо если бы
по одной из последовательностей предел не был нулем, то
по другой он был бы противоположного знака или нулем и
общего предела не существовало бы. Значит, /(с) = 0, причём
поскольку ап<^с<^Ьп, то и подавно a<^c<^b. Теорема
доказана.
§ 50* Теорема Лагранжа
Теорема Лагранжа. Пусть функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [а, Ь\ и имеет для всех х между а и Ъ
производную; тогда между а и b существует точка, для

160 ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. IV
которой имеет место формула
Ь-а
--/'(с), где а<с<Ь.
Выясним геометрический смысл теоремы.
Величина ■ ^ , равная отношению приращения
функции на отрезке [а, Ь] к приращению аргумента, равняется
угловому коэффициенту хорды
АВ (черт. 64), т. е.
К
хор
b —- а
Производная /'(£), как мы
знаем, равняется угловому
коэффициенту касательной:
Черт. 64Г* Теорема утверждает, что
между а и Ь существует точка с
(по крайней мере одна), для которой угловой коэффициент
касательной равен угловому коэффициенту хорды, или, что
то же самое, всегда можно найти точку с между а и Ь, что
соответствующая этой точке касательная будет параллельна
хорде, т. е.
is is
Акас Ахор*
Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.
Мы для геометрической иллюстрации теоремы Лагранжа
можем повторить те же рассуждения, что и в случае теоремы
Ролля.
Если дуга АСВ совпадает с хордой АВ, то в каждой
точке между а и Ъ касательная будет совпадать с хордой
и теорема становится тривиальной. Если дуга АСВ не
совпадает с хордой, то перемещаем секущую АВ параллельно
самой себе, пока она не станет касательной в некоторой точке.
Тогда мы получим. касательную, параллельную хорде, что и
составляет содержание теоремы Лагранжа.
Доказательство теоремы Лагранжа.
Рассмотрим для доказательства вспомогательную функцию, которую

§ 51J ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ 161
образуем следующим образом. Запишем уравнение прямой
(хорды), проходящей через точки A (a, /(a)) и B(b//(b)):
У-№ _*-а v — fig\ I /W-/W (х д!
f(b)-f(a) — b-a » ИЛИ ^— /W"T *_fl I* —«).
и вычтем из ординат графика нашей функции j/=/(a;)
ординаты хорды ABt тогда получим
V(x)=f(x)-f(a)-f{blZfa{a) (х-а). (75)
Поскольку в точках а и b ординаты графика функции
и хорды равны, то (р(о) = 0и <р(6) = 0, что можно
проверить также прямой подстановкой значений х = а и х = Ь
в выражение для f (jc) (75). Имеем
f (а) =/(а) -/(а)-/(*>-у (а - а) = О
и
т=т-/(а)-Щ=т{1,-а) =
=/(Ь)-/(а)-[/(Ь)-/(а)] = 0.
Функция <р (х) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля,
поэтому ее производная
9>(Х)=Г{Х)-Щ^Ж
должна в некоторой точке с, а<^с<^Ь, .обращаться в нуль:
Ь-а
9'(с)=Г(с)—Щ=£& = 0, где а<с<Ь,
или
что и требовалось доказать.
§ 51. Признаки возрастания и убывания функции
Пусть у=/(х)— функция, обладающая следующим
свойством: при продвижении в положительном направлении вдоль
оси абсцисс (т. е. вправо) ординаты графика этой функции
возрастают (черт. 65 дает пример такой функции).
6 и. И. Привалов в С. А. Гальперв

162
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[ГЛ. IV
Для таких функций ордината N'M' в произвольной точке х'
всегда больше ординаты NM во всякой другой, точке х,
лежащей левее х'. Такого рода функции называются
возрастающими на всей оси х.
Если ординаты графика функции
с продвижением в положительном
направлении оси (т. е. вправо по оси х)
становятся меньше, как, например, на
черт. 66, то такого рода функции
называются убывающими на всей
оси х. В этом случае ордината N'M'
в произвольной точке х' всегда
меньше ординаты NM во всякой
другой точке дг, лежащей левее х'.
Функции могут возрастать или убывать и не на всей оси х.
Например, черт. 67 дает пример функции, возрастающей на
отрезке с началом в точке а и концом в точке Ъ и
убывающей правее точки Ъ.
Черт. 65.
Определение. Функция у=/(х) называется
возрастающей на отрезке [а, Ь\ если для любых двух значений
аргумента х' и х, принадлежащих отрезку [ау *],/(#') >/(*),
коль скоро х'>х.
Определение. Функция у=/(х) называется убывающей
на отрезке [а, Ь\ если для любых двух значений аргумента
х' и xt принадлежащих отрезку [а, ft], f(xf) </(*) коль
скоро х"^>х.
Определение. Функция называется возрастающей
(убывающей) в промежутке, если она возрастает (убывает) на
всяком отрезке, принадлежащем промежутку.
Теорема 1. Если функция возрастает на отрезке, [ab]
и обладает на нем производной, то при всех значениях

51] ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ 163
аргумента на этом отрезке производная будет больше
или равна нулю, т. е. если y=f(x) возрастает на отрезке
[я, Ь\ то /' (л:) ^ 0 при всех значениях л;, принадлежащих
отрезку [а, Ь\
Доказательство. Предварительно докажем, что если
функция возрастает, то приращения функции и аргумента
будут одного знака. В самом деле, если Дх:>0, то x-\-Lx^>xy
и по определению возрастающей функции /(*-|-Ах) >/(*),
откуда и \у=/(х-{-кх)—f(x)^>01).
Если Ддг<0, то х>х-\~кх и /(л;)>/(л;-|--Д*)» откуда
и Ду:=/(* +А*)—/(д:)<0.
Очевидно, если Ду и Длг — величины одного знака, то их
отношение -Л- будет положительным.
Итак, всегда как при Дл;>0, так и при Дл:<0 в
случае возрастающей функции
Й>°- <™>
Переходя к пределу в неравенстве (76) при Их—► (), имеем
Hmjj>0 (77)
или, заменяя в (77) lim ~- через /'(#), получаем /'(лг)^0,
что и требовалось доказать.
Таким же образом доказывается теорема для убывающих
функций.
Теорема 2. Если функция убывает на отрезке [а, Ь]
и обладает на нем производной, то при всех значениях
аргумента на этом отрезке ее производная меньше или
равна нулю, т. е. если y=zf{x) убывает на отрезке \а,Ь\
то f'(x)^0 для всех значений ху принадлежащих
отрезку [а, 4
Доказательство. Предварительно докажем, что если
функция убывает, то приращения функции и аргумента —
разных знаков. В самом деле, если Дд;>0, то
аг-4"Дд:>л:,
1) Дх должно быть таким, чтобы точка x-j-Дх принадлежала
отрезку [а, Ь\.

164
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[ГЛ. IV
и по определению убывающей функции
/(* + **)</(*),
откуда
Aj=/(* + A*)—/(*)<0.
Если Дл;<0, то х>х-\-кх и /(#)</(* +А*) > откуда
4У=/(* + А*)—/(*)>0.
Очевидно, если Ду и Дд; разных знаков, то их
отношение ^- будет отрицательным:
&Х ^
Переходя к пределу, имеем
д*
lim %L.
;о,
или /'(*)^0, что и требовалось доказать.
Геометрический смысл предыдущих теорем весьма прост;
в самом деле, если функция возрастает, то ее график с
продвижением вправо по оси х
поднимается вверх (черт. 68).
В таком случае касательная,
Черт. 68.
Черт. 69.
как мы видим, образует острый угол а с положительным
направлением оси х или, быть может, в некоторых точках
(например, в точках ах и а±) параллельна оси х. Значит,
/'(A;) = tga^0, как и следует из теоремы 1.
Аналогично, если функция убывает (черт. 69), то, как мы
видим, касательная образует тупой угол а с положительным

§ 51] признаки возрлстания и убывания функции 165
направлением оси х или, быть может, в некоторых точках
(например, в точке аг) параллельна оси х. Значит, /' (х) = tg а^О,
как и следует из теоремы 2.
Теоремы 1 и 2 дают необходимые признаки возрастания
и убывания функции, так как мы, предполагая заранее
известным, что функция возрастает (убывает) на отрезке,
доказываем, что производная больше или равна нулю (меньше
или равна нулю) для всех значений аргумента на этом отрезке.
Перейдем теперь к достаточным условиям возрастания и
убывания функции, т. е. к условиям, при выполнении которых
мы могли бы утверждать, что функция возрастает (убывает),
заранее об этом ничего не зная.
Теорема 3. Если производная непрерывной на отрезке
[а, Ь] функции положительна во всех точках промежутка
(а, #), то функция возрастает на отрезке [д, Ь\ т. е. если
/'(*)> О при а<л;<£, то функция у=/ (х) возрастает на
отрезке [а, Ь].
Доказательство. Пусть ххи хг — две какие-либо
точки отрезка [а, Ь\ и пусть x1<^x%i тогда по теореме Лагранжа
f(x1)—f(xl) = (x2 — xl)f(c)i
где а<£<&, а так как (xt — хх)^>0 и по условию
теоремы f (с)> 0, то произведение (х2 — хЛ)/'(с) будет
положительным и f(x2)—/(*,)> О или /-(.*,)</(•*,)» что и
требовалось доказать. Так же мы убеждаемся в справедливости
следующей теоремы.
Теорема 4. Если производная непрерывной на
отрезке [я, Ь] функции отрицательна ео всех точках
промежутка (а, Ь), то функция убывает на отрезке [af b\t т. е.
если /'(•*)< 0 при а<л:<£, то функция у=/(х) убывает
на этом отрезке.
Доказательство. В самом деле, если л;, и х2 — две
какие-либо точки отрезка [я, Ь\ и х1<^хг9 то в силу теоремы
Лагранжа
f(x2)—/(xl) = (xt — xl)f(c)i где а<с<Ьу
но /'(с)<0, а хг — *,>0, поэтому f(xt) — /(^XO или
/(■*i)!>/(«*t)» чт0 и требовалось доказать.
Пример 1. Определить промежутки возрастания и убыва*
ния функции у = 2х2 -}- х.
6 И. И. Привалов и С. А. Гальперн

166 ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. IV
Находим производную у'== 4*-}-1. Определяем те
значения х, при которых производная положительна; имеем
4*~f-l>0, откуда лг> — -j .
Итак, функция возрастает, если #> — -j~.
Если Ах-}-1 < 0, т. е. х < — -у, производная
отрицательна и функция убывает.
Черт. 70. Черт. 71.
Итак, в промежутке — оо < х < — -j функция убывает,
в промежутке — -j < л: < -|- оо функция возрастает (черт. 70).
Пример 2. Определить промежутки возрастания и
убывания функции д/ = #*-|-л;.
Находим производную у' = Зх* -(-1. Величина За:1 -J- 1
при всех значениях л: положительна, т. е. Зл;* -)- 1 > 0.
Следовательно, функция возрастает в промежутке—оо<^лг<-J-oo,
т. е. на всей оси х (черт. 71).
§ 52. Максимумы и минимумы функции
Рассмотрим теперь такие функции, которые в одних
промежутках возрастают, в других убывают. Черт. 72 а дает
пример такой функции.

§ 52] МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ 167
Рассмотрим те точки оси х, в которых функция переходит
от возрастания к убыванию или от убывания к возрастанию.
Пусть в точке а функция переходит от возрастания
к убыванию, т. е. при переходе точки х через точку а слева
направо возрастание функции сменяется убыванием.
Ордината NM в этой точке а будет больше всех ординат
из некоторой окрестности точки а как слева, так и справа
от нее. В этом случае говорят,
что функция достигает максимума.
Однако следует обратить
внимание, что ордината NM черт. (72а)
может не быть наибольшей из всех
ординат графика функции. Например,
ордината КР больше NM, но
ордината NM всегда больше всех
достаточно близко расположенных
ординат. Таким же образом, если
функция переходит в точке Ь (черт. 72а)
от убывания к возрастанию, то орди- Черт. 72а.
ната NXMA будет меньше всех
ординат из некоторой окрестности точки Ь. В этом случае говорят,
что функция достигает минимума. Очевидно, одна и та же
функция может иметь несколько максимумов и минимумов.
Дадим теперь более точное определение понятия
максимума и минимума.
Определение. Функция имеет максимум в данной точке,
если можно указать такую окрестность указанной точки,
что значение функции в этой точке больше всех значений
функции в выбранной окрестности, т. е. функция y=f(x)
имеет максимум в точке а, если /(a)>/(a-f-Дх) при любых
значениях Ддг^О, достаточно малых по абсолютной величине1).
Определение. Функция имеет минимум в данной
точке, если можно указать такую окрестность указанной
точки, что значение функции в этой точке меньше всех
значений функции в выбранной окрестности, т. е. функция
yz=.f(x) имеет минимум в точке а, если
/(а)</(а+ Ддг)
1) Если /(а)^/(а + Дх), то говорят, что функция имеет в точке а
нестрогий максимум.
6**

168
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. iv
при любых значениях Ах ^ 0, достаточно малых по абсолютной
величине').
Замечание. Не следует думать, что максимум или
соответственно минимум возникают только при переходе функции от
возрастания к убыванию и соответственно от убывания к
возрастанию. Функция может иметь максимум (минимум) в данной
точке а и не являться возрастающей (убывающей) ни на каком
отрезке слева от точки а и не быть убывающей (возрастающей) ни на
каком отрезке справа от точки д, какими бы малыми эти отрезки
ни были. Вот пример такой функции:
y(x) = x*(2 + cos±y
у(0) = \\ту = lim хА (2 -f cos -) = 0.
Эта функция имеет минимум в точке лг=0.
В самом деле, при х^=0 имеем
y(x) = xA(2 + cos^\^x* (2— l)>*4.
Как слева, так и справа от точки х = 0 функция будет
положительной, т.е. будет большей, чем при л; = 0. Мы имеем
в точке х = 0 минимум.
В то же время мы сейчас
покажем, что в любой как
угодно малой окрестности
точки х = 0 и слева и
справа имеется
бесчисленное множество интервалов,
где функция возрастает,
и бесчисленное
множество интервалов, где
функция убывает (черт. 726).
Поскольку наша функция
в точках х и —X принимает одинаковые значения, ее
график симметричен относительно оси Оу% поэтому достаточно
рассмотреть значения ;с>0. Найдем производную; имеем
/ = 4*« (2 -fcosl ) -Ь*4^ ^
*) Если /(a)**
строгий минимум.
/(а-^-Дя), то говорят, что функция имеет в а не-

§ 52] максимумы и минимумы функции 169
или
у = *■ ]^х (2 + cos i-) + sin^ ]. (78)
При достаточно малом д: выражение 4дг ( 2 -}- cos — ] можно
сделать достаточно малым, например меньшим у. Имеем
| Ах (2 + cos 1)| < 4 \х\ (2 + | cos 1|) < 12 |х|
и при |*| < 24 получим
|4x(2 + cosl)|<l.
Поэтому там, где при кКо! величина sin — >y>
производная будет положительной. Это так, потому что в
выражении (78) множитель х* на знак не влияет, а величина в
квадратной скобке будет положительной. Там же, где прирсК^
величина sin— < — -~-, производная будет отрицательной.
X it
Найдем интервалы справа от нуля, т. е. при х > 0, где
sin — >-?г; очевидно, это там, где
£ + 2/т<1<4к + 2я7т, « = 0,1,2,...,
или
g—1 <Х<1ГЛ • ^ = 0,1,2,...
-.ц + 2л1г —4-2/2ТГ
f Таким образом, имеем бесконечную последовательность интер-
1 1
валов
-г тс -4- 2я7с — + 2л7С
6 ' 6 '
, оба конца которых стремятся
к нулю; производная на них при ®<^х<С*кл положительна, и
функция возрастает.
Так же находится последовательность интервалов справа
от л; = 0, где sin лг <<[ — у; очевидно, это там, где
7 11
-тт-тт +2/гтг<л:<^"ТТ-|-2лтг, л = 0, 1, 2,...,

170
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. iv
ИЛИ
Ху-1 <*< — . * = °> 1»2---
•g-« + 2пп -g- к -[- 2/иг
Следовательно, имеется последовательность интервалов
j-j , -я I, которые обоими своими концами
-£- тс + 2лте "g" * + 2лте I
стремятся к 0 и чередуются с предыдущими. На этих
интервалах при 0<*<24 производная отрицательна, и функция
убывает.
Теорема* Если производная в точке, где функция до-
стигает максимума или минимума, существует, то она
равна нулю, т. е. если функция у=/(х) имеет в точке а
максимум или минимум (даже нестрогий) и в этой точке
существует производная, то f'(a) = 0.
Доказательство. Предварительно заметим, что
производная является пределом отношения приращений:
Ау _/(*+**)-/(*)
Ах Дя
при Дд:—►О, причем этот предел должен быть одним и тем
же, каким бы способом мы Дд: к нулю ни стремили. В
частности, если мы будем стремить Дд: к нулю по отрицательным
значениям, то вычисленная таким образом производная должна
равняться производной, вычисленной при стремлении Д* к нулю
по положительным значениям. После этого замечания
перейдем к доказательству теоремы.
Пусть функция у=/(х) имеет в точке а максимум, тогда *|
согласно определению f(a)^*f(a-{-&x)t откуда
/(а + Д*)—/(а)<0, (79)
причем неравенство (79) имеет место как при Дд:>0, так и
при Дд:<0. Предположим сначала, что Д*>0; разделив
неравенство (79) на Дд:, имеем
/(*+**)-/(Д) ^л

§ 52] максимумы и минимумы функции 171
Переходя к пределу в последнем неравенстве при Дл:—>0
и Д*>0, получим
Нш /(*+у>-/(«><0*), или Г(в)<0. (80)
Дх>0
Теперь будем считать Ддг<0, тогда при делении
неравенства (79) на отрицательную величину Дл: знак неравенства
изменится на обратный, и мы получим
f{a + Lx)-f(a) Q
Дя ~"* '
Переходя к пределу в последнем неравенстве при Длг—>0
я Д#<С0, найдем (см. замечание к теореме 1 § 16)
lim /(«+y-fW>0 ^ /'(e)>o. (81)
д* -♦ о а*
Ах<0
Сопоставляя неравенства (80) и (81), заключаем, что одно
и то же число не может быть одновременно и больше и
меньше нуля, поэтому неравенство в этом случае невозможно.
Следовательно, остается возможным только равенство, т. е.
/'(а) = 0, что и требовалось доказать.
Если бы мы предположили, что в точке а функция имеет
минимум, доказательство осталось бы тем же, только все
неравенства в доказательстве пришлось бы изменить на обратные.
Геометрически теорема представляется очевидной;
действительно, черт. 72а показывает, что в точках минимума и
максимума касательная параллельна оси дс, и, следовательно,
/==tga = 0.
Следует заметить, что производная может равняться нулю
не только в тех точках, где функция достигает максимума
или минимума. Например, в точках ах и а% (черт. 68)
касательная параллельна оси х и, следовательно, производная равна
нулю, между тем, функция в этих точках не имеет ни
максимума, ни минимума. Это означает, что равенство нулю
производной в некоторой точке, являясь согласно предыдущей
теореме условием, необходимым для существования
максимума и минимума, не является достаточным
условием, потому что, как мы видели, производная может
1) При переходе к пределу неравенство может обратиться в
равенство. См. замечание на стр. 62.

1
172 ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. IV I
в некоторой точке равняться нулю, а функция в этой точке 1
не имеет ни максимума, ни минимума. 1
Перейдем теперь к отысканию достаточных условий ма-1
ксимума и минимума. ]
§ 53. Достаточные условия максимума и минимума |
функции 1
Значения аргумента, при которых производная данной 1
функции равна нулю, называются критическими значе- I
ниями аргумента данной функции. I
Пусть а — критическое значение аргумента функции I
yz=:/(x)1). Наша задача заключается в том, чтобы найти 1
условия, которые позволяли бы узнать, когда данная функция I
имеет в точке а максимум и когда минимум. Для этого про- 1
изведем исследование поведения функции при всех возможных |
чередованиях знаков производной вблизи точки а. Будем да- I
вать аргументу производной значения, близкие к значению с, 1
сначала меньшие а, затем ббльшие а. Могут встретиться еле- I
дующие случаи: 1
1°. Производная при х<^а положительна, а при х^>а |
отрицательна, т. е. производная, обращаясь в нуль в точке а, |
меняет в этой точке знак плюс на минус. В этом случае |
(теоремы 3 и 4 § 51) функция возрастает «до»2) точки a, a |
затем «после» *) точки а убывает, следовательно, функция |
переходит в точке а от возрастания к убыванию, а это озна- I
чает, что функция достигает в точке. а максимума. График }
функции около точки а изображен на черт. 73 а. %
Итак, если производная данной функции равна нулю |
в точке а и меняет знак -f- до точки а на знак — после |
точки а, то функция имеет максимум в точке а. |
2°. Производная при х<^а отрицательна, а при х^>а по- |
ложительна, т. е. производная, обращаясь в нуль в точке а, \
меняет в этой точке знак — на знак -|-. В этом случае ;
(теоремы 3 и 4 § 51) функция переходит в точке а от убы- *
■ I'
1) Мы предполагаем, что имеется некоторый промежуток, содер- *
жащий точку а, в котором нет, кроме точки а, других критических .;
значений, и что производная в этом промежутке непрерывна. 1
*) «До» точки а означает: «при всех значениях х, меньших а, но |
достаточно близких к а». |
*) «После» точки а означает: «при всех значениях, больших х, но |
достаточно близких к а». |

§ 53] ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МАКСИМУМА И МИНИМУМА ФУНКЦИИ 173
вания к возрастанию и, следовательно, достигает в точке а
минимума. График функции около точки а в этом случае
изображен на черт. 73 б.
Итак, если производная данной функции равна нулю
в точке а и меняет знак — до точки а на-{-после точки а,
то функция имеет минимум в точке а.
-^
а а
Черт. 73а. Черт. 736.
3°. Производная положительна как при х<^ау так и при
х^>а, т. е. производная, обращаясь в нуль в точке я, знака
в этой точке не меняет, оставаясь положительной до и
после точки а. В этом случае функция, возрастая до точки ау
продолжает возрастать и после точки а, и, значит, функция
в точке а не имеет ни максимума, ни минимума. График
функции около точки а в этом случае изображен на черт. 73 в.
а <*
Черт. 73в. Черт. 73г.
Наконец, разберем последний случай.
4°. Производная отрицательна как при х<^ау так и при
х^>ау т. е. производная, обращаясь в нуль в точке я, знака
в этой точке не меняет, оставаясь отрицательной до и
после точки а. В этом случае функция, убывая до точки а,
продолжает убывать и после точки а, и, значит, функция
в точке а не имеет ни максимума, ни минимума.
График функции около точки а в этом случае изображен
н* черт. 73 г.

174 ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Запишем результаты исследования в таблицу.
[гл. iv
] Критическое
зн ачение'
1)
2)
3)
4)
!
Знак производной
до
критического
значения
I + i +
после
критического
значения
1 + + I
Вид
кривой
около
точки а
Максимум
Минимум
Нет ни макси- J
мума, ни
минимума
§ 54. Правило нахождения максимумов и минимумов
данной функции , 1
Из результатов §§ 52—53 мы знаем, что производная]
данной функции в точках максимума и минимума равна нулю/1
Поэтому для отыскания максимумов и минимумов данной функ-Й
ции ys=f{x) прежде всего надо найти критиче-?!
ские значения аргумента функции. Для этого со-1
ставляют производную У =/'(*), приравнивают ее нулю: §
Л*) = 0, (82)1
я находят действительные корни уравнения (82). Пусть хХУ х„Ц
xv ...— полученные таким образом критические значения^
(т. е. корни уравнения (82)). Затем, чтобы распознать,!!
имеется ли при данном критическом значении действительно
максимум или минимум, нужно узнать знаки производной до|
критического значения и после критического значения (еслв|1
знаки будут -|~, —, то мы имеем максимум, если знаки бу;||
Дут —» Ч"» то имеем минимум; в остальных случаях — нй|[
максимума, ни минимума).
Если производная у'=/'(лг)— непрерывная функция, raj
в этом случае производная может изменить знак лишь при
переходе через значение нуль (см. теорему § 48), т. е. лишь [
при переходе через критическое значение; следовательно^!
в промежутках между критическими значениями знак произ* |
водной будет сохраняться.
j

§ 54] правило нахождЕния максимумов и минимумов 175
Поэтому для того чтобы узнать знак производной до
критического значения, достаточно узнать знак производной где-
нибудь в промежутке между предшествующим и данным
критическим значением. Таким же способом можно определить
знак после критического значения.
Примечание. Если исследуемое критическое
значение л;, не имеет предшествующего, т. е. является самым
меньшим критическим значением данной функции, то
производная не обращается в нуль нигде в промежутке — оо < х < х^
и, значит, сохраняет знак в этом промежутке, поэтому знак:
производной до хх будет совпадать со знаком производной
в любой точке промежутка (— оо, хх). Аналогично, если хх
является самым. большим критическим значением данной
функции, то производная сохраняет знак в промежутке хх<^х<^оо.
Подводя итог, мы получим следующее правило.
Правило нахождения максимумов и
минимумов^ данной функции y=f(x), имеющей непрерывную
производную:
1) составляем производную у'=/'(х);
2) приравниваем производную нулю: /'(#)== О, и находим
все действительные корни полученного уравнения хх, хг,
xv..., которые и будут критическими значениями функции;
3) располагая все критические значения хх, xt, #,,...
в порядке их возрастания хх < хг < л:, < ..., подставляем
сначала в производную любое значение аргумента х<^хх и
тем самым определяем знак производной до #,, затем — любое
значение аргумента из промежутка хх<^х<^хг и тем самым
определяем знак производной после хх. Если происходит смена
знаков производной с -f- на —, то имеем максимум функции
в точке хх1 если с — на -{-, то имеем минимум в точке хх\
если же смены знаков производной не происходит, то в точке хх
функция не имеет ни максимума, ни минимума.
Аналогично определяем знак производной до и после хж.
Знак в промежутке хх<С.х<^х% уже известен, он совпадает
со знаком производной после л^, остается определить знак
в промежутке x2<^x<^xz\ по знакам производной до хг и
после хг заключаем о максимуме, минимуме функции в точке х%
или отсутствии таковых в точке хг. Таким же образом
поступаем с хг и т. д.
Пример 1. Найти все максимумы и минимумы функции
у = 2х* — 15хг + 36* — 24.

176 ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. IV
1) Находим производную у' = 6аг* — 30л:-f-36.
2) Приравниваем производную нулю и находим
критические значения (т. е. действительные корни производной):
6л:2 — 30* + 36 = 0, или хг — 5л: +6 = 0,
откуда, решая квадратное уравнение, имеем л;, = 2, лг2 = 3.
3) Берем значение л:, = 2.
а) Знак производной до лг1 = 2 сохраняется в промежутке
— оо<*<2, после лг,=2— в промежутке 2<лг<3.
б) Определяем знак производной до лг, = 2. Подставляем
в производную значение нуль, как самое удобное для
вычисления и принадлежащее промежутку —оо<лг<2; имеем
у )ж=_0==36>0, т. е. знак производной -{-.
в) Определяем знак производной после лг, = 2;
подставляем в производную какое-либо значение, большее 2 и мень-
шее 3, например -к-, имеем
/I =1=6.f-3o4+36=-|<o,
т. е. знак производной —.
Знаки производной меняются с -J- на —, значит, в точке
хх = 2 функция имеет максимум.
Вычисляем максимальное значение функции
^1^2 = 2.2» —15.2« + 36.2 — 24 = 4.
Берем значение л:2 = 3.
а) Знак производной до xt = S сохраняется в промежутке
2<л:<3, после jct = 3 — в промежутке 3<*< + оо.
б) Знак производной до лг, = 3, как знак производной
в промежутке 2<л;<3, уже определен выше:
•у'|*=1=-т<0'
т. е. знак производной —.
в) Знак производной после лг, = 3 будет
у' |*==4 = 6.16 — 30-4 + 36= 12> 0,
т. е. знак производной -|-.
Знак производной переходит с — на -+, и, следовательно,
мы имеем минимум в точке jct = 3.

\
\
I § 55] ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ 177
Минимальное значение функции будет
вух==3 = 2.38— ^-З' + Зб-З —24 = 3.
При решении задач удобнее после каждого шага
результат записывать в таблицу.
Для данного примера таблица имеет вид:
Критическое
значение
2
3
Знак производной
до
критического
значения
+
после
критического
значения
+
Максимум
Минимум
Значение
функции при
критическом
значении
аргумента
4
3
§ 55. Применение теории максимумов и минимумов
к построению графиков функций
Построение графиков функций тем способом, какой мы
применяли в гл. I, обычно уясняет вид графика функции лишь
в промежутке, для которого составляется таблица значений
функции. Кроме того, составление таблицы значений функции
для более или менее сложной функции (например, даже для
многочлена третьей степени) требует много вычислений.
Поэтому, если нам нужно узнать вид графика функции
во всей области ее определения, удобнее и быстрее
воспользоваться теорией максимумов и минимумов.
Для выяснения вида графика функции будем поступать так:
1) найдем максимумы и минимумы функции, а также
попутно определим вид графика около остальных критических
точек; при* нахождении максимумов и минимумов мы найдем
также все промежутки возрастания и убывания;
2) найдем точки разрыва функции (если таковые имеются).
Обычно эти данные вполне уясняют вид графика функции.
Иногда бывает полезно найти еше координаты точек
пересечения графика с осями координат.
Пример 1. Найти максимумы и минимумы, промежутки
возрастания и убывания, а также точки разрыва функции
4х* -4- х «4- 4
(если они есть) и построить график функции у = —~ Г* — „

178
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. iv
Функция у".
1) Находим критические значения. Имеем
,_(8х+1)(лс—1) —4х* —х — 4 Ахг - 8* — 5
У~ (х-1)г (*-1)2 *
Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы
числитель равнялся нулю; имеем 4л:* — 8л: — 5 = 0, откуда
— _!. —1
х\ — 2 ' Х% — 2 "
2) Находим промежутки, где производная сохраняет знак.
4x2 + x-f4 , 4х»-8х—'5
"=—х_ | и ее производная у =— _ 1)2
имеют разрыв в точке х=1, так как при х—И обе дроби
стремятся к оо. Поэтому производная сохраняет знак в
промежутках
— оо<*< — у; —-2"<*<1; 1<*<у; у <*<+<*>,
Определяем знаки производной в этих промежутках.
7
а) В первом промежутке имеем у' !*-=_ i = -j]>0, т. е.
знак -(-; функция возрастает.
б) Во втором промежутке имеем у'\х~.0 =— 5<0, т. е.
знак —; функция убывает.
в) В третьем промежутке имеем j/1 *-=2 =— 5<^0, т. е.
знак —; функция убывает.
7
г) В четвертом промежутке имеем -y'|JC==3 = x^>^> Тф е*
знак -|~; функция возрастает.
3) Составляем таблицу и вычисляем максимальные и
минимальные значения функции:
Критические
значения
! 1
2
1 2
Знак
производной
до
критического значения
+
после
критического значения
+
Максимум
Минимум
Значение
функции
У\ t=-3

§ 55] ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ 179
4) Функция имеет разрыв при х=1
и [[ту = оо.
Наносим эти данные на черт. 74f
получаем вид графика.
Пример 2. Построить график
функции у = х\пх.
Прежде всего заметим, что
функция определена только для
положительных значений л:, т. е. для х > 0.
1) Находим критические значения;
имеем У = In x -|-1; приравниваем
производную нулю: In x -f-1 = 0,
откуда хл =~.
2) Функция и ее производная
непрерывны при л;>0. Поэтому
производная сохраняет знак в
промежутках 0<л;<уи yO<-f-°o.
Определяем знаки производной в
этих промежутках:
а) в первом промежутке
_1=l+ln-i = l— 21п2 =
(см. выше, п. 2)),
21
Черт. 74.
т. е.
= 1_1,38...<0,
т. е. производная имеет знак —, и функция убывает;
б) во втором промежутке /1 *=i = 1 -f- In 1 = 1 > 0,
знак производной -{-, и функция возрастает.
3) Составляем таблицу и вычисляем значение функции в
критической точке.
Критическое
значение
1
е
Знак производной
до
критического
значения
—
после
критического
значения
+
Минимум
Значение 1
функции
'!-*—•

180 приложения понятия производной [гл. iv
4) Функция непрерывна (см. п. 2)).
Наносим эти данные на чертеж и получаем вид графика
функции.
§ 56. Наибольшие и наименьшие значения функции
Определение. Наибольшим (соответственно
наименьшим) значением функции на отрезке [а, Ь\ называется
значение, не меньшее (соответственно не большее) любого
другого значения функции на отрезке \а> Ь]*).
Как мы уже знаем (§ 52), максимум (или минимум)
может не являться наибольшим (соответственно наименьшим)
U
л~
а b *
Черт. 76.
значением функции, потому что максимальное (соответственно
минимальное) значение функции, по определению, должно
быть больше (соответственно меньше) лишь всех своих
соседних значений, а не вообще всех значений функции на
отрезке [at b].
Для нахождения наибольшего значения функции на
отрезке [а, Ь] нужно найти все максимумы функции на
этом отрезке, а также значения функции на концах
отрезка и выбрать из них наибольшее.
В самом деле, возможны два случая:
1) либо наибольшее значение функции достигается внутри
промежутка, и тогда, являясь наибольшим значением, это
значение будет больше или равно своим соседним, поэтому бу-
1) Предполагается, что функция и ее производная непрерывны на
отрезке [а, Ь\.

§ 56] НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 181
дет являться максимумом функции (черт. 75) (может быть
нестрогим);
2) либо наибольшее значение достигается на конце
промежутка (черт. 76).
Итак, наибольшее значение функции в промежутке (а, Ь)
либо совпадает с одним из максмумов функции, либо
достигается на конце промежутка. Таким образом, наше правило
оправдано.
Аналогично для нахождения наименьшего значения
функции на отрезке [а, Ъ\ нужно найти все минимумы
функции на этом отрезке, а также значения функции на
концах отрезка и выбрать среди этих значений
наименьшее.
Примечание. Если функция имеет единственный
максимум на отрезке [а, Ь\ (т. е. не имеет больше на этом отрезке
ни максимумов, ни минимумов), то этот максимум будет
являться наибольшим значением (черт. 77).
Аналогичное замечание имеет место и для единственного
минимума.
Пример 1. Среди всех прямоугольников, вписанных
в круг, найти прямоугольник наибольшей площади.
If
г
Черт. 77.
Черт. 78.
Обозначим радиус круга через R (черт. 78), сторону
прямоугольника ЛВ — через лг, тогда другая сторона
прямоугольника BC=V^RZ—х2 и площадь S = x-\^4R2—лс8. Задача
состоит в том, чтобы найти такое значение ху при котором
величина 5 имеет наибольшее значение. Заметим, что х = ЛВ
по геометрическому смыслу задачи может изменяться только

182
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. iv
1) S' = V4R2
хл
в промежутке 0<#<2/?. Ищем максимум и минимум
величины S; имеем
х8 4/?8-2х*
' Vw - х* Vv?-x? •откуда»при"
равнивая нулю числитель: 4/?* — 2х* = О, имеем # = -{- /?]/~^.
(Решение л: = — /? ]/ 2 не подходит, так как 0 < х < 2/?.)
2) Определяем знаки производной: а) до лг = 7?уТГимеем
y'\x=R==y—-— = —:>0, т. е. производная имеет
знак -f-; б) после x = rY~2 (даем л: значение 1,5/?, так
как мы должны дать значение, большее RVr2t но меньшее 2R)
имеем
4/? — у£*
Я
__= 1L_<:0
т. е. производная имеет знак *—. Составляем таблицу:
критическое
значение
/?ут
Знак производной
до критического
значения
+
после критического
значения
—
Максимум
Следовательно, при x = R\/r2 площадь 6' будет иметь
максимум; так как максимум единственный, то он будет
наибольшим значением.
Геометрически x=zAB = rY~% является стороной
вписанного квадрата; значит, площадь квадрата, вписанного в
данный круг, больше площади любого другого вписанного в этот
круг прямоугольника.
Примечание. При решении геометрических задач
часто, найдя критическое значение, можно из геометрических
соображений сразу заключить, будет ли при данном
критическом значении максимум или минимум. В этих случаях
необходимость в исследовании знаков производной отпадает. Это
замечание можно применить и к предыдущему примеру.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV 183
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
К § 51.
1. Доказать, что функция у = ех возрастает на всей оси х.
2. Доказать, что функция у = 1пх возрастает во всей области ее
определения.
3. В каких промежутках возрастают и в каких убывают функции:
а) sinx, б) sin2x, в) sin2*, если х изменяется от 0 до 2тс?
тс 3
Отв. а) Возрастает в промежутках 0 < х < -^- и -£■тс < * < 2те»
* п ^ ^ 3 .
убывает в промежутке -^- < х < -^ тс1
б) возрастает в промежутках 0 < х < -j; -j- it < х < -j тс; -j * <
< х < 2тс, убывает в промежутках -r<x<L-jn и—n<x<-j-u;
тс 3
в) возрастает в промежутках 0 < х < -к- и тс < х < -^- тс, убывает
в промежутках-тг-<х<тс и -^-тс <х < 2тс.
4. Найти промежутки возрастания и убывания функций:
а) у = Зх2 + 6х + 1; б) у = Зх8 + х-1.
Отв. а) Возрастает в промежутке — 1 < х < со, убывает в
промежутке — оо < х < — 1;
б) возрастает на всей оси х.
К §§ 52—54.
5. Найти максимум и минимум следующих функций:
а) у = 2х2 - х + 1; 0т а) При х = J_ мшшмум __L;
О) у = х — х , ^ ПрИ х —. максимум = -j-;
в) y = -g-x*-f2x-3. ^ при х _-__ 5 минимум = — 8.
6. Найти максимумы и минимумы следующих функций:
a) v = 3x8 — 9х2 — 27x-f-l; Отв. а) При х = —1 максимум =16,
при х = 3 минимум = — 30;
х* л . , п , 2 б) при х=1 максимум = 2,
6Kv~~2x2 + 3x+T; ^2
д ° при х = 3 минимум = -^-;
в) v = 3x5 — 125х8 + 2160х. в) при х = —-4 и х = 3 —
максимум,
при х = — 3 и х = 4 — минимум.

184 ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. IV
7. Найти максимумы и мининумы следующих функций:
. лс' + б. Отв. а) При х = — 5 максимум = — 10,
а'-У~~ х-|_2 ' ПРИ х=1 минимум = 2;
б) у== ^ а-; б) ПРИ *= 1 максимум = + -2,
в) дг = ^-4-Л- при Х:=::-"1 минимум = —у;
в) при х= — 2 и
при х = 2 минимумы = 4.
8. Найти максимумы и минимумы следующих функций:
. л те ^ те
а) у=ът2х — х в промежутке — -^-<*<-o*i"
lnx.
г) у = sin х -f- cos х в промежутке J)_< x < 2те.
Omd. а) При *=-F- максимум =-L-n -g-,
it УТ . те
при я = —-g- минимум = •—-——|—g-;
б) при # = 1 и при х=:— 1 максимумы=—,
при х = 0 минимум = 0;
в) при х=— минимум = —#;
г) при x = -j-максимум = У~2",
при x = -g-n минимум = —- ]/"~2".
К § 55.
9. Вычертить графики функций:
3) у = 3*4-2*.-3; l),»*-^^;^,».*^
4)у=*»-* + 1; , _£li
5) > = 2л;'4-х»-% *>У — х-г-£'> п>У— (Л-1)*-
О/ив. 1) При х=-^ — максимум;
О
2) при #= 1 — минимум;
3) при х = 0 — минимум;
4) при х=~?= —минимум, при х = —^= —максимум;

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV 185
5) при я = О— минимум, при я==—*—максимум;
6) при х = 1 -|- Y 3~— максимум, при х = 1 — У"~3~—
минимум; функция непрерывна;
7) при х = — 3 — максимум, при л: = — 1 — минимум,
lira у = оо (т. е. х = — 2 есть точка разрыва функции);
*-*—2
8) при х= 1 — минимум,. при х = — 1 — максимум,
lim у = оо (т. е. я = 6 — точка разрыва);
9) при х = 1 — минимум; функция определена для х > 0;
10) функция определена для — 1 < х < 1 и в этом
промежутке возрастает; при приближении х к +1 х -* -f- оо;
при приближении х к — 1 у -»• — оо;
11) при х = 0 — минимум, lim у = оо.
К § 56.
10. Сумма двух чисел равна а. Каковы должны быть числа для
того, чтобы их произведение было наибольшим?
л а а
Ome.Y*T.
11. Разность двух чисел равна а. Каковы должны быть числа для
того, чтобы их произведение было наименьшим?
~ а а
Отв.ти-т.
12. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у
которого площадь наибольшая.
Отв. Квадрат.
13. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у
которого диагональ наименьшая.
Отв. Квадрат.
14. Из всех прямоугольников данной площади найти тот, у
которого периметр наименьший.
Отв. Квадрат.
15. В данный полукруг вписать прямоугольник наибольшей
площади.
Отв. Прямоугольник, у которого отношение сторон равно 1:2.
16. Сумма двух чисел равна а. Каковы должны быть эти числа,
чтобы сумма их квадратов была наименьшей?
^ а а
Отв.уит.
17. Доказать, что из всех прямоугольных треугольников,
вписанных в данный круг, наибольшую площадь имеет равнобедренный
треугольник.
18. Из всех треугольников, у которых сумма основания и
высоты — величина постоянная, найти треугольник наибольшей площади.
Отв. Треугольник, у которого основание равно высоте.
19. Дан круг и прямая, касающаяся круга. Требуется провести
хорду параллельно касательной так, чтобы треугольник, имеющий

186 ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. IV
вершиной точку касания, а основанием — хорду, имел наибольшую
площадь.
3
Отв. Расстояние хорды от точки касания равно -^- радиуса (тре-
угольник равносторонний).
20. Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный
круг, найти тот, который имеет наибольшую площадь.
Отв. Равносторонний.
21. Из всех прямоугольников, вписанных в данный треугольник,
найти тот, который имеет наибольшую площадь (основание
прямоугольника лежит на основании треугольника).
Отв. Прямоугольник, имеющий высоту и основание, соответственно
равные половине высоты и основания треугольника.
22. Из квадратного листа жести со стороной а желают сделать
открытый сверху ящик, вырезая по углам равные квадраты и загибая
края. Каковы должны быть размеры вырезанных квадратов, чтобы
объем ящика был наибольшим?
Отв. Стороны вырезанных квадратов равны -^-.
23. Из всех цилиндров данного объема найти тот, который имеет
наименьшую полную поверхность.
Отв. Цилиндр, имеющий в осевом сечении квадрат.
24. Требуется построить цилиндрический сосуд (например, бак),
открытый сверху, так, чтобы при данной вместимости (т. е. при
данном объеме) ушло наименьшее количество материала (т. е. чтобы его
поверхность была наименьшей).
Отв. Цилиндр, у которого высота равна радиусу.
25. Из всех цилиндров, вписанных в данный конус, найти тот,
который имеет наибольший объемv
Отв. Цилиндр, имеющий высоту, равную -^ высоты конуса.
26. На прямой найти такую точку, чтобы сумма ее расстояний от
двух данных точек была наименьшей (точки лежат по одну сторону
прямой).
Отв. Точка прямой, в которой отрезки, проведенные из данных
точек, одинаково наклонены к прямой.
27. Из всех цилиндров, вписанных в данный шар, найти тот,
который имеет наибольший объем. /~2*
Отв. Радиус основания цилиндра равен 1/ —/? и высота
равна ут'
28. Из всех цилиндров, вписанных в данный шар, найти тот,
который имеет наибольшую боковую поверхность.
Отв. Цилиндр, имеющий в осевом сечении квадрат.
29. Пересечь пирамиду параллельно основанию так, чтобы прямая
призма, у которой верхним основанием является полученное сечение,
а нижнее лежит в основании пирамиды, имела наибольший объем.
Отв. Высота призмы равна -тг высоты пирамиды.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV 187
80. Из всех конусов, вписанных в даннный шар, найти тот,
который имеет наибольший объем.
4
Отв. Высота конуса равна -тг- радиуса шара.
31. Из всех конусов, описанных около данного шара, найти тот,
который имеет наименьший объем.
Отв. Высота конуса равна учетверенному радиусу шара, а объем
его равен удвоенному объему шара.
32. Провести прямую параллельно данной, которая пересекала бы
данный полукруг так, чтобы площадь трапеции, образованная
полученной хордой и двумя перпендикулярами из концов хорды на
диаметр, была наибольшей.
* V2
Отв. x = ~j— /?, где х — расстояние от центра полукруга до
хорды, а /?- радиус полукруга.
33. Из всех описанных около данной окружности треугольников
с одним данным углом 2а найти тот, который имеет наибольшую
площадь.
Отв. Равнобедренный.
34. Из всех конусов, имеющих одинаковые образующие, найти
тот, который имеет наибольший объем.
Отв. Конус, у которого tg а = Y 2, где 2а — угол при вершине
в осевом сечении.
35. Найти наибольшую емкость конической палатки, которую
можно сделать из S квадратных единиц материи.
Отв. Высота в Y 2 раз больше радиуса основания, а объем
v=tV^
4 -,vs*.
36. Вырезать из данного круга сектор так, чтобы образованный
из этого сектора конус имел наибольший объем.
Отв. 9 =« Л/ -я-, где у — центральный угол сектора.
37. Из всех круговых секторов, имеющих данный периметр, найти
тот, который имеет наибольшую площадь.
Отв. Сектор, у которого длина дуги равна двум радиусам.
38. В данный сектор с центральным углом 2а < п вписать
прямоугольник наибольшей площади.
Отв. Угол 2<р, под которым видна из центра круга сторона, имею-
а
щая вершины на дуге, равен а, т. е. <р = —.
39. В данный сегмент вписать прямоугольник наибольшей площади.
^ cos a 4- У cos2 а 4- 8
Отв. cos<p= —I—? ■—, где <р — угол, под которым
видна из центра круга сторона прямоугольника, имеющая вершины
на дуге, а а —угол, под которым видна из центра круга хорда
сегмента.

ГЛАВА V
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Предыдущие две главы были посвящены учению о
производной и некоторым его приложениям к исследованию
функциональных зависимостей. В тесной связи с производной
находится другое основное понятие дифференциального
исчисления, которое весьма выгодно рассматривать во многих
вопросах и особенно в приложениях интегрального исчисления,
элементы которого содержатся в последней главе этой книги.
Прежде чем перейти к выяснению понятия дифференциального
исчисления, носящего название дифференциала, нам необходимо
несколько дополнить сведения о бесконечно малых величинах,
с которыми мы познакомились в главе II.
§ 57. Сравнение бесконечно малых.
Эквивалентные бесконечно малые
Если опыт или наблюдение дают нам несколько величин
я, by с, ... одной и той же природы (веса, площади, объемы
и т. д.), то первое, что мы стараемся сделать,— это узнать,
во сколько раз одна из этих величин больше или меньше
ДРУГОЙ.
С этой целью одну какую-нибудь из этих величин,
например величину а, принимают за единицу масштаба и
посредством ее измеряют все остальные величины Ь, с, ..., т. е.
составляют отношения
а ' а »
показывающие, во сколько раз эти величины больше
величины а (или меньше а).
Аналогично поступают и тогда, когда рассматривают
несколько бесконечно малых величин а, £, у, ... В этом случае

§ 57] СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 189
также, желая сравнить эти бесконечно малые между собой,
выбирают одну из этих бесконечно малых, например а, за
основную бесконечно малую и с нею сравнивают остальные
бесконечно малые, образуя отношения —, —, ... Однако
теперь эти отношения уже не являются числами, как это было
в первом случае, а переменными величинами, и вполне понятно,
что в целях сравнения бесконечно малых интересуются
пределами этих переменных величин.
Будем предполагать для определенности, что величины
а, р, у, и т. д. являются функциями переменной х и что они
бесконечно малы при лг—►а (а может быть -|-оо, —оо и оо).
Определение L Бесконечно малая р называется
бесконечно малой высшего порядка, чем ol, при х—»а, если
I
а
lim i- = 0.
X
-+а а
Например, если р = 2а2 — а*, то р — бесконечно малая
высшего порядка, чем а, потому что lim — = lim —
х-*аа х-*а а
= Ит(2а — а*) = 0.
х-+а
Определение 2. Бесконечно малая р называется
бесконечно малой низшего порядка, чем ol, если отношение —
а
стремится к. бесконечности при х—>а, т. е. если
о
lim — =00.
х^а а
Например, если р = 3 уПх-)-^2, то (J — бесконечно малая
низшего порядка, чем а, потому что
lim
Х-+4
1= lim ЗУа + 7а» = Цш / 3 +J\
а х^а а хчДм /
= НШ Ш+|,ш (7а) =00.
x~+a\V*/ x^a
Действительно, ул есть бесконечно малая, стоящая в
знаменателе дроби, числитель который есть постоянное число, не
равное нулю; следовательно, —= — бесконечно большая величина;
у а

190 ДИФФЕРЕНЦИАЛ [ГЛ. V
сама же а — бесконечно малая, и, значит,
lim a = 0.
Из определения вытекает, что f* — бесконечно малая
высшего порядка, чем а, когда она «гораздо быстрее» стремится
к нулю, чем а. Следовательно, она является бесконечно малой
не только в сравнении с конечными величинами, но даже по
отношению к бесконечно малой а, потому что — стремится
к нулю при х—>а. Другими словами, бесконечно малая
высшего порядка fi является более «мелкой» по своей величине,
чем а. Наоборот, если fJ — бесконечно малая низшего порядка,
чем а, то это означает, что она «гораздо медленнее»
стремится к нулю, чем а, т. е. что она «крупнее» по своей
величине, чем а.
Заметим, наконец, что свойства «быть высшего порядка»
и «быть низшего порядка» взаимны между собой, потому что
если бесконечно малая р есть бесконечно малая высшего
порядка, чем а, то а есть, наоборот, бесконечно малая низшего
порядка, чем В.
о
В самом деле, если lim — =0, то отсюда следует, что
х-*а а
lim -г-= 00.
х~+а г
Определение 3. Две бесконечно малые а и § назы-
в
ваются эквивалентными, если их отношение — имеет пре-
0
делом единицуt m. е. если lim — = 1.
Эквивалентность бесконечно малых есть понятие взаимное,
т. е. если (} эквивалентна с а, то и а эквивалентна с р.
Действительно, если lim — == 1э то и lim у = 1.
Например, sin а и а — эквивалентные бесконечно малые,
потому что lim -—=1 (см. § 29).
х-*а в
Относительно эквивалентных бесконечно малых весьма
важной является следующая теорема.
Теорема. Бесконечно малые а к р тогда и только
тогда эквивалентны, когда их разность ф — а) есть бес*
конечно малая высшего порядка, чем они сами.

§ 57] СРавнЕниЕ бесконечно малых 191
Доказательство. Действительно, если разность (р — а)
двух бесконечно малых а и р— высшего порядка, чем а,
то это означает, что lim *-^-^=0. Отсюда следует, что
lim ( 1 ) = 0, или lim ~ = 1, что и доказывает эквива-
лентность бесконечно малых аир.
Обратно, если бесконечно малые аир эквивалентны между
й
собой, то lim— = 1. Отсюда вытекает, что переменная вели-
х-*а а
чина -— 1 имеет своим пределом нуль, т. е. lim ( -—1 } =0.
а х-*а \ а I
Последнее равенство можно написать в виде lim *—^ = 0,
х-+а а
откуда заключаем, что разность (р— а) — бесконечно малая
высшего порядка, чем а. Из свойства взаимности
эквивалентных бесконечно малых а и р мы заключаем, меняя роли аир,
что разность (а — р) — бесконечно малая высшего порядка,
чем р, т. е.
llmifi=0.
Х-Ю. г
Доказанная теорема показывает, каким именно процессом
можно получать эквивалентные бесконечно малые. В самом
деле, рассмотрим две эквивалентные между собой бесконечно
малые аир. Обозначая их разность через й: 5 = р — а,
получим р = а~{-8.
Мы знаем, в силу доказанной теоремы/ что* 5 —
бесконечно малая высшего порядка, чем аир. Следовательно,
бесконечно малая а, эквивалентная бесконечно малой р,
получается из р отбрасыванием у нее бесконечно малой высшего
порядка. Другими словами, имея сумму двух бесконечно малых
а -{- 8, из которых одна, 8, высшего порядка, чем а, мы
просто отбрасываем бесконечно малую высшего порядка;
полученная новая бесконечно малая а эквивалентна всей сумме а-[~4#
Например, бесконечно малая 2 sin а -|~ За1 эквивалентна
более простой 2 sin а, так как За* — бесконечно малая
высшего порядка, чем 2 sin а, и потому, отбрасывая ее, мы
получаем бесконечно малую 2 sin а, эквивалентную
первоначальной.

192 дифференциал [гл. v
§ 58. Основной принцип дифференциального исчисления
Мы знаем, что в дифференциальном исчислении часто
находят пределы отношения двух бесконечно малых величин —
приращения функции к приращению аргумента. В связи с
этим имеет важное значение следующая теорема.
Теорема. При отыскании предела отношения двух
бесконечно малых каждую из них можно заменить
эквивалентной бесконечно малой, не изменив этого предела.
Действительно, пусть надо найти lim т- где а и В —
какие-нибудь сложные бесконечно малые. Предположим, что
а эквивалентна а' и р эквивалентна р'. Из тождества ^ =
= —*-• — получаем, что lira ^= hm — lun -тг1ш1 "F •
a г г *-+аг x-+a a x ~+a r x-* a*
Так как, согласно условию, а и а' эквивалентны, так же как
р и р', то lim —=1 и lim <р=1.
х-+а а х-*>а г
Заметив это, находим
lim g7= lim -r-,
х-+а г х-*а г
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти предел отношения двух бесконечно
малых:
lim a*~~ 3«* + 2sina-- 5«6
х -► 0 4а8 -р- Sin2 a -^- 4a — 7a8
Заменим числитель и знаменатель этого отношения
эквивалентными бесконечно малыми, для чего, как известно, нужно
просто отбросить бесконечно малые высших порядков (если
член низшего порядка малости один в числителе и
соответственно один в знаменателе). Так как в числителе член
низшего порядка малости только один, 2 sin a, а такой же член
в знаменателе тоже только один, 4 а, то в силу принципа
искомый предел равен
,. 2 sin a l
lim —-Л—^тг •
«^о 4a 2
Пример 2. Найти производную функции у — хг, исходя
из определения производной.

§ 59] ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА 193
Сначала вычисляем приращение этой функции:
Aj/ = (jt-f ьх)г—х2 = хг + 2хЬх-\-(ьх)г—х\ илиД^ =
= 2д:Дд:-{-(Дат)*. Образуем отношение д-^= х ^ ( х} .
Если приращение Да: стремится к нулю, то приращение
функции ку есть бесконечно малая, являющаяся суммой двух
бесконечно малых 2л; Д х и (Длг)2, из которых вторая (Д л;)2—
высшего порядка, чем первая 2лгДлг. Отсюда, отбрасывая
бесконечно малую высшего порядка, на основании доказанного
принципа имеем:
,. Ду .. 2х&х 0
т. е. (**)' = 2*.
Пример 3. Найти lim ^Д.
Заменяя числитель и знаменатель отношения через
соответствующие им эквивалентные бесконечно малые 4л: и 2лг,
получим в силу основного принципа, что искомый предел равен
lim ^=2.
§ 59* Понятие дифференциала
Из § 33 мы знаем, что если функция имеет производную,
то справедлива формула
Ду=/Дх-|-аДл:, (831
где а — бесконечно малая при Дл:-*0.
Первое слагаемое в правой части равенства (83) называют
дифференциалом функции.
Определение. Дифференциалом функции у=/(х)
называется выражение вида у' Дл;=/' (л:) Длг, т. е.
произведение производной функции на приращение независимой
переменной.
Заметим, что дифференциал функции является сам
функцией двух независимых переменных х и Да:, причем эта
вторая независимая переменная входит в дифференциал
функции множителем первой степени.

194 дифференциал [гл. v
Дифференциал функции f(x) обозначается знаком dft так
что d/=/' (x)£lx.
Если данная функция f(x) обозначена одной буквой у,
т. е. у =/(х), то дифференциал этой функции мы
обозначаем знаком dy и пишем
dy—y'Lx. (84)
Если, в частности, данная функция y=f{x) тождественно
равна независимой переменной х, т. е. f(x) = x, то
дифференциал такой функции просто обращается в А#, так как
в этом случае производная обращается в единицу, ибо (х)' = 1,
и, значит,
dx = kx.
Итак, дифференциал независимой переменной равен
приращению этой переменной.
Внося в формулу (84) вместо Дх равную ему величину
dx получим
dy=y'dx9
т. е. дифференциал функции равен произведению
производной на дифференциал независимой переменной.
Разделив это равенство на дифференциал независимой
переменной dxy мы получим
т. е. производная функции равна отношению дифференциала
этой функции к дифференциалу независимой переменной.
Следует заметить, что дифференциал dx = kx
независимой переменной х не есть непременно бесконечно малая
величина.
Необходимо помнить, что дифференциал dx, будучи
приращением 1х независимой переменной лс, есть новая
независимая переменная, которая хотя и соответствует ху но от ее
величины совершенно не зависит. Поэтому, будучи новой
независимой переменной, дифференциал dx может иметь какое
угодно числовое значение.
Возвращаясь к формуле (83), перепишем ее в виде
Ду=4у-{-а*/лг. (85)

§ 59] понятие диФФЕРЕнциалл 195
Когда dx стремится к нулю, то, как мы знаем, dy, Д у
и а становятся величинами бесконечно малыми. Следовательно,
adx, как произведение dx на величину бесконечно малую а,
есть бесконечно малая высшего порядка, чем dx.
Итак, это основное равенство (85) говорит нам, что
приращение Ду функции и дифференциал dy функции
отличаются друг от друга на бесконечно малую высшего по-
рядка, чем dx.
В общем случае производная у' не равна нулю и, значит,
дифференциал функции dy=y'dx есть бесконечно малая низ-
adx а Л
шего порядка, чем adx, потому что -тр—тр—*0«
Другими словами, бесконечно малое приращение by функции
и дифференциал dy этой функции суть эквивалентные между
собой бесконечно малые (см. теоремы § 57), и, значит,
lim Av=l.
По этой причине, когда dx = \x — величина малая, на
практике вместо сложного по своей природе приращения
функции &у берут в качестве приближенного значения ее
дифференциал — образование по своей природе более простое.
На этой идее основано приложение дифференциалов к
приближенным вычислениям, о чем мы будем говорить в конце
этой главы.
Пример. Возьмем функцию у = хъ-\-Ъх — 2. Если
независимая переменная получит приращение dx, то
приращение Ду функции будет
by = (x-±.dx)t + 3(x+dx) — 2 — xt — 3x-{-2.
После приведения подобных членов получим
by = (2x-\-3)dx+(dx)\
После отбрасывания бесконечно малых высшего порядка остается
(2*-f 3)dx,
а это и есть дифференциал dy нашей функции, в чем легко
убедиться, вычислив производную у = 2л;-|-3.

196
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
[гл. v
§ 60. Геометрический смысл дифференциала
Предположим, что кривая, изображенная на черт. 79,
представляет график функции у=/(х).
Пусть точка М этой кривой имеет своими координатами х
и уу а точка М' имеет своей абсциссой x-\-dx.
Очевидно, что отрезок MS, параллельный оси Ох, равен dx,
а отрезок SM' равен приращению Ду функции, так как
Ш' =f(x+dx) —f\x) = by.
Обозначим через Т точку пересечения касательной,
проведенной к кривой в точке Ж, с ординатой точки М'\ тогда.
]Tr=Ms-tgZ.TMS.
Так как ig/JMS=y\
то
Sf=y'dx=dy.
Следовательно, отрезок
ST есть дифференциал
функции dy, т. е. дифференциал
функции dy равен
приращению ST ординаты точки
касательной, когда абсцисса
тонки касания получает
приращение dx.
Из чертежа мы усматриваем, что приращение функции
Ay = SM' и дифференциал функции dy = ST отнюдь не
равны друг другу. Их разность ТМ9 есть отрезок между
касательной и самой кривой; эта разность есть бесконечно
малая высшего порядка, чем dx = MS.
i+dz i
Черт. 79.
§ 61. Формулы для нахождения дифференциалов
функций
Особо важное значение дифференциала функции с
формальной стороны состоит в том, что его вид остается
неизменным даже в том случае, когда берут другую
независимую переменную. В самом деле, пусть у=/(и) есть

§ 61] ФОРМУЛЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ФУНКЦИЙ 197
функция независимой переменной и. Тогда согласно
определению дифференциал dy этой функции запишется в виде
dy=f'(u)du. (86)
Возьмем теперь за независимую переменную другую,
например х, таким образом, чтобы прежняя независимая
переменная и стала в свою очередь некоторой функцией х% т. е.
и = <р(х). В этом случае величина у зависит уже от
независимой переменной х, потому что теперь )/===/[ср(лг)].
Желая вычислить дифференциал dy функции у в этом
новом предположении, мы должны написать
dy = {f[<f(x)]}'dx. (87)
На первый взгляд можно подумать, что мы получили
совсем другое выражение для дифференциала dy. Однако
на самом деле, пользуясь теоремой о производной сложной
функции, мы имеем
№М]Г=П? ix)W(x)=f(u) y'(x).
Следовательно, равенство (84) перепишется в виде
dy=f(u)<f'(x)dx. (88)
Заметив, что du = <f'(x)dxf из равенства (88) получим
dy—f'{u)du, (89)
и мы снова нашли тот вид (86) дифференциала, который был
нами написан в предположении, что и — независимая переменная.
Полученный результат можно формулировать в виде
следующего предложения.
Теорема. Формула дифференциала dy=f'(u)du
справедлива как в том случае, когда и — независимая
переменная, так и в том случае, когда и—функция другой
независимой переменной; в этом последнем случае под
множителем du надо понимать дифференциал функции.
Доказанная теорема дает нам правило для составления
дифференциала сложной функции (функции от функции). Это
правило заключается в следующем.
ЕСЛИ у=/(и), Я=:<р(ЛТ), ТО
dy=f(U)du, (I)
7 И. И. Привалов а С. А. Гальпера

198 дифференциал [гл. v
т. е. дифференциал сложной функции равен произведению ее
производной по промежуточному аргументу на
дифференциал этого промежуточного аргумента (ср. с теоремой § 42).
Пример 1. Найти дифференциал функции у = sin (х*).
Полагая и = хг, имеем у = sin и. Пользуясь формулой (I),
находим
dy = (sin и)' du = cos и du.
Так как du = d(x*) = 2xdxi то окончательно получим
du = 2х cos (x*)dx.
Остальные правила для составления производных,
установленные в гл. III, также переносятся на случай
дифференциалов, если формулы для производных умножить на dx,
потому что дифференциал функции равен произведению ее
производной на дифференциал независимой переменной.
Таким образом, из теоремы § 36: (си)' = си\ умножнием
на dx получим
d (си) = с du, (II)
т. е. постоянный множитель можно вынести за знак
дифференциала.
Из теоремы § 37: (u~\-v— w)' = «'4-*'' — w\ после
умножения на dx получим
d(u-\-v — w) = du-^dv — dwy (III)
т. е. дифференциал алгебраической суммы функций равен
такой же сумме дифференциалов этих функций.
Из теоремы § 39: (uv)' = uv' -\-vu\ после умножения на
dx найдем
d(u-v) — udv-\-vdut (IV)
т. е. дифференциал произведения двух множителей равен
сумме произведений каждого множителя на дифференциал
другого.
тт о in / U У VU' -~UVf
Наконец, из теоремы § 40: (—J =—-j—, после
умножения ее на dx получим
(fK
du — udv
(V)

§ 61] ФОРМУЛЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ФУНКЦИЙ 199
т. е. дифференциал дроби равен произведению знаменателя
на дифференциал числителя минус произведение числителя
на дифференциал знаменателя и все разделенное на
квадрат знаменателя.
х -4-5
Пример 2. Найти дифференциал от функции у = 2 *"0.
Согласно изложенным правилам имеем
dv —н (Л±1\ — <*2 - 2>d (* + 5) - <* + 5)d <*2 - 2> _
ау— а\хТ^2) (х2-2)2
_(х2 - 2)dx- (х + Ъ) 2xdx х*+\0х + 2^
— (х2-2)2 — (х2-2)2 ***
При нахождении дифференциала можно сначала найти
производную и результат умножить на дифференциал независимой
переменной. Так, в предыдущем примере имеем
,_( х + Ь\'_(х*-2)(х + 5У-(х + 5)(х*-2)'__
у ~\х*-2) ~ (хг - 2)2 ~'
_хг — 2-(х + Ъ)2х__ x* + \Qx + 2
— (хг-2)2 (х2-2)2 9
откуда
* ** хг + \0х + 2.
dy=y dx = ^2_2J d.Xm
В заключение приведем список основных формул для
дифференциалов функций, полученных из соответствующих
формул гл. ПГ для производных путем умножения последних
на dx.
1. d(c) = 0. 8. d(cosx) ——sinxdx.
dx
cos2 x#
2. d(xn) — nxn-xdx(nvYi 9. d(tgx) = dx
любом n).
3. d(\ogax) = ^logae. 10. d(ctgx) = -jg
snrx
4. tf (Inx) = — . \\. d(arcsin *) = rf*
x
5. tf (a*) = a*\na dx. \2. d (arccos x) =
dx
VT=tf*
6. </(**) = **</*. 13. rfUrctg*) rfjc
l+x2,
dx
7. d (sin л:) = cos x dx. 14. d (arcctg л:) = — " 8.
1 + x
7
#

200 дифференциал [гл. v
§ 62. Приложения понятия дифференциала
к приближенным вычислениям
Если приращение функции у=/(дг) заменить
дифференциалом, то при этом, как известно из (85), получается
погрешность, равная
Ду — dy = a,'dx.
В общем случае йуф0> и относительная погрешность
равна -j~; эта последняя будет величиной бесконечно малой,
если dx— бесконечно малая (§ 59). Исходя из этой идеи,
можно применять дифференциалы при приближенных
вычислениях. В самом деле, часто приходится вычислять значения
отдельных выражений, как, например, (l-j-а)" для малых
значений аргумента. Чтобы получить приближенную формулу
для (l-j-a)n ПРИ малых значениях а, поступим следующим
образом.
Рассматривая степенную функцию у = хп, образуем ее
приращение, соответствующее изменению х от 1 до 1 -f~a»
т. е. Ду = (1+а)п— 1.
Считая а малой величиной, мы вправе заменить' это
приращение соответствующим дифференциалом:
dy = (tf*)Xgsldx = n<i, так как dx = a.
Таким образом, из приближенного равенства Ду =s= dy
находим (1 -\-а)п— 1 S5s яос, откуда (1 +а)п =5= 1 -{-яа.
Последнее равенство дает приближенную формулу для
вычисления (1-|-а)п при малых значениях а.
Поступая аналогично, можем принять sin a =^r a для малых
значений a.
Действительно, sin a = sin a — sin 0 =^ (sin x)xss0 a = a,
откуда sin a ^ a.
В виде третьего примера выведем приближенную формулу
для ln(l-{-a) при малых значениях а. Для этого рассмотрим
функцию у = In х и образуем ее приращение,
соответствующее изменению х от 1 до 1 -J- a. Находим
Ajf = ln(l+a) —lnl==ln(l+a).
Считая а малой величиной, мы вправе заменить это
приращение Ау соответствующим дифференциалом dy = (\п x)x:s:ildx =

злдачи к главе v 201
==а, потому что
<** = а, (1плг);=1 = (1)х=1 = 1.
Таким образом, из Ду =5= dy находим приближенную
формулу
1п(1+ос)^а.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V
§ 57—59.
1. Если a — бесконечно малая, то указать, какие из следующих
величин будут бесконечно малыми высшего порядка и какие —
низшего порядка по сравнению с а: а) а5; б) У а; в) sin2 а, г) у tg2 а;
11 1 1
д) 2 Vsm а; е) 1 — cos а; ж) а5 — а4; з) а4 + а2; и) а5 + а5.
Отв. а) Высшего порядка; б) низшего порядка; в) высшего
порядка; г) низшего порядка; д) низшего порядка; е) высшего порядка;
ж) высшего порядка; з) высшего порядка; и) низшего порядка.
2. Сторона квадрата стремится к нулю. Показать, что площадь
будет бесконечно малой высшего порядка по сравнению со стороной.
3. Если радиус шара — бесконечно малая, то показать, что: а)
поверхность шара, б) объем шара, в) площадь диаметрального сечения
шара являются бесконечно малыми Высшего порядка по сравнению
с радиусом.
4. Показать, что следующие бесконечно малые эквивалентны
с бесконечно малой а: 1) tg a; 2) 1п(1 + а); 3) у (tg a-f-sin a); 4)a-f
+• sin2 а; 5) sin а + tg8 a; 6) a -f За2 -f- 4а3 — а5; 7) sin2 a -f- За2 + <*•
5. Показать, что следующие пары бесконечно малых эквивалентны
между собой: а) и а; б) tg 8а и 8а; в) sin2 а и а2; г) 1 — cos a
и i.a2; д) J/IE^H a2.
6. Найти пределы следующих выражений, пользуясь основным
принципом дифференциального исчисления:
*sin5* . 0Ч .. * + sin2* + tg*. оч _. Zt + 5t2-7t*
1) lira т-т 2) hm ' . . . '. 3) lim 0 ' , ,,. \
<-*°sin(i.Vtg3* *-o sin* + *2 м 2sin*-{-4*»
Ах „ In(1 -f-a) -4 .. In(l-f-a) . A. ,. *2 + ln(l+*)
4) lim —:—*—-; 5) lim -: . ', -2 6) lim . ' , . ' ' ■.
a^o sina ' ' «_>o sin8a-f-a2 7a^0 tg3*+5in22*
Ome. 1) ^; 2)2; 3)~; 4) 1; 5)1; 6) 1.
7* И. И. Привалов в С. А. Гальперн

202 дифференциал [гл. v
7. Найти Ц» Шд+За + а'-а') .
а-»0 In (1 +а — <И
Указание. Воспользоваться тем, что In(1 + х) — бесконечно
малая, эквивалентная бесконечно малой х.
Отв. 3.
0 „ „ н In(1+ За8- 5а») 3
8. Найти lim—\ ' . - 2ч—. Отв. -=-.
а_»0 1п(1+5а2) 5
К §§ 60—62.
9. Найти дифференциалы следующих функций:
1) yz=z(Vl+x2)n; Отв. 1) dy = n(VT+l?)n-*xdx\
2) у = In (sin Vx)\ 2) dy = -J= ctg Ух dx\
2V x
3) jv=sin8T^x; 3) dy=-^— sin2 T^xcosl^xrfx;
4) y = arcsin |/"2x; 4) rfy = --— aTjc;
' l/2x V\-2x
b) y = arctg (cos x); 5) dy = — l^^stx dx>
6) у = sin (In x); 6) *fy = — cos (In x) dx\
74 „ %m 74 ^ 2ЯХ2*-1 .
8) у = хп\ъ(пх)\ 8) йГ^ = х/,~1[л1п(лл;)4-1]лГх;
9) y = e*lnx; 9) rf)i = ^[lflx +y) rf*;
10) y = (e* + e'*)*. 10) <ty = 2 (e2X — e"2*) dx.
10. Вычислить приращение и дифференциал функции у = 2хг— х
при переходе от значения х=1 к значению я =1,01.
Отв. Ьу\x=sl =0,0302; dy Lel = (4х- 1)L = 1 -0,01 =0,03.
U* = 0,01 U*=0,01 I
11. Вычислить приращение и дифференциал функции v = x*-f-
-f- 2х при переходе от значения х = — 1 к значению х = —0,98.
О/пв. Ду L^, =0,098803; <у|ж__ t =0,1.
12. Вычислить дифференциал функции у = sin jc при значении
Ome. *ty
те , те
*—'Т И ЛХ"~Ш*
„$ =тш=ш-0>00872-
- 1С

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V 203
t3. Найти приближенные формулы для выражений, предполагая
а малой величиной:
а) (1 +«)*; б) УТ+^\ b)^=L=; г) ^Ц; д) y-U; e) ■¥7=L=i.
Отв. а) 1+2в; б) 1+~; в) 1--J; г) 1 + а; д) 1 - а; е) 1—£т
14. Доказать, что е*1 при малых значениях Л приближенно равно
1 -|-Л.
15. Доказать, что tg Л при малых значениях h приближенно
равен Л.
16. Доказать, что arcsin/r при малых значениях h приближенно
равен Л.
17. Доказать, что arctgA при малых значениях h приближенно
равен Л.
18. Доказать, что In (1 + УЩ ПРИ малых значениях Л
приближенно равен Ун.
19. Доказать, что In (1+sin а) при малых значениях а
приближенно равен о.

ГЛАВА VI
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Основная операция дифференциального исчисления, как
известно, заключается в нахождении предела отношения двух
бесконечно малых величин — приращения функции к
приращению аргумента. Иными словами, в дифференциальном
исчислении рассматриваются пределы отношений бесконечно малых.
Мы видели, что многие задачи приводятся к выполнению
основной операции дифференциального исчисления.
Целый ряд задач приводит нас к необходимости
вычисления пределов сумм специального вида, когда число
слагаемых неограниченно увеличивается, а каждое слагаемое
стремится к нулю. Нахождение пределов этих сумм является
основной задачей интегрального исчисления.
Одной их основных геометрических задач, решаемых при
помощи интегрального исчисления, является вычисление
площадей криволинейных фигур.
Однако для вычисления пределов сумм указанного типа
оказывается существенным уметь находить функцию,
производная которой равняется данной, т. е. уметь производить
операцию, обратную дифференцированию.
С рассмотрения этой обратной дифференцированию задачи
мы и начнем настоящую главу.
§ 63. Неопределенный интеграл
В разных задачах часто приходится по заданной
производной отыскивать ту функцию, от которой была взята
производная, т. е. решать задачу, обратную задаче
дифференцирования. Например, если йам задана скорость движения
точки и, как функция времени zj = <f(f)iH мы желаем узнать
путь st пройденный точкой, то помня, что -г. = vt мы как

§ 63] НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ * 205
ds
раз и должны будем по заданной производной -г- = <р(/)
найти функцию s.
Определение.Функция, производная которой равна данной
функции, называется первообразной для данной, т. е. если
F (х) = /(х), то F(x) называется первообразной для /\х).
Например, для функции f(x) = 2x первообразной будет
функция F(x) = x2, потому что F (х) = 2х—/(х).
Отметим, что функция Fx (х) — х*-\-2у или Ft(x) = x*-\-5, или
вообще Ft (х) = х2 -f- С, где С—какая-либо постоянная — все
будут первообразными для f(x) — 2x, потому что все эти
функции имеют одну и ту же производную.
Теорема /. Если F(x) — первообразная для /(#)» *м>
всякая функция, отличающаяся от F(x) на постоянную,
будет также первообразной для /(х).
Доказательство. Так как по условию F(х)=/(х),
то [>(*) +С]'= /*(*) ==/(*) и функция F(x) + C9 где С—
постоянная, является первообразной для f(x).
Имеет место и обратная теорема.
Теорема 2. Если две функции являются
первообразными для одной и той же данной функции, то они могут
отличаться только на постоянную, т.е. если F (х)—/(х)
и Ф'(лг)=/(лг), то Р(х) = Ф(х)-\-С9 где С—некоторая
постоянная.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную
функцию y(x) = F(x)— Ф(х). Надо доказать, что у(х) есть
постоянная. Найдем производную от <р(лг), имеем
<?'(х) == F (х) — Ф' (х) =/(х) —/(х) = 0.
Таким образом, производная функции <р (х) равна
тождественно нулю (т. е. равна нулю при всех рассматриваемых
значениях х). Покажем, что если производная от
некоторой функции ср(лг) равна тождественно нулю, то функция
есть постоянная.
Так как ср' (л:) = 0, то, применяя теорему Лагранжа к
отрезку [а, х\ имеем
у{х) — ср(а) = ср'(с)(х — а), где а<с<*>
но раз ср'(с) = 0, то

20ff ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
А это и означает, что функция <р(х) принимает при всех
рассматриваемых значениях х постоянное значение ср (а).
Следствие. Зная одну первообразную F(x) для данной
функции /(*), мы получим все первообразные для данной
функции, прибавляя к F(x) всевозможные постоянные.
Таким образом, множество функций F(x)-\-C, где
С—произвольная постоянная, будет множеством всех первообразных
для данной.
Определение. Выражение F(x)-\-C, где F(x) —
первообразная для /(х), а С—произвольная постоянная,
называется неопределенным интегралом от /(х) и обозначается
так;
[f(x)dx.
Функция f(x) называется подынтегральной функцией. Если
^(л:) — одна из первообразных для f{x)t то
^f(x)dx=F(x) + C, (90)
где С—произвольная постоянная.
Присутствие постоянной С делает задачу разыскания
функции по ее производной не вполне определенной; отсюда
происходит и само название «неопределенный» интеграл.
Из определения неопределенного интеграла следует, что
производная неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции:
[$ f(x)dx]' =[F(x) + C]' = F(x). (91)
Вспомнив, что дифференциал функции равен производной,
умноженной на дифференциал аргумента, мы можем записать
d[^f(x)dx]=f(x)dx, (92)
т. е. дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению.
Пример 1. Зная, что

§ 64] ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ 207
найти
J тхт-Ых.
Согласно определению имеем
^mxm-1dx = xm-\-C.
Пример 2. Найти
\ dx, С 2 dxt \ х dx, \ 3x2dx, \ xtdx, V kx dx.
Так как
d(x)_. d(2x)_9 d\T)_ d(x*)_„2
то имеем:
\dx = x + C, f 2</л; = 2л: + С, C*Ac = y-f-C,
С З*1 <** = *• +С, f A:ffifA:==~ + C, Citerfx«£p+C.
§ 64. Интегрирование степенной функции
В § 46 была дана формула
^Р = «*в-1, (93)
верная для всякого постоянного л, целого и дробного,
положительного и отрицательного. Из этой формулы для
дифференцирования хп можно получить формулу для
интегрирования хп. Для этого мы должны сообразить, производная от
какой функции равна хп; с этой целью преобразуем формулу
(93) так, чтобы в ее правой части стало хп. Прежде всего
заменим в этой формуле п на п -f-1 (что возможно, так как
п — произвольное число):

208 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Если п -{- 1 ф О, т. е. п не равно — 1, то мы можем
разделить обе части последнего равенства на п -j- 1, после чего
найдем
1 d(xn+1)
п + 1 dx
или
! = Л
\n + l)_n
dx —x-
Отсюда следует, что
$*<*=t£i+c- <94>
Эта формула, как следует из самого вывода, верна при
любом постоянном я, не равном — 1. Для случая п = — 1
далвше будет выведена другая формула.
Словами формула (94) может быть выражена так: при
интегрировании степенной функции нужно показатель
степени увеличить на единицу и результат разделить на
увеличенный показатель.
Пример. Найти
По формуле (71) имеем:
f Vxdx = § x$dx = ^- + c=-%xVx + C.
§ 65. Простейшие свойства неопределенного
интеграла. Интегрирование многочлена
1°« Неопределенный интеграл от суммы функций равен
сумме их неопределенных интегралов, т. е.
S [/(*) + ¥(*)]<**= J f{x)dx + lff(x)dx. (95)

§ 65] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 209
В самом деле, возьмем производную от выражения в правой
части равенства (72):
[I f[x)dx+I tf (x)dx] = Ц f(x)dx]+ [l ff (х) dx]' =
=/(*)+<?(*).
Следовательно, выражение, стоящее в правой части
равенства (95) является неопределенным интегралом от /(#)-{-
-f*¥(*)i T« e» равняется
* J [Л*)+ ¥(*)]<**,
что и требовалось доказать.
2°. Постоянный множитель можно выносить за знак
неопределенного интеграла, т. е.
J df (x) dx = a^/(x) dx. (96)
В самом деле, возьмем производную от правой части
равенства (96):
[a ^f{x)dxj = a[^f(x)dx~y=af(x).
Отсюда заключаем, что выражение, стоящее в правой стороне
равенства (96), является неопределенным интегралом от a/(x)f
т. е. равняется с „
\ a/(x)dx>
что и требовалось доказать.
Пользуясь этими простейшими свойствами и выделенной
формулой для \ х" dx, мы можем найти неопределенный
интеграл любого многочлена.
Пример 1. Найти
J (4х* — 2хг -f Ъх — 3) dx.
jj (4л:8 _ 2*2 + 5л: — 3) dx =
= ^4x'dx—^ 2хг dx -f J Ъх dx — ^ 3 dx =
=z4^x>dx — 2 J xtdx^b^xdx — b^dxz=z

210 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Не имеет смысла прибавлять произвольные постоянные
к каждому из слагаемых интегралов, так как сумма
нескольких произвольных постоянных может быть заменена одной
произвольной постоянной.
Когда интегрируют многочлен, то не пишут так подробно,
как при решении примера 1, а по возможности сразу пишут
ответ.
Пример 2. Найти \^х (х* — 1) d х, ^ (х*-\-\)*dx.
j х(хг — l)dx = $(x9 — x)dx = £— ^ + C;
^(x*-\-\)1dx = §(x* + 2x* + \)dx = £ — |*84-* + с-
§ 66. Интегрирование простейших функций
1°. Интегрирование степенной функции с показателем»
равным — !• В § 43 гл. III была дана формула
d(\nx) 1
dx ~ х #
Отсюда следует, что
JS-tax + C
2°. Интегрирование показательной функции. В § 45
гл. III была выведена формула
d(ax) хл
из этой формулы для дифференцирования можно получить
формулу для интегрирования а*. Для этого мы должны сообразить,
производная от какой функции равна ах; с этой целью
преобразуем последнюю формулу так, чтобы в ее правой части
стало а*. Разделив обе части на In а, получим
I d(a*) =aX
In a dx f
или

*§ 66] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ 211
Отсюда следует, что
т. е. при интегрировании показательной функции нужно
разделить ее на натуральный логарифм основания.
В частности, полагая в формуле (97) а = е, найдем
Je*tfjt = ** + C. (98)
3°. Интегрирование синуса и косинуса. В § 38 гл. Ill были
даны формулы:
dx ' dx
Отсюда следует, что
[ cos xdx = sin x -f- С, (99)
\ s\nxdx= —cosat + C. (100)
4°. Интегралы, выражаемые через тангенс, котангенс,
арксинус и арктангенс В § 41 гл. III были даны формулы:
d(tgs) 1 dc\gx__ 1_
dx cos2 x' dx sin2 x *
Отсюда следует, что
б°. В § 47 гл. III были даны формулы:
d(arcs\nx) 1 d (arctg x) 1
dx ~~уТ^х*9 dx —T+3?#
Отсюда следует, что
Sdx
yyZTtf = arcsin * + с1 (ЮЗ)
Jr^? = arccg^ + C. (104)

212 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VT
§ 67. Замена переменной. Интегрирование по частям
Все приемы интегрирования имеют своей целью привести
данный интеграл путем тех или иных преобразований
выражения, стоящего под знаком интеграла, к такому виду, при
котором можно было бы применить к интегралу ту или
другую из указанных в предыдущем параграфе основных
формул интегрирования.
Для такого преобразования часто бывает полезной
следующая формула.
Формула замены переменной. Рассмотрим интеграл
{/(x)dx и положим x = <f(t); тогда имеет место формула
\f(x)dx=\f[<?(t)]<?'(t)dti). (105)
Доказательство. Пусть Ф (t) — первообразная для
/[?(<)] ?'(0, т. е.
Тогда
Обозначим через F(x) первообразную для /(х):
F(x)+C = lf{x)dx;
тогда по правилу вычисления производной от сложной
функции (§ 42), имеем:
F't(x) = F'x{x)x't.
Но x = y(f), следовательно, x't = y'{t), a Frx (х) = / (х) =
=/1X0], т.е.
tf(*)=/fo» (WW-
Таким образом, левая и правая части равенства (105)
имеют одну и ту же производную, а это и означает, что
равенство (105) справедливо, что и требовалось доказать.
*) Все встречающиеся здесь функции непрерывны.

§ 67] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 213
С V7 -
Пример 1. \ ^=dx. Полагая x = t*t имеем
\±JLdx= \^ЫМ = 2[е1Ш = 2е1-\-С=2еу^-\-С.
Пример 2. J х\/\ -\-xdx. Полагая 1 -\~x = t9, имеем
x = t' — 1 и
= f'' ~т'4+с=т V^+^-т V(4^T+c.
Во многих случаях нет необходимости записывать, какое
выражение мы принимаем за новое переменное, замечая это
только в уме.
Вычисления тогда удобно располагать так, как указано
в следующих примерах. Иногда для нахождения интеграла
приходится предварительно преобразовать подынтегральное
выражение.
Пример 3.
4
1 -г-
=±(x+a) Ух + a+C.
Здесь х-\-а принимает.ся за новую переменную t.
Пример 4. 5_*,-1^^_1,.^ + Ч + с
Здесь ах-\-Ь принимается за новую переменную t.
Пример 5.
[e-2xdx = — 1£е~2*</(_ 2х) = — ±е-2*-\-С.
Пример 6.
\s\n2xdx = ~\sm2xd(2x)=— у cos 2x-\-C.

214 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
[1 р и м ер 7.
+ 2^2 J cos 2xd (2лг) =у а:+ i- sin 2х -f С.
Пример 8.
^ coseA:dfA:= ^ cos2 atcosat^a:=^ (1 —sin2 x) d (sin x) =
== \ fif(sinAr)— \ sin2 xd (sin x) = sin л: — ^?p + C
Пример 9.
J & J cos* J cos л; ■
Пример 10.
С dx С dx С d(x + S)
Jx2 + 6x+10 — J(x + 3j2 + l — J (x + 3)2 + l _
= arctg(* + 3) + C.
Пример 11.
= jc — ln(;e-f-2)-f C.
Вторым важным приемом преобразования интегралов
является следующая формула.
Формула интегрирования по частям. Пусть и и v —
две функции переменной лг:а = ср(дг), v=f(x). Тогда имеет
.место формула
^ udv = uv — V vdu. (106)
В самом деле, по формуле (IV) § 61 имеем d (uv) = и dv -\-v du,
откуда udv = d(uv) — vdu.
Взяв интеграл от обеих частей равенства, мы получим
нашу формулу.
Пример 12. ^ х sin x dx. Введем обозначения: а = л;
dv = sin x dx. Тогда
du = dx% v = — cos*

§ 68] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ 215
И
] хsinхdx = — х cos дг-f- j cosxdx =
= — x cos x -f- sin x -f- C.
Пример 13. ^ arctgxdx. Введем обозначения: tf=arctgjc,
dv = dx. Тогда
du = 1—l—xdx, v = x
и
j arctg xdx = x arctg л; — J^-^=
==.varctg^-ljqL+^ =
= A:arctgA: —yln(l+дг2) + С.
Пример 14. j In л: dx. Введем обозначения и = In xt
dv = dx.
Тогда
. dx
du = —y v = x
и
}\nxdx = x\nx — j dx = x\nx — x-\-.C.
§ 68. Вычисление площади
Назовем криволинейной трапецией фигуру, ограниченную
отрезком АВ оси, двумя прямыми АС и DB,
перпендикулярными к этому отрезку, и криволинейной стороной CD, такой,
что каждая из прямых, перпендикулярных к отрезку АВ,
пересекает эту сторону только в одной точке (черт. 80). Если
ось, на которой лежит отрезок, принять за ось Ох и как-то
расположить ось Оу, то уравнение криволинейной стороны CD
запишется так: у=/(х), где /(х)^з*0 при а^х^Ь.
Постараемся определить площадь такой криволинейной
трапеции.
Заметим, что если мы научимся находить площади
криволинейных трапеций, то, очевидно, мы сумеем найти площадь
любой фигуры, которую можно разложить на алгебраическую

216 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
сумму криволинейных трапеций. Например, из черт. 81 видно,
что площадь, ограниченную линией СМгОМ1У можно
представить как разность площадей криволинейных трапеций
ACMXDB и ACMJDB.
Посмотрим теперь, как определить площадь
криволинейной трапеции ABDC (черт. 80).
Пусть уравнение кривой CD будет у=/(х). Уравнения
прямых АС и BD — соответственно х = а и х — Ь.
Будем для простоты предполагать, что функция y=f(x)
возрастает (или убывает) на всем отрезке а^х^Ь. Если
м.
в * о
о*
й
В х
Черт. 80.
Черт. 81.
функция у—/(х) не является возрастающей или убывающей
на всем отрезке, то мы предположим, что можно отрезок
разбить на конечное число отрезков так, чтобы на каждом
из них наша функция была либо возрастающей, либо
убывающей.
Тогда наша криволинейная трапеция разобьется на
конечное число криволинейных трапеций (черт. 80), у которых
криволинейные стороны будут графиками возрастающей или
убывающей функции, и задача сведется к нахождению
площадей таких трапеций; общая площадь всей трапеции будет
равна их сумме.
Мы знаем, что легко измерять площади фигур,
ограниченных прямыми линиями, так как такие фигуры можно
разложить на прямоугольники и треугольники. В нашем случае
сделать такое разбиение невозможно, потому что контур
фигуры содержит кривую линию CD. Для определения площади
криволинейной трапеции с основанием АВ (черт. 82) поступим
так: разделим отрезок АВ оси абсцисс на п частей, и пусть
a = xQ, х1У ... , хп_1У хп = Ь — абсциссы точек деления, и
проведем во всех точках деления ординаты до пересечения с

§ 68]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ
217
кривой. Тогда криволинейная трапеция разобьется на п полос.
Заменим каждую такую полосу прямоугольником, как указана
на черт. 82, взяв за высоту прямоугольника ординату в
левом конце основания прямоугольника. Тогда площадь первого
прямоугольника будет равна произведению его основания*
(х1— х0) на высоту /(*0), т. е. площадь первого
прямоугольника равна f(x0)(x1— х0), площадь второго прямоугольника
равна f(xl)(x1—xj, площадь последнего прямоугольника
Ь=хп х
Черт. 82.
равна f(xn^1)(xn — хПтт{). Площадь всех прямоугольников
будет равна сумме площадей отдельных прямоугольников, и,
обозначив ее через 5П, мы будем иметь
$п =/(*.) (*i — **) +/(*i) (*. — *i) + - • •
->-+f(xn_l)(xn-xn_l). (107>
Частичные отрезки [*0> xj, [х„ xj, ... , [хп_г, хп], на
которые мы разбили отрезок [а, Ь\ могут быть и не равными.
Обозначим через Ьп величину наибольшего из них.
Будем теперь увеличивать число частичных отрезков так,,
чтобы Ьп стремилась к нулю.
Естественно принять за величину площади
криволинейной трапеции предел Sn, когда п неограниченно возрастает,,
а Ьп стремится к нулю, т. е. если
lim Sn = St

218 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
то S будет величиной площади криволинейной трапеции.
Возникает вопрос: если строить прямоугольники иначе, например,
принимать за их высоты ординаты в правом конце оснований
или в какой-либо промежуточной точке основания, будут ли
суммы площадей таких прямоугольников при Ьп—*0
стремиться к тому же самому пределу S или нет?
Для исследования поставленного вопроса выберем
произвольным образом на отрезке [#0, лгх] точку clt на отрезке
JX> ^2] — Т0ЧКУ с2 и т- д> на отрезке [л;,^, хп]— точку сп.
Построим прямоугольники так, чтобы их высоты
соответственно равнялись ординатам в точках с19 с2, ... , сп (черт. 83).
Тогда площадь первого прямоугольника будет равна
<*i— xo)f(ci)> площадь второго — (х2 — х1)/(с2) и т. д.,
площадь последнего — (хп — xn-i)f(cn)- Обозначив сумму
площадей этих прямоугольников буквой опУ имеем
*n = (Xi — *JfiCl) + l*% — *i)f(c*)+-"
... + (*« — *n-i) f(cn). (108)
Если точки с„ с2,...,сп будут совпадать с левыми концами
частичных отрезков, т. е. c1 — xQ, с2 = хг,..., cn — xn_v то
величина ап будет равна Sn из равенства (107).
Если точки cv £2,..., сп будут совпадать с правыми
концами частичных отрезков, т. е. сх =хг, с2 = х2,... , сп=£п,
то оп окажется равной сумме, которую мы обозначим через Sn.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ
21$
§ 68]
Таким образом,
S„ = (*, — х,)/(хг) + (ж, — лгх)/(жг) + ...
... + (*.-ж..1)/(*.). (Ю9>
Заметим теперь, что благодаря тому, что функция у=/(х),
по предположению, возрастающая, и так как xi_l^ci^xiy
то
/(*/-,) </(*,) </(*/)
/ЭД
/М
|А/
Черт, 84.
Неравенство (110) выражает тот факт,
что площадь прямоугольника ximmlAFxt
не превосходит площади
прямоугольника ximmlBExh которая в свою очередь
не превосходит площади
прямоугольника ximmlCDx{ (черт. 84).
Из неравенства (ПО) следует, что каждое слагаемое
суммы Sn не превосходит соответствующего слагаемого
суммы art, которое в свою очередь не превосходит
соответствующего слагаемого суммы Sn1 и поэтому
Определение. Сумма
°n = (Xl — X0)f(Cl) + (X* — Xl)f(C2)+---
где
XQ^^Ct^Xl] Xt^^C2^X2't ...J Xn-i^Cn^Xn>
называется интегральной суммой функции y—f(x) для
отрезка [я, Ь\ В частности, суммы Sn и Sn также являются*
интегральными.
Теперь докажем теорему, дающую ответ на поставленные
вопрос.
Теорема. Если какая-либо интегральная сумма имеет
предел при Ьп—>0, то всякая другая интегральная сумма
будет иметь при Ьп—*0 тот же предел.

220
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
Доказательство. Вычтем из всех частей
неравенства (111) величину Sni тогда
0<a„-S„<Sn-SB. (112)
Но 5„ — 5„ в силу равенств (107) и (109) запишется так:
■S. —S„ = (*. - *.) [/(*.) -/(*.) 1 +
-Н*. — *г)1Ж)—/(*»)]+..•
.. . + («„ — *„_»)[/(*„)— /(*„-,)]•
Геометрически S„— Sn равняется сумме площадей
прямоугольников МйА0МхВх, MtAxMfitt .... Mn_xAa_xM,fia
^черт. 85).
Черт. 85.
Если теперь заменим каждую разность х{— х(_х
•{1=1, 2,..., л) величиной Ьп, то так как xt — xl_l^,^n
{i=\, 2,..., я) и так как, в силу возрастания функции
у=/(х),/(х{) —/(*,_,)>0 (/ = 1, 2, 3,...,я), то
Д, - Sn < Ьп {/(xt) -/ (*,) +/(*.) -/(*,) +...
...+/(*»)—Я*»-») }=*.!/(*.)—/(*.)]=
= *„[/(*>—/(«>]. (ИЗ)
лли, объединяя неравенства (112) и (113), имеем
0 <a„-S„ <$„[/(&)-/(a)]. (114)

§ 69] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 221
Из неравенства (114) следует, что
lim(an-Sn) = 09
т. е. величина оп — Sn является бесконечно малой при Ьп—►О;
обозначим ее буквой art:
a„-S„ = a„. (115)
Равенство (115) показывает, что если какая-либо интегральная
сумма ап имеет предел, то Sn имеет тот же предел (при
К—*0), потому что Sn = an — art и
lim Sn = lim an — lim an = lim an;
»-*CO Л-*00 й-*00 П -♦ CO
Вл^О Ъь+Q $n-*0 **-*<>
и обратно, если Sn имеет предел, то
°п = $п + *п
также имеет тот же предел, так как
lim art = lim «Sn + lim ал = Нт Srt,
«-ЮО Я-ЮО И-ЮО Я-+00
&п -+ 0 8„ -* О &ц -+ О 8„ «* О
что и требовалось доказать.
§ 69. Определенный интеграл
Определение. Предел интегральной суммы
*n = {xt — xQ)f(ci) + (xt — xi)f«:l)+-"
... + (*. —*»-!>/(*,,). (П6)
при Ьп —► 0 называется определенным интегралом от функ*
щи у—/(х) по отрезку [а, Ь\
Число Ьп равняется наибольшей из разностей xt-— ximmX
(i = 1,... f n). Определенный интеграл обозначается так:
ъ
f{x)dx и читается «интеграл от а до Ь от/(х)dx»; число а
а .?
называется нижним пределом интеграла, а число b -»верхним.
8 И. И. Привалов и С. А. Гальперн

222 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Таким образом,
lim
im an=[f(x)dx.
-+оо X
Ьп->0
[ГЛ. VI
(И7) |
Переменная х называется переменной интегрирования.
Мы знаем, что в случае, если у=/(лг) является
положительной функцией, то предел интегральных сумм, т. е.
ь
}f(x)dx, будет давать величину площади S соответствую- |
щей криволинейной трапеции:
S=^/(x)dx.
(118)
В этом заключается геометрический смысл определенного
интеграла от положительной функции.
Следует отметить, что многие другие задачи также
приводят к необходимости вычисления предела интегральных
сумм.
Будем теперь предполагать, что мы умеем находить
первообразную F(x) для данной /(х). Докажем следующую
основную теорему.
Основная теорема. Определенный интеграл равен
разности между значением первообразной функции при
верхнем пределе интегрирования и значением первообраз-
ной функции при нижнем пределе интегрирования, т. е.
если
ь
F(x)=f(x), то [/{x)dx=F{b)-F(a). (119)
Теорему будем доказывать в предположении, что функция f(x)
монотонно возрастает. В силу теоремы предыдущего
параграфа нам достаточно показать, что предел какой-либо одной
интегральной суммы, соответствующей какому-либо одному
способу выбора чисел ei% имеет предел, равный F(b) — F(a)t
так как любая другая интегральная сумма будет иметь тот
же самый предел.

§ 69] ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 223
Применим теорему Лагранжа (§ 50) для разности значений
первообразной функции F(x) на концах отрезка [*0, -xrj, имеем:
FlxJ — FixJ^Ffc) (xl — x0)=f(F1)(x1-x0),
где *0<£,<*i; также имеем:
f(xz) — F(x1)=f(Fz)(xi — x1)y где xx<F2<xt;
f(xn) — F(xn_l)=/(Fn)(xn — x„_l), где *n_,<7n<*„.
И сложив все эти равенства, получим:
F(xn) - F (*,) =/(7,) (*, — xQ) + /(7.) (*, — *,) -f...
или так как xn-=-b, a xt> = a, то
/ (с,) (-«г, — *0) + /(«.И*, — *,) + • • •
• • .+f(cn)(xn-xn_1) = F(b)-F(a). (120)
Сумма, стоящая в левой части равенства (120), является
интегральной суммой. Обозначим ее через ап; тогда
aa = F(b)-F(a) (121)
и
lim <jn — F{b) — F(a).
8n-> 0
Следовательно (см. теорему § 68), имеем также
ь
lim an = F(b) — F(a), т.е. \f{x)dx = F(b) — F(a),
п-*<х> а
8д-*0
что и требовалось доказать.
Мы часто будем обозначать разность F(b) — F(a) так:
F(b)-F(a) = F(x)\*a. (122)
Пример 1.
1
о
8*

224 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Пример 2.
It
г
[ГЛ. VI
I
SlllXdX:
COS*
2 = — cos y+cos(0)s=1.
Пример 3.
If='«
= 1п2 —1п1=1п2.
§ 70* Простейшие свойства определенного интеграла
1°. Мы считали, что в определенном интеграле верхний
предел больше нижнего. Мы условимся теперь считать, что
Ъ а
J/(*)</* = —$/(*)**, (123)
а Ь
при этом формула (119) останется справедливой, ибо если
ь
$f(x)dx = F(b)-F(a)t
а
то в силу (123)
а Ь
y(x)dx = -lf(x)dx*=^[F(b)-F(a)]==F(a)-F(b).
2°, Имеет место равенство
bee
lf(x)dx+\f{x)dx=lf(x)dx. (124)
aba
В самом деле, в силу формулы (118) имеем
ь
lf(x)dx*=F(b)-F{a),
а
с
lf{x)dx = F{fi)-F$)
ь .

§ 70] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 225
и, складывая, получим
Ь с
lf{x)dx + lf{x)dx = F(c)-F(a),
а Ь
НО
е
F(c)-F{a)=lf{x)dx,
а
откуда следует равенство (124).
Следствие. Так как в силу (124)
Ь а
lf(x)dx = -lf(x)dxf
а Ь
то
Ъ а
\f(x)dx+lf(x)dx = 09
а Ь
и поэтому в силу (123) естественно считать, что
а
а
3°. Постоянный множитель можно выносить за знак
определенного интеграла, /и. е.
ь ь
\ с/(х) dx = с J f(x) dx. (125)
а а
Если F(x) — первообразная для /(#), т. е. F (*)=/(#), то
[cF(x)]' = cf(x) и cF (х) — первообразная для c/(x)t откуда
и следует равенство (125).
4°. Определенный интеграл суммы равен сумме
определенных интегралов, т. е.
ь ь ъ
S [Л*) + Ч> (x)]dx=[f(x)dx+ $ f (x)dx. (126)
a a a
Равенство (126) также следует из того, что первообразная
для суммы двух функций f(x) и ^ (х) равна сумме
первообразных.

226 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. V!
5°. Производная определенного интеграла по верхнему
пределу интегрирования равна подынтегральной функции,
в которой аргумент заменен верхним пределом, т. е.
X
(5/(0л)'=/(дс). (127)
а
В самом деле, в силу равенства (119)
X
lf{t)di = F(i)fa = F(x)-F(a),
а
откуда
X
(lf(t)dt)'x=F'(x)=f(x),
а
что и требовалось доказать.
6°. Отметим, что величина определенного интеграла не
зависит от обозначения переменной интегрирования.
Другими словами, обозначим ли мы переменную
интегрирования буквой х или какой-либо другой буквой, например а,
результат интегрирования будет один и тот же, потому что
ь
\/(x)dx = F{b)-F(a),
а
Ь
lf(u)da = F(b)-F(a).
а
§ 71. Геометрический смысл определенного интеграла
Мы уже отмечали § (68), что в случае, если /(х)^0
ъ
и а<С&, то ]f(x)dx равняется площади соответствующей
а
криволинейной трапеции 5 (см. (118)), т. е.
ъ
S=\f(x)dx. (128)

§71] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 227
Предположим теперь, что функция f(x) имеет отрицательные
значения на некоторой части отрезка [а, Ь\ или на всем
отрезке [а, Ь\ Тогда в интегральной сумме (116),
соответствующие слагаемые f(ci)(xi — xitml) будут отрицательными.
Поэтому соответствующая часть
суммы (116) дает нам
величину заштрихованной части
площади, взятую со знаком
минус (черт. 86). Тем самым
интеграл по отрезку, где
кривая y=zf(x) располагается ~
под осью Ох, будет равен ,
соответствующей площади Черт. 86.
взятой со знаком—.
Предположим, что интеграл по отрезку [а, Ь\ мы представили как
сумму интегралов, взятых по отрезкам, составляющим отрезок
[а, Ь] и на каждом из которых функция у=/(х) сохраняет
ь
знак, тогда очевидно, что }f(x)dxt когда &>а, равен
а
алгебраической сумме площадей, заключенных между
кривой y = f(x), осью абсцисс и прямыми х = а, х = Ь,
причем площади, находящиеся сверху от оси абсцисс,
берутся со знаком -\~, а площади, расположенные снизу,
со знаком —.
Так, например, непосредственно из чертежа синусоиды
2п
(см. черт. 9) мы видим, что J sin xdx = 0.
о
Также из графика кривой у = х* видим, что
\ x*dx = 0.
—i
Пользуясь формулой (128), определим величины площадей,
ограниченных следующими линиями:
1°. у = ах-{-Ь (прямая линия).
Если абсциссу ОР (черт. 87) точки Ж, взятой на данной
прямой AS, обозначим через h} то площадь S трапеции OMJAP

223
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
определится так:
S=§(ax + b)dx= [^ + **]o—ST + **==4<a* + 2*>-
о
Так как по данному уравнению ah-\-b — РМ и Ь = ОМ0, то
s=spm+om^or
Эта формула дает известное из геометрии выражение для
площади трапеции.
Черт. 87.
Черт. 88.
2°. у* = 2рх (парабола).
Если абсциссу ОР (черт. 88) точки М, взятой на
параболе ОЛ, обозначим через А, то заштрихованная на чертеже
площадь «S определится так;
h h
S=\V^dx^V%lVxdx==
о о
Так как по данному уравнению уп2рН — РМ, то
s=1op-pm,
т. е. парабола делит площадь прямоугольника OPMN на
две части в отношении 1:2.
3°. Вычислить площадь, которая ограничена двумя
параболами уг = 2рх и х* = 2ру.

§ 71] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 229
Искомую площадь будем рассматривать как разность
площадей двух криволинейных треугольников ОАМР и ОВМР
(черт. 89).
Обозначая ОР через я, представим искомую площадь в виде
разности двух определенных интегралов:
а а
5=пл. ОАМР— пл. OBMP=\V2pxdx— \fdx>
так как на дуге ОАМ имеем yz=yr2px, а на дуге. ОВМ
у?
У=Тр'
Чтобы определить а — верхний предел интегралов, нужно
совместо решить уравнения двух парабол, потому что
а=ОР есть абсцисса точки их
пересечения М.
Внося J; = 2- в первое уравнение,
получим
или
или
Черт. 89.
Отсюда следует л: = 0, что соответствует точке О, и лг* =
= 8р8, и, следовательно, л; = 2р, что и дает абсциссу точки М.
Итак, а = 2р.
После этого будем иметь
0 0 0 0
4°. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом:
*Л.** — 1

230
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРаЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[гл. vi Щ
Мы вычислим площадь, лежащую в первой четверти
(черт. 90). В силу симметрии фигуры эта площадь равна -j-
искомой площади эллипса S. Из уравнения эллипса находим
Ордината у выбрана со знаком -{-,
^ так как мы берем дугу, лежащую
* в первой четверти. Имеем
■щ
Черт. 90.
т'-т$Г-
•хгйх.
Вычислим соответствующий неопределенный интеграл, для чего
сделаем замену переменного; положив
лг=a sin /, dx = a cos / dtt
имеем
-T [< + *^] +c=£[t + sintcoSt] + c =
Тогда
о
Ь а2 Г . х , х -/"~ j?]e а& . л ab n
fi
5==тта£,
т. е. площадь эллипса равна числу гс, умноженному на
произведение длин полуосей.

§ 72] РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 231
§ 72. Различные применения определенного
интеграла
1°. Часто пользуются сокращенной записью интегральной
суммы. Прежде всего отметим, что для записи какой-либо
суммы, например 1-}-2-|-3-|--...-4-#, употребляют сим-
п
вол «2» и пишут так: ^ k=\-\-2-\- ... -\-k-\~ ... -\-п,
п
вообще 2 ak означает «сумма величин ак от k = 1 до
& = /г», т. е.
/г
Таким образом, интегральная сумма ап запишется так:
Для интегральных сумм употребляется и более сокращенная
запись, а именно, так как значения ск можно выбирать
произвольно, лишь бы эти значения принадлежали отрезку [дсл-1Э лгл],
то, обозначив через у одно из значений f(x) в отрезке
[лгЛ-1, л;й] и обозначив разность xk— xkmmX через Ал;, мы можем
сокращенно записать интегральную сумму так:
ь
°п= 2-VA*;
а
числа а и b указывают, что складываются слагаемые,
соответствующие отрезкам, на которые разбивается отрезок [а, Ь\
2°. К вычислению определенного интеграла приводят не
только задачи о нахождении площади, но и ряд других задач
геометрии', физики и точного естествознания. Например
вычисление объема тела вращения, подсчет давления жидкости
на вертикальную стенку, работа переменной силы и много
других. Приведем ряд примеров.
Пример 1. Сегмент параболы Ув = 2р£, отсеченный
прямой jc=a, вращается вокруг оси Ох (черт. 91). Найти объем
полученного тела вращения (называемого сегментом параболоида
вращения).

232
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРаЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
Разобьем данный сегмент параболы прямыми, параллельными
оси Оу, на узкие полосы (черт. 91). Пусть 0<лго<лг1 <...
,♦,<*„== а — абсциссы этих прямых, a j/0, уъ,**.>уп—
соответствующие им
ординаты параболы в 1-й
четверти.
Заменим каждую
такую полоску
прямоугольниками с той же общей
высотой Xj — ximm%=AkX
и с основаниями, один раз
равными 2i//-If а другой
раз 2j//e
После вращения вокруг
оси Ох мы получим слой
тела между двумя
плоскостями, перпендикулярными
if,
0
\
\
- X — - |
^У
т
«—■■ ■ а
=7 ч
ч \
л t
1 1
1
1
1
А /
Ел / 1
ч/
А
/ >
/ \
1 1
1 1
Г
1 J
\ /
\ /
\ /
С
А
X
/?
• ,-*
Черт. 91.
оси Ох в точках лг
/-1
xh и два цилиндра, один
целиком лежащий внутри
слоя, а другой полностью содержащий слой. Объем первого
будет irj$_| Д*, а объем второго nyf !x. Сумма объемов
цилиндров, лежащих внутри всех соответствующих слооз, будет
п
Сумма объемов цилиндров, содержащих соответствующие слои,
будет
п
Это две интегральные суммы для одной и той же функции,
а именно для функции f(x) = ny* = n2px, они имеют общий
предел v, который, естественно, и является объемом тела:
а
v = J тг2рд:йГдг=27гру[в==2тг/?а*. •
о
Полученный результат г> = тг/?а* можно истолковать так.

§ 72] РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 233
Обозначим отрезок АС через Ь, тогда £ = К2ра, и мы
имеем х> = -^тг£2а. Но тт£8 есть площадь круга, описанного
отрезком АС\ этот круг естественно назвать основанием
тела, а — его высота, т. е.
объем сегмента
параболоида вращения равен
половине произведения
площади его основания
на высоту.
Пример 2. Найти
интегрированием объем
конуса с радиусом
основания г и высотой ft.
Разобьем объем на
малые слои плоскостями,
параллельными основанию
(черт. 92). Рассмотрим
один из этих слоев,
обозначая через х расстояния
верхнего основания слоя
от вершины S. Объем
этого слоя заменим
объемом цилиндра радиуса р и
высоты dx (черт. 92). Этот
объем будет равен тер* dx.
Из подобия треугольников ACS и LKS следует: •£- = —, или
X П
р=--~л;. Следовательно, этот объем представится в виде
тт rj- х2 dx, а объем V конуса будет равен
^L rt p г8
V=lim V -к-jpx*dx*=\ n-r?x*dx.
Ьп^° о о
Вычисляя последний интеграл, найдем
о
Здесь мы рассмотрели только сумму объемов цилиндров,
лежащих внутри конуса. Мы могли бы, как и в прошлом примере;
Черт. 92.

234 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Черт. 93.
построить цилиндры, содержащие конус и представляющие
интегральную сумму для той же функции. Эта сумма, как
мы знаем, имела бы тот
же самый предел.
Пример 3. Найти
при помощи
интегрирования объем шара, радиус
которого равен R.
Разобьем весь объем
полу шара на тонкие слои
параллельными
плоскостями (черт. 93). Рассмотрим
один из этих слоев,
обозначая для определенности
через х расстояние его
нижнего основания от центра шара. Объем этого слоя заменим
объемом цилиндра радиуса р и высоты dx (черт. 93). Этот
элементарный объем будет равен ттр2*/лг. Замечая, что
р2 = /?2—x*f представим его в виде
тг(#2 — x2)dx.
у
Объем -у половины шара будет равен
/? #
-£=Иш V тт(/?2 — xi)dx=[n(R2 — x2)dx =
R
= ttJ(/?2 — x2)dx.
Остается вычислить последний интеграл, и мы получим
V [n2 x'lR 2 п9
откуда следует
V=juR9.
Пример 4. Вычислить силу давления воды на
прямоугольную заслонку (вертикальную прямоугольную пластинку),
имеющую 20 м в ширину и 16 м в глубину, если ее
верхняя сторона находится на поверхности воды.

§ 73] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 235
Разделим поверхность заслонки прямыми, параллельными
поверхности воды, на малые части. Рассмотрим одну из этих
узких полос, верхний край которой отстоит от поверхности
воды на расстоянии х>
Плошадь рассматриваемой прямоугольной плоскости
равна 20dxy а давление воды на этот элемент площади
равно весу столба воды, основание которого есть этот
элемент, а высота — расстояние до уровня жидкости,
равное х.
Следовательно, объем упомянутого столба равен 20xdx M*t
а вес воды в нем — 20xdx m, принимая удельный вес
воды за единицу.
Здесь объем и вес подсчитаны с недостатком, так как
за х принято расстояние до верхнего края узкой полосы
(прямоугольника). Если принять за х расстояние до
нижнего края полосы, то объем и вес получатся с избытком.
Но суммы давлений (весов) в обоих случаях дадут две
интегральные суммы для одной и той же функции и будут
иметь общий предел, который и является давлением на
заслонку.
Мы получим значение Р полного давления на всю заслонку,
если положим
i6 I?
P=lim V 20xdx — \ 20xdx.
8»-°Т о
Вычислив последний интеграл, получим
16
p=2o[xdx = 20 р§-116 = 2560 т.
§ 73. Некоторые применения неопределенного
интеграла
Мы видели, что многочисленные задачи приводят нас
к необходимости вычисления определенных интегралов.
Вычисление же определенного интеграла легко производится,
когда найден соответствующий неопределенный интеграл.
Таким образом, неопределенными интегралами нам постоянно
приходится пользоваться как вспомогательным средством для
вычисления определенных интегралов. Вместе с этим могут

236 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
быть задачи, решаемые непосредственно путем применения
неопределенных интегралов. Рассмотрим примеры такого рода
задач.
Пример 1. Найти уравнение кривой y=zF(x)t зная, что
касательная к ней в любой ее точке (дг, у) имеет наклон
k = 2x.
Из дифференциального исчисления мы знаем, что k — -j- .
Следовательно, в силу условия данной задачи
-£ = 2х, или dy = 2xdx.
dx
Отсюда следует, что
y = ^2xdx = 2 С xdx=x*-{-С.
Уравнение дг = дг2-(-С представляет
искомую кривую, причем в это уравнение
входит произвольная постоянная С.
Давая С различные числовые значения,
например С= — 2, — 1,0, 1,2, ... ,
мы будем получать уравнения различных
кривых, являющихся решениями
данной задачи. Все эти кривые суть
одинаковые параболы, имеющие Оу осью
симметрии с вершинами в точках (0, С)
(черт. 94). Чтобы задача была
вполне определённой, нужно задать
дополнительное условие, а именно
потребовать, чтобы искомая кривая проходила
через данную точку, например через
точку (1, 3). Тогда, написав общее
уравнение у = х*-\-С, примем во внимание упомянутое
дополнительное условие, подставим в это общее уравнение
вместо текущих координат координаты данной точки:3=12-{-С,
откуда найдем С =2. Внося С=2 б общее уравнение,
получим уравнение у = х*-\- 2 искомой кривой, проходящей через
точку (1, 3).
Пример 2. Точка движется по прямой со скоростью
v==gt. В начальный момент / = 0 ее расстояние от начала
равно 50. Выразить расстояние $ как функцию врщщт t
Черт. 94.

8АДАЧИ К ГЛАВЕ VI 237
Из дифференциального исчисления нам известно, что
jiz — v. Следовательно, в силу условия данной задачи
ds
~-. — gtt или d$ = gtdt.
Отсюда следует, что
s — ^gtat^g^tdt^SZ+C. (129)
Так как по условию при /=0 мы должны иметь s = s0,
то, полагая / = 0 в последней формуле, имеем ^0 = С. Внося
C=s0 в формулу (129), найдем
« —tfy + V
В обоих рассмотренных примерах произвольную
постоянную С можно было определить на основании дополнительного
начального условия.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
К §§ 63—67.
U Вычислить неопределенные интегралы:
Ответы
1. Jctf-W + ax+l)** 1.^-^х*+±* + х + С.
2. J(/T+ V^)dx. 2. jV*' + T У* + С
3. f*^f^*- в. ~|-x8 + 3x-lnx + C.
5 ,л 7 2
7.
1^- 7.Iin(^+2)+e.

238 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
3
9. [VaT^!?xdx. 9. ~i(a*-x8)2 +С
0. Г *dx . 10. VTF35 + G
1. Г^±|лс ч П. х + Ып(х-2) + С.
,2
21
14. ^(a + bxYxdx. 14. _-i-p(a + &xT+l.
5. (V*rfx. 15.-je0* + C.
6. fte^+e-^Afc 16--^-ee*-ie~°*+2x+a
8. Tex'xrfx. 13. i-e*s + C.
9. fe_"*|£. 19. e~"~ + C.
P 12
20. \ (sin 8a; + 2 cos 5x) dx. 20. — -g- cos Sx + -g- sin bx + C.
. fsin(a*-H)rf*. 21. —-^cos(a*-f[t) + C.
21
22.
• f-TT,- 22 Itg4^ + C.
J cos2 4* 4
23. I (cos 2x — sin 2x? dx. 23. x + -j cos 4* + C.
24-iiTO 24.-i-ctgfc + C
25. С cos a* sin a* Л. 25. — tj cos 2ctf + С
>. \ sin2 a; cos a; dfx. 26. -Ц |-C-
Г cosxdx от 1 I r»
26.
27.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI 239
*• §УТ=Ьг- 29.1 arcsin 2x4-С.
30. Г f* . 30. arcsin -4= 4- С.
3L Jrfe»- 3L 7arctgax+C
J*+V 33.1arctgf4-C.
Jx*+4rfx 34. i-ln(x» + l) + 4arctgx + C.
'• J?TT- 35. iln(x' + l) + C.
Jt+TSJ*'' 36.-ln(cosx + 2)4-C.
Cctgxrfx. 37. ln(sinx)+C.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38. J^±jrfx. 38. ln(2x«+x)4-C.
39.
40.
1г¥жГ- 39.1n(l+sinx)+C.
'•1ТТЖ- 40.arctg(sinx)+C.
41. Г 3lj^- dx. 41. 2arcsin -£ - 3 J^4~^l? + C.
JtTHT- 42.1n[ln(x)H-G
\ хкегх dx. 43. arctg e* -f С
44- Jtt?*** 44# т1п{1+е$Х)+а
f cos'xafx. 45. sin* _i!£-L-f G
С 2 \
». \ sin* x dx. 46. — cos x -f- -g- cos3 л; — -g- cos» x + G
42.
43.
45.
46.

240 элементы интегрального исчисления [гл. vi
47.
48.
49.
60.
51.
52.
63.
54.
55.
sin*xdx. 47. тг л \~с*
2 4
cos2**/*. 48. ±+**£*. + С.
. аrf* 2 . 49. tgx-ctgx + C.
sin2 x cos2 л; 6 ь v
xcosjejfx. 51. *sin*-}- cosx-f"&
хг егх dx. 52. 1 х2 *2* - 1 хе2* -f 1 e2* -f С.
х*1пх**(*ф-1). 53. jm**+1 (lmc — j4-j) + c-
arcsinа;<fo. 54. л;arcsinx-f- T/"l —л2-j-С.
e*sinxdx. 55. -^ e* (sin л — cos я) + С.
К §§ 69—71.
2. Вычислить при помощи суммирования площадь фигуры,
ограниченной осями координат и прямой y = 2;c-f-4.
О/ив. 4.
3. Вычислить посредством суммирования путь, пройденный
точкой от момента *=0 до момента *=6 сек, если скорость движения
V — Zt + 2.
Отв. 66.
1
4. Написать в виде предела суммы V x*dx*
о
От. \**х=Ш 1'+У + ..; + С-1У
я-юо
и
5. Вычислить приближенно площадь, ограниченную кривой
у = 4я — 2х* и осью х.
Указание. Разбить площадь на 8 частей.
Отв. =5:2,625.
6. Найти приближенно площадь, ограниченную одной полуволной
синусоиды и осью х. •
Указание. Разбить интервал на 9 частей. Значения синуса
взять из таблиц с тремя знаками.
Отв. Пл. ss 1,98.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI 241
1
7. Вычислить при помощи суммирования \ ех dx.
о
Указание. \ e*dx=zlim — (е° + еп+... + е п )=г
= (<?-!) 1!ш г .
п(вп - 1)
Для вычисления предела в последнем выражении удобно
обозначить е п — 1 через у\ тогда легко вычислить lim 5 = 1.
Оте.е—1. п(еп — 1)
8. Написать в виде предела суммы V sin x dx; вычислить этот
о
предел.
к
Отв. \ sinxrfx = lim A (sin — -4- sin— +... + sin xLZ-JJl] #
0
Указание. Для нахождения предела приведем к виду,
удобному для логарифмирования, сумму синусов кратных дуг
aw = sine+sin2a-r-... -f-sin ла.
Для этого заметим, что
cos (т—^) « — cos (m+"2"J a = 2sinmasin -^-.
Складывая все такие равенства от m = 1 до m = я, получим
COS ~ — cos (n + -jj a = 2a„ sin у,
откуда
sin ^ а s*n —2 a
Поэтому
шп7
lim
я-и»
—.[ 8Ш -- + ••• + Sin ——1С =
sln(^i)isin^
«Иш*. ?я 2^=^

242 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
9. Пользуясь свойствами определенного интеграла и вычертив
^ 4
кривую y = tgx, доказать, что \ tgxdx = Q.
10. Пользуясь свойствами определенного интеграла и вычертив
графики функций, стоящих под знаками интегралов, доказать:
1) \$inxdxz= \ cosxdx; 2) \ sin 2xdx = 0;
3) \sinxdx=;\ sinxdx; 4) \x*dx=z \ x*dx\
о j^ o—i
2
о о
11. Вычислить следующие определенные интегралы:
Ответы. Ответы,
1 1С
1. [хЧх. 1. 4-. 6. [sitfxdx. 6. ~.
2. \ xndx. 2. -^-г-г. 7. \ cos2xdx. 7. -~.
а
3. I sinxrfx. 3. 2. 8. \ ~ * .. 8. £.
2 *
l^a. a2£.. 7. J,
it a
к 3
4. Г sin 2xdx. 4. 0. 9. Г ^-. 9. In у.
0 2
1 +Т
5. Г х"Лв. 5/0. 10. Г -^£-.
J J cos2 х
4
10. 2.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
243
к
1
"•III
12. Вычислить площадь, ограниченную кривой у = х-\-х2, двумя
прямыми я=1, л; = 4 и осью я.
Отв. 28,5
13. Вычислить площадь, ограниченную кривой у~— (гипер-
х
бола), двумя ординатами х=\ и я = а и осью #.
Ome. In а.
14. Вычислить площадь, ограниченную кривой у = ех, осью
ординат, прямой х=1 и осью абсцисс.
О/ив. я— 1.
15. Вычислить площадь, ограниченную кривой y = tg#, осью л
и прямой # = -—.
Отв. 1пУ~2.
16. Доказать, что площадь, ограниченная кривой yz=zkxn, осью х9
прямой х=аи началом координат, равна f i i) "и части
прямоугольника, построенного на координатах точки с абсциссой а,
17. Вычислить площадь, ограниченную кривой y = 4x — хг и
осью х.
Отв. у.
18. Вычислить площадь, ограниченную кривой у = 3х8 —2х и
осью х
Отв.^.
Примечание. Обратить внимание, что площадь расположена
под осью х.
19. Найти площадь, ограниченную кривой у = хг — х* и осью х.
Отв. |2«
20. Вычислить площадь, ограниченную кривой y==-~(e*+e J
(цепная линия), осью ординат, осью абсцисс и прямой х = Ь.
От^[ег-е^^У

244 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
К § 72.
Xs V1
21. Найти объем, полученный от вращения элипса -j-f-ij-srl
вокруг своей большой оси (оси х).
4
х* V1
22. Найти объем, полученный от вращения эллипса ~i+ гг=1
вокруг своей оси (оси у).
4
Отв. y na*b*
23. Найти объем, полученный от вращения площади, ограничен-
X* Vs
ной гиперболой-5 — |j=sl и прямой х=с, где с>а, вокруг оси я.
24. Найти объем, полученный от вращения полуволны синусоиды
вокруг оси х.
Ome.-j.
25* Найти объем, полученный от вращения площади,
ограниченной параболой y*2=z2px, осью ординат и прямой y*=bt вокруг оси у.
0тв'2й?'
26. Доказать, что объем пирамиды равен произведению площади
1
основания на у высоты.
27. Найти площадь/ ограниченную кривой ys&ax* и прямой
ysskx.
28. Найти площадь, ограниченную двумя кривыми уягагх* и
y=sbx**
29* Вычислить объем клина, отсекаемого от прямого круглого
цилиндра радиуса R плоскостью, проходящей через диаметр основания
цилиндра (черт 95).
Угол между плос&остью основания щэдиддра и плоскостью
сечения—«•

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
245
Указание. Рассмотреть треугольник ABC, получающийся
в сечении плоскостью, перпендикулярной к диаметру, на расстоянии х
от центра:
Ome.jR'tga.
30. Вычислить давление воды на вертикальную заслонку,
имеющую форму треугольника с основанием а и высотой h
Черт. 95.
Черт. 96.
черт. 96). Основание треугольника находится на поверхности уровня
жидкости.
Отв. -g-.
31. Вычислить давление воды на вертикальную заслонку,
имеющую форму трапеции, если верхнее основание трапеции а находится
на поверхности уровня жидкости,
нижнее основание равно Ь < а и
высота трапеции равна h.
Отв,£(а+2Ъ).
82. Газ заключен в цилиндр с
подвижным поршнем. Считая, что
газ подчинен закону Бойля — Мари-
отта pv s=s kt вычислить работу,
производимую газом при
выталкивании поршня. В первоначальный
момент поршень находился на расстоянии а от дна цилиндра, в
конечный момент —на расстоянии Ь. Площадь основания цилиндра —5
(черт 97).
Отв. k In —.
а
Черт. 97.

246 ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. VI
33. Решить предыдущую задачу, предполагая, что газ
расширяется адиабатически, т. е. что pv^ = k.
К §73.
34. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0,1), зная,
что наклон касательной к кривой в каждой ее точке равен я*.
Отв.у-= у + 1.
35. Скорость v тела, движущегося по прямой, задана формулой
v = 1,5* 4* 0,6*2, где t — время от начала движения.
Определить путь s, пройденный за t сек., считая, что в момент
* = 0 и $ = $0 = 0.
Отв. * = 0,75*2-И,2*8.
36. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,1), если
наклон касательной к в каждой точке кривой задан формулой я = 1 — х.
хг 1
Ome.y=zx-^-\~2-
37. Давление воздуха р и высота h точки над уровнем моря
связаны соотношением-^ = — k dh, где k > 0 — постоянная. Зная, что
Р
на уровне моря давление р0 = 760 мм, найти давление на высоте А.
Отв. p=zp0e"k\

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Дифференциальное и интегральное исчисления, две части
одного целого — анализа бесконечно малых, возникли в
конце XVII столетия, благодаря основоположным работам
Лейбница и Ньютона в связи с огромным числом математических
задач, которые встали перед естествознанием и которые не
могли быть охвачены методами элементарной математики. Эти
задачи в существенном сводились к двум основным
предельным процессам.
Первый из этих процессов состоит в определении
относительной скорости двух изменений и математически сводится
к отысканию предела отношения двух бесконечно малых
приращений: приращения функции к приращению независимой
переменной. Этот процесс называется дифференцированием
данной функции по данной независимой переменной.
Второй из этих процессов состоял в отыскании предела
суммы, в которой число слагаемых неограниченно возрастает,
в то время как сами эти слагаемые стремятся к нулю. Этот
процесс называется интегрированием. Оба эти процесса
имеют целый ряд важных приложений в геометрии и
естествознании. В основе обоих этих процессов лежит простая идея:
основываясь на методе бесконечно малых, свести изучение
неравномерных изменений к свойствам равномерных процессов.
В самом деле, для того чтобы изучать равномерное изменение,
которое геометрически изображается прямой линией,— как,
например, равномерное движение, прямую пропорциональность
величин, площади фигур, ограниченных прямыми линиями,—
никакой высшей математики не нужно.
Когда же мы хотим изучать скорости неравномерных
движений, функциональные зависимости, более сложные, чем
прямая пропорциональность, площади криволинейных фигур, то
перед нами встают те трудности, ради преодоления которых

248 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
явилась необходимость изобретения метода бесконечно малых,
т. е. прежде всего учения о производной и интеграле.
Так, когда мы ищем мгновенную скорость неравномерного
изменения, то мы приближенно считаем это изменение
равномерным на маленьком промежутке. На маленьком участке мы
можем без значительной ошибки считать неравномерное
движение равномерным, кривую линию — прямой. Средняя
скорость этого равномерного изменения дает приближенное значение
искомой мгновенной скорости. Далее остается ликвидировать
ту погрешность, которая еще содержится в результате,
и для этого мы пользуемся методом бесконечно малых.
Беря все меньшие и меньшие промежутки изменения, мы
неограниченно уменьшаем ошибку, покуда она совершенно не
исчезнет в пределе. Так мы приходим к понятию производной.
Аналогично мы поступаем и при изучении интеграла. Весь
промежуток интеграции мы разбиваем на большое число малых
частей для того, чтобы на каждом таком маленьком промежутке
неравномерное изменение функции приближенно заменить
равномерным, так как на маленьком промежутке мы можем без
значительной ошибки считать неравномерное движение
равномерным, кривую линию — прямой. Затем мы складываем все
результаты, полученные для этих маленьких промежутков, и
получаем черновое, приближенное решение задачи. Остается
ликвидировать ту погрешность, которая еше содержится в
результате; эта погрешность является суммой ошибок,
совершенных в каждом слагаемом. Здесь, как и в первом случае, на
помощь нам приходит метод бесконечно малых. Замечая, что
ошибка становится тем меньше, чем более мелкие части нашего
основного промежутка мы будем рассматривать, мы заставляем
число этих частей расти неограниченно, а самые эти части —
стремиться к нулю. Тогда суммарная погрешность,
неограниченно уменьшаясь, в пределе совершенно исчезнет, и мы
получим точное решение нашей задачи.
Но за исключением этой методологической идеи — сведения
изучения неравномерных изменений к равномерным на базе
метода бесконечно малых — процессы дифференцирования и
интегрирования на первый взгляд никак не связаны друг с другом;
поэтому исторически они в течение долгого времени
развивались независимо друг от друга.
В математическом отношении первый процесс значительно
проще второго. Действительно, мы без особого труда науча-

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
249
емся дифференцировать различные функции. Этого нельзя
сказать про интегрирование. Пока мы знаем об интеграле только
то, что он есть предел суммы, вычисление интеграла
представляет серьезные трудности. Лишь когда мы узнаем, что
интегрирование есть действие, обратное дифференцированию
(§ 83), мы сразу значительно расширяем класс функций,
интегралы которых возможно найти, так как из каждой формулы
дифференцирования, обращая ее, получаем соответствующую
формулу интегрирования. Именно таков был исторический путь.
Когда говорят об открытии дифференциального и
интегрального исчислений в XVII столетии, то в сущности имеют в виду
тот прогресс, который осуществился в конце этого столетия
благодаря работам Лейбница и Ньютона, из которых впервые
стало ясным, что развивавшиеся до тех пор независимо друг от
друга методы дифференцирования и интегрирования на самом
деле тесно связаны друг с другом, будучи взаимно обратными
операциями.
Таким образом, ядро того громадного прогресса в истории
математики, который совершился в конце XVII столетия,
нужно видеть в точном установлении взаимной связи между
операциями дифференцирования и интегрирования — процессами,
на первый взгляд совершенно различными между собой.
Рассматривая интегрирование как действие, обратное
дифференцированию, мы легко можем объяснить все своеобразные
особенности, с которыми приходится встречаться при
выполнении этой операции.
Первая особенность состоит в сравнительной трудности этой
операции. Если мы легко можем найти производную любой
элементарной функции, то этого нельзя сказать про интеграл.
Более того, существуют такие простые функции, как, напри-.
мер, j— , или -—, неопределенные интегралы которых не
выражаются через известные функции.
Это различие между дифференцированием и
интегрированием вполне аналогично различию между такими
алгебраическими действиями, как возведение ь степень и извлечение
корня. Мы знаем, насколько легче возвести число в квадрат, чем
извлечь из числа квадратный корень, даже в том случае,
когда корень извлекается. Но бывают и такие случаи, когда
корень не извлекается и когда только приближенно, с некото*
рой установленной точностью, мы можем его найти.

250
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В прямой задаче, будет ли это возведение в степень или
дифференцирование, мы всегда знаем, какую цепь действий
надо произвести для получения результата, потому что вместе
с постановкой задачи дается и правило для ее решения и этим
задача значительно облегчается.
В обратной задаче, будет ли это извлечение корня или
интегрирование, нам лишь предлагается найти число или
функцию, которые должны удовлетворять заранее поставленным
условиям, а как найти, об этом при постановке задачи не
говорится, и метод отыскания — дело нашей изобретательности.
Конечно, при таких условиях решить задачу много
труднее; более того, может случиться, что того, что мы ищем,
просто не существует и поиски наши заранее обречены на
неудачу. Так, мы знаем, что нет никакого целого или дробного
числа, квадрат которого равняется 2. Так же обстоит дело
и с интегрированием. Если нам нужно найти функцию,
производная которой равна |—, то оказывается, что такой
функции среди доступных нам функций вовсе не существует.
Вторая особенность обратных задач — возможность
многозначности.
В прямой задаче, где нам указывается определенный
порядок действий, и ответ может получиться только один. В
обратной задаче мы не гарантированы от того, что ответов
окажется несколько. Так, когда мы ищем квадратный корень из
числа 9, то получаем два ответа:+ 3 и — 3.
В интегральном исчислении многозначность ответа
значительно расширяется; функция служит производной для
бесконечного множества первоначальных функций, отличающихся
друг от друга на постоянную величину, совокупность которых
выражается неопределенным интегралом.
Две фундаментальные главы анализа бесконечно малых —
дифференциальное и интегральное исчисления — являются в
наши дни как бы вводными главами ко всему зданию анализа
бесконечно малых.
На протяжении последних двух с половиной столетий,
прошедших со времени возникновения математического анализа,
было создано много разделов математического анализа, часть
из которых превратилась в самостоятельные математические
дисциплины. Многие вопросы физики, астрономии и техники
привели к развитию таких больших разделов математического

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
251
анализа, как дифференциальные и интегральные уравнения.
В этих разделах идет речь о нахождении функций,
удовлетворяющих уравнениям, содержащим производные искомых
функций или, в случае интегральных уравнений,, содержащим
искомую функцию под знаком интеграла.
Понятие предела используется и получает дальнейшее
развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются
вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности
величин (как постоянных, так и функций). Теория рядов
дает весьма существенные вычислительные приемы, позволяющие
решать разные задачи, возникающие как в самой математике,
так и в ее приложениях.
При помощи рядов вычисляются таблицы функций. Рядами
пользуются для вычисления приближенных значений тех или
иных величин.
Методы математического анализа были с большим успехом
применены к геометрии и создали большую главу геометрии,
называемую дифференциальной геометрией.
Перечисление разделов математического анализа можно
продолжать еще довольно долго, однако мы этим ограничимся.
В области математики наша страна всегда была
представлена учеными крупнейшего ранга. Всем известны имена
Лобачевского, Чебышева, Ковалевской и Ляпунова.
Однако большой коллектив крупных математиков появился
в нашей стране лишь после Великой Октябрьской
социалистической революции.
Крупнейшие достижения советских ученых в области
математического анализа и во многих других разделах математики
стали в настоящее время классическими.
Несмотря на большое количество открытий и исследований
в области математического анализа, многие задачи анализа до
сих пор остаются не решенными и ждут своего решения.

Привалов Иван Иванович и
Гальперн Самарий Александрович
Основы анализа бесконечно малых
Редактор Угарова Н. А.
Техн. редактор Мурашова Н. #.
Корректор Андрианова Л, Е.
Сдано в набор 3/1 1959 г.
Подписано к печати 6/IV 1959 г.
Бумага 84X108'/зг- Физ. печ. л. 7,88.
Услов. печ. л. 12,92. Уч. изд. л. 13.
Тираж 20 000 экз. Т-00955.
Цена книги 4 р. 90 к.
Заказ № 2625.
Государственное издательство
физико- м атем ати ческой
литературы.
Москва, В-71,
Ленинский проспект, 15.
Отпечатано с матриц первой
образцовой типографии имени А. А.
Жданова Московского городского
Совнархоза. Москва, Ж-54, Валозая,
28 в типографии им. В. Капсукас-
Мицкевичюс, г. Каунас»
пр. Ленина, 23.
Заказ Ш 621.