РУКОВОДСТВА И НАУЧНЫЕ НОСОВА ДЛЯ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ
Л Проф. А. А. АДАМОВ
■у
АНАЛ И 3
БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ
ЧАСТЬ I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Допущено Еаучио-Техтшкой Секцией Государственною Ученою Совета
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД—МОСКВА
1925

dawwssHe
'" '. ■ ,;?■■-. •:■' л«н
*іД|-ШѴ
/V.
-У
fГоіТлор СЙ.0 G.-n С ч
jn M n о ГРАФИН
печАілный
Аво pi
Гнэ. №10581.
Ленинградский ГуСттт J* 20791.
10 п.
Отпеч. 4.000 экз..

ЧАСТЬ I.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ОТДЕЛ I.
ВВЕДЕНИЕ В АТТАДИЗ.
Глава I.
Теория пределов.
§ 1. Рациональные н иррациональные числа. Теория разрезов
Дедевинда.
Совокупность всех целых и дробных чисел, положительных и
отрицательных, образует область рациональных чисел. Еще древние геометры
знали, нто, приняв сторону квадрата за единицу, нельзя выразить его
диагональ рациональным числом; длина диагонали выражается корнем
уравнения xs = 2 и не может быть ни целым числом, ибо 2 заключено между
квадратами двух последовательных целых чисел: 1 и 2, ни дробным числом,
так как квадрат всякой несократимой дроби есть также несократимая дробь
и не может равняться целому числу 2. Корень уравнения за = 2 есть число
иррациональное, обозначаемое символом Ѵ2. В математике создано несколько
теории иррациональных чисел, из которых мы вкратце коснемся теории Деде-
кинда. В этой теории, разрезом в области рациональных чисел называется
такое деление всех.рациональных чисел на два класса, при котором
выполнены три условия: 1) каждое рациональное число принадлежит к тому или
другому классу, 2) каждый класс содержит по крайней мере одно число,
3) всякое число первого (низшего) класса меньше всякого числа второго
(высшего) класса. При таком делении могут представиться такие два
случая: 1) низший класс не имеет наибольшего числа и вместе с тем высший
класс не имеет наименьшего числа1 (разрез 1-го рода); 2). низший класс
имеет наибольшее число, а высший не имеет наименьшего числа или,
наоборот: низший класс не имеет наибольшего числа, а высший имеет
наименьшее число (разрез 2-го рода). Добавим, что не может быть такого случая,
чтобы одновременно низший класс имел наибольшее число а и высший класс
имел наименьшее число Ь, ибо тогда все рациональные числа, заключенные
между рациональными числами а и Ь, не принадлежали бы ни к одному
классу, что противоречит 1-му свойству разреза. Примером разреза 2-го'рода
в области рациональных чисел может служить всякое рациональное число яг;
именно произведем разрез так, чтобы в первом классе были все
рациональные числа ^т, а во втором все рациональные числа ^>ів; тогда первый
класс имеет наибольшее число т, а второй не имеет наименьшего числа;

6
Дифференциальное исчисление.
мы имеем разрез 2-го рода, определяющий рациональное число т (можно то же
числот определить иначе, отнеся к нервомуклассу рациональные числа <^т,
а ко второму—рациональные числа S т; тогда первый класс не имеет
наибольшего числа, а второй имеет наименьшее число т). Примером разреза
1-го рода в области рациональных чисел служит иррациональное число;
число Ѵ2 определяем как такой разрез, когда к первому классу относятся
все отрицательные рациональные числа и те из положительных чисел ж, для
которых ж2 <С 2, а, ко второму классу.— те положительные рациональные
числа, для которых #г > 2; тогда первый класс не имеет наибольшего числа
и второй класс не имеет наименьшего числа. При помощи последовательных
проб можно установить неравенства:
Is = 1 < 2 < 2а = 4; 1,4s = 1,95 < 2 < 1,5я = 2,25;
1,41я =1,9881 < 2 <■ 1,42е = 2,0164;
1,414* = 1,999396 < 2 < 1,415*= 2,002225;
1,4142s = 1,99996164 < 2 < 1,4148" = 2,00024449;
1,41421s = 1,9999899241 < 2 < 1,41422s = 2,0000182084;
1,414213*= 1,999998409369<2<1,4142142=2,000001237796ит.д.
Отсюда находим два ряда десятичных дробей: 1) ряд возрастающих
десятичных дробей: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213...,
принадлежащих к первому классу и называемых приближенными
значениями Ѵі с недостатком и с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т.; д. 2) ряд
убывающих десятичных дробей: 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143: 1,41425; 1,414214...,
принадлежащих ко второму классу и называемых приближенными
значениями |/2 с избытком и с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т. д.
§ 2. Понятие о сплошности (непрерывности) совокупности всех
вещественных чисел.
Возьмем вертикальную прямую 0Y и будем откладывать на ней в
определенном масштабе отрезки—положительные вверх от точки.О,
отрицательные вниз от 0. Имея рациональное число т, отложим от точки 0
отрезок ОМ, содержащий \т[ единиц длины, вверх или вниз, смотря. по
знаку т. Тогда каждому рациональному числу т будет отвечать
определенная точка И, по прямой 0Y, и всей совокупности рациональных чисел будет
отвечать бесчисленное множество точек на прямой. .Между двумя точками из
их числа, сколь угодно, близкими, будет содержаться бесчисленное множество
я
промежуточных точек; так как между двумя рациональными числами ~ш >
а~\-1 1 - ,
-^ігуп ' отличающимися на —^, можно вставить произвольно большое число
,1(ѴѴ ., а а-І'О" а.1<"+1 й-10" + 2
(Юп— 1) рациональных чисел: jj^—j^rnn ^Д- , -£ойгй-,.
й- 10" + (10" — 1) (д+1)10"__й+1
Несмотря на это, упомянутые точки И, отвечающие совокупности всех
рациональных чисел, не заполняют сплошь прямой 0Y; именно, если мы станем
откладывать приближенные значения V 2, представленные двумя рядами
десятичных дробей (см. § 1), то точки ДО будут сгущаться около некоторого предельного
положения, отвечающего числу Ѵ2, но это предельное положение останется
незанятым, ибо иначе отвечающее ему число Ѵ2 было бы рациональным.
Добавим к этому, что между двумя рациональными числами, сколь угодно

Тварил пределов.
7
близкими, может содержаться бесчисленное множество иррациональных чисел.
'Именно, между квадратами [тщ) и fiL] можно вставить (2в+1)108п—1
fla . 10м + 1 аі , і0а" _|_ 2 а». 10» _^ (3о ^_ і)ю» _ і _
**?G^JI iQ*i»-(-si» » iQSiii + eii ' ■ ■ ■ ■ inam+aii —
(а + ЦМО**—1 4nft ч
= ^— in*"'-'-''' ' сРѳда которых будет 10"—1 точных квадратов —
с числителями (10"-я + 1)*, (10"-о + 2)а, ... (10"-в + Ю*—1)" =
= [10"(а-|-1)—1]а, следовательно, между рациональными числами у^,, ~]~т
можно вставить (2а -|- 1)10іп— 10"= 10п{(2а + 1)10"— 1 }■ иррациональных
чисел у. ..А№7+п)' гдѳ ^ принимает значения неполных квадратов,
заключенных между «а-10іп-(-1 и (я + 1)а■ 10а"—1- Помимо квадратных корней, между
числами -гш и ГуГ^ ■ можно вставить- бесчисленное множество корней
других степеней. К этому нужно добавить, что кроме иррациональностѳй,
выражаемых посредством радикалов, существует бесчисленное множество
алгебраических иррациональных чисел, являющихся корнями численных
уравнений, как например tc6 -\-х — 1=0, и трансцендентных чисел, которые не
удовлетворяют подобным уравнениям, как например число тг, число
е—основание натуральных логарифмов. Из сказанного ясно, что совокупность точек Л/,
отвечающих одним рациональным числам, не заполняет сплошь прямой О У,
и остается на любом малом отрезке бесчисленное множество незанятых мест,
отвечаюпщх иррациональным числам; таким образом совокупность
рациональных чисел не обладает свойством непрерывности или сплошности, но
совокупность всех вещественных чисел, рациональных и иррациональных
(это мы примем как постулат), обладает свойством сплошности, так что' любой
точке, взятой на О У, будет отвечать некоторое число из совокупности
вещественных чисел.
Как следствие этого постула'та'вытекает, что, при всяком разрезе в области
вещественных чисел, или первый класс должен иметь наибольшее число,
или второй класс должен иметь наименьшее число, так как, при отсутствии
наибольшего числа в первом классе а наименьшего во втором, разрез
определял бы такую точку на прямой О У, которая не входит ни в один класс,
а в этом заключается противоречие, ибо, по свойству сплошности, всякой
точке оси ОУ отвечает некоторое вещественное число, а по 1-му свойству
разреза (см. § 1) всякое вещественное число должно принадлежать к одному
из двух классов.
§ 3. Постоянные и переменные величины. Л редел переменной
величины. Примеры.
Опрвдвлеше 1. Величина называется постоянною, если в данном вопросе
она имеет одно определенное значение, и называется переменною, если имеет
не менее двух значений. В круге данного радиуса В расстояние от центра
до точки окружности есть величина .постоянная, равная Д; длина хорды,
проведенной через центр, есть величина постоянная, равная 2ІІ; длина хорды,
отстоящей от центра на расстояние А, есть величина постоянная, равная
2 У&* — Ав; длина хорды, стягивающей дугу в аа, есть величина
ПОСТОЯННО
нал, равная 2J?sin—. Напротив, вообще длина хорды есть величина пере-
мѳнная, имеющая любое значение от*0 до 2Д; расстояние хорды от центра.

8
Дифференциальное исчисление.
есть величина переменная, принимающая значения от 0 до Л; длина хорды,,
проходящей через данную точку внутри круга, отстоящую от центра на
расстояние Л, есть величина переменная, принимающая значение от 2\/№—А*
до 2Й. Все приведенные здесь переменные изменяются непрерывно,
принимая любое значение в данном промежутке, и значения такой переменной
невозможно перенумеровать. Но бывают переменные иного рода, которые
принимают значения, зависящие от целого положительного числа п и
допускающие потому - расположение по порядку нумеров. Например, в данную-
окружность радиуса Л будем вписывать правильные многоугольники о 3, 6,.
12,...3-2"... сторонах и около нее будем описывать одноименные
правильные многоугольники. Обозначая для вписанных многоугольников длины
сторон через а0, аи яа, а8, ... периметры через р0, рир%,ръ,... апофемы через.
а„, «J аа, вя,..., для описанных многоугольников длины сторон через Ь0, Ьіг
Ъг, 6,..., периметры через Рс, Ри Р2>... мы будем иметь пять переменных
величин, коих значения можно перенумеровать.
Определение 3. Постоянная L называется пределом переменной,
принимающей значения <г0, хи ж8,... &„,..., если абсолютное значение разности
хп—L при некотором п сделается и при дальнейшем возрастании « будет
оставаться меньше произвольно-малого положительного числа а; если
](Г„ — Ц<іе при п&"о (йо достаточно большое число), то L= пред. хп.
Пример 1. Апофема а„ правильно вписанного многоугольника о п
сторонах имеет пределом радиус круга Л.
Прежде всего заметим, что (на основании теоремы: выпуклая объ-
емдемая короче объемлющей) периметр п.ая правильно вписанного я—уголь-
ника короче периметра описанного квадрата 8Л: пап<^8Л, откуда ап<С_ — .
Далее *я=]/л*-±аІ, Л-*а = Л~}/Л*-\аІ =
= , / і <4Дя"<^з ■ При поимеем: Л —«„< ;
выберем м0 так, чтобы было —г*0> т--е. возьмем п0>4І/ _, и тогда,
"о ' е
при п&п0 имеем \Л—ая|<^е, следовательно, пред.ап = Л.
і_
Пример S. Переменная хп = аа, где в положительное число, имеет
пределом 1.
^ — Ьп—Х
Бы в о д:доложивап==$,возьмем тождество-^——=&я-І-і-Й"~*-|-..,-|-&-)-1;
I* і 5» і
при О*1 имеем &>1 и -т—— >«, откуда Ъ —1< или
ая — 1< ; при.пём0 имеем: я" — 1^ —— и потому, если взять-
< е, т.-е. положить я0 >■ , окажется а — 1 <С е при п =s ntr
*о
т.-е. пред. ап = 1. Если в<1, то, положив а = — при в,>17 находим

Теарил пределов.
9
1 Т- б<*—1 - "и , -Я,— 1 ^ —_„ «. Й. — 1
1 —а = -—j— <.яі —1<—-—-< е при и=^я0, причем «0_> — >
в,7
_і
откуда пред. я " = 1 и при о <^ 1.
§ 4. Величины конечные, бесконечно-большие, бесконечно-малые.
Свойства бесконечно-малых.
Определение 1. Переменная величина называется конечною, если все
ее значения остаются по абсолютной величине меньше некоторого
постоянного числа: ІЖцКІ.
Отсюда следует, что переменная, имеющая предел X, есть величина
конечная, ибо при п^щ \хп—£|<Се, но хп = (хп — L)-f- £, следовательно,
|ж„К|Х|-|-е; взяв число А больше |£|-|-е и больше всех |жк| при я<'я0,
будем иметь |а!пКЛ при всех п.
Обратное заключение неправильно, т. - е. переменные могут быть
конечными, но не иметь предела; напр., xn = sm(wyfn) при всех я
удовлетворяет неравенству |ж„| й 1, но предела не имеет (колеблющаяся переменная).
Определение 2- Переменная называется бесконечно-большою, если при
некотором я ее абсолютные значения сделаются и при возрастании п будут
оставаться больше положительного числа И, сколь угодно большого: \хп\^>М
при п^па. В этом случае нет предела в смысле определения 2 §3, но
принято 'писать: пред. #„==оо, при чем, если при »£«, все значения хп
остаются ^>0, то пред. <рц=-{-са, а если при вёи, все ха остаются<[0,
то пред. хп = — оо.
Пример 1. При^а>1 пред. а" = -|-оэ.
о"-— 1
Из тождества ———= я"-1 -\- а"~а -\- f-a-j-І получаем: а"—1>
ft J.
>п (а—1) и тем более aB>«(a— 1); при пйя,, имеем a"S«0(a— 1),
М.
и, если взять «„> —'—, окажется я">1/ при ийяс,-т,-е. пред. ап=-\-со.
Определение 3. Переменная величина, имеющая пределом нуль,
называется бесконечно-малою. Полагая L=0 в, определении 2 §3, получаем
для бесконечно-малой величины неравенство: |жп|<^е при nS«0.
Пример S. При 0<а<1 пред. й" = 0.
Полагая а = — при я, ^> 1^ имеем а" = —-, но, по примеру 1,
а?>я(о,-1), медовательно,й«<^^) = ¥^)<;г^-; прн«ёя0
и, если взять и0^> —- -, окажется а" <е при »gfi0
%(!-«) "' """ """" """с (1-й)' --"' ■"
т.-е. пред. я" = 0.
Пример 3. При всяком а>0 пред. 7-=-^— 1 = 0.
\ Т ■ и' s "' '711
я"
Если я<1, то результат следует из примера 2, ибо 1-js,'n <[ а".
Если а]>1, то пусть а содержится между двумя последовательными целыми
числами: к £ а <; к -}■-1, при чем можно считать A -f 1 < в при доста-

10
Дифференциальное исчисление.
точно больших п. Тогда имеем: ^^-^ Т~ъ ■ ~^ -^ ■ ■ £<
о" (a Y1-* a"
"^П2^~1с' ІЫЛ/ ' пользУяоь примером 2, найдем: при п^щ г-^-к <*■>
А к '
если взять п0>&-|-уг у-, где положено і = -~-—- 6 = т- ■ <Ч.
Замечатіе, Из определения 2 §3 следует, что для переменной <е„,
имеющей пределом L, величина хп — L есть бесконечно-малая: аП1 так что
яп = L + ап, т,-е. переменную можно представить как сумму ее предела
и бескопечно-малой величины.
Отметим следующие свойства бесконечно-малых величин:
Теорема 1. Сумма конечного числа бесконечно-малых слагаемых есть
также величина бесконечно-малая.
Вывод. Пусть а,,*1), ап(г)..., авС) — /; бесконечно-малых величин; при
я^=я0 можно (см.^ определение 3) считать IV1'К-*гі- 1ап('Ч<С~Г!
••■Wft,l<X' и тогда ІѴ1}+^ + ••■+VftH^IV1||-г-K(S,l-г-
+-■■^-K|ftll<й•x=e' т-"е- пеРемепная Р,і = «п(1)+Ѵ!, + ---+Ѵ''і
есть бесконечно-малая {здесь іГы пользуемся очевидным свойством
алгебраической суммы, что абсолютное значение суммы равно сумме абсолютных
значений слагаемых, если все слагаемые одного знака, и абсолютное
значение суммы меньше суммы абсолютных значений слагаемых, если слагаемые
разных знаков).
Теорема 1 может не оправдываться, если число слагаемых к зависит
от п и растет беспредельно; в этом случае сумма бесконечно-малых
слагаемых может быть конечного, бесконечно-малою и бесконечно-большою, как
видно из примера 4. і
Пример 4. Положим: Sn = ± + ^ +-+^, Тя = —^ +
'- 2 _і_ _і_ и~1 тт _ 1 - 2 , , п — 1
, h"--|- „./-) *Лі— -;у-
Имеем: пред. 5'11=пред.-( !—_)=- , пред. 7;= пред. -^ = о,
_ 2 \ и/ 2 ]/ п
пред. £/"„ = пред. Sn • |/и = -f do.
Теорема 3. Произведение конечной величины на бесконечно-малую
есть также величина бескопечпо-малая, и произведение любого числа
бесконечно-малых множителей есть величина бескопечно-малая.
Вывод. Пусть ж,,—конечная величина, аа—бесконечно-малая; согласно
определению 1, при всяком п имеем |ж„|<;Л, и, согласно определению з,
при лея, можно считать яп| <С"7; Т0ГДа ^„-«пі <Сеі т--е- величина
Рп = #пад) — бесконечно-малая.
Пусть теперь «„(Ч, а„(а),... а„С) — бесконечно-малые величины; при
nfew0 можно считать jan(J)|<^(/=l,2,.../с^итогда')»/1'-^!11) ■■■«„('') |<е,
т.-е. произведение — величина бескопечпо-малая.

Теория пределов.
11
Следует добавить, что произведение бесконечно-малой на бесконечно-
большую есть величина неопределенная, которая может быть конечною,
бесконечно-малою или бесконечно-большою, например, пред. | «• — 1 = 2,
V п)
првд-(и'Й^°'пред-(и'7^)^+о6-
Теорема 3. Частное от деления бесконечно-малой на переменную,
имеющую предел L, не равный пулю, есть величина бесконечно-малая.
Вывод. Пусть пред. ам = о, пред. xa = L; тогда при и^п0 имеем
\хп — Ц -С -z \Ц, но хп = L ~\- (ж„ — L), следовательно, \х„\ !& \Ц —
— \х„ — L\^> — \L\; при лил, можно считать |аяІ <С—1^1 е> и тогда
—- ^* -—!—- = s, т.-е. — бесконечно-малая.
5 I Ь | Яя
Следует добавить, что: 1) частное от деления переменной, имеющей
предел L не = 0, на бескопечно-малую есть величина бесконечно-большая,
і -Ш
ибо [жв|> — \L\, KiKnjr1 fflсколь угодно большое положительное число),
">jI/; 2) частное от деления двух
х.
следовательно, при ns=w0 выходит
бесконечно-малых есть величина неопределенная. .
§ Б. Соотношения между предѳламя переменных, связанных
неравенствами. Предел суммы, произведения частного.
Теорема 1. Если переменная хЛ имеет предел L, то он может быть
единственный.
- Пусть две постоянных L и JJ обладают свойством предела для жп, т.-е.
хп — L и IJ ~хп величины бесконечно-малые; тогда, по теореме 1 §4,
и сумма их L' — L бесконечно-малая, т.-ѳ. пред. (£'—L) = 0, откуда
1'-1 = 0, l' = L.
■Теорема 3. Если пред. xn = L, пред. y„ = L' и если при пЭ?=м0
оказывается хп ^ уп (равенство возможно для отдельных значений и), то L s= L'.
При п =^ и0 имеем L + е > хя > І—s, Z' -]- е' '> і/„ >■ L — е',
следовательно, условие a^Ssi/n приводит к неравенству L-\-£~^>L'—е', L — Z'|> —
— (е 4- е'), откуда L — L'^0.
Теорема 3. Если пред. х„ = £, и пред. (<вп —і/„) = 0, то пред. уя = £.
Величины а^ — L шуа — х„— бескопечно-малые, следовательно, и сумма
их (§ 4, теорема 1) уа — L бесконечно-малая, т.-ѳ. пред. уя = L.
Теорема 4. Если при »£м, оказывается x„£issn^=yn (равенство
имеет место для отдельных значений я) и если пред. (Г„=пред. у„ = Ц то
и пред. zn = L.
Вывод. По условию, при та s«0 имеем: 0<z„ — #„<;?/„— ж„,- но
уп — ха = (у„ — L) -\- (L — хп) есть величина бесконечно-мала»,
следовательно,-,и г„ — ха бесконечно-малая, откуда, по теореме 3, пред. x„ = L.
Теорема 5. Предел суммы конечного числа слагаемых равен сумме
пределов этих, слагаемых. Пусть пред. ж;1'-' = £І) пред. ж'р =As,■ - пред.«(,'■"'=:
= і,;;'тогда величины жИ—Lb х®>—Іъ...хМ—Li: суть бесконечно-малые,

12
Дифференциальное исчисление.
следовательно, по § 4, теореме 1, и сумма их {^-\-sP^-\-■ ■ ■-\-s^) —
» к
— {Li +-£а+•■■-)-А) есть бесконечно-малая, откуда пред. Е а#) = е £.
3=1 3=1
Теорема может не оправдываться, когда число слагаемых растет
беспредельно'вместе с п (см. § 4, пример 4).
Теорема 6. Предел произведения конечного числа множителей равен
произведении пределов этих множителей.
Сохраняя обозначения теоремы 5, берем к=2 и рассматриваем разность
суть бесконечно-малые, а а;[*' и Z, — конечные величины, то, по теореме 2 и 1,
§ 4, разность жР) жИ —£г12 есть бесконечно-малая, откуда пред. (cl£}(cW=LiLz.
От. двух множителей переходим к трем, написав: пред. (xW xf> х®) =
=пред. ««W «»)).flj«{• = пред. (atf1я») • пред. в» = (Z^)-Z3 = ZAZ, и т. д.
Теорема может не оправдываться, когда число множителей растет
беспредельно вместе с п.
_І_ _L JL "—і
Пример. Положим Д = 2 пЯ ■ 2 "а ■ 2 "Е ■ ■ - 2 "'.
Если — [/' = 1,2,... (л—1)] заключено между двумя последовательными
целыми числами т и ія + 1 :т£—-<і» + 1, то—~-Ѵ >—г-^г,
откуда 2 m — 1 & 2п1 — 1 > 2т+1— 1, но в §3, пример 2 доказано, что
пред. (2 m—1) = 0, пред. (2т+1— 1) = 0, следовательно, по теореие 4, §5,
и пред. (2*'— 1) = 0,пред. 2nS = 1.
Однако, пред. Д не = 1, а'в силу тождества Д = 2а " = ¥-—-
Vz —
выходит"^ пред. Д = —"—г = у 2.
2
пред. 2s"
Теорема 7. Если пред. хв = Z, неравному нулю, то пред. — = -у-.
Разность г=—г—2 есть частное от деления бесконечно-малой/—ха
хп L Lxn
на переменную ж„ Z, имеющую пределом Za не = О, следовательно,.
по теореие 3, §4, величина у есть бесконечно-малая, откуда
1 1
"*«■;£—г
Теорелв S. Предел дроби равен частному от деления предела
числителя на предел знаменателя, если последний не .нуль.
Пусть пред. x'£) = L1 пред. жФ = Х8, не=0; по теореме 6' и 7 имеем:
xW I 1 Z
п*ад- ^>= пред'^'пред- W* = Li'T=T-

Теория пределов.
13
§ 6. Порядок бесконечно-малых величин. Эквивалентные
бесконечно-малые и их свойства.
Определение 1. Бесконечно-малые ftn я а„ называются бесконечно-
малыми одного порядка, если пред. —=А (конечному числу, не равному 0);
бесконечно-малая р„ будет высшего порядка сравнительно с а„, если
пред. ^ = 0; бесконечно малая р„ будет низшего порядка, чем «„, если
пред. ^ = °°-
Определение 2. Бесконечно-малая fi„ называется бесконечно-малой
порядка к относительно а„, если пред. -И-1 = 1 (конечному числу,
неравному 0).
Пример 1. Величины sina, tga (значки в отброшены) будут 1-го
порядка относительно а, 1 — cosa 2-го порядка., tga — sina — 3-го порядка
Sina
грѳд. = 1, пред.
і=0 a .а=0
i/l _l aft __ x— ft-го порядка, ибо пред. = 1, пред. -^-= 1
(известно из тригонометрии);
прѳд.1^|.^=иред.-2іІ^|1=Ѵ^-
sinj sinj
a a
1 tga—sina
(tga 1—cOSa) 1 1 l/l + a" —1 (1+fl*) —1
=иред.|—--^—|=1-2=2,пред.£ -r =П№-^ЩцЩ^ =
Определение 3. Бесконечно-малые pw и an называются
эквивалентными, если пред. -г = 1.
Пример 3- Величины sina, tga, 2 (j/l + a— 1) -эквивалентны
с а, согласно примеру 1.
Теорема 1. При разыскании предела отношения двух бесконечно-
малых: можно каждую бесконечно-малую заменить ей эквивалентною, и
величина предела- не изменится.
Пусть пред А=1, лред.Ь-=1. Тогда пред Д=пред. (|&- ■ А . Jjl|=
A ST 1 ft й
=пред. |^- пред. — =1.:пред.—-1 = пред. —, что и требуется
n
Тп пред. — Т" Tn
доказать
ffW 3. Пред. {уі+^ ^_J = ВД. ^^^
5 10
= пред. =
i(S-a) 3 .

14
Дифференциальное исчисление.
Теорема S. При разыскании предела суммы бесконечно-большого числа
бесконечно-малых слагаемых можно заменить каждое слагаемое ѳыу
эквивалентным, без влияния на величину предела,.если только сумма абсолютных
значений данных беснонѳчнб-машх остается конечною.
э(І)
Пусть пред.. ^щ= 1 при j=l, 2,... т, при чем число т растет бес-
предельно вместе с п (при конечном т пред. 2af(f = О, согласно теореме 1
3=4
°§4); полоаклм jSb = EafJJ, Tn = Hp'-f . По свойству предела, при п^п0
Фі
можно считать ^=1^-е„, где *?& бесконечно-малая; отсюда
Пусть при п^п0 и при всех у =1, 2,... т будет |eW|<^G, где е
положительное число сколь угодно малое; тогда JEaftVeiWJ <Е |«W|. |е^|<^
<Ч-£ |а№|, итак как Е|«<#| остается по условию конечною, то пред. Еайу£*==0,
и потому пред. Г„ = прѳд. Sn, что и требуется доказать.
Примера Таккак*п=^ + ^ + ... + <^ = |(1-А)
и потому пред, 5„ = —, то имеем также пред. | sin -5 -j- sin —£ -|- ... -j-
+ -..+ sin
(в — 1)я 1
п-
} а (. а . , 2« , , , (и—1)« 1
= -г-, ибо sina и tga эквЕвалѳнты с а.
Пример б. В силу эквивалентности]/1 -\~а—і и -т-a имеем:
А
я—1 п—1
§ 7. Условия существования предела для возрастающей или
убывающей переменной. Приложения.
Теорема 1. Если при пЁп, значения- переменной ша возрастают,
т.-е. если ж„<^я;п+1.<^фп+9<^. .., но остаются всегда меньше конечного
■числа А, то переменная ж„ имеет предел £, который не больше А,
Вывод. Произведем' разрез в области всех вещественных чисел,
относя к 1-му классу такие вещественные числа й, которые удовлетворяют
неравенству а £ шт для; одного из значений а?„, а ко 2-му классу такие
вещественные числа 6, которые больше всех значений wn (число А относится
поэтому ко 2-иу классу)
При таком разрезе- не может быть наибольшего числа в 1 классе,
так как для всякого числа а 1-го класса, удовлетворяющего условию «=ёа;т,
найдется число wm+u которое больше а и также принадлежит к 1-му классу,
ибо #m+1 <Сжт+2. По свойству сплошности (§ 2) совокупности
вещественных чисел, второй класс должен иметь наименьшее число L. Покажем,

Теория пределов.
15-
что L есть предел для аг„. Какое бы малое положительное число е мы ни
задали, число L — — е будет принадлежать к 1 классу (ибо I наименьшее
число 2-го класса), следовательно, найдется такой нумер п„, что
L — — е 2з Яп„, а тогда, так как значения переменной ж„ возрастают, и подавно
I:—-т-е^?д;п при всех пИ^пд; отсюда L — ®п ^— е<е, т.-е. Х=прѳд. ж_.
Так как число X есть наименьшее во 2 классе, а число А также
принадлежит ко 2-цу классу, то Z£i, что и требуется доказать.
Теорема 3. Если при n=SM„ значения переменной уп убывают, т.-е.
если у„]>.у|1+1]>уп+!^>..., но остаются всегда больше конечного числа Вг
то переменная у„ имеет предел L', который пе меньше В.
Теорема приводится к предыдущей, если положить уя = —я;п; тогда.
условия і/п>уп+] и уп>В принимают вид: а^<ив+1, жп< — В=А,
и по теореме 1-ой следует, что пред. ж„=£й/1, откуда
пред. і/„=-гпред. хЛ=— L = L"^ — А = В.
Теорема 3. Если при nS«, значения переменной хя возрастают,,
а значения переменной уп убывают, при чем ж„^=і/п (равенство существует
только для отдельных значений и), то обе переменные имеют пределы, при чем
пред. жп^прѳд. уп. Так. как при яі£я0 имеем (сп^=уп<^ум, то по
теореме 1-й существует пред. $a — L; так- как при ngn, по условию'
у„ =^ <в„ > (вао, то по теореме 2-й существует пред. yn = L', примем LSL'
на основании теоремы 2 § 5.
Теорема 4. Если при ngti, значения переменной ха возрастают,,
а значения переменной уп убывают, при чем хп ^ уп и уп — хп < е (т.-е.
пред. {у% — <cn) = 0), то обе переменные имеют общий предел: пред. &„ =
= пред- уп =і ■
Оставляя'сперва в стороне условие уа — <*>„■< а при п'ё»0, заключаем
по теореме 3-ей, что обе переменные ж„ и уп имеют пределы I и L', а затем,,
вводя условие у„— <еп<С.е, по теореме 3 §5 заключаем, что Z = Z'.
Пример 1. Если в окружность данного радиуса В будем вписывать
правильные многоугольники о 3, 6, 12,... 3-2"... сторонах, то периметры их
ра,Рпрът--Рп образуют возрастающий ряд; периметры описанных
многоугольников Р0, Д, flj,... Рц, образуют-убывающий ряд, при чем рп<СРа
и при пШпа Рп—p„<Cs. По теореме 4-ой заключаем, что существует
общий предел для рп и _РП, и так как длина окружности С всегда
удовлетворяет неравенству ра<ІС<^Рю то С и является общим пределом для
Рп п Л-
Пример 3. Докажем, что при всяком делом положительном т и при
всяком целом положительном А, неравном яі-ой степени целого числа,
уравнение Zm = A имеет один положительный корень, называемый арифмети-
т
чѳским значением радикала у А. - -
Обозначим приближенные значения этого радикала с точностью до —-^
-. а„ аА-1
с недостатком и с избытком соответственно через ха = —ѣ и уп = ~ '„-;
целое положительное число я„ удовлетворяет неравенствам: \-гѣі) <С^<С

16
Дифференциальное исчисление.
<д ~~й~ ) • Взяв другой нумер р^>п, имеем дет ар такие же неравенства:
о, \ I о, -4-1 V1*
-—£- J m-< Л < I -у^г J; из сравнения с предыдущими неравенствами находим:
так как оба члена каждого неравенства суть целые положительные числа,'
то эти неравенства равносильны 'следующим:
101"» в* So, и lOP-^ + DSOp + i ш -^±3^-
10" — 1QP '
^~-a^J-, т.-ѳ. яп^яР, 1/^і/р.. Кроме того, гп< #„ н у„ — хя =
= —-j<e при и Ё»0. По теореме 4-й заключаем, что пред. '&„ =
= пред.і/в^^, при чем по теореме 6 §5, примененной к произведению т равных
множителей, имеем: пред. (asJJ*) = пред. (yf) = Zm. Но при всяком п имеем
&™ < А <С yf, следовательно, по теореме 4 §5 і = прѳд. ю™ = пред. j/J»,
и так как предел переменной, если он существует, может быть только один
(теорема 1 §о), то Zm = A, т.-е. число 2 есть корень уравнения sm = A.
Пример 3. Пусть х0 и у0—два данных положительных числа х0<^у0.
Составим из них два новых числа xt = Ух„ у0 и уг = ■ "Т-''"- , затем
х*= Ѵ^ГуІ и уа = Wi "у Ѵі и -т. д., вообще х„ = )/'в^_, ^ , - у„ =
= Ѵ* + У«-*. тогда, при х0<уа, имеем: «^з;,, jfi<y„ yt— ж, =
= 12 СѴ^У* — ]/^)г>° и вообще, если «„_,< і/п_„ то жп>ж„_1, #„<
<Уя-і. Уп —я„ = -^(і/^ —^^1)а>0- На основании теоремы 3
заключаем, что переменные ж„ и уп имеют пределы: пред. дая= .2, пред. ^„= І^';
но 2у„ = х^ -f- Sn-i) следовательно, в пределе, при п = со, получаем:
2Z' = Z + %'і откуда Z' = Z, т.-ѳ. оба ряда чисел: г0, х1, х2і... х„,...
и Ув, Уи Уъ> ■ • ■' Уп> ■ ■ ■ имеют общий предел, который называется средним
арифметико-гѳомѳтричѳским данных чисел х0 и у0. g
§ 8. Понятие об ансамбле (ensemble). Теорема Вейерштрасса
относительно точни сгущения бесконечного и ограниченного ансамбля.
Совокупность чисел называется ансамблем, если дано правило,
позволяющее относительно всякого данного числа сказать, принадлежит ли оно
к этой совокупности или нет. Например, совокупность всех целых чисел есть
ансамбль, совокупность дробей вида — (п целое положительное) есть
ансамбль. Ансамбль называется конечным или бесконечным, смотря по
тому, содержит ли он конечное или бесконечное число членов. Ансамбль
называется ограниченным, если все члены его содержатся между двумя
данными конечными числами. Число С определяет точку сгущения ансамбля,
если в интервале между С —е и С-\-е, при сколь угодно малом
положительном е, содержится бесчисленное множество членов ансамбля.

Теория пределов.
17
Теорема Вѳйѳрпгграеса: всякий бесконечный ограниченный ансамбль
имеет по крайней мере одну точку сгущения.
Пусть все члены данного ансамбля заключены между" а и Ь. Разобьем
интервал (а, о) на два: I а, —±—), I—'—, о], и тот из новых
интервалов, который содержит бесчисленное множество членов ансамбля, обозначим
через (аи bt) (не может быть, чтобы в обоих новых интервалах было конечное
число членов ансамбля, ибо тогда и общее число-членов его было бы конечным,.
что противоречит условию). Таким образом или 0,^ = 0,, Ь±= ~Т , или
аг = —■?—, Ъх — Ъ; при а<^Ь в обоих случаях имеем: at^a, bt^=b,
, £ — «.„„. , ,, / а,-4-?и\
о1 — йі = —=—;>0. Интервал {аи о^ опять разделим на два I «1? -^—),
( -^-$—-) Ьц и тот из . них, который содержит бесчисленное множество
членов ансамбля, обозначим через («s, А); тогда а2^«і, 1>2=Ьц К—<h=
Ъ,—а, b — о. „■ „
= ■ ■ --' = —■?$— j> 0. Продолжая такое деление интервалов, мы составим
два ряда чисел: а0, аи а,,... «„,.:. и bt, Ьь ■ Ьъ,... А • ■ ■ (где а0 = а
и.Ь0 = 6), которые выполняют все 4 условия теоремы 4 8 7, ибо flnStv_t,
i„^U„_„ Ь„ — а„ = —-п— >0 и Ь„ — в„<е при й^и01 и потому имеют
общий в предел С: С = пред. «,і = пред. &„. Докажем, что С отвечает точке
сгущения данного ансамбля.
По самому правилу составления чисел «„ и Ьп, интервал (я„,- Ьп)
содержит бесчисленное множество членов ансамбля;, но но свойству предела
при »ё»0 имеем: С—а„<е, 6„—С<е,т.-е. С—е<а„<\<С-|-е; если
в интервале (а,„ 6Я) содержится бесчисленное множество членов ансамбля,
то тем более это справедливо для более широкого интервала (С—е, С+е),
откуда и следует, что точка С есть точка сгущения данного ансамбля.
§ 9. Условие Кошн необходимое и достаточное для существования
предела переменной,
Іеорема. Для того, чтобы переменная (или последовательность) щ, хи
ж2,... хп,... имела предел, необходимо и достаточно выполнение неравенства
I жт — жр|<Се (е положительное число,- сколь угодно малое) при всех
значениях m и р достаточно больших (при тё^и0 и при p^ntt).
Вывод. Если переменная хп имеет предел L, то при m ^ щ и при
р = па обе разности хт—L r'L — хр будут бесконечно-малыми, а потому и
сумма их ;% — хР есть бесконечно-малая, т.-ѳ. \хт— а;, К г; этим
доказана необходимость условия Коши. ,
Обратно, пусть условие Коши выполнено.
Совокупность значений #0, хи... хп,... образует ансамбль, бесконечный,
но ограниченный, ибо хр = ж,10 -\- (хр — #„„), следовательно | хР | ^ | х^,\ -\-
~\г\хр — ^поI<СІяпо | ~Ье при всех р^>па. По теореме Вейерштрасса (а 8)
этот ансамбль имеет по крайней мере одну точку сгущения с; в
интервале (с — е, с -|- е) будет содержаться бесчисленное множество значений
переменной ж„, и потому среди них будут значения хт, для которых
tn =S п„, где «0 любое большое число; для таких хт выполнено неравенство
\хт — с|<[е. С другой стороны, по условию теоремы, при т^«0 и при
р^щ имеем \я>ѵ—(S„|<a, откуда следует,что величина хѵ— с, равная
Анализ бесконечно - маднд.
Гос- яуС-тичнйЙ
бибЯйО'- v.s СССР
оі'.;;'■"('■'"л к? '
1 !!.*— А Г'-Ін'І Г !~! '4І.ІЛ 1

18 "Дифференциальное исчисление.
сумме двух бесконечно-малых жт —с и хр—хт, сама будет бесконечно -малая,
так тго \%р — с|<2е при всех p=^nQi а это и значит, что пред. хр = с,
т.-е. точка сгущения совпадает с пределом значений данной переменной,
и так как предел может быть единственный, то данный ансамбль #0, хи .. .
хп ... имеет лишь одну точку сгущения.
Пример. Переменная ж„ = 1 -f- -— ~\- — -4- ... -j не может иметь
предела, ибо для нее
1.1. .1.1 _1
<** ~ ** - ^qn + ^ + ■ ■ ■ + 1й > 15 " " _ У '
и следовательно условие Коиш не выполнено; так как хп возрастает вместе
с «, то пред. хп=-\~со.
§ 10. Предел степенного выражения ж™ (при переменном основании
и при постоянном показателе).
Теорема. Если пред. хп = L (конечному числу, не равному 0), то
пред. (а™) = V" при всяком рациональном значении т.
1) Если т целое положительное число, то по теореме 6 § 5 (при
равенстве всех т множителей) имеем: пред. (#™)=пред. хп пред. ж„... пред. xn=Lm.
2) Если.яі целое отрицательное число: т = — / (где I целое
положительное), то на основании теоремы 7 § 5 имеем: пред. (а™)=пред.|—f ] =
1 і " I
= 7~і\ и далее, на основании случая 1), находщм:
прадГ(я£)=-!і = ^ = Я».
3) Если т = -j, где I целое положительное число, то, положив
хп ' =#,,! J' = 6, имеем тождество:
Зг* — й* ж„ — Z
откуда уп — о = ^— = —g—, но дав — L есть бесконечно-малая,
а .Ря — величина конечная, следовательно по теореме 3 §4 у„ — Ь есть
бесконечно-малая, т.-е. пред. «» = 6 или пред. U„Tj = £т .
1 ' - (-V
4) Если )» = -=-, где /г и / целые числа (/f^O, Г>0), то х„ = ^'J
откуда, по рассмотренным случаям 1) и 3) имеем: пред. \%1) = \Ll/=Ll .
Заліечани& В § 12 теорема будет доказана и для т иррационального.
Пример 1. Пред. *■ "га) ~ = т (значок п при а опущен).
а=о L * J
(1 -4- o)m lm
1) При т целом положительном берем тождество: .Т, г - =
(1 -)- а) — 1
= (l+«)"'"1 + (l + a)m--a-|-...-j-(l-j-a)-|-l, и на основании теоремы 5
§ 5 и теоремы § 10 находим: пред. =т.

Теория пределов.
19
2) При т целом отрицательной: т = —/ имеем' =
1—(1-U)1 —1 ' (1+«)'■— 1 , я ■ (i_j_aW—і
— 1
(1+аУ — 1 R
я ■ згрѳд. —; и далее, по теореме 8 10 и но разобран -
-лред.(1+аУ ™ «
ному случаю 1), находим: искомый предѳі = — I.
1 Л
3) При т = -р полагая (1-|-«)' = 1-|-р, имеем l-|-«=(l-f-f!),] при чем
і_
при « = 0 выходит р = 0; отсюда пред/ ~*~ -<■ "^-= пред. >-■■ f,, —г =
4) При яі = .і. та. же подстановка дает: пред. ■ - =
п +№ — 1
-™ад (іЧ-Р)'--і Щ^^?—_*
-^^ С1+РУ-1 - пред. -^±|ЬІ " I
Ті-Ц<р(а)Г— 1
Лрмлер 3. Найти пред. -^—' -^J.J , при чем у(а) и >}(«)
означают некоторые зависящие от а выражения, для которых <р(0) = 0, ij>(0) = О
и пред. 77-^ = А (конечному числу).
а==о W
Поіагая <р(а) = В, имеем: пред. < □ • -,f4\ = m-A, согласно
( Р WOJ
§ 5, теорем 6~и согласно примеру 1 § 10.
Лргшер 3. Пред. [1+^)f ~[1 + ^)Г f гдѳ ?(0) = Ь>
(pt(0) = 0, ір(0) = 0, пред. Ц-^ = А, пред. ?£?1 = А1. На основании
примера 2 имеем: искомый предел =
[1+?{а)Г— 1 [1 + ¥іО)Г— 1 , ,
пред- $^— w V)—= ~тАі ■
_ . „ \/ 1 + а —а* — j^l —2а+3«3 т
Пример 4. Пред. ——т—Ч .-^ -~—. Деля числи-
г * „Lo У 1 + 4а — 2аэ— 1^1 + аа Л
тель и знаменатель на ^(а) = а и пользуясь результатом 3, находим:
I* I—-J-C—2)
б
2 4 5 U
„ е _ |/2 —2ж^3ж4 — ^ З + Зж + ж1
Дрыцр 5. Пред. -К . в + 3а; + а;8^
2*

20
Дифференциальное исчисление.
Полагая х = — 1 + у, преобразуем данное выражение в
Пример 6. Пред. \хъ(рг1+хі + Ѵ±— #я) \ ■ Полагая х = — .
Е=;±™ У
преобразуем данное выражение в пред. -£ *-^—j-*- ^- =
!І=0 ' У )
=у - 1 — j(— і)=д-(см. пример 3).
§ 11. Предел поназательиого выражения вж (при постоянном
основании и переменном показателе).
—
Из алгебры известны формулы а_т = --йГи о1 = 1/Ѵ^ определяющие
О/
значение символа <f (где о^>0) при рациональных значениях %. Желая
определить а" при х иррациональном, докажем следующие теоремы.
Теорема 1. Если переменная ж„, оставаясь рациональною, стремится
к пределу О, то пред аХп = 1.
Пусть сперва й>1е х^~> О; при иЬя, можно считать ж„ < -»— где ІѴ
целое положительно число, сколь угодно большое; тогда
0<ажп —1<геЯ—1<^-^—(см. § 3, пример 2), откуда пред а*п=і.
Если хп < 0, то пред. rf* = пред. ^г=£рвд(-а-^ =1; если о<1,
1 11
то, полагая а=—прна.Ъ-!, имеем пред. аагп=пред.—5- = ; г =1.
«i^ в/п пред. (в/п)
Теорела 3. Если переменная ха, оставаясь рациональною, стремится
к рациональному пределу L, то пред. ffi"« = oL.
Вывод. Таккака^п—at = flL(aIn — lj, при чем \ — L, оставаясь
рациональным, стремится к 0, то по теореме. 1 пред. а",п~ь=1,
следовательно пред. ((А— о^)=0, пред. ашя = aL.
Теорема 3. Если переменная ха, оставаясь рациональною,
стремится к иррациональному пределу L, то. переменная ахп стремится к
определенному пределу.
Вывод. Так кал пред ха существует, то по теореме Копта (§ 9) при
гайл, и при р^п„ должно быть [хт — «j,|<[e; ю а1» — а3,Р = аІР
{(fm—®?—х), при чем а"р конечно, и ают—шр—1 имеет пределом нуль
по теореме 1, следовательно ахт— ахР удовлетворяет неравенству | а"т—а*р[<^е
при т ^ м0 и при р ^ щ, т.-е., по теореме Коши, переменная а^п имеет
предел.
Теорема 4. Если две переменные ж„ н уп, оставаясь рациональными,
стремятся к одному и тому же иррациональному пределу Z, то переменные
а^п и а"я стремятся к одному и тому же пределу.

Теория пределов.
21
Вывод. По теореме 3 существуют пределы: £' = прѳд. Л и L" =
L пред. дЕп /йс«\ , „ .,
= пред. я"п, и так как —- = —£ = лрѳд. — =пред. ((A_!/iO=l
і" пред. о»« \«»»/
(по'теореме 1, ибо ж„— уп, оставаясь рациональною, стремится к О),'
то L' = L".
Теперь определим значение символа в' при % = L —
иррациональному числу. Именно, всякое иррациональное число L можно определить как
предел переменной хя, принимающей рациональные значения
(приближенные значепші L с возрастающею точностью); тогда а1 определил как
предел ахп, который ао теореме 3 существует и но теореме 4 не зависит от
закона приближения ж„ к своему пределу L.
Известные из алгебры формулы dc-au = dc+v, (ify = асу,
установленные для' рациональных показателей х, у, можно распространить и на
случай иррациональных х и у. Пусть % = пред. і,н!' = пред. уп.
1)Имевм:прѳд.(дяѴ«м)і)=прѳд.д!Ѵпред. «*«=«*•«*', и пред. leFn-av*) =
= нред, (в**"1"9») =« Пве.і-{яЛ+ѵІ?і = аг+ѵ, так что aW = (?*".
2) Пусть сшрва %' рациональное; тогда но § 10 и по определению
символа а1 имеем: пред. -[(йѴГ'] = (пред. «"»)*' = (я*)1', и вместе с тем
в силу равенства (вЕп)г' = «"я* при рациональных ж„ и г', получаем;
пред. |((Лі)г'( = нред.(«Ѵ) = й арад-(V) = а**', следовательно (af = reIIJ.
Пусть теперь г и г' оба иррациональные; тогда по определению символа в?
инеем: пред. {(«*)"»}■ = (а8)*', а в силу формулы (й1)"» = Аі, доказанной при-
иррациональном г и нри рациональном уЛ> ■ пишем:
пред.■$(«*)"»}■ = пред. {<Л}- = «,ч"'*(%) = «ИІ',"так что («*)*'= вю'.
§ 12. Предел логарифма.
Творелш 1. Если в означает положительное число, не равное 1, и А
любое* положительное число, то уравнение а" = А имеет единственное
решение, называемое логарифмом числа А при основании а: х = 1о§аА.
Вывод. Предположим снервая>1; по'§3, примеру 2, «w— 1 <-
« —1
--,-1- Г-«Ѵ"~ . г„ ^ -. , **„ ц ц, ^г^.—„j-j _, „ л. ^ j
так что « <^ 1 -[- е, где е сколь угодно малое положительное число; положив
l+s=6, заключаем,что какое бы число 6>1 ни было задано, всегда можно
найти столь большое целое положительное, число N, что aN<^b. Это
свойство дает возможность доказать, что среди решений неравенства <f <С_ А нет
наибольшего числа и среди решений неравенства а"^>А нет наименьшего.
А -
Именно, если'іг"» < 1, ТОі положив 6=-^, подберем такое JV, чтобы «"^й =
А ъ+±
= —^-; тогда а ' < А, т,-е. по данному решеншо х = ж0 неравенства
а?<^А можно найти большее решение ж = ж0-|--д^, и потому пет
наибольшего числа х, для которого а" <[ Л. Подобным образом, если «^ ^> Л, то,
положив Ь = —г-, -подберем такое N, чтобы aN<i 6 =—т^; отсюда <і . ^^4,
т.-е. по данному решеншо ж =£0 неравенства а*о^>Л можно найти меньшее
решение х = х„ — -^," почему нет наименьшего числа ж, для которого аж > А.

22
Дифференциальное исчисление.
Теперь произведем разрез в области вещественных чисел, отноея
к первому классу те числа х, дія которых o^Sl, а ко второму те, для
которых й" ]> А. Как доказано, 2-й класс не имеет наименьшего числа,
следовательно, по свойству сплошности {§ 2), 1-й класс должен иметь наибольшее
число х = х'; но, по доказанному, нет наибольшего числа среди решений
неравенства ах<^А, следовательно, вто число х' представляет решение
уравнения а!° = А; х'=hgaA. Не может быть двух различных решений ж'и ж"
уравнения аа = А, .ибо, предположив ж'_>а;", имеем а3" — в®" = 0 или
ах" (д®'-1" — 1) = 0, откуда в!е'~а!" = 1, что представляет противоречие, ибо
при 8>ін при х'— я">0 должно быть а""-""'> 1. Теорема 1 доказана
при д> 1. Если й<[ 1, то, положив д =—, где ttt^> 1, уравнение а?' = А
аі
переписываем в виде: —^ = 1 или а1~а=А; выше доказано, что ето
уравнение имеет единственный корень х=—iog^, следовательно.и урав-
а
нение (f = A имеет единственный корень х = — \ogaA= — logj.4.
"a"
Теорема g. Какое бы малое положительное число е ни было задано,
всегда можно найти столь малое положительное число ц,. чтобы при
— "*1 <СУ<С-f""Ч выполнялось неравенство — e<Clog„(l -\~у)<^~\- sj где д
любое положительное число, не равное 1.
Вывод. Пусть в>1; положив о+е— 1=% и о~Е— 1= — -%, возьмем
число -і) равным наименьшему из чисел ^ и % так, что -ц^-і\і и т)3=т|а.
Положив loga(l -j- у) = х, имеем а" = 1 -(- у, а® — 1 = у; если взять
— 1]<Cy<C + 'Yi) то и подавно будет выполнено неравенство — %<!/<СтІі
или а~г — 1<вЕ— 1<я+е— 1, откуда — е < ж = loga(l + УХ + |і ^то
и требуется доказать. Если а < 1, то iog„(l -f- у) = — bg1(l -\-у), и так как
а
неравенство — е <| log t (1 г\- у)<^ -f~ £ доказано, если взять — ц <[ у <! + '1
а
при ■»} равном наименьшему из чисел уі1 = д~е — і, % = 1 — а+Е, то из
него вытекает неравенство е ^> loga (1 -f- у) ^> — е.
Теорема 3. Если _ пред. хп = L, при чем хп > О и Z > О, то
пред. Iogea;n = ]ogaZ.
Докажем сперва, что предел для loga<r„ существует, для чего возьмем
разность logaxm— loga#j,'=iogH рМ = IogH f 1 -f ?*^-&Ѵ так как \хт — щ\
ХРІ \ ®р
сколь угодно малое число при т ;э= щ и при р э= я0, а \xlt\^>-^-L, то
2
Ж-. Х0 I -
—-—- <С^ в потому, по теореме 2, имеем:
я„
Ч*[1 + ±=*)
<
отсюда следует, по теореме § 9, что предел log„a:„ существует.
Докажем, что он равен ioga L. Имеем: пред. (д'°Еа ffiii) = пред. (ж„) = L =
==йІ0Ѵ', с другой стороны (по§ 11, теоремы 2 — 4) пред. («,0^S) = дп"м-(,0Ѵіі)
следовательно а^1 = а^^-{]ЩН)1 откуда пред. (log^j =loga£.
Замечание 1. Из результатов § 4 (примеры 1 и 2): пред. ап = -f- оо
при «>ін пред. й"=0 при |»{<1 следует, что
при в>1: logn(+co) = + oo, Iog„0 = —оо;
при а<1: logtt0 = + oo, bg0 (-|-oo) = — со.

Теория пределов.
23
Теорема 4. Если пред. ю„ = L, при чем <с„ > 0 и X > О, а пред. «/„ = £',
то предел показательно-степенного выражения: пред. {жЦ") = U-',
Вывод. Из тождества хЛЧ = аРъ 'Ѵм имеем на основании § 11, § 5,
тѳорѳыы 6, § 12 теоремы 3: npsfl.(a;ni',l)=anw(s,Hlo%0!n)=at'-lD%''=(al0e,aI')I''=£t'.
Замечание 2. Тем же способом можно доказать теорему § 10 при т
иррациональном.
Именно, ю™ = ам'І0!Л, пред. (ж/1) = й™-вд«-(1°ел) = amA^aL =
Замечание 3. В выражении ж/п^^а^п-10^^ показатель упЛо%а^н
принимает неопределенную форму 0-со в следующих случаях: 1) пред. у,, — О»
пред. )oga а7„ ^^+°°і откуда пред. з;п= + со (принимая а>1); 2) пред. і/„=0,
пред. loga ж„ = — оо, откуда пред. ж„ = 0 (я>1); 3) пред. y„==tco,
пред. Iogs Яп = Oj откуда пред. ха = 1; отсюда находим три типа
показательных неопределенностей: со°, 0°, 1±и.
§ 13. Пределы'тригонометрических выражений.
Теорема. Если пред. ж„ = £, то пред. sin^n = sin £, пред. cosaj,, = cos£,
пред. tga?n = tgZ, пред. cota;n=cotZ (при нем tg(2ft -f 1) | = ± со,
cot ія = zh со при А целом).
„ . <c„— £ %„ A- L
Вывод. Из тождеств: sina^ — sin£ = 2siii -i-—- cos
2
)
сон*,, —cos£= —2sin^—— sin ■ "~T- следует, что |sinX„—sin£(<(a:B—L\,
Icosa;,, — <ю&Ь\<^\ха — L\, ибо при малых значениях |а| имеем |sina|<^|a|,
и при всяком a |snj«|el, |oos«|Й1.
Ля- /. s /s'n!E.\ пред. (sinaO
Далее,по теореме 8 s 5 находим пред. (tg хп)=пред. -—- = — '"=
\coss;J предДсоас,,)
= ^j = tg£ и npefl.(cot#,|) = cotZ.
§ 14, Число е. Натуральные логарифмы.
Теорема. Предел выражения: пред.] l-j—J j равен числу
е — 2,7182813..., по какому бы закону ни возрастало \п\.
1) Пусть сперва п принимает целые положительные значения; пока-^
I IV ''
жем, что переменная sA = 11 -f- — возрастает вместе с п, но остается всегда
меньше 3, откуда и заключим, по теореме 1 § 7, что переменная sn имеет
предел. По формуле бинома Ныотона имеем: sH — 1 + п ■ j -j- ■——— -,-д +
4, 4- * - 9 -I- Е j™ тле Т!к) _ «("-1) - ("~* +D . ,1 =
+ ... + ^.- 2 + 2 Г. , где 7П - ^^^
лѵГі—^-..
1.2.3...ft \ п) \ Пі \ в. /
1
к— 1

24
Дифференциальное исчиелепие.
Заменяя п на и4-т(т целоеположительное), получим: s,1+m=2-|-S7'n'5-m
где Тп^=-±— ■ (і-г+А ( 1 X-)-f і-^Х1) ;" ™а
1.2...Л \ ,n4-mj \ n-\-mj \ п-\-т)
п и+го
s^-h^UT^- ТМ)+ЪТ$№; но при к =2, 3, . . . „ -'инеем
i i
Т |?>">Г'*;, ибо каждый множитель 1 f—"> 1 (при h = 1,
1 V
2, ... А — 1), и сверх того все 7*4^ > о при А = и + 1, ... » + m; это дает
sn+m !> sn) т-"ѳ- 5п растет вместе с п. Далее в силу неравенства Т1** <С .,-„ ^ ' /'»
п 1 и і і.
находим: 5п<2 + 2т-т—т;<2 + S^zi = 2+ і-^-=3- Этим доказано,
что пред. s„ существует; его обозначают буквою е (І-Іеперово число).
2) Пусть «, оставаясь положительным, принимает любые
вещественные значения; всякое значение п будет заключено между двумя
последовательными целыми положительными числами:
tf^n<JV + l; отсюда (i + lYWi-j-iY>(l ' Х ^
/Ѵ/^Ѵ- ■ п) . \ ' N4-11
! іуѵ-и / і\" / 1 \N
и тем более: 1 4- — > 1 -\— > 14- ■ . Переходя к пределу
при и = со,ІѴ= со, находим: пред. (14- — J - (l 4--J ^предА 4- — j &
^пред.
^ N + l
N + l
1\ .-'"/., 1
' 1\N I 1 \If+1
■ но пред. 11 + -j = e, пред. I1-4- щ~Л = «.
пред. 1 4- —= lj пред. 1 -f ——— = 1, следовательно (по теоремам б и 8
§ 5) имеем: е§£прѳд.[1 -h—) = ej т-~е- првД- f1 4—] — e> когда п растет,
\ n/ n=™ \ и/
принимая любые положительные значения.
3) Пусть п абсолютно растет, оставаясь отрицательным. Полагая
Д , 1\" Л 1\-т /« —1\-«»
«=—т,где mположительное, имеем: 1 -\— — і — — —
\ . п) \ mj \ m /
; но при
« ^1+_i-r==f1+__b_r1 . Гі • * ■
\ яг — 1/ \ . wi — 1/ \ : m — 1/ У m — 1
I \ \rn-i I 1 \
m = 4- со пред. 1 -} = е (по 2), пред. 1 4- = 1,
\ m — 1У _ \ m — 1/
следовательно пред. [1 4- —) =е.
я =— со у И J
4) Пусть « абсолютно растет, принимая то положительное, то отрица-
/ 1\п
тельпое значения. Разобьем всю последовательность значений s„ =( 1 -4- —
\ »
на две: ${, $а, ... s^, ■■■ и si', sa', ... s™ ..., при чем s,- совпадают со значѳ-

Теория пределов.
25
еияыи sn при я>0, a s'j совпадают со значениями s„ при к<^0. Согласно
пунктам 2) и 3) при достаточно больших значениях т {при т =£ т0) ложно
считать |Sm ^-е| <С е, |і„—е|<Се; тогда для всех достаточно далеких
значений s„, которые совпадают с s^ или s£ при т IS тЛ, будет также
вьшолнено неравенство ] s„ — е | <^ ё, так что пред. яц — е.
Когда доказано, что пред. sn не зависит' от закона возрастания п, то
для вычисления этого предела предположим м целым положительный и возьмем '
формулу пункта 1): sn = 2 + 2?,*+-ffn, где Ип = 2Т£К Замечая, что
при всяком конечном к (но теореме 6 §5) пред. 7^*= --■ т—<-, пишем:
и—oj 1.2-з.. ./с
от ^ь, и
е = пред. sn — 2 -j- пред. 2 ?п + пред. Еа; так как сумма S при всяком пелом
положительной яі> 2 содержит конечное число слагаемых; {т—1), не
иависящее от п, то по теореме 5 § 5 пред. Л Т„ — \ , и полу^.
чается формула: е = 2 + > \- пред. Rn. Предел Вп = \ Т^}
AW1.2.3...4 п=ш Л
нельзя вычислить на основании теоремы 5 § 5, ибо число слагаемых п — m
зависит от я, но можно установить высшую границу 'для величины пред Д,-
Именно Т'а1 <С ■ ,г-0—?, следовательно при всяком п будет
"* *"■-- 1 ■> a /™J_n ~Г 1 о э 7™ ..I оч ~г ■ ■' "Г ■ ■ ■
1.2.3... (m-flV 1.2.3...(да-И)^""Т^'"п1.2..лі
1(1, 1 . , 1 )
и тем более #„ <
1.2.3...m|m+l (m + l)(m + 2) (m+l)...»J
1-2.3.:.™
1
іи+1 (m+~l)a (m + l)n-
1 m + l 1 . г, -■
— -; отсюда и пред іі„ <.
1,2.3...т л 1 1.2.3...т. то n=ra 1.2.3...m.m
/ 1 — ^ГТ
так что можно положить пред. /?,,= — ■ при 0<^&< 1.
Окончательно находим формулу: е= 2 -{- — + р^ -f ГПП "'"'''~^"
4- г п п Ь j-s-s і по которой можно вычислить е с любой точ-
' 1.2.3...т l 1.2.3...яг.го ' *
ностыо, именно: желая получить е с точностью ДОтт^, нужно подобрать m
так, чтобы 1.2.3...m.m> 10s.
Например при т = 9 имеем: 1.2.3...9.9 = 3265920>3.10в, следова-
тельте = 2 + ^+г~+...+ Т-Л^ + Т^{0<3<1). Обращая
іаждый член суммы, начиная с -- —- в десятичную дробь, будем удержи-

26
Диффереищальиое исчисление.
вать 8 десятичных знаков; тогда ошибка каждого члена будет < —. -^,
7 1 4
а от 7 членов суммарная ошибка не превзойдет -^ . ^л- <С -т?Р" > чт0 вместѳ
с ошибкою приближенной формулы даст погрешность <CtHs + » -.-^ <С -^ * ттй і
так что 6 десятичных знаков полученного выражения для е будут точными
(при этой соблюдается правило об увеличении последней оставленной цифры
на 1, если первая отбрасываемая цифра 5 или больше). Вычисления дают
(делим 0,5 на 3, частное на 4, новое частное на 5 и т. д.):
2 =2
J- = 0,50000000
1 ■ А
1 =0,16666667
1.2.3
1 1=0,04166667
1.2.3.4
4г =0,00833333 '
5! *.
= 0,00138889
6!
~ = 0,00019841
1
8Г
1
"9Г
= 0,00002480
= 0,00000276
2,71828153
Отсюда е = 2,718282 с погрешностью <| -^ ■ -—ге ■
Число е принимается за основание натуральных или. Неперовых
логарифмов, которые будем обозначать символом log Q малое), сохраняя
обозначение Logs Для всякой иной системы логарифмов с основанием а.
Для всякого положительного числа х имеем по определению логарифма;
# —giogB—ftLoEB;c_ Беря от обеих частей тождества логарифмы сперва
натуральные, затем с основанием а, находим: lpga;^ Log0a;.log«, log.:c.LogIIe =
Logos, откуда Log„e = .—- = Ш (модуль системы логарифмов сч основа-
lOgfl!
нием а, например для десятичных логарифмом М= 0,4342945); по формуле:
Lot^x = $І Aogx можно по натуральному, логарифму данного числа найти его
логарифм в другой системе.
§ 15. Некоторые пределы, связанные с числом е.
і_
Пример 1. Пред. 1 + — [=еа или пред. (1 + «Ф = е°'

Теория пределов.
27
Полагая — = —, имеем п = am, при чем т = со при и = оэ. Итак
■ пред. | (і + ^) I = пред. І Г(і + - ГТІ = j иред./і + і\"
§ 10} = еа. Полагая—= о, приходим ко второму результату.
а
{по теореме
п
Пример 3. npei,f-^-±J!)l = 1.-
Имеем:
log{l + a)
пред, j !2iilzH0 «npwfloe (! + «)' 1 = Іо5Гнрѳд. (! + .)']
(по § 12, теорема 3} = logg (по примеру 1) = 1.
Пример 3. Пред, — = loga (я>0).
а=о ( а )
Полагая в0 — 1 == р, имеем: а" = 1 -f Р, <* log» = log (1 -J- p), при чем
B = 0 при a=0; таким образом
пред. \—г~\ =прѳд. ѵ ,
: (l5(1 + ^=-f-(no примеру 2).
пред. —а-і—!_Щ
з = о 8
Пример 4. Пред. — =т (см. § 10, пример 1).
Полагая (і + а)"1 = 1 + р, имеем: mlog (1 + а) = bg(l + Р),
-i—i—' - — ( =
a |
( log (1 -\- a) )
( p "rnlog (1 -f «) 1 " ^ "
— д£ад-1 - - —— \ —'»■ —-——- = га (согласно
(logCl + p) о J пред tlo8tl + P)
P=i'i P І
примеру 2).
Вообще к степени числа е приводится выражение вида 1 — ™, т.-е.
прѳд(Жпп), если пред.жи = 1, пред.у„= ±:оэ. Именно, положив жя= 1 -J— ,
/ 1 \*»*—
при чем пред. т =<х> при пред. ф„ = 1, имеем: <"'= f l 4 J П1 =
/, . іу-ѵ®.-1) . г/ . п-чѵ^-*) ' , , нх,
=(1J"S/ =Ll +W J ; поэтому, если пред. {^(Х— l)|=e,
„то" получаем пред. (ж/") = пред.1 -f ) {по § 12 тео-
1 Lm - со \ те/ J
рема 4) = е".
Еримерб. Пред. [(tgaO№] = —.
■я е

28
Дифференциальное исчисление.
Здесь пред. уп(жп—1)^прѳд.{(і^—I)4g2ff}=npefl.{(tg&—1) —Ц^} =
I — 2Цж|
Г _J_-i _ Л
Пример 6. Пред. (cosaa9sluSta = е вьа.
Здесь пред. ^К - 1) = пред. ( ,h,fa ) = пред. [-^^
(-2-Йг\
= пред.І —та-г- (см. § 6, пример 3) = —
J^— I ^ ° "' «рщаор о/ — — 2р.
Глава П.
Бесконечные ряды.
§ 1. Необходимое и достаточное условие сходимости.
Определение 1. Бесконечным рядом называется символ вида
Щ Н~ мі 4" Ms ~Ь ■ - - -\- ип ~Ь ■ ■ ■ і ГДѲ отдельные слагаемые (члены ряда)
определяются заданием общего члена «„ е зависимости от п. Например при
«. = £*(«£*'!) meeM РЯЯІ + 2І + ді+-..4-^! + --.
Определение 2. Бесконечный ряд называется сходящимся, если
переменная SB = и0 4- «j 4-... -[- м„ имеет определенный предел при и = со;
этот предел S. называется суммою ряда, что записывается в виде равенства:
S = u0-\-ui+ut + ... + % + .-..
Бесконечный ряд называется- расходящимся, если переменная Sn не
имеет предела иди потому, что \S„\ растет беспредельно вместе с я, или
потому, что предел Sn зависит от закона возрастания п.
■ Пример 1, Ряд a4- щ4-aq*4- .. ■ 4- aq*4-■ ■. при \q|< 1
(бесконечно-убывающая геометрическая прогрессия) представляет сходящийся ряд,
ибо £„ = « 4- Я? 4- < 4-... 4- щп = —=гр Е *P«*- 5» = s = і~
(пред. 5,1+1 = О по § 4, пример 2). Тот же ряд при |?|>1
(бесконечно-возрастающая геометрическая прогрессия) есть расходящийся, ибо
Sa = '¥ -—- и пред. 5„ = 4- со (при а ~^> 0) согласно § J, пример 1.
Пример 2. Ряд 14-^4-^4-...4-^4-... сходящийся при ft > 1
и расходящийся при /f£ 1. '
Предполагая, что п заключено в пределах: 10mgn<^lOm+1, имеем
приА>1нѳравенст:5и=(і4-^+...4-^4-(І^4-Ір4-...4-дій)4-
+ (і^ + --- + ^) + --- + (^+--- + Й<1-9 + іЬ-9° +

Беокои&ѵные ряди.
29
1 1 9 І
'...}= з—, ибо нрн к ]> 1 имеем —^ < 1; таким
обрати ІО'И-1) ^ ■ •' ) 1 > uw "^ '" ^ * *^™ Yod
1 - іо*-1
зом 5„, возрастая вместе с «, остается меньше определенного числа, и потому
(§ 7, теорема 1) Sn имеет предел, т.-е. при к^>1 ряд сходящийся.
Напротив, лри к < 1 имеем леравенетво: Se ]> 9 ■ —^ + 90 • т^з +
+ «00 ■ ^ + • • - + іоіІщ • 9 ■ 10м = ^| 101-».+ Ж™ + 10^-« +
+ ... + Ш™-1»1-»! ); нри к = 1 получаем 5П > ~ (т — 1), при к < 1
9 Ю™'1^ 10І-й
^-^10 ioi-fe —і " ' ИР^4™ Ю1"*>1; отсюда пред. £„ = + оо, и ряд
при А; ^ 1 расходящийся.
Теорема. Необходимое и достаточное условие еходимостк "ряда
"о + Щ + Щ + - ■ ■ + м„ + ■ ■ • заключается в том, чтобы \Sn+m ■— Sn\ =
= Іип+і 4"un+2 + - ■ ■ + "n+m| могло быть сделано <Ч при яйЛо -И нри
всяком т > 0.
Эта теорема представляет приложение условия Копш (§ 9 гл. I) к
переменной SK с некоторым изменением обозначений (т па п, р па п + т).
СлеЗстаме. Необходимое, но недостаточное условие сходимости
заключается в том, чтобы |%4іІ<Се лРи «SMo. т--е- пред.м„ = 0. В самом
деле, это условие отвечает случаю m = l, когда 5І1+1— 5л=мв+1;
примером 2 подтверждается недостаточность этого условия для сходимости, ибо
ряд ип = -з! удовлетворяет условию: пред.н„"=0 при всех к^>0, а будет
сходящимся лишь при к > 1.
§ 2. Ряды с положительными членами. Две теоремы о сравнении
рядов.
Если все чіепы ип ряда остаются положительными (по крайней мере нри
м & «„), то сумма Sn = «„ + и,. .. + и„ возрастает вместе с м, и если она
остается меньше конечной величины, то ряд будет сходящимся, а если она
растет беспредельно вместе с и, то ряд — расходящийся.
Теорема 1. Пусть ил и ѵп-—два ряда с положительными членами;
если лри «;s«0 оказывается ип^ѵп (равенство возможно для отдельных
значений и), то, при сходимости ряда ѵп, ряд м„ будет также сходящийся,
а при расходимости ряда ип ряд ti„ и подавно расходящийся.
Вывод. Из условия теоремы находим: «я +1 + %0 +1 + - ■ - +
' + ич+т<<Ч+і +"я0+а + ... + 14+11* иле Seo+m — SXl,<iTeil+m~T4, если
положить S„ = щ + щ + .".. + ия, Тп = ѵ0 + Ѵі + ... + ѵ При
сходимости ряда и„, величина Тч+т<^А (конечного числа) при всяком т,
следовательно А'яо+т^І + І'во'—T„t откуда заключаем, что SVll+m имеет
предел при т = со, т.-е. ряд м„ сходящийся. При расходимости ряда м„
величина S„Q+m растет беспредельно вместе с т, но Т„в+т^> S^B+m~S„a + Тч,
следовательно Т„а+т и подавно растет беспредельно, т.-е. ряд
«„■—расходящийся.

30
Дифференциальное исчисление.
Теорема 3., Если при п>п<, выполнено неравенство -5±i^-a±Jt
м« fя
где ия и ѵп общие члены двух рядов положительных чисел, то при сходимости
ряда «„ ряд и„ будет сходящимся, а при расходимости ряда ма ряд % будет
расходящимся.
Вывод. От перемножения неравенств: 1^±Х^^±1 Ъя+* ^ ^
я* V 'Ч-и *Ч+і
>#, J!b±ab.^_2!iLt2L. находиы:мпо+т^«.11і,0+га,где(7-^,илнмі,^а-'ип
при п ^ я0. Так как умножение членов ряда на постоянное число не влияет
на его сходимость илшрасходимость, то мы пришли к условию теоремы 1-й,
следовательно можем повторить ее заключение, что и доказывает теорему 2-ю.
§ 3, Четыре признана сходимости и расходимости рядов,
составленных из положительных чисел.
Признак 1-й (д'Аламбѳра). Если пред. ~£±-1=£) то при А<^1
][ = СО Мп
ряд мп —■ сходящийся, а при /с > 1 - расходящийся.
"1) Если пред. -2±! = Іс < 1, то при »а п0 можно считать -^ < k -J- е,
11 = со 1(л "п
где е положительное число сколь угодно малое; беря е =—5— !> 0) находим
і, = А + е = к Н -jr~ = -^г- < 1; итак, при п^п„ получаем:
-fl±i<CA1<l; но для сходящегося ряда ѵЛ = кіп имеем -~— Ацследова-
МЯ "tl
тельно -^■- < -^ и по теореме 2, § 2 ряд м„ — сходящийся.
и» ^я
2) Если пред. -^ = й;>1, то при п^па можно считать-^^-і — е;
л = со Мп "п
беря е = —s—>0, находим А1==/с —e=^L>l"; итак, прии^ие ока-
зывается -^ >&і; для расходящегося ряда и„ = &" имеем jtlI-= ^і»
следовательно -^У^-іЩ, и по теореме 2 § 2 ряд м„ — расходящийся.
Пример 1. м. = —, ж>0.. Здесь -^ = з> т>
« ия 14- —-
1 п
пред. -^ =#, следовательно ряд сходящийся при 0<[ а;<1 и расходя-
Я = та М„ >
щийея при а?>1. -£> ■
Признак 3-й (К о ши). Если пред. |/й^ = *і та ЕРИ *<1 W м»
Я = со
сходящийся, при А*>1—-расходящийся.
1) При к<^1 можно считать, для значений ц=^ «0,1/«п <С& -f" е=Лі,
где ft!<l; тогда ііп<^к^, но ряд ѵп = к* сходящийся, следовательно по
теореме 1 S 2 и ряд ип — сходящийся.

Бесконечные ряды.
31
2)ПриА>1 и при «=S«0 можно считать |/м^>&—s—At^>l;
тогда uK~>k'{, но ряд »„ = £j расходящийся, следовательно до теореме 1
§ 2 ряд м„ — расходящийся.
Пример 3. a«=a?to+i-e-!B!, ж>0. Здесь |/лмя = жй+^ -е-**,
пред. j/w„= a;3e-si=-р-; шдахшеувидим, чтоез;а=1-]-а;а-|-- — -)-../>&*,
следовательно -^"<[1, и потому ряд м„ — сходящийся при всех а;^>0.
Признак 3-й (Рабе). Если пред. (ип-пк)=Л (конечному числу), то
Я — со
жри А>1 ряд мя — сходящийся, при /с^зі ряд м„ — расходящийся.
1) При А>1 и при и^% имеем: ua-nl,<C_A-j-s = Ai, мп<Л--Й!
но ряд !>,! = -£ дри А~>1— сходящийся (§ 1, прим. 2), следовательно
до теореме 1 §2 ряд и„—сходящийся,
Л
2) При І*Й1 и при яЁм, имеем ц,-я">1 — е = іа, мп^>-г, но
ряд «„ = -£ при /сй=1 расходящийся, следовательно по теореме 1 § 2 ряд
и„ — расходящийся.
ПримерЗ. % = -U hWl+T^l «>0-
На основании § 15, пример 2 пред. —■ ^" ■ = 1, следовательно
1 Пов(1 + в)ІР / ж V / т+т\
м„ = --7^ -2-і—!—- ■ -S—■ , откуда пред. м„-п3 3 =жр, следовательно
при --|-|->1ѵт.-е. при р>тг Р^Д мя — сходящийся, а при р^-г—рас-
>1, т.-е. при
ходяпщйся.
Пример 4. мя = (а Sn — а" я J , й>1.
На основании § 15, пример 3 пред!—-—j = Ioga, следовательно
а=о\ а I
t (аа —1\$ 1-1
н„ = а?81п"й_-—Z—/ 'вРі гДе a = tS sio-, но по § 6, пример 1,
Аё Sin—> , i /e»_i\P / а \' 1
пред. _J! -1=_; поэтому и^ар^а-
npeA.(M„-ws*)=—^- и при Зр>1, т.-е. при р>>^ ряд сходящийся, а при
pts-Q — расходящийся. ' •
Пример 5. «„ = \/п ( |/"«*-|- 1 — »)Р.

32
Диффервщиальиае исчисление.
На основании примера 4, §15, пред. ] —~г j =m, преобразуем:
ип = ]/п-пр-
а = 0
откуда пред,
.(*-.-*) =±
ЗР'
еле-
1 Я Ч
дователъно при 2р—^'^>1і т~е' ПРИ Р^т^РЗД сходящийся и при р = -г
расходящийся.
Признак 4 (Гаусса). Если пред. \п
ч+t
і] = &, то при А^>1
ряд м„ сходящийся, при А< 1 ~ расходящийся, при к=1 также
расходящийся, если сверх того пред. Ы т —- II—1 [ = А (конечному числу).
( L \и«+і / Jj
1) Возьмем число /с, под условием fc^>^>l, и для ряда ѵп = -г
і+ІГ'-і.
найдем пред. Ы-^- — і) = ярвд.Г—Ц \ — ъ (си. § 15, пр. 4).
1 Я ■ J
Из неравенства &|>&j можно заключить, что при n^n„ n
«„
'п + 1
1>
^■лі^-5 1), откуда —— ]>——, и так как ряд «„ — сходящийся, то
"5+1
*И + І
и»+і
= *,
по теореме 2, 8 2, и ряд м„ — сходящийся.
2) Для ряда о„ = — ,где &<&!■< 1, имеем пред. !я(———
ж из условия к <7г, найдем —— <——, откуда при расходимости ряда
«„, по теореме 2 8 2, ряд м„ — расходящийся.
3) Для ряда ѵп = , где а^>А, имеем:
пред.Ы и[-^-—11 — 1 [ = пред. «Г— 1І =я,
следовательно из неравенства А < а получим при я S я„ —й- < —5-, и так
?И+І
"п+і
811 т I і'ТІ
,2) расходящийся.
fl-3-5 ... 2п — іѴ 1_
2-4-6 ... 2л j 'л''
Лример 6. м„ =
Так как
««+1 — % i2n_j_2l U+1J'
то
-Г*
■"*" (і+£Г'
пред.Ы-^ 1)1= пред. -—Ц-^ ■ пред.
^ГЧ'+і'

Бвеконвшые ряды.
33
=p-\~q—-L (см. § 10, пример 3)=</-{-■£-, следовательно при у-{-|->іряд
сходящийся, при Ч-Ьтг<^1 расходящийся; ирж д-|-^-=1 ряд расходящийся
Л 2
(здесь 1; 4 = —-щ-Р\-
§ 4. Ряды с членами различных знанов. Абсолютная и
неабсолютная сходимость, знакопеременные ряды.
Определение; Сходящийся ряд щ0~|"иі4"маН~"-Ч~м*4"—)щіены
которого разных знаков, называется абсолютно или неабсолютно сходящимся,
смотря по тому, будет ли ряд абсолютных значений его членов W~HaiH-
+ ІиЛ -]- ... 4- [wJ -I- ... сходящимся или расходящимся.
111 (—I)""1
Пример. Как увидим ниже, ряд 1 — $s + p — 4*+"/+ ft* ~Ь~'"
будет сходящимся при всех &>0: согласно примеру 2, § 1 он будет
абсолютно сходящимся при /с^>1 и неабсолютно сходящимся при 0<VcSsl.
Для рядов с членами разных знаков признаки § 3 дают только
возможность сказать, будет ряд абсолютно сходящимся или не будет; но во
втором случае остается открытым вопрос, есть ли ряд неабсолютно сходящийся
или расходящийся. Один только класс знакопеременных рядов, т.-е. имеющих
форму и„ — щ-\-щ — и3+... -f-(— 1)Х+ ■■•! где все числа «„, «„ «г, ...
положительные, обладает простым признаком сходимости.
Теорема. Знакопеременный ряд и„ — щ-^-щ—м3-{--••+(—1>"m,j —і—-■■
будет сходящимся, если 1} его члены убывают по абсолютному значению,
т. е. «„_!>«„ и 2} пред. м„ = 0.
Вывод. Рассмотрим S„+m — Sa = (—1)"+) и]1+І + (—1)"+і-а„+» + ■■■
...+(-1}"+»' щ+ш = (- 1Т+І К+і -«.« +«.+і- ■•■+(-1)™"1 «*+«S
Назвав выражение в скобках через Т'п, itn ПрбДСТЭіЕИМ 6ГО ДВОЯКО '.
Т — t л і ( л і X I В"+" ПРИ * ЕеЧе™'
i»,« —(.«e+i~»«+»Jxt««+» —«ft+iJT ■•■ -Г" I (і^^^ —и,+ж) при m четн.
__ ( (e»+«-i—«*+«) ПРН ffi печетн-
Из первого выражения в силу условия 1) теоремы, находим: ТЯіт^>0,
и из второго: Т№>т<^ип+и ибо все малые скобки представляют числа
положительные. Таким образом Уи>т = S)iim «п+1, где 0 < 8-„,,№<С 1> и
S^m — -% = (—iy,+iK,:n-%-^i в силу 2) условия теоремы |Se+« —Й.ІО
при «=«„ и при всяком яГ>0, а потому, по теореме 8 1, ряд м„—сходящийся.
Замечание 1. Если в формуле: Sn+„i = S„ + (— 1)П+)&„,Я1 «,+1 будем
увеличивать т» беспредельно, оставляя неизменным я, то найдем: ■S^A',,-]-
-\-Ь-(—1)и + 1-«я+і, где 0<&<1; это показывает, что погрешность, которую
мы допускаем, заменяя сумму знакопеременного ряда суммою конечного числа
членов, по знаку одинакова с первым отброшенным членом, а по абсолютному
значению меньше его.
Замечание 3. Знакопеременный ряд с общим членом м„ = г——£—
будет сходящимся, согласно теореме, при всяком &>0, как отмечено уже
в примере.
Анализ бесконечно - малых. 'Л

34
Дифферетщальное исчисление.
§ 5. Ряды, отличающиеся порядком членов. Неизменяемость суммы
абсолютно сходящегося ряда.
Определение. Ряды і*0 + щ + щ -\- ... -\-ип-\-... и и0 + ѵг +
+ "а + • - ■ Ч~ "и + ■ ■ ■ отличаются только порядком членов, если, положив
S„ = ua-\-u1-\- ... Ч-мЛ, Тт = ѵа + ѵг-\- ... +%, можно утверждать, что
при достаточно большом m все члены и0, щ ... иа входят в Тт и обратно:
при достаточно большом п все члены и0, «.,, ... щт входят.в 5„.
Теорема. Сумма абсолютно сходящегося ряда не изменяется при
перемене порядка членов.
Пусть щ -f щ + ■ ■ • + "іі + • • ■ абсолютно сходящийся ряд. »0 +
+ Wi..-+«n+--- —ряд,отличающийся от первого порядком членов. Согласно
определению, каково бы ни было «, всегда можно выбрать т столь большим,
чтобы разность Тт — Sn содержала только члены и,- со значками / > п;
итак имеем Тт — $п = £«-, при /]>«; отсюда I?"™ — 51(і^2 |м^|, и так
как ряд |м„| сходящийся, то, по теореме § 1, S [м-| <^ е при любом
О+01
числе членов (ибо 2 І«,Ч<е при всяком т). Если же \Тт — 5'п|<Сеі то
і = п+і
пред. гт=пред. Sn (см. гл, I, § 5, теор. 3).
W = со 71 = со
Зяжечдкме. Для ряда неабсолютно сходящегося сумма не только
может изменяться при перемене порядка членов, но ряд может из
сходящегося обращаться в расходящийся.
Пример 1. Рассмотрим два ряда [ 1 г) 4" (~т г] ~f~ ■■-
и 11 Ч—г г! Ч- (—г Ч—г ■ г) Ч----, отличающиеся порядком членов,
\ ' 3R 2*; ' \Ък ' ч'; ік1 ' ' *
и положим: SL, =
'__і L_\ т \( 1 і 1
,(2ft—1)* (2Д)»Г 8П ^\(4А—3)" ^ (4А— 1)"
Из тожества: Г3п — £ап— ~"~;—г +
(2kfj . J" *" (2пЧ-1)" (2п+3)* (4п—l)ft
следуют неравенства: (4и^ц7і <Г» — ^*<(2п1. щ- При /г>1 имеем:
Щад-і^гЧ^=0 и ^ад7*ГГг\к~°» следовательно, (^пред.^,,—&і1()^0,
т.-е. пред. Тіп= пред. £в„; суммы обоих рядов равны, что согласно с прѳдъ-
П = со Ц=оо
идущей теоремой, ибо при к ^> 1 ряд 1 — -^ Ч~ -«гг ~" ■ ■ ■ абсолютно сходя-
і—к
щнися. При А <1 имеем Г2п < ^а„ —|—-: jtj-, и так как последний
член обращается в со вместе с «, то пред. Тзп = со, т.-е. новый ряд
расходящийся, тогда как прежний был неабсолютно сходящийся. Наконец, при
к = 1 имеем:—■<пред.{7'Яп — 5'апХ-^-, т.-е. пред. TSn ^'отличается от
* п-со і- п = со
пред. S2n на конечную величину; из тожества:
М = со

Бескоптпые -ряди.
35
Sin ' 2\ih-3 + 4А-1 2hj 2\4h-3 - 4Л-2 +
1 ■ 1 \ 1 Vi/ 1 1 \ 1 „
=— \ i „^ =— s находим: пред.гв«=
— 1 ihj 2 jU\2h—l 2h) 2 ' » = »
4A- - - , . _.,
' lei'
= Я+у5=-|& Как увидим ниже, S=l — y + y.—T+-"=IoS2'
следовательно Г=1 + у у +— +~ — ~+ ... = ylog2.
Пример 3. Из нѳабсолютно сход, ряда 1 —;г -f- -^ г ~Ь ~s ■••
(сумма которого = log2) путем--изменения порядка членов можно вывести
новый ряд, сумма которого пред. Тт будет равна любому числу А. Для этого
1)1=00
нужно так выбирать порядок членов данного ряда, чтобы последовательные
значения Тш: У1э Га, Гв,. -. были попеременно больше и меньше А, отличаясь
от А па величину, беспредельно убывающую; тогда пред. Т„ будет = А.
я=со
Например, при Л=1 берем: 7'1=1+ з" = §'>1' 22=1+у ""э^Т*^- 1'
rs = i-j-T-T-j-T_->i, ^-1+т-т + т-т-^<1,
Л — і|+ 7 "Г" 9 — 12в0 >*> і'— ув— Т —1260 <■ 1' і«—■'■' +
11 _ 187111 т —Т 1 — ШШ s-л Т —Т Л.
+ ТГ+"1^_ 180180 ■>1' iw —■'•—у— 360360 ^ 12— ■,10І"
+ -^ + Т7->1'НТ-^
§ 6. Сложение н умножение рядов.
Теорема 1. Если ряды с общими членами ип и ѵп сходящиеся, то
и ряд с общим членом. ц># = ия -f- »„ сходящийся и имеет суммою S-\-S',
■где S. и S' — суммы данных рядов.
Вывод. Полагая Sn =щ-\~и±-}-...+ и„, Sn' = ѵ„-}-% + -■-+ *fy
Ги = w0 -|- «>! -J~ ■ ■ • + гип! имеет при всяком в" тожество Гй = £„ + 5»',
и так как пред. Sn = S, пред. £„' = 5!', то по теореме 5, § 5, гл. I, пред. Тп
существует и равен 5 -j- S'.
Замечание 1. Если ряды ип и «„ — абсолютно сходящиеся, то ряд w„—
абсолютно сходящийся, ибо ио доказанной теореме ряд w«'= [«„I + I»»!
сходящийся, следовательно ряд с общим членом |и>ад|={мв + ѵп\ в силу
неравенства (я;„|^й)А и подавно сходящийся (см. § 2, теорему 1)._
Теорема 3. Если один из сходящихся рядов щ- -j- Mt ~Ь • • • ~4~м» ~f" ■ ■ ■ =
= S, ѵ„ -j- щ -j-.... + »,, -j- .. - =5" абсолютно сходящийся, то ряд с общим
членом гі)п = %% -\- м5«п^і 4- %%-а + • • • + 1(п-і «і + Ѵо сходящийся
н имеет суммою 5-5'.
Положив <5,, = м0 + ші + ■■■ +м7» $/= «* + «і + ■■■ -М«» ^ = м'0 +
+ wfj+ ...+шя, имеем Гп = Sм^-при *S0, /SO, t+/£«-, или 7; =
-f .. - + ««-в) + • • ■ + «n-i («о + %) 4- «n %■ Вместе с тем Sm-Sm = S u, ^
нри 0Stem, OSj^m. или Sm-Sm' =м0 (гі0 + ^ + ■■• + %) + мі («о +
Н- »і + »■ + • ■ • + О + ■ • ■ + *я («> + «і + ■ ■ ■ + VJ-

36
Дифференциальное исчисление.
X
Беря 711 = Т^ — ( делой части —), т.-е. т = 1 при п — 2/ и т = 1 ири
2 \ ■* J
2f + 1, . найдем: Ти — W = ti0 (««+, + %+3 + ...+«„) Ч~
«1 (»m+i'
■■■+^i) + ^("m+i'
■■• + Ѵ-і) + ■■• +*»и + *»+і(«о +
, . , -з) + Ит+а («о + «і + ■ • • + "n-m^a) + ■ • ■ + ВД (ЧИСЛО Й = О,
если « = 2Z, и в = да,+1, если п = 21-^-1, ибо число членов в скобке при и,„
равно п — 2т).
Предположим теперь, что ряд м„ — абсолютно сходящийся, а ряд ѵЙ —
абсолютно или неабсолютно сходящийся.
Из последнего равенства получаем:
і 7; — 5я-ѴІ = К1'І«в+л+ — +^І + І*і|,І1!я+і + ---+^чІ+- • • +
+ --. + К]-Н + К+і|-к-Иі + - ѵ--Ці-«-і|-|-К+я|*
іі-т-2 І + — + КІ-К!-
Так как ряд ѵ„ сходящийся, то по теореме § 1, при достаточно
большом «г, можно считать все выражения |%+і +...+ о„|, (%+і-)--.-»„^,],...
!д| меньше s, положительного числа сколь угодно малого, а все выражения
K + ^i-f- -"I'li-m-tl, U'e+".+«i«--iB-?|, •■- КІ меньше определенного
числа Л. Тогда ] Г„ — Sm • Sm' | < s {\щ\ -{- |м| + ■■■ + \ѵт\У -\-
Так как ряд | хіп | сходящийся, то но теореме Э 1 | мт+1 ]-[-■-.+[ Щ, К г,
(положит, числа, сколь угодно малого) при достаточно больших т,
а ]м0] -(- KJ+ ■■■ +1%1 меньше определенного числа В при всех m (ибо
сумма «o|-f КІ+--- + Ы имеет предел ири п=оо). Итак, \Т„—S^-Sm'\<^
<^sB-~е'А при достаточно больших значениях m и и, а следовательно
пред. 7'„ = нред. (Sm-Sm')~S-S'. что и требовалось Хоказать.
Замечание 2. Если оба данные ряда абсолютно сходящиеся, то
и ряд w„ будет абсолютно сходящийся, ибо ряд и»і=ф,| І«„| +
+ 1мі| І4і-і! + ■ ■ ■ +і«в! |«аІ сходящийся по теореме 2, a jwj^w,;,
следовательно по теореме 1, § 2 ряд jw„] и подавно сходящийся.
Глава Ш.
Непрерывные функции от одной независимой нерешенной
и их свойства.
3 1. Независимая переменная и функция, Функции однозначные
и многозначные, явные и неявные. Графическое представление.
Определение 1. Переменная величина называется независимою
переменною, если она может принимать любое значение нз всей совокупности
возможных ее значений, ири чем в дифференциальном исчислении
рассматриваются лишь такие переменные, которые изменяются непрерывно в некотором
интервале а<^х<^Ь или вй« = ^ принимая любое вещественное
значение в указанных границах.
Определетіе 3. Если две переменные величины х и у, ив которых
каждая имеет определенную совокупность значений (или область изменения),
связаны между собою так, что каждому значению х из его области изменения
отвечает одно определенное значение у из его области, то ^называется однознач-

Непрерывные фунтщи от одной переменной. 37
пою функциею от ж. Обыкновенно функция определяется аналитически, т.-е..
указанием тех операций, которые нужно выполнить над ж для получения
значения у, например у = -—, у = у аг-{-1 суть фупкцииотж, опре^
Яг
деленные: первая для всех вещественных значений ж, кроме ж = 0, а вторая
для всех вещественных значений х. Иногда функция может представляться
различными аналитическими выражениями для различных- интервалов х,
например: у = х при 0^ж<^1, у —2— х при 1<^ж^=2 есть функция
от ж, определенная для интервала от ж = О до х = 2, исключая х = 1.
Если у=?х при х целом н jf = 0 прп ж нецелом, то у есть функция
от ж, определенная для всего промежутка от—-со до -j-oo.
Определение 3. Переменная у называется и-зпачпою функцией
от ж, если у может принимать одно из п определенных значений, когда дано
определенное значение х. Такие многозначные функции обыкновенно задаются
алгебраическими уравнениями, например: уравнение х2 -{- у2 = «а
определяет двузначную функцию у = ±]/д2 — ар при — а^х^-\-а; уравнение
х3 ~\- У3 — 3(ш/ = 0 определяет при О S= ж 5з а \/~2 трехзначную функцию
от х (при —■ со <С х <^ О и при а ]/~2 <^ ж <^ -\- со эта функция
однозначна, см. черт. 1). Могут быть и бесконечно-многозначные функции,
например у — аѵсвіпж; если ха представляет одно из значений х между — 1
и-j-l, то между — ~ и -f- ѵ существует одно значение у=ув, для кото-
рого #0 = sin)/0, а общее выражение г/ будет: Ьі-|-(—-Vf-y^ где к целое
число (черт. 2).
Определение 4. Переменная ;/ называется явною функциею от ж,
если у определяется формулой вида: у=Дж), как у = ~^-—, у= \/~х\
у называется неявною функциею от х, если определяется уравнением вида
'f(x,y)=0, например жа -\- 2ху -^у* — Зж — 4у -\-1 = 0. Ретив такое
уравнение относительно г/, мы неявную функцию обращаем в явную:
у = 2 — х± |/3 — х.
' Замечание 1. В дифференциальном исчислении рассматриваются
однозначные функции, а многозначные лишь в том случав, если при помощи
добавочного условия многозначная функция обращается в однозначную;
например, добавив к уравнению х*-{-у* = аа условие у^>0, получаем
однозначную функцию y=-f- ]/а? — хй; добавив к уравнению .у = arcsin ж
условие—~^у^-\-~, получаем однозначную функцию.
Замечание 3. Зависимость между независимой переменной х,
непрерывно изменяющейся в данном интервале, и ее функцией у можно
представить графически (чертежом), если, взяв ряд достаточно близких
значений х: х0, хі} жа,...ж,„.., определить соответственные значения у: у0, уъ
i/2,...j„... и построить точки с прямоугольными координатами (ж0, »/„),
(хь Уді (хі Уъ)і- ■ • (ж«Vw~)• ■ - Соединив эти точки непрерывною линией,
мы получим график функциональной зависимости между х и у. На черт. 1
изображена зависимость, выражаемая уравнением жа -j- уг — Ъаху = О
(« > 0), на черт. 2 имеем функцию у = arcsin ж, на черт. 3 дан график
функции у = ж при 0=£ж^1, у = 2—ж при 1^ж^2. Если функция
определяется при з?йО условием: у=Ех (целой части числа ж), то графи-

38
Дифференциальное исчисление.
тески она представится (черт. 4) отдельными отрезками прямых: у=0
жри 0^а?<1, 0 = 1 при 1£я;<2, ^ = 2 при 2^ж<3 и т. д. Такую
функцию у, которая определяется условием: у = 1 при ж рациональном,
j = 0 при х иррациональном, неіьзя изобразить графически.
§ 2. Классификация функций. Гиперболические функции.
Функция у называется алгебраической функцией от ж, если она
определяется уравнением вида f($,y) = 0, где /'есть многочлен, содержащий
У
X
Черт. 1.
Черт. 3.
X
Черт. 2.
Черт. 4.
целые положительные степени х и у; в развернутом виде это уравнение
будет: у*-ЛСв) + 9м-ЛСи) + .»+уЛ^1(в)+^№)=0, где і>0, Л,-Л--
многочлены, содержащие целые положительные степени х.
Частным случаем алгебраической функции (при к = 1) является дроб-
пая рациональная функция от ж: у =— -гі ,^- или при других ооозначе-
Д«) ■
ад

положивши: у = дЛ у і где Дж) и #(ж) — многочлены, содержащие целые
тельные степени х. Если F(x) = 1, то дробная функция обращается в целую
алгебраическую функцию: у^{(Е)==айхт^аіхт~1-\-аіхѴІ~%-\- ■■■ ■\-ат_іх-\-йт,
где коэффициенты в0, аи...аш — данные постоянные.

Непрерывные функции от одной переменной. 39
Всякая функция от #, не подходящая иод определение алгебраической,
называется трансцендентной. Таковы: 1) показательная функция у = ах
при а>0 (график на черт. 5); 2) логарифмическая функцияy = Loga<D
(график натерт. 6); 3) тригонометрические функции: у = sinsc, у =cos#, y = tgx,
У
Черт. 5а.
Черт. 56.
Черт. 6 а.
Черт. 66.
у = cot#, у = seca:, j) = coseca; (графики па черт. 7 — 12); 4) круговые
функции: #=arcsin;e, j = ai'ceos#, j = arctg<r, y = grccolic (черт. 13—16);
5) степенную функцию у=согл при иррациональном то также нужно
причислить к трансцендентным функциям, ибо она не может определяться урав-

40
Дифференциальное исчисление.
нениеа Дж, у) = 0, где f есть полином, содержащий целые положительные
степени х и у.
Дополним этот перечень гиперболическими функциями: синусом зЬж,
косинусом cha;, тангенсом thx и котангенсом соЕЬж, которые определяются
формулами: sbж — -^(f — е"*), cka; = -(eiL'-|-e^'),llia; = -j—, colha; = -j—
(графики их на черт. 17 — 20). Отметим формулы: с1івж— 8Іі2ж=1 (ибо
Черт. 8.
-і
ч
-Ѵх
Черт. 9.
Черт. 10.
1 =
1 Л сігж sir а;
далее: sh(—'ж) = — shs, ch(—ж) = сгіж, th(—%) = — tha;, coth (— <в) =
=—соШж. Встречаются обратные гиперболические функции: y = aresha?
при—со<^я<-(-оаи ?/=arcth:r при—1<Ф<^+1 (графики на яерт. 21 и 22).
О гиперболических функциях см. ч. 2-ую, отд. I, гж. ГѴ, § 5).
§ 3. Непрерывность функции и разрыв непрерывности.
Определение 1. Пусть і/=Дж) есть функция от непрерывной
независимой переменной ж, определенная для значений я, достаточно близких
к значению ж = я; постоянная L называется пределом функции Дж) при
ж = я, если по данному положительному числу е, сколь угодно малому, можно

Непрерывные функции от одной переменной. 41
Черт. 11.
У
"Черт. 12.
т У
Черт. 13.
найти достаточно малое положительное Л так, чтобы при \х — а\<іh
выполнялось неравенство |Даг)— Z)<^e: тогда пишут: пред. f(x) = L. Может слу-
читьея, что существуют два различных предела для /(я), смотря по тому,

42
Дифферещиальтюе исчисление.
Черт. 15.
Черт. 14.
У
Я
1
Черт. 16.
Черт. 17.
приближается ли ж к а, оставаясь ыеныкѳ я (тогда — Л<^ж—я<СО) или
оставаясь больше я (тогда 0<ж — с<+Д); такие пределы называют
иногда левым и правым пределом функции f(x) при ж = п и обозначают
символами: пред. Дж) и пред. Дж). Отметим, что в определении предела
/(ж) при # = « не играет роли значение функции при з; = а.

Непрерывные функции от одной переменной, 43
У
-х
Чѳрг. 18.
Черт. 20.
Черт. 21.
Пример 1. Найдѳы пред.
е=1
Черт. 19.
V
*1
-;
л
ѵ_
0
г»
Черт
1 ^ 1
-j-j,. Полагая х = 1 —- , где п
1 + 2*-1)
достаточно большое целое положительное шюло, имеем: т- = т=-г^- ,
1^_2^ 1-Нт) .
и так Еак пред. — = 0, то левый предел нашей функции при х—1 есть 1;
«=+™\2/

44
Дифференциальное исчисление.
полагая д; = 1И—, найден т- = ^—т—^,
! _|_ 2»-і
и таи как пред. 2й — + со,
П-+со
то правый предел функции при ж = 1 есть 0 (график функции на черт. 23).
Здесь не существует значения функции при ж = 1.
Определение S. Функция у = ((х) от непрерывной независимой
переменной х называется непрерывною при % — щ если 1) символ Да) имеет
определенное значение и 2) пред. /(ж)=Д«). Если одно из этих условий не
выполнено, то говорят, что при ж = я функция Дж) претерпевает разрыв
непрерывности.
Замечание. Разрыв ^ можно устранить, если он происходит от того,
что символу До) приписано значение, не совпадающее с пределом Да-) при
сс = а, тогда нужно только изменить значение символа Да), приняв его равным
пред. Дж), Разрыв невозможно устранить, ѳели 1) пред. Дж) имеет раз-
JC^fl JC— ft
личные правое и левое значения (конечный разрыв) и 2) пред.Дж) (по
крайней мере один-—правый или левый) не существует, т.-е. равен :±со,
которая не считается за определенное число (бесконечный разрыв).
Черт. 23. Черт. 24.
тт п л (Ж2 4-1) (Ж — 1)
Пример 2. Функция у = j—'-±-——' определена для всех зна-
X — X
чений х, кроме х = 1; знанѳппе Ді) можно взять совершенно произвольно;
„,, ((ж3 4-1) ж — 1)
если взять Ді) = пред. ——!—^ '
«=і ж—1
= 2, то функция будет непрерывна
при всех значениях ж от — со до 4- оо. Переписав данное уравнение в виде
(ж—1) (у — жа~-1) = 0, заключаем, что график данной функции состоит из
совокупности параболы і/ = жа-}~1 и прямой ж—1 = 0 (черт. 24).
Пример 3. Функция примера 1 непрерывна при всех значениях ж,
кроме х = 1, где она имеет конечный разрыв, ибо пред. Де)=1, а пред. Дж) — О
(черт. 23), что иногда пишут: Ді —0)=1, Д14-0) = 0.
Пример 4. Из приведенных выше графиков 5 — 22 видно, что
функция y = hogax имеет разрыв при ж = 0, ибо пред. Ьщах не существует
'К
(равен ± со); функция y = lgx имеет разрывы при ж = (2к-\-1)-, как
и у = йесж; функции у = соІж и y = cosee;E имеют разрывы при ж = /м;
# = cotlia; имеет разрыв при ж = 0 (во всех этих случаях Дж) не имеет ни '
правого, ни левого предела).

Непрерывные фунщлш от одной переменной. 45
Определение 3. Функция y=f(x) называется непрерывною в интервале
значений ж а^х^Ь, если Да?) непрерывна (в смысле определения 2) для
всякого значения ж внутри этого интервала; на границах условие
непрерывности выражается так: пред. Дж)=Дд-|-0) и пред. Дж) = Д6—-О).
Рассмотрим вопрос о непрерывности для функций, перечисленных в § 2.
1) Целая функция Дж) = а„зіт-\-а^хт^1 -{-... + «,„ непрерывна при
всяком значении х=а, ибо 1) значение /"(«) всегда конечное и определенное
и 2) на основании теорем § 5 гл. I о пределе суммы, произведения и
степени имеем: пред. Дж) = ааат -f- а^'^1 -\ f- ат = Дя).
2) Дробная функция у = j±^- , где Дж) и Дж) — целые функции, имеет
конечное н определенное значение при всех ж = я, кроме тех, при которых
знаменатель Д«) = 0, и если исключить эти значения, то функция
непрерывна, ибо по теореме 8 § 5 гл. і пред. -йЦ = -і~~ . Что касается исклщ-
чепных значений, для
которых F(a) = О, то допустим,
что числитель н знаменатель
дроби содержат множитель ж — я
в целой положительной степени:
Дж) = (х-а)!!/\(х), F(x) =
—(ж—в)'-^(ж),прн чемД(я)ие=0
и F^a) пе 0. Тогда пред. J~\ =
я=а Л'\Х)
= -йѵ^г-пред, (ж—<?)*-'; поэтому,
если й^(, то пред. ^гЦ- суще-
ствует, и можно сделать функцию
непрерывной, приняв Дя) равной
этому пределу (см. такой случай
в примере 2); если же /t<7, то
предела для (ж — а)к~1 пет (он равен со),
функции устранить нельзя (см. пример 5).
-/ с
-г/
X
Черт. 25.
следовательно разрыв дробной
Пример б. у =
ж2 4-1
имеет два разрыва: приж = — 1 н при ж=-f-1
(см. черт. 25).
3) Степенная функция у = хт имеет определенное значение при
всех. sSgO, кроме ж = 0 при тй^іО; кроме того, по теореме § 10, гл. I,
пред. ж"1 = аш, следовательно степенная функция непрерывна при всех ж,
кроме ж = 0 при т^=о.
і) Показательная функция у = Ах (А^>0 и не 1) непрерывна при
всех значениях ж, ибо Аа имеет смысл при всяком к и по теореме 8 11, гл. I,
пред. А*=Аа.
5) Логарифмическая функция ѵ = Іл^лж (Л]>Ои не=1) непрерывна
при всех ж, кроме ж = 0, ибо символ LogAa имеет смысл и по теореме 3, § 12.
гл. I, пред. Log^ic = Log.i«.

46
Дифференциальное исчисление.
6) Тригонометрические функции j/=sina;, cosa;, Iga;, cots непрерывны
(по S 13, гл.І) для всех значений ж, кроме значений ж=(2&-|-1) — jpifltga:
(и sees) и значений х = кк для eot& (и coseca;).
7) Гиперболические функции y—shx, сЬж, thar, cottiaj непрерывны при
всех значениях ж, кроме сойіж, имеющей разрыв при а;=0. Существование
предела для she; и cha; при х = а доказывается на основании теоремы о пределе
суммы, показательного выражения и обратной величины (теорема 1 § 5 гл. I);
например: пред. sha; = пред.!— в® е~х\ = — ва — — е~°=з1ій' и пр.
sia x=a\2 2/2 2
8) О непрерывности обратных круговых и обратных гиперболических
функций будет сказано ниже,, в § 5.
Из теорем 5, 6, 8 § 5 гл. I следуют такие теоремы: I) сумма
конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная; И)
произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная;
Ш) частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная при
всех ж, кроме тех значений, при которых знаменатель = 0. Из теорем
§ 10, 11, 12, 13 можно заключить: IT) если Дж) непрерывная функция,
то #("*) также непрерывная функция (і^>0); V) если Да;) положительная
непрерывная функция, то Logd/(a;) непрерывная функция, кроме значений,
при которых Дж)=0; ТІ) если Дж) положительная непрерывная функция,
то [f(cc)]m при всяком показателе т непрерывна, кроме тех значений ж, при
которых Дж) = о, если притом т<^0; ТП) если /(ж) непрерывная функция,
то 5ІпДж), cos/(a;) непрерывны при всех х, и т. д.
§ 4. Свойства непрерывных фувнцин.
Терема 1 (Коши). Если Дж) есть непрерывная функция от х при
а^х^Ь и если числа да) и f(b) разных знаков, то, существует в
интервале а<^х<^Ь но крайней мере одно число ж = с такое, что /(о) = 0.
Пусть Дя)<0, /0)>О. Разобьем интервал (я, й) на два la, '
2
/<i-\-b" ,\ j-f(i-\-b\^ „ . , а-\-Ь
——-, о ; если / - - Г>0, то положим «! = «, yj =—J— , а если
. 2 J \ 2 J 2
/ f—--*—- ]<С0) то положим щ — -'■■ и &! = й; тогда в обоих случаях
ѵ 2 / 2
окажется /{в,)<0, /(йі)^>0. Интервал (в1? іО опять разобьем на два:
2
«і>Я|1 - ч, f-j —-, &і) и, если/{——1)>0, пршіеы аа_ = eh іа =
-1—!—ь, а если / ■ - ' ■■-■ <_ 0, примем й3 = -J—!—£ , й3 = et; тогда
2 ' ' \, 2 ; ^"' * * 2
Айа) "С 0, f(b%) ]> 0. Продолжая такое рассуждение, мы составим два ряда
чисел: в, «і, «2ѵ «„,... и й, й„ 6S.... Ът.,.Л при чем или одно из чисел
..СГ_«| окажется = 0 (тогда теорема уже и доказана) или все время
\ 2 о/
будет Д«пХО, Дй„)]>0. Мы видели при доказательстве теоремы Вѳйер-
штрасса в §8 гл. I, что составленные два ряда чисел имеют' общий предел:
пред. а„ = иред. 6я = е.
Докажем, что /(с) = 0. Так как /(ж) непрерывна при х = с, то
пред. Дй„)= пред. Дй„)= пред. /(я?) =/{с); но если /(«„) < О при всех л, то
П = -|-И) Я = -(-Оэ JE = C
/f

Непрерывные фуищигі от одной переменной. 47
пред. Д<ц)=Де)^0, а если Дй„)>0, то пред. Дй„) = Дс) ^ О, что
приводит к заключению До) = 0. (Если при п & п0 оказывается %п < О,
то пред. хп = Z ^ 0, ибо, допустив £ > 0, имели бы при п S «„
3in^>Z—е^>—-.#, т.-е. жя^>0, чи противоречит условию; см. также §5,
А
гл. Г, теор. 2.)
Следствие. Если f{%) — непрерывная функция от % при а-^х-^Ь
и если С заключено между Да) и /(b), то найдется между а и 6 по крайней
мере одно число ж = с такое, что /(с) = С.
Вывод. Если /(«)<£■</(&), то, составив новую функцию <?{#) =
= Дж) — С, убеждаемся, что она непрерывна при в^ж^й и что и>(«)<0,
ш{Ь)^>0; поэтому, по теореме 1, существует число с между й и 6 такое, что
*»(с) = 0, т.-е. Дс) = С, что и требовалось доказать.
Определение. Точным высшим пределом значений переменной х
называется число М, удовлетворяющее двум условиям: М^х для всех
значений х, М—г<^ж для некоторых значений х {хотя бы для одного), как бы
ни было мало положительное число е. Точный низший предел in
определяется условиями: т^х для всех значений х, т -f- в>х для. некоторых х.
Лелуш. Если все значения переменной' заключены между конечными
числами: А<^х<^В (талая переменная называется конечною, см. гл. I, § 4),
то существует -и точный высший и точный низший предел значений такой
переменной.
Вывод. Разобьем все рациональные числа на два класса так, чтобы
1) ко 2-му классу относились числа, которые больше всех значений х,
2) к 1-му.-классу — относились числа, поторые Цх для некоторых
значений х. Заметим, что все значения х<^£, следовательно при любом целом
положительном п имеем. пх<^пВ, и потому Ж(пх) (целые части чисел пх)
не превосходят определенного числа; пусть N—-наибольшее из Е{пх); тогда
JV4-1 JV
имеем пя<^ N-\-1, х <^ - ■ для всех значений х, но мі&ІѴ, sis— для
Л-Г-1 к
некоторых х; отсюда видно, что рациональное число —!— будет относиться
N
к 2-му классу, а — к 1-му, так что в виду произвольности я числа 1-го класса
будут сколь угодно близко подходить к числам 2-го масса.
Произведенный нами в области рациональных чисел разрез определяет
некоторое вещественное число И, рациональное или иррациональное, которое
обладает свойством: 3) все рациональные числа <^і1/ будут принадлежать
п 1-му классу, а все рациональные числа>Л/ — ко 2-му классу.
Докажем от противного, что чиело М обладает обоими свойствами
точного высшего предела.
Именно: не может быть M<C_Xj для какого-либо значения х, ибо все
рациональные числа между. М и % по 3) относятся по 2-му классу, а по
2) относятся к 1-му классу, что представляет противоречие; не может быть
Л/ —е^ж для всех значений ж, тёі? как все рациональные числа между
М — е и Ы по 3) относятся к 1-му классу, а по 1) относятся ко 2-му классу, ибо
все эти числа ]> х для всех значений; но в этом опять противоречие. Итак,
должно быть М^х для всех х, М — &<^х для некоторых значений, т.-е-
М есть точный высший предел. Аналогично доказывается существование
точного низшего предела т.

48
Дифференциальное исчисление.
Теорема 2. Если функция >/=/(#) непрерывна при а^х^Ь, то
она достигает в этом интервале своего точного высшего предела М и точного
низшего предела т, т.-е. в интервале о^х^Ь найдутся два числа х = с
и ж = е', для которых f(c)=M и Дс')=м; эти значения представляют
наибольшее и наименьшее значения функции в данном интервале. По
доказанной лемме для значений f(x) при a^x^kb существует точный высший
предел Ы и точный низший предел т, ибо, по условию непрерывности,
функция будет и конечною в интервале (<?, *>).
Докажем существование числа с, для котошго До) = М. Разобьем
интервал (а, Ь) на два интервала (а, ■■-— ], (■■ ^—, b ] и обозначим через
(«и £\) тот из них, для которого точный высший предел равен М (для другого
точный высший пределе да). Ту же операцию проделаем для интервала
(й,, bt) и т. д.; это даст нам два ряда чисел я, «ъ ... о„, ..-, b, bt ...\...,
при чем пред. а„ = пред. £»„ = с, и в интервале (»„, £л) точный высший
предел значений f{x) равен да*. Докажем, что Дс)=М; вообще для всех х
в интервале (о, Ь) должно быть Дж)йЛ/, следовательно f(c)^=M; нужно
только доказать невозможность неравенства /(с) <[ Л/. Допустив его, мы
имеем М— Дс) ^> О, и следовательно, по условию непрерывности Да;)
при х = с, можно считать при \х—c\<^h выполненным неравенство
I Аж) — Дс) I "С " с другой стороны, при п s я0, имеем — А < а„ — с
Л
и Ь.п — с <[ + А, где Л — любое положительное число; если взять ж в интервале
япёісйіл, то для негой,, — c^x — c^sb^—с и подавно—h<^x—c<-j-ft,
т.-е. |а:— с|<]А и потому для всякого х, взятого.в интервале (п„, й„),
будет |/<s)_/(C)|<fc£Q, а так как Дж) = Дс) + {/(as) ~ До)],
ег\^-*,\ і Я—ДО Л/4-Дс) 0
то ДзО<,/(с)-| ■ = —^—і-і-і . Этому результату противоречит то,
что Л/ есть точный высший предел значений Да:) в интервале (я,„ &„), и потому
для некоторых значений х в этом интервале должно быть Да;) ~> Л/ — е, где в
, с Л/—Дс) -. ,. Л/ + Дс)
любое положительное число; беря е — —■-' -, находим Дат) > ,—lxiz ;
из полученного противоречия заключаем, что не может быть Дс) < Л/,
следовательно Дс) = М.
Аналогично доказывается существование числа с', для которого Дс') = т.
Следствие. Какое бы число С между наибольшим значением М
и наименьшим значением т функции в_ интервале a^sx^sb мы ни взяли,
всегда найдется в этом интервале по крайней мере одно число х = х„
такое, что /(ж0) = С.
Дусть Дс) = Л/ и f(c) = m, при чем сие' заключены в пределах
яёжйіі; так как Да;) непрерывна в интервале между с и с' и па
границах интервала имеет значения М и т, то по следствию теоремы 1-ой
для всякого числа С, взятогб между т и М, найдется такое ж0 между с и е',
для которого Дг0) = С.
Теорема 3 (ВейѳрштрассаУ Если при а^х^Ь функция Да;)
непрерывна, то какое бы малое положительное число е ни задали, всегда
можно найти достаточно малое положительное Л так, чтобы для всяких двух
значений х: х' и х", лежащих в интервале (а, Ь) и удовлетворяющих
условию \х'— ж"[<[А, выполнялось неравенство (Да:')—Дж")|<СЕі иначе: фунп-

Непрерывные функции от одной переменной. 49
ция, непрерывная в- интервале я 5= х ^г Ь, есть и равномерно непрерывная
в этом интервале.
Предположим, что доказана возможность интервал (в, Ь) разбить на
конечное число интервалов так, чтобы для всяких двух значений х: х' и х",
лежащих в одном и том же интервале, выполнялось неравенство
(х') — ДО|<-е. Тогда будет доказана и теорема 3. Б самом деле, если
данный интервал (а, Ь) будет разбит на конечное чисдо i меньших
интервалов, то наименьший по величине из этих новых интервалов будет равен
некоторому определенному положительному числу Іі. Если мы возьмем два
значения ж: х' и х", лежащие в интервале а^йх^ВЬ и
удовлетворяющие.неравенству \х' — ж"|<7і, то или оба они будут лежать в одном итомже из
. упомянутых интервалов, или в двух соседних; в первом случае будем иметь
по предположению [Дс')— ДОКт *С s> ?° втором случае, обозначая
через i£j аначениѳ х, лежащее на границе двух интервалов, которые
содержат х' и х", будем иметь по предположению [/(«')—/(*<)[< т и |/(жу)■—
- /Се") I < j, откуда \f(x') - f(x") I =§ | ДО - fix/) [ + |/Ц) - ДО I < ',
что и доказывает теорему. Итак, нам нужно показать, что возможно разбить
интервал (а, 6) на конечное число интервалов так, чтобы |/(яг') ■— ДО [ <С іт е >
если х' и х" лежат внутри одного из новых интервалов. Докажем теорему от
противного. Предпоіожим, что интервал (я, 6) невозможно разбить на конечное
чисдо частей так, чтобы выполнялось неравенство |Дс')— (ДО| "С т" е-
Тогда один, по крайней мере, из двух интервалов [ д, ■ ■ ], (-3~- , Ь)
должен обладать тем жѳ свойством; его границы обозначим через аи Ьі
и разобьем новый интервал на части Іаи ■ * ~Г-А, (?.?"*" 1, ЬЛ ; ддя той
"части, которая не может быть разбита на меньшие интервалы с соблюдением
неравенства [Дж')— (ДО["С.-^% обозначим границы (яй, Ьг) и т. д. Так
образуем два ряда чисел а, а„ ... д„,... и 6, Ьь ... Ьп,..., имеющие общий
предел с; по условию непрерывности функции f(x) при х = с имеем:
[(Дя)— ДС)І <т£ ИРИ \х~с[<'г; но при н^п0 имеем—/кв„—с<Лп—c<-\-h,
следовательно любые два значения ж, взятые между ап и Ьп, например
х', х", будут удовлетворять неравенству ■— Ік^х-— с < -f- Л, и потому
|Дж')-Дс)|<|е,|ДО-Д")[<{е, откуда ІДО-ДОКІ*; так
как по предположению такое „неравенство невозможно для чисел х', х",
лежащих в интервале (яя, й„), то1 это противоречие и доказывает теорему.
■Заліечшш. Если обратиться к геометрическому представлению
непрерывной функции при помощи непрерывной линии, то некоторые из предъ-
идущих теорем делаются очевидными. Так, теорема 1 выражает то свойство,
что непрерывная линия, соединяющая точку А{а, /(я)), лежащую под.
осью ОХ, с точкою Іі (]}, Ді)), лежащею под осью (М, должна по крайней
Лнкдиэ бесиовечсо - ывиых. *, 4

50
Дифференциальное исчисление.
мере один раз (вообще нечетное число раз) пересечь ось ОХ, по в этих
точках пересечения х = си сг, -■■ оказывается Д<ч) = 0, Дса) = 0... {черт. 26)
Подобным образом следствие теоремы 2-й доказывается черт. 27, где на
оси 0Y отложен отрезок OD — C и через D проведена прямая J)J)\
пересекающая непрерывную линию АВ в нескольких точках с абсциссами с, сь сг,....
для которых Дс) = Дс,) = Дса) = ... = С.
У
і>
0
(а
л
р
■—і-
і
X'
3
х- f
X
Черт. 26.
Черт. 27.
§ 5. Обратные функции.
Определение. Функция у = Дж) называется возрастающей в данном
интервале пйжйб, если для любых двух значении ж внутри этого
интервала: Ж), ж2 неравенству #|<^ж5 отвечает неравенство Да;,) <СД#3), и
называется убывающею в данном интервале, если неравенству х± < #а отвечает
Джі) > Д3^) (черт. 28 и 29). Функция у = Дж) называется монотонною
в данном интервале a^sx^sb, если она представляет или возрастающую,
или убывающую функцию в этом интервале.
У
о t,j? e
Черт. 28.
Черт. 29.
Теорема. Если у = /(а?) есть непрерывная и монотонная функция
при atsix^b, то полученное из уравнения (/ = Дж)выражевие % черезу:
ж = <рО/) также представляет непрерывную и монотонную функцию от у
при значениях f/ от у = f(a) до j = ДЬ).
Пусть для определенности у = Дк) — возрастающая функция при
a^=x^sb. Если возьмем какое-нибудь значение у = С, заключенное между
Да) и Д6), то, по следствию теоремы 1, § 4, найдется по крайней мере
одно.значеннѳ ж = с между а и і, для которого f{c) = C; при условии
монотонности такое значение ж — с может быть только единственным между
ни {, ибо, допустив существование другого значения ж=с,, для которого
f(c{) = С = Дс), приходим к противоречию, так как при с < с1 должно был
Дс)<;/(сі) ж прж <ч<с должно быть Дс,)<СДо)-

Непрерывные функции ото одной переменной. 51
Итак каждому значению у в интервале: f(a)^=y^=f(b) отвечает одно
зпачение х в интервале oSiceJ, т.-е. х = <?(у) есть однозначная функция
от у. Эта функция будет возрастающая, так как неравенству yt <^ у2 может
отвечать только xt = ^{i/J < #2 = ?(у»); в самом деле, допустив, что ж2 ^ ж1(
мы имели бы і/2 = /(%) £}]- ДжО, что противоречит предположению
!/i<Zy<s- Остается доказать непрерывность функции х = ѵ(у); по § 3, опре-
лѳние 2, при существовании значения [(с), непрерывность функции f(<s) при
х=с заключается в том, чтобы пред. {f(x) —■ Дс)} = О при пред. (ж — с) = О,
т.-ѳ. приращение (х— с) независимой переменной и приращение {fix) —Дс)|-
функции являются одновременно бесконечно-малыми величинами; полагая
£ —/(с)і с = <р{С), найдем, что приращения у—С и «(#)—-<р(С) будут
одновременно бесконечно-малыми, т.-е. ж = в{і/) есть непрерывная функция
при у=С. Рассмотренные здесь функции у = [{<£) и % = у(у) называются
обратными функциями.
Замечание. Если у = f(x) есть нѳпрерывпая, но не монотонная
функция от х, то x = f(ij) будет непрерывная, но не однозначная функция
от «/, ибо данному у может отвечать
несколько различных значений х (см. черт. 30,
где данному y = OD отвечают три
значения х: is = ocx, ж = оса, # = 0Сз).
^ Пример 1. Функция у=х* есть
непрерывная и возрастающая при О^ж<^~(-со;
при чем у изменяется ве интервале
O^j<^-f-co. Обратная функция х=Ѵ у
при 0 ^=і у < -)- со будет также
непрерывная и возрастающая.
ДршіерЗ. Функция у ^а1 есть
непрерывная и монотонная при —■ со <^ж <^ -f- со,
при чем у возрастает в интервале 0<^у<~|-оо при я>1, ?/ убывает между
границами ~f со > ?/ > 0 при в < 1; обратная функция х = Log„i/ есть
непрерывная и монотонная в интервале значений у: 0<С_у<^~{-со
(значение 0 исключается, здесь функция х имеет разрыв).
Пример 3. Функция у = sins есть непрерывная и возрастающая при
.— -— ^ х Si -f- -т-, при чем — l^sy^-\-l; отсюда обратная функция
х = arcsin у есть непрерывная и возрастающая в интервале —-l^sj^S-j-l
при чем значения х изменяются в границах £-£ х^-\--^ (см. черт. 13,
где жирной лилией обведено однозначное представление функции у = arcsin х).
Пример 4. Функция у = cos х есть непрерывная и убывающая от
у=-\-1 до у = —-I при ОЁгйи; обратная функция # = arccosj есть
непрерывная и убывающая при —• 1 ^ у £ -|- 1, при чем зпачения х
заключены в интервале я 5> х Js 0 (на черт. 14 однозначное представление
функции у = агссозж обведено жирною линией).
Пример б. Функция у = tg ж — непрерывная и возрастающая от — оо
до -j- со при — V <Сж <С -^ (исключая границы, где у терпит разрыв);
обратная функция х = arctg у при — со < у < -|~ °° будет непрерывная
и возрастающая, при чем значения х заключены в пределах — -г- <^;с<-^-
(см. черт. 15).
Черт. 30.
-і-

52
Дифференциальное исчисление.
Пример 6. Функция у = cot х — непрерывная и убывающая от + со
до — со при 0 <^ х <^ я (исключая границы); обратная функция х = arccot у
непрерывная и убывающая при —со <^у <С~{-со, при чем w заключено
в интервале тс ^> х ]> 0 (см. черт. 16).
Пример 7, Функция у = sh <е при — оо < х <; -\- со непрерывная
и возрастающая от —со до -f- оо; обратная функция w = arcshy при
— оо < у < -|~ со непрерывная и возрастающая от— со до -|-со (см. черт. 21).
Пример 8. Функция у = th х при — со < ж < -)- со непрерывная
и возрастающая от — 1 до -|- 1; обратная функция ж = arcthy при
— 1<3<Г4-1 ecmi непрерывная и возрастающая от — со до -j-00 (черт. 22).

ОТДЕЛ II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Глава I,
Дифференцирование явных функций от одной независимой
нерешенной.
в л о f(Х + h) — f(h)
э 1. Значение знана пред.—*—'—£ *-*■ для суждения о возра-
станин и убывании фуннции.
Определение. Пусть у = /(ж) непрерывная функция при и^жёі-
Функция называется возрастающей при х = х<, (а<^ж0<]6), если при
достаточно малых j А [ приращение функции Дж„ -\- А) — Джа) имеет знак, одинаковый
>0:
с приращением А независимой переменной, т.-е если
У
А
о
л?1 fpe /ft.
Черт, 81.
X
Черт. 32.
функция называется убывающею при а; = а:0, если при достаточно малых JAj
приращение функции Дж0 + А) — Дж0) имеет знак, обратный знаку А, т.-е. если
"0 + /'1~ЛЗ!0)<0 (см- тарт- 31 н 32}-
Замечание. Функция называется возрастающею (убывающею) во всем
интервале a^sx^sb, если она оказывается возрастающею (убывающею) для
каждого значения х этого интервала; тогда выйдет Д^іХІДД'з) щв х^<^х^
(или Дфі)>Джа) ПРИ жі<жа)> согласно определению § 5, гл. Щ отд. I.

54
Дифференциальное исчисление.
При непрерывности функции f(x) для <с = зѵ числитель и здаме-
f(xa + li)-f(xa)
натель дроби
Л
стремятся it нулю при уменьшении А, и сама
дробь может стремиться к определенному пределу і>, независящему от закона
убывания ft. Если это число D не равно нулю, то при достаточно малых JAJ
отношение
Да. + А)-/(«.)
Л
имеет знак V, и потому функция у = f(x) будет
возрастающей или убывающей в дайной точке, при ж = ж0, смотря по тому,
= я ( f(xa 4- Л) — /fan) I
будет ли В = пред | lxjlj—;—l^jl; t числом положительным или
отрицало ( Л )
тельным.
Величина D зависит от х„ и представляет некоторую функцию от
значений х, которая называется производного для функции 2/=/(а>) и
обозначается символом y' = f'(x); таким образом D = f'{tE^.
Черт. 33.
Черт. 34.
Пример 1. Для функции у = х°— 4#+5 находим іі—Х~< i-Li. —
Л
- жг -j- іа> — 5 { = 2х — 4 -f- ft, следова-
тельно, f'{x) = 2x— 4. При ж< 2 оказывается f\x)<^0, и следовательно
/(ж) убывающая функция; при з?>2 имеем f'(x)~^>Q, и следовательно /"(ж)
возрастающая функция; при х = 2, где убывание функции сменяется
возрастанием, получается minimum функции: J/ = l (черт. 33).
Пример 3. _.j/=ass—Зф-[-1. Здесь и'— пред.-^- I (а?-|-А)3— З(аі-|-А)4-
+1 — х" + Зж— 1 }=пред. | Зж2— 3 + ЗаЛ + А5 | = Зх" — 3 = 3 (в? — 1).
При — оэ<#<^ — 1 имеем у'|>0, функция возрастает от —со до
-f- 5, при — 1 < х < + 1 имеем ;/ < О, функция убывает от 5 до — 1,
при + 1 <ж<-[-°° і/^>0, функция возрастает от —1 до -4- со. Таким
образом при х = —1 возрастание сменяется убыванием, и функция
достигает maximum: j/ = -j-5, а при # = +1 убывапие сменяется
возрастанием, и функция достигает minimum: j/=—1 (см. черт. 34).
Из этих примеров видно, что, изучая изменение знака производной
функции, можно составить понятие о возрастании и убывании функции
и определить ее maxima и minima, т.-*. те точки, где возрастание смепяется'
убыванием, или наоборот (при возрастании независимой переменной).

Дгіфферещгероваиив явных функций от одной переменной. 55
§ 2. Геометрическое и кинематическое значение производной.
Пусть непрерывная функция у = Дж) изображается непрерывною линией
Ма М0 щ (черт. 31 и 32), при чем точка Ма имеет координаты (ж0, /(а?0)),
а соседние точки, как Ма и Л/j, имеют координаты (:г0 -f- А, Дж0 -f-«)); А < О
дія Л/™ и /j>0 для #,. Угловой коэффициент секущей MMt иди Ш/» равен
f(xa+~h) — f(xn) , ,
'- - ■■—і—■■' ■-■ : если А будет стремиться к нулю, то секущая, вращаясь
около точки MQ) будет приближаться к предельному положению, называемому
касательного (S/0T на чертежах ) в точке Л/, к данной линии. Поэтому
угловой коэффициент касательной есть пред' °' . -' = f'(xa), т.-е.
іі-о А
равен значению производной функции в точке касания. Замечал, что
/'(a;,,) = tga = ig(0a;,iI/7), заключаем, что для точки Ы„, где функция
возрастает, угод а острый, tg,a = /''(a;(1)5>,0; для точки Л/0, где функция убы-
. ваѳт, угол а тупой, fga <^ 0, как уже отмечено в § і. В точках, где
функция достигает maximum пли minimum (черт. 35), касательная // оен ОХ,
т.-е. угод п = 0, tg« = /'(&,,) = О, но так как здесь возрастание функции сме-
-—X —
Черт. 35. Черт. 36.
няется убыванием или наоборот, то f'(x) обязательно меняет знак, переходя
через 0: с -+- па — для maximum и с — на -|- для minimum прп переходе х
от хй— А к ж0 + Л (А>0).
Могут существовать точки (черт. 3S), где tga = /■'(#) = 0, но знак f(x)
не меняется, т.-е. функция не перестает быть возрастающею прп f(x)^>0
пли убывающею прп f'(x) <С 0; такие точки называются точками перегиба.
Пусть при прямолинейном движении зависимость между .временем ж,
отсчитываемым от некоторого начального момента, и расстоянием у
движущейся точки от определенного положения: изображена .графически (черт. 31).
Тогда отношение 'ч °~ ' '-±-¥ представляет среднюю скорость движения
точки для промежутка времени Л, примыкающего к моменту ж0, а предел
этой средней скорости представляет истинную спорость в данный момент #„,
ДФп + А) — fix) . -
так что пстипная скорость = пред.'-^—'—j '■—-=f (ха): подобпымобра-
зом, имея графическую зависимость между временем ж и скоростью ѵ = <в(ж)
прямолинейного движения, найдем среднее ускорение' в промежуток времени
і " і и(£(і + А) — 900
от ха до х0 -\- а в виде- ■- -—-. -Jl-2- и истинное ускорение в момент х„
в виде производной: ©'(ж-,) = пред. '■ - ° - -,■ ^-^ . Лейбниц и Ньютон
h = o А
пришли к понятию производной, исходя — первый пз идеи о касательной,
второй — из пдеп о старости.

56
Дифферетуиальное иашслепие.
§ 3. Производная и дифференциал функции. Геометричесное
значение дифференциала.
Как мы уже видели в § 1 и '2, для непрерывной функции у = f(x)
производного функцией у' =f(x) называется пред. у^ ' .'—^-*\ ■ Непре-
рывность функции необходима, но недостаточна для существования
производной; если бы условие непрерывности не было выполнено, то числитель
Да:-)-А)—Дж) не стремился бы к нулю вместе с знаменателем Л, и дробь
не могла бы стремиться к конечному пределу. Недостаточность
непрерывности можно подтвердить частными примерами.
Пример 1. Функция, заданная условиями: і/ = ж при О^х^ 1
и у — 2 — х при 1 :£ж^2 (см. черт. 3), непрерывна, но при ж = 1 не имеет
определенной производной, так как для всех значений ж от О до 1
(исключительно)
і (ж -|- Л) —х j
6=ч
у'= пред. | ^-^-ff— J = -f I,
1 -- -=-o - )(2 —ж —Л) —(2 —я)(
а при 1 <_ ж s? 2 у = пред. \ - ■.-•■■ ■ ' j =
Пример 3. Функция у—х3 непрерывна при веек ж от — со до -|- со.
Производную ее можно вычислить на основании примера 4§ 15, гл. I, Отд. I:
h = о '<■ | к = 0
'і+й'-І
а
Г
.' {сі-^а")= jl і і і --
ж3 ■ предл-—'-— \ (прп Л = аж) = а;" ■ — = — х 3 .
Поэтому при ж = 0 производная не существует (г/=-f- со); график функции
на черт. 37.
Замечание. Функция у = f(x), будучи непрерывной, может не иметь
№ + А)— f(x)\
производной или 1) потому, что пред. і^—-■—~—і-^о зависит от закона уоы-
і. = о ' А і
вания А,' например: при А < О получается один предел, при h ^> О — другой
предел, как в примере 1; тогда на графике получается точка излома или угловая
точка, где две дуги пересекаются под углом,-отличным от О и -л; 2) потому,
(/((е-И)—Пх)\
что пред. ( '—■' ■■'■■ '\ равен со, как в примере 2; на графике касательная
в такой точке || оси OY, ибо, при tg а = со, получаем « = -^-.
Так как переменная равна сумме предела и бесконечно-малой велн-
чины, тоЛд+^-Л*) =/*(ж)_|-е или Дж-f-A) — Да) = АШ») + ШУ>
обозначая приращение функции f{x-\- A)) — f(x) через Ау, а приращение
независимой переменной Л через Дж, имеем: Д^ = Дж {у' -j- е }, откуда
&у — у' ■ Дж = еДж.

Дифференцирование явных функций от одной переменной. 57
Произведение производной функции у' на приращение независимой
переменной Л£ называется дифференциалом функции и обозначается через dy, так
что y'-hic = dy, Ду— йу = г.Дж, т.-е. разность между приращением и
дифференциалом функции есть бесконечно-малая высшего порядка, и потому Ду и dy
суть эквивалентные бесконечно-малые. Отметим, что при у — х, когда у'= 1,'
из формулы dy = y'-&n; выходит Дж = йж, т.-ѳ. для независимой неременной
приращение и дифференциал тождественны, а для функции (имеющей
производную) эквивалентны. На черт. 38, где ШТ—касательная и тяц^Дж,
имеем: &у = іцМь у' - Дж = тт1 ■ tga = «17'=dj, так что дифференциал
функции изображается отрезком щТ, а приращение функции отрезком ntM±.
Из предыдущего вытекают формулы: у' = прѳд.-р и у' = -У-, dy = y'dtc.
Разыскание производных или дифференциалов функций составляет
ближайшую задачу дифференциального исчисления.
У
у
~х
Л'с :.
m /гг.
Черт. 37.
Черт. 38.
§ 4. Производные функций: ж"', о", Logna;, sintc, eosW.
Перечисленные производные находятся непосредственно при помощи
примеров 4, 3, 2, § 15, гл. I, отд. I.
1) (а*1)' = пред.(-^Ь^—~ = яга • пред.
д = о І1 л = о
! + ■=■
k\»>
= жт-пред/1+а)т 1 (при ъ==аал = ам.™_ — ш»-1ш
а = 0 О ■ X ' X
Результат справедлив для всех вещественных т; частные случаи: (ж)'=1,
->-!' 1 -і —1 ,_ 1 1
х ') =-Тй ' = і=, С^й)'
1 2хух
{?-&)' = ~=, <*■ ^)' = х ж ^ ■ •
- і ^ &
3 ' j^'
2) (я1)'—пред.—-,—-==(?с'нред.—,—=<гЧог«; при « = е имеем
a = о \ "■ / л = о л
(«*)' = «", ибо loge=l.

58 Дифференциальное исчисление.
(Log^)' = (LogttC - tog*)' = нред-Lo^ . !°gС* + *) - log* =
3)
—Ьс^е-пред^——j-
h = о Л
logl+V
. ж
= Logne- пред-j — (npnA=aa;)=Logfle-—.
Б частности (loga;)' =—, ибо loge = l.
,. . . ,, sin (и + A)—ein ю 2sm^coslK + -g-l
4) (sina;) = пред.—--■ -'-■,/ = пред. т-і '- —
h=о и h=a Л
— пред. —.— шред. cos[x + -^-j = cos ж (сы. § 13, гл. I, отд. I).
V 2 /
K, , v соз(ж + A) - cosa ~ 2 sin -J sin (at + })
5) (cosa;) = прел.—-——H = Пред. —.-— ^- =
л = о ft . f, = о " ft
АЦ\ . / , a\
= — пред.І —д- j ■ пред. sin (a; -|- —J = _- sin ж.
§ 5. Производная суммы, произведения, частного. Производная целой
функции, рациональной дроби, ,tgж, соіж, sees, cosec#, гиперболических
функций,
1) Производная суміш равна сумые производные при конечном тасіе
слагаемых.
Пусть /(я) = І%Ся); тогда Дя + А) = 1&(я + ft), /(я + ^"^а!) =
ft = i і=1 «
= \Ѵ(я +_ Л)—#*(.?),-
2) Производная произведения двух функций определяется по формуле:
[ъ(<в)-ъ,Ш' = тіС«)-<р.'С«) + <РіС*)-<р*Сж>.
Вывод. Пусть Дж)^»1(ж) ■ ша(аО; тогда /(ж-|-Л)— Дж) = <рі(ж-|-Л)-
■<э2(ж + А) —(рі(ж)- "ра(ж) = о,(ж + Л)^ц>а(ж -j-Л) — <р4(ж)}- +
+ Т»С«)^?і(« + А) — <р,(а;)Ь
откуда
л, -, , , і, да.(ж + Л)'—«„(ж) , , . <?і(# + А)—Щі(ж)
/'(ж)^пред.Уі(ж+А)-пред.'Л ^ ^ ТА; + ?3(ж)-пред.'1Ч ' ^—^-' =
= 9>і(«) ■ <?*(#) + ТаСи) ■ <?'і(=0-
Для трех множителей: («рі - <Ра -*Рэ)' = ^i^Pa ■ '?'з + С?!?*)'" 'Ь = <?і?в<Рз +
+ "Рі^.Тз + ?'і?а<?і* Постепенно увеличивая число множителей на 1, можно
вывести формулу для произведения тмножителей: (е>і^...<рга)' = ?'і»8"•?»! +
+ ?1?'а ■ ■ ■?«! + ■■• + <Рі<Рг ■■•■?№ (т слагаемых).
3) Производная дроби определяется по формуле:
ГФіС<с)Т _ Т»(*0 ■ ?!(«) — <Pi(g) -Т»

Дифференцирование мнъьх функций от одной переменной. 59
Вывод.
f{x ) h) /fc)=Tltfli + A> ъ(х) = fiC^ + ЬЩв) — ?i(g)T>(g + A) =
?i(« + A) ?а0») <Рг(ж + %з(я)
= [?і(« + Д) " Уі(«)] • <P»(s) — Уі(»)[?>(Д + ft) " Т»(Д)і .
<р2(л; -ИОЫя)
по теоремам о пределе иастного, суммы и произведения отсюда и следует
предыдущая формула.
,' 4) Производная от постояшюа величины равна 0: (а)' —0, Пусть
г, ^ г, і і ч /(#4- Л) — Л*)
/(ж) = й; тогда Да;-|-/0 = «, '-і—!—і—^-^^ ^ 0 тождественно, откуда и
предел этого отношения при А = 0 также есть' 0, т.-е. f(x) = 0.
5) Постоянный множитель выносится за знал производной: ;в-Яж)!-' —
Это вытекает из формул 2) и 4).
Полученные общие теоремы 1) — 5) дашт возможность составить
производные от следующих функций:
G) Производная целой функции: f(x) = aax"'-{-a1xm~i~\ \-Щл-і%-\-вт
находится по теоремам 1), 5) и но формуле § 4 (а?т)' = даж™-1: именно:
/"(ж) = те»*"-1 + (т — 1)в,зт-г 4- ■ ■ ■ 4- <**-!■
Щтмер 1: (5ж5 —7ж34-12ж2 —11я;4-^)' = 20ж8 —21жг4-24ж —11-
7) Производная рациональной дроби: -^-^ находится по 3) и б).
Пример 3:
я24-1 Y __(іс2—ж4'1)-2ж —(жг4-1)(2ж—1) —ж4 4-1
\ха- — ж 4-1/ (ж5 —ж 4-1? (а;* — а;+-1)'4
8) Производные от тригонометрических функций находятся по 3) и по
результатам § 4: (slnx)'= cosx, (сова;)' = — sina;. Именно:
„ ,, /sinaA' сойж-собж — sina;(— віпж)
^cosa;/ соз'ж cos*a;
, , ., fcosxY smx(slnx)—сойж-созж
(cota;) =! ' — v '
sin2* sm-a;
(seca;)' = (—— ], = -^-—- , (со5есж)'= . v
с os3 a; sin5»
9) Производные от гиперболических функций находятся на основании
предыдущих теорем и формул: (&*)' = &>, (<гЯ1У= —1 = —— = — (Г1'.
Именно:
(sbffi)' = f— f — — ffA =i-e"4-— e-e = ch«, (dias)' = (— ^ + i<rM =
U- 2 / 2 ' 2 \2 ■ 2 /
1 „ 1 _- , Л. ., /зажѴ cha; - eh ж — эЬж -sha; 1
= — f e 3,= sba\ (tba:) = ■ 1 = ■ ~— — = ,
2 . 2 \ch£/ еЬЕж сЬ=ж
, , ,, /сЬоЛ' sha;-sha; —cha;-di& — 1
(colha;) = —-
shay sh*a; shsa?

60
Дифференциальное исчисление.
§ 6. Пронзводнап функции от функции. Производные обратных
функций: круговых и гиперболических.
Определение. Если у = Дг) si-у(х), то у относительно х
называется функцией от функции, так как каждому х отвечает определенное
значение z, а этому последнему отвечает определенное значение у. Так как
для непрерывной функции приращение функции одновременно о
приращением независимой переменной стремится к 0," то ясно, что, при
непрерывности функций z — ?(;с) и y = f(z), и функция у — F(x)^ — f[f{x)] будет
непрерывна.
Теорема. Производная функции от функции находится по такому
правилу: у% = f{z)-<o'{x) — у'іш%кі т-_е- равна произведению производной
от у по z, как если бы z была независимой переменной, на производную z по х.
Вывод. Дадим независимой переменной х приращение Ах; тогда %
получит приращение Дг = ?(а; + Ах) — <р(ж) и .у получит приращение
Ду=Дз + Дя)—Дг).Изгождества:-г^-= ~. -г—, при переходе к пределу,
и получается предыдущая теорема.
Следствие. Умножая обе части формулы yi=yi-si на dx, находим
(на основании § 3: уі ■ dx = dy, Zx-dx = dz) следующий результат: <% =
= y'i-dz=f'(z)dz; сопоставляя его с формулой dy=f'(x)dx, когда у=/(ж),
заключаем, что выражение дифференциала функции у = Дг) сохраняет один
вид: dy = f(z)dz, независимо от того, будет ли s независимая переменная
или функция от независимой переменной.
Это дает возможность переписать все ранее полученные формулы
производных в более общем виде: d(ym)=mym-1<%, d(av)=a?logady, d Log^= ■ ?— dy,
d slay = cosy dy, d cosy = — siny dy и проч., где у означает любую функцию
от х, имеющую производную.
Приложим это следствие к обратным функциям (отд. I, гл.Ш, § 5); пусть
у = Дж) и х = ф(у) —■ обратные функции; тогда
' tit/ (і-Ф
dy = f{x)dx, dx = <?'(i))dy, откуда f\x) = -^, т'(У)= щ> т--б-
(р'(^) = —_ производные обратных функций представляют обратные величины.
Б частности для обратных круговых и обратных гиперболических функций
находим такие результаты.
1) у = агсзіпж при — 1 ^ ж <; + 1 и — -7f й У Sjy ■ Здесь х = siny,
dx = cosydy, у'=^= — ; но, при—~^J^ J, должно быть cosy>0,
следовательно
cosy = -|- ]/і — sioay = + V ^ — ^'i1 (arcsinjc)' ■
+ 1/1 — жа'
2) у = агссоаж при — 1<j;£4-1 и «raj£0. Здесь'ж = cosy,
<te =—-sinydy, у'=-уі- = :—; при 0<у<и имеем siny]>0, слѳдо-
ш^ !
вательно siny = + l/ 1 — cos2y = + }/ 1— жа, и (агссоза;)' = -; .

Дифференцирование явных функций от одной переменной. 61
3) y = arclg;c при — оо < # < ~f <ю и— у<у<+|-. Здесь
■ ■ du , <£« „ 1 1 1
# = te«, вЖ = "„■ , V = -у*- — COS-1!/ = ■ г- = ■ ; ■ -.- = ~г—5, СЛѲ-
»»' cossi/,J dm J secay i^j-tg'y l-j-a;51'
довательно (arctga;)' = ■=—r—^ .
4) у = arecota; при.— со<'ж<^+со и ^^>y^>0. Имеем: ж = соІу,
j du , dy — 1 — 1 — i
ax= Hr-, у = ~r- =— sm*w = =- = z—, 5- = -—r—s.
следовавши '3 da; " cosetfy 1 -f- cot'y 1 + жя'
тѳльно (arecota;)'=-5—r-~s-
5) j/ = arcsha; при—oo<^a;<^-|- 00 и —00<Су<С_Г" °°- Имеем:
.<c=shy, dx = chy-dy, y' — -j£- = -r—-, но cby^>0 при всех у,
следовательно chy = -j-|/l +sh*y= -f- V';l + a;S и ■ окончательно (arcshsc)' =
__ 1
6) )/ = агсіЬа;при — 1<а?<;+1 и —°о<у< + оо. Здесь ;c = thj,
^^Ж1**1 ^' = dc =сЬ^=Г=Ж ^СМ0ТРВ отдел I, главу Ш, § 2
в конце) = т-—в, так что (arctha;)' — -——g.
Замечание 1. При помощи доказанной выше теоремы можно составить
производную от показательно-степенной функции: у = «", где м и и суть
функции от х. Имеем: logy = ѵ ■ log«, -*- = — . «-j- log« • d«,
dy = u° j— du-\-logu- dv\, y' = tt° (—.«'-)-bg« ■ u' .
Пример 1. (a?1™)' = a^ j— + logs • cosa; j.
{ x )
Замечание 2. Доказанную выше теорему можно обобщить для случая
нѳ двух, а нескольких зависимостей вида: y~f(z), z = f(u), w = ^(u),
d = (b(io), ib=F(x). Обозначим приращение независимой переменной а;
через Да;; соответственные приращения остальных неременных будут:
Д«» = /ffic-f- Дя?)—Да;), Ди = се(«) -j- йю)—«(uj), Дм = ^(«4-й«) —^(ч),
ДЕ = Ч>(« + Лм) — ?(«)> Ду=-Дя + Д*) —Дя).
„ Д« Ду Дя Ди Ati Дмі
Из тождества: — = ^ • — . _ . _ - — полунаем в пределе, по
теореме о пределе произведения: ук = $•*»• «о ■ ѵ'ѵ> ■ toi =
/"'(г) ■ <?'(м) - ф'(«) ■ «'(«) ■ -*"(#)•
' Пример 2. Найти у', если у = tog tg — .
Пусть y = logE, a = tgn, «=-|; тогда f/i = (bgz)'.(tgw)'./^-j =
1
I
1
COSaM.
1 1 1
2 2sinf cos-f~sin3:

62
Дифференциальное исчисление.
2 . ., /, /Т т\
Пример 3. Найти у', если у = ■ .-_^. arctg [Л/ _ щ —
Полагая »/ = -г--- ■ arctg?, z= у —-igw, и = —, имеем:
I/ Л * Л
1 1
У 21 1+г2 V 7 cosa?t 2 7 cos'w -j- 3 sin% 5 + 2 cos£
Пример 4. Найти j', если (/ = sin'logcostg2( $/~ 2#s— l).
i_
Полагая # = sn, г = sin?*, м = log«, v = cosw, w = I2, E = tg-q, tj = Ся,
1 11--
1, = 2х2 — 1, находим: «' = 3ss. cosm • — ■ (—sin«j)-2£ • —5- '- — С a • Ax =
J о ч _____cos 4 3
— 8 sin2 logcos lga ( (У"2а;3 — l)-coslog cos tg2 (Х~2ж2 —1 - Ig (tga {/"W^T) ■
sin ( fr^2aTa — l) ж
cos3 ( f/~2F^T) ' i3/"(2^ — l)a '
Щтліер о. Найти у',еслиу^агсзіп(зіп#), при чем по обычному условию
тс , it „
однозначности у содержится между—— и-}-— . Полагая у = arcsins,
к = sma;, имеем: « = — -— ■ coss = -—— • cos х = ± 1, при чем
J _|_|/l_gl |С03«1
знак ± одинаков со знаком cosar. Для пояснения результата заметим,
что j/ = &7r-j-( — 1)й.£, где, по данному ю, целое число А; выбирается-тан,
чтобы у содержалось между —тг и +"іГ> отсюда—% = (—1)"(А*— у),
cos# = cos{&^— у)=(—1'fcosy, т.-ѳ. знак coss совладает с(—1)'', 'ибо
cosj/^>0. Итак, у'='(—1)"; но этот результат непосредственно получается
из выражения у = Ы-\-(—1)"-х.
Приліер 6. Найти у', если у = arctg (Щх), при нем — ~ < у <| -f- -£-.
Полагая у =arctg£, % = tgx, имеем: у' = -—j—3 ■ 5- = 1, что вытекает
1 -Ц— Z COS X
из выражения: у — кк-\-х.
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула
Лейбница.
Определение. Если производная от данной функции у = f(x) сама
имеет производную, то эта последняя называется второю производного (или
производного 2-го порядка) данной функции и обозначается через у" или /"{#):
Подобным образом производная от 2-й производной называется третьей
производной и обозначается через y'" = f'"(x)- Вообще эт-я производная
определяется как производная от (п—1)-й производной:
Произведение м-й производной па п-та степень дифференциала
независимой переменной называется я-м дифференциалом (или дифференциалом

Дифферещгерование явтьх фушцгей от одной шрелютю-й. 63
я-го порядка) данной функции и обозначается через day. Итак, dhj — ij'-dx*,
d3y = y"'-dxs . . ., d?ly = y(a)-dx\ откуда «" = ^,...«(») = ^I
dx* dxa
Составим и-е производные некоторых функций.
1) у = я?\ yW=m(m — l) (т — 2). . . (т — п -\- l)a?ffll~"; если т
целое положительное, то т-я производная выходит постоянною, а все высшие
производные равны 0; этот результат справедлив и для полной целой
функции иі-Й степени: у = а„хт -J- й^"1-1 -{-...-(- am-1 х -\- ат: именно:
у[*)=т(да — 1)... 2-1% y(m+')=0, у(ж+*) = 0...
При у = (ах + і)га имеем ji")=m(m — l}...(m—й+І) {ax+b)'n-a-aa.
2) j = log (ажЦ-J). Здесь у' =-■ -г-т = я (яж-І-і)"1 и но предыдущему
,„. (—1) (—2)...(—в+1)я» (— I)"-1-1.2.3...(я—1)я"
результату: «(")— — ———■ L -' = ч—!- >- - '—.
3) y = eto дает: уіп) = eto-P; у = «'и = екюЕвл дает
?yCl)' = ef,ioen^.(Hogft)"=fl'a:-(Alogo')n.
4) у ^ sin ж дает i/l") = sin[u;-(-«—
V 2
у = sm(<K5-f-А) дает j'"l = я" ■ sin [«а; -J- й-|- «— і.
5} f/ = cosa; даѳт jl") = сов (л;-|-п—].
у= cos(ax~\-b) дает j(") = cn-cos|ea; + & + « —j.
6) j/^shs дает у(й)—sh-ж, г/(8К+1) — сЬж. -
7) y = chx дает )/'а!;) ^сЬж, ^(м+1) = sh;c.
В более сложных случаях можно пользоваться: 1) разложением данной
функции на сумму нескольких слагаемых и. применением очевидной теоремы:
производная любого порядка от суммы конечного числа слагаемых равна
сумме производных того же порядка от всех слагаемых, и 2) формулой
Лейбница для производной любого порядка от произведения двух функций.
Щпш&р 1. у — -—— • Найти ?/(").
6 -f- ж — ха-
Пользуясь тождеством у = 1- -—— находим по 1)
3 — х 2-\-%
3
,Я1_2.( —l)M.2.3...w.(—1)" , (— 1)".1.2-3...»
(3—ж)п+1 (2+ш)«+» ~~
_(-1)М.2.3...й((_1Г_2(2_|_з;)П+1 + (3_а,}1[+1;
(6 + х — хУ
+і
Пример 2. у = оо$>х. Найти j/'1).
Из тождества cos's = — (cos 3$ -(- 3 соэж) находим:
4
у(») = —j 3"cos /зж + "—) -Ь 3 cos («-(-»—

64
Дифференциальное исчисление.
11
Формула Лейбница для (ми)'"' имеет вид: (««)(") =м(и)о-)-—а(,,~1)«'-{-
^1-2 -г Т 1.2.3. -./с
...-)—и'і>(я-і) +««(П), представляя аналогию с разложением (и 4- ")" с тою
разницею, что в первом и последнем членах появляются множители и и и.
Выводится эта формула при п = 2 непосредственно и далее переходом
от п к п 4-1» при чем надо воспользоваться тождеством
s*-i _і_ оъ _ Гк „„ /* _«(" — 1) ■ • ■ (п — А 4-1)
t-я + ьв = ьп+1, где оп — —-—-—■—-.
1 ' й - . • IV
Пример 3: y = elx-w'i. Найти #'">.
Инеем: у(в) = еа,;-2"-я;в + —cM-2"-I-2;c4-^z:i^cM-2"-s-2 =
э ' 1 ' 1-2
= ем- 2" [ж* 4" «« + — Ф — 1)] ■
Пример 4. Найти значение (arctga;)!"' при а? = 0,'
Имеем: у'(1 + #а) = 1; беря от обеих частей (л — 1)-ю производную,
получаем: у(»).(і + ата) + ^^ - уі"-М-2а: + (" ^ '> Cft~~ 2>уі-').2 = о.
При я = 0 находим: sJ*J =— (и — 1) (и — 2)yj*-a); непосредственно нахо-
———1=0 и отсюда уіт = ууі = ... = у$ад = 0; далее,
и'0 = 1, следовательно '< = — 1-2, <=+1-2-3-4, «т»- = —1-2-3-4-5-6.
уР"+і) = (_і)*.і.2-3.-..л
Глава П.
Формулы, на которых основано приложение
дифференциального исчисления к вопросам анализа.
§ 1. Теорема Ролля.
Если при а^кх^зЪ функция y = f{x) имеет производную и если
Да) = Д6), то существует в интервале (а,- 6) по крайней мере одно значение
{с = с такое, при котором производная f'(x) ..обращается в нуль, так что
/"(с) = 0. В частности числа а и b могут быть корнями функции Дв), ибо
тогда Да) = Дй) = 0.
При существовании производной функция Да?) должна быть
непрерывной при а^вх^Ь и по теореме 2 8 4, главы Ш, отдела I, достигает в этом
интервале своего наибольшего значения М и наименьшего т; по крайней
мере одно из них не совпадает с пограничными значениями Да) = Ді), ибо
иначе выходило бы М= т, т.-ѳ. функция f(x) была бы постоянною в
интервале (а, й) и производная f'(x) была бы =0 тождественно. Отбрасывая
этот случай, предположим .для определенности, что для некоторого с,
лежащего между а и Ь, оказывается f{c) = M. Докажем, что f'(c) = G. Взяв

Формулы ІСоши, Жагранжа и Тэйлора. 65
<С 0; но оба отношения имеют пределом
столь малое положительное Л, чтобы числа с —k и c-\-h лежали между а
и Ь имеем тогда Дс — А) —■ Дс) < 0 и f(c -)- h) — /"(с) < 0, следовательно
f(o-h)-f(o) и ДС+А)-ДС)
— h k
одно и то же число f'(c), следовательно по первому представлению должно
быть /'(с) ^ 0, по второму /"(с) ^ 0, так что /'(с) = 0. Если бы
существование производной не было известно, то отсюда следовало бы только, что
/'{с-0)>0, а Дс+0)<0.
Замечание 1. Если функция y = f(x) непрерывна при ns=a;s=b,
но не дано, что производная существует при всех х в интервале (й, Ь), то
из равенства Да) = Д6) может следовать не только обращение производной
в нуль, но также 1) обращение производной в ± со с переменою знака при
некотором с в интервале (а, Ь) или 2) конечный разрыв производной при
некотором с, так что f'(c — 0) и f'(c + 0) оба конечны, но различных знаков.
В первом из этих случаев график линии y = f(x) получает острие (точку
возврата 1-го рода), во втором—точку излома (угловую точку); смотри
чертеж 39 и 40.
Черт. 39.
-X
т.
Черт. 40.
Пример 1. Функция у = х3 непрерывна при —і£жё-|-1 з на
2
границах имеет равные значения: 4-1; при ж = 0 ее производная —г-=
3 ух
обращается в со (острие), при чем при х = — 0 у'= — со и при х=-\-0
У' = + со.
ПримерЗ. Функция: у = х при 0§з;£1, і/ = 2— х при 1^ж^і2
непрерывна в интервале (0, 2) и на границах имеет равные значения: 0;
при х = 1 ее производная терпит разрыв: /'(1 — 0) = +1) /ѵ(1 + 0) = — 1
<точка излома).
Замечание 0. Если "дано, что в интервале в ЗіІ ж ^ Ь функция у = /(ж)
имеет все производные до (п—і)-го порядка включительно; если сверх
того в интервале (а, Ь) функция Да;) имеет п различных корней, то в том же
интервале первая производная /'(я;) имеет до крайней мере (« — 1) различных
корней, ["($) — по крайней мере {п—2)различных корня и т.д., f(*~l)(x)—■
по крайней мере 1 корень х = с, так что /,!,1-1)(с) = о.
Вывод. По теореме Ролля, если с,, с^ ... сп суть п корней функции Дж)
в интервале (а, Ь), то производная /'(ж) должна по крайней мере по
одному разу обращаться в нуль в каждом из (и—1) интервалов (сІ5 сД
(с2, сД ... (с,і..і, с„), т.-е. имеет по крайней мере (и—■ 1) корней между а
и Ь и т. д.
§ 2. Формулы Каши и Лагранжа. Приложения.
Формула Коши. Если при n^iSi две функции Да;) и <р(х) имеют
производные, из которых <о'(х) не обращается в нуль при uSi — t, то
{!>)-№_ Г (с)
Аналшз бесконечно - малых.
?'(-!)'
где с некоторое число, заключенное между а и 6.

66
Дифференциальное истслвтіе.
Вывод. Рассмотрим функцию F(x) = f(x) — Да)— Ріѵіх)— <?(«)S
для которой і?(а) = 0, и подберем постоянное Р так, чтобы р(Ь) = 0; это
дает Р='— ^— (здесь знаменатель не нуль, ибо иначе, по теореме
?(і) — щ(»)
Рожля, <а'(ж) обращалось бы в 0 между ash, что противоречит условию
теоремы).
Так как функция Р(х) имеет производную и удовлетворяет условию'
f(b) = F(a) = О, то по теореме Ролля должно быть /"(с) = 0 при
некотором с, взятом между лий, Но F'(x) = ['(&) — Р ■ <?'(%), следовательно
/'' (о)
Г (с) — іУ(с) = 0, откуда Р = '—^ (Ѵ(с) пе пуль). Приравнивая два зпа-
чепия Р, получаем формулу Кошп.
Полагая 6 = й + А и обозначая число с, заключенное между я и n-j-/t
через а + ЭЛ, где О<0<1, перепишем формулу Коши так:
»(я + ft) — 9(0) =?'(" + ftu) '
Формула Лаграноіса. Если при a£a;S4 функция Да;) имеет
производную, то Дй)—Д«) = (6 — «)/'("), гДе с лежит между п и &.
Вывод. Положим в формуле Коши »(#} = #, <р'(ж) = 1: тогда условие'
необращения в пуль функции »'(#) выполнено, и мы народам ^-^—£-^ =
— ^-р, т,-е. формулу Дагранжа.
Следствие 1. Если в интервале a^xSsb оказывается /'(ж) = О
тождественно, то функция Да;) приводится к постоянной, так как для всяких двух
значений ж: ж, и ж2, взятых между я и Ь, выходит: Джа)—[(з}±) =
= (я, —я,) -/"(е)=0, т.-е. Д*,) =/(^0-
Следствие 3. Если в интервале я^ж^й производная функция /'{ж>
остается положительною (отрицательною), то функция /(ж) будет
возрастающею (убывающею) в этом интервале, так как для всяких двух значений #,
и ж2>ж,, взятых между а и 6, имеем: Джа)—■f{xi) = {x2—xt) f(c), т.-е.
разность Джя)—/(&і) имеет знак производной; таким образом f(x^^>f(x%)
при /,'(ж)>0 и /(жа)<Да;,) при /'(а:)<0 (см. отд. П, гл. I, § 1).
П'шлож&нш 1. Доказать тождества: nrctg , = = arcsmo? Ц),
|/ 1 ■— л:я
(х \ і 2х \
-—==, = arctgic (2), arctgfj—^д =2arelga: (3),
log (ж + j/1 -j- жа) = arcsh х (4), у log (j^) = arclh ж (5).
(В (1), (3), (5) считается —l О <+1).
Проверяеы, что производные от обеих частей тождества равны; если же
/■'(ж) =<a'(>E)t то [/(ж)— <р(а;)]' = 0 и по 1-му следствию иыееы да;) — у(х) = С;
для определения постоянной С во всех примерах пожагаем з:=0, и так как
Д0) = О, ?(0) = 0, то С=0 и окончательно Дд:) = а(ж).

Формулы Коти, Лаграижа и Тзйлора. 67
Приложение 3. Доказать, что при х^>0 имеют место неравенства:
е*>1-\-х (1), #B>l+flj+|(cs (2), *~-fc9<log(l + e)<a> (3),
х— - ж" < arclg х < ж (4).
Джя вывода неравенства (1) положим Да;) = е* —1 — х; так как
р(ю) = е*—1^>0 при х^>0, то Да;) возрастающая функция при <с>0, но
Д0) = 0, следовательно Да;)>0" при ж^>0: для вывода неравенства (2)
положим [(х)=ел—1—ж—-а;5; так как ['($) — <f— 1—а7>0щшж>0
в сижу (1), то Да) возрастающая функция и при До) = 0 выходит /"(&)■]> О
при а; > О. Для вывода (3) берем две функции: /(ж) = log(l + х)— ж,
Г/Л J д.
<p(!c) = ]og(i+a;) — х+~; так как Да;) =-_д-^ — 1 = —-^ <0 при
1 ""■ жа
а;>0, а <?'(#) —гт~ f1—ж) = -J— >0 при ж>>0, то Дж) убываю-
щая функция, а у(х) возрастающая функция при з;>0; теперь из равенств
/'(О) = 0, <?(0)=0 следует, что при #>0 должно быть Дж)<|0, и(а;)>0
это и доказывает неравенство (3).
§ 3. Формула Тзйлора с дополнительным членом.
Поставим задачу о разложении целой функции я-й степени Да;) по
целый положительным степеням бинома х — я, т.-е. найдем выражения
коэффициентов АВ! Аіу ... АЛ в формуле:
Дж) = Ло + 40е — «) + Л(ж — «)а + Л3(я — а)в+...+Ля(а: — «У-
Составляя я последовательных производных от /'(я), найдем [см. гл. I,
§ 7, 1)]: -
Ail -f 2А„(х — в) + ЗЛа(ж~в)г + . .^+ пЛ„(л;—.а)1"-*
2-І-Лэ +3-2^,(я —tt)+...+«fn—1)Л(я —о)"-1
3-2-Us + ...+«(«~1)(я~2)і,(я — а)""3
/t"J(a) = fl(« — 1) (н — 2)... 21 Лп.
Полагая во всех тождествах а; = й, найдем Л0 =/'(я), Л* =^-і-і,
* ТТ' '=Ш'"' "~1.2"-31 «' ЧТ° И вводит к формуле
Тэйюра для целой функции я-Й степени:
1 ■ 2... я "
Возьмем теперь какую-нибудь функцию от ж, непрерывную вместе с п
первыми производными и имеющую (я-{-і)-ю производную для всех
значений от а до х. Предыдущая формула не верна для всякой функции, кроме
целой степени Si«: поэтому мы прибавим в разложении еще один не вполне
определенный меп вида Р-(х— а)*1, где р целое положительное число и Р
5-

68
Дифференциальное исчисление.
некоторое неизвестное число (такой член называется дополнительным или
остаточный и обыкновенно обозначается символом -/?|]+1); итак, доложим
и рассмотрим функцию от г:
71
F(s) = f(fc)—f(z) — y&^^fW(z) — P(a; — z)*. где Р будем считать
независящим от z.
Тогда F(a) = 0 в силу формулы (*). F(%) = Q тождественно; сверх того
функция F(z) имеет производную: ,
*=і' *- - ■ ■ '
+ fj)(ic —gy-t=— (Д~')'/''")(»)+^(Д-»У',
существующую но предположению для всех значений z от «до ж. По теореме
Рожжя заключаем, что между а и х существует число £ такое, для которого
отсюда
^(с —Е)"-'"-1/Ч»+1КЕ)
и!-;)
Так как і есть число, заключенное между я и ж, то можно положить
= а-\-Ъ{х — й), где 0<8<і; тогда х — і = (х— а) (1—8), и дополпи-
т ельпый член формулы (*) будет:
дп+1 = р.(ж_й/ = (£_£^11_^ fi» + i)[a + 4x-a)l
где р любое целое положительное число от 1 до я -f-1 (показатель при 1 — 8
должен быть =£ 0). Б такой форме дополнительный член был указан Ш л ё-
ыильхом; при р = п-\-1 получается форма, указанная Лагранжеы:
*>^= %+[£ Л"Ч« + »(Д-«)3,
и при р = 1—форма, указанная Коши:
Л„, = (£^й^./(.,-)[0+а(І_0)].
Итак, мы получили формулу Тэйлора с дополнительным членом:
а
ее вывод основан был на предположении, что в интервале значений %
от я до а; существуют все производные функции f(z) от первой до (w-j-l)-u
(существование А-й производной необходимо предполагает непрерывность
всех предшествующих производных и самой функции).

Дііфферетуісровиние функций от иеекольких перемеиныа:. 69
Полагая ж = а-(-Л, получаем другой вид формулы Тэйлора:
hi
Л« + А)=/«0 + У ё^Ч«)+Д,+ь
где
дч+і Ап+'Сі лу>
Лп+1=(Ѵ^Т)7 Ли+1Ч«-г-^) или Ля + 1=2—^--НІ^Но + вА).
Если в последней формуле Тэйлора заменить в па ж, Л на cfe,
f(x-\-dx) — f(3;) па Лу, /і"'(as) <Дв* па ігі/, то 'получится разложение
приращения функции по днфференпиалаы ее 1-го, 2-го, ...я-го порядка:
п
Наконец, если в первоначальной формуле Тэйлора сделать а = 0, то
получится формула Маклорена с дополнительным членом;
и
дж)=до) + 2н^!(0) + ^+1,
где
при ()■<*•< 1. Вывод формулы предполагает, что при 0<Сг<ж (или при
0>е>ж) существуют все производные данной функции от /'(as) до /,'и+1)(з).
Глава III. '
Дифференцирование явных функций от нескольких
независимых переменных и неявных функций от одной
и нескольких независимых переменных.
§ 1. Непрерывность функции от нескольких независимых переменных.
Определение 1. Переменные х, у, % называются независимыми, если,
после задания одной из них определенного значения каждая из остальных
может принимать любое значение из своей области изменения. Напротив,
переменная V-называется функцией от независимых переменных ж, і/, £,.■-
— что обозначается символом F=/(as,y, г,.--))— если, после задания
определенных значений переменным x,y,z,... переменная V получает
определенное значение. Например, если точка М($, у, г) может занимать любое
положение в пространстве, то три ее координаты будут независимыми
переменными; если точка М должна оставаться на некоторой поверхности, то две
ее координаты ж и у будут независимыми переменными, а третья г, как их
функция, определяется из уравнения поверхности: £=/(&, у). Если точка М
должна находиться на некоторой линии, то одна ее координата ж будет
независимой переменной, а две другие і/а; будут функциями от ж,
определяемыми из двух уравнений данной липни.

70 Дифференциальное исчисление.
Определение 2. Функция Ѵ = [(х, у, z ...) называется непрерывною
для данной системы значений ж — % j — у„ г —г0.,., если 1)
существует определенное значение Дж01 уй, г0...) и 2) пред-. Дж, у, а...) =
= Дж0, і/0, з0... ), "если ж, у, z... приближаются по любому закону к ха, ут s0...,
т.-е. если можно сделать (Да;, у, е...) — /(ге0, і/0, е0...)|<С = нри
достаточно малых: значениях \х — х„\, \у—у0\, \х—-г0|...
Если .одно пз этих условий пе выполнено, то функция имеет разрыв
для данной- системы значений ж —ж0, у = уа, г —г0...
Приме?). У(х, у) = — имеет разрыв при ж = 0, у = 0, ибо снм-
зР-\-уъ
вод 7(0, 0) не имеет определенного значения; полагая, например, w = кх.
\ /с2
где к постояппое, получим пред. \{х, у) = ,-что может быть любым;
я=о,ѵ=о 1 -\-к3
числом между — 1 и 4- 1- Но если рассматривать У как функцию от одного х,
считая у за постоянное, то эта функция от х непрерывна пе исключая
х = 0, где она имеет значение—-1; так же, если считать V функцией от у
(при постоянном ж), то V непрерывная функция, пе исключая значения
у = 0, когда она обращается в -f-1.
§ 2. Частные производные, частные дифференциалы и полный
дифференциал. Сравнение полного дифференциала с приращением
функции.
Определение. Если функцию от нескольких независимых переменных
У=Дж, у, е) рассматривать как функцию от одной переменной х, считая
две другие у и % за постоянные, то составленная в этом предположении
производная и дифференциал функции V называются частного производного
и частным дифференциалом но х п обозначаются символами:
¥=? = *'.=* с*, у, ») = ^^±^Ы(аМ\
ox ax ds=° [ Дж ;
дѴ
*• V = dj(x, у, z) = ■-- -dx = fa (х, у, z) ■ dx.
03/
Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным
называется полным дифференциалом функции и обозначается символом dY:
дѴ дѴ дѴ
dV=ox~diV + o~y~dy + oTds^'f!e' dx + f» ■ d,J+f* ■ dz-
Пример. Y^arclg-^-. Здесь ^ = ^^ЕЩ ' Т ^f+fr-yf
дѴ_ і —1_ —а ^І'____і_ —(я—у) _ х — У
Теорема. Если при даппой системе зпачепий ее, у, % все частные
производные -г- , -— , -г; функции V=/(x,y,z) существуют и непрерывны, то
Q\X/ Otf и*г
полное приращение функции: &Ѵ= f(x-\-&х,у-\-Ay,z~\-&z) — f(x,y,s)
отличается от полного дифференциала (IV па бескопечно - малую порядка
выше 1-го, когда Ах, ь,у, Де приняты за бесконечно-малые 1-го порядка.

Дифференцирование функций от нескольких переменных. 71
Вывод. Представим ДУ как сумму трех разностей:
ДѴ=ДЕѴ-|-Д,/Ѵ4-Да!Ѵ, где положено: ДГУ— /(<e-f Ах, у + д«, г + Д*) —
— Да:, у + А$; а + д*), Д„У= Да;, у + iff, * + As) — Дж, ff, z + Дх), u,F=
/(ж, у, г + Дв) — Дю, ff, г).
Пользуясь формулой Лагранжа, можем написать:
Да.У=Дж.Д(а;+8Дя;, у + Ді/, s 4~ Дг) я, по непрерывности частной производной
f's(%,y,i), принять: Гяіх + ЬЬх, у + Ау, 2 + Де) = Д (ж> #, *) + а> где |а[
можно считать сколь угодно малым при достаточно малых (Дж(, (Ду|, |Дз|;
итак, Д,сУ= kin\f'x(x, у, а) -\-а \. На тех же основаниях найдем:
\У= Ау ■ Г„ К У 4- My, / + Д*) = Ду ^ Л К у, а) + Р \,
A.J = Де . Д (ж, у, е + ЭгДв) = Дг {f, (ж, у, z) +т h где р, г, как и а, суть
бесконечно-малые одновременно с Да;, Ду, Дг.
Замечая, что для независимой переменной приращение Дж и
дифференциал dx торжественны (ем. гл. Т, § 3), находим; Д V = dV-\-аАх ~{-$Ау-]--(Az,
что и требовалось доказать. . ,
§ 3. Дифференцирование сложных функций от одной или от
нескольких независимых переменных. Однородные функции.
Определение. Если У=Да;, у, г)- есть функция от нескольких
аргументов х, у, z, которые сами являются функциями от независимых
переменных, то \ называется сложной функцией от этих независимых переменных.
Теорема. 1. Для сложной функции от одной независимой
переменной t\ V=f(x, y,z), где а; = «(f), y = ty{t), z = m((), производная по t
dV дѴ ѣ . йѴ dy . дѴ dz
составляется по формуле: ^=-^ ■ ^+— - ^+ъ ■ д, т.-е. равнасумме
произведений из частных производных по каждому аргументу на производные
аргумента по независимой переменной, а дифференциал dV имеет выражение:
... дѴ . . дѴ, . дѴ .
dV=Y- »*+-т" <*У +-тг**г» т''е- по ВИДУ совпадает с полным
дифференциалом функции У от независимых переменных х, у, е.
Вывод. Когда независимая переменная t получает приращение Д/, то
аргументы х, у, z получают приращения Да; = fit ~\- At) —■ w(f), Ay =
= i}t((-|-Af)—■&($), Де = ui(t + Д()— <n(f), а V, как функция от (, получает
приращение ДУ= Дж -{- Ах, у -\- Ду, з + Де)—f(x,y,z). Искомая произ-
dV Д У
водная — = пред. —. Преобразуя Д У, как показано при доказательстве тео-
dl д!=в Д/
ремы § 2, найдем:
At ~ дх ' Д( "т" ду ' Д/ "^ йг " Д/ + " Д* "г" Р М "*" Y ДГ '
а г йу дѵ
при нем предполагается непрерывность частных производных < , — , -г- ;
замечая, что при Д? = 0 оказывается пред, Дж = 0, пред. Aff = 0, пред. Дг = 0:
а вместе с тем пред. а = 0, пред. ft = 0, пред. -у = 0, получаем в пределе,
dV дѴ dx . дѴ dy . дУ dz
df = дх- ■ ш + зу ■ ш + ё • я ■что и т^бовадась *оказаіъ- .
Умножая все члены на dt и заменяя произведение производной на
дѴ dV dY
dt дифференциалом функции, получаем dV = -т- da;4--г dy -J--т dz. Это
од? dy oz
выражение по виду совпадает с полным дифференциалом функции У от нѳза-

72 Дифференциальное исчисление.
,'>
внеимых переменных х, у, s, но по существу отличается тем, что при
независимых переменных х, у, % дифференциалы их dx, dy, dz суть постоянные
произвольные, а при x,y,z—функциях от t— их дифференциалы суть
функции от /: d% = <p'(l)dt и пр.
dV
Замечание. Ее.га в общей формуле для — предположим ж = ?(/) = /
dt
d® - а
то —= 1, и формула принимает вид:
dt
dt dt dy dt dz dt'
dV
В нее входят две производные по-/: полная производная — и частная
dt
дУ
нропзводная — , вычисленная по аргументу (, явно входящему в выра-
жѳние У; для отличия этих двух неравных производных полная производная
обозначается прямыми буквами d, а частная — круглыми д.
Пример 1. Y=Vt— y-\-tsin— , где і—независимая переменная,
У —функция от /.
п „„ д У 1 . 7ІІ/ ТГЯ 1111 f) V І , Щ
Здесь т-= _^^=.|-8ш_і ^cos-^, — =—. . - -bxcos-^ ,
dt 2Vt — yl t t t ' dy iVt^y t '
dY dY . dY dy _ Л , dy
— =— -\ ■ —. Рассмотрим частный случаи: « = — /, -^ =— l;
dt dt ' dy dt * J a df
™ дѴ * dY —1 я . . dY 1
тогда—= —^=— it, — = -——=— Tt а по общей формуле—=—=:
it 2V2I dy 2V2I * * 3 dt \/2t '
тот же результат получится, если до дифференцирования подставить у = — /
в выражение У: тогда У= т/2/ и — = —-=.
dt yTt
Теорема 2. Если У—Дц^ хъ ... $„), прп чем ж,, жа, ...а;,, сами
-являются функциями _ от независимых переменных уІ5 у8, ... уш:
хі= fjfyu Уъ ■■■ Ут)(І = І) 2,... я), то полный дифференциал сложной
я
функции Y от у1? уъ ... ут будет иметь выражение dY= \ йж: — по
виду такое же, как при независимых переменных ху J=1
Вывод. Полный дифференциал d У как функции от независимых пере-
№
<дѴ , . дѴ
\1І V п V
„... , , , „,,_ .. . dyt," где составится но
£fi* дУк
теореме 1, как полная производная сложной функции У, зависящей от аргу-
ментов хіь представляющих функции от ук. Итак -—= \- ^-; сле-
дуІ; Aidxj дук
т п
довательно dY представится двойной суммой: dV= \ (\— ■ ^-)dvh:
ЬХЬЩ dyj Sl>

Диффервщированые функ-щий от неско. іьких переменных.. 73-
II г И!
переменяя порядок суммирования, найдем: dY= % I >—~ ФіЛ ; но
ite ■ = \ —'- d«t, следовательно, (/ Г = \ dxi, что н требовалось доказать.
Пример S. У = х— у -\-% -\- Ф[я;4- J + Si — ■ ПЬкааать, что,
независимо от вида функции Ф, частные производные функции У удовлетворяют
условию x{z-\-y) y(jE-TZ)— -r*(Jl — #)—= 2)/(z-|-ж).
da; йі/ лг
Называя аргументы функции Ф через и и г: и = х-\~у -\-z, е = — ,
дУ , , дФ . дФ у ОѴ , . дФ . дФ х
находим: — = і + — -\- -— . £ , = _ і -|- „|_ _ т
Й# ЙИ OS Z ОЦ QU ОѴ Z
дУ , , ЙФ йФ ж?/
— = 1 -\- — —- , поме чего проверяется указанное соотношение.
dz ди дѵ 2а
Произведенная операция называется исключением произвольной функции Ф из.
выражения V.
Пример 3. Функция У =/'($, у, і) называется однородною функцией
m-й степени, если удовлетворяет условию: Д/ж, Іу, fz) = Р■ f(x, у, s), где I
произвольная величала; например Ѵ=#а—у3~M есть однородная функция
$ —|— у У__
2-й степени, У=—— е '-. есть однородная функция нулевой степени.
х — %
Однородная функция яі-й степени удовлетворяет уравнению:
х 1- ij — -'- z — = m • 1 (d п л е р).
йж д# ' dz
В самом деле, принимая I = ~, имеем
w
У = [(х, </, i) = x«[[l,lL, -| = я™ ■_%, «),
\ а; ж/
гдем = ^-, и = - . Исключая отсюда произвольную функцию F, имеем:
дѴ , . ' , , _ (W —ч , dF —к йГ » № і
— — six*'1 ■ 7'(((, c)+s"! — ■■—^-| , — = £"'•■—-•— ,
дх (ом ,(!г о« жа ду ди х
дУ „, dF 1 ЙУ , йУ , дѴ '
— ±=xw ■-- ■ -, откуда s — + у— +5 —-==»»• У.
о; or ж оа* зу oz
§ 4. Частные производные высших порядков. Их независимость
от порядна дифференцирования.
Определение. Частные производные от первых частных производных — ,
дУ дѴ дх
—, — называются частными производными 2-го порядка и обозначаются так:
ду dz
^У = А\д1\ J!I — А(^1\ д*Ѵ ~ A(L
дх* дхУОхі' дхду ду\дх}' дх dz dz\dx.

74
■Дифференциальное исчисление.
Составляя производные от частных производных 2-го порядка, получаем
частные производные 3-го порядка:
д^У_д_І^Т\ а» У _ д №Ѵ\ д3Ѵ = д J РѴ\
дх* дх\дх*>' дх*ду дy\дx"■j, дхдудх дх\дхду !
Пример. Ѵ= х3 — Zxhj -\- Bxz2 — ЬуН + bxyz.
— = Вх*—бжу + Зг3 + буг, — =— Ззта — 6yz4-Qxz, — = бои—3-й1 -[-бяу,
<te ' ду dz
-1 = 6*—60, _І- = _бя+6г. -—=6; + 6y, -— = -6ж + 6;,
Оіг ожог/ оате дудх
oir оѵді, ozox 0%0'i
— = 6ж и т. д.
ог9
Теорема. Частные производные высших порядков, отличающиеся
только порядком дифференцирования, равны, если они непрерывны.
Начнем с производных 2-го порядка и докажем, что для функции
Y=f{x, у) должно быть = пли f',jX(x, y) = f'(x, у). Расемот-
дудх dady
рим выражение D = f(x + h, у + к} — Дя-И, у)— /(ж, у -f fr) -f М У),
где Л з /с произвольные приращения независимых переменных.
Введя функции
9(Х)=д*, У + /0-А*, j) и КЛ=Л« + А. П-А*, Г),
можем представить В двумя способами:
D = ф + А) - <?(х) нй = -Ку + к) - Щ).
По формуле Лагранжа имеем:
D = ho'!C{x-\-bk) и -# = И'„(у +ѴО,
где 0<Э< 1 и CX^j < 1; но по той же формуле находим:
. ф{Х) = к-^(Х, у+~%к) и КЛ = А-№ + »А А
следовательно два выражения Д будут:
D = k-k-f^{x + bk, у + 0,А) и 0 = А-А-/уСа! + &,А1у + »,іЬ).
Приравнивая их, получаем, при всех значениях А и А, равенство:
где 0, а„ &а', Э3 заключены между 0 и 1. Переходя к пределу, при А = о
и при к = 0 найдем, по условию непрерывности обеих производных, что
fw(p, y) = fw(x,y), что и требуется доказать.
От производных 2-го порядка перейдем к производным 3-го порядка
и докажем, что для функции V=f(tD, у, з) шесть производных, отличаю-
d'V д3Ѵ д*Ѵ
щпхся только порядком: (1) , (2) , (3) ■ j-
dxdydz dxdzdy dydwdz
д3Ѵ д3Ѵ д*Ѵ
(4) 5 (5) , (б) —, равны, если они пепрорывны.
oyozdx dzdxdy ozoyon; -.

Дифференцирование функций от нескольких переменных. 75
Вывод. Представив (11 в виде ^ I в , и (2) в виде щ | - j,
заключаем о их равенстве, так как они отличаются изменением порядка днффе-
репцироваиня по у и по 5. Представив (1) в виде — . , и (3) в виде
л^ і й~Г 1 > заключаем о их равенстве. Беря для (3) представление у-т; -т- j
и для (4) -^(^-L приходнмк та равенству. Беря (5) в форме ^ (^)
и (2) в форме 'у \-t~t:\, заключаем о их равенстве. Беря (6) в виде
6а ідѴ\ ,ЕЧ ' д» (дѴ\ - п
и (5) в виде т-ѵ- [-г- К уоеждаемся в их равенстве. От произ-
дудіе \dz J ■ Шу [dzt
водных 3-го порядка можно перейти к производным 4-го порядка и т. д.
§ 5, Полные дифференциалы высших порядков. Символическая
формула.
Определение. Полный дифференциал от первого полного дифференциала
dY называется вторым полным дифференциалом, или полным дифференциалом
2-го порядка, п обозначается символом d3V: dsV=d(dV). Подобным образом
полный дифференциал от второго полного дифференциала называется полным
дифференциалом 3-го порядка: d3V=d(d"V) н т. д. Вообще daV=d(da~lY).
В § 3 мы впделн, что выражение первого полного дифференциала
іIV = -^-dx-\- — 6у -j--—cfc имеет один н тот Зсѳ вид, будут ли буквы ж, у, %
03j fjij Oil
независимые переменные нлн функции от другнх независимых переменных.
Но уже для высших дифференциалов формулы будут отличаться по той
причине, что при независимых переменных я, у, г их дифференциалы dx, dy,
из—постоянные величины, и потому высшие дифференциалы их равны 0:
гі2ж = 0, d°-y = 0, еРг = 0, Й£~0, гія5/=0, dh~Q и т. д.: если же
ж, у, % функции, то (за исключением случая, когда х, у, а представляются
линейными функциями от независимых переменных, т.-е. когда % = а.~\-
+ «1г( + «2и-|-*зВД, У = Р + Рі« + М + Рі». я=Т + Ті" + Ті"+7>»). их-
дифференциалы не будут постоянными и потому в формулу для а3У войдут
<£аж, rf2j, d% в формулу для ds V войдут вторые н третьи дифференциалы
х, у, г н т. д. Поэтому отличим два случая:
1) ж, у, г независпмые переменные или линейные функции от
независимых переменных; тогда dx, dy, dz постоянны и полный дифференциал
я-го порядка определяется символической формулой:
d" Y= О- dx -I- A a, _l * tfs )" V,
u)x ' dy J ' dz ■ j '
/
в которой, после возвышения трехчлена в степень ■», каждый член вида
нужно понимать как частный дифференциал:

76 Дифференциальное исчисление.
dy(d V) = символическому произведению dV- ^dy,
Вывод. Первый дифференциал d У подчиняется символической формуле:
Второй полный дифференциал rf» Ѵ= d(dV) = ds{d V) -f dy{dV) + d,{dV);
но dJdY)= -т~ (йѴ)-<й = символическому произведению dY-—dn),
бу
dJldV) = символическому произведению dV--r-dz,
откуда
Вообще составление полного дифференциала от выражения
2^1^ ^Ш (« + Р + Т--0
равносильно символическому умножению этого выражения на
и потому, если символическая формула доказана для d" V, то она будет верна,
и для dnnV; так как она доказана у нас при п = 2, то она верна для
всякого п.
2) іс, у, г—функции от независимых переменных и притом не линейные.
Тогда к символическому выражению присоединятся еще члены, содержащие
дифференциалы высших порядков от ее, у, г. Ограничимся функцией от-
2 аргументов: V=f(w, у). Тогда
-fgr.2«r + 2^ ■ (d<*Py + dydb)+~-2dyd*y +
-f- т- dx 4- -. ац ■ d3w 4-і —- (/ж -j da-} ri-« -,L
Uaa teds/ ^ r\tbty ' ty» */ J
+ — г/эж Н d3y = — da:4- — d« У+
da; jj ' \ite dy J
+ 3 ^ <*«***• + 3 ^ «te#y + #*'*) + 3 ~ ■ dydhj +
i dV ., . dV и

Диффере-щгьрование функций от нескольким: переменны г, 77
§ 6. Дифференцирование неявных функций.
1) Уравнение f(x, у) —О определяет у как неявную функцию от х.
"Рассматривая Да;, у) как сложную функцию от х, которая сохраняет
достоянное значение 0, приравниваем нулю ее полные дифферепциалы 1-го, 2-го,
3-го... порядка, имея в виду, что dx постоянное и dy— функция от х
(см. § 5, 2). Имеем:
Разделяя1 первое уравнение на dx, находим: -j± = y' = — Ls. Разделяя
/ j/
второе уравнение на dx-t получаем:
Разделяя третье уравнение на йж5, можем найти у'" и т. д.
Пример 1. Из уравнения х?-\-у* — Заху^О определить значе-
3
ния у', у", у'" при и = у=-^а.
Составляем: /£ = Зжа — Зау, /^— 3#2 — Зоя, Д. — 6а;, f^,=~3a,
fvu = by, fxxx = §-, /івд=0, f^'y = Q, fm=b'< находим их значения в данной
9
точке: fx=fy = -ra~, /э»=/уі = 9я и прочие и по общим формулам, выше
32 512
установленным, определяем у' = — 1, і/" = — — , у'" = — —.
Oil' QrL
Пример 2. Из уравнения :rcosy -\- іуаіпа: = -^- находим: cosy -j-
-(- і/ cosa; -j- ij'{— x siny -j- sina;) = 0, — у sioa; -f- 2y'(— 3'ПУ -\- cosa;) —
— x cosy ■ у'1- -f- y" (— x siny -j- sina;) = 0. В точке х = —, i/ = 0 получаем
y' = ~l,y" = ~.
2) Система уравнений /(ж, j/, z) = 0, '?(a;,j/, г} = 0 определяет две
переменных у и а как функции от третьей: ж. Приравнивая нулю полные
производные функций / и tp по х, получаем систему: /£-f-/£■ у'+/і'*z'= Oj
<Р* + '?!І:уЧ-<Рг'2'=:0, из которой находим V и к'. Производные у" и z"
определятся из системы: /^ -f- 2/^ - у' + ^ -т/'г -|- 2/Зі'• д' -f- 2Л'= ■ І/'Е'.+
+ /й-3'аН-/|1\>/" + /г-я" = 0 и подобного же уравнения для % и т.д.
Пример 3. Определить из системы: х2—уа-|-2za = 2, х2 — Щ-\-
-j-5z = 3 значения у', %', у", в", у'", г*--" в точке (1, 1, 1). Первое
дифференцирование дает х — уі/-f-2к'= 0, 2а;—Зі/' -|— 5е' = 0 и в данной точке:
— у' -j—2s' = — 1, — by' -f- 5s' — — 2, откуда у' — — 1, %' — — 1. Второе
дифференцирование общей системы дает: 1 — у'"—уу" -\- 2z'~ -\-2zz" = 0,
2 _ Sy" -f- 5s" = 0 и в данной точкв: — у" + 2s = — 2, — 3#" -j- 5z"= — 2,

78 Дифференциальное иетьеленш.
откуда у" = — 6, s" = — 4. Третье дифференцирование общей системы
дает: — 3j'i/"— до'"4-6s's"4-2zs'"= 0, — Зу'"4-5а"'і= О, в данной точке:
— у'"+2я'"= — 6, — 3j/"'-(-5s'"=0, откуда )/" = — 30, *'"=— 18.
3) Уравнение /(ж, у, з) = 0 определяет з как функцию от двух пеэа-
dz dz дЧ . дН
висимых .переменных % и у. Положит _ = р,_ = ?,— = г,щ^ = $,
-T-j- = t. Приравнивая нулю частные производные функции Дж, у, з),—по %
и поу, находим уравнения: Д 4-/2-^ = 0, /J +/J-J = 0, откуда jO = — ^ ,
j = — 4т. Дифференцируя предыдущие уравнения сперва оба по ж, потом оба
по и, находим: Д + 2/Д -Р + /«У+А'Г = °> /«і + Ді-Я+А'!?+Д'і-Я " "
-\-fi-t = Q (средние уравнения совпадают), и отсюда получаем г, s, /. Можно
иначе пожучить значения р, у, г, s, !, составляя полные дифференциалы
сложной функции от двух независимых переменных /(#, у, z) и приравнивая
их нулю; именно df = fidin+fidy + %dt,fflf=f£{№ + 2f£<Uedy +
-~fm dya-\-2f^dxdz-\-2fs,:dydz-^-f^dzi-\-fidiz; внося сюда dz = pax-\-
- - {/dy, dH = гЗзР 4- 2s dxay + ' dy* (m символической формуле § 5) найдем
из J-го уравнения (/^ 4- pfi) dx 4- (J'y + (ifI) dy = О, из 2-го уравнения:
(№-\-2№p+№pi + f;-r)dx* + 2(f^ + 'f£./? + fy-p-i-№-pq + f;-S)
dxdy + (Ду + 2/Ji ? + /я ?a + Д ■ 0 <fyB — 0, откуда, в виду произвольности
чисел dx, dy, следует, что два коэффициента 1-го уравнения и три коэффи-'
циента 2-го уравнения каждый в отдельности равны нулю; это дает нам
5 уравнений, установленных выше.
Пример 4. Из уравнения л2 4- Зу* 4 5za = 9 вычислить р, q7 r, s, ,
в точке ж=1, у = 1, 2=1. Имеем (по сокращении на 2): x-\~bzp = 0}
% + ь%4 = ° и Далее: 1 4- 5р* 4- 5s»- = 0, -щ 4 и = 0, 3 4- 5?2 4- 5й = О'
1 3-6 3 24
отудар = --1?=-т,г = -25, s--^, ' = -»■
4) Вообще, если имеется те уравнений между п переменными (я^>ги),
то л —m из них можно принять за независимые переменные, остальные т
за их неявные функции, определенные данной системой. Дифференцируя
каждое уравнение по каждой из независимых переменных, получим т (п — т)
повых уравнений, из которых найдутся частные производные от каждой
из т функций по каждой из (» — ш) независимых переменных п т. д.
§ 7. Замена переменных в выражениях, содержащих производные.
1) Случай одной независимой переменной. Дано выражение У =
Ф («і Уі У\ У"■,■ ■ У{п)\ где а; независимая переменная, у ее неизвестная
функция, у\ у" ... у(лі производные этой функции по х. Полагая х = у (и, и),
у = ф (и, ѵ) и принимая и за новую независимую переменную и ѵ — за ее
неизвестную функцию, преобразовать данное выражение V в
/ do dh_ &в\
• dy
Решение. В паве I, 9 6, следствие, показано, что выражение у =-jt
сохраняет вид, какая бы буква ни считалась за переменную независимую, но

Дифференцирование функций от нескольких переменных. 19
следующие производные у'\ у'",.--составлены в предположении, что dax = О,
d3x = 0...; поэтому нужно составить для у", у'",.. такие выражения, которые
бы существовали при любой независимой переменной. Это будут:
■■ — &. — ^ W _ t&c#fy — dyd*x
У ~~ dx das ~~ das3
(по формуле 3, § 5 глава I),
. ,„ dy" dx(dxd*y — dyd3x) — Sd^dxd^y— dyd-x)
y =w - w : и т'д-
Сюда надо впести зпачения: dx = ei du -f- <o'„ dv, d^x = <p,J« d«e -{-
- -.2 <?,;;, dtidv -h <p« *&■+<pi <*4 ^3j;=у,,;;; de*+з<р«& rf«s*j + %<?,z rf«A>4-
- - ввіі <*о3 + 3іРиі ^м<2'и +.3?™ ^2il + ?о ^ [еы- выражение df, d"-[.. .в § 6,1)]
и подобные выражения для dy, d*y, d3y (с заменою ш па ^>). По разделении
числителя и знаменателя пожученных дробей па du, du3, dus... соответ-
dv ,, dv d*v
ствепно, найдем выражения: у через, и, *',-^-(, У через м, ^-^^ит, Д-»
которые и подставим в данную функцию Г— Ф(х, у, у\ ...yW); после
„( dv d"v\
этого она обратится в 1< и, «,-—,... —- .
IZp?(.«ej? J. Преобразовать уравнение х*у"—а*у = 0, вводя новую
1 1/1
независимую перемеппую м = — -и повую функцию «=-;:■ Имеем: as =--,
г , rf)i , pdn , 1 , ,., 2du% „ 2uda! „tfwdw ,
у = -. йж = — -тг, as/ — — —=- -4— ли, a'x = —■=—, dHi = —t ■ 2 —5- 4-
-j—й5«,'откуда y"=-j-2(dxd*y~dyd?zD) = tta-j-z; данное уравнение при-
' Л»
нимает вид: -j-j — a-« = и.
Замечание. Если изменяется только независимая переменная, при чем
полагается # = <р(Оі то можно поступить проще. Так как dx = "/{t)dt,
то ~г-= —тгх = W)' рассматривая у как функцию от функции
относила' <р (I) .
тт s г% • dy dy dt ,.„ dy ,, dy'
тельно t, имеем (глава П, § 6): у = jL = -£ ■ ^ = Щ-Тг у = w =
■-*-£-w)^|«oS|-t(o[t(oS[+f(oS|.-^_
Дрінмрг. (2«~1)»і,"'+фв-1)У'+4С2а!-1)у'+8у=І5Щ^-),
преобразовать уравнение, вводя повую независимую переменную t
уравнением: 2х—і = е'. Имеем: 2dx = e<dt> т- = 2е~(.
Отсюда:
«' — 32.*—20-' ^
* ~И dx~Ze ■ Л'
J dtl \dt°- dtjl \dP dP dt)

SO Дифференциальное исчисление.
Подставляем в данное уравнение и, после сокращений и деления на 8,
находил преобразованное уравнение —щ -J- у = -;- !е '.
2) Случай нескольким независимы;: переменных. Дано выражение
Л, „йУ ЙУ ЙУ д»У й*У \
ідя:, 1/, ;, I', — , —,—,—, ... , содержащее независимые переменные
\ дх ду dz дхг дхду ;
ж, у., s, их неизвестную функцию У и частные производные различных
порядков от этой функции. Полагая Ja; = <?(«, и, иі), у = ^(щ «, го),
; = ш (»(, ѵ, w~) п принимая и, г, w за новые независимые пѳрѳмеппые.
преобразовать даппое выражение к виду
,,/ т. ЙУ дѴ дУ й5У йаУ \
\ ди дѵ дго им2 дидѵ
Решение. На основании формулы ждя дифференцирования сложной
функции (§ 3) имеем:
йѴ^ау-йк йу.йѵ.йк.й»
дх ди дх дѵ дх dw дх
<!!!__/"^И' дА I ^1. 6ѵ д'У дш\ди ЗУ.**"
йж- \ ди8 й& йіійв йж йыйш дх} дх ди дх*
(д*¥ ди_ д*Ѵ дѵ д*Ѵ_ йиЛ^ аУ д3ю ,
\ймй« йг йоа йж дийг« йж/ й& дѵ дх*
/д'У дм _йЩ_ iHj.^lT ^ ^.P_L — ^=£?.f—Ѵ-І-
\йкйю da; йяйш да; ' йш2 дх} дх dw дх" диг \дх]
. „ йП' Й« дѵ . йаУ /йиѴ , „ й*У' йк йю . ч й*Г do' йш ,
_j_ 2 —— - -—■ - ——|- ——- • — -j- I —■ • ■— ■ ——[- А —— ■ — ■ 1-
дпдѵ дх дх до* \дх} дид'ѵ дх дх dvdw дх дх
. д"-У [дяѴ , дѴ д*и . дѴ дН . дѴ дНи
_] ■■— ~\ ■ 1 ■ 1 — И Т. П.
dw1 \dxj ди джа дѵ дх1 dw дх*
„ „ ди дѵ dw д%и
Чтобы получить значения частных производных у- , -р , -т~ , -т-% и т. д.,
нужно данную систему х = <д (и, ѵ, ш), у = ■> (и, ѵ, іо), % = со (и, «, w)
решить относительно к, и, w, что даст и = Ф (х, у, z), ѵ = W (х, у, z),
«> = Q(a;, у, %); отсюда и найдутся упомянутые выше производные.
Пример 3. Полагая £=rcosG, j/=rsin0, выразить
\дх! \ду! И йя! дуа-
дУ дѴ д*Ѵ дгѴ 'д*Ѵ гт
через производные — , — , — , —- , —. Из данных уравнений паходны:
дг ЙВ дг- дгдЧ Й0а
г = yV + j1, 0 = arctg $-, ir=■-—=== dx + ,/ f , dy=cas%dx -f-
. ■ n j i, —^/<fa , xdy sin6 , , cosO ,
4-sinH-dy, dS—^^-'f—7л. -r^-^ — da;_l___(£„
1 J X1 -f- J/2 ' Фа 4- !/5 Г I r J'
JV — ^1 -_. d^ — 2 -—*?-__ da^dj + ———j- rfjs =
(х*+у*У (х*-\-у*)> d>? + y*)~'
sio'O , , „ sinOcosO , , . cosE0 , „
— dx"- — 2 —_— dxdy -4 dy\

Дифференцирование функций от иеск, трем. 81
'№ =(!В» + ууІ ^м + 2(f - **>*% - *^1 = ^г" <fc» +
2(sin2e — cos'B) , . 2sinecos0 , p
+ ji <Mff ^— <¥■
Таким образом
Or a dr . . db sine ЙѲ cos6 dV sinsG
= cosB, —- = sin8, —- = — , — = , t-j =
& ' d?/ "' dx~ r ' dy~ r ' dx*~~ r '
dV sinB cos6 dV coss6 ds6 ЗэіпѲсоэв d2e sina6 —cos2C
■dxdy r ' tya r ' da? ~~ r- ' dxdy ~~ r2 '
д"-в 2 sio6 cose
'Теперь находим:
dV dY „ . ЙУ —sioS ЙУ dV . . . 6V cose
dx dr ' d9 r ' dt/. dr ' dS r '
■откуда
w^W Ww л^/ ■
.Дажѳе,
d^V d^v -,. d*y' sinBcose агУ sin*a ay юа'в
dx2 ~~ dr» 'c dj-d Ѳ ' r + dB2 ' rs "T" dr ' r +
.d_F 2 sinS cos8 d*V__d2Y ■і(І_і_0діѴ sinBcosB , d2Y cos'B
+ дѲ* r2 '.Si/1-dr* ' + drde' r + d9a " r" +
dY cos^e . dj — 2 sinB cosB
откуда '
(PV d*V_ d4' _l_dMf, J. d_F
da;a """ dy* ~ dr2 "*" r" de* "r" r dr '
§ 8. Формула Тэйлора для функции от нескольких независимых
переменных.
Теорема. Если функция У= f(x, у, е) от трех независимых
переменных х, у, z имеет все частные производные до (я -|- 1) порядка включительно
.в интервалах значений переменных от х до х -\- h, от у до у -f- к, от s до
-*-{-fj то справедлива формула Тэйлора:
и
:и в частности:
п
Да: + Лв, у 4- rfffi г + &) — Дж, j, г) =2^і ^М У> *) +
Ліішшз бесконечно - аіапіік, б

82
Дифференциальное исчисление.
(Символические выражения!-,- ■ А + -г—• к -\- т- ■ і\ ■ f(x, у, г) нужно.
понимать, как в § 5.)
Вывод. Положим, при данных значениях ж, y,z: Ч = х-\-Ы, -n = y-\-kt,.
С = z -\- It, hi, f], С) = ДО, где t новая независимая переменная; тогда
разность 8 = Р(х 4-' А, У + к * + О — Л*» Уі s) обратится в 8 = Ді) — До>
и по формуле Маклорена (гл. П, й 3) найдем:
н
Так как £, т], С являются линейными функциями от t, то (§ 5, 1>
dpF(t) определяется по символической формуле: dpF(t) = dpf(t, -ц, Q =
<й = А*<Йт dt\ = k-dt, dd = l-dt;
отсюда ^(0 = -^ = (£ A + A ft + ± if ■ f(i, ѣ С), .
и *»+Ч»> = (^ ■ A + jL ft + I ■ if", ftp + 8Д, у + 8ft, « + W)
(существование всех частных производных функции /(£, >], С) до (п -|- 1)-го'
порядка включительно обеспечивает существование производных ^р(/) до-
{«-J- 1)-го порядка, и приложение формулы Маклорена законно). Внося>
* <
в*"выражение &=У~1№(0}-\- ... найденные значения f(O) и /,1+1(&),,
р = V'
получаем формулу Тэйлора. Второй вид ее получается при А = <&с,.А=ш/.,
/ = dz, когда I ѵ- гіж -+- т- dy -+- — <fe J Д$, j, г) = <ірД;с, у-, а) по § 5..

ОТДЕЛ Ш.
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
В ВОПРОСАМ АНАЛИЗА.
Глава I.
Наибольшее и наименьшее значение функций.
§ 1. Maxima н minima явных функций от одной независимой
переменной.
Теорема 1- Функция з/ = /(ат), имеющая производную для всех
значений х в интервале а^=х^вЬ, достигает при х = ха своего maximum
(сравнительно со снежными значениями), если производная f'(x) обращается
в 0 при х = ж0, при чем f'(xt — А)]>0, f'(xn-(-А)<0 при достаточно малом
положительном А; функция достигает minimum при х = х„, если /"(;с0) = О,
при чем f'(x0 — Іі) < 0, f(x0 -|- A) j> 0 при А > 0.
Вывод. Б гл. I, § 1 мы определили maximum функции как такое
значение, в котором возрастание функции сменяется убыванием (при возраста-
нии х), т.-е. должно быть ■——-_j_. 'У-Л^>0 и , , ' < 0 при
достаточно малых положительных А. Отсюда следует, что предел первого
отношения; /'(ж0 — 0) SO, а предел второго отношения: Дф0 + 0)£0;
если же известно, что производная /"'(ж0) существует, то оба предела должны
быть равны f'(x„), и потому /"'(ж0)=0. Аналогично разбирается случай
minimum.
Замечание 1. Если у = f(x) есть непрерывная функция, но
существование производной в интервале (а, Ь) не обеспечено, то при достижении
maximum или minimum производная может менять знак не только обращаясь
в нуль, но также 1) обращаясь в со с переменою знака, так что для
maximum /'(#„ — 0) = 4- 005 f'(xo ~\- 0) = — °° в 2) претерпевая конечный
разрыв с переменою знака, так что числа f'(xt — 0) и /"(<г„ -\- 0) оба конечные
и разных знаков (для maximum f'(x„ — 0) > 0, f\x9 -j- 0) < 0). Б первом
случае на графике функции получается острие (черт. 39), во втором — точка
излома (черт. 40). Б гл. П, § 1, отд. II были приведены два примера:
1) у = аі", где достигается minimum і/=^0 при х = 0 образованием острия
и 2) у = х при Оёжйі, у = 2 — х при 1^ж^2, где достигается
maximum у = 1 при ж = 1 образованием излома.
fi*

64
Дифферещиальнов исчисление.
Замечание 3. Для разыскания наибольшего и наименьшего значения
■функции у — Да;) нужно определить по теореме 1 и замечанию 1 все ее
maxima и minima сравнительно со смежными значениями, и выбрать
наибольший из maximum и наименьший из minimum: это и будут
наибольшее и наименьшее значение функции. При этом, если функция изучается
в границах aS^SJ, то нужно присоединить значения Да) и Дй), которые
могут представить наибольшее или наименьшее значение (или оба крайние
значения), не являясь maximum или minimum сравнительно со смежными
значениями. На чертеже 41 представлен случай, когда в интервале яйжйі
наименьшее значение будет Ді), наибольшее да), при чем они не
представляют minimum или maximum сравнительно со
£ \ й смежными, если откинуть ^ограничивающее нера-
^с венство: а^х^вЬ.
^_у I Замечание 3. Если при ж = ж0 производ-
С \ъ над f'(gj) обращается в 0 или в со или прѳтѳрпе-
К у ваѳт конечный разрыв, но знака не меняет,
1 і> то значение /(#„) не представляет нн maximum
"" f ни minimum функции. При ['(х„) = О или при
Черт. 41. ^(я;л)=оо получается тогда так называемая точка
перегиба, Например, для функции у=1-\-(х—I)3
имеем у' = з(%—1)*; при ж= 1,у'=0 без перемены знака, точка (1,1)'
<черт. 36) представляет точку перегиба. Также для функции у = х*
имеем у' =—гт=і ПРН ж = ±0, у' = -\- со, следовательно, точка (0,0)
3 ух*
представляет точку перегиба (черт. 37).
Теорема 3. Если функция f{x) имеет высшие производные и если
/■'(<[:„)=: О, то для суждения о том, будет ли Дж0) maximum или minimum
функции, можно пользоваться следующим правилом: если в ряду чисел
/"(з;0), f"'(xe\ .../с*і(ж0) ... первое неравное нулю будет /'"'(^о).! то ИРЯ к
четном Да;,) представляет maximum при условии /""і'(жо)<С О и minimum при
/'W(iC0)^>O; при А: нечетном f(x0) не представляет ни maximum, ни minimum
{тогда имеем перегиб).
Вывод. По формуле Тэйлора (§ 3, гл. II, отд. П) инеем f{x9-\-h) —
п
-/(«,) =2^ '(P-/MW + Д«+і; еоли/'(%>=/"ВД =... = р-»(Х{>) = 01
но [Щх0) не = 0, то найдем: fix, + А) - fits,) = ± А*/И(я() +
достаточно малых |А| скобка •( ... J- имеет знак, одинаковый с /""г)(ж0); поэтому,
если к четное, то Л"">0 при і^Он Дж,-(-А)—/(%) имеет знак /№(а;0)
, — /(ю. + А) — Я(в») ,
при h^0, т.-е. отношение -■--"■ ■■-■.■—'-^-^ меняет знак вместе с Л, именно
с -{- на — (при переходе Л от отрицательного к положительному) при
fk(xtt)<^0 или с — на -j- при /"(ж0)>0; первый случай отвечает
maximum, второй minimum (см. теорему 1). Если же к нечетное, то Л" меняет
знак вместе с h, разность Да;0-|-'0—ДХ) также меняет знак вместе с А,
а отношение '■ °' -)'~'1- "-1 имеет постоянный знак при Л^0,одинаковый

Наибольшее и наименьшее значение функций. 85
со знаком ["(%„), т.-ѳ. функция будет возрастающей при /*(®о) ^>0 ж
убывающей при /(а;0) <^ 0; тогда имеем так называемый восходящий или
нисходящий перегиб.
Пример 1. Вычертить график функции у = х3(х — 1)'. Иыѳеы
3
у' — х\х — І)3 • (Чх — 3); х = О не дает ни maximum ни minimum, ж = ■=-
дает maximum у = $)'{jf = 0,01 (ибо f (у - о) > 0, /' (у + о) < 0),
х=1 дает minimum: і/ = 0 (у непрерывной функции maximum и minimum
должны чередоваться). График на чертеже 42.
Черт. 42,
Чарт. 43.
Ж2 —5 —3(в —3)(іВ—у)
Ярш^й. ТожедДяу = 5(а;3_3ж + 2-. Здесь у'=5(а,_т2_^
5 2 ,-
при ж=-5-уІц[П=2, при іг = 3 у№ах = —; при ж=± j/5 у обращается
в 0; при х = 1 и при а; = 2 і/ обращается в со; при ж = ± со пред. у = у.
Ход функции представим таблицею:
3)
У
— со — \/Ъ
і-0 0
у б ы
0
1
2
в а
1 4
—оэ)-]~оо 2
е т |
2
Т/5
+оо[—со 0
возрастает
3
max
2
5
1
-J- со
І. + 0
убывает
(см. черт. 43).
Пример 3. Сколько вещественных корней имеет уравнение ш5 — 5ж="
при различных значениях а?
Искомые корни являются абсциссами точек пересечения прямой у = й
и линии у = Xs — 5ж, график которой нужно построить. Так как
s' = 5(iBl — 1)=5(ж+1)(ж— 1)(ю» + 1>» то 2гам= + 4 при ж = —1,
утщ=— 4 при ж = -|-1 (граф-на черт. 44). Проводя прямые у = а при
различных а, получаем три точки пересечения при — 4 < а < 4 и одну при
»>4 и при а< — 4; при а=±4 два корня ж = г^:1 сливаются в один.

86
Дифференциальное исчисление.
Пример 4. Тот же вопрос для уравнения ех—х = а. Для функции
у = ёс— х имеем у' = ё°—1; при ж = 0)/шіп = 1 (черт. 45); при а;>
уравнение имеет два корня, при я<4 ни одного.
А У
Черт. 44.
Черт. 45.
Пример 5. Тот же вопрос для уравнения sin(a; -f- cos5iC = а при
О ^=ж5=— левая часть имеет период —
2 ѵ і
Здесь j^siti'ic + cos'a;, у' — — 2sin4#, у" = — 8cos4s; при ж= О
Jm*s=l, при х — -^- !/„,[„=-, при ж — g- ^п.аѵ=1 (граф. па черт. 46).
При — <^а<^1 уравнение имеет два корпя, при «<- и приа>1—ни
одного.
Черт. 46..
Пример 6. Тот же вопрос для уравнения х* log<c = а. Здесь i/=a^loga;,
у' = 2х\Ъ%х-\-^, у" = 21oga; + 3. При ж = 0 утах = О, прн
ж = -^==0,61 2/п1іп—~-—= —0,18 (граф. на черт. 47). ПриО>я>— —
уе "& . &е
уравнение имеет 2 корня, при а>0 один, при «<—— ни одного.
Пример 7. "Число д(в^>0) разбить на два слагаемых так, чтобы
сумма их к-ых степеней (fcj>0) была наибольшая или наимепьшая.
Здесь у=хк-\-(а—х)к при О^ж^в; составивy'=k{ж''"1—(«—х)к~1]-,
у"=к(к— 1) {хк~--{-(а —%)к~*}, заключаем, что у'= О при х =—, прн

Наибольшее и наименьшее значение функций. 87
чем у"<С_0 цри 0<7с<[1 и У>0 при /с>1. Таким образом при
■0<'&<Ч #так = 21~*-вй, и наименьшее у = ак получается на границах,
лри х = 0 и х=а.
Если жѳ /(>!, то ymm= -■jpjiirpE <c=w ) и наибольшее j = afe на
траницах, при іс = 0 и х = а.
Пример 8. В данный шар радиуса В вписать конус наибольшего
юбъѳма.
. Обозначая через а угол между осью и образующею конуса (черт. 48),
о
получаем для объема конуса выражение Ѵ = - ^і?1 siiAi cos*a при
л*г ^я Я 32 „. . н /1 , . \ , 1
Ю=га<^—; так как -т- = ~jt/f*sma cosJa I——tg-«), то при tga = —^=
зч о
і(а=35°15'51") получается Ѵтах = —Г^'Л3 = х= объема шара (высота конуса
Л=^Я); при а = 0 Vmin^O.
Черт. 48.
Черт. 49.
Пример 9. Пункт А находится на берегу реки, пункт В в расстоянии
€£ = !і от берега, при чем длина АС=а. Путешественник, желая из А
доставнться в В, может часть пути AM 'проехать в лодке со скоростью «„,
а остальную часть MB пройти пешком со скоростью %. Как должен он
выбрать точку М выхода на берег, чтобы составиться из А в В в возможно
короткий срок (■Uj^-i'i)? (черт. 49).
Называя угол СВМ через ф, находим АМ=а— Atgtp, MB = h sec f,
я время у, потребное для совершения пути АМ-\- MB, будет у=—-—^x_f-
Дзесгр
. Так как у' = '
Л
щ » - , то у = 0 при sin tp = ~,
где достигается minimum; однако нужно иметь в виду, что угол <? должен
,.„, .АС а
изменяться лишь в пределах от 0 до /_ ъВА = aresin -rj. = arcsin --r== ,
АЛ |/aa-f-As
так что 0 ^ sin в ^ ~тт-^г-.^ . Поэтому, если —< , —^
Аа
ТО Jmin-
і отвечает значению sin <р = —■, если же —^
Un«
0"і
ѵя
то наименьшее значение у отвечает пограничному значению зтш —
«о >Ѵ+Ав,
а
ѴѴ+Л5

88
Диффер&тщальнав исчисление.
и тогда наименьшее у=~ !—, т.-е. получается при движении по>
прямой АВ.
Ь 2. Maxima и minima неявной функции от одной независимой
переменной.
Теорема. Maxima и minima неявной функции у, определяемой
уравнением /(ж, у) = 0, находятся среди решений системы: /(ж, у) = 0т
fx(x, э) = 0, не удовлетворяющих уравнению Ц(сс, у) = 0. Чтобы узнать,,
отвечает ли одной такой, паре решений ж = #0, у = у0~— maximum- или;
minimum функции у, нужно составить ряд . производных: /"ё-віщ, Эо)к
&(% Уо)і ■ ■ ■ f к (жо У»)і ■■■> ѳсли первая неравная нулю производная:
в этом ряду будет /% (% у„\ то при к нечетном уѵ не представляет ни;
masimum ни minimum у, а при к четном будет maximum, когда f к (ж„, «Л
и ff/(xt, Ун) имеют одинаковые знаки, и minimum, когда они имеют разные;
знаки.
Вывод. Значение у', как известно из гл. Ш, § 6 отд. П, определяется:
Г а
уравнением y' = ~'f, и так как, по теореме 18 1, при достижении maxi-
IV
mum или minimum должно быть у' = 0, то /^ (х, у) = 0 при fa (ж, у)-
не = 0; таким образом maxima и minima функции у нужно искать среди
решений системы: /(я, */) = 0, Д(#, у) = 0, не обращающих в О/» (х, у)..
"Чтобы отличить maximum от minimum, воспользуемся теоремой 2, § 1;
справляясь с выражениями полных дифференциалов функции f(x, у) в S 6,.
гл.Ш, отд. П, можем заключить, что при у' = 0 выходит у"^ — 1^; при
г -> "
у' = 0, у" = 0 выходит #"' = — Щг^, и вообще при #'=0, у" = о,..~
--.у(*—*) = о выходит у(** = §—. Поэтому, если для системы значений
^ = #0, У = Уо оказывается f(xB, у„) = О, ^(ж0, у0) = 0, /jj(a!0, у0) не = Ог
тоѴ = 0 и у" = —ffi""^ ■ ѳсшй(юІ,уІ) = 0, тоу" = 0,няида
И'" = -%~~Т и т. д.; вообще, если /£(*„, j0) = O, &(sD,y0)=Ov
/^ІіѴ0, У») = 0, но /^(я0, So) не = 0, "то j; = 0, у'0' = 0, у<Г>)=0„
«(*) = *= не равно 0; тогда, по теореме 2, 8 1, при к нечетном;
нет ни maximum ни minimum, при к четном будет maximum при yf> <0,.
т.-е. при одинаковых знаках f к (х„, «0), #(<е0, у„), и будет minimum-
при yw ^> о, т.-ѳ. при различных знаках тех же частных производных.
Пример. Найти maximum и minimum у, определенного уравнением.'
я2 + Щ + Зуs — Зя -f- 5 У — 7 = °-
Здесь /,,і=2;е-(-#-~3; решая систему /=0, fe=0, приходим к
уравнению 11а;* — 46a;-f-35 = 0, откуда две пары решений: #, = 1, Уі — Ц

Наибольшее и наименьшее значение функций. 89
35 37
£„ = —, Уъ=—— . Для первой пары f'y=xAr§y-{-5>0, для второй
/„'<^0; для обоих /яж = 2^>0, следовательно, по теореме, первая пара опре-
37 35
деляѳт утп=1 при ж = 1, а вторая */шіп= —— при # = тт-
§ 3, Абсолютные maxima и minima функции от нескольких
независимых переменных.
Определение. Функция Ѵ=/{д;, у, г) от 3 независимых переменных,
достигает maximum при системе значений х = xtt1 j = у„, z=z„, если
/(iBj-j-A, #0 + ^ го"М) — /(яоі Jo» so)"C° ПРИ веѳх достаточно малых
]А|, \І:\, \1], какого бы знака ни были приращения А, А, I, и достигает-
minimum, если та же разность остается ^> 0 при всех достаточно малых |Л|, \к\, \1\^
Теорема 1. Maxima и minima функции V=f{x,y, z) нужно искать,
среди решений системы: /£ = 0, /J = 0, f'-.= 0 (обращающих в нуль,
полный дифференциал dV=fu ■ <&b + /J -dy-j-fi- dz), если все три частные^
производные существуют.
Вывод. Беря приращения к и / равными нулю, имеем, при достижении*
maximum, /(;e0-j-A, у„. 2e)— f{x0, у„, z0)<^O при всех достаточно малых |А|„
откуда'по теореме 1, § 1, следует, что /я(ж0, Ут so) = 0 с переменою знака
при переходе через х = х0. Подобным образом, беря А = 0, £ = 0 или
А = 0, А = 0, придем'К условиям %(х„ у„, е0) = 0, /Цх„ у„, г„) = 0, что-
и доказывает теорему.
Замечание. Согласно замечанию 1, § 1, если существование всех
частных производных не обусловлено, maxima и minima функции f(x, у, z}>
могут соответствовать значениям х, у, з, при которых все частные
производные претерпевают конечный или бесконечный разрыв с переменою знака.
Теорема 3. Если функция V=f(x, у, z) имеет непрерывные частные
производные 2-го порядка для значений х=хм у = ум z=z0, при которых
dV=df(cCto ув, г0) = 0, то значение /(ж0, yQ zj представляет maximum
функции, если второй полный дифференциал <Рг = аЛ[(ха, у„, г„) остается
<]0 для всех достаточно малых по абсолютной величине значений dx, dy, dz^.
и /(ж0, у0, s0) представляет minimum функции, если при тех же условиях
<т®о, У„, h)>0.
Вывод. По формуле Т эйлора (отд. II, гл. Ш, § 8) имеем, полагая А = dx,
li = dy,l = dz, следующее выражение: /(ж0 -f А, уь -\- к, £» + /) — /(ж0, у„, г0)=■
= df(x0, у0, г0) -f- yt% d*f(x« + *>А, Уо 4- 9А, 20 + &/), и так как
предполагается df(xa, у„, z0) = 0 и по непрерывности вторых частных производных
(Р/Ово+вА, jo + ^A, г0-}-9/) имеет одинаковый знак с №f{xa, у0, г„) при
всех достаточно малых |А|, jA|, |/|, то знак разности Да»0-|-А, Уц-\-к, z0-j-/) —
— /(^о) Уо> го) совпадает со знаком ds/{ai0, #„! so)> тго Е доказывает теорему.
Теорема 3. Если функция К= /(ж, j) от двух независимых
переменных имеет непрерывные частные производные 2-го порядка при системе-
значении а; =#<,, У = Уі>, обращающей в нуль dV=df(Xf„ у0), то, назвав.
A = fw(.x<j, Уо), -#=/^{#0, У»), C=fty<** У*\ получаем при х = х„
у = у„ maximum функции, если при ІС—J52>0 будет А<^0, или
minimum, если при АС—Йа|>0 будет Л^>0; напротив, /(#„, ув) не
представляет ни'maximum ни minimum, если AC — .8s <0.

•90
Диффврет^иальнче исчисление.
Вывод. Согласно теор. 2, нужно изучить знак d*f(Xg, Уо) = А№-\-
~\-2Bhk-\-Cki цри всех достаточно малых |Л|, \к\. Если ЛС— У?*>0, то
А не = 0, и можно написать #У(ж0, у„) = j UAh + Bkf -f (АС — В*)к3 ;
так как в скобке имеем число положительное при всех h и к, то знак
*2У(#0, Ѵо) совпадает со знаком 4, что и доказывает теорему для случая
АС — 0^>О. Если же АС—^г<|0, то при А не = 0 из предыдущего
выражения йг/(іс0, j0) заключаем, что при А =—--^к знак cPf(cB0, у0)
противоположен знаку Л, а при /с = 0 одинаков со знаком А при всех Ай*0,
так что Я^оі Уо) не представляет ни maximum ни minimum функции. Если
при J.C— Ір<"0 будет Л = 0, но С не = 0, то можно написать:
(/ В V Вг )
'^YO&ei Уо) = ^ /с + т;Л — gaA*|; при А = 0 и Л^О выходит ds/ одного
■знака с С, при АЙ^О, к=—-j,h выходит d%f обратного знака с С, и нет
ни maximum ни minimum. Наконец, если при АС—-,йг<^0 будет А = 0
и С=0, то dif(xm y„) = 2$hk имеет одинаковый знак с В при А£>0
и противоположный знак с В при АА<0, т.-е. /(а;0, #в) ни maximum ни
■minimum функции.
Пример, г = аж2 + 2&ву "~Ь °Уг- Для определения maximum и minimum
этой функции решаем систему: -^ = 2aa;-|-2ij = 0, у- = 2bx -j- 2су = О,
которая имеет единственное решение х = 0, У = 0 при ас — і3 не = 0.
дН дН дН
Составляя j-s = 2я, т—^- = 26, « = 26, находим АС — В"1 = і(ас — й2).
Согласно теореме 3, если ас — 6а^>0 имеем: при а<^0 гтаі^0, при и^>0
Етіп=0; если же ее—-£2<0, то 5=0 не дает ни maximum ни minimum функции.
Если ас—й2 = о, то z=—(ax-\~by)^ и для всех значений у = —у х
получается гтах = Опри о<^0и гтіп= 0 при я > О. Результат исследования
подтверждается геометрически: при ас—й2>0 поверхность 2=ах*-\-2Ьху-\-су2
представляет эллиптический параболоид, касающийся плоскости XOY в точке
(0,0) и расположенный всеми точками над плоскостью -при в>0 и под
плоскостью при я<^0; при ас— &2<[0 поверхность представляет
гиперболический параболоид, пересекающий плоскость XOY по двум прямым:
да -J- by =t |/62—асу = 0; при ас — й4 = 0 поверхность представляет
параболический цилиндр, касающийся плоскости XOY вдоль образующей
о# + % = 0, 2 = 0.
§ 4. Относительные maxima и minima функции от нескольких
■аргументов.'
Определение. Maxima и minima функции 7=^(3^, жг,...а;п) от п
аргументов называются относительными, если аргументы не будут все независимыми
переменными, а связаны ш уравнениями (m<n) вида <рй(Жі, щ,... хя) = О
при fc=l, 2,... т.
В этом случае можно поступить двояко: 1) из данных т уравнений
'%(#!, ш2,... а;п) = 0 выразить т переменных хи %ъ...хт через остальные
(и — яі) переменных %т+1, ф^+і,... хл и внести эти значения в выражение
Y=f{x1) хі} ... ж„); тогда V обратится в функцию от п — т независимых-
переменных, и задача приведется к § з"; 2) не отличая независимых пере-

Наибольшее и наименьшее значение функций. 91
менных от функций, можно применить способ неопределенных множителей
■Лагранжа, выражаемый следующей теоремой. ■
Теорема. Разыскание относительных maxima и minima функции
У=ДЖ[, а;а) ... ж„) при соблюдении т условии ft:(xu ж?,... жп) = О
■(/с = 1,2,... tti) приводится к разысканию абсолютных maxima и minima функции
m
W=f(xu хъ...хп)-\-\ \h?k(a:u ^,...xn),
k-l
ш
т.- е. к решению системы из о уравнений: -т— = ~- -j~ У Хк ~ = О
при /=1, 2, ...и, которая вместе с т уравнениями <рй=0 (А=1, 2, ...т)
•определит да постоянных Х,((А = і, 2,... т) и и значений a;f Q" = lj 2,...я),
которым могут отвечать maximum или minimum функции V.
Вывод. Так как функции »,. сохраняют значение= О, то функция
« . п да
W= У тождественно и dW=\y-rdisi = / |) +^А;г^"{ ^j- Подбе-
рѳм m чисел Хь так, чтобы коэффициенты при дифференциалах т функций
dW
из числа п переменных <Cj были нулями: -г— = Одля некоторых т значе-
ний j .из числа 1, 2, 3,...«; тогда, согласно § 3, теоремы 1, maxima и minima
функции W от (я — от) независимых переменных найдутся среди решепий
dW
системы («— т) уравнений ^—=0, где / имеют остальные (за исключе-
пием взятых выше т значении) (п — т) значений из числа 1, 2, 3 ...и.
В общем получается, независимо от выбора независимых переменных среди
dW
тъ д!а, ...ж„, всегда одна и та же система ^— =0 при ; = 1, 2, ...я, что
и требовалось доказать.
Пример 1. Из всех прямых круговых конусов, имеющих данную
полную поверхность =£, найти тот, который имеет наибольший объем.
Называя через а; радиус основания конуса и через а угол между осью
и образующею, находим 5=тгд!г(1-|- coseca),. Т!= — mc'cot a.
Составив функцию W = <rscotа — Хж\1 —|— coseca), решаем систему:
^K = 3;c8cota — 2^(1 + coseca) = 0, ^= ^ + Хж*-^ = 0; из
дх ч 1 / да smaa sinaa
второго уравнения Xeosa = a;, после чего
Ч11=^Л (1 + шпвѴІ —3віпа) = 0
OX Sina cosa '. /ч
і ,.-„ і, /г .; 5', /zS
1 1/4^ S/2
дает решение sinа=~, «= 19°28'П", ж = -|/-, Ушах = — J/-~
(наименьшее Г=0 отвечает предельному значению « = —, когда полная
поверхность конуса обращается в удвоенную площадь основания 5=2га;а)

92
Дііфферепциальтв шчи&.іетіе.
Чтобы проверить аналитически, что решение sin а = — отвечает maximum,
о
замечаем связь между da ж dх, выводимую из уравнения S = шг(1 -J- coseca):.'
, 2 since (1 + sin«) ,
аа = — —■ - '■■■■ ' dx;
х cos а
1 , 2J/2, li/S
при исследуемом значении sin а — — это дает гіа=-5!—йж,гдея0=- ¥ -_
1 Зх d2W — d3W
Далее,при5Іпа = -и при *■ = ■_■ J- получаем:-^- = 6a;0j/2, т—j-—— 9жа0,
^= ?5t, fflW=to.VTdx*—i&a:\dxda ^jLda2 (член с d4
№ 2 [/2 ' ° 2 ^2
имеет коэффициент -^- = 0) пі ПРН замене da на ^ гІ-т,
\ УІ J-l» J-LUJJ. UCJ^lUl^JiV 1*1* ПСЬ
<?а За;
-1 = 0'
откуда и следует, что найденное решение дает maximum У.
Пример 2. Найти площадь сечения эллипсоида -^-\-ш + т-
О О С
плоскостью Іх-\-ту~\-т = 0.
Сечение представляет собою эллипс, площадь которого равна л,
умноженному на произведение полуосей; полуоси же представляют наибольшее-
и наименьшее расстояния от начала координат до точек М (%, у, г) сечения.
Задача приводится к разысканию абсолютных maximum и minimum функции
составляем систему:
1 dW .ж , ft 1 dW ,у
—- -—= х — J.-s — лі = 0, — -т— = у — \$ — цт-= О,
2 дх аг Г ' 2 dy J 6- г '
1 dW . s
Умножая уравнения на х,у,%ж складывая, находим х^-^у1-^-!?—Х=0;:
если окажется, что X имеет два значения \ и А2, то искомые полуоси
и равны y\t и Ѵів. Из системы получаем: ж=—-—, , у= ■■ ■■ у ,-
і ^_ і _
г=—■-■-.■; умножая эти уравнения на 1,т, п и складывая, получаем:
Р , т* . п1 п
J--I -] г=0 квадратное уравнение для *.; переписав его.
qS^s _і_ jama _]_ са«а
в виде /*-|"т!! + йа — Р-^-Ь —~аіаа~— Х*=0, находим произведение-
корней: AtX8=~tra і и "■■ г а г ' 0ТКУДа' площадь сечения = 1гУХ1*2 =
— £ "I '' ** + *»' + *'

Разлооютие функций в степенные ряды. 93
Глава П.
Разложение функций в степенные ряды.
§ 1. Разложение в ряды функций е% sina;, собж, sha:, сііж, log{l m x),
■(1 +ж)№, arctga;.
Б отд. П, п. II, § 3 была выведена формула Маклорена
п
,ѵ-, ,ѵ~, , ^^(0) + ^,,^^=^^ f(*+4(lx) (форма
л—1
■Лагранжа), Swl— ѵ,—-^ /<*«)(»») (форма Кош н) при 0<9<1;
формула справедлива для всякой функции Да:), имеющей производные до
порядка {«+ 1) включительно для значений аргумента от 0 до х. Если
.для некоторого интервала значений ж удается доказать, что пред. Вм — О,
П = m
то получается Да?) = ДО) -f- пред. > — /(Fr,(0)i т--ѳ- Дф) оказывается суммою
я = со ^к!
к=і
бесконечного ряда: f(w) = f(0) + ^ /'(0) +^ /"(0)+ ... +£ля,(0) + ■■ ■
Приложим этот результат к частным случаям (см. отд. II, гл. I, § 7).
1) Да»=в?, fi*>(*) = «» Д"Ч0) = 1, Лп+1-^~^еЧтаккакеаі
■есть величина конечная при всяком конечном а; {е^-^І приж<^Ои е^^е"
ц.П+1
лри #>0), а / _j_"n? есть вѳлитана> имеющая пределом 0 {см. отд. I,
■гл. I, § 4, пример 3), то пред. Дп+1 = 0 при всяком ж, и потому
П ~ со
„3
2) Дж) = sins, /"(s)(a;)=:siii(a!-j-A—J, Д*)(0) = віп —, откуда
/І«)(0)=аЫп—О, /l«4-i)(0)=sia^ti: я = (— 1)'.
Двлвв,Ль+, = ————sin 2я+1 j-йж , итак как пред.—-—= о,
(2»-f 1)! (\ /2 ) ч = и (2п+1)!
--а sinz остается всегда конечным, то пред. Д2п+1=:0 при всяком а;, откуда
П = ао
•зіпж = а; --+ -... + (- 1)"-' h ■••
1-2-3 1-2-3-4-5 1-2-3...(2п—1)
яри — со <^ X <^ -|~ со.
3) Да!) = сонз;, fik){x) = cosU -\- к — ], /№(0) = cos А —, откуда
/№{0)=(-l)V<^0)=0,yUa=^^cos jfn+lW Ц
(2n-J-2)! ( \ / '

94
Дифференциальное иснгісление.
при всех значениях х пред. Ліа+3 = 0, и следовательно
п — со
„2Я
cosa;=l —— Р-... + - ——К., при—oa<jE<r-f со.
1-2 1-2-3-4 61 2«! ^
4) Да) = sha;, f »Ч(а;) = бЬж, /"(sft+1)(a0 = сЬж, /W (0) = 0, /(*«+l'(0) = 1,.
^»n+i = ch8(T, пред. i?an+! = 0 при всяком ж,
(2tt-|-l)! n-co
1 3! ' Б! ' (2n — 1)! ^ ^ i
5) f(x) = chw, f(ikKx) = cbx, /і»"м)(я) = Ліс,/(Л)(Р)=1,/№+4'С0)=0г
Д, ., = — сЬ&ж, пред. Лая., = 0 при всяком х,
(2я + 2)! я-™
я2 ж1 хіа
chx= 1-І-—-I Ь ... Ч Ь •■■• при — оо <а;<[ + со.
' 2! 4! 2в!
6) Д*) = logfl + а:),- ДО) = О, Д'К^-У"'^--, /'"'(О) =
(1 + х)к
т.п+1 Г іу.л? ( 11" / т. \П+1І
С»+і)! (і + вя)'"1 я + і и + аж/
имеем: 0<—г—<1, следовательно лред.[—__| =0 и пред.Дп+і=0;
1 -\- ѵх * = °° \1 Ч~ ™ж/ * - °°
/ 1 — & \"
при — 1<ж<0 имеем 1—Э<1-f-&E, пред.——— =0, пред.of1*1 = О,,
п = m ^1 4- из;/ n - ■»
следовательно пред. Я'^і = 0.
п = со
Отсюда
-4 л. П
І08(і + Я) = Л_5-+.|---^+...+(-іГ,~ +
при — 1<гс£Ц-1. Заменяя здесь ж на — ж, имеем:
-1оВ(1-!с) = а! + ^+^ + у+...1фн-1^!р<+1.
і О 1
Отсюда сложением находим (по теореме сложения рядов, отд. I,
га, И, § в):
_IiogL+f=c + 5!. + ^ + ... при. 1<ІС<+і.
2 1 — jc 3 5

Разлоэісение функций в степвннъье рядй. 95
7) f(x) = (1 -f- х)т (т любое вещественное число), /(ь)(ж) =
= m(m —1) ...(m — А + 1)(1-|-*)"*-*, Лк)(ОІ=т(т — l)...(m — *+l).
/г"+і 1
Дп+1 (я) = _ . m(m — 1) ... (т — n)f 1 + виО"1-^ = — $±\
(и + 1)! а -г J (-L + щп+і-т "+*
Л„+І(х) = — (1 —8)".m(m —1)... (m — n)(l + (te)""""1 =
яке /1-&\* [т_„
(і 4- Ож)і-т U + Ож/
, (я,) т(т—1)...(м—«—|- 1> „
где обозначено иѵ = —- —— !—- х ; применяя признак-
1-2 ... п
«(щ)
д'Аламбера (отд. I, гл. П, § 3) к ряду' |Ч'"'І7 находим пред.
, "-"> -»
= нрѳд.[ Ь|ж| = (іс(, откуда следует, что при Ы<1 РЯД |*я I схо~
п= ао \П -|- 1 /
дящиёся, и потому (I, гл. II, § 1, следствие) вред. «і,т) = О при всяком т.
Этодаетпред.Лш(%)=0, при 0<ж<;і, так как 1-\-Ьх^>1. Б выражении
£і+і.(о)) дробь —-— заключена между О и 1 нри —1<ж<"-|-1, поэтому
1-\-Ьів
пред. Ля+і = О при — 1 < а; < 4-1. Итак,
1 1-2 1-2...«
нри —1<^а;<^-("1 п при всяком вещественном т.
S) f(x) = arctga;, ДО) = О, /(**)(0) = 0, /lBft+,»(0) = (— 1)* ■ 2fct
Да:) = а; ж3-] ж6 ж74---.
3 5 7 2U + 1
Здесь мы не рассматриваем дополнительного члена и, чтобы сделать вывод.
/1 л х
строгим, составим две функции: <p(ic)=arctga;—[х а? -\- ...
3 in — 1 /
ъ${х)=ъх&%х—\х ж54-— яп ■■■ Н — ж'"'1"1 }; их производныебудутг
Д 3 5 in 4" 1 /
?'Ся=) = —— Г-7-Г>0 и fC!C) = _i__i±_<0, и так как
14- # і + я 14ж 14*ж
<р(0) = 0, ф(0) = 0, то при я>0 должно быть <р(я;)>0, і|і(а;)<0, т.-е.
ж—— + ...-- <агсІеж<ж — — +..-Н --aw+1; отсюда
3 4я—1 3 4«4-1
arctgir = ;E j-... f-0 , где 0<"9<^1; при 0<ж^=1
3 4»—1 4«4-1
пред.——— = 0, поэтому arctgo;=^a;— — -f- — —... — ■——-J-... при
я = ™ 4я4-1 3 5 4и — 1
0<жё1.
Формула верна и при 0_>ж^ — 1.

96
Дифференциальное исчисление.
■'§ 2. Численные примеры. Способ сокращенного умножения.
Если при умножении двух десятичных чисел, имеющих справа от
занятой тип цифр, в произведении нужно знать менее т-\-п цифр справа
от занятой, то, во избежание липших выкладок, применяется способ
сокращенного умножения. Пусть, например, требуется перемножить а = 25,37158
на й = 3,719468 с удержанием в«произведении пяти цифр справа от запятой
(точно: ей = 94,3687 (991944).
Замечая, чтоаХб = аХЗ + яХО,7 + оХ 0,01 + <* X 0,009-f-..., будем
при составлении частных произведении постепенно укорачивать а так, чтобы
•общее число цифр справа от запятой в числе айв частном множителе было
-5; таким образом находим:
25,37158 X 3 =
25,3715 Х0,7 =
25,371 Х0,01 =
25,37 X 0,009 =
25,3^X0,0004 =
25 X 0,00006 =
20 X 0,000008 =
76,11474
17,76005
25371
22833
1012
150
16
94,36861
Полученное произведение содержит погрешность; именно, каждое
укороченное множимое содержит погрешность меньше 1 последней цифры, а ошибка
и каждом частном произведении будет меньше стольких единиц последнего
(5-го) знака, сколько единиц в цифре множителя; суммарная ошибка будет
меньше N единиц 5-го знака, где N сумма цифр множителя; здесь ІѴ=38.
Однако, ошибку при сокращенном умножении можно значительно уменьшить,
■если вычислять каждое частное произведение с точностью до 1 пятого знака;
.для этого нужно прибавлять к последнему знаку вго цифру, накопляющуюся
от перемножения отброшенных знаков множимого на частный множитель,
Знося такую поправку, мы прибавим ко 2-му, 3-му, ... 7-му частному
:произведению соответственные цифры 6, 1, 1, 3, 2, 4, после чего произвѳ-
.дение будет 94,36878; теперь погрешность меньше единицы 5-го знака,
умноженной на число цифр множителя, т.-е. на б (первое произведение а X 3
точное), или даже на половину этого числа — на 3, если при отбрасывании
■6-й цифры мы увеличиваем 5-ю на 1, когда 6-я была не меньше 5.
Сокращенное умножение располагают так, что цифры множителя подписываются
иод множимым в обратном порядке, и каждая цифра множителя умножается
.лишь на те цифры множимого, которые стоят над нею и левее, при чем
.последние цифры частных произведений пишутся в один столбец
Пример 1. 2537158
8649173
7611474
1776011
25372
22834
1015
152
___20
94,36878
Ошибка <3.10"а

Разлооісеиж футщий в степетте ряды. 97
Пример 2. Перемножить 4801,357 па 0,0098732 о удержанием 5
знаков после занятой в произведении:
4801,357
23789
4321221
3S4109
33609
1440
96
47,40475
Ошвбка произведения меньше—<10rs<^3-10-;\
А
Точное значение произведения: 47,4047579324.
зу- 1
Пример 1. Вычислить у е с точностью до --- .
/ х х"1 х"\
Положив еіС ■— (1 -I f— f— - - - Н =-Я„+1, имеем:
\ 1 1-2 и!/
Л = "- t _£_ + -х1 |_ ___ &. + \ <
я+| я! /п+і ^ (я+1) (я+ 2) "'"(в+І) («+ 2) (я+З)^""') ^
я!(п + 1 \я+1/ \« + Ѵ і п! я + 1 — %
При х = — путем последовательных испытание находим Яя =
3 ЗМ20-^
= <—. Вычисляя 1+ж + - 1 — Н —=1 + 0,333333 +
185240 10е 1-2 1-2-3 1-2-3-4
2
+ 0,055556 + 0,006173 + 0,000514 = 1,395576 с погрешностью< , полу-
10"
7 9 1 —.
чаем с погрешностью <^ — -| <^ результат: |Ѵе= 1,39558.
Пример S. Вычислить -гр=. с точностью до .
у е 10s
По свойству знакопеременного ряда имеем:
1 ' ' 1 '1 1 1 У
-+= = (Г7=1 —і+—L_ _і f-_± — ,при0<&<1;
|/Т 4 4М-2 4а"-1-2-3 4'-4! 45-5! .
■{см. Отд. I, гл. II, § 4). Здесь = —-— <" -—-: погрешности при
4s-5! 1228Й0 ^ 106
вычислении суммы:
1 — і + —і і- _Jl— — I __ 0,25 + 0,031250 — 0,002604 +
4 ' 4а - 2 ! 4" ■ 3 ! Т 4s ■ 4 !
+ 0,000163 = 0,778809 не превосходят — , слѳдбватѳлъно, -т=- = 0,77881
10е |/ е
1
■с точностью до ■—■.
10(
Апаліів бесконечно- малых, 7

98
Дифференциальное ичтійлвиие.
, Пример 3. Вычислить sin 5° и cos 5° с точностью до —-,
10'
Здесь ж= — = 0,0872665; по сокращенному способу
36
0,0872665 0,0872665 0,0872665 0,087...
566278 45167 2466 975
69813 6109 524 43
6109 524 52 6
175 9 3
52 -—_ .
5 0,0006642 = ж' 0,0000579 = ж* 0,0000049 = ж*
х3 = 0,0076154 0,0001107 = — 0,0000024 = — 0,0000000=
6 24 120
~ = 0,0038077.
Вычисляя по формулам:
зіпж = ж-— \- і) , coss = 1 — ■ 3——
6 120 2 24 720
(основанным на свойствах знакопеременных рядов, отд. I, гл. П, § 4),
находим: sin5° =0,0871558, cos5° = 0,9961947 с погрешностью меньше ^г-^
1 1 \
ошибка каждого слагаемого < — ; по 7 - значным логарифмическим
\ 2 10 /
таблицам оказывается sio 5е = 0,08715574, cos 5° = 0,9961947.
Пример 4. Вычислить log 2 с точностью до .
ш * 1 , 1 -4- ж . х3 , х3 , 1+ х- _.
Берем формулу —log—■— = х-\ \- ■•■ и)полагая—'—= 2Т
2 1-я: 3 5 1—а;
.1
находим х = —; погрешность
2п+1 2я+3 г 2»+1| 2п+3 ' 2п + 5 і
л. зв +1 { 1 ж а» +1 і
2»+1( ^ ^ I 2я+1 1—Iй
вычисляем по формуле:
-Ье2 = -+— f ^ ... + — И = 0,3333333 4- -
2 Ъ 3 3-3Я 5-3° 11-3" 13-8"-8
О ■ fi
0,О123457+О,ООО823О+О,ОООО653+О,000ОО57+О,ООООО05 + —=0,3465735-
с погрешностью <" 6 і = -—-, и іое;2 = 0,6931470 с погрѳпг-
* 2 107 10* 10! & -
72 1
ностью< < . Итак, log2 = 0,693147. —-
108 106

Разлоэюение футщшй в степенные ряды. 99
Формула, определяющая log(l-(-ж), может служить для вычисления
логарифма числа N-\- 1, когда логарифм числа N известен (при;с= — ] ,
1 Я
например: нри # = 0,01 имеем loglOl = IglOO -f- 0,01 f- =
= 4,605170-f-0,01 — 0,0005 = 4,615120 с погрешностью <—.
10й
Пример 5. Вычислить (^121 е точностью до — .Имеем ^ 121 =
10е
= {/~\ЧЬ — 4 = 5 [ 1 —\ =5 М —0,032) =5
1— - ■ 0,032
3
-■(0,032)я — — -(0,032)3 —9- — -(0,032)*
9 81 243 ■ 1 — 0,032
= 5 (і 0,0106667 — 0,0001138 — 0,0000020 — Ь'-~ \ = 4,946088
1 2
с погрешностью <—(ошибка 3' составляется из ошибок трех членов
разложения, из коих каждая меньше — • —-, и из ошибки дополнительного
члена, которая также меньше , что и дает суммарную ошибку о ■-— .
2 10 , 10 /
Пример 6. Вычислить І/^вЗ с точностью до —.
Имеем: (/83= \/ 81 + 2 = 3 (і -\- — \= 3 fl -f- 1 ' г ■
8і; \ 162 162-108
-| 9 1 1 = 3(1 + 0,00617284 — 0,00005716 4-
162-108-486 162-108-486-54/ I,
+ 0,00000083 — 9'— ] = 3,0183495 с точностью до (ошибка &'• .iL
^ 10°) 101 \ Юэ
составляется из ошибок трех членов, из коих каждая меньше — ■ —, и из
* . 2 10s
ошибки дополнительного члена, меньшей , что дает суммарную ошибку
31 93 1 \
<Г—, а после умножения на 3 — ошибку <Г — <" -— .
^109' ' J^ 109^ 107/
7*

100
Дифференциальное исчисление.
Глава III.
Истинное значение неопределенных выражений.
§ 1. Неопределенность вида-.
Определение. Если при % = а числитель и знаменатель дроби '^
обращаются в О, так что Дя) —о, щ(«)^о, то дробь ^-^ при я=япри-
пии х=а
нимаѳт неопределенную форму —. Истинным значением такой
неопределенности, что обозначается символом -— , называется
L«>(!F)J аг^я
і = a L <р(ф) J ft = 0 | tp(a -[■- А) I
Теорема (правило 1'НбрНаГя). Если отношение производных функций
f'(x) Г/(^)1 /'(а)
■■' ■ непрерывно при % = а, то истинное значение -*-^^ = а_ч_і. .
?'(®) Up(a;)Je = e <р'(а)
Вывод. По свойству непрерывности (отд. I, гл. Ш, § 3) существует
пред. ■*■- -^"- —, равный-i-^-J. Но по теореме Коши (отд. П, гл. П, §2)моквм
*і = » <р'(« + лі) <р'(в)
г с/ , « / %_т /(я + А) До + А) — /(о) Д<4А)
написать[таккакДа)=0,<р(а)^]: — --~!---л=='---'- ' 'ч ' = і *-■ '-'■',
L ' <р(« + А) т(о -f А) — 9(e) т'ОЧА)
при чем ht заключено между 0 и А, так что А, вместе с Л стремится к нулю.
тт Г/(ж)1 /»
Переходя к пределу, получаем ^^— = -u^-i.
LfC^Ja; = в ?'(а)
Пример 1. \і—Zlil = Г.
L sm2<c Ja=0 L:
в""-! 1
.2 cos2# _
Ж = 0
2
СлеЭемэие. Если -^~- представляется в неопределенной форме —,
ГО + Л) я ГО) ГЛ*Л /"(о) т>*
но существует пред. hr,—г~п » равный Цтт-т> т0 -^М = »)-т ■ В бол8Ѳ
J^ J h=t. Т (а + А)' * «р '(a)' -U(e)J* = a¥ (о)
< Да) /'(а) /,(ft-f)(fl}
общем случае, если все дроби ■*■—, J-ij~, ■■■ ■ >>Ч]/ f представляются
* а ° (/(t,(e+A)l *Л*Ч«)
в неопределенной форме — , но существует пред. '—-■ '-■ '\ равный-*—^-s
О л-и (срС)(й-(-А)) 9( 4°)
ГДюЛ /№(<0
то истинное значение ^f-f I = -.і,,, : .
„ ' \-v{tz)Jx=ii ?'к)(а)
Действительно, при условиях
Дв) = 0, До) = 0, .:.f*-\a)=0, «(я) = 0, ?'(в) = 0!...?"-1(а) = 0,

Истинное значение неопределенных выражений. 101
имеем по теореме Копш:
/(а + А) „ дй) _ у(а + А,) - Да) /"(« + V - ТО = =
Т(0 + ft) _ ?(0) ?'(« + At) - ?'(*) «Р> + А>) ~ <Р» "''
<P|S"14« + Aft-,)-^,,(«) ?<*>(а + Ал)'
при чем числа Л, А,, ... hk располагаются по порядку абсолютной величины
тан: 0, As, А^,, ...Ла, /[„ А и, следовательно, с приближением А к нулю
число Aft также стремится к нулю.
Переходя к пределу, получаем: |_£ф_|в=-^(Sj^j-
Пример 2.
р* _ і _ х — і д»-і = j~g* — д. — as~l = Г1^і"| = r_lL"| = і
L Ж —8ІПЖ Je = 0 L 1 —COSat Jffl = jL ВІПЯ! Х = 0 иСОВФДигв
Замечание. Правило ГНбріІаГя остается верным и тогда, когда а = оо;
именно, полагая х=—, при чем при ж = со оказывается J —0, имеем:
Пример S.
%ѵ
?%-*=*
,(1\ —1
« — - —-
1
а:
1
г(Г
<?
ж(а: +1)
;+і
^ — to
§ 2. Неопределенность вида
со
оо '
Теорема. Правило ГНбрііаГя остается справедливым и для неопреде-
со
ленности вида —, т.-е. если Да) ^ оо' и «(a) — со, но отношение произ-
со
водных существует при ж = а, то -*у-^ — -SM ■
Пример 2. -~ (» целое положительное число). Применяя
правило ГИбрЯаГя к раз подряд, находим:
Для вывода теоремы замечаем, что ;тт"^= р и таи как при f(a)= со,
]Ы_/М
•К*)

102
Дифференциальное шшслеткв.
<р(я) — do выходит -j . — 0, -j^-r — 0, то приходам к неопределенности
вида -=-, которую и раскрываем по § 1. Итак,
гмі =
г 1
?(#)
J(ie)_F = я
Если истинное значение
Г(«)
L»Caj)J* = J
L»(a;)X = в L<p'(a;)-ta = я'
ТО" J* = «
представляет число і, неравное 0, то
отсюда 4 = А2: ^-—т, т.-ѳ. 4 = -Ц-^, что и требуется доказать. Если
*Р (о) Т 00
же .4 = 0, то берем дробь ' ~Ѵ л » где С некоторая постоянная;
так как истинное значение новой дроби равно С, то, прилагая предыдущий вывод,
получим
■ ГЯдО+ОрОсЛ _/»+<У(«)
«К»)
-Дг - и'
?'(<0
-, ИЛИ
откуда, по сокращении С, получается желаемый результат.
Замецаиив. Обыкновенно при раскрытии неопределенности вида —
со
отношение Bees одноименных производных оказывается также вида г—, и для
достижения результата нужно преобразовывать получаемое выражение
О
к виду -Q-.
Пример 3. Не следует писать:
logic
l ѵ ее Дс = о
а должно вторую дробь преобразовать в форму Г — 2 уЪ | , что и оире-
L „in = о
делит истинное значение: 0.
Пример 4.
Llogtg6a;Jffi7
[sin 2 од _ а Гаіп2бдГ| а Г 2b сов 2ІзЛ
2Д ~ b Lsin2aa;JiC^o"S'*L2acos 2<м?ХГ»
sin2&c>=°
§ 3. Неопределенности вида: со—со,' О-вд и показательные
неопределенности: 0°, со9, \±ш.
Все эти виды приводятся к двум предыдущим:
1) Если /(я) = со и w(a) = co, то, положив Да;) =-г-—, <р(,
ш)=
Ті(«)
будем иметь ft(a) = 0, <p,(a) = 0.
Тогда Гдв) -ф)1 = Г і U = Г|#^#1 , т,е.
приходим к неопределенности
О "

Истинное значение неопределенных виражений. 103
Пример 1.
Г__і_ __ _іЛ Гжв — sintta;~| Гх—smaT] Г а? 1 I д? —|— sinд? I
Lsin^a; хгХ~а L a:asin*a; Х~о І_ #3 X = о Lsinajs = о L sina; J.„
= а
і(по теореме о пределе произведения).
"а; — sinafl
Но
Га? — sinaTj Гі — соааЛ ГзіпаЛ ['cosafl 1
Г_£І __ Г 1 1 1 pc-j-sinaTj ri + cosa?"]
LsmfrJ^To Lcosa:J.^7fl ! L sina; X^q L cos# J^Tii '
1 / ч 1
-следовательно искомый предел равен —.
2) Если /(я) =0б <р(а) = со, то, положив f{$) = т - „ тѵ„, —
/lW ?iw
-будем иметь: Д(а) = со, ?1(я) = 0, и потому [f(ie)-t(iB)]a-a = +Щ- =
= LfeL*' ™ дает форму от ш
ПримерЗ. Г[1——\-tg-1 =
Ц a J 2аАх=а
со
со '
~1—*"
cot
та
2а.
— —віп1
-а U 2a
ІГіС
_2
тг
3) Показательные неопределенности 0", со0, і ± °° представляют
частные случаи выражения [/0е) J = [fi "S/W j ^ t ПрИ там
показатель представляется в неопределенной форме 0 ■ со.
Раскрывая эту неопределенность по 2) и называя через А ее истинное
.значение, находим \J(&) \=a=z ■
откуда е4 = 1.
Пример 4.
J_ і„„ / sina; \ Гсовя1 1
Г/^Г1 =ел,гдеі = ГМ^11 J H^Zi
Ц х I Х=й L ж8 л=о L 2^
рссоэд;— sinж"1 г і 1 гжеоэж—sina;] г—arsinari 1
І_ 2ж3 Х=9 L^e_L=t L 2#3 _L^T L 6а:5 Х=о б'
следовательно Л = — — , искомое выражение =е в .
6
§ 4. Раскрытие неопределенностей с помощью разложения функций
в бесконечные ряды.
В некоторых случаях при раскрытии неопределенностей удобно
применять разложения функций в бесконечные ряды, выведенные в отд. ПІ,
гл. П, § 1.
„ „ гаге thai — arclgari
Пример 1. — I
L scohx — эпж Х-о
_к
гжеова;— sinarj
-о L 2д!г5Іпж _1Е=.
■В=0

104
Дифферещиальное ■исчисление.
Пользуясь разложениями arctha; = — log ■ — = х -\~ -т- хя -\- ■ ■ -
(см. отд. П, гл. П, § 2), aretg<r = ж — ~ ж3 -{- ■ • -, a; char—sha; =
= ат[ 1 Н х^-\- ■■■ ] — (ж + — £э-| і = —а?-] , находим для данной
\ 2 / \ 6 /3
!■*•+«*■+..-
дроби выражение: -^ , яоего предел при х = 0 есть 2.
TC*)=-|log(l+*)-l=-f + у- -; поэтому *0)==0,[-^]==-|- .
= 1, исномый предел = — -т-.
L у Jk=o 2

ОТДЕЛ IY,
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
Глава I.
Плоение линии.
§ 1. Уравнение плоеной линии.
Плоская линия задается или одним уравнением вида: у = /'(£),.
F(ic, у) = О, связывающим координаты любой точки М(х, у) этой линии,,
или двумя уравнениями вида: х = у(І)> У = ІК0» выражающими координаты
любой точки в виде функций от независимой переменной (
(параметрическое задание). Кроме прямолинейных координат, употребляются полярные-
г, b(x = rcosQ, у = rsin6), при чем уравнение имеет вид »"=/(Ѳ), F(r, 6) = О
или определяется параметрически: r = tp(«), Ѳ = <]і(«).
Цример 1. Окружность радиуса а с центром в начале можно задать
параметрическими уравнениями a; = acos(, y = asmt, так как при этом
ісг -f- у* = а3. Точки, лежащие на осях координат, отвечают значениям (:
Пример 3. Эллипс с иолуосями а и Ь в с центром в начале задается
уравнениями: ю = a cos/, i/ = 6sini, так как -д+ та =^1; вершины эллипса.
отвечают значениям f: £ = О, -т-, я>-=-•
X
_£ = !
■Прилиір 5. Гипербола -g—тг = * задается параметрически: #=ach(,.
= isht.
Лрмл(вр 4. Циклоида есть линия, описываемая определенною точкою
окружности радиуса а, которая не скользя катится по данной прямой ОХ'
(черт. 50).
Полагая £OtCxM=t, вмеѳм 00t = ѵ_^ OiM.= at; проектируя на оси
координат Д OCjft, в котором пр. ОМ.='щ. 0Ct -f- пр. CJ&, находим:;
x = at-\-acos\ 2тг — [-— + *) \=(i(l—sint),
y = a~\-asm\ 2я— (—\~t\ = «(1 — cost).

106 Дифференциальное исчисление.
Пример б. Спираль Архимеда: г = аЬ (черт. 51).
Пример 6. Логарифмическая' спираль г=яеті| (черт. 52); когда 6
■стремится к —со, г приближается к 0.
Черт. 51.
Черт. 52.
У
X
Черт. 53.
'
с
\
ч
V
і——-
-' 1 —
У
-Ч
<*>
-
^^
\ >
Черт, 54.
Черт. 55.
Черт. 56.
Пример 7. Гиперболическая спираль гВ = «. При 6=0 оказывается
.г = со, но rsin8 = я—г— имеет пределом а, т.-ѳ. спираль приближается
к прямой у = а, никогда ее нѳ достигая (черт. 53).
Пример 8. Лемниската Бернулли имеет уравнение гв = ascos26
(черт. 54), или r3 = aBsin20 (черт. 55).
Пример 9. Кардиоида г = а(1 -(- созѲ) (чѳрт. 56) представляет частный
случай Улитки Паскаля г = а-\- бсозб.

Плоские линигі.
107
§ 2. Дифференциал дуги.
В отд. П, гл. I, § 3 (черт. 38), показано, что отрезок я,Л| = Ау,
п1 Т— dy и что Мх Т= Ау — dy = еАх есть бесконечно-малая высшего
порядка относительно Ах {или dx). Предполагая, что длину дуги можно
измерить при помощи гибкой нерастяжимой нити, обозначим длину дуги
линии MJtMx от некоторого начала Ма до точки М(х, у) через s = F(x)
и будем рассматривать дугу ММХ как приращение этой функции: As,
отвечающее приращению Ах = Мщ независимой переменной х; при этом }Дж|
будем считать достаточно малым для того, чтобы между И и Мх tga = у'
изменялся монотонно. Принимав очевидным, что объемлющая ломаная
'] МТ\ -+-1 ТМу \ больше выпуклой объѳмлемой w ММХ — As, а эта последняя
больше хорды \ММк\, получаем неравенства: \/ hx* -f- йі/а -f- еДж^> As^>
^> |/Дя!*-(-Дуг; разделяя на Дж^>0 (еслиДя;<|0, то знаки неравенства
нужно при этом изменить па обратные), получаем при переходе к пределу,
когда Дгс = 0, результат: і/і 4- и'^^пред. | —]^ |/1 -I-ѵ'а, т.-е. — =
\Ах) dx
= J/1-|-j'2, откуда (&= ]/dx2~\- dy'1. Другой вывод этого результата,
связанный с понятием определенного интеграла, дан во П части отд. ГѴ,
гл. I, § 3, замечание 1. Таким образом доказана теорема: если длину дуги
плоской линии, отсчитываемую от определенного начала, рассматривать
как функцию от абсциссы конца дуги, то производная этой функции будет:
--г- = j/l-f-y'2, где у есть выражение прдинаты конца дуги, как функции
от абсциссы; отсюда ds =\/ dx"- -f- dy1, т.-ѳ. дифференциал дуги равен корню
квадратному из суммы квадратов дифференциалов координат конца дуги.
Замечание. В полярных координатах ds = i/rfr3 + *'*<#*» так как
•dx — rf(»-cos9) = cos9 dr — rsiaQ dd, rf« = d(fsm8) = sin6 dr -j- rcosfi dti, откуда
■<fes + dS» = dre + r»dBe.
§ 3. Касательная, нормаль, поднасательная, поднормаль в
прямоугольной система ноордннат.
В отд. П, гл. I, § 2 было дано определение касательной к плоской
линии и выражение углового коэффициента касательной: Ща = у'. Поэтому
уравнение касательной в точке Mix, у) плоской линии будет Y— у=у'(Х.-—$),
где X, ¥ координаты точек касательной. Здесь у' берется из уравнения
данной линии, и если последнее дано в виде: f(x,у)=0, toy' = — ■£? (Отд. II,
/у
гл. Ш, 8 6), и уравнение касательной будет:
(X-ff)f№, y)+(Y-y)}l(x, j/) = 0.
ч.
Пример 1. Показать, что для астроиды, определяемой уравнением
і. — -1
ж3 ~\- У3 = я3, отрезок касательной между осями координат имеет
постоянную длину а.
_!
Вывод. Уравнение касательной в точке (ж, у) будет: (X. — х)х 3 -\-
_І _і _і *_
-\-(У—у)у э =0, или Хх э -}- Ту 3 =а3, откуда отрезки, отсекаемы»

108
Дифференциальное исчисление."
.Li. J. JL
каеательною на осях координат, будут: а = х3 й3,р = уз а3; отрезок
касательной между осями £= \/'«- -ЬРа= к «а\з;э -{- y3J = е.
Зй-иевдмие _Г. Из формулы tga = y' следует, что косинусы углов,
составляемых направлением касательной МТ с осями координат, будут:
cosCX, NT) = cosa = ±~-, cos(7, #Г) = sin « = ± ^£,
при чем <& = у dx"- -j- <fys (п0 § 2), и в обеих формулах одновременно берутся
верхние или нижние знаки.
Выясним, что знаку -f- отвечает то направление касательной Т, которое
идет в сторону возрастания дуги s. На черт. 57 замкнутый выпуклый контур*
делится на 4 части—I, П, Ш, IV—точками прикосновения касательных,
параллельных осям координат. Беря направление возрастающих дуг против часовой
стрелки, назовем положительным то
направление Т касательной, которое
вдет в сторону возрастания дуг;,
тогда угол а между ОХ и
положительным направлением касательной
будет содержаться между 0 и ~ на
h
т it
I участке контура, между -^ н х
ѵ q
на П, между я и ~ на Ш, между
Черт. 57. -L н 2іг на IV. Поэтому, оказы-
Л
ваѳтся, cost* > 0 на участках I и IV и cosa<^0 на П и Ш.
Вместе с тем при движении по дуге AtBiA оказывается dx > О,
(If
ds>0, следовательно т-> 0, а при движении по дуге АВАІ dx < О,
ft Т
ds"~>0 н -j-<0; так как вопрос идет только о знаке, какой нужно взять.
dx , dx
в формуле cos а. =?± -г- то из сказанного следует, что C05a=-f--y- для поло-
dy
жительного направления касательной; отсюда sina =-|--/-, ибо знак гг
берется одинаковый в обеих формулах. Р-езультат остается верный и при
отсчете дут по часовой стрелке.
Замечание 3. Прямая, проведенная через точку М перпендикулярно
к касательной МТ, называется нормалью и определяется уравнением
Y — у = Т(Х—х) ~b.se (X—x)dx-\-(Y— y)dy = 0, так как из условия
перпендикулярности с МТ угловой коэффициент а нормали определится формулой:
а-у' -\- 1 = 0, откуда а = -,, Положительною нормалью /Убудем
называть то направление, которое получится при повороте положительного напра-
У
D
"Т
/U,
1\Л?
) _г
*-*![г*~
у
Ъ у
ч
—w^^h»
—
2
I
„.„J.

Иі/іоские линии.
109
вления Т касательной на угол — против часовой стрелки. Тогда (X, N) =
— а + у^ и следовательно cos(X, N) — cos («4- у) = ~~ s'Da — — ТГ"'
dm
■Сов(К,ІѴ)= sin^a-f yj = + tosa= -f -^ .
При отсчете возрастающих дуг против часовой стрелки положительная
нормаль N (черт. 57) направлена в вогнутую сторону линии, а при отсчете
возрастающих дуг по часовой стрелке положительная нормаль N направлена
в выпуклую сторону.
Замечо/ние 3. Если в точке М построить касательную МТ и
нормаль MN, то на оси ОХ (черт. 58) определятся отрезки: поднормаль PN = Sn,
иодкасательная PT=Sf, кроме того, \МТ\ = 7'называется длиной
касательной и \JUN\ = N называется длиною нормали. Отрезки эти имеют елѳду-
Чврт. 59.
ющиевыражения: •% = yy' = ytg<*,St =— / — —J/cote, N = \уу1~\-у'Ц =
У
COSa
, Т=
% ■ \Zl-\-y'2! = *{~|. Действительно, ш уравнения каса-
sin a!
тельной Y—у = у'(Х—ж) при F=0 получается отрезок ОТ=Х=а>— Щ,
■откуда РТ = РО 4- ОТ= — х -\-{х — 4] = — -=4; из уравнения нормали
_Y — y= Г(Х— х) при Г— 0 получается отрезок ON= уу' -\-х, откуда
PN — ON — OP — ON — х — уу'; после этого из А РЫТ находим
Г=|/У + ^, а из &PmN=yf-^W?-
Пример 3. Парабола у'2=2рх имеет постоянную поднормаль Sn=yy'=p;
логарифмическая линия у = be " имеет постоянную подкасательную
St = 4 = «; окружность ж = a cos/, y = Qsin* имеет постоянную длину
У
нормали N = а (ибо у' = — cot/); трактрисса ж = а [ cost -f logtg -^
y = asint имеет постоянную длину касательной Г=п, ибо г/'^tgf (черт. 59)
t\

по
Дифференциальное исчисление.
§ 4. Касательная в полярных координатах.
Б полярных координатах положение касательной в точке М определяется
углом ^ между радиусом-вектором ОМ и касательного МТ (черт. 60). По
свойству внешнего угла треугольника, имеем а^^-^е, откуда tg^ = tg(a—Ѳ} =
tea — tg6 cosbdy — sm6dm , , ,
= i—г"г—i~d = ■—ttj" г—■ nj • (hoo tea = «); принимая во внимание
1 + tgatgS cosQdx-\-smbdy K ° s '' *
■ i я . / ■, rdtt dO
выражения ax, ay, приведенные в S 2 (замечание), находим tgii = -r; = -м—-..
Проведя через полюс О прямую _1_ к радиусу-вектору ОМ и продолжив
касательную МТ и нормаль MN до пересечения с этою прямою, получаем
отрезки: OT=S[ (полярная подкасательная), ON=Sn (полярная
поднормаль); кроме того, \МТ\ — Т называется полярного длиною касательной
и |ЛДѴ| = Л'—полярного длиною нормали.
г2
Перечисленные отрезки имеют следующие выражения: Sj = rtg|i. = —г,
т ' ' I' Ism (j-I ' ' d9 ■
г ' IcosyJ
где г = -=в; формулы следуют из черт. 60.
Черт. 60.
Черт. 61.
. Примеры: 1) Логарифмическая спираль г=аетй имеет постоянный-
угол ]і —arctg— между радиусом-вектором и касательной; этот угол будет
т
пряной при т = 0, когда спираль обращается в окружность г = а. 2) Линии
г" = a" sin А8 имеют угол р = кй. 3) Спираль Архимеда г = аО имеет
постоянную полярную поднормаль $л = а. 4) Гиперболическая спираль т = у имеет
постоянную подкасатѳльную St = а. 5) Окружность г = а біаѲ имеет
постоянную длину нормали N=a. 6) Спираль, заданная параметрическими
уравнениями г = в cos [l, Ѳ = р. — tg ft, имеет постоянную длину касательной Т = а.
§ 5. Кривизна. Радиус кривизны. Центр кривизны.
Кривизна есть величина, характеризующая быстроту поворота
касательной при перемещении точки по кривой, и равна нулю только для прямой,
где касательная не меняет направления. Среднею кривизною на дуге ММ,
называется отношение -г- угла поворота касательной Да к длине дуги MMt
(черт. 61); предел этого отношения при Ля = о называется кривизною в
данной точке ш.

Плоские линии.
Ill
Теорема. Если плоская линия задана уравнениями х = а((), у = Ф(Л,
то кривизна в данной точке равна — —s; при задании линии уравнѳ-
(«p" + f^
нием у =Дда) кривизна равна
JL
і; в полярных координатах кри-
Ло
і(
is
it
da
dt
— dt ~
dt
da
~d*'
a+rr
^визна = -—!— ;— .
(r* _[_ r'S)i
Вывод. По определению, кривизна = пред. ^- = пред.
dy , d&Pit — dyd-w , ,,- „—.-—,—я
во « = arctg -т3-, «а = , g, »д и as = j/яаг -j- ш/% следовательно.
da dtBd*y — dyd*x т'ф"—«р'ф"
-г- = —-—- ~— = — !-і1. Если ж независимая переменная, то
as (fhP + dy*)* it (?'*+<n¥
d*x = О и -т- = •— j . В полярных координатах, по § 4, а = р. -j- в,.
rfe = ^+dB=rfllrclg(^) + <»=[^p^+l]rfe =
r»+2r^—rr"
<b = j/pf-f r'3 cffl (по § 2) и
da
ds
г* If 2г'а —rr"
ra-f-r'2
(ra + r'2}1
Замечание 1. Кривизна окружности радиуса R постоянна во всех точ-
ках и равна ± -„-.
На терт. 62 угол (Л/Г, М{Т) = Да- равен центральному углу M03ft
вследствие перпендикулярности сторон; поэтому
' і/н п. Да 1 , До 1
Дя=иЛШ[=,яДа, откуда -г- = -& и пред. -г-=~б ■
as a us - 0 As л
При отсчете дуг по часовой стрелке выходит
da__ J_
ds ~~ . Л ■
Замечание 2. Радиусом кривизны в данной
точке J/ плоской линии называется радиус той
окружности, кривизна которой равна кривизне
данной линии в точке М. Отсюда следует, что радиус
кривизны а
Чйрг. 62.
_м_Л i-U-f?/5)1
аа
У
и пр.
da
Вывод. Так как кривизна данной кривой равна --г-, а кривизна
окружности ± -jt, то К = ±-г; при чем -j- берется, если дуга возрастает против
часовой стрелки, и—берется, если дуга возрастает по часовой стрелке;
в первом случае (§ 3, замечание 2) положительная нормаль направлена
в сторону вогнутости линии, во втором — в сторону выпуклости.

112
Дифферещиальиое іі-счислеиие.
Замечание 3. Если построить окружность (черт. 63), которая касается
данной кривой в точке М и центр которой лежит (на нормали) о вогнутой
стороны кривой в расстоянии СМ—11 (радиусу кривизны), то эта
окружность называется кругом кривизны данной кривой в точке І/, ѳе центр С
называется центром кривизны и ее радиус — радиусом кривизны кривой
в точке ДЛ Покажем, что координаты центра кривизны определяются фор-
ds . dy . ds , dx
мулами: хс = х-Га.51аа = х-^а, yc = y + 1-cosa=y+Ta.
Вывод. Дроекции отрезка МС на оси координат равны, с одной
стороны, хс — х, ус~~у, а с другой стороны К cos (X, МС), 7? cos (У, МС); но
ds
Л = ± -г-, при чем -\~ берется при отсчете дуги против часовой стрелки
и —при отсчете дуги по часовой стрелке; в первом случае МС совпадает
•с положительною нормалью N и cos (А', МС) = — sin a, cos (Y, МС) = + cos a
і§ 3, замечание 2), во второи случае МС совпадает с отрицательною нормалью,
Черт. 63. Черт. 63а.
іі предыдущие выражения косинусов меняют знаки. В обоих: случаях выхо-
ds . dy , ds , dx
дет: sc-s = -^.sm«=--t,j,c_3, = + -.cos«=+^:, ибо
dx . dy с
■cosa =тт, sma = ^- (s 3, замечание 1).
-л- я . j dxd-n — dyd-x y"dx
По теореме §5 da = -^-ф- = -JL_ , так что <гс - ж =
_ g'd + s") „ i + ff"
Пример 1. Цепная линия і/ = яе!і^ имеет радиус кривизны It, рав-
пый длине нормали N: Ii = N=ach- — —^ (так как і/і+й7^ — ,я"=!Ѵ
Таким же „свойством обладает окружность: a:=sm/, у—д cos/, где Л = ІѴ=л.
Пример 2. Циклоида ж = а(/ — sin),/ у = о(1 — cos/) имеет
Л = 2N = 4о sin— ( здесь у' = cot -~, у" = — -J - Таким же свойством
обладает парабола жа = іа(у—а): R — 2ІѴ= 2j/ J/ ■-!.

Дтоские липни.
113
Пример 3. Для липни rk l = ak ism(k—-1)8 оказывается .#= т-М-.
так как по
ds
4, примеру 2, р. = (к — 1)6, а = И, do = kdb, Д = -=- =
da
к dd~ к "'
§ 6. Эволюта как общее место центров кривизны. Свойства
э волюты.
Определение. Общее место центров кривизны С(х„ ус), построенных
для всех точек М(х, у) данной линии, называется эволютою этой линии,
которая относительно эволюты называется эвольвентой (черт. 64). Из
выражений координат а?с, у„ данных в § 5, следует, что параметрические уравнения
эволюты будут: xc = x — -f-, yc = y-j- — где х,у,а выражены в функции
независимой переменной (/ или sc).
fa-U}
Черт. 64. Черт. 65.
Пример 1. Для циклоиды х = (( — sinf), y = a(l — cos/) имеем:
t w
Ха a s= cot —■, a = —
45 2 2
2 2 at
yc = y —2 —= —o(l —cos/).
at
Перенося начало в точку (we,— 2а) по формулам'я;с = ^а-{-хі, #с =—2а-\- у£
и полагая (—•& = ?, получаем: xl=a(t'—sin/'), уё=в(*— cos/'), т.-ѳ.
.эволюта циклоиды есть та же циклоида, перенесенная в иное место
плоскости (черт. 65).
Пример 3. Для логарифмической спирали г = ае",й имеем:
(j, = arctg— (§ 4, пример 1), оУ = 0, da = dby
m
■следовательно,
откуда
_ _S = _ mae wo sin а, «. = и Л, — = тае,,л cos6,
ib ' J J db
»-е = яівеі»е, lgSc = —-соіѲ, 6С = — -f-fl..
Авали» Бесконечно - инлыя.

114
Дифференциальное исчисление.
Исключая в, находим: і\ = ает(% — ао), где
ІОК'Ч?
; повернув
2 т
полярную ось на угод Ѳ0 и положив для новой оси (В^д^О,, —Ѳ0, находим
г„ = яет(в|)с, т.-е. эволюта логарифмической спирали есть та же спираль,
повернутая на определенный угол около полюса.
Пример 3. Для эллипса <c=ncos/, ?/=usin* находим:
da ab я2 — b°- , а*—-Ь°- . ,,
—- =—-—■ ■——-, хс = ;. соз'ч; ус= — surf;
dt а*в\пЧ-\-Ь*<х>&^ а Ь
по исключении t полунаем уравнение эволюты в виде (_£,і -И 1 =,U
где я,= , Ь, = ——.
я Ь
Черт. 66.
Черт. 67.
Варшинѳ А эллипса ((= 0) отвечает (черт. 66) центр кривизны СЛ (я„ О)-
и радиус кривизны =|.4СА\ = а — о, = —,причеиСллежитмеждуОифокусоы
а
F(c, 0), ибо «! = А*« = кс <с [А =|/ я-~— есть эксцентриситет эллипса];.
/ ѵ ѵ а *
вершине Д элдипеа(г= —J отвечает центр кривизны Св(0, — 6,) и радиус-
кривизны |#(7B| = i-f-&1 = —, при чем точка Св иожет лежать внутри:
эллипса при fc<—=1, совпадать с Д при£ = —=) иди быть вне эллипса.
(1>4>7і)- .
Пример 4. Для параболы ж = ^-£ исключение # из системы:
, я'! + 1 , 3«г г'(ж'а-І-1) і/3
Же = -Н г~ = Р+ ~--,Ht = V -—-^—=—^-дает уравнение эво-
мта Уеа = — (жс—Р)я (полукубическая парабола, черт. 67).

Плоские линии.
115
Свойства эволюты: 1) касательная к эволюте в точке С(х„ ус)
совпадает с нормалью к эвольвенте в точке М(х, у); 2) длина дуги эволюты
С|Сг(чѳрт. 64) равна разности радиусов кривизны соответственных точек
эвольвенты 3/2Са—-.щС^ если между точками Мъ Mt радиус кривизны
изменяется монотонно; 3) все параллельные или равноотстоящие кривые
имеют общую эволюту.
т.- с - d$ . . ds
Из формул 8 5: хс = х — —■ sma, ус = у -4- — cos а следует:
da da
dx.==dx— ds-cosa — sina-d j — ] = — sina-d |—], ибо cosa = — ,
\d<xj \da/ ds
dyc=dy— rfS'Sina + COsa-rff — ) = cosa-d[—-], ибо 8Іп«=-^.
\da/ \daj ds
Отсюда— = —— = ——-, т. - е. касатеіьная к эволюте в точке
dxc у' хс — х
С(хс, ус) и нормаль к эвольвенте в точке М{х, у) обе параллельны прямой МС,
иначе сказать — прямая- МС является одновременно касательной к эволюте
и нормалью к эвольвенте. Далее, называя через а длину дуги эволюты от
fin
некоторой точки С0 до точки С (черт. 64) и через R = ±— радиус кривизны
da.
эвольвенты МС, имеем: duq = d%$ -j- dyt == dR1, откуда do = + d£, если
R растет вместе с a (как на чертеже 64), или da= — dR, если а
убывает при возрастании о; в первом случае получаем; d(a — R)=0, т.-е.
a—R = h — числу постоянному для любой пары точек И и С; беря
две пары таких точек: Мх и (.',„ J/g и Са, находим: о С„Сг—j#jCt =
= ѵС„Съ — ВД, откуда \j Cfii — ^j C,Ct=v С&^М^С, — Mfix.
Наконец, замечая, что точке М (х, у) данной кривой отвечает точка
$і (жи Уі) параллельной кривой с координатами: хх=х — k sin a,
yt=±y-\-kcosa (где к постоянное число, положительное или отрицательное,
смотря по тому, откладывается ли к^=^1311 по положительной или
отрицательной нормали), находим: dxt = dx — кcosa da = dx 1 — ке— , dyt =
= dy — ksmada = dy[\ — k — j,откуда-f± = -f-, т.-е. tga, = tga(«—угол
\ ds/ dxt dx
между осью OX и касательной для данной кривой, at—для параллельной),
a, = a, da, = da. .Для параллельной кривой центр кривизны будет:
dv, dv , , , dx, , dx
(^, = «,—2^ = x — -*=<t„ fe)i=^+jJ = У+т = У* т--е- совпадает
da da. __ аа аа
с центром кривизны соответственной точки М данной кривой, независимо
от к; этим и .доказано, что параллельные кривые имеют общую эволюту.
Замечание 1. Из 2-го свойства эволюты вытекает, что если нить
CsCtCSl, навитая на эволюту, будет развиваться, сходя с эволюты по
касательной, то свободный конец нити вычертит эвольвенту пли развертку
(еѵоіуеге = развертывать).
Замечаете 3. Из 2-го свойства, представленного в виде j? = e-f-A,
вытекает, что, строя эволюту по данной эвольвенте (т.-е. находя R по
данному значению а), мы получаем, в виду произвольности к, бесчисленное
множество эвольвент, представляющих параллельные кривые (теорема обратная
3-му: свойству).

не
Дифференциальное исчисление.
Замечание 3. Принимая во внимание пример 3, заключаем, что
1 о3 6а а3 — Ь%
длина дуги — эволюты эллипса (черт. 66)^ СлСв = — ~ —^= —— .
4 Ь a ab
§ 7. Огибающие кривые (обвертки).
Определение 1. Если дапа система плоских лнинё Да?, у, а) = о,
зависящих от одного параметра а, то характеристической точкой линии
а = а0 называется предельное положение точки пересечения двух линий
системы: а = а0 и а = ао-|-Да0 при Да0 = о. Отсюда следует, что
характеристическая точка линии а = а0 определяется системою Да;, у, а0) = о,
fa(x,y, а0) = 0, так как система уравнений Да;, у, а0) = о, Де, і/, а0-(- Да0) = о
может быть заменена равносильною- системою:
да„
которая в пределе, при Да0 = О, обратится в систему Да;, у, а0) = 0,
/■(«. У. ао)=°-
ОяреЭелеииеЗ. Общее место характеристических точек всех линий системы
Да;, у, а) = 0, если оно существует, называется огибающею или обверткой
для данной системы линий — огибаемых. Из определения 1-го следует, что
огибающая определяется параметрическими уравнениями Да;, у, «)=0,
fi(x, у, а) = 0, из которых, по исключении а, можно найти уравнение
огибающей в виде: F(x, у) = 0.
Название огибающей или обвертки оправдывается следующим ее
свойством.
Теорема. Огибающая касается каждой из огибаемых в
характеристической ее точке.
Вывод. Пусть М0(хй, у0) характеристическая точка огибаемой <* = а0,
так что должно быть Да;,, уп, а0) = о, /£(#о> Ум аа) = ° (*)• Угловой коэффициент
касательной в точке і/0 к линии Да;, у, а0) = 0 будет уі = ~ {, °' ^0І ■"' .
Чтобы найти угловой коэффициент касательной к огибающей в точке Мч
(назовем его уі), нужно дифференцировать уравнение Да:, у, а) = 0, считая а
функцией от #, определяемой уравнением /£(а;, у, «) = 0. Тогда получаем
/»4"/»-у+/«'в'^0) или, в силу уравнения /і = 0, получаем в точке Jf„:
У» — —/,, 01 -■—; здесь « не произвольно, так как принадлежность 3L
к точкам огибающей дает два уравнения для а: Дж0, у0, а) = О, /і(ж0, ?/0, а) = О,
для которых [как видно из сравнения с тождествами (*)] одно из решений
будет « = а0. Но при а = а0 оказывается уі=уі, т.-ѳ. касательная к
огибающей и к огибаемой в точке Л/„, будет общая, что и требовалось доказать.
Замечание 1, Результат исключения а из системы f{x-, у, а) = 0,
fh(x, у, а) = 0 может определять не только огибающую кривую, но также
и общее место особенных точек лилий Да;, у, а) = о (т.-ѳ. таких точек, для
которых^ одновременно /і = 0, f» = 0), так как при выполнении система
/=0) /* = 0) /ѵ=0 уравпениѳ fidx-\-fvdy-\-fj <£а=о, получаемое
дифференцированием уравнения [=0, обращается в /і = о.

Плоские линии.
117
Замечание 3. Если огибаемые линии f(x, у, а) = 0 суть прямые, то
они образуют систему касательных к своей огибающей, ибо касательная
к прямой есть эта же прямая. Поэтому задача о нахождении кривой, коей
касательные |--і-=і обладают.геометрическим свойством: у(а, [3) = 0,
а р
равносильна задаче об огибающей системы этих касательных, при чем а
есть независимый параметр, а р —функция от а, определяемая из уравнения
Замечание 3. Так как по свойству 1-му эволюты (§ 6) нормали
к эвольвенте образуют систему касательных к эволюте, то эволюту, согласно
замечания 2, можно определить как огибающую нормалей эвольвенты.
Легко и прямо доказать, что характеристической точкой нормали
Х~~т j£-f y'{Y~ у)=0 (где х независимый параметр, у и у' — его
■функции) является центр кривизны, ибо дифференцирование по х дает:
-l+5"cr-y)-rj" = 0,' откуда Y-y = l-±f, х_да = _*£й±Д
т.-ѳ. по § 5 (перед примерами) Х = ха Y=yr.
Пример 1. Найти огибающую окружностей, которые построены, как
на диаметрах, на хордах эллипса [- 2—~ I, параллельных малой оси.
Если уравнение хорды будет х^а, то уравнение огибаемой будет
A«,S,<0=(«— aY+f 1(°г— «1)=0; отсюда fk=— 2(х— а)+2 — <*=0 .
Исключение а из двух уравнений дает: — -\-^-=1.
а* + " о
Пример 2. Найти кривую, коей касательные обладают тем свойством,
что отрезок касательной между осями координат имеет постоянную длину о.
х и
Здесь огибаемые суть прямые f(x, у, о) = ——f--2—1=0 при условии
а Р
?(«, Р) = яя + р5; — а* = 0, Имеем: /£ = —і.—і-р'= О, причем
2a-j-2pp' = 0, откуда Р' =—— и, следовательно, уравнение /1 = 0 дает:
_ = -2-. Исключая а и р из уравнений /"=0, » = 0 и fa = 0, имеем:
аз из
да V а В а ™ В ' 1 ,
А = — = ■£- = —=;£.= -jj7^- = — (по свойству производных отношѳ-
А і 1
ний); отсюда а3 = ааж, ра = агу, и уравнение <р = 0 дает: жа-|-і/3=а8
(астроида).
Пример 3. Найти эволюту гиперболы как огибающую ее нормалей.
Беря уравнение гиперболы # = асЫ, y = bsht, получаем уравнение нор-

IIS
Диффѳрещиальпае исчисление.
ыажи: Ха ѣЫ-^-У-Ь cht = (a2-\-b^)sht cb/; дифференцируя его по t, имеем:
Х-а сЫ-\-У-Ь ѣЫ = (($-{-№) (ch4-\-s\i4). Из этой системы:
х=«±»#,, г-
— shV іш I—] —If-) =1 (терт. 68).
\"іі
Ь.
§ 8. Направление вогнутости. Точки перегиба и сплющенности.
Если в данной точке ЗІ(х, у) плоская кривая имеет одну касательную,
не параллельную оси OY, при нем кривая идет в обе стороны от 31, то возможны
лижь 4 расположения точек кривой относи-
ѵ/ тельно касательной (см. черт. 69); в первом
■У случае вопіутость направлена в сторону
положительных ординат, во 2-м — в сторону
отрицательных ординат, в 3-м образуется
восходящий перегиб, в 4-м — нисходящий
перегиб.
ѵ Теорема. Если для данной точки
X М(х, у) в ряду производных у", у'", уп\ ...
первая неравная нулю будет у'*і, то при
четном имеем расположение 1-е или 2-е
(1-е при і/(к1>0, 2-е при у^<^0), при
к нечетном имеем расположение 3-е при
у(ь>>0 и 4-е при ?/fft><0.
Вывод. Составим выражение отрезка 8 = TJfi = яііЛ/і— МуТ, т.-ѳ.
разности, ординат точки кривой і/, и точки касательной Т при абсциссе
£-\-&х. Из уравнения касательной Y—y = y'(X — ■?-) при Х=%-\-&х.
Черт. 68.
Черт, 09.
находим: т(Г=«-f-i/'- Дж; из уравнения кривой гпіЫ1=у-\-&у; отсюда
8 = Ді/—у'&х. По формуле Тэйлора (отд. П, глава II, § 3) имеем:
8 = —«".ДжМ —
1-2 1-2-3
у'"- Дяэ+---
Поэтому, если у" = у"'= ... — у'"-1) — 0, но у<-"> пе — О,
то
к\ J (* + 1)І
у$+і) ■ Д#и, при чем при достаточно малых \&х\
знак В одинаков с у(к)Джй.
При & четном знак 8 одинаков с у(*), что и дает случай 1 и 2; при
к нечетном 8 меняет знак вместе с Ах, что приводит к перегибам.
Замечание 1. Если в данной точке у"=0 и первая из дальнейших
производных, неравная нулю, будет у^І!>, то точка называется точкою
сплющенности.

Плоские линии.
119
Пример 1. Для параболы у = х* имеем в точке г = 0: j":=6a; = 0,
У"=6>0, следовательно, в точке (0,0) восходящий перегиб; для
параболы у=х1 имеем при x = Q; і/"=12;са = 0, y'"=24w=rQ, #1Т = 24>0,.
следовательно, точка (0,0) есть точка сплющенности (черт. 70 и 71).
Замечание 2. Если в данной точке у" не=0, то, согласно теореме,
знак у" определяет направление вогнутости; поэтому в точке перегиба, где
направление вогнутости изменяется, функция у" должна менять знак:
•с — на -|- (при возрастании я) в восходящем перегибе и с -|- на — в
нисходящем. Это изменение знака может происходить не только при обращении
у" в 0, но также и при обращении в со. В точке же сплющенности, если
у" обращается в 0, то злака не меняет:
X
Черт. 70.
Пример 2. Для линии y=xs имеем «"=—-^= , следовательно
Я у х
при %=0 у" обращается в со с переменою знака с— на-j-, и потому
точка (0,0), представляет восходящий перегиб. Напротив, для линии у = х3
і
имеем у" =—гр=, следовательно при х = 0 у" обращается в со, но бев
перемены знака, и в точке (0,0) вогнутость направлена в сторону
положительных ординат.
Замечание 3. В теореме предполагалось, что у' конечно. Если же
у' = оо, т.-е. если касательная к кривой J J OY, то нужно рассматривать
направление вогнутости относительно оси ОХ и из данного уравнения крн-
д і
вой y=f{x) определить х как функцию от у. ж = <р(у). Тогда х' = — = 0
У'
и можно приложить все предыдущие результаты. В частности, в точках
перегиба х" должно менять знак.
j^
Пример 3. Для линии j = as имеем, при ж — 0, у'=оо. Определив
х = у3, находим х"=6у, следовательно прп у = 0 будет перегиб (черт. 72).
Замечание 4. Так как в точках перегиба выражение радиуса крн-
визиы Я = -—[—3—1 обращается в со с переменою знака, то, беря R
У"
(У2_|_г'2-)3
в полярных координатах S = —-— — , заключаем, что в полярных
координатах точки перегиба отвечают тем значениям 6, где Р=г*-\-2г'* — гг"

120
Дифференциальное исчисление.
1+Ш"=І!+^:
обращаѳтсяв Ос переменою знака. Замечая, что
Г " \Г J Гв
можем сказать, что в точках перегиба выражение И — | обращается в О
г \rj
с переменою знака.
Пример 4. Для Улитки Паскаля г = a -J- й сов Ѳ (о и й > 0)
У= ea 4- 26* + ЗаЬ еозѲ, следовательно точки перегиба могут отвечать зна-
чѳнням В, при которых: cos6 = -— ' ■-■-.
ЗаЬ
Решение существует, если aa-f-26B—3a6<^0 или (2Й— а) (Ь — о)<^0
т.-е. если Й < a < 26; при этом Ѳ имеет два значения ± Ѳ0, из коих % содержится
между — и я (черт. 73).
У
Черт. 72.
Черт. 73.
§ 9. Порядок касания плоских кривых.
Определение. Две плоские кривые у=[{х) и і/^срОХ имеющие
в точке ЛГ(а;, (/) общую касательную [при этом f(x) = <f(ж), /"(») = ?'(*)])
образуют касание я-го порядка, если разность S ^^ Дж -}- Д а;) — <у(ж -|- Дж)
между ординатами точек, отвечающих бесконечно-близкому значению абсциссы
х-\-&х, представляет бесконечно-малую (п + 1)-го порядка относительно Дж-
Теорема. "Чтобы в точке М(х, у) существовало касание п-то порядка,
необходимо и достаточно выполнение условий: 1{х) = ф(ж), f'(x) = ѵ'(я;).
/"(*) = ?"<*), ■■• Л4 («) = ?<"'(*>. /''я+1Чж)^¥^+1'И-
Вывод. Разлагая функции f(%-\-^x) и в(ж-(- Да;) по формуле Тэйдора,
имеем:
fl4<A) — fi*)(x){ +
Дж"'1
(я + 1)!
/<"+<](ж 4- &Дж)— ?і,1+1) (в+ОЛв) -
При условиях теоремы имеем пред. -
/("
)(я)—^і"*1»^)!
£>=• (Дж)п+1 (в+1)І(
т.-ѳ. S есть бесконечно-малая (я -}- 1)-го порядка относительно Да:. Добавим, что
при в четном й меняет знак вместе с Да;, т.-е. Одна кривая пересекает
другую, а при п нечетном 8 не меняет знака, т.-е. одна кривая всеми
точками (близкими к М) лежит с одной стороны относительно другой
іривой.

Плоские линии.
121
Замечание 1, Если линия у = (р(<с) будет-- касательного к кривой
у=[(х) в точке (х, у), то ?(Х) — f'(x)'X-\-Ь, следовательно »"(іг) = 0,
<р"'(а:) = 0 и пр.
Поэтому кривая образует со своей касательного касание «-го порядка,
если в данной точке оказывается #"=0, у'"=0, ... j'")^0. В точке
перегиба (сы. теорему § 8) касание будет четного порядка, а в точках
сплющенности ( § 8, замечание 1) — нечетного.
Замечание 3. Если имеется уравнение плоской линии
Ф(ж, у, e„ at, ... «л+1) = 0,
содержащее (я -J- 1) произвольных параметров, то можно ими распорядиться
так, чтобы получилось касание по крайней мере я-го порядка с данною линией
y=f{x) в данной еѳ точке {х, у); для этого значения у, у', ... уіпі из
уравнения Ф = 0 должно приравнять f(x), f'(x),... fln)(£), что даст (я-f-l)
уравнений для определения п-f-l параметров. Такая линия Ф = 0
называется соприкасающеюся с данною кривою y = f(x). В частности,
соприкасающаяся окружность <ж— «)* + (#— by — № — 0 содержит три параметра,
которые должны удовлетворять уравнениям: (дг—a)s-j»(ff — й)а — Я3 = 0,
х — й-\-(у—%'=0, 1 + #'я+(і/ — Ь)у"=0,т/Цйу,у',у" взяты из уравнения
данной кривой y — f(x). Эти уравнения дают:
9 Г ' у" ' у" '
т.-ѳ. (ем. § 5) соприкасающаяся окружность совпадает с кругом кривизны.
Таким образом круг кривизны образует с кривою вообще касание 2-го порядка
н пересекает кривую. В отдельных точках порядок касания может
повышаться; для этого должно выполняться еще уравнение: Зу'у"-\-(у~Ь)у"'=0
(получаемое при 3-м дифференцировании уравнения окружности); внося в него
значение у — Ь, получаем условие Зу'у"*— (i-j-y'*).y'"=o, равносильное
уравнению — = 0; отсюда следует, что порядок касания кривой с ее кру-
dx
том кривизны повышается до 3-го (но крайней мере) в тех точках, где
радиус кривизны достигает maximum или minimnm.
Пример. Показать, что касание параболы у2 — 2рх с ее кругом
кривизны ж! — 2рх-\-у* = 0 в вершине (0,0) будет 3-го порядка. Из
уравнения параболы, при независимой переменной у, находим в точке (0,0):
ж'=0, ж" = —, х'"=0, ж,т = 0, из уравнения круга кривизны полудаем:
хх'—рх'+у = 0, х"*-\-хх"~- рх" + 1=0, Ъх'х"-\-хх'"—.рх"'=0,
Зат"! -|- 4&V"-f хх™ — рхп' = О,
откуда
х'=0, ж"=--, <с'"=0, в"=—.
Р Р"
Согласно теореме, порядок касания ге = 3.
Замечание 3. Можно доказать, что порядок касания нѳ изменяется
при перемене координатных осей.

122
Дифференциальное исчисление.
§ 10. Особенные точки плоских кривых.
Определение. Для алгебраической кривой (уравнение которой имеет
вид Да;, у) = 0, где f—-многочлен, содержащий целые положительные
степени х и у) точка. М(х, у) называется особенного или кратною, если
одновременно /і5 —0, /!)==0.
В частности, точка называется и-кратного, если все частные
производные функции f(x, у) до (й — 1)-го порядка включительно равны нулю, а из
частных производных я-го порядка одна, по крайней мере, не нуль.
Теорема. ■ В н-кратной' точке алгебраической кривой угловой
коэффициент касательной у' определяется уравнением я-й степени, так что вообще
в м-кратной точке кривая имеет п касательных.
Вывод. В отд. II, гл. Ш, § 6 приведены выражения полных
дифференциалов, функции Дж, у) = 0; из них очевидно, что при равенстве нулю
всех частных производных до (я—1)-го порядка включительно, полный
.дифференциал dnf(x, «) будет выражаться символическою формулой:
I д о У'
<P'f = ( —■ dx-j dy\ Да:, у) = 0, так что у' определится из уравнения
\дх ду
I д д \"
{-—«'/= 0. В частности, при п — 2 получаем уравнение
\дх ду J
^{ + 2^-э'+^.у,' = 0. Если здесь Л = /Ѵ-/£-ДѴ>0, то у'
«жг ох ду ду-
ииеет 2 вещественных различных значения, ,н точка называется узловою
(черт. 74); при В—0 у' имеет 2 равных вещественных значения, что
/%
/°У
гг-
Чврг. 74. Черт. 75.
отвечает точке возврата 1-го или 2-го рода (черт. 75); при D<^0 у' имеет
комплексные значения, и точка называется изолированною. ,
Замечание 1. Определив все особенные точки алгебраической кривой
решением системы: /=0, /я = 0, /^ =0, можно в каждую такую точку
перенести начало координат и для исследования фигуры кривой вблизи этой
точки применить теорему:
Теорема. Если начало (0, 0) является кратной точкой алгебраической
кривой, то, приравняв нулю однородную совокупность членов низшей степени
уравнения кривой и разложив ее на'линейные множители, получим все
касательные к кривой в точке (0,0).
Вывод. Так как секущая, проведенная через начало и через точку
(ж, у) данной кривой, имеет угловой коэффициент t = — , то угловой коэф-
Я'
фициент касательной в точке (0,0) будет пред.- = д. Если уравнение дап-

Плоские линии.
123
ной кривой написать в виде: <рп(ж, »/)-j-<pn_i(ffi, у) -f- ■ ■ ■ -j-<Pp(жі #) = °э
разбив на однородные группы членов степеней и, в— 1,... р, то по свойству
■однородных функций можно положить ч>Дж, у) =$)•<?] (1, f); по сокращении
на^ж* уравнение кривой тогда примет вид:
В пределе, когда # обратится в 0 и / в а, получит <рр(1, <%) = 0;
пусть р корней этого уравнения будут а,, аг, ... ар (это будут р -зпачений
углового коэффициента касательной в точке (0, 0), так что / — а^Х=0
'будут уравнения этпх касательных); по свойству целой функции имеем:
<?,(!, а)=Л(а — о,) (а — «,) ... (а — ар),
X;
Г
\
X
Y
1, -i:=^-"iJ-b-"j.b ?»№ 10 = ^^1,^==
\х
= A(Y-*l X)...{Y-apX),
у\.
1Г
так что уравнение fp(X, Yj=0 определяет полную систену касательных
Y= Oj X, что и требовалось доказать. Может случиться, что <рр (1, а) будет
■степени q<Cp относительно а; тогда <рр(.У, Y) будет содержать множитель
Xp~q, которому отвечает касательная Х = 0 — ось ординат.
Яѳрт. 70.
Черт. 77.
Пример 1. ж3 — яж* — ауг = 0 (а^>0). Начало есть двукратная точка
■с пучком касательных <ss-{-ц/8 =■(); эта функция не раскладывается на
вещественные множители, поэтому в начале — изолированная точка (черт. 76).
Пример 3. х3—а(х2— 2ху ~\-у*) = 0 (e>0). Вначале координат
точка возврата, ибо уравнение хг — 2ху -J- у- = 0 представляется в виде
■(ж—у)а = 0; касательная имеет уравнение х—1/ = 0. Для изучения хода
кривой, положив y = ta> и сократив на #2, находим: ж— «(1—0а = О,
*=і=44, ,=te=*±*j/£;
■откуда l=lz£l/ —, ^ = іж = ж зг ж і/ —; отсюда видно, что две ветви
* & &
кривой касаются прямой .'/ = #, при чем обе идут в сторону положительного ж,
и одна выше касательной, другая — ниже (черт. 77).-
ПримерЗ. ж3 — ad"-— ?/3) = 0 (а>0). . Б начале узел с пучком
касательных у"1—ж2 = (#— х) (у-{-л;) = 0. Полагая y = t% п сокращая

124
Дифференциальное исчисление.
на #s, имеем — = (1 — /) (1+/)- ХГри /, близком к 1, приближенно имѳен;
•35 £Е^ '£
t — 1 = ■—х~, i/ = tx=x——; при (, близком к ■—1, находим j-j-i = _,
у= — х-\- — . Таким образом ветвь кривой, касающаяся прямой у = %.
приближенно представляется уравнением у=х — — и проходит ниже каса-
татьной; другая ветвь # = —*'-f-— проходит выше своей касательной
у = — х (терт. 78).
(V)
-К
Черт. 7».
Замечание 2. Кроме указанных выше видов особых точек (узел,.
возврат, изолированная точка), трансцендентные кривые допускают еще два вида
особенных точек: точка прекращения (кривая
і
у;=е1-1 при іг = 1, черт. 79) и угловая или
выступающая точка (кривая у = —■ j- при
<в = 0, черт. 80).
§ 11. Асимптоты.
1 + в ■'"
Черт. 80.
Определение 1. Если из уравнения
данной линии /(#, #) = 0 одно из значений у
можно представить в виде: у ~аж-j-(3-[- Д, где і к р постоянные числа,
а Д стремится к 0 (оставаясь вещественным) при беспредельном
возрастании |#|, то прямая Y=aX-\-$ называется асимптотою данной кривой:
в такой случае разность Д = у-—Y между ординатами кривой и прямой
приближается к 0 вместе с —, то-ѳсть кривая подходит к прямой сколь-
угодно близко, никогда ее не достигая.
Теорема 1. Коэффициенты а. и f) в уравнении асимптоты Y=aX-\-$-
определяются формулами:а =предД, р = пред.(і/—зж).

Плоские линии.
125
Вывод. По определению, Д = у — ож — {J имеет пределом 0 при
л;=:+:оэ; поэтому 2—а =——- также имеет пределом О. то есть
пред. j-^ — <Л = 0, пред. -=^ = а; далее, {у— ах)— (3 = Д и в пределе
\% J x
пред. {у — ах) = § при х = ±со, ибо сред. Д = 0.
Пример 1. у = —:-■ - Здесь а = пред. -^ =
пред.—г
Итак, 1=: —У—— есть асимптота данной кривой, причем
, 1,1 2я(і — e'l + t + e*
4 [і + e*J
2ді.
1 1 1 \ , „ , 1 , 1 . І
і L_ U2 + --L—4-
\
2х* вя* ""; ' ' я; ' 2ж2 ' '"' Qx-
Ді + в*
4 1+«*
отсюда видно, что Д^>0 при а; = 4: со, т.-е. ордината кривой больше
ординаты асимптоты, что приводит к черт. 80.
Определение 2. Если из уравнения данной кривой f(x, у) = 0 одно
до значений х можно представить в виде # = с-|-Д, где с постоянное
н пред. Д = 0 при у = :+:оо (при чем Д должно оставаться вещественным),
то прямая Х=с представляет асимптоту данной кривой, параллельную оси 0Y.
•Иначе сказать: если при конечном значении х = с одно из значений у
■обращается в со, то Х= с есть асимптота данной кривой.
/г
Пример 3. у- = у тгд---——г"; Здесь у обращается в со при
■х = 1 и при э; = 2. Полагая ж — 1=Д, находим при а;, близких к 1,
приближенное значение Да = д-, откуда видно, что Д мнимое, и прямая
.<в=1 не будет асимптотой данной линии. Полагая теперь х — 2 = Д,
2
находим Д=—, так что Д>0 при у = гігсо, т.-е. ветви кривой подходят
■справа к обоим концам асимптоты ж = 2. Эта кривая имеет еще аенн-
1_
птоту у = 0, при чем из выражения у = :± —■——- —^^=г- видно, что
при # = 4 со у = + 0 и при ж = —со y = rtO, т.-е. к обоим концам

126
Дифференциальное исчисление.
асимптоты у = О подходят по две ветви кривой (снизу и сверху, см. черт. 81).
Для алгебраических кривых существует.
Теорема 9. Если совокупность членов высшего измерения в уравнении
алгебраической кривой приравнять О, то получится уравнение пучка
асимптотических направлений У—аД=0, проведенных через начало.
Вывод. Пусть уравнение алгебраической кривой п-го порядка
представлено в виде: <р„(да, tf) + T«-i(») ff)+--+Ti(«, S) + <Fi = 0, где <р,-
означает однородную совокупность
членов намерения j; заменяя <р(а;, у) на
У к
о /
xj¥j (1, - j, разделим все уравнение-
на ж", что даст:
-И)+і-Н)+":+
при беспредельном возрастании аг
пред. — = а- — угловому коэффициенту
Черт. 81.
асимптотического направления
(согласно теореме 1, § 11), следовательно-
в пределе <р„(1, а) = 0. Пусть «j,aa, ...ая— «корней этого уравпепия; тогда
<р„(1, a)=J(a— a,) (a — as) ... (а — a„),
и уравнение <?„(X, 7) = О дает полную систему асимптотических
направлений Y—ajX~0 при У-=1, 2, ...п, что и требовалось доказать. (Может
оказаться, что <р„ (1, а) будет степени р <^п относительно а, тогда в выражение-
o„(J, J) войдет множитель Хп~р, определяющий асимптотическое
направление, параллельное оси ОТ).
Пример 3. хя -J- у3 — Ыху = 0. Полагая у = Іх я деля на ж3,
получас
bat
и 1_(-(а ——=0-; при г = оо имеем i-j-as = o, <* = —;1; полагая.
t = — 1 _|_Л_(дрН чт y = tx = — xJr-!, т-.ѳ. т = Р + д при обозначе-
ниях теоремы 1), находим, по сокращении '—, уравнение:
так как
находим
пред. і- = р при — = 0, то Зр + За = О, р = — о. Полагая
т — _o-j-д,
л[,+і (._4+>-«r]-»-<S^-o,

Плоские линии.
Ш
откуда приближенно Д = ^-д, т.-е. Д>0 при ж = :±со. Это значит, что-
ордината кривой больше ординаты асимптоты F= — X — а па обоих
концах (черт. 1).
Пример 4. (у* — ж5)3 — (у + х)* + 1 = О.
Пучек асимптотических направлений: (Р—■ A'i)s = 0, т.-е. два двойных
направления: Y= X, Y== — X (а — -4- 1 ні = — 1). Положив y = txn деля
на ж', получаем из данного уравнения: (Iй— l)s ^ (f-J-l)a-j—,= 0.
Разберем отдельно случаи: <х = -|-1, « =—1. В первом, полагая (=!-{---
1
находим, по сокращении на -^,
гѴ
уравнение 4уг — 4 -j {4т3 — ■if) -\-
-^(f-f + D-o,
откуда
пред. т=Р определяется условием:.
О, т.-е. В = ±1-
4^—4
Для асимптоты К=Х-)-1і
делая у = I 4- і, получаем:
4Д(2+Л) + ^(2+ЗА + і2) +
ж
-/■
+55*1
2Д -f •■•) = ° или
Н/-'
-х
Черт. 62.
А(8 + «) + ^ (1 + а')=0, откуда
приближенно А = —■ д-j, т.-е.
Д<^0 при а: = ±со, и обе ветви
кривой подходят к асимптоте
снизу.
Для асимптоты Y = X — 1, дѳжая -j = — 1 -4- Л, находим приближенно»
1 ^
д = _— , т,-е. Д ^> О при х = dr со, и обе ветви кривой подходят к аюшптотв-
сверху.
Обращаясь ко второму значению а; а — — 1, вносим ./ = — 1 -f-
X
х-
fs -}- 1) = 0) откуда 4|За = О, р = 0, и асимптота будет І'= — Xz
в уравнение кривой и, по сокращении на -;, находим: 4-^
полагая т = Р -f Д = Д, имеем: 4Д2(1 +-*) + зн(1 + £') = 0» откуда видно.
что Д мнимое, так что асимптоту Y =—-А' должно отбросить (черт. 82).
Для асимптот, параллельных О Г, существует следующая теорема.
Теорема 3. Если уравнение алгебраической кривой представлено в виде:
ІУ,п-'Ро(я)+У1*~1-¥і(лО-Ь ■ ■ •+ ?*»(#) = °і ^ асимптоты параллельные оси 07,
заключены среди решений уравнения (р0(ж) і= 0,- при чем надо убедиться, что=

128
Дифференциальное исчисление.
каждая разность Д = х — Cj (где с,- решение уравнения <р„0е) = 0) стремится
к нулю вместе с —, оставаясь вещественною. (Аналогичную теорему можно
установить и для асимптот, параллельных оси ОХ.)
Вывод. Разделив уравнение на ут и положив — = 0, найдем
уравнение ' у0(ж) = 0; согласно определению 2, всякий корень его % = Cj дает
асимптоту Y=Cj, если разность Д = ж— с,- остается вещественною при
убывании до 0.
Пример 5. х*у\ -j- 2х- — у~\-х-\-Ъ = 0. Деля на у, получаем:
л;! — 1-1 —-'■ '■—= 0, откуда две асимптоты Л9 — 1 = О, А = ±1.
У
Черт. 83.
Черт. 84
fi і_ „'
"Полагая а? — 1 = Д, имеем Д(2 -j- е) -\ J12- = о, откуда Дну разных
4 4-е'
знаков: при х -\~ 1 = Д имеем Д (— 2 + г) -j : = 0, т.-е.. Д и.у одина-
ковых знаков. Разделяя данное уравнение па х\ имеем: у + 2 4, j-
•X:
Н 5-^ = 0; асимптота: ¥-{- 2=0; при у-{- 2 = Д имеем: Д-| Іі! = О,
іиі разных знаков (черт. 83).
Асимптоты в полярных координатах определяются на основании
Теоремы 4: если в полярном уравнении кривой r = /'(D) оказывается
■г = со при 0 = а, при чем пред. г sin(fl — a) = d, то прямая р sin(Q — a) = d
будет асимптотою (при условии, что разность A = rsin(6 — а)—</, стремясь
д нулю, остается вещественною).
Вывод. Если г == со при Ѳ = а, то кривая имеет асимптотическое
направление Г = tgа-Xи асимптоту Г== tga-JST-j- 6 или Tcosa — Xsina = ucosa, нри
чем 6 = Пред. (у — Ща-х) или 6cosa = пред. (у cosa — ж sina). ' Вводя

Линии в пространстве.
129
a; = rcos6, y = rsinb, J=pcosG, Г=рзіп6, получаем асимптоту psin(9—a)=d,
где d = 6соза = пред. гвіп(Ѳ — а).
Пример 6. г = а- —^-л- ■ Здесь г = со при Ѳ = 0 и Ѳ = тг; при
Ѳ = о пред. г sinS = пред. я cos 28 = в; при 0 = к иред. г зіпѲ = пред. а со»2Ѳ=я,
так что асимптота одна: psin6 = a или Y = a. Разность A = rsin6—,я =
= a(cos2S — 1) с приближением Ѳ к О со стороны положительной или
отрицательной будет все время < О, т.-ѳ. кривая проходит ниже асиыитоты
Y = a (черт. 84).
ГЛАВА П.
ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ.
§ 1. Уравнения линии в пространстве.
Линия в пространстве задается аналитически системою уравнений
/(ж, у, г) = О, <р(<с, у, %) = О, изображающих две поверхности, которые своим
пересечением образуют эту линию, и так как одну и ту же линию можно
представить как пересечение двух
поверхностей па бесчисленное.
множество способов, то и
приведенную систему можно заменить
бесчисленным множеством других
систем, ей равносильных, т.-ѳ.
^имеющих одинаковые решения.
В частности, решив предыдущие
уравнения относительно у и г,
получим систему у== F(x), г=Ф(х)-~
двух цилиндрических
поверхностей, проектирующих данную
линию на плоскости хОу и xOz.
Полагая x=y(t), получим отсюда
#=<КОі г=о>(0, так что линию
в пространстве можно задать
параметрическими уравнениями,
выражающими х, у, z как функции от одной независимой переменной t.
Пример. Возьмем прямой цилиндр с образующими || оси OZ,
основанием которого служит некоторая линия -іпит, заданная уравнением х = у(${),
У = №і)> гДе *і означает длину дуги этой линии от начала дуг м0 до точки
т(х, у) (черт. 85). Заметим, что функции ш и ^ пе могут быть совершенно
произвольны, так как ds\ = d.s^ -j- ay2, т.-е. 1 = <f'(5i)2 + *'{*i)s.
Развернув часть боковой поверхности т0МлМщ этого цилиндра в впде
прямоугольника v}ljMvfiJimu при чем )н0м, =\_jмлм = яи проведем диагональ
его т0Д/і. Если обратно навернем развертку на цилиндр, то диагональ таМ,
обратится в винтовую линию іпйМ на поверхности этого цилиндра, при чем
координаты точки М будут: % = c(s,), у = ^(s,), г == тМ — іщМі — 7п0щ -к=
= ks„ где к означает Щт^АІ^ т.-е. величину постоянную для всех точек М.
Итак, винтовая линия на любом прямом цилиндре задается уравнениями
-ж = г?(кі)і 2/ = <Кяі)і 2 = /сті (к постоянная), при чем <p'(s,)s-|-iji'fsj)8 = 1.
Аналнв бесконвчао- малых. й
Черт. 85.

130 Дифференциальное исчисление.
В частности, для кругового цилиндра с радиусом основания Л имеем:
х = В cos (, у =Л sin I, при нем а\ = Rdt, st = ifr, £ = -^, и потому урав-
пения винтовой линии па круговом цилиндре будут: £ = .ffcos-^, у =
= і?ш т.1, г — kst.
% 2. Дифференциал дуги.
В § 2 главы I было приведено выражение дифференциала дуги плоской
линии: ds — ]/ t&c* -f dy*; для липни в лрострапетве дифференциал дуги
будет ds = у dx%-\-dy'1-\-dz\ как выведено во 2-Й части, отдел ГѴ,
глава I, § 8. Если х = <?(t), у = |(0, z = <«(/), то-^ = ]/ <p'(Os + <К(Оа + °>'(0'-
§ 3. Насательная прямая. Нормальная плоскость.
Георалш. Если определить касательную в точке М кривой
как.предельное положение секущей ЗШ„ проходящей через две топки данной
линии М, Мъ при условии слияния Щ с М, а нормальную плоскость — как
плоскость, проходящую через точку М перпендикулярно к касательной, то
Х—х Г—у Z — z
уравнения касательной будут —т—= ■ ■ . д = —-д—- и косинусы углов ее
йж ац ftz
с-осями координат:
dx _ dy dz
сои ^-д, сир = fs , cosT= gp
где ds = J/ rfa;s-j- <й/г -|- rfs2, а уравнение нормальной плоскости будет
(X — x)dx +(r—yjdy + (Z — z)dz = 0.
Вывод. Если кривая задана параметрическими уравнениями х = f(t)r
у = ty(t), ъ = a>(t) и если точкам М и М1 отвечают значения параметра /
■и t-j- Д(, то уравнения секущей Мщ можно представить в виде
-&Г=-^Г=-&Г' где As = ?(( + ДО — «рСО и про4-
Те ~ді "ді"
В пределе, при М = 0, получаются уравпѳпия касательной
X— х Г—у Z—z Х—х Г—у Z—z
Г- = Г^~ = —г—, ИЛИ —т— = —j—^ = —j ,
xt yt z\ ' dx ay dz '
откуда и следуют формулы для cos a, cosfi, cos?.
Нормальная плоскость в точке М имеет уравнение 1(Х—x)-{-m(Y—y)-j-
-j- n(Z — г) = 0, где I, т, п, из условия перпендикулярности с касательного,
I т п ,
определяются уравнениями у- = у = -у = h; вводя в предыдущее уравнение
lr=h • dx, m = А ■ dy, n-~h- dz и сокращая на h, получим уравнение
нормальной плоскости (X—x)dx -f- (Y — y)dy-{-(Z — z)<£s = 0.
Замечание 1. Если лилия задала системою уравнений f(x, у, s) = 0,
«(as, у, z) = 0, то, дифференцируя эти уравнения, находим: /і ■ dx -j- /1). dy~{-
-{- /і • ds = 0, tpi - </ж -f- f» йу -f- tf's ■ dz = 0. Заменяя здесь dx, ay, dz про-

Линии в проетра-нетве.
131
порциональными иы разностями А'—х, У — у, Z—s из уравнений
касательной, заключаем, что касательная прямая в точке (х, у, z) будет в этом
случае определяться системою: (X — х)[^ -J- (У — у)['ѵ -f- (Z —z)/s = 0,
а-а*рі + <;г-у)<р;+<2-*ж=&
Замечание 2. Расстояние точки М^{х-{-Ах, у-\-Ау, z-\-Az) данной
кривой до нормальной плоскости в точке М{х, у, z), имеющей уравнение
(J — oleosa 4" С^— y)C0SP + (% — s)cosv = 0, будет S = д# ■ cosa-]-
-|- Д^ ■ cosfi -|- Де • cosy. Заменяя Дж, Ау, Дг разложениями их в ряд Тэйлора
dx , , 1 d*x , о , 1 "d'x , , ,
по степеням us: Дж = -^ -As -\- —Г(^ -As2 + —-^ ■ Asя-\- . . . п пр.,
подучим: о = Дя Діэ-д4"--чГДе ■* = [~7^\ ~П7з ~Н~~) »ибокоэффн-
dx . „dff . dz /<&\» . /<ty\« . /dz\* ,
ЦИѲПТ при Д$ равен cosa |-cos|3 -f--|-cosY —'=k— + — 4- — | = 1,
ds ds as \dsl \ dsj \dsj
. . dxdP.v-.dy dhi , dz d-H n .
коэффициент при Д«! равен -^ • -^ +/^ - -$ + ^ ■ -0 = О (как результат
дифференцирования предыдущего тождества), коэффициент при As3 равен
dx d*x , dv d"y , dz dsz ,, , „,
TS'№+-di-l$+Ts-lh* = -I{ (кал гезулЬтат даффереицирования
предыдущего тождества). Отсюда видно, что 8 всегда 1-го порядка малости
относительно As и ыепяет знак вместе с As, т.-е. кривая всегда пеиѳсекает
нормальную плоскость.
§ 4. Плоскость кривизны. Бинормаль.
Теорема. Если определить плоскость кривизны (или: соприкасающуюся
плоскость) в точке И данной кривой как предельное положение плоскости,
проведенной через касательную МТ и через бесконечно-близкую точку М,
кривой, а бинормаль MB — как прямую, проведенную через точку М X
к плоскости кривизны, то уравнение плоскости кривизны будет А(Х—х) -\-
4--В(Г— y)-\-C(Z—г) = О,уравнения бинормали: —-т— =—ТГ^~ —Т~
' А В С
и косинусы углов ее с осями координат: cos\=-^-, cosi* = -ij-, cosv = -jy,
г. гпг-і—«5—г sn j dy d-Ч dz dH „ dz d?x dx AH
„ dx d%v dy d2x ,,
С = —r ■ -jfj — ~n ■ -ш ('—независимая переменная, через которую
выражаются координаты точек кривой).
Вывод. Коэффициенты А, В, С плоскости кривизны, проходящей через
точку (х, у, г), должны удовлетворять условию параллельности с касательного
А'—х Y—у Z — % ,,, , die , „ dy . „dz
dl dl dl
Условие прохождения плоскости А(Х — х) + ... = О, через точку
Jff^x -j- Дж, у-\-Ay, z-\-Az) дает: ААх -}- В Ay -j- (7Дг = 0. Заменяя здесь
Ах, Ду, Дг их разложениями по степеням At: Ax = ~r- ■ At-\-~ -тт^-Д/2-)-
э*

132
Дифференциальное исчисление.
, 1 d3x л,ч , „, 1 ,,а [ , d4 . п<Рѵ ,
4 Дг -|- ■■■ і получаем па основании (1): — at* А - У- В —^- 4-
6 dt3 2 \ dt* dt*
, ndh\ . 1 .lSf,d3x nd3y rdh\ , i
+ C—14-—if* л \-B—3-4-C-~*)4-.\. = Q; сокращая на — Ы-
^ dfl) --6 i d/3 dl3^ Л3/ * 2
и затем переходя к пределу при Д/ = 0, получим условие (2):
, d*х . п dhi , „ dh
Из условий (1) и (2) следуют те выражения А, В, С, которые приведены
в теореме. В уравнениях бинормали
Х~ x^¥—y=Z — z
I ' т п
коэффициенты 1,т,п определяются условиями перпендикулярности сплоско-
I т п ,
стью кривизны: -г = -г, = тг > откуда и можно /, т, п заменить
пропорциональными им числами А, В, С.
Замечание. Расстояние точки кривой Мх(х 4Г Дж, у-\- Ді/, ъ -f- As) от
плоскости кривизны в точке М будет 8 = — • j Акх4гВку4г 6'Дг | =
1 .Л 1 /, d3x , ad3v . „d3z\ ,
= — йг-—\А hВ —-4-6 — 4- ... , т.-е. 3-го порядка малости отно-
6 В [ dt3 ^ dt* ^ dp) ^_^
сительно At (или относительно Дя = \/ х"1 -J- у"1 -j- г'аДО, и 8 меняет_ знак
с Д?, т.-е. вообще кривая пересекает свою плоскость кривизны (если
коэффициент при Д/э не нуль). Отсюда видно еще, что из всех
плоскостей,.проходящих через точку Ы(х, у, г): а{Х— x)-\-b{Y-—у) -|- c(Z — z) = О, піо
скость кривизны ближе всех подходит к бесконечно-близким к М точкам
кривой Л/„ ибо расстояние 8 от плоскости а(Х— х) -)-...= о до точки iU,
будет S = __-_-__-_ ШІ a M^-fc- 4 Д/! в — 4 ■
j/e^ + ^ + o» | \ <tt di dt J ' 2 \ df-
. ,, rfB« . dh\ . } .
-j- о —*- 4^- с — + ... [ , и- чтобы сделать порядок малости В возможно
(IT G-t j t
высоким, следует приравнять пулю коэффициенты при Д/ и при Д^, что
и приведет к плоскости кривизны.
§ 5. Главная нормаль и спрямляющая плоскость.
Теорема. Если назвать главною нормалью линию пересечения,
плоскости кривизны и нормальной плоскости, а спрямляющею плоскостью — ту.
которая проходит через точку кривой _L к главной нормали, то уравнение
„ ' . X— х __ Y~y_Z~z
главной нормали можно представить в виде г-"— -——*■ — ;- >
COS< COST] COSC
а уравнение спрямляющей плоскости в виде: (Х-—x)cos^4i-(Y—у) cost\ 4^
-\-{Z — г) cosC = 0, где косинусы углов главной нормали с осями имеют
одно из трех выражений:
. М dcoso dcosX N dcosB c/cos ід.
coas— ^г — —і— =■—-.— . 00371 = -^= r —
Q~ dv — di ' ииэ'і— q— rf0 — dx
„ P dcos-( dcosv ., ,.d% „dy
cosC^tt^ —т^- = —j—'i где М.= fi-j-. — C-f,,
Q an di dt dt'

Линии в пространстве.
133
я=сш~А%>р=Аш~в% о = і/*ч-л-+*».
da= |/(<fcoea)* тЬ (tfcosp)2 4- Oncost)8, (it — ѵѴ'еозХ)8 + (deos(i)2+ (rfcosv)1.
Вывод. Согласно определению, главная нормаль определяется системою
уравнений: плоскости кривизны Л-(Х— x)-\-B-(Y—y)-j-C-(Z — s) = О
и нормальной плоскости — ■ \Х—Ж)~Ь'Т'(^—У ~Ь ~T'yJ—*) —О;
решая эту систему относительно X— х, Y— у, Z — z, получаем: —jr - =
J—y Z—z Х—х Y—yZ—z . М
= —г^-!і-=^—п—.или-—— = — ~ = -=-, где cos6 = -г; и проч.
N Р cosE , cosTj cosC ' Q
Для вывода выражений: cosE = —■-,—■ и проч.,- преобразуем выражение М
r , і п />, і, nd% r-dy Idz d*x dx dh\ &%
(cm. 8 4, значения 4, В, C): 31= В С — =(— . — —
4 ' ' '. dt dl [dt dl* dt dPj dt
[dt' dP dt*dpj' dt~ dt*\[dtj~*"[dt) ^{dlj ) dt\d~t' dP +
, dv d*j/ , dz dh 1 ,
-\-~ —- -\ ■ — j (подчеркнутые члены, введенные для симметричности,
dt dp dt dp)
fdt\* , fdyy , fdxV fds\* , s ол
взаимно сокращаются); но — + -f- + т ~I"T (по S 2) и после
ѵ, dz dh , dv dHi . dx d*x ds d*s
дифференцирования: — — 4—-- —^ H — = — , следовательно
a tt а ч"і- dt dp -r d[ d[i "г d[ d[i dt d(l
y,d*x (d*y_<kr ds_ №_(d±\3 d_ [d<c\!ds\3 rf(cosa)
~" dtb\dt) dt' dt' dP~\dt) ' dt\ds)~\dt) dt
Круговой перестановкой букв х, у, z отсюда находим:
., ids \s d(cosG) n fdsY d(cos-r) „ dcosa
N= — • -!—Пі, J>=; — - -i—ti, следовательно cos£ = ,
\dtj dt \dtj dt
cost] = ——Г , cosC = , где do = У (_dcosaf -j- (rfcos G)s -j- (rfcos-f)a
da da
означает, согласно § 2, дифференциал дуги кривой, у которой координаты
любой точки определяются уравнениями: х, =cosa, yj = cosB, г, = cos-f.
Для вывода выражений cos£ =—-,— и проч. возьмем два тождества: cos2X -\-
-j-cosVH- cos3v = l, cos а ■ cos?.-4-cos 8 ■ cos|t-|- cos? ■ cosv = 0 [первое
очевидно из выражений cos), и пр., данных в § 3, второе выражает условие
A -j- -\- В -rf- -\- С -j- = Q, приведенное в § 4 под (1)] и продифференцируем
их: cosX ■ dcosX -|- cosy. ■ tfcos|i -J- cosv rfcosv = 0 (1), (cosa ■ dcosX Ц-
-\- cosp-rfcos|i-J-cosf ■dcosv)-f-(cosX.rfcosa -j- cos[)-£fcos8-[-cosv-ficos-|')=0(2);
по в силу доказанных формул cos£ = —^— и пр., последняя скобка обра-
щаѳтся в fl!o(cosX.cos£-f_ cos^-cost] + cosvcosQ = 0 (в силу
перпендикулярности главной нормали и бинормали, ибо бинормаль _L к плоскости кривизны,
а следовательно и к лежащей в этой плоскости главной нормали); теперь

134
Дифференциальное ■исчисление.
уравнение(2) обращается в cosa-dcosX-j- cosfi • dcos|A-[- cosy-dcosv = 0(3),
Переписывая (1) и (3) в форме: А ■ dcos>.-|-.ff ■ dcosp-\- С ■ dcosv = 0.
dx ■ dcosX -|- dy • dcos \t-\-dz. dcosv = 0, находим — — —
U
N
di . tfcosX ,,
= yr > откуда cost = —-s— и проч. (йт означает дифференциал дуги кривой,
определяемой уравнениями: % = cosX, i/3 = cos|i, e2^cosv). Уравнение
спрямляющей плоскости выводится из уравнений главной нормали на
основании условий перпендикулярности.
Замечание 1. Касательная Л/Т, будучи X к нормальной плоскости,
J_ к прямым: MB (бинормали) и MN (главной нормали), лежащим в
нормальной плоскости. Бинормаль MB, будучи _!_ к плоскости кривизны,
_І_ к касательной МТ и главной порналиЛ/ІѴ, лежащим в плоскости кривизны.
Таким образом в каждой точке кривой
прямые Л/Т, MN,. MB образуют систему
трех взаимно-перпендикулярных прямых;
плоскость MNB есть нормальная плоскость,
MTN—плоскость кривизны,
МТБ—спрямляющая плоскость (черт. 86).
Вследствие такой
перпендикулярности 9 косинусов cosa, cosB, cost, cos?.,
f-Y cosji, cosv, cosE, cost], cosC связаны шестью
зависимостями: cos*a -|- cos2B -}- cos'y =
= 1, cos2£ -j- cosaT| -|~ cos2C = 1, cos2X - -
- -COSa|^-{-C0S2V=l, COSa C0SE-[-C0s6 COST|- -
-- cosy cost=cos(T, iV) = 0, cosa cosX --
Черт. 86. -J-°°SP cos|* -\- cos-f cosv = cos (T, B) =
=0, cosE cosX -|~cos7)cos[i.-|- cosCcosv =
= cos(iV, B) = 0, так что из этих 9 косинусов независимых величин только 3.
Можно рассматривать МТ, MN, MB как три оси прямоугольной системы,
а OX, OY, 0Z как три взаимно-перпендикулярные направления; тогда
получаются 6 соотношений иной формы: cosaa ~\- c'ossE -J-cossX = l, cos2p-|-cos2rj-|-
+cos*|i.=l, cos2y-|- cos8 С -f- cos2v = l, cosa cosB -|-cosS cosij -|- cosXcoS|J.=
= cos(Ar, Y) = 0, cosa cosy -f cos^ c°s£ + cosX cosv = cos (X, Z) = 0,
cosf) cosy-j-cost) cosC + costicosv = cos(F, Z) = 0.
Из 4-го и 6-го уравнений первой группы находим:
cosE
COST]
cosC
cosBcosv — cos-jcosp. cosycosX — cosa cosv cosacosft— cospcosX
= i,
при чем A8 = 1 (сумма квадратов числителей = 1, сумма квадратов знаме-
нате гей, на основании тождества Эйлера, приводится к (cos3 а -f- cosa Й -\- cos8?) ■
• (cossX -4-cos2;t-[-cosav)—(cosa cosX-f-cosp cos[*-|- cosy cosv)B=l-l — 0s —1),
откуда h = ±l. Если прямые MT, MN, MB расположены как оси ОХ,
OY, OZ, то, совместив прямой треграиный угол TNJt с XYZ, получим a = 0,
Р= j. T=-|. 5=j»1ll = 0,C = |-,'X=j, |i = j,» = o, и выйдет
COS "Г]
к =.— . — ,.
cosycosX — cosa cosv — 1
COST| = cosv cosa— cos X cosy, cost;
:—1, TaK4TocosE=cos(i.cosY—cosv cosf),
:C0sXc0sB COS|i.COS«.

Линии в пространстве.
135
Замечание^. Расстояние спрямляющей плоскости (X—a;)cosE+...=0
от точки Мі(а} -J- Да;, у -\- &у, ъ -J- Дг) кривой, бесконечно-близкой к точке И,
■будет
8 = Да; ■ cosE -\- Дя-cosv)-]-- Дг-cosC^ Ля -!—cosS-1-— -cos^-|- cosC] +
\ds ds ds )
t i &У d% r ) i
1 { d*x
так как коэффициент при Д5=0 в силу перпендикулярности ТкІѴ,а, коэффициент
drts
dcosa IF
при As2, на основании формул cos£ = -
da
приводится
■/(£
^wsws:
и пр.
4- • ■ ■ . -Отсюда видно, что 8 второго порядка
малости относительно As, так что вообще
точки кривой, бесконечно-близкие к М,
лежат по одну сторону от спрямляющей
плоскости. Если кривая плоская, то
плоскость кривизны совпадает с
плоскостью , кривой, а главная нормаль
обращается в нормаль кривой.
§ 6. Первая и вторая кривизна
{гнутне и нручение).
Определение. Первая кривизна,
как и у плоских кривых, определяет
быстроту поворота касательной при
перемещении точки по кривой, а
вторая кривизна определяет быстроту
поворота плоскости кривизны или
бинормали (линейный угол двугранного угла, Черт. 87.
образованного плоскостями кривизны
в точках М и Ми равен, вследствие перпендикулярности сторон, углу между
бинормалями в этих точках). Именно, называя через As длину дуги ММХ
данной кривой, через е — угод между касательными МТ, МгТ^ (черт. 87) и через
(и — угол между бинормалями MB и MtBu отношения т- н ѵ- будем
называть среднею 1-ю и среднею 2-ю кривизною данной кривой на участке ММ^
а пред.— ипред.т- при As = 0 — 1-ю и 2-ю кривизною (гнутием и
кручением) кривой в точке М. Обратные величины Вѵ = пред,— иі?3=пред.—
называются радиусами 1-й и 2-й кривизны.

136
Дифференциальное исчисление.
Теорема. Радиусы 1-й и 2-й кривизны имеют следующие выражения:
где
(a, р, f — углы касательной, X, ji, ѵ — углы бинормали с осями координат) или:
ds
*,=-^=Ш=,*=- *+*+"■
(относительно ^, В, С см. § 4).
Вывод. Опишем около начала сферу радиусом -1 и проведем через
начало прямые, параллельные всем касательным данной кривой в точках
участка ММ и эти прямые в пересечении со сферою определяют кривую, mm,,
которую назовем годографом касательных. Так как длина отрезка От
равна 1, а углы его с осями координат суть а, р, Tj то точка т имеет
координаты: cosa, cosf), cos?, -а точка щ — координаты coso -j- A cosa,,
cos8-j- AcosfJ, cosy -\- Acosf, где Acosa, AeosB, ucos-f суть приращения
функций от t ■ с.саА= —. ! —— и проч., отвечающие приращению uf
независимой переменной / при переходе от точки М к точке Лгі.
Отсюда длина хорды \тт1\ — )/(Д cosa)2 -\- (Д eosf))!-|-A cos-f)B;
с другой стороны, из равнобедренного дтОт,, со сторонами От = Отг = 1
и с углам тОтх = е, следует: {тт^ = 2sin —. Поэтому выражение Вх можно,
представить в виде:
As as *smt
Л, = пред. — = пред. — ~—■
[.
As 2sin -й-
іь.
, шш\
= пред. пред.
As
так как второй предел равен 1, то Rt = пред. -, г = пред.
= &Г=7Г' ТакЕМ же рассуждением, построив годограф бинормалей 6й,,
Ж
ds
где точка Ъ имеет координаты cosX, eos[j., cosv, найдем: #в = -т- . Добавим,
что do и (/т суть дифференциалы дуги годографа касательных и бинормалей.
Замечание 1. Касательная тпК к годографу касательных в точке m
и касательная bL к годографу бинормалей в точке Ъ обе параллельны главной
нормали MN данпой кривой в точке М, так как косинусы углов означен-
и , dcos a
ных касательных с осями координат будут (по 8 3) cosa =-—-.—,
0, (/cos В , (/cos у ,, dcos \ ПІІ dcos ij.
COS Р =-—5-1-, 0087=—)—*- И C0Sa' = f~, COSS = j-— ,
da ' da % d* ' r rfs *

Линии в пространстве.
137
dC0S4 , е _, „
cosf =—J-— , но таковы же выражения (см. s 5) cost, cosij, cosC —
ЦТ
косинусов углов главной нормали MN с осями координат, откуда и следует
параллельность.
Замечание 2. Косинусы углов главной нормали MN с осями выра-
п . г п dcosa. n dcosl
жаются через Bt и Д2 формулами: cost — /{, ■ ■■■■: - = В^. —-j— и проч.
Замечание 3. Первая кривизна тождественно равна нулю только для.
прямой, а вторая —■ для всякой плоекой кривой. Действительно, -g- = О,.
если гіа — 0, т.-е. если dcosa = 0, dcosp = 0, йсовт=о, откуда cosa = /,-
cosp = m, cos-f^n {/, m, n — постоянные) илн, на основании § 3, dx — lds = Or
dy — mds = 0, dz—nds = 0, что дает х — Is — ж0, i/ — ш = у„, а — «« = 20.
(ж0, yw ze — постоянные) или ——-.—* = *-—— = -—-— = s, а это и есть
уравнение прямой. Пусть теперь -»- = 0; тогда «4 = 0 или c"cosX = 0,.
щ
dcos\i = 0, rfcosv = 0, откуда cosX, cos|i, cosv — постоянные; поэтому
тождество cos a • cosX -f- cos р ■ cos у. -\- cost ■ cosv = 0 можпо представить
в виде: d(% cos\ -\- у cos;j.-j-eco5v) = 0, откуда ireosX -)- у cosij.-|-2 cosv = D
(постоянное), т.-е. все топки кривой лежат в одной плоскости.
В силу этого кривые неплоскиё называют также кривыми двоякой
кривизны.
Обращаясь к выводу выражения Bt лерез А, В, С, возьмем формулы
е ndz ndv ! ds\" «cos a
8 5: В 6-£= — ■ и проч., возвысим их в квадрат и сло-
dt dt \dtj dt
™^(S)v(S)i-(^-^)i+(ci^l)i +
dt dl dt
no § 4 (1). Итак,
т = №:№ = №:(А*+ВЧ-Я откуда В> = U
\dtf \dtj \dtj \ ) l/4» + J»+CB
Для вывода выражения І?г дифференцируем тождество: cos2a-j-cos2S-j-
-j-cossX=l, .что дает: cosa dcosa -|- cosE rfcosE —|- cosX tfcosX = 0, откуда
. , tfcosa" , dcosX , , ,
ecost =— cosa . —.-—. -—cosЛ ■ = — cosa а<з — cosX йт на основании
cost cos 5
j, p „ > rfcosa dcosX
выражений 9 5: coss = =——; присоединяя к полученному тожде-
da оЧ
ству два другие: b"cost] = — cosfi tfa— cos]i<fc, rfcosC =—cos-fda — cosv d-c,
умножим их .на А, В, С и сложим, что дает: ^rfcosfc -J- i?dcosi)-f-
-)- CrfcosC^— (4cosa-|-^cosp-|-Ccosf) da — (Acosi.-\~B сов[>.-\-Ссовч)йт=
=— j/jl'-j-JF'-f-C1 яЧ, ибо Л cosa-|-.Z?cosfl-|-Ccos"f=0 в силу перпендикуляр-

138
Дифференциальное исчисление.
ности бинормали и касательной, A cosX-j- R cosjj.-|- Ccosv = |/is-]-J*-j- Сг
но84. Далее, из формулы coss=—-—=—^-—^ = — -—— находим:
во Аѵ ds% ■аз
cos£ • as5 rfo = ds ■ ййя? — d# daj
я после дифференцирования:
ds^-do- rfcosS -{- cos E ■ rf(rf*a do) =з rfs ■ d3# — dw • dss;
выписывая два апалогичпые тождества
dsi-da-dcost\-{- costj' d(ds-do) = ds-d!,y— dyd3s,
d$*-do-dcos{,-\-cos(,-d(ds*dQ)=dsdsz—dzdss
и умпожив их па А, В, С, сложим, что даст:
ds*-d<j-(A dcosk-\-В dcostj + CdcosC) + d(ds* do)-(A cost-j-B costj-[-CcosC)=
= ds(4d3;c -\-Bdsy + Cd3s) — das(4 <te 4- В <% + С dz),
ног—■] ■ —=|/.4S4-В1 -PCa (как показано выше, при выводе ДД
AdcosZ+...= — dT}/Ai-\-JP+Ca', 4 cost+...=0
в силу перпендикулярности бинормали и главной нормали, Ad%-{-...= О
в силу' перпендикулярности бинормали и касательной. Итак (по разделении
на- dp):
1 \ Л» ' Л* ' Л3
откуда
Be = d-i = .
А*+1Р+С*
&
что и требовалось доказать.
A d?x
Замечание 4. Знак В2 противоположен
знаку знаменателя 4— -j- ■•■» а ц0 Замеча-
а/3
нию § 4 знак В расстояния от точки Mt (%-\-Ах,
у -j- Ду, z -f- As) кривой до плоскости кривизны
в точке М. одинаков со знаком ЩА——!----Ь
V ds* )
беря / = і (длина дуги), заключаем, что при
І?а>0 знак й обратѳн знаку As, а при В3<^0
знак 3 одинаков со знаком 4s, что дает
определенное расположение кривой относительно
плоскости кривизны (черт. 88).
Замечание б. Необходимое и
достаточное условие того, чтобы кривая была
плоская, выражается равенством — = 0, или
В2
ЛЛ _|_ д ИЛ. _l С = 0; принимая во внимание уравнения (1)
Л* ^ dP ^ dP *

Линии в пространстве.
139
и (2) § 4, которому удовлетворяют А и В, можем последнее условие
переписать в виде:
1 dx dy dz
J d4 d*y dH =0.
I d3x d%y dH
§ 7. Примеры.
Пример 1. Вычислить косинусы углов касательной, бинормали и
главной нормали, а также радиусы 1-й и 2-й кривизны для кривой: х*—уг-\-
2za = 2, жа — Щ-j- 5s = 3 в точке (1, 1, 1).
В отд. П, гл. Ш, § 6, пример 3 были вычислены в этой точке
б производных: у'= — 1, а'= —1, у"=—Ъ, г"=—4, у"'=—30, s'"=—18
(считая за независимую переменную х).
Отсюда находим (см. § 3)
dx 1 1 а dy у' —1
cosa = —- = = —=, cos 0 = — = ■ ■.— д ———■=,
ds vTfj'*-^'» у г ds ѵТ+)/'3 + к'! |/3
= rfs^ »[__ —1
С0^ ~ ds ~ j/l 4- 2/'а + s'a |/3 "
ри независш
м:
А = у'і'— z'y"=~ 2, B = z.'x"—xY'=4, С=в'у"—$аГ=—%
Mi 4 —2—1 2 ' —3
COSA. = - -— -г^=—_- =—= =—= , COStJ. = —=, COSV = —= .
УА*-\-&-\-(? ]/56 j/14 |/14* J/14
Теперь, по формуле § 5 Замѳч. 1, вычисляем:
COSE = CO£u. COST — COS V COS 8 = — ■ .. COS-fI = ' -=, С0ёС = '—■■—=,
j/42 |/42 J/42
Легко проверить, что найденные 9 косинусов удовлетворяют б зависимостям
первой или второй группы, указанным в Заыеч. 1, § 5. Наконец, находим
j/U' + ^+C 2|/І4
Далее, так как при независимой переменной х оказывается %'= 1, х"= 0,х'"= О,
то по § 4 имеем:
и Д.=
I'-j-jP + C _ Ла+Да + Да _ 56 14
АЙХЙ^ХГА %"4-&г" _ 12 3
Пример 3. Показать, что для винтовой іинин (см. § 1): x = f(st),
y=^(Si), z = k-su где A = tg« (ш угол наклона диагопали в развертке
к основанию) и <р'я-]-(|/8 = 1, выполнены следующие 4 свойства: 1) каса-
тельная составляет "постоянный угол со с осью цилиндра, 2) бинормаль
А
также составляет постоянный угод о> с осью цилиндра, 3) главная нормаль
X к оси цилиндра, 4) отношение — постоянно и равно tgtu. ■
Имеем: жг=<р', х"=^",у'=^'~ y"=6",z'=k,z"=0. Дифференцируя
тождество: tp's -J- ф'3 = і, имеем: <рУ + І'І" = ®> присоединяя сюда

140 Дифференциальное исчисление.
равенство — (|>У + ч'У= С, находим: <?"= — Сі/, ф"= С?', откуда
Л/^Ц_^ч=С. Так как ds = \/x"i-\-y"t^-i'i dit =-=—d»„ та
COS IB
СОВЯ—(p'-COStU, СОВр:=ф'-С08ш, COSy:=Smaj EJ = - Ш (СВОЙСТВО 1).
Так как Л = — tg«^", J = tg«.T", С = <р'ф"— +у=|/^-Н■** то
, f в"
|/ji'-f-.fis-}-Cs = C-scc<o, cosX =—siow -7; =—sinto-ip', cos(i = smw- -^ =
=— siQUJ-iJ/, COSV = COSU> И V = 10 (СВОЙСТВО 2),
Из формул cosE^cosji C0S7 — cosv cosfi и проч. следует: cos£ = — f'T
cosT) = ip', cosC:=0 и С = -=- (свойство 3).
fa
Отношение К, '■£% = ->-, но eeosa = tp"cosu) dj1} <fcosfl:=<t"cos<n <fo(,
(2cosy = 0, следовательно do = cosw yV'S-|- ф"*^*і; &cosX= — sm(o-y"rfslt
'dcosii = —sin<o-^"rfs1? dcosv = 0, следовательно di = sinco ■ |/^>"а-{-ф"в. dsit
откуда Bt:Bi = tg<u.
Можно доказать и обратную теорему, т.-е., что кривая, обладающая
одним из 4 вышеупомянутых свойств, есть винтовая линия.
Пример'З. Показать, что кривая т = —(8-|-— J», у=,- — t* ~\-— (!,
*'=—*»-j-f* есть плоская, и найти уравнение плоскости, ее содержащей.
Применяя признак, данный в конце § 6, вычисляем: Л. = 9/я, S—Zt2,
С = — Ы\ х'" = і,у'" = — 8, 2'" = 2 и находим тождество 1ж'"+ ##'"+
-j-^js'" —О во всех точках г. Для точки ( = 1 определяем плоскость
кривизны 3JT-J- Т— 2^ = 0; она должна быть и плоскостью данной кривой,
что и проверяется, ибо 3# + у — 1% = 0 тождественно.
Пример 4. Найти общее место главных нормалей и общее место
касательных к винтовой ливни на круговом цилиндре: x = acost, y = a&nt,
s = kt.
Здесь &=]/а»+А"'Л, cos«=— -^j^einf, совр = .~—wef,
cosv= ■- dcosa = .T==cosftfr, dcosp = , -== s'mldtT
rfcosY = 0, rf" — ■-■ dtt следовательно, cosS = — cos(, cos-»] =—siniT
e X — acost Y— «sin(
cosC = 0. -Уравнение главной нормали будет: -—;—= тгп~г~ =
ѵ к, Y Z
= , откуда Xsint = Ycost, t = arctg -^ и t — — , так что общее
О Л к
Y
место тлавных нормалей представит поверхность Z = к .arctg -у- (косой
. „ „ _. X—«cos( Y—esin( Z—kt
геликоид). Уравнение касательной будет —— . = •'■--■.— — —т.— )

Ловерхиа сти.
141
откуда Xcost+Ynat= а и (X~ecosf)»-f- (7— asinQe = n Ф — **>'
или Р+ ^ — «а=і(^ — *0', додает: t = Д — J-^-+ Р~~а* .
Итак уравнение общего места касательных {развертывающийся геликоид)
ѵ , , ѵ ■ , . z ^Х* + Fa — «а
будет дсові-|- /smt= «, где с=—, ! .
соответственно -^р—=—pjL= jt, и —-,— =—-р-£=—-у—; при условии
Глава III.
Поверхности.
§ 1. Уравнение поверхности.
Поверхность задается уравнением f(x, yps) = 0, где одна из
переменных s есть функция двух остальных х ж у; полагая т = ©(ад, «), j =
= Ф{м, и) {при чем предполагается возможным выразить отсюда щи» через
ж и у), получим из уравнения поверхности z = oi(u,v); таким образом
поверхность можно задать системою as = <р(м, о), у = ^{и, »), г = ш(и, и),
где к и ѵ—независимые переменные. Положив w = м0 мы найдем на данной
поверхности линию х = в(и0, г1), у = ${щ, *>), г = «(м0, г>), а положив ѵ = и0,
найдем на поверхности другую линию: х = у(и, ѵ„) и пр.
Такие две системы линий называются координатными линиями
поверхности. Касательные к линиям и = и0 ж'ѵ = ѵ, в точке М(а:, у, z) будут
X—m_Y—y_Z—z X—sj_Y~§_Z—z ,
<Рп Ф» e>» ?w — -Ы
■Р=?« ?і -|- Ф« <К 4- ***і* <°о == 0 эти касательные взаимно-перпендикулярны,
и тогда координатные линии образуют ортогональную систему. Бесконечно-
малый элемент дуги линии и = м0 будет ds« = \/cpj2 -\- фі2 -J- <а'к% dv=\/ Gdv
и бесконечно-малый элемент дуги линии ъ=ѵй будет da1=|/<pi8-}-i|'iB-|-<i>ii«J«=
= ~\ГВ'• du; угол .между этими элементами {т.-е. угол между касательными
F
а ним в точке пересечения) определяется условием: costu = —т= откуда
■sinо) = ■'■- -т---^— . Площадь бесконечно-малого параллелограмма, образо-
V EG
ванного четырьмя координатными линиями U = и, U= и -\- du, У = ѵ,
F— ѵ -\- dv, будет {с точностно до бесконечно-малых высших порядков)
ds, ■ ds2 ■ sino> = \/EG—F*dudv = ]/B-(f, |) -j- Щ$, <■>) -f ^:(°>,Y) ■ ^«4
где положено 2>((, m)^l^-m'a — fj-m,'( (см. ч. П, отді IT, гл. П, 8 4).
Пример 1. Система ж = fisinu cosv, у = i?sinwsinv, 2 = .йсозад
определяет сферу ж! -f- уа -j- z2 = Дв. Координатные линии к = м0 определяются
перееечѳниѳи'этой сферы с конусом as*-}-y*=JS*tgB«0, т.-е. это будут
географические параллели при широте 90°—м0, а координатные линии ѵ = ѵа
образуются пересечением сферы с плоскостью у = sEtgVn, г.-е. это будут
географические меридианы. Система ортогональная, ибо F= 0.

142
Дифференциальное исчисление.
Дример 2. Система ar = asmwcoso, j/ = bsinwsinu, s = ccosm
определяет эллипсоид с координатными линиями — эллипсами. Ортогональность
выполнена только нри а = Ь, т.-е. для эллипсоида вращения около OZ.
Пример 3. Система ж — asmucoss, w = isin и smv, s — csinaa опре-
ж2 , v* z
деляет эллиптический параболоид -= -+- fs = — ■
Пример 4- Уравнения ж = *-^- (о -+- к), у = ¥-£- (v — u), z = у «о
определяют гиперболический параболоид, при чем линии « = «„, « = и0
образуют две системы его прямолинейных обра-
. Т зующих.
§ 2. Насателъная плосность и нормаль
к поверхности.
Определение. Касательного плоскостью
к поверхности в ее точке М называется общее
место касательных прямых в точке М ко всем
Чсрг. 89. кривым, которые можно провести по поверхности
через точку М. Прямая, проведенная через М
перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к
поверхности в точке М (черт. 89).
Теорема. Для поверхности [(со, у, я) = О уравнение касательной
плоскости в точке $І(х, у, я) будет: (X—x)fi-\-(Y— y)fi-\-(Z—2)/*= О*
X— х Y—v Z —ъ
уравнение нормали —у,— = —тт^ = —т-— и косинусы углов нормали
/« Л U
с осями координат будут: cos (Г, N) = ^ t t cos (7, JV) =
K/sa + /»'* + /ia
h cos /£ дг\ __ fa
Вывод. Каждую кривую, проведенную по поверхности через точку Л/,
можно представить системою /(ж, у, г) = О, <?(#, у, z) = 0, где первое уравнение^
остается неизменным для всех линий, а второе — меняется. ~
В § 3, замеч. 1, было дано уравнение касательной прямой к такой линии
в точке Ы\ именно она определяется пересечением двух плоскостей:
(*-«>£-KK-ffJ/J + CZ-D/^O, {X-x^+iY-y^+iZ-zte^O,
и так как первая плоскость остается неизменною для всех касательных
МТі, МТг, МТ3..., то все они лежат в- этой плоскости, т.-е. это и есть
искомая касательная плоскость. Нормаль определяется условием
перпендикулярности с касательного плоскостью, а косинусы углов выражаются по общему
правилу аналитической геометрии.
Замечание 1. Касательная плоскость в данной точке поверхности
делается неопределенною, если в этой точке одновременно £ = 0, fy' = О,.
ж5 ,,Й а2
/і = 0. Так будет в вершине (О, О, О) конуса -» + 4* 5 = О, где, дей-
ствительно, касательных плоскостей бесчисленное множество.

Поверхности.
143
Замечание 2. Если ввести частные производные Р — -г~, ?==лг »
тс касательная плоскость будет: Z —х=р(Х — т)-\- g(Y— у), нормаль-
X—х Y— « Z—Е
—— = -——Э-= —~— , косинусы углов ее с осями:
cos (Аг,I) =-7=7^ , , cos {NJ)=-j=^L==,
■ cos (N, Z) = , X .
VV + f+1
Это непосредственно следует из теоремы и из формул: р = — Ш, q = — Ч~
h h
Пример 1. Найти касательные плоскости к эллипсоиду
х2 ѵ2 za
1+ и ~Н~г— 1^0, параллельные плоскости IX-\~ mY-\-nZ = 0. .
ft и С
Уравнение касательной плоскости в точке (х, у, г) к эллипсоиду будет
,ѵ ,ж , ,-, ^Ѵ і ,іг -, г „ Хх . Yij . Z% t _
(X-я.)_4-сг-у)^+сг-*)^=о или _ + -j£ + -_1=0-
Иа условия параллельности с данною плоскостью следует:
= yjt-= .*-= J,(1); беря отсюда — = «£Х, -^ = 6™?-, — :=enX и под-
і
ставляя в уравнение эллипсоида, находим: а = .. . ■— - - ■—; этим
± у аЧ2 -f- 4*гаа -f- cV
определяются две точки касания и две касательные плоскости
lX-\-mY-\~nZ=± j/.^ + bV-HV.
х2 у2
Пример В. К эллипсоиду — -\- ^—|— s2 ^= 1 провести касательные пло—
скости через прямую —— = —-— — -^~ .
Касательная плоскость -тт + -т^ + ^з — 1=0 должна проходить-
через точку (3, 2, 0) данной прямой и быть параллельною данной прямой, что;
дает: (!) —-|--|-= 1, (2) — х -f- у — Зг = 0; присоединяя уравнение
Л 4 2\ /„ 2 2\
эллипсоида, находим две точки касания: (1,—, — , 2,—, —1 и две
X , Г . 2/ л 2Х , 7 . U ,
касательные плоскости: -^~+ ~п~т ~~о~='->~сГ~т~іС~г~ъ~:='-
Пример 3. Показать, что касательные плоскости поверхности %yz = (?
отсекают от координатного угла тетраэдр постоянного объема.
Касательная плоскость будет Xyz -f- Yxz -j- Zxy = Щуъ и отсекает на.
осях отрезки: а = 3#, р = 3^, ? = 3z; объем тетраэдра

144
Дифференциальное исчисление.
§ 3. Цилиндрические поверхности.
Определение. Цилиндрическою поверхностью называется общее место
прямых линий, параллельных данному направлению с проекциями /, т, п
и пересекающих данную линию Дж, у, ъ) = 0, y{w7у, z) =0 (направляющую).
Уравнение образующей при таких условиях будет—-.—= -= ,
при нем ж, у, 2 связаны уравнениями Да;, у, ъ) = 0, <у(ж, у, 2) = 0. Исключая
из 4 уравпѳпий буквы х, у, z, получим в результате.исключения уравнение
■цилиндрической поверхности в виде F(X, Г, Z) = 0.
Переписав уравнения образующей в виде: пХ— lZ = a, пУ—mZ = $,
где а = ѣх — 1%, Р=яі/— mz, найдем, в результате исключения ж, і/, %
из двух последних уравнений и из двух уравнений направляющей,
зависимость Ф(а, р) = О; внося сюда значения а = пХ — IZ, p = wF—mZ, найдем
■общую форму уравнений всех цилиндрических поверхностей с данным
направлением образующих в виде: Ф(пХ — lZ,nY— mZ) — 0, где Ф произвольная
функция.
Исключив из этого уравнения произвольную функцию Ф (см. отд. II,
гл. Ш, §£, пример 2), получим в результате ^ ту + га ур — п == °і что
выражает параллельность образующей и касательной плоскости к цилиндрической
поверхности, а так как точка касания будет общею для образующей и
касательной плоскости, то эта последняя содержит образующую, проходящую
через точку касания.
В некоторых случаях около данной повѳрхпостп F(w, у, z) = 0 можно
описать цилиндр с данным направлением образующих {7, т, я), т.-е. найти
такой цилиндр, который касается поверхности го некоторой линии, лежащей
на этой поверхности. В таком случае лилия прикосновения определится
системою уравнений F(x, у, z)=^0 и lF'a -\-mFi, -\-nF'z = 0 (последнее
выражает совпадение касательной плоскости к данной поверхности с
.образующею цилиндра); приняв эту линию за направляющую, можем составить
уравнение описанного цилиндра.
a;2 i/s z3
Пример. Около эллипсоида fl)i + 4-|-^ — 1=0 описать цилиндр
с направлением образующих (I, т, п).
ЗГипйя прикосновения определяется системою уравнений (1) и (2)
Іх . ту , nz
Уравнение искомого цилиндра получится исключением ж, у, % из уравпепий
(1>и (2) и двух уравнений образующей
X—x^Y—y^Z — z
I т п
Имеем:
■ , 7(У-')_;(У-У)_ £С^-*); L r_(X,mr,uZ
А— 7~ — ~^Г — ЙГ. —Ж' ГДе а2+ й2 +с2
а? /;э с2
[по (2)] и М — -^ -f- -jj -f т- Теперь значения х = Х — і\ у = У—то?.,
& О С Р
л = Z — пХ подставляем в уравнение (1) и находим

Поверхности.
145
§ 4. Ноннчѳсние поверхности.
Определение. Конического поверхностью называется общее место
прямых линий, проходящих через постоянную точку S(_x„, j/0, s0) (вершина
ташуса) и пересекающих данную направляющую /(ж, у, z) = 0, <?(х, у, г) = О.
При таких условиях образующая конуса будет определяться уравне-
Х~х„ І~уй 7- — \ Х — х0 Т—у. -
ЯЕЯМИ 5= **=■ ^ИИ ^ £ = «,-=—^°. = В, ГДѲ а =
х — ха у — уа z~zQ Z~z0 'Z~za
X — Й?іі n */ — ?/n jt
= -, p = - ■"; исключение a;, y, 2 из двух последних уравнений
s — s0 2 — s0
и из уравнений направляющей дает результат Ф(а, р) = О, откуда общее
уравнение конических поверхностей с4 данной вершиной будет
ігде Ф — произвольная функция.
Исключение произвольной функции проводит к уравнению ту (X.—ж0)і~
-f- jf (У — ye)=Z — а0, выражающему, что касательная плоскость в каждой
точке конуса проходит через его вершину и потому содержит образующую
конуса, проходящую через точку касания.
Б некоторых случаях можно около данной поверхности F(x, у, г) = 0
жэ данной вершины S(xa, у„, s0) описать конус, который касался бы
поверхности по некоторой линии.
В таком случае линия прикосновения определяется системою уравнений
F(x, у, s) = o и (xtt — ic)/;-j-(y0 — y)i?;_j-(So_ z)F'z=0, из которых
второе выражает, что касательная плоскость в точке (а;, у, г) поверхности
проходит через вершину конуса. Принимая линию прикосновения за
направляющую, составим уравнение самого описанного конуса, как показано
в начале параграфа.
'Дрильер. Из точки (ж0, у„, za) списать конус около эллипсоида
Линия прикосновения определяется системою уравнений (1) н (2)
"—r~f-"it + Чг~ 1 = 0. Нужно исключить х, у, z из уравнений (1), (2)
зі из уравнений образующей = — = — = ?.. По свой-
х — хч У — У а ъ — h
іству производных отношений и по (2), находим:
(Х—Хьіхъ j_ (Г—у0)уа , (Z —яд>,
йа- ■ &» "г с* _1
аѵ_^_^ ~'М
а5 й2 <?
Теперь
х^=хй-\-т(Х—ха), у = у0+т(¥~уй)
.Анализ бввяоиечяо-малых. 10

146
Диффврещиальнов исчисление.
и проч.; внося эти значения в уравнение (1), получил искомый конус:
RX-SqK + (Y-y0)ya {Z-%,)%^=
§ 5. Поверхности вращения.
Поверхность вращения есть общее место различных положений лнпии
ММЬ которая перемещается так, что каждая ее точка 31 описывает
окружность МС (черт. 90), центр которой
7 j ^.-..._. //і лежит на данной прямой А^А^ (ось
вращения) и плоскость которой _!_
к А А у. Плаче можно определить
поверхность вращения как общее место
окружностей С, которые і) имеют
центр на оси АА±. -,— ° =
, 2) лежат
У-У, _ Z-~H
j ™ я-
' в плоскости перпендикулярной ѵ.ААг
Черт. SO. и 3) проходят через точен М
данной липни Л/J/j, заданной
системою Да;, у, г) = 0, ш(ж, у, s) = 0. Всякую окружность,
удовлетворяющую условиям 1) п 2), можно представить как пересечение плоскости
tX-\-m Y-\-nZ = *, перпендикулярной к ААи п сферы (X— x„f-\-(Y —
' _ уьу -)- [Z — Sfl)S = р с центром в точке A„(jct, і/„, а„) осп вращения, при
чѳы условие 3) требует, чтобы to -j- ту -j- «г = а, (ж — ж0)г + (j — і/0)М"
— (г — г„)г = р. Исключая ж, у, г нз двух последних уравнений н из
уравнений /=0, <? = 0, найдем зависимость £і = Ф(а), которая и дает общее
уравнение всех поверхностей вращения с данною осью в виде: (X — #0)3Ч~
_jl (7— у0)а 4- (^ — е0)2 = Ф(1 -Ь mY-\-vZ), где Ф—произвольная функция.
В частпостп, если ось вращения совпадает с 0Z, то х„ = у0 = s0 = О, і = О,
оі-0,іі-ія предыдущее уравнение принимает вид Хі + 7г = Чг(^'),
где W (ІТ) = Ф {Z)—Z%. Исключая произвольную функцию W, найдем результат,
,,dZ ѵ dZ ѵ п _ Е—X -л—7 6 — Z
СО Y J = 0, выражающий, что нормаль —тг = —zz—= т~
dX dY SJl 2£
дК &Y
к поверхности вращения в любой точке ѳе (J, Y, Z) лежит в однойплоекостп с осью
вращѳння, ибо прн условии (*) находим Ь:—?- = ч\~—^.-, т.-ѳ. что нормаль
лежит в плоскости, проходящей через 0Z.
Пример. Найти поверхность, образованную вращением эллипса
(£=*У_|_- = 1, « = о (Д^о) около 0Z.
\ а } Ъ*
Переменная окружность С здесь определяется системою Z =«,
Х°'-{-1^={Э, при чек а=«, ж!4-#а=р. Исключая о и р нз этих уравнений

Поверхности.
147
l]/f-h)\ (*Ѵ ,
и из двух уравнений эдлтшса, находим: \-*—± 1 -Н-т-І = 1 иди
fl-І-А1 . «2 ,Ѵ 4А1 0
1 =— р, что даѳт уравнение некомой поверхности:
4
V ft2 b
і о« ' +'Р"~ *) = %"(Г~ + Р)" В тастпости' ПРИ й^Д
получается уравнение поверхности кругового кольца (тора) (X* -{- Y* -I- 2а -f-
-|- А* — <іа)2 = 4h*(X* + /а).
§ 6. Огибающие поверхности.
Определение 1. Если система поверхностей Да;, у, 2, «) —О зависит
от произвольного параметра а, то характеристикой поверхности а = а0
называется линия, которая определяется системою: Да;, г/, г, а0) = О,
jp (ж, і/, г, «0) = О и представляет предельное положение линии
пересечения двух поверхностей системы: а=а0 и а = а0-|~Да при Да = О
(сравнить гл. I, § 7). Общее место характеристик представляет вообще
огибающую поверхность для данной системы огибаемых и определяется
уравнениями: Дж, у, г, а) =0, -/-(#, у, 2, «) = 0 при переменном а; по
исключении а получится уравнение огибающей в виде F(x, у, г) = 0.
Теорема 1. Огибающая поверхность касается каждой из огибаемых
вдоль всей характеристики, т.-е. в каждой точке характеристики огибающая
и огибаемая поверхности имеют общую касательную плоскость.
Вывод. В точке Л/„(а;0, ув, г0), лежащей на характеристике поверхности
а = а„, касательная плоскость к огибаемой будет 2 — zu =рй (X— #0)+
-\-9о(Г-ув) (§2, замеч.2),гдер0=~^' у°' г°' "°> g,= -fffa У" *" "°? •
В уравнении касательной плоскости в точке JU„ к огибающей нужно
заменить. ра, q0 числами р„, qa, которые определятся из уравнения
АО"в) Уъ hi «№ + /]; ■% + /* dz-\- fLda. = Qi при dz=Pbdx-\-с^йу; но так
как из уравнений огибающей должно быть /в-Оп сверх того а = а0
(доказательство і аналогично теореме § 7, гл. I), то оказывается ре —^„, ?0 — ?0,
т.-е. касательные плоскости к огибаемой и к огибающей в точке Ый совпадают.
Определение S- Предельное положение точки пересечения трех
поверхностей системы а = а0, а = «0 -{- А, а = а„ -j- At при А и А, равных 0 {иди,
что то же, предельное положение двух бесконечно-близких характеристик)
определяется системою Да;, у, г, а) = 0, -^- = 0, у^ = 0 при а = а0; общее
место таких точек, если оно существует, представляет линпкГв пространстве,
называемую ребром возврата огибающей поверхности; ребро'возврата
определяется предыдущею системою при переменном а.
ТеоршаГ%. В каждой точке ребра возврата касательная будет вместе
с тем и каеатедьпою к той характеристике, которой принадлежит точка
касания.
10*

148
Дифференциальное исчисление.
Вывод. Пусть Mt(xt,£/ого)—точка, лежащая на характеристике поверх-
ности а == а07 касательная в этой точке к характеристике будет —-т—- =
= ' ■'р = -—-г--., где <te, </у, <fe находятся {при дифференцировании
(111 (IZ
двух уравнений характеристики) из уравнений: /£{ж0 у0, г0, a0)da; +/u^2/ +
+ /г ■ dz = О, Д(ш0, Soi soj ao)rfa; + Ali^^j- tsk' йг = °- Джя Р66^ в°зврата
das, di/, dz надо заменить числами da, dy, dz, определяемыми из системы:
№„, у„ =о, *)й+/г ^+/^~ДОа - О, №сІБ+№Щ+№& + /«d«=0;
по так как ш уравнений ребра возврата должно быть /і —О и /оі=0.
и сверх того a = a0 (из условия, что Л/J, лежит на ребре возврата, находим
Л#оі Уѵ zo> a) = °і /« = °> /<*» = °> т-"е- a не м°исѳт быть произвольным,
и так как принадлежность точки Л/"0 характеристике поверхности а = aft
дает тождества Д#0, і/0, г0, а0) = О, /п=0, /ее = 0, то из сравнения прѳдъ-
идущей системы с этими тожествами и выходит а = а0), то обе касательные
совпадают.
Заме^Шпив. Если в уравнение огибаемых поверхностей входят два
параметра я, (3, независящие один от другого, то огибающая поверхность
получается исключением а и £) из трех уравнений f(x, у, z, а, р) = О,
-£-=0, -і-=о, ибо при последних двух условиях касательные плоскости
для огибающей и огибаемой будут совпадать.
Пример. Найти огибающую плоскостей: (1) —f--fr+ — = І при
условии: (2) ефу=бУ,„ т.-ѳ. найти поверхность, касательные плоскости
которой отсекают от утла координатных осей тетраэдр постоянного объема У„
(если огибаемые поверхности—плоскости, то они образуют систему касательных
плоскостей к огибающей, согласно теореме 1-й). Здесь аир суть независимые
параметры, а у их функция.
„' df х ъ ду п df у 8 й-і п
Поэтому-Х = -^-- __^- = o,ip- = -F--FW = o, но ш
уравнения (2) -р = —, -ш = ;—§-> следовательно, предыдущие урав-
х % ц ъ __ ,„, х у ъ 1 г ,„,-
нення дают: -= -, j = ~ или (3)-=|-=-=- [в сшу (1)],
откуда a = Ъх, р = Ъу, у — 3s, после чего из (2) находим уравнение искомой
~- 2 ѵ
поверхности хуъ = — Ѵа.
У '
§ 7. Развертывающиеся поверхности.
Определение. Если огибаемые поверхности суть плоскости: ах -\- by -f-
-f-сг—р = 0, где а, Ь, с, р суть функции параметра а, то огибающая
поверхность называется развертывающеюся поверхностью; но теореме 1, § 6,
огибаемые плоскости будут ее касательными плоскостями.
Замечание 1. Так как характеристиками будут в этом случае прямые
линии: ах-\-Ъу -\-с%—# = 0, ак-х-{-Ьа-у -\-cL-z — рі = 0, то
развертывающаяся поверхность, -представляя общее место этих прямых, будет
поверхностью динеичатою. Согласно теореме 2, § 6, эти прямые (образующие
развертывающейся поверхности) представляют систему касательных к ребру

Поверхности.
149
возврата: ах -\- by -f- ег — » = О (1), а'з> -j- Ь'у -J- с'г — /)' = О (2),
a"ic-j-6"]/-|-c"s—р =0 (3) (производные по а). В этом свойстве
образующих развертывающейся поверхности (быть касательными к некоторой
пространственной линии) лежит отлита е их от иных линейчатых поверхностей,
называемых косыми. Можно добавить, что огибаемые плоскости аХ-{-ЬТ-\-
-\-cZ — p = 0 являются плоскостями кривизны рѳбра возврата, так как,
дифференцируя уравнение (1) ио а и принимая во^ внимание (2), находим
а-х'-\-b-y' -f-o-z' = 0 (4), а дифференцируя (2) но а к принимая во внимание
(3), получаем: а'х' + Ь'у' -\-с'%' = О, что после дифференцирования
уравнения (4) по а можно переписать в виде am" -\~by"-j-cz"=Q; но тогд",
по паве И, § 4 [уравнения (1), (2) ] заключаем, что а = A, b = В, с = С
и, следовательно, плоскость кривизны ребра возврата А(Х— да) -|- $¥— У) ~^
+ C(Z — z) = О будет аХ + 6Г+ cZ =р.
Замечание 3. НазваниѳТразвѳртывающѳйся поверхности обусловлено
тем свойством ее, что она без разрыва и складок, с сохранением длины
начерченных на ней линий, может быть сложена в любую касательную
плоскость.
Пусть (черт. 91) ABCD... ребро возврата равѳртывающейся
поверхности, и ABCD— вписанная в него ломаная линия; на продолжениях ее
сторон отложим произвольные
отрезки ВЬ, Сс, Bd... и соединим
точки Ъ, с, d прямыми.
Образовавшаяся многогранная
поверхность (с гранями ВЬсС, CedD,...)
может быть сложена без разрыва
и складок в плоскость любой
грани, например ВЬсС. Но
станем беспредельно уменьшать все
стороны АВ, ВС, CD... ломаной
линии, беспредельно увеличивая число их; тогда хорды АВ, ВС, CD...
обратятся в касательные к ребру возврата, т.-е., по замечанию 1, в
образующие развертывающейся поверхности, а многогранная поверхность—в часть
развертывающейся поверхности, которая без разрывав складок сложится
в предельное положение грани АВЬсС, представляющее плоскость кривизны
ребра возврата в точке А, т.-ѳ., но замечанию 1, в касательную плоскость
к развертывающейся поверхности в точке А.
Замечаете 3. Условие, при котором система прямых
Черт. 91.
^У-Уо_2-Ь
*(1)
І т гі
(ж0, у,,, za, I, т, «— функции одного параметра я) представляет
развертывающуюся поверхность, выражается равенством
Уо
V
т'
п'
1
т
п
= 0.
Вывод. Называя через и общую величину отношений (1), можем
представить поверхности, образованную этими прямыми, параметрическими
уравнениями: JT=as0-(-/«, Y=yQ+mu, Z—zu-\- пи (в виде функций двух
независимых переменных а и и). Беря в этих уравнениях и —м(а:), полу-

150
Дифференциальное исчисление.
чим на поверхности: некоторую линию L, для которой косинусы углов
касательной с осями координат пропорциональны числам:
dX = dxe -\- Idu -j- udl, d Y= dya -J- mdv. -\- udm, dZ = d\ + ndu -f- udn.
Поверхность, образованная данными прямыми (І), будет развертывающаяся,
если при некотором выборе функции о>(<х) = м линия L, лежащая па этой
поверхности, имеет прямые (1) своими касательными. Для этого dX, dY,
dZ должны быть пропорциональны числам /, т, м, т.-ѳ. [по вычитании из
всех 3 членов равенства величины щ'= <»'(«)] должно быть:
х'0-\-ul' і/0'-\-ит' z'0-\-'un __
т п
отсюда получаются 3 линейных уравнения с двумя неизвестными мир;
для совместности их должен равняться нулю выщеприведепный определитель.
В частности, если система црішых задается в виде X=aZ -\- аи Г= bZ~\-bl}
должно быть aib'=b[a'.
Это условие выполняемся 1) цилиндрическою поверхностью, где а и Ь
постоянны и 2) коническою поверхностью, где а, =з?0—az„, Ъ1 = у1)— bzn
при постоянных да0). у0, za, и потому те и другие поверхности будут
развертывающимися.
Пример. Возьмем систему прямых:
X — a post Г—«sin (_ Z — Ы.
— asmt aaost к
для нее предыдущее условие выполняется, п потому данная система
образует развертывающуюся поверхность. Ребро возврата ее найдется, если общую
величину данных отношений и определим из уравнений--^—-=...;что
„„ „ — a sin I— аи cos( к cos (— ям sin ( к 4- 0 -и
дает: ■—■—— = - = —-і- , т.-е. «=0; поэтому
— asin( a cast к
ребро возврата будет %=acost, t/ = asinf, z = kt, т.-ѳ. винтовая линия на
поверхности крутоввгр цилиндра.'
Уравнение самой развертывающейся поверхности получено в § 7, примере і,
гл. П.
Залівчсшие 4. Так как развертывающаяся поверхность определяется
системою ах-\-Ьу-\-съ—р=0, a'x-\-b'y-\-c'z—р' = 0, то, дифференцируя
1-е уравнение и принимая во внимание 2-е, найдем adx -\- bdy -j- cdz = О,
откуда р = — = = (р(а), о = — = —'■ — = ф(«); по исключении а,
ох с ду - с
находим </ = Ф(р).
Отсюда 8 = Ф*(р)-г, ; = Ф'(р)-я и, следовательно, rt — sa = 0; таково
общее дифференциальное уравнение всех развертывающихся поверхностей.
§ 8. О кривизне линий на данной поверхности. Теоремы Менье
и Эйлера.
Возьмем на поверхности Яда, У, %) = ° точку М(х, у, %) и обозначим для
этой точки:,р = т-, q = -^-, г^ѵт, s = ^—г~і ' = ts'> тогда dz = pdx-\-
1 дх' а ду' дх*' дхду) ду* ' г
+ qdy, dp = rdx -\- sdy, dq = sd%-\- tdy.

Поверхности.
151
Через нормаль Л/7Ѵ0 поверхности (чертеж 92) проведем плоскость,
пересекающую поверхность по плоской линии ЗІЗІх (так называемое нормальное
сечение), коей касательная ЗІТ составляет
с осями координат углы а, (3, у (гл. П, § 3);
проведем через И еще другую линию ^»т,
по той же поверхности, имеющую ту же
касательную ЗІТ; главная нормаль MN
линии mmt составляет с осями углы Е, tj, С
(гл. И, 8 6, аамѳч. 2), при чем cos? = лх—-,—
и проч., где Hi — радиус 1-й кривизны
линии яш, в точке 31. Обозначим через В
угол между нормалью к поверхности 3IN0
и главною нормалью 3IN. линии тщ (9 есть
линейный угол двугранного угла между
плоскостью нормального сечения MMt и
плоскостью кривизны линии тщ, ибо MNa _!_ ЗІТ
и 3IN. ± ЗІТ).
— Р
Так как (по главе Ш, § 2) cos (N0tX) = -^==== и проч., то
cose = cos^cos(iVo, X) -J- cos^cos^, T) + cosOcos (ІѴ0, Z) =
j?j J dcosa dcosfi . dcosy
Vp* + q*+l \~ P ds '' ds
Но, деля на ds уравнение d%=pdis-\-qdy, получаем cosi — p cosa -j- у cos(5,
откуда
ds r ds a rfs ds ' r ds
-J-cos|3(scosa -|- fcosfJ) =r cos2« -J~ 2s cosa cosj3 -f-£cos2fi.
Таким образом
COS9:
Лі
= (г cos^a -j~ 2s cos a cosP -j- t cos^),
т.-е. при выбранной точке M, определяющей р, §■, г, s, f, ж при данной
касательной ЗІТ, определяющей
cosa, cos(3, cosy =p cosa -{-q Cos(3,
величина У?! зависит только от 9, и при Ѳ = о получается наибольшее
значение Hlt именно — радиус кривизны нормального сечения Л/3/j:
Лл =
|/і+яа+?а
г cos2« -f- 2s cosa cosft -f~ t oos2p
$ля всякой другой ливни mins радиус 1-й кривизны Ri = S„ cosB, т.-ѳ.,
сравнивая различные линии, проведенные по поверхности через точку М
и имеющие одну" и ту же касательную, находим наибольший радиус
кривизны Д, у нормального сечения; для всякой другой линии радиус кривизны
равен проекции Ііа па плоскость кривизны этой линии (теорема Ыёнье).
Займемся теперь вопросом о зависимости радиуса кривизны нормального
сечения Л„ от направления касательной, определяемого числами cosa, cosj3,

152
Диффврещиальпое исчисление.
при чем cos'f=pcosn-{-$cosfj, и потому (из формулы cos2ce-j-cos2p_|-coss-|-=l),.
следует: (1 -|-^й)со5иа -\-2pq cosa cosp-}- (1 + у2)соз9р=:1 {'). Чтобы
упростить исследование і?0, перенесем начало в точку М, ось Ot#i направим по-
нормали к поверхности MNt, а оси OtXt, 0,Y, разместим пока произвольно
в касательной плоскости (где будет лежать и МТ, чертеж 93). Так как
в новой системе cos (Zu N„) = . ....... -——1, то ^=0, gy= 0; далее-
ѴРІ + 1i-r !
_ ИЗ формулы (*) COS2a1-f-COS9pi=:l, T.-e. COSC^r^
■" £l 1
sinpj, И уг = l"i cos%, -|- 2s, cosa1sina1 -f- tt sinaa,^-
V /<й^>\ «, Для -изучения хода функниис оставляем ■ -~- =
'■— =2s1cos2o:1—(ri—ti)sui2ai; это выражение равно О-
9с
Черт. 93. при tg2aj = 1-- (случай Sj=;0, ri = ti исклго-
ri — 'l
чаем, ибо тогда =■ =rl = tl независимо ота1ьчто отвечает точке закру-
гления, § 9), откуда следуют 2 значения cq: а± = aQ и а1 = а0-|- —-; иа
выражения —-рЦ^ ——is, ■ &m2a,— 2(r, — ^)cos2a, — ± |/4sf+(г, — ^)a
видно, что одному из решений отвечает maximum, другому — minimum
функции -р-. Зная это, повернем координатный угол Х,0,¥,
окололо
начала на угол я0, так, чтобы новая ось ОД2 отвечала направлению-
а, = а0, а "новая ось 0,¥^~ направлению а, = а0 4- -ц-; вновой системе maxi-
■J
. . 1 - «
mum и minimum ■=- должны отвечать значениям ао = 0, аа=—-, то-есть-
Щ 2
2s' 1
tg2aa = Ѵ = 0і откуда sa = 0, и получается -5- = rscos8ea -j- fasin2a2.
Крайние значения-=- будут Tr=f5i при «2=0 и-н- = га при «2=-—;за-
меняя аа на о> и R0 на #, получаем весьма простую зависимость кривизны
1
нормального сечения -^ от кривизны так называемых главных нормальных
сечений, обладающих наименьшею и наибольшею кривизною ^-, -^- (или
наоборот), и от угла ш между плоскостью взятого нормального сечения и того
главного сечения, коему отвечает -радиус .й,:-^^ -=-cos2tu-f-irsinaa).
Это и есть теорема Эйлера. Отметим два следствия: .1) два
нормальных сечения, одинаково наклоненные к главным, имеют одинаковую кривизну,
ибо -п не изменяется от замены ш на — ш; 2) для двух взаимно перпенди-
кулярных сечений, отвечающих углам ш и ш -j- —, находим -^ = -н- cos3» -|-
+ ^5іп^!;1т^і-5т^ + ^со5Чоткуда^ + ^==^+^т,-е.сумма

Поверхности:
153
величин кривизны двух взаимно-перпендикулярных нормальных сечений
постоянна в данной точке поверхности и называется среднею кривизною
поверхности в этой точке.
§ 9. Тачки закругления. Главные радиусы кривизны.
Выше {§ 8) было отмечено, что точкою закругления, или омбилическою,
называется такая точка поверхности, в которой кривизна нормального
сечения — = — — (rcos2a -j- 2seosa cosp -j~ (cos2B) не зависит от
J? у 1 + #? + ff
углов «ир, при чем eosa и eosp связаны зависимостью (*) § 8. Полагая
eosa = w, eosp = u, рассмотрим функции от и и ѵ:
U = Ѵ±±£±£ = п* _|_ 2suv + tv\
7= (1 -f Я8)*1 + Щ *» + (1 + ?а) «* = 1, W= V— Я V,
где J. — неопределенный множитель. Если при всех возможных значениях и
и ѵ функция U сохраняет постоянное значение Щ, то и функция W = U— \
(ибо Ѵ= 1) будет иметь постоянное значение и„ — X.
Представив W в виде: W = [г — ?. (1 -f- ?э)] иа -|- 2 [s — Хэд] ми -j-
-\-[t — ЦІ-{-?*)] t>8, выберем X так, чтобы коэффициент при и5 обратился
в О: Я = .-g ; тогда W= jftt8-]- 2Ійи>, и так как ТГ = 0 при м —О, то
при независимости ѴГ от значениям должно быть W=0 тождественно, что-
Т S
требует: 11 = 0, К=0, т.-е. ?- = -—^—-=—• в связи с прежним
значением X = —-г—г получаем условия ■—■■,■ -а = — = _ .-■ ■■ ■„, при которых
TF=' Р= ——- ^ ..—L—х независимо от значений и и ѵ. Итак,,
точки закругления найдутся, если к уравнению поверхности f(asT у, г) = О
присоединить еще два: ~^ = -L = Г=^ .
Дргімер. Найти точки закругления эллиптического параболоида:
2г = |--*- (а^>і^>0). Предыдущая система имеет вид:
b
' -V о і ^i+5+C
* + * I * + * Л
и дает а$=0. Беря ж=0, находим у = rt |/6(a — 6) и е = -£г=^-г— -
При у=0 ж оказывается мнимым. Поверхность имеет 2 точки закрутления:
(о,± ѴЬ(^Т\ ^) нри B^al/J.
\ 2 , 'о

154
Дифферещиалыюе исчисление.
Вопрос о разыскании главных радиусов кривизны поверхности в данной
точке приводится к определению относительных maximum и minimum
функции U (сы. выше, § 9) при соблюдении условия Ѵ~1; для этого (отд. Ш,
гл. I, § 4) составляем функцию W— и — J.Y и приравниваем нулю ее
частные производные: (1) у -т— — [г — X(l -J- р2)]и + [s — 'іщ]ѵ = О,
Так как к и в одновременно не равны 0 (ибо при этом условие Ѵ= 1
не выполняется), то из уравнений (1) и (2) следует пропорциональность
коэффициентов при и и и, что приводит к квадратному уравнению для.А:
rt — ss — X [ ,-(і _j_ уа) — 2pqs + f (1 + р*)] + >.а(1 + ^а + ?2) = О- Называя
, . ... )-(1 + f) ~~Шз + '(1 + Р"-)
его корни через ^ и. ла, имеем: \ -f- ла = - ■■ '- ^-- _■_ 3 і_ а—^^ >
)■; sa
X, ■ А2 = 3 , а. Подставляя эти значения \ и Аа в уравнение (1)
4/
или (2), найдем отношение —, после чего из уравнения 7= 1 найдутся две
пары значений (мІ5 et), (иг, г)3), определяющие положение двух главных
нормальных сечений поверхности в данной точке, именно углы а1} р1} -^
касательной сечения е осями будут: щ = cosctj, и, = cos(5,, put -j- jjjt = cosf.,
и Mj^^cosa,, ca = cospa; /jMa-j-?"a = C0STa- ^то касается величин jfft,
.&, — радиусов кривизны главных нормальных сечений, — то, умножив
уравнения (1) и (2) на и и ѵ и сложив, найдем U—лУ = 0, или £/=А
(так как У=1); таким образом значениям \±, А2 будут отвечать крайние
значения и = - - '^—LJ- = А, откуда следуют формулы -^- -f- -*- =
= ^і+Ц =г(1 + ?')-2ррт+*(1 + Р') 1 = *Л ' =
і/і+^+гя ■ a + „« + ^ ' ЗД. і+яЧ-г"
rf — S2 1.1
= ■■ , ■ „■■;—jto j определяющие среднюю кривизну поверхности -и- -г тг
(1 +£>"+?") і*1 Jf2
в данной точке и так называемую Гауссову кривизну ■ „-р-, после чего
находятся и главные радиусы кривизны _#„ Ss.
Пример. Для поверхности %% = 2а$ находим -к- + -й- = —і— ,
л і ла х~гУ
•^-д- = 0, откуда ^ = со, ^г = — (а? + у).
Замечстие. Для развертывающихся поверхностей г* — sB = 0 (§ 7,
замечание 4), следовательно ■„■ р~ = 0; т--& °ДИН из главных радиусов
кривизны равен оо, что и понятно, так как одно из нормальных сечении
представляет прямолинейную образующую поверхности.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Дифференциальное исчисление.
ОТДЕЛ I. Введение г анализ.
Глава I. Теория пределов.
ИРАН.
§ 1. Рациональные и иррациональные числа. Теория разрезов 5
§ 3. Понятие о непрерывности совокупности вещественных чисел 6
§ 3. Постоянные и переменные величины. Предел 7
§ 4. Величины конечные, бесконечно - малые н бесконечно-большие. Свойства,
бесконечно-малых 9
§ 5. Соотношения между пределами переменных, связанных неравенствами. Предел
Жммы, произведения, частного . . .' 11
>рядок бесконечно-малых. Эквивалентные бесконечно-малые них свойства . 13
§ 7. Усяовпл существования предела для возрастающей или убывающей
переменной ■ 14
§ 8. Понятие об ансамбле. Теорема о существовании точки сгущения
бесконечного п ограниченного ансамбля 16
§ 9. Условие Кошп, необходимое и достаточное для существования предела пере-
меннойч 17
§ 10. Предел степенного выражения ж111 18
§ 11. Предел показательного выражения а?> . .- 20
§ 12. Предел логарифма 21
§ 13. Пределы тригонометрических выражений 23
§ 14. Число е. Натуральные логарифмы . ,, 33
9 15. Некоторые пределы, связанные с чпслоіі е 36
Глава II. Беоконѳчные ряды.
§ 1. Необходимое ~в достаточное условие сходимости 38
9 2. Ряды с положительными членакп. Две теоремы о сравненпп рядов .... 39
§ 3. Четыре признака сходимости и расходимости рядов с положительными членами. 30
§ 4. Ряды с членами различных знаков. Абсолютная и неабсошотная сходимость.
Знакопеременные ряды 33
§ б. Ряды, отличающиеся порядком членов 34
§ 6. Сложение и умножение рядов 35
Глава III. Непрерывные функции от одной независимой
переменной и их свойства.
§ 1. Независимая переменная п функция. Функции однозначные, многозначные,
явные, неявные. Графическое представление 36
§ 2. Классификация функций. Гиперболические функции 38
§ 3. Непрерывность функции. Разрыв непрерывности 40
§ 4. Свойства непрерывных функций (3 георемы) 46
§ 5. Обратные функции 50

156
Оглавлетів.
ОТДЕЛ П. Дифференциальное исчисление.
Глава I. Дифференцирование явных функций от одной
независимой переменной.
е „ /№+'*)—т ~ , га?ІІ
9 1. Значение злака пред. т для суждения о возрастании п убывании
л-о '■
функции 53
§ 2. Геометрическое е кинематическое значения производной ...."..... 55
9 3. Производная п дифференциал функцпп. Геометрическое значение дпффѳ-
Бвнцпада 56
производные от хт, a®, Loga;, sina;, cosa; , . . 57
§ 5. Производные суммы, произведения, частного. Производные функций: целой,
§)обноп, тригонометрических и гиперболических 58
ропзводные функции от функции. Производные обратных функций:
тригонометрических и гиперболических 60
§ 7. Производные п дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница . . 62
Глава П. Формулы, на которых основано приложение
дифференциального исчисления к вопросам анализа.
§ 1. Теорема Ролля 64
§ 2. Формулы Копш н Лагранжа. Приложения 65
§ 3. Формула Тейлора и Маклорена о дополнительными членами 66-
Глава Ш. Дифференцирование явных функций от нескольких
независимых переменных и неявных функции от одной иди от
нескольких независимых переменных.
§ 1. Непрерывность функцпп от нескольких независимых переменных 69'
§ 2. Частные производные, чаогные дифференциалы и полный днфференцпаі.
Сравнение полного дифференциала с прпращенпем функции 70
§ 3. Дифференцирование сложных функций от одной пли нескольких независимых
переменных. Однородные функцпп 71
§ 4. Частные производные высших порядков. Их независимость от порядка
дифференцирования 73
§ 5. Полные дифференциалы высших порядков. Спмволпчеекал формула .... 75
§ 6. Дифференцирование неявных функций .' 77
§ 7. Замена переменных в выражениях, содержащих производные 78
9 8. Формула Тэйлора для функции от нескольких независимых переменных . . 81
ОТДЕЛ ПІ. Приложения дифференциального исчисления к
вопросам анализа.
Глава I. Наибольшие й наименьшие значения функций.
§ 1. Maxima, minima явных функций от одной независимой переменной .... 83
§ 2.- Мах. - шіп. неявных функцпй от одной независимой перемепаой 88
S 3. Абсолютные max. - шіп. функцпй от нескольких переменных 89
§ 4. Относительные maxa-minima. 90
Глава П. Разложение функций в степенные ряды.
§ 1. Разложения в ряды функций: &, sina;, cosa;, sha;, аЫ, log.(lrh<"), (l+a;)m,
arotgx. 93
§ 2. Численные примеры. Способ сокращенного умножения 96
Глава III. Истинные значения неопределенных выражений.
§ 1. Неопределенность вида—- 100
§ 2. Неопределенность впда—■ 101
§■■ 3: Неопределенностп впда со — со, 0 -со, 0°, со0, 1 —™ 102
§ 4. Раскрытие неопределенностей с помощью рядов 103

Оглавление. 157
ОТДЕЛ ГѴ. Геометрические приложения дифференциального
нечисленна.
Глава I. Плоские линии.
СТРАН.
■§ 1. Уравненпе плоской лпнпп 105
э 2. Дифференциал дут ЮТ
§ 3. Касательная, нормаль, додкасательная, поднормаль в прямоугольной спстеме 107
§ 4. Касательная в полярной системе 110
■§ 5. Крпвпана. Радпуе п центр крпвпзны 110
§ 6. Эволюта и ее свойства 11S
§ 7. Огибающие кривые 116
8 8. Направление вогнутости. Точки перегиба п сплющенности 118
§ 9. Порядок касанші 120
9 10. Особенные точки 122
§ 11. Аспмшготы ; 124
Глава П. Линии в пространстве.
| 1. Уравненпе лпппп в пространстве 129
§ 2. Дпфферещпал дуга 130
8 3. Касательная прямая. Нормальная плоскость 130
| 4. Плоскость крпвпзны. Бинормаль 131
а 5. Главная нормаль. Спрямляющая плоскость' 132.
8 6. Первая п вторая крпвпана 135
§ 7. Пршеры 139
Глава III. Поверхности.
§ 1. Уравненпе поверхности 141
§ 2. Касательная плоскость п норыаль к поверхности 142
§ 3. Цилиндрические поверхности 144
§ 4. КЬнпческпе поверхности 145
| 5. Поверхности вращения 146
§ 6. Огибающие поверхности 147
§ 7. Развертывающиеся поверхности 148
§ 8. О крпвпзне линпй на данной поверхности. Теоремы Мёньѳ и Эйлера . . . 150
§ 9. Точки закругления. Главные радпусы крпвпзны 153

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАДА-MOCK ВА
РУКОВОДСТВА И ПОСОБИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ.
Адамов, А. Д., проф. — Сборник задач по аналитической геометрии и
дифференциальному исчислению. Стр. 417. Ц. 4 р. 30 к.
Богомолов, С, Д.— Основания геометрии. С 42 чертежами в тексте. Стр. 329-
Ц. 2 р.
де-ла Валле-Пуссен, Шарль-Жан. — Курс анализа бесконечно малых. Т. Г. Стр. 485-
Ц. 4 р.
'Грэнвиль, В, — Элементы дифференциального и интегрального исчислений. Для
технических учебных заведений и самообразования.
Часть I. Дифференциальное исчисление. Изд. 3-е, исправленное Н. П.
Тарасовым. Под ред. проф. Н. Н. Лузина. Стр. 288. Ц. 2 р. 25 к.
Часть II. Интегральное исчисление. Изд. 3-е, исправленное Н. П. Тарасовым-
Под редакцией проф. Н. Н. Лузина. С 64 чертежами в тексте. Стр. 173.
Ц. 1 р. 20 к.
Дешевой, М. Д., проф. — Курс начертательной геометрии. С 300 чертежами в тексте.
Стр. 370. Ц. 3 р.
Егоров, Д. Ф. — Основания вариационного исчисления. Стр. 77. Ц. 1 р.
Егоров, Д, Ф.—Элементы теории чисел. Стр. VI -\- 202. Ц. 1 р. 50 к.
Коялович, Б. М. — Аналитическая геометрия. Издание второе, исправленное и
дополненное. Стр. 198. Ц. 2 р. 50 к.
Коялович, Б. М.— Лекции по высшей математике. Том I. Вып. I.
Дифференциальное исчисление с приложением к анализу. Изд. 2-е. Стр. 244. Ц. 1 р, 50 к.
Коялович, Б. М. — Лекции по высшей математике. Том I. Вып. 2. Начала
интегрального исчисления, Издание 2-е. Стр. 185. Ц. 2 р.
Коялович, Б, М, — Лекции по высшей математике. Том II. Вып. 1.. Основания высшей
алгебры. Интегрирование функций. Стр. 156. Ц. 1 р. 50. к.
Коялович, Б. М, — Лекции по высшей математике, Т. II. Вып. 2. Определенные
интегралы. Основные сведения из теории дифференциальных уравнений.
Стр. 308. Ц. 2 р. 50 к.
Лахтин, Л. К. — Курс теории вероятностей. Огр. 275. Ц. 3 р.
Сборнин задач по высшей математике. — Под ред. профессоров: Н. М. Гюнтера,
Я. Д. Тамаркина, Я. В. Успенского и А. А. Фридмана. Стр. 226. Ц. 2 р. 40 к.
Систематический сборник задач и упражнений по высшей математике. —Составлен группою
профессоров и преподавателей ленинградских высших технических учебных
заведений.Ж;Под общей редакцией проф. В. М. Кояловича. Выпуск I. Сост-х-
Л. Г. Малис. Аналитическая геометрия. Стр. 172. Ц. 1 р. 25 к.
Систематический сборнин задач и упражнений по высшей математике.—Составлен группою
профессоров и преподавателей ленинградских высших учебных заведений. Под
• общей редакцией проф. Б. Кояловича. Вып. II. Дифференциальное исчисление
с приложениями к анализу. Сост. Н. С. Михельсон. Стр. 148. Ц. 1 р. 65 к.
Систематический сборник задач и упражнений по высшей математике.—Составлен группою
.профессоров и преподавателей ленинградских высших учебных заведений. Под
общей редакцией проф. В. Кояловича. Выпуск ПІ. Интегрирование функций.
Сост. В, В. Болдырев и П. С. Радецкий. Стр. 124. Ц. 1 р. 50 к.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД—МОСКВА
Руководства и пособия по теоретической и прикладной механике
для высших учебных заведений.
Давиденков, Н. Н., проф. — Руководство к практическим занятиям в механической
лаборатории. Пособие для студентов высших технических учебных заведений. С 36 чертежами
в тексте. Стр. 122, Ц. 1 р.
Зѳрнов, Д. С. — Прикладная механика. С 489 фиг. в тексте. Стр. 337. Ц. 4 р.
Кирджтев, В. Л, — Основания графической статики. 5-е изд., исправленное и дополненное.
Стр. 346. Ц. 2 р.
Кирпичей, В.— Сопротивление материалов. Часть I. Учение о прочности машин и построек.
Посмертное издание, исправленное и дополненное. С 229 рис, в тексте. Стр. 399. Ц. 3 р. 50 к.
Еирпичѳв, В.—Сопротивление материалов. Часть II. Учение о прочности построек и машин.
Издание четвертое, перепечатанное со второго исправленного и дополненного. Под
редакцией проф. С. П. Тимошенко. С 236 рис. в тексте. Стр. 504. Ц. 4 р. 50 к.
Межѳричер, П. Ж.— Машиностроительное черчение с подготовительным курсом начального
черчения. Для технических учебных заведений и самообразования, С 312 фиг. в тексте.
Изд. 2-е, перераб. и дополн. Стр. XII-[-396. Ц. 3 р.
Мещерский, Ж. В., проф. — Курс теоретической механики. Часть I. Стр. 175. Ц, 2 р. 40 к.
Мещерский, Ж. В., проф. — Курс теоретической механики. Часть II. С 84 чертежами.
Стр. 256. Ц. 1 р. 75 к.
Николаи, Е. Л., проф. — Лекции по теоретической механике. Часть I. Статика. Второе издание.
Николаи, Е. Л,, проф. — Лекции по теоретической механике. Часть II, Кинематика. Второе
издание. Со 105 чертежами в тексте. Стр. 118. Ц. 1 р. 50 к.
Никохаи, Ш. Л., проф.—Лекции по теоретической механике. Часть III. Динамика, Выпуск I,
С 76 чертежами в тексте. Стр. 127. Ц. 1 р. 50 к.
Радциг, А, А,— Прикладная механика. Стр. 251. Ц. 1 р. 80 к.
Руаский, Д. П. — Кинематика машин. Стр. 199. Ц. 1 р. 50 к.
Рузский, Д. П.—-Общая теория машин. Лекции, читанные в Киевском политехническом
институте в 1909 —1910 году. Стр. 142. Ц. 1 р. 30 к.
■Тимощенко, С. П. — Курс сопротивления материалов. 5-е издание. Стр. 524. Ц. 5 р. 50 к.
Серия „УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДДЯ РАБОЧИХ
ФАКУЛЬТЕТОВ И ТЕХНИКУМОВ",
Кошарнипкий, В. И, —Основания аналитической геометрии на плоскости ив пространстве,
С 97 чертежами в тексте. Стр. 275. Ц. 1 р. 75 к.
Кривошеий, Г. Г. — Сопротивление материалов. С 123 фигур, в тексте. Стр. 164. Ц. 1 р. 30 к.
Монахов, А, Д., проф. — Общий курс технологии волокнистых веществ. С 235 чертежами
в тексте. Стр. 270. Ц. 1 р. 75 к.
Новиков, В. и ВосЕобоЙников, В. — Сборник задач по аналитической геометрии на плоскости,
С полными решениями и подробными методическими указаниями для каждого типа. Стр. 128.
Ц. 90 к.
Пржеборовѳкий, S. О., проф. — Введение в химию. Часть первая. Со 106 рис. в тексте.
Стр. 381. Ц. 2 р. 60 к.
.Ходуяноа, Ф, И,, проф. — Сборник задач по электрическим машинам постоянного и
переменного тока. Допущено Научко-Технической Секцией Государственного Ученого Совета.
С 5 фигурами в тексте. Стр. 194. Ц. 1 р. 50 к.