И.И. ПРИВАЛОВ и С.А.ГАЛЬПЕРН
ОСНОВЫ АНАЛИЗА
БЕСКОНЕЧНО
МАЛЫХ
ФИЗМАТГИЗ • 1959
к
И. И. ПРИВАЛОВ и С. А. ГАЛЬПЕРН
ОСНОВЫ АНАЛИЗА
БЕСКОНЕЧНО. МАЛЫХ
ПОСОБИЕ
ДЛЯ САМООБРАЗОВАНИЯ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 а 59
I
11-3-1
<•
АННОТАЦИЯ
В книге дается краткое изложение элементов матема-
тического анализа (т. е. дифференциального и интеграль-
ного исчислений), доступное для учащихся старших клас-
сов средней школы.
Авторы сумели сделать изложение понятным для воз-
можно более широкого круга читателей, интересующихся
математикой, поэтому книга может быть использована
теми, кто хочет изучать математику путем самообразова-
ния.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию...........................	7
Предисловие ко второму изданию............................ 7
Глава I. Понятие функции.................................. 9
§ 1.	Измерение величин. Математическая величина..........
§ 2.	Постоянные и переменные величины....................
§ 3.	Независимая переменная и функция....................
§ 4.	Геометрическое представление функции................
§ 5.	Примеры геометрического представления функций ....
§ 6.	Способы задания функций.............................
| 7. Обратные функции......................................
§ 8.	Графическое решение уравнений ......................
Задачи к главе I...........................................
Глава II. Теория пределов..................................
§ 9.	Абсолютная величина.................................
§10.	Последовательности..................................
§11.	Точки сгущения последовательности....................
§12.	Предел последовательности...........................
§ 13.	Необходимый и достаточный признак существования предела
§ 14.	Бесконечно малые последовательности.................
§ 15.	Основные теоремы о пределах.........................
§ 16.	Переход к пределу в неравенствах.....................
§ 17.	Бесконечно большие последовательности.................
§ 18.	Пределы некоторых последовательностей...............
§ 19.	Принцип существования предела ..................  .
§ 20.	Число е..............................................
§ 21.	Натуральные логарифмы...............................
§ 22.	Подпоследовательности...............................
§ 23.	Геометрические приложения ..........................
§ 24.	Предел функции.......................................
§ 25.	Свойства пределов функций............................
Задачи к главе II . .......................................
Глава III. Производная.....................................
§ 26.	Приращение функции...................................
§ 27. Понятие непрерывности функции ........................98
§ 28. Простейшие свойства непрерывных функций. Непрерыв-
ность некоторых функций..............................105
СО СО «О ООООЧ^ЧЧСПСПООСяСЛД Д Д Д W со со СО tO tO Н-
си	to 00 чоооослмоьоочслд toco СО СП СР ч СР Q0 to о
1*
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 29. Предел отношения синуса к дуге
§
§
§
§ 37.
§ 38.
§ 39.
§40.
§41.
§42.
§43.
§44.
§45.
§46.
§47.
§ 30. Касательная ........................................
§31. Производная..........................................
~ 32. Производная как скорость ...........................
33.	Формула для приращения функции ....................
34.	Производная постоянной.............................
35.	Производная целой положительной степени............
36.	Вынесение постоянного множителя за знак производной ., .
Производная суммы.....................................
Производные синуса и косинуса........................
Производная произведения ............................
Производная дроби...............'..............
Производные тангенса и котангенса....................
Производная сложной функции,...............
Производная логарифма............................
Производная обратной функции.......................
Производная показательной функции....................
Производная любой степени..............................
Производная обратных тригонометрических функций • • •
Задачи к главе III........................................
Глава IV. Приложения понятия производной .................
§ 48.	Теорема об обращении непрерывной функции в нуль . . .
§ 49.	Теорема Ролля.......................................
§ 50.	Теорема Лагранжа...............................
§ 51.	Признаки возрастания и убывания функций.............
§ 52.	Максимумы и минимумы функции.......................
§ 53.	Достаточные условия максимума и минимума функции . .
§ 54.	Правило нахождения максимумов и минимумов данной
функции..................... ............................
§ 55.	Применение теории максимумов и минимумов к построению
графиков функций...........................................
§ 56.	Наибольшие и наименьшие значения функции ..........
Задачи к главе IV............. . . .......................
Глава V. Дифференциал.....................................
§ 57.	Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно
малые......................................................
§ 58.	Основной принцип дифференциального исчисления «...
§ 59. Понятие дифференциала.............................
§ 60.	Геометрический смысл дифференциала..................
§ 61.	Формулы для нахождения дифференциалов функций . . .
§ 62. Приложения понятия дифференциала к приближенным вы-
числениям .............................................	. .
Задачи к главе V...........•	•...........................
Глава VI. Элементы интегрального исчисления...............
§ 63.	Неопределенный интеграл.............................
§ 64.	Интегрирование степенной функции ...................
109
110
115
118
124
126
127
128
129
130
132
133
135
136
139
141
141
142
144
148
153
153
155
159
161
166
172
174
177
180
183
188
188
192
193
196
196
200
201
204
204
207
ОГЛАВЛЕНИЕ	5
§ 65.	Простейшие свойства неопределенного интеграла. Интегри-
рование многочлена..........................................208
§ 66.	Интегрирование простейших функций....................210
§ 67.	Замена переменной. Интегрирование по частям..........212
§ 68.	Вычисление площади . ................................215
§ 69.	Определенный интеграл................................221
§ 70.	Простейшие свойства определенного интеграла..........224
§ 71.	Геометрический смысл определенного интеграла.........226
§ 72.	Различные применения определенного интеграла.........231
§ 73.	Некоторые применения неопределенного интеграла .... 235
Задачи к главе VI..........................................237
Заключение.............................. * « ..............247
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании книга выходит в переработанном
виде. Изменения внесены главным образом в теорию пределов,
которая изложена сначала для последовательностей, а затем
уже для функций. Предел функции вводится с помощью по-
нятия предела последовательности. Я полагаю, что такое из-
ложение имеет свои преимущества и вполне доступно. Исправ-
ления, сделанные в других частях книги, связаны в основном
с указанными изменениями в изложении теории пределов.
С. Гальперн
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Многие желали бы познакомиться с разделом математики,
который называется «высшей математикой». Однако полу-
чить первоначальные сведения в этой области, пользуясь пол-
ным курсом анализа бесконечно малых, затруднительно, так
как это требует много времени, а изучать математическую
книгу, опуская какие-либо разделы, часто невозможно. Необ-
ходима также книга, по которой учащиеся старших классов
средней школы, интересующиеся математикой, могли бы изу-
чить— самостоятельно или в кружках — элементы математи-
ческого анализа. Поэтому издание небольшой книги, содержа-
щей изложение элементов дифференциального и интеграль-
ного исчислений, могло бы удовлетворить все эти запросы чи-
тателей.
i
ПРЕДИСЛОВИЕ
$
Во втором издании книга выходит в переработанном виде.
В основном отличие от первого издания, вышедшего в
свет в 1934 г., заключается в добавлении теоремы о среднем
в дифференциальном исчислении и в изменении изложения ин-
тегрального исчисления, однако книга сохраняет элементарный
характер.
Безвременная кончина одного из авторов — известного ма-
тематика нашей страны Ивана Ивановича Привалова — не
позволила ему принять участие в подготовке второго издания.
С. Гальперн

ГЛАВА I
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Измерение величин. Математическая величина
В различных прикладных науках приходится встречаться с
величинами разнообразной природы. Так, например, в физике
часто приходится говорить об удельном весе, о плотности
массы, о температуре; в физических задачах мы рассматриваем
силу, скорость, ускорение, время; в геометрии мы изучаем
такие величины, как длина отрезка, площадь, объем и т. п.
Для того чтобы подвергнуть эти величины математическому
анализу, выбирают за единицу измерения произвольную вели-
чину той же самой природы: например, за единицу измерения
длины принимают метр, за единицу веса — грамм, за единицу
времени — секунду и т. д. Тогда отношение данной конкрет-
ной величины к единице измерения будет отвлеченным числом,
показывающим, сколько раз единица измерения укладывается
в данной конкретной величине.
Итак, в результате отвлечения от индивидуальных свойств
той или иной конкретной величины создается математическая
величина, изучаемая в математическом анализе. С точки зре-
ния математики не имеет значения, будем ли мы иметь дело
с температурой, площадью, массой и т. п. Для нас важно
лишь, что мы имеем некоторую величину, которую мы обозна-
чаем буквой, например х, и что значения этой величины мы
можем изображать с помощью чисел.
В математике мы встречаемся только с отвлеченными ве-
личинами, или, иначе, математическими величинами. Благодаря
этому результаты, к которым приводит математика, могут при-,
меняться к разным отделам прикладных знаний, потому что,
какую бы величину мы ни встретили в природе, стоит ее толь-.
10	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ	[гл. т
ко обозначить какой-либо буквой, например х, а значение ее,
которое получится в результате ее измерения, рассматривать,
как значение этой буквы — математической величины, и мы уже
имеем перевод данной конкретной величины в величину мате-
матическую. Мы в математическом анализе будем пользоваться
только действительными (вещественными) числами. Значения
всех рассматриваемых величин будут всегда только действи-
тельными (вещественными).
Приступая к изучению математического анализа, мы делим
величины на две категории: величины постоянные и переменные.
§ 2. Постоянные и переменные величины
Величина называется постоянной, если она имеет вполне
определенное числовое значение либо независимо от условий
данной задачи, либо лишь в условиях определенного вопроса.
Постоянные величины первого рода носят название абсолютно
постоянных, второго рода — параметров, или произвольных
постоянных. В противоположность этому величину называют
переменной, если она может получать различные числовые
значения в условиях данной задачи. Так, например, сумма
углов треугольника всегда равна двум прямым, каковы бы ни
были длины его сторон. Следовательно, сумма углов
в треугольнике есть величина абсолютно постоянная, потому
что ее значение не зависит от условий данной конкретной
задачи. Точно так же отношение длины окружности к диа-
метру, обозначаемое через тс, есть величина абсолютно
постоянная, так как это отношение не зависит от радиуса
окружности. Однако очень часто приходится иметь дело с
величинами постоянными лишь в условиях данной задачи.
Например, при движении точки М по данной окружности
(черт. 1) расстояние этой точки до центра О будет ве-
личиной постоянной, а угол а между подвижным радиусом ОМ
и неподвижным ОА будет величиной переменной, так как
в зависимости от положения точки М на окружности угол а
будет иметь то или иное значение. Очевидно, радиус окруж-
ности нельзя считать абсолютно постоянной величиной, потому
что только в условиях данной задачи он будет постоянным,
а вообще может иметь любое положительное числовое зна-
чение. Таким образом, в приведенном примере радиус есть
величина постоянная, но не абсолютно постоянная, т. е.
§ 2]	ПОСТОЯННЫЕ И ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
11
здесь радиус — произвольная постоянная, или параметр. Кроме
того, важно заметить, что разделение величин на параметры
и переменные устанавливается отдельно для каждого данного
вопроса, и величины постоянные — параметры — в одной задаче
могут быть переменными в другой. Так, например, рассматривая
движение точки М по лучу СМИ, наклоненному под данным
углом а к лучу ОА (черт. 2), мы замечаем, что при этих
условиях угол а будет величина постоянная — параметр, а рас-
стояние движущейся точки М до неподвижной точки О есть
величина переменная. Чтобы пояснить изложенное распределе-
ние величин на постоянные и переменные, разберем два примера.
Пример 1. Шар, расширяясь, сохраняет свою форму (на-
пример, резиновый баллон или мяч надувается газом). Объем ша-
ра V, как известно, связан с радиусом R равенством:
В этом равенстве переменными величинами будут объем
шара V и радиус шара /?, а число и — постоянной величиной.
Пример 2. Газ, подчиняющийся закону Бойля — Мариотта,
сжимается. В этом явлении давление и объем будут перемен-
ными величинами, а температура и масса газа — постоянными.
Геометрически значения величины х будем изображать
точками на прямой (черт. 3). Для этого поступим так: возь-
мем прямую, выберем на ней точку, назовем ее точкой О и
примем за начало отсчета. Выберем масштаб и примем одно
направление на прямой за положительное, а прямо противо-
положное — за отрицательное. Тогда, если число х — положи-
тельное, то отложим в положительном направлении от точки
О отрезок ОЛ, по длине равный х. Если число х — отрица-
тельное ^например, — 1 V то отложим в отрицательном на-
12
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[гл. I
правлении от точки О отрезок ОЛР по длине равный —х.
Число (—х)— положительное (так как—= и
потому имеется отрезок, подлине равный —х. Таким образом,
каждое число будет изображено точкой — концом построенного
отрезка. Очевидно, что каждой точке А на прямой отвечает
отрезок ОА, и, следовательно, число х — положительное,
4	.	’ г :	f , г
~ ~	я 1 7-0 J
Черт. 3.
если отрезок ОА направлен в положительном направлении, и
отрицательное, если отрезок ОА направлен противоположно.
Прямая с установленным на ней направлением и масшта-
бом называется осью, иногда числовой осью, иногда осью
абсцисс или осью Ох, если она служит для изображения ве-
личины х.
§ 3. Независимая переменная и функция
Рассмотрим пример. Скорость v истечения идеальной жидко-
сти через отверстие в сосуде, если высота уровня жидко-
сти над отверстием равна Л, задается формулой = 4~]/г2£й,
где g=981 см/сек2— ускорение силы тяжести. Здесь две
переменные величины: h и v, причем каждому значению ве-
личины h соответствует одно и только одно значение вели-
чины Мы будем говорить, что v является зависимой пе-
ременной, или функцией переменной Л. Переменную h будем
называть независимой переменной или аргументом.
Отметим, что наша формула определяет значения функции
только для неотрицательных значений А, т. е. для А^О.
В самом деле, при отрицательном значении h мы не най-
дем никакого значения v, так как нет чисел (действительных,
а другими мы не пользуемся), равных корню квадратному из
отрицательного числа.
Мы будем говорить, что наша функция определена (за-
дана) только для А^О. Геометрически это означает, что
наша функция определена в точке О и на положительной
части оси переменной А. Это соответствует и физическому
§ 3]	НЕЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННАЯ И ФУНКЦИЯ	13
смыслу Л. Точка О и положительная часть оси независимой
переменной, на которой определена наша функция, являются
областью определения этой функции.
Рассмотрим еще пример. Пусть у = 2х*. При помощи
этой формулы мы для каждого значения независимой пере-
менной х можем найти соответствующее значение перемен-
ной у, т. е. функции* Причем независимой переменной х мы
можем давать любые значения. В этом случае областью опреде-
ления нашей функции будет вся ось независимой переменной х.
Пусть х — переменная, и пусть в каком-либо вопросе или
задаче эта переменная может принимать значения, принадле-
жащие некоторому множеству оси Ох. Это множество может
заполнять всю ось х или какую-либо ее часть. Назовем это
множество областью изменения переменной х.
Определение. Переменная величина у называется
функцией переменной х, если каждому значению х из не-
которой области изменения этой переменной соответствует
одно и только одно значение у.
Переменная х называется независимой переменной или
аргументом, а область ее изменения называется также об-
ластью определения функции.
Так, например, путь s, пройденный за время t падающим
в пустоте телом, есть функция времени так как между
этими величинами $ и t существует соотношение s = ~ (где
g— ускорение силы тяжести), вполне определяющее. значе-
ние у, соответствующее каждому произвольно выбранному
значению независимой переменной Л Действительно, для g =
= 981 см!сек* значению /=1 сек соответствует значение
Л	98b I1	,ппк
$——£— = 490,5 см
(т. е. за одну секунду тело пройдет путь, равный 490,5 см),
значению t = 2 сек отвечает значение
981-2*	<
s = —— = 1962 см*,
при t = 1,25 сек получим
,=<ад=да(и
и т, д.
**	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ	[гл. !
Здесь формула $ = —' определяет $ как функцию t на
всей оси t, однако переменная ’ t в нашей формуле означает
время, прошедшее от начала падения тела, и потому всегда
t 0; значит, в силу условий задачи мы будем рассматривать
нашу функцию лишь в области	Эта область и яв-
ляется областью определения функции.
В качестве второго примера рассмотрим сжатие газа, под-
чиняющееся закону Бойля — Мариотта. Давление р и объем v
будут связаны формулой р = ~-, где с — постоянная для
данной массы и температуры газа. Каждому значению объема v
соответствует определенная величина давления р, и с изме-
нением объема v будет меняться и величина давления р.
Следовательно, давление р есть функция объема Здесь
объем v всегда больше нуля,	Следовательно, мы
должны считать нашу функцию заданной лишь при ^>0.
Эта область и будет областью определения.
Поверхность S шара есть функция его радиуса г, так
как каждому произвольно взятому значению г соответствует
определенное значение S. Здесь закон изменения функции S
с изменением независимой переменной г выражается известной
из геометрии формулой: 5=4тгг2, которая и дает возмож-
ность определять значения функции S, соответствующие раз-
личным частным значениям аргумента г. Здесь радиус шара
г^>0. Следовательно, нашу функцию надо считать заданной
при г>0. Таким образом, областью определения функции
является положительная часть оси переменной г. Часто функ-
ции задаются формулами, тогда областью их определения
будет то множество значений независимой переменной, для
которых формула имеет смысл.
Например, функции у — х\ у — х9— 2 имеют областью
определения всю ось Ох. Функция у = 1—х9 определена
только для значений х, содержащихся между — 1 и 1»
включая эти значения, т. е. при — 1 «С х «С 1, потому что
для остальных значений х подкоренное выражение отрица-
тельно, а квадратный корень из отрицательного числа не
имеет смысла.
14-х
Функция	опРеДелена для всех значений х, за
исключением значения х=1. Область определения состоит
из двух частей: х<1 их>1.
-леи
§ 3]	НЕЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННАЯ И ФУНКЦИЯ	13
Во всех рассмотренных примерах была установлена зави-
симость значений, принимаемых функцией, от значений ее
аргумента. Эту зависимость функции от аргумента принято
называть функциональной зависимостью.
В математике часто приходится рассуждать о функциях
вообще, представляя себе зависимости самые разнообразные.
Фраза «у есть функция переменной х» записывается так: j =
= /(х), и читается: <<у равняется эф от х». Следовательно,
запись s=f(t) означает: «$ есть функция /», или a = <p(v)
означает: «и есть функция V», или р = Ф(а) означает: «р
есть функция а» и т. д.
Равенство y=f(x) не дает указания на какой-нибудь
определенный закон зависимости между переменными у и х,
а устанавливает только факт функциональной зависимости.
Если, как это было во всех рассмотренных примерах, закон
зависимости функции от аргумента дается формулой, то под
символом /(х) следует разуметь совокупность всех тех дей-
ствий, которые надо выполнить над значением независимой
переменной х для получения соответствующего значения функ-
ции у. Так, если у = 5х* — Зх 4" 4, то f (х) — 5х2 — Зх 4“ 4,
и, значит, для получения значения функции надо значение
аргумента х возвести в квадрат, полученное значение умно-
жить на пять, затем из результата вычесть утроенное значе-
ние аргумента и, наконец, прибавить четыре. Если s есть
площадь круга, а г — его радиус, то $=/(г), причем под
/(г) надо понимать выражение тгг2, т. е./(г) = пг*.
Запись f(a) означает, что берется значение функции для
частного значения аргумента, равного а. Так, в приведенном
примере j/ = 5x2— Зх-р4 при х = 3 получим
j=/(3)=6.32 — 3.34-4=40.
Пример 1. Если /(х) = ]/94-х*, то/(3)=1^94-9 =
=/18 = 3/2, /(4) = /9-|-16 = 5 и т. д.
Пример 2. Если —	— 1, то/(0) = — 1,/(2) =
= 15, /(—1) = — 3 и т. д.
Пример 3. Если <p(a) = tga, то ср ^-^ = 1, (р(в*) =
—1) =tg у(*—1)1, имеем также
16	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ	[гл. I
<р (тг — а) = — ср (а), так как (р(п— a) = tg(n— a) = — tga;
<f(—a) =— <p(a), так как <f(—a) = tg(—a) = — tga.
Заметим, кто когда приходится говорить одновременно
о нескольких различных функциях, то их и обозначают раз-
лично, например: /(х), Г(х), ^>(х), ф(х), ...
§ 4. Геометрическое представление функции
Для наглядного представления изменения функции в зави-
симости от изменения аргумента часто пользуются графиче-
ским изображением, указанным Декартом1) и состоящим в
следующем.
Возьмем две взаимно перпендикулярные пересекающие-
Ох и Оу, называемые осями
координат; прямая Ох назы-
вается осью абсцисс или осью
х, а прямая Оу — осью орди-
нат или осью у; точка О их
пересечения носит название
начала координат. Условимся
различные значения независи-
мой переменной х представлять
на чертеже отрезками, откла-
дываемыми в определенном мас-
штабе на оси абсцисс от точки
О; отрезки, соответствующие
положительным значениям ар-
гумента, будем откладывать
вправо от точки О, а отрезки,

соответствующие отрицательным значениям аргумента, —
влево от точки О; так, например, значению х = 2 бу-
дет соответствовать отрезок ОА = 2ОЕ, если отрезок ОЕ
принят за единицу масштаба; значению аргумента х= —3
будет соответствовать отрезок ОВ, равный тройной длине
ОЕ. Через концы всех таких отрезков проводим прямые,
параллельные оси ординат, и на них откладываем от оси
абсцисс соответствующие значения данной. функции у, положи-
тельные — вверх, отрицательные — вниз; так, например, если
х) Декарт — французский философ и математик, основатель ана-
литической геометрии (1596—1650).

§ 4]	ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ	17
при х = 2 у=/(2) = — 3, то на прямой ЛЛ4, параллель-
ной оси Оу, отложим вниз отрезок AM, равный трем единицам
масштаба; если/(— 3) = 1, то на прямой ВМХ, параллельной Оу,
отложим вверх отрезок ВМХ, равный единице масштаба.
При таком условии каждому значению независимой пере-
менной х = а будет соответствовать на чертеже одна вполне
определенная точка, определяющая своим расстоянием от оси
абсцисс (взятым с надлежащим знаком) соответствующее зна-
чение рассматриваемой функции у=/(х). .
Пусть при х — а — ОА (черт. 5) соответствующее значе-
ние рассматриваемой функции будет y = b=f(a) — AB. Если
мы будем изменять вели-
чину х, начиная отх==а,
например увеличивать,
придавая ей последова-
тельно значения х = at =
= ОЛП х = а2 = ОЛ2,
х = а9 = ОА9, ..., то
этому изменению х будет
соответствовать переме-
щение прямой АВ, кото-
рая будет последователь-
но принимать положения
^1^1»	^2^2»	^8^8’ • * • 1
параллельные между собой. Вместе с перемещением прямой
АВ будет перемещаться и точка В, занимая
последовательно
положения В,, В2, В9, ..., причем AlBl=f(al), A*Bt=f(at),
A9B9—f(a9). Таким образом, геометрическим местом точек В
при перемещении прямой АВ, т. е. при изменении пере-
менной х, будет некоторая линия ST. Эта линия служит
геометрическим представлением рассматриваемой * функции
j=/(x) и называется ее графиком.
Уравнение j=/(x), определяющее функцию, называется
уравнением линии ST. Всякой произвольно взятой на линии ST
точке Л4 будет соответствовать пара определенных значений
переменных: х^=ОР иу = РМ, называемых координатами этой
точки, причем число х называется абсциссой, а число у — ор-
динатой. Если значения абсциссы х и ординаты у точки М
подставить в уравнение j=/(x), то оно обратится в тожде-
ство. Линия ST наглядно изображает рассматриваемую функ-
циональную зависимость. Действительно, будем следить за тече*
18
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[гл. I
нием этой линии по мере удаления образующей ее точки AJ
вправо, т. е. по мере возрастания аргумента х. Если она на
некотором участке поднимается вверх, то это значит, что функ-
ция возрастает, как, например, на участке от точки S до точки
т. е. в пределах изменения аргумента от х=хОЛ0 до
х=ОЛг Если же линия будет опускаться вниз, как, напри-
мер, на участке от Bt до Bv т. е. в^пределах изменения ар-
гумента от х=ОЛ1 до х=ОЛв, то это будет означать, что
в этих пределах функция убывает. В той точке, где функция
переходит от возрастания к убыванию, как это имеет место
в точке Вп функция получает значение, наибольшее из смеж-
ных; она, как говорят, достигает максимума. При переходе
функции от убывания к возрастанию она получает значение
наименьшее из смежных, т. е. достигает минимума (точка Bt).
В точке Q линия ST пересекает ось абсцисс, т. е. в этой
точке значение функции равно нулю, и отрезок OQ дает то
значение х, при котором уравнение /(х) = 0 обращается
в тождество, т. е. величина отрезка OQ дает корень уравне-
ния /'(х) = 0.
Наконец, из черт. 5 усматриваем, что функция f(x) поло-
жительна, когда х изменяется в пределах от х=ОЛ0 до х—
— OQ, так как соответствующая часть SQ линии лежит над
осью абсцисс; наоборот, эта функция отрицательна при значе-
ниях аргумента х, больших чем x = OQ, так как соответ-
ствующая часть QT линии лежит под осью абсцисс.
§ 5. Примеры геометрического представления функций
Построение графика данной функции осуществляется в сле-
дующем порядке. Во-первых, составляется таблица. В одной
графе записываются значения аргумента, в другой — соответ-
ствующие значения функции. Значения аргумента задаем про-
извольно, но обычно удобнее брать значения через равные
промежутки, например через единицу, т. е. ... — 3; — 2;
— 1; 0; 1; 2; 3; ... , или через 0,5, т. е. ... —1,5; — 1;
— 0,5; 0; 0,5; 1; ... Соответствующие значения функции вы-
числяются на основании данной функциональной зависимости.
Во-вторых, выбрав оси координат и масштаб, строят точки,
принимая за их координаты соответствующие пары чисел из
таблицы. Значения аргумента принимают за абсциссы, а значе-
ния функции — за ординаты этих точек. Если построенные
§ 5] ПРИМЕРЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ 19
точки вполне выясняют вид линии, то эта линия вычерчи-
вается; если же в некоторых промежутках вид линии не ясен,
то дополнительно дают значения аргументу в этих проме-
жутках, определяют соответствующие значения функции и
строят точки по вычисленным координатам, причем таких
дополнительных точек строят столько, чтобы вид графика
был ясен.
Пример 1. Построить график функции у = -^х* в про-
межутке от х =— 6 до х = 6.
а)	Давая значения аргументу х через единицу, начиная
с х = — 6 до х==6, вычисляем соответствующие значения
функции. Полученные результаты заносим в таблицу:
X	-6	-5	— 4	-3	— 2	-1	0	1	2	3	4	5	6
У	3,6	2,5	1,6	0,9	0,4	0,1	0	0,1	0,4	0,9	1,6	2,5	3,6
Ь)	Выбирая оси координат и масштаб, наносим точки по
данным таблицам (черт. 6). Построенные точки выясняют вид
графика, который мы и вычерчиваем.
Пример 2. Построить графики функций у ₽= хт для т ==
1, 2, 3, 4 в промежутке от х = — 3 до х=-{-3.
20
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[гл. I
При т = 1 имеем у = х. Составляем таблицу:
X	-3	-2	- 1	0	1	2	3
У	-3	-2	— 1	0	1	2	3
наносим точки на чертеж. Получаем график / (черт. 7).
При /и = 2 имеем у = х*. Составляем таблицу:
X	-3	-2	-1	0	1	2	3
У	9	4	1	0	1	4	9
наносим точки на чертеж. Вид линии не вполне ясен в про-
межутке от х = —1 до х = 4~1. Добавочно вычисляем:
X	-0,5	-0,25	0,25	0,5
У	0,25	0,0625	0,0625	0,25
и наносим эти точки. Получаем график 11 (черт. 7).
При №=3 имеем у = х*. Составляем таблицу:
X	-3	— 2	— 1	0	1	2	3
У	-27	-8	- 1	0	1	8	27
и наносим точки на чертеж. Для уточнения вида графика в
промежутке от х = — 1 до х — -pl дополнительно вычисляем
X	-0,5	0,5
У	-0,125	0,125
и наносим эти точки. Получаем график 111 (черт. 7).
При лг = 4 имеем jr = x4. Составляем таблицу:
X	-3	— 2	- 1	0	1	2	3
У	81	16	1	0	1	16	81
§ 5] ПРИМЕРЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ 21
Для уточнения вида линии
х=—|—1 дополнительно вы-
числяем и наносим все эти
точки.
Получаем график /У(черт. 7).
Пример 3. Построить
график функции
j/ = lgx.
в промежутке от х = —1 до
В этом случае значения If ч
функции можно узнать из ff[//[
таблицы логарифмов. Поль-	_
зуясь таблицей логарифмов,	Черт. .
выписываем значения функции, ограничиваясь тремя знаками.
X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
У	0	0,301	0,477	0,602	0,699	0,778	0,845	0,903	0,954	1
Логарифмы для отрицательных значений аргумента не
имеют смысла, т. е. функция не определена для отрицатель-
ных значений аргумен-
R	та; следовательно, гра-
I	- ..г-,. фик будет целиком рас-
—, I	ljm~~	~ ~	~	'	положен справа от оси
т	Т~~з	&	ординат. Для уточнения
I	г	выписываем из таблицы
логарифмов несколько
ЧеРт- &	значений функции при
значениях аргумента в промежутке от х = 0 до х=1.
X	0,5	0,3	о,1
У	- 0,301	— 0,523	-1
Построив все три точки, получаем график (черт. 8).
22
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[гл. I
Пример: 4. Построить график функции j/== sin х.
Требуемое построение можно выполнить, пользуясь табли-
цей синусов, нанося на чертеж точки по таблице, причем ар-
гумент измеряется в радианах и откладывается на оси х.
Возможно также при построении графика синуса воспользо-
ваться геометрическим определением этой функции, что мы
и сделаем.
Из начала координат О (черт. 9), как из центра, опишем
окружность радиусом О А = 1. Возьмем на этой окружности
какую-нибудь точку т и опустим из нее перпендикуляр тр
на ось абсцисс; величина этого перпендикуляра будет сину-
сом дуги Ат. Отложим на оси абсцисс отрезок ОР, равный
дуге Ат. Восставив в точке Р оси абсцисс перпендикуляр
и отложив на нем РМ = рт, получим точку Mf принадле-
жащую, очевидно, искомой линии. Выполняя указанное построе-
ние, мы можем определить сколько угодно точек 2И, Mt, ...
Соединив эти точки плавной линией, мы получим искомый
график функции j = sinx, называемый синусоидой. Чтобы
проследить изменение ординаты у с изменением абсциссы х,
достаточно рассмотреть течение синусоиды на протяжении
одной ее волны, т. е. в пределах изменения аргумента от
х = 0 до х = 2тг.
При изменении абсциссы х от 0 до ОВ=у ордината у бу-
дет возрастать от 0 до ВС= 1; при возрастании х от ОВ=^
до OD = n ордината у будет убывать от значения fiC=l
до 0; при дальнейшем возрастании абсциссы х от О£) = п
до О£=2п ордината J, будучи отрицательной, по числовой
§ б]	СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ	23
величине изменяется в том же порядке, как и в пределах
изменения от 0 до п. Дальнейшее изменение ординаты у
для значений абсциссы в промежутке от х = 2п до х = 4тг
будет происходить так, как оно происходило в промежутке
от х —О до х = 2п, и т. д. Очевидно, синусоида имеет вол-
нообразную форму и неограниченно продолжается в обе сто-
роны. Однообразное повторение волн кривой соответствует
периодичности функции sinx. Синусоида пересекает ось х в
точках, абсциссы которых кратны п, что соответствует корням
уравнения sinx = 0.
Абсциссы же точек синусоиды, наиболее удаленных от
оси х, будут нечетными кратными у, что соответствует кор-
ням уравнений sin х = 1 и sin х = — 1.
§ 6. Способы задания функций
При определении понятия функции (§ 3) мы не касались
способа задания функциональной зависимости. Согласно
определению функция считается заданной (известной), если
возможно для всякого значения аргумента узнать ее значение,
безразлично каким способом. Самая зависимость функции от
аргумента может быть установлена различными способами,
но в математическом анализе преимущественно функция за-
дается с помощью формулы, указывающей те действия, кото-
рые надо произвести над каждым данным значением аргумента,
чтобы получить соответствующее значение функции. Такая
формула называется аналитическим выражением функции,
и соответственно с этим такой способ задания функциональной
зависимости носит название аналитического. Так, например,
аналитическое выражение объема шара у как функции его ра-
диуса х есть у==утгх’. Поскольку х — радиус шара, то
область определения функции х>0. Вообще всякая формула,
д-2 _____________________ 3
как, например, у =-----7=., определяет некоторую функ-
х 4- у %2 -f-1
цию у аргумента х. В самом деле, зная эту формулу, мы для
каждого значения х можем найти соответствующее значение у\
для этого стоит только вместо х подставить в формулу за-
данное значение аргумента и произвести действия, указанные
в этой формуле. Здесь область определения — вся ось Ох.
24	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ	[гл. I
Другой иногда встречающийся способ задания функцио-
нальной зависимости есть графический. Для примера рассмот-
рим запись на ленте барографа (барографом называется при-
бор, автоматически вычерчивающий на ленте график зави-
симости давления воздуха от времени). Кривая, записанная
на ленте барографа, определяет давление как функцию времени.
При исследовании явлений природы иногда приходится
встречаться с такими переменными величинами, между кото-
рыми факт функциональной зависимости устанавливается опы-
том или наблюдением, но точная связь между которыми еще
не открыта, т. е. не выражена математической формулой.
В таких случаях обыкновенно составляются из наблюдений или
на основании статистических данных таблицы, в которых со-
держатся величины рассматриваемой функции, соответствующие
различным частным значениям аргумента. Этот способ зада-
ния функциональной зависимости носит название табличного.
Так, например, распределение температуры воздуха в зависи-
мости от высоты места может быть задано с помощью таб-
лицы, составленной в результате произведенных измерений.
Эти три способа задания функциональной зависимости:
а) аналитический, б) графический, в) табличный,
являясь наиболее употребительными, не исчерпывают собой
всех возможных приемов определения функции.
В частности, возможно задать функцию, описав словами,
какие значения она принимает при различных значениях ар-
гумента. Например, функция <у=/(х) будет определена, если
известно, что при положительных значениях аргумента х она
равна значению аргумента, а при
к	отрицательных значениях х и
при х = 0 функция равна квад-
рату значения аргумента.
у<	В самом деле, на основании
у<	этого описания мы можем вы-
числить значение функции для
у'	любого значения аргумента:
JZ---------------г /(2) = 2, /(3) = 3,
Черт. 10.	Z(-^ = T' /<-3> = Э
и т. д. Вычислив достаточное число значений функции, мы
можем построить ее график, (черт., 10),

§ 6]	СП0С0ВЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ
25
Эту функцию, имеющую своей областью определения всю
ось Ох, можно записать так:
у = х	при х>0,
у — хг при
т. е. при помощи разных формул на разных частях области
определения.
Примечание. Линейная интерполяция. Задание функ-
ции при помощи таблицы имеет
значения функции мы можем
лишь для значений аргумента,
помещенных в таблице. Если
нужно вычислить значение функ-
ции для значения аргумента,
не находящегося в таблице, то
приходится определять значе-
ние функции приближенно (как
это всегда делается для вычи-
сления поправок при пользова-
нии таблицей логарифмов). Са-
мым простым является следую-
щий прием. Пусть с — значение
аргумента, не помещенное в таб-
то неудобство, что узнать
лице и находящееся между ближайшим к нему меньшим зна-
чением xt и ближайшим к нему ббльшим значением xt, т. е.
хг<^с <xt (черт. И). Соединим точки Л/, и с абсцис-
сами xt и х* хордой и вычислим вместо неизвестной
нам ординаты точки М графика, отвечающей абсциссе с, ор-
динату NP точки Р хорды Afj/Wg, соответствующую той же
абсциссе с. Это значит, что в промежутке от x = xt до x = xt
мы заменяем график функции его хордой.
Вычисление производится так: обозначим
NtM*=yt, NP=yc\ тогда отрезок KMt=y*—отрезок
LPz=zyc—ylt отрезок MtL = c — xl9 отрезок Л11/<=ха— xv
Из подобных треугольников M^PL и	находим:
LP MiL у,— у, с — х.
KMt МкК' ш У,-Л Хх-Х/
h
26
понятие ФУНКЦИИ
[гл. 1
откуда следует
у^+^г^-уЛ-
Второе слагаемое в последней формуле
является величиной, которую прибавляют к
табличному зна-
чению функции (так называемая «поправка») для получе-
ния значения ус. Заметим, что если у* меньше, чем у„ то ус
будет также меньше, чем уи и отношение	оста"
ваясь положительным, будет равняться отношению катетов
соответствуюших подобных треугольников. В этом случае
«поправка» будет отрицательной.
Этот способ, основанный на замене графика функций хор-
дой на участке между двумя последовательными табличными
значениями, называется линейной интерполяцией.
Так, например, пусть функция д/=/(я) задана таблицей.
X	0	1	2	3	4	5	6
У	1,75	2,25	2,40	2,45	2,50	2,48	2,35
Найдем, пользуясь линейной интерполяцией, следующие
значения функции: а) /(2,5); б) /(3,4); в) /(5,1).
а)	Для вычисления /(2,5) имеем:
xt = 2; хя = 3; с = 2,5; j1==2,40; ^ = 2,45;
следовательно,
/(2,5)	=2,40+	(2,45-2,40)==
= 2,40 + 0,5 • 0,05 = 2,425 5= 2,42.
б)	Для определения /(3,4) имеем:
х, = 3; xt = 4; с = 3,4; Л = 2,45; yt = 2,50;
§7]
ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
27
следовательно,
/(3,4) ^Л = 2,45 4-0,05-0,4 = 2,47.
в)	Аналогично вычисляем:
/(5,1)=^ 2,48 4- 0,1 (2,35 — 2,48) = 2,48 — 0,1 • 0,13	2,47.
§ 7. Обратные функции
Когда в задачу входят две переменные величины и мы
хотим установить функциональную зависимость между ними,
то прежде всего нам необходимо выбрать одну из этих вели-
чин за аргумент, тогда другая величина будет функцией этого
аргумента. Какую из двух переменных считать за аргумент и
какую — за функцию, зависит от рассматриваемой задачи.
Однако если мы выбрали одну переменную величину за аргу-
мент, то во всех дальнейших рассуждениях мы должны ее
считать аргументом, другую же величину — функцией. Напри-
мер, если мы ищем логарифм по числу, то здесь независимой
переменной является число, а его логарифм — функцией.
Если же, наоборот, зная логарифм, определяем соответствующее
число, то аргументом будет служить логарифм, а функцией
будет то число, которое соответствует данному логарифму. Решая
эти две задачи, которые часто приходится выполнять практически,
мы меняем, следовательно, роли функции и аргумента.
Решая задачу о свободном падении тела в пустоте, в фи-
зике устанавливают зависимость пройденного пути s от вре-
мени /, отсчитываемого от момента начала падения, при по-
ст^
мощи формулы $ = которая позволяет находить пройденное
расстояние для каждого момента времени. Здесь мы приняли
время t за аргумент, а путь s — за функцию. Если же нас
интересует промежуток времени, за который тело прошло то
или иное расстояние, то, очевидно, мы должны, наоборот, путь
s принять за аргумент, а время t — за функцию.
Соответственно с этим, решая уравнение относи-
,	л
тельно неизвестного /, получим: = откуда /=	,
причем перед радикалом берется знак плюс, так как по
смыслу задачи время t имеет только положительные значе-
ния. Последняя формула и дает нам выражение времени i как
функцию пройденного пути з.
28
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[гл. т
Таким образом, выбор аргумента производят, сообразуясь
с условиями задачи и удобством получения искомой функ-
циональной зависимости.
Вообще, когда мы имеем уравнение с двумя переменными
х и у вида у=/(х), то, решая его относительно х, мы
определяем х как функцию у: х = у(у). Такие две функции,
y=zf(x) и х=ср (у), называются взаимно обратными;
одну из них называют прямой функцией, а другую — обратной.
Например, для функции у = ах-\-Ь находим ей обратную:
Например, прямым функциям j = xa, у = 10* соответствуют
обратные х= у/у, x = lgy.
Пример 1. Определить обратную функцию для у =
Разрешая данное равенство относительно х9 получим
5	5
х — -—-г. Здесь f(x) —--1-1, а обратная функция
у 1	X
<?0')=~Р
Пример 2. Определить обратную функцию для у =
=	-|-х.
Разрешая данное уравнение относительно х, получаем
_у2 = 1 -1~х и x=j2 — 1. Здесь /(х) = р<1 -|-х, а обратная
функция <р (у) —у* — 1.
Покажем, что графики взаимно обратных функций
J=/(x)	(1)
*=<р(у)	(%
совпадают (т. е. график один и тот же для обеих функций).
В самом деле, координаты (х, у) любой точки плоскости
либо одновременно удовлетворяют обоим уравнениям (1) и (2),
либо одновременно не удовлетворяют, так как уравнения (1) и
(2) являются следствием одно другого. Следовательно, графики
функций (1) и (2) состоят из одних и тех же точек, а это
и значит, что графики совпадают.
Представляя геометрически прямую и обратную функции
одним и тем же графиком, мы должны помнить, что в случае
ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
29
§ 7]
прямой функции y = f(x) аргумент считается за абсциссу,
а функция — за ординату точки графика; в случае же обрат-
ной функции x = <p(j/), наоборот, аргумент принимается
за ординату, а функция — за абсциссу точки графика.
Такое двойственное геометрическое истолкование аргу-
мента и функции неудобно, если мы, например, изобра-
жаем графики на одном чертеже. Чтобы устранить это не-
удобство, условимся всегда значения аргумента принимать за
абсциссы, а соответствующие значения функции — за орди-
наты точек графика, что равносильно следующему изменению
в обозначениях: независимую переменную обратной функции
вместо у обозначить буквой х9 а функцию — буквой у вместо х.
Само собой понятно, что при перемене обозначений, т. е.
при переходе от х=у(у) к
-Р = ?(*).	(3)
график изменится, потому что если равносильным уравнениям
(1) и (2) удовлетворяли координаты точки Мt (а, Ь)9 то урав-
нению (3) будут удовлетворять координаты точки М*(Ь9 а).
Так как точки 44, (а, Ь) и 44t (b9 а) симметричны относительно
биссектрисы координатного угла (черт. 12), то и график
обратной функции (3) будет состоять из точек, расположенных
симметрично относительно биссектрисы координатного угла
с точками графика прямой функции (1) (черт. 13). Может
30	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. I
случиться, что при определении х как функции у из равенства
(1) мы получим для х не одно значение, а несколько. Напри-
мер, если у = х1, то х — ± j/j и каждому значению у [у 0)
будут соответствовать два значения х. Мы в этом случае
имеем две обратных функции,	и х = — У у,
с областью определения у^О. Геометрически это означает
(черт. 14), что прямая, параллельная оси х, пересекает график
функции y=f(x) в нескольких точках, так как для данного
значения у мы получаем несколько значений х (график функции
у — х* пересекается с прямой, параллельной оси х, в двух
точках).
Таким образом, данная функция может определять не-
сколько обратных ей функций. В этих случаях, иногда го-
ворят, что мы получаем многозначную функцию; а функцию
в том смысле, в котором мы пользовались этим понятием ранее,
называют однозначной.
Пример 3. Функция, обратная у = хт, будет х=ут
или, если изменить обозначения, j = Xм. Графики этих функ-
ций:
у=х; у = ^Ух; у— р/х;
(для /п = 1, 2, 3, 4) будут линиями, расположенными сим-
метрично относительно биссектрисы координатного угла с гра-
фиками прямых функций j = x, У=х2, J=x*, J = x4,
построенными в примере 2 из § 5, причем при т = 2 и
§ л
ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
31
= 4 мы имеем по две обратных функции, а при т = 1 и
= 3 по одной (черт. 15).
э э
Пример 4. Обратная функция для y = \gx будет
x=l(P' или, если изменить обозначения, у =10*. На черт. 16
показаны график / для y = lgx и график 11 для у = 10*.
32
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[гл. I
Пример 5. Обратная функция для у = sin х будет
x = Arcsiny (согласно определению арксинуса) или, если изме-
нить обозначения, у = Arcsin х. График построен на черт. 17
путем симметрии относительно биссектрисы координатного угла
графика прямой функции у = sin х, изображенного на черт. 9.
Из черт. 17 мы усматриваем, что функция у — Arcsin х
определена лишь на отрезке — 1 «С х «С -f-1 оси хи для каж-
дого значения х имеет бесконечное множество значений.
Последнее означает,что арксинус — многозначная функция. Здесь
мы имеем дело с бесчисленным множеством обратных функций.
Из многозначной функции можно выделить однозначную, до-
бавив некоторые условия. Так,в случае функцииу = х* многознач-
ность ее обратной функции можно устранить, добавив условие,
что х обозначает положительный корень уравнения у — х*\ iovjxsl
значение х = —К у отпадает, и х становится однозначной
функцией у, а именно х = -j- j/y.
§ 8]	ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ	33
В случае уравнения siny = x или у = Arcsin х многознач-
ность у устранится, если условимся под arcsin х понимать дугу,
лежащую в пределах от —~ до -|-у; тогда в пределах
— 1 х «С 4” 1 каждому значению х будет соответствовать одно
и только одно значение у. Эта функция называется главным
значением Arcsin х и записывается так: у = arcsin х (с малой
буквы а).
В дифференциальном исчислении всегда предполагается,
что рассматриваемые функции однозначны; иначе многие
теоремы дифференциального исчисления потеряли бы смысл.
Поэтому для дальнейшего мы раз и навсегда установим, что
только тогда мы будем называть у функцией от х, когда
каждому значению х (лежащему в области определения
функции) соответствует одно и только одно значение у.
§ 8. Графическое решение уравнений
Геометрическое представление функций можно при-
менить для графического решения уравнений. Перенося все
члены данного уравнения в левую часть и обозначая выра-
жения, получившиеся в левой части, через F(x), придадим
уравнению вид F(x) = 0. Требуется определить корни этого
уравнения, т. е. числовые значения х, обращающие функцию
Г(х) в нуль.
Для определения этих значений х следует вычертить гра-
фик функции y = F(x) и найти абсциссы точек пересечения
графика с осью х; в этих точках ордината равна нулю, и,
следовательно, абсциссы этих точек обращают в нуль F(x),
т. е. являются корнями данного уравнения. Обычно, однако,
уравнение решается более просто, если одну часть его членов
сгруппировать в левой, а другую часть — в правой стороне
уравнения. Тогда уравнение принимает вид ср(х)=/(х), где
<₽ (х) обозначает левую, а /(х) — правую части уравнения.
Для решения этого уравнения следует определить абсциссы
точек пересечения графиков двух функций у = ср (х) и у =/(х).
В самом деле, пусть х0 обозначает абсциссу одной из точек
пересечения двух указанных графиков. Так как в точке пе-
ресечения графиков ординаты равны, то <р (х0) =/(х0), и х0
есть корень рассматриваемого уравнения.
2 И. И. Привалов и С. А. Г аль пер и
34
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[гл. I
Группировка членов производится так, чтобы графики
функций j/ = (p(x) и y=f(x) строились наиболее простым
образом или сводились к вычерчиванию уже известных гра-
фиков.
Пример 1. Решить графически уравнение
х*— Зх—3 = 0.
Перепишем данное уравнение в виде х’ = 3х4~3; строим
графики двух функций у = х* и у = 3x4-3. Абсцисса их
точки пересечения (корень уравнения) есть х0=г=2,15.
Черт. 18.
Из черт. 18 видно, что других действительных корней нет.
Очевидно, построить два графика у = х* и у = Зх 3 более
просто, нежели один график у = х9 — Зх — 3.
Пример 2. Решить графически уравнение
2* = 2х.
Строим графики у —2х и у = 2х и находим абсциссы
точек их пересечения xt = 1, х2 = 2. Полученные числа xt = 1
и х8 = 2 будут корнями данного уравнения. Из черт. 19 видно,
что у наших графиков других точек пересечения нет, и,
следовательно, данное уравнение не имеет иных корней, кроме
указанных.
Пример 3. Решить графически уравнение sinx—0,5х=0.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
35
Перепишем уравнение в виде sinx = 0,5x. Строим гра-
фики j = sinx и у = 0,5х и вычисляем абсциссы точек их
пересечения (корни данного уравнения): = 0,	=*? 1,85,
х3 — 1,85. Из черт. 20 видно, что данное уравнение имеет
только три действительных корня.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
К §§ 2, 3
1.	В окружность вписан прямоугольник. Две противоположные
вершины прямоугольника перемещаются по окружности. Являются
ли переменными: а) стороны; б) диагональ; в) центральный угол,
под которым видна меньшая сторона; г) площадь прямоугольника?
Отв. а) да; б) нет, диагональ постоянна; в) да; г) да.
2.	Вершина треугольника перемещается по прямой, параллель-
ной основанию. Являются ли переменными: а) площадь треугольника;
б) углы при основании; в) сумма всех трех углов треугольника; г) вы-
сота, опущенная из угла при основании? Указать, какие из постоян-
ных будут параметрами и какие — абсолютными постоянными.
Отв. а) параметр; б) переменные; в) абсолютная постоянная;
г) переменная.
3.	В конусе, вписанном в шар радиуса /?, основание переме-
щается, оставаясь параллельным самому себе. Являются ли перемен-
ными: а) объем конуса; б) высота конуса; в) боковая поверхность
конуса; г) площадь основания; д) угол при вершине треугольника
в осевом сечении конуса?
Отв. а) да; б) да; в) да; г) да; д) да.
4.	Установить в предыдущей задаче функциональную зависимость
и указать области определения функций: а) площади основания S от
высоты h конуса; б) площади основания S от угла при вершине
осевого сечения конуса; в) объема конуса V от угла ср при вершине
осевого сечения.
Отв. а) 5 = л(2Я — h)h\ 0 < Л < 2Z?; б) S = n/?a sin1 <?'; 0<?<л;
в) И=у п/?3 sin* (1 4“ cos ср); 0 < ср < п.
а*
36
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[гл. I
5. Функциональная зависимость переменной у от переменной х
задана формулой у = 2х. Вычислить значения у при значениях х,
равных: а) 1; б) 0; в) — 2; г) - у-; д) е) —
Отв. а) 2; б) 1; в) 1; г) -L; д) /2 ; е) у=.
УГ^х
6. Найти область определения функций: а) у ——-— ;
б) у = Ух + 2-|- $/2 —х\ в) у= р/з — х; г) у = lg(1 -|-х).
Отв. а) х^ 1; б) — 2^х^ 2; в) вся ось х; г) х > — 1.
7. Полагая /(x) = cos2x, вычислить: а) /(0); б) /^у) ’
В) f(%\; Г) /(£); д) /(0,5); е) /(?).
Отв. а) 1; б) — 1; в) 0; г) д) /(0,5) = cos 1 = cos57° 17'44’яг
R= 0,5403; е) /(2)= cos 4 % — 0,6539.
8. Полагая /(х) = хг4-2, найти: а) /(х-J-l)! б) /(х)4*1;
в) /(у); д) A*2); е) i/wj*.
Отв. а) Хг +2x4-3; б) Xs 4-3; в) 44-2; г) -Д-^; д) х*4-2;
Л/	Л 4* л
е) х*+2х2 + 4.
9.	Полагая /(x) = sin3x, показать, что: a) f ^х + -у) = f (я)
при всяком целом п; б) /(к~ х)=/(х); в) /(—х) = —/(х);
О fC^—x\ — f(K — x).
х - 1
10.	Полагая / (х) = lg х, 9 (х) =	, найти: а) / [<р (х)]; б) <р [/(х)];
Отв. a) 1g(х — 1) — lg (х4-1); б) |•
1 ё (1 \
11.	Полагая <р (х) == х14—?, показать, что <р (х) = <р (— I.
X	\ X /
12.	Полагая /(x) = lgx и ср(х)=10*, показать, что: а) /[<р (х)] =
= б) ?[/(х)]=х.
К §§ 4, 5, 6, 7, 8
13.	Построить график функции у = х2 — х в промежутке от
х=— 1 до х = 3.
14.	Построить в промежутке от х = 0 до х = 2к графики функ-
ций: а) у = cos х; б) у = sin 2х; в) у = 3 sin Зх; г) у = sin -у.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
37
15.	Построить графики функций: а) у = 2*; б) у = 2-*, в про-
межутке от х=—5 до х = 5.
16.	Построить график функции j = tgx в промежутке от х=:
-те	. тс
___ ДО Х = + Т.
17.	Построить графики функций во всей области их определения:
а)у = х*; б)у = х‘; в) у=х; г) у = -1-; д)у = 4; е)у = ^.
18.	Построить графики функций во всей области их определения:
а)у=— х4-х‘;	в) у = 2х—г) >=х’4-х;
. 1
19. Функция у=/(х) задана таблицей
X	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
У	0,30	1,25	1,75	2,18	2,45	2,69	2,95
При помощи линейной интерполяции приближенно определить:
а) /(0,35); б) /(0,15); в) /(0,58); г) /(0,01); д) /(0,03); е) /(0,24).
Отв. а) 2,31; б) 1,50; в) 2,90; г) 0,39; д) 0,58; е) 1,92.
20.	Функция у=/(х) задана таблицей
X	-1,5	— 1	— 0,5	0	0,5	1
У	3,40	3,05	2,80	2,65	2,53	2,43
При помощи линейной интерполяции приближенно определить:
а) /(0,75); б) /(- 1,3); в) /(0,2); г) /(0,35); д) /(-1,25).
Отв. а) 2,48; б) 3,26; в) 2,60; г) 2,56; д) 3,23.
21.	Найти обратные функции для: а) / (%) — -——б) /(х) =
==•7: В) /(x) = logsx; г) /(х) = 24-Кх-
Отв. a) <j>(x) = ^i3; б) <p(x) = -i-; в) <р(х) = 2*; г) <р(х) =
= (х-2)2.
22.	Найти обратную функцию для у = log* х и построить графики
прямой и обратной функций,
Qme. у =
88
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. I
23.	Найти обратные функции для: a) jr = cosx; б) j = sin2x;
К	X Я
в) y = tg-j.
_	.. arcsin х, ч п
Отв. a) arccos х; б) —; в) 2 arctg х.
24.	Каким дополнительным условиям должны удовлетворять
функции: a) Arcsin х; б) Arccos х; в) Arctg х, чтобы быть однознач-
ными?
Отв. Одни из возможных условий следующие:
а) — у < Arcsin х «С у; б) 0< Arccos х<к; в) — у Arctg х < у .
25.	Найти функцию <р(х), обратную для ^ = ctgx, и доказать,
ЧТО /[<р(х)] = х И <р[/(х)] = х.
26.	Показать, что если /(х) = sin х, а с? (х) = arccos х, то
% (х)]=У1-*‘.
27.	Показать, что если /(x) = tgx, а (х) = arcsin х, то /[?(х)] =
________ х
28.	Решить графически уравнения: a) sin х = 0,2х; б) sinx =
= х—1,83.
Отв. a) Xi 2,6; ха — 2,6; ха== 0; б) Xj =52 2,46.
29.	Решить графически уравнение х4 — х— 1=0.
Отв. Xi 1,22; ха — 0,72.
30.	Решить графически уравнения: а) х* + 2х — 7,8 = 0; б) х* —
7 f 3 __л
—4*+4—°-
Отв. a) Xi =5s 1,65; б) Xi = — 1,5; ха = 0,5; х1 = 1.
ГЛАВА II
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 9.	Абсолютная величина
1°. Абсолютной величиной положительного числа или
нуля называется само число. Абсолютной величиной отри-
цательного числа называется число с противоположным
знаком.
Абсолютная величина числа а обозначается так: [ а |; тогда,
если а^О, то |а | = а; если же а<0, то | а | = — а.
Прим еры:. | — 7| = 7; 151 = 5; | — а | = | а
Очевидно, что абсолютная величина числа ху т. е. |х|,
равняется расстоянию между этой точкой и началом ко-
ординат на прямой.
Двойное неравенство	 ,	.
— а<х<а (4)	’	, -	-	' f
выражает, что точка х лежит	Черт. 21.
между точками —а и -|-а
(черт. 21), а это означает, что расстояние между точкой
с этой абсциссой х и началом координат, т. е. [х|, меньше а:
ИО	(5)
Ясно, что неравенства (4) и (5) эквивалентны.
2°. Абсолютная величина суммы меньше или равна сумме
абсолютных величин слагаемых, т. е.
|а + ^|<|а|4-1^|.	(6)
В самом деле, если числа а и b одного знака или одно из
них равно нулю, то в соотношении (6) имеет место равенство,
например: 34-5| = |3| + |5| или | —3 —5| = | —3| +
+ 1-5 [; если же числа а и b разных знаков, то в (6) имеет
40	ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	[ГЛ. II
место неравенство, например: | — 3 —|—51 <2 ] — 31 -U151, ,так
как | — 3 —|— 51 = 2, а | — 3|—{—|5| = 8.
3°. Абсолютная величина разности больше или равна
абсолютной величине разности абсолютных величин, т. ef
|а—£|>||в|—1£||.
В самом деле, имеем:
а — Ь-\-(а — Ь),
откуда в силу 2°
—Z>|
или
|с|-|*К«-*1-	(7)
Мы можем также записать:
b = а —|- (Ь — а),
откуда
|д|<|а| + |^ — а| = |аЦ-|а—
или
— |а — 6|^|а| — \Ь\. •	(8)
Объединяя неравенства (7) и (8), имеем:
— |а — b | < |а | — | Ь|	|а —
или в силу 1°
что и требовалось доказать.
Можно установить справедливость последнего неравенства
и непосредственно (как в 2°), рассмотрев в отдельности слу-
чаи чисел одного и разных знаков.
4°. Абсолютная величина произведения равна произведе-
нию абсолютных величин сомножителей, т. е.
|а-6| —|а|-|И
Например, |—7*31 = |— 7|-|3| или |2*4| = |2|.|4|.
В самом деле, последнее равенство в силу правил алгебры
имеет место для произведения чисел любых знаков.
5°. Отрезком мы назовем часть прямой, лежащую
между какими-либо ее двумя точками, называемыми кон-
нами отрезка, причем эти концевые точки считаются при<
надлежащими отрезку.
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА
41
§9]
Другими словами, все точки с абсциссой х, удовлетворяю-
щие неравенству
a X Ь.
образуют отрезок с концами а и Ь; этот отрезок будем обо-,
значать так: [а, £] (черт. 22а).
a-h a a-h $	$ #
Черт. 22а.
Промежутком или интервалом мы назовем часть пря-
мой, лежащую между двумя ее точками — концами, но
эти концевые точки считаются не принадлежащими проме-
жутку. Другими словами, все точки с абсциссой х, удовлет-
воряющие неравенству
а < х <
образуют промежуток с концами а и b (причем точки а и Ъ
промежутку не принадлежат). Промежуток будем обозначать
так: (а, Ь) (черт. 22а).
6°. Мы будем рассматривать направленные отрезки, ле-
жащие на оси. Под величиной такого отрезка АВ мы пони-
маем число, равное по абсолютной величине длине отрезка и
CCj СР
О В	А
Черт. 226.
положительное, если направление отрезка от Л к В совпадает
с направлением оси, и отрицательное — в противоположном
случае.
Легко видеть, что если точка А имеет абсциссу хп а точка
В — абсциссу х4, то АВ=х*—хг
На черт. 226 изображен отрезок АВ. имеющий отрица-
тельную величину.
В § 4 мы уже фактически пользовались направленными от-
резками.
7°. Величинау называется ограниченной, если все ее зна-
чения не* превосходят по абсолютной величине некоторого
42
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[гл. п
числа Af, т. е. существует такое Af, что все значения у
удовлетворяют неравенству
8°. Любой интервал, имеющий данную точку своей се-
рединой, будем называть окрестностью данной точки.
Все точки х, удовлетворяющие неравенству
а — Л<х<а-{-Л,	(9)
где h — положительное число, составляют окрестность точки а
шириной 2h (черт. 22а). Неравенство (9) можно записать и
так:
|х— а|<Л-
(Ю)
§ 10. Последовательности
Если нам задано некоторое бесконечное множество чисел
и все числа, входящие в это множество, мы смогли перенуме-
ровать, т. е. приписать каждому числу, принадлежащему мно-
жеству, свой номер, то такое множество мы и назовем после-
довательностью.
Определение. Перенумерованное бесконечное множество
чисел называется последовательностью.
Каждое число, входящее в данную последовательность, на-
зывается членом последовательности. Таким образом, обо-
значая через at член последовательности с номером 1, а*—
с номером 2, ап — с номером п и т. д., мы запишем после-
довательность так:
av at,..., ал, ...
Число ап называется общим членом последовательности. Бу-
дем иногда обозначать последовательность так: {ал}.
Члены последовательности будем изображать точками на
прямой, например на оси Ох. Таким образом, мы получим по-
следовательность точек (черт. 23).
Пример 1. Множество всех целых положительных чисел
1, 2, 3, 4, ..., п, ... является последовательностью;- здесь
ап = п, л=1, 2, ..., л, ...
Пример 2. Множество всех четных положительных чи-
сел 2, 4, 6, ..., 2л, ... является последовательностью; здесь
а„ = 2л, л=1, 2, ..., п, ...
§10]	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	43
Пример 3. Множество	••• является
последовательностью; здесь ап —	, п — 1, 2, ..., л, ...
Пример 4. Множество 1> у, 2> р 3, |• • • яв-
ляется последовательностью; так как каждый член имеет вполне
определенный номер; однако здесь мы запишем два равенства,
~	ft у
0	*
Черт. 23.
определяющие члены последовательности: одно для членов,
стоящих на нечетных, а другое для членов, стоящих на чет-
ных местах, Ъ именно:
л = 1,2, 3,
ат = в_|_ 1 » и = 1 > 2, 3, .. •, Л, ...
Не следует думать, что во всякой последовательности члены
последовательности либо возрастают, либо убывают с возра-
станием номера. В примере 4 мы видим, что члены последо-
вательности таким свойством не обладают: они то возрастают,
то убывают.
Заметим, что не всегда удается для данной последователь-
ности найти формулу, дающую выражение общего члена по-
следовательности через его порядковый номер п. Еще Евклид
показал, что простых целых чисел (т. е. таких, каждое из
которых делится только на себя и на единицу) бесконечное
множество J). Тем самым за каждым простым числом имеется
х) Евклид, известный математик Древней Греции, жил в IV—Шве-
ках до нашей эры.
Приведем его доказательство того, что простых чисел бесконечное
множество. Предположим противное, т. е. предположим, что простых чи-
сел лишь конечное число, и пусть р — последнее (наибольшее) прос-
тое число. Но тогда число р! -f-1 не делится ни на одно из чисел 2, 3,
4, ..., р, так как р! на каждое из этих чисел делится, а 1 нет. Следо-
вательно, либо (р! 4- 1) — само простое число, либо делится на простое
число, большее р, но все это противоречит тому, что р — наибольшее
простое число.
44	ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	[ГЛ. п
*	/
следующее, т. е. простые числа образуют последовательность.
Однако формулы, выражающей общий член этой последова-
тельности ап через номер п, не найдено.
Замечание. Отметим, что, определяя последовательности,
мы не предполагали, что все члены последовательности должны
быть различными между собой, например: множество чисел
О, 1, 0, 1, ..., О, 1, ... является последовательностью. Здесь
= п= 1, 2, ..., п, ...; агп = 1, п= 1, 2,..., /г, ...;
при геометрическом изображении последовательности точ-
ками на прямой мы будем каждую точку считать столько
раз, сколько соответствующее число встречается в последова-
тельности. В нашем примере точки 0 и 1 встречаются каждая
бесконечное множество раз.
§11. Точки сгущения последовательности
Рассмотрим последовательность с общим членом ап — ~
(пример 3 § 10). Изобразим члены последовательности точками
на прямой — оси Ох (черт. 24). Мы видим, что какую бы ма-
лую окрестность точки О мы ни взяли, в эту окрестность по-
-НЮ-0 О О - -F
О	1
Черт. 24.
падет бесконечное множество точек нашей последовательности.
Точки прямой (оси Ох), обладающие таким свойством, будем
называть точками сгущения последовательности.
Определение. Точкой сгущения последовательности на-
зывается такая точка прямой, в любой окрестности ко-
торой (сколь угодно малой) находится бесконечное множе-
ство точек последовательности.
г,	1 i-r	13	14	1
Пример 1. Последовательность у, у,	, у, у,
=	«=1,2,3,=
.., л, ... ) имеет две точки сгущения:
т,... (здесь
= —I—г, л=1, 2, .
н 1
0 и 1 (черт. 25).
§ 12]	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	45
\
пример 2. Последовательность 0, 1, 0, 1, .О, 1, ...
(из Замечания к § 10) имеет две точки сгущения: 0 и 1.
' 111
Пример 3. У последовательности 1, — -у,	—т»***
а О	4
/ (— 1)" \
I здесь ап = —-—, п — 1, 2, ..., л, ... 1 имеется только одна
точка сгущения 0, как это легко увидеть, сделав чертеж.
J.11' £11
4 3 г 4зг
—" -	|СХХ>»>'“Р  !' . ! I OQO-O—Q.J_ 1.11, 1
о . f 1
Черт. 20.
Можно указать последовательности, имеющие сколько
угодно точек сгущения. Например, чтобы составить последо-
вательность, для которой данные точки а, b и с являются
точками сгущения, надо положить
=	«=1, 2.........л,...;
«,„-> = * + 1. «=1. 2.........«. •••
а»«-« = с+4. « = 1,2,3,
Таким образом, мы получим нужную последовательность. Ко-
нечно, можно построить бесчисленное множество разных последо-
вательностей, имеющих одни и те же точки сгущения. Можно
указать последовательности, для которых каждая точка оси будет
точкой сгущения, однако мы на этом не будем останавливаться.
§ 12. Предел последовательности
Определение. Мы скажем, что последовательность
{ал} имеет своим пределом число а, если вне любой окре-
стности (сколько угодно малой) точки а имеется не более
конечного числа членов последовательности.
Запишем это так: lim ап — а1).
Если последовавльность	имеет своим пределом а,
то а является единственной точкой сгущения последова-
тельности. В самом деле, в любой окрестности точки а лежат
х) Иш — это первые три буквы французского слова limite, означа-
ющего предел.
46	ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	[гл/п
все члены последовательности за исключением быть может
конечного числа.	/
г__ пп /
Пример 1. Последовательность ап =*—• 7 (пример 3
§ 12) имеет одну и только одну точку сгущения, именно точку О,
и вне всякой окрестности точки 0 остается конечно^ число
членов последовательности, поэтому	'
lim <^-” = 0.
П
П->ОО
Пример 2. Последовательности в примерах 1 и 2 § 11
имеют по две точки сгущения и потому предела не имеют.
Пример 3. Последовательность 1, ^-,2,^, 3, ^,...
(здесь а1Лв1 = /гиа2Л = ^, л=1, 2, .. .,л, ...)
имеет единственную точку сгущения 0, но вне окрест-
ности этой точки остается бесконечное множество точек по-
следовательности. Последовательность предела не имеет.
Теорема 1. Изменение величины конечного числа членов
последовательности или удаление конечного числа членов
последовательности не влияет на предел последовательности.
В самом деле, изменение или изъятие конечного числа чле-
нов последовательности, очевидно, сохраняет имеющиеся у по-
следовательности точки сгущения. Кроме того, если где-либо
на оси (например, вне окрестности данной точки) имелось лишь
конечное число членов последовательности, то после указан-
ного изменения их останется также конечное число (или, быть
может, ни одной). Если же их было бесконечное множество,
то их останется также бесконечное множество. Это означает,
что если последовательность имела предел, то он сохранится
после наших изменений; если его не было, то он не возник-
нет, чем теорема доказана.
Замечание. Отметим, что последовательность {ая}, как
и всякое множество (см. 7° § 9), называется ограниченной,
если существует такое число ЛГ, что все члены последователь-
ности удовлетворяют неравенству *
|ай|<Л4.
Теорема 2. Всякая последовательность, имеющая пре-
дел, ограничена.
§у!3]	ПРИЗНАК СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА	47
В самом деле, пусть последовательность {ап} имеет пре-
дел V тогда вне любой окрестности точки а, например вне
окрестности, имеющей ширину, равную 2, остается лишь ко-
нечное число членов последовательности, а все остальные точки
лежат на интервале	(а—1, а -р	1)	(черт.	26).
о f	т
О	а	я
Черт. 26.
Пусть k — наибольшее из расстояний точек последовательнос-
ти, не попавших в окрестность (а—1,гг—|— 1), до начала коор-
динат (таких точек лишь конечное число). Наибольшее рас-
стояние точек, лежащих на интервале (а — 1, а -р 1), до на-
чала координат не превосходит наибольшего из чисел |а— 11,
|а~р 1 |. Таким образом, если обозначить через М наиболь-
шее из чисел k, |а— 1 | и |я-р 1 |, то расстояние любой точки
последовательности до начала координат не будет превосхо-
дить Л4, т. е. при всех п
| а„ | < М,
что и требовалось доказать.
§ 13. Необходимый и достаточный признак
существования предела
Теорема /• Для того чтобы последовательность {ап}
имела предел, равный а, необходимо и достаточно, чтобы
для каждого положительного числа е можно было найти
такое число М(е), что для всех номеров п, больших Af(s),
будет выполняться неравенство
\ап — а|<е.
Докажем сначала необходимость признака. Предположим,
что а является пределом {ап}, т. е. lim а„ = а, и покажем,
п -> 00
что признак выполнен. Возьмем окрестность точки а шириной
2s (черт. 27), где е — произвольное положительное число;
тогда вне этой окрестности, в силу определения понятия преде-
ла, останется лишь конечное число членов последовательности.
48	ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	[гл./п
Каждый из этих не попавших в выбранную окрестность /чле-
нов последовательности имеет свой определенный нбмер.
Примем за AZ(s) наибольший из этих номеров. Тогда все/члены
последовательности с номерами /г, большими /V(s), т./е. при
л>/У(8), попадут в выбранную окрестность точки al а это
означает, что их расстояние до точки а меньше е, tJ е. при
выполняется йеравен-
s-’H ство |а*— а]<е, чем необхо-
<------------1----1—4—димость признака доказана.
О с-е а а+е Докажем теперь достаточ-
Черт. 27. „	ность признака, т. е. докажем,
что если признак выполнен, то
последовательность имеет предел, равный а. Итак, дано, что
для всякого е>0 найдется такое 2V(s), что при /z^>/V(s)
имеет место неравенство
1«л — a|<s.
(И)
Возьмем окрестность точки а шириной 2е. Поскольку за е
можно взять любое положительное число, это значит, что мы
можем взять любую окрестность точки а. Неравенство (11)
показывает, что в эту произвольным образом выбранную ок-
рестность попадут все члены последовательности с номерами
/z^>2V(s), а это означает, что вне этой окрестности могут
остаться лишь члены с номерами, не превосходящими Af(e), а
таких — конечное число. Таким образом, доказано, что а яв-
ляется пределом последовательности, т. е.
lim ап — а.
п~+а
Пример. Пусть ап=-к , покажем, что lim ап = 0. Для
П	П-» 00
этого надо показать, что для всякого е>0 найдется такое
4\г(е), что при /z>2V(e) выполняется неравенство
(12)
Но это неравенство имеет место тогда и только тогда, когда
ПРИЗНАК СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА
49
П
и за искомое Af(s) можно принять
Таким образом, при	неравенство (12) выполняется
-^=-; тем самым мы нашли
у s
В частности,
если
е —100’ то
для того чтобы
Если £ = 1ооо,
а.
п~ zz2<100’
то N (е) = —
X— = 10, т. е.
100
нужно, чтобы д>10.
1= = /1000^31,1...,т.е.,
IV (в)
начиная с п = 32, неравенство	выполняется и т. д.
Докажем теперь более общую теорему.
Теорема 2. Предел последовательности ап = \, где
£>0, равен нулю, т. е.
lim -k=0.
Надо доказать, что для всякого е>0 можно найти такое
Af(e), что при «>2V(s) выполняется неравенство
(13)
Но неравенство (13) будет выполнено тогда и только тогда,
когда
nk
£
£
или
(И)
50
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. .41
/ J	7
Из неравенства (14) следует, что число (у) служит i|cko-
/ 1
мым числом /V(s), т. е. /V(e)= ( у) .
/П*
Итак, доказано, что при /z 2V (в) = (— 1 выполняется
неравенство (13), а это и означает, что lim -^ = 0, что и
00 п
требовалось доказать.
Определение действий над последовательностями.
Условимся, что суммой двух последовательностей, их раз-
ностью, произведением или частным называются последо-
вательности, полученные соответственно почленным сложе-
нием, вычитанием, умножением или делением членов дан-
ных последовательностей.
Таким образом, последовательность {гл} с общим членом
cn — an~V^n является суммой последовательностей {ап} и {Ьп}.
Аналогично последовательности с общим членом сп — ап — Ьп,
или сп — а„Ь„, или е—--1 являются соответственно разно-
Н	U Н'	и	П	*
п
стью, произведением или частным последовательностей
И
§ 14. Бесконечно малые последовательности
Определение. Последовательность, предел которой
равен нулю, называется бесконечно малой последователь-
ностью.
Сказать, что последовательность имеет своим пределом 0
или что она бесконечно малая, — одно и то же. Последова-
тельность ап =	, k > 0, рассмотренная в § 12,—беско-
нечно малая.
Замечание. Очевидно, что если последовательность
{аЛ — бесконечно малая, то и последовательность {——
также бесконечно малая, так как |ал| = | — ал|; поэтому
если при л>Д/(е) имеет место |ал| <е, то и | — ал|<е.
Роль, которую играют бесконечно малые в теории пределов,
выясняет следующая теорема.
^14]	БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	51
Теорема 1. Если а является пределом последователь-
ности ап, то разность между членами последовательности
и ее пределом, т. е. ап = ап — а, — бесконечно малая,
и обратно, если разность между членами последователь-
ности и постоянным ап = ап — а является бесконечно ма-
лой, то а есть предел ап, т. е. Итап = а.
«-* со	f
В самом деле, если limart = a, то это означает, что для
00
всякого 8>0 найдется такое /V(s), что при /z>2V(e) имеет
место неравенство
1«я1 = |вя — а | <е.
откуда заключаем, что liman = 0, т. е. {а„}— бесконечно
И-+ 00
малая последовательность.
Обратно, пусть ап = ая — а — бесконечно малая последо-
вательность, т. е. lim ай = 0; это означает, что для всякого
оо
е^>0 найдется такое Л/(е), что при л>М(е) имеет место
неравенство |ал|<е, или, что то же самое, |аи — а|<е, н0
тогда lfaia„ = a. Теорема доказана.
00
Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых последова-
тельностей есть бесконечно малая последовательность,
т. е. если {аЗ и {Щ — бесконечно малые последовательности,
то и —— также бесконечно малая последователь-
ность.
Доказательство. При любых п имеет место нера-
венство
Но так как {ая} и	— бесконечно малые, то для всякого
у>0 найдется такое Nt (-0 > что ПРИ п> (у)
1%1<|.	U5)
' и также найдется такое Nt (у) , что при
1М<-Ь	о6)
52	ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	[гл.
/
Спрашивается, для каких п будут выполняться сразу оба .не-
равенства (15) и (16). Очевидно, что если за А/ (е) выбрать
наибольшее из двух чисел Nx и	т0 ПРИ
zz^>N(e) оба неравенства (15) и (16) будут выполнены, и для
этих п мы имеем:

т. е.
1ь1<8»
а это и означает, что — бесконечно малая последователь-
ность, что и требовалось доказать. .
Теорема 3. Произведение бесконечно малой последова-
тельности на ограниченную последовательность является
бесконечно малой последовательностью, т. е. если {ал} —
бесконечно малая последовательность, а {аи} — ограниченная
последовательность, то последовательность {апап} —беско-
нечно малая.
В самом деле, так как {ап}—ограниченная последователь-
ность, то существует такое число М, что для всех п
Раз {art}—бесконечно малая, то для любого ^>0 найдется
такое АН , что при N
Но тогда для этих п имеем
1«» а«1 = 1 % 11I
ИЛИ
!«»«»! <8.
а это и означает, что последовательность {artan}—бесконечно
малая, что и требовалось доказать.
Следствие L Произведение бесконечно малой последо-
вательности на постоянное число является бесконечно ма-
лой последовательностью. Умножение каждого члена после-
§ 151
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
53
довательности {ап} на постоянное число К можно рассматри-
вать как умножение последовательности {аи} на последова-
тельность все члены которой постоянны, т. е. Ьп = К>
а эта последняя, очевидно, ограничена числом Л4 = |/<|.
Поэтому последовательность —бесконечно малая. В част-
ности, если последовательность {ап}—бесконечно малая, то
и {—art} также является бесконечно малой.
Следствие 2. Разность двух бесконечно малых является
бесконечно малой.
В самом деле, разность ап — == aw-|-(—представ-
лена в виде суммы двух бесконечно малых последовательностей
{а„} и {—и, следовательно, по доказанному — бесконечно
малая последовательность.
Следствие 3. Сумма любого конечного числа беско-
нечно малых последовательностей является бесконечно
малой последовательностью. Действительно, пусть
prt}, {^п} — ТРИ бесконечно малые последовательности; тогда
сумма
ап + Ьп + Сп — (ап +	+ Сп
представлена в виде суммы двух последовательностей
и {с„}, из которых	—бесконечно малая последова-
тельность в силу теоремы 2 этого параграфа, а {г„} — по
условию, и потому по той же теореме 2 наша сумма — бес-
конечно малая последовательность. Нетрудно показать, что
сумма четырех, пяти и т. д. бесконечно малых последователь-
ностей является бесконечно малой последовательностью.
§ 15. Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Предел суммы двух последовательностей
равен сумме их пределов, если эти последние существуют,
т. е. если lim ап = а и lim bn = Ь, то
П->ОО	«->00
lim	=
00
Доказательство. Поскольку а является пределом
{а„}, а b — пределом {Ьп\, то
a„ = a + aB
64
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. И
где {%} и {£„} — бесконечно малые последовательности. Скла-
дывая эти равенства, получим
ап + ьп = а + ь + (а« + Р«),
откуда видно, что последовательность ап~\-Ьп отличается от
а-\-Ь на последовательность {ая4”Р«}* Но	как
сумма бесконечно малых, является бесконечно малой, поэтому
в силу теоремы 1 § 14
lim (an4-£B) = a-f-£,
«-» CD
что и требовалось доказать.
Следствие. Предел суммы конечного числа последо-
вательностей равен сумме их пределов, если эти послед-
ние существуют.
Проведем доказательство, например, для суммы из четырех
слагаемых. Пусть
lim ап = а> lim bn — b, lim сп — с и lim dn — d.
и->оо	и->оо	п~>оо	п -> 00
Покажем, что lim (ап -|- Ьп сп dn) = a -j- b -{- с d.
П + Ф
В самом деле, поскольку
lim (an-\-ba) = a-\-b,
П-* Ф
ТО
lim (a„-f-£„-f-r„) = lim (ап-f-b„)-f-lim cn = a-\-b-[-c
П~*Ф	П-+Ф	П->Ф
И
lim (a„ + £я 4-ся+ </„) = lim (ая -f- bn + cn) + lim dn =
П-> Ф	П-* 00	n -> Ф
= a -j- b -J-* c -j- d)
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Предел произведения двух последователь-
ностей равен произведению их пределов, если эти послед-
ние существуют, т. е. если
lim ал = а, lim bn — b,
П-+ Ф	П-+ 00
ТО
lim anbn = ab.
Л-+Ф
§15]	ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ	55
В самом деле, так как последовательности {а„} и {Ьп\
имеют пределы, то
где {ая} и {ря} — бесконечно малые последовательности; тогда,
перемножая, получим
«Л=(«+%№+?я)
или
= ab 4- апЬ + р„а	а„ря.
Но последовательности {&пЪ} и {ряа} являются произведениями
бесконечно малых на постоянную и потому бесконечно малые
(следствие 1 теоремы 3 § 14). Последовательность {ая [Зя}
является произведением двух бесконечно малых. Поскольку
какую-либо одну из бесконечно малых, например {рп}, можно
принять за ограниченную, потому что всякая последовательность,
имеющая предел, ограничена (теорема 2 § 12), то тем самым
{аяря}— бесконечно малая (теорема 3 § 14). Поэтому после-
довательность {аяа-|-ря£ -ЬаиМ> как сУмма бесконечно
малых, — бесконечно малая и
lim anbn = ab,
п-+ 00
что и требовалось доказать.
Следствие* Предел произведения конечного числа после-
довательностей равен произведению их пределов» если эти
последние существуют.
Проведем доказательство для случая, например, трех со-
множителей. Пусть lim ая = а, lim bn = b и lim сп = с,
покажем, что lim (anbncn) = abc.
П-* 00
В самом деле, поскольку lim anbn — ab» то
«-> 00
lim (апbnc„) = lim (a„ba) lim с„ — abc,
п-+<х>	п-+<х>
что и требовалось доказать.
Теорема 3* Предел частного двух последовательностей,
равен частному их пределов, если эти последние сущест-
56
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[гл. II
вуют и предел последовательности в знаменателе не равен
нулю, т. е. если lim ап = а и lim Ьп — Ь> причем О,
то
lira ^ = 4-
В самом деле, имеем
an = a-f-an
где {ал} и {(Зп) — бесконечно
Рассмотрим разность

малые.
а  - М
у — ц »..................
Ь &-н„ &—+
Нам надо показать, что эта разность, т. е. yw, — бесконечно
малая. Но {ъпЬ — [Зпа}, как разность бесконечно малых,—
бесконечно малая. Покажем теперь, что Л?- Д . Л —огра-
“Г Рн)^/
ниченная.
В самом деле, так как {р„} — бесконечно малая, то, при-
няв г = '-у-, можно указать такое М , что при
2 ’
тогда
LLU1»
2
2
и
Следовательно,
I 1	2
+
Тем самым показано, что, начиная с определенного номера
(при n>N ), последовательность ограничена. На осталь-
ные члены последовательности можно не обращать внимания,
так как значения конечного числа членов последовательности
на предел не влияют (теорема 1 § 13).
§ 15]
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
57
Таким образом, наша разность =	— рпа)
является произведением бесконечно малой на ограниченную и
тем самым является бесконечно малой (теорема 3 § 14).
Поэтому
lim ^=4,
Оп и
ч-ь со п
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти
lim —~
наше выражение, деля
В этом примере непосредственно нельзя применить теоре-
му о пределе дроби, ибо пределов знаменателя и числителя
не существует. Поэтому преобразуем
числитель и знаменатель на п\ тогда
п 	1
~ п
последовательность *-----бесконечно
п
Следовательно,
..— lim J—
1 п
малая, и lim —=0.
П->00 л
г=>-
Пример 2. Найти
2л2 4-3
lim а-. о—г.
П-* 00 Я “f“ 2 л 1
Разделим предварительно числитель и знаменатель на
тогда	3
2 + А
1 л2
2л2 + 3
2	1 •
ТТ"”- „а
л п
Последовательности и — бесконечно малые, их
пределы равны нулю, и
2л8-4-3
lim za-LoT—i= 11т
П	1 п->оо
2
2	1	1 — Л
п л2
58
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. П
Теорема 4. Предел целой положительной степени ра-
вен той же степени предела» если этот последний сущест-
вует, т. е. если
lim ап = а,
ТО
lim (ап)к—а\
П-+СВ
где k — целое положительное.
В самом деле, пользуясь теоремой о пределе произведения,
имеем
lim (cQk= lim ап.. ,ап — а.. .а = а\
П-+<Х>	п ^ОО4——IV—V—
k pas	k раз
что и требовалось доказать.
Теорема 5. Предел корня k-й степени равен корню той
же степени из предела» если этот последний существует»
т. е. если /
lim ап = а»
п-><х>
то
lim ал = у/ а.
П-+00
Предполагается, что если k — четное, то а„^0.
В самом деле, ал = я4~ал> где {ай} — бесконечно малая.
Предположим сначала, что а=^=0.
Рассмотрим разность
k/—	k /-	k /—i-- ♦ k у—
V an — у a= у a-\-un — ya.
Обозначим эту разность yn, т. e. положим
'1п = Уа + Лп— V а’
и покажем, что {уп} — бесконечно малая.
Имеем
§ 15]	ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ	59
Положим р„ = у; последовательность {0Л} — бесконечно ма-
лая, и	_	_____
Тп=/а(У1 + рл-1)..
Вспомним теорему Безу, в силу которой
ak — bk=(a — b) (аА-*4-а*"^4-
Тогда
_ */-(№+&- 0	+...+уш;+1)
Тя Va А/(1+М*” + -. + У1 + ?в + 1
= у о+м*“л+...+7* 1+?;+1 ’(,7)
Но так как {^я}—бесконечно малая, то для е=^- найдет-
ся такое N 00 , что n>N^-J0 ; | ря | <0-; тогда
и
<'+₽/> (4) *>°.
Следовательно,
1 + V н=л+7<Т+К?4- • • • +7й+д^> 1.(18)
!) Эту формулу легко доказать непосредственно.
В самом деле, выражение	... -|-^п“2 +
b
является геометрической прогрессией со знаменателем —; поэтому
по формуле для суммы геометрической прогрессии имеем
а"-Ь»
а"-' + а"->* + ...+ ^п-’ + *”* =-—~ =
I — —
а
и, умножая обе части равенства на а*— Ь9 мы получаем нужную нам
формулу.
60
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. П
Таким образом, из неравенства (18) получаем:
1 + У(1 +М+ +	+ М*-‘	
•
Следовательно последовательность {уй}, как видно из (17),
является произведением бёсконечно малой на величину ог-
раниченную, и поэтому {уя} — бесконечно малая. Следовательно
lim у/ ап = V а.
>	Л->00
Рассмотрим теперь случай, когда Нтал = а = 0. Требу-
ется доказать, что
lim У ап = У а == 0.
Последовательность {ап} — бесконечно малая, надо доказать,
что последовательность {|/ап} — тоже бесконечно малая. Для
этого возьмем	тогда найдется такое АЧе*), что при
n>N(s*)
8*.
но тогда
Значит, {у/ ап} — бесконечно малая, и lim у/ ап = 0. Тем са-
л->оо
мым теорема доказана.
§ 16. Переход к пределу в неравенствах
Теорема /. Если члены двух последовательностей удов-
летворяют неравенству
(19)
то их пределы удовлетворяют такому же неравенству,
если эти последние существуют, т. е. если Нтап = а и
limbn —Ь и выполняется неравенство (19), то
ч-* «е
§ 16]
ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ В НЕРАВЕНСТВАХ
61
Будем доказывать теорему от противного, т. е. предполо-
жим, что а^> Ь.
Возьмем 8 = 2-2^-? > тогда так как а является пределом {ал},
.. (а — Ь\	ж» (cl—b\
найдется такое ( -у— 1 , что при n^>N11 —)
а — Ь
ПГ“’
или, что то же самое,
а — Ь
2
а — Ь
2
(20)
Прибавляя ко всем частям неравенства число а, получим
а-\-Ъ ^За — Ь
~2~ < в» <•	2	’
Точно так же, поскольку b является пределом {#п}, найдется
(а — Ь\	кг (а — Ь\
такое Zva (	, что при и > /v21 —у— )

ИЛИ
а — Ъ	, лс — Ъ
-<ьп-ь<—,
или
ЗЪ — а	d-}-b
2	2
(21)
ХТ'Г так и	’ оба не“
выполняются. Из неравенства (20)
При п, большем как NA
равенства (20) и (21)
следует, что
2
а из (21) следует, что
Ь
2
Следовательно, Ьп<^ап,
рема доказана.
что противоречит условию, чем тео-
62
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. П
Замечание. Если между членами двух последователь-
ностей имеет место строгое неравенство
ап<Ьп
и последовательности имеют пределы, т. е.
Нтал = с и Нтдл = &,
то в силу теоремы 1 мы заключаем, что а^Ь.
Приведем пример, показывающий, что, в самом деле,
иногда а = £, т. е. в пределе иногда неравенство превра-
щается в равенство.
=	&й=1. тогда 1<±. Но Пт ±=0
1 л	г 1 г 1
и lim —= 0, поэтому lim 7—= lim—.
Л	п-ъ<х>п
Теорема 2. Если между членами трех последователь-
ностей выполняются неравенства
ап^Сп^ Ьп,	(22)
причем пределы {«„} и {&„} существуют и равны между
собой, то и предел {яп} существует и равен общему пре-
делу {а„} и {Ьп}> т. е. если имеют место неравенства (22) и
lim ап = lim bn = а,
ТО И
lim сп—а.
п-*<х>
В самом деле, так как lima„=a, то для любого е>0
П-* 00
существует такое Nt (s), что при n>Nt (s) имеем | а„ — а |<е,
или —8<вл—или
а — 8<а„<а-|-8.	(23)
Так как lim bn = a, то для того же 8>0 найдется такое
П-* оо
Nt (е), что при (е) имеем |Ьп — а| <е, или
— s<bn — «<+«.
или
а — e<£n<a-f-8.	(24)

§ 17]
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
63
Тогда при /z>>AZ(e), где N(s)— наибольшее из Л/, (е) иЛ/^е),
оба неравенства (23) и (24) выполняются, и мы имеем:
а — е <	и < а + s*
Учитывая неравенство (22), при	получим
а —8<ай<сй<^<а4-е,
или
а —е<с„<а-|-е,
или
кв — а|<8.
а это последнее означает, что lim сп — а, что и требовалось
п-ь ао
доказать.
§ 17. Бесконечно большие последовательности
Определение. Последовательность называется по-
ложительной бесконечно большой, если для любого А (как
бы велико оно ни было) найдется такое число N(A), что
для всех n>N(A) выполняется неравенство
ап>А.
Обозначают это так: liman = 4-oo.
00
Например, последовательность с общим членом ап = л8 —
положительная бесконечно большая, так как для любого А
(пусть А > 0) л1 > Д, как только п > VА. Здесь можно по-
ложить ЛЦЛ) = ]/д, т. е. мы имеем
lim л1 = -|-оо.
ОС
Аналогично определяется отрицательная бесконечно большая.
Определение. Последовательность {ап} называется
отрицательной бесконечно большой, если для любого А
(каким бы большим по абсолютной величине и отрицательным
оно ни было} найдется такое число N(A), что для всех
N(А) выполняется неравенство
Обозначают это так: lim = — оо.
64
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[гл. П
Очевидно, что если {ав} — отрицательная бесконечно боль-
шая, то {—ап} — положительная бесконечно большая.
Определение. Последовательность {ал} называется
бесконечно большой, если последовательность {| ап |} —
положительная бесконечно большая. Обозначают это так:
liman = oo.
Я->ОО
Например, последовательность ап = (— 1)" п* является
бесконечно большой, так как |ал| = /г2. Эта последователь-
ность, очевидно, не является ни положительной, ни отрица-
тельной бесконечно большой. Однако и положительная бес-
конечно большая, и отрицательная бесконечно большая после-
довательности являются бесконечно большими.
Теорема 1. Последовательность, обратная по величине
бесконечно большой, является бесконечно малой, т. е. если
lima„ = oo,	то lim — = 0.
п	’	(1
«->00	«“>00 “п
В самом деле, выберем 4 = ~, где е>0. Тогда, по
определению бесконечно большой, при я >/V f—j имеет место
неравенство | ап | > у, или
пЬ<8’
а это и означает, что lim — = 0, что и требовалось доказать.
п --> оо ап
Теорема 2. Последовательность, обратная по величине
бесконечно малой последовательности, члены которой не
равны нулю,— бесконечно большая, т. е. если Птая = 0 и
«->00
в»¥=°. т0
г 1
lim —- = оо.
«->00 Яд	в
В самом деле, выберем е=Л>0, тогда имеется такое число
.. / 1 \ 1 \
2V -г , что при п > N -т
/	\ А/
1а»1<
§ 18] ПРЕДЕЛЫ НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ	65
Тогда
г-Ц>А
кг
а это и означает, что
lim — = оо,
«“>00 ап
что и требовалось доказать.
Пример. Поскольку ап=^ (& > 0) — бесконечно малая, то
l- = nk—бесконечно большая, т. е. lim/z* = oo.
ап	«->00
§ 18. Пределы некоторых последовательностей
1°. Предварительно докажем справедливость неравенства
(1 4-Л)”^ 1	(25)
где п — целое положительное число и Л>0. Воспользуемся
формулой бинома Ньютона
(1 +л)п= 14-ял + ”(”~	4- ”(я ~ ^(” ~ 2)й,+.„4-ап.
Поскольку все слагаемые в правой части последнего равенства
положительны, имеем
что и требовалось доказать.
Отметим, что соотношение (25) обращается в равенство
только при п = 1.
2°. Теорема L 1йпа”= оо, если | а ]> 1, и lima" = 0,
«->00	«->00
если | а | < 1.
В самом деле, пусть |а|> 1, тогда число |а| можно запи-
сать так:
| а | = 1 4" Л,
где й>0, и, пользуясь неравенством (25), получим
\a\n = (l~\-h)n^l-]-hn.
Поскольку последовательность {1 hn} — положительная бес-
конечно большая, то — бесконечно большая, а это записы-
вается так: lim ап= оо.
«->00 .
3 И. И. Привалов и С, А. Гальперн
66
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. II
Пусть теперь |а|<1, тогда £ =	1,откуда]а |=-|-
| д I	о
и ]а|" = ^; поэтому {[ а ]я} будет, как обратная бесконечно
большой {£"},— бесконечно малой, следовательно, и {а”}—бес-
конечно малая и
lim ап = 0.
«-►00
Теорема доказана.
На основании доказанного имеем, например: lim2” = oo;
lim (0,3)" = 0; lira (—1,25)"=оо; lim (—=
«-►00	«->00	«->00
3°. Геометрическая прогрессия* Вычислим «сумму» бес-
конечной геометрической прогрессии
ао ао? 4“ М* + М* + • • • + М” + • • •
Здесь прежде всего необходимо определить, что означает
термин «сумма». Мы умеем производить сложение (находить
сумму), только когда мы имеем дело с конечным числом сла-
гаемых, но мы вовсе не знаем, как найти «сумму» для бес-
конечного числа слагаемых, так как обычным способом, сколько
бы мы ни складывали, всех слагаемых мы не исчерпаем.
Чтобы избежать это затруднение, поступим так: найдем сна-
чала сумму п первых членов прогрессии и обозначим эту сумму
Sn, а затем будем искать lim Sn. Этот предел (если он суще-
«-►00
ствует) и называют суммой бесконечной прогрессии. Из ал-
гебры известно, что
» __^0	__ «О	«о л»
'п~ 1 — q — \-q	\-q4 *
Величина
\ — q
есть постоянная (не изменяется с изменением л),
qn стремится к нулю, если | q | < 1, и стремится к оо, если
|9|>1(см. 2°). Поэтому, если |q|< 1, то
lim Sn = lim
Я-.00 л-»оо
«О — «о?”_
1-?
lim --lim ^-qn = ^S-
§ 18] ПРЕДЕЛЫ НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ .	67
если же | q | > 1, то qn — величина бесконечно большая, и,
следовательно, предел Sn не существует: lim Sn = oo.
п->оо
В первом случае говорят, что прогрессия сходится и ее
сумма равна S = lim Sn =	; во втором случае говорят,
«->оо	1 Q
что прогрессия расходится.
4°. Теорема 2. lim а = 1, если а — любое положи-
тельное число.
Доказательство распадается на три случая: 1)
2)	< 1 и 3) а = 1.
1) у/~а для 1 будет больше единицы. Обозначим
через. hn разность у/а — 1, т. е. hn = у/а — 1. Члены по-
следовательности hn меняются с изменением л, оставаясь все
время положительными. Определим а из последнего равенства:
а = (1-|~ЛП)П. Пользуясь неравенством (25), получаем
откуда
а = (1+йв)п>1+лЛя,
а — 1
Так как hn — число положительное, т. е. /гл>0, получаем
двойное неравенство
— 1
'п < п
заметив, что lim -—- = 0, по теореме 2 § 16 получим:
«->00 п
lim hn = 0, но hn — у/~а — 1, поэтому
«->00
lim у/а = lim (1	Л„) — 1.
«->00	«->00
2) Если 0 < а < 1, то, полагая — = Ь, получим число
большее единицы; тогда
lim
«->00
«->00
1	1	1	1
— —	 —- -  -I । .   —  1
"/ft	lim ,Л/Г	1
V	«->00 Г
3*
68
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. II
3) Если д = 1, то £/а =	1 = 1,и,значит,lim = 1.
Теорема доказана.
На основании доказанного имеем, например,
lim {/2 = 1,
л->оо
lim {/0,5 = 1.
Л->00
§ 19. Принцип существования предела
Определение, Назовем последовательность, в которой
всякий следующий член не меньше предыдущего, т. е.
неубывающей.
Аналогично назовем последовательность не возрастаю-
щей, если
аг^а^а^.,.^ап^...
Пример 1. Последовательность ал = ^=^(л=1,2,3,...),
n 1	2	3	5	х
имеющая значения 0, у, у, у, у, ..., является неубы-
вающей, она даже строго возрастающая.
Пример 2. Последовательность, имеющая значения
1 1 1 1 1 ±	± ±
1 ’ 1» 2 ’ 2 * 4 ’ 4 ’ * ‘ ’ 2т ’ 2т ’ * ’ * ’
является невозрастающей.
Всякая невозрастающая или неубывающая последова-
тельность называется монотонной.
Имеет место теорема.
Теорема, Всякая монотонная ограниченная последо-
вательность имеет предел1).
Дадим геометрическое пояснение. Точка, изображающая
член неубывающей последовательности {ай}, может с
увеличением номера п перемещаться только в положительном
направлении оси Ох (черт. 28). В то же время точка не
может уйти правее некоторой точки 7И, так как после-
довательность ограничена. Теорема утверждает, что тогда
2) Доказательство этой теоремы требует более углубленного и
строгого изложения теории пределов, поэтому мы это доказательство
опускаем.
§ 19]	ПРИНЦИП СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА
69
последовательность имеет предел (не превосходящий Л4).
Аналогичное пояснение можно дать и для случая невозрастаю-
щей последовательности.
' д a, а, %
Черт. 28.

— 1
Пример 3. Последовательность ап — —(л=1,2, 3,...)
3	8	15 31	л2-1
принимает значения 0, j, -g-, yg,	•” и яв‘
«	я2 — 1	*	1^1
ляется возрастающей, но ап — —=1 —	< 1, а это озна-
чает, что последовательность ограничена.
Такая последовательность, в силу теоремы настоящего
параграфа, имеет предел, что, впрочем, в этом случае и так
очевидно, ибо
..	Л2-1	<
1Ш1 ---' = lim 1-------5=1.
п->оо п п->а> \ п 1
Пример 4. Рассмотрим более сложный пример. Задана
последовательность
«, = /2,\==	24-/2, а3 = )/24-/24-/2,...
• • • > ап ~ 2-[-УГ2-^-...-^-уг2) ...
< - у '
п радикалов
Очевидно, что ах	< • • • <Zan <an+i <• • • , т. е.
наша последовательность — монотонно возрастающая. С дру-
гой стороны, ^1=1^2,	=V2, а3=]/2-|-я1 и
вообще an = Y<l-[-an^> откуда следует, что ах <2 (пото-Д
му что /2<2), а^</2 + 2 = 2, а8 <‘/2 + 2’= 2; про-
должая, дальше, мы получим 2 и ап	Y2-j~2 = 2, от-
куда заключаем, что наша последовательность ограничена и в
силу теоремы настоящего параграфа имеет предел, который
70	ТЕОРИЯ пределов	[гл. п
обозначим буквой х:
lim ап = х.
Л-4ОО
Зная, что предел существует, его легко найти.
В самом деле, зная, что ап = ]/"2	, имеем, возводя
в квадрат: а2 = 2-[-ап-1; перейдем в этом равенстве к пре-
делу, получим:
lima*== lim (2-f-a„_i)
л-4 ио n 4 00
или x2 = 2-|~*. Значит, искомый предел удовлетворяет урав-
нению
х2 — х — 2 = 0.
Следовательно, х—-~ + у » или xi — 2» х2 = «=«1,
но так как аи>0, то отрицательный корень — посторонний,
и, таким образом,
х = lim ап = 2.
л-400
§ 20. Число е
Рассмотрим последовательность ап=^1-|-^ .Дока-
жем, что ап при л—>оо стремится к пределу.
Для этого на основании теоремы § 19 достаточно пока-
зать, что, во-первых, ап с увеличением п возрастает и,
во-вторых, что ап при любом п остается меньше некоторого
постоянного числа.
Разложив ай=(	по формуле бинома Ньютона,
получим:
/. . 1 V	11	1 . Л(Л- 1) 1 .
, п (п — 1) (я — 2) 1 ।	,
*•	1-2-3	’ я* ' ''* •
! п (я -1) (п -2)... (я- *4-1) 1 ,
"г	1-2-3...k	’ nk~^ ‘ “
I я (я — 1)(я —2)...l	1
•••"Г	1-2-3...я	‘я*’
число ₽
71
$ 20]
Теперь преобразуем каждое слагаемое. Число множителей
в числителе каждого члена равняется показателю степени при
2-, поэтому можно разделить каждый множитель в числителе
на п. Таким образом, общий член запишется:
П(Л_ 1)(Л —— Л-Ь1) 1 _
1-2-З...Й	—
__	1 л (л-1)(л—2)
1-2.3...Л л п л	п
__ 1
“1-2.3...Л
Выражение для ап перепишется так:
вв = 1 + 1+172(1—т)+ь^з(1—й’)(1—4)+---
‘ • 1-2.3...Л \	п)\	п)	\	п Г
*—fi—lWi—iy..(i—«rzlY (26)
‘ 1-2.3...л \	л/V	nj	\	л /	K '
Покажем теперь, что ап с увеличением л возрастает.
В самом деле, если п увеличивается, то в любой скобке
(ь \
1—вычитаемое уменьшается и, следовательно, вся
скобка, оставаясь положительной, увеличивается, поэтому
увеличиваются все слагаемые (кроме двух первых) в выраже-
нии (26), кроме того, увеличивается число слагаемых в том
же выражении. Итак, ап с увеличением л увеличивается.
Покажем, что в то же время ап остается меньше 3.
Заменим в выражении (26) каждую скобку единицей. От
такой замены правая часть равенства (26) увеличится, так
как каждая скобка положительна и меньше единицы, и мы
получим неравенство
1 +1 + 1.2+ 1.2-3“Ь 1-2-3-4-Ь * •’
_1_____
•••Т1.2 3-4...л *
(27)
72
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. П
Заменим в последнем неравенстве в знаменателе каждого
члена все множители, большие 2, числом 2; от такой замены
знаменатели уменьшатся, а дроби увеличатся, и мы получим
! + ! +1.2+ 1.2.2+ 1-2-2-2“Ь • ••
• • •+1.2 •' А..: 2 = 1+1 + 4+ii + • ••+2^*
Суммируя геометрическую прогрессию, получим
a„<1+-j-4 = 1 + 2-2^<3.
Итак, ап остается меньше 3 при любом п.
Условия теоремы § 19 выполнены, следовательно, суще-
(1 \п
1-]--1 при /г—>оо; этот предел обозна-
чается буквой е\
lim f 1 4--1V = е.	(28)
И-400 \ П J
Теорема /. Последовательность
S„ = l
1	1-2  1 -2-3 ~	‘ 1.2-3,..»
при п —>-оо имеет пределом число е, т. е. lim Sn = е.
П->00
Прежде всего замечаем, что правая сторона неравенства
(27) есть не что иное, как S„, поэтому имеем
<>n<Sn>
(29)
с другой стороны, рассмотрим ат, где т> п, и запишем
для этого ат равенство (26), причем, переписывая для ат
равенство (26), явно выделим (п 1 )-й член этого равенства
(т. е. формально нам надо в равенстве (26) букву п заменить
буквой т* а в общем члене равенства букву k — буквой п).
число е
73
§20]
Имеем:
Отбросим в правой части последнего равенства все члены,
следующие за тогда, так как мы откидываем поло-
жительные числа, правая часть сделается меньше и
_____|---!___1 ( 1___Ц ( 1___2Л ( 1_______” —П
' 1-2-3...п\	т)\ т)	\ т )'
Оставляя п неизменным, будем стремить т к оо. Замечая
что lim ат = е (по определению числа е), а предел любой
1Я->ОО
из скобок
JLV fl——\	fl_«_=2\
mJ \ т J X т )
при т—►оо равен единице, и, переходя к пределу в послед-
нем неравенстве, имеем
14~1 + Ь2 4" 17Гз 4* • •• 4” 1.2.3...
Замечая, что правая часть последнего неравенства есть S„,
имеем
5й<е.	(30)
Объединяя оба неравенства (29) и (30) для S„ в одно,
получаем двойное неравенство:
а S <? е.
1) Это неравенство не может обратиться в равенство вследствие
определенности числа е и произвольности числа п. .
74
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. П
Замечая, что Пшая = е и lime = e (как предел постоянного),
W-4-00	Л~>00
по теореме 2 § 16 мы заключаем, что предел средней части
равен числу е, т. е. limS„ = e, что и требовалось доказать.
п-юо
Замечая, что е >> 5Л, определим величину ошибки, возни-
кающей при замене числа е величиной Sn. Для этого пока-
жем, что
э 9	%
е~ 1*2*3...(л 4-1) *
Вычтем из
1
1-2-3...п
1
1.2*3...л (л+ 1)
1
1-2-3. ..т
(где т>п) величину
Sn= 1 + т+Пг + • • • +1-2-3...я ’
Замечая, что первые (л-}-1) слагаемых в Sm те же, Зто
и в Sn, получаем
Sm	Ь2-3...(л4- l)~t~ ’ ’ * "Ь b2.3...m *
Вынесем
теперь общий множитель
1.2-3... (л4-1) За СК0<5"
ки, тогда
Sa~Sn— 1.2-3... (Л4-1) [ 1 +(«+2)+
+ (л 4- 2) (л 4-3) +
. 1
• (л4-2)...т
В квадратных скобках последнего равенства заменим все
множители в знаменателях числом 2, тогда знаменатели
уменьшатся, а поэтому дроби увеличатся, и мы получим
Sm~5»<1.2-3... (Л4-1) Р +'2+2^2+ ’ “ +2^] *
В квадратных скобках получается убывающая геометрическая
прогрессия со знаменателем у. Суммируя эту прогрессию и
считая ее бесконечной, что только усиливает неравенство^
§ 20]	число е	75
так как прибавляются положительные члены, найдем
sm—Sn <2'ь2.3...(л-|-1) *
Будем теперь неограниченно увеличивать ли, оставляя п
неизменным; так как limSOT = e, a S и	, бу-
«-♦00
дучи независимыми от ли, имеют пределы при т —► оо, рав-
ные им самим, то в пределе при т —♦ оо мы получим
е__с	?______
1-2-3... (л-j-l) ’
что и требовалось доказать.
Приближенное вычисление*.
Заметим, что если мы вычислим Sn при данном п и при-
мем полученную величину за число е, то, так как е — $п<С
<[“273—(и+Т)’ ошибка будет меньше, чем
2
1-2-3... (л-f-1) ‘
Вычислим, например,
S»=1 + T"i~b2~l~ • •• + 1.2.3-4-5-6-7-8 *
Имеем:
'	1 = 1,000000,
1 = 1,000000,
Л=0,500000,
1 -А
-* =0,166666... ,
5^ = 0,041866... ,
5^3=0,008333... ,
55,^ = 0.001388... ,
ьз-зти.?-0-000198- 
г.2;з.4^:7.8-°'°000024--- 
S, = 2,71828.
76
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. II
Так как
2
1«2«3*4»5-6-7*8*9
то, если положим 0 = 2,71828, ошибка будет заведомо меньше,
чем 0,000006. Число е (так же, как и число п) — ирра-
циональное. Приближенно £ = 2,718281828...
§21. Натуральные логарифмы
Число 0 = lim 1=2,718281828... принято за
основание системы логарифмов. Логарифмы чисел по основа’
нию 0 называются натуральными логарифмами. Натуральные
логарифмы обозначаются «InTV» вместо «log№>. В математи-
ческом анализе широко пользуются натуральными логарифмами
потому, что в натуральной системе логарифмов некоторые
формулы записываются проще.
Найдем связь между десятичным и натуральным логариф-
мами одного и того же числа N.
Положим lnN=j/; тогда N=ey. Прологарифмируем по
лученное равенство по основанию 10:
lg N—y 1g е, или, так как у = In N,
lgW=lnWlg0.	(31) :
Величина Ig0 = lg2,71828... =0,43429... называется
«модулем перехода» и обозначается буквой М:
Ж = 1g 0 = 0,43429...	(32)
По формуле (32), зная натуральный логарифм числа N,
можно находить десятичный. Для нахождения натурального ,
логарифма по данному десятичному перепишем формулу (31) j
так:
lnN=|y.	(33)
§ 22]
ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
77
Для удобства вычислений вводят еще величину, обратную
«модулю перехода»:
-1 = Л = 2,30258...	(34)
М 1g е ’
Например, по формуле (33) находим
In 2 = 1g 2 • 2,30258 = 0,30103 • 2,30258 = 0,69315,
In 10 = lg 10 • 2,30258 = 2,30258.
Отметим полезное равенство
logaMogsa=l.
В самом деле, обозначим
x = log4a,
следовательно, а = Ь*. Прологарифмируем обе части последнего
равенства с основанием логарифмов а; тогда
logaa = xloga£, или х = -^.
Сравнивая два выражения для х,
что и требовалось доказать.
имеем log»a = 15^7 ,
§ 22. Подпоследовательности
Подпоследовательностью данной последовательности на-
зывается последовательность, все члены которой принад-
лежат данной.
Например, последовательность четных чисел является под-
последовательностью всех целых чисел.
1 1 1
10’ 20’ 30’
1
, угг , ... является
’ Юл’
Последовательность
1 1 1
подпоследовательностью последовательности 1, -н-,	,
Л о
1
п ’ * ’ *
78
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. II
Теорема 1. Если данная последовательность имеет
предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот
же предел.
В самом деле, поскольку данная последовательность имеет
предел, то она имеет единственную точку сгущения, при-
чем какую бы окрестность точки сгущения мы ни взяли
вне этой окрестности, окажется лишь конечное число членов
последовательности, тем более вне этой произвольно выбран-
ной окрестности может лежать лишь конечное число членов
подпоследовательности. '
Таким образом, доказано, что подпоследовательность имеет
тот же предел, что и данная последовательность.
§ 23. Геометрические приложения
1°. Длина окружности. Впишем в окружность радиуса R
правильный многоугольник. Его периметр обозначим р0. Удво-
им число его сторон. Периметр полученного многоугольника
обозначим р/, повторяя операцию удвоения числа сторон мно-
гоугольника п раз, получим многоугольник, периметр которого
обозначим рп. Покажем теперь, что последовательность рп стре-
мится к пределу, когда п—>оо. В самом деле, периметр ра
увеличивается с увеличением п. Пусть АВ (черт. 29) — сторона
многоугольника с периметром тогда АС=СВ— стороны
многоугольника, полученного из предыдущего путем удвоения
числа сторон, но АС-\-СВ > АВ, и, следовательно, периметр рп+1
многоугольника с удвоенным числом сторон больше периметра
рп, т. е. рп+1^>рп- Итак, последовательность рп возрастает
с увеличением п. Теперь опишем произвольный многоугольник
EFGH, его периметр обозначим Р. Все рп меньше Р, так как
периметр всякого выпуклого многоугольника меньше периметра
любого другого многоугольника его объемлющего; итак, Pn<Z?
при любом п.
Значит, последовательность ра возрастает и в то же время
остается меньше Р; по теореме § 10 ра стремится к пределу
lim ра = 1.
Число I и есть длина окружности.
Покажем теперь, что периметры описанных правильных
многоугольников при неограниченном удвоении числа их сто-
рон стремятся к тому же пределу.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
79
§ 23]
Обозначим Ро периметр правильного описанного многоуголь-
ника, Р1 — периметр описанного многоугольника, полученного
удвоением числа сторон первого, ... , Рп — периметр опи-
санного многоугольника, полученного повторением операции
удвоения п раз. Затем обозначим через р0, р,, . . . , рп. . .
периметры одноименных правильных вписанных многоугольни-
ков, через ha и аа — апофему и сторону многоугольника
с периметром рп. Заметим теперь, что ап стремится к нулю
при п—>оо, так как число сторон многоугольника возрастает»
а периметр остается меньше Ро.
Вспомним, что периметры одноименных правильных много-
угольников относятся, как их апофемы (черт. 30), т. е.
но
Рп hn ’
следовательно,
80	ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	’ [ГЛ. II
переходя к пределу, получаем:
D	D
lim Pn = limpn lim —	.= lim рв •	= lim р0 = /,
Л *> CO W->OO П->ОО /	П.-+0О К П-+ОЭ
1/ R .
что и требовалось доказать ’).
Теорема. Отношение длины окружности к диаметру —
величина постоянная.
Рассмотрим две окружности С и С диаметров D и D'.
Впишем в эти окружности два правильных многоугольника
с одинаковым числом сторон. Будем неограниченно удваивать
число сторон обоих многоугольников. Пусть их периметры
после л-го удвоения соответственно равны рп и р’п. Пери-
метры одноименных правильных вписанных многоугольников
относятся, как их диаметры: ^-=~. Переходя к пределу и
Рп D
обозначая
	lim рп = 1 и lim = п -> 00	п -> 00
получим:	lim^-=-L = g, п->оо рп	‘	и
	
или	1 	 V
	D ~~О' ’
т. е. отношение длины
для всех окружностей.
Постоянная -^=^>
окружности к диаметру одно и то же
обозначается буквой я, откуда
/ = п£> = 2тс/?,
т. е. длина окружности равна произведению числа п на
удвоенный радиус.
1) Можно доказать, что предел I последовательности рп не зави^
сит от выбора исходного вписанного многоугольника с периметром р0.
Можно доказать, что к тому же пределу I стремятся любые последо-
вательности периметров вписанных многоугольников (даже неправиль-
ных), если только длина наибольшей стороны многоугольника стре-
мится к нулю и все многоугольники содержат центр окружности
§ 23]	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
81
2°. Площадь круга. Площадь круга равна произведению
числа п на квадрат радиуса, т. е. 5 = тг/?2, где S — пло-
щадь круга, a R— радиус.
Впишем в окружность правильный многоугольник и будем
неограниченно удваивать число его сторон. Пусть Sn — пло-
щадь, рп — периметр, hn — апофема, ап — сторона много-
угольника, полученного после /z-го удвоения.
Площадь правильного многоугольника равна половине про-
изведения периметра на апофему:
$п 2
переходя к пределу при п—> оо, имеем:
lim S„ = lim lim
п -> 00	« -*00 П -► 00
2kR-R = kR*.
Так как предел Sn при п —>оо есть площадь круга, то
5=п/?2.
Зная длину окружности и площадь круга, легко вычислить
поверхности и объемы цилиндра и прямого конуса.
Ограничимся вычислением боковой поверхности прямого
конуса.
3°. Боковая поверхность конуса. Боковая поверхность
прямого конуса равна произведению длины окружности
основания на половину образующей, т. е.
Л = 2п/?-4-/=п/г/,
г
где А — поверхность конуса, R — радиус основания, /—обра-
зующая.
Впишем в конус правильную пирамиду и будем удваивать
число сторон правильного многоугольника, лежащего в основа-
нии пирамиды,
82	ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ	[гл. п
Пусть Ап — площадь боковой поверхности, рп — периметр
многоугольника основания, hn — апофема, ап — сторона пра-
вильного многоугольника основания пирамиды после л-го
удвоения числа сторон основания (черт. 31).
Боковая поверхность правильной пирамиды равна полови-
Переходя к пределу при л, стремящемся к бесконечности,
имеем:	_______ ।
lim Дл = 4 lim рп- lim 1/ /2—	1
НО
lim рп = 2ttAJ, lim 1/ I* — -г = 1,
П-*00	П 00 Г	4
следовательно,
lim Лл = -^2тг/?-/=п/?7,
что и дает величину боковой поверхности конуса.
§ 24. Предел функции
Для определения понятия предела функции y±=f(x) при х, $
стремящемся к а, т. е. при х —► а, поступим так: возьмем 1
произвольную последовательность значений аргумента	J
стремящуюся к а, т, е. такую, что lim хп = а. Таких после* Я
» оо	1


§ 24]
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
83
довательностей можно выбрать бесчисленное множество. Каж-
дой такой последовательности значений ^хп} соответствует
последовательность значений функции {/(*„)} или если, поло-
жить уп = /(хп), последовательность (черт. 32). Все
последовательности {хп) мы
предполагаем, очевидно, при-
надлежащими области опре-
деления функции.
Если предел любой та-
кой последовательности
где yn=f(xn). существует
и один и тот же для всех
последовательностей {х„)> при
условии, что lim х„ = а, то
П 00
этот общий предел и называется пределом функции /(х) при
х—>а. Обозначим общий предел буквой Ь9 тогда это запи-
шется так:
lim /(х) = й.
х а
Определение. Пределом функции f(x) при х—>а на-
зывается общийпредел последовательностей значений
функции {/(х„)}, составленных для любых последователь-
ностей значений аргумента {хп}9 стремящихся к а, т. е.
если lim /(хп) = £, какова бы ни была последовательность
п 00
{хл}, лишь бы limxn=xa, то b называют пределом функции
п -> 00
и записывают это так: lim/(x) = £. Определение сохраняет
х -♦ а
силу и для случая, если вместо числа а поставить один из
символов оо, —оо или оо. В дальнейшем мы это и будем
иметь в виду.
х) Можно доказать, что если предел {/(xrt) | существует, какую
бы мы последовательность {хп}, такую, что хп —► а, ни выбрали, то
этот предел будет общим для всех последовательностей. В самом деле,
если бы lim / (х*) = £*, а Вт / (х**) = д** и £** уь &*, то предел
х„ •+ а	х а
п	п
значений функции по последовательности х*, хх,. ..,xrt, х£ , т.е.
предел последовательности /(х*), /(х^*), ..., /(х*), /(х^*), ... не су-
ществовал бы, так как последняя имеет две точки сгущения
д* и 6**.
84
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. II
Замечание. Если по одной последовательности {лгл},
такой, что хп—последовательность {/(хл)} имеет один
предел, а по другой последовательности {х*}, такой, что
х‘—последовательность {/(х*)} имеет другой предел, то
общего предела нет и функция при х—предела не имеет.
Очевидно, функция не имеет предела при х—если по
какой-либо последовательности хп —► а, последовательность
{/(х„)} предела не имеет.
Определение* Бесконечно малой (функцией) при х—
называют функцию, имеющую предел, равный нулю при
х —► а, т. е. а (х) — бесконечно малая при х —► а, если
lim а (х) — 0.
х -> а
Теорема L Число b тогда и только тогда является
пределом функции /(х) при х—*а, если функция /(х) от-
личается от Ъ на бесконечно малую при х—>а, т. е. если
равенство	/(x) = £-f-a(x),	(35)
где а(х) — бесконечно малая при х—► «, имеет место, то
lim /(х) = Ь, и, наоборот, если lim /(х) = Ь, то а (х) =/(х) — b
х-> а	х->а
является бесконечно малой при х—>а.
Из того, что утверждения теоремы справедливы для любой
последовательности {хп}, такой, что хп—>а (теорема 1 § 14),
следует справедливость нашей теоремы.
Пример 1. Докажем, что lim х1 = 0, где I=— — ра-
х->о	Q
циональное положительное число. Возьмем произвольную после-
довательность {xw} такую, что lim хп = 0. Тогда, в силу
п 00
теорем о пределе степени и пределе корня имеем
lira х1„ = Пт хрп = 0.
« оо п -► оо
_	_	,	I /(х) = sin —
Пример 2. Рассмотрим функцию <	*
I Д0) = 0.
(см. черт. 33). В точках хп = ^(л=+1, +2, •••»+«>•••)
имеем /(x„) = sin nn=0, кроме того limxn= lim — =0, по-
п 00 Я 00 пк
этому lim/(х„)=0.
а оо
§ 24]	предел функции	85
В точках х*п = —-— имеем /(x*) = sin Г-£-}-2/m) = 1,
4 + 2ик	4	7
&
но lim x* = lim --J---= 0, поэтому lim/(x*)=l.
лн-оо	^-4-2м	"-♦®
&
Таким образом, по последовательностям {хп} и {х*}, стре-
мящимся к нулю, пределы значений функции разные. Значит,
предела функции при х—>0 нет.
/ । 1 V
Теорема 1. Предел функции /(х) = ( 1 +^-) как при
х—►—|—оо, так и при х—+ — оо равен числу е, т. е.
lim (1 -1—=е и lim fl -4~—= е.
X -► 4" ОО \	оо\ х/
Рассмотрим сначала случай х—► Ц-оо. Возьмем произволь-
ную последовательность {хл}, лишь бы хп—►	Любой
член последовательности хп можно записать так: хп = тп -р а„,
где тп— целая часть числа хй, т. е. число целых единиц,
заключающихся в числе хп; очевидно, О «с <1.
Когда хп—^4-оо, то и тп—►-|“°°* Имеем неравенства
«»<*«<'»»+!;	.	(36)
но тогда
_L_<JL<_L
"i« + i *«
86
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. II
или, прибавляя по 1 ко всем частям неравенства, получим:
Н------зп<1 + -<1+—.
1 хп тп
Возведем левую часть последнего неравенства в степень /ил,
среднюю часть — в степень хл, а правую часть — в степень
тл-|-1; этим самым мы в силу неравенства (36) последнее
неравенство только усилим. Получим:
Воспользуемся теоремой о подпоследовательностях (теорема 1
§ 22) и найдем пределы:
и
Поэтому, по теореме о пределе в двойном неравенстве (тео-
рема 2 § 16), имеем:
lim (1 Vя = е.
жл оо \	*п)
Так как последовательность хп —►	00 — произвольная, то
Пусть теперь х—►— оо. Заменим х через—j, тогда при
х—► — оо, очевидно, у—►-J-oo и
Теорема доказана.
§ 25]
СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
87
§ 25. Свойства пределов функций
Следующие теоремы, доказанные для последовательностей,
имеют место и для функций.
Теорема 1. Предел суммы двух функций равен сумме
их пределов, если эти последние существуют, т. е. если
lira fl{x) = bl, a lim /, {x) = bt,
x^ а	x-+ а
TO
lim [/, (x) + Д (x)]=bt 4- bt.
x а
Теорема 2. Предел произведения двух функций равен
произведению их пределов, если эти последние существуют,
т. е. если
lim (х) = blt a lim /, (х) = bt,
х + а	х-+ а
ТО
lim Д(х)Д(х) = >Д.
х-+ а
Теорема 3. Предел частного двух функций равен част-
ному их пределов, если эти последние существуют и пре-
дел знаменателя не равен нулю, т. е. если
lim/,(x) = ^l, a liraft{x) = bt7^О,
х -* а	х а
ТО

Пт
х -► а
Справедливость этих теорем очевидна, так как они имеют
место для последовательностей.
В самом деле, докажем для примера теорему 3.
Возьмем произвольную последовательность {хп}, такую,
что хл—Тогда согласно определению предела функций
lim /, (xn) = bt
х + а
и lim ft(xn) = bt*£0,
х -» а
и по теореме о
(теорема 3 § 15)
пределе частного для последовательностей
имеем
lim
л Ф
/1 (хп)

88
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. П
Поскольку последнее равенство справедливо для любой после-
довательности {хп}, для которой хп—>а, то по опреде-
лению
Аналогично доказываются и теоремы 1 и 2.
Также имеют место теоремы 4 и 5 из § 15 о пределе
степени и корня.
Теорема 4. Если
lim Д (х) = blt lim Д (х) = bt и Д (х) sS Д (х),
х -> а	х а
то
Теорема 5. Если
Пт Д (х) == b, lim Д (х) = b и Д (х)<<р(х)<Д (х),
х -> а	х а
то
lim <р(х) = £.
х -> а
Справедливость этих теорем немедленно следует из соот-
ветствующих теорем для последовательностей (теоремы 1, 2
§ 16).
Определение /. Функция f(x) называется положи-
тельной (отрицательной) бесконечно большой при х—>а,
если для любой последовательности {*„}, такой, что
хп—последовательность значений функции {/(*„)} бу-
дет положительной (отрицательной) бесконечно большой.
Записывается это так:
lim /(х) = 4'°° (lim /(х) = —°°)*
х -> а	х -> а
Определение 2. Функция f(xy называется бесконечно
большой при х —►а, если |/(х) | — положительная бесконечно
большая.
Записывается это так:
lim /(х) = оо.
х-+а
§ 25]	СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ	89
Теорема 6. Обратная (по величине) бесконечно боль-
шой при х—*а — бесконечно малая, т. е. если
Ит/(х) = оо,
х -► а
ТО
ли.да=о-
Теорема 7. Обратная бесконечно малой при х—>а, не
обращающейся в окрестности точки а в нуль,— бесконечно
большая, т. е. если
Um /(х) = 0,
х а
ТО
1*	1
11Ш --Г—= оо.
х^а fW
Теоремы следуют из соответствующих теорем для последова-
тельностей (теоремы 1 и 2 § 17).
Очевидно, имеют место теоремы о сумме бесконечно ма-
лых функций и о произведении бесконечно малой на ограни-
ченную.
Пример 1. lim —=0; это очевидно, потому что при
х -> оо х
х—► оо величина х является бесконечно большой, а обратная
бесконечно большой есть бесконечно малая и поэтому стре-
мится к нулю.
Пример 2. Также очевидно, что lim = О, где k > 0.
ОО
1 — X
Пример 3. Найти lim 75—5-3.
Применить непосредственно теорему о пределе дроби мы
не можем, так как предел знаменателя равен нулю. Обращаем
внимание, что предел числителя также равен нулю. (Если бы
предел числителя не был равен нулю, то наша дробь, как
величина, обратная бесконечно малой, была бы бесконечно
большой.) Для нахождения предела преобразуем нашу дробь:
1— х 1— х _______	1— х _____	1
2 — 2х2	2(1 -х2)~2(1 -х)(1 4-х) —2(1 -f-х)’
90
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[ГЛ. П
тогда
lim 9^75= lim 97т4гп = Т' так как lim (1+х) = 2«
ж -> 1 — 2Х ж -» 1 J Iх Т О 4	ж I
х 2
Пример 4. Найти lim -7—---т=.
ж-2/х2-2-/2
Здесь также пределы числителя и знаменателя равны нулю.
Преобразуем наше выражение:
х-2	_ (х-2)(Ух^З+У1) =
Ух’— 2 —УТ	(х’-2)-2
— (x-2)(V xt-2 + Tr2) _	+	.
х* — 4	х + 2	’
тогда
х —2	.. Ухг-2 + У~2 2 У 2 yi
lim -д- .  т= = lim  ----—-— = —-— = -—.
хч,2 Ух»-2-У2	Ж-+2	х4-2	4	2
£
Пример 5. Найти lim (1 4_J,)3/<
>->о
Положим j = тогда х = 7 и если у —»-0, то х—* оо,
*	У
следовательно,
1	X	1
А"1.’1 +-^=, (' +т)т= А. [( 44)Т=
— е3 =
(8 \*
1 ---j а
8	1	х
Положим — = у; тогда j =	и у стремится к оо,
когда х стремится к оо; имеем:
limf1+±r= lim Г1+1У'=
Х->00\	У-> 00 \ yj
= -[(+7)7=-
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IT
91
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II
К § 9
1.	Показать, что 21 db | «С а2 +
2.	Показать, что —	уг[ ab \.
_ гт	I а I |я|
3.	Показать, что | у | = ~~.
4.	Показать, что если а < b < с, то \Ь | меньше наибольшей из
величин | а | и | с |.
5.	Показать, что если ] а | < а, то — а < а < в.
К §§ 10, И, 12
6.	Построить точки, изображающие последовательность
_ ___П 1	__19Q п
ап— — , п—I, 2, 3, ..я, ...
7.
8.
Построить точки, изображающие последовательность
1-4-2П2	, п
Ч, л = 1, 2, ..., я, ...
п п* ’
Построить точки, изображающие последовательность
_(2я)2-|-1	.
2п — (2л)2 ’	’
^«+1 = (2Л^17' л = 0’1............
Указать точки сгущения.
Отв. Точки сгущения 0 и 1.
9. Построить точки и указать точки сгущения последовательности
а2п = (—1)”Х, л = 1, 2, 3,... л,...; л2в+1 = л, л=1,2.....л,...
&Т1
Отв. Точка сгущения 0.
10. Привести пример последовательности, имеющей точками сгу-
щения точки—2 и 2.
И. Построить точки, найти точки сгущения и указать, какие
последовательности имеют предел:
а) <r2B = £i2, л = 1, 2,..., л,...; д2в+1=2л, л=1,2,...,л...
Отв. Точка сгущения 1. Предела не существует.
® «п=Цг^- + 2, я=1, 2...........л,...
Отв. Предел равен 2.
в) ап = п\ я=1, 2,..., я,...
Отв. Нет точки сгущения.
92
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[гл. п
к §§ 13,18
Найти пределы следующих последовательностей:
12.1im (2+-1--U. отв. 2.
а->оо \ 1 п пг )
14. lim Л->ОО	Зл’ _ n 1 2л’4-л •	Отв. -у
15. lim	2^ - л» 4-2л 4-1	Отв. 2.
«->ОО	п* 4-1	
16. Пт	Зй* + Л +1	Отв. 0.
«->00	Л4 + п	
К §§ 19
Найти пределы последовательностей:
17. lim	.	Отв. 0. «->4-оо 1 -г2
18-Дт+оо(2 /3 - 1).	Отв. 1.
/ 4 V
2(4) +1 19. lim \ 5 /	।
«->4-со /1 \«	•	Отв. —
Чт) -3	3
К § 20
20.11т (1+4Т-	Отв. еа.
П-+ОО \	nJ
/	1 \«2
21. lim (1	г ) .	Отв. е”1.
«->00 \
/	1 X 2ПЗ
22. Нт (1 -4- —я) .	Отв. Л
«->00 \	п /
/ 1 \£«а
23. lim (1 — -~2) •	Отв. e~k. «->00 \	" /
К § 21
Найти натуральные логарифмы:
24.	а) In 3; б) In 6; в) In 5; г) In 1000.
Отв. а) 1,09861; б) 1,79176; в) 1,60944; г) 6,90776.
25.	Найти: а) 1пе‘; б) In в) е1»’. Отв. а) 2; б) — 1; в) 5.
26.	Доказать, что In 10-lge = l и, следовательно, что -^ = 1п 10.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II
93
27. lim
х -> 5
/х-1-2
х — 5
К §§ 24, 25
Отв. -у.
/1-Х-/14-Х
28.	lim ----------------Отв.— 1.
х->0	л
*•5 _ 1
29.	lim ---г .	Отв. 3.
Х-+1 Х — 1
лл v 2х8 4- Зх2 — х п а 1
30.	hm —. Отв. —	.
*->о	°
31.	lim *	3&Г~”2* Отв' L
v —ь 2 ОХ ““* ОХ ““ £
32.	lim Уу + Ь — Уу
л->о h
33.	lim (/ьр-/0-
t->00
£
34.	lim (14-0‘-
t —► О
I	1X1
35.	lim (1 — 4) .
t->00 \	* J
( t
86.1im ш .
/->00 \1
Отв. —.
2Vy
Отв. 0.
Отв. e5.
Отв. —.
e
Отв. —.
e
ГЛАВА III
ПРОИЗВОДНАЯ
В предыдущих двух главах мы познакомились с понятием
функции и учением о пределах. Мы видели, что многочислен-
ные задачи геометрии, физики и других дисциплин приводят
нас к необходимости рассмотрения различных функциональных
зависимостей. Отсюда становится ясным то громадное значение,
которое имеет для приложений математический анализ, осно-
вная задача которого заключается в разработке методов иссле-
дования общих функциональных зависимостей. Первые вопросы,
естественно возникающие при рассмотрении той или иной
функции, будут:
а)	как изменяется функция, т. е. увеличивается ли она
при возрастании аргумента или, наоборот, уменьшается;
б)	существуют ли такие значения аргумента, при которых
возрастание функции сменяется убыванием и убывание — возра-
станием, и если существуют, то как их найти;
в)	определить скорость изменения функции в зависимости
от аргумента.
Все эти вопросы, а также и многие другие вполне раз-
решаются в дифференциальном исчислении, элементы которого
и излагаются в последующих трех главах. Прежде чем пе-
рейти к определению основной операции дифференциального
исчисления и выводу правил ее составления, мы рассмотрим одну
геометрическую задачу общего характера о проведении каса-
тельной к данной кривой в данной на ней точке; решение этой
задачи приведет нас к понятию производной от данной функ-
ции — основному понятию дифференциального исчисления. При-
ступая к решению этой задачи, мы предварительно рассмотрим
классификацию функций на непрерывные и разрывные, тесно
связанную с теорией пределов.
§ 26]
ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ
95
§ 26. Приращение функции
Рассмотрим функцию y=f(x). График этой функции изо-
бражен на черт. 34. Дадим аргументу какое-либо значение х,
тогда значение функции при этом значении аргумента будет
равно /(х). На чертеже это значение изобразится ординатой
NM в точке х.
Перейдем теперь к другому
значению аргумента х', тогда функ-
ция получит новое значение, рав-
ное /(х'). Это значение изобра-
зится ординатой N'M' в точке х'.
Разность между новым и пер-
воначальным значением аргумен-
та, т. е.х' — х, называется при-
ращением аргумента; разность
значений функций, т. е.
f(x’)—f(x), называется приращением функции (при пере-
ходе от значения аргумента х к значению х') в точке х.
Геометрически приращение аргумента изображается направ-
ленным отрезком NN' = x' — х, а соответствующее прираще-
ние функции — направленным отрезком КМ' =f(x')—f(x).
Приращение переменной обозначается буквой Д (дельта).
Так, например, Дх означает приращение х, Ду означает при-
ращение у, AZ(x) означает приращение /(х) и т. п.
Пользуясь этими обозначениями и полагая j=/(x), мы
имеем
Дх = х' — х,	(38)
Ду=/(х')-/(х).’	(39)
Из равенства (38) следует, что
(40)
Вставляя полученное выражение для х' в (39), получаем
Ду=/(х-|-Дх) — f(x).	(41)
Пример 1. Если у = 2хг, то/(х) = 2х* и /(х-|-Дх) =
= 2 (х-[~ Дх)‘, и согласно (41) получаем Ду = 2 (x-j-Дх)‘—
— 2х‘, откуда, раскрывая скобки, получаем Ду = 2х‘4-
-}-4х Дх4-2(Дх)’— 2хг =»4х Дх-|~2(Дх)*.
96
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. «I
П р и м е р 2. Если у — sin х, то f(x) = sin х и /(х Ах) —
= sin (х 4" Дх), тогда согласно (22) имеем Ду = sin (х -|- Ах) —
— sin х.
Преобразуя последнее выражение по формуле для раз-
ности синусов, получаем
. о . Дх ( . Дх\
Ду = 2 sin cos ( х ~2“).
Значение функции y—f(x) в точке х-[-Дх, т. е.
/(х-}-Дх), называют наращенным значением функции.
Из формулы (41) имеем, что
/(х + Дх)=/(х)4-Ду,	(42)
ИЛИ
y-j-Ay=/(x-f-Ax).	(43)
Следует обратить внимание, что наращенное значение
функции у ^by=f(x-\-bx) = N'Mf равняется первоначаль-.
ному значению функции, которое мы обозначили y=f(x) =
= NM = N'K, плюс приращение функции Ду = КМ (черт. 34),
т. е.	+	.
Равенство (41) дает нам общее выражение для приращения
функции. Приращение функции Ду=/(х-|~Ах)—/(х) зави-
сит от значения аргумента х и от значения при-
ращения аргумента Дх. Задавая числовые значения х и
Дх, мы сможем вычислить соответствующие числовые значения
Ду; например, если мы в примере 1 зададим значения х = 3,
а Дх — 0,3 то приращение функции Ду = 4х Дх -|- 2 (Дх)2 получит
значение, равное 4«3• 0,3 4~2*(0,3)2 = 3,78; давая другие зна-
чения независимой переменной х и ее приращению Дх, мы
будем получать соответствующие значения для Ду.
Подстановка в данное выражение значений входящих в него
величин обозначается вертикальной чертой с пометкой внизу,
какие значения придаются тем или иным величинам, входящим
в данное выражение.
Так, например: 1) Ду|^»о,з означает, что Ду вычисляется
для значений х=1, Дх = 0,3; 2) Ьу | х==2 означает, что Ду
вычисляется для х = 2, а так как нет указания относитель-
но Дх, то это означает, что Дх остается произвольной;
§ 26]
ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ
97
3) (/2 —3/-Д/ — 8) I * означает, что выражение в скобках
I 4
берется при значениях t = — 1 и Д/=-^-, т. е.
(/2 —ЗЛД/ —8)
(=-? = (-Пг + 3.14-8 = —
4
И т. п.
Итак, мы можем давать произвольные значения аргументу
и приращению аргумента.
Обратим внимание на то, что положительному приращению
аргумента геометрически соответствует передвижение точки х
вправо (т. е. в положительном направлении оси х), потому что
если Дх>0, то х' = х-\-кх>х (черт. 35). Если Дх<0
(т. е. отрицательно), то х' = х-|- Дх <х, и точка х пере-
двигается влево (т. е. в отрицательном направлении оси х)
(черт. 36). Приращения функции также могут быть как поло-
жительными, так и отрицательными.
На черт. 35 мы видим, что Ду = Л7И'<0. Черт. 36 дает
пример Ду = /СЛГ>0.
Пример 3. Вычислить Ду | дх==з если у•
Наращенное значение функции
3,+ду=/(х-НДх) = я^,
Ду= ’________± = _=^_
' х -|- Дх х х (х + Дх)
4
И. И. Привалов и С. А. Гальперн
98
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
и
Ду| х=з =-L=-£.
-Л|дх=— 1	3*2	6
Пример 4. Вычислить Ду |	5» еслиУ — 2x*+i *
Наращенное значение функции
3/ + Ду=/(х + Дх) =
% + Дх
2(х4-Дх)«4-Г
х-|~ Дх
2(х4-Дх)24-1
х
2х* + 1

и
А I -1	—	1—0,5	1
Лу I ^=-0,5 — 2(1 - 0.5)1 +1	24*4-1
§ 27. Понятие непрерывности функции
Определение. Функция называется непрерывной в дан-
ной точке, если предел приращения функции в этой точке
при стремящемся к нулю
нулю, т. е. функция у = /(х)
приращении аргумента равен
непрерывна в точке х, если
lim Ду = 0.
дх->о	(44)
Из определения непрерывно-
сти следует, что если функция
непрерывна в точке х, то ве-
личина Ду— бесконечно малая
при бесконечно малой Дх, и на-
оборот, если в некоторой точ-
ке х Ду — величина бесконечно
малая при бесконечно малой Дх,
то функция будет непрерывной
в этой точке.
Геометрически приращение функции Ду =/(х Дх) —
о—/(х) изображается отрезком КМ' — N’M'— NM (черт. 37),
причем на черт. 37 отрезок КМ' построен как для положи-
тельных значений Дх (справа от точки х), так и для отрица-
тельных значений Дх (слева от точки х). Будем теперь точку N'
§ 27]	ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ	99
(безразлично, слева или справа от точки х) приближать к точке
У, тогда Л/7\Г = Дх—*0, и если при этом ку = КМ' также
стремится к нулю, то функция будет непрерывна в этой точке;
обратно, если функция непрерывна в точке х, то отрезок
/<ЛГ—>0 (как слева, так и справа от точки х).
Определение. Если функция непрерывна во всех точках
некоторого отрезка оси абсцисс, то такая функция назы-
вается непрерывной, на этом отрезке.
Черт. 38.
Наглядно график всякой
ляет линию без «разрывов»,
хотя эта линия может быть
и очень сложной структуры.
Например, она может иметь
очень большое число «изло-
мов», представлять очень
волнистую линию и т. п.
(черт. 38).
Черт. 39 дает пример
функции, непрерывной во всех
точках (где вычерчен гра-
фик), за исключением
точки а. Наша функция
непрерывной функции представ-
так сказать, «сплошную» линию,
Черт. 39.
у=/(х) определяется гра-	______
фиком черт. 39, причем, как указывает график, ордината NlM1
в точке а равная, т. е. NlM1—f{a) = b. Может возникнуть
вопрос: почему f(a) = b и почему f(a) не равно с или какому-
либо иному числу? Этот вопрос не имеет смысла, потому
4*
100
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
что, согласно определению понятия функции (§ 3), функция
должна иметь одно вполне определенное значение
для каждого значения аргумента, следовательно, и для значения
аргумента, равного а. При х = а мы определили нашу функ-
цию так, что /(а) = £. Если бы мы считали, что /(а) = с
или /(а) равно какому-либо иному значению, то получили бы
новую функцию, отличную от данной (ибо она отличалась бы
от данной функции значением, которое она принимает в точке а).
Покажем теперь, что условие непрерывности функции в точке а
не выполнено.
В самом деле, ^y\x^a = KMf1 к нулю не стремится, если
Дх стремится к нулю по положительным значениям (т. е.
справа), а стремится к с — Ъ. Поэтому функция в точке а
имеет разрыв.
Иногда удобнее условие непрерывности (44) пред-
ставить в иной форме.
Мы знаем, что Ду=/(х-|- Дх)—/(х). Подставляя это
выражение в (44), получим
lim [/(х 4~ Дх) — /(х)] = 0.
Лх-*0
Так как предел разности равен разности пределов, то имеем
lim /(х-4-Дх)—lim/(x)=0. Заметив, что lim/(x)=/(x),
Дх-+0	Дх~>0	Дх->0
потому что /(х) не изменяется при данном х и при изменяю-
щемся Дх, получим
lim/(x Дх) =/(х).	(45)
Лх-»0
Полагая х-\-Ьх=х' и замечая, что х'—+х при Дх—*0,
перепишем (45) в виде
lim/(x')=/(x).	(46)
Xf-+X
Обратно, если условие (45) или (46) выполнено, то функ-
ция непрерывна; действительно, если
lim /(х 4- Дх) = /(х),
Дх-*о
то
lim [/(*+Дх)—/(х)] = 0,
Дх->0
или
lim Ду = 0.
Дх-М)
§ 27]	ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ	101
Итак, условие непрерывности (44) может быть заменено
условием (45) или, что то же самое, (46).
Таким образом, определение непрерывности может быть
заменено следующим ему эквивалентным:
Определение. Функция называется непрерывной в дан-
ной точке, если предел значений функции, когда аргумент
стремится к данной точке, равен значению функции в этой
точке.
Обращаясь к черт. 37, на котором f(x-\-kx) = N'M',
f(x) = NM, мы видим, что геометрически условие (45) озна-
чает: lim N'M' = NM, т. е. величина ординаты в точке N'
стремится к величине ординаты в точке /V, когда точка N'
стремится к точке N (это должно иметь место независимо
от того, будет ли точка N' стремиться kN справа или слева
от точки /V).
На черт. 39 N[Mi не стремится к NJM^ поэтому функ-
ция разрывна.
Пример 1. Исследуем непрерывность функции у = --j-j
при х=/з 1.
Имеем
^ + Ду=/(х + М = Яр^—[
И
А _	1	1 ___х—1-х —Дх+1________
х-|-Дх —1	х-1~~(х + Дх- 1)(х- 1)“
__	— Дх
(х 4~ Дх — 1)(х — 1) *
При всяком х, не равном единице,
hmAj =	+	_ 1)(JC _ i> = °-
В самом деле, предел знаменателя, равный (х—I)2, не
обращается в нуль, так как по предположению х 1, предел
числителя равен нулю, и, следовательно, предел дроби равен
нулю.
Итак, во всякой точке х^= 1 условие (44) выполнено и,
следовательно, функция непрерывна.
102
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
Для исследования непрерывности функции в точке х = 1
предварительно построим ее график. Составляем таблицу:
X	— 2	— 1	0	0,5	0,75	1,25	1,5	2	3	4
У	3	1 2	-1	— 2	-4	4	2	1	1 2	1 3
Строим кривую (черт. 40).
При значении х = 1 функция не определена, так как
знаменатель обращается в нуль, а делить на нуль нельзя; с
другой стороны,
Черт. 40.
lim у = оо,
Х-+1
потому что знаменатель
стремится к нулю, а вели-
чина, обратная бесконечно
малой,— бесконечно боль-
шая. Поэтому какое бы
мы определенное значение
функции в точке х= 1 ни
приписали, т. е. какую бы
мы ординату NJMt =f (1)
ни взяли, /(1
не может иметь пределом
/(1)==^Ж1, потому что
lim = оо. Условие
(45) в точке х—1 не
выполнено, и функция
имеет в этой точке раз-
рыв, что наглядно можно
усмотреть из чертежа.
Рассуждения примера 1 можно повторить и для любой
функции y=f(x) в тех точках х^ где lim/(x) = oo. В са-
Х-+Х1
мом деле, если 1йп/(х) = оо, то lim/(x) не может равняться
X-*Xt	X-*Xi
f(xt)y ибо /(xj должно быть, согласно определению понятия
функций, определенным числом; поэтому функция в этих точ-
ках имеет разрывы.
§ 27]
ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
103
Итак, если lim/(x) = oo, то функция имеет раз-
рыв в точке
Пример 2. Так как lim tgx = oo, то функция имеет
Л
разрыв в точке х. ==-£•.
С другой стороны, мы знаем, что igx имеет период тг,
и, следовательно, tgx—>оо, когда х—► у4-лтс(где Л=±Ь
+2, Ч-З,...,	...). Поэтому во всех точках х=^-Ч-
+ /ит (где л = ± 1, ±2, ±3,...) функция j/ = tgx будет
иметь разрывы.
Давая значения х и вычисляя значения у, получаем гра-
фик y = tgx (тангенсоида) (черт. 41).
104
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
2
Пример 3. Функция j = (х_ 1)8(х +t){х +~3у имеет раз-
рывы в точках х, = 1, xt = — 1 и ха = — 3, потому
ЧТО
2
“у(»-1>(»+1><«+з>=“
и аналогично lim v = oo и lim _у = оо (черт. 42).
х=-1	х=-з
Примечание. Графики функций около точек разрыва
могут иметь более сложную структуру, чем разобранные здесь.
Примером такой функции может служить функция, рассмотрен-
ная в § 24 (пример 2), имеющая разрыв в точке 0.
§ 28]
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
105
§ 28. Простейшие свойства непрерывных функций.
Непрерывность некоторых функций
Отметим следующие свойства непрерывных функций.
1°. Если функции f(x) и ср(х) непрерывны в данной точ-
ке, то их сумма	(х) будет функцией непрерывной
в этой точке.
В самом деле, обозначим точку непрерывности функций
j/=/(x) и у = (р(х) через а, тогда в силу определения не-
прерывности lim f (х) = / (а) и lim ср (х) = ср (а), но в силу
х~+а	х-ьа
теоремы о пределе суммы имеем
lim [/ (х) -j- ср (х)] = lim / (х)	lim ср (х) = / (a) -J- <р (а),
х-+а	х~*а	х-*а
что и требовалось доказать.
2°. Если две функции f(x) и ср(х) непрерывны в дан-
ной точке, то их произведение /(х)ср(х) будет функцией
непрерывной в этой точке.
Пусть f (х) и ср (х) непрерывны в точке а, тогда lim/(x)=
х-*а
=f(a) и lim ср (х) = ср (а), но в силу теоремы о пределе про-
х->а
изведения мы имеем
lim/(х) ср (х)=lim f (х) lim ср (х) =/(а) ср (а),
х-*а
что и требовалось доказать.
3°. Если две функции f(x) и <р(х) непрерывны в данной
точке, то их частное будет функцией, непрерывной в
этой точке, если только знаменатель ср (х) не обращается
в этой точке в нуль.
Пусть / (х) и ср (х) непрерывны в точке а, тогда lim/(x)=
х~+а
=f(a) и lim ср (х) = ср (а), причем по предположению ср (а)	0.
х-+а
Но по теореме о пределе дроби имеем
ит/(х)
f (х) х~*а _____
lim limcfW ?(«)’
x-*a t W x-*a
что и требовалось доказать.
106
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. in
Докажем теперь непрерывность некоторых функций.
4°. Функция у = х непрерывна при всех значениях х.
В самом деле, Ду = Дх и lire Ду = lim Дх = 0. Отсюда сле-
Дх->0	Дх->0
дует, что функции у = х\ у = х\..., у=хп, являясь про-
изведениями всюду непрерывных функций, всюду непрерывны.
Следовательно, функция
У =	+ aSn-1 + • • • + ап-Xх + «П.
являясь суммой всюду непрерывных функций, будет функцией
всюду непрерывной. Эта функция называется многочленом или
полиномом.
5°. Функция^ =	‘ является ЧЗСТНЫМ
двух многочленов. Эта функция называется рациональной функ-
цией или рациональной дробью.
Рациональная дробь, являясь частным двух всюду непре-
рывных функций, будет непрерывной, за исключением, быть
может, точек, в которых знаменатель обращается в нуль.
6°. Функция у = ^/~х является непрерывной для всех зна-
чений х, для которых она определена. (При нечетном п функ-
ция определена для всех х, а при четном п функция опреде-
лена для х^О.)
В силу теоремы о пределе корня имеем lim {/х”= у^а, а
х-*а
функция fy^x непрерывна.
7°. Тригонометрические функцииу =
= sin х и у = cos х всюду непрерывны.
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Синус положительного уг-
ла меньше угла, измеренного в ра-
дианах, т. е.
sin х < х,
если х^>0.
Возьмем в
рый угол <£
обозначим
круге радиуса 1 ост-
ВОА
(черт. 43); его
через х и рассмотрим
угол
радианную меру
СОА = 2х; тогда хорда СА будет меньше дуги СВА, т. е.
СА<СВА,
§ 28] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 107
н0 СА = 2 sin х, а СВА = 2х, следовательно, 2 sin х < 2х,
или sinx<C*, что и требовалось доказать. Отметим еще, что
если угол х отрицательный, то
| sin х | = | sin | х 11 < | x |.
Докажем теперь, что y = sinx— функция непрерывная.
Имеем:
Ay = sin (х-|-Д*)— sinx = 2 cos (х	sin
откуда получаем
|Ay| = |2cos(x + ^ sin ;
так как абсолютная величина косинуса всякого угла не пре-
восходит единицы, то
I . Дх| ^1 Дх|
|81пт|<|т|-
а в силу леммы
Следовательно,
|Ду | = 12 cos (* + ^) sin <2.1. l^l = kJ,
I	\	" /	I	1^111
откуда имеем
lim I Ду | — 0,
Дх->0
чем непрерывность функции j = sinx доказана.
Так же доказывается непрерывность функции y = cosx:
| Ду | = | cos (х-f— Дх) — cosх | =
= |2sin(x4“A*)sin4^|<2	| = |Дх|
и lim | Ду | = 0, чем доказана непрерывность функции у = cosx.
Д*-*0
8°. Функция у = ах, называемая показательной, и функция,
ей обратная, y = logflx, называемая логарифмической, являют-
ся непрерывными всюду, где они определены (функция у = ах
определена для всех значений х, а функция j = logax опре-
делена для х^>0).
108
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. in
Мы не будем доказывать здесь этих утверждений, потому
что, прежде чем привести их доказательство, следует точно
определить, что мы понимаем под иррациональной степенью
какого-либо числа, а это требует длительного исследования.
9°. Часто встречаются функции, которые можно представить
так: y=f(u), где и = <р(х).
Пример 1. у = sin х2; полагая и = х2, получим у = sin и.
где н = х2..
Пример 2. у — (sin х)2; полагая и = sin х, получим у — и\
где « = sinx.
Пример 3. у = tg(ax-|-Р); полагая я = ах-|-р, имеем
y — tgtt, где и = ах4“Р-
Функция, представленная как функия некоторого вспо-
могательного переменного и, которое в свою очередь яв-
ляется функцией другого переменного х, называется слож-
ной функцией переменного х, или функцией от функции.
Дополнительное переменное и будем называть проме-
жуточным аргументом.
Имеет место предложение:
Теорема. Непрерывная функция от непрерывной будет
непрерывной, т. е. если функция и = <р (х) является непре-
рывной в точке а, а функция y=f(u) непрерывна в точке Ь,
где Ь = у (а), то сложная функция /[?(*)] непрерывна в
точке а.
В самом деле, в силу определения непрерывности (§ 27) имеем:
lim ср (х) = <р (а) = Ь и lim/(и) =/(£), но когда х—то
х-ьа	и-*Ь
и = у(х) стремится каким-то соответствующим образом
к числу Ь.
Но как бы и = у(х) ни стремилось к 6, раз lim/(a) =
и->Ъ
=f(b), то, в частности, /[<р(х)] при х—+а также должно
стремиться к f(b), т. е.
(х)] =f(b) =/[<р (а)],
х-+а
что и требовалось доказать.
Пользуясь только что доказанным свойством, мы можем
сразу заключить, что такие функции, как j = (sinx)n, или
j = у^х2 4- 5, или ey = cos(x84~2) и т. п., являясь непрерыв-
ными функциями от непрерывных, будут непрерывными.
§ 29]
ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ СИНУСА К ДУГЕ
109
§ 29.	Предел отношения синуса к дуге
Теорема. Предел отношения синуса к своему углу,
если этот угол стремится к нулю, равен единице, т. е.
lim
х->0 х
Угол предполагается измеренным в радианах.
Доказательство. Возьмем круг радиуса 1 (черт. 44);
построим угол ЗС ВО А, его радианную меру обозначим через
х и рассмотрим 2£СОА — 2х. Проведем две касательные к
окружности в точках Л и С до их пересечения в точке D.
Тогда хорда СА меньше дуги
СВ А, которая в свою очередь
меньше ломаной CD А, т. е. /
CA<CBA<AD^DC,	/
но СЛ = 2 sin х, СВА = 2х, I	у -
AD + DC— 2tgx,	\	\
поэтому	---ХГ
2 sin х <Z < 2 tg х.	Черт. 44.
Разделив все члены неравенства на
ложительным), получаем
2sinx (считаем х по-
sin X COS X
предел левой части при х—► () равен 1; ‘предел правой части
также равен 1. По теореме 5° § 25 имеем
.. х «
lim -— = 1.
^osmx
.. sinx ..	11	.
Теперь lim-----= lim	—у = T = 1.
*->o * x->o ( *	1
\sinx/
Так как sin( — x) =— sinx, то теорема остается спра-
ведливой и для отрицательных значений х.
по
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. hi
Пример 1. Найти lim^.
tgx .. sinx sinx 1	.. sinx .. * 1	1
hm — == lim----------= lim----------= lim----------- hm----= 1.
x *->o*c°sx X cosx	X ^oCOSX
Пример 2. Найти lim .
Для того чтобы применить формулу lim = 1, нужно
*->0 Х	1
преобразовать дробь так, чтобы получилось отношение синуса
к тому же углу; для этого разделим и умножим нашу
дробь на а:
sin ах sin ах
-----—----------а
х ах ’
и мы имеем
sin ах sin (ах)	sin (ах) -
lim - = lim	' = а-1=в.
X-+Q Л	\ax)	x->0 Ч**)
Пример 3. Найти lim
x-+0 x
Преобразуем дробь, заменяя 1 — cos x = 2 sin8 получаем:
&
X	z	X \ 2
1—cos* 2s“!2-	(A'4\	2	1
\ 2 /
§ 30. Касательная
В элементарной геометрии мы определяем касательную
к окружности как прямую, которая имеет с окружностью
А
М

Черт. 45.
только одну общую точку. Это определение касательной
не годится для любой линии. Черт. 45 наглядно показывает,
§ 30]
КАСАТЕЛЬНАЯ
111
что прямая АВ «касается» нашей линии в точке М и в
то же время имеет другие общие точки с кривой (точ-
ки Л4±).
\ Для определения касательной в точке М к данной линии
s поступим следующим образом. Возьмем какую-либо точку М'
(черт. 46), соседнюю с точкой М. Проведем секущую через
точки М и М'. Выберем какую-либо ось Л4Л, проходящую
через точку Af, и обозначим через ф угол между секущей и
осью ML, т. е. <? = <§£ LMM'. Будем приближать точку М'
по данной линии к точке М. Угол ср при этом будет изме-
няться, и пусть этот угол ф стремится к пределу а. Назовем
прямую, проведенную под углом а к лучу ML, предельным
положением секущей при М'—*М. Это предельное положе-
ние^ секущей и называется касательной.
Определение. Касательной к данной кривой в данной
точке М называется предельное положение секущей ММ',
когда точка М' стремится к М.
Рассмотрим линию, представленную уравнением у=/(х)
(черт. 47 а, 47 б). Возьмем точку М с абсциссой х и точку М' с
абсциссой х' = Х“|-Дх. Найдем тангенс угла ф, образованного
секущей ММ' с положительным направлением оси х. Из чер-
тежа видно, что в случае, когда угол <р — острый, отношение
положительно (черт. 47а, 476), так как оба отрезка
КМ' и МК имеют одинаковые знаки (либо оба*положительны,
либо оба отрицательны) и tgcp = -^^-. Если же угол ф— ту-
МК
112
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. HI
пой, то отношение -==• отрицательно (черт. 48, 49) и
МК
.	КМ'
да tg®=-=-. по
sr	МК
7и7с=Дх = х'— х,
а	___
/<Л1' = Ду=/(х')-/(х);
§ 30]
КАСАТЕЛЬНАЯ
ИЗ
значит,
to т	—	— /(x + &X)—/(х)	-47.
Ь т х' — X	Дх ’	' '
ИЛИ
tg<P = ^.	(48)
если воспользоваться сокращенным обозначением Ду =
=/(х-]-Дх)—-/(х).
Определение. Угловым коэффициентом прямой линии
называется тангенс угла, образованного этой прямой с по-
ложительным направлением оси х.
Формула (48) позволяет вычислить угловой коэффициент
любой секущей ММ', проходящей через точку Ж.
Черт. 48.
Если теперь точку Ж', лежащую на данной кривой, бу-
дем неограниченно приближать к Ж, то х' будет стремиться
к х; Дх будет стремиться к нулю. Предельное положение
секущей будет, по определению, касательной, угол ср в пределе
превратится в угол а между касательной и положительным
направлением оси х; значит, угловой коэффициент касательной,
т. е. tga, мы вычислим, если найдем предел углового коэф-
фициента секущей:
tga = lim tg ср.
Подставляя вместо tg у его значение из (28), имеем
tg« = lim/(x+^)-ZW>	(49)
114
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
или, что то же самое,
tga= lim	(50)
Пример 1. Вычислить угловой коэффициент касательной
к кривой у — х* в точке х = 2. Мы знаем, что
, КМ' Ду t -ЛЧ
tg ? =	= х	(ЧерТ* 50)>
МК Дх х=2
НО
Ду [ *=2 = (2-|-Дх)* — 2* = 4Дх + Дх*
и
^=^|х=2 = 4 + Д*’	“®0(4 + М = 4*
а) Мы знаем, что tgcp
угловой коэффициент касательной
к кривой у = х— х*:
а)	в точке х = ; б) в точ-
ке х = 0 (черт. 51 дает график
нашей функции).
1 >
*““2
НО
ОГ_ Ду
МК Дх

§ 31]
ПРОИЗВОДНАЯ
115
Переходя к пределу, имеем
tga = lim -^1 t = lim ( —Дх) = 0,
Дх->0
откуда а = 0.
б)	Имеем tg<P = ^|*=0, но
Ду|*=о = Дх — (Дх)1 и tg<p=^|*=o = l—-Дх.
Переходя к пределу, имеем
tga=lim -^1 =lim (1 — Дх)= 1,
Дх->0	|xs=0	д#->0
откуда Z a = 45°
Пример 3. Найти угловой коэффициент касательной
к кривой j/ = sinx в точке х = 0 (черт. 52 изображает нашу
кривую).
Имеем tg(p=-^-	» но
&т Дх|[л;==0’
At	-а 4.	Ду I	sin Дх
Ду х=о = 81пДх и tg<p = ~-	= ——.
л	&т Дх х=о Дх
Переходя к пределу, имеем
tg
a = lim
Дх->0
Ду .. sin(Ax)
lim —’
дх-о Дл
1,
откуда / a = 45°.
§ 31. Производная
Определение. Производной данной функции в данной
точке называется предел отношения приращения функции
в этой точке к приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю, т. е. производной функции
116
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. Ill
y=f(x) называется
lim
Дд;->0
lim^(x~*“Ax)~“^(x)
Д*->0
йх
Обозначения. Производная обозначается штрихом сверху;
так, например, у' означает производную от у\ f (х) означает
производную от / (х); (Зх2 3 * * *— х)' означает производную от
выражения в скобках.
Иногда бывает необходимо указать, что считают за аргу-
мент по которому берут производную, тогда наименование
аргумента пишут маленькой буквой внизу; так, например, и!х
означает производную я, причем аргументом является перемен-
ная х; и\ означает производную и по аргументу t и т. п. Поль-
зуясь введенными обозначениями, имеем: если j=/(x), то
y'=f (x)=lim	(51)
Дя;->Оах
Сопоставляя формулу (50) с определением производной, I
выражаемым формулой (51), мы получаем	|
y = tga.	(52)	1
Следовательно, производная равна тангенсу угла, обра-
зованного касательной к графику функции с положительным
направлением оси абсцисс, или, короче, производная равна
угловому коэффициенту касательной к графику функции.
В этом и заключается геометрический смысл производной. *
Для вычисления производной от функции у =f (х) в данной
точке х будем придерживаться следующего порядка действий: 1
Правило нахождения производной:	|
1) давая приращение аргументу, находим наращенное зна- i
чение функции 	+ д, =/+ 4х).
2) находим приращение функции Ду; для этого из нара-
щенного значения функции вычитаем ее первоначальное зна-
чение, т. е. находим
Д у =/ (X 4- Дх) —/ (х);
3) делим приращение функции на приращение аргумента;
получаем отношение приращений
__/(%4-Дх)—/(*) .	।
Дх	Дх	9
мазь
§ 31]
ПРОИЗВОДНАЯ
117
4) находим предел отношения приращения функции к при-
ращению аргумента, когда приращение аргумента стремится»
к нулю, т. е. находим производную у'— lim
Дх-»0
Процесс отыскания производной от данной функции на-
зывается ее дифференцированием.
Пример 1. Найти производную от функции у = х*
в точке х.
В нашем примере /(х) = х2. Поступаем согласно правилуt
1)	находим наращенное значение функции:
у 4- Ду=f (х + Дх) == (х 4- Дх)’;
2)	вычитаем первоначальное значение функции, т. е. опре-
деляем приращение функции:
Ду = (х Дх)2 — х2 = 2х Дх Дх2;
3)	делим приращение функции на приращение аргумента^
т. е. находим отношение приращений:
4)	наконец, переходим к пределу, т. е. находим производную^
у'= lim lim (2х 4~ Д*) == 2х.
Дх -> 0 дх о
Итак у = (х2У = 2х. Если мы пожелаем узнать зна-
чение производной, например, в точках 2 и 3, то для этого*
нужно лишь подставить эти значения в общее выражение для
производной; мы получим у' |х==2 = 2х |х=_2 = 4; _у'|х==3 =
= 2х|*=3 = 6 и т. д.
Пример 2. Найти производную от функции у —— в точке х..
X
В нашем примере /(х) = —. Поступаем по правилу:
1)	находим х + Дз/=/(х + Дх)==^-^;
2)	вычитаем первоначальное значение функции и находим
118
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. in
— 1
3)	делим на Дх; имеем
=________________________________
Дх (х -|- Дх) х ’
4)	переходим к пределу при Дх—*0, т. е. находим про-
изводную:
У= lim lim ч —-----------------------=.
Дх->0Дх Дх 0 (х + Дх) х	х
— 1
1

Из выражения для производной в точке х легко получить
частные значения производных для различных числовых зна-
чений х. Так, например:
а)	производная в точке—2 будет равна у' |х=_2=777^5=
1
— “ 4 ;
б)	производная в точке—1,5 будет равна У |Л.=_1>5 =
_	1	___4
(—1,5)2	9 ;
в)	производная в точке 4 будет равна у' |х==4 = -^-=:
1
=-----ТЕ И Т. П.
16
Примечание. Вычисляя производную в точке х, мы полу-
чаем общее выражение для производной, которое зависит
от величины х. Для нахождения производной при данном числовом
значении х нужно лишь подставить это значение в выражение
для производной, что будем обозначать так: у'	(1),
ИЛИ у' |х=2=/'(2). ИЛИ У ]*__!=/'(—1) И Т. Д.
Если в дальнейшем мы будем говорить о производной,
не указывая точки, для которой эта производ-
ная вычислена, то это будет означать, что мы имеем
дело с общим выражением производной.
§ 32. Производная как скорость
1°. Равномерное движение и его скорость. Как известно
из физики, закон равномерного движения выражается формулой
$ = где есть величина постоянная — скорость равно-
мерного движения, $0 — начальный путь, т. е. расстояние,
пройденное телом к моменту Z = 0.
Й»ЙГ
§ 32]	ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ	119
Таким образом, закон равномерного движения аналитически
выражается с помощью функции первой степени относи-
тельно /, а геометрически — в виде прямой линии на плос-
кости с прямоугольными координатами (/, s). Легко видеть,
что, обратно, если у нас есть зависимость вида $ = а-\-М,
где а и b — числа постоянные, то эта зависимость выражает
закон равномерного движения; иначе говоря, путь s изме-
няется с постоянной скоростью относительно времени t
Чтобы в этом убедиться, достаточно вспомнить, как опре-
деляется скорость равномерного движения. Мы должны рас-
смотреть промежуток времени от момента t до момента
f = и найти путь, пройденный телом за этот проме-
жуток времени At
Заменяя в нашей формуле t через f = t Д^, мы найдем
путь, который пройдет тело к моменту f = /-|~ А/:
s' = $ -J- As = a -J- b (t	А/).
Чтобы найти As, нужно вычесть из s' величину s:
As = s'— $ =	£(/-{“ АО — а— bi = b
т. е. мы видим, что путь As, пройденный телом за промежуток
времени А/, пропорционален этому промежутку времени и b
к
есть множитель пропорциональности; иначе говоря, b —	.
Таким образом, b представляет собой отношение пройден-
ного расстояния к соответствующему промежутку времени; ве-
личину b в физике называют скоростью равномерного дви-
жения.
Итак, мы видим, что равномерное движение характеризуется
тем, что закон его выражается функцией первой степени, или,
говоря геометрически, прямой линией.
2°. Неравномерное движение и его скорость. Мы видим,
таким образом, что вопрос о скорости равномерного движения
решается очень просто. Однако большинство движений, которые
приходится наблюдать в природе и с которыми приходится
поэтому встречаться при научном изучении явлений природы,
не будут равномерными. Это будут движения неравномерные.
Во всех таких случаях зависимая переменная s — путь, прой-
денный телом, будет выражаться через независимую t — время
при помощи соотношения не первой степени, а более сложного.
120
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. in
Достаточно рассмотреть хотя бы задачу о движении тяжелого
тела под влиянием силы тяжести. Из физики известна формула,
выражающая закон падающего тела: s = ^-, где£— постоян-
ное ускорение силы тяжести, равное 981 см/сек*. Это движение
не будет равномерным, так как формула — второй степени от-
носительно t. Так как движение неравномерное, то мы можем
говорить лишь о скорости движения в какой-нибудь произ-
вольный момент времени. Пусть нам нужно узнать скорость
движения по истечении t сек. Для этого мы предположим,
что в промежутке от t до f = /-|- Д/ тело движется равномерно.
«Мы будем вычислять скорость этого воображаемого равномерного
движения так, как мы это делали до сих пор:
S— 2 ,
= s + =
откуда имеем
s' — s — hs = gtM-\-g
м, значит,
Ы т 2
Если бы в течение промежутка от i до f = /-[-Д/ тело
двигалось равномерно, то скорость должна была бы быть
равна =	. Но в действительности тело движется
неравномерно. Ясно, что мы получили лишь приближенное
значение этой скорости, предположив, что в течение промежутка
времени t'— t — bf движение совершается равномерно. Мы
получим лучшее приближение, если возьмем промежуток Д/ более
~	As
мелким. Этоотношение носит названиесреднеи
скорости за соответствующий промежуток вре-
мени от момента t до момента = /-]-Д£..
Таким образом, чтобы получить среднюю скорость за
жакой-нибудь промежуток времени от t до t' =	Д/, мы
считаем, что движение в течение этого промежутка времени
сбудет равномерно, и вычисляем скорость этого движения, как
путь, пройденный за единицу времени.
§ 32]	ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ	12>
Определение. Скоростью в момент t называется предел
средней, скорости для промежутка (t,	когда вели-
чина М этого промежутка стремится к нулю, т. е.
В разбираемом примере мы, очевидно, получим
=«*
здесь скорость пропорциональна времени.
Обращаясь к общему случаю, обозначим через s путьг
пройденный телом за время /. Так как каждому значению*
времени соответствует определенное значение пути который
тело прошло за это время, то величина $ будет функцией /,
т. е. s=f (t).
Определим среднюю скорость движения за промежуток
времени от момента i до момента /-|“Д^ За время t тело
прошло путь s—f (f), за время tД/ тело прошло путь
д$д/). Следовательно, за промежуток времени Д£
от момента t до момента тел0 прошло путь ks —
—f (* + Д0—f (0- Мы получим среднюю скорость vcp>>
если разделим путь Д$ на промежуток времени Д/, т. е.
ъ	_/<* + ^0 —/(О
ср м	М
Если теперь перейдем к пределу при М—^0, то получим
v = lim v = lim £- = s't =f (t).	(53}
At->0 P
Итак, скорость движения равна производной пути по>
времени *).
3°. Скорость изменения. Мы можем определять скорость
не только в случае движения. Рассмотрим какую-нибудь
величину Q, которая будет меняться с течением времени i.
Величина Q будет функцией t\ Q=f(t}, т. е. каждому
значению времени t будет соответствовать определенное зна-
’) Мы здесь определили абсолютную величину скорости движения,
иначе — длину так называемого вектора скорости.
122
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. Ill
чение величины Q. Мы можем поставить себе задачу — опре-
делить скорость изменения величины Q. Так же, как
при определении скорости движения, мы сначала найдем сред-
нюю скорость изменения. В момент времени t величина Q
имеет значение /(/), т. е. Q =/(/). В момент времени
величина Q получит приращение Дф, и наращенное
значение величины Q будет	Д0=/ (/—f—Д^)- Тогда при-
ращение Q будет AQ=/(f-f-Af)—/(Z). Средняя скорость
изменения величины Q будет
_Д<?_/(^ + ДО-/(О.
ср Д*	М 9
а за скорость изменения v в момент t или (про-
сто скорость изменения) принимают предел
средней скорости при Д/—>0, т. е.
hl 4<	U-.0	4<	’	' "
Итак, скорость изменения любой величины равна про-
изводной по времени от этой величины.
Пример 1. Рассмотрим процесс нагревания некоторого
тела.
Обозначим температуру тела в градусах Цельсия Т, вре-
мя — /; тогда Т=f (/), потому что в каждый данный момент t
тело имеет определенную температуру Т. Тогда согласно фор-
ду*
муле (54) средней скоростью нагревания будет vcp =	,
а скоростью нагревания в данный момент времени будет пре-
дел средней скорости, т. е. производная от температуры по
времени:
v = lim V — Т\ =f (t).
Д£->0 ₽
В частности, если закон изменения температуры со временем
задан формулой Т=0,5/2, то приращение температуры за время
от момента i до момента /-j-Д^ будет
ДТ = 0,5 (t + ДО2 — 0,5/2 = Ш + 0,5Д/2.
Средняя скорость v за тот же промежуток времени Ы будет
§ 32]	ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ	123
и скорость нагревания в данный момент будет
©=lim^ = lim (<4-O,5AO = t
Пример 2. Рассмотрим вращение тела вокруг неподвиж-
ной оси АА' (черт. 53).
Обозначим через (p=/(f) угол поворота тела за время
Если Ж — начальное положение точки тела, а Ж' — положение
этой же точки в момент то угол
между первоначальным положением пер-
пендикуляра ОЖ, опущенного на ось
вращения АА' из точки Ж, и положе-
нием этого перпендикуляра ОЖ' в мо-
мент f равен углу поворота ср. Тогда
средней скоростью изменения <оср угла ср
будет
а скорость изменения <о угла <р будет
(0= lim со =4't=f (f).
Скорость изменения угла ср назы-
вается угловой скоростью вращения.
В частности, если закон изменения
угла со временем задан формулой
<р = 0,2/8 — то приращение угла <р ;
до момента /-{-Д/ будет
Д? = 0,2 (/ + Д/)8 — (f + ДО — (0,2/* — /) =
= 0,4Ш + 0,2Д/2 — Д/.
Средняя угловая скорость <оСр за тот же промежуток вре-
мени будет
в,ср = Й = 0^ + °>2^-1>
угловая скорость (в данный момент) будет
(0= lim 4?=Hm (0,4*4-0,2Af— l) = 0,4f— 1.
124	ПРОИЗВОДНАЯ	[гл. in
4°. Относительная скорость изменения. Рассмотрим две
переменные величины у и х, связанные функциональной зави-
симостью у=/(х). Мы знаем, что если мы дадим некоторое
приращение независимой переменной х, равное Дх, то у получит
-приращение Ду. Следовательно, изменению величины х на Дх
•соответствует изменение величины у на Ду.
Отношение показывает, во сколько раз быстрее (мед-
леннее) изменяется у по сравнению с изменением х в среднем,
когда х изменяется на Дх, т. е. отношение дает среднюю
относительную скорость изменения величины у по сравнению
-с изменением величины х. Переходя к пределу при Дх—>0,
мы получаем. относительную скорость изменения величины у
«о сравнению с изменением х:
Пт 7&—У'=/Ю>
т. е. производная функции у=/(х) является относительной
скоростью изменения переменной у по сравнению с изменением
переменной х.
§ 33. Формула для приращения функции
Пусть функция у=/(х) имеет производную в данной
точке, значит, существует предел
lim
Дх->0

но всякая величина отличается от своего предела на бесконечно
малую, поэтому
(*>+“.
где а — бесконечно малая при Дх—► (). Освобождаясь от зна-
менателя, имеем
Ду = f (х) Ьх аДх.	(55)
Таким образом, если функция имеет производную в дан-
ной точке, то ее приращение в этой точке можно выра-
зить при помощи формулы (55).
§ 33]
ФОРМУЛА' ДЛЯ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ
125
Следствие. Если функция обладает производной в дан-
ной точке, то она непрерывна в данной точке.
В самом деле, из равенства (55) следует, что
lim Ду— lim /'(х)Дх— lim аДх = 0,
Дх -► О Дх -► О	Дх -* о
т, е. приращение функции by— бесконечно малая при бес-
конечно малом приращении аргумента Дх, а это и значит,
что функция непрерывна. Обратная теорема неверна. Функция
^с=|х| (черт. 54) непрерывна всюду.
В самом деле, если х>0, то ву = |х| = х и функция
непрерывна. Если х<0, то j/ = |x| =— х и функция также
непрерывна. При х = 0 имеем
ДуЬ=о=1х+Д*1х = о—
— И*«о=|А*1	<56)
и
lim Ду | ж=0 = lim | Дх | — 0.
Дх -* 0	Дх -► О
Следовательно, и при х=0	Черт. 54.
функция непрерывна.
Покажем, что в точке х = 0 производной нет. В самом
деле, разделим обе части равенства (56) на Дх, получим
Ду] = |Дх|
д*1х = о
Ду] _
Дх I X = о
Дх I X = о
при Дх>0
при Дх<0.
Поэтому во всякой последовательности значений Дх, стре-
мящейся к нулю и такой, что Дх>0, имеем
lim
ДхО
Дх> О
Ду|
Дя I х ss о
по всякой последовательности значений Дх, стремящейся
126
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
к нулю и такой, что Дх<0, имеем
Нш Й1 =—1-
дх -* о	I X = о
Таким образом, отношение	по разным последователь-
ностям значений Дх -> 0 имеет разные пределы, и поэтому
предела это отношение при Дх -> 0 не имеет. Из черт. 54
видно, что у графика функции в начале координат нет каса-
тельной. Начало координат — «угловая» точка (точка «из-
лома») графика функции.
(57)
§ 34. Производная постоянной
Производная постоянной, равна нулю, т. е. если у = с,
где с — постоянная, то
/ = (с)' = 0.
Доказательство. Если у = с, то это значит, что
ординаты графика функции во всех точках оси абсцисс одина-
ковы и график будет прямой, параллельной оси х (черт. 55).
Значение у в точке х равно с, т. е. у = с. Наращенное зна-
чение у (т. е. значение у в точке x-j-Л*) будет у-}-Ду = £,
откуда приращение у будет &у = с — с —0 (что видно из
чертежа).
гт	.	*	Ду О п
Делим теперь Ду на Дх и получаем ^=^=U; пере-
ходя к пределу, имеем
у'== lim г^=0,
дх-о Ь* 9
что и требовалось доказать.
§ 34] ПРОИЗВОДНАЯ ЦЕЛОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ СТЕПЕНИ 127
§ 36. Производная целой положительной степени
Если у = хп, то У = пх{П~1\ где п — целое положитель-
ное число, т. е.
(хй)' = /и:"в-1.	(58)
Доказательство. Вычислим производную, придержи-
ваясь правила § 31. В нашем случае /(х) = хп.
1)	Находим наращенное значение функции:
у + Ду =/ (*+Дх) = (x-f- Дх)п.
2)	Определяем приращение функции, вычитая для этого
из наращенного значения функции первоначальное значение.
Имеем
Ду =/(х 4- Дх) — f(x) == (х+Дат)" — хп.
Производим вычисления в правой части, разворачивая
(x-j-Ax)" по формуле бинома Ньютона. Имеем
Ду=х” + лхя-*Дх+х”’* (Дх)4 + ...
.. .-|~л*(Д*)п“1 + (Дх)”—х”=лх”-1Дх-|-
+	+ • • • + лх(Дх)"'14- (А*)”.
3)	Делим выражение для Ду на Дх. Находим
дх""1 +^^=-!2хп-4Дх4-. .. + лх (Дх)"’1 + (Дх)"-1.
4)	Переходим к пределу при Дх -+ 0. Замечая, что все
члены, кроме первого в правой части, стремятся к нулю,
имеем
У» lim ^=лх"’"1,
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти у\ если j = x3.
По формуле (58) имеем
У = (х3)' = Зх3"1 = Зх1.
Пример 2. Найти У, если j/=x4.
По формуле (58) имеем
У = (х4)' = 4х4~1 = 4х3.
128
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. in
Пример 3. Найти у'|х = _ 8 если у = х5.
По формуле (58) имеем
у' = (х5)' = 5х4 и у'|*_ 3 = 5*( —3)4 = 405.
Следствие. Полагая в формуле (58) л=1, получаем
у — х и у' = (х)' = х°= 1, т. е. производная от перемен-
ной х по х равна единице.
§ 36. Вынесение постоянного множителя за знак
производной
Теорема. Постоянный множитель можно выносить
за знак производной» т. е. если у —си, где с — постоян-
ная, а и — функция х, то у'= (си)'= с (и)'.
Доказательство. 1) Даем х приращение Дх и вы-
числяем наращенное значение у. Пусть н = <р(х), тогда на-
ращенное значение и будет а-Ц—Да = ср (х —|—Дат), и, следова-
тельно,
у	Ду = с (и	Ди).
2)	Вычисляем Ду, вычитая для этого первоначальное зна-
чение у = си. Имеем
Ду = г (а-|-Ди)— си = с Ьи.
3)	Делим Ду на Дх. Находим
Ду__ Ди
Дх с Дх *
4)	Переходим к пределу в последнем равенстве, получим
Замечая, что
.. Ду ,	Ди ,
а 4i™oc^=ca’
получаем
у* = си'»
что и требовалось доказать.
Пример. Найти у', если у = 8хв.
у' = (8хв)' = 8 (х6)' = 8.6х® = 48х*.
§ 37]
ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ
129
§ 37. Производная суммы
Теорема. Производная суммы равна сумме производных
слагаемых, если производные слагаемых существуют, т. е. если
у^и-Уо, где и и v — функции, обладающие производными,
то у' = и' +
Доказательство. Пусть u = <ft(x),	^ = <р2(х),
тогда У — <?1	наращенное значение и будет
н J- \и = cpj (х — Дх), наращенное значение v будет
v До = ср2 (х — Дх). Теперь поступаем согласно правилу § 31.
1)	Находим наращенное значение у.
или
у -|- Ду = (и + Д и)	+ Д^) •
2)	Вычитая первоначальное значение у — и 4~ v, получаем
Ду=(и 4- Ди) 4-^4- Д^) — (и 4“ *0=Ди + Д^-
3)	Делим полученное выражение для Ду на Дх. Имеем
Ду Ди I До
Дх	Дх ‘ Дх ’
4)	Переходя в последнем равенстве к пределу, находим
.. Ду ..
hm •— = hm
Дх 0 Дх -► О
До\	Ди .
-т— = hm -г—Н hm
Дх/ дх о Дх о
До
Дх ’
или
у' = и'4-<
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти у', если у = х-[-х9— х4.
/ = (х 4~ х8 — х4)' = (х)' 4“ (х*)' — (#4)' = 1 4” Зх* — 4х*.
Пример 2. Найти у', если у = 2 4~3х8 — х10.
у' = 04-3.8х7— 10х* = 24х7— 10х9.
Пример 3. Найти/(1), если /(х) = 34”2х — х’4~4х\
/'(х) = 2 — Зх*4“8х и /(1) = 2 — 3.1*4-8-1 = 7.
е
° И. И. Привалов и С. А. Гальперн
130	ПРОИЗВОДНАЯ	[гл. ш
§ 38.	Производные синуса и косинуса
1°. Если y = sinx, то	т. е.
(sin х)' = cos х.	(59)
Доказательство. 1) Дадим аргументу х прираще-
ние Ду; получаем наращенное значение функции
у 4~ ДУ = sin (х 4" Дх).
2) Вычисляем Ду. Имеем
Ду = sin (х 4“ Л*) — sin х
и, пользуясь формулой для разности синусов, получаем i
. п . х 4- Дх ~ х	х 4- Дх 4- х
Ду = 2 sin—L------cos --	—	•
Z	&
л . Дх [	। Дх\	*
— 2 sin COS X 4- -к- .	;
3) Делим Ду на Дх и находим	'
Д> ' Sin (т)	/ , Лх\	i
"4 = 2-------~«COS Х4--ТГ •
Дх Дх \ 1 2 J
4) Переходим к пределу при Дх 0 и, вспоминая (§ 29),
что предел отношения синуса к своему углу, когда угол стре-
мится к нулю, равен единице, получим
у-Л”.	24r~“s Нт) =
2”'"(т)	( , Si.
= 11Ш --------Д--• COS X 4~ПГ = COS X.
ах-»о 9.^	\	2;
2 2 -)
Итак,
у' = cos х,
что и требовалось доказать.
2°. Если у = cos х, то у' — — sin х, т. е.
(cos х)' = — sin х.	(60) '
g 38]	ПРОИЗВОДНЫЕ СИНУСА И КОСИНУСА
Доказательство. 1) Давая приращение Дх
менту х, получаем наращенное значение функции
у 4" Ду = cos (х + Дх).
2) Вычисляем ку:
Ду = cos (х Дх) — cos х
и, применяя теорему о разности косинусов, получаем
л п • х 4- х 4- Дх . х 4- Дх — х
Ьу= — 2 sin	~— sin5--------=
«-2sin +
3) Деля by на Дх, находим
131
аргу-
Дх	Ах
4) Переходим к пределу и пользуемся теоремой
Имеем
29.
• /Дх\
Г 0 . (	. ДлЛ sin \ - )	11	.
вдЙо1“ S \X + ~2J--------^•-|==s-SinX*
2
Итак,
у'= — sin х,
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти f если /(x) = 2sinx.
Имеем /'(x)==2cosx и /'(у) === 2 cos ~ = 0.
Пример 2. Найти у', если у = Зх3 4" 4 cos х.
Имеем у’ = 9х2 — 4 sin х.
5’
132
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. га
§ 39.	Производная произведения
Теорема. Производная произведения двух функций
равна сумме произведений каждой функции на производную
другой функции, если производные сомножителей суще-
ствуют, т. е. если ys=u-v, где и и v — функции, обла-
дающие производными, то у’=vu' -|- uv', или (uv)' = vu' яр'.
Доказательство. Пусть и = у,(х) и о=<р,(х),
тогда yz=U‘V=yx (х)-<р, (х). Дадим х приращение Дх,
тогда наращенное значение и будет и 4- Ди = «р, (х 4" Дх),
а наращенное значение о будет v 4~ Др = <р, (х 4~ Дх).
1)	Наращенное значение _У = <р, (х)<р, (х) будет
у + Ду = <р, (х 4- Дх) у, (х+Дх),
ИЛИ
у4-Лу = («4“ Да) (^ + Д'я)-
2)	Вычитая первоначальное значение у = я-о, получим
Ду = (й4- Д«) (v-J-Atf) — uv.
или, раскрывая скобки, имеем
Ду = uv + vbu 4- utw 4~ ДИД** — uv—v&u 4" ukv 4~ ДяДо.
3)	Деля Ду на Дх, находим
Ду Д«  Ду I * До
йвг’^+“к+Да^-
4)	Переходя к пределу и помня, что в силу непрерыв-
ности lim Д« = 0 (см. § 27), имеем
Дх -* О
lim £== нш ^4-Пт^4- lim Д«^.
Дх -» О Дх Дх ч 0	Дх Дх 0 Дх ’
Так как lim Дя^ = 0*о' = 0, то мы получаем
у' = гг.а'4-я-У,
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти у, если y = x8sinx.
Имеем
у' = (х8 sin х)’ = (x*Y sin x 4- (sin x)' • x* =
— 3xl sin x 4“ cos x • x8 = x2 (3 sin x 4~ x cos x).
ПРОИЗВОДНАЯ ДРОБИ
133
§ 40]
Пример 2. Найти У| „ , если _y = x-cosx.
1*=Г
Имеем
у' = (х cos х)' = cos х — sin х• х = cos х — х • sin x;
,	к л . я
У	cos-4—ysln f
4
_/2 лyT
2	4 2

§ 40. Производная дроби
Теорема* Производная дроби равна произведению зна-
менателя на производную числителя минус произведение
числителя на производную знаменателя и все разделенное
на квадрат знаменателя; предполагается» что производные
числителя и знаменателя существуют» т. е. если у = ,
где и и v— функции, обладающие производными, то
или
ои' — ио'
и9
Доказательство. Пусть и = ух(х} и =
тогда
в _У1 (х)
v (х)
Наращенное значение и будет и 4- Да =
~cPi(x”F Л*), а наращенное значение о будет v-\-kv =
1) Наращенное значение	представится в виде
у-|-Лу=
(x-f-Дх)
<р2 (х 4-
или
у±Ау =
v + 4v’
134
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
2) Вычитая первоначальное, значение у=^-, имеем
и -|~ Ап «
---v и* ПРИВОДЯ к общему знаменателю,
д _____uv -|- v&u — uv — ubv _v&u — uAv
У	(v-f-Avjv	(v-f-Av)V*
Деля &у на Дх, находим
Au Av
А	Г“ V— и Т“
Ау Ах Ах
Ах (v 4- Av) V ’
3) Переходя к пределу и помня, что в силу непрерыв-
ности lim Av = 0, имеем
Дх -> О
Ап Av
*	V 7--й Т“
,	,, Ау	Ах Дх
у = lim — lim ——7—7———
дх~>0Дх дх-* о (v + Mv
Au	Av
lim v — hm и —
___ДхчО Ax Ax-40 Ax________Vll' — ПУ
lim (v 4- AV) v____________v*
Ax-*0
Итак,
, vu' — uv'
J	V2 >
что и требовалось доказать.
n	1 и A 9	sinx
Пример I. Найти у , если у =	.
Имеем
,	/sin х V	(sin х)' х# — (х’)' sinx х8 cos х Зх2 sin х
\ х8 )	Xе	х®
___X cos X — 3 sin X
X*
Пример 2. Найти f если Лх) = ^“^-
Имеем
._____________________х cos х — sin х
Z W — xa
§ 41]	ПРОИЗВОДНЫЕ ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА	135
§ 41. Производные тангенса и котангенса
1°. Еслиу = ^х, то у' = ^^~х, т. е.
<61>-
Доказательство. Представим tgx как ~тогда
у ==tgx = ^-^. Применяя теорему § 40, получаем
у	cos х
, / sin ху (sin х)' cos х —• (cos х)' sin х 
У "“\cosx/	COS2X
cos х-cos х — (—sinx)«sinx	cos2 x -f- sin2 x 1
cos2x	cos2x	cos2 X *
- Итак,
, 1
у 22= ----------------------
'	cos2 X ’
что и требовалось доказать.
2°. Если у = ctg х, то у' = —Д—, т. е.
& л sin2 х ’
№*>’=-й- <62>
Доказательство. Представим ctg х как тогда
j/= ctg х =. Применив теорему § 40, будем иметь:
sin х
,__/cos ху___(cos х)'-sin х — (sin х)'-cos х_
У \sinxy	sin2x
__(—sin»x) sin х — cos х-cos х  sin2 x -|- cos2 x	1
sin2 x	sin2 x	sin2x *
Итак,
_____________________________
sin2x ’
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти если у — х2 4ctgх.
Имеем у' = 2х-----Д— .
sin2 х
136
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. in
Пример 2. Найти у', если у = tg х — ctg х.
Имеем
,_ 1		1 __sin1 хcos* х_	1_____4
’	cos1 х-*-sin1 х	cos1 х-sin1 х cos1 x sin1 x sin1 2x *
Пример 3. Найти угловой коэффициент касательной
м tax	те
К кривой ^ = -^5- в точках Х = -у и х = тт.
Имеем
’ -x‘-2xtgx x_2tox.cos» х
f Iva Л»	Л>	Л • vUa Jk
?	X?	X* * * 9 COS2 X
х — 2 sin х cos х_х — sin 2х
х’cos2х x*cos2x ’
и, следовательно,
a) tga
к , л 71
-----sin 2-т
4__________4
(те\2 .те
Т) C°S “4
*—J
4	1 _ 32 (те - 4)
те\’ J_ те*
4/	2
6)
tga |
те — sin 2те___те____ 1 л i
те* cos2 те те’ те2 ’
§ 42. Производная сложной функции
В предыдущих параграфах мы научились находить про-
изводные от целой положительной степени и от тригономет-
рических функций. Мы знаем также, как определяются про-
изводные от суммы, произведения и дроби. Однако если нам
нужно будет найти производную, например, от сложной функ-
ции (см. § 28) j = sin(x)2 или от функции у = tg ax, где a—
постоянная, то этого сделать мы пока не сумеем; правда, мы
могли бы непосредственно вычислить производную (т. е. вы-
числить приращение функции, разделить на приращение ар-
гумента и перейти к пределу), но такие вычисления для
каждого отдельного примера потребовали бы очень много
времени.
Поэтому существенной является теорема, позволяющая
находить производную от сложной функции.
§ 42]	производная сложной функции	137
Теорема. Производная сложной, функции равна произ-
ведению производной этой функции по промежуточному
аргументу на производную промежуточного аргумента по
независимой переменной, если эти производные существуют,
т. е. если y = F(u), где и = ср(х), то y'x = F'a(u)-u'x (или
У‘х=У'ии'х)-
Доказательство. Применим формулу для приращения
функции (§ 33, (55)) к функции y = F(u)\
ky^F(u-\-ku) — F(u) = F' (и) Ди -f-a Да,
где а —бесконечно малая при Ди—>0.
Разделим обе части равенства на Дх, тогда
Ду	с-/ / \ Ди I	Ди
Дх ' 'Дх 1	Дх
Перейдем к пределу при Дх—*0. По условию
г Ди /
но раз функция н = <р(х) имеет производную, она непрерывна
(§ 33), поэтому Ди —>0 при Дх—*0, и, следовательно а —>0
при Дх—>0.
Получаем
lim 7^— Пга +
Дх->о дх->0	Дх->О	*
т. е.
Ух = Р(и)ах,	(63)
что и требовалось доказать.
Механическое пояснение производной слож-
ной функции. Пусть j = F(a), где д = ф(х).
Мы знаем (§ 32), что производная от переменной у
по переменной х является относительной скоростью измене-
ния переменной у по сравнению с изменением переменной х.
Таким же образом производная у по и есть относительная
скорость изменения у по сравнению с изменением и, а произ-
водная я по х есть относительная скорость изменения и по
сравнению с х.
138	ПРОИЗВОДНАЯ	[гл. HI
Итак, ух— относительная скорость изменения у по срав-
нению с х,
у’и — относительная скорость изменения у по срав-
нению с я,
и*— относительная скорость изменения и по срав-
нению с х.
Тогда по доказанной теореме относительная скорость
изменения у по сравнению с х равна произведению относи-
тельных скоростей у по сравнению с и и а по сравнению с х.
Приведем простой пример. Если аэроплан движется в а раз
быстрее автомобиля, т. е. а — относительная скорость движе-
ния аэроплана по сравнению с автомобилем, а автомобиль
движется в b раз скорее пешехода, т. е. b — относительная
скорость движения автомобиля по сравнению с пешеходом, то
относительная скорость с аэроплана по сравнению с пешехо-
дом будет, очевидно, равна произведению относительных
скоростей а и Ь, т. е. с = а-Ь.
Пример 1. Найти если у = tg (ах -J- Ъ\
Полагая ах-\-Ь — и, имеем сложную функцию y = tgfl,
где и = ах-^Ь, и
у'=Уг’-я'= (tg и)' (ax-}-b)' — —=—=-3—гтд •£*
x \ & /a \ i /x cos2u cos2 (ax +
Пример 2. Найти у‘х, ылп y = sin(x)\
Полагая х2 = я, имеем сложную функцию у = sin я, где
п = х2, и
у’х—у'ипх = (sin u)'tt (x*Yx = cos а • 2х = 2х • cos (х)2.
Пример 3. Найти ух, если y?=sin2x.
Полагая sinx=«, имеем сложную функцию у = п\ где
и = sin х, и
ух—у'аих— (и2Уа (sin х)х — 2п. cos х = 2 sin х • cos х.
Пример 4. Найти у'у, если y = ctg8x.
При достаточном навыке образовывают сложную функцию
в уме. В данном примере будем помнить, что д = 8х.
Имеем
$ 431
ПРОИЗВОДНАЯ ЛОГАРИФМА
139
§ 43.	Производная логарифма
Если у = loge х, то у'=у loga е, т. е.
(loga х)’ =1 \ogae.
В частности, если / = 1пх, тоу' = —, т. е.
(64)
(65)
Доказательство. Имеем y=f(x) = \ogax.
1)	Даем приращение х; наращенное значение у будет
у 4- Ду = loga (х + Ах).
2)	Вычитая j/ = logax, получаем
А? = loge(x + Ах) — log„ X=loge	= Iog« (1 + Т)•
3)	Деля Aj на Ах, находим
1 log, (14-*f).
Дх Дх Ьа \	1 х /
Разделим и умножим правую часть последнего равенства
на х и затем множитель перед логарифмом переставим в по-
казатель, т. е.
X
Ду	1 х 1	Л • Дх\	1 .	/	. Дх\д*
Дх	х * Дх	х /	х °^а	\	+ х ) *
Переходим к пределу:
X
f	V	V 1 1	! Дх\Д*
у = 11Ш -~= 11Ш —log, I 1 4------1 .
X
Найдем lim f _[__Для этого положим	тогда
дх->о \	‘ х )	Ьх
при Дх—>0 величина а, как обратная бесконечно малой,
140
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. tn
будет бесконечно большой, и
X
Вставляя полученные значения в выражение для производной,
имеем
У'	* М , +	~ «П“аМ1 + « У = i 10gee‘
Итак,
у' = 7 logee.
В частности, если y = lnx, то y' = -^lne = -i,
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти у', если у = In (Зх 4-2).
1	3
Считая Зх-|-2 = я, имеем у' =	2 • 3 = g-jpg *
Пример 2. Найти у', если у = Insinx.
~ , 1
Считая sin х = и, имеем у — — cos х = ctg х.
’ л sm х	ь
8х8 - 5
Пример 3. Найти у', если у = In4.
Предварительно для упрощения вычисления производной
произведем логарифмирование; имеем у = In (8ха — 5) —
1п ^Зх2 + 4); тогда
~5>’ -ЕГП‘»*,+4>’=
__ 24х2 6х
8х2 — 5 Зх2 4-4 ’
Пример 4. Найти угловой коэффициент касательной
к кривой у = х!пх в точках х=1 и х = у.
Имеем
у' = 1пх-]-х~=1пх-|-1;
тогда
tgalx=i = ln 1 + 1 =	12а|х=1 = 1п4+ 1 == 1 —1п2 =
= 1 — 0,6931=0,3069.
§ 44]	ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ	141
§ 44. Производная обратной функции
Теорема. Если данная функция у=/(х) имеет обрат-
ную х = у(у) и если функция y=f(x) имеет не равную
нулю производную у'==/'(х), то обратная функция
имеет производную х^ — ^(у)
Доказательство. Так
y~f (х) имеет производную,
функции имеет касательную
и y'x = tg я, где а — угол
между касательной и по-
ложительным направлением
оси Ох.
Но график обратной
функции х = ср(у) совпадает
с графиком данной (черт. 56),
только независимая перемен-
как по условию функция
то, как мы знаем, график
ная откладывается теперь по
оси Оу, поэтому tg р, где	Черт. 56.
р — угол, составленный той
же касательной с осью Оу, будет равняться производной
т- е.
4=tg?,
но р = у — «, поэтому
• Ух
что и требовалось доказать.
§ 45. Производная показательной функции
Если у = а*, то у' = а* In а, т. е.
(а*)' = ая In а.	(66)
В частности, если у — ея, то у’=ея, т. е.
(ех)’ = ея.	(67)
142
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. HI
Доказательство. Функции у = а* и
являются взаимно обратными, и, следовательно,
x — \ogay
x=-V,
но по формуле (64) х'у = у loga е, поэтому
Уя= у log, е=У^~в=аХ^~е‘
Так как
1
то у'х=а*\па,
т. е. мы получили формулу (66).
Если теперь положим а = е, то у = ех и ух — ех 1пе = е*,
т. е. мы получаем формулу (67).
Пример 1. Найти У, если j =
Считая Зх за п, имеем yf = atx lna(3x)' z=3a*x In а.
Пример 2. Найти У, если j = 2sinx.
Считая sinx за и, имеем У = 2siax (In 2) (sinх)' =
= 2sin*cosxln 2.
Пример 3. Найти угловой коэффициент касательной
к кривой у = е~~х3 в точках х = 0 и х=1.
Имеем	у = *-*’(—2х) =— 2хе~*2 и tga|x==o = O;
tg а | х=, = - 2е“’ = -	-0,74.
§ 46. Производная любой степени
Если у — х\ где k — любое число. то yx = kxk~l. т. е.
(х*)’ = кх*~1.	(68)
Доказательство. Прологарифмируем обе части равен-
ства у — хк\ имеем lnj/ = £lnx, откуда у = е*1п*1). Следо-
вательно, рассматривая у = еЛ1п* как сложную функцию, по-
лучим yfx = ekXnx(k 1пх)'=еЛ1пх у.
*) Это равенство может служить определением функции у = xk.
§ 46]
ПРОИЗВОДНАЯ ЛЮБОЙ СТЕПЕНИ
143
Заменяя ек1пх через х*, мы получим

что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти У, если у = Ух.
£
Имеем у = х2, откуда
Пример 2. Найти у\ если у = }/х\
Имеем
у' = (У7)'= (х3)	’=у X 3 =
V у ™
Пример 3. Найти у'9 если у=-^.
х
Пример 4. Найти у',
Имеем
если
—х 2-1-х 2+-1
2
Пример 5. Найти у', если у = sin4 х.
..	>	3 1 t • v 3	- 4	3cnsx
Имеем у =-4 sin 4х(sinx) =-^sin 4xcosx=—у —
144
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
Пример 6. Найти угловой коэффициент касательной к
кривой y = ]/rxlnx в точках х—1 и * = 4.
Имеем
1____L	J. 1
У=у* 2lnx-|“*2~
X
1пх ।	1 __1пх-|-2
" 2Ух
,	. In 1 + 2	,
,g“l—=57г =1;
te«l,»<=!vyr=г('П4+1> = }• 1.6931 =0,8465.
л У 4	“	*
§ 47. Производные обратных тригонометрических
функций
1°.
Если у = arcsin х, тоу' =
/1-х’
т. е.
(arcsin х)’ =
1
(69)
Доказательство. Функция^ == Arcsinх—многозначная.
Будем брать значения Arcsinх, заключенные между —у и
т;е. —Arcsinх^ при этих условиях _у = Arcsin*
Л	и
будет однозначной функцией. Эта функция называется главным
значением Arcsin* и записывается так: у = arc sin*. Геомет-
рически это означает, что из графика функции у = Arcsin*
(черт. 57) мы берем лишь часть линии, заключенную между
точками Л11 и Л42. Функции у = arcsin* и * = sin у—взаимно
обратные, поэтому у’х = —, а так как xfy=cosyt юу'х
ху__________________________________
но cos j/ = ]Л1 — sin2j = ]/"1 — *2 и
1
cosy *
,__ 1
Ух~~
что и требовалось доказать.
§ 47] ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 145
При извлечении корня мы взяли перед ним знак плюс,
потому что у, согласно условию, удовлетворяет неравенствам
— 4г <у < 4	и, значит,
А	*
cos у — величина положитель-
ная.
Пример 1. Найти У, если
у = х arcsin х.
Имеем
/ = arcsin х +
Пример 2. Найти У, если
у s=s arcsin Ух.
Имеем, считая Ух за «,
 1  1
2°. Если у = arccos х, то
У “
т. е.
(arccos =	(70)
Доказательство. Функ-
ция у = Arccos х многозначная.
Мы условимся брать лишь те
значения Arccos х, которые
заключены между 0 и и, т. е.
0 Arccos х «С к; при этих
условиях мы получим одно-
значную функцию. Эта функция
называется главным значением
функции у = Arccos х и обозна-
чается так: у = arccos х (черт. 58). Геометрически мы берем
лишь часть графика, заключенную между точками Мх и Aft.
146
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
Функции у = arccos х и x = cos у — взаимно обратные, поэтому
у'=Д- а так как х'= — sinjz, то
х г	У
Ух sin у’
Но
sin у = У 1 — cos’.у ==»
следовательно,
' ‘ — 1
Ух~~ул=£'
что и требовалось доказать.
При извлечении квадратного
корня мы взяли перед ним
знак , потому что у удовле-
творяет неравенствам 0«Су тс,
и, значит, sinjz — величина по-
ложительная.
3°. Если .у = arctg х, то
у' = (arctg х)' =	. (71)
Доказательство. Функ-
ция у = Arctg х— многозначная.
Чтобы сделать ее однозначной,
мы условимся брать те значе-
ния Arctg х, которые заклю-
чены между —£ и —, т. е.
*	и	ii
— y<Arctgx<y. При этих условиях мы получаем одно-
значную функцию, называемую главным значением Arctg х; эта
функция обозначается так: y=arctg х (черт. 59). Геометри-
чески мы берем ветвь графика, заключенную между у =—~
п
и У=^-
§ 47] ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 147
Функция у = arctg х и х — tgy — взаимно обратные, поэтому
у'=Д-, а так как х'=—!—, то у' = cos2y.
xv	у cos2y
Но
cos у । tg2y	J 4. хг и У 1 4- х2 ’
что и требовалось доказать.
Пример L Найти У, если у = arctg (Зх	2).
Считая Зх-|-2 за и, имеем
1 q_ 3
У ~ 1 4-(Зх4-2)а	9х! + 12х4-5 •
Пример 2. Найти у', если у = In(arctgх).
Считая arctg х за «, имеем
У arctgх	= (1 -|- х2) arctg х ‘
Пример 3. Найти f (0), если /(х) = arctg4х.
Имеем / (х) =	и / (®) “ г 4. j^.q =
148
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. m
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III
К § 26.
*• у=3?Тз: найти: а) Av I *=1 ; б) Ду | *=2 =Б)	| «I
'	| Дх=— 0,1 I Дх=о,2	I Дх=1
Отв. а) — 0,028; б) — 0,01; в) =^ — 0,079.
2. у=1п х; найти: а) Ду; б) Ду I Х=1; в) Ду I x=sl ; г) Ду | х==2>
|	I Дх=0,2 I Д*=— 0,5
i = In (1 4- Дх);
в) 0,18232; г) — 0,28768.
3. y = cosx; найти: а) Ду; б) Ду I п ; в) Ду
1
4
. п
Д*~36
д) ДУ1 х=2 ;е) ДЛ х=1 •
I Дх=о,1 I Д*==0,2
), ДХ	, д
sin-y-; б) Ду| п = — sinAx;
R s= cos 50° — cos 45° s=
«
= —0,06432; д) ДуI ж=2 = cos2,1 — cos2=cos 120°1У11* —
I Д*=о,1
— cos 114°35'25* =5s — 0,08870; e)	— 0,1805.
4. y = tgx, найти: а) Ду; б) Ду I ; в) Ду
l*=7-
" Отв. а) Ду =
|Д у
х=о== — 2sin2 у-; г) Ду
Отв. а) Ду = —г" T""fX4--------1 Ф ДУ
COS (X 4-Дх) COS X 7
XSS-
ЙП
;г) Ду
*=г
Д*=72
Д*~ 72
_ 1^2"sin Дх
cosf4+**Y
в) 0,09131; г) Sfe 0,05972.
К § 27—28.
5.	Найти точки разрыва функции
Отв. х = 0.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ Ш
149
х + 1
6.	Найти точки разрыва функции у =	4)'
Оше. х> == 0, х2==—1, Xj 2, х^2.
7.	Найти точки разрыва функции y=cosecx.
Отв. х = пк (где л = 0;	1, zt2, ±:3,...).
8.	Найти точки разрыва и построить графики функций: а) у ==
x-j-l ' у х*-Г
Отв. а) х = — 1, б) Xj = + 1, х2 •= — 1.
9.	Найти точки разрыва и построить графики следующих функ-
ций: а) у = ctg х; б) у = sec х.
Отв. а) х=лк; л = 0,	z*z2, zt3,..•; б) х = (2л-|-1)~;
и = 0, *1, *2, :±:3,...
10.	Найти точки разрыва функции у =--------р и вычертить гра*
1 + 2**
фик функции около точки разрыва.
Указание. Находим, что у -► 0, когда х -► 0 справа от точки
х = 0 (т. е. по положительным значениям), и что у1, когда
х-*0 слева от точки х~0 (т. е. по отрицательным значениям),
откуда и можно легко заключить, что функция имеет разрыв
в точке х = 0.
К § 29.
х-*о tg8x *
sin2ax ~	.
12.	lim —-j—. Отв. а1.
х->0	*
13.	lim	. Отв . У&
х->оу 1 — cos х
. *
Sin“8	1
14.	lim . Orne.gr.
х_0 te8*	64
К § 30.
15.	Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = 2х2-|-1
и построить касательные в точках: а) х = 1; б) х = —1; в) х = 0.
Отв. a) tga|x=i = 4; б) tg»| *=_]= —4; в) tga|x=o = O.
16.	Найти угловой коэффициент касательной к кривой y;=sin2x
и построить касательные в точках: а) х = 0; б) х=-р; в) х=—-.
4	А
Отв. а) tga|xe0 = 2; б) tga|*_n_=0; в) tgв11==— 2.
150
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. ш
17.	Найти угловой коэффициент касательной к линии у 5х 4-1
в точках: а) х = 1; б) в точке х. Объяснить, почему наклон во всех
точках одинаков и равен 5.
18.	Найти угловой коэффициент касательной к линии y = tg-y
и построить касательные в точках: а) х = 0;
Отв. a) tga|,=0=-l; б) tg о I _„ =
I*—2
К § 31.
19. Найти производную от у = 2х24-х
б) /'(1); в)/'(-1).
Отв. /==4x4-1; а) 1; б) 5; с) —3.
б) Х= у; в) х = у.
1; в) п = v
I 3
и определить: a) f (0);
20. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у =
= х’ 4“2* в точке х и построить касательные в точках: а) х = 0;
б)Х=у,*В) х = 3.
Отв. tga = 3x*4-2; a) tgа Iх==0 = 2; б) tgal , = — ;
п?
в> ^а|х=3=29‘
1
21.* Найти точки на кривой у = —х24*бх, где: a) tga = O;
б)	tg а “ 1; в) tga = — 1.
Отв. а) х = —10; б) Xj = —8; в) х = — 12.
22.	Найти производную от у = У~х.
Отв. у' = —.
7	2/х
К § 32.
23.	Через отверстие в сосуде вытекает жидкость. Пусть Q —
количество жидкости, находящееся в сосуде в момент t. «Расходом
жидкости» называется количество жидкости, вытекающее в единицу
времени. Определить: а) средний расход жидкости и б) расход
жидкости в момент t.
24.	Стержень расширяется при нагревании; пусть I — его длина
при температуре Г°. Определить: а) среднее удлинение стержня и
б) удлинение стержня при температуре 7°.
К §§ 34 - 37.
25.	Найти у', если: а) у = 2х* 4~ Зх — 1; б) у = 4х’ 4~ 5х® — х;
в) у = хп — хт; г) у = х” — Зх’.
Отв. а) у' = 4х 4е 3; 6) у' = 12х2 4- ЗОх5 — 1; в) у' = пхп “1 —
— тхт ~ *; г) у' ~ пхп ~1 — 9х2.
26.	Найти f (2), /' (3), /'( - 1} а /' (0), если у = 4х2 — 5х.
Отв. /' (2) = 11;/' (3) = 19; /'(- 1) = - 13; /' (0) = - 5.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III
151
К §§ 38 — 41.
27.	Найти у', если: а) у = х2sinx;	б) у = х cos х —2 sinx!
tgx, . - sinx
в) У х ’ Г cos х — sin х *
Отв. а) у = 2хsinх4-x’.cosх; б) у9 = — соях — хsinx;
,__2х — sin 2х . ,_______1______
в)	У 2х2 cos2x * Г' (cos х — sin х)2* '
28.	Найти f	/ (х) = sinx-tgx,
Отв. /’(-£)=Ц^;/>) = 0.
29.	Найти производную tgx и ctgx непосредственно (т. е. вы-
числяя приращение функции).
30.	Найти производную secx и cosec х.
л / х/ sinx '		. cosx
Отв. (secx)'=^; (созесх)'=-ж.
К § 42.
31.	Найти у, если: а) у = cos ах; б) y = cos(x”); в) у = со8лх;
г) у —tg (ах 4" ЭД Д) у —(ах4-^)"; е) у = sin 8х-(2х4~3)в; ж) у —
= ^2х —5)^’ 8) J' = sln(cos*): И) y = asin’y; K).y = ctg’5x;
.	,8
л) y = cos’—.
Отв. а) у = -о- a sin ах; б) у9 == — пхп ”1 sin (хл);
В) / = — л cos" "’х sinx; r)y = cos8(a^._|_^-; д) У = ла (ах+>)”"*
е) у' = 8 cos 8х (2х 4- 3)® 4- 12 (2х 4- 3)* sin 8х;
ч ,	3 (2х - 5) - 2 sin 2 (Зх - 2) . ч ,	,	. .
ж) у =	—гто-2—й;—~ з) у' = — cos (cos х) sm х
7	(2х — 5)8 cos2 (Зх — 2)	7 л	4	7
in + r	8sin —
х /	. • х х ч . 10*ctg5x ч , ‘ х
и) у =asm«Tcos-j ; к) у	л) у =^—.
32. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у==
= sin8x в точках: а) х = ^; б) х=-^-; в) х = -^-; г) х=^.
Отв. а) 0; б) —8; в) 8; г) 4)^2.
К §§ 43-45.
33. Найти у7, если: а) у = sin (In х); б) у = In (ах 4-ЭД в) у =
~1п Г) у=е2*’; д) y=es,n*; е) у=3*’; ж) ysslntg/x;
\	1 и 1 4" sin х	2*	to (nx)
а) у«=1п у	; ) =-г; К)^=а8( \
152
ПРОИЗВОДНАЯ
[гл. m
Отв. а) / = |соз(1пх); 6)/=^^;	8)/=^,
г) у' =» 4хе2х\ д) у' = cos xeia х; е) у‘ = 2хЗ*а • In 3;
ж) у' =s ---; з) у' =—L•
2tg *Ух -cos2 У\ • Ух	cosх
. , х2х In 2 — 2x+l ,	, л In a t2 (пх)
И) у’ =s —  —з— ----- к) v == —=— a s k <
' 7	«•	'z cos2 пх
х*
34. Найти:
2е= In sin 2х.
а>г(т);
61 г(|); •> /•(£),
Отв. а) 0; 6)2; в)^Х.
О
если j =
К §46.
35. Найти у, если: а) у = УЗх-|- p/T-f-— ; б) у = У" 1 —"х1;
х
% у7+1 ,	1 । 1. .	1	. х
в)_у = --3>Т-; о У = у+тт.Д)У =	 е) >= /--= 
Ух	х х Vx-x*	К»’ + 1
„	, >	3	.	1	1	..
Отв. а) у = —т=Н-гт=----; б) у —
2 И Зх 3 j/х’ х*
ч , /х —2 ч ,	1	3 ч ,
в) у тз7т; г) у =—:—? у =~
бух4	X2 X4
v ,	2-х2
е) у = —7===г.
,У	2Г(Х» + 1)‘
X
У 1-х»’
(1—Зх8) .
3
2 (х — Х8)*2
К § 47.
I 1
36. Найти у’, если:	а) у=arcsin—; б) у = arcsin--71-;
а	у2
в) _у = еагс‘г*; г) y = arcigx»; д) у=arctgе) у = 2 агелп
Отв. а) у'=	; б) у'=—1	—;
/а’-х»	"	/1-2х-х*
«	1 arctg х. \ t 2х t	1
в) >'=ГТ^е1	’ г) у =Пн?; д) у =~хг+Т:
arcsin— . n 1
е^ v' = — 2 х In 2 —
е) У	х”Ух2-Г
37. Найти: а) f(l); б) /'(2;! в)/'(-1); г)/'(У^). если/(х)=
= arctg 2х.
2	2	2	2
Отв. а)пр 6)jy; B)-g-; г)у.
ГЛАВА IV
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 48. Теорема об обращении непрерывной функции
в нуль
Теорема. Непрерывная функция может изменить знак
только при переходе через значение нуль.
Геометрически это свойство представляется очевидным,
потому что если функция в точке а положительна, то орди-
ната в точке а направлена вверх; если в другой точке Ь
значение функции отрицательно, то ордината в этой точке
направлена вниз (черт. 60). При движении вдоль оси х от
точки а до точки Ъ график функции должен где-нибудь
между точками а и Ь пересечь хоть один раз ось лс, потому
что в противном случае этот график не являлся бы непрерыв-
ным. Очевидно, в точке
пересечения графика с
осью х значение функции
равно нулю.
Доказательство.
Пусть для определенности
/(a)>0,a /(£)<0. Рас-
смотрим значение функ-
ции в середине отрезка
[а, д]. Это значение может быть либо положительным, либо
отрицательным, либо равным нулю. Если это значение — нуль,
то теорема доказана. Если значение функции в середине
отрезка отрицательно, то рассмотрим левую половину отрезка,
которую мы обозначим [an Z\] ^в этом случае ^ = 0, а =
л +	П	«
= 2—/’ Положение на этой половине будет таким же, как
и на всем отрезке [а, #], т. е. значение функции на левом
конце будет положительным, а на правом — отрицательным.
154	ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [гл. IV
Если значение функции в середине отрезка [а, ft] положительно,
то будем рассматривать правую половину всего отрезка, ко-
торую мы обозначим^, ftj ^в этом случаеах —	—
Мы опять получим отрезок, на левом конце которого функция
положительна, а на правом отрицательна.
Таким образом, мы всегда можем найти такую половину
[an ftj отрезка [а, ft], на левом конце которой значение
функции положительно, а на правом отрицательно, т. е. по-
ложение на отрезке [ап будет таким же, как и на всем
отрезке [а, ft].
С отрезком [ап ftj мы поступим так же, как с отрезком
[a, ft], т. 'е. разобьем его пополам и возьмем ту половину,
на концах которой функция имеет значения противоположных
знаков. Эту половину мы обозначим [а2, ftj. Этот процесс
разбиения мы продолжим неограниченно. В результате получим
последовательность отрезков [av ftj, [а2, ft2],..., [ал, ftn],...,
каждый из которых составляет половину предшествующего,
причем на левом конце каждого отрезка функция положительна,
а на правом отрицательна.
По построению
а < ах < at <а3 < ... < ап < ап + , < ...
Таким образом, последовательность а, ах,...,	... явля-
ется монотонной.
Все точки ап лежат на отрезке [a, ft], поэтому наша по-
следовательность ограничена и, следовательно, имеет предел,
который обозначим буквой с*.
Но	lim ап = с.
•	П -* 00
,	ft —а .	Ь — а	.	b — а
— 2 »	— 2Z ’	— 2п
и
lim bn= lim lim =
п-+<х> п оо поо 4
Таким образом, последовательность ftt, fta, ..., ftn, ... имеет
также своим пределом число с.
§ 49]
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ
155
В точках ап значения функции /(#„) положительны, а в
точках Ьп значения f(bn) отрицательны:
/(*«)> О и /(*„)< 0.
Переходя к пределу в последних неравенствах и замечая, что,
в силу непрерывности функции /(х), как lim/(an) =/(£), так
«-►ОО
и lim f(bn)=f(c), получим
«-►ОО .
litn/(a„)=/(c)>0 и lim/(Z>„)=/(c)ssO,
«-►00	«-»Q0
откуда следует, что /(г) = 0, потому что если f(c) было бы
отличным от нуля, то одно из неравенств приводило бы к про-
тиворечию.
Замечание. Если функция f(х) имеет отрицательное
значение в точке а, т. е./(а)<0, и положительное в точке/>,
т. е. /(£)>0, то функция у = — /(х) будет положительной
в точке а и отрицательной в точке Ь. Следовательно, по до-
казанному найдется точка с,	в которой —/(с) = 0,
а значит и /(£) = 0. Таким образом, теорема полностью
доказана.
§ 49. Теорема Ролля
Теорема Ролля. Если функция принимает равные зна-
чения на концах отрезка,
имеет на отрезке (за
исключением, быть мо-
жет, концов) производ-
ную, то существует точ-
ка отрезка, не совпадаю-
щая с его концами, в
которой производная
равна нулю, т. е. если
y=f(x) непрерывна на
отрезке а х < b и имеет
производную для всех х,
принадлежащих интер-
валу а<х<£, и /(a) = /(Z>),
a<^c<^b, в которой /'(£) = 0.
непрерывна на этом отрезке и
Черт. 61.
то существует точка с,
Геометрически мы можем иллюстрировать теорему так:
Хорда АВ (черт. 61) в силу условия /(а) = /(/>) парал-
лельна оси Ох. Если функция y=f(x) црстрянна, то ее
Так как эта касательная
156	ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [гл. IV
график совпадает с хордой и теорема становится тривиальной,
потому что производная во' всякой точке отрезка равна нулю
и за точку с можно взять любую точку. Поэтому надо рас-
смотреть случай, когда функция не является постоянной. Тогда
найдутся точки графика, лежащие либо с одной стороны
ис той и с другой (как на на-
шем чертеже). Будем переме-
щать секущую ABt оставляя ее
параллельной оси Ох, в ту сто-
рону, где имеются точки гра-
фика (если график имеет точ-
ки по обе стороны хорды, то
можно перемещать хорду в лю-
бую сторону). Тогда найдется
такое положение (по крайней
мере одно), когда секущая ста-
нет касательной.
будет параллельна оси Ох, то
производная в соответствующей точке должна равняться нулю.
Это рассуждение не строго. Действительно мы утверждаем,
что при перемещении секущей параллельно самой себе она
станет касательной. Но касательной называется предельное
положение секущей, когда одна из ее точек пересечения с
линией стремится к другой, в то время как эта другая точка
пересечения остается неподвижной. В нашем же случае обе
точки пересечения секущей перемещаются.
Доказательство теоремы1).
Прежде всего заметим, что если разбить отрезок [а, ft] на
две части [a, d\ и [б/, ft], то приращение всякой функции на
всем отрезке будет равно сумме приращений этой функции
на отрезках [a, d\ и [d, ft] (черт. 62).
Пусть y=f(x}\ тогда, обозначив приращение функции
на отрезке [a, ft] так: Ду |*, имеем:
Ду| £=/(*) ~/(а); Ду !*=/(<*)-/(а); Ду| $=/(*)-/(</)
Складывая два последних равенства, мы получим
ДУ 12 + Ду I d=/(rf) —/(а) +/(*)—f{d) —f\b}
*) При первом чтении можно пропустить.
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ
157
§ 49]
Из доказанного свойства приращения функции следует, что,
если разбить отрезок [а, ft] на конечное число частей, например
на три: [a, d], [d, /], [/, ft], то приращение функции на всем
отрезке [a, ft] будет равно сумме приращений по всем частич-
ным отрезкам [a, d], [d, /] и [Z, ft]; мы получим
ДуГа = Ду|1 + Ду1а + ДуГ-	(72)
В самом деле, по доказанному
ду|:+ду|а=дугв.
а
Ду I а Н-Д-И1 Z = Ду I а*
откуда и следует равенство (72). Теперь докажем лемму.
Лемма. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке
[a, ft] и принимает равные значения на концах отрезка,
то всегда можно найти отрезок, по длине равный l/t перво-
начального, целиком лежащий внутри первоначального и на
концах которого функция принимает равные значения.
Нам нужно доказать, что существует такой отрезок [ан ftj,.
лежащий внутри интервала (a, ft), что ftt — ах =	- и что
/(0,)=/^).
Для этого рассмотрим вспомогательную функцию
ф(х)=/(х4-Л)—/(х),
, b — а
где й = —.
Функция ср (аг) равна приращению нашей функции y=f(x)
на отрезке, имеющем длину, равную 1/> Длины первоначаль-
ного отрезка, начало в точке х, а конец в точке x-\~h.
Функцию ср (х) мы рассматриваем для значений х, изме-
няющихся на отрезке [a, a J- 2ft]; это нужно для того, чтобы
точка x-f-ft не вышла из отрезка [a, ft]. Сумма
ф (а) “Ь <₽ (я + А) + ? (а + 2Л) —
= Aj I Гл+Ду | Ж + Ду Io+sa = Ду Г» =/W -/(а).
Но по условию /(ft)=/(a), следовательно,
Т(«) + сР(а4“Л) + сР(а + 2Л) = 0.	(73)
Но если сумма трех слагаемых равна нулю, то либо все они
равны нулю, либо хотя бы два из них отличны от нуля.
158	ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [гл. IV
В первом случае мы имеем, в частности, у {а h} = О,
т. е. у (аh) = / (а2h)— f(<з —j— /z) = 0, следовательно,
за отрезок at, можно принять отрезок [а —|—Л, л-|“2Л],
и лемма в этом случае доказана.
Во втором случае два слагаемых суммы (73) будут
иметь противоположные знаки (в противном случае сумма
(73) не могла бы равняться нулю), следовательно, функция
ср (х) =/(х —|—/г)— /(х) имеет значения разных знаков. Эта
функция, являясь разностью двух непрерывных функций
У(х —/г) и f (х), будет непрерывной. По теореме из § 48
она должна при некотором значении х=хв, отличном от а
и a-\-2hy обратитьсй в нуль: <р(хо) = О, а<х0<а4-2Л, и,
следовательно,
или
/(•«. +*)=/(*<>)•
Тем самым за нужный нам отрезок [an мы можем принять
отрезок [х0, х0-|-/г]. Лемма доказана.
Доказательство теоремы (продолжение).
В силу леммы на отрезке [а, #] мы всегда можем указать
отрезок [an ft,] такой, что Ьх—	и f(ax}—f(bx).
На отрезке [an мы можем найти такой отрезок [at, £t],
что Ь*—= и f(aj=f(bj и т. д. Через п шагов
мы получим отрезок [ал, Ь^ такой, что
и /(ап) =/(*„).	(74)
Продолжая процесс неограниченно, мы получим последователь-
ность вложенных друг в друга отрезков (черт. 63) [a, Z>],
[^l> ^lj» • • •»	• • •
Левые концы наших отрезков образуют монотонно возра-
стающую последовательность
< • • • <ап <ап + \ < • • • »
лежащую на отрезке [а, Ь] и, стало быть, ограниченную. Такая
последовательность имеет предел. Обозначим этот предел бук-
вой с. Правые концы отрезков образуют монотонно убываю-
щую последовательность, имеющую тот же предел. В самом
§ 50]	ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА	159
деле, Иш ап = с; из (74) имеем bn = ап -f-“олГ, следова-
«->00
тельно,
lim bn= lim ап -|- lim —у^ — с.
n-too п-»оо п-юо s
Отметим, что а„<с-<£п, откуда следует
ап~с<0; ьп— с>°-
и следовательно, эти величины противоположных знаков. Но
поскольку f(an)=f(b„), то и
___________°г Ъ______________-
а а,	b
Черт. 63.
/(«»)—/(с)	/(&„)-/(с)
и отношения	и	, числители которых рав-
С	ип С
ны, а знаменатели имеют противоположные знаки, будут сами
иметь противоположные знаки или, быть может, будут обра-
щаться в нуль.
Но оба эти отношения должны иметь общий предел, по-
тому что по условию теоремы предел
lim	f (с}
Х-+С х с
существует, и, следовательно, по любому способу стремления
х к су в частности по последовательности х = ап (п= 1,2, ...)
и по последовательности х = (n = 1, 2,..., л,. ..), пре-
дел должен существовать и быть одним и тем же, равным
а это может быть лишь, если f (с) = 0, ибо если бы
по одной из последовательностей предел не был нулем, то
по другой он был бы противоположного знака или нулем и об-
щего предела не существовало бы. Значит, f (с) = 0, причем
поскольку ап<с<Ьп, то и подавно а<с<Ь. Теорема
доказана.
§ 50» Теорема Лагранжа
Теорема Лагранжа. Пусть функция y=f(x) непре-
рывна на отрезке [а, />] и имеет для всех х между а и Ъ
производную; тогда между а и b существует точка, для
160
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. IV
которой имеет место формула
f(b) - f(a)
b — a
=f'(c), где a<c<b.
Выясним геометрический смысл теоремы.
Величина < ’	'» Равная отношению приращения функ-
ции на отрезке [а, 6] к приращению аргумента, равняется
угловому коэффициенту хорды
АВ (черт. 64), т. е.
_f(b) — f(a)
Axop b — a
Производная f(c\ как мы
знаем, равняется угловому коэф-
фициенту касательной:
Черт. 64?“	Теорема утверждает, что
между а и b существует точка с
(по крайней мере одна), для которой угловой коэффициент
касательной равен угловому коэффициенту хорды, или, что
то же самое, всегда можно найти точку с между а и д, что
соответствующая этой точке касательная будет параллельна
хорде, т. е.
^кас ^хор'
Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.
Мы для геометрической иллюстрации теоремы Лагранжа
можем повторить те же рассуждения, что и в случае теоремы
Ролля.
Если дуга АСВ совпадает с хордой АВ, то в каждой
точке между а и b касательная будет совпадать с хордой
и теорема становится тривиальной. Если дуга АСВ не совпа-
дает с хордой, то перемещаем секущую АВ параллельно
самой себе, пока она не станет касательной в некоторой точке.
Тогда мы получим. касательную, параллельную хорде, что и
составляет содержание теоремы Лагранжа.
Доказательство теоремы Лагранжа. Рассмот-
рим для доказательства вспомогательную функцию, которую
§ 51] ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ 161
образуем следующим образом. Запишем уравнение прямой
(хорды), проходящей через точки A(a,f(a)) и £(£,/(£)):
и вычтем ив ординат графика нашей функции y=f(x) орди-
наты хорды ABt тогда получим
<f(x)=f(x)-f(a)-f-^=^(x-a).	(75)
Поскольку в точках а и b ординаты графика функции
и хорды равны, то <р(а) = 0 и <р(6) = 0, что можно прове-
рить также прямой подстановкой значений х = а и х = й
в выражение для ср (х) (75). Имеем
<? (a) =f (а) — f (а)—f{b)b~f^— (а — а) = О
И
=/(*) =
=/ (!>) -/(«)- [/ (b) -f (а)] = 0.
Функция ср (х) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля,
поэтому ее производная
должна в некоторой точке с, а<с<Ь, .обращаться в нуль:
ср' (с) ==/' (с) — ^^^=0, где а<с<6,
или
Лм=«>,
что и требовалось доказать.
§ 51. Признаки возрастания и убывания функции
Пусть y—f(x) — функция, обладающая следующим свой-
ством: при продвижении в положительном направлении вдоль
оси абсцисс (т. е. вправо) ординаты графика этой функции
возрастают (черт. 65 дает пример такой функции).
в и. И. Привалов и С. А. Гальперв
162
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[ГЛ. IV
Для таких функций ордината N'M' в произвольной точке х'
всегда больше ординаты
жащей левее х'. Такого
NM во всякой другой, точке х, ле-
рода функции называются возрастаю-
щими на всей оси х.
Если ординаты графика функции
с продвижением в положительном на-
правлении оси (т. е. вправо по оси х)
становятся меньше, как, например, на
черт. 66, то такого рода функции
называются убывающими на всей
оси х. В этом случае ордината N'M'
в произвольной точке х' всегда
меньше ординаты NM во всякой дру-
гой точке х, лежащей левее х'.
Функции могут возрастать или убывать и не на всей оси х.
Например, черт. 67 дает пример функции, возрастающей на
отрезке с началом в точке а и концом в точке b и убываю-
щей правее точки Ь,
Определение. Функция y—f(x) называется возраста-
ющей на отрезке [а, £], если для любых двух значений
аргумента х' и х, принадлежащих отрезку [а, £],7(х')>/(х),
коль скоро х'>х.
Определение. Функция y=f(x) называется убывающей
на отрезке [а, Л], если для любых двух знамений аргумента
х' и х, принадлежащих отрезку [а, &], /(х')</(х) коль
скоро х'>х.
Определение. Функция называется возрастающей (убы-
вающей) в промежутке, если она возрастает (убывает) на
всяком отрезке, принадлежащем промежутку.
Теорема 1. Если функция возрастает на отрезке, [а£]
и обладает на нем производной, то при всех значениях
51] ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ 163
аргумента на этом отрезке производная будет болыие
или равна нулю, т. е. если _у=/(х) возрастает на отрезке
[a, ft], то f (х)	0 при всех значениях х, принадлежащих
отрезку [a, ft].
Доказательство. Предварительно докажем, что если
функция возрастает, то приращения функции и аргумента бу-
дут одного знака. В самом деле, если Дх>0, тох4-Д*>*>
и по определению возрастающей функции /(х-|~Д*) >/(*),
откуда и Ду=/(х4-Дх)—/(х)>01).
Если Дх<0, то х>х-|-Дх и /(х)>/(х-|-Л-*0» откуда
и Ду==/(х + Ах)—/<х)<0.
Очевидно, если Ду и Дх—величины одного знака, то их
Ду А
отношение будет положительным.
Итак, всегда как при Дх>0, так и при Дх<0 в слу-
чае возрастающей функции
Й>°-	<76>
Переходя к пределу в неравенстве (76) при Дх—>0, имеем
Нш^>0	(77)
Дх->0
или, заменяя в (77) Ши через f{x\ получаем /'(х)^0,
Дх->о
что и требовалось доказать.
Таким же образом доказывается теорема для убывающих
функций.
Теорема 2. Если функция убывает на отрезке [a, ft]
и обладает на нем производной, то при всех значениях
аргумента на этом отрезке ее производная меньше или
равна нулю, т. е. если j=/(x) убывает на отрезке [a, ft],
то /'(х)^0 для всех значений х, принадлежащих отрез-
ку [a, ft].
Доказательство. Предварительно докажем, что если
функция убывает, то приращения функции и аргумента —
разных знаков. В самом деле, если Дх>0, то
1) Дх должно быть таким, чтобы точка х-}-Дх принадлежала
отрезку [a, ft].
164
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[ГЛ, IV
откуда
и по определению убывающей функции
/(х4-Дх)</(х),
Ду=/ (х 4- Дх) — f(x) < 0.
Если Дх<0, то х>х-|-Дх и /(х)</(х-|-Дх), откуда
Ду =/(х + Дх) — /(х) > 0.
Очевидно, если Ду и Дх разных знаков, то их отноше-
ние будет отрицательным:
^<0.
Дх
Переходя к пределу, имеем
lim «с 0,
Д^од* ’
или	чт0 и требовалось доказать.
Геометрический смысл предыдущих теорем весьма прост;
в самом деле, если функция возрастает, то ее график с про
движением вправо по оси х под-
нимается вверх (черт. 68).
В таком случае касательная,
Черт. 69.
как мы видим, образует острый угол а с положительным
направлением оси х или, быть может, в некоторых точках
(например, в точках at и а*) параллельна оси х. Значит,
f (x) = tga^0, как и следует из теоремы 1.
Аналогично, если функция убывает (черт. 69), то, как мы
видим, касательная образует тупой угол а с положительным
§51] ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТаНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ 165
направлением оси х или, быть может, в некоторых точках
(например, в точке ах) параллельна оси х. Значит, /' (х) = tg а^О,
как и следует из теоремы 2.
Теоремы 1 и 2 дают необходимые признаки возрастания
и убывания функции, так как мы, предполагая заранее из-
вестным, что функция возрастает (убывает) на отрезке, до-
казываем, что производная больше или равна нулю (меньше
или равна нулю) для всех значений аргумента на этом отрезке.
Перейдем теперь к достаточным условиям возрастания и
убывания функции, т. е. к условиям, при выполнении которых
мы могли бы утверждать, что функция возрастает (убывает),
заранее об этом ничего не зная.
Теорема 5. Если производная непрерывной на отрезке
[а, ft] функции положительна во всех точках промежутка
(а, Ь), то функция возрастает на отрезке [а, ft], т. е. если
/'(*)> О ПРИ а<^х<^Ь. то функцияy=f(x) возрастает на
отрезке [a, ft].
Доказательство. Пусть хх и xt — две какие-либо точ-
ки отрезка [a, ft], и пусть хх<^х^ тогда по теореме Лагранжа
/(*,) —/(л) = — х1)/' (с)>
где a<c<ft, а так как (х8— xJ^O и по условию тео-
ремы f (с) > 0, то произведение (х8 —	(с) будет поло-
жительным и /(х8)—/(х,)>0 или /-(х,) </(х8), что и тре-
бовалось доказать. Так же мы убеждаемся в справедливости
следующей теоремы.
Теорема 4. Если производная непрерывной на отрез-
ке [a, ft] функции отрицательна ео всех точках проме-
жутка (а, Ь), то функция убывает на отрезке [а, ft], т. е.
если /'(х)<0 при a<x<ft, то функция y=f \x) убывает
на этом отрезке.
Доказательство. В самом деле, если х, и х8 — две
какие-либо точки отрезка [a, ft] и х,<х8, то в силу теоремы
Лагранжа
/(*,)—/(*i) = (*а — xjf GO»	а < с < ft,
но Г(с)<0, а х8 — х,>0, поэтому /(х8)—/(xJ^O или
/(х,) j>/(x8), что и требовалось доказать.
Пример 1. Определить промежутки возрастания и убыва*
ния функции у = 2х2-\-х.
в И. И. Привалов и С. А. Гальперн
166
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. IV
Находим производную у' — 4х 4“ 1. Определяем те значе-
ния х, при которых производная положительна; имеем
4х-|-1>0, откуда х>*— .
Итак, функция возрастает, если х>—
Если 4х -|-1 < 0, т. е. х < ——, производная отрица-
тельна и функция убывает.
Итак, в промежутке — оо < х < — у функция убывает,
в промежутке — < х < оо функция возрастает (черт. 70).
Пример 2. Определить промежутки возрастания и убы-
вания функции у = х* ~{-х.
Находим производную у' == Зх1 -|-1 • Величина Зх1 «4е 1
при всех значениях х положительна, т. е. Зх1 -|- 1 > 0. Следова-
тельно, функция возрастает в промежутке—oo<x<-J-oo,
т. е. на всей оси х (черт. 71).
§ 52. Максимумы и минимумы функции
Рассмотрим теперь такие функции, которые в одних про-
межутках возрастают, в других убывают. Черт. 72 а дает при-
мер такой функции.
§ 52]	МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ	167
Рассмотрим те точки оси х, в которых функция переходит
от возрастания к убыванию или от убывания к возрастанию.
Пусть в точке а функция переходит от возрастания
к убыванию, т. е. при переходе точки х через точку а слева
направо возрастание функции сменяется убыванием.
Ордината NM в этой точке а будет больше всех ординат
из некоторой окрестности точки а как слева, так и справа
от нее. В этом случае говорят,
что функция достигает максимума.
Однако следует обратить внима-
ние, что ордината NM черт. (72а)
может не быть наибольшей из всех
ординат графика функции. Например,
ордината КР больше NM. но орди-
ната NM всегда больше всех доста-
точно близко расположенных орди-
нат. Таким же образом, если функ-
ция переходит в точке b (черт. 72а)
от убывания к возрастанию, то орди-
ната будет меньше всех орди-
нат из некоторой окрестности точки
Ь. В этом случае говорят,
что функция достигает минимума. Очевидно, одна и та же
функция может иметь несколько максимумов и минимумов.
Дадим теперь более точное определение понятия макси-
мума и минимума.
Определение. Функция имеет максимум в данной точке,
если можно указать такую окрестность указанной точки,
что значение функции в этой точке больше всех значений
функции в выбранной окрестности, т. е. функция j=/(x)
имеет максимум в точке а, если /(а)>/(а-[- Дх) при любых
значениях Дх=^0, достаточно малых по абсолютной величине1).
Определение. Функция имеет минимум в данной
точке, если можно указать такую окрестность указанной
точки, что значение функции в этой точке меньше всех
значений функции в выбранной окрестности, т. е. функция
y=.f[x) имеет минимум в точке а, если
/(а)</(а4-Дх)
1) Если / (а) / (а + Дх), то говорят, что функция имеет в точке а
нестрогий максимум.
6**
168	ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ	[гл. IV
при любых значениях Дх 0, достаточно малых по абсолютной
величине ’).
Замечание. Не следует думать, что максимум или со-
ответственно минимум возникают только при переходе функции от
возрастания к убыванию и соответственно от убывания к возра-
станию. Функция может иметь максимум (минимум) в данной точ-
ке а и не являться возрастающей (убывающей) ни на каком отрез-
ке слева от точки а и не быть убывающей (возрастающей) ни на
каком отрезке справа от точки а, какими бы малыми эти отрезки
ни были. Вот пример такой функции:
Я*) = *4(2 +
у(х) = х* (24-cos-i-
пак слева, так и справа от точки
ложительной, т. е. будет большей,
j(0) = limj = lim х4 (2 -4- cos — — 0.
x->o	' X'
Эта функция имеет минимум в точке х=0.
В самом деле, при х^О имеем
^х4 ^2— 1)	х4.
х = 0 функция будет по-
чем при х = 0. Мы имеем
в точке х = 0 минимум.
В то же время мы сейчас
покажем, что в любой как
угодно малой окрестности
точки х = 0 и слева и
справа имеется бесчислен-
ное множество интервалов,
где функция возрастает,
и бесчисленное множе-
ство интервалов, где функ-
ция убывает (черт. 726).
Поскольку наша функция
в точках х и —X принимает одинаковые значения, ее
график симметричен относительно оси Оу, поэтому достаточно
рассмотреть значения х>0. Найдем производную; имеем
у' = 4х* f2 4-cos— -4—х4 Л sin —
\	1 X J 1 X2 X
’) Если /(a)^/(a-f- Дх), то говорят, что функция имеет в а не-
строгий минимум.
§ 52]	МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ	169
ИЛИ
У = х8 [4х (2 4-cos 4г +sin4r]. (78)
При достаточно малом х выражение 14лг ^2 —|— cos	j можно
1 1Я
сделать достаточно малым, например меньшим у. Имеем
Ux (2 4-cos—^1 *С4 |х| (2 4- I cos —П	12 |х|
I \	' X / I	\ I х I у
11^1
и при И <24 получим
14* (2 +cos 1)1 <1.
Поэтому там, где при И<^ величина sin у > у» произ-
водная будет положительной. Это так, потому что в выраже-
нии (78) множитель х* на знак не влияет, а величина в квад-
ратной скобке будет положительной. Там же, где при|хК^
величина sin—<— у, производная будет отрицательной.
Найдем интервалы справа от нуля, т. е. при х > 0, где
sin — *>4-; очевидно, это там, где
х 2
у-f~2zrrc<y <^4г 2/т, л = 0,1,2,...,
или
—!------<х<-------1-----, в = 0, 1,2,...
1тг4-2лп	£ + 2лп
Таким образом, имеем бесконечную последовательность интер-
1 1
—-714" 2/ис	4"
6	1	6 1
производная на них при
валов
к нулю;
оба конца которых стремятся
О < -^ < 24 положительна, и
функция возрастает.
Так же находится последовательность интервалов справа
от х = 0, где sinx<— 4”»’ очевидно, это там, где
А
7	11
-g- тг 2л^ <1х < п 4“ 2ЛП»
и = 0, 1, 2........
170
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. IV
или
И-5--------<х< 7—1----------,	« = 0, 1,2,...
•7- К + 2пп	Т к
о	о	*
Следовательно, имеется последовательность интервалов
, которые обоими своими концами
Г 1	1
11 , п ’ 7	, о
-г к + 2/гк -F-« Ч- 2як
_ 6	6	1
стремятся к 0 и чередуются с предыдущими. На этих интер-
валах при 0<х<Л производная отрицательна, и функция
убывает.
Теорема. Если производная в точке, где функция до-
стигает максимума или минимума, существует, то она
равна нулю, т. е. если функция j>=/(x) имеет в точке а
максимум или минимум (даже нестрогий) и в этой точке су-
ществует производная, то /'(а) = 0.
Доказательство. Предварительно заметим, что про-
изводная является пределом отношения приращений:
Ajv	Ajc) — /(х)
Дх	Дх
л?
при Дх—►О, причем этот предел должен быть одним и тем %
же, каким бы способом мы Дх к нулю ни стремили. В част- |
ности, если мы будем стремить Дх к нулю по отрицательным I
значениям, то вычисленная таким образом производная должна |
равняться производной, вычисленной при стремлении Дх к нулю |
по положительным значениям. После этого замечания перей- |
дем к доказательству теоремы.	I
Пусть функция у=/(х) имеет в точке а максимум, тогда
согласно определению /(«)^/(a-j-Дх), откуда	|
/(e-J-Дх)—/(а)<0,	(79) I
причем неравенство (79) имеет место как при Дх^>0, так и |
при Дх<0. Предположим сначала, что Дх>0; разделив не- |
равенство (79) на Дх, имеем	|
/(а+Дх) — f(a)	п	i
ГТ	V.
§ 52]	МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ	171
Переходя к пределу в последнем неравенстве при Дх—>0
и Дх>0, получим
lim У(аЧ-М-/(я)<()1^	(80)
&х -М>
Дх > о
Теперь будем считать Дх<0, тогда при делении нера-
венства (79) на отрицательную величину Дх знак неравенства
изменится на обратный, и мы получим
/(a-J-Дх) —/(а)	0
Дх
Переходя к пределу в последнем неравенстве при Дх—>0
и Дх<0, найдем (см. замечание к теореме 1 § 16)
lim	или f(a)>0.	(81)
Дх -► о йх
Дх < 0
Сопоставляя неравенства (80) и (81), заключаем, что одно
и то же число не может быть одновременно и больше и
меньше нуля, поэтому неравенство в этом случае невозможно.
Следовательно, остается возможным только равенство, т. е.
/'(а) = 0, что и требовалось доказать.
Если бы мы предположили, что в точке а функция имеет
минимум, доказательство осталось бы тем же, только все не-
равенства в доказательстве пришлось бы изменить на обратные.
Геометрически теорема представляется очевидной; действи-
тельно, черт. 72а показывает, что в точках минимума и ма-
ксимума касательная параллельна оси х, и, следовательно,
y = tga = 0.
Следует заметить, что производная может равняться нулю
не только в тех точках, где функция достигает максимума
или минимума. Например, в точках at и at (черт. 68) каса-
тельная параллельна оси х и, следовательно, производная равна
нулю, между тем, функция в этих точках не имеет ни ма-
ксимума, ни минимума. Это означает, что равенство нулю про-
изводной в некоторой точке, являясь согласно предыдущей
теореме условием, необходимым для существования
максимума и минимума, не является достаточным
условием, потому что, как мы видели, производная может
1) При переходе к пределу неравенство может обратиться в ра-
венство. См. замечание на стр. 62.
172	ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ	[гл. IV
в некоторой точке равняться нулю, а функция в этой точке
не имеет ни максимума, ни минимума.
Перейдем теперь к отысканию достаточных условий ма-
ксимума и минимума.
§ 53. Достаточные условия максимума и минимума
функции
Значения аргумента, при которых производная данной
функции равна нулю, называются критическими значе-
ниями аргумента данной функции.
Пусть а — критическое значение аргумента функции
Наша задача заключается в том, чтобы найти
условия, которые позволяли бы узнать, когда данная функция
имеет в точке а максимум и когда минимум. Для этого про-
изведем исследование поведения функции при всех возможных
чередованиях знаков производной вблизи точки а. Будем да-
вать аргументу производной значения, близкие к значению с,
сначала меньшие а, затем ббльшие а. Могут встретиться сле-
дующие случаи:
1°. Производная при х<а положительна, а при х>а
отрицательна, т. е. производная, обращаясь в нуль в точке а,
меняет в этой точке знак плюс на минус. В этом случае
(теоремы 3 и 4 § 51) функция возрастает «до»2) точки а, а
затем «после» * *) точки а убывает, следовательно, функция
переходит в точке а от возрастания к убыванию, а это озна-
чает, что функция достигает в точке. а максимума. График
функции около точки а изображен на черт. 73 а.
Итак, если производная данной функции равна нулю
в точке а и меняет знак до точки а на знак — после
точки а, то функция имеет максимум в точке а.
2°. Производная при х<а отрицательна, а при х">а по-
ложительна, т. е. производная, обращаясь в нуль в точке а,
меняет в этой точке знак — на знак • В этом случае
(теоремы 3 и 4 § 51) функция переходит в точке а от убы-
1) Мы предполагаем, что имеется некоторый промежуток, содер-
жащий точку а, в котором нет, кроме точки а, других критических
значений, и что производная в этом промежутке непрерывна.
’) «До» точки а означает: «при всех значениях х, меньших а, но
достаточно близких к а».
*) «После» точки а означает: «при всех значениях, больших х, но
достаточно близких к а».
§ 53] ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МАКСИМУМА И МИНИМУМА ФУНКЦИИ 173
вания к возрастанию и, следовательно, достигает в точке а
минимума. График функции около точки а в этом случае изо-
бражен на черт. 73 б.
Итак, если производная данной функции равна нулю
в точке а и меняет знак — до точки а на после точки а,
то функция имеет минимум в точке а.
Черт. 736.
3®. Производная положительна как при x<^at так и при
т. е. производная, обращаясь в нуль в точке а, знака
в этой точке не меняет, оставаясь положительной до и
после точки а. В этом случае функция, возрастая до точки а,
продолжает возрастать и после точки а, и, значит, функция
в точке а не имеет ни максимума, ни минимума. График
функции около точки а в этом случае изображен на черт. 73 в.
Черт. 73в.
Наконец, разберем последний случай.
4°. Производная отрицательна как при	так и при
т. е. производная, обращаясь в нуль в точке а, знака
в этой точке не меняет, оставаясь отрицательной до и
после точки а. В этом случае функция, убывая до точки а,
продолжает убывать и после точки а, и, значит, функция
в точке а не имеет ни максимума, ни минимума.
График функции около точки а в этом случае изображен
на черт. 73 г.
174
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. IV
Запишем результаты исследования в таблицу.
Критическое зн ачение*	Знак производной		Вид кривой около точки а	
	до критиче- ского зна- чения	после крити- ческого зна- чения		
1)		4-	—		Максимум
2)		—	4-		Минимум
3)		+	4-	-7-^	Нет ни макси- мума, ни мини-
4)			—’		мума
§ 54. Правило нахождения максимумов и минимумов
данной функции
Из результатов §§ 52—53 мы знаем, что производная;
данной функции в точках максимума и минимума равна нулюЛ
Поэтому для отыскания максимумов и минимумов данной функ-
ции у = /(х) прежде всего надо найти критиче-
ские значения аргумента функции. Для этого со-
ставляют производную У==/'(х), приравнивают ее нулю: |
/'(*) = О,	(82)J
и находят действительные корни уравнения (82). Пусть xv
xv ...— полученные таким образом критические значения^
(т. е. корни уравнения (82)). Затем, чтобы распознать,^
имеется ли при данном критическом значении действительно^
максимум или минимум, нужно узнать знаки производной до^
критического значения и после критического значения (если?
знаки будут	—> то мы имеем максимум, если знаки бу-;
дут —»	то имеем минимум; в остальных случаях —
максимума, ни минимума).
Если производная у'==/'(х) — непрерывная функция, т<^
в этом случае производная может изменить знак лишь при
переходе через значение нуль (см. теорему § 48), т. е. лишь
при переходе через критическое значение; следовательно^
в промежутках между критическими значениями знак произ-
водной будет сохраняться.	|
§ 54] правило нахождЕния максимумов и минимумов 175
Поэтому для того чтобы узнать знак производной до кри-
тического значения, достаточно узнать знак производной где-
нибудь в промежутке между предшествующим и данным кри-
тическим значением. Таким же способом можно определить
знак после критического значения.
Примечание. Если исследуемое критическое значе-
ние х, не имеет предшествующего, т. е. является самым мень-
шим критическим значением данной функции, то производ-
ная не обращается в нуль нигде в промежутке — оо < х < х*
и, значит, сохраняет знак в этом промежутке, поэтому знак
производной до х, будет совпадать со знаком производной
в любой точке промежутка (— оо, xj. Аналогично, если xt
является самым. большим критическим значением данной функ-
ции, то производная сохраняет знак в промежутке xt <х<оо.
Подводя итог, мы получим следующее правило.
Правило нахождения максимумов и миниму-
ме выданной функции j>=/(x), имеющей непрерывную
производную:
1)	составляем производную j'=/'(x);
2)	приравниваем производную нулю: /'(х) = 0, и находим
все действительные корни полученного уравнения х15 х2,
х8,..., которые и будут критическими значениями функции;
3)	располагая все критические значения хп х8, х,,...
в порядке их возрастания х, < х8 < х8 < ..., подставляем
сначала в производную любое значение аргумента х<^хг и
тем самым определяем знак производной до xt, затем — любое
значение аргумента из промежутка х, < х < xt и тем самым
определяем знак производной после xt. Если происходит смена
знаков производной с на —, то имеем максимум функции
в точке х1? если с — на то имеем минимум в точке xt;
если же смены знаков производной не происходит, то в точке х1
функция не имеет ни максимума, ни минимума.
Аналогично определяем знак производной до и после xt.
Знак в промежутке х,<^х <х8 уже известен, он совпадает
со знаком производной после хх, остается определить знак
в промежутке х8<х<х8; по знакам производной до х8 и
после х2 заключаем о максимуме, минимуме функции в точке х8
или отсутствии таковых в точке х8. Таким же образом по-
ступаем с х8 и т. д.
Пример 1. Найти все максимумы и минимумы функции
j = 2х’ — 15х* + 36х — 24.
176	ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ	[гл. IV
1)	Находим производную у' = 6х2— ЗОх-]-Зб.
2)	Приравниваем производную нулю и находим критиче-
ские значения (т. е. действительные корни производной):
6а;2 — 30х-{-36 = 0, или х2— 5х-|-6 = 0,
откуда, решая квадратное уравнение, имеем х1 = 2, ха = 3.
3)	Берем значение xt = 2.
а)	Знак производной до х, = 2 сохраняется в промежутке
— оо<*<2, после х1 = 2— в промежутке 2<х<3.
б)	Определяем знак производной до xt = 2. Подставляем
в производную значение нуль, как самое удобное для вычи-
сления и принадлежащее промежутку —оо<^х<^2; имеем
у )х=_0 = 36>0, т. е. знак производной
в)	Определяем знак производной после xt = 2; подстав-
ляем в производную какое-либо значение, большее 2 и мень-
5
шее 3, например -?г, имеем
л
У <__5=6.^-30.4 + 36 = -|<0,
т. е. знак производной —.
Знаки производной меняются с -|- на —, значит, в точке
х, = 2 функция имеет максимум.
Вычисляем максимальное значение функции
у\х=2 = 2-29 — 15.22 + 36.2 — 24 = 4.
Берем значение ха = 3.
а)	Знак производной до ха = 3 сохраняется в промежутке
2<х<3, после ха = 3— в промежутке 3<х<-4-оо.
б)	Знак производной до х, = 3, как знак производной
в промежутке 2<^х<3, уже определен выше:
т. е. знак производной —.
в)	Знак производной после ха = 3 будет
/ |ж=4 = 6.16-30.4-4-36= 12 > О,
т. е. знак производной -|-.
Знак производной переходит с — на —, и, следовательно,
мы имеем минимум в точке ха = 3.
!
§ 55]
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ
177
Минимальное значение функции будет
^=з = 2.3‘— 15.3’ + 36>3 —24 = 3.
При решении задач удобнее после каждого шага резуль-
тат записывать в таблицу.
Для данного примера таблица имеет вид:
Критическое значение	Знак производной			Значение функиии при критическом значении аргу- мента
	до крити* ческого значения	после кри- тического значения		
2	+	—	Максимум	4
3	—	+	Минимум	3
§ 55. Применение теории максимумов и минимумов
к построению графиков функций
Построение графиков функций тем способом, какой мы
применяли в гл. I, обычно уясняет вид графика функции лишь
в промежутке, для которого составляется таблица значений
функции. Кроме того, составление таблицы значений функции
для более или менее сложной функции (например, даже для
многочлена третьей степени) требует много вычислений.
Поэтому, если нам нужно узнать вид графика функции
во всей области ее определения, удобнее и быстрее восполь-
зоваться теорией максимумов и минимумов.
Для выяснения вида графика функции будем поступать так:
1) найдем максимумы и минимумы функции, а также по-
путно определим вид графика около остальных критических
точек; при* нахождении максимумов и минимумов мы найдем
также все промежутки возрастания и убывания;
2) найдем точки разрыва функции (если таковые имеются).
Обычно эти данные вполне уясняют вид графика функции.
Иногда бывает полезно найти еще координаты точек пересе-
чения графика с осями координат.
Пример 1. Найти максимумы и минимумы, промежутки
возрастания и убывания, а также точки разрыва функции
4- х 4 4
(если они есть) и построить график функции у » —□_ *
178	ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ	[гл. IV
1)	Находим критические значения. Имеем
9__(8х 4- 1) (х — 1) — 4х* — х — 4_4х2 — 8х — 5
У —	(х-1)’	(х—I)2 *
Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы
числитель равнялся нулю; имеем 4х* — 8х — 5 = 0, откуда
1	5
—	2 ’	2 ‘
2)	Находим промежутки, где производная сохраняет знак.
-	4х2 4- % + 4	, 4х2 — 8х — 5
Функция у =—j— и ее производная у ———
имеют разрыв в точке х=1, так как при х—>1 обе дроби
стремятся к оо. Поэтому производная сохраняет знак в про-
межутках
*< —2~; — у<х<1; 1 <х<у; у<х<+©о.
Определяем знаки производной в этих промежутках.
7
а)	В первом промежутке имеем у |х==—i = у^>0, т. е.
знак функция возрастает.
б)	Во втором промежутке имеем У|х_.0 = — 5<0, т. е.
знак —; функция убывает.
в)	В третьем промежутке имеемУ|л==2 =— 5<0, т. е.
знак —; функция убывает.
7
г)	В четвертом промежутке имеем У | х~з — у > 0, т. е.
знак функция возрастает.
3)	Составляем таблицу и вычисляем максимальные и мини-
мальные значения функции:
Критические значения	Знак производной			Значение функции
	до критиче- ского значения	после критиче- ского значения		
	 2 5^ 2	+	+	Максимум Минимум	II	« -1-	II	. 1 II	II ч	ч
§ 55] ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАКСИМУМОВ и минимумов 179
4) Функция имеет разрыв при х— 1 (см. выше, п. 2)),
и 1нв_у = оо.
ХМ- 1
Наносим эти данные на черт. 74,
получаем вид графика.
Пример 2. Построить график
функции у = х1пх.
Прежде всего заметим, что функ-
ция определена только для положи-
тельных значений х, т. е. для х > 0.
1) Находим критические значения;
имеем У = In х -|- 1; приравниваем
производную нулю: In х -4-1 — 0,
1
откуда х1 =—.
2) Функция и ее производная не-
прерывны при х>0. Поэтому произ-
водная сохраняет знак в промежут-
л	1	1	|
ках 0<х<—и —+
в в
Определяем знаки производной в
этих промежутках:
а) в первом промежутке
у|жя=1=1 + In 1 = 1 — 21г. 2 =
= 1 — 1,38...<0,
Черт. 74.
т. е. производная имеет знак —, и функция убывает;
б) во втором промежутке у' | х==1 === 1 -|- In 1 === 1 > 0, т. е.
знак производной , и функция возрастает.
3) Составляем таблицу и вычисляем значение функции в кри-
тической точке.
Критическое значение	Знак производной			Значение функции
	до крити- ческого значения	после критического значения		
1 е	—	+	Минимум	1 И 1 е
180	ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ	[гл. IV
4) Функция непрерывна (см. п. 2)).
Наносим эти данные на чертеж и получаем вид графика
функции.
§ 56. Наибольшие и наименьшие значения функции
Определение. Наибольшим (соответственно наимень-
шим) значением функции на отрезке [а, />] называется зна-
чение, не меньшее (соответственно не большее) любого дру-
гого значения функции на отрезке [а, &]1).
Как мы уже знаем (§ 52), максимум (или минимум) мо-
жет не являться наибольшим (соответственно наименьшим)
значением функции, потому что максимальное (соответственно
минимальное) значение функции, по определению, должно
быть больше (соответственно меньше) лишь всех своих со-
седних значений, а не вообще всех значений функции на от-
резке [а, #].
Для нахождения наибольшего значения функции на
отрезке [а, нужно найти все максимумы функции на
этом отрезке, а также значения функции на концах
отрезка и выбрать из них наибольшее.
В самом деле, возможны два случая:
1) либо наибольшее значение функции достигается внутри
промежутка, и тогда, являясь наибольшим значением, это зна-
чение будет больше или равно своим соседним, поэтому бу-
в) Предполагается, что функция и ее производная непрерывны на
отрезке [а, Ь\.
§ 56] НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 181
дет являться максимумом функции (черт. 75) (может быть не-
строгим);
2) либо наибольшее значение достигается на конце проме-
жутка (черт. 76).
Итак, наибольшее значение функции в промежутке (а, Ь)
либо совпадает с одним из максмумов функции, либо дости-
гается на конце промежутка. Таким образом, наше правило
оправдано.
Аналогично для нахождения наименьшего значения функ-
ции на отрезке [а, />] нужно найти все минимумы функ-
ции на этом отрезке, а также значения функции на
концах отрезка и выбрать среди этих значений на-
именьшее.
Примечание. Если функция имеет единственный макси-
мум на отрезке [а, 6] (т. е. не имеет больше на этом отрезке
ни максимумов, ни минимумов), то этот максимум будет
являться наибольшим значением (черт. 77).
Аналогичное замечание имеет место и для единственного
минимума.
Пример 1. Среди всех прямоугольников, вписанных
в круг, найти прямоугольник наибольшей площади.
Обозначим радиус круга через R (черт. 78), сторону пря-
моугольника АВ — через х, тогда другая сторона прямоуголь-
ника ВС=У4/?2—х2 и площадь S = x-J/r4/?2—х2. Задача
состоит в том, чтобы найти такое значение х, при котором
величина S имеет наибольшее значение. Заметим, что х = АВ
по геометрическому смыслу задачи может изменяться только
182
ПРИЛОЖЕНИЯ понятия
ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. IV
в промежутке 0<х<2/?. Ищем
чины S; имеем
1) S — V^ — x-
максимум и минимум вели-
4/?а - 2ха
X®
г ----------г_...____, откуда, при-
/4/?а-ха	К4/?2-х2
равнивая нулю числитель: 4/?’ — 2х* = 0, имеем х — -J- /?]/~2.
(Решение х= —2 не подходит, так как 0<х<2/?.)
2) Определяем знаки производной: а) до x==R имеем
f	4Д>2_2/?2	27?
>>'|	=р===== ===	> 0, т. е. производная имеет
знак Ц-; б) после х = /?рг2' (даем х значение 1,5/?, так
как мы должны дать значение, большее /?рл2, но меньшее 2/?)
имеем
У'
9
4/?-у/?а
R
fl
х=1,5/?
т. е. производная имеет знак . Составляем таблицу:
критическое значение	Знак производной		
	до критического значения	после критического значения	
RV"2	+	—	Максимум
Следовательно, при х = /?}^2 площадь 5' будет иметь
максимум; так как максимум единственный, то он будет наи-
большим значением.
Геометрически х = Л £?==/? ]/~2 является стороной вписан-
ного квадрата; значит, площадь квадрата, вписанного в дан-
ный круг, больше площади любого другого вписанного в этот
круг прямоугольника.
Примечание. При решении геометрических задач ча-
сто, найдя критическое значение, можно из геометрических
соображений сразу заключить, будет ли при данном крити-
ческом значении максимум или минимум. В этих случаях не-
обходимость в исследовании знаков производной отпадает. Это
замечание можно применить и к предыдущему примеру.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
183
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
К § 51.
1.	Доказать, что функция у = е* возрастает на всей оси х.
2.	Доказать, что функция у = 1пх возрастает во всей области ее
определения.
3.	В каких промежутках возрастают и в каких убывают функции:
a)	sinx, б) sin2x, в) sin2x, если х изменяется от 0 до 2тс?
тс 3
Отв. а) Возрастает в промежутках 0 < х < -н- и --тс < х < 2тс,
& Ji
-	п 3
убывает в промежутке < х < тс;
б)	возрастает в промежутках 0 < х < тс < х < -^ тс; ~ тс <
.	тс 3	5	7
< х < 2тс, убывает в промежутках < х < -^ тс и—тс<х<утс;
.	л . ТС .	. 3
в)	возрастает в промежутках 0 < х < у и к х убывает
в промежутках-т£-<х<тс и ^тс<х<2тс.
4.	Найти промежутки возрастания и убывания функций:
а)	у = Зх2-|-6х4- К	б) у = 3х’4-х — 1.
Отв. а) Возрастает в промежутке — 1 < х < оо, убывает в про-
межутке — оо < х < — 1;
6)	возрастает на всей оси х.
К §§ 52—54.
5.	Найти максимум и минимум следующих функций:
а) ^ = 2х — х+ 1,	а) у|рИ х=== JL минимум = 4;
4	о
б)у = х —х,	при х —— максимум —
в) У -g-x -|-2х — 3.	в) при х==—5 минимум = — 8.
6.	Найти максимумы и минимумы следующих функций:
а)	у = Зх’ — 9х2 — 27х + 1; Отв. а) При х
при ~
б) при
при
г3	2
б)	у---------2х8 + Зх~|--
в) у = Зх5 — 125х’ + 2160х.
— 1 максимум — 16,
3 минимум = — 80;
х = 1 максимум — 2,
2
х = 3 минимум =
о
в)	при х = — 4 и х = 3 — макси-
мум,
при х=я — 3 и х = 4 — минимум.
184	ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ	[гл. IV
а)>=7Т2;
Зх .
б)
. Xs . 8
вО = -2- + ^
7.	Найти максимумы и мининумы следующих функций:
Отв, а) При х = — 5 максимум = — 10,
при х = 1 минимум = 2;
б)	при х= 1 максимум == +-х,
л
При X — — 1 минимум = — -у;
в)	при х= — 2 и
при х = 2 минимумы = 4.
8.	Найти максимумы и минимумы следующих функций:
V . л	тс	тс
а) у=5Ш 2х — х в промежутке — ~ < х <
б) у = х2е“*а;
в) ^ = —;
Л*
г) у = sin х	cos х в промежутке 0 < х < 2тс.
\ ГТ K	V 3	ТС
Отв, а) При x=-g- максимум =-^>2----g-,
тс	, У 3 . тс
при х = —-g- минимум = —-——|—g-;
б)	при х = 1 и при х =— 1 максимумы=—»
при х = 0 минимум = 0;
в)	при х=— минимум = —е;
.	Л	ч/ТТ
г)	при х = -4- максимум = у 2,
5	1/-7Г
при х = -^-тс минимум = —у 2.
К § 55.
9.	Вычертить графики функций:
1) у = 2х-Зх’ + 7;	х-\
2)	у = ЗхЛ — 6хЦ-5;
3)	у = 3х*4-2х’ —3; 7) у
4)	у~х* —x-f-l;
5)	у = 2х*4-х1 — 2;
Отв, 1) При х=
2)	при
3)	при
4)	при
8)j=*+|;
Л
1
— — максимум;
о
х= 1 — минимум;
х = 0 — минимум;
1
X =	— минимум,
^3x4-5: 9)j = y-1nx:
ю) у—------------5—
^9	• >У	+/]~7
... 2х — 1
11)-у— (X-l)v
при X
1
— — максимум;

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
185
5)	при х = 0 — минимум, при х = — -g— максимум;
6)	при х = 1 -|- V 3-- максимум, при х = 1 — УТ— мини-
мум; функция непрерывна;
7)	при х —— 3 — максимум, при х = — 1 — минимум,
lim у = оо (т. е. х = — 2 есть точка разрыва функции);
— 2
8)	при х= 1 — минимум,. при х = —-1 — максимум,
lim у = оо (т. е. х = б — точка разрыва);
х -► О
9)	при х = 1 — минимум; функция определена для х > 0;
10)	функция определена для — 1 < х < 1 и в этом проме-
жутке возрастает; при приближении х к —1 х -f- оо;
при приближении х к — 1 у -► — оо;
11)	при х = 0 — минимум, lim у = оо.
К § 56.
10.	Сумма двух чисел равна а. Каковы должны быть числа для
того, чтобы их произведение было наибольшим?
~ а а
Отв.-а_.
11,	Разность двух чисел равна а. Каковы должны быть числа для
того, чтобы их произведение было наименьшим?
~ а а
Отв-2п~2-
12.	Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у ко-
торого площадь наибольшая.
Отв. Квадрат.
13.	Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у ко-
торого диагональ наименьшая.
Отв. Квадрат.
14.	Из всех прямоугольников данной площади найти тот, у кото-
рого периметр наименьший.
Отв. Квадрат.
15.	В данный полукруг вписать прямоугольник наибольшей пло-
щади.
Отв. Прямоугольник, у которого отношение сторон равно 1:2.
16.	Сумма двух чисел равна а. Каковы должны быть эти числа,
чтобы сумма их квадратов была наименьшей?
_ d а.
Отв. у и у.
17.	Доказать, что из всех прямоугольных треугольников, вписан-
ных в данный круг, наибольшую площадь имеет равнобедренный тре-
угольник.
18.	Из всех треугольников, у которых сумма основания и вы-
соты — величина постоянная, найти треугольник наибольшей площади.
Отв. Треугольник, у которого основание равно высоте.
19.	Дан круг и прямая, касающаяся круга. Требуется провести
хорду параллельно касательной так, чтобы треугольник, имеющий
186	ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ	[гл. IV
вершиной точку касания, а основанием — хорду, имел наибольшую
площадь.
3
Отв. Расстояние хорды от точки касания равно у радиуса (тре-
угольник равносторонний).
20.	Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный
круг, найти тот, который имеет наибольшую площадь.
Отв. Равносторонний.
21.	Из всех прямоугольников, вписанных в данный треугольник,
найти тот, который имеет наибольшую площадь (основание прямо-
угольника лежит на основании треугольника).
Отв. Прямоугольник, имеющий высоту и основание, соответственно
равные половине высоты и основания треугольника.
22.	Из квадратного листа жести со стороной а желают сделать
открытый сверху ящик, вырезая по углам равные квадраты и загибая
края. Каковы должны быть размеры вырезанных квадратов, чтобы
объем ящика был наибольшим?
Отв. Стороны вырезанных квадратов равны -у.
23.	Из всех цилиндров данного объема найти тот, который имеет
наименьшую полную поверхность.
Отв. Цилиндр, имеющий в осевом сечении квадрат.
24.	Требуется построить цилиндрический сосуд (например, бак),
открытый сверху, так, чтобы при данной вместимости (т. е. при дан-
ном объеме) ушло наименьшее количество материала (т. е. чтобы его
поверхность была наименьшей).
Отв. Цилиндр, у которого высота равна радиусу.
25.	Из всех цилиндров, вписанных в данный конус, найти тот,
который имеет наибольший объемг
Отв. Цилиндр, имеющий высоту, равную у высоты конуса.
26.	На прямой найти такую точку, чтобы сумма ее расстояний от
двух данных точек была наименьшей (точки лежат по одну сторону
прямой).
Отв. Точка прямой, в которой отрезки, проведенные из данных
точек, одинаково наклонены к прямой.
27.	Из всех цилиндров, вписанных в данный шар, найти тот, кото-
рый имеет наибольший объем.	/“у
Отв. Радиус основания цилиндра равен 1/ -^-R и высота
Т О
2₽
равна
28.	Из всех цилиндров, вписанных в данный шар, найти тот, кото-
рый имеет наибольшую боковую поверхность.
Отв. Цилиндр, имеющий в осевом сечении квадрат.
29.	Пересечь пирамиду параллельно основанию так, чтобы прямая
призма, у которой верхним основанием является полученное сечение,
а нижнее лежит в основании пирамиды, имела наибольший объем.
Отв. Высота призмы равна у высоты пирамиды.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
187
80.	Из всех конусов, вписанных в даннный шар, найти тот, кото-
рый имеет наибольший объем.
4
Отв. Высота конуса равна -яг радиуса шара,
о
31.	Из всех конусов, описанных около данного шара, найти тот,
который имеет наименьший объем.
Отв. Высота конуса равна учетверенному радиусу шара, а объем
его равен удвоенному объему шара.
32.	Провести прямую параллельно данной, которая пересекала бы
данный полукруг так, чтобы площадь трапеции, образованная полу-
ченной хордой и двумя перпендикулярами из концов хорды на диа-
метр, была наибольшей.
* тЛТ
Отв. х = где х —расстояние от центра полукруга до
хорды, a R— радиус полукруга.
33.	Из всех описанных около данной окружности треугольников
с одним данным углом 2а найти тот, который имеет наибольшую
площадь.
Отв. Равнобедренный.
34.	Из всех конусов, имеющих одинаковые образующие, найти
тот, который имеет наибольший объем^
Отв. Конус, у которого tg а = Y 2, где 2а — угол при вершине
в осевом сечении.
35.	Найти наибольшую емкость конической палатки, которую
можно сделать из S квадратных единиц материи.
Отв. Высота в /2 раз больше радиуса основания, а объем
36.	Вырезать из данного круга сектор так, чтобы образованный
из этого сектора конус имел наибольший объем.
Отв. <р = к -у, где <р— центральный угол сектора.
37.	Из всех круговых секторов, имеющих данный периметр, найти
тот, который имеет наибольшую площадь.
Отв. Сектор, у которого длина дуги равна двум радиусам.
38.	В данный сектор с центральным углом 2о < к вписать прямо-
угольник наибольшей площади.
Отв. Угол 2<р, под которым видна из центра круга сторона, имею-
а
щая вершины на дуге, равен а, т. е. <р==у.
39.	В данный сегмент вписать прямоугольник наибольшей площади,
cos а 4- Ycos* а 4- 8
Отв	. cos ср =-’ где <?~~УГ0Л> под которым
видна из центра круга сторона прямоугольника, имеющая вершины
на дуге, а а —угол, под которым видна из центра круга хорда
сегмента.
ГЛАВА V
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Предыдущие две главы были посвящены учению о произ-
водной и некоторым его приложениям к исследованию функ-
циональных зависимостей. В тесной связи с производной
находится другое основное понятие дифференциального исчис-
ления, которое весьма выгодно рассматривать во многих во-
просах и особенно в приложениях интегрального исчисления,
элементы которого содержатся в последней главе этой книги.
Прежде чем перейти к выяснению понятия дифференциального
исчисления, носящего название дифференциала, нам необходимо
несколько дополнить сведения о бесконечно малых величинах,
с которыми мы познакомились в главе II.
§ 57. Сравнение бесконечно малых.
Эквивалентные бесконечно малые
Если опыт или наблюдение дают нам несколько величин
а, Ь, с, ... одной и той же природы (веса, площади, объемы
и т. д.), то первое, что мы стараемся сделать,— это узнать,
во сколько раз одна из этих величин больше или меньше
другой.
С этой целью одну какую-нибудь из этих величин, напри-
мер величину а, принимают за единицу масштаба и посред-
ством ее измеряют все остальные величины Ь, с, ..т. е.
составляют отношения
Ь с
а ’ а ’ ‘
показывающие, во сколько раз эти величины больше вели-
чины a (ш меньше а).
Аналогично поступают и тогда, когда рассматривают не-
сколько бесконечно малых величин а, у, ... В этом случае
§ 57]	СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ	189
также, желая сравнить эти бесконечно малые между собой,
выбирают одну из этих бесконечно малых, например а, за
основную бесконечно малую и с нею сравнивают остальные
R у
бесконечно малые, образуя отношения у, ... Однако
теперь эти отношения уже не являются числами, как это было
в первом случае, а переменными величинами, и вполне понятно,
что в целях сравнения бесконечно малых интересуются преде-
лами этих переменных величин.
Будем предполагать для определенности, что величины
а, р, у, и т. д. являются функциями переменной х и что они
бесконечно малы при х—(а может быть —оо и оо).
Определение 1. Бесконечно малая р называется беско-
нечно малой высшего порядка, чем а, при х—* а, если
8
отношение стремится к нулю, т. е. если
lim — = 0.
х-+а а
Например, если р = 2а2— а*, то р — бесконечно малая
.. р	2а’ — а8
высшего порядка, чем а, потому что lim—= lim------------=
х->аа х-+а а
= lim (2а — а2) = 0.
х-+а
Определение 2. Бесконечно малая р называется беско-
нечно малой низшего порядка, чем а, если отношение
стремится к. бесконечности при х—т. е. если
lim — = оо.
х->а а
Например, если р = 3]/а-|-7а2, то р — бесконечно малая
низшего порядка, чем а, потому что
lim —= lim J.yla + 7<^=:lim (-^=--|-7а')=
= lim +lim (7а) = ео.
х -+а \ г ® / х а
Действительно, У^а есть бесконечно малая, стоящая в знаме-
нателе дроби, числитель который есть постоянное число, не рав-
3
ное нулю; следовательно, — бесконечно большая величина;
190	ДИФФЕРЕНЦИАЛ	[ГЛ. V
сама же а — бесконечно малая, и, значит,
lim а = 0.
Из определения вытекает, что р— бесконечно малая выс-
шего порядка, чем а, когда она «гораздо быстрее» стремится
к нулю, чем а. Следовательно, она является бесконечно малой
не только в сравнении с конечными величинами, но даже по
о
отношению к бесконечно малой а, потому что — стремится
к нулю при х—*а. Другими словами, бесконечно малая выс-
шего порядка р является более «мелкой» по своей величине,
чем а. Наоборот, если р— бесконечно малая низшего порядка,
чем а, то это означает, что она «гораздо медленнее» стре-
мится к нулю, чем а, т. е. что она «крупнее» по своей
величине, чем а.
Заметим, наконец, что свойства «быть высшего порядка»
и «быть низшего порядка» взаимны между собой, потому что
если бесконечно малая {3 есть бесконечно малая высшего по-
рядка, чем а, то а есть, наоборот, бесконечно малая низшего
порядка, чем р.
В самом деле, если lim — = 0, то отсюда следует, что
lim у- = оо.
Определение 3. Две бесконечно малые а и р назы-
8
ваются эквивалентными, если их отношение — имеет пре-
а
о
делом единицу, т. е. если lim — = 1.
х -► а а
Эквивалентность бесконечно малых есть понятие взаимное,
т. е. если р эквивалентна с а, то и а эквивалентна с р.
Действительно, если lim — = 1, то и lim £ = 1.
х-+аа	х а ?
Например, sin а и а — эквивалентные бесконечно малые,
потому что lim 1 (см. § 29).
х-*а ®
Относительно эквивалентных бесконечно малых весьма
важной является следующая теорема.
Теорема. Бесконечно малые аир тогда и только
тогда эквивалентны, когда их разность (р — а) есть бес-
конечно малая высшего порядка, чем они сами.
§ 57]	сравнение бесконечно малых	191
Доказательство. Действительно, если разность (р — а)
двух бесконечно малых а и р— высшего порядка, чем а,
то это означает, что lim = 0. Отсюда следует, что
lim (-----0=0, или lim — = 1, что и доказывает эквива-
\ а /	а ’
х-> а \	/	а
лентность бесконечно малых аир.
Обратно, если бесконечно малые аир эквивалентны между
о
собой, то Iim~ = l. Отсюда вытекает, что переменная вели-
а ®
чина — 1 имеет своим пределом нуль, т. е. lim —1^=0.
Последнее равенство можно написать в виде lim ^^ = 0,
х-*а ®
откуда заключаем, что разность (р — а) — бесконечно малая
высшего порядка, чем а. Из свойства взаимности эквивалент-
ных бесконечно малых а и р мы заключаем, меняя роли аир,
что разность (а — р) — бесконечно малая высшего порядка,
чем р, т. е.
Доказанная теорема показывает, каким именно процессом
можно получать эквивалентные бесконечно малые. В самом
деле, рассмотрим две эквивалентные между собой бесконечно
малые аир. Обозначая их разность через 8: 8 = р— а,
получим р = а-}-3«
Мы знаем, в силу доказанной теоремы/ что* 5 — беско-
нечно малая высшего порядка, чем аир. Следовательно,
бесконечно малая а, эквивалентная бесконечно малой р,
получается из р отбрасыванием у нее бесконечно малой высшего
порядка. Другими словами, имея сумму двух бесконечно малых
а -|- 8, из которых одна, 8, высшего порядка, чем а, мы про-
сто отбрасываем бесконечно малую высшего порядка; получен-
ная новая бесконечно малая а эквивалентна всей сумме а-(-8.
Например, бесконечно малая 2 sin а За1 эквивалентна
более простой 2 sin а, так как За* — бесконечно малая выс-
шего порядка, чем 2 sin а, и потому, отбрасывая ее, мы
получаем бесконечно малую 2 sin а, эквивалентную перво-
начальной.
192
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
[гл. V
§ 58. Основной принцип дифференциального исчисления
Мы знаем, что в дифференциальном исчислении часто на-
ходят пределы отношения двух бесконечно малых величин —
приращения функции к приращению аргумента. В связи с
этим имеет важное значение следующая теорема.
Теорема. При отыскании предела отношения двух бес-
конечно малых каждую из них можно заменить эквивалент-
ной бесконечно малой, не изменив этого предела.
Действительно, пусть надо найти lim где а и
х -> а г ’
какие-нибудь сложные бесконечно малые. Предположим,
а эквивалентна а' и р эквивалентна р'. Из тождества
= —г- • р получаем, что lim = hm — lim -г- lim -р .
а Р г	х-+аг х а а х -* а г х -> а г
Так как, согласно условию, а и а' эквивалентны, так же как
р и р', то lim — =1 и lim р=1-
х->а а	x-ta г
Заметив это, находим
,. а' .. а
hm й7= hm
что
а'
что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти предел отношения двух бесконечно
малых:
lirn а* ~ За* + 2 sin а — 5а*
4а8 а + 4а— 7 а*
Заменим числитель и знаменатель этого отношения эквива-
лентными бесконечно малыми, для чего, как известно, нужно
просто отбросить бесконечно малые высших порядков (если
член низшего порядка малости один в числителе и соответ-
ственно один в знаменателе). Так как в числителе член низ-
шего порядка малости только один, 2 sin а, а такой же член
в знаменателе тоже только один, 4 а, то в силу принципа ис-
комый предел равен
,.	2 sin а 1
‘™— = 2-
Пример 2. Найти производную функции у = х*, исходя
из определения производной.
§ 59]
ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
193
вычисляем приращение этой
функции:
Сначала
Aj = (x-(- Дх)2—х2 = х2-(-2хДх-|-(Дх)*—х*, илиДу =
= 2хДх-|-(Дх)2. Образуем отношение =	*
Если приращение Дх стремится к нулю, то приращение
функции Ду есть бесконечно малая, являющаяся суммой двух
бесконечно малых 2хДхи(Дх)2, из которых вторая (Дх)2 —
высшего порядка, чем первая 2х Д х. Отсюда, отбрасывая беско-
нечно малую высшего порядка, на основании доказанного прин-
ципа имеем:
lim	Нт = 2х,
Дх->0А*	Дх-0 Д*
т. е. (х2)' = 2х.
Пример 3. Найти lim .
х -> оsin 2х
Заменяя числитель и знаменатель отношения через соот-
ветствующие им эквивалентные бесконечно малые 4х и 2х,
получим в силу основного принципа, что искомый предел равен
§ 59. Понятие дифференциала
Из § 33 мы знаем, что если функция имеет производную,
то справедлива формула
Ду=У Дх-f-a Д*,	(83\
где а — бесконечно малая при Дх—>0.
Первое слагаемое в правой части равенства (83) называют
дифференциалом функции.
Определение. Дифференциалом функции y=f(x} на-
зывается выражение вида у' &x=f’ (х) Дх, т. е. произ-
ведение производной функции на приращение независимой
переменной.
Заметим, что дифференциал функции является сам функ-
цией двух независимых переменных х и Дх, причем эта
вторая независимая переменная входит в дифференциал функ-
ции множителем первой степени.
194	ДИФФЕРЕНЦИАЛ	[гл, V
Дифференциал функции /(х) обозначается знаком dft так
что df—f (х) Дх.
Если данная функция /(х) обозначена одной буквой у,
т. е. _у=/(х), то дифференциал этой функции мы обознача-
ем знаком dy и пишем
dy =у' Ьх.	(84)
Если, в частности, данная функция y=f(x) тождественно
равна независимой переменной х, т. е. /(х) —х, то диффе-
ренциал такой функции просто обращается в Дх, так как
в этом случае производная обращается в единицу, ибо (х)' — 1,
и, значит,
dx=&x.
Итак, дифференциал независимой переменной равен при-
ращению этой переменной.
Внося в формулу (84) вместо Дх равную ему величину
dx получим
dy=y'dx,
т. е. дифференциал функции равен произведению производ-
ной на дифференциал независимой переменной.
Разделив это равенство на дифференциал независимой пе-
ременной dx, мы получим
dy___ ,
dx У»
т. е. производная функции равна отношению дифференциала
этой функции к дифференциалу независимой переменной.
Следует заметить, что дифференциал dx = Ax незави-
симой переменной х не есть непременно бесконечно малая ве-
личина.
Необходимо помнить, что дифференциал dx, будучи при-
ращением Дх независимой переменной х, есть новая незави-
симая переменная, которая хотя и соответствует х, но от ее
величины совершенно не зависит. Поэтому, будучи новой не-
зависимой переменной, дифференциал dx может иметь какое
угодно числовое значение.
Возвращаясь к формуле (83), перепишем ее в виде
4y=dy-|-adx.	(85)
§ 59]
ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИаЛА
195
Когда dx стремится к нулю, то, как мы знаем, dyy &у
и а становятся величинами бесконечно малыми. Следовательно,
adx, как произведение dx на величину бесконечно малую а,
есть бесконечно малая высшего порядка, чем dx.
Итак, это основное равенство (85) говорит нам, что
приращение Ду функции и дифференциал dy функции от-
личаются друг от друга на бесконечно малую высшего по-
рядка, чем dx.
В общем случае производная у' не равна нулю и, значит,
дифференциал функции dy=y'dx есть бесконечно малая низ-
,	a dx а
шего порядка, чем adx, потому что
Другими словами, бесконечно малое приращение Ду функции
и дифференциал dy этой функции суть эквивалентные между
собой бесконечно малые (см. теоремы § 57), и, значит,
lim
Дх->0
4*==i
dy
По этой причине, когда dx — kx — величина малая, на
практике вместо сложного по своей природе приращения
функции Ьу берут в качестве приближенного значения ее
дифференциал — образование по своей природе более простое.
На этой идее основано приложение дифференциалов к при-
ближенным вычислениям, о чем мы будем говорить в конце
этой главы.
Пример. Возьмем функцию у — х*-]-Зх — 2. Если не-
зависимая переменная получит приращение dx, то прираще-
ние Ду функции будет
Ду == (х 4- dx)* + 3 (х 4- dx) — 2 — х* — Зх 4~ 2 •
После приведения подобных членов получим
Ду = (2х 4- 3) dx 4- (dx)*.
После отбрасывания бесконечно малых высшего порядка остается
(2x4-3)dx,
а это и есть дифференциал dy нашей функции, в чем легко
убедиться, вычислив производную у' = 2х4~3.
196
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
[гл. V
§ 60. Геометрический смысл дифференциала
Предположим, что кривая, изображенная на черт. 79,
представляет график функции y=f (х).
Пусть точка этой кривой имеет своими координатами х
и у, а точка М' имеет своей абсциссой x-\-dx.
Очевидно, что отрезок MS, параллельный оси Ох, равен dx,
а отрезок SM' равен приращению Ду функции, так как
SM' =f(x+dx) — f(x) = Ay.
Обозначим через Т точку пересечения касательной, про-
веденной к кривой в точке М, с ординатой точки М'; тогда
ST==MS-tgZ™S.
Так как tg^/TMS=y',
то
ST=y'dx=dy.
Следовательно, отрезок
ST есть дифференциал функ-
ции dy, т. е. дифференциал
функции dy равен прираще-
нию ST ординаты точки ка-
сательной, когда абсцисса
точки касания получает
приращение dx.
Из чертежа мы усматриваем, что приращение функции
Ay = SM’ и дифференциал функции dy = ST отнюдь не
равны друг другу. Их разность ТМ* есть отрезок между
касательной и самой кривой; эта разность есть бесконечно
малая высшего порядка, чем dx = MS.
§ 61. Формулы для нахождения дифференциалов
функций
Особо важное значение дифференциала функции с фор-
мальной стороны состоит в том, что его вид остается
неизменным даже в том случае, когда берут другую
независимую переменную. В самом деле, пусть y—j\u) есть
§ 61] ФОРМУЛЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ФУНКЦИЙ 197
функция независимой переменной и. Тогда согласно определе-
нию дифференциал dy этой функции запишется в виде
dy=f (u)du.	(86)
Возьмем теперь за независимую переменную другую, на-
пример х, таким образом, чтобы прежняя независимая пере-
менная и стала в свою очередь некоторой функцией х, т. е.
а = ср(х). В этом случае величина у зависит уже от незави-
симой переменной х, потому что теперь у =/[ср (х)].
Желая вычислить дифференциал dy функции у в этом
новом предположении, мы должны написать
dy = V\%W}}' dx.	(87)
На первый взгляд можно подумать, что мы получили
совсем другое выражение для дифференциала dy. Однако
на самом деле, пользуясь теоремой о производной сложной
функции, мы имеем
{/ [<р (х)]}' = Г [<Р (х)] • <?' (X) ==/' (и) <р' (X).
Следовательно, равенство (84) перепишется в виде
dy	(и) ср' (х) dx.	(88)
Заметив, что du = q' (x)dx, из равенства (88) получим
dy—f'(u)du,	(89)
и мы снова нашли тот вид (86) дифференциала, который был
нами написан в предположении, что и — независимая переменная.
Полученный результат можно формулировать в виде сле-
дующего предложения.
Теорема. Формула дифференциала dy=f (и) du спра-
ведлива как в том случае, когда и — независимая перемен-
ная, так и в том случае, когда и—функция другой незави-
симой переменной; в этом последнем случае под множи-
телем du надо понимать дифференциал функции.
Доказанная теорема дает нам правило для составления
дифференциала сложной функции (функции от функции). Это
правило заключается в следующем.
Если y—f (ц), и — <р(х), то
dy=f(a)dat	(I)
7 И. И. Привалов и С. А. Гальдеры
198
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
[гл. V
т. е. дифференциал сложной функции равен произведению ее
производной по промежуточному аргументу на дифферен-
циал этого промежуточного аргумента (ср. с теоремой § 42).
Пример 1. Найти дифференциал функции _y = sin(x2).
Полагая п = х2, имеем у = sin и. Пользуясь формулой (I),
находим
dy — (sin и)' du = cos и du.
Так как du — d (х2) = 2х dx. то окончательно получим
du = 2х cos (х2) dx.
Остальные правила для составления производных, уста-
новленные в гл. III, также переносятся на случай дифферен-
циалов, если формулы для производных умножить на dx.
потому что дифференциал функции равен произведению ее
производной на дифференциал независимой переменной.
Таким образом, из теоремы § 36: (си)'== си'. умножнием
на dx получим
d (си) = с du.	(II)
т. е. постоянный множитель можно вынести за знак
дифференциала.
Из теоремы § 37: (a-f-t/ — w)' = и' — wr. после
умножения на dx получим
d («4”ф — it^ — du-^-dv— dw.	(Ill)
т. е. дифференциал алгебраической суммы функций равен
такой же сумме дифференциалов этих функций.
Из теоремы § 39: (uv)'= uv'	vu'. после умножения на
dx найдем
d (u-v) — udv-\-vdu.	(IV)
т. е. дифференциал произведения двух множителей равен
сумме произведений каждого множителя на дифференциал
другого.
(и \'	vuf — uvf
— 1 =—, после умно-
жения ее на dx получим
• Ju\ vdu — udv	....
<v>
§ 61] ФОРМУЛЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ФУНКЦИЙ 199
т. е. дифференциал дроби равен произведению знаменателя
на дифференциал числителя минус произведение числителя
на дифференциал знаменателя и все разделенное на квад-
рат знаменателя.
% ।
Пример 2. Найти дифференциал от функции у — & _ "2 •
Согласно изложенным правилам имеем
ли—л ( х + 5\ (хВ 1 2 з. 4 5 6 7 — 2) rf(x + 5) — (х + 5) дГ(х2 — 2) 
У~ а\х2-2)~~	(Xе-2)2	“
_ (Х2 _ 2) dx - (х + 5) 2х dx  х2 + 1 Ох + 2
(х2 —2)2	(х2 —2)2 аХ*
При нахождении дифференциала можно сначала найти про-
изводную и результат умножить на дифференциал независимой
переменной. Так, в предыдущем примере имеем
( х + 5\'_(х2 — 2)(х + 5)'-(х + 5)(х2-2)'_
—	(х2 —2)2	“
_х2 —2-(х + 5) 2х_ х2 + 10х + 2
—	_ 2)2	(х2 - 2)2
, .	х24-10х + 2 .
dy=y dx =------^—^-.dx.
В заключение приведем список основных формул для
дифференциалов функций, полученных из соответствующих
формул гл. ПГ для производных путем умножения последних
на dx.
1. d(c) = 0.
2. d(xn) — nxn^1 дЩпри
любом п).
з. d(logex) = y 10gee.
4. d(lnx)=^.
5. d (a*) = a* In a dx.
6. d(e*) = e*rfx.
7. d (sin x) = cos x dx.
8.	d(cosx) = —sinxrfx.
9.	d(tgx)=-^-.
10.	d(ctgx) =----
x & ' sin2 X
11.	d (arcsin x) = p==.
12.	d (arccos x) = —
13.	d(arctgx)
14.	d (arcctg x) = —
200
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
[гл. V
§ 62.	Приложения понятия дифференциала
к приближенным вычислениям
Если приращение функции у=/(х) заменить дифферен-
циалом, то при этом, как известно из (85), получается по-
грешность, равная
Ду— dy = a-dx.
В общем случае dy =/= 0, и относительная погрешность
равна эта последняя будет величиной бесконечно малой,
если dx — бесконечно малая (§ 59). Исходя из этой идеи,
можно применять дифференциалы при приближенных вычисле-
ниях. В самом деле, часто приходится вычислять значения от-
дельных выражений, как, например, (14“а)” Для малых зна
чений аргумента. Чтобы получить приближенную формулу
для (l-j-a)" при малых значениях а, поступим следующим
образом.
Рассматривая степенную функцию У = х\ образуем ее
приращение, соответствующее изменению х от 1 до 1 -f-а,
т. е. Ду = (1 4"а)”—1.
Считая а малой величиной, мы вправе заменить это при-
ращение соответствующим дифференциалом:
й^у = (x”)x=1tZx = na, так как =
Таким образом, из приближенного равенств# Ду dy на-
ходим (1 4-а)"— 1 sss да, откуда (1 4“аГ 1 4“ ла-
Последнее равенство дает приближенную формулу для
вычисления (1 4~а)” ПРИ малых значениях а.
Поступая аналогично, можем принять sin a а для малых
значений а.
Действительно, sin а = sin а — sin 0 (sin х)' а = а, от-
куда sin а а.
В виде третьего примера выведем приближенную формулу
для In (14-а) при малых значениях а. Для этого рассмотрим
функцию у == In х и образуем ее приращение, соответствую-
щее изменению х от 1 до 1 4“ а- Находим
Ду==1п(1 4-а) — In 1 = In (1 4-а).
Считая а малой величиной, мы вправе заменить это прираще-
ние Ду соответствующим дифференциалом dy — (\п х)х_^х =
ЗАДЗЧИ К ГЛАВЕ V
201
= а, потому что
=	(1пх);=1 = (1)ж=1 = 1.
Таким образом, из &у dy находим приближенную фор-
мулу
In (1 4-a) a.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V
§ 57—59.
1.	Если а — бесконечно малая, то указать, какие из следующих
величин будут бесконечно малыми высшего порядка и какие — низ-
шего порядка по сравнению с а: а) а3; б) У а; в) sin2 а, г)
£	1	£2
д) 2 У sin а; е) 1 — cos а’, ж) а3 — а 4; з) а 4 4- а2; и) а5 4“ а5.
Отв. а) Высшего порядка; б) низшего порядка; в) высшего по-
рядка; г) низшего порядка; д) низшего порядка; е) высшего порядка;
ж) высшего порядка; з) высшего порядка; и) низшего порядка.
2.	Сторона квадрата стремится к нулю. Показать, что площадь
будет бесконечно малой высшего порядка по сравнению со стороной.
3.	Если радиус шара — бесконечно малая, то показать, что: а) по-
верхность шара, б) объем шара, в) площадь диаметрального сечения
шара являются бесконечно малыми высшего порядка по сравнению
с радиусом.
4.	Показать, что следующие бесконечно малые эквивалентны
с бесконечно малой a: 1) tg а; 2) In (14-а); 3) (tg а 4~ sin а); 4) а 4-
4- sin2 а; 5) sin а 4- tg8 а; 6) а За2 4- 4а3 — а5; 7) sin2 а 4- За2 4~ «•
5.	Показать, что следующие пары бесконечно малых эквивалентны
между собой: а) - и а; б) tg 8а и 8а; в) sin2 а и а2; г) 1 — cos а
з
и а2; д) у sin3 а и а 2.
6.	Найти пределы следующих выражений, пользуясь основным
принципом дифференциального исчисления:
.. .. Zsin5£ . о * + 8*п** + *£*. m и 3/4~3/2 — It9
1) lim---т-х------ 2) hm 1 . , .L6- 3) lim	;
t-.o cm ( П	»-*0 sin< + <1	' м 2sm^4-4i’
4) 1,„ Щ '"''+*1.; 6) М
a_».O Sina	а _> о Sin 8а 4“«	а->0 tg3^4~5in^
Отв. 1)	2) 2; 3)1; 4) 1; 5) 1; 6) 1.
О	Z	о о
7* И. И. Привалов и С. А. Гальперв
202
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
[гл. V
7.	Найти lim Ml + За + а»-а»)
а-»0	1п(1+* — <*)
Указание. Воспользоваться тем, что In(1 + х) — бесконечно
малая, эквивалентная бесконечно малой х.
Отв. 3.
О и V	„ In (1-р За2 — 5а3)	п	3
8.	Наити lim — \ L _ 2х—.	Отв.
e->o In (1 +5а)	5
К §§ 60—62.
9.	Найти дифференциалы следующих функций:
1)	у = (У 1	х2)"; Отв. 1) dy = п (У 1 -|-x2)n"2xrfx;
2)	у = In (sin Ух); 2) dy = —L. ctg Ух dx;
ifX
3)	у=sin3 У x;	3) dy = —sin2 У x cos Ух dx;
2 Ух
4)	у = arcsin У2х; 4) dy=.-±----------—*----dx\
У 2x У1 - 2x
5)	У = arctg(cosx);	5) dy = —	dx,
6)	у = sin (In x);	6) dy = — cos (In x) dx\
x
ЪУ=<Г^г‘’ Vdv=^^dx,
8)	у = x" In(дх);	8) dy=xn~l [л In (дх) 4-1]/fx;
9)	y = e*lnx;	9) dy = e* ( Inx +-j-)
10)	у = (e36 + e~x)*.	10) dy = 2 (e*x - e~™*dx.
10.	Вычислить приращение и дифференциал функции у —2х2 — х
при переходе от значения х=1 к значению х= 1,01.
Отв. Ду! Х=1	= 0,0302; dy |х=1	= (4х - 1)Ь=j -0,01 = 0,03.
| А* = 0,01	]d*==0,01	J
11.	Вычислить приращение и дифференциал функции v = x34-
4~ 2х при переходе от значения х = — 1 к значению х = —0,98.
Отв. Ду I . = 0,098803; dy I _ . = 0,1.
I Дх=0,02	I ^№=0,02
12.	Вычислить дифференциал функции у = sin х при значении
те . к
х = у и dx = ^.
Отв. dy
з
dX==l80
— 2 180 — 360 °’00872,
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V
203
13.	Найти приближенные формулы для выражений, предполагая
а малой величиной:
а) (1 4-а)*; 6) И4-а; в) Д_^; г) р-Ц; д) 4—; е) --2—
У14-а	»-»	1+«	/14-а
Отв. а) 14-2«; б) 14-4-; в) 1—2; г) 14*а; д) 1 — а; е) 1 —
14.	Доказать, что ег при малых значениях h приближенно равно
1 А.
15.	Доказать, что tg h при малых значениях h приближенно ра-
вен А.
16.	Доказать, что arcsin А при малых значениях А приближенно
равен А.
17.	Доказать, что arctgA при малых значениях А приближенно
равен А.
18.	Доказать, что In (l-f-j^A) при малых значениях А прибли-
женно равен У А.
19.	Доказать, что In (1 4“ sin а) при малых значениях а прибли
женно равен а.
ГЛАВА VI
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Основная операция дифференциального исчисления, как
известно, заключается в нахождении предела отношения двух
бесконечно малых величин — приращения функции к прираще-
нию аргумента. Иными словами, в дифференциальном исчисле-
нии рассматриваются пределы отношений бесконечно малых.
Мы видели, что многие задачи приводятся к выполнению
основной операции дифференциального исчисления.
Целый ряд задач приводит нас к необходимости вычи-
сления пределов сумм специального вида, когда число слагае-
мых неограниченно увеличивается, а каждое слагаемое стре-
мится к нулю. Нахождение пределов этих сумм является
основной задачей интегрального исчисления.
Одной их основных геометрических задач, решаемых при
помощи интегрального исчисления, является вычисление пло-
щадей криволинейных фигур.
Однако для вычисления пределов сумм указанного типа
оказывается существенным уметь находить функцию, произ-
водная которой равняется данной, т. е. уметь производить
операцию, обратную дифференцированию.
С рассмотрения этой обратной дифференцированию задачи
мы и начнем настоящую главу.
§ 63. Неопределенный интеграл
В разных задачах часто приходится по заданной произ-
водной отыскивать ту функцию, от которой была взята про-
изводная, т. е. решать задачу, обратную задаче дифферен-
цирования. Например, если нам задана скорость движения
точки v, как функция времени v = <p(/), и мы желаем узнать
путь $, пройденный точкой, то помня, что ~ = мы как
§ 63]
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
205
ds
раз и должны будем по заданной производной — = <р(0
найти функцию
Определение.Функция, производная которой равна данной
функции, называется первообразной для данной, т. е. если
F'(x) = /(x), то F(x) называется первообразной для Дх).
Например, для функции /(х) = 2х первообразной будет
функция /7(х) = х2, потому что F (х)==2х=Дх). Отме-
тим, что функция Fx (х) = х2-(-2, или (х) = х2-^-5, или
вообще Л8 (х) = х2 -f- С, где С—какая-либо постоянная — все
будут первообразными для /(х) = 2х, потому что все эти
функции имеют одну и ту же производную.
Теорема 1. Если F(x)— первообразная для Дх), то
всякая функция, отличающаяся от F(x) на постоянную, бу-
дет также первообразной для Дх).
Доказательство. Так как по условию Р(х)=Дх),
то [F(x)4-CJ = frf(x)=/(x) и функция F(x)^C, где С—
постоянная, является первообразной для Дх).
Имеет место и обратная теорема.
Теорема 2. Если две функции являются первообраз-
ными для одной и той же данной функции, то они могут
отличаться только на постоянную, т. е. если Р (х)=Дх)
и Ф'(х)=Дх), то /г(х) = Ф (х) + С, где С—некоторая
постоянная.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функ-
цию cp(x) = F(x)— Ф(х). Надо доказать, что <р(х) есть по-
стоянная. Найдем производную от ср(х), имеем
<р'(х) = Р (х) — Ф' (х) =Дх) —/(х) = 0.
Таким образом, производная функции ср (х) равна тожде-
ственно нулю (т. е. равна нулю при всех рассматриваемых
значениях х). Покажем, что если производная от некото-
рой функции ср(х) равна тождественно нулю, то функция
есть постоянная.
Так как ср' (х) ~ 0, то, применяя теорему Лагранжа к от-
резку [а, х], имеем
<р(х)— ср (а) = ср' (с) (х — а), где а<с<х,
но раз у'(с) —0, то
<р(х) = ср(а).
206*	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. VI
А это и означает, что функция <р(х) принимает при всех
рассматриваемых значениях х постоянное значение (р (а).
Следствие. Зная одну первообразную F(x) для данной
функции /(х), мы получим все первообразные для данной
функции, прибавляя к F (х) всевозможные постоянные. Та-
ким образом, множество функций F(x)-\-C, где С—произ-
вольная постоянная, будет множеством всех первообразных
для данной.
Определение. Выражение F(x)-J-C где F(x)— перво-
образная для /(х), а С—произвольная постоянная, назы-
вается неопределенным интегралом от /(х) и обозначается
так:
^f{x}dx.
Функция /(х) называется подынтегральной функцией. Если
F(x) — одна из первообразных для /(х), то
J/(x)rfx=F(x)4-C,	(90)
где С—произвольная постоянная.
Присутствие постоянной С делает задачу разыскания функ-
ции по ее производной не вполне определенной; отсюда про-
исходит и само название «неопределенный» интеграл.
Из определения неопределенного интеграла следует, что
производная неопределенного интеграла равна подынтеграль-
ной функции*.
[$ /(x)rfx]'e[F(x)+CT = F(Af). (91)
Вспомнив, что дифференциал функции равен производной,
умноженной на дифференциал аргумента, мы можем записать
d [ J / (х) dx ] = f(x) dx,	(92)
т. e. дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению.
Пример 1. Зная, что
§ 64]	ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ	207
найти
J тхт~' dx.
Согласно определению имеем
J тхт~' dx = xm-]-C.
Пример 2. Найти
J dx. ^2dx. ^xdx. J 3x2Jx, J x*dx, ^kxdx.
Так как
да=2,	^>=3x-,
dx ’ dx * dx ’ dx ’
то имеем:
^dx = x-\-C. J 2dx = 2x-\-C. ^xdx = ^-\-Cy
У 3xtdx = x,4’C> У ** rfx=y-|-C, у kxdx= у -f-C.
§ 64. Интегрирование степенной функции
В § 46 была дана формула
=	(93)
верная для всякого постоянного п. целого и дробного, поло-
жительного и отрицательного. Из этой формулы для диффе-
ренцирования хп можно получить формулу для интегрирова-
ния хп. Для этого мы должны сообразить, производная от
какой функции равна х"; с этой целью преобразуем формулу
(93) так, чтобы в ее правой части стало хп. Прежде всего
заменим в этой формуле п на п 1 (что возможно, так как
п — произвольное число):
4^5_(в+1)Л
208	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. VI
Если п 1 У= 0, т. е. п не равно — 1, то мы можем раз-
делить обе части последнего равенства на п -(- 1, после чего
найдем
1 d(xn+1)_ п
л + 1 dx '
или
25__)
л-Н J
=х-
Отсюда следует, что
р	у«+1
<9'”
Эта формула, как следует из самого вывода, верна при
любом постоянном л, не равном — 1. Для случая п = — 1
далкше будет выведена другая формула.
Словами формула (94) может быть выражена так: при
интегрировании степенной функции нужно показатель сте-
пени увеличить на единицу и результат разделить на уве-
личенный показатель.
Пример. Найти
По формуле (71) имеем:
5$=Р"^=^т+с=-т+с-
3
J — x2dx = ^~ 4-С=~хК*4“С-
§ 65. Простейшие свойства неопределенного
интеграла. Интегрирование многочлена
1°. Неопределенный интеграл от суммы функций равен
сумме их неопределенных интегралов, т. е.
JI/W+t(*)]<**=$ f(x)dx-\-^<f(x)dx.	(95)
§ 65] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 209
В самом деле, возьмем производную от выражения в правой
части равенства (72):
J<p(x)dx]' = [^/(x)dx]'4-[^<p(x)dx]' —
=/(*) +
Следовательно, выражение, стоящее в правой части равен-
ства (95) является неопределенным интегралом от /(х)4~
4~ ? (х), т. е. равняется
J[/(X) + <P (x)]dx,
что и требовалось доказать.
2°. Постоянный множитель можно выносить за знак
неопределенного интеграла, т. е.
^df(x)dx = a^ f(x)dx.	(96)
В самом деле, возьмем производную от правой части равен-
ства (96):
J/(x)Jxj = a£J/(x)dx J = af(x).
Отсюда заключаем, что выражение, стоящее в правой стороне
равенства (96), является неопределенным интегралом от а/(х),
т. е. равняется	г
j af(x)dx,
что и требовалось доказать.
Пользуясь этими простейшими свойствами и выделенной
формулой для х" dx, мы можем найти неопределенный инте-
грал любого многочлена.
Пример 1. Найти
J (4х* — 2х8 4- 5х — 3) dx,
J (4х‘ —2х!-|-5х —3)dx =
= J 4х* dx — J 2х8 dx -р J 5х dx — J 3 х =
= 4^х’ dx — 2 J x8dx4~5 J xdx — 3 ^dx=
==4^-2^4-54-3x + C=
= x4 — ухв4~4 x*—
210
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. V!
Не имеет смысла прибавлять произвольные постоянные
к каждому из слагаемых интегралов, так как сумма несколь-
ких произвольных постоянных может быть заменена одной
произвольной постоянной.
Когда интегрируют многочлен, то не пишут так подробно,
как при решении примера 1, а по возможности сразу пишут J
ответ.	|
Пример 2. Найти Jx(x8— \)dx* J (х8I)2|
J х(х* — l)dx = J(x’ — x)dx=~ — у + С;	|
f(xl + l)*dx = j(x4 + 2x’ + l)dx==£-|х’4-х + С.	|
§ 66. Интегрирование простейших функций	J
1°. Интегрирование степенной функции с показателем,
равным — 1. В § 43 гл. Ш была дана формула
df(lnx)_1
“х*	I
Отсюда следует, что	(
2°. Интегрирование показательной функции. В § 45
гл. III была выведена формула
^=a*lna;	I
из этой формулы для дифференцирования можно получить фор- |
мулу для интегрирования ах. Для этого мы должны сообразить,
производная от какой функции равна ах; с этой целью преоб- I
разуем последнюю формулу так, чтобы в ее правой части |
стало ах. Разделив обе части на In а, получим	J
1 d (а*) __
In a dx *	|
или	V

•§ 66]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ
211
Отсюда следует, что
С a*dx=^4-C,
J	Ina '	’
(97)
т. е. при интегрировании показательной функции нужно раз-
делить ее на натуральный логарифм основания.
В частности, полагая в формуле (97) а = е, найдем
ех dx-е* -\-С.
(98)
3°. Интегрирование синуса и косинуса. В § 38 гл. Ill были
даны формулы:
=cos rf(^= _ sin х
dx	’ dx
Отсюда следует, что
(99)
(ЮО)
4°.
арксинус и арктангенс. В § 41 гл. Ill были даны
d (tg х)_ 1 d ctg x___________	1
5x cos2 x ’ dx
Отсюда следует, что
Интегралы, выражаемые через тангенс, котангенс,
формулы:
sin‘x ’
(101)
dx
sin2x
(102)
5°. В § 47 гл. III были даны формулы:
d (arcsin х) 	1	d (arctg х)  1_
dx ]/*1 _ х* *	1 +
Отсюда следует, что
(ЮЗ)
arctgx -(-
(104)
212	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. VI
§ 67. Замена переменной. Интегрирование по частям
Все приемы интегрирования имеют своей целью привести
данный интеграл путем тех или иных преобразований выра-
жения, стоящего под знаком интеграла, к такому виду, при
котором можно было бы применить к интегралу ту или дру-
гую из указанных в предыдущем параграфе основных фор-
мул интегрирования.
Для такого преобразования часто бывает полезной следую-
щая формула.
Формула замены переменной. Рассмотрим интеграл
^f(x)dx и положим х = ^(/); тогда имеет место формула
\f(x)dx =$/[<? (/)]<?' (0 di').	(105)
Доказательство. Пусть Ф (/) — первообразная для
/[<₽ (01 (0, т- е-
Ф (/)+C=J /[<p(f)W) dt.
Тогда
Обозначим через F(x) первообразную для /(х):
F(x)+C = $/(x)dx;
тогда по правилу вычисления производной от сложной функ-
ции (§ 42), имеем:
Ft (х) = Fx (х) xt.
Но x = cp(f), следовательно, Xt = <f'(t), a Fx (х) — f (х) =
=/[<р(0], т. е.
J5* (•*)=Z[<p <0 ]<₽'(0-
Таким образом, левая и правая части равенства (105)
имеют одну и ту же производную, а это и означает, что
равенство (105) справедливо, что и требовалось доказать.
’) Все встречающиеся здесь функции непрерывны.
§ 67] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 213
Пример!. i -^=dx. Полагая х —имеем
J V *
С Vx" Г 1
J y=dx= | у 2tdt = 2 J eldt = 2et-}-C=2ev* -f-C.
Пример 2. J xf/1 -j-xdx. Полагая 1	имеем
x = t* — 1 и
$	—dt — Z J (t* — f}dt =
=	_|f«+c=4
Во многих случаях нет необходимости записывать, какое
выражение мы принимаем за новое переменное, замечая это
только в уме.
Вычисления тогда удобно располагать так, как указано
в следующих примерах. Иногда для нахождения интеграла
приходится предварительно преобразовать подынтегральное
выражение.
Пример 3.
4
		J.	, . Л
J_______________________________(х-р^)3 ^(х"Ьа)=~4-}-С =
т
=“4"(х4"а)
Здесь х-{-а принимается за новую переменную /.
Пример 4. С—"Л”т;=:~_ f jjT =— In(дхЦ— Z?) —<7.
r	J ax + b aj ax-^b а х 1 ' 1
Здесь ах-\-Ь принимается за новую переменную t.
Пример 5.
С е-2*dx = — 4 f е~* d (— 2х) == — 4 е~2х -4- С.
Пример 6.
С sin 2х dx = 4 J sin 2х d (2х) = —cos 2х С.
214	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. VT
Пример?.
С 2	Г 1 +cos 2х j 1 С . I
jcos2x6Zx = \ —Е-г,--dx — -^\dx-{-
4*272 J cos ^xd (^х) =ул'“Н -|"s,n2x4"C-
Примерв.
cos2 х dx= J cos2 x cos xdx= J (1 —sin2 x)d (sin x) —
— J d (sinx)— J sin2 xd (sinx) = sinx —
Пример 9.
Ctgxdx= C 3i^dx = — f (cos — — — lncosx4“C.
J	J cosx	J cosx	1
Пример 10.	£
f dx _P dx _P d(x + 3)	,	<
Jx2 + 6x4-10 J(x + 3)2 + l J (x4-3)2 + l --
= arctg (x 4-3) 4-G
Пример 11.	.	1
[*_±idx= c (i______1 Ur-Crfx~c*<x+2u	i
Jx + 2	JV	x + 2jaX — }aX J x4-2	|
— x — 1п(х4“2)4~С.	']
Вторым	важным	приемом преобразования интегралов	I
является следующая формула.
Формула интегрирования по частям. Пусть и и v—
две функции переменной х:и = ср(х), v=f(x). Тогда имеет
.место формула	*
^udv = uv — ^vdu.	(106)
В самом деле, по формуле (IV) § 61 имеем d (uv) = и dv-\-vdu, I
откуда udv==d(uv) — vdu.	*
Взяв интеграл от обеих частей равенства, мы получим
нашу формулу.
Пример 12. J х sin х dx. Введем обозначения: и = х;
dv — sin х dx. Тогда	j
du — dx> v = — cosx	j
i
J
§ 68]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ
215
j х sin х dx = — x cos x j cos x dx =
= — x cos x sin x C.
Пример 13. J arctgxdx. Введем обозначения: a=arctgx,
dv = dx. Тогда
1 a
du — -?—.—?dx, v = x
14-x2	*
и
J arctg x dx = x arctg x — j*	=
= x arctg x — -i-ln(l +х*)4-С.
A
Пример 14. jinxdx. Введем обозначения и = Inx,
dv — dx.
Тогда
, dx
du = —. v = x
x
и
j lnxtfx = xlnx — j tfx = xlnx — x+.C.
§ 68. Вычисление площади
Назовем криволинейной трапецией фигуру, ограниченную
отрезком АВ оси, двумя прямыми АС и DB, перпендикуляр-
ными к этому отрезку, и криволинейной стороной CD, такой,
что каждая из прямых, перпендикулярных к отрезку АВ, пе-
ресекает эту сторону только в одной точке (черт. 80). Если
ось, на которой лежит отрезок, принять за ось Ох и как-то
расположить ось Оу, то уравнение криволинейной стороны CD
запишется так: у=/(х), где /(х)^0 при а^х^Ь.
Постараемся определить площадь такой криволинейной
трапеции.
Заметим, что если мы научимся находить площади криво-
линейных трапеций, то, очевидно, мы сумеем найти площадь
любой фигуры, которую можно разложить на алгебраическую
216	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. VI
сумму криволинейных трапеций. Например, из черт. 81 видно,
что площадь, ограниченную линией CMJDM^ можно пред-
ставить как разность площадей криволинейных трапеций
ACM.DB и ACMJDB.
Посмотрим теперь, как определить площадь криволиней-
ной трапеции ABDC (черт. 80).
Пусть уравнение кривой CD будет j/=/(x). Уравнения
прямых АС и BD — соответственно х = а и х — Ь.
Будем для простоты предполагать, что функция j/=/(x)
возрастает (или убывает) на всем отрезке а^х^Ь. Если
функция y—f(x) не является возрастающей или убывающей
на всем отрезке, то мы предположим, что можно отрезок
разбить на конечное число отрезков так, чтобы на каждом
из них наша функция была либо возрастающей, либо убы-
вающей.
Тогда наша криволинейная трапеция разобьется на конеч-
ное число криволинейных трапеций (черт. 80), у которых
криволинейные стороны будут графиками возрастающей или
убывающей функции, и задача сведется к нахождению пло-
щадей таких трапеций; общая площадь всей трапеции будет
равна их сумме.
Мы знаем, что легко измерять площади фигур, ограничен-
ных прямыми линиями, так как такие фигуры можно разло-
жить на прямоугольники и треугольники. В нашем случае
сделать такое разбиение невозможно, потому что контур фи-
гуры содержит кривую линию CD. Для определения площади
криволинейной трапеции с основанием АВ (черт. 82) поступим
так: разделим отрезок АВ оси абсцисс на п частей, и пусть
а = х0, хп ... , хп-1, хп — Ь — абсциссы точек деления, и
проведем во всех точках деления ординаты до пересечения с
§ 68]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ
217
кривой. Тогда криволинейная трапеция разобьется на п полос.
Заменим каждую такую полосу прямоугольником, как указана
на черт. 82, взяв за высоту прямоугольника ординату в ле-
вом конце основания прямоугольника. Тогда площадь первого
прямоугольника будет равна произведению его основания
—х0) на высоту /(х0), т. е. площадь первого прямоуголь-
ника равна /(х0)(х1— х0), площадь второго прямоугольника
равна f(xt)(x2—х,), площадь последнего прямоугольника
равна f(xn^1)(xn — Площадь всех прямоугольников
будет равна сумме площадей отдельных прямоугольников, иг
обозначив ее через Sn, мы будем иметь
Sn =Лхл)	— хо) +/(*,)
(Ю7>
Частичные отрезки [х0, xj, [х„ хг], ... , [х„_п хп], на ко-
торые мы разбили отрезок [а, £], могут быть и не равными.
Обозначим через Sn величину наибольшего из них.
Будем теперь увеличивать число частичных отрезков так*
чтобы стремилась к нулю.
Естественно принять за величину площади криволиней-
ной. трапеции предел Sn, когда п неограниченно возрастает,,
а Ьп стремится к нулю, т. е. если
lim Sn = S9
Sn оо
218	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. VI
то S будет величиной площади криволинейной трапеции. Воз-
никает вопрос: если строить прямоугольники иначе, например,
принимать за их высоты ординаты в правом конце оснований
или в какой-либо промежуточной точке основания, будут ли
суммы площадей таких прямоугольников при 8п —►О стре-
миться к тому же самому пределу S или нет?
Для исследования поставленного вопроса выберем произ-
вольным образом на отрезке [х0, xj точку сг, на отрезке
£хп ^2] — точку с2 и т. д., на отрезке [хп-1, хп]— точку сп.
Построим прямоугольники так, чтобы их высоты соответст-
венно равнялись ординатам в точках с19 с2, ... , сп (черт. 83).
Тогда площадь первого прямоугольника будет равна
(xt—площадь второго — (х2 — xj/^) и т. д.,
площадь последнего — (хл —	Обозначив сумму
площадей этих прямоугольников буквой ал, имеем
«„ = Ut —	— Х1)Ж) + •••
Если точки с2,..сп будут совпадать с левыми концами
частичных отрезков, т. е. £1 = х0, с2 = х1,..cn — xn~v то
величина ап будет равна Sn из равенства (107).
Если точки cv	сп будут совпадать с правыми кон-
цами частичных отрезков, т. е. сх = xv с2=х2,... , сл = хл,
то Сд окажется равной сумме, которую мы обозначим через Sn.
§ 68]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ
Таким образом,
5п —	+ (xt —	+ . . .
S
2ig>
... + (х„-хя_1)/(х„). (109>
Заметим теперь, что благодаря тому,
по предположению, возрастающая, и
то
/(^•-.Х/ЦХ/С^)
и
(XZ —
<(XZ — Х/_,)/(^Х
<(xi-xi_1)f(xi). (110)
Неравенство (110) выражает тот факт,
что площадь прямоугольника
не превосходит площади прямоуголь-
ника xi^xBExh которая в свою очередь
не превосходит площади прямоуголь-
ника x^^CDXi (черт. 84).
Из неравенства (ИО) следует, что
мы Sn
МЫ 0„,
ющего слагаемого суммы S„, и поэтому
что функция J/=/(x).
сум-
сум-
каждое слагаемое
не превосходит соответствующего слагаемого
которое в свою очередь не превосходит соответствуй
$п ап $п'
(111>
Определение. Сумма
Оп = <xi — хо)/+ <xt — *>)/(*.) + • • •
• • •+(*» — xn-i)f(CnK
где
x^c^xj х^с2^х2;	хп_х^сп^хп,
называется интегральной суммой функции y=f(x) для
отрезка [а, £]. В частности, суммы Sn и Sn также являются
интегральными.
Теперь докажем теорему, дающую ответ на поставленный
вопрос.
Теорема. Если какая-либо интегральная сумма имеет
предел при —>0, то всякая другая интегральная суммам
будет иметь при Ъп—*0 тот же предел.
220	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. VI
Доказательство. Вычтем из всех частей неравен-
ства (111) величину тогда
(112)
Но Sn— Sn в силу равенств (107) и (109) запишется так:
Д, - s„ = (xt - х0) [/(х.) —/(х0) ] +
+ (Xt — xt)|/(xt) — /(xt) ]+ . ..
• • •+(*»—
Геометрически S„ — S„ равняется сумме площадей пря-
моугольников МйАйМхВх, MxAxMfit, Мп_хАп_хМпВп
{черт. 85).
Если теперь заменим каждую разность xt — xt_x
{1=1, 2,..., я) величиной то так как xt — х1_1^Ьп
{1=1, 2,..., л) и так как, в силу возрастания функции
y=f(x), f(xt)— /(х/_1)>0 (< = 1, 2, 3,...,л), то
-Д — S„ < {/(х,) -/(х,) 4-/(х.) -/(х.) + ...
• • • +/(*„) —/(^Я-1) } = \f (Хп) —/(*о) ] =
= *n\f(b) -f (а)],	(113)
лли, объединяя неравенства (112) и (ИЗ), имеем
о	-$„<$„!/(*)-/(а)].	(П4)
в 69]
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
221
Из неравенства (114) следует, что
lira (о„ —S„) = 0,
«-♦>00
т. е. величина — Sn является бесконечно малой при	—►О;
обозначим ее буквой aft:
an-Sn = an.	(115)
Равенство (115) показывает, что если какая-либо интегральная
сумма ап имеет предел, то S„ имеет тот же предел (при
i„—*-0), потому что Sn = aa — а.п и
lira S„ = lim а„ — lira а„ = lim
«“>00	«->00	«->00	«—> СО
6п->0
и обратно, если Sn имеет предел, то
также имеет тот же предел, так как
lim o„ = lim •*>„-]-lim a„ = lim Stt,
П-iGO	П-tQO	П-+00	«->00
8n -> 0	8n -> 0	-► 0	8j| ~> 0
что и требовалось доказать.
§ 69. Определенный интеграл
Определение* Предел интегральной суммы
Vn = (*1 —	+ <*» — *l)/(C.) + • • •
(ив)
при Ъп —> О называется определенным интегралом от функ-
ции V=f(x) по отрезку [а, #].
Число Ъп равняется наибольшей из разностей xi— Х;_х
(I = 1,,,., п). Определенный интеграл обозначается так:
ь
^f(x}dx и читается «интеграл от а до b от/(х)^х»; число а
!
называется нижним пределом интеграла, а число верхним.
8 И. И» Привалов и С. А. Гальперн
222	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. VI
Таким образом,
ь
lira cn=\f(x)dx.	(117)
«-♦оо а
О
Переменная х называется переменной интегрирования.
Мы знаем, что в случае, если у=/(х) является поло-
жительной функцией, то предел интегральных сумм, т. е.
ь
^f(x)dx, будет давать величину площади S соответствую-
fl
щей криволинейной трапеции:
ь
S=$f(x)dx.	(118)
fl
В этом заключается геометрический смысл определенного
интеграла от положительной функции.
Следует отметить, что многие другие задачи также при-
водят к необходимости вычисления предела интегральных
сумм.
Будем теперь предполагать, что мы умеем находить перво-
образную F(x) для данной /(х). Докажем следующую
основную теорему.
Основная теорема. Определенный, интеграл равен
разности между значением первообразной функции при
верхнем пределе интегрирования и значением первообраз-
ной функции при нижнем пределе интегрирования> т. е.
если
ь
Г(х)=/(х), то $/(x)dx=F(d)-F(a).	(119)
а
Теорему будем доказывать в предположении, что функция /(х)
монотонно возрастает. В силу теоремы предыдущего пара-
графа нам достаточно показать, что предел какой-либо одной
интегральной суммы, соответствующей какому-либо одному
способу выбора чисел ch имеет предел, равный F(b)— F(a),
так как любая другая интегральная сумма будет иметь тот
же самый предел.
§ 69]	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	223
Применим теорему Лагранжа (§ 50) для разности значений
первообразной функции F(x) на концах отрезка [х0, х,], имеем:
f М — F(x0) = F’ (7.) (х, — х0) =f(cx) (х, — х0),
где хй<^сг<^хх-, также имеем:
^(*,) — Л*1)==/(^) (*, — *,).	х1<с^<х1;
F{xn) — F(xn_x)=f(cn)(xn — xn_x), где x„_1<7n<x„.
И сложив все эти равенства, получим:
— F (*,) =Ж) (Xt — х0) 4- /(7.) (xs — X.) 4- ...
• • • “1“ f (*») (хп	xn-i)’
или так как xn = b, a xQ — a, то
/ К) (*>—*0) + /(ё,)(х,—*>) 4~ • • •
.. .4-/(Cn)(x„-x„_1) = F(t)-F(a).	(120)
Сумма, стоящая в левой части равенства (120), является ин-
тегральной суммой. Обозначим ее через ал; тогда
7„ = F(*)-F(a)	(121)
и
lim — F(b) — F(a).
И -> ОО
6л-> 0
Следовательно (см. теорему § 68), имеем также
ъ
lim <3n = F(b)— F(a), т. е. J f(x)dx = F(b)— F(a),
п-+сп	a
8д-*0
что и требовалось доказать.
Мы часто будем обозначать разность F(b)— F(a) так:
F(b)-F(a) = F(x) I*.	(122)
Пример 1.
i
С гл я’11	1
| х2 dx =-^ — -т .
J	о |о	о
о
8*
224	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. VI
Пример 2.
1Г
т
Г	I*.	®
I sinxrfx =— COSX 2= — COS-s-4-COS(0)s=l.
J	|0	J 1
0
Пример 3.
2
f — = ln x f=ln2 —In 1 =ln2.
J	|1
1
§ 70. Простейшие свойства определенного интеграла
1°. Мы считали, что в определенном интеграле верхний
предел больше нижнего. Мы условимся теперь считать, что
Ъ	а
J/(x)rfx = *-J/(x)dx,	(123)
а	b
при этом формула (119) останется справедливой, ибо если
ь
$/(x)rfx = F(ft)-F(a),
а
то в силу (123)
а	b
J /(X) dx = - $ /(х) dx*= ~ [F(b) - F(a)] == F(a) — F(b).
b	a
2°* Имеет место равенство
b	с	с
J/(x)4?x-|-J/(x)rfx= J/(x)dx.	(124)
aba
В самом деле, в силу формулы (118) имеем
ь
$/(x)rfx = FW-F(a),
а
€
$/(x)</x = F(c)-F(Z>)
ь .
§ 70] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 225
и, складывая, получим
Ъ	е
J /(X) dx 4- J /(х) dx = F{c) — F(a),
a	b
HO
F(c)-F(a)=\f(x)dx,
a
откуда следует равенство (124).
Следствие. Так как в силу (124)
b	а
$ /(х) 4?Х= — $ /(х) dx,
а	b
то
Ь	а
J f(x) dx -|- J f (х) dx = 0,
а	b
и поэтому в силу (123) естественно считать, что
J/(x)dx==0.
а
3°. Постоянный множитель можно выносить за знак
определенного интеграла, т. е,
ь	ь
J с/(х) dx=с J /(х) dx.	(125)
а	а
Если F(x) — первообразная для /(х), т. е. F (х)=/(х), то
(*)]'=== г/(х) и cF(x)— первообразная для с/(х), откуда
и следует равенство (125).
4°. Определенный интеграл суммы равен сумме опреде-
ленных интегралов, т. е.
ь	ь	ъ
$ [/(*) + Т W]dx = J /(х) dx + J (х) dx.	(126)
а	а	а
Равенство (126) также следует из того, что первообразная
для суммы двух функций /(х) и ^(х) равна сумме первооб-
разных.
226
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. V!
5°. Производная определенного интеграла по верхнему
пределу интегрирования равна подынтегральной функции,
в которой аргумент заменен верхним пределом, т. е.
X
($/(/) dt)' =/(х).	(127)
а
/
В самом деле, в силу равенства (119)
X
\f{t)dt = F{i^a = F{x)-F{a},
откуда
х
а
что и требовалось доказать.
6°. Отметим, что величина определенного интеграла не
зависит от обозначения переменной интегрирования.
Другими словами, обозначим ли мы переменную интегри-
рования буквой х или какой-либо другой буквой, например а,
результат интегрирования будет один и тот же, потому что
ь
\f(x)dx = F(b)-F(a}t
а
b
\f(u)du=F(b)-F(a).
а
§ 71. Геометрический смысл определенного интеграла
Мы уже отмечали § (68), что в случае, если /(х)^0
ь
и а < то \f(x)dx равняется площади соответствующей
а
криволинейной трапеции S (см. (118)), т. е.
ь
3 = J f(x)dx.
(128)
§71] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 227
Предположим теперь, что функция /(х) имеет отрицательные
значения на некоторой части отрезка [а, Ь] или на всем от-
резке [a, ft]. Тогда в интегральной сумме (116), соответст-
вующие слагаемые f(ci}(xi— х/в1) будут отрицательными. Поэ-
тому соответствующая часть
суммы (116) дает нам вели-
чину заштрихованной части
площади, взятую со знаком
минус (черт. 86). Тем самым
интеграл по отрезку, где кри-
вая у—f(x) располагается
под осью Ох, будет равен
соответствующей площади
взятой со знаком—. Пред-
Черт. 86.
положим, что интеграл по отрезку [a, ft] мы представили как
сумму интегралов, взятых по отрезкам, составляющим отрезок
[a, ft] и на каждом из которых функция y=f(x) сохраняет
ь
знак, тогда очевидно, что J/(x)rfx, когда Ь>а, равен
а
алгебраической сумме площадей, заключенных между
кривой y=f(x), осью абсцисс и прямыми х—а, х = Ь,
причем площади, находящиеся сверху от оси абсцисс,
берутся со знакома площади, расположенные снизу,
со знаком —.
Так, например, непосредственно из чертежа синусоиды
2п
(см. черт. 9) мы видим, что J sinxrfx=0.
о
Также из графика кривой j/ = x3 видим, что
+1
J №Jx = 0.
1
Пользуясь формулой (128), определим величины площадей,
ограниченных следующими линиями:
1°. у =	(прямая линия).
Если абсциссу ОР (черт. 87) точки М, взятой на данной
прямой АВ, обозначим через Л, то площадь S трапеции ОМ0МР
228
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
определится так:
h
S=J (ах + b) dx ш	4- bx\ *=+ bh=4 {ah + 2b).
О
Так как по данному уравнению ah	b — РМ и b = ОМ0, то
2
Эта формула дает известное из геометрии выражение для
площади трапеции.
2°. у* = 2рх (парабола).
Если абсциссу ОР (черт. 88) точки Ж, взятой на пара-
боле 04, обозначим через Л, то заштрихованная на чертеже
площадь 5 определится так:
Л	h
S= J У2рхйх — У2р J V~xdx =
о	0
з
[о jo о
Так как по данному уравнению V2ph = РМ, то
S=^OP-PM,
т. е. парабола делит площадь прямоугольника 0PMN на
две части в отношении 1:2.
3°. Вычислить площадь, которая ограничена двумя парабо-
лами у* = 2рх и х* = 2ду.
§71] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 229
Искомую площадь будем рассматривать как разность пло-
щадей двух криволинейных треугольников ОАМР и ОВМР
(черт. 89).
Обозначая ОР через а, представим искомую площадь в виде
разности двух определенных интегралов:
а	а
S=пл. ОАМР— пл. ОВМР= J Уdx — J dx,
о	о
так как на дуге О AM имеем у = \^2рх, а на дуге, ОВМ
х*
Чтобы определить а — верхний предел интегралов, нужно
совместо решить уравнения двух парабол, потому что
а = ОР есть абсцисса точки их пересече-
Отсюда следует х=0, что соответствует точке О, и х' =
= 8/?’, и, следовательно, х=2р, что и дает абсциссу точки М.
Итак, а=2р.
После этого будем иметь
г.	гр	ip	гр
S=J yr2pxdx^j^dx=yr2pj l^xdx^^j x*dx=s
0	0	о	о
3
2 Jo
4°. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом:
230	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРаЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. VI
Мы вычислим площадь, лежащую в первой четверти
(черт. 90). В силу симметрии фигуры эта площадь равна ~
искомой площади эллипса S. Из уравнения эллипса находим
J = y/a* —х*.
Черт. 90.
Ордината у выбрана со знаком
так как мы берем дугу, лежащую
в первой четверти. Имеем
о
Вычислим соответствующий неопределенный интеграл, для чего
сделаем замену переменного; положив
x=asinf, dx = acostdt9
имеем
S — Ttab9
т. е. площадь эллипса равна числу и, умноженному на про-
изведение длин полуосей.
§ 72] РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 231
§ 72. Различные применения определенного
интеграла
1°. Часто пользуются сокращенной записью интегральной
суммы. Прежде всего отметим, что для записи какой-либо
суммы, например 1 2 3 • • • 4“ я, употребляют сим-
п
вол «5» и пишут так: 2
п
вообще 2 ak означает «сумма величин ak от k = 1 до
k = n»^ т. е.
п
2 <za=«>4-«14- • • • +в*4- • • • 4~ап-
А=1
Таким образом, интегральная сумма ал запишется так:
п
Для интегральных сумм употребляется и более сокращенная
запись, а именно, так как значения ck можно выбирать произ-
вольно, лишь бы эти значения принадлежали отрезку [хл-1, xj,
то, обозначив через у одно из значений f(x) в отрезке
[хл-1, хл] и обозначив разность xk— xk~x через Дх, мы можем
сокращенно записать интегральную сумму так:
ь
<*» = 2 У^х>
а
числа а и Ъ указывают, что складываются слагаемые, соответ-
ствующие отрезкам, на которые разбивается отрезок [а, Д].
2°. К вычислению определенного интеграла приводят не
только задачи о нахождении площади, но и ряд других задач
геометрии, физики и точного естествознания. Например вы-
числение объема тела вращения, подсчет давления жидкости
на вертикальную стенку, работа переменной силы и много
других. Приведем ряд примеров.
Пример 1. Сегмент параболы у* = 2рх, отсеченный пря-
мой х=а, вращается вокруг оси Ох (черт. 91). Найти объем
полученного тела вращения (называемого сегментом параболоида
вращения).
232	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРЯЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл, VI
Разобьем данный сегмент параболы прямыми, параллельными
оси Оу, на узкие полосы (черт. 91). Пусть
0>><хя = а— абсциссы этих прямых, а у0, уп —
соответствующие им орди-
наты параболы в 1-й чет-
верти.
Заменим каждую та-
кую полоску прямоуголь-
никами с той же общей
ВЫСОТОЙ X;----X/. । = Дх
и с основаниями, один раз
равными Яу^, а другой
раз 2j/z.
После вращения вокруг
оси Ох мы получим слой
тела между двумя плоско-
стями, перпендикулярными
оси Ох в точках х/_1 и
X/, и два цилиндра, один
;1
/;1
целиком лежащий внутри
слоя, а другой полностью содержащий слой. Объем первого
будет TryJ_t Дх, а объем второго nyf Дх. Сумма объемов цилин-
дров, лежащих внутри всех соответствующих слоев, будет
п
"л2-1Дх-
Сумма объемов цилиндров, содержащих соответствующие слои,
будет
п
fS кс.
Это две интегральные суммы для одной и той же функции,
а именно для функции f (х) = пу2 = я 2рх, они имеют общий
предел v, который, естественно, и является объемом тела:
а
® = J п2рх Jx=2n/?y |* = 2ir/?at. •
о
3
Полученный результат v=irpa* можно истолковать так. :
§ 72] РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 233
Обозначим отрезок АС через Ь, тогда b — К2ря, и мы
имеем v = -g*Tr^2a. Но и#2 есть площадь круга, описанного
отрезком АС\ этот круг естественно назвать основанием те-
ла, а — его высота, т. е.
объем сегмента парабо-
лоида вращения равен
половине произведения
площади его основания
на высоту.
Пример 2. Найти
интегрированием объем
конуса с радиусом осно-
вания г и высотой h.
Разобьем объем на
малые слои плоскостями,
параллельными основанию
(черт. 92). Рассмотрим
один из этих слоев, обо-
значая через х расстояния
верхнего основания слоя
от вершины S. Объем
этого слоя заменим объе-
мом цилиндра радиуса р и
высоты dx (черт. 92). Этот
объем будет равен тгр* dx.
Из подобия треугольников ACS и LKS следует: = или
р=-~л;. Следовательно, этот объем представится в виде
*
n-jpx*dxt а объем V конуса будет равен
h 1	л
V=lim V ъ^х* dx = f it^x'dx.
Вычисляя последний интеграл, найдем
h
V^^x'dx^*^
о
Здесь мы рассмотрели только сумму объемов цилиндров, лежа-
щих внутри конуса. Мы могли бы, как и в прошлом примере.
№ I _ тег’/г
TJo-Т •
234
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
построить цилиндры, содержащие
интегральную сумму для той же
Черт. 93.
конус и представляющие
функции. Эта сумма, как
мы знаем, имела бы тот
же самый предел.
Пример 3. Найти
при помощи интегрирова-
ния объем шара, радиус
которого равен R.
Разобьем весь объем
полу шара на тонкие слои
параллельными плоскостя-
ми (черт. 93). Рассмотрим
один из этих слоев, обо-
значая для определенности
через х расстояние его
нижнего основания от центра шара. Объем этого слоя заменим
объемом цилиндра радиуса р и высоты dx (черт. 93). Этот
элементарный объем будет равен npa dx. Замечая, что
ра = /?а—хя9 представим его в виде
тг(/?а— x*)dx.
у
Объем -я- половины шара будет равен
Я
-£•= lim У тт(7?* — x*)dx — Сп(/?‘ — x*)dx=
2	oJ
R
= п ( (/?’ — х‘) dx.
о
Остается вычислить последний интеграл, и мы получим
V [п.	*’1«	2 п»
откуда следует
о
Пример 4. Вычислить силу давления воды на прямо-
угольную заслонку (вертикальную прямоугольную пластинку),
имеющую 20 м в ширину и 16 м в глубину, если ее верх-
няя сторона находится на поверхности воды.
§ 73] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 235
Разделим поверхность заслонки прямыми, параллельными
поверхности воды, на малые части. Рассмотрим одну из этих
узких полос, верхний край которой отстоит от поверхности
воды на расстоянии х.
Плошадь рассматриваемой прямоугольной плоскости рав-
на 20 dx, а давление воды на этот элемент площади рав-
но весу столба воды, основание которого есть этот эле-
мент, а высота — расстояние до уровня жидкости, рав-
ное х.
Следовательно, объем упомянутого столба равен 20xdx
а вес воды в нем — 20xdx принимая удельный вес во-
ды за единицу.
Здесь объем и вес подсчитаны с недостатком, так как
за х принято расстояние до верхнего края узкой полосы
(прямоугольника). Если принять за х расстояние до ниж-
него края полосы, то объем и вес получатся с избытком.
Но суммы давлений (весов) в обоих случаях дадут две
интегральные суммы для одной и той же функции и будут
иметь общий предел, который и является давлением на за-
слонку.
Мы получим значение Р полного давления на всю заслонку,
если положим
16	I6
Вычислив последний интеграл, получим
1б
Р=20 Jxdx = 20
о
[4-Г6 = 2560 т.
L 2 Jo
§ 73.	Некоторые применения неопределенного
интеграла
Мы видели, что многочисленные задачи приводят нас
к необходимости вычисления определенных интегралов. Вы-
числение же определенного интеграла легко производится,
когда найден соответствующий неопределенный интеграл.
Таким образом, неопределенными интегралами нам постоянно
приходится пользоваться как вспомогательным средством для
вычисления определенных интегралов. Вместе с этим могут
236
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
быть задачи, решаемые непосредственно путем применения
неопределенных интегралов. Рассмотрим примеры такого рода
задач.
Пример 1. Найти уравнение кривой j = F(x), зная, что
касательная к ней в любой ее точке (х, у) имеет наклон
k — 2x.
Из дифференциального исчисления мы знаем, что k =	.
Следовательно, в силу условия данной задачи
-^ = 2х, или dy = 2xrfx.
Ш Отсюда следует, что
у = J 2xdx = 2 J xdx = x*
Уравнение у = х*-|-С представляет
искомую кривую, причем в это уравнение
входит произвольная постоянная С. Да-
вая С различные числовые значения,
например С= — 2, —1,0, 1,2, ... ,
мы будем получать уравнения различных
кривых, являющихся решениями дан-
WW /1/7/ ной задачи* Все эти кривые суть оди-
наковые параболы, имеющие Оу осью
•	симметрии с вершинами в точках (0, С)
* (черт. 94). Чтобы задача была впол-
XjTy не определённой, нужно задать допол-
нительное условие, а именно потре-
бовать, чтобы искомая кривая проходила
Черт. 94. через данную точку, например через
точку (1, 3). Тогда, написав общее
уравнение j = x’-|~C, примем во внимание упомянутое до-
полнительное условие, подставим в это общее уравнение
вместо текущих координат координаты данной точки: 3=124~ С,
откуда найдем С =2. Внося С =2 в общее уравнение, полу-
чим уравнение у — х* 4-2 искомой кривой, проходящей через
точку (1, 3).
Пример 2. Точка движется по прямой со скоростью
vz=gt. В начальный момент / = 0 ее расстояние от начала
равно Выразить расстояние $ как функцию времени t
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
237
Из дифференциального исчисления нам известно, что
Следовательно, в силу условия данной задачи
ds
или ds^=gtdt.
Отсюда следует, что
=	(129)
Так как по условию при / = 0 мы должны иметь s = s0,
то, полагая f = 0 в последней формуле, имеем $0 = С. Внося
С=$о в формулу (129), найдем
s = £T+s0.
В обоих рассмотренных примерах произвольную постоян-
ную С можно было определить на основании дополнительного
начального условия.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
К §§ 63—67.
1. Вычислить неопределенные интегралы:
Ответы
1. Jtx’-Sx’ + Sx+Drfx. 1.	+
2. J (Ух + f/x)dx.	2.£/j?4-C.
8.	8. у—jx’ + Sx-lnx + C
*• И*’-^)**	Ч+1+с
5.	S. |	XT+ » XT + C
Чтйг	6-rsn+c
’j&	T.lkW+a+c.
238
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
		1 - 9. -£(n>-x1)2 4-е.
9.	У У<22 — х2х dx. Г xdx	
10.		10. /x»-24-C.
	J V х» — 2	
11.	С х 4~ 3 . Ъ-2	» .	11. x + 5 In (x - 2) 4- C.
12.		2 — i	- — 12. ~x2 +±x«-2x 2+lnx4-C. 0	2
	J	хт	
13.		1 /	1 V ”•}(*-»)+c
14.	У (а + bx2)nx dx.	11 2(Л1)»(“ + ‘Х’Г‘
15.	У еах dx.	15. —eax + C. a	1
16.	^(eax + e~ax)tdx.	16-ie“-i‘!'"+2x+c-
17.	У 4х dx.	17. -j^j + C In 4 ‘
18.	У е** х dx.	18. 4-6*’ + ^. A
	С JLzfv	__L
19.	1 ”” v dx | е х J	х2	19. e *4-C.
20.	У (sin 8х 4- 2 cos 5х) dx.	1	2 20. — ~ cos 8x4“-г sin 5x4" £• о	0
21.	У sin (at 4- Р) dt.	21. -1 cos (at + ₽) + C.
22.	Г dt J cos24/*	22. ^tg4t + C.
23.	У (cos 2x — sin 2x)2 dx.	23. x + cos 4x 4- C.
24.	f dt J sin2Ztf‘	24. —Ictgfet4-C.
25.	У cos orfsin atdt.	25. — -Lcos2at4-C.
26.	У sin2 x ccs x dx.	26,^4-C. u
27.	C cos x dx J Sin’x ’	”• .L+c'
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
239
28. Ctg’x —
J 5 COS2X
90 С _________
 J V1 - 4х» ’
30. f . .J** .
J /5-х»
31 С
01- J i+W
32.	P xdx
	Jl+x*’
33.	f rfx
	J a’ + x*’
34.	C *4-4 . J x‘4-1
35.	f* x*dx Jx‘4-r
36.	f sin x j J 2 4-cos x
37.	^ctgxrfx.
38.	C 4x4-1 . J 2хг4-я
cos х dx
1 -f-sinx ’
cos x dx
1 -|-sin2x‘
41.	f 3x4-2 . ) /4-х»
	p dx
42.	) xlnx ’
43.	f 14-e« dx'
44.	f l-|-e** dx'
45. ycos’xrfx.
46. V sin* x dx.
28.
29.	4 arcsin 2x -|- C.
30.	arcsin -4= 4- C.
УТ
31.	—atctgax + C.
32.	4-arctgx2-|-C.
A
33.	larctg J + C.
34.	‘ ln(x‘ + l)+4arctgx + C.
35.	4- In (x* +1) 4- C.
36.	— In (cos x 4-2)-f-G
37.	In (sin x) 4- C.
38.	ln(2xB4-x)4-C.
39.	In (1 4- sin x) 4- C.
40.	arctg (sin x) 4-G
41.	2arcsin 4-3 УТ^~х*+С.
42.	In [In (x)J 4- C.
43.	arctge*4-C.
44.	1 In (1+«•*)+a
О
.	sin“x , _
45.	sinx----я----(-C.
О
2	1
46.	—cosx4--^cos3x —у cos*x 4-G
240	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[ГЛ. VI
47. J	sin’xrfx.	47. у -^+С.	
48. J	\cos‘xdx.	48. 1	2	4	
49'	I Sin’XCOS’X-	49. tgx-ctgx + C.	
50. |	50. tgx + ^-f-C.	
51. 1	Jxcosxdx.	51. xsinx4- cosx4“C.	
«• j	। x5 6 * 8 e8* dx.	52. 1X2 e*x _ xe2x + eix	4-c.
53. j	i хА1пх^х(£ф — 1).	53. t-4—7X*+1 flnx —	+c.
54. ।	l arcsln x dx.	54. x arcsin x 4- У 1 — *2 4~	
	। e*sinxrfx.	55. ~e*(sinx — cosx)4-C.	
К §§ 69—71.
2.	Вычислить при помощи суммирования площадь фигуры, огра-
ниченной осями координат и прямой у = 2x4-4.
Отв. 4,
3.	Вычислить посредством суммирования путь, пройденный точ-
кой от момента *=0 до момента *=6 сек, если скорость движения
v=: 3*4-2.
Отв. 66.
1
4.	Написать в виде предела суммы J х®^х.
о
о™, f«Л = ит 1- + 2- + . +(»-!>.
J п-.а>	п
о
5. Вычислить приближенно площадь, ограниченную кривой
у = 4х — 2х* и осью х.
Указание. Разбить площадь на 8 частей.
Отв. =5:2,625.
6. Найти приближенно площадь, ограниченную одной полуволной
синусоиды и осью х. •
Указание. Разбить интервал на 9 частей. Значения синуса
взять из таблиц с тремя знаками.
Отв. Пл. 1,98.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
241
п — 1
7.	Вычислить при помощи суммирования J ех dx.
о
Указание. fe*rfx==lim — (е°4-еп4-...-J-e
J ^оо « т т
о
=(е—1) Пт-------J.
«-►оо JL
п(еп - 1)
Для вычисления предела в последнем выражении удобно обозна-
чить е п — 1 через у; тогда легко вычислить lim--~-----= 1.
«-►00	--
Отв. е—1.	п(еп - 1)
8.	Написать в виде предела суммы J sinxdjc; вычислить этот
о
предел.
л С .	• .г гс ( . гс * . 2к .	. . (л — 1) к\
Отв. \ sinxtfx = lim — ( sin-----ksin----. -k sin -------— ).
J	«^oo л \ л‘лг	n )
0
Указание. Для нахождения предела приведем к виду, удоб-
ному для логарифмирования, сумму синусов кратных дуг
= sin a -J-sin 2а . -J- sin ла.
Для этого заметим, что
а — cos
COS
а = 2 sin та sin
Складывая все такие равенства от т = 1 до т = л, получим
cos — — cos f л 4-а == 2e„ sin у,
откуда
’«
sin -у а sin —~ а
а
sm 2
Поэтому
lim — f sin — 4- ... 4» sin
л-н»л V л	л
. (п — 1)гс , лк
Sin~~9n sin oZ
= lim 21--------------2л =x
л-°°“ sin*
2л
242
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
9.	Пользуясь свойствами определенного интеграла и вычертив
+т
кривую y = tgx, доказать, что tgxdx==0.
V
10.	Пользуясь свойствами определенного интеграла и вычертив
графики функций, стоящих под знаками интегралов, доказать:
я	2
1) ^sinxfZx =	cosxtfx;
О	я
те
Т	те
3) jsinxafx=J sinxdfx;
О	те
т
4	—4
t.. Р	dx	Р	dx
о	о
2) J sin 2х dx = 0;
о
1	о
4) j х2 dx = J х2 dx\
ou	—I
11. Вычислить
1
1.	Jx’aTx.
о
2
2.	j* xn dx.
Q
it
3.	J sin x dx.
0
следующие определенные интегралы:		
Ответы.		Ответы.
4-	6.	\ sin2xrfx. 6. V П
2"+»	7.	1 cos2xrfx.	7. </ а 0 dx	л «
Я 4-1	8.	
3. 2.		1	,	о ь J Уа’-х»’	' 2’
sin 2x dx.
4. 0.
x9dx.
5/0.
P dx
J COS2X
9. In -L
10. 2.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
243
VT
11.1.

площадь, ограниченную кривой у = осью орди-
и осью абсцисс.
площадь, ограниченную кривой y = tgx, осью х
О	1
12.	Вычислить площадь, ограниченную кривой у = х + х2, двумя
прямыми х=1, х = 4 и осью х.
Отв, 28,5
13.	Вычислить площадь, ограниченную кривой	(гипер-
бола), двумя ординатами х=1 и х = а и осью х.
Отв, In а.
14.	Вычислить
нат, прямой х=1
Отв, е — 1.
15.	Вычислить
и прямой х = у.
Отв, In Г 2.
16.	Доказать, что площадь, ограниченная кривой у=Лх", осью х,
прямой х = а и началом координат, равна 1.^ -й части прямо-
угольника, построенного на координатах точки с абсциссой а,
17.	Вычислить площадь, ограниченную кривой у = 4х — х2 и
осью х.
п 32
Отв, у.
18.	Вычислить площадь, ограниченную кривой у = 3х2 — 2х и
осью х.
4
Отв.^.
Примечание. Обратить внимание, что площадь расположена
под осью х.
19.	Найти площадь, ограниченную кривой у = х’ —х* и осью х.
Отв. J2*
20.	Вычислить площадь, ограниченную кривой у=-~	-|- е “
(цепная линия), осью ординат, осью абсцисс и прямой % = #.
Отв.^г ( еь — е
244	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. VI
К § 72.
X8 V1
21.	Найти объем, полученный от вращения элипса ^4“ ^=1
вокруг своей большой оси (оси х).
4
Отв.nab*.
X8 V8
22.	Найти объем, полученный от вращения эллипса ^5+ jr=l
вокруг своей оси (оси у).
4
Отв. яа8£.
о
23.	Найти объем, полученный от вращения площади, ограничен*
X8 V8
ной гиперболой^ — ^=1 и прямой х=с, где с>а, вокруг оси х.
п я£8/с’ —За’с . о \
0/ne._^__ + 2aJ,
24.	Найти объем, полученный от вращения полуволны синусоиды
вокруг оси X.
Отв.^.
25.	Найти объем, полученный от вращения площади, ограничен-
ной параболой у8 = 2/?х, осью ординат и прямой у=^» вокруг оси у.
п ь'
Ome‘W
26.	Доказать, что объем пирамиды равен произведению площади
1
основания на -я- высоты,
о
27.	Найти площадь, ограниченную кривой у as ох8 и прямой
У==&Х.
Отв.-*-.
о
28.	Найти площадь, ограниченную двумя кривыми у=а*х* и
у=вЬх*.
„ la'
0/пв.^р.
29.	Вычислить объем клина, отсекаемого от прямого круглого ци-
линдра радиуса R плоскостью, проходящей через диаметр основания
цилиндра (черт 95).
Угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью сече-
ния—в.
ЗАДАЧИ К ГЛАВ» VI
245
Указание* Рассмотреть треугольник АВС, получающийся
в сечении плоскостью, перпендикулярной к диаметру, на расстоянии х
от центра:
ПЛ. Д ЛДС=-Ь (/?* — х‘) tg а.
л
О
Ome.tgx
О
30.	Вычислить давление воды на вертикальную заслонку,
имеющую форму треугольника с основанием а и высотой h
Черт. 95.	Черт. 96.
черт. 96). Основание треугольника находится на поверхности уровня
жидкости.
Отв. -г-.
о
31.	Вычислить давление воды на вертикальную заслонку, имею-
щую форму трапеции, если верхнее основание трапеции а находится
на поверхности уровня жидкости,
нижнее основание равно b < а и
высота трапеции равна Л.
Ла
Отв. (а + 26).
32.	Газ заключен в цилиндр с
подвижным поршнем. Считая, что
газ подчинен закону Бойля — Мари-
отта pv = Л, вычислить работу, про-
изводимую газом при выталкива-
нии поршня. В первоначальный мо-
мент поршень находился на расстоянии а от дна цилиндра, в конеч-
ный момент —на расстоянии Ь. Площадь основания цилиндра — S
(черт 97).
Отв. k In —.
а
----ь------.
Черт. 97. '
246	ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[гл. VI
33.	Решить предыдущую задачу, предполагая, что газ расши-
ряется адиабатически, т. е. что pv1 = k.
п 1	/ k	k
итв* I—^\(Sbp ~ 1 (Sap -1
К § 73.
34.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0,1), зная,
что наклон касательной к кривой в каждой ее точке равен х1.
О/ив.у== ~ + 1.
о
35.	Скорость v тела, движущегося по прямой, задана формулой
v = l,5f 4- 0,6/2, где t — время от начала движения.
Определить путь пройденный за t сек., считая, что в момент
/ = 0 и J = ^=0.
Оте. = 0,75^4-0,2/’.
36.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,1), если
наклон касательной k в каждой точке кривой задан формулой k = 1 — х-
О/Пв.у = Х —-у+у.
37.	Давление воздуха р и высота h точки над уровнем моря свя-
заны соотношением— = — k dh, где k > 0 — постоянная. Зная, что
Р
на уровне моря давление ро==760 мм, найти давление на высоте Л.
Ота.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Дифференциальное и интегральное исчисления, две части
одного целого — анализа бесконечно малых, возникли в кон-
це XVII столетия, благодаря основоположным работам Лейбни-
ца и Ньютона в связи с огромным числом математических
задач, которые встали перед естествознанием и которые не
могли быть охвачены методами элементарной математики. Эти
задачи в существенном сводились к двум основным предель-
ным процессам.
Первый из этих процессов состоит в определении относи-
тельной скорости двух изменений и математически сводится
к отысканию предела отношения двух бесконечно малых при-
ращений: приращения функции к приращению независимой пе-
ременной. Этот процесс называется дифференцированием
данной функции по данной независимой переменной.
Второй из этих процессов состоял в отыскании предела
суммы, в которой число слагаемых неограниченно возрастает,
в то время как сами эти слагаемые стремятся к нулю. Этот
процесс называется интегрированием. Оба эти процесса
имеют целый ряд важных приложений в геометрии и естество-
знании. В основе обоих этих процессов лежит простая идея:
основываясь на методе бесконечно малых, свести изучение не-
равномерных изменений к свойствам равномерных процессов.
В самом деле, для того чтобы изучать равномерное изменение,
которое геометрически изображается прямой линией,— как,
например, равномерное движение, прямую пропорциональность
величин, площади фигур, ограниченных прямыми линиями,—
никакой высшей математики не нужно.
Когда же мы хотим изучать скорости неравномерных дви-
жений, функциональные зависимости, более сложные, чем пря-
мая пропорциональность, площади криволинейных фигур, то
перед нами встают те трудности, ради преодоления которых
248
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
явилась необходимость изобретения метода бесконечно малых,
т. е. прежде всего учения о производной и интеграле.
Так, когда мы ищем мгновенную скорость неравномерного
изменения, то мы приближенно считаем это изменение равно-
мерным на маленьком промежутке. На маленьком участке мы
можем без значительной ошибки считать неравномерное дви-
жение равномерным, кривую линию — прямой. Средняя ско-
рость этого равномерного изменения дает приближенное значение
искомой мгновенной скорости. Далее остается ликвидировать
ту погрешность, которая еще содержится в результате,
и для этого мы пользуемся методом бесконечно малых.
Беря все меньшие и меньшие промежутки изменения, мы нео-
граниченно уменьшаем ошибку, покуда она совершенно не ис-
чезнет в пределе. Так мы приходим к понятию производной.
Аналогично мы поступаем и при изучении интеграла. Весь
промежуток интеграции мы разбиваем на большое число малых
частей для того, чтобы на каждом таком маленьком промежутке
неравномерное изменение функции приближенно заменить равно-
мерным, так как на маленьком промежутке мы можем без
значительной ошибки считать неравномерное движение равно-
мерным, кривую линию — прямой. Затем мы складываем все
результаты, полученные для этих маленьких промежутков, и
получаем черновое, приближенное решение задачи. Остается
ликвидировать ту погрешность, которая еше содержится в ре-
зультате; эта погрешность является суммой ошибок, совершен-
ных в каждом слагаемом. Здесь, как и в первом случае, на
помощь нам приходит метод бесконечно малых. Замечая, что
ошибка становится тем меньше, чем более мелкие части нашего
основного промежутка мы будем рассматривать, мы заставляем
число этих частей расти неограниченно, а самые эти части —
стремиться к нулю. Тогда суммарная погрешность, неограни-
ченно уменьшаясь, в пределе совершенно исчезнет, и мы полу-
чим точное решение нашей задачи.
Но за исключением этой методологической идеи — сведения
изучения неравномерных изменений к равномерным на базе ме-
тода бесконечно малых—процессы дифференцирования и ин-
тегрирования на первый взгляд никак не связаны друг с другом;
поэтому исторически они в течение долгого времени развива-
лись независимо друг от друга.
В математическом отношении первый процесс значительно
проще второго. Действительно, мы без особого труда науча-
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
249
емся дифференцировать различные функции. Этого нельзя ска-
зать про интегрирование. Пока мы знаем об интеграле только
то, что он есть предел суммы, вычисление интеграла пред-
ставляет серьезные трудности. Лишь когда мы узнаем, что
интегрирование есть действие, обратное дифференцированию
(§ 83), мы сразу значительно расширяем класс функций, инте-
гралы которых возможно найти, так как из каждой формулы
дифференцирования, обращая ее, получаем соответствующую
формулу интегрирования. Именно таков был исторический путь.
Когда говорят об открытии дифференциального и интегрально-
го исчислений в XVII столетии, то в сущности имеют в виду
тот прогресс, который осуществился в конце этого столетия
благодаря работам Лейбница и Ньютона, из которых впервые
стало ясным, что развивавшиеся до тех пор независимо друг от
друга методы дифференцирования и интегрирования на самом
деле тесно связаны друг с другом, будучи взаимно обратными
операциями.
Таким образом, ядро того громадного прогресса в истории
математики, который совершился в конце XVII столетия, нуж-
но видеть в точном установлении взаимной связи между опе-
рациями дифференцирования и интегрирования — процессами,
на первый взгляд совершенно различными между собой.
Рассматривая интегрирование как действие, обратное диф-
ференцированию, мы легко можем объяснить все своеобразные
особенности, с которыми приходится встречаться при выполне-
нии этой операции.
Первая особенность состоит в сравнительной трудности этой
операции. Если мы легко можем найти производную любой
элементарной функции, то этого нельзя сказать про интеграл.
Более того, существуют такие простые функции, как, напри-.
1 sinx
мер, или неопределенные интегралы которых не
выражаются через известные функции.
Это различие между дифференцированием и интегрирова-
нием вполне аналогично различию между такими алгебраиче-
скими действиями, как возведение в степень и извлечение кор-
ня. Мы знаем, насколько легче возвести число в квадрат, чем
извлечь из числа квадратный корень, даже в том случае, ког-
да корень извлекается. Но бывают и такие случаи, когда ко-
рень не извлекается и когда только приближенно, с некого*
рой установленной точностью, мы можем его найти.
250
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В прямой задаче, будет ли это возведение в степень или
дифференцирование, мы всегда знаем, какую цепь действий
надо произвести для получения результата, потому что вместе
с постановкой задачи дается и правило для ее решения и этим
задача значительно облегчается.
В обратной задаче, будет ли это извлечение корня или
интегрирование, нам лишь предлагается найти число или функ-
цию, которые должны удовлетворять заранее поставленным
условиям, а как найти, об этом при постановке задачи не го-
ворится, и метод отыскания — дело нашей изобретательности.
Конечно, при таких условиях решить задачу много труд-
нее; более того, может случиться, что того, что мы ищем,
просто не существует и поиски наши заранее обречены на не-
удачу. Так, мы знаем, что нет никакого целого или дробного
числа, квадрат которого равняется 2. Так же обстоит дело
и с интегрированием. Если нам нужно найти функцию, про-
изводная которой равна ~~, то оказывается, что такой функ-
ции среди доступных нам функций вовсе не существует.
Вторая особенность обратных задач — возможность много-
значности.
В прямой задаче, где нам указывается определенный по-
рядок действий, и ответ может получиться только один. В об-
ратной задаче мы не гарантированы от того, что ответов ока-
жется несколько. Так, когда мы ищем квадратный корень из
числа 9, то получаем два ответа:-J-3 и — 3.
В интегральном исчислении многозначность ответа значи-
тельно расширяется; функция служит производной для беско-
нечного множества первоначальных функций, отличающихся
друг от друга на постоянную величину, совокупность которых
выражается неопределенным интегралом.
Две фундаментальные главы анализа бесконечно малых —
дифференциальное и интегральное исчисления — являются в на-
ши дни как бы вводными главами ко всему зданию анализа
бесконечно малых.
На протяжении последних двух с половиной столетий, про-
шедших со времени возникновения математического анализа,
было создано много разделов математического анализа, часть
из которых превратилась в самостоятельные математические
дисциплины. Многие вопросы физики, астрономии и техники
привели к развитию таких больших разделов математического
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
251
анализа, как дифференциальные и интегральные уравнения.
В этих разделах идет речь о нахождении функций, удовлетво-
ряющих уравнениям, содержащим производные искомых функ-
ций или, в случае интегральных уравнений,, содержащим иско-
мую функцию под знаком интеграла.
Понятие предела используется и получает дальнейшее раз-
витие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются
вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности
величин (как постоянных, так и функций). Теория рядов да-
ет весьма существенные вычислительные приемы, позволяющие
решать разные задачи, возникающие как в самой математике,
так и в ее приложениях.
При помощи рядов вычисляются таблицы функций. Рядами
пользуются для вычисления приближенных значений тех или
иных величин.
Методы математического анализа были с большим успехом
применены к геометрии и создали большую главу геометрии,
называемую дифференциальной геометрией.
Перечисление разделов математического анализа можно
продолжать еще довольно долго, однако мы этим ограничимся.
В области математики наша страна всегда была предста-
влена учеными крупнейшего ранга. Всем известны имена Ло-
бачевского, Чебышева, Ковалевской и Ляпунова.
Однако большой коллектив крупных математиков появился
в нашей стране лишь после Великой Октябрьской социалисти-
ческой революции.
Крупнейшие достижения советских ученых в области матема-
тического анализа и во многих других разделах математики
стали в настоящее время классическими.
Несмотря на большое количество открытий и исследований
в области математического анализа, многие задачи анализа до
сих пор остаются не решенными и ждут своего решения.
Привалов Иван Иванович и
Гальперн Самарий Александрович
Основы анализа бесконечно малых
Редактор Угарова Н. Л.
Техн, редактор Мурашова И. Я.
Корректор Андрианова Л, Е.
Сдано в набор 3/1 1959 г.
Подписано к печати 6/IV 1959 г.
Бумага 84X108’/за- Физ. печ. л. 7,88.
Услов. печ. л. 12,92. Уч. изд. л. 13.
Тираж 20 000 экз. Т-00955.
Цена книги 4 р. 90 к.
Заказ № 2625.
Государственное издательство
физико- м атем ати ческой
литературы.
Москва, В-71,
Ленинский проспект, 15.
Отпечатано с матриц первой
образцовой типографии имени А. А.
Жданова Московского городского
Совнархоза. Москва, Ж-54, Валовая,
28 в типографии им. В. Капсукас-
Мицкевичюс, г. Каунас,
пр. Ленина, 23.
Заказ Ха 621.
Цена 4 р. 90 к.