AhuAUJ
ЛалЫХ
КЛАССИ К И
ЕСТ ЕС Т ВОЗНАНИ Я
ф
ПО4 ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
И. И. АГОЛА , С. И. ВАВИЛОВА ,
М Я.ВЫГОТСКОГО , Б.М.ГЕССЕНА, МЛ.ЛЕВИНА , А А.МАКСИМОВ А. Л. А.МИХАЙЛОВ А , И.П.РОЦЕНА
А.Я.ХИНЧИНА
ANALYSE
DES INFINIMENT PETITS, P ova ^INTELLIGENCE DES LIGNES COURBES.
Par Mlle Marquis De i/Hospitai.. SECONDE EDITION.
A PARIS, Chez Eranjois Montaiant а Гешг& du Quay des Auguftins du cotd du Pont S. Michel.
M D С С X V I.
AVEC APPROBATION ET PRIVILEGE DV ROY.
ГФ^еЛОПИТАЛЬ
Анализ бесконечно МАЛЫХ
Перевод с французского
Н В. ЛЕВИ
JIQA, РЕДАКЦИЕЙ
И СО ВСТУП ИТЕЛЬНОИ СТАТЬЕ#
А. П ЮШКЕ В И ЧА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ТЁХНИКО-ТЕОРЕТИЧ ЕСК.ОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА <1 9 3 5 ЛЕНХНГРА^
Переплет, суперобложка И ГРАФИЧЕСКАЯ ОРНАМЕНТАЦИЯ КНИГИ художника А. С. ЛЕВИНА Чертежи работы М. Сыркина и А. Энгельгардт
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий перевод сделан с французского издания 1768 г. При переводе „Анализа бесконечно малых" было решено в соответствии с порядком издания всей серии классиков строго придерживаться подлинного текста. Все формулы поэтому точно передают оригинал. Это не могло не отразиться на стиле изложения, поневоле отступающего иногда от правильной речи, ибо формулы у Лопиталя нередко врываются в середину фразы самым неудобным для нас образом. Точно так же, за немногими исключениями, дословно передается и терминология автора.
Чертежи представляют собой почти точные копии с чертежей издания 1768 г., поскольку первого издания книги найти не удалось ни в московских, ни в ленинградских библиотеках. Неполностью или не вполне точно вырисованные кривые сохраняются в том же виде; только в немногих случаях, когда, например, нехватает какой-нибудь буквы, внесены исправления.
8
Предисловие
К книге мною приложены некоторые примечания, частью разъясняющие принятые Лопиталем обозначения, частью представляющие собой справки, предназначенные для лучшей исторической ориентировки в этом старом математическом сочинении, частью наконец служащие пояснениями к отдельным местам.
Примечания последнего вида не претендуют на исчерпывающую полноту и не имеют целью дать комментарии ко всем сколько-нибудь трудным задачам, требующим некоторого внимания при решении; дело читателя самому разобрать их. Их назначение в указании того или иного редко встречающегося в современных учебниках свойства кривой, на котором основывается Лопиталь, некоторых его ошибок и т. п. Все редакционные примечания помещены после текста и отмечены арабской нумерацией.
В квадратные скобки вставлены для связи слова, отсутствующие в оригинале.
А. Юшкевич
Первый печатный курс ^.ИФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
СТАТЬЯ
А.П. ЮШКЕВИЧА
I
Официальной, хотя и не фактической датой рождения современного диференциального исчисления был, как известно, май 1684 г., в котором Лейбниц опубликовал первую статью, в сжатой и малодоступной форме излагавшую основные принципы нового анализа 9- Наряду с введением специального знака
х) Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tan-gentibus quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro Ulis calculi genus, Acta eruditorum 1684. Cm. Leibniz. Math. Schr., hsg. von Gerhardt, т. V, стр. 220 и след. Немецкий перевод Г. Ковалевского в серии классиков Оствальда, № 162, Leibniz, Ober die Analysis des Unendlichen.
В дальнейшем я совершенно не касаюсь соответствующих работ Ньютона, более ранних, чем статьи Лейбница, но опубликованных, за исключением „Математических начал естественной философии", в которых подробного изложения теории флюксий также пег, значительно позднее.
12
А. П. Юшкевич
для выражения диференциалов, приращений величин, в ней приведены без доказательства правила вычисления диференциалов суммы и разности, произведения, частного, степени и корня и даны указания, как применять диференциалы при изучений максимумов, минимумов и точек перегиба кривых, при проведении касательных. Лейбниц ясно понимал значение предлагавшегося им общего алгорифма, названного им самим „диференциальным исчислением", и его превосходство над более специальными методами, ранее практиковавшимися для решения инфинитезимальных проблем и в частности плохо и лишь иногда справлявшимися с иррациональностями. Понято это вскоре было и другими, правда немногочисленными, математиками. Уже в 1685 г. шотландский ученый Джон Крэг выпустил одну работу, употребляющую лейбницевы обозначения, его диференцирование иррациональностей и способ проведения касательных J). Ближайшие же годы после выхода в свет „Нового метода" дали Лейбницу двух талантливейших сотрудников в лице братьев Якова и Иоганна Бернулли. Этот триумвират в течение десятилетия значительно углубил применение диференциального исчисления к различным задачам математики и механики.
В 1686 г. Лейбниц вводит понятие о кривизне линий в точке, измеряющейся кривизной того круга,
’) J. Craig, Methodus figurarum lineis rectis et curvis comprehensarum quadraturas determinandi.
ДиФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЯ 13 который образует с кривой в этой точке наименьший угол смежности, т. е. соприкасающегося круга. При этом, правда, он допустил ошибку, утверждая, что соприкасающийся круг имеет два прикосновения к кривой, т. е. проходит через четыре бесконечно близкие точки кривой J), ошибку, котбрую исправил Яков Бернулли в 1692 г. 2). В том же году он публикует первую статью, в которой встречается знак интеграла и выясняется природа исчисления, обратного диференциальному и по диференциальным уравнениям определяющего „суммарные" уравнения (слово „интеграл" вводится Яковом Бернулли в 1690 г.)3). В 1689 г. Лейбниц ставит задачу об отыскании линии, названной им изохроной и обладающей тем свойством, что падающая по ней тяжелая точка в равные времена спускается по вертикали на равные отрезки; он доказывает затем, что изохроной является полукуби-ческая парабола. В 1692 г. он занимается линиями, служащими местом точек пересечения соседних „ближайших" кривых, принадлежащих к некоторому семейству и зависящих от переменного параметра, т. е. огибающими („Ппеае concursum" по его терминологии), причем дает известное правило нахожде-
х) Meditatio nova de natura anguli contactus et osculi Leibniz. Math. Schr., т. VII, стр. 326 и след.
2) J a c. Bernoulli, Opera, т. I, стр. 473 и след.
з) De geometria recondita et analyst indivisibilium atque infinitorum, Leibniz. Math. Schr., т. V, стр. 226 и след.
14
А. П. Юшкевич
ния их уравнений х); к этому же вопросу он возвращается в 1694 г. i) 2 * * * *). В 1692 же году им рассматриваются в связи с вопросом о развертках так называемые параллельные линии. В 1693 г. он пользуется при интегрировании диференциальных уравнений бесконечными рядами на основе метода неопределенных коэфициентов. В 1695 г. Лейбниц (и независимо от него Иоганн Бернулли) находит диференциал для общего показательного выражения и? 8).
Братья Бернулли познакомились с первой работой Лейбница в 1687 г. Разбор ее несомненно доставил им немало затруднений; вместе с тем, оценив ее по достоинству, они оба стали убежденными сторонниками диференциального исчисления. С 1690 г. они начинают публикации своих работ по этому вопросу. Так, в указанном году Яков Бернулли выводит и интегрирует диференциальное уравнение упомянутой лейбницевой изохроны и ставит задачу об определении линии, образуемой подвешенным за два конца гибким канатом. Эту проблему вскоре же разрешают Гюйгенс, Лейбниц и младший брат Иоганн, впервые при этом—в июне 1691 г.—публикующий работу по новому анализу. В 1691 г. Яков Бернулли детально
i) De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis
inter se concurrentibus formata easque omnes tangente,
Leibniz. Math. Schr., т. V, стр. 266 и след.
2) Nova calculi differentialis applicatio et usus etc.,
Leibniz. Math. Schr., т. V, стр. 301 и след.
3) Leibniz. Math. Schr., т. V, стр. 323.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 15 изучает различные свойства (перегибы, касательные, площади, развертки) параболической спирали и вводит полярные координаты; в 1692 г. исследует логарифмическую спираль и ее каустики отражения и преломления; в 1694 г. он дает выражение для радиуса кривизны (для прямоугольных координат в виде ds3: (dx ddy) ’). Иоганн Бернулли далее в 1692 г. дает набросок диференциального 2) и интегрального 3) исчислений, о первом из которых еще будет итти речь ниже. Наконец, оба брата и Лейбниц интегрируют в этот же период ряд диференциальных уравнений.
К середине 90-х годов XVII в. накопилось таким образом большое количество материала по новому анализу. Казалось даже — разумеется, ошибочно,— что в одной части его, диференциальном исчислении, все сделано, и например, Лопиталь в первом своем
!) J а с. Bernoulli, Opera, т. I, стр. 431 и след. 442 и след., 491 и след., 578.,
2) Iohannis Bernoulli, Lectiones de calculo dif-ferentialiutn. Впервые опубликовано в 1922 г. в Verhandlun-gen der Naturforsch. Gesellschaft in Basel, t. 34, стр. 1 и след. Немецкий перевод П. Шафхейтлина в серии классиков Оствальда, № 211, loh. Bernoulli, Die Differen-tialrechnung.
3) Lectiones mathematicae de methodo integralium, I о h. Bernoulli, Opera, t. Ill, стр. 385 и след. Немецкий (неполный) перевод Г. Ковалевского в серии классиков Оствальда, № 194, „Die erste Integralrechnung". В этой книге дается множество квадратур, ректификаций, исследуются эволюты, каустики, изучается цепная линия и т. д.
16
А. П. Юшкевич
письме к Лейбницу писал, что оно представляется ему „уже завершенным" *).
Этот материал был разбросан по журнальным статьям, посвященным тем или иным отдельным вопросам и притом доступным лишь крайне немногочисленным специалистам. Вместе с тем отсутствовало какое-либо руководство, которое систематически излагало бы основные приемы анализа с самого начала и позволило бы расширить круг лиц, работающих в этой области. Задачу составления подобного курса по диференциальному исчислению взял на себя Лопиталь.
II
Маркиз Гильом-Франсуа Лопиталь родился в 1661 г., умер в 1704 г. В молодости, как и многие другие дворяне, военный, он рано оставил службу по слабости зрения и всецело отдался занятиям математикой. Безусловно талантливый и одаренный, он выдвинулся в 90-х годах на весьма видное место в школе Лейбница благодаря как своей научной деятельности, так и своему положению; участник ученого кружка, группировавшегося вокруг известного философа Маль-бранша, член Парижской академии наук, человек, близко стоявший к редакции Journal des Sgavans, одного из редких* тогда научных журналов, он несомненно пользовался большим весом и влиянием. Вероятно, это обстоятельство, как и немногочисленность
9 Leibniz. Math. Schr., т. II, стр. 216.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 17 знатоков нового анализа, послужило тогда причиной преувеличенной оценки его как ученого первого ранга; на самом деле пролагателем новых путей он не был. Даже Боссю, вообще говоря, относящийся к Лопиталю очень благожелательно, отмечает, что „может быть, при жизни его чрезмерно возвысили“ 1).
Вместе с тем заслуги его перед математикой оказались весьма значительными, и своими работами он заслужил почетное место в ее истории.
Мы не располагаем точными сведениями о том, каким образом Лопиталь познакомился с новыми идеями, развивавшимися Лейбницем. Сам он в одном письме к последнему от ноября 1694 г. рассказывает, что еще за шесть лет до того, т. е. в 1688 г., прочел его „Новый метод" и в результате изучения его самостоятельно составил довольно подробные записки по диференциальному исчислению 2). Иоганн Бернулли же говорит, что анализу обучал Лопиталя он 3). Можно думать, что оба утверждения эти не противоречат в основном друг другу. Лопиталь мог, разумеется, прочесть статью Лейбница; но надо полагать, что глубоко в тайны нового анализа он не проник. Известно, что в 1692 г. Иоганн Бернулли приехал в Париж, откуда отправился по приглашению
х) Ch. В о ssu t, Histoire g6n6rale des math&natiques, Paris 1810, т. II, стр. 50.
a) Leibniz. Math. Schr., т. II, стр. 250 и след.
3) M. Cantor, Vorlesungen Uber Geschichte derMathe-matik, t. Ill, стр. 223.
2 Зак. 2051. — Лопиталы
А. П. Юшкевич
Лопиталя в поместье последнего в Турени, где они провели в совместных занятиях четыре месяца. Нельзя не думать, что роль ученика в них играл Лопиталь, менее посвященный в эти вопросы, ничем себя в этой области не проявивший и по способностям уступавший младшему, чем он, швейцарцу. Подтверждается это и тем, что сохранились записи лекций по дифе-ренциальному и интегральному исчислениям, читанных Лопиталю Иоганном Бернулли; наконец, косвенным образом об этом свидетельствует тот факт, что Лопиталь вступает в переписку с Лейбницем лишь 14 декабря 1692 г.
К концу 1692 г. во всяком случае Лопиталь свободно владел новым исчислением. С этого времени и начинается его яркая научная карьера. До того он был известен мало, хотя некоторое имя ему составило выступление в защиту Гюйгенса в одном споре с Кателаном. И значительная доля его деятельности протекает то в тесном контакте с Иоганном Бернулли, то в связи с работой последнего.
В сентябре 1692 г. в Journal des Sgavans появляется заметка о „Решении одной задачи, предложенной некогда г. де-Боном г. Декарту“, в которой требуется определить кривую с тем свойством, что отношение ординаты к подкасательной равно отношению данного отрезка к отрезку ординаты, заключенному между кривой и прямой, проходящей через начало координат под углом в 45° к оси. В ней определяются площадь и центр тяжести, асимптоты
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 19
этой кривой, объем и центр тяжести соответствующего тела вращения. Эта работа — совместная Лопи-таля и Бернулли; причем каждый из них независимо от другого приписывал ее себе. В собрании сочинений Бернулли в примечании к ней говорится: „Эта статья была составлена маркизом Лопиталем и г. Бернулли сообща. Поэтому оба считали себя вправе приписывать ее самому себе“ *). Несколько странное и наивное пояснение это показывает, что элемент тщеславия и славолюбия был присущ обоим лицам; в дальнейшем он дал себя чувствовать еще более остро.
В 1693 г. Лопиталь наряду с Лейбницем, Гюйгенсом и Яковом Бернулли решает другую, аналогичную задачу, поставленную Иоганном Бернулли, где нужно было найти кривую, для которой отношение длины касательной к части оси между кривой и касательной постоянно 2).
В 1695 г. Лопиталь предложил и решил задачу о висячих мостах. Мост АВ может вращаться вокруг оси А и за один конец он подвешен на проходящем по блоку С канате ВСЛ4, в точке 714 которого находится уравновешивающий груз. Нужно определить вид кривой CMN так, чтобы равновесие сохранялось, где бы ни находился на ней груз М. Лопиталь
')Ioh. Bernoulli, Opera, стр. 62—63.
2) См. В о s s u t, цит. соч., т. II, стр. 20 и I о li. Bernoulli, Opera, т. I, стр. 66.
2*
А. П. Юшкевич
определяет ряд свойств этой „кривой равновесия как он ее называет, и дает ее уравнение в виде:
а \/х?у^ = Ьх 4- ^-(х1 2 * * *4-_уа),
где х = РС, у — РМ (точка Р взята на линии АС). И в том же номере Acta eruditorum содержится дополнение Иоганна Бернулли, в котором он, отмечая большое практическое значение задачи не только для военной — на что указывает Лопиталь, — но и для гражданской архитектуры, доказывает, что „кривая равновесия" есть циклоида, описываемая при качении круга по равному ему кругу, т. е. эпициклоида, что дает гораздо более простой способ ее построения х). Лопиталь, между прочим, в письме к Лейбницу от 8 июля 1695 г. рассказывает, что, узнав от Бернулли о существовании более простого приема построения, нашел его сам, но что сообщение его редакция Acta почему-то не опубликовала 2).
Большую славу принесло Лопиталю и найденное им почти в одно время с Ньютоном, Лейбницем и Яковом Бернулли решение задачи Иоганна Бернулли о брахистохроне, т. е. линии, по которой тяжелая точка спускается от одного ее пункта к другому в кратчайшее время (ею, как известно, является циклоида) 8).
1) Обе работы см. в I о h. Bernoulli, Opera, т. I,
стр. 129 и след. Задача была решена также Лейбницем и
Яковом Бернулли.
s) Leibniz. Math. Schr., т. II, стр. 290.
3) Acta eruditorum, май 1697 г.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 21
Правда, решение он нашел позднее других, перед самым концом срока, поставленного автором задачи; объяснял это он кроме трудности задачи тем, что был долго болен. В обзоре различных решений Иоганн Бернулли о лопиталевом ревниво, хотя и справедливо говорит: „Что касается решения маркиза де-Лопиталя, появившегося в том же майском выпуске Лейпцигских деяний, то оно вполне согласуется с нашим. Он не дал анализа задачи (т. е. доказательства— А. Ю.), но, как это известно мне из присланного им частного письма, метод его покоится на тех основаниях, с которыми я некогда его ознакомил для общего исследования цепных линий...” J).
Наконец, в 1699 г. Лопиталь занялся проблемой о форме тела вращения, испытывающего при движении в жидкости наименьшее сопротивление, проблемой, поставленной и решенной без приведения доказательства Ньютоном в „Математических началах естественной философии”. Через несколько месяцев появляется и дополняющая исследования Лопиталя статья Иоганна Бернулли а). Принадлежат Лопиталю решения еще и других задач.
Своим успешным участием в этих своеобразных научных конкурсах Лопиталь показал, что является не простым любителем математики. Он был принят крупнейшими аналистами как равный, хотя, надо думать
’) loh. Bernoulli, Opera, т. I, стр. 199—200.
а) То и другое см. там же, т. I, стр. 311 и след.
22
А. П. Юшкевич
в глубине души они и сознавали наличие определенного неравенства дарований. На протяжении долгих лет .он переписывается с Лейбницем; Яков Бернулли посвящает ему, наряду с Ньютоном, Лейбницем и Фатио де-Дюиллье, свое крупнейшее исследование по изопериметрическим задачам; среди своих научных друзей он считает почти всех выдающихся математиков Европы. И все же он не стоит на том же уровне творчества, что и Бернулли, не говоря уже о титанах, создавших современный анализ. Это особенно заметно из всей переписки его со своим прежним учителем и с Лейбницем. Он высказывает в ней, разумеется, интересные идеи, излагает иные доказательства, но как правило — и в главном — он не дающий, а берущий. Стоит перечитать ее, и ясно видно, как он от раза к разу спрашивает советов, указаний, решений, которые ему и посылают его корреспонденты. Об этом еще будет сказано дальше.
Особенную известность Лопиталь получил благодаря выпущенному им анонимно в 1696 г. „Анализу бесконечно малых". Историю его возникновения он излагает в письме к Лейбницу от ноября 1694 J). Друзья его, в’частности Мальбранш, ознакомившись с его записками по диференциальному исчислению, стали еще в 1691 г. уговаривать его издать их. Известный картезианец аббат Кателан, принадлежавший к тому же кругу, узнав об этом, решил упредить его и
1)	Leibniz. Math. Schr., т. П, стр. 250 и след.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 23
в следующем же году выпустил книгу „Logistique universelie pour la science gSnSrale des lignes courbes". Это сочинение, написанное во славу Декарта, стремилось представить излагаемый в нем в завуалированном виде Лейбницев метод, как продолжение идей Декарта, при этом Лейбниц и не упоминался. Самая необходимость введения новых методов Кателаном отрицалась. Кроме того, этот плагиат был полон глубоких ошибок. Лопиталь, скрывшийся под псевдонимом, дал в Journal des S^avans резкую критику работы Кателана. Теперь он просил у Лейбница согласия на выпуск диференциального исчисления, которое должно послужить как бы введением для предполагаемой книги Лейбница по интегральному исчислению и облегчить тем самым последнему работу.
В своем ответе от 27 декабря Лейбниц горячо поддерживает предложение Лопиталя, любезно пишет о чести, которую оказывает ему то, что его идеи дали повод к работам Лопиталя, и указывает, что все это тем более важно, что автором явится человек, свидетельство которого может придать излагаемому предмету большой вес !).
„Анализ бесконечно малых" оказался таким образом первым печатным курсом диференциального исчисления, причем именно исчисления диференциалов; производные в этом типичном сочинении лейбнице-вой школы, разумеется, отсутствуют. Курс оказался чрезвычайно удачным.
') Leibniz. Math. Schr., т. II, стр. 255 и след.
24
А. П. Юшкевич
В кратком введении Лопиталь излагает историю возникновения нового анализа, останавливаясь на работах Декарта, Гюйгенса, Лейбница, а также выражает свою благодарность последнему и братьям Бернулли. „Под конец я должен признать, — писал он, — что я многим обязан знаниям гг. Бернулли, особенно младшего из них, состоящего в настоящее время профессором в Гронингене. Я без всякого стеснения пользовался их открытиями и открытиями г. Лейбница. Поэтому я не имею ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно, сам довольствуясь тем, что они соблаговолят мне оставить".
Одним из главных достоинств „Анализа" является последовательность изложения. Первая глава курса начинается с основных определений постоянных и переменных величин, объяснения употребляющихся обозначений и установления исходных постулатов, на которых основываются все дальнейшие действия с бесконечно малыми величинами. Далее выводятся правила диференцирования алгебраических выражений. Тем самым оказывается заложенным фундамент, на котором базируются две следующие главы, посвященные проведению касательных и отысканию наибольших и наименьших значений. При этом интересно, что, не зная диференциалов иных выражений, как алгебраических, Лопиталь уравнения всех изучаемых трансцендентных кривых с помощью подбора тех или иных специальных координат приводит к алге-
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 25 браическому виду, то пользуясь неким подобием полярных координат, то устанавливая зависимость между различными прямолинейными и криволинейными отрезками изучаемых и подсобных линий. Он проделывает это с большим искусством, для нас, впрочем, теперь излишним и затрудняющим чтение, ибо нам проще продиференцировать ту или иную трансцендентную функцию, чем всякий раз, пользуясь какими-либо свойствами кривой, составлять подходящее алгебраическое уравнение.
При изложении теории максимумов и минимумов Лопиталь обращает внимание на перемену знака ди-ференциала ординаты близ соответствующих точек — хотя решения задач не содержат специального исследования вида экстремума — и разбирает случай обращения диференциала не в нуль, а в бесконечность. Здесь же дается^ прием определения асимптот к кривой.
Четвертая глава начинается снова с определений на этот раз диференциалов высших порядков и относящихся к ним действий, необходимых при исследовании точек перегиба и возврата первого рода. В ней выводятся аналитические условия наличия таких точек. В пятой главе изучаются развертки и развертывающие, устанавливаются известные свойства их нормалей и касательных и даются формулы радиуса развертки, т. е. радиуса кривизны для развертывающей в прямоугольных и полярных координатах. Вместе с тем тут же рассматривается вопрос о том,
26
А. П. Юшкевич
когда развертка оказывается алгебраической кривой и когда спрямляемой; на основании одной специальной леммы здесь также —- в отступление от изложения чисто диференциального исчисления — даются квадратуры некоторых кривых, осуществляемые, впрочем, без применения интегрирования, а окольными путями, посредством сравнения различных элементов площадей. В том же разделе исследуется вопрос о радиусе кривизны в точках перегиба и устанавливается, в связи с образованием разверток, что он в них бывает не только бесконечным, но и равным нулю. Наконец, в заключение главы приводится пример точки возврата второго рода и соответствующий ей аналитический признак.
Шестая и седьмая главы посвящены детальному разбору диа- и катакаустик, очень интересовавших тогда ученые круги, а восьмая уделена огибающим. В девятой главе приводится знаменитое правило рас-
0
крытия неопределенности вида -у и снова содержатся некоторые квадратуры; в ней же рассматривается кривая, обладающая точкой самоприкосновения, как сказали бы теперь. Глава десятая дает с помощью диференциального исчисления вывод правил отыскания касательных и т. п., указанных Декартом и Гудде.
Стройная архитектура сочинения уже одна играла большую роль. К ней присоединялись относительная простота изложения и необыкновенное обилие при
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 27
меров разной степени трудности, -разбор которых позволял и набить руку и глубже понять общие рассуждения и приемы.
Книга Лопиталя справедливо произвела на современников сильное впечатление. Секретарь Парижской академии наук, Фонтенелль, в похвальном и вообще преувеличенно хвалебном слове Лопиталю мог сказать с полной искренностью: „До того времени новая геометрия была своего рода тайной и, так сказать, кабалистической наукой, известной пяти-шести лицам. В журналах часто приводились решения без указания на метод, с помощью которого их получали; но даже когда его излагали, то пробивались лищь слабые лучи этой науки, а вслед затем облака тотчас же снова смыкались. Публику, или, лучше сказать, тех немногих, которые питали интерес к высшей геометрии, поражало бесплодное и не просвещавшее их изумление. Ученым удавалось добиться их аплодисментов, не давая тех познаний, которыми они должны были бы их оплатить" *)• Фонтенелль отмечал и ту жадность, с которой набросились на „Анализ" все начинающие математики.
„Анализ" выдержал ряд изданий: 1696, 1715, 1720, 1768 гг., и был переведен в 1730 г. на английский язык. И еще сто лет спустя Монтюкла писал о нем,
!) Fontenelle, Histoire du renouvellement de Гаса-demie des sciences en MDCXCIX et les eloges historiques de tons les academiciens morts depuis ce renouvellement, Amsterdam 1709, стр. 101.
28
А. П. Юшкевич
как о „хорошей и удачно составленной книге, что было качеством довольно редким и до того и даже ныне в математических сочинениях, в которых отсутствие системы и метода часто вредит их подлинному достоинству“ !), а Боссю причислял его к группе книг и доныне классических 2).
При всей относительной своей легкости „Анализ" представлялся на протяжении XVIII в. все же недостаточно доступным. При том уровне общей математической культуры и преподавания это было неудивительно. В результате он трижды подвергся комментированию. Первый комментарий был составлен философом и математиком Круза (Crouzas) в 1721 г. Эта книга оказалась чрезвычайно неудачной, автор плохо понял „Анализ", который стремился пояснить, и допустил много неясностей и грубых ошибок; например, он полагал, что деление бесконечно малой первого порядка на бесконечно малую третьего дает бесконечно малую второго порядка и т. д. Его сочинение подверг немедленно критике Иоганн Бернулли 3), со свойственной ему манерой заявивший между прочим, что Круза лучше сделал бы, если бы до печати послал ему для проверки рукопись, а вскоре затем, в 1723 г., французский математик Сорен (Saurin).
!) J. F. М о n t и с 1 a, Histoire des mathSmatiques, Paris, год VII (1799), т. II, стр. 397.
2)	В о s s u t, цит. соч., т. II, стр. 27.
3)	loh. Bernoulli, Opera, т. Ill, стр. 160 и след.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 29
Вторым комментатором был Вариньон j)> давший пояснения отдельных трудных мест, в частности самих принципов исчисления бесконечно малых, и отметивший некоторые ошибки Лопиталя. Его книга, однако, вряд ли читается легче комментируемого „Анализа". Третий комментарий, приложенный к изданию 1768 г. и написанный отцом Полианом (Paulian), назначался уже действительно для впервые приступающих к изучению высшего анализа; но удачным его счесть нельзя, так как он иногда с чрезмерной словоохотливостью разжевывает элементарнейшие выкладки и зато часто обходит места, которые могут затруднить при первом чтении.
„Анализ бесконечно малых" не свободен был, разумеется, и от недостатков. В первую очередь это относится к изложению его методологической базы. Все диференциальное исчисление развивается у Лопиталя из двух постулатов, один из которых позволяет принимать x-'-dx, где dx бесконечно мал по сравнению с х, за х, а другой принимает кривую равнозначащей со вписанным в нее многоугольником с бесконечным числом бесконечно малых сторон. Допущение этих двух, типичных для лейбницева анализа, как исчисления именно бесконечно малых диференциалов, требований, само по себе нельзя было бы поставить в вину Лопиталю. Но он все же должен был уделить больше внимания в своем курсе, пре-
1) Eclalrcissemens sur 1’analyse des inflnitnent petits, Par M. Varignon, Paris 1725. Издание посмертное; название дано было издателем.
30
А. П. Юшкевич
тендовавшем на роль общедоступного введения в новую науку, выяснению природы первых ее понятий и правомерности ее постулатов. Они вовсе не представлялись очевидными всем, и сам Лопиталь в предисловии пишет, что при печати последнего листа книги ознакомился с критикой анализа бесконечно малых Ньювентинтом. Ссылка на то, что Лейбниц опроверг возражения голландского математика, не могла служить оправданием отсутствия аналогичной антикритики, хотя бы в том же предисловии, если уже было поздно внести дополнения в самый текст. Отмеченное обстоятельство было учтено уже Варинь-оном, в своих пояснениях вполне соглашающимся с тем, что х dx не равно х, и пытающимся доказать законность отбрасывания бесконечно малых в примере на проведение касательной тем, ч'го когда секущая сливается с касательной, то dx и dy каждый обращаются в нуль, почему, на его взгляд, и допустимо отбрасывать их степени1). В переписке Лопиталя с Лейбницем возражениям Ньювентиита последний уделяет немало места, объясняя свое понимание „несравнимо малых“ величин и излагая доводы в пользу допущения бесконечно малых высших порядков, против которых особенно восставал последний 2); они несомненно должны были бы занять место в „Анализе бесконечно малых".
!) Vari gn on, цит. соч., стр. 12—13.
2) Leibniz. Math. Schr., т. II, письмо от 14 (24) июня 1695, а также стр. 293.
ДиФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЯ 31
Во-вторых, у Лопиталя встречаются иногда и просто ошибочные рассуждения и выкладки, хотя и в очень небольшом числе. Здесь не стоит на них останавливаться; они отмечены в примечаниях.
Вместе с тем, в курсе естественно отсутствует ряд разделов, уже вскоре включающихся в диференци-альное исчисление. Как говорилось, Лопиталь полагал, что в этой области, не в пример интегральному исчислению, все закончено. Но диференциалов трансцендентных функций у него еще не имеется; нет исследования экстремумов с помощью высших производных; совершенно отсутствуют разложения в ряды, в его время осуществлявшиеся без применения дифе-ренциального исчисления; исследование особых точек кривых находится в зародышевом состоянии и т. д. В этом нельзя и в малой степени упрекнуть Лопиталя, но обстоятельство это послужило естественной причиной быстрого устарения его книги. Можно скорее удивляться тому, что несмотря на эти пропуски она, благодаря достоинствам изложения и, отчасти, малой конкуренции, выдержала четыре столь отдаленных друг от друга издания и уступила место другим учебникам лишь более чем через полстолетие после выхода.
Лопиталь является также автором курса аналитической теории конических сечений х). Сочинение это,
ТгаИё analytique des sections coniques et de leurs usage pour la ^solution des dquations dans les ргоЫётез tant ddterminez qu’ind^terminez, первое посмертное издание 1707 г., второе 1720 г.
32
А. П. Юшкевич
основывающееся на декартовом методе, подобно первой книге французского ученого, отличается простотой изложения и обилием примеров. В нем не содержится особенно существенных новых результатов; наиболее интересны, по словам Кантора, разбор общего уравнения второй степени и решение любопытной задачи, которой занимался также Ньютон: Два неизменных угла КАМ, КВМ вращаются вокруг неподвижных точек А и В', К, точка пересечения сторон АК и ВК, движется по прямой линии; требуется определить геометрическое место точек пересечения М. других сторон AM и ВМ (ими оказываются конические сечения)х).
III
Немного времени прошло со смерти Лопиталя, как в августе 1704 г. Иоганн Бернулли неожиданно выступил с первым из печатных заявлений, в которых он стал предъявлять свои авторские права на содержащиеся в „Анализе бесконечно малых" методы. На этот раз он выпускает в свет заметку под названием „Усовершенствование моего опубликованного в „Analyse des infiniment petits" § 163 метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают2). Не обвиняя явно покойного друга в плагиате, он рассказывает, что еще
*) Cantor, цит. соч., т. III, стр. 427.
2	) I о h. Bernoulli, Opera, т. 1, стр. 401 и след.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1 . Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 33
лет за 10 до того сообщил ему о своем способе раскрытия 0
неопределенности вида -у-, причем решил для него как раз пример, который находится в § 164 „Анализа" и который французские математики, в частно-ности Лопиталь, решить не могли. Это правило наряду с другими, узнанными от Бернулли, Лопиталь напечатал. Ныне, движимый любовью к истине, он считает долгом указать, что иногда это правило недостаточно, так как после диференцирования числителя и знаменателя снова получается, по подстановке 0	т: 0
того же значения вместо х, т- или —т-; в этом слу-’0	п: 0
чае нужно применить его правило к новой дроби еще один или несколько раз.
Через 17 лет, полемизируя — по другому, несущественному здесь поводу — с Тэйлором1), Бернулли снова выставляет свои претензии. На этот раз он выступает определеннее, сперва ссылаясь на выраженную ему Лопиталем благодарность, а затем заявляя, что им были составлены для Лопиталя записки по диференциальному исчислению и что им же был по просьбе последнего решен ряд задач, впоследствии опубликованных в „Анализе". При этом указывалось, что содержание этих записок составило лишь незна-
Ч loh. Bernoulli, Opera, „М. loh. Burcardi Basil-leensts Epistola ad virwn clarissimum Brook Taylor", t. Ill, стр. 483 И след. (Acta eruditorum, май 1721.) Несомненно, что за Буркардом здесь стоял сам Бернулли.
3	Зак. 2051. — Лопиталь.
34
А. П. Юшкевич
чительную часть книги Лопиталя и что последний многое получил позднее в переписке. Утверждения эти подкрепляются отрывками из переписки с известным математиком П. де-Mohmopom и с самим Лопиталем.
Прежде всего привлекаются свидетельские показания о существовании упомянутых записок. „Я достаточно ныне убежден, — сообщает ему 26 июня 1718 г. Монмор, — на основании вашего письма, а еще более на основании того, что лет 13 или 14 назад прочел тетради и уроки, преподанные вами маркизу де-Лопи-талю. Отец Рейно имел тогда в своем распоряжении всю рукопись, которую мне и одолжил“. Далее 18 октября того же года он писал: „Отец Рейно достал свою рукопись, небольшие обрывки из которой я заметил в его книге „Analyse йёшоп1гёе“, у одного друга, бывшего вместе с вами в Париже и переписывавшего ваши лекции для г. де-Лопиталя. У отца Бизанс также имелся экземпляр рукописи. Когда я попросил маркиза де-Лопиталя одолжить мне ее, он дал мне письмо к отцу Бизанс, в котором просил одолжить мне экземпляр, принадлежащий тому; но очевидно он дал ему знать, что этого делать не следует, так как я его не получил. О. Рейно дал мне свой экземпляр, примерно, год спустя“ !).
I о h. Bernoulli, Opera, т. Ill, стр. 509. Это письмо хранится в Стокгольмской академии наук. Следует учитывать, что некоторые свидетели, упоминаемые Мон-мором, (скончавшимся в 1719 г.), были еще живы тогда, например Рейно (умер в 1728 г.).
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 35
Для характеристики участия Бернулли в работе Лопиталя приведено было между прочим следующее: „Вы видите, сударь, — писал Лопиталь Бернулли 8 декабря 1692 г., — что я продолжаю просить вас обучать меня и пользуюсь в этом отношении той свободой, которую вы мне предоставили... Я хотел бы также, чтобы вы сообщили мне общий метод решения задач, подобных следующей. Дан некоторый полуэллипс АМВ с заданными по положению полуосями; допустим, что бесконечное число парабол, проходящих все через точку А, имеют оси и вершины на полуэллипсе; требуется определить касающуюся всех их линию. Вместо эллипса и парабол можно взять и какие угодно другие линии'. Соответствующая задача находится в § 147 „Анализа".
2 сентября 1693 г. наряду с просьбой решить одну задачу на касательные Лопиталь сообщает, что никак не может найти значение дроби
]/ 2а3х — х* — а]/ а2х а —\/ ах3
при х — а (§ 164 „Анализа"). „Все решения, к каким я пока прихожу, оказываются неточными. Мне не хочется тратить понапрасну время, и я предпочел бы узнать это от.вас, если это вам будет угодно".
19 февраля 1695 г. — снова обращение к помощи Бернулли, в задаче об определении наибольшей ширины эпициклоид, образуемых при качении круга по кругу, если описывающая точка лежит внутри или
3*
36
А. П. Юшкевич
вне его, или же на окружности. Спрашивается также о точках перегиба при первой из этих возможностей. Эти задачи помещены в § 175 и 180. 16 апреля того же года Лопиталь благодарит за присланное решение и запрашивает о квадратуре этих кривых, которая излагается в § 182 и след. „Анализа11.
Уже эти письма показывают, что роль Бернулли при составлении курса Лопиталя была велика. Недо-верять им крайне трудно; от Бернулли ведь могли потребовать их предъявления. • Кроме того, например, та же задача об огибающей, которая ставится Лопи-талем в письме от 8 декабря 1692 г., была послана им в первом же письме к Лейбницу 14 декабря, через несколько дней спустя. Правда, 24 февраля 1693 г. Лопиталь сообщает Лейбницу о том, что решил задачу !); но все же невероятно, чтобы значительно превосходивший его по дарованиям Бернулли не смог быстро дать ее решения и не прислал его по обычаю прежнему ученику. Утайки и присваивания на почве тщеславия обоих заинтересованных лиц все время, впрочем, мешают здесь устанавливать факты с абсолютной достоверностью.
В том же году, в упоминавшейся критике Круза, Бернулли в заключение писал ему следующее: „Вы, сударь, оказываете мне честь, признавая и соглашаясь в вашем последнем письме с тем, что этот комментированный вами Анализ в меньшей мере является
*) Leibniz. Math. Schr., т. II, стр. 225.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 37 трудом маркиза де-Лопиталя, чем моим. Я хочу верить, что вы высказывались так не из любезности, но потому, что вы в том вполне убеждены на основании опубликованных неопровержимых доказательств". Далее Бернулли ссылался на статью Буркарда1).
Высшей точки претензии Бернулли достигают в 1742 г., когда он впервые публикует свое старое интегральное исчисление. Оно начинается неожиданной фразой: „Выше мы увидели, как определять дифе-ренциалы величин" и к слову „выше" дается сноска: „Автор имеет в виду предшествующие этому лекции по диференциальному исчислению, которые он счел нужным выбросить, так как все содержание их было включено знаменитым Лопиталем в пользующуюся всеобщим распространением книгу, озаглавленную им „Analyse des infiniment petits" 2). Обвинения в плагиате здесь нет, как это полагает Кантор 8) (ведь не утверждается, что книга была выпущена без согласия Бернулли), на книгу лишь предъявляются права ее основного участника.
Заявления Бернулли встретили со стороны историков различное отношение. Монтюкла, например, находил, что единственный упрек можно сделать Лопиталю за то, что он недостаточно ясно показал, „чем он обязан г. Бернулли, который нашел основные методы,
Л I о h. Bernoulli, Opera, т. Ill, стр. 168.
2) loh. Bernoulli, Opera, т. Ill, стр. 387. Нем. перев., стр. 3.
э) Cantor, цит. соч., т, III, стр. 225.
38
А. П. Юшкевич
применяемые в этой книге и которому принадлежит то наиболее остроумное, что в ней содержится по анализу11 >). Напротив, Боссю, замечая, что может быть Бернулли и не дал решения приведенных здесь выше задач или что Лопиталь мог их все решить самостоятельно, что, далее, лекции Бернулли могли быть не по диференциальному исчислению, указывая наконец на возвышенный характер Лопиталя, приходит к выводу: „При подобных обстоятельствах наиболее разумным и справедливым будет держаться того общего заявления, которое маркиз Лопиталь сделал в своем предисловии, именно, „что он многим обязан знаниям Иоганна Бернулли". Будь он обязан чем-либо специально, он не позволил бы себе выразить лишь столь общую благодарность" 1 2).
Против Бернулли высказывались и современные историки Цейтен и — особенно резко — Кантор. Большую роль в их оценке играло при этом психологическое обстоятельство—дурной характер Иоганна Бернулли, человека действительно с крайне обостренным самолюбием, переходящим в чрезмерное тщеславие, человека, на этой почве поссорившегося с братом, бывшим ранее его учителем. „Утверждение (Иоганна Бернулли), — пишет Цейтен, —по многим соображениям является маловероятным; оно недоступно проверке, и характер Иоганна Бернулли никоим образом
1) М о n t u с 1 а, цит. соч., т. П, стр. 397.
3) Bossut, цит. соч., т. II, стр. 51—52.
Диференциальное исчисление Г. Ф. де-Лопиталя 39 не служит достаточным ручательством за достоверность этого утверждения" 1).
Кантор защищал тезис о значительной самостоятельности Лопиталя с энергичной уверенностью. С одной стороны, он основывался на рассказе самого Лопиталя о его занятиях ,в упоминавшемся письме к Лейбницу. „Я нашел там (в Acta eruditorum от 1684 г.) ваш метод касательных, который мне так понравился, что я затем составил записки, в которых разъяснил его более пространно и привел доказательство всех ваших правил". Но из этого следовало бы лишь—если верить рассказчику и считать его характер более благородным, чем у Бернулли, — что Лопиталь к 1691 г. знал то, что содержится в первых двух главах „Анализа". Содержание остальных восьми глав этим заявлением еще совершенно не затрагивалось, и тогда можно было бы думать, что с ним-то и познакомил Лопиталя Бернулли. На это указал Кантору еще Г. Энештрем 2), отмечавший также то важное и свидетельствующее против Лопиталя обстоятельство, что в письмах к Гюйгенсу от 1690 г. Лопиталь совершенно не пользуется диферен-циальным исчислением, тогда как в 1693 г. он легко
*) Г. Г. Ц е й т е н, История математики в XVI и XVII вв.> перевод П. Новикова, обработка и примечания М. Выгодского, 1933. Надо заметить, что книга Цейтена в оригинальном издании вышла до открытия новых документов и что его утверждение относится к 1903 г.
2) Bibliotheca mathematica, 1914 г., стр. 177.
40
А. П. Юшкевич
оперирует с его помощью. Что же касается содержания глав, следующих за второй, то тот же Энештрем, располагавший хранящейся в Стокгольмской академии наук перепиской Лопитдля и Бернулли, показал, что оно в большой мере было получено первым от последнего,— в частности так обстояло дело и с „правилом Лопитдля" J). Сказанное подтверждается частью и приведенными выше отрывками из писем Лопитдля к Бернулли.
С другой стороны, Кантор указывал на то, что фактически рукописи Бернулли нет. Где она находится, спрашивал он, — и резюмировал свое мнение в следующих выражениях: „Таким образом установлено, что выдвинутое в 1742 г. Бернулли против Лопитдля обвинение заходит слишком далеко и что резкость его утверждений росла по мере того, как он все увереннее чувствовал, что опровергнуть его нельзя. Здесь мы имеем перед собой одно из многочисленных ложных заявлений, которые можно найти у Иоганна Бернулли и которое служит примером того, насколько можно доверять его хвастовству и его чрезмерно широкой совести" 2).
Ч См. „Die Differentialrechnung" Бернулли, предисловие Шафхейтлина, стр. 6 и Bibliotheca mathematica, 1914 г., стр. 177.
2) Cantor, цит. соч„ т. Ill, стр. 225. В предисловии ко II изданию этого тома Кантор, учитывая замечания Эне-штрема, соглашается с авторским правом Бернулли на „правило Лопитдля" низлагает письмаМонмора, но в основном от позиции своей все же не отказывается (стр. V—VI). На
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 41
Как ни сурово звучат эти слова, скептики, сомневавшиеся в правдивости заявлений Бернулли, оказались неправыми. На самом деле теперь можно считать установленной малую правдоподобность рассказа Лопиталя и за содержание тех двух глав, которые Энештрем еще в 1914 г. условно оставлял за ним, также считать его в большой степени обязанным своему учителю. В 1920 г. П. Шафхейтлин, получивший доступ к математическим рукописям Базельской университетской библиотеки, случайно нашел среди них „Lectiones de calculo differentialium" Иоганна Бернулли.
Манускрипт этот содержит в себе 38 тетрадных страниц, за которыми следуют еще 11 глав из бер-нуллиевых лекций по интегральному исчислению. При чтении его сразу становится ясным, что он послужил основой для первых четырех глав книги Лопиталя. Правила диференцирования первой главы, а также оба постулата очевидно заимствованы из этих записок; совпадают и многочисленные примеры. Во второй и третьей главах, при значительных иногда отклонениях в изложении теории, рассматриваются по большей части одни и те же кривые; примеры на экстремумы тоже в значительной мере общие; особенно
вопрос Кантора — почему Бернулли не позаботился о сохранении своего „Диференциального исчисления”, если оно было так же разработано, как „Интегральное исчисление", можно теперь ответить — именно потому, что оно представляло собой сырой материал, опубликовать который в аутентичном виде было невозможно.
42
А. П. Юшкевич
близко сходство в решении задач § 59, 60, 61. То же можно сказать и о главе четвертой. В редакционных примечаниях ниже подробно указаны совпадения и отклонения обоих сочинений.
„Из всего этого,—заключал Шафхейтлин,—следует, что наряду с некоторым новым содержанием является несомненно доказанной зависимость Лопиталя от Бернулли. Поэтому понятно, что последний не удовлетворился общими фразами лопиталева предисловия и заявил известный протест" х).
О рукописи нужно заметить еще следующее. Хотя она не датирована, но видно, что содержание ее относится ко времени до 1694 г. Так, вместо 4уг(<ух -|- л2)8 в ней еще пишется 4С ]/ ух-^-хх1, значок С (от cubus) в более поздних работах уже не попадается. В следующей за диференциальным dx исчислением части утверждается, что интеграл от — бесконечен, между тем как в 1694 г. Бернулли знал, что он представляет собой log х2). В рукописи имеются небрежности и недоделанности, отсутствующие у Лопиталя, приводится и один неверный чертеж, исправленный в „Анализе бесконечно малых". Далее, рукопись сделана рукой не Иоганна Бернулли, а его племянника Николая. Так как тот родился в 1687 г., то записки не могли быть им конспектированы
1) I о h. Bernoulli, Die Differentlalrechnung, стр. 8, 2) I oh. Bernoulli, Opera, т. I, стр. 126,
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 43
в 1691 г.; очевидно, что они относятся к 1705 г., когда он посетил своего дядю в Гронингене. Но вместе с тем они могут быть только конспектом старой рукописи Иоганна Бернулли; если бы они были результатом устного преподавания последнего, то в них не могли бы содержаться ошибочные dx утверждения вроде того, что интеграл — бесконечен.
Таким образом правота Иоганна Бернулли является доказанной !). Лопиталь остался его учеником и при составлении своего курса. На долю Лопитдля выпадает лишь менее существенная часть содержания книги: ряд примеров и, может быть, часть исследования особых точек кривых. Целиком за ним остаются лишь упорядочение, проверка и пополнение материала, мастерство, с которым написан учебник, и его высокие педагогические заслуги.
Остается еще уяснить мотивы поведения Бернулли. О планах издания книги он знал и их одобрил, по крайней мере не решался не одобрять. Об этом свидетельствует переписка обоих ученых осенью 1695 г. и зимою 1696 г. Когда Лопиталь сообщает, что
!) О том, насколько спокойно заимствовал Лопиталь из записок Бернулли даже целые отрывки, почти не изменяя при переводе расположения слов, свидетельствует также произведенное мною сравнение некоторых текстов „Анализа” и бернуллиевых „Лекций по интегральному исчислению*. См. редакционные примечания в конце книги, особенно № 105.
44
А. П. Юшкевич
он отдает Бернулли в книге „должную справедливость" !)> Бернулли благодарит, заявляя: „Уделив место в вашей книге моему имени, вы проявляете обычную любезность; я очень вам за это обязан" 2). По получении экземпляра книги в начале 1697 г. он снова выражает благодарность и добавляет: „Вы оказали мне слишком много чести, столь лестно высказываясь обо мне в предисловии; когда я что-либо напишу, я не премину отплатить вам тем же. Вы очень ясно все объясняете; расположение и порядок предложений очень удачны; вообще все сделано превосходно и в тысячу раз лучше, чем мог бы сделать я. Я только хотел бы, чтобы вы поставили свое имя на книге, что придало бы больше веса новому методу, не говоря о том, что книга тогда, без сомнения, раскупилась охотнее". Он только считает лишним выражение благодарности своему брату Якову 3).
Однако, если похвалы и были искренни, то удовлетворенным Бернулли все же не был. Возможно, что задела его помещенная в Journal des S$avans от 1696 г. похвальная заметка „Анализу", где говорилось о скромности автора, приписывающего себе лишь то, что ему уступят другие. Безусловно задело
!) 15 июня 1696, см. Bibliotheca mathematica, 1894, G. Enestrdm, Sur la part de Jean Bernoulli dans la publication de i’Analyse des infiniment petits, стр. 67.
2) 30 июня 1696, см. там же.
3) Там же, стр. 68.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЯ 45
его и то, что о нем в предисловии Лопитдля упоминалось все же лишь мельком, тогда как о заслугах, скажем, Гюйгенса и Лейбница говорилось подробно. Во всяком случае уже 8 февраля 1698 г. он, жалуясь Лейбницу на Лопитдля вообще (что тот пользовался его исследованиями при переписке с Гюйгенсом и пр.), в частности пишет: „Не более справедливо поступил он со мною, когда, недавно выпустил свой „Анализ". Правда, он признает в предисловии, что многим мне обязан, но это признание чересчур неопределенно и не становится лучше от того, что рецензент книги в Journal des S$avans считает, что это признание есть лишь результат его великодушной скромности. За исключением немногих страниц (скажу тебе одному на ухо) все остальное он частью получил от меня в письменном виде, частью написал под мою диктовку, часть же, после того как я покинул Париж, получил в письмах, многочисленные свидетельства чего я сохранил и смог бы в подходящий момент опубликовать... кроме того, я располагаю письмами Лопиталя ко мне, показывающими, сколь многим он мне обязан. Главная заслуга его состоит в том, что он все привел в порядок и отделал по-французски аккуратно то, что я беспорядочно изложил ему частью по-французски, частью по-латыни. Как я сказал, собственного своего он добавил не более чем на 3 или 4 страницы. Но, пожалуйста, не сообщи ему того, что я рассказал тебе в уверенности в твоем молчании; иначе его
46
А. П. Юшкевич
дружеское отношение ко мне изменится, без сомнения, на противоположное" J).
Нетрудно понять, почему в то время Бернулли не мог публично выступить со своими претензиями и так боялся перемены в отношениях с Лопиталем. Как раз тогда между ним и братом Яковом разгорелись жестокий спор и ссора из-за изопериметричес-кой задачи. Приобрести врага в лице влиятельного Лопиталя было бы совсем неуместно; наоборот, необходимо было поддерживать с ним самые дружеские отношения. Иоганн Бернулли предлагал его выбрать даже в качестве одного из третейских судей в этом споре. Дружеские отношения продолжались до смерти Лопиталя. Но внутренне враждебное отношение тем временем росло. Содействовало тому и подозрение Бернулли, будто Лопиталь внушил СореНу в 1702 г. мысль, что автором правила раскрытия неопределенностей является сам Лопиталь. И в письме к Варинь-ону от 18 июля 1705 г. Бернулли снова рассказывал примерно то же, что в приведенном письме к Лейбницу 2).
Когда в 1704 г. скончался Лопиталь, а в 1705 г. со смертью брата Якова естественно оборвался их спор, Иоганн Бернулли счел возможным все более энергично выступать со своими, как показано, правомерными претензиями.
!) Leibniz. Math. Schr., т. Ill, стр. 480.
2) Bibliotheca mathematica, 1894, стр. 69—70.
Г<И^в^ОПЯТАЛЬ ««'▼’к’*®,
Анализ бесконечно
МАЛЫХ
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
ВЛАГАЕМАЯ в этом сочинении форма анализа опирается на обычный анализ, но сильно отличается от него. Обыкновенный анализ имеет дело только с конечными величинами, новый же анализ про
никает вглубь самого бесконечного. Он сравнивает
между собою бесконечно малые разности конеч
ных величин; он вскрывает отношения между этими
разностями и тем самым дает нам возможность найти отношения между конечными величинами, которые по сравнению с этими бесконечно малыми являются как бы бесконечными. Можно сказать даже, что этот анализ простирается дальше бесконечного, ибо он не ограничивается бесконечно малыми разностями, но вскрывает отношения разностей этих разностей,
4 Зак. 2051. — Лопиталь,
50
Г. Ф. де-«Лопиталь
отношения третьих, четвертых разностей и так далее, никогда и нигде не останавливаясь. Таким образом он охватывает не только бесконечное, но бесконечное бесконечного или же бесконечность бесконечных.
Только такого рода анализ мог раскрыть перед нами истинные принципы кривых линий. Действительно, так как кривые представляют собой лишь многоугольники с бесконечным числом сторон и отличаются друг от друга лишь разностью углов, образуемых между собою этими бесконечно малыми сторонами, то только анализ бесконечно малых в состоянии определить положение этих сторон, чтобы получить образуемую ими кривизну, т. е. получить касательные к этим кривым, перпендикуляры *) к ним, их точки перегиба или возврата, лучи отражения, преломления и т. д.
Те вписанные или описанные вокруг кривых многоугольники, которые путем бесконечного умножения своих сторон сливаются наконец с этими кривыми, математики всегда принимали за сами кривые. Но дальше этого дело не шло; лишь после открытия излагаемого здесь анализа поняли все значение и плодотворность этой идеи.
То, что нам оставили по этому вопросу древние, в особенности Архимед, безусловно достойно восхищения. Но, во-первых, они имели дело лишь с весьма немногими кривыми, которых они коснулись к тому же лишь поверхностно, а затем они дали почти одни
Анализ бесконечно малых
51
только частные и не сведенные в систему предложения, в которых не видно никакого регулярного и последовательного метода. Однако было бы неправильным упрекать их за это: нужна была исключительная сила гения (а), чтобы пролить свет на такую темную область и вступить первыми в совершенно неизвестные страны. Если древние не продвинулись далеко, если они шли окольными путями, то, во всяком случае, вопреки мнению Виеты (Ь), они не заблудились; и чем более трудны и запутаны были пути, по которым они шли, тем более достойно удивления, что они не сбились с дороги. Одним словом, вряд ли древние могли сделать больше в свое время: они сделали то, что сделали бы на их месте гениальные люди нашего времени; а если бы они были на нашем месте, то они вероятно развили бы те же идеи, что и мы. Все это является следствием естественного равенства умов и необходимой последовательности в открытиях.
Таким образом нет ничего удивительного в том, что древние не пошли дальше, Но нельзя не пора-
(а) Archimedis de lineis spiralibus tractatum cum bis terque legissem, totasque animi vires intendissem, ut subtilissimarum demonstrationum de spiralium tangentibus artificium adse-querer; nusquam tamen, ingenue fatebor, ab earum contem-platione ita certus recessi, quin scrupulus animo semper hae-reret, vim illius demonstrationis me non percepisse totam, etc.2). Bullialdus, Praef. de lineis spiralibus.
Si vere Archimedes, fallaciter conclusit Euclides, etc. s) Supl. Geotn.
4*
52
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
жаться тому, что великие люди, притом без сомнения люди столь же великие, как и древние, оставались в течение столь долгого времени на том же месте и что благодаря почти суеверному уважению к творениям древних они ограничивались чтением и комментированием последних, пользуясь своими способностями ровно в той мере, в какой это было необходимо, чтобы иметь возможность следовать за древними, и не дерзая помыслить когда-нибудь самостоятельно и устремить свои взоры за пределы того, что открыли древние. Таким образом работало немало людей; они писали, число книг умножалось, и однако ничто не подвигалось вперед: бесчисленные труды ряда веков свелись в конце концов к почтительным комментариям и к повторным переводам довольно жалких подчас оригиналов.
Таково было состояние математики и особенно философии до г. Декарта. Этот великий человек, послушный своему гению и сознанию собственного превосходства, оставил древних, чтобы следовать только за тем самым разумом, за которым следовали древние. И эта счастливая смелость, которую иные считали бунтом, дала нам бесконечное множество новых и полезных идей по вопросам физики и геометрии. Тогда лишь люди раскрыли глаза и решились мыслить самостоятельно.
Обращаясь к математике, которая одна занимает нас здесь, должно сказать, что г. Декарт начал там, где закончили древние, именно начал с разрешения
Анализ бесконечно малых
53
одной проблемы, перед трудностями которой, по словам Паппа(а>, остановились все древние4). Известно, до каких пределов довел Декарт анализ и геометрию; известно также, как благодаря произведенному им сочетанию этих отраслей математики стало легко решать бесконечное множество проблем, казавшихся до него недоступными. Но так как Декарт интересовался главным образом решением уравнений, то он занимался кривыми лишь постольку, поскольку они могли помочь ему при нахождении корней уравнений; и поскольку для этой цели ему был достаточен обыкновенный анализ, он и не пытался искать какой-нибудь другой анализ. Однако он удачно воспользовался обыкновенным анализом при нахождении касательных; найденный им для этого метод показался ему столь прекрасным, что он не удержался, чтобы не сказать ^Ь), что „эта проблема была наиболее полезной и общей не только из тех, которые он знал, но даже из тех, которые он желал бы вообще знать в геометрии" 5).
Так как геометрия Декарта сделала очень модным решение геометрических задач путем решения уравнений и так как она открывала широкий путь для этого, то большинство геометров устремилось сюда. Они тоже сделали здесь ряд новых открытий, которые умножаются и совершенствуются еще с каждым днем
Collect. Mathem., Lib, 7, initio.
Geomet., Liv. 2.
54
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Что касается г. Паскаля, то он обратил свое внимание совсем в другую сторону: он стал изучать кривые сами по себе, рассматривая их как многоугольники; он определил длины некоторых кривых, обнимаемые ими площади, объемы, описываемые этими площадями, центры тяжести этих площадей и объемов и т. д. И путем одного только рассмотрения элементов этих кривых, т. е. путем рассмотрения бесконечно малых, он открыл некоторые общие методы, тем более поразительные, что он, повидимому, нашел их лишь силой своего гения, без всякой помощи анализа.
Вскоре после опубликования метода г. Декарта для нахождения касательных г. де-Ферма открыл тоже один метод, который г. Декарт под конец сам признал более простым во многих случаях, чем его собственный метод 6). Правда, он не был еще таким простым, каким сделал его впоследствии г. Барроу, более тщательно изучая свойства многоугольников, которые естественно приводят к рассмотрению маленького треугольника, образуемого частицей кривой, заключенной между двумя бесконечно близкими ординатами, разностью этих двух ординат и разностью соответствующих абсцисс ’!). Этот треугольник подобен треугольнику, образуемому касательной, ординатой и подкасательной; таким образом благодаря простому подобию этот последний метод избавляет
(а) Lett. 71, Тош. 3,
Анализ бесконечно малых
55
от производства всех тех выкладок, которых требует метод г. Декарта и которых раньше требовал и сам этот метод.
Г. Барроу (а) не ограничился этим; он придумал также особое исчисление, связанное с этим методом, но для пользования им ему пришлось, как приходилось и в методе г. Декарта, избавляться от дробей и устранять все знаки радикалов 8).
На место этого метода стал затем метод знаменитого (Ь) г. Лейбница. Этот ученый геометр начал там, где закончили г. Барроу и другие геометры. Изобретенное им исчисление привело его в неизвестные до того области, в которых он сделал открытия, вызывающие изумление у самых искусных математиков Европы. Гг. Бернулли первые заметили красоту этого исчисления; они довели его до совершенства, позволившего им преодолеть такие трудности, на которые никогда бы не дерзнули раньше.
Область применения этого исчисления колоссальна: оно годится как для механических, так и для геометрических кривых 9); его нисколько не смущают знаки радикала, оказывающиеся часто даже очень удобными; его можно применить к какому угодно количеству неопределенных 10); для него представляется одинаково легким сравнение бесконечно малых всех родов и). Это дает начало бесконечному множеству поразитель-
^а) Leet. Geomet., pag. 80.
<b) Acta Erud. Lips., an. 1685, pag. 467.
56
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
них открытий по вопросу о кривых и прямых касательных, по вопросам De maximis et minimis, о точках перегиба и возврата кривых, о развертках, о каустических кривых, образуемых отражением или преломлением и т. д., как это будет видно в ходе изложения предлагаемого сочинения.
Я разделил эту книгу на 10 глав. В первой содержатся принципы исчисления диференциалов 12). Вторая глава показывает, как надо пользоваться им, чтобы найти касательные ко всякого рода кривым, независимо от количества неопределенных, содержащихся в выражающих их уравнениях, хотя г. Крэг(а) 13) полагал, что оно неприменимо к механическим или трансцендентным кривым. Третья глава показывает, как пользоваться им для решения всякого рода вопросов De maximis et minimis, четвертая — как находить точки перегиба и возврата кривых. В пятой показывается, как пользоваться им при нахождении для всякого рода кривых разверток г. Гюйгенса. Шестая и седьмая главы показывают, как с помощью его находить каустические кривые, образующиеся как путем отражения, так и путем преломления, изобретателем которых является знаменитый г. Чирнгдуз, — и это опять-таки для всякого рода кривых 14). Восьмая глава показывает, как пользоваться им для нахождения точек кривых линий, которые касаются бесконечного множества данных — прямых или кривых —
(a) De figurarum curvilinearutn quadratures, part. 2,
Анализ бесконечно малых
57
линий. В девятой главе содержится решение некоторых задач, зависящих от предыдущих открытий. А десятая глава содержит новый способ пользования исчислением диференциалов для геометрических кривых; отсюда выводится метод гг. Декарта и Гудде15), пригодный только для этого рода кривых.
Надо заметить, что в главах 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 имеется лишь очень мало предложений, но они все носят очень общий характер, представляя как бы методы, которыми легко воспользоваться для приложения к любому числу частных предложений. Я применяю их только на нескольких избранных примерах, ибо убежден, что в вопросах математики полезны лишь методы и что книги, излагающие только подробности или частные предложения, заставляют лишь терять время тех, кто их пишет, и тех, кто их читает. Поэтому я прибавил задачи девятой главы лишь потому, что они считаются интересными и что они носят очень общий характер. В десятой главе опять-таки изложены лишь методы, которые исчисление диференциалов сообщает способу гг. Декарта и Гудде; и если они так, ограничены, то из всего предыдущего ясно, что это является не недостатком излагаемого нами исчисления, но декартова метода, которому его подчиняют. Наоборот, ничто не доказывает лучше исключительной пригодности этого исчисления, как все это многообразие методов; и при самом незначительном внимании можно убедиться, что он дает все, что можно извлечь из
58
Г. Ф. де-Лопиталь
метода гг. Декарта и Гудде, и что доставляемое им всеобщее доказательство употребления в последнем арифметических прогрессий не оставляет желать ничего в смысле безупречности этого последнего метода.
Я намеревался прибавить к книге еще одну главу, чтобы показать также удивительную пользу этого исчисления в физике, показать, до какой степени точности оно может довести ее и насколько от него может выиграть механика. Но болезнь помешала моему намерению; однако читатели от этого ничего не потеряют, и когда-нибудь они будут за это возмещены даже с избытком.
Во всем этом речь идет лишь о первой части исчисления г. Лейбница, заключающейся в том, чтобы переходить от конечных величин к их бесконечно малым разностям и сравнивать между собой эти бесконечно малые любого рода: эту часть называют диференциальным исчислением. Я также намеревался составить другую часть, которую называют интегральным исчислением и которая заключается в том, чтобы переходить от этих бесконечно малых к конечным величинам или целым, бесконечно малые разности которых они составляют, т. е. в том, чтобы находить суммы этих разностей. Но когда г. Лейбниц мне написал, что он работает над этим для трактата, который он называет De scientia infiniti, то я отказался от мысли лишить читающую публику столь прекрасного труда, долженствующего
Анализ бесконечно малых
59
заключать все наиболее любопытное в обратном методе касательных, в вопросах о спрямлении кривых, о квадратуре заключаемых ими площадей, о квадратурах поверхностей тел, описываемых этими кривыми, об объеме этих тел, об определении центров тяжести и т. д.1е). Даже это сочинение я публикую лишь потому, что он просил меня об этом в своих письмах и что я считаю это необходимым для подготовки умов к пониманию всего того, что удастся открыть в дальнейшем по этим вопросам.
Под конец я должен признать, что я многим обязан знаниям гг. Бернулли, особенно младшего из них, состоящего в настоящее время профессором в Гронингене 17). Я без всякого стеснения пользовался их открытиями и открытиями г. Лейбница. Поэтому я не имею ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно, сам довольствуясь тем, что они соблаговолят мне оставить.
Надо воздать еще справедливость ученому г. Ньютону, справедливость, которую воздал ему и сам г. Лейбниц (а). Он тоже нашел нечто подобное дифе-ренциальному исчислению, как это следует из отличной книги под названием Philosophiae naturalis principia Mathematica, которую он опубликовал в 1687 и которая является почти единственным примером употребления этого исчисления 18). Но обозначение 19) г. Лейбница делает его исчисление
Journal des Sfavans, du 30. Aoflt 1694.
60
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
более легким и удобным; помимо того оно оказывает удивительную помощь во многих случаях 20),
В момент печатания последнего листа этого трактата в мои руки попала книга г. Ньювентиита. Заинтересовавшись названием книги, Analysis infini-torum, я пробежал ее, но нашел, что она сильно отличается от моего труда. Помимо того, что этот автор не пользуется вовсе обозначением г. Лей6ница, он абсолютно не признает вторых, третьих и т. д. диференциалов. Так как я построил лучшую часть предлагаемого труда на этой основе, то я счел бы необходимым ответить на его возражения и показать, насколько они несостоятельны, если бы г. Лейбниц не выполнил в совершенстве этой задачи в Лейпцигских деяниях (а\ Замечу кроме того, что оба требования или допущения, которые я принимаю в начале этого трактата и только на которых он основан, кажутся мне столь очевидными, что я не допускаю, чтобы они могли оставить какое-нибудь сомнение в уме внимательных читателей21). Я мог бы даже их легко доказать по способу древних, если бы я не поставил себе правилом быть кратким при рассмотрении уже известных вещей и останавливаться главным образом на тех вопросах, которые новы.
'а) Acta Erud., an. 1695, pag. 310 et 369.
Часть первая &•)
ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ДИФЕРЕНЦИАЛОВ
ГЛАВА 1
В КОТОРОЙ ПРИВЕДЕНЫ ПРАВИЛА ЭТОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Определение I
ВРЕМЕННЫМИ величинами называют такие величины, которые непрерывно увеличиваются или уменьшаются; наоборот, постоянными величинами называют такие величины, которые остаются одними
и теми же, в то время как другие изменяются. Таким образом в параболе ординаты и абсциссы представляют переменные величины, между тем как параметр 28) есть величина постоянная.
62
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Определение II.
Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется ее диференциалом. Пусть, например, дана какая-нибудь кривая линия АМВ (черт. 1), имеющая осью или диаметром линию АС, а одной из своих g ординат прямую 21) РМ-, и пусть °	будет дана другая ордината рт,
бесконечно близкая к первой. Те-;	перь, если провести MR парал-
z ~рр с лельно АС и хорды AM, Ат и Черт I если описать из Центра А радиусом AM маленькую дугу круга MS, то Рр будет диференциалом АР, Rm — диференциалом PM, Sm — диференциалом AM и Мт — диференциалом дуги AM. Таким же образом маленький треугольник МАт, имеющий основанием дугу Мт, будет диференциалом сегмента AM, а маленькая площадь МРрт — диференциалом площади, заключенной между прямыми АР, РМ и дугой AM.
Следствие.
1. Очевидно, что диференциал постоянной величины есть ничто или нуль или (что то же самое) что постоянные величины не имеют диференциала.
Предупреждение.
В дальнейшем для обозначения диференциала пере-менной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом d;
Анализ бесконечно Малых
63
во избежание недоразумений этот знак d не будет иметь иного употребления в дальнейшей части книги. Если мы обозначим, например, переменные АР через х; РМ через у; AM через z; дугу AM через и; площадь АМР, ограниченную прямыми и кривыми линиями, s; и сегмент AM через t, то dx будет выражать значение Рр; dy — значение Rm; dz — значение Sm; du — значение маленькой дуги Mm; ds — значение маленькой площади MPpm udt — значение маленького треугольника МАт, ограниченного прямыми и кривыми линиями,
I.	Требование или допущение.
2.	Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать безразлично одну вместо другой или же (что то же самое), чтобы величина, которая увеличивается или уменьшается лишь на другую величину, бесконечно меньшую, чем она сама, могла быть рассматриваема, как остающаяся той же самой величиной. Требуется, например, чтобы можно было принять Ар за АР; рт за РМ; площадь Арт — за площадь АРМ; маленькую площадь МРрт — за маленький прямоугольник МРрР; маленький сектор АМт — за маленький треугольник AMS; угол рАт — за угол РАМ и т. д. 26).
//. Требование или допущение.
3.	Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий, или же (что то же самое) как многоугольник с бесконечным числом беско-
64
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
нечно малых сторон, определяющих образуемыми ими между собой углами кривизну линии. Требуется, например, чтобы часть кривой Мт и дуга круга MS могли рассматриваться ввиду своей бесконечной малости как прямые линии, так чтобы маленький треугольник mSM можно было считать прямолинейным26).
Предупреждение.
В дальнейшем предполагается обыкновенно, что последние буквы алфавита —z, у,х и т. д.—означают переменные количества, а первые буквы его — а, Ь, с ит. д.— означают, наоборот, постоянные величины. Таким образом, когда х становится х 4- dx, то у, z и т. д. становятся y + dy, z dz и т. д. (§ 1), а а, Ь, с и т. д. остаются теми же самыми а, Ь, с и т. д.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ I.
Задача.
4.	Найти диференциал нескольких складываемых друг с другом или вычитаемых друг из друга величин.
Пусть требуется найти диференциал а-]-х-|-
— z. Если предположить, что х увеличивается на бесконечно малую часть, т. е. что она становится х -j- dx, то у станет тогда у dy, z станет z-\-dz. Что касается постоянной а, то (§ /) она останется той же самой а, так что заданная величина
—z станет а-|-х 4- dx-j-у-|- dy—z—dz, а диференциал, который мы получим, вычитая заданную величину из последней величины, будет dx-\-dy — dz. Так же обстоит дело и в других случаях. Это дает нижеследующее правило.
Анализ Бесконечно малых
65
Правило I.
Для СКЛАДЫВАЕМЫХ ДРУГ С ДРУГОМ ИЛИ ВЫЧИТАЕМЫХ ДРУГ ИЗ ДРУГА ВЕЛИЧИН.
Надо взять диференциал каждого члена заданной величины и, сохраняя прежние знаки, составить из них другую величину, которая и будет искомым диференциалом 27).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ П.
Задача.
5.	Найти диференциал произведения нескольких умноженных друг на друга величин.
1)	Диференциал ху есть у dxх dy.
Действительно, когда х становится х dx, то у становится	и-> следовательно, ху становится
тогда	dx-{-xdy-\-dx dy,
что представляет собой произведение xH-dx на y-\-dy\ диференциал будет тогда у dx	х dy:-ф- dx dy,
т. е. (# 2)	. ,
у dx-\-xdy,
ибо dxdy есть величина, бесконечно малая по сравнению с другими членами ydx и xdy. Действительно, если разделить, например, у dx и dx dy на dx, то мы найдем, с одной стороны, у, а с другой, dy, являющийся диференциалом у и, следовательно, беско-
,	5 Зак. 2051. — Лопиталь.
66	Г. ф. ДЕ-ЛбИЙТАЛЬ
нечно меньший, чем он. Отсюда следует, что дифе-ренциал произведения двух величин равняется произведению диференциала первой из этих величин на вторую плюс произведение диференциала второй величины на первую.
2)	Диференциал xyz есть yz dx -\-xzdy-\- ху dz.
Действительно, если рассматривать произведение ху как одну величину, то надо по вышедоказанному взять произведение ее диференциала у dx-\- х dy на вторую величину z (что даст yz dx ~[~xz dy) плюс произведение диференциала dz второй величины Z на первую ху (что даст ху dz)\ следовательно, диференциал xyz равняется
yz dx + xz dy xy dz.
3)	Диференциал xyzu есть
uyz dx -ф- uxz dy	uxy dz -f- xyz du..
Для доказательства этого, как и предыдущего, случая произведение xyz рассматривается как одна величина. Так же обстоит дело и во всех других случаях до бесконечности. Отсюда получается нижеследующее правило.
Правило II.
ДЛЯ ПЕРЕМНОЖАЕМЫХ ВЕЛИЧИН.
Диференциал произведения нескольких перемножаемых друг с другом величин равняется сумме произведений диференциала каждой из этих величин на произведение остальных величин.
(57
Анализ бесконечно малых
Таким образом диференциал ах есть
хО a dx, т. е. adx. Диференциал а-^-х'ДЬ—у есть b dx —у dx — ady — х dy 28).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ Ш.
Задача.
6.	Найти диференциал любой дроби.
Диференциал у есть
у dx — х dy
УУ ’ _	АГ
Действительно, если предположить, что у- = z, то x—yz, и так как эти две переменных величины х и уг должны быть всегда равны друг другу независимо от того, увеличиваются ли они или уменьшаются, то отсюда следует, что их диференциалы, т. е. их приращения или уменьшения, будут тоже равны между собой. Следовательно 5), мы будем иметь:
dx—ydzX\-zdy
и
&____dx — z dy _ у dx — xdy
~ ~У	У У
если подставить вместо Z его значение -у2Э). Что и требовалось и т. д. Отсюда получается нижеследующее правило.
5*
68
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Правило III.
Для делящихся друг на друга величин йлй ДЛЯ ДРОБЕЙ.
Диференциал любой дроби равняется произведению диференциала числителя на знаменатель минус произведение диференциала знаменателя на числитель; все это — деленное на квадрат знаменателя.
„	.	а	— a dx
Так, например, диференциал — равняется ———; диференциал равняется ~^+хх 30)-
ПРЕДЛОЖЕНИЕ IV.
Задача.
7.	Найти диференциал любой совершенной или несовершенной степени какой-нибудь переменной величины.
Чтобы дать общее правило, пригодное для совершенных и несовершенных 31) степеней, необходимо объяснить аналогию, существующую между их показателями.
Если взять геометрическую прогрессию, первый член которой единица, а второй—какая-нибудь величина X, и если расположить по порядку под каждым членом его показатель, то ясно, что показатели эти составят арифметическую прогрессию.
Геом. прогр. 1, х, хх, Xs, xi) х5, л6, х"‘ и т.д.
Арифм. прогр. О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т.д.
Если продолжить геометрическую прогрессию ниже единицы, а арифметическую ниже нуля, то члены
Анализ бесконечно малых	69
последней будут показателями тех членов, которым они соответствуют в геометрической прогрессии. Так, например, —1 есть показатель -1-, —2 есть 1 показатель — и т. д. хх г	.1111
Геом. прогр. х, 1, —,	—,	-5-,	—г	и	т. д.
‘	’	’	х ’	хх ’	х3 ’	х4
Арифм. прогр. 1, 0, — 1,	—2,	—3,	-—4	и	т. д.
Если ввести в геометрическую прогрессию какой-нибудь новый член, то для получения его показателя придется ввести соответствующий член в арифметическую прогрессию.
Так, например, Ух будет иметь показателем -I ;
£ л/ 4 ±	1	__Л	1	__5. 1
’ з! VX’ /х»'	21	3’
—1- и т, д., так что эти выражения |/х и х2 , з Is A J _£
]/х и Xs, l/x4 и хъ, — и х 2 и т. д. означают ]/хЗ
одну и ту же вещь.
Геометрическая прогрессия
1, Ух, х. 1, {/х, {/хх, х. 1,{/х, \/хх, \/х*, {/xi, х. Арифметическая прогрессия
°’ I1’0’ I
3 ’ 1 • ’ 5 ’ 5’5’
у
5 ’
1 =
у
5 '
70
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Геометрическая прогрессия
1	1	1	1	1_	1____1	1 l 1
х ’	’ хх' Х ’ '{/xi ’ р/х5’ хх~' ха ’ ]/х? ’
Арифметическая прогрессия
-1, -4 -2. -1, -±, -4 —2. -3, -4 — 4.
Отсюда ясно, что, подобно тому как ]/х есть геометрическая средняя между lux, точно так 1
же у есть арифметическая средняя между их пока-
3 /
зателями 0 и 1; и подобно тому как ух есть первая из двух геометрических средних пропорциональных между 1 и х, точно так же есть первая
О
из двух арифметических средних пропорциональных между их показателями 0 и 1 32). Так же обстоит дело и в других случаях. Из сущности этих двух прогрессий следует:
1) Что сумма показателей двух любых членов геометрической прогрессии будет показателем члена, представляющего их произведение. Так, например, х4+3, или х7, есть произведение Xs на х*,
А- + —	_	A. L
их2 3 , или хв, есть произведение х2 на х3 ;
_1 _£ _ £
и х 3	6 , или х 15, есть произведение х 3
1	£ + £
на х5 и т. д. Таким же точно образом Xs 3 ,
2	у
или х?‘, есть произведение х3 на самого себя, т. е.
Анализ бесконечно малых
71
4-24-24-2	а	2
его квадрат, и х , или л8, есть произведение х
на х2 на х2, т. е. его куб, и х 3 3 3 3 , _£ _ £
или х 8 , есть четвертая степень х 3 ; то же самое относится к другим степеням. Отсюда ясно, что удвоенный, утроенный и т. д. показатель какого-нибудь члена геометрической прогрессии есть показатель квадрата, куба и т. д. этого члена; и значит, что половина, треть и т. д. показателя какого-нибудь члена геометрической прогрессии есть показатель квадратного, кубического и т. д. корня этого члена.
2) Что разность показателей двух каких-нибудь членов геометрической прогрессии будет показателем частного от деления этих членов. Так, напри-£_£	£
мер, х2 3 = х6 будет показателем частного от де-1	£	_£_£ _ 7
ления х2 на Xs, и х 3	4 =х 12 будет показа-
_ £ £
телем частного от деления х 3 на х4; отсюда ясно, _£ £
что умножить, х 3 на х 4 —все равно, что раз-_£	j_
делить х 3 на х4. Так же обстоит дело и в других случаях. Теперь могут иметь место два различных случая.
Первый случай, — когда степень совершенная, т. е. когда показатель ее целое число. Диференциал хх есть 2xrfx, диференциал х3 есть Зххг/х, диференциал х4 есть 4x3rfx и т. д. Действительно, так как
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
72
квадрат х есть не что иное, как произведение х на х, то его диференциал ($ 5) будет xdx-\-X dx, т. е. 2х dx. Таким же образом, так как куб х есть не что иное, как произведение х на х на х, то его диференциал ($ 5) будет хх dx -f- хх dx -ф- хх dx, т. е. ixxdx. Так как то же самое относится ко всем степеням до бесконечности, то отсюда следует, что если предположить, что т означает любое целое число, то диференциал хт будет mxm~l dx.
Если показатель отрицательный, то мы найдем, что диференциал х~~т, или Ц-, будет:
х — тхт~1 dx	_ т _ 1 .
—---------— — тх dx.
Второй случай встречается, когда степень несовершенная, т. е. когда ее показатель дробное число. Пусть требуется найти диференциал ух™, или хп пъ выражает любое дробное число); примем хп = z.
Возведя каждую сторону [этого равенства] в степень п, мы получим хт — zn; взяв диференциалы, как было указано в первом случае, мы найдем:
тх"^1 dx — nzn~xdz и
~dx^xm-n{
” dx.
правило.
Анализ бесконечно малых	73
т — т если подставить вместо nzn~x его значение пх п . Если показатель отрицателен, то мы найдем, что
— —	1
диференциал х п, или , будет:
х”
т п i .
-----х dx п----__________ т
2т	"" ц %
ХП
Отсюда вытекает следующее общее
Правило IV.
Для СОВЕРШЕННЫХ ИЛИ НЕСОВЕРШЕННЫХ СТЕПЕНЕЙ.
Диференциал любой совершенной или несовершенной степени какой-нибудь переменной величины равняется произведению показателя этой степени на саму эту величину, возведенную в степень, на единицу меньшую, и помноженную на ее диференциал.
Итак, если предположить, что т выражает любое целое или дробное, положительное или отрицательное число, а х — произвольную переменную величину, то диференциал хт будет всегда mxml dx вз)*
ПРИМЕРЫ. --------------------------3
Диференциал куба ау— хх, т. е. ау-—хх , равняется ___________2	------------
3 X ау—хх X ady— 2xdx — ₽= 3asyy dy — Qaaxxy dy Здх4 dy— Saayyx dx •-{-4-12ayx-i dx — 6x5 dx.
74
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
______________________1
Диференциал ]/ху уу, или же xy-j-yy2, равняется
।------------2.-------------------
-^Xxy-j-yy 2 X ydx j-x dy-]-2y dy, или
у dx -|- -У аф + 2у dy 2/^У+ХУ
______________________£
Диференциал |/а4 ахуу, или д4 -|~ ахуу2, равняется
I-------------±	________________
у X а4-\-ахуу 2 X ауу dx-\-2axy dy,
ИЛИ	.	, _
ауу dx -j- 2аху dy
2 У а4 + ахуу
з ,------ ------------1.
Диференциал ]/ах~хх, или ах-ухх3, равняется
или
~Хах-\-хх 3 "Xadx-\-2x dx,
a dx -ф 2л' dx з /------2
Зуах-j-xx
Диференциал V ах хх -f- ]/«4 + ахуу, ______1 ax-j-xx-j-f/a4-^ ахуу2, равняется
1
~ X аххх-у [/а4-У ахуу аХ
или
X adx-j- 2xdx-[
ауу dx + 2аху dx 2 У я*14- ахуу
Анализ бесконечно малых
75
или
a dx 4- 2х dx । 1~\/ ах 4- хх 4- Y ai 4- ах у у
________________ауу dx 4* Ъаху dy
2 )/«14~ ахуу X 2 ]/ ах 4- хх 4-	4~ ахуу
г/ах 4- хх
Диференциал	будет согласно этому
V ху 4- у у
правилу (§ 7, 6} и согласно правилу о дробях34)
a dx 4- 2х dx, _ г---
XVху+уу
3|/ ах 4- хх
— у dx —х dy — 2у dy iVxy+yy
Х]/ах 4-
хх
ху+уу
Замечание.
8.	Уместно заметить, что, беря диференциалы, мы всегда предполагали, что, вместе с возрастанием одной из переменных х, и другие переменные у, z и т. д. тоже возрастают, т. е. если х становится х-y-dx, то у, z становятся y-y-dy, z~dz и т. д. Поэтому, если случится, что некоторые из переменных уменьшаются, в то время как другие возрастают, то их диференциалы надо будет рассматривать как величины отрицательные по отношению к диференциалам других величин, которые по предложению возрастают; и, следовательно, надо будет изменить знаки тех членов, в которых встречаются диференциалы уменьшающихся величин. Так, например, если предположить, что С возрастанием х величины у и z уменьшаются.
76
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
т. е. что когда х станет x-\-dx, то у и z стано* вятся у — dy, z — dz, и если надо взять диференциал произведения xyz, то в найденном ($ 5) дифе-ренциале
ху dz	xz dy yz dx
надо изменить знаки членов, в которых встречаются dy и dz. Таким образом искомый диференциал равняется
yz dx — ху dz — xz dy.
ГЛАВА II
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К НАХОЖДЕНИЮ КАСАТЕЛЬНЫХ КО ВСЯКОГО РОДА
КРИВЫМ ЛИНИЯМ
Определение.
ЕСЛИ продолжить одну из маленьких сторон Мт (черт. 2) многоугольника, составляющего ($ 3) кривую линию, то эта продолженная таким образом маленькая сторона будет называться касательной к кривой в точке М или т Зб)-
ПРЕДЛОЖЕНИЕ /.
Задача.
9.	Пусть кривая линия AM (черт. 3) такова, что отно шение абсциссы АР к ординате РМ выражается каким-либо уравнением, и пусть требуется провести в данной точке М этой кривой касательную МТ.
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
?8
Проведем ординату МР и предположим, что прямая МТ, встречающая диаметр в точке Т, есть иско-/ мая касательная. Представим себе дру-/ гую ординату тр, бесконечно близкую уГ к первой, и проведем маленькую пря-/ мую MR, параллельную АР. Обозначим /1	данные АР через х; РМ через у (следо-
'	вательно, Рр или MR=dx и Rm — dy);
Черт. 2.	,
е в таком случае подобные треугольни-
ки mRM и МРТ дадут:
rnR (dy). RM (dx): : MP (у).pT =	™).
ay
Но при помощи диференциала данного уравнения мы найдем значение dx, выраженное в членах, которые все содержат множитель rfj/37); если это выражение умножить на у и разделить найу, то по-/у !	лучится значение подкасатель-
--------- ной РТ 38), выраженное во ,, э вполне известных и свободных Черт. 3.
от диференциалов членах; это значение и послужит для проведения искомой касательной МТ.
Замечание.
10.	Когда точка Т (черт. 4) оказывается со стороны, противоположной А, началу х-ов, то ясно, что с возрастанием х величина у уменьшается и что, следовательно (§ 8), в диференциале данного уравнения надо изменить знаки всех членов, в которых
Анализ бесконечно малых
встречается dy, иначе значение dx, выраженное в dy, будет отрицательным, и, следовательно, отрицательным будет так же зна- .
чение РТ . Однако, \ dy J	’
чтобы не запутаться, лучше	———fa---------
брать диференциал данного	Черт 4
уравнения согласно ука-
занным правилам (гл. /), не изменяя в них ничего. Действительно, если в конце операции окажется, что значение РТ положительно, то отсюда будет следовать, что надо взять точку Т с той же стороны, что и точка А, начало х-ов, как мы это предположили, производя вычисления; наоборот, если оно отрицательно, то точку придется взять с противоположной стороны. Это выяснится на нижеследующих примерах.
Пример /.
11.	1) Если отношение АР к РМ (черт. 3) выражается уравнением ах =уу, то кривая AM будет параболой, имеющей параметром данную прямую а\ взяв диференциалы обеих сторон уравнения, мы будем иметь:
adx — 2у dy, dx — ~~~ и
\dy ) а ’
если подставить вместо уу его значение dx. Отсюда следует, что если взять РТ равным двум АР, и если
86
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
провести прямую МТ, то она будет касательной в точке М. А это и требовалось сделать.
2)	Пусть дано уравнение аа = ху, выражающее природу гиперболы относительно асимптот зэ) (черт. 4). Взяв диференциалы [обеих сторон уравнения], мы будем иметь:
xdy-^ydx — Q и, следовательно,
= — х.
\dy )
Отсюда следует, что если отложить РТ = РА со стороны, противоположной точке А, и провести прямую МТ, то она будет касательной в точке М.
3)	Пусть дано общее уравнение ут~х, выражающее собой природу всего бесконечного множества парабол 40), когда показатель т есть положительное целое или дробное число, и всех гипербол, когда этот показатель есть отрицательное число *>)• Взяв диференциалы [обеих сторон], получим:
/пУ"-1 dy — dx
и, следовательно,
РТ^} = тУт==тх>
если подставить вместо у™ его вначение х.
3
Если т — ? , то уравнение будет ys = axx и будет выражать собой природу одной из кубиче-з ских парабол 42); подкасательная РТ — -у х. Если
Анализ Бесконечно малых
т = — 2, то уравнение будет а3 — хуу и будет выражать собой природу одной из кубических гипербол; подкасательная РТ — — 2х. Так же обстоит дело и в других случаях.
Чтобы провести в параболах касательную в точке А начале х-ов, надо найти отношение dx к dy для этой точки; действительно ясно^ что если мы будем знать это отношение, то тем самым будет определен и угол, образуемый касательной с осью или диаметром. В этом примере мы имеем:
dx.dy : : тут 1.1.
Так как у равно нулю в точке А, то отсюда ясно, что отношение dy к dx должно здесь быть бесконечно большим, когда т больше 1, и бесконечно малым, когда оно меньше 1, т. е. что касательная в А должна быть параллельной ординатам в первом случае и сливаться с диаметром во втором.
Пример II.
12.	Пусть кривая АМВ (черт. 5) такова, что
------	----2
АР X РВ(х Ха — х) • РМ (уу): : АВ (а) . AD (£):
о
Значит
г 2 Р
~~ — ах— хх 4S),
Черт. 5.	Ъ
и, если продиференцировать 44),
=adx — 2х dx. о
6 зак. 20S1. — Лопиталь.
§2	Г. Ф. де-ЛопитаЛЬ
Отсюда
pj. /ydx\ _ 2 ауу _ 2ах — хх \ dy ) ~ ab — 2Ьх ~ а — 2х ’
ауу
если подставить вместо его значение ах — хх, и b	’
РТ— АР или АТ = -—~-. а — 2х
Предполагая теперь, что
ДР3 X ~PB\xS X а^х2) ~РМ‘ (/):: ДБ (а). AD(b\
получим:
~^=х3Х«— х
и, продиференцировав,
= 2>ххdx X а — х — 2adx--\r2x dx X х3,
откуда
у dx '______ 5х3 X Д — -у8_____ __ 5x X а — х
Зхх X «“ТХ - 2а + 2х X *3 ~~ За — Зх-2х
5ах — 5хх
За — 5х
._ 2ах
За — 5х
или
и
Вообще, если m обозначает показатель степени АР, а п — показатель степени РВ, то получается общее уравнение всего бесконечного множества эллипсов 45): П,м+п	----п
а1т-^хтХа-х
Анализ бесконечно малых
83
диференциал которого
"* + « aym+n~1 dy _	„т-1 . v ~й - "v”
-------------------rfLA, (ХХ /\ W A —
--------n—1 , tn — na — x dx'/.x .
aym+n
Отсюда (если подставить вместо — его значение х™ X а — хП) получается: --------------------------т -------
p^fydx\____	т^пх \а-х	__
т 4- пх X а — х s= .	—------ >
та — х — пх или
гы т-\-пУ(ах — хх .	пах
та — т — пх	та — т — пх
Пример III.
13.	Предполагая те же условия, что и в предыдущем примере, с тою лишь разницей, что точки В
и Р (черт. 6) находятся по разным сторонам точки А, получим уравнение:
— х X а -ух >
выражающее природу всех гипербол, рассматриваемых
Черт. 6.
по отношению к своим диаметрам. Отсюда, как и
прежде, получим:
pj.____т я Xах хх
таХут-\-пх
АТ—
пах
та 4- т 4- пх
и
6*
84
1'. Ф. ДЕ-ЛопИТАЛь
Если предположить АР бесконечно большим, То касательная ТМ пересечется с кривой только бесконечно далеко, т. е. она обратится в асимптоту СЕ; в этом случае:
АТ (----" а = АС,
\ та m пх / m-j-п
ибо, поскольку а бесконечно меньше, чем х, член та будет бесконечно мал по сравнению с т-\-ПХ. По той же причине уравнение кривой в этом случае обратится в
ау^^Ьх™^.
Полагая для краткости т-\-п = р и извлекая из Обеих частей равенства корень [степени] р, получим:
y^/a — xfyb, диференциал чего есть
= dx}/ b.
Таким образом, проведя АЕ параллельно ординатам и представив себе маленький треугольник при точке, в которой асимптота СЕ встречает кривую, получим пропорцию dx . dy, или
i»/" P/~L.	( п \
1/ а .л/ Ь\: АС — а) V	V	\ р J
АЕ = — лГ Ьа*~1. р V
Определив таким образом величины СА и АЕ, можно провести бесконечную прямую СЕ, которая будет искомой асимптотой.
Анализ бесконечно малых
85
При т = 1 и п = 1 кривая будет обыкновенной
АЕ — -^-]/~ ab,
гиперболой, и АС = -^-а,
т. е.
половине сопряженного диаметра, что, как известно, согласуется с действительностью 46),
Пример IV.
14.	Пусть уравнение
J/3—х& — аХу
(АР — х, РМ—у, а — данная прямая линия) выра-жает природу кривой AM (черт. 6). Его диференциал
3_у_у dy — Зхх dx = ах dy-\- ay dx.
Значит
ydx  Зу3 — аху dy	Зхх 4- ау ’
.7. (ydx  А  Зу3 — За3 — 2аху   аху
\ dy Х) Зхх -Уау	Зхх 4* ау ’
если подставить вместо 3_у3— Зх3 его значение Заху.
Если теперь предположить, что АР и РМ каждая бесконечно велики, касательная ТМ обратится в асимптоту СЕ, а прямые АТ и ДЗ обратятся в АС и АЕ, которые определяют положение асимптоты. Итак, АТ,
.	, аху
которую я назову t —  Зхх ау, откуда
__ 3txx  3tx
У ах — at	а ’
когда АТ обращается в АС, потому что при этом at
86
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
ничто по сравнению с ах. Подставляя эту вели-3tx
чину вместо у в у3 — х3 = аху, получим:
27t3x3 — а3х3 = ЗаЧхх,
откуда (отбрасывая член 3astxx, так как при бесконечно большом х он есть ничто по сравнению с двумя другими: 27t3x3 и а3х3)
AC (t) —4г-а. О
Точно так же AS (у -—, которое я называю аху
s = -5—-------, а отсюда
Зуу — ах ’
х.._ ^УУ	3а'-У
ay as	а ’
так как при у, бесконечно большом по сравнению с s, член as будет ничем по сравнению с членом ау. Подставляя эту величину в уравнение кривой, найдем:
АЕ (s) — -L-a.
О
Отсюда следует, что если взять каждую из линий
АС и АЕ равной — а и провести бесконечную О
прямую СЕ, то она будет асимптотой кривой AM.
Этими двумя последними тримерами надо руководствоваться при нахождении асимптот других кривых
Анализ бесконечно малых	87
ПРЕДЛОЖЕНИЕ П.
Задача.
15. Допустим в предыдущем, предложении, что абсциссы АР (черт. 7) суть отрезки кривой, касательные которой РТ известны, и что надо в данной точке М на кривой AM провести касательную МТ.
Проведя ординату МР и касательную РТ и предполагая, что прямая МТ, пересекающаяся с ней в Т,
есть искомая касательная, представим себе другую ординату тр, бесконечно близкую к первой, и маленькую прямую MR, параллельную РТ. Обозначив данные АР через х, РМ через у, получим, как и прежде, Рр или MR — dx, Rm = dy,
а подобные треугольники mRM и MPT дадут:
rnR (dy). RM(dx) :: MP(y). PT=y-^.
Остальное получается на основании уравнения, которое выражает зависимость между абсциссами АР(х) и ординатами РМ (у), как мы это уже видели в предыдущих примерах и еще увидим в последующих *8),
Пример 1.
гт	У У	х У аа 4- уу	,
1о. Пусть	~диференциал этого
будет:
Чху dy — уу dx _dxVааУуу . ху dy
W	d	a)faa уу ’
88
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
или, приводя это равенство к виду пропорции:
dy . dx (MP .РТ)::
У аа -\-уу , уу . 2ху  ХУ а	' хх хх	а У аа -|- уу
Следовательно, отношение данной МР к искомой подкасательной РТ выразится через вполне известные члены, свободные от диференциалов. Что и было предложено найти.
Пример II.
17.	Пусть х —	; диференциал этого будет:
dx=a-fi-, Ь ’
тогда
РТ	=
Если предположить, что кривая АРВ есть полукруг и что ординаты МР, продолженные до Q, перпендикулярны к диаметру АВ, то кривая АМС будет полурулеттой или циклоидой: простой, когда Ь = а, удлиненной, когда Ь больше а, и укороченной, когда—-меньше 49).
Следствие.
18.	Я утверждаю, что если в случае простой циклоиды провести хорду АР, то она окажется параллельной касательной МТ.
Действительно, в этом случае треугольник МРТ становится равнобедренным, и внешний угол TPQ
Анализ бесконечно малых	89
будет равен удвоенному противолежащему ему внутреннему углу TMQ. Но угол APQ равен углу APT, так как оба они измеряются половиной дуги АР, и следовательно, он равен половине угла TPQ. Стало быть углы TMQ и APQ равны между собой, и значит линии МТ и АР параллельны.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1Ц.
Задача.
19.	Пусть АР — какая-либо кривая (черт. 7) с диаметром KNAQ, касательные которой РК, известны; и пусть AM — другая кривая, такая, что если провести как угодно ординату MQ, пересекающую первую кривую в точке Р, то соотношение между дугой АР и ординатой MQ выразится некоторым уравнением. Требуется из данной точки М провести касательную MN.
Обозначив данные РК через t, KQ через s, дугу АР через х, MQ через у, получим (проводя другую ординату mq, бесконечно близкую к MQ, и линии РО и MS, параллельные .4Q):
Pp — dx; mS = dy.
Из подобия треугольников KPQ и РрО, mSM и MQN следует:
PK(t). KQ (s):: Рр (dx). РО или MS = и
mS(dy). SM : MQ (у) .	.
90
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
При помощи диференцирования данного уравнения величина dx выразится через члены, каждый из кото
рых содержит в качестве множителя dy, следова
тельно, если подставить эту величину вместо dx
sydx ,.
в то ay сократится и величина искомой подкаса
тельной (^выразится через известные члены (termes). Что и требовалось найти.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ IV.
Задача.
20.	Пусть две кривые линии AQC и BCN (черт. 8) имеют диаметром прямую TEABF, и касательные QE и NF из-
вестны-, пусть кроме того другая кривая линия МС такова, что соотношение между ординатами MP, QP и
NP выражается некоторым уравнением. Требуется из данной точки М на этой последней кривой провести к ней касательную МТ.
Представив себе при точках Q, М и А/ Малые тре-
угольники Qoq, MRm и NSn и обозначив известные
РЕ через s, PF через t, PQ через х, РМ через у и PN через z, получим oq = dx, Rm = dy, Sn — — dz,
так как, при возрастании х и у, z убывает (<£ 8). Из подобия треугольников QPE и	NPF
Анализ бесконечно малых
91
и nSN, MPT и mRM получим:
QP (х). PE(s)::
:: qo (dx). oQ или 7И7? или SN=^^; и
NP(z). PF(ty-.nS ( — dz) .SN = ^-~^=s-^ (откуда dz = -~~s^dx^ и
rnR (dy) .RM (ф):: MP(y) ,PT=^.
Если же в диференциал данного уравнения подставить вместо dz его значение ——, то мы найдем вы-
ражение величины dx через dy, при подстановке
sydx ,
> dy сократится, и величина
выразится через известные члены.
этого выражения в подкасательной РТ
Пример.
21.	Пусть yy — xz. Диференциал этого будет:
<lydy = zdx + xdz= ‘?d*Ts‘dx, если подставить вместо dz его отрицательное значе-— szdx ~
ние ——— . Отсюда
dx = 1tydy_ tz — sz
и, следовательно,
Istyy ____ 1st
txz — SXZ t — s
если подставить вместо уу его значение х%,
92
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Пусть теперь дано общее уравнение у,п^п = хтzn, диференциал которого будет:
т -ф- пут+п 1 dy — mznхт~х dxпхт zn~xdz = mtznxm~l dx — nsznxm~1dx
если подставить вместо dz его значение —. Отсюда
ру, (sy dx \ _ mst + nst ут+п _mst nst
1 \xdy ) ~~ mtznxm - nsznxm ~~ mt-ns ’
m-Cn	m n
если подставить вместо у его значение х Z .
Можно заметить, что если кривые /4QC и BCN обращаются в прямые линии, кривая МС становится одним из всего бесконечного множества конических сечений, а именно: эллипсом, когда ордината CD, выходящая из точки пересечения С, попадает между концами А и В; гиперболой, — когда она попадет с какой-либо стороны от них; и наконец параболой,— когда один из концов А и В бесконечно удален от другого, т. е. когда одна из прямых СА или СВ параллельна диаметру АВ и).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ V.
Задача.
22.	Пусть кривая АРВ (черт. 9) имеет фиксированное и неизменное начало в точке А, и касательные PH этой кривой известны. Пусть далее имеются вне этой кривой другая фиксированная точка Г и другая кри~
Анализ бесконечно Малых
93
Вая CMD, такая, что если провести произвольную прямую FMP, то отношение ее части FM к отрезку кривой АР выражается каким-либо уравнением. Предлагается провести из данной точки М касательную МТ.
Восстановим к FP перпендикуляр FH, который Пересекается с данной касательной PH в точке Н, а с искомой МТ в точке Г; затем представим себе
прямую FPmOp, образующую с FP бесконечно малый угол, и опишем из центра F малые круговые
дуги РО и МР. Маленький треугольник рОР будет подобен прямоугольному треугольнику PFH, потому что углы HPF и HpF (§ 2) равны, ибо они разнятся между собою на угол PFp, который нечно мал; кроме того
Черт. 9.
по предположению беско-угол рОР — прямой, так
как касательная в О (которая есть не что иное, как продолжение малой дуги РО, рассматриваемой как прямая) перпендикулярна к радиусу FO. По тем же соображениям подобны и треугольники
тРМ и MFT. Ясно, что малые треугольники, или секторы, FPO и FMP тоже подобны между собой. Поэтому, обозначив известные PH через t, HF через s, FM через у, FP через z и дугу АР через X,
получим:
PH (t). HF(s) :: Рр (dx) .РО = ^-
94
Г. Ф. де-ЛопитаЛь
FP (z). FМ (у):: РО	. MR ;
II
mR(dy) • RM : FM(y) • FF=^- • \ lii /	1лг Uj/
Остальное получается посредством диференцирования данного уравнения.
Пример.
23.	Если угодно, чтобы кривая АРВ (черт. 10) была кругом с центром в фиксированной точке F, то очевидно, что
PH становится параллельной и равной подкасательной FH, так как HP становится тоже перпендикулярной к PF. Таким образом в этом случае
касательная
pj. у у dx у у dx zdy ady ’
если обозначить отрезок
FP (г) через а, ибо он из
теперь постоянным. Если, по обозначить всю окружность или
переменного стал установлении этого, какую-либо ее определенную часть через Ь и положить Ь .у, то кривая CMD, которая в этом случае окажется FMD, будет спиралью Архимеда, и мы будем иметь у = -у. Диференциал этого будет:
dy —
a dx ~Г
Анализ бесконечно малых
95
откуда
у dx =	= х dy,
если подставить вместо у его величину ; следовательно,
Ff (УУ — W.
\ a dy ) а ’
Это дает следующее построение.
Опишем из центра F радиусом FM дугу круга MQ, ограниченную в Q радиусом FA, который соединяет неподвижные точки А и F, и возьмем FT равным дуге MQ. Я утверждаю, что МТ будет касательной в М. Действительно из подобия секторов FPA и FMQ следует, что
FP (а). FM О):: АР(х) .MQ = ^ = FT.
Если вообще взять b . х:: ат . ут (показатель степени т обозначает какое угодно целое или дробное число), то кривая FMD будет одной из всего бесконечного множества спиралей. Мы будем иметь
тогда:
ЛП *
in Л X
У —ь~>
диференциал чего будет:
т—1 «	amdx
ту dy = —^~
откуда
, tnbymdy	,
у dx= '	= тх dy,
96
Г'. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
4’ если подставить вместо ут его значение —г- , о
и следовательно,

ПРЕДЛОЖЕНИЕ VI.
Задача.
24.	Пусть АРВ (черт. 11) — кривая линия, касательные которой PH известны, и F — фиксированная точка вне этой линии. Пусть CMD — другая кривая, такая, что если провести произвольную прямую FPM, то отноше-
Черт. И.
ние между FP и FM выразится некоторым уравнением, Требуется из данной точки М провести касательную МТ.
Проведя прямую FHT, перпендикулярную FM, и представив себе, как и в предыдущем предложении, малые треугольники РОр и MRm, подобные треугольникам HFP и TFM, обозначим известные FH через s, FP через х, FM через у. Мы получим тогда:
PF (х). FH{s):: рО (dx) ,ОР = ~
Анализ бесконечно малых	97
и
FP(x) .FM(y)::OP . RM =	;
и
"> R Ш	' ™ М •
Остальное получается посредством диференцирования данного уравнения.
Пример.
25.	Если в качестве кривой АРВ взять прямую линию PH, а уравнением, выражающим отношение FP и FM, будет у— х = а, т. е. РМ остается всегда равным данной прямой а, то в качестве диферен-циала получится dy = dx, следовательно,
pj. (syydx\ _ syy _ \xxdy ) xx
Это дает следующее построение.
Проводим ME параллельно PH и МТ—параллельно РЕ\ я утверждаю, что она будет касательной в М.
Действительно
FP(х). FH(х): -.FM(у/).
и
FP(x). FE :: FM(y ) ,FT=S-^-
Ясно, что кривая CMD есть конхоида Никомеда, асимптотой которой является прямая PH, а полюсом— фиксированная точка F 52).
7 Зак. 2051, — Лопиталь.
98
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
ПРЕДЛОЖЕНИЕ VII.
Задача.
26.	Пусть кривая линия ARM (черт. 12), касательные которой МН известны, имеет диаметром прямую ЕРАНТ. Пусть далее вне этого диаметра имеется фиксированная точка F, из которой выходит бесконечная прямая FPSM, пересекающая диаметр в Р, а кривую в М. Если теперь предположить, что при вращении прямой FPM вокруг точки F фигура РАМ передвигается параллельно самой себе вдоль неподвижной бесконечной прямой ЕТ
Черт. 12.
так, что расстояние РА остается неизменным, то М, точка постоянного пересечения линий FM и AM, опишет при этом движении кривую линию CMD. Предлагается провести из данной точки М на этой кривой касательную МТ.
Представим себе, что фигура РАМ перешла в бесконечно близкое положение рат, и проведем линию mRS параллельно АР. Рр = Aa — Rm, что ясно из способа их образования, и следовательно, RS — Sm — Р/г.Итак, обозначив известные FP или Fp через х, FM или рт через у, PH через s, МН через t и диференциал Рр через dz, мы из подобия
Анализ бесконечно малых	99
треугольников FPp и FSm, МРН и MST?, МНТ и MRm получим:
Fp (х). Fm (у) :: Рр (dz) .Sm= —
(	on У dz — xdz\
(значит SR------------) и
PH(s).НМ(t)::SR	.цм =	**;
и
Л//?	. Rm (dz):: МН (t). НТ =
Значит, если провести FE параллельно МН и взять НТ —РЕ, то линия МТ будет искомой касательной. Если бы линия AM была прямой, кривая CMD оказалась бы гиперболой, имеющей одной из своих асимптот линию ЕТ. Если бы она была кругом с центром в точке Р, кривая CMD оказалась бы конхоидой Никомеда, имеющей асимптотой линию ЕТ и полюсом точку F. А если бы она была параболой, то кривая CMD оказалась бы сопровождающей кривой параболоиды Декарта (Geom., кн. 3), которая получилась бы при упомянутом движении под прямой ЕТ в результате пересечения FP с другой половиной параболы 58).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ VIII.
Задача.
27.	Пусть кривая AN (черт. 13) имеет диаметром прямую линию АР, а фиксированная точка F находится вне этих линий. Пусть другая кривая CMD такова, что
7*
100
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
если провести произвольную прямую FMPN, то отношение между ее частями FN, FP и FM выразится некоторым уравнением. Спрашивается, как провести из данной точки М касательную МТ.
Проведем через точку F линию НК, перпендикулярную FN и пересекающуюся с диаметром АР в Д' и с данной касательной NH— в Н, и опишем из центра F радиусами FH, FP я FM малые круговые дуги MQ, Ро, MR, ограниченные прямой Fn, образующей бесконечно малый угол с FN.
Черт. 13.
Если обозначить известные: FK через s, FH через t, FP через х, FM через у, FN через z, то из подобных треугольников PFK и роР, FMR и FPo и FNQ, HFN и NQn, mRM и MFT получится, что
PF(x). FK(s):: ро {dx) .oP = s-^;
И
FP(x) .FM(y)::Po (^}.MR = sy^-,
И
FP(x) 	: Po (—}	=
\ X /	xx
Анализ бесконечно малых
101
и
HF(t).FN(z)::NQ(^}.Qn(-dz)~ \ **А /	гл Л
И
mR (dy). RM(S-^} :: FM(y) • FT —	.
При помощи диференцирования данного уравнения можно выразить величину dy через dx и dz. Если в получившееся выражение подставить затем вместо .	— szz dx ,
dz его отрицательное значение ——— (потому что при возрастании х, z убывает), то dy выразится через члены, каждый из которых содержит множитель dx. Таким образом, когда это выражение для dy будет, syy dx ,	г.
наконец, подставлено в хха , dx сократится. Следовательно, величина FT выразится через известные члены, не содержащие диференциалов.
Если предположить на месте прямой линии АР кривую и провести касательную PR, то для FT получится то же самое значение и рассуждения останутся прежними.
Пример.
28.	Предположим, что кривая AN (черт. 14) есть круг, проходящий через точку F (так расположенную относительно диаметра АР, что перпендикулярная к этому диаметру линия FB проходит через центр G этого круга), и что РМ всегда равна PN. Ясно, что кривая CMD, которая в этом случае
102
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
окажется FMA, будет циссоидой Диоклеса. Уравнение при этом будет:
z-j-y — 2x;
диференциал его есть:
dy = 2dx - dz = 2‘xxdx + ^dx, если подставить вместо dz уже найденное выше его
Следовательно, pt (syydx\ — 81УУ \xxdy ) Itxx 4- szz ‘
Если данная точка М попадает в точку А, то каждая из линий FM, FN, FP окажется равной FA, так же как и прямые FK и FH\ следовательно, д4
в этом случае FT =	= -=-х. Значит, если взять
FT == -^-AF и провести линию АТ, она будет □
касательной в А.
Касательные к циссоиде можно найти еще по способу, изложенному в первом предложении, проводя
Анализ бесконечно малых
103
перпендикуляры NE, ML к диаметру FB и отыскивая уравнение, выражающее отношение абсциссы FL к ординате LM. Это производится следующим образом. Обозначив известные FB через 2а, FL или BE через х, LM через у, получим из свойства круга и подобия треугольников FEN и FLM:
FL (х) .LM(y)::FE-EN:: EN{V 2ах—хх).ЕВ(х). Отсюда
диференциал чего есть:
2ydу
бахх dx — 2л3 dx
о ----2
2а — х
Следовательно,
LO{§ 9)(^)
_ . ..2
у у 2а — х  2ах — хх Захх — х3 За — х ’
х3
если подставить вместо уу его значение -_ — °4).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ IX.
Задача.
29.	Пусть ANB и CPD — две кривые, a — прямая, на которых отмечены фиксированные точки А, С, F (черт. 15); пусть кроме того другая кривая ЕМО такова, что если провести через какую-либо ее точку М прямую FMN и провести МР параллельно FK, то отношение дуги AN к дуге СР выразится некоторым уравнением. Требуется из данной, точки М на кривой EG провести касатель-нукТУД,
104
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Проведя через искомую точку Т линию TH, параллельную FM, а через данную точку М прямые MRK и МОН, параллельные касательным в Р и N, нанесем FmOn, бесконечно близкую к FMN, и mRp> параллельную МР.
Если теперь обозначить известные FM через s, FN через t, МК через и, СР через х, AN через у (значит Рр или MR = dx, Nn = dy), то из подобия треугольников FNn и FM0, МОш и МНТ,
MRtn и МКТ получится:
FN(t). FM(s):: Nn (dy) ,MO=S-^ и
MR (dx). MO (s-^) :: MK(u) . MH =	.
При помощи диференцирования данного уравнения величина dy выразится через члены, каждый из которых содержит множитель dx, и, при подстановке полученного выражения в t £ , dx сократится. Следовательно, величина МН выразится через вполне известные члены. Это дает следующее построение.
Проведем линию МН, параллельную касательной в N и равную только что найденной величине; проведем НТ, параллельную FM и пересекающую прямую FK в Т-, через эту точку пересечения и через данную точку М проведем искомую касательную МТ.
Анализ бесконечно малых
105
Пример.
30 Если кривая ANB (черт. 16) будет четвертью
круга с центром в фиксированной точке F, кривая
CPD — радиусом APF, перпендикулярным к прямой
FKGQTB, и если дуга AN (у) всегда относится к прямой АР (х), как четверть круга ANB (Ь) к радиусу AF (а), то кривая EMG окажется квадратрисой Дино-страта AMG, и мы будем иметь
Черт. 16.
as dy — sx dy a dx
так как FP или MK (u) = a— х и FN (f) — a. Но из предположенной пропорциональности следует, что ay — bxuady — b dx. Поэтому, подставляя в значение ..,.	,	ay Ь dx
МН вместо х и dy их значения и ------------------,
J	Ь а ’
„ bs — ys г,
найдем —Это дает следующее построение.
Проведем линию МН, перпендикулярную к FM и равную дуге MQ, описанной из центра F, и линию НТ, параллельную FM. Я утверждаю, что линия МТ будет касательной в М. Действительно, из подобия секторов FNB и FMQ имеем:
FN(а>. FM (s):: NB (Ь — у). МQ = bs~-^ бб).
Следствие.
31.	Если требуется определить точку G, в Которой квадратриса AMG пересекает радиус FB (черт. 17),
106
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
то следует представить себе еще другой радиусFgb, бесконечно близкий к FGB. Если провести gf параллельно FB, то свойство квадратрисы и подобие треугольников FBb и gfF, прямоугольных при В и при f, дадут:
АВ .AF'.'.Bb .Ff'.'.FB или AF.gf или FG.
Отсюда видно, что если взять третью пропорцио-—|в нальную к четверти круга АВ .s ; и к радиусу AF, то она будет /	Равна FG, т. е. FG =	. Это
/ /	!;	позволяет упростить построение
V	' j. касательных.
4	-----
Черт 17	Действительно, если провести
ТЕ параллельно МН (черт. 16), то подобные треугольники FMK и FTE дадут:
МК(а — x).MF (s):: я t г г /bs'	ст t yss bSS
\ а )	аа — ах аа ’
ау если подставить вместо х его значение -f- и затем о
все разделить на b—у. Отсюда ясно, что линия FT есть третья пропорциональная к TG и FM.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ X.
Задача.
32.	ПусЛ кривая линия АМВ (черт. 18) такова, что отношение между прямыми MF, MG, МН и т. д., проведенными цз какой-либо ее точки М к фокусам F, О, Н,
Анализ бесконечно малых
107
выражается некоторым уравнением. Пусть требуется в данной точке М восставить к касательной в этой точке перпендикуляр МР.
Взяв на кривой АВ бесконечно малую дугу Мт
и проведя прямые FRm, GmS и НтО, опишем
из центров F, G и Н малые круговые дуги MR, MS
и МО. Затем из центра радиусом круг CDE, пересекающий линии MFt MG и МН в точках С, D и Е. Из этих точек опустим на МР перпендикуляры CL, DK и EI. Сделав эти приготовления, я замечаю, что:
1° Прямоугольные треугольники MRm и MLC отнять от прямых углов
М опишем каким-либо
Черт. 18.
подобны, так как если
LMm и RMC общий
угол LMR, то оставшиеся [углы] RMm и LMC будут равны, и так как вдобавок углы при R и L — прямые. Так же можно доказать, что подобны прямоугольные треугольники MSm и MKD, МОт и MIE. Поэтому из того, что малые треугольники MRm, MSm и МОт имеют общую гипотенузу Мт и что гипотенузы МС, MD и ME треугольников MLC, MKD и М1Е между собою равны, следует, что перпендикуляры CL, DK и Е1 относятся между собою, как диференциалы Rm, Sm и От.
108
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
2° Линии, выходящие из фокусов, находящихся с одной стороны перпендикуляра МР, возрастают, в то время как другие линии убывают, и обратно. Так, на черт. 18 FM увеличивается на его диференциал Рт, в то время как Gm и НМ уменьшаются на их диференциалы Sm и От.
Если теперь для определенности предположить, что уравнение, выражающее отношение между отрезками FM (х), GM (у) и НМ (г), есть:
ах -ф- ху — zz = 0,
диференциал чего есть:
a dx -ф-у dx-\-x dy — 4zdz = 0,
то, очевидно, касательная в М (которая есть не что иное, как продолжение Мт малой стороны многоугольника, образующего по предположению (§ 3) кривую АМВ) должна быть расположена таким образом, чтобы при проведении через какую-либо ее точку т линйй тР, mS и тО, параллельных прямым FM, GM и НМ и ограниченных в Р, S и О перпендикулярами к ним MP, MS и МО, всегда имело место уравнение:
а -ф* У X Pm -ф- х X Sm — 2z X От — 0,
или же (что сводится к тому же, если заменить Рт, Sm и От пропорциональными им величинами CL,
Анализ бесконечно малых
109
DK и EI) МР, перпендикуляр к кривой, должен быть расположен так, что:
а 4-у X CL + х X DK—2z хЕ1=0.
Это дает следующее построение.
Предположим, что точка С (черт. 18, 19) обладает весом а-\-у, на который умножается диференциал dx прямой FM, на которой эта точка нахо
дится; что, аналогично, точка D обладает весом х, а точка Е, взятая с другой стороны от М относительно фокуса И (так как член — 2г dz отрицателен), обладает весом 2z. Я утверждаю, что прямая МР, проходящая через общий центр тяжести весов, находящихся по предположению в С, D
и Е, будет требуемым перпендикуляром. Действитель
но из принципов механики ясно, что всякая прямая, про
ходящая через центр тяжести нескольких весов, разделяет их таким образом, что веса по одну сторону этой прямой, умноженные каждый на его расстояние от нее, в точности равны весам по другую ее сторону, также умноженным каждый на его расстояние от этой же прямой. Стало быть, если у и z при возрастании х тоже возрастают, т. е. если фокусы F, G и Н оказываются (черт. 19) по одну сторону МР, как и
110	Г. Ф. де-Лопиталь
предполагалось все время при диференцировании дан* ного уравнения по указанным правилам, то линия МР будет иметь, с одной стороны, веса в С и D, а с другой, — вес в Е, и таким образом a-j-y X CL -j-x X X DK — 2z X El = 0. А это уравнение и требовалось построить.
Теперь я утверждаю, что так как построение подходит в этом случае, то оно будет годиться и во всех других. Действительно, если, например, предположить, что точка М меняет свое положение на кривой так, что у и z при возрастании х убывают, т. е. что фокусы GnH (черт. 18) переходят на другую сторону МР, то:
1° (§ S) в диференциале данного уравнения надо переменить знаки при членах, содержащих множители dy и dz или пропорциональные им величины DK и EI, и значит уравнение, которое требуется построить, будет в этом случае:
a -f-у X CL — хх DK-\- 2zy^El = 0.
2° Веса в D и Е окажутся по другую сторону МР, и из свойства центра тяжести получится:
а-}-у X CL—xX DK-\-2zX Е1=0, что и является уравнением, которое требуется по-гтроить. А так как это имеет место во всех возможных случаях, то из этого следует, что и т. д.
Очевидно, это же рассуждение сохраняется для любого числа фокусов и любого заданного уравнения, откуда получается следующее общее построение.
Анализ бесконечно малых
Hi
Диференцируем данное уравнение, относительно которого я предполагаю, что одной из частей его является нуль 66), и описываем из центра М произвольный круг CDE, пересекающий прямые MF, MG и МН в точках С, D и Е. Предположим, что в этих точках имеются веса, которые относятся между собой, как величины, на которые умножаются дифе
ренциалы тех линий, на которых они расположены. Я утверждаю, что линия МР, проходящая через их общий центр тяжести, будет требуемым перпендикуляром. Следует иметь в виду, что если в дифе-ренциале да иного уравнения один из весов яв
ляется отрицательным, то надо считать, что он находится с другой стороны от точки М относительно фокуса.
Построение остается тем же и в том случае, если фокусы F, G, Н (черт. 20) являются прямыми или кривыми линиями, на которые прямые MF, MG и МН падают под прямыми углами. Действительно, если из точки т, взятой бесконечно близко к М, опустить на фокусы перпендикуляры mf, mg, rnh, а из точки М провести к этим перпендикулярам малые перпендикуляры MR, MS и МО, то ясно, что Rm будет диференциалом MF, так как прямые ТИЛ и Rf равны
112
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
как перпендикуляры, заключенные между параллельными линиями Ff и MR. Аналогично, Stn есть диференциал MG, а От — диференциал МН. Осталь
ное затем доказывается, как и выше.
Можно еще предположить, что все или часть фокусов F, G и Н (черт. 21) являются кривыми
линиями, имеющими фиксированные и неизменные
начала в точках F, G и
Н, и что кривая А МВ такова, что если провести, например, из какой-либо ее точки М касательные MV, MX и прямую MG, то соотношение между смешанно-линейными линиями FVM, НХМ и прямой GM выражается некоторым уравнением-.
Ясно, что касательная ти, проведенная из точки т, взятой бесконечно близко к М, пересекает другую касательную в точке V (так как она есть не что иное, как продолжение малой дуги Vu,
рассматриваемой как малая прямая); следовательно, если из центра V описать малую дугу круга MR, то Rm будет диференциалом смешанно-линейной линии FVM, которая обратится в FVuRm. Остальное
доказывается, как прежде.
Г. Чирнгауз дал первую идею этой задачи в своем Livre de la Medceine de I’esprit', г. Фатио нашел потом очень остроумное ее решение, опубликованное им
Анализ бесконечно малых
113
s journaux d’Hollande. Но их подход к задаче является лишь частным случаем приведенного мною только что общего построения &).
Пример /.
33.	Пусть ахх 4- byy + czz — /3 = 0 (прямые а, Ь, с, f даны). Диференциал этого будет:
ах rfx-}- bydy-\-czdz — 0.
Поэтому, если предположить в С (черт. 22) вес
ах, в D — вес by и в Е— вес cz, т. е. веса,
которые относятся между собой, как эти прямоугольники s8), то линия МР, проходящая через их общий центр тяжести, будет перпендикулярной к кривой в точке М.
Если провести FO па
раллельно CL и взять ра- ,
диус МС за единицу, подобные треугольники MCL и MFO дадут, что ЕО = х X CL; точно так же, проведя GR параллельно ОК и HS параллельно EI, найдем, что GR =^у~)<. DK и HS — Z X EI. Таким образом, если представить себе в фокусах F, G и Н веса а, b и с, линия МР, которая проходит через центр тяжести весов ах, by и CZ, предположенных в С, D и Е, пройдет такжеи через центр тяжести этих новых весов. Значит этот центр тяжести есть фиксирован-
8 Зак. 2С51. — Лопиталь.
114
Г. Ф. де-Лопиталь
ная точка, так как веса в F, Q и Н, а именно а, b и с, суть постоянные прямые [отрезки], которые остаются неизменными, где бы ни находилась точка М' Отсюда следует, что кривая АМВ должна быть такова, чтобы все ее перпендикуляры пересекались в одной точке, т. е. она будет кругом с центром в этой точке. Таким образом получается замечательное свойство круга, которое можно формулировать следующим образом.
Допустим, что в некоторой плоскости имеется любое количество весов а, Ь, с и т. д., находящихся в F, G, Н и т. д., и из их общего центра тяжести описан круг АМВ‘, я утверждаю, что если через какую-либо его точку М провести прямые MF, MG, МН и т. д., то сумма их квадратов, умноженных на соответствующие им веса, будет всегда равна одной и той же величине 50).
Пример II.
34.	Пусть кривая АМВ такова (черт. 23), что
если из какой-либо ее точки М провести прямую MF к фокусу F, который является фиксированной точкой, и перпендикуляр MG — к фокусу G, который является прямой
линией, то отношение MF к MG остается по
стоянно равным отношению данной а к данной Ь.
Анализ бесконечно малых	115
Обозначив FM через х, ЛЮ через у, будем иметь:
х . у :: а. b
и, следовательно,
ау = Ьх,
диференциал чего есть:
ady—b dx ----- 0.
Поэтому, если предположить в С, находящейся за М относительно F, вес Ь, а в D (находящейся на таком же расстоянии от М) вес а, то линия МР, проведенная через их общий центр тяжести, окажется требуемым перпендикуляром.
Из принципа рычажных весов (balance) ясно, что если разделить хорду CD точкой Р так, чтобы СР. DP : : а. Ь, то точка Р будет общим центром тяжести предположенных в С и D весов.
Кривая АМВ есть коническое сечение, именно: она — парабола, когда а = Ь, гипербола, когда а больше Ь, и, наконец, эллипс, когда меньше 80).
Пример III.
35.	Если, привязав концы нити FZVMGMXYH (черт. 24) в F и Н и укрепив маленькое острие в О, одинаково натянуть нить посредством иглы, помещенной в М, так, чтобы части FZV и HYX обмотались вокруг кривых, имеющих начало в F и И, и чтобы часть MG была двойной, т. е. загибалась в G, и если, оставляя все в этом положении, начать двигать
8*
116
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
иглу М, то она, очевидно, опишет кривую АМВ, Спрашивается, как из данной точки этой кривой М провести перпендикуляр 'МР, если известно положение, которое занимает в этой точке нить, служащая тля образования кривой.
Заметим, что прямолинейные части нити MV и MX всегда являются касательными в V и X. смешанно-линейные линии FZVM через х, HYXM че-Рез Zi прямую линию MG через у и прямую х линию, равную длине нити, через а, мы бу-дем иметь всегда: x-j-2y~j-z = а, откуда я узнаю, что ерт. 24.	к кривой АМВ при
менимо общее построение. Поэтому, взяв диференциал dx-\-2dy-\- dz—Q
и предположив в С вес 1, в D вес 2 и в Е вес 1, я утверждаю, что линия МР, которая проходит через общий центр тяжести этих весов, есть требуемый перпендикуляр.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ XI.
Задача.
36.	Пусть АРВ и EQF (черт. 25) — две какие-либо линии, касательные которых РО и QH известны, и пусть PQ — прямая линия, на которой отмечена точка М. Если
Анализ бесконечно малых
117
предположить, что концы, этой прямой Р и Q скользят вдоль линий АВ и EF, то ясно, что точка М опишет при этом движении кривую CD. Требуется из данной точки М на этой кривой провести касательную МТ.
Представив себе, что подвижная прямая PMQ перешла в бесконечно близкое положение ptnq, проведем малые прямые РО, MR и QS, перпендикулярные к PQ. При этом образуются малые прямоуголь-
ные треугольники рОР, mRM и qSQ- Взяв PR равным MQ, проведем HRG перпендикулярно PQ и продолжим ОР до Т, где она по моему предположению встретит искомую касательную МТ. После
этого ясно, что малые прямые Op, Rin и Sq равны
между собой, так как согласно построению PR и MQ
всюду одинаковы.
Обозначив данные РМ или RQ через a, MQ или PR через b, RG через f, RH через g я малую прямую Ор или Rm или Sq через dy, мы получим из подобия треугольников PRG и рОР, Q/CZ7 и qSQ, что
PR(b). RG (/) : : рО (dy) .OP=f-^.
Далее
QK(a). RH (g): : qS (dy). SQ =
118
Г. Ф. де-Лопиталь
А из обыкновенной геометрии известно, что
MR = OPXMQ+QSXPM Jdy+gdy PQ	а b
Значит, подобные треугольники mRM и МРТ дадут: mR (dy). RM	: МР (а) . РТ = ~а^~
Что и требовалось найти.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ ХИ.
Задача.
37.	Пусть некоторые две линии BN и FQ (черт. 26) имеют осями прямые ВС и ED, пересекающиеся под прямым углом в точке К. Пусть далее кривая линия LM
такова, что если из какой-либо ее точки М провести прямые MOQ и MPN, параллельные АВ и АЕ, то соотношение между площадямиЕООУ {точка Е есть фиксированная точка, заданная на прямой АЕ, а линия EF параллельна АС) и APN D и пр ямыми АР, РМ PN и GQ выражается некоторым уравнением. Требу етсяизданной точки М на кривой LM провести касательную МТ.
Обозначив данные и переменные АР или 0/4 через х, РМ или AG через у, PN через «, GQ через z, площадь EGQF через s, площади APND
Анализ бесконечно малых
119
через t и данные подкасательные PH через a, GK через Ь, получим, что Рр или NS или МР — dx, Gg или Рт или OQ =—dy;Sn =—du = ^-~ из подобия треугольников НРН и NStv, Oq — dz — ~ — ~Ь~ ’ NPpn=dt=udxn QGgq — ds——zdy; при этом надо иметь в виду, что величины Рт и Sn отрицательны, потому что РМ (у) и PN (и) убывают при возрастании АР (х). После этого надо взять диференциал данного уравнения и подставить в этот диференциал вместо dt, ds, du и dz их значения
,	, udx zdy
и dx, — z dy,----— ,-------, что дает новое уравне-
ние, которое и выразит искомое отношение между dy и dx или МР и РТ.
, Пример 1.
38.	Пусть s 4- zz — t -f- «х; продиференцировав, получим:
ds 4- 2zdz — dt -ф- и dx + x du\
подставив вместо ds, dt, dz, du их значения, найдем:
~zdy_^ = 2udx-l^-, b	a ’
откуда
DT (	__^ayzz + uybz
\ dy ) bax — tabu
120
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Пример II.
39.	Пусть s — t, значит ds — dt, т. е. — zdy — u dx-, следовательно,
рр (У _________УЕ.
\ dy ) и '
Так как эта величина — отрицательная, то ($ 10) точку Т надо взять со стороны, противоположной точке А, началу х-ов. Если предположить, что линия FQ—: гипербола, имеющая асимптотами прямые АС и АЕ, так что GQ (z) = и что линия BND есть прямая, параллельная АВ, причем PN(u) всегда равна данной прямой с, то ясно, что кривая LM имеет асимптотой прямую АВ и что подкасательная РТ (	— — с, т. е. остается всюду
одинаковой.
Кривая LM называется в этом случае логариф-микой е1).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ XIII.
Задача.
40.	Пусть некоторые две линии BN и FQ (черт. 27), имеют- общей осью прямую В А, на которой отмечены две фиксированные точки А и Е. Пусть третья кривая линия LM такова, что если через какую-либо из ее точек М провести прямую AN, описать из центра А дугу круга MG и провести GQ параллельно ЕЕ, которая перпендикулярна АВ, то соотношение между площадями EGQF (s), ABN (t) и прямыми AM или AG (у), AN (z), GQ (u) выражается некоторым уравнением. Требуется из данной точки М на кривой ЕМ провести касательную МТ,
Анализ бесконечно малых	121
Проведя прямую АТН перпендикулярно AMN, представим себе другую прямую Апгп, бесконечно близкую к AMN, другую дугу mg и другой перпендикуляр gq и опишем из центра А малую дугу NS. Обозначив данные подкасательные АН через a, GK через Ь, получим, что Rm или Gg=dy, Sn — dz.
Из подобия треугольников HAN и NSn, KGQ и QOq будет также следовать, что
SN= a^-,0q = — du = GQqg=—ds^udy,
ANn или AN X ~2~ NS — — dt—-^- adz.
Подставив все эти значения в диференциал данного уравнения, образуем новое уравнение, выражающее dz
122
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
через dy. А из подобия секторов и треугольников ANS и AMR, tnRM и МАТ найдем:
ДМ (г). AM (у) ::NS (^\.mR = ^.
Далее
mR^.RM^y.-. АМ(у).АТ =
Если в эту формулу подставить вместо dz его выражение через dy, диференциалы сократятся и величина искомой подкасательной АТ выразится через вполне известные члены. Что и требовалось найти.
Пример I.
41.	Пусть иу — s — zz — t; диференциал эгого есть ийу — ds = 2zdz — dt, что дает (после подстановки):
,  4bu dy — luy dy aZ~~ 4bz -\-ab~ ' „	ayy dz
Подставляя это значение в 	. , найдем, что
zz dy ’	’
. ___4а buyy — 1а иу3
4bz3 + abzz
Пример II.
42.	Пусть s = 2^; значит ds = 2dt, т. е. — udy^ = —adz, или dz = ^-^. Следовательно, а
д т lay у dz\ _ иуу
\ zzdy J z^
Анализ бесконечно малых	123
Если линия BN есть круг с центром в точке А, имеющий радиусом прямую АВ —AN—с, и FQ есть такая гипербола, что GQ (и) = то ясно, что кривая LM, прежде чем достигнет центра А, сделает вокруг него бесконечное множество оборотов (так как площадь FEGQ становится бесконечной, когда точка G попадает в Л) и что АТ —	. Отсюда
'	сс
видно, что отношение AM к АТ постоянно, следовательно, угол АМТ везде один и тот же.
Кривая LM называется в этом случае логарифмической спиралью 02).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ XIV.
Задача.
43.	Пусть в одной, и той же плоскости имеются некоторые две кривые AMD и ВМС (черт. 28), которые соприкасаются в точке М, и пусть в плоскости кривой ВМС имеется фиксированная точка L. Если предположить, что кривая ВМС катится по кривой AMD, непрерывно к ней прилегая, так что прокатившиеся части AM и ВМ всегда между собой равны, то очевидно, что точка L, которая будет перемещаться вместе с плоскостью кривой ВМС, опишет при этом движении некоторую рулетту 63) ILK. Я утверждаю, что если при всяком положении кривой ВМС провести (из описывающей точки L в точку касания М) прямую LM, то эта прямая будет перпендикулярна к кривой ILK,
Действительно, представим себе на обеих кривых АМ£) и ВМС две равных между собой бесконечно
124
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
малых части Мт и Мт\ их можно рассматривать (§3) как две малых прямых, образующих в М бесконечно малый угол. А для того чтобы Мт, малая сторона кри-вой или многоугольника ВМС, с попадала на Мт — малую сто-g / \	/ рону многоугольника AMD,
\ "х	надо, чтобы точка L описывала
I	я л
вокруг точки касания М как центра малую дугу Ы. Но оче-Черт. 28.
'	видно, что эта малая дуга будет
частью кривой ILK, и следовательно, прямая ML, перпендикулярная к ней, будет перпендикулярна и к кривой ILK в точке L. Что и требовалось доказать.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ XV.
Задача.
44.	Пусть MLN — какой-либо прямолинейный угол (черт. 29), стороны которого LM и LN касаются некоторых двух кривых AM и BN. Если заставить стороны угла скользить по этим кривым так, чтобы они их непрерывно касались, то ясно, что вершина L опишет при этом движении кривую ILK. Требуется, зная расположение угла MLN, провести перпендикуляр LC к этой кривой.
Опишем круг, проходящий через вершину L и точки касания М и К, и проведем через его центр С прямую CL. Я утверждаю, что она будет перпендикулярна к кривой ILK.
Действительно, станем рассматривать кривые AM ц J3N как многоугольники с бесчисленным мнодее-
Анализ бесконечно малых
125
ством сторон вроде Мт и Nn. Очевидно, что если заставить LM и LN, стороны прямолинейного угла MLN, который предполагается неизменным,
скользить вокруг фиксированных точек 51 и А (касательные LM и LN рассматриваются как продолжение малых сторон Mf и Ng} до тех пор, пока сторона угла LM не совпадет с малой стороной Мт многоугольника AM и другая сторона его LN не совпадет
с малой стороной Nn многоугольника BN, то вершина L опишет LI, малую часть дуги круга MLN, так
как по построению эта дуга охватывает данный угол MLN. Эта малая часть LI будет также принадлежать кривой ILK, а следовательно, перпендикулярная к ней прямая CL будет перпендикулярной также и к этой кривой в точке L. Что и требовалось доказать.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ XVI.
Задача.
45,	Пусть к Совершенно гибкой веревке ABCD (черт. 30), привязаны различные грузы А, В, С и т. д. на произвольных друг от друга расстояниях АВ, ВС и т. д. Если тянуть эту веревку за ее конец D по горизонтальной плоскости вдоль данной кривой DP, то ясно, Что эти грузы расположатся так, чтобы натянуть веревку,
126
Г. Ф. де-ЛопитаЛЬ
а затем опишут кривые AM, BN, СО и т. д. Спрашивается, как провести касательные, зная расположение веревки ABCD и величины грузов.
В первый момент, когда конец D подвигается по направлению к Р, [три] груза А, В, С описывают или стремятся описать
г-/
Черт. 30.
столько же малых сторон Аа, ВЬ, Сс многоугольников, составляющих кривые AM, BN, СО. Следовательно, чтобы провести касательные АВ, ВО и СК, достаточно определить направление грузов А, В, С в этот первый момент, т. е. положение прямых, которые они стремятся описать. Для нахождения их я замечу следующее:
1° Груз А тянется в этот первый момент в направлении АВ, и так как никакое препятствие не противодействует этому направлению, ибо груз А не тянет за собой никакого другого по нему и последует. Следова-АВ будет касательной к кривой AM
груза, то он тельно, прямая в точке А.
2° Груз В тянется в направлении ВС. Но так как он тянет за собой груз А, который движется не в этом направлении и, следовательно, должен несколько изменить направление груза В, то груз В будет двигаться не в направлении ВС, а в направлении
Анализ бесконечно Малых
127
другой прямой BG, которую и надо найти. Это я осуществляю таким образом.
На ВС как на диагонали я описываю прямоуголь. ник EF, сторона которого BF находится на продолжении АВ. Если предположить, что сила, которая тянет груз В по ВС, выражается [отрезком] ВС, то на основании правил механики очевидно, что эту силу ВС можно разложить на две другие: BE и BF', другими словами, если сила ВС тянет груз В в направлении ВС, то это то же самое, как если бы груз тянули одновременно сила BE в направлении BE и сила BF в направлении BF. Груз А не противодействует направлению BE, так как он к нему перпендикулярен, и следовательно,' сила BE в этом направлении сохраняется целиком; но груз А противодействует всей своей тяжестью направлению BF. Следовательно, для того чтобы груз В вместе с силой BF преодолел сопротивление груза А, надо, чтобы эта сила распределилась между грузами пропорционально их массам или величинам. Поэтому если разделить ЕС точкой G так, чтобы CG относилось к GE, как вес А к грузу В, то ясно, что EG будет выражать оставшуюся силу, с которой груз В, преодолев сопротивление груза А, стремится двигаться по направлению BF. Поэтому очевидно, что груз В тянут одновременно сила BE в направлении BE и сила EG в направлении BF или ЕС, и следовательно, он будет стремиться двигаться по BG с силой BG, т. е. ВО будет служить направлением его
128	Г. Ф. де-ЛопиТаль
[движения] и, следовательно, касательной к кривой BN в точке В.
3° Чтобы получить касательную СК, я строю на CD как на диагонали прямоугольник HI, сторона которого CI лежит на продолжении ВС, и замечаю, что груз В не противодействует силе СН, которая тянет груз С по направлению СН, но противодействует силе CI, которая тянет его в направлении СГ, кроме того и груз А также противодействует этой силе. Чтобы узнать величину этого противодействия, я провожу AL перпендикулярно к СВ, продолженной в сторону В, и замечаю, что если АВ выражает силу, с которой груз А тянет в направлении АВ, то BL выразит силу, с которой тот же груз А тянет в направлении ВС. Таким образом груз С вместе с силой CI должен преодолеть весь груз В и вдобавок часть груза А, которая относится к грузу А, как BL к ВА или как BF к ВС. Значит, если поло-
п , AXBF ^rz rzr,
жить, что д-|- де  С .'.DK-KH, то ясно, что СК будет служить направлением [движения] груза С и, следовательно, касательной к третьей кривой СО в точке С.
Если бы число кривых было больше, то тем же способом можно было бы найти касательные к четвертой кривой, к пятой и т, д. Если угодно получить касательные к кривым, которые описываются точками, находящимися между грузами, то их можно найти согласно § 36.
ГЛАВА HI
ПРИМЕНЕНИЕ
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К НАХОЖДЕНИЮ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ОРДИНАТ, К КОТОРОМУ ПРИВОДЯТСЯ ВОПРОСЫ DE MAXIMIS ЕТ MINIMIS
Определение I.
ПУСТЬ кривая линия MDM (черт. 31, 32, 33, 34), ординаты которой РМ, ED, РМ параллельны между собой, такова, что при непрерывном возрастании абсциссы АР ордината РМ либо тоже возрастает до некоторой точки Е, после которой она убывает, либо же, наоборот, убывает до некоторой точки Е после которой она возрастает.
При таких условиях линия ED будет называться наибольшей или наименьшей ординатой.
9 Зак. 2051. — Лопиталь.
130
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Определение II.
Допустим, что имеется величина, подобная РМ, составленная из одной или нескольких неопределенных величин, подобных АР, причем при непрерывном возрастании АР эта величина РМ тоже возрастает до некоторой точки Е, после которой она убывает, или наоборот. Пусть требуется найти для АР такую величину АЕ, при которой составленная из нее величина ED была бы больше или меньше всякой другой величины РМ, подобным же образом составленной из АР. Это и называется вопросом De maxi-mis et minimis.
ОБЩЕЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ.
46.	Природа кривой MDM известна, требуется найти для АР такое значение АЕ, чтобы ордината ED была наибольшей или наименьшей из числа подобных ей РМ.
Черт. 31.	Черт. 32.
Если РМ при возрастании АР тоже возрастает, то очевидно ($ 8, 10), что диференциал Rm положителен по сравнению с диференциалом АР\ наоборот, если РМ убывает при возрастании абсциссы АР, то ее диференциал будет отрицательным. Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не
Анализ бесконечно малых
131
Может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или через нуль, а именно: через нуль — когда она сначала убывает, и через бесконечность — когда она сначала возрастает. Отсюда следует, что диференциал наибольшей или наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности. Итак, поскольку природа кривой MDM известна, то надо найти (гл. 1 или 2) величину приравнивание которой сначала нулю, а потом бесконечности послужит для нахождения искомой величины АЕ при обоих этих предположениях 64).
Замечание.
47.	Касательная в D (черт. 30, 31) параллельна оси АВ, когда диференциал Rm в этой точке обращается в нуль; когда же он становится бесконечным,
касательная совпадает с ординатой ED (черт. 33, 34). Отсюда видно, что отношение mR к RM, выражающее отношение ординаты к подкасательной, в точке/) равно нулю или бесконечности.
Легко понять, что непрерывно убывающая величина не может стать из положительной отрицатель
9*
132
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
ной, не проходя через нуль; но не так очевидно, что при возрастании она должна пройти через бесконечность. Представим себе в помощь воображению касательные в точках М, D, М (черт. 30, 31); ясно, что у кривых, у которых касательная в D параллельна оси АВ, подкасательная РТ непрерывно возрастает по мере того, как точки М и Р приближаются к точкам D и Е, и она становится бесконечной, когда точка М попадает в D, а когда наконец АР превосходит АЕ, подкасательная РТ становится из положительной, какой она была прежде,— отрицательной, или наоборот.
Пример I.
48.	Предположим, что природа кривой MDM (черт. 35) выражается уравнением:
ypу* аху (АР=х, РМ=>у, АВ = а).
Черт. 35.
Диференцйруя, получим: Зхх dx -ф- Зуу dy =* = axdyA-aydx
j _ ay dx — 3xx dx
аУ = 3yy — ax =
когда точка P попадает в искомую точку Е. Отсюда
Зхх
УтТ'
Анализ бесконечно малых	133
Подставляя эту величину вместо у в уравнение Хъ~\-уъ = аху, найдем для АЕ значение:
2,
при котором ордината ED будет наибольшей из всех ей подобных РМ в5).
Пример II.
49.	Пусть уравнение, выражающее природу кривой 1 _______________________________________
MDM (черт. 33), есть: у — а —а3 Ха— Xs. Ди-ференцируя, я получу
,	Idx а
dy=------,
Зу а~ х
что я приравниваю сначала нулю; но так как это предположение дает мне
— 2dx ]/а = 0,
откуда узнать значение АЕ невозможно, то затем я — idxl/а а
приравниваю — бесконечности, что дает мне 3]/а — х
X = О,
откуда х = а. Это и есть искомое значение АЕ.
Пример III.
50.	Пусть AMF (черт. 36) — укороченная полуциклоида, основание которой BF меньше ANB, полуокружности образующего круга, центром которого
134
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
является точка С. Требуется на диаметре АВ определить точку Е, в которой ордината ED возможно
наибольшая.
Проведя произвольную ординату РМ, пересекаю-
щую полукруг в
Черт. 36.
N, образуем, как обычно, при точках М и Р малые треугольники MRm и NSn и, обозначив неопределенные АР через х, PN через z, дугу AN через и, а данные ANB через a, BF через b, С А или CN через с, получим из свойства циклоиды:
ANB(a).BF(b) : AN(«) . NM = —
Значит
pM — z-\-~, 1 а ’
а ее диференциал г, adz-Fbdu _
Rm =-----2----— О,
когда точка Р попадает в искомую точку Е. Но прямоугольные треугольники NSn и NPC подобны, так как если от прямых углов CNn и PNS отнять общий им угол CNS, то остающиеся [углы] SNn и PNC будут равны. Следовательно,
CN(с) . СР(с — х):: Nn (du). Sn(dz) = c.daC--xdu .
Подставляя это значение вместо dz в a dz -[- b dll = О, найдем. ас — ах du-\- 1,сdu _______
с	’
Ьс откуда х (который в этом случае будет АЕ) — с-|---.
Анализ бесконечно малых
135
Поэтому очевидно, что если в сторону В отложить СЕ, равное четвертой пропорциональной к полуокружности ANB, основанию BF и радиусу СВ, то точка Е и будет искомой.
Пример IV.
51.	Разделить данную линию АВ (черт. 35) в точке Е так, чтобы произведение квадрата одной из ее частей АЕ на другую часть ЕВ было наибольшим из всех аналогичных произведений.
Обозначив неизвестную АЕ через х и данную АВ через а, будем иметь:
АЕ1 X ЕВ — ахх — х3,
что и должно быть наибольшим. Поэтому надо себе представить такую кривую линию MDM, у которой соотношение между ординатой МР(у) и абсциссой АР(х) выражается уравнением:
аа '
и отыскать такую точку Е, что ордината ED будет наибольшей из всех ей подобных РМ. Это дает:
, Чах dx — Зхх dx п
-----Та-----= °>
откуда	9
АЕ (х) = 4 а. О
Если угодно, чтобы наибольшим было вообще
т -------п
х %а— х
136
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
(т и п могут обозначать любые числа), то надо, чтобы диференциал этого произведения был равен нулю или бесконечности. Это дает:
т—1 ,	----п -------n—1	т _
тх	dx\a — х —па—х ахХ% = 0,
т—1	------,г—1
откуда, деля на х Ха — х ах, получим: ат — тх — пх = О
и
АЕ(х) = -^-а. т -f- п
При т = 2 и п~ — 1 будем иметь АЕ = 2а.
Задача в этом случае формулируется так:
Продолжить данную линию АВ (черт. 37) в сто-
АЁ2 рону В до точки Е так, чтобы величина была
DE
наименьшей, а не наибольшей. Действительно, урав-
жить в нем х = а, ордината РМ, которая обратится в ВС, будет ~, т. е. бесконечно велика, а если положить х бесконечно большим, то будет у = х, т, е. ордината будет тоже бесконечно большой,
Анализ бесконечно малых
137
При /и = 1 и п — — 2 будем иметь АЕ = — а, откуда следует, что задачу нужно формулировать таким образом:
Продолжить данную прямую АВ (черт. 38) в сто-
АЕ X AS2 рону А до точки Е так, чтобы величина ——-
W	......	«V.... ....... 
BE2 была наибольшей из всех ей подобных величин:
АР ХАВ2
Пример V.
52.	Прямая линия АВ (черт. 39) разделена на три части АС, CF, FB. Требуется разделить ее среднюю часть CF в точке Е так, чтобы отношение прямоугольника АЕ X ЕВ к прямоугольнику СЕ X EF было наименьшим из всех отно-	
шений, полученных тем же спо-	о Х\
собой.
Обозначив данные АС через a, CF через Ь, СВ через с, а
р С Р
Черт. 39.
неизвестную СЕ через х, бу-
дем иметь АЕ—а-+-х, ЕВ = с — х, EF — b— х. Следовательно, отношение АЕ X ЕВ к СЕ XEF будет
ас сх — ах~ хх
Ъх — хх
и оно-то должно быть наименьшим. Поэтому, если
138
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
представить себе кривую линию MDM, у которой соотношение между ординатой РМ (у) и абсциссой СР (х) выражается уравнением:
аас-\-асх — аах — ахх У	Ьх — хх ’
то вопрос сведется к нахождению для х такого значения СЕ, чтобы ордината ED была наименьшей из всех ей подобных РМ. При этом (после диференциро-вания и затем деления на a dx) получается уравнение схх — ахх — bxx -f- 2асх — abc = О, один из корней которого дает решение задачи.
Если с — а-\-Ь, то х — -^Ь.
Пример VI.
53.	Среди всех конусов, которые могут быть вписаны в шар, определить конус с наибольшей боко-
вой поверхностью.
Вопрос сводится к определению на диаметре АВ
Черт. 40.
полукруга AFB (черт. 40) такой точки Е, что если провести перпендикуляр EF и соединить А с F, то прямоугольник AF'/.FE будет наибольшим из всех аналогичных ему AN X X NP. Действительно, если представить себе, что полукруг
AFB сделает полный оборот вокруг диаметра АВ, то
ясно, что он при этом образует шар, а прямоуголь
Анализ бесконечно малых	139
ные треугольники AEF и APN образуют конусы, вписанные в этот шар, боковые поверхности которых, образованные хордами AF и AN, будут относиться между собой, как прямоугольники AF X FE и AN X NP.
Итак, пусть неизвестная АЕ = х, а данная АВ = а. По свойству круга AF — Y их, EF = = ]Aix — хх, и, следовательно, AF X FE, которое должно быть наибольшим, равно ]/аахх— ах3. Поэтому надо представить себе такую кривую линию MDM, у которой соотношение между ординатой РМ (у/) и абсциссой АР (х) выражается уравнением:
V аа хх — ах3
и отыскать такую точку £, что ордината ED есть наибольшая из всех ей подобных РМ. 
Диференцируя, получим:
laxdx — Зхх dx —г ........ ——О,
2 у аахх — ах3
откуда
О
Пример VII.
54. Требуется среди всех параллелепипедов, равновеликих данному кубу а3 и имеющих одним из ребер данную прямую Ь, найти параллелепипед с наименьшей поверхностью,
140
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Если обозначить через х одно из двух искомых ребер, то другое будет -у, и сумма площадей трех различных граней, построенных на ребрах параллеле-» й3 пипеда Ь, х, -г—, а именно ’ ’ Ьх ’
,	. л3 I «3
будет половиной его поверхности, которая и должна быть наименьшей. Поэтому, образуя, как обычно, кривую линию с уравнением
Ьх . аа । аа
посредством диференцирования найдем b dx aadx g а хх	’
cfi	Г (ft
откуда хх = -g- и х = т/ -у. Таким образом ребрами параллелепипеда, удовлетворяющего условиям, будут: первым о, вторым т/ -у и третьим т/ -у. Отсюда видно, что оба искомых ребра равны между собой.
Пример VIII.
55. Теперь требуется среди всех параллелепипедов, равновеликих данному кубу о8, найти параллелепипед с наименьшей поверхностью.
Из предыдущего примера ясно, что если обозначить одно из неизвестных ребер через х, то каждое
Анализ бесконечно малых
141
х	/*«3
из остальных будет т/ —; следовательно, сумма трех различных граней параллелепипеда, равная половине его поверхности, будет:
*-“ + 2/я3*-
Это выражение и должно быть наименьшим. Поэтому его диференциал
a? dx . a3 dx _ хГ' Уа3х~ ’
откуда х = а. Следовательно, каждое из двух других ребер также =. а. Таким образом условиям удовлетворяет сам данный куб.
Пример IX.
56.	На плоскости и F и линия АЕВ которой проведены две прямые СР («) и PF (г). Пусть дана некоторая величина, составленная из этих неопределенных и и z и каких угодно других данных прямых а, Ь и т. д. Спраши-
даны две фиксированных точки С (черт. 41), к какой-либо точке ь
вается, каково должно быто положение прямых СЕ
и EF, чтобы данная составленная из них величина
142
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
была наибольшей или наименьшей из аналогичных ей величин, составленных из прямых СР и PF.
Предположим, что линии СЕ и EF имеют требуемое положение, и, соединив С с F, представим себе такую кривую линию DM, что если опустить на CF произвольный перпендикуляр PQM, то ордината QM будет выражать данную величину. Ясно, что, когда точка Р попадет в точку Е, ордината QM, которая обращается в OD, должна стать наименьшей или наибольшей из всех ей подобных. Значит диференциал ее должен быть равен нулю или бесконечности. Поэтому если, например, данная величина есть аи -ф- zz, -то будем иметь:
a du 2г dz = О и, следовательно,
du . -—dz :: 2г . а.
Отсюда уже видно, что dz должно быть отрицательным по отношению к du, т. е. положение прямых СЕ и EF должно быть т5ким, чтобы г убывало при возрастании и.
Если теперь провести EG, перпендикуляр к линии АЕВ, и из какой-нибудь его точки G опустить перпендикуляры QL и GI на СЕ и EF и, проведя через точку е, взятую бесконечно близко к Е, прямые СКе и FeH, описать из центров С и F малые круговые дуги ЕК и ЕН, то образуются прямоугольные треугольники ELG и EKe, EIG и ЕНе, подобные между собой. Действительно, если отнять от пря
Анализ ёеОконйчно мллык
143
мых углов GEe и LEK один и тот же угол LEe, то оставшиеся LEG и КЕе будут равны; так же можно доказать, что равны углы IEG и НЕе. Итак,
GL .GI :: Ke (du). Не( — dz) :: 2г. а.
Отсюда следует, что положение прямых СЕ й EF должно быть таким, что если опустить перпендикуляр EG на линию АЕВ, то синус GL угла GEC будет относиться к синусу GI угла GEF, как коэфи-циент при dz к коэфициенту при du. Что и следовало найти 67).
Следствие.
57.	Допустим теперь, что отрезок СЕ задан по величине и положению, а отрезок EF — только по величине, и пусть требуется найти его положение. Ясно, что при данном угле GEC и его синус GL известен, а следовательно, известен и синус GI иско* мого угла GEF. Значит, если на диаметре EG построить круг и из точки G провести отрезок G1 до точки I на окружности, то прямая EF, проходящая через точку /, будет иметь требуемое направление.
Пусть an + bz — данная величина; мы найдем тогда, что GI = а . Отсюда видно, что положение EF будет всегда одинаковым, какой бы величины ни задать ЕС и EF, так как обе они не входят в значение G1, которое поэтому и не изменяется. Если а = Ь, то ясно, что EF совпадает с продолжением СЕ в сторону Е, так как GL = GI, когда
144
Г. Ф. де-ЛопиталЬ
точки С и F оказываются по разным сторонам линий АЕВ-, когда же они оказываются по одну ее сторону, то угол FEG (черт. 42) надо взять равным углу CEG.
Пример X.
58.	Круг АЕВ (черт. 42) задан по положению, и даны две точки С и F вне его. Найти на его окружности такую точку Е, чтобы сумма прямых СЕ и EF
была возможно наименьшей.
Предположим, что точка Е есть искомая точка, и проведем из центра О линию OEG', ясно, что она будет перпендикулярна к окружности АЕВ, и следовательно (§ 57), углы FEG и CEG
О
Черт. 42.
будут между собой равны. Значит, если провести ЕН так, чтобы угол ЕНО был равен углу СЕО, а также ЕК так, чтобы угол ЕКО был равен углу FEO, и провести также ED и EL, параллельные OF и ОС, то образуются подобные треугольники ОСЕ и ОЕН, OFE и ОЕК, HDE и KLE. Обозначив известные ОЕ или ОА или ОВ через а, ОС через b, OF через с, а неизвестные OD или LE через х, DE или OL через у, получим:
ОН=^~, ОК=~
HD(х-^-) . DE(у) ..КЬ(у~~). LE(x).
Анализ бесконечно малых
145
Значит
аах	аау
хх-----—г
это — уравнение гиперболы, которую легко построить и которая пересекает круг в искомой точке Ее8).
Пример XI.
59.	Путешественник, который отправляется из
пункта С (черт. 43) в пункт F, должен пересечь две
местности, разделенные прямой линией АЕВ. Предполагается, что в местности со стороны С он в течение времени с проходит пространство а, а в другой местности, со стороны F, в течение того же времени с он проходит пространство Ь. Спрашивается: через какую точку Е на прямой АЕВ он должен
пройти, чтобы
затратить возможно меньше времени на переход из С в F. Если взять
а. СЕ («) :: с .— и b. EF (z) :: с ,
си е
то ясно, что —- будет выражать время, которое путешественник тратит на прохождение прямой СЕ, а -у —время, которое он тратит на прохождение EF, так что — 4--^- должно быть наименьшим.
а 1 о
Ю Зак. 2051. — Лопиталь.
146
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Отсюда следует (§ 56), что если провести EG перпендикулярно к линии АВ, то синус угла GEC должен относиться к синусу угла GEF, как а к Ь.
Итак, если из искомой точки Е как из центра описать радиусом ЕС круг СОН и опустить на прямую АЕВ перпендикуляры С A, HD и FB, а на СЕ и EF—перпендикуляры GL и GI, то получится:
а. b:: GL. GI.
Но GL—AE и GI— ED, потому что, как легко доказать, прямоугольные треугольники GEL и ЕСА, GEI и EHD попарно конгруэнтны 69). Поэтому, обозначив неизвестную АЕ через х, найдем:
а обозначив известные АВ через f, АС через g, BF через h, из подобия треугольников EBF и EDH получим:
EBtf-x). BF(h):: ED (£). DH= .
Но из прямоугольных треугольников EDH и ЕАС, имеющих равные гипотенузы EF1 и ЕС, получим:
ED2 4- W = ~ЁА2 + АС2,
т, е. аналитически
bbxx ,______bbhhxx _	,
аа ' aaff— 2aafx 4- аахх хх i
Анализ бесконечно малых	147
Таким образом после освобождения от знаменателей и приведения подобных членов окажется 70):
аах^— 2aafx^ 4~ aaffxx—2aafggx-\- aaffgg= О
—b b -j- 2М/ aagg
-bbff
— bbhh
Это же уравнение можно найти еще следующим способом, не прибегая к примеру IX.
Обозначив, как и прежде, известные АВ через /, АС через g, BF через h, а неизвестную АЕ через х, составим а. СЕ (]/gg-\-xx):: с.	== времени,
которое тратит путешественник на прохождение СЕ. Точно так же b • EF {V ff—2fx-\-xx-{-hh) :: с.
ЗУ* ±	. = времени, которое путеше-
b
ственник тратит на прохождение прямой EF. Это дает, что выражение £-^+<£. i сУff-Vx + xx + hh _ а	b
наименьшему, и, следовательно, его диференциал cxdx	cxdx — cfdx _
аУgg+xx ЬУ ff — 2fx -{-xx+hh °’
Отсюда, деля на с dx и освобождаясь от иррациональностей 71), получим то же уравнение, что и раньше. Один йз его корней дает для АЕ искомое значение)7‘<
10*
148
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Пример XII.
60. Пусть блок F (черт. 44) свободно висит на конце веревки CF, привязанной в С, а груз D висит на веревке DFB, проходящей по блоку F и с и е л _______________________в привязанной в В,
%. V Г I	причем точки С и
\ : /	В находятся иа
одной горизонтали СВ. Спрашивается, ./К-'	в каком положении
В	должен остановить-
Ji	ся груз D или
(в\	блок F, если пред-
полагать, что блок
Черт. 44.
и веревки невесомы.
Из принципов механики видно, что груз D опустится как можно ниже под горизонталью СВ, откуда следует, что линия до груза DFE должна быть наи-большей. Поэтому, обозначив данные CF через а, DFB через Ь, СВ через с, а неизвестную СЕ через х, получим:
EF =Уаа — хх,
FB=^y аа-}-сс — 2сх
и
DFE = b—У аа-\-сС'—2сх -\~Уаа — хх.
Анализ бесконечно малых	149
Это последнее выражение и должно быть наибольшим, и следовательно, его диференциал
с dx	xdx
....... '=--------......= О, у aa-j-cc — 2сх у аа — хх
откуда
2cxs — 2ссхх — аахх	аасс = 0;
деля на х — с, получим:
2схх—аах — аас — 0.
Один из корней этого уравнения дает для СЕ такое значение, при котором перпендикуляр ED проходит через блок F и груз D, когда они находятся в покое.
Этот же вопрос можно разрешить еще и следующим образом.
Обозначив EF через у, BF через z, будем иметь, что b—z у = наибольшему, и следовательно, dy = dz. Ясно, что блок F описывает вокруг точки С как центра круг CFA. Следовательно, если из точки f, взятой бесконечно близко к F, провести //? параллельно СВ и fS перпендикулярно BF, то получится:
Л7? = dy и FS= dz.
Значит они будут равны между собой, и следовательно, малые прямоугольные треугольники FRf и FSf, имеющие кроме того общую гипотенузу Ff, будут конгруэнтны. Отсюда видно, что угол RFf
150
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
равен углу SFf, т. е. точка F должна быть расположена на окружности FA так, чтобы углы, образуемые прямыми EF и FB с касательными в F, были равны между собой или же (что сводится к тому же) чтобы были равны углы BFC и DFC.
Итак, если провести FH так, чтобы угол FHC был равен углу CFB или CFD, то треугольники CBF и CFH будут подобны так же, как и прямоугольные треугольники ECF и EFH, ибо углы CFE и FHE равны как дополняющие до двух прямых равные углы FHC и CFD. Следовательно, СН=а-~ и НЕ (х — EF (y)::EF(y) ,ЕС(х).
Значит аах хх-----------------с~ — ал — хх,
согласно свойству круга, откуда получается то же уравнение, что и прежде ,6).
Пример XIII.
61. Дана высота полюса; найти сутки с самыми короткими сумерками.
Пусть С (черт. 45) — центр сферы; APTOBHQ — меридиан; HDdO — горизонт; QEeT — суточный круг, параллельный горизонту; AMNB — экдатор; FEDG — часть параллели экватору, заключенная между плоскостями горизонта и суточного круга и проходимая солнцем в сутки с самыми короткими сумерками;
Анализ бесконечно малых
151
Черт. 45.
синусов с/ или ГЬ ИЛИ Ц/А и СК дуги склонения солнца ЕМ.
р— южный полюс; РЕМ и PDN—четверти кругов склонения. HQ или ОТ—дуга меридиана, заключенная между горизонтом и суточным кругом, и ОР — дуга высоты полюса — даны; даны, следовательно, и линии их OV. Ищется синус или DN, когда со-лице описывает параллель ED.
Представим себе другую часть параллели экватору fedg, бесконечно близкую к FEDG и четверти круга Рет и Pdn. Ясно, что раз время, которое затрачивается солнцем на прохождение дуги
ED, должно быть наименьшим, то диференциал измеряющей его дуги MN, которая обращается в тп, когда ED обращается в ed, должен быть равен нулю. Отсюда следует, что малые дуги Мт и Nn, а значит и малые дуги Ре и Sd, равны между собой. А так как дуги РЕ и SD, заключенные между одними и теми же параллелями ED и ed, тоже равны, то углы при S и Р — прямые. Значит малые прямоугольные треугольники ЕРе и DSd (которые ввиду бесконечной малости их сторон можно (§ 3) рассматривать как
152	Г. Ф. де-Лопиталь
прямолинейные) будут конгруэнтны, и следовательно, гипотенузы Ее и Dd будут тоже равны между собой.
Итак, прямые DG, EF, dg и ef, представляющие собой пересечения плоскостей FEDG и fedg, параллельных экватору, с горизонтом и суточным кругом, будут перпендикулярны к диаметрам НО и QT, так как плоскости всех этих кругов перпендикулярны к плоскости меридиана, а малые отрезки Gg и Ff будут равны между собой, так как прямые FG и fg параллельны. Значит jZDd2 — Gg или DG — dg~ — Ее?— Ff* или fe—FE. Из того же, что доказано в § 50, ясно, что если в полукруге провести две произвольных бесконечно близких ординаты, то малая дуга, заключенная между ними, относится к их разности, как радиус к абсциссе, проведенной из центра. Это здесь дает (из кругов HDO и QET)
СО. CG:: Dd или Ее. DG — dg или fe — FE:: :: IQ. IF-.: СО -f- IQ или OX.CG-^IF или GL.
Но из подобия- прямоугольных треугольников CVO, CKG, FLG следует:
CO.CG.-.OV.GK и
QK.GL-.-.CK-FL или QX.
Стало быть по свойству круга
OV.CK:: OX. XQ::XQ. ХН,
т. е. если взять QX за радиус или полный синус
Анализ бесконечно малых	153
в прямоугольном треугольнике QXH, в котором угол HQX равен 9 градусам, так как астрономы принимают за //Q дугу в 18 градусов, то получим, что синус высоты полюса относится к синусу южного склонения солнца в сутки с самыми короткими сумерками, как полный синус к тангенсу 9 градусов. Отсюда следует, что если отнять 0,8002875 от логарифма синуса высоты полюса, то остаток будет логарифмом искомого синуса. Что и требовалось найти 74).
ГЛАВА IV
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К НАХОЖДЕНИЮ ТОЧЕК ПЕРЕГИБА И ВОЗВРАТА
ТАК как в дальнейшем придется пользоваться вторыми, третьими и т. д. диференциалами, то необходимо дать о них понятие прежде чем итти дальше.
Определение I.
Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается диференциал перемен
Черт. 46. второй тр, и провести
ной величины, называется диференциалом диференциала этой величины или ее
вторым, диференциалом. Так, если представить себе третью ординату nq (черт. 46), бесконечно близкую ко mS параллельно АВ ч”тН
Анализ бесконечно малых
155
параллельно то Нп будет называться диферен-циалом диференцпала Rm или же вторым дифе-ренциалом РМ.
Если так же представить себе четвертую ординату of, бесконечно близкую к третьей, nq, и провести пТ параллельно АВ, a n.L параллельно ST, то разность малых прямых Нп и Lo будет называться дпференцпалом второго диференциала или же третьим диференцпалом РМ и т. д.«
Предупреждение.
В дальнейшем каждый диференциал будет отменен некоторым кислом букв d, указывающим его порядок или род. Например, второй диференциал, или диференциал второго порядка, будет отменен посредством dd; третий диференциал, или диференциал третьего порядка,— посредством ddd; нетвертый диференциал, или диференциал четвертого порядка, — посредством dddd и т. д.
Таким образом ddy будет выражать Нп, dddy — выражать Lo — Нп или Цп — Lo и т. д.
Что касается степеней этих диференциалов, то они будут отмечены цифрами, стоящими за ними сверху, как это обыкновенно делается при целых величинах. Например dy в квадрате или в кубе будет dy3 или dy3; ddy в квадрате или в кубе будет ddy2 или ddy3, для dddy — будет dddy3 или dddy3; для ddddy — будет ddddy3 или ddddy3 и т. д.
Следствие I.
62.	Если обозначить каждую из абсцисс АР, Ар, Aq, Af через х-, каждую из ординат РМ, рт, qn, fo через у, а каждый из отрезков кривой AM,
156
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Ат, Ап, Ао через и, то ясно, что dx будет выражать диференциалы абсцисс Рр, pq, qf; dy — ди-ференциалы ординат Rm, Sn, То; du — диференциалы отрезков кривой AMD, т. е. Мт, тп, ПО. Чтобы получить, например, второй диференциал Нп переменной РМ, надо представить себе на оси два малых отрезка Рр и pq, а на кривой — два других: Мт и тп, чтобы иметь два диференциала Rm и Sn; и, следовательно, если предположить малые отрезки Рр и pq равными между собой, то ясно, что dx будет постоянным относительно dy и du, потому что Рр, обращаясь в pq, остается неизменным, в то время как Rm, обращаясь в Sn, и М.т, обращаясь в тп, изменяются. Можно было бы предположить, что малые отрезки кривой Мт и тп равны между собой; тогда du оказалось бы постоянным относительно dx и dy; наконец при предположении, что Rm и Sn равны, dy будет постоянным относительно dx и du, и его диференциал Нп (ddtf) будет равняться нулю.
Точно так же, чтобы получить третий диференциал РМ или диференциал второго диференциала Нп, надо представить себе на оси три малых отрезка Рр, pq, qf, на кривой — три других Нт, тп, по и на ординатах еще три: Rm, Sn, То, и тогда dx или du или dy окажется постоянным в зависимости от того, какие малые отрезки: Рр, pq и qf или Мт, тп и по или Rm, Sn и То будут равны между собой. Таким же образом получаются четвертые, пятые и т. д. диференциалы.
Анализ бесконечно малых
157
Все это относится также и к кривым AMD (черт. 47), все ординаты которых ВМ, Вт, Вп выходят из одной фиксированной точки В. Чтобы получить, например, второй диференциал ВМ, надо представить себе две других орди-	п
наты Вт' и Вп, образующих бес-конечно малые углы МВт и тВп,	S
и описать из центра В малые кру-	////
говые дуги MR и mS\ разность	//'
малых прямых Rm и Sn будет вто- / рым диференциалом ВМ. Постоян- церт 47 ными можно считать малые дуги MR и mS или малые отрезки кривой Мт и тп или наконец маленькие прямые Rm и Sn. То же будет и для третьего, четвертого и т. д. диференциалов ординаты ВМ.
Замечание.
63.	Следует заметить, что:
1° Существуют бесконечно малые различных порядков; так, например, Rm (черт. 46) бесконечно мала по сравнению с РМ и бесконечно велика по сравнению с Нп\ точно так же площадь МРрт бесконечно мала по сравнению с площадью АРМ и бесконечно велика по сравнению с треугольником MRm.
2° Вся разность Pf все еще бесконечно мала по сравнению с АР, так как всякая величина, которая является суммой конечного числа таких величин, как Рр, pq, qf, бесконечно малых по сравнению с некоторой другой величиной АР, остается сама бес
158
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
конечно малой по сравнению с этой величиной, а чтобы она оказалась того же порядка, необходимо, чтобы число величин низшего порядка, из которых она состоит, было бесконечным.
Следствие II.
64.	Указанным образом можно найти вторые диференциалы при всевозможных предположениях.
1° Для кривых, ординаты которых mR, tlS параллельны между собой (черт. 48, 49), надо продолжить малую прямую Мт до Н, где она встречается
Черт. 48.
Черт. 49.
с ординатой Sn и, описав из центра т радиусом тп дугу nk, провести малые прямые nl, li, keg: первую параллельно mS, а две другие параллельно Sn. Если после этого угодно, чтобы dx было постоянным, т. е. чтобы MR было равно mS, то ясно, что треугольники mSH и MRm будут конгруэнтны и таким образом Нп будет ddy, т. е. разностью Rm и Sn, и Hk — ddu. Если предположить, что du постоянно, т. е. что Мт — тп или mk, то очевидно, что конгруэнтны будут треугольники mgk и MRm и таким образом kc = ddy и Sg или cn=*ddx. Если наконец принять постоянным dy, т. е. mR =а nS,
Анализ бесконечно малых
159
то будут конгруэнтны треугольники mil и MRm и, таким образом, IS или nl = ddx и lk — ddu.
2° Для кривых, ординаты которых ВМ, Вт и Вп выходят из одной и той же точки В ,(черт. 50, 51), надо описать из центра В дуги MR и mS и последние рассматривать ($ 3) как малые прямые, перпендикулярные к Вт и Вп. Затем, продолжив Мт до Е и описав из центра т радиусом тп малую дугу nkE, следует образовать угол ЕтН =
— тВп-, после того остается провести малые прямые nl, U и keg, первую — параллельно mS, а две другие параллельно Sn. Треугольник BSm, имеющий прямой угол при S, дает, что угол BmS^r- тВп или Ц- ЕтН равен прямому, следовательно, угол ВтЕ равен прямому SmH, а в качестве внешнего угла треугольника RMm он равен прямому MRm RMm. Значит угол SmH — RMm.
Из этого следует, что: 1° если угодно, чтобы постоянным был dx, т. е. чтобы были равны между собой малые дуги MR и mS, то треугольники SmH и RMm будут конгруэнтны и, таким образом, Hn—ddy
1во
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
и Hk — ddu‘, 2° если взять постоянным du, то конгруэнтны будут треугольники gtnk и RMtn, и kc будет выражать ddy, и 5^ или сп будут выражать ddx\ наконец, 3° если принять за постоянный dy, то конгруэнтными будут треугольники iml и RMm, и iS или ln = ddx, a lk = ddu.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ I.
Задача.
65.	Найти диференциал величины, составленной из каких-либо диференциалов.
Нужно принять какой-либо из диференциалов за постоянную и, обращаясь с остальными, как с переменными величинами, воспользоваться правилами, •указанными в первой главе.
у dy
Диференциалом , если принять dx за постоянную, будет:
dy2 -\-yddy dx ’
и, если принять dy за постоянную.
dx dy2 — у dy ddx dx2
Диференциалом +	( если принять dx за
постоянную, будет:
_________ . z dy ddy dx2±dy2 +	+	>
Анализ бесконечно малых	161
все — деленное на dx, т. е.:
dz dx2 -f- dz dy- -yz dy ddy dxY dx2-\-dy2	’
а если принять dy за постоянную, он будет:
dz dx Y dx2 + dy2 4—??х-	— z ddx Y dx2 4- dy2
Ydx2^dy2	>
все — деленное на dx2, т. e.:
dz dx2 + dz dx dy2 — z dy2 ddx
dx2Y dx‘-\-dy2
У dy Диференциал —у --—если принять dx за
У dx2 -f- dy2
постоянную, будет: ________________ r_________ у dy2 ddy
dy2 +yddy Y dx2 + dy2 - y~^~2 >
все — деленное на dx2Y-dy2, т. e.:
dx2dy2 4- <Zy4 + У dx2 ddy
dx2 4- dy2 Ydx2 4- dy2 ’
а если принять dy за постоянную, он будет:
dx2 dy2 4- dy^ — у dydx ddx
dx2 4- dy2 Ydx2 4- dy2 з
Диференциал +	+ или
— dx ddy	— dx ddy
если принять dx за постоянную, будет:
1	3
— Zdx dy ddy2 X dx2 4~ дфз 3 4- dx dddy X dx2 4- dy1 2 dx2 ddy2
Но следует заметить, что в последнем случае мы не имеем права принять dy за постоянную, так как
И Зак. 2051. — Лопиталь.
162
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
при этом предположении его диференциал ddy был бы нулем, и следовательно, не мог бы входить в предлагаемую величину.
Определение II.
Когда одна часть кривой линии AFK (черт. 52, 53, 54, 55) вогнута, а другая часть выпукла по отношению к прямой линии АВ или к фиксированной
точке В, то точка F, отделяющая вогнутую часть от выпуклой и, следовательно, являющаяся концом одной из них и началом другой, называется точкой перегиба, если кривая, дойдя до F, продолжает свой путь в том же направлении, и точкой возврата,— если она возвращается в сторону своего начала 75).
Анализ бесконечно малых	163
ПРЕДЛОЖЕНИЕ II.
Общая задача.
66. Природа кривой АРД известна. Определить точку перегиба или возврата Е.
Предположим сперва, что кривая линия AFK (черт. 52, 53) имеет диаметром прямую линию АВ и что все ее ординаты РМ, EF и т. д. параллельны между собой. Если через точку F провести ординату FE и касательную FL, а через какую-либо точку М на части AF—ординату МР и касательную МТ, то ясно, что:
1° У кривых, имеющих точку перегиба, при непрерывном возрастании абсциссы АРчасть диаметра АТ, заключенная между его пересечением с касательной и началом отсчета х, тоже возрастает до совпадения точки Р с Е, после чего она убывает. Отсюда видно, что АТ, соответствующая ординате в Р, должна быть наибольшей, AL, когда точка Р попадает в искомую точку Е.
2° У кривых, имеющих точку возврата, при непрерывном возрастании части АТ абсцисса АР тоже возрастает, пока точка Т не попадет в L, после чего она убывает. Отсюда видно, что АР, соответствующая АТ, должна стать наибольшей, АЕ, когда точка Т попадет в L.
Итак, обозначив АЕ через х, EF через у, будем иметь:
164
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
диференциал чего
dy- dx — у dx ddy dy*	dx
(dx предполагается постоянным), деленный на dx, диференциал АЕ, должен равняться (§ 47) нулю или бесконечности. Это дает, что
у ~	-
—~dy*~ = О или бесконечности,
а после умножения на dy2 и деления на —у получается, что
ddy — Q или бесконечности.
В дальнейшем это будет служить общей формулой для нахождения точек перегиба или возврата F. Действительно, зная природу кривой АРК, можно выразить величину dy через dx и, продиференцировав ее, предполагая dx постоянным, найти выражение величины ddy через dx\ Приравнивание этой величины сначала нулю, а затем бесконечности послужит при том или другом из этих предположений для нахождения такого значения АЕ, при котором ордината EF пересекает кривую АРК в точке перегиба или возврата F.
А, начало так, что
отсчета х, может быть расположено
л г	У dx
вместо
у dx dy х>
и что AL или АЕ вместо наибольшего окажется
Анализ бесконечно малых
165
наименьшим. Но так как выводы остаются преж
ними и не представляют никаких затруднений, то я
на этом останавливаться не буду. Надо заметить,
,,	*	t У dx
что AL никогда не может быть = х	потому
что, когда точка Т оказывается по другую сторону
от Р относительно А— начала отсчета х, величи-у dx	i. .	,
на согласно $ 10 будет отрицательной, а следо-
вательно, величина
у dx „
— будет положительной, так
что в этом случае опять
АЕ -\-EL или AL — x —	•
То же самое можно еще найти и другим способом. Ясно, что если принять dx за постоянную и предположить, что ордината у возрастает, то Sn (черт. 48, 49) будет меньше SH или Рт в вогнутой части и больше — в выпуклой. Отсюда видно, что у точки перегиба или возврата F величина Нп (ddy) должна из положительной стать отрицательной, и следовательно, в этой точке она должна быть либо нулем, либо бесконечностью 76).
Предположим, во-вторых, что ординатами кривой AFK (черт. 54, 55) являются прямые ВМ, BF, ВМ, выходящие все из одной точки В. Если провести произвольную ординату ВМ (черт. 56, 57) и касательную МТ, встречающую ВТ, перпендикулярную к ВМ, в точке Т и, взяв точку tn бесконечно близко
166
Г, Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
к М, провести ординату Вт, касательную mt, а также Bt— перпендикуляр к Вт, который встречает МТ в О, то очевидно (предполагая, что ордината ВМ возрастает, обращаясь в Вт), что Bt превосходит ВО в вогнутой части и, наоборот, она меньше ее в выпуклой части. Таким образом у точки перегиба или возврата В величина Ot должна из положительной стать отрицательной.
Если описать из центра В (черт. 56) малые круговые дуги MR и TH, то образуются подобные треугольники mRM, МВТ и TH О и малые подобные секторы BMR и ВТН. Поэтому, обозначив ВМ через у, MR через х, мы будем иметь:
mR (dy). RM(dx) ВМ (у) ,ВТ = у-£ ::
"У
.:MR(dx).TH^:-.TH^.HO = ^^).
Если продиференцировать ВТ > предполагая dx постоянным, то получится:
м RT	dxdy^-ydxddy
ot — О 1 ИЛИ lit =—	5
Анализ бесконечно малых
167
и, следовательно.
„„ । ut	dxi + dx dy2 ~ У dx ddy
OH--Ht или Ot —----------------------------
Отсюда, после умножения на dy2 и деления на dx, получается, что в точке перегиба или возврата р величина
dx2	dy2 —у ddy
равняется нулю или бесконечности. Поскольку природа линии Л/7Л’(черт. 54, 55) известна, величину dy можно выразить через dx, a ddy через dx2. Подстановка этих значений в
dx2 4- dy2 —у ddy
дает величину, приравнивание которой сначала нулю, а затем бесконечности послужит для нахождения такого значения BF, что круг, описанный радиусом BF из центра В, пересечет кривую AFK в точке перегиба или возврата F. Что и было предложено 78).
Чтобы найти то же самое еще другим способом, надо заметить, что в вогнутой части угол ВтЕ (черт. 50, 51) превосходит угол Втп, и наоборот, он меньше его в выпуклой части, следовательно, угол ВтЕ — Втп или Етп (черт. 50), т. е. измеряющая его дуга Еп у искомой точки F становится из положительной отрицательной. Если принять dx за постоянную, то подобные прямоугольные треугольники HmS и Hnk дадут:
Нт (du). mS (dx):: Нп (— ddy) .nk= — dxddy ,
168
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
причем следует отметить, что величина Нп отрицательна, так как Rm(dy), при возрастании Вт (у) убывает. Но из подобия секторов BmS и mEk получается, что
Вт (у). mS (dx):: тЕ (du). Ek =	.
Следовательно,
Ek-\-kn или En —
dx du2 — у dx ddy у du
Отсюда, после умножения на у du и деления на dx, следует, что у искомой точки F
du"2—у ddy или dx‘2-\-dy'i—у ddy из положительного становится отрицательным (см. черт. 54, 55).
Если предположить, что у становится бесконечно большим, то члены rfx2 и dy2 будут ничем по сравнению с членом у ddy, и следовательно, формула dx2-\-dy2—у ddy = 0 или бесконечности
обратится в другую:
—yddy~ 0 или бесконечности,
или, если разделить на —у, ddy = 0 или бесконечности.
Это — та же формула, что и в первом случае, что и должно было получиться, потому что ординаты ВМ, BF, ВМ становятся тогда параллельными.
Анализ бесконечно малых	169
Следствие.
67. Ясно, что, когда ddy—О, диференциал AL (черт. 52) должен быть ничем по сравнению с диференциалом АЕ, и следовательно, две бесконечно близких касательных FL и fL должны совпасть, образуя одну прямую линию fFL. Но, когда ddy = бесконечности, диференциал AL (черт. 53) должен быть бесконечно велик по сравнению с диференциалом АЕ, или (что то же самое) диференциал АЕ бесконечно мал по сравнению с диференциалом AL, и следовательно, через одну и ту же точку F можно провести две касательных FL и Fl, образующих между собой бесконечно малый угол LFI.
Так же очевидно, что, когда dx2-\-dy2— —у ddy — 0, Ot (черт. 56, 57) должно стать ничем по сравнению с и что таким образом две бесконечно близких касательных МТ и mt должны совпасть, когда точка М становится точкой перегиба или возврата. Если же, наоборот, dx2-\-dy2— —у ddy = бесконечности, то Ot должно быть бесконечно по сравнению с MR, или (что то же самое) MR бесконечно малым по сравнению с Ot, следовательно, точка т должна совпасть с точкой М; т. е., когда точка М становится точкой перегиба или возврата, через нее можно провести две касательных, образующих между собой бесконечно малый угол.
Очевидно, что, если продолжить касательную в точке перегиба или возврата F, то она в этой точке будет и касаться кривой AFK и пересекать ее79).
170
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Пример I.
68. Пусть кривая линия AFK (черт. 58) имеет диаметром прямую линию АВ и такова, что соотношение между абсциссой АЕ(х) и ординатой EF(y} выражается уравнением ахх — xxy-j-aay. Требуется найти такое значение АЕ, при котором ордината EF встречается с кривой AFK в точке перегиба F.
;  р Уравнение кривой
ахх
/	У	хх -|- аа ’
с—уЛ	следовательно,
---------g-	2а3х<7х dy = —__________________________2.
Черт. 58.	хх 4- аа
Если, полагая dx постоянным, найти диференциал этой величины и затем приравнять его нулю, то получится:
2дЗДха % хх А- аа — 8а2хх dx2 A аа _ хх 4-аа4
что, умноженное на xx-j-aa и деленное на 2а3 dx* Ххх А- аа, дает:
хх + аа — 4хх = 0, откуда
АЕ(х) = а 1/~ Г О
Если в уравнение кривой
ахх
У хх 4- аа
Анализ бесконечно малых
171
1
подставить вместо хх его величину -^-аа, то
получится:	,
EF(y) = ±a,
так что точку перегиба F можно определить, не описывая кривой AFK-
Если параллельно ординатам EF провести АС, равную данной прямой a, a CG провести параллельно АВ, то она [СО] будет асимптотой кривой AFK- Действительно, предполагая х бесконечно большим, можно вместо хх-\-аа взять хх, а тогда уравнение кривой
ахх
У	хх -|- аа
обратится в
у— а 80).
Пример II.
______3_
69.	Пусть у — а — х — а ъ . Значит
з___________________________к
dy — у х—а 6 dx,
и, принимая dx за постоянную,
ddy ——-а з * 5 dx^ — - ~6</х2 .
25	— а 7
Так как приравнивание этой дроби нулю, при котором получается — Gdx2 — 0, ничего не дает, то ее
172
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
надо взять бесконечно большой, а следовательно, ее знаменатель 25 Ух— а —бесконечно малым или равным нулю. Отсюда неизвестная
АЕ(х) = а.
Пример III.
70.	Пусть AFK — удлиненная полуциклоида (черт. 59), основание которой BR. больше ADB — полуокружности образующего круга, имеющего центром точку С. л	Требуется определить на диаметре
АВ точку Е так, чтобы ордината С о)	встРечалась с циклоидой в
X. точке перегиба F.
,, -п	Обозначив известные ADB че-
Черт. 59.
рез а, ВК через Ь, АВ через 2с, а неизвестные АЕ через х, ED через z, дугу AD через и, ЕЕ через у, получим из свойства циклоиды:
Ьи
и, следовательно,
dy = dzA
bdu а
Далее из свойства круга получим:
У Чех— хх,
, с dx — xdx dz — ~г=.....
У Чех — хх
И
duWdtf^ydtf) =	—
У Чех — хх
Анализ бесконечно малых	173
Подставляя вместо dz и du их значения, найдем:
,	acdx — ах dx 4- be dx
dy — г ...........~.
a у lex — xx
Диференциал этого (dx принимается постоянным) дает:
Ьсх — асе — bee X dx^ n lex — xx X 2cx — xx
откуда
АЕ(х) = су^ и
CE = ^. b
Ясно, что для существования точки перегиба F надо, чтобы Ь превосходило а, так как если бы оно было меньше его, то СЕ было бы больше CZ?81).
Пример IV.
71.	Найти точку перегиба F конхоиды Никомеда AFK, которая имеет полюсом точку Р, а асимптотой — прямую ВС. Она обладает тем свойством, что если провести прямую PF, соединяющую полюс Р с произвольной точкой F на конхоиде и пересекающую асимптоту ВС в D, то отрезок DF всегда равен данной прямой а.
Проведем РА перпендикулярно, a FE параллельно ВС, обозначим известные АВ или FD через а, ВР через Ь, а неизвестные BE через х, EF через у
174
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
и проведем DL параллельно ВА. Подобные треугольники DLF и PEF дают:
DL (%). LF{.Vaa — xx) :: РЕ [Ь 4-х). EF(y) =
Ь 4- х Vаа — хх
а диференциал последнего
,	х3 dx 4- aab dx
d'J =----------------
хх у аа — хх
Значит, если взять диференциал этой величины и приравнять его нулю, то получится равенство:
2я46 — аах* — ЗааЬхх X dx-g я«х3 — х5 X У аа — хх
которое приводится к
х3 4- 3Z>xx — 2ааЬ = 0.
Один из корней этого уравнения даст для BE искомое значение.
При а — Ь предыдущее уравнение обратится в другое:
х3 4- Захх — 2а3 = 0,
которое после деления на x-Ja дает:
хх4~2ах— 2аа =* 0, и следовательно,
BE (х) == —а 4- УЗаа.
Анализ бесконечно малых
175
ИНАЧЕ.
Принимаем за ординаты линии PF, выходящие из полюса Р, и пользуемся формулой (£ 66):
у ddy = t/x2 + dy\
в которой dx предполагается постоянным. Представим себе другую ординату Pf, образующую с PF бесконечно малый угол FPf, и, описав из центра Р малые дуги FG и DH, обозначим известные АВ через а, ВР через Ь, а неизвестные PF через у, PD через z. Из свойства конхоиды получится у — Z -\-а, что дает dy — dz. Далее, из прямоугольного треугольника DBP
DB = Уzz — bb,
а из подобных треугольников DBP и dHD, PDH и PFG будем иметь:
DB (У zz — bb). BP (b):: dH (dz). HD =
У zz — bb
и
PD (z) .PF(z-\-a):.HD ( YbJz ,.J . FG (dx) = \ У zz — bb/
bz dz 4~ ab dz
= zV zz — blT '
Отсюда
,	, . zdxV zz — bb
dz или dy — —~—г—, bz -f- ab *
176	Г. Ф. де-Лопиталь
а его диференциал (dx предполагается постоянным):
__bz3 -j- labzz — д&з у dz dx _ bz -f- ab2 zz — bb
__bz1 -f- 2abz3 — ab3z X dx3
bz -|- ab3
если подставить вместо dz его значение. Значит, если в общую формулу (§ 66)
у ddy — dx2 -j- dy*
подставить вместо у его значение Z а, и вместо dy и ddy — их значения, выраженные через dx и dx*, то получится такое уравнение:
z* + 2а?3 — abbz X dx2_zl -f- 2abbz -|- aabb X dx2
bz 4- ab*	bz + ab~
приводящееся к [уравнению]
2г:8 — 3bbz — abb = О,
один из корней которого, увеличенный на а, даст значение неизвестной PF.
При а = Ъ будем иметь:
2г8 — Здд2 — д8 = 0,
что после деления на гЦ-д даст:
аа л zz— az-----2" = 0.
Решив это уравнение, получим:
ч 3	,1 го За + аУЗ32)
РР^+аУ^-а-^ д /3 = -	 >.
Анализ бесконечно малых
177
Черт. 60.
Пример V.
72.	Пусть AFK— конхоида другого рода (черт. 60), такая, что если соединить какую-либо ее точку F с полюсом Р посредством прямой PF, пересекающей асимптоту ВС в D, то прямоугольник PD X DF всегда равен прямоугольнику РВ X ВА. Найти точку перегиба F.
Если обозначить неизвестные BE через х, EF через у, а известные АВ через а, ВР через PDy,DF = ab, и параллельные
PD X DF (ab~) .РВХ BE (bx)::
:: ~PF(bb 2bx 4-хх -j-yy). PI? (bb + 2bx xx) Значит
bbx 4~ 2bxx	x3 -\-yyx = abb -j- 2abx -f- axx
или
Ь, то получится BD и EF дадут:
__abb -|- 2abx + axx — bbx — 2bxx — x3
УУ	x
и
У ax — xx-}-b 1/ -—~
диференциал чего есть:
, __ — ах dx X 2хх dx-\- abdx
'	2xlf ax — xx
12 Зак. 2051____Лопиталь.
178
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Диференцируя еще раз, образуем равенство:
ЗааЬ — аах — 4abx X dx- _
4ах — 4хх X V ах — хх ’
которое приводится к
г— 3аЬ
Х а + 4Ь ’
что и представляет собой значение неизвестной BE.
Черт. 62.
Если
— ах dx 4- 2хх dx + ab dx 2xV ax — xx
значение dy приравнять, нулю то получится: 1	I 1 А А
хх — у ах 4- у ab = О,
два корня которого
аА~У аа—SUb	а—Y aa — 3ab
- и
дают при а, большем 8b, два таких значения ВН и BL, что ордината НМ (черт. 61) оказывается меньше своих соседних, а ордината LN — больше, т. е. что
Анализ бесконечно Малых	179
касательные в М и N параллельны оси АВ-, при этом точка Е оказывается между точками И и L.
Когда а ---• 8Ь, каждая из линий ВН, BE, BL (черт. 62) равняется а, и тогда касательная в точке перегиба F параллельна оси АВ. Наконец, когда а меньше 8Ь, оба корня мнимы, следовательно, никакая касательная не сможет быть параллельной оси.
Эту задачу можно было бы также решить, взяв за ординаты линии PF, Pf (черт. 60), выходящие из полюса Р, и пользуясь формулой у ddy — dx1-]- dy-, как было сделано в предыдущем примере83).
Пример VI.
73. Пусть AED (черт. 63) — круг с центром
в точке В, a AFK—такая кривая линия, что если провести произвольный радиус BFE, то квадрат на FE будет равен прямоугольнику из дуги ДА и данной прямой Ь. Надо определить на этой кривой точку перегиба F.
Обозначив дугу АЕ через г, ра-
Черт. 63.
диус В А или В Е через а и ординату BF через у
получим:
bz = аа — Чау уу
и (диференцируя)

12*
180
Г. Ф. де-Лопиталь
Из подобия секторов ВЕе и BFG получится:
BE (а). BF(y):: Ее ^2ydy~2ady ) . FG (dx) = _ 2уу dy — lay dy ab
Диференциал этого, при предположении, что dx постоянно, дает:
4у dy2 — 2а dy2 4- 2уу ddy — 2ау ddy = 0.
Следовательно,
yddy-^f^-.
Значит, если в общую формулу (§ 66) у ddy = dx2-^-dy2
вместо и у ddy подставить их выражения через dy2, то получится уравнение:
a dy2 — 2у dy2 _ 4у* dy2—Ъау2 dy2\aayy dy2 -|- aabb dy2 у — a	aabb
Оно приводится к уравнению:
4у6-12ау44~ 12а«у3—4а?уу 4- ЪааЬЬу—2 а? bb = О, решение которого даст для BF искомую величину.
Очевидно, что кривая AFK, которую можно назвать параболической спиралью, должна иметь точку перегиба F. Так как сначала окружность AED незаметно отличается от касательной в точке А, то по свойству параболы она вначале должна быть вогнута по отношению к этой касательной, а дальше, когда кривизна окружности относительно ее центра станет заметной, она станет вогнутой относительно центра84).
Анализ бесконечно малых
181
Пример VII.
74. Пусть кривая линия AFK (черт. 64), имеющая осью прямую АВ, облапает тем свойством, что если провести произвольную касательную FB, встречаю-
щуюся с АВ в точке В, то отсекаемая часть АВ всегда имеет к касательной BF данное отношение шип. Требуется определить точку возврата F.
Обозначив неизвестные EF через у, будем иметь:
ЕВ = -
переменные АЕ через х,
у dx
dy
(потому что у убывает при возрастании %), FB= у^ах* dy* dy
А по свойству кривой
Л£+£5или	m. п.
Значит ______________ ,
mVdx* -|- dy* — ~~~ — п dx, диференциал чего, в предположении, что dx постоянно и отрицательно, дает:
m dy ddy — пу dx dy nxy ddy — nx dy2.
V dx2 -|- dy2	у у	’
откуда____________________________—-----s
__ — ny dx dy — nx dy2Vdxy -|- dy2 my у dy — nxyV dx2	dy2
182
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Приравняв теперь эту дробь нулю, найдем:
—у dx — xdy = 0, что не дает возможности что-либо узнать. Поэтому эту дробь надо положить равной бесконечности, т. е. ее знаменатель равным нулю, что дает:
У	= туе/у = пхаУ~пУЛх
'	I х	пх	ту	>
согласно уравнению кривой. 'Отсюда
& ___ ппхх dy — ттуу dy
ппху *
Возводя обе части уравнения
ту dy = пхУ dx2 -f- dy*
в квадрат, найдем опять:
__dy У ттуу — ппхх___ ппхх dy — ттуу dy
" ~ пх	ппху ’
откуда наконец
у У тт — пп — пх.
Это дает следующее построение.
Опишем на диаметре AD = т полукруг AID и, взяв хорду DI = п, проведем прямую AI. Я утверждаю, что она встретится с кривой AFK. в точке возврата F.
Действительно, если провести IH перпендикулярно АВ, подобные прямоугольные треугольники DIA, IHA и FEA дадут, что
DI(n) . 1А(Утт—пп)-.-.1Н.НА FE(y)\EA(x)-, следовательно,
у утт — пп — пх, а это и требовалось построить.
Анализ бесконечно малых	183
Ясно, что BF параллельна DI, так как
АВ. BF:: AD (т). DI(n),
откуда следует, что AFB — прямой угол; и стало быть линии АВ, BF, BE образуют непрерывную пропорцию.
То же свойство можно найти и без всяких выкладок, если представить себе (§ 67) в точке возврата F две касательных FB и Fb, образующих между собой бесконечно малый угол BFb. Действительно, описав из центра F малую дугу BL, будем иметь:
т. п:: Ab.bF: -.АВ . BF::
:: АЬ — АВ или Bb.bF—BF или bL'.'.BF.BE,
из подобия прямоугольных треугольников BbL и FBE Значит, и т. д.
При т — п прямая AF, очевидно, становится перпендикулярной к оси АВ, а касательная FB, таким образом, становится параллельной этой оси. Этого и следовало ожидать, потому что в этом случае кривая AF обращается в полукруг с диаметром, перпендикулярным оси АВ. Если же т меньше, чем п, то, очевидно, точки возврата вовсе не будет, потому что тогда уравнение
у У тт — пп — пх
будет содержать в себе противоречие
ГЛАВА V.
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К НАХОЖДЕНИЮ РАЗВЕРТОК.
Определение.
Предположим, что некоторая кривая линия bdf (черт. 65), вогнутая всюду с одной и той же стороны, обернута или окружена нитью ABDF, один из концов которой закреплен в F, а другой натянут /\ \	вдоль касательной ВА, и заставим
{—----------- конец А, оставляя его натянутым,
о'Х двигаться, непрерывно развертывая 'W кривую BDF. Ясно, что при этом \ движении конец нити А описывает Черт. 65..	\	. ....
г кривую линию АПК.
При таких условиях кривая BDF будет называться разверткой кривой АНК-
Анализ бесконечно малых	185
АВ, HD, KF, прямолинейные части нити ABDF, будут называться радиусами развертки 85).
Следствие I.
75.	Из того, что длина нити ABDF остается неизменной, следует, что отрезок кривой BD равен разности радиусов в ее концах DH и ВА', точно так же отрезок кривой DF равен разности радиусов FK и DH, а вся кривая BDF—разности радиусов FK и ВА. Отсюда видно, что если ВА, радиус кривой, равен нулю, т. е. конец нити А совпадает с В, началом кривой BDF, то радиусы развертки DH и FK будут’ равны отрезкам BD и BDF кривой BDF-
Следствие II.
76.	Если рассматривать кривую BDF (черт. 66) как многоугольник BCDEF с бесконечным множеством сторон, то ясно, что конец А нити	*
ABCDEF будет описывать малую ну'р'Х'? ' дугу AG с центром в точке С до тех	\
пор, пока радиус CG не сольется	\
в одну прямую линию с малой сторо-	\
ной CD, соседней с СВ-, затем этот	'А
же конец будет описывать малую дугу GH с центром в точке D до	г
тех пор, пока радиус DH не сольется
а.	„ г- Черт. 66.
в одну прямую с малой стороной DE, и так далее, пока кривая BCDEF не развернется целиком. Таким образом кривую АНК можно рассматривать как совокупность бесконечного множества
186
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
малых круговых дуг AG, GH, HI, IK и т. д. с центрами в точках С, D, Е, Fn т. д. Отсюда вытекает следующее:
1° Радиусы развертки непрерывно ее касаются, как DH в D, KF в F и т. д. Далее, все они перпендикулярны к описываемой ими кривой АНК, как DH ,в Н, FK в К и т. д. Действительно, например, DH перпендикулярен к малым дугам GH и HI, потому что он проходит через их центры D и Е. Отсюда видно, что: I4 развертка PDF (черт. 65) ограничивает пространство, в которое попадают все перпендикуляры кривой АНК, 2е если продолжить какой-нибудь радиус HD, пересекающий радиус АВ в К, ДО пересечения с каким-нибудь другим радиусом KF в S, то всегда можно из всех точек части кроме точки касания D провести два перпендикуляра к кривой АНК, & из точки D — только один перпендикуляр, а именно DH. Действительно ясно, что R— пересечение радиусов АВ и DH—пробегает все точки части RS, в то время как радиус АВ своим концом А описывает линию АНК, к которой он постоянно остается перпендикулярным, и что радиусы АВ и HD совпадают только тогда, когда точка пересечения R оказывается в точке касания D.
2° Если продолжить в сторону начала развертывания А малые дуги HG (черт. 66) до I, IH до т, KI до п и т. д., то каждая малая дуга, как, например, IH, будет касаться извне соседней HG, так как радиусы СА, DG, ЕН, FI все возрастают, по мере того как малые дуги, составляющие кривую АНК,
Анализ бесконечно малых	187
удаляются от точки А. По этой же причине, если продолжить малые дуги AG до о, GH до р, HI до q в сторону, противоположную от А, то каждая малая дуга, как, например, HI, будет касаться изнутри своей соседней IK А так как, вследствие бесконечной малости как дуги HI, так и стороны DE, точки Н и I, D и Е можно считать совпадающими, то, если описать из какой-либо внутренней точки D развертки BDF, как из центра, ее радиусом DH круг тНр, он будет касаться извне части НА, которая окажется целиком внутри этого круга, и изнутри— другой части НК, которая окажется целиком вне этого круга, т. е. он будет и касаться кривой АНК и пересекать ее в одной и той же точке Н, подобно тому как касательная в точке перегиба пересекает кривую в этой же точке.
3° Из того, что радиус HD малой дуги HG отличается от радиусов CG и ЕН соседних дуг GA и HI лишь на бесконечно малую величину CD или DE, следует, что как мало бы ни уменьшить радиус DH, он окажется меньше CG и его круг будет касаться изнутри части НА. Наоборот, как мало бы его ни увеличить, он окажется больше НЕ и его круг будет касаться извне части НК- Таким образом круг тНр является наименьшим из кругов, касающихся извне части НА, и, наоборот, наибольшим из кругов, касающихся изнутри части НК, т. е. между этим кругом и кривой нельзя провести никакой другой круг.
188
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
4° Так как кривизна кругов возрастает пропорционально убыванию радиусов, то кривизна малой дуги HI относится к кривизне малой дуги AG, как радиус этой последней ВА или СА к ее радиусу DH или ЕН, т. е. кривизна кривой АНК в Н относится к ее кривизне в А, как радиус ВА к радиусу DH, а также кривизна в К относится к кривизне в Н, как радиус DH к радиусу FK- Отсюда видно, что кривизна линии АНК непрерывно убывает по мере развертывания линии BDF, так что она имеет наибольшую возможную величину в точке А, из которой начинается развертывание, и наименьшую в точке К> в которой, как я это предполагаю, оно прекращается.
5° Точки развертки суть не что иное, как пересечения перпендикуляров, проведенных через концы малых дуг, составляющих кривую АНК Например, точка D или Е есть пересечение HD и IE — перпендикуляров малой дуги HI. Таким образом если даны кривая АНК и положение одного из ее перпендикуляров HD, то, чтобы найти точку D или Е его прикосновения к развертке, надо лишь отыскать точку пересечения бесконечно близких перпендикуляров HD и IE, что и будет разъяснено в следующей задаче 8в).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ I.
Общая задача.
77.	Природа кривой линии МАЕ) ^черт. 67J известна, и дан какой-либо из ее перпендикуляров МС; определить длину ее радиуса развертки МС, т. е. пересечение бесконечно близких перпендикуляров МС и тС.
Анализ бесконечно малых	189
Черт. 67.
Предположим, во-первых, что кривая линия AMD имеет осью прямую АВ, к которой ординаты РМ перпендикулярны. Представим себе другую ординату тр; она будет бесконечно близка к МР, так как точка т по предположению бесконечно близка к М. Проведем через точку пересечения С линию СЕ, параллельную оси АВ и встречающую ординаты МР и тр в точках Е и е. Проведя, наконец, MR параллельно АВ, мы образуем подобные прямоугольные треугольники MRm и МЕС, потому что угол ЕМС равен углу RMm, так как углы EMR и СМт прямые и угол CMR у них общий.
Обозначив данные АР через х, РМ через у, а неизвестную ME через z, мы будем иметь, что Ее, или Рр, или MR = dx, Rm — dy — dz, Mm — V dx2 -j- dy2; тогда
MR (dx). Mm (V'dx^dy2):: ME (z). MC =
z У dx2 -|- dy2 dx
Далее, CM — радиус дуги Mm с центром в точке С, который обращается в Ст, когда ЕМ увеличивается на диференциал Rm, — остается без изменения.
196
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Значит, его диференциал равен нулю, что дает {dx предполагается постоянным):
dz dx2 + dz dy2 z dy ddy _
dxV +	’
откуда
Mf (z} = dz dx2 + dz dy~ = dx2 + dyi '	— dy ddy — ddy
если подставить вместо dz его величину dy.
Предположим, во-вторых, что все ординаты ВМ,
Вт (черт. 68) выходят из одной точки В. Опустив из искомой точки С на ординаты, которые я предполагаю бесконечно близкими, перпендикуляры СЕ и Се и описав из центра В малую дугу MR, мы образуем подобные прямоугольные треугольники: RMm и EMC, В MR, ВЕС и СеС. Обозначая ВМ
через у, ME через z, MR через dx, мы будем иметь, что Rm = dy, Мт = У dx2 -ф- dy2, СЕ или Се =
МС =
zV dx- -j- dy-dx
Затем мы найдем, как и в первом случае, что
dz dx2 -4- dz dy2 z---------!----—
-dyddy
Анализ бесконечно Малых
191
Итак,
ВМ(у). Се : MR(dx) .Ge = ^. pi	\ их ;	у
те — ME или
Rm-Ge^dz = ^^.
у
Следовательно, подставляя эту величину вместо dz, мы будем иметь:
у dx2 + У ^У2 dx2 + dy2 — у ddy
Если предположить, что у бесконечно велик, то члены </№ и cfy2 будут ничто по сравнению с у ddy, и следовательно, последняя формула обратится в формулу, выведенную для предыдущего случая. Это и должно случиться, потому что тогда ординаты становятся параллельными между собой и дуга M1R обращается в прямую, перпендикулярную к ординатам.
Далее, поскольку природа кривой AMD известна, можно выразить величины dy* и ddy через afx2, или dx* и ddy—через dy*. Подстановка полученных значений в предыдущие формулы даст для ME вполне определенное значение, свободное от диференциалов. Если провести ЕС перпендикулярно ME, то она пересечет МС, перпендикуляр к кривой, в искомой точке С. Что и было предложено.
192
Г. Ф. де-Лопиталь
Следствие I.
78.	Из подобия прямоугольных треугольников MRm и МЕС (черт. 67, 68) будем иметь в первом случае:
МС _ d^+dy2
— dx ddy ’ а во втором случае
У dx^+у dy2 Vdx2 f dy2 dx3 -|- dx dy2 — ydx ddy
Замечание.'
79. Существует еще ряд других способов нахождения радиусов развертки. Я приведу здесь часть из них, для того чтобы дать возможность различного подхода к вопросу тем, кто еще не овладел этим исчислением. Первый случай: ординаты кривых перпендикулярны к оси.
Первый способ. Продолжим MR до G, где она встречается с перпендикуляром тС (черт. 67). Прямые углы MRm и МтС дадут, что
следовательно,
MG=d^±^L. dx
А из подобия треугольников MRm и MPQ (точки Q и q суть пересечения бесконечно близких перпендикуляров МС и тС с осью АВ) получается, что
MQ=yVdx2^ PQ = ^.
dx ’	dx
Анализ бесконечно малых
193
Следовательно,
диференциал чего (dx предполагается постоянным) дает:
1 dx
Из подобия треугольников CMG и CQq получается
MG - Qq	. MG	:;
\ dx J \ dx 1
 • МО (уУах2-^аУ^) мс — dx2 + dy2 dx2 + dy2 \ dx )’	—dx ddy
Второй способ. Если описать из центра С малую дугу QO, то малые прямоугольные треугольники QOq и MRm будут подобны, так как Мт и QO, MR и Qq параллельны между собой; следовательно,
Мт (У dx?-р^-У2) • MR {dx}: '•
;; Q ! dx2dy2у ddy \	„ 0 _ dx2dy2у ddy
dx ) ’ 4	/dx2 + dy2
А подобные секторы СМт и CQO дают:
Мт — Q О ( ~уЛ/)-У . Мт У dx‘* + dy^) :: \Vdx2+dy* )	1 J '
:: МО (уУах2 + аУ2\ . MC — dx2 + dyi^dxiS + dy2 \ dx /	— dx ddy
Третий способ. Проведя бесконечно близкие касательные МТ и mt, получим:
РТ—АР или АТ= УУ — х, dy
13 Зак. 2051,—Лопиталь.
194	Г. Ф. де-Лопиталь
диференциал чего дает:
ТУ___ у dx ddy
dy* •
Описав из центра т малую дугу TF, образуем прямоугольный треугольник FTt, подобный RmM, потому что углы FtT и RMm. или РТМ, которые отличаются друг от друга лишь на бесконечно малый угол Tint, равны между собой; это дает:
Мт (Уdy? -j- d-У8) • mR (dy): 
. .'pj. I_у dx ddy \ „ p_ —ydx ddy
\	—" dy\~ dx*-у d^ '
Но секторы TmF и MCm подобны, потому что угол Tmt-\-MmC прямой и угол МтС-\-МСт тоже прямой, так как треугольник СМт рассматривается как прямоугольный при М. Значит,
::7'тили7'/и(^^±^) rfx8 +	+ ^-
\ ау / •	— ах day
Четвертый способ. Находим (§ 64) вторые диференциалы, полагая dx постоянным. Подобные прямоугольные треугольники HmS и Hnk (черт. 69) дадут:
Нт или Мт (Уdx* -ф- rfy2). mS или MR (dx)::
:: Нп (— ddy) .nk—------dl^d^. .. .
V dx* + dy*
Но угол kmn равен углу, который образуют между собой касательные в точках М и т, стало быть он,
Анализ бесконйчно малых	195
как уже доказано, равен углу МСт, откуда следует, что секторы nmk и МСт подобны и таким образом nk	. mk или (§ 2) Мт (]/-|- dy2)::
::	 МС	+
Вместо mk можно взять mH или Мт, потому что они отличаются только на малую прямую Hk, бесконечно меньшую, чем они сами;	.
точно так же Нп бесконечно меньше, чем Rm или Sn.	/\\ s
Второй случай: ординаты кривых	\
выходят из одной фиксированной	\
точки.	\ \
Первый способ. Если опустить	\ \
из фиксированной точки В (черт. 68) перпендикуляры BF и В/ на бес-конечно близкие радиусы СМ и Ст, церт $д то подобные прямоугольные треугольники mMR и BMF (они подобны, так как если прибавить к углам mMR или BMF один и тот же угол FMR, то получается прямой) дадут:
MF или МН = -	--
У dx* +
и
BF — -—~y=^, У dx^-^dy*
13*
196
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
диференциал чего {dx предполагается постоянным) будет:
Bf—BF или Hf= ^Ldy* + dy+yM*ddy
dx? +	/ dx? + rfy2
А из подобных секторов СМт и СЩ получается пропорция:
Мт — Hf. Мт:: МН. МС,
’ и> следовательно,
МС Уа*2 + УаУ2У dx2 + аУл
I /лЛ	dx3-y-dxdy%—ydxddy ’
\ / с Второй способ. Находим (§ 64)
W	вторые диференциалы, полагая dx
&	постоянным. Подобные секторы BmS
Черт. 70. и тЕк (черт. 70) дадут, что
Вт (у). mS {dx) :: тЕ {Уdx2 -f~ dy2) . Ek =
__ dx Уdx? -|- dy*
J •
А из подобия прямоугольных треугольников HmS и Hnk будем иметь:
Нт или Мт (У dx2 -{- dy2). mS или MR{dx):-.
:: Нп {—ddy) . nk —
Следовательно,
dx ddy
У dx* + dy* ’
__ dx3 -|- dx dy3 — у dx ddy у У dx2 -f- dy*
и если взять третью пропорциональную к Еп и Ет
Анализ бесконечно малых
197
или Мт, то из подобных секторов Етп и МСт для МС получится та же величина, что и прежде.
Если обозначить Мт (У dx2dy2) через du и вместо dx принять за постоянную dy, то в первом случае окажется
мс=-^--dy ddx' а во втором
мс=_____•. ^аи3_____
dx du2 -j- у dy ddx
Наконец, если принять за постоянную du, то в первом случае получится:
С — ddy или dydu ddx
(потому что диференциал от dx2 -J-dy2 — du2 есть dx ddx-^dy ddy = 0, и, таким образом, ~^у —	’
а во втором	__ ydxdu
/W(---dx2—yddy
или
у dydu dxdy-\-yddx
Следствие II.
80.	Из того, что для ME или МС (черт. 72) получается единственное значение, следует, что кривая линия AMD может иметь только одну единственную развертку BCG.
198
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Следствие III.
81.	Если величина ME (черт. 67, 68)	или
/	ydy2 \
( j Ь । ,, о .. положительна, то точку Е надо \ dx2 4~ dy% — у ddy J	’	J
взять с той же стороны оси АВ или точки В, с какой она предполагалась при выкладках, откуда видно, что в этом случае кривая будет обращена вогну-, тостью к этой оси или этой /точке. Если же величина ME отрицательна, точку Е надо будет взять с противоположной с
стороны, откуда видно, что при этом кривая окажется выпу-г	клой. Таким образом в точке
перегиба или возврата, отделяющей вогнутую часть от выпуклой, величина ME из положительной должна стать отрицательной, и следовательно, бесконечно близкие или смежные перпендикуляры из сходящихся станут расходящимися. А это может осуществляться только двумя способами. Действительно: либо они возрастают по мере приближения к точке перегиба или возврата, и тогда' они должны стать параллельными, т. е. радиус развертки должен стать бесконечно большим; либо же они убывают, и тогда они необходимо должны совпасть, т. е. радиус развертки должен стать равным нулю. Все это совершенно согласуется с тем, что было доказано в предыдущей главе.
Анализ бесконечно малых
199
Замечание.
82.	Так как до сих пор полагали, что в точке перегиба радиус развертки всегда бесконечно велик, то
теперь своевременно показать, что существует, так сказать, бесчисленное множество таких видов кривых, которые все имеют в точке перегиба радиус развертки, равный нулю, и что этот радиус беско
нечно велик лишь у одного вида кривых.
Пусть ВАС (черт. 71) — одна из кривых, имеющих в точке перегиба А бесконечно большой радиус развертки. Если развернуть части ВА и АС, начиная с точки А, то ясно, что образуется кривая линия DAE, имеющая точку перегиба
о
Черт. 72.
в той же точке А, но ее радиус развертки в этой
точке будет равен нулю. Если таким же образом образовать третью кривую посредством развертывания второй кривой DAE, затем — четвертую посред
ством развертывания третьей и так далее до бесконечности, то станет ясным, что в точке перегиба А всех этих кривых радиусы разверток будут всегда равны нулю. Следовательно и т. д. 88).
Предложение II.
Задача.
83.	Найти для кривых AMD (черт. 72), ось которых АВ образует с касательной в А прямой угол, точку В, я которой эта ось касается развертки ВСО.
200
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Если предположить, что точка М становится бесконечно близкой к вершине А, то ясно, что перпендикуляр MQ пересечет ось в искомой точке В. Отсюда следует, что если найти выражение PQ (ррр через х или у и затем приравнять х или у нулю, то точка Р окажется совпадающей с точкой А, а точка Q — с искомой точкой В, т. е. PQ окажется равной искомой АВ. Это разъясняется на следующих примерах.
Пример I.
84.	Пусть кривая AMD (черт. 72)— парабола, имеющая параметром данную прямую а. Уравнение параболы будет:
ах=уу, диференциал чего дает:
a dx__ a dx
2.У ~1Уах '
Диференцируя последнее уравнение, полагая dx постоянным, найдем:
Подставив наконец эти значения вместо dy и ddy в формулу dX_p^ , будем иметь (§ 77):
М~--------lr~=VaxAi-------— .
Это дает следующее построение.
Анализ бесконечно малых
201
Пусть через точку Т, в которой касательная МТ встречается с осью, проведена линия ТЕ, параллельная МС; я утверждаю, что она пересекает продолжение МР в искомой точке Е. Действительно, прямые углы МРТ и МТБ дают, что
МР (/ах). РТ (2х):: РТ (2х). РЕ
и, следовательно,
МР 4- РЕ == У ах +
Кроме того из прямоугольных треугольников MPQ и МЕС будем иметь:
РМ(Уах). Pq(^ а) '
:: ME (Уах +	. ЕС или РК= ~а + 2х.
Следовательно, QK—2x. Это дает еще такое построение.
Возьмем QK равной удвоенной АР или (что сводится к тому же) возьмем РК равной TQ и проведем КС параллельно РМ. Она [АС] пересечет перпендикуляр МС в точке С, принадлежащей развертке BCG.
Другой способ, уу = ах, 2ydy — adx, а диференциал этого (dx предполагается постоянным) дает:
откуда
2tZy2 + 2> ddy = О,
-ddy^.
202
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Подставив это найдем (§ 77):
значение в формулу
rfxa -J- rfy2 — ddy
dy*
Следовательно,
ЕС или *<+/ ах2^+У-^== dy dx dx 1 dy
— PQ-^-PT или ZQ.
Это дает те же построения, что и прежде. Действительно,
МР. РТ :: dy. dx :: РТ . РЕ =
_ У^х2 _ ах
~ dy2 а
Теперь для нахождения точки В, в которой ось АВ
касается развертки BCG, мы имеем

Так как это величина постоянная, то она остается без изменения, где бы ни находилась точка М. Поэтому, когда она попадает в вершину А, то получается еще, что PQ, которое в этом случае обращается в АВ, 1 равно
Чтобы определить природу развертки BCG по способу Декарта, обозначим абсциссу ВК через и, а ординату КС или РЕ через t. Тогда
(?/<(/) = и AP±PK—AB(ii) — 3x.
Анализ бесконечно малых
203
Подставляя в уравнение t = —— вместо х его
1
значение -5- и, получим новое уравнение: V
27att=lQifi,
выражающее отношение между ВК и КС. Отсюда видно, что развертка обыкновенной параболы BCG есть вторая кубическая парабола с параметром, равным 27/16 пара-	/с
метра данной параболы.	I
Очевидно, что СВС (черт. 73), Г / Л. развертка всей обыкновенной па-	х
раболы МАМ, состоит из двух Черт 73 частей СВ и ВС, обращенных вдруг к другу выпуклостями так, что они образуют
В точку возврата88).
Предупреждение.
Под геометрическими кривыми AMD, BCG (черт. 72) подразумеваются такие, в которых отношение между абсциссами АР, ВК и ординатами РМ, КС может быть выражено уравнением, не содержащим диференциалов-, геометрическим считается и все то, что можно получить при помощи этих линий. Здесь предполагается что абсциссы и ординаты — прямые линии ж).
Следствие.
85.	Когда данная кривая AMD — геометрическая, то ясно, что всегда можно найти (как в этом примере) уравнение, выражающее природу ее разверт
204
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
ки BCG', таким образом эта развертка будет также геометрической. Но кроме того я еще утверждаю, что она окажется спрямляемой, т. е. что можно геометрическим путем найти прямолинейные . отрезки, равные любой ее части ВС. Действительно, очевидно (§ 75), что при помощи геометрической линри AMD можно определить на СМ, касательной к части ВС, такую точку М, что отрезок СМ будет отличаться от части кривой ВС только на данную прямую АВ 91)*
Пример II.
86.	Пусть данная кривая MDM (черт. 74) — гипербола, заключенная между своими асимптотами; уравнение ее аа = ху.
Получается:
— — х, У
— aady ,
-yr- = dx-
и, если положить dx постоянным 7),
— аа уу ddy2аау dy% _
откуда
у*
, , 2dy2 ddy =	.
При подстановке этой величины
чится ($ 77), что — 2dy2
и таким образом
ЕС ют рК=-У^^. 2dx 2dy
Это дает следующие построения.
dx2 -j- dy2
В ----полу-
— ddy	J
Анализ бесконечно малых
205
Проведем через точку Т, где касательная МТ встречается с асимптотой АВ, линию TS, параллельную МС и встречающую продолжение МР в 5. Возьмем ME, равную половине MS, с другой стороны от асимптоты (которая здесь рассматривается как ось), так как ее величина отрицательна, или же половине TQ, с той же стороны, что и точка Т. Я утверждаю, что если провести ЕС параллельно оси или КС перпендикулярно ей, то они пересекут прямую МС в искомой точке С. Действительно ясно, что
ydx2+ydy2
возьмем РК, равную
и что
TQ = ydy I ydx
** dx ' dy
Если обратить внимание на форму гиперболы MDM,
то видно, что ее развертка CLC должна иметь точку возврата L, так же как и развертка параболы. Для ее определения я замечаю, что радиус развертки DL меньше всякого другого радиуса МС, откуда следует, что диференциал его выражения 78)
_______	_______ ____________з_
dx- + dy2 Ydx* + dy2 dx2 -|- dy2 2
— dxddy ’ ИЛИ —dxddy ’
206
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
будет равен (гл. ///) нулю или бесконечности. Это дает, если полагать попрежнему dx постоянным:
________£ ________________
—3rfx dy ddyi dx2 -f- dy2 2 -f-rfx dddy dx^A-dy2 2 n
dx2ddy2	=U ИЛИ °° •
Делением на dx2 dy2 2 и затем умножением на dxddy2 мы получим уравнение:
dx2 dddy -|- dy2 dddy — 3dyddy2 = Q или oo, которое послужит для нахождения для х такого значения АН, что если провести ординату HD и радиус развертки DL, то точка L будет искомой точкой возврата.
В этом примере „ аа , —aadx у = — , dy^-^-, ddy = ~^~, dddy = ^^-.
Поэтому, подставляя эти значения в предыдущее уравнение, найдем АН(х) = а. Откуда следует, что точка D есть вершина гиперболы, а линии AD и DL образуют одну прямую AL, являющуюся ее осью.
Пример HI.
87.	Общее уравнение ym = x (черт. 72, 74) выражает природу всего бесконечного множества парабол, если показатель степени т есть целое или дробное положительное число, и всего бесконечного множества гипербол, если он есть отрицательное число.
Анализ бесконечно малых
207
Мы получаем здесь:
rnym~l dy = dx,
диференциал чего, если полагать dx постоянным, дает:
тт—тут 2 dy2 4- тут 1 ddy = 0.
Деля на ту”1^, нах< — d
откуда, подставляя = чаем (§ 77):
ME
__т — 1 dy2 у ’ dx2 4- dy2 значение в ----—, полу-
— ddy
ydx2-\-y dy2 т — Idy2
Следовательно,
ЕС или РК= -------------.
т — Idx т — Idy
Это дает такие общие построения.
Проведем через точку Т, в которой касательная. МТ пересекает ось АР, линию TS, параллельную МС и встречающую продолжение МР в точке S.
Возьмем МЕ =—или же РК———т ТО. т—1	т—1
Ясно, что если провести через точку Е линию, параллельную оси, или через точку К линию, перпендикулярную к ней, то они пересекут МС в искомой точке С.
Если т отрицательно, как это бывает у гипербол, то величина ME (черт. 74) будет отрицатель-
208
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
ной, и следовательно, гиперболы будут обращены выпуклостью к своей оси, которая при этом обращается в асимптоту. У парабол же, где т положи-
тельно, могут представиться два случая. Если т
(черт. 75) меньше единицы, то они обращены выпуклостью к своей оси, которая обращается в касательную в вершине. Если же т (черт. 72) больше единицы, то они обращены вогнутостью к своей оси, которая обращается в перпендикуляр в вершине.
Для нахождения в последнем случае точки В, в которой ось АВ касается развертки, мы имеем:

т
что дает три различных случая. Действительно, если т = 2, что бывает только у обыкновенной параболы, х	то показатель степени при у стано-
\ / вится нуйем и эта неизвестная исче-л	зает, а следовательно, АВ — -^-,
Черт. 76.
т. е. половине параметра. Если т меньше 2, то показатель степени при у положителен и у окажется в числителе, что обращает (при приравнивании ($ 83) его нулю) дробь в нуль, и значит в этом случае точка В совпадает с точкой А, как во второй кубической параболе ахх —у9. Если же, наконец, т (че 76) больше 2, то показатель степени при у
Анализ бесконечно малых	209
отрицателен и у окажется в знаменателе и (когда он станет нулем) дробь обратится в бесконечность, и значит в этом случае точка В будет бесконечно удалена от точки И, или (что то же самое) ось АВ будет асимптотой развертки как м в первой, кубической параболе
аах = у3. Можно заметить, что / \А
в последнем случае развертка CLO J -----------------
(черт. 77) половины параболы /	\
ADM имеет точку возврата L\ /	\
таким образом при развертывании Черт. 77. части LO до бесконечности точ-
ка D опишет только конечную (<1ё1егтшёе) часть DA, в то время как при развертывании другой части LC, также продолженном до бесконечности, она опишет бесконечную часть DM.
Точка L определяется так же, как и для гиперболы.
Пусть, например, аах=у3, или у — х3 ; тогда
dy = у х 3 dx, ddy —----------$ х 3 dx2,
dddy = ~х 3 dx3.
Подставив эти значения в уравнение dx2dddy-\-
-f- dy2 dddy — 3>dy ddy2 — 0, найдем 86) AH (x) =
4 r i
= 1/ oT inc; • Аналогично обстоит дело и в других у У1 IzD
случаях.
14 Зак. 20S1. — Лопиталь.
210	Г. Ф. де-Лопиталь
Замечание.
88. При предположении, что щ больше единицы, причем параболы оказываются обращенными вогнутостью к своей оси, могут иметь место различные случаи. Действительно, если дробь, обозначенная через т, имеет четный числитель и нечетный знаменатель, то все параболы расположатся по обе стороны своей оси подобно обыкновенной параболе (черт. 73). Если и числитель и знаменатель — оба нечетные, то параболы будут опрокинуты по обе стороны своей оси, так что их вершина А (черт. 77) будет точкой 3^ перегиба, как в первой кубической параболе х—у1, или аах =у3. Наконец, если при нечетном числителе знаменатель четный, то параболы будут опрокинуты по одну сторону своей оси, так что их вершина А (черт. 76) будет точкой возврата, как во второй ку-£
бической параболе х — у2, или ахх—у3. Все это следует из того, что четная степень не может иметь отрицательного значения. Теперь очевидно, что:
1° В точке перегиба А (черт. 77) радиус развертки может быть бесконечно большим, как в случае аах—у3, или бесконечно малым, как в случае аах3—у5.
2° В точке возврата А (черт. 76) радиус развертки может быть или бесконечностью, как в случае а3хх — у5, или нулем, как в случае ахх— у3
3° Из того, что радиус развертки равен бесконечности или нулю, не следует (черт. 73), что кривая
Анализ бесконечно малых
211
при этом имеет точку перегиба или возврата. Действительно, в случае a3x=yi он равен бесконечности, в случае ах3 =у* он равен нулю, и, однако, обе эти параболы располагаются по обе стороны своей оси подобно обыкновенной параболе 92).
Пример IV.
89. Пусть кривая AMD (черт. 78, 79) — гипербола или эллипс с осью АН (а) и параметром AF(b).
По свойству этих линий будем иметь:
, abdx-y2bxdx dy= —____________—
2 У aabx 4- abxx — a3bb dx* baabx + iabxx У aabx + аЪхх
Если подставить эти значения в общее выражение
МС (§ 78)
dx2 -j- dy2 У dx2	dy*
— dx ddy
14*
212
Г. Ф. де-ЛопиталЬ
то для этих двух кривых окажется, что _______ aabb^z4abbx-)-4bbxx-)-4aabx^:4abxx /ИС____А
к. г____________________:-------,—	4Мф
X V aabb-4-4abbx-\-4bbxx-{-4aabxzf:4abxx —	— >
так как в том и другом случае
mq	=
_ Уaabb 4abbx -f- 4hbxx 4- 4aabx + 4abxx — - .
Это дает следующее построение, которое годится и для параболы.
Возьмем МС равной учетверенной непрерывной четвертой пропорциональной к параметру AF и отсекаемому осью перпендикуляру MQ', точка С будет тогда на развертке.
Положив х — 0, будем иметь (§ 83) АВ = -i- b. И если мы положим в эллипсе х = -у- а, то найдем DG (черт. 79) = а , т. е. равным половине параметра малой оси. Отсюда видно, что для эллипса развертка BCG заканчивается в точке G на малой оси DO, в которой она образует точку возврата, в то время как для параболы и гиперболы развертка простирается до бесконечности 93).
Если в эллипсе а — Ь, то МС — а, откуда следует, что все радиусы развертки равны между
Анализ бесконечно малых
213
собой и что стало быть она будет лишь точкой; эллипс в этом случае обращается в круг, разверткой которого является его центр. Это, как известно, со
ответствует истине.
Пример К
90.	Пусть AMD (черт. 80) — обыкновенная лога-
рифмическая кривая, природа которой такова, что если
через любую ее точку М провести перпендикулярную
к асимптоте КР линию МР и касательную МТ,
то подкасательная РТ всег
да равна данной прямой а.
Итак,
откуда
Подставляя эти
диференциал чего, если полагать dx постоянным, дает:
J а аа значения в	, найдем 77):
у
Следовательно,
ЕС
ИЛИ РК=	94).
а	'
Это дает следующее построение.
214
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Отложим РК, равное TQ, в сторону точки Т, потому что оно отрицательно, и проведем КС параллельно РМ. Я утверждаю, что КС пересечет перпендикуляр МС в искомой точке С. Действительно,
а
Если угодно, чтобы точка М была точкой наибольшей кривизны, то надо воспользоваться формулой:
dddy -|- dy2 dddy — Sdy ddy'2 — 0,
которая была найдена (§ 86) во втором примере. Подставляя в нее вместо dy, ddy, dddy их значе-у dx у dx2 у dx'* ния ----, -----,	—, найдем:
а аа а: ’
Р/И (» = ау/~ ~.
Ясно, что если принять dx за постоянную, то ординаты у будут относиться м жду собой, как их диференциалы dy или , откуда следует, что они образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если представить себе, что асимптота, или ось РК, разделена на бесконечное число равных малых частей, Рр или MR, pf или mS, fg или пН и т. д., заключенных между ординатами РМ, pm, fn,gow т. д., то получится:
РМ.рт : :Rm .Sn::
:: PM-fRm или pm.pm fSn или fn.
Анализ бесконечно малых
215
Так же доказывается, что
pm .ftr. :fn.go
и т. д. Стало быть ординаты РМ, pm, fn, goni.A образуют геометрическую прогрессию.
Пример VI.
91.	Пусть кривая AMD (черт. 81)—-логарифмиче
ская спираль, природа которой такова, что если какую-
либо ее точку М соединить прямой МА с фиксиро-
ванной точкой А, ее центром, и провести касательную МТ, то угол АМТ всюду остается неизмеййым.
При постоянном угле АМТ или АтМ отношение mR (dy} к RM (dx) будет тоже постоянным. Поэтому диферен-dy циал должен быть нулем, что дает (если dx предположить постоянным) ddy — 0.
Если на основании этого в общем выражении ME
для случая, когда все ординаты выходят из одной
точки, т. е. в
ydx2-(-ydy2 dx2 -|- dy2 —у ddy
216
Г. Ф. ДЕ-Ло11ИТАЛ1>
отбросить член у ddy, то получится:
МЕ==у, т. е.
ME = AM.
Это дает следующее построение.
Проведем АС перпендикулярно А М до пересечения в С с прямой МС, перпендикулярной к кривой; точка С будет тогда на развертке ACG.
Углы АМТ и АСМ равны, потому что каждый из них при сложении с одним и тем же углом А МС дает прямой угол. Значит развертка ACG является такой же логарифмической спиралью, как и данная AMD, и отличается от нее только расположением.
Предположим, что дана точка С на развертке ACG, и требуется определить в этой точке длину радиуса развертки СМ, который (§ 75) равняется части АС, совершающей бесконечное число оборотов, прежде чем попасть в точку А. Ясно, что для этого достаточно провести AM перпендикулярно к АС. Таким образом, если провести АТ перпендикулярно к AM, то касательная МТ будет тоже равняться AM — отрезку данной логарифмической спирали AMD.
з Если представить себе бесконечное число ординат AM, Ат, Ап, Ао и т. д., образующих между собой бесконечно малые и равные углы, то ясно, что треугольники МАт, тАп, пАо и т. д. будут подобны, потому что углы при А равны и по свойству логарифмической спирали углы при т, п, о, и т. д. тоже равны. Следователей^ AM. Ат:: Ат, Ап
Анализ бесконечно малых	217
и Ат .Ап : : Ап . А о и т, д. Отсюда видно, что когда углы между ординатами AM, Ат, Ап, Ао и т. д. равны, то эти ординаты образуют геометрическую прогрессию °5).
Пример VII.
92.	Пусть кривая AMD (черт. 82) — одна из бес
конечного множества спиралей, которые можно построить в секторе BAD и которые обладают тем
свойством, что если провести произвольный радиус АМР и обозначить всю дугу BPD через Ь, ее часть ВР через z, радиус А В или АР через а и его часть AM через у, то получится пропорция;
о . z : : а . у . Уравнение спирали AMD есть т _ ат z .
•У ь ’ диференциал чего дает:
. ,т—1 . ат dz ту dy =---------ь—.
О
г
Черт. 82.
Из подобия секторов AMR и АРр получается:
AM (у) .АР {a}:: MR {dx}. Рр {dz) =	.
При подстановке этого значения вместо dz в только что найденное уравнение получится:
,	Йт+1^л-
ту dy = —ь—,
218	Г. Ф. де-Лопиталь
диференциал чего (dx предполагается постоянным) есть тту‘л~л dy~ ту"1 ddy = 0.
При делении на ту"1-1 отсюда получается:
—у ddy = mdy^,
и, следовательно,
(S 77\ f	= ~У^.+УаУ*
) Ydjfi-tdyt—yddy ) dx^-\-my-\dyi ’ что дает следующее построение.
Проведем через центр А перпендикулярно к AM прямую TAQ, которая пересечет касательную МТ в Т и перпендикуляр /MQ в Q, и пусть
ТА + т~^Л AQ.TQ'.'.MA. ME™).
Я утверждаю, что если провести ЕС параллельно TQ, то она пересечет 7WQ в точке С, принадлежащей развертке.
Действительно, из параллельности MKG и TAQ вытекает, что
MR (dx) + ^+1 RG (g). MG (dx + g) ::
V С4Л у	\	ltA> J
-.-.ТА + т^\ AQ.TQ::
::АМ(у). ME =	^).
dx2т\ dy^
Анализ бесконечно малых
219
Пример VIII.
93. Пусть AMD (черт. 83), — обыкновенная полуциклоида, основание которой BD равно полуокружности образующего круга ВЕА.
Обозначив АР через х. через и и диаметр АВ по свойству круга иметь, что
РЕ — V 2ах — хх, а по свойству циклоиды, что
у = и -ф- V 2ах — хх.
Диференциал последнего дает:
,	,	, a dx — xdx
dy=du -4- -=== =
У 2ах — хх
2adx—xdx ,	/'9л_ J
= —?==== или rfxi/
у 2ах—хх	У х ’
РМ через у, дугу АЕ через 2а, мы будем
,	a dx
если подставить вместо du его значение  г  	•
у 2ах — хх
Если полагать dx постоянным, то
. ,	— adx*
ddy = ~W^^Tx Л у ЛИЛ ЛЛ
Подставляя эти значения в	Vdx* -f- dy*,
— dx ddy
получим ($ 78):
МС — 2|/ 4aa — 2ax,
т. e. 2BE или 2MG 98).
220
Г. Ф. де-Лопитлль
Если положить х = 0, то для радиуса развертки в вершине А мы получим AN= 4а. Если же положить X = 2а, то окажется, что радиус развертки в точке D оказывается ничем или нулем, откуда видно, что развертка начинается в точке D, а кончается в N, так что BN—BA.
Чтобы выяснить природу этой развертки, достаточно дополнить прямоугольник BS, описать полукруг DIS с диаметром DS и провести DI параллельно МС или BE. После этого ясно, что угол BD1 равен углу EBD и значит дуги DI и BE равны между собой, откуда следует, что их хорды DI и BE или GC тоже равны. Значит, если провести 1С, то IC будет равной и параллельной DG, которая согласно способу получения циклоиды равняется дуге BE или D1. Следовательно, развертка DCN есть полуциклоида, имеющая основанием прямую NS, равную D1S — полуокружности ее образующего круга, т. е. это — та же полуциклоида AMDB, только перевернутая.
Следствие.
94.	Ясно ($ 75), что отрезок циклоиды DC вдвое больше ее касательной CG или соответствующей хорды DI, а полуциклоида DCN вдвое больше диаметра своего образующего круга BN или DS.
Другое решение.
95.	Длину радиуса МС можно найти также без всяких выкладок, именно следующим образом.
Анализ ёесконечно малых	251
Представив себе другой перпендикуляр тС, бесконечно близкий к первому, другую параллельную те, другую хорду Be и описав из центров С и В малые дуги GH и EF, образуем прямоугольные треугольники GHg и EFe, которые будут конгруэнтны. Действительно, Gg = Ee, потому что BG или ME равняется дуге АЕ, а также Bg или те равняется дуге Ае\ кроме того Hg или mg—MG = Fe или Be — BE1, и значит GH будет равняться EF. А так как перпендикуляры МС и тС параллельны хордам ЕВ и еВ, то угол МСт будет равняться углу ЕВе. Значит из того, что дуги GH и EF, измеряющие эти углы, равны, следует, что и радиусы CG и BE тоже равны; следовательно, МС надо взять вдвое больше MG нли BE.
Лемма.
96.	Если имеется некоторое конечное или бесконечное множество величин a, b, с, d, е и т. д., которые представляют собою линии или поверхности или тела, то сумма всех их разностей a — b-f-b — c-j-c — d|d — е и т. д. равняется наибольшей из них а минус наименьшая из них е или просто наибольшей из них, когда наименьшая равна нулю.
Это очевидно ").
Следствие I.
97.	Из подобия секторов СМт и CGH ясно, что Мт — вдвое больше GH или равной ей EF, а так как это имеет место, где бы ни предполагать точку М, то сумма всех малых дуг Мт, т. е. часть Ат полуциклоиды AMD, вдвое больше суммы всех малых
222	Г. Ф. де-Лопиталь
дуг EF. А так как малую прямую eF, перпендикулярную к Ае, можно рассматривать как малую дугу, описанную из центра А, то малая дуга EF, составляющая часть хорды АЕ, перпендикулярной к BE, есть разность хорд АЕ и Ае, и, следовательно, сумма всех малых дуг EF в дуге AZE будет равна сумме разностей всех хорд АЕ, Ае и т. д. в той же дуге, т. е. согласно лемме она будет равна xopie АЕ. Поэтому очевидно, что часть AM полуциклоиды AMD вдвое больше соответствующей хорды АЕ.
Следствие II.
98.	Пространство MGgm (§ 2), или трапеция MGHm = у Mtn + ~GH X MG = ~EFX BE, т. e. оно равняется утроенному треугольнику EBF или ЕВе. Отсюда следует, что пространство MGBA, сумма всех этих трапеций, втрое больше части круга BEZA— суммы всех этих треугольников.
Следствие III.
99.	Обозначив ВР через z, дугу AZE или ЕМ или BG через и и радиус КА через а, получим, что параллелограм MGBE — UZ. Но площадь циклоиды MGBA — 3BEZA = ЪЕКВ 4- ~^аи’ следовательно, пространство АМЕВ, заключенное между частью циклоиды AM, параллелью ME, хордой BE и диа-з
метром А В, будет равно 3£7<В4' ~2аи — uz- Отсюда
Анализ бесконечно малых	223
следует, что если взять BP(z) — -% а, то пространство АМЕ В будет втрое больше соответствующего треугольника ЕКВ, и, следовательно, его квадратура не зависит от квадратуры круга. Это впервые отметил г. Гюйгенс. Вот еще другого рода пространство, обладающее тем же свойством.
Если от пространства АМЕВ отнять сегмент BEZA, то остается пространство AZEM = ‘l ЕКВ -|--\-аи — uz, откуда видно, что когда точка Р попадает в центр К, то пространство AZEM равняется квадрату радиуса. Очевидно из всех пространств АМЕВ и /1Z£7W только эти два найденных пространства обладают квадратурой, не зависимой от квадратуры круга 10°).
Пример IX.
100.	Пусть полуэпициклоида lcl) AMD (черт. 84) получена качением полукруга АЕВ движному кругу BGD’, требуется определить на данном по положению перпендикуляре MG точку его прикосновения к развертке.
Чтобы воспользоваться общими формулами, надо было бы взять в качестве ординат кривой AMD прямые линии, перпендикулярные к оси О А, и затем найти уравнение, выражающее связь абсцисс
их диференциалов. Но так как подобное вычисление
по другому непо-
Черт. 8/.
с оодинатами или
224
I'. Ф. де-Лопиталь
было бы очень трудным, то в таких случаях лучше пытаться найти решение, исходя из самого способа образования кривой.
Когда полукруг АЕВ приходит в положение MGB, при котором он касается в G основания BD, и образующая точка А попадает в точку Л4 полуэпицн-клоиды AMD, то ясно, что:
1° Дуга GM равна дуге GD; а также дуга GB подвижного круга равна дуге GB неподвижного.
2° MG (§ 43) перпендикулярна к кривой, так как если рассматривать полуокружность MGB или АЕВ и основание BGD как совокупности бесконечного числа соответственно равных малых прямых, то очевидно, что полуэпициклоида AMD будет совокупностью бесконечного числа малых дуг, имеющих центрами последовательно все точки касания G и описанных одной и той же точкой М или А.
3° Если описать из центра О неподвижного круга концентрическую дугу ME, то дуги MG и ЕВ подвижного круга будут равны между собой так же, как и их хорды MG и ЕВ и углы OGM и ОВЕ. Действительно, прямые ОК и ОК, соединяющие центры обоих этих кругов, равны, так как они проходят через точки касания В и G\ поэтому, проведя радиусы ОМ, ОЕ, КЕ, мы образуем конгруэнтные треугольники ОКМ и ОКЕ. И так как угол ОКМ равен углу ОКЕ, то измеряющие эти углы дуги MG и BE одинаковых полукругов MGB и ВЕА будут равны так же, как и их
Анализ бесконечно малых
225
4
хорды MG и ЕВ, откуда следует, что и углы OGM и ОВЕ тоже будут равны.
Представим себе теперь другой перпендикуляр тС (черт. 85), бесконечно близкий к первому, другую концентрическую дугу те и другую хорду Be-, пусть из центров С и В описаны малые дуги ОН и EF. Прямоугольные треугольники GHg и EFe конгруэнтны, потому что Gg или Dg—DG — Ее или дуге Be — дуга BE, a Hg или mg— ~-MG~Fe или Be — BE. Значит, малая дуга GH будет равна малой дуге EF, откуда следует, что угол ОСН относится к углу EBF, как BE к CG. Таким образом вся трудность сводится к отыска-нию отношения этих углов. Это L делается следующим образом.
Если провести радиусы OG, Черт. 85.
Og, КЕ, Кв и обозначить OG
или ОВ через b, КЕ или КВ или КА через а, то ясно, что угол ЕВе — ОВе — OBE=Ogm — — OGM = (ecnu провести GL и GV параллельно Ст и Og) LGM — OGV=GCH— GOg.
Стало быть
угол GCH = GOg-\-EBF.
К
В
О
При равенстве дуг Gg и Её мы будем иметь:
GOg.EKe или 2EBF-.: КЕ (а). OG (Ь);
15 Зак. 2СБ1. — Лопиталь.
226
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
следовательно.
угол GOg=~EBF
И
GCH = ^-^-EBF. ь
Значит,
GCH.EBF или BE.CG-.-. 2а^--.1, Ъ ’
и, следовательно, неизвестная
Черт. 86.
CG = -т;- 7~;-- BE или MG.
2а + Ь
Это дает следующее построение.
Если взять (черт. 86)
ОА (2а b). OB (b) -.-.MG. GC, то точка С будет на развертке. Ясно, что: 1° Эта развертка начинается в точке D и касается
в ней основания BGD, потому что в этой точке дуга GM становится бесконечно малой. 2° Она кончается в точке N, так что
OA.OB'.-.AB.BN'.:
:: О А — АВ или ОВ . ОВ — BN или ON,
г. е. О А, ОВ и ON образуют непрерывную пропорцию. 3° Если теперь описать из центра О круг NSQ, то я утверждаю, что развертка DCN образуется качением подвижного круга GCS с диаметром GS или BN по неподвижному кругу NSQ, т. е. она будет
Анализ бесконечно малых
227
полуэпициклоидой, подобной данной или того же рода (потому что диаметры АВ и BN подвижных кругов относятся между собой, как радиусы ОВ и ON неподвижных кругов), но опрокинутой так, что ее вершина придется в D. Для доказательства предположим, что диаметры подвижных кругов находятся на произвольной прямой ОТ, проведенной из центра О’, она пройдет через точки касания S и G; и, если АВ или TG .BN или GS: : MG.GC, точка С будет на развертке и кроме того на окружности круга GCS, потому что при прямом угле GMT угол GCS тоже будет прямым. А из равенства углов МОТ и CGS следует, что дуга ТМ или GB относится к дуге CS, как диаметр GT к диаметру GS:: OG .OS:: GB .NS, и, следовательно, дуги CS и SN равны. Значит, и т. д.
Следствие /.
101.	Ясно (£ 75), что отрезок эпициклоиды DC равен прямой СМ\ следовательно, DC относится к его касательной CG:: АВ -j- BN. BN :: OB ON. ON, t. e. как сумма диаметров обоих образующих кругов, или подвижного и неподвижного круга, к радиусу неподвижного круга. Эту же истину можно еще открыть следующим способом: из подобия треугольников СМт и СОН (черт. 85) будем иметь:
Mm.GH или ЕВ :: MC.GC : :
:: ОА + ОВ (2а^2Ь).ОВ (Ь).
15*
228
Г. Ф. де-Лопиталь
Отсюда следует (как в § 97), что часть эпициклоиды AM относится к соответствующей хорде АЕ, как сумма диаметров образующего круга и основания относится к радиусу основания 102).
Следствие II.
102.	Трапеция MGHm — у GH)- — Мт X MG (черт. 85). Далее,
С0(^ГЬМа).См{2-^-М0) :: GH. Мт = ОН.
А так как GH — EF и MG — EB, то
MGHm = EF X ЕВ,
т. е. трапеция MGHm всегда относится к соответствующему треугольнику EBF:: 2а -]- 3Z>. Ь.
Отсюда следует, что пространство МGBA, заключенное между перпендикулярами к эпициклоиде MG и АВ, дугой BG и отрезком эпициклоиды МА, относится к сегменту соответствующего круга
BEZA : :2а-^^b.b 103).
Следствие 111.
103.	Очевидно, что квадратура произвольной части эпициклоиды зависит от квадратуры круга; но если взять OQ (черт. 87) — среднюю пропорциональную ОК и О А — и описать таким радиусом дугу QEM, то я утверждаю, что пространство АВЕМ, заключенное
Анализ бесконечно малых
229
между диаметром АВ, хордой BE, дугой ЕМ и отрезком эпициклоиды AM, относится к треугольнику ЕКВ: 2а-\-ЗЬ .Ь. Действительно, обозначив дугу АЕ или GB через и, а радиус OQ через Z, будем иметь:
OB(b) .OQ(z) ::GB(u).RQ или МЕ = ^-.
Следовательно, пространство RGBQ и MGBE, т. е.
1 GB+ 4-/?Q X BQ = ZZU-=)bbU.
Ho ($ 102) площадь эпициклоиды MGBA = + ™ x beza =
Черт. 87.
_ la 4- 36 b
X EKB	KEZA
Значит, если отнять от этой площади предыдущую, то останется
АВЕМ =1ааи + За6“ + ЬЬи ~ гги + 2а+ 36 уЕКВ =
26
так как, по построению, zz = 2аа 3ab -|- bb. Отсюда видно, что квадратура этого пространства не зависит от квадратуры круга, причем этим свойством обладает из всех ему подобных только это пространствр.
230
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Вот еще другое пространство, обладающее тем же свойством. Если отнять от пространства АВЕМ сегмент BEZA (}j-aii-[-EKB'y то останется'' пространство
АЕЕМ = ^+?^ + ЬЬи ~+	Х ЕКВ =,
2о	о
=2-^^хекв,
если положить zz = 2аа -j- 2ab Ц- bb; т. е. если разделить полуокружность пополам при помощи точки Е, то пространство AZEM будет относиться к удвоенному треугольнику ЕКВ, т. е. к квадрату радиуса :: ОК(а-{-Ь).ОВ (Ь).
Следствие IV.
104.	Если подвижной круг АЕВ (черт. 88) катится по неподвижному кругу BGD изнутри, то его диаметр АВ из положительного становится отрицатель? ным, и, следовательно, надо переменить знаки при членах, в которые он входит в нечетной степени 101). Отсюда следует, что 1° Если провести MG, произвольный перпендикуляр к гипоциклоиде, и взять
О А (Ь — 2я). ОВ(Ь): : MG, GC,
то точка С окажется ($ 100) на развертке DCN, образованной качением _круга с диаметром BN по внутренней стороне окружности NS, концецтриче?
Анализ бесконечно малых
231
ской с BD. 2° Если описать из центра О дугу ME, то отрезок гипоциклоиды AM будет относиться (§ 101) к хорде АЕ ::2b — 2a.b. 3° Пространство MGBA относится (§ 102) к сегменту BEZA : : ЗЬ— 2а. Ь.
Если взять
OQ = V2aa — ЗаЬ-\~ЬЬ,
т. е. средней пропорциональной к ОК и О А, то пространство АВЕМ, заключенное между частью гипоциклои-
ды AM, дугой ME, хордой ЕВ	( /
и диаметром АВ, будет отно- / I / ситься {§ 103) к треугольнику	V
ЕКВ :: 3d — 2а • Ь. Но если	zCrz?7®
взять
OQ или О£=
— У 2аа—2ab-\~bb,
т. е. так, чтобы дуга АЕ был	о
четвертью окружности, то про- Черт. 88. странство AZEM, заключен-
ное между частью гипоциклоиды AM и двумя дугами ME и АЕ, будет относиться (§ 103) к треугольнику ЕКВ, который в этом случае становится половиной квадрата радиуса :: 2Ь — 2а  Ь. .
Следствие К
105.	Если предположить, что ОВ — радиус неподвижного круга (черт. 86) становится бесконечно большим, то дуга BGD обратится в прямую линию и кри
232	Г. Ф. де-Лопиталь
вая AMD станет обыкновенной циклоидой. Так как в этом случае А В — диаметр подвижного круга — есть ничто по сравнению с диаметром неподвижного, то: 1° MG.GC: : b.b. Действительно Ь±2а = Ь, т. е. MG — GC, и, следовательно, если взять BN — АВ’ч провести прямую NS параллельно BD, то развертка DCN получится качением круга с диаметром BN по основанию NS. 2° Часть циклоиды AM (черт. 85, 88) относится к соответствующей хорде АЕ : : 2b. b. 3° Пространство MGBA относится к сегменту BEZA :: 3b. Ь. 4° Из того, что 5Q (черт. 87, 88), или ± OQ +0 В, которое я обозначу через х, будет = гр b rt У2аа ± 3ab bb, следует (если освободиться от иррациональности), что
хх dr 2bx - 2аа zfz ЗаЬ;
отбросив члены, не содержащие Ь, так как они суть ничто по сравнению с остальными, будем 3	„	,
иметь х — у а. Следовательно, если взять в обыкновенной циклоиде	„
ВР = ± АВ 4
и провести прямую РЕМ (черт. 83) параллельно основанию BDt то пространство АМЕВ будет равняться утроенному треугольнику ЕКВ. Действуя таким же образом, найдем, что если точка Р попадает в центр К, то пространство AZEM, заключенное между частью циклоиды AM, прямой ME и дугой АЕ, равняется квадрату радиуса. Это было доказано уже раньше в $ 99.
Анализ бесконечно малых	233
Замечание.
106.	Из того, что дуги DG и GM (черт. 84) всегда равны между собой, следует, что угол DOG всегда относится к углу GKM : : GK- OG. Поэтому, если начало D циклоиды DMA, радиусы образующих кругов OG и GK и точка касания G заданы и угодно определить положение точки М, описывающей циклоиду, то достаточно провести радиус КМ так, чтобы угол GKM относился к данному углу DOG.'.OG.GK Теперь я утверждаю, что когда отношение этих радиусов выражается отношением чисел, то это всегда можно сделать геометрическим путем; следовательно, тогда циклоида DMA будет геометрической.
Действительно, если положить, например, что OG.GK-- 13.5, то ясно, что угол MKG должен содержать данный угол DOG два раза и еще 8/6 этого угла. Значит, вся трудность сводится к делению угла DOG на пять равных частей. А геометрам известно, что данный угол или данную дугу всегда можно геометрическим путем разделить на любое число равных частей, так как при этом всегда приходят к уравнению, содержащему только прямые линии. Значит, и т. д.
Я утверждаю кроме того, что циклоида DMA — механическая кривая, или (что то же самое) что ее точки М нельзя определить геометрическим путем, когда отношение OG к KG не выражается отноще? нием чисел, т. е. когда оно иррационально,
234
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Действительно (черт. 89) всякая как механиче-екая, так и геометрическая линия либо замыкается либо простирается до бесконечности, так как ее образование всегда можно продолжить. Значит, если с	подвижной круг АВС описывает при
/z\T/7eV''\	своем первом обороте посредством
( S’*|\\\ своей точки А циклоиду ADE, то \±	\ N эта циклоида еще не закончена, и,
продолжая катиться, круг опишет I	—'j ' вторую циклоиду EFG, затем третью
'	GHI и т. д. до тех пор, пока обра-
Черт. 89.	зующая точка А после нескольких
оборотов не вернется в свою исходную точку. Если затем снова начать качение подвижного круга АВС, он опять опишет ту же кривую линию, так что все эти циклоиды вместе составляют только одну кривую ADEFGHI и т. д. Если же радиусы образующих кругов несоизмеримы, то их окружности тоже будут несоизмеримы, и, следовательно, образующая точка А подвижного круга АВС никогда не сможет вернуться в точку А — неподвижного, из которой она вышла, как бы велико ни было число оборотов. Значит, получится бесчисленное множество циклоид, которые образуют, однако, одну кривую линию ADEFGHI и т. д. Если теперь провести через неподвижный круг бесконечную прямую, то ясно, что она пересечет кривую, продолженную до бесконечности, в бесконечном числе гочек, А так как уравнение, выражающее природу
Анализ бесконечно малых	235
геометрической линии, должно иметь число измерений по меньшей мере равное числу различных точек, в которых эта линия может пересекаться с прямой, то уравнение, выражающее природу этой кривой, будет иметь бесконечное число измерений. А так как это невозможно, то очевидно, что кривая должна быть механической или трансцендентной 105).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ III.
Задача.
107.	Дана кривая BFC (черт. 90); найти бесчисленное множество линий AM, BN, EFO, для которых она является общей разверткой.
Если кривую BFC развернуть, начиная с точки А, то ясно, что все точки А, В, F нити ABFC опишут
при этом движении кривые линии АА4, BN, FO, которые все будут иметь общей разверткой данную кривую BFC. Но надо заметить, что начало кривой FO не будет в точке F, так как ее разверткой является только часть FC. Для нахождения этого нача
ла нужно развернуть оставшуюся
часть BF, начиная с точки F, чтобы описать часть EF кривой EFO, которая имеет начало в Д' и разверткой которой является вся кривая ВрС,
236
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Если угодно найти точки М, N, О, не пользуясь нитью ABFC, то достаточно взять на любой касательной СМ, отличной от ВА, отрезки CM, CN, СО, равные ABFC, BFC, FC.
Следствие.
108.	Очевидно, что:
1° Кривые AM, BN, EFO очень различны по природе; так, например, у кривой AM в ее вершине Л радиус развертки равен АВ, в то время как у кривой BN он равен нулю. Также из самой формы кривой EFO ясно, что она сильно отличается от кривых AM и BN.
2° Кривые AM, BN, EFO будут геометрическими, только когда данная BFC — геометрическая и вдобавок спрямляемая. Действительно, если она не геометрическая, то, взяв ВК за абсциссу, нельзя будет найти геометрически ординату КС, а если она не спрямляемая, то, проведя касательную СМ, невозможно будет определить геометрически точки М, N, О кривых AM, BN, EFO, потому что нельзя будет найти геометрически прямолинейные отрезки, равные кривой линии BFC и ее частям BF, FC 106).
Замечание.
109.	Если кривую линию ВАС (черт. 91), имеющую точку перегиба А, развернуть, начиная с точки D, отличной от точки перегиба, то при развертывании части BAD образуется часть DEF, а при развертывании части DC — остальная часть DG, так чтр FEDQ
Анализ бесконечно малых	237
определять точки Е, кото-
fl
будет вся кривая, полученная развертыванием ВАС. Очевидно, что эта кривая возвращается обратно в точках D и Е с тою разницей, что в точке возврата D части DE и DG обращены одна к другой выпуклостью, в то время как в точке Е части DE и EF вогнуты с одной и той же стороны. В предыдущей главе показывалось, как находить точки возврата, подобные £); теперь спрашивается, как рые можно назвать точками возврата второго рода и которые никем из известных мне лиц еще не рассматривались.
Чтобы достигнуть цели, проведем к части DE два произвольных перпендикуляра MN и тп, ограниченных разверткой в точках N и п, в которых
пендикуляры NH и пН к первым NM и пт. При этом образуются два малых сектора MNm и NHn\ они подобны, потому что углы MNm и NHn равны Значит, мы будем иметь:
Nn.Mm'.'.NH.NM.
н
Черт. 91.
восставим вторые пер-
Но в точке перегиба А радиус NH становится (§ 81) бесконечностью или нулем, а радиус MN, который обращается в АЕ, остается конечной величины. Следовательно, в точке возврата второго рода Е отно
*238
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
шение Nn, диференциала радиуса развертки MN, к. Мт, диференциалу кривой, должно стать или бесконечно большим или бесконечно малым. Вследствие того, что ($ 86)
— 3dx dy ddy2 dx2 -|- dy2 2 -[ dx dddy dx2ф- dy2 2 dx2 ddy2
Мт = ]Е dx2	dy2,
будем иметь:
dx2 dddy ф- dy2 dddy — 3dy ddy2 q
/7 r fisfv'i	~~	’
E A
Черт. 92.
В Черт. 93.
умножив на dxddy2, найдем формулу:
dx2 dddy -j- dy2 dddy — 3dy ddy2 — 0 или oo, которая и служит для определения точек возврата второго рода.
Можно еще предположить, что возвратная кривая второго рода DEF (черт. 92, 93) или HDEFG имеет разверткой такую возвратную кривую второго рода
Анализ бесконечно малых
230
ВАС, что ее точка возврата А соответствует точке возврата Е, т. е. находится на радиусе развертки, выходящем из точки Е. При этом предположении ясно, что радиус развертки ЕА будет всегда наименьшим или наибольшим, следовательно, диференциал общего выражения (§ 78) радиуса развертки
______________з
4- dy4- 2
— dx ddy
должен быть в искомой точке Е нулем или бесконечностью; это приводит к той же формуле, что и прежде, и таким образом она является общей формулой для нахождения точек возврата второго рода 107).
ГЛАВА VI.
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К НАХОЖДЕНИЮ КАУСТИК ОТРАЖЕНИЯ.
Определение.
Предположим, что из светящейся точки в исходит бесконечное множество лучей ВА, ВМ, BD (черт. 94, 95), которые отражаются от кривой AMD, причем углы отражения равны углам падения. Линия HFN, которой касаются отраженные лучи или их продолжения АН, MF, DN, называется каустикой отражения 108).
Следствие 1.
ПО. Если продолжить НА до точки / так, чтобы А1=АВ (черт. 94), и развернуть каустику HFN, начиная с точки I, то получится кривая ILK, обладающая тем свойством, что касательная FL (§ 75)
Анализ бесконечно малых
241
всегда равна отрезку каустики FH плюс прямая HI.
Если взять два бесконечно близких к ВМ, MF
падающих и отраженных луча Вт, mF, продолжить
Fm до I и описать из центров F и В малые дуги
МО и MR, то получатся прямоугольные треугольники МОт и MRm. Эти треугольники конгруэнтны, так как при общей гипотенузе Мт и равенстве углов ОтМ — FmD = = RmM малые стороны 109) От и Rm будут тоже равны. Так как От есть диференциал LM, а Rm — диференциал ВМ, и это имеет место, где бы
Черт. 94.
ни взять точку М, то ML — IA, или АН -|--{-HF—MF, сумма (§ 96) всех диференциалов От на отрезке кривой AM, равна	/
ВМ — В А, сумме (§ 96) всех диференциалов Rm на том же	х/Л*
отрезке кривой. Поэтому' HF, отрезок каустики HFH, будет равен:
ВМ — В А 4- MF — А Н и0).	Черт. 95.
Возможны различные случаи в зависимости от того, будет ли падающий луч В А больше или меньше
16 Зак. 2051. —Лопиталь.
242
Г. Ф, ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
ВМ и будет ли отраженный луч АН при переходе к лучу MF развертывать или обвертывать отрезок HF. Но так же, как и здесь, всегда можно доказать, что разность падающих лучей равна разности отраженных с прибавкой к одному из них того отрезка каустики, который он развертывает, прежде чем сов-
—О
пасть с другим. Например, ВМ—В А (черт. 95) = 7HF-|- FH — АН, откуда
FH = BM — ВА^-АН — MF. .
Если из центра В описать дугу д д	круга АР (черт. 94, 95), то очевидно,
Черт 96	чт0 РМ будет разностью падающих
лучей ВМ и ВА. Если предположить, что светящаяся точка В станет бесконечно удаленной от кривой AMD (черт. 96), то падающие лучи В А и ВМ станут параллельными и дуга АР обратится в прямую, перпендикулярную к этим лучам.
Следствие II.
111.	Если фигуру BAMD (черт. 94) повернуть в ее плоскости так, чтобы точка В попала в точку I и чтобы касательная в точке А к кривой AMD в ее первоначальном положении осталась касательной и в новом положении, и заставить кривую aMd катиться по AMD, т. е. по себе самой, так, чтобы отрезок аМ оставался равным отрезку АМ, то, утверждаю' я, точка В в своем движении опишет некую рулетту ILK, разверткой которой является каустика HFN.
Анализ бесконечно малых
243
Действительно, из образования кривой следует, что: 1° Линия LM, соединяющая образующую точку L с точкой касания М, будет ($ 43) перпендикулярной к кривой ILK. 2° La или IA — BA и LM — ВМ. 3° Углы, образуемые прямыми ML и ВМ с общей касательной в точке М, равны, и, значит, при продолжении LM до F луч MF окажется отраженным лучом для падающего луча ВМ. Отсюда видно, что перпендикуляр LF касается каустики HFN, а так как это имеет место, где бы ни взять точку L, -то, следовательно, кривая ILK образуется развертыванием каустики HFN и прямой HI.
Отсюда следует, что отрезок FH или FL—HI— — ВМ -f- MF — ВА — АН. Это же самое было доказано другим способом в предыдущем следствии.
Следствие III.
112.	Если касательная DN бесконечно приближается к касательной FM, то, очевидно, точка касания N, как и точка пересечения N, совпадут с другой точкой касания F. Таким образом, чтобы найти точку F, в которой отраженный луч MF касается каустики HFN, надо только найти точку пересечения бесконечно близких отраженных лучей MF и mF. В самом деле, если представить себе бесконечное множество бесконечно близких друг к другу падающих лучей, то видно, что пересечения отраженных лучей образуют многоугольник с бесконечным множеством сторон, совокупность которых образует каустику HFN.
16»
244
Г. Ф. де-Лопиталь
ПРЕДЛОЖЕНИЕ I.
Общая задача.
113.	Даны природа кривой AMD (черт. 97), светящаяся точка В и падающий луч ВМ. Найти на заданном по положению отраженном луче MF точку F, в которой он касается каустики.
Найдя, как в предыдущей главе, МС— длину радиуса развертки в точке М— и взяв бесконечно малую дугу Мт, надо провести прямые Вт, Ст и Fm, описать из центров В и F малые дуги MR и МО, провести к падающим и отраженным лучам перпендикуляры СЕ, Се, CG и Cg и обозначить данные: ВМ через у, ME или MG через а.
Затем можно доказать, как и в следствии первом ($ 110), что треугольники MRm и МОт конгруэнтны и, значит, MR — МО. А из
равенства углов падения и отражения следует, что: CE — CG, Ce = Cg, значит, СЕ — Се или EQ — = CG — Cg или SG. Итак, из подобия треугольников BMR и BEQ, FMO и FGS следует, что
ВМ -4- BE (2у — а).ВМ(у) ::
:: MR 4~ EQ или MO-}-GS.MR или МО::
..ма(а).ме=л^.
Анализ бесконечно малых
245
Если светящаяся точка В и точка Е оказываются по разные стороны точки М, или, что то же, кривая AMD обращена выпуклостью к светящейся точке В, то у из положительного становится отрицательным, и следовательно,
MF =_______—.а_У... - или _—____ 1И)
тг — 2у — а 2>4-а	'
Если предположить, что у становится бесконечным, т. е. точка В (черт. 96) бесконечно удаляется от кривой AMD, то лучи падения будут параллельны
1 1
между собой и Мг = -^ а, так как а будет ничем по сравнению с 2у.
Следствие 1.
114.	Так как для MF (черт. 94, 95) получается единственное значение, в которое входит радиус развертки, то кривая AMD может иметь только одну каустику отражения (§ 80), ибо у нее имеется только одна развертка.
Следствие II.
115.	Если AMD есть линия геометрическая (черт. 97), то (§ 85) очевидно, что ее развертка — тоже геометрическая линия, т, е. все точки С находятся геометрически. Следовательно, все точки F каустики могут быть определены геометрически, т. е. каустика HFN (черт. 94, 95) будет геометрической линией. Я утверждаю сверх того, что эта каустика будет всегда спрямляема, ибо очевидно (§ 110), что при помощи
246
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
геометрической по предположению кривой AMD можно найти прямые линии, равные любым отрезкам этой каустики.
Следствие III.
116.	Если кривая AMD (черт. 97) обращена выпуклостью к светящейся точке В, то величина MFC ^—) \Чу + а) всегда положительна, поэтому точку F надо взять с той же стороны точки М, с которой находится точка С, как и предполагалось при выкладках. Отсюда видно, что бесконечно близкие отраженные лучи расходятся.
Но если кривая AMD обращена вогнутостью к светящейся точке В, то величина MF\^—~ ) \2у — а) будет положительной, если у больше у а, отрицательной— если меньше, и бесконечно большой при у — Отсюда следует, что если построить круг с диаметром, равным половине радиуса развертки МС, то бесконечно близкие отраженные лучи будут сходиться, если светящаяся точка В окажется вне этого круга, расходиться — если она окажется внутри него, и будут итти параллельно, если точка В окажется на окружности.
Следствие IV.
117.	Если падающий луч ВМ касается кривой AMD в точке Л1, то ME (а) = 0 и значит MF = 0. Так как в этом случае отраженный луч совпадает по на
Анализ бесконечно малых	247
правлению с падающим и природа каустики состоит в том, что она касается всех отраженных лучей, то, следовательно, она касается и падающего луча ВМ в точке М, т. е. каустика и данная кривая будут иметь в своей общей точке М общую касательную. Если радиус развертки МС равен нулю, то снова МЕ(а) = 0, и значит MF = 0. Отсюда видно, что данная кривая и каустика образуют в своей общей точке М угол, равный углу падения.
Если радиус развертки СМ бесконечно велик, то малая дуга Мт обращается в прямую линию и MF — гр у, так как при 5 ME (а), бесконечно большом, у будет ничем по сравнению с а. А так как /гч это величина отрицательная, если точка д' А В и точка С находятся по одну сто-рону от линии AMD, и положительная, ' если они находятся по разные ее сто- Черт. 98. роны, то, следовательно, когда линия
AMD —прямая, бесконечно близкие отраженные лучи будут расходиться.
Следствие V.
118.	Очевидно, что если даны любые две из трех точек В, С, F, то легко найти третью.
1° Пусть кривая AMD (черт. 98) —парабола с фокусом в светящейся точке В. Из основ теории конических сечений легко видно, что все отраженные лучи параллельны оси, следовательно, MF будет всегда бесконечно велико, где бы ни взять точку М. Таким
248
Г. Ф. ДЕ-ЛОПНТАЛЬ
образом а — 2у, откуда следует, что если взять ME равным удвоенному МВ и провести перпендикуляр ЕС,
то он пересечется
Черт. 99.
все отраженные
с МС, перпендикуляром к кривой AMD, в точке С, которая находится на развертке этой кривой.
2° Пусть кривая AMD (черт. 99) — эллипс, в одном из фокусов которого находится светящаяся точка В. Очевидно, что лучи MF пересекутся в одной
точке F, являющейся другим фокусом. Если обозначить MF через z, то ($ 113)
аУ 2у — а
откуда находится искомое
ME (а)
2yz
У + г '
Если же кривая AMD — гипербола, то фокус F
м 0 окажется по другую ее сто
/Tv Р0НУ> следовательно, MF (z) 'mT'V будет отрицательным, и
£—Т’ значит:
Черт. 100. МЕ(а) = =^- или
7 * 7 у — Z	Z —у
Это дает следующее построение, приложимое также и к эллипсу.
Берем ME (черт. 99 и 100) — четвертую пропорциональную к половине большой оси 112)
Анализ бесконечно малых
249
падающему и отраженному лучам — и проводим перпендикуляр ЕС\ он пересечется с линией МС, перпендикулярной к коническому сечению, в точке С, находящейся на развертке.
Пример I.
равным половине MQ.
119.	Пусть линия AMD (черт. 101) —парабола, причем падающие лучи РМ перпендикулярны к ее оси АР. Требуется найти на отраженных лучах MF точки F их прикосновения к каустике AFK 118).
Очевидно, что, проведя радиус развертки МС и опустив перпендикуляр CG на отраженный луч MF, придется (§ 113) взять MF Но это построение можно сократить, заметив, что если провести MN параллельно оси АР и прямую ML до фокуса L, то углы LMP и FMN будут равны, так как, по свойству параболы, LMQ = QMN, а по предположению PMQ = = QMF. Если прибавить к обеим сторонам [равенства] один и тот же угол
PMF, то угол LMF будет равен углу PMN, будет прямым. Но доказано (§ 118), что LH, пендикулярная к ML, пересекает радиус развертки МС
т. е. пер-
250
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
в его середине Н. Значит, если провести MF, равную и параллельную LH, то она окажется одним из отраженных лучей и коснется каустики AFK в точке F. Что и требовалось найти.
Если предположить, что отраженный луч MF параллелен оси АР, то очевидно, что точка каустики/7 будет сколь возможно более удаленной от оси АР, так как касательная в этой точке параллельна оси. Для того чтобы определить эту точку на всех каустиках вроде AFK, образованных лучами, падающими перпендикулярно к оси данной кривой, достаточно заметить, что МР должно быть тогда равно PQ. Это дает dy — dx. Пусть ах=уу, тогда получается:
откуда
т. е. если точка Р попадает в фокус L, то отраженный луч MF будет параллелен оси. Это впрочем ясно из того, чю в этом случае МР совпадает с LM и, значит, MF должна совпасть с MN, a LH с AQ. Отсюда видно, что при этом MF равна ML', следовательно, если провести FR перпендикулярно к оси, то AR или AL-\-MF — а. Очевидно также, что отрезок каустики AF равен в этом случае параметру, ибо он всегда ($ 110) равен PM-\-MF.
Чтобы определить К, точку пересечения каустики AFK с осью АР, надо найти значение МО
Анализ бесконечно малых
251
и приравнять его значению MF, так как очевидно что, когда точка F попадает в К, линии MF и МО становятся равными между собой.
Обозначим неизвестное МО через t\ перпендикуляр к кривой MQ делит угол РМО пополам. Отсюда следует, что:
MP{y).MO(t)-.-.P^y^)	=
Следовательно,
ОР =
(из прямоугольного треугольника МРО)', при делении обеих сторон [равенства] на /-J-.у получается:
откуда
MO(t) - ^^4^ = A/rf'l а) =	,
v 7 <Zx2 — dy*	\. 2 )	— 2ddy ’
так как ($ 77) dx*-\-dy* ME (а) =--------------------------—.
' 1	— ddy
Отсюда
й?у3 — 2у ddy — dxA,
что и служит для нахождения такой точки Р, для которой падающий из нее луч РМ даст отраженный луч MF, который касается каустики AFK в К, точке ее пересечения с осью АР.
252
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Для параболы у = х2, dy — -% X 2 dx, 1 --
ddy — — х 2 dx2\ при подстановке этих значений в предыдущее уравнение получается:
~ х-1 dx1 -f- у х-1 rfx2 — dx2,
откуда
АР (х) = у параметра.
Чтобы определить вид каустики AFK по способу Декарта, надо найти уравнение, выражающее связь между абсциссой AR (и) и ординатой RF(zj. Это делается следующим образом.
Раз
МО (t)
у dx2 у- у dy2 dx2 — dy2 ’
то
РО (tdy+ydy\ — ^у dx dy  \ dx ) dx2 — dyt ’
а из подобия треугольников МРО и MSF получаются пропорции:

:: МР(у). MS(y - г)) =	:
" Z- U И у
::	dXd^ ) SP или PR =
\ dx1 — dy2 )	'	' — ddy
Анализ бесконечно малых
253
Таким образом получаются два уравнения:

rfya — dx2 — 2ddy
। dx dy г —ddy ’
и
и — х
служащие вместе с уравнением кривой для составления нового уравнения, в которое хну уже не войдут и которое, следовательно, выразит связь между Л/? (и) и FR(z).
Когда кривая AMD — парабола, как предполагалось в этом примере, то
3 -	1
z = ~x2 —2х2
или (возводя обе стороны [равенства] в квадрат)
х — бхх 4- 4х8 — zz
и
и = Зх;
отсюда получается искомое уравнение, выражающее природу каустики AFK, именно:
4 „	2	,3
azz = -^=-us — -v auu 4- -г ааи.
27	3	1 4
Можно заметить, что PR всегда равно удвоенному АР, потому что AR(u) == Зх, что дает еще один способ определять на отраженном луче MF искомую точку F.
Пример II.
120.	Пусть кривая AMD (черт. 102) — полукруг, имеющий диаметром линию AD и центром точку С; пусть лучи падения РМ перпендикулярны к AD.
251
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Развертка круга стягивается в одну точку, а именно — его центр; поэтому HF, перпендикуляр, опущенный на отраженный луч MF из точки Н—середины радиуса СМ, пересечется ($ 113) с этим лучом в F—точке его прикосновения к каустике AFK. Очевидно, что отраженный луч MF равен половине падающего РМ. Из этого следует, что: 1° при совпадении точки Р с С точка F совпадает с К, серединой СВ\ 2° отрезок AF равен утроенному MF, а каустика AFK—утроенному В К- Также можно ви-
деть, что если взять в качестве угла АСМ половину прямого, то отраженный луч MF будет параллелен АС, и, следовательно, точка F окажется над диаметром AD выше
всех остальных точек каустики.
Окружность, имеющая диаметром МН, проходит через точку F, так как угол HFM — прямой. Если из центра С описать радиусом СК или СН, равным половине СМ, круг KHG, то дуга HF будет равна дуге НК, так как из равенства углов CMF и СМР или НСК следует, что дуги у HF и НК, измеряющие эти углы в кругах MFH и КНО, относятся между собой, как радиусы у МН и НС этих кругов. Отсюда видно, что каустика AFK есть эпици
Анализ бесконечно малых	255
клоида, образованная качением подвижного круга MFH по неподвижному кругу KHG. Начало ее — в точке К, а вершина в А ,14).
Пример III.
121.	Пусть кривая AMD (черт. 103) — круг, имеющий диаметром линию AD, а центром точку С. Пусть светящаяся точка А, откуда исходят все падающие лучи AM, есть один из концов диаметра AD.
Если из центра С опустить перпендикуляр СЕ на падающий луч AM, то согласно свойству круга точка Е разделит хорду AM пополам; таким образом
1	I ) 'х
МЕ(а) = -?у.	\
Следовательно,	J-----Л——у---------J
Д Ь b ti и черт. юз.
т. е. отраженный луч ME надо взять равным трети падающего AM. Отсюда видно, что
DK=^AD, CK——CD О	о
($ ПО) и что каустика
afk=4-ad,
б
4 а ее отрезок AF — -к AM.
О
Если взять АМ = АС, то отраженный луч MF будет параллельным диаметру AD, и, следовательно,
256	Г. ф, де-Лопигаль
точка F будет наивысшей точкой каустики над этим диаметром.
Если взять СН — =- СМ и провести HF перпен-О
дикулярно к, MF, точка F окажется на каустике, ибо очевидно, что раз HL перпендикулярна к AM и МН = ~ СМ, то
ML = ^ME = ~AM. О	о
Значит, круг, имеющий диаметром МН, пройдет через точку F каустики, и если из центра С описать радиусом СК или СН другой круг KHG, то эти круги будут между собою равны и дуга НК будет равна дуге HF. Действительно, в равнобедренном треугольнике СМ А внешний угол КСН — 2СМА = AMF; следовательно, дуги НК и HF, измеряющие эти углы в одинаковых кругах, будут между собою равны. Каустика AFK—опять эпициклоида с началом в точке К и с вершиной в А, образованная качением подвижного круга MFH по неподвижному KHG.
Это можно доказать еще и другим способом. Эпициклоида, образованная качением круга, равного кругу AMD, по нему самому, начиная с точки А, будет иметь разверткой, как это доказано в следствии II (§ 111), каустику AFK- Эта развертка ($ 100) — такая же эпициклоида, и значит, диаметры обоих образующих кругов одинаковы. Точка К определится, если взять СК третьей пропорциональной к CD DA и CD, т. е. равной CD. Следовательно, и т. д.115).
Анализ бесконечно малых
257
Пример IV.
122.	Пусть кривая AMD (черт. 104) есть обыкновенная полуциклоида, образованная качением полукруга NGM по прямой BD и имеющая вершину в точке А, а начало — в D. Пусть лучи падения Д7И параллельны оси АВ.
Из того, что MG (§ 95) равна половине радиуса развертки, следует, что если провести GF перпен-
дикулярно к отраженному лучу MF, то точка F
окажется ha каустике DFB. Отсюда видно, что MF надо взять равным КМ.
Если из Н, центра образующего круга MXjN, провести в образующую точку М и в точку касания G радиусы НМ и HG, то ясно, что HG будет перпен
0 К G В
Черт. 104.
дикулярен к BD и угол QMH — МОН = GMK, отсюда видно, что отраженный луч MF проходит через, центр Н. Круг, имеющий диаметром GH, также проходит через точку F, ибо угол GFH прямой. Значит дуги GN и у GF, измеряющие один и тот
же угол GHN, будут относиться между собой, как MN и GH — диаметры их кругов; следовательно, дуга GF=GN —GB. Итак, очевидно, что каустика DFB есть циклоида, образованная полным обращением круга GFH, катящегося по прямой BD116).
17 Зак. 2051. —Лопиталь.
258
Г, Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Пример К
123.	Пусть снова кривая AMD (черт. 105) есть обыкновенная полуциклоида, основание которой BD равно полуокружности ANB образующего круга. И пусть теперь падающие лучи РМ параллельны основанию BD.
Если провести GQ перпендикулярно к РМ, пря
Черт. 105.
моугольные треугольники GQM и BPN будут конгруэнтны, следовательно,
MQ = PN.
Отсюда видно, что (§95, 113) MF надо взять равным PN, ординате, соответствующей ему в образующем полукруге АПВ.
Чтобы точка F была возможно более удаленной от оси АВ, надо, чтобы MF—касательная в ней — была парал
лельна этой оси. Значит, угол PMF будет пря
мым, а его половина PMG или PNB — половиной
прямого, и, следовательно, точка Р попадет в центр круга ANB.
Следует отметить, что, при непрерывном приближении точки Р к концу В, точка F тоже приближается к оси АВ до некоторой точки К, а затем
она от нее удаляется до D. Таким образом каустика AFKFD имеет точку возврата в К.
Анализ бесконечно малых	259
Для определения ее я замечу ($ ПО, 111), что отрезок AF — РМ MF, отрезок AFK = HL -|- LK, а отрезок KFчасти KFD есть HL LK— РМ — MF. Отсюда видно, что HL---LR должно быть наибольшим. Поэтому, обозначая АН через х, HI через у, дугу А1 через и, получим:
HL + LK=u^2y.
Диференциал этого дает:
du 2 dy — О,
1	a dx
или. подставляя вместо аи его значение -.
,	У
— 4-2dy = 0.
Отсюда, а также на основании свойств круга, получается:
adx = — 2ydy = 2xdx — 2а dx;
следовательно,
АН(х) = -|а нт).
Следствие.
124.	Пространство AFM или AFKFM, заключенное между отрезками кривых AF или AFKF и АМ и отраженным лучом MF, равно половине части круга APN. Это следует из того, что сектор FMO, диференциал пространства AFM, равен половине прямоугольника PpSN—дифереициала пространства APN, так как прямоугольные треугольники МОт и MRni конгруэнтны и МО — MR или NS или Рр, a MF — PN *18).
17*
260
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛь
Пример VI.
125.	Пусть AMD (черт. 106) — полуэпициклоида с началом в точке А и вершиной в D, образованная качением круга МОН по одинаковому с ним кругу AGK. Пусть все падающие лучи AM исходят из точки А. Линия ВМ, соединяющая центры обоих образующих кругов, всегда проходит через точку их прикосновения О, и дуги GM и GA, так же как и их хорды, всегда равны между собой; точно так же
N	угол HGM = ВО А, а угол
ОМА = GAM. Далее,
\	= GMA -j- GAM, так как,
\ прибавив с каждой сто-\J _______\ роны угол AGM, мы по-
ЛЗ 8 К~	0 лучим два прямых. По-
Черт. 106.	этому угол НОМ будет
всегда равен углу ОМА, а следовательно, и углу отражения GMF, откуда следует, что MF всегда проходит через Н—центр подвижного круга.
Если теперь опустить перпендикуляры СЕ и GO на падающий луч AM, то, очевидно,
МО = ОА и ОЕ = ~ ОМ; О
и, так как (§ 100) точка С находится на развертке
ОС = 4г ОМ.
О
Анализ бесконечно малых
261
Итак,
<3 т. е.
2
и, следовательно,
Mf( ау 1 = 4 У;
7 \2y-a)	2У'
отсюда видно, что если провести GF перпендикулярно к MF, то точка F будет на каустике AFK-
Круг, имеющий диаметром GH, проходит через точку F, и так как дуги GM и -i- GF, измеряющие один и тот же угол GHM, относятся между как MN и GH, диаметры их кругов, то дуга GF равна дуге GM и, следовательно, дуге GA. Отсюда видно, что каустика AFK есть эпициклоида, образованная качением подвижного круга HFG по неподвижному AGK-
Следствие.
126.	Опишем из центра В круг радиусом, равным ВИ или АК, и пусть на окружность падает бесконечное множество прямых, параллельных BD. Легко видеть
120), что при отражении они образуют ту же каустику AFK-
Пример VII.
127.	Пусть кривая AMD (черт. 107)—логарифмическая спираль, и все лучи падения исходят из центра А.
262
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Если через конец радиуса развертки С провести прямую СА, перпендикулярную к лучу падения AM, то она пересечет его (§ 91) в центре А. Поэтому
Черт. 107. 
AM (у) = а, и, следовательно, MF(,^-}=y.
Таким образом треугольник AMF—равнобедренный, итак
как угол падения АМТ равен углу отражения FMS, то угол AFM равен углу АМТ.
Отсюда ясно, что каустика AFK будет логарифмической спиралью, которая отличается от данной спирали AMD только расположением 119).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ II.
Задача.
128.	Дана каустика отражения HF (черт. 108), со светящейся точкой В. Найти бесконечное множество кривые, таких, как AM, для которых она является каустикой отражения.
Возьмем на любой касательной НА произвольную точку А в качестве одной из точек искомой кривой AM и опишем из центра В радиусом ВА дугу круга АР и каким-нибудь другим радиусом ВМ —
Анализ бесконечно малых
263
дугу другого круга. Возьмем АН-\- НЕ = ВМ — В А или РМ и развернем каустику HF, начиная с точ
ки Е. При этом движении образуется кривая ЕМ,
которая пересечется с дугой круга, описанной радиусом ВМ, в точке М, принадлежащей ($ ПО) кривой АМ, так как по построению РМ 4- М F = А Н 4- HF.
Или же, привязав концы нити BMF в точках В и F, натянем ее при помощи иглы, помещенной в М, а затем нач
нем перемещать иглу таким образом, чтобы кусок нити MF свертывал каустику HF. Очевидно, что при этом движении игла опишет искомую кривую МА.
Другое решение.
129.	Проведя произвольную касательную FM, отличную от НА, надо найти на ней точку М, для которой
ВМ + MF = В А + АН+HF.
Это делается следующим образом.
Взяв FK= В А -|- АН-\-HF и точку G в середине ВК, проведем перпендикуляр GM; он пересечет касательную FM в искомой точке М, так как ВМ = МК.
264
Г. Ф. де-Лопиталь
Если точка В (черт. 109) бесконечно удалена от кривой AM, т. е. падающие лучи ВА и ВМ параллельны некоторой заданной по положению прямой, то первое построение все же имеет место, причем дуги кругов, описанные из центра В, становятся прямыми линиями, перпендикулярными к падающим лучам. Но второе построение окажется бесполезным; поэтому его надо заменить нижеприведенным.
Берем FK = АН -[-HF и находим такую точку М, для которой МР, параллельная АВ, перпендикуляру <к АР, равна МК Эта точка, ^очевидно {§ ПО), окажется на искомой кривой AM, так как
РМ-J-MF — АНHF.
Находится точка М следующим образом.
В в	На АР опускают перпен-
Черт. 109. дикуляр КО, и, взяв КО — КО, проводят КР параллельно 00 и РМ параллельно GA- Я утверждаю, что М будет искомой точкой. Действительно, из подобных треугольников GKO и РМК следует, что
рм=мк,
так как
GK— КО.
Если каустика HF стягивается в точку, кривая AM становится коническим сечением 12°).
Анализ бесконечно малых
265
Следствие I.
130.	Очевидно, что кривая, проходящая через все точки К, образуется развертыванием кривой HF, начиная с точки А, и природа ее меняется при перемене места точки А на касательной АН. Поэтому раз все кривые AM получаются из этих кривых одинаковым, и притом геометрическим, построением, то (§ 108) они будут различной природы и геометрическими будут только тогда, когда является геометрической и спрямляемой каустика HF.
Следствие II.
131.	Даны кривая DN (черт. 110) и светящаяся точка С. Найти бесконечное множество таких
Черт. 110.
линий AM, чтобы отраженные лучи DA, НМ, отразившись от них вторично, сошлись в данной точке В.
Если представить, что кривая HF—каустика данной кривой DN, образованная светящейся точкой С, то, очевидно, эта же линия HF должна быть каустикой кривой AM при данной светящейся точке В.
266	Г. Ф. де-Лопиталь
Таким образом
FK=BA-HAH + HF и
NK=BA-\-AH-\-HF-\-FN=
= BA-HAD Н DC —СП, так как (§ ПО)
HD^DC-=HF±FN± ПС.
Это дает следующее построение.
Выбрав, в качестве одной из точек искомой кривой АМ, на каком-либо отраженном луче произвольную точку А, возьмем на каком-либо другом отраженном луче ПМ часть
ПК = ВА Ц- AD + Z5C— СП;
искомая точка М найдется тогда, как выше в $ /29.
ГЛАВА VII
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К НАХОЖДЕНИЮ КАУСТИК ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Определение
Предположим, что из одной светящейся точки В исходит бесчисленное множество лучей ‘ВА, ВМ, ВО (черт. 111), которые преломляются при встрече с кривой AMD, приближаясь к ее перпендикулярам МС или удаляясь от них, так что СЕ, синусы углов падения СМЕ, всегда находятся к CG, синусам углов преломления СМС, в данном отношении т к п. Кривая HFN, которой касаются все преломленные лучи или их продолжения АН, MF, DN (черт. 112), называется каустикой преломления.
268	Г. Ф. де-Лопиталь
Следствие.
132.	При обвертывании каустики HFN, начиная с точки А, получается такая кривая ALK, что сумма касательной LF и отрезка каустики FH будет всегда равна одной и той же прямой АН. Если представить себе другую касательную Fml, бесконечно близ-
кую к FML, с другим лучом падения Вт и описать из центров F и В малые дуги МО и MR, то получатся два прямоугольных треугольника: MRm, подобный МЕС, и МОт; подобный MGC. Действительно, если отнять от прямых углов RME и СМт один и тот же угол ЕМт, то остающиеся углы RMm и ЕМС будут равны, а также, если отнять от прямых углов GMO и СМт один и тот же угол GMm, то остающиеся углы ОМт и GMC будут равны.
Поэтому
Rm.От-.: СЕ . CG:: т.п.
А так как Rm есть диференциал ВМ, а От — диференциал LM, то (§ 96) ВМ — В А, сумма всех диференциалов Rm на отрезке кривой AM, отно
Анализ бесконечно малых
269
сится к ML или АН—MF—FH, сумме всех диференциалов От на том же отрезке AM, как т к п. Следовательно, отрезок
FH = AH — MFA~ — ВА---------- ВМ.
1 т	т
Могут представиться различные случаи в зависимости от того, бу-	. \
дет ли падающий	jSo
луч ВА больше или	/Ж
меньше ВМ и будет ли преломленный / луч А //обвертывать	А	В
или развертывать от-	Черт. 112.
резок [каустики] HF- Но всегда можно доказать, как это уже сделано, что разность падающих лучей относится к разности преломленных лучей (если прибавить к одному из них отрезок каустики, который он развертываетдо своего совпадения с другим), как т к п. Например (черт. 112):
ВА — ВМ.АН — MF—FH: -.т.п, откуда
FH = AH — MF-\~— ВМ----------ВА.
1 т	т
Если из центра В (черт. 111) описать дугу круга АР, то, очевидно, что РМ будет разностью падающих лучей ВМ и В А. Если же предположить, что светящаяся точка В бесконечно удаляется от кривой AMD, то падающие лучи ВА и ВМ становятся параллельными и дуга АР обращается в прямую, перпендикулярную к этим лучам.
270
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.
Общая задача.
133. Даны природа кривой AMD (черт. 111), светящаяся точка В и падающий луч ВМ. Найти на заданном по положению преломленном луче MF точку F, в которой он касается каустики преломления.
Найдя (гл. V)MC длину радиуса развертки в данной точке М и взяв бесконечно малую дугу Мт, надо провести прямые Вт, Ст, Е/п, описать из центров В и F малые дуги MR и МО и опустить перпендикуляры СЕ, Се, CG и Cg на падающие и преломленные лучи. Обозначив данные: ВМ через у, ME через а, МС через b и малую дугу MR через dx, получим из подобия треугольников МЕС и MRm, MGC и МОт, BMR и BQe, что
ME (а). М С (b): : MR (dx). МО —	.
Далее,
ВМ (у) • BQ или BE (у 4- а):: MR (dx)  Qe =	‘
По свойствам преломления
Ce.Cg: : CE.CG :: т.п,
и, следовательно,
т • га:: Се СЕ или Qe[^dx^y dx Сд—CG или Sg — an dx 4- пу dx
~ ту
Анализ бесконечно малых
271
Кроме того, из подобных прямоугольных треугольников FMO и FSg получается:
МО S lbmydx—anydx—ааП(^х\ Mo(bdx'\~
& \	ату	) ’	'"А а ) ’
-.-.MS или MG(b) -MF — -?-------b-^-------
4 ’	bmy — any — aan
Отсюда вытекает такое построение. Построим при точке ЕСН = GCM и возьмем МК— на прямой МВ. Я утверждаю, что если взять НК- НЕ ::MG. MF, то точка F окажется на каустике преломления.
Действительно, из подобия треугольников СОМ и СЕН следует:
CG.CE :-.n.nr.-.MG(by. ЕН = Ь™- .
Отсюда
НЕ —ME или НМ=> Ьт~“п-, п ’
НМ — МК или НК~ Ьту-апу-аап .
следовательно,
НК ^ЬтУ-^™У-аап_} . НЕ(^ :: MG (b). MF — ______________________ЬЬту______ bmy — any — аап '
Очевидно, что если значение НК отрицательно, то MF будет тоже отрицательно; это значит, что,
272
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
когда точка Н находится между точками К к Е, точка М попадает между точками G и F.
Если бы светящаяся точка В (черт. 111, 113) оказалась со стороны точки Е, или (что то же самое) кривая AMD была бы вогнута со стороны светящейся точки В, то у стал бы отрицательным из положительного, каким он был до сих пор, и, следовательно, было бы:
MF —____________________ или ________.
— btnyany — аап	bmy — any -|- аап
Построение при этом остается прежним.
Если предположить, что у становится бесконечным, т. е. светящаяся точка В становится бесконечно удаленной от кривой AMD, то падающие лучи будут , „ мс ЪЬт параллельны между собой и MF = Ьт_ ап > потому что член аап будет ничем по сравнению с двумя другими bmy и any, так как MK тогда ис-чезнет, то надо взять лишь
НМ.НЕ: :MG.MF.
Следствие I.
134.	Можно доказать, так же как и для каустик отражения ($ 114, 115}, что при данном отношении т к п кривая AMD имеет единственную каустику преломления; эта каустика всегда геометрическая и спрямляемая, если данная кривая AMD — геометрическая.
Анализ бесконечно малых	'-’73
Следствие И.
135.	Если точки Е и G оказываются по разные стороны перпендикуляра МС и СЕ = CG, то очевидно, что каустика преломления обратится в каустику отражения. В самом деле, в этом случае
MF ( bbmy = aL
V bmy — any гр аап ) 2у -f- а ’
так как т = п и а из положительного становится отрицательным и равным Ь. Это вполне согласуется с тем, что доказано в предыдущей главе.
Если т бесконечно велико по сравнению с п, то ясно, что преломленный луч MF совпадает с перпендикуляром СМ; таким образом каустика преломления оказывается разверткой. Действительно, в этом случае MF = Ь и обращается в МС, т. е. точка F попадает в точку С, принадлежащую развертке.
Следствие III.
136.	Если кривая AMD обращена выпуклостью к светящейся точке В и величина MFI-,-------~у------
\ bmy — any — аап J положительна, то, очевидно, точку F надо взять с той же стороны точки М, с которой находится точка G, как и предполагалось в выкладках. Наоборот, если MF отрицательна, точку F надо взять с противоположной стороны точки G. Так же обстоит дело и тогда, когда кривая AMD обращена вогнутостью к точке В, но следует заметить, что тогда
MF=>________~у________
bmy — any -f- аап
18 Зак. 2051—Лопиталь.
274
Г. Ф. де-Лопиталь
Отсюда получается, что бесконечно близкие преломленные лучи сходятся при положительном значении MF в первом случае и при отрицательном — во втором; наоборот, они расходятся при отрицательном значении MF в первом случае и при положительном во втором. Установив это, получаем:
1° Если кривая AMD обращена выпуклостью к светящейся точке В, и т меньше /г, или если она обращена вогнутостью, и т больше п, то бесконечно близкие преломленные лучи всегда расходятся.
2° Если кривая AMD обращена выпуклостью к светящейся точке В, и т больше п, или если она обращена вогнутостью, и т меньше п, то бесконечно близкие преломленные лучи сходятся, когда Мк(~^
,гтт/Ьт	Ьт\
меньше МН\—--------а или а----расходятся, когда
больше, и параллельны, когда они равны. А так как, когда падающие лучи параллельны, МК = 0, то в этом случае бесконечно близкие преломленные лучи всегда сходятся.
Следствие IV.
137.	Если падающий луч ВМ касается кривой AMD в точке М, то ME (а) »= 0, и следовательно, MF= Ь. Из этого видно, что точка F совпадает тогда с точкой G.
Если падающий луч ВМ перпендикулярен к кривой AMD, прямые ME (а) и MG(b) будут каждая
Анализ бесконечно малых	275
равны радиусу развертки СМ, так как они с ним совпадут. Значит, MF —	Ьп. > что обращается
Ьт.
в ——- , когда падающие лучи параллельны между собой.
Если преломленный луч MF касается кривой AMD в точке М, то MG(b) = 0, и следовательно, каустика касается данной кривой в точке М.
Если радиус развертки СМ равен нулю, то прямые ME (а) и MG(b) тоже будут равны нулю, и следовательно, члены аап и bbmy будут ничем по сравнению с другими членами bmy и any. Отсюда следует, что AfF=0 и что М есть общая точка каустики и данной кривой.
Если радиус развертки СМ бесконечно велик, прямые отрезки ME (а) и MG(b) тоже бесконечно велики и, следовательно, члены bmy и any суть ничто по сравнению с другими аап и bbmy, так что MF =	так как Эт0 величина отрица*
тельная, если предположить, что точки F и В оказываются по разные стороны линии AMD ($ 133), и, наоборот, положительная, если эти точки оказываются по одну сторону линии AMD, то (§ 136) точку F следует взять с той же стороны, что и В, т. е. бесконечно близкие преломленные лучи расходятся. Очевидно, что при этом малая дуга Мт обращается в прямую линию и предыдущее построение не годится. Его можно заменить следующим,
18*
276
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
которое служит для определения точек каустик преломления, когда AMD—прямая линия.
Проведя ВО (черт. 114) — перпендикуляр к па-
дающему лучу ВМ, пересекающий прямую МС, перпендикулярную. AD в точке О, опускаем перпенди-
куляр OL на преломленный луч MG. Угол ВОН бе-
рется равным углу LOM и ВМ. BH-.-.ML. MF. Я утверждаю, что точка F окажется на каустике преломления.
В самом деле, прямоугольные треугольники МЕС и МВО, MGC и MLO бу-
дут подобны между собой при всякой величине СМ.
Поэтому при СМ бесконечно большом опять-таки
ME (а). MG (Ь):: ВМ(у} .ML = .
Из подобия треугольников OLM и ОВН получается.
OL.OB{n.m}-.:ML . ВН .
Отсюда видно, что
ВМ(у).Вн[^ ::ML^).MF(^y
Следствие И
138.	Очевидно, что если даны любые две из трех точек В, С и F, то легко найти третью.
Анализ бесконечно малых
277
Пример 1.
139.	Пусть кривая AMD (черт. 115)—четверть круга с центром в точке С. Пусть падающие лучи ВА, ВМ и BD параллельны между собой и перпендикулярны к CD, а отношение т к п равно 3 к 2, т. е.
отношению, имеющему место при переходе лучей света из воздуха в стекло. Так как развертка круга AMD стягивается в одну точку, а именно его центр С, то, описав полуокружность МЕС, имеющую диа-2
метром радиус СМ, и взяв хорду CG = -^СЕ, получим линию MG— преломленный луч, на котором точка F определится, как указано выше в § 133.
Для нахождения точки И, в которой падающий луч ВА, перпендикулярный к AMD, касается каустики преломления, имеем (§ 137) АН ) = = 3b = ЗСА. Если построить полуокружность CND, имеющую диаметром радиус CD, и взять хорду 2
CN = ^CD, то очевидно {§ 137), что точка N окажется на каустике преломления, потому что падающий луч BD касается круга AMD в точке D,
278
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Если провести АР параллельно CD, то (§ 132) о
ясно, что отрезок FH = AH—MF—-% РМ и
О
вся каустика HFH=~СА — DN = 7	5 С А.
о	о
Если четверть круга AMD (черт. 116) обращена вогнутостью к падающим лучам ВМ и отношение т к п равно 2 к 3, надо в полуокружности СЕМ,
имеющей диаметром радиус СМ, взять хорду CG — -%-СЕ и провести преломленный луч MG, на котором точка F определится при помощи общего построения § 133.
Имеем {§ 137), что АН = — 2Ь, т. е. АН расположена ($ 136) со стороны выпуклости четверти круга AMD и равна удвоенному радиусу АС. Если предположить, что CG или — СЕ равна СМ, то очевидно, что преломленный луч MF касается круга AMD в М, потому что при этом точка G совпадает с точкой М. Отсюда следует, что, если взять 2
СЕ = у CD, то точка М попадет в точку N, в кото
Анализ весконечно малых
279
рой каустика HFN (§ 137) касается четверти круга 2
AMD. Но когда СЕ больше CD, падающие лу-• о
чи ВМ не могут уже более преломиться, т, е. перейти из стекла в воздух, так как невозможно, чтобы CG, перпендикуляр к преломленному лучу MG, был больше СМ. Таким образом все лучи, которые упадут на часть ND, отразятся.
Если провести АР параллельно CD, то очевидно ($ 132), что отрезок
FH — AH-MF-Y^PM,
так что если провести NK параллельно CD, вся каустика
HFN — 2СА 4-1 АК= 7~^-- СА.
Пример II.
140.	Пусть кривая AMD (черт. 117) — логарифмическая спираль с центром в точке А, из которой
исходят все падающие лучи АМ.
Очевидно ($ 91), что точка Е совпадет с точкой А, т. е. а—у. Если в случае, когда кривая обращена
вогнутостью к светящейся точке, подставить в значение MF, т. е.	—bbrn-------- ($ 133), вместо а его
’ bmy — any -|- аап v,y "
280
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
значение у, то получится MF— b, откуда видно, что точка F совпадает с точкой О.
Если провести прямую AG и касательную МТ, то угол AGO, дополняющий до двух прямых угол AGM, будет равен углу АМТ. Действительно, в круге, имеющем диаметром линию СМ и проходящем через точки А и G, оба угла AGO и АМТ измеряются половиной одной и той же дуги AM. Очевидно, что каустика AGN есть такая же логарифмическая спираль, как и данная AMD, и отличается от нее только расположением.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 11.
Задача.
141.	Даны каустика HF (черт. 118), светящаяся точка В и отношение m к п. Найти бесконечное множество кривых, таких как AM, для которых HF является
Выбрав на любой касательной НА произвольную точку А в качестве одной из точек кривой AM, опишем радиусом ВА из центра В дугу круга АР и другим произвольным радиусом ВМ другую дугу и возьмем АЕ — — РМ. При обвертывании каустики
Анализ бесконечно малых	281
НЕ получается кривая ЕМ, которая пересечет дугу круга, описанного радиусом ВМ, в точке М, находящейся на искомой кривой. Действительно (§ 132), РМ.АЕ или ML'.: т.п.
Другое решение.
142.	Надо найти на произвольной касательной ЕМ, отличной от НА, точку М, для которой
HF-Р FM -rВМ = НА + ВА.
Поэтому, если взять
РК=-^-ВА-\-АН— FH т 1
и найти на FK точку М, для которой МК = ~ ВМ,то она окажется (§ 132 искомой точкой. Это можно сделать, проведя такую кривую GAI (черт. 119), что если соединить ее произволь-	\
ную точку М с данными точ-	—i 1 \______j
П	я л п	о л К	Q
ками В и К прямыми МВ и МК, то отношение последних Черт. 119. всегда равно отношению т к п.
Значит вопрос сводится к определению природы этого геометрического места.
Пусть для этого проведена MR перпендикулярно ВК, ВК—данная — обозначена через а, а неопределенные: BR через х, RM через у. Прямоугольные треугольники BRM и KRM дают:
ВМ = ]/xx-j-yy и КМ~ |/аа—2аххх-\-уу,
282
Г. Ф„ ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
так что для выполнения условий задачи получается: ]/хх -|-уу.]/ аа — 2ах -]- хх-\-уу :: т.п.
Отсюда
2аттх — а:>тт
УУ =--------------XX
тт — пп
т. е. геометрическое место есть круг, который можно построить следующим образом.
»—I	am	Cl TIT
Пусть B(j =—;—, a BQ =----------и на диа-
J	m + n ’ x m — n
метре GQ построена полуокружность GMQ. Я утверждаю, что она будет искомой кривой. Действительно, при
QR или BQ—BR = ^^ — x
и
RG или BR — BG — x------->
т + п
из свойства круга следует, что
qrxrg= ~rm ,
или, в аналитических обозначениях,
2аттх — аатт уу — -----------
тт — пп
XX.
Если падающие лучи ВА и ВМ (черт. 120) параллельны заданной по положению прямой, первое решение всегда сохраняет силу, но второе оказывается бесполезным и его можно заменить следующим.
Анализ весконечно-малых	283
Берем FL = AH—HF и, проведя LG параллельно АВ и перпендикулярно АР, возьмем LO = — — LG и проведем LP параллельно GO, а РМ параллельно GL. Очевидно (§ 132), что точка М будет искомой точкой, так как из LO — ~ LG ’	т
следует ML = — РМ. т
Если каустика преломления FH стягивается в точку, кривые АМ становятся овалами Декарта, столь нашумевшими среди геометров 121).
Следствие I.
143.	Можно доказать, как и для каустик отражения {§ 130), что кривые АМ могут быть различной природы и что они будут геометрическими только тогда, когда является геометрической и спрямляемой каустика преломления HF.
Следствие II.
144.	Даны кривая АМ (черт. 121), светящаяся точка В и отношение т к п. Найти бесконечное множество
284
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
таких линий DN, чтобы преломленные лучи MN, преломившись при встрече с ними вторично, сошлись в данной точке С.
Если предположить, что кривая HF есть каустика преломления для данной кривой АМ, образованная светящейся точкой В, то очевидно, что эта же линия HF должна быть каустикой преломления искомой
Черт. 121.
кривой DN, имеющей в качестве светящейся точки данную точку С. Поэтому ($ 132)
BA-\-AH = -^BM-\-MF-\-FH
И
NF+ FH— —NC = HD--------- DC,
1	т	т ’
и, следовательно,
£ ВА + АН= ^ВМ4-MNApHD — ^DC+ NC;
переставляя обычным образом члены, получаем:
£ ВА- 1ВМ+ I DC±AD==MK-^NC.
Это дает такое построение.
Анализ бесконечно малых	285
Выбрав на любом преломленном луче АН произвольную точку D в качестве одной из точек искомой кривой DN, возьмем на любом другом преломленном луче MF отрезок:
. МК-= - ВА— - ВМА- - DCA-AD-, т	т * т '
если найти, как и выше (§ 142), точку М, для которой АТС = NC, то ясно 132), что точка AZ окажется на кривой DN.
Общее следствие, ОТНОСЯЩЕЕСЯ К ТРЕМ ПРЕДЫДУЩИМ ГЛАВАМ.
145.	Очевидно {§ 80, 85, 107, 108, 114, 115, 128, 129, 134, 143), что кривая имеет единственную развертку и при данной светящейся точке и данном отношении синусов единственную каустику отражения и единственную каустику преломления. Все они всегда оказываются геометрическими и спрямляемыми, если эта кривая геометрическая. Напротив, одна и та же линия может быть общей разверткой или, при данном отношении синусов и данной светящейся точке, каустикой отражения или преломления для бесконечного множества весьма различных линий, являющихся геометрическими только тогда, когда эта кривая геометрическая и спрямляемая.
ГЛАВА Vlll
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ТОЧЕК КРИВЫХ, КАСАЮЩИХСЯ БЕСКОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА ДАННЫХ ПО ПОЛОЖЕНИЮ ПРЯМЫХ ИЛИ КРИВЫХ ЛИНИЙ
ПРЕДЛОЖЕНИЕ I
Задача
146	J1 АНА некоторая линия АМВ (черт. 122), имею-е-^щая осью прямую АР, и проведено бесконечное множество парабол АМС, АтС, которые все проходят через точку А и имеют осями ординаты РМ, рт. Требуется найти кривую, касающуюся всех этих парабол*22).
Очевидно, что точка касания каждой параболы АМС есть С — точка ее пересечения с бесконечно близкой параболой АтС. Проведем СК параллельно МР и обозначим данные: АР через х, РМ через у, а неизвестные: АК через и, КС через z.
Анализ бесконечно малых
287
Из свойства параболы мы получим, что ---------2	----2
АР (хх). РК (ци — Чих хх)::
:: МР (у).МР — СК (у — z), что дает:
АМС.
КС (г)
что как
ZXX = Чиху— ииу, общее уравнение всех парабол, таких, как Далее я замечаю, что неизвестные АК(и) и остаются неизменными, в то время как данные АР (х)
и РМ (у) переходят в Ар и рт, и что КС (z) остается без изменения, только  когда С есть точка пересечения, так каь иначе прямая КС пересечет обе параболы Д/Л’Си АтС в двух различных точках и будет, следовательно, иметь два значения, соответствующих одному значению АК Поэтому, обращаясь с и и z,
как с постоянными, и продиференцировав только найденное уравнение, можно определить точку С точку пересечения. Значит,
2zx dx = 2их dy -j- 2иу dx — ии dy, откуда неизвестная
л _ 2xxrfy —2yxdx_ Afi,(U) — xdy — 4ydx ’
Чиху — ииу если подставить вместо z его значение ------------
Так как природа кривой АМС известна, то можно выразить величину dy через dx и затем подставить ее в значение АК- Тогда эта неизвестная, наконец,
288
г,- Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
выразится через вполне известные члены, свободные от диференциалов. Что и было предложено.
Если вместо парабол АМС предложат другие, данные по положению, прямые или кривые линии, то задача будет решаться приблизительно таким же способом. Это и будет показано в следующих предложениях.
Пример.
147.	Природа кривой АМВ выражается уравнением хх—4ау—4уу, это полуэллипс, малой осью которого служит перпендикулярная к АР линия АВ = а, а большая ось которого вдвое больше малой. Находим, что х dx = 2ady — 4у dy, следовательно,
, ,, / 2хх dy — 2ху dx \ ах
/1А I---------—---- — --- z=z Ц,
\ xdy — 2у dx ) у
Поэтому, если взять ЛЛГчетвертой пропорциональной к МР, РА и АВ и провести КС перпендикулярно А К, то она пересечет параболу АМС в искомой точке С.—Чтобы узнать природу кривой, касающейся всех парабол или проходящей через все найденные таким образом точки С, надо найти уравнение, выражающее соотношение между АК («) и КС (z). Это достигается таким образом. Подставив вместо и его зна-ах
чение— в zxx = 2uxy— ииу, получаем:
аа
У=2^’
следовательно,
„ иу аи
X ИЛИ — = -75-------
а 2а — z
Анализ бесконечно малых
289
Если подставить эти значения вместо х и у в
хх = Аау — 4уу,
то получится уравнение:
ии = 4аа — Aaz,
в которое х и у более не входят и которое выражает связь между А К и КС. Отсюда видно, что искомая кривая есть парабола, имеющая осью линию В А, вершиной точку В и фокусом точку А; параметр ее, следовательно, равен учетверенному АВ.
Мы нашли, что
откуда
KC(z) = ^~^ .
Так как эта величина положительна, если 2у больше а отрицательна — если меньше, и равна нулю при их равенстве, то точка С находится над АР в первом случае, как и предполагалось в выкладках, под АР во втором случае, и наконец, на АР—в третьем.
Если провести прямую АС, пересекающую МР в О, то я утверждаю, что MG = BQ и точка G есть фокус параболы АМС. Действительно:
1° АК^~) . КС^ау~а“') :: ДР(х). PG=2y—а,
и следовательно,
MG — a—y = BQ.
19 Зак. 2051. — Лопиталь.
290
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
2° Если подставить вместо хх его значение 4ау — 4уу, то параметр параболы АМС будет равен 4а— 4у, следовательно, МС(а—у) есть четвертая часть этого параметра, а отсюда видно, что О есть фокус параболы и угол ВАС делится пополам касательной в точке А.
Из того, что параметр параболы АМС равен учетверенному BQ, следует, что, когда точка А совпадает с вершиной М, параметр равен учетверенному АВ и таким образом парабола с вершиной в точке А асим-птотична параболе, проходящей через все точки С.
Так как парабола ВС касается всех парабол вроде АМС, то очевидно, что точки пересечения этих парабол с определенной линией АС будут лежать ближе к точке А, чем точка С. В баллистике доказывается (если предположить АК горизонтальной), что все параболы вроде АМС указывают пути, которые описывают в воздухе снаряды, с одинаковой силой и под всевозможными наклонами выбрасываемые из мортиры, помещенной в точке А. Значит, если провести прямую, делящую пополам угол ВАС, она укажет направление, которое нужно придать мортире/чтобы выброшенный ею снаряд попал на заданной по положению плоскости АС в возможно более удаленную от мортиры точку С.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ II.
Задача.
148.	Пусть дана некоторая кривая ГАМ (черт. 123) с осью АР. Найти другую кривую ВС, произвольный перпендикуляр к которой PC всегда равен ординате РМ.
Анализ бесконечно малых
291
Если предположить, что из центров Р и р описано бесконечное множество кругов радиусами PC и рС, равными РМ и рт, то очевидно, что искомая кривая ВС должна касаться всех	МхтйГ
этих кругов и что С, точка	s' \j
прикосновения каждого круга, /	\
есть точка его пересечения с [ к р ;р\ другим бесконечно близким кру- Вг~д -rfa гом. Установив это, проведем \	//
СК перпендикулярно АР и	/'
обозначим данные и перемен-ные величины; АР через х, Черт. 123. РМ или РС через у, а неизвестные и постоянные: АК через и, КС ч^рез z. Из свойства круга мы получим:
__________________2	2	-2 рс =рк +кс, т. е., аналитически,
уу = хх — 2их ии + ZZ.
Это — общее уравнение всех таких кругов; диференциал его есть:
2у dy = 2xdx — 2и dx, откуда
РК(х-и)=у-£,
что дает следующее общее построение. Проведем MQ перпендикулярно кривой АМ и, взяв PK—PQ, проведем КС параллельно РМ. Я утверждаю, что она пересечет круг, описанный из центра Р радиусом
19*
202	Г. Ф. де-Лопиталь
PC = РМ, в точке С, в которой он касается Искомой кривой ВС. Это очевидно, так как PQ = У-~У- . Значение РК можно найти еще иначе.
Опустив перпендикуляр РО на Ср, получим из подобия прямоугольных треугольников рОР и РКС, что
Рр {dx) . Op {dy) :: PC {у) .	•
Очевидно, что когда PQ = РМ, круг, описанный радиусом PC, касается КС в точке К, так что точка С совпадает с точкой К и, следовательно, оказывается на оси.
Когда же PQ больше РМ, круг, описанный радиусом PC, не сможет коснуться кривой ВС, потому что не будет иметь ни одной общей точки с прямой КС.
Пример.
149.	Пусть данная кривая AM (черт. 123) — парабола, уравнение которой ах=уу. Здесь PQ или РК{х — и) =г= -у а; следовательно,
х = ~ аи и
1 । -уу = j- аа zz, что получается из прямоугольного треугольника РКС. При подстановке этих значений в ах—уу получается уравнение:
aa-l- au— ±-aa4-zz или 4 аа-4- аи = zz,
Анализ бесконечно малых
293
которое и выражает природу кривой ВС. Очевидно, что эта кривая такая же парабола, как и AM, ибо они имеют одинаковый параметр а и вершина В отстоит от вершины А на расстоянии ВА = ±а. 4
ПРЕДЛОЖЕНИЕ Ill.
Задача.
lt>0. Пусть дана некоторая кривая AM (черт. 124), которая имеет диаметром прямую АР Ь ординаты которой РМ и pm параллельны, данной по положению
прямой AQ. Пусть проведены MQ и mq параллельно АР
и прямые PQC и pqC. Требуется найти кривую АС, которой касаются все эти прямые, или, что то же, определить на каждой прямой PQC точку касания С.
Представив себе другую касательную pqC, бесконеч
Черт. 121.
но близкую к PQC, проведем СК параллельно AQ и
обозначим данные и переменные величины: АР через X, РМ или 4Q через у, а неизвестные и постоянные: АК через и, КС через z. Из подобия треугольников PAQ и РКС следует, что
АР (х). AQ (у):: РК(х + и). КС (г) =у 4-
Это общее уравнение всех прямых вроде КС,
294
Г. Ф. де-Лопиталь
Его диференциал есть:
axdy-uyd^ z 1	XX	’
откуда

Это дает следующее общее построение.
Проведем касательную МТ и возьмем АК третьей пропорциональной к АТ и АР. Я утверждаю, что если провести КС параллельно AQ, то она пересечет прямую PQC в искомой точке С.
Действительно,
AT(y_dx~_xdy\ Ар(Х);;ЛР(Х) . AK^—j--dy^ •
\ ay J ' ' v ’	у dx — xdy
Пример I.
151.	Пусть данная кривая AM (черт. 124) парабола с уравнением ах —уу. Мы имеем, что АТ = АР, откуда АК («) = х, т. е. точка К попадает в точку Г. Если угодно пЪлучить уравнение, выражающее зависимость между А К (и) и КС (z), надо взять КС (z) = 2у, так как уже известно, что РК равно удвоенному АР. Значит при подстановке в ах=уу вместо х и у их значений в и ух получится 4au — zz. Отсюда видно, что кривая. АС есть парабола, имеющая вершину в точке А, а в качестве параметра — линию, равную учетверенному параметру параболы AM.
Анализ бесконечно малых
295
Пример II.
152.	Пусть данная кривая АМ (черт. 125) — четверть круга BMD, имеющего центром точку А и
радиусом линию АВ или AD, которую я назову а. Ясно, что PQ всегда равна радиусу АМ или АВ, т. е. везде одинакова, поэтому можно считать, что ее концы Р и Q скользят вдоль сторон ВА и AD прямого угла BAD. Мы получим, что AK(ii) = — —, так как АТ— аа ’ аа
==—; а параллельные
КС и AQ дают:
^W.PC(a):^/<g).QC=S.
Отсюда видно, что для нахождения точки касания С достаточно взять QC третьей пропорциональной к PQ и АР. Если угодно найти уравнение, выражающее природу кривой BCD, то оно получится в следующем виде 1аз):
«в — Ъааи^ 4~	За4ии — а6 = О
3zz 4" 21 aazz + 3a4zz
4~	3z4 — 3aazi
4-«e
Сс = ОРА
296	Г. Ф. де-Лопиталь
Следствие I.
153.	Для того чтобы найти отношение отрезка DC кривой BCD к ее касательной СР, надо представить себе другую касательную ср, бесконечно близкую к СР, и, описав из центра С малую дугу РО, полу-п аа — хх	,
чить для СР ——-— значение ее диференциала ср — СР или Ор — Сс = — ^xdx ,
откуда
а
Из подобия прямоугольных треугольников QPA и РрО имеем:
PQ (а). АР(х) :: Рр (dx) . ОР = ^,
и, следовательно,
Сс = —— = ОС — Ос. а
Стало быть, где бы мы ни взяли точку С, будет иметь место:
DC — De • СР — ср(^~у.:3.2.
Отсюда следует, что сумма всех диференциалов DC — De, соответствующих прямой PD, т, е. (§ 96) отрезок DC кривой BCD, относится к сумме всех диференциалов СР — ср, соответствующих той же прямой PD, т. е. (§ 96) к касательной СР::3.2. Так же и вся кривая BCD относится к своей касательной В А:: 3.2,
Анализ бесконечно малых	297
Следствие II.
154.	Если развернуть кривую BCD, начиная с точки D, получится кривая DNF, для которой CN. СР : : 3.2, так как CN всегда равняется отрезку DC кривой BCD. Отсюда следует, что подобные секторы CNn и СРО относятся один к другому :: 9.4, и значит пространство DCN, заключенное между кривыми DC и DN и прямой CN, касательной в точке С и перпендикулярной в точке N, относится к пространству DCP, заключенному между кривой DC и двумя касательными DP и СР, как 9 к 4.
Следствие III.
155.	Центр тяжести сектора CNn должен быть рас-положен на дуге РО, так как СР — у CN. Далее, так как эта дуга бесконечно мала, то этот центр должен находиться на прямой AD', следовательно, центр тяжести пространств DCN и BDF, составленных из всех таких секторов, тоже должен находиться на прямой AD. Таким образом если по другую сторону 'BF описать фигуру, в точности сходную124) с BDF, то центр тяжести всей фигуры будет в точке А.
Следствие IV.
156.	Из подобия прямоугольных треугольников PQA и рРО имеем, что
PQ (a). AQ или Р/И (Vаа — хх) :: Рр (dx). РО = ___________________dx У аа — хх а '
298
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Далее, из подобных секторов СРО и CNn имеем:
CP.CN или 2 Л-.-.РО	) .Nn =
\	а	/
3dx V' аа — хх
2а	*
Прямоугольник МР X Рр, т. е. (§ 2) малая часть круга MPpm — dxVaa — хх. Поэтому
АВ X Nn = ~ МРрт;
значит, ND, отрезок кривой DNF, умноженный на радиус АВ, в полтора раза 126) больше сегмента круга DMP, и вся кривая DNF равна трем четвертям BMD, четвертой части окружности.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ IV.
Задача.
157.	Пусть дана кривая AM (черт. 126), имеющая осью прямую АР, и имеется бесконечное множество перпен' дикуляров к этой кривой МС и тС. Требуется найти кривую, которой касаются все эти перпендикуляры, или, что то же, найти на каждом перпендикуляре МС точку касания С.
Проведем ординату МР и, представив себе перпендикуляр тС, бесконечно близкий к МС, проведем через точку их пересечения С прямую СК, перпендикулярную оси, и прямую СЕ, параллельную ей. Обозначая затем данные и переменные величины 1
Анализ бесконечно малых
299
АР через х, МР через у, а неизвестные и постоянные: АК через и, КС через z, получим;
х dx
РК или СЕ —и— х, ME = yE-z;
далее из подобия прямоугольных треугольников MPQ и МЕС найдем, что
MP(y).Pq{^\-.-.ME{y^z-) .ЕС(и — х) = ________________у dy-]-zdy dx
Это — общее уравнение всех таких перпендикуля-
ров, как МС; его диференциал (если полагать dx
постоянным) дает:
_ dx _ yddy^dy2-±zddy dx ’
откуда
Зная природу кривой AM,
можно выразить значения (/у2
Черт. 126.
и ddy через dx* и, подставив
dx2 Д- dy2 их в-----S . -,no-
— ddy ’
лучить для ME вполне определенное выражение, свободное от диференциалов. Что и было предложено.
Очевидно, что кривая, проходящая через все точки С, есть развертка кривой AM, и так как она специально рассматривалась в главе пятой, то было бы бесполезно приводить здесь новые примеры.
300
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
ПРЕДЛОЖЕНИЕ V.
Задача.
158.	Даны две некоторые линии АМ и BN (черт. 127) и прямая MN, все время остающаяся неизменной. Предполагая, что М и N, концы этой линии, непрерывно скользят вдоль двух других, найти кривую, которой она постоянно касается в этом движении.
Проведя касательные МТ и NT, представим себе другую прямую тп, бесконечно близкую к MN и точке С, где она касается кривой, точки которой надо определить. Очевидно, что концы прямой MN при переходе ее в тп пробегают по линиям АМ и BN маленькие отрезки Мт и Nn,
которые вследствие своей малости принадлежат касательным ТМ и TN. Таким образом можно считать, что линия MN при переходе в бесконечно близкое положение тп скользила вдоль данных по положению прямых ТМ, TN.
После этого опускаем ria NT перпендикуляры МР и СК и обозначаем данные и переменные величины: ТР через х, РМ через у, неизвестные и постоянные: ТК через и, КС через z и остающуюся всегда
пересекающую ее поэтому в
С
Черт. 127.
Анализ бесконечно малых	301
Неизменной данную Л1М через а. Прямоугольный треугольник MPN дает:
£W= j/aa—уу,
а из подобия треугольников NPM и NRC следует, что
PN <У~аа—уу) .РМ(у\.-.
:: NK(ii — x~Vaa —уу). КС (г) =
Vаа — уу
Продиференцировав это, получим:
ааи dy — аах dy — аау dx -|-_У3 dx —
= аа dy —уу dy аа —уу.
Отсюда, положив для сокращения ]Т аа—уу—т и подставив вместо у dx его значение xdy, которое получается из подобия треугольников mRM и МРТ, мы найдем, что
ыг („я v-i —	_ т* ф- ттх
rt\[U — x) —	aady	аа ,
и, следовательно, пипУ-тх мс~---------------------------.
Это дает следующее построение.
Опустим перпендикуляр ТЕ на MN и возьмем
Л1С — NE\ я утверждаю, что точка С будет искомой
302
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
точкой. Действительно, из подобия прямоугольных треугольников MNP и TNE имеем:
/WV(a) . NP(m)-.-.
NT(m-\-x) . NE или МС=	
Другой, способ.
Опустив перпендикуляр ТЕ на MN и описав из центра С малые дуги MS и NO, обозначим данные: NE через г, ЕТ через s, MN через а и неизвестную СМ через t. Мы получим, что Sm или On = dt, а из подобия прямоугольных треугольников МЕТ и mSM, NET и nON, CMS и CNO найдем, что
ME [г— а} . ET (s):: mS (dt) . SM = и
NE (г) . ET(s):: пО (dt). ON = ^ ;
И
MS—NO	. MS(f^ :: MN (а). MC(t) = г.
Это дает такой же построение, как и раньше.
Если предположить, что линии АМ и BN суть две взаимно перпендикулярные прямые, то очевидно, что искомая кривая будет такая же, как и в § 152.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ VI.
Задача.
159.	Пусть даны три некоторых линии L, М и N (черт. 128), и из точек L и 1 линии L проведены по две касательных LM и LN, 1m и In к обеим кривым
АнаЛиз бесконечно малых	303
М и N. Требуется найти четвертую кривую С, которой касаются все прямые MN и тп, соединяющие точки касания кривых М и N.
Проведя касательную LE и опустив из произволь
ной ее точки Е перпендикуляры ЕЕ и EG на две
другие касательные ML и NL, представим себе бес-
конечно близкую к точке L точку I и проведем малые прямые LH и LK, перпендикулярные к ml и
nl, а также перпендикуляры МР, тР, NQ и nQ к касательным ML, ml, NL, nl. Эти перпендикуляры взаимно пересекаются в точках Р и Q. При этом образуются подобные прямоугольные треугольники EFL и LHI, EGL и LKI, а также
Черт. 128.
треугольники LMH и МРт, LnK и NQn, которые имеют прямые углы при Н и т, К и N и которые
подобны между собой, потому что углы LMH и МРт
при их прибавлении к одному и тому же углу РМт дают прямой угол. Так же можно доказать, что равны между собой углы LnK и NQn.
Установив это, обозначим Мт, малую сторону многоугольника, образующего кривую М, через du, а данные: EF через tn, EG через п, MN или тп через a, ML или ml через b, NL или nl через с, МР или тР через f,NQ или nQ через g(n прини
304
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
маю здесь прямые МР и A/Q за данные потому, что их всегда можно найти, ибо природа кривых /И и А/ по предположению известна; см, § 78). Получается: 1° MP(f). ML (b):: Мт (du) . LH = b-j^,
2° EF(m).EG(n)-.-.LH^j^ .LK — ^jr-',
3° LA/или Ln (c) . nQ (g):: LK . nN =	;
4° (проводя MR параллельно NL или nl)
ml (b) • In (c):: mM (du) • MR =	;
5
MR+Nn +	. MRl^) :
:: m (a) . MC =
Что и требовалось найти.
Если касательная EL совпадает с касательной ML, то очевидно, что EF(m) обращается в ничто или нуль, следовательно, искомая точка С совпадает с точкой М. Точно также, если касательная EL совпадает с касательной LN, то EG(n) обращается в нуль и, следовательно, МС = а, из чего видно, что искомая точка С совпадает с точкой N. Наконец в случае, когда касательная EL попадает внутрь угла GLI, EG(n) оказывается отрицательным, что дает:
ллг — accfm  ccfm — bbgn ’
искомая точка С попадает тогда не между точками М и N, а лежит с какой-либо стороны от них.
Анализ бесконечно Малых
365
Пример I.
160.	Предположим, что кривые AI иА (черт. 129) составляют вместе круг. Ясно, что в таком слу-
чае Ь = с и f — g и значит МС =	, откуда
видно, что для нахождения искомой точки С доста-
точно. разделить прямую MN в данном отношении т к п, т. е. так, чтобы МС • NC :: т • п.
Пример II.
161.	Предположим, что кривые М и А представляют собою некоторое коническое сечение. Общее построение можно заменить тогда другим, значительно более простым, если принять во
Черт. 129.
внимание одно свойство конических сечений, которое
доказывается в книгах, посвященных этому предмету. Именно, если провести к коническому сечению из точек L и I прямой EL по две касательных LM и LN, 1т и In, то все прямые МП, тп, соединяющие точки касания, пересекаются в одной и той же точке С, через которую проходит диаметр АС, ординаты которого параллельны прямой EL 126). Отсюда следует, что для получения точки С достаточно провести диаметр, ординаты которого параллельны касательной EL.
20 Зак. 2051. — Лопиталь
306
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Очевидно, что в круге этот диаметр перпендикулярен касательной EL, т. е. перпендикуляр АВ, опущенный из центра круга А на эту касательную, пересекает прямую MN в искомой точке С.
Замечание.
162.	Посредством этой задачи (черт. 128) можно разрешить следующую задачу, относящуюся к методу касательных.
Допустим, что даны три кривых: С, М и N, и заставим прямую /ИД/ катиться по кривой С так, чтобы она ее непрерывно касалась. Проведем затем через М и N, точки ее пересечения с кривыми М n N, касательные ML и MZ,, которые пересекутся в точке L, описывающей при этом движении четвертую кривую LI. Требуется при данной точке касания С и данных положениях прямых MN, ML и NL провести LE, касательную к этой кривой.
Очевидно, что эта задача просто обратная предыдущей. Здесь МС дано, а искомым является отношение EF к EG, которое определяет положение касательной EL. Поэтому, обозначая данное МС через h, получим:	accfm _
ccftn -f- bbgn ’ откуда _ bbghn .
accf— ccfh ’
следовательно, касательная LE должна быть расположена внутри данного угла MLG так, чтобы перпен-
Анализ бесконечно малых	307
дикуляры EF и EG, опущенные из любой ее точки Е на стороны этого угла, находились между собой всегда в данном отношении bbgh к accf—ccfh. А этого можно достигнуть, проведя MD параллель-...	b3gh
но NL и взяв его равным accf_ сс^ •
Очевидно (§ 161), что если обе кривых и Л' (черт. 129) образуют вместе одно коническое сечение, то достаточно провести касательную LE, параллель-ную ординатам диаметра, проходящего через точку С.
20*
ГЛАВА IX
РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ВЫШЕПРИВЕДЕННЫМИ МЕТОДАМИ
ПРЕДЛОЖЕНИЕ I
Задача
163.	ГЛ УСТЬ величина ординаты у кривой AMD (черт. 130) 1 1 (АР = х, РМ = у, АВ = а) выражается дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при х = а, т. е. когда точка Р совпадает с данной точкой В. Спрашивается, какой должна быть при этом величина ординаты BD.
Пусть имеются две кривых ANB и СОВ, общей осью которых является линия АВ, причем ордината PN выражает числитель, а ордината РО — знаменатель общей дроби, подходящей для всех РМ, так что pM==AB%PN т РО
Очевидно, что обе эти кривые пересекутся в точке В,
Анализ бесконечно малых
309
так как, по предположению, и PN и РО обращаются в нуль, когда точка Р совпадает с В. Если теперь представить себе ординату bd, бесконечно близкую к BD и пересекающую кривые ANB и СОВ в точках f и g, то получим:
bd=AB£”, bg
что не отличается (§ 2) от BD. Значит остается
найти отношение bg к bf. Но очевидно, что когда
абсцисса ДР.обращается в АВ, то ординаты PN и РО обращаются в нуль, а когда АР обращается в АЬ, ординаты обращаются в bf и bg. Отсюда следует, что эти ординаты bf и bg суть диференциалы ординат кривых ANB и СОВ в точках В и Ь. Следовательно, если взять диференциал числителя и разделить его на диференциал знаменателя,
положив X = а = АЬ или АВ, то мы получим искомое значение ординаты bd или BD. Что и требовалось найти 127).
Пример I.
164.	Пусть
__ рг2а3х—х4 — аУаах а — V ах3
Очевидно, что при х = а и числитель и знаменатель этой дроби обращаются каждый в нуль,
310
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Поэтому надо взять диференциал числителя a3 dx — 2х3 dx аа dx
У 2а3х — xi Зр/ ахх и разделить его на диференциал знаменателя _ dx а3х ’
4	,	3 .
положив х — а, т.е. разделить — —а ах на — — ах,
16
что дает у а для искомой величины BD.
Пример II.
165.	Пусть
____ аа — ах V a — Vax
Тогда у = 2а при х = а.
Без применения диференциального исчисления этот пример можно решить таким образом.
Уничтожая иррациональность, получаем:
аахх-\-2ааху—ахуу—2aBx-^-ai-j-aayy—2a3y — О, что при делении на х — а сводится к аах — о3 + 2сшу — ауу — 0;
подставляя а вместо х, находим, как прежде, у = 2а.
Лемма 1.
166.	Пусть имеется некоторая кривая BCG (черт. 131), имеющая в точке В касательную АЕ, на которой отмечены две произвольных фиксированных точки А « Е. Если прямую АЕ заставить катиться по кривой так, чтобы она ее непрерывно касалась, то очевидно, что
Анализ бесконечно малых
311
фиксированные точки АиЕ опишут при этом движении две кривых AMD и ENH. Опишем произвольным радиусов из центра D дугу KFL и проведем DL параллельно АВ. DL при этом образует с DK (которая по предположению совпадает с прямой АЕ, когда она касается кривой BCG в G) угол KDL, равный углу AOD, образуемому касательными В и G.
Я утверждаю, что DK • KFL :: АЕ • AML st ENH.
При этом имеет место -|-, когда точка касания все время остается между образующими точками, и —, когда она постоянно находится с какой-либо стороны от них-
Действительно, если предположить, что прямая АЕ при качении по кривой BCG приходит в два бесконечно близких положения MCN и тСп, и провести радиусы DF и Df, параллельные СМ и Ст, то очевидно, что секторы DFf, СМт и CNn будут подобны, и таким образом
DF • Ff:: СМ • М т:: CN • Nn:: CM =t CN или АЕ  Мт ±Nn.
312
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
А так как это имеет место, где бы ни взять точку касания С, то радиус DK относится к дуге KFL, сумме всех малых дуг Ff:: АЕ • AMD±ENH, сумме всех малых дуг Mm±Nn. Что и требовалось доказать 128).
Следствие I.
167.	Очевидно, что кривые AMD и ENH образованы развертыванием одной и той же кривой BCG и, значит, прямая АЕ всегда перпендикулярна к этим двум кривым, где бы она с ними ни пересекалась. Поэтому расстояние между ними всегда одинаково, что является свойством параллельных линий. Отсюда видно, что для данной кривой AMD можно найти бесконечное множество точек кривой ENH, не употребляя ее развертки BCG, а только проводя произвольное число перпендикуляров к этой кривой и беря каждый из них равным прямой АЕ.
Следствие П.
168.	Если обе половины ВС и CG кривой BCG вполне конгруэнтны и если взять прямые ВА и GH равными, то очевидно, что кривые AMD и ENH будут конгруэнтны и будут отличаться только расположением. Отсюда следует, что кривая AMD относится к дуге круга, KFL:: у АЕ  DK, т. е. находится к ней в данном отношении.
Анализ бесконечно малых
313
ПРЕДЛОЖЕНИЕ II.
Задача.
169.	Пусть AEV и BCQ (черт. 132) — две некоторые кривые, и третья кривая AMD такова, что при развертывании кривой BCG в отрезок кривой ЕМ зависимость между отрезками кривых АЕ и ЕМ и радиусами развертки ЕС и MG выражается некоторым данным уравнением. Предлагается провести из данной точки М, принадлежащей кривой AMD, касательную МТ.
Представим себе другой отрезок кривой ет, бесконечно близкий к ЕМ, и радиусы развертки CeF и GmR и пусть: 1° СН перпендикулярна к СЕ и пересекает ЕН, касательную к кривой AEV, в точке И', 2° ML параллельна СЕ и пересекает дугу GL, описанную из центра М радиусом MG, в L', 3° GT перпендикулярна MG и пересекает искомую касательную МТ в Т.
Затем, обозначая данные: АЕ через х, ЕМ через у, СЕ через и,
GM через z, СН через s, ЕН через t, дугу GL через г, получим Ее = dx, Ее или Rm = du = dz. Далее, цз подобия треугольников eFE и ЕСН следует, что
СЕ (и)  СН (s):: Fe {dz) -FE = ---ц
314
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
СЕ (и) • ЕН (/):: Fe (dz) . Ее (dx) =	.
Но согласно лемме (§ 166) п с	г dz
RF— те — — , Z ’
следовательно,
RM (RF — те -ф- те—ME -ф- ME — MF) —
z 1 2 * * z 1 и
Значит, из подобия прямоугольных треугольников
tnRM и MGT имеем:
mR (dz) • RM dy + s-^y.-. Mg (z) • GT =
1 и 1 dz
Если в диференциал данного уравнения мы подста-,	, t dz
вим вместо du и dx их значения dz и , то найдем выражение величины dy через dz, а подставив
2 rZv
его в , получим для искомой подкасательной GT
вполне определенное значение, свободное от диференциалов. Что и было предложено.
Если предположить, что кривая BCG стягивается в точку О (черт. 133), то очевидно, что отрезок кривой ME (у) преобразуется в дугу круга, равную дуге GL (г), а радиусы развертки СЕ (и) и GM (z)
Анализ бесконечно малых
315
оказываются равными между собой, так что GT, которая в этом случае обращается в ОТ, ока-,	. z dy
жется =у 5 т" ~gz •
Пример.
170.	Пусть у = Диференцирование дает dy (черт. 133) = zdx xdz (берется (§8) —xdz вместо -\-xdz, потому что, при ВОЗ-	^.д
растании х и у, z убывает) = /у \
tdz — xdz	,	/ I I
=----------, если вместо dx под- / L
a ’	/ X '8
ставить его значение-у . Следова- I / тельно,	I /	\ \
ОТ [у + + ~dz} =	му----\ .И0
J 1	1 а	а ’	\
хг	\
если вместо — подставить его \ значение у.	\
Замечание.	\
171.	Если точка О оказывается	\
на оси АВ (черт. 134) и кривая AEV	\
есть полукруг, то кривая AMD бу- черт 133 Т дет полуэпициклоидой, образован-
ной качением полукруга BSN по равной ему дуге круга BGN, описанного из точки О. Образующая точка А оказывается вне, внутри или на окружности
316
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
подвижного полукруга BSN в зависимости от того, будет ли данное а больше, меньше или равно OV.
Чтобы доказать это и вместе с тем определить точку В, я предполагаю указанные условия, а именно, что кривая AMD есть полуэпи циклоида, образованная качением полукруга BSN, с центром в точке К, центре
Черт. 134.
полукруга AEV, по дуге BGN, описанной из центра О. Предполагая, что полукруг BSN останавливается в таком положении BGN, при котором образующая точка А попадает в точку М, я провожу через центры образующих кругов прямую ОК, которая, следовательно, проходит через точку прикосновения G. Проводя KSE, я замечаю, что треугольники ОКЕ
и ОКМ конгруэнтны, потому что все их стороны соответственно равны. Отсюда следует: 1° что крайние углы МОК и ЕОК равны и значит углы МОЕ и GOB тоже равны, что дает:
GB • ME:: ОВ • ОЕ\
2° что углы МКО и ЕКО также равны, так что измеряющие их дуги GN и BS тоже равны; это же можно сказать о GB и SN, их дополнениях до двух прямых, так как они принадлежат одинаковым кругам, а из образования эпициклоиды следует, что
Анализ бесконечно малых
317
дуга GB подвижного круга равна дуге GB неподвижного. Следовательно, я буду иметь, что
SN  ME:: ОВ • ОЕ.
Обозначив затем данные: OV через b, KV или. КА через с, неизвестную КВ через и, я получу:
ОВ = Ь -}- с — и,
а из подобия секторов КЕА и KSN найду, что
КЕ(с) • KS(u):: АЕ(х) •	•
Следовательно,
OB(b-[-c — ii)-OE(z)::SN(~)-ЕМ(у)=*
_ UXZ _ XZ
~~ Ьс -\-сс — си~~ а
Отсюда
KB(ii) = b-^^. v '	а-\-с
Очевидно, что если взять КВ = -с сс. и описать из центров К^О полуокружность BSN и дугу BGN, то кривая AMD будет полуэпициклоидой, образованной качением полукруга BSN по дуге BGN', образующая точка ее А оказывается вне, внутри или на окружности этого круга в зависимости от того, будет ли KV (с) больше, меньше или равно КВ (—с- ), т. е. будет ли а больше, меньше или равно OV (6).
318
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Следствие I.
172.	Очевидно, что
ЕМ (у) • АЕ (х)::
:: КВ X ОЕ (uz) • OB X KV {be -f- сс — не).
Если предположить, что ОВ становится бесконечной, то прямая ОЕ тоже становится бесконечной и оказывается параллельной ОВ, так как нигде с ней не пересечется; концентрические дуги BGN и ЕМ станут прямыми, параллельными между собой и перпендикулярными к ОВ и ОЕ', и прямая ЕМ будет относиться к дуге АЕ:: КВ  KV, так как бесконечные прямые ОЕ и ОВ, отличающиеся одна от другой только на конечную величину, должны рассматриваться как равные.
Следствие II.
173.	Из равенства углов МКО и ЕКО следует, что треугольники MKG и ЕКВ будут конгруэнтны, и таким образом прямые MG и ЕВ равны между собой. Отсюда видно ($ 43), что, для того чтобы через данную точку эпициклоиды М провести перпендикуляр - MG, достаточно описать из центра О дугу ME, а из центра М дугу круга радиусом ЕВ. Эта дуга пересечет основание BGN в точке G, соединив которую с точкой М, получим искомый перпендикуляр.
Следствие HI-
174.	На окружности подвижного полукруга BGN дана точка G; если надо найти точку эпициклоиды М,
Анализ бесконечно малых	319
в которую попадает образующая точка А, когда данная точка G касается основания, достаточно взять дугу S7V равной дуге BQ и, проведя радиус KS, который пересекает окружность AEV в точке Е, описать из центра О дугу ЕМ, так как очевидно, что эта дуга пересечет эпициклоиду в искомой точке М.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ Ill.
Задача.
175.	Пусть полуэпициклоида AMD (черт. 135, 136) образована качением полукруга BGN по равной ему дуге другого круга BGN, так что пройденные части BG и BG
всегда остаются равными между собой. Пусть образующая точка М взята на диаметре BN вне, внутри или на подвижной окружности BGN. Требуется найти на полуэпициклоиде точку М, наиболее удаленную от ее оси ОА1И).
Предположим, что точка
М есть искомая точка; ясно ($ 47), что касательная в М параллельна оси ОА, так что МС, перпендикуляр к эпициклоиде, должен
быть перпендикулярен и к оси, которую он пересекает в точке Р. Если теперь провести ОК через центры образующих кругов, то она пройдет через точку прикосновения G. Далее, проведя KL перпен-
320
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
дикулярно MG, мы образуем равные углы GKL и GOB', следовательно, дуга IG, вдвое большая дуги, измеряющей угол GRL, относится к дуге GB, измеряющей угол GOB, как диаметр BN к радиусу ОВ. Поэтому, для того чтобы определить на полуокружности BGN точку G, где она касается дуги, которая ей служит основанием, когда образующая точка М наиболее
удалена от оси, надо разделить полуокружность BGN точкой G таким образом, чтобы, при проведении через данную точку М хорды IG, отношение дуги IG к дуге BG было равно данному отношению к ОВ. Стало быть вопрос сводится к задаче обыкновенной геометрии, которая всегда может быть решена геометрическим путем, если данное отношение есть отношение двух чисел, и притом при помощи линий с уравнением более или менее высокого
Анализ бесконечно малых	321
измерения в зависимости от большей или меньшей сложности отношения.
Если предположить, что радиус ОВ становится бесконечным, что имеет место, когда основание BGN обращается в прямую линию, то дуга IG будет бесконечно малой по сравнению с дугой GB. Отсюда видно, что в этом случае секущая MIG становится касательной МТ, когда образующая точка М попадает вне подвижного круга, и что наиболее удаленная от оси точка не может существовать, когда точка М попадает внутрь его.
Когда точка М попадает на окружность в Д', достаточно разделить полуокружность BGN точкой G в данном отношении BN к ОВ. Действительно, найденная таким образом точка G будет той точкой, в которой подвижной круг BGN касается основания, когда образующая точка совпадает с искомой точкой.
Лемма II.
176.	Я утверждаю, что во всяком треугольнике ВАС (черт. 137), в котором углы. АВС, АСВ и CAD, дополняющий до двух прямых тупой угол ВАС, бесконечно малы, эти углы относятся между собой, как про- 0 тиволежащие им сто-роны АС, АВ и ВС.
Действительно, если	Черт J37
около треугольника
ВАС описать круг, то дуги АС, АВ, ВАС, измеряющие углы, вдвое большие данных, будут беско-
21 Зак. 2051. — Лопиталь
322	Г. Ф. де-Лопиталь
нечно малы и, следовательно, не будут отличаться (§ 3) от своих хорд.
Если стороны АС, АВ и ВС треугольника ВАС не бесконечно малы, а имеют конечную величину, то описанный, круг должен быть бесконечно большим, так как дуги АС, АВ и ВАС, имеющие конечную величину и измеряющие бесконечно малые углы, должны быть бесконечно малы по сравнению с этим кругом.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ IV.
Задача.
177.	При прежних условиях найти на каждом перпендикуляре MG точку С его прикосновения к развертке эпициклоиды (черт. 135, 136).
Представив себе другой перпендикуляр mg, бесконечно близкий к МО и, следовательно, пересекающийся с ним в искомой точке С, проведем прямую От и, взяв на окружности подвижного круга малую дугу Gg, равную дуге Gg неподвижного круга, проведем прямые Mg, Ig, Kg, Og. Если рассматривать далее*малые дуги Gg и Gg как малые прямые, перпендикулярные к радиусам Kg и Og, то очевидно, что, когда малая дуга подвижного круга Gg падет на дугу неподвижного Gg, образующая точка М совпадет с т, а треугольник GMg—с треугольником Gmg. Отсюда видно, что угол MGm равен углу gGg= GKg-\- GOg; действительно, при прибавлении к обеим сторонам [равенства] углов KGg и OGg получаются два прямых.
Анализ бесконечно малых	323
Обозначая теперь данные: OG через b, KG через a, GM или Gm через т, GI или Ig через п, находим: 1°($ /76)
OG . KG:: GKg . GOg и
OG(b) . OG-±GK или 0О + «)::
:: GKg . GKg + GOg или Af Gm = --у6 GKg;
2° (§ 176)
Ig.MI:: GMg.Mgl и
Ig±MI или MG (m) . Ig{n)::
:: GMgMMgl или Gig или у GKg . GMg или Gmg = ~ GKg',
3° (там же) угол MCm или MGm— Gmg
• Oms {tHi GKg) '•: G/?z ('"•) • °C = _ btnn
2am + 2bm — bn'
Следовательно, искомый радиус развертки МС g	2атт -4- 2bmm
буДСТ== 2атЛ-2Ьт-ЬК-
Если предположить, что радиус OG(b) неподвижного круга становится бесконечно большим, то окружность становится прямой линией; уничтожая члены 2атт и 2ат, так как они ничто по сравнению с другими: 2Ьтт и 2bm — bn, мы получим, что
л,с_
2т — п
21*
3-4	Г. Ф. ДЕ-ЛОпитАлЬ
Следствие L
178.	Из того, что угол MGm~ -у- GKg и что дуги различных кругов находятся между собой в отношении, составленном из радиусов и измеряемых ими углов, следует, что
Gg. Мт:: Л'О X GKg • MG X -уу GKg. Следовательно,
KG X Мт = MG X Gg или (что то же самое)
KG X Мт . MG X Gg :: ОК(а^Ь). OG(b), что представляет собою постоянное отношение. Отсюда видно, что величина отрезка АМ полуэпициклоиды AMD зависит от суммы произведений, MG X Gg вдоль дуги GB; г. Паскаль доказывает это для циклоид, имеющих основанием прямые линии.
Г. Вариньон открыл это же свойство путем, совершенно отличным от приведенного.
Следствие II.
179.	Когда образующая точка М (черт. 135) попадает вне окружности подвижного круга, то возможны только три следующих случая. Действительно, при проведении касательной МТ, точка касания G может попасть: либо 1° на дугу ТВ, как и предполагалось в выкладках и на чертеже; тогда
/ 2атт 2bmm \ \lam^2bm-bnj
Анализ бесконечно малых
325
всегда будет больше MGtpiy, либо 2° в точку I 2атт 4- 2Ьтт \
касания Г; при этом МС Сг-—г-ке-------г~\=т> так
’	\2ат 4- ЧЬт — Ьп)
как IG (п) исчезает; либо 3° на дугу TN\ тогда величина GI (п) из положительной становится отрица-
„	./z-, 2атт 4- 2Ьтт	„
тельной и =	так что МС будет
меньше MG (т) и всегда положительна. Отсюда видно, что во всех этих случаях величина радиуса развертки МС всегда положительна.
Следствие III.
180.	Всегда, когда образующая точка М (черт. 136) оказывается внутри окружности подвижного круга, _ 2атт 2Ьтт
/ИС = 2ат-^2Ьт — Ьп * ПРИ этом можеТ случиться, что Ьп больше Чат ЧЬт, и таким образом величина радиуса развертки МС отрицательна. Отсюда видно, что если она перестает быть положительной и становится отрицательной, как это случается (§81), когда точка М есть точка перегиба, то необходимо Ьп — Чат2Ьт\ и следовательно,
MI X MG(mn - mm) =	+	.
Обозначив данную КМ через с, мы получим из свойства круга:
,,,	,,„/ 2атт 4- Ьтт \	,,,,
Ml X	------\ = ВМ X MN(аа — сс),
326
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
и значит неизвестная
MG (т) = 1/'~ bcc . V 7 к 2а + & Следовательно, если из данной точки М как из центра описать круг радиусом MG = 1/ ™L~J,CC...
г 2а 4- Ь ’ то он пересечет подвижной круг в точке G, в которой он касается неподвижного круга, служащего ему основанием, когда образующая точка М попадает в точку перегиба F.
Если провести MR перпендикулярно BN, то очевидно, что при этом MG (1/ —Z будет мень-\ Г 2а-]-Ь 1
ше MR{yаа — се); MG будет равна MR, когда b бесконечно велико, т. е. когда основание эпициклоиды обращается в прямую линию.
Следует заметить, что, для того чтобы круг, описанный радиусом MG, пересекал подвижной круг, надо, чтобы MG была больше MN, т. е. 1/..ab.ZLbcc ’	’ Г 2а + Ь
больше а— с, и значит КМ (с) — больше	•
Отсюда ясно, что для существования точки перегиба у эпициклоиды AMD надо, чтобы КМ была ... г	аа
меньше KN и больше - . . .
Лемма III.
181.	Пусть в каждом из треугольников АВЬ и CDd (черт. 138) стороны ВЬ и Dd бесконечно малы по сравнению с другими. Я утверждаю, что отношение тре
Анализ бесконечно малых
327
угольника АВЬ к треугольнику CDd составлено из отношений угла ВАЬ к углу DCd и квадрата стороны АВ или АЬ к квадрату стороны CD или Cd.
Действительно, если опи- g
сать из центров А и С ра- ,1 —-_________ ______
диусами АВ и CD круговые g дуги BE и DE, то очевидно Q
(§ 2), что треугольники АВЬ и CDd не будут отличаться Г от круговых секторов АВЕ Черт. 138.
и CDF. Значит, и т. д. Если
стороны АВ к CD равны, треугольники АВЬ и CDd будут относиться между собой, каких углы ВАЬ и DCd.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ V.
Задача.
182.	При прежних условиях и предполагая известной квадратуру круга, найти квадратуру пространства MGBA (черт. 135), заключенного между перпендикулярами к эпициклоиде MG и ВА, дугой GB и отрезком AM полуэпициклоиды AMD.
Угол GMg GKg ) относится к углу
MGm^-GKg] ,
как (§ 181) маленький треугольник MGg, имеющий основанием дугу подвижного круга Gg, к маленькому треугольнику или сектору GMm; следовательно,
328	Г. Ф. де-Лопиталь
обозначая MI через р и подставляя вместо т его значение р-\-п, сектор
GMm ^MGgXa+~ =	М Gg + ?“p-^MGg.
п	и	и	ип
Далее (§ 181) отношение маленького треугольника или сектора KGg к маленькому треугольнику MGg составлено из отношения квадрата КО к квадрату MG-и угла GKg к углу GMg, т, е.
:: аа X GKg .ттХт^ GKg, и, следовательно, маленький треугольник
Подставляя это значение вместо треугольника MGg 2ар 4- 2Ьр .. „
в ———MGg, получим, что сектор
GMm = MGg-]-	KGg.
Но, по свойству круга,
ОМ X М1(рт) — ВМ X MN(cc— аа), т. е. постоянной величине, которая остается неизменной, где бы ни находилась образующая точка М. Следовательно, GMm 4- MGg или mGg, т. е. малая площадь эпициклоиды
GMmg= MGg-]- a + b^~^KGg.
Так как GMrng есть диференциал площади эпициклоиды MGBA, MGg — диференциал пространства MGB,
Анализ бесконечно малых
329
ограниченного прямыми MG и МВ и дугой GB, и наконец малый сектор KGg есть диференциал сектора KGB, то (§ 96) площадь эпициклоиды
MGBA = MGB4- a + bX^~aaKGB. о	1	аао
Что и требовалось найти.	д
Если образующая точка М (черт. 139) оказывается вне окружности подвижного круга BGN, а точка касания G попадает на дугу NT, то очевидно, что перпендикуляры MG и mg пересекаются в точке С и что т=р— п (§ 180). Поэтому, если подставить, как и прежде, вместо ма-
лого треугольника MGg его величину
Черт. 139.
х— KGg, то
2аа °’
малый сектор
GMm = — 2a~2b MGg + 2ар + 26р MGg =
-тР^аьтР- KGg
и, следовательно, подставляя вместо рт его значение сс— аа, GMm — MGg или mGg, т. е.
,	36 ..। а —|— Ь	сс аа ..у.
MCm—GCg =---------' Gg - - ......-------KGg.
330
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Предположим, что TH есть положение касательной ТМ подвижного круга, когда его точка Т касается основания в точке Т; тогда очевидно, что
MCm — GCg = М О TH — mgTH, т. е. диференциалу пространства MGTH, и что MGg есть диференциал МОТ, а также KGg диференциал КОТ. Значит (§ 96), пространство
MGTH = — --736. МОТ + a + b~Xcc~aa КОт. Ь	1 aab
Но, как уже доказано, пространство
НТВ А =	МТБ 4- ±+A,.^>-gg КТВ.
Следовательно, во всех случаях и всегда пространство
MGBA (MGTH 4-НТВ А) =	MTB — MGT
или MG В 4- a+b^aCb~aa KGT-YKTB или KGB.
Итак, все пространство DNBA (черт. 135), заключенное между двумя перпендикулярами к эпициклоиде DN и ВА, дугой круга BGN и полуэпициклоидой AMD, будет = .2а + 3* 4- a + ft К^~аа KNGB;
действительно, и сектор КОВ и часть круга MGB обращаются в полукруг, когда точка касания G попадает в точку Ы.
Анализ бесконечно малых	331
Когда образующая точка М (черт. 136) попадает внутрь подвижного круга, надо в предыдущие формулы вставить аа — сс вместо сс— аа, потому что тогда ВМ X MN—aa— сс.
При с —а получим квадратуру эпициклоид, образующая точка которых лежит на окружности подвижного круга, а предположив b бесконечно большим, получим квадратуру циклоид, имеющих основаниями прямые линии.
Другое решение.
183.	Опишем радиусом OD дугу DV и на диа-
метрах ДК и BN построим полукруги AEV и BSN
(черт. 140). Описав из центра О произвольную дугу ЕМ, заключенную между полукругом AEV и полуэпициклоидой AMD, проведем ординату ЕР. Требуется найти квадратуру пространства АЕМ, заключенного между дугами АЕ и ЕМ и AM, отрезком полуэпициклоиды AMD.
Для этого возьмем другую дугу ет, бесконечно близкую к ЕМ и концентрическую с ней, другую ординату ер и еще другую Ое, пересекающую в точке F продолженную (если нужно) дугу ME.
332
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Обозначив переменные: ОЕ через z, VP через и, дугу АЕ через х, а постоянные, как прежде: ОВ через Ь, КВ или KN через a, KV или КА через с, получим: Fe = dz-, Pp — dir, OP = a-\-b — c-j-w,
PEA = 2cu — uu; дуга EM (§ 172) =	;
следовательно, прямоугольник, образованный дугой ЕМ и маленькой прямой Ее, т. е. 2) малое пространство
ЕМте = ^. Ьс
Из прямоугольного треугольника ОРЕ имеем, что zz = аа -[- ЧаЬ	bb — Час—ЧЬс Ц- сс
диференциал этого есть;
z dz — a du 4- b da.
Подставляя эту величину вместо zdz лучим, что малое пространство
Е Mme = аах du + abx du be
Чаи 2^«;
axz dz
—i.— > Kobe ’
в
Если теперь качением полукруга AEV по прямой VT, перпендикулярной к VA, описать полуциклоиду АНТ и продолжить ординаты РЕ и ре до пересечения с ней в точках Н и h, то очевидно, что (§ 172) ЕН X Рр, т. е. малое пространство
и значит
ЕН he = х du;
(аах du.-\-abx du\ ^rr, , , \	,
EMme (----------------\.EHhe(xdu)-.: aa-^ab .bt.
Анализ ёесконечно малых	333
А это отношение постоянно. Так как это имеет место, где бы ни взять дугу ЕМ, то сумма всех малых пространств ЕМте, т. е. пространство АЕМ, относится к сумме всех малых пространств EHhe, т. е. к пространству АЕН:: аа db . Ьс. Но мы уже имеем (§ 99) зависимость между квадратурой пространства АЕН и квадратурой круга, а следовательно, имеем и квадратуру искомого пространства АЕМ.
Это же можно доказать без всяких выкладок, как я это показал в Ades de Leypsic от августа месяца 1695 года.
Квадратуру пространства АЕН можно найти и не прибегая к § 99. Действительно, если докончить прямоугольники PQ и pq, получается:
Qq или HR . Рр или Rh :: ЕР . РА или HQ,
потому что ($' 18) касательная в Н параллельна хорде АЕ, и, следовательно:
HQxQq^EPx Рр,
т. е. малые пространства HQqh и ЕРре всегда равны между собой. Отсюда следует, что пространство AHQ, заключенное между перпендикулярами AQ и QH и отрезком АН полуциклоиды АНТ, равно пространству АРЕ, заключенному между перпендикулярами АР и РЕ и дугой АЕ. Стало быть пространство АЕН равно прямоугольнику PQ минус удвоенная часть круга АРЕ, т. е. прямоугольнику, построенному на РЕ и AS4 плюс или минус прямо
334
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
угольник, построенный на Л75 и дуге АЕ, в зависимости от того, окажется ли точка Р ниже или выше центра. Следовательно, искомое пространство
АЕМ = PExKAEzKPXAE .
Следствие I.
184.	Когда точка Р попадает в К, прямоугольник КР X АЕ исчезает, а прямоугольник РЕ X КА становится равным квадрату КА. Отсюда видно, что в этом случае пространство
АЕМ = ЧЕ£±^Е,
V
и, следовательно, оно абсолютно квадрируемо, независимо от квадратуры круга.
Следствие II.
185.	Если прибавить к пространству АЕМ сектор АКЕ, то пространство АКЕМ, заключенное между радиусами АК и КЕ, дугой ЕМ и отрезком AM полуэпицирлоиды AMD, равняется (когда точка Р попадает выше центра К)'
bcc 4- Чаас 4~ ЧаЬс — Чааи — ЧаЬи Л с ,
—	AE-j~
аа 4- ab Ьс
РЕ X КА-,
следовательно, взяв
VT(u) =
Чаас -j- ЧаЬс 4~ Ъсс Чаа 4* 2аЬ
Анализ бесконечно малых
335
что обращает в нуль величину
bcc 2аас -f- 2а6с — 2ааи — 2аЬи . р
2Ьс	’
получим, что пространство
АКЕМ = аЛ±ЛрЕ х КА.
ос
Отсюда видно, что его квадратура также не зависит от квадратуры круга.
Очевидно, что из всех пространств АЕМ и АКЕМ только два сейчас упомянутых обладают абсолютной квадратурой.
Предупреждение.
Все доказанное только что по отношению к эпициклоидам относится также и к гипоциклоидам, т. е. к таким циклоидам, подвижной круг которых катится по неподвижному изнутри. При этом радиусы КВ (а) и KV (с) из положительных становятся отрицательными, и поэтому в предыдущих формулах надо переменить знаки при членах нечетного измерения относительно а и с 180).
Замечание.
186.	Существуют некоторые кривые, которые кажутся имеющими точку перегиба и, однако, ее не имеют; так как это может представить кое-какие затруднения, я считаю уместным объяснить это на примере.
Пусть природа геометрической кривой NDK (черт. 141) выражается уравнением:
(АР = х, PN=z), У2хх-аа
336
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Черт. 141.
в котором, как это ясно: 1° при х = а, PN (z) исчезает; 2° при х, большем а, величина z положительна и, наоборот, при х, меньшем а, она отрицательна; 3° при x = j/-i- аа величина PN бесконечно велика. Отсюда видно, что кривая NDN проходит по обе стороны от своей оси, пересекая ее в точке D, для которой AD = а, и что она имеет - асимптотой перпендикуляр BG, проведенный че-" рез точку В, для которой Д5 = |/~-у аа.
Опишем теперь другую кривую EDF так, чтобы, при произвольно проведенном перпендику-
ляре MPN прямоугольник, построенный на ординате РМ и постоянной AD, всегда был равен соответствующему пространству DPN. Ясно, что если обозначить РМ через у и продиференцировать, то получится: AD X Rm (a dy) =
— NPpn или NP X Рр	’
следовательно,
Rm (dy). Рр или RM (dx):: PN  AD.
Отсюда следует, что кривая EDF касается асимптоты ВО, продолженной по другую сторону В, в точке Е
Анализ бесконечно малых	337
и касается оси АР в точке D и, таким образом, должна иметь точку перегиба в D. Однако {§ 78) для радиуса развертки мы находим величину х3
— 2аа ’ К0Т0Рая всегДа отрицательна и становится равной-----а, когда точка М попадает в D; от-
сюда следует заключить {§ 81), что кривая, проходящая через все точки /И, по-стоянно обращена выпуклостью к	мХ
оси АР и что она не имеет точки	\	/
перегиба в D. Как же все это со- -----to л m р---
гласовать? Вот объяснение.	J	\
Если взять РМ с той же сто- %	/ч
роны, что и PN, то образуется черт 142 другая кривая GDH, которая совершенно подобна EDF и должна составлять ее часть, так как происхождение их обеих одинаково. Если это так, то надо думать, что частями, составляющими всю кривую, являются не EDF и QDH, как казалось, a EDH и GDF, которые соприкасаются в точке D\ при этом последнем предположении все совершенно согласуется. Это подтверждается еще следующим примером.
Пусть кривая DMG (черт. 142) имеет уравнение:
у* = %* аахх — & (А.Р = х, РМ =у).
Из этого уравнения следует, что вся кривая состоит из двух частей EDH и GDF, противолежащих одна
22 Зак. 2051. — Лопиталь
338
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
другой, как в обыкновенной гиперболе, так что расстояние между ними
DD или 2Л£) = р/Г — 2аа-{-2 ]Ла44Z»4 .
При предположении, что b исчезает, расстояние DD (черт. 143) исчезает тоже, и, следовательно, обе части EDH и GDF соприкасаются в точке D;
г s	таким образом можно было бы	пола-
\ /	гать, что эта кривая имеет в	точке
Yfl	D точку перегиба или возврата	в за-
Д	висимости от того, представлять ли
Д	себе, что ее части суть EDF и	GDH
„	или EDG и HDF. Но легко	разо-
Черт. 143.
браться в этом, если найти радиус развертки; он окажется всегда положительным и бу-дет в точке и равен — а.
Можно мимоходом заметить (черт. 141), что квадратура пространства DPN зависит от квадратуры гиперболы или (что сводится к тому же) от спрямления параболы, и что отрезок кривой DMF удовлетворяет условиям задачи, предложенной г. Бернулли во втором томе eSuppl£mens des Actes de Leypsic“, стр. 291181).
ГЛАВА X
НОВЫЙ СПОСОБ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЫ НОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ КРИВЫХ, ИЗ КОТОРОГО ВЫВОДИТСЯ МЕТОД гг. ДЕКАРТА
И ГУДДЕ
Определение
ПУСТЬ кривая ABD такова (черт. 144, 145, 146), что линии KMN, параллельные ее диаметру АВ, пересекают ее в двух точках М и N, и пусть отсе
Р Е 0 8
Черт. 144.
РЕ Q
Черт. 145.
ченная часть MN или PQ становится бесконечно малой. В таком случае она будет называться диференциалом абсциссы АР или /<Л4.
340
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Следствие I.
187.	Очевидно, что, когда отрезок MN или PQ становится бесконечно малым, -каждая из абсцисс АР и AQ становится равной АЕ и точки М и Af соединяются в одну точку D; при этом ордината ED есть наибольшая или наименьшая из всех ей подобных РМ и MQ.
Следствие II.
188.	Очевидно, что из всех абсцисс АР только АЕ имеет диференциал, потому что только в этом случае PQ становится бесконечно малой.
Следствие III.
189.	Если обозначить неопределенные: АР или КМ через х, РМ или А К через у, то очевидно, что
Cr Ofl
К—
4 EPQ
Черт. 146.
при неизменном АК (у) должны существовать два различных значения х, а именно КМ и KN или АР и AQ. Поэтому, для того чтобы одна и та же неизвестная х, обознача-
ющая корни уравнения, выражающего природу кривой ADB (так как у рассматривается как известная), могла имечь различные значения, уравнение это должно быть свободным от иррациональностей. Это надо иметь в виду в дальнейшем.
Анализ бесконечно малых	341
ПРЕДЛОЖЕНИЕ I.
Задача.
190.	Природа геометрической кривой ADB известна. Определить наибольшую или наименьшую из ее ординат ED.
Если продиференцировать уравнение, выражающее природу кривой, обращаясь с у, как с постоянным, а с X— как с переменным, то, очевидно, получится (§ 188) новое уравнение, одним из корней которого X является такая величина АЕ, что ордината ED будет наибольшей или наименьшей из всех ей подобных.
Пусть, например, хА -J- >3 = ахУ• Диференциал этого, если считать X за переменное, а у за постоянное, дает:
Ъхх dx — ay dx, и, следовательно, у = ^. J а
При подстановке этого значения вместо у в уравнение кривой Xs -|-.У3 = аху для х получается такая величина АЕ = а 2, что ордината ED будет наибольшей из всех ей подобных, как это уже было найдено в § 48.
Очевидно, что так определяются не только те точки D, в которых ординаты ED перпендикулярны или касательны к кривой ADB, но также и те точки D, в которых ординаты наклонны к кривой, т. е. точки возврата первого и второго рода. Отсюда видно,
342
Г. Ф. ДЕ'ЛОПИТАЛЬ
что этот новый способ рассматривать диференциалы при исследовании геометрических кривых в некоторых случаях более прост и удобен, чем (гл, III) первый 13а).
Замечание.
191.	Можно заметить, что в кривых, имеющих точку возврата, линии РМ (черт. 146), параллельные АК, пересекаются с кривой в двух точках М и О, так же как и КМ, параллельные АР, — в точках М и N, и значит, при одном и том же АР(х),у имеет два различных значения: РМ и РО- Поэтому при диференцировании уравнения, выражающего природу этой кривой, можно обращаться с X как с постоянной, а с у — как с переменной. Отсюда видно, что если при этом диференцировании считать х и у переменными, то надо, чтобы все члены, на которые умножается dx с одной стороны, и все, на которые умножается dy с другой, были равны нулю l3S). Следует иметь в виду, чтобы dx и dy обозначали здесь разности двух ординат, выходящих из одной и той же точки, а не (как раньше в гл. Ш) разности двух бесконечно близких ординат 13А).
Следствие.
192.	Если продиференцировать, предварительно упорядочив его, уравнение кривой с одной только неизвестной переменной X, то очевидно: 1° что при этом лишь помножают каждый член на показатель степени при X и на диференциал dx и делят его затем на х\ 2° что этим умножением на dx, так же как и деле
Анализ бесконечно малых
343
нием на х, можно пренебречь, так как они одинаковы для всех членов; 3° что показатели степени при х образуют арифметическую прогрессию, первый член которой есть показатель наибольшей степени, а последний— нуль, так как по предположению недостающие члены уравнения отмечены звездочкой186).
Пусть, например, X3*—аух-}-у3 — 0. Если помножить каждый его член на член арифметической прогрессии 3, 2, 1, 0, то образуется новое уравнение Зх3 — аух — 0.
х3 ★ — аух + у3 = О
3, 2,	1, О
Зх3 ★ — аух ★ = 0.
Отсюда у ~ так же, как это получилось бы при диференцировании обычным способом.
Теперь я утверждаю, что вместо арифметической прогрессии 3, 2, 1, 0 можно воспользоваться любой другой арифметической прогрессией т 3, т 2, ту-\, т 0 или т (через т обозначено произвольное число, целое или дробное, положительное или отрицательное). Действительно, при умножении Xs ★ — аух -|-у3 = 0 на хт получается xnt+3 * и т. д. = 0; все члены чего для получения диферен-циала должны быть помножены на соответствующие члены прогрессии тЦ-3,	отЦ-1, т.
хт+3 ’ *	— аух™*1 +у3х®	=0
/и-|-3, т 2,	т
т + Зх’п+3 *	— /я + 1 аухт+1 + ту*хт =0.
344	Г. Ф. де-Лопиталь
Это дает:
/п4- 3х т+3 — т-^Лаух™*1 + ту3хт = 0;
деля на хт, получаем:
z«-{-3№ — m-p 1 аух4~ту3 — 0.
Это можно было найти и сразу простым умножением предложенного уравнения на прогрессию т-\-2, пг-±~ 1, т 136).
Если т = — 3, прогрессия будет:
0, —1, — 2, —3, а уравнение
2аух — 3j/3 — о.
Если т — — 1, прогрессия будет:
2, 1, 0, —1, а уравнение
2%3—>3 = 0.
Можно переменить знаки при всех членах прогрессии, т. е. вместо 0,— 1, — 2,-—3 и 2, 1,0, — 1 можно взять 0, 1, 2, 3 и—2, —1, 0, 1, потому что при этрм только меняются знаки всех членов нового уравнения, которое должно быть приравнено нулю. В самом деле, вместо
2аух — 3_у3 — о и 2х3 —у3 = О получится:
— 2аух 3_уз = о и — 2х3 _[-_рЗ — о, что то же самое.
Анализ бесконечно малых
345
Очевидно, что все доказанное нами для этого примера применимо таким же способом и ко всем остальным. Отсюда следует, что если упорядочить уравнение, которое должно иметь два равных корня, и помножить все его члены на члены произвольной арифметической прогрессии, то получится новое уравнение, которое будет иметь среди своих корней один из двух равных корней первого уравнения. По тому же правилу, если это новое уравнение должно снова иметь два равных корня и если помножить его на арифметическую прогрессию 137), то получится третье уравнение, которое будет иметь среди своих корней один из двух равных корней второго и так далее. Таким образом, если помножить уравнение, имеющее три равных корня, на произведение двух арифметических прогрессий138), то получится новое уравнение, которое будет иметь среди своих корней один из трех равных корней первого уравнения; точно так же, если уравнение должно иметь четыре равных корня, его надо помножить на произведение трех арифметических прогрессий; если пять, то на произведение четырех и т. д.
В этом как раз и состоит метод г. Гудде 139).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ II.
Задача.
193.	Из данной точки Т (черт. 147) на диаметре АВ или из данной точки Н на линии АН, параллельной ординатам, провести касательную ТНМ.
346
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Проведем через точку касания 7W ординату МР и обозначим данные: АТ через s, АН через t, а неизвестные: АР через х, РМ через у. Из подобия треугольников ТАН и ТРМ следует, что
st tx
sy — st
При подстановке этих значений вместо у или х в данное уравнение, выражающее природу кривой
AMD, получается новое уравнение, уже не содержащее у или X.

Т A Q Р
Если теперь провести прямую линию TD, которая пере-
Черт. 147.
сечет прямую АН в О и кривую AMD в двух точках и D, и из последних опустить орди-
наты NQ и DB, то очевидно, что, поскольку t в предыдущем уравнении выражает AG, х или у будут иметь два значения: HQ и А В или NQ и DB, которые становятся равными между собой и равными искомой АР или РМ, когда t выражает АН, т. е. когда секущая TND становится касательной ТМ. Отсюда следует, что это уравнение должно иметь два равных корня. Поэтому его надо умножить на произвольную арифметическую прогрессию и повторить это, если нужно, умножая это же самое уравнение на другую
Анализ бесконечно малых	347
произвольную арифметическую прогрессию, для того чтобы путем сравнения получившихся уравнений можно было найти такое, которое содержало бы только неизвестную х или у и данную $ или t. Следующий пример в достаточной мере разъясняет этот метод140).
Пример.
194.	Пусть уравнение, выражающее природу кривой AMD, будет ах =уу. Если подставить вместо X его sy — st	.	, ,
значение —, получится [уравнение] (уу и т. д., которое должно иметь два равных корня.
(уу — asy ast =. О 1,	0,-1
(уу ★ — ast — 0,
Поэтому, умножая по порядку все члены на члены арифметической прогрессии 1, 0, — 1, найдем ДУ— уу — ах и, следовательно, AP(x) = s. Отсюда видно, что если взять АР —АТ я провести ординату РМ, то линия ТМ будет касательной в М. Если вместо AT(s) дано AH(t), надо умножить то же самое уравнение tyy и т. д. на другую прогрессию 0, 1, 2; в результате получится искомая /эУИ(у) = 2(.
То же построение можно получить, подставляя sZ I tx
в ах—уу, вместо у его значение —. Тогда получится ttxx и т. д.; умножив члены этого уравнения на 1, 0, —1, мы найдем xx = ss и, следовательно, АР (х) = s.
348
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
Следствие.
195.	Если предположить, что точка касания М дана и надо найти точку Т или Н, в которой касательная МТ пересекает диаметр АВ или линию АН, параллельную ординатам, то достаточно в последнем уравнении, которое выражает значение неизвестной х или у через данную $ или t, рассматривать эту последнюю как неизвестную, а х или у как данную.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ III.
Задача.
196.	Природа геометрической кривой AFD (черт. 148) известна. Определить ее точку перегиба F.
Проведя через искомую точку F ординату FE и касательную FL, а через точку А (начало отсчета х) АК, параллельную ординатам, и обозначив неизвестные: LA через s, АК через t, АЕ через х, EF через у, мы снова получим из подобных треугольников LAK и LEF, что
v — st + tx „ V _ sy — st
Г S	t
Поставив эти значения вместо у или х в уравнение кривой, мы получим новое уравнение, в которое у или X уже не войдут, так же как и в предыдущем предложении.
Если теперь провести прямую TD, которая пересекает прямую АК в Н, касается кривой AFD в М
Анализ бесконечно малых
349
и пересекает ее в D, и опустить ординаты МР и DB, то очевидно, что; 1° когда 5 выражает АТ, a t выражает АН, то найденное уравнение должно иметь два одинаковых корня, равных (§ 193) АР или РМ,
в зависимости от того, что один отличный корень АВ или BD', 2° когда 5 выражает AL, а I выражает АК, точка касания М сливается с точкой пересечения D в искомой точке F, так как ($ 67) в точке перегиба F касательная LF и касается
исключается: или х, и
кривой и пересекает ее; следовательно, значения х, т. е. АР и АВ, или значения у, т. е. РМ и BD, становятся равными между собой, и именно равными каждое искомой АЕ или EF. Отсюда следует, что это уравнение должно иметь три равных корня. Поэтому его надо умножить на произведение двух произвольных арифметических прогрессий и повторить это, если нужно, умножая его на другое произведение двух арифметических прогрессий, для того чтобы путем сравнения получающихся уравнений можно было исключить неизвестные у и t.
Пример.
197. Пусть уравнение, выражающее природу кривой AFD, есть ауу=хуу-\-аах. Если подставить вместо х
350
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
sy — st
его значение	, получается уравнение syv —
— styy— atyy и т. д.
sy3 — styy aasy — aast = О — at
1,	о,	—1,	-2
3,	2,	1,	0
3sy3 ★	— aasy ★ =0.
Умножением этого на
3, о, —1, О,
т. е. на произведение двух арифметических прогрессий 1, 0, —1, —2 и 3, 2, 1, 0, получим:
1 у у = у аа.
Подставляя эту величину в уравнение кривой, найдем неизвестную	,
АЕ(х) = ±а.
Это приводит нас к § 68.
Другое решение.
198.	Эту задачу можно также решить, заметив, что из той'* же точки L или К (черт. 149, 150) можно провести только одну касательную LF или KF, так как она касается извне вогнутой части AF ’и изнутри выпуклой FD, между тем как из всякой другой точки Т или И, взятой на ЛА или АК между А и L или А и К, можно провести две касательных ТМ и TD или НМ и HD: одну к вогнутой части, а другую — к выпуклой. Таким образом точку пере-
Анализ ёесконёчно малых
351
гиба F можно рассматривать как соединение двух точек касания М и D. Если предположить, что даны AT(s) или AH(t) и что ищется {§ 194) выражение величины х или у через $ или t, то получится уравнение, имеющее два корня: АР и АВ или РМ и BD, которые оба будут равны искомой АЕ или EF,
Черт. 150.
когда $ выражает AL, a t выражает АК- Поэтому надо умножить это уравнение на произвольную арифметическую прогрессию и т. д.
Пример.
199.	Пусть, как и раньше, ауу = хуу -|- аах. Имеем опять:
sy3 — sty у — atyy	aasy — aast — О,
умножение чего на арифметическую прогрессию
1, 0, —1,-2
дает:
уй ★ — аау — 2aat = 0.
В последнее уравнение S уже не входит, и оно имеет два неравных корня, а именно РМ и BD,
352
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
когда t выражает АН, и два корня, равных искомой EF, когда t выражает АК Поэтому, умножив опять-таки последнее уравнение на арифметическую прогрессию 3, 2, 1, 0, получим 3_у_у— аа = 0; следовательно,	Г~.--
EF{y) = y/ ^аа.
Что и требовалось найти.
Е С
Черт. 151.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ IV.
Задача.
200.	Провести из точки С, данной вне кривой AMD (черт. 151), перпендикуляр СМ к этой кривой.
Опустим на диаметр АВ перпендикуляры МР и СК и опишем из центра С круг радиусом СМ; очевидно, что он коснется кривой AMD в точке М. Обозначив затем неизвестные: АР через х, РМ через у, СМ через г, а известные: А К через s, КС
через t, получим: РК или CE = s— х, ME —у -\-t, а из прямоугольного треугольника МЕС найдем:
у = —t-\-V rr—ssM2sx— хх, х = s — У rr—tt — 2ty —yy .
Подставляя эти значения вместо у или х в уравнение кривой, получим новое уравнение, в которое х или у уже не войдут.
Анализ бесконечно малых	&3
Если теперь из того же центра С описать другой круг, пересекающий кривую в двух точках А/ и D, и опустить перпендикуляры А/Q и DB, то очевидно, что если г выражает в предыдущем уравнении радиус CN или CD, то х или у будут иметь два значения: AQ и АВ или А/Q и DB, которые станут равными друг другу и искомой АР или РМ, когда г будет выражать радиус СМ. Отсюда следует, что это уравнение должно иметь два равных корня. Поэтому его надо умножить и т. д. ш).
Пример.
201.	Пусть ах—уу— уравнение, выражающее природу кривой AMD. Подставив в него вместо X его значение 5 — Угг— tt — 2ty—уу, получим:
as—yy = a Уrr—tt— 2ty —уу.
Возведя каждую сторону [уравнения] в квадрат и упорядочив затем уравнение, найдем [уравнение]^4 и т. д., которое должно иметь два равных корня, когда у выражает искомую РМ.
>4 * — 2asyy -|- 2aaty 4- aass = О
-\-аа	аагг
-|- aatt
3,	2,	1, о
4у4* —4asyy-}-2aaty ★ =0 4-2аа
23 Зак. 2051. — Лопиталь.
354
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАлЬ
Поэтому его надо умножить на арифметическую прогрессию 4, 3, 2, 1, 0, что даст [уравнение]:
4уз — 4aSy 2аау 2aat = О,
решение которого доставит дляу искомую величину ТИР, Когда данная точка С попадает на диаметр
АВ (черт. 152), t — 0 и значит надо уничтожить
все члены, содержащие t\ это дает: 4as — 2аа = 4уу = 4ах,
А Р С В Черт. 152.
если подставить вместо уу его значение ах, Отсюда
1 х = s — y а,
т. е. если взять СР равным половине параметра и, нанеся ординату РМ, перпендикулярную АВ, провести прямую СМ, то последняя будет перпендикулярна к кривой AMD.
Следствие.
202. Есл0 предположить, что точка М (черт. 152) дана, а ищется точка С, то в последнем уравнении, выражающем величину AC (s) через АР (х) или РМ (у), надо рассматривать эти последние как известные, а первую — как неизвестную.
Определение II.
Если каким-либо радиусом развертки описать круг, он будет называться соприкасающимся кругом.
Анализ бесконечно малых
355
Точка, в которой этот круг касается кривой или соприкасается с ней, называется точкой соприкосновения 142).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ V.
Задача.
$03. Природа кривой AMD (черт. 153) и какая-либо ее точка М известны. Найти С, центр круга, соприкасающегося с кривой AMD в точке М.
Опустив на ось перпендикуляры МР и СК и обозначив линии теми же буквами, что и в предыдущей задаче, мы придем к тому же уравнению. Следует только иметь в виду, что буквы х или у, которые там рассматривались как неизвестные, здесь обозначают данные величины и, наоборот, s и t, которые рас
сматривались там как известные, здесь оказываются неизвестными, так же как г.
При этом очевидно: 1° что искомая точка С будет находиться на перпендикуляре MG к кривой; 2° что всегда возможно описать круг, который касается кривой в М и пересекает ее по крайней мере в двух точках (я предполагаю D более близкой из них и опускаю из нее перпендикуляр DB), так как всегда можно найти круг, который пересекает произвольную отличную от круга кривую по крайней мере в четырех точках, а точка касания М равносильна
23*
356
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
только двум пересечениям; 3° что чем больше центр G этого круга приближается к искомой точке С, тем больше точка пересечения D приближается к точке касания М, и, когда точка Q попадает в точку С, точка D сливается с точкой М, так как (§ 76) круг; описанный радиусом СМ, должен и касаться кривой и пересекать ее в одной и той же точке М. Отсюда видно, что, поскольку $ выражает AF, a t выражает FG, уравнение должно иметь два корня, равных каждый (§ 200) АР или РМ, в зависимости от того, что исключается:^ или х, и еще один отличный корень АВ или BD, который тоже становится равным АР или РМ, когда 5 и t выражают искомые АК и КС', таким образом это уравнение должно иметь три равных корня.
Пример.
204.	Пусть ах —уу — уравнение, выражающее природу кривой AMD. Мы найдем (£ 201) [уравнение] у* и т. д., умножив которое на 8, 3, 0, — 1, О, т. е. на произведение двух арифметических прогрессий 4, 3, 2,„1, 0 и 2, 1, 0, —1, —2, получим, что Sy4 = 2aaty.
_у4 ★	— 2asyy 2aaty -\-aass
4, 3,	-f- аа	— aarr '-aatt 2,	1,	0
2, 1,	0,	—1,	—2
8у4 ★	★	— 2aaty ★ — 0.
Анализ бесконечно малых	357
Отсюда находится искомая
КС или PE(f) = ^.
Если угодно найти уравнение, выражающее природу кривой, проходящей через все точки С, надо опять умножить у4 и т. д. на 0, 3, 4, 3, 0, т. е. на произведение двух прогрессий 4, 3, 2, 1, 0 и 0,1, 2, 3,4; при этом получится:
8asy —г 4аау — 6aat,
1 откуда, полагая для краткости s — -^а — и, полу, чаем, что
3at . „	27а3/3	,
V ~ -г— и 4у3 = ,с — aat, J Au J lb«3 ’
и, следовательно,
16ttS = 27atf.
Отсюда следует, что кривая, проходящая через все точки С, есть вторая кубическая парабола, пара-,,	27л	„
метр которой = и вершина которой отстоит от вершины данной параболы на -^-а, так как
1 u = s-ja.
Если части кривой, соседние с точкой М, расположены с обеих ее сторон совершенно одинаково, как это имеет место, когда кривизна в ней наибольшая или наименьшая, то одно из пересечений каса
358
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
тельного круга с кривой может слиться с точкой касания только в том случае, когда и другое сольется с ней; таким образом уравнение должно при этом иметь четыре равных корня. В самом деле, умножив у1 и т. д. на 24, 6, 0, 0, 0, т. е. на произведение трех арифметических прогрессий 4, 3, 2, 1, 0; 3, 2, 1, 0, — 1 и 2, 1, 0, — 1, — 2, получим 24у4 = 0; это показывает, что точка М должна попасть в вершину А параболы для того, чтобы расположение соседних с ней частей кривой было одинаково с обеих ее сторон.
Другое решение.
205.	Эту задачу можно еще решить (черт. 154), вспомнив, что в параграфе 76 было доказано, что из искомой точки С можно провести к кривой AMD
Черт. 154.
только один перпендикуляр СМ и что в то же время на этом перпендикуляре МС имеется бесконечное множество точек G, из которых можно провести к кривой по два перпендикуляра MG и GD. Если предположить, что точка G дана и что ищется ($ 200) выражение величины х или у
через данные s n t, то очевидно, что это уравнение должно иметь два неравных корня, а именно АР и АВ или РМ и BD, которые становятся
Анализ бесконечно малых	359
равными между собой, когда точка О попадает в искомую точку С. Поэтому это уравнение надо помножить на произвольную арифметическую прогрессию и т, д.
Пример,
206.	Пусть, как и выше, ах~уу; будем иметь (§ 201) 4у3 и т. д.
4у3 ★ — 4asy 4- 2aat = О
2, 1,	0,-1
8у3 *	*	—	— 0
Умножение этого на арифметическую прогрессию 4уЗ 2, 1,0, —1 дает (§ 204), как и раньше, t —	.
Следствие.
207.	Очевидно, что можно (черт. 153, 154) рассматривать точку соприкосновения как (§ 203) слияние точки касания с точкой пересечения того же круга или же как 205) слияние двух точек касания двух различных концентрических кругов, подобно тому, как точку перегиба можно рассматривать ($ 196) как слияние точки касания с точкой пересечения той же прямой или (§ 198) как слияние двух точек касания двух различных прямых, выходящих из одной точки.
360
Г. Ф. де-Лопиталь
Предложение VI.
в точках г и и, до их
Н
Черт. 155.
Задача.
208.	Найти уравнение, выражающее природу каустики AFGK (черт. 155), образованной в четверти круга CAMNB отраженными лучами МН, NL и т. д., падающие лучи которых РМ, QN и т. д. параллельны СВ.
Я замечаю следующее: 1° Если продолжить отраженные лучи MF и МЭ, которые касаются каустики пересечения в точках Н и L с радиусом СВ, то МН окажется равной СН и HL равной CL. Действительно угол С МН = CMP = МСН, а также угол CNL = CNQ — = NCL.
2° Из данной точки F на каустике AFK можно провести только одну прямую МН, равную СН', между тем из данной точки D
между четвертью круга АМВ и каустикой AFK можно провести две таких линии МН и NL, что МН —СН и. NL — CL. Действительно, из точки F можно провести только одну касательную МН, в то время как из точки D их можно провести две: МН и NL.
После того, как это уже установлено, пусть будет предложено из данной точки D провести прямую МЦ
Анализ бесконечно малых	361
так, чтобы она равнялась отрезку СН, который она отсекает на радиусе СВ.
Проведя МР и DO параллельно СВ, и MS — параллельно СА, обозначим данные: СО или RS через «, OD через z, АС или СВ через а, а неизвестные: СР или MS через х, РМ или CS через у, СН или МН через г. Прямоугольный треугольник MSH дает:
гг ~ г г— 2гу +	+ хх.
Отсюда
OT(r).= ii+S.
Кроме того подобные треугольники MRD и MSH дают:
MR (х—в). MS (х) :: RD (z —у) . SH =	,
и, следовательно, подставляя вместо хх-[-уу его значение аа, получим CS\-SH или СИ= хх-|-уу аа г,	,
= —9	= л—. Отсюда получается (перемножением
ту
накрест) уравнение:
аах — ааи = 2zxy — 2иуу,
а если подставить вместо уу его значение аа — хх, получится:
2zxy = аах~[- ааи. — 2ихх.
^оздодя затем обе стороны [уравнения] в квадрат, чтобы
362	Г. Ф. де-Лопиталь
избавиться от иррациональностей, и подставляя опять вместо уу его значение аа—хх, получим наконец: 4/шх4 — 4ааих3 4ааиихх 2a4«x -ф-	— 0.
4zz	— 4aazz
Ц-а4
Очевидно, что когда и выражает СО, a z выражает OD, это уравнение должно иметь два различных корня, а именно СР и CQ; наоборот, когда и выражает СЕ, a Z выражает EF, то CQ становится равным СР и оно имеет тогда два одинаковых корня. Поэтому если помножить его члены на члены двух арифметических прогрессий 4, 3, 2, 1, 0 и 0, 1, 2, 3, 4, то получатся два новых уравнения, посредством которых после исключения неизвестной х найдется уравнение:
64г6— 48ааг4 -|-12а4гг — ав =0, 4~ 192«ц —96ааии —15а4ии
-]-192«4	—48аа«4
4-64«в
которое выражает связь между абсциссой СЕ.(и) и ординатой ЕЕ (г). Что и требовалось найти.
Можно определять точку касания F и по методу, изложенному в восьмой главе. Действительно, если представить себе другой падающий луч рт, бесконечно близкий к РМ, то очевидно, что отраженный луч mh пересечет МН в искомой точке F. Проведя через нее FE параллельно РМ и обозначив СЕ
Диализ бесконечно малых	363
через и, EF через z, СР через х, РМ через у, СМ через а, найдем, как и выше:
аах 4- ааи — Чихх „
Очевидно, что СМ, СЕ, EF остаются без изменения, в то время как СР и РМ изменяются. Поэтому это уравнение надо продиференцировать, обращаясь с а, и и z, как с постоянными, а с х и у — как с переменными; это дает:
Ъиухх dx ааиу dx — аахх dy —• aaux dy 4~
Ц- 2u.x*dy = 0.
„	,	у dy
Подставляя сюда вместо dx его значение ——-— (которое найдем, продиференцировав у у — аа — хх) и затем вместо уу его значение аа — хх, получим, наконец, СЕ («) = — .
’	4 ' аа"
Если предположить, что кривая АМВ— уже не четверть круга, а какая-либо другая кривая, имеющая радиусом развертки в точке М прямую МС, то очевидно (§ 76), что ее малый отрезок Мт может рассматриваться как дуга круга, описанного из центра С. Отсюда следует, что если на падающий луч РМ опустить из центра перпендикуляр СР и, взяв уЗ
СЕ = ~ (СР=х, СМ —а), аа	’
провести ЕЕ параллельно РМ, то она пересечет отраженный луч МН в точке F, в которой он касается каустики AFK.
364
Г. Ф. ДЕ-ЛоПИТАЛЬ
Соединим все точки М и т некоторой кривой АМВ прямыми МС и тС с фиксированной на ее оси АС точкой С и проведем прямые МН и mh до пересечения с СВ — перпендикуляром к оси так, что угол СМН = МСН и Ctnh~mCh. Пусть требуется найти на каждой МН точку F, в которой она касается кривой AFK, образованной непрерывными пересечениями этих прямых МН и mh, Как и прежде, мы найдем:
__XX А-У У _ ZX — ну
2у х — и ’
откуда
х$ ф- иуу + хуу — ихх _
~ ху	~~ %2'
Диференциал этого (если обращаться с и и z, как с постоянными, а с х и у — как с переменными) дает:
2х8_у dx — ихху dx — x^dy-}- ux^dy -j- xxyy dy -ф-4- uxyy dy — uys dx = 0,
и, следовательно, искомая
z ч  2x3y dx — xidy	xxyy dy
~~ xxydx — xs dy -f- y‘dx—xyydy'
Поскольку природа кривой AMD известна, можно выразить величину dy через dx и подставить ее в выражение СЕ. Тогда это выражение будет свободным от диференциалов и вполне известны^.
Анализ бескойёчно малых	365
ПРЕДЛОЖЕНИЕ VII.
Задача.
20д. Пусть АО есть некоторая неопределенно продол* женная прямая (черт. 156) с фиксированным началом в точке А. Пусть бесконечное множество парабол BFD, CDG имеет общей осью прямую АО, а параметрами — прямые АВ и АС, ограниченные фиксированной точкой А и вершинами парабол В и С. Определить природу линии AFG, касающейся всех этих парабол.
Я замечу сначала, что любые две из этих парабол BFD и CDG пересекаются в точке D, находящейся между линией AFG и осью АО, и что, когда АС становится равным АВ, точка пересечения D по-
падает в точку касания F. УД I /_____________
„	Л Bb Е С О и
Проведем теперь через	"
Черт 156
данную точку D параболу,	г
обладающую указанными свойствами. Если провести ординату DO и обозначить данные АО через и, OD через z, а неизвестную АВ через х, то свойство параболы даст:	-— 2
АВ X ВО (их—хх) = DO (zz),
или, упорядочивая уравнение,
хх — ux-Yzz^=Q.
Очевидно, что когда и выражает Л О, a z выражает OD, то это уравнение имеет два различных корня, а именно АВ и СА, и, наоборот, когда и выражает АЕ,
Г. Ф. ДЕ-ЛОПИТАЛЬ
ЙЙб
a z выражает EF,.то АС становится равным АВ, т. е. уравнение имеет два одинаковых корня. Поэтому его надо умножить на арифметическую прогрессию 1,0, —1, что даст:
x = z.
Подставив это значение вместо х, получим уравнение и, =* 2г, выражающее природу линии AFG. Отсюда видно, что AFG есть прямая линия, образующая с АО угол FАО, при котором АЕ равно удвоенному EF.
Если угодно разрешить этот вопрос в общем виде, какой бы степени ни были параболы BFD и CDG, надо воспользоваться методом, изложенным в восьмой главе, следующим образом. Обозначив АЕ через и, EF через z, АВ через х, получим:
и-х Xxn=zm+n, что выражает собою вообще природу параболы BF. Диференциал этого дает (если обращаться с и и Z, как с постоянными, а с х — как с переменной):
-----------т — 1	,	-т —тущ — х " dxXx -\-пх	dxyji—х =0;
деля на и — х dx\xn , получим:
— тх -f- пи — пх~ 0; отсюда п х = —;— и, т-\- п
и, следовательно, т
Анализ бесконечно малых
367
Значит, подставляя эти значения вместо и— X и х в общее уравнение и полагая (для сокращения): т	п	.
=	т-[-п = г,
получим:	_____
z = u]/pmqn.
Отсюда видно, что линия AFG всегда прямая, как бы сложны ни были параболы. Изменяется только отношение АЕ к EF.
Из изложенного в этой главе ясно видно, как надо пользоваться методом гг. Декарта и Гудде, чтобы разрешать вопросы этого рода в случае геометрических кривых. Но вместе с тем из него видно, что этот метод несравним с методом г. Лейбница, который я и старался со всей полнотой изложить в этом трактате, несравним потому, что там, где первый представляет только частные решения, последний дает общие решения, причем он распространяется на трансцендентные линии и не требует освобождения от иррациональностей, которое очень часто бывает невыполнимо.
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
*) Leurs perpendiculaires (т. е. нормали).
2)	„Я перечитал трактат Архимеда о спиральных линиях дважды и трижды и напрягал все силы ума, чтобы проследить за тончайшими доказательствами относительно проведения касательных к спиралям, но должен сознаться: после рассмотрения их я не вынес уверенности в том, что в душе у меня не оставалось постоянного сомнения, что я не понял всей силы этого доказательства”. Bullial-dus — латинизированная форма фамилии французского астронома и математика, защитника гелиоцентрического учения, Ismael Bouillaud (1605—1694).
3)	«Если Архимед сделал правильное заключение, то неправильное сделал Эвклид и т. д.“, Francois Vlete (1540—1603) — один из крупнейших алгебраистов, введением буквенных коэфициентов создавший возможность употребления формул в алгебре.
4)	Так называемая задача Паппа (Ш в. н. э.) заключается в определении геометрического места точек, удовлетворяющих условию, что произведение прямых отрезков, проведенных от них под какими-либо данными углами к п
Примечания редактора
369
данным прямым, находится в заданном отношении к произведению отрезков, проведенных от них под некоторыми углами к п или п—1 другим данным прямым. Греки дали ее решение лишь при п = 4 (местом оказывается коническое сечение); Декарт приводит общее ее решение в ,G6ometrie“ (1637), пользуясь созданным им аналитикогеометрическим методом.
5)	Метод определения нормалей и касательных к алгебраическим кривым Р. Декарта (Rene Descartes, 1596—1650) — алгебраический; идея его заключается в следующем. Пусть PC есть нормаль в данной точке С эллипса GCA; требуется определить положение точки Р, т. е. отрезок РА. Если из искомой точки Р провести некоторым радиусом г окружность, то она пересечется с эллипсом близ С в двух точках и С2. Решая совместно уравнение кривой с уравнением этой окружности, центр которой в искомой точке
из возникающего квадратного уравнения для абсцисс точек М; и М2 два различных корня jq и х2. При совпадении точек Q и С2 в одну, С, корни квадратного уравнения становятся равными, и оно должно принять вид х2—Чех + е2 = 0. Из этого условия путем приравнивания частью известных, а частью неопределенных коэфициентов получившихся двух квадратных уравнений находится РА. Конечно, здесь РА проще найти, определив х, как половину коэфициента при х, взятого с обратным знаком. В случае, когда уравнение GCA более высокой степени, уравнение относительно х должно иметь два равных корня, что опять-таки позволяет, применяя метод неопределенных коэфициентов, найти АР. Аналогичную мысль в 1638 г. Декарт применяет к определению положения касательной (подробности см. М. Cantor, „Vorlesungen liber die Geschichte der
S	P M A
Черт. 1.
и оадиус г
24 Зак. 2051. — Лопиталь.
370
Примечания редактора
Mathematik", изд. 2-ое, т. II, стр. 850—856. См. также Oeuvres de Descartes, ed. Ch. Adam et P. Tannery, т. VI, стр. 342 и сл.).
e) Сущность метода П. Ферма (Pierre Fermat, 1601—1665), если его передать в современных выражениях, такова. Пусть МТ—касательная, М'(х',у') бесконечно близка к М(х, у); ТР = st, РР' = h, уравнение кривой: f(x, _у) = U. Рассматривая точку М' как лежащую на прямой МТ, из подобия треугольников МРТ и М'Р Т можно получить соотношение между х, у, х’, у', st, h,
Черт. 2.
именно st
У1—У
; последнее вме-
сте с уравнениями f (х, у) = 0 и / (,х'> У ) — 0 дает зависимость tp (x,y,st, h) = 0, где в случае алгебраических кривых h является множителем во всех членах. Деле-
р ₽'
ние на h и отбрасывание членов, в которых он после того остается, позволяют определить подкасательную st (см. Oeuvres de Р. Fermat, т. Ill, стр. 122 и Cantor, цит. соч., т. 11, стр. 858—861;.
7)	Ордината у Лопиталя называется l’appliqu6e, абсцисса — 1а соирёе. Оба названия обязаны своим происхождением древней греческой терминологии в учении о конических сечениях. Аполлоний (265? —170) называл параллельные хорды „по порядку проведенными линиями"; латинский перевод Ф. Коммандино (F. Commandino, 1509— 1575): ordinatim applicatae; Ферма говорит—appliquee; у Декарта в „Geometrie" — appliquees par ordre; отсюда и произошли термины аппликата и ордината. Аполлониевы отрезки диаметра от точки на кривой до точки пересечения с сопряженными хордами, „отрезки диаметра, отсекаемые по порядку проведенными прямыми", были переведены Коммандино „quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur"; слово „abscissa" значит отсекаемая, так же
Примечания редактора
371
как и французское 1а соирёе. (Декарт говорит еще просто „отрезки диаметра" — segments de се diametre.) Термин coordinates введен Лейбницем в 1692 г.; слова „ордината" и „абсцисса" окончательно получают всеобщее применение в XVIII в.
8)	И. Барроу (Isaac Barrow, 1630—1677) исходил из рассмотрения треугольников MRN и ТРМ. Если обозначить МА? = dx, NR = dy, МР = у, РТ = st, то прием его
заключается в установлении на основании свойств кривой
зависимости между dx и dy, причем в вычислениях отбрасываются все члены, содержащие высшие степени или произведения dx и dy. Затем в получившемся уравнении отбрасываются члены, не содержащие dx и dy, совокуп-
ность которых равна нулю; далее dx и dy заменяются
в нем через st и у
откуда и опреде-ч
ляется st . Уравнение кривой при пользовании методом Барроу должно быть приведено к виду целого алгебраического многочлена. Непосредственно „диференцировать"
радикальные выражения и рациональные дроби до открытия алгорифма Лейбница и Ньютона не умели (см. Cantor, цит. соч., т. III, изд. 2-ое, стр. 135—137).
9)	Coarbes g€ometriques, courbes mecaniques (смотри прим. 90).
10)	Indeterminees.
И) Genres. Имеются в виду порядки.
12)	В дальнейшем слово „difference" везде, где следует по смыслу, переведено через „диференциал", а не через „разность".
24*
3,11
Примечаний редактора
13)	John Craig (ум. 1731) — шотландский теолог и математик. В 1685 и следующих годах опубликовал работы, основывающиеся на применении лейбницевых идей и обозначений. Под влиянием спора о приоритете между Ньютоном и Лейбницем впоследствии (1718) стал употреблять исключительно обозначения метода флюксий (о Крэге см. Cantor, цит. соч., т. Ш, и Fl. Cajory, „А history of the conceptions of limits and fluxions in Great Britain from Newton to Woodhouse", 1919).
14)	Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651—1708) — немецкий математик и физик; известен открытием каустических линий и особого метода упрощения алгебраических уравнений посредством уничтожения некоторых их членов (см. Cantor, цит. соч., т. III или Г. Г. Цейтен, «История математики в XVI и XVII вв.“, 1933, пер. П. Новикова, обработка и примечания М. Выгодского).
15)	lohann Hudde (1628—1704) — голландский политический деятель и математик, открывший признак существования равных корней алгебраического уравнения, заключающийся в наличии общего делителя у этого уравнения и уравнения, получающегося от умножения членов первого на члены произвольной арифметической прогрессии. Этим же приемом он пользовался при исследовании экстремальных значений и определении касательных (см.гл.Х этой книги и прим. 131; также см. Cantor, цит. соч., т. II, Г. Г. Цейтен, цит. соч.).
16)	Г. В. Лейбниц (1646—1716) этого труда не составил. В переписке с Лопиталем в 1694—1697 гг. он неоднократно возвращается к этой идее и жалуется на перегруженность другими работами, не позволяющими приступить к писанию „De scientia infiniti" (см. Leibniz, „Math. Schr. hsg.“ v. С. I. Gerhardt, т. II). Первый по времени написания курс интегрального исчисления представляют собой «Lectiones mathematicae de methodo integralium aliisque conscriptae
Примечания редактора
373
ad usum illustr. Marchionis Hospitalii" Иоганна Бернулли, составленные им в 1691—1692 гг. для Лопиталя, но опубликованные впервые в 1742 г. в III томе Opera omnia. Их сокращенный немецкий перевод издал G. Kowalewsky в серии классиков Оствальда, № 194, под названием „Die erste Integralrechnung".
17)	Яков Бернулли родился в 1654 г., умер в 1705 г. Иоганн Бернулли родился в 1667 г., умер в 1748 г.
18)	Lequel est presque tout de ce calcul.
19)	La caracteristique.
20)	Слишком скромная оценка работ И. Ньютона (1642—1727) объясняется тем, что главные его сочинения по методу флюксий долгие годы лежали в рукописях и Лопиталю не могли быть знакомы.
21)	Bernhard Nieuwentijt (1654—1718) — голландский врач и математик, выступивший в 1694 и 1695 гг. против Лейбница, Бернулли и Лопиталя, упрекая их в отбрасывании величин, не равных нулю, в применении не имеющих, на его взгляд, смысла высших диференциалов и в отсутствии правила для диференцирования общих показательных выражений (вида и”). Собственная его попытка обосновать анализ не представляет интереса (о ней см. Cantor, цит. соч., т. III). Лейбниц изложил свою контркритику в 1695 г. (Leibniz, „Math. Schr.“, т. V, стр. 320 и сл.), где дал известный прием определения du° с помощью логарифмирования и — в частности — отмечал, что фигуры, составленные из элементов линий, подобны конечным фигурам, dy
так что отношение можно заменить отношением конечных величин. В письмах к Лопиталю Лейбниц также довольно подробно останавливается на этом вопросе. Вот некоторые любопытные места из них: „Я получил две книги, опубликованные и посланные мне одним голланл-
374
Примечания редактора
ским математиком, некиим г-ном Бернардом Ньювентиитом. Он упрекает вас, сударь, гг. Бернулли и меня за то, что мы применяем наши рассуждения, основанные на исчислении диференциалов, не давая доказательства наших принципов... Он порицает почти всех математиков, работавших над этими вопросами, за то, что они не различали infinite-parvam [бесконечно малого] от nulle [ничто], ибо, по его мнению, для равенства двух величин необходимо, чтобы разность их была равна нулю. Он утверждает, что нашел способ исправить рассуждения геометров; и в основу он кладет положение, что все, что при умножении на бесконечное число не дает обыкновенной величины, есть ничто. Поэтому он считает, что квадраты и произведения [rectangles] бесконечно малых линий вроде dxdx или dxdy суть ничто и что поэтому их и отбрасывают в исчислении г. Ферма. Поэтому он не желает допустить диферодифе-ренциальные величины вроде ddx... Я отвечу ему в Actes de Leypsic [Acta Eruditorutn — А /О.]... Даже исходя из его собственного принципа dxdx и ddx суть величины, ибо при их умножении per numerum infinitum (sed altiorem seu infinities — infinitum) [на бесконечное число (но высшее или бесконечно бесконечное)] они дают обыкновенные величины. Я думаю, сударь, что ваши пояснения и доказательства этого исчисления скоро появятся, на что вы внушаете мне надежду, и что тогда эти жалобы прекратятся. Пока что я отослал его к моим леммам о несравнимых, опубликованным в Actes de Leypsic за февраль 1689 г.; я считаю равными величины, разность которых несравнима. Несравнимыми величинами я называю такие, из которых одна никогда не превзойдет другую, на какое конечное число ее бы ни помножили; т. е. так же, как их понимает Эвклид -в пятом определении пятой книги" [„Начал"] [Leibniz, „Math. Schr.“, т. II, стр. 287—288; см. также стр. 243—244 («Кто когда-либо слышал, чтобы квадрат количества был ничем")]. Ньювентиит не удовлетво.
Примечания редактора
375
рился ответом Лейбница и продолжил свою полемику, в которую вмешались затем другие ученые. Несмотря на остроумие отдельных замечаний, удовлетворительного ответа на основное возражение Ньювентиита (отбрасывание бесконечно малых) Лейбниц не дал.
Эта цитата из Лейбница, в которой он явно выступает сторонником идеи актуально бесконечно малых, интересна здесь в том отношении, что позволяет судить о взглядах самого Лопиталя. Так как в своих письмах он не возражает нигде против „несравнимо малых*, то можно считать что Лопиталь тоже принимал" или по крайней мере считал допустимыми в математике актуально бесконечно малые. Сам Лейбниц, как известно, высказал ряд различных суждений по этому вопросу и рассматривал бесконечно малые иногда как фиктивное понятие, а иногда определял диференциалы как конечные малые величины.
По вопросу о принципах анализа XVIII в. см. Cantor, цит. соч., тт. III и IV (в последнем статью — G. Vivanti) и мою статью „Идеи обоснования математического анализа в XVIII в.“ в книге Л. Карно „Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых", 1932.
22)	Во втором издании „Анализа" (1715) стоит еще „I Partie" — „Часть первая". Второй части Лопиталь не написал.
23)	Термин „параметр" ввел в теорию конических сечений Кл. Мидорж (Claude Mydorge, 1585—1647); обозначаемый им отрезок равен по величине хорде, проходящей через фокус конического сечения перпендикулярно к оси. В настоящее время, как известно, под параметром кривой второго порядка понимают половину этой хорды.
24)	La droite — прямая, вообще означает у Лопиталя отрезок. Неограниченная пр; мая называется у него „dro|te
376	Примечания редактора
inddfinie", а иногда просто „Г1пйёАп1е“, что переводится через „неопределенно продолженная прямая" или „бесконечная прямая".
«») Соответствующий постулат у И. Бернулли гласит: „Величина, уменьшающаяся или увеличивающаяся на бесконечно меньшую величину, ни уменьшается, ни увеличивается" (см. Joh. Bernoulli, .Die Differentialrechnung", Ostw. Klassiker, № 211, стр. 11; в дальнейшем при ссылках на это сочинение ставятся инициалы J. В.).
26)	Второй постулат И. Бернулли: „Всякая кривая линия состоит из бесконечного множества бесконечно малых прямых" (J. В., стр. 11). Третий постулат J. В. относится к интегральному исчислению, которое должно было служить продолжением курса диференциального, и у Лопиталя, естественно, отсутствует.
27)	Ср. J. В., стр. 11, правило I.
28)	Ср. J. В., стр. 12, правило 3. У Бернулли также дается сперва вывод для d (ху) и d (xyz) и затем производится умозаключение по аналогии к случаю любого числа ПАЙ