Author: Сугоняев И.М.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа геометрия топология подготовка к экзаменам
ISBN: 978-5-8053-0670-0
Year: 2010
Text
УДК 373.167.1:514*11
ББК 22.151я721
С 89
Автор: учитель математики высшей категории,
отличник народного просвещения РФ, победитель
конкурса лучших учителей РФ 2007 года
И.М. Сугоняев.
Сугоняев И.М,
С89 Геометрия. И класс. Тесты. — Саратов: Лицей,
2010.— 80 с.
ISBN 978-5-8053-0670-0
В пособии представлены тестовые задания по важнейшим
темам геометрии за 11 класс, от простых, закрепляющих основные
понятия и факты стереометрии, до более сложных.
Учитель на свое усмотрение может выбрать из предложен-
ных в тесте заданий те, которые соответствуют уровню
подготовленности учеников.
По окончании курса приведены итоговые тесты. Данное
пособие можно использовать при подготовке к ЕГЭ.
УДК 373.167.1:514*11
ББК 22.151я721
ISBN 978-5-8053-0670-0
© Издательство «Лицей», 2010
Тест № 1
Вариант 1
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ И КООРДИНАТЫ
ВЕКТОРА
Ц Заполните пропуски.
а) Если через точку пространства проведены три попарно
прямые, на каждой из
них выбрано и выбрана еди-
ница отрезков, то говорят, что
задана_____________________________________________
__________________в пространстве.
б) Если прямоугольная система координат обозначена
Oxyz, то прямая Ох называется осью,
прямая Оу - осью, прямая Oz — осью
в) В прямоугольной системе координат каждой точке М
пространства сопоставляется чисел,
которые называются ее •
г) На рисунке изображе-
на прямоугольная сис-
тема координат и точ-
ки А, В, С. Координа-
ты этих точек:
А
В(
С(
2 Выберите неверное утверждение.
1) Если аппликата и ордината точки равны нулю, то точка
лежит на оси абсцисс
2) Если абсцисса точки равна нулю, то точка лежит в
плоскости Оху
3) Если точка лежит на оси аппликат, то абсцисса и орди-
ната точки равны нулю
4) Если, точка лежит в плоскости Oxz, то ордината точки
равна нулю
§ Выберите верные утверждения.
а) Если вектор а представлен в виде a = xi +yj + zk, то
а имеет координаты а {х; у; z}
б) Если векторы равны, то равны их соответствующие ко-
ординаты
в) Вектор является единичным, если он координатный
г) Каждая координата суммы двух и более векторов равна
сумме соответствующих координат этих векторов
д) Каждая координата произведения вектора на число рав-
на сумме произведений этого числа на координаты век-
тора
1) а, б, г, д
2) а, б, в, г
3) а, в, г
4) а, б, г
| Если а{-2; 1; 3}, b{6; 2; 0}, с {0; 4;-2},
- - 17 -
р = 3а + — о-с имеет координаты:
то вектор
1) р{3;-1;11}
2) р {-3; 0; 11}
3) р{-4;0;7}
4) р{-4;-1;7}
2
Тест № 1
Вариант 2
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ И КООРДИНАТЫ
ВЕКТОРА
Заполните пропуски.
а) Три попарно прямые, про-
ходящие через пространства, на каждой
из которых выбрано, называ-
ются , а их общая
точка —
б) Если прямоугольная система координат обозначена
Oxyz, то плоскости, проходящие соответственно через
оси координат Ох и Оу, Оу и Oz, Ох и Oz, называются
и обозначаются
в) Дана точка М (х; у; z). Число х называется
точки М', число у — это
точки М, число z — .точки М.
г) На рисунке изображе-
на прямоугольная сис-
тема координат и точ-
ки Л, В, С. Координаты
этих точек:
В(
С(
3
Выберите неверное утверждение.
1) Если абсцисса и ордината точки равны нулю, то точка
лежит на оси аппликат
2) Если аппликата точки равна нулю, то точка лежит
в плоскости Оху
3) Если точка лежит на оси ординат, то абсцисса и аппли-
ката точки равны нулю
4) Если точка лежит в плоскости Оху, то ордината точки
равна нулю
Выберите верные утверждения.
а) Если вектор а имеет координаты а {х; у; z}, то его
разложение по координатным векторам имеет вид
a = xi+y j + zk
б) Если соответствующие координаты векторов равны, то
равны и сами векторы
в) Вектор называется координатным, если его длина равна
единице
г) Каждая координата разности двух векторов равна раз-
ности соответствующих координат этих векторов
д) Каждая координата произведения вектора на число рав-
на произведению одной из координат на это число
1) а, б, в, г
2) а, б, г, д
3) а, б, г
4) а, г, д
Если а {2; -3; 0}, б{1; 0; -2}, с {-4; 2; -б}, то вектор
~ - <7 1-
р = а-ЗЬ + -с имеет координаты:
Тест № 2
Вариант 1
СВЯЗЬ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ ВЕКТОРОВ
И КООРДИНАТАМИ ТОЧЕК
Выберите неверное утверждение.
1) Вектор, конец которого совпадает с данной точкой,
а начало - с началом координат, есть радиус-вектор
данной точки
2) Каждая координата вектора равна разности соответ-
ствующих координат его конца и начала
3) Каждая координата середины отрезка равна полураз-
ности соответствующих координат его концов
4) Длина вектора а {х; у; z} вычисляется по формуле
Ц Даны точки А (4; 2; -3) и В(3; -3; 5). Разложите вектор АВ
по координатным векторам.
1) АВ= i-5J + 8k
2) AB = -i-5j + 2k
3) AB~-i-5j + 8k
4) AB = -i-5j-2k
Ц Даны точки A (5; -1; 2) и В (4; 2; 3). Найдите длину вектора
7в
1) 7ТТ
2)710
3) 272
4)727
g На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед.
Векторы ОМ, ОК имеют координаты ОМ [3; 0; 5},
ОК {О; 4; 5}. Найдите координаты вектора МК.
5
1) {3; 0; 5}
2) {-3; 4; 0}
3) {О; 4; 5}
4) {-3; 4; 5}
Даны точки А (3; -2; 4), В(2;-3;3), С(1;4;-2). Найдите
расстояние от точки В до середины отрезка АС.
1)4
2) 2^5
3) 2>/2
4)л/Я
Векторы а{5; т + 1; 3} и £>{2и; 4; 6} коллинеарны. Опреде-
лите значения т и п.
1) т = 1, п = 5
2) т = 2, п = 3
3) т = 1, п = 4
4) т = 2, п = 5
В параллелограмме ABCD заданы Л (-7; 4; 7), АВ{-3; 4; 1}
и АС(-2; 4; 6} . Найдите сумму координат точки D.
1) 12 3) 10
2) 13 4) 14
Даны точки А (0; 1; 2), B(*j2; 2; 1) и С(0; 2; 1). Найдите пло-
щадь треугольника АВС.
1) 4 3) 1
2) 2 4) д/2
Выберите тройку некомпланарных векторов.
1) а{1;0;3}, Б{-2; 5; 0}, с{0; 5; 14}
2) а {2; 0; -1}, i, к
3) а{1;1;0}, Ь{0;0;1}, с{0;1;1}
4) b {0; 2; 1}, "j,к
Тест № 2
Вариант 2
СВЯЗЬ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ ВЕКТОРОВ
И КООРДИНАТАМИ ТОЧЕК
Ц Выберите неверное утверждение.
1) Координаты любой точки равны соответствующим ко-
ординатам ее радиус-вектора
2) Каждая координата вектора равна сумме соответствую-
щих координат его конца и начала
3) Каждая координата середины отрезка равна полусумме
соответствующих координат
4) Расстояние мевду точками (xt; Ур zt) и M2(x2; j/2; z2)
вычисляется по формуле:
В Даны точки
Л(5;-1;2) и В(4;2;3). Разложите вектор АВ
по координатным векторам.
1) AB = -i +3j-k
2) ~АВ = 1 + 3j + 5к
3) ~АВ = -1+з] + к
4) ~АВ =Т + З}'-5к
Q Даны точки
ра АВ.
А (4; 2; -3) и В(3; -3; 5). Найдите длину векто-
1) 3V10
2) 9
3) 10
4) V83
На рисунке изображен прямоугольный параллелепи-
пед. Векторы ОА и ОВ имеют координаты ОА(3; 0; 6},
ОВ {0; 4; 6}. Найдите координаты вектора В А.
7
1){3;0;0}
2) {3; -4; 0}
3) {-3; 4; 0}
4) {-3; -4; 0}
Даны точки Л(2;3;-1), В(-2;2;1), С(4;-2;3). Найдите
расстояние от точки А до середины отрезка ВС.
1) 2л/3 3) 3^2
2) V19 4) 722
В
I
Определите, при каких значениях тип векторы а {3; 2л; 6}
и б{1; 3; т + 2} коллинеарны.
1) п - 4,5, т =0
2) п = 3, т = 1
3) п = 4,5, т = 1
4) п = 3, т = 0
В параллелограмме ABCD заданы С (5; 8; 0), СА {-3; 4; 2} и
СВ {5; -2; 4} . Найдите сумму координат точки D.
2) 7
3) 9
4) 8
Даны точки j(0; 1; 2), 5(V2; 1; 2) и С(0; 2; 1). Найдите пло-
щадь треугольника АВС.
I
Выберите тройку некомпланарных векторов.
1) а {2- -1;3}, Ь{1_;3;-2}, с{3; 4; 1}
2) а {-5; 2; 0}, J, ~j
3) а{2; -1; 3}, Б{3; 4; -2}, с{10;6; 2}
4)£{3;0;1},ГД
8
Тест № 3
Вариант 1
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Д Выберите неверное утверждение.
1) Угол между сонаправленными векторами равен 0°
2) Скалярным произведением двух векторов называется
произведение их длин на косинус угла между ними
3) Скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю, когда эти векторы перпендикулярны
4) Скалярный квадрат любого вектора является положи-
тельным числом
5) Скалярное произведение векторов положительно, если
угол между заданными векторами острый
6) От перемены мест сомножителей скалярное произведе-
ние не изменяется
Ц Даны векторы а {-2; 3; 4}, b {1; -2;и}. При каком значе-
нии п выполняется условие а • b = 4?
3 Дан куб ABCDAXBXCXDX с ребром, равным 1. Найдите зна-
чение числа к, если к = DCX • ВАх + AjCj АВХ + ADCCX.
1)0
2)1
2-29230
9
Ц При каком значении т векторы я{1;3/и;3} и />Ъи2;-2;3
образуют угол в 90° ?
1)2
2) 3
3)1
4)-5
§ Угол между векторами я{2/и;-3;0} и Z?{w;6;-2} тупой,
если:
1) т > 3
2) т < -3
3) -3<т<3
4) т>0
Q Найдите угол между прямыми АВ и CD, если заданы коор-
динаты точек А (-2; 4; 1), В(3; 2; 8), С(2; 2; 0), П(4; 7; 5).
1) 60°
2) 30°
3) 90°
4) 45°
Дано: а Ь = 90°, а с = 120°, b с = 60°. а = b
те скалярное произведение (а— 2Ь)\Ь—2с).
1) 1
2) 0
3) 2
4)-1
= 1. Найди-
Найдите длину вектора а, если Ь = 5,
1)6
2) 7
3)4
4)5
10
Тест № 3
Вариант 2
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
I Выберите неверное утверждение.
1) Угол между нулевыми векторами равен 180°
2) Когда ненулевые векторы перпендикулярны, их скаляр-
ное произведение равно нулю
3) Скалярное произведение векторов ; ух; zx}
и Ь{х2; у 2 '> zz} выражается формулой
= + уху2 + zxz2
4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины
5) Скалярное произведение векторов отрицательно, если
угол между заданными векторами тупой
6) Ненулевой вектор называется направляющим вектором
прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на пря-
мой, параллельной а
| Даны векторы а = 2i + 5J + тк и b = -2z + J + ЗА:. При
каком значении т выполняется условие а b = 7?
1)2
2) 1
3)4
4)3
Ц Дан куб ABCDAXBXCXDX с ребром, равным 1. Найдите зна-
чение числа к, если к = ADX СВХ + AC DCX + АХВХ ВС.
1)2
2)0
3) 1
4)^2
11
У При каком значении п векторы лчл2;2;8? и б{1; 4п;2}
образуют угол в 90°?
1)2
2)-3
3)1
4)-4
§ Угол между векторами а{5; 2у\ 1} и б{б; -у; 2} острый,
если:
3)0<у<4
4) -4< у<4
|| Найдите угол между прямыми АВ и СВ, если заданы
координаты точек А(3; -4; 1), В(5; -3; 3), С(-4; 2; 5),
В(-3;3;5).
1) 45°
2) 30°
3) 60°
4) 90°
Дано: а Ь = 120°, а с = 60°, b с = 90°.
= 1. Найди-
те скалярное произведение(2а~b)(b + 2с).
1)1
2) 2
3) 0
4) -2
Найдите длину вектора b, если а = 6, а + b =11, а - b =7.
1)6
2) 7
3) 5
4)3
12
Тест №4
Вариант 1
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Даны точки А (2; 0; 1), В (2; V3; 2), С(0; 0; 2), £)(0; 1; 2). Най-
дите угол между векторами АВ и CD.
1) 60°
2) 30°
3) 120°
4) 150°
Дан прямоугольный параллелепипед
ABCDAXBXCXDX, АВ=3, ВС = 2, ВВХ = 4.
Задайте прямоугольную систему коор-
динат Oxyz и определите сумму коорди-
нат точки пересечения диагоналей па-
раллелепипеда.
1) 5,5
2) 0
3) 4,5
4) 6
В задачах 3—4 дан куб ABCDAXBXCXDX,
ребро которого равно 4, точка Р —
середина отрезка ВС. Для решения
задач задайте прямоугольную систе-
му координат.
Найдите расстояние между середина-
ми отрезков BXD и АР.
1)л/5
2) 2-75
3)
4) 4
Найдите угол между прямыми BXD и АР.
1) arccos
3) arccos
/15
15
2) arccos
4) arccos
13
В основании четырехугольной пирамиды
PABCD лежит квадрат, сторона которого
равна 2. Ребро РВ перпендикулярно плос-
кости квадрата и равно 4. Точка К - середи-
на ребра PD. Задайте прямоугольную сис-
тему координат и найдите косинус угла
между прямыми АК и РВ.
В задачах 6—7 дана пирамида DABC. Реб-
ро DC перпендикулярно плоскости тре-
угольника АВС. АС = 4, ВС = 3, DC = 5,
ZА СВ = 90°. Для решения задач задайте
прямоугольную систему координат.
§ Найдите длину медианы DM грани ADB.
1) 3) л/5
2) 2^2 4) 2,5>/5
[ Найдите расстояние от вершины пирамиды D до точки
пересечения медиан основания.
2) 2,5л/10
14
Тест № 4
Вариант 2
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Даны точки А (1;-2;V2), 5(0; 4Д)), С(0; -3;0), Р(1;5;0).
Найдите угол между векторами СА и DB.
1) 135° 3) 45°
2) 60° 4) 120°
Дан прямоугольный параллелепипед
ABCDAXBXCXDX, АВ = 3, ВС = 2, ВВХ =4.
Задайте прямоугольную систему коорди-
нат Oxyz и определите сумму координат
точки пересечения диагоналей грани
DDXCXC.
1) 4,5
2) 5
3) 5,5
4) 4
В задачах 3—4 дан куб ABCDAXBXCXDX,
ребро которого равно 4, точка К—се-
редина отрезка ВВ]. Для решения за-
дач задайте прямоугольную систему
координат.
Найдите расстояние между середина-
ми отрезков АК и BDX.
1) V5 3) 2л/5
2) л/б 4) 3
Найдите угол между прямыми АКи BDX.
1) arccos
3) arccos
/15
15
2) arccos
4) arccos
V15
Основанием четырехугольной пирамиды
SABCD является квадрат со стороной, рав-
ной 2. Ребро SB перпендикулярно плос-
кости квадрата и равно 4. Точка М - сере-
дина ребра SD. Задайте прямоугольную
систему координат и найдите косинус угла
между прямыми МС и SB.
В задачах 6—7 дана пирамида DABC.
Ребро DB перпендикулярно плоскости
треугольника АВС. АВ = 3, ВС = 5,
DB = 4, ZABC = 90°. Для решения задач
задайте прямоугольную систему коор-
динат.
Найдите длину медианы DK.
1) 3,5 V2 3) 3,5 Л
2) 4>/з 4) 2^7
Найдите расстояние от вершины пирамиды D до точки
пересечения медиан треугольника АВС.
9у/2
3) ——
5
4) Зл/З
16
Тест № 5
Вариант 1
ДВИЖЕНИЯ
jj Выберите неверное утверждение.
1) Если каждой точке М пространства поставлена в соот-
ветствие некоторая точка М\, причем любая точка М\
пространства оказалась поставленной в соответствие
какой-то точке Л/, то говорят, что задано отображение
пространства на себя
2) Центральная симметрия является движением
3) Осевой симметрией с осью а называется такое отобра-
жение пространства на себя, при котором любая точка
М переходит в симметричную ей точку М\ относитель-
но оси а
4) Зеркальная симметрия не является движением
5) Параллельным переносом на вектор р называется ото-
бражение пространства на себя, при котором любая
точка М переходит в такую точку М[, что ММХ = р
Ц Дана точка А (3; -5; 2). Установите соответствие между точ-
ками i4j(3; -5; -2), А2 (-3; 5; -2), А3 (5; -4; 2) и отображе-
нием, при котором точка А переходит в одну из этих точек:
а) симметрия относительно начала координат
б) симметрия относительно плоскости Оху
в) параллельный перенос на вектор р{2; 1; 0}
1) Ai-a; А2-б; Аз-в
2) А]-б; А2-а; Аз-в
3) Al-в; А2-а; Аз-б
4) Ai-б; А2-в; А3-а
Ц Точки М (4; -3; 1) и N (2; -1; -3) симметричны относитель-
но точки К. Найдите координаты точки К.
1) К (2; -2; -2) 3) К (0; 0; 0)
2) К (2; 0;-2) 4) К (3; -2; -1)
17
Дан куб ABCDAXBXCXDX. Определите, на какую фигуру
при симметрии относительно плоскости DDXBX отобража-
ется треугольник АВАХ. Ответ поясните на рисунке.
1) ADCCX
2) ЛВВХСХ
3) АВССХ
4) ADDXCX
s
к
Выберите верные утверждения.
а) При движении точки, лежащие на прямой, переходят
в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их
взаимного расположения
б) При движении полуплоскость переходит в полуплос-
кость
в) При движении угол отображается на равный ему угол
г) При движении сохраняется параллельность плоскостей
1) а, в, г
2) б, в, г
3) а, б, в
4) а, б, в, г
Даны точки Л(5;3;-1) и
симметрии данных точек.
1) 2х + 3у-2z-4 = 0
2) 2х + 3у+ 2z +4 = 0
3) 2х + 3у+ 2z-8 = О
4)2x-3^-2z-4 = 0
3;3). Найдите плоскость
18
Тест № 5
Вариант 2
ДВИЖЕНИЯ
I Выберите неверное утверждение.
1) Движение пространства — это отображение простран-
ства на себя, сохраняющее расстояния между точками
2) Центральная симметрия - это отображение простран-
ства на себя, при котором любая точка М переходит
в симметричную ей точку М\ относительно данного
центра О
3) Осевая симметрия является движением
4) Зеркальной симметрией (симметрией относительно
плоскости а) называется такое отображение простран-
ства на себя, при котором любая точка М переходит
в симметричную ей относительно а точку М\
5) Параллельный перенос не является движением
Дана точка Л(-2;3;5). Установите соответствие между
точками Aj (-3; 5; 2), Аг (2; 3; 5), А3 (2; -3; -5) и отображе-
нием, при котором точка А переходит в одну из этих то-
чек:
а) симметрия относительно начала координат
б) симметрия относительно плоскости Ozy
в) параллельный перенос на вектор р{-1; 2; -3}
1) Ai-a; А2-б; Аз-в
2) А]-в; А2-б; А3-а
3) Ai—б; А2-в; А3-а
4) А[-б; А2-а; А3-в
§ Точки А (2; -5; 4) и В(0; 2; -6) симметричны относительно
точки С. Найдите координаты точки С.
1)С(2;-3;-2) 3)С(2;0;-2)
2)С(0;0;0) 4) С(1; -1,5; Ч)
19
Дан куб ABCDAXBXCXDX. Определите, на какую фигуру
при симметрии относительно плоскости АССХ отображает-
ся треугольник АВХВ. Ответ поясните на рисунке.
1) bADxD
2) ACDj£)
3) AC^Cj
4) &AAXDX
и
В
Выберите верные утверждения.
а) При движении прямые переходят в прямые, лучи —
в лучи, отрезки - в отрезки
б) При движении плоскость переходит в плоскость
в) При движении двугранный угол переходит в двугран-
ный угол
г) При движении сохраняется параллельность прямых
1) а, б, г
2) а, б, в, г
3) а, б, в
4) б, в, г
Ц Даны точки Л(2;3;— 1) и В(—2;-1;3). Найдите плоскость
симметрии данных точек.
1) 2х + 2у—2z—3 = О
2) х + y-z — 2 = 0
3) х + у - z = 0
4) x + 2y-z-4 = 0
20
Тест №6
Вариант 1
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ
В заданиях 1—7 даны координаты вершин ромба АВ CD:
Л(1;-2; 7),С(4;5; 7), D(-l; 3; 6).
Определите, какая из данных точек находится на наимень-
шем расстоянии от начала координат.
1) Я 3) D
2) С 4) А и D
Найдите координаты середины отрезка Л С.
Найдите длину диагонали BD.
1) л/бЗ
2)Тб2
4) 2-J15
Найдите длину вектора2АВ —ЗВС.
1) 3л/37
2) V402
4)л/з47
Определите, какие из внутренних углов ромба тупые.
1) А А и АС
2) АВ и AD
3) ZА и АВ
4) ACnAD
Найдите косинус угла А.
21
i ' Найдите площадь ромба ABCD.
1) 7899 3) 0,57899
2) 30 4) 15
Даны векторы а и Ь, причем а = 3, b
= 2 и a Lb. Найдите
а-2Ь
3) 5
4) 7
Q Найдите угол между векторами i и а-1-1; 1; -75
1) 60°
2) 45°
3) 120°
4) 150°
На оси Oz найдите точку, равноудаленную от точек
К (4; 3; 2) и £>(-5; 0; 1).
1) (0;0;1,5)
2) (0; 0; -1,5)
3) (0; 0; 0,5)
4) (0; 0; -ОД)
В заданиях 11—12 даны точки А(—2; 1; 3). В(—2; 2; 3),
Су-1; 2; 3), Ку—2; 1; 5), которые являются вершинами
тетраэдра КАВС.
Д Вычислите угол между векторами ВК и АВ.
1) -arccos
V5
5
3) arcsin
2) 180°-arccos
4) -arcsin
Вычислите угол между прямыми ВК и АС.
1) arccos
Tio
ю
3) -arccos
/10
10
2) 180°-arccos
4) 90°
22
Тест №6
Вариант 2
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ
В заданиях 1—7 даны координаты вершин ромба ABCD:
А(3; -5; 7), С (13; 4; 10), D (5; 3; 8>
I
Определите, какая из данных точек находится на наимень-
шем расстоянии от начала координат.
1) A 3) D
2) С 4) А и D
Найдите координаты середины отрезка А С.
1)(Ю;9;3) 3) (5;-0,5; 3)
2) (8; -0,5; 8,5) 4) (5; -ОД 8,5)
Найдите длину диагонали BD.
Найдите длину вектора 3 AD - 2DC.
1) 24 3) 2^67
2) 3>/б5 4) Т777
Определите, какие из внутренних углов ромба тупые.
I) Z.A и ZC
2) Z.B и ZD
Ц Найдите косинус угла А.
4)
10
69
26
69
23
Ц Найдите площадь ромба ABCD.
1) -74085 3) -74185
2) -74661 4) -74561
Даны векторы а и Ь, причем а = 1,
За-Ь
1)л/23
2) 5
а±Ь. Найдите
§ Найдите угол между векторами у и fell; —72; -1
1) 45°
2) 150°
3) 135°
4) 30°
И На оси Ох найдите точку, равноудаленную от точек
W(5;3;-1)hW(1; -7; 3).
1) (0; 3; 0) 3) (-3; 0; 0)
2) (3; 0; 0) 4) (-4; 0; 0)
В заданиях 11—12 даны точки
В(1;0;2\ С(2;0;2\ которые являются вершинами тет-
раэдра РАВС.
Вычислите угол между векторами СР и АС.
1) arccos
3) -arccos
2) 180°-arccos
2
4) arccos—
I
Ж
b = 4 и
Вычислите угол между прямыми СР и АВ.
1) arccos
3) 180°-arccos
2) -arccos
4) arcsin
24
Тест № 7
Вариант 1
ЦИЛИНДР
I Выберите неверное утверждение.
1) Цилиндрическая поверхность называется боковой по-
верхностью цилиндра
2) Образующие цилиндра параллельны и равны друг дру-
гу
3) Цилиндр является прямым круговым, если его образу-
ющие перпендикулярны плоскостям оснований
4) Радиус цилиндра - это радиус его основания
5) Сечение цилиндра, перпендикулярное
называется осевым
2 Радиус основания цилиндра равен 3 см,
диагональ осевого сечения равна 7,5 см.
Найдите высоту цилиндра.
1) 2 см 3) 3,5 см
2) 4,5 см 4) 4 см
оси цилиндра,
Ц Радиус основания цилиндра 7 дм, высота
12 дм, площадь сечения, параллельного
оси цилиндра, равна 48V6 дм2. Найдите
расстояние от оси цилиндра до секущей
плоскости.
1) 5 см
2) 4л/2 см
3) 3 см
4) 6 см .
У Площадь полной поверхности цилиндра равна 252л см2.
Найдите радиус основания и высоту цилиндра, если ради-
ус в 2,5 раза меньше высоты.
1) 7 см, 17,5 см
2) 8 см, 20 см
3) 6 см, 15 см
4) 6,5 см, 16,25 см
3—29230
25
Прямоугольник ABCD является разверткой боковой по-
верхности цилиндра. Диагональ Л С, равная 8 см, составля-
ет со стороной AD угол в 30°. Найдите площадь полной
поверхности цилиндра, если его высота равна AD.
см2
В цилиндре проведено сечение, параллельное оси цилин-
дра. Площадь сечения равна Q, высота цилиндра равна Н.
Найдите угол между диагональю сечения и плоскостью
основания.
1) arccos
2) arctg—
я2
3) arccos—
Q
.. я2
4) arctg--
Через образующую цилиндра, высота
которого 10 дм, проведены две секущие
плоскости, угол между которыми равен
120°. Плоскости пересекают основание
цилиндра по равным хордам, длина ко-
торых равна 6 дм. Найдите площадь бо-
ковой поверхности цилиндра.
1) 140л дм2 3) 60л дм2
2) 120л дм2 4) 70л дм2
26
Тест № 7
Вариант 2
ЦИЛИНДР
Выберите неверное утверждение.
1) Тело, ограниченнное цилиндрической поверхностью
и двумя кругами, не лежащими в одной плоскости и
совмещаемыми параллельным переносом, называется
цилиндром
2) Длина образующей является высотой цилиндра
3) Цилиндр может быть получен вращением прямоуголь-
ника вокруг одной из его сторон
4) Ось цилиндра перпендикулярна образующим
5) Площадь боковой поверхности цилиндра равна произ-
ведению длины окружности основания на высоту ци-
линдра
Диагональ осевого сечения цилиндра
равна 9 см, а его высота равна 5,4 см.
Найдите радиус цилиндра.
1) 7,2 см
2) 1,8 см
3) 3,6 см
4) 4 см
Сечение цилиндра плоскостью, парал-
лельной его оси, удалено от нее на
6 см. Найдите радиус цилиндра, если
площадь сечения равна 2О<7 см2, вы-
сота цилиндра равна 5 см.
1) 8 см 3) 8^2 см
2) 6л/з см 4) 7 см
И Площадь полной поверхности цилиндра равна 392л см2.
Найдите радиус основания и высоту цилиндра, если высо-
та в 3 раза больше радиуса.
27
1) 6 см, 18 см
2) 7 см, 21 см
3) 8 см, 24 см
4) 7,5 см, 22,5 см
§ Прямоугольник ABCD является разверткой боковой повер-
хности цилиндра. Диагональ АС, равная 8 см, составляет
со стороной AD угол в 30°. Найдите площадь полной по-
верхности цилиндра, если его высота равна CD.
+1б7з^ см1 2
к Л J
+ 16л/з см2
f Площадь сечения, проведенного в цилиндре перпендику-
лярно основанию, равна Q. Найдите угол между диаго-
налью сечения и осью цилиндра, если высота цилиндра
равна Н.
1) arctg
3) arctg
2) arccos
4) arccos—
j Через образующую цилиндра, высота
которого 10 см, проведены две секущие
плоскости, угол между которыми ра-
вен 60°. Плоскости пересекают основа-
ние цилиндра по хордам, длины кото-
рых П см и 13 см. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
1) 70л см2
2) 140л см2
3) 120л см2
4) 110л см2
28
Тест № 8
Вариант 1
КОНУС
| Выберите неверное утверждение.
1) Тело, ограниченное конической поверхностью и кру-
гом, называется конусом
2) Прямая, проходящая через вершину конуса и центр его
основания, называется осью конуса
3) Сечение конуса называется осевым, если оно проходит
через ось конуса
4) Разверткой боковой поверхности конуса является кру-
говой сегмент
5) Площадь боковой поверхности усеченного конуса рав-
на произведению полусуммы длин окружностей осно-
ваний на образующую
Высота конуса равна 5V3 см, а угол при вершине В осе-
вого сечения равен 60°. Найдите площадь боковой по-
верхности конуса.
1) 25л см2
2) 50л см2
3) 30л см2
4) 60л см2
Площадь основания конуса равна 6л. Угол наклона обра-
зующей к плоскости основания конуса равен 30°. Вычис-
лите площадь осевого сечения.
1) 4-Уз 3) 273
2) 6-Уз 4) зТз
29
Ц Равнобедренный треугольник с углом в 120° и боковыми
сторонами по 6 см вращается вокруг прямой, содержащей
основание треугольника. Найдите площадь поверхности
полученного тела.
1) 18л см2 3) 24л см2
2) 36л см2 4) 30л см2
| Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 7:10,
образующая равна 5 см, высота - 4 см. Найдите площадь
осевого сечения конуса.
1) 68 см2 3) 48 см2
2) 34 см2 4) 50 см2
Разверткой боковой поверхности конуса является круго-
вой сектор с углом 270°. Найдите высоту конуса, если
площадь его боковой поверхности равна 12л м2.
1)4м
2)/7 м
3) Зл/2м
4) 2т?7 м
.Ц В основание конуса вписан квадрат со стороной 2V2 см,
высота конуса равна см. Найдите площадь боковой
поверхности конуса.
1) 16л см2
2) 12л см2
3) 18л см2
4) 8л см2
30
Тест № 8
Вариант 2
КОНУС
] Выберите неверное утверждение.
1) Конус может быть получен вращением прямоугольного
треугольника вокруг одного из его катетов
2) Отрезок оси конуса, заключенный между вершиной
и основанием, называется высотой конуса
3) Осевое сечение конуса представляет собой равнобед-
ренный треугольник
4) Площадь боковой поверхности конуса равна произведе-
нию половины длины окружности основания на образу-
ющую
5) Разверткой боковой поверхности усеченного конуса
является круговой сегмент
Образующая конуса равна 6 см, угол при вершине В осе-
вого сечения равен 120°. Найдите площадь боковой по-
верхности конуса.
1) 25л см2
2) 27л см2
3) 18 7з л см2
4) 20л/3 л см2
| Площадь осевого сечения конуса равна 6V3. Угол наклона
образующей к плоскости основания конуса равен 60°. Вы-
числите площадь основания конуса.
1) 4л
2) 2л
3) 6л
4) Зл
31
§ Равнобедренный треугольник с углом в 120° и боковыми
сторонами по 8 см вращается вокруг прямой, содержащей
основание треугольника. Найдите площадь поверхности
полученного тела.
1) 64л см2 3) 48л см2
2) 32л см2 4) 36л см2
Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 3:7,
образующая равна 5 см, высота - 3 см. Найдите площадь
осевого сечения конуса.
1) 30 см2 3) 50 см2
2) 60 см2 4) 35 см2
§ Разверткой боковой поверхности конуса является круго-
вой сектор с углом в 120°. Найдите высоту конуса, если
площадь его боковой поверхности равна 27л дм2.
1) 4 дм
2) 4л/з дм
3) 9 дм
4) 6л/2 дм
В основание конуса вписан правильный треугольник со
стороной 6 см, образующая конуса равна 4у/з см. Найдите
площадь боковой поверхности конуса.
1) 24л см2 3) 18л см2
2) 12л см2 4) 15л см2
32
Тест № 9
Вариант 1
СФЕРА И ШАР
д Выберите неверное утверждение.
1) Сферой называется поверхность, состоящая из всех то-
чек пространства, расположенных на данном расстоя-
нии от данной точки
2) Сфера может быть получена вращением полуокружнос-
ти вокруг диаметра
3) Если расстояние от центра сферы до плоскости больше
радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть
окружность
4) Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и
плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости
5) Площадь сферы радиуса R можно вычислить по форму-
ле: 5 = 4тгЯ2
g Перпендикулярно радиусу шара прове-
дена секущая плоскость, разделяющая
радиус пополам. Площадь сечения равна
75л см2. Найдите радиус шара.
1) 8 см 3) 10 см
2) 5л/з см 4) 6 см
Плоскость пересекает сферу радиуса 4V2 см. Найдите
длину линии пересечения, если радиус, проведенный в од-
ну из точек линии пересечения, составляет с плоскостью
угол 45°.
1) 8л см
2) 4л см
3) 16л см
4) 12 л см
33
Ц Определите, какое из перечисленных уравнений является
уравнением сферы с центром (2; -3; 5) и радиусом 7.
1) (х + 2)2 + (у-3)2 + (z + 5)2 = 7
2) (х + 2)2+(у-3)2+(z + 5)2 =49
3) (х-2)2 +G + 3)2 +(z-5)2 =49
4) (х-2)2+(у+ 3)2 + (z-5)2 = 7
§ Точки Л/(-1; 5; -6) и ДГ(3; -1; -2) лежат на сфере. MN-ди-
аметр сферы. Определите уравнение сферы.
Ц Сфера задана уравнением х2 + у2 + z2 + 4х -2у = 4. Опре-
делите координаты ее центра и радиус.
1)О(2;-1;0),Я = 2
2) 0(2;-1; 0), 7? = 3
3) О(-2; 1;0), 7? =9
4) О(-2;1;0),7? =3
Вершины треугольника ЛВС принадлежат сфере. ZB=30°,
сторона АС = 12 см. Найдите расстояние от центра сферы
до плоскости треугольника, если радиус сферы равен
15 см.
9
1) 9 см 3) 8 см
2) 12 см 4) 6д/3 см
34
Тест №9
Вариант 2
СФЕРА И ШАР
!| Выберите неверное утверждение.
1) Тело, ограниченное сферой, называется шаром
2) В прямоугольной системе координат уравнение сферы
радиуса R с центром С(х0; у0; zQ ) имеет вид:
(х-х0)2 +(у-Уо)2 +(z-Zo)2 =R2
3) Плоскость, имеющая со сферой только одну общую
точку, называется касательной плоскостью к сфере
4) Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, про-
ходящей через его конец, то эта плоскость является ка-
сательной к сфере
5) Сечение сферы плоскостью есть круг
| Площадь сечения шара плоскостью, перпендикулярной
радиусу шара и проходящей через его середину, равна
27л см2. Найдите радиус шара.
1) 8 см 3) Зл/З см
2) 6 см 4) 10 см
Плоскость пересекает сферу радиуса 6V2 см. Найдите дли-
ну линии пересечения, если радиус, проведенный в одну
из точек линии пересечения, составляет с плоскостью
угол 45°.
1) 12л см
2) 6л см
3) 8л см
4) 8л/2л см
35
Определите, какое из перечисленных уравнений является
уравнением сферы с центром (-2; 4; 6) и радиусом 5.
+ (z + 6)2 =25
Точки Л(3;-2;4) и В(-5;6;-4) лежат на сфере. Центр
сферы принадлежит отрезку АВ. Определите уравнение
сферы.
1) (х + 1)2+(у + 2)2+z2 =48
2) (х-1)2 +(у-2)2 +z2 =96
3) (х +1)2+(^ + 2)2 + z2 =96
4)(х + 1)2 +{у-2)2 +z2 =48
g Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной
уравнением х2 + у2 + z2 -4x + 2z = 11.
1) О(2;0;-1),Я = 4
2) 0(2; 0;-1), Я = 2
3) О(-2;0;1),Я =2
4) О(-2; 0; 1), R = 4
g Вершины треугольника АВС принадлежат сфере. В тре-
угольнике Z А = 60°, сторона ВС = 6-73 см. Найдите рас-
стояние от центра сферы до плоскости треугольника, если
радиус сферы равен 10 см.
1) 8 см
2) 6 см
3) 9 см
4) Зл/б см
36
Тест№ 10
Вариант 1
СФЕРА, ВПИСАННАЯ В МНОГОГРАННИК
J Выберите неверное утверждение.
I) Сфера называется вписанной в многогранник, если она
касается всех его граней
2) В прямую призму можно вписать сферу тогда и только
тогда, когда в основание этой призмы можно вписать
окружность и высота призмы равна диаметру этой
окружности
3) Радиус сферы, вписанной в прямую призму, находится
по формуле г - —, где о - площадь, р - полупериметр
Р
основания призмы
4) Радиус сферы, вписанной в пирамиду, равен половине
высоты пирамиды
В куб с ребром а вписана сфера. Най-
дите расстояние от центра этой сферы
до вершин куба.
g Сфера вписана в правильную тре-
угольную призму, сторона основания
которой равна 3 см. Найдите высоту
призмы.
1) 1,5 см
2) л/3 см
3) 3 см
4) Зл/2 см
37
В правильную шестиугольную при-
зму вписана сфера радиуса 2 см.
Найдите площадь боковой поверх-
ности призмы.
1)32>/3см2 3) 28 см2
2) 24л/3 см2 4) 36 см2
В правильный тетраэдр, ребро кото-
рого равно я, вписана сфера. Найди-
те радиус сферы.
Диагональ основания правильной
четырехугольной пирамиды равна
2V6 дм, двугранные углы при осно-
вании равны 60°. Найдите площадь
вписанной в пирамиду сферы.
1) 4л дм2 3) 12л дм2
2) 16л дм2 4) 8 л дм2
В правильную усеченную четырехугольную пирамиду,
стороны основания которой равны 3 см и 27 см, вписа-
на сфера. Найдите площадь боковой поверхности пира-
миды.
1) 600 см2
2) 800 см2
3) 900 см2
4) 850 см2
38
Тест№ 10
Вариант 2
СФЕРА, ВПИСАННАЯ В МНОГОГРАННИК
Выберите неверное утверждение.
1) Многогранник называется описанным около сферы,
если все его грани касаются сферы
2) Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, ле-
жит на высоте этой пирамиды
3) Диаметр сферы, вписанной в прямую призму, равен по-
ловине бокового ребра
4) Радиус сферы, вписанной в пирамиду, находится по
, . а
формуле г = т * sin—, где т - расстояние от центра сфе-
ры до ребра основания пирамиды, а - величина дву-
гранного угла при этом ребре
й
В куб с ребром а вписана сфера. Най-
дите расстояние от центра этой сферы
до ребра куба.
Ц Сфера вписана в правильную тре-
угольную призму, высота которой
равна V3 см. Найдите сторону осно-
вания призмы.
1) 2д/з см 3) Зл/2 СМ
2) 3 см 4) см
39
В правильную шестиугольную при-
зму вписана сфера. Найдите пло-
щадь боковой поверхности призмы,
если сторона основания призмы
равна 2 см.
1) ЗбТз см2
2) 24-Тз см2
3) 32^2 см2
4) 28 см2
В правильный тетраэдр вписана сфе-
ра радиуса R. Найдите ребро этого
тетраэдра.
1) Лл/б 3) 2Лд/з
2) 2R-J6 4) 3R-J3
Радиус вписанной в правильную
четырехугольную пирамиду сферы
равен 1 дм. Найдите площадь пол-
ной поверхности пирамиды, если
двугранные углы при основании
равны 60°.
1) 36 дм2 3) 48 дм2
2) 24 дм2 4) 30 дм2
Около сферы описана правильная усеченная четырех-
угольная пирамида, стороны основания которой равны
8 см и 18 см. Найдите площадь боковой поверхности пи-
рамиды.
1) 507 см2
2) 676 см2
3) 564 см2
4) 648 см2
40
Тест № 11
Вариант 1
СФЕРА, ОПИСАННАЯ
ОКОЛО МНОГОГРАННИКА
Щ Выберите неверное утверждение.
1) Многогранник называется вписанным в сферу, если все
его вершины лежат на сфере
2) Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на
перпендикуляре к плоскости основания, проведенном
через центр окружности, описанной около основания
3) Для того чтобы около призмы можно было описать
сферу, необходимо и достаточно, чтобы призма была
прямая и чтобы около ее основания можно было опи-
сать окружность
4) Около любой пирамиды можно описать сферу
g В правильной четырехугольной призме диагональ основа-
ния равна 4V2 см, а диагональ боковой грани - 2л/5 см.
Найдите радиус описанной около призмы сферы.
1) 6 см
2) 3 см
3) 4 см
4) 4л/2 см
41
В правильную треугольную призму впи-
сана сфера радиуса г. Найдите радиус
описанной сферы.
ж
В сферу радиуса R вписана правильная четырехугольная
пирамида, боковое ребро которой наклонено к плоскос-
ти основания под углом 45°. Найдите длину бокового
ребра.
1)л-Л
2)Лл/з
в
Найдите радиус сферы, описанной
около правильной шестиугольной пи-
рамиды, сторона основания которой
равна 3 см, а боковое ребро равно
5 см.
4) 4 см
1) 3 см
Найдите отношение радиуса сферы,
описанной около правильной треуголь-
ной пирамиды, к длине бокового ребра
пирамиды, если двугранный угол при
основании равен а.
4 + tg2a
2tga
2) V4 + tg^L
tga
74 + tg2a
2 tga
d) j4 + tg2a
2sina
42
Тест №11
Вариант 2
СФЕРА, ОПИСАННАЯ
ОКОЛО МНОГОГРАННИКА
| Выберите неверное утверждение.
1) Сфера называется описанной около многогранника,
если все его вершины лежат на сфере
2) Центр сферы, описанной около призмы, является сере-
диной отрезка, соединяющего центры окружностей,
описанных около оснований призмы
3) Для того чтобы около пирамиды можно было описать
сферу, необходимо и достаточно, чтобы около основа-
ния пирамиды можно было описать окружность
4) Около любой призмы можно описать сферу
g Найдите ребро куба, вписанного в сферу В\
радиуса R. С
2)л/зй
4)2л/зЯ
g Около правильной четырехугольной призмы описана сфе-
ра. Найдите радиус сферы, если высота призмы равна
4 см, а сторона основания - 2 см.
1) v6 см
2) 3 см
3) 4 см
4) 4л/2 см
43
Около правильной треугольной призмы
описана сфера радиуса 7?. Найдите ра-
диус вписанной сферы.
1) /?>/5
i
В сферу радиуса R вписана правильная четырехугольная
пирамида, боковое ребро которой наклонено к плоскости
основания под углом 45°. Найдите высоту пирамиды.
1) R-fi
2) R
4) R^2
Правильная шестиугольная пирамида,
сторона основания которой равна 4 см,
вписана в сферу. Найдите радиус сферы,
если боковое ребро пирамиды равно 5 см.
1) 4 см
2) 3-см
8
Найдите отношение радиуса сферы, опи-
санной около правильной треугольной
пирамиды, к длине бокового ребра пира-
миды, если плоский угол
равен 2а.
2л/Зсо52 а - sin2 а
4) 3 см
при вершине
a -sin а
2V3sin2 a —cos2 а
4) / 2 2
V3sin а —cos а
Тест№ 12
Вариант 1
ЦИЛИНДР, КОНУС, СФЕРА
КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ
Осевое сечение цилиндра - квадрат с площадью 16 см2.
Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
1)16л см2 3) 24л см2
2) 18л см2 4) 12 л см2
Диагональ сечения цилиндра, параллельного оси, равна
6 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 60°.
Это сечение отсекает в основании дугу в 90°. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра.
1) 9л см2 3) 9лл/б см2
2) 9пТз см2 4) 6л7з см2
Высота конуса равна 4 дм, радиус основания
равен 2V5 дм. Найдите площадь сечения,
проведенного через две образующие конуса,
если угол между ними равен 30°.
1) 9 дм2 3) 9-Уз дм2
2) 18 дм2 4) 24 дм2
Найдите угол развертки конуса, осевым сечением которо-
го является правильный треугольник.
1) 270° 3) 180°
2) 120° 4) 135°
Линия пересечения сферы и плоскости, удаленной от цен-
тра сферы на 8 см, имеет длину 12л см. Найдите диаметр
сферы.
1) 15 см
2) 20 см
3) 10 см
4) 12 см
45
В усеченном конусе площади оснований равны 25л см2
и 64л см2, образующая составляет с плоскостью основания
угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности этого ко-
нуса.
1) 36л см2
2) 48л см2
3) 78л см2
4) 42л см2
В цилиндр вписана прямая призма, в ос-
новании которой - треугольник со сто-
ронами 6 см и 6 см и углом 120° между
ними. Найдите площадь боковой повер-
хности цилиндра, если в осевом сечении
цилиндра - квадрат.
1) 144л см2 3) 72л см2
2) 136л см2 4) 124л см2
В правильную четырехугольную
пирамиду с высотой 5 см вписан
шар радиуса 2 см. Найдите длину
бокового ребра пирамиды.
1) 8 см
2) л/б5 см
3) 7 см
4) 2л/Й) см
| В правильную треугольную пирамиду со стороной основа-
ния -х/З вписан цилиндр, осевое сечение которого является
квадратом. Высота пирамиды равна 3. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
1) 2л
2) л
3) 1,5л
4) 4л
46
Тест№ 12
Вариант 2
ЦИЛИНДР, КОНУС, СФЕРА
КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ
J Осевое сечение цилиндра — квадрат с площадью 64 см2.
Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
1) 48л см2 3) 96л см2
2) 64л см2 4) 56л см2
Диагональ сечения цилиндра, параллельного оси, равна
6 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 45°.
Это сечение отсекает в основании дугу в 60°. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра.
1) 18л см2
2) 18-72 л см2
3) 24л см2
4) 36л см2
§ Высота конуса равна 6 дм, радиус основания
равен 2-J3 дм. Найдите площадь сечения,
проведенного через две образующие конуса,
если угол между ними равен 60°.
1)12дм2 3) 24 дм2
2) 12л/з дм2 4) 24л/3 дм2
3 Разверткой боковой поверхности конуса является полу-
круг. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
1) 120° 3) 60°
2) 90° 4) 45°
j Линия пересечения сферы и плоскости, удаленной от цен-
тра сферы на 12 см, имеет длину 18л см. Найдите диаметр
сферы.
1) 15 см 3) 9 см
2) 18 см 4) 30 см
47
Q В усеченном конусе площади оснований равны 9л см2 и
81л см2, образующая составляет с плоскостью основания
угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности этого ко-
нуса.
1) 48л см2 3) 48-ТЗл см2
2) см2 4) 27л см2
В цилиндр вписана прямая призма, в ос-
новании которой - треугольник АВС со
стороной АВ = 8 см и углами Z.A = 70°,
Z.B = 80°. Найдите площадь боковой по-
верхности цилиндра, если в осевом сече-
нии цилиндра - квадрат.
1) 128 л см2 3) 192л см2
2) 256л см2 4) 128л/3л см2
Найдите радиус шара, вписанного
в правильную четырехугольную пи-
рамиду, если известно, что ее высо-
та равна 5 см и боковое ребро равно
V65 см.
1) 4 см
2) 3 см
3) 2 см
4) 1 см
В правильную четырехугольную пирамиду со стороной
основания 2 вписан цилиндр, осевое сечение которого яв-
ляется квадратом. Высота пирамиды равна 4. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра.
2) 2л
4) 1,5 л
48
Тест№ 13
Вариант 1
ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ПАР АЛ Л Е Л ЕП И П ЕДА
Выберите неверное утверждение.
1) Объем куба равен кубу его ребра
2) Тела, имеющие равные объемы, равны
3) Если тело составлено из нескольких тел, то его объем
равен сумме объемов этих тел
4) Объем прямоугольного параллелепипеда равен произ-
ведению площади основания на высоту
Найдите объем куба, если диагональ куба равна 8л/з см.
1) 256 см3 3) 512 см3
2) 5 12а/з см3 4) 256л/3 см3
В прямоугольном параллелепипеде
ABCDAXBXCXDX AD = 4 см, DC-2 см,
BDX =6 см. Найдите объем параллеле-
пипеда.
1) 48 см3 3) 24 см3
2) 32 см3 4) 36 см3
Ц Сумма площадей трех граней прямоугольного параллеле-
пипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его
ребра пропорциональны числам 4, 5 и 9. Найдите объем
параллелепипеда.
1) 720 дм3
2) 2016 дм3
3) 1640 дм3
4) 1440 дм3
49
Стороны основания прямоугольного
параллелепипеда равны 4 см и 3 см,
диагональ параллелепипеда образует
с боковой гранью, содержащей сто-
рону основания, равную 4 см, угол
30°. Найдите объем параллелепипе-
да.
1) 12лЖ см3 3) 12л/39 см3
2) 72 см3 4) 12л/ГТ см3
Высота прямоугольного параллелепипеда, в основании ко-
торого лежит квадрат, равна 6д/2 дм. Площадь диагональ-
ного сечения равна 36 дмI 2. Найдите объем параллелепипе-
да.
1) 54-72 дм3 3) 42-72 дм3
2) 56л/2 дм3 4) 72-72 дм3
Площадь сечения, проходящего через ребро основания и
точку пересечения диагоналей куба, равна 16v2 см2. Най-
дите объем куба.
1) 48 см3 3) 96 см3
2) 16 см3 4) 64 см3
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, основа-
нием которого является квадрат, если его диагональ обра-
зует с боковой гранью угол а, а длина диагонали боковой
грани равна /.
I2 sinaVcos2a
з
cos a
I2 sin2 aVcos2a
' 2
cos a
Z3 sin2 а д/с os 2а
cos3 а
/3 sin2 а vcos2а
cos2 а
Тест№ 13
Вариант 2
ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
|| Выберите неверное утверждение.
1) За единицу измерения объемов принимается куб, ребро
которого равно единице измерения отрезков
2) Равные тела имеют равные объемы
3) Наименьшей единицей измерения объемов является
1 см3
4) Объем прямоугольного параллелепипеда равен произ-
ведению трех его измерений
Ц Найдите объем куба, если диагональ куба равна см.
1) 648 см3 3) 248^3 см3
2) 216 см3 4) 216л/3 см3
в
В прямоугольном параллелепипеде
ABCDAXBXC\DX AD =2 см, DC = 3 см,
DB} = 7 см. Найдите объем паралле-
лепипеда.
1) 30 см3
2) 42 см3
3) 36 см3
4) 35 см3
4 Сумма площадей трех граней прямоугольного параллеле-
пипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его
ребра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите объем
параллелепипеда.
1) 672 дм3 3) 1796 дм3
2) 2016 дм3 4) 1344 дм3
51
Стороны основания прямоугольного
параллелепипеда равны 2 см и 3 см,
диагональ параллелепипеда образует
с ребром, равным 2 см, угол 60°.
Найдите объем параллелепипеда.
1) 6 см3 3) бТз см3
2) 12 см3 4) 6л/2 см3
g Высота прямоугольного параллелепипеда, в основании ко-
торого лежит квадрат, равна 7V2 дм. Площадь диагональ-
ного сечения равна 56 дм2. Найдите объем параллелепипе-
да.
1)56^2 дм3 3)11272 дм3
2) 152-J2 дм3 4) 7бл/2 дм3
g Площадь сечения, проходящего через ребро основания и
точку пересечения диагоналей куба, равна 4V2 см2. Най-
дите объем куба.
1) 64 см3 3) 8 см3
2) 16 см3 4) 27 см3
g Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, основа-
нием которого является квадрат, если его диагональ обра-
зует со стороной основания угол а, а длина диагонали бо-
ковой грани равна I.
1)
г cosavcos2a
sin3 a
Z3 cosaV-cos2a
sin3 a
2)
Z3 cos2 a V-cos 2a
sin3 a
Z3 cos2 avcos2a
sin3 a
52
Тест № 14
Вариант 1
ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ
Выберите неверное утверждение.
1) Объем прямой призмы равен произведению площади
основания на высоту
2) Объем правильной четырехугольной призмы вычисля-
ется по формуле V = а2Л, где а ~ сторона основания, h —
высота призмы
3) Объем прямой призмы, основанием которой является
прямоугольный треугольник, равен половине произве-
дения площади основания на высоту призмы
4) Объем правильной шестиугольной призмы вычисляется
по формуле V = ~3^/la2h, где а - сторона основания,
h— высота призмы
В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ ААХ = 4 см,
АВ = см. Найдите объем призмы.
1) 8V3 см3 3) бТз см3
2) 12-73 см3 4) 9г/3 см3
В основании прямой призмы АВСАХВХСХ лежит треуголь-
ник АВС, у которого Z.C = 90°, ZZ? = 30°, АВ = А см. Най-
дите объем призмы, если ЛВАВХ = 45°.
1) 8л/з см3 3) 4л/з см3
2) бл/3 см3 4) ЮЛ см3
53
о
в
В правильной четырехугольной призме диагональ равна
4v2 см и наклонена к основанию призмы под углом 45°.
Найдите объем призмы.
1) 36 см3
2) 24 см3
3) 30 см3
4) 32 см3
5g
в
В правильной шестиугольной призме
большая диагональ равна 4V3 см и на-
клонена к основанию под углом 30°.
Найдите объем призмы.
1) 72 см3
2) 81 см3
3) 76 см3
4) 64 см3
|| Основание прямой призмы - равнобедренный треуголь-
ник, две стороны которого равны 5 см. Одна из боковых
граней призмы - квадрат, площадь которого равна 36 см2.
Найдите объем призмы.
1) 60 см3 3) 84 см3
2) 72 см3 4) 108 см3
Основание прямой призмы — ромб со
стороной 6 дм и углом 60°. Меньшая
диагональ призмы наклонена к осно-
ванию под углом 45°. Найдите объем
призмы.
1)102л/Здм3 3)108-73 дм3
2) 9бТз дм3 4) 104-Тз дм3
54
Тест № 14
Вариант 2
ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ
Выберите неверное утверждение.
1) Объем прямой призмы равен произведению периметра
основания на высоту призмы
2) Объем правильной треугольной призмы вычисляется
. IZ й1 2>/ЗЙ ,
по формуле V =------, где а - сторона основания, h -
4
высота призмы
3) Объем прямой призмы, основанием которой является
прямоугольный треугольник, равен половине произве-
дения катетов на высоту призмы
4) Объем правильной четырехугольной призмы вычисля-
ется по формуле V = a2h, где а - сторона основания,
h- высота призмы
В правильной треугольной призме АВСА}В}СХ ААХ =6 см,
АВ = Зд/2 см. Найдите объем призмы.
1) 24^3 см3
2) 18V3 см3
3) 27V3 см3
4) 24л/2 см3
В основании прямой призмы АВСА^С^ лежит треуголь-
ник АВС, у которого Z.B = 90°, ZC = 60°, АС = 2 см.
Найдите объем призмы, если ZG4 С} = 45°.
1) 27з см3
2) 4>/з см3
3) л/З см3
4) Зл/З см3
55
В правильной четырехугольной призме диагональ равна
6V2 см и наклонена к основанию призмы под углом 45°.
Найдите объем призмы.
1) 108 см3 3) 72 см3
2) 96 см3 4) 102 см3
В правильной шестиугольной призме
большая диагональ равна 4V3 см и на-
клонена к основанию под углом 60°.
Найдите объем призмы.
1) 24V3 см3 3) 27-73 см3
2) З2л/3 см3 4) ЗбТз см3
Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник,
две стороны которого равны 13 см. Одна из боковых граней
призмы - квадрат, площадь которого равна 100 см". Найди-
те объем призмы.
1) 600 см3 3) 720 см3
2) 780 см3 4) 640 см3
В основании прямой призмы — ромб
со стороной 2-Уз дм и углом 60°.
Меньшая диагональ призмы накло-
нена к основанию под углом 30°.
Найдите объем призмы.
1)6л/Здм3 3)18^3 дм3
2) 12-Уз дм3 4) 8л/з дм3
Тест№ 15
Вариант 1
ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА
Выберите неверное утверждение.
1) Объем цилиндра равен произведению площади основа-
ния на высоту
2) Цилиндр называется вписанным в призму, если его
основания вписаны в основания призмы
3) Цилиндр можно описать около любой призмы
4) Высота любой призмы, вписанной в цилиндр, равна вы-
соте самого цилиндра
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и накло-
нена к основанию под углом 30°. Найдите объем цилин-
дра.
1) 32л см3 3) 48л см3
2) 42л см3 4) 56л см3
Высота цилиндра 4 см. Площадь сечения, проведенного
параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 см от оси, рав-
на 64 см2. Найдите объем цилиндра.
1) 400л см3
2) 512л см3
3) 420л см3
4) 468л см3
Площадь полной поверхности цилиндра в два раза больше
площади его боковой поверхности. Найдите объем цилин-
дра, если его высота равна 2 см.
1) 24л см3 3) 12л см3
2) 8л см3 4) 20л см3
57
В цилиндр вписана правильная тре-
угольная призма, сторона основания ко-
торой равна 2-Тз см, а диагональ осевого
сечения цилиндра наклонена к основа-
нию цилиндра под углом 60°. Найдите
объем цилиндра.
1) 12л-Тз см3 3) 16лд/з см3
2) 18лл/з см3 4) 24 л 7з см3
Площадь боковой поверхности пра-
вильной четырехугольной призмы
равна 48 см2. Найдите объем цилин-
дра, вписанного в призму, если его
высота равна 3 см.
1) 12л см3 3) 9л см3
2) 6л см3 4) 18л см3
| В цилиндре сечение площадью 15V3 см2, параллельное
оси, отсекает от окружности, основания дугу в 120°. Най-
дите объем цилиндра, если его высота равна 3 см.
1) 60л см3 3) 90л см3
2) 75л см3 4) 65л см3
Ц Основание прямой призмы - равнобедренная трапеция
с острым углом а и диагональю, равной d. Диагональ при-
змы образует с боковым ребром угол 0. Найдите объем
цилиндра, описанного около призмы.
1) г— 3)
2 sin а tgP 4 sin а • tg0
2)_____4) ________
4cos2a-tg0 2cos2a-tgp
58
Тест № 15
Вариант 2
ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА
Выберите неверное утверждение.
1) Объем цилиндра вычисляется по формуле V = nr2h,
где г - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра
2) Цилиндр называется описанным около призмы, если ее
основания вписаны в основания цилиндра
3) Высота любой призмы, описанной около цилиндра,
равна высоте самого цилиндра
4) Около любой призмы можно описать цилиндр
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и накло-
нена к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем
цилиндра.
1) 16л см3 3) 18-Уз л см3
2) 24 л см3 4) 16>/з л см3
Плоскость, параллельная оси цилиндра, отстоит от нее на
8 см. Площадь получившегося сечения равна 60 см2, высо-
та цилиндра - 5 см. Найдите объем цилиндра.
1) 486л см3
2) 500л см3
3) 360л см3
4) 300л см3
Площадь полной поверхности цилиндра в три раза больше
площади его боковой поверхности. Найдите объем цилин-
дра, если его высота равна 2 дм.
1) 32л дм3 3) 64л дм3
2) 48л дм3 4) 24л дм3
59
В цилиндр вписана прямая призма,
в основании которой - треугольник со
сторонами 6 см и 6 см и углом 120°
между ними. В осевом сечении — квад-
рат. Найдите объем цилиндра.
1) 236л см3 3) 384л см3
2) 432л см3 4) 526л см3
Площадь боковой поверхности пра-
вильной четырехугольной призмы
равна 48 см2, а ее высота - 3 см.
В призму вписан цилиндр. Найдите
объем цилиндра.
1) 16л см3 3) 6л см3
2) 24л см3 4) 12л см3
I
оси, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Най-
дите объем цилиндра, если его высота равна 4 см.
1) 36л см3 3) 28л см3
2) 32л см3 4) 24л см3
В цилиндре сечение площадью 12д/3 см2, параллельное
Основание прямой призмы - равнобедренная трапеция,
острый угол которой равен а. Диагональ призмы равна d
и образует с боковым ребром призмы угол 0. Найдите
объем цилиндра, описанного около призмы.
О
nd sinp cos0
4sin2a
2)
nd3 sm20cosp
4 sin2 a
л</3 sin2 p cosp
2 sin a
nd3 sinp cos2p
4)----------------
2sin a
60
Тест№ 16
Вариант 1
ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ
Выберите неверное утверждение.
1) Объем пирамиды равен одной трети произведения пло-
щади основания на высоту
2) Объем правильной треугольной пирамиды вычисляется
по формуле V = —-а2л/3й, где а — сторона основания
пирамиды, h - ее высота
3) Объем усеченной пирамиды вычисляется по форму-
ле V = А (^/^7+ y[S^+ где Si и Si ~ площади
оснований пирамиды, h - ее высота
4) Объем правильной четырехугольной пирамиды, у кото-
рой все ребра равны, вычисляется по формуле
а3л/2
V =------, где а - ребро пирамиды
В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна 6л/3 см, боковое ребро равно 3V5 см. Найдите объем
пирамиды.
1) 27 см3
2) 27л/з см3
3) 24 см3
4) 24-Уз см3
Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны
а ее высота равна 2 дм. Найдите объем пирамиды.
1) 5—дм
2
В основании пирамиды MABCD — прямоугольник,
М4±(Л2?С), АС = 13 см, DC = 12 см. Двугранный угол
61
между плоскостями MDC и ADC равен
45°. Найдите объем пирамиды.
1) 60 см3 3) 100 см3
2) 78 см3 4) 96 см3
В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро
равно 8 см, а сторона основания - 4 см. Найдите объем пи-
рамиды.
1) 90 см3 3) 96 см3
2) 102 см3 4) 108 см3
В правильной треугольной пирамиде
угол между апофемой и высотой пира-
миды равен 30°. Найдите объем пирами-
ды, если сторона основания пирамиды
равна 2V3 дм.
1) 6 дм3 3) 9 дм3
2) 3 дм3 4) 12 дм3
В правильной усеченной четырехугольной пирамиде ра-
диусы окружностей, описанных около оснований, равны
л/2 и 2^2, а боковое ребро образует с плоскостью основа-
ния угол 45°. Найдите объем пирамиды.
Ц Основанием пирамиды служит ромб, острый угол которо-
го равен 60°, а сторона имеет длину 14 см. Боковые гра-
ни пирамиды наклонены к плоскости основания под
углом 45°. Найдите объем пирамиды.
1) 81 см3 . 3) 243 см3
2) 343 см3 4) 162 см3
62
Тест№ 16
Вариант 2
ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ
| Выберите неверное утверждение.
1) Объем пирамиды вычисляется по формуле V = ~Sh,
где S — площадь основания пирамиды, h — ее высота
2) Объем правильной четырехугольной пирамиды вычис-
1 2
ляется по формуле V = — а А, где а - сторона основания
пирамиды, Л - ее высота
3) Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле
V = — h(S} + S2+ ), где Si и Si - площади основа-
ний пирамиды, h - ее высота
4) Объем правильного тетраэдра вычисляется по формуле
42
——, где а - ребро тетраэдра
В правильной треугольной пирамиде ее боковое ребро
равно 2д/з см, а высота л/з см. Найдите объем пирамиды.
1) бл/3 см3
2) 12 см3
3) 6,75 см3
4) 8,5 см3
в
- а
Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны
2-^2 дм. Найдите объем пирамиды.
1) з|дм3
3
2)5|дм3
3) 21 дм3
3
4) 31 дм3
Ц В основании пирамиды KABCD - прямоугольник,
КА ±(АВС), АС = 10 см, AD = 6 см. Двугранный угол меж-
63
ду плоскостями KDC и ADC равен 60°.
Найдите объем пирамиды.
1) 96д/з см3 3) 76 см3
2) 92 см3 4) 98-УЗ см3
§ В правильной шестиугольной пирамиде апофема равна
л/15 см, сторона основания - 2 см. Найдите объем пирамиды.
1) 9 см3
2) 15 см3
3) 18 см3
4) 12 см3
Угол между боковым ребром и высотой
в правильной треугольной пирамиде ра-
вен 30°. Найдите объем пирамиды, если
сторона основания равна 2л/з дм.
1) 6 дм3
2) 12 дм3
3) 9 дм3
4) 15 дм3
В правильной усеченной четырехуголь-
ной пирамиде диагонали оснований рав-
ны 2^2 и 4V2, а боковое ребро образует
с плоскостью основания угол 60°. Найди-
те объем пирамиды.
Основанием пирамиды служит ромб с углом 30° и сторо-
ной 2v3 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плос-
кости основания под углом 60°. Найдите объем пирамиды.
1) 3 см
2) 9 см
3) Зл/З см3
4) 6^3 см3
64
Тест № 17
Вариант 1
ОБЪЕМ КОНУСА
Выберите неверное утверждение.
1 2
а) Объем конуса вычисляется по формуле V = -~tiR h,
где R - радиус основания конуса, h - его высота
б) Объем равностороннего конуса вычисляется по форму-
IZ л/ЗлЯ3
ле V --------, где R — радиус основания конуса
в) Объем усеченного конуса вычисляется по формуле
v =-л(5, +s9 + Js&), где 5i и Si - площади осно-
ваний конуса, h - его высота
г) Объем конуса равен половине произведения площади
основания на высоту
Образующая конуса равна 6 см, а угол
между ней и плоскостью основания ра-
вен 60°. Найдите объем конуса.
1) 9л см3 3) 12д/3л см3
2) 9д/3л см3 4) 12л см3
Найдите объем конуса, полученного в результате враще-
ния вокруг катета равнобедренного прямоугольного треу-
гольника с гипотенузой, равной 6v2 см.
1) 36л см3 3) 72л см3
2) 36л/2л см3 4) 7 2-^2 л см3
Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см,
а его образующая составляет с плоскостью большего
основания угол 45°. Найдите объем конуса.
1) 39л см3 3) 42л см3
2) 36л см3 4) 49л см3
65
Через две образующие конуса, угол между которыми ра-
вен 30°, проведено сечение, имеющее площадь 25 дм2.
Найдите объем конуса, если радиус основания равен 8 дм.
1) 92л дм3
2) 96л дм3
3) 112л дм3
4) 128 л дм3
Ц Центральный угол в развертке боковой поверхности кону-
са равен 240°. Высота конуса равна 2л/5 см. Найдите его
объем.
16лд/5 з
1)-------см
3
~ 32лл/5 з
2)--------см
3
32лд/3 з
3)-------см
3
16л7з з
4)-------см
3
В конус вписана правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания пирамиды равна 2V2 см, высота пира-
миды равна 3 см. Найдите объем конуса.
1) 8л см3
2) 12л см3
3) 6л см3
4) 4л см3
66
Тест № 17
Вариант 2
ОБЪЕМ КОНУСА
fl Выберите неверное утверждение.
а) Объем конуса равен одной трети произведения площа-
ди основания на высоту
2 2
б) Объем конуса вычисляется по формуле V = — nR h,
где R - радиус основания конуса, h - его высота
в) Объем усеченного конуса вычисляется по формуле
V = — nh(R2 + Rr+ г2), где г и R - радиусы оснований
усеченного конуса, Л - его высота
у/Зп13
г) Объем равностороннего конуса равен V =-----, где I -
24
образующая конуса
Ц Образующая конуса равна 4 см, а угол между ней и плос-
костью основания равен 30°. Найдите объем конуса.
1) 6л/3л см3
2) 12л см3
3) 8л см3
4) 8л/з л см3
3 Найдите объем конуса, полученного в результате враще-
ния равнобедренного прямоугольного треугольника с ги-
потенузой, равной 6 см, вокруг своего катета.
1) 18лТ2см3
2) 18 л см3
3) 36л см3
4) 36л-J2 см3
67
£ В усеченном конусе радиус меньшего основания равен
2 см. Высота конуса - 3 см, а его образующая составляет
с плоскостью большего основания угол 45°. Найдите
объем конуса.
1) 36л см3 3) 42л см3
2) 39л см3 4) 32л см3
§ Через две образующие конуса, угол между
которыми равен 30°, проведено сечение,
имеющее площадь 25 дм2. Найдите объем
конуса, если радиус основания равен 6 дм.
1) 96л дм3
2) 124 л дм3
3) 128л дм3
4) 132 л дм3
Центральный угол в развертке боковой поверхности кону-
са равен 120°. Высота конуса равна 4V2 см. Найдите его
объем.
\6nj2
-----см
16тгл/з
--------см
14ял/2 з
3) см
3
14тгл/5 з
4) см
3
I
В конус вписана правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания пирамиды равна Зд/2 см. Боковое реб-
ро пирамиды наклонено к основанию пирамиды под углом
45°. Найдите объем конуса.
1) 6л см
2) 9л см3
3) 12л см
4) 8л см3
68
Тест № 18
Вариант 1
ОБЪЕМ ШАРА
Выберите неверное утверждение.
1) Объем шара радиуса R равен — tiR3
2) Шаровым сегментом называется часть шара, отсекае-
мая от него какой-нибудь плоскостью
3) Объем шарового слоя можно вычислить как разность
объемов двух шаровых секторов
4) Объем шарового сегмента вычисляется по формуле
2f 1 >
V = nh R — п , где R - радиус шара, h - высота
сегмента
Найдите расстояние от центра шара до
плоскости сечения, если объем шара ра-
вен 288л, а радиус сечения равен Зл/З.
4) 2-Тз
Перпендикулярно радиусу шара проведена секущая плос-
кость, разделяющая радиус пополам. Площадь сечения
равна 75л. Найдите объем шара.
100 л
3) 133-л
1000л
4000л
Объемы двух шаров относятся как 27:8. Найдите отноше-
ние диаметров этих шаров.
1) 27:8 3) 6:2
2)9:4 4)3:2
69
Ц Плоскость, перпендикулярная радиусу,
делит его на части в отношении 3:2, счи-
тая от центра шара. Площадь сечения рав-
на 144л. Найдите объем меньшего из об-
разовавшихся шаровых сегментов.
1) 472л
2) 478л
3) 496л
4) 468л
Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен
11 см, а радиус окружности основания соответствующего
шарового сегмента равен л/57 см.
1) 242л см3
2) 121л см3
3) 168 л см3
4) 236л см3
В конус, радиус основания которого
равен 2, а образующая равна 3, вписан
шар. Найдите объем шара.
„ 32^
4)----л
125
Диаметры оснований усеченного конуса равны 4 и 6. Най-
дите объем шара, вписанного в усеченный конус.
1) 4лл/б
2)8лТб
4) 12л л/б
70
Тест№ 18
Вариант 2
ОБЪЕМ ШАРА
Выберите верное утверждение.
3 з
1) Объем шара радиуса R равен — tiR
4
2) Шаровым сегментом называется тело, полученное
вращением кругового сектора с углом, меньшим 90°,
вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих
круговой сектор радиусов
3) Объем шарового сектора вычисляется по формуле
2 з
V = — TtR л, где R - радиус шара, h - высота сегмента
4) Шаровым слоем называется часть шара, заключенная
между двумя параллельными секущими плоскостями
Найдите объем шара, если расстояние от
центра шара до плоскости сечения рав-
но 3, а площадь сечения равна 27 л.
1) 216л 3) 256л
2) 288л 4) 264л
Линия пересечения сферы и плоскости, проведенной пер-
пендикулярно радиусу и через его середину, имеет длину
8-73л. Найдите объем шара.
.. 1024л _ 2048л
2) 682-л
4) 341—л:
Диаметры двух шаров относятся как 3:4. Найдите отноше-
ние их объемов.
1) 3:4
2) 9:16
3) 27:64
4) 6:8
71
§ Плоскость, перпендикулярная радиусу,
делит его на части в отношении 4:1, счи-
тая от центра шара. Площадь сечения рав-
на 36л. Найдите объем меньшего из обра-
зовавшихся шаровых сегментов.
1)37— л 3)36-л
3 3
2) 48л 4) 42л
Ц Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен
7 см, а радиус окружности основания соответствующего
шарового сегмента равен V33 см.
1) 49 л см3
2) 147л см3
3) 81л см3
4) 98л см3
В конус вписан шар. Найдите объем
шара, если радиус основания конуса
равен 3, а образующая равна 4.
36^7
1)-----л
7
„ ЗбЛ
2)-----л
49
12>/7
Ц Образующая усеченного конуса равна 10, радиус его
верхнего основания равен 4. Найдите объем шара, вписан-
ного в усеченный конус.
1) 32лТб
2) 48л л/б
3) 64л л/б
72
Тест № 19
Вариант 1
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ
Площадь поверхности куба равна 24 дм2. Найдите его
объем.
1) 12 дм3 3) 16 дм3
2) 27 дм3 4) 8 дм3
В прямоугольном параллелепипеде ребра относятся как
2:3:6, а диагональ равна 14 см. Найдите объем параллеле-
пипеда.
1)316 см3 3) 288 см3
2) 270 см3 4) 276 см3
Расстояние от вершины до центра основания правильной
четырехугольной призмы равно 3. Найдите объем призмы,
если ее высота равна 1.
1) 16 3) 18
2) 24 4) 12
Через точку А, лежащую на окружности основания цилин-
дра, проведена наклонная, пересекающая окружность вто-
рого основания в точке В. Высота цилиндра равна 8, длина
отрезка АВ равна 10, расстояние между осью цилиндра
и прямой АВ равно 4. Найдите объем цилиндра.
1) 100л 3) 240л
2) 200л 4) 160л
Периметр осевого сечения цилиндра, в который вписан
шар, равен 12. Найдите объем цилиндра.
1) 13,5л 3) 6,75л
2) 12л 4) 9л
73
Боковые ребра правильной шестиугольной пирамиды на-
клонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите
объем пирамиды, если ее сторона основания равна 3.
1) 40,5
2) 48
3) 36,5
4) 32
В конус с образующей, равной 17,5, вписана пирамида,
в основании которой лежит прямоугольный треугольник
с катетами 8V5 и 11. Найдите объем конуса.
1) 514,5л
2) 496л
3) 386,5л
4) 484л
В Конус, у которого угол при вершине осевого сечения ра-
вен 120°, вписан в шар. Найдите отношение объемов кону-
са и шара.
1)>/3:8 3)3:16
2)3:64 4)3:32
g В прямую призму вписан шар. Основание призмы - равно-
бедренная трапеция с основаниями 3 и 27. Найдите объем
призмы.
1) 1036 3) 1126
2) 934 4) 1215
74
Тест № 19
Вариант 2
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ
Л Площадь поверхности куба равна 54 дм2. Найдите его
объем.
1) 27 дм3 3) 30 дм3
2) 36 дм3 4) 64 дм3
§ В прямоугольном параллелепипеде ребра относятся как
3:4:5, а диагональ равна 10-72 см. Найдите объем паралле-
лепипеда.
1) 240 см3 3) 480 см3
2) 364 см3 4) 320 см3
Ц Расстояние от вершины верхнего основания до центра
нижнего основания правильной четырехугольной призмы
равно 4,5. Найдите объем призмы, если ее высота равна 1,5.
1) 48 3) 32
2) 54 4) 60
Л Через точку А, лежащую на окружности основания цилин-
дра, проведена прямая, пересекающая окружность второго
основания в точке В. Радиус цилиндра равен 5, длина от-
резка АВ равна 4V5, расстояние между осью цилиндра
и прямой АВ равно 3. Найдите объем цилиндра.
1) 160л 3) 240л
2) 200л 4) 100л
§ Площадь осевого сечения цилиндра, в который вписана
сфера, равна 9. Найдите объем цилиндра.
1) 12л 3) 9л
2) 6,75 л 4) 13,5л
75
Сторона основания правильной шестиугольной пирами-
ды равна 2, боковые ребра пирамиды составляют с плос-
костью основания углы в 60°. Найдите объем пирамиды.
1) 12
2) 9
3) 16
4) 6
Ц В конус с образующей, равной 12,5, вписана пирамида,
основанием которой является прямоугольный треугольник
с катетами 9 и 12. Найдите объем конуса.
1) 212л
2) 156л
3) 187,5 л
4) 143,5 л
Ц В шар вписан конус, в котором угол между образующей и
плоскостью основания составляет 30°. Найдите отношение
объемов шара и конуса.
1)16:3
2) 32:3
3) 64:3
4)8:3
g В прямую призму вписан шар. Основание призмы - равно-
бедренная трапеция с основаниями 4 и 36. Найдите объем
призмы.
1) 2460
2) 2880
3) 2648
4) 2576
76
Тест № 20
Вариант 1
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ (ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ)
Ребро куба ABCDAXBXCXDX равно
Зл/б „ „
----. Найдите расстоя-
ние от вершины А до прямой, проходящей через точки
2) Зл/2
4) 2л/з
(2 Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды,
если ее диагональное сечение - равносторонний треуголь-
ник, площадь которого 3V3.
1)9
2) 12
3)6
4) 18
И Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна 6д/3, апофема равна 6. Найдите объем пирамиды.
1) 64
2) 81
3) 96
4) 74
Ц Хорда АС основания цилиндра составляет угол 30° с диа-
метром АВ этого основания. Площадь сечения, проходя-
12
щего через хорду ВС и образующую ВВХ, равна —. Найди-
те
те площадь боковой поверхности цилиндра.
1) 20 3) 24
2) 18 4) 16
Ц В правильной четырехугольной призме ABCDAXBXCXDX
сторона основания в 3 раза короче высоты призмы. Най-
77
дите объем призмы, если расстояние между серединами
ребер Вх Сх и CD равно V38.
1) 16
2) 24
3) 18
4) 12
§ Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно
12, а перпендикулярным сечением является ромб со сторо-
ной 6 и углом в 30°. Найдите объем призмы.
1) 256 3) 216
2) 196 4) 224
Ц Основанием прямой призмы АВСАХВХСХ является тре-
угольник АВС, такой, что АВ = ВС, АВ = 120°. Расстояние
между ААХ и ВС равно 2, а угол между плоскостью ВАХС
и плоскостью основания призмы равен 60°. Найдите
объем призмы.
1) 8 3) 12
2) 16 4) 10
В правильной усеченной шестиугольной пирамиде сумма
периметров оснований равна 69, длина бокового ребра
равна 10, синус угла между боковым ребром и прилегаю-
щей к нему стороной основания равен —. Найдите площадь
^5
боковой поверхности этой пирамиды.
1) 120
2) 126
3) 138
4) 144
На боковом ребре AS правильной четырехугольной пира-
миды SABCD объема 96 выбрана точка М так, что
AM: MS = 3:5. Точка К - середина ребра АВ основания
АВ CD. Найдите объем пирамиды АКСМ.
1)4
2) 9
3) 12
4) 8
78
Тест № 20
Вариант 2
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ (ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ)
Ц Ребро куба ABCDAXBXCXDX равно V6. Найдите расстояние
от вершины A j до прямой DBX.
1) 2 3) 2ч/3
2) 3 4) Зл/2
2 Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды,
если ее диагональное сечение — равносторонний треуголь-
ник, площадь которого 12v3.
1) 36
2) 27
3) 48
4) 54
Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна 4д/з, апофема равна 4. Найдите объем пирамиды.
1) 16
2) 24
3) 18
4) 30
Ц Хорда АС основания цилиндра составляет угол 30° с диа-
метром АВ этого основания. Площадь сечения, проходя-
13
щего через хорду ВС и образующую ВВХ, равна —. Найди-
п
те площадь боковой поверхности цилиндра.
1) 32
2) 24
3) 26
4) 39
§ В правильной четырехугольной призме ABCDAXBXCXDX
высота в 2 раза длиннее стороны основания. Найдите объ-
ем призмы, если расстояние между серединами ребер АХВХ
и ВС равно Зл/2.
1) 16
2) 24
3) 12
4) 18
79
В наклонной треугольной призме расстояния между боко-
выми ребрами равны 5, 12 и 13. Площадь меньшей боко-
вой грани равна 22. Найдите объем призмы.
1) 124
2) 136
3) 128
4) 132
ABCDAXBXCXDX - прямая призма, основанием которой яв-
ляется ромб, АВ = 6, ZА = 60°. Расстояние между прямыми
AD и В|Cj равно л/30. Найдите объем призмы.
1)48
2) 54
3) 42
4) 56
|| В правильной усеченной шестиугольной пирамиде сумма
периметров оснований равна 60, длина бокового ребра
равна 8, синус угла между боковым ребром и прилегаю-
3
щей к нему стороной основания равен —. Найдите площадь
боковой поверхности этой пирамиды.
1) 132
2) 138
3) 144
4) 156
§ На боковом ребре AS правильной треугольной пирамиды
SABC объема 105 выбрана точка М так, что AM :MS =3:4.
Точки К и L лежат соответственно на ребрах АВ и АС
основания и делят эти ребра в отношении 1:2, считая от
вершины А. Найдите объем пирамиды AKLM.
1)5
2) 15
3) 35
4) 20
80
ОГЛАВЛЕНИЕ
Тест 1. Координаты точки и координаты вектора .........1
Тест 2. Связь между координатами векторов и координатами
точек.................................................5
Тест 3. Скалярное произведение векторов................9
Тест 4. Применение метода координат к решению задач...13
Тест 5. Движения......................................17
Тест 6. Метод координат в пространстве (контрольный тест) .... 21
Тест 7. Цилиндр.......................................25
Тест 8. Конус.........................................29
Тест 9. Сфера и шар...................................33
Тест 10. Сфера, вписанная в многогранник...............37
Тест 11. Сфера, описанная около многогранника..........41
Тест 12. Цилиндр, конус, сфера (контрольный тест)......45
Тест 13. Объем прямоугольного параллелепипеда..........49
Тест 14. Объем прямой призмы...........................53
Тест 15. Объем цилиндра................................57
Тест 16. Объем пирамиды................................61
Тест 17. Объем конуса..................................65
Тест 18. Объем шара....................................69
Тест 19. Объемы тел (контрольный тест).................73
Тест 20. Итоговый тест (Готовимся к ЕГЭ)...............77
Иван Михайлович Сугоняев
Г еометрия. 11 класс. Т есты
Художественный редактор, дизайн обложки Ю.В. Межуева.
Выпускающий редактор А.В. Шереметьева.
Комп, верстка С.В. Герасина. Корректор Л.В. Коротченкова.
Подписано в печать 20.11.2009. Формат 60x90/16.
Гарнитура Times New Roman. Бумага тип. №2. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 5,0. Тираж 25 000 экз. Заказ № 29230.
ООО «Издательство «Лицей» Тел./факс: (845-2) 27-12-64,27-14-03.
http://www.licey.net http://www.licey.net/history
http ://www. licey.net/english
Отпечатано в соответствии с качеством диапозитивов,
предоставленных издательством в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат»
410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru
ТЕСТЫ
ТЕСТЫ
ТЕСТЫ
ТЕСТЫ