Author: Белицкая О.В.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа геометрия топология тесты
ISBN: 978-5-8053-0652-6
Year: 2010
Text
УДК 373.167.1:514*09
ББК 22.1514я721
Б 432
Рецензент: учитель математики высшей категории,
отличник народного просвещения РФ,
победитель конкурса лучших учителей РФ
2007 года И.М. Сугоняев.
Белицкая О.В.
Б432 Геометрия. 9 класс. Тесты: В 2 ч. — Саратов: Лицей,
2010. —Ч. 1. —64 с.
ISBN 978-5-8053-0652-6
В пособии представлены разноуровневые задания по всем
важнейшим темам курса геометрии за 9 класс, которые помогут
учащимся отработать знание теоретического материала
и практические навыки, включая навыки выполнения
геометрических построений на плоскости.
По окончании курса предложен итоговый контрольный тест.
УДК 373.167.1 :S14*09
ББК 22.151я721
ISBN 978-5-8053-0652-6
© Издательство «Лицей», 2010
Тест № 1
Вариант 1
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
К заданиям 1—3
Найдите координаты вектора т.
1) {1;В
2) {0; 2}
3) {-2; -2}
4) {2; 2}
5) {2; -2}
Координаты какого вектора совпадают с координатами
вектора с + d ?
1) а 4) р
2) b 5) j
3)i
Запишите разложение вектора с по координатным векто-
рам i и j.
| Даны векторы а {х,; у}} и b {х2; у2}. Определите координа-
ты вектора а + Ь.
4) К + х2,ух + у2}
5) {*i
+ л; х2 + у2}
| Какому рисунку соответствует минимальное значение к
при выполнении равенства b-k-dl
I
а
б
в
Какой вектор имеет такие же
координаты, что и вектор 2Z??
Найдите
координаты вектора d = 4а+ — b — с, если из-
вестны координаты векторов а
1) {5,5; 4}
2) {4; 4}
3) {5,5; 5,5}
4) {4; 5,5}
5) {5,4; 5,5}
2
Тест № 1
Вариант 2
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
К заданиям 1—3
| Найдите координаты вектора а.
1) {1;-4}
2) {-4; 1}
3) {1;1}
4) {4; 4}
5) {-4; -4}
Координаты^ какого вектора совпадают с координатами
вектора а + Ь2
4) т
У Запишите разложение вектора п по координатным векто-
рам i и у.
1) п = 4i — 4j
2) п = -4i -4j
3) л = —2i — 2j
4) n — 4i + 4j
5) n = 2i +2 j
3
Ц Даны векторы a {%j; у}} и b {х2; у2}. Определите координа-
ты вектора а — Ь.
1) fri ~х2\ух -у2}
2) {х, — х2, У] + У2}
3){х, + х2;у,— у2}
§ Какому рисунку соответствует минимальное значение к
при выполнении равенства b = к ♦ а ?
ЙВ
В
а б в г
1) а 3)в 5) д
2)6 4) г
Какой вектор имеет такие же
координаты, что и вектор - с?
^2
1)7 4)d
2)g 5)b
3) а
Найдите координаты вектора а4 = — а\ + 5 аг —аз, если из-
вестны координаты векторов а ] {8; 6}, а2
1) {7;7}
2) {4;4}
3) {4; 7}
4) {-4; —7}
5) {7; 4}
4
Тест № 2
Вариант 1
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
К заданиям 1—8
Найдите неверное утверждение.
1) j = d = t 3) п = -а
2) п {1; 2} 4) a = -4z‘-4y*
Вектор b имеет координаты:
1) {-4; 0} 3) {0;-4}
2) {4; 0} 4) {3; 0}
Разложение вектора с по координатным векторам i
имеет вид:
l)c = -2i-2j 3)c = 2i-2J
2) с = —2i +2j A) c = i + j
Найдите координаты вектора m + n.
1){2;2} 3) {4; 3}
2){3;4} 4){1;2}
Найдите координаты вектора а-d.
1) {-4; -4} 3) {-4; -5}
2) {-1; -1} 4) {4; -5 }
И j
5
Найдите координаты вектора —3,51.
I) {3,5; 0} 3) {3,5;-3,5}
2) {-3,5; 0} 4) {0; -3,5}
Найдите координаты вектора 2а - ЗЬ + — с.
4
1) {-20,5;-7,5} 3) {20,5; 7,5}
2) {-19,5;-8,5} 4) {-19,5;-7,5}
Как доказать, что векторы а и т коллинеарны?
пропорциональны
2) а {-4;-4}, т {2; 2}, -4 = -4; 2 = 2, т.е. коэффициенты раз-
ложения равны в каждом векторе
3) а{—4;—4}, /и {2; 2}, —4 + 2 = -4 + 2, т.е. суммы соответ-
ствующих координат векторов равны
4) доказать без применения линейки нельзя
Точка N лежит на диагонали КР параллелограмма КНРО
и KN : NP = 6:1. Выразите вектор NP через векторы
КН = а и Кд = Ь.
т
Ответ: NP =__________________
6
Тест № 2
Вариант 2
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
К заданиям 1—8
я
Найдите неверное утверждение.
1) г_и с коллинеарны 3) d = О
2) т = 3i — J 4) b = j
Вектор а имеет координаты:
и
Разложение вектора b по координатным векторам i и j
имеет вид:
Й
Найдите координаты вектора р + q.
Найдите координаты вектора т — п.
7
2-
Найдите координаты вектора — а.
1) {-2; 2}
2) {2; -2}
Найдите координаты вектора Зт - 2п + 0,5р.
1) {5;-4}
2) {-6; 4}
3) {7;-3}
4) {6; -4}
Как доказать, что векторы е и р не коллинеарны?
1) е{2;-3}, р{-2; -2}, 2 Ф -3; -2 = -2, т.е. коэффициенты
разложения равны не в каждом векторе
2) для доказательства необходимо найти длины векторов
3) е{2;-3}, р{-2;-2}, 2 +(-2) = 0, т.е. сумма некоторых
коэффициентов разложения обращается в О
— 2—3
4) е{2;-3}, р{-2; -2}, —, т.е. координаты векторов
непропорциональны
О - точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD.
Выразите вектор SO через векторы АВ = р и AD = q.
Ответ: SO ~
Тест № 3
Вариант 1
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
Если точка C(xj; yi) - начало вектора, точка D(x2, у2) —
конец вектора, то вектор CD имеет координаты:
1) {х2 + *i;y2 + У1} 4) {x2-x\;y2-yi}
2) {xi - х2; у । - у2} 5) {xi - х2; у2 - у i}
3) {х2-х1;у1-у2}
В заданиях 2—4 введены следующие обозначения:
точка А — начало вектора, точка В—конец вектора; а,Ь — ко-
ординаты вектора АВ.
А(-2; -1), В(3; -2). Найдите координаты вектора АВ.
Y)a-l;b = -3 4) a = -l;Z> = 5
2) а — —5; b ~ 1 5) а = 5; b = — 1
3) a = -l;Z> = 3
АВ(-5; —3), А (2; 2). Найдите координаты точки В.
3) (3; -5)
4) (-7; -1)
5) (3; 1)
АВ(0; 4), В(0; 2). Найдите координаты точки А.
1) (4; 2)
2) (2; 0)
3) (0; -2)
4) (0; 2)
5) (0; 0)
М](-1; -3) - начало вектора,
М2(5; -1) — конец вектора. На-
чертите на рисунке М{М2. Най-
дите его координаты.
1) {4; -4}
2) {6; -2}
3) {-6; -2}
• • Л •а«»шв(аа«ааа • а « • * У/ 1 к . • « • а а • a t • • • • а а • • а •
а « О 1
а •
• •
• *
4) {-6; 2}
5) {6; 2}
9
По данным рисунка запишите следующие координаты:
1) центр окружности S(;}
2) точка окружности А ( ;;
3) точка окружности В(;'
4) вектор ОА {;}
5) вектор АВ {;}
| Заполните пропуски в таблице. Определите, есть ли в таб-
лице равные векторы.
АВ CD EF GH
Начало вектора Л(-3;-1) С(2; _) Е(_, -1) G(2; 2)
Конец вектора F(5;_) //( ; )
Координаты вектора CD {_; -2} £F{1;2} GH {2; 0}
l)CD = EF 3)AB = CD 5)CD = GH
2)AB = GH 4)AB = EF
Q Точка A(-2; -2) - начало отрезка А С, точка B(0; 2) - его се-
редина. Найдите координаты конца отрезка.
1)С(-1;0) 4) С(2; 6)
2) С(6; 1) 5) С(4; -1)
3) С(-2; 0)
10
Тест № 3
Вариант 2
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
Если точка А(ху, yi) - начало вектора, точка В(х2; Ут) - ко-
нец вектора, то вектор АВ имеет координаты:
1) {х2-хйу2-у]}
2) {xi-x2tyx-y2}
3) {х2 - ~у2}
4) {хг + хьуг+в}
5) {x}-x2;y2-yi}
В заданиях 2—4 введены следующие обозначения:
точка М — начало вектора, точка N — конец вектора;
т,п- координаты вектора MN.
М(-2; 2), N(3; 0). Найдите координаты вектора MN.
1) т = 2; п = 4
2) т = 2; п = 5
3) тп = 5; п = —2
4) т = —4; п = 2
5) т = -5; п = -2
7V£/V(0; 3), М(—3; -2). Найдите координаты точки N.
1) (0; з)
2) (-3; -2)
3) (-3; 0)
4) (0; -3)
5) (-3; 1)
MN(-5; —3), N(-2', -1). Найдите координаты точки М.
1) (2; 3)
2) (3;2)
3) (2; 1)
4)(1;0)
5) (3; -2)
А 1(4; -3) - начало вектора, A?(l; 1) -
конец вектора. Начертите на рисунке
AtA2. Найдите его координаты.
1) {-2; 3} 4) {—3; 4}
2) {3; -4} 5) {-2; 3}
3) {3; -2}
По данным рисунка запишите следующие координаты:
1) центр окружности 5 (;}
2) точка окружности А (;
3) точка окружности В (;
4) вектор ОА {;}
5) вектор АВ {;}
^2
Щ Заполните пропуски в таблице. Определите, есть ли в таб-
лице коллинеарные векторы.
В,В2 С,С2 d,d2
Начало вектора 4,(_;-3) Q(4; 1) Р,(2;2)
Конец вектора Л2(2; -2) В2(3; -1) С2(6; -3) А( _ )
Координаты вектора 4,Л2{1;_) В,В2{1;0} С,С2{_;_) О,£>2{-1;2}
1) А. А7 иВ,В7
В w В 4*
2) АДиС.С7
* В Ал В А^
3) С.С? hZZZL
* | Лл 1 Ал
4) Вх В7 и £>. D?
~ Ж Ал В Ал
5) В, В, и С. Сг
Ж АЛ Л АЛ
g Как найти координаты х и у точки О] отрезка О[Оу, если
Оу (7; -2) - середина отрезка, а точка Оу имеет координа-
ты (13, 4)?
3)х = 2 -4- 13;_у = —2 -4-4
4) х = 7 • 7-13;у = 4 • 4-2
5) х = 2 7- 13;>’ = -2 2-4
12
Тест №4
Вариант 1
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
Найдите длину вектора ОБ {6; -5}. Укажите формулу, ко-
торой вы воспользовались для нахождения длины вектора
по его координатам.
1)|ОВ| = 7(-6)2+52 =л/бТ
2) |ОВ|=62+(-5)2 =61
3) |ОВ| = -Уб2 + (~5)2 = 7б1
4) |ОВ| = 7б2 -(-5)2 = VH
5)|ОВ| = 62-(-5)2 =15
Найдите вектор с наибольшей длиной.
1) «{-4; 4}
2) 6{0; -3}
3) с{1; -1}
4) MN; М(5; 0), Я(0; 0)
5) Л5; А(-3; 1), В(2; -1)
Найдите расстояния от точек А, С и Е до точки Н.
1) Я4 = л/5; ЯС = д/8;Я£ = 713
2) НА = -Л; НС = 710; НЕ = V?
3) НА = 5\НС = 8; НЕ= 13
4) НА = 3,НС = 10; НЕ = 7
5) НА = 2^5; НС = Зл/8; НЕ = 7з
13
По данным рисунка выберите неверное утверждение.
§ Найдите периметр треугольника QPR, если известны коор-
динаты его вершин: 2(-5, -3), Р(-2; 1), /?(2; 0).
1) Р<™ = л/5+78 + 77
2) Ре™ = 5 + V58 + >/17
3) Pe™ = V40 + л/29 + л/10
4) РеРЯ = V40 + 29 + 10 = V79
5) PG™ = V8 + >/з + ^2
Ц Точка А(—2; -2) принадлежит окружности с центром в точ-
ке 0(2; 2). Верно ли, что диаметр АВ равен 8?
1) нет, неверно; АВ = 4V2
2) нет, неверно; АВ = у/З
3) нет, неверно; АВ = 8V2
4) нет, неверно; АВ = 4
5) да, верно; АВ = 8
14
Тест №4
Вариант 2
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
| Найдите вектор с наименьшей длиной.
1) т{— 1; 6}
2) п {2; 4}
3) *{5; 6}
4)^в;;Я1(2;0),.В1(6;0)
5) Л2(-2; 0), В2(6; 0)
В Какой вектор имеет длину V10?
1) «О; 3}
2) Ь{-3; 2}
3) с{2; -2}
4) d{4; 1}
5) е{-1; -4}
В Даны четыре точки: К(-4; 1), £(-2; 1), Л/(1; 2), N(3; -1).
Найдите расстояния от точек К и L до точек М и N соот-
ветственно.
1) КМ = л/26; LN = -J29
2) КМ = 2л/б; LN = 9-Л
3) КМ= 2л/2б; LN=2>l2S
4) КМ = -719; LN = -J17
5) КМ= 2-J19; LN= 2-J17
15
На рисунке изображены векторы a, b, с9 d, е. Какое из ра-
венств является верным?
1) а + е = d
2) b —с = а
3) а - d = с
4) Z?-J = O
5)b + c + 5 = 6
fi Расположите векторы а {3; 2}, Z>{4; 1}, с{-1; -5}, J{2; -5},
е{1; 7} в порядке убывания их длин.
1) е; d\ с, Ь\ а
5) d\ е; а; Ь; с
р Точка N(—2; —4) принадлежит окружности с центром в точ-
ке О (-2; -2), MN— диаметр окружности, точка М имеет ко-
ординаты (х; у). Укажите неверное утверждение.
1)х—2
2)у = 0
3) W{0; -4}
4) \MN\ = 4
5) |W| = -J20
16
Тест № 5
Вариант 1
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
К Опишите словесно окружность, заданную уравнением
(х + 6)2 + у2 =49.
1) окружность с центром в точке (6; 0) и радиусом 49
2) окружность с центром в точке (7; 7) и радиусом 6
3) окружность с центром в точке (0; 6) и радиусом 7
4) окружность с центром в точке (-6; 0) и радиусом 7
5) окружность с центром в точке (0; -6) и радиусом 41
Щ Укажите уравнение изображенной окружности.
3) х2+(у—2)2=1
4) х2 + (у-2)2 =22
5)x2+(y + U)2=l
3 Какая окружность на рисунках а) - д) задана уравнением
Ц Начертите окружности, заданные уравнениями:
(х - 4)2 + у2 = 4, х2 + у2 = 1,52, (х + 7)2 + у2 = 1.
Что между ними общего?
Ответ:__________________________________________________
Точка Л(3; -2) — центр окружности радиусом 3. Найдите
координаты точки пересечения окружности с осью Оу.
1)(1;1) 3) (0; 2) 5) (-2; 0)
2) (0; 1) 4) (0; -2)
§ Начертите в одной системе координат окружности, задан-
ные уравнениями:
Определите радиус окружности, заданной уравнением
х2 -2х + у2 + 4у - 4 = 0.
1) 3 3) 1 5) л/2
2) 2 4) 73
18
Тест № 5
Вариант 2
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
Опишите словесно окружность, заданную уравнением
(х-2)2 +О> + 7)2 =81.
1) окружность с центром в точке (2; -7) и радиусом 81
2) окружность с центром в точке (-2; 7) и радиусом V9
3) окружность с центром в точке (7; -2) и радиусом 9
4) окружность с центром в точке (2; 2) и радиусом 7
5) окружность с центром в точке (2; -7) и радиусом 9
Укажите уравнение изображенной окружности.
1)х2 + (у + 2)2=1,32
2) х2+(у + 2)2 =13
3) (х+ 2)2+(у-13)2 =132
4) (х + 2)2 + у2 = 132
5) (х + 2)2 + / = 13
Какая окружность на рисунках а) - д) задана уравнением
(х +4,5)2+(у-1)2 = 1,52?
а
1) а
2) б
б
3)в
4) г
в
5)д
19
Точка N(6', 0,5) принадлежит окружности с центром в точ-
ке ^4(1; -2). Найдите радиус этой окружности.
1) 5л/5
V125
10
5) 15,5
Точка 5(6; -1) - центр окружности радиусом 1. Найдите
координаты точки пересечения окружности с осью Ох.
1) (6; 0)
2) (-6; 0)
3) (0; 0)
4) (-6; -6)
5) (0; -6)
Начертите в одной системе координат окружности, задан-
ные уравнениями:
У‘ г а а а а а » L ж ж а а । а • а а а а • а а • • а i » а а а а а а а а а а а а а а а • а а* • а а а а а а а а а а а а а а * а а а а а а а а а а а а а а в а а а а а > а а а а а а а а а а а а а * а • • а а а « а а В a w а а а а а а а а а а а в в а а а а в а а а о а • в а * • в • • а а а а а • а а в а а а • а В а в а а а а а а а В а а о а а « « в « а а ж ж ж ж а е а а а * а а 1 ’ ” ’ ” ’ ’ ” ’ < ж - „ - - , - - • » • ; । . В • • * 4 < < • в • а в в в • а а а а а а а а а а а а а а 8*8 а • а а в в в • в - ч а в а а а а а а в > а в • а 8 В а а а в 8 • а 8 * а а а * а а а а а а а • а а 8 8 8 8 • • 8 * « в а в а « в а В В а ж а а • а а а а 8 а • В а а а в а а в а а в а а
в а а в в • • а Вв а • а а а а а а * а а а а а а а « - Ai
а а а ж • • • . . . . О1
а а * а • а а в « а а а а > а Ь а * • □ а а а • а а а а а • а а а * а а а а а а ь < 9 1 а в а а а а а • а а а а в а а 5 а а а а а а а а а а а а в а а —“~ а в а а а а а ( а В а а В В в а а а в в а а а в » i 5 j а а а в а а в а в В 1 а а а а • а а а « а а а а а а а а ( 1^^а а а в । а а а а в а а в а а а а а а а в в Л а ж а в а а а Л а • в • • 8 В 8 8 • в а • в а а в а а В 8 а а
Определите радиус окружности, заданной уравнением
X2 +4х+/ -4у+4 = о.
Тест №6
Вариант 1
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Уравнение прямой имеет вид:
1) ах1 + Ьх + с = 0
2) ах2 +Ьу + с~].
3) ах + by + с = 1
4) ах 4- by + с = О
5) ах • by 4- с = О
i Почему говорят, что уравнение прямой в прямоугольной
системе координат является уравнением первой степени?
1) потому что переменные х ну входят в него в первой сте-
пени
2) потому что переменные хну встречаются в нем по одно-
му разу
3) потому что переменная х входит в него в первой степени
4) потому что переменная у входит в него в первой степени
5) потому что константы а, b и с входят в него один раз
Ц Точки С(х\; yi) и D(xy, уг) - различные точки прямой. Что-
бы найти уравнение прямой, проходящей через эти две
точки, необходимо решить систему уравнений. Какую?
lax. +bx. + с = 0;
1) 1
I ау2 + Ьу2 + с = 0.
4)
ахх + Ьух 4- сх, = 0;
ах2 +Ьу2 + су, =0.
ахх + Ьух 4- с = Xj;
лх2 4-Z>y2 4-с = у,.
5)
ахх 4- by, 4- с = 0;
ах2 + by2 4- с = 0.
2)
21
В заданиях 4—6 введены следующие обозначения:
А(-2; 3), В(3;-3) и С(5; 5) - вершины треугольника АВС.
g Укажите уравнение прямой, содержащей сторону АВ.
1)6х + 5у-3=0
2) -6х-5у + 3=0
3) -2х-Зу + 1=0
4) -5х-6у + 1=0
5)2х + Зу-1=0
5
Укажите уравнение прямой, содержащей сторону ВС.
1) -15х + 4у + 1=0
2) 15х-4у-1 =0
3)4х-у + 1=0
4) —4х + у + 15=0
5) -2х + 2у + 30=0
к
Й
Укажите уравнение прямой, содержащей сторону АС.
1) 25х-27у+ 1 =0
2)2х-7у + 25=0
3) -25х-9у-15 =0
4) -2х-7у-25=0
5) -4х-9у + 15=0
g Начертите в одной системе координат прямые, заданные
22
Тест № 6
Вариант 2
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Сколько ошибок допущено в записи уравнения прямой:
ах1 + by1 + с + dx = О?
1)3
2) 2
3) 1
4) О
5)4
Какие прямые заданы уравнениями у = 0 и х = О?
1) любые параллельные прямые
2) оси координат
3) одна из осей координат и параллельная ей прямая
4) прямые, пересекающиеся под углом 30°
5) прямые, не проходящие через начало координат
Точки М(хь yi) и N(x^ уз) - различные точки прямой.
Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через эти две
точки, необходимо решить систему уравнений. Какую?
{ах. + Ьх. + с = 0;
I 1
ау2 + Ьу2 +с = 0.
fax, +by, + с = 0;
2) 4
fax2 + by2 + с = 0.
[ax, +Ьу, +сх, =0;
3) )
ах2 + Ьу2 +су, = 0.
4)
5)
ах, +6у, + с = х2;
ах2+Ьу2+с = у2.
ахх +Ъух + с = х,;
ах2 +Ъуг+с = ух.
В заданиях 4—6 введены следующие обозначения'.
Л1(-4;—1);Лг(1; —3) иЛз(2; 2) -вершины треугольника А\A2A3.
Укажите уравнение прямой, содержащей сторону
1) 13х-5у + 1=0
2) -2x4-13^ + 10 = 0
3)2х + 5у + 13=0
4)х + 5^ + 13=2
5)2х + у + 13=5
23
§ Укажите уравнение прямой, содержащей сторону А^Ау.
1)£-у + 1=0 4)х-^У+2=0
2 3
2) -х + 4у + 4 = 0
3) -6х + Зу + 1=0
5)х-2у + 2 = 0
g Укажите уравнение прямой, содержащей сторону Л2Я3.
1) -5х + у + 8=0
2) -8х + у + 1=0
3) 5х + 5у + 8 = О
4)х+у-8=0
5)2х-5у + 1 = 0
Начертите в одной системе координат прямые, заданные
24
Тест №7
Вариант 1
УРАВНЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ И ПРЯМОЙ
КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ
К заданиям 1—4
Треугольник KLM— прямоугольный, KS—его медиана.
Укажите уравнение окружности с центром в точке 5 и ра-
диусом 1,5.
3) (х—2)2+(j?-2,5)2 =1,52
4) (х-2)2 + (у-2,5)2 = 2,5 2
Укажите уравнение прямой, содержащей сторону KL.
3)х = 0
4)у = 0
Укажите уравнение прямой, содержащей сторону КМ.
1)х = 0
2)х = 1
3)у=1
4)у = 0
Укажите уравнение прямой, содержащей сторону LM.
1)-2х-Зу + 9 = 0 3)-5х-4у + 29 = 0
2)2х + Зу-9 = 0 4)5х + 4у-29 = 0
25
§ Найдите координаты точки пересечения прямых, задан-
ных уравнениями х + у —2 = 0 и х — 2у + 3 = 0.
2) (1;3)
4) (5; 3)
Известно, что окружность (х-2)2 +(>> + 3)2 =4 и прямая
у = -1 имеют одну общую точку. Выполните необходимые
построения и определите координаты этой точки.
1) (1;2)
2) (2; 3)
3) (2; -1)
4) (0; -2)
pf
:О i н : t 1 X
* •
*
......
1-1 • 1 1
Две окружности с центрами в точках Oj и О2 пересекаются.
Составьте уравнения окружностей и с помощью вычисле-
ний определите координаты точек пересечения A i и А2.
Ai
),Л2(
26
Тест № 7
Вариант 2
УРАВНЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ И ПРЯМОЙ
К заданиям 1—4
Треугольник МАВ - прямоугольный, А С- его медиана.
Укажите уравнение окружности с центром в точке С и ра-
диусом Л С.
+ (у + 3)2=11
2) (х-1)2 + (у + 3)2 = V18
3)(x-4)2+/=V1T
4)(х-4)2 + (у + 1)2 =18
1)(х-1)2
Укажите уравнение прямой, содержащей сторону МА.
1)х = 0
2)у = 0
3)х=1
4)у=1
Укажите уравнение прямой, содержащей сторону МВ.
1)у=-1
2)Г=1
3)у = 0
4)х=1
Укажите уравнение прямой, содержащей сторону АВ.
1)х-2у-9 = 0 3)х-2у + 7=0
2)Зх-у-6 = 0 4)Зх + 2у-7 = 0
27
Проверьте вычислениями, параллельны ли прямые, задан-
ные уравнениями —х + у- 3= 0их — у-4 = 0. Если нет, то
найдите точку их пересечения.
1) прямые не параллельны; пересекаются в точке (-1; -1)
2) прямые имеют точку пересечения (3; 4)
3) да, прямые параллельны
4) проверить без построения нельзя
Окружность с центром в точке О и прямая Ъ пересекаются.
Укажите уравнение окружности, уравнение прямой, коор-
динаты точек пересечения.
1) х + у = 2;х — у—2 = 0;
Л(0; -2); В(-2; 0)
2)х2+/ = 2;2х + 2у + 3 =0;
ЛН;0);£(0;-1)
3) х2-у2 = 4;х + у + 2=2;
Д-2; -2); В(-2; -2)
4) х2 + у2 = 4;х + у + 2 =0,
Д-2; 0); ДО; -2)
Две окружности с центрами в точках О) и О2 пересекаются.
Составьте уравнения окружностей и с помощью вычисле-
нии определите координаты точек пересечения Ai и А2.
Aj()), А2(9)
28
Тест № 8
Вариант 1
МЕТОД КООРДИНАТ
К заданиям 1, 2
Ц Найдите координаты и длину вектора т,
- о" о7 1-
т =За-2Ь+ —с.
_ 2_
1)/л {-3; l};|m|=V10
2) w{3;3};|m| = 3^
3) т {-1; 1}; |m| = л/2
4) т {3; 1}; |m| = V10
Ц Найдите _ координаты и длину вектора п,
п = 3‘(Ь-а) + с.
1)й{3;-5};Й = л/34
2) л {2;-1}; |л| = V5
3) и{5;-3};|л| = л/34
4)Й{3;-3};Й = Т18
если
если
| Постройте вектор ЛВ{3,5; -2}.
29
В А (1; 6) - начало вектора А В,
В (5; 0) - конец вектора АВ. По-
стройте векторы АВ и CD = АВ.
У к а а а а а •
•••••• • • • а •
с • • • • • 4 - - • а а А а а а а а а а а а В а » * а а а а а а а а а^ а 0 < а V а а • • а а а а а
а * а а • а •
• • ► ♦ . 1 1 • а а •
• а • 1 • • • В
Через точку (-2; -1) по-
стройте прямую, перпен-
дикулярную к прямой а,
проходящей через точки
М (-1;-5) и W(4; 2).
Начертите окружность ра-
диусом 2 и с центром в точ-
ке пересечения прямых
4х-2^+1=0иЗх+у+6=0.
30
Тест № 8
Вариант 2
МЕТОД КООРДИНАТ
К заданиям 1, 2
в
1
к
Проверьте вычислениями равенство:
2-(а + Б)-3-(с-5) = ё
1) равенство верно
2) равенство неверно
Найдите координаты и длину вектора v, если
v = a + b — c+d — e.
1) v{3; 1}; |v| = V10
2) у{2;2};М=2л/2
3) v {2; 2}; |v| = 3^2
4) v{4; 0}; |v| =4
3
Постройте вектор CD
J_1
2 J ’
i
ив
A/i(-3; -3) - начало вектора
M\M2, Мг(3; —1) — конец век-
тора МХМ2. Постройте векто-
ры М, Л/2 и AtA2 =—М{М2.
2
0 • • __ А Ж ж * ; У> к
• • • а 1 1
• • А
• • в » ; о • i
• «1 • • • • •
• • • • • • « а
• • • 0 • •
31
Постройте три пересекаю-
щиеся прямые у + 3 = О,
Зх - 4 у — 3 = О,
Зх + 5 у + 3 = 0.
• 0 • 0 _ • \УЬ • г 0 0 0 0
1 1 • V • • 1 • • • 1 • • • « • 0 • <0 <0 • в В Л а 1 0 0 • 0 0 • 0 0 0 ..... 0 0 0 0 0 0 0 0 "0“ 0 0 0 0 0 0 0 0 *0 а » в 0 а в а а^в 0 а а 0 а 0
* 0 * 0 • 0 0 0 0 в
• м • 0 • 0 Ф 0 0 0 0 0
• * • » 0 • 0 В 0 • 0 0
• ♦ • • • 0 0 0 0 в 0 0 • 0 0
• 0 0 • • 0 • • \о j 0 • 0 0 i i х\
Начертите окружность с
центром в точке М(-5; 2),
проходящую через точку
/С(0; 1), и прямую у = г,
где г - радиус окружнос-
ти.
32
Тест № 9
Вариант 1
СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС УГЛА
Что такое единичная полуокружность?
1) окружность радиуса 1 с центром в начале координат
2) окружность радиуса 1 с центром в точке (1; 1)
3) полуокружность радиуса 1 с центром в начале коорди-
нат, расположенная в I и II квадрантах
4) полуокружность радиуса 1 с центром в точке (1; 1)
5) дуга окружности в 1 °, расположенная в I квадранте
Продолжите определение:
Для любого угла а из промежутка 0° < а < 180° синусом
угла а называется...
1) расстояние от точки М единичной полуокружности до
точки (7(0; 0)
2) ордината у точки М произвольной окружности
3) абсцисса х точки М единичной окружности
4) абсцисса х точки М единичной полуокружности
5) ордината у точки М единичной полуокружности
Рассмотрите лучи О А, ОВ, ОС (точки А, В и С принадле-
жат единичной полуокружности). Из того что абсциссы
точек А, В, С равны соответственно 1, 0, -1, следует:
1) cosO° = 1, cos90° = 0, cos 180° = -1
2) sinO° = 1, sin90° = 0, sin 180° = -1
3) sin0° = -1, sin90° = 0, sinl80°= 1
4) cosO° = -1, cos90° = 0, cos 180° = 1
5) tgO° = I, tg90° = 0, tg!80° = -1
Отношение синуса угла a 90° к косинусу этого угла есть:
1) тангенс угла a 3) котангенс угла a
2) арксинус угла a 4) арккосинус угла a
33
При a = 90° tga не определен, т.к.:
1) угол 90° не входит в единичную полуокружность
sin a
2) cos 90° = 0, и тогда знаменатель дроби-обращается в 0
cosa
cos a
3) sin90° = 0, и тогда знаменатель дроби--обращается в 0
sina
Какое из значений не может иметь абсцисса точки М на
единичной полуокружности?
Какое из значений не может иметь ордината точки М на
единичной полуокружности?
К заданиям 8—10
Найдите рисунок, на котором cosa = -
Найдите рисунок, на котором sin а = -
Найдите тангенс угла а, изображенного на рисунке г).
Ответ: tga =
34
Тест №9
Вариант 2
СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС УГЛА
Как расположена единичная полуокружность в системе
координат?
1) в I и IV квадрантах 4) в I и III квадрантах
2) во II и III квадрантах 5) в I и II квадрантах
3) в III и IV квадрантах
Продолжите определение:
Для любого угла а из промежутка 0° < а <180° косинусом
угла а. называется...
1) абсцисса х точки М единичной полуокружности
2) ордината у точки М произвольной окружности
3) абсцисса х точки А/ единичной окружности
4) ордината у точки М единичной полуокружности
5) расстояние от точки М единичной полуокружности до
точки 0(0; 0)
Рассмотрите лучи О А, ОВ, ОС (точки А, В и С принадле-
жат единичной полуокружности). Из того что ординаты
точек Л, В, С равны соответственно 0,1,0, следует:
1) sinO° = 1, sin90° = 0, sinl80° = -1
2) cosO0 = 0, cos90° = 1, cos 180° = О
3) sinO° = 0, sin90° = 1, sinl80° = 0
4) cos0° = 1, cos90° = 0, cosl80° = -1
5) tgO° = O, tg90°=l, tg!80°=0
Верно ли дано определение тангенса угла?
Тангенс — это отношение синуса угла к косинусу.
1) совершенно верно
2) нет, неверно; нужно наоборот — отношение косинуса
угла к синусу
3) верно; только нужно уточнить, что угол а * 90°
35
Укажите неверное утверждение для тангенса некоторого
угла а.
1) tg90° =
sin 90°
cos90°
sin!80° „
3) tgl80° =--------=0
cosl80°
__ sin0°
2) tgO° =------= 0
cosO°
4) все отношения верные
Ц Какое из значений не может иметь абсцисса точки М на
единичной полуокружности?
1) -0,2
2) -1,4
3) -0,12
4) 0
5) 0,3
= 0
I
Какое из значений не может иметь ордината точки М на
единичной полуокружности?
1) 0,1 2) 0,36 3) 0 4) 1,3 5) 0,7
К заданиям 8—10
g Найдите рисунок, на котором sin а = —.
4
1) а 2) б 3) в 4) г
8 Найдите рисунок, на котором сока =-i.
1) а 2)6 3) в 4) г
Щ На каком рисунке sina = cos а?
1) а 2)6 3) в 4) г
36
Тест№ 10
Вариант 1
ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ
ТОЖДЕСТВО. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
На чем основано доказательство основного тригонометри-
ческого тождества для 0° < а <180°?
1) на уравнении прямой у = х
2) на теореме Пифагора
3) на уравнении окружности х2 + у2 = 1
4) на определении sin а
5) на определении cosa
Как проверить, принадлежит ли точка
ной полуокружности?
единич-
1)
проверить равенство:
2)
проверить равенство:
3) сумма -
должна равняться 0
4) сумма —
должна равняться
5) без построений проверить нельзя
Чему равен sina, если cosa
= --и0°<а <180°?
3
37
в
Чему равен tga, если cosa = — и 0° < a < 180°?
| Какое из равенств не относится к формулам приведения?
1) sin(90° -a ) = cosa
2) cos(l 80° - a ) = -cosa
4) cos(90° - a ) = sina
5) sin(l 80° - a ) = sina
3) tga =
sina
cosa
Как представить угол в 150°, чтобы можно было восполь-
зоваться формулами приведения?
1) 150° = 180° - 30° 4) 150° = 210° - 60°
2) 150° = 360° - 210° . 5) 150° = 30° + 120°
3) 150° - 100° + 50°
Найдите синус и косинус 150°.
1) sinl50° = sin30° = —; cosl 50° = -cos30° = -^—
2 2
2) sinl50° = sinl 80° = 0; cosl50° = -cost80° = 1
3) sinl50° = -sin30° = cosl 50°=cos30° = —
2 2
4) sinl50° = sin0° = 0; cosl50° = -cosO° = -1
5) sin 150° = 150; cosl50° = -150
Чтобы доказать, что
cos(90° - a) = sina, нужно доказать
равенство сторон и .
в треугольниках и
38
Тест№ 10
Вариант 2
ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ
ТОЖДЕСТВО. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Д Основное тригонометрическое тождество доказано сейчас
для угла а, такого, что 0° < а <180°. А для какого угла оно
было доказано в курсе геометрии 8 класса?
1)(Г<а <180°
2)0°<а <90°
3)0°<а <30°
4)0°<а <60°
5) 0°<а < 100°
(1-J2}
Почему точка м —;—
I -
не принадлежит единичной полу-
окружности?
В
3
Чему равен cosa, если sina = — и 0° < a < 180°?
2) ±2^ 4)24
7 49
39
У Чему равен tg а, если sina
1) | 3) ±7з
2) 3 4) +з7з
= —иО°<а < 180°?
2
Из всех формул приведения только одна записана верно.
Какая?
1) sin(90° - a) = -cosa
2) cos(l 80° -a ) = cosa
3) cos(90° - a ) = -sina
4) sin(l 80° - a) = sina
5) все формулы верные
Как представить угол в 135°, чтобы можно было восполь-
зоваться формулами приведения?
1) 135° = 360° - 225° 4) 135° = 180° - 45°
2) 135° = 270° - 135° 5) 135° - 100° + 35°
3) 135° = 90°+ 45°
Найдите синус и косинус 135°.
1) sin!35° = 135; cosl35° = -135
2) sinl35° = -sin30°= i; cosl35° = cos30° = —
2 2
3) sinl35° = sin45° = V2; cosl35° = -cos45°= ->/2
4) sin!35° = sin0° = 0; cosl35° = -cosO° = -1
5) sinl35° = sin45° = ^-; cosl35°= -cos45°= -—
2 2
Чтобы доказать, что
sin(180°-a) = sina, нужно дока-
зать равенство сторон
и в треугольниках
и_______
40
Тест № 11
Вариант 1
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
КООРДИНАТ точки
Определите координаты точки А.
1) (1;1)
2) (3;3)
3) (0,5; 1,5)
4) (2,5; 2,5)
5) (1,5; 1,5)
Какой из векторов имеет коорди-
наты {-2,5; 1}?
1) ОВ 4)ОЁ
2) OF 5) ОС
3) OD
Определите |ОА/| и |О£>|.
1) |СУИ| = 0,5; |О£>| = 5
2) |ОМ| = 1; |OD|
3) |ОМ| = 2,7; |ОО| = 3
4) |ОМ| = 1; |OD| =
5) |ОМ| = 1; |О5| = |
Ц Почему можно утверждать, что
ОА = ОА ОМ?
1) векторы ОМ и О А коллинеарны
и ОМ т^О
2) векторы ОМ и О А сонаправлены
41
3) точка А не принадлежит единичной полуокружности
4) точки А и М лежат в одном квадранте
5) векторы ОМ и ОА лежат в одном квадранте
На рисунке а = 30°. Как найти х и у?
1) х = cos30°; у = sin30°
2) х = 2 ОА cos30°; у =2 ОА sin30°
ОА ОА
3) х =-------; у -------
cos30° sin30
4) х = ОА -cos30°; у = ОА sin30°
5) х = ОА sin30°; у = ОА cos30°
Найдите х и у из задания 5, если а = 45°, ОА = 4,5.
Пг 9-
9-Л
2
9V2
9^2
4
По данным рисунка выберите неверное утверждение.
4
1) М- точка пересечения луча ОК с единичной полуокруж-
ностью
2) Af(cosa; sina)
3) OM{cosa; sina} _____
4) координаты вектора ОК совпадают с координатами точ-
ки К
5)ОМ =ОКОК
Тест № 11
Вариант 2
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
КООРДИНАТточки
Какая из точек имеет координаты (-1,5; 1,5)?
Определите координаты вектора
ОВ.
Определите |CW| и |СЖ|.
1) |OW| = у-; |<Ж| = Зл/5
2) |CW| = 1; |(Ж| = 75
3) |OW| = 75; |СЖ| = 5
4) \ON\= 1;\ОК\ = -^-
5) |CW| = 1; |СЖ| = 2
Во сколько раз длина вектора ON
больше длины вектора ОМ, где М -
точка единичной окружности?
43
раз
4) в 2 раза
2) b2ON раз
3) в ON раз
5) в ON раз
Укажите формулы для вычисления координат точки А.
1) х = ON cosa; у = ON -sina
2) х = ON sina; у = ON cosa
3) x = OA sina; у = OA -cosa
4) x = cosa; у = sina
5) x = OA cosa; у = OA - sina
Найдите x и у из задания 5, если a = 90°, OA - 19.
l)x = 19-^-;y = 19-l 4)*=0;y = 0
2)x = 0;y = 19 5)x = l;j= 19
3)x = 19;j = 0
Ц Заполните пропуски в решении задания.
Если точка А имеет координаты (-V3; 1), то согласно
формулам для вычисления координат точки:
-д/з = ОА ♦......a
1=ОА-...а.
По определению тангенса угла:
_ О А _
tga =
. Значит, a -150°.
ОА
44
Тест № 12
Вариант 1
СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС УГЛА
КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ
1 Как объяснить, что 0 < sina < 1?
1) абсцисса точки единичной полуокружности заключена
в промежутке 0 < х < 1
2) ордината точки единичной полуокружности заключена
в промежутке 0 < у < 1
3) ордината точки единичной полуокружности заключена
в промежутке -1 < у < 1
4) абсцисса точки единичной полуокружности заключена
в промежутке -1 < х < О
5) и ордината, и абсцисса точки единичной полуокружнос-
ти заключены в промежутке 0 < у < 1,0 < х < 1
Найдите cosa, если sina
13
и0°< a < 180°.
Ж
3
wl
Найдите tga, если sina
= — и0°<а <180°.
13
45
Найдите cos 150°.
Вычислите:(sin230°+cos245) sin 135°.
Найдите cosa, sina, tga, если точка А Зл/З;
1) cosa
39 .
—; sina =
1 13
=; tga = —
39 39
2) cosa
VT17 .
-----; sina =
39
2>/39 t э П
——;tga =2V3
3)cosa
2д/39 . 7117
-----; sina =------; tga =
13 39
4) cosa
1 2л/39 t ,
= —sina =------; tga = 6
л/39 117
46
Тест № 12
Вариант 2
СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС УГЛА
КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ
| Как объяснить, что -1 < cosa < 1?
1) абсцисса точки единичной полуокружности заключена
в промежутке -1 < х < 1
2) ордината точки единичной полуокружности заключена
в промежутке -1 < у 1
3) абсцисса точки единичной полуокружности заключена
в промежутке -1 < х < О
4) ордината точки единичной полуокружности заключена
в промежутке -1 < у < О
5) и абсцисса, и ордината точки единичной полуокружнос-
ти заключены в промежутке -1<х<1, -1<у<1
тт - 8
Найдите sina, если cosa = —
17
< 180°.
17
15
289^17
4)
17
В
i
Найдите tga, если cosa = — и 0° < a < 180°.
47
Найдите sin 150°.
Вычислите:
tg45°
sin2 60°
+ 1 -cosl35°.
7>/2
4)
6
Найдите cosa, sina, tga, если точка Л(д/3; 1).
.. 2a/3 . Л Л
1) cosa =----; sina = —; tga = —
3
2) cosa = -
2
sina = —; tga = —
2 2
3) cosa = —; sina = tga =
cos a -
; sina = —; tga =
4
48
Тест № 13
Вариант 1
ТЕОРЕМА СИНУСОВ. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
Ц Выберите верную формулировку теоремы синусов.
1) Углы треугольника равны противолежащим сторонам
2) Стороны треугольника равны косинусам противолежа-
щих углов
3) Стороны треугольника равны синусам противолежащих
углов
4) Стороны треугольника пропорциональны синусам про-
тиволежащих углов
5) Стороны треугольника пропорциональны косинусам
противолежащих углов
Ц Установите взаимно однозначное соответствие.
1. 5^=... а.—= —
sin/? sinC
2. а1 = ... б. -a^sinC
2
3. а -... в. Ь2 3 + с2 — 2bccos А
sin Л
1) 1-а, 2-6, 3-в
2) 1-6, 2-в, 3-а
3) 1-6, 2-а, 3-в
4) 1—а, 2-в, З-б
5) 1—в, 2-6, 3-а
Q Выберите неверное утверждение.
1) В доказательстве теоремы косинусов используется фор-
мула расстояния между двумя точками
2) Доказательства теоремы о площади треугольника и тео-
ремы косинусов начинаются с введения системы коор-
динат
49
3) У теоремы синусов есть Замечание, согласно которому
отношение стороны треугольника к синусу противоле-
жащего угла равно диаметру описанной окружности
4) Теорема косинусов есть частный случай теоремы Пифа-
гора
5) Доказательство теоремы синусов основано на теореме
о площади треугольника
Каким будет верное решение для нахождения площади
треугольника HST1
1) ^6л/2-10л/2 sin60c
2
2) 6^2 Ю-Л sin 60°
3) -6-72-10-72-sin60е
4
4) 2-6-72-10-72-sin60
n
Как по теореме косинусов найти EF с
1) EF2 = 2-10-30-sin50°
2) EF2 = 2-10-30-cos50°
3) EF2 = (10 + 30)2 -2-10-30-cos50°
4) EF2 = 102 +302 -2-10-30-cos50°
F 30 G
Найдите периметр треугольника из задания 5 при условии,
что X.FGE = 60°.
1) 50>/7
2) 40 + 10^7
3) 50
4) 10д/7
5) 740
Найдите радиус R описанной около треугольника АВС
окружности, если известно, что /.А = 20°, а = 180.
Тест№ 13
Вариант 2
ТЕОРЕМА СИНУСОВ. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
Продолжите формулировку теоремы косинусов:
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов
двух других сторон...
1) плюс удвоенное произведение этих сторон на косинус
угла между ними
2) плюс удвоенное произведение этих сторон на синус угла
между ними
3) минус утроенное произведение этих сторон на косинус
угла между ними
4) минус удвоенное произведение этих сторон на косинус
угла между ними
5) минус произведение этих сторон
Какой элемент треугольника пропущен одновременно
в трех известных вам равенствах: = ... sinC;
—= = ——; а2=Ь2 + с2-2-... - с cos Л?
sin Л sinl? sin С
2
1) сторона b 4) высота hb
2) угол В 5) синус угла В
3) квадрат стороны b
Выберите неверное утверждение.
1) Доказательства теоремы о площади треугольника и тео-
ремы косинусов начинаются с введения системы коор-
динат
2) В доказательстве теоремы косинусов используется фор-
мула расстояния между двумя точками
3) У теоремы синусов есть Замечание^ согласно которому
отношение стороны треугольника к синусу противоле-
жащего угла равно радиусу описанной окружности
51
4) Доказательство теоремы синусов основано на теореме
о площади треугольника
5) Теорема косинусов есть обобщенная теорема Пифагора
8
Каким будет верное решение для нахождения площади
треугольника MLK1
1) -8л/3-10-75-sin 44е
2
2) 8л/З 1 Ол/5- sin 44°
3) 2-8^3 Юл/5-sin44
4) -8д/3 10V5 -cos44
Найдите неверное применение теоремы синусов.
sin 40° sin 80
. 9-sin80°
b =----------
sin 40°
sin80° sin60°
sin 40° sin 60°
I
По теореме косинусов найдите А1Л2 , если AtA3 =10.
1) (50 - 25)Тз
2) 50-Л - 25
3) 50 (л/3 - 25)
4) 50 - 25-Тз
5) 25
Найдите диаметр D описанной около треугольника АВС
окружности, если известно, что ZC= 15°, с = 150.
52
Тест№ 14
Вариант 1
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Напомним, что решением треугольника называется
нахождение его шести элементов.
С помощью теоремы синусов, теоремы косинусов и
таблицы Брадиса решите треугольник АВС.
Z^ = 57°,ZB = 31°,c=10.
ZJ = 57°, Z.C= 31°, b= 10.
ЛВ =
в
ЛВ= 120°, а = 210, b = 300.
ж
8
ZC= 40°, а = 16,/> = 8.
53
150°, a = 40, c = 20.
a = 8,5, b = 10, c = 8,5.
Z5 =
a= 100, Z> = 300, c = 220.
cos A =
cos B =
cos C-
Z.B =
= 20.
cos A -
cos C =
ZB =
cos 5 =
54
Тест № 14
Вариант 2
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Напомним, что решением треугольника называется
нахождение его шести элементов.
С помощью теоремы синусов, теоремы косинусов и
таблицы Брадиса решите треугольник АВС.
Z.A = 66°, Z.B = 42°, с = 20.
Z.A = 18°, ZC = 40°,Z> = 5.
с =_______
АВ =______
Z_B~
а = 100, Ь = 500.
55
g ZB = 120°, a = 19,5, c = 19,5.
b =_____________
I a = 3,b = 5,c = 3.
=_________
I a= 10, = 24, c = 35.
ZA =____________
ZB-__________
Ha = 50, b = 80, c= 100.
cos A =________
cos В =________
cos C —________
ZZ-
ZB=----------
Ц ZZ = 23°10',ZC = 41°15',c=10.
cos A =____________
cos C =________
ZB =_________
cos В =________
a —__________
b =__________
56
Тест№ 15
Вариант 1
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
На каком рисунке угол между векторами найден неверно?
б
д
Ь
1) а 3) в 5) д
2)6 4) г
По определению скалярное произведение векторов а и Ъ
равно:
1) — |я| • |Z>|cos(aZ>)
JU
2) 2-|а\ • |b\cos(ab)
3) |я| • 16|cos(ob)
4) -|я| • |6]sin(tf&)
5) |al • |b|sin(ab)
При каком расположении векторов т и п их скалярное
произведение отрицательно?
1) 90° < тп< 180°
2) векторы тип коллинеарны
3) векторы т и п перпендикулярны
4) т п < 90°
5) векторы тип сонаправлены
Векторы с и d перпендикулярны и | с | = 4, | d |=6,5. Найдите
скалярное произведение векторов с и d.
1) 26 3) 13 5)-13
2) 0 4) -26
57
В Векторы а и b коллинеарны и противоположно направ-
лены; |а| = 16, |h|=20. Найдите скалярное произведение
векторов а и Ь.
1) 0 3) 320 5) -320
2) -160 4) 160
§ Найдите рисунок, удовлетворяющий условию: скалярное
произведение двух векторов равно 125.
а
1)
2) б
( Угол между векторами АВ и CD равен 60° и |ЯВ| =6v2,
| CD |=2л/2. Найдите АВ • CD.
1) 24 3) 12 5) 12л/2
2) 48 4) -12-Л
ABCD - квадрат со стороной 10. Расположите углы между
указанными векторами в порядке возрастания их скаляр-
ного произведения.
ВС DA =
abdc=
DO DC =
; ВС DA =;
; ~AB DC =;
; DC) DC =
Ответ:
58
Тест № 15
Вариант 2
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
На каком рисунке угол между векторами равен 180°?
а б в г д
1) а 3) в 5) Э
2)6 4) г
По определению скалярным произведением двух векторов
называется:
1) произведение их длин на косинус угла между ними
2) половина произведения их длин на синус угла между ними
3) произведение их длин на синус угла между ними
4) удвоенное произведение их длин на синус угла между
ними
5) половина произведения их длин на косинус угла между
ними
При каком расположении векторов с и d их скалярное про-
изведение положительно?
1) векторы с и d сонаправлены
2) векторы с и d коллинеарны
3) векторы с и d перпендикулярны
4) 90°< cd< 180°
5) 0°< < 90°
Векторы а и Ъ перпендикулярны и |а| =11, 1Z>| =0,5. Найди-
те скалярное произведение векторов а и Ь.
1) 5,5 3) 0 5)-11
2) -5,5 4) 11
59
И Векторы с и d коллинеарны и сонаправлены; |с| = 5,5,
|t/|= 10. Найдите скалярное произведение векторов си d.
1)0
2)-110
3) 110
4) 55
5)-55
§ Найдите рисунок, удовлетворяющий условию: скалярное
произведение двух векторов отлично от нуля.
1) а
2) б
3) в
4) г
Угол между векторами АВ и CD равен 45° и |ЛВ| =6v3,
\CD\=J1. Найдите АВ CD.
1) 18 3) 9 5) 9л/з
2) 9^2 4) 18л/2
ABCD - квадрат со стороной 10. Укажите угол между та-
кими векторами, скалярное произведение которых прини-
мает наибольшее значение.
ОВОС =; ОВОС =;
BA DC =;BADC =;
"ACDC =; AC DC =
Ответ:_______________
60
Тест № 16
Вариант 1
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ
Вычислите скалярное произведение векторов с и d, если
1) -10
2) 1
3) 19
4) -19
5) 10
1 Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, если
я{3;-2}, Б {2; 3}, и сделайте соответствующий вывод.
1) а • b = 0; векторы а и Ъ коллинеарны
2) а • b = 1; векторы а и Ъ коллинеарны
3) а • b = 0; векторы а и Б перпендикулярны
4) а• b = 1; векторыаиЬперпендикулярны
5) а • Ъ = 0; векторы а и Б совпадают
Q Какую координату х имеет вектор CD, если известно, что
векторы АВ{3\ 3} и CD{x\ —7}перпендикулярны?
1)х = 3
2)х = 7
3)х = 21
4)х = -7
5)х = -3
Ц Найдите ошибку в вычислении косинуса угла а между
векторами О А {-8;-4,5} и ОЕ {0,5; -4}.
cosa =
(-8)-(-0,5)+ (-4,5)-(-4)
д/(-8)2 + (-4,5)2 -7(O^)2 +(-4)2
1) в знаменателе (—8)2 заменить на 82
2) в числителе знак “+*’ заменить на знак *
3) в числителе (-0,5) заменить на 0,5
61
К заданиям 5-7
Ц Найдите координаты векторов АВ, ВС, АС.
1) АВ{3; 3}; ВС{- 1; 4}; ЛС{0; 5}
2) АВ{-4; -4}; 5С{0; 3}; АС{0; -5}
3) АВ {4; 4};ВС{ 1; -4}; ЛС{5; 0}
4) АВ{-4; 4}; ВС{1; 4}; АС{-5; 0}
5) АВ{4; -4}; ВС{0; 3}; АС{4; 0}
Ц Найдите скалярное произведение векторов АВ и ВС.
1) -12 3) 9 5) 0
2) 12 4) -9
сов(ЛВ, ВС)).
5)2^2.
34
2 Найдите косинус Z1 (cosZ 1 =
62
Тест№ 16
Вариант 2
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ
| Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, если
а{-21; 6}, Б{0; 2}.
1) -12 3) 21
2) -21 4) 12
5) О
Ц Воспользуйтесь следствием 1 из теоремы о скалярном
произведении векторов и определите, какому из векторов
а {0; -5}, b {0; 5}, с{5; 0}, d{l; 1}, е{0,5; 0,5} будет перпенди-
кулярен вектор £{0; -5}.
§ Векторы ОА и OL перпендикулярны. Найдите координа-
ту у вектора ОА, если известно, что ОА {2; у} и OL{ 1; 1} 1
1)^-1 3)> = 0 5)^ = -2
2)у = 2 4)у=1
Ц Перед вами верное вычисление косинуса угла между
векторами а и Ь:
75-2+ (-0,5)-(-72)
cosa = , . -
7(75 )2 +(-0,5)2 л/22 +(-Т2)2
Определите по этому равенству координаты векторов анЬ.
l)a{-T5;2};fe{2;-2}
2) a{T5;-0,5}; Z>{2; -72}
3) a{-T5;0,5};h{2;-^}
63
К заданиям 5—7
q Найдите координаты векторов АВ, ВС, CD, AD.
1) АВ{2; 6};ВС{-2; 0}; CD{3; 5}; AD{-7; 0}
2) АВ{2; 5}; ВС{2; 0}; СО{3; -5}; AD{7; 0}
3)ЛВ{2;-5};5С{1;0};С5{3;-6};^П{0;-7}
4) AB{l;4};BC{l;0};CD{2;-4}; л5{6; 0}
5) АВ{-2; 5}; ВС{-2; 0}; CD{-3; -5}; AD{-7; 0}
Ц Найдите скалярное произведение векторов ВС и CD.
1) 6 3) -6 5) -5
2) 0 4) 5
j Найдите созЛ (соаЛ = cos(AB,AD)).
1) 3) 5) 2^29
29 29
14д/24 29л/2
) 24 ) 2
64
ОГЛАВЛЕНИЕ
Тест 1. Координаты вектора.................................1
Тест 2. Координаты вектора ................................5
Тест 3. Простейшие задачи в координатах....................9
Тест 4. Простейшие задачи в координатах...................13
Тест 5. Уравнение окружности..............................17
Тест 6. Уравнение прямой..................................21
Тест 7. Уравнение окружности и прямой (контрольный тест) ... 25
Тест 8. Метод координат...................................29
Тест 9. Синус, косинус и тангенс угла.....................33
Тест 10. Основное тригонометрическое тождество.
Формулы приведения.................................37
Тест 11. Формулы для вычисления координат точки............41
Тест 12. Синус, косинус и тангенс угла (контрольный тест)...45
Тест 13. Теорема синусов. Теорема косинусов................49
Тест 14. Решение треугольников.............................53
Тест 15. Скалярное произведение векторов...................57
Тест 16. Скалярное произведение в координатах..............61
Оксана Викторовна Белицкая
Геометрия. 9 класс. Тесты
Часть 1
Художественный редактор, дизайн обложки Ю.В. Межуева.
Выпускающий редактор А.В. Шереметьева.
Комп, верстка С.В. Герасина. Корректор Л.В. Коротченкова.
Подписано в печать 29.10.2009. Формат 60x90/16.
Гарнитура Times New Roman. Бумага тип. №2. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 4,0. Тираж 25 000 экз. Заказ № 29151.
ООО «Издательство «Лицей» Тел./факс: (845-2) 27-12-64, 27-14-03.
http://www.licey.net http://www.licey.net/history http://www.licey.net/english
Любую книгу издательства «Лицей» можно купить
в Интернет-магазине по адресу http://www.licey.net/shop
или заказать по телефонам отдела сбыта (845-3) 76-35-48, 76-35-49.
Доставка осуществляется по почте наложенным платежом.
Отпечатано в соответствии с качеством диапозитивов, предоставленных
издательством в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат»
410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru
ГЕОМЕТРИЯ ТЕСТЫ Часть 1
ЛИЦЕЙ* Rr’ i 1 /.«/,• F & Kv/i ИИВВИЯ •' I 1 11 1 II 1 1 I 1 и и ^ШШНМ|