Text
                    ю н ИВАНОВ В В.токАРЕ


ЕХАН И К.А КОСМ ИЧ ЕСК.ОГО ПОЛЕТА ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИ И 13 14 16 22 32 64 76 87 92 93 94 ИЗДАТЕЛЬСТВО ((НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕС К0И Л ИТЯЕ'АТ У! ' Ы МОСКВА 1975 
6Т6 Г 86 УДК 629. 19 Механика космического полета (проблемы оптимизации), Гродзовский Г. Л., Иванов 10. Н., Тока- р е в В. В.. Главная редакция физико-математической литера- туры издательства «Н аука», М., 1975. О Главная редаьцция физи~;о-математической литературы и:издательства «Е1аука», 1975 31901-149 053 (02) -75 В книге систематизированпо излагается механика косми- ческого полета. Предметом этого раздела механики является совместное решение проблем выбора оптимальных проектпых параметров космического аппарата, оптимального управления его двигательной системой и оптимальных траекторий полета. По сравнению с предыдущей книгой тех же авторов (Мо- ханика космического полета с малой тягой, «Наука», М., 1966) в настоящую книгу включены новые разделы, посвященные оптимизации аппаратов с двигателями большой тяги и задачам выбора параметров и управлений в условиях неопределенности (игровой и статистический подходы к проблеме оптимизации). Кроме того, старые разделы дополнены повыми результатами, появившимися с момента выхода в свет предыдущей книги. Книга рассчитана па инженеров, научных работников, аспирантов и студентов старших курсов. Табл. 31. Илл. 536. Библ. 1107 назв. 
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение 22 87 Г Л А В А 4 ~ 1. 2. ~ 3. ~ 4. ~ 1. ~ 2. ~ 3. ~ 4. ~ 1. ~ 2. ~ 3. ~ 1. ~ 2. ~ 3. ~ 4. ЧАСТЬ 1 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Г Л А В А 1 ОСЕ10ВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Основные параметры космических двигательных систем Состав космических двигательных систем Условия космического полета Внешнее сопротивление космического аппарата н его двигательной установки прн полете в атмосфере Г Л А В А 2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИ11ЦИПЫ ЭЛЕМЕЕ1ТОВ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГА- ТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Реактивные движители Энергоустановки космических летательных аппаратов Теплоотвод от космических энергоустановок Системы подачи и хранения рабочего вещества; воздухозаборники и системы накопления рабочего вещества Г Л А В А 3 ОБОБЩЕЕ1НЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОСМ11ЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Двигательные системы ограниченной скорости истечения Двигательные системы ограниченной мощности Двигательные системы ограниченной тяги (парусные системы) ЧАСТЬ 11 ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ вЂ” ДЕТЕРМИНИСТСКИЙ ПОДХОД ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ. ОПИСАНИЕ ДИНАМ ПЧЕСК11Х МАЕ1ЕВРОВ Постановка проблемы оптимизации Формы уравнений движения Межпланетный перелет Эволюции спутника 13 14 16 32 64 76 92 93 94 95 98 106 109 
ОГЛАВЛЕНИЕ масс пзменяемой 143 150 ступенчато ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° качестве рабочего веще- 155 175 199 207 214 216 222 283 291 302 308 316 327 ~ 1. ~ 2. $ 3. ~ 4. ~ 5. ~ 1. ~ 2. ~ 3. ~ 1. ~ 2. $ 3. $ 4. $ $. ~ 2. $ 3. $ 4. $ 5. $ $. ~ 2. ~ 3. $ 4. ~ $. $ 2. з 3. ~ 4. ГЛАВ А 5 ПДГАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ ИСТЕЧЕ11ЦЯ (ИМПУЛЬСЕ1ЫЕ ПОСТАНОВКИ) Разделение вариационной задачи, оптимальпые соотиошопия Динамическая задача, уравнения зкстремалей Оптимальные маневры в центральном ноле Маневры на околокруговых орбитах Межпланетные перелеты ГЛАВА6 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАН11ЧЕННОЙ МОЩНОСТП— РА ЗДЕЛЕНПЕ ВАРИАЦЦОННО11 ЗАДАЧ11, ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МАСС Оптимальные соотношения масс нри ностоянной и массе двигателя Оптимальная программа изменения массы двигателя Использование сбрасываемых секций двигателя в с тва ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ГЛАВ А 7 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕН110Й МОЩНОСТ11— ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОГРАММЫ РЕАКТИВНОГО УСКОРЕНИЯ Уравнения экстремалей и их свойства Оптимальный межпланетный перелет с идеальным двигателем ограппчепной мощности Оптимальные маневры управляемых снутников с идеальным двигателем огра- пиченной мощности Параметры аппарата с пдеальным двигателем ограниченной мощности ГЛАВ А 8 НЕРЕГУЛИРУЕМЫЕ ДВИГАТЕЛ11 — РАЗДЕЛЕНИЕ ВАРИАЦ110ННОЙ ЗАДАЧИ, ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОГРАММЫ ВЕКТОРА ТЯГИ Разделение вариационной проблемы на параметрическую и динамическую ч асти ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Уравнения для оптимальной программы вектора тяги. Модельные задачи Оптимальный межпланетный перелет с нерегулируемыми двигателями Оптимальные маневры управляемых спутников с нерегулируемымп двигате- л ями ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Параметры аппарата с нерегулируемым двигателем ограниченпой мощности ГЛАВ А 9 РЕАЛЬНЫЕ ДВИГАТЕЛИ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ ИСТЕЧЕНИЯ Особенности характеристик и оптпмальных режимов работы двигателей ограничепной скорости истечения Оптимальное управленпе массой двигательной спстемы — непрерывный Ф~ с лучаи е ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Оптимальное управление массой двигателя и баков — дискретный случай . Учет аэродинамического сопротивления Г ЛАВА 10 РЕАЛЬНЫЕ ДВИГАТЕЛИ ОГРАНИЧЕННО11 МОЩНОСТИ Дополнительные компоненты в формуле для массы Заданное время работы двигателя Оптимальная ступенчатая программа тяги Реальные характеристики двигательных систем 114 118 124 132 136 338 343 350 362 
ОГЛАВЛЕНИЕ Оптимальные условия сочетания двигателей ограниченной скорости истечения и ограниченной мощности........................ 367 Области применения двигателей ограниченной мощности.......... 377 ~ 1. ~ 2. ГЛАВА 12 381 ЧАСТЬ 111 ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ вЂ” ИГРОВОЙ И СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ 432 448 466 484 496 514 525 ~ 1. ~ 2. ~ 3. ~ 4. ~ 5. ~ 6. ~ 7. ~ 1. з 2. $ 3. ~ 4. ~ 5. ~ 1. ~ 2. $ 3. ~ 4. ГЛАВА 11 ОПТИМАЛЬНОЕ СОЧЕТАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ ИСТЕЧЕНИЯ И ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ДВИГАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С НАКОПЛЕНИЕМ ЭНЕРГИИ И МАССЫ. ДВИГАТЕЛИ, ТЯГА И МОЩНОСТЬ КОТОРЫХ ЗАВИСЯТ ОТ КООРДИНАТ И ВРЕМЕНИ Двигатели ограниченной мощности с аккумулятором энергии — идеальный %Э с лучаи ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Двигатели ограниченной мощности с аккумулятором энергии — дополнп- тельные ограничения па характеристики движителя . Двигательные системы с накоплением атмосферного газа Солнечный парус Изотопный парус Двигатель с солнечным источником энергии Двигатель с изотопным источнико11 энергии ГЛАВА 13 ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ МНОГОЦЕЛЕВЫХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Постановка проблемы универсализации управляемых систем Выбор универсальной системы при полной информации о маневрах (стати- стический подход) Выбор универсальной системы при неполной информации о маневрах (игро- %Э вои пОдхОд) Выбор параметров космического аппарата с нерегулируемым двигателем ог- раниченной мощности, универсальным для конечного числа заданных маневров Выбор параметров межпланетного аппарата при поэтапном поступлении информации о неопределенных параметрах маневра ГЛАВА 14 ВОПРОСЫ НАДЕЖНОСТИ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ Оптимальное управление при заданной вероятности успешного выполнения Ъ маневра ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Секцпонированный двпгатель ограниченной мощности — формулировка и уравнения вариационной проблемы Секционированный двигатель ограниченной мощности — примеры ре~по ия для модельных маневров Оптимальная вероятность выполиения транспорт ых маневров ГЛАВА 15 ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОГРАММ УПРАВ ЛЕН ИЯ В ИГРОВОЙ ПОСТАНОВКЕ Описание маневра спуска аппарата в атмосфере Алгоритмы управления спуском аппарата в атмосфере 391 396 415 421 422 428 
ОГЛАВЛЕНИЕ газ 604 608 6)10 (а =-О, 618 620 624 631 644 $ 1. ~ 2. ~ 3. 649 654 1. 2. Основные обозначения 660 665 Литература 1. 2. 3. 4. 5 6. 1. 2. 3. 4. 5. ГЛАВА 16 ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В СТАТИСТИЧЕСК011 ПОСТАНОВКЕ (ЗАДАЧ11 КОР1'ЕКЦ11И) Возмущающие воздействия Точность выполнения маневра без коррекции Измерения координат и скорости Коррекция, оптимальная в среднем Коррекция, оптимальная с задаииой вероятностью Коррекция орбиты аппарата, ххахсаплххвахохцего ат1хосферххьххх ЧАСТЬ 1У ПОСТРОЕНИЕ ОПТИх11А.ЛЬНЫХ 1'ЕШЕНИИ Г ЛАВА 11 АНАЛПТПЧЕСК ИЕ РЕШЕН11Я УРАВНЕНИЙ Д ИНАМ11К П Радххальххое ускорение (хх =() в (4.19)) Трапсверсальпое ускорение (а„=О в (4.$7)) Таххгеххцххальххое ускорение ("(=О в (4.26)) Норъхальххое ускореххпе ((=" г. в (4.24)). Бххххорхххальххое ускорение и =0 в (117 и =0 в (~. ~7)) ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Постоянный вектор ускорения (а, =а,=(), а =а=сопз1 в (4.13)) ГЛАНА 18 ФУНКЦ110НАЛЬНЫЕ Ч11СЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕН11Я ОПТ11МАЛЬНЫХ РЕШЕН ИИ Градиентный спуск в фазовом пространстве Градиентный спуск в пространстве управлений Функциональный метод Ньютона ГЛАВА 19 1СОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНПЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИИ Минимизация функции прп дополххххтельных условиях Сведение вариационнык задач к конечномерным 566 568 576 583 588 597 
ПРЕДИСЛОВИЕ Основу книги составляет выпущенная девять лот назад издательством «Наука» монография «Механика космического полета с малой тягой». Од- нако различия между этими книгами столь значительны, что их нельзя счи- тать просто разными изданиями. Это обстоятельство подчеркивается и назва- нием настоящей книги: «Механика космического полета (проблемы оптими- зации)». В новой книге, естественно, сохранен тот подход к задачам оптимизации в механико полета, который был последовательно реализован в предыдущей монографии. Суть его состоит в аккуратном описании физических характе- ристик двигательной системы и внешних условий полета и в совместном рас- смотрении проблем выбора оптимальных проектных параметров аппарата и двигательной системы, с одной стороны, и оптимального управления двига- телем и оптимальной траектории полета — с другой. Этот подход сформировался в процессе исследования проблем оптимиза- ции в приложении к аппаратам с двигателями «малой тяги», для которых роль массы двигательной установки особенно существенна. Работы последних лет показали необходимость такого же подхода к проблемам оптимизации и для космических аппаратов с традиционными двигателями «большой тяги». Например, для аппаратов с ЖРД было установлено определяющее влияние массы двигателя на выбор оптимальной тяговооруженности для ряда манев- ров. При этом развитие принципов корректного разделения общей проблемы оптимизации на параметрическую и динамическую позволяет по-новому ис- пользовать полученные ранее фундаментальные результаты классической ракетодинамики. С изложенными соображениями связана первая группа отличий новой книги от предыдущей: класс рассматриваемых объектов пополнился аппа- ратами с двигателями «большой тяги» или, точнее, с двигателями ограничен- ной скорости истечения (идеальными и реальными). 13торая группа отличий — методическая. В первой книге большинство задач ставилось в рамках детерминистского подхода, а игровые и статисти- ческие постановки были представлены довольно скупо. Новая же книга суще- ствепно богаче именно этими постановками, настолько, что они составили отдельную (третью) часть книги. Игровыо и статистические постановки в ряде случаев более адекватно, нежели детерминистские, описывают реальную ситуацию в части, касаю- щейся информации о внешних условиях задачи. 11е все внешние данные можно считать известными точно. Е таким неопределенным данным отно- сятся, например, ошибки в реализации начальных условий и программы тяги, флуктуации плотности атмосферы, моменты отказов элементов двигательной систеъ~ы, а иногда и параметры маневров, которые предстоит выполнять. Сте- пень информированности об этих неопределенностях может быть различной, и она может меняться (возрастать) при переходе от этапа проектирования к этапу эксплуатации аппарата. Данный круг проблем и является централь- ным в игровых и статистических постановках. Содержание предлагаемой книги разделено па четыре части. 
ПРЕДИСЛОВИЕ Москва, 1974 г. Г. Гродзовский Ю. Иванов В. Токарев В первой части изложены физические принципы всех известных типов космических двигательных систем. Дана классификация двигателей и при- ведено описание их обобщенных характеристик, необходимых для формули- ровки задач оптимизации. Вторая часть книги посвящена детерминированным задачам оптимиза- ции проектных параметров и программ управления космических аппаратов со всеми типами двигателей, указанными в предыдущей части, для различных маневров. В третьей части собраны игровые и статистические задачи оптимизации: выбор проектных параметров многоцелевых аппаратов, построение программ управления и определение проектных параметров с учетом отказов, флуктуа- ций атмосферы, ошибок в тяге и т. п. В четвертой части обсуждаются методы построения управлений и траек- торий движения космических аппаратов — аналитические и численные. Разделы книги иллюстрированы примерами характеристик перелетов на планеты солнечной системы, маневров управляемых спутников и т. д. (в виде конечных формул, таблиц и графиков). Книга рассчитана на инженеров, научных работников, аспирантов и студентов старших курсов; у читателей предполагается знание основ вариа- ционного исчисления, классического и современного. Однако построение изложения позволяет пользоваться основными результатами, если даже раз- делы, посвященные вариационному анализу, будут при чтении опущены. Распределение работы между авторами было следующим: главы 1, 2, 3, 12 написаны Г. Л. Гродзовским, главы 4, 10, 11, 15, 17, 18, 19 — Ю. Н. Ива- новым, главы 6, 7, 8, 13, 14 — В. В. Токаревым. В связи с включением в книгу большого количества нового материала авторы сочли возможным обратиться с просьбой о написании трех новых глав к специалистам, известным своими оригинальными публикациями по соответствующим темам: С. В. Дубовскому, А. Е. Илютовичу, Б. Н. Кифоренко и В. П. Моисеенко. Все они любезно откликнулись на эту просьбу авторов. С. В. Дубовским подготовлена 5 глава, А. Е. Илютовичем — 16 глава (совместно с В. В. Токаревым), Б. Н. Кифо- ренко и В. П. Моисеенко — 9 глава. Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность В. В. Белецкому, Ю. Е. Кузнецову, Р. Н. Овсянникову и Ф. Л. Черноусько, прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим ряд полезных замечаний. Ав- торы благодарны ~ Л. А. Арцимовичу ~, В. А. Егорову, В. К. Исаеву, ~ Г. Е. Кузмаку ~, А. И. Курьянову, А. И. Лурье, Н. Н. Моисееву, Г. П. Сви- щеву, Л. А. Симонову, В. В. Сонину, Г. Г. Черному, Л. М. Шкадову, Т. М. Энееву за обсуждения затронутых в книге вопросов. Авторы особо при- знательны Л. И. Седову и Д. Е. Охоцимскому, внимание которых к работе авторов во многом способствовало появлению данной книги. Мы будем благодарны читателям за все замечания и пожелания по этой книге. 
ВВЕДЕНИЕ Прогресс космической ракетной техники вызывает к жизни новые раз- делы механики. Сформировавшаяся на рубеже Х1Х и ХХ столетий 1) идея применения реактивных двигателей для выхода в космос стимулировала развитие механики космического полета (И. В. Мещерский, К. Э. Циолков- ский, Р. Годдард, Ф. А. Цандер, Г. Оберт, В. Гоман, Р. Эно-Пельтри, С. П. Королев и др. [1.1 — 1.9]). Эта наука изучает движение космических аппаратов как тел переменной массы с целью определения условий доставки максимального полезного груза. Решающая роль здесь принадлежит типу двигательной системы. На пер- вом этапе развития механики космического полета наиболее подробно ис- следовался полет аппаратов с тепловыми химическими реактивными дви- гателями, для которых характерна малая удельная масса двигательной системы (отношение массы двигательной системы к развиваемой максималь- ной тяге). При умеренной тяговооруженности (отношение тяги к массе ра- кеты) для таких ракет было допустимо в первом приближении пренебрежение массой двигательной системы, и задача оптимизации сводилась к отыска- нию условий наименьшей затраты топлива на совершение заданного косми- ческого маневра'). На основе формулы Циолковского последняя задача сводится к минимизации простого кинематического параметра, так называе- мой характеристической скорости, что требует только определения опти- мальных траекторий с указанием на них моментов и направления приложения импульсов тяги. Эти задачи подробно изложены в известных работах и моно- графиях по ракетодинамике [1.10 — 1.69] и др. Развивающиеся перспективные виды космических двигательных систем (электрореактивные двигатели, тепловые ядерные реактивные двигатели, солнечный парус и др.) отличаются большой относительной массой и широ- кими возможностями регулирования параметров (скорости истечения, рас- хода массы и др.). Перспективность использования таких двигательных систем'определяется малым расходом массы на единицу тяги для электрореак- тивных и ядерных тепловых двигателей (вследствие большой скорости исте- чения реактивной струи) или отсутствием расхода массы для солнечного па- руса. Технический прогресс последних лет в области ядерной энергетики, электрических ускорителей, технологии тонких пленок и др. поставил на очередь дня проблему научной и технической разработки указанных пер- спективных двигательных систем. А с увеличением тяговооруженности не- допустимо пренебрежение массой двигательной системы и для тепловых хи- мических реактивных двигателей. В этой связи получил развитие новый раздел механики космического полета, рассматривающий в совокупности: оптимальные соотношения масс ') М и х а й л о в Г. К., К истории динамики систем переменного состава и теории реактивного движения (до начала второй мировой войны). Препринт Ы 49, изи-во Инсти- тута Проблем Механики АН СССР, М., 1974. ~) Выбор числа ступеней ракет, т. е. учет последовательно сбрасываемых баков, масса которых пропорциональна запасу топлива, не изменял принципиально указанную постановку. 
° В Ю Ю Ю ° е ° ° Ю Ю ° Э Ю Ю Ю Ю ° ° Э ° В ° В ° В а ° В ° В ав ю ° е ° В ° й е ° ° в ° В Ю Ю ° ° В ° В ° В ° В ° В е е ° ° В ° В ° В а е ° В а ° В ° В е е ° В е ° В ° В а ° В е а е ° е ° ° В е ° В Ю ° В Ю ° В аа ° а ю е ° ° в Ю Ю Ю Ю ° Э еЭ е е Ю е е ав Ю а е е е ° Ва е Ю Ю Ю Ю Ю е е 
ВВЕДЕНИЕ компонент ракеты с учетом массы основных элементов двигательной системы, оптимальное управление и регулирование двигательной системы и оптималь- ные траектории космического полета [1.70 — 1.74]. В механике космического полета задача о нахождении условий доставки максимального полезного груза выделяется в силу ее определяющего влияния на компоновку и управление космическим аппаратом. С этим аспектом неиз- менно связана постановка задач в плане оптимизации траектории движения, управлений и проектных параметров двигательной системы и аппарата. Ука- занная постановка основной задачи механики космического полета органи- чески связана с характеристиками двигательных систем. В современной литературе обсуждается большое число типов космических двигательных систем. Основные перспективные виды указаны в табл. 1.1 ([1.75 — 1.103] и др.), где приводятся некоторые параметры систем: характер- ные значения скорости истечения реактивной струи К, удельной массы у,, (массы двигательной системы, отнесенной к создаваемой тяге) и ускорения аппарата от реактивной тяги а; параметры двигательных систем в таблице расположены в порядке возрастания скорости истечения реактивной струи. Приведенные в табл. 1.1 характерные значения удельной массы двига- тельной системы у., объясняют сложившуюся в последние годы терминологию: двигатели большой тяги и двигатели малой тяги. Верхний предел ускорения от реактивной тяги а „достигается в том случае, когда масса двигательной системы становится преобладающей по сравнению со всеми остальными ком- понентами массы космического аппарата; тогда а,„-~ 1/')'„. Если х'„( ( 1 кг ~кГ '), то а „) д„' если 1'„) 1 кг ~кГ, то а „(д, (д — ускорение силы тяжести на поверхности Земли); в первом случае двигатели называются дви- гателями большой тяги, а во втором — малой тяги (правильнее — большого и малого ускорения от тяги (рис. 1.1)). Следует отметить, что большие зна- чения удельной массы для двигателей малой тяги не являются отличительным качеством физических принципов, а характеризуют лишь современную оценку уровня разработки таких двигательных систем. Поэтому распространенный сейчас термин «малая тяга» в значительной степени условен. Для механики космического полета определяющее значение имеют две характеристики двигательной установки: возможность управления реактив- ной тягой и затраты массы на реализацию тяги (потребный запас рабочего вещества и массы двигательной системы). Выяснение этих вопросов находится в центре внимания первой части книги, при обсуждении физических принципов и основных характеристик космических двигательных систем, знание которых необходимо для после- дующего подхода к задачам механики космического полета. Движение космического аппарата исследуется как движение материаль- ной точки. Вопросы, связанные с движением аппарата вокруг центра масс, ') В книге используется Международная система единиц измерения (СИ). Но, от- давая дань традиции, сложившейся в инженерных расчетах, авторы по примеру [1.104] сделали одно исключение: численные значения величин типа «сила» приводятся в при- вычных кГ (или в Г, или в Т), а не в «ньютонах». Единицей массы при этом, как и положено в СИ, остается кг (или г, или т). Этим и объясняется появление разиосистем- пых разцерпостей у численных значений таких величин, как ~„, например: ~„=1 кг)кГ. Все же «буквенные» формулы в книге рассчитаны на использование какой-нибудь одной сххстеххьх измерений (например, СИ). Поэтому, чтобы подставить в «буквенную» формулу величину, численное значение которой содержит в своей размерности кГ, нужно пред- варительно осуществить ее пересчет в «ххьхотоххьх» (1 кГ соответствует 9,81 и). Например, чтобы ххаххтхх массу двигательпохх системы ЛХ.„по формуле ЛХ„=т„а»ЛХ» при т.„=1 кг/кГ, а„=9,81 л/сек» и ЛХ» — — 10г кг, нужно пересчитать удельную массу двигателя у,=(1/9,81) кг/н=(1/9,81) сед/лх и получить ЛХ,=(1/9,81) секк м х 9,81 м сек ~ 10 кг=10 кг. Отметим здесь также, что по мотивам, изложенным в [1.104], авторы вьхесто весовых компонент 6;, которыми они пользовались в своей предыдущей книге по механике полета, перешли к компонентам массы М;. 
12 ВВЕДЕНИЕ в книге не затрагиваются. Пренебрегается также «обратным» воздействием массы аппарата на движение гравитационных центров. К траектории движения космического аппарата обычно предъявляется требование, чтобы она начиналась в заданной точке фазового пространства (т. е. при заданных координатах и проекциях скоростей) и за фиксированное время достигала другой заданной а точки в фазовом пространстве. Это требование может быть удовлетво- 18 4Х рено не единственным образом. Из всего многообразия траекторий, соединяющих за фиксированное 1 время две заданные точки в фа- зовом пространстве, выбирается такая траектория, которая отве- чает движению космического аппа- рата с максимальным полезным ~-г б грузом при фиксированной старто- 8 вой массе. Это — постановка основ- ной вариационной задачи механи- Ю ки космического полета об опре- 7Г делении оптимальных управлений двигательной системой и оптималь- ных соотношений масс компонент У аппарата, обеспечивающих движе- ние по указанной оптимальной !а' 6' Юсефа траектории. Вместо приведенной Выше мо- Рис. 1.1. Космические двигательные системы: 1 — 5— двигатели большой тяги: 1 — химическая камера жет быть сформулирована вторая сгорания, 2 — нагрев в реакторе с твердым ядерным ВарИацИОННая ПОСтаНОВКа, ЭКВИва- горючим, 3 — то же с жидким ядерным горючим, 4 — то же в сочетании с химической камерой сго- лентная первой для многих манев- рания, 5 — нагрев в реакторе с газообразным ядер- ным горючим; 6 — 12 — двигатели малой тяги:  — рОВ: трЕбуЕтСя ОнрЕдЕЛИтЬ ОнтИ- с солнечным нагРевателем, У вЂ” с изотопным нагре- МаЛЬНЫЕ уПраВЛЕНИя И ПОСтрОИТЬ 8 — электр одуговой, 9 — электродинами- ческий, 1Π— электростатический, 11 — изотопный ТраЕКтОрИЮ, СОЕдИНяЮщуЮ За МИ- нимальное время две заданные точ- ки фазового пространства и обеспе- чивающую движение аппарата с заданными стартовой и полезной массами. Вторая постановка может оказаться удобнее в тех случаях, когда нет уве- ренности относительно энергетической выполнимости маневра В рассматри- ваемом диапазоне времен перелета. Кроме этих двух основных вариационных постановок, в механике кос- мического полета формулируются частные постановки, соответствующие отдельным типам космических маневров: межорбитальный перелет, задача Выхода из гравитационного поля планеты, эволюции в окрестности планеты и др. Вариационные формулировки этих задач не требуют выполнения всех граничных условий по координатам и скоростям — задаются не все коорди- наты и скорости, а только часть их или комбинации. Свободные граничные условия в этом случае определяются из соображений оптимальности траек- тории. В ходе изложения будет акцентироваться внимание на формулировках Вариационных задач и на их связи с приведенными выше двумя основными постановками. 
ЧАСТЬ 1 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 1'ЛАВА1 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ~ 1. Основные параметры космических двигательных систем Принципы работы и характеристики космических двигательных систем подробно изложены в известных монографиях, обзорах и учебниках ([1.75— 1.1031 и др.). Ниже основные физические принципы и обобщенные параметры космических двигательных систем излагаются в объеме, необходимом для подхода к задачам механики космического полета. В соответствии со сказан- ным во введении, в механике космического полета проблема соотношения масс (например, задача о нахождении условий доставки максимального полезного груза) выделяется в силу ее определяющего влияния на параметры косми- ческого аппарата. Затраты массы, необходимые для реализации полета кос- мического аппарата, во многом определяются его двигательной системой. Средством, обеспечивающим активное управление движением центра масс космического аппарата, является реактивная тяга Р, создаваемая его двигательной системой. Движение центра масс космического аппарата под действием тяги в гравитационном поле может быть описано векторным диффе- ренциальным уравнением (см., например, [1.70]) и ',~) г = Р + М,~) ~ + Г, д.= — М = у+д,— д, (д, = — М„), (1.2) где д, — расход массы при выработке энергии, д, — «приход» массы из внеш- ней среды. ') В записи (1.2) пе учитываются расход массы в системе жизнеобеспечения и воз- можность сбросов секций двигателя и баков. где ЛХ (~) — масса аппарата, г (~) — радиус-вектор в инерциальной системе координат, Р— вектор тяги: Р = Ре, е — единичный вектор направления тяги, ц (г, 1) — вектор ускорения от гравитационных сил, 1 — время, à — вектор других внешних сил, действующих на аппарат (сопротивление среды и др.), определяемый внешними условиями полета, точки обозначают дифференциро- вание по времени 1. Полная система уравнений, описывающих поведение космического ап- парата, складывается из векторного уравнения движения (1.1) и связей ме~кду массой и параметрами двигательной системы. При оптимизации пара- метров космического аппарата управляющими функциями являются вектор направления е реактивной тяги и параметры двигательной системы, опре- деляющие величину тяги Р и массу ЛХ. Создание реактивной тяги Р связано с расходом массы через движитель д (например, массы отбрасываемого рабочего вещества). Полный расход массы равен ') 
14 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 Масса двигательной системы ЛХ (1) (включая массу баков М для ра- бочего вещества: М =М„+М), величина реактивной тяги Р (~) и расход массы на создание тяги д (1) являются основными характеристиками косми- ческой двигательной системы. Значение текущей массы аппарата М (1) можно представить в виде ЛХ (~) = ЛХ. (~) + ЛХ (~), ЛХ. (~) = М, — М„ (~) — д. ® Ш~, (1.3) где М, — начальная масса аппарата. При этом конечное значение М. (в ко- нечной точке пути ~=Т) можно отождествить с полезной массой М,. Из соотношений (1.1) — (1.3) видно, что основные параметры двигательной системы определяют движение космического аппарата; указанные параметры М (~), Р (~), д (~) и вектор направления тяги е являются управляющими функциями в задачах оптимизации космического полета. С указанными параметрами Р (~) и д (~) связаны зависимые параметры средней эффективной скорости истечения и эффективной мощности реактив- ной струи. Частное от деления Р на д, имеющее размерность скорости, можно характеризовать как среднее эффективное значение скорости реактивной струи Г (для полетов без забора массы рабочего тела из внешней среды и для дорелятивистского уровня скоростей): (1. 4) Г= Р(д. Тягу, приходящуюся на единицу весового расхода, характеризует отношение 1'=Г/д„имеющее размерность времени (например, сек). Величину Г при- нято называть удельным импульсом двигательной системы. Соответственно (1. 2) и (1. 4) эффективное значение мощности реактивной струи будет равно Т ='/,д Р. (1. 5) Отметим, что отношение Г к величине мощности Г„, вырабатываемой энер- гоисточником двигательной системы, характеризует коэффициент полезного действия двигательной системы: (1. 6) ~ = Т/Т„. $ 2. Состав космических двигательных систем Обобщенный состав космической двигательной системы приведен на рис. 1.2. Исходным элементом двигательной системы является источник энергии; завершающим элементом является реактивный движитель, где часть выработанной источником энергии превращается в кинетическую энер- гию направленного движения реактивной струи. Если виды энергии, выделяе- мой источником и потребляемой движителем, различны, то между источником энергии и движителем включается энергопреобразователь. В паузах работы двигательной системы часть выработанной источником энергии может на- капливаться в аккумуляторе энергии. Масса рабочего вещества, расходуемая на создание реактивной тяги, подается в движитель системой подачи из кон- тейнеров (баков). При полете в среде с ощутимой плотностью масса рабочего вещества может пополняться через заборное устройство и накопительную систему. Последняя согласует параметры поступающего рабочего вещества с условиями в контейнерах (баках). В результате отличия энергетического коэффициента полезного действия двигательной системы от единицы значительная часть вырабатываемой энерго- 
СОСТАВ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ источником мощности должна быть отведена от двигательной системы систе- мой отвода энергии. Естественно, что указанные составные элементы присущи не всем типам космических двигательных систем, В которых Возможны различные сочетания элементов в рамках рассмотренного обобщенного состава. С позиций механики космического полета характерными параметрами источника энергии являются вырабатываемая им мощность Г„(1) (сущест- венна возможность регулирования выделяемой мощности), собственная масса энергоисточника М„(К„, ~) и расход массы д, при выработке энергии. Ха- рактерными параметрами преобразователя энергии являются отношение вы- рабатываемой им полезной мощности К, (1) к входной мощности К„(1), Рис. 1.2. Состав двигательной системы. которое можно характеризовать как коэффициент полезного действия энер- гопреобразователя о, (Н~„), а также масса энергопреобразователя ЛХ,(К, „). Характерными параметрами аккумулятора являются величина запасаемой им энергии Е, максимальные величины потребляемой Е „ и по- лезной выделяемой Е,, мощности (точка обозначает дифференцирование по времени ~), а также собственная масса аккумулятора М, (Е „). Характер- ными параметрами накопителя рабочего вещества с заборником являются приход массы д„и привносимая забираемым рабочим веществом мощность К„„ мощность, расходуемая накопителем К„(д„), и масса накопителя с заборни- ком М„(д„„). Характерным параметром контейнеров (баков) для рабочего вещества является их масса М, (1), зависящая от величины запаса рабочего вещества М (~) =М. (~) — М (см. (1.3)). Характерными параметрами си- стемы подачи рабочего вещества являются подводимый ею к движителю расход массы д, потребляемая мощность Г, (д) и собственная масса М, (д „). Характерными параметрами реактивного движителя являются создаваемая им тяга Р (~), потребляемые им мощность Г„(Р) и расход массы д (Р), а также собственная масса движителя М (Р .„Н~„„). Разность (К„+К,„) — Г, между суммарной мощностью энергоисточника К„и привносимой забираемым рабочим веществом К„, и полной мощностью реактивной струи движителя К„должна быть выделена системой отвода энер- гии. Характерным параметром последней является ее масса М~ (Н',), где 
ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [Гл. 1 Перечисленные элементы космической двигательной системы определяют ее основные параметры. Ч. = Ч+ Ч. Ч. М = ЛХ„+ М + ЛХ, + ЛХ„+ ЛХ + ЛХ, + ЛХ + ЛХ~ (1.7) и Возможности их регулирования. Отметим, что на рис. 1.2 и во второй строке (1.7) представлено наиболее мелкое (из употребляемых в настоящем изложении) деление двигательной системы на элементы. Кроме того, в дальнейших главах используются такие объединения указанных элементов, как «источник мощности» ЛХ, = ЛХ„+ + ЛХ, + М и «двигатель» М = М„ + ЛХ + ЛХ + М, + М, = ЛХ вЂ” ЛХ . $ 3. Условия космического полета 1. Гравитационное поле. Гравитационные силы определяют основное внешнее воздействие в космическом полете. Ускорение д, сообщаемое аппа- рату этими силами (см. (1.1)), образует потенциальное поле, в общем случае нестационарное (см., например, [1.105-- 1.108]): (1. ) ~ (г, 1) = — ртай, Г (г, 1), где à — гравитационный потенциал (или потенциальная энергия единичной массы). Произвольный уровень отсчета потенциала обычно выбирается так, чтобы 11т Г (г, ~)=0 при г -э со. Начиная с некоторого удаления от тел (~=1,..., и), создающих грави- тационное поле, их можно считать сферическими (или точечными), и тогда и и Г (г, ~) =~.'~' ~Я,/Л,, д(г, ~) =~~!Щ,Л В, (В,. = г,. (~) — г, Л,. = ~ В,. ~), (1.9) (г= г~). Г (г) = — ~Ю~/г, ~(г) = — ~~Яг 'г При движении в непосредственной близости планет следует учитывать несферичность их поверхности и эквипотенциалей гравитационного поля. где ~=6,67 (1+0,0007) 10 '1 мз кг-1 сек-' — универсальная гравитацион- ная постоянная, Ю~,. — ~-я гравитационная масса, В, — вектор расстоя- ния от текущей точки г до центра г,. (1) ~-й гравитационной массы (траекто- рии г,. (1) движения гравитационных масс считаются известными и не за- висящими от движения космического аппарата). Основные траекторные и физические данные небесных тел солнечной системы приведены в табл. 1.2, 1.3 из [1.106]. Если движение происходит в окрестности превалирующего действия од- ного небесного тела (в так называемой сфере притяжения, или в сфере дей- ствия этого тела), то в суммах (1. 9) можно ограничиться только одним слагае- мым. Пусть еще при этом движение г,. (~) центра масс данного небесного тела можно с достаточной степенью точности посчитать равномерным и прямо- линейным. Тогда, совместив начало инерциальной системы координат (в ко- торой записаны уравнения движения (1. 1)) с центром тела, получим из (1. 9) (при г,. (~): — О, и=1) широко используемую в механике модель централь- ного гравитационного поля: 
17 УСЛОВИЯ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА м м м н м ОООО ~О ч ~ч ч 0 ~~ ~ч со сч,о.4ГР оо - ОО-~ О,- сф с'Гд сф СЯ ~ СЯ с м м ООООО~ ! ~ е~ (р~ ° ° е ° ° С Ф) ООФОО О О Ф р~ .~ ~ лОО у 'Ф 'Ф Л ~ей сф ч» лО о С» е» ° оО ~~ о о О ОО ° П л лО С'О Ж о ~ч Ц м м ОО сц ~ ~ д» Ч~ ~Ч О ЩП иЪ иЪ О О СО СЧ Се ~д оо г- ~ ОО с'" ° е Я ОО ~ Ос О ФО О сч с Ооо&g ° с~ с~ О сф яро„еб Ос~ н сч М М М СО ~ ~ ~ ОО ~ ОООО ~-( О ~ ~ ~ ~ООс~ ~о ° ° ° е Я е р~ О ОО О ОО '~ ц~ ОпсООО ~дно~~ о сч сч сч сч 00 ч9 М М М О О О О О 00 ° ° ° ° ° ~ООООЛО О '~О~ФОЪЖСО~Ф о сч О о ° сф С е Сс~~ ° \ ° ~М иЪ О О ~~ ~-~ о СЧ С~) иЭ ~~ с~ сф '~ О ° УМММ О О О О О,. ° ~МАМ ~4 ~Ч( )~~ Лщс-.ООО ~ Оъ сО с 1 "'Ф 'Э~О ° ~М ч~М ~4 ~ч ер ~ с ОоосО О Ч Чоло 4 ООМОСОО ж с~ со ~ л ~~ сч Й ~У Й м м Ооооод с~ Н с $ с~ с~ ~~.~ ° ° ° ° ° в -~ О в ОО о о 'Фс1сОСЧО~~ ." ." ОО П О ОО Щ) еч с ОО О О ОО Г- СО ОлО ОО СЯ О О '~ о с~~ ОО О СР СЯ сО О ~~ '~~ о ~О ° рд о О О иЪ сф О О С"~ '~ о СЧ ~~ ~СЯ СЯ ср~ о С~ О еч с О О ~р"' ° ° ( ~ сф сто О иЪсО ~ О М М М ° У ~ ~ ~ сс~~ чф ООООд О ~'~ ~ с~с~'~о ° ° ° ° С'0 ° СЯ с~ с~ ОО ~-~ с~~ ООО~ ОООс~~Од ©~ ~ С~ ~ч ~ч ~-ч СО р~ й ~У М М М ДООООООО р ~М ~М ч~М ч~М ч~М 1»~ цр ОО 'Ф сЫ 'Ф сО С~1 с~ Л Я Ч~ О Оъ ~Ф СО 3.О СЯ О 1.' е О Од ~ ~ д» ОО ~Ч О 'Ф сО СЯ сф О О ° с~ с~ с-4 о ,:. ЛСО,СО с- ~ н~ ос1 Е сО сч ~ оО 00 с О о~~ ° с~ с~ с~ 3.О ° е Щ О ~1' с;1 (~ ч~М О о о о М М И ~ еУ ООО с"~О О 4 ч ч ~ ч о (.ВСЮ ~ Ж ОО ~ Л В О О ОО ™~ о ",Л '1 сй М М М ~ ~Ф ОООС лО ч ч ч ср~ ° ° ° ОООО Щ С~~ ОЛ ОООО'~ ~М ~М '~ ~ГД с~ ~.~ »ю Ф чф ОО ° ~~ ч~М о ° ° ~О ~ па ° ~М ~~ СР ЯР О О О Н Ф ФЧ СЯ о О О Св ~ с~ ~ с~~ сэ оос~ ОЪ ОЪ ОО,О ° ~ сО СЯ м л м О О О т~ ~~~ ~~~ О ° ° ° ~Ч сф тМ ч~М ч~М ~~ СО ~О ~~ О ~ ОО Щ ! о 111111ф е О о О ° ~1' Л С,;"О СЯ О СР сб Эю~ Б О ° Ф л ее ее4 ее е~е1 Ф Ф й й О ы М$ Щ о Ж о М» с ЬеЧ О $» сб о О ее е2 а.' ьМ С) ев» Б. О Н Ф сф 12 Н Ж ф О О Механика полета ~ц~ ~ц~ Ю й и Я~й М4 О О Ю р' Ф Я о о ~~э й Щ ~:Ц~Ф(,) ж',ьиоо майой~ Я ~Ф ~~~ И~ ойЖ й ~ч Ф П о ° ~М " "„11 Ф ~ л н Н 1 Я о с ~ч ф~ й ~й й д "~йлойн ~ ~ д д~ д й одно с~Оцс с~с,„ о ~"о~й д оойоо ~4 ~) д ~ й д сб бъ О й й б н ~~й~ИИ~©й й О н й н Ф о о -©~~ййй сЕ ~-"' ~-"' 4 й о о с~ с~ ,'-) й д,Д,Д,с щ ф~ й о © с. с. й д рч Ю д н~ ~~,„,„о цо ~ййв~ ~-в Щж И О~~ОЖ ъ Ц о ~~" о н ~~ о ~~ оцуп ~ о Ц й Ф н &lt ~ о й Ф Ф ~ Р Ф н о о ~ о Р Рч Ц ~бо О Д, ср О ~-~ ~ц~ ~ц~ Ж Ц м й Ф ~~о Ф л д $~»:" й с-'~ й с~ ~эи вайо с~ ~Ф :Я~ о А Ы! . Р С) .о Ц Ф Я Но цр БЮ: ~» ~» 'е» д„",й С о с~ о йн О о ~ 'й~~~~о Р цро д~ ~ о с~о~ ноддт~~ дц ц ~ щ й ~оый~~~~о с~в „- о ~ро ~ ~~ й д, ~:~ ~:~ с.') ~ ~~~йоЗ~~ж~~ о о д н ~ ©~,„,„~ о й~~о"~йй~~ ~ ®о с~ д, Е Е й с~ д, В ~:3, ~4 я ~ ~-~~ ср ~.~ ~.~ ~:~ ~4 ср я ~- ~ д ИЖ~ ~ О~ ~ ОЖо~ 
ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ~ГД. 3 ОО нн ° ° ЯО ЛО н 0'- СЯ 03 О нд н ~~4 нОЛ ПОн -О~ н СЯ О еч е СЧ н ООЯ нн О~ ° . "н сО О О о0 1 00 О 00 "О ~Ъ сб О СЯ О О СЯ О СР сО СЯ Ф М'$ ж Ф О с~~ 1 ОО нн ° ° ЯО о0~ ",~Г~ ~с 1 ° чО М О н с~~ О с& '~ Ож нОЛ ~'~е л л "ОЛ О О СЯ О 1ь О н с~~ С1сО ~ОО ~ОС -~ГО 00 Ф Ф о й р, Я ы ОО нн ° ° ~ и~ ~1~ В оо~- О О н,н О н л с~~ сй н СЧ О ~Г~ ~Г~ СЯ М О 0 сО л л ~ О'~4 О Щ Ф ~»0 н ~ч СЧ О ~Г~ СЯ 03 О ныл ° 00 ~ф СЧ С'1 СВ С~~ О О ~ч н О а н ОО00 н н ,;,„ О Д СЧ О х 1 М О нд О 00 ЛО ч ~Оеб -О с О н н с'О СЧ ~ОФ с~„О СЧ СЯОСИ О ~Г~ О с~С . ООО ч О ° О СО ~,—,. о о М'$ Э~ Ф о Р Ф с~ ООЛ . 4 л ° О 00 О О& t О н~ О О, ° СЧ р~ ,.» О, О О О О над ° нн '~ Ос~ ~ОО О О ' О 'б О - ° О -," "-'00 О ~ О ~Г~ Ф м о и о о ~О о О ОО О нн н ° Ф Щ Ф ~ ~) с~р н с~~ с~~ н 00 "О С~ н СЯ ОО О ,чН с4 ~с 1 ~1~ ~ СР с~.~ ОС~ОС~ Щ 00 "О С~ С'4 03 О нд 00 ООФ О -О ~~ сб О СЯ СЯ М О н ср~ ~ С~3 ~ Ж СЯ '~'Ос~ 00 "О~ СЧ О СЯ о о Йй П о Ф й Ф Ф о Ж Ф И к Ф Ф ф ф ~~ О ~ц» ~ Ф ~ж ~© ~о ф с.» с„ "ф ц ~ И И д М ~ч ~Я~ ~ ф и с.') Л ~»Ц Ф ~ч ~ " ф Фъ О О © Я~ Ж с.» ~ ф ~~ с» ж~ с» ~~~о с»ФОЦО~О с.» ~~ ф в ф о И~ О~ сб О О О Ы д, ф в ФНф о ф с) Н~~ с.» ~ ~ ф с»~н Ки11 с.» ~=~,р ЛО ~ц» ~ц» И с.» ф ~ч О с.» ~~о ф ," 4 с.» с» 1 О с~ ~=~ ф сб И~о 1 Ф ц Р~ Н о сб ф д, ф ф й Р~ д Й Я „Ы ~& t В с.» ф ф ~ч Л рр ~ю д о О о ц» Ф~И~~ч Ымд ф ~~д, ф фХ ~~о~ Я~~ Яп о ф л~~ С~ "о ~~~~ 11 й О Ф ф ~ Ф ~~~оффв~д © ф о ф э с,» ~ с~ ~) ОлО 
~СЛОВИЯ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА Так, например, гравитационный потенциал Земли в точках с широтой 9 на расстоянии г от центра (см. рис. 4.1) равен Г (г) = — (~Ю~/г) [1+1/а/ (Л„/г)' (1 — 3 я1п' 3) + +'/,Ь'(Л,/г)'(3 я1п 0 — 5 я1п' О)+'/„Й, (Л,/г)'(3 — 30 я1п' О+ 35 я1п' 0) +...] (1.11? (Л,=6,37815 10' м — экваториальный ра ~'=1,623 10-', Й=6,0 10-', /с,=6,4 10-'— четвертой зональных гармоник). Значение потенциальной энергии Г„= = Г (Л,) (см. (1. 10)) единичной массы на по- верхности небесного тела (г=Л,) характе- ризует энергетические затраты, необходи- мые для выхода из сферы притяжения данного тела. Эти же затраты можно охарактеризовать минимальным значением начальной скорости, потребным для выхо- да из сферы притяжения (без дальней- шего приложения сил, с нулевой скоростью на бесконечности): и, = ~/2Я~/Л, — такна- зываемая параболическая скорость. Эти данные также приведены в табл. 1.2, 1.3. Энергетические затраты на переходы с одной гелиоцентрической орбиты на дру- гую можно оценить с помощью рис. 1.3. На нем представлена кривая полной энер- гии точки единичной массы, движущейся по круговой орбите радиуса г в централь- ном гравитационном поле Солнца: диус; ~Я=5,98 10" кг — масса; коэффициенты второй, третьей и -/2 Рис. 1.3. ~ровни потенциальной энергии. Ю ='/,~~' — ЯЯ~' ' = — '/2ЯЯг '. (1.12) (1.1 ) Корпускулярный поток Солнца оказывает на элементы космического аппа- рата давление, соответственно (1.13), порядка р~ — ру~' = 2 10 а (Л~/Л)' кГ/м' (1.15) и подводит мощность порядка 5 ° 10 '(Л~/Л)2 вт/м2. (1.16) Там же отдельными точками ниже кривой на радиусах, соответствующих орбитам планет, показана потенциальная энергия Г, собственного поля этих планет на их поверхности. 2. Параметры окружающей среды. В межпланетном пространстве плотность газовой среды в основном определяется корпускулярным излуче- нием Солнца: потоком протонов (ионизованные атомы водорода) с энергией порядка 1 кэв (скорость в=4,5 10' м/сек), интенсивность которого в период спокойного Солнца составляет (см. [1.109]) Д 3 ° 10'' (Л~/Л)2 1/м2 ° сек, (1.13) где Л вЂ” расстояние до Солнца, Л~=1,495 10" м — средний радиус орбиты Земли. Соответственно (1.13) плотность распределения протонов равна р~ 10 'а (Л~/Л)2 кг/м'. 
20 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 Следует отметить, что в период активного Солнца, по данным [1. 1091, интенсивность корпускулярного излучения может возрасти на два-три по- рядка. Основной энергетический поток в межпланетном пространстве составляет электромагнитное излучение Солнца, имеющее максимум в видимой области о светового излучения на длине волны -5500 А [1.110). Спектр солнечного светового излучения непрерывный (рис. 1.4), боль- шая часть его соответствует излучению черного тела при температуре Рт Тя — 5800 'К. Мощность потока сол- " м'пк нечного светового излучения состав- ляет ЯА 1400 (Л ~/Л)' вт/.м"". (1.17) Пондеромоторное взаимодействие между световым излучением и отра- жающим (или поглощающим) свет телом вызывает давление на тело. Сила светового давления зависит от мощности излучения и, по Максвел- лу, при нормальном падении света на тело равна р~ — (Л~/с) (1 + в) = 0,464 )( )& t; 1 ' (Л~/ )' 1+ в) кГ/ (1.18) 04 дб бф где с — скорость света, я — коэффи- циент отражения тела (для абсолютно черного тела я =О, для идеального зер- кала, в=1). На орбите Земли макси- (при я =1) составляет р — 0,928 ~ Рис. 1.4. Распределение интенсивности светового излучения Солнца на орбите Земли (сплошная кривая) и черного тела при 5800 'К (пунктирная кривая). мальное давление солнечного света >(1 -' кГ м' [1 11 При полете вблизи небесных тел существенными являются также энер- гетические потоки от собственного теплового излучения тела (см. значения температуры поверхности небесных тел Т, в табл. 1.2) и отраженный от по- верхности тела поток солнечного излучения. Последний определяется зна- чением альбедо поверхности небесного тела А — отношением отраженного светового потока к исходному (см. также табл. 1.2). По сравнению со всеми перечисленными основными энергетическими по- токами в межпланетном пространстве тепловое излучение космоса, соответ- ствующее температурному уровню Т„=4 'К, пренебрежимо мало: 9~„ж1,5 ° 10 5 вт/м2. (1.19) Баланс суммарного воздействия всех отмеченных энергетических пото- ков и внутренней энергии (рассеиваемой телом) определяет тепловой режим тела в космическом полете. Например, максимальная эффективная темпера- тура Т, абсолютно черной и теплопроводной сферы, движущейся вблизи поверхности небесного тела и не имеющей внутренних источников энергии, может быть оценена соотношением 1/ Т = ~~(1+А) Т~~+ — 'Т~ (1.20) где из — „'угол, под которым видно Солнце, и, — угол, под которым видно небесное тело. 
УСЛОВИЯ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА Д~ = 10 "ш ""' м ' ° сек 1, (1. 21) где в приведено в граммах, В' — интенсивность полного потока метеоров с массой, большей т. Что касается воздействия метеорных частиц на преграду, то существуют различные воззрения, связывающие толщину пробиваемого материала с импульсом тг либо энергией — тг' метеорной частицы ([1.112 — 1.121] 2 Наряду с энергетическими потоками, существенными для проблем ме- ханики космического полета являются радиационные потоки в космосе, представляющие биологическую опасность и требующие определенных затрат массы на защиту. Помимо указанного выше корпускулярного излу- чения Солнца, существенными являются космические лучи, образованные ядрами атомов, с энергиями до — 10" ьв; удельная мощность потока кос- мических лучей — 7 10 ' втlм', интенсивность -6 10' -м' сек-'. Магнитное поле у небесного тела приводит к образованию специфиче- ских магнитных «ловушек», существенно усиливающих радиационные по- токи. Например, у Земли такие «ловушки» образуются магнитным полем от- носительно небольшой интенсивности, которое оказывает малое силовое воздействие непосредственно на летя- щий космический аппарат. Так, на гео- магнитном экваторе горизонтальная составляющая магнитного поля Земли достигает -3,1 10 ' вбlм', на геомаг- нитных полюсах вертикальная состав- ф щ' Рl Р ~и дюжая ляющая равна -6,3 10-' вбlм'. Однако зто поле является причиной образова- ния у Земли радиационных поясов с высокой интенсивностью заряженных частиц (рис. 1.5), представляющих зна- чительную биологическую опасность [1.75 ]. 1РО 3. Метеорные потоки. Движущие- ся в солнечной системе метео рные /О потоки могут потребовать существен- рис. 1.5. Радиационные пояса земли — ~ри- ных затрат массы на защиту от них эле- вые постоянной интенсивности зарегистри- рованных частиц. ментов космического аппарата, а ха- рактер распределения интенсивности метеорных потоков в солнечной системе может оказать влияние на выбор целесообразных траекторий полета. В настоящее время метеорные потоки изучены в окрестности Земли ме- тодами фотоизмерений, радиоэхоизмерений и непосредственными измерени- ями на спутниках ([1.112, 1.113] и др.). Измеренный интервал скоростей ме- теоров составляет от — 11 до 72 км/сек. Нижний предел равен скорости вы- хода из сферы притяжения Земли; это скорость, которой обладает метеорная частица, приблизившаяся к поверхности Земли из состояния покоя отно- сительно Земли. Верхний предел равен максимальной скорости относительно Земли, которой может обладать метеорная частица, двигавшаяся по замкну- той орбите вокруг Солнца. Средняя скорость метеорных частиц вблизи Земли, по оценке [1.114], изменяется в пределах от -15 до 28 км/сек, возрастая с увеличением массы частицы т (рис. 1.6). Интенсивность метеорного потока Й' существенно зависит от массы ча- стиц и, по данным [1.112 — 1.114], вблизи Земли может быть представлена за- висимостью 
22 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 и др.). Однако конечные результаты расчетов по указанным методам, увя- занные с лабораторными исследованиями процесса столкновения быстрых частиц с мишенями, дают достаточно совпадающие результаты по величине потребной толщины защитной стенки О в зависимости от допустимой интен- сивности пробоев Й'(О). Пример зависимости Й'(О) для стальной защитной стенки приведен на рис. 1.7, где кривая 1 соответствует о[то), кривая 2 1 соотвехаувуех Ь вЂ” тр'). Следует отметить, что приведенные на рис. 1.7 зависимости получены на основе соотношения (1.21) для полетов вблизи Земли, где аппарат огражден l т,г Рис. 1.6. Скорость метсорных частиц. Рис. 1.7. Интенсивность метеорпых проооев стальпой стенки. (О'ЯТ)" ехр ( — Й'ЯТ) рг) = [1. 22) где ~ — вероятность пробоя стенки площадью Я за время Т метеорными частицами и раз. Например, при Й'ЯТ=1 вероятность одно-четырехкратного пробоя метеорами стенки составит 0 0,3679 1 0,3679 3 0,0613 4 0,0153 2 0,1840 (4 0,9964 Соотношение (1. 22) и данные типа приведенных на рис. 1.7 позволяют оценить потребную массу защиты космического аппарата от метеорной опас- ности с заданной надежностью. $ 4. Внешнее сопротивление космического аппарата и его двигательной установки при полете в атмосфере Для обобщенного космического перелета с поверхности планеты старта через космическое пространство к поверхности планеты назначения харак- терно существенное изменение вдоль траектории полета плотности, давления и температуры внешней среды — параметров, определяющих вектор дей- ствующих на аппарат внешних сил Г (см. (1. 1)); и возможности пополнения массы рабочего тела забором из внешней среды. Особенно существенное зна- от метеоров с одной стороны Землей. Поэтому мох~но ожидать, что на рас- стоянии от Земли порядка нескольких ее радиусов приведенная интенсив- ность пробоев Й'(8) возрастает примерно вдвое. Для определения ожидаемой метеорной опасности можно принять [1.114], что пробой стенки метеорными частицами будет подчиняться распределению Пуассона: 
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ чение для механики полета эти параметры имеют в непосредственной бли- зости к поверхности планеты, в ее атмосфере. Величины плотности и давления в атмосферах планет резко падают с высотой. На рис. 1.8 [1.122~ приведено распределение плотности ~, давления в„и температуры Т„по высоте Й в ат- мосфере Земли; там же нанесены определяемые высотой значения скорости звука д и кинематической вязкости ~. ~лЗ ~р .Д„г /О ' ~, юг/м~ Я~0 Т,'6 500 а, м/се~ / и, м "/се~ д-/ ц-5 Иб ЗОО 10 Рис. 1.8. Параметры атмосферы Земли. На этапе движения космического аппарата в атмосфере планет аэро- динамическое сопротивление может оказывать существенное влияние на ме- ханику полета. Типичными компоновочными формами космических двига- тельных систем являются тела вращения без протока и с протоком. Рассмот- рим основные закономерности аэродинамического сопротивления тел такой формы. Аэродинамическое сопротивление тела Р (см. ниже (2. 2)) характе- ризуется коэффициентом сопротивления 3 (1.2 ) (1.24) с =с х хс хр где ри'/2 — скоростной напор набегающего внешнего потока, Я' — харак- терная площадь, например площадь миделевого сечения тела. Для заданной геометрии тела величина коэффициента аэродинамического сопротивления с в основном зависит от двух безразмерных параметров [1.123~: числа Маха полета Яо=и/а и числа Рейнольдса К~э=иЬ/~ (Ь вЂ” характерный линейный размер, например длина тела, ~ — кинематическая вязкость в потоке на- бегающего воздуха) или соответственно от скорости г и высоты полета Й, так как скорость звука д= ~/х~„/э и кинематическая вязкость ~ =/'(Т) опре- деляются высотой полета (см. рис. 1.8). В качестве иллюстрации на рис. 1.9 приведен пример изменения коэффициента аэродинамического сопротивле- ния с от скорости и высоты полета для типичной компоновки ракетного ап- парата [1.124 ~. Величина коэффициента аэродинамического сопротивления опреде- ляется двумя слагаемыми: суммой коэффициентов сил трения и давления внепт- него потока на тело: 
24 ОСНОВНЫЕ 11АРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 П ри дозвуковых скоростях движения ([~[ ( 1) основную часть сопротив- ления тел обтекаемой формы определяют силы трения (см. нижнюю пунктир- ную кривую на рис. 1.9). Величина сопротивления трения может быть оце- нена по коэффициенту трения для плоской плШстины (Я вЂ” площадь поверх- ности): (1. 5) Ф.В которыи для турбулентного пограничного слоя на теплоизолированной по- верхности определяется следующей формулой [1.123 — 1.133]: 0,0905 с~ —— (1д 0,0355 Йе)' ' с~ —— ср (1+ 0,144Д„-')-' " (1. ) Первый множитель этой формулы учитывает зависимость коэффициента О Рис. 1.9. Зависимость коэф- фициента аэродинамического сопротивления от скорости и высоты полета для типичной компоновки ракетного аппарата; нижняя пунктирная кривая— сопротивление трения при 6=0. трения от числа Рейнольдса при Я,=О (рис. 1.10, а) [1.126], второй множи- тель формулы (1.26) учитывает влияние числа Маха (рис. 1.10, б) [1.133]. Следует отметить, что формула (1.26) определяет значения коэффициента трения, отнесенные к «смоченной» поверхности Я. Коэффициент трения с Ф.Ф у~ Ф' отнесенныи к площади миделевого сечения тела Я, определяется соотноше- нием с, = с~Я/Я (1. 7) При сверхзвуковых скоростях движения (рис. 1.9) коэффициент сопро- тивления резко растет и большую часть сопротивления обусловливают силы давления, связанные с волновым обтеканием тела (см., например, [1.128; 1.134 — 1.137] и др.). Определение при сверхзвуковых скоростях движения величин коэффициента волнового сопротивления с обтекаемых тел хр вращения возможно на основе общей теории сверхзвуковых течений [1.128; 1.133 — 1.151]. При больших скоростях в связи с особенностью гипер- звукового обтекания тонких тел (наблюдаются лишь поперечные смеще- ния частиц газа, аналогичные случаю расширения поршня) для анализа изменения с„удобно использовать хорошо изученные автомодельные дви- жения газа, вытесняемого поршнем [1.123, 1.133, 1.152 — 166] и др.). По за- кону плоских сечений [1.161] задача об обтекании тонких тел потоком газа 
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ $4] ПРЯМ ,МФд фЮР дйИ~ ~ Ю ~5 ГГ5Л 4 5б' 8 Ю (5 3 153 С, иаЫ ЮРЫР Ю 8 йв ~ю' у гг~з ~ хю в~в' р гг,юз ~ в оке а) с, с,, отца Рис. 1.11. Закон плоских сечений: в пло- скости А — движение газа, как при вы- теснении эквивалентным поршнем; 1— поршень, 2 — ударная волна. Рис. 1.12. Коэффициент волнового сопротивления при Э=5', 10' и 15'. 1(б 124 Рйс. 1.13. Коэффициент волнового сопротивления тел вращения степенной формы (объем ~ и коэффи- циент сопротивления с~~ отнесены к соответствующим значениям для тела конической формы (т=1~ с таким же удлинением). Рис. 1.10. а) Зависимость коэффициента турбулентного трения плоской пластины от числа Рейнольдса при М,=О; сплошные кривые соответствуют первому члену формулы (1.26), точки — эксперимент', ~) влияние числа Маха на коэффициент трения; сплошная кривая соответствует второму члену фор- мулы (1.26). 
ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 с большой сверхзвуковой скоростью (рис. 1.11, а) эквивалентна задаче о плоском неустановившемся движении газа, вытесняемого подвижным порш- нем, расширяющимся по соответствующему закону (рис. 1.11, б). В качестве примера приложения указанных принципов на рис. 1.12 приведены результаты расчета изменения коэффициента волнового сопротив- ления с тел конической формы в зависимости от угла наклона поверхности конуса д и числа Маха[1.160, 1.162]; для сопоставления на рис. 1.12, помимо решения по расширяющемуся поршню, приведены результаты точного рас- чета для конических течений. Данные рис. 1.12 показывают характер влия- ния скорости движения (числа Маха) и удлинения Я/~ носовой части А =Л lг,= = с$д ~] на величину ло- 7 бового сопротивления. Исследования автомо- дельных движений газа с ударными волнами, рас- 0 г б ширяющимися по степен- ному закону г=с~'" [1.163— г 1.165], позволили опреде- лить для больших чисел Ц, д,Г влияние на с„перехода от конической формы тела к степенной форме г=сх"' с ббльшим объемом и (рис. сс' 1.13). Данные рис. 1.13 показывают, что при за- данном удлинении носовой части тела степенной фор- мы минимум волнового сопротивления имеет место при показателе степени т=0,70; волновое сопро- тивление тела такой фор- мы примерно на 25% меньше, чем у конуса, при объеме, большем на — 25%. Отметим, что для тел степенной формы вследствие затупления носовой части (увеличивающегося для т ( 1; при т —: 0,5 — случай цилиндрического силь- ного взрыва) с увеличением относительного затупления следует учитывать возрастающее влияние на параметры оотекания слоя потока с повышенной энтропией у поверхности тела [1.166 ]. Однако, по данным работы [1.166 ], в рас- сматриваемом диапазоне 1 ) т ) 0,65 это влияние незначительно (рис. 1.14). Тело вращения степенной формы г=сх™ при т=0,75 оказывается опти- мальным по волновому сопротивлению и при использовании известной при- ближенной зависимости для относительного давления й на контуре тела (под- робнее см. [1.163, 1.167 — 1.171]): ьГ ц75 Рис. 1.14. Влияние слоя потока с повышенной энтропией на па- раметры гиперзвукового обтекания тела вращения. Сплошные кривые — точный контур тела, пунктирная — контур тела без учета энтропийного слоя. Я1Я2 ~ ° р" я1п'д„ (1.28) где р =,, (с равно среднему значению П по площади ыиделя), д. — мест- Р— Ря хр Ф ный наклон контура поверхности тела, й„ и 9„ — относительное давление и наклон в фиксированной точке, например на носике. Использование соотношения (1.28) позволило показать, что учет сил трения [1.163] незначительно изменяет контур оптимальной носовой части (рис. 1.15) (см. также [1.179]). Форма оптимального контура тонкого тель 
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ вращения с учетом сил трения при постоянном значении местного коэффи- циента трения с~ —— сопзс определяется соотношением [1.163) Ср ~з Ср Ь 2й 2й д2+ 7. + 1 1п с~ /з 2й с, ср Р» — '+ —,,„, Й= ~„;1~ . (1. 29) 1 ~ь С~ /з ~3— 2Й Использование соотношения (1.28) позволило также определить оптималь- ные формы носовой части тел вращения при заданном объеме [1.163~, ко- торые оказались близкими к степенным формам и определяются уравнением с ~г Иг (1. 0) ~~1 -~- Аг2 О Для тел вращения с протоком величина внешнего волнового сопротив- ления зависит от относительного радиуса входа г,=г,!г„пример зависимости коэффициента сопротивления с, от г, показан на рис. 1.16 [1.163~. ЮЕ Р8 Рис. 1.16. Коэффициент волнового сопро- тивления тела с протоком в функции Отно- ситсль_#_ ого радиуса входа тд(~, (с~р отнесено к кольцевой площади миделя). Рис. 1.15. Влияние сил трения на форму опти- мального контура носовой части тела вращения. Сплошная кривая — оптимальный контур с уче- том трения, пунктирная — без учета [2.1651. В целом результаты исследования оптимальных форм тел вращения на базе приближенных теорий, а также на основе теории автомодельных ги- перзвуковых течений показали, что при одинаковом удлинении А=А!г тела вращения степенной формы г=сх'" с показателем степени т=0,6 — '0,75 при большем объеме должны обладать лобовым сопротивлением значительно меньшим, чем заостренные тела типа конуса, а также меньшей твплопереда- чей. Однако приближенные теории при умеренных сверхзвуковых значениях числа Маха Я, требуют значительных уточнений. Развитие вычислительных методов позволило точно решить задачу о сверхзвуковом обтекании тел вра- щения степенной формы [1.172 — 1.175 ~. На рис. 1.17 — 1.20 приведены результаты точного численного расчета коэффициента волнового сопротивления при сверхзвуковом обтекании тел 
28 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 вращения степенной формы г=сх с показателями степени т=0,65; 0,70 и 0,75. На рис. 1.17 — 1.19 сплошные кривые рассчитаны по методу характе- ристик и явной конечноразностной схеме типа Лакса — Вендрова [1.173, 1.174 ], пунктирные кривые — по неявной схеме [1.172 ], штрих-пунктирные— по автомодельному гиперзвуковому решению [1.163 — 1.165]. При построе- нии графиков рис. 1.20 использованы результаты работы [1.172]. Результаты точных расчетов параметров сверхзвукового обтекания тел вращения степен- ной формы по указанным методам практически совпадают. Течение около степенных тел имеет сложный характер, с большими градиентами параметров (особенно плотности и температуры вблизи поверхности тела при больших Рис. 1.17. Коэффициент волнового сопротивления при т=0,65. удлинениях), связанными с наличием тонкого вихревого слоя. Эти особен- ности специально учитывались при проведении численных расчетов. Анализ данных рис. 1.17 — 1.20 показывает, что для больших чисел Маха Я и больших удлинений Е минимум волнового сопротивления имеет степен- ное тело с показателем степени т=0,70; для умеренных и малых сверх- звуковых скоростей у оптимального тела степенной формы т=0,6 — '0,65. Конус и затупленный конус, а также параболический контур г=1 — (1 — х)2 и головка Кармана г = ](2/~) ] агсяп ~я — (1 — 2х) ~х(1 — х)]] ~' имеют боль- шее волновое сопрот вление, чем рассмотренные степенные тела при всех значениях М, и Е (рис. 1.21). На рис. 1.22 приведено рассчитанное изменение волнового сопротивле- ния тел вращения степенной формы в зависимости от относительного объема пlп*, где объем тела и и коэффициент волнового сопротивления с „отнесены к соответствующим значениям ~* и с* для конического тела того же удлине- ния. Видно, что зависимость, определенная для гиперзвукового автомодель- ного режима обтекания, хорошо выполняется и для умеренных сверхзвуко- вых скоростей набегающего потока. Для оптимальных по аэродинамическому сопротивлению тел вращения степенной формы по сравнению с конусами и другими заостренными фор- мами (параболическое оживало и др.) из-за влияния энтропийного слоя имеет место благоприятное по теплопередаче и сопротивлению трения рас- пределение поля плотностей ~, температур Т и скоростей г по контуру тела [1.163, 1.170, 1.171]. На основе проведенных точных расчетов на рис. 1.23 приведены распределения относительных значений плотности р/р*, скорости иЪ* и соотношения (рЫр*и*)Я~ЯВ*)-О ' по контуру тела при 1=6,0 и 
А:) РОДИ НАМИЧЕ СКОЕ С ОПРОТИВЛЕ Н И Е Рис. 1.18. Коэффициент волнового сопротивления при т=0,70. Рис. 1.19. Коэффициент волнового сопротивления при т=0,75. с М =4 М = 0 Рис. 1.20. Коэффициент волнового сопротивления при больших удлинениях, ~ ~ 15. 
30 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ т=0,65 и т=0,75 в зависимости от Д, (все величины отнесены к соответ- ствующим параметрам для эквивалентного конуса с тем же удлинением). Для турбулентного обтекания тела, по данным И.176], коэффициент теплопередачи пропорционален местным значениям ~г Яе-О' на границе ~~р и» =Оба б 8 Рис. 1.21. Сопоставление коэффициентов волнового сопротивления тел вращения различной формы. с~ с~ дб lд Рис. 1.22. Волновое сопротивление тел вращения степенной формы в функции относительного объема Ы~, числа Маха М, и удлинения ~. пограничного слоя (при ламинарном обтекании рг Ке-О ~). Коэффициент турбулентного трения, как известно, пропорционален коэффициенту тепло- передачи. Данные рис. 1.23 показывают, что с увеличением числа Я у тел вращения степенной формы существенно уменьшается теплопередача и сопротивление трения по сравнению с эквивалентным коническим телом, 
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ $ 4] ЦФ ру /6 09 /б Яд 07 Об Об 0,5 0Г 04 0,б 0,б х~1. 02 04 0,б 0,В х~~ 4ф р"ы йе б,б ОГ 0,4 0,б 0д 1~Е ОГ 04 0,б 0,б х~1 Рис. 1.23. Распределение по контуру тел степенной формы относительных значений плотности р/р*, скорости ю/ю* и параметра, определяющего коэффициент теплопередачи тела при турбулентном обтекании, с телами других известных форм) минимальное лобовое сопротивление (на 25О~~ меньше, чем у эквивалентного острого конуса) и малую теплопере- дачу, что хорошо согласуется с данными параметрических экспериментов (1.170, 1.171, 1.177, 1.178]. Аналогичное уменьшение теплопередачи, как известно, имеет место при переходе от острого к затупленному конусу с тем же удлинением. Однако затупленный конус при этом имеет значительно большее волновое сопро- тивление (рис. 1.21). Основной результат точных расчетов И.172 — 1.175, 1.179]: при сверх- звуковом обтекании тела вращения степенной формы имеют (по сравнению 
ГЛА8А 2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕМЕНТОВ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ я 1. Реактивные движители 1. Реактивная тяга и внешнее сопротивление. Реактивный движитель является завершающим элементом двигательной системы, в котором полез- ная часть выработанной источником энергии, превращаясь в кинетическую энергию направленного движения реактивной струи, создает реактивную тягу Р. Сумма реактивной тяги и силы сопротивления среды равна интегралу по,'замкнутому контуру (например, по контуру аппарата) от составляющих давления р, напряжения трения ~' и изменения количества движения: Р+К,=-ф((',.сов(Г,, х(Шд,.+[раоя(п, х(+ ~я!п(п, х((ШЯ[, (2.Ц где и — направление нормали к контуру, тяга направлена по оси х. При по- лете в атмосфере условились (см., например, [2. 1]) в качестве силы внешнего сопротивления Р принимать интеграл напряжения трения и давления, избыточного над атмосферным р„, по внешнему контуру аппарата АА1В1В вне реактивных струй и расхода д„, забираемого из внешнего потока (рис. 2.1, а и б): г", = [(р — в„) соя (и, х) + ~~ я1п (и, х)~ ИЯ. (2. 2) Тогда по определению (2 1), (2.~2), с учетом отсутствия расхода (д,.=О) по контуру аппарата АВ, реактивная тяга при полете в атмосфере равна (см., например, [2. 2~ и др.) Р= [['. соя(['., х) Ид +(р — р„) соя(п, х) ИЯ]=дГ,+(р — р„) ~, — д г, (2. ) где р„Г, — средние давление и скорость в сечении реактивной струи по ВА, ~, — площадь сечения реактивной струи. Такое общепринятое разделение силы, действующей на реактивной ап- парат, на тягу и сопротивление, естественно, является условным. Так, на- пример, сила донного давления на участках аА и ОВ (рис. 2.1) аппарата, во многом определяемая реактивными струями ([2. 3] и др.), т. е. тягой, при указанном разделении относится к силе сопротивления. Однако принятое разделение между тягой и сопротивлением имеет определенный физический смысл, четко переходит в предельные случаи (отсутствие сопротивления или тяги), а некоторая возможная корреляция между ними должна быть учтена при детальных анализах. 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ При полете В космосе, где сопротивление среды практически отсутствует (Р=О), выражение для реактивной тяги упрощается; при ~„=0 и д,=О Р„= д Г, -]- р,Я,. (2. 4) Рис. 2.1. Схемы реактивных аппаратов: а) без воздухо- заборника; б) с воздухозабор ником. Рис. 2.2. Классическая схема течения в сверхзвуковом сопле. газа ~ „„„естественно, равна средней скорости теплового движения мо- лекул покоящегося газа; для совершенного газа значение ~ „. „опреде- ляется известным газодинамическим соотношением ( .5) рде к — показатель адиабаты, равный для одно-, двух- и многоатомных га- зов соответственно 1,66, 1,40 и 1,33, Я вЂ” газовая постоянная. Эта максималь- ная скорость значительно (в (~+1)'~(х — 1) '~ раз) больше критической ско- рости звука в газе а„=(ЯТ, 2к/(к+1)]'~; поэтому для достижения больших скоростей истечения реактивные сопла должны быть сверхзвуковыми. Клас- сическая схема сверхзвукового осесимметричного сопла представлена на рис. 2. 2. В соответствии с газодинамической теорией одномерных газовых тече- ний ([2. 5, 2. 7] и др.) относительная скорость газа >,=Г,/а на ср зе идеа ного сверхзвукового сопла без потерь и с равномерным осевым потоком оп- ределяется отношением площади критического сечения сопла Я „(узкое се- чение, где скорость газа равна критической скорости звука д„) к площади среза сопла Я,: ( ) Показано, что для газового потока с расходом д полный импульс равен ( .7) 3 Механика полета 2. Реактивные сопла. В тепловых реактивных двигателях движителем, создающим тягу, является реактивное сопло, превращающее тепловую энер- гию газа в кинетическую энергию направленной газовой струи. Физические принципы работы реактивного сопла как движителя могут быть в основном пояснены на основе газодинамической теории ((2. 2 — 2.16] и др.). Мерой тепловой энергии газа является так называемая температура торможения Т, — температура газа при отсутствии направленной скорости течения, К,.=О. Максимально возможная скорость направленного движения 
~ГЛ. 2 Физические пРинципы двиГАтельных систем где з (~)=~+1/~. По уравнению расхода для одномерных газовых течений величина расхода газа через идеальное реактивное сопло составит (2. ) где ро — полное давление заторможенного газа на входе в сопло. Поэтому в соответствии с уравнениями (2. 7), (2. 8) величина реактивной тяги, создаваемой идеальным соплом при полете в космосе, которая совпа- дает с величиной полного импульса газового потока ~ на срезе сопла (ср. (2. 4) и (2.7)), будет равна Отметим, что тяга (2. 9), создаваемая реактивным соплом при полете в ва- кууме, не зависит от температуры газа Т и определяется только полным дав- лением газа ро, площадью критического сечения ~Г„и степенью расширения сопла ~Г,/~Г„(определяющей ~, и з (~,)). С увеличением степени расширения идеального сопла при фиксированных в и ~Г„создаваемая им реактивная тя- га В Вакууме непрерывно растет, достигая теоретически максимума при ~Г,/~Г„~ со, когда скорость истечения газов из сопла становится максимально возможнои: (2. 10) (2. 11) Последнее соотношение показывает, что для фиксированных в, и ~ максимальная тяга, развиваемая реактивным соплом при полете в вакууме, также фиксирована. Температура газа на входе в сопло Т, при фиксирован- ных р и ~Г„определяет расход газа через сопло (см. (2. 8)); с увеличением тем- пературы газа Т при постоянной тяге уменьшается расход газа д и соответ- ственно увеличивается удельный импульс двигательной системы. при ~,= ~~,„, ),„,„=(к+1) (г+1) я реальных соплах за счет потерь на трение газового потока о стенки чрезмерное расширение сопла нецелесообразно, так как при больших сте- пенях расширения дополнительные потери на трение при дальнейшем рас- ширении (и соответственно увеличении площади поверхности) превалируют над приростом тяги от расширения сопла. Аналогично влияет и учет инер- циальных сил при ускорении аппарата. Учет потерь на трение газа в сопле определяет рациональную степень расширения реактивного сопла (и соот- ветственно ~, „,), при которой реализуется тяга до — 98% Р„.,„,. (см., напри- мер, [2. 8 — 2. 12! и др.). Газодинамические принципы и вариационные про- блемы построения оптимальных контуров сверхзвуковых реактивных сопел рассмотрены в работах [2.16 — 2.30] и др. С учетом указанных потерь им- пульса Т, в реальных соплах максимальная тяга, развиваемая соплом при полете в вакууме, определится соотношением 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ Для нахождения величины реактивной тяги, создаваемой соплом при полете в атмосфере (для простоты рассматривается случай д,=0), необходимо из определенного значения тяги в вакууме (2. 11) вычесть член, учитывающий влияние атмосферного давления р„(см. (2. 3)); тогда (2. 12) роч Рс) Подчеркнем, что тяга, развиваемая реактивным соплом при фиксирован- ных значениях р, Я и »,„ возрастает с увеличением высоты полета при- мерно на — 10 — 30%, достигая максималь- ного значения Р, в космосе. гД,) Зависимость газодинамических функ- ~~~') ций г(л,) и д(л,) от Х, приведена на рис. 2,3. Эти функции изменяются по», так, что для фиксированных значений р„р„, ф реактивная тяга Р достигает максимума при такой степени расширения сопла с~,/Я „и таком соответствующем значении скорости истечения Г, (),,) = У (),,), при которых статическое давление в струе на срезе сопла р, равно атмосферному давлению: при р,=р„ Рис. 2.3. Газодинамические функции Слс) и я (лс). (2. 13) Это так называемый расчетный режим работы сопла. Для фиксированного сопла (~ „/~~,=сопз1) при изменяющихся перепадах давления р,/р„(напри- мер, р,= сопя~, р„изменяется с высотой) только на расчетном режиме при р„= р, реактивное сопло обеспечивает максимально возможную тягу Р/Р„,„=1. На реялп|ах ниже расчетного (р,/р„(р,/р,) и выше расчетного (р,/р„) р„/р,) тяга, создаваемая соплом, будет меньше максимально возможной (Р/Р„,„. 1), реализуемой в случае, если бы на этих режимах применялось сопла с рас- четным расширением. По соотношениям (2. 12), (2. 13) на рис. 2.4, а приведен пример изменения относительной тяги х+ 1 ~~~р~с (» ~-1)*-~ род (». ) (2. 14) Рд шах в зависимости от перепада давления ро/р„для сопла с»,=1,89 и Т,, 0,99 [2.24]. Следует отметить, что показанные на рис. 2.4 значительные рассчи- танные потери тяги на режимах ниже и выше расчетного не связаны с течением внутри сопла, где течение и распределение давления (рис. 2.4, б) неизменны. Указанные потери тяги физически связаны с волновыми потерями в системе газодинамических скачков уплотнения, образующихся в струе за соплом на нерасчетных режимах истечения (см. рис. 2.5 (2. 31]). При реальных течениях газа неизменность сверхзвукового потока внутри реактивного сопла классической схемы, с учетом которой определяется от- носительная тяга по формуле (2.14) (см. рис. 2.4), имеет место во всем диапа- ~ф 
[ГЛ. 2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ зоне режима выше расчетного и в значительном диапазоне режима ниже расчетного вблизи расчетного значения перепада давления на сопле. С умень- шением перепада давления на сопле р,ф„на режиме ниже расчетного воз- растает перепад давления р„/р, в газодинамическом скачке уплотнения на Р 'р О Ф Рис. 2.4. Относительная тяга (а) и распределение давления (б) для сопла с ~с — — 1,89. срезе сопла (так как отношение давлений р,/р,=сопз$); после достижения критического значения ф„ф„)„интенсивный скачок уплотнения вызывает отрыв пограничного слоя на стенках сопла и изменение картины течения „'л Рис. 2.5. Картина течения за соплом на режиме выше расчетного: а) снимок'.с.оптической решеткой; б) то же без потока внутри сопла (см. схемы течения на рис. 2.6 ~2. 32]). Приведенные на рис. 2.7 по данным [2.32, 2.33] значения критического перепада давле- ния в скачке уплотнения (р„/р,)„иллюстрируют для сопла классической схемы ширину безотрывного диапазона перепадов давления на сопле на режиме ниже расчетного, где сохраняется неизменным сверхзвуковое тече- ние,'',внутри сопла и где справедливо определение потерь тяги по фор- муле (2. 14). 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ После наступления отрыва потока в сопле давление на стенках сопла в зоне отрыва повышается (по сравнению с расчетным давлением) и соот- ветственно уменьшаются потери тяги. Это явление особенно сильно проявля- ется в сверхзвуковых соплах с центральным телом. На расчетном режиме и на режимах выше расчетного течения в сверхзвуковом сопле с центральным Рис. 2,6. Схема течения на режиме ниже расчетного: а) течение без отрыва; б) течение с отрывоы потока от стенок сопла. Рис. 2.7. Критический перепад дав- ления в скачке уплотнения, вызываю- щий отрыв турбулентного погранич- ного слоя на срезе сопла, в функции относительной скорости потока на срезе. телом (рис. 2.8, а [2.24]) принципиально не отличается от течения в сверх- звуковом сопле классической схемы. Однако на режимах ниже расчетного попадающий и отражающийся от центрального тела скачок уплотнения (идущий от среза обечайки сопла) вызывает существенное повышение дав- ления на центральном теле (рис. 2.8, б), интенсифицирующееся отрывом по- тока при взаимодействии скачка уплотне- ~ь ния и пограничного слоя. Такие сопла имеют небольшие потери тяги на режиме ниже рас- четного. На рис. 2.9 показан пример харак- ~Ь теристики реактивного сопла с центральным телом с ро/р,=165 [2.34]; пример компонов- ГР ки ракеты с таким соплом см. в [2.35]. о~ 3. Движители ЖРД и РДТТ. 4 октября дни~о 1957 г. впервые в мире в СССР был осуще- ~~цН ствлен вывод искусственного спутника на орбиту вокруг Земли. Так началась косми- ческая эра в истории человечества, опираю- щаяся на фундаментальные работы советских Ф ученых и конструкторов, впервые создавших у ~ аффективные ракетные двигатели [2.36, 2.37]. У жидкостных ракетных двигателей (ЖРД) и ракетных двигателей твердого топ- ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~-с лива (РДТТ) собственно движителем являет- ся реактивное сопло. В рамках газодина- мической теории величина реактивной тяги, создаваемой соплом как движителем, опре- деляется по формуле (2.12) с учетом указан- ных поправок на влияние отрыва потока на режимах ниже расчетного (вклю- чаемых, например, в величину потерь импульса сопла т,.). Результаты, по- лученные в газодинамической теории, справедливы для химических тепло- вых реактивных двигателей, при температурном уровне которых влияние диссоциации, ионизации и рекомбинации газового потока (не учтенное в из- ложенной теории) не является определяющим. Типичными представителями таких космических двигателей являются жидкостные реактивные двигатели (ЖРД) и ракетные двигатели твердого топлива (РДТТ), у которых реактив- ное сопло является стержневым конструктивным элементом [2.36 — 2.69]. Вследствие конструктивной и газогидродинамической взаимосвязи элементов 
0,8 Рис. 2.9. Относительная тяга, развивае- мая соплом с центральным телом с ~ефе= = 165, в зависимости от высоты при =3,5 ° 10' кг/м' (сплошная кривая — акс перимент, пунктирная — расчет для сопла классической схемы). Рис. 2.8. Схема течения в сверхзвуковом сопле с центральным телом (~с=1,68). Гари~ее Рис. 2.10. Жидкостный реактивный двигатель ВТ 10А-3 второй ступени ракеты «Сатурн-1» (горючее— жидкий водород, окислитель — жидкий кислород): 2 — охлаждаемая излучением часть сопла, 2— охлаждаемая горючим часть сопла, 3 — камера сгорания, 4 — сисгема подачи горючего и окислителя. 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ у ЖРД нецелесообразно раздельно анализировать массы сопла (движи- теля), камеры сгорания и системы подачи рабочего вещества. Согласно соотношениям (2.11), (2.12) максимальная тяга ЖРД пропор- циональна полному давлению газа в камере сгорания р0 и площади крити- ческого сечения сопла Я „: (2.11') Ршах т00~ а' Масса сопла-движителя (являющегося одновременно системой отвода энергии, см. рис. 2.10) из условий статической прочности должна была бы быть пропорциональной произведению В0 ф'„~, однако из-за улучшения кон- структивных качеств с увеличением размеров двигателя масса возрастает медленнее, чем куб характерного размера, примерно пропорционально р00Г,. Аналогично изменяется и масса камеры сгорания ЖРД, являющейся энергоисточником и энергопреобразователем (см. ниже ~ 2 этой главы). Для ЖРД масса системы подачи рабочего тела должна быть пропорцио- нальна расходу д, величина последнего, по соотношению (2.8), также пропорциональна произведению Ц00Г„. Поэтому для ЖРД примерно можно считать (М,+М,+М„+М,+М,) — р я"„ (2.1 ) и с учетом (2.11) М +М,+ М„+М,+М,=~„Р.„, (2.16) (2.17) На рис. 2.12 в качестве примера приведены значения суммарной удель- ной массы двигательной системы РДТТ по данным работ [2.61, 2.63]. Важным параметром реактивного сопла как движителя является сред- няя эффективная скорость истечения струи из сопла Г и связанная с нею величина удельного импульса двигательной системы 1'. По соотношениям (2.8), (2.12) и (1.4) эти параметры равны (при д,=д) (")" уо э (2.18) При фиксированных параметрах реактивного сопла и высоте полета эф- фективная скорость истечения струи (и соответственно удельный импульс) где т = (М вЂ” М,)~Р „— удельная масса двигателя (для ЖРД М, = 0 и ЛХ, ='О). На рис. 2.11 в качестве примера приведены значения удельной массы двигателей ракет «Сатурн» (см. [2.12, 2.70] и др.); указанные там же данные двигателя ракеты У-2 иллюстрируют прогресс в улучшении характеристик ЖРД за 20 лет. Приведенные на рис. 2.11 характеристики подчеркивают малые значения удельной массы химических тепловых реактивных двигателей на жидком топливе. У РДТТ относительная масса реактивного сопла-движителя составляет примерно т=М ~Р,„— 0,01 кг~кГ [2.61]. Следует отметить, что для РДТТ собственно двигатель и топливный бак представляют собой единую конструк- цию [2.57 — 2.69]. Поэтому для РДТТ характерным является отношение сум- марной массы двигательной системы М и массы топлива М, к развиваемому двигателем полному импульсу РТ (произведение тяги двигателя Р на время работы двигателя Т ): 
[ГЛ. 2 Физические пРинципы двиГАтельных систем 40 определяется составом (Я, х) и температурой торможения газового по- тока ТО. Максимальная скорость истечения для тепловых реактивных двигателей ограничена, например, для химических двигателей — максимальной тем- пературой, достижимой при химических реакциях, Т, (см. ниже $ 2), воз- можностью выбора горючего и окислителя с малым значением мо- лекулярного веса продуктов сго- рания (увеличение газовой постоян- по ной Я) и допустимой температурой конструкции. Поэтому тепловые реактивные двигатели можно клас- 001 сифицировать как двигательные системы с ограниченной скоростью д истечения струи: 1д Ю Я 100 200 Я0 Р, (О, юГ„ +~© т „х рис. й.11. Зависимость удельной массы ЖРд от мак- ~ ма* 2А к ная к ивая — вигатели симальной тяги (пун тир р д 1 — 4 ракет «Сатурн»): 1 — ВЬ 1 ОА-3 (Н~+ О,), 2— Ю-2 (Н,+О,), 3 — Н-1 (керосин+О,), 4 — Р-1 (ке- росин+ О,), б — двигатель ракеты Ч-2 (этиловый спирт 7 5 о~~ + Оз). . (2.19) Как следует из соотношения (2.19), с увеличением высоты полета мак- симальная эффективная скорость истечения из сопла возрастает (соответ- ственно с ростом тяги, см. (2.12)) примерно на 10 — 30о~~ [2.70]. Характерными являются точка старта на поверхности Земли и полет в космосе. У~+ М ~г Р~ кГ 0005 0004 р/К Рис. 2. 12. Зависимость суммарной удельной магсы у~ двигательной системы и запаса топлива РДТТ от средней тяги (тв отнесена к полному импульсу): 1 — сферический Рдтт, а — Рдтт цилиндрической формы, 3 — экспериментальный РДТТ диаметром 4 м, 4 — РДТТ ракеты «Титан-ЗС». Например, для указанных на рис. 2.11 двигателей ракет «Сатурн» мак- симальные значения скорости истечения струи и удельного импульса со- ставляют [2.70 ]: для ЖРД стартовых ступеней на компонентах керосин ]-О, при Й=О Г „о=2550 м/сек, 1; 255 сек; в вакууме Г „=2800 м/сек, 1' 280 сек; для ЖРД космических ступеней на компонентах Н,-]-0, при Й=О у',„о= =3200 м/сек, 1с' — 320 сек; в вакууме Г „=4200 м/сек, 1' — 420 сек. На рис. 2.13 по этим данным, соотношениям (2.12), (2.19) и данным рис. 1.8 приведено примерное изменение с высотой полета тяги, эффективной скорости истечения струи и удельного импульса высотного ЖРД. Аналогично изменяются с высотой полета и характеристики РДТТ [2.61, 2.63]. 4. Высокотемпературные тепловые реактивные движители. Для полу- чения величин эффективной скорости истечения и удельного импульса боль- ших, чем достижимые в химических тепловых реактивных двигателях, в литературе обсуждается ряд тепловых двигательных систем с нагревом рабо- чего тела до высоких температур электрическим разрядом либо в тепло- обменнике, обогреваемом ядерным или изотопным реактором, или солнечной 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ энергией ([2.71 — 2.93] и др.). Характерной особенностью таких двигатель- ных систем является очень высокая температура то газового потока на входе в реактивное сопло. При высокой температуре нагрева газа перед соплом большая часть подводимой к движителю энергии (1 — ~т) К&g ;. расходуе ся диссоциацию и ионизацию газового потока. Долю тепловой энергии потока характеризует к. и. д. 7]т, зависимость которого от температуры для различ- ных рабочих тел приведена на рис. 2.14 [2.82]. Для нижней оценки величины эффективной скорости истечения струи и удельного импульса высокотем- пературных движителей принимается (см., например, [2.76, 2.82] и др.), что за короткое время расширения газа в сопле энергия ионизации и диссо- циации не успевает выделиться (так называемое «замороженное» состояние потока). Тогда величина эффективной скорости истечения струи и удельного импульса может быть оценена по фор- муле вида (2.18) с учетом к. п. д. если принять То мерой полной энер- гии газа: У х ~Е Е 05 ~. ~~р Г"Г 1 с~ (~с) р 10 Л~ Л~ ~Р л ~м уо К Рис. 2.13. Высотные ЖРД. характеристики (2.20) (. 1) ЛХ,— ф Ыйи — р, ~ где ~'т — фронтальная площадь теплообменника, ит — Й 2 — число трубок теплообменника на единицу фронтальной площади. По уравнению расхода — р,~~,, поэтому с учетом соотношения (2.13) масса теплообменгика На рис. 2.15, по данным [2.82], приведено изменение максимальной эффективной скорости истечения струи и удельного импульса в вакууме для высокотемпературных реактивных двигателей в зависимости от температуры торможения газового потока для различных рабочих тел. Отчетливо видны преимущества водорода как рабочего тела, обеспечивающего высокие ско- рости истечения при наименьшем потребном нагреве газа. Величина тяги таких двигательных систем (не зависящая от температуры газового потока— см. выше) определяется по формуле (2.12). Примеры схем высокотемпературных тепловых реактивных движителей с теплообменниками, нагреваемыми ядерным реактором [2.84], концентри- рованным солнечным излучением [2.82] или изотопным реактором [2.83] приведены на рис. 2.16 — 2.18. В этих движителях высокотемпературный газовый поток образуется в теплообменнике и разгоняется до больших скоростей истечения в реактив- ном сопле. Аналогично случаю ЖРД, из-за взаимосвязи целесообразно сов- местно анализировать массу теплообменника и сопла. Обобщенная газоди- намическая схема тепловых реактивных движителей с теплообменниками приведена на рис. 2.19. Типовой канал теплообменника, в котором происхо- дит нагрев газового потока до заданной температуры торможения на входе в сопла Т„представлен эквивалентной трубкой диаметром Й и длиной Ь. Как будет показано в ~ 2, заданная степень нагрева газового потока опреде- ляет потребное число калибров каналов теплообменника Ь/Й=йт. С учетом зрозионной стойкости толщину стенки каналов (трубки) О для оценки примем пропорциональной полному давлению: с — р . Тогда масса теплообменника будет пропорциональна 
ДеЯ /ДЦ Рис. 2. 14. Доля ~у тепловой энергии потока прп ~о — 10' кг/м'. ~анЦЕИ~РиРО5аюоЕ Солнечнце иЗлученц~ Рис. 2.18. Схема изотопного теплового РД: 1 — трубопровод системы охлаждения, 2 — тепловая изо- ляция, 3 — канал теплообменника для нагрева рабочего вещества, 4 — реактивное сопло, 5 — капсул~ с радиоактивным изотопом, 6 — клапан системы подачи, У вЂ” подача рабочего вещества. Рис. 2.16. Схема теплового РД с ядерпым реактором: 1 — реак- тивное сопло, 2 — ядерный ре- актор-теплообменник, 3 — си- стема подачи рабочего вещества. Рис. 2.15. Оценка скорости истечения и удельного импульса по схеме «замороженного» газового потока. Рис. 2.17. Схема теплового реактивного движителя с солнечным на- гревом: 1 — подвод рабочего вещества (водород), 2 — дефлектор газа, 3 — соединение кварцевой прозрачной сферы с соплом, 4— реактивное сопло, 5 и 6 — ось вращения и цапфа системы ориента- ции движителя, У вЂ” пористый теплообменник — приемник лучистой энергии, 8 — многослойный экран, 9 — кварцевая прозрачная сфера. 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ пропорциональна максимальной тяге движителя: М, — п,У„- Р..„ (2.22) и, аналогично (2.16), для высокотемпературных тепловых РД с теплообмен- НИКОМ (2.23) М =М,+М,+М,+М,— 7 Р „, где г — обобщенная удельная масса движителя. У ядерных тепловых РД Т с увеличением мощности масса делящегося вещества — энергоисточника (М„) — возрастает незначительно и составляет малую долю массы двигателя, поэтому для ядерных двига- Т3ача~а5счегц телей М,т=М~(М,=О, М,=О). Для изотопных и солнечных тепловых двигателей масса энергоисточ- ника является существенной частью и определяется по данным ~ 2 этой главы. Примерные значения обобщенной удельной массы тт тепловых реактив- ных движителей с теплообменниками указаны в табл. 2.1 [2.75, 2.82, 2.83]. Величина максимальной эффективной скорости истечения струи и удельного импульса для тепло- вых РД с теплообменниками, естественно, зависит от максимально допустимой температуры нагрева газа Т,,„(см. (2.20) и рис. 2.15), которая ограничи- вается допустимой для материалов движителя тем- пературой. Примерные свойства некоторых высо- котемпературных материалов для тепловых РД с теп- лообменниками приведены в табл. 2.2 [2.72]. » ' Указанный в табл. 2.2 максимально допусти- мый уровень температуры стенок теплообменника теплового РД порядка 2800' К ограничивает мак- симальную скорость истечения реактивной струи в движителях с теплообменником: для водорода Рис. 2.19. Газодинамиче- (оптимальное рабочее тело — см. рис. 2.15) в ваку экая схема теплового реак- уме )г 8000 мlсек, 1'=800 сек. тивного движителя с тепло- тах обменпином Я вЂ” тепловой 5. Электротермические реактивные движители ° поток от энергоисточника). Значительно более высокие температуры нагрева и скорости истечения струи реализуются в электро- термических реактивных движителях с нагревом рабочего тела электрическим разрядом — дугой. Первый в мире электротермический ракетный двигатель (рис. 2.20) был разработан, построен и успешно испытан В. П. Глушко в 1929 — 1933 гг. в газодинамической лаборатории (ГДЛ) в Ленинграде [2Л6, 2.37]. В ГДЛ испытывались ЭРД различных схем, проводилисьисследова- ния свойств рабочих веществ — «топлива» для ЭРД (электропроводящих жидкостей и металлов), отрабатывались способы их подачи в ЭРД, была раз- работана мощная высоковольтная импульсная установка для питания ЭРД. Один из основных вариантов ЭРД был выполнен в виде камеры с соплом, в которую подавались металлические проволочки из меди, никеля, вольфрама, свинца и других металлов. Механизм подачи проволочек состоял из двух стальных валиков, приводимых во вращение электромотором. После замы- кания межэлектродного промежутка проволочкой происходил ее взрыв, в результате чего создавалась плазма, которая ускорялась в сопле. Первый импульсный ЭРД работал как в режиме одиночных выстрелов, так и с ча- стотой повторения импульсов до нескольких десятков в секунду. При .по- мощи баллистического маятника в ГДЛ измерялся импульс тяги ЖРД; по импульсу тяги было проведено измерение скорости истечения реактивной 
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Таблица 2Л Значения обобщенной удельной массы для высокотемпературных тепловых реактивных движителей с теплообменниками МТу кг ТТ= 1— Ршах 'кГ Тип движителя — 5 10-2 — 100 150~) С теплообменником, нагреваемым ядерным реактором С теплообменником, нагреваемым изотопным реактором С теплообменником, нагреваемым концентрированным солнечным излучателем *) В ключая массу концентратора солнечной энергии. Т аблица 22 Свойства некоторых высокотемпературных материалов для тепловых РД с теплообменниками ВеО Графит Материал 2800 3900 (суб- лимирует) 1,7 103 210 †4 при 2780' К 3650 Точка плавления, ' К Плотность при 20О С, кг/лР 2,7 10З Кратковременная прочность на разрыв, кГ~см' 70 —:280 при 1500' К 19,1 103 350 —:630 при 2780' К Рис. 2.20. Первый в мире экспериментальный электротермический движитель конструкции В. П. Глушко, 1929 — 1933 гг. и др.), что может обеспечить скорость истечения реактивной струи до Г 25000м/сек, Х' 2500сек [2.81]. Удельная масса электродугового движи- теля, по данным [2.76], составляет примерно т=М ~Р,„10 кгlкГ.Мак- симальная температура нагрева струи, как и у другйх типов тепловых РД, лимитируется допустимой температурой материала стенок движителя. Од- нако предельный уровень нагрева рабочего тела в электродуговом движителе значительно выше, чем в химическом РД или тепловом РД с теплообменни- ком. Важным параметром является к. п. д. движителя и =К/К: отношение мощности направленного движения реактивной струи Г к мощности Г, Т~ струи, которая достигала нескольких десятков километров в секунду.','Прин- ципиальная схема электродугового движителя [2.79] показана на рис..'2.21. Дуга, стабилизированная закруткой подаваемого рабочего тела или маг- нитным вращением, обеспечивает большой градиент температуры газа по радиусу и позволяет нагревать рабочее тело до температур в десятки тысяч градусов при допустимых температурах стенок движителя (см. [2.94 — 2.97] 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ потребляемой движителем. По данным [2.98], при регулировании величины скорости истечения струи Г ирасходарабочего тела д к. п. д. электродугового цвижителя сохраняется примерно постоянным, несколько снижаясь с уве- личением Г (рис. 2.22). Этикачества позволяют при ограниченной мощности питания движителя Г, эффективно регулировать скорость истечения реак- тивной струи Г при примерно постоянной полезной мощности струи Г, что в ряде случаев целесообразно с позиций механики полета (см. ниже). 6. Электродинамические и электростатические реактивные движители. Работы по электрореактивным двигателям, начатые в ГДЛ, нашли свое про- должение в наши дни. Впервые в мире в СССР при реальных условиях по- лета по космическим орбитам и в верхней атмосфере были применены ионные ЭРД на космическом корабле «Восход-1» (1964 г. [2.36, 2.37]), плазменные ЭРД на автоматической станции «Зонд-2» (1964 г. [2.36, 2.37]), плазменно- ионные ЭРД в автоматических ионосферных лабораториях «Янтарь» (1966— 0.8 04 К ЮИ У,м/сею Рис. 2.22. Экспериментальная харак- теристика электродугового движителя; раоочее вещество — гелий. Рис. 2.21. Схема электродугового теплового реактивного движителя: 1 — вводы системы охлаждения. 1971 г. [2.36, 2.37, 2.99 — 2.102], стационарные плазменные ЭРД на искус- ственном спутнике Земли «Метеор» (1972 г. [2.103]). В нашей стране, родине космонавтики, впервые зародились и идеи ЭРД. Великий К. Э. Циолковский еще в 1911 г. писал [2.104]: «Может быть, с помощью электричества можно будет со временем при- давать громадную скорость выбрасываемым из реактивного прибора ча- стицам. И сейчас известно, что катодные лучи в трубке Крукса, как и лучи рация, сопровождаются потоком электронов, масса каждого из которых, как мы говорили, в 4000 раз меньше массы атома гелия, а скорость дости- гает 30 — 100 тысяч км/сек, т. е. она в 6 — 20 тысяч раз больше скорости обыкновенных продуктов горения, вылетающих из нашей реактивной трубы». С позиций механики полета важным свойством электродинамических и злектростатических реактивных двигателей является то, что они позволяют регулировать скорость истечения реактивной струи в практически неогра- ниченном диапазоне, вплоть до уровня релятивистских скоростей. Тепловые реактивные движители создают тягу в результате воздействия гааодинамического давления на стенки движителя. Одновременно с воздей- ствием газодинамического давления газовый поток в тепловом РД отдает стен- кам движителя тепловую энергию, что и лимитирует, как указывалось выше, аффективную скорость истечения и удельный импульс таких движителей. Электродинамические и электростатические движители используют воздей- ствие соответственно магнитного или электростатического давления на стенки движителя, что практически снимает тепловое ограничение на эффективную скорость истечения реактивной струи. 
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Подробно принципы работы электродинамических и электростатических РД изложены в литературе [2.36, 2.75, 2.79, 2.81, 2.99 — 2.144]. Рассмотрим свойства таких движителей. Величины магнитного и и электростати- ческого р давления, как известно, определяются соотношениями [2.1451 (2.24) = Н2/Яп, ]~ =Е'/8п, (2.25) где о7 — сила тока в цепи, Я вЂ” величина самоиндукции контура, ось х на- правлена вдоль (<рельсо »; принимае ся так е, то омичес им сопротив нием электроцепи (включая плазменный шнур) можно пренебречь. Тогда на- пряжение на электродах «рельсов» Я определится соотношением (2.26) Уравнение энергии (разрядки конденсатора емкостью С,) замыкает систему: о7 = — С,ИЯ/Ж. (2.27) где Н вЂ” напряженность магнитного поля, Š— напряженность электри- ческого поля. Величина напряженности магнитного поля Н лимитируется силой электрического тока, используемого для создания магнитного поля. Так, например, в технике используются магнитные поля напряженностью Н 1 тл=10 000 гс, что соответствует магнитному давлению рв 4 10«кГ/м'. Величина напряженности электрического поля Е лимитируется условиями электрического пробоя диэлектрика (в том числе и вакуума) между провод- никами; в технике используются напряженности электрического поля Е 10' в/м — 30 ед. ССРЕ, что соответст- вует электростатическому давлению р Е =0,4 кГ/м'. Из сопоставления указанных уровней Р магнитного и электростатического давле- ния следует, что электродинамические дви- д жители по сравнению с электростатиче- скими могут обладать значительно боль- шими значениями тяги на единицу пло- Г~ щади миделя движителя. Электродинами- 2 23 приник~ив~ о е~в нину о ческие движители в литературе (см., на- ного электРодйнамического движителя: пример, [2.36, 2.75, 2.79, 2.103, 2.140 — 2.144]) рассматриваются как им- пульсного, так и непрерывного действия. На рис. 2.23 приведена принципиальная схема простейшего импульсного элек- тродинамического ускорителя «рельсового» типа, который был исследован в Институте атомной энергии АН СССР в 1953 г. как плазменный инжектор для изучения термоядерных процессов [2.146]. В этом ускорителе конденсатор С, разряжается на тонкую металлическую проволоку аЬ, натянутую между двумя параллельными жесткими проводниками («рельсами»). При замы- кании разрядника Р проволочка практически мгновенно испаряется и пар ионизуется, превращаясь в отрезок плазменного шнура. Вследствие вза- имодействия электрического тока, проходящего по плазме, с магнитным по- лем подводящих проводов возникает электродинамическая сила, которая ускоряет плазменный сгусток вдоль «рельсов», а приложенное к проводникам магнитное давление определяет реактивную тягу. Основные свойства им- пульсного электродинамического ускорителя плазмы могут быть описаны следующей теоретической моделью [2.146 — 2.148]: масса ускоряемого плаз- менного сгустка т принимается постоянной по времени разгона, уравнение движения записывается в виде тУх/Ю='/ ~ЧЯ/Йх 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ При разгоне плазменного сгустка по (<рельс м» самоиндук ия конт возрастает линейно по х: Я=Я,+Ь,х, (2.28) где Я, — начальная самоиндукция контура при 8=0 и х=О; Ь,=НЯМ= = сопз$. С учетом (2.28) решению подлежит следующая система уравнений: (2.29) ~ = /Ч//Ч, = т Г'/С,Ц,'. (2.30) Целесообразно ввести в рассмотрение безразмерные переменные 8 — й — Ий х= — 'х, ~=, Ц= —, .РОСО 0 ~ ИО С'О/.РО (2. 1) Тогда решение системы уравнений (2.29) х(0) =О, йх/И(0) =О, Ц(0) =1, <Я/И 0) (2.29') зависит только от одного основного безразмерного параметра О: 1 = Ь2С'ф'/2тЯ, (2 32) через который выражается и к. и. д. движителя: ~, = (Их/Ж)'/21. (2.30') В работах [2.147, 2.148] приведены решения системы уравнений (2.29'). Сопоставление их с экспериментом показало, что изложенная теория удовле- творительно описывает основные свойства импульсных электродинамиче- ских ускорителей. Из формул (2.31), (2.29'), (2.32), (2.30') следуют широ- кие регулировочные возможности импульсного электродинамического дви- жителя. Так, например, при постоянстве безразмерной скорости (Нх/Ы), в конце разгона сгустка плазмы и О=сопя$ при регулировке будет постоян- ным к. п. д. движителя, ~. =сопят. Рассмотрим в качестве регулируемого па- раметра число импульсов движителя в секунду /с; тогда расход рабочего тела у и мощность струи движителя К определятся соотношениями д = /ст, /Ч = '/р ЙС„Ц,', (2.33) а выражение для основного безразмерного параметра 6 запишется в виде 3 = Ц/ЧС,/Я;цд = сопзс. (2.34) При постоянных значениях зазора между электродами («рельсами») О,=сопзФ, параметров питающей электрической цепи Я,=сопзй и ф,=сопзй в рассматриваемом примере регулирования, если емкость конденсатора С, и число импульсов в секунду Й изменяются по закону Со д& (2.35) с начальными условиями (при ~=0). х=О, У=Их/В=О, Я=Я„~7=0. При рассмотрении импульсного электродинамического ускорителя как движителя важным параметром является к. п. д. преобразования начальной запасенной в конденсаторе энергии Е='/, С,Я в кинетическую энергию на- правленного движения плазменного сгустка 
48 [гл. 2 ФиЗические пРинципы двигАтельных систем то регулирование скорости истечения струи Г будет происходить при по- стоянной мощности струи К=сопзФ и постоянной мощности, потребляемой движителем, К =сопзФ; тогда Т Г = ~/2Ж/д — Й~*, (2.36) При этом максимальное значение потребной емкости конденсатора С, соответствует минимуму скорости истечения реактивной струи Г. Регули- рование частоты импульсов выброса плазменных сгустков Й может осуще- ствляться, например, клапанной системой подачи газообразного рабочего тела (см. на рис. 2.24 схему исследованного коаксиального импульсного Рис. 2.24. Коаксиальный импульсный электродинамический ускоритель плазмы: 1 — подача рабочего вещества, 2 — соленоид привода клапана подачи, 3 — клапан подачи рабочего вещества, 4 — коакси- альные электроды («рельсы») ускорителя. 3 электродинамического ускорителя [2.146]). При коаксиальном расположе- нии «рельсов» радиусов г, и г, значение погонной индуктивности движителя равно 0,=1п (г,/г,). У импульсных электродинамических движителей получены скорости выброса плазменных сгустков реактивной струи до -2 10' м/сек (см. [2.76— 2.81] и др.) при удельной массе движителя порядка т=М (Р„„,=10 — '. 100 кг/кГ [2.79]. В это значение не включена масса конденсатора, который хотя и является накопительным элементом системы (см. ниже ~ 2), но служит неотъемлемой частью импульсного движителя. На рис. 2.25 приведена схема двухкаскадного торцевого импульсного плазменного ЭРД [2.144] с широкой регулировочной характеристикой (рис. 2.26). Первый каскад этого ЭРД представляет собою инжектор плазмы эрозионного типа; центральный электрод инжектора — расходуемый, это шашка ускоряемого рабочего вещества кадмия. Промежуточный сетчатый электрод является одновременно катодом первого и второго каскада. Анод второго каскада имеет коническую форму. За один цикл такой ЭРД создает импульс тяги до 0,15 10-' кГ сек при скорости истечения реактивной струи до 115 км/сек и к. п. д. до 280~~ (рис. 2.26). Пример схемы электродинамического движителя непрерывного действия [2.76] приведен на рис. 2.27. Предварительной ступенью в этой схеме явля- ется электродуговой подогреватель, обеспечивающий начальную ионизацию и электропроводность рабочего тела — плазмы, поступающей в собственно электродинамический ускоритель. В последнем системой электродов и элек- тромагнитов устанавливается скрещенное электромагнитное поле, ускоряю- щее плазму как проводник. Можно считать, что ускоряемый газ — рабочег тело — представляет собой нейтральную плазму с электропроводностью 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ ГМ ~У дж у, 'иг(имп Рис. 2.26. Скорость истечения реактивной струи У и к. и. д. ~~ двухкаскадного плазменного ЭРД в функ- ции отношения затрат энергии за один импульс к со- ответствующему расходу рабочего вещества Ж~/д,' Рис. 2.25. Двухкаскадный торцевой им- пульсный плазменный ЭРД: 1 — система инициирования разряда, 2 — анод 1 ка- скада, расходуемый, 3 — электрод ини- циирования, 4 — промежуточный элек- трод, 5 — анод П каскада, С, и С, — кон- денсаторы. Взаимодействие магнитного поля Н (перпендикулярного Е) и электрического тока ~ вызывает приложенную к плазме ускоряющую силу Р,., действующую перпендикулярно ~ и Н: = ~Н/р, (2.37) где Р— сила, действующая на еди- ницу массы плазмы, р — плотность плазмы. По результатам расчетов, приведен- ным в работе [2.76], такой движитель Рис. 2.27. Схема электродинамического движи- теля с непрерывным истечением плазменной струи: 1 — ввод рабочего вещества в дуговой ионизатор, 2 — анод электр одинамическ ого пви>ките я 3 Ђ” кат д 4 Ђ” кату ка эл тромагнита. Рис. 2. 28. Стационарный плазменный ЭРД: 1— кольцевая диэлектрическая камера, 2 — катушка намагничивания коаксиальной магнитной системы, 3 — газораспределитель (анод), 4 — ввод рабочего вещества (ксенона), 5 — эмиттер электронов (ней- трализатор). при К=2 104 м/сек и Г =4800 квт имеет к. п. д. ~ -0,8 и удельную массу порядка т=М ~Р „. 10 кгlкГ. Регулирование движителя может осуществ- ляться изменением магнитного и электрического поля, что, согласно урав- нению (2.37), изменяет ускоряющую силу, действующую на плазму в дви- жителе. Возможность достижения к. п. д. ~ свыше 50О~~ в плазменных ЭРД была экспериментально подтверждена йодробными исследованиями стацио- нарного плазменного ЭРД с замкнутым электронным дрейфом и протяженной 4 Механика полета Разность потенциалов между верхним и нижним электродами (рис. 2.27) создает в канале ускорителя электрическое поле с напряженностью Е, бла- годаря которому возникает электрический ток через плазму плотностью ю. У, нм/сгк 
[ГЛ. 2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 50 ско ения еактивной струи [2.103, 2.142] (рис. 2.28). В стационарном б ещества используется газообразный плазменном я в коль ев ю диэлектрическую камеру. Вследствие ксенон, который подается в кольцевую диэлектрич я в каме е создается «оолако» горячих вращающихся влияния магнитного поля в кам р д о в кото ое ионизуется рабочее вещество. Образующиеся электронов, попадая в которо у еским полем; ионная реактивная струя компен- ионы ускоряются ~~~~~Р~~~~ си ется электронами из эмиттера. В результате из такого лазменные ЭРД были впервые в мире испытаны в СССР в условиях р х реального космического полета ( г.— льная становка спутника «Метеор». Внизу — д — ва стационарных Рис. 2.29. Электрореактивная двигательная устан го сп тинка Земли «Метеор», где проработали в течение ЭРД й ~~~мым ф~с 2.29) 170 часов. Два стац ротив касательной к траектории установлены на у М сп тнике «Метеор» по и проти ие летательного аппарата. полета, что обеспечивае р вает азгон ли о торможени 16 5 км и установлен на ЭРД сп тник «Метеор» был опущен на, км С помощью Э Д спу б р управляемый полет космиче- условно-синхронную орбиту. р уп то ыл первый уп ского орбитального а"'р'" ° , 2.79 2.97, 2 103, 2 115, 2 140— 2.1~4, 2.147 — . — 2.157] и др.) описано много рази — о разновидностей электродинами- ерывным ускорением реактивнои %.У ческих движите лей с имп льсным или непреры У личаются от рассмотренных и которые принципиально не отлич плазменнои струи, р хем. С точки зрения меха р еханики полета основным об- выше двух основных схем. й сле ет признать воз- м элект одинамических движителеи следует щим свойством электр вания в широком диапазоне с е скорости истечения реактив- можность регулирова т и электростатические — ион- ной струи. тим . Э основным свойством о ладают и элект ные движители. струя контактирует с элемен- Р~~ «го ячая» реактивная ст,, %У В плазменных ЭРД р обеспечивает умеренныи малое в емя и на малой площади, что о тами двигателя мало р оРд э~~~~ективная температура дви- температурный р ежим элементам ог,ц, хотя э,„, остигает многих миллионов градусов. жущего ся плазменного сгустка достигает мн тически полностью исключается ко нтакт лект остатических практически и и элементов конструкции двигателя. «горячей» реактивной струи и элем 
51 РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ В отличие от электродинамических движителей, ускоряющих квазинеи- тральную плазму, электростатические движители ускоряют заряженные частицы — ионы и электроны, которые после ускорения смешиваются в ква- зинейтральную реактивную струю (см. [2.36, 2.37, 2.74, 2.75, 2.79, 2.81, 2.99 — 2.102, 2.105 — 2.141, 2.116 — 2.120, 2.141, 2. 158 — 2.199 ] и др.). На рис. 2.30 приведена обобщенная схема электростатического движителя, состоящего из источника ионов, ускорительной электростатической системы и источников электронов; на схеме Я вЂ” разность потенциалов ускоряющего ионы электрического поля, потенциал ЛЯ прикладывается для предотвраще- ния обратного потока электронов. При электростатическом ускорении г заряженных частиц, имевших нулевую начальную скорость,' конечная ско- ~вфф» рость К,. определяется разностью по- тенциалов ускоряющего поля Я, кото- — » ~/ рую прошла частица: Г,. = ~/2Це/р, (2.38) гпе е — электрический заряд частицы, р — масса частицы. Расход рабочего тела соответствует электрическому току ~7 потока заря- женных частиц: д,. = ~7р./е, и соответственно тяга Р,. и мощность струи Т,. равны (для ионов ~) Р,.=д,.Г,. = 7~/2фр/е, 1/ д $72 7Я Рис. 2.30. Обобщенная схема электростатиче- ского движителя: 1 — подача рабочего веще- ства, 2 — ионизатор рабочего вещества, 3— электростатическая ускорительная система, 4 — эмиттер электронов. (2.40) Из условия квазинейтральности реактивной струи в электростатическом движителе потоки ионов и электронов должны создавать одинаковый ток (;7,.=~7,) и иметь одинаковую скорость (Г,.=Г,); поэтому Р,/Р,. = Ж,/У,. = 1~,/р,. (2.41) Для однозарядных ионов отношение массы электрона к массе иона по- рядка р,/р,. 10-5, что позволяет, согласно соотношениям (2.41), пренебречь вкладом электронов в тягу и мощность электростатического движителя. Превалирующее влияние ионного потока определило и название электро- статического движителя как ионного движителя. Реактивная тяга ионного движителя по закону Чайлда — Ленгмюра (см., например, [2.200]) лимити- руется возможной плотностью ионного тока ~=~7/~Г, создаваемого электро- статической ускорительной системой (~à — площадь сечения ионной струи). Это ограничение связано с тем, что электростатическое давление простран- ственного заряда потока одноименно заряженных ионов противодействует ускоряющему воздействию электрического поля. Потенциал в каждой точке злектрического поля Я связан с плотностью пространственного заряда р,. соотношением (2.42) ~2ф = — 4ко, Для плоского случая с учетом (2.38) параметры ионного потока находятся интегрированием следующего дифференциального уравнения: ЯЯ/йх'- = 2тф/2р./еф, (2.43) где ~ =,7/Я = — р,.Г,, с начальными условиями (при х = О): Я = О, Щ/~х= О. 
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 После интегрирования определяется величина максимально возможной плотности ионного тока ~ „, создаваемой электростатической ускорительной системой с ускоряющим напряжением Я и расстоянием между ускоряющими электродами Ш: (2.44) и соответственно (2.40) максимальная тяга, создаваемая ионным дви- жителем, Р „= (2/9т~) ЦЧ '~. (2.45) Характерно, что максимальная тяга, развиваемая ионным движителем, не зависит от параметров рабочего тела (массы р и заряда иона е), а опреде- ляется только электростатическим давлением, пропорциональным квадрату напряженности приложенного электростатического поля — ф2/сР (см. выше (2.24)). На рис. 2.31 указано изменение удельной тяги Р,„/~ в зависимости от ускоряющего напряжения Я и зазора между электродами Ш. Максималь- ные значения удельной тяги ионного движителя ограничены электрической прочностью по отношению к пробою (межэлектродная дуга), наступающему при напряженностях электрического поля, больших — 10' вlм [2.111, 2.200]. В отличие от максимальной тяги ионного движителя, скорость истече- ния реактивной струи Г,. существенно зависит от выбора рабочего тела (см. (2.38)). На рис. 2.32 для ионов атомов ряда рабочих тел и коллоидных частиц большой массы показано изменение скорости ионной реактивной струи в за- висимости от ускоряющего напряжения Я [2.111]. В целом данные рис. 2.31 и 2.32 указывают на большие регулировочные возможности ионного движителя. Подчеркнем, однако, что соотношение (2.45) определяет максимально возможную тягу, создаваемую ионным дви- жителем, при условии, что максимально возможная плотность ионного тока ~,„(2.44) и соответственно расход рабочего тела д,,„обеспечиваются источ- ником ионов. Поэтому характеристики ионных движителей во многом опре- деляются характеристиками ионных источников. Наряду с электродуговыми источниками ионов (типа рассмотренных выше электротермических движителей) в литературе [2.74, 2.75, 2.79, 2.81, 2.105 — 2.114. 2.116 — 2.120, 2.158 — 2.202] подробно рассмотрены два типа ион- ных источников: с контактной поверхностной ионизацией (см. на рис 2.33 (2.108] схему лабораторной модели) и с объемной ионизацией электронным ударом (см. ниже). В ионных источниках с поверхностной ионизацией (рис. 2.33) исполь- зуется свойство образования положительных ионов рабочих тел с малой энер- гией ионизации при контакте с нагретой поверхностью ионного источника, выполненного из материала с большой работой выхода электронов. Энергия ионизации атома рабочего тела соответствует энергии, потреб- ной для удаления внешнего электрона атома. Работа выхода материала ионизатора соответствует энергии поглощенного электрона. Вероятность актов ионизации рабочего тела — поглощения внешних электронов атомов рабочего тела при контакте атомов с поверхностью ионизатора — увеличи- вается с ростом разницы между работой выхода и энергией ионизации. Эта раз- ница наибольшая у пары Сз — Ж [2.111, 2.201] (см. данные табл. 2.3 и 2.4, где работа выхода и энергия ионизации указаны в электрон-вольтах). После контакта атома рабочего тела с поверхностью ионизатора образо- вавшиеся ионы должны иметь достаточную для ухода тепловую энергию, иначе адсорбированный на поверхности слой атомов рабочего тела снижает работу выхода и соответственно ионизацию. На рис. 2.34 приведена величина степени ионизации Х цезия на вольфраме в зависимости от температуры 
нф Ф ~~ се~ МпиО Рис. 2.31. Удельная тяга ион- ного движителя. Рис. 2.33. Схема лабораторной модели ионного движителя с контактной поверхностной ионизацис1: 1 — охлаждение кожуха вакуумной камеры, 2 — весы для измерения тяги, 3 — окно для наблюдений, 4, 5 — система подачи рабочего вещества (цезия), 6 — акранирующая сетка, У вЂ” ускоряющая сетка— эмиттер алектронов, 8 — вольфрамовый ионизатор, 9 — нагреватель ионйзатора, 10 — запирающаи сетка. Р ю/ ~~~~ У у Я' 0 д Э СМ юа) фв® Рис. 2.32. Скорость реактивной струи ионного движителя (в скобках указан атомный вес атомов или коллоидных частиц). 
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Таблица 23 Энергия понизации некоторых элементов Энергия ио- Атомный вес низации, эв Энергия ио- низации, эв Элемент Атомный вес Элемент 6,940 22,991 39,100 85,480 132,910 Ь1 Иа К ВЬ Ся 5,36 5,12 4,32 4,16 3,87 24.50 13,90 13,50 11,20 10,39 4,003 83,800 1,008 12,011 200,610 Не Кг Н С Нд Таблица 2.4 Работа выхода и температура плавления некоторых металлов Температура плавления т, ос Температура плавления т, ос Работа выхо- да, эв Работа выхо- да, эв Металл Металл С 1г Ве РС Ж 3550 2454 3167 1773 3370 4,81 4,90 5,10 5,20 5,50 3027 2620 1890 2700 960 4,10 4,30 4,37 4,50 4,70 Та Мо Сг Оя Ад Рис. 2.34. Степень ионизации цезия. вольфрамовой поверхности Т, где степень ионизации Х представляет собой отношение числа образующихся ионов к числу атомов цезия, коснувшихся поверхности ионизатора. Видно, что по достижении некоторой минимальной температуры Т,. (зависящей от плотности ионного тока ~), когда адсорбирован- ный на поверхности ионизатора слой це- к зия исчезает, степень ионизации становит- ся близкой к единице. Данные рис. 2.34 показывают, что величина обеспечивае- мой ионизатором плотности ионного то- ~ -Юма,~~и~ ка ~ ( ~„,„(и соответственно расхода ра- Р85 ~ =~РиаlСм~ бочего тела д,. & t; д, „, м. (2.4 )) опре ляется температурой поверхности иони- затора и может регулироваться в пределах ~ ( ~ „путем изменения подачи рабочего тела и температуры ионизатора. Для при- ложений к механике космического поле- та существенно, что такое регулирова- ние расхода рабочего тела в ионном движителе не связано со скоростью истечения реактивной струи К,, зависящей только от ускоряющего напря- жения Я. При превышении ионизатором указанного выше на рис. 2.34 тем- пературного уровня Т,. плотность ионного тока ~ и соответственно расход рабочего тела д,. лимитируются по закону Чайлда — Ленгмюра (см. (2.44)), при этом достигается максимально развиваемая ионным движителем тяга, зависящая только от напряженности ускоряющего электрического поля ЯЯ (см. (2.45) и рис. 2.31). Так, на исследованной в работе [2.108] лабора- торной модели ионного движителя при температуре ионизатора '1'=Т,. = =1173' К ( 7 — 70 ма, ~ф — 70 см', ~ — 1 ма/см') была реализована максимальная реактивная тяга Р„„,=5 ° 10-4 кГ, соответствующаянапряженности ускоряю- щего электрического поля Я/Ш=ЗООО в/см. Скорость истечения реактивной струи ионного движителя в этих опытах составляла Г,.— 70 000 м/сек (удель- ный импульс Х'=7000 сек). 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ В ионном движителе с поверхностной ионизацией мощность излучения с нагретой поверхности ионизатора К. является основным видом потерь [2.111]. По своей природе эти потери (2.46) ж — у,. т. = аит~~ связаны с плотностью ионного тока ~ (Т,. =/ (~)), с площадью сечения реактив- ной струи а~ и не зависят от скорости истечения струи Г, (от ускоряющего напряжения Я). По данным [2.111], для ионизации цезия на вольфраме за- внсимость удельных потерь Г~./~ (в вт/см2) от плотности ионного тока ~ (ма/см2) может быть аппроксимирована следующим соотношением (рис. 2.35) 1д (1Ч,./Я) = 0,20+ 0,22 [д ж. (2.47) р У Рассматриваемые потери мощ- ности в ионном движителе удобно отнести к полному току а7 ионной СМ 5 ~И /~~ц СМ д .у ~р,. ма ' ~М-' Рис. 2.36. ~дельные потери мощности в зависимости от плотности ионного тока (со значения г ша~, определенного условиями пробоя при ~~пах=104 в и д=1 см, кривая проведена пунктиром). Рис. 2.35. Потери на излучение с поверх- ности нагретого ионизатора. ~2 Ф т Г Й+ж ф Г2+ 2(е/р) ж /а7' (2.48) На рис. 2.37 приведен пример изменения энергетического к. п. д. ион- ного движителя в зависимости от скорости реактивной струи при использо- ванни цезия или ртути в качестве рабочего тела. Сопоставление данных рнс. 2.37 и 2.36 показывает, что ионный движитель с контактной ионизацией цезия на вольфраме обеспечивает высокие значения энергетического к. п. д., приближающиеся к единице при увеличении скорости истечения реактивной струи, что хорошо подтверждается экспериментом [2.112]. По данным ра- ооты [2.112], удельная масса ионного движителя с контактной ионизацией составляет примерно т=М /Р „=750 — 1750 кг/кГ. Другим подробно исследованным типом ионного источника является источник с объемной ионизацией рабочего тела электронным ударом ([2.110, 2.112, 2.114, 2.117, 2.119, 2.120, 2.200 — 2.202] и др.)]. В таких ионных источ- никах используется хорошо изученный для газовых разрядов процесс ио- низации атомов газов при неупругом соударении с ними электронов с энер- гнями в десятки электрон-вольт ([2.200 — 2.202] и др.). Процесс ионизации 'струи; при размерности Г~./а~, выраженной в эв/ион (в электрон-вольтах на нон — в вольтах), численно это значение Г,.Ц' указывает эквивалентную разность потенциалов для каждого иона, соответствующую потерям мощ- ности вдвижителе (рис. 2.36). С учетом значения полезной разности потен- цналов Я, ускоряющей ионный поток (см. (2.38)), энергетический к. п. д. ионного движителя запишется в виде 
[ГЛ. 2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ атомов данного газа (пара) электронным ударом характеризуется средним числом Р,. актов ионизации, совершаемых электроном с энергией Е на пути в 1 см при давлении в 1 мм рт. ст. при 0' С. На рис. 2.38 для ряда веществ представлено изменение Р,. в зависимости от энергии электронов. Благоприятные характеристики па- ров ртути — более высокая вероятность ~~ РГХ ЮОО Юй7 У.У0з 100 200 300 Е,д Рис. 2.38. Среднее число актов ионизации электронным ударом. Рис. 2.37. К. п. д. ионного движителя. ионизации при меньших энергиях электронов — обусловили рассмотре- ние ртути в качестве рабочего тела в ионных движителях с ионизацией элек- тронным ударом (см. [2.110, 2.114] и др.), а также цезия и ряда газов. »»::<ф,~ .' $, ч ..& » »' &gt ,.Ф .» Рис. 2.40. Ионный движитель с ударной иони- зацией; рабочее вещество — ртуть. Как указывалось выше, независимо от типа ионного источника плот- ность ионной струи сравнительно мала вследствие ограничений, присущих электростатической ускорительной системе. Поэтому давление внутри ка- меры ионизатора должно быть малым, порядка -10-' мм рт. ст., для того, чтобы обеспечить относительно малый паразитный расход нейтральных атомов рабочего тела через отверстия отбора ионов в ускорительную систему. При уровне давления в ионизационной камере р,. -10-' мм рт.ст. и эффек- Рис. 2.39. Схема движителя с ионизацией паров ртути электронным ударом: 1 — подача рабочего вещества, 2 — катод, 3 — анод, 4 — соленоид, 5 — электро- статическая ускорительная система, 6 — эмиттер электронов. 4:" .. 4:."«В» ф ,»« « ~»' &g '«" » »«». »»'» »а '««„». » » Ф»р 'р ..**' ф»»» .»,« » «» «.'» *», », «» « '„. ». ««'Ф ~& t » .'«&l ; « „' ФФ»«.'«Ф 8,'" « . »„ .«„»«» ~& t л «' ж «» « ~» ,:..~ ф. Ф: «<:.:»:» :. &lt й:. ФФ:. Ф' ФФ: Ф В» &l ;» ~, »» „'«щ»~ 4» Ф:. & 
57 РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ тивности ионизации Р,. 20 (см. рис. 2.38) путь свободного пробега электрона 1,. до акта ионизации составит примерно 1,. = 1)Р,.р,. 5 ° 10' см. Чтобы обеспечить эффективную ионизацию электронным ударом при относительно малом характерном размере ионизационной камеры Й,. (& t; для организации потока ионизующих электронов используют различные электромагнитные ловушки типа применяемых при термоядерных исследо- ваниях [2.146 ]. На рис. 2.39 и 2.40 приведены схема и внешний вид одного из вариантов ионного движителя с ударной ионизацией паров ртути [2.203] (Р „=0,06 кГ, И,=19,5 кг, Г=91 10» м/сек). Ионизую- щее вращающееся тороидальное электрон- ное облако в этой схеме формируется алектромагнитной ловушкой, образованной радиальным электрическим полем (цен- й2 тральный катод — цилиндрический анод в камере) и продольным магнитным полем Нд (от внешнего соленоида). Источником ио- ОЯ Но низующих электронов является разме- 2 йе щенный в камере накаленный катод; при- не лохсенный к аноду камеры потенциал в несколько десятков вольт обеспечивает ~е электронам энергию, необходимую для ионизации, а небольшое продольное маг- нитное поле соленоида предотвращает пря- мое попадание электронов на анод. Пары рабочего тела (ртути) ионизуются алек- Рис. а.«~. вероятность иониаации при трОнНыМИ удараМи прИ прОХОждЕнИИ каж~ом столкновении в зависимости от энергии электрона. сквозь вращающееся электронное облако. Дальнейшее ускорение ионной струи осу- ществляется так же, как в указанной выше на рис. 2.30 обобщенной схеме электростатического движителя. Регулирование параметров ионного дви- жителя с ударной ионизацией проводится аналогично рассмотренному выше управлению параметрами ионного движителя с контактной ионизацией. Как указано в табл. 2.3, потенциал ионизации для ртути составляет 10,39 в. Однако при ударной ионизации только часть столкновений электро- нов с атомами приводит к образованию ионов [2.200] (рис. 2.41). Кроме того, в ионизационной камере имеют место потери ионов на стенки камеры, уход злектронов на анод и дополнительно часть энергии должна быть затрачена на нагрев катода, питание соленоида. В результате, по исследованиям [2.110, 2 114], удельные потери мощности в ионном движителе с ударной ионизацией паров ртути значительно превышают потенциал ионизации и составляют примерно Т./о7 500 в, что все же обеспечивает высокие значения У ф знергетического к. п. д. движителя т1, (см. рис. 2.37). Более экономичные характеристики камеры ионизации могут быть по- лучены при применении в качестве рабочего вещества паров цезия и исполь- зовании автокатода в качестве источника электронов (для электронного удара [2.169]). Идея устройства автокатода основана на использовании особенно- стей интенсивной эмиссии ряда металлов (молибден и др.) в парах цезия. При «оптимальном покрытии» поверхности металла атомами цезия работа выхода (электронов) частично покрытой цезием поверхности оказывается минимальной, что обеспечивает эффективную работу автокатода при тем- пературе 500 — 600' С. Температурный режим автокатода поддерживается 
[ГЛ. 2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ автоматически за счет обратной ионной бомбардировки из разряда; поэтому автокатоды требуют дополнительного подогрева (и дополнительного рас- хода энергии) только в момент запуска ионного источника [2.169]. Для движителей с ударной ионизацией необходимо учитывать также к. п. д. использования массы рабочего вещества (2.49) ~р. = Да/Д представляющий собой отношение расхода в ионной струе д,. к полному рас- ходу рабочего вещества через движитель д. В ионных движителях с контакт- ной ионизацией предельные зна- — — Ую— чения ~ определяются степенью ионизации и, по данным рис. 2.34, близки к единице. В дви- Яд Гд жителях с ударной ионизацией имеет место утечка части ней- тральных атомов из камеры ионизации через отверстия вы- хода ионной струи (см. рис. 2.39, 2.40). По данным [2.119, 2.Ы41, значение к. п. д. исполь- зования массы рабочего веще- щ.щ' у~щ~ у ~~~„ства для таких движителей со- ставляет примерно ~ =0,8 — '. 0,9. Рис. 2.42. ~дельная масса ионных движителей с ударной ел ионизацией; рабочее вещество — ртуть. Так как поток утечки неит- ральных атомов движется с теп- ловой скоростью, много меньшей скорости ионной струи, то можно прене- бречь вкладом этого потока в тягу и полезную мощность движителя. По- этому, в соответствии с соотношениями (1.4), (1.5), эффективная скорость истечения реактивной струи Г и полный к. п. д. ионного движителя ~, оп- ределяются в виде ЛО (д (2.50) Удельная масса ионных движителей с ударной ионизацией, по данным [2.119], составляет примерно (=ЛХ /Р „250 — '500 кг/кГ, несколько сни- жаясь с ростом максимальной скорости истечения реактивной струи (рис. 2.42). Электростатические ЭРД с ударной ионизацией электронным ударом мо- гут использовать различные замкнутые траектории движения электронов, т. е. различные камеры ионизации с осциллирующими электронами (см. [2.164, 2.165, 2.169] и др.). Внутри камеры ионизации таких ЭРД (рис. 2.39) образуется плазма ускоряемого рабочего вещества, из которой ионная реак- тивная струя затем ускоряется электростатическим полем. Поэтому такие ЭРД обобщенно относятся к классу плазменно-ионных ЭРД. Важной осо- бенностью плазменно-ионных ЭРД является способность ускорять в реактив- ной струе практически любые рабочие вещества, в том числе и воздух, т. е. создавать воздушный ЭРД. Так, в полетах советских автоматических ионо- сферных лабораторий «Янтарь-3» (1968 г. [2.101]) и «Янтарь-4» (1971 г. [2.102]) впервые были успешно проведены испытания в ионосфере воздуш- ных плазменно-ионных ЭРД и достигнута скорость воздушной реактивной струи 140 км/сек. Для ионных и плазменно-ионных ЭРД принципиальной является про- блема нейтрализации ионной реактивной струи. Если у ЭРД система нейтра- 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ Рис. 2.43. Автоматическая ионосферная лаборатория«Янтарь» с воздушным плазменно-ионным ЭРД. Проблема нейтрализации реактивной струи ЭРД в ионосфере была разрешена з полетах советских автоматических ионосферных лабораторий «Янтарь» (рис. 2.43) ~2.99 — 2.1021. Критерием совершенства системы нейтрализации реактивной струи ЭРД является величина потенциала корпуса летательного аппарата ~р. При пол- ной нейтрализации потенциал корпуса близок к нулю (и=О), при отсутствии нейтрализации потенциал корпуса равен ускоряющему напряжению ионной реактивной струи ~~ — Я) и реактивная тяга равна нулю. К. п. д. нейтрализа- ции ~ определяется соотношением ( .5'1) 7~, = 1 — р/и. Для определения к. п. д. нейтрализации автоматические лаборатории «Янтарь» были оборудованы комплексом приборов для определения потенци- ала корпуса ~ при полете в ионосфере на высотах 100 — 400 км при работаю- щих ЭРД. Исследовались два типа нейтрализаторов: термоэмиссионные ней- трализаторы и экономичные плазменные нейтрализаторы (см. [2.99 — 2.102]). Результаты проведенных исследований (табл. 2.5) показали, что плазменный нейтрализатор обеспечивает эффективную нейтрализацию реактивной струи ЗРД с к. п. д. нейтрализации выше 99,5оо, тогда как при использовании термоэмиссионного нейтрализатора имеют место существенные потери мощ- ности. Высокие значения к. п. д. нейтрализации при эффективных плаз- менных нейтрализаторах позволяют пренебречь потерями мощности на лизации неэффективна, то улетающие в ионной струе положительно заря- женные ионы создадут на летательном аппарате отрицательный заряд, который притянет ионную струю обратно к аппарату, и в результате не реали- зуется реактивная тяга. Эмиттер электронов — нейтрализатор (см. рис. 2.30, 2.39) должен обеспечить подачу в реактивную струю количества электронов, равного количеству ионов, при малых затратах мощности на нейтрализацию реактивной струи. Эффективность процесса нейтрализации реактивной струи ЗРД вследствие большой протян~енности области нейтрализации практически можно исследовать только в полете; при этом исследования нужно проводить на различных высотах, чтобы оценить вклад заряженных частиц ионосферы. 
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Таблица 25 Основные параметры ЭРД, испытанных по программе «Янтарьэ Параметр «Янтарь-2» «Янтарь-3» «Янтарь-4» «Янтарь-1» Рабочее вещество ЭРД Ускоряющее напряжение реактивной струи й, в Скорость истечения реактивной струи К, км/сек Потенциал корпуса при термоэмис- сионном нейтрализаторе у„в Потенциал корпуса при плазменном нейтрализаторе у„в воздух 2800 азот 2100 †22 воздух 2800 аргон 300 140 до 120 100 †2 40 140 50 — 300 100 — 150 50 — 70 6 — 10 5 — 10 3 — 8 бапнсчное Жипйое аиуюаг (2.52) Р = — '/,р ° (Л~~Л)' Я 1+ е'+ 2е соя 2 (и!) (и ~) е, нейтрализацию при анализе механики полета летательных аппаратов с плаз- менно-ионными ЭРД. В целом изложенное показывает, что с точки зрения механики полета электростатические движители обеспечивают в широких пределах регули- рование скорости реактивной струи К и тяги Р ~~~~~~ при высоком значении к. и. д ЯВ 7. Солнечный парус. Движительным эле- ментом двигательной системы с солнечным па- русом является зеркальная поверхность, соз- дающая тягу отражением солнечного свето- вого излучения (рис. 2.44). Идея использования для межпланетных полетов давления солнеч- ного света давно привлекала сравнительной простотой реализации. Первое серьезное иссле- дование этой проблемы принадлежит Ф. А. Цан- деру [2.204] (1924 — 1925 гг.). Для создания тяги он рассматривал использование зеркал, выполненных из тонких алюминиевых листов. Исследования Ф. А. Цандера показали прин- ципиальную возможность реализации межпла- нетных полетов при использовании давления солнечного света. Так, при толщине алюминие- вого зеркала в одну тысячную миллиметра кос- Рис. 2.44. Схема аппарата с сол- МИЧЕСКИЙ аППаРат С МаССОй В 1 т МОжЕт ОСУЩЕСт- вить перелет с орбиты Земли на орбиту Марса примерно за 300 сут; при этом масса паруса составит — 400 кг, а его площадь — 0,15 10' м2, что соответствует круг- лому парусу диаметром — 450 м. Солнечный парус как движитель создает тягу, используя поток энергии и массы электромагнитного излучения Солнца (см. выше формулы (1.17), (1.18)). При взаимодействии потока солнечного светового излучения с по- верхностью паруса происходит изменение вектора количества движения потока фотонов. В соответствии с формулой (1.18) величина тяги, создаваемая освещен- ным Солнцем плоским парусом площадью Я, будет равна [2.205] 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ н направление тяги будет заключено между нормалью к теневой стороне паруса п и направлением солнечного светового излучения 1 (рис. 2.45)~ пР = агсвгп г~ Э ~1+ ~~ + 2в сов 2 [и1) (2.53) где и — единичный вектор направления нормали к поверхности, 1 — единич- Л, Г~ ный вектор направления солнечного светового излучения, п1, пР— углы Ю~рус Ю~фус Рис. 2.45. Направление тяги солнечного паруса. Рис. 2.46. Диаграмма тяги солнечного паруса. Р,, ='~.,р~ (Лз~Л)' Я соч й, (2.54) т. е. в предельном случае тяга полностью поглощающего свет паруса всегда направлена по солнечному световому излучению, независимо от угла уста- новки паруса. В случае идеально отражающей зеркальной поверхности (при а=1) максимальная величина тяги плоского паруса возрастает вдвое, а направле- ние тяги совпадает с нормалью к теневой стороне паруса, и им можно управ- лять, изменяя ориентацию паруса относительно солнечного светового из- лучения (рис. 2.46) '): Р =р (Л /Л)'Я соч'Ьп. (2.55) Все современные исследования по солнечному парусу (см. ниже гл. 12) ограничиваются этим простейшим случаем. Дополнительные возможности управления тягой, создаваемой солнечным парусом, появляются при рас- смотрении системы зеркал, установленных под разными углами к направле- нию солнечного светового излучения (см. работу Ф. А. Цандера [2.204]). ') В. В. Белецкий в [1.69] обратил внимание на описку в формуле (2.55), допущен- ную в предыдущей книге авторов [1.71] (там эта формула имела номер (2.53)): отсутствие квадрата у косинуса. Эта описка породила неверный вид диаграммы, соответствующей злесь рис. 2.46 (старый рис. 2.39), и формулы (3.9). Авторы, принося извинения читателям а благодарность В. В. Белецкому, отмечают, что предыдущая формула (2.50) из [1.71] [злесь (2.52)), частным случаем которой является формула с опиской, и последующие фор- мулы [9 180), [9 183) из [1.71], дублирующие ее, были записаны верно. между векторами и и ], и и Р соответственно, (и ° !) — скалярное произве- денпе единичных векторов и и 1 (т. е. косинус угла между ними, (и ° 1) = = сов Ь). Управляющим параметром солнечного паруса как двигательной системы является угол установки паруса о, от регулирования которого зависят на- правление и величина тяги. Однако при полном поглощении света поверхностью паруса (при а=О), согласно (2.52), (2.53), 
[гл. 2 62 Физические пРинципы дВиГАтельных систем Следует отметить, что металлические поверхности алюминия и серебра (рассматриваемые как материалы или покрытия для солнечного паруса) обладают коэффициентом отражения солнечного светового излучения, близ- ким к единице (рис. 2.47), что оправдывает проведение предварительного анализа характеристик солнечного паруса в идеальной постановке при а=1 [2.751. Рассмотрим затраты массы на создание тяги при помощи плоского сол- нечного паруса. Здесь отсутствуют все компоненты массы, кроме массы соб- ственно движителя — паруса: (2.56) М, = ЙЯ;~',ра, где р — плотность материала слоев паруса, 3 — толщина слоев материала„ Рб Ви8импе с5е~пйе излучение Рис. 2.48. Характеристики солнечного паруса из алюминиевой фольги (сплошные кривые) и из алюминированной пластмассовой пленки (пунктирные кривые). Рис. 2.47. Коэффициент отражения металлических поверхностей в зависимости от длины волны падающего светового излучения. из которого состоит парус, Й вЂ” коэффициент, учитывающий массу вспомо- гательных элементов конструкции паруса (по оценкам [2.206], значение коэффициента Й мало отличается от единицы). Максимальная тяга Р „., создаваемая парусом, установленным перпен- дикулярно к солнечным лучам (~=0), при я=1, согласно (2.55), равна Р,„= р~ (Й /л)2 Я. (2.57) Соответственно удельная масса паруса как движителя составит /с~ ра Р шах )~Д (~~/ф) (2.58) а соотношение (2.59) ~шах 1/'~' определяет максимальное ускорение а „, которое может сообщать косми- ческому аппарату двигательная установка с солнечным парусом (при ЛХ=М ). На рис. 2.48 приведены примерные значения удельной массы солнечного паруса и развиваемого им максимального ускорения (на орбите Земли: Л~/Л=1 и 1=1) в зависимости от толщины материала паруса, выполненного из алюминия (р — 2,7 10' кг/м') или алюминированной пластмассовой пленки 
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ (2.60) гпе А — атомный вес изотопа, А* — число Авогадро, Я вЂ” площадь поверх- ности паруса; остальные обозначения указаны в табл. 2.6. Скорость реактивной струи определяется энергией а-частиц Е„; эффек- тивное значение скорости струи Г, осредненное по полусфере, равно поло- вине истинной скорости а-частицы: Г = 1/ ~/2Е„/т„. (2.61) (~ 1,2 10' кг/мз). Для обсуждаемых в указанной выше литературе толщин паруса — из алюминиевой фольги Π— 10 ' м и из пластмассовой алюмини- рованной пленки Π— 2,5 10-' м — удельная масса солнечного паруса нн орбите Земли составит т 3000 кг/кГ и максимальное ускорение, сообщаемое парусом космическому аппарату, порядка а,„З ° 10 ' м/сек2. Дальней- шее существенное улучшение характеристик солнечного паруса (как движи- теля) путем снижения толщины используемых пленок лимитируется потерей Зеркальных свойств поверхности при толщинах порядка длины волны све- тового излучения, а также учетом сублимации в вакууме и микрометеорной эрозии. Однако и при указанных на рис. 2.48 характеристиках паруса, соответ- ствующих толщине материала порядка (1 — '. 2,5) ° 10-' м, двигательная уста- новка с солнечным парусом может доставить косми- ческий аппарат с орбиты Земли на орбиты ближай- ших планет за 100 — 200 сут (см. ниже). Ф 8. Изотопный парус. Другим типом рассмат- К риваемого в литературе парусного движителя яв- ляется изотопный парус, использующий для созда- ния тяги реакцию от одностороннего вылета а-частиц рзлиоактивного распада [2.75, 2.811. Хотя радиоак- тивные изотопы (см. ниже табл. 2.9 в ~ 2) могут явиться источниками как а-частиц (ионы гелия), так и ~-частиц (электроны) больших энергий, рассмот- рение а-излучателей предпочтительнее вследствие знвчительно большей массы а-частиц и меньшей проникающей способности. Последнее свойство осо- Оенно важно, так как, по сути, определяет возмож- ности изотопного паруса как движителя, основной проблемой которого является обеспечение односто- Рис. 2. 49. Схема изотоп- роннего вылета ~-частиц, образующих реактивную ог пару, оз р .1о струю. На рис. 2.49 приведена принципиальная схе- ма изотопного паруса [2.75), использующего радио- а-частиц. активный изотоп Ро'" ( а-излучатель). Парус представ- ляет собой тонкий слой изотопа Ро"о толщиной Р, нанесенный на пласт- массовую планку толщиной Р* (поглотитель частиц). Реактивная струя изотопного паруса представляет собой поток положительно заряженных я-частиц; поэтому должна осуществляться нейтрализация реактивной струи подводом электронов, как в ионных движителях. Основные параметры элементов изотопного паруса представлены в табл. 2.6. Как видно из табл. 2.6, толщина пластмассовой пленки Р* выбирается рввной пути пробега а-частицы в пластмассе, что существенно снижает по- ток а-частиц за пластмассовой пленкой, 3* — толщина слоя Ро"' — выби- рвется в — 10 раз тоньше пути пробега а-частиц в Ро"', что обеспечивает вылет из паруса в сторону слоя изотопа примерно половины образующихся а-частиц [2.75). Расход массы в реактивной струе изотопного паруса опре- деляется числом а-частиц, образующихся при радиоактивном распаде: д = — Х, Яо'"т„е-'", 
Физические пРинципы двиГАтельных систем [ГЛ. 2 Таблица 26 Параметры изотопного паруса р* — плотность Ро21О, г/смз 9,2 6,7 10 24 138 т„— масса а-частицы, г 1 — период полураспада Ро21О, сут Х, 1, — постоянная распада Ро21О, 1/сек ń— энергия а-частицы для Ро21О, дж Пробег а-частицы в Ро21", м б* — толщина слоя Ро"о, м ~** — плотность пластмассы, ~~сма Пробег а-частицы в пластмассе, м У'* — толщина пластмассовой пленки, м 5,8-10-8 8,5.10-1з 6,5106 6,5 10-' 2,0 3 10-~ 3.10-~ Соответственно (2.60) и (2.61) тяга, развиваемая изотопным парусом, составит Р = дГ= ~ Жт''*Е'~е-' '. .4 а а (2.62) При указанных в табл. 2.6 параметров удельная тяга, удельная масса и скорость струи для рассмотренного примера изотопного паруса равны Р „/Я вЂ” 2,6 10 'е-" кг/м', т=М/Р „=25000, Г 8 ° 10' м/еек, д /М = — Р,„~7М 5 ° 10 11((~,. (2.63) ~ 2. Энергоустановки космических летательных аппаратов 1. Источники энергии. Для космических летательных аппаратов рас сматривается использование химических источников энергии, ядерных и радиоизотопных источников энергии и солнечной энергии (см. [2.2, 2.8— 2.12, 2.36, 2.37, 2.70 — 2.76, 2.811 и др.). Источником химической энергии являются вещества, способные всту- пать в экзотермические реакции. Наиболее распространенная из таких реак- ций — окисление (горение), в которой участвуют горючее и окислитель. Экзотермической является также реакция разложения некоторых веществ, которая используется в двигателях с унитарным рабочим телом. При ис. пользовании химической энергии в тепловых реактивных двигателях основ- ными параметрами с позиций механики полета являются состав и температург продуктов реакции, определяющие максимальную скорость истечения реак- тивной струи (см. выше ~ 1). Важными являются также исходные параметры топлив (агрегатное состояние, плотность и др.), связанные с параметрами массы системы подачи и хранения рабочего тела. В качестве иллюстрации в табл. 2.7 по данным [2.12, 2.36, 2.73, 2.207 — 2.2111 указаны основны~ характеристики некоторых типов ракетных топлив. В целом с позиций механики полета изотопный парус является движи- телем с почти постоянной тягой, медленно изменяющейся по времени, и практически нулевым расходом массы (2.63). Помимо рассмотренных выше типов реактивных движителей космиче- ских двигательных систем, в литературе обсуждаются и движители болев далекой перспективы (фотонные, термоядерные и др.), с начальными сообра- жениями о которых можно познакомиться, например, в работе [2.751. 
65 ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ $21 Таблица 27 Основные характеристики некоторых ракетных топлив Максимальная величина удельного импульса при р = 35 ° 10' кг/м', 1', сек Оптимальное соотношение состава топ- ливной смеси "*ор~ Плот- ность р ~г/щз Температура сгорания ТО ° ТОПЛИВО на уровне моря при О~ сто~ ~~ = 8 в космосе при '~с/~ ~ — — 2,5 261 2,25 3200 324 1010 357 364 246 3,5 4,0 2,4 2480 2600 282~ 441 447 304 256 304 1210 740 1390 167 137 2900 1610 200 †2 При использовании химической энергии регулирование температуры продуктов сгорания Т, (и соответственно скорости истечения реактивной струи Г, см. выше ~ 1) может производиться за счет отступления от оптималь- ного соотношения состава топливной смеси а,'„,. На рис. 2.50 приведен при- мер изменения температуры сгорания керосина в кислороде в зависимости от Т,К ЯЮ 04 Рис, 2.50. Температура сгорания керосина в кислороде. козффициента избытка окислителя а*/ а', [2.111. Следует отметить, что такое регулирование позволяет только снизить температуру сгорания Т, ( (Т,,„и соответственно скорость истечения реактивной струи Г ( ~ „. Выделение химической энергии в тепловых реактивных двигателях происходит в камерах сгорания. Расход д продуктов сгорания в реактивной струе определяется подачей жидких компонент в камеру сгорания или ско- ростью сгорания заряда твердого топлива. Как было показано выше в ~ 1, максимальный расход д „через реактивное сопло пропорционален макси- мальному полному давлению в камере сгорания ро,„, которое, естественно, ограничено прочностными характеристиками камеры. Уменьшение подачи компонент снижает полное давление в камере и и позволяет соответственно 5 Механика полета Жидкий кислород+кер- осинн Жидкие 02+Н2 Жидкие Р2+Н, Азотная кислота+не- симметричный диме- тилгидразин Однокомпонентное топ- ЛИВО Н202 90% Твердое топливо — бал- листит 1РМ Рис. 2. 51. Регулировочная характеристика ЖРД при Т,=Т, дед. Сплошная кривая — теория, точки— эксперимент. 
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 регулировать расход в пределах д ( д,„. При поддержании максимальной температуры в камере Т,,„[максимальной скорости истечения Г,„) регу- лирование расхода д вызывает почти пропорциональное изменение тяги дви- гателя: Р(Р,„д(д,„[рис. 2.51) [2.2]. Более точные соотношения см. в ра- ботах [2.212 — 2.214] и др. Ядерные источники энергии на современном этапе развития ядерной физики используют реакцию деления тяжелых ядер — реакцию расщепления [см. [2.2, 2.36, 2.71, 2.72, 2.215 — 2.225] и др.). Расщепляющимися материа- лами являются изотоп урана 02З5 и плутоний Ри2З', получающийся в специа- лизированных реакторах. Деление ядра расщепляющегося материала про- исходит при проникновении в ядро свободного нейтрона; ядро переходит Рис. 2.52. Схема энергетического ядерного реактора: Л вЂ” активная зона,  — кожух, С и Л вЂ” входной и выходной коллекторы теплопосителя; 1 — моптажная плита, 2 — замедлительнейтронов, "— отра- жатель нейтронов, 4 — регулирующий стержень, 5 — тепловыделяющий элемент. в возбужденное состояние, равновесие ядра нарушается, и оно делится на «осколки» с вылетом двух-трех вторичных нейтронов; последние поддержи- вают цепную реакцию. Основная часть энергии деления ядра [свыше 80О'') соответствует кинетической энергии разлетающихся «осколков», которая превращается в тепловую энергию при задержании «осколков» деления эле- ментами реактора, например тепловыделяющими элементами [рис. 2.19). Мощность К„, выделяемая реактором, может регулироваться путем воздей- ствия на параметры цепной реакции, которая замедляется, например, при введении в реактор регулирующих стержней из поглощающих нейтроны ве ° ществ [кадмий, бористая сталь). Принципиальная схема энергетического реактора с твердыми тепловыделяющими элементами приведена на рис. 2.52 [2.2]. В литературе [[2.75, 2.80, 2.81] и др.) рассматриваются также жидко- фазные и газофазные реакторы. Критическая масса расщепляющегося материала, необходимая для цепной реакции, составляет примерно ЛХ„=5,0 — '200 кг [2.75] и не зависит от мощности реактора. Поэтому основную массу энергетического реактора большой мощности составляет система теплоотвода, типичными элементами которой являются образуемые тепловыделяющими элементами каналы теп- лообменника, обеспечивающего заданную степень нагрева теплоносителя [см. рис. 2.19, 2.52). Движение газового теплоносителя в канале постоянного сечения хорошо описывается теорией одномерного стационарного течения вязкого газа с использованием данных гидродинамической теории тепло- обмена [2.5, 2.226 — 2.233]. 
67 ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ э 2] (2.64) где р — плотность, с — теплоемкость и ри постоянном давлении, И' — скорость потока газа, Х вЂ” приведенная скорость, й — диаметр трубы, Т вЂ” температура стенки трубы, бб !б5 Лб ббб 4бб х/Ю ~а' ~а~ ю„,~ь Рис. 2. 53. Изменение давления р, температуры Т и приведенной скорости ), газового потока вдоль нагреваемой трубы. Сплошные кривые — теория, точки — эксперимент. Рис. 2.5/1. Удельная масса энергетического реак- тора: 1 — с газовым теплоносителем, 8 — с жид- кометаллическим теплоносителем. 1 ~ Т, — температура торможения газового потока, ф, = [1 — 1,74 Йе "[Рг — 1)] — коэффи- циент, учитывающий отличие числа Пранд1тля РГ от единицы, Ке — число Рейнольд1са. Решения системы (2.64) хорошо согласуются с экспериментом. 11а рис. 2.53 дан при- мер сопоставления теоретических данных [2.228) и эксперимента [2.230] по течению газа вдоль нагреваемой трубки. Анализ решений системы (2.64) указывает на прямую связь заданной степени нагрева газового потока ЛТ,/Т, и потребного числа калибров ка- нала теплообменника Ь/О. Максимальная степень нагрева достигается при звуковой скорости в конце канала теплообменника (см. рис. 2.53). Поэтому с учетом соотношения (2.21) и ограничения по максимальной температуре материала реактора (Т, ( Т„, „,.) масса энергетического реактора большой мощности с газовым теплоносителем должна быть примерно пропорциональна мощности Ж„: ЛХ„- Р„т,ГтЬТ, — Т„. (2.65) Аналогичное соотношение должно выполняться в энергетическом реакторе с жидким теплоносителем (предельный случай: ~ -+ О в (2.64)), а также при изменении агрегатного состояния теплоносителя, так как законы течения двухфазной среды и газовых потоков аналогичны (см. например, [2.234]). В качестве иллюстрации на рис. 2.54 по данным [2.75] приведено изменение удельной массы энергетического реактора ЛХ„/Г„в зависимости от полной мощности реактора Г,,. Видно, что при Г„& t; 04 вт значе ие удель массы реактора стабилизируется. Для высокотемпературных тепловых реактивных двигателей с реакто- ром-теплообменником масса последнего примерно пропорциональна тяге 5* При использовании известной связи между коэффициентом теплоотдачи Й, и коэффи- циентом гидравлического сопротивления ~: Й,='/,1 ~с И'ф„дифференциальные уравнения движения газа в трубе с учетом трения и конвективного теплообмена записываются в виде 
68 Физические пРинципы дВиГАтельных систем [ГЛ. 2 двигателя (2.22), что позволяет (как показано в ~ 1 этой главы) включить его параметры в значения обобщенной удельной массы двигательной системы (см. выше табл. 2.1). Выделение энергии в ядерном реакторе связано с некоторым расходом массы делящихся веществ д,. Рассмотрим соотношение между расходом д, и расходом массы через движитель д. т а б л и ц а ~.8 В случае использования ядерной энергии расход расщепляющегося вещества д, можно оценить из соотношения, связы- вающего массу с энергией. Если обозначить через ~о коэффициент превращения рас- хода д, в кинетическую энергию реактив- ной струи, то связь между расходом рабо- Отношение расхода расщепляющегося вещества в реакторе д к расходу через движитель д ядерной двигательной системы в зависимости от скоро; ти реактивной струи Г чего вещества через движитель и расходом расщепляющегося вещества запишется в виде 105 106 104 Г, м/сею 10 10-4 10 6 1 Т72 . 2 Тд" ='-Одбс (2.66) где с — скорость света. По данным работы [2.71] при х,=5 ° 10-' зависимость отношения д,/д от скорости истечения струи Г представлена в табл. 2.8. Данные табл. 2.8 показывают, что в характерном для обсуждаемого в ли- тературе ([2.75, 2.81] и др.) уровня л' скоростей струи К=104 — '10' м/сек расход расщепляющегося вещества д, пренебрежимо мал по сравнению с У'о 4 расходом через движитель О. «к Существенной массовой компо- нентой в двигательных системах с ядерным реактором является масса Рис. 2.55. Схема теневой экранир~в~ж реа" ЗащИтЫ ~' От НЕйтрОННЫХ ПОТОКОВ тор, 2 — защита от ~-излучения, 3 — защита от и потока нейтронов, 4 — полезная нагрузка. и "~-излучения. Так каК интенсив- ность излучения падает обратно про- порционально квадрату расстояния от реактора, то для снижения массы защиты рассматривается теневая защита с выносом полезной массы на не- которое расстояние Р от реактора (рис. 2.55 [2.751). С той же целью сни- жения массы защиты в работах [2.235 — 2.237] и др. рассмотрены вариа- ционные задачи об оптимальном профилировании толщины защитного слоя х*. В качестве примера по данным работы [2.236] на рис. 2.56 приведено изменение оптимальной безразмерной массы Я„защиты от т-излучения дискового источника в зависимости от безразмерной допустимой дозы ра- диации с~*: и 2д~''2~ У 2~ у~~[' (2.67) где р* — коэффициент ослабления в защите, р — плотность материала за- щиты, с~* — допустимая доза радиации, à — поверхностная интенсивность источника излучения, Й вЂ” переводной коэффициент интенсивности радиации; угол ро показан на рис. 2.55. В целом масса защиты М„зависит от полной мощности реактора Г„. По данным [2.751, удельная масса защиты сохраняется примерно постоянной при Г„)~ 104 квт (рис. 2.57). Другим источником ядерной энергии является энергия распада радио- активных изотопов ([2.75, 2.81, 2.238, 2.2391 и др.). Энергия распада радио- 
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ Таблица 29 Параметры радиоактивных изотопов, рассматриваемых в качестве источников энергии космических энергоустановок Максимальная удельная мощность Период полу- распада ~уЛ Плотность ~ к~~,~~э.10 — э Топливное соединение Тип излу- чения Изотоп & t; „~ ~~ ц/шах '"- 141 Ро Альфа 138 суток 162 » СП~2О3 РиС 86,4 года 285 суток 2,6 года 33» Се02 РШ2О СяС1 С~137 ЯГ90 28 лет 5,3 года ~гТ1ОЗ Со Со60 изотопов может использоваться в тепловых ракетных движителях и непо- средственно в парусных движителях (см. ~ 1 настоящей главы), а также в тепловых энергетических источниках энергоустановок. В ядерной физике известно несколько сотен радиоактивных изотопов, но только некоторые из них рассматриваются для использования в источ- никах энергии космических двигательных систем. Первым критерием пригодности радио- изотопа является период полураспада !03 Ю4 !д~ Ф„,Иш Рис. 2. 56. Мипимальпая масса защиты для дискового источника ~-излучепин. Рис. 2.57. Зависимость удельпой массы защиты от полной мощности реактора при выносе полез- ной нагрузки 1*=25 м и мощности дозы 100 л~бэр/сут: 1 — реактор с газовым тепло- носителем, 2 — реактор с жидкометалличес;&lt теплоносителем. 19, (&gt ., Ђ” постоян ая распад ). Эффективн ми считаю ся изот п с риодом полураспада более -100 суток, так как изотопы с очень корот- ким периодом полураспада нельзя экономично хранить или использовать в длительных полетах. Вторым важным критерием является максимальная удельная мощность и тип испускаемого излучения. В качестве иллюстрации по данным [2.238) в табл. 2.9 приведены характерные параметры ряда ра- диоактивных изотопов, рассматриваемых для использования в космических двигательных системах. Отметим, что удельная мощность радиоизотопного источника энергии уменьшается по времени в соответствии с периодом полу- распада: Ж„~ЛХ„= (Ж„~М„) „„е-' '. (2.68) Ро2'0 СШ242 Р>ц Се144 РП~147 Бета, гамма То же »» »» »») 9,3 11,8 12,5 6,4 6,6 3,9 4,8 9,0 100 0,55 1,95 0,12 0,33 0,11 0,30 
70 Физические пРипципы дВиГАтельных систем [ГД. 2 Из внешних потоков энергии наибольшую интенсивность в межпланет- ном пространстве имеет поток солнечного светового излучения, мощность которого на орбите Земли составляет!М~~ 1400 вшам'. В литературе ([2.82, 2.238, 2.240] и др.) подробно рассматривается устройство оптических кон- центраторов солнечной энергии в виде параболических зеркал, отражателей Френеля и др. По данным [2.238], удельная масса концентраторов солнеч- ной энергии на орбите Земли составляет примерно [3 =ЛХ„/Яз=1.5 — '. Рис. 2. 58. Солнечный концентратор «Саифл~эр» (масштаб м ~доли 1: 3); полная площадь Я~ — 68 дф', масса концентратора и конструкции М„= 115 кг. =3,0 кг lм', (ЛХ„/Г„) в=1 — '2 кг ~квт и изменяется соответственно квадрату рас- стояния Л до Солнца: ЛХ„/Т„= (ЛХ„/Ж„), (В,~К)'. (2.69) Пример конструкции концентратора см. на рис. 2.58 [2.238]. 2. Системы преобразования энергии. В тепловых реактивных двигателях преобразователем энергии является движитель (см. ~ 1), превращающий тепловую энергию нагретого источником энергии газа в кинетическую энер- гию направленного движения реактивной струи. В парусных двигательных системах (солнечный и изотопный парус) движитель также является непо- средственным преобразователем энергии. Специальных преобразователей основной тепловой энергии источников в электроэнергию требуют рассмот- ренные выше Я 1) электрореактивные движители. В литературе ([2.75, 2.79, 2.81, 2.238 — 2.269~ и др.) обсуждается ряд типов преобразователей энергии и их элементов. На рис. 2.59 указаны основные принципиальные схемы преобразователей энергии для электрореактивных движителей, использую- щих солнечную энергию, энергию радиоактивных изотопов или ядерный реактор [2.1051. Схемы преобразователей энергии используют машинные и беэмаптинные циклы. Для преобразователей с миптинными циклами (см. [2.75, 2.79, 2.238, 2.244 — 2.246] и др.) возможно использование газотурбокомпрессорного цикла Брайтона и паротурбинного цикла Рэнкина. В газотурбокомпрессорном цикле (рис. 2.60) нагретый в источнике энергии газ приводит во вращение 
7Х ЭНЕРГОУСТАНОВК И КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ Фо~о - Юла леон.ыжеил Л~родЫ ~уою(м Рео тли~ сюра % ~Уижилель Злеларогенера~пор Жердью реомюр 0зотопныо ~-нсточнцл Элеапрогенертпср Рис. 2.59. Принципиальные схемы преобразователей энергии: а) с использованием солнечной энергии, б) с изотоппым ~-источником', в) с ядерным реактором. В паротурбинном цикле (рис. 2.61) испарившийся в источнике энергии тепло- носитель приводит во вращение паровую турбину и электрогенератор; в ра- диаторе осуществляется конденсация пара в жидкую фазу, давление которой повышается насосом. Диаграммы температура — энтропия для ука- занных термодинамических цик- лов приведены на рис. 2.62. Вид- но, что при одинаковых макси- мальных температурах цикла Т, (определяемых стойкостью мате- Рис. 2.61. Схема преобразователя энергии по циклу Рэнкина: 1 — источник тепловой энергии, 2 — влаж- ный пар, 3 — сепаратор, 4 — жидкий теплоноситель, 5 — насыщенный пар, 6 — турбина, У и 8 — радиа- торы, 9 и 10 — дополнительные теплообменники, 11 — насос с эжектором, 12 — электрогенератор. Рис. 2.60. Схема машинного преобразова- теля тепловой энергии в электрическую по циклу Брайтона: 1 — источник тепло- вой энергии, 2 — турбина, 3 — радиатор; 4 — компрессор, 5 — электр огенератор. риалов) и одинаковом теплоперепаде на турбине Т,— Т4 в газовом цикле средняя температура радиатора значительно ниже температуры радиатора- конденсатора в паротурбинном цикле. Так как в космических энергоуста- иовках отвод тепла радиатором осуществляется излучением (подробнее газовую турбину, на оси которой установлены газовый компрессор (ком- пенсирующий перепад давления газа по контуру) и электрогенератор; от- вод не использованной в цикле тепловой энергии осуществляется радиатором. 
[ГЛ. 2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ см. ниже в ~ 3), то потребная площадь и масса радиатора в газовом цикле значительно больше, чем в паротурбинном цикле. В качестве иллюстрации на рис. 2.63 приведен пример зависимости площади радиатора Я, от темпера- туры перед турбиной Т, для газового и паротурбинного циклов при полезной мощности преобразователя энергии К, 1000 квт [2.78]. Вследствие меньшей потребной площади радиатора в литературе [[2.75, 2.79, 2.238, т, 50 1000 1Я0 1200 О00 Т, ,'К Рис. 2. 62. Термодинамические циклы машинных энерго- преобразователей: а) газ отурбокомпрессорный цикл Брайтона (Т, — Т, — сжатие газа в компрессоре, Т, — Т, — подвод тепла, Т, — Т, — расширение в тур- бине, Т, -э Т, — отвод тепла в радиаторе); 6) паротур- бинный цикл Рэнкина (Т, -э Т, — повышение давления жидкого теплоносителя в насосе, Т, — Т, — подогрев до точки кипения и испарение, Т., -э Т, — расширение пара в турбине, Т4 -& t; Т, Ђ” конденса и в радиатор Рис. 2. 63. Площадь радиатора: 1— паротурбинный цикл Рэнкина, 2— газовый цикл Брайтона. И„'к~т 2.245, 2.246] и др.) преимущественно обсуждается паротурбинная схема. Совершенство такой схемы во многом определяется совершенством газо- гидродинамики турбоагрегата [см., например, [2.247 — 2.250]) с учетом эрозии элементов в двухфазном потоке [2.251]. Масса элементов машинных энергопреобразователей приблизи- М ~р тельно пропорциональна полезной мощности К„. Примерные значе- ния удельной массы турбоагрегата приведены на рис. 2.64 [2.75]. Для электрогенератора, по данным [2.79], удельная массы составляет 10 ' примерно М',/Г, 0,4 кг/квт. К энергопреобразователям с двухфазным потоком без турбо- агрегатов относятся преобразова- тели тепловой энергии в электри- Рис. 2.64. Удельная масса турбоагрегата в зависимости от полезной мощности. ческую, использующие жидкоме- таллический цикл с магнито- гидродинамическим генератором [2.252, 2.253]. Такой преобразователь [рис. 2.65) содержит два контура: например, контур жидкого лития и контур паров калия. Нагретый в источ- нике энергии жидкий литий поступает в смеситель, где испаряет жидкий ка- лий. При расширении в газодинамическом сопле пары калия ускоряют ли- тиевый поток, а затем отделяются в сепараторе. Ускоренный жидкий литий вырабатывает электроэнергию в МГД-генераторе. В работах [2.252, 2.253] указывается, что такие преобразователи энергии при мощности К, )~ & t; 00 вт мо ут конкуриров ть по массо ым показате я с турбогенерат ными преобразователями. 
ЭНЕРГОИ СТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ Я 2] Безмашинные преобразователи энергии используют также термоэлек- трические, солнечные и термоэмиссионные элементы ( [2.75, 2.79, 2.238, 2.254 — 2.269] и др.). В термоэлектрических преобразователях используется эффект Зеебека по прямому переходу тепловой энергии в электрическую при Рис. 2.66. Схема термоэлектрическо1 о преобра- зователя энергии: 1 — источник тепловой энер- гии, 2 — насос контура жидкометаллическ ого теплоносителя, 3 — термоэлементы, 4 — канал теплоносителя, 5 — радиатор (холодный спай). Рис. 2.65. Схема преобразователя энергии, ис- пользующего жидкометаллический цикл с МГД- генератором: 1 — источник тепловой энергии, 2 — смеситель, 3 — сопло, 4 — сепаратор, МГд-генератор, 6 — диффузор, у — радиатор, 8 — насос, 9 — теплообменник. разных температурах двух стыков различных материалов (рис. 2.66). К. п. д. термоэлектрического преобразователя равен [2.238, 2.254 — 2.256] т,— т, я2я 7~ 2= (4/г) + 2Т, — '!и (Т1 — Т2) ' л, (2.70) где Т, — температура горячего спая (стыка), Т, — температура холодного спая, я — термоэлектрическая добротность материала, г — коэффициент Зеебека, ~„— проводимость, Մ— теплопро- Водность. Юлю Для полупроводниковых термоэлементов с я порядка 2 10 '1/К' к. п. д. достигает -10% при перепаде температур Т, — Т,= 200' К [2.255]. Примерные значения удель- йара злетпрвн-„3ыриа' ной массы термоэлектрического преобразов а- теля 81]АР-10А вместе с радиатором (мате- риал термоэлементов — ЙСе, я=0,6 10-' 1/' К), по данным [2.255], составляет (К, + М,)/Т, 125 кг/квт. (2.71) Рис. 2. 67. Схема кремниевого фото- элемента. (2.72) ЛХ,/Т, = (ЛХ,/Ж„) (Н/Л,)2. По данным [2.75, 2.257], удельная масса преобразователя энергии с сол- нечными элементами на орбите Земли достигает примерно М,/Г„ь Другим видом полупроводниковых элементов, осуществляющих непо- средственное преобразование энергии солнечного светового излучения в электроэнергию, являются кремниевые солнечные фотоэлементы (см. [2.75, 2.79, 2.238, 2.257 — 2.259] и др.). Такой фотоэлемент состоит из тонкого, тол- щиною -2,5 мкм, р-слоя кремния, нанесенного на и-слой кремния (рис. 2.67). Падающие на фотоэлемент фотоны солнечного излучения при- водят к образованию пар электрон — (<дырк », кото ые од действ ем эл трического поля между и- и р-слоями диффундируют через контактную по- верхность, создавая разность потенциалов 0,3 — 0,5 в. Отдельные элементы собираются на панелях в батареи. Удельная масса такого преобразователя энергии, естественно, повышается пропорционально квадрату расстояния до Солнца: 
~ГЛ. 2 Физические пРинципы дВиГАтельных систем — 50 кг/квт при к. п. д. до 10 — 14О~~. Крометого должныбытьучтены затраты массы на ориентацию батарей солнечных элементов на Солнце (см., например, [2. 259 ]) . В термоэмиссионных преобразователях тепловой энергии в электри- ческую электроны эмиттируются за счет тепловой энергии из нагретого ка- тода и поглощаются более холодным анодом (см. [2.75, 2.76, 2.238, 2.260-- 2.269] и др.). Для обеспечения этого потока электронов во внешнюю цепь (на полезную нагрузку) работа выхода материала катода ~„должна быть выше, чем у материала анода ~,. Данные о величине работы выхода электрона для различных материалов приведены выше в табл. 2.4. Плотность тока эмис- сии электронов с катода или анода по уравне- нию Ричардсона — Дэшмана существенно зависит от температуры Т: ~ = АТ' ехр [ — еэ/ЙТ], (2.73) РАФЫ юе~югу РюАЬУ леала где А — универсальная постоянная, равная для чистых металлов 120 а/см' град', Й вЂ” постоян- ная Больцмана. Для обеспечения тока электронов от катода к аноду при ~,. & t; ~, необходи о, чт бы темпе тура анода была существенно ниже температуры катода. Схема распределения потенциальной энер- гии в промежутке между электродами термоэмис- сионного преобразователя приведена на рис. 2.68. Величина выходного напряжения, создаваемого термоэмиссионным элементом. определяется соот- ношением (2.74) Рис. 2. 68. Схема термоэмис- сионного преобразования энер- гии. где ~, — кинетическая энергия электронов, ~„— па- дение потенциала в плазме разряда. Для типичных материалов, указанных выше в табл. 2.4, величина напряжения Я порядка -1 в. Поэтому значительные удельные мощности в термоэмиссионном преобразователе требуют большой плотности тока величина которой ограничена пространственным зарядом (см. в ~ 1 соотно- шения (2.42) — (2.44)). Согласно (2.44) осуществление большой плотности тока требует очень малых зазоров И между электродами термоэмиссионного преобразователя; так, например, для плотности тока — 1 а/см' (мощность -1 вт./см2) необходим зазор менее 10 мкм. Столь высокие требования к меж- электродному зазору существенно упрощаются при заполнении термоэмис- сионного преобразователя парами щелочных металлов (Сз, Ва), которые легко ионизуются и образуют в межэлектродном пространстве плазменный слой высокой проводимости. Эффективный зазор как бы становится равным пути пробега электрона до слоя плазмы, что много меньше геометрического зазора. Кроме того, заполнение термоэмиссионного преобразователя, на- пример, парами Ся повышает эмиссионные способности катода. В качестве иллюстрации на рис. 2.69 по данным работы [2.267] приведены примерные характеристики термоэмиссионного преобразователя, заполненного парами щелочных металлов. Конструктивно термоэмиссионные элементы в ряде работ (см. [2.76, 2.238 — 2.269] и др.) рассматриваются встроенными в ядерный реактор с жид- кометаллическим охлаждением. На рис. 2.70 указаны примерные значения удельной массы реактора с термоэмиссионным преобразователем в зависи- мости от полезной мощности Г, [2.238] для схемы, изображенной на рис. 2.71 [2.238]. 
75 энеРГОустАнОВки кОсмических АппАРАтОВ В балансе массы космической энергоустановки — источника мощности, помимо указанных элементов, существенное значение имеет система тепло- отвода неиспользованной в цикле энергии (см., например, [2.75] и др.). Поэтому общий анализ массы источников мощности приведен ниже, в ~ 3, 4Х 8® ~200 ю„, Ь 16 И/ Рис. 2.71. Ядерный реактор с термоэмиссионным преобразователем: 1 — клемма вывода электрической мощности, 2 — вывод продуктов деления, 3 — регулятор, 4 — опорная решетка, 5 — ввод охлаждаю- щего теплоносителя, 6 — отражатель, У вЂ” термоэмиссионные элементы, 8 — клем а вывода мощности для питания насоса, 9 — аварийная защита, 10 и 11 — резервуары с СБ, 12 — выход теплоносителя. после рассмотрения характеристик систем теплоотвода от космических энергоустановок. 3. Аккумуляторы энергии. Как было указано выше, основными видами энергии в космических энергоустановках являются тепловая энергия и Рис. 2. 69. Характеристики термоэмиссионных преобразователей (анод — ЪЧ, т, = 2000' К, ка- тод — Мо, зазор 0,25 мм, давление паров соот- ветствует кипению при указанных на графике температурах). Рис. 2.70. Удельная масса реактора с термоэмис- сиоппым преобразователем: 1 — удельная мощ- ность преобразователя 10 вт/см', 2 — то же, 20 вт/см'. 
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ~ГЛ. 2 электроэнергия. Соответственно рассматриваются аккумуляторы тепловой и электрической энергии ([2.75, 2.238] и др.). Аккумулирование тепловой энергии возможно за счет теплоемкости материала аккумулятора или использования теплоты фазового перехода; второе предпочтительнее, так как позволяет аккумулировать тепловую энер- гию при примерно постоянном температурном уровне Т„. Из фазовых пере- ходов рассматривается плавление аккумулирующего тепло вещества, так Т а б л и ц а 2.10 Удельная ма:сса аккумулятора тепловой энергии (без учета массы контейнера) И кг ~3=~ ~— Дщ Температурный уровень Т~, 'Е1 Аккумулир ующее вещество Удельная масса ~~ = М~~ЕО1 ~г/®/С 0,36 10-6 1,95.10 6 8,8 10-6 950 1077 2042 Е|Н ИаС1 ~~~з ~~~~ фю ~ ~щ, Рис. 2.72. Удельная масса серебря- но-цинкового аккумулятора в зависи- мости от энергии, накапливаемой в одном элементе (напряжение 1,5 в). как испарение привело бы к соответствующему росту давления в контейнере аккумулятора. В соответствии с физико-химическими свойствами меньшая удельная масса аккумулятора тепловой энергии ~„=ЛХ,/Е, имеет место при использовании хлоридов и гидридов металлов [2.75, 2.238] (см. данные табл.. 2.10). Использование чистых металлов (например, Р$ [2.270 ], см. табл. 2.10) дает большое значение удельной массы Из аккумуляторов электроэнергии меньшую удельную массу имеют серебряно-цинковые щелочные аккумуляторы [2.75, 2.271] примерные зна- чения удельной массы которых по данным работы [2.271] приведены на рис. 2.72. Удельная масса электроконденсаторов порядка р,— 0,015 кг/дж [2.79 ]. Данные табл. 2.10 и рис. 2.72 показывают, что удельная масса аккуму- ляторов тепловой и электроэнергии одного порядка: ~,=(1 — '5) 10-' кг/дж. ~ 3. Теплоотвод от космических энергоустановок 1. Радиационные системы отвода энергии. В тепловых реактивных двигательных системах с открытым циклом [см. выше рис. 2.10) необходимый теплоотвод в основном достигается за счет предварительного подогрева подаваемого рабочего тела. Так, например, в построенном в 1930 г. тепловом реактивном двигателе Ф. Цандера ОР-1 (рис. 2.73) охлаждение осуществля- лось окислителем — сжатым воздухом, проходящим по каналу вокруг камеры сгорания перед поступлением в камеру [2.204]. Для космических двигательных систем, включающих энергоустановку с замкнутым циклом (см. выше рис. 2.59), энергетический к. п. д. системы т),=Г„/К„, равный отношению полной мощности реактивной струи дви- жителя К„К, к мощности энергоисточника К„, как обычно для энерго- установок порядка десятка процентов. Поэтому для энергоустановок с замк- нутым циклом большая часть мощности, выделяемой источником энергии, равная /~~, = /~~„— /~„= /~/„(1 — гз)/Ь (2.75) 1) Учет мощности Гд,., привносимой забираемым рабочим телом, пе изменяет прин- ципиально дальнейшего анализа. Для простоты рассматриваем случай Г „=О. должна быть отведена от космического аппарата примерно на низшем тем- пературном уровне энергетического цикла -Т,, '). 
ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК 77 Основным обсуждаемым в литературе (см. [2.75, 2.238] и др.) методом отвода мощности К, является лучистый теплоотвод с помощью радиаторов различного вида. Величина потребной площади поверхности радиатора Я, связана с мощностью К, по закону Стефана — Больцмана: Жх 1 — 10 (2.76) оы1 П1~~ ~10 Соотношение (2.76) приведено для случая отсутствия существенных внешних тепловых потоков и для радиаторов без самооблучающихся поверх- ностей; примером такой системы может служить плоская излучающая поверх- ность в космосе, расположенная параллельно потоку солнечного излучения. Рис. 2.73. Реактивный двигатель ОР-1: горючее — бензин, окислитель — сжатый воздух, тяга Р=5 кT. Как было указано выше, обсуждаемые в литературе типичные косми- ческие энергоустановки работают по тепловому циклу. Энергетический к. и. д. ~, связан с максимальным и минимальным температурным уровнями энергоустановки: (2.77) где Т = Т „/Т „, коэффициент «) учитывает отличие от идеального энерге- тического цикла. Согласно (2.76), (2.77) величина потребной площади радиатора равна ш„~~ — )„~1 т)) аиТ ~)„~1 — Т) Т (2.78) При заданных значениях мощности струи .~вихсителя у„, максимально допу- стимой температуры цикла энергоустановки Т „(а также и и 1) ) величина площади радиатора достигает минимума при следующем оптимальном значе- нии Т: 5 5 ~ 1 т1пЯ при Т =1 — — + 1 — — + орс 8~„ (2.79) 
~ГЛ. 2 Физические пРинципы дВиГАтельных систем Зависимость Т„„(~ ) приведена на рис. 2.74; видно, что при ~ =1,0 Г,„, = — ~ и несколько повышается с уменьшением значения ~,. Соответствующие мини- мальные удельные значения Я, и/К„приведены на рис. 2.75. Видно, что для обсуждаемого в литературе диапазона допустимых значений Т, 1000 — 2500' К (см., например, [2.75, 2.238 ] и др.) удельная площадь Об с ф Е б5 бб б7 бд бб Рис. 2.74. Оптимальное соотношение температур- Рис. 2.75. Минимальная площадь радиатора. ных уровней. радиатора составляет — 10 ' — '10 ' м'/квт, т. е., например, уже для энерго- установки мощностью Г, Г„=20 000 квт (для движителя с тягой порядка 10 кГпри удельном импульсе 1' 10 000 сек) необходим радиатор площадью в сотни квадратных метров. В связи с большими потребными площадями радиаторов существенными являются вопросы их массы; ниже эта проблема рассматривается для двух типичных схем: оребренного трубчатого и лен- точного радиаторов. Аб т, Рис. 2.76. Плоский оребренный трубчатый радиатор. Рис. 2.77. Схема плоского оребрения. 2. Система отвода энергии с плоским оребрепным трубчатым радиато- ром. Принципиальная схема такой системы отвода энергии приведена на рис. 2.76 [2.75]. Отвод энергии, подводимой текущим внутри трубок тепло- носителем, осуществляется излучением с поверхности оребренных трубок. Рассмотрим задачу минимизации массы вначале для системы с трубками очень малого диаметра, что эквивалентно плоской задаче минимизации массы системы ребер, охлаждающих излучением параллельно расположенные с некоторым шагом 2Ь линейчатые источники тепла (рис. 2.77, а). Вследствие симметрии достаточно рассмотреть участок ребра АВ (охлаждаемого излу- чением по АВ) на полушаге Ь при одностороннем подводе тепла к ребру 
ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК 79 по основанию ребра ОА (рис. 2.77, б) при заданной минимальной толщине ребра О'В [2.2721. Будем рассматривать тонкое ребро с пологим контуром, для которого уравнения теплопередачи вдоль ребра и закон теплового излу- чения справедливы в следующей форме: (~ = 2Х„у аТ/Их, Щ)~х = 2аиТ~, (2.80) где у — полутолщина ребра, ось — х направлена вдоль ширины ребра, (',) — тепловой поток по ребру на единицу длины ребра, л — коэффициент теплопроводности, Т вЂ” температура ребра. Оптимальный контур сечения ребра минимальной массы долнсен обеспе- чить минимум площади сечения ребра Я = — 2 удх при заданных началь- о ном тепловом потоке Ч„начальной температуре Т и минимальной толщине ребра у) у „. Введем безразмерные переменные: — Т = Т~Т„, (2.81) х у Д чо/2аиТ4 ' Я,~41„ао~Тз ' Я(81 а2и2Тэ '.Гогда у Их. (2.82) На краю ребра (при х=Х) нам известно значение только переменной ~=~ =О. Поэтому удоонее искать остальные переменные как функции от ф Т ф), х Я), ц Я). Уравнения (2. 82) перепишем в виде нт (2.83) Н~ уТ4 где Т=1, у=у, при (~=1; Т=Т, у=у~;, при Я=О. В такой постановке задача может быть решена на основании принципа максимума [2.273]. Следуя [2.273], введем новую переменную Г,= — 2:НЯ ГХ4 1 и будем рассматривать задачу об оптимизации конечного значения этой переменной при (~=0. Гамильтоиова функция П (см. [2.273]) запишется в виде (~ 2ч Н=р1,— р (2.84) 'УГ где 4 р,Я, дН = — 2р2у, р~ = — = О, дЧ 1 дгу (2.85) с граничиьп1и условияии: р, =О, р2= 1 при (~= О. Заметим, что импульс р — по- стоянная величина, р, = 1 (см. (2.85)). Согласно [2.273], функция Н должна быть максимальной по у при любых значениях Т и р,. На кра|о ребра при (~=0 и р,=О максимум П, естественно, достигается при у =у;„; тогда Н~ — — — 2дп; Т 4 и (р') Л = — 8у „„. ~ ~. Отступая от края ребра, убеждаемся в том, что до тех пор, пока ~/ — рД~2 (ушп, максимум Н по ~~ всюду имеет место при у=у„;,. Следовательно, на этом участке оптимальный профиль реора у = у ; = сопз1. 
80 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 В некоторой точке Я = ~„величина с~ — рф(2 достигает значения у 1„, с этой точки и далее при Я ) Я„максимум функции Н имеет место при у ) у 1 и р, = = — 2у2/Д, что приводит к следующему дифференциальному уравнению: о2~ ДТ 2 о,Т 2ЯТ + $6Я = — Т ==О. Щ2 е е (2.86) В результате интегрирования уравнения (2.86) получаем решение в виде '=И' — "М'+ ТГ' Форма контура определяется интегрированием следующей системы.' (2.87) 6~1' НЯ 1 '~'9 Их Ь (2.88) Я~ — т')~"'*+ т")'~ ' где Ть соответствует температуре на краю ребра, если контур (2.88) про- должить в область у( у „На рис. 2.78 приведены результаты расчета У б Рис. 2.78. Оптимальные контуры плоского теплоотвопящего ребра. оптимальных контуров (2. 88) при ряде значений параметра Т~ [2.272] (рас- четы проведены Ю. В. Шалаевым). Отметим, что контур с Тг. — — О, дающий абсолютный минимум площади ребра 6~„„соответствует рассмотренному в работах (2.274 — 2.277~ частному случаю ребра у „=О (подробнее см. в (2.272~). Для этого контура т =(1.С вЂ” *,)', орС = (2.89) Чо 2 Х,осоТО5 ' ~6РС вЂ” ), „, Г2 ° 3 о~о74 орС значения Я для всех анали- К указанному значению Я,~с удобно относить зируемых контуров ребер. При заданном значении у „ построение по параметру Т~ на участке от начала ребра оптимального контура ребра до у= у „(х„„, (~„„, Т..) про- 
81 ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК водится по данным рис. 2.78; параметры участка с постоянной толщиной у = у,.„примыкающего к краю ребра, определяются по формулам (при О..>0 [(5/2д...)(Π— Р)-&g ; ] ' ИЖ /йз = 2(39 + то (Й + Р) аиТ4. (2.90) Масса единицы длины трубки с ребрами равна (2.91) где 7 — удельная масса материала трубки, ~, — удельная масса материала ребер. Согласно (2.90) и (2.91) относительная масса радиатора НМ,ЯК, на единицу отводимой тепловой мощности составит ЙЛХ,/ЙЖ, = (~ф+ ЯЯ)/ф, + ~), (2.92) где о~ /о ОрФ ),,аа оаТ"„ (О + б)2 — 02 — Ть (1 8 Я'. — ( + ) и,оТ4 ф Минимум относительной массы радиатора достигается при 6 Механика полета В качестве примера на рис. 2.78 указаны оптимальные контуры ребер при д „=1,8. Значения относительной площади сечения этих ребер ~/~,р, в зависимости от параметра Т1, приведены на рис. 2.79. где пунктиром также указаны значения ~/~„, для случая у;, = О. При у „= 1,8, у „/уо = 0,31; мини- у мум площади с пологим оптимумом имеет место при / у „=18 / Т~ 0,70; минимальная площадь составляет ~/~„, = l / = 1,205, что существенно меньше, чем для оптималь- ц.-Д ного прямоугольного ребра, где Г/Г„, =1,635 (см. пунктирную кривую на рис. 2.78 [2.278, 2.279]). Для сопоставления на рис. 2.78 пунктиром указан также РХ контур оптимального треугольного ребра [2.280], для которого ~Г/~ „„=1,103 (при у „=О). У реальных плоских оребренных трубчатых радиаторов с трубками конечного диаметра (рис. р РХ ДТ, 2.76) НЕОбХОдИМО уЧИтЫВатЬ ИЗЛУЧЕНИЕ С ПОВЕРХ рис. 2.79. Влияиие отио- ИОстИ трубОк И ВэаИМООбЛуЧЕНИЕ трубОк И рэбер сительнои ™еРатУРы кРая ребра на площадь сечения Последний фактор для радиаторов с достаточно теплоотводящего ребра длинными ребрами дает (по данным [2.278] и др.) относительно небольшой вклад, и поэтому пренебрежем в первом приближе- нии взаимным облучением трубок и ребер. Рассмотрим оптимальное сочета- ние с минимальной массой теплоотводящих ребер и трубки [2.272], нагре- ваемой изнутри теплоносителем, при заданных температуре стенки трубки Т„=Т„и геометрии трубки (диаметр Й, толщина стенки о). Обозначим, как и ранее, через Ча начальный тепловой поток по одному ребру; тогда полный отвод тепловой мощности на единицу длины трубки я с ребрами составит 
82 ~ГЛ. 2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ или 4 Ф (1 + ~) ~: 27 ~~рр (2.93) При этом минимальная относительная масса составляет ЫМ ~а1Чд); =еФМ(1+Х), т. е. в 1+Х раз меньше, чем для трубчатого радиатора без ребер. В качестве иллюстрации на рис. 2.80 приведены значения (1+~) -1 при В=10 мм, 0=0,25 — '0,75 мм, Т„=1100' К, и=0,9; трубка — из стали, ребра — из стали, меди или бериллия с ~/~„, =1,205 (рассмотренный выше (2.94) Д75 Рис. 2.80. Влияние оребрения на относительную массу плоского трубчатого радиатора. оптимальный контур с у „/у,=0,31). Видно, что у оптимального оребрен- ного плоского трубчатого радиатора относительная масса может быть при- мерно вдвое меньше, чем у трубчатого радиатора без ребер. Относительная масса трубчатого радиатора, естественно, существенно зависит от допустимой толщины стенки трубки 3, определяемой из условии метеорной опасности (см. ~ 3 гл. 1). По данным рис. 1.8 и формулы (2.92) для трубчатого радиатора без ребер (при ЧО=О) на рис. 2.81 приведена за- висимость относительной массы трубчатого радиатора от его температуры Т при различном допустимом числе метеорных пробоев радиатора на единицу излучаемой энергии [2.75]. При анализе данных рис. 2.81 следует подчерк- нуть, что полезная мощность двигательной системы (например, полная мощ- ность реактивной струи движителя Г&g ;) значител но мен ше излучае радиатором мощности К,; даже для идеального цикла при ~ =1,0 (см. выше) полезная мощность втрое меньше излучаемой. Поэтому удельная масса труб- чатото радиатора, относимая к полезной мощности двигательной системы, в несколько раз превышает приведенные на рис. 2.81 значения относитель- ной массы радиатора (соответственно сдвинется и шкала числа пробоев на 1 квт-ч полезной энергии). Видно, что удельная масса трубчатого радиатора достигает заметной величины по сравнению с указанными в Ц 1 и 2 настоя- щей главы значениями удельных масс энергоисточников, энергопреобразо- вателей и движителей. Применение плоского оптимально оребренного труб- чатого радиатора соответственно примерно вдвое снижает удельную массу радиатора (см. рис. 2.80). Большее снижение массы радиатора может быть достигнуто при звездообразном оребрении. 3. Система отвода энергии со звездообразно оребренным трубчатым радиатором. Выше, в п. 2, была рассмотрена плоская задача об оптимальном контуре поперечного сечения теплоотводящего ребра (охлаждаемого излу- чением) при одностороннем подводе тепла к ребру. Было показано, что 
ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК площадь поперечного сечения оптимального ребра (минимальной массы) определяется соотношением вида сЯ ор1 (2.95) ) аг~о2Т 9 ф ф т. е. площадь сечения массы оптимального ребра пропорциональна кубу теплового потока (7„отводимого реб- Я ром. Поэтому, если заданнь~й тепловой поток 0~ будут отводить несколько (и) 5 ребер Я~=п00), то без учета их взаим- ного облучения суммарная площадь 'ф 05 р~ 0,0~ 400 800 л?Я /бдО Т„, 'Ю Рис. 2.81. Относительная масса труб- чатого радиатора (на единицу излу- чаемой мощности). Рис. 2. 82. Схема звездообразно оребренного труб- чатого радиатора. сечения ребер Я ~ (и их масса) будет уменьшаться обратно пропорцио- нально и ~ф ~ — пЯ вЂ” и ' при Д~ — пЯ, = сопМ. (2.96) Теплоотводящие ребра можно расположить, например, зведообразно у вершин охлаждаемого многогранника (трубки) (рис. 2.82). При этом с и ) 2 существенно взаимное облучение ребер, учет которого определит оптимальное количество ребер и„, и соответствующую оптимальную форму сечения ребер [2.281 ]. В указанной постановке задача об оптимальном звездообразном оребре- нии была решена в работах [2.281, 2.282]. На рис. 2.83 приведены резуль- таты решения задачи оптимизации формы ребер звездообразных излучателей при малых размерах центральной трубки и ~=1,0. Отчетливо видно влияние взаимооблученности при и ) 2, которое сказывается в увеличении относи- тельных размеров ребра с возрастанием числа ребер. Однако с учетом за- висимости вида (2.96) абсолютная площадь сечения ребер ~~ (и соответ- ственно масса радиатора) при заданном значении суммарного теплового потока 0~ имеет минимум при звездообразном расположении 4 — 5 ребер (см. сплошную кривую на рис. 2.84, где ~~ отнесено к площади одиночного оптимального ребра ф „р„отводящего тот же поток 0~). Для сопоставления на рис. 2.84 приведена пунктирная кривая, построенная по расчетным дан- ным работ [2.283, 2.284] для выбранной системы наивыгоднейших звездо- образно расположенных прямоугольных ребер. Площадь сечения системы наивыгоднейших прямоугольных ребер в — 1,5 раза больше, чем у системы 6* 
84 [ГЛ. 2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ оптимальных ребер. Штрих-пунктирная кривая на рис. 2.84 соответствует соотношению (2.96) без учета взаимного облучения ребер. Подробные дан- ные по плоскому звездообразному и другим типам оребрения радиаторов и методам их экспериментальных исследований см. в работах [2.281 — 2.339] идр. При сопоставлении звездообразно оребренного радиатора с плоским оребренным трубчатым радиатором следует иметь в виду, что у плоского оребренного радиатора п=2. Соответ- ственно переход к оптимальному звездо- образно оребренному радиатору, по дан- ным рис. 2.84, снижает массу ребер примерно на 40".о. 4. Система отвода энергии с лен- точным радиатором. В связи с тем, что большая удельная масса трубчатого радиатора во многом определяется требованиями защиты от метеорных про- боев, в работе [2.340] был рассмотрен Г34 Хб 7~ Рис. 2. 83. Влияние числа ребер на форму Рис. 2. 84. Влияние числа ребер на площадь оптимальных ребер звездообразного радиатора сечения звездообразного радиатора: 1 — ребра оптимальной формы, 2 — прямоугольные ребра. ленточный радиатор, масса основного элемента которого — ленты не за- висит от метеорной опасности. В этом радиаторе гибкая лента, прижимаемая Рис. 2.85. Система отвода энергии с ленточным радиатором. валками [2.340] (рис. 2.85, а) или центробежными силами [2.341, 2.342] в случае вращающейся ленты (рис. 2.85, б) к цилиндру с теплоносителем, отнимает от него тепло и излучает это тепло со своей поверхности. Пробои ленты микрометеоритами не должны нарушать работу такого радиатора. Подробные данные о форме и устойчивости формы ленты в пространстве, влиянии взаимооблученности элементов ленты и т. д. см. в работах [2.341— 2.351]. Ниже рассмотрены основные параметры ленточного радиатора [2.340]. 
ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК Пусть масса ленты М~„теплоемкость с„длина ленты Ь, скорость обкатки лентой барабана Ю, максимальная температура лепты в точке схода с барабана Т„температура в точке касания барабана Т,; тогда мощность, отводимая лентой (если пренебречь участ- ком, каса~ощимся барабана), будет равна И, = М„с. (Т. — Т,) Г/Б. (2. 97) Эту мощность лента должна излучить. Без учета взаимооблучения элементов ленты, в первом приближении, следуя [2.340), можно записать соотношение Ъ '/4 1 Т~ — 2Ь,Е,о(оТ„Т, = — Т~дх Е О (2.98) где Π— ширина ленты. Средняя температура лснты Т, определяется по закону падения температуры вдоль ленты: й Т~йх = с,Т4. (2.99) Интегрированием уравнения (2.99) с использованием граничных условий: Т = Т„при х = О; Т = Т, при х = С вЂ” определяется значение константы с,: с1 = (Т„з — Т2 з)/ЗБ, и затем — значение Т,: т, Б =Т. З 1 ~ Т (2.100) По соотношениям (2.97), (2.98) и (2. 100) потребная масса ленты равна Яв [(Т ~Т )-з — 1) (2.101) бс„Ь ЮашТ" (1 — Т2/Т )2 Минимум массы ленты достигается при (Т,/Т„)„, =0,69. Тогда (2.102) В уравнениях (2.102) величина Т, примерно равна минимальной тем- пературе цикла энергоустановки Т;, (тепловое контактное сопротивление достаточно мало [2.352 — 2.3541), скорость ленты И' ограничена ее механи- ческими свойствами; если считать, что рациональная ширина ленты Ь„(и барабана с теплоносителем) пропорциональна отводимой мощности: Ь =ЙК~, то первое уравнение (2.102) определит относительную массу ленты М /К. По данным работы [2.340), при Л„=20000 квт, Л =68000 квт и ис- пользовании стальной ленты с возможным графитовым покрытием, при И'= = 15,2 — 30,5 м/сек, Ь= 11,6 м, Т „= 1000о К полная масса ленточного ра- диатора с теплоотдающим цилиндром и необходимыми механизмами со- ставит — М = 3850 — '7250 кг (М!Л 0,057 — 0,107 кг/квт, М /Т„0,19 — ' — '0,36 кг/квт), что существенно меньше, чем для трубчатого оребренного ра- диатора на ту же мощность и температуру, масса которого, по данным [2.355), составит — М, = 19 400 кг (М./Ш, 0,285 кз~квт, М,/Л„0,97 кг/квт). На итоговом рис. 2.86 приведены примерные зйачения удельной массы М,/Г„М,/К, для плоского оребренного трубчатого радиатора (сплошные кривые) и системы с ленточным радиатором (заштрихованная область между пунктирными кривыми) в зависимости от максимального температурного уровня в энергоустановке Т,„. На кривых, соответствующих оребренному трубчатому радиатору, отмечено число пробоев на 1 квт ч полезной энергии; эти кривые построены по данным рис. 2.81 в предположении, что выигрыш массы от оребрения трубчатого радиатора примерно компенсирует переход от Ж~ к Ж„=Ж,. Параметры систем отвода с ленточным радиатором 
~ГЛ. 2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ~~~ыю й7С. ~с~тки !небеля !месяц Рис. 2.87. Области преимущественного использования различных видов эпергоустановок. больших значений Г„) 10' — 10' квт почти постоянна, несколько снижает- ся с увеличением полезной мощности источника Ж,. приведены на основе рассмотренного выше примера из работы [2.340], экс- траполированного по формулам (2.102). Данные рис. 2.86 показывают, что и с учетом возможной минимизации удельная масса радиационных систем теплоотвода от космических энерго- установок является весьма значительной. Поэтому масса системы теплоотвода яв- ляется существенной частью общего ба- 5 ланса масс космической энергоустановки. 5. Характеристики массы космических энергоустановок — источников мощности. Для рассмотренных в ~ 2 видов источни- ков энергии и энергопреобразователей, а 0,5 также для кратковременно действующих энергоустановок на рис. 2.87 по данным ра- боты [2.241 ] указаны области преимущест- венного использования в зависимости от времени работы Т и полезной мощности Ж,. ~~о',У-(О' Д УР ' Приведенные в Я 2 и 3 удельные массы 005 элементов космических энергоустановок определяют их массовые характеристики в целом как источников мощности. 0,01 В соответствии с удельными массами 400 ~цО щ)у дну ~ '~ элементов общая масса источника мощ- д~ц ~~~~ ~~~~ ~ . н~с~и М, зависит от величины максималь- '"' ной мощности Я„вырабатываемой источ- Рис. 2. 86. Удельная масса радиаторов (на единицу полезной мощности): ~ ником. В качестве иллюстрации в табл. плоский оребренный трубчатый радиатор 2.11 по данным работ [2.225, 2.242, 2.243, (на кривых отмечено число пробоев на 1 квт и), 2 — ленточный радиатор. 2.256] приведены примерные параметры ряда рассматриваемых источников мощ- ности. Из данных табл. 2.11, построенного по ней и работе [2.81] рисун- ка 2.88 следует, что удельная масса источника мощности а=М /К„'для 
ю 4] СИСТЕМЫ ПОДАЧИ И ХРАНЕНИЯ РАБОЧЕГО ВЕЩЕСТВА О7 Т а блица 2 11 Примерные параметры космических энергоустановок Л Т ) УьВ5|И ~ ~.У) 3. 1ае У ~ 4.УаеУ ! сЭ ) ~.У ~ сне,З ) ОеН.У ~ Д. е У4 У ~ 3. е У~.У ~ ( 4.УИ ° ° ° ° ° ° ° В е 1 ° ° ° $ ° ю е Е ' ю ° ° ю ° ° ° ° ю ° ° ю ° ° ю ° ° ю Е ° ° 6 ° ° ° ° ° ° ° ° $ ° ° юа ° 1 ° 1 ю 1 ° ае ° ° ° ° ф ° в ю! 1 е 1 1! й 1 ! ° ! ! 1 ! ю ! ° ° а ю ! ! ! в ° ° ° ! ° ю ° й ю 1 1 ю ю ° ю ° М ! ! ю ю !! ° ° ! в ° ю ° ° ° ю ° ! % ! ! й ° ° ю ° ° ! 1 ! ° ~ ° ° ° Я ю ° ° й ° ° ! ° ° ° ° ° ю ° ю й ° ° ° ° ° ° ! ! ю г ° ° ° 1 ! ! 1 ! ! ! й й ° ° ° ° ю г 1 ю ° ! ю 1 И в ° „ЙИИИИИИИ ,ИИИИИИИИ ИИИВРИИИ ,ИИИИИИИИ ( / / / / / / /' ° ' В ° ! е ° ° ° & В ° ! ° ° ° а В ° ! ° ° ° ° В ° ° ° ° ! ° ' 1: ! ' ° ° % 1 ' ° % ° 1!! в1 ~ % 1 е ° й ° % ° ! ° ° 1'' ° ° ° % ! ° ! ! ° ° ° ° ° 1 ° ю~ ! 1 ! ° 5 ° ° ° 1!! в ° 5 ° 1 ° !1': ° ° ' 1 ф ! !'!' ° ' йю ° Ь ° ° ° 1 5~ 5 $'а ° !а'111ю'''1а! ° '' ° в'' ° ав ° 1 ° а 111 ° ! ° ! ° ! ! ° а ° ° е ° ° ° а 1 ° 1 а 5ю ° 1 ае 1 а ! ! ° 1 ° $ ° 1 ° ° ° ° )~ ° й ° й ° ° ° ° ° в ° 1! ° ° ! ° ° '' 1 й ° ° ! ° ! ° 1 ° ' ° е й й й ! ° е ! й 5 ! ! ю 1 ° ° ° ° й ° ° ю ° ф'!!'! ю ° ю ° ! й 1 ю ° ° ° АА~АиЩаДЬ аДна А иВУа Я. д~ 5.8 11.15 130 320 — 120 ' ~00 Масса М., ~г 79,3 295 5~+ 1905 2270 1350 1200 1660 9 10 
88 [ГЛ. 2 Физические пРинципы дВиГАтельных систем массасистемыподачи М примерно пропорциональна максимальной тяге Р „. Ч Значения удельной массы турбонасосных агрегатов, по данным [2.2, 2.357], порядка М /Р „0,005, и для анализа тепловых реактивных движителей Ч с позиций механики полета удельную массу системы подачи целесообразно включать в общую удельную массу двигателя (см. (2.16)). В двигательных установках с энергопреобразователями тепловой энер- гии в электрическую, помимо системы подачи, необходимо учитывать вклад массы и других насосных систем, используемых для прокачки теплоносителя по основному и вспомога- тельным энергетическим кон- турам (см. рис. 2.61, 2.65, Рис. 2. 90. Относительное полное давление на выходе идеального воздухозаборника. Рис. 2.89. Схемы сверхзвуковых диффузоров-воздухозабор- ников: а) многоскачковый диффузор с внешним сжатием по- тока, б) диффузор, использующий два конических течения (1 — зона обтекания центрального конуса, 2 — изоэнтропи- ческое течение, 3 — расходящееся коническое течение перед коническим скачком [2.3791); в) гиперзвуковой диффузор с параболической ударной волной [2.3801. 2.66). По данным работы [2.246], удельная масса системы подачи и на- сосной системы составляет примерно М,/Г, 0,35 кг/квт при Г„=415 квт. Параметры баков для хранения рабочего вещества (топлива) подробно рассмотрены, например, в работе [2.73] и др. Масса баков Ме пропорцио- нальна массе запасаемого рабочего вещества (топлива) М„. Примерные значения удельной массы баков составляют: для хранения жидкого кисло- рода+керосин М~/М 0,004 [2.358], для хранения Сз Ме/М„=0,006 [2.246]. Следует отметить, что для твердотопливных тепловых реактивных двигателей (см. [2.12, 2.73] и др.) масса топливного контейнера одного по- рядка .с массой двигателя и пропорциональна полному импульсу движи- теля (Р ~); примерные значения удельной массы контейнера твердотоплив- ного РД, по данным [2.12], составляют М /(Р ~) М~/(Р ~) 0,8 10-з 1/сек. 2. Энергоустановки с воздухозаборниками. Поступление рабочего ве- щества из внешней среды (атмосферы) используется в воздушно-реактивных двигательных системах (см., например, [2.2, 2.359 — 2.378] и др.), а также может использоваться в двигательных системах с накоплением рабочего тела при орбитальном полете в верхних слоях атмосферы ([2.381 — 2.384] и др.). Начальным элементом таких двигательных систем является воздухо- заборник, основная задача которого — осуществить поступление рабочего 
СИСТЕМЫ ПОДАЧИ И ХРАНЕНИЯ РАБОЧЕГО ВЕЩЕСТВА вещества с минимальными потерями полного давления и с минимальным внешним аэродинамическим сопротивлением. На сверхзвуковых скоростях полета при торможении воздухозаборником набегающего потока могут иметь место значительные потери полного давления набегающего потока ро: (2.'103) где М,=иlй — число Маха полета, а — скорость звука. Эти потери полного давления р„'/ро далее вызывают соответствующие потери тяги движителя (см. ~ 1 настоящей главы). Для обеспечения малых потерь полного давления р„'/ро рассматриваются воздухозаборники — сверхзвуковые диффузоры, при- меры схем которых приведены на рис. 2.89 ([2.2, 2.379, 2.380] и др.). На рис. 2.90 даны примерные значения относительного полного давления на выходе из идеального воздухозаборника р,',/ро в зависимости от количества Рис. 2.91. Схема воздушно-реактивной двигательной установки: 1 — воздухозаборник, 2 — камера сгорания (источник тепла), 3 — реактивное сопло (движитель). скачков уплотнения и числа Маха полета Я,. Такой воздухозаборник— сверхзвуковой диффузор — не вызывает дополнительного внешнего аэро- динамического сопротивления при заборе из внешнего потока струи пло- щадью, равной площади входа ф о (см. рис. 2.89), и обеспечивает расход д„: д„= — ~)уЯ о. (2.104) В прямоточном воздушно-реактивном двигателе (рис. 2.91) между воздухозаборником и реактивным соплом (движителем) располагается ка- мера сгорания или другой источник тепла; в турбореактивном или турбо- ракетном двигателях для обеспечения тяги на малых скоростях полета перед камерой сгорания осуществляется сжатие воздуха турбокомпрессором ([2.2, 2.359 — 2.378] и др.). Использование газодинамической теории ([2.2, 2.5, 2.7] и др.) позволяет определять характеристики воздушно-реактивных двигателей. При этом тяга воздушно-реактивных двигателей Р примерно пропор- циональна площади входа воздухозаборника Я о и атмосферному давлению на данной высоте полета р„: (2.105) Удельная тяга Р(~о]~„зависит от числа Маха Яо. С увеличением ско- рости полета удельная тяга сначала возрастает в соответствии с увелйче- нием степени сжатия роф„набегающего потока в воздухозаборнике. Однако одновременно возрастает и температура торможения набегающего потока ~",: (2.106) что при заданной допустимой температуре То за камерой сгорания (источ- ником тепла) приводит к снижению возможного нагрева воздушного потока в двигателе ЛТ,=Т,— Т„' и вызывает падение удельной тяги при больших числах Яо полета. В качестве иллюстрации на рис. 2.92 по данным [2.365] приведено примерное изменение удельной тяги воздушно-реактивных дви- гателей в зависимость от числа Маха полета. Эффективный удельный импульс 
90 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ воздушно-реактивных двигателей 1'=Р~д. также зависит от числа Маха полета (рис. 2.93) [2.365]. Масса воздушно-реактивных двигателей примерно пропорциональна площади входа в воздухозаборник: ЛХ вЂ ~; в табл. 2.12 0 Рис. 2. 93. ~дельный импульс воздушно- реактивных двигателей (горючее: водо- род — сплошная кривая, керосин — пунк- тирная). Рис. 2.92. ~дельная тяга воздушно-реактивных двигателей: 1 — турбореактивный двигатель, 2— турборакетный, 3 — прямоточный с дозвуковым горением, 4 — прямоточный со сверхзвуковым горением. по данным [2.365] приведены ориентировочные значения удельной массы воздушно-реактивных двигательных систем. Характеристики воздушно-реактивных двигателей, использующих жид- кий водород в качестве горючего, несколько улучшаются при дополнитель- ном использовании теплоемкости жидкого водорода для сжижения и на- копления части воздушного потока (кислорода), поступающего через воз- духозаборник (подробнее см. [2.365] и др.). Рис. 2.94. Принципиальная схема двигательной установки с накоплением рабочего вещества в орбиталь- ном полете: 1 — воздухозаборник, 2 — радиаторы, 3 — компрессоры, 4 — детандер, б — сжижающая установка, 6 — бак для рабочего вещества, У вЂ” движитель, 8 — энергоустановка, 9 — ядерный реак- тор, 10 — турбина, 11 — насос, 12 — электрогенератор (А — элементы, расположенные по левую сто- рону черты функционируют только в фазе накопления). Другим типом двигательных систем, использующих поступление ра- бочего вещества из внешней среды, являются системы с накоплением рабочего вещества при орбитальном полете в верхних слоях атмосферы ([2.381 — 2.384] и др.). Принципиальная схема такой двигательной системы приведена на рис. 2.94 [2.383]. Поток воздуха, поступающий в двигательную систему через 
91 6 41 СИСТЕМЫ ПОДАЧИ И ХРАНЕНИЯ РАБОЧЕГО ВЕЩЕСТВА воздухозаборник, предварительно охлаждается системой теплообменников с радиаторами, затем сжижается в детандерной установке [см. [2.385]) и с возможным разделением компонент подается в баки для рабочего вещества. Лобовое сопротивление — др, как и аэро- динамическое сопротивление аппарата в Таблица 2.12 целом, компенсируется реактивным дви- жителем, потребляющим часть поступаю- Примерные значения удельной щего через воздухозаборник расхода двигательных систем д ( ~д,,~. Разность указанных расходов д =д — д, накапливается в баках для рабо- чего вещества. Так как д ( ~д,~, то для компенсации аэродинамического сопро- тивления скорость реактивной струи должна быть существенно больше орби- тальной скорости полета к Турбо- Турбо- ракет. реак- ный тивный Прямо- точный Тип двигателя Удельная мас- са 1050 М /~я ~, кг/мг 1350 2600 Т /д = 2 10' кв~п/кг/сек при Г = 2 10' и/сек. [2.108) Поэтому в работах [2.381 — 2.383] принимается, что удельная масса двигательной системы с накоплением рабочего тела в орбитальном полете в основном определяется параметрами массы ее электрореактивной двига- тельной установки, элементы которой были рассмотрены выше. Особенности воздухозаборников для таких двигательных систем рассмотрены в работах [2. 387 — 2. 389 ]. ~) [/ д„//д) у. [2.107) Для полета в верхних слоях атмосферы Земли и — 8 км/сек, поэтому необхо- димая скорость реактивной струи К в рассматриваемой двигательной уста- новке с накоплением может быть достигнута только в электрореактивных движителях [см. ~ 1 данной главы). Энергетические затраты на работу -Фг~~- электрореактивного движителя Г и сжи- Т ЮО жительной установки накопителя Г„обес- печиваются энергоустановкой — источни- ком мощности [рис. 2.94). Оценим энергетические затраты на д~~ работу сжижительной установки. На рис. 2.95 по данным [2.386] приведены значе- ния идеальных затрат мощности на сжи- жение Г„[при к. и. д., равном единице) в зависимости от температуры воз- духа на входе в сжижительную уста- новку Т„. Отметим, что эти значения удельной мощности К„,/д, более чем на два р ФЯ 8О т,к порядка меньше удельной мощности реак- ° Я Рис. 2.95. Удельные (идеальные) затраты тивнои струи движителя накопительной мощности на сжижение воздуха. системы, равной 
ГЛАВА 3 ОБОБЩЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Здесь с позиций механики полета дается классификация и приводится сводка обоб- щенных характеристик основпых видов космических двигательных систем, обсуждаемых в литературе [ЗЛ вЂ” 3.4]. Эти обобщенные характеристики основываются на изложенных в предыдущей главе физических принципах действия элементов космических двигательных систем. Введение обобщепных параметров, естественпо, схематизирует проблему, сохраняя ее основные свойства. По изложенным принципам возможно дальнейшее более детальное исследование. Двигательные системы разбиты на три типа (см. Ц 1, 2 и 3 данной главы) в зависи- мости от основных ограничений, накладываемых соответствующими физическими прин- ципами на характеристики системы. Основное ограничение характеризуется тем, что в ме- ханике полета, как правило, оптимальное движение соответствует выходу на это огра- ничение. Такими основными ограничениями являются ограничение скорости истечения реактивной струи, ограничение мощности и ограничение тяги двигательной системы. Рассматриваемые обобщенные характеристики отпосятся к двигательным системам без воздухозаборников и без систем накопления рабочего вещества из внешнего потока; влияние поступления рабочего вещества из атмосферы было рассмотрено в гл. 2. $1. Двигательные системы ограниченной скорости истечения К этому типу относятся тепловые реактивные двигательные системы, обобщенная схема которых приведена на рис. 3.1. Тягу в таких двигатель- ных системах создает реактивное сопло, превращающее тепловую энергию рабочего вещества в кинетическую энергию направленного движения реак- тивной струи. Рис. 3.1. Обобщенная схема тепловой реактивной двигательной системы: 1 — контейнер с рабочим веществом, 2 — реактивное сопло (движитель) с источником, преобразователем энергии, системами подачи рабочего вещества и отвода энергии. На участке космического полета основные параметры тепловых ракет- ных двигателей определяются площадью критического сечения реактивного сопла о~„, полным давлением р, и температурой газа Т, на входе в сопло: Р = Й,о~„Р„д = Й,,~.Р,/~l Те, 3 Г=Р~д=й ~/Т Т='~ доз= й о~ р ~/'~' . Для двигателя заданной геометрии (оГ„,=сопяФ) возможность регулирова- ния основных параметров двигательной системы Р и д определяется воз- можностью независимого управления полным давлением р, и температурой Т,. Основным ограничением для тепловых двигателей является максимально допустимая конструкцией температура Ч,,„„что ограничивает возможную скорость истечения реактивной струи (см. (3.1)): ( .1) Г( Г „=Йз ~/Т, 
ДВИГАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ Для заданной прочности конструкции вторым ограничением является допустимое максимальное полное давление р,,„, величина которого опре- деляет удельные значения максимальной тяги и мощности, отнесенные к площади сечения сопла: Р,„(~„= Й,р,,„, Т,„/~Г„= Й,р,,„~/т, (з. з) Вид регулировочных характеристик тепловой реактивной двигательной системы на участке космического полета представлен на рис. 3.2. При дви- жении в атмосфере тяга двигательной системы несколько снижается (см. рис. 2.13). Кпама ~ ~е Рис. 3.2. Регулировочные характеристики тепловой реактивной двигательной системы. Масса двигательной системы с ограниченной скоростью истечения тивной струи в основном определяется массой контейнера для запаса чего вещества М, и максимальной тягой Р,„„: М, = ~Л~„+ 1,Р.,„. Значения коэффициентов для определения масс были приведены в гл. реак- рабо- (3. ) 2. ~ 2. Двигательные системы ограниченной мощности ( .5) Двигательные системы ограниченной мощности состоят из источника мощности (источник энергии, преобразователь энергии, система отвода энергии), реактивного движителя с системой подачи и контейнепа с рабочим веществом (рис. 3.3). Выработанная источни- ком энергия превращается в движителе в ки- нетическую энергию направленного движе- 1 ния реактивной струи. Наличие отдельного источника ограниченной мощности Г, ( ( Г, „определяет основные свойства и название рассматриваемой категории двига- Г 3' е тельных систем. Характерным свойством двигательных СИСТЕМ ОГраНИЧЕННОй МОщНОСтИ яВЛяЕтСЯ ИХ Рис 3 3 Об б регулируемость по параметрам д и К в щиро- ной системы ограниченной мощности: 1 — контейнер с рабочим веществом, ких пределах. Кроме того, можно управлять 2 — источник мощности, 8 — реактив- величиной мощности Г,, подводимой к дви- жителю. В идеальном движителе вся под- водимая мощность превращается в мощность реактивной струи. Это опреде- ляет простую связь между параметрами: '/,д Г' = Ж, ( Ж,,„,„, Р = д Г, где Ж, „может зависеть от координат и времени. Характеристики реальных движителей подробно рассмотрены в гл. С учетом этих реальных свойств мощность реактивной струи 1/,д Р зависит от параметров движителя, например от скорости истечения струи К. 
94 ОБОБЩЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 3 Максимальное значение мощности Г,,„определяет величину макси- мальной тяги, которая для случая идеального движителя равна (см. (3.5)) Р „=2Ж, „/Г. (3.6) Вид регулировочных характеристик двигательных систем ограниченной мощности (с идеальным движителем) представлен на рис. 3.4. Рис. 3.4. Регулировочные характеристики двигательной системы ограниченной мощности с идеальным движителем. Масса двигательной системы ограниченной мощности в основном скла- дывается из трех компонент: массы контейнера для запаса рабочего ве- щества М „массы источника мощности М, и массы движителя ЛХ: т М,=~М„,+ Х,,„+7Р,„. 3 ( .7) Возможно также использование аккумулятора энергии, масса которого пропорциональна максимальной запасаемой энергии ЛХ, = ~,ЕО. Значения коэффициентов для определения масс были даны в гл. 2. ~ 3. Двигательные системы ограниченной тяги (парусные системы) К этому типу двигательных систем относятся парусные системы (сол- нечный и изотопный парус), величина тяги которых лимитируется макси- мальной площадью паруса Я,„: Р (Р,„= ЙЯ,„. 8 (3. ) Р/~: ь (3 ) Для изотопного паруса величина тяги зависит от отношения времени ра- боты ~ к периоду полураспада 1/~,: Р~$ =Й е-" '. (3.10). Масса двигательной системы ограниченной тяги определяется ее мак- симальной тягой: ( .11) ~р 7ршах Значения коэффициентов для определения масс и их зависимость от основных параметров подробно рассмотрены в гл. 2. Расход массы у парусных систем отсутствует, величина тяги зависит от координат или времени. Для идеального солнечного паруса с зеркальными отражающими свойствами тяга направлена по нормали к поверхности па- руса, а величина тяги зависит от угла установки паруса О и расстояния до Солнца Л: 
ЧАСТЬ 11 ПРОБЛЕМЫ 011ТИМИЗАЦИИ вЂ” ДЕТЕРМИНИСТСКИЙ 11ОДХОД 1'ЛАВА 4 ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ. ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МАНЕВРОВ ~ 1. Постановка проблемы оптимизации Когда сформулирована цель космического маневра, возникает проблема о наиболее экономичном ее достижении. Это означает, что должен быть вы- бран оптимальный космический аппарат и в том числе оптимальная двига- тельная система. Для последней нужно указать наилучший для заданного маневра тип, определить наилучшие параметры и наилучшие программы для управляющих функций. Экономичность выполнения характеризуется тем или иным критерием оптимальности: максимум полезной массы, минимум стоимости выполнения маневра и т. д. В нашем изложении главное внимание уделяется критерию максимума полезной массы. Дадим формулировку проблемы оптимизации для этого случая. Назовем динамическим маневром переход с заданного начального много- образия Я, в пространстве координат — скоростей — времени (г (~,), т (~,), ~е) (= Яэ на заданное конечное многообразие Я,: (г (~,), т (~,), ~,)(=Я,. Содержание изучаемой вариационной проблемы таково: требуется выпол- нить заданный динамический маневр с максимальной полезной массой М, при заданной стартовой массе М,. Запишем дифференциальные связи вариационной проблемы с соответ- ствующими граничными условиями. Сюда относятся уравнение (1.2) изме- нения массы и уравнения (1.1), описывающие движение центра масс ап- парата: ЛХ (О) = ЛХ„ЛХ (Т) ==- ЛХ, + ЛХ„, г (О) = г„г (Т) = г„ г=ч, Ре Л~+~ т (0) =т„т (Т) =т,. ') В отличие от перечисленных здесь маневров, которые рассматриваются почти в каждой из последующих глав, маневры вывода на орбиту и спуска с орбиты фигурируют только в гл. 5, 9, 15, поэтому их описание дается непосредственно в этих главах: в э 3 гл. 5 (вывод на орбиту) и в ~ 1 гл. 15 (спуск с орбиты). Настоящая глава посвящена формулировке проблемы оптимизации космического ап- парата. В э 1 конкретизируется критерий оптимальности, вводится понятие динамического маневра, дается постановка проблемы в виде вариационной задачи Майера, указывается набор характеристик двигательной системы, необходимых для замыкания постановки. В последующих параграфах собраны системы дифференциальных уравнений и гра- ничных условий, описывающих основные динамические маневры: межпланетный перелет Я 3), удержание спутника в заданном шаровом слое, поворот плоскости орбиты спутника и изменение других элементов орбиты Я 4) '). Описанию маневров предпослан параграф Я 2), в котором приведены различные формы уравнений движения и даны соотношения для перехода от одних переменных к другим. 
[ГЛ. 4 ПРОБЛЕМА ОПТИМИЗАЦИИ Здесь г, т, М вЂ” набор фазовых координат (г и т — радиус-вектор и скорость центра масс аппарата, М вЂ” текущая масса аппарата); д, Р, е — набор управляющих функций и управляющих параметров (д — массовый расход рабочего вещества, Р и ~е~= — 1 — величина и направление вектора тяги). Остальные обозначения: д=д (г, ~) — вектор ускорения от гравитационных сил, ̄— масса двигательной системы. (4.2) М=М +М +М„. Прочие компоненты (напрпмер, масса конструктивных элементов, масса баков для рабочего вещества) условно относятся к полезной нагрузке. По мере необходимости эти компоненты могут быть учтены в вариационпой постановке. 5'. Размерность фазового пространства, описывающего состояние аппарата, может увеличиться при усложнении задачи. К фазовым координатам г, т, М могут добавляться новые координаты, например ~„ — текущее время работы двигателя (для задачи с огра- ниченным ресурсом двигательной системы) или ЛХ„и ЛХз — массы двигательной системы и баков (для задачи оптимального сброса секций двигателя и баков). Тогда систему (4.1) нужно дополнить дифференциальными уравнениями, описывающими изменение этих фа- зовых координат; в отмеченных примерах эти уравнения таковы: в первом случае (4.3) во втором случае При этом могут появиться новые управляющие функции; здесь это ~ (~)=1 или 0— функция включения-выключения двигателя, д.„(~) ) О, д„. (~) ~ 0 — функции, отвечаю- щие за сброс секций двигателя и баков. 6'. В формулировке вариационной проблемы и в граничных условиях (4.1) началь- ная масса аппарата задается: ЛХ (0)=ЛХ,. Во многих случаях по физическому смыслу ее достаточно было бы только ограничить сверху: ЛХ (0) ( ЛХО. В такой задаче появляется еще один свободный параметр, подлежащий оптимальному выбору, — ЛХ (0). Рассмотрим связь этих двух постановок. Обозначим через М,'" „(М,) максимальное значение функционала при М(0) =Мо в зависимости от параметра задачи М, (первая постановка), через М,"-' (М ) — то же при М (0) ( ЛХ, (вторая постановка), а через М (0)ф — оптимальную начальную массу для второй постановки. Если получено параметрическое решение задачи в первой постановке ЛХ~',„', (ЛХО), то решение во второй постановке находится в результате простой процедуры: Отсюда видно, что на монотонно возрастающих участках зависимости М,"„', (ЛХ ) опти- мальная начальная масса равна максизгально возможной, М (0)„"' =ЛХ,, и обе поста- новки приводят к одинаковым результатам. На убываюгцих участках М (0)„',' ( М . Такие участки могут появляться в случаях неполной оптимизации, когда пара- Сделаем несколько замечаний к записи (4 1) и к формулировке вариационной проблемы. 1'. Система (4 1) представлена в виде обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Это позволит в дальнейшем сформулировать задачу Майера и свести вариационную проблему к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с конечными соотношениями для управляющих функций. 2'. В правой части третьего уравнения (4 1) выписаны ускорения от реактивных и гравитационных сил. Помимо них могут быть учтены и другие силы, например сила аэро- динамического сопротивления. 3'. Начальное Я, и конечное Я, многообразия, которым должны принадлежать концы траектории, для определенности записаны как жестко фиксированные начальная (го, т„О) и конечная (г„т„Т ) точки, время отсчитывается с момента старта ~,=0, ко- нечный момент обозпачен через Т. Такая запись будет использоваться и в дальнейшем, когда вид Яо и Я1 несуществен. Примеры конкретизации Яо и Я1, отличные от этого пре- дельного случая, даются в ~ 3 настоящей главы: (4.65), (4.67). На траекторию движения могут быть наложены дополнительные условия в промежуточных точках: (4.70) — (4.72) в з 3 и (4.85) в з 4. 4'. В записи (4.1) аппарат считается состоящим из полезной нагрузки М , запаса рабочего вещества М и двигательной установки М,. Формула для массы такого аппа- рата имеет вид 
пОстАнОВБА прОБлемы ОптимизАции Запишем теперь исходную систему (4.1) в виде, удобном для формули- ровки вариационной задачи Майера. Для этого присоединим к системе (4.1) формальное уравнение неизменности полезной массы М,=О и распишем полную массу аппарата в соответствии с формулой (4.2). Тогда система уравнений и граничных условий представится следующим образом: ЛХ =О, М (О) + ЛХ + ЛХ (0) = ЛХ, ЛХ, (Т) = тах, М,= — д, м (т) =О, г=ч, г (Т) = г„ (4.5) Ре ЛХ,+М +М„+ т (0) =т„ т (Т) = т„ и задача Майера формулируется так: для системы (4.5) требуется определить управляющие функции и управляющие параметры (е, д, Р, М„или другие, через которые выражаются данные), обеспечивающие выполнение граничных условий и доставляющие максимум конечному значению фазовой коорди- наты М„. Вариационная постановка (4.5) может быть сведена в ряде случаев к более простой. Опишем здесь один вариант перехода, который может быть сделан при условии, что в формуле для массы аппарата отсутствуют дополнительные компоненты, зависящие от массы рабочего вещества. Введем специальное обозначение для суммы полезной массы М и массы рабочего вещества ЛХ: ЛХ.=ЛХ,+ЛХ . (4. ) Масса М, в начальный момент выражается через стартовую массу и массу двигателя, а в конечный момент совпадает с полезной массой: м,(о) =м, — м„, м.(т) =м„. (4.7) При помощи новой фазовой координаты М. (~) система (4.5) трансфор- мируется в следующую: ЛХ, (0) + ЛХ„= ЛХ„М. (Т) = тах, г(0) =г„г(Т) =г„ г=ч, (4.8) Ре ~=м ~м +~ т (0) = т„ т(Т) =т„ и задача Майера формулируется так же, как и для исходной системы, только контрольным функционалом является конечное значение массы М . ! о' Данная вариационная постановка должна быть конкретизирована для каждого типа двигательной системы. Во-первых, нужно указать функциональные выражения тяги Р и рас- хода д через независимые управления и=(и,..., и„) и параметры т= 7 Механика полета метры двигательнои системы у ке заданы и отыскивается только программа управления (см. ~ 3 гл. 8 и ~ 4 гл. 13). 7'. Вместо изложенной могут быть использованы другие формулировки: задаются динамический маневр и полезная масса, определяется минимум начальной массы; зада- ются полезная и начальная массы, находится минимальное время выполнения маневра илп экстремальное значение какой-либо фазовой координаты. Эти формулировки эк- вивалентны друг другу на участках строгой монотонной зависимости экстремальных значений функционала от оставшихся переменных, которые становятся внешними пара- метрами задачи. Выбор одной из эквивалентных формулировок зависит от конкретной ситуации. В дальнейшем для определенности будет рассматриваться задача на максимум полезной массы при заданной начальной массе и заданном динамическом маневре. 
[ГЛ. 4 ПРОБЛЕМА ОПТИМИЗАЦИИ =(ш1,..., и ) двигательной системы и определить допустимые области значений и и т (регулировочная характеристика двигателя)' р = р (и, т), д=д(и, ~~), и(1) (= Г(т), ж = сопз1 (- Иг. Во-вторых, нужно представить массу двигательной системы М„как функцию параметров т (формула для массы двигателя): (4.10) М„= ЛХ, (ж). ~ 2. Формы уравнений движения 1. Уравнения движения в центральном поле. В прямоугольной инерциальной си- стеме координат х, у, ~ с началом в гравитационном центре уравнения движения имеют вид (см. (1.1), (1.10)) х = а — 3сх~га у = а — )сутяга, в = а — Йл/гз (г = ~хз + у2 + ~2) где а, а„, а, — проекции вектора реактивного ускорения а = Р/М на оси системы, Й = ~'И вЂ” гравитационная постоянная (произведение универсальной гравитационной Рис. 4.2, Полярная система координат. Рис. 4.1. Прямоугольная и сферическая си стемы координат. постоянной ~ на массу центрального тела Ю). Выберем характерное расстояние г,; за характерные время ~„, скорость г„ускорение ~. примем следующие: (4.12) Эти величины имеют такой физический смысл: 2г~,. — период обращения по кру- говой орбите радиуса ~„г — модуль скорости движения по орбите, у,. — ускорение от гравитационного центра на расстоянии г,. Если г„~„и,, у„. взять за единицы измерения линейного расстояния, времени, скорости и ускорения, то уравнения (4.11), записанные в соответствующих безразмерных переменных, не будут содержать пара- метра Й: (4.13) х= а — х!гз, у = а — у(гз, л =а — ~~гз. Для безразмерных переменных сохранены прежние обозначения. Дальнейшее изложение в настоящем пункте будет проведено в принятых безразмерных переменных. Эти характеристики двигательной системы определим как основные. Они не являются исчерпывающими; по мере усложнения задачи могут потребоваться дополнительные сведения о свойствах двигательной системы. Такие сведения сообщаются в ходе изложения. 
ФОРМЫ ~РАВНЕНИй ДВИЖЕНИЯ э 2] Перейдем к сферическим координатам г, у, 0; связь между ними и декартовыми координатами дается формулами (си. также рис. 4.1) ~= г соя ~ соя у, у = г соя ~ яп у, ~= г яп 3. (4.14) Уравнения движения в сферических координатах имеют вид г' — гф2 соя 2 0 — г02 + 1/г2 = а„, г соя Оф + 2гф соя 0 — 2гф0 я1п 0 = а, г0+ 2г0+ гфЯ я1п 0 соя 0 = ая. (4.15) Проекции реактивного ускорения а,, а,, а~ выражаются через а, а, а, следую- щим образом: а„= а соя 0 соя у+ а„соя 0 я1п у+ а, я1п 0, а = — а я1п у+ а„соя р, ая = а я1п 0 соя у+ а„я1п 0 я1п у — а, соя 0. (4.16) Частным случаем системы (4.15) является система, описывающая плоское дви- жение (0 = О, ая = 0): г' = а„ + гф' — 1/г', (4 17) гф = а„, — 2гу. Введем компоненты скоростей в полярных координатах г, у (рис. 4.2): и„=г— радиальная скорость, и =гф — трансверсальная скорость. Тогда система (4.17) может быть записана так: г= ут) г~= у~, б,. = а,. + и2/г — 1/г2, 0 = ат — и„и /г. (4.18) Если ускорения а„, а, не зависят от ~ и р, то порядок последней системы может быть понижен вдвое: и„и„'= а„+ и~~/г — 1/г2, и„и' = ат — и„и /г; (4. 19) здесь штрихи обозначают дифференцирование по г. Функции ~ (г) и у (г) находятся после интегрирования системы (4.19) из диффе- ренциальных уравнений (4.20) При отсутствии реактивных ускорений система (4.19), равно как и (4 18), имеет два хорошо известных интеграла: интеграл энергии (4.21) и интеграл момента количества движения (4.22) аЖ = и~г. Последние могут быть использованы в качестве искомых функций в уравне- ниях (4.19) вместо и„, и: 1 а,г Ь' = — (а„и„+ а и ), аЖ' = — . (4.23) Входящие в правые части уравнений (4.23) функции г„, и должны быть выра- жены через г, К, Ф из (4.21), (4.22). Проекции скоростей и„, и~ и ускорений а„, а, могут быть записаны через мо- дули скорости и и ускорения а и углы, определяющие направления векторов ~, а (рис. 4.2): Ь вЂ” угол между вектором скорости и перпендикуляром к радиусу-вектору точки в сторону положительного вращения последнего, ~ — угол между вектором 7* 
100 ПРОБЛЕМА ОПТИМИЗАЦИИ [ГЛ. 4 возмущающего ускорения и вектором скорости. 11равые части уравнений (4.23) заме- нятся на следующие: а соя 7 , аг соя (Э + 7) (4.24) В этих переменных система (4.18) трансформируется в такую: Г=ПЗ1ПЭ, Гф=г СОЯЭ, (4.25) у = а соя 7 — я1п Э/г2, уЭ = а яш 7 + (у2/г — 1/г2) соя Э. Если в этих уравнениях вместо независимой переменной ~ ввести 8 — длину дуги траектории (дг' = Нг'+ г'Н~' = и'НР), то получим следующую систему: Иà — =я1п Э, Сь8 И~ г с— ~ — СОЯ Э, Сь8 (4.26) Иу 1 п~ — асояу — —, яш О, Сь8 Г ИЭ и~ 1 иЯ вЂ” = а я1п 7+ — — —., соя Э. Сь8 Г Г ( В терминах независимой переменной у система (4.25) примет вид ЙГ =Г И~ Ж И~ г соя ОсЬ ~, — а г2сояЭ ИЭ вЂ” а соя Э' (4. 27) 1 СОЯ "~ Г2 Б1П ~ — — — соя Э. Я|п 7+ Обратимся к исходной системе (4. 17), описывающей плоское движение в поляр- ных координатах, и выпишем дифференциальное уравнение орбиты г (у). С этой целью введем следующие замены: 1 И И Г = —, Г2~=аМ, — =ф— (4.28) (здесь при замене аргумента ~ на аргумент 1», как и ранее, предполагается, что проекции возмущающего ускорения не зависят от ~). Система (4.17) станет следующеи: сРи 1 а а Ии ! и 1 — —. — —.,— Д~2 1 ~2 2 2 Д~ сЬЖ а ,1т = Уиз (4.29) Время 8 может быть найдено по известным функциям и (у), 4~(1») из дифферен- циального уравнения И1 1 ду сЖ (у) и2 (~) (4.30) Если возмущающих ускорений нет (а„=О, а =О), то решение системы (4.29) легко находится: 1 1 у = сопяф, и= — 2+ и — — 2 соя (т — 7,)» (4.31) или, возвращаясь к переменному г, (4.32) г = р/(1 + в соя ч), 
ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ф 2] обнаруживаем, что орбита г(ч) — коническое сечение с параметром р и эксцентриси- тетом а. В формулах (4.31) и (4.32) введены следующие обозначения: р= гзз — фокаль- ный параметр конического сечения, з = йзи, — 1 = И/г, — 1 = 1/1 + 2 язв — эксцен- триситет конического сечения (з = Π— окружность, 1 ) з ) Π— эллипс, з = 1 — пара- бола, ~~1 — гипербола ], ч = ~р — ~р — истинная аномалия — угловое расстояние, отсчиты- ваемое от направления Р,~ (ось апсид), г„, у, — радиальное и угловое расстояния перигелия. На рис. 4.3 приведена орбита — эллипс, в одном из фокусов которого Р, находится У начало координат — гравитационный центр. Большая ось эллипса а7~ соединяет апсиды: а — афелий, г. — перигелий; длина большой полуоси А, длина малой полуоси В, рас- стояние от фокуса до центра эллипса С свя- заны следующими соотношениями с пара- метром р и эксцентриситетом ~: х Р Р А=1 2 В= Ч1 — а2 РЯ, С=1, ° (4.33) Таким образом, в отсутствие возмущаю- щих ускорений система (4.29) имеет в каче- стве постоянных интегрирования величины г, ~„аЖ или произвольную их комбинацию. Ф При а„ф О, а, ф О эти величины ые являют- ся постоянными. Выпишем дифференциаль- ные уравнения, определяющие ~, (р), аФ (у), г(у) =и„— ок 2 в зависимости от а„, а Введем новые функции: и= Ни/~1у, р = сМ2; после Рис. 4.3. Элементы, определяющие аллипти- ческую орбйту на плоскости. этого система (4.29) примет вид (4.34) Д~ „З ° — = — и + — — — ~ ди~ 1 и„ риз риз Представим функции и, и следующим образом (ср. (4.31)): и= (1/р)+ г соя (у — у,), и = — г яш (у — 12,) (4.35) ~1п ч 2а~ соя ч а г я1п2 ч 'Р 'Р ~Д2 2,/Ч2 дЧ2 2а яп ч а япчсояч — + ' + ' ~РД2 8Р2ДЗ ~РДЗ 2а 2 1ЧЗ (4.36) д~ (ч= — /У = (1/р) + г соя (12 — 12„)). Если вместо представления (4.35) избрать такое (4.3, 4.4]: и = (1/р) + (Ч/р), ш = — Б/р, (4.37) то сис сема уравнений примет вид 2а рз Ну ' И+1)2 У Ж а,.рз итр У + 1)2 У + 1)з 2а д~ (д + 1)з /4.38) (по поводу представления функций и, и см. работы [4.1, 4.2]); тогда получим систему дифференциальных уравнений для г, у„ р: 
[ГЛ. 4 ПРОБЛЕМА ОПТИМИЗАЦИИ При а„=:О, а~=О из последней системы получаются уравнения кеплерова невозмущен- ного движения в форме Гамильтона. Системы (4.36), (4.38) называются системами в оскулирующих переменных, т. е. та- ких переменных, которые в отсутствие возмущений (а„= — О, а .= — 0) становятся постоян- ными, любая комбинация параметров Я, у, р или Д, Ь, р также обладает этим свойством. Выбор определенной системы оскулирующих параметров зависит от характера возмущаю- щих ускорений. Приведение уравнений движения в центральном поле при наличии возмущающих ускорений к уравнениям в оскулирующих переменных является стандартной операцией, давно применяемой в небесной механике. Для описания пространственных маневров нам понадобится система в оскулирующих перемонпых, определяющая пространственное движение точки. Чтобы не прибегать к громоздкому выводу, мы опишем эту операцию в общих чертах и в заключение приведем окончательные формулы (см., например, 4.5]). Вывод этих формул можно найти в [4.6 — 4.13]. Рис. 4.4. Элементы, определяющие эллиптическую орбиту в пространстве. За исходную примем систему (4.13) дифференциальных уравнений движения в прямо- угольных координатах. Три уравнения второго порядка (4.13) могут быть преобразованы в систему шести уравнений первого порядка: (4.39) х;=Х;(х )+а; (~, ~'=1,..., 6), где Х4 = Д, Х5 — 2~ хб — 2~ х2=х, хд — — х, хз Х = —— 6 гзэ хд х2 Х2 — з, Хз — х4, Х4 — — — — з, Х5 = х6, г г Хд=х,, ад — — О, (4.40) а4 — — а, а;=О, =~ '+ .-'+ ~) аз=О, а~ — — а, а2= ах Если а,=О (1=2, 4, 6), то уравнения (4.40) определяют движение в центральном поле и, как известно, могут быть проинтегрированы в конечном виде. Пусть начальные усло- вия для системы (4.40) имеют вид (4.41) хю (0) = й (р1 ° рв) (' = 1 ° ° ° 6) где р; — совокупность орбитальных параметров в задаче двух тел. Решение уравнений (4.40) в отсутствие возмущающих ускорений находится в виде хю — Ра (Р1 ° .. Ре. ~) (~'; (Р1, . Реъ О) =У, (Р1.. Ра)). (4.42) 6 Ихс дР; дР; "Р~ — = — + — — =Х;+а ° (4.43) (~ =1,..., 6). При наличии возмущающих сил орбитальные параметры р„..., р, могут рассматри- ваться как новая совокупность переменных, заменяющая старые переменные х; по форму- лам (4.42). Выпишем дифференциальные уравнения для р„..., р, — оскулирующих пе- ременных; с этой целью возьмем полные производные от х,, представленных в виде (4.42): 
ф 21 ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В силу определения' оскулирующих переменных (4.44) дР~/д~ = Х;; поэтому 6 ° ° ° дР; ~р~' Др .,У~ — с. (4.45) П:оследняя система является системой в оскулирующих переменных; она определяет изменение орбитальных элементов при наличии возмущающих ускорений. Отметим, что уравнения (4.45) линейные относительно производных др /Ю; это позволяет выразить Ир ./Л через возмущающие ускорения а,'. 6 И~. — А ~(р1,..., ре, ~) а, (4.46) Ц = 1, ..., 6). Рассмотрим в качестве орбитальных следующий набор параметров (рис. 4.4): длина большой полуоси А и эксцентриситет ~, определяющие геометрию эллиптической орбиты; наклонение г и долгота восходящего узла о, определяющие ориентацию плоскости орбиты; аргумент у, отсчитываемый от линии узлов, и время прохождения Т, перигелия, опре- деляющие орбиту в ее плоскости. Вектор возмущающего ускорения можно разложить по трем ортогональным направлениям: перпендикулярному к мгновенной плоскости орбиты а~, радиальному а~, лежащему в плоскости мгновенной орбиты, и перпендикуляр- ному к радиусу-вектору аф. Дифференциальные уравнения для оскулирующих пере- менных А, а, г, о, ~р, ~ = — пТ имеют вид ИА 2е йп ч 2А ~1 — ~~ и ч'1 — ~' ~$ — ~' ц1п ч ~1 — =-2 А р Н~ пА в+ пА~~ г и'1 г сов (ч + ~р ) )гА2 ~1 — е" ЫЯ г з1п (ч + ~р,) пА2~~ — ~2 ц1п ~ (4.47) а — соБ ч ~1 — а" г ад+ „А 1+ — „ — 'ч'А (1 — ь2) аг з1п (ч+у,) с1д1, 2г 1 — к2 Ж иА А 3 Здесь п = А ' — средняя угловая скорость движения (безразмерная), р = А (1 к2)— фекальный параметр, г=р (1+~ сов ч) ' — уравнение оскулирующего эллипса, ч — истин- ная аномалия. Система уравнений (4.47) должна быть дополнена соотношением, определяю- щим скорость изменения истинной аномалии, соя ч ад— ~А (1 — к') Ы~, ~Щ г~ — — — соя г —. Ж И~' (4.48) Как видно из уравнений (4.47), (4.48), приведенная здесь система орбитальных параметров теряет смысл при значениях эксцентриситета и наклонения, равных нулю, и при значении эксцентриситета, равном единице. В этих точках правые части некоторых уравнений не определены или обращаются в бесконечность. В самом деле, положение пе- ригелия на круговой орбите (~=0) или положение линии узлов при совпадении фиксиро- ванной и орбитальной плоскостей (1=0) неопределенны. Это обстоятельство ограничивает область применимости описанной системы орбитальных параметров, например для числен- ного интегрирования, и является причиной поисков других, более подходящих систем. В частности, чтобы исключить неприятности, связанные с вырождением орбиты в круго- вую (~=0), вводят вместо параметров ~, у их комбинации ~ з1п у, в сов у, — компоненты вектора Лапласа. Дифференциальные уравнения для этих комбинаций не содержат в в зна- менателе (ср. (4.36), (4.38)). 
104 [ГЛ 4 ПРОБЛ1 МА ОПТИМИЗАЦИИ Также свободной от указанных особенностей является система орбитальных пара- метров, предложенная в [4Л4]. Систему составляют два вектора: вектор момента коли- чества движения и вектор Лапласа е, направленный от центра к перигелию и по модулю равный эксцентриситету в. Авторы [4.13] использовали для исследования околокруговых орбит с малым наклонением в качестве оскулирующих переменных начальные значения координат и скоростей. Эти переменные были применены в [4Л6] для произвольных орбит. Для ряда пространственных задач оказывается целесообразным использование си- стемы смешанных переменных: часть переменных — полярные координаты, другая часть — оскулирующие переменные. Удобная для анализа возмущенных движений си- стема пространственных переменных приведена в работах [4.17, 4Л8]. Как и ранее, здесь выделяются три ортогональных направления, берущих пачало в гравитационном центре (рис. 4.5): Ьн — орт вдоль радиуса-вектора движущейся точки, Ь вЂ” орт вдоль пер- пендикуляра к радиусу-вектору в мгновенной плоскости орбиты, Ь~ — орт, направ- ленный перпендикулярно к мгновенной пло- скости орбиты. Обозначим через ж, ()ф, ж проекции уг- ловой скорости системы координат В, Ф, Ж, связанной с точкой, которая движется отно- сительно инерциальной системы х, у, ~. Если положение системы Я, Ф, Я в каждый момент времени определять углами: О (долгота вос- ходящего узла), ~ (наклонение), ч (угловое расстояние движущейся точки в плоскости орбиты, отсчитанное от линии узлов (см. рис. У 4.5)), то угловые скорости ид, иф, ~,, будут выражаться следующим образом.' ив — ~ я1п у я1п ~ + ~соя у, ~~ф — — о со~ар ~~й ~р — ~ ~1п ~р, а& t; = +~ оя (4.49) Рис. 4.5. Смешанная система координат. Согласно определению мгновенной орбитм вектор скорости не должен содержать составляющих, перпендикулярных к мгновенной орбите, т. е. (4.50) г ° Ь~ — — — гофф — — О. С учетом этого условия векторное уравнение д~вижения (4.51) д а ~~ ~3 в проекциях на оси Ь~, Ьф, Ьд имеет вид г' — ги~~, — 1/г2 = ав, 2г~г + г"л = 'га га~рл — — а~. (4.52) ~ послед~них уравнениях можно произвести замену переменных по аналогии с плоским движением. Введем и=г 1, Л1=ш г2 и определим угол ~ дифференциаль- ным уравнением (4.53) ч = и, = аХ/г~. Тогда система (4.52) станет следующеи: ~2ц а~ а~ Дц ~,„2 ! ф2 ц2 цЗ (4.54) Первые два уравнения с точностью до обозначений совпадают с уравнениями плоского движения (4.29). Если компоненты ускорения ав, а, не зависят от пере- менных, кроме ц и ч, то система расщепляется, и перв]де два уравнения могут быть проинтегрированы независимо от остальных. 
ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ э 2] Добавив к (4. 54) дифференциальные уравнения для ортов Ьд, Ьф, Ь „: &l ;Л а, дЬ ИЬ„ — = — Ь Йч Ф (4.55) получим замкнутую систему уравнений. Вместо того чтобы определять орты ь)1, ьа), 1,ч из дифференциальных уравнений (4.55), а затем находить функции О (ч), 1 (ч), у (ч), можно сразу прибегнуть к диф- ференциальным уравнениям для углов (4.49). Следуя [4.17|, введем в плоскости орбиты координаты ~, &l ;) ( м. р с. 4. ), вращающи ся относител но ор ов д с угловой скоростью ~) = ф — ~. Если в вы- Я ражениях (4.49) всюду заменить угол у )Г на ч + о), то дифференциальные уравнения для углов о, ~, ю примут вид &lt 12 ,ч )п и+ =Я2~ 3 а, — соз (и + ч), (4.56) а — 12 2 з1п (и + ч) с~д 1. Эти уравнения вместе с (4.52) также за- мыкают систему. 2. Уравнения движения в поле двух центров. Векторное уравнение движения в произвольном гравитационном поле записы- вается следующим образом: Рис. 4.6. Система координат для описания движения в поле двух центров. 'г' = а + д (г, ~), (4.57) где д (т, ~) — ускорение от гравитационных сил. В предыдущем пункте рассматривались уравнения движения в поле одного гравитационного центра ~ (т, ~) = — 7<т/ (4.58) Теперь дадим уравнения плоского движения в поле двух центров'. 1 и 2. Будем счи- тать, что гравитационный центр 1 неподвижен и, следовательно, связанная с ним система координат инерциальная, а центр 3 вращается вокруг центра 1 с постоянной угловой ско- ростью ~) на постоянном удалении Во и, соответственно связанная с ним система коорди- нат неинерциальная. Движение может изучаться в инерциальной (7) или неинерциальной (2) системах ко- ординат. Приведем обе системы уравнений, записанных в единой форме (обозначения и связь между координатами одной и другой системы понятны из рис. 4 6): г&lt ' = " + ") (ф&l ;') 2 †Й< ) (г& t;')) 2 (4.59) г<') & t;" = а ' — 2 &lt ')ф в ” % & t; Т Ф 7 /7 здесь Й"), Й~'~ — гравитационные постоянные центров 1 и 8, а т &lt 1) ф l ;1 + ~ &l ; ) Я&lt 1 = 7<&lt 2 (г& t;2)) 2 с з (ф&l &l ;Р l ;1 = < & t 2) г< )) з)п ..к&lt 2 = 7< lt; )Л„ со ф'" Ђ” 71& t 1) г&lt ')) ' соз %'&lt 2) =)&l ;& t;1 Л '- з1п и< ) — & t;& t;1) г&l ;1)) 2 з (4.60) 3. Уравнения движения в модельных полях. В качестве модельных рассмотрим линеаризированное и однородное центральные поля, плоскопараллельное поле и бесси- ловое поле. Пусть траектория укладывается в пределах малых угловых и радиальных перемеще- ний; тогда проекции ускорения, вызываемого гравитационным центром, могут быть раз- ложсны в ряд Тейлора в окрестности некоторой характерной точки траектории, например 1<ачально &lt : х , у„, 2„ 4.19, .20] Если с стема коо динат ориенти ован та , что н 1&lt ая то ка располон& t; па а си Ох ( о-— -г„уо Ђ” Ђ” О, 2О Ђ”в ” ), то ура нения пространств 
[ГЛ. 4 ПРОБЛЕМА ОПТИМИЗАЦИИ движения при сохранении первых членов разложения проекций гравитационного ускоре- ния имеют вид ~ю ~о + 2~о (х "о)/"о У = ~ — КоУ/'о 1 ) ~о~/го (зо = /с/г~о) (4.61) В том случае, когда перемещения х (й) — г„у (й), я (й) малы по сравнению с началь- ным удалением от центра го, так что ! ~я до ! &g ;) ~ 1 Ђ” х г ! ~ ! )~ Г ! у ~ ! ~ )& t ~о уместно ограничиться моделью плоскопараллельного поля: (4.62) Наконец, при условии, что величина реактивного ускорения намного превышает величину гравитационного ускорения, можно исключить последнее из уравнений движения (модель бессилового поля): (4.63) г'=а. Если при движении в центральном поле модуль радиуса-вектора изменяется мало (траектория заключена в узком шаровом слое), то справедлива модель однородного цен- трального поля [4.21, 4.22]; векторное уравнение движения в этом случае имеет вид ~ =ф — оР~, (4.64) где ио = р„/г„= Й/го. $ 3. Межпланетный перелет 1. Разбиение межпланетного перелета на элементарные маневры. Траек- тория межпланетного перелета содержит следующие этапы (рис. 4.7): разгон с начальной орбиты в окрестности планеты старта (обозначается индек- сом +1), межорбитальный перелет в СО поле Солнца (индекс 1), торможение в окрестности планеты назначения (ин- декс — 2); на обратном перелете повто- ряются аналогичные же этапы (обозна- 1 чаются индексами +2, 2 и — 1 соот- т, ветственно) . Т Можно выделить два характерных участка траектории межпланетного пе- релета: участок движения в окрест- ности планеты и участок движения +/ в поле Солнца. Оставаясь в рамках за- дачи двух тел, будем предполагать, -/ что гравитационное поле на каждом 1 из характерных участков образуется одним центром: планетой или Солнцем соответственно. г В этой постановке обычно считает- Р 4 7 С анет ог СЯ, ЧТО УЧаСТОК ДВИЖЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ с возвращением. планеты простирается от начальной ор- биты до точки, где достигается нулевая полная энергия (параболическая скорость), а участок межорбитального пе- релета начинается в фиксированной точке одной гелиоцентрической орбиты и заканчивается в фиксированной точке второй гелиоцентрической орбиты; компоненты скорости в начальной точке первого маневра и в начальной и конечной точках второго маневра совпадают с соответствующими проек- циями вектора орбитальной скорости. 
107 ХЕЖПЛАНЕТНЫй ПЕРЕЛЕТ В настоящем параграфе будем рассматривать только движение в одной плоскости, игнорируя третью компоненту. Вопрос стыковки участков меж- планетного перелета здесь также не рассматривается. Основанием для этого является оценка, указывающая на то, что положение точки сопряжения участков слабо влияет на энергетические затраты. Согласно принятым упрощениям оба элементарных маневра, составляю- щие межпланетный перелет: набор нулевой энергии (или иначе разгон до па- раболической скорости) и межорбитальный перелет, описываются системой уравнений в центральном поле (4.18) или (4.13) (последняя без третьего урав- нения: я:О, а,:0). Краевые условия к системе (4.18) имеют вид: для первого элементарного маневра г(0) =1, р(0) =О, и„(0) =ц„„и,(0) =ц,„ ~(Т) ='/,М(Т)+';(ТН вЂ” 1/ (Т) =О; (4.65) для второго элементарного маневра г (0) = 1, р (0) = О, г„(0) = и„„ г (Т) = г„р (Т) = р„и„(Т) = и„1, и (0) =г... г (Т) = и~,. (4.66) Здесь в обоих случаях за характерный линейный размер г, взят начальный радиус (см. (4.12)); поэтому г (0)=1; положение системы координат опреде- лено тем, что точка старта лежит на оси абсцисс: ~р (0)=0. Если начальная орбита первого маневра и начальная и конечная орбиты второго маневра круговые, то условия (4.65), (4.66) записываются следую- щим образом: для набора нулевой энергии г(0) =1, <р 0) О, п„ 0) О и 0) Д (Т) = '/, ~г'-„( Т) + г'-, (Т)1 — 1/г (Т) = 0; для межорбитального перелета г(0) =1, р(0) =О, и„(0) =О, и (0) =1, г(Т) =-г„р(Т) =р„и„(Т) =О, и (Т) =г1 . ) (4.67) (4.68) Краевые условия для уравнений в прямоугольных координатах (4.13) получаются по формулам перехода от полярной системы к прямоугольной (ср. (4.14)): и= г„соя ~ — г я'и. ~р, :с = г соя ~, у = г яп ~р, г = и„в1п р + и сов и. (4.69) 2. Межпланетный перелет с возвращением. Между кинематическими параметрами отдельных этапов перелета существует связь, обязанная усло- вию возвращения на планету старта. Для простоты заменим области влияния планет точками на их орбитах; тогда в системе координат, связанной с Солнцем, траектории космического аппарата в окрестностях планет будут неразличимы с траекториями пла- нет. Выделим из траектории межпланетного перелета с возвращением ту часть, которая лежит вне орбиты старта; сюда входят: перелет с орбиты 1 на орбиту 2, движение по орбите 2 вместе с планетой и обратный перелет с орбиты 2 на орбиту 1. Обозначим через Т, ~1, Т„~, времена и угловые перемещения межорбитальных перелетов (индекс 1 — с орбиты 1 на орбиту 2, индекс 2 — с орбиты 2 на орбиту 1 (рис. 4.7), через Т вЂ” время пребывания на орбите 2 (оно складывается из времен торможения, разгона, а также пассивного ожидания у планеты назначения). 
108 [ГЛ. 4 ПРОБЛЕМА ОПТИМИЗАЦИИ Из равенства угловых перемещений планеты старта и космического аппа- рата следует связь между параметрами Т„~р„Т„~р„Т; считая орбиты 1 и 2 круговыми, получаем Т == ~р, + з, — (Т, + Т,) + 2пг ~/(1 — и,,), (4.70) где ж, — угловая скорость обращения планеты 2 по круговой орбите вокруг Солнца (и,=1), и — целое число оборотов планеты 1 (п=О, 1, 2,...), знак плюс соответствует и, ( и„знак минус — и, ) и,. Если орбиты 1 и 2 не круговые, то в формуле (4.70) появятся интегралы; для учета размеров областей влияния планет необходимо при составлении равенства угловых перемещений добавить угловые расстояния между точ- ками входа в область влияния и выхода из нее (см. [4.23]). В краевой задаче, которая формулируется для выделенной части меж- планетного перелета, обычно считаются заданными время Т пребывания на орбите 2 и время Т. пребывания вне орбиты 1: Т.= Т,+Т + Т,. Они опре- деляют угловые перемещения ~р„~р, и времена Т„Т, в сумме: и +и =Т,— и,Т +2пг; Т1+Т.=7,— 7, а не по отдельности, как считается в краевых условиях (4.66). При круговых орбитах 1 и 2 краевые условия для межорбитальных перелетов туда и обратно запишутся так: перелет с орбиты 1 на орбиту 2 г (0) = 1, и (0) = О, и„(0) = О, и (О) = 1, г (Т,) = г„и (Т,) = — р„и„(7,) = О, и (Т,) = г,-', (4.71) перелет с орбиты 2 на орбиту 1 г(Т +Т )=г, и(7 +Т )= р +Т и, ~и„(7,+Т ) =О, г; (Т,+ Т ) =г г(Т.) =1, и(Т.) = Т. + 2пг, и„(7.) =О, г (Т.) =1 (4.7 ) (в этих формулах величины ~р„Т, не определены). Вместо параметров и„Т, (угловое перемещение и продолжительность перелета), фигурирующих здесь в краевых условиях для межорбитального перелета, могут быть выбраны параметры ~„7, (дата старта, продолжитель- ность перелета). Связь между этими двумя парами получается из условия равенства в момент встречи угловых расстояний космического аппарата и планеты назначения. Если орбиты 1 и 2 круговые, а дата старта 8, отсчитывается- от момента противостояния планет 1 и 2, то формула перехода будет следующей: (4.73) (п=О, 1, 2, ...). з, = ~, + Т, — и,~, + 2тсп Параметры Г„Т, оказываются более удобными для расчетов, в которых учитываются реальные положения планет на их орбитах. 3. Модельные маневры. В настоящем пункте описываются два примера одномерных движений в бессиловом поле: набор заданного модуля скорости и, за заданпое время Т и перемещение между двумя точками покоя, отстоящими одна от другой на расстоянии ~, за время Т. Эти маневры отражают характерные черты маневров в центральном поле'. первый моделирует маневр медленпого набора нулевой энергии с круговой начальной орбиты (см. (4.18), (4.67)), второй — участок быстрого межорбитального перелета (см. (4.18), (4.68)). Уравнения движения и краевые условия для задачи набора заданного модуля ско- рости имеют вид (4.74 ) и = ае; и (0) = О, и (Т) = и,. 
эВОлюции спутни~А То же самое для задачи перелета между двумя положениями покоя.' х=и, и=ае; х(0)=0, и(0)=0, х(Т)=1, и(Т)=0. (4.75) В формулах (4.74), (4.75) величина а — модуль реактивного ускорения, с=+1в направление вектора тяги. ~ 4. Эволюции спутника 1. Удержание спутника в заданном шаровом слое. Спутник выводится на круговую орбиту, расположенную в верхних слоях атмосферы. Грави- тационные силы от притягивающего тела дают периодическую составляющую движения, действие аэродинамического сопротивления приводит к вековому уходу от начальной орбиты. Возникает задача о такой компенсации силы сопротивления, чтобы спутник в течение заданного времени оставался в пределах шарового слоя, максимальный и минимальный радиусы которого заданы (см. работы [4.13, 4.24, 4.25]). Движение в гравитационном поле при наличии сопротивления описы- вается следующей системой дифференциальных уравнений первого порядка: 1 = т, Ф = ае+ ~ — Г/ЛХ; (4.76) Г(х, Д, 2)= — — '[1 (- —;(1 — 3 — ',)» (у = ~/х' + у' + 2'); (4.77) величины /с,,' приведены в (1.11). Сила аэродинамического сопротивления Г, которую испытывает аппарат в потоке, набегающем с относительной скоростью Я, равна (см. (1.23)) Г =1/,с Я р~Щ (4.78) где с — коэффициент аэродинамического сопротивления, Я вЂ” характерная площадь аппарата, р — плотность атмосферы. Если атмосфера покоится, то скорость Я3 совпадает со скоростью т аппа- рата в инерциальной системе Охуя; при учете вращения атмосферы с угловой скоростью 1 (О, О, у,), равной скорости вращения Земли, к т добавляется векторное произведение г )(1: Ч3 = т + г )( 1. (4.79) Проекции силы сопротивления на оси инерциальпой системы координат выражаются следующим образом: К =1/,с и"рЯЗ (х+ у',у), К„=1/ с %"рЯЗ (у — у х), К =1/ с %"рЯх' (ЯЗ = ((х+ У',У)2 + (У вЂ” у,х)2 + 2) ~'). (4.80) здесь, в отличие от предыдущего, добавлен член Г/М, учитывающий аэроди- намическое торможение; а — модуль реактивного ускорения, е — единич- ный вектор ориентации тяги. Выберем инерциальную прямоугольную систему координат Охуя: пло- скость хОу совпадает с плоскостью экватора, ось Ох направлена в точку ве- сеннего равноденствия, ось Оя к северному полюсу, а ось Оу дополняет их до правой тройки. Составляющие гравитационного ускорения ~ определяются потенциа- лом Г притягивающего тела — Земли: д= — дГ/дг. Принимая в расчет пер- вые две гармоники потенциала сплющенного сфероида, имеем: 
ПРОБЛЕМА ОПТИМИЗАЦИИ ~ГЛ. 4 Величина 7, считается положительной в формулах (4.80), если вектор скорости аппарата т и вектор скорости потока г Х,] составляют угол, меньший л/2 (спутник запущен по вра- щению Земли). Плотность ~, входящая в выражения (4.78), (4.80), является функцией не только вы- соты над поверхностью Земли, но также широты и времени года. Плотность как функция этих аргументов дана, например, в [4.26]. Перейдем к сферической неинерциальной системе координат г, ~, 0 (рис. 4.8), эк- ваториальная плоскость которой наклонена на постоянный угол ~ к плоскости экватора и вращается с угловой скоростью Ы~ вокруг полярной оси Ое [4.24]; в начальный момент эта экваториальная плоскость совпадает с плоскостью орбиты спутника, угол Й (~)— свободная функция, подлежащая определению в дальнейшем. Координаты х, у, г выража- ются через г, ~р, 0, о, ~ следующим образом.' х=г (соя аксая 0 соя о — яш у соя 0 я1п о- соя 1+ яш Ояш Я яш 1), у = г (соя ~ соя 0 я1п Я+ я1п ~ соя 0 соя о соя 1 — яш 0 соя о яш 1), е = г (яш у соя 0 яш 1+ яш О соя 1). (4.81) Опуская процедуру преобразования к новым переменным, приведем окончатель- ный результат: Р— г (О+ 1~ созе яш 1) — г [ф соя О+ 1~ (соя 0 соя1 — яш 0 яш у яш1)]'= 1 33 .. рЯЗг = — — — — [1 — 3(яшОсоя1+ соя О яш1я1пу)'] — ~ + ае„, И вЂ” (г' соя О [ф соя О + 1~ (соя 1 соя Π— яш 0 я|п 1 я|п у)]) — г'Й яш 1 [О яш у— Ж вЂ” ф я1п О соя О соя у — 1~ соя у соя О (яш 0 соя 1+ соя О яш у я1п ~)] = 63 РЯг2 = — — (яш О соя 1+ соя 0 яш 1 я1п у) соя О яш 1 соя у — ~ соя О [ф соя 0+ г + (Й вЂ” у,) (соя 0 соя 1 — яш 0 яш у я|п 1)] + ае„, соя Ог, И вЂ” [г' (Π— й соя у яш 1)] + г' [ф' яш О соя О + Ы (я1п 0 соя 1+ (4.82) + соя 0 яш у яш 1) (соя 0 соя 1 — яш О яш у яш 1)] + ф2 [соя 0 (яш 0 соя 1+ + соя О яш р я1п 1) + яш О (соя О соя 1 — яш 0 яш у я1п 1)] = ЯЗ = — — (яш О соя 1+ соя 0 я1п у я1п 1) (соя 0 соя 1 — яш О яш у яш 1)— Г ~Яг2 — [Π— ф — у,) соя у я1п ~] + аеэг. Здесь даны три проекции уравнения Ньютона в безразмерной форме: линейные З~ 1~ расстояния отнесены к начальному радиусу г, время — к го'Й '~ угловые скорости, у з~ в том числе у„— к величине Й~'г„', ускорения — к гравитационному ускорению Йг„— ~, плотность — к максимальной на радиусе г, плотности е„коэффициент в разложении потенциала 8 — к квадрату начального радиуса го, масса аппарата — к начальной массе ЛХ,; для безразмерных величин сохранены старые обозначения (ср. переход от (4.11) к (4.13). Параметр сопротивления .~ выражается так: ого~2~о (4.83) Через е„, е, ео обозначаются проекции единичного вектора направления тяги е (е'„--~- е'-' + е'-=1) на орты сферической системы координат. Начальные условия на круговой орбите в принятой системе координат записываются следующим образом: " (0) = 1 ' (0) = 0 ~ (0) = ~ ~ (0) = 1, 0 (0) = О (0) = 0. (4.84) Конечные значения этих величип не определены, за исключением радиуса г, который в конечный момент, равно как и во все время движения, должен оставаться в пределах г, ( г (~) & t ~ ( l ; ~ (4.85) 
ЭВОЛЮЦИИ СПУТНИКА При дальнейшем анализе задачи ограничимся рассмотрением больших высот, где параметр к мал; другие безразмерные параметры задачи у„~ имеют следующие численные значения: 0,6 10 ', ~ 0,5 10 з. (4. 86) Если силы от несферичности притягивающего тела, силы сопротивления и тяги от- сутствуют (Р=«=0, а (~)=0) и свободная функция Я (~) принята равной нулю: Я (~): — О, то уравнения (4.82) описывают кеплеровскую орбиту, лежащую в экваториальной пло- скости 0=0 системы координат ~, ~р, 0. В реальном движении кеплеровскую траекторию ис- кажают малые силы от песферичпости и малые силы сопротивления. По условиям задачи траектория движения должна быть заключена в узком шаровом слое Лг (Лг=гп,«« — гп~;„(< ). Поэт му функ и г ( ) г ( ) ф ~) во се вр мя движе должны мало отличаться от соответствующих 8$ значений на невозмущенной круговой орби- те: ~г (1) — 1( (& t; 1, (г ( )( (& t; 1, ф ( ) Ђ” 1~ Имея в виду этот случат~, представим пара- метры траектории г (~) и ~ (~) следующим об- разом: г (1) = 1 + ~ (1), ~ (1) = т, + 1 + О (1), (4.87) где )О (~) )(&lt 1, [О ~) )( lt; , ] з (~) )( величинам ]:., ~, ~ задача допускает линеари- зацию. Условие пребывания спутника в узком шаровом слое (г „, г;,) не накладывает фи- зических ограничений на область изменения угла 0 (~). Однако из-за того, что в невозмущен- ном движении 0 (~)=0 и возмущающие силы реального движения малы, можно считать на начальном этапе движения функции 0 (1) и 0 (1) малыми: Рис. 4.8. Система координат для задачи удер- жания спутника. [О (~) ](&lt 1, [0 ~) ) &lt 1 п и 0 &lt ~ — 3;- — 2« =22 соя 1 — 33 [1 — 3 я1п' ~ я1п'(~, + ~)] + ае„, 1) + 2О = — Й соя 1 — 63 я1п' 1 яш (ус + ~) соя (~, + ~) — « — (1 — у, соя 1) + ае, О+ 0 = Й я1п 1 соя (~, + ~) — 2~ яш 1 яш (~, + ~) — 63 яш $ соя 1 я1п (~, + ~)— (4.88) — «у — я1п 1 соя (у + ~) + аео. ) В этих переменных краевые условия (4.84), (4.85) запишутся так: ~ (0) = Я (О) = 'О (О) = '0 (О) = 0 (О) = О (О) = О, ~;, <Я ю) <Я (0 (4.89) В правых частях системы (4.88) сохранены члены только первого порядка по 7'.; члены второго и высших порядков отброшены, так как перед ними множителем стоит малая величина у. По этой же причине следует оставлять только нулевой член в разложепии плотности по ~, с, 0; входящая в (4.88) плотность р является известной функцией времени, определяемой по начальной круговой орбите (~ (~)= с (~)=0 (~)=0). Выберем свободную функцию И (~) следующего вида [4.25]: ~= — 33 соя ~ = сопят (4.90) (при этом упомянутое выше условие малости производной Ы выполняется). Третье уравнение системы (4.88) преобразуется так: О + О = — «Л1 У, Я1п 1 соз (У, + й) + аея (О (0) = О (0) = 0). Р (4.91) Полагая производную свободной функции Й (~) малой: [ 12 (~) [(& t; 1, линеариз систему (4.82) по с, Е, з, О, О, 1-'; получим 
112 [ГЛ. 4 ПРОБЛЕМА ОПТИМИЗАЦИИ Предположим, что составляющая тяги в направлении 0 отсутствует (ез — — 0), и оце- ним максимальное значение угла 0, достигаемое к моменту времени ~=~1; для этого поло- жим р (8)=1, ЛХ (1)=ЛХ1: яп ~ 0 (~,) = А~', 2Л~ [я1п ~ро я1п г1 — г, я1п (~ро + г1)). 1 (4. 92) Наличие смешанного члена в решении (4.92) указывает на наличие колебаний с на- растающей амплитудой радиуса-вектора относительно экваториальной плоскости. При ~1 (& t; 1/ ,х у ол 01 а и у ет тол ко линейн го чл н в разложе ии п 0 справедл Окончательно дифференциальные уравнения и краевые условия, описы- вающие маневр удержания спутника в заданном шаровом слое, имеют вид ~ — 31 — 2() = — 3~ [1 + 2 соя' ~ — 3 я1п- '~ я1п-" (з, + ~) (+ ае„, ~) + 21 = — 6С~ я1 и' ~ я1п (р, + ~) соя (р, + ~) — г. Р (1 — ), соя () + ае, (4.93) 6+0= — ху, р я1п(соя(у,+~)+аез, ~(О) =С(О) =„(О) =„(О) =0(О) =0(О) =О, 6,(6(й) (5 „(0(й(Т). Если движение спутника рассматривается в достаточно широком диапа- зоне времеыи, то целесообразно изучать изменение параметров -"'-, ~, ~, ~, 5, 0 через целое число периодов я. По прошествии времени 2ял параметры 1, $, () станут равными 2г~ 2г1г 1,=2 ~1 — 2!,соя ц( — ~ + ~'~' Н~)+2 о о 2г~ 2гп 2г~ ае соя 1Ж вЂ” ае„яп1й1, Ж вЂ” 2 ае я1п ~Ю+ ае„соя~И, о о 1, = 2к(1 — 2[, соя ~) (4.94) о 2гк ~),=х(1 — 2у, соя() 3 — — 4 рИ~ ЛХ о р соя ~ ае Ж+ 2гй 2г1г л +4 ае И+4 ае саяна+ 2 ае„я1п ~й о о о (выражения для остальных параметров записываются аналогичным образом; здесь они не даны, ибо в дальнейшем не понадобятся). Члены в решении ~ (г), 1 (1), () (1), пропорциональные коэффициенту ~3, имеют осцилляционный характер и в усредненном решении (4.94) отсут- ствуют. Их влияние сказывается на поведении траектории в интервале О ( ~ ( 2т. Если ~)& t; к, то велич ны ах с, 1 1 на обор те зави в основном от ~, т. е. толщина слоя, в пределах которого располагается траек- тория на обороте, определяется силами от несферичности притягивающего тела. Считается, что амплитуда колебаний радиуса на одном обороте (㠄— г „) укладывается в заданную толщину шарового слоя. 2. Поворот плоскости круговой орбиты спутника поперечной тягои. Дадим вывод дифференциальных уравнений и краевых условий, описываю- 
ЭВОЛЮЦИИ СПУТНИКА щих рассматриваемый маневр, где в качестве исходных используются урав- нения в оскулирующих переменных. Поперечной названа тяга, направленная перпендикулярно к мгновенной плоскости орбиты (еще одно название — бинормальная тяга). В обозначе- ниях, употребляемых для записи системы (4.47), это проекция а~. Если в (4.47) аф — — ад=о, то длина большой полуоси А, эксцентриситет я и момент прохождения перигея Т остаются неизменными при движении, так что гео- метрия начальной орбиты сохраняется, причем если начальная орбита круговая, то безразмерный радиус г, безразмерная длина большой полуоси А и эксцентриситет я равны таким значениям: (4.95) г(»)= — 1, Л(»)=:1, =(»)=О. Для описания движения остаются три уравнения: И~ ~Ж ~1П ~ И~ — =ие со~ з,: =ие, — ' — -1 — ае сСд г яп з. Ж '' Ж яй~ ' Ж 3 (4.96) ( .97) с(0) = то долгота восходящего узла (Й (0)) и аргумент широты (~ (0)) в начальный момент не определены по отдельности; их сумма — широта точки старта в инерциальной системе координат — задается положением этой системы. Примем Р (0) + 2 (0) = О. (4.98) В конечный момент задаются наклонение и долгота восходящего узла: » (Т) = »„2 (Т) = о,. (4.99) Пусть»,(&lt 1, то да тригонометричес ие функ ии уг а» мо ут б ть менены в уравнениях (4.96) таким образом: 6Ца» = ие соя &lt р = ае 1п з) » 1 Ђ” ае 1п ф Из (4.98), (4.100) следует: (4.101) Подставляя последнее выражение в первые два уравнения (4.100), по- лучаем Ж~Ж = ие соя (» — О) Й = ае я1п (» — 2)/». (4.102) Введем следующие замены: у = » я1п (2 — 2,), и = ~ соя (2 — 2,). (4 1ОЗ) В терминах ~, а уравнения и краевые условия, описывающие маневр поворота плоскости круговой орбиты, примут вид ~о = ие соя (» — ~,), о~(0) =О, и(Т) =» . ~=ае я1п (» — Р,), ~(О) =О, ~(Т) =О, (4.104) 8 Механика полета В уравнениях (4.96) приняты следующие обозначения: ал = ае, а— модуль реактивного ускорения, е=+1 — ориентация вектора тяги относи- тельно мгновенной орбиты (е=+1 — по нормали, е= — 1 — против нор- мали); ~р=ч+~, — аргумент широты, отсчитывается в мгновенной плоскости от линии узлов. Если начальная орбита лежит в плоскости экватора, 
3'Д АВА 5 ИДЕАЛ ЬНЫИ ДВИГАТЕЛЬ ОРГАН ИЧЕННОЙ СКОРОСТИ ИСТЕЧЕНИЯ (ИМПУЛЬСНЫЕ ПОСТАНОВКИ) К двигателям ограниченной скорости истечения относятся все тепловые реактивные двигатели, скорость истечепия которых не превышает предела. зависящего от максималь- ной допустимой температуры стенок камеры сгорания или топлообменника (см. 1 1 гл. 3). Двигатели этого класса характеризуются сравнительно малой удельной массой т., на ечи- ницу тяги (т„— 10 2 кз/кГ). Такие двигатели могут обеспечивать большие значения реактивного ускорения, отсюда — другое название данного класса двигателен: двигатели большой тяги. Ввиду малости удельной массы ~., двигателей ограпиченной скорости истечения мас- сой двигателя М„в задачах оптимизации обычно пренебрегают (это нельзя делать для тех маневров, где потребная величина реактивного ускорения велика, т. е. в тех случаях. когда нарушается условие М„/ЛХ (Т)=т,. (~М)тах~М (т) (& t; В настоящей главе описываются особенности оптимальных режимов работы идеаль- ных двигателей ограничспной скорости истечения. Оптимизационная задача делится на параметрическую и дпнамич;скую части, находятся условия оптимального подбора сту- пеней многостунспчатого аппарата н в импульсной постановке рассматриваются оптималь- ные межорбитальные и мсжпланстпые перелеты. $ 1. Разделение вариационной задачи, оптимальные соотношения масс 1. Характеристики идеального двигателя ограниченной скорости ис- течения. Идеальный двигатель ограниченной скорости истечения характе- ризуется следующими выражениями тяги Р, расхода д и массы ЛХ„(ср. (4.9), (4.10) при и,=Р, и,=Г): (0(Р(~)(т, 0(Г(~)(Г „), (5.() Р=Р, д=Р/Г, М„=О т. е. идеальный двигатель невесомый, скорость истечения ограничена сверху, на тягу ограничения сверху нет, и поэтому допускается существование импульсных режимов работы (на бесконечно малом интервале времени тяга бесконечна, расход бесконечный, выбрасывается конечное количество рабо- чего вещества), эти режимы в так называемых импульсных постановках задач считаются единственно возможными. а 2. Одноступенчатый аппарат. Запишем вариационную проблему для идеального двигателя ограниченной скорости истечения аналогично (4.8): М. = — Р~У, г=~, т=Ре~М,+и, (0(Р(~) ( оо, .Ч. (0) = Ме, М. (Т) = тах, г (0) = г„г (Т) = г„ т (0) = т„ч (Т) =- т1, О( Г(1)( Г,„, ~е(1) ~ =1). (5.2) В этом случае формула для ~иассы М. содержит только три компоненты: полезную массу М„~иассу рабочего вещества М и ~иассу баков Мз; масса двигателя по определению идеального двигателя равна нулю, поэтому М. = М = М.-~- М,-~- М,. 
ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МАСС Введем в уравнения (5.2) вместо тяги Р реактивное ускорение а = Р~М = =Р,~,$1. и отнесем компоненты М,, М., М к начальной массе Мо: т, = М,/М„т. = М,/М„т = М (М„ Тогда система (5.2) принимает вид: т (О) =1, т,(Т) =тах, т. = — ат,~Г, г (0) = г„г (Т) = г„ т (О) = т„т (Т) = т, О ( Г (~) ( Г „, ~ е (1) ~ = 1). т=ае+д, (0(а(1) ( со, г'амильтонова функция Н и уравнения для импульсов в рассматриваемом случае записываются так: Н = — р,ата ~7 + р и+ р, ° (ае+ д), 1 д р, = р,а/Г, р,. = — — (р„я), 1&gt „= Ђ” р, р. Т = Ђ” Функция р, (~) отрицательна всюду на отрезке 0 ( ~ ( Т в силу того, что уравнение для р, линейное однородное и в точке ~= Т функция р, отрицательна. Множитель при 1/Г в функции Н может быть либо положительным (с учетом знака, стоящего перед всем членом), либо равным нулю при а (~)=0, поэтому вдоль активных участков траектории (а (~)+О) оптимальное управление Г (~) (доставляющее минимум га- мильтоновой функции Н) таково: У (~)=УП1„. Подставляя это оптимальное управление в (5.3), приходим к выводу, что вариационная проблема (5.3) на максимум т. (Т) эквивалентна вариа- ционной проблеме на минимум характеристической скорости Ли (Т): ЬВ=а, Ли(0) =О, Ьи(Т) =тш г= т,~ г (0) = г„г (Т) = г Ф = ае+ е, т (О) = т„т (Т) = т1 (а (1) ) О, ~ е (1) ~ = 1). ( ) Задачу (5.5) (в ней отсутствует переменная т.) будем называть динами- ческой частью проблемы оптимизации. Контрольный функционал задачи (5.3) — полезная масса т. (Т) — связан с функционалом задачи (5.5)— характеристической скоростью Ли (Т) — формулой Циолковского щ ~ Т1 — рц ~ щ — ~-~~(~')/1'ша~ а ~ 1,'~ ~ х Если масса баков и начальная масса топлива связаны линейно: М = ~М„(0), то относительная полезная нагрузка может быть представлена в виде т, = (1 + ~) (т + т,) — ~. ( ) Подставив (5.6) в (5.8), получим относительную полезную нагрузку т„ как функцию характеристической скорости: т, = (1 + ~) е ~ — ~ (%' = Ьи (Т)~ У „). Из (5.9) следует, что не может быть выполнен маневр, для которого величина функционала Ли (Т) ) Г „1п 1(1+ ~3) /р] (полезная нагрузка 8* 
ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ [гц. 5 становится отрицательной). Маневр, характеристическая скорость которого находится за указанным пределом, может быть выполнен многоступенчатым аппаратом. 3. Многоступенчатый аппарат — разделение задачи. Рассмотрим аппарат, состоящий из и ступеней, которые работают последовательно. Стартовая масса всего аппарата (первой ступени) равна МЦ& t = М& t;' gt;+ М + ЛХ$ израсходования рабочего вещества (МЯ) баки (М~')) сбрасываются и начи- нает работать вторая ступень, чья стартовая масса равна полезной нагрузке первой ступев&lt л, ~ = М&l ; ,'> = ЛХ& t '1+ М lt;'о + М$'& t;. Затем пр лишь у последней, п-й, ступени сорос баков не ооязателен. Используя соотношения М~') =р,.М~'„~, ЛХ~'1= М1"+'), можно представить относительную полезную нагрузку такого аппарата в виде ЛХ«&l ;) ЛХ < lt; Л& t;&l ;п †т, = '«& t; = „" „ „ ° °, ';„' „ Ц И + р .) (т l ;'< гг [')) (5. 10) т~'1 = — ит~"'1/Г" Я&l ;) <Е l ;Е$ ), &l ; =1 т&lt '< (Ц' gt;) =1, т& t '> (Е~ г = т, г (О) = г„г (Т) = г„ т = ае+ и, т (0) = т„т (Т) = т„ Я .=П[(1+1;)( !" + ~") — 1,~= а=1 (5.1 1) а ~ со, "' 1 ~',~„е 1 =1, '', (т(')+ т&lt '~ Для решения (5.11) необходимо найти оптимальные управляющие функции а [&lt е [&lt ), & t; & t;" г) и оп имальные араие ры т lt;1'+ т '. ока ем, что ту пр разделить на динамическую и параметрическую части. Если прологарифмировать функционал в [5.11). он становится аддитивным по относительным полезным нагрузкам ступеней, и к участку полета на отрезке [<& г["'] может быть приложен анализ проблемы [5.3). Управление на [<&l ;,"', г<" быть оптимальным; поэтому, как следует из анализа [5.3). при л<о ых началь данных г (ф~&lt ), «(ф >) олжно выпол яться у лови Г& t "' [г) Г<",& t;,. И проблемы (5.3) последовательно для [и — 1)-й, (и — 2)-й и всех остальных ступеней, получим, что Г«~ (г) = ГЦ& t; [ lt = 1, , . В этой ситуации из (5.11) может быть получено равенство т У2 Ьг& t; Т а с = — ~, У~' ~, [п (т ' gt; + о (5.12) и исходная проблема (5.11) делится на две задачи: динамическую часть— Обозначим через (го«&g ;, 1&l ;<'&g ;) инт рва полета lt; й туп ни, где момент сброса баков &lt -й ступ ни (&lt +~г), & t;'+' ЕЙ&lt 1+ О сбро исходит мгновенно), Е~~") = Т. Учитывая введенные обозначения и (5. 10), запишем вариационную проблему на максимум относительной полезной нагрузки многоступенчатого аппарата в виде 
ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МАСС задачу (5.5) и параметрическую часть, которая записывается так: ~г т,=П[(1+ ~,) (т® -~-т~')) — Ц= тах ( .13) — ~ Г~'),1п (т~'~+ т") =Ьс (Т) э=1 (3,.Я1+ ~3,.) ( т~') + т~') ( 1). 1п т, =,~~ 1п т &lt ' = ~ и ( + 3 . е к ' ~ ° Ђ” ф = ( .1 ) ~г Ьу"'=Ьу~Т)(0(Ьу'"(Г<'.~, п, ', ~' ), 2, .. Ф !=1 ! где выбору подлежат переменные Ьи"). При оптимальном подборе Ьи'" часть переменных может оказаться принадлежащей строгому ограничению Ши") = О (~ (- 1, 1 — множество ступеней, которые не включаются в оптимальный аппарат), а часть Ьи") ) О (~ ~ 1+, 1' — ..);пожество ступеней, включенных в оптимальный аппарат). Для последних необходимые условия оптимальности записываются в виде ~Иу")~Н1п т~'& t = со1 (5.15) (с ~1'). Заметпм, что условия оптимального подбора размеров ступеней всегда могут быть записаны в виде (5.15), если относительная полезная нагрузка км/сек И Д~п т„"' Л 7 Ап~') км/сек ( Я Д 4 5 б Рис. 5.1. Характеристики качества, ступеней. каждой ~-й ступени зависит только от величины ~-Й характеристической ско- рости Ьи"). Характеристика качества ступени (фи")) = ~1~ — "' ек "'~~ "~ах (5.16) ШЫ пс'') ~ 1+ 3, шах с увеличением Ши") (т. е. с уменьшением относительной полезной нагрузки т~,'&g монотонно уменьшается до нуля. На рис. 5.1 приведены три зависимости — НЬи")/Н и1 т~'), посчитанные для разных значений параметров ~,, Отметим, что в параметрической задаче (5.13) число и есть максимально возможное, но не обязательное число ступеней, так как равенство т~') + +т~') =1 означает невключение ~-й ступени в аппарат. 4. Многоступенчатый аппарат — оптимальные соотношения масс. Введя обозначения Ьи") = — Г~',), 1п (т® + т~~')) (Ьи") — величина характеристиче- 1 ской скорости, набираемая ~-й ступенью), перепишем задачу (5.13) в виде 
~ГЛ. 5 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ р, = 0,1, УД& t = ,2 км/ ек Ђ” кри ая 1; 8 = 0, 5, Я 3 км/ ек Ђ” кри ая р, = 0,2, ГД~, = 2,8 км/сег — кривая 8. Проиллюстрируем алгоритм оптималь- ного подбора ступеней с помощью условий (5.15) на примере приведенных зависимостей. В диапазоне 0(Ьи'1>( ,3 км/ НЛ»" & »'&g ;и т ' оп'1) поэтому здесь оптимален аппарат, состоящий из одной ступени 1. В диапа- зонах 0<Ьп 1&gt <3, км/се , 0& t;Шп"& t; <1,5 м/сек выпол сИи" ) (,) ~~ц(з) & t; & t;(~~ ~~, g (~=1, 2); поэтому в диапазоне 2,3 км/сек ( Ьи (Т) ( 5 км/сек = (1,5+ 3,5) км/сек опти- мален аппарат, состоящий из ступеней 1 и 2. В диапазоне 5 км/сек ( Ьи (Т) ( (19 км/сек оптимален аппарат, включающий все три ступени. В случае подбора ступеней с одинаковыми характеристиками ф,. = ~, Г~',> =Г „, ~ 1, 2, .. и) из (5. 5 и (5. 6) следу т, то относитель полезные нагрузки и величины ~-х характеристических скоростей должны быть одинаковы: Ьи" & t = Ьи (Т (5.17) (с =1,2,... п). Такой аппарат может выполнить маневр с ненулевой полезной нагрузкой, если Ьп (Т) ( (Г,„/и) ) и (1+ ~)/3. Относительная полезная нагрузка >г-с пенчатого аппарата с одинаковыми параметрами ступеней (~,. = ~, У~',~„ = У „) равна (5.1 ) &gt » = ( + ~) р ~" & t;т gt &gt "&g Она монотонно растет с ростом п и достигает максимального значения при П~ СО: ]1п1 щ — е-(1+1)~р(~)/~'шах ~г-~.со (5.19) $ 2. Динамическая задача, уравнения экстремалей Запишем гамильтонову фупкци&g ; и уравне ия ля импульс Н = р,,а + р,. ° т + р, ° (ае + я), д г = „ (р а) (5.20) 1'~ = Ру Оптимальное вектор-управление е (&g ;) (доставля&g ;ощее ма симум ф нк ии Н) >(>о(& (5. 21) е (~) =р,/р, 1. Уравнения экстремалей, условия оптимальности. В предыдущем параграфе было установлено, что для идеального двигателя ограниченной скорости истечения выделяется независимая вариационная задача (5.5) о построении оптимального закона изменения вектора реактивного ускорения (динамическая задача). Проведем анализ задачи (5.5) с помощью принципа максимума сначала в предположении 0 ( а (~) ( а,„(множество допусти- мых управлений замкнуто), а затем перейдем к случаю а,„— ~ со (множество допустимых управлений открыто). 
ф 2] ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА В состав оптимального управления а (Г) могут входить три вида управления: а(г)=0 при а (г) (О, а (г) = аш»~ при Ь (г) ) О, а (г) =а»~ (г) при а(г) =0 (Д(г) = р — 1), (5.22) где а,, (г) — особое управление (функция Н не зависит от а). Рассмотрим активные участки траектории с а = а. ~. Длительности ~; таких активных участков при аш,~ — ~ СО дол ке1ы стремиться к нулю, иначе интегралы ге+'/2т Ъ. (5.23) 1 — '/ т не будут конечны (отрицатсльная или нулевая полезная нагрузка). Отсюда следует, что при а „-ь со комбинация Л (г) не меняет быть положительной на конечном интервале вре- менп и в силу непрерывности Л (г) ( 0 всюду на отрезке [О, Т1 Воспользовавшись (5.21) и (5.23), вычислим приращепия скоростей, полученные В моменты приложения ъ1Ге10 Венных импульсов тяГи: 8 +О (ае+д) сИ = ' Ьи; р. (г;) Р~ (5.24) (верхние индексы « — » и «+» означают значения переменной до и после импульса тяги). Найдем теперь условия оптимальности, которые определяют моменты приложения импульсов тяги г; на интервале (О, Т). Для функции ХХ (р (г), т (г), г (г), а), непрерывной по времени, должно выполняться условие Н+; — Н, = р,. ° (т+, — т; ) = — Ьи;р'„(г;) = О. (5. 25) Следовательно, в оптимальные моменты приложения импульсов тяги ~,. на интервале (О, Т) должны выполняться следующие условия: Р,,И;) ~о. р,(~;) =1 (5.26) Р,И;)=О Суммируем результаты, полученные для задачи (5.5). Оптимальному маневру в физическом пространстве соответствует непрерывная траектория в сопряженном фазовом пространстве импульсов р„. Эта сопряженная траек- тория заключена в замкнутом шаре единичного радиуса, ее начальная и ко- нечная точки определяются условиями трансверсальности. Моментам прило- жения импульсов тяги на интервале (О, Т) соответствуют моменты касания сопряженной траекторией сферы единичного радиуса. Участки сопряженной траектории, лежащие на этой сфере, соответствуют особому управлению а„, (г) (в него могут входить и импульсы тяги). Оптимальное направление ускорения дается вектором р,. 2. Импульсная постановка задачи. Задачи оптимальных перелетов аппарата с двигателями ограниченной скорости истечения (большой тяги) часто решаются в импульсной постановке, основное допущение которой (как уже говорилось) — замена активных участков полета с включенной тягой мгновенными импульсами тяги. Все работы, рассматривающие задачи в импульсной постановке, по методу исследования можно разделить на две группы. К первой относятся работы [5.1 — 5.131, в которых с самого начала решения задачи используется возможность найти интегралы движения на участках траектории между импульсами тяги, после чего задача на мини- мум характеристической скорости представляется как задача на экстремум функции в конечномерном пространстве переменных. К другой группе отно- сятся работы [5.14 — 5.19], в которых условия оптимальности формулируются в терминах сопряженной траектории, т. е. решается задача на экстремум функционала в бесконечномерном пространстве. При этом может использо- 
120 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ [ГЛ. Ь ваться метод ва иа ий ления [5.16]. д р ц " [5.14] или методы классического вариационного исчис- ~У Нариационныи подход удобен тем, что самые разнообразные по своим краевым условиям пе елеты р еты характеризуются сопряженной траекторией общего вида ( ешением сист д (р системы уравнении для импульсов), для которой ° . ° с помощью условий трансверсальности необходимо определить только произвольные постоянные. е. Благодаря использованию сопряженной траекто- рии иногда проще решается вопрос об оптимальном числе импульсов, а также проще использовать полученное решение как первое приближение для е- д р енной тягой. Приближенное решение системы урав- для ре- нений для импульсов позвол зволяет получить простые условия оптимальности, легко разрешимые вместе те с интегралами движения. Изложение настоящей главы соответствует вариационному подходу. Далее будут рассматриваться лишь импульсные постановки задач, т. е. будет допускаться управление а (~) вида а (г) =,~, Лп,.о (г — ~,.), где 3~8 — Е.~ — ~ нк ия — ~у ц ~~ирака, 1,. — моменты приложения импульсов тяги, и — число импульсов тяги, Лг,. — приращение характеристической скорости в ~-м имп льсе тяг Т у е тяги. Таким ооразом, заранее исключаются режимы ()= „„() (, возможные на участках особого управления (Л (~)=:О) и требующие специального исследования [5.20, 5.21]. Кроме того, в от ель- ных постановках за ач н ~ д ч иногда будет фиксироваться число импульсов тяги. роме того, в отдель- ппя (д = — lд',/ г /3 ' авве ~ия апряженная траектория на кеплеровой дуге. Для центрального и р ° о поля тяготе- — — ) уравнения днпжения и уравнения импульсов запишутся в виде 1'г, 1~)„3 (г ° р,.) р "~ Р' 3 + (5.28) (5.27) Эта система уравнений имеет четыре интеграла: ~'~, ~( г — р, ~( ч = Е = сонями, й — р„° у — —,. (р„г) = ХХ = со11з$, (5.29) и з котор]л три первых не независимы. Найдем решение системы (5.29) (вектор р„(г)) па кеплеровой го (а=О) ля с помощью интег алов пло а ей и интег алов 5.29 в р щ дей и интегралов Лапласа [4.7] сформируем из первых трех р ( . ) два независимых и добавим к ним последний из (5.29): (р„, г, М) — (р„, т, М) =М ° К= с4, (р„, г, Г) — (р„, т, Г)=Е ° г'=с,-, (5.30) р, — ' (р. ) ! Г ) р, = — (с, + Х,) ч + (с, + Х2) (г ~ М) + (са + Ха) 1 С4 — НГЧ С4 + НаМ (г ° ч)2 ~~ Х2 ХХ2 г ° ~ 2 (г т)М, Ж, (5. 31) (5.32) ~3 аХХ" (г ~)' Интегралы типа (5.32) вычислены в [5.22]. ( ХХ = ! М /). а где М=г,'(ч, Г=г — ~г ° ~~х — т ~г ° т — ( ° ) — (г ° т), а три вектора, взятые в круглые скобки, означают их смешанное произведение. (для М' г ° ч2 О ри с4 — с, = П = О система,, я (5.30) является одяороднои и ее фундаментальная ~Ф для (г ° ч)2 ф О) система решении состоит из векторов т, г)(М, М (г ° т). 11 и ~ решается с помощью метода вариации произволь- ',г ° ч',. ри Ы э 
ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ф 2] Заметим, что система уравнений для импульсов в (5.28) совпадает с системой уравне- ний движения в вариациях (при ае — заданной функции времени — системе решений для сг соответствует система решений для р,). Поэтому все интегралы и решения системы для импульсов могут быть получены из интегралов и решений основной системы уравне- ний, т. е. в качестве фундаментальных систем решений уравнений для импульсов могут использоваться уже найденные фундаментальные системы решений для уравнений в ва- риациях [5.22 — 5.24). В частности, интегралы (5.29) могут быть получены варьированием интегралов площадей и энергии на кеплеровой дуге и заменой в них ~г на р,. Полезно представить вектор р, в ортонормированном базисе, связанном с плоскостью орбиты: М аМ ' М~(г Ег г Р, = Ро . ф (5.33) где р, — проекция импульса па направление радиуса-вектора движущейся точки, р — проекция импульса на трансверсаль в плоскости орбиты, р — проекция импульса Р&l ;р на нормаль к плоскости орбиты. Учитывая возможность замены переменных р, на ()г, Рт р на г ор, р на ох (где г, р, 1„, 1 — обозначения переменных в полярной системе Р&l ) Р координат (4.18), а ог — вариация траектории вдоль нормали к плоскости орбиты) можно использовать систему решений, полученну1о в [5.22]: р„= с1 яп1 ч + с2 соя ч + с' (2à — Зг„~), р =С1(1+г(р) соя Ч вЂ” С (1+ г(р) Я1п Ч+ Сзг(р — С43о, $, (5 34) 4 Рц — сзг Я1п ч + сзг соЯ ч (с~ — — Н)'28), где р — фокальный параметр, 8 — постоянная интеграла энергии на кеплеровой дуге, ~ — истинная аномалия. Особенно простой вид имеют выражепия для импульсов при движении по круговой орбите (г=сопя$, эксцентриситет в=О): = с1 ЯН1 ~р + с2 соя ~р + (Н/8) Г, р = с12 соя р — с'2 Я1п &lt р+ сд Ђ” (ЗН/ 8) 1 р = се&g ;г 1п ~ Г со Укажем еще два представления решения системы для импульсов, которые будут ис- пользованы в дальнейшем изложепии. Уравнения, описывающие кеплерово движение в цилиндрической системе координат р, Х, з (х= р сояХ, у= р Я1пХ, з=з), а также система уравнений для импульсов могут быть получены из следующего гамильтониана: (5.35) ~Л п~~ Лр ~р~~ Усг Р Р ~ р ~1+~гЬ+ р, 2, 2,~У, Рп р Рф1 ( 2, 2)~У, Р~~, р ~г (5.36) с помощью обычной процедуры и = дН/др, р = — дН/д11 (11=(р, Х, я, 1~, г1, 1 ), р=(рр, р1, р„, р„„, р„)). (5.37) Если выбрать систему координат так, чтобы плоскость х, у совпала с плоскостью орбиты, то основное движение окажется описанным в полярной системе координат (р = г, Х =р, и = иг, п1 — — и ) и система (5.37) перепишется в виде й 2 Г Г2 г= уту 7~те~~ О г (5.38) р =О, р 2и ц 
122 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ [ГЛ. 5 Систему для импульсов иэ (5.38) с помощью интегралов р =сопвФ, Н=сонвВ можно преобразовать к системе из трех уравнений: У~ игр, — р,й„= — Н+ — р,, 9 У" У~ — (и Р„)+ 2 — Р„= — — Р, ~Р», й ,1,2 + — „з Р.,=О, (5.39) имеющей решение У~ агап р. =~~Ь-(-р,. ~, (й~ — йГ'(-(-~~ 2 — 3~„~.(-, (Й~ — У')], Р. = Ф, + Р, р' Я~ -(- "') -(- ~."~ -(- ~у [ — ~ -(- ~; Р~~ -(- ~')], 1 Р~ = свгю„+ се (аг — Ш ) ° (5.40) Система (5.34) получается иэ системы (5.40) с помощью замены произвольных ПОСТОЯННЫХ -' ( ~Ф р = — с2 — с4~, &l ; с1 —— Н 24' (5.41) Рф С5 Система решений (5.40) является особенно удобной, когда в силу условий транс- версальности постоянные р = Н = О. Заменив в системе (5.39) независимую переменную т на независимую перемен- ную ~р, можно преобразовать ее в систему ~2р à — р = — 2Н вЂ”, Ду2 -Г»,„— — у2 ф 9 рр» -1- тр» ГЫ~~~ — -(- 2р = — Н— Ир Й/Ш ( " гй' 9 ~з~ „+ (5.42) имеющую решение Н Ми Р = с, в1п р+ с,'сов р+ 2 2г — Зп,.т + „,, (Ьг — М') с,'2 сов р — с,'2 е1п р + с + (5.43) Н й ~2 + 24,(, — 3 (((,"-. + гт) т + 2п„г+ Р, = сьг в1п Р+ с,г сов Р. 4. Сопряженная траектория в плоском случае. Рассмотрим возможные сопряжен- ные траектории на плоскости р,, р» 1 заключенные в круге единичного радиуса. При пт1»91 движении по круговой орбите иэ (5.35) следует, что при Н =0 сопряженная траекто- рия может представлять собой или точку Р„=О, р„= с,', = +1 (рис. 5.2, а), или эллипс Р2 +[(р, — с~)/2]э=С1 (рис. 5.2, б — д). Иэ вида уравнений этой сопряженной траектории следует, что одновременно условиям (5.26), относящимся к моментам включения тяги, могут удовлетворять лишь две точки: р, = О, р, = + 1. У 
12 ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА э 2) При Н ф О сопряженная траектория вдоль круговой орбиты представляет собой эллипс с «ползущим центром» 4 (р, — с')з+ (р, — с,„'+ з/2с'р)~ =4С2 (рис. 5.2, е) или прямые р, = с~, р, = сз — с~э/р (рис. 5.2, ж). т Рассмотрим также возможные виды сопряженных траекторий при движении по эллиптической орбите (О е(1) и при Н=О. Использовав (5.34), представим р,, р„в виде 9 р„= с' з11& t; (&l ;&g ; ») (с' gt;'(с') с' (2+ е сов ч) сов (о& t + ч + с 9 1 + е соь ч Если и = О (р = О), то сопряженная траек- тория симметрична относительно оси р, . если и=>~ 2, то сопряжен ая траекто симметрична относительно оси р, . Соот- ветствующие случаи представлены на а) г) Рис. 5.2. Сопряженные траектории на круго- Рие. 5.3. Сопряженные траектории на эллип- вой орбите. тической орбите. рис. 5.3. Для о&g ; О каса ие единич ой окружно ти изну ри мо ет им ть ме то тол в то > ах „= О, р = 1 = пя ( = О, 1, 2, .. ). л О каса ие и н) ри в можно и в других точках. При стремлении эксцентриситета ~ к нулю сопряженная траектория, представленная на рис. 5.3, а, трансформируется в точку (рис. 5.2, а), а остальные траектории, приведен- ные на рис. 5.3, б — г, трансформируются в эллипс (рис. 5.2, б). Из (5.38) может быть получено выражение Д 1 > — — (р2 + р2 ) = — (у р„— у р, )з — "+ р (у р, — п„р, ) — Е3> ,, (5. Т которое определяет точку касания сопряженной траекторией единичной окружности в общем случае. 
124 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ [ГЛ. 5 $ 3. Оптимальные маневры в центральном поле 1. Попадание в заданную точку. Рассмотрим задачу о перелете из точки р,=О, г„и„о, и в точку <р„ ,; длительно ть перел т и значе составляющих скорости в точке финиша и„1, и не заданы; перелет совер- шается с помощью одного начального импульса тяги. Эта задача является обобщением известной в баллистике задачи о нахождении траектории макси- мальной дальности полета при заданной начальной скорости или минималь- ной начальной скорости при заданной дальности [5.9]. В силу условий трансверсальности сопряженная траектория оптималь- ного перелета должна удовлетворять следующим условиям: р,, (0) = я1п ()„ р„(0) = соя о„ 1 р„(т) = р, (т) = и =- О, (5.45) где Π— угол наклона вектора тяги к трансверсали, У+ (0) — У„- (0) У', (0) — У, (0) 1 ~ (о) 1 ' ' 1 ~ (о) 1 Найдем оптимальное направление импульса тяги, подставив условия (5.45) в (5.43) и исключив из полученных уравнений постоянные с„с",, с, (тип сопряженной траектории приведен на рис. 5.2, в)). Оптимальное направ- ление дается выражением ~0 ~о— ~т (О) 1 -1- а соя ~, (2й~'аФ) 1д (у,(2) — и+„(О) 2 ф (у,(2) — е я1п ч, ' (5.46) где;Я вЂ” интеграл площадей, в — зксцентриситет, ~, — истинная аномалия кеплеровой дуги, соединяющей две заданные точки. Если начальная скорость до импульса тяги была равна нулю, то О,— угол между вектором скорости и трансверсалью и из (5.46) получаются изве- стные в баллистике формулы, связывающие оптимальный наклон вектора скорости к горизонту с параметрами перелета: (Ли (0))2 (5.47) р, (0) = оя О„р, (Т) = я1п О„р, (Т) = соя О„Н = О. (5.48) р„ (О) = я1п 0„ Подставив (5 48) в (5 43) и исключив с,", с",, с,, получим соотношение 2 $д ~~ (я1п (),+ я1п 0,)+ соя 0, — соя 0,+в[соя (0, — ч ) — соя (о — ~,)]=0. (5.49) 2. Попадание в заданную точку с заданной скоростью. Рассмотрим случай, когда требуется осуществить перелет из точки р =О, г„и„о, и в точку ~„г„г„1, г 1, причем длительность перелета Т не задана. В реальной ситуации эта задача соответствует отысканию оптимальной программы управ- ления на участке выведения спутника в пустоте (после выхода из атмосферы), когда угловая дальность траектории выведения по техническим условиям ограничена. Сопряженная траектория, соответствующая оптимальному двух- импульсномуманевру (рис. 5.2, в, д), должна удовлетворять следующим ус- ловиям: 
125 МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ Вместе с интегралами движения соотношение (5.49) определяет оптимальный двухимпульсный перелет. Можно получить приближенные решения (5.49), положив я =О, после чего сразу видны два возможных решения: 2) Сд ' '~=2йд® 1) ОО= — О1, (~ 49~) Заданные краевые условия определяют, какому из этих равенств удов- летворяет оптимальная траектория перелета. Решение второго из соотноше- ний (5.49') приведено на рис. 5.4. 3. Перелет между компланарными орбитами с незаданной ориентацией. Размеры и положение орбиты на плоскости фиксированы, если заданы постоянные ф, ~Я, ю, трех интегралов дви- жения: 60' Ю- Ю~ ~,г= Ю, (5.50) У~И~ ~ — агс яп ~Й2 + 2й'аЖ2 : Ю 3 % где р — положение перицентра. Рассмотрим задачу о перелете с незаданной длительностью Т с орбиты, определяемой соотношениями (5.50), б Удо /або на орбиту, у которой фиксированы только новые Р~ значения ф и ~4, а значение ~р, не фиксировано. В два первых соотношения (5.50) (определяю- щих множество, на котором лежит конец траек- тории перелета) переменная ~ не входит, по- этому одним из условий трансверсальности является равенство р =О. Ввиду 9 произвольности Т выполняется также равенство Н=О. В этом случае в со- ответствии с (5.40) на траектории между двумя импульсами тяги в моменты ~,. и 1,. 1 выполняются следующие соотношения: Рис. 5.4. Разность между направле- ниями импульсов тяги в зависи- мости от угловой дальности пере- лета. р, = ср +с',г, l1 и (р~, + р~-& t — з 'Р(р",+р:,) „, 1 = — 2йс1' (5.51) '2 — „, (гг) +бас'1 —, г (1 ,) = г,.~,). (г(~,.) = г,, Здесь учтено, что из условий (р"- + р'„) = (р'- + р"- 1 = 1 следует "т "~р ~ ~г 6~~/ р„(~,.) = О, (1) = +1. (5.52) В бесконечно удаленной точке гиперболической орбиты оптимальное направление импульса тяги определяется выражениями р2 = (в — 1)/(в+ 1), р'„= 2/(в+ 1). (5.53) равенство с'.,' = с", 2Цг,.г,.+, (г,.+г,,). Согласно (5.51) сумма р'„+ р'„достигает максимума только в точках экстремума потенциальной энергии (перицентры и апоцентры, в том числе бесконечно удаленные точки); следовательно, только эти точки и могут быть оптимальными для приложения импульсов тяги. Кроме того, из (5.51) сле- дует, что оптимальные импульсы тяги в перицентр ах и апоцентрах эллипти- ческих орбит обязательно являются трансверсальными: 
126 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ ~ГЛ. э Найденная оптимальная программа перелета с трансверсальными импульсами соответствует, в частности, и перелету между соосными эллипти- ческими орбитами, так как эти импульсы, приложенные в апоцентре или перицентре, не меняют положение линии апсид. 4. Перелеты между компланарными соосными эллиптическими орби- тами. Положим, что две эллиптические орбиты заданы своими радиусами, лежащими на общей линии апсид, г„г, и г„, г„„. Скорость в апсидальной точке может быть выражена через ее расстояние от притягивающего центра г,. и расстояние от противоположной апсидальной точки до притягивающего центра г,. „г,.+,. (2й,(г;) (' (1+ г;('г,,) ~' (5.54) где г-,, — скорость до ~-го импульса тяги, г+ — скорость после ~-го импуль- са тяги. В случае п-импульсного перелета между двумя заданными орбитами (все импульсы тяги трансверсальны и прикладываются только на линии апсид) суммарная характеристическая скорость маневра Ли (Т), а также ее производные дЛг (Т) /дг,, д'Лг (Т) /дг'. могут быть выражены с учетом (5.54) в виде — [(( + 2 — ") я! пп (г,.„— г,,) + г г — 1 Г ° lг Гг + — ' з(дп (г,. — г,,) 1+ — ' — 1+ 2 — ' з(дп (г,.„— г,) + ~~ — 1 г',-1 г',+1 з ~ + —" яфп (г,.„— г,)~ (1+ — ') 3 дЛи (Т) й г, — 2 — ' — 1 з|дп(г,.+,— г,)+ Ф Ф Г; 1 + ( — ' — 2) я!пи (г, — г,,)) — ' (1 + — ') — 2 — ' — 1 я1дп г,. 1 — г ~+1 +("' — 2)пап(г,.„— г,)) " (1+ (5.55) д'~г (т) отрицательна. 2п. г„) г, ) г„+ (рис. 5.5, б). Производная отрицательна. Рассмотрим характеристическую скорость маневра как функцию переменной г,, считая для определенности (-й импульс тяги разгонным (г;+1) г; 1), а значения г, г; 1, г;~1, г,+2 заданными. Для нахождения возможных точек экстремума функции Ьи (Т) рассмотрим выражения (5.55). Производная дЛи (Т)(дг; имеет разрыв в точках г, = = (г;,, г;+,), кроме того, она обращается в нуль в точке г; — э со. Для нахождения остальных возможных точек экстремума необходимо рассмотреть четыре возможных случая, представленных на рис. 5.5: 1п. г,+з) г;, г; ) г, (рис. 5.5, а). В этом случае производная 
МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 3'. г,+2) г; ) г; 2 (рис. 5.5, в). В этом случае уравнение имеет один корень, а вторая производная д"-аа1а (Т) 9Й 1 — г;/га 1 г; 1 — г;(г;~1 г; (1+ Г,(Г, 1) ~а "а — 1 (1+Г,~Г; ) аа 'а+1 отрицательна. Следовательно, может иметь место только локальный максимум. Рис. 5.5. Возможные варианты расположения импульсов тяги на линии апсид. 4'. г;) г~ з, г ) г,+2 (рис. 5.5, г). В этом случае производная может обращаться в нуль, когда г; — э со и когда г; — корень уравнения & t г г 3 г г +6 а , [ а'-1~ а+1 а + а — 1~ а+1 г, , 9 (г; 1~г;+1) — 1 г1 1 9 (г; 1(г;+1) — 1 (5.56) Это уравнение при (г,+1/г; 1) ( 9 не имеет положительных корней, т. е. дЛ1а(Т)1дг;, оставаясь положительнои величиной, стремится к нулю при г; — э со, поэтому точка г„-э со при г,+1(г„1 ( 9 соответствует максимуму 11г (Т). Если отношение г;+1/г; 1 при- надлежит диапазону а+1 ( + I а-1) г; [(г~г; ) — 3]2 — 12 ' (5.57) где г = шах (г; 2, г;+2), то уравнение (5.56) имеет один конечный положительный корень, соответству1ощии максимуму 11а (Т). Ограничение сверху в (5.57) получено из условия дЛ1а(Т)~дг;)О при г;=г. Если д111а(Т)~дг;(О при г;=г, т. е. г;+, (1+ г/г; )2 г; 1 [(г/г; 1) — 3]2 — 12 (5.58) то с увеличением г, от значения г = тах (г; 2, г;+2) до г; -э со величина 111а(Т) моно- тонно уменьшается. Проведенный анализ всех четырех случаев показал, что оптимальными значениями для г; могут быть или г;-э со, или наибольшая из величин г; „г;+,. Применяя проведенное исследование последовательно к г„г,..., г„„получим, что они должны или принимать бесконечное значение, или быть равными какому-либо из заданных радиусов го, г„г„, г„+,. Доказательство было проведено для разгонного импульса, но, поскольку задача пере- лета обратима, оно верно и для тормозных импульсов. 
128 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ [ГЛ. 5 Таким образом, в общем случае траектория оптимального перелета между двумя соосными компланарными орбитами может иметь не более четырех импульсов тяги (включая два на у бесконечно большом расстоянии от при- тягивающего центра). Для перелета между орбитами, заданными своими апсидаль- ными расстояниями от притягивающего центра (г„г, и г„г,), может быть 6 вариан- 5 О Г тов программы приложения импульсов тяги: 1) г„г,; 2) г„сс, г,; 3) г„со, со, г,; 4) г„г,; 5) г„со, г,; 6) г„со, со, г,; (варианты 1) и 4) показаны на рис. 5.6). Если отношения апсидальных радиусов заданных орбит меньше 9 (г,/гз, г,/г, для пересекающихся орбит и г,/г„ г,/г, для непересекающихся), то перелеты с вылетами на бесконечность сразу отпа- дают. В этом случае должны сравнивать- ся только варианты 1) и 4). Если орби- ты пересекаются, то условиям оптималь- ности удовлетворяет только вариант 1). Если орбиты не пересекаются, то условиям Рис. 5.6. Возможные варианты перелетов между двумя ороитами. оптимальности могут удовлетворять оба перелета и абсолютный минимум находит- ся после сравнения функционалов. Если хоть одно из указанных отношений апсидальных радиусов больше 9, то условиям оптимальности могут удовлетворять перелеты с включение~1 Ло 075 Г( О 1 п(г/~ ! Рис. 5.7. Характеристическая скорость перелета между круговыми орбитами. точки г -э со. Классификация режимов, следующая из (5.55), является более простой в случае перелета между круговыми орбитами [5.2]. Пусть необхо- димо перейти с меньшей орбиты радиуса г на большую орбиту радиуса г1 (задача обратима). Трехимпульсный оптимальный режим с вылетом на беско- 
12 МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ нечность может иметь место, только когда отношение между радиусами круговых орбит больше 9. При 9 ( т,/т, ( 15,73 существует два оптимальных режима — двухимпульсный и трехимпульсный, причем трехимпульсный режим выгоднее двухимпульсного при г,/г, ) 11,94. При г, /г, ) 15,73 оптимальным является только трехимпульсный режим. На рис. 5.7 дана за- висимость суммарной характеристической скорости перелета между круго- выми орбитами (отнесенной к круговой скорости внутренней орбиты) от ради- уса приложения промежуточного им- пульса тяги при отношениях г,/г, =2, 9, 12, 20. Если отношение радиусов заданных орбит невелико, то трехим- пульсный внутренний перелет не очень отличается от оптимального двухимпульсного, но зато резко воз- растает функционал при «внешнем» трехимпульсном перелете. При боль- ших отношениях радиусов заданных круговых орбит, наоборот, максимум функционала слабее выражен при «внешнем» перелете. А~~(Т) l //р Рис. 5.0. Области оптимальности переле- тов между гиперболической и круговой орбитами. Рис. 5.8. Два варианта перелета с гиперболической на круговую орбиту. Ли (Т) =и~,— ~2Цг, (1 + г /г,) ~'+ ~/2/~/г,~(1+г,/г,) ~' — (2г/ ~'~ з1рп (г, — г,), (5.59) где и,, — скорость в перицентре заданной гиперболической траектории, г — ее перицентр, г — радиус заданной круговой орбиты. 9 Механика полета 5. Перелет с гиперболической орбиты на круговую. Выше было уста- новлено, что оптимальными точками приложения импульсов тяги на гипер- болической траектории являются бесконечно удаленная точка и перицентр. Рассмотрим два возможных варианта: 1) Первый импульс тяги дается в перицентре заданной гиперболической орбиты. Поскольку дальнейшая траектория может состоять лишь из полу- эллипсов, то к ней может быть применен анализ и. 4. 2) Первый импульс тяги дается на возможно большем удалении от при- тягивающего центра с тем, чтобы переходная гиперболическая траектория в перицентре коснулась заданной круговой орбиты, и второй (последний) импульс тяги дается в этой точке касания. Сравним эти режимы, считая, что первый вариант перелета осуществ- ляется одним полуэллипсом, а второй вариант перелета осуществляется с помощью бесконечно малого импульса при г -э со (рис. 5.8). В случае перелета с включением полуэллипса суммарная характеристическая скорость маневра равна 
~ГЛ. 5 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ Если перелет осуществляется с помощью гиперболы, то первый импульс бесконечно мал, а второй равен Ьу, (Т) = ~/Р, — (2Й/г,) + (2Й/г,) — ~/Й/г,. (5.60) С помощью (5.59) и (5.60) получим разность (5.61) На рис. 5.9 в плоскости параметров й~,=и~,/~/2йг, и г,/г, построена кривая, соответствующая условию Лп1 (Т)=Ли (Т) и разбивающая плоскость на области, в одной из которых выгоднее гиперболический перелет (Лп (Т) ) ) Лп, (Т)), а в другой — эллиптический (Лг1 (Т) ( Лп, (Т)). Если г1 ) г„ то при любом значении о~, выгоднее гиперболический перелет. 6. Перелет между компланарными орбитами с поворотом линии апсид. Если ориентация конечной орбиты задана и не совпадает с ориентацией начальной орбиты, то в (5.50) 3~>, 0, поэт му произволь ая постоян а р в общем случае. Рассмотрим двухимпульсный перелет между такими орби- тами, считая моменты приложения импульсов тяги 1„81 и длительность всего перелета Т произвольными. В этом случае сопряженная траектория должна удовлетворять условиям Р,, — ~1п 0„ р, = я~и 0„, о = соя 00, — „(,'р„-'„+ р;',), = — „(р'„„+ р',), = ~~ = 0 (5.62) — г +г Ы~2 2.ог, Го+ Г,' (5.63) Выше было показано, что ~-перелет является оптимальным для соосных орбит; ниже будет показано, что г;перелеты оптимальны и при маневрах на околокруговых орбитах с поворотом линии апсид. Рассмотрим вопрос об оптимальном числе импульсов тяги в случае использования и 7~-перелетов. Так как п„(~+7~)= — г„(а), то интеграл энер- гии в точках г,, где даются импульсы тяги, можно записать в виде /,г~,. — Й/г.= / г <, „, Ђ” Й/г Подставляя (5.62) в (5.40), (5.44) и исключая произвольные постоян- ные с,', р, с,.', можно получить три соотношения, которые вместе с интегра- лами движения определяют оптимальный перелет. Однако ввиду громозд- кости общей системы соотношений ее решение может быть получено только численным методом [5. 18 ]. Для быстрого получения оценки характеристической скорости маневра можно использовать так называемый 7;-перелет с угловой дальностью ~ — р =~. Траектория 7~-перелета должна соединять точки заданных орбит с равными по абсолютной величине, но разными по знаку радиальными составляющими скорости=и„; таким образом, потребные импульсы тяги трансверсальны. Такой 7~-перелет легко строится посредством нахождения прямой линии, на которой г„,= — г„о (г„о — радиальная составляющая ско- рости на начальной орбите, и„1 — радиальная составляющая скорости на конечной орбите). После этого определяются две возможные пары значе- ний соответствующих радиусов г, и г, и параметры кеплеровой дуги перелета 
МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ Прибавив к этому соотношению интеграл площадей г,.г,. = г „.+1,г,. „полу- чим выражение для скорости в точке г,.: г~,. = ~2Цг,. (1 +г,.(г,.~,) ~*, которое аналогично (5.54). Таким образом, все результаты п. 4 этого пара- графа о месте и числе импульсов тяги верны и для случая и г;перелетов. Отметим в заключение, что для пересекающихся орбит возможен переход с помощью одного импульса, причем всегда можно подобрать значение р в (5.44) так, чтобы выполнялось условие И (р',„+р', )/й=О. Однако необхо- димо проверять, изнутри или снаружи касается сопряженная траектория единичной окружности. В последнем случае режим соответствует локальному максимуму функционала. 7. Перелеты между некомпланарными орбитами с общей линией апсид. Рассмотрим задачу перелета между двумя орбитами, которые имеют общую линию апсид, но лежат в разных плоскостях, причем на длительность и угло- вую дальность перелета ограничения не наложены. Без ограничения общности можно положить, что плоскость конечной орбиты сов- падает с плоскостью я=О (цилиндрическая система координат г, р, Х, см. (5.36)), а линией апснд является ось Оу. Для орбит, имеющих ось Оу в качестве линии апсид, равны нулю проекции интегралов площадей на ось Оу, а в силу неизменной ориентации линии апсид в пространстве равна нулю соответствующая проекция первого интеграла из (5.29): И г — „~ (р соя Х) — с о соя 1= 0, (5.64) И р, — „(р соя Х) — р„р соя Х = О. Из (5.64), (5.34) и (5.40) при отсутствии ограничений на длительность и угловую даль- ность перелета следует, что сопряженная траектория в рассматриваемом случае описыва- ется соотношениями Л вЂ” — (р2 + р-, "+ р~ ) = — (с1)2 — а гг+ (сз)2 гг+ (с")2 (7сг — М') Йг. ! (5.65) Как и в случае плоского перелета, условие касания сопряженной траекторией еди- ничной сферы может выполняться в точках г=О, т. е. в точках перицентров и апоцентров эллиптических орбит, причем оптимальный импульс тягп в этом случае не имеет радиаль- ной составляющей (р, =0). В апоцентре тратится на поворот плоскости орбиты большая часть импульса тяги, чем в перицентре: р„(г„)~р„(г ) = — г„'г . 2 соя Ь~~. Ч2 ЬуЩ=~ ~2~»~»,. (1-)-».~».„) '+(1-)-»./»,,Д '— 1+ — 1+— Г2+1 г. д Ьг. =г, ° ° ° у' 7 ,у'==1 = И1~П, г~, Ь~у (5.66) Положим, как и в п. 4, что две эллиптические орбиты заданы своими апси- дальными радиусами г„г, и г„, г„„, кроме того, плоскость одной орбиты по- вернута относительно другой вокруг линии апсид на угол ~. Если перелет в соответствии с (5.65) совершается только с помощью импульсов тяги, прикладываемых на линии апсид и имеющих нулевую радиальную составля- ющую, то рассматриваемая задача сводится к задаче на условный экстремум 
~ГЛ. 5 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ 132 где выбору подлежат Л~,. — углы поворота плоскости орбиты в моменты приложения импульсов тяги и г. — соответствующие радиусы в моменты приложения импульсов тяги. Условие оптимального подбора Л~. записывается в виде (з1п2 Ь~ )/г = со11я$ 2+ (т /т +1) + (у ~г 1) — 2 [(1+ т /г +1) (1 + т,~т 1)) ~' соя И (/= 1, 2,..., ~г). (5.67) Из (5.67) следует, что для перелета с вылетом в бесконечно удаленную точку поворот плоскости орбиты полностью производится в этой точке, так как все остальные Л~.=О. .у' Анализ производной дЛп (Т)/дг., аналогичный проведенному для пло- ского случая в п. 4, показывает, что дЛг (Т)/дг. — э 0 при г. — э о~, поэтому маневр с уходом в бесконечно удаленную точку может быть оптимальным. Так как при вылете на бесконечность импульс тяги там бесконечно мал, то трехимпульсный перелет с поворотом плоскости орбиты на бесконечности эквивалентен по характеристической скорости грехимпульсному перелету между подобными орбитами без поворота плоскости орбиты. При этом двух- импульсный перелет (без удаления на бесконечность) с поворотом плоскости орбиты всегда больше по потребной характеристической скорости, чем со- ответствующий двухимпульсный перелет без поворота плоскости орбиты. Поэтому классификационные значения отношения радиусов круговых орбит, указанные в п. 4 для перелетов без поворота плоскости орбиты (9; 11,94; 15, 73), уменьшаются с увеличением угла требуемого поворота. Рассмотрим, например, задачу поворота плоскости круговой орбиты радиуса г, на угол ~. Характеристическая скорость одноимпульсного поворота плоскости в со- ответствии с (5.66) равна Шу, (Т) = ~/(2Й/г,) (1 — соч ц = 2 ~/Цг„з1п (~/2), (5.68) а характеристическая скорость при трехимпульсном перелете (с удалением на бесконечность) независимо от ~ равна Луз (Т) = 2 ~/Й/г„(~/2 — 1). (5.69) Трехимпульсный перелет выгоднее двухимпульсного (Лаз (Т) ( Л~, (Т)), как только ~ ) агссоз (4 ~/2 — 5) =47'. (5.70) $ 4. Маневры на околокруговых орбитах Пусть номинальное движение описывается в цилиндрической системе координат, происходит в плоскости г=О и является движением по круговой орбите с угловой ско- ростью и = ~/Й/г~. Тогда физическое движение и сопряженная траектория описываются 1. Уравнения движения и сопряженная траектория. Выше ухте использовалось линеаризованное представление сопряженной траектории в виде (5.35) для получения первых приближений к оптимальным режимам в ньютонианском поле притяжения. Следующим возможным упрощением задачи является линеаризация уравнений движения, т. е. описание его с помощью уравнений в вариациях относительно номинального движения [5.101. 
МАНЕВРЫ НА ОКОЛОКРУГОВЫХ ОРБИТАХ следующими уравнениями (о т= г б~, Л= и, о р= ог): Ар = — Р— '"Р,, дт Дбу = 2и ос + и«ог, ~Й Ир, = — р,— 2 р,, И8 (5.7Ц ЫГ Ж ~рт — — о~Р— ~д-Р 0~0 „ — — итр П = Ргосг+ Р (ос — и Ог) + Р Ос, + Р (2и бг + и«ог) — Р и «1т — Р и«ог. Система (5.71) имеет следующее решение: и ог = ~с„«Я1п ~ — (26г «+ и ог«) соя и + 2 (оу. + и ог ), и ""' = 2«сг«соя ~+ 2 (2Ои «+ и Ьг«) Я1п и ~ оз о т« — 2бу„« вЂ” 3 (Вг + и ог ) и, о~ о-' = оУ «Я1п ~р + и Ог соя и, ос„= ~с„«соя р+ (2«с «+ и ог«) ягп оср ~сг«Я1117+ (2«1~ «+иог«) соя ~ — («1~.«+иог«), ~~~ = ~~ О СОЯ о — оз ~го Ц1Д;Р, р, = с, Я1п и+ с, соя ~+ с4, р„=2с, соя ~ — 2с ягп у+ с« — Зс у/2, Р» = С«Я1П т'+ С«СОЯ т, р, = — (оз/2) с . (5.72) Прп отсчете угла и = ит в (5.72) от перицентра орбиты произвольная постоянная с, может быть выражена через постоянные р и Н следующей формулои. Н+3(от «+иог«) р (5.73) и (2щ «+ иог«) 2. Перелет между компланарными орбитами. Если на длительность перелета Т и круговую дальность 3-. не наложено никаких ограничений, то в силу условий трансверсальности р,=Н=О. Сопряженная траектория, описываемая уравнениями (5.72), представляет собой точку или эллипс, касающийся единичной окружности в точках р, = О, р, = +1. 011тимальный режим перелета может включать только трансверсальные импульсы тяги. Удовлетворяющим этим условиям оптимальности, как уже было показано выше, является г;перелет, т. е. перелет, дуга которого соединяет точки орбит, лежащие на одной прямой, проходящей через центр притяжения, с равными по модулю, но противоположно направленными радиальными составляющими скорости ои„(рис. 5.10, а, б). Особенность линеаризованного решения задачи состоит в том, что функционал не зависит от числа и места приложения импульсов тяги на указанной прямой. В самом деле, из (5.72) может быть по- лучена следующая формула, связывающая величину приращения трансвер- сальной составляющей Л би (~) с величиной Л ог (~р+тт): ~ Ьоу, (и) ~ = 1/,и Лдг (и + тт) Я1дп Ыг (~р + тт). (5.74) 
134 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ [ГЛ. 5 Из (5.74) следует, что приращение характеристической скорости после и трансверсальных импульсов тяги одного знака равно величине 1/ и ()Л ог,)+... + ~)Л ог„)), где ог,.= ог (~г). Такие и импульсов тяги могут быть заменены одним импульсом тяги соответствующей величины без изменения функционала. Таким образом, независимо от числа импульсов характеристи- ческая скорость маневра равна Лг(Т) ='/ и Шг, где Лг — разность между диаметрами орбит вдоль прямой г;перелета. Отсюда, в частности, следует энергетическая эквивалентность переле- тов 1 — 4 и 3 — 2 для пересекающихся орбит (рис. 5.10, а). 3. Поворот линии апсид. Если орбиты, меж- ду которыми осуществляется перелет, пересе- каются, то переход может быть осуществлен с помощью одного импульса тяги в точке пересе- чения. Сравним такой одноимпульсный переход между орбитами, различающимися только положением линии апсид (рис. 5.10, а), с двух- импульсным ~г-перелетом. Характеристическая скорость одноимпульсного перехода равна Лг, (Т) =2~ 3г„(у„) ~, где бг„(у,,) — радиальная составляющая скорости в точке пересечения ор- бит. Сопряженная траектория, соответствующая такому перелету, может быть только эллип- сом, касающимся единичной окружности извне в точке р„= + 1, р„= О, т. е. одноимпульсиый ро ким ие удовлетворяет условиям оптималь- пости. Вычислим характеристическую скорость двухимпульсного перелета. Если ~, — поляр- ный угол, соответствующий точке пересече- ния орбит, то точками, соответствующими 7-.-пе- релету, являются точки и„— ~/2 и и +7./2. Из (5.72) следует, что и [ог (о, +;с/2) — ог (р,„— г/2)] = 2оу„(з,). Рис. 5.10. Перелеты между около- круговыми орбитами. Разность диаметров орбит на прямой -.-перелета равняется 43г„('р„)/и; следовательно, характеристическая скорость маневра в соответствии с (5.75) равна ~ ~г„(:~„) ~, т. е. в два раза меньше, чем характеристическая скорость одноимпульсного перехода. 4. Перелет между комплаварными близкими круговыми орбитами. Заметим, что для построения приближенных к оптимальным маневров не обя- зательно проводить линеаризацию уже на этапе написания дифференциаль- ных уравнений движения. Иногда более удобной является линеаризация имеющихся точных решений в ньютоновом поле [5.8]. Воспользуемся таким приемом для построения оптимального перелета между двумя близкими круговыми орбитами радиусов г и г1 с заданной угловой дальностью пере- лета ~1 ( 7с. Так как длительность перелета не ограничена, то сопряженная траектория оптимального двухимпульсного перелета должна удовлетворять условию (5.49), а после линеаризации — (5.49'). Уравнения движения с точ- ностью до членов порядка в можно представить в виде [5.25] и — ~/й/г = (Ъ/2Щ) соя ч. (5.76) г„= (Йв/Щ) в1п ~, 
135 МАНЕВРЫ НА ОКОЛОКРУГОВЫХ ОРБИТАХ $ 4] С помощью (5.76) вычисляются направления импульсов тяги на концах дуги перелета: $д 0,=2$д ~,=2 $д (~,+1~,), откуда следует соотношение, связываю- щее угловую дальность перелета и направления импульсов тяги: Фар~ 2 - с0с 0' (5.77) Общим решением соотношений (5.49') и (5.77) является 1д ()о = — С~ (), = 2 с С~ ( о,/2). (5.78) Таким образом, оптимальный двухимпульсный перелет начинается и заканчивается импульсами тяги, симметричными относительно направле- ния трансверсали и равными по абсолют- ной величине. Последнее следует из равен- ства — $д 0,=$д О, (~о+~1=т:) и (5.76). С по- мощью (5.76) вычисляются фокальный пара- метр и эксцентриситет дуги перелета, а также характеристическая скорость маневра: г1 — го 2гог1 (гс + гт) я(п (~р,/2) ' гс + г, /~ (1 + 3 соя' (р,/2)) 2гсг (го + г ) я(п' (шт/2) (5.79) Угловая длипа .-,", дуги круговой орбиты, соединяющей симметричные точки эллип- тпческих орбит (рис. 5.11, б), связана с углом 1 и истинной аномалией ~ следующей фор- мулои: я1п (~рт/2) = я1п (1/2) я(п Р, (5.80) где 3 = ч — к/2, если соединяются апоцентрические части орбит, (~ = (Ф2) — ч, если соединяются перицентрические части орбит. Так как круговая орбита соединяет симметричные точки эллиптических орбит, то сопряженная траектория (в пространстве р,, р„, р„, связанном с плоскостью кру- говой орбиты) долхсна удовлетворять следу1ощим условиям на концах: (5.81) Рю~О Рю~1 ~ Ро~О Р о~1 ° Этим условиям удовлетворяет, например, сопряженная траектория, которая получается из (5.35) при Н =О, с', = с,'=1/1/8, се =О, св= се= 1/3/8 и является пересечением цилиндрической поверхности, построенная на эллипсе р; "+ (р, '/4) = 1/4, со сферой 5. Поворот плоскости орбиты вокруг линии узлов, перпендикулярной к линии апсид. Рассмотрим сначала две одинаковые компланарные эллиптические орбиты с общей линией апсид, но с апоцентрами по разные стороны от центра притяжения (рис. 5.11, а). У Оптимальной траекторией перелета без ог- раничений на длительность и угловую даль- ность перелета в этом случае является круго- Х вая орбита, соединяющая оба апоцентра. ф Пусть ПЛОскОстИ Орбнт ПОВериутыВОкруг ОСИ Рис. 5.11. ПовоРот плоскости оРбиты. Ох (рис. 5.11, б) так, что угол между линиями апсид равен г. Покахсем, что в данной ситуации перелет по круговой орбите между симметричными точками по-прежнему удовлетворяет условиям опти- мальности, и вычислим характеристики маневра. 
136 идеАльныЙ двиГАтель ОГРАниченнОЙ скОРОсти В силу (5.35) угловая дальность перелета по круговой орбите и значения сопряжен- ных переменных на концах траектории связаны соотношениями 218 (~'/2) (Р с+ Р 1)+Р 1 Р~ е (5.82) Учитывая (5.81) и (5.82), выразим значения импульсов тяги на концах траектории перелета: 1~ ° 1= 1/З1~, 1, 1~,1= 21~ ° [М М2). (5.83) Угол ~, соответствующий точкам импульса тяги на эллиптических орбитах, нахо- дится из уравнения (5.84) где, в соответствии с (5.80) и (5.83), оМ г = — (1+ а соя ч), 9 р ЗаМ2 а2 [Ьг,)'= ., яш'ч, Р Р 1 + ь соя ч а4,'в яш (1/2) я1п 2ч (5.85) Р [1 — я1п2 (1/2) соя2 ч1 /' (оЯ, а, р — параметры эллиптической орбиты). После подстановки значений, определяемых (5.85), в соотношение (5.84) оно обра- щается в уравнепие а яш (~/2) яш 2ч Зв' яш'ч+ 1/1+ а соя ч+ . =(1+ ~ соя~)'. 1 — я1пй (~/2) соя2 ч (5.86) Пренебрегая в этом уравнении членами порядка ~' и выше, получим, что 1 я1п' ч = = сФд' (~/2). (5.87) Из (5.87) следует, что точки схода на круговую орбиту зависят только от угла поворота плоскости орбиты Вычислим характеристическую скорость маневра, воспользовавшись соотношениями (5.80), (5.83) и (5.87): Ьи (Т) = 2 ~/(Ьи,.)'+ (Ьи )'+ (й~,)'= (5.88) Сравним рассмотренный режим с одноимпульсным переходом в точке пересечения орбит. Расход на такой переход равен ~и (Т) = 2 ~/и'„-'+ ~'-' соя'-' (//2) = 2 (;Я/р) /Р + соя'(~/2). (5.89) Сравнение (5.89) с (5.88) показывает, что при углах ~, близких к ~, одно- импульсный режим хуже двухимпульсного примерно в два раза. $ 5. Межпланетные перелеты 1. Постановка задачи. Рассмотренные до сих пор задачи относились к движению в поле одного притягивающего центра, поэтому полученные результаты не могут быть непосредственно перенесены на межпланетные перелеты. Обычный прием, с помощью которого изоавляются от рассмотрения движения в поле двух притягивающих центров, — это введение сфер действия планет, внутри которых учитывается только притяжение планет, а вне сфер— только притяжение Солнца. Ввиду большого различия между массами Солнца и планет размеры сфер действия планет малы по сравнению с протяженностью участков, на которых движение можно считать чисто гелиоцентрическим. Поэтому задача оптимизации перелета между планетами может быть разде- лена на две: оптимизацию гелиоцентрического движения и оптимизацию движения в сферах действия планет. При этом необходимо сделать предполо- 
1 7 МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ э 5] жение, что на участках траектории, где притяжения Солнца и планет срав- нимы, импульсы тяги не сообщаются. Кроме того, будем считать орбиты пла- нет компланарными и рассматривать лишь плоские перелеты по приближен- ной схеме, описанной в ~ 3 гл. 4. При оптимизации гелиоцентрического движения необходимо учитывать, что в характеристическую скорость межпланетного перелета должны входить энергетические затраты вблизи планет, которые необходимо выразить через переменные гелиоцентрической системы координат. Если на участках траектории, где притяжения Солнца и планеты имеют один поря- док, импульсы тяги не сообщаются, то связь между значением скорости в близкой окрест- ности планеты и ее значением за сферой действия планеты дает известный интеграл Якоби уравнений ограниченной круговой задачи трех тел [5.25], которые описывают движение аппарата в планетоцентрической вращающейся системе координат х(2), 2, у'2', ось абсцисс которой постоянно проходит через Солнце (см. рис. 4.6): (х<2 gt )2 ~- ( &lt 2&gt )2 — &lt ой (х<2& t )2 — 2 & t;<2&gt /г<2& (5.90) где ~ — угловая скорость кругового движения планеты по орбите с гелиоцентрическим радиусом Ло, й'2) — гравитационная постоянная планеты. Перепишем интеграл Якоби, выразив относительную скорость летательного аппа- рата в момент 8, через компоненты скорости г„', г' в планетоцентрической системе коорди- нат с неподвижной полярной осью, а в момент 8, — через компоненты скорости г,., о~ в гелиоцеитрической полярной системе координат также с неподвижной полярной осью: [(<& t ')2 (& t;>' Ђ” lt;& t;г< &gt )2 — 3< 9 ~0 .= [<&g ;"„ + ( lt;&g ; в ” & t;>г 2 в ” ЗаР (х< >)2 [(<&gt „')2+ (& t >')- ] [& t;> „ + (у — &l ;& t (5.92) Исходя из ограниченной эллиптической задачи трех тел, можно получпть более общую приближенную формулу: [(<&gt ,')'+ (&l ; gt;') "1, = [(&l ;&g ;г Ђ 1г„ ' (<> — У (5.93) где У„, Р— составляющие скорости движения планеты в гелиоцентрической системе координат. Приняв скорость Д(<>„')-'+( lt; gt;' "' при 1= е за оценку характ скорости маневра разгона (торможения) аппарата вблизи планеты (если аппа- рат стартует или финиширует на орбите искусственного спутника планеты, то из этой величины вычитается постоянная, которая при оптимизации гелиоцентрического участка траектории роли не играет), получим величину суммарной характеристической скорости межпланетного перелета: Ь<& t (Т) = ~/Г + < g ; + Ь lt;>' + ~ ~Ы'. + <& t ~=2 (о.94) Здесь Г и Г, — параболические скорости для первой и второй планет соот- ветственно, г„и о — радиальная и трансверсальная составляющие гелиоцен- трической скорости аппарата, Лч,. = ~+,. — ~-,, а ~-„о-„г„„, г+„— составляю- щие орбитальных скоростей планет, г+„г+, — составляющие скорости аппарата после первого импульса тяги, с'„-„, г-„— составляющие скорости летательного где г — гелиоцентрический радиус-вектор. Оценить члены этой формулы можно, при- равняв х&lt 2&g ; (4) г' > (4 радиусу план ты, & t;2& t; ( lt; ) и г&l ;'&gt (Е1) †планеты [4.8], а &lt >' (й<&gt ) приравняв па аболичес ой скорости на пове В неты >/2/с'"'/ "&gt (4). Прене регая алыми велич нами, п лучим п остую связь планетоцентрической скоростью аппарата вблизи планеты и значением его гелиоцен- трической скорости вне сферы действия планеты: 
138 идеАльный двиГАтель ОГРАниченнОЙ скОРОсти [ГЛ. 5 аппарата перед последним импульсом тяги. Гелиоцентрическая траектория начинается и оканчивается непосредственно на орбитах планет. Из (5.94) следует, что задача оптимизации гелиоцентрического участка межпланетного перелета может быть рассмотрена как задача перелета между спутниками с учетом специфики выражений для добавок характеристической скорости в начале и в конце траектории перелета. Чтобы получить условия оптимальности, выраженные через свойства сопряженной траектории, введем некоторые новые уравнения и краевые условия: Г, = ае~„ $', (Т) = $'„Г. (Т) = $~„ (5.95) где е~, — направляющий косинус вектора ускорения, не равный нулю только в момент первого импульса тяги, а е~, — направляющий косинус вектора ускорения, не равный нулю только в момент и-го импульса тяги. Соотноше- ния (5.95) добавляются к задаче (5.5), после чего проводится анализ, подоб- ный проведенному в п. 1 з 2: 1Х = р,а+ р„° т+ р, ° (ае+ я) + р ае,, + р,, ае,, Р~ =О Р= д. (Р, ~) Р: Р Р~,=Ру (5.96) (р „= — 1, ~е" ~=1, е*=(е, ер,, ер,)). В отличие от рассмотренного ранее случая сопряженная траектория рассматривается в расширенном пространстве (добавлены координаты р~, и р~,). Однако и в этом пространстве сопряженная траектория, соответствую- щая оптимальному перелету, обладает теми же свойствами, что были полу- чены в п. 1 ~ 2. Специфика рассматриваемой задачи состоит лишь в том, что в начале и конце траектории перелета р' + р' (1, так как ~,. р,„,= „~ (5.97) (5.98) 2. Перелет без ограничений на длительность и угловую дальность. Рассмотрим перелет с «внутренней» планеты на «внешнюю» планету, которые движутся по круговым гелиоцентрическим орбитам радиусов г и г, соответ- ственно. Пусть моменты прибытия и отбытия, а также угловая дальность и длительность перелета произвольны. В соответствии с краевыми условиями сопряженная траектория описывается уравнениями (5.51), к которым добав- ляются условия (5.97). Оптимальные импульсы тяги, точки приложения которых совпадают с моментами, удовлетворяющими условию И(р' +р'- + ~)т ~~р +р' + р') И=О, могут быть только трансверсальными и лежать на линии 1 г апсид. Рассмотрим возможность введения одного промежуточного трансвер- сального импульса, когда функционал дается формулой, следующей из (5.94): 
139 МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ Уравнение [дЬг(Т)~дг]=0, полученное из (5.98), имеет корень в интер- вале (г„г ) [5.19], соответствующий минимуму функционала для близких орбит. Кроме того, точкой минимума является точка г~ со при с гй '/2 2+ [1+ г1Г2~И (~2 — 1) ] 2 — [1+ г27~~~1с (~2 — 1) 1 Й~, (Т) = ~/ Г + (й Ьг/4)'+ ~/ Г', + (й Ьг/4)', Ьг, (Т) = / Г', + [ Г,в Ьг/4 (Г, + Г,)]'+ (й Ьг/4) + + ~/Г'„'+ [Г,а Ьг/4 (Г,+ Г,)]" (5.100) Хотя оба перелета удовлетворяют необходимым условиям оптималь- ности, трехимпульсный перелет здесь всегда хуже двухимпульсного. Таким образом, перелет между двумя близкими планетами отличается от перелета между близкими орбитами или спутниками тем, что число и место приложе- ния импульсов тяги влияют на функционал даже в линеаризованной поста- новке задачи. Вывод об ухудшении режима промежуточным импульсом тяги в простей- шей задаче перелета между близкими планетами, конечно, не исключает возможности, что в задаче с другими краевыми условиями введение проме- жуточного импульса тяги улучшит режим; однако этот результат показывает, что, вообще говоря, набор и гашение энергии вблизи планеты могут быть выгоднее, чем набор и гашение энергии на гелиоцентрическом участке траектории. 4. Перелет между двумя близкими планетами при заданной угловой дальности перелета. Направления импульсов тяги и дальность перелета в рассматриваемом случае связаны соотношением (5.77), а вместо (5.49) имеем 2йд —,'~ ~[1+ Р/(йР +ЬР )] ~'я1п О,+[1+ Р~(й~Р +йР )] ~'я1п ОД+ + [1+ ~'22/(Ьг„', + Ьг'„)] ~' соя О, = [1+ Г;/(Ьг„', + Ьг',)] ~' соя О,. (5.101) так как в этом случае дЛг (Т)lдг ( 0 при г -~ со. Условие (5.99) обобщает полученное ранее условие оптимальности вылета на со при перелете между орбитами. В частности, при перелете с планеты на астероид (Г,=О) вылет на со может быть оптимальным для г,/г ( 9. 3. Перелет между близкими планетами. Рассмотрим предыдущую задачу, воспользовавшись приближенным представлением сопряженной траекто- рии (5.72). В рассматриваемом случае Н = р = 0; поэтому на плоскости р,, р,, можно построить два типа сопряженных траекторий, удовлетворяющих условиям оптимальности, и, соответственно, два типа перелетов. 1. 11роекция сопряженной траектории на плоскость р,, р — полуэллипс, г,.~ а, лежащий строго внутри единичного круга. Ороита перелета — полуэллипс, касающийся в перигелии и апогелии орбит планет. 2. Проекция сопряженной траектории на плоскость р, р — эллипс, 0„' 6, проходящий через точку единичной окружности (р„= 0 р„= 1) и то псу (р, = О, р„= Ьг (~/Г, + ~и'-', = ~и~,/~/Г', + Ы'-',). Орбита перелета состоит из двух полуэллипсов. Первый касается орбиты планеты старта п заканчи- вается промежуточным импульсом тяги Ьг~,(г) (г,( г (г,), следующий полу- эллипс касастся орбиты второй планеты. Обозначив Ьг = г, — г„о~ = (~~~ + ~Й/г'.,)/2 и пренебрегая членами порядка ~2 и выше, получим следующие характеристические скорости для обоих типов маневра: 
140 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТИ [ГЛ. 5 Полученное ранее (п. 4 ~ 4) решение для перелета между близкими круговыми орбитами 9,= — Оо верно и для (5.77), (5.101), если Г,— У,. В частности, оно верно для перелета между Землей и Венерой. При перелете между Землей и Марсом уравнение (5.101) приходится решать совместно с (5.77) численно. Рис. 5.12. Сопряженные траектории перелетов между Землей и Марсом (1), Землей и Венерой ®. д. Перелет с заданной датой старта и произвольной длительностью. Хотя в рассматриваемой задаче длительность полета не ограничена, поло- жить Н=О, как зто сделано в [5.171, нельзя. Правый конец траектории свя- зан с планетой назначения, поэтому вариация 8~~ — — а, ЬТ, где а, — угловая скорость вращения планеты назначения по круговой гелиоцентрической Л у,юм/се~ д Я Ю Ю 30 1Т 7Л' 3 с~ Рис. 5.13. Характеристическая скорость перелета Рис. 5.14. Длительность перелета Земля — Марс. Земля — Марс. орбите. Рассматривая зто условие совместно с условием р Ьзт — Н 8Т=О, получаем равенство р,,— Н=О. (5.102) Подставив (5 102) в (5.44), получаем, что на правом конце траектории должно выполняться условие (5.103) Исключив произвольные постоянные из (5.34) и (5.103), получим условие оптимальности, которое В сочетании с интегралами движения определяет дугу перелета при любой заданной дате старта или (что то же самое) при любом взаимном расположении планет в момент старта. Однако совместное решение двух трансцендентных уравнений (условие оптимальности и соотно- шение Ламберта — Эйлера [5.91) с остальными интегралами движения затруд- нительно, поэтому представляет интерес приближенное построение опти- мальной дуги перелета. На рис. 5.12 приведены сопряженные траектории 
. 141 МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ ф 5) ~и(Т) = ~/2Гь+ п'-„', + (и — иь)' — Уь+ ~/2Г2~+ и",, +(и8 — и...)' — ~г, (5.104) где Р~, Рд — круговые скорости на поверхности планет г~, гд — круговые скорости Земли и Марса на гелиоцентрических орбитах. Составляющие скоростей в (5.104) вычислялись с помощью следующих формул и интегралов движения [5.9, 5.25]: 1 О 1 1 р (з ) = гд (1 — в), и (ю ) = ~/Й/р (1 — е соз Ьро= о — ~Цг~ Т, Т= ~/~/Р (1 — а2) ~' (5.105) а ЯП1 (1 — ь~) (1 -)- а соя ч) Кроме данных, рассчитанных по формулам (5.104), (5.105), на рис. 5.13 нанесены также данные маневра, предложенного в [5.17], для тех же началь- ных условий задачи (на рис. 5.13 — точки). Лишь одна точка из [5.17], со- ответствующая —.-перелету, ложится на кривую, остальные маневры требуют большей характеристической скорости. На рис. 5.14 приведена соответствую- щая (5.105) зависимость длительности полета в сутках от начального «рас- согласования» Ь~, =~~ — ~~ в ыомент старта. двухимпульсных ~-перелетов (р =Н=О) Земля — Венера и Земля — Марс. Сопряженная траектория перелета между Землей и Марсом — чрезвычайно вытянутый вдоль оси Ор, эллипс (эта вытянутость объясняется разницей собственных полей притяжения планет). Так как при Н+О сопряженная траектория есть эллипс с (<ползу им центро », то ля траектор й, не слиш отличающихся от траекторий ~-перелета, условие (5.103) будет выполняться в окрестности значений р, =0 (на оси ОР„). Поэтому условие (5.103) можно считать выполненным на траекториях, касающихся орбиты Марса. На рис. 5 13 приведена зависимость характеристической скорости перелета Земля (Я) †Ма ф) от начального «рассогласования» ~~„ = и — а в момент старта. Эаергетические затраты вычислялись по формуле (см. (5.94)) 
ГЛАВА 6 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ— РАЗДЕЛЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ, ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МАСС Рассмотрим задачу о доставке максимального полезного груза для идеальной дви- гательной сисогеиы ограниченной мощности. Изученио идеального случая интересно тем, что оно раскрывает предельные возможности двигателей данного класса. Рогулировочная характеристика (4.9) и формула (4.10) для массы идеального дви- гателя ограниченной мощности выглядят так (при и1 — — У, и2=д): Р = ~/2Уд~ д = д, ЛХ.„= аУтах (О & t У й < У ~ , 0 & t д ( ) ( с Запись (6.1) отражает следующие свойства идеального двигателя: во-первых, по- тери рабочего вещества и мощности отсутствуют '), во-вторых, регулирование подчи- няется только ограничению на мощность (не считая требования неотрицательпости рас- хода д), в-третьих, масса двигателя линейно зависит от максимальной мощности. Отметим, что в (6.1) характеристики даны через мощность У и расход д. Монсно вы- брать и другие системы независимых управляющих функций. Мощность У следует остав- лять во всех вариантах, поскольку на нее наложены прямые ограничения. Вместо расхода д могут фигурировать на равных основаниях скорость истечения Г или тяга Р, так как ни одна из этих величин в идеальном случае не является ограниченной (требования не- отрицательности тяги Р и скорости истечения Г опять в расчет не принимаются); тогда (при и1=У, и2= Р) (О & t У ~ &lt „ , 0 & t Г Р = 2У/Г, д = 2У/ с'2, ЛХ„= аУт,~ или (при и1 = У, и2 = Р) Р = Р, д = Р2/2У, М.„= аУт,~ (6.2) (0<У ~) & t;У„, 0< (6.3) Как будет ясно из дальнейшего, в идеальном случае удобно представить тягу и расход чорез текущую массу аппарата М и кинематическую характеристику а — ускоре- ние от тяги (и =У, и =а): Р = аЛХ, д= а2ЛХ2/2У, ЛХ„=аУт~~ (О & t У ~ < У з , 0 & t а ( (6.4) тяги. Наличие указанного разделения полной задачи существенно упрощает исследование и в значительной степени оправдывает идеализацию. 1) Дальнейшая процедура не изменится, если считать потери в движителе ненуле- выми, но коэффициент полезного действия движителя ~ полагать постоянным, о,,= =сопз$ & t 1 не завися им от расх д и подводим йк движит лю мощност ) В э ом слу под а надо понимать удельную массу двигателя на единицу максимальной мощности реак- тивной струи М„,, или, если масса М„относится к максимальной мощности источника У,О=У /~., нужно вместо а писать всюду а/о . Данное замечание относится ко всем разделам, где обсуждаются идеальные двигатели ограниченпой мощности. Такое представление, как и в гл. 5, позволяет разделить проблему оптимизации на две независимые. 1) ~арак~~ирич~скую — нахождение оптимальных соотношений масс и оптимального управления мощностью; 2) динамическую — нахождение оптимальных программ ускорения от реактивной 
143 ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МАСС ~ 1. Оптимальные соотношения масс при постоянной и ступенчато изменяемой массе двигателя 1. Разделение задачи, управление мощностью. Запишем уравне- ния (4.1), когда характеристика двигателя задается в форме (6.4) и масса двигателя вдоль траектории не меняется: М = — ЛРа'/2 т, ЛХ(0) =М~, ЛХ (Т) =М.+М„, г(0) =г, г(Т) =г„ т (О) = т„~ (Т) = т, 0 ( а (~) ( со, [ е (~) ~ = [, М„= сопй). г=~, (6.5) Ф=ае+~, (О( У(~)(ЛХ„/~, — 1 (,)= .(1+7 —;;« 0 (6.6) Это соотношение дает закон изменения полной массы вдоль траектории. При помощи него может быть записано выражение для конечной массы М,=М (Т), а также для полезной массы ЛХ,=ЛХ1 — М.„: (6.7) Отсюда следует, что полезная масса при фиксированных ЛХ„и М воз- растает с уменьшением интеграла Задача состоит в построении оптимальных программ Г (~), а (~), е (~) и выборе оптимального значения параметра ЛХ„, обеспечивающих выполне- ние граничных условий для системы (6.5) и доставляющих максимум полез- ной массы М,=М (Т) — М„при заданной начальной массе ЛХО (параметр а— удельная масса источника мощности — задан). Из физических соображений ясно, что мощность в процессе полета вы- годно поддерживать на максимальном уровне, так как для создания одной и той же тяги при большей мощности потребуется меньший расход рабочего вещества (см. (6.1)). Если выбирать большие значения максимальной мощ- ности, то расход рабочего вещества будет уменьшаться, но одновременно будет возрастать масса двигательной системы. Начиная с некоторого значе- ния, увеличение массы двигателя превысит выигрыш от снижения затрат рабочего вещества. Поэтому для каждого маневра должно существовать оптимальное соотношение между массой рабочего вещества и массой дви- гателя, обеспечивающее максимум полезного груза. Наличие оптимальных соотношений масс для аппаратов с двигателями ограниченной мощности было сначала установлено на ряде модельных задач ([6.1 — 6.19] и др., см. обзор [6.20]). Главное упрощение состояло в замене истинного гравитационного поля на простейшее — бессиловое поле и рас- смотрении одномерных движений. Кроме того, упрощение касалось и управ- ляющих функций: мощность и масса двигателя считались постоянными, а регулирование тяги отвечало либо случаю постоянного реактивного уско- рения, либо случаю постоянной тяги. Эти задачи даются в нашем изложении как иллюстрация общей процедуры. Обратимся к анализу системы уравнений (6.5). Первое уравнение из (6.5) может быть проинтегрировано в квадратурах [6.15, 6.211: 
ИДЕАЛЬЕ1ЫЯ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 6 Управляющая функция Г (~) входит только в интеграл (6.8) и не входит в уравнения движения (см. в (6.5) второе и третье уравнения). Для постоян- ного верхнего предела мощности Г =сонями, имеющего место в рассматри- ваемом случае, оптимальный закон Г (~), доставляющий минимум (6.8), устанавливается независимо от остальных управляющих функций [6.15]: У(1) =Ж „при 0(1(Т. (6 ) Тогда в (6.7) величина Г „может быть вынесена из-под интеграла: г У О (6.10) Оставшийся в вырансении (6.10) интеграл Х не зависит от мощности 1Ч,„,„ и масс М„, Мо и может быть подсчитан, если траектория г (~) известна. Этот интеграл представляет в формуле для полезной массы динамическую часть задачи. Чем меньше его величина, тем больше полезная масса при фиксированных М, Г,„,„. и М„. Таким образом, исходная задача разделилась на две независимые— динамическую и параметрическую. Динамическая часть — это вариационная задача, которая состоит в построении оптимальных законов изменения величины а (1) и направле- ния е (~) вектора реактивного ускорения, обеспечивающих минимум инте- грального функционала Х для заданного динамического маневра: Х = а'Ж = шш (6.1 1) г= г, г (О) = го, г (Т) = г„ т = ае+ д, ~ (О) = ~„~ (Т) = ~, (О ( а (Е) ( со, ! е (Е) / = 1). Параметрическая часть — это задача на максимум функции, состоящая в определении оптимального значения массы двигательной системы М, или предельной мощности Г „из условия максимума полезной массы (6.10): Мо п1ахМ,= шах ФХ, 1+ ' Х вЂ” М (Т ((; ~ шах) 0 шах (6.12) при этом значения интеграла Х и начальной массы М, фиксированы и зави- симость М„(К ) задана. 2. Оптимальные соотношения масс. Если масса двигателя ЛХ„и мощ- ность Г „связаны линейно: М„=аУ „ (а = сопзг), М 1 ЛХ 1 Ф/т„ Правая часть (6.14) как функция т„имеет максимум (рис. 6.1). При фикси- рованной величине функционала Ф получаем решение задачи (6.12): т„= М,/М, = ~/Ф вЂ” Ф. то относительная полезная масса, согласно (6.10), может быть представлена в виде 
145 ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МАСС Максимальное значение полезной нагрузки (6.14), соответствующее (6.15), равно т,=(1 — ~/Ф) . (.1) Оптимальная величина запаса рабочего вещества вычисляется как М„= = Мо ™, ™.: т = М„а/М = ~/Ф. ( .17) Оптимальные соотношения масс (6.15) — (6.17) [6.15, 6.21) представлены на рис. 6.2. Функции (6.15), (6.16) теряют смысл вне интервала О ( Ф ( 1; отсюда следует, что при постоянной массе источника мощности не может быть выполнен маневр, для которого величина функционала Х ) 2/а (полезная ~~л брсд ~с РГ дФ 06 РЮ Ф Р3 Р4 дХ РР ~л Рис. 6.2. Оптимальные соотношения масс, Рис. 6.1. Зависимость полезной массы от массы двигателя. масса (6.16) обращается в нуль при Ф=1). Отметим, что оптимальное значе- ние массы двигательной системы не превосходит '/ начальной массы ап- парата. Если масса двигателя и максимальное значение мощности связаны между собой нел инейно.' (6.18) Л»» = М» (~1 ша») ю то оптимальные соотношения масс в общем случае не могут быть выражены явно. Выпи- шелл уравнение для определения оптимального значения мощности Г,»» [6.22]. При нелинейной зависимости (6.18) удельная масса двигателя а=М„/Г „ будет функцией от К ,». Выберем некоторое среднее значение удельной массы а„ (не зависящее от Г ) и запишем полезную нагрузку (6.10) через две безразмерные величины: т а ф — — ц2Д~ 2 О ~ тпах "= л~,!., (6.19) (а.„= сопял) . Первая из них — относительная мощность источника — является неизвестной, вторая — функционал (6.14) — задана. Массу М„в (6.10) можно считать зависящей от Г, поскольку функция М„(К~„) задана, а М, и а„фллксллрованы. Условие (6.12) в терминах параметров (6.19) записывается следующим образом (дМ ! дГ= О): 2 л~Ф ' дЯ вЂ” + л~Ф *=1. (6.20) Решив уравнение (6.20) относительно безразмерной мощности Г, можно определить размерную мощность К,» и массы М„, М, по формулам (6.19) и (6.18), (6.10) соответ- ственно. Если решение уравнения (6.20) оканлется пе единственным (что зависит от вида функции (6.18)), то нужно выбрать такое, которое дает абсолютный максимум (6 10). Для линейной зависимости (6.13) полагаем а„= а=сопзФ, после чего оказывается Г=т„и уравнение (6.20), естественно, дает прежнее решение (6.15). Как нетрудно 1О Механика полета 
146 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ видеть, соотношения (6.15) — (6.17) оказываются справедливыми п для общего вида линей- ной зависимости 1) М„= ЛХ„+ а„Т (6.21) если под М„и М, в них поыимать ̄— М, и М,— М„о соответствеыно. При этом до- пустим> >й ди пазон изм нения фуыкц о ала Ф Ф ~ 1 — ~М,О/~о. (6.22) Рассмотрим левую часть уравыения (6.20). Выражение в круглых скобках — моно- тонно возрастающая функция Я. Оно равно единице в точке Я& t = gt; Ф Ђ” Ф, дб Р8 ~тих Рис. 6.3. двигателя Примеры зависимости массы ог максимальной мощности. Рис. 6.4. Примеры сравпения оптимальных соотно- шений масс при линейных (2, 3) и нелинейной (1) зависимостях массы двигателя от максимальной мощности с рис. 6.3. в точке, о>~тималь ой ля линей ой зависимо ти 6. 1 ). Поэт му оптималь ая то будет сме>пвт ся от то ки Я = gt; Ф в ” ~1> право» и т„/НЯ (1 (большие мощности) и влево при Нт,&gt Н 1 (мень ие значе ия мощност При параметрических расчетах по Ф в уравнении (6.20) можно Ф и Я поменять ролями: Я считать параметром (независимой переменной), а Ф вЂ” неизвестной величиной. В этом случае решение уравнения (6.20) записывается явно: ~/Ф = (4дт„/ШЯ) /'+ ((4йп,/йЯ) 1 — Я] /' (йт/ЮЯ, О, 0 & t < (4д „/И ) > Ф„= (Ы»г„/ЙЯ) ~; (6.24) знак минус дает 0 ( Ф:. Ф„(возрастающая ветвь рптимальной зависимости ЛХ„(Ф), ср. рис. 6.2), знак плюс — ~1& t; -= ~1>„(убы ающая ветвь ЛХ Чтобы составить количествепное представление о влиянии нелинейности (6.18) на оптимальыые соотношения (6.15) — (6.17), рассмотрим зависимость М„(ШП,,„), соот- ветствующую кривой а (Уп,„) иа рис. 2.88. Эта зависимость показана на рис. 6.3 (кривая 1), там хсе для сравнения нанесеыы аппроксимирующие. зависимости: лиыей- ная (6.13) М„(кг] =4 кг/кгт Ш... [кгт] (кривая 2) и общая линейная (6.21) М.„(кг]=1,5 ° 10 кг+2,2 >;г/ в Ж „, (в т] (кри ая ). Прим ры оптималь ых со ношений т.„(Ф) = М„(Ф)/ЛХэ и»&g ;, Ф = Ђ” М, (Ф)/ э, соответствую ие т ем э им крив показаны ыа рис. 6.4 для ЛХэ =10 > г, а =4 >г/ 3. Ступенчатое изменение массы двигателя. Как показано в предыду- щем пункте, при неизменной массе двигателя не могут быть выполнены ма- невры, энергетическая характеристика которых превосходит определенный предел (У ) 2/а). Этот предел можно отодвинуть, если в процессе движения ') Это же замечание относится и к следующим двум параграфам главы. Знак минус или плюс в (6. 23) соответствует двум диапазонам значений функцио- нала Ф, разделяемым величиной 
147 ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МАСС М" "=М" ~ЬМ"' 7Г 7Г (6.25) где ЬМР(.' — количество рабочего вещества, израсходованного на г-м участке (~; «(~,). Примепим для вычисления ~ЛХ< <' соотн шение 6.6), запи анн е д крытого промежутка 1,. х(~(~,.: м+, М,— 1+Ф „ /,&lt (6.26) где ДХ,. — масса аппарата до сброса ~-й секций, М+,, — масса аппарата после сброса (х — 1)-й секции, М„"' — масса двигателя на х-м участке. По опреде- лению ЬЛХ" & t = Л +, Ђ” ,. Подста и в (6. 5) найден ое та им обра ом ражех&lt ие ля ЛЛХ„' & t;) и з менив ЛХ+,, =ЛХ," "+Л .„"', п лучим отн М "& t 1 Ђ” 1+ < &g ;М М<& t; )&g ; 1+ (1+ М&l ;& t (6.27) Отношение истинной полезнохх массы ЛХ, к начальной ЛХ, можно ставить как произведение отношений М<')/ ," М М&lt и) М&l ;&gt > М М<&g ;<-) g ; М&lt » О &l ; О пред- (6.28) Для последнего сомножителя этой цепочки справедлива формула (6.14): М&lt & т~'~, М 1 + Ф '>&g ; (6.29) остальные сомножители определяются соотношением (6.27). Кансдьхй сомно- ххсителх при фиксированных Ф,. зависит только от ЛХ„"'/ЛХ," " (при г = 2,..., и) и от тх&g ;Х ( р г = ). Последх ие ххезависимы ), поэт му макси ум т, дос гается при максимуме каждого из сомххонсителей по М„"/ЛХ," ". При фикси- рованных Ф,. этот максимум имеет место, когда М„"' '1 — 6~; (г=2, ..., и), тх'>=~/Ф, Ђ” 1) Если не принимать в расчет условие х<евозрастах ия абсолют ой ма сы двигате Я(') ) М„'-) ) ... ) М„'"' ) О. Из дальнейшего будет следовать, что в оптимальном варианте это условие выполняется автоматически. 10* сбрасывать секции двигательной установки [6.231. В самом деле, на заклю- чительном этапе движения, когда израсходована большая часть рабочего вещества, масса двигателя становится преобладающей (при условии, что величина полезной нагрузки мала). В такой ситуации может оказаться вы- годным сброс части двигателя; при этом уменьшится масса аппарата, но одновременно уменьшится и мощность, идущая на ускорение рабочего ве- щества. Чтобы выдержать заданную программу реактивного ускорения, после сброса потребуется меньшая тяга, и если размер сбрасываемой секции выбран правильно, то и расход рабочего вещества будет меньше. Уменьшение массы двигателя сопровождается пропорциональным умень- шением максимальной мощности, ибо 1&lt >' „ М„/ а (рассматри аетс чай а=сопз$; все несброшенные секции двигателя работают параллельно). Аналогично первому пункту можно показать, что мощность Г всюду должна использоваться максимально, 1Ч (х)=Г „. (х). Введем полезную массу х-й ступени ЛХх'& t; (х=1,. ., ), рав ую су истинной полезной массы М, и массы рабочего вещества, оставшегося к мо- менту сброса х-й секции двигателя. Может быть составлено рекуррентное соотношение 
148 [ГЛ. 6 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ При этом полезная нагрузка т, равна т„=(1 — ~/Ф,) ц(,~) . (6.30) Все рассуждения проводились при фиксированной траектории (неизмен- ный закон а (г)); поэтому сумма и ~~ Ф,. = Ф (6Л1) задана; оптимальные соотношения между Ф,. должны определяться из усло- вия максимума (6.30) при выполнении равенства (6.31). Необходимые условия максимума (6.30) при наличии связи (6.31) монсно записать в виде и 4ИФ; 1 Ф2 0 Иф, И!пт,= ~Ф вЂ” ф, Исключив отсюда ШФг, получим юг И1п т,= ~=2 силу независимости оставшихся под знаком суммы дифференциалов, приходим к равенствам г=2, ...,п, или с учетом (6.31) Ф вЂ” ф1 1 и — 1 Фг — — [~/Ф+ и (и — 1) — (и — 1)~, г =2, ..., ~г. (6.32) Остальные величины выражаются через Ф, следующим образом. т,=Ф, = — 1, т~'>=(~ Ф, Ђ” ,) Ђ” 1 ~ Ђ” , г (6 1 1 Полученное значение полезной нагрузки превосходит одноступенчатый вариант (6.16), начиная с Ф='/„и обращается в нуль при Ф=гг. В этом же диапазоне, 1/4 ( Ф ( и, как следует из второго соотношения (6.33), выпол- няется и условие невозрастания массы двигателя с ростом номера ступени. Переход к пределу при и — э со в (6.32), (6.33) приводит к следующим соотношениям, описывающим непрерывный сброс бесконечно малых секций двигателя: '/, при О & t Ф 1 &l 1!,е'-''~(') при '/,(Ф (Ц (ф т = г/ е'-4Ф (со ~~ Ф = Ф (Т) ) '/ ). ) (6.34) Этот случай будет еще раз исследован в ~ 2 другим способом, как задача оптимального управления. Соотношения (6.32) — (6.34) иллюстрируются рис. 6.5 — 6.9. Для нагляд- ности зависимости параметров от числа ступеней и показаны непрерывными кривыми. Примеры оптимальных ступенчатых законов изменения массы двигателя вдоль траектории даны на рис. 6.5. Аргументом там служит текущее 
149 ОПТИМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МАСС Ю ~б О 075 Рис. 6.6. «Протяженность» Ф, участка работы первой ступени. Рис. 6.5. Примеры оптимальных законов измененпя массы двигателя при Ф (Т)=0,75. д lб /7 Рис. 6.7. Коэффициент т„' /т„' ~ уменьшения массы двигателя от ступени к ступени в функции числа ступеней и при фиксированных значениях функционала Ф (от помера г не зависит). б) т„Р = ОГ5 ~7~а~ ) ц6 Одб Рис. 6.9. Сравнение полезной нагрузки для различного числа секций двигателя: а) полезная масса от- несена к начальной массе аппарата (т = М, /М,); б) полезная масса т отнесена к максимально возмож- ной для данного маневра — к т при п=~о. ~~( 00 ~дд ЗЙ 524 ЗЗд д Я5 07 ЯЯ 11 I ~ ф Рис. 6.8. 'Относительная начальная масса юи„= М„/М, двигателя в зависимости от числа ступеней и при фиксированных значе- ниях функционала Ф. 
150 ИДЕАЛЬНЫИ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОИ МОЩНОСТИ [ГЛ. 6 значение интеграла Ф (~). На этом же рисунке нанесен и предельный закон не- прерывного уменьшения массы двигателя (п=со). Характерные особенности оптимальных ступенчатых законов (6.32), (6.33) состоят в следующем. Каж- дая ступень, начиная со второй, обслуживает участок траектории с одина- ковым приростом интеграла ~1~ (~): &l ;Р ( ,) Ђ Ф ( ,. ) (Ф Ђ Ф ) (и Ђ” ). «П тяженность» Ф1 первого участка увеличивается с ростом суммарного функцио- нала Ф=Ф (Т) (до единицы при Ф=п) и убывает с ростом числа ступеней, стремясь к 1/ при и — э со (рис. 6.6). Масса двигателя от ступени к ступени убывает в геометрической прогрессии, ее знаменатель представлен на рис. 6.7. Начальное значение массы двигателя возрастает с увеличением числа ступе- ней (до '/, при и — э со) и падает с ростом Ф (рис. 6.8). Использование сброса секций двигателя расширяет диапазон выпол- нимых маневров: интервал допустимых значений функционала У динамиче- ской части задачи увеличивается в и раз по сравнению с одноступенчатым вариантом. Кроме того, обеспечивается увеличение полезной нагрузки на тех маневрах, где в одноступенчатом варианте она не превышала 0,25. Прак- тически ощутимые выигрыши начинаются позже, примерно с т. ( 0,1 при п=1. В пределе (при )г= сю) они составляют 0,005 — 0,017 в зависимости от значения функционала Ф (рис. 6.9, а). Относительные величины выигрыша весьма существенны: при Ф=0,7 полезная нагрузка увеличивается в 1,5 раза, при Ф=0,8 — в 2,5 раза, при Ф=0,9 — в 6 раз и при Ф=1 — в бесконеч- ное число раз. Большая часть этого выигрыша реализуется уже при одно- кратном сбросе массы двигателя (п=2 на рис. 6.9, а и б). я 2. Оптимальная программа изменения массы двигателя и, во-вторых, ЛХ„входит в начальное условие (см. (4.7)): (6.36) ЛХ. (О) -~ М„',О) = ЛХ,. Укажем замены, позволяющие выделить два независимых управления вместо Г (~), ЛХ„(~) и применить в дальнейшем метод Л. С. Понтрягина. Сначала вместо управляющей функции Г (~), изменяющейся в диапазоне 0 ( К (1) ( У „(~) = ЛХ„(~) ~а, (6.37) введем безразмерную Ж (~): К (~) = Т (~)/Т ,„ (~) = аТ (~)/ЛХ„ (~), (6.38) пределами которой будут 0& t; Р) (6.39) Новая управляющая функция Ж (~) независимая. 1. Формулировка задачи. В настоящем параграфе излагается второй подход к решению задачи построения оптимальныт законов изменения массы двигательной системы [6.24, 6.25~, отличный от описанного в п. 3 ~ 1. Как и в ~ 1, характеристика идеального двигателя берется в виде (6.4). Вариационная задача формулируется, как задача Майера (4.8). К управле- ниям здесь относятся: вектор ориентации тяги е (1), величина реактивного ускорения а (~), мощность Г (~) и масса двигателя ЛХ„(~). Нахождение опти- мальных законов е (1), а (1) может быть проведено по известным правилам вариационного анализа; аналогичная процедура для Г (1) и ЛХ„(1) ослож- няется тем, что эти управления не являются независимыми. Во-первых, верхний предел Г (1) связан с ЛХ„(1): Т „(1) = ЛХ„(1)/а, (6.35) 
151 ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ИЗМЕНЕНИЯ МАССЫ ДВИГАТЕЛЯ э 2] К системе (4.8) добавим дифференциальную связь, выражающую изме- нение (уменьшение) массы двигателя (ср. (4.4)): М„= — д (6.40) (д — расход массы двигателя, 0(д„(~) ( со); будем считать расход д„новой управляющей функцией, а массу М вЂ” новой фазовой координатой. Управ- ление д (1) независимое. Программы изменения массы двигателя ЛХ„(~) и мощности Т (~) находятся по известным К(1) и д„(1) следующим образом: ЛХ„(1) = ЛХ„(0) — д„(1) Ж, Ж (1) = М (1) Ж (1)~а. (6.41) Описанные приемы носят общий характер и будут в дальнейшем при- меняться при подходящих ситуациях (например, в з 3 настоящей главы). Для нахождения оптимального закона ЛХ„(1) в рассматриваемом случае можно обойтись без добавления дифференциального уравнения (6.40), имея в виду особые свойства вариационной задачи. Отнесем массы М„ЛХ„, ЛХ к начальной массе аппарата ЛХ„а такхсе про- изведем замену (6.38); тогда система (4.8) преобразуется в такую: (6.42) 2. Разделение вариационной задачи. Исследуем оптимальные управле- ния Ж (1), е (1), а (1), т, (1). Следуя методу Л. С. Понтрягина, выпишем гамильтонову функцию Н и уравнения пля импульсов р. (т,+ т„)2 а Н = — р, 2 а'+ р„ч+ р„(ае + В), Ют„ дН т,+т., — = р аа2, Ят (6.43) дН д дН р,= — — „= — д(р, а), р,= — — „= — р,. Импульсы р„р„, р, пронормированы так, что р. (Т) = -1. (6.44) Функция р, (~) отрицательна на интервале 0 & t & t; , ибо дифференци уравнение (6.43) для импульса р, линейное однородное и в конечный момент им- пульс р, отрицателен.' р,(й)(0 при О& t; й& Оптимальные управления Ж (Е), е (Е), а (Е), т„(Е) должны доставлять абсолютный минимум гамильтоновой функции (6.43). Множитель при 1/Т в гамильтоновой функции положителен (см. (6.45)); поэтому оптимальное управление Ж (~) должно подчиняться закону (ср. (6.9)) У(1) =1 при 0(1(Т. (6.46) Физически это означает, что вся располагаемая электрическая мощность должна идти на создание тяги. ( '+ ") а .(0)+ Ют„ г = т, г (0) = г„г (Т) Ф=ае ( ~ е (~) ~ = 1, 0 ( Я (1) ( 1, т„(0) =1, т,(Т) =шах, = Г1, = У1 а (1) ) О, т„(1) (О). 
152 ИДЕАЛЬНЫИ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОИ МОЩНОСТИ [ГЛ. 6 Оптимальное вектор-управление е (~) выбирается так, чтобы скалярное произведение р„е было минимальным: е= — р„/р, (р,=~р„~), (6.47) т. е. вектор тяги должен быть антипараллелен вектору р,. Оптимальный закон а (~) имеет вид (из условия дН~да=О, поскольку а не ограничено) рр т„ (6.48) р, (т,+ т.,)2а Отметим, что оптимальное реактивное ускорение отлично от нуля всюду, за исключением изолированных точек, где р„=О; иными словами, идеальный двигатель ограниченной мощности включен во все время движения. Обратимся к исследованию оптимального непрорывного закона изменения массы двигателя 1). Гамильтонова функция (6.43) имеет относительный минимум по т„при т,.=т . (6.49) К (6.49) присоединим границу управления т„, отвечающую знаку равенства в усло- вии т„( 0 (см. (6.42)): (6.50) т. = сопя$ (в дальнейшем будет показано, что граннца (6.50) входит в состав оптимального управ- ления т.„(1)). При функциональных зависимостях (6.49), (6.50) выражение, являющееся коэффи- циентом при (а~2)а2 в гамильтоновой функции (6.43), не зависит от времени и имеет знак минус на всем интервале [О, Т]: (т, + т.)2 р =сопя$ - О; (6.51) это может быть проверено дифференцированием выражения с учетом уравненхш для р', из (6.43) и т, из (6.42); знак константы следует из (6.45). Отсюда можно сделать вывод о разделении изучаемой вариационной проблемы. Будем рассматривать комбинацию (6.51) как новый импульс; тогда функция Н будет соответствовать вариационной задаче на максимум функционала — Х = — а'Ж, (6.52) сформулированной для уравнений движения из (6.42). В качестве управляю- щих функций здесь будут фигурировать а (~) и е (~). Заменим знак перед новым функционалом на обратный; при этом вместо задачи на максимум — У будет рассматриваться задача на минимум У, т. е. полученная в 3 1 вариацион- ная проблема (6.11). После решения вариационной проблемы (6.11) следует определить оп- тимальное управление т„(~), доставляющее максимум величине т. (Т)=т„ при известных законах а (1), е (г) и известном значении У. Из уравнения расхода и краевых условий для масс (6.42) вытекает ин- тегральная связь т.,Ыт, а (т„+ т,)~ 2 1 — зв„(0) (6.53) ') Непрерывная функция т„(й) соответствует непрерывному сбросу бесконечно малых элементов двигателя; этот случай является предельным для ступенчатого изью- нения массы т„. 
ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ИЗМЕНЕНИЯ МАССЫ ДВИГАТЕЛЯ ф 2] пг Я т.,дт тах —, Х = шах т, т, е 1-» .,(О1 (6.54) В дальнейптем будет использоваться, как более удоояая, последняя форму- лировка. Отметим прежде всего, что при т ) 0,5 оптимальная программа т.„(т,) не может содержать прямую (6.49), ибо в этом случае нарушается условие т„(0) + т, (О) = 1. Сле- довательно, при т ) 0,5 оптимальный закон есть (6.55) т„(т,) = т„е = сопзС а т. о (6.56) Из условия максимума У получаем экстремальное значение т,® — — ~т — т„,; (6.57) при этом & t Рис. 6.10. Состав оптимального закона изме- (6 56) кения массы двигателя. Ф = (1 — 1 т„) что эквивалентно (6.15), (6.16). Если т (0,5, то оптимальный закон т„(т,) может состоять не более чем иэ трех прямых (рис. 6.10): при 1 — т„о & t; „> = т.о (6.59) то& t &g т.,д) т ~ т~. при т„= т, при т., = — т„1 После вычисления интеграла (6.54) по участкам (6.59) получаем 1 1 4 п1ш1+ 4 Ъ~~а т„д т„1+ т„ (6.60) где т„е и т„, должны удовлетворять очевидным неравенствам (см. (6.59)) (6.61) 1 — то>тхо&gt Из условия максимума Ф по т„о, т„д определяются оптимальные значения последних: т„о = 0,25, т„= уц . (6.62) Максимальное значение ф равно (6.63) Ф = 0,25 (1 — 1п 4т,). Управление т„(~) должно быть построено из участков (6.49), (6.50) так, чтобы достигался максимум т и при этом удовлетворялось условие (6.53). Таким образом, как и для постоянной массы двигателя Ц 1), рассматри- ваемая вариационная проблема (6.42) разделилась на две части: динамиче- скую (6.11) и параметрическую (6.53). 3. Решение параметрической части вариационной проблемы. Требуется определить кусочно-непрерывную функцию т„(т.), составленную из участ- ков т„=т, и т„=сопв$, обеспечивающую максимум т, при заданном зна- чении У (см. (6.53)). Этой формулировке эквивалентна такая: определить функцию т„(т,), доставляющую максимум У при заданном значении и,: 
154 [ГЛ. 6 ИДЕАЛЬНЫИ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОИ МОЩНОСТИ Обращаясь к (6.59), находим, что ломаная экстремаль состоит только из двух прямых: /~ при /~~~ т Э~ /а т„= т. при '/~) т.)~ т,. (6.64) Полученное решение (6.63), (6.64) справедливо в диапазоне 1/ )~ т,) О, так как при т,)'/ и т„„т, из (6.62) нарушаются неравенства (6.61). Если 1 ) т, ) 1/, то оптимальная функция т (т.) — прямая (6.55), оп- тимальное значение т, и максимальная величина Ф даются формулами (6.57), (6.58). Приведем сводку решения параметрической части вариационной задачи в виде, разрешенном относительно т,: при 0(Ф(1/ т, = (1 — ~/Ф)2, т„= ~/Ф вЂ” Ф, прп /~ (~ Ф ( о:& (6.65) '/, при '/, )~ и. )~ '/„ т при '/)т)т. & Зависимость т (Ф) из (6.65) показана на рис. 6.9, а — кривая, обозначен- ная символом со. Она совпадает с полученной в п. 3 3 1 зависимостью (6.34). Отметим, что рассмотрение задачи оптимального программировапия массы двига- теля при заданных законах реактивного ускорения, например при а (~)=сопз1 [6.26], в силу доказанного свойства разделения приводит к аналогичным результатам. 4. Ступенчатая аппроксимация оптимального управления массой двигателя. Пусть теперь управление т„— кусочно-постоянная (ступенчатая) функция времени 8 (или массы рабочего вещества т,). Требуется определить оптимальные высоты уровней (ступе- ней) управления и оптимальные моменты перехода с одного уровня на другой, если число уровней задано. Для решения задачи существенным оказывается то обстоятельство, что т„— невозрастающая функция времени ~ (или неубывающая функция массы т,) и, следовательно, высоты уровня ступенчатого управлепия должны убывать со време- нем 8 (илп возрастать с увеличением массы т,). Для рассматриваемого случая (6.54) заменяется суммой интегралов по участкам, вдоль которых функция т„постоянна; после интегрирования и подстановки соответствую- щих пределов получаем следующее выражение Ф: и — 1 1 1 1 Ф = т~1) УИ(1) ~1 Щ(1) ~ Х Щ(~ ) ~ Щ(Э) Щ(1 — 1) ~ Щ(') — 1 ~~ т~'~ &g ; с) 1 ,.И(~) + ~ т + т&lt п&g ; т lt п — & 1~ Х Ю Х (6.66) Здесь и — заданное число уровней ступенчатого управления, т„' ', ..., т„'~' — высоты уровней, т,'", ..., т,'7' " — моменты смены уровней. Найдем 2п — 1 неизвестных т„'1), ..., т(~); т(", ..., т,'~ 1' из условия обраще- ния в максимум функции Ф; после дифференцирования выражения (6.66) получим т"' = >~т&l ;'+1 gt; т< & t; и &g ; (> 1, . . и Ђ” т~'~1& t; =1~т,"+»т '> (&gt = , . ., (6.67) т~1& t = 1~ '» Ђ” т' Х Ю Ю В верхней строчке (6.67) выписаны две группы уравнений, отвеча>о их усло максимума Ф по т,''&g ;. Во вто ом слу ае (т~"' ' gt; = т„" ) все и у овней ступен управления т„имеют равную высоту; это соответствует аппроксимации оптимального закона (6.55). Укажем способ решения полученной системы алгебраических уравнений. Вели- чины т,'') и т,"+') связаны следующим рекуррентным соотношением: (т~~>) + = (т~'+& t &g ; ' (&g ; = 2 .. , и †
СБРАСЫВАЕМЫЕ СЕКЦИИ ДВИГАТЕЛЯ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО что легко проверяется методом полной индукции (см. (6.67)). Величина т,'"' опреде- ляется из уравнения (т~п1)~~+1 (~ ~/т<п (6.69) Вычислив т~"' при заданном значении т из (6.69) и, найдя последовательно все т~п 1&g ;, . ., т~ ' а по и и т "' из (6.6 ), мо но определ т Ф по 6. 6 Результат проведения тдкой процедуры представлен на рис. 0.9, а дл» случая п= 2. Аналогичным образом может быть решена задача, когда требуется, чтобы двигатель состоял из равновеликих секций. Для этого случая в (6.66) нужно выбирать оптимальным только один уровень т„'", остальные уровни определи~ется по формуле ~ — 1 т") = т(1) 1 — или т'~' = т'1). Х Х П Х Х (6.70) т.,дт, )2 2 й Н1 Ф (1) 1 — ти. О (6.71) (в левый интеграл подставляется оптимальная программа т„(т,)). Эти программы были явно выражены через аргумент Ф (~) в (6.32) — (6.34). ~ 3. Использование сбрасываемых секций двигателя в качестве рабочего вещества 1. Постановка задачи. При рассмотрении оптимальных законов изме- нении массы двигателя в предыдущих двух параграфах считалось, что сбра- сываемые секции отделяются от аппарата с нулевой скоростью и не сообщают дополнительного импульса (пассивный сброс). Если предназначенные для сброса секции двигателя превращать в рабочее вещество и сбрасывать со скоростью реактивной струи (активный сброс), то можно получить дополни- тельный выигрыш. Такая идея использования ненужных элементов кон- струкции была высказана Ф. А. Цандером [6.27]. Поставим задачу об оптимальном использовании сбрасываемых секций двигателя [6.22, 6.28]. Будем считать, что не вся масса сбрасываемых секций может превращаться в рабочее вещество, а только часть ее (О ( х,„= сопзь (1) (6.72) (параметр х,„предполагается заданным). Таким образом, часть расхода д„)~ 0 (см. (6.40)), равная (1 — х)д„, не используется и покидает аппарат с нулевой скоростью. Остальная часть хд„, превращенная в рабочее вещество, направляется в движитель. Суммарный расход через движитель д будет складываться из расхода хд„и расхода запаса рабочего вещества д ) 0: Д = Д„.+'Д,. (6.73) Эта схема использования сбрасываемых секций двигателя относится к предельному случаю непрерывного сброса. Ступенчатый сброс описы- вается в последнем пункте параграфа. Выберем в качестве независимых управляющих функций безразмерную мощность (6.38), расходы д„, д„и коэффициент превращения массы двигателя в рабочее вещество х. Характеристики двигательной системы, как и раньше, считаются идеальными и записываются в форме (6.1). Вариационную задачу, аналогично предыдущему параграфу, сформулируем как задачу Майера (4.8). В заключение параграфа укажем, что предельная оптимальная программа (6.64), а также соответствующая ей ступенчатая оптимальная программа, построенные по аргу- менту т„могут быть записаны через аргумент ~, если известен закон изменения реактив- ного ускорения а (~). Связь между переменными т, и ~ имеет вид 
156 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ~ГЛ. 6 Для этого присоединим к системе (4.8) уравнение (6.40) и перепишем ее в терминах перечисленных выше управлений: т. (Т) = шах, т„(Т).- О, г (Т) = г„ т. (О) + +т„(0) =1, г (О) =г„ пг,= — д, пг,, = — д„, г=ч, (6.74) ~(2/а) т.„К (д„+ хд„) е+ ~, ~ (О) = т„ (~е(~) ~=1, 0~(Ж(~) &lt 1, 0&l ;х ~) <х , „(~)) , „ т(Т) =т, (все массы и расходы отнесены к начальной массе аппарата, мощность— к максимально возможной в данный момент). Нужно выбрать оптимальное начальное значение массы т и построить оптимальные программы для управлений е (1), У (1), х (1), д„(1), д (1) (кон- структивные параметры а, х„„„и динамический маневр (г„т„г„т„Т) заданы). Максимизируемый функционал — конечное значение фазовой коор- динаты т., совпадающее по определению (см. (4. 7)) с полезной массой. 2. Состав оптимального управления. Для отыскания оптимальных программ управления воспользуемся методом Л. С. Понтрягина. Согласно принципу максимума на оптимальной траектории гамильтонова функция Х! = — р.д,— р.ч,+р, у+р, и+ +р, ° е У (2/а) т„Я(д„+хд„) (т,+т„) ', дП дИ дН (6.75) дЫ Р дт о' р Р =— дт.„' " дг ' ' дч (6.76) х (~) = х,„при 0 ( 1 ( Т. Для отыскания управлений д,„и д„запишем с учетом полученных оптимальных соотношений (6.46), (6.47), (6.76) часть функции Н, зависящую от этих управлений 1): Л = — р д„— рд„— р„~(2/а) т„(д„+ хд„) (т + т„) (6.77) и уравнения для импульсов р, и р„.' р, = — р, 1~(2(а) т„(д + хд„) (т, + т„) 1 р„= 2 р. (1 — т./т„). (6.78) Из условия минимума (6.77) следует, что если один или оба импульса р„р„больше нуля либо равны нулю, то оптимальное значение одного или обоих расходов обращается в бесконечность. ') Здесь и в дальнейшем под х без индекса подразумевается максимальное зна- чение ~шд~, должна иметь абсолютный минимум по переменным е, У, х, д„и д„под- чиненным ограничениям из (6.74). Программа для направления вектора тяги, как и в $ 2, дается соотно- шением (6.47), поскольку перед скалярным произведением р„е в функции Н стоит неотрицательный коэффициент. Из анализа функции Н с учетом условия (6.47) следует оптимальность полного использования мощности (6.46). Аналогичным образом приходим к физически очевидному выводу: доля расхода д„, превращаемая в рабочее вещество, должна быть максимально возможной: 
157 СБРАСЫВАЕМЫЕ СЕКЦИИ ДВИГАТЕЛЯ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО Рассмотрим теперь случай р.~О, р„&lt (6.79) Выразим функцию (6.77) через суммарный расход (6.73) и расход д„: Ж = — р,д — р, (2/а) тд (т, + т„) 1 — (р„— хр,) д„(д ) О, 0 ( д„( д/х). (6.80) Отсюда видно, что оптимальное распределение суммарного расхода д между со- ставляющими д„и д = д — кд„определяется знаком комбинации Ь = р„— кр,. (6.81) В самом деле, если о(0, то минимум Ж по д„достигается при д„=о, т. е. при а„=д, а если а) О, то — прн д„=д/х, т. е. при д„=о. В случае 1=0 функция М не зависит от каждого из расходов д и д„по отдельности, а определяется суммарным расходом д. В этом смысле его можно считать особым. Таким образом, в каждом из трех возможных случаев функция Ж зависит только от одного из расходов др, д„или д, подчиненных лишь условию неотрицательности: М = — р,д„— р„~/(2/а) т.,д„(т,+ т„) 1 при Л(0 (д„=о), Ях = — р„д„— р„~/(2/а) т„хд„(т + т„) 1 при Ь ) 0 (д„= 0), Жз — — р,д — р„~/(2/а) т„д (т,+ т.„) 1 при 1=0. (6.82) Из условий стационарности дЯ,/дд„= — 0 и дЯЯдд„= О, которые здесь соответствуют условию абсолютного минимума, определяем оптимальные управления д„и д„при Ь+ 0: в первом случае ПгхР"-, А 2р'; (т, + т,)х а ' (6.83) д,„=О во втором случае 2 хшу р ~„=О, ~„=2 (6.84) При Ь =0 из условия дЯ'з/дд =О следует: 2 тп.,р, ~~+ х" 2р," (т, + т„)х а (6.85) (Ь = 0). Когда Л обращается в нуль не в изолировапных точках, а па некотором конечном отрезке времени (именно такой случай будет особым), то производная Ь также равна нулю на этом отрезке: 1- т, Ь= — р, 1 — 2к — — ' =О 2 (6.86) (зто уравнение получено из (6.81) и (6.78)). Из (6. 86) следует либо р',= О, либо (1 — 2х — т,/т„) =О. Рассмотрим первую нозможность. Из (6.78) с помощь1о (6.85) исключаем (д„+ хд„): 2 р и(т,+т )~ р (6.87) (6.88) может быть равен нулю или в изолированных точках, или тождественно вдоль всей траек- тории. Последний случай вырожденный, так как он соответствует пассивному движе- нию д =д„=о (см. (6.83) — (6.85) при р„=о). Правая часть (6.87), за исключением изолированных точек, отрицательна. В самом деле, масса двигателя т„может обратиться в нуль только при ~= Т; импульс р„как это следует из уравнений (6.75): 
158 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ Таким образом, первая возможность р'.=0 отпадает, остается 1 — 2с — т./т„= О. (6.89) Это выражение означает пропорциональное изменение массы двигателя и запаса рабочего вещества (ср. (6.49)). Совместно с соотношением (6.85) оно дает условие, определяющее оптимальные управления д„и д, в особом случае: д =(1 — 2с) д„= 2(1 — х) р" (т +т)2а (6.90) Нетрудно видеть, что соотношения (6.89), (6.90) имеют смысл при х ( 0,5 и т, ( 0,5 (в противном случае 1 — 2х ( 0 или т,/т„) 1). 3. Чередование оптимальных программ для расходов. Выше было установлено, что характер оптимальных законов измопения расходов д и д, зависит от знаков импуль- сов р„р., и комбинации Л. В начальный момент времени (с=О), согласно условию трапсверсальности, вектор импульсов (р„р„) долхсон быть направлен по нормали к прямой т, (0)+т„(0)=1 (см. (6.74)), т. е. р. (О) = р„ (О). (6.91) В конечный момент времени (1= Т), согласно нормировке, (6.92) т.„(Т) =0 или р„(Т) =0 (6.93) (зти два равенства могут выполняться одновременно, если дт, (Т)/дт„(Т) =0 при т„(Т) =0). Начальное значение (6.91) импульсов р„р„долхсно быть строго меньше нуля. В противном случае, как следует из условия минимума (6.77), д = со и д„=со. Это соот- ветствует сбросу копечной части запаса рабочего вещества Лт и двигательпоп системы Лт„за бесконечно малое время Л~: Ьт Д Ьт., при ~~ — эО. д с1$ = Лт ( со, д„с1$ = Лт„( со, О О Интеграл от реактивного ускорения по интервалу (О, Л1) получится также бесконечно малым: Ы ~ 2~у Ир. + '.~7 ) ~(2(а) т (0) аЖ= Й & т ~т„ т $~д + хд„ссс О ~(2/а) т., (0) Лтр + х Лт.„ ~1 — э О при М вЂ” э О. т„ Все это озпачает, что начальпые соотпошения масс выбраны не оптимально. Можно получить также ограничение на (6.91) снизу. Производная (6.78) импульса р, всюду отрицательна, а конечное ого зпачение равно минус единице, поэтому — 1 - р. (О) = р„ (О) & t; (6.94) Таким образом, импульс р, отрицателен во все время движения (р, (0) ( О, р, (1) ( 0). То же самое можно сказать и об импульсе р„(за исключением конечного мо- мента времени, когда р„(Т) может обращаться в нуль — см. (6.93)). В окрестности на- (поскольку импульс р, соответствует фазовой координате т„конечное значение которой максимизируотся). Что касается конечного значепия импульса р„, то тут возможны два варианта. Первыи: конечное значение фазовой координаты т„в оптимальном случае выходит на границу т„(Т)=0 (см. (6.74)), тогда значение р„(Т) не определено. Второп: оптимальное значение т„(Т) ) 0; тогда величину т„(Т) можно считать не заданной и по условию трансворсальности р„(Т)=0. Таким образом, получаем условие 
159 СБРАСЫВАЕМЫЕ СЕКЦИИ ДВИГАТЕЛЯ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО Рис. 6.11. Первый возможный вариант по- ведения функции ь (1) и соответствующий ей оптимальный закон изменения массы двига- теля (О ~ х & t; Рис. 6.12. Второй возможный вариант пове- дения функции ь (1) и соответствующий ей оптимальный закон изменения массы двига- теля (О & t; 7 &lt , , 0 < в этом случае, какой из оптимальных законов (6.83), (6.84), (6.90) управления расходами будет иметь место. Сначала рассмотрим случай О ( х ( 1. Из оптимального граничного условия для импульсов (6.94) следует, что начальное значение функции Л отрицательно: (6.95) Конечное значение функции Л должно быть положительным: Л (Т) = р„(Т) — ар, (Т) ) О, (6.96) поскольку, согласно условию (6.93), либо р.„ (Т)=0, либо т„ (Т)=0. В первом случае справедливость неравенства (6.96) сразу следует из (6.92): Л (Т)= — хр, (Т)=к. Во вто- ром случае это следует из (6.84), так как в окрестности конечного момента времени масса т„должна убывать до пуля. Последнее возможно только при одном оптимальном управлении (6.84), которое реализуется при Л 0 (т, (~)=сопвС при Л ( 0 и т„(~)= =т, (~)/($ — 2х) при Л=О (см. (6.83), (6.89), (6.90)). Исследуем функцию Л внутри интервала [О, Т1. Ее производная определяется вы- ражением (6.86). Первый сомпожитель этого выражения '/,р', всюду отрицателен. Следо- вательно, характер функции Л будет определяться вторым сомножителем: (6.97) ][ = 1 — 2х — т,~т„. В начале движения функция Л отрицательна (см. (6.95)), поэтому изменение массы происходит по закону (6.83). Согласно (6.83) масса т„остается постоянной, а т, убы- вает, т. е. )( вдоль (6.83) возрастает. Если предположить, что Ь (0) ( О, то конечное зна- чение Л (Т) окажется отрицательным, ибо Л (0) & t Ь ~ 0 (вследст ие возрас ния у). Отрицательность же Л (Т) противоречит условию (6.96). чальной точки ~=0 импульс р., отрицателен. Предположим, что через некоторое время (О ( ~„( Т) оп обращается в нуль; тогда производная р„(~„— 0) ) 0 и в силу (6.78) т, (~,.— 0) ) т„(~„— 0). Справа от точки ~=~„последнее неравенство только усилится, так как д„=О, О.,=с0 при р, ( О, р„=О. Значит, производная р'„будет оставаться поло- жительный при переходе через точку ~=~„и р„(~) ) 0 при ~ ) 1„. Выполнение послед- него неравепства на конечном интервале времени приведет к обращению в нуль массы двигателя (Ч„=со прир., ) 0). Последнее возможнотолькоприй=Т. Итак, показапо, что па всем интервале времени О ~ й ( Т выполняются неравен- ства (6.79). Остается исследовать поведение комбинации (6.8$), знак которой определяет 
160 [ГЛ. 6 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ Таким образом, производная функции Л в начале движения положительна. Рас- смотрим все возможные комбинации, которые могут иметь место внутри интервала [О, Т1. 1'. Производная Ь (~) всюду остается положительной. Тогда Л (~) в некоторый мо- мент времени ~=8„пересечет ось ~ (так как Л (0) & t; О Л Т &g ; ). На ервом вале 0 & t & t; ~, будет иметь место упра ление ( .83), со ласно ко орому т„(~ а на втором Ф„& t lt; Т вЂ” упра ление ( .84), вдоль ко ор го т, 1)=т (1„) ( ис. причем т, (~„)=т„, так как по условию (4.7) т, (Т)=т . 2'. Производная Ь (~) сначала положительна, затем обращается в нуль одновре- менно с самой функцией (Ь (~„)=Л (~„)=0). В интервале 0 & t < ~„изм нение происходит по закону (6.83). При ~=~„он сменяется на (6.89). Согласно (6.89) массы т, и т„меняются пропорционально, так что у и Ь остаются равными нулю. В некоторый момент времени ~=~ будет израсходован весь запас рабочего вещества т, (~ )=т,. 1 1 ! 1 ! Рис. 6.15. Второй возможный вариант поведения функции Ь (1) при ~=0 и соответствую- щий ей оптимальный закон изме- нения массы двигателя. Рис. 6.14. Первый возмо>к вариант поведения функции Ь (1) при 7~= О и соответствующий ей оптимальный закон измене- ния массы двигателя. Рис. 6.13. Поведение функции ь (1) при ~ =1 и соответствую- щий ей оптимальный закон из- менения массы двигателя. После этого может меняться только масса пг„. Комбинация;~ с уменыпением т, спова станет отрицательной, а производная ~ — положительной. Функция Л перейдет в поло- жительную область, и управление массой будет осуществляться по закону (6.84) (рис. 6 12). 3'. Производная Ь (й) обращается в нуль при Л (~) & t; О В обла т lt; 0 масс меняются по закону (6.83), согласно которому т возрастает. Поэтому после обращения в нуль производная Л станет отрицательной и функция Л никогда пе попадет в область Л ) О, что противоречит условию (6.96). 4'. Производная Ь (~) обращается в нуль при Л (~) ) О. Эта возможность также отпадает, так как в области Л & t 0 функ и у дол на убыв ть согла но (6. 4 и (6.9 а чтобы функция Л при некотором ~=~„попала в положительную область, необходимо Ь (~„) ) О. Поэтому в области Л ) 0 производная Ь остается положительной, что опро- вергает начальное предположение. Таким образом, последние два варианта, 3' и 4', отпадают. Изучим теперь поведение функции Л для крайних значений параметра х. х=1 и к=О. При к=1 начальное значение функции Л равно нулю (см. (6.95)), а ее производная всюду положительна (см. (6.86)). Поэтому все последующие значения Л лежат в положи- тельной области и в процессе движения меняется только масса двигателя т„по закону (6.84). Прп этом масса т, (~)=т, (Т)=т„, т. е. запас рабочего вещества отсутствует (рис. 6.13). В случае У=О, рассмотренном в предыдущем параграфе, функция Л не может по- пасть в положительную область, так как при х=О управление (6.84) не имеет смысла. Поэтому функция Л либо всюду отрицательна (за исключением, быть может, ~= Т), и 
СБРАСЫВАЕМЫЕ СЕКЦИИ ДВИГАТЕЛЯ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО тогда т„(~)= т„, (рис. 6Л4), либо сначала отрицательна, а затеи обращается в нуль при ~=~„( Т. Тогда производная Ь (~„) также обращается в нуль и до конца движения оста- ется равной нулю. На первом участке О ~ & t; ~„измене ие ма сы происхо ит по зак (6.83), на втором й„& t lt; Т Ђ” по акону 6.89) (рис. 6Л5). Ост льные возмо исключаются аналогично тому, как было сделано при О ( к ( $. 4. Разделение задачи на параметрическую и динамическую. Перейдем от расходов д„и д„к новой управляющей функции а — реактивному ускоре- нию (см. (6.74)): а = г' (2/а) т„Я (д„+ «д„) (т. + т„) '. (6.98) Тогда два векторных уравнения (6.74), определяющих траекторию дви- жения, не будут содержать массы: г=т, т=ае+~, а уравнения (6.74), опи- сывающие изменение масс ж„и ж„для каждого из оптимальных управле- ний (6.83), (6.90), (6.84) будут выражаться через массы и квадрат реактив- ного ускорения (безразмерная мощность Х на оптимальной траектории равна единице): при Л(~) (О (ггг + т.,)2 а т = ' а"-, т„(1) = с.ог1з(„ Х (6.99) при Ь(1) =О и. = — 4 ('1 — «) т.—,а', («(0,5; т, (О,г); (6.100) при Ь(~))0 (т, + пг.,)2 а 6: ът„2 т (1) = сопз(„пг„= (6.101) Х1 т.,Ыт„ (т + т.„г (6.102) — т ХО (та + ггг о) 1 — ю ХО ~хо для случая (6.99)+(6.100)+(6.101) (1 — 2х) т „ ИХ Х1 Йт, т, т,дтх (т, + т„)2 тп ~/(1 — ~х) — т ХО (т, + т„о)' 4 (1 — «) Х ХО (1 — 2Х) Гг1 ХЮ (6.103) Здесь, как и в двух предыдущих параграфах, (6.104) После вычисления интегралов, содержащихся в левых частях ра- венств (6.102) и (6.103), устанавливается конечная связь между полезной нагрузкой т, начальным и конечным значениями массы двигателя т„, па- раметром гг и величиной функционала Ф: Механика полета предыдущем пункте было показано, что при 0 ( «( 1 возможны два решения: первое состоит из последовательно состыкованных участ- ков (6.99) и (6.101), второе — из участков (6.99), (6.100), (6.101). Переменные в каждом из дифференциальных уравнений (6.99) — (6.101) разделяются. Квадратуры с учетом непрерывности фазовых координат т, и т„, начального и,,+т„,=1 и конечного т.,=т, условий имеют вид: для случая (6.99)+(6.101) 
162 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТ И для случая (6.99)+(6.101) (1 — - х) т„т О+ т а!И ,т„о+ т т„1+ т (6.105) для случая (6.99)+(6.100)+(6.101) 1 (1 — 2х) т.,о хз 4(1 — х) т (1 — 2х) (т„+ т„) ут„ 2(1 — х) и, т„+т„ (6.106) т„„= '/,;,с — т. + ~/1/,г.'-'+ (1 — х) т., т„, = 0; (6.107) ;(1н случая (6.99) + (6.100)+ (6.101) 1 4(1 — х) ' (6.108) Сравнение выражений (6.105) и (6.106), в которые подставлены опти- мальные значения (6.107) и (6.108) масс т„„т„„позволяет установить точ- ные границы реализации каждого типа решений. Решение (6.99)+(6.101) имеет место в диапазонах (1 — 2х)/4 (1 — х) ( т, ( 1, 0 ( х ( О, 5, и 0(т,(1, 0,5(х(1, (6.109) а решение (6.99) +(6.100) + (6.101) — в диапазоне 0 ( т, (~ (1 — 2х)/4 (1 — х), 0 ( х ( 0 5. (6.110) Области (6.109) и (6.110) показаны на рис. 6.16. Штриховкой выделена об- ласть (6.110). Для х=1 во всем диапазоне О ( т, ( 1 изменение массы про- исходит по уравнению (6.101), а т„, и т„1 определяются формулами (6.107). При х=О в интервале 0,25 ( т, ( 1 реализуется решение (6.99): т„(1) = ~/т, — т., ') Зависимости (6 105), (6 106) разрешены относительно Ф, поэтому задачу о макси- муме полезной нагрузки т, при фиксированном Ф здесь удобно заменить эквивалентной задачей о максимуме Ф при фиксированной величине т,. Зависимости Ф от т„определенные формулами (6.105) и (6.106), моно- тонно убывающие (дФ/дт, ( О). Это позволяет, как и в Я 1, 2, разделить задачу на независимые параметрическую и динамическую части. Динами- ческая часть задачи по-прежнему состоит в построении оптимальной про- граммы вектора реактивного ускорения и формулируется в виде (6.11). Параметрическая часть задачи после проведенной процедуры сводится к определению начального т„, и конечного т,1 значений массы двигателя, обеспечивающих максимум функции Ф (6.105), (6.106) при фиксированном значении полезной нагрузки '), и к установлению границ реализации реше- ний (6.105), (6.106). Аналогичные рассуждения можно провести и для предельных значений параметра х. Только при х=1 нужно брать один участок (6.101), а при х=Π— либо очин участок (6.99), либо два участка (6.99) и (6.100). э. Решение параметрической части задачи. Из рассмотрения частных производных дФ/дт,„1~ дФ/От„находим оптимальные величины т„„и т„,: для случая (ИЯ()) + (6.101) 
163 СБРАСЫВАЕЪ|ЫЕ СЕКЦИИ ДВИГАТЕЛЯ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО 0,? Р~ Рб Рд т,. д Р3 Р4 Рб Р8 п~~ Рис. 6.16. Области реализации различных Рис. 6.17. Оптимальная начальная масса типов решепий. двигателя. неизменной массы двигателя, рассмотренному в ~ 1. Видно, что оптимальные соотношения масс в случае использования сбрасываемых секций двигателя в качестве рабочего вещества (х ) О, активный сброс) сдвигаются в сторону увеличения начальной массы двигателя за счет запаса рабочего вещества. Суммируем полученные результаты. Оптимальный закон изменения массы двигателя и запаса рабочего вещества описывается следующими соот- ношениями: для случаев 0 ( х '. 0,5, (1 — 2х) /4 (1 — х) (