Text
                    <гР	о*
X У У
-U	ЛУ
*	<v
<;	о
dax *
* ж
.<Х 0Л
«.	<5>*
# *«■
eV ^ -ч ♦
<Cv (v \
^ \^>>>
XX XxV ХУ X+*
XVX XVV ееХ *'X
># ^ >>. *в У УУУУ
Г 50	#	Л	<&
У У У У
У Л* л 3
S* *° £
«?* °л л* ж л?
У У
/	'	У	УУ\
У У У ь*кЛ .*
<г*	^	л,	.	J
? XX XV ^
X «ч ^
> X
У
. w\
X „	*	*[Л	О	X
*	&3*	>\
Лч X v£
X <$ д*
? .X О* Qs
а
»* .0 * . *
Л. ГРОЛЗОВСКИ
Ю.Н. ИВАНОВ
В. В. ТОКАРЕВ
И
В книге систематизированно из¬
лагается механика космического
полета. Предметом этого раздела
механики является совместное ре¬
шение проблем выбора оптималь¬
ных весовых параметров космиче¬
ского аппарата, оптимального уп¬
равления его двигательной систе¬
мой и определение оптимальных
траекторий полета.
Название книги отражает совре¬
менное состояние механики косми¬
ческого полета, которая получила
наибольшее развитие примени¬
тельно к двигательным системам
«малой тяги» — развивающим тягу,
меньшую веса аппарата (плазмен¬
ные и ионные двигатели, солнеч¬
ный парус и др.). Для этих систем
вследствие большого веса двига¬
тельной установки оптимизация
параметров двигателя совместно
с выбором оптимальных управле¬
ний и траекторий полета особен¬
но существенна.
Книга рассчитана на научных ра¬
ботников, инженеров, аспирантов
и студентов старших курсов. У чита¬
теля предполагается знание основ
вариационного исчисления, однако
книга позволяет пользоваться
главными результатами, опуская
разделы, посвященные вариаци¬
онному анализу.


Г. Л. ГРОДЗОВСКИЙ ю. Н. ИВАНОВ В. В. ТОКАРЕВ МЕХАНИКА КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ м ° С К В А 1966
6Т5.2 Г 86 УДК 629.195 2-6-5 179—66
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение . . И 13 ЧАСТЬ I ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Г л а в jl 1 Основные параметры и состав космических двигательных систем § 1. Основные параметры космических двигательных систем § 2. Состав космических двигательных систем § 3. Условия космического полета . . . . . 21 23 25 1. Гравитационные поля (25). 2. Параметры окружающей среды (30). 3. Ме¬ теорные потоки (33). Глава 2 Физические принципы элементов космических двигательных систем § 1. Реактивные движители 3Q 1. Реактивная тяга и внешнее сопротивление (36). 2. Реактивные сопла. Дви¬ жители ЖРД (37). 3. Высокотемпературные тепловые реактивные движители (47). 4. Электродинамические и электростатические реактивные движители (53). 5. Солнечный парус (70). 6. Изотопный парус (73). § 2. Энергоустановки космических летательных аппаратов 1. Источники энергии (76). 2. Системы преобразования энергии (83). 3. Акку¬ муляторы энергии (90). 4. Системы подачи и хранения рабочего тела (92). 5. Энергоустановки с забором рабочего тела из внешней среды (93). 6. Внешнее сопротивление двигательной установки при полете в атмосфере (98). § 3. Теплоотвод от космических энергоустановок 104 1. Радиационные системы отвода-энергии (104). 2. Система отвода энергии с пло¬ ским оребренным трубчатым радиатором (107). 3. Система отвода энергии со звездообразно оребренным трубчатым радиатором (114). 4. Система отвода энер¬ гии с ленточным радиатором (116). 5. Весовые характеристики космических энергоустановок — источников мощности (119).
4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 3 Обобщенные параметры космических двигательных систем § 1. Двигательные системы с ограниченной скоростью истечения реактивной струи § 2. Двигательные системы ограниченной мощности § 3. Двигательные системы с ограниченной тягой (парусные системы) ЧАСТЬ II ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ Глава 4 Идеальный двигатель ограниченной мощности — разделение вариационной задачи, оптимальные весовые соотношения § 1. Оптимальные весовые соотношения при постоянном и ступенчато изменяемом весе двигателя 1. Разделение задачи, управление мощностью (134). 2. Оптимальные весовые соотношения (136). 3. Ступенчатое изменение веса двигателя (а139). § 2. Оптимальная программа изменения веса двигателя 1. Формулировка задачи (142). 2. Разделение вариационной задачи (144). 3. Решение весовой части вариационной проблемы (146). 4. Ступенчатая аппро¬ ксимация оптимального управления весом двигателя (149). § 3. Использование сбрасываемых секций двигателя в качестве рабо¬ чего вещества 1. Постановка задачи (151). 2. Состав оптимального управления (152). 3. Чере¬ дование оптимальных программ для расходов (155). 4. Разделение задачи на весовую и динамическую (159). 5. Решение весовой части задачи (161). 6. Ступенчатое уменьшение веса двигателя (165). Глава 5 Идеальный двигатель ограниченной мощности — оптимальные программы реактивного ускорения § 1. Уравнения экстремалей и их свойства 1. Уравнения экстремалей, общий случай (169). 2. Первые интегралы уравне¬ ний экстремалей для пространственного движения в центральном поле (169). 3. Уравнения экстремалей — плоское движение в центральном поле (170). 4. Свойства уравнений (5.13) (171). 5. Особая точка уравнений (5.13) (172). 6. Интегрирование в окрестности особой точки (173). 7. Связь параметров начала и конца траектории (174). 8. Уравнения экстремалей — плоское движение в поле двух центров (175). 9. Аналитические решения — плоскопараллельное поле (175). 10. Аналитические решения, однородное центральное поле (177). И. Аналити¬ ческое решение, центральное поле (178). § 2. Оптимальный межпланетный перелет с идеальным двигателем ограниченной мощности 1. Набор нулевой энергии (179). 2. Набор нулевой энергии — численные резуль¬ таты (181). 3. Набор нулевой энергии — аналитическое решение (184). 4. Меж-
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 орбитальный перелет (186), 5, Решение краевой задачи (5.48) — метод транс¬ портирующей траектории (188). 6. Решение краевой задачи (5.48)—численные результаты (192). 7. Межпланетный перелет с возвращением (202). § 3. Оптимальные маневры управляемых спутников с идеальным двигателем ограниченной мощности 211 1. Поворот плоскости круговой орбиты (211). 2. Переход между компланар¬ ными круговыми орбитами (213). 3. Переход между некомпланариыми кру¬ говыми орбитами разных радиусов (217). § 4. Параметры аппарата с идеальным двигателем ограниченной мощ¬ ности 221 1. Расчетные формулы (221). 2. Оптимальные параметры межпланетных аппа¬ ратов (222). 3. Оптимальные параметры управляемых спутников (227). Глава 6 Нерегулируемые двигатели — разделение вариационной задачи, оптимальные программы вектора тяги § 1. Разделение вариационной проблемы на весовую и динамическую части 230 1. Формулировка з!дачи (23)). 2. В лд?лэ шз дя пмической чазгл задач л (231). § 2. Уравнения для оптимальной программы вектора тяги. Модельные задачи 233 1. Произвольное гравитационное поле (233). 2. Центральное поле (234). 3. Плоскопараллелыюе поле (236). 4. Набор модуля скорости в бессиловом поле (236). 5. Перемещение между точками покоя в бессиловом поле (237). § 3. Оптимальный межпланетный перелет с нерегулируемыми дви¬ гателями 240 1. Набор нулевой энергии (241). 2. Межорбитальный перелет (244). 3. Межпланет¬ ный перелет с возвращением (247). § 4. Оптимальные маневры управляемых спутников с нерегулируе¬ мыми двигателями 254 1. Удержание спутника в заданном шаровом слое (254). 2. Поворот плоскости круговой орбиты (258). § 5. Параметры аппарата с нерегулируемым двигателем ограниченной мощности 262 1. Расчетные формулы (262). 2. Набор модуля скорости (265). 3. Перемещение между точками покоя (266). 4. Межпланетный перелет Земля — Марс (267). 5. Удержание спутника в заданном щаровом слое (269). 6. Поворот плоскости круговой орбиты (270). Глава 7 Реальные двигатели ограниченной мощности § 1. Дополнительные весовые компоненты 273 1. Учет веса баков (273). 2. Учет веса движителя (276).
6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 2. Заданное время работы двигателя 280 1. Общая методика (281). 2. Применение общей методики к изучаемой проблеме (283). 3. Маневры в бессиловом поле (284). 4. Поворот плоскости круговой орбиты (285). 5. Межорбитальный перелет (287). 1. Общая методика (291). 2. Примеры ступенчатой аппроксимации программы реактивного ускорения (295). 3. Формулировка задачи аппроксимации программы тяги с учетом веса движителей (331). 4. Ступенчатая программа тяги с опти¬ мальным числом уровней для межорбитального перелета (304). § 4. Реальные регулировочная и весовая характеристики 309 1. Характеристики двигателя с электростатическим движителем (309). 2. Оп¬ тимальные программы регулирования реальных двигателей (310). 3. Оптималь¬ ные параметры нерегулируемых реальных двигателей (314). Глава 8 Двигатели ограниченной скорости истечения. Оптимальное сочетание двигателей ограниченной скорости истечения и ограниченной мощности § 1. Особенности характеристик и оптимальных режимов работы двигателей ограниченной скорости истечения 318 1. Характеристики двигателей ограниченной скорости истечения (318). 2. Осо¬ бенности оптимальных режимов работы идеальных двигателей ограниченной скорости истечения (318). 3. Учёт веса двигателя (321). § 2. Оптимальные условия сочетания двигателей ограниченной ско¬ рости истечения и ограниченной мощности 328 1. Общие оптимальные условия сочетания (328). 2. Оптимальные условия со¬ четания нерегулируемых двигателей (330). 3. Оптимальные условия сочетания идеальных двигателей (334). § 3. Области применения двигателей ограниченной мощности . . . 343 1. Набор параболической скорости (344). 2. Перелет между круговыми орбитами (345). 3. Межпланетный перелет Q возвращением (347). 4. Замечания (348). Глава 9 Двигательные системы с накоплением энергии и массы. Двигатели, тяга и мощность которых зависят от координат и времени § 1. Двигатели ограниченной мощности с аккумулятором энергии — 1. Регулировочная и весовая характеристики (350). 2. Формулировка вариа¬ ционной проблемы. Состав оптимального управления (351) 3. Идеально регули¬ руемая двигательная система (355). 4. Маневры перемещения между точками покоя и поворота плоскости круговой орбиты (360). § 2. Двигатели ограниченной мощности с аккумулятором энергии — дополнительные ограничения на регулировочную характеристику движителя 363 1. Нерегулируемый движитель (364). 2. Движитель ограниченной мощности (368). 3. Движитель постоянной мощности (370). 4. Движитель с ограниченной тягой i § 3. Оптимальная ступенчатая программа тяги 291 идеальный случай . 349
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 (377). 5. Движитель ограниченной скорости истечения (380). 6. Движитель с ограниченным временем работы (383). § 3. Двигательные системы с накоплением атмосферного газа . . • 384 1. Характеристики двигательной установки с накопителем рабочего вещества (385), 2. Накопление в стационарном режиме(387). 3. Накопление в нестационарном ре¬ жиме (389). 4. Внеатмосферный маневр аппарата-накопителя с двигателем огра¬ ниченной мощности (398). 5. Внеатмосферный маневр аппарата с двигателем ограниченной скорости истечения при использовании накопления (406). § 4. Солнечный парус 410 1. Постановка задачи оптимизации полета с солнечным парусом (410). 2. Пе¬ релет космического аппарата с солнечным парусом между орбитами планет (411). 3. Выход космического аппарата с солнечным парусом из сферы притяжения планеты (416). § 5. Изотопный парус 419 1. Основные характеристики изотопного паруса и формулировка вариационной задачи (419). 2. Состав оптимального управления (420). 3. Модельная задача (420). § 6. Двигатель с солнечным источником энергии 421 1. Формулировка задачи оптимизации (422). 2. Оптимальные весовые соотноше¬ ния и расчетное расстояние до Солнца (423). 3. Уравнения оптимальной траекто¬ рии (426). 4. Приближенный метод построения оптимальной траектории (427). 5. Расчет межорбитального перелета с помощью транспортирующей траектории (429). § 7. Двигатель с изотопным источником энергии 431 1. Характеристики двигателя и формулировка вариационной задачи (431). 2. Набор модуля скорости (432). 3. Перемещение между точками покоя (434). Глава 10 Модификации критерия оптимальности § 1. Минимизация стоимости выполнения маневра 436 1. Формула стоимости (436). 2. Критерий оптимальности (437). 3. Форму лировка вариационной задачи (437). 4. Идеальный двигатель ограниченной мощности (438). § 2. Двигательная система, универсальная для заданного класса маневров 440 1. Общая постановка задачи (440). 2. Критерий оптимальности (442). 3. Фор¬ мулировка задачи для заданного числа типов систем (443). 4. Формулировка задачи об универсальной секции (444). 5. Идеальный двигатель ограниченной мощности (445). § 3. Игровой подход к задаче выбора оптимальных параметров двига¬ тельной системы 451 1. Постановка задачи (451). 2. Платежная функция (454). 3. Цена игры. Оптимальные стратегии Конструктора и Природы (457). § 4. Запас рабочего вещества, оптимальный для заданного маневра при фиксированных параметрах двигателя • • • .'462 1. Формулировка вариационной проблемы (462). 2. Идеальные двигатели ог¬ раниченной мощности и ограниченной скорости истечения (463). 3. Нерегули¬ руемые двигатели (466).
8 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава И Вопросы надежности в задачах оптимизации § 1. Оптимальное управление при заданной вероятности успешного выполнения маневра 470 1. Формулировка вариационной проблемы (470). 2. Двигатель ограниченной мощности (473). 3. Двигатель ограниченной скорости истечения (483). § 2. Секционированный двигатель ограниченной мощности — форму¬ лировка и уравнения вариационной проблемы 486 1. Ожидаемые моменты повреждений (487). 2. Вероятность реализации ожидае¬ мых моментов повреждений (488). 3. Весовые соотношения (492). 4. Форму¬ лировка задачи ( 493). 5. Уравнения вариационной задачи (494). 6. Непрерыв¬ ная аппроксимация ступенчатого закона повреждений (495). § 3. Секционированный двигатель ограниченной мощности — приме¬ ры решения для модельных маневров 497 1. Ступенчатый закон повреждений (497). 2. Непрерывный закон повреждений (503). 3. Движение с возвращением (503). 4. Движение с заданным активным временем (504). 5. Нелинейная зависимость мощности от числа работающих секций (506). § 4. Оптимальная вероятность выполнения маневра 508 1. Формулировка транспортной задачи (509). 2. Максимум математического ожидания суммарного груза (510). 3. Максимум суммарного груза при задан¬ ной вероятности реализации решения (514). Глава 12 Весовые затраты на коррекцию траектории § 1. Ошибки реализации программы реактивного ускорения и откло¬ нения от расчетной траектории 518 1. Ошибки в реактивном ускорении (518). 2. Среднеквадратичные величины от¬ клонений от расчетной траектории (519). § 2. Оптимальная программа коррекции 520 1. Измерения координат и скорости (520). 2. Оптимальные поправки к про¬ грамме реактивного ускорения (521). 3. Приращение функционала (522). 4. Оптимальные распределения моментов коррекции (524). Ч'А С Т Ь III ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ Глава 13 Аналитические решения уравнений динамики § 1. Радиальное ускорение (яф = 0 в (П. 9)) 530 1. Уравнения и интегралы движения (530). 2. Набор параболической скорости (532). 3. Межорбитальцый перелет (535). 4. Изменения орбитальных эле¬ ментов (536).
ОГЛАВЛЕНИЕ 9 § 2. Трансверсальное ускорение (аг = О в (П. 7)) 537 1. Уравнения движения (537). 2. Набор параболической скорости (537). 3. Представление решения в виде рядов (538). 4. Изменение орбитальных эле¬ ментов (539). § 3. Тангенциальное ускорение (у = 0 в (П. 16)) 533 1. Уравнения и интеграл движения (539). 2. Приближенные решения уравне¬ ния (13.48). (540). 3. Асимптотические решения задачи о разгоне (541). 4. Движение по логарифмической спирали (548). 1 § 4. Нормальное ускорение (т = уяв (П. 14)). Бинормальное ускоре¬ ние (aR = 0, аф — 0 в (П. 37)) 549 1. Уравнения и интегралы движения с нормальным ускорением (549). 2. Свой¬ ства траекторий движения с нормальным ускорением (550). 3. Уравнения и ин¬ тегралы движения с бинормальным .ускорением (550). 4. Свойства траекторий движения с бинормальным ускорением (552). § 5. Постоянный вектор ускорения (ау = а2 = 0, ах = а = const в (П. 3)) . . ’ 553 1. Уравнения и интегралы движения (553). 2. Классификация плоских траек¬ торий (554). Глава 14 Функциональные численные методы построения оптимальных решений § 1. Градиентный спуск в фазовом пространстве 558 1. Алгоритм метода (558). 2. Вычислительная процедура (561). 3. Обоб¬ щения алгоритма (562). 4. Пример (564). § 2. Градиентный спуск в пространстве управлений 567 1. Алгоритм метода для задач со свободным правым концом траектории (568). 2. Ограничения на управляющую функцию (570). 3. Алгоритм метода для задач с фиксированными начальной и конечной точками траектории (571). 4. Обобщения процедуры для произвольных краевых условий (574). 5. Алгоритм метода для задач со свободным правым концом и свободным временем движения (574). 6. При¬ меры (576). 7. Ограничения на фазовые координаты (578). 8. Численный метод, основанный на принципе максимума JT. С. Понтрягина (582). § 3. Функциональный метод Ньютона 585 1. Алгоритм метода (585). 2. Пример (587). Глава 15 Конечномерные численные методы построения оптимальных решений § 1. Минимизация функции при дополнительных условиях .... 591 1. Градиентный метод (592). 2. Метод Ньютона (594). § 2. Сведение вариационных задач к конечномерным . 597 1. Метод Ритца с определением коэффициентов по градиентному методу (597). 2. Ме¬ тод ломаных для задачи Лагранжа (599). 3. Метод ломаных для задачи Майера (601). 4. Подбор недостающих начальных значений в краевой задаче (603).
10 ОГЛАВЛЕНИЕ П р и л о ж е ни е Описание динамических маневров § 1. Формы уравнений движения 606 1. Уравнения движения в центральном поле (606). 2. Уравнения движения в поле двух центров (617). 3. Уравнения движения в модельных полях (618). § 2. Межпланетный перелет 619 1. Разбиение межпланетного перелета на элементарные маневры (619). 2. Межпла¬ нетный перелет с возвращением (621). 3. Модельные маневры (622). § 3. Эволюции спутника 623 1. Удержание спутника в заданном шаровом слое (623). 2. Поворот плоскости круговой орбиты спутника поперечной тягой (629). Основные обозначения 631 JI итература 638 Именной указатель . » . . 673
ПРЕДИСЛОВИЕ В этой книге читателям предлагается систематизированное изложение результатов исследований, заложивших основу нового раздела механики космического полета. Предметом этого раз¬ дела является совместное решение проблем выбора оптимальных весовых параметров космического аппарата, оптимального управ¬ ления его двигательной системой и определение оптимальных тра¬ екторий полета, обеспечивающих доставку максимального по¬ лезного груза. Необходимость совместного рассмотрения ука¬ занных трех составных частей проблемы обусловлена большим относительным весом и широкими возможностями регулирова¬ ния параметров перспективных видов космических двигательных систем: химических реактивных двигателей (при большой тяго- вооруженности), тепловых ядерных реактивных двигателей, элек- трореактивных двигателей и др. К настоящему времени теоретические исследования по механи¬ ке космического полета двигателями «малой тяги» настолько продвинулись, что можно говорить об определенных итогах проде¬ ланной работы. Однако материалы по этому вопросу опубликованы в виде сотен статей в различных научных журналах. Предлагаемая читателю книга является первой попыткой систематизированного изложения основных вопросов механики космического полета. Авторы, естественно, не ставят перед собой задачи исчерпывающего освещения всех известных работ в этой области, хотя и сочли целесообразным привести подробную библиографию. В первой части книги рассмотрены физические принципы космических двигательных систем и указаны обобщенные харак¬ теристики основных типов двигательных систем, необходимые для дальнейшего анализа. Задачи оптимизации параметров космических аппаратов с различными типами двигательных систем изложены во второй части книги, где последовательно рассмотрена механика полета с двигательными системами ограниченной мощности, ограничен¬ ной скорости истечения и тяги, с нерегулируемыми и регулируе¬
12 ПРЕДИСЛОВИЕ мыми двигательными системами, с накоплением энергии и массы. Особо рассмотрены вопросы оптимального сочетания на косми¬ ческом аппарате различных типов двигательных систем, опти¬ мальная коррекция космического полета и влияние надежности двигательной системы на оптимизацию параметров аппарата. В третьей части книги обсуждаются вопросы построения тра¬ екторий оптимальных с позиций механики космического полета. В ней излагаются аналитические решения и численные методы построения траекторий. Основные разделы иллюстрированы примерами характеристик перелетов на планеты солнечной системы, маневров управляемых спутников планет и полетов в однородных гравитационных полях; эти примеры раскрывают требования к двигательным системам и возможности космических полетов. Книга рассчитана на научных работников, инженеров, аспи¬ рантов и студентов старших курсов; у читателей предполагается знание основ вариационного исчисления. Однако книга позво¬ ляет пользоваться основными результатами, если даже разделы, посвященные вариационному анализу, будут при чтении опущены. В связи с большим объемом книги работа между авторами была распределена следующим образом: главы 1, 2, 3 и 9 подготовлены Г. JI. Гродзовским, главы 7, 8, 13, 14, 15 и Приложение — Ю. Н. Ивановым, главы 4, 5, 6, 10, И, 12 — В. В. Токаревым. Авторы считают своим приятным долгом выразить благодар¬ ность В. В. Белецкому, Ю. Е. Кузнецову и Ф. JI. Черноусько, прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим ряд полезных заме¬ чаний. Авторы благодарны JI. А. Арцимовичу, В. А. Егорову, В. К. Исаеву, Г. Е. Кузмаку, А. И. Курьянову, А. И. Лурье, Н. Н. Моисееву, Г. П. Свшцеву, Л. А. Симонову, В. В. Сонину, Г. Г. Черному, Л. М. Шкадову, Т. М. Энееву за обсужде¬ ния затронутых в книге вопросов. Авторы особо признательны Л. И. Седову и Д. Е. Охоцимскому, внимание которых к работе авторов во многом способствовало появлению данной книги. Мы будем благодарны читателям за все замечания и пожела¬ ния по этой книге. Г. Гродзовский Ю. Иванов Москва, 1966 г. 5. Токарев
ВВЕДЕНИЕ Прогресс космической ракетной техники вызывает к жизни новые разделы механики. Сформировавшаяся на рубеже XIX и XX столетий идея применения реактивных двигателей для вы¬ хода в космос стимулировала развитие механики космического полета (И. В. Мещерский, К. Э. Циолковский, Р. Годдард, Ф. А. Цандер, Г. Оберт, В. Гоман, Р. Эно-Пельтри, С. П. Ко¬ ролев и др. [1.1—1.9]). Эта наука изучает движение космических аппаратов как тел переменной массы с целью определения усло¬ вий доставки максимального полезного груза. Решающая роль здесь принадлежит типу двигательной си¬ стемы. На первом этапе развития механики космического полета наиболее подробно исследовался полет аппаратов с тепловыми химическими реактивными двигателями, для которых характерен малый удельный вес двигательной системы (отношение веса двигательной системы к развиваемой максимальной тяге — порядка единиц процентов). При умеренной тяговооруженности (отношение тяги к весу ракеты) для таких ракет было допустимо в первом приближении пренебрежение весом двигательной системы, и задача оптимизации сводилась к отысканию условий наименьшей затраты топлива на совершение заданного космиче¬ ского маневра *). На основе формулы Циолковского последнее условие сводится к минимизации простого кинематического пара¬ метра, так называемой характеристической скорости, что тре¬ бует только определения оптимальных траекторий с указанием на них моментов и направления приложения импульсов тяги. Эти задачи подробно изложены в известных работах и моно¬ графиях по ракетодинамике [1.10—1.59] и др. Развивающиеся перспективные виды космических двигатель¬ ных систем (солнечный парус, электрореактивные двигатели, тепловые ядерные реактивные двигатели и др.) отличаются боль¬ шим относительным весом и широкими возможностями регули¬ рования параметров (скорости истечения, расхода массы и др.). Перспективность использования таких двигательных систем опре¬ деляется малым расходом массы на единицу тяги для электро- *) Выбор числа ступеней ракет, т. е. учет последовательно сбрасывае¬ мых баков, вес которых пропорционален запасу топлива, не изменял прин¬ ципиально указанную постановку.
14 ВВЕДЕНИЕ реактивных и ядерных тепловых двигателей (вследствие боль¬ шой скорости истечения реактивной струи) или отсутствием расхода массы для солнечного паруса. Технический прогресс последних лет в области ядерной энергетики, электрических ускорителей, технологии тонких пленок и др. поставил на оче¬ редь дня проблему научной и технической разработки указанных перспективных двигательных систем. А с увеличением тягово- оруженности недопустимо пренебрежение весом двигательной системы и для тепловых химических реактивных двигателей. В этой связи получил развитие новый раздел механики косми¬ ческого полета, рассматривающий в совокупности: оптимальные соотношения между весовыми компонентами ракеты с учетом веса основных элементов двигательной системы, оптимальное управ¬ ление и регулирование двигательной системы и оптимальные траектории космического полета [1.60]. В механике космического полета задача о нахождении условий доставки максимального полезного груза выделяется в силу ее определяющего влияния на идеологию компоновки и управления космическим аппаратом. С этим аспектом неизменно связана постановка задач в плане оптимизации траектории движения, управляющих параметров и весовых компонентов двигательной системы. Указанная постановка основной задачи механики кос¬ мического полета органически связана с характеристиками дви1 гательных систем. В современной литературе обсуждается большое число типов космических двигательных систем. Основные перспективные виды указаны в табл. 1.1 ([1.61—1.67] и др.),где приводятся некоторые характеристики систем: характерные значения скорости истечем ния реактивной струи F, удельного веса двигательной системы (веса двигательной системы, отнесенного к создаваемой тяге) и ускорения аппарата от реактивной тяги а; характеристики дви^ гательных систем в таблице расположены в порядке возрастания скорости истечения реактивной струи. Приведенные в табл. 1.1 характерные значения удельного веса двигательной системы ys объясняют сложившуюся в последние годы терминологию: двигатели большой тяги и двигатели малой тяги. Верхний предел ускорения от реактивной тяги атах дости¬ гается в том случае, когда вес двигательной системы становится’ преобладающим по сравнению со всеми остальными компонен¬ тами веса космического аппарата: тогда атах —^ g/ys (g — уско¬ рение силы тяжести на поверхности Земли). Если то amax>g; если YsJ>1,to атаХ<С g. Соответственно первые называются двига¬ телями большой тяги, а вторые — малой тяги (правильнее —' большого и малого ускорения оттяги (рис. 1.1)). Следует отметить, что большие значения удельного веса для двигателей малой тяги не являются отличительным качеством физических принципов,.
Характерные параметры космических двигательных систем ВВЕДЕНИЕ 15 со рг К vo сС н о 50 S« и «2 • 3 g я д ф о В Ен н аз оз о И Си к ж S s К оз ft а ен О О go 8 S 9 ^ о э о Ё о. К о а к ® о а И И В ВТ в в ft к И« а о о + + т ? о о + + + ю 1 7 О о жН жН СЧ о о о ю <of 2Ь жН + сч о жН о о о о жН ‘ ю ю о к ъ s s s гН ^Г-1 жН ж-t ж-t СЧ <М С\1 О О ъ гН r-i жН ftT жН + + •I- •I* •I- О <Ь £> £> 6 s> ю н-Н жН жН жН О О О СЧ О 00 00 00 счГ Ю <оГ о «■ о ю о ю ° Я 00 со а н и « о Рн н со сс ft 5Н а к к сс m о Рн J К I Л к » VO к о Я * § 9 ft о ж ° К сс г. ,и. ф а и со СС ф 8 о Е- \о || о о Рн РнИ ф н W н н 5 §Й« ISS.S | § g И О ftp н § К й § w Й U С« Лф Рн Рн ф gas а в 1=3 п и ф 2 н ж R н 2 Н у Ь §й§ Ь £ В Рн М- ф 2 и РнЭ ч о и ф Рн 5 Й н н 2 ® И g CD а а К а О ф >>> н 2 сС н е °
ВВЕДЕНИЕ Рис. 1.1. Космические двигательные системы; 1—5— двигатели большой тяги: 1 — химическая камера сгорания, 2 — нагрев в реакторе с твердым ядерным горючим, а — то жес жидким ядер- ным горючим, 4— то же в сочетании с химической камерой сгора¬ ния, 5 — нагрев в реакторе с газообразным ядерным горючим; 6—12—двигатели малой тяги: 6—с солнечным нагревателем, 7 — с изотопным нагревателем, 8 — электродуговой, 9 — электродинами¬ ческий, Ю — электростатический, 11 — изотопный парус, 12 — солнечный парус.
ВВЕДЕНИЕ 17 а характеризуют лишь современную оценку уровня разработки таких двигательных систем. Поэтому распространенный сейчас термин «малая тяга» в значительной степени условен. Однако авторы сочли целесообразным сохранить этот сложившийся тер¬ мин и в названии книги, так как механика космического полета наибольшее развитие получила сейчас применительно к двига¬ тельным системам «малой тяги», для которых роль веса двига¬ тельной установки особенно существенна. С точки зрения механики космического полета, определяющее значение имеют две характеристики двигательной установки: возможность управления реактивной тягой и весовые затраты на реализацию тяги (потребный запас рабочего вещества и вес двигательной системы). Выяснение этих вопросов находится в центре внимания пер¬ вой части книги, при обсуждении физических принципов и ос¬ новных характеристик космических двигательных систем, знание которых необходимо для последующего подхода к задачам ме¬ ханики космического полета. Движение космического аппарата исследуется как движение материальной точки. Вопросы, связанные с движением аппарата вокруг центра масс, в книге не затрагиваются, с ними можно ознакомиться в монографии [1.68] и др. К траектории движения космического аппарата обычно предъявляется требование, чтобы она начиналась в заданной точке фазового пространства (т. е. при заданных координатах и проек¬ циях скоростей) и за фиксированное время достигала другой задан¬ ной точки в фазовом пространстве. Это требование может быть удовлетворено не единственным образом. Из всего многообразия траекторий, соединяющих за фиксированное время две заданные точки в фазовом пространстве, выбирается такая траектория, которая отвечает движению космического аппарата с максималь¬ ным полезным грузом при фиксированном стартовом весе. Это— постановка основной вариационной задачи механики косми¬ ческого полета об определении оптимальных управлений двига¬ тельной системой и оптимальных соотношений между весовыми компонентами аппарата, обеспечивающих движение по указан¬ ной оптимальной траектории. Вместо приведенной выше может быть сформулирована вторая вариационная постановка, эквивалентная первой: требуется опре¬ делить оптимальные управления и построить траекторию, со¬ единяющую за минимальное время две заданные точки фазового пространства и обеспечивающую движение аппарата с заданными стартовым и полезным весами. Вторая постановка может ока¬ заться удобнее в тех случаях, когда нет уверенности относитель¬ но энергетической выполнимости маневра в рассматриваемом Диапазоне времен перелета. 2 Механика полета
18 ВВЕДЕНИЕ Кроме этих двух основных вариационных постановок, в механике космического полета формулируются частные постановки, соот¬ ветствующие отдельным типам космических маневров: меж- орбитальный перелет, задача выхода из гравитационного поля планеты, эволюции в окрестности планеты и др. Вариационные формулировки этих задач не требуют выполнения всех граничных условий по координатам и скоростям — задаются не все коор¬ динаты и скорости, а только часть их или комбинации. Свободные граничные условия в этом случае определяются из соображений оптимальности траектории. В ходе изложения будет акцентироваться внимание на форму¬ лировках вариационных задач и их связи с приведенными выше двумя основными постановками.
ЧАСТЬ I ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 2*
ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ § 1. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Принципы работы и характеристики космических двигатель¬ ных систем подробно изложены в известных монографиях, об¬ зорах и учебниках ([1.61 — 1.67] и др.). Ниже основные фи¬ зические принципы и обобщенные параметры космических двигательных систем излагаются в объеме, необходимом для подхода к задачам механики космического полета. В соответствии с указанным во введении в механике космического полета весо¬ вая проблема (например, задача о нахождении условий доставки максимального полезного груза) выделяется в силу ее определяю¬ щего влияния на параметры космического аппарата. Весовые затраты, необходимые для реализации полета космического аппа¬ рата, во многом определяются его двигательной системой. Сред¬ ством, обеспечивающим активное управление движением центра масс космического аппарата является реактивная тяга Р, созда¬ ваемая его двигательной системой. Движение центра масс космического аппарата под действием тяги в гравитационном поле может быть описано векторным диф¬ ференциальным уравнением (см., например, [1.60]) ^-G(*)r' = P + -i-G(0K + F, (1.1) где G (t) — вес аппарата, г (t) — радиус-вектор в инерциальной системе координат, Р — вектор тяги: Р = Ре, е — единичный вектор направления тяги, H(r, t) — вектор ускорения от гра¬ витационных сил, t — время, F — вектор внешних сил, дейст¬ вующих на аппарат (сопротивление среды и др.), определяемый внешними условиями полета. Полная система уравнений, описывающих поведение косми¬ ческого аппарата, складывается из векторного уравнения дви¬ жения (1.1) и связей между весовыми характеристиками и пара¬ метрами двигательной системы. При оптимизации параметров космического аппарата управляющими функциями являются вектор направления е реактивной тяги и параметры двигательной системы, определяющие величину тяги Р и вес G.
22 основные параметры и состав двигательных систем [гл. 1 Создание реактивной тяги Р связано с расходом массы через движитель q (например, массы отбрасываемого рабочего тела). Полный расход массы равен dm . , л с\\ Qo — — Q Qe Qvi (1 -2) где m = Gig, qE — расход массы при выработке энергии, qv — расход, забираемый из внешней среды. Собственный вес двигательной системы Gv (t), величина реак¬ тивной тяги Р (t) и расход массы на создание тяги q (t) являются основными параметрами космической двигательной системы. Значение текущего веса аппарата G(t) можно представить в виде G (t) = Ga (t) + (0» (1-3) t где Ga (t) = G0 — Gy (t) — g ^ qa (t) dt, G0 — начальный вес ап- o парата. При этом конечное значение Ga (в конечной точке пути t = Т) можно отождествить с полезным грузом Gn. Из соотношений (1.1), (1.2) и (1.3) видно, что основные параметры двигательной системы определяют движение космического аппарата; указан¬ ные параметры Gp (£), Р (t), q (t) и вектор направления тяги е являются управляющими функциями в задачах оптимизации космического полета. С указанными параметрами Р (t) и q (t) связаны зависимые параметры средней эффективной скорости истечения и эффектив¬ ной мощности реактивной струи. Частное от деления Р на q, имею¬ щее размерность скорости, можно характеризовать как среднее эффективное значение скорости реактивной струи V (для полетов без забора массы рабочего тела из внешней среды и для дореля- тивистского уровня скоростей) V = Plq, (1.4) Тягу, приходящуюся на единицу весового расхода, характери¬ зует отношение 1° = V/g, имеющее размерность времени (напри¬ мер, сек). Величину 1° принято называть удельным импульсом двигательной системы. Соответственно (1.2) и (1.4) эффективное значение мощности реактивной струи будет равно N = \qVK (1.5) Отметим, что отношение N к величине мощности Nni вырабатывае¬ мой энергоисточником двигательной системы, характеризует
§ 2] СОСТАВ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 23 коэффициент полезного действия двигательной системы Ч = (!-6) Возможные регулировочные характеристики основных пара¬ метров космических двигательных систем Gp (t), Р (t), q (t) и взаимосвязь между ними, естественно, определяются типом дви¬ гательной системы, физическими принципами ее работы. Для определения обобщенных параметров рассмотрим состав косми¬ ческих двигательных систем. § 2. СОСТАВ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Обобщенный состав космической двигательной системы при¬ веден на рис. 1.2. Исходным элементом двигательной системы явля¬ ется источник энергии; завершающим элементом является реак¬ тивный движитель, где часть выработанной источником энергии Рис. 1.2. Состав космической двигательной системы. превращается в кинетическую энергию направленного движения реактивной струи. Если виды энергии, выделяемой источником и потребляемой движителем, различны, то между источником энер¬ гии и движителем включается энергопреобразователь. В паузах работы двигательной системы часть выработанной источником энергии может накапливаться в аккумуляторе энергии. Масса рабочего тела, расходуемая на создание реактивной тяги, пода¬ ется в движитель системой подачи из контейнеров (баков). При полете в среде с ощутимой плотностью масса рабочего тела может пополняться через заборное устройство и накопительную систему.
24 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 Последняя согласует параметры поступающего рабочего тела с условиями в контейнерах (баках). В результате отличия энергетического коэффициента полезного действия двигательной системы от единицы значительная часть вырабатываемой энергоисточником мощности должна быть от¬ ведена от двигательной системы системой отвода энергии. Естественно, что указанные составные элементы присущи не всем типам космических двигательных систем, в которых возмож¬ ны различные сочетания элементов в рамках рассмотренного обобщенного состава. С позиций механики космического полета характерными пара¬ метрами источника энергии являются вырабатываемая им мощ¬ ность Nn (t) (существенна возможность регулирования выделяемой мощности), собственный вес энергоисточника Gn (Nn, t) и рас¬ ход массы qe при выработке энергии. Характерными параметра¬ ми преобразователя энергии являются отношение вырабатывае¬ мой им полезной мощности Nv (t) к входной мощности Nn (t)r которое можно характеризовать как коэффициент полезного действия энергопреобразователя т]х (А^), а также вес энерго¬ преобразователя GT (7V\, max) • Характерными параметрами акку¬ мулятора являются величина запасаемой им энергии Е, макси¬ мальные величины потребляемой Ртах и полезной выделяемой ЕШ\а мощности (точка обозначает дифференцирование по време¬ ни t), а также собственный вес аккумулятора Ge (Pmax)* Харак¬ терными параметрами накопителя рабочего тела с заборником являются qv — расход массы и привносимая забираемым рабочим телом мощность Nqv, мощность, расходуемая накопителем Nv(qv), и вес накопителя с заборником Gv (qv max). Характерным пара¬ метром контейнеров (баков) для рабочего тела является их вес G$ (t), зависящий от величины запаса рабочего тела Gv, (t) = — Ga (t) — G„ (cm. (1.3)). Характерными параметрами системы подачи рабочего тела являются подаваемый ею расход массы д, потребляемая мощность Nq (q) и собственный вес Gq (qmах). Характерными параметрами реактивного движителя являются создаваемая им тяга Р (t), потребляемые им мощност N (Р) и расход массы q (Р), а также собственный вес движителя GY (Ртах, А^таЦТ Разность между мощностью, вырабатываемой энергоисточ¬ ником Nn плюс привносимой забираемым рабочим телом Nqv, и полной мощностью реактивной струи движителя Nx должна быть выделена системой отвода энергии. Характерным параметром последней являются ее вес G^ (N^), где NK = Nn + Nqv-Nx. Указанные характерные составные элементы космической
УСЛОВИЯ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА 25 двигательной системы определяют ее основные параметры: Р(!)> tfo(t) = q + qe — qv, Gv (0 = Gn G^ Ge Gv G$ -f- Gq + Gy -f- G Параметры составных элементов космических двигательных систем, естественно, зависят от физических принципов их рабо¬ ты, что будет подробно рассмотрено в последующих главах. Су¬ щественное влияние на параметры космической двигательной системы оказывают внешние условия космического полета; да¬ дим краткую характеристику этих условий. } (1.7) § 3. УСЛОВИЯ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА 1. Гравитационные поля. Силы гравитационного поля опре¬ деляют основное внешнее воздействие в космическом полете. Для типичного случая космического перелета, когда гравитационные массы можно считать сферическими, вектор ускорения от гра¬ витационных сил (см. (1.1)) будет равен [1.69] H = =-gradtf, (1.8) г где U — потенциал поля тяготения, / — универсальная грави¬ тационная постоянная, 991* — величина массы гравитационного центра, Ri — вектор расстояния до центра гравитационной массы. В табл. 1.2 и 1.3 приведены значения Ж* для небесных тел солнечной системы, а также их основные траекторные и физиче¬ ские данные [1.70]. При движении вблизи планет следует учиты¬ вать несферичность поверхности и гравитационного поля. Так, например, для Земли потенциал тяготения в точке, расположен¬ ной на геоцентрической широте <р, может быть записан в виде и = т 1 + т (%Т ^ — 3 sit[2 + ТГ (%)3 (3 sin ф — 5 sinS ф) + + ж(%)4(3 — 30й1п2ф + 35sin4cp) + ..(1.9) где Rs = 6,37815 * 106 м — экваториальный радиус; /, /г, кг — коэффициенты второй, третьей и четвертой зональных гармоник, / = 1623-10"6, h = 6,0-10-6, кг = 6,4-10"6. Движение космического аппарата в гравитационном поле при отсутствии других сил, действующих на аппарат (Р = 0, F = 0 в (1.1)), как известно, является консервативным движением (см., например, [1.71—1.72]), для которого полная энергия остается неизменной.
Основные траекторные и физические данные Солнца и планет 26 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. а В" В Е VO аЗ Е- 1Л 1Г_ О о о Ю СМ НИ & О О О со ч-Н чН ч-н 00 О Ю о чН ЧР О чН ю чеН О I 1 Ч-Н г- СО Ч"Н чР CD 1 о 1> - 1 ЧР^ СО СМ Ю СО 4ft 1 00 л о Ю ч-Н 00 ЧР чр~ о 00 о СО чн чР~ СО чР~ О ч-t чН со со см гН I-H гН V. са «о г- & о О о оо о О чН о чН чН чН чН чн чн 00 со о ЧН ч-н 00 03 СО ЧР 00 о 00 00 ю О О ЧР см ю О CD 00 чР чР сГ см см о см О чГ чН LO CD СО I чН ю см см см чН чР см" СО чН Ю СМ О 00 00 оз со 4jt О CD О ю о - со чН СМ Ю 1> о 03 со ОТ чР ч}< ю о * о о чь ^ о нК о чН о 03 CD tr— СО 00 аз см О см" 1>- О 00 см ю 03 00 • ч-Н чН 00 СМ оо В- 00 о о о о чН 03 CD СО ° см о со & О ОЗ чР LO со см о я Он X» к а в к В 1> см ■чн чр CD Ю 00 чн СО О ~ со t> о см о ч-Н чр со" см" С*. 00 00 о сс 00 CM rH О О 03 чН О ч-t ч-н 8^ 1 чН 03 CD - 03 I чН ОЗ 03 00 ОЗ CM vo ч-н CD CM чН о о о о 00 03 03 1>- -н 1> Ю о: ^ LO ^ CD о о о 4J1 О чН 03 о CD VO О О 00 чН с^ ч? CD О о чн 00 Ч-Н CD о о 00 2 § и к ЕН ф й В н а Е £ о ф к и ф Рн с s'4 & о к сб >i о о R о О « и ®2 « н S о. о S * 5S3 В о и сб н В 5 Рн ф I и со В сб к в Е В ЕН в Рн и а Рн ф >е< CJ со к со 5 3 ' Й в ' I 0) , g, к я w , w ф ВС w э О 2 к w - Рн В ) ф б fcj к Сб и о a s в ^ * и ^ и - 8« в * S к Е н н « а и о ^ gg s« 5 " § а а Рн 2 w а а; к 3 в в Е Сб а в в в а (В о а § aS 05 ^ а ЕН w Н сб VD Рн ft ф Ф О и fc вс в Ф и Рн сб и Он »в в а ® в & В сб Е Рн сс VO 2 О В tf ^ о в Рн ф в рВ в в О " Ф ч в в ф в ЕС _ сб Н Он о ф в • VO Рн ф о В о в в В S в в в в в ф ® й м к & a * в g vo 5 Рн О О Рн и § § ° м в и к » о м ^ В Wo 2 ф ^ м ft М а о и о в в сб Е VO о в Е в в Ен о о в XI Рн ф в о сбо
Таблица 1.2 (продолжение) 3] УСЛОВИЯ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА 27 и и cd £ я «о Г* 5> тН г-1 о о Г4 о о 4Н О 4ТН см 05 I 4ГН 1 ^ 4гН 05 4^ о 4тН о о О ЧР 1 1 я О 05 со 4Н см о" о О 00 ЧР но t- но 4тН по чР~ Г» S 05 00 тН СО со • о СО 1> 0° 4t< 00 53 4ГН чг СМ t— 4Н 4f О О (О (М с» 1 00 са (N -г-t <N rH 00 00 S О О о О О о О О о 00 4Г-1 4Г-1 4гН о о 4ГН 4Г-1 4Г-1 4Г1 ио о см о тН 00 00 см со ю СО СО Ю Ю ио О О чГ со чР ЧР со О (N *ЧН 4ГН 4Н о чг 05 ио со СО ио сГ 4f 4f ио 4ГН СМ 1 со см »• ° | о 1 4f 4f ЧГ О О •'Н н CD 00 О • о 00 О 00 - О 05 1> СО о н 00 см~ I о <М N <N I—I г-1 гН ООО о 05 00 о СМ СО СМ О с* °° ч ® см см со Li J ч—t см °° о о г-н о ио 00 со чГ с^ о со 4ГН о о" 05 чР о о со чР СМ 4Г-1 со - о о о 00 см со чр СО чр СО ю см ^ о со ю СО ~ #ч л й 05 ъ 00 4гН ио со о см ЧР СМ чР 00 ЧР 05 см о см со см 05 см 05 сГ 4Г-1 o' и а Й f чр О О 00 4Н "Ж тН НО • 05 НО о о чР со 05 4ГН см 05 -71>Г I 00 о о 05 С'- о но st< -н И0 о см 4ГН СО 05 о чР 00 4Г1 ио о чр 00 о со 4Г^ со 4Г-1 o' 4Г-1 о 4ГН 4Ж ч 4 05 к ® О чР О - g Y ЧР - ^ CsT0 S <м о о о 4ТЧ о 4гН О 5: СО ИО 411 О 4ГН см ио 1гГ 4Г-1 со Чр 4Г-1 чр 4^ 4Н ио чр ЧР о ЧР ЧР оо 1 °. О ЧР со ПО СО 4Г^ W <х> S а ч к Ъо к о я cd я я <*} Я * н £ я Я В о 0 а к (О ft о Я • а . и ф . * . я н . а ft . а VO ft о а 51 а М ф ф S ч у S к >5 Я - ft о н ■05 о OS >> о к га й ^ Рн О G К ft S о cd я а и ft ф н ' ч ' ® . Э • ft «•>§<• g . W . и л 2 . гг ® cd со . а ^ о • Я со и ф а • ЕН * и с ^ н а 5 § S- « ы О и <Ъ So И В gY 3 X о ? Ао. « ttf cef §■ ’Э я ^ к * § й ° § • JH а о s а - S и ф cd СО CS я а >я я ф н а VO ft о я OS ft Cd VO 2 s s s я * 4 о A H н о a О VO я ft ft о Ф ф о Я « в Ф чс ft Cd " 1-Г О В я ° 5 н S ft ^ ф а н Ен а VO ft О Ф 4Н F и О Н II Ь ftfcf а ф в « « 2 cd Я Рч о >Я а я а * м л а н VO о ft О о ft ф а я ф я о я я Я ft Д а я ^ ж ^ Я о tt""* и ft • ф я • о Я • cd ^ ft° . b ад<: Н г. я ^ о ft м « ф я ф я 2 vo §о й ф и я н с
Основные траекторные и физические данные наибольших спутников планет 28 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 cd £Г К R ю 8 CO О О см со О ео л О О Ю чН •чгН со чгН чН ч—( чгН CSJ О ч-н • • • О ю СМ 03 ч-н о чгН ю о о со CD t>* - -00 -о о Г- Ч—1 «ч см со см - <N со ео со ео оо О О О О О СО чН чН СО чгН ч-н ч-н О ч-Н чгН • • О ю СМ О !>• ю оо ш О О О ч-н ~ »-ю ^JH ~ чН см~ -Г- О СМ - со СО (М <м со О О Ю со О ео оо О О 03 чгн ч-Н 00 чН чгН чН со ^ Ю чгН • • О чгН СО 00 LQ О см LO см ч-Н -t>- оо - чн СО см~^ о Го о |> О Ч-Н чгН СО см ^ г о СО • О со о о -Ю о см со^ ) чгН ^ со - о" -о см чгН ю 2со V о о "Г со о о СО -гН 03 03 о ч-н о со" 0^0 со со*4 00 ю чгН «- — о 03 о о & N СО оо ю со о ео оо О О 03 СМ Ч-Н чгН со чгН чгН ч-н СМ ч-н • • LO со ^ 00 чгН t^sfO СО со о 00 СО ^ - -1>- t" - ч-н см -00 О СМ - со см Н fcf R" © El м © о fc[ и PR К ° или ь2 Ч-Н ^ СО О 00 ^ см in о 00 ео О О чН Е— см Ч-Н чН . с~— о • t^o 00 t"- СМ СО о" ч-н <э ю ю ю ЧГН СО щ О 00 О ч-н ч-н СО • 0-1 со Я 1 | 1 см о о о 1 1 1 О30 со - 00 -о 00 ) К+1- 8 о со о со О О ЧН о О ^ 03 ю Ч-н • СО чгН чН • ОО . ю ч-н • см СМ 03 чН t'- СО ю см о »ч СМ ^ о" СМ ю см - ио - -о чН ч-н СМ со СМ чгН (М ю О о 00 ю о сз О О чН 03 00 ч-н ч—н чН чН чН • О ч-н • СМ О Ю 00 ю 1> о см см о" со -0-1 - оГоз" -е-Н ю -о Ю гН сз л 1П 00 о о ю О <м О О чН Ч-Н ч-н чгН ОчНСМ чгН • О 00 00 о СО • Ю о 1>- ° °л о" О Ю f— - чгН t>- чН —1>* о ^ со см" (М С<1 о О о чН со О ео. а О О Ю 03 чгН ч-Н 03 чгН Ч-Н ч-Н t>- 00 Ю LQ • • О со СО СМч^О ю см о" см ч-н 00 - СО -ю -оо о ч-н 00 - см см см - • у . н ф • * • к н о Р С ф о а « ag OR Cd J о R О 2 ww cd cd н J^PhO ф ‘ Й . a H . К Он • К • Я . P Ф .►©< о со • И Р со cd Ч * « cd ^ ~ Г И Ф „ HsO ^ Н g О g W g 3 7- о R Й x £c§ Я ^ n H • К a • ф . S’ cd • pH VO • О • fct . o a • Ph Ф ш l_l Ен 5H _ а н ^ - cd p Рн а О II £ E4 8 ^ О Ен а м Ф w H § к а © p g gsss*
УСЛОВИЯ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА 29 Для движения в гравитационном поле, описываемого урав¬ нениями (1.1) (1.8), в случае отсутствия других сил (r=R) полная энергия движения будет равна *=~г(т — 2/-^) =const” (1Л0) где у = г — скорость движения. При движении в поле тяготения превалирующего действия одного небесного тела (в так называемой, сфере притяжения этого небесного тела) урав¬ нение (1.10), естественно, упрощается: 2 \ /^ = const. (1.11) г Значение удельной потен- циальноиэнергии Ь = г на поверхности небесного тела при R{ = Rs характе¬ ризует энергетические за¬ траты, необходимые для выхода из сферы притяже¬ ния данного тела. Эти же энергетические затраты можно охарактеризовать минимальным потребным значением начальной ско¬ рости, необходимой для вы¬ хода из сферы притяжения ve= У2f$Ri/Rs. Значения Ь и ve дяя небесных тел сол¬ нечной системы также при¬ ведены в табл. 1.2 и 1.3. На рис. 1.3 указаны уровни удельных значений SgIG полной энергии на поверхности планет (нижние точки) и на орбитах планет солнечной системы (верхние точки), где принято (осо 0 за пределами системы. Данные рис. 1.3 ха¬ рактеризуют энергетические затраты, необходимые для реали¬ зации космических перелетов. Отметим, что изменение полной энергии движения аппара¬ та, необходимое для космического перелета, не соответствует непосредственно расходу энергии в двигательной системе ап¬ парата. Работа, производимая силой Р, по теореме Кельвина Is &-8 tils. f I § Й* UV4 ск 2$ о* 9 Ю11 л / / / I / / 4 / / / /1 / / / I / / / / / / 1 1 Ю12 -18,8 Я,м Рис. 1.3. Уровни удельной энергии на орбитах и на поверхности планет солнечной системы.
30 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 составит (1.12)' Следовательно, работа, производимая реактивной тягой за заданный промежуток времени (что связано с заданным расходом энергии в двигательной системе), существенно зависит от скорости движения космического аппарата в период действия тяги. Поэ¬ тому из приведенных общих соображений следует целесообраз¬ ность включения двигательной системы в областях гравитацион¬ ного поля, где скорость движения аппарата максимальна (подроб¬ нее см., например, [1.4]). 2. Параметры окружающей среды. Для обобщенного косми¬ ческого перелета с поверхности планеты старта через космическое пространство к поверхности планеты назначения характерно существенное изменение вдоль траектории полета плотности, давления и температуры внешней среды,—параметров, определяю¬ щих вектор действующих на аппарат внешних сил F (см. (1.1)), и возможности пополнения массы рабочего тела забором из внеш¬ ней среды. Особенно существенное значение для механики полета эти параметры имеют в непосредственной близости к поверхности планеты, в ее атмосфере. Величины плотности и давления в ат¬ мосферах планет резко падают с высотой. На рис. 1.4 [1.73] при¬ ведено распределение плотности р, давления и температуры Th по высоте h в атмосфере Земли; там же нанесены определяе¬ мые высотой значения скорости звука а и кинематической вяз¬ кости V. В межпланетном пространстве плотность газовой среды в ос¬ новном определяется корпускулярным излучением Солнца: по¬ током протонов (ионизованные атомы водорода) с энергией по¬ рядка 1 кэв (скорость го = 4,5-10ъ м!сек), интенсивность которого в период спокойного Солнца составляет (см. [1.74]) где R — расстояние до Солнца, R§ = 1,495• 1011 м — средний радиус орбиты Земли. Соответственно (1.13) плотность распределения протонов равна Корпускулярный поток Солнца оказывает на элементы космиче¬ (1.13) (1.14)
УСЛОВИЯ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА 31 ского аппарата давление, соответственно (1.13), порядка р3»рэП)2^2-10-8^укг/ж2 (1.15) и подводит мощность порядка 9^^5-Ю вт/м2. (1.16) Следует отметить, что в период активного Солнца по данным [1.74] интенсивность корпускулярного излучения может воз¬ расти на два-три порядка. /),КМ ю~7 10'" гоо° ю5 ю~9 т° ю~3 10'7 600° 10~1 10~5 800° 10 /О'3 1000° 103 10'1 1200° рм/м3 ТД ь 100 ю-* 200 ю~3 300 10~2 400 10ч 500 1 сЛС/сеп ч^Усеп Рис. 1.4. Изменение давления, плотности и температуры с высотой в ат¬ мосфере Земли; пунктир — скорость звука и кинематическая вязкость. Основной энергетический поток в межпланетном пространстве составляет электромагнитное излучение Солнца, имеющее ма¬ ксимум в видимой области светового излучения на длине волны — 5500 А [1.75]. Спектр солнечного светового излучения непрерывный (рис. 1.5), большая часть его соответствует излучению черного тела при тем¬ пературе Tq ^ 5800° К. Мощность потока солнечного светового излучения составляет 3?А :1400 (^-V2 вт/м2. (1.17)
32 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. * Пондеромоторное взаимодействие между световым излучением и отражающим (или поглощающим) свет телом вызывает давление на тело. Сила светового давления зависит от мощности излучения и по Максвеллу при нормальном падении света на тело равна РА = -—-(1 + е)^ 0,464-10 6 (1 + е) кГ/м2, (1.18) где с — скорость света, е — коэффициент отражения тела (для абсолютно черного тела е = 0, для идеального зеркала е = 1). на орбите Земли, пунктирная кривая — излучение черного тела при Tq = 5800° К. На орбите Земли максимальное давление солнечного света (при е = 1) составляет р ж 0,928-10'6 кГ/м2 [1.76]. При полете вблизи небесных тел существенными являются также энергетические потоки от собственного теплового излуче¬ ния тела (см. значения температуры поверхности небесных тел Т3 в табл. 1.2) и отраженный от поверхности тела поток солнечного излучения. Последний определяется значением альбедо поверх¬ ности небесного тела А — отношением отраженного светового потока к исходному (см. также табл. 1.2). ,, По сравнению со всеми перечисленными основными энергети¬ ческими потоками в межпланетном пространстве тепловое излу¬ чение космоса, соответствующее температурному уровню ^ ~ 4° К, пренебрежимо мало: 3ifc ^ 1,5-10"5 вт/м2. (1.19)
3] УСЛОВИЯ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА 33 Баланс суммарного воздействия всех отмеченных энергетиче¬ ских потоков и внутренней энергии (рассеиваемой телом) опре¬ деляет тепловой режим тела в космическом полете. Например, максимальная эффективная температура Тт абсолютно черной и теплопроводной сферы, движущейся вблизи поверхности небес¬ ного тела и не имеющей внутренних источников энергии, может быть оценена соотношением Ъ (i + A)Ti + т, - C0S гр4 4я ls (1.20) полета являются радиационные RijiM где со@ — угол, под которым видно Солнце, cos — угол, под кото¬ рым видно небесное тело. Наряду с энергетическими потоками существенными для про¬ блем механики космического потоки в космосе, представ¬ ляющие биологическую опас¬ ность и требующие опреде¬ ленных весовых затрат на защиту. Помимо указанного выше корпускулярного излу¬ чения Солнца, существен¬ ными являются космические лучи, образованные ядрами атомов с энергиями до ~ 1017 эв; удельная мощность потока космических лучей — 7-10"6 вт/м2, интенсив¬ ность ~ 6-103 м~2-сек~г. Магнитное поле у небес¬ ного тела приводит к обра¬ зованию специфических маг¬ нитных «ловушек», сущест¬ венно усиливающих радиа¬ ционные потоки. Например, у Земли такие «ловушки» образуются магнитным полем относительно небольшой интен¬ сивности, которое оказывает малое силовое воздействие непос¬ редственно на летящий космический аппарат. Так, на геомаг¬ нитном экваторе горизонтальная составляющая магнитного поля Земли достигает — 3,1-10"5 вб/м2, на геомагнитных полюсах вер¬ тикальная составляющая равна— 6,3*№~ъвб/м2. Однако это поле является причиной образования у Земли радиационных поясов с высокой интенсивностью заряженных частиц (рис. 1.6), пред¬ ставляющих значительную биологическую опасность [1.62]. 3. Метеорные потоки. Движущиеся в солнечной системе ме¬ теорные потоки могут потребовать существенных весовых затрат 3 Механика полета Рис. 1.6. Радиационные пояса Земли; контуры соответствуют постоянной интенсивности за¬ регистрированных частиц.
34 ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СОСТАВ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1 на защиту от них элементов космического аппарата, а характер распределения интенсивности метеорных потоков в солнечной системе может оказать влияние на выбор целесообразных траек¬ торий полета. В настоящее время метеорные потоки изучены в окрестности Земли методами фотоизмерений, радиоэхоизмерений и непосред¬ ственными измерениями на спутниках ([1.77—1.78] и др.). Изме¬ ренный интервал скоростей метеоров составляет от 11 до 72 км/сек. Нижний предел равен скорости выхода из сфе¬ ры притяжения Земли; это скорость, которой обладает метеорная частица, прибли¬ зившаяся к поверхности Земли из состояния покоя относительно Земли. Верх¬ ний предел равен максималь¬ ной скорости относительно Земли, которой может обла¬ дать метеорная частица, дви¬ гавшаяся по замкнутой ор¬ бите вокруг Солнца. Средняя скорость метеорных частиц вблизи Земли по оценке [1.79] изменяется в пределах от — 15 до 28 км/сек, возрастая с увеличением массы части¬ цы ш (рис. 1.7). Интенсивность метеорного потока D° существенно зависит от массы частиц и по данным [1.77—1.79] вблизи Земли может быть представлена зависимостью Рис. 1.7. Зависимость скорости метеорных частиц от массы (вблизи Земли). [)° = 10 12щ 9 1 /м2*сек (1.21) где ш приведено в граммах, D° — интенсивность полного потока метеоров с массой, большей ш. Что касается воздействия метеорных частиц на преграду, то существуют различные воззрения, связывающие толщину проби- ваемого материала б с импульсом mv либо энергией -mi>2метеор¬ ной частицы ([1.77—1.86] и др.). Однако конечные результаты расчетов по указанным методам, увязанные с лабораторными ис¬ следованиями процесса столкновения быстрых частиц с мишенями, дают достаточно совпадающие результаты по величине потребной толщины защитной стенки 6 в зависимости от допустимой интен-
УСЛОВИЯ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА 35 сивности пробоев D°{6). Пример зависимости D° (б) для стальной защитной стенки приведен на рис. 1.8, где кривая 1 соответству¬ ет б (шу), кривая 2 соответствует б mz;2). Следует отметить, что приведенные на рис. 1.8 зависимости получены на основе соотношения (1.21) для полетов вблизи Зем¬ ли, где аппарат огражден от метеоров с одной стороны Землей. Поэтому можно ожидать, что на расстоянии от Земли порядка не¬ скольких ее радиусов при¬ веденная интенсивность пробоев D°{б) возрастает примерно вдвое. Для определения ожи¬ даемой метеорной опасно¬ сти можно принять [1.79], что пробой стенки метеор¬ ными частицами будет под¬ чиняться распределению Пуассона y(r)_ (D°ST)n exp (— D°ST) (1.22) t0~3 /Г НГ* / Рис. 1.8. Потребная толщина стальной защитной стенки в зависимости от допустимой интенсивно¬ сти метеорных пробоев (вблизи Земли). где ф — вероятность про¬ боя стенки площадью S за время Т метеорными частицами п раз. Например, при D°ST, = 1 вероятность одно-четырехкратного пробоя метеорами стенки составит ¥(*) 0,3679 0,3679 0,1840 0,0613 0,0153 0,9964 Соотношение (1.22) и данные типа приведенных на рис. 1.8 позволяют оценить потребный вес защиты космического аппарата от метеорной опасности с заданной надежностью. 3*
ГЛАВА 2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕМЕНТОВ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ § 1. РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 1. Реактивная тяга и внешнее сопротивление. Реактивный движитель является завершающим элементом двигательной си¬ стемы, в котором полезная часть выработанной источником энер¬ гии, превращаясь в кинетическую энергию направленного дви¬ жения реактивной струи, создает реактивную тягу Р. Сумма реактивной тяги и внешних сил, действующих на летательный аппарат от сопротивления среды, равна интегралу по замкну¬ тому контуру (например, по контуру аппарата) от составляющих давлений р, напряжения трения т° и изменения количества дви¬ жения: Р + FK = {I^cos^, x)dqx + [р cos (гс, х) + T°sin(72, х)] dS}, (2.1) где п — направление нормали к контуру, тяга направлена по оси х. При полете в атмосфере условились (см., например, [2.1]) в ка¬ честве силы внешнего сопротивления Fx принимать интеграл на¬ пряжения трения и давления, избыточного йад атмосферным рл, по внешнему контуру аппарата АА^Ё^В вне реактивных струй и расхода qVl забираемого из внешнего потока (рис. 2.1, а и б): в = 5 К** — Р/г) cos (72,#) -{- T°sin (72, х)] dS, (2.2) и А Тогда по определению (2.1), (2.2), с учетом отсутствия расхода (Яг — 0) по контуру аппарата АВ, реактивная тяга при полете в атмосфере равна (см., например, [2.2] и др.) А Р = ^ [Vi cos (Vi, х) dqi + (р — р„) cos (п, х) <?£] = В = qVc + (Vc — Ph)fc — qvV, (2.3) где рс, Vс средние давления и скорость в сечении реактивной струи по В А, $ с — площадь сечения реактивной струи.
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 37 Такое общепринятое разделение силы, действующей на реак¬ тивной аппарат, на тягу и сопротивление, естественно, является условным. Так, например, сила донного давления на участках аА и ЪВ (рис. 2.1) аппарата, во многом определяемая реактивными струями ([2.1] и др.), т. е. тягой, при указанном разделении от¬ носится к силе сопротивления. Однако принятое разделение между тягой и сопротивлением имеет определенный физический смысл, четко переходит в предельные случаи (отсутствие сопротивления или тяги), а некоторая возможная корреляция между ними долж¬ на быть учтена при детальных анализах. *) At Рис. 2.1. Схемы реактивных аппаратов: а) без забора; б) с забором расхода qv из внешнего потока. При полете в космосе, где сопротивление среды практически отсутствует (F = 0), выражение для реактивной тяги упроща¬ ется; при ph — 0 и qv = 0 Рк — (?^с + Рс^с* (2-4) 2. Реактивные сопла. Движители ЖРД. В тепловых реактивных двигателях движителем, создающим тягу, является реактивное сопло, превращающее тепловую энергию газа в кинетическую энергию направленной газовой струи. Физические принципы работы реактивного сопла как движителя могут быть в основном пояснены на основе газодинамической теории ([2.2—2.12] и др.). Мерой тепловой энергии газа является так называемая тем¬ пература торможения Т0 — температура газа при отсутствии на¬ правленной скорости течения, V0. Максимально возможная скорость направленного движения газа Fmaxmax, естественно, рав¬ на средней скорости теплового движения молекул покоящегося газа; для совершенного газа значение Fmaxmax определяется извест¬ ным газодинамическим соотношением F„ (2.5)
38 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. где к — показатель адиабаты, равный для одно-, двух- и много¬ атомных газов соответственно 1,66, 1,40 и 1,33, Я — газовая / -|/х+1 постоянная. Эта максимальная скорость значительно (в I/ г X — \ раз) больше критической скорости звука в газе: т/ 2Х :а*~ V х + 1 Л; поэтому для достижения больших скоростей истечения реактив¬ ные сопла должны быть сверхзвуковыми. Классическая схема сверхзвукового осесиммет¬ ричного сопла представлена на рис. 2.2. В соответствии с газоди¬ намической теорией одномер¬ ных газовых течений ([2.4, 2.6] и др.) относительная ско- -1 Ус рость газа Ас = — на срезе я* идеального сверхзвукового сопла без потерь и с равно¬ мерным осевым потоком оп¬ ределяется отношением пло¬ щади критического сечения сопла (узкое сечение, где скорость газа равна критической скорости звука aj к площади среза сопла fc Рис. 2.2. Классическом схема течения в сверхзвуковом реактивном сопле. q {К) = К 1 и + 1 1 1 Рт-1)* 1 = £• &г. (2.6) Показано, что для газового потока с расходом q полный импульс равен ЛбГ х -|- 1 г = qV + pf 2х qa„z (X), (2.7) 1 где z (X) = X + « . По уравнению расхода для одномерных га¬ зовых течении величина расхода газа через идеальное реактивное сопло составит 1 1 2 \х_1 Ро /ЛЧ5Г Ро-^, ( 2 \*-1 ■о - фТо «• (х + 1) > (2.8) q = мт{ 1 1 *-1 /к . 1^-1 U + 1 где q(X) = .. j ^ 2 заторможенного газа на входе в сопло. Поэтому в соответствии с уравнениями (2.7), (2.8) величина ре¬ активной тяги, создаваемой идеальным соплом при полете в космосе р0 — полное давление
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 39 которая совпадает с величиной полного импульса газового по¬ тока Г на срезе сопла (ср. (2.4) и (2.7)), будет равна 1 р* = Г С = Voft (^l)K_1 2(Ьс). (2.9) Отметим, что тяга, создаваемая реактивным соплом при по¬ лете в вакууме (2.9), не зависит от температуры газа Т0 и опре¬ деляется только полным давлением газа р0, площадью критиче¬ ского сечения и степенью расширения сопла fc / (опреде¬ ляющей Кс и z (К))- С увеличением степени расширения идеаль¬ ного сопла при фиксированных р0 и создаваемая им реактив¬ ная тяга в вакууме непрерывно растет, достигая теоретически максимума при $оо, когда скорость истечения газов из сопла становится максимально возможной: P)cmax = Pof»(^q7l) ( ) (2'10) при Vc— ГтаХ} max — у . в реальных соплах за счет потерь на трение газового потока о стенки чрезмерное расшире¬ ние сопла нецелесообразно, так как при больших степенях рас¬ ширения дополнительные потери на трение при дальнейшем рас¬ ширении (и соответственно увеличении площади поверхности) пре¬ валируют над приростом тяги от расширения сопла. Аналогично влияет и учет инерциальных сил при ускорении аппарата. Учет потерь на трение газа в сопле определяет рациональную степень расширения реактивного сопла (и соответственно ^CoPt)> при которой реализуется тяга до — 95% Р/cmax (см., например, [2.7 — 2.11] и др.). Газодинамические принципы и вариационные про¬ блемы построения оптимальных контуров сверхзвуковых реак¬ тивных сопел рассмотрены в работах [2.13—2.21] и др. С учетом указанных потерь импульса Гс в реальных соплах максимальная тяга, развиваемая соплом при полете в вакууме, определится соотношением 1 Ртах = Z(^copt)* (2.11) Последнее соотношение показывает, что для фиксирован¬ ных р0 и f * максимальная тяга, развиваемая реактивным соп¬ лом при полете в вакууме, также фиксирована. Температура газа на входе в сопло Т0 при фиксированных р0 и $л определяет
40 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 расход газа через сопло (см. (2.8)); с увеличением температуры газа Т0 при постоянной тяге уменьшается расход газа q и соот¬ ветственно увеличивается удельный импульс двигательной си¬ стемы. Для нахождения величины реактивной тяги, создаваемой соплом при полете в атмосфере (для простоты рассматривается случай qv = 0), необходимо из определенного значения тяги в вакууме (2.11) вычесть член, учитывающий влияние атмосфер¬ ного давления р/г (см. (2.3)); тогда rQz(K)-- Ph х + 1 1 х—1 (2.12) род (К) Подчеркнем, что тяга, развиваемая реактивным соплом при фиксированных значениях р0, §^ и Яс, возрастает с увеличением высоты полета примерно на — 10—30%, достигая макси¬ мального значения Ртах в космосе. Зависимость газодинами¬ ческих функций z (кс) и q (кс) от Хг приведена на рис. 2.3. Эти функции изменяются по Хс так, что для фиксирован¬ ных значений р0, рл, §^ ре¬ активная тяга Р достигает максимума при такой степени расширения сопла и таком соответствующем зна¬ чении скорости истечения vc (Хс) = Vp (hp), при кото¬ рых статическое давление в струе на срезе сопла рс рав- Рис. 2.3. Изменение газодинамических функ¬ ций г (Я) ид (Я) (Я— относительная скорость). но атмосферному давлению: при рс = ph 2х Рh max — "ГcPcS'^p % ^ 1 х—1 (2.13) где i —1 ■р) = Ph Ро Это так называемый расчетный режим работы сопла. Для фиксированного сопла (fJS'c = const) при изменяющихся пере¬ падах давления р0/Рл (например, р0 = const, рл изменяется с вы-
а) б) «) Рис. 2.5. Картина течения за соплом на режиме выше расчетного а) цветной теплеровский снимок; б) снимок с оптической решеткой; в) то же без потока.
§ 1] РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 41 сотой) только на расчетном режиме при ph = рр реактивное сопло Р обеспечивает максимально возможную тягу— = 1. На режимах h max ниже расчетного (— <^ — ]и выше расчетного тяга, \ Pfi Рр I \ Ph Рр I создаваемая соплом, будет меньше максимально возможной [р—^реализуемой в случае, если бы на этих режимах V h max I применялось сопло с расчетным расширением. £ р hmazc Рис. 2.4. Изменение относительной тяги, развиваемой соплом с Яс = 1,89, в зависимости от перепада давления. По соотношениям (2.12), (2.13) на рис. 2.4, а приведен пример изменения относительной тяги h max х + 1 2хХрГс Г cz(K)~ ?h и +1 \ x-i Ро? (Хс) (2.14) в зависимости от перепада давления p( /p/t для сопла с Хс = 1,89 и Гс^ 0,99 [2.20]. Следует отметить, что показанные на рис. 2.4 значительные рассчитанные потери тяги на режимах ниже и выше расчетного не связаны с течением внутри сопла, где течение и рас¬ пределение давления (рис. 2.4, б) неизменны. Указанные потери тяги физически связаны с волновыми потерями в системе газоди¬ намических скачков уплотнения, образующихся в струе за соплом на нерасчетных режимах истечения (см. пример на рис. 2.5 [2.22]).
42 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 При реальных течениях газа неизменность сверхзвукового потока внутри реактивного сопла классической схемы, с учетом которой определяется относительная тяга по формуле (2.14) О) Рис 2.6. Схема истечения из сверхзвукового сопла на режиме ниже расчетного: а) те¬ чение без отрыва; б) течение с отрывом потока от стенок сопла. (см. пример на рис. 2.4), имеет место во всем диапазоне режима выше расчетного и в значительном диапазоне режима ниже рас¬ четного вблизи расчетного зна¬ чения перепада давления на сопле. С уменьшением перепада давления на сопле ро/р/г на ре¬ жиме ниже расчетного возра¬ стает перепад давления р/г/рс в газодинамическом скачке уплот¬ нения на срезе сопла (так как отношение давлений рс/Ро = = const); после достижения кри¬ тического значения (Рь/рс)к ин¬ тенсивный скачок уплотнения вызывает отрыв пограничного слоя на стенках сопла и измене¬ ние картины течения внутри сопла (см. схемы течения на рис. 2.6 [2.23]). Приведенные на рис. 2.7 по данным [2.23, 2.24] значения критического перепада давления в скачке уплотнения (ph/Vc)k иллюстри¬ руют для сопла классической схемы ширину безотрывного диапазона перепадов давления на сопле на режиме ниже рас¬ четного, где сохраняется неиз¬ менным сверхзвуковое течение внутри сопла и где справедливо определение потерь тяги по формуле (2.14). Рис. 2.7. Изменение критического перепа¬ да давления в скачке уплотнения, вызы¬ вающего отрыв турбулентного погранично¬ го слоя на срезе сопла, в зависимости от относительной скорости потока на срезе.
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 43 После наступления отрыва потока в сопле давление на стенках сопла в зоне отрыва повышается (по сравнению с расчетным дав¬ лением) и соответственно уменьшаются потери тяги. Это явле¬ ние особенно сильно проявляется в сверхзвуковых соплах с центральным телом. На расчетном режиме и на режимах выше расчетного течение в сверхзвуковом сопле с центральным телом (рис. 2.8, а [2.20]) принципиально не отличается от течения в сверхзвуковом сопле классической схемы. Однако на режимах ниже расчетного попадающий и отражающийся от центрального тела скачок уплотнения (идущий от среза обечайки сопла) вы¬ зывает существенное повышение давления на центральном теле (рис. 2.8, б), интенсифицирующееся отрывом потока при взаимо¬ действии скачка уплотнения и пограничного слоя. Такие сопла имеют небольшие потери тяги на режиме ниже расчетного. На рис. 2.9 показан пример характеристики реактивного сопла с центральным телом с = 165 [2.25]; пример компоновки ра¬ кеты с таким соплом см. в [2.26]. В целом в рамках газодинамической теории величина реак¬ тивной тяги, создаваемой соплом как движителем, определяется по формуле (2.12) с учетом указанных поправок на влияние отры¬ ва потока на режимах ниже расчетного (включаемых, например, в величину потерь импульса сопла Гс). Результаты, полученные в газодинамической теории, справедливы для химических теп¬ ловых реактивных двигателей, при температурном уровне кото¬ рых влияния диссоциации, ионизации и рекомбинации газового потока (не учтенные в изложенной теории) не являются опреде¬ ляющими. Типичным представителем таких космических двига¬ телей являются жидкостные реактивные двигатели, у которых реактивное сопло является стержневым конструктивным элемен¬ том (см. пример на рис. 2.10) [2.27]. Вследствие конструктивной и газогидродинамической взаимосвязи элементов у ЖРД нецеле¬ сообразно раздельно анализировать вес сопла (движителя), камеры сгорания и системы подачи рабочего тела. Согласно соотношениям (2.11), (2.12) максимальная тяга ЖРД пропорциональна полному давлению газа в камере сгора¬ ния р0 и площади критического сечения сопла Pi nax~Pof*. (2.11') Вес сопла-движителя (являющегося одновременно системой отвода энергии, см. рис. 2.10) из условий статической прочности должен был бы быть пропорционален произведению РоЗГ*2, одна¬ ко из-за улучшения конструктивных качеств с увеличе¬ нием размеров двигателя вес возрастает медленнее, чем куб ха¬ рактерного размера, примерно пропорционально p0.?v Ана¬ логично изменяется и вес камеры сгорания ЖРД, являющейся
Рис. Рис. pj _ Рс = Ф_ % 0,4 б) 0,2 О 0,4 0,8 £ Т О 2.8. Схема течения в сверхзвуковом сопле с центральным телом (А.с = 1,68). ;.9. Изменение относительной тяги, развиваемой соплом с центральным телом 165 в зависимости от высоты полета при р0 = 3,5 • 10Б кГ/м2’, сплошная кривая эксперимент, пунктирная кривая — расчет для сопла классической схемы.
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 45 энергоисточником и энергопреобразователем (см. ниже § 2 гл. 2). Вес системы подачи рабочего тела должен быть пропорциона¬ лен расходу д, величина последнего по соотношению (2.8) также Горючее Окислитель Рис. 2.10. Жидкостный реактивный двигатель RL10A-3 второй сту¬ пени ракеты «Сатурн» 1; горючее — жидкий водород, окислитель — жидкий кислород: 1 — охлаждаемая излучением часть сопла, 2 — охлаждаемая горючим часть сопла, 3 — камера сгорания, 4 — система подачи горючего и окислителя. пропорциональна произведению p03v Поэтому для ЖРД примерно можно считать (Gy + G^ + Gn + Gx + Gq) — и с учетом (2.11') Gy + Gr + Gn -f Gx + Gq ^ T^max> (2.15) (2.16) G — C* где y== -OL удельный вес двигателя (для ЖРД Ge = 0 и Gv = 0).
46 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 На рис. 2.11 в качестве примера приведены значения удель¬ ного веса двигателей ракет «Сатурн» (см. [2.11, 2.27] и др.); ука¬ занные там же данные двигателя ракеты V-2 иллюстрируют про¬ гресс в улучшении весовых характеристик ЖРД за последние 20 лет. Приведенные на рис. 2.11 характеристики подчеркивают малые значения удельного веса химических тепловых реактивных двигателей на жидком топливе. 7tw т 0,02 0,01 0 5 10 20 50 /00 200 500 PmJ0~‘«r Рис. 2.11. Зависимость удельного веса ШЕД от величины развиваемой им максимальной тяги (пунк¬ тирная кривая — двигатели 1 — 4 ракет «Сатурн»): 1 — RL10A-3 (Н2 + 02), 2 — J-2 (Н2 + 02), 3 — Н-1 (керосин + 02), 4 — F-1 (керосин + 02), 5 — двигатель ракеты V-2 (этиловый спирт 75% + 02). Важным параметром реактивного сопла как движителя явля¬ ется средняя эффективная скорость истечения струи из сопла V и связанная с нею величина удельного импульса двигательной системы 1°. По соотношениям (2.8), (2.12) и (1.4) эти параметры равны (при qa = q) (2Л7) При фиксированных параметрах реактивного сопла и высоты полета эффективная скорость истечения струи (и соответственна удельный импульс) определяются составом (к) и температурой торможения газового потока Т0. Максимальная скорость истече¬ ния для тепловых реактивных двигателей ограничена, например, для химических двигателей максимальной температурой, дости¬ жимой при химических реакциях Т0 тах (см. ниже § 2), возмож¬ ностью выбора горючего и окислителя с малым значением молеку¬ лярного веса продуктов сгорания (увеличение газовой постоян¬ ной^) и допустимой температурой конструкции. Поэтому тепло- ±i 2к rcz(?o- РлНг Ро7 (К) / 3 ___ д ■ — .л 2
§ 1] РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 47 вые реактивные двигатели можно классифицировать как двига¬ тельные системы с ограниченной скоростью истечения струи: Как следует из соотношения (2.18), с увеличением высоты полета максимальная эффективная скорость истечения из сопла возрастает (соответственно с ростом тяги, см. (2.12)) примерно на 10—30% [2.27]. Характерными являются точка старта на поверхности Земли и полет в космосе. Например, для указанных на рис. 2.11 двигателей ракет «Сатурн» максимальные значения скорости истечения струи и удельного импульса составляют [2.27]: для ЖРД стартовых ступеней на компонентах керосин + 02 при h = 0 Fmax о — 2550 м/сек, 10° ^ 255 сек; в вакууме Fmax =- = 2800 м/сек, 1° ^ 280 сек; для ЖРД космических ступеней на компонентах Н2 + Оа при h = 0, Fmax о = 3200 м/сек, 10° х 320 сек; в вакууме Fmax = = 4200 м/сек, /° ж 420 сек. На рис. 2.12 по этим данным, соотношениям (2.12), (2.18) и данным рис. 1.4 приведено примерное изменение с высотой полета тяги, эффективной скорости истечения струи и удельного им¬ пульса высотного ЖРД. 3. Высокотемпературные тепловые реактивные движители. Для получения величин эффективной скорости истечения и удельного импульса больших, чем достижимые в химических тепловых реак¬ тивных двигателях, в литературе обсуждается ряд тепловых дви¬ гательных систем с нагревом рабочего тела до высоких темпера¬ тур электрическим разрядом либо в теплообменнике, обогревае¬ мом ядерным или изотопным реактором, или солнечной энергией 1 и F< Fj max — 0 10 20 30 40 hunt Рис. 2.12. Относительное изменение с высотой полета тяги, эффективной скорости истечения струи и удель¬ ного импульса высотного ЖРД.
48 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 ([2.28 2.41] и др.)* Характерной особенностью таких двигатель¬ ных систем является очень высокая температура Т0 газового потока на входе в реактивное сопло. При высокой температуре Ю* 2'Ю* Т0,7< Рис. 2.13. Доля тепловой энергии газового потока в зависимости от температуры тормошения при £0 = Ю4 кГ/м2. га* ю* °И03 8-/03 12:Ю3 Ю-Ю3 Утах ,м/сен 400 800 /200 /600 fan Phj. 2.14. зависимость максимальной эффективной скорости истечения струи и удель¬ ного импульса в вакууме от температуры торможения «замороженного» газового потока. нагрева газа перед соплом большая часть подводимой к движи¬ телю энергии (1 — г]Т) Nx расходуется на диссоциацию и иониза¬ цию газового потока. Долю тепловой энергии потока характе¬ ризует к. п. д. г]Т, зависимость которого от температуры для раз¬ личных рабочих тел приведена на рис. 2.13 [2.39]. Для нижней оценки величины эффективной скорости истечения струи и удель-
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 49 ного импульса высокотемпературных движителей принимается (см., например, [2.33, 2.39] и др.), что за короткое время расши¬ рения газа в сопле энергия ионизации и диссоциации не успевает выделиться (так называемое «замороженное» состояние потока). Тогда величина эффек¬ тивной скорости истечения струи и удель¬ ного импульса может быть оценена по фор¬ муле вида (2.17) с учетом к. п. д. цт, если принять Т0 мерой полной энергии газа: 1 -I Гсг(Я.с) • 2 ) Ро<7 (А,с) /»=Х. g (2.19) На рис. 2.14 по данным [2.39] приведено изменение максимальной эффективной скоро¬ сти истечения струи и удельного импульса в вакууме для высокотемпературных реак¬ тивных двигателей в зависимости от темпе¬ ратуры торможения газового потока для различных рабочих тел. Отчетливо видны преимущества водорода как рабочего тела, обеспечивающего Рис. 2.15. Схема теп¬ лового РД с ядсрным реактором: 1 — реактивное сопло, 2 — ядерный реактор- теплообменник, з— си¬ стема подачи рабочего тела. 7 6 5 Рис. 2.16. Схема изотопного теплового РД: 1 — трубопровод системы охлаждения, 2 — тепловая изоляция, 3 — канал теплообмен¬ ника для нагрева рабочего тела, 4 — реактивное сопло, 5 — капсула с радиоактивным изотопом, 6' — клапан системы подачи. 7 • — подача рабочего тела. высокие скорости истечения при наименьшем потребном нагреве газа. Величина тяги таких двигательных систем (не зависящая 4 Механика полета
50 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 от температуры газового потока — см. выше) определяется по формуле (2.12). Примеры схем высокотемпературных тепловых реактив¬ ных движителей с теплообменниками, нагреваемыми ядерным? реактором [2.41], изотопным реактором [2.40] или концент¬ рированным солнечным излучением [2.39], приведены на рис. 2.15-2.17. Рис. 2.17. Схема теплового реактивного движителя с солнечным нагревом: 1 — подвод рабочего тела (водород), 2 — дефлектор газа, 3 соединение кварцевой прозрачной сферы с соплом, 4 — реактивное сопло, 5 и 6 — ось вращения и цапфа системы ориентации движителя, 7 — пористый тепло¬ обменник — приемник лучистой энергии, 8 — многослойный , экран, 9 — кварцевая прозрачная сфера. В этих движителях высокотемпературный газовый поток образу¬ ется в теплообменнике и разгоняется до больших скоростей истечения в реактивном сопле. Аналогично случаю ЖРД из-за взаимосвязи целесообразно совместно анализировать веса теп¬ лообменника и сопла. Обобщенная газодинамическая схема теп¬ ловых реактивных движителей с теплообменниками приведена на рис. 2.18. Типовой канал теплообменника, в котором происходит нагрев газового потока до заданной температуры торможения на входе в сопло Т0, представлен эквивалентной трубкой диаметром D и длиной^. Как будет показано ниже (§ 2 гл. 2), заданная сте¬ пень нагрева газового потока определяет потребное число калиб¬ ров каналов теплообменника LID = кт. С учетом эррозионной
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 51 стойкости толщину стенки каналов (трубки) б для оценки примем пропорциональной полному давлению: б —» р0. Тогда вес тепло¬ обменника будет пропорционален Gx - f TLZ)6nT-p0TrT, (2.20) где &т— фронтальная площадь теплообмен- ника, пт—— число трубок теплообмен¬ ника на единицу фронтальной площади. По уравнению расхода р0т^“т — Ро^*> поэтому с учетом соотношения (2.13) вес теплообмен¬ ника пропорционален максимальной тяге движителя Gx Pof. Р maxi (2.21) и аналогично (2.16) для высокотемператур¬ ных тепловых РД с теплообменником Gyт = Gy + + Gq ^ YTPmaxi (2.22) где ут — обобщенный удельный вес движи¬ теля. У ядерных тепловых РД с увеличе¬ нием мощности вес делящегося вещества — энергоисточника (Gn) возрастает незначи¬ тельно и составляет малую долю веса двига¬ теля, поэтому для ядерных двигателей ж С?£ (Ge ^ 0, Gv = 0). Для изотопных и солнечных тепловых двигателей вес энер¬ гоисточника является существенной частью и определяется по данным § 2 этой главы. Примерные значения обобщенного удельного веса ут тепловых реактивных движителей с теплообменниками указаны в табл. 2.1 [2.32, 2.39, 2.40]. Величина максимальной эффективной скорости истечения струи и удельного импульса для тепловых РД с теплообменниками, есте¬ ственно, зависит от максимально допустимой температуры нагрева газа Тошах (см. (2.19) и рис. 2.14), которая ограничивается допустимой для материалов движителя температурой. Пример¬ ные свойства некоторых высокотемпературных материалов для тепловых РД с теплообменниками приведены в табл. 2.2 [2.29]. Указанный в табл. 2.2 максимально допустимый уровень тем¬ пературы стенок теплообменника теплового РД порядка 2800° К ограничивает максимальную скорость истечения реактивной струи в движителях с теплообменником: для водорода (оптимальное рабочее тело — см. рис. 2.14) в вакууме Fmax ~ 8000 м/сек, 1° ж 800 сек. 4* иЛодача рабочего тела mm V Рис. 2.18. Газодинами¬ ческая схема теплового реактивного движителя с теплообменником; Q— тепловой поток от энер¬ гоисточника (ядерный реактор, изотопный ре¬ актор , концентратор сол¬ нечного излучения).
52 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Таблица 2л Значения обобщенного удельного веса для высокотемпературных тепловых реактивных движителей с теплообменниками Тип движителя Gyt «г -мпах К1 С теплообменником, нагреваемым ядер¬ ным реактором С теплообменником, нагреваемым изотоп¬ ным реактором С теплообменником, нагреваемым концен¬ трированным солнечным излучателем *) Включая вес концентратора солнечной энер —5-10-® —100 —150*) ГИИ. Таблица 2.2 Свойства некоторых высокотемпературных материалов для тепловых РД с теплообменниками Материал ВеО Графит W Точка плавления, °К ...... Плотность при 20°С, кГ/м3 . . . Кратковременная прочность на разрыв, кГ/см2 2800 2,7-103 70-^-280 при 1500°К 3900 (субли¬ мирует) 1,7-Юз 210—420 при 2780° К 3650 19,1-Юз 350-630 при 2780° К Значительно более высокие температуры нагрева и скорости истечения струи реализуются в электротермических реактивных движителях с нагревом рабочего тела электрическим разрядом — дугой. Принципиальная схема электродугового движителя [2.36] показана на рис. 2.19. Дуга, стабилизированная закруткой пода¬ ваемого рабочего тела или магнитным вращением, обеспечивает большой градиент температуры газа по радиусу и позволяет на¬ гревать рабочее тело до температур в десятки тысяч градусов при допустимых температурах стенок движителя (см. [2.42—2.45] и др.)» что может обеспечить скорость истечения реактивной струи ДО Fmax ~ 25 000 м/сек, 1° ^ 2500 сек [2.38]. Удельный вес элек¬ тродугового движителя по данным [2.33] составляет примерно
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 53 у = Gy/Pmax ^ 10. Максимальная температура нагрева струи, как и у других типов тепловых РД, лимитируется допустимой температурой материала стенок движителя. Однако предельный уровень нагрева рабочего тела в электродуговом движителе зна- Рис. 2.19. Схема электродугового теплового реактивного движителя: 1 — вводы системы охлаждения. чительно выше, чем в химическом РД или тепловом РД с тепло¬ обменником. Важным параметром является к.п.д. движителя т]^ = N/Ny: отношение мощности направленного движения реак¬ тивной струи N к мощности Ny, потребляемой движителем. По данным [2.46] при регули¬ ровании величины скорости ис¬ течения струи V и расхода рабо¬ чего тела q к.п.д. электродуго¬ вого движителя сохраняется примерно постоянным, несколь¬ ко снижаясь с увеличением V (рис. 2.20). Эти качества позво¬ ляют при ограниченной мощно¬ сти питания движителя Ny эф¬ фективно регулировать скорость истечения реактивной струи V при примерно постоянной по¬ лезной мощности струи N, что в ряде случаев целесообразно с позиций механики полета (см, ниже). 4. Электродинамические и электростатические реактивные движители. Эти движители позволяют регулировать скорость истечения реактивной струи V в практически неограниченном Диапазоне вплоть до уровня релятивистских скоростей. 4000 8000 V,M/c сен Рис. 2.20. Экспериментальная характери¬ стика электродугового движителя; ра¬ бочее тело гелий.
54 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Тепловые реактивные движители создают тягу в результате воздействия газодинамического давления на стенки движителя. Одновременно с воздействием газодинамического давления газо¬ вый поток в тепловом РД отдает стенкам движителя тепловую энергию, что и лимитирует, как указывалось выше, эффективную скорость истечения и удельный импульс таких движителей. Элек¬ тродинамические и электростатические движители используют воздействие соответственно магнитного или электростатического давления на стенки движителя, что практически снимает тепло¬ вое ограничение на эффективную скорость истечения реактивной струи. Подробно принципы работы электродинамических и электро¬ статических РД изложены в литературе [2.32, 2.36, 2.38, 2.47— 2.62]. Рассмотрим свойства таких движителей. Величины маг¬ нитного Рн и электростатического рв давления, как известно, определяются соотношениями [2.63] г> _ 112 _ Е2 /о 9Ч\ Рн — 8л ’ Ре - 8Я ’ (2.23) где Н — напряженность магнитного поля, Е — напряженность электрического поля. Величина напряженности магнитного поля Н лимитируется силой электрического тока, используемого для создания магнитного поля. Так, например, в технике использу¬ ются магнитные поля напряженностью Н ^ 1 тл = 10 ООО гс, что соответствует магнитному давлению рн~4*104 кГ!м2. Ве¬ личина напряженности электрического поля Е лимитируется условиями электрического пробоя диэлектрика (в том числе и вакуума) между проводниками; в технике используются напря¬ женности электрического поля Е ^ 106 в!м ^ 30 ед. GGSE, что соответствует электростатическому давлению Рв ~ 0,4 кГ/м2. Из сопоставления указанных уровней магнитного и эле¬ ктростатического давления следует, что электродинамические движители по сравнению с электростатическими могут обла¬ дать значительно большими значениями тяги на единицу площади миделя движителя. Электродинамические движи¬ тели в литературе (см., например, [2.32, 2.36, 2.38, 2.57] и др.) рассматриваются как импульсного, так и непрерывного действия. На рис. 2.21 приведена принципиальная схема простейшего им¬ пульсного электродинамического ускорителя «рельсового» типа, который был исследован в Институте атомной энергии АН СССР в 1953 г. как плазменный инжектор для изучения термоядерных процессов [2.64]. В этом ускорителе конденсатор С0 разряжа¬ ется на тонкую металлическую проволоку aft, натянутую между двумя параллельными жесткими проводниками («рельсами»). При замыкании разрядника Р проволочка практически мгновен¬ но испаряется и пар ионизуется, превращаясь в отрезок плазмен¬
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 55 ного шнура. Вследствие взаимодействия электрического тока, проходящего по плазме, с магнитным полем подводящих прово¬ дов возникает электродинамическая сила, которая ускоряет плаз¬ менный сгусток вдоль «рельсов», а приложенное к проводникам магнитное давление определяет реактивную тягу. Основные свой¬ ства импульсного электродинамического ускорителя плазмы мо¬ гут быть описаны следующей теоретической моделью [2.64—2.66]: масса ускоряемого плазменного сгустка т принимается постоян¬ ной по времени разгона, урав¬ нение движения записывается в виде d2x 1 /ип dX / л о / \ тЧё=2С)1ь' <2-24> где Cf — сила тока в цепи, X — величина самоиндукции контура, ось х направлена вдоль «рельсов»; принимается также, что омическим сопротив¬ лением электроцепи (включая плазменный шнур) можно пренебречь. Тогда напряжение на электродах «рельсов» % определится соотношением % = Щр-. (2.25) Уравнение энергии (разрядки конденсатора емкостью С0) замыка¬ ет систему J = _C0^. (2.26) При разгоне плазменного сгустка по «рельсам» самоиндукция контура возрастает линейно по х X = Х0+ Ь±х, (2.27) где Х0 — начальная самоиндукция контура при t = 0 и х = 0; dX Ь±= = const. С учетом (2.27) решению подлежит следующая система уравнений: d2X 1 дупт mdi?=2C,bl' 6)! d л с начальными условиями: при t = %Q, Cf = 0, _ r d<U (2.28) dx = 0^ = 0J=^ = 0J = Рис. 2.21. Принципиальная схема импульс¬ ного электродинамического движителя: Со — конденсатор, Р — разрядник.
56 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 При рассмотрении импульсного электродинамического уско¬ рителя как движителя важным параметром является к.п.д. пре¬ образования начальной запасенной в конденсаторе энергии Е = = уCq%* в кинетическую энергию направленного движения плазменного сгустка N mV2 ^— жг ~ (2.29) • у Сйч\- Целесообразно ввести в рассмотрение безразмерные переменные t ж, <U 1й dU Cf ОС — ОС , t — - i ^0 V%oCo % = СП- * У = —— = Л «о dt П» VColSSo (2.30) Тогда решение системы уравнений (2.28) d2x dl2 = е(^У V dt I dt dx *(0)=0, ^(0) = 0, <M(0)=1, dt (i + *) dt _ q dl (2.28') зависит только от одного основного безразмерного параметра 6: ъ\с\и\ 0 = 2 mSSo ’ (2.31) через который выражается и к.п.д. движителя "г-4>{§У- <2-29') В работах [2.65—2.66] приведены решения системы уравне¬ ний (2.28'). Сопоставление их с экспериментом показало, что изложенная теория удовлетворительно описывает основные свой¬ ства импульсных электродинамических ускорителей. Из формул (2.30), (2.28'), (2.31), (2.29') следуют широкие регулировочные возможности импульсного электродинамического движителя. Так, например, при постоянстве безразмерной скорости (dxldt)т в конце разгона сгустка плазмы и 0 = const при регулировке будет постоянным к.п.д. движителя = const. Рассмотрим в качест¬ ве регулируемого параметра число импульсов движителя в се¬ кунду к; тогда расход рабочего тела q и мощность струи движителя N определятся соотношениями q=km, N=y]yk^, (2.32)
§ 1] РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 57 а выражение для основного безразмерного параметра 0 запишется в виде b*NC0 e-«S^-consl' (2'33) При постоянных значениях зазора между электродами («рель¬ сами») Ъх = const, параметров питающей электрической цепи Рис. 2.22. Коаксиальный импульсный электродинамический ускоритель плазмы: 1 — подача рабочего тела, 2 — соленоид привода клапана подачи, 3 — клапан подачи рабочего тела, 4 — коаксиальные электроды («рельсы») ускорителя. Х0 = const и °Ц0 = const, в рассматриваемом примере регулиро¬ вания, если емкость конденсатора С0 и число импульсов в секунду к изменяются по закону Со- q, (2.34) то регулирование скорости истечения струи V будет происходить при постоянной мощности струи N = const и постоянной мощно¬ сти, потребляемой движителем, Ny = const; тогда V=Y Щ—Уь p = qV~yf.' (2-35) При этом максимальное значение потребной емкости конден¬ сатора С0 соответствует минимуму скорости истечения реактивной струи V. Регулирование частоты импульсов выброса плазменных сгустков к может осуществляться, например, клапанной системой подачи газообразного рабочего тела (см. на рис. 2.22 схему иссле¬ дованного коаксиального импульсного электродинамического ускорителя [2.64]). При коаксиальном расположении «рельсов»
58 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 радиуса гг и г2 значение погонной индуктивности движителя равно Ъг = In IL . п У импульсных электродинамических движителей получены скорости выброса плазменных сгустков реактивной струи до — 2-105 м/сек (см. [2.33, 2.38] и др.) при удельном весе движителя Q порядка у = -р Y ~ 10-1-100 кГ/кГ [2.36]. В это значение не вклю- ^шах чен вес конденсатора, который хотя и является накопительным элементом системы (см. ниже § 2), но служит не¬ отъемлемой частью им¬ пульсного движителя. Пример схемы электро¬ динамического движителя непрерывного действия [2.33] рассмотрен на рис. 2.23. Предваритель¬ ной ступенью в этой схеме является электродуговой подогреватель, обеспечи¬ вающий начальную иони¬ зацию и электропровод¬ ность рабочего тела—плазмы, поступающей в собственно электро¬ динамический ускоритель. В последнем системой электродов и элек¬ тромагнитов устанавливается скрещенное электромагнитное поле, ускоряющее плазму как проводник. Можно считать, что ускоряе¬ мый газ — рабочее тело — представляет собой нейтральную плазму с электропроводностью а*. Разность потенциалов между верх¬ ним и нижним электродами (рис. 2.23) создает в канале ускорителя алектрическое поле с напряженностью Е, благодаря которому возникает электрический ток через плазму плотностью i. Взаимо¬ действие магнитного поля Н (перпендикулярного Е) и электри¬ ческого тока i вызывает приложенную к плазме ускоряющую силу Fx, действующую перпендикулярно i и Н: (2-36) где Fx — сила, действующая на единицу массы плазмы, р — плотность плазмы. По результатам расчетов, приведенным в работе [2.33], такой движитель при V = 2-104 м/сек и Ny = 4800 кет имеет к.п.д. Q % ~ 0,8 и удельный вес порядка у = -р -Y- ^ 10 кГ/кГ. Ре" max V-н 1вШВ1 1 / Рис. 2.23. Схема электродинамического движи¬ теля с непрерывным истечением плазменной реактивной струи: 2 — ВВод рабочего тела в дуговой ионизатор, 2 — анод электродинамического движителя, 3— катод, 4 — катушка электромагнита.
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 59 гулирование движителя может осуществляться изменением маг¬ нитного и электрического поля, что, согласно уравнению (2.36), изменяет ускоряющую силу, действующую на плазму в движителе. В литературе ([2.30—2.33, 2.36, 2.38, 2.45, 2.57] и др.) опи¬ сано много разновидностей электродинамических движителей с импульсным или непрерывным ускорением реактивной плазмен¬ ной струи, которые принципиально не отличаются от рассмотрен¬ ных выше двух основных схем. С точки зрения механики полета основным общим свойством электродинамических движи¬ телей следует признать воз¬ можность регулирования в широком диапазоне скорости истечения реактивной струи. Этим основным свойством об¬ ладают и электростатиче¬ ские — ионные движители. В отличие от электродина¬ мических движителей, уско¬ ряющих квазинейтральную плазму, электростатические движители ускоряют заря¬ женные частицы — ионы и электроны, которые после ускорения смешиваются в квазинейтральную реактив¬ ную струю (см. [2.31, 2.32, 2.36, 2.38, 2.47—2.56, 2.58- 2.62] и др.). На рис. 2.24 приведена обобщенная схема электро¬ статического движителя, состоящего из источника ионов, уско¬ рительной электростатической системы и источников электро¬ нов: на схеме % — разность потенциалов ускоряющего ио¬ ны электрического поля, потенциал А% прикладывается для предотвращения обратного потока электронов. При электростатическом ускорении заряженных частиц, имев¬ ших нулевую начальную скорость, конечная скорость V{ опре¬ деляется разностью потенциалов ускоряющего поля %, которую прошла частица Рис. 2.24. Обобщенная схема электростатиче¬ ского движителя: 1 — подача рабочего тела, 2 — ионизатор рабочего тела, з — электроста¬ тическая ускорительная система, 4 — эмиттер электронов. F,_/ . (2.37) где е — электрический заряд частицы, ц — масса частицы. Расход рабочего тела соответствует электрическому току О потока заряженных частиц qi = У, (2.38)
60 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 и соответственно тяга Р{ и мощность струи N{ равны (для ионов i) Из условия квазинейтральности реактивной струи в электроста¬ тическом движителе потоки ионов и электронов должны создавать одинаковый ток (Cfi = CfE) и иметь одинаковую скорость (F* = Fe); поэтому Для однозарядных ионов отношение массы электрона к массе иона порядка fxe/jm, ж Ю-5, что позволяет, согласно соотноше¬ ниям (2.40), пренебречь вкладом электронов в тягу и мощность электростатического движителя. Превалирующее влияние ион¬ ного потока определило и название электростатического движи¬ теля как ионного движителя. Реактивная тяга ионного движителя по закону Чайлда—Ленгмюра (см., например, [2.67]) лимити¬ руется возможной плотностью ионного тока i = Cf/f, создавае¬ мого электростатической ускорительной системой (f — площадь сечения ионной струи). Это ограничение связано с тем, что элек¬ тростатическое давление пространственного заряда потока одно¬ именно заряженных ионов противодействует ускоряющему воз¬ действию электрического поля. Потенциал в каждой точке элек¬ трического поля % связан с плотностью пространственного заряда pi соотношением Для плоского случая с учетом (2.37) параметры ионного по¬ тока находятся интегрированием следующего дифференциального уравнения: где i — -д~ = —Pi^i, с начальными условиями: при х = О % = 0, d%!dx = 0. После интегрирования определяется величина максимально возможной плотности ионного тока imax, создаваемой электроста¬ тической ускорительной системой с ускоряющим напряжением % и расстоянием между ускоряющими электродами d: V2% = — 4яр|. (2.41) (2.42)
§ 1] РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 61 и соответственно (2.39) максимальная тяга, создаваемая ионным движителем, = (2.44) Характерно, что максимальная тяга, развиваемая ионным движителем, не зависит от параметров рабочего тела (массы ц и Рис. 2.25. Зависимость удель- Рис. 2.26. Зависимость от ускоряющего напря- ной тяги ионного движителя от жения скорости реактивной струи ионного дви- ускоряющего напряжения и за- жителя; в скобках указан атомный вес атомов зора между ускоряющими элек- или коллоидных частиц, тродами. заряда иона ё), а определяется только электростатическим дав¬ лением, пропорциональным квадрату напряженности приложен¬ ного электростатического поля — %2‘!d2, (см. выше (2.23)). На рис. 2.25 указано изменение удельной тяги Ртах/^ в зависимости от ускоряющего напряжения % и зазора между электродами d. Максимальные значения удельной тяги ионного движителя огра¬ ничены электрической прочностью по отношению к пробою (меж- электродная дуга), наступающему при напряженностях элек¬ трического поля, больших — 106 в!м [2.53, 2.67]. В отличие от максимальной тяги ионного движителя, скорость истечения реактивной струи V\ существенно зависит от выбора рабочего тела (см. (2.37)). На рис. 2.26 для ионов атомов ряда рабочих тел и коллоидных частиц большой массы показано изме¬ нение скорости ионной реактивной струи в зависимости от уско¬ ряющего напряжения % [2.53].
62 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 В целом данные рис. 2.25 и 2.26 указывают на большие регу¬ лировочные возможности ионного движителя. Подчеркнем, од¬ нако, что соотношение (2.44) определяет максимально возможную- Рис. 2.27. Схема лабораторной модели ионного движителя с контактной поверхностной ионизацией: 1 — охлаждение кожуха вакуумной камеры, 2 — весы для измерения тяги, з — окно для наблюдений, 4—5 — система подачи рабочего тела це¬ зия, 6 — экранирующая сетка, 7 — ускоряющая сетка — эмиттер электро¬ нов, 8 — вольфрамовый ионизатор, 9 — нагреватель ионизатора, 10 — за¬ пирающая сетка. тягу, создаваемую ионным движителем, при условии, что макси¬ мально возможная плотность ионного тока imax (2.43) и соответ¬ ственно расход рабочего тела q{ max обеспечиваются источником
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 63 ионов. Поэтому характеристики ионных движителей во многом определяются характеристиками ионных источников. Наряду с электродуговыми источниками ионов (типа рас¬ смотренных выше электротермических движителей) в литературе [2.31, 2.32, 2.36, 2.38, 2.47-2.56, 2.58-2.62, 2.67-2.69] под¬ робно рассмотрены два типа ионных источников: с контактной поверхностной ионизацией (см. на рис. 2.27 [2.50] схему лабора¬ торной модели) и с объемной ионизацией электронным ударом (см. ниже). В ионных источниках с поверхностной ионизацией (рис. 2.27) используется свойство образования положительных ионов рабочих тел с малой энергией ионизации при контакте с нагретой поверх¬ ностью ионного источника, выполненного из материала с большой работой выхода электронов. Энергия ионизации атома рабочего тела соответствует энер¬ гии, потребной для удаления внешнего электрона атома. Работа выхода материала ионизатора соответствует энергии поглощен¬ ного электрона. Вероятность актов ионизации рабочего тела — поглощения внешних электронов атомов рабочего тела при кон¬ такте атомов с поверхностью ионизатора — увеличивается с ростом разницы между работой выхода и энергией ионизации. Эта разница наибольшая у пары Cs — W [2.53, 2.68] (см. данные табл. 2.3 и 2.4, где работа выхода и энергия ионизации указаны в электрон-вольтах). После контакта атома рабочего тела с поверхностью иониза¬ тора образовавшиеся ионы должны иметь достаточную для отхода тепловую энергию, иначе адсорбированный на поверхности слой атомов рабочего тела снижает работу выхода и соответственно ионизацию. На рис. 2.28 приведена величина степени ионизации К цезия на вольфраме в зависимости от температуры вольфра¬ мовой поверхности Т, где степень ионизации К представляет собой отношение числа образующихся ионов к числу атомов Таблица 2.3 Энергия ионизации некоторых элементов Элемент Атомный вес Энергия ио¬ низации, эв Элемент Атомный вес Энергия ио¬ низации, 9в Не 4,003 24,50 Li 6,940 5,36 Кг 83,800 13,90 Na 22,991 5,12 Н 1,008 13,50 К 39,100 4,32 С 12,011 11,20 Rb 85,480 4,16 Hg 200,610 10,39 Cs 132,910 3,87
64 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Таблица 2.4 Работа выхода и температура плавления некоторых металлов Металл Работа выхо¬ да, эв Температура плавления, Т °С Металл Работа выхо¬ да, эв Температура плавления, Т оС Та 4,10 3027 С 4,81 3550 Мо 4,30 2620 1г 4,90 2454 Сг 4,37 1890 Re 5,10 3167 Os 4,50 2700 Pt 5,20 1773 Ag 4,70 960 W 5,50 3370 цезия, коснувшихся поверхности ионизатора. Видно, что по достижении некоторой минимальной температуры Т\ (зависящей от плотности ионного тока i), когда адсорбированный на поверх¬ ности ионизатора слой цезия исчезает, степень ионизации стано¬ вится близкой к единице. Данные рис. 2.28 показывают, что ве¬ личина обеспечиваемой ионизатором плотности ионного тока i ^ гтах (и соответственно расхода ра¬ бочего тела qi<^ щах, см. (2.43)) определяется тем¬ пературой поверхности ио¬ низатора и может регули¬ роваться в пределах /тах путем изменения подачи 0,95 0,90 0,85 0,80. ■■/00ml у/см2 ъ=Юма/см2 Ома/см2 7000 то /800 Рис. 2.28. Зависимость степени ионизации цезия от температуры поверхности вольфрамового иони¬ затора. туры ионизатора. Для при¬ ложений к механике кос¬ мического полета сущест¬ венно, что такое регулиро¬ вание расхода рабочего тела в ионном движителе не связано со скоростью истечения реактивной струи У*, зависящей только от ускоряющего напряжения %. При превышении ионизатором указанного выше на рис. 2.28 температурного уровня Т* плотность ионного тока i и соответственно расход рабочего тела q% лими¬ тируются по закону Чайлда — Лэнгмюра (см. (2.43)), при этом достигается максимально развиваемая ионным движителем тяга, зависящая только от напряженности ускоряющего электрического поля %/d (см. (2.44) и рис. 2.25). Так, на исследованной в работе [2.50] лаб 'раторной модели ионного движителя при температуре ио¬ низатора Т ^ Тг = 1173° К (J^70 ма, f = 70 см2,л^\ма!см2) бы¬ ла реализована максимальная реактивная тяга Ршат ~ 5-10"4 кГ,
1] РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 65 соответствующая напряженности ускоряющего электриче¬ ского поля %/d х 3000 е/см. Скорость истечения реактивной струи ионного движителя в этих опытах составляла Viж 70 000 м/сек (удельный импульс 1° ж 7000 сек). В ионном движителе с поверхностной ионизацией мощность излучения с нагретой поверхности ионизатора Nj является основ¬ ным видом потерь [2.53]. По своей природе эти потери : N i = асоТ tf (2.45) связаны с плотностью ионного тока i (Т{ = / (i)), с площадью се- чения реактивной струи f и не зависят от скорости истечения струи (от ускоряющего напря¬ жения %). По данным [2.53] для Ш 200 100 50 20 \ N ч \> ч \ \ s 1 г 5 Ю 20 50 b1, Рис. 2.29. Потери на излучение с поверх¬ ности нагретого ионизатора при контакт¬ ной поверхностной ионизации цезия на вольфраме. Рис. 2.30. Изменение удельных потерь мощности в ионном движителе с контакт¬ ной ионизацией цезия на вольфраме в за¬ висимости от максимальной плотности ионного тока; на кривой отмечено значе¬ ние гшах, ограниченное условиями пробоя % max ' * 10 000 е[при d =1 смщ ионизации цезия на вольфраме зависимость удельных потерь Nj/f (в вт/см2) от плотности ионного тока i (ма/см2) может быть аппроксимирована следующим соотношением (рис. 2.29): lg jp- = 0,20 -j- 0,22 lg г. (2.46) Рассматриваемые потери мощности в ионном движителе удоб¬ но отнести к полному току О ионной струи; при размерности Nj/Cf, выраженной в эв/ион (в электрон-вольтах на ион—в вольтах), численно это значение Nj/Cf указывает эквивалентную разность потенциалов для каждого иона, соответствующую потерям мощ¬ ности в движителе (рис. 2.30). С учетом значения полезной разности потенциалов %, ускоряющей ионный поток (см. (2.37)), 5 Механика полета
66 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 энергетический к.п.д. ионного движителя запишется в виде N, 9/ V? VI . 2 — —L ' LL У (2.47) На рис. 2.31 приведен пример изменения энергетического к.п.д. ионного движителя в зависимости от скорости реактивной струи при использовании цезия или ртути в качестве рабочего тела. Сопоставление данных * г. 7/ рис. 2.31 и 2.30 показывает, что ионный движитель с кон¬ тактной ионизацией цезия на вольфраме обеспечивает вы¬ сокие значения энергетиче¬ ского к.п. д., приближаю¬ щиеся к единице при увели¬ чении скорости истечения ре¬ активной струи, что хорошо подтверждается эксперимен¬ том [2.54]. По данным работы [2.54] удельный вес ионного движителя с контактной иони¬ зацией составляет примерно у = GT/Pmax^ 750-ч-1750. Другим подробно исследо¬ ванным типом ионного источ- V’jwT Рис. 2.31. Зависимость к.п.д. ионного дви¬ жителя от скорости реактивной струи; рабо¬ чее тело — цезий, ртуть. ника является источник с объемной ионизацией рабочего тела элек¬ тронным ударом ([2.52, 2.54, 2.56, 2.59, 2.61, 2.62, 2.67—2.69] идр.). В таких ионных источниках используется хорошо изученный для газовых разрядов процесс ионизации атомов газов при неупругом соударении с ними электронов с энергиями в десятки электрон- вольт ([2.67—2.69] и др.)* Процесс ионизации атомов данного газа (пара) электронным ударом характеризуется вероятностью ионизации рп представляющей собой среднее число актов иони¬ зации, совершаемых электроном с энергией Е на пути в 1 см при давлении в 1 мм pm. cm, при 0° С. На рис. 2.32 для ряда веществ представлено изменение вероятности ионизации в зависимости от энергии электронов. Благоприятные характеристики паров ртути — более высо¬ кая вероятность ионизации при меньших энергиях электронов — обусловили рассмотрение ртути в качестве рабочего тела в ион¬ ных движителях с ионизацией электронным ударом (см. [2.52, 2.56] и др.). Как указывалось выше, независимо от типа ионного источника плотность ионной струи сравнительно мала вследствие ограниче¬ ний, присущих электростатической ускорительной системе. Поэ¬
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 67 Pi тому давление внутри камеры ионизатора должно быть малым порядка — 10"4 мм рт. ст. для того, чтобы обеспечить относи¬ тельно малый паразитный расход нейтральных атомов рабочего тела через отверстия отбора ионов в ускорительную систему. При уровне давления в ионизационной камере pi — 10~*мм рт. ст. и вероятности 20 ионизации pi ^ 20 (см. рис. 2.32) путь свободного пробега электрона li до акта ионизации составит примерно 1 : 5-Ю2 СМ. Г\ ч» / /*= Ne Не 200 р• Р. *4 г Чтобы обеспечить эффективную ионизацию электронным ударом при относительно малом характерном раз¬ мере ионизационной камеры Di<^ 1\, для организации потока ионизую¬ щих электронов используют раз¬ личные электромагнитные ловушки типа применяемых при термоя¬ дерных исследованиях [2.64]. На рис. 2.33 и 2.34 приведены схема и внешний вид одного из вариантов ионного движителя с ударной ионизацией паров ртут V Рис. 2.32. Вероятность ионизации электронным ударом ртути, арго¬ на, неона и гелия. 3 £ VU U НФМИФЙЙ и ш Рис. 2.33. Схема ионного движителя с ио¬ низацией паров ртути электронным ударом: i — подача рабочего тела, 2 — катод, з — анод, •! — соленоид. [2.70] (/>тах= 0,06 кГ, Gy = 19,5 кГ, V = 91 • 103 м/сек). Иони¬ зующее вращающееся тороидальное электронное облако в этой 5* Рис. 2.34. Ионный движитель с ударной ионизацией; рабочее тело—ртуть.
68 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 схеме формируется электромагнитной ловушкой, образованной радиальным электрическим полем (центральный катод — цилинд¬ рический анод в камере) и продольным магнитным полем (от внеш¬ него соленоида). Источником ионизующих электронов является размещенный в камере накаленный катод; приложенный к аноду камеры потенциал в несколько десятков вольт обеспечи¬ вает электронам энергию, необходимую для ионизации, а небольшое продольное магнитное поле соленоида предотвращает прямое попадание электронов на анод. Пары рабочего тела (ртути) ионизуются элект¬ ронными ударами при про¬ хождении сквозь вращаю¬ щееся электронное обла¬ ко. Дальнейшее ускорение ионной струи осуществля¬ ется так же, как в указан¬ ной выше на рис. 2.24 обоб¬ щенной схеме электроста¬ тического движителя. Ре¬ гулирование параметров ионного движителя с удар¬ ной ионизацией проводит¬ ся аналогично рассмотрен¬ ному выше управлению параметрами ионного дви¬ жителя с контактной иони¬ зацией. Как указано в табл. 2.3, потенциал ионизации для ртути составляет 10,39 в. Однако при ударной ионизации только часть столкновений электронов с атомами приводит к образованию ионов [2.67] (рис. 2.35). Кроме того, в ионизационной камере имеют место потери ионов на стенки камеры, уход электронов на анод и дополнительно часть энергии должна быть затрачена на нагрев катода, питание соленоида. В результате по исследова¬ ниям [2.52, 2.56] удельные потери мощности в ионном движителе с ударной ионизацией паров ртути значительно превышают потенциал ионизации и составляют примерно NjICf ^ 500 в, что все же обеспечивает высокие значения энергетического к.п.д. движителя t]y (см. рис. 2.31). Для движителей с ударной ионизацией принято оценивать к.п.д. использования массы рабочего вещества Рис. 2.35. Вероятность ионизации при каждом столкновении в зависимости от энергии элек¬ трона.
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 69 представляющий собой отношение расхода в ионной струе qL к полному расходу рабочего вещества через движитель д. В ион¬ ных движителях с контактной ионизацией предельные значения rjjj, определяются степенью ионизации и по данным рис. 2.28 близ¬ ки к единице. В движителях с ударной ионизацией имеет место утечка части нейтральных атомов из камеры ионизации через отверстия выхода ионной струи (см. рис. 2.33 2.34). По данным Рис. 2.36. Удельный вес ионных движителей с удар¬ ной ионизацией; рабочее тело—ртуть. [2.61] значение к.п.д. использования массы рабочего вещества для таких движителей составляет примерно ^ 0,8—0,9. Так как поток утечки нейтральных атомов движется с тепловой ско¬ ростью, много меньшей скорости ионной струи, то можно пре¬ небречь вкладом этого потока в тягу и полезную мощность дви¬ жителя. Поэтому в соответствии с соотношениями (1.4), (1.5) эффективная скорость истечения реактивной струи V и полный к.п.д. ионного движителя rjY определяются в виде P = qiVi = qV, 7=тц^|, 1 1 ?F2 I (2.49) N 2 4 . I V T1y — iVv W J Удельный вес ионных движителей с ударной ионизацией по данным [2.61] составляет примерно у = GT/Pmax ^ 250-^-500, несколько снижаясь с ростом максимальной скорости истечения реактивной струи (рис. 2.36).
70 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Изложенное показывает, что с точки зрения механики полета электростатические движители обеспечивают в широких преде¬ лах регулирование скорости реактивной струи V и тяги Р при высоком значении к.п.д. 5. Солнечный парус. Движительным элементом двигательной системы с солнечным парусом является зеркальная поверхность, создающая тягу отражением солнечного светового излучения (рис. 2.37). Идея использования для межпланетных полетов давления солнечного света давно ^=а=^^^олнечнь/и оирус-зерналн- привлекала сравнительной про¬ стотой реализации. Первое серьез¬ ное исследование этой проблемы принадлежит Ф.А. Цандеру [2.71] (1924—1925 гг.). Для создания тяги он рассматривал использование зеркал, выполненных из тонких алюминиевых листов. Исследова¬ ния Ф. А. Цандера показали прин¬ ципиальную возможность реали¬ зации межпланетных полетов при использовании давления солнечно¬ го света. Так, при толщине алю¬ миниевого зеркала в одну тысяч¬ ную миллиметра космический ап¬ парат весом в 1 тонну может осу ществить перелет с орбиты Земли на орбиту Марса примерно за 300 Рис. 2.37. Схема аппарата с солнеч- СуТОК| при ЭТОМ ВвС паруса СОСТа- ным парусом. вит — 400 кГ, а его площадь ~ 0,15 -106 ж2, что соответствует круглому парусу диаметром ~ 450 м. Солнечный парус как движитель создает тягу, используя по¬ ток энергии и массы электромагнитного излучения Солнца (см. выше формулы (1.17), (1.18)). При взаимодействии потока сол¬ нечного светового излучения с поверхностью паруса происходит изменение вектора количества движения потока фотонов. В соответствии с формулой (1.18) величина тяги, создаваемая освещенным Солнцем плоским парусом площадью S, будет равна [2.72] P = -|-Pa(^) SУ 1 + 2ecos2(ni) (n-i)e’ (2.50) а направление тяги будет заключено между нормалью к те¬ невой стороне паруса п и направлением солнечного светового Солнечное сбетобое излучение
1] РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 71 излучения i (рис. 2.38): nP = arcsin — (1 s) sin (п0 ^ (2.51) V 1 -j- е2 +2е cos 2 (ni) гд еп — единичный вектор направления нормали к поверхности, i — единичный вектор направления солнечного светового излу- чения, ni, nP — углы между векторами п и Р, п и i соответ¬ ственно, (n-i) — скалярное произведение единичных векторов п и i (т. е. косинус угла между ними (n-i) = cos й). Управляющим параметром сол¬ нечного паруса как двигательной системы является угол установки ^ паруса ft, от регулирования кото- рого зависят направление и ве- личина тяги. § Однако при полном поглоще- нии света поверхностью паруса ^ {при е = 0), согласно (2.50), (2.51), ^ 1 [R±\2 р 0 = — Р 1-^1 iS'coS'O'i, (2.52) Рис. 2.38. Направление тяги солнеч- 2 та \ Н 1 ного паруса. т. е. в предельном случае тяга полностью поглощающего паруса всегда направлена по солнечному световому излучению, незави¬ симо от угла установки паруса. В случае идеально отражающей зеркальной поверхности (при 8 = 1) максимальная величина тяги плоского паруса возрастает вдвое, а направление тяги совпадает с нормалью к теневой стороне паруса, и им можно управлять, изменяя ориентацию паруса от¬ носительно солнечного светового излучения (рис. 2.39): Ре=1= Ра(~Д*") ^С08*п- (2.53) Все современные исследования по солнечному парусу (см. ниже главу 9) ограничиваются этим простейшим случаем. До¬ полнительные возможности управления тягой, создаваемой сол¬ нечным парусом, появляются при рассмотрении системы зеркал, установленных под разными углами к направлению солнечного светового излучения (см. работу Ф. А. Цандера [2.71]). Следует отметить, что металлические поверхности алюминия и серебра (рассматриваемые как материалы или покрытия для сол¬ нечного паруса) обладают коэффициентом отражения солнечного светового излучения, близким к единице (рис. 2.40), что оправ¬ дывает проведение предварительного анализа характеристик сол¬ нечного корпуса в идеальной постановке при е = 1 [2.32].
72 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Рассмотрим весовые затраты на создание тяги при помощи плоского солнечного паруса. Здесь отсутствуют все весовые ком¬ поненты, кроме веса собственно движителя — паруса: Gy = kgS^ рб, (2.54) где р — плотность материала слоев паруса, б — толщина слоев & 1 1 Г 1' 1. Рис. 2.39. Зависимость тяги солнечного паруса с идеально отра¬ жающей зеркальной поверхностью от угла установки паруса. материала, из которого состоит парус, к — коэффициент, учиты¬ вающий вес вспомогательных элементов конструкции паруса (по оценкам [2.73] значение коэффициента к мало отличается от единицы). ~ создаваемая парусом, установ¬ ленным перпендикулярно к сол¬ нечным лучам ('0* = 0), при е = 1, согласно (2.53), равна Максимальная тяга . = Pj -f)s- (2.55) Соответственно удельный вес паруса как движителя составит Т = А#2рб ^шах Ра а соотношение dr. R (2.56) = (2.57) Рис. 2.40. Изменение коэффициента отра¬ жения металлических поверхностей в за¬ висимости от длины волны падающего светового излучения. определяет максимальное ускорение атах, которое может сооб¬ щить космическому аппарату двигательная установка с солнеч¬ ным парусом (при G = Gy).
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 73 На рис. 2.41 приведены примерные значения удельного веса солнечного паруса и развиваемого им максимального ускорения (на орбите Земли, R$/R = 1, и при к = 1) в зависимости от тол¬ щины материала паруса, выполненного из алюминия (pg ^ я^2,7-103 кГ/м3) или алюминированной пластмассовой пленки (рg ^ 1,2-103 кГ/м3). Для обсуждаемых в указанной выше лите¬ ратуре толщин паруса — из алюминиевой фольги б — 10~6 ж Рис. 2.41. Зависимость удельного веса солнечного паруса и развиваемого им максимального ускорения (на орбите Земли) от толщины материала паруса. Сплошные кривые — парус из алюминиевой фольги, пунктирные кривые — парус из алюминированной пластмассовой пленки. и из пластмассовой алюминированной пленки б ~ 2,5 -10-6 м — удельный вес солнечного паруса на орбите Земли составит у ^ х 3000 кПкГ и максимальное ускорение, сообщаемое парусом космическому аппарату, порядка атах ж 3-10~3 м/сек2. Дальней¬ шее существенное улучшение характеристик солнечного паруса (как движителя) путем снижения толщины используемых пленок лимитируется потерей зеркальных свойств поверхности при тол¬ щинах порядка длины волны светового излучения, а также уче¬ том сублимации в вакууме и микрометеорной эррозии. Однако и при указанных на рис. 2.41 характеристиках паруса, соответствующих толщине материала порядка 1—^-2,5 • 10-6 м двигательная установка с солнечным парусом может доставить космический аппарат с орбиты Земли на орбиты ближайших пла¬ нет за 100—200 суток (см. ниже гл. 9). 6. Изотопный парус. Другим типом рассматриваемого в лите¬ ратуре парусного движителя является изотопный парус, исполь¬
74 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 зующий для создания тяги реакцию от одностороннего вылета а-частиц радиоактивного распада [2.32, 2.38]. Хотя радиоактив¬ ные изотопы (см. ниже табл. 2.8 в § 2) могут явиться источниками как а-частиц (ионы гелия), так и |3-частиц (электроны) больших .энергий, рассмотрение а-излучателей предпочтительнее вследствие значительно большей массы а-частиц и мень¬ шей проникающей способности. Последнее свойство особенно важно, так как по сути определяет возможности изотопного паруса как движителя, основной проблемой кото¬ рого является обеспечение одностороннего вылета а-частиц, образующих реактивную струю. На рис. 2.42 приведена принципиаль¬ ная схема изотопного паруса [2.32], исполь¬ зующего радиоактивный изотоп Ро210 (а-излу- чатель). Парус представляет собой тонкий слой изотопа Ро210 толщиной б*, нанесенный и С ** на пластмассовую пленку толщиной о — поглотитель частиц. Реактивная струя изо¬ топного паруса представляет собой поток положительно заряженных а-частиц; поэтому должна осуществляться нейтрализация реак¬ тивной струи подводом электронов, как в ионных движителях. Основные параметры элементов изотопного паруса представлены в табл. 2.5. Как видно из табл. 2.5, толщина пластмассовой пленки 6** выбирается равной пути пробега а-частицы в пластмассе, что существенно снижает поток а-частиц за пластмассовой пленкой. Таблица 2.5 Параметры изотопного паруса р* — плотность Ро210, г/см2 9,2 та — масса а-частицы, г 1 — — период полураспада Ро210, сут 6 J.IO'2* 138 —постоянная распада Ро210, 1 /сек 5,8-10—8 Еа —энергия а-частицы для Ро210, дж .... 8,5- IO-13 Пробег а-частицы в Ро210, м 6,5*10-6 6* — толщина слоя Ро210, м 6,5-10—7 р** — плотность пластмассы, г/см2 2,0 Пробег а-частицы в пластмассе, м 3*10-5 б** — толщина пластмассовой пленки, м . . . 3*10-5 2 / Рис. 2.42. Схема изотоп¬ ного паруса: 1 — слой Ро210 — а -из¬ лучатель, 2 — пластмас¬ совая пленка — погло¬ титель а-частиц.
РЕАКТИВНЫЕ ДВИЖИТЕЛИ 75 б* — толщина слоя Ро210 — выбирается в —10 раз тоньше пути пробега а-частиц в Ро210, что обеспечивает вылет из паруса в сто¬ рону слоя изотопа примерно половины образующихся а-частиц [2.32]. Расход массы в реактивной струе изотопного паруса опре¬ деляется числом а-частиц, образующихся при радиоактивном распаде q = К S8*m(Xe~Xxt, (2.58) где А — атомный вес изотопа, А* — число Авогадро, S — пло¬ щадь поверхности паруса; остальные обозначения указаны в табл. 2.5. jj Скорость реактивной струи определяется энергией а-частиц Еа; эффективное значение скорости струи V, осредненное по полу¬ сфере, равно половине истинной скорости а-частицы: 7 = 4- (2.59) Соответственно (2.58) и (2.59) тяга, развиваемая изотопным парусом, составит p = qV= Хт . (2.60) При указанных в табл. 2.5 параметрах удельная тяга, удель¬ ный вес и скорость струи для рассмотренного примера изотоп¬ ного паруса равны ж 2,6 • 10'VмкГ/м2, т = -р^2- ~ 25 ООО, ^ max 7^8-10 «м/сек, Жи^Е~5.10-и^^ Y г (2.61) В целом с позиций механики полета изотопный парус явля¬ ется движителем с почти постоянной тягой, медленно изменяю¬ щейся по времени, и практически нулевым расходом массы (2.61). Помимо рассмотренных выше типов реактивных движителей космических двигательных систем, в литературе обсуждаются и движители более далекой перспективы (фотонные, термоядерные и др.) с начальными соображениями о которых можно познако¬ миться, например, в работе [2.32].
76 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 § 2. ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ 1. Источники энергии. Для космических летательных аппара¬ тов рассматривается использование химических источников энер¬ гии, ядерных и радиоизотопных источников энергии и солнечной энергии ([2.2, 2.7—2.11, 2.27—2.33, 2.38] и др.). Источником химической энергии являются вещества, способ¬ ные вступать в экзотермические реакции. Наиболее распростра¬ ненная из таких реакций—окисление (горение), в которой участ¬ вуют горючее и окислитель. Экзотермической является также реакция разложения некоторых веществ, которая используется в двигателях с унитарным рабочим телом. При использовании химической энергии в тепловых реактивных двигателях основ¬ ными параметрами с позиций механики полета являются состав и температура продуктов реакции, определяющие максималь¬ ную скорость истечения реактивной струи (см. выше § 1). Важ¬ ными являются также исходные параметры топлив (агрегатное состояние, плотность и др.), связанные с весовыми параметрами системы подачи и хранения рабочего тела. В качестве иллюстра¬ ции в табл. 2.6 по данным [2.11, 2.30, 2.74] указаны основные характеристики некоторых типов ракетных топлив. При использовании химической энергии регулирование тем¬ пературы продуктов сгорания Т0 (и соответственно скорости истече- Таблица 2.6 Основные характеристики некоторых ракетных топлив Максимальная вели¬ чина удельного им¬ пульса при р0 = 35-104 кГ/м2, 1° сек Плот¬ Оптимальное соотношение состава топ¬ Темпера¬ тура сго¬ Топливо на уровне моря при * = 8 в космосе при ЭГС1&*=2,Ъ ность Р, кг/м3 ливной смеси aopt рания Т0 °С Жидкий кислород + ке¬ росин 261 324 1010 2,25 3200 Жидкие 02 + Н2 ... 357 441 256 3,5 2480 Жидкие F2 + Н2 . . . . 364 447 304 4,0 2600 Азотная кислота + не¬ симметричный диме- тилгидразин .... 246 304 1210 2,4 2820 Однокомпонентное топ¬ ливо Н202 90% . . . 137 167 1390 740 Твердое топливо-балли- стит IPN 200—230 —* 1610 — 2900
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 77 ни я реактивной струи V, см. выше § 1) может производиться за счет отступления от оптимального соотношения состава топлив¬ ной смеси c&opt* На рис. 2.43 приведен пример изменения темпе¬ ратуры сгорания керосина в кислороде в зависимости от коэффициента избытка окис¬ лителя a*/&opt [2.10]. Следует отметить, что такое регули¬ рование позволяет только снизить температуру сгора¬ ния Т0 <; Т0 max и соответст¬ венно скорость истечения реактивной струи VFmax. Выделение химической энергии в тепловых реактив¬ ных двигателях происходит в камерах сгорания. Расход д продуктов сгорания в реак¬ тивной струе определяется подачей жидких компонент Рис. 2.43. Зависимость температуры сгора¬ ния керосина в кислороде от коэффициента избытка окислителя. в камеру сгорания или скоростью сгорания заряда твердого топлива, (см. (2.8)), максимальный расход Как было показано выше в § 1 дтах (вытекающий из камеры сгорания через реактивное сопло) пропорционален ма¬ ксимальному полному давле¬ нию в камере сгорания р0тах> которое, естественно, ограни¬ чено прочностными характе¬ ристиками камеры. Уменьше¬ ние подачи компонент сни¬ жает полное давление в ка¬ мере р0 и позволяет соответ¬ ственно регулировать расход в пределах q < gmax. При поддержании максимальной температуры в камере Тотах (максимальной скорости исте¬ чения Fmax) регулирование расхода q вызывает почти р п пропорциональное изменение тяги двигателя: - (рис. 2.44) [2.2]. Более точные соотношения см. [2.75—2.77] и др. Ядерные источники энергии на современном этапе развития ядерной физики используют реакцию деления тяжелых ядер — реакцию расщепления (см. [2.2, 2.28, 2.29] и др.)* Расщепляющи¬ Рис. 2.44. Регулировочная характеристика ЖРД — зависимость тяги от расхода топлива при Т0 = ТоП1аХ. Сплошная кривая — тео¬ рия, точки — эксперимент. max ^max в работах
78 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 мися материалами являются изотоп урана U-235 и плутоний Ри-239, получающийся в специализированных реакторах. Де¬ ление ядра расщепляющегося материала происходит при про¬ никновении в его ядро свободного нейтрона; ядро переходит в возбужденное состояние, равновесие ядра нарушается и оно делится на «осколки» с вылетом двух-трех вторичных нейтронов; последние поддерживают цепную реакцию. Основная часть Рис. 2.45. Схема энергетического ядерного Л реактора: А — активная зона, В — кожух, С и D — входной и выходной кол¬ лекторы теплоносителя; 1 — монтажная плита, 2 — замедлитель нейтронов, 3 — отражатель нейтронов, 4 — регулирующий стер¬ жень, 5 — тепловыделяющий элемент. энергии деления ядра (свыше 80%) соответствует кинетической энергии разлетающихся «осколков», которая превращается в теп¬ ловую энергию при задержании «осколков» деления элементами реактора, например тепловыделяющими элементами (рис. 2.18). Мощность Ж/г, выделяемая реактором, может регулироваться путем воздействия на параметры цепной реакции, которая за¬ медляется, например, при введении в реактор регулирующих стержней из поглощающих нейтроны веществ (кадмий, бористая сталь). Принципиальная схема энергетического реактора с твер¬ дыми тепловыделяющими элементами приведена на рис. 2.45 [2.2]. В литературе ([2.32, 2.37, 2.38] и др.) рассматриваются также жидкофазные и газофазные реакторы. Критическая масса расщепляющегося материала, необходи¬ мая для цепной реакции, составляет примерно Gn х 5,0—200 кГ [2.32] и не зависит от мощности реактора. Поэтому основной вес энергетического реактора большой мощности составляет система
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 79i теплоотвода, типичными элементами которой являются образуе¬ мые тепловыделяющими элементами каналы теплообменника, обеспечивающего заданную степень нагрева теплоносителя (см. рис. 2.18, 2.45). Движение газового теплоносителя в канале постоянного сечения хорошо описывается теорией одномерного* стационарного течения вязкого газа с использованием данных гидродинамической теории теплообмена [2.4, 2.78—2.83]. При использовании известной связи между коэффициентом теплоот¬ дачи кг и коэффициентом гидравлического сопротивления £ /[ к± == g дифференциальные уравнения движения газа в трубе с учетом тре¬ ния и конвективного теплообмена записываются в виде с. dx Ь ” (А,2 —1 )ldl X2 х + 1 + г*’1 2ч W Т0 •lj(V-+l) <*То , £ /Тц? л \ dx ^ ЛЁ1/Т» \ Т0 2 V То ) D 2 \ Т0 1 X ч + 1 X (Я2 — 1 )ЫЯ (2.62) лГ где р — плотность, ср — теплоемкость при постоянном давлении,. W — скорость потока газа, X — приведенная скорость, D — диаметр трубы, — темпера¬ тура стенки трубы, Т0 — тем¬ пература торможения газового потока, фх = [1 — 1,74 Re-1'8 х X (Рг—1) ] —коэффициент, учи¬ тывающий отличие числа Пра- ндтля Рг от единицы, Re — число Рейнольдса. Решения системы (2.62) хо¬ рошо согласуются с экспери¬ ментом. На рис. 2.46 дан пример со¬ поставления теоретических дан¬ ных [2.80] и эксперимента [2.82] по течению газа вдоль нагревае¬ шь 2000 \ft,OT\ ь 120 ^ 9П° г OU 40-— >< г * 9 0,8 ол О 80 160 240 320 400 x/D Рис. 2.46. Изменение давления, темпера туры и приведенной скорости газового^ потока при течении вдоль нагреваемой трубы. Сплошные кривые — теоретическое решение, точки — эксперимент. мой трубки. Анализ решений системы (2.62) указывает на прямую связь заданной степени нагрева газового потока ДТ0/Т0 и потреб¬ ного числа калибров канала теплообменника LID. Максимальная
80 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 степень нагрева достигается при звуковой скорости в конце ка¬ нала теплообменника (см. пример на рис. 2.46). Поэтому с учетом соотношения (2.20) и ограничения по максимальной температуре материала реактора (Т0 Т^щах) вес энергетического реактора большой мощности с газовым теплоносителем должен быть при¬ мерно пропорционален мощности Nn: Gn-V^Wo^n. (2.63) Аналогичное соотношение должно выполняться в энергетическом реакторе с жидким теплоносителем (предельный случай X 0 в (2.62)), а также при изменении агрегатного состояния теплоно¬ сителя, так как законы течения двухфазной среды и газовых по¬ токов аналогичны (см., напри¬ мер, [2.84]). В качестве иллю¬ страции на рис. 2.47 по данным [2.32] приведено изменение удельного веса энергетического реактора Gn/Nn в зависимости Рис. 2.47. Зависимость удельного веса •энергетического реактора Gn/Nn от полной выделяемой мощности Nn: .1 — с газовым теплоносителем, 2 — с жидкометаллическим теплоносителем. Nn. Видно, что приАп > 104 кет значение удельного веса реак¬ тора стабилизируется. Для высокотемпературных тепловых реактивных двигате¬ лей с реактором-теплообменни¬ ком вес последнего примерно пропорционален тяге двигателя (2.21), что позволяет (как показано в § 1 этой главы) включить его параметры в значения обобщенного удельного веса двига¬ тельной системы (см. выше табл. 2.1). Выделение энергии в ядерном реакторе связано с некоторым расходом массы делящихся веществ де. Рассмотрим соотношение между расходом де и расходом массы через движитель в реак¬ тивную струю q. В случае использования ядерной энергии рас¬ ход расщепляющегося вещества де можно оценить из соотно¬ шения, связывающего массу с энергией. Если обозначить через к0 коэффициент превращения расхода qe в кинетическую энергию реактивной струи, то связь между расходом рабочего вещества через движитель и расходом расщепляющегося вещества запи¬ шется в виде (2.64) 4~ ^ = Ио9ес2> где с — скорость света. По данным работы [2.28] при х0 ^ 5-10 2 зависимость отношения qjq от скорости истечения струи V пред¬
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ. АППАРАТОВ 81 ставлена в табл. 2.7. Данные табл. 2.7 показывают, что в харак¬ терном для обсуждаемого в литературе [2.32, 2.38] и др. уровня скоростей струи V ^ 104ч-10в м/сек расход расщепляющегося вещества qe пренебрежимо мал по сравнению с расходом через движитель q. Таблица 2.7 Отношение расхода расщепляющегося вещества в реакторе qE к расходу через движитель q ядерной двигательной системы в зависимости от скорости реактивной струи V V м/сек 104 105 К)6 Qj<l 10-8 10-6 10-4 Существенной весовой компонентой в двигательных системах с ядерным реактором является вес защиты Gn от нейтронных потоков и у-излучения. Так как интенсивность излучения падает обратно пропорционально квадрату расстояния от реактора, то для снижения веса защиты рассматривается теневая защита с выносом полезной нагрузки на некоторое расстояние Г от реак¬ тора (рис. 2.48 [2.32]). С той же целью снижения веса защиты р. Рис. 2.48. Схема теневой экранировки ядерного реактора для космических летательных аппаратов: 1 — реактор, 2 — защита от т-излучения, з — защита от потока нейтронов, 4 — полезная нагрузка. работах [2.85, 2.86] и др. рассмотрены вариационные задачи об оптимальном профилировании толщины защитного слоя х*. В качестве примера по данным работы [2.86] на рис. 2.49 приве¬ дено изменение оптимального безразмерного веса Gn защиты от у-излучения дискового источника в зависимости от безразмерной допустимой дозы радиации в* Gn = 2 л /*2р£ G = 2/слГ (2.65) Механика
82 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 где [Г — коэффициент ослабления в защите, р — плотность мате¬ риала защиты, о* — допустимая доза радиации, Г — поверх¬ ностная интенсивность источника излучения, к — переводной коэффициент интенсивности радиации; угол <р0 показан на рис. 2.48. В целом вес защиты G*n зависит от полной мощности реактора Nn. По данным [2.32] удельный вес за¬ щиты сохраняется примерно постоян¬ ным при Nn > 104 кет (рис. 2.50). Рис. 2.49. Зависимость оптималь¬ ного безразмерного веса защиты от безразмерной допустимой дозы радиации а* для дискового источника у-излучения. Рис. 2.50. Зависимость удельного веса защи¬ ты от полной мощности реактора при выносе полезной нагрузки I* = 25 м и мощности дозы 100 мбэр/сут: 1 — реактор с газовым теплоносителем, 2 — реактор с жидкометаллическим теилоноси- телем. Другим источником ядерной энергии является использование энергии распада радиоактивных изотопов ([2.32, 2.38, 2.87] и др.). Энергия распада радиоизотопов может использоваться в тепло¬ вых ракетных движителях и непосредственно в парусных движите¬ лях (см. § 1 настоящей главы), а также в тепловых энергетических источниках энергоустановок. В ядерной физике известно несколько сотен радиоактивных изотопов, но только некоторые из них рассматриваются для использования в источниках энергии космических двигательных систем. Первым критерием пригодности радиоизотопа является пери¬ од полураспада 1АТ (Кх — постоянная распада). Эффективными считаются изотопы с периодом полураспада более — 100 суток, так как изотопы с очень коротким периодом полураспада нельзя экономично хранить или использовать в длительных полетах. Вторым важным критерием является максимальная удельная мощ¬ ность и тип испускаемого излучения. В качестве иллюстрации по данным [2.87] в табл. 2.8 приведены характерные параметры ряда радиоактивных изотопов, рассматриваемых для использования в космических двигательных системах. Отметим, что удельная мощность радиоизотопного источника энергии уменьшается по
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 83 времени в соответствии с периодом полураспада 15Г = (ir) • Wi \ n /max (2.66) Из внешних потоков энергии наибольшую интенсивность в межпланетном пространстве имеет поток солнечного светового излучения, мощность которого на орбите Земли составляет 91а5 ~ ^ 1400 вт/м2 (1.17). В литературе [2.39, 2.87, 2.88] и др. под¬ робно рассматривается устройство оптических концентраторов солнечной энергии в виде параболических зеркал, отражателей Таблица 2.8 Параметры радиоактивных изотопов, рассматриваемых в качестве источников энергии космических энергоустановок Изотоп Тип излуче¬ ния Период полу¬ распада 1 /Лт Топливное соединение Плотность Р кг/м3Л0~3 Максималь¬ ная удельная МОЩНОСТЬ (кет \ /щах* Ро2Ю Альфа 138 суток Ро 9,3 141 Cm242 » 162 » Ст20з 11,8 100 рц238 » 86,4 года РиС 12,5 0,55 Се144 Бета — гам¬ ма 285 суток Се О 2 6,4 1,95 Pm147 То же 2,6 года Рт203 6,6 0,12 Cs137 » 33 » CsCl 3,9 0,33 Sr»o » 28 лет SrTiOg 4,8 0,11 Со«о » 5,3 года Со 9,0 0,30 Френеля и др. По данным [2.87] удельный вес концентраторов солнечной энергии на орбите Земли составляет примерно 1,5 — 3,0 кГ/м2; (~3^) ~ 1—2 кГ/квт и изменяется со Р. = ответственно квадрату расстояния R до Солнца: Gn __ (J±n_\ (R& \2 N. Nn /6 \ R (2.67) Пример конструкции концентратора см. на рис. 2.51 [2.87]. 2. Системы преобразования энергии. В тепловых реактивных Двигателях преобразователем энергии является движитель (см. § 1), превращающий тепловую энергию нагретого источником энергии газа в кинетическую энергию направленного движения реактивной струи. В парусных двигательных системах (солнеч¬ ный и изотопный парус) движитель также является непосредст¬ венным преобразователем энергии. Специальных преобразова- 6*
84 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 телей в основном тепловой энергии источников в электроэнергию требуют рассмотренные выше (§ 1) электрореактивные движители. В литературе [2.32, 2.36, 2.38, 2.87—2.115] и др. обсуждается ряд типов преобразователей энергии и их элементов. На рис. 2.52 указаны основные принципиальные схемы преобра¬ зователей энергии для электрореактивных движителей, исполь¬ зующих солнечную энергию, энергию радиоактивных изотопов или ядерный реактор [2.47]. Рис. 2.51. Солнечный концентратор «Санфлауэр» (масштаб модели 1:3); полная площадь Ь’0 = 08 м2, вес концен¬ тратора и конструкции Gn = 115 кг. Схемы преобразователей энергии разделяются на использую¬ щие машинные и безмашинные циклы. Для преобразователей с машинными циклами (см. [2.32, 2.36, 2.87, 2.92—2.94] и др.) возможно использование газотурбокомпрессорного цикла Брай¬ тона и паротурбинного цикла Рэнкина. В газотурбокомпрессор- ном цикле (рис. 2.53) нагретый в источнике энергии газ приводит во вращение газовую турбину, на оси которой установлены га¬ зовый компрессор (компенсирующий перепад давления газа по контуру) и электрогенератор; отвод неиспользованной в цикле тепловой энергии осуществляется радиатором. В паротурбинном цикле (рис. 2.54) испарившийся в источнике энергии теплоноси¬ тель приводит во вращение паровую турбину и электрогенератор; в радиаторе осуществляется конденсация пара в жидкую фазу,
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 85 о) Роантиднал струн б) Фото ила термоэлемент Яаробод нотел V Движитель "ч: т ю '-источник Ядерный реантор \ Г —2vjjx/. /Л Ч1- Пар t|l Злснтрогенератор Жадность Радиатор Турбина Злектрозенератор Рис. 2.52. Принципиальные схемы преобразователей энергии космиче¬ ских энергоустановок: а) с использованием солнечной энергии, б) схема с изотопным 0-источником, в) с ядерным реактором. Рис. 2.53. Схема машинного преобразователя тепловой энер¬ гии в электрическую, работаю¬ щего по циклу Брайтона: 1—ис¬ точник тепловой энергии, 2— турбина, з — радиатор, 4 — компрессор, 5 — электрогене¬ ратор. Рис. 2.54. Схема преобразователя энергии, ис¬ пользующего паротурбинный цикл Рэнкина: 1 — источник тепловой энергии, 2 — влажный пар, з — сепаратор, 4 — жидкий теплоноситель, 5 — насыщенный пар, 6 — турбина, 7 и 8 — радиаторы, 9 и ю — дополнительные теплооб¬ менники, 11 — насос с эжектором, 12 — элек¬ трогенератор.
86 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Рис. 2.55. Термодинамические циклы машинных энергопреобразователей в диаграммах температура — энтропия: а) газотурбокомпрессорный цикл Брайтона, Т! — Т2 — сжатие газа в компрессоре, Т2 — Т3 — подвод тепла, Т3 — Т4— расширение в турбине, Т4 — Т4 — отвод тепла в радиаторе; б) паротурбинный цикл Рэнкина, Tt — Т2 — повышение давления жид¬ кого теплоносителя в насосе, Т2 — Т3 — подогрев до точки кипения и ис¬ парение, Т3 — Т4 — расширение пара в турбине, Т4 — Тх — конденсация в радиаторе. Рис. 2.58. Зависимость площади радиатора от температуры перед турбиной для машинного энерго¬ преобразователя с полезной мощ¬ ностью iVv = 1000 кет: 1 — паротурбинный цикл Рэнкина, 2 — газовый цикл Брайтона. Рис 2.57. Изменение удельного веса турбо¬ агрегата Gx'/Nv в зависимости от полезной мощности.
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 87 давление которой повышается насосом. Диаграммы температура— энтропия для указанных термодинамических циклов приведены на рис. 2.55. Видно, что при одинаковых максимальных темпера¬ турах цикла Т3 (определяемых стойкостью материалов) и одина¬ ковом теплоперепаде на турбине Т3—Т4 в газовом цикле средняя температура радиатора значительно ниже температуры радиатора — конденсатора в паротурбинном цикле. Так как в космических энергоустановках отвод тепла радиатором осуществляется излу¬ чением (подробнее см. ниже в § 3), то потребная площадь и вес Рис. 2.58. Схема преобразователя энергии, использующего жидкоме¬ таллический цикл с МГД-генерато- ром: 1 — источник тепловой энергии, 2 — смеситель, з — сопло, 4 — се¬ паратор, 5 — МГД-генератор, 6 — диффузор, 7 — радиатор, 8 — на¬ сос, 9 — теплообменник. Рис. 2.59. Схема термоэлектриче¬ ского преобразователя энергии: 1 — источник тепловой энергии, 2 — насос контура жидкометалли¬ ческого теплоносителя, з — термо¬ элементы, 4 — канал теплоносителя, 5 — радиатор — холодный спай. радиатора в газовом цикле значительно больше, чем в паротур¬ бинном цикле. В качестве иллюстрации на рис. 2.56 приведен пример зависимости площади радиатора S^ от температуры перед турбиной Т3 для газового и паротурбинного циклов при полезной мощности преобразователя энергии Nv — 1000 кет [2.35]. Вследствие меньшей потребной площади радиатора в литера¬ туре [2.32, 2.36, 2.87, 2.93—2.94] и др. преимущественно обсуж¬ дается паротурбинная схема. Совершенство такой схемы во мно¬ гом определяется совершенством газогидродинамики турбоагре¬ гата (см., например, [2.95—2.98]) с учетом эрозии элементов в двухфазном потоке [2.99]. Вес элементов машинных энергопре¬ образователей приблизительно пропорционален полезной мощ¬ ности 7Vv. Примерные значения удельного веса турбоагрегата при¬ ведены на рис. 2.57 [2.32]. Для электрогенератора по данным [2.36] удельный вес составляет примерно GJN^ ^ 0,4 кПквт. К энергопреобразователям с двухфазным потоком без турбо¬ агрегатов относятся преобразователи тепловой энергии в электри¬ ческую, использующие жидкометаллический цикл с магнито¬
88 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 гидродинамическим генератором [2.100, 2.101]. Такой преобра¬ зователь (рис. 2.58) содержит два контура: например, контур жидкого лития и контур паров калия. Нагретый в источнике энергии жидкий литий поступает в смеситель, где испаряет жид¬ кий калий. При расширении в газодинамическом сопле пары калия ускоряют литиевый поток, а затем отделяются в сепара¬ торе. Ускоренный жидкий литий вырабатывает электроэнергию в МГД-генераторе. В работах [2.100, 2.101] указывается, что такие преобразователи энергии при мощности Nv > 500 кет могут конкурировать по весовым показателям с турбогенератор¬ ными преобразователями. Безмашинные преобразователи энергии используют также термоэлектрические, солнечные и термоэмиссионные элементы ([2.32, 2.36, 2.87, 2.102—2.115] и др.). В термоэлектрических преобразователях используется эффект Зеебека по прямому пере¬ ходу тепловой энергии в электрическую при разных температу¬ рах двух стыков различных материалов (рис. 2.59). К.п.д. тер¬ моэлектрического преобразователя равен [2.87, 2.102—2.104] т. To s-e Т)т = Т _ т , Z = . (2.68) Т+ 2Тх—2— где Тг — температура горячего спая (стыка), Т2 — температура холодного спая, z — термоэлектрическая добротность материа¬ ла, s — коэффициент Зеебека, — проводимость, ^ — тепло¬ проводность. Для полупроводниковых термоэлементов с z порядка 2 • 10_3 1/°К к.п.д. достигает — 10% при перепаде температур Tj — Т2 ^ ^ 200° К [2.103]. Примерные значения удельного веса термоэлек¬ трического преобразователя SNAP-10A вместе с радиатором (ма¬ териал термоэлементов SiGe, z ~ 0,6-10"3 1/°К) по данным [2.103] составляют G g ——-^125 кГ/квтп. (2.69) V Другим видом полупроводниковых элементов, осуществляю¬ щих непосредственное преобразование энергии солнечного све¬ тового излучения в электроэнергию, являются кремниевые сол¬ нечные фотоэлементы (см. [2.32, 2.36, 2.87, 2.105—2.107] и др.). Такой фотоэлемент состоит из тонкого, толщиною ~ 2,5 мкм p-слоя кремния, нанесенного на /г-слой кремния (рис. 2.60). Падающие на фотоэлемент фотоны солнечного излучения приво¬ дят к образованию пар электрон — «дырка», которые под дейст¬ вием электрического поля между п и p-слоями диффундируют через контактную поверхность, создавая разность потенциалов
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 89 0,3—0,5 в. Отдельные элементы собираются на панелях в батареи. Удельный вес такого преобразователя энергии, естественно, по¬ вышается пропорционально квадрату расстояния до Солнца: <2Л0) По данным [2.32, 2.105] удельный вес преобразователя энер¬ гии с солнечными элементами на орбите Земли достигает пример¬ но G“/Nvx ^ 50 кГ/квт при . к.п.д. до 10—14%. Кроме то- отояы го, должны быть учтены ве¬ совые затраты на ориентацию батарей солнечных элементов на Солнце (см., например, [2.107]). В термоэмиссионных пре¬ образователях тепловой энер¬ гии в электрическую элект¬ роны эмитируются за счет тепловой энергии из нагре¬ того катода и поглощаются более холодным анодом (см. [2.32, 2.36, 2.87, 2.108—2.115] и др.). Для обеспечения этого потока электронов во внешнюю цепь (на полезную нагрузку) работа выхода материала катода щ должна быть выше, чем у мате¬ риала анода фа. Данные о величине работы выхода электрона для различных материалов приведены выше в табл. 2.4. Плот¬ ность тока эмиссии электронов с катода или анода по уравнению Ричардсона—Дэшмана существенно зависит от температуры Т: Л— г* ПП// iS/1 /Э AAU// О А jU иУ/ии /ifjG/VfnCdsT flap а зле/t гтрон- „дырна л-слой яремная Рис. 2.60. Схема кремниевого фотоэлемен¬ та — преобразователя энергии солнечного светового излучения в электроэнергию. i = АТ2 ехр (2.71) где А — универсальная постоянная, равная для чистых метал¬ лов 120 а/см2 -cpad2, к — постоянная Больцмана. Для обеспечения тока электронов от катода к аноду при Ф/с^>Фа необходимо, чтобы температура анода была существенно ниже температуры катода. Схема распределения потенциальной энергии в промежутке между электродами термоэмиссионного преобразователя приведена на рис. 2.61. Величина выходного напряжения, создаваемого термоэмиссионным элементом, опре¬ деляется соотношением 6^ = ф^ + фс — Фа-чу (2.72) где фс — кинетическая энергия электронов, фр — падение потен¬ циала в плазме разряда. Для типичных материалов, указанных выше в табл. 2.4, величина напряжения % порядка — 1 в,
90 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Поэтому значительные удельные мощности в термоэмиссионном пре¬ образователе требуют большой плотности тока i, величина кото¬ рой ограничена пространственным зарядом (см. в § 1 соотноше¬ ния (2.41)—(2.43)). Согласно (2.43) осуществление большой плот¬ ности тока требует очень малых зазоров d между электродами термоэмиссионного преобразователя; так, например, для плотно¬ сти тока — 1 а/см2 (мощность — 1 вт/см2) необходим зазор менее 10 мкм. Столь высокие требования к меж электродному зазору существенно упрощаются при заполнении термо¬ эмиссионного преобразователя парами щелочных металлов (Cs, В а), которые лехжо ионизуются и образуют в меж- электродном пространстве плазменный слой высокой проводимости. Эффектив¬ ный зазор как бы становится равным пути пробега электрона до слоя плаз¬ мы, что много меньше геометрического зазора. Кроме того, заполнение термо¬ эмиссионного преобразователя, напри¬ мер, парами Cs повышает эмиссионные способности катода. В качестве иллю¬ страции на рис. 2.62 по данным работы [2.115] приведены примерные характе¬ ристики термоэмиссионного преобразо¬ вателя, заполненного парами щелочных Рис. 2.61. Схема термоэмисси- мртялттов онного преобразователя энергии «iciajuxurj. и распределение потенциальной КОНСТРУКТИВНО терМОЭМИССИОННЫв энергии Е в межэлектродном ^ / го ос зазоре преобразователя. Элементы В ряде работ (СМ. [А.оЬ, 2.87—2.114] и др.) рассматриваются встроенными в ядерный реактор с жидкометаллическим охлажде¬ нием. На рис. 2.63 указаны примерные значения удельного веса реактора с термоэмиссионным преобразователем в зависимости от полезной мощности Nv [2.87] для схемы, изображенной на рис. 2.64 [2.87]. В весовом балансе космической энергоустановки — источника мощности, помимо указанных элементов существенное значение имеет система теплоотвода неиспользованной в цикле энергии' (см., например, [2.32] и др.). Поэтому общий весовой анализ ис¬ точников мощности приведен ниже в § 3 после рассмотрения харак¬ теристик систем теплоотвода от космических энергоустановок. 3. Аккумуляторы энергии. Как было указано выше, основ¬ ными видами энергии в космических энергоустановках являются тепловая энергия и электроэнергия. Соответственно рассматри¬ ваются аккумуляторы тепловой и электрической энергии ([2.32, 2.87] и др.). Ла/лод ЛодЗод /пелла Вакуум или чуим пары Cs АноЗ LJf Л/лЗоЗ /леЛлв
сЕЕРГОУСТ/ НОВКИ[ КССМИЕЕСКИХ АППАРАТОВ 91 Рис. 2.62. Характеристики термоэмис- сиоиного преобразователя энергии, за¬ полненного парами Cs и Ва; анод W Tt= 2000° К, катод Мо, зазор 0,25 мм, давление паров соответствует кипению при указанных температурах. Рис. 2.63. Зависимость удельного веса реактора с термоэмиссионным преобра¬ зователем от полезной мощности ЛГv: 1 — удельная мощность преобразовате¬ ля 10 вт/смгу 2 — то же 20 вт/см2. Рис. 2.64. Ядерный реактор с термоэмиссионными преобразователями: 1 — клемма вывода электрической мощности, 2 — вывод продуктов деле¬ ния, 3—регулятор, 4 —опорная решетка, 5—ввод охлаждающего теплоносителя, 6 — отражатель, '7 —термоэмиссионные элементы, 8 — клемма вывода мощности для питания насоса, 9 — аварийная защита, 10 и 11 — резервуары с Cs, 12 — выход теплоносителя.
92 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Аккумулирование тепловой энергии возможно за счет теплоем¬ кости материала аккумулятора или использования теплоты фа¬ зового перехода; второе предпочтительнее, так как позволяет аккумулировать тепловую энергию при примерно постоянном температурном уровне Тл. Из фазовых переходов рассматривает¬ ся плавление аккумулирующего тепло вещества, так как испаре¬ ние привело бы к соответствующему росту давления в контей¬ нере аккумулятора. В соответствии с физико-химическими свой¬ ствами меньший удельный вес аккумулятора тепловой энергии Р — Ge/E0 имеет место при использовании хлоридов и гидридов металлов [2.32, 2.87] (см. данные табл. 2.9). Использование чис¬ тых металлов (например, Pt [2.116], см. табл. 2.9) дает большее значение удельного веса р. Таблица 2.9 Удельный вес аккумулятора тепловой энергии (без учета веса контейнера) Аккумулиру¬ ющее вещес¬ тво Температурили уровень ТП°К Удельнлй вес °е кГ Э ~~ Е дж LiH 950 0,33*10-6 NaCl 1077 1,95-10-6 Pt 2042 8,8-10-6 Из аккумуляторов электроэнергии меньший удельный вес имеют серебряно-цинковые щелочные аккумуляторы [2.32, 2.117], примерные значения удельного веса которых по данным работы [2.117] приведены на рис. 2.65. Удельный вес электроконденса¬ торов порядка р ^ 0,015 кГЮж [2.36]. Данные табл. 2.9 и рис. 2.65 показывают, что удельные веса аккумуляторов тепловой и электроэнергии одного порядка Р ^ 1 — 5 -10"в кГ/дж. 4. Системы подачи и хранения рабочего тела. Различают тур- бонасосные и вытеснительные системы подачи жидкого рабочего тела ([2.2, 2.30, 2.36, 2.118, 2.119] и др.)* Для тепловых реактив¬ ных двигателей с жидким рабочим телом, как было указано выше (см. § 1 настоящей главы) вес системы подачи Gq примерно про¬ порционален максимальной тяге Ртах- Значения удельного веса турбонасосных агрегатов поданным [2.2, 2.119] порядка Gq/Pmах ~ ^ 0,005, и для анализа тепловых реактивных движителей с по¬ зиций механики полета удельный вес системы подачи целесо¬ образно включать в общий удельный вес двигателя (см. (2.16)). В двигательных установках с энергопреобразователями теп¬ ловой энергии в электрическую, помимо системы подачи, необхо¬
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 93 димо учитывать весовой вклад и других насосных систем, исполь¬ зуемых для прокачки теплоносителя по основному и вспомогатель¬ ным энергетическим контурам (см. рис. 2.54, 2.58 и 2.59). По данным работы [2.94] удельный вес системы подачи и насосной системы составляет примерно GqjNv ^ 0,35 кГ/квт при Nv — = 415 кет. Параметры баков для хранения рабочего тела (топлива) под¬ робно рассмотрены, например, в работе [2.30] и др. Вес баков Рис. 2.65. Изменсг.ке удельного веса серебряно- цкнкоесI о аккумулятора в зависимости от энергии, ьвкаг ливасмсй в одном элементе (напряжение да 1,5 в). Gp пропорционален весу запасаемого рабочего тела (топлива) GVi. Примерные значения удельного веса баков составляют: для хранения жидкого кислорода + керосин Gp/G^ ^ 0,004 [2.120], для хранения Cs G?JG^ ^ 0,006 [2.94]. Следует отметить, что для твердотопливных тепловых реак¬ тивных двигателей (см. [2.11, 2.30] и др.) вес топливного контей¬ нера одного порядка с весом двигателя и пропорционален полному импульсу движителя Pt; примерные значения удельного веса контейнера твердотопливного РД по данным [2.11] состав¬ ляют Gfr/Pt ^ G-JPt ^ 0,8 *10“3 1 /сек. 5. Энергоустановки с забором рабочего тела из внешней среды. Забор рабочего т,ела из внешней среды (атмосферы) используется в воздушно-реактивных двигательных системах (см., например, [2.2, 2.121—2.131] и др.). а также рассматривается в двигатель¬ ных системах с накоплением рабочего тела при орбитальном полете в верхних слоях атмосферы ([2.134—2.137] и др.). Начальным элементом таких двигательных систем является воздухозаборник, основная задача которого осуществить забор рабочего тела с минимальными потерями полного давления и с минимальным внешним аэродинамическим сопротивлением. На сверхзвуковых скоростях полета при торможении воздухозабор¬
94 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 ником набегающего потока могут иметь место значительные по¬ тери полного давления набегающего потока р0: р.=р„(1+“-^1м;Г. <2-73> где М0 = via — число Маха полета, а — скорость звука (см. рис. 1.4). Эти потери полного давления р0/Ро дал,ёе вызывают Рис. 2.66. Некоторые принципиальные схемы сверхзвуковых диффузоров воздухозаборников, а) Многоскачковый диффузор с внешним сжатием набегаю¬ щего сверхзвукового потока; б) диффузор, использующий два конических течения: 1 — зона обтекания центрального конуса, 2 — изоэнтропическое течение, з — расходящееся коническое течение перед коническим скачком [2.132]; в) сжатие гиперзвукового потока в канале с параболической ударной волной [2.133]. соответствующие потери тяги движителя (см. § 1 настоящей гла¬ вы). Для обеспечения малых потерь полного давления р0/р0 рас¬ сматриваются воздухозаборники — сверхзвуковые диффузоры, примеры схем которых указаны на рис. 2.66 ([2.2, 2.132, 2.133] и др.). На рис. 2.67 даны примерные значения относительного полного давления на выходе из идеального воздухозаборника р0/р0 в зависимости от количества скачков уплотнения и числа Маха полета М0. Такой воздухозаборник — сверхзвуковой диффузор — не вызывает дополнительного внешнего аэродинамического со¬ противления при заборе из внешнего потока струи площадью, равной площади входа f0 (см. рис. 2.66) и обеспечивает расход qv: qv = — pvf0. (2.74)
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 95 В прямоточном воздушно-реактивном двигателе (рие. 2.68) между воздухозаборником и реактивным соплом-движителем располагает¬ ся камера сгорания или другой источник тепла; в турбореактивном или турборакетном двигателях для обеспечения тяги на малых скоростях полета перед камерой сгорания осуществляется сжа¬ тие воздуха турбокомпрессором ([2.2, 2.121-2.131] и др.). Использование газодинамиче¬ ской теории ([2.2, 2.4, 2.6] и др.) позволяет определить характе¬ ристики воздушно-реактивных двигателей. При этом тяга воздушно- реактивных двигателей Р при¬ мерно пропорциональна площа¬ ди входа в воздухозаборник £0 и атмосферному давлению на данной высоте полета ph: PxJcf0-ph. (2.75) Удельная тяга Р/&0рн зави¬ сит от числа Маха М0. С уве¬ личением скорости полета удель¬ ная тяга сначала возрастает в соответствии с увеличением сте¬ пени сжатия р0/Рл набегающего потока в воздухозаборнике. Однако одновременно возрастает и температура торможения набегающего потока Т0': Т; = Th (1 + М0), (2.76) Рис. 2.67. Изменение относительного пол¬ ного давления на выходе из идеального воздухозаборника в зависимости от коли¬ чества скачков в системе п и числа Маха полета. что при заданной допустимой температуре Т0 за камерой сгорания 3 Рис. 2.68. Схема воздушно-реактивной двигательной установки: 1 — воздухозаборник, 2 — камера сгорания (источник тепла), 3 — реактивное сопло-движитель. (источником тепла) приводит к снижению возможного нагре¬ ва воздушного потока в двигателе ДТ0 = Т0 — Т0 и вызывает падение удельной тяги при больших числах М0 полета. В качестве иллюстрации на рис. 2.69 по данным [2.1271
96 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 приведено примерное изменение удельной тяги воздушно-реактив¬ ных двигателей в зависимости от числа Маха полета. Эффектив¬ ный удельный импульс воздушно-реактивных двигателей I° = = Р/gqa также зависит от числа Маха полета (рис. 2.70) [2.127]. Вес воздушно-реактивных двигателей примерно пропорционален площади входа в воздухозаборник Gp — f0; в табл. 2.10 по дан¬ ным [2.127] приведены ориентировочные значения удельных ве¬ сов воздушно-реактивных двигательных систем. Таблица 2.10 Примерные значения удельного веса воздушно-реактивных двигательных систем Тип двигателя Прямоточ¬ ный Турбора¬ ке тный Турбореак¬ тивный Удельный вес °р кГ М2 1050 1350 2600 Характеристики воздушно-реактивных двигателей, исполь¬ зующих жидкий водород в качестве горючего, несколько улуч¬ шаются при дополнительном использовании теплоемкости жид¬ кого водорода для сжижения и накопления части воздушного потока (кислорода), поступающего через воздухозаборник (под¬ робнее см. [2.127] и др.). Другим типом двигательных систем, использующих забор рабочего тела из внешней среды, являются системы с накопле¬ нием рабочего тела при орбитальном полете в верхних слоях ат¬ мосферы ([2.134—2.137] и др.)* Принципиальная схема такой двигательной системы приведена на рис. 2.71 [2.136]. Поток воз¬ духа qv, поступающий в двигательную систему через воздухо¬ заборник, предварительно охлаждается системой теплообменни¬ ков с радиаторами, затем сжижается в детандерной установке (см. [2.138]) и с возможным разделением компонент подается в баки для рабочего тела. Лобовое сопротивление —qvv, как и аэроди¬ намическое сопротивление аппарата в целом компенсируется ре¬ активным движителем, потребляющим часть поступающего через воздухозаборник расхода q<C\qv\- Разность указанных расходов qa = q — qv накапливается в баках для рабочего тела. Так как 4<^\qv\i то Для компенсации аэродинамического сопротивления скорость реактивной струи V должна быть существенно больше орбитальной скорости полета v: (2.77)
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 97 Рис. 2.69. Зависимость удельной тяги воз¬ душно-реактивных двигателей от числа Маха полета: 1 — турбореактивный двигатель, 2 — тур- боракетпый, 3 — прямоточный с дозвуко¬ вым горением, 4 — прямоточный со сверх¬ звуковым горением. Рис. 2.70. Изменение эффективного удель¬ ного импульса воздушно-реактивных дви¬ гателей в зависимости от числа Маха поле¬ та. Сплошная кривая — горючее водород, пунктирная кривая — горючее керосин. V 7 Рис. 2.71. Принципиальная схема двигательной системы с накоплением рабочего тела в орбитальном полете в верхних слоях атмосферы: 1 — воздухозаборник, 2 — радиаторы, з — компрессоры, 4 — детандер, 5 — сжижающая установка, 6 — бак для рабочего тела, 7 — движитель, 8 — энергоустановка, 9 — ядер- ный реактор, 10— турбина, 11 — насос, 12 — электрогенератор; А — элементы, распо¬ ложенные по левую сторону черты, функционируют только в фазе накопления. ^ Механика полета
98 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Учитывая, что для полета в верхних слоях атмосферы Земли v ^ 8 км/сек, необходимая скорость реактивной струи V в рас¬ сматриваемой двигательной установке с накоплением может быть достигнута только в электроре- активных движителях (см. § 1 данной главы). Энергетические затраты на работу электрореактивного дви¬ жителя Nr и сжижительной установки накопителя Nv обес¬ печиваются энергоустановкой — источником мощности (рис.2.71). Оценим энергетические за¬ траты на работу сжижительной установки. На рис. 2.72 по дан¬ ным [2.139] приведены значения идеальных затрат мощности на О 400 800 ТV°,K сжижение Nvo (при к.п.д., рав- п _ч тт ном единице) в зависимости от Рис. 2.72. Изменение удельных идеальных ^ ^ у затрат мощности на сжижение воздуха температуры ВОЗДуха На ВХОДе в зависимости от температуры воздуха на гжижитртттлпгю vPTaHORKv Т входе в сжижительную установку Ту. й шижихельнуш уысшиычу ц. Отметим, что эти значения удель¬ ной мощности Nv0Jqv более чем на два порядка меньше удельной мощности реактивной струи движителя накопительной системы, равной -^-^2*105 квт/кг/сек при V ^ 2* 104 м/сек. (2.78) Поэтому в работах [2.134—2.136] принимается, что удельный вес двигательной системы с накоплением рабочего тела в орби¬ тальном полете в основном определяется весовыми параметрами ее электрореактивной двигательной установки, элементы которой были рассмотрены выше. 6. Внешнее сопротивление двигательной установки при по¬ лете в атмосфере. На этапе движения кисмического аппарата в атмосфере планет аэродинамическое сопротивление может ока¬ зывать существенное влияние на механику полета, особенно в случае двигательных систем с забором рабочего тела из внеш¬ него потока. Так как типичными компоновочными формами кос¬ мических двигательных систем являются тела вращения без протока и с протоком, то рассмотрим основные закономерности аэродинамического сопротивления тел такой формы. Аэродина¬ мическое сопротивление тела Fx (см. выше (2.2)) характеризует¬ ся коэффициентом сопротивления - __ F* /О 70\
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 99 где рг;2/2 — скоростной напор набегающего внешнего потока, fm — характерная площадь, например, площадь миделевого сече¬ ния тела. Для заданной геометрии тела величина коэффициента аэродинамического сопротивления сх в основном зависит от двух безразмерных параметров [2.140]: числа Маха полета М0 = v/й и числа Рейнольдса Re = vL/v (L — характерный линейный раз¬ мер, например, длина тела, v — кинематическая вязкость в потоке 0,4 0,3 0,3 0,1 По А МОШОм ^/пМм L П п=и ~ и Рис. 2.73. Зависимость коэффициента аэродинамического сопротивления от скорости и высоты полета для типич¬ ной компоновки ракетного аппарата; нижняя пунктирная кривая — сопро¬ тивление трения при h = 0. набегающего воздуха) или соответственно от скорости v и высоты полета h, так как скорость звука а = г х— и кинематическая г вязкость v = / (Т) определяются высотой полета (см. рис. 1.4). В качестве иллюстрации на рис. 2.73 приведен пример изменения коэффициента сопротивления сх от скорости и высоты полета для типичной компоновки ракетного аппарата [2.141]. Величина аэродинамического сопротивления определяется двумя слагаемыми: суммой сил трения и давления внешнего потока на тело (2.2) Сх = схх + °хр- (2.80) При дозвуковых скоростях движения (М0 1) основную часть сопротивления тел обтекаемой формы определяют силы трения (см. нижнюю пунктирную кривую на рис. 2.73). Величина со¬ противления трения может быть оценена по коэффициенту 7*
100 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 трения для плоской пластины (S — площадь поверхности): = г . <2-81> который для турбулентного пограничного слоя на теплоизолиро¬ ванной поверхности определяется следующей формулой [2.1, 2.142-2.145]: a8°.S^F<1+°-144M;>~"',i- (2-82) Первый множитель этой формулы учитывает зависимость коэффи¬ циента трения от числа Рейнольдса при М0 = 0 (рис. 2.74, а) 0,0050 Шо 10,0030 '0,0020 > -п - щ -On. ©И LJ Рг II Ю7 1,5 2 2,53 4 5 6 8 /О8 1,5 2 2,53 4 6 8 Re а) Рис 2 74. а) Зависимость коэффициента турбулентного трения плоской пластины от числа Рейнольдса при м0 = 0; сплошная кривая соответствует первому члену формулы (2.82) точки — эксперимент; б) влияние числа Маха на коэффициент трения; сплошная ’ кривая соответствует второму члену формулы (2.82). [2.143], второй множитель формулы (2.82) учитывает влияние числа Маха (рис. 2.74, б) [2.145]. Следует отметить, что формула (2.82) определяет значения коэффициента трения, отнесенные к
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 101 «смоченной» поверхности S. Коэффициент трения схх, отнесенный к площади мид ел ев ого сечения тела^т, определяется соотношением S Ср (2.83) При сверхзвуковых скоростях движения (рис. 2.73) коэффи¬ циент сопротивления резко растет и большую часть сопротивле¬ ния обусловливают силы давления, связанные с волновым обте¬ канием тела (см., например, [2.1, 2.146, 2.147] и др.)* Определение о) Рис. 2.75. Закон плоских сечений: в плоскости А движение газа, как при вытеснении эквивалентным поршнем; 1 — поршень, 2 — ударная волна. Рис. 2.76. Зависимость коэффициента волнового сопротивления тел кониче¬ ской формы сХр от угла конуса & и числа Маха; кривая построена по закону пло¬ ских сечений и решению для цилиндри¬ ческого равномерно расширяющегося поршня, точки — расчет для кониче¬ ских течений при & = 5°, 10° и 15°. при сверхзвуковых скоростях движения величин коэффициента вол¬ нового сопротивления Схр рассматриваемых обтекаемых тел враще¬ ния возможно на основе общей теории сверхзвуковых течений [2.1, 2.5, 2.12,2.14,2.146—2.153]. При больших скоростях в связи с осо¬ бенностью гипзрзвукового обтекания тонких тел, которые вызы¬ вают в основном лишь поперечные смещения частиц газа, анало¬ гичные случаю расширения поршня, для анализа изменения схр удобно использовать хорошо изученные автомодельные движения газа, вытесняемого поршнем ([2.140, 2.145, 2.154—162] и др.). По закону плоских сечений [2.163] задача об обтекании тонких тел потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью (рис. 2.75, а) эквивалентна задаче о плоском неустановившемся движении газа, вытесняемого подвижным поршнем, расширяющимся по соот¬ ветствующему закону (рис. 2.75, б). В качестве примера приложения указанных принципов на рис. 2.76 приведены результаты расчета изменения коэффициента волнового сопротивления с*хр тел конической формы в зависимости от угла наклона поверхности конуса Ф и числа Маха [2.162, 2.164]; Для сопоставления на рис. 2.76, помимо решения по расширяюще¬ муся поршню, приведены результаты точного расчета для кони¬ ческих течений. Данные рис. 2.76 показывают характер влияния
102 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 скорости движения (числа Маха) и удлинения носовой части L =Ь/г0 = ctg O' на величину лобового сопротивления. Исследования автомодельных движений газа с ударными вол¬ нами, расширяющимися по степенному закону г = ctm [2.165— 2.167], позволили определить для больших чисел М0 влияние на схр перехода от конической формы тела к степенной форме г — = схт с большим объемом о (рис. 2.77). Данные рис. 2.77 пока¬ зывают, что при заданном удлинении носовой части тела сте¬ пенной формы минимум волнового сопротивления имеет место при показателе степени т ^ 0,70; волновое сопротивление тела такой формы примерно на 25% меньше, чем у конуса, при объеме большем—на — 25 %. Отметим,что для тел степенной формы вследст¬ вие затупления носовой части (увеличивающегося для т<^ 1, при пг-^0,5 — случай цилиндрического сильного взрыва) с увеличением относительного затупления следует учитывать возрастающее влия¬ ние на параметры обтекания слоя потока с повышенной энтропией у поверхности тела [2.168]. Однако по данным работы [2.168] в рассматриваемом диапазоне 1 > т > 0,65 это влияние незна¬ чительно (рис. 2.78). Тело вращения степенной формы г = схт при т ^ 0,75 ока¬ зывается оптимальным по волновому сопротивлению и при исполь¬ зовании известной приближенной зависимости для относитель¬ ного давления р на контуре тела (подробнее см. [2.165]): __ _ sin2 О* р = <2-84) р — р^ __ где р — (схр равно среднему значению р по площади миделя), ру2/2 й'г — местный наклон контура поверхности тела, рп и Фп — от¬ носительное давление и наклон в фиксированной точке, например на носике. Использование соотношения (2.84) позволило показать, что учет сил трения [2.165] незначительно изменяет контур опти¬ мальной носовой части (рис. 2.79) (см. также [2.210]). Форма оптимального контура тонкого тела вращения с учетом сил тре¬ ния при постоянном значении местного коэффициента трения cF — const определяется соотношением [2.165] / с п \ 7з /с ™ \ 2/з
ЭНЕРГОУСТАНОВКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 103 т=/,0 0,90 0,80 0№^*^ 4,0 1,08 1J6 1,24 2> 7 V* Рис. 2.77. Изменение коэффициента волнового сопротивления тел вращения степенной формы г = схт в зависимости от относительного объема г/to*; объем ь и коэффициент сопротивления соотнесены к соответствующим значениям ь* и с * для тела конической формы (m = 1) с таким же удлинением. Рис. 2.78. Влияние слоя потока с повышенной энтропией на пара¬ метры гиперзвукового обтекания тела вращения с ударной волной степенной формы г = сх°>65- Сплошная кривая — точный контур тела, пунктирная кривая — контур тела без учета энтропийного слоя.
104 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 Использование соотношения (2.84) позволило также определить оптимальные формы носовой части тел вращения при заданном объеме [2.165], которые оказались близкими к степенным фор¬ мам и определяются уравнением Для тел вращения с протоком величина внешнего волно¬ вого сопротивления зависит от относительного радиуса входа (2.85) о о;г о,4 о,в о,s f Рис. 2.79. Влияние сил*трения на фор¬ му оптимального контура [носовой ча¬ сти тела вращения при больших сверх¬ звуковых скоростях движения. Сплош¬ ная кривая — оптимальный контур с учетом сил трения, пунктирная — без учета трения [2.165]. Рис. 2.80. Зависимость коэффициента волнового сопротивления тела с прото¬ ком от относительного радиуса входа га/г0', с отнесено к кольцевой пло- 1 хр щади миделя. rq = rq/r0, примерное изменение коэффициента сопротивления cxv по rq показано на! рис. 2.80 [2.165].
ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК 105 § 3. ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК 1. Радиационные системы отвода энергии. В тепловых реак¬ тивных двигательных системах с открытым циклом (см. выше рис. 2.10) необходимый теплоотвод в основном достигается за счет предварительного подогрева подаваемого рабочего тела. Так, например, в построенном в 1930 г. тепловом реактивном Рис. 2.81. Реактивный двигатель ОР-1: горючее — бензин, окисли¬ тель — сжатый воздух, тяга Р = 5,0 кг. двигателе Ф. Цандера ОР-1 (рис. 2.81) охлаждение осуществ¬ лялось окислителем — сжатым воздухом, проходящим по каналу вокруг камеры сгорания перед поступлением в каме¬ ру [2.71]. Для космических двигательных систем, включающих энерго¬ установку с замкнутым циклом (см. выше рис. 2.52), энергетиче¬ ский к.п.д. системы ре = NyJNn, равный отношению полной мощности реактивной струи движителя N\ ^ 7Vv к мощности энергоисточника Nn, как обычно, для энергоустановок порядка десятка процентов. Поэтому для энергоустановок с замкну¬ тым циклом большая часть мощности, выделяемой источником
106 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 энергии, равная Nt = Nn — Ar). = -V, —- , (2.86) По должна быть отведена от космического аппарата примерно на низшем температурном уровне энергетического цикла —Тшщ*). Основным обсуждаемым в литературе (см. [2.32, 2.87] и др.) методом отвода мощности N^ является лучистый теплоотвод с помощью радиаторов различного вида. Величина потребной пло¬ щади поверхности радиатора S^ связана с мощностью N\ по за¬ кону Стефана—Больцмана Nr N у 1 — Г)„ = X- = т • (2.87) o«,T*lln ссоДп]п Ло Соотношение (2.87) приведено для случая отсутствия сущест¬ венных внешних тепловых потоков и для радиаторов без само- облучающихся поверхностей; примером такой системы может служить плоская излучающая поверхность в космосе, располо¬ женная параллельно потоку солнечного излучения. Как было указано выше, обсуждаемые в литературе типичные космические энергоустановки работают по тепловому циклу. Энер¬ гетический к.п.д. г)о связан с максимальным и минимальным температурными уровнями энергоустановки Ло = ^ Ттах —Т1шп_ = ^ (1 _ Т), (2.88) max где Т = —111111 , коэффициент щ учитывает отличие от идеаль- uiax ного энергетического цикла. Согласно (2.87), (2.88) величина потребной площади радиато¬ ра равна N> II — ri (1 — Т)] SK = —Ц 'Г _ 2- . (2.89) * GcoTai;lx'i')^ (1 т) т При заданных значениях мощности струи движителя 7V>., макси¬ мально допустимой температуре цикла энергоустановки Ттах (а также со и р J величина площади радиатора достигает минимума при следующем оптимальном значении Т: in in Sr при T,pl = l-2K+ |/(l_AL)2 + _L._l. (2.90) Зависимость T()1)L (pj приведена на рис. 2.82; видно, что при ри: = *) Учет мощности Nqv, привносимой забираемым рабочим телом (см. гл. 1, § 2), не изменяет принципиально дальнейшего анализа. Для простоты рассматриваем случай Nqv = 0.
ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК 107 = 1,0, Topt=3/4 и несколько повышается с уменьшением зна¬ чения щ. Соответствующие минимальные удельные значения S^co/Nx приведены на рис. 2.83. Видно, что для обсуждаемого в литературе диапазона допустимых значений Ттах ~ 1000ч- 2500° К (см., например, [2.32, 2.87] и др.) удельная площадь радиатора hpl 0,8 0,6 0,0 0,2 0,5 0,6 0,7 0,8 л. 0,0 у* Рис. 2.82. Оптимальное соотношение темпе¬ ратурных уровней космической энергоуста¬ новки Topt = Tmin/Tmax, соответствующее минимуму потребной площади радиатора. Рис. 2.83. Зависимость удельных значе¬ ний площади радиатора от максимального температурного уровня в энергоустановке. Рис. 2.8V Плоской сребренный трубчатый радиатор. составляет ~10_1—10"2 мУквт, т. с., например, уже для энер¬ гоустановки мощностью Arv ^ Nx ~ 20 000 кет (для движителя с тягой порядка 10,0 кГ при удельном импульсе 7°^ 10 000 сек) необходим радиатор площадью в сотни квадратных метров. В свя¬ зи с большими потребными площадями радиаторов существен¬ ными являются вопросы минимизации их веса; ниже эта пробле¬ ма рассматривается для двух типичных схем: оребронного труб¬ чатого и ленточного радиаторов. 2. Система отвода энергии с плоским оребренным трубчатым радиатором. Принципиальная схема такой системы отвода энер¬ гии приведена на рис. 2.84 [2.32]. Отвод энергии, подводимой
108 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 текущим внутри трубок теплоносителем, осуществляется излу¬ чением с поверхности оребренных трубок. Задачу минимизации веса рассмотрим вначале для системы с трубками очень малого диаметра, что эквивалентно плоской за¬ даче минимизации веса системы ребер, охлаждающих излучением параллельно расположенные с некоторым шагом 2L линейчатые источники тепла (рис. 2.85, а). Вследствие симметрии достаточно рассмотреть участок ребра АВ (охлаждаемого излучением по АВ) на полушаге!/ при одностороннем подводе тепла к ребру по осно¬ ванию ребра ОА (рис. 2.85, б) при заданной минимальной тол¬ щине ребра О'В [2.169]. Будем рассматривать тонкое ребро жен обеспечить минимум площади сечения ребра f = —2\ydx при заданных начальном тепловом потоке Q0, начальной темпе¬ ратуре Т? и минимальной толщине ребра у > ут[п. Введем безразмерные переменные: а) с пологим контуром, для кото¬ рого уравнения теплопередачи вдоль ребра и закон теплового излучения справедливы в сле¬ дующей форме: 'I (2.91) L где у — полутолщина ребра, ось — х направлена вдоль ши¬ рины ребра, Q — тепловой по¬ ток по ребру на единицу длины ребра, Х:;: — коэффициент теп¬ лопроводности, Т — температу¬ ра ребра. Рис. 2.85. Схема плоского оребрения радиатора. Оптимальный контур сечения ребра минимального веса дол- L 0 X = (2.92) Тогда о (2.93)
ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК 109 На краю ребра(при я = L) нам известно значение только пере¬ менной Q = Ql = 0. Поэтому удобнее искать остальные пере¬ менные как функции от Q:T (Q), х (Q), у (Q). Уравнения (2.93) перепишем в виде г/Т __ (J_ Г,т4 ’ * А т4 f = —2\4rdQ, (2.94) dQ yTl J Т4 V V ' где при Q = 1 Т = 1, у = у0\ при Q = 0 Т = TL, у = ymin. В такой постановке задача может быть решена на основании принципа максимума [2.170]. Следуя [2.170], введем новую Q — переменную fi= —2\^-^dQ и будем рассматривать задачу об i _ оптимизации конечного значения этой переменной при Q = 0. Гамильтонова функция Н (см. [2.170]) запишется в виде (2.95) где dll \ ( рхО 0 \ , ЭН п } ог ЯГ-0- {1Щ с граничными условиями: при Q = 0 р1 = 0, р2 = 1,0. Заметим, что импульс р2 — постоянная величина, р2 = 1,0 (см. (2.96)). Согласно [2.170] функция Н должна быть максимальной по у при любых значениях Т и pv На краю ребра при Q = 0 и рг = 0 максимум//, естественно, достигается при уь = уШ[П, тогда IIL — = — и {р[)ь = Отступая от края ребра, убеждаемся Ч Т° в том, что до тех пор, пока i / Pl(l_ ymin, максимум Н по у I/ а всюду имеет место при у = утт. Следовательно, на этом участке оптимальный профиль ребра у = ymm = const. В некоторой точке Q = величина достигает значения ymjn; с этой точки и далее при Q^> Q** максимум функ¬ ции Н имеет место при у уш[п и р1 = — , что приводит к следующему дифференциальному уравнению: 2^Т^- + 16Д( 4ГУ_ f4^- = 0. (2.97) dQ2 v \ dQ I dQ v
110 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 В результате интегрирования уравнения (2.97) получаем решение в виде T = [(l -Tl)Q > + Ti] (2.98) а форма контура определяется интегрированием следующей сис¬ темы: dx = dQ Ф 2 dQ ■1-т» dx ' (2.99) где Tl соответствует температуре на краю ребра, если контур (2.99) продолжить в область у X ут\а. На рис. 2.86 приведены О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 -х Рис. 2.So. Оптимальные контуры плоского теплоотводнщего ребра, охлаждаемого пзлучением. результаты расчета оптимальных контуров (2.99) при ряде зна¬ чений параметра TL [2.169] (расчеты проведены Ю. В. Шалае¬ вым) . Отметим, что контур с TL = 0, дающий абсолютный мини¬ мум площади ребра $f0pti соответствует рассмотренному в рабо¬ тах [2.171—2.174] частному случаю ребра с утщ = 0 (подробнее
§3] ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК см. в [2.169]). Для этого контура Т — 0':‘, <7 = (l + 4-f. Т = (1 + Д У Уо = 6> 7 ^ ■'-'opt 9 ^ = (1 + 4-) V 3,5 ■^opt Qo GO)T4 = -з, , У op г — 8» Qo (2.100) О opt X gcoT0 S opt Qo X gcoT9 6Г К указанному значению f0pt удобно относить значения S всех анализируемых контуров ребер. При заданном значении ут[п по- ^ строение оптимального контура ребра <ropt по параметру Тl на участке от нача- ла ребра до //' /7.:и, (•?„, Q , ТД про- Л водится по данным рис. 2.86; пара¬ метры участка с постоянной толщи¬ ной у = у mini примыкающего к краю ребра, определяются по формулам 1,0 (при Q** > Q > 0) для 2?/„ X — X = ** Q л dQ 05 Q* (Q2 — Q?) -i- Т1 11 ^inin 1$ Утъп = 0 1 / ^У о 0,5 1,0 т, Рис. 2.87. Влияние относительной температуры края ребра на площадь сечения теплоотводящего ребра. 2^iuin (2.101) В качестве примера на рис. 2.86 указаны оптимальные контуры ребер при ymin = 1,8. Значения относительной площади сечения этих ребер S'/So^x по параметру TL приведены на рис. 2.87, где пунктиром также указаны значения .fAfopt для случая ymin = = 0. При ут[п = 1,8 утш/Уо =~- 0,31; минимум площади с поло¬ гим оптимумом имеет место при Tl ~ 0,70; минимальная пло¬ щадь составляет f/S' opt = 1,205, что существенно меньше, чем для оптимального прямоугольного ребра, где f /f opt = 1,635 (см. пунктирную кривую на рис. 2.86 [2.175—2.176]). Для сопостав¬ ления на рис. 2.86 пунктиром указан также контур оптимального треугольного ребра [2.177], для которого f/Sopt = 1,103 (при Vmin — 0).
112 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 У реальных плоских оребренных трубчатых радиаторов с трубками конечного диаметра (рис. 2.84) необходимо учитывать излучение с поверхности трубок и взаимооблучение трубок и ребер. Последний фактор для радиаторов с достаточно длинными ребрами дает (по данным [2.175] и др.) относительно небольшой вклад, и поэтому пренебрежем в первом приближении взаимным облуче¬ нием трубок и ребер. Рассмотрим оптимальное сочетание с ми¬ нимальным весом теплоотводящих ребер и трубки [2.169], нагре¬ ваемой изнутри теплоносителем, при заданных температуре стен¬ ки трубки Ту; = Т* и геометрии трубки (диаметр D, толщина стенки б). Обозначим, как и ранее, через Q0 начальный тепловой лоток по одному ребру; тогда полный отвод тепловой мощности на единицу длины трубки z с ребрами составит ^ = 2Q0 + л(В + 6)ссоТ*. (2.102) Пес единицы длины трубки с ребрами равен 9. ^ з dG^ _ я(Р+б)-*Z>* ~ ^opt ,2 10os dz ~ 4 Tl ' * * где — удельный вес материала трубки, у2 — удельный вес материала ребер. Согласно (2.102) и (2.103) относительный вес радиатора dG-JdN^ на единицу отводимой тепловой мощности составит ^ d G у сг'1/ -{- Q ^ где Л = п (7J + 68)2~Z)'2 Гь 53 = У Г21 (в = я(Д+а) асоЦ. ° X 62co-TJ - * * Минимум относительного веса радиатора достигается при () 2 Vo M(2Q 0 + 3<ё) ’ или (1+Х)%2 = ^^|г, (2.105) где Y--A2! 1 " 3 <ё '
ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК ИЗ При этом минимальный относительный вес составляет ( \ __ dNс * min 1 + X (2.106) т. е. в 1 + X раз меньше, чем для трубчатого радиатора без ребер. В качестве иллюстрации на рис. 2.88 приведены значения —^ при D = 10 мм, б = 0,25—0,75 мм, Т* = 1100° К, со = = 0,9; трубка из стали, ребра из стали, меди или бериллия с f/fopt — 1,205 (рассмотренный выше оптимальный контур с 2/miri/ у о = 0,31). Видно, что у оптимального оребренного плоско¬ го трубчатого радиатора относительный вес может быть примерно вдвое меньше, чем у трубчатого радиатора без ребер. Рис. 2.88. Влияние оребреиия па относительный вес плоского трубча¬ того радиатора. Относительный вес трубчатого радиатора, естественно, суще¬ ственно зависит от допустимой толщины стенки трубки б, опре¬ деляемой из условий метеорной опасности (см. § 3 гл. 1). По данным рис. 1.8 и формулы (2.104) для трубчатого радиатора без ребер (при Q0 = 0) на рис. 2.89 приведена зависимость относи¬ тельного веса трубчатого радиатора от его температуры Т* при различном допустимом числе метеорных пробоев радиатора ни единицу излучаемой энергии [2.32]. При анализе данных рис. 2.89 следует подчеркнуть, что полезная мощность двигательной си¬ стемы (например, полная мощность реактивной струи движителя Ni) значительно меньше излучаемой радиатором мощности 7V-; даже для идеального цикла при ц = 1,0 (см. выше) полезная о Механика полета
114 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 мощность втрое меньше излучаемой. Поэтому удельный вес труб¬ чатого радиатора, относимый к полезной мощности двигатель¬ ной системы, в несколько раз превышает приведенные на рис. 2.89 значения относительного веса радиатора (соответственно сдви¬ нется и шкала числа пробоев на 1 квт-ч полезн й энергии). Вид¬ но, что удельный вес трубчатого радиатора достигает заметной величины по сравнению с ука¬ занными в §§ 1 и 2 настоящей главы значениями удельных весов энергоисточников, энер¬ гопреобразователей и движи¬ телей. Применение плоско¬ го оптимально оребренного трубчатого радиатора соот¬ ветственно примерно вдвое снижает удельный вес радиа¬ тора (см. рис. 2.88). Большее снижение веса радиатора мо¬ жет быть достигнуто при з в е з д о об ра з ном о реб ре ни п. 3. Система отвода энергии со звездообразно оребренным трубчатым радиатором. Выше в п. 2 была рассмотрена пло¬ ская задача об оптимальном контуре поперечного сечения теплоотводящего ребра (ох¬ лаждаемого излучением) при одностороннем подводе тепла к ребру. Было показано, что площадь поперечного сечения оптимального ребра (мини¬ соотношением вида Рис. 2.89. Огчосительпый вес трубчатого ра¬ диатора (мм единицу излучаемой мощности) с учетом метеорной опасности для полетов в'лизи Земли в зависимости от температуры радиатора Т*. мального веса) определяется Ql (2.107) т. е. площадь сечения (вес) оптимального ребра пропорционален кубу теплового потока Q0, отводимого ребром. Поэтому, если заданный тепловой поток Qv будут отводить несколько (п) ребер ((?£ = nQo), то без учета их взаимного облучения суммарная площадь сечения ребер $^ (и их вес) будет уменьшаться обратно пропорционально п2: при Qz = nQо = const. (2.108)
ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК 115 Тсплоотводящие ребра можно расположить, например, звез¬ дообразно у вершин охлаждаемого многогранника (трубки) (рис. 2.90). При этом с п 2 существенно взаимное облучение ребер, учет которого определит оптимальное количество ребер ftopt и соответствующую оптимальную форму сечения ребер [2.178]. В указанной постановке задача об оптимальном звездообраз¬ ном оребрении была решена в работах [2.178—2.179]. На рис. 2.91 приведены результаты решения для формы контура оптимальных звездообразных ребер при малых размерах центральной трубки и со = 1,0. Отчетливо видно влияние взаимооблученности при п 2, которое сказывается в увеличении относительных разме¬ ров ребра с возрастанием числа ребер. Однако с учетом зависимо¬ сти вида (2.108) абсолютная площадь сечения ребер (и соответ¬ ственно вес радиатора) при заданном значении суммарного теплового потока имеет минимум при звездообразном располс жении 4—5 ребер (см. сплошную кривую на рис. 2.92, где отнесено к площади одиночного оптимального ребра f1 opt, отво¬ дящего тот же поток Qs). Для сопоставления на рис. 2.92 приве¬ дена пунктирная кривая, построенная по расчетным данным работ [2.180—2.181 ] для выбранной системы наивыгоднейших звез¬ дообразно расположенных прямоугольных ребер. Площадь се¬ чения системы наивыгоднейших прямоугольных ребер в — 1,5 раза больше, чем у системы оптимальных ребер. Штрих-пунктир- 8*
116 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 нал кривая на рис. 2.92 соответствует соотношению (2.108) без учета взаимного облучения ребер. Подробные данные по плоско¬ му и звездообразному оребрению радиаторов см. в работах [2.178— 2.195] и др. При сопоставлении звездообразно оребренного радиатора с плоским оребренным трубчатым радиатором следует иметь в виду, что у плоского оребренного радиатора п = 2. Соответ¬ ственно переход к оптимальному звездообразно оребренному радиа¬ тору по данным рис. 2.92 снижает вес ребер примерно на 40%. 4. Система отвода энергии с лен¬ точным радиатором. В связи с тем, что большой удельный вес трубчатого радиатора во многом определяется '^fopt 1,5 1,0 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ V X. ■—■/ / Рис. 2.91. Влияние числа ребер п па форму оптимального контура ребер звездообраз¬ ного оребренного радиатора. 12 3 4 5 6 7 8 п Рис. 2.92. Влияние числа ребер п на площадь сечения звездообразно оребренного радиатора: 1 — ребра оптимальной формы, 2 — прямоугольные ребра. требованиями защиты от метеорных пробоев, в работе [2.196] был рассмотрен ленточный радиатор, вес основного элемента которого — ленты, не зависит от метеорной опасности. В этом радиаторе гибкая лента, прижимаемая валками [2.196] (рис. 2.93, а) или центробежными силами [2.197—2.198] в слу¬ чае вращающейся ленты (рис. 2.93, б) к цилиндру с теплоноси¬ телем, отнимает от него тепло и излучает это тепло со своей поверх¬ ности. Пробои ленты микрометеоритами не должны нарушать работу такого радиатора. Подробные данные о форме и устойчи¬ вости формы ленты в пространстве, влиянии взаимооблученности элементов ленты и т. д. см. в работах [2.197—2.205]. Ниже рас¬ смотрены основные параметры ленточного радиатора [2.196].
§ 3] ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК 117 Пусть вес ленты С?^, теплоемкость длина ленты L, скорость обкатки лентой барабана W, максимальная температура ленты в точке схода с барабана Т#, температура в точке касания бара¬ бана Т2; тогда мощность, отводимая лентой (если пренебречь участком, касающимся барабана), будет равна Эту мощность лента должна излучить. Без учета взаимооблучения элементов ленты, в первом приближении, следуя [2.196], мож¬ но записать соотношение Средняя температура ленты Та определяется по закону паде¬ ния температуры вдоль ленты Интегрированием уравнения (2.111) с использованием гранич¬ ных условий: при х = О Т = Т+; при х = L Т = Т2 определя¬ ется значение константы сх\ Ni = GKlc,{ Т. —Т2)^. (2.109) Рис. 2.93. Система отвода энергии с ленточным радиатором. Nn = 2ЬЬошТ1, L V. (2.110) где bt — ширина ленты, о (2.111) Т-3 —Т~3 С1= -1Г- и затем значение Т„: (2.112)
118 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 По соотношениям ленты равен (2.109), (2.110) и (2.112) потребный вес Ni 6сД,Т7асоТ5 1 Та т* (2.113) Минимум веса ленты достигается при (T2/TJ0pt = 0,69. Тогда min i = 3,55 ^opt = 0,31 ^£1 n: (2.114) cj>jr<5 GOT® ^ В уравнениях (2.114) величина ТА примерно равна минималь¬ ной температуре цикла энергоустановки Tmin (тепловое контакт¬ ное сопротивление достаточно мало [2.206—2.208]), скорость ленты W ограничена ее механи¬ ческими свойствами; если счи¬ тать, что рациональная ширина ленты Ъ+ (и барабана с тепло¬ носителем) пропорциональна от¬ водимой мощности Ь+ = kN^, то первое уравнение (2.114) опре¬ делит относительный вес ленты G^/Nn. По данным работы [2.196] при N\ = 20 000 кет, = = 68 000 кет и использовании стальной ленты с возможным графитовым покрытием, при 1^=15,2—30,5 м/сек, 6^ = 11,6 л*, Tmin = 1000° К полный вес лен¬ точного радиатора с теплоот¬ дающим цилиндром и необходи¬ мыми механизмами составит ~ = 3850 -г- 7250 кГ (G^/N^ ^0,057 -к- 0,107 кГ/квт, GK/NX^ ^ 0,19-4-0,36 кГ/квт), что суще¬ ственно меньше, чем для труб¬ чатого оребренного радиатора на ту же мощность и темпера¬ туру, вес которого по данным 19 400 кГ (G^/N^ ^ 0,285 кГ/кет, 2Ш Т, Рис. 2.94. Удельный вес радиационных систем теплоотвода от космических энерго¬ установок (на единицу полезной мощно¬ сти): I — плоский орсбреппый трубчатый радиа¬ тор, на кривых отмечено число пробоев на 1 кет • ч; 2 — система отвода энергии с ленточным радиатором. G- = [2.209] составит — G^/Nx ж 0,97 кГ/квт). На итоговом рис. 2.94 приведены примерные значения удель¬ ного веса для плоского оребренного трубчатого радиа- N
ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК 119 тора (сплошные кривые) и системы с ленточным радиатором (за¬ штрихованная область между пунктирными кривыми) в зависи¬ мости от максимального температурного уровня в энергоуста¬ новке Тшах. На кривых, соответствующих оребренному трубча¬ тому радиатору, отмечено число пробоев на 1 квт-ч полезной энергии; эти кривые построены по данным рис. 2.89 в предпо¬ ложении, что выигрыш веса от оребрения трубчатого радиатора примерно компенсирует переход от N* к N\ ^ Nv. Параметры Вне. 2.у5. Области прейму11 шетвеч п юго использования различных видов космических энергоустановок в зависимости от времени работы Т и полезной мощности .Vv. систем отвода с ленточным радиатором приведены на основе рас¬ смотренного выше примера из работы [2.196], экстраполировав- ного по формуле (2.114). Данные рис. 2.94 показывают, что и с учетом возможной ми¬ нимизации удельные веса радиационных систем теплоотвода от космических энергоустановок являются весьма значительными. Поэтому вес системы теплоотвода является существенной частью общего весового баланса космической энергоустановки. 5. Весовые характеристики космических энергоустановок — источников мощности. Для рассмотренных в § 2 ряда видов ис¬ точников энергии и энергопреобразователей, а также для кратко¬ временно действующих энергоустановок, на рис. 2.95 по данным работы [2.89] указаны области преимущественного использова¬ ния в зависимости от времени работы Т и полезной мощности Nv. Приведенные в §§ 2 и 3 удельные веса элементов космических К /О Юмин. 1час 1 сутки 1 неделя 1 месяц 1год Т
120 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2 энергоустановок определяют их весовые характеристики в целом как источников мощности. В соответствии с удельными весами элементов общий вес ис¬ точника мощности Gv зависит от величины максимальной мощно¬ сти вырабатываемой источником. В качестве иллюстрации в Рис. 2.96. Примерные значения удельного веса источников мощ¬ ности — космических энергоустановок; кривая по данным [2.38], точки по данным табл. 2.11. табл. 2.11 по данным работ [2.90, 2.91, 2.104] приведены пример¬ ные параметры ряда рассматриваемых источников мощности. Из данныхтабл.2.11,построенномупонейиработе [2.38] рисунку 2.96 Таблица 2.11 Примерные параметры космических энергоустановок Энергоустановк а Snap 1А Snap 10А Snap 2 Snap 8 Snap 59 ввс- Krupp в В С-1 ВВС-11 Полезная мощность 7Vv, кет 0,125 0,5 3,0 35 350 150 150 700 Максимальная тем- пература Ттах, °К 810 925 980 1370 1180 Источник тепла и Радио¬ Реак¬ Реак¬ Реак¬ Реак¬ Реак¬ Реак¬ Реак¬ цикл изо¬ тор, тор, тор, тор, тор, тор, тор, топ, термо¬ цикл цикл цикл цикл тер¬ тер- термо¬ эле¬ Рэн¬ Рэн¬ Рэн¬ Рэн¬ мо- мо- эле¬ менты кина кина кина кина эм ис- эмис- Площадь радиатора S, м2 менты 5,8 11,15 130 320 сия сия Вес Gv, кГ 79,3 295 544 1905 2270 1350 1200 1660 Удельный вес кГ а JV J кет 635 590 181 55 6,5 9,0 8,0 2,4
ТЕПЛООТВОД ОТ КОСМИЧЕСКИХ ЭНЕРГОУСТАНОВОК 121 следует, что удельный вес источника мощности а = Gv/Nv для больших значений 102 ч- 103 кет почти постоянен, несколько снижаясь с увеличением полезной мощности источ¬ ника Nv. Сопоставление приведенных значений удельного веса источ¬ ников мощности а х 1 — 10 кГ/квт (при Nv 102 кет) с рас¬ смотренными выше удельными весами электрореактивных дви¬ жителей и другими элементами показывает, что в такой двига¬ тельной системе главные весовые свойства отражает удельный вес источника мощности а ([2.48] и др.)* Поэтому с позиций ме¬ ханики космического полета двигательные системы с источником мощности и электрореактивным движителем являются системами ограниченной мощности, величина которой в основном опреде¬ ляет вес двигательной системы.
ГЛАВА 3 ОБОБЩЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Обобщенные характеристики обсуждаемых в литературе основ¬ ных типов космических двигательных систем ниже приводятся с позиций механики космического полета [3.1—3.3]. Эти обоб¬ щенные параметры следуют из рассмотренных выше во второй главе физических принципов элементов космических двигатель¬ ных систем. Введение обобщенных параметров, естественно, схематизи¬ рует проблему, сохраняя ее основные свойства. По изло¬ вленным принципам возможно дальнейшее более детальное иссле¬ дование. Двигательные системы разбиты на три категории (см. §§1,2 и 3 данной главы) в зависимости от основных ограничений, накла¬ дываемых соответствующими физическими принципами на харак¬ теристики системы. Основное ограничение характеризуется тем, что в механике полета, как правило, оптимальное движение со¬ ответствует выходу на это ограничение. Такими основными огра¬ ничениями являются ограничение скорости истечения реактив¬ ной струи, ограничение мощности и ограничение тяги двигатель¬ ной системы. Рассматриваемые обобщенные характеристики относятся к двигательным системам без забора рабочего тела из внеш¬ него потока; влияние забора рабочего тела было рассмотрено в главе 2. § 1. ДВИГАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕННОЙ СКОРОСТЬЮ ИСТЕЧЕНИЯ РЕАКТИВНОЙ СТРУН К этому типу относятся тепловые реактивные двигательные системы, обобщенная схема которых приведена на рис. 3.1. Тягу в таких двигательных системах создает реактивное сопло, пре¬ вращающее тепловую энергию рабочего тела в кинетическую энер- I ию направленного движения реактивной струи. На участке космического полета основные параметры тепловых ракетных двигателей определяются площадью критического сече¬ ния реактивного сопла 1^, полным давлением р0 и температурой
5 lJ ДВИГАТЕЛИ О Г Р А ИIIЧ Г1 i IIОII СКОРОСТИ ИСТЕЧЕНИЯ 123 газа Т0 на входе в сопло: Р = hf'Vo: п /г ^*Ро q-k2TTT’ Г = ^-=АзУТ0, N = ^ = ktf,p 0/Т0. (3.1) Для двигателя заданной геометрии = const) возможность ре¬ гулирования основными параметрами двигательной системы Р и q определяется возможностью независимого управления полным давлением р0 и температурой Т0. Основным ограничением для теп¬ ловых двигателей является макси¬ мально допустимая конструкцией температура Тотах, что ограничи¬ вает возможную скорость истече¬ ния реактивной струи (см. (3.1)): h Ут, отах* (3.2) Рис. 3.1. Обобщенная схема тепловой реактивной двигательной системы: 1 — контейнер с рабочим телом, 2 — реактивное сопло (движитель) с источ¬ ником, преобразователем энергии, си¬ стемами подачи рабочего тела и отво¬ да энергии. Для заданной прочности конструкции вторым ограничением является допустимое максимальное полное давление р0тах, ве¬ личина которого определяет удельные значения максимальной тяги и мощности, отнесенные к площади сечения сопла = h P°max’ Pomax V'• (3’3) Вид регулировочных характеристик тепловой реактивной двигательной системы на участке космического полета представлен Рис. 3.2. Регулировочные характеристики тепловой реактивной двига¬ тельной системы. на рис. 3.2. При движении в атмосфере тяга двигательно! системы несколько снижается (см. рис. 2.12).
ОБОБЩЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 3 Вес двигательной системы с ограниченной скоростью истече¬ ния реактивной струи в основном определяется весом контейнера для запаса рабочего тела и максимальной тягой Ртах' Gp ~ -\- Т^Рщах* (3*4:) Значения весовых коэффициентов были приведены в главе 2. § 2. ДВИГАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ Двигательные системы ограниченной мощности состоят из источника мощности (источник энергии, преобразователь энер¬ гии, система отвода энергии), реактивного движителя с системой подачи и контейнера с рабочим телом (рис. 3.3). Выработанная источником энергия превращается в движителе в кинетическую энер¬ гию направленного движения реак¬ тивной струи. Наличие отдель¬ ного источника ограниченной мощ¬ ности 7Vv 7Vv max определяет основные свойства и название рассматриваемой категории дви¬ гательных систем. Характерным свойством двига¬ тельных систем ограниченной мощ¬ ности является их регулируемость по параметрам q и V в широких пределах. Кроме того, можно управлять величиной мощности Nv, подводимой к движителю. В идеальном движителе вся подводимая мощность превраща¬ ется в мощность реактивной струи. Это определяет простую связь между параметрами = N, < ЛГ. m„, P = qV, (3.5) где 7Vv max может зависеть от координат и времени. Характеристики реальных движителей подробно рассмотрены в главе 2. С учетом этих реальных свойств мощность реактивной струи 1/2qV21 зависит от параметров движителя, например от ско¬ рости истечения струи V. Максимальное значение мощности Nv max определяет величину максимальной тяги, которая для случая идеального движителя равна (см. (3.5)) Рис. 3.3. Обобщенная схема двига¬ тельной системы ограниченной мощ¬ ности: 1 — контейнер с рабочим телом, 2 — источник мощности, з — реактивный движитель. 2N vmax max — т/ • (3.6)
ДВИГАТЕЛИ ОГРАНИЧЕННОЙ ТЯГИ 125 Вид регулировочных характеристик двигательных систем огра¬ ниченной мощности (с идеальным движителем) представлен на рис. 3.4. Вес двигательной системы ограниченной мощности в основном ■складывается из трех компонентов: веса контейнера для запаса Рис. 3.4. Регулировочные характеристики двигательной системы ограниченной мощности с идеальным движителем. рабочего тела веса источника мощности Gv и веса движите¬ ля G{\ Gp = "Ь a^vmax ~\~ Т^шах- (3*7) Возможно также использование аккумулятора энергии, вес которого пропорционален максимальной запасаемой энергии Ge = fiE0. Значения весовых коэффициентов были даны в главе 2. § 3. ДВИГАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕННОЙ ТЯГОЙ (ПАРУСНЫЕ СИСТЕМЫ) К этому типу двигательных систем относятся парусные систе¬ мы (солнечный и изотопный парус), величина тяги которых ли¬ митируется максимальной площадью паруса 5шах: Р ^max = ^тах* (3*8) Расход массы у парусных систем отсутствует, величина тяги за¬ висит от координат или времени. Для идеального солнечного па¬ руса с зеркальными отражающими свойствами тяга направлена по нормали к поверхности паруса, а величина тяги зависит от угла установки паруса # и расстояния до Солнца R: Р 7 cos й (3.9)
126 ОБОБЩЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ ДВИГАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 3 Для изотопного паруса величина тяги зависит от отношения вре¬ мени работы t к периоду полураспада 1АТ: -£- = *6е~М. (3.10) Вес двигательной системы ограниченной тяги определяется ее максимальной тягой Gp = r{Pm ах. (3.11) Значения весовых коэффициентов и их зависимость от основ¬ ных параметров подробно рассмотрены в главе 2.
ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Когда сформулирована цель космического маневра, возни¬ кает проблема о наиболее экономичном ее достижении. Это озна¬ чает, что должен быть выбран оптимальный космический аппарат и в том числе оптимальная двигательная система. Для последней нужно указать наилучший для заданного маневра тип, опреде¬ лить наилучшие управляющие параметры и наилучшие програм¬ мы для управляющих функций. Экономичность выполнения маневра характеризуется тем или иным критерием оптимальности: максимум полезного веса, ми¬ нимум стоимости выполнения маневра и т. д. В нашем изложении главное внимание уделяется критерию максимума полезного веса. Дадим формулировку проблемы оптимизации для этого случая. Назовем динамическим маневром перелет из фиксированной точки 0 фазового пространства координат — скоростей {r0, v0} в фиксированную точку 1 {rlt vx} за фиксированное время Т. Содержание изучаемой вариационной проблемы таково: тре¬ буется выполнить заданный динамический маневр с максималь¬ ным полезным весом GK при заданном стартовом весе G0. Запишем дифференциальные связи вариационной проблемы с соответствующими граничными условиями. Сюда относятся уравнение расхода и уравнения, описывающие движение центра масс аппарата: Здесь г, у, G — набор фазовых координат (г и v — радиус- вектор и скорость центра масс аппарата, G — текущий вес ап¬ парата); q, Р, е — набор управляющих функций и управляющих параметров (q — массовый расход рабочего вещества, Р и | е | = 1 — величина и направление вектора тяги). Остальные обозначения: Н = Н (г, t) — вектор ускорения от гравитационных сил, g — коэффициент пропорциональности между массой и весом, GK — вес двигательной системы. Сделаем несколько замечаний к записи (II.1). ^ Механика полета G (0) = G0, G(T) = Gn + G„ г(0) = г0, г (Т) = гх, v(0) = v0, v(7’)=v1. (П.1)
130 ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ 1°. Система (II.1) представлена в виде обыкновенных диффе¬ ренциальных уравнений первого порядка, разрешенных относи¬ тельно производных. Это позволит в дальнейшем" сформулировать задачу Майера и свести вариационную проблему к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с ко¬ нечными соотношениями для управляющих функций. 2°. В правой части третьего уравнения (II.1) выписаны уско¬ рения от реактивных и гравитационных сил. Помимо них могут быть учтены и другие силы, например сила аэродинамического сопротивления. 3°. В записи (II.1) аппарат считается состоящим из полезной нагрузки G-, запаса рабочего вещества G[X и двигательной уста¬ новки G*. Весовая формула такого аппарата имеет вид G = G, + G[X + Gx. (II.2) Прочие весовые компоненты (например, вес конструктивных элементов, вес баков для рабочего вещества) условно относятся к полезной нагрузке. По мере необходимости эти компоненты могут быть учтены в вариационной постановке. 4°. Размерность фазового пространства, описывающего состоя¬ ние аппарата, может увеличиваться при усложнении задачи. К фазовым координатам г, v, G могут добавляться новые коорди¬ наты, например t[X — текущее время работы двигателя (для за¬ дачи с ограниченным ресурсом двигательной системы) или G* и G$ — веса двигательной системы и баков (для задачи оптималь¬ ного сброса секций двигателя и баков). Тогда систему (II.1) нужно дополнить дифференциальными уравнениями, описывающими изменение этих фазовых координат; в отмеченных примерах эти уравнения таковы: в первом случае ^ = 6, (II.3) во втором случае Gy. = —gqх, 63 = — gq$. (П-4) При этом могут появиться новые управляющие функции; здесь б (t) = 1 или 0—функция включения—выключения двигателя, qv. (t) 0, #з (t) 0 — функции, отвечающие за сброс секций двигателя и баков. Запишем теперь исходную систему (II.1) в виде, удобном для формулировки вариационной задачи Майера. Для этого присо¬ единим к системе (II. 1) формальное уравнение неизменности по¬ лезного веса (тл = 0 и распишем полный вес аппарата в соответ¬ ствии с формулой (II.2). Тогда полная система уравнений и
ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ 131 граничных условий представится следующим образом: Ол — 0, gs(0) + Gx+ G* (Т) = max, G^-gq, +Gv.(0) = G0, GV\T) = 0, r = V, г (0) = r0, r (T) = l'b f (II>5) V = g Cj + ^x'c7 + K| v(0) = v0, v(7’) = v1 и задача Maiiepa формулируется так: для системы (II.5) требу¬ ется определить управляющие функции и управляющие параметры (е, q, Р, Ga или другие, через которые выражаются данные), обес¬ печивающие выполнение граничных условий и доставляющие мак¬ симум конечному значению фазовой координаты G-. Вариационная постановка (II.5) может быть сведена в ряде случаев к более простой. Опишем здесь один вариант перехода, который может быть сделан при условии, что в весовой формуле аппарата отсутствуют дополнительные компоненты, зависящие от веса рабочего вещества. Введем специальное обозначение для суммы полезного веса G- и веса рабочего вещества Gv: G0 = Gn + G,. (II.6) Вес Ga в начальный момент выражается через стартовый вес и вес двигателя, а в конечный момент совпадает с полезным весом Go (0) = G0 - Gx, Go (T) = G-. (II.7) При помощи новой фазовой координаты Ga (t) система (II.5) трансформируется в следующую: Go = ■— gq, Ca(0) + Gx = Go, GZ(T) = max, r = v, r(0) = r0, г(Г) = г1, V = g-T.-yV + R’ v (0) = v0, v(T) = Vi, (II 8) и задача Майера формулируется так же, как и для исходной си¬ стемы, только контрольным функционалом является конечное значение веса Ga. В описанных постановках задаются динамический маневр и начальный вес, ищется максимум полезной нагрузки. Вместо этого могут быть рассмотрены эквивалентные формулировки: задаются динамический маневр и полезный вес, определяется минимум начального веса; задаются полезный и начальный веса, находится минимальное время выполнения маневра или экстре¬ мальное значение какой-либо фазовой координаты. 9*
132 ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ Последняя постановка может оказаться удобнее в тех слу¬ чаях, когда заранее известны располагаемые весовые затраты. С другой стороны, эта постановка не является универсальной, ибо в ряде задач время движения и часть фазовых координат свободны и должны находиться из оптимальных соображений. В дальнейшем для определенности будет рассматриваться задача на максимум полезного веса при заданном начальном весе и ваданном динамическом маневре. Данная вариационная постановка должна быть конкрети¬ зирована для каждого типа двигательной системы. Во-первых, нужно указать функциональные выражения тяги Р и расхода q через независимые управления u = (uv . . ., ип) и параметры w = . . ., wm) двигательной системы (регулиро¬ вочная характеристика двигателя): Р = Р (u, w), q = q (и, w), umin < и (t) < umax, w = const. (II.9) Во-вторых, нужно определить вес двигательной системы G* как функцию параметров w и предельных значений управлений и (весовая формула двигателя): Gy. — Gy (Umin* umax7 w). (11.10) Эти характеристики двигательной системы определим как ос¬ новные. Они не являются исчерпывающими; по мере усложнения задачи могут потребоваться дополнительные сведения о свойст¬ вах двигательной системы. Эти сведения сообщаются в ходе из¬ ложения.
ГЛАВА 4 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ —РАЗДЕЛЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ, ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЕСОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ Рассмотрим задачу о доставке максимального полезного груза для идеальной двигательной системы ограниченной мощности. Изучение идеального случая интересно тем, что оно раскрывает предельные возможности двигателей данного класса. Регулировочная характеристика (II.9) и весовая формула (11.10) для идеального двигателя ограниченной мощности выглядят так (иг = N, и2 = q): Р = Y2Nq, q = q, Gx = aNmax (4.1) (0 < N (t) < N max» 0<g(K oo). Запись (4.1) отражает следующие свойства идеального дви¬ гателя: во-первых, потери рабочего вещества и мощности отсут¬ ствуют х), во-вторых, регулирование подчиняется только огра¬ ничению на мощность (не считая требования неотрицательности расхода q), в-третьих, вес двигателя линейно зависит от макси¬ мальной мощности. Отметим, что в (4.1) характеристики даны через мощность N и расход q. Можно выбрать и другие системы независимых управ¬ ляющих функций. Мощность N следует оставлять во всех вариан¬ тах, поскольку на нее наложены прямые ограничения. Вместо расхода q могут фигурировать на равных основаниях скорость истечения V или тяга Р, так как ни одна из этих величин в иде¬ альном случае не является ограниченной (требования неотрица¬ тельности тяги Р и скорости истечения V опять в расчет не при¬ нимаются); тогда (иг = N, и2 = V) Р = 2N/V, q = 2N/V2, G.K = a#™* (4.2) (0 ^ N (О Nmax » 0<F(0< oo), *) Дальнейшая процедура не изменится, если считать потери в движи¬ теле ненулевыми, но коэффициент полезного действия движителя г\у пола¬ гать постоянным rjY = const < 1 (не зависящим от расхода и подводимой к движителю мощности). В этом случае под а надо понимать удельный вес двигателя на единицу максимальной мощности реактивной струи </Vmax или, если вес Gy относится к максимальной мощности источника iVv0 = Nm t нужно вместо а писать всюду а/т]г Данное замечание относится ко всем раз¬ делам, где обсуждаются идеальные двигатели ограниченной мощности.
134 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 или (uL = N, и2 = Р) Р = Р, q = P42N, Gx = a7Vmax (О < N (t) < Nmax, 0 < P (t) < сю). max (4.3) Как будет ясно из дальнейшего, в идеальном случае удобно представить тягу и расход через текущий вес аппарата G и ки¬ нематическую характеристику а — ускорение от тяги (и1 = N, и2 = а) Такое представление позволяет разделить проблему оптими¬ зации на две независимые: 1) весовую — нахождение оптимальных весовых соотношений и оптимального управления мощностью; 2) динамическую — нахождение оптимальных программ уско¬ рения от реактивной тяги. Наличие указанного разделения полной задачи существенно упрощает исследование и в значительной степени оправдывает идеализацию. § 1. ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЕСОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ ПОСТОЯННОМ И СТУПЕНЧАТО ИЗМЕНЯЕМОМ ВЕСЕ ДВИГАТЕЛЯ 1. Разделение задачи, управление мощностью. Запишем урав¬ нения (II. 1), когда характеристика двигателя задается в форме (4.4) и вес двигателя не меняется вдоль траектории (О N (t) <; G*/a, 0 а (t) < °°, | е (t) | = 1, const). J Задача состоит в построении оптимальных программ N (t), а (t), е (t) и выборе оптимального значения параметра Gx, обес¬ печивающих выполнение граничных условий для системы (4.5) и доставляющих максимум полезной нагрузки Gry = G (Т) — Gx при заданном начальном весе G0 (параметр а — удельный вес ис¬ точника мощности, задан). Из физических соображений ясно, что мощность в процессе полета выгодно поддерживать на максимальном уровне, так как для создания одной и той же тяги при большей мощности потре¬ буется меньший расход рабочего вещества (см. (4.1)). Если выби- Р = aG/g, q = a2G2/2Ng2, Gx = aNIimr (0 < N (t) < ;Vmax, 0<a(*)<°c). max? (4.4) G = — G'2a1j2Ng, G (0) = G0, G(T) - G-_ G'„ r=v, r(0) = r0, r (T) = 1'ь v = ae + R, v(0) = vo, v(7’) = vi (4.5)
ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЕСОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ 135 рать большие значения максимальной мощности, то расход ра¬ бочего вещества будет уменьшаться, но одновременно будет воз¬ растать вес двигательной системы. Начиная с некоторого значе¬ ния, увеличение веса двигателя превысит выигрыш от снижения затрат рабочего вещества. Поэтому для каждого заданного маневра должно существовать оптимальное соотношение между весом запаса рабочего вещества и весом двигателя, обеспечивающее максимум полезного груза. Наличие оптимальных весовых соотношений для аппаратов с двигателями ограниченной мощности было сначала установлено на ряде модельных задач ([4.1—4.19] и др., см. обзор [4.20]). Главное упрощение состояло в замене истинного гравитацион¬ ного поля на простейшее — бессиловое — поле и рассмотрении одномерных движений. Кроме того, упрощение касалось и управ¬ ляющих функций: мощность и вес двигателя считались постоян¬ ными, а регулирование тяги отвечало либо случаю постоянного реактивного ускорения, либо случаю постоянной тяги. Эти за¬ дачи даются в нашем изложении как иллюстрация общей проце¬ дуры. Обратимся к анализу системы уравнений (4.5). Первое урав¬ нение из (4.5) может быть проинтегрировано в квадратурах [4.15, 4.21] t G(0 = G„(1 + (4.6) 0 Это соотношение дает закон изменения полного веса вдоль тра¬ ектории. При помощи него может быть записано выражение для конечного веса = G (Г), а также для полезного веса Gn — = G1 — Gy/. т G,= G/A + -Gx. (4.7) 0 Отсюда следует, что полезный вес при фиксированных 6?х и G0 возрастает с уменьшением интеграла т J (4.8) 0 Управляющая функция N (t) входит только в интеграл (4.8) и не входит в уравнения движения (см. в (4.5) второе и третье уравнения). Для постоянного верхнего предела мощности NmRX = = const, имеющего место в рассматриваемом случае, оптималь¬ ный закон N (£), доставляющий минимум (4.8), устанавливается
136 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 независимо от остальных управляющих функций [4.15]: N (0 = Nmax при 0 < t < Т. (4.9) Тогда в (4.7) величина ах может быть вынесена из-под интеграла т Go G„ = G„ 1 Gy. [j = \ a'dt) . (4.10) Оставшийся в выражении (4.10) интеграл J не зависит от мощ¬ ности Nmax и весов GK, G0 и может быть подсчитан, если траектория г (t) известна. Этот интеграл представляет в формуле для полез¬ ного веса динамическую часть задачи. Чем меньше его величина, тем больше полезный вес при фиксированных G0, Nmax и Gx. Таким образом, исходная задача разделилась на две незави¬ симые — динамическую и весовую. Динамическая часть — это вариационная задача, которая со¬ стоит в построении оптимальных законов изменения величины а (t) и направления е (t) вектора реактивного ускорения, обеспе¬ чивающих минимум интегрального функционала J для заданного динамического маневра: J = \ a°dt = min, о Г ■■= Y, г (0) = Го, г (Г) = 1 ь v —_ ае + R, v(0) = v„, у(Т)=^\1 (0<а(0<ос, |е(0| = 1). (4.11) Весовая часть — это задача на максимум функции, состоящая в определении оптимального значения веса двигательной системы Gx или предельной мощности Nmax из условия максимума полез¬ ного веса (4.10): шах Gn = max v>o [с.( 1 jV -Gx(iVmax) ; (4.12) при этом значения интеграла J и начального веса G0 фиксированы и зависимость Gx (А^тах) задана. 2. Оптимальные весовые соотношения. Если вес двигателя Gx и мощность iVmax связаны линейно Gx = ocNmах (а = const), (4.13)
ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЕСОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ 137 то относительный полезный вес, согласно (4.10), может быть представлен в виде 1 (Co/GJ (1) — (ф = 2^ S a4t) • (4-14) Go Правая часть (4.14) как функция (GJG0) имеет максимум Рис. 4.1. Зависимость полезного веса Рис. 4.2. Оптимальные весовые соотно- G- от веса двигателя Gy при фикси- шения G^, Gx, G^o в зависимости от рованных значениях функционала Ф функционала Ф динамической задачи, динамической задачи. (рис. 4.1). При фиксированной величине функционала Ф полу¬ чаем решение задачи (4.12): (4.15) 6'х/6’о = ]/Ф — Ф. Максимальное значение полезной нагрузки (4.14), соответ¬ ствующее (4.15), равно GJG0= (1-/Ф)2. (4.16) Оптимальная величина запаса рабочего вещества вычисляется^ как Gjj.0 = Gq — Gу. — G gv.o/g0 = у ф. (4.17) Оптимальные весовые соотношения (4.15) —(4.17) [4.15, 4.21] представлены на рис. 4.2. Функции (4.15), (4.16) теряют смысл вне интервала Ф 1; отсюда следует, что при постоянном весе источника мощности не может быть выполнен маневр, для которого величина функционала J 2g/a (полезная нагрузка (4.16) обращается в нуль при Ф = 1). Отметим, что оптимальное значение веса двигательной системы не превосходит х/4 началь¬ ного веса.
138 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 Если вес двигателя и максимальное значение мощности свя¬ заны между собой нелинейно Ga = G* (iVmax), (4.18) то оптимальные весовые соотношения в общем случае не могут быть выражены явно. Выпишем уравнение для определения опти¬ мального значения мощности Ninax [4.22]. При нелинейной зависимости (4.18) удельный вес двигателя а = GJNm3iX будет функцией от iVmax. Выберем некоторое сред¬ нее значение удельного веса а* (не зависящее от Nm^) и запи¬ шем полезную нагрузку (4.10) через две безразмерные вел [чины т ф=1г$а*Л К = const). (4.19) 0 Первая из них — относительная мощность источника — явля¬ ется неизвестной, вторая — функционал (4.14) — задана; вес GK в (4.10) можно считать зависящим от N, поскольку функция Gy. C/Vmax) задана, a G0 и а* фиксированы. Условие (4.12) в терминах параметров (4.19) записывается следующим образом (dGJdN = 0): Решив уравнение (4.20) относительно езразмерной мощности N, можно определить размерную мощность iVmax и веса Gn по формулам (4.19) и (4.18), (4.10) соответственно. Если решение уравнения (4.20) окажется не единственным (что зависит от вида функции (4.18)), то нужно выбрать такое, которое дает абсолютный максимум (4.10). Для линейной зависимости (4.13) полагаем а% = а = const, после чего оказывается N = Gy. / G0 и уравнение (4.20), естест¬ венно, дает прежнее решение (4.15). Как нетрудно видеть, со¬ отношения (4.15)—(4.17) оказываются справедливыми и для об¬ щего вида линейной зависимости х) б* = (0) -f- tfy/Vmax* (4.21) если под GK и (?i в них понимать Gy. — Gy. (0) и G- — GK (0), соответственно. При этом допустимый диапазон изменения функ¬ ционала Ф будет 0<Ф<1— YGx (0)/G„. (4.22) х) Это же замечание относится и к следующим двум параграфам главы.
ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЕСОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ 139 Рассмотрим левую часть уравнения (4.20). Выражение в круглых скобках — монотонно возрастающая функция N. В точ¬ ке N1= УФ — Ф, т. е. в точке, оптимальной для линейной зависимости (4.13), оно равно единице. Поэтому оптимальная точка будет смещаться от точки Nx = ]/Ф — Ф вправо при d (GJG0)/dNx<^ 1 (большие значения мощности) и влево при d (Gx/G0)/dN ^> 1 (меньшие значения мощности). При параметрических расчетах по Ф в уравнении (4.20) мож¬ но Ф и N поменять ролями: N считать параметром (независимой переменной), а Ф — неизвестной величиной. В этом случае ре¬ шение уравнения (4.20) записывается явно "Г dN Y dN (d (G.JGo) ~ 1 \ (123) dN 4) dN Знак минус или плюс в (4.23) соответствует двум диапазонам значений функционала Ф, разделяемым величиной Ф. = ' d(GJG0) 4 — dN (4.24) знак минус дает 0 ^ Ф Ф* (возрастающая ветвь оптимальной зависимости Gx (Ф) (ср. рис. 4.2), знак плюс — Ф !> Ф* (убы¬ вающая ветвь Gх (Ф)). Чтобы составить количественное представление о влиянии нелинейности (4.18) на оптимальные весовые соотношения (4.15) — (4.17), рассмотрим зависимость Gx (Л^тах), соответствующую кри¬ вой а (Nnmx) с рис. 2.96. Эта зависимость показана на рис. 4.3 (кривая i), там же для сравнения нанесены аппроксимирующие зависимости: линейная (4.13) Gx [кГ] = 4 кПквт Nnmx Ывт] — кривая 2 и общая линейная (4.21): Gx [кГ] = 1,5-103яГ + + 2,2 кПквт iVmax [кет] — кривая 3. Примеры оптимальных соотношений Gx (Ф) и Gn (Ф), соответствующие трем этим кри¬ вым, показаны на рис. 4.4 для G0 = 105 кГ, а+ = 4 кГ/квт. 3. Ступенчатое изменение веса двигателя. Как показано в предыдущем пункте, при неизменном весе двигателя не могут быть выполнены маневры, энергетическая характеристика кото¬ рых превосходит определенный предел (J ^> 2g/a). Этот предел можно отодвинуть, если в процессе движения сбрасывать секции Двигательной установки [4.23].
140 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 Уменьшение веса двигателя сопровождается пропорциональ¬ ным уменьшением максимальной мощности, ибо iVmax = GJa Рис. 4.3. Пример зависимости веса двигателя Gx от максималь¬ ной мощности Nmax: 1 — реальная зависимость с рис. 2.96, 2 —- линейная зависимость (4.13), 3 — линейная зависимость (4.21). О 02 0,0 0,6 0,8 / 1,2 Ф Рис. 4.4. Примеры сравнения оптимальных весовых соотношений при линейной и нелинейной зависимостях веса двигателя от макси¬ мальной мощности (обозначения кривых даны на рис. 4.3). (рассматривается случай а = const; все несброшенные секции двигателя работают параллельно). Аналогично первому пункту
§ 1] ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЕСОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ 141 можно показать, что мощность N всюду должна использоваться максимально N (t) = Nmax (t). Введем полезный вес i-й ступени G^ (i = 1, . . п), равный сумме истинного полезного веса Gn и веса рабочего вещества, оставшегося к моменту сброса i-й секции двигателя. Может быть составлено рекуррентное соотношение G(J^ = G(J} + AG(;\ (4.25) где AGp* — количество рабочего вещества, израсходованного на г-м участке (^-i <С * <С W- Применим для вычисления AG^ соотношение (4.6), записан¬ ное для открытого промежутка t U: Ч G~ = %—^ (Фг = ^ { a*dt), (4.26) 1-ф jGJLj/gW \ г8 j 1 V где G\ — вес аппарата до сброса i-й секции, G^—вес аппарата пос¬ ле сброса (i — 1)-й секции, С*г) —вес двигателя на i-м участке. По определению AG^ = Gt-1 — G^. Подставив в (4.25) най¬ денное таким образом выражение для AG^ и заменив 6?t-i = = + Gx\ получим отношение 1 + (1 + G^U/Gp) Ф1 (4.27) Отношение истинного полезного веса Gn к начальному G0 можно представить как произведение отношений G*VG$_1): G Cr^n) CS71'1') Ст^ G(1) (Г(П) _ г , /Л 9£\ Go G{n~1} G(n_2) * * * G{1) * Go ' v1—'8) 7C 7C TC Для последнего сомножителя этой цепочки справедлива форму¬ ла (4.14) <#} _ 1 G? °0 ~ 1 + (Go/GM) Ф1 ’ ^*29^ остальные сомножители определяются соотношением (4.27). Каж¬ дый сомножитель при фиксированных Ф| зависит только от GxVG„-1) (при i = 2,..., 72) и от GW/G0 (при i = l). Последние незави¬ симы; поэтому максимум G^/G0 достигается при максимуме каж¬ дого из сомножителей по G^/G^_1). При фиксированных Ф* этот
142 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 максимум имеет место, когда G< D (i = 2, . . . , тг), /ф.-ф,. (4.30) При этом полезная нагрузка С?л/6?0 равна (4.31) Все рассуждения проводились при фиксированной траектории (неизменный закон а (t)); поэтому в (4.31) сумма задана; оптимальные соотношения между Ф* должны определять¬ ся из условия максимума (4.31) при выполнении равенства (4.32). Не проделывая этой процедуры в общем случае, можно опре¬ делить предельное значение функционала Ф, при котором ма¬ невр становится невыполним (Gn = 0). Положим в (4.31) и (4.32) Фг = 1 — е* (0 < 8i << 1), тогда Перейдя в (4.33) к пределу е* —> 0, получим Gn = 0 при Ф = тг. Таким образом, в случае тг-ступенчатого уменьшения веса дви¬ гателя становятся выполнимыми маневры, для которых величина функционала J лежит в диапазоне т. е. допустимый интервал по J расширяется в п раз. § 2. ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ИЗМЕНЕНИЯ ВЕСА ДВИГАТЕЛЯ 1. Формулировка задачи. Как следует из результатов § 1, вес двигательной системы ограниченной мощности может состав¬ лять в оптимальном случае до одной четверти начального веса аппарата. На заключительном этапе движения, когда израсхо¬ дована большая часть рабочего вещества, вес двигателя стано¬ вится преобладающим (при условии, что величина полезной на¬ грузки мала). В такой ситуации может оказаться выгодным сброс части двигателя; при этом уменьшится вес аппарата, но одно¬ временно уменьшится и мощность, идущая на ускорение рабо- п 2 Фг = Ф (4.32) (4.33) 0 2ng/a,. (4.34)
§ 2] ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ИЗМЕНЕНИЯ ВЕСА ДВИГАТЕЛЯ 143 чего вещества. Чтобы выдержать заданную программу реактив¬ ного ускорения, после сброса потребуется меньшая тяга, и если размер сбрасываемой секции выбран правильно, то и расход рабочего вещества будет меньше. Можно поставить задачу построения непрерывного закона из¬ менения веса двигательной системы, который является предель¬ ным для случая ступенчатого уменьшения веса [4.24, 4.25]. Наряду с этим в настоящем параграфе излагается второй подход к решению задачи ступенчатого сброса [4.24, 4.25], отличный от описанного в п. 3 § 1. Как и в § 1, характеристика идеального двигателя берется в виде (4.4). Вариационная задача формулируется, как задача Майера (II.8). К управлениям здесь относятся: вектор ориента¬ ции тяги е (£), величина реактивного ускорения а (t), мощность N (t) и вес двигателя Gх (t). Нахождение оптимальных законов е (£), а (t) может быть проведено по известным правилам вариа¬ ционного анализа; аналогичная процедура для N (t) и Gx (t) осложняется тем, что эти управления не являются независимыми. Во-первых, верхний предел N (t) связан с Gx (t): Ушах (t) = Gx (t)/a, (4.35) и, во-вторых, Gy, входит в начальное условие (см. (II.7)) Ga (0) + Gy (0) = G0. (4.36) Укажем замены, позволяющие выделить два независимых управления вместо N (t), Gx (t) и применить в дальнейшем метод JI. С. Понтрягина. Сначала вместо управляющей функции N (0, изменяющейся в диапазоне 0 < У (t) < Ушах (t) = Gy (0/а, (4.37) введем безразмерную N (t): N (0 = N (0/Ута* (0 = a N(t)!Gy (0, (4.38) пределами которой будут 0<У (0 < 1. (4.39) Новая управляющая функция Лг (t) независимая. К системе (II.8) добавим дифференциальную связь, выражаю¬ щую изменение (уменьшение) веса двигателя (ср. (II.4)): Gy = — gqy (4.40) {Яу. — массовый расход двигателя, 0 ^ дх (0 < °о); будем счи¬ тать расход qx новой управляющей функцией, а вес Gx новой фазо¬ вой координатой. Управление qx (t) независимое.
144 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 Программы изменения веса двигателя G* (t) и мощности N (t) находятся по известным N (t) и g* (t) следующим образом: t G* (t) = G* (0)-g[ qx (t) dt, N (t) = (t) N(t)/a. (4.41) j 0 Описанные приемы носят общий характер и будут в дальней¬ шем применяться при подходящих ситуациях (например, в § 3 настоящей главы). Для нахождения оптимального закона G* (t) в рассматриваемом случае можно обойтись без добавления диф¬ ференциального уравнения (4.40), имея в виду особые свойства вариационной задачи. Отнесем веса Ga, G*, G- к начальному весу G0, а также произ¬ ведем замену (4.38); для безразмерных весов и мощности будем употреблять старые обозначения, опуская символы безразмер¬ ных величин. Тогда система (II.8) преобразуется в такую: G<s— — (Ga/VtGx)J ~ а~, GS(0) + GX(0) = 1, Ga(T) = max, iVUx “О i=v, г(0) = г„, г(Г) = Г1, v = ae + R, v (0) = vn, v (T) — Vi (Ie (01 = 1» 0<ЛГ(0<1, a(f)> 0, G*(*)< 0). (4.42) 2. Разделение вариационной задачи. Исследуем оптимальные управления N (f), е (t), a (£), G* (t). Следуя методу JI. С. Пон- трягина, выпишем гамильтонову функцию Н и уравнения для импульсов р: тт ~ Gy? a ■-> | 1 / i II = —p3 —щa- + pr-v + pB-(ae + K), ^ dll + Gy. <x — — iVG.„ J a дн э . ая Pr — а. — a.. (Po'H), Рг; — — (4.43) ar ar '•l'° ™ — av Импульсы pa, pr, pc пронормированы так, что Pa (T) = -1. (4.44) Функция P(j (г) отрицательна на интервале 0 t Т, ибо дифференциальное уравнение (4.43) для импульса ра линей-
§ 2] Оптимальная программа изменения веса двигателя 145 ное однородное и в конечный момент импульс ра отрицателено: Ра (t) < 0 при 0 < t < Т. (4.45) Оптимальные управления N (£), е (£), а (t), Gx (t) должны до¬ ставлять абсолютный минимум гамильтоновой функции (4.43). Множитель при 1 IN в гамильтоновой функции положителен (см. (4.45)); поэтому оптимальное управление N (t) должно под¬ чиняться закону (ср. (4.9)) N (t) = 1 при 0 t ^ Т. (4.46) Физически это означает, что вся располагаемая электриче¬ ская мощность должна идти на создание тяги. Оптимальное вектор-управление е (t) выбирается так, чтобы скалярное произведение р7. е было минимальным: е = — Vv/Pv (Pv = | Pr |), (4.47) т* e. вектор тяги должен быть антипараллелен вектору рг. Оптимальный закон a (t) имеет вид (из условия dHlda = О, поскольку а не ограничено) —-wb*- (4-/i8) Отметим, что оптимальное реактивное ускорение отлично от нуля всюду, за исключением изолированных точек, где pv = 0; иными словами, идеальный двигатель ограниченной мощности включен во все время движения. Обратимся к исследованию оптимального непрерывного за¬ кона изменения веса двигателя 1). Гамильтонова функция (4.43) имеет относительный минимум по 6?х при G* - Ga. (4.49) К (4.49) присоединим границу управления Gx, отвечающую знаку равенства в условии Gx 0 (см. (4,42)): Gx = const (4.50) (в дальнейшем будет показано, что граница (4.50) входит в со¬ став оптимального управления Gx (£)). При функциональных зависимостях (4.49), (4.50) выражение, являющееся коэффициентом при (а/2g) а2 в гамильтоновой функ¬ ции (4.43), не зависит от времени и имеет знак минус на всем х) Непрерывная функция Gy (t) соответствует непрерывному сбросу бес¬ конечно малых элементов двигателя; этот случай является предельным Для ступенчатого изменения веса Gy. 10 Механика полета
146 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 интервале [О, Т]: pj ° +—— = const <0; (4.51) ^1/ это может быть проверено дифференцированием выражения с учетом уравнений для ра из (4.43) и Ga из (4.42); знак константы следует из (4.45). Отсюда можно сделать вывод о разделении изучаемой вариа¬ ционной проблемы. Будем рассматривать комбинацию (4.51) как новый импульс; тогда функция Н будет соответствовать ва¬ риационной задаче на максимум функционала т — / = — ^ a-dt, (4.52) О сформулированной для уравнений движения из (4.42). В каче¬ стве управляющих функций здесь будут фигурировать а (t) и е (t). Заменим знак перед новым функционалом на обратный; при этом вместо задачи на максимум — J будет рассматриваться за¬ дача на минимум /, т. е. полученная в § 1 вариационная проблема (4.11). После решения вариационной проблемы (4.11) следует опре¬ делить оптимальное управление GK (t), доставляющее максимум величине Ga (Т) = Gn при известных законах .a (t), е (t) и изве¬ стном значении /. Из уравнения расхода и краевых условий для весов (4.42) вытекает интегральная связь 0 GdG а 1 3 (4.53) } (Gx + Gq)* - 2g 1 -Gx (0) Управление G* (t) должно быть построено из участков (4.49), (4.50) так, чтобы достигался максимум Gn и при этом удовлетво¬ рялось условие (4.53). Таким образом, как и для постоянного веса двигателя (§ 1), рассматриваемая вариационная проблема (4.42) разделилась на две части: динамическую (4.11) и весовую (4.53). 3. Решение весовой части вариационной п обломы. Требу¬ ется определить кусочно-непрерывную функцию Gx (Ga), состав¬ ленную из участков: Gx = Ga и GA = const, обеспечивающую максимум G- при заданном значении J (см. (4.53)). Этой формули¬ ровке эквивалентна такая: определить функцию GK (Ga),
2] ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ИЗМЕНЕНИЯ ВЕСА ДВИГАТЕЛЯ 147 доставляющую максимум J при заданном значении Gn: Gn шах iJ=Tx [“ S (4.54) ~i-g;(o) В дальнейшем будет использоваться как более удобная послед¬ няя формулировка. Отметим прежде всего, что при Gn > 0,5 оптимальная програм¬ ма Gy, (Ga) не может содержать прямую (4.49), ибо в этом случае нарушается начальное усло¬ вие Gx (0) + Ga (0) = 1. Сле¬ довательно, при Gn 0,5 оптимальный закон есть Gy (G0) = Gx0 = const, (4.55) 'x0 — J- 2g ~ G„+Gx0 — Gy (4.56) Из условия максимума J получаем экстремальное зна¬ чение Gy.o = Y Gtz — G-\ при этом ф = (1 - УК?, \ / (4.57) (4.58) Рис. 4.5. Состав оптимального закона изме¬ нения веса двигателя Gx в зависимости от суммарного веса G0 (t) = Gn + G^ (t) полез¬ ной нагрузки Gn и рабочего вещества G^ (t). что эквивалентно (4.15), (4.16). Если Gn <С 0,5, то оптимальный закон Gх (G0) может состоять не более чем из трех прямых (рис. 4.5): Gy = Gy0 Gy = Ga Gy, = Gxl при 1 — Gx0 > Go > Gx0, при Gy0 Go Gyi, при GyX G0 Gn. (4.59) После вычисления интеграла (4.54) по участкам (4.59) по¬ лучаем Gy 1 -f- In Gyo (4.60) где Gy.0 и GKl должны удовлетворять очевидным неравенствам
148 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 Из условия максимума Ф по Gxo, GX1 определяются оптималь¬ ные значения последних <?х0 = 0,25, GK1 = Gn. (4.62) Максимальное значение Ф равно Ф = 0,25 (1 - 1п4б?я). (4.63) Обращаясь к (4.59), находим, что ломаная экстремаль состоит только из двух прямых Gx = 0,25 при 0,75 > Ga ]> 0,25, Gx = Gq при 0,25 ^ Ga Gn. (4.64) Полученное решение (4.63), (4.64) справедливо в диапазоне 0,25 > Gn > 0, так как при Gn > 0,25 и Gxo, Gxl из (4.62) нару¬ шаются неравенства (4.61). Если 1 > Gn > 0,25, то оптимальная функция Gx (Ga) — прямая (4.55), оптимальное значение С?хо и максимальная величина Ф даются формулами (4.57), (4.58). Приведем сводку решения весовой части вариационной за¬ дачи в виде, разрешенном относительно Gn: при 0 Ф 0,25 ся = (1_/ф)*, С,з/ф-ф, при 0,25 ^Ф^оо 0,25 при 0,75 ;> G0 > 0,25, G0 при 0,25 Ga Gn. Gn = Ga — (4.65) Зависимость Gn (Ф) из (4.65) показана на рис. 4.6—кривая, обозначенная символом оо. Видно, что выигрыш в полезной на¬ грузке по сравнению со случаем постоянного веса двигателя (кри¬ вая п = 1) имеет место при малых значениях полезной нагрузки и составляет 0,01—0,015 (0 Gn (сю) — Gn (1) ^ 0,017). Отно¬ сительный выигрыш весьма существенный: при Ф = 0,7 полез¬ ная нагрузка увеличивается в 1,5 раза, при Ф = 0,8—в 2,5 раза, при Ф = 0,9 — в 6 раз и при Ф = 1 — в бесконечное число раз. Допустимый диапазон значений функционала /, характеризу¬ ющего динамический маневр, расширяется до бесконечности (0 < / < сю). Отметим, что рассмотрение задачи оптимального програм¬ мирования веса двигателя при заданных законах реактивного ускорения, например при a (t) = const [4.26], в силу доказан¬ ного свойства разделения (п.2), приводит к аналогичным резуль¬ татам.
§ 2] ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ИЗМЕНЕНИЯ ВЕСА ДВИГАТЕЛЯ 149 4. Ступенчатая аппроксимация оптимального управления весом двигателя. Пусть теперь управление Gx — кусочно-постоян¬ ная (ступенчатая) функция времени t (или веса рабочего веще¬ ства G0). Требуется определить оптимальные высоты уровней (ступеней) управления и оп¬ тимальные моменты перехода с одного уровня на другой, если число уровней задано. Для решения задачи сущест¬ венным оказывается то обсто¬ ятельство, что (?х — невоз¬ растающая функция времени t (или неубывающая функ¬ ция веса Ga) и, следовательно, высоты уровни ступен¬ чатого управления должны убывать со временем t (или возрастать с увеличением веса G0). Для рассматриваемого слу¬ чая интеграл (4.54) заменяет¬ ся суммой п интегралов по участкам, вдоль которых функция G* постоянна; после интегрирования и подстанов¬ ке. 4 6. Сравнение полезной нагрузки Gn для случаев непрерывного изменения веса двигателя (п = оо), ступенчатого изменения веса двигателя (п = 2) и постоянного веса двигателя (n = 1). ки соответствующих пределов получаем следующее выражение Ф: 71—1 ' + +Gi% + G™ + с£*> ej>) + «) • «-«в) Здесь n — заданное число уровней ступенчатого управления; — высоты уровней; G$\ . . ., Gf~l) — моменты сме- ны уровней. Найдем (2п — 1) неизвестных: Gx1}, . . ., Gxn); Gi1}, . . м G*1 Х) из условия обращения в максимум функции Ф; после дифферен¬ цирования выражения (4.66) получим G^=YG^L)G^ q(Ud _ У£(i+1) (i+l) ynr(i) или Gx+1> = Gxl) (i — 1, (i = 1, . . . , n — i), n — 1), = Vg™ - G(a]. (4.67)
150 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 В верхней строчке (4.67) выписаны две группы уравнений, отвечающих условию максимума Ф по Gq\ Во втором случае (Gk+1) = G(хг)) все п уровней ступенчатого управления Gx имеют равную высоту; это соответствует аппроксимации оптимального закона (4.55). Укажем способ решения полученной системы алгебраических уравнений. Величины G(al) и Ga+1) связаны следующим рекуррент¬ ным соотношением: (£«)<г+1) = {GW)yGn (г = 2 п — 1). (4.68) что легко проверяется методом полной индукции (см. (4.67)). Величина Gопределяется из уравнения (Gon))n+1 = (1 — V Gf)nGn. ;4.69) Вычислив G(an) при заданном значении G- из (4.69) и найдя последовательно все G(an_1) , . . ., G^\ а по ним и Gиз (4.67), можно определить Ф по (4.66). Результат проведения такой про¬ цедуры представлен на рис. 4.6 для случая п = 2. Из сравнения с предельной кривой непрерывного изменения веса двигателя (п = ос) можно заключить, что уже однократный сброс части двигателя (п = 2) позволяет реализовать большую часть выигры¬ ша от оптимального программирования веса двигателя. Аналогичным образом может быть решена задача, когда тре¬ буется, чтобы двигатель состоял из равновеликих секций. Для этого случая в (4.66) нужно выбирать оптимальным только один уровень G£\ остальные уровни определяются по формуле G® = G? (l — или GlP = G(x\ (4.70) В заключение параграфа укажем, что предельная оптималь¬ ная программа (4.64), а также соответствующая ей ступенчатая оптимальная программа, построенные по аргументу Ga, могут быть записаны через аргумент t, если известен закон изменения реактивного ускорения а (t). Связь между переменными Ga и t имеет вид t GJGn а “ S {G~+Gji= 2g\a>dt (4Л1) 1—Gx0 О (в левый интеграл подставляется оптимальная] программа GK (Ga)).
СБРАСЫВАЕМЫЕ СЕКЦИИ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО 151 § 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СБРАСЫВАЕМЫХ СЕКЦИЙ ДВИГАТЕЛЯ В КАЧЕСТВЕ РАБОЧЕГО ВЕЩЕСТВА 1. Постановка задачи. При рассмотрении оптимальных зако¬ нов изменения веса двигателя в предыдущих двух параграфах считалось, что сбрасываемые секции отделяются от аппарата с нулевой скоростью и не сообщают дополнительного импульса (пассивный сброс). Если предназначенные для сброса секции дви¬ гателя превращать в рабочее вещество и отбрасывать со скоро¬ стью реактивной струи (активный сброс), то можно получить дополнительный выигрыш. Такая идея использования ненуж¬ ных элементов конструкции была высказана Цандером [4.27]. Поставим задачу об оптимальном использовании сбрасывае¬ мых секций двигателя [4.22, 4.28]. Будем считать, что не вся масса сбрасываемых секций может превращаться в рабочее ве¬ щество, а только часть ее (параметр хтах предполагается заданным). Таким образом, часть расхода д* 0 (см. (4.40)), равная (1 —х) д*, не используется и покидает аппарат с нулевой скоростью. Остальная часть хд*, превращенная в рабочее вещество, направляется в движитель. Суммарный расход через движитель q будет складываться из расхода хд* и расхода запаса рабочего вещества д^ > 0: Эта схема использования сбрасываемых секций двигателя от¬ носится к предельному случаю непрерывного сброса. Ступенча¬ тый сброс описывается в последнем пункте параграфа. Выберем в качестве независимых управляющих функций без¬ размерную мощность (4.38), расходы g[JO g* и коэффициент прев¬ ращения массы двигателя в рабочее вещество х. Характеристики двигательной системы, как и раньше, считаются идеальными и записываются в форме (4.1). Вариационную задачу, аналогично предыдущему параграфу, сформулируем как задачу Майеря (II.8). Для этого присоединим к системе (II.8) уравнение (4.40) и перепишем ее в терминах перечисленных выше управлений: 0 < х (t) < X] -max (0 %max — COIlSt 1) (4.72 q = + Му,- (4.73) — — qv., Gi}(0) -j- (*a{T) — шах, e + K, v(0) = v0, v(T) = Vi + Gy. (0) = 1, G*(n>0, r(°) = r0. r{T) = r!, • (4.74) qv (0 > (t) > 0)-
152 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 Здесь все веса отнесены к начальному весу аппарата, расхо¬ ды — к начальной массе, мощность — к максимально возможной в данный момент; обозначения для отнесенных величин сохране¬ ны старые. Нужно выбрать оптимальное начальное значение веса G* и построить оптимальные программы для управлений е (t), N (t), х (t), q^ (t), q* (t) (конструктивные параметры a, xmax и динами¬ ческий маневр {r0, v0, r1? v1? T} заданы). Максимизируемый функционал — конечное значение фазовой координаты (?0, сов¬ падающее по определению (см. (II.6), (II.7)) с полезным весом. 2. Состав оптимального управления. Для отыскания оптимальных программ управления воспользуемся методом JI. С. Понтрягина. Согласно принципу максимума на оптималь¬ ной траектории гамильтонова функция н = — paqv. — рхдк + ivv + iv к 4- р„ • е у (2g/a) GXN (q^ + %qx) (Ga + Gx)"1, • dH • _ дН ■ _ _ 5Я • _ дН ~~ dG^ ’ Р* ~ dG~ ’ Р>* — fa I Рю — fa- (4.75) должна иметь абсолютный минимум по переменным е, N, х, q^ и дх, подчиненным ограничениям из (4.74). Программа для направления вектора тяги, как й в § 2, дается соотношением (4.47), поскольку перед скалярным произведе¬ нием р^-е в функции Н стоит неотрицательный коэффициент. Из анализа того же члена с учетом условия (4.47) следует оптимальность полного использования мощности (4.46). Аналогичным образом приходим к физически очевидному выводу: доля расхода дх, превращаемая в рабочее вещество, должна быть максимально возможной х (/) = хтах при 0 t ^ Т. (4.76) Для отыскания управлений и дх запишем с учетом полу¬ ченных оптимальных соотношений (4.46), (4.47), (4.76) часть функции Н, зависящую от этих управлений г): Ж = — РсЧ». — РхЯх-PvY (2£/a) g* iVv- + Ktfx) (G0 + Gx)'1 (4.77) и уравнения для импульсов ра и рх: Ра =,— Pv Y(2#/a) Gx (g^ + xgx) (Ga + Gx)“2, \ (4*78) px =ip0(l-G0/Gx). *) Здесь и в дальнейшем под х без индекса подразумевается максималь¬ ное значение хтах.
СБРАСЫВАЕМЫЕ СЕКЦИИ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО 153 Из условия минимума (4.77) следует, что если один или оба импульса ра, рх больше нуля либо равны нулю, то оптимальное значение одного или обоих расходов обращается в бесконечность. Рассмотрим теперь случай Ра <0, рх < 0. Перепишем функцию (4.77) через суммарный расход и*расход qK: (4.79) (4.73) (4.80) Ж = — Poq — PvV(2ё/а) Gy.q (Ga+G*)-1—(рк—кра) qx (q > 0, 0 < qx < q/%). Отсюда видно, что оптимальное распределение суммарного расхода g между составляющими дх ется знаком комбинации и q^ = q — xgx определя- Д = Рк — хра. (4.81) В самом деле, если А < 0, то минимум Ж по дх достигается при дх = 0, т. е. при g^ = g, а если А >> 0, то при дх = д/х, т. е. при д^ = 0. В случае А = 0 функция Ж не зависит от каж¬ дого из расходов q^ и дх по отдельности, а определяется суммар¬ ным расходом q. В этом смысле его можно считать особым. Таким образом, в каждом из трех возможных случаев функция Ж зависит только от одного из расходов ди дх или д, подчинен¬ ных лишь условию неотрицательности: Ж\ = — ра?^ — Pv У (2^/a) Gxq^ (Ga -f Gy)'1 при A< 0 (gx = 0), Ж2 = — pxgx — Pv У (2g/a) Gxxgx (Ga + Gx)'1 при A>0 (g^ = 0), Жг = — Poq — pv У (2g/(x) Gyq (Ga + Gx)'1 при Д = 0. (4.82) Из условий стационарности дЖх/dq^ = 0 и дЖJдq^л = 0, которые здесь соответствуют условию абсолютного минимума, определяем оптимальные управления д^ и дх при А =/= 0: в первом случае (s/a) G*P2v 2 рЖ+G, дх = 0 (А < 0), во втором случае q^ = 0, и (g/Ц) gx^ 2P1(C0+GX)« (А>0). (4.83) (4.84)
154 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 При А = 0 из условия dffljdq = 0 следует . (lf/^О / д /\\ / / ОС\ qи. Kq-K — —п (А = 0)» (4.85) 2pl(G0+Gx)* V К Когда А обращается в нуль не в изолированных точках, а на некотором конечном отрезке^времени (именно такой случай будет особым), то производная А также равна нулю на этом от¬ резке A = YPa(l — 2я — =0- (4.86) {это уравнение получено из (4.81) и (4.78)). Из (4.86) следует либо ра = 0, либо (1 — 2х — GJGX) = 0. Рассмотрим первую возможность. Из (4.78) с помощью (4.84) исключаем (^+и£х): ^ (g/a)Gx pi //( Qr?4 Р° - (Ge + Gx)3 рг • (4-87) Правая часть (4.87), за исключением изолированных точек, положительна. В самом деле, вес двигателя Gx может обратиться в нуль только при t = Т; импульс р„, как это следует из уравне¬ ний (4.75) Рг>= Pr> Pr = —С4.88) может быть равен нулю или в изолированных точках, или тожде¬ ственно вдоль всей траектории. Последний случай вырожденный, так как он соответствует пассивному движению q^ = = 0 (см. (4.83)—(4.85) при pv = 0). Таким образом, первая возможность ра = 0 отпадает, оста¬ ется 1 _ 2% — GJGK = 0. (4.89) Это выражение означает пропорциональное изменение весов двигателя и запаса рабочего вещества (ср. (4.49)). Совместно с соотношением (4.85) оно дает условие, определяющее оптималь¬ ные управления q^ и qA в особом случае: ,\ оч (1 — 2х) (g/a) — (1 — 2к) qy. = г (Д = 0). (4.90) * V 2 (1 — и) р% (Gg -г Gyf- к Нетрудно видеть, что соотношения (4.89), (4.90) имеют смысл при х < 0,5 и G* <С 0,5 (в противном случае 1—2 х < 0 или Ga/Gx > 1).
СБРАСЫВАЕМЫЕ СЕКЦИИ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО 155 3. Чередование оптимальных программ для расходов. Выше было установлено, что характер оптимальных законов изменения расходов q^ и qx зависит от знаков импульсов ра, рх и комбина¬ ции А. В начальный момент времени (t = 0), согласно условию транс¬ версальности, вектор импульсов (ра, рх) должен быть направлен по нормали к прямой Ga (0) + Gx (0) = 1 (см. (4.74)), т. е. Ра (0) = рх (0). (4.91) В конечный момент времени (t = Т), согласно нормировке, Рс (т) = -1 (4.92) (поскольку импульс ра соответствует фазовой координате Gaj конечное значение которой максимизируется). Что касается конечного значения импульса рх, то тут возмож¬ ны два варианта. Первый: конечное значение фазовой координаты Gy, в оптимальном случае выходит на границу Gx (Т) = 0 (см. (4.74)), тогда значение ру, (Т) не определено. Второй: оптимальное значение Gx (Т) > 0; тогда величину Gx (Т) можно считать не заданной и по условию трансверсальности рх (Т) = 0. Таким образом, получаем условие Gx (Т) = 0 или Ру, (Т) = 0 (4.93) (эти два равенства могут выполняться одновременно, если dGa (T)!dGy (Т) = 0 при Gy (Т) = 0). Начальное значение (4.91) импульсов р0, рх должно быть строго меньше нуля. В противном случае, как следует из усло¬ вия минимума (4.77), qv, = оо и дх = оо. Это соответствует сбросу конечной части запаса рабочего вещества и двигательной системы с бесконечно малой скоростью (V = У 2N/{q^ + х#х)), т. е. слу¬ чаю, когда начальные весовые соотношения выбраны не опти¬ мально. Можно получить также ограничение на (4.91) снизу. Производная (4.78) импульса ра всюду отрицательна, а конечное его значение равно минус единице (4.92), поэтому -1 < Ра (0) = рх (0) < 0. (4.94) Таким образом,, импульс ра отрицателен во все время движе¬ ния {ра (0) <С 0, ра (t) < 0). То же самое можно сказать и об импульсе рх (за исключением конечного момента времени, когда Рх может обращаться в нуль (4.93)).В окрестности начальной точки t = 0 импульс р.у отрицателен (4.94). Предположим, что через некоторое время (0 ^ Т) он обращается в нуль; тогда про¬ изводная ру (^ — 0) > 0 и в силу (4.78) Ga (tm — 0) > Gx (tm — 0). Справа от точки t = ^ последнее неравенство только усилится, т*к как ga= 0, qx = ос при ра <Г 0, рх = 0. Значит, производная
156 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 рх будет оставаться положительной при переходе через точку t = t и р* (0 > 0 при t Выполнение последнего неравен¬ ства на конечном интервале времени приведет к обращению в нуль веса двигателя (дх = оо при р*^> 0). Последнее возможно только при t = Т. Итак, показано, что на всем интервале времени 0 t Т выполняются неравенства (4.79). Остается исследовать поведе¬ ние комбинации (4.81), знак которой определяет в этом случае, какой из оптимальных законов (4.83), (4.84), (4.90) управления расходами будет иметь место. Сначала рассмотрим случай 0<х<1. Из оптимального граничного условия для импульсов (4.94) следует, что начальное значение функции А отрицательно А (0) = (1 - и) Ро (0) < 0. (4.95) Конечное значение функции А должно быть положительным А (Т) = рх (Т) - хра (Т) > 0,' (4.96) поскольку, согласно условию (4.93), либо рх (Т) = 0, либо Gx (71) = 0. В первом случае справедливость неравенства (4.96) сразу следует из (4.92): А (Т) = — хрс (Т) = к. Во втором случае это следует из (4.84), так как в окрестности конечного момента времени вес GK должен убывать до нуля. Последнее возможно только при одном оптимальном управлении .(4.84), которое реа¬ лизуется при А > 0 (Сг* (t) = const на (4.83) и G* (t) = = G0 (0/(1 - 2х) на (4.89), (4.90)). Исследуем функцию А внутри интервала [0, Г]. Ее произ¬ водная определяется выражением (4.86). Первый сомножитель этого выражения 1/2р0 всюду отрицателен. Следовательно, харак¬ тер функции А будет определяться вторым сомножителем % — 1 — 2х — GJGK. (4.97) В начале движения функция А отрицательна (см. (4.95)), поэтому изменение веса происходит по закону (4.83). Согласно (4.83) вес G* остается постоянным, a Ga убывает, т. е. X вдоль (4.83) возрастает. Если предположить, что А (0) 0, то конечное значение А (Т) окажется отрицательным, ибо А (0) 0 и A(t) ^ 0 (вследствие возрастания %). Отрицательность же А (Т) противоречит условию (4.96). Таким образом, производная функции А в начале движения положительна. Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут иметь место внутри интервала [0, Т]. 1°. Производная А (t) всюду остается положительной. Тогда А (£) в некоторый момент времени i = пересечет ось t (так
СБРАСЫВАЕМЫЕ СЕКЦИИ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО 157 как А (0) < О, а А (Г) >0). На первом интервале 0 < t < tt ■будет иметь место управление (4.83), согласно которому Gx (t) — — Gxо, а на втором £, < t < Т — управление (4.84), вдоль кото¬ рого Ga (t) = G0 (f.) (рис. 4.7), причем G0 (tj = G„, так как по условию (II.7) G0 (Т) = G„. Рис. 4.7. Первый возможный вариант поведения функции А (0 и соответ¬ ствующий ей оптимальный закон изме¬ нения веса двигателя (0 < х < 1). Рис. 4.8. Второй возможный вариант поведения функции А (0 и соответ¬ ствующий ей оптимальный закон из¬ менения веса двигателя (0 < х < П FS (] ^ 0.5V 2°. Производная А (£) сначала положительна, затем обраща¬ ется в нуль одновременно с самой функцией (A (tj = A (tj = = 0). В интервале 0 ^ изменение веса происходит по закону (4.83). При t = он сменяется на (4.89). Согласно (4.89) веса Ga и GK меняются пропорционально, так что X и А остаются равными нулю. В некоторый момент времени t = будет из¬ расходован весь запас рабочего вещества Gg (t^) = Gn. После этого может меняться только вес G*. Комбинация X с умень¬ шением G* снова станет отрицательной, а производная А —
СБРАСЫВАЕМЫЕ СЕКЦИИ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО 159 положительной. Функция А перейдет в положительную об¬ ласть, и управление весом будет осуществляться по закону (4.84) (рис. 4.8). 3°. Производная А (t) обращается в нуль при А (t) <^ 0. В области А 0 веса Ga, GK меняются по закону (4.83), согласно которому % возрастает. Поэтому после обращения в нуль произ¬ водная А станет отрицательной и функция А никогда не попадет в область Д>0, что противоречит условию (4.96). 4°. Производная А (t) обращается в нуль при А (t) > 0. Эта возможность также отпадает, так как в области А > 0 функция X должна убывать согласно (4.84) и (4.97), а чтобы функция А при некотором t = попала в положительную область, необ¬ ходимо Л (О > 0. Поэтому в области А^> 0 производная А остает¬ ся положительной, что опровергает начальное предположение. Таким образом, последние два варианта, 3° и 4°, отпадают. Изучим теперь поведение функции А для крайних значений параметра х: х = 1 и к = 0. При х = 1 начальное значение функции А равно нулю (см. (4.95)), а ее производная всюду по¬ ложительна (см. (4.86)). Поэтому все последующие значения А лежат в положительной области, и в процессе движения меня¬ ется только вес двигателя Gx по закону (4.84). При этом вес Ga (t) = Go (Т) = т. е. запас рабочего вещества отсутствует (рис. 4.9). В случае х = 0, рассмотренном в предыдущем параграфе, функция А не может попасть в положительную область, так как при х = 0 управление (4.84) не имеет смысла. Поэтому функция А либо всюду отрицательна (за исключением, быть может, t = Т) и тогда G* (t) = Gxq (рис. 4.10), либо сначала отрицательна, а затем обращается в нуль при t = ^ Т. Тогда производная A (£.) также обращается в нуль и до конца движения остается равной нулю. На первом участке 0 t ^ изменение веса происходит по закону (4.83), на втором ^ ^ t ^ Т — по за¬ кону (4.89) (рис. 4.11). Остальные возможности исключаются аналогично тому, как было сделано при 0 х <* 1. 4. Разделение задачи на весовую и динамическую. Перейдем от расходов q[X и qx к новой управляющей функции а — реак¬ тивному ускорению (см. (4.74)): а = У (2g/a) GXN (q^ + щ-л) (Ga -f G*)'1- (4.98) Тогда два векторных уравнения (4.74), определяющих траек¬ торию движения, не будут содержать весовых параметров: г = v, у == ae + Н, а уравнения (4.74), описывающие изменение весов Gx и С0,для каждого из оптимальных управлений (4.83),(4.90), (4.84) будут выражаться через весовые параметры и квадрат
160 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 реактивного ускорения (безразмерная мощность N на опти¬ мальной траектории равна единице): при A (t) 0 (Ge+<?*)* 2g Ga = — a2, G/(*) = const; (4.99) при A (t) 0 « (t) ,G5 = _4(l-x)Ga|ra2, Gx(r) = T-iyr (x<0,5; G„ < 0,5); (4.100) при Д (t) 0 Ga{t) = const, Су. = -{°°^у2--^а* (x>0). (4.101) В предыдущем пункте было показано, что при 0 к 1 воз¬ можны два решения: первое состоит из последовательно состы¬ кованных участков (4.99) и (4.101), второе — из участков (4.99), (4.100), (4.101). Переменные в каждом из дифференциальных уравнений (4.99)—(4.101) разделяются. Квадратуры с учетом непрерывности фазовых координат Ga и Gx, начального GO0 + + G*o = 1 и конечного Gai = Gn условий имеют вид: для случая (4.99) + (4.101) ~Gx0 \ (G0+L)2 j («„ + <£)* =Ф’ ^Л02) 1-GxO Gx0 для случая (4.99) + (4.100) + (4.101) (1—2х) Gx0 Gn dGa i г» clG r Г о 1 ? *° J (G0 + Gx„)2 4(1-4) ) Ga 1 Gx0 (1—2x)Gxg Gxl K S (G.+ G*)* _ф* (4,103) G„/( l-2x) Здесь, как и в двух предыдущих параграфах, т Ф =^в2Л. (4.104) После вычисления интегралов, содержащихся в левых частях равенств (4.102) и (4.103), устанавливается конечная связь между полезной нагрузкой G*, начальным и конечным значениями ве¬ са двигателя Gx, параметром х и величиной функционала Ф:
СНРАСЫНАЕМЫЕ СККД1Ш КАК раг.оч к к вкщю :т по 1(51 для случая (4.99) + (4.101) (1 X) С л (i _ KG 1 - Gxo - V + * In 77— ут~ - —■ rr'-' - ф; (4Л05) f,x0 i Gyl - (/_ &у1 -r Ол для случая (4.99) -f- (4.100) + (4.101) I -2Х г , 1 , ( I — СуЛ — Gxn + тл -т- m 4 (I — х) Gr (1. — 2Х) ((^xi ; ' (j'-r) Хбг_ X In гг—; -у 11 у ‘^—у = Ф. (4.106) 2(1—x)GL Зависимости Ф от G-, определенные формулами (4.105) и (4.106), монотонно убывающие (дФ/dGC <А 0). Это позволяет, как и в §§ 1, 2, разделить задачу на независимые весовую и дина¬ мическую части. Динамическая часть задачи по-прежнему со¬ стоит в построении оптимальной программы вектора реактивного ускорения и формулируется в виде (4.11). Весовая часть задачи после проведенной процедуры сводится к определению началь¬ ного Gy.Q и конечного Gyl значений веса двигателя, обеспечиваю¬ щих максимум функции Ф (4.105), (4.106) при фиксированном значении полезной нагрузки *), и к установлению границ реали¬ зации решений (4.105), (4.106). Аналогичные рассуждения можно провести и для предель¬ ных значений параметра х. Только при х = 1 нужно брать один участок (4.101), а при х = 0 — либо один участок (4.99), либо два участка (4.99) и (4.100). 5. Решение весовой части задачи. Из рассмотрения частных производных dO/dGy0 и dO/dGXJ находим оптимальные величины Gx() и Gxli для случая (4.99) + (4.101) ОхП = 1/гХ — G-А- |Л/4х2 + (1 — х)G-, Gxt = 0; (4.107) для случая (4.99) + (4.100) -|- (4.101) С*п = 4 (Ах), ’ СуЛ = °* (4.108) Сравнение выражений (4.105) и (4.106), в которые подставле¬ ны оптимальные значения (4.107) и (4.108) весов Gxo, Gxl, по¬ зволяет установить точные границы реализации каждого типа решений. Решение (4.99) 4- (4.101) имеет место в диапазонах (1 — 2х)/4 (1 — х) < G- < 1, 0<х<0,5 и 0<бя<1, 0,5<х<1, К ’ х) Зависимости (4.105), (4.106) разрешены относительно Ф, поэтому за¬ дачу о максимуме полезной нагрузки 64 при фиксированном Ф здесь удобно заменить эквивалентной задачей о максимуме Ф при фиксированной вели¬ чине С_. 11 Механика полета
162 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 0,8 0,6 Ofi 0.2 V ш ж \ о 0,2 Ofi '0,6 0.8 О, 'Л Рис. 4.12. Области реализации различ¬ ных типов решений (пезаштриховаи- ная область соответствует первому ти¬ пу — рис. 4.7, заштрихованная об¬ ласть — второму — рис. 4.8). а решение (4.99) + (4.100) + (4.101) — в диапазоне 0 < G* < (1 - 2х)/4 (1 — х), 0 < х < 0,5. (4.110) Области (4.109) и (4.110) показаны на рис. 4.12. Штриховкой выделена область (4.110). Для х = 1 во всем диапазоне 0<^Gn*^l изменение веса происходит по урав¬ нению (4.101), a Gx0 и 0УЛ опре¬ деляются формулами (4.107). При х = 0 в интервале 0,25 £?- 1 реализуется решение (4.99): Gy. (t) = Y G- — Gn, а в интервале 0 Сгя<^0,25— решение (4.99) +(4.100); при этом G*,, = 0,25, GX1 = G-. На рис. 4.13 представлены за¬ висимости оптимальной величины начального веса двигателя Gxo от полезной нагрузки 6С для раз¬ личных значений параметра %. Кривые построены по формулам (4.107), (4.108) с учетом границ их реализации (4.109), (4.110). Нижняя сплошная кривая соот¬ ветствует пассивному сбросу дви¬ гателя (х = 0, см. § 2). Пунктир¬ ный участок, продолжающий ниж¬ нюю кривую и правая ветвь этой кривой относятся к случаю неиз¬ менного веса двигателя, рассмот¬ ренному в § 1. Видно, что опти¬ мальные весовые соотношения в случае использования сбрасывае¬ мых секций двигателя в качестве рабочего вещества (х + 0, актив¬ ный сброс) сдвигаются в сторо¬ ну увеличения начального веса двигателя за счет запаса рабо¬ чего вещества. Суммируем полученные резуль¬ таты. Оптимальный закон из¬ менения веса двигателя и запаса рабочего вещества описывается следующими соотношениями: для случаев 0 <Г х 0,5, (1 — 2х)/4 (1 — х) ^ G- 1 и 0,5 х < к о Gя 1 (рис. 4.7). О 0,2 04 0,6 0,8 J7C Рис. 4.13. Зависимость оптимальной величины начального веса двигателя Gxо от полезной нагрузки Gn при фик¬ сированных значениях коэффициента х превращения материала двигателя в рабочее вещество.
3] СБРАСЫВАЕМЫЕ СЕКЦИИ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО 163 Gx(0 = Gx0 — Gn-Ь 'у/Г—b (1 — >0G^ (Ga + ^о)2 a 0 = — Г 9a х0 & (при 1 — Gx0 > G0 (О > Gn), г — (G* + G*)2 « _2 п ,f\ г Gx — xQ^ 2g a , Ga(t) — G„ a- (4.111) (при Gx,, > Gx (t) > 0); для случая 0 < x < 0,5, 0 < G* < (1 — 2х)/4 (1 — х) (рис. 4.8) Gx (t) = Gx<| = , G0 (G,4-Gx0)s a 2? G. (t) С'М=Т=Ш’ (при 1 — Gx0 > G3 (0 > (1 — 2x) Gx0), ■4(1 — x) G3 JL a2 (при (1 — 2x) Gx0 > G3 (t) > G„), GK (G_ "Г Gx)4 $ ^a2, G0(f) = G„ *G„ 2* при t=i^ > G* (0 > °); (4.112) для случая и = 1, 0 < G„ < 1 (рис. 4.9) г. _ (G* + G*)2 a ^ /J4 „ Gx vG^ 2g a"> Ga(t) — G„ (при 1 — G„ > Gx (t) > 0), (4.113 для случая x = 0, 0,25 < G„ < 1 (рис. 4.10) Gx (t) = Gxo = ]/"G- — GT_, Ga = (Ga GX0)S a a- -'xO 2S' (при 1 —Gx0> Go(0>G„), (4.114) для случая x =-. 0, 0 < Gn < 0,25 (рис. 4.11) Gx (t) = Gxo = 0,25, G0 = — -(GgTG>to)- “ as GXO (при 1 — Gxo>Ga (t) > Gx0), = -4G0^a2 (при GxO>Ga(0>G„). Gx(0 = G3(0, G3 = — 4Ga a2 (4.115) HI*
164 ИДЕАЛЬНЫЙ двигать:ЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 Окончательное выражение величины функционала Gn имеет вид: при 0<:х<^0,5, (1 — 2х)/4(1—x)<G,<l it при, 0,5<х<1, 0<GL<1 G, \ . G_ Ф через Ф = (1 — х) 1 —■ ТГ) — х In - К G- • К Ф - при 0 ^ х ^ О I — 2х О, X 111 К. — -+ j/7*-j- + (1 — х) G- 0<СЯ<(1 — 2х)/4(1 In 1 — 2х — х) 4(1 — х) От (4.116) 4 (1 — х) 'v AJi 2(1 — х) 4 ( I — х) 1 - 2х Зависимость максимальной полезной нагрузки G- от величины функционала Ф для ряда фиксированных значений параметра х. вычисленная по (4.116), пред¬ ставлена на рис. 4.14. Ниж¬ няя сплошная кривая, как и на рис. 4.13, соответству¬ ет случаю х = 0, рассмот¬ ренному в § 2. Эта же кривая (в диапазоне О Ф ^ 0,25) и продолжающая ее пунктир¬ ная кривая (в диапазоне 0,25 < Ф 1) относятся к случаю постоянного веса Gx, рассмотренному в § 1, Все кривые представлены в интервале 0 ^ Ф 1. Од¬ нако если в случае постоян¬ ного веса двигателя, как от¬ мечалось в § 1, функция С?-(Ф) теряет физический смысл вне этого интервала, то здесь функция G- (Ф) имеет смысл на всей полуоси 0 Ф °о. 0 < Ф < 1 приближенно 0,8 0,6 0,4 0,2 V /7= оо % % / 0,2 0,4 0,6 0,8 Ф Рис. 4. И. Максимальная полезная нагрузка п зависимости от функционала динами¬ ческой части задачи Ф при фиксированных значениях коэффициента превращении х. Поведение G- (Ф) вне диапазона (Gru 1) описывается следующими формулами: 1 — 2х 4(1- ехр (- х) ехр [— 4 (1 — х) Ф] ■ Ф/х) при 0 х 0,5, при 0,5 х 1. (4.117) Зависимость полезной нагрузки от параметра х при малых значениях функционала 0 Ф ^ 0,5 близка к линейной (рис. 4.15), а при больших переходит в экспоненциальную (4.117).
СБРАСЫВАЕМЫЕ СЕКЦИИ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО 165 Выигрыш в полезной нагрузке от использования сбрасывае¬ мых секций двигателя в качестве рабочего вещества (х 0) по сравнению с простым сбросом (х--0) может быть весьма существен¬ ным.Так например, в предельном случае % = 1 (полное превраще¬ ние) полезная нагрузка увеличивается при Ф = 0,05 — в 1,2 раза, при Ф = 0,25 — в 1,8 раза, при Ф — 0,5 — более чем в 3 раза, при Ф 0,75 — в 7 раз, при Ф — 1 — в 15 раз. Однако сравнение полезной нагрузки при одних и тех же зна¬ чениях функционала Ф = (oc/2g) У дает завышенные результаты. Превращение материала дви¬ гателя в рабочее вещество, очевидно, потребует каких-то в сп о мо га те л ьны х у с тр о й с тв, которые увеличат удельный вес двигателя на единицу мощности, а значит, увели¬ чат и значение Ф (при фик¬ сированной величине интег¬ рала У). Для того чтобы стало невыгодным полное превра¬ щение материала двигателя в рабочее вещество (х 1), удельный вес а должен воз¬ расти при Ф=0,05 в 2 раза, при Ф = 0,25 в 2,5 раза, при Ф = 0,5 примерно в 3 раза и т. д. (здесь под Ф понимает¬ ся Ф = (ax,=.0/2g) J). Если будет существовать зависимость а (х), то можно решать задачу о выборе оптимального значения х, обеспечивающего максимум полезной нагрузки при заданной величине интеграла У. 6. Ступенчатое уменьшение веса двигателя. Рассмотренный выше случай непрерывного уменьшения веса двигателя соответ¬ ствует бесконечно большому числу п бесконечно малых секций двигателя (w = ос на рис. 4.14). Сравним этот предельный слу¬ чай со случаем конечного числа секций конечного размера, как это сделано в § 2 для х = 0. Пусть в момент времени С сбрасывается /-я секция двигателя, и х—часть веса этой секции — присоединяется к запасу рабочего вещества, т. е. ^ т * ' (4.118) (/ -= !>•••) "■■■ D- где индекс j указывает на момент времени tj, а значок плюс или минус относится к значению функции справа или слева от мо¬ мента t;. О “ 0,2 0,4 0,6 0,8 х Рис. Elf). Полезная нагрузка G- и зависимо¬ сти от коэффициента превращения к при фик¬ сированных значениях функционала Ф.
166 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 4 В интервале времени tj<^ t tj+i вес двигателя остается постоянным г о’)- __ Ljx — Сгх (/ = 1, . . .,п). (4.119) Мощность N и параметр х, как и в случае непрерывного умень¬ шения веса двигателя, должны быть максимально возможными. Изменение веса аппарата на участках между сбросами опи¬ сывается уравнением (4.99). Интегрируя это уравнение по участкам от tj до tj+1 (j = = 0, 1, . . ., п — 1; tn = Т) и складывая, получаем Ф = V G(l)+ 2j л ло+ir 1 1 q(J)+ _u g{J)+ + GiJ)+ (4.120) Учтя соотношение на раз¬ рывах для запаса рабочего вещества (4.118) и условие Рис. 4.16. Сравнение полезной нагрузки Gn ПОСТОЯНСТВа веса ДВИГаТвЛЯ при непрерывном (п = оо) и ступенчатом межДУ моментами сброса (п = 2,4) уменьшении веса двигателя, а также МС"ЛМ.У при пеменяющемся весе двигателя (п = 1) (4.119), перепишем ВЫраже- для случая полного превращения материала двигателя в рабочее вещество (х = 1). п-1 ф _ /dO> ние (4.120) в таком виде: 7=0 1 !. Gu>+ GU)~ _!_ xG0'-l)+ (1 _ x) Q(jb (4.121) Щ'Д' = ОТ = GyJ;, G'0)- = Ga0, Gp- = G3l = G-). Вычислив частную производную дФ/dG-, можно убедиться, что функция Ф (G-) монотонно убывающая. Задача снова разде¬ ляется, и весовая часть сводится к отысканию таких значений /ДУН G (/>- а = о, 1,..., п — 1), (4.122) которые обеспечивали бы максимум функции (4.121) при фикси¬ рованном значении G- и удовлетворяли бы условиям Gan + GK0 = 1, G(K')+<G^ nr(j-l) + (4.123) (в дальнейшем для сокращения записи значки плюс у G-J)+ и минус у G(aj)~ будут опускаться).
СБРАСЫВАЕМЫЕ СЕКЦИИ КАК РАБОЧЕЕ ВЕЩЕСТВО 167 Для определения 2п неизвестных величин (4.122) получаем систему 2п алгебраических уравнений (при О < х < 1) (G<y) + Gt1'1) Yg$ = {Gf + xGtl) + (1 - x) G^VW*’ _o\ 3G<» “V G«+1) xC</+1) (G0'+i) _j_ G^)- (G</+1) + xGf + (1 — x) С(/+1))2 G<« + xG^'-D (G</> +- xG^ -f (1 — x) G^f |^ = 0] или G?=G™, Gil) xG<« -| :Tr-^ — = 0 (C£> + G(x0))2 (G(al> + xGf> + (1 — x) G^)2 дФ SG!,0) (4.124) Gf + Gf = 1 (/ = l,...,ra-l). В предельном случае x = 1 соответствующая система уравне¬ ний имеет простое решение ■71/(71+1) Ga0 = 1 - (G~‘ qU) __ ^-(n-;)/(n+1) -l)Gni = re — 1), 1) Gr. (/ = 0, 1, . . га — 1; X = 1). (4.125) Подставляя соотношения (4.125) в формулу (4.121), получим связь между максимальной полезной нагрузкой Gл и функцио¬ налом Ф ф = (и + 1) (1 — Gl/(n+1)) + Gr. — 1 при х = 1. (4.126) При п > оо эта формула переходит в первое из соотношений (4.116). Связь (4.126) представлена на рис. 4.16 в вида зависимости G- (ф) для фиксированных значений п. Из рисунка видно, что переход от п = 1 (постоянный вес двигателя) к п = 2 реализует приблизительно V3 максимально возможного выигрыша в полез¬ ной нагрузке, а переход к п = 4 — приблизительно 2/3. Остальная треть реализуется переходом оттг = 4ктг=ос.В случае х = 0 (см. § 2) при п = 2 реализуется подавляющая часть выигрыша. Отсюда можно сделать вывод о том, что к предельным значениям полезной нагрузки можно приблизиться при конечном, сравни¬ тельно небольшом числе секций двигателя и тем меньшем, чем меньше коэффициент х. Отметим, что как и при х = 0, макси¬ мально допустимое значение функционала Ф здесь равно п.
ГЛАВА 5 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ —ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОГРАММЫ РЕАКТИВНОГО УСКОРЕНИЯ В предыдущей главе было установлено, что для идеального двигателя ограниченной мощности из общей проблемы оптими¬ зации выделяется независимая вариационная задача (4.11) о построении оптимального закона реактивного ускорения (дина¬ мическая задача). После ее решения для каждого конкретного динамического маневра, на основании формул главы 4 можно рассчитать оптимальные параметры двигательной системы и ап¬ парата. Динамическая задача (4.11) сформулирована как задача Лаг¬ ранжа с дифференциальными связями и краевыми условиями. Реактивное ускорение а (t) в оптимальном режиме, как следует из §§ 2, 3 главы 4, нигде не выходит на границу а — 0, за исклю¬ чением изолированных точек. Отсутствие граничных управлений дает возможность применять для решения задачи (4.11) класси¬ ческие методы вариационного анализа.. В некоторых случаях удобно изменить формулировку (4.11), избавившись от дифференциальных связей. Для этого нужно исключить ускорение а из подынтегрального выражения функ¬ ционала при помощи уравнений движения (см. Приложение. (П.47)): Г J --- \ [г-н (г, (.7.1 ) vl ('• (0) = !■„, г (0) = v0, V (Г) - I'lt ;• (Г) V,). Задача сводится к построению min — экстремалей функцио¬ нала (5.1), проходящих через заданные начальную (r0, v0) и ко¬ нечную (гА , vT) точки пространства координат—скоростей при фиксированных начальном и конечном моментах времени. Будет использоваться также и другая формулировка вариа¬ ционной проблемы (4.11) — в виде задачи Майера .7 - а2 (г/е)2, J (0) , О, J (Г) - min,' г = у, г (0) - -- г0, v(T) ---- гь v = ас -г Н, V (0) ^ V0, V (Г) ^ уг (а(0>°. <М/) I).
§ 1J УРАВНЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЕЙ II ИХ СВОЙСТВА § 1. УРАВНЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЕЙ II ИХ СВОЙСТВА 169 1. Уравнения экстремалей, общий случай. Запишем функ¬ ционал (5.1) в прямоугольной инерциальной системе координат г -/ / = Ц Ik — X)- + (у — У)2 4 (z — zy-]dt =•» ^ F (I, х, х, у, у, г, z_) dt (5.3) /г (0) --- х„, 1J (0) = 7/0, z (0)— 2,1, .<■' (0) = 7/0, г/ (0) — Vo, Z (0) = Wo, \ \х(Т) = хиу{Т) = уг, z(f)=zb ./(Г) = //ь y(T) = v1,z(T)=w1 / где X =. X (t, х, //, z), Y = Y (t, x, y, z), Z = Z (t, x, y, z) — компоненты вектора гравитационного ускорения В (г, £). Первая вариация функционала (5.3) имеет вид * г (пи dF dF •• г d dF . 6 J = [2t X I) — Z + —r. ~^T7. ./' \ dx dij dz dt dx . / dF A ■ , dF A • i ^/' d dF d dF . dt dij У г о d dF A 1 & d dF s d dF & \ . di дх by + Zn~di 6zi\" + Г 17 iP dF , Л/<’ \ s . / rf2 a/-’ , dF \ , + } [(d? Ж f w)+ (rfT* Щ) + ai7) Vk (ALdJL AZ_ \ dt1 dz dz 6zJ dt. (5.4) При заданных начально!) (xQ, у0ч z0, w(), y0, w0) и конечной (яд, г/19 zv ur, y1? M7j) точках вариации концов траектории в (5.4) выпадают. Приравнивая нулю выражения при вариациях fix, б г/, 6z под знаком интеграла, получим уравнения Эйлера рассма¬ триваемой вариационной задачи ах оХ dx , dY a* + ^7 au 1 “Г dZ dx ~ аи dX , ()Y a * f is7 av i dZ ~dy dz' dz dX dz + Ж au i ~r dZ 1STClz («.V - r-X, «и = a — y, , az — ■Z), (5.5) или в векторной форме R. (5.6) 2. Первые интегралы уравнений экстремалей для простран¬ ственного движения в центральном поле. В указанном случае (В = —/сг/г3) уравнения экстремалей (5.5) или (5.6) обладают
170 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 четырьмя первыми интегралами — одним скалярным и одним векторным [5.1] 1/2(а-а)]— (а-у) — (a-Zcr/r3) — Н = const, (ах v) — (ах г) = М = const (скалярный интеграл обязан отсутствию в подынтегральной функ¬ ции (5.3) времени — dF/dt = 0 и имеет место для любого стацио¬ нарного поля dR/dt = 0; если полное время движения не задано, то Н = 0). В плоском случае остаются два интеграла [5.2] lh {а% + а\) — (axii + avv) — к (ахх -f а„у) (х2 + г/2)-3 2 = const, | (axv — avu) —(аху — аух) = const. J (5.8) 3. Уравнения экстремалей — плоское движение в централь¬ ном поле. Исследуем подробно важный частный случай оптималь¬ ного движения, описываемого системой (5.5) — плоское движение (z = az = 0) в центральном гравитационном поле (X = —кхг~3, Y = —куг~3, г = Yхъ + у2) [5.3, 5.4]. В дальнейшем изложении будут использоваться безразмер¬ ные переменные. В качестве характерных величин берутся (II.2). Характерная величина функционала J в этом случае равна /с3/з г~5/г. Обозначения для безразмерных переменных сохраняют¬ ся прежние. Перейдем в интеграле (5.3) к полярным координатам г, ф, которые связаны с прямоугольными х, у формулами (П.4), где 0 = 0; тогда т J = \) — ГФ2 + 1/г2)2 + (фг + 2фг)2] dt (5.9) о (г(0) = г0, ф (0) = ф0, rj,0) = г0, ф (0) = ф0, г (Т) = гг, ф (Т) = ф1? г (Т) = г19 ф (Т) = фг). Под знаком интеграла (5.9) не содержатся аргумент t и функ¬ ция ф (£); этот факт может быть использован для понижения по¬ рядка дифференциального выражения под интегралом. Восполь¬ зуемся обозначениями (П.8) для первых производных г, ф: г = vr, ф = уф/г и вместо аргумента t введем аргумент г: dt = dr!vv. (5.7)
§ 1] УРАВНЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЕЙ И ИХ СВОЙСТВА 171 После преобразований по указанной схеме интеграл (5.9) принимает вид ЩДч-4+Д + К+^Щ CS.10, г (здесь штрих обозначает дифференцирование по г). Экстремали последнего интегрального функционала удовлетворяют началь¬ ным и конечным условиям, наложенным на уф, vr, г. По извест¬ ным зависимостям иг (г), уф (г) могут быть посчитаны время Т и угловое перемещение — ф0: г rlr г vm (г) dr = (5Л1> ) о 1 П Если величины Т ифх — ф0 заданы, то выражения (5.11) долж¬ ны фигурировать в качестве условий изопериметричности. Ва¬ риационная задача, эквивалентная (5.9), в новых переменных записывается следующим образом: ' -11К-4+W+ (v*+(5.12) 1 о vr (г0) = г;г0> гф (г0) — уф0, vr (щ) = игЪ гф (гг) = уф1 (параметры 2А,, 2v являются постоянными множителями Лагран¬ жа, отвечающими за выполнение условий (5.11); коэффициент 2 введен для удобства). Приравнивая нулю первую вариацию функционала (5.12), найдем два дифференциальных уравнения второго порядка от¬ носительно vr и Vcp. Если в них перейти обратно к аргументу t и привлечь уравнения движения (П.8), то в результате получит¬ ся система уравнений первого порядка, описывающая оптималь¬ ные режимы плоского движения в центральном поле [5.3, 5.5] г =vr, ф = гф/г, ur = ar -f v%/г — 1/г-, гф = аф — vrv~/r, «г 2- [V-2 (а°; 4- а.|) + аг — -1-) — X — v Д] , ^ф — ($Фгг 2&ггф -}- v). (5.13) Два последних уравнения системы определяют оптимальную программу для компонент вектора реактивного ускорения. 4. Свойства уравнений (5.13). Система дифференциальных Уравнений (5.13) имеет шестой порядок и содержит две константы
172 IIД К АЛЬПЫ Й ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ мощности Ггл. X и v (первые интегралы системы — ср. (5.8)), следовательно, для ее решения должны быть заданы восемь краевых условий, например (5.9). Если некоторые краевые значения не заданы, то вместо них надо вычислить соответствующие оптимальные. Они получаются приравниванием нулю внеинтегральной части первой вариации функционала (5.12); последняя имеет вид б J = 2 \аг8иг + яф6г;ф 4 (2 a^v^/r — аг) б г — v6cp — ХЬ Z]J. (5.14) Когда угловое перемещение и время движения не заданы, то постоянные v и X, как множители при соответствующих вариа¬ циях, должны быть приравнены нулю. Уравнения (5.13) сохраняют вид, если произвести следующие замены [5.4]: r—>lr, t—>i~t, ср —> ф, V у —> /~ ^2v ,■, уф— >Г^ф, аг —> 1~~аг, <7ф —> Х-> A'A, v —> Г’ J —> Г 2/ (инвариантность по отношению к преобразованию растяжения), а также t-> — t, г -> г, ф -> — ф, V,, -> — к,, уф -> уф, | аг —> аг, уф —> — уф, А, —> Я, v —> v, J —> J J (инвариантность по отношению к преобразованию замены знака). Первое свойство (5.15) может быть использовано, например, для получения оптимальных траекторий набора нулевой энергии, начинающихся с круговой орбиты радиуса г (0) = Z, если име¬ ются таковые, начинающиеся с круговой орбиты радиуса г (0) = 1. или для пересчета оптимальных траекторий перелета между кру¬ говыми орбитами: г (0) = 1, г (Т) = гх на траектории перелета между орбитами: г (0) = Z, г (Т) = li\. Согласно второму свойству (5.16) по прямому перелету с одной круговой орбиты 1 на другую 2 может быть посчитан обратный перелет, симметричный прямому, а по траектории на¬ бора энергии — траектория торможения. 5. Особая точка уравнений (5.13). Выражение для аг имеет знаменателем vr, так что при приближении к точке vr — 0 про¬ изводная аг стремится к бесконечности, если только одновре¬ менно со знаменателем не стремится к нулю числитель. В послед¬ нем случае точка иг = 0 особая; ее тип может быть определен, например, следующим образом [5.3]. Выделим из системы (5.13) два уравнения: третье и пятое, которые будем изучать в окрестности точки иг — 0; входящие в правые части функции г (t), (Z), (t) будут считаться извест¬ ными в окрестности этой точки. Запишем выделенные уравнения (5.15)
УРАН I IE I ШИ ЭКСТРЕМАЛЕЙ II 111 СВОЙСТВА 173 в таком виде: о,. аг 4- hu а, ~ ('I-,а* + a,.hx + h2) (5.17) vr (hx — v%!r — 1/r2, = 1Uja^ — A — vvjr). Исключив ar из системы (5.17), придем к линейному уравне¬ нию относительно V2zy2, в котором аргументом является vr вместо t; решение последнего записывается так: 1/2^г —: vr с + ^ (h\Vr — lhh\ + ho) vr2duj\, (5.18) где с — постоянная интегрирования. Разложим подынтегральное выражение в точке иг = 0 по степеням vr и вычислим интеграл: xloVr - ЧЛ - h20 + сиг + . . . ; (5.19) здесь нижний индекс 0 обозначает принадлежность к точке vr = — 0; отброшенные члены разложения содержат vr в степенях выше первой, коэффициенты при них не зависят от с. Таким образом, на плоскости с координатами vr, V2^ инте¬ гральные кривые (5.19), пересекающие ось иг = 0, проходят через одну и ту же точку независимо от значения постоянной с: vr = 0, v2y? — V2A?o — h20. (5.20) Эта точка является особой точкой типа «узел». Соотношение (5.20), если в него подставить г;,, hx, Д2 из (5.17) оказывается условием обращения в нуль числителя в выражении для произ¬ водной аг, так что V2 (af + а\) -{- a, {v^ir — 1 //2) — А — vvjr = 0 при vr = 0. (5.21) 6. Интегрирование в окрестности особой точки. Отметим одно свойство дифференциальной системы (5.13), связанное с особой точкой. Продифференцируем по времени t левую и правую части предпоследнего уравнения из (5.13) и получившееся уравнение вставим взамен исходного: г •• иг, ср ^ 17ф/г, г,. а,. -4- i'll Г — 1 /г'2, ^ а. г — vrv^/r, 2 «Г ^ у (аф — Я -L* + 2-J-+V , а, = у (a^»v — 2а,.v* + v). (5.22) В новой системе отсутствует неопределенность в точке иг = 0, затруднявшая проведение численного интегрирования; одновре¬ менно из уравнений выпал интеграл системы — параметр А,
174 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 и при сохранении общего числа свобод увеличился дифферен¬ циальный порядок системы. Поэтому система (5.13) предпочтитель¬ нее (5.22) всюду, за исключением особых точек (они могут быть в начале, в конце и в середине интервала интегрирования). Пусть в начальный момент заданы координаты, компоненты скорости, параметр v и компоненты ускорения: ' (0) = г0, ф (0) = ф0, vT (0) = vr0, vv (0) = vv0, v = v, ar(0) = ar0, av (0) = аФ0. (5.23) Если vr0 =4= 0, то в систему начальных условий вместе с (5.23) входит параметр X; эта совокупность начальных значений опре¬ деляет задачу Коши для уравнений (5.13). Если vr0 = 0, то начальная точка особая и в ней справедливо соотношение (5.21), из которого находится значение параметра X. В этом случае задача Коши формулируется для уравнений (5.22), и она будет определена, если условия (5.23) дополнить таким: аг (0) = аг0. Описанная процедура интегрирования задачи Коши (5.13), (5.23) может быть использована на каждом шаге решения какой- либо краевой задачи для уравнений (5.13), если последняя реша¬ ется путем последовательного подбора недостающих начальных условий. 7. Связь параметров начала и конца траектории. Если дина¬ мический маневр заключается в перелете между двумя круговыми орбитами, то краевые точки траектории особые. Начальные и конечные значения радиуса г и скоростей vr, г;ф в этом случае следующие: г (0) = 1, иг (0) = 0, v<p (0) = 1, г (Т) = rlt vr (Т) = 0, v<t (Т) = Гг1*. (5.24) Применяя условие в особой точке (5.21) к началу,/и концу траектории, найдем две связи 1/2<Зо — X — v = 0, г12а\ — X — v /д3 2 = 0, (5.25) где а0, ах — начальное и конечное значения реактивного уско¬ рения. Исключая X из (5.25), получим а\ = «о - 2v (1 - >vv). (5.26) Отсюда следует при rx 1 = а0, если v = 0, аг^> а0, если v << 0, а1<^ а0, если v > 0. (5.27) Чтобы выполнялось условие а\ > 0, параметр v должен удов¬ летворять неравенству v < 42al (1 - г^Г1- (5.28)
§ 1] УРАВНЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЕН И ИХ СВОЙСТВ,А 175 При г1<^1 неравенства (5.27), (5.28) заменяются на об¬ ратные. 8. Уравнения экстремалей — плоское движение в поле двух центров. В виде, аналогичном (5.13), могут быть записаны урав¬ нения оптимальной программы реактивного ускорения для плос¬ кого движения в поле двух центров — Солнца i = 1 и планеты Здесь v и X уже не являются постоянными, так как в систему (П.49), (П.50) явно входят ф и t (переменные в (5.29) размерные). Если движение происходит в малой окрестности одного из и X малы по абсолютной величине; в пределе уравнения (5.29) переходят в последние два уравнения (5.13). В работе [5. 6] дана другая форма уравнений экстремалей, там же проверено выполнение второго и третьего необходимых усло¬ вий минимума функционала. 9. Аналитические решения — плоскопараллельное поле1). За¬ дача построения экстремалей функционала J в общем случае тре¬ бует численного интегрирования, однако для модельных гравита¬ ционных полей она допускает простые аналитические решения. К таким полям прежде всего относится плоскопараллельное (R (v, t) ~ g = (0, —g, 0) — постоянный вектор, см. § 1 Прило¬ жения) и его частный случай — бессиловое поле (g = 0). Интег¬ рированием уравнений (5.5) определяем оптимальную програм¬ му вектора реактивного ускорения, а по ней — траекторию из уравнений движения (П.53) и функционал: i = 2 (см. (П.49), (П.50) и рис. П.6) [5.3]: (5.29) _ V0_ (v^/r0)) (v(i) — 2o,(.i)xF(i)) (y<*> = f(1), v? =■ (4l(i) + 0)) r(,\ i = 1, 2). центров, т. e. в поле, близком к центральному, то производные v (5.30)
176 11Д К ЛЛЬМ'ЫП. Д ВИГАТГЛЬ <) Г Г A I 111 4 1'' 11 11 () l"l МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 Постоянные векторы b1? . . b4 находятся из граничных усло¬ вий; например, когда заданы координаты и скорость в начале ( *0. v0) и в конце (1Д, vx) траектории, то 1 ^ ( I о Г1 \ *“ I - •) - ‘J N bi — -трг (vi 4- уо р j , b-2 — р- [Уг -j- ^vo 5 р j . Ьц ^ v0, ь4 = гп. (5.31) Представление о характере оптимальных программ реактив¬ ного ускорения можно получить, рассмотрев два простейших Рис. 5.1. Оптимальная программа реак- Рис. 5.'1. Зависимость функционала днпа- тивного ускорения для задачи набора мической задачи J (Т) / J (Т*) от полного модуля скорости в бессиловом поле (а — времени движения T/T# для маневров в бес- модуль ускорения, е = + 1 — паправле- силовом поле (кривая ut — набор скоро- ние). сти — J (Т*) = иг/Т*. кривая I — пере¬ мещение между точками покоя — 1 (7Д) = = 12 m\a). маневра — одномерные движения в бессиловом поле ([5.1. 5.3, 5.5, 5.7] и др.). 1°. Набор заданного модуля скорости их за заданное время Т. Начальные положение и скорость заданы, конечное положение не фиксировано (см. (П.64)). Граничные условия (П.64) совместно с условиями трансвер¬ сальности (5.4) дают следующие выражения для bv 62: Ьг = О, Ь2 = иг/Т; отсюда а (t) — uJT, е (t) = +1, J = щ)Т. (5.32) Отметим, что в этом случае реактивное ускорение постоянно и направлено по скорости (рис. 5.1), величина функционала об¬ ратно пропорциональна времени выполнения маневра (рис. 5.2, кривая их). Такой же характер зависимости J (Т) получается для маневров в центральном поле, когда реактивное ускорение много меньше гравитационного. 2°. Перемещение между двумя точками покоя, отстоящими одна от другой на расстоянии Z, за заданное время Т (см. (П. 65)).
УРАВНЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЕЙ И ИХ СВОЙСТВА 177 Подставляя граничные условия (П.65) этого маневра в (5.31), находим 6/ J>2 6/ «(О =-у» 2 1) i e(t) = - 1 / = I2l2/T3. при О при < £< Г, (5.33) <7 Здесь вектор реактивного ускорения — линейная функция времени (рис. 5.3), а функционал обратно пропорционален кубу времени выполнения маневра (см. на рис. 5.2 кривую I). Этот ма¬ невр моделирует быстрый перелет между орбитами в центральном поле (реактивное ускорение много больше гравитационного). Определим выигрыш в функцио¬ нале, обязанный замене одной из неоптимальных программ вектора реактивного ускорения [5.8, 5.9] на оптимальную. Рассмотрим по¬ стоянный по модулю (a(t) = AIIT2) и однократно меняющий направ¬ ление (при t = 1/2Г) вектор реак¬ тивного ускорения (пунктир на рис. 5.3). Такой программе уско¬ рения соответствует функционал J = 16 12/Т3, т. е. по сравнению с этим случаем выигрыш в функцио¬ нале при переходе к оптимальной программе (5.33) составляет 25%. 10. Аналитические решения, однородное центральное поле. Следующий пример точного решения уравнений вариационной проблемы доставляет так называемое однородное центральное поле [5.10]. Здесь вектор гравитационного ускорения представляется в виде R = — Ar/jrjJ, г# = const (см. (П.54)). Взяв за характерное расстояние а в качестве остальных характерных величин — (П.2), перейдем к безразмерным переменным. Тогда Н = —г, система (5.6) приводится к векторному линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами Рис. 5.3. Оптимальная программа ре¬ активного ускорения для задачи пере¬ мещения между точками покоя в бесси- ловом поле (а — модуль ускорения, е = + 1 — направление, пунктир — программа ускорения, взятая для срав¬ нения). d* г dl* + 2*+г = 0. Общее решение уравнения (5.34) имеет вид г = (сг+ ог() cos t + (с3 + с4£) sin t, 12 Механика полета (5.34) (5.35)
178 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 где постоянные векторы с2, . . ., с4 определяются из граничных условий, например, если г (0) = г0, г (0) = v0, v(T) =- г1У г (Т) = уь то Cl = Го. с2 = sin„ [(sin т cos Т + Т) Го -г + v0 sin2 Т — (sin Т + Т cos Т) п + Tvx sin Г], Сз = gill2 у [— (s*n Т COS Т + Т) Го Тг\о + -'г (sin Т Т cos 71) гх — T\i sin Т\, \ (5.36) с4 = ^.д., ,р [г0sin2 Т -f- (Т — sin Т cos T)vt) — Ti'i sin T -f (sin T — T cos Т) Vi] * при Т = 2ns (5 = 1, 2, . . .)х) rt — Го Cl = 1*0, Со = /ji .Сз — Vo j, ,^4 j-i Оптимальная программа реактивного ускорения и интеграл J в соответствии с (5.35) таковы: a (t) = 2 (с4 cos t — с2 sin t), J = 2 (cl + cl) T + (c\ - ty sin 2T - 4 (c-2 • c4) sin2 T; при T = 2л5(s = 1, 2, . . ,)1) ^ ^ a (0 = 2 cos t — T~T t° sin t), J — -jr [(ri — Го)2 + (Vi Vo)2] • 11. Аналитическое решение, центральное поле. Частное реше¬ ние системы (5.6) для случая произвольного потенциального си¬ лового поля (К =- grad U) указано в работе [5.11] ъ 14 — Го Vi — Vo . с4 = J а (0 = г + 4ibi (b = const). (5.38) Этот закон реактивного ускорения, как нетрудно проверить прямой подстановкой, точно удовлетворяет уравнениям Эйлера. Его можно использовать для построения траектории разгона, но при этом не будут точно удовлетворены условия трансвер¬ сальности. Однако относительная погрешность в функционале для величин реактивного ускорения, малых по сравнению с гра¬ витационным, оказывается небольшой — порядка а (где под а понимается относительное ускорение). Ч Время Ту кратное периоду движения по круговой орбите радиуса г*.
ОПТНМ А л Ь1 [ ЫII ME ЖИЛ А11Е ТЫ ЫII НЕ РЕ Л Е Т 179 2. ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ с идеальным ДВИГАТЕЛЕМ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ В настоящем параграфе дается решение вариационной зада- чи (5.1) для межпланетных перелетов. Это в основном результаты численных расчетов. Экстремальные значения и экстремали исследуемого функционала определялись: по решению соответ¬ ствующих краевых задач для системы (5.13) методом организо¬ ванного подбора недостающих начальных значений в эквива¬ лентной задаче Коши [5.4, 5.5, 5.12—5.17] или прямыми метода¬ ми, примененными к функционалу (5.1) [5.18—5.21]. Получено также два приближенных решения. Первое относится к участкам движения вблизи планет [5.3, 5.11, 5.22—5.24, 5.37], второе — к участкам движения между орбитами планет [5.1, 5.25]. Схема межпланетного перелета с двигателем малой тяги опи¬ сана в § 2 Приложения. Там указаны два качественно отличных участка траектории такого перелета: участок движения в области преобладающего влияния планет при возмущающем действии Солнца и участок движения в области преобладающего влияния Солнца при возмущающем действии планет. Отличия гравита¬ ционного поля от центрального на этих участках мало сказыва¬ ются на интегральных характеристиках траектории [5.4]. Ис¬ пользование приближенных граничных условий (П.55), (П.56) или (П.57), (П.58) для каждого участка также оказывает небольшое влияние. На этом основании вариационная задача решается не¬ зависимо для двух элементарных маневров: для набора нулевой энергии в центральном поле планеты (или торможения с выходом; на орбиту спутника планеты) и для межорбитального перелета в центральном поле Солнца. 1. Набор нулевой энергии. Маневр начинается в заданной точке начальной орбиты; за заданное время 71 требуется набрать нулевую полную энергию Е (Т) = 0. Угловое перемещение не фиксируется; между конечными зна¬ чениями радиуса г1? радиальной vrl и трансверсальной уФ1 про¬ екциями скорости имеется одна связь (см. (П.55)): Е (Т) = = 1U (vn + vh) — 1/тд = 0. Из условия равенства нулю первой вариации функционала (5.14) получаем следующие оптимальные соотношения: v = 0, аГ1/аФ1 = Vyjvm, аГ1 — 2ач>1иГ1г1 — arlvrlr\ = 0. (5.39) Отметим, что, согласно двум последним соотношениям из (5.39), в конце движения угол у между вектором тяги и вектором скорости и производная у должны быть равны нулю [5.11]. Полная система дифференциальных уравнений и краевых условий, определяющая оптимальный маневр набора нулевой энергии, составляется из (5.13), (11.55), (5.39). Ниже будет 12*
180 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 исследоваться случай круговой начальной орбиты, для него пол¬ ная система может быть записана в виде (см. (5.22)) мещение ф, величина контрольного функционала /, определяются после решения краевой задачи (5.40) интегрированием соответ¬ ствующих дифференциальных уравнений: Ф = г;ф (t)!r (t), ф (0) = 0; J = ar (t) + а% (t), J (0) = 0. (5.41) Уравнения оптимального разгона представлены в форме (5.22) в связи с тем, что начальная точка траектории является особой Vr (0) == 0. При отходе от особой точки предпоследнее уравнение из (5.40) может быть заменено уравнением и ервого порядка с первым интегралом % (см. (5.13)). Последний определяется ус¬ ловием особую точку — в силу почти периодического характера движе¬ ния при малых ускорениях а особая точка может появляться на каждом обороте. Решение краевой задачи (5.40) может быть проведено путем сведения к задаче Коши с подбором трех недостающих началь¬ ных значений аг0, аф(Ь аг0 [5.4, 5.5, 5.11, 5.12]. Другой путь — применение прямых методов к минимизации функционала (5.9) при краевых условиях (П.55), (5.39), [5.19]. Задача (5.40) содержит единственный параметр Т. Траектории и законы управления задачи (5.40) пересчитываются для началь¬ ных круговых орбит произвольного радиуса и различных планет по критериям подобия (5.15). Характерные значения величин, фи¬ гурирующих в задаче, для Венеры, Земли, Марса и Луны при- .2 1 —■ -~ 2dyVfp'jp К = ч214 (0) + а; (0)]. '(5-42) Отметим, что траектория разгона может содержать не одну
§ 2] ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 181 Таблица 5.1 Характерные значения величин в планетоцеитрнчсских (Венера, Земля, Марс) и селеноцентрической системах координат для круговых орбит с высотами 200, 250, 300 и 350 им] Планета Г *’ км t , сек vм/сек 8** м/сек2 J*’ V м2/сек* * м2/сек* Воиера 6,361-103 6,411-103 6,461-Юз 6,511-103 879 889 900 910 7,233-Юз 7,210-103 7,182-Ю3 7,154-103 8,236 8,108 7,983 7,861 5,932-104 5,846-104 5,734•104 5,624-Ю4 67,84 65,75 63,74 61,80 Земля 6,571-103 6,621-Юз 6,671-103 6,721-103 844 854 864 873 7,783-Ю3 7,754-Юз 7,725•103 7,696-Ю3 9,219 9,08) 8,944 8,812 7,175•104 7,040-Ю4 6,909-1О4 6,781-Ю4 84,99 82,45 80,00 77,65 Марс 3,532-103 3,582-Юз 3,632-Ю3 3,682-103 1030 1052 1075 1097 3,427-Ю3 3,403-Юз 3,380-Юз 3,357-103 3,326 3,234 3,145 3,061 1,140-1О4 1,101-Ю4 1,063-Ю4 1,027-104 11,06 10,46 9,89 9,37 Луна 1,938-Юз 1,983-Юз 2,038-103 2,088-Юз 1239 1288 1336 1386 1,564-Юз 1,544-Юз 1,525-Ю3 1,507-103 1,262 1,199 1,141 1,087 0,197-Ю4 0,185-Ю4 0,174-Ю4 0,164-Ю4 1,59 1,44 1,30 1,18 ведены в табл. 5.1. Даются четыре значения каждой величины, соответствующие круговым орбитам с высотами 200, 250, 300 и 350 км. Вследствие свойства «обратимости» оптимальных траекторий (5.16) все результаты, относящиеся к задаче набора нулевой энер¬ гии, можно использовать и для задачи торможения, причем в соответствии с граничными условиями маневра набора нулевой энергии здесь нужно считать, что в начале задано только условие нулевой энергии (радиус и скорость по отдельности не фиксиру¬ ются), а в конце — условие выхода на круговую орбиту задан¬ ного радиуса (угловое перемещение не фиксируется). 2. Набор нулевой энергии — численные результаты. Числен¬ ное решение задачи (5.40) показывает, что для больших значений времени Т 102 (малые величины ускорения а ^ 10"2) траек¬ тория выхода с круговой орбиты представляет собой пологую рас¬ кручивающуюся спираль (рис. 5.4). Направление ускорения составляет малый угол с направле¬ нием скорости (заключено между касательной и трансверсалью), совпадая с последним на заключительном этапе движения (см. второе условие (5.39)). Модуль реактивного ускорения изменя¬ ется слабо вдоль траектории, увеличиваясь на конечном участке
182 Л САЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 на 10—20°о. Характер изменения компонент реактивного уско¬ рения по времени иллюстрируется рис. 5.5 из [5.19]. Там же пред¬ ставлены соответствующие функции г (t) и иф (t) r(t). В табл. 5.2 проведено сравнение параметров трех траекторий набора нулевой Рис. 5Л. Примеры оптимальных траектории набора пулевой энергии при старте с круговой орбиты (первые витки спирали воображены условно, разметка траек¬ тории дана по времени, все параметры безразмерные). энергии [5.19] (все параметры безразмерные). Время движения для каждой траектории одинаково Т — 100. В первом столбце таблицы даны результаты расчета оптимальной траектории вы¬ хода с начальной круговой орбиты, во втором — с эллиптической
ОПТИМАЛЬНЫЙ MEЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 183 орбиты с эксцентриситетом е0 = 0,1. В третьем столбце приве¬ дены параметры траектории с постоянным трансверсальным уско¬ рением при старте с круговой орбиты. Зависимость функционала задачи / от времени Т набора нулевой энергии с круговой начальной орбиты дана на рис. 5.6 Рис. 5.5. Оптимальные законы изменения трансверсалыюй аф и радиальной аг компонент реактивного ускорения, радиуса г и момента количества движения гфг для маневра набора нулевой энергии (начальная орбита круговая, время выполнения маневра Г = 100, пара¬ метры безразмерные). [5.4]. На рис. 5.7 показан выигрыш в функционале от програм¬ мирования вектора реактивного ускорения [5.4, 5.5, 5.11, 5.12, 5.26]. Видно, что разница между оптимальной программой реак¬ тивного ускорения и постоянным по модулю тангенциально Т а б лица 5.2 Сравнение траектории набора нулевой энергии с круговой и эллиптической орбит при оптимальной программе реактивного ускорения и траектории с постоянным трансверсальным ускорением Парам ет- ры траек¬ тории е0 = п. ar (t) = opt, j Оф ( t) = opt 1 ! so = 0,1, ar (f) = opt, j o-cp (0 = opt j So = o, ar (t) = 0, аф {t) = const So —0,2257-10-3 —0,3068-Ю-з 0 j So 0,6465*10"2 0,6891-10"2 0,7755-10-2 Si 0,4627-10"2 0,4481-10-2 0 Si 0,4521-10-2 0,4576.10-2 0,7755.10-- Г\ 9,1.30 9,489 9,660 J 0,5531-lO"2 0,5620-10-2 0,6014-IQ"2
184 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 направленным ускорением невелика и уменьшается с увеличением времени выполнения маневра. Рис. 5.6. Функционал J динамической задачи для маневра набора нуле¬ вой энергии (сплошная кривая) в зависимости от времени движения Т (на¬ чальная орбита круговая, пунктирная кривая относится к маневру набора скорости ut= 0,895 в бессиловом поле, параметры безразмерные). Характер оптимального закона a (t), а также характер за¬ висимости J (Т) для маневра набора нулевой энергии в централь¬ ном поле близки к таковым для маневра набора модуля скорости в бессиловом поле (см. (5.32) и рис. 5.6). По этой причине последний считается манев¬ ром, моделирующим набор нулевой энергии в централь¬ ном поле. Чтобы оценить влияние третьего тела — Солнца — на функционал /, были проде¬ ланы соответствующие рас¬ четы [5.4]. Они показали, что относительная погрешность в функционале от неучета этого фактора для рассматривае¬ мого маневра в окрестности Земли не превышает 10_3. 3. Набор нулевой энер¬ гии — аналитическое реше¬ ние. Обратимся к аналитическому представлению полученных ре¬ зультатов. Когда реактивное ускорение много меньше гравитацион¬ Рис. 5.7. Сравнение по функционалу J оп¬ тимально программируемого реактивного ускорения (сплошная кривая) и постоянного по модулю тангенциально направленного ускорения (пунктирная кривая) для маневра набора пулевой энергии с круговой орбиты (параметры безразмерные).
ОПТИМАЛЬНЫЙ MEЖПЛАПЕТНЫ Й ПЕРЕЛЕТ 18& ного (а^Ю'2), траектория разгона вначале представляет собой пологую спираль, на которой приближенно выполняется условие равенства гравитационного и центробежного ускорений: 1/г2 ^ ^ v%/г. Найдем оптимальный закон a (t) на начальном участке траектории выхода в предположении, что последнее условие выполняется точно. Уравнения движения и начальные условия при старте с кру¬ говой орбиты имеют вид (здесь в уравнениях движения (П.8) учтено условие v%lr = 1/г2). Исключив из последнего уравнения (5.43) уф = l/]/Y и vr = = г, получим 1/2гг~3/2 = аф. Проинтегрировав это уравнение, можно выразить радиус г и компоненты скорости уф, vr при по¬ мощи (5.43) в функции интеграла по времени от аф: Начальные условия (5.43) выполняются для г и уф из (5.44) и не выполняются для иг. Однако при малых значениях транс- версального ускорения аФ0 1 радиальная скорость внача¬ ле также оказывается малой vr0 = 2яФ0 1, и в конечном счете это нарушение начальных условий несильно влияет на результат. Характерное время задачи, согласно (5.44), порядка 1/аф Поэтому при дифференцировании по времени порядок малости относительно аф увеличивается приблизительно на единицу. Так, в начале движения vr порядка аф, a ar = Ьг порядка яф. Кинематические характеристики г, vr, иф определяются ве¬ личиной интеграла (5.44). Поэтому задача об оптимальном пере¬ ходе от заданного начального положения в заданное конечное положение (например, Е (Т) = V2 (v*i + z^i) — 1 /гг = EJ за заданное время формулируется как задача на минимум (5.43) о о о т т (5.45) о о Т при заданном \ a^dt.
186 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 После проведения обычной процедуры вариационного анализа получаем оптимальную программу для проекции ускорения яф: а. (t) = const; (5.46) при этом ar (t) = 6а% (1 - a^tyK (5.47) Этот вывод получен при условии ат <§: аФ. В окрестности точки выхода (Ег = 0) последнее неравенство не выполняется — аг становится порядка яф. В этом можно убедиться, подставив в (5.47) значение времени выхода, найденное из условия Е (Т) = = 0 при помощи (5.44). Поэтому оптимальный закон (5.46) спра¬ ведлив только на начальном участке траектории набора нулевой энергии. Отличными от изложенного способами приближенное ре¬ шение задачи получено в работах [5.11, 5.22—5.24,5.37]. 4. Межорбитальный перелет. Маневр начинается в фиксиро¬ ванной точке орбиты одной планеты и заканчивается в фиксиро¬ ванной точке орбиты второй планеты; вектор скорости в начале и в конце движения совпадает с соответствующими орбитальными скоростями; время движения задано (см. (П.56)). Оптимальный перелет между компланарными орбитами, которые и будут в основном рассматриваться, описывается диф¬ ференциальными уравнениями (5.13) и граничными условиями (П. 56) г == гд, гФ ф = —• = аг + Г(Г> С1 (Г) ' ф г г (0) = 1, г(Т) = ги ср(0) = ф0, ф(7’) = ф1, vr (0) = vr0, vr(T) = vrl, г>ф(0) = уфо, v<t(T) = v<pь а,. = Яр) аг — — — (<w — 2 arvv v). (5.48) Система дифференциальных уравнений (5.48) имеет шестой порядок и содержит две произвольные постоянные К и v, т. е. число свобод в уравнениях равно числу краевых условий. Если на траектории перелета встречаются особые точки vr = = 0 (ими являются начальная и конечная точки, когда траек¬ тория соединяет круговые орбиты, см. (П.58)), то предпоследнее уравнение из (5.48) заменяется уравнением второго порядка из (5.22). Процедура взаимных переходов (5.48) <-> (5.22) анало¬ гична описанной в п. 1.
ОПТИМАЛЬНЫЙ’ ME ЖПЛАНЕТНЫЙ НЕ РЕ ЛЕТ 187 Параметрами задачи для круговых орбит являются г1? а0, v. При фиксированном i\ каждой паре а0, v соответствует пара Г, (или несколько пар 7\ ср15 если задача имеет не одно решение). Перелеты могут классифицироваться как по параметрам а0, v, так и по Г, фх. Первый способ классификации удобен при реше¬ нии краевой задачи путем сведения к задаче Коши, второй — при нахождении экстремалей функционала прямыми методами [5/18, 5.20, 5.21]. Если в расчетах учитывается реальное движение планет, то в качестве параметров используются дата старта t0 и продолжи¬ тельность перелета Т или дата старта t0 и дата финиша tv Переход /0, t1 t0, Т простейший: Т = tx — t0, t0 = t0. Связь между пара¬ метрами t0J tx и Г, ф1 определяется по таблицам эфемерид планет из условия равенства угловых перемещений аппарата и планеты назначения в конечный момент времени. В предположении, что планеты движутся равномерно по средним круговым орбитам и что даты старта t0 и финиша tl отсчитываются от момента противостояния планет, можно записать формулы перехода t0, t1 <-* Г, ф! следующим образом: т = h — t0, фх = ay1t1 — со2t0 ^ 2я5 (s = 0, 1, 2, . . .), (5.49) где сох, со2 — средние угловые скорости движения планет старта и финиша, s — целое положительное число (число дополнитель¬ ных оборотов планеты с большей угловой скоростью), знак плюс берется для перелета на внешнюю орбиту, знак минус — на внут¬ реннюю. Отметим, что перелет с орбиты 1 на орбиту 2 может быть пере¬ считан на обратный (зеркально отображен) по формулам (5.16). Переход от безразмерных переменных, употребляемых в тексте, осуществляется стандартным образом. Характерные значения ис¬ пользуемых величин для средних круговых орбит Венеры, Земли и Марса приведены в табл. 5.3. Таблица 5.3 Характерные значения величин в гелиоцентрическом системе координат для средних круговых орбит Венеры, Земли и Марса 1 1 Планета Г , 7Г.Л1 1 1 1 t * , v км!сек ! сут *’ j I 1 g*, м.'сек2 J*, V* , м2/сек3 Х:,:, ль1'сек1 Венера 'Земли jMapc 108,1-10е 149,5-106 227,8-10° 35,7 1 35,01 58,1 ! 29,76 109.3 ’ 24/11 i ! 1.141■10"2 0,597-10-2 0,257-10-2 399.6 177.6 61,9 1,303-10-4 0,356-10-4 0,066-10-4
188 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 5. Решение краевой задачи (5.48) — метод транспортирую¬ щей траектории. Краевая задача (5.48) для оптимальных переле¬ тов между орбитами решалась либо путем подбора недостающих начальных условий в эквивалентной задаче Коши [5.4, 5.5, 5.12— 5.17], либо методом «транспортирующей траектории» [5.1, 5.25]. Идея последнего метода состоит в следующем. Выбирается кеплеровская траектория, проходящая через заданные точки орбит 1 и 2. Искомое движение считается мало отличающимся от кеплеровского, так что уравнения вариационной проблемы допускают линеаризацию в его окрестности. Получается крае¬ вая задача для системы линейных дифференциальных уравнений. Пусть х<°) (t), yW (t) — плоская кеплеровская траектория (называемая транспортирующей), которая удовлетворяет задан¬ ным координатам г0 и г± в начале и в конце движения. Направим ось z нормально к плоскости транспортирующей траектории и представим истинную траекторию в виде Считая функции £, г), £ малыми, линеаризуем уравнения (П. 1) где через U = —1 !г обозначен потенциал поля: X = dUldx, У = ди/ду, Z = du/dz (г = VУ + у2 + z2). Вторые производные (d2U/dx2y°\ (d2U/dx дуУ°\ (d2U/dy2){^ являются функциями времени, вычисляемыми по известной транс¬ портирующей траектории х<0) (t), у^ (t). Представим кепле- ровскую траекторию в терминах оскулирующих элементов: р — фокальный параметр, в — эксцентриситет и со — долгота пери¬ гея, а также истинной аномалии (см. Приложение); тогда коэф¬ фициенты в линейных уравнениях (5.51) будут иметь вид х = ж<°) + у = 1/(0) 4- Г), 2 = £. (5.50) (5.51) I = — [(я(0))2 + (у(0))2] ‘/2 £ + az, (dzU/dx*)i0) = — (rw)"3( 1 - 3 cos2 и), (d2U/дх ду)(0) = (г(0) )"33 sin и cos и, (5.52) (.d*U/dy2)(0) = — (г(0) )"3 (1 — 3 sin2 и), (г(0) = р(0) / (1 -f- B^COS Й1), и = ф + СО(0)). Формулировка вариационной задачи при переходе к транс¬ портирующей системе координат сохраняется: как и раньше.
ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 189 нужно искать минимум исходного функционала т J ^^(ai + al + a^dt. (5.53) 0 Это связано с тем, что в качестве транспортирующей была выбрана кеплеровская траектория, т. е. траектория пассивного движения. Поэтому в уравнениях (5.51) фигурируют не добавки к реактивному ускорению, а полная величина ускорения. Краевые условия для уравнений (5.51) записываются в виде 1 (0) = г, (0) = с (0) = I (Г) = л (Т) = Б (Г) = о, ч f (0) = и0 — То°\ 'П(0) = ^о — Уо\ t(0)=Wo» 1 (5.54) 1(Т) = иг- 4(T)=Vl-y?\ Z(T) = Wl, ) где uQ1 v0, w0, ul7 vv wl задаются (компоненты орбитальных скоростей планет), а z/q0), Хх\ уi0) вычисляются в начале и в конце транспортирующей траектории. Таким образом, в транспортирующей системе координат дви¬ жение начинается из нулевой точки с заданным вектором скорости и через фиксированный промежуток времени заканчивается в той же точке с другим заданным вектором скорости. Начальный и конечный векторы скорости равны разностям между орбиталь¬ ными скоростями планет старта и финиша и скоростями в начале и в конце транспортирующего эллипса. Если реактивное ускорение намного превышает возмущения гравитационного ускорения, то уравнение (5.51) могут быть упрощены (первое приближение) i = ахя г] = аи, £ = аг% (5.55) Полученные уравнения совпадают с уравнениями движения в бессиловом поле (П.53). Общее решение уравнений вариацион¬ ной задачи (5.53), (5.55) дается формулами (5.30). Постоянные интегрирования определяются по соотношениям (5.31), где сог¬ ласно краевым условиям (5.54) нужно положить г0 = г± = 0, v0 = (г (0), л (0), £ (0)), Vx = (| (Т), л (Г), I (Т)). В векторной форме р = (£, т], Q искомое решение запишется следующим образом: а (0 = 6 (р0 + рх) ~ — (2р0 + рх) -jr, Р (0 — (ро + pi) (2ро + Pi)~f + Ро*. (5.56) J = ~f~ [?0 (Ро* pi) + pl]«
190 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ На рис. 5.8 приведен пример оптимальной траектории пере¬ лета в транспортирующей системе координат [5.1]. Расчет про¬ веден по формулам (5.56) для межорбитального перелета Земля- Марс: дата старта — 27 сентября 1960 г., время движения — 212 сут. Орбиты Земли и Марса предполагались компланарными (£ = 0). Краевые условия (5.54) в этом случае таковы: £ (0) = = р (0) = g (Г) = т) (Т) = 0, |(0) =—0,0145, -п (0)= —0,1283, | (Т) = 0,0769, ц (Т)= -0,1099 (скорости отнесены к орбиталь¬ ной скорости Земли в момент старта). Из рисунка видно, что максимальное удаление траек¬ тории от начала транспорти¬ рующей системы координат (~ 8 млн. км) по сравнению с радиусом орбиты Земли (150 млн. км) невелико. При более точных расчетах, кроме ускорения от тяги в урав¬ нениях движения, учитываются линейные члены гравитацион¬ ного ускорения от Солнца (вто¬ рое приближение), вызванные удалением движущейся точки от начала транспортирующей системы координат (5.51). Уравнения Эйлера для экст¬ ремалей функционала (5.53), выписанные по общим формулам (5.5), в этом случае будут выглядеть так: д'Щ ДО) /д*и их^\дЩЦ “у* - \ШдЦ/ а* гДд Рмс. 5.8. Вид оптимальной траектории межорбитального перелета Земля — Марс в транспортирующей системе координат (стрелками показано направление движе¬ ния. точками дана разметка по времени в сутках, полное время Т = 212 cijm). (5.5 /) (д*и ДО) , / d2U ДО) ах+(^1 ау, а, az = — [(я(0))'2 + (г/(0))2]_3/2 Полученная система линейных’ дифференциальных уравнений (5.51), (5.57) с коэффициентами (5.52) интегрируется в квадра¬ турах (см. [5.1]). Точность первого и второго приближений иллюстрируется табл. 5.4, где приведены некоторые параметры оптимальных тра¬ екторий межорбитальных перелетов Земля — Марс и Земля — Ве¬ нера из [5.1]. В первом и втором столбцах выписаны величины продолжительности и угловой дальности перелета, затем — зна¬ чения функционала динамической задачи /, начальные а0 и
§2] ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 191 а ей Ч К „ я й VO л ей & н >3 С >* £ й с о н о ч ф ^ Л й ф ф К в в 3 5 S8. 4 *4» cd й й Л В В н в в о о н >1 л 3 ® 8 £« оЭ н ф а as о а с к о Я Н Ф sa е о 5 2 а С С Ф g 2к й ф о й Н О a»g о S ю с LO "СО ю ^ СЧ СЧ о сч "Ч. 00 ^ о "ОЭ \о , О" 05 ^ оо ° V® О4' 05 ^ СЧ СО Ю "С- 'гН ^ чг-1 со СЧ 05 со сч Ю О CN \0 «■гЧ о\ •г—1 00 СЧ со ~СО СО •> "Г-1 г. o' 05 о тН сч о 4f О сч LO сч _г СО t5- 'T-Н 05 ^ сч ''СО 05 ^ о сГЧ со ~05 ^ О 00 ^ 00 СО ^ СО "СЧ 05 г. 05 о 05 00 сч СЧ СЧ сч СЧ о со со эйвэд — Bimeg СЧ Я, О 00 SO 05 ©х ч 00 Ю Ч'4 Г"- сч о сч сч 05^ _Г^ 05 ^ СО ~ю со Ю 05 ю СО t"- о СО ЧГ1 LO СО СО ю т—1 СЧ сч о чГ СЧ BdoHog — Bimog
192 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 конечные ах величины реактивного ускорения. Для последних трех параметров даны три значения, полученные соответственно в первом и втором приближениях и при численном интегрировании точных уравнений. Сравнение параметров, собранных в таблице, свидетельствует о высокой точности метода. Точность возрастает при сокращении времени перелета, так как в этом случае увеличивается уровень реактивного ускорения и оптимальная траектория приближается к траектории импульсного пере¬ лета (которая берется в каче¬ стве транспортирующей). При увеличении угловой дальности точность метода падает (см. рис. 5.9 из [5.1]), такимже обра¬ зом влияет увеличение радиаль¬ ных перемещений. В работе [5.1] высказывается предполо¬ жение, что точность метода при расчете траекторий с большими угловыми дальностями может быть увеличена, если состав¬ лять транспортирующую траек¬ торию не из одного, а из не¬ скольких эллипсов. 6. Решение краевой задачи (5.48) — численные результаты. На рис. 5.10—5.13 даны приме¬ ры перелетов между компланар¬ ными круговыми орбитами r0 = 1 и гг = 1,52 (орбита Земли — средняя орбита Марса, рис. 5.10—5.12), r0 = 1 и гг = 1,38 (средняя орбита Венеры — орбита Земли, рис. 5.13) [5.4]. На каждом из рисунков показаны траектория у (х), закон изменения модуля реактивного ускорения a (t) и годограф аи (ах). На тра¬ ектории и годографе дана разметка по времени с шагом At = = 0,2. В подписях к рисункам указаны интегральные характе¬ ристики перелетов, а также недостающие для решения задачи Коши начальные значения аг0 и arctg (аг0/аФ0). Все параметры безразмерные. При больших значениях параметра а0 (рис. 5.10) закон a (t) и годограф ау (ах) напоминают соответствующие зависимости, имеющие место при плоском .движении в бессиловом поле (см. (5.30)): ах = b±xt -f- &2со dy ^2!/• (5.58) Действительно, чем больше реактивное ускорение, тем мень¬ шую роль играют гравитационные члены в уравнениях движения Рис. 5.9. Относительная погрешность в функционале для второго приближения метода транспортирующей траектории по сравнению с точным решением в зависимо¬ сти от угловой дальности перелета (мсж- орбитальные перелеты Земля — Марс и Земля — Венера).
-] ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 193 Рис. 5.10. Оптимальные перелеты Земля — Марс с уровнем реактивного ускорения, большим гравитационного (параметры безразмерные) Кривые 1 Кривые 2 гt = 1,52, а0 = 4, V = о, П = 1,52, а0 = 4, v = — 7, Tl= 0,880, Ф1 = 0,604, J = 4,561, . Т = 0,920, <р4 = 0,988, J — 5,920, а о=—7,950, arctg (пг0/аф0) = 1,205, аг0=—0,100, arctg (аг0/аф0) = 0,3о0. 1 3 Механика полета
194 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ Рис. 5Л1. Оптимальные перелеты Земля — Марс с уровнем реактивного ускорения порядка гравитационного (параметры безразмерные) Кривые 1 Кривые 2 гх = 1,52, а0 = 1, v = 0, г! = 1,52, а0 = 1, v = —1,3, Т = 1,741, фх = 1,312, J = 0,538, ^ Т = 1,947, фх = 1,973, J = 1,053, аго=— 0,670, arctg (аГ0/афО) = 0,898, аг0 = 1,326, arctg (аго/афо) = — 0,604.
ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 195 Рис. 5 12. Оптимальные перелеты Земля — Марс с уровнем реактивного ускорена) меньшим гравитационного (параметры безразмерные) Кривые 1 Кривые 2 ri = 1 j 52, а0 = 0,2, v = 0, г, = 1 52 си = 0 О? v — о Т = 3,478, Ф! = 2,636, J = 0,037, Т = 0,182, Ф1 = *6,9*87, J = 0,004, ( г) = о .о 1 о, arctg (аго/афо) = 0,420, аг0 — 0,001 arctg («го/сфо) = 0,044. 13*
196 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 Рис. 5.13. Примеры оптимальных перелетов Венера — Земля (параметры безразмерные» Кривые 1 Кривые 2 тг = 1,38, а о = 1, v = 0, гх = 1,38, а0 = 1, v = 0,82, Т = 1,492, ф, = 1,196, J = 0,465, Т — 2,140, <рх = 1,298, J = 0,446, аго=— 0,908, arctg (аг0/афо) = 0,980, а*/’0 = —1,372, arctg (аг0/афо) = 1,588.
ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 197 и тем лучше бессиловое поле аппроксимирует центральное. Сог¬ ласно формулам (5.58) график функции а (t) представляет собой гиперболу, а годограф ау (ах) — прямую линию. Упомянутое сходство сохраняется вплоть до а0 ~ 1 (рис. 5.11). При дальнейшем уменьшении реактивного ускорения (рис. 5.12) оптимальные программы a (t) и аи (ад.) уже существенно отлича¬ ются от (5.58). Траектория движения из кривой с точкой пере¬ гиба превращается в плавную кривую, стремясь в пределе к спи¬ рали. Годограф а,, (ах) переходит в окружность. Это предельное решение аналогично описанному в пп. 2—3. Отметим свойство траекторий оптимальных перелетов, свя¬ занное с параметром v. Случай v = 0, согласно (5.14), соответ¬ ствует перелету с незаданным угловым перемещением (см. кри¬ вые 1 на рис. 5.10, 5.11, 5.13 и кривые 7, 2 на рис. 5.12). Такие перелеты возможны только при определенном (оптимальном) расположении планет на орбитах; даты оптимальных стартов повторяются через синодический период. Кроме упомянутой работы [5.4], данные по перелетам с оптимальным угловым пере¬ мещением содержатся в [5.1, 5.5, 5.12—5.17, 5.25]. При v = 0 и = 1,52 отношение yJT (средняя угловая ско¬ рость перелета) приближенно равно 0,75—0,76 для всех а0 из изученного диапазона (0,02 <; а0 4). С уменьшением пара¬ метра v средняя угловая скорость увеличивается (рис. 5.14) и траектория заходит внутрь ближней к центру орбиты (см. тра¬ ектории 2 на рис. 5.10, 5.11), с увеличением v средняя угловая скорость уменьшается и траектория выходит за внешнюю орбиту (см. траекторию 2 на рис. 5.13). Перейдем теперь к обсуждению зависимости функционала задачи от параметров перелета. Для перелетов с оптимальным угловым перемещением (v = 0) зависимость функционала J от времени Г в диапазоне времени, представляющем практический интерес, близка к зависимости (5.33) для маневра перемещения между точками покоя в бессиловом поле (см. рис. 5.15 по данным [5.4, 5.5, 5.12]). Это еще раз свидетельствует о том, что при до¬ статочно малых временах перелета (большой уровень реактивно¬ го ускорения) бессиловое поле является хорошим приближением для центрального. На рис. 5.16 из [5.20] приведена зависимость функционала J от параметров Г, фх, найденная при решении за¬ дачи методом функционального скорейшего спуска (см. часть III). Параметрические расчеты, проведенные в [5.16] методом Ньютона (см. часть III), выявили интересный тип неединствен¬ ности решения краевой задачи. На рис. 5.17 показан функционал задачи для перелетов Земля — Марс (с учетом реального движе¬ ния планет) в зависимости от даты старта и продолжительности перелета. На графике имеются два семейства кривых / и //, соответствующих двум наиболее выгодным периодам старта
198 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 (семейство I — январь — апрель 1969 г., семейство II — март— июль 1971 г.). Точки пересечения кривых двух семейств с рав¬ ными продолжительностями перелета (сентябрь—октябрь 1970 г.) являются точками неединственности решения краевой задачи для системы (5.5). В самом деле, в этих точках время Т, началь¬ ные и конечные значения координат и скоростей, а также вели¬ чины функционала совпадают. Пример двух перелетов, идентич¬ ных по этим интегральным характеристикам и отличающихся Рис. 5.14. Влияние параметра v на среднюю Рис. 5.15. Зависимость функционала J для угловую скорость ф!/Т и продолжитель- межорбитальных перелетов с оптимальным ность Т межорбиталыюго перелета (пере- угловым перемещением (v = 0) от времени лет с орбиты Земли на орбиту Марса — перелета Т. Сплошная кривая — перелет гх = 1,52, начальное реактивное ускоре- Земля — Марс, орбиты круговые, комп- ние а0 = 1, параметры безразмерные). лапарные; пунктирная кривая—перемеще¬ ние между точками покоя I = 0,487 в бес¬ силовом поле — нанесена для сравнения; параметры безразмерные. траекториями и законами изменения вектора реактивного уско¬ рения, дан на рис. 5.18. Еще один тип неединственности решения краевой задачи для оптимальных перелетов будет отмечен в следующем пункте. Все описанные выше результаты получены при расчетах в центральном поле. Неучет сил притяжения планет приводит к относительной ошибке в вычислении функционала порядка 10_3—10"4 (см. [5.4)]. Большую ошибку доставляет пренебрежение эллиптичностью орбит планет. Это иллюстрируется рис. 5.19 из [5.15, 5.16], где приведены данные по перелетам между круговой орбитой Земли и компланарной ей эллиптической орбитой Марса (сплошные кри¬ вые 1 ж 2). Нижняя кривая 1 соответствует достижению самой выгодной точки эллиптической орбиты Марса, верхняя 2 — самой невыгодной. Разница между соответствующими значениями функ¬ ционала получается значительной. Расчеты, проводимые для
§ 2] ' ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 199 Рис. 5.1C. Зависимость функционала J для межорбитальных перелетов от времени пе- рслета Т и углового перемещения (pt (перелет Земля — Марс, орбиты круговые компла¬ нарные, параметры безразмерные). 22 26 29 f 4 2 4 6 9 П m 7 /2 15 /8 20 23 26 31 3 6 9 J2 14 19 22 25 28 31 1 3 5 7 9 1! 1 3 6 8 Ю 12 2 4 6 8 19 12 1969 1970 1971 день месяц}* Рне.^5.17. Зависимость функционала J для перелетов с орбиты Земли на орбиту Марса от даты старта и продолжительности полета (орбиты планет реальные).
200 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 средних круговых орбит, дают величины функционала, средние по отношению к этим двум крайним (см. пунктирную кривую 3 на рис. 5.19). Рис. 5.18. Пример двух оптимальных траекторий Земля — Марс, различных семейств (I и II — см. рис. 5.17), совпада¬ ющих по датам старта и финиша, по на¬ чальной и конечной точкам и по функцио¬ налу задачи. Стрелками показана опти¬ мальная программа вектора реактивного ускорения, внизу дан масштаб для величи¬ ны ускорения. 300 Т,сут Рис. 5.19. Влияние эллиптичности орбит планет на функционал задачи межорбиталь- ного перелета (перелет Земля — Марс): 1 — перелет в «лучшую» точку эллиптиче¬ ской орбиты Марса, 2 — перелет в «худ¬ шую» точку орбиты Марса, 3 — перелет ме¬ жду средними круговыми орбитами. Учет некомпланарности орбит слабо влияет на интегральные характеристики перелетов (см. табл. 5.5 из [5.16], а также данные [5.14, 5.25]). Таблица 5.5 Влияние некомпланарности орбит Земли и Марса на функционал задачи межорбитального перелета (Т = 184 сут) Дата стар¬ та (1971 г.) J, м2/сек1 Погрешность Ji J2 , qq 0/ Дата старта (1971 г.) J, м2/сек3 Погрешность Jl—J? (О,) п/ прос- тран- ствен- ная траек¬ тория J1 плос¬ кая траек¬ тория J2 прос¬ тран¬ стве н- ная траек¬ тория Ji плос¬ кая траек¬ тория J2 1UU /о J1 1UU /о J 1 14 февраля 37,373 37,230 0,38 21 мая 6,406 6,247 2,5 2 марта 27,733 27,597 0,49 6 июня 7,459 7,303 2,1 18 марта 19,931 19,796 0,68 22 июня 10,558 10,413 1,4 3 апреля 13,938 13,798 1,00 8 июля 16,046 15,918 0,80 19 апреля 9,703 9,555 1,5 24 июля 24,395 24,292 0,42 5 мая 7,187 7,032 2,2 9 августа 35,217 36,139 0,22 13 мая 6,576 6,418 2,4 17 августа 43,648 43,584 0,15
2] ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 201 Результаты систематических расчетов оптимальных траекто¬ рий межорбитальных перелетов для различных планет солнечной системы (Земля — Меркурий, Земля — Венера, Земля — Марс, Земля — Юпитер, Земля — Сатурн) можно найти в работах [5.13— 5.18, 5.25]. Приведенные в п. 2 и в настоящем пункте данные позволяют определить параметры оптимального перелета «спутник Земли — спутник Марса» (без возвращения). С этой целью воспользуемся аппроксимациями зависимостей J (Т) для маневра набора ну¬ левой энергии с круговой орбиты r() = 1 (рис. 5.6): J (Т) ^ ~ (0,895)2/Г и для перелета между круговыми компланарными орбитами r0 = 1 и гх = 1,52 с незаданным угловым перемещением (рис. 5.15): J (Т) ^ 12 (0,487)2/Г3 (переменные безразмерные). Орбиты спутников Земли и Марса будем считать круговыми с высотой 300 км над поверхностью планет, траекторию перелета — плоской. Подставляя в аппроксимационные формулы соответствующие характерные значения функционала Jй и времени ^ из табл. 5.1 и 5.3, получим: для разгона у Земли Полное время перелета Та = Т+х + Тх + Г_2 задано, дата старта не фиксирована; нужно найти распределение этого вре¬ мени между тремя участками перелета, обеспечивающее минимум суммарного функционала Ja = J+x -f J\ + /_2. Проделав эту процедуру, получим следующие выражения для оптимальных времен Т+ъ Тх, Г_2 и минимального значения функционала Jn: оптимальное угловое перемещение межорбитального перелета при этом равно цх [рад] ^ 3,62т. В силу свойства «обратимости» (5.16) полученные формулы оказываются справедливыми для пере¬ лета «спутник Марса — спутник Земли» (нужно только заменить Т+1 на Т_х и Г_2 на Т+2). J+х[м2/сек3] zz 5*102/Т+х[сут], для межорбитального перелета Земля — Марс Jx [м2!секъ] ^ 108/(7\ [суш])3, для торможения у Марса /_2 [м21секъ] ж 102/Г_2 [супь]. Т+х [суш] = 102т2, Тх [суш] = 2,783 • 102т, Т_2 [супь] = = Та [cym] — 102 (т2 + 2,783т) (т = ]/0,922 + 0,691 • 10^Та [суш] - 0,96),
202 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 7. Межпланетный перелет с возвращением. В задаче межпла¬ нетного перелета с возвращением задаются полное время перелета Та и время пребывания у планеты назначения момент старта с исходной орбиты не задается (см. § 2 Приложения). Кинемати¬ ческие параметры элементарных маневров, составляющих меж¬ планетный перелет, по отдельности не определены. Здесь необ¬ ходимо найти оптимальные значения времени движения для ма¬ невров набора нулевой энергии и торможения у планет, а также времени движения и углового перемещения для прямого и об¬ ратного перелетов между орбитами планет. Выбор оптимальных значений времен торможения и набора нулевой энергии у планеты назначения в настоящем изложении не рассматривается (эти времена входят в фиксированное время Тш), не учитываются также энергетические затраты на выполнение этих двух маневров. Ор¬ биты планет предполагаются компланарными и круговыми. Пусть времена набора нулевой энергии и торможения у пла¬ неты старта определены; тогда задача сводится к определению оптимальных кинематических параметров межорбитального пере¬ лета с возвращением. Здесь заданы начальные и конечные ра¬ диусы и проекции скоростей для прямого и для обратного пере¬ летов; угловые перемещения и времена перелетов заданы не по от¬ дельности, а в сумме1) (см. (П.61),(П. 62)). Чтобы определить опти¬ мальное разбиение суммарного углового перемещения фх + ф2 и суммарного времени 1\ + Г2 между прямым (1) и обратным (2) перелетами, воспользуемся условием обращения в нуль внеин- тегральной части первой вариации функционала. Последний в рассматриваемом случае представляет собой сумму двух инте¬ гралов (5.9), соответствующих прямому и обратному перелетам Искомые члены первой вариации (5.59) в соответствии с (5.14) записываются так [5.4]: т о + (<F + 2Ф7')2] dt Г (0) =1, ф (0) = 0, г (0) = 0, Ф (0) = 1, т (Т t) = ?’i, Ф(Т’1)=Ф1,'/' (Tj) = 0, Ф(Т1)= — г I '2 + т, (5.59) о ~ (ф^ + 2фг)2] dt Г (0) = ГЬ ф (0) = 0, г (0) = 0, ф (0) = гt 3' 2’ г (Г2) = 1, ф (Т2) = ф2> г(Т2) = 0, ф (Т2) = 1 . б/х + б/2 = —2 (л^бф! + к16Т1 + v2бф2 + Я2бТ2). (5.60) 1) Если задать еще дату старта, то будут определены + Т2, — со2Тг и ср2 — (о2Т2.
§ 2] ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 203 На заданных суммах (фх + ф2), (Т1 + Т2) условия обращения в нуль выражения (5.60) будут х) Равенства (5.61) заведомо соблюдаются, если в качестве об¬ ратного используется перелет, симметричный прямому (см. (5.16)); тогда cpi = ф2, = Т2, J х = /2. Однако, как показано рядом авторов [5.2, 5.13, 5.15, 5.20, 5.21, 5. 36] при этом не всегда до¬ стигается абсолютный минимум суммы функционалов J\ + /2. Условия (5.61) могут выполняться и в том случае, когда пря¬ мой и обратный перелеты не симметричны. При решении крае¬ вой задачи (см. (5.13)) с фиксированными параметрами A, v получаются два семейства интегральных кривых vT (г), г>ф (г), аг (г), аф (г) и, следователь¬ но, две пары значений <рг, Г, т. е. краевая задача (5.62) не обла¬ дает свойством единственности решения. Чтобы проиллюстри¬ ровать этот факт, обратимся к графику v (А,). На рис. 5.20 в коор¬ динатах v, к нанесены линии равного углового перемещения фх для перелетов между орбитами Земли и Марса [5.20] (зависи¬ мость J (Т) для тех же самых значений фх была показана на рис. 5.16). Пересечение кривых на рис. 5.20 свидетельствует о неединственности решения задачи (5.62), т. е. условия опти¬ мального сопряжения (5.61) могут выполняться и для несим¬ метричных траекторий. Приведем пример несимметричного перелета с возвращением, дающего выигрыш в функционале по сравнению с симметричным перелетом на 16%; параметры симметричного перелета: = = Т2 = 1,88, фх = ф2 2,14, + /2 = 3,80, параметры не¬ симметричного перелета: Тг — 2,41, Т2 = 1,35, фх = 3,14, Ф2 = 1Д4, Jг + /2 = 3,20. Суммарное время и суммарное угло¬ вое перемещение для обоих перелетов одинаковы: Т1 + Т2 — (5.61) г = vr, v% 1 Vr = <h + 7Г» vr (г<>) - vr0, ur (ri) = vru VrvФ ч V<$ — ^ , ^ф(%) — V<pQ, ^ф(?3.) — V(pi (5.62) — 3,76, Ф1 + ф2 — 4,28. x) При заданной дате старта условия (5.61) заменяются на (vx — v2) со2 + + (кг — к2) = 0 (см. сноску на стр. 202).
204 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. О Оптимальное разбиение между прямым и обратным переле¬ тами заданных суммарных времени и углового перемещения на¬ ходится после решения задачи на минимум суммы J1 + J 2 по аргументам фх, Тг при фх + ф2 = const, Т1 + Т2 = const. В ра¬ боте [5.17] это проделано для перелета Земля—Марс—Земля в широком диапазоне параметров. Дальнейшее изложение пункта будет базироваться на результатах [5.17]. Рис. 5.20. Линии равного углового перемещения ф! в координатах параметров v. к для межорбитальиых перелетов Земля — Марс. Процедура отыскания минимума J\ + J 2 проводится в тер¬ минах даты старта с орбиты Земли t0 (отсчитываемой от проти¬ востояния Земли и Марса) и времени перелета «туда» Тх (связь между tQ и фх дается (5.49), где надо считать Т = Тг). Типичный пример зависимости суммарного функционала )- /2 от t0 и Тг при заданных суммарном времени Тх + Т2 = 496 сут и времени пребывания у планеты назначения = 0 показан на рис. 5.21. Минимум + /2 в этом примере достигается при t0 = —85 сут, Тг = 184 суш (см. кривую 3), т. е. и здесь оптимальный перелет оказывается несимметричным. Влияние распределения времени Тх + Т2 между прямым 7\ и обратным Т2 перелетами на функцио¬ нал J\ + /2 иллюстрируется рис. 5.22 (время пребывания у Марса фиксировано Т„ = 0, дата старта в каждой точке оптимальная). Видно, что симметричные перелеты (771 = Т2 — пунктирная кри¬ вая на рис. 5.22) становятся оптимальными при сокращении сум¬ марного времени Т1 + Т2. На рис. 5.23 дано оптимальное время прямого перелета в функции Тг + Т2 при фиксированных значениях Тш. Отрица¬
§2] ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 205 тельные значения Тш введены условно для придания монотонности соответствующим зависимостям. Чтобы получить действитель¬ ные значения Тш, нужно к Ты <С 0 прибавить синодический пе¬ риод (для Земли и Марса — 780 супь). Минимизированный по Тг и t0 функционал Jx + /2 приведен на рис. 5.24 в виде / (7\ + Г2, Тш). Эта зависимость вместе с Рис. 5.21. Суммарный функционал Jt -f J2 для перелета между орбитами Земли и Марса с возвращением в зависимости от даты старта t0 (от проти¬ востояния) для различных распределений заданного суммарного времени Т, + Т2 = 496 сут между прямым г1\ и обратным Т2 перелетами: 1 — Т! = 152 сут, Т2 = 344 сут; 2 — Т t = 168 cym, Т2 ~ 328 сутп; 3 — = 184 cym, Т2 = 312 cym; i — Tt = 200 сут, Т2 = 296 сут; 5 — Т i = 216 сут, То = 280 сут; 0 — Т t = 232 cym, Т2 = 264 сут; 7 — Т i = =248 cym,T2 = 248 cym (время пребывания в окрестности Марса фикси¬ ровано = 0). рис. 5.23 является результирующей для задачи оптимизации межорбитального перелета с возвращением. Нижняя кривая — огибающая, показанная на рис. 5.24 пунктиром, соответствует перелетам с незаданным (оптимальным) временем пребывания в окрестности планеты назначения (vx = v2 = 0). Перейдем теперь к задаче определения оптимальных времен набора нулевой энергии Т+1 и торможения у Земли. Прежде всего можно заключить, что эти времена должны быть равны между собой. В самом деле, исходная и конечная орбиты спут¬ ников Земли предполагаются идентичными, поэтому энергети¬ ческие затраты на маневр набора нулевой энергии /+1 и маневр торможения /_г в силу (5.16) выражаются одной и той же
206 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 м2/свп3 700 ООО 500 400 300 250 200 150 100 70 60 50 40 30 25 20 15 Ю30 40 5060 80 100 150 200250300 400 Т,,ср Рис.'5.22. Минимизированные по дате старта значения сум¬ марного функционала Ji для межорбитального переле¬ та Земля — Марс — Земля в зависимости от продолжитель¬ ности прямого перелета 1\ при фиксированных значениях суммарного времени 7VI- Т2. Интервал по 'Г х-\-Т 2 — 16 суш, время пребывания у Марса Т^ = 0, пунктирная линия соответствует симметричным перелетам Т1 = Т2-
Рис. 5.23. Оптимальное время 1\ перелета с орбиты Земли на орбиту Марса в зависи¬ мости от суммарного времени Тх + Т2 прямого и обратного межорбитальных перелетов: при фиксированных значениях времени Тш пребывания у Марса (к Тш < о нужно прибав¬ лять 780 сут). Рис. о.24. ^Минимальные значения суммарного функционала Jt 4- J2 (минимум по /0 и Тх) для межорбиталыюго перелета Земля — Марс — Земля в зависимости от суммарного вре¬ мени т х i- То прямого и обратного перелетов при фиксированных значениях времени Tw пребывания у Марса (пунктир соответствует перелетам с негаданными Tw, к < 0 нужно прибавлять 780 сут).
208 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 функцией J (Т). Эта функция, вычисленная в п.2 (см. рис. 5.6), монотонная с положительной второй производной. Для таких функций можно показать, что минимум суммы двух значений функции при заданной сумме аргументов (т. е. минимум J (7\ц)й- , , +J(T-T+1) по Т,г) J+f, М /CCff достигается, когда аргу¬ менты равны (Г+1 = = = Ч2Т). Таким образом, сум¬ марное время, затрачи¬ ваемое на маневры на¬ бора нулевой энергии и торможения у Земли, равно 272.1, а суммар¬ ный функционал —2/+1. Теперь нужно найти ми¬ нимум по Т+1 полного функционала Jа = 2J +1 -f- (J г -{- J 2) (5.63) при заданном полном времени перелета Та=2Т+1+(Т1+Т2)+Т„ (5.64) (время Тш пребывания в окрестности Марса также задано). Зависимость + /2 от 7\ + Т2 и Та дана на рис. 5.24, а для /+1 (7Vi) использована аппроксимационная формула (в безразмерных переменных; пере¬ ход к размерным величинам осуществляется по табл. 5.1) левой энергии и торможения у Земли и у Марса виси мости от продолжительности маневра Т +1’ в за- под- считанный по аппроксимационной формуле (5.65) (точ¬ ками показаны точные значения с рис. 5.6; орбита кру¬ говая с высотой 300 км). /+1 = 0,3934271 0,9127 (5.65) которая выведена для случая постоянного тангенциального уско¬ рения (ср. (6.48)). Результаты расчетов по (5.65) весьма близки к точным, а значит, и к оптимальным (см. рис. 5.6). На рис. 5.25 проведено соответствующее сравнение для 300 км круговой ор¬ биты спутника Земли (эта орбита и используется в дальнейших расчетах). Там же для оценок нанесена линия, соответствующая 300 км круговой орбите спутника Марса (напомним, что затраты на маневры торможения и разгона у Марса не учитываются).
2] ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ T+f, сут Рис. 5.2d. Оптимальное время набора нулевой энергии у Земли Т+1 (равно времени торможения) в зависимости от су.ммар ого времени Тх -\- Т2 прямого и обратного перелетов между орбитами Земли и Марса при фиксированных значениях времени Тш пребы¬ вания у Марса (300 км круговая орбита; к Тш < 0 нужно прибав¬ лять 780 сут, пунктир соответствует незаданному 7'w). 14 Механика полета
210 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ТЛ м2/секв Рис. 5.27. Полный ! функционал Ja = 2J+j. — Jt -f J2 моьилаын^ы перелета Земля — Марс — Земля в зависимости от полного времени полета Та — Tw = 2 T+i -f- Tt + T2 (все время путешествия Тс, за выче¬ том времени пребывания у Марса Тш время Ты фиксировано; кТи<0 нужно прибавлять 780 суш, пунктир соответствует незаданному
ОПТИМАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ УПРАВЛЯЕМЫХ СПУТНИКОВ 211 В точке минимума (5.63) должно выполняться равенство clj 1 cl (J j J •>) ^ dT\l~ cl{Tl 4- T2) = ’ (5.66) полученное дифференцированием (5.63) при связи (5.64): 2dT+1 = = —d (Тл + T2), Т0 — const, Ты = const. Первый член (5.66) находился дифференцированием (5.65) = - 370,8Г;ИШ (5.67) си +1 ([/+1] = м2/сек*. [Г+1] = сут, орбита спутника Земли с высотой 300 км). После этого для каждой пары значений Тг -f- и Т^ по уравнению (5.66) находилось оптимальное время Т+1: Т+i = [-0,2697.10-2 cE^+^jj-°'622f. (5.68) Здесь производная вычисляется по данным, на основании которых построен рис. 5.24. Результаты соответствующих рас¬ четов представлены на рис. 5.26. На рис. 5.27 дан итоговый гра¬ фик — полный функционал JG — 2J+1 -j- Jх + /2 межпланет¬ ного перелета Земля — Марс с возвращением в функции време¬ ни Та — = 2Т+1 + Тг + Тг (полное время путешествия Т0 минус время цребывания у Марса Тш) для фиксированных зна¬ чений Тш. § 3. ОПТИМАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ УПРАВЛЯЕМЫХ СПУТНИКОВ С ИДЕАЛЬНЫМ ДВИГАТЕЛЕМ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ Здесь собраны решения вариационной задачи (5.2) для сле¬ дующих маневров в окрестности планеты: поворот плоскости кру¬ говой орбиты (п.1), изменение радиуса круговой орбиты (п.2), одновременное изменение радиуса и угла наклона круговой орби¬ ты (п. 3). Общей чертой для всех маневров управляемых спутников с двигателями ограниченной мощности является малость отноше¬ ния реактивного ускорения к гравитационному. Это открывает возможности для аналитического решения при помощи различ¬ ного рода приближенных методов. Задачи параграфа подобраны таким образом, чтобы дать представление о наиболее употребитель¬ ных из них. 1. Поворот плоскости круговой орбиты. Определим оптималь¬ ную программу реактивного ускорения для маневра изме¬ нения угла наклона плоскости круговой орбиты спутника (см. § 3 Приложения) [5.27]. Тяга направлена перпендикулярно мгно- 14*
212 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 венной плоскости орбиты (по нормали е = +1 или против нее е = —1), угол i между исходной и конечной плоскостями (угол поворота), конечное положение линии узлов и время движения Т считаются заданными. Для простоты выкладок время Т пола¬ гается кратным целому числу оборотов: Т = 2ns, s = 1, 2, 3, . . . (все параметры безразмерные — см. (П.2), где г# = г0). На¬ чальная орбита лежит в плоскости экватора (рис. 5.28). Рассматриваемая вариационная проблема записывается в виде задачи Майера Вывод динамических уравнений (5.69) дан в Приложении (см. (П.94)); последние получены из системы в оскулирующих пере¬ менных в предположении о малости угла поворота i. Для решения задачи (5.69) используется метод JI. С. Понтря- гина; следуя процедуре метода, выпишем гамильтонову функцию и дифференциальные уравнения импульсов Н = — (ае)2 -[- рхае sin (t — Qi) + р^ае cos (t — Qi), В записи (5.70) учтено, что импульс, соответствующий миними¬ зируемой фазовой координате J, постоянен. Согласно общепри¬ нятой нормировке он положен равным минус единице. Управления а же входят в дифференциальные уравнения (5.69) и гамильтонову функцию (5.70) в виде произведения ае. Оптимальная программа для этой комбинации управлений дается выражением (из условия максимума Н) По отдельности оптимальные управления а и е следующие *): е = sgn [рх sin (< — Qi) + pm cos (t — Qt)], | a = Vd/v.sin (f — Qx) + pacos(t — Qi)J. j J После подстановки оптимального закона (5.71) в уравнения движения (5.69) и интегрирования до конечного момента Т = = 2ns получаются значения постоянных ру, рш, удовлетворяю¬ щих заданным граничным условиям из (5.69) j = [ае)2, J( 0) = 0, /(2ns) = min, X = ае sin (t — Qi), % (0) = 0, х (2я5) = о — ае cos(t— Qx), (о(0) = 0, ю (2ns) — i (a (t) >0, e(t) = Hh 1). Px = — дН I д% = 0, рш = — дН/дсо = 0. ае = V2 [рх sin (t — £>х) + рш cos (t — Qj)]. (5.71) Px — 0, Pa = 2 i/sn. (5.73) l) Функция sgn x (знак x) определяется как sgn x = + 1 при x > 0, sgn x = 0 при x = 0, sgn x = —1 при x 0.
! 3] ОПТИМАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ УПРАВЛЯЕМЫХ СПУТНИКОВ 13 (5.74) конечная орбата Начальная орбита Рис. 5.28. Схема маневра поворота плоскости круговой орбиты; стрелками показала оптималь¬ ная программа вектора реактивного ускорения. Тогда ае = (i/sn) cos (t — Q±), и величина контрольного функционала J равна J (Т) = iVsn = 2i2/T (Т = 2ns). (5.75) Оптимальный закон изменения реактивного ускорения (5.74) в течение одного оборота показан на рис. 5.28 и 5.29. Согласно (5.74) мо¬ дуль ускорения достигает максимума при прохожде¬ нии конечного положения линии узлов. Дважды за оборот направление век¬ тора реактивного ускоре¬ ния меняется на обратное в моменты обращения а (t) в нуль. Эти точки сдви¬ нуты по углу от точек максимума на я/2. Величина контрольного функционала J оказывает¬ ся не зависящей от поло¬ жения линии узлов конеч¬ ной орбиты (т. е. от угла £2Х). Зависимость функционала от вре¬ мени выполнения маневра такая же, как и для задачи набора мо¬ дуля скорости в бессиловом поле (см. (5.30) и кривую и на рис. 5.2). Если вместо оптимальной программы реактивного ускорения (5.74) взять постоянное по модулю ускорение с теми же самыми моментами из¬ менения направления ае = = (j/4s) sgn cos (t — (пунктир на рис. 5.29, см. § 4 гл. 13), то величина функционала увеличится в 1,23 раза: J = i2n/8s. На¬ помним, что результаты этого пункта получены в предположении, что время выполнения маневра кратно целому числу оборотов Т = 2ns. 2. Переход между компланарными круговыми орбитами. Рас¬ сматриваемая задача является частным случаем задачи о межор- Рис. 5.29. Оптимальная программа реактивного ускорения для поворота плоскости круговой орбиты в центральном поле (ускорение действует нормально к мгновенной плоскости орбиты: е = = ± 1, а — модуль ускорения, пунктир — про¬ грамма, взятая для сравнения).
214 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 битальном перелете (§ 2, п.2). Здесь фиксированы время движе¬ ния, радиусы начальной и конечной орбит; начальная и конечная скорости — круговые (см. (П.58)); угловое перемещение не за дано (v = 0). Конечная орбита считается внешней по отношению к начальной, заменой (5.16) все резулыаты могут быть пересчи¬ таны для обратного случая. Если реактивное ускорение мало по сравнению с гравитаци¬ онным, то для этой задачи можно использовать приближенное решение (5.44), (5.46), (5.47) из п.З предыдущего параграфа. Согласно этому решению оптимальная программа вектора реак¬ тивного ускорения (5.46), (5.47) такова (при аф^<^1): модуль ускорения почти постоянен, а направление близко к направле¬ нию скорости (вектор скорости здесь направлен практически по трансверсали). Величина ускорения аф определяется при помощи первого соотношения (5.44) из конечного условия г (Т) = гх: <5-76) здесь и ниже все параметры безразмерные (см. (П.2) при = г0). Оптимальная траектория описывается формулами (5.44) с аф из (5.76). Функционал J приближенно (см. (5.45)) равен '“(‘-йгУК (5Л7) Обратим внимание на то, что полученные здесь зависимость J (Т) и оптимальная программа реактивного ускорения анало¬ гичны таковым для маневра набора модуля скорости в бессиловом поле (5.32). Такой же вид имеет функция / (Т) для маневра пово¬ рота плоскости орбиты (5.75), хотя программа ускорения (5.74) там существенно другая. Несколько слов о точности приведенного решения. Неучтен¬ ная в (5.77) часть функционала J имеет величину (см. (5.45), (5.47), (5.76)) с 2, 36 (ГгГ—I)3 (ri2 —1) /г 7Яч J ardt = — да ; (D-78) о 1 максимальное значение отброшенной компоненты реактивного ускорения аг таково (см. (5.47), (5.76)): max ar(t) = ar(T) = ■-Г,Г| (~1)3 ; (5.79) 0<ЦГ 1 невязки краевых условий по радиальной скорости (vr0 = иг1 = = 0) следующие (см. (5.44), (5.76)): vr(0)-vro = vr(T)-vr 1= 2Г| (У1г1-1>. (5.80) 1 V *
ОПТИМАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ УПРАВЛЯЕМЫХ СПУТНИКОВ 215 Формулы (5.78) —(5.80) позволяют определить пределы, где решение (5.44), (5.76) дает нужную точность. Рассмотрим приближенное решение задачи, основанное на использовании модели однородного центрального поля (см. § 1 Приложения и (5.34)—(5.37)). Здесь уже не нужно делать пред¬ положения о малости реактивного ускорения, вместо этого тре¬ буется предположить малость радиального перемещения. Общее решение уравнений вариационной проблемы в однородном цен¬ тральном поле было выписано в § 1 (см. (5.35)—(5.37)). Остается только подставить соответствующие граничные условия. До начала и после конца выполнения маневра движение долж¬ но происходить по круговым равновесным орбитам заданных радиусов. В центральном поле уравнениями этого движения в плоскости ху будут х (t) = г cos (г"3-2£), у (t) = г sin ?' = const (см. (П.З) при ах = ау = 0). Для модели однородного центрального поля эти уравнения выглядят несколько иначе: х (t) = г cos t, у (t) = г sin £, г = const (см. (П.54) при ах = = а„ = 0). Таким образом, равновесная круговая скорость на радиусе г в первом случае равна r~1/z, а во втором — г (перемен¬ ные безразмерные). Согласно сказанному векторы r0, v0, r1? vx из (5.36) в прямо¬ угольной системе координат х, у (рис. П.4) будут иметь компо¬ ненты 1*0 = (г<„ 0), Vo = (0, г0), 1*1 = (/'xcosipi, rxsiiKjpi), 1 (5.81) Vi = (—7*1 sinфх, ricosqh).. Здесь считается, что начальная точка лежит на оси Ох. По¬ лярный угол фх по условию задачи не фиксирован, поэтому нужно выбрать его оптимальное значение из условия минимума функ¬ ционала J. Все переменные отнесены к своим значениям на круговой ор¬ бите некоторого радиуса i\ (см. (П.2)). На этом радиусе при¬ ближенная величина гравитационного ускорения полагается рав¬ ной истинной. В используемой модели поля гравитационное ускорение с увеличением радиуса линейно возрастает, а в цен¬ тральном поле — убывает по квадрату радиуса. Некоторая ком¬ пенсация возникающих отсюда ошибок возможна за счет соот¬ ветствующего выбора 7’.: L). J) При замене г* Г1/'* нужно изменить все безразмерные величины в соответствии с (5.15); тогда соответствующие размерные величины останутся без изменения. В работе [5.10] предлагается еще одни метод уточнения ре¬ шения, связанный с численным интегрированием: программа реактивного ускорения (5.37) подставляется в точные уравнения движения, постоянные векторы с2, подбираются по] точным краевым условиям.
216 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 Будем считать для простоты, что время выполнения маневра кратно периоду обращения по круговой орбите радиуса г/, тогда из последней формулы (5.37), подставляя в нее (5.81), находим Отсюда видно, что минимум J по достигается при cos <рх = 1. Используя это соотношение, запишем выражения для оптимальной программы реактивного ускорения, оптимальной траектории и функционала (см. (5.35) —(5.37), (5.81)): Оптимальная программа реактивного ускорения получилась такая же, как и в предыдущем решении рассматриваемой задачи: модуль ускорения постоянен а = Vа1 + я* = 2(гх — г0)/Г, на¬ правление совпадает с трансверсалью ах/ау = —tg t = — tgcp. Если же вместо граничных условий (5.81) здесь взять обычные граничные условия для круговых орбит в центральном поле, то программа реактивного ускорения получится далекой от опти¬ мальной Сравним функционалы (5.77) и (5.83); первый обозначим через JW, второй — через/(2). Перепишем/^) в тех же безразмерных переменных, что и J^ (т. е. в качестве характерных возьмем значения переменных на исходной орбите, а не на орбите радиу- Считая гх — 1 = Дг 1, получим с точностью до о (Дг2) J = ~^r(r\~2r[)rl cos cpi + Го) (Т = 2л5, 5 = 1,2,...). (5.82) х (t) = j г0 + (гх — г0) cos t — 1l-Tr° sin t. У (0 = ro + (ri — rn) ~pp~ sin t - (5.83) (0<*<Г = 2л5, s = l,2,...), J (T) = -jr(rl — ro)3. ax = — (rx — ;•„) sin t, au (t) = — cos t. (5.84) j(2) = _4_ (n-1)8 т гз (5.85)
ОПТИМАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ УПРАВЛЯЕМЫХ СПУТНИКОВ 21? Функционалы при одинаковых r1? Т будут совпадать, если принять = 2,52. При таком выборе естественно, совпадают и величины реактивного ускорения (поскольку с№ (t) ^ const и я(2)(£) = const, см. (5.76) и (5.83)). Формула (5.77) для функ¬ ционала подтверждается в следующем пункте, где она получена отличным от использованных здесь методом — традиционным методом линеаризации уравнений движения. 3. Переход между некомпланарными круговыми орбитами разных радиусов. Заданы радиусы начальной г (0) = 1 и конеч¬ ной г (Т) = гг орбит и угол i между их плоскостями, время дви¬ жения фиксировано, положения линии узлов и точки выхода на конечную орбиту свободны. Начальная и конечная орбиты счи¬ таются близкими: | i| 1, | гг— 1 | <^ 1 (переменные безразмер¬ ные, в качестве характерных взяты значения соответствующих параметров на исходной орбите: = г0 в (П.2)). Для решения задачи используется метод линеаризации в окре¬ стности начального движения [5.28, 5.29]. Выбирается система координат £, г], £, начало которой движется с равновесной ско¬ ростью по исходной круговой орбите. Координаты £, ц, £ свя¬ заны со сферическими координатами г, ф, 0 (см. рис. П.1) соот¬ ношениями i ^ — qp, л = г — 1, £ = 0. (5.87) Используя формулы (П.4), (П.6) перехода к декартовым коор¬ динатам, можно выписать уравнения движения в координатах £, г), £ и сформулировать соответствующие граничные условия. Отклонения от начального движения и их производные во все время движения предполагаются малыми, уравнения движения линеаризируются, в граничных условиях также сохраняются только главные члены. Окончательно вариационная задача записывается следующим образом (в виде (5.2)): J ~= а\ -j- а% + а\у J (0) — 0, У (Г) — min, i = 1(0) = 0, l(T) = opt, >1 = V, Г] (0) = 0, ц (Т) Г1 — 1, £=u', S(0) = 0, ?(T)+w*{T) = i\ } (5.88). и = + 2у, и (0) = 0, г/ (Т) = 3/2 (п - 1), v = ап Зг) — 2и, v (0) = 0, и (Т) — 0, гс = — £, w (0) = 0. Управляющие функции я; (t), а^ (t), ar (t) — компоненты реактивного ускорения — не ограничены. Конечное значение фазовой координаты £ свободно; конечные значения фазовых:
218 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 координат £ и w по отдельности также не заданы — они связаны условием £2 (Г) + w2 (Т) = i2. Отметим, что четвертое и последнее уравнения (5.88), описы¬ вающие движение в плоскости, перпендикулярной к исходной орбите, не зависят от остальных уравнений движения (для дан¬ ного приближения). Обнаружив это обстоятельство, можно вос¬ пользоваться результатами двух предыдущих пунктов и соста¬ вить искомое решение как суперпозицию уже найденных. Однако здесь изложение будет проведено независимо, с тем чтобы полу¬ чить подтверждение результатов п.2 и продемонстрировать про¬ цедуру метода. Составим гамильтонову функцию: Н = — (а| + а- -г ciV) + р%и — Pnv “г РхР + Pu(&i 2 у) + + Pv(dn + ЗГ) — 2и) + pw (ап — £) (5.89) л выпишем дифференциальные; уравнения для импульсов (р\ = = —дШдх{)\ Р'с* — Р п ~ ^Pi:» Pl, — Pw 1 n \ (5.90) Ри = — Р\ + 2А» Рх> ■-= —Ръ — 2Ри, Pw — — Рп- ) Оптимальная программа реактивного ускорения дается соот¬ ношениями (дН/дсц = 0) = г/2Ри, а* = V2Pu, а; = г/2Рш- (5.91) Уравнения для импульсов (5.90) интегрируются независимо от основной системы (5.88), поскольку задача линейная: р: = clf ри = ocit — 4с2 cos t + ^ + 4c3sin£ -f Зс5, | р,- = —6 (cLt —■ ~2 cos t -f- pv = 2 (ci -f c2 sin £ + c3 cos £), (5.92) + сз sin t + p- = 2 (c4 cos t -j- c6 sin £), = — 2 (c4 sin £ — c6 cos £), где'C1? . . ., сб — шесть неизвестных постоянных интегрирования, кото])ые определяются из конечных условий (5.88) после реше¬ ния основной системы (5.88) с оптимальной программой ускоре¬ ния (5.91). В (5.88), как уже отмечалось, часть фазовых координат в кон¬ це движения свободна: выпишем для них соответствующие усло¬ вия трансверсальности. Конечное значение координаты £ не за¬ дано, поэтому соответствующий ей импульс р = при t = Т должен обращаться в нуль. Отсюда в силу первого уравнения (5.92) мож- :НО заключить сг = 0. (5.93)
S 3] ОПТИМАЛЬНЫЕ МАНЕВРЫ УПРАВЛЯЕМЫХ СПУТНИКОВ 219 Конечные значения С и w лежат на окружности £2 (Г) + w2 (Т) = = i2, из условия оптимальности вытекает, что вектор импульсов (Рь Pw) Должен быть направлен по радиусу (нормально к окруж¬ ности), т. е. 1) R {Т)Ц (Т) = pw (T)/w (Т). (5.94) Выпишем теперь оптимальный закон изменения компонент реактивного ускорения по времени, подставив (5.92) в (5.91) и учтя (5.93): а^ (t) = — 2со cos t + 2с3 sin* + 3/2 с5, ] a.n (*) = Со sin t + с3 cos *, а^ (t) = — с4 sin t + сь cos t. (5.95) Функции (5.95) подставляются в правые части уравнений (5.88), после чего эта система неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами интегрируется: J (t) ■■— *-/2 (5с2 5с3 4~ 'V0C5 -р + 6с3с5 (1 — cos 0 4- V-2 (Зс2 - с\) t — 6с2съ sin t 4- Зс3 — с\ + cl) sin t cos t — — (3c*c3 + c4c6) sin21, I (0 = £2 [8 (1 — cos t) —5* sin*] + c3(llsin *— 5*cos*— 6*)— — c5 [%*” — 6 (1 — cos *)], "П (0 = 5/2c2 (sin *— * cos *) — c3 [5/2*sin* — 4 (1 —cos*)] + (5.96) + 3c5(sin*— *), Z (*) = 1/2c4 (* cos * — sin *) 1/2ciit sin *, и (*) — c2 (3 sin * — 5* cos *) 4- Co [5* sin * — (> (I — cos *)] — — Сь (''/2t — 6 sin *), v (0 = ЬЫ c'2t sin * + V2C3 (5* cos * — 3 sin *) — 3c5 (1 — cos *), w (*) = — 1!2c4t sin * 4- 1/2cQ (sin * 4- t cos *). Здесь уже учтены нулевые начальные условия (5.88) для всех фазовых координат. Третье, пятое и шестое конечные условия (5.88) определяют постоянные с2, с3, съ (движение в плоскости начальной орбиты), для них получается система линейных ал¬ гебраических уравнений. Четвертое конечное условие (5.88) и условие трансверсальности (5.94) дают систему двух квадрат¬ ных уравнений относительно постоянных с4 и с6 (движение в плоскости, перпендикулярной к плоскости начальной орбиты). Выбираются такие корни этой системы, которые обеспечивают J (Т) = min. *).В работе [5.28] вместо условия (5.94) было ошибочно принято р^ (Т) = — 0; исправленные формулы приведены в [5.29].
220 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [1Л. ь Окончательное выражение для постоянных с2, . . ., с6 через параметры рассматриваемого динамического маневра таково; 2(74 — 1) sin Г — 2(г, —1)(1—cosT) ) Сг~ 16(1—cosjT) —r(5r + 3siiir)’ Сз~ 16 (1 — cos Т) — Т (5Т + 3sin Т)' У 2 i (I — cos Т) Уз — 1) (ЪТ -|- 3 sin Т) Ci~ Т -j-1 sin Т | ’ °5'~ 16(1—cos Г)— Т{ЪТ + 3sinZ')’ j У 2 i sin Т f Сб— (1 — cos Т) (Т | sin Т | ) ! (при Т = 2лх, s = 1, 2, . . . : с2 = с3 = с4 = 0. съ — (1 — }\)/ЗТ, \ св = 2ЦТ). { (5.97) Подставляя (5.97) в первое уравнение (5.96), находим функци¬ онал задачи . (тд — I)2 (5Т -J- 3 sin Т) 2i* ' ’ 4[Т (5Т -i- 3 sin Т) — 16 (1 — cos Т)] Г| sin Г | (5.98) (/(2я5)=^^+-^). Полученное выражение для функционала состоит из двух не¬ зависимых слагаемых, первое определяется радиусом конечной орбиты г1? второе — углом наклона ее плоскости i. Эта аддитив¬ ность связана с тем, что в линейном приближении, как уже отме¬ чалось, уравнения движения в плоскости начальной орбиты не связаны с уравнениями движения в перпендикулярной плоскости. Сравним функционалы и оптимальные программы реактивного ускорения, полученные здесь и в пп. 1 и 2. Время выполнения маневра будем считать кратным периоду движения по начальной орбите (Т — 2я5, 5=1,2,...). Первое слагаемое функциона¬ ла (5.98) совпадает с У(1) из (5.86), а второе — с (5.75). Оптималь¬ ная программа ускорения (5.95) с коэффициентами из круглых скобок (5.97) имеет вид ai(t) = 1Д" ' ari(t) = Q, ax,(t) = cost (5.99) (Т = 2л5, 5 — 1,2,...). Если вспомнить, что а; = —а¥, аГ( = аг* то первые два соотношения (5.99) дадут оптимальную программу (5.76) для ма¬ невра изменения радиуса (с точностью до о (?\ — 1)), а последнее соотношение — программу (5.74) для маневра изменения угла наклона плоскости орбиты (при = 0). Таким образом, сложный маневр изменения радиуса и угла наклона круговой орбиты в
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ АППАРАТА 221 линейной постановке представлен как суперпозиция двух про¬ стых: маневра изменения радиуса круговой орбиты и маневра поворота плоскости круговой орбиты. Помимо описанных выше, в литературе содержится еще ряд решений для оптимальных маневров управляемых спутников с идеальным двигателем ограниченной мощности. В работе [5.30] выписаны дифференциальные уравнения и получены конечные •соотношения нулевого приближения для оптимальной программы реактивного ускорения при изменении всех элементов орбиты. Маневры перехода между круговой и эллиптической компланар¬ ными орбитами разных радиусов, набора заданной энергии и пр. рассматриваются в [5.31—5.33] на основе метода усреднения Крылова — Боголюбова. Решение (5.95), (5.96) используется при исследовании задач оптимальной встречи спутников [5.34] и оптимальных межпланетных перелетов [5.35]. § 4. ПАРАМаТРЫ АППАРАТА С ИДЕАЛЬНЫМ ДВИГАТЕЛЕМ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ 1. Расчетные формулы. Оптимальный режим работы идеаль¬ ного двигателя ограниченной мощности и оптимальные пара¬ метры двигателя и аппарата в целом могут быть вычислены, как только найдены функции t a (t), J{t) = ^a°-dt (5.100) О — закон изменения реактивного ускорения и интеграл от квад¬ рата ускорения по времени (см. гл. 4). Для удобства пользования дадим сводку необходимых формул; при этом ограничимся случаем одноступенчатого аппарата (без сброса секций двигательной системы). Весовые параметры аппарата (G- — полезная нагрузка, G^o — вес запаса рабочего вещества, Gx — вес двигательной системы, G (t) — текущий вес аппарата) определяются следующими соот¬ ношениями (см. (4.6), (4.15)—(4.17)): 0_ [>;Г] <7„п [кГ] r Gy [кГ] ,— =(1 - >ф‘) ' тйат-»'*»- ияят € (/) \кГ] Сп [кГ] Си [кГ] С, [Кг\ Ф (0 -1 (фх = Ф(Г). Ф(£) = 0,5-10“3а [к Г j кет] J (t) [м-jceK?]), (5.101) где Gq — начальный вес аппарата, а — вес двигательной системы на единицу мощности реактивной струи.
222 ИД'-АЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 Максимальная мощность двигателя Лгшах и программы тяги Р (t), скорости истечения V (() и расхода д (t) рассчитываются по формулам (см. (4.2), (4.4)) Nmax 1квт] V (t) [м/сек] q (t) [Г/сек] (5.102) Обратим внимание на то, что для вычисления GL, G^, G* до- ста точно знать только конечное значение функционала J (Т)г а для вычисления G (t), Р (t), V (t), q (Z) необходимы обе функции (5.100). Если маневр разбит на п последовательных этапов и на каж¬ дом этапе функции (5.100) известны: (т), J(i) (т) (0 ^ т Г(П, /(й (0) = 0 — отсчет времени т и функционала J на каждом этапе начинается с нуля), то в качестве функций a (t) и J (t)., фигурирующих в (5.101) и (5.102), нужно брать а (0 = аС) (t — Т] ти)), ./ (О = S JU) (Т(Л) + J(n (t — S ?’0)) ' j=l 3=1 3=1 при У 710' < г < t Ти) (i = 1, . . п, у = 0, S Г(Л = т). 3=1 j=l j=l j=l J (5.103) 2. Оптимальные параметры межпланетных аппаратов. Чтобы составить представление о параметрах межпланетных аппаратов, с идеальными двчгателями ограниченной мощности, воспользу¬ емся результатами решения вариационной задачи о перелете Земля — Марс — Земля (§ 2, п. 7). Для каждой пары значений полного времени путешествия Т& и времени пребывания в окрестности Марса Тш по рис. 5.27 на¬ ходится конечная величина функционала /, после чего при помо¬ щи (5.101) вычисляются GJG0, G^0/G0J GJG0 (удельный вес двигателя а задается). На рис. 5.30 из [5.17] показана зависимость максимальной полезной нагрузки GJG0 от времени — Тш. для различных значений удельного веса а и времени Т<*. Вели¬ чины G[xo/Gq и GyJG0 могут быть найдены из рис. 4.2 по известному значению G-/G0. Если задаться каким-либо уровнем полезной нагрузки, то по рис. 5.30 можно найти соответствующие минимальные времена путешествия. Такие данные приведены в табл. 5.6 для GJG0 = = 0,3. р (t) [*Г] _ я (t) [м/сек-] G (t) [кГ] ) а [кГ/квт] ’ G0 [кГ] ~~ 9,81 G0 [кГ] ’ I 204 Gx [кГ]/Со [кГ] [ а [кГ/квт] Р (/) [иГ]/С0 [кГ] ’ 1 9,81 ТО8 P(t) [кГ] V (t) [м/сек] 9 )
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ АППАРАТА 223 Gjc/Gq Git/Go а) 6) Grt/Go &71>/ *) Рис. 5.30. Максимальная полезная нагрузка Gn/G0 аппарата Земля — Марс — Земля G идеальным двигателем ограниченной мсил сети в зависимссти от полного времени полету Та — Tw при фиксированных значениях удельного веса двигателя а и времени пребыват. ния у Марса
'224 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 Таблица 5.6 Минимальные вр?мена Та экспедиции Земля — Марс — Земля при уровне полезной нагрузки 30 % для различных значений а — удельного веса двигателя и — времени пребывания у Марса. ты, Т а > c'Jm сут а = 0,1 кГ/квт а - 0,4 кГ/кпт а = 1 кГЧквт а = 4 кГ/квт а = 10 кГ/'квт 0 90 160 255 460 680 48 157 238 326 514 738 96 223 304 383 566 803 144 282 358 440 624 884 Приведем пример оптимальных зависимостей от времени t ■веса, аппарата G (t), тяги Р (t) и скорости истечения V (t). Выбе¬ рем следующие значения параметров перелета: полное время Риз. 5.31. Траектории гелиоцентрических участков перелета Земля — Марс — Земля >с параметрами: суммарное время Ta = G44 сут, время пребывания у Марса Тш = 48 сут (траектории даны в проекции на плоскость эклиптики). путешествия Та = 644 сут 1,76 года), время пребывания в окрестности Марса Тш = 48 сут. Воспользуемся расчетами [5.14] оптимальных гелиоцентрических траекторий, проведенных с учетом эллиптичности и некомпланарности орбит Марса и Земли для конкретных дат старта (рис. 5.31). Для большей точности учтем также энергетические затраты на торможение /_2 и раз¬ гон/^ в окрестности Марса. Последние определяются по рис. 5.25, причем считается Т_2 = Т+2 = 1/271С0. Сводка параметров эле¬
$ 4] ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ АППАРАТА 225 ментарных маневров, составляющих перелет Земля — Марс — Земля, дана в табл. 5.7. Оптимальные весовые соотношения аппарата, предназначен¬ ного для выполнения этого маневра, находятся по формулам (5.101), они указаны в табл. 5.8. Таблица 5.7 Параметры оптимального перелета Земля — Марс — Земля (Та — 044 cyni, = 48 суш) по участкам Маневр Дата начата маневра Дата окончания маневра Время выполнения маневра, суш Энергетиче¬ ские затраты J, м2/сек3 (Разгон у Земли 24 марта 12 мая 50 12 1971 1971 Межорбитальный пере¬ 13 мая 12 ноября 184 6,6 лет Земля — Марс 1971 1971 Торможение и разгон 13 ноября 30 декабря 48 8 у Марса 1971 1971 Межорбитальный пере¬ 31 декабря 7 ноября 312 25 лет Марс — Земля 1971 1972 Торможение у Земли 8 ноября 27 декабря 50 12 1972 1972 Полный перелет Зем¬ 24 марта 27 декабря 644 63,6 ля —Марс — Земля 1971 1972 Таблица 5.8 Оптимальное распределение веса аппарата для перелета Земля — Марс — Земля (Та = 044 суш, = 48 суш) при двух значениях удельного веса двигательной системы Удельный вес двигателя а, кГ/квт Полезная нагрузка G_/G0 Вес дви¬ гателя Gx/G0 Вес рабочего вещества G\),b G0 5 10 0,36 0,19 0,24 0,24 0,4 0,57 Программа реактивного ускорения a (t) и зависимость функ¬ ционала от времени J (t) для рассматриваемого перелета приве¬ дены на верхнем графике рис. 5.32. Под ним представлены за¬ висимости G (t)/G0, P(t)/G0 и V (£), посчитанные по формулам (5.101), (5.102). Укажем две важные для дальнейшего особенности оптималь¬ ных режимов работы идеальных двигателей на межпланетных ^ 5 Механика полета
226 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. 5 Рис. 5.32. Пример оптимальных зависимостей: а (1) — реактивное уско¬ рение, J (0 — функционал, G (<) — полный вес, Р (t) — тяга и V (t) — скорость истечения для перелета Земля — Марс — Земля (Та =644 сут — суммарное время, Гш = 48 сут = Т-2 + Т+2 — пребывание у Марса, Т+! — разгон у Земли, Tt — перелет Земля — Марс, Т2 — перелет Марс — Земля, Т-1 — торможение у Земли).
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ АППАРАТА 227 траекториях. Во-первых, идеальный двигатель включен на про¬ тяжении всего полета, что определяет потребный ресурс порядка 104 час. Во-вторых, по оптимальной программе необходимо регу¬ лировать тягу, скорость истечения и расход в очень широком диапазоне (например, на рис. 5.32 Р и V изменяются на порядок). 3. Оптимальные параметры управляемых спутников. Запишем в размерной форме оптимальные функции (5.100) для следующих маневров в окрестности планеты (см. § 3). JtM2/cen3 s-T.cym Рис. 5.33. Максимальная полезная нагрузка Gn/G0 управляемых спутни ков с идеальным двигателем ограниченной мощности для маневров изме пения угла наклона г и радиуса Го-*?’,, круговой орбиты (оси с размет кой по времени выполнения маневра Т нанесены для 24-часового спутник Земли: г0 = 42,3 • 103 км, s = Т — число оборотов). 1°. Поворот плоскости круговой орбиты радиуса г0 на угол i с заданным угловым положением линии узлов (см. (5.74), (5.75)): a (t) = йт,,2 -Е- cos (т — Ох), JTS J (t) = k3''-r0 —n2S2 It + sin t cos (т — 2Qi)]t (5.104) 2°. Переход между круговыми компланарными орбитами ра¬ диусов г0 и гг (см. (5.76), (5.77)): а(<) = Ат,/— 1-|/ > J{t) = &'*/•„ (l — |/ ) т» (5.105) 15*
228 ИДЕАЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ [ГЛ. Рис. 5.34. Пример оптимальных зависимостей a (t), J (О, G (О» Р (О» V (О для маневра поворота плоскости круговой орбиты на угол г = 10° с одновременным изменение радиуса на I (rt /г„) — 11 = 23,6% (24-часовой спутник Земли: г0 = 42,3-102 км, s = 10, Т = 10 crjm, промежуточные оборот;л 1 < S < 9 показаны условно).
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ АППАРАТА 229 Зэ. Переход между круговыми орбитами радиусов г0 и г19 плоскости которых составляют между собой угол i (см. (5.96) — (5.99)): *(*)=кго2 -k К11^)2+г'2 cos2 т ]'/2> J (t) = /с3'2Го6/2 2^-г ( r\ir }°' f т + *2 (т + й*п т ^os т) J • (5.106) В формулах (5.104)—(5.106) время выполнения маневра Т считается кратным (5=1,2,...) периоду обращения по началь¬ ной орбите: 2яАг1/2Го2; время т безразмерное (0 т 2jts), связь с размерным временем t такая: t — кг'^г^х. Размерности остальных величин следующие: [а] = м/сек2, [J] = м2/сек3, \к] = жъ1сек2 (для Земли к = 0,3986 1015 м*!сек2), [г0] = [гх] = = м, i и — углы в радианах. Относительная полезная нагрузка GJG0 снова вычисляется по формуле (5.101), она показана на рис. 5.33 как функция J и времени Т для маневров 1°—3°. Кривые посчитаны при фиксиро¬ ванных значениях удельного веса двигателя а. На графике даны несколько временных масштабов для разных наборов параметров маневра (г0, £, гг) 24-часового спутника Земли. Примеры зави¬ симостей G (t), Р (t), V (t), отвечающих (5.104)—(5.106), приве¬ дены на рис. 5.34. По сравнению с рассмотренным выше случаем межпланетного перелета режим работы идеального двигателя для управляемых спутников несколько облегчается — для ряда маневров потреб¬ ный диапазон регулирования параметров двигателя получается довольно узким.
ГЛАВА 6 НЕРЕГУЛИРУЕМЫЕ ДВИГАТЕЛИ — РАЗДЕЛЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ, ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОГРАММЫ ВЕКТОРА ТЯГИ Идеальные двигатели являются, в том числе, идеально регу¬ лируемыми; это означает, что их регулировка подчиняется только главным для рассматриваемого типа двигателей ограничениям (например, ограничению на мощность (гл. 4 и 5) или на скорость истечения (гл. 8)). Решение проблемы оптимизации в такой постановке обычно приводит к трудно реализуемым законам изменения некоторых параметров двигателя. В настоящей главе изучается другая кратность в регулиров¬ ке — нерегулируемые двигатели. Нерегулируемым называется двигатель, работающий по сле¬ дующей схеме: он может быть либо включен, и тогда тягаР и расход q постоянны, либо выключен, и тогда тяга Р и расход q нулевые. На изменение направления тяги ограничнеия не наклады¬ ваются. Вариационная проблема для нерегулируемых двигателей, так же как и для идеальных, разделяется на весовую и динамическую части. Последняя, в отличие от идеального случая, содержит два параметра двигателя Р и q, но зато является универсальной для всех типов нерегулируемых двигателей (для ее решения не требу¬ ется знания характеристик (II.9), (11.10)). После установления этого факта здесь вычисляется функционал динамической части вариационной проблемы для ряда маневров; даются примеры ре¬ шения весовой части проблемы для нерегулируемых двигателей ограниченной мощности. § 1. РАЗДЕЛЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ПРОБЛЕМЫ НА ВЕСОВУЮ И ДИНАМИЧЕСКУЮ ЧАСТИ 1. Формулировка задачи. Введем релейную функцию б (t), принимающую значение 1, когда двигатель включен, и значение 0, когда он выключен. Тягу Р (t) и расход q (t) нерегулируемого двигателя запишем в виде РЬ (t) и qb (t). В этой записи Р, q — постоянные управляющие параметры, а функция б (t) опре¬ деляет моменты включения и выключения двигателя.
РАЗДЕЛЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ПРОБЛЕМЫ 231 Вариационная проблема о доставке максимального полезного груза записывается в виде (II.8) Ga = — gq&i Ga (0) = Go — Gx, Ga(T) = шах, r = v, r (0) = r0, v(T) = vu v — G + G~ e + R» v(0) = v„, V(7’) = vi а Л- x (6.1) (Pf q = const, 6 (t) = 1 или 0, | e (t) | = 1). Здесь вес двигателя должен быть выражен через параметры Р, q: Gx (Р, g). В вариационной задаче (6.1) требуется опреде¬ лить оптимальные программы е (£), б (г) и оптимальные значения параметров Р, д. Вместо Р, д могут фигурировать другие пара¬ метры двигателя, через которые выражаются первые. 2. Выделение динамической части задачи. Индивидуальные особенности двигателя, работающего в нерегулируемом режиме, определяются только функциональной зависимостью Gy. (Р, д). Для нахождения наилучшего двигателя из нерегулируемых можно указать прием, позволяющий общую вариационную проб¬ лему разделить на две части: динамическую, в которой не нужно знание функции Gx (Р, д) и которая вследствие этого является универсальной, и весовую, в которой нужно знание функции Gx (Р, д). Введем новую фазовую координату t}. (t) — текущее время работы двигателя, определив ее следующими дифференциальными уравнениями и начальным значением [6.1, 6.2] ^ = б, ^ (0) = 0. (6.2) Третье уравнение из (6.1) интегрируется G (t) = G0-Gx (Р, g) - gqt, (0, (6.3) и полезный вес выражается через параметры Р, g и конечное время работы двигателя tv. (Т) = Т^ так: Gn = G0 — Gx (Р, g) — gqTv. (6.4) Если зафиксировать параметры Р и g, то максимум полезного веса соответствует минимуму времени Т^. Заменим в вариационной задаче функционал; пусть теперь вместо максимума G- ищется минимум Т^ при фиксированных Р, д. Выделенная вариационная проблема имеет вид (см. (6.3)) ^ = 6* М0) = 0, ^(Г) = тт, 1' = v, Г (0) = Го, Г (Т) = п, «об , ~ /Гкч /тч (Р*^/ Y = yi_fU e + R. v(0) = v0, v(f)=vi (я0> (i = const, b(t) = i или 0, |е(£)| = 1).
232 ПК РЕГУЛИРУЕМЫЕ ДВИГАТЕЛИ [ГЛ. 6 В этой записи а0 = gP/G0, ц = gq/G0 — параметры задачи (начальное ускорение от тяги и относительный расход). Вместо |ы часто используется скорость истечения V = aj\i. Формальным предельным переходом ц —> О или V ос получается случай постоянного реактивного ускорения a (t) = а0. Вариационная проблема (6.5) представляет собой динамическую часть общей проблемы; результат ее решения — функция *V (sP/G0, gq/G0). При известной функции Т^ (gP/G0, gq/G0) и известной зави¬ симости GK (Р, д) может быть решена заключительная — весо¬ вая — часть вариационной проблемы, найден максимум полез¬ ного веса по параметрам Р, q: maxGx = max^Gn — Gx(P,q)-gqTv.(-^-, -|^)j. (6.6) Сделаем несколько замечаний к изложенному. 1°. Можно по-другому выделить из общей вариационной проб¬ лемы часть, не связанную с видом функции G* (Р, д). Если вместо t[X (t) ввести фазовую координату G (t) — текущий полный вес: G (t) = GX + Ga (0, (6.7) то будет достигнут тот же результат. Между функционалами G (Т) = G1 и t[X (Т) = Т{Х существует очевидная связь: Gt = G0 — gqT\), или GJGq = 1 — (6-8) 2°. Если из решения вариационной задачи (6.5) следует, что 6 (£) = 1 при 0 t Г, т. е. минимизируемое конечное время работы двигателя Tv, равно заданному времени выполнения ма¬ невра Г, то постановка (6.5) теряет смысл. В этом случае нужно либо, отказавшись от выделения динамической части проблемы, вернуться к постановке (6.1), либо использовать постановку взаимную (6.5): время Т[Х задано, ищется минимум Т. Новая вариационная проблема является задачей на макси¬ мальное быстродействие: 4 = в. 4.(0) = О, tv.(T) = Tv., ) )• = v, г (0) = г,,, г (Т) = j'i, Т=min, I v е + R’ v (°) = V|” v^Т) = Vl | (6-9) (a0, \i = const, 6 (t) — 1 или 0, | e (£) = 1 |). J В рамках этой постановки случай б (t) = 1 получается, когда время Т[Х не фиксируется: (Т) = opt (см. п. 1 § 2). 3°. Если конечное время работы двигателя ограничено (за¬ дан ресурс двигательной системы (см. § 2 гл. 7)), то постановка
§ УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ВЕКТОРА ТЯГИ 233 вариационной задачи (6.5) можно сохранить; в результате ее решения получится функция Т[Х (gP/G0, gq/G{)), и дополнитель¬ ное условие выделит связь между gP/G0 и gq/G0: где т — заданное значение конечного времени работы двигателя. Решение весовой части проблемы теперь заключается в нахож¬ дении максимума (6.6) при дополнительной связи (6.10). 4°. Весовая компонента Gp — вес баков для рабочего веще¬ ства (см. § 1 гл. 7) может быть учтена в весовой части вариацион¬ ной проблемы, если вместо выражения (6.6) записать следующее: § 2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ВЕКТОРА ТЯГИ. МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 1. Произвольное гравитационное поле. Соотношения, опре¬ деляющие оптимальную программу тяги, выписываются на основе принципа максимума. Все формулы, за исключением одного граничного условия, для двух обсуждаемых постановок (6.5) и (6.9) совпадают. При рассмотрении конкретных маневров в за¬ висимости от первоисточника будет использоваться тот или дру¬ гой вариант упомянутого граничного условия. Функция Гамильтона динамической части задачи и уравнения импульсов выглядят так: Оптимальные соотношения для управляющих функций е (t) и б (t) находятся из условия абсолютного максимума (6.12) по со¬ ответствующей переменной (так как в обеих задачах ищется мини¬ мум функционала: Т[Х — в (6.5) и Т — в (6.9)). Оптимальная программа направления тяги получается сле¬ дующей (max Я по е, | е (t) | = 1): т,, (gPIGn, gq/G0) < т, (6.10) шах Grz — max Рл )]. (6.11) н = TV 6 + (lVOj^^ + OvR) + (Pr-v), (6.12) где Рг = — OvR), рг> ~ ' Pr- (6.13) в = VrJPv (Pv = j Рг |)я (6.14) релейная управляющая функция б (t), отвечающая за включе¬ ние (б — 1) и выключение (б = 0) двигателя, с учетом (6.14)
234 НЕРЕГУЛИРУЕМЫЕ ДВИГАТЕЛИ [ГЛ. 6 определяется соотношением (max Н по б) 6 "II °р“д^' д-А-+/’»-=<-; <6-15> [О при А <С0» особый случай А = 0. А = 0 может иметь место только при pv = 0 (п. 3 настоящего параграфа, подробнее см. [6.3]). Выпишем граничное условие, отвечающее за функционал задачи. В постановке (6.5) функционалом является конечное зна¬ чение фазовой координаты t[X (Т); соответствующее граничное условие есть р^ (Т) < 0 или после нормировки р* (Т) = -1. (6-16) В постановке (6.9) функционал — время Т, поэтому гранич¬ ным условием будет Н (Т) 0 или после нормировки Н(Т) = (pv.(T) + pv(T) + МП-П(ПТ), Т) + + Рг (?)• v (Т) = 1. (6.17) Таким образом, полная система уравнений оптимального дви¬ жения складывается в случае (6.5) из (6.5), (6.13)—(6.16), в слу¬ чае (6.9) - из (6.9), (6.13)—(6.15), (6.17). Рассмотрим теперь, как в рамках постановки (6.9) получить оптимальный режим б (t) = 1 (см. замечание 2° в § 1). Пусть Jjj. (Т) не задано. Тогда по условию оптимальности (Т) = 0. Производная импульса р,0., согласно (6.13), (6.14), всегда неполо¬ жительна: ^ = -л(т=^)5<0 ПРИ (6.18) поэтому в данном случае р^ (t) > 0 при 0 t Т и по (6.15) б (t) ее 1. Последнее условие означает отсутствие выключения двигателя (Т[х = Т). Если Т[х < Т, то из (6.15) следует р[Х (Т) < 0, в противном случае было бы б (£) = 1 и Т[Х = Т. 2. Центральное поле. Уравнения оптимального движения в центральном гравитационном поле получаются как частный слу¬ чай (6.5), (6.13)—(6.16) или (6.9), (6.13)—(6.15), (6.17) при Н(г, t) — —/сг/г3. Для плоского движения в полярных координатах (П.8) они
§ 21 УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ВЕКТОРА ТЯГИ 235 имеют вид (без краевых условий) ty, — б , г = уг, <р = v,р/г, aS — Pv, Ср г2 * />ср = 0, Pv„ l’r г г'1 аоб р„г =—Рт + р% , Pvv — г (Pv^Vr 2pvV^ Р<р) (б — 1 при Д 0, б = 0 при Д О, А = г?. + а„ У plr + р\{ 1 — Ц.^)'1). (6.19) Здесь все величины безразмерные; в качестве характерных берутся те же значения, что и в соответствующих разделах главы 5; характерное значение для параметра р — величина, обратная характерному времени Краевые условия для г, ср, уг, и? за¬ писываются в соответствии с рассматриваемым динамическим ма¬ невром, к ним добавляются условия ^ (0) = 0 и (6.16) в поста¬ новке (6.5) или t[X (0) = 0 и (6.17) в постановке (6.9). Система (6.19) обладает двумя первыми интегралами: (t) = = const и Н (t) = const, поскольку угол ф и время t не входят явно в правые части уравнений. Укажем преобразования, аналогичные (5.15) и (5.16), которые сохраняют уравнения (6.19): преобразование растяжения f8/*f Г —> 1г, ф—>Ф, Vr-+l-l!*Vr, Уф->/-Д/*Уф, P^—^l Рг I 12 Pr, P(f>—>1 l2Pcpj Pvr~~> Pvri Pv^—* Pv^i a{)->l~-a{), p->Z~3/2p; (6.20)
236 11E PE Г У ЛII РУ Е М ЫЕ Д ЛIIГ АТЕ ЛИ [ГЛ. 6 преобразование замены знака tjj, > ^ ф ^ ф? V у> Vyi V(р Еф, 1 /V > /V’ Рт —> Ртч Pq>i Pv.r>Pvr, Ру^ ~> Pvi (6.21) t —>— t, а()—>а(), р->— p. J Использование замены (6.21) для пересчета «прямой» траек¬ тории на «обратную», в отличие от § 1 главы 5 здесь затрудни¬ тельно, хотя бы потому, что нужно иметь «прямые» траектории с отрицательными значениями расхода (р —> — р). 3. Плоскопараллельное поле. Если ускорение от гравита¬ ционных сил положить постоянным (Н (г, t) = const, см. (П.52)), то система уравнений оптимального движения упрощается. Им¬ пульсы рг и ри выражаются в конечном виде pr = Ь1? pv = Ь2 — Ь^, (6.22) где Ьх, Ь2 — постоянные векторы, определяемые из граничных условий. Отсюда в соответствии с (6.14) определяется направление тяги е {t) = . (6.23) Для одномерных движений (пп. 4, 5), когда тяга может быть направлена либо по скорости, либо против скорости, последнее соотношение преобразуется к следующему: е (t) = sgn (b2 — bxt). (6.24) Условие переключения (6.15) совместно с уравнением (6.22) для импульса р7, позволяет сделать заключение о числе пассивных участков. На пассивном участке выполняются соотношения б (t) = = 0, рр = const, t[x = const (см. (6.13)), поэтому в начале (t = t±) и в конце его (t = t2) должно быть pv (£х) = pv (t2) — из условия Д (tj = А (t2) = 0. Поскольку для плоскопараллельного поля функция, обратная pv (t), в общем случае двузначная, то на оп¬ тимальной траектории может быть не более одного пассивного участка [6.1, 6.3]. 4. Набор модуля скорости в бессиловом поле. Дифференциаль¬ ные уравнения и краевые условия (6.5) для маневра набора за¬ данного модуля скорости имеют вид (ср. (П.64)) их = б, (0) =■ 0, tlx (Т) = min, и = е' 11 ^ = и ^ = щ (а„, р ^ const, б (t) = 1 пли 0, е (t) —- ±1). (6.25)
§ 2] УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ Ы'.КТО РА ТЯГИ 237 Функция II и уравнения для импульсов здесь таковы: а^е \ х ^ ^ н = Р| “ i-к, рЛт) = Pv- (6.26) Максимум Я по е достигается при е (t) = sgn ри = const, считая uL О, получаем e(t) = 1 (ри > 0). (6.27) Комбинация Д (см. (6.15)), стоящая множителем при б в функ¬ ции Я, в силу дифференциальных уравнений (6.25), (6.26) по¬ стоянна, поэтому 1 при Д(0)>>0, А -- ри. "Г Ри Л f 0 при А (0) 0, ^ ^ а о (6.28) Второй вариант в (6.28) соответствует тривиальному случаю их = 0. Остается рассмотреть еще А (0) = 0; здесь функция Я не будет зависеть от управления б (поскольку А (t) = 0), распо¬ ложение моментов включения и выключения двигателя может быть произвольно, определяется только суммарная протяженность активных участков (из условия и (Т) = и1). Интегрирование уравнения для и из (6.25) при условии (6.27) дает конечную связь (формула Циолковского) И1 = —-^-ln(l-iiTV), (6.29) Г отсюда можно выразить суммарное время работы двигателя Т^ через параметр маневра их и параметры двигателя а0, ц. Полное время движения Т не влияет на функционал задачи Т[Х, оно сов¬ падает с Тр при А (0) > 0 и больше Т^ при А (0) = 0. Оконча¬ тельное выражение для функционала Т[Х записывается в виде *v —И«(1 - V) < т- <*•*» При отыскании максимума полезного веса по параметрам а0 и р, (что будет проделано в § 5) в оптимальном варианте оказыва¬ ется Т[Х = Т. 5. Перемещение между точками покоя в бессиловом поле. Дифференциальные уравнения и краевые условия (6.5) для
238 НЕРЕГУЛИРУЕМЫЕ ДВИГАТЕЛИ [ГЛ. 6 перелета между двумя положениями покоя имеют вид (ср. (П.65)) *и = б, ^(0) = 0, (Т) miii, 1 х = и, ж(0) = 0, х(Т) = 1, I «об \ (6.31); “=Г=^и(°)=°. «(Г) = 0 (а,., [х = const, 6(f) = l или 0, е (t)=±l). Уравнения для импульсов рх, ри интегрируются —см. (6.22)’для ^-компоненты. Оптимальное направление тяги (по скорости или против скорости) определяется соот¬ ношением (6.24). Последнее позво¬ ляет определить знаки постоянных Ь1? Ь2. В силу (6.24) направление тяги может меняться на противопо¬ ложное не более одного раза. Гра¬ ничные условия (6.31) для х и и та¬ ковы, что тяга в начале движения должна быть направлена по скоро¬ сти, а в конце — против скорости. Отсюда следует, что Ъх > О, Ь2 < О и что момент где ра обращается в нуль (Ъ2 — b{t^= 0) лежит внутри отрезка [0, Г]. На этом основании соотношения (6.22), (6.24) можно переписать так: Рх = *1, Ри = ъ1 (tm — t),e = sgn (tt — t) (^>0, 0<Ч<Г), (6.32) т. e. на участке 0 t тяга на¬ правлена по скорости, и на участке против скорости (рис. 6.1). Функция Д, определяющая моменты включения и выключения двигателя (см. (6.15))} здесь равна А — Р?. + М — * I Y—\Ht ' (®-33) Чтобы выяснить характер поведения функции Д, выпишем ее производную А ^ — h (~t s£n (*. ~ *) (*=Н.) (6-34> (при этом выражения для р^ и t[x берутся из соответствующих диф¬ ференциальных уравнений (6.18), (6.31)); отсюда A (t) < о при о t А (0 > о при t т (6.35) Рис. 0.1. Характер зависимости импульса ри от времени и соответ¬ ствующий ему оптимальный закон е (/) направления тяги (е = 1 — по скорости, е = —1 — против скоро¬ сти) для задачи перемещения меж¬ ду точками покоя.
{2] УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ВЕКТОРА ТЯГИ 239 (точка t = tA — угловая). Начальное значение Д (0) должно быть строго больше нуля, в противном случае, согласно (6.35), будет либо Д (0 < 0 при 0 < t < Т (целиком пассивное движе¬ ние), либо Д (t) < 0 при 0 < t < и Д (t) > 0 при < f < Г (один активный участок с е (t) = —1, так как tj. Ив том и в другом варианте не могут быть удовлетворены конечные усло¬ вия (6.31), следовательно, Д (0) > 0. (6.36) Из (6.36) и (6.35) можно зак¬ лючить, что возможны два случая: первый JS ~ А (0 > 0 при_0j Г (6.37) (пассивный участок [отсутствует) ги второй Д (t) 0 при 0 и ^ ^ Д (t) 0 при tx < t <[ t2 (6.38) (0 < *1 < *. < *2 < (пассивный участок в середине тра¬ ектории— при^^^^^ (рис. 6.2)). Дальше будет рассматриваться второй случай как более общий: (6.37) получается из (6.38) при = t* — ^2* Отметим, что моменты t±, t2 вы¬ ключения и включения двигателя расположены симметрично относи¬ тельно t = ^ [6.3]. В самом деле, Ри. и на пассивном участке постоянны (см. (6.18), (6.31) при б = 0) и A (t) =■ pv. (<i) -f Ьх | tm — 11 j ^ при tx < t < to. (6.39) Отсюда видно, что корни уравнения Д (t) = 0 равноудалены от Проведенного исследования достаточно, чтобы довести задачу до конца, не прибегая к интегрированию полной системы урав¬ нений (вместе с уравнениями для импульсов). Примем в качестве неизвестных постоянных моменты £1? t2 вместо Ьг, tA. Оптималь¬ ные управления е (t), б (г) запишутся так [6.1, 6.3]: е=-}-1, 6 = 1 при (участок разгона), j 6 = 0 при ti<^t<^t.2 (пассивный участок), I (6.40) е = — 1, 6 = 1 при ?2<С (участок торможения), j Рис. 6.2. Поведение функции Д (/) и соответствующая ей оптимальная программа Б (/) включения — вык¬ лючения двигателя (8=1 — вклю¬ чено, Б = 0 — выключено) для за¬ дачи перемещения между точ¬ ками покоя.
240 НЕ РЕГУЛИРУЕМЫЕ ДВИГАТЕЛИ [ГЛ. 6 Соотношения (6.40) подставляются в правые части дифферен¬ циальных уравнений (6.31), последние интегрируются по участкам с учетом соответствующих краевых условий и /2 и to i ^ - h) i Г=Дг + 0 0 о dt -о, to 0 to или после вычисления интегралов — И* ^г)- I а0 - (6.41) t\ -]- У — t2 ■— ТIn [1 — [X (^i -{- У — ^2)] — 21n (1 — p^i) = 0, t\ + ^2 — 2 У1 j I11 (1 — рУх) — — — ti t2 — Г)1п[1 — (i (t\ + T — to)] + t2 — T = — I. [X / a 0 (6.42) Первые два соотношения (6.42) позволяют выразить tx и t2 через Г,,, Т, ц: t± = [Г1 (1 — ]/1 — p,TV), t2 = Т — Tv, + tv Отсюда видно, что участок разго¬ на больше по времени, чем уча¬ сток торможения; с уменьшением расхода ц их разность стремится к нулю (см. на рис. 6.3 зависи¬ мость tJT^ от fiTV). Исключив из третьего соотно¬ шения (6.42) t± и t2, получим ис- . _г , комое выражение TV (ап, к) функ- Рис. ().,!. Доля П/Гм полного врсме- г 1 и г ' ^ пн работы двигателя1!' приходящаяся ЦИОНала ДИНаМИЧвСКОИ ЧЭСТИ Зада- на участок разгона, в задаче переме- чи в НвЯВНОМ ВИДв щепия между точками покоя. JV а0 I = -^-(1 - У1 - ц'/V) - ?V — (Т - 2V) 1и У1 - (Д,- (6-43) § 3. ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ С НЕРЕГУЛИРУЕМЫМИ ДВИГАТЕЛЯМИ Рассмотрим вариационную задачу (6.5) для межпланетных перелетов. Хотя формулировка (6.5) или (6.9) универсальна для всех типов нерегулируемых двигателей, принятые здесь диапа¬
ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 241 зоны изменения параметров а0, ц и схема перелета соответствуют группе двигателей малой тяги. Сначала дается решение для каж¬ дого из элементарных маневров, составляющих межпланетный перелет (см. §2 Приложениям § 2 гл. 5), а затем для полного ма¬ невра. 1. Набор нулевой энергии. По аналогии с модельной задачей п. 4 § 2 предполагается, что двигатель включен на всей траекто¬ рии (задача (6.9) при ^ (Т) = opt на максимальное быстродей¬ ствие). Для этого случая уравнения оптимального движения (6.19) примут вид (6 = 1, t[it = t) Уравнение для полярного угла <р в (6.44) опущено, поскольку Ф не входит в правые части уравнений движения и конечное зна¬ чение ф (Т) для рассматриваемого маневра не фиксировано. Дан¬ ное уравнение может быть проинтегрировано отдельно после ре¬ шения задачи. Перечислим граничные условия для (6.44). Считая начальную орбиту круговой, примем краевые условия (П.57) для кинемати¬ ческих параметров. Условие оптимальности конечной точки тра¬ ектории требует, чтобы вектор импульсов (pr, pVr, pvJ был кол- линеарен вектору нормали к поверхности Е (Т) = 0: Первое соотношение (6.45), как видно из (6.14), означает, что вектор тяги в конце движения должен быть направлен по вектору скорости, второе — соответствует равенству нулю про¬ изводной угла у между этими векторами (ср. (5.39)). Последнее граничное условие исследуемой задачи (6.17) мож¬ но записать в виде (используя (6.45) и Е (Т) = 0) Задача сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений шестого порядка (6.44) с тремя начальными и четырьмя (6.44) рХт (T)/pVv(T) = IV (Г)Ч(Г), pVr (Т)/Рг(Т) = vr (Т) г2 (Т). (6.45) Г (6.46) 1 6 Мехаплка полета
242 IIЕ РЕ ГУЛИРУЕМЫЕ ДВИГАТЕЛИ [ГЛ. конечными условиями (П.57), (6.45), (6.46); «лишнее» гранич¬ ное условие служит для определения времени Т. Полученная крае¬ вая задача решается численно по методу Ньютона [6.4, 6.5] (см. гл. 15). Расчеты проведены в широ¬ ком диапазоне параметров а0, и. В области больших ускорений а0 — 1 численное решение близко к приближенному для а()^> 1, данному в работе [6.6]. На рис. 6.4 приведен пример оптимального за¬ кона изменения угла у между вектором тяги и вектором скоро¬ сти при а0 = 0,8, pt = 0; сплошная кривая соответствует численному решению [6.4], пунктирная — приближенному [6.6]. Направлен ние тяги здесь монотонно при¬ ближается к направлению ско¬ рости. При малых ускорениях а0 ха¬ рактер оптимальной программы направления тяги меняется: вектор тяги совершает малые колеба¬ ния относительно вектора скорости с периодом, приблизительно равным времени одного оборота (рис. 6.5); в конечный момент времени угол у и его производная у обращаются в нуль (см. (6.45)). Рис. 6.5. Оптимальная программа 7(0 направления тяги для маневра набора нулевой энергии с «малой» тягой (а0 = И)-2, jLi = 0). Зависимость минимального времени набора нулевой энергии от ускорения а0 показана на рис. 6.6. Эти данные относятся к слу¬ чаю постоянного реактивного ускорения а (t) = а0, последний получается формальным предельным переходом к р = 0 в форму¬ лах, записанных для движения с постоянной тягой. В логариф¬ мических координатах приведенная на рис. 6.6 кривая состоит из двух линейных участков, соответствующих малым и большим значениям ускорения, и переходного участка, сопрягающего первые два. Рис. 6.4. Оптимальная программа из¬ менения угла у (0 между тягой и ско¬ ростью для маневра набора нулевой энергии с «большой» тягой (а0 = 0,8, р = 0). Сплошная кривая — численное решение, пунктирная — приближенное.
ОПТИМАЛЬНЫЙ Ml- жплапетный п КРЕЛЕТ 243 В результате обработки численных результатов найдено приб¬ лиженное аналитическое выражение для функционала зада¬ чи [6.5] — (1 — 0,8209 ^Т„) Г-1 — ЛЬ (1 — 0,8209 {/7^,) «О L -й0 = JL(1 - 0,8209 У a, [l - л_ (1 - 0,8209 fT„)] ; (6.47) за основу бралась формула типа (13.37). Аналогичные выражения получены в случае тангенциаль¬ ного *) и трансверсального направлений тяги: для тангенциальной тяги т = т* ~ w(1 — 0,8082 11—i(1 ~ 0,8082’ (6-48) для трансверсальной тяги Т = Ти 1 а0 /О* I ю (1 — 0,7553 Yам) 1 — go" (1 — 0,7555 a0)"j. (6.49) Формулы (6.47) —(6.49) справедливы для малых значений а0 иц (малая тяга), при а0 10“2 ир <Г 0,25-10-2 относительная ошибка не превышает 1%,при а0 <^10“2, р <^0,17-10"2 ошибка меньше 0,5%, с уменьшением а0 и р ошибка монотонно убы¬ вает. Сравнение функционалов (6.47)—(6.49) позволяет сделать вывод о том, что для задачи на¬ бора нулевой энергии в цент¬ ральном поле тангенциальное и трансверсальное направления тяги дают результаты, близкие к оптимальному. Относительный проигрыш по времени при а0 = 10-2, р = 0 в первом слу¬ чае составляет 0,5%, во втором ~2,5% (см. также [6.10]), с уменьшением а0 и р проигрыш уменьшается. Соотношения (6.47)—(6.49) могут быть использованы и для маневра торможения в центральном поле, начинающегося в точке с нулевой энергией Е = 0 и заканчивающегося выходом на Ю Ю'2 НГ1 / Рис. 6.6. Минимальное время набора нулевой энергии Т = Т^ при постоянном реактивном ускорении а0 (р = 0, вели¬ чины Т и а0 безразмерные). 2) В работах [6.7—6.9] содержатся подробные результаты расчетов ма¬ невра набора гиперболической скорости с постоянной тангенциально на¬ правленной тягой.
244 Н Е РЕ Г У ЛIIРУ Е М Ь1Е Д В И Г АТЕ ЛII [ГЛ. 6 круговую орбиту заданного радиуса г0 (начальные значения коор¬ динат и компонент скорости по отдельности не заданы, так же как и угловое перемещение). Параметры а0 и р при этом вычисляются по весу аппарата G (Е0) в точке Е = 0: а0 = gk^r^P/G (Е0), Такой расчет времени «обратного» маневра по формулам, по¬ лученным для «прямого», отличается от точного пересчета с ис¬ пользованием замены (6.21) двумя моментами. Первый: величины а0 и р в (6.21) должны вычисляться по весу аппарата G (г0) на конечной орбите: а' = gkrгг* Р/G (гоУ, j р/ | = gkrlf*r^q/G (г0), второй: расчет «обратного» маневра по (6.21) должен произво¬ диться с отрицательными значениями параметра р/ =— | jut' | (возра¬ стающий вес аппарата). Однако эти две ошибки компенсируют друг друга. В прибли¬ женном расчете программа реактивного ускорения а (t) = = а0 (1 — pi)-1 получается симметричной точной программе а' (t) = а0 [1 — р (Т — t)]"1 относительно середины интервала [0, Г], поэтому интегральный эффект от обеих программ должен быть примерно одинаковым (с точностью до гравитационных потерь). Высказанные качественные соображения подтвержда¬ ются количественным сравнением, проведенным в работе [6.11]. Оказывается, что точность расчета времени «обратного» маневра по