Author: Годунов С.К.
Tags: анализ физика математика математическая физика издательство наука главная редакция физико математической литературы
Year: 1979
Text
С.КГодунов
УРАВНЕНИЯ
«ФИЗИКИ
С. К. Годунов
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физико-математических специальностей университетов
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1979
22.161.6
Г 59
УДК 517
Уравнения математической физики. Годунов С. К. Изд. 2-е, исправл.
и дополн. Наука, Главная редакция физико-математической литературы. —
М., 1979, 392 с.
Книга содержит изложение курса лекций, которые автор читал
в Московском и Новосибирском университетах. Направленность книги свя-
связана с интересами автора в области приложений дифференциальных урав-
уравнений к механике сплошных сред и с разработками численных методов
решения этих уравнений.
Во втором издании A-е издание выходило в 1971 г.) основной перера-
переработке подверглась теория симметрических гиперболических систем. В част-
частности, изложена теорема существования решений у диссипативной смешан-
смешанной задачи в случае двух пространственных и одной временной пере-
переменных.
Книга представляет интерес как для студентов, изучающих курс урав-
уравнений математической физики, так и для лиц, специализирующихся в об-
области приложений уравнений в частных производных и численных мето-
методов их решения.
Илл. 71. Библ. 12.
лоо © Главная редакция
—0«э8 ,^ЛЛЛг-ЛЛЛЛ физико-математической литературы
—Ь-79 1702050000 издательства «Наука». 1979.
с и
7ГЬ-79, 1702050000 издательства «
Uoo(OJ)-7y с изменениями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 10
Глава I. Вводная часть 11
§ 1. Ньютоновский потенциал 11
Несколько предварительных замечаний о характере уравнений, которые будут
изучаться в курсе. Исторические замечания о работах Лапласа, приведших
его к уравнению для потенциала тяготения. Потенциал непрерывного рас-
распределения масс (или зарядов). Его непрерывность и непрерывная диффе-
ренцируемость. Потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. Убывание
потенциала на бесконечности.
§ 2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге 19
Принцип максимума для гармонических функций и теорема единственности
для убывающего на бесконечности ньютоновского потенциала. Понятие о лога-
логарифмическом потенциале на плоскости. Аналитические и гармонические
функции двух переменных. Некоторые специальные решения уравнения Лап-
Лапласа и эвристический вывод формулы Пуассона для определения гармони-
гармонической в круге функции по ее граничным значениям. Различные варианты
записи этой формулы и некоторые свойства ядра. Обоснование формулы Пуас-
Пуассона для решения уравнения Лапласа. Постановка задачи и теорема един-
единственности решения задачи Дирихле. Существование решения вытекает из
обоснования формулы Пуассона.
§ 3. Уравнение теплопроводности 28
Вывод уравнения теплопроводности. Задача Дирихле как задача определения
стационарного распределения температуры по заданной температуре границы
области. Постановка задач для одномерного уравнения теплопроводности.
Принцип максимума для этого уравнения. Теоремы единственности задач 1
и 2 для уравнения теплопроводности при различных предположениях о реше-
решении и о начальной функции.
§ 4. Уравнение теплопроводности (продолжение) 41
Формула Пуассона для уравнения теплопроводности и ее обоснование. Реше-
Решение с помощью интеграла Пуассона простейшей задачи для уравнения тепло-
теплопроводности на конечном отрезке. Решение смешанной задачи. Нестрогий
эвристический вывод интегральной формулы для решения уравнения тепло-
теплопроводности. Примеры частных решений линейного и нелинейного уравнений
тепл опроводности.
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Гиперболические уравнения 57
Простейшие примеры гиперболических уравнений с частными производными:
-^-f-^ = 0, уравнения для звуковых волн. Задача Коши для этих уравнений
01 ОХ
и ее решение с помощью характеристик. Гиперболическое уравнение второго
порядка. Формула Даламбера. Интеграл энергии для звуковых волн. Дока-
Доказательство единственности решения, основанное на использовании интеграла
энергии. Смешанная задача и построение ее решений. Расширение системы
уравнений включением в нее уравнений для производных. Интегралы энергии
в смешанной задаче и теорема единственности. Интегральные оценки произ-
производных. Операторная точка зрения. Понятие о пополнении функциональных
пространств, элементами которых являются начальные данные и решения.
§ 6. Характеристики 76
Определение характеристик для общей системы уравнений первого порядка
с двумя независимыми переменными. Соотношения на характеристиках. Ком-
Комплексные характеристики уравнений Коши — Римана. Определение характе-
характеристик в случае большего числа независимых переменных. Определение
^-гиперболической системы первого порядка. Симметрические ^-гиперболи-
^-гиперболические системы первого порядка. Пример — уравнения для звуковых волн.
Инвариантность понятия характеристик относительно невырожденных преоб-
преобразований искомых функций и замены уравнений эквивалентными линейными
комбинациями. Конус характеристических нормалей. Определение характе-
характеристик для одного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши для
такого уравнения. Примеры. Определение эллиптической системы и эллипти-
эллиптического уравнения.
§ 7. Метод Фурье 92
Схема метода Фурье для уравнения Лапласа и его обоснование. Метод Фурье
для гиперболической системы уравнений акустики. Представление решений
в виде суммы стоячих волн. Пересказ вводной главы из работы Римана,
посвященной истории метода Фурье. Ортогональность собственных вектор-
функций и вычисление коэффициентов Фурье.
§ 8. Корректность 109
Связь между корнями характеристического уравнения и свойствами корот-
коротких волн. Пример Адамара. Понятие о корректно и некорректно поставлен-
поставленных задачах. Некорректная задача для уравнения теплопроводности. Замеча-
Замечания о предмете курса уравнений математической физики. Пример некорректно
поставленной смешанной задачи для волнового уравнения и для уравнений
акустики.
§ 9. Свойства функций, удовлетворяющих интегральным неравенствам 115
Оценка максимума и модуля непрерывности функции по интегралам от ее
квадрата и квадрата ее производных. Непрерывность «в среднем». Свойства
функций из функциональных пространств, введенных в § 5. Что надо пони-
понимать под выполнением граничных условий и удовлетворением начальных дан-
данных. Две теоремы, которые вместе с теоремой Арцела приводят к критериям
компактности.
§ 10. Обобщенные решения 126
Обобщенное решение для уравнений акустики. Связь определения обобщен-
обобщенного решения с законами сохранения. Понятие обобщенного решения для
ОГЛАВЛЕНИЕ о
простейшего гиперболического уравнения ~ju+J?—°- Обобщенное решение
как предел гладких решений. Определение С. Л. Соболева. Эквивалентность
этого определения классическому на гладких решениях. Уточнение опреде-
определения. Теорема единственности. Теорема существования. Замечание об удов-
удовлетворении начального условия. Обобщенное решение в пространстве функ-
функций непрерывных по / «в среднем».
Глава II. Гиперболические уравнения 140
§11. Интеграл энергии 140
Приведение к каноническому виду гиперболической системы с двумя неза-
независимыми переменными в окрестности точки. Римановы инварианты. Неодно-
Неоднозначность их определения. Канонический вид — частный случай симметри-
симметрической по Фридрихсу системы. Специальная форма симметрической системы
с постоянной матрицей коэффициентов при производных по х. Тождество
«интеграл энергии» для гладких решений симметрических /-гиперболичес-
/-гиперболических систем. Пример: закон сохранения энергии для уравнений акустики.
Интеграл энергии для волнового уравнения. Лемма об интегральном
неравенстве.
§ 12. Теорема единственности и оценки решений гиперболических систем 153
Использование интеграла энергии для оценок решений симметрических гипер-
гиперболических систем. Оценки проводятся в области полупространства />0,
ограниченной сверху некоторой «шапочкой», о которой известно, что по ней
поверхностный интеграл энергии неотрицателен. Как проверить это условие,
пока не выясняется. Теорема единственности для рассматриваемых областей.
Получение оценок для производных путем применения изучаемой техники
к расширенным системам, включающим уравнения для оцениваемых произ-
производных. Расширение уравнений акустики.
§ 13. Условие неотрицательности квадратичной формы, связанной с инте-
интегралом энергии 162
Конус векторов, связанных с неотрицательно определенными квадратичными
формами интеграла энергии. Его выпуклость. Способ вычисления границы
этого конуса. Неравенство т-ftf (?, \\) ^ 0 и определение Я(|, Т]). Однород-
Однородность и вытекающее из нее равенство |Яь-{-Т1Я =Я. Примеры: гиперболи-
гиперболическая система с двумя независимыми переменными х, t в канонической
форме и уравнения теории упругости. Замечание о случае переменных коэф-
коэффициентов.
§ 14. Уравнение Гамильтона —Якоби 168
Неравенство и уравнение Гамильтона — Якоби. Схематическое описание при-
приема интегрирования этого уравнения. Бихарактеристики и канонические
уравнения Гамильтона для их построения. Конус характеристических норма-
нормалей для уравнений акустики и уравнения Гамильтона — Якоби для этой
системы. Описание областей единственности для нее. Конус характеристик
и конус характеристических нормалей. Пример: уравнения акустики.
§ 15. Постановка смешанной задачи для гиперболической системы .... 180
Обсуждение (на примере) постановки граничных условий для гиперболической
системы. Число условий, которое надо задавать на той или иной границе для
однозначной разрешимости задачи. Условия согласования начальных данных
и граничных условий (на примере). Диссипативные граничные условия. Воз-
Возможность такого приведения гиперболической системы к каноническому виду,
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
чтобы граничные условия стали диссипативными. Смешанная задача для
уравнений акустики в двумерном пространстве и ее приведение к диссипа-
тивному виду.
§ 16. Теорема единственности и оценки решений в смешанной задаче 192
Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями.
Оценка решения *и теорема единственности. Расширение системы уравнений
и граничных условий задачи. Получение оценок производных. Обзор оценок
решений для симметричных гиперболических систем. Условия согласования
начальных данных и граничных условий. Непрерывная зависимость решений
от условий задачи. Понятие об обратимых задачах. Примеры исследования
постановок граничных условий для гиперболических систем.
§ 17. Критерии компактности сеточных функций 211
Сеточные функции и правила их интерполяции -— распространения на всю
область, покрытую сеткой. Оценки квадратичных интегралов от проинтерпо-
лированных функций через сеточные суммы. Применение критерия компакт-
компактности. Дифференцируемость пределов и оценки непрерывности пределов и их
производных.
§ 18. Разносгная схема и основная теорема об оценке ее решений .... 224
Описание разностной схемы и разностных граничных условий. Предположе-
Предположения относительно начальных данных. Три леммы об оценках разностных
решений. Эти оценки аналогичны неравенствам, вытекающим из интегралов
энергии. Доказательство и формулировка основной теоремы об оценке раз-
разностных решений.
§ 19. Оценки разностных отношений и компактность приближенных
решений 241
Расширение разностных уравнений. Первый шаг — включение уравнений для
разностных отношений по у и по t и приведение граничных условий у расши-
расширения к диссипативному виду. Начальные данные и их распространение на
расширенную систему. Оценка квадратичных сумм разностных отношений
по у и по / через начальные данные. Использование разностных уравнений
для оценки сумм, содержащих разностные отношения по х. Уравнения и
оценки для таких отношений, помноженных на множитель, аннулирующийся
вблизи границ. Исследование компактности сеточных функций, которая сле-
следует из всех полученных оценок.
§ 20. Теорема существования решения смешанной задачи 257
Следствия из компактности сеточных функций о характере пределов их под-
подпоследовательностей. Выполнение для этих пределов дифференциальных урав-
уравнений и граничных условий. Формулировка доказанной теоремы существова-
существования и замечания о следствиях из ее доказательства. Формулировка теоремы
существования в одномерном случае. Неравенства для решений и их произ-
производных. Замечания к одномерной теореме существования: 1) отказ от дисси-
пативности граничных условий, 2) случай коэффициентов, не зависящих от
времени, 3) теорема существования задачи Коши внутри характеристического
треугольника.
Глава III. Уравнение Лапласа 267
§ 21 Свойства гармонических функций 267
Инвариантность уравнения Лапласа и интеграла Дирихле относительно кон-
конформных преобразований плоскости. Две теоремы о среднем арифметическом
для гармонических функций. Следствие — оценка гармонической функции
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
в центре круга через интеграл ее квадрата. Из сходимости последователь-
последовательности гармонических функций в среднем вытекает равномерная сходимость
в некоторой подобласти. Решение задачи Дирихле в круге бесконечно диффе-
дифференцируемо во всех внутренних точках. Оценка его производных в центре
круга. Теорема Гарнака о равномерной сходимости и о гармоничности пре-
предела Сходимость производных во внутренних точках. Неравенство Гарнака
для неотрицательных гармонических функций. Теорема Лиувилля Усилен-
Усиленный принцип максимума. Теорема о разрывной мажоранте. Устранимые осо-
особенности.
§ 22. Вариационный принцип Дирихле 276
Формула для вычисления интеграла Дирихле гармонической в круге функции
по коэффициентам Фурье граничных значений. Пример непрерывной в круге
гармонической функции, имеющей бесконечный интеграл Дирихле. Неравен-
Неравенство для интегралов Дирихле двух функций, принимающих на границе круга
одинаковые значения, одна из которых гармоническая. Пример Адамара не-
непрерывной на границе круга функции, которая не может быть продолжена
внутрь с конечным интегралом Дирихле. Вариационный подход к задаче
Дирихле. Некоторые исторические замечания. Пример неразрешимой вариа-
вариационной задачи. Единственность экстремальной функции. Принцип Дирихле
для круга и для простейших областей, полученных из него конформными пре-
преобразованиями.
§ 23 Метод Шварца 289
Альтернирующий метод Шварца доказательства существования решения
задачи Дирихле для составных областей. Критерий Шварца. Формулировка
теоремы и ее доказательство. Использование метода Шварца для обоснования
принципа Дирихле. Пример получения теоремы существования решения
задачи Дирихле и принципа Дирихле в неодносвязном многоугольнике. Про-
Проверка критерия Шварца с помощью геометрического «условия луночки».
Схема доказательства принципа Дирихле и разрешимости задачи Дирихле
для любых многоугольных областей.
§ 24. Задача Гильберта для уравнений Коши — Римана в круге ..... 299
Постановка и примеры. Индекс граничного условия. Нормировка (регуляри-
(регуляризация) граничного условия в задаче Гильберта. Теорема существования реше-
решения в случае неотрицательного индекса граничного условия. Исследование
неединственности при положительном или нулевом индексе граничных усло-
условий. Единственность и условия разрешимости при отрицательном индексе.
Задача с косой производной и ее сведение к задаче Гильберта. Задача Ней-
Неймана. Индекс задачи и индекс граничных условий. Понятие об индексе для
системы линейных алгебраических уравнений.
§ 25. Некорректные задачи ¦ ¦ , . . . 308
Обсуждение возможности решения некорректных задач на примере задачи
Коши для периодических решений уравнения Лапласа. Разложение этих
решений в ряд Фурье. Логарифмически выпуклые функции и получение с их
помощью неравенств для гармонических функций. Условная корректность
в классе ограниченных решений. Регуляризация приближений для начальных
данных и отыскание решения некорректной задачи, ограниченного известной
константой.
Глава IV, Преобразование Лапласа и метод Фурье для гиперболических
систем 320
§ 26. Система обыкновенных дифференциальных уравнений 320
Изучение формул для решения систем обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений о постоянными коэффициентами при помощи соображений, которые
О ОГЛАВЛЕНИЕ
будут использоваться для обоснования метода Фурье. Интеграл Дюамеля и
преобразование Лапласа Частотная характеристика Формулировка теоремы
об обращении преобразования Лапласа и ее применение для представления
решения в виде суммы экспонент.
§ 27. Теорема об обращении преобразования Лапласа 328
Формулировка теоремы об обращении преобразования Лапласа и ее обобще-
обобщения на растущие (не слишком быстро) функции. Первые три леммы и выте-
вытекающие из них следствия приводят к важному тождеству с тригонометри-
тригонометрическим интегралом. Обсуждается характер остаточного члена в этом тождестве.
Окончание доказательства теоремы
§ 28. Преобразование Лапласа для решений гиперболической системы 334
Описание постановки обратимых смешанных задач для гиперболической
системы. Существование решений и оценки для них изучались в § 20. Преоб-
Преобразование Лапласа v.(x, к) решения при достаточно больших Re Л. Его ана-
аналитичность. Обыкновенные дифференциальные уравнения, которым оно удов-
удовлетворяет. Оценки. Использование обратимости. Изложение схемы дальней-
дальнейшего изучения. Основные свойства v> (х, к), которые будут обоснованы в сле-
следующих параграфах, и получение с их помощью формулы обращения, содер-
содержащей интеграл по замкнутому контуру.
§ 29. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений 344
Асимптотические (по к) формулы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений, связанных с преобразованием Лапласа. Эти
формулы получаются из явных представлений решений системы, содержащей
два независимых уравнения. Последующие леммы постепенно приводят к все
более и более сложному характеру зацепления уравнений.
§ 30. Собственные функции краевой задачи 351
Изучение в полосе )ReX,I<const аналитических функций от Л,, зависящих от
параметра х. Эти функции удовлетворяют обыкновенным дифференциальным
по х уравнениям и граничным условиям. Вывод асимптотических формул
решения краевой задачи из формул для решения задачи Коши, полученных
в предыдущем параграфе. Функция D (А,). Ее нули — собственные значения
системы. Нулей D (к) вне полосы ' Re Я, | ^ /С нет. Асимптотика нулей D (к).
Аналитическое продолжение преобразования Лапласа решения гиперболиче-
гиперболической системы на всю комплексную плоскость с выколотыми полюсами в ну-
нулях D (X).
§ 31. Полнота системы собственных функций 361
Напоминание доказанных в предыдущих параграфах фактов о свойствах
v^(x, к) — аналитических функций от к и о приближенном представлении
решения смешанной задачи контурным интегралом. Вычисление отдельных
вычетов. Решение приближается суммой конечного числа «стоячих волн».
Видоизменения в случае кратных полюсов. Замечание о возможности распро-
распространения теории на системы, не приведенные к каноническому виду. Тео-
Теорема о полноте собственных функций. Примеры, показывающие существенность
обратимости задачи для применимости метода Фурье.
§ 32. Ряд Фурье для консервативной системы 369
Консервативная гиперболическая задача для системы из двух уравнений.
Интеграл энергии для вещественных и комплексных решений. Комплексные
евклидовы пространства, натянутые на собственные вектор-функции. Унитар-
Унитарность преобразования, связанного со сдвигом времени. Свойства унитарных
ОГЛАВЛЕНИЕ У
преобразований. Вывод из этих свойств ортогональности собственных функ-
функций и доказательство того, что "к^ чисто мнимы Использование ортогональ-
ортогональности при приближении начальных данных «стоячими волнами». Формула
для коэффициентов в разложении решения в ряд Фурье. Пример.
§ 33. Самосопряженная система второго порядка 377
Ее сведение к симметричной системе первого порядка. Эта система консерва-
консервативна. «Кинетическая» и «потенциальная» энергия для решений этой системы.
Собственные вектор-функции и собственные значения соответствующей крае-
краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Соб-
Собственные функции ортогональны как в «потенциальной» метрике, так и
в «кинетической». Формулы для приближенного решения задачи. Замечания
о методе Ритца.
Литература 389
Предметный указатель 390
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана по курсу уравнений математической
физики, многократно читавшемуся в Московском и Новосибир-
Новосибирском университетах.
Первое ее издание [1] выходило в 1972 году. При перера-
переработке изложения для второго издания я старался более подробно
осветить смешанную задачу для симметрических гиперболических
систем в многомерном случае. Этот вопрос, как мне кажется,
удалось разобрать весьма элементарно, хотя и несколько гро-
громоздко. Чтобы облегчить читателю изучение, мелким шрифтом
выделено изложение технических подробностей в доказательствах,
которое при первом чтении может быть пропущено без ущерба
для усвоения основной идеи.
Кроме того, я исключил главу о разностных схемах, так как
в настоящее время относящиеся к этой теме вопросы подробно
изучаются в соответствующих курсах.
С. Годунов
Глава I
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
§ 1. Ньютоновский потенциал
Несколько предварительных замечаний о характере уравнений, которые
будут изучаться в курсе. Исторические замечания о работах Лапласа, привед-
приведших его к уравнению для потенциала тяготения. Потенциал непрерывного
распределения масс (или зарядов). Его непрерывность и непрерывная диффе-
ренцируемость. Потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. Убывание
потенциала на бесконечности.
Курс уравнений с частными производными существенно отли-
отличается от курса обыкновенных дифференциальных уравнений тем,
что в этом курсе будут изучаться далеко не все уравнения,
д д д
которые можно выписать, используя значки -^-, -^-, -^-, ...
..., д д и т. п. Мы ограничимся только совсем немногочислен-
немногочисленными конкретными примерами уравнений и систем:
ди ди __ ~ д2и д2и __ „ ди д2и , д2и
~дГ + ~дх~~9 ~дх?~ + ~ду2 ~~ ' ~Ы ~~~W + ~ду*~'
ди ди __ ъ / ди . 1 др __ *
~dx~~!hi~~Vt I Ж + "р7"дх""и>
ди . ди * I др . о ди п
ду ' дх J v dt ' ro u дх
Иногда будут рассматриваться также некоторые не слишком
широкие их обобщения.
Как правило, примеры, на изучении которых мы будем оста-
останавливаться, возникают в задачах математической физики, чаще
всего — в области механики сплошных сред. Именно этим и объяс-
объясняется название курса «Уравнения математической физики».
Не надо думать, что изучаемые нами примеры случайны
с точки зрения математической теории. Изучение уравнений
математической физики привело к тому, что появилась класси-
классификация постановок задач, согласно которой выбранные нами
Уравнения и системы являются типичными представителями наи-
1?^" важных классов. Оказалось, что для уравнений, отличаю-
Щяхся друг от друга на первый взгляд совсем несущественно,
12 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ t
естественными будут совсем разные задачи. В качестве примера
укажем на уравнения
д2и . д2и __0 д2и д2и __ п
дх2 + ду2 ~~ U И "&?" — ^2" — и»
так похожие по записи, но принципиально отличные по свойствам.
Во вводной части курса мы рассмотрим примеры некоторых
важных задач, для которых решения удается выписать с помощью
явных формул. При этом мы, во-первых, приобретем некоторую
ориентировку в вопросах, которые будем потом изучать, а, во-
вторых, заготовим элементы аппарата, нужного нам для построе-
построения теории.
Первым уравнением, на котором мы остановимся, будет так
называемое уравнение Лапласа
д2и , &>и_ , д2и __0
дх2 + ду2 + dz2 ~~U'
и, чуть-чуть более общее, уравнение Пуассона
д2и . д2и . д2и _ г . ч
~дх^"^"Ъу2~^"~^"~'^С' У' Z)'
Я сейчас расскажу, как в математической физике появилось
уравнение Лапласа. Его появление на свет вызвано совсем нетри-
нетривиальным ходом развития естественнонаучных идей. Неожидан-
Неожиданный поворот мыслей Лапласа предопределил, как мне кажется,
ряд важных соображений, следствием которых явились уравне-
уравнения Максвелла для электромагнитного поля и, в настоящее время,
уравнения полей, связанных с элементарными частицами.
Как известно, Кеплер, обрабатывая наблюдения Тихо Браге
над движением планет, установил следующие три удивительных
закона:
1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов
которого находится Солнце.
2. Радиус-вектор от Солнца до планеты заметает равные пло-
площади в равные интервалы времени.
3. Квадраты времен обращения двух планет пропорциональны
кубам больших полуосей их орбит.
Законы эти, хотя и красивые, но довольно сложные. В даль-
дальнейшем Ньютон нашел для этих законов более простое, хотя и
не менее удивительное, выражение, называемое законом всемир-
всемирного тяготения:
«Между любыми двумя телами действует сила притяжения,
прямо пропорциональная их массам и обратно пропорциональная
квадрату расстояния между ними».
Законы Кеплера, закон Ньютона и связь между ними подробно
изучаются в курсе механики. Поэтому я ограничиваюсь только
беглым напоминанием.
§ 1] НЬЮТОНОВСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 13
Вместо силы, притягивающей тело единичной массы к другому
телу, можно рассмотреть потенциал этой силы:
м
Здесь у —некоторая постоянная, х0, yOf z0 — координаты притяги-
притягивающего тела, М — его масса. Чтобы вычислить компоненты Fxy
Fy, Fz силы тяготения, действующей на тело единичной массы,
расположенное в точке с координатами х, у, z, надо положить
Р ди р _ ди р ди
х~~~дх~> У~~~ду> tz~~~dz'
Поле потенциала и полностью определяет векторное поле
{Fx, Fyt Fz).
В случае, если притягивающих тел несколько (тело массы Mi
располагается в точке (xif yh zt)), то силу можно вычислять по
тем же формулам, если взять в качестве потенциала функцию
Лаплас предложил пользоваться при изучении тяготения не самой
функцией «, а тем дифференциальным уравнением, которому эта
функция удовлетворяет. Это уравнение может быть получено
следующим образом.
Рассмотрим сначала только одно слагаемое в формуле для
функции и,
и вычислим его производные. Для упрощения записи обозначим
расстояние между точками (х, у> z) и (xh yif zt) посредством г =
= V(x — XiJ + (у — yiJ + (z — ZiJ и заметим, что
дх У(Х - Xif + (у- у if + (Z - 2;J Г
дг ___ у —j/j ^г __ 2 — ;
% "~ г ' dz ~~ /*
Таким образом, производные
дх *mi /-з > ду *т* г? ' dz *lVii /-3 •
Н ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
Продифференцируем их еще раз:
Складывая эти три частные производные, получаем
Ъ2щ д*щ д2щ _п
дх2 "г" а*/2 "г" аг2 '
Очевидно, что отсюда и из того, что и — ^щу вытекает равен-
i
ство
д2и . д2и д2и _ ~
"ах2" + "а^2" + "ai2" ~~ и>
которое и называется уравнением Лапласа. Таким образом, Лап-
Лаплас предложил отказаться от явной формулы для сил дально-
дальнодействия и заменить ее на дифференциальное уравнение для поля
потенциала и. Можно считать, что дифференциальное уравнение
описывает взаимодействие между соседними элементами поля и.
Лапласу мы обязаны идеей введения уравнений для описания
этого поля «, уравнений, которые действуют всюду вне тех
точек, в которых сосредоточены сами притягивающие массы.
(В точках * = */, у = уь z = Zi мы не можем вычислять произ-
производные по приведенным выше формулам.)
В дальнейшем нам придется иметь дело не с потенциалом
точечных масс, а с полем тяготения, вызванным массой, распре-
распределенной по некоторому объему. Остановимся на таком объемном
распределении масс с плотностью р = р(а, Ь, с) в точке х = а,
y = b, z = с. Пусть р(а, Ь, ?) = 0 для всех точек, лежащих вне
некоторого шара, то есть при a2-\-b2-\~c2>R2. Разобьем этот
шар на элементарные объемы со сторонами Да, АЬ, Де, в каждом
из которых сосредоточена масса
р (а, Ьу с) Да АЬ Де.
Возбуждаемый этой массой потенциал силы тяготения принимает
в точке (ху уу z) значение
р (a, by с) Да Д6 Дс
Суммарный потенциал иу учитывающий все элементарные объемы,
будет равен
^J1 p (a, by с) Да АЬ Ас
§ Ц НЬЮТОНОВСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 15
Формально переходя к пределу при неограниченном измельчении
шара а2 + 62 + с2^/?2, мы получаем представление потенциала
в виде следующего интеграла:
р(а. b, c)dadbdc
J<Rt
который носит название объемного или ньютоновского потенциала.
Постоянную у мы, начиная с этой формулы, опускаем.
Нетрудно, хотя и несколько громоздко, показывается, что
если р(а, Ьу с) имеет непрерывные первые производные, то потен-
потенциал и (ху у, z) удовлетворяет так называемому уравнению Пуас-
Пуассона
д2и . д2и , д2и . .
+ + 4np(x у'
Вне притягивающих масс, то есть там, где р = 0, это уравнение
совпадает с уравнением Лапласа.
Доказательство равенства A) будет дано ниже, а сейчас заме-
заметим, что в задачах, связанных с законом всемирного тяготения,
плотность р (а, Ь, с) не может принимать отрицательных значе-
значений. Однако, как известно, есть еще одна область физики,
в которой сила взаимодействия так же, как и в теории тяготе-
тяготения, описывается законом
Это — электростатика, a mlf m2 — заряды двух материальных точек.
В электростатике для обозначения зарядов обычно применяются
буквы гъ е2) а не тъ т2. Роль постоянной тяготения у выпол-
выполняет е-1, где е —диэлектрическая постоянная.
В электростатике зарядам нужно приписывать знак — заряды
одного знака отталкиваются, а разного знака— притягиваются.
С законом электростатического взаимодействия — законом Кулона—
связан электростатический потенциал, отличающийся от потен-
потенциала гравитационного только тем, что плотность р (а, Ь, с) может
принимать как положительные, так и отрицательные значения
(здесь это не плотность массы, а плотность заряда).
Приступим к аккуратному доказательству справедливости уравнения Пуас-
Пуассона A). Выражение для потенциала и (х, у, г) удобнее записать в виде
«<*. у, г)=е е г р(а.ь,с) dadb
где интегрирование распространено по всему пространству. (Не надо забывать,
что р (а, Ь, с) = 0, если a2-\-b2+c2^R2.) После замены переменных интегри-
интегрирования: а —* = ?, Ь—-у = ц, с —г = 1 получим следующее представление для
потенциала:
у, г)=
= f ГС
16 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
До некоторых пор нас будут интересовать только х, у, г, лежащие в конеч-
конечной части пространства х2-\-У2 + *2^ R2- Так как р(* + 5> У + Ц> z + S)^^
при (x + Q2 + (y + lJ + (z + Q2^R2> то можно ограничить область интегриро-
интегрирования шаром D {lz + yf + t?^(R + R)* = 4R* = L*} и записать
и (г. и. *)- f Г Г P<* + E' ' + * г + ?1д^^. B)
J J,J /g2 + r]2 + ?2
(Интеграл B) является несобственным, так как подынтегральная функция имеет
особенность в начале координат. Этот интеграл сходится равномерно относи-
относительно параметров хУ у, 2 ввиду того, что подынтегральная функция имеет
интегрируемую мажоранту p*/Vl2 + ff + ?>2> р* = max | p |. Действительно,
Г f f
_ 4яр* С
Интегралы, полученные формальным дифференцированием интеграла B) по
параметрам х, у и 2, также равномерно сходятся; следовательно, по известному
правилу
-ш-
К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям,
заметив, что
¦
и учитывая равенство нулю функции р(# + ?, t/ + tj, 2 + J) на сфере
-j- g2 = L2. В результате получим
3/2
]i
Интегрирование по частям законно, так как интеграл C) сходится. Более того,
этот интеграл сходится равномерно относительно параметров х, у, г, так как
подынтегральная функция обладает интегрируемой мажорантой max | р ]/(|2 +
+ т]2 + ?2)- Действительно,
р
б1
Производные от подынтегральной функции по х, у или г также обладают
интегрируемой мажорантой. Следовательно, вторые производные функции и
§11
НЬЮТОНОВСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
17
можно получить, дифференцируя правую часть равенства C) под знаком инте-
интеграла.
Итак,
и аналогично
ду* J ?J (?2 + Л2 + ?2K/2
дг« J J J
Складывая почленно полученные равенства, можем записать
д2и , дЧь , д2и
-ш
!\3/2
D)
Для вычисления интеграла в правой части удобно записать его в виде пов-
повторного интеграла
( ... dSr\ dr,
)
где Sr — сфера радиуса г с центром в на-
чале координат, a dSr — элемент площади этой сферы. Заметим, далее, что
до
производная по радиусу ~- равна скалярному произведению градиента функ-
{до /)о до 1
ции р, т. е. вектора \-?-, "я » ~^F( и еДИНИЧН0Г0 вектора, направленного по
радиусу, т. е. вектора {g/r, т|/г, ?//•} (г = К?2 + Л2 + ?2)• Следовательно,
и равенство D) принимает вид
дх*
_д_
дг
dSr
dr.
как элемент площади dSr = r2 dQ, где dQ— элемент площади единичной
18 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
сферы Q, или элемент телесного угла, то
дг
= —j^p(x, у, г) dQ = — 4яр (х, у, г).
Q
Равенство A) доказано для любого шара х2 + у2 + z2 ^ R2, а следовательно,
для любых х, у, z.
В заключение этого параграфа докажем еще, что ньютонов-
ньютоновский потенциал стремится к нулю при (x2 + y2 + z2)-*oo. Более
точно, мы докажем равенство
lim }fx2 + y2 + z2u(xt у, г) = Шр(а, 6, c)dadbdc.
X» + 4,2 _|_ 22^00 J J J
Запишем ньютоновский потенциал в виде
где Q —точка с координатами х, у, z, P — точка с координатами а,
Ь, с, dV = dadb dcy r(P, Q) — расстояние между точками Р и Q.
Пусть О —начало координат и г (О, Q) = Ух2+у2+ z2. Тогда
Г(ОГ0)
Так как
|r@, Q)-r(P, Q)\^r(O
то
Hm r(o, Q)«(Q)
Подведем итог. Нами показано, что ньютоновский потенциал при
непрерывно дифференцируемой плотности, отличной от нуля лишь
внутри некоторой сферы, является решением уравнения Пуассона,
которое стремится к нулю на бесконечности.
В следующем параграфе мы покажем, что этими условиями
он определяется однозначно. С этой точки зрения предложение
2]
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ 19
Лапласа заменить изучение интегралов изучением дифференциаль-
дифференциального уравнения, которому эти интегралы удовлетворяют, логи-
логически оправдано.
При проверке уравнения Пуассона мы предполагали, что плот-
плотность р (a, bt с) непрерывно дифференцируема во всех точках
пространства. В действительности существенна лишь локальная
гладкость плотности в окрестности той точки, где проверяется
выполнение уравнения Пуассона.
Задача. Пусть плотность р (а, Ь, с) равна нулю вне некоторого шара и
имеет непрерывные первые производные в окрестности точки (а0, Ьо, с0). Тогда
в окрестности этой точки ньютоновский потенциал с плотностью р удовлетво-
удовлетворяет уравнению Пуассона A). Отсюда, в частности, вытекает, что ньютонов-
ньютоновский потенциал конечного тела постоянной плотности р0 удовлетворяет внутри
д2и , дЧ , д2и
этого тела уравнению -г—- + х—^ + -г-г- = —4лр0, а вне тела — уравнению
ОХ ОУ"* OZ
Лапласа.
§ 2. Задача Дирихле
для уравнения Лапласа в круге
Принцип максимума для гармонических функций и теорема единственности
для убывающего на бесконечности ньютоновского потенциала. Понятие о лога-
логарифмическом потенциале на плоскости. Аналитические и гармонические функ-
функции двух переменных. Некоторые специальные решения уравнения Лапласа и
эвристический вывод формулы Пуассона для определения гармонической в круге
функции по ее граничным значениям. Различные варианты записи этой формулы
и некоторые свойства ядра. Обоснование формулы Пуассона для решения урав-
уравнения Лапласа. Постановка задачи и теорема единственности решения задачи
Дирихле. Существование решения вытекает из обоснования формулы Пуассона.
Докажем одно важное свойство решений уравнения Лапласа
д2и , д2и , д2и г,
дх2 ~^~ д 2 "*" Т2 == ' которые называются гармоническими функциями.
Теорема о максимуме и минимуме (принцип
максимума). Гармоническая функция и (х, у,__ г), непрерывная
на некоторой замкнутой ограниченной области G = G [) Г и имею-
имеющая внутри этой области первые и вторые производные, не может
внутри этой области принимать значения большие, чем максимум
ее значений на границе Г, и меньшие, чем минимум ее значений на Г.
Обозначим через т максимум значений и (х, у, г) на Г и
предположим, что максимальное значение и равно и (х0, у0, го) =
=М>>т. (Точка (х0, у0) г0) предполагается лежащей внутри G.)
Составим вспомогательную функцию
v = и (х, у, г) + У=2 [(х - xof + (у- уоу + B - го)%
где d — диаметр области G. Из неравенства
20 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
вытекает, что на Г
\ ^ \ М- тлз М-\-т
В то же время
с(*о> Уо, zo)==u(xOy yOi го) = М.
Отсюда следует, что максимум v(x% у, г) внутри G не меньше,
чем М, а следовательно, больше, чем максимум v на Г. Этот
максимум достигается, очевидно, в некоторой внутренней точке
(х9 у, г) области G.
В точке максимума, как известно,
а* - ву ~~ az -и' дх* ^и> а^ ^и» а22 ^=и»
а следовательно,
Однако
а2^ д2^ а2у а2« а2« аз« ти-m г а2 а2
Полученное противоречие показывает абсурдность предполо-
предположения, что М>т. Итак, мы доказали, что внутри G
и (х, j/, z) ^ max и |г-
Для доказательства неравенства, ограничивающего и (х, у, z)
снизу,
и (х, у, z) ^ min и ]г
достаточно применить уже полученный результат к функции
— и(ху у, г), очевидно, тоже являющейся гармонической.
Теорема о максимуме и минимуме доказана. В дальнейшем
мы будем часто пользоваться теоремой о максимуме и минимуме
для двумерных решений уравнения Лапласа:
а2а (х, у) , дЧ (х, у) __ п
дх* ~*~ ду2 ~~
Такие решения тоже называются гармоническими функциями.
Доказательство принципа максимума в двумерном случае пол-
полностью аналогично доказательству, приведенному выше.
Докажем теперь, что ньютоновский потенциал — единственное
решение уравнения Пуассона
стремящееся к нулю на бесконечности.
§ 2] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ 21
Действительно, если их(х, у, z) и и2(х, у, z) — два решения
этого уравнения, стремящиеся к нулю при #2-f-#2 + z2->oo, то
их разность также стремится к нулю и удовлетворяет однород-
однородному уравнению —уравнению Лапласа:
д2и . д2и . д2и л , ч
+ + 0 (u uu)
Теперь достаточно применить принцип максимума к функции и
в шаре радиуса R с центром в начале координат. Получаем, что
1«(*о. Уо> *o)l< max \и(х, у, г)\
2 + 2+2R2
для любой точки (х0, у0, z0), лежащей внутри шара. Фиксировав
точку (х0, у0, г0) и устремляя R к бесконечности, приходим
к равенству и(х0, у0, 20) = 0.
В нашем курсе мы будем изучать уравнение Лапласа только
в двумерном случае. Гармонические функции двух независимых
переменных встречаются в теории функций комплексного перемен-
переменного. Известно, что аналитическая функция u-\-iv от x-\-iy удов-
удовлетворяет уравнениям Коши — Римана
да dv __ ~ да , dv _ ^
дх ~ ~ду "" f дЦ "Г дх ~
Из этих уравнений вытекает, что
д*и _,д*и __ д^ (ди_ _ dv_\ д^ (ди_ , ди\__
S* + а^" ~ а Vd д) + ду [ду +д^)~
§^ + аг/2 — ад: \ду ^ дх) ду [дх ду
Закономерность этих выкладок обосновывается тем, что u-\-iv,
как известно, является бесконечно дифференцируемой функцией
от x + iy, откуда с помощью уравнений Коши —Римана нетрудно
обосновать существование и непрерывность вторых производных
от и, v.
В частности, из того, что
Ln (х + iy) = In V^TV2 + i Arctg ±
является аналитической функцией при д:2 + у2>0, следует гармо-
гармоничность функций
. ArctgJL.
Первая из этих функций играет в двумерном случае роль,
аналогичную функции !/]/"(* — хоJ + (у — yoJ + (z — zQJ в трехмер-
22 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
ном случае. А именно: функция
и(х, */) = Пр(«, b)\nV(x_a
называемая логарифмическим потенциалом, удовлетворяет уравнению
если р (а, Ь) — гладкая функция, отличная от нуля только в конеч-
конечной области.
Доказательство мы проводить не будем. Отметим только, что
оно аналогично разобранному нами трехмерному варианту иссле-
исследования ньютоновского потенциала. Правда, логарифмический
потенциал, распределенный в конечной двумерной области, уже
не будет стремиться к нулю при х2-\-у2-*сю, так как
In - при этом растет. Но это отличие несущественно
для доказательства сформулированного факта.
Задача. Покажите, что функция In _ может быть полу-
чена из решения трехмерного уравнения Лапласа \/У(х — аJ-\-(у — ?J + (г — сJ
при помощи следующей процедуры:
In — = hm I-х- 1 ln2Lj.
Выражение, стоящее в скобках правой части, является потенциалом одно-
одномерного распределения зарядов вдоль отрезка оси г длиной 2L. Так как потен-
потенциал силового поля определен с точностью до постоянного слагаемого, то мы
вольны выбирать его произвольно. Вычитание большой постоянной In 2L перед
переходом к пределу обеспечивает конечность этого предела.
Вторая из этих функций Arctg— понадобится нам для реше-
решения следующей задачи: восстановить гармоническую функцию
в круге x2-\-y2^R2 по ее значениям на границе круга. Решение
такой задачи дается формулой Пуассона
2л
1 Г»
= 2я J
о
R}-2R (хcos д + у sin
которая читателям должна быть известна из курса теории функ-
функций комплексного переменного. В этой формуле и(х, у) — интере-
интересующая нас гармоническая функция, непрерывная в замкнутом
круге, a f(Q) = u(R cos 0, R sin б) задает ее граничные значения.
Мы приведем сейчас для полноты изложения еще один вывод
формулы Пуассона, не слишком короткий, но, как кажется автору,
очень наглядный,
§2]
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ
23
Функция
Ф (х, у) = Arctg
|
- Arctg
является гармонической. Она представляет собой угол, под которым виден
из точки (х, г/) отрезок, соединяющий (xlt y{) с (я2, #2). Из элементарной гео-
геометрии известно, что ф (х, у) постоянна вдоль окружностей, проходящих через
концы этого отрезка. Такие окружности являются линиями уровня ф (а:, у).
Они изображены на рис. 1.
Положим, теперь хх = R cos 6lf yi = R sin б!, x2 = R cos б2, у2 = R sin б2, где
2л, и рассмотрим как ведет себя гармоническая функция
ф (х, у у бь б2) = Arctg
/-/?sin62_Arctg^-/?sin
x — R cos 62
внутри круга D {x2-^-y2 <: R2} и на его границе. Ветви Arctg выберем так,
чтобы внутри круга ф (л;, у, Qv д2) равнялась углу между лучами РА и РВ,
У\
О
X
Рис.
Рис. 2.
где Я —точка (л:, у), Л— точка (R cos 6V R sin 6^ и В — точка (#cos62, R sin б2).
В частности, в центре круга
ф@, 0, 6i, 62) = Arctg
Теперь давайте перемещать точку (х, у) внутри круга. Из рис. 2 видно, как
будет деформироваться угол ф (х, у, д1У б2) при перемещении точки Р (х, у).
На дуге АС В он равен -2 \ на дуге АСВ этот угол равен я + 2 9 * .
Рассмотрим функцию
ю(х, у,
y — R sin 62
х — R cos б2
/-/? sin
которая, очевидно, тоже является гармонической функцией от ху у. (Прибавле-
(Прибавление константы и умножение на постоянное число не нарушают гармоничности.)
Ьосле всего сказанного ясно, что на дуге ЛСВ функция w (xt у» бц б2) = 1, а на
Дуге АСВ w(xy у, бь 62) = О.
С помощью функции w (Ху у у бх, б2) нетрудно придумать формулу, которая
п°зволяет восстановить гармоническую функцию по ее значениям на окружности
24 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
х2-f- г/2 = #2. Сначала мы дадим нестрогий вывод, а затем приведем полное обо-
обоснование.
Разобьем всю окружность точками xi = Rcos6i, yi — R sin Q[ на достаточно
мелкие части, а на каждой из этих частей выберем точку х j = RcosQ j;
у I=#sm6 , /6/<6 , <9*+1\. Рассмотрим на окружности непрерыв-
ную функцию / F). Ясно, что
//9 Aw(x, у, 9,, 9W)
i' + т)
принимает на дуге (б/, 0/+1) значение / /в ц \, а на дополнительной к ней
\ + /
дуге —нуль.
Сумма
) ^Arctg
~ * cos в,+1 " T) ~ И \Arctg y-R cos б,
'+2
представляет собой гармоническую внутри круга функцию, кусочно постоян-
постоянную на границе. На дуге (б,, fyfl) она принимает значение f П *
Гармоничность конечной суммы внутри круга следует из линейности урав-
уравнения Лапласа. В точках x = Rcosdiy y = Rsindi эта функция, конечно, раз-
разрывна.
Совершим формальный предельный переход при неограниченном измельче-
измельчении окружности, а именно, рассмотрим функцию
2л
У нас есть основания ожидать, что она будет гармонической внутри круга
|^2 «^ ^ а в его граничных точках x — Rcos(D, f/ = /^ sin со будет прини-
принимать значения /(со). В дальнейшем этот факт будет обоснован, а пока мы эту
формулу, преобразовав, приведем к более красивому виду.
Имеем
(л:—/? cos Q) — R sin б (г/ — /? sin б)
(y — R sin бJ + (x — R cos бJ 2
2 [R2 — Xft cos 6 — yR cos 6] — (*2 + У2) — R2jr ?yR sin 6 + 2xR cos б
2 [(У — R sin бJ + (л: — R cos бJ]
~~ 2[#2-2#(A;cos6 + i/sm6)+*2 + ^] ""'
Заметим здесь, что при вычислении дифференциала безразлично, какие именно
ветви Arctg были выбраны, так как значения Arctgz на разных ветвях отли-
отличаются на постоянную величину.
¦2]
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ 25
Мы показали, как можно придумать формулу
2л
/^2 х2 у2
1 Г»
»-2Я (х cosd + y sin
которая носит название формулы Пуассона.
Запишем ее еще в двух формах. Во-первых, положив х = р cos со,
// = psinco и заметив, что
х cos в + у sin 6 = р (cos б cos со + sin б sin со) = р cos (б — со),
получаем
«(pcosco, psinco) = j
Во-вторых, можно разложить ядро нашего интеграла на простые
дроби
г\ —X — У * I г\? . Г\В
R2 — 2R(xcosQ-\-ysinQ)~{-x2~{-y2 Re1® — {x-\-iy) Re~'® — (л; — iy)
и записать
2л 2л
RelQ dd
2я
о
j-(x + iy)
— \ ^е ——. A)
о о
Докажем еще, что ядро
) B)
R2 — 2/?р cos (б — со) + р2
при р <: R и что интеграл от него
2Л
_Lf
2я J R2_;
Первое из этих утверждений очевидно, если заметить, что
R2-2Rp cos (б - со) + р2 = (R -р ^
Второе доказывается так:
г — (x + iy)'
2б ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. 1
В этом равенстве
dz
берется по замкнутому контуру — окружности радиуса R с центром
в начале координат, точка x + iy лежит внутри этой окружности.
Поэтому
z — \
а следовательно,
2Л
О
Формула Пуассона и доказанные сейчас свойства ее ядра бу-
будут в дальнейшем играть важную роль при изучении решений
уравнения Лапласа.
Приступаем к обоснованию формулы Пуассона. Проверим, что
(
2R(xcosd-\-y sin
гармонична при x2-\-y2<R2- В самом деле, подынтегральная
функция — непрерывная и, более того, аналитическая функция пе-
переменных х и у, если только x2 + y2<cR2- Следовательно, функ-
функция и (ху у) непрерывна внутри круга, и законно формальное
дифференцирование интеграла.
Воспользовавшись представлением A), имеем
так как действительная часть аналитической функции ReiQ/[Reid —
— (x-\-iy)] является гармонической внутри круга функцией.
Докажем теперь, что при непрерывной f (9) функция и(х9 у)
непрерывна вплоть до границы круга и принимает там значения
/()
w (Я cose, Я sin 6) = /F).
Для доказательства представим разность и {х} у) — / (а) = и (Q) — / (а)
§ 2] ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ 27
в следующем виде:
4
S-a|<6
|0 —
Здесь мы воспользовались соотношением C) и обозначениями
x = pcosco, у = р sin со координат точки Q.
Оценим по отдельности каждый из интегралов /х и /2. Так как
/(G) — непрерывная функция, то по произвольному е>0 можно
выбрать 6(е)>0 такое, что |/(б) —/(а) ] <-| при |9 — а|<б.
В силу соотношений B) и C) получаем оценку первого из инте-
гралов: 11± \ < у. Фиксируем выбранное б >> 0 и приступим
к оценке интеграла /2. Ввиду того, что функция / (G) ограничена
(,/(8)|<М), имеем
2 — 2#pcosF — с
э — а ^ о
Обозначим посредством Qo точку с координатами R cos a, /?sina,
а посредством Я — точку с координатами R cos б, /?sinQ для тех б,
для которых |0 — а|^б. Расстояние между точками Qo и Р
больше положительной постоянной / = 2/?siny (рис. 3). Так как
знаменатель подынтегрального выражения равен /*2(Q0, Я) —ква-
—квадрату расстояния между точками Qo и Я, то для всех точек Q,
отстоящих от Qo меньше, чем на //2, г2 (Я, Q) > (//2J и, следо-
следовательно, для этих точек
(* dd 2я 8я
J Я2 — 2/?psin(8-(D) + p2^// \2 /2
|б —а| ^ 6 I у )
Для таких точек
I/ i ^R2 — 92 ла 8л ^ 16/?М /D v
28 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
Так как R — р не превышает расстояния между точками Q и Qo,
то для точек Q из круга, отстоящих от Qo меньше, чем на 8Х (е) =
~2~* ~2~ ' 1б/?м г» где / = 2/?sin-^-, справедливы оба нера-
неравенства | /i | < е/2, | /21 < е/2. Следовательно, для этих точек
\u(Q)-f(a)\<e.
Таким образом, и(ху у) будет непрерывна в точке х = R cos a,
y = Rsina, если ее доопределить в этой точке значением /(ос).
Непрерывность и (х, у) внутри круга была
доказана раньше.
Тем самым мы показали, что можно
внутри круга построить такую непрерыв-
непрерывную вплоть до границы гармоническую
функцию, чтобы на границе она прини-
мала заданные непрерывные значения. За-
Задача восстановления непрерывной гармони-
гармонической функции по ее граничным значениям
на границе некоторой ограниченной обла-
области называется задачей Дирихле.
Докажем единственность решения такой
Рис- 3> задачи. Пусть у нее оказалось два решения
ui(x> У)> и2(х> У)- Тогда их разность тоже
будет непрерывной и гармонической и будет обращаться на гра-
границе в нуль. По принципу максимума
О = min u^u(x, y)^ max и = 0.
г г
Следовательно, и(х, у) = и1 — и2 = 0. Единственность доказана.
Для произвольной области разрешимости задачи Дирихле может
и не быть.
Изучением условий разрешимости задачи Дирихле мы будем
заниматься в главе III. А пока в следующем параграфе рассмотрим
некоторый класс задач математической физики, связанный, напри-
например, с процессами теплопроводности. В частности, так появится
еще один пример физически осмысленной задачи, которая приво-
приводится к задаче Дирихле.
§ 3. Уравнение теплопроводности
Вывод уравнения теплопроводности. Задача Дирихле как задача опреде-
определения стационарного распределения температуры по заданной температуре гра-
границы области. Постановка задач для одномерного уравнения теплопроводности.
Принцип максимума для этого уравнения. Теоремы единственности задач 1 и 2
для уравнения теплопроводности при различных предположениях о решении
и о начальной функции.
Кратко наметим вывод уравнения теплопроводности из физи-
физических соображений. Среда, в которой мы будем рассматривать
3J
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 29
процессы теплопередачи, должна характеризоваться так называе-
называемым калорическим уравнением состояния Е = Е(Т)У плотностью
р = р(л:, у у г) и коэффициентом теплопроводности К = К(х, у, г).
Здесь Т — температура, Е (Т) — внутренняя энергия тела, заклю-
заключенная в единице массы, если эта масса нагрета до температуры Т.
Можно рассматривать среду с тепловыми свойствами, меняющи-
меняющимися от одной точки пространства к другой. В этом случае урав-
уравнение состояния имеет более общий вид Е~Е(ху у, г, Т). Коли-
Количество тепла, заключенное в бесконечно малом объеме
Ах ^ _ , Ал:
Хо 2
Уо-
в момент времени / равно
Р (х0, У о, *о) Е (х09 уОУ г0, Т (t)) Ax by Дг.
Изменение этого количества тепла за время А/ будет равно
, ч дЕ (х0, у0, г0, Т) А . А
Р (^ У *) — & А
dt & Ал: Ay Дг.
Это изменение может произойти только за счет того, что тепло
вытекает или втекает через границу выделенного нами объема,
если мы предполагаем, что никакого выделения или поглощения
энергии не происходит.
Количество тепла, протекающего через площадку А5 за время
Д/, равно
К § At AS.
Здесь К — коэффициент теплопроводности в точке, через которую
дТ
мы провели нашу бесконечно малую площадку, а ^ — производ-
производная температуры по нормали к площадке. Тепло течет из области
более высоких температур в область более низких. Такова фор-
формулировка закона теплопроводности Ньютона в изотропном теле.
Этот закон является результатом систематизации большого коли-
количества опытных фактов.
Выпишем потоки через площадки
х = х0 ± Ах/2,
0Граничивающие наш объем.
30
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
ГГЛ. I
Количество тепла, втекающее через площадку х = хо + Ах/2,
равно
\дТ
и г
а через площадку х = х0 — Ах/2
к1
— 7\( ЛГ
Ах
\дт
\
yQt Zo
=Уо
х=х0 — Ал:/2
У=Уо
At Ay Дг,
AtAyAz.
В результате общее количество тепла, вошедшее в наш объем
через эти две площадки, будет
с +- и г\
дТ
дх
дТ
х = х0 —
У = Уо
Ах hi
\д (
At Ay Az ^=5
кдТ\
Кдх)
X = Хо
У = Уо
Ах At Ay Az.
Аналогично количество тепла, которое за время At просочится
в наш объем через площадки у = уо± Ay/2, z = zQ± Аг/2, равно,
соответственно,
z=z0
Суммируя все притоки тепла и приравнивая их сумму изме-
изменению внутренней энергии, получаем
АхАуАгЫ-
=xQ *
*о, Уо,
§ 3] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 31
Сокращая обе части этого равенства на AxAyAzAt и замечая,
что точка (xOt y0, z0) может быть выбрана произвольно (поэтому
индекс нуль может быть опущен), мы приходим к окончательной
форме уравнения теплопроводности
, ^ дЕ (х, у, z, Т) д(„дТ\ , д/„дТ\ , д ( „дТ\
Р (х, У, z) м = •
Предположения про входящие в него функции следующие:
р>0, §>0, К>0.
Эти предположения представляют собой обобщение опытных фак-
фактов.
Иногда уравнение теплопроводности записывают в виде
сдТ д(кдТ\ ,д(кдТ]+д (кдТ\
обозначив через С (х, у, г, Т) выражение р^. Величина С по
вполне понятным причинам называется теплоемкостью (единицы
объема).
Если теплоемкость С и коэффициент теплопроводности К не
зависят от Т, ху у, г, т. е. являются постоянными, уравнение
может быть переписано так:
С \дх* + ду2 "*" dz2)'
dt С \дх* + ду
Коэффициент -? принято называть коэффициентом температуро-
температуропроводности.
Интересно рассмотреть случай стационарного распределения
температуры (¦37==:О)- Мы видим, что если /C = const, то стацио-
стационарное распределение температуры описывается решением Т(х, у, z)
уравнения Лапласа:
Задача Дирихле для этого уравнения состоит в отыскании рас-
распределения температуры внутри некоторого тела по известным
значениям Т на границе.
Если область представляет собой высокий круговой цилиндр
с образующими, параллельными оси 2, и вдоль каждой такой
граничной образующей температура постоянна, то можно предпо-
предполагать, что распределение температуры вблизи среднего горизон-
горизонтального сечения цилиндра почти не зависит от z и может быть
32 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
описано в виде решения Т=Т(х, у) уравнения Лапласа 5т +
д2Т
+ ^т = 0- Зная температуру на образующих цилиндра, T(Rcosd,
RsinQ), мы можем по формуле Пуассона определить Т (х, у)
внутри цилиндра, т. е. внутри круга на плоскости переменных х, у.
Если область — узкий слой между близкими плоскостями, на
которых поддерживается постоянная температура (на каждой
плоскости слоя), то распределение Т(х) температур (стационарное)
между плоскостями х = хъ х = х2 удовлетворяет уравнению
^ -О
Общее решение этого обыкновенного дифференциального уравнения
имеет вид
Г = М Не-
Непостоянные Ьъ Ь2 должны быть определены из граничных усло-
условий—температур на граничных плоскостях. После этого опреде-
определения получим
()Т + ()Т^ гдо т Т{х)9 Т2
т ^
х2 — х1
При изучении нестационарного уравнения теплопроводности
мы в дальнейшем ограничимся только одномерным случаем и
постоянными коэффициентами /С, С
дТ__К_ дч
dt ~ С дх* '
Изменением масштаба по оси х можно добиться равенства
/</С=1. При рассмотрении уравнения
ди _ д*и
Ы ~ д&
мы будем обычно обозначать неизвестную температуру буквой и.
Для простейшего уравнения теплопроводности мы ограничимся
обсуждением следующих двух задач:
Задача 1. Требуется найти ограниченное решение и (ху t),
непрерывное в области /5^0, удовлетворяющее уравнению тепло-
теплопроводности при t > 0 и равное заданной непрерывной ограниченной
функции ц)(х) при t = 0. (Эта задача связана с распространением
тепла в неограниченной среде.)
Примечание. Вместо условия ограниченности ц(х) и и (х, t)
могут быть наложены другие, менее ограничительные условия.
Об этом будет сказано позднее.
г 3]
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
33
Задача 2. Найти в прямоугольной области
непрерывное вплоть до границы решение уравнения
ди№и
удовлетворяющее следующим граничным условиям:
и (А, /) =
и (В, 0 =
(Эта задача связана с распространением тепла в ограниченной
области.)
Мы предполагаем ср (#), i|?^@» УвО) непрерывными и, следо-
следовательно, ограниченными функциями на замкнутых отрезках
А^х^Ву Q^t^T. Предполагается также выполнение «условия
согласования» ф(Л) = 'фл@), q> (jB) = ^ @)- Иначе непрерывную
и (х, t) нельзя было бы построить.
Под словами «решение, непрерывное вплоть до границы» мы
здесь подразумеваем следующее. Функция и (х, t), непрерывная
при А^х^В, O^t^T, имеет в каждой «внутренней» точке
(Л<а:<В, 0<^^Г) первые и вторые производные, удовлетво-
удовлетворяющие равенству 57=^t- Выполнения этого равенства в точках
границы и даже дифференцируемости и (xt t) в граничных точках
(* = Л, 0</^Г), (А^х^В, / = 0), (х = В, O^t^T) мы не
предполагаем.
Исследование задач 1 и 2 начнем с получения теоремы един-
единственности, основанной на принципе максимума, который на-
напоминает принцип макси-
максимума для уравнения Лап-
Лапласа.
Принцип макси-
максимума для уравнения
теплопроводности.
Всякое решение уравнения
теплопроводности в пря-
прямоугольнике А < х < В,
0 < t ^ 7\ непрерывное
вплоть до границы, при-
принимает свои наибольшее и
наименьшее значения на нижней или на боковых его
На рис. 4 эти границы нарисованы двойной линией.
О М ( )
Рис. 4.
границах.
р р р д
Обозначим через М максимум u(xf t) на всем нашем прямо-
прямоугольнике, а через т — наибольшее значение и (х, t) на двойной
границе и предположим, что М>т. Пусть (х0, to)—Ta точка
2 С. К. Годунов
34 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
нашего прямоугольника (внутренняя или лежащая на его верхней
границе), для которой и(х0, to) = M.
Рассмотрим вспомогательную функцию
v(x, f) = u(x, 0+2(В_ЛJ(*-*о) •
На «двойной» границе для v (x, f) выполнено неравенство
С другой стороны, v (#0, /0) = и (х01 /0) = М, т. е. наибольшее
значение v (x, t) не меньше, чем М. Максимальное значение v (x, f)
принимается в некоторой точке {хъ ^). Так как u(xlt tJ^zM,
а на «двойной» границе v (xt t) < М, то точка (xl9 tx) не может
лежать на «двойной» границе.
Если точка (хъ /J — внутренняя точка максимума, то в ней
^ = 0, ^ = 0, vxx^0 и, следовательно, vt — vxx^Q. Если же
(хъ tx) лежит на верхней границе прямоугольника, то У/^0,
^ = 0, vxx^0 и, опять-таки, Vt — vxx^0. Итак, мы показали,
что если М = max и (х, t) > m, то существует точка (хъ /А),
в которой ut — uxx^0. Однако, пользуясь тем, что 57 = ^4,
v (x, t) = u (x, t) + 2 (в__ЛJ (х — х0J, мы без труда можем вычислить
vt — vxx:
М — rn
Полученное противоречие показывает невозможность неравен-
неравенства М> т. Тем самым доказано неравенство и (х9 t) ^ max и (а:, /)
на «двойной» границе. Принцип максимума обоснован.
Так как функция — и (х, t) тоже удовлетворяет уравнению
теплопроводности, мы можем, применяя к ней принцип максимума,
доказать еще и
Принцип минимума. Наименьшее значение и (ху f) обяза-
обязательно принимается на «двойной-» границе.
Примечание. В доказательстве мы предполагаем дважды
дифференцируемость и (х> t) во всех внутренних точках прямо-
прямоугольника и на его верхней границе. Достаточно предполагать
наличие вторых производных во внутренних точках, а непрерыв-
непрерывность и (х, t) вплоть до границ. В самом деле, из принципа
максимума
в силу непрерывности и (х, t) вытекает, что
и{х, Т)^т.
§ 3] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 35
Объединяя прицип максимума с принципом минимума, получаем
неравенство для | и (х, t) \:
\и(х, 01^ тах I и (х> 0 I на «двойной» границе.
Докажем теорему единственности решения задачи 2. Пусть
их{х, 0> U2(x> t) — Два решения этой задачи. Тогда и (х, t) =;
= иг (х, f) — и2 (х, t) будет непрерывной функцией, у которой
и (А, 0 = 0 при 0</<Г,
и(х, 0) = 0 при
и(В, t) = 0 при
Внутри прямоугольника Л<^<В, 0< ?< Т функция и(х, f)f
очевидно, удовлетворяет уравнению теплопроводности
Ы дх*) \ Ы
Из принципа максимума мы заключаем:
max | и (х, 01^
u(x90)\9 max \и(А9 /) |, max \u(B9 011=0
max
Ясно, что и (#, /) = 0 при Л^я^В, О^^^Г, т. е. что в этом
прямоугольнике иг(х, t)===u2(x, t). Единственность решения
задачи 2 доказана.
Доказательство единственности решения задачи 1 несколько
сложней. Напомним постановку этой задачи.
Задача 1. Найти непрерывную и ограниченную в полупло-
полуплоскости /^0, —оэ<С#< + оо, функцию и(Ху t), удовлетворяющую
при t > 0 уравнению gy — ^~т > а пРи t — ® начальному условию
и (х, 0) = ф (х). Здесь ф (х) — произвольная ограниченная непрерывная
функция х. Ограниченность мы предполагаем заданной в форме
неравенств
\и(х, t)\<M9 | ф (jc) К ЛГ.
Докажем теорему единственности для задачи 1. Рассмотрим
некоторое частное решение v (x, f) уравнения ~ = =-^, определяе-
определяемое формулой
v(x, t) = 2-^(x* + 2t).
Выполнение уравнения проверяется непосредственным диффе-
дифференцированием:
dv Л М d*v
4
36 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
Очевидно, что это решение удовлетворяет неравенствам:
v (±L, 0 = тг(^
Если у задачи 1 есть два решения их(х, /), и2(х, t)f то их
разность и = и1 — и2 будет решением уравнения
ди _ д*и
dt "" дх*'
удовлетворяющим при t^O неравенствам \u(xt t)\^2M, а при
t^O обращающимся в нуль: и (х, 0) = 0. Из принципа максимума
следует, что так как на нижней (/ = 0) и боковых (x = ±L)
границах прямоугольника 0 ^ t ^ Т (Т произвольно), — L^x^L
разность v (x, t) — u(x, t)^0, то это неравенство сохранится и
внутри прямоугольника. (Разность v — и тоже удовлетворяет
уравнению теплопроводности). Итак, при —L^x^L мы дока-
доказали неравенство
Замечая, что функция п(х, t) = — и (х, t) удовлетворяет уравнению
и неравенству й^2М, мы точно так же получаем, что
-и(х, t)^(x* + 2t).
Если два полученные неравенства объединить, то становится ясно,
что
Фиксировав точку (#, /) (/>0) и выбирая различные L, мы
видим, что неравенство должно быть выполнено при всех доста-
достаточно больших L, а так как L можно устремить к бесконечности,
то отсюда следует равенство
\и(х, ОНО,
Mi —«2 = 0 ПРИ *>0.
Теорема единственности решения задачи 1 доказана.
Мы сейчас ослабим ограничения на функции и (я, /), ср (#) и
покажем, что единственность имеет место и при ослабленных
ограничениях.
Рассмотрим два решения иг(х, t)9 u2(x, t) уравнения тепло-
теплопроводности, определенных в полуплоскости />0, непрерывных
вплоть до / = 0, удовлетворяющих условиям
их(х, 0)«-<p(*)f и%(х, 0)-ф(х)
§ 3] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 37
и неравенствам
\щ(х, /)|<
где М (t) — непрерывная монотонная функция /. Она может как
угодно быстро расти с ростом t.
Мы докажем, что ^(я, t) = u2(x, t). Выделим произвольный
конечный отрезок O^t^T времени и докажем совпадение
их (л:, f) = и2 (х, t) для t из этого отрезка. Из произвольности Т
будет следовать единственность решения во всей верхней полу-
полуплоскости.
Итак, пусть O^t^T. Тогда
|М*. 9-М*. 9KIM*. 9I + IM*.
Через М* мы здесь обозначили
2 max Л1 (/) = 2М (Г).
Как обычно, заключаем, что функция u = ux — u2 удовлетво-
ряет уравнению -^ — ^ = U, условию w (х, 0) = 0, а по доказан-
доказанному—еще и неравенству
\и(х, Щ^М*^ @</<Г).
Будет доказано, что из этих условий вытекает равенство
и(х, 0 = 0 при 0</^Г.
Доказательство будет почти такое же, как и в предположении
ограниченности и (х, /), только мажорирующее решение нужно
выбрать другим.
Положим
v(x, t) = M
Легко проверить равенство -^ = ^-2. В самом деле,
- 2ад: + Ьа
vlx A ^^ (e + e) 9a^Anii
v ' } e2aL ° '
и, следовательно, достаточно убедиться в том, что функции
е±2ах+4ач являются решениями. Это легко получить дифферен-
дифференцированием:
а2/ ^p2g±2ax + 4a*t
38 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
при t=o
v{x, 0)>0 = u(x, 0),
при O^t^T
ptaL , e-2aL
v{±L, t)^M ±?
По предположению, u(±L, f)^M*eaL.
Из принципа максимума нетрудно теперь заключить, что при
О^^^Г, —L^x^L имеет место неравенство
и(х, t)^M(+)
Точно так же доказывается неравенство
-u(xt f) ^ М* (eaL + e~aL) е2а
Следовательно,
\u(xt t)\^M
) е,
Фиксируем (х, /), а параметр L устремим к оо. Правая часть
неравенства стремится при этом к нулю. Значит,
\и(х, 0|<0. и{х> 0 = 0-
Теорема единственности доказана.
На самом деле неравенство
\и(х, t)\<M(t)ea^x\
может быть еще более ослаблено. Можно допустить еще больший
рост и (х, t) с ростом х. Однако существуют достаточно быстро
растущие с ростом х решения уравнения теплопроводности, удов-
удовлетворяющие при / = 0 нулевым начальным данным. К сожалению,
в нашем курсе мы не можем останавливаться на разборе соот-
соответствующих примеров.
Сейчас мы распространим теорему единственности на решения
с разрывными начальными данными ц>(х). Для простоты ограни-
ограничимся случаем, когда есть только одна точка разрыва ф(х),
а именно —точка х = 0. При этом решение тоже нельзя будет
считать непрерывным в точке х = 0, t = 0. Во всех остальных точ-
точках мы его непрерывность будем предполагать. Если есть два
решения их (х, t), u2(x, t) таких, что при хфО щ(х, O) = cp(x),
то их разность и (х, t) = tii(x, t) — u2(x, t) будет непрерывной
функцией всюду, за исключением, быть может, точки х = 0, t = 0.
При хфО функция и (х, 0) = 0. Мы докажем, что если и (х, t)
ограничена б окрестности этой точки и не слишком быстро рас-
|3]
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
39
тет при |*|->оо, то и(х, t) = 0. Переходим к аккуратной фор-
формулировке:
Пусть решение и (х, t) уравнения -^— -^ = 0 удовлетворяет
при
неравенству
\и{х, О
непрерывно при всех х и всех /^0, за исключением, быть может,
точки х = 0, / = 0. Пусть и(х, 0) = 0, если хфО. При этих пред-
предположениях и (х9 /) г= 0 для O^t^T.
Доказательство. Рассмотрим функцию
v{xt t) =
Она состоит из двух слагаемых, первое из которых
М* (e
aL
~aL
нам уже встречалось. Оно удовлетворяет уравнению теплопро-
теплопроводности. Легко убедиться, что и второе слагаемое при любом
е>»0 также удовлетворяет
этому уравнению. Мы не
будем проводить вычисле-
вычислений, это доказывающих.
Рассмотрим область
Р1Р2Р3... Р$9 изображен-
изображенную на рис. 5. Всюду на
«двойной» границе (она
нарисована двойной лини-
линией) v (х, /)>(). Зто очевид-
очевидно. На [Р19 Р2], [Р7, Р8]
v(±Lt t)>M*. Мы уже
проверяли, что такому
неравенству удовлетворяет первое слагаемое. Второе слагаемое
может это неравенство только усилить.
Покажем, что на Р3Р4РГ)Яб также v(xt t)>M*. Достаточно
убедиться в том, что на этом контуре второе слагаемое больше,
чем М*.
Очевидно, что при е^/^0, \х\<с2& верны неравенства:
р,
Q
—- Т -w
Г
l JJ
Г
Рв
II»
Y
Рис. 5.
_ VJ_
Уе + 8
BeJ
1
40 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
(последнее при е достаточно малом),
Итак, всюду на /VVVVVWe
v(x9 t)>u(x, О,
w(x, t) = v(x, t)-u(x, t)>0.
Разность w также удовлетворяет уравнению -^—ТГТ" 0 и,
следовательно, для нее справедлив принцип максимума. Из этого
принципа вытекает, что всюду внутри замкнутого контура
P^PsP^PhPuPiPsPi также w(x, t) = v(x, t)-u(xt t)>0. Для
доказательства достаточно область, ограниченную этим контуром,
разрезать отрезками |7 = е, — L^x^ — 2e], [t = ef 2e^x^L]
на три прямоугольника QP2P.SP^ PbP6P7Q'; PiQQ'P8, как это
показано на рис. 5, а затем, последовательно, воспользоваться
для каждого из них принципом максимума.
Итак, при — L^x^L, e^t^T имеет неравенство
и (х, t) < М* (eaL + е~ «L) е2ах+ае~тхе*ач + 2М* V в* "~ =^ (*, О-
Аналогичным рассуждением получаем
-и(ху t)<v(x, t)
и, следовательно,
\u(xt t)\<M*
Фиксируя точку (x, t) и устремляя L к бесконечности, а е к нулю,
приходим к утверждению
\и(х, /)|<0,
u(xt t)=0.
Доказательство этим завершено.
Можно было бы доказать, не привлекая никаких новых идей,
подобную теорему единственности в случае, если допускать у ре-
§ 4] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 41
шения и(х, t) при / = 0 не одну точку разрыва, а любое конеч«
ное их число. Более того, можно предположить, что их беско-
бесконечное число, но расстояние между двумя соседними точками
разрыва ограничено снизу.
Задача. Докажите, что ограниченное решение уравнения теплопровод-
теплопроводности -jrr — -^-j = 0, непрерывное всюду в прямоугольнике А
г< 7\ кроме, быть может, угловых точек (х=Ау / = 0), (х = В, t = 0), одно-
однозначно определяется начальными и граничными условиями и (х, 0) = ф(я),
и (Л, t)~^)A(tI и (By t) = ipB(t). Мы здесь уже не предполагаем начальные и
граничные условия «согласованными» в углах. Можно также допустить конеч-
конечное число точек разрыва у урл, tyB (t) и соответственно у решения и (х, t) при
х = Л, х — В.
На этом мы заканчиваем доказательство теорем единственно-
единственности и в следующем параграфе перейдем к теореме существования
решения.
§ 4. Уравнение теплопроводности (продолжение)
Формула Пуассона для уравнения теплопроводности и ее обоснование.
Решение с помощью интеграла Пуассона простейшей задачи для уравнения
теплопроводности на конечном отрезке. Решение смешанной задачи. Нестрогий
эвристический вывод интегральной формулы для решения уравнения теплопро-
теплопроводности. Примеры частных решений линейного и нелинейного уравнений теп-
теплопроводности.
Покажем, что решение задачи 1 из § 3 дается формулой
4-00 ^х йJ
Если мы дадим ее обоснование, то тем самым и докажем теорему
существования. Как можно придумать эту формулу (она называ-
называется интегралом Пуассона для уравнения теплопроводности), мы
сейчас объяснять не будем. Это объяснение будет дано позднее.
А сейчас проведем аккуратное исследование формулы Пуассона,
не интересуясь тем, как она была получена.
Итак, мы приступаем к исследованию функции и(х, /).
Свойство 1. Если | ф(|) \<Меа№, то интеграл A) сходит-
сходится, а функция и (jc, f) удовлетворяет неравенству
\и{х9
42 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ Т
Доказательство вытекает из следующей цепочки неравенств и
равенств:
-f-oo j +oo
[ Mfl [
— oo r 0
±— i
oo 4- oo
О —oo
„а\х\
=
V n
Свойство 1 тем самым доказано.
Свойство 2. При t>0 функция и(х, t) бесконечно диффе-
дифференцируема, а ее производные могут быть вычислены при помощи
следующего сходящегося интеграла:
Г
Мы опять предполагаем, что | ф (^) | <
Доказательство. Легко убедиться в том, что
Пе~{±1г1==:
полином от (x-
степень '
Выберем некоторый произвольный интервал времени 0</0
^^и отрезок ~хо^х^хо оси х.
Для точек (х, t) из области to^t^tu —xo^x^xo выраже
ние для Р (I, х, t) может быть оценено так:
(Через р мы обозначили наивысшую степень (jc — |), входящую
в выражение для Р (?, х, t).) Следовательно, мы можем написать
^(&, х, t)\<N(xOf tOi
§ 4] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 43
Из этого неравенства вытекает, что интеграл
+ 00
г
2/я J
I х, t)e «
равномерно сходится для — хо
По известной теореме анализа о дифференцировании несобст-
несобственных интегралов по параметру отсюда вытекает справедливость
равенства
_ V t
В силу произвольности х0, /0, tx это равенство верно во всех
внутренних точках верхней полуплоскости />0. Свойство 2 до-
доказано.
Свойство 3. Функция и(х, t) удовлетворяет при />0 урав-
д д2
ди ди
нению „.„«
ди д2и
Доказательство. По свойству 2
ди д*и
Остается лишь проверить прямым дифференцированием равен-
равенство
Этой проверкой и завершается доказательство свойства 3.
Функцию ф (?), удовлетворяющую неравенству | ф (?) | <
мы будем предполагать кусочно непрерывной. Сейчас будет до-
доказано
Свойство 4. Если ф(|) непрерывна в точке х0, то функция
и(х, f) непрерывна в точке (х0, 0), при этом
lim u(x, 0 = фD
/->о
Для доказательства сделаем замену в интеграле Пуассона,
+ 00
положив !^ J
+
= = С- Тогда и(х, /)=y=S J
интеграл сходится равномерно относительно л: и t для огра-
44 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ТГЛ- I
ничейных значений этих переменных. Действительно, для \х\<
</?, 0^/^/ь подынтегральная функция имеет интегрируемую
мажоранту Ме~?'+aR+2aYTt\t\.
Далее, на любом ограниченном отрезке | ? | ^ N подынтеграль-
подынтегральная функция стремится при х-+х0, t-+0 к функции e-t*tp(x0)
равномерно относительно ?. Это свойство вытекает из непрерыв-
непрерывности функции ф(л:) в точке х0.
По известной теореме о переходе к пределу под знаком не-
несобственного интеграла отсюда вытекает, что
+ 00
lim Д f
+
lim w (дг, 0 = —Д=- f
0 -°°
Подведем итог. Мы показали, что функция, определенная ра-
равенством
является при tf>0 любое число раз дифференцируемым решением
уравнения теплопроводности, если ф(?) — кусочно непрерывная
функция, удовлетворяющая неравенству
Это решение оценивается так:
\и{х% t)\
И наконец, lim и (х, f) = <p(x0), если точка х0 лежит внутри не-
X—>Х0
которого отрезка непрерывности <р(я). Формула для и(х, /), оче-
очевидно, дает решение задачи 1. Теорема существования тем самым
доказана.
Отметим еще одно полезное свойство интеграла A).
Свойство 5. Пусть функция ф (?) удовлетворяет неравенству
<р(Ъ)\<Меа№ и, кроме того, ф(^) = 0 для Л<^<В. Тогда
в точках интервала А < х < В, t = 0 функция и (х, t) равна нулю
вместе с любыми производными по х и t.
Доказательство свойства 5 довольно легко вытекает из явного
вида интеграла Пуассона, и мы не будем приводить это доказа-
доказательство.
Покажем теперь, как с помощью интеграла Пуассона можно
решить в некоторых простых случаях задачу 2. Для этого рас-
рассмотрим нечетную функцию ф(|):
§4]
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
45
В этом случае формулу для и (л:, /) можно переписать так:
u(xt t)
4'
Отсюда и @, 0 = 0, и(х, t)= — u(—xt t).
Например, можно взять в качестве ф(?) функцию sign g, раз*
рывную при ? = 0. Для />0 соответствующее решение будет уже
непрерывным. График и (х, U) этого решения изображен для не-
нескольких последовательных времен t0 = 0, tx > 0, t2 > tlt t3 > t2 на
рис. 6.
Ясно, что если ф (I)
антисимметрична не отно-
относительно точки 1 = 0, а
относительно ? = Л, то и
решение и(ху t) будет ан-
антисимметричным относи-
относительно ? = Л. Иными сло^
вами, если
1;~0
то
0
, 0
-х, 0 = 0.
Рис. 6.
Пусть теперь ф (I) задана нам только на отрезке А < g < 5. Про-
Продолжим ее на всю прямую следующим образом:
если
если (
Вся прямая разбивается при этом на примыкающие друг к другу
равные отрезки длины В —А каждый, а функция ф (?) оказывается
антисимметричной относительно каждого из концов этих отрез-
отрезков. В частности, ф (Л + |) + ф (Л -g) = 0, ф(В + ^) + ф (S- ?) = 0.
Решение «(х, 0» построенное по так продолженной функции ф (g)
с помощью интеграла Пуассона, будет при i>0 непрерывной
функцией, обращающейся в нуль при х = А и при х = В
и{Ау 0 = 0, и(В, 0 = 0.
Если первоначальная функция ф(?) обращалась в нуль при ? = Л
и при ? = В, то и (х, 0 будет непрерывной всюду при t^0.
Мы видим, что так построенная функция u(xt t) решает
в области Л^л:^В, t^0 задачу 2 с начальными данными
46 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
и(х, 0) = ф(*) и граничными условиями и (A, t) = \|>д @ = О,
и (В, 0 = ^@=0.
Если ф (А) = ф (В) = 0, то граничные и начальные данные согла-
согласованы и существует непрерывное решение, единственность кото-
которого была нами доказана. Доказательство единственности решения
в случае несогласованных начальных данных было предложено
в § 3 в качестве задачи. Доказательство существования в задаче 2
при произвольных непрерывных ярд (t), tyB (t) сводится к примене-
применению формулы Пуассона искусственным приемом, который мы опи-
опишем. Решение U (x, t), построенное интегралом Пуассона по началь-
начальной функции
и рассматриваемое в квадранте лг^О, /^0, будет непрерывно
всюду, кроме начала координат. При этом ?/@, /) = 1, если />0,
а при х>0 t^0 функция U(x, t) непрерывна вместе со своими
производными любого порядка. Как U (x, t), так и все ее произ-
производные обращаются при t = 0, x>0 в нуль (свойство 5 формулы
Пуассона). Ясно, что если теперь положить U (x, t) = 0 для /<0,
jc^O, то мы получим ограниченную U (x, t), непрерывную вместе
со всеми своими производными всюду при х^О, —схэ</< + оо,
за исключением начала координат, и принимающую при # = 0 зна-
значения
0 при
По построению U (x, t) во всех точках своей непрерывности удов-
удовлетворяет уравнению теплопроводности и, кроме того, U (x, t) = 0
для *<0.
Совершенно аналогично показывается, что UAB (x, t), построен-
построенная при t^0 по формуле Пуассона с использованием начальной
функции
Флд(?) = —2л для А + 2п{В-А)<Ъ<В + Bп + 1)(В-А),
и продолженная нулем при t<cOt представляет собой решение,
непрерывное вместе со всеми своими производными в полосе
А^х<,В, +оо>/> — оо, за исключением точки x = At / = 0.
Оно удовлетворяет следующим условиям:
Uab(x, 0 = 0 («0),
UAB(x, 0) = 0
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 47
решение задачи 2 при произвольной непрерывной я|)Л (t) и при
(?) = 0, ф(|) = 0 дается формулой
То, что w(jc, t) при Л<<л:<5 действительно является решением,
проверяется дифференцированием интеграла по параметрам х, t.
Очевидно, что
и(х, 0) = 0 при А<.х^В,
и E, 0 = 0
В выполнении граничного условия при х = А проще всего убе-
убедиться, если я|)л @ кусочно постоянна и имеет разрывы только
при t = to = O, t = tlf t = t2, t = t2t ..., t = tk = T. При этом
4i V
(U и) - "Фл (*/)] UAB{X,t- tl+1) -
-^a(T)Uab(x, t-T),
и выполнение граничных условий на интервале 0 < / < Г следует
из свойств 1/дд(<).
Выбрав последовательность кусочно постоянных ^ (/), равно-
равномерно сходящихся при /->оо к г|)д(/) и построив последователь-
последовательность решений
мы с помощью принципа максимума докажем, что &(;) (д:, 0 равно-
равномерно при А^х^В O^t^T сходятся к некоторой функции
й(х, t)y непрерывной всюду, кроме точки х = А, t = 0, и удовлет-
удовлетворяющей при 0</<Г граничному условию й(А, t)=tyA(t).
Каковы бы ни были лс0, х2: A<Cxo<Cx1<iBy производная—^ -—
ограничена и непрерывна в полосе хо^х^хъ и поэтому в этой
полосе uW (x, t) равномерно сходятся к
dUAR(x, t — x)
о
т. е. к и{х, t). Совпадение п(х, t)=u(x, t) доказано,
48 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
Нетрудно аналогичным приемом построить решение задачи 2
при произвольной г|)д (t) и при tyA (t)=0, ф (х) = 0. Решение в общем
случае ненулевых чрл (t)> ^в @> Ф М находится как сумма опи-
описанных частных решений.
Есть много разных способов, с помощью которых можно вывести
формулу Пуассона для уравнения теплопроводности, справедли-
справедливость которой мы обосновали. Наиболее короткий и изящный
вывод основан на использовании преобразования Фурье. Здесь
будет приведен не слишком простой эвристический вывод, иллю-
иллюстрирующий использование групповой инвариантности. Он основан
на идеях, которые были разработаны Л. И. Седовым [2] для полу-
получения решения сложной нелинейной гидродинамической задачи
о сильном взрыве.
При этом выводе, поскольку мы будем пользоваться физиче-
физическими соображениями, нам будет удобно рассматривать уравнение
с неравными единице коэффициентами С (теплоемкость) и К (тепло-
(теплопроводность), которые предполагаются постоянными:
дСи д [ гг ди\
Ы ~" дх \ х дх)'
Это равенство для достаточно гладких и (х, f) эквивалентно
выполнению по любому кусочно гладкому замкнутому контуру
интегрального тождества
'iidx + K -?- dt = 0,
ох
выражающего собой закон сохранения количества тепла. Если
вспомнить приводившийся в § 3 вывод уравнения теплопровод-
теплопроводности, то легко заметить, что он как раз состоял в получении
закона сохранения тепла для бесконечно малого параллелепипеда.
Интегральным тождеством, которое было выписано, нам будет
удобно в некоторый момент воспользоваться.
Пусть теперь и (х, t) — некоторое решение уравнения тепло-
теплопроводности. Выбрав постоянные а>0, А,>0, сделаем замену
переменных
положив
u(xt t) = u(az, Ks) = v(zy s).
Выясним, какому уравнению удовлетворяет v (г, s). Для этого
сосчитаем производные
dv ди dx __ ди
'дг ~~ ~дх ~dz ~~ а ~дх '
dv __ * ди
§ 4] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 49
С помощью этих равенств из уравнения
дСи __ j±_lv ди\
~W - дх \д ~дх~)
следует, что
дСу X д / „ dv
Предположив, что параметры X и а связаны между собой
равенством X = а2, мы видим, что если и (х, t) является решением
нашего уравнения, то и (ах, М) тоже будет решением. Из линей-
линейности уравнения можно сделать вывод, что и функция
уи (ах, Ы) (к = а2)
тоже является решением при любом постоянном у.
Будем рассматривать только такие решения, для которых при
любом />0 сходится интеграл
^ Cu{x, t)dx = Q(t);
— со
Q(f)~ полное количество тепла в момент времени t при —оо<
<jc< + oo. Наряду с решением и(х, t) рассмотрим еще решение
w(x, t) = yu(Ykx, U) и сосчитаем полное количество тепла для
этого решения в момент времени t
4-оо 4- °°
\ Cw (x, t)dx= \ Cyu (l/Ix, U) dx =
— со — со
4- оо 4-
J J
4
= -*=- J Cu(z,
= J Cu(Vkx,U)d(Vbx) = = J Cu(z, kt)dz = L
— oo — oo
Если положить y^Y'K т0 мы будем иметь
4-oo
5 Cw(x, t)dx
В дальнейшем нам нужно будет рассматривать решение, для кото-
которого полное количество тепла с течением времени не меняется,
т. е. Q(tf) = Q = const. Из наших рассуждений вытекает, что если
для решения и (х, t) полное количество тепла равно Q, то и для
w(x, /)=У"Х и (УХху Kt) полное количество тепла будет тем же
самым.
Мы построили однопараметрическую группу преобразований
(параметр Я), переводящих в себя множество решений уравнения
теплопроводности с одинаковым постоянным количеством тепла Q.
Интересно представить себе, как преобразуются начальные данное
50
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
таких решений. Пусть и (лс, О) = ф(лг). Тогда w(x, 0) =
На рис. 7 изображены и (л:, 0), w (х, 0) в случае, если К > 1.
Чтобы получить w (Ху 0) из и (л;, 0), надо сжать график в У к раз
по л: и вытянуть его в У% раз по ф.
На этом мы заканчиваем подготовительную работу и переходим
собственно к выводу. Рассмотрим область —оо<<л:<оо, t^O и
постараемся в этой области
, (р(х) найти решение уравнения
дСи
dt
ди\
~дх)>
Рис. 7.
которое отвечало • бы при
t = 0 некоторым специальным
начальным данным. Эти на-
начальные данные нельзя пред-
представить себе заданными в виде
обычной функции и (х, 0) =
= <р(х). Для их описания
должно быть использовано
специальное понятие «обобщенной функции». Мы не будем на этом
понятии останавливаться и ограничимся нестрогим, но нагляд-
наглядным описанием.
Представим себе, что при t = 0 на плоскости х = 0 (в про-
пространстве х, у, г) выделилось некоторое количество тепла. А именно,
пусть на единицу площади этой плоскости выделилось Q калорий.
Из физических соображений ясно, что решение, которое отвечает
такому начальному впрыскиванию тепла, в любой момент времени t
будет распределением тех же Q калорий:
Си(х, t)dx =
При / = 0 все теплососредоточено лишь при х = 0, т. е. lim u(x, 0 = 0,
/-о
если хФО. Ясно, что тахи(х, t) должен стремиться к оо при
х
t-^0 и при малых t этот максимум обязан достигаться где-то
вблизи х = 0.
Пусть нам удалось найти некоторое решение и (х, t) так постав-
поставленной задачи. Выберем некоторый параметр 1>0 и рассмотрим
еще решение w(x, t) = Vk и (]/А,я, М). Мы знаем, что для любого
0
Cw(x, t)dx =
§ 4} УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 61
Кроме того, очевидно, что при
lim w (x, {) — У%
Решение w (x, t) таким образом удовлетворяет всем тем условиям,
которые мы наложили на и (х, t). Следовательно, либо мы можем
построить для нашей задачи о «впрыскивании» тепла бесконечное
множество решений w(x, t) = yXu (]/far, Xt)9 либо все эти реше-
решения должны совпадать.
Примем гипотезу о единственности решения поставленной задачи.
Из этой гипотезы вытекает равенство w (x, t) = u (x, /), а следова-
следовательно, следующее функциональное соотношение, которому должно
удовлетворять решение
и (ху t) = У К и (У^х9 hi).
Фиксируем некоторую точку (х, t) и вы-
выберем K=l/t. Получаем
1 „I х \ t/
JU
Рис. 8.
Для того чтобы найти функцию g"(?),
достаточно подставить это выражение в
уравнение теплопроводности. Тогда для
g"(?) получится обыкновенное дифференци-
дифференциальное уравнение второго порядка. Мы
пойдем немного другим путем. Воспользо-
Воспользовавшись остроумным приемом Л. И. Седова, мы сумеем для gr(|)
получить уравнение не второго, а первого порядка. Этот прием
был предложен Л. И. Седовым не для уравнения теплопроводно-
теплопроводности, а для решения одной задачи газовой динамики.
1 I х \
Из равенства и(х, t) = -——gl—^т) следует, что интеграл
Си(х,
не зависит от t. Иными словами, количество тепла, заключенное
между любыми двумя параболами x = ?tiyi, x = %2Vt (рис. 8),
не зависит от времени. Закон сохранения энергии (тепла) запи-
записывается в виде
(Интеграл берется по любому замкнутому контуру.) Мы уже отме-
отмечали, что это равенство эквивалентно уравнению теплопроводности.
52 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ГГЛ. Т
Применим это интегральное тождество к контуру А1А2В2В1А19
изображенному на рис. 8. Так как
$ Cudx= § Cudx9
At Bt
то
l i uU
К J OX
A2
В силу произвольности интервала времени (tl9 /2) при любых t
должно быть выполнено равенство
л / .v (XX , тг OU /"> / j\ Q-,
аГ ох х = % уТ
Выразим теперь и(х, t) через g(x/Y i) и получим соотношение
Следовательно,
С^ Ы (SO + Kg' (Ь) = С \ %g (У + Kg' (У.
Мы показали, что С • -^ ?g" (?) + /Cg' (|) не зависит от g и что, сле-
следовательно,
(Выражение — у CSg-(^) + /Cgf (Ы представляет собой скорость,
с которой тепло проходит в момент времени t через параболу
x = ^yi за счет теплопроводности и за счет того, что точка
параболы, перемещаясь с ростом времени, «захватывает» все новые
участки оси х вместе с распределенным там теплом.)
Естественно предполагать, что при />0и при х = 0 и(х, t) =
х \ ди
= -—сг — конечно и что ^~
_ =~g'(O)=zO (это просто сооб-
соображения симметрии). Иными' словами, g@) конечно, g-'@) = 0.
Ясно, что для этого М должно быть равно 0. Итак, мы получили
для g(l) линейное уравнение
§ 4] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 53
которое без труда интегрируется разделением переменных:
g
Для и (х, t) мы приходим к формуле
и(х, f) = ±e «'.
Постоянную А определим из условия, в силу которого полное
количество тепла нам задано,
§= J u(x, f)dx = A J e 4Ktd~ =
00 —ОО
Vc J
— 0
Отсюда A = Q/B]/rKCn) и, следовательно,
a(xf t)= 4
Непосредственным дифференцированием можно убедиться, что
заданная этой формулой функция и (х> /) удовлетворяет уравне-
уравнению теплопроводности, а качественное ее исследование показы-
показывает, что при /->0 и и(ху /)->0 при любом фиксированном
+ оо
х Ф 0. С другой стороны, 5 и (х> 0 dx не зависит от / и равен
— ОО
-^. Таким образом, можно считать, что построенное нами реше-
решение удовлетворяет поставленным условиям.
Ясно, что сумма решений
щ
тоже будет решением, отвечающим выделению при / = 0 энергий
Qi в точках х = Х{.
Если в момент (=0 нам задано начальное распределение
температуры и(х, О) = ф(я), то его можно аппроксимировать выде-
выделением энергий ф (xi) Axi в точках xt (Axi — интервал достаточно
мелкого разбиения оси х, содержащий точку xi). Соответствующее
54 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
решение будет аппроксимироваться суммой
Если теперь формально перейти к пределу при Axi -> 0, полу-
получится интегральная формула
и(х, /)= \
законность которой была продемонстрирована ранее. Там, правда,
мы для простоты считали, что /( = С=1.
В заключение рассмотрим один интересный класс решений
уравнения теплопроводности. Это —решения, имеющие вид бегу-
бегущей волны стационарной формы, распространяющейся с постоян-
постоянной скоростью: u = f(x — wf). Под-
Подставим эту формулу в уравнение
г — — д (к ди
с df ~ дх \Д дх
и получим для f(l) обыкновенное
дифференциальное уравнение
А
0
Л
X
Это линейное уравнение с по-
постоянными коэффициентами может быть без труда проинтегри-
проинтегрировано
Cw
График этого решения в некоторый фиксированный момент вре-
времени имеет вид, изображенный на рис. 9. Постоянная А пред-
представляет собой температуру среды «на бесконечности», т. е. там,
куда тепло еще не дошло. Решениями такого вида описывается,
например, прогрев вещества, по которому со скоростью w рас-
распространяется вправо детонационная волна, где реакция поддер-
поддерживает постоянную температуру
(#= wt — уравнение движения детонационной волны). Температуру
на бесконечности обозначим псо- Определив постоянные А, В, мы
§ 4] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 55
получим следующую формулу для температуры в зоне прогрева:
и(х, t) = uoo + (u0-uoo)e K
Из формулы видно, что толщина зоны прогрева тем меньше, чем
больше скорость w. Это понятно: тепло не успевает далеко рас-
распространиться от источника нагрева за то время, пока источник
(детонационная волна) его не догонит.
Интересно, что получение решений вида u = f(x — wt) может
быть сведено к квадратурам даже в случае нелинейного уравне-
уравнения теплопроводности
дЕ (и)
<«>!]¦
dt ~~с
При этом мы получаем для / обыкновенное уравнение
-w
которое можно один раз проинтегрировать:
wE (f) + K(f)f' = A = const.
Полученное уравнение первого порядка интегрируется так:
Разберем в качестве примера уравнение вида
?-»(<-?). «*¦• w
К такого рода уравнениям приводятся уравнения фильтрации
жидкости в пористых средах (т=1) и уравнения лучистой тепло-
теплопроводности в средах, нагретых до температуры звезд, т. е. до
температур порядка десятков миллионов градусов.
Положим постоянную интегрирования А равной нулю. Мы
будем иметь
= У — mw\ (положили ?0 = 0),
и (х, t) = У mw(wt — x).
график этого решения для некоторого фиксированного t и для
таких х9 что wt — x>0, изображен на рис. 10. Таким образом?
56
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
Ul(x, t)j
функция
™" : : я) при x — wt<0,
при x — wt^O
является гладкой функцией и удовлетворяет нашему уравнению
всюду, кроме прямой x = wt. На этой прямой ux(x, t) не имеет
даже первых производных (при т = 1 есть односторонние произ-
производные справа и слева, но они различны).
Как мы уже отмечали, для правильного описания физического
процесса важно не столько выполнение дифференциального урав-
уравнения теплопроводности, сколько выполнение соотношения
Cudx + K ^ dt = O по любому кусочно гладкому контуру. Для
нашего уравнения это равенство имеет вид
nfxdt = O. C)
При выводе уравнения теплопроводности именно подобное соот-
соотношение и бралось за основу, так как оно выражает закон сохра-
Рис. 10.
Рис. 11.
нения энергии. Нетрудно проверить, что для гладких функций
выполнение соотношения C) для любого кусочно гладкого контура
и справедливость уравнения B) эквивалентны (это следует из
формулы Грина, примененной к интегралу C)). Однако для функ-
функций, имеющих где-либо разрывы или разрывы производных, более
естественно за определение решения брать равенство C). Такие
функции называются обобщенными решениями уравнения B), и
мы остановимся подробнее на этом важном понятии и на его
строгой математической постановке позднее, на примере гипербо-
гиперболических уравнений.
Читателю рекомендуется проверить выполнение равенства C)
для функции иг(х, t). Достаточно ограничиться лишь контуром
Pi/VV*4» показанным на рис. 11. Проверка равенства по любому
другому кусочно гладкому контуру проводится таким же образом
с небольшими техническими усложнениями.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
57
Чтобы показать, какие подводные камни могут встретиться
при рассмотрении негладких решений, рассмотрим функцию
и2(х, 0 =
0 при
О,
внешне очень похожую на рассмотренную функцию их (х, t).
Легко проверить, что она также удовлетворяет уравнению B)
всюду, кроме оси х = 0. Тем не менее функция и2 уже не будет
обобщенным решением этого уравнения— она не удовлетворяет
соотношению C). Для того чтобы убедиться в этом, возьмем кон-
контур ABCDA, изображенный на рис. 12.
Интеграл по AD равен нулю. Легко видеть, ^
что интегралы по АВ и по CD стремятся к ну-
лю при 8->0, но
При 8->0.
АО В z
Рис. 12.
Физически рассматриваемое решение и2 (х, t) описывает распре-
распределение температур при наличии в точке л: = 0 оттока тепла
постоянной мощности.
На этом мы заканчиваем краткий обзор основных фактов,
связанных с уравнением теплопроводности.
§ 5. Гиперболические уравнения
Простейшие примеры гиперболических уравнений с частными производными
"V + д—= 0, уравнения для звуковых волн. Задача Коши для этих уравне-
ot ох
ний и ее решение с помощью характеристик. Гиперболическое уравнение вто-
второго порядка. Формула Даламбера. Интеграл энергии для звуковых волн.
Доказательство единственности решения, основанное на использовании интеграла
энергии. Смешанная задача и построение ее решений. Расширение системы
уравнений включением в нее уравнений для производных. Интегралы энергии
в смешанной задаче и теорема единственности. Интегральные оценки произ-
производных. Операторная точка зрения. Понятие о пополнении функциональных
пространств, элементами которых являются начальные данные и решения.
В предыдущих параграфах мы уже ознакомились с некото-
некоторыми типичными примерами задач, которые математическая физика
ставит в терминах уравнений с частными производными. Здесь
мы продолжим рассмотрение таких примеров.
58
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ I
Остановимся сначала на простейшем из уравнений с частными
производными, а именно на уравнении
ди , ди ^
Рис. 13.
Чтобы получить формулу его общего решения, проделаем сле-
следующее построение, известное из курса обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений.
Нарисуем на плоскости (х, t) прямые линии, вдоль которых
-%7-=1 (рис. 13). Уравнение каждой из таких прямых может
быть представлено в виде x — t — const. Только постоянная (const)
будет для каждой из этих прямых
слоя. Значения постоянных как бы
нумеруют эти прямые. Мы будем го-
говорить, что постоянная с в уравне-
уравнении х — t = c является «номером»
прямой нашего семейства, задаваемой
этим уравнением.
Рассмотрим какую-либо функцию
и (ху t) и вычислим ее производную
-^ вдоль нашей прямой. Ясно, что
функцию и (х, t) надо предполагать
дифференцируемой. Вместо слова «дифференцируемая» мы будем
употреблять слово «гладкая». Более точно — слово «гладкая» озна-
означает, что рассматриваемая нами функция имеет столько произ-
производных или даже непрерывных производных, сколько нужно для
законности тех выкладок или рассуждений, которые мы соби-
собираемся проводить. Этим термином мы будем и в дальнейшем
часто пользоваться. Итак, вычисляем производную -п вдоль не-
некоторой прямой -77 = 1:
du ди . ди dx ди . ди
dt dtf dx dt dt "•" дх'
Из формулы для этой производной видно, что уравнение
ди . ди А / а\
л>"+л~==^ означает постоянство и (х> t) вдоль каждой из пря-
прямых -^=1- Конечно, на разных прямых эта постоянная может
быть различной. Таким образом, значение и (ху t) в точке (х, t)
зависит лишь от «номера» той прямой, на которой лежит точка,
т. е. и(х, t)=f (x — t). (Значение x — t является «номером» пря-
прямой.) Ясно, что для того чтобы у функции и(х, t) существовали
производные —, ~f надо, чтобы функция /(?) была дифферен-
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
59
цируемой. При этом
ди
¦f).
Отсюда ясно, что любая гладкая / дает решение уравнения
ди , ди „
Рис. 14.
Мы говорим, что формула u = f(x — t) дает общее решение
этого уравнения.
Теперь мы уже можем перейти к обсуждению тех задач, кото-
которые разумно ставить для этого уравнения. Под задачей мы пони-
понимаем совокупность дополнительных условий, которые надо задать,
чтобы выделить какое-либо конкретное решение. Рассмотрим опять
полоску прямых x — t = const на
плоскости (ху t). На рис. 14 мы
дополнительно изобразили неко-
некоторую кривую y» которая с каж-
каждой из прямых x — t = const пе-
пересекается только в одной точке.
Пусть у задана в параметричес-
параметрическом виде х = I (s), t = т (s) и пусть
вдоль этой кривой задана функ-
функция cp = <p(s).
Ясно, что мы можем на пря-
прямых нашей полоски так опреде-
определить функцию и = и(ху t)y удовлетворяющую уравнению -^ + ¦?- =
= 0, чтобы в точках кривой у она принимала заданные значения
(p = (p(s): и |Y = cp. Действительно, решение должно иметь вид
Вид функции / может быть определен следующим образом. Най-
Найдем для каждого значения х — t величину s из уравнения x — t =
= ?(s) — t(s). Это s отвечает точке пересечения прямой х —1 =
= const с кривой у и, по нашему условию, единственно. После
этого положим / (х — f) = ф (s). Можно доказать, что если | (s),
т (s), ф (s) являются гладкими функциями (?' (s) — х' (s) Ф 0), то
построенная нами f(x — t) тоже будет гладкой, а следовательно,
она даст решение изучаемого уравнения.
Упражнение. Из неравенства ?' (s) — т' (s) ^= 0 вытекает, что каждая
из прямых я—/ = const пересекается с кривой не более, чем в одной точке.
Докажите это.
60
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
Мы сейчас не будем аккуратно проводить доказательство тео-
теоремы существования. В дальнейшем эта теорема нами будет
доказана совсем другим способом, который, правда, не столь
нагляден, но зато допускает далеко идущие и очень важные
обобщения.
Наглядные соображения, приводимые сейчас, нужны для того,
чтобы как можно скорее и проще подойти к предварительной
t
t\
О
7
Рис. 15.
Рис. 16.
формулировке основных фактов из теории одного важного класса
уравнений математической физики. Вернемся к нашей задаче.
В качестве кривой у мы можем выбрать отрезок оси х или отре-
отрезок оси /, как это показано на рисунках 15 и 16. Можно даже
(рис. 17) выбрать в качестве кривой у примыкающие друг к другу
отрезки оси х и оси t. Правда, при этом придется специально
it
О
Рис. 17.
В О
Рис. 18.
позаботиться, чтобы элементы функции ф (s), заданные на отрез-
отрезках АО и ОВ, определили функцию f{x — t), которая дифферен-
дифференцируема на прямой x = t, проходящей через точку О.
Вопрос. Каким условиям должны для этого удовлетворять элементы ф (s)
на отрезках АО и ОВ?
А вот такие отрезки осей х, t, какие изображены на рис. 18,
использовать для постановки задачи нельзя, так как здесь есть
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
61
прямые х —1 = const, которые встречаются как с отрезком А0>
так и с отрезком ОВ. Вдоль каждой из прямых x — t = const зна-
значение и (х, f) является постоянным, а следовательно, значения ф
на отрезке ОА задавать произвольно нельзя. Они однозначно
определяются после задания ср на ВО.
Теперь остановимся на вопросе о единственности решения.
Предположим, что мы задаем значения cp(s) на отрезке АВ оси х.
Решение определится и притом однозначно внутри полосы, обра-
образованной прямыми x — t = const, пересекающими отрезок А В. Если
мы продолжим гладким образом cp(s) на больший отрезок аЪ
(рис. 19), то мы сможем построить решение в более широкой
полосе, границы которой помечены пунктиром. Так как такое
а А
В
Рис. 19.
а?
Рис. 20.
продолжение ср (s) может быть выполнено многими способами, то
и решение в нашей более широкой полосе заданием cp(s) на
отрезке АВ определяется неоднозначно.
Полоса, образованная прямыми х —1 = const, пересекающимися
с АВ, является областью единственности.
Разберем еще случай, когда в качестве кривой у выбран от-
отрезок А В одной из прямых х — t = const, например, прямой х — t =*
= 0 (рис. 20). В этом случае ясно, что y(s) произвольно зада-
задавать нельзя, так как «|Y = (p(s), а с другой стороны, вдоль от-
отрезка у производная -т. = 0, откуда следует, что функция ср (s)
должна быть выбрана постоянной. Иначе задача
( да ди п
I и \у = ф (s)
не будет иметь никакого решения. Если же мы выбрали ф (s) ==
= ф0 = const, то задача будет иметь решение и = / (х — t), где
функция/^) подчинена только условию / (б) = ф0, а в остальном —
произвольна. Область единственности в этом случае как бы стя-
стягивается в одну прямую х —1 = 0.
Мы видим, что выбор кривых у, на которых разумно задавать
дополнительные условия, не может быть произвольным. Нам
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. 1
надо учитывать расположение у относительно прямых x — t = const.
Эти прямые носят название характеристик уравнения •? + ^ =
= 0. Мы пока не даем важному понятию характеристики какого-
либо общего определения. Такое определение будет дано в сле-
следующем параграфе. Теперь же нам будет достаточно того качест-
качественного описания, которое мы разобрали.
В дальнейшем, как правило, мы будем в качестве кривой у
выбирать отрезок оси х и разыскивать решение уравнения
-дг + ^- = 0 в характеристической полосе, опирающейся на этот
отрезок, только для времени t^O. Дополнительное условие
и \у = ф (s) в этом случае естественно называть начальным условием
или начальными данными.
Ясно, что все рассказанное для уравнения -^ + ^ = 0 может
„ ди . ди *
быть почти дословно повторено и для уравнения ~]пЛ~ air — 0»
Его общее решение записывается в виде u = f(x — at), откуда
видно, что роль прямых x — t = const в этом случае будут играть
прямые x — at = const, которые мы будем называть характеристи-
ками уравнения -$[ + а~&с==®-
Разберем теперь более сложный пример системы
ди2
состоящей из двух независимых уравнений. Решение первого из
уравнений системы имеет вид ux = f (x — aj,). Решение второго:
H2 = g(#—-#20- Зададим для нашей
системы начальные данные на от-
отрезке АВ оси х (т. е. при / = 0).
Отрезок АВ по-прежнему будем
обозначать через у:
О
7
Рис. 21.
В
На рис. 21 изображены на
плоскости (#, t) те полуполосы
(/^0), в которых мы можем определить значения и1(ху f) и
и2 (х, t). Для большей наглядности, мы выбрали различными
знаки коэффициентов аъ а2(а1>09 а2<0).
Ясно, что говорить о решении системы имеет смысл только
внутри треугольника ЛВС, являющегося пересечением (в теоре-
§ 5] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 63
тико-множественном смысле) обеих характеристических полос,
опирающихся на отрезок АВ\ только внутри этого треугольника
решение будет определено однозначно.
Прямые х — axt = const, x — a2t = const естественно назвать
характеристиками рассматриваемой системы, а треугольник ЛВС,
ограниченный характеристиками, характеристическим треуголь-
треугольником.
Пример системы, который мы сейчас рассмотрели, может по-
показаться надуманным. Поэтому мы продемонстрируем, как к этому
уже изученному случаю может быть приведена существенно более
сложная, на первый взгляд, система
Ьи_ , \_ dp __п
dt ^ро дх-"'
Эта система описывает распространение плоских звуковых
волн (малых возмущений) в покоящейся среде. Здесь и — скорость
возмущенной среды, а р —давление в этой среде. Постоянные р0,
с0 связаны со свойствами покоящейся среды: р0 — ее плотность,
а с0 — постоянная, характеризующая сжимаемость. Уравнения A)
называются также уравнениями акустики. Вывод этих уравнений
можно найти в курсе физики или механики сплошных сред. Мы
сейчас покажем, что систему, описывающую распространение
звуковых волн, можно несложным преобразованием и переобозна-
переобозначением переменных привести к тому простейшему виду, который
уже был нами рассмотрен.
Для этого умножим второе уравнение на 1/ро?о. Полученное
равенство
3—
dt
прибавим к первому уравнению
dt "^ ро дх
В результате получим равенство
д(и + -
\ Ро
Если сложение равенств заменить вычитанием, то получится
другое аналогичное уравнение:
д(и--Е-)
Ро^о/ п
~Jt °о д~х
64 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
Теперь нам остается только обозначить
и + -тгг = иъ и — -?- = и2,
Росо Росо
чтобы прийти к системе уже разобранного вида
ди2 ди2 __ п
Общее решение такой системы имеет, как мы знаем, вид
«1 = / (X - Cot), = g(X + CQt).
Выражая иъ и2 через и, р, получаем
» + ¦& = №-<#, «-¦? =
или, окончательно:
fjx-c^+gjx+ct) nrf(x-
u — 2 > г — roco
Эти формулы дают представление общего решения уравнений
распространения звука.
Системы, которые можно привести к нескольким независимым
уравнениям первого порядка, каждое из которых содержит лишь
одну независимую функцию, принадлежат к так называемому
классу гиперболических уравнений, подробному изучению кото-
которого посвящена глава II.
Пусть нам известно распределение давления р и скорости и
в начальный момент / = 0 на некотором интервале хх < х <д:2.
Как мы уже видели, это начальное распределение однозначно
определит решение в характеристическом треугольнике, опираю-
опирающемся своим основанием на интервал (xlf x2). Этот треугольник
определяется неравенством />0, х — с^>хъ хо + со/ <ix2.
Величины и±-1— носят название римановых инвариантов, по
Росо
фамилии немецкого математика Римана, который ввел их в ана-
аналогичном, но более сложном случае. Формула
показывает, что распределение этого риманова инварианта пере-
перемещается без искажения формы вправо со скоростью с0. Это дает
основание для того, чтобы назвать величину с0 скоростью рас-
распространения возмущений звуковых волн или, короче, скоростью
звука.
5] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЙ
Аналогично формула
65
показывает, что распределение этого, другого риманова инвари-
инварианта перемещается без искажения влево, опять-таки со скоростью
звука с0.
Подберем функции /, g так, чтобы решение, даваемое полу-
полученными выше формулами, удовлетворяло начальным данным:
и(х, 0) = и |/_о = <р (*),
р(х% 0) = р!^0 = ^(л'),
заданным на отрезке хх^х^х2. Очевидно, достаточно положить:
Отсюда
ta,
Теперь нетрудно получить формулы
_
— cot) —
2р0с0
¦
г Ро6о
дающие решение так называемой задачи Коши для уравнений
акустики. Задача Коши для системы A) ставится так: тре-
требуется найти решение системы A) по заданным начальным дан-
данным м1*-0 = фМ, p\t^o = yp(x). Приведенные выше рассуждения
позволяют обосновать как существование, так и единственность
решения задачи Коши внутри характеристического треугольника.
Часто вместо системы уравнений первого порядка
dt
др
_
дх
да
рассматривают уравнение второго порядка для давления р
С° дх*
3 С. К. Годунов
66 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ (ГЛ. t
которое получается, если первое уравнение системы продиффе-
продифференцировать по х, а второе по /, а затем исключить из них сме-
смешанную производную -gj^-- Это уравнение второго порядка обычно
называется уравнением малых колебаний струны, так как такой
же вид имеет уравнение, описывающее колебания натянутых
нитей —струн. Именно в связи с исследованием колебаний струн
оно и появилось впервые в математических исследованиях.
Это уравнение может быть переписано в следующей форме:
(.j-_c0—)D+*0—)р=о.
Обозначив через q выражение -^ +со-~, мы приходим к системе
первого порядка, эквивалентной этому уравнению,
др . др
¦^-с -^- = 0.
Второе из уравнений системы имеет общее решение
(В дальнейшем нам будет удобно второе обозначение произволь-
произвольной гладкой функции G через производную некоторой другой
функции g.) Уравнение для р
может быть переписано теперь так:
C°
di + C° Fx
что позволяет выписать его общее решение
p(xf t) = f{x-cot
Последняя формула, по-видимому, впервые была найдена Далам-
бером A747 г.).
В 1748 году Эйлер выразил f, g через значения при / = 0
функций р(х, /), pt(x, t):
Р(х, 0) = фМ, pt(x, 0) = -ф (jc). B)
Это привело его к формуле
§ 5] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 67
которую часто тоже называют формулой Даламбера, несмотря на
то, что Даламбер считал ее незаконной. Однако название уста-
установилось, и мы будем его придерживаться.
Эта формула дает решение задачи Коши для уравнения
-^——4-^ = 0. Для этого уравнения второго порядка задача
Коши ставится так: требуется найти решение, удовлетворяю-
удовлетворяющее начальным данным B). Чтобы получить формулу решения
задачи Коши, мы должны функции /, g в представлении общего
решения
р(х, t)=f(x- )
определить из условий
- cjf (х) + cog' (x) = pt (*, 0) = ф (*).
Продифференцировав первое равенство, приходим к системе урав-
уравнений для производных /', g"', которая решается так:
Интегрируем эти равенства:
X
= -2- ср (х) - JL J $ (I)
Ч)
Хо
Здесь х0 — произвольная точка из области задания начальных
данных, а и b — постоянные интегрирования. Однако ути постоян-
постоянные не независимы. Из равенства / (х) + g (х) = ф (х) заключаем,
что 6 = — а. Итак:
Р(х, t) = f(x-cj
~~ 2 г 2cq
x-c9t
Формула решения задачи Коши обоснована.
68 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
Мы уже показывали, что для системы A) существование и
единственность решения задачи Коши могут быть получены при
выводе явных формул решения.
Однако обычно для доказательства теоремы единственности
пользуются соображениями, связанными с законом сохранения
энергии. Покажем, как провести доказательство, основанное на
этих соображениях.
Помножим первое из уравнений системы
да , 1 др ^
dt Ро дх ~~ '
дР I „ „2 ди _ л
на множитель рои, а второе —на множитель —^-. Сложив резуль-
Росо
таты, придем к тождеству
2 ' 2РоЧ2Л , ^=0
dt дх
Из этого тождества следует, что по любому кусочно гладкому
замкнутому контуру
Это интегральное равенство носит название закона сохранения
энергии для гладких решений уравнений распространения звука.
Чтобы пояснить название «закон сохранения энергии», при-
применим наше интегральное тождество к прямоугольному контуру
ABCDA, изображенному на рис. 22. Мы получаем равенство
В этом равенстве i po~dx изображает кинетическую энергию
А
газа, заключенного при х1<.х<Сх2 в начальный момент /0;
в
С* г>2
1 ~2 2 dx — потенциальная энергия сжатия этого газа. Интеграл
А
D
С ( Ф . р2 \ , . _
\ 1 Ро у + о 2 j dx — полная энергия в момент времени гх. Раз-
d с
ность ^ pudt— ^pudt представляет собой работу, совершенную
А В
над газом за интервал времени (?0, tx),
§5]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
69
После этих пояснений должно быть понятно, почему наше
интегральное тождество естественно называть законом сохранения
энергии (или интегралом энергии). Покажем теперь, как закон
сохранения энергии можно использовать при доказательстве тео-
теоремы единственности.
Будем задавать начальные данные и |,_0 = ф (х), р \tmmQ = i|) (x)
на отрезке АВ (х1^х<:х2) оси х при / = 0. Единственность
t.
h
t,
L
A
i
G
В
О
О
Рис. 22.
Рис. 23.
решения мы будем доказывать (рис. 23) внутри характеристиче-
характеристического треугольника ABC, ограниченного слева и справа характе-
характеристиками АС(х — cQt = xx) и BC(x + cQt = x2). Пересечем этот тре-
треугольник отрезком PQ прямой t = tl9 а затем к контуру ABQP
применим интегральную форму закона сохранения энергии:
Ф
— ри dt
Рассмотрим подробнее интеграл
р
и2 , р
dx — pu dt .
— pudt\.
Так как этот интеграл берется вдоль характеристики x — cot =
t d dt
= const, то
так:
р
— c^dt, а следовательно, его можно записать еще
Мы доказали неотрицательность интеграла по отрезку характе-
характеристики АР* Аналогично, пользуясь вдоль $Q равенством
70 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
dx — — с0 dt, можно убедиться в том, что
Из доказанных неравенств и из интегрального тождества
закона сохранения энергии вытекает:
Р А
Если при / = 0 мы имеем р = 0, и = 0, то
а следовательно, на PQ величины и, р тоже должны равняться
нулю. Этим самым мы доказали, что нулевые начальные данные
на основании характеристического треугольника с необходимостью
влекут за собой равенство м = 0, р = 0 всюду внутри него. Теперь
легко получить доказательство собственно теоремы единственности.
Если uv рх так же, как и н2, /?2, являются решениями нашей
линейной системы, удовлетворяющими на отрезке АВ одним и
тем же начальным данным, то их разность иг — и^ Р\—р2 тоже
является решением той же системы с нулевыми начальными дан-
данными. Согласно доказанному выше иг — иг==0, р1 — р2 = 0 всюду
внутри характеристического треугольника. Теорема единственности
доказана.
Иногда для уравнений акустики приходится решать не задачу
Коши, а так называемую смешанную задачу, которая состоит
в разыскании решения в области О^сл:^/, /^0 по начальным
данным
и(х, 0) = ф(*), р(х9 0) = i|"(*), 0<х</,
причем требуется, чтобы это решение на границах области # = 0,
х = I удовлетворяло некоторым дополнительным граничным усло-
условиям. Например, можно потребовать, чтобы эти дополнительные
условия состояли в равенствах и @, /) = 0, и (/, *) = 0. Так постав-
поставленная задача связана с изучением колебаний газа между непод-
неподвижными стенками # = 0, x — L
Решение поставленной здесь смешанной задачи должно иметь
вид
„ __ f(x
и —
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
где функции /, g определяются через начальные значения и \i4i =
= ф (х)\ р |/-о = 'Ф (х) формулами
Эти формулы определяют /(z), g(z) лишь при O^z^/, что дает
возможность построить решение внутри характеристического тре-
треугольника х — c0t^O, x-\-cot^L
Чтобы построить решение всюду внутри полосы О^х^с/ и
чтобы добиться выполнения граничных условий //=0 при а* = 0, /,
мы воспользуемся искусственным приемом продолжения началь-
начальных данных на всю ось х. Аналогичным приемом мы уже поль-
пользовались при решении одной из задач для уравнения теплопро-
теплопроводности.
Определив /(г), gB) при О^г^/, мы продолжим их на все z
так, чтобы
/(*) = -?(-г), /('-*) = -*(' + *).
Нетрудно убедиться, что если f @) + g @) = 0, f(l)+g(l) = O, то
такое продолжение возможно и единственно. Действительно, если
мы знаем /(г), g(z) при О^г^/, то формулы
/(—г) «г(г), -f(z)=g{-z)
позволяют определить эти функции при —/^z<^0. Равенство
/ @) + g" @) = 0 обеспечивает совпадение значений при г = 0 до и
после продолжения.
Теперь продолжим /(г), g(z) на всю прямую периодическими
функциями с периодом 21:
Возможность такого непрерывного продолжения обеспечивается
равенствами f{l) = f(—/), g(l)=g{—/), которые выводятся из
условия f{l) + g{l) = O и из построения/(—/)= — ?(/), #(—/) =
= —/(/). Мы будем предполагать, что продолженные на всю
ось z функции f(z), g(z) непрерывны и имеют непрерывные пер-
первые и вторые производные.
Задача. Проверьте, что для этого начальные данные и |/-0 = ф, р ]/-о = г|?
должны иметь непрерывные первые и вторые производные при O^x^l, удов*
летворяющие следующим соотношениям:
Построенное решение будет, очевидно, иметь непрерывные по х
и по t первые и вторые частные производные.
72 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
Дифференцируя уравнения и граничные условия
[ГЛ. I
ди , 1 dp __~
dt ' ро ~дх~~ '
ди л
и@, 0 = "i
по времени /, нетрудно установить, что производные uh pt тоже
удовлетворяют аналогичной системе
dut , 1 EEL —о
w ро С*
-г-*- =0,
а*
и граничным условиям а, @, /) = н,(/, t) = 0. Пользуясь исход-
исходными уравнениями, можно и(, pt выразить через их, рх и убе-
убедиться, что эти последние удовлетворяют следующим уравнениям
и условиям на границе:
дрх
dt
а/
— система, которая состоит из исходных уравнений и из полу-
полученных уравнений для производных щ, р(> иХУ рху носит назва-
название расширенной системы уравнений. Такие системы широко
используются при изучении свойств решений и будут играть
важную роль в дальнейшем.
Для доказательства единственности решения смешанной задачи
при наших граничных условиях и @, t) = u(l9 t) = 0 опять можно
воспользоваться интегралом энергии
и*(х, t)
Ро 2
и*{х, 0)
, t)dt-\p{l,
-И'
(Xf
t)dt =
-]dx,
из которого следует, что нулевым начальным данным ср (л:) = 0,
¦ф(х) = 0 отвечает нулевое решение.
§ 5] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 73
Применяя тождество интеграла для решений uh pt\ px> P(fbux
той же системы, удовлетворяющих начальным данным
| щ@, о = - J_р,@, 0 = -JLу (д), г Рх(о, о=ч>'(х),
\ Pt (о, о = - РосЫх @, о = - ^
мы придем к равенствам
fr
позволяющим, вместе с интегралом энергии для исходной системы,
оценить
/ / /
I и2 (х, t) dx, \ и\ (х, t) dx, \ u\ (a:, t) dx,
0
J p2 (x, 0 dx9 $ pi {x, t) dx, \ pi (x, t) dx
bob
через интегралы
^ Ф2 (л:) dx, Jj ty2 (x) dx, ^ (ф'J dx, ^ (ty'J dx
о о о о
от функций, задающих начальные данные.
Рассматривая решения смешанной задачи на интервале вре-
времени 0<Ct<T, нетрудно интегрированием тождества интеграла
энергии по t получить равенства:
74 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
с помощью которых оцениваются
Т I Т I Т I
\ \ и2 {х, 0 dx dt, \ \ и\ (х, t) dx dt, \ \ u\ (x, t) dx dt,
00 0 0 0 0
T I T I T I
I J p* (X, t)dxdt, H p\ (x, t) dx dt, \ \ pi (x, t) dx dt.
6 6 0 0 0 0
Такого рода оценки будут в дальнейшем положены в основу изу-
изучения свойств решений гиперболических систем. Конечно, инте-
интегральные тождества для производных только по аналогии могут
называться интегралами энергии, но такое наименование для них
установилось и мы будем им пользоваться. Оказывается удобной
следующая операторная точка зрения. Мы можем считать, что
система уравнений
ди , 1 др __г\
"dt "•" "ро ~дх ~ '
j ф 2 ди __ 0
с граничными условиями //@, /) = м(/, 0^0 определяет опера-
оператор R, сопоставляющий начальным данным Ц)(х), ty(x) (O^x^l)
решение и(х, /), р(х, t)(O^x^l, O^t^T)
Будем рассматривать начальные данные ф (х), тр(х) как вектор
функционального пространства Ф с нормой
5 (х) + 'ф2 (х) + [ф' {х)]2 + W {х)]2} dx,
а решение и (х, t), p (x, t) как вектор пространства U с нормой
i __
С \ {и2(х, t) + p*(x, 0 + иЦх, t) + ul(x, t) +
i i
i(x, t)}dxdt +
l/ J [«2 (x,
+ max l/ J [«2 (x, 0 + p2 (x, 0 + ul (x, *) + p» (x, /)] dx.
Полученные с помощью интегралов энергии оценки могут быть
записаны в виде неравенства
I
Pit/
§ 5] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 75
с постоянной Л/, выражающейся через р0, с0, Т, а это неравен-
неравенство можно понимать как оценку
для нормы оператора /?, осуществляющего отображение
фЛи.
Мы определим это отображение для достаточно гладких дважды
непрерывно дифференцируемых элементов {ф(#), ty(x)} простран-
пространства Ф, удовлетворяющих условиям согласования
ф@) = 0, 1>'@) = 0, Ф"@) = 0,
о, -ф' (/)—о. <р"(/)=о.
В функциональном анализе принято различать пространства
полные и неполные. В полном пространстве для каждой фунда-
фундаментальной последовательности можно указать элемент того же
пространства, к которому эта последовательность сходится. Про-
Пространство Ф, если в него включать только дважды непрерывно
дифференцируемые ф(дс), i|)(#), полным не является, так как из
сходимости по || ||ф нельзя сделать никаких заключений о схо-
сходимости вторых производных ф", i|)" — они в норму не входят.
Нетрудно построить пример фундаментальной по || ||ф последова-
последовательности, состоящей из пар {(рп(х), tyn{x)\ дважды дифференци-
дифференцируемых функций, сходящейся (по || ||ф) к паре |ф(л;) = -^—х,
я|5 (л:) = 0V, у которой ф(х), очевидно, не имеют даже первой произ-
производной при лс = О. Построение такой последовательности состав-
составляет стандартное упражнение по математическому анализу и мы
не будем на нем останавливаться.
Неполнота пространства начальных данных Ф, состоящего из
дважды непрерывно дифференцируемых ф(#), ty{x), и соответ-
соответствующего пространства гладких решений U, усложняет построе-
построение теории, так как не позволяет, построив фундаментальную
последовательность приближенных или точных решений с глад-
гладкими начальными данными из Ф, утверждать, что предел такой
последовательности удовлетворяет начальным условиям из Ф и
лежит в [/.
Однако это затруднение можно преодолеть, если включить
в пространства Ф, U пределы всех возможных фундаментальных
последовательностей гладких элементов из этих пространств. Такое
включение в метрическое пространство идеальных элементов (пре-
(пределов фундаментальных последовательностей) носит название
пополнения пространства.
76 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. Г
Хорошо известным примером пополнения является расшире-
расширение множества рациональных чисел до множества всех действи-
действительных чисел.
С аккуратным изложением теории пополнения метрического
пространства можно познакомиться по учебникам [3], [4].
Рассмотренный выше ограниченный оператор /?, дающий реше-
решение изучавшейся смешанной задачи, можно распространить на
пополнение множества начальных данных из Ф; после этого он
будет отображать элементы этого пополнения в пополнение мно-
множества гладких решений, лежащих в U. Так построенным эле-
элементам пополненного U присваивается название обобщенных ре-
решений.
Этими замечаниями мы закончим сейчас наше беглое знаком-
знакомство с точкой зрения, основанной на сопоставлении дифференциаль-
дифференциальным уравнениям операторов в функциональных пространствах,
отображающих элементы пространства начальных данных (или
граничных условий) в элементы пространства решений.
§ 6. Характеристики
Определение характеристик для общей системы уравнений первого порядка
с двумя независимыми переменными. Соотношения на характеристиках. Комп-
Комплексные характеристики уравнений Коши — Римана. Определение характери-
характеристик в случае большего числа независимых переменных. Определение ^-гипер-
^-гиперболической системы первого порядка. Симметрические ^-гиперболические си-
системы первого порядка. Пример — уравнения для звуковых волн. Инвариант-
Инвариантность понятия характеристик относительно невырожденных преобразований
искомых функций и замены уравнений эквивалентными линейными комбина-
комбинациями. Конус характеристических нормалей. Определение характеристик для
одного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши для такого урав-
уравнения. Примеры. Определение эллиптической системы и эллиптического урав-
уравнения.
Примеры, разобранные в предыдущем параграфе, подвели нас
к понятию характеристик, хотя определения этого понятия мы и
не давали.
Этот параграф мы посвятим характеристикам, описав сообра-
соображения, приводящие к этому понятию в трех типичных случаях.
Понятие характеристик для уравнений и систем более общего
вида по существу ничем не отличается от разбираемых ниже
примеров.
В разных примерах мы даем разное аналитическое оформле-
оформление рассуждений, приводящих к определению характеристик,
чтобы в дальнейшем облегчить читателю использование различ-
различных литературных источников.
Начнем описание характеристик в случае произвольной линей-
линейной системы с двумя независимыми переменными х, t.
• 6] ХАРАКТЕРИСТИКИ 77
Пусть изучаемая нами система имеет вид
Иногда мы будем записывать эту систему в матричной форме
ди , п ди е
обозначая
Ц в
\\Ап /У' *~ki «
Применяя матричную запись, мы, конечно, можем не ограни-
ограничиваться случаем двух уравнений с двумя неизвестными функ-
функциями. Векторы и, f можно предполагать /г-мерными. Матрицы
должны иметь при этом размер пхп.
Пусть нам известно, что рассматриваемая система имеет глад-
гладкое решение в некоторой области G. Выберем в этой области
точку (#0, /0) и проведем через эту точку кривую у. Вектор бес-
бесконечно малого смещения вдоль этой кривой из точки (л:0, /0)
будем обозначать (dxy dt). Предположим, что нам почему-либо
известны значения и вдоль кривой у и что мы хотим по этим
значениям и по уравнениям системы восстановить и в некоторой
окрестности у.
Задача нахождения решения системы в окрестности кривой у
по значениям этого решения на кривой называется задачей Коти
для системы. Давайте еще сузим стоящую перед нами задачу,
а именно ограничимся попыткой найти у вектор-функции и =
= (ult и2) лишь производные по нормали к кривой у в точке (х0, t0),
лежащей на этой кривой.
Заметим, что так как иъ и2 вдоль кривой известны, а следо-
следовательно, известны производные от них вдоль кривой, то знание
нормальных производных позволяет нам вычислить производные
по любому направлению, в том числе и все производные
dui dui ди2 ди2
в точках кривой. Наоборот, знание этих четырех производных
позволяет вычислить производные по любому направлению, в том
числе и по нормали к кривой.
Поэтому мы и поставим перед собой задачу: зная вдоль кри-
кривой у вектор-функцию и, найти в точках этой кривой производ-
ди ди
Ные dt > дх-
78
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
Вычисление этих производных мы будем производить в точке
(х0, t0), используя из нашего знания функции и лишь значение
дифференциала du, отвечающего смещению dx> dt вдоль кривой.
Запишем du с помощью частных производных от и:
dt
dt
дх
дх
В этих равенствах подчеркнуты известные нам дифференциалы,
определяющие смещение вдоль у.
Объединяя эти два равенства с двумя первоначальными урав-
уравнениями системы, мы приходим к четырем линейным уравнениям
d д д д
с четырьмя неизвестными ^,
A d^i . д ди2
11 dt ' 12 д?
1 dt
dt-
дш ди2
ди2
w
dt
В матричной форме уравнения для
ди
dt
dx
ди_
дх
пишутся так:
dt
дх
л г} ди , 1 п ди
dt E -zr + dx Е -л— = i
B)
Через Е мы обозначили единичную матрицу. Из этих уравнений
искомые производные могут быть определены, если только опре-
определитель
Для системы второго порядка
det
Л В I
О
dt
dx
О
Линии (задаваемые дифференциалами смещения dxy dt), вдоль
которых
>61
ХАРАКТЕРИСТИКИ
79
называются характеристиками системы
А ди . о ди *
dt
дх
Пусть теперь у нас кривая у является характеристикой. Не-
Несмотря на то, что определитель равен нулю, система B) имеет
решение, так как мы предполагаем, что в G существует решение
системы A), принимающее на у заданные там значения. 3hro озна-
означает, что ранг расширенной матрицы
I.M B f
\\dtE dxE du
равен рангу вырожденной матрицы
Л в
dtE dxE
коэффициентов при неизвестных <г, -^-.
Следовательно, вектор du вдоль характеристик не может быть
произвольным. Он должен удовлетворять соотношению:
В f
dxE du
=рангу
Л
dt E
В
dxE
Это соотношение и является соотношением на характеристике,
записанным в матричной форме *).
Для того чтобы проиллюстрировать понятия характеристик и
соотношений на них, мы рассмотрим уже знакомый нам пример
системы, описывающей звуковые волны,
dt
_L ЕЕ. - о
ро дх ~и'
Вот ее матричная форма:
*) Линейно независимых линейных уравнений, связывающих du, dty dx и
вытекающих из этой матричной формы, может быть больше, чем одно, если
II Л В ||
ранг ,. Р ., _, вдоль характеристик меньше ее ранга при произвольных dt,
|| dt h dt Ь, Ij
dx на 2, 3 или на еще большее число.
80
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
Система уравнений B) запишется в этом примере так:
1 0 0
dt 0 dx
О dt О
JL\
Ро
0
0
dx
j
jdu\
jdt
dp
dt
du
dx
dp
\dxi
о
0
du
dp
Уравнение характеристик
1
0
dt
0
0
1
0
dt
0
Po^
dx
0
Po
0
0
dx
= dx2 - cl dt2 = (dx - c0 dt) (dx + c0 dt) = 0.
Таким образом, в качестве характеристик мы получили линии,
задаваемые уравнениями
dx = ±c0 dt,
т. е. прямые
xz^zcot = const.
Это как раз те линии, которые мы решили назвать характери-
характеристиками в предыдущем параграфе.
Перейдем теперь к получению соотношений на характеристи-
характеристиках для рассматриваемой системы. Нам надо, чтобы ранг матрицы
1
1
0
dt
0
0
1
0
dt
0
Poco
dx
0
Po
0
0
dx
0
0
du
dp
равнялся (вдоль характеристики) рангу матрицы, составленной
из ее первых четырех столбцов. Определитель этой последней
равен нулю. Поэтому должен быть равен нулю определитель мат-
матрицы, составленной из произвольных четырех столбцов. Например,
10 0 0
0
dt
0
1
0
dt
Ро<
dx
0
о
du
dp
= dxdp + p0c20 du dt = 0.
dx
Мы видим, что вдоль характеристик — = с0 выполнено соотно-
соотношение cQ dt dp + pQcl du dt = O или, что то же самое, d Iи + — j -= 0.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
81
Вдоль характеристик -*г = — ^о аналогично получаем соотноше-
соотношение d(u — ) = 0. Мы показали, что для системы уравнений рас-
пространения звуковых волн данное нами общее определение
характеристик и соотношений на них приводит к фактам, кото-
которые были выведены в предыдущем параграфе.
Рассмотрим еще пример системы уравнений Коши —Римана
ди dv __ п
дх ду
ду ~*~ дх ~~
В матричной форме она записывается так:
\0 1/ дх \vj ' \1 О) ду \vj~
Раскроем характеристический определитель этой системы
10 0—1
0 11 0 , 2 i а 2
= dx2 + dy2.
dx 0 dy
0 dx 0
0
dy
Мы видим, что система Коши — Римана не имеет вещественных
характеристик (они определяются равенствами dy = ±idx).
Системы, у которых все характеристики вещественны, при
некоторых дополнительных ограничениях называются гиперболи-
гиперболическими. Изучая постановку задачи Коши для гиперболических
систем, мы обычно будем предполагать, что начальные данные
задаются на некотором отрезке оси х (при / = 0). В качестве таких
начальных данных задаются начальные значения всех неизвест-
неизвестных функций. При этом мы будем предполагать, что ось х не
является характеристикой, т. е. что при любых начальных зна-
значениях и(х, 0) мы можем, в силу системы, определить производ-
производные по t. Так как система пишется в виде
а ди , г, ди -
то это означает, что на отрезке задания начальных данных не
равен нулю определитель det || Л || =^ 0. В этом случае система
может быть переписана так:
dt * дх
или, если обозначить A~1B = Ci A~1f = gy
ди , s> ди
Ж
82 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ |ГЛ I
Как правило, мы с самого начала будем предполагать систему
заданной в такой форме. Уравнение характеристик для системы
в такой форме упрощается. Действительно, для системы порядка п
= dtn det
О С-*Е\
= (— l)ndtndet
Г —F\\.
Е -EW С~^!'
Е ~ЖЕ1
Поэтому характеристиками являются линии, удовлетворяющие
уравнениям
-Jf = ki (*» 0»
в которых наклоны характеристик kt вычисляются как характе-
характеристические корни матрицы С:
Если все корни этого уравнения вещественны и не являются
кратными ни в одной точке рассматриваемой области, то мы
будем называть эту систему гиперболической в области.
В дальнейшем мы увидим, что некоторые (не все) системы
с кратными характеристическими корнями k тоже следует при-
причислить к классу гиперболических, так как они обладают одина-
одинаковыми с ними свойствами.
Сделаем еще одно замечание. Приведенное нами определение
характеристик дословно переносится на системы вида
А(х, U u)^f
дх
Такого рода системы, у которых коэффициенты зависят от реше-
решения (но не от его производных), называются квазилинейными.
В этом случае характеристики зависят от того, какое решение
рассматривается. Линия, являющаяся характеристикой для одного
решения, для другого характеристикой не является. В качестве
примера такой квазилинейной системы можно привести известные
из механики сплошных сред уравнения движения баротропного
газа:
да , да р' (р) dp ~
dt ' дх •" р дх ~~ '
до др дц р.
dt ' дх ' " дх ~~ *
р = р (р) — уравнение состояния.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
83
Задача. Покажите, что для этой системы уравнения характеристик и
соотношения на них записываются в виде
dx
dt"
dp
dt
du-
dp
Перейдем теперь к случаю, когда число независимых перемен-
переменных больше, чем два. Мы разберем описание понятия характери-
характеристик в типичном случае, когда таких переменных три (.v, у, t).
При этом описании мы будем интересоваться только самим урав-
уравнением характеристик, а соотношений на ней выписывать' не
будем. (Описание, которое мы дадим для случая трех перемен-
переменных, может быть дословно перенесено и на уже разобранный
случай двух пеэеменных.)
Итак, пусть нам дана система п уравнений с п неизвестными
функциями. Мы ее запишем в векторной форме
ди
ди
ди
Пусть нам известно, что эта система имеет гладкое решение
в некоторой области G пространства (х} yt f). Предположим, что
мы знаем это решение на некоторой поверхности 5, лежащей в G,
и нам хочется воспользоваться этим знанием, чтобы определить
решение и вне 5, хотя бы в некоторой окрестности этой поверх-
поверхности, т. е. решить задачу Коши для рассматриваемой системы.
Давайте еще сузим стоящую перед нами задачу. Ограничимся
только отысканием производных от неизвестных по нормали к 5
в некоторой точке (х0, у0, t0) этой поверхности. (Для этого до-
достаточно найти производные по какому-либо направлению, не
касательному к поверхности.)
Пусть уравнение поверхности 5 пишется в виде
ф (*> У, t) = 0, где grad ф Ф 0.
Рассмотрим, кроме ц = ц>(х, у, f) еще две какие-либо функции
а = а(л:, t/, /), р = Р (л:, у, /), подчиненные только условию
флг Цу ф/
ах ау
P/
в некоторой окрестности точки (xQ) yQ) t0) поверхности S. Систему
функций
ф = ф(*, у, 0.
Р = Р(^, у, 0
84 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
можно рассматривать как некоторую новую систему координат.
Если Z = Z(x, у, t) = Z[x(q>, a, Р), #(ф, а, р), /(<р, а, р)] =
= Z (ф, а, Р), то Za, Zp являются производными по направле-
направлениям, касательным к 5, а Z<p — производная по некоторому
не касательному к 5 направлению.
Запишем нашу систему в новых координатах
(Я очень рекомендую при разборе этого материала, наряду
с матричным выводом, провести выкладку в покомпонентной форме
на примере системы второго или третьего порядка.)
Для разрешимости этой системы относительно ¦?- при любых
~, зг, / надо, чтобы определить
Мы видим, что это условие только для поверхности S{<p(x, у, t) = 0]
и никак не связано с выбором вспомогательных координатных
функций а, р. Так как вектор f-J-, ~, -—) коллинеарен вектору
нормали (т, ?, ц) к поверхности 5, то последнее условие эквива-
эквивалентно неравенству
Определение. Поверхности 5{ф(л:, у, /) = 0}, на которых
р
det -J-Л+~ В+-—
=0, или, что то же самое,
-|-т|С|| = 0, где (т, |, ц)—вектор нормали к поверхности 5,
называются характеристиками системы
Л ди 1 R ди L Г ди
A + B + C
Разберем пример, иллюстрирующий это определение. Система,
описывающая в двумерном случае распространение звуковых
волн, пишется так:
ди dv
1^
роду
ХАРАКТЕРИСТИКИ
85
Вот матричная форма этой системы:
/1 о о
О 0 р0с20\ /р\
0 0 0 \ д I и
0
\*У\
3Десь пишется так:
Ее определитель
det
dt\[dt)
Приравнивая определитель нулю, получаем уравнения характе-
характеристик:
dt
г=0,
Определение. Система п уравнений первого порядка
называется t-гиперболической, если ее характеристическое уравнение
при любых вещественных Е, т] (^2 + г\2 Ф 0) имеет п вещественных
и различных корней т. Если матрицы Л, В, С зависят от ху у, t,
то требуется, чтобы это условие было выполнено в каждой точке
(.v, t/, /) рассматриваемой области.
Проверять условие гиперболичности для конкретных систем
очень трудно. Однако есть один важный класс систем, когда такая
проверка существенно облегчается.
Рассмотрим систему
86 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
с симметричными матрицами Л, В, С. Матрицу Л предположим
к тому же положительно определенной.
Очевидно, что матрица о>Э = ?В + т]С тоже будет симметричной
при любых ?, т]. Известно, что любые две симметричные матрицы
Л, о®, одна из которых (в нашем случае Л) положительно опре-
определенная, можно одним и тем же невырожденным вещественным
преобразованием Т привести к диагональному виду (матрица Л
при 3fOM может быть переведена в единичную)
/Ьг 0 \ /1 0\
^2 Т*/1Т__( !
Vo &/г/ \о
Рассмотрим теперь уравнение
fc+h
+b\ =0.
0 '
При любых вещественных |, т| оно имеет для т ровно // ве-
вещественных корней. Правда, у нас нет никакой информации об их
кратности. Несмотря на это, системы вида
dt ' дх ' ду '
с симметричными матрицами Л, В, С, из которых А положи-
положительно определенная, обладают всеми основными свойствами гипер-
гиперболических систем. Часть этих свойств будет нами в дальнейшем
подробно изучаться.
Определение. Система уравнений
называется симметрической t-гиперболической системой (по Фрид-
рихсу), если матрицы А, В, С являются симметрическими, а
матрица А к тому же положительно определенной (Все элементы
матриц Л, В, С и компоненты правой части предполагаются, как
обычно, достаточно гладкими функциями х, у, t.)
Пример. Уравнения распространения звуковых волн, кото-
которые мы уже рассматривали, можно записать так:
1 др ,ди_ <Ь__П
рос§ dt "Г" дх "Т" ду и'
р.* +!-»¦
§ 6] ХАРАКТЕРИСТИКИ 87
По сравнению с предыдущим примером мы первое уравнение
разделили на росо, а два последующих помножили на р0.
В матричной форме рассматриваемая система перепишется так:
. о о\а/Р\ /о 1 о\а/Р\ /о о
О ро 0 dt\u *[{ 0 0 ~дх\и ^{0 0 0 ду\и I О
О 0 р0/ W \0 0 0/ W \1 О О/ W W
Из этой записи следует, что матрицы
/ J_ о о \ /о 1 0\ /0 0 1
А = Р°С() Л 5=100 с= о о о
удовлетворяют всем условиям только что приведенного определе-
определения и что поэтому уравнения распространения звука в исполь-
использованной сейчас форме образуют симметрическую /-гиперболическую
систему.
Симметрические /-гиперболические системы, как это выяснится
в следующей главе, позволяют построить некоторые важные соот-
соотношения, которым удовлетворяют их решения. Эти соотношения,
обобщающие закон сохранения энергии для решений уравнений
акустики или уравнений Максвелла, носят название интегралов
энергии.
По существу вся теория симметрических гиперболических
систем основывается на этих тождествах.
Для системы
А(х, у, U и)-^+В(х, у, U U)fa+C(x, у, U u)-dy = f(x* У> U и)
(здесь Л, В, С—матрицы, и — n-мерная вектор-функция) мы опре-
определили характеристики как такие поверхности 5, что вектор
(т, Н, т)) —нормаль к 5 — удовлетворяет равенству
Замегнм, что это определение выделяет поверхности, которые
не меняются при произвольном линейном невырожденном пре-
преобразовании множества искомых функций и при замене исходных
уравнений произвольными их линейными комбинациями.
Именно, положим u = Tv(T ==Т (х, у, t) — невырожденная
матрица). Тогда функции v будут удовлетворять системе
Arpdv ,RTdv rTdv , / - дТ QdT rdT\
dt ' дх ' ду ' \ dt ' дх ' ду)
Замена уравнений системы их линейными комбинациями экви-
эквивалентна умножению системы слева на невырожденную матрицу Q.
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
При этом уравнения принимают форму
Если бы Q была вырожденной, то эти уравнения не были бы
эквивалентны исходным.
Напишем уравнение характеристик для так преобразованной
системы:
По теореме об определителе произведения матриц
det || xQA T + IQBT + *\QCT || = det || Q (тА + %В + цС) Т || =
- det || Q || det || хА + 1В + цС || det \\T \\.
В силу неравенств det || Q || Ф О, det || Т \\ Ф 0 уравнение
det||T^+gB + T|C|| = O C)
эквивалентно уравнению
Утверждение об инвариантности понятия характеристик отно-
относительно невырожденных линейных преобразований множества
искомых функций и относительно замены уравнений произволь-
произвольными равносильными линейными комбинациями доказано.
Множество векторов (т, |, т]), удовлетворяющих равенству C),
очевидно, является конусом, так как с каждым вектором (т, Н, т\)
этому равенству удовлетворяют и все коллинеарные ему векторы
вида (&т, k\, kr\). Конус, определяемый таким уравнением, назы-
называется конусом нормалей к характеристикам или, короче, конусом
характеристических нормалей. Если матрицы коэффициентов Л,
S, С зависят от координат х, у, t, то и конус характеристи-
характеристических нормалей
det |1 тЛ (^, у% t) + tB(x, у, г) + цС{х, у, *)|| = 0
в каждой точке пространства (х, у, t) свой.
Дадим еще определение характеристик в случае одного урав-
уравнения второго порядка
А д12~ + 2ВдГд^ + Сд^===' ^ '» "• ^ и*)'
Ограничимся только случаем двух независимых переменных х, t.
В случае большего числа переменных характеристики определяются
совершенно так же.
Перейдем к новой системе координат:
§ 6] ХАРАКТЕРИСТИКИ 89
В этой новой системе координат уравнение запишется так:
= f(x, t, uy
Предположим теперь, что на некоторой кривой ф = фо = const
нам задана функция и и все ее первые производные, как функ-
функции от а. Для нас существенно, что известна функция м и ее
производная ~. Дифференцируя их по а (то есть вдоль кривой),
мы найдем на этой кривой
ди д*и д*и
да ' да2 * дуда'
Теперь с помощью уравнения, если только
мы сможем найти ~-2. Кривые у(х9 t) = const (grad <р Ф 0), на ко-
которых
называются характеристиками уравнения
2и 1 Cd2u
Характеристики играют для одного уравнения такую же важную
роль, какую они играют для систем.
Так же как и для рассмотренных выше систем, при определе-
определении характеристик для уравнения второго порядка равенство D)
можно заменить эквивалентным ему соотношением
где (т, ?) — нормаль к исследуемой кривой.
90 ВВОДНАЯ ЧАСГЬ [ГЛ. I
Если кривая ср(х, 0 = Фо является характеристикой, то реше-
решение и удовлетворяет вдоль нее равенству
дц> да о #р fa , о дф да гдц да ] д_ (ди
А ^
dp ' " dt дх ^ ^ дх* | dtp ^ L #2 ^ dtdx^" дх*
ди
да
Это равенство можно рассматривать как соотношение между
ди
w, -к- вдоль характеристики.
Задача Коши для уравнения второго порядка ставится так.
Задавая на некоторой линии ф = const значения и} .-, мы дол-
должны постараться определить решение в некоторой окрестности
этой линии. Если кривая ф = const является характеристикой,
то ставить задачу Коши на ней нельзя. Задав и на кривой, мы
сможем определить ?/ф из соотношения на характеристике. Сео-
бода задания начальных данных снижается. Иногда, правда,
достаточно на характеристике задать и, чтобы определить реше-
решение, но такую постановку задачи уже неестественно называть
задачей Коши.
Примеры. 1. Для уравнения д~2-— — = 0 характеристики
определяются равенством
(дф\2 /<5ф\2 /дф дф \ fdq> с
~dt) ~~ \дх) ^ \Ж ~ дх) \Ж + (
Общее решение уравнения лТ + ^^О имеет вид ф — ф(х — /),
д(р дт ^
а общее решение, аннулирующее другой множитель -j- — -~, будет
Ф ф( ) Равенства ф (х — t)= const или ф (х +1) = const опре-
определяют два семейства прямых x±t = const, которые и будут
характеристиками рассматриваемого уравнения.
2. Для уравнения Лапласа л"г + л==0 уравнение характе-
д(р\2 fdw 2
/д(р\2 fdw 2 п -
ристик (~^г] +1^") =^ действительных решении не имеет.
3. Уравнение теплопроводности -^т = ^, приводит к уравне-
уравнению характеристик (-S-) =0. Общее решение этого уравнения
\ ОХ }
Ф = Ф @> з характеристики ф (/) = const (/ = const) представляют
собой прямые, параллельные оси х. Задача определения темпера-
температуры для />0 по начальным значениям и(х, 0) представляет
§ б] ХАРАКТЕРИСТИКИ 91
собой задачу с данными на характеристике. Именно поэтому здесь
задается в качестве начального условия только одна функция,
хотя уравнение теплопроводности второго порядка. Начальная
задача для уравнения теплопроводности не является задачей Коши,
хотя такое название ей часто в литературе присваивается.
Оказалось, что уравнения с частными производными естественно
классифицируются по свойствам характеристического уравнения.
Так было введено понятие гиперболических систем, которые мы
уже определяли. Дадим еще определение эллиптических систем
или уравнений.
Система
дх ' ду ' дг '
называется эллиптической, если ее характеристическое уравнение
не имеет вещественных решений (|, г), ?) таких, что ?2-f-t]2 +
+ ?21>0. Чтобы дать определение эллиптичности для одного
уравнения
Л дх* ^~ZD дхду + С W~~h
надо рассмотреть его характеристическое уравнение
и потребовать, чтобы оно не имело вещественных решений (|, у\)
таких, что ?2+г|2:>0.
Примером эллиптической системы является система уравнений
Коши — Римана:
да ди р.
дх " ~Щ; = '
да dv _п
а примером эллиптического уравнения — уравнение Лапласа
д~и . д2и п.
лг ди д2и г,
Уравнение теплопроводности ^, —- = 0 имеет в качестве
уравнения характеристик уравнение ?2 = 0, распадающееся на два
совпадающих уравнения. Оно относится к промежуточному между
эллиптическим и гиперболическим классу параболических урав-
уравнений. Мы не будем приводить определения параболических урав-
уравнений, а лишь отметим, что в это определение входят не только
коэффициенты при старших производных, но и некоторые другие
коэффициенты,
92 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
В заключение параграфа укажем на следующее обстоятельство.
Несмотря на то, что переход к новым неизвестным функциям и
замена уравнений их линейными комбинациями оставляет харак-
характеристики неизменными, бывают случаи, когда для описания одного
и того же явления могут употребляться уравнения и системы,
имеющие разные характеристики.
Приведем пример. Уравнения акустики
\ др ди , dv п •
Р° dt ~*~ ду ~~и'
если первое из них продифференцировать по t и вычесть из резуль-
результата второе и третье, продифференцированные соответственно по х
и по у, приводят к одному уравнению второго порядка:
1 д*Р д*р д*р _0
cl дР дх* ду*
Его характеристическое уравнение
<P?-c8(<pS + <pJ) = O
отличается от характеристического уравнения исходной системы
В этих преобразованиях использовалось дифференцирование,
которое не включалось в число преобразований, оставляющих
характеристики инвариантными.
§ 7. Метод Фурье
Схема метода Фурье для уравнения Лапласа и его обоснование. Метод
Фурье для гиперболической системы уравнений акустики. Представление реше-
решений в виде суммы стоячих волн. Пересказ вводной главы из работы Римана,
посвященной истории метода Фурье. Ортогональность собственных вектор-функ-
вектор-функций и вычисление коэффициентов Фурье.
В этом параграфе мы опишем идею так называемого метода
Фурье. Этот очень распространенный метод решения дифферен-
дифференциальных уравнений, к сожалению, не является универсальным.
Он применим только к линейным уравнениям некоторого специаль-
специального вида, позволяющего построить для этих уравнений доста-
достаточно богатый запас частных решений. Линейные комбинации этих
частных решений затем применяются для того, чтобы аппрокси-
аппроксимировать более или менее произвольное решение»
§ 7] МЕТОД ФУРЬЕ 93
Рассмотрим, например, уравнение Лапласа ~2 + g^ = 0 в круге
yR2. Нам будет удобно, перейдя к полярным координатам
г, ф (лс = г cos ер, r/==r sin ф), записать это уравнение в форме
г о
а затем искать его частные решения вида
и (г, <р) = Л (г)Я(ф).
Подставив эту формулу в уравнение, будем иметь
и, далее,
г [гА'(г)]' = Д»(Ф) =^
Так как из этого равенства А, должно зависеть, с одной стороны,
только от г, а с другой — только от ф, то необходимо, чтобы оно
ни от одного, ни от другого аргумента не зависело, т. е. было бы
постоянным. Уравнение
Д*(Ф) =Л
или, что то же самое,
имеет общее решение
В (ф) = сх sin Q/Яф) + с2 cos
Очевидно, что В (ф) должно быть гладкой периодической с перио-
периодом 2л функцией от ср. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
Y\ было целым числом пу т. е. чтобы Х = п2. (Докажите это.)
Уравнение
r[rA'(r)]'-n*A(r) = 0
для множителя А (г) является так называемым уравнением Эйлера.
Его общее решение (при пО)
Итак, мы пришли к решениям уравнения Лапласа, имеющим
вид
и (г, ф) = А (г) В (ф) = (c3rn + c^rn) (cx sin шр + с% cos /ир).
Частные решения
(/ = r±/2 cos яф, а = r±w sin щ
94 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
получаются специальным выбором постоянных
Решения r^cosmp, r*nsinmp, имеют особенность при г = 0, и
мы постараемся обойтись без них. Добавим к набору частных
решений r^cosmp, rnsinmp еще частное решение и = 1, являю-
являющееся ограниченным решением, отвечающим зи^ттлтттт~ ~ - г». (Разы-
(Разыскивая его в виде и (г, ер) = А (г) cos @ • ср; =-= /i ^/;, замечаем, что
ограниченное решение уравнения
г[гА'(г)]'=0
получается из общего А (г) =с3 + с41п г лишь при с4 = 0.)
Линейная комбинация построенных частных решений
очевидно, тоже будет решением уравнения Лапласа.
Интересно, что если считать постоянные
а0, аъ аъ а3, ...
Ьъ Ь2У ft3, ...
ограниченными, то линейная комбинация бесконечного числа сла-
слагаемых
является при r<C.R решением уравнения Лапласа. В самом деле,
этот ряд можно переписать еще так:
со
ulr rn\— ali V р ^ г'1 (cos mp +1 sin щр) (дя — /6n) _
w v > y^—~2 * ?i Rn ~~
/1 = 1
2
/1 = 1
Ряд
CO
"T+ 2
является рядом Тейлора с радиусом сходимости не меньшим,
чем R. Отсюда следует, что внутри круга сходимости функции
w {г) — аналитическая, u = Rew гармонична.
§ 7] МЕТОЛ ФУРЬЁ 95
Если предположить равномерную сходимость ряда
со
-$тг(апcosn<v + bnsinnq>) (I)
вплоть до границы круга г = /?, то для граничных значений
u(R, ф)=/(ф) мы будем иметь представление рядом Фурье
оо
f (Ф) = -г + 2 (й" cos Пф + Ь" sin Пф)- B)
Как известно, коэффициенты Фурье aki bk вычисляются по фор-
формулам
2л
ак^~л\ /(ф)СО8^ф^ф, /5 = 0, 1, 2, ..., Л, ...,
о
2я
ftA = ^- ^(ф)81'п*ф% А = 1, 2, ..., Я, ....
б
Для того чтобы обеспечить равномерную сходимость рядов A) и
B) (первого в замкнутом круге r^R), достаточно предположить
непрерывность вторых производных у /(ф). Интегрированием по
частям можно убедиться в том, что при этом
2л
пк ^ ~ "SF \ f" ^ cos
2л
0
, const , , ^ const
Эти неравенства обеспечивают сходимость.
Таким образом, для любой достаточно гладкой /(ф), заданной
на границе круга Q^r^R, законно следующее построение реше-
решения задачи Дирихле:
1°. Вычисляем коэффициенты Фурье /(ф) по формулам
2л
а"~п) (ф cos ф ф>
2л
Л = 1, 2, ..., пу ...
$6 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ |ТЛ I
2°. Используем эти коэффициенты при составлении «линейной
комбинации»
оо
+ % ^ (аzosn<p + bnsinп<р)=>
Л=1 /2=1
частных решений уравнения Лапласа. Мы доказали, что построен-
построенная функция и (г, ф) является в круге r^R решением задачи
Дирихле для уравнения Лапласа с граничным значением / (<р),
если функция /(ф) достаточно гладкая.
Сейчас мы покажем, что описанная процедура применима для
любой непрерывной /(ф), совсем не обязательно дифференцируе-
дифференцируемой. Есть примеры, показывающие, что ряд Фурье для непре-
непрерывной функции может не сходиться к ней равномерно. Несмотря
на это, мы покажем, что полученный при помощи нашей про-
процедуры ряд для решения задачи Дирихле сходится к этому реше-
решению равномерно в любом круге r^R0<cR радиуса Ro, меньшего R.
В § 2 решение задачи Дирихле в круге при любой непрерывной
/(ф) было построено с помощью формулы Пуассона. Воспользуемся
комплексной формой этого решения
2я 2я
/ (a) Reia da , 1 f / (a) Re~ia da
2л 2л
2п У К J ' Л J Reia_reiq>
О О
разложив подынтегральное выражение в ряд Тейлора по степе-
степеням -д-:
00
(a)=4/(a)+ У D
I l_Lep
Этот ряд можно почленно проинтегрировать и перегруппировать
§ 7) МЕТОД ФУРЬЕ 9?
слагаемые:
2л
w(x, y) = w(rcos<p, r sin ф) = 1 ] Г- 1 + *^ fq> 1/ (a) da =
О L J
2л оо 2я
= 2— \ /(а)da4" У (-о-) — \ (cosAZ9COSAza4-sin^sinAza)/(a)da4-
0 /2= 1 О
оо 2л
4-1 / (-П-) — \ (sin дф cos na —sin nacos дф)/(а) da==
/2=1 0
OO OO
A ^^ A ?
n = 1
Через яЛ1 6Л мы обозначили интегралы
ап = — \ / (a) cos па da, п = 0, 1, 2, ...,
о
2Л
bn=~- \ f (a) sin па da, лг == 1, 2, ...,
совпадающие с коэффициентами Фурье.
Тем самым показано, что для любой непрерывной f (cp) формула
решения задачи Дирихле
представляет собой просто другую запись формулы Пуассона.
Следовательно, справедлива формула A) и обоснован метод Фурье.
Выделяя мнимую часть из ряда
найдем
оо
^(*>У)=2 r^(—bncos пц> + ап sin
п=1
Мы обосновали правило Фурье построения гармонической в круге
функции и (х, у) по ее непрерывным граничным значениям. Более
того, мы дали также ряд для построения v(x, у) — гармонической
функции, сопряженной к и (х9 у) и связанной с ней соотношениями
98 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. !
Коши — Римана
( ди _ dv
дх ~~ ду '
ди dv
ду dx%
Из этих соотношений видно, что функция v (х, у) определяется
по заданной и (х, у) однозначно, с точностью до произвольной
постоянной (однозначно определяются vx, vy). Мы доказали тем
самым, что аналитическая в круге \x-{-iyl\<cR функция w вос-
восстанавливается по непрерывным граничным значениям ее веще-
вещественной части однозначно, с точностью до произвольного посто-
постоянного мнимого слагаемого iC. Нам будет важно для дальнейшего
оо
заметить, что если числовой ряд ^] (\ап\ + \Ьп ) сходится, то w
как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций
будет непрерывной в замкнутом круге \x-\-iy\^R. Чтобы обес-
со
печить сходимость ряда ^] (!ял! + 1^л1)» достаточно предполагать
функцию /(ф) имеющей вторые непрерывные производные.
Отметим, что приведенное нами рассуждение дает аккуратное
доказательство того факта, что всякая достаточно гладкая (имею-
(имеющая непрерывные вторые производные) периодическая с перио-
периодом 2я функция (ф) может быть представлена равномерно сходя-
сходящимся к ней рядом Фурье B), для коэффициентов которого
выполнены неравенства
, . const , , . const
I a*! < -#-1 IM<ir-
Легко убедиться в том, что это доказательство, основанное на
теории интеграла Пуассона, по существу никак не опирается на
те сведения о рядах Фурье, которые мы использовали при
предварительном разборе наводящих соображений.
Ясно, что если функция f(z) имеет непрерывные вторые про-
производные и периодична с периодом 2/, то ее можно записать
следующим равномерно сходящимся рядом:
оо оо
knz , vi q . km
* I jLl I
Действительно, этот случай сводится к предыдущему, если поло-
положить
/ 2я яг
Z = — ф, ф == 7O ^ == ~7~*
ТС л1 I
§ 7] МЕТОД ФУРЬЕ 99
Приведенной сейчас формой ряда Фурье для f(z) мы воспользуемся
ниже в этом параграфе.
В качестве другого примэра на метод Фурье рассмотрим задачу
об акустических колебаниях слоя газа толщины /@^*^:/)
между двумя неподвижными плоскостями. Для этого у системы
уравнений акустики
dt ро дх '
др , 2 да __ ^
будем разыскивать решения, удовлетворяющие граничным усло-
условиям: и = 0 при х — 0, х = 1. Начнем с отыскания частных реше-
решений вида
u = T(t)U(x),
p = T(t)P(x).
Из уравнений акустики следует, что если такие решения сущест-
существуют, то Г, Р, U связаны равенствами
Т' @ - 1 Р'М. }v conct
T{t) ~"~~p~o U(x) -^-const,
(к является, с одной стороны, функцией только от t% а с другой —
только от х, поэтому оно на самом деле не зависит ни от
одного, ни от другого). Отсюда Т (t) = const eKt, и поэтому мы
должны рассматривать частные решения такого вида:
u = e"U{x),
p = eKtP(x).
Очевидно, что для U (х) должны быть выполнены граничные усло-
условия U @) = U (/) = 0. Подстановка решений указанного вида
в исходную систему дает для Uf P обыкновенные дифференциаль-
дифференциальные уравнения
' ро dx '
Общее решение этих уравнений имеет вид
U = Aec° + Be c%
Р = — p<fQAe
100 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
Постоянные Л, В определим из граничных условий U @) = U (/) = 0.
Эти условия приводят к однородной системе линейных уравнений
л+в = о,
Ае^ + Ве с« = 0,
которая имеет ненулевое решение, лишь если
U Ы а/
1 1
М _М =в ^о^^о=—2sh — = 0,
ес0 е с0 °
т. е. если Х — 1—^ (k — целое). Постоянные А, В при таких X
определяются с точностью до произвольного множителя. Мы
можем положить А = 1/2, В — —1/2. Тогда
. kn .kn
I Х -.1 х
U = i — = i sin-yx,
.kn .kn
e l +e l kn
— Po^o -I2 = — Po^o COS y- X.
Значения параметра Х, при которых задача
о dU ъ
;)с[х =0,
имеет нетривиальное решение, называются собственными значе-
значениями, а соответствующие решения U (х), Я (х) образуют собст-
собственную вектор-функцию. Мы установили, что собственные значения
и собственные функции даются формулами
л . knCn Т , . . kn r-j kn
Л/г = *-р-, Uu = l SID yjf, Pk = -— p0C0COS-j- X,
и тем самым показали, что частных решений
будет бесконечно много. Ясно, что любая конечная линейная
комбинация
§ 7] МЕТОД ФУРЬЕ
т. е.
С)-?*©-
также удовлетворяет системе
л "г ро а*
и граничным условиям и @, t) = u(lt t) = Q.
Для системы
^ л. J_ ?z __ л
а/ "*" ро дх ~ и>
и @, 0 = м(/, 0 = 0
обычно решают задачу с начальными данными
и(х, 0) = ф(^), р{х% 0) =
Аппроксимируем вектор-функцию {<p(x)t ty(x)} конечными линей-
линейными комбинациями
Естественно ожидать, что решение
п(х, t) = ^ake}^Uk(x),
р(х, t)=^ake^Pk(x)
будем аппроксимировать разыскиваемое решение и(х, /), р(х, t).
Мы сейчас ограничиваемся только не очень аккуратными
формулировками, которые нужны для понимания примера. Стро-
Строгая теория будет построена немного дальше.
Остановимся еще на следующем обстоятельстве. Рассматривая
вещественную систему с вещественными граничными условиями,
мы построили у нее комплексные частные решения
sm -y- = i cos ——¦ t sin -j x — sin -~ t sin ~r x9
102
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
Ясно, что линейная комбинация
/Uk±Jbh
является также линейной комбинацией вещественных частных
решений
= cos
л:.
2
г — U-k
2/
. «л
sin -j x,
Наоборот, любая комбинация этих вещественных частных решений
будет комбинацией комплексных решений (ukt pk). Использование
комплексных решений удобно для упрощения выкладок.
Решения вида
— sin ¦
/ sin
I
cos
kjlCn j . kli
f'slnTx
\— Po^o COS -j± t COS -j Xj \— p0C0 Sin -j-^-tCOS j- Xj
COS
knc0
Sin у JC
knc0 (/ + i
• COS ~r X j
описывают так называемые собственные колебания слоя газа, заклю-
заключенного между неподвижными
плоскостями х = 0, х — 1, или,
как иногда говорят, —стоячие
волны. Графики распределе-
распределения скорости и давления в та-
такой волне в некоторый момент
времени приведены на рис. 24.
Название «стоячие волны»
подчеркивает тот факт, что
для таких колебаний точки,
в которых амплитуда ско-
скорости и (или давления р)
равна нулю (узлы) или экст-
экстремальна (пучности), все
время остаются в одних и тех же местах. Отметим, что в «узлах»
скорости амплитуда давления максимальна. Нужно также ука-
Рис. 24.
§7j МЕТОД ФУРЬЕ '03
зать, что колебания давления сдвинуты по фазе относительно ко-
колебаний и.
Перейдем к обоснованию метода Фурье для системы уравнений
акустики, А именно, покажем, что решение этой системы с усло-
условиями и @, t) = u(l, /) = 0 и при некоторых дополнительных
ограничениях на начальные функции и (х, 0) и р(х, 0) представ-
представляется в виде бесконечной суммы частных решений системы,
описывающих стоячие волны.
В § 5 мы установили, что если (р(х), ty (х) имеют непрерывные первые и
вторые производные при Q^x^l и удовлетворяют условиям согласования
Ф @) = 0, Ф (/) = 0, Ф" @) = Ф* (/) = 0; г|/ @) = i|/ (/) = 0,
то решение уравнений акустики имеет вид
Р = Рс^о 2
Здесь /(г), g(z), дважды непрерывно дифференцируемые периодические функции
с периодом 2/
f(z + 2/) = /(г), g(z + 2l)=g(z),
связаны равенством / (г) = — g (— z).
Как известно, всякую достаточно гладкую периодическую
функцию можно разложить в равномерно сходящийся ряд Фурье:
fc=l k=l
(Мы уже отмечали, что доказательство этого факта вытекает,
в частности, из рассмотрений начала этого параграфа.) Условие
f(z) = — g(—z) накладывает на коэффициенты соотношения
в силу которых
k
ОО
g(z) = -f+ 2 akcosTz+ 2i Pa sin т г.
k = \ k = \
Коэффициенты ak> $k удовлетворяют неравенствам | ak \ <const/^2,
|Рл| <const/^2, вытекающим из непрерывности вторых производ-
104 вводная часть (гл. х
ных /", g". Для решения
ff_f(x-cot)+g(x+cot)
и— 2
Р — Росо 2
мы приходим к представлению
00
2 1 г «я , , л kn ,
ak -н- cos -г- (х + cJ) — cos -у (л: —.
+ 2 "•- тН?
sin т <* -
(перестановка членов, производившаяся при получении этого пред-
представления, законна в силу равномерной и абсолютной сходимости
рядов, вытекающей из неравенств
, , ^ const Q | ^ const
Тем самым получено представление решения через комбинацию
вектор-функций
?)-(!)•
ft , ^ cos -^ (х+соО —cos -у (л;—
^я А*я
- \ I / sin -т- (л: -f- cot) -]- sin -г- (х — cot)
'k/ \ OqCq — sin -r-
^яс0 , . kn
COS —r-^ / Sin -j- X
-poCosin^p/coe у:
каждая из которых является стоячей волной.
§ 7] МЕТОД ФУРЬЕ 105
Тем самым мы показали, что любое решение системы уравне-
уравнений акустики, отвечающее достаточно гладким начальным данным
и (х, 0) = ф (л:), р (х, 0) = ур (х) таким, что
(это условия согласования начальных данных с граничными усло-
условиями ?/@, t) = u(l9 t) = 0), может быть разложено в равномерно
сходящийся ряд по частным решениям —стоячим волнам. Обосно-
Обоснование метода Фурье для рассматриваемой задачи закончено.
Теперь немного истории. Метод, который носит название метода
Фурье, возник еще в 18 веке при изучении уравнения, описы-
описывающего колебания струны. Это уравнение точно такое же, какое
получается, если из системы
dJL _l JL д?. _ n
dt + po дх ~ u'
dp
исключить одну из неизвестных функций (например р). Так мы
приходим к уравнению
В нашей задаче // (х, t) удовлетворяет граничным условиям и @,
1) = и (/, /) = 0. Этим же условиям удовлетворяет отклонение
струны, закрепленной на концах. (В § 5 мы получали уравнение
такого же вида, как и C), исключением не р> а и.)
Изучая уравнение колебаний струны, Даламбер в 1747 году
показал, что его общее решение имеет вид
и(х, t) = f(x-cot) + g{x + cot).
В 1748 году Эйлер выразил /, g через начальное отклонение
струны ио(х) и через ее начальную скорость их(х), получив фор-
формулу
которую мы теперь обычно называем формулой Даламбера. Эйлер
отметил, что по смыслу задачи начальные данные и0 (х)у иг (х)
могут быть заданы в виде двух произвольных кривых.
Даламбер в 1750 году поспешил выступить против этого рас-
расширенного толкования его идеи, так как он подразумевал, что
и(х, t) непременно должно быть выражено через х% t аналити-
аналитически.
106 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
В 1753 году Даниил Бернулли из совсем других соображений
пришел к выводу, что самыми общими решениями уравнения
струны должны быть решения вида
ak sin -j- x cos -f- (t —
т. е. линейные комбинации стоячих волн. Эйлер с этим не согла-
согласился. Он сомневался в возможности представления произвольной
функции тригонометрическим рядом.
В 1759 году Лагранж, изучая колебания уже не струны, а ап-
аппроксимирующей ее нити с нанизанными бусинками, и затем
совершая предельный переход, подтвердил результаты Эйлера,
с одной стороны, и результаты, близкие к результатам Бернулли,
с другой. Однако большое количество предельных переходов,
которые в то время, конечно, не могли быть проведены хоть
с какой-нибудь строгостью, дало основание Даламберу не согла-
согласиться с трактовкой вопроса Лагранжем.
Только в 1807 году Фурье сформулировал теорему о том, что
совершенно произвольная функция может быть представлена три-
тригонометрическим рядом. Как это ни странно, с самыми решитель-
решительными возражениями выступил против этого Лагранж, хотя его
формулы почти совпадают с формулами для коэффициентов три-
тригонометрического ряда Фурье.
Доказательство теоремы Фурье было дано в 1829 году Дирихле,
который наложил на представляемую функцию довольно жесткие
условия, носящие его имя.
В 1853 году Риман, изучая условия, при которых функция
представляется тригонометрическим рядом, пришел, в частности,
к своему известному определению интеграла. Вводная глава его
работы содержит увлекательное изложение истории вопроса, кото-
которое я пересказал. Я бы очень рекомендовал прочесть эту главу.
Избранные сочинения Римана переведены на русский язык и
изданы у нас в 1948 году. Работа «О возможности представления
функции посредством тригонометрического ряда» помещена в этой
книге.
В заключение этого параграфа остановимся еще на одном важ-
важном вопросе. Чтобы методом Фурье можно было пользоваться для
решения конкретных задач, надо указать правило для определе-
определения коэффициентов ak (коэффициентов Фурье) в разложении
начальных данных задачи. Сейчас будет описано такое правило,
относящееся к разобранному примеру системы
д±_х 1 др _п
dt ~*~ р0 дх — и'
др . щ ди А
§ 7] МЕТОД ФУРЬЕ 107
На решениях этой системы с граничными условиями и @, t) =
= u(l, t) = 0 имеет место закон сохранения энергии:
= 0.
dt
d ^—¦'^ЛрНх'\х
Он непосредственно следует из тождества интеграла энергии (§ 5).
Оказывается, что следствием этого закона является ортогональ-
ортогональность собственных вектор-функций в некотором скалярном произ-
произведении, связанном с квадратичной формой интеграла энергии.
Надо только отметить, что так как наши собственные функции
комплексные, то в эти формулировки надо внести уточнения,
заменив квадратичную формулу интеграла энергии эрмитовой.
Аккуратное изложение этих фактов из теории консервативных
задач, связанных с процессами, в которых сохраняется полная
энергия, будет проведено в главе IV. Сейчас же мы ограничимся
только указанием формулы
J [у «1 (х) Щ (х) + §^г А (х) Р2 (х)] dx
для скалярного (эрмитова) произведения вектор-функций с компо-
компонентами (и1 (х)у pi (#)), (и2 (#), р2 (х)) и отметим, что различные
собственные вектор-функции
иk = i sin -j- х, Pk = — p(A cos у- х
между собой действительно ортогональны в этом скалярном произ-
произведении.
В самом деле, скалярное произведение собственных функций
с номерами m, n вычисляется по формуле
Ир0 . . mnx t .ч . ппх
о
10, если тфп.
Как было доказано, решение нашей задачи, отвечающее началь-
начальным данным
и(ху 0) = q>l*)f р{х, О)=
108
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
с дважды непрерывно дифференцируемыми <р(х),
ряющими условиям согласования
), удовлетво-
удовлетвоф @) = Ф (/) = Ф" @) = Ф" (/) = 0, г|/ @) = г|/ @ = 0,
может быть представлено равномерно сходящимся рядом
0 \
. . knx
I Sin—j-
— poco cos -
knx
T
. . knx
— i sin —j—
knx
В частности, равномерно сходится ряд, представляющий началь-
начальные данные:
*> on
)
. . knx
t sin—T-
— poco cos -
knx
1 +
. . knx
~tsm~r
-* I knx
— poco cos —
Ортогональность собственных функций дает в наши руки очень
удобный аппарат для вычисления коэффициентов ak в разложении
начальной вектор-функции. Чтобы показать, как это делается,
рассмотрим интеграл
| ф (X) Un
Из равномерной сходимости ряда, представляющего вектор-функ-
вектор-функцию ф, я|), следует законность выполненного нами почленного
интегрирования.
§ 83 КОРРЕКТНОСТЬ 109
Итак, мы пришли к следующим формулам для коэффициентов
Фурье в нашей задаче:
= — у \ Ф (a:) sin — dx — —{ \ я|) (a:) cos — dx.
о ° о
На этом мы заканчиваем наш предварительный обзор идей, свя-
связанных с методом Фурье.
В главе IV мы подробнее разберем теорию этого метода в слу-
случае гиперболических систем с двумя независимыми переменными.
При этом мы будем существенно опираться на теорему сущест-
существования решений из главы II и на технику так называемого пре-
преобразования Лапласа.
§ 8. Корректность
Связь между корнями характеристического уравнения и свойствами корот-
коротких волн. Пример Адамара. Понятие о корректно и некорректно поставленных
задачах. Некорректная задача для уравнения теплопроводности. Замечания
о предмете курса уравнений математической физики. Пример некорректно постав-
поставленной смешанной задачи для волнового уравнения и для уравнений акустики.
Классификация дифференциальных уравнений с частными про-
производными, описанная в§ 6 (эллиптические, гиперболические, пара-
параболические уравнения), была связана со структурой характери-
характеристик—и это не случайно.
Дело в том, что свойства характеристического уравнения тесно
связаны с качественными особенностями поведения решений.
Сейчас я постараюсь пояснить это обстоятельство, пользуясь
нестрогими соображениями. Впрочем, такие нестрогие соображе-
соображения, типичные для специалистов по прикладным наукам, если
постараться, можно превратить в доказательство. Однако мы не
будем таких попыток делать.
Рассмотрим, например, уравнение
А(х, t)% + 2B(x, 0? + С(ж, og+D*+i?? = F(,, t)
в некоторой окрестности точки (х0, t0), которая выбрана так,
чтобы коэффициенты Л, В, С, ... внутри этой окрестности могли
с разумной точностью считаться постоянными. Постараемся найти
у нашего уравнения решения вида u = U[p(lx-\-xt)]. Здесь g, т —
постоянные, выбранные раз и навсегда, ар — параметр. Если
взять р большим, то предлагаемая формула будет описывать очень
ПО ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
короткие волны. Подставляя эту формулу в уравнение, получим
(Лт2 + 2В%т + Cl2) U" = О (j) •
Увеличивая р, мы видим, что с его ростом произвольная функ-
функция U[p(lx + xt)] будет все точнее и точнее удовлетворять урав-
уравнению, если только постоянные ?, т подчинены условию Лт2+
+2В|т + С?2 = 0, т. е. если вектор (g, т) направлен по нормали
к характеристике. В качестве и = U [р (%х + т/)] может быть взята
любая функция, постоянная вдоль прямых i>x-\-xt = const. Эти
прямые внутри нашей окрестности можно считать совпадающими
с характеристиками.
Очень полезно взять в качестве U (s) гармонику eis. Ей отве-
отвечают приближенные решения вида u = ei9^x+u). Вещественная
часть этих приближенных решений — бегущие синусоидальные
волны, если ?, т вещественны.
В случае, если взять уравнение с невещественными характе-
характеристиками, например, уравнение Лапласа g^- + ^i = 0 (?2+^2=0)>
положение изменится. Среди решений вида eip ^x+xt^ = eL^x - №
(это будут здесь точные, а не приближенные решения) есть реше-
решения, которые очень быстро увеличивают свою амплитуду с ростом t.
Этот рост тем быстрее, чем больше ? —меньше длина волны. Для
уравнений с переменными коэффициентами дело будет обстоять
совершенно так же, так как «с точки зрения коротких волн»
переменность коэффициентов несущественна. По этой причине
изучение уравнений с частными производными начинается, как пра-
правило, с рассмотрения модели, у которой коэффициенты постоянны.
У этой модели в первую очередь удобно найти бегущие короткие
волны, выяснить, растут ли они и как, а лишь потом строить
строгую теорию.
Разберем, в качестве примера, уравнения акустики
ди . J_ др_ п
Ы ~^ ро дх '
до . * ди А
и постараемся найти у этой системы решения вида
Подставляя формулы для и, р в уравнения и сокращая на
еиах+кп^ мы найдем, что Х/а должно быть собственным числом
матрицы
§ 8J КОРРЕКТНОСТЬ 111
а коэффициенты U> P образовывать собственный вектор этой
матрицы. Получаем — ==±с0. Выберем верхний знак: Я = соа.
Тогда cl)-\—Р = 0. Решение имеет вид
Ро
р
ц = _
9осо
Вещественные решения можно получить, отделив мнимую или
вещественную часть. Выпишем последнюю:
Полученные формулы показывают, что звуковые гармонические
волны, в том числе и короткие, перемещаются, не изменяя с тече-
течением времени своей амплитуды.
Теперь перейдем к эллиптической системе (уравнения Коши —
Римана) и посмотрим, какой характер будут иметь решения,
которые строятся по таким же правилам. Это опять будут точные
решения, так как уравнения Коши —Римана имеют постоянные
коэффициенты. Решения системы .
ди _ dv
dt ~^ ~дх'
dv ди
~dt = ~ дх
будем искать в виде
и = Uel w+ax\ v = Vel W+ax).
Подставляя этот вид в систему, получим
X2 + a2-0, V=~-U.
Выберем а = /г, Я = — in. Тогда
ип = Uhent-inxt vn - — iUKent-inx.
Отделив вещественную часть, найдем решения
Un = &Jnent cos nxy
Vn = Unent s^ ^^•
Постоянную Un зададим формулой Un = e~^n.
Пример последовательности решений
un = e~ ^n ent cos nx>
П2 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
был построен в свое время A904 г.) Адамаром, который из ее
рассмотрения пришел к очень важным выводам.
Дело в том, что решение (ип, vn) удовлетворяет при / = 0
следующим начальным данным:
ип {х, 0) = фл (х) = е~ Vn cos nx,
vn{x> 0) = tyn(x) = e-^n sinnx.
При п->оо эти начальные данные стремятся к нулю. Более того,
производные от них y{nk) (x), pnk) (x) порядков k = \, 2, ..., р,
стремятся к нулю при я-^оо. (Здесь р — произвольное фикси-
фиксированное натуральное число.) В самом деле,
ц)(п} (х) = ± nke~ VTl cos nx 1
,.. ._ }, если k — четное,
$)() ±kVn j
q)n(x) = ±nesinnx }
>, если k — нечетное.
•$> (x) = ± nke- Vn cos nx j
С другой стороны, un (x, t)j vn (x> 0 при любом / неограничены.
Мы видим, что какую бы норму мы ни выбрали для оценки вели-
величины начальных данных, мы не сможем утверждать, что из малости
этой нормы вытекает малость решения (решение здесь оценивается
по максимуму его модуля). В качестве допустимых норм для
начальных данных мы здесь допускаем нормы следующего вида:
|]ф(*)!р= max sup I ф(/г) (х) |,
Цг|э(*)||р= max sup | г|)<*> (*) L
0 < /? < р х
Адамар предложил такие задачи называть некорректными.
Задача называется корректной, если она разрешима при любых
начальных {или граничных) данных, принадлежащих к некоторому
классу, имеет единственное решение и это решение непрерывно
зависит от начальных данных.
Задача называется некорректной, если она разрешима не при
любых начальных данных, либо если она имеет неединственное
решение, либо если нельзя выбрать такие нормы для решений и
такие нормы для начальных данных, чтобы в этих нормах имела
место непрерывная зависимость решения от условий задачи.
В последней формулировке предполагается, что нельзя выбрать
нормы, принадлежащие к некоторому заранее очерченному, но
достаточно широкому классу. Как правило, в качестве такого
класса рассматриваются нормы, включающие оценку функции и
ее производных вплоть до некоторого фиксированного порядка.
Пример Адамара показывает, что задача Коши для уравнений
Коши —Римана язляется некорректной,
§8] КОРРЕКТНОСТЬ ИЗ
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге, или задачи 1
и 2 для уравнения теплопроводности— корректны. Разрешимость
этих задач была нами доказана, так же как и соответствующие
теоремы единственности. Непрерывная зависимость решений от гра-
граничных или начальных условий вытекает из соответствующих
принципов максимума. (Проверьте это.)
Сейчас мы приведем еще один пример некорректной задачи.
Пусть мы рассматриваем решение уравнения теплопроводности
ди __ д2и
~Ы ~ дх*
в области /<0, О^х^п и хотим определить это решение по
тем значениям, которые оно принимает при / = 0
и{х, О) = ср(х).
При х = 0, х = л предполагаются выполненными граничные усло-
условия и @, t) = u(n, t) = 0.
Это задача об определении тепловой истории нагретого тела
по его состоянию в данный момент. Некорректность такой задачи
легко устанавливается рассмотрением последовательности решений
ип (х, t) = е~ ]Л7 е~ пЧ s i n пх,
неограниченной при любом /<0 и удовлетворяющей условиям:
ип (х, 0) = ^п (х) = е~Vn s i n nx,
точно таким же, как в примере Адамара.
Ацамар выдвинул постулат, что все процессы в математичес-
математической физике, которые разумно описывать дифференциальными урав-
уравнениями, связаны с корректными задачами. Некорректные за-
задачи нам приходится иногда решать в тех случаях, когда мы
хотим получить описание некоторого процесса не по условиям,
которыми он вызывается, а по некоторым его следствиям, полу-
полученным в результате измерений. Например, если мы хотим уста-
установить распределение температур в теле для t = — То <С 0, зная
тепловое состояние при / = 0.
Начиная с Адамара, в теории уравнений математической физики
изучаются, как правило, корректные задачи. Мы тоже будем сле-
следовать по этому пути.
И. Г. Петровский выделил класс уравнений, для которых
корректна задача Коши, и назвал уравнения этого класса гипер-
гиперболическими. Для эллиптических уравнений, точнее для некото-
некоторого естественного их подкласса, типичной корректной задачей
является задача Дирихле. Мы в нашем курсе изучим типичные
примеры гиперболических уравнений и задачу Коши для них.
В качестве примера эллиптических уравнений мы рассмотрим
только одно уравнение — уравнение Лапласа. В качестве приме-
114 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. Г
ров задач для параболических уравнений, имеющих кратные
характеристики, мы уже рассматривали некоторые задачи для
уравнения теплопроводности.
Приведем пример, показывающий, как можно установить некор-
некорректность в смешанной задаче. Пусть мы хотим разыскивать
решение волнового уравнения
~Ы* 6° \ дх* "*" ду*
при х>0, />0, удовлетворяющее при / = 0 начальным условиям
ш|/-о = ср(х, у),
а при х = О — граничному wt — kwx — lwy = 0. Легко проверить,
что если
то последовательность частных решений
wa(x, у, t) = e-Vae-aVci-'"-
свидетельствует о некорректности поставленной задачи. Точно
так же задача некорректна при любом /, если k = — с0. В этом
убеждает последовательность
Упражнение. Постройте последовательности функций wn (x, у, t)
из приведенных примеров некорректности, отыскивая удовлетворяющие гранич-
граничному условию частные решения волнового уравнения вида
и отделяя затем вещественную часть.
Эти примеры позволяют также утверждать, что для уравне-
уравнений акустики
1 др . ди , dv __ ^
смешанная задача в области х>0, t>0 с начальными данными
/?U_o> «|/-оэ v\t-o и с граничным условием p + kp0u + lpov==09 при
х = 0 некорректна, если k = — cOt или если &<0, k2 + l2<,c20.
В самом деле, нетрудно убедиться, что последовательности вида
§9] ФУНКЦИИ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ ИНТЕГР. НЕРАВЕНСТВАМ П5
где ^„ — построенные выше решения волнового уравнения,
являются последовательностями решений уравнений акустики,
свидетельствующими о некорректности поставленной задачи.
Оказывается, что при всех других вещественных значениях
коэффициентов k, l рассматриваемая смешанная задача как для
еолнового уравнения, так и для уравнений акустики корректна.
На доказательстве этого мы не можем сейчас останавливаться.
Более подробно рассмотрение смешанной задачи для гиперболи-
гиперболических систем проводится в главе II.
§ 9. Свойства функций, удовлетворяющих
интегральным неравенствам
Оценка максимума и модуля непрерывности функции по интегралам от ее
квадрата и квадрата ее производных. Непрерывность «в среднем». Свойства
функций из функциональных пространств, введенных в § 5. Что надо понимать
под выполнением граничных условий и удовлетворением начальных данных.
Две теоремы, которые вместе с теоремой Арцела приводят к критериям ком-
компактности.
В этом параграфе мы получим описание некоторых важных
для дальнейшего свойств функций, следующих из интегральных
неравенств, которым эти функции удовлетворяют. Такого рода
неравенства обычно удается установить для решений гиперболи-
гиперболических уравнений в результате оценок интегралов энергии.
Поэтому изучение функций, удовлетворяющих интегральным нера-
неравенствам, позволяет прийти к важным заключениям о свойствах
решений. В лемме 1 мы- оценим максимум функции одного пере-
переменного и ее модуль непрерывности через интегралы квадратов
самой этой функции и ее производной. Лемма 2 обобщает такие
оценки на функции двух переменных.
Лемма 1. Пусть непрерывная v (x) кусочно непрерывно диф-
дифференцируема на отрезке хх^х^х2 длины Х = х2 — х1 и удовлет-
удовлетворяет неравенствам:
Тогда
A)
B)
. C)
116 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
Сначала убедимся в справедливости C):
[ГЛ. I
vx(x)dx
Для доказательства A) и B) разобьем [jcx, x2] на я равных
частей и рассмотрим произвольную точку хо(хг^хо^:Х2). Она
принадлежит одному из построенных отрезков [х'и х$\ длины - X.
Так как
^ v2 {х) dx^\v2 (x) dx < К2Х,
*\
то на [xj, х'ъ\ найдется точка х3 такая, что
т. е. что \v(x3)\^y пК. Теперь нетрудно, пользуясь C), оце-
оценить v(x0)
¦Хо\<~Х):
у п
D)
В этой оценке п — произвольное натуральное число. Так как
разность между квадратными корнями из двух последовательных
натуральных чисел меньше единицы,
Уп+i-V n = {Vn
то можно выбрать п так, чтобы
Из этих неравенств и из D), учитывая произвольность х0, при-
приходим к B). Если в D) положить я = 1, то получим оценку A).
Лемма доказана.
Лемма 2. Если и (х> у) непрерывна, кусочно непрерывно диф-
дифференцируема в прямоугольнике Xi ( Х
ФУНКЦИИ. УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ ИНТЕГР. НЕРАВЕНСТВАМ Н7
ух=У) и удовлетворяет там неравенствам:
Уг
П и2 (х
Ул х,
х2
max \ ul(x, y)dx^L2/X,
max \
то для нее справедливы оценки
Действительно, два раза применяя неравенство C) из леммы 1,
доказываем E):
Начиная доказательство второго утверждения леммы, заметим,
что из неравенства
Уч
Ух х-
\ ] u2(x,
очевидно существование точки (х09 у0), в которой \и(х0, уо)
В произвольной (ху у)
\и(х, у)\<:\и(х0, yo)) + \ti(x, y)-ti(x0,
Лемма 2 доказана.
При изучении гиперболических уравнений нам удобно пользо-
пользоваться не самими неравенствами, сформулированными в леммах 1,
2, а легко выводимыми из них следствиями, содержащимися
в леммах 3, 4. После этих лемм мы схематически наметим, как
утверждения лемм 1 — 4 будут использоваться в теории гипербо-
гиперболических систем.
Лемма 3. Для кусочно непрерывно дифференцируемой в пря-
прямоугольнике O^x^l, O^t^T функции и(х, t) и для любых
118
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
^t^T имеют место неравенства:
ку t2)]2 dx ^ | tx — t21 jj jj u\ (xy f) dx dty
о о
T I T.l
Л\[и2(х> t)dxdt + 2T \[иЦху t)dxdU
0 0 0
o
t)dxdt
иЦх, t)dxdt
о о
il-
(*,
Доказательство первого из них получается интегрированием
по х неравенства
h т
[и (Xy tx) — и (Xy t2)]2 ^ | tx — t21 ^ uf (Xy t)dt*^\t1 — t2\ \ Ut (Xy t) dty
U о
которое, по существу, уже использовалось (в других обозначе-
обозначениях) при доказательстве леммы 2 и леммы 1. Второе и третье
вытекают из результата интегрирования по х неравенств:
и2(х, t)
и* (jc, 0 dt г Т
У
1 1
^ у J и2 (х, 0 dt + 27 С и? (х, t) dt,
0 ,0
2 у J и2 (х, t)dt-y [ и? (х, 0 d/ +
Л/ 1 ( «2(х, 0Л
о J
и? (Jf,
7
доказанных в других обозначениях в лемме 1 (неравенства A) и
B)). При этом надо воспользоваться неравенством Буняковского,
§9] ФУНКЦИИ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ ИНТЕГР. НЕРАВЕНСТВАМ И9
в силу которого
{u1(x9 t)dtdx*
о
1/
У
\/l{ul(x, t)dxdt.
0 0 г о О
Утверждения леммы 3 допускают несложное обобщение на функ-
функции и(х9 у> t) трех переменных О^х^/, O^y^m, O^t^T,
которое мы сформулируем в виде леммы 4.
Лемма 4. Имеют место неравенства
1т
о о
<|/i-/alSH И/1(х» ^ t)dxdydt9
0 0 0
И 1"(-Ь У. 0-"(^2, У» t)]*dydt<:
о о
JJJ «*(*, г/, t)dxdydt,
0 0 0
/ т
55 «2(х, у, Qdxdy^
о о
J J J w2(x, у, 0 dxdydt+2T jj J J и?(дс, у, t)dxdydt,
J
/ т
\ \ и* (х, У,
о о
//т Г Г I тТ
\\\ и*(х, у, t)dxdydiy \\\ иЦх, у, t)dxdydt +
0 0 0 г о о О
/ т Т
и2(х* у> ^dxdydt
Первое, третье, четвертое из них доказываются дословным
повторением доказательства леммы 3, в котором и (х, /) надо за-
заменить на u(xt yt t)y г вместо интегрирования по х от 0 до /
выполнить интегрирование по ху у в прямоугольнике 0^х^^,
0^m. Второе же отличается от.первого лишь обозначениями.
120 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. Г
Простые, но важные оценки, составляющие содержание лемм
1—4 будут существенно использоваться в дальнейшем при по-
построении теории гиперболических уравнений.
В § 5 при изучении решений гиперболической системы (урав-
(уравнений акустики) мы ввели функциональные пространства Ф, U
вектор-функций (ф, г);), (и, р), норма в которых определена ра-
равенствами
!C)l=/sV<*'
О О
T у g
max Л \[u*(x, t) + p*(x,
Для уменьшения громоздкости удобно считать, что каждая
из компонент ф (х), яр (х) лежит в пространстве, норма которого
определяется равенством:
Именно такое пространство скалярных функций мы будем теперь
обозначать через Ф:
Точно так же мы будем считать, что компоненты и (х, t), p (x, t)
лежат в пространстве U скалярных функций с нормой
|| м 11^ = 1/ 5 $ [м2 (jc, t) + ui(x, t) + ul{x, t)\dxdt +
V о
5 $
оо
+ max 1 / \ [и2 (x, t) + u\ (x, t)] dx.
Из неравенства Буняковского для кусочно непрерывно дифферен-
дифференцируемых ф (х) имеем (см. лемму 1):
1 ф{Xj)-ф(xz) |^У\х1-х2
§ 9| ФУНКЦИИ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ ИНТЕГР. НЕРАВЕНСТВАМ 121
и следовательно, любое множество достаточно гладких функций
{ф(д:)}, имеющих ограниченную норму |ф||ф^М, удовлетворяет
одной и той же оценке непрерывности
I Ф (*i) - Ф
При пополнении пространства Ф с помощью обычной процедуры,
принятой в функциональном анализе (см. ссылки, сделанные в § 5),
мы сопоставляем каждому элементу пополнения последовательность
функций ф/ (х), фундаментальную по || ||ф (точнее, сопоставляется
класс эквивалентных фундаментальных последовательностей). На-
Например, можно считать, что
Все такие ф/ имеют ограниченную норму:
IIФ/ Ik = II Ф/ — Фх -Ь Ф1 ||ф ^ II Ф/ - Ф1 Цф + II Ф1 11ф
и поэтому
IФ/ (*г) - Ф/ (х2) I < М V\x1-X2\.
Мы будем говорить, что элемент ф пополнения удовлетворяет
условиям ф@) = фA) = 0, если можно подобрать сопоставленную
ему последовательность фу (л:) такую, что ф;- @) = фу(/) = 0.
Для таких фу (х)
I Ф/'(х) | = I Ф/ (х) - Ф/ @)! < М
| ф, (х)\<М max (!/"*, VT^~x) < М
IФ,- (-^i) - Ф/ WI < М- Kl^i-^l;
кроме того,
IФ, (х) - Ф, (х) \ < || Ф/ -
Последовательность ф;- (л:) оказывается последовательностью
непрерывных функций, фундаментальной относительно равномер-
равномерной сходимости. Предел этой последовательности является непре-
непрерывной функцией, обращающейся в нуль при х = 0, х = 1. Именно
это и служит оправданием нашего распространения понятий
ф@)=0, ф(/)=0 на пополнение пространства Ф.
Функции, достаточно гладкие и имеющие ограниченную норму
пространства О
\и(х,
122 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ГГЛ. I
(ограниченную одной и той же постоянной М), являются в силу
леммы 3 «равностепенно непрерывными в среднем по /». Под этими
словами мы понимаем выполнение для всех таких функций нера-
неравенств:
о
В частности, если Ц^/Ц^М, и;{ху 0) = ф;(х), то
\*\М. F)
При переходе к пополнениям пространств U, Ф мы будем гово-
говорить, что элемент u^U удовлетворяет при / = 0 начальным дан-
данным фбФ, если для всех членов фундаментальных последова-
последовательностей {uj}, {фу}, сопоставляемых этим и, q>, выполнены нера-
неравенства F).
Сформулированные сейчас определения появились как след-
следствие точки зрения, согласно которой элементам пополненного
пространства приписываются свойства, выражаемые неравенствами,
которые выполнены равномерно (с одними и теми же постоян-
постоянными) для всех членов фундаментальных последовательностей,
сопоставленных этим элементам.
Мы не будем развивать эту точку зрения подробнее, ограни-
ограничившись приведенной здесь качественной формулировкой и разоб-
разобранными примерами.
В заключение параграфа приведем две теоремы, которые
используются в следующей главе при доказательстве теоремы
существования. Первая из них относится к функциям от двух
переменных х, t, а вторая к функциям от трех переменных х9
у, t. Изучив эти теоремы, читатель без особого труда сможет
сформулировать и доказать их обобщения на случай, когда неза-
независимых переменных еще больше.
Теорема 1. Непрерывная в прямоугольнике
функция и (х, t) с кусочно непрерывными производными (непре-
(непрерывными в каждом из многоугольников, которые в конечном числе
покрывают прямоугольник), такая, что при всех t
*2
Г
j u*x{x,
J u2(x,
ХЛ
L2
)dx^
*2
t j u*t(x9 t)dx^-Y?*
§ 9] ФУНКЦИИ. УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ ИНТЕГР. НЕРАВЕНСТВАМ 123
удовлетворяет неравенствам:
\и(х, t)\
Теорема 2. Заданная в параллелепипеде
функция и (х, у, t), такая, что при всех t
\\
\\иг(х, у,
Ух <
Уг
при всех у, t
f2
удовлетворяет неравенствам'.
\и(х, у,
l«(Si, Лъ Tj-мЙа, г]2, т2)|
G)
^f^. (8)
(9)
Утверждение | ^/ (х, /) | ^ M + L теоремы 1 непосредственно
следует из леммы 1 (неравенство A)), так же как и неравенство
Для завершения доказательства теоремы 1 достаточно показать,
что при каждом х = х0
т •
124 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
Выберем любой прямоугольник:
х[ ^ х <; х!2,
лишь бы х\^хь^х'ъ и установим неравенство
^ ^](x, t)dx
*; х, Lti
Далее,
X, X2 / X2 *|
J J «! (x, t) dxdt-l/ [ \ dx dt
/? 1 2Y
7^-p'L.(xi
"" T
Следовательно, существует х3(х[^х3^:Х^ такое, что
Кроме того,
I и (х0, тх) - и {х3> тг) | ^ L у -^-^,
\и(хь> т2)-и(х0> tj|<
а значит,
Выбирая х'2, х\ так, чтобы
^2 — Х\ Т2 —
X ~~ Т •
мы приходим к интересующему нас неравенству:
Теорема 2 доказывается аналогичными рассуждениями.
§ 9J ФУНКЦИИ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ ИНТЕГР. НЕРАВЕНСТВАМ 125
Удобно начать с замечания, что из неравенства
УгХ2
j j Ф (х, у) dx dy ^ M*XY
У\ *i
можно вывести существование при каждом ^ —/0 такой точки х0, г/0, что
| а (л:0, у0, /0) | ^ М. По лемме 1 (неравенство 3) для любых х, у из нашей
области следует:
| и (х, у, to) — u (х0, у0, to)\^\u (х, у, to) — u(x, Уо, t0) | +
, i,./v ,. /ч ,. /v ,. / ч [ ^ г 1 / \ Х — х0 1 | 1 / У —Уо 1
-г I и \х> Уо» 1о) — и (*о> Уо» го) I ^ ь I I/ ^ 1- у у
Тем самым \и(х, у, to)\^M-\-2L, и вследствие произвольности /0 первое
утверждение теоремы 2 доказано.
Из леммы 1, как мы уже отметили, следует оценка непрерывности по х, у:
и нам остается лишь доказать, что при произвольных х0, у0
I и (х0, уо> тО-м (л:0> Уо> т2) | ^ 5
Выберем любой параллелепипед:
t2»
лишь бы х[ ^ х0 ^ х'2, У'^Уо^Уг» и установим неравенство:
х/ ц*
г \ с сТ? ? 1 l2xf
J j J ' ^~j j J ^ ^ 2 Tl ^2
xi x\ У\ Tl LJC, ^', J
Далее,
X2 У2 1
f \ \ u(x, у, т2) —« (л:, у у tx) I dx dr/ ^ '
/T2X2^2
ti ^^ У[
—Xl У2—УI
Отсюда следует существование х3, у3 (х[^х3^х'2, у[^у3^у'2) таких, что
\и(ха, у3, г2)-и(х3, у3, T^I^L^l/^-,, -Х-,.
j г х2 — х{ у2—у{
Кроме того,
I в (*., у., т2) - и (х3, г/,.
J и (х3, у3, Ч)-и(х0, уа,
126 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
а значит,
I и (х0, у0, т2) — и (х0, у0, Тх) | ^
Выбирая х'%9 х[; у'2, у[ так, чтобы
vr v' 11' iif /т- i
X "" У "" \ Г
мы приходим к интересующему нас неравенству:
и тем завершаем доказательство теоремы 2.
Если у нас целое семейство {и} функций, удовлетворяющих интегральным
неравенствам, сформулированным как предпосылки теоремы 2 (или теоремы 1),
то для любой функции этого семейства выполнены неравенства (9), A0) (или,
в случае теоремы 1, неравенства G), (8)). Неравенство (9) (или G)) утверж-
утверждает, что семейство {и} равномерно ограничено. В силу неравенства A0)
(или (8)) это семейство равностепенно непрерывно.
Напомним, что семейство {и (х, у, t)} называется равностепенно непрерыв-
непрерывным, если для любого е >• 0, существует б ;> 0 такое, что из | Ад: | + | Ay \ +
+ | А^ | < б вытекает неравенство | Аи \ < е для каждой и (х, у, t) из семей-
семейства.
В курсах математического анализа изучается теорема Арцела, кото-
которая гласит:
Всякое равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное в ограничен-
ограниченной области семейство функции {и} компактно в смысле равномерной сходи-
сходимости.
Другими словами, из всякой бесконечной последовательности функций,
принадлежащих такому семейству, можно выбрать равномерно сходящуюся
подпоследовательность.
Следствие из теоремы Лрцела:
Семейство функций и (х, у, t) (или и (х, /)), удовлетворяющих условиям
теоремы 2 (теоремы 1) компактно в смысле равномерной сходимости.
Мы обосновали простейшие условия компактности, которыми будем поль-
пользоваться в дальнейшем.
Наиболее употребительные в настоящее время и наиболее удобные для
приложений критерии компактности носят название «теоремы вложения
С. Л. Соболева». См. [5], [6].
§ 10. Обобщенные решения
Обобщенное решение для уравнений акустики. Связь определения обобщен-
обобщенного решения с законами сохранения. Понятие обобщенного решения для про-
простейшего гиперболического уравнения -=- -}- — = 0. Обобщенное решение как
предел гладких решений. Определение С. Л. Соболева. Эквивалентность этого
определения классическому на гладких решениях. Уточнение определения. Тео-
Теорема единственности. Теорема существования. Замечание об удовлетворении
начального условия. Обобщенное решение в пространстве функций, непрерыв-
непрерывных по / «в среднем».
В заключение нашего вводного обзора основных фактов тео-
теории уравнений с частными производными мы кратко остановимся
§ 10) ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 127
на чрезвычайно важном понятии «обобщенного решения». Этому
понятию и посвящен настоящий параграф.
Для начала рассмотрим систему уравнений, описывающих рас-
распространение звуковых волн:
dt "г дх
К понятию обощенного решения этой системы приводит тождество
Ft
'
Предполагая функции ф, \р гладкими и финитными (т. е. отлич-
отличными от нуля лишь в некоторой ограниченной области на пло-
плоскости х, /), будем иметь на решениях исходной системы:
По предложению С. Л. Соболева, обобщенным решением называ-
называются такие /?, и, что для них последнее тождество выполнено
при любых гладких и финитных ср, г|).
В этом определении нужно еще оговорить, какому классу
должны принадлежать функции /?, и (измеримы, интегрируемы
с квадратом...), но мы на этом останавливаться не будем.
Постараемся придать интегральному тождеству, лежащему
в основе определения обобщенного решения, некоторый нагляд-
наглядный смысл.
Будем пока предполагать, что г|) = 0, и рассматривать тожде-
тождество
Рассмотрим некоторую специальную функцию ср (х, /), устроен-
устроенную следующим образом. Пусть ф (х, t) = 1 внутри некоторого
гладкого замкнутого контура у на плоскости х9 t и ф (а:, /) = 0
вне другого, охватывающего у, контура у' (рис. 25). Мы будем
предполагать, что контуры у и у' ограничивают некоторую замкнутую
полоску, внутри которой ср(х, t) плавно спадает от единицы до
нуля. Если предполагать эту полоску очень узкой, то двойной
128
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. I
интеграл по верхней полуплоскости (он очевидно равен интегралу
только по верхней, заштрихованной на рисунке, части полоски у, у')
можно будет приближенно вычислить при помощи следующего
простого соображения. Внутри узкой полоски можно предпола-
предполагать, что градиент ф (х, t) направлен по нормали куй что pow, р
X
'dn
ds.
Рис. 25.
Рис. 26.
вдоль отрезка этой нормали, лежащей внутри у, у', почти посто-
постоянны.
Интегрирование по полоске можно выполнять (рис. 26) как
интегрирование по нормали к у (дифференциал dn) и вдоль у
(дифференциал ds):
у у
( % S
у
~дп
dtl
У'
+ рпх) j д? dn - (pount + рпх) ( - 1) = — pst + poiisx
у
(nh пх — компоненты единичного вектора нормали к у, st, sx —
компоненты единичного, касательного к у, вектора);
вдоль Y V
вдоль
= \ рои dx — p dt.
Поэтому равенство
вдоль
(=0
может быть приближенно записано в виде контурного интеграль-
интегрального равенства
§ pQu dx — р dt =» О
§ 10] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 129
вдоль верхней (/>0) части контура у и замыкающего эту часть
отрезка АВ оси х.
Равенство
§ рои dx — р dt = 0
представляет собой закон сохранения количества движения ( § ро« d#
— количество движения, ^р dt — импульс силы).
Иногда в качестве определения обобщенного решения как раз
и принимают выполнение интегральных законов сохранения в
форме таких контурных интегралов
ф рои dx — pdt = 0,
Второй из этих интегралов представляет закон сохранения
массы, так как р — это на самом деле отклонение 6р давления
от состояния покоя, а для 8р справедливо равенство 6p = ^6p.
Он опять-таки может быть получен из равенства
если выбрать ср = О, а г|э — совпадающим с тем ср, которое выби-
выбиралось при получении закона сохранения количества движения.
Форма законов сохранения
& рои dx—p dt — O,
не очень удобна для построения математической теории. Дело в том, что инте-
интегралы в этих равенствах берутся по контурам, имеющим двумерную меру нуль.
Изменение же функции из L2 на мере нуль не меняет ее как элемент про-
пространства L2. Поэтому для функции из L2 (на плоскости) значение интегралов
по контуру, строго говоря, не определено.
Предложенное С. Л. Соболевым интегральное тождество A) содержит
в себе законы сохранения в форме, более удобной для строгой математики,
так как неизвестные функции в нем интегрируются по двумерной области.
(Интеграл \ (ромф+-у г|з )dx содержит лишь значения и, р, задающиеся
в качестве начальных данных).
Обычно уравнения механики сплошных сред выводятся в виде
интегральных законов сохранения (правда, как правило, в виде
контурных интегралов), а лишь затем из них получаются диффе-
дифференциальные. Это .можно трактовать как первичность понятия
обобщенного решения и вторичность понятия решения гладкого
или, как иногда говорят, классического.
130
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
[ГЛ. Г
Отметим еще, что для нелинейных уравнений газовой динамики
разрывные решения — ударные волны —могут, по-видимому, трак-
трактоваться как обобщенные решения. Однако надо отметить, что
построение соответствующей математической теории до настоящего
времени не закончено.
О
Рис. 27.
Рис. 28.
Теперь мы на примере простейшего гиперболического уравне-
уравнения ^ _l " — о покажем содержательность понятия обобщенного
01 ОХ
решения, доказав теоремы существования и единственности.
Мы знаем, что общее решение этого уравнения имеет вид:
с довольно произвольной функцией f(l). Мы предъявляем к ней
минимальные требования гладкости —требуем дифференцируемое™,
так как для.того чтобы убедиться в том, что эта функция дей-
действительно дает решение, нам
приходится ее производные под-
ставлять в уравнения.
С другой стороны, мы видим
из этой формулы, что если рас-
рассмотреть последовательность
гладких решений вида
Рис. 29. с функциями /„(У, графики ко-
которых изображены на рис. 27, то
обращает внимание тот факт, что эти решения сходятся к и =
= f(x — t) с функцией, уже не обязательно всюду дифференци-
дифференцируемой. Предельная функция для последовательности /ьД^/з» •••»
указанной на рис. 27, изображена на рис. 28. В точке ? = ?о
функция f(l) не имеет производной. Очевидно, могут быть по-
построены и более сложные примеры, в которых дифференцируемость
нарушается более чем в одной точке. Можно даже построить
пример последовательности решений, для которой предельная
функция будет разрывной. (Конечно, в этом случае предельный
переход должен совершаться не в смысле равномерной сходимости.)
§ 101
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
131
Такой пример изображен на рис. 29. Разобранные примеры ведут
нас к мысли о разумности пополнения множества решений с глад-
гладкими / множеством функций u=f(x — t) с теми /, которые могут
быть в некотором определенном смысле получены из гладких
путем предельного перехода.
Такой предельный переход естественно делать в смысле сходи-
сходимости по норме вида
x, t)dx.
Основанием для выбора такой нормы являются следующие сообра-
соображения, связанные с оценками
решений при помощи интегра-
интеграР
р
ла энергии. Рассмотрим для урав-
уравнения
ди
dt
ди
дх
Рис. 30.
характеристическую полосу, вы-
высекаемую из полуплоскости а:, /
(/>0) характеристиками х —
— t = const, проходящими через
отрезок [0, 1]оси х. На этом отрезке мы будем задавать начальные
данные.
Прямая / = const пересекает эту полосу по отрезку
(рис. 30). Интеграл энергии для этого уравнения имеет вид
§u2dx-u2dt = 0.
При интегрировании вдоль характеристик мы имеем ^ u2(dx — dt) = 0,
и поэтому
и2(х,
т. е. интеграл от и2 по любому сечению / = const характеристи-
характеристической полосы будет один и тот же для любых /. Поэтому, если
мы возьмем последовательность решений ип (х, /) уравнения
дип
dt
дх
с начальными данными
ия(х, 0) = ипо(х),
132 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
то, пользуясь еще линейностью уравнения, будем иметь
max $ [un(x, t) — um(x,
* t
f)fdx-
= 1/ $["ЯО(*)-«
В случае если последовательность {ип0} сходится в среднем
на отрезке [0, 1], то последовательность решений будет сходиться
в смысле введенной нормы. Это утверждение служит основанием
для следующего определения обобщенного решения.
Функцию и (ху t) назовем обобщенным решением, если суще-
существует последовательность иъ и2, ..., иП9 ... гладких решений
того же уравнения
дип дип_п
dt + дх ~и
таких, что
\\ип — и\\-+0 при п ->- оо.
Другими словами, мы назовем функцию и {ху f) обобщенным
решением, если ее можно как угодно точно аппроксимировать
гладкими решениями.
Описанное сейчас понятие обобщенного решения неудобно тем,
что оно трудно проверяемо. В самом деле, чтобы убедиться, что
и (х, t) является обобщенным решением, мы должны построить
бесконечную последовательность гладких функций и (х> /), аппрок-
аппроксимирующих и (х, t), причем надо постараться выбрать ип(х, t)
так, чтобы они были точными решениями нашего уравнения. Ясно,
что это сделать трудно, особенно если речь будет идти не о про-
„ ди , ди г\
стеишем уравнении -^т- + -к- = 0, которое мы рассматриваем в каче-
качестве модели.
С. Л. Соболев дал другое определение обобщенного решения,
которое в настоящее время является общепринятым. Основная
идея этого определения состоит в замене дифференциальных урав-
уравнений непосредственно интегральными законами сохранения, из
которых дифференциальные уравнения математической физики
обычно и выводятся. Мы разберем модельное уравнение ? -|- ~ = 0
и на нем постараемся понять существо дела. Простейших физи-
§ 10] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 133
чески осмысленных примеров мы уже касались в начале пара-
параграфа.
Начнем с замечания, что для любой функции ф (xf t) и любой
области G
И (?+?)¦<*
если и(ху f) является гладким решением уравнения ~^г +-^г" = 0.
Для дальнейшего нам удобно предполагать, что область G имеет
кусочно гладкую границу.
Пусть и (х, t) имеет в некоторой области G непрерывные пер-
первые производные и пусть для любой достаточно гладкой, например,
дважды дифференцируемой функции ф (х, t) имеет место равенство
dt ^ дх
G
Тогда (как будет доказано) всюду внутри G
dt "*~ дх ~~V'
Предположим противное. Пусть -^ + ~^ Ф 0 в некоторой
внутренней точке (х0, t0) области G. Для определенности пред-
предположим, что
/ ди . ди\
Из непрерывности производных ut, ux следует существование
такого е, что при (х — х0J + (/ — /0J <; 8 выполнено неравенство
дТ ~>~ ~дх ^ 2 *
Определим теперь ф(лг, t) формулой
ф(, ) j
10, если (х-хоJ + (/-д2>8.
Выбором достаточно большого р можно добиться, чтобы функция
была нужное число раз непрерывно дифференцируемой. (При р =
Ф (ху t) имеет две непрерывные производные.)
Очевидно, что для такой функции ф (х, t)
G
Мы пришли к противоречию.
134 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
Итак, утверждение
G
при любой достаточно гладкой ф и утверждение
ди ди 0
для непрерывно дифференцируемой и (ху t) эквивалентны.
Теперь, воспользовавшись тождеством
ди , ди \ , А . / дф , дф \ д<ри , дери
мы сделаем утверждение, что равенство ~лг + тр = 0 эквивалентно
для непрерывно дифференцируемой функции и равенству
u \ ~dt ^ ~dxj т qudx — qu dt B)
по границе G
для любой достаточно гладкой ф. Из проведенного нами доказа-
доказательства вытекает даже, что все ф можно считать равными нулю
на всей (или на части) границы G, если мы хотим убедиться
в выполнении равенства -^ -\--~=0 лишь внутри G. При этом
соответствующая часть контурного интеграла пропадает.
Для гладких и равенства B) эквивалентны определению реше-
решения. Для проверки их выполнимости не надо, однако, дифферен-
дифференцировать и(х, t). Это и послужило основанием назвать функции,
удовлетворяющие равенствам B), обобщенными решениями урав-
уравнения
ди . ди л
~дГ ¦" ~дх~= "
Прежде чем дать аккуратное определение, опишем структуру G
в интересующем нас случае. Эта область будет представлять собой
верхнюю (^^0) половину полосы 0<;л; —/<1, ограниченной
характеристиками я —/ = 0, x — t = \ уравнения ~ + тг~ = 0- ^ти
ot ох
крайние характеристики проходят через концы х = 0, х=\ отрезка
0^*^1 оси х, на котором мы задаем начальные данные. Функ-
Функции ф(лг, t), достаточно гладкие внутри полосы (вплоть до гра-
границы), мы будем предполагать равными нулю на граничных харак-
характеристиках, и, кроме того, при всех достаточно больших / внутри
полосы.
Ю] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
Пусть ф(#, /)=0 при t^T (T для каждой ф(д:, /) может
быть свое). Выберем G в виде параллелограмма O^x — t^X,
O^t^T (см. рис. 30). На его контуре ф(л:, /) отлична от нуля
лишь на основании ? = 0, 0^д:^1. Поэтому для обобщенных
решений должно быть выполнено равенство
1
dx dt + \ ф (ху 0) и (ху 0) dx = 0.
В двойном интеграле интегрирование проводится по всей по-
полуполосе, что не вызывает никаких затруднений, так как ф —0
при t>T.
Определение обобщенного решения. Функция двух
переменных и(х, t) *), имеющая ограниченную норму
ma
max \ и2 (ху t) dxy
называется обобщенным решением уравнения -.- + -.— = 0 внутри
полуполосы O^jc — /^1, t^0 с начальными данными и(х, 0) =
= и0 (х), если для любой функции ф, принадлежащей описанному
выше классу, выполнено равенство:
1
Покажем, что из этого определения вытекает единственность обоб-
обобщенного решения. Для этого, очевидно, достаточно убедиться в том,
что из равенства ио(х) = О вытекает равенство и(х> /) = 0. Зада-
Зададимся некоторым произвольным Т и покажем, что и(ху t)=0 при
O^t^T почти всюду.
Предположим противное. Из конечности |] и \\ вытекает, что огра-
ограничен
$$ u2(xt t)dxdU
т. е. что и (х, t) принадлежит пространству функций с интегри-
интегрируемым квадратом в параллелограмме О^л; — /^1, T^t^O.
Каждая такая функция может быть сколь угодно точно аппрок-
аппроксимирована в смысле среднего крадратичного полиномами ип {х, t):
$$ [ип{х, t) — u{x, t)]2dxdt-+0 при n-+QQ,
—t^ 1
*) Функция и (х, t) предполагается измеримой.
136 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ГГЛ Т
Построим теперь внутри нашего параллелограмма функции ф„ (х, t)
как решения уравнений
удовлетворяющие при / = Г условию фл = 0. Непосредственным
дифференцированием можно убедиться, что такие решения задаются
формулой
и являются непрерывно дифференцируемыми.
Последнее свойство не нарушится, если мы их доопределим
равенством ф„ (х, /) = 0 при t>T. Очевидно также, что ф„=0
при х — / = 0 и при х — t=l. Из определения обобщенного реше-
решения вытекает, что
т. е. что
[[ (x — tJ(\—x4-tJ(T—tJu (x f\u(x f\dxrit — ti
Переходя в этом равенстве к пределу при /г->оо, приходим
к соотношению
55 (* - tf A - л: + О2 (Г - /J и2 (л-, 0 d* d< - 0,
которое и доказывает теорему единственности.
Докажем теперь теорему существования. Пусть для и0 (х) суще-
существует конечный 5 ^о {%) dx. Мы покажем, что и (х, t) = uo(x — t)
о
является обобщенным решением уравнения -^—f ~- = 0 с началь-
начальными данными ио(х) при ^ = 0, 0^д:^1, т. е. что для любой
функции ф (*, 0» удовлетворяющей всем наложенным на такие
функции ограничениям, выполнено равенство
Для доказательства вспомним, что каждую функцию, интегри-
интегрируемую с квадратом на [0, 1J, можно как угодно точно прибли-
§ Ю)
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
137
зить (в среднем) полиномом. Пусть ип (х) — такой полином, что
1
Очевидно, что ип(х — f) будет гладким решением уравнения
Ж ~^~ ~~Ш = О И» вследствие этого, удовлетворяет тождеству
x, 0)un(x)dx =
с любой допустимой ф. В дальнейшем мы будем пользоваться
тем, что для каждой ф существует такое Г, что ф(х, 0=0 при
(^Г и что, следовательно,
Воспользуемся теперь тем, что
1 1
\ Ф (х, 0) ип (х) dx — [ ф (х, 0) и0 (х) dx
, 0)dx
- у \(un-u0fdx^-~y \ц>\х,
0)dx,
2)
- \\ иЛх->
3)
И Un(x-
0
138 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. I
и установим равенство:
1
JJ uo(x-t)(^ + ^)dxdt+§ uo(x)<p(x, 0)dx = 0,
*<1 О
О
которое доказывает, что и — щ(х — t) является обобщенным реше-
решением.
Теорема существования обобщенного решения задачи Коши
ди , ди /%
для уравнения -^г + -т- = 0 доказана.
Задача. Докажите непрерывную зависимость обобщенного решения от
начальной функции и0 (х).
Сделаем еще следующее замечание. Мы определяли обобщенные
решения как функции пространства с нормой
max $ u2(x> t)dx,
* t
которое может рассматриваться как пространство, полученное
пополнением по этой норме пространства гладких функций. Для
элементов такого пространства нельзя сформулировать каких-либо
условий непрерывности по /. Поэтому приписывание этому решению
начального условия и (х, 0) = и0 (х) может показаться некоторой
натяжкой. Из приведенного рассуждения вытекает однозначность
сопоставления и0 (х) -> и (х, t), но совсем не следует, что и (х, 0)
с и0 (х) совпадает. Чтобы избежать такого рода неясностей, удобно
предположить, что и(х, f) лежит в каком-либо более узком про-
пространстве, элементы которого в некотором смысле непрерывны по /.
Например, функции пространства U с нормой
/ТТ+\
\ \ № (х, t) + u\ (х, t) + ui (x, t)] dx dt +
0 /
max \ (u* + ul)dx
из-за неравенств леммы 4 § 9 непрерывны в среднем по /:
^ [и(х, t)-u(x + 6, t + 8)fdx^6\ \ (ux + utJdxdt
t 0 t
Мы уже поясняли, что это свойство непрерывности переносится
и на пополнение V'. Правда, обобщенные решения из U уже не
§ 10] ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЙ 139
будут содержать разрывных решений, так как разрывные функ-
функции не лежат в О (их норма была бы неограниченной). Однако
обобщенные решения с разрывными производными допустимы
и при этом определении.
Напомним, что пространство U было введено в §§ 5,9. Мы уже
отмечали, что получение решения с начальными данными из неко-
некоторого другого пространства Ф описывалось в § 5 действием неко-
некоторого ограниченного оператора R (OR->~U).
Пополнение пространств Ф, U и соответствующее расширение
области действия оператора R как раз и приводит к тому поня-
понятию обобщенного решения, которое мы постарались разъяснить
в этом параграфе, исходя первоначально из некоторой другой
точки зрения.
Глава II
т
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§11. Интеграл энергии
Приведение к каноническому виду гиперболической системы с двумя неза-
независимыми переменными в окрестности точки. Римановы инварианты. Неодно-
Неоднозначность их определения. Канонический вид —частный случай симметрической
по Фридрихсу системы. Специальная форма симметрической системы с посто-
постоянной матрицей коэффициентов при производных по х. Тождество «интеграл
энергии» для гладких решений симметрических /-гиперболических систем.
Пример: закон сохранения энергии для уравнений акустики. Интеграл энергии
для волнового уравнения. Лемма об интегральном неравенстве.
Система п уравнений
для п неизвестных функций и = (иъ и2 ..., и„) с матрицами
C = \cik\ = \Cik{x> 01» D = \dik\ = \dik(x, ОН называется гиперболи-
гиперболической, если все корни характеристического уравнения det \C — kE\ =
= О (Е — единичная матрица) вещественны и различны.
Мы сейчас покажем, как такую систему можно привести к не-
некоторому специальному каноническому виду. Рассмотрим собствен-
собственный вектор z матрицы С, отвечающий собственному значению k±.
Он удовлетворяет системе уравнений
(С - kxE) z = 0.
Пусть элементы cik(x, t) матрицы С являются гладкими функ-
функциями координат и пусть kx — некратный корень характеристи-
характеристического уравнения. Собственный вектор z(x, t) определяется
в этом случае с точностью до произвольного множителя, являю-
являющегося функцией от х и /. Покажем, что можно предполагать
вектор z (х, 0 имеющим гладкие составляющие.
Начнем с изучения гладкости корня kx (x9 t) характеристи-
характеристического полинома
^ f)] = P(k, хч t).
Его коэффициенты рх(х, f), p2(x, t), ..., рл(*. 0 представляют
собой полиномы от элементов cik (jc, t) и, следовательно, будут
§ 11] ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ 141
гладкими. Выберем некоторую точку (х0, t0). Корень^ является не-
некратным и, следовательно,
дР (kl9 х0, t0)
dk
-Ф0.
dk I
дх ~ 1
Xy
X,
t)
t)'
dk
dt
По теореме о неявной функции у точки (x0J t0) существует окрест-
окрестность, в которой однозначно определена непрерывная функция
k = k1(x9 t), удовлетворяющая условиям
P(k, х, 0 = 0,
Эта функция будет иметь ту же гладкость, что и коэффи-
коэффициенты pi (х, t), т. е. ту же, что и элементы матрицы С. В част-
dk dk ,
ности, производные -^-, -^- вычисляются по формулам
__ Pt (k, X, t)
Аналогично могут быть выписаны формулы и для производных
более высокого порядка.
Так как точка (xOi t0) может быть выбрана произвольно,
а через kx может быть обозначен любой корень характеристик
ческого уравнения, нами доказана.
Лемма. Если в некоторой области G плоскости х, t все
элементы матрицы С являются гладкими функциями координат
и если все ее характеристические корни в этой области некратны,
то сами эти корни будут гладкими функциями х, t.
Теперь постараемся построить гладкий собственный вектор z
матрицы C — kE. Мы проведем его построение в некоторой окрест-
окрестности произвольной точки (х0, t0).
В точке (х0, t0) ранг матрицы C — kE равен п—1. Значит,
существует минор этой матрицы, полученный вычеркиванием одной
строки (r-й) и одного столбца (^-го), такой, что его определи-
определитель в точке (х0, t0) не равен нулю. По непрерывности он отли-
отличен от нуля и в некоторой окрестности этой точки. Только эту
окрестность мы будем рассматривать. Чтобы определить вектор
z = (zl9 z2, ..., Zn), положим г? = 1 и рассмотрим все уравнения
системы (С — &?)г = 0, кроме r-го. Если вектор z будет удовлет-
удовлетворять этим п — 1 уравнениям, то он будет удовлетворять г-му,
линейно с ними зависимому.
Для п—1 неизвестных zb z2, ..., zq_v zq+1, ..., zn имеем си-
систему п— 1 уравнений с неравным нулю определителем. Ее можно
решить по формулам Крамера. Из этих формул очевидно, что все
компоненты z1 (x, t), z2 (x, t), ..., zq.x (x, t), zq (x, t) = l, zq+L (x, /),...,
zn (x, t) будут внутри окрестности гладкими функциями от х, t.
Ясно, что если все zt(x, t) умножить на одну и ту же гладкую
142 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
р(лг, 0=5^0, то мы опять получим гладкий собственный вектор.
В частности, таким путем можно добиться того, чтобы компо-
компоненты Zi (jc, t) собственного вектора были нормированы условием
п
2] А (*» t) = L Так нормированный собственный вектор опреде-
лен однозначно с точностью до знака. Только этот знак мешает
нам воспользоваться теоремой Больцано — Вейерштрасса и, выбрав
конечное покрытие окрестностями произвольной замкнутой под-
подобласти, а затем склеив в их пересечениях знаки у zt (x, t),
построить собственный вектор гладкой функцией во всей замк-
замкнутой подобласти. На самом деле в случае односвязной области
такое построение действительно можно провести. В двусвязной
области оно может оказаться невозможным.
Мы не будем на этом подробнее останавливаться и ограни-
ограничимся построением гладкого собственного вектора лишь в неко-
некоторой окрестности точки (хо> t0). Построив такие окрестности для
всех собственных векторов, а затем взяв их пересечения, мы
можем утверждать, что у точки (х0, t0) существует некоторая
окрестность, в которой элементы матрицы
/2ц г12 ...
\znl Zn2
являются гладкими функциями х, t. Столбцы этой матрицы мы
составили из собственных векторов так, что
ziP\
\
Z*P _ U
t — Кп
\ '" I
\znpJ \спр/
Иными словами, имеет место тождество
°\
/г2г12 ... knzin
Матрица Z, состоящая из линейно независимых собственных век-
векторов, отвечающих различным собственным значениям, невырож-
невырождена. Поэтому можно написать
§ 11J ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ 143
Это равенство означает, что подобное преобразование с матрицей Z
приводит С к диагональному виду /С. Этот факт известен из ли-
линейной алгебры. Мы провели подробно его вывод, чтобы пока-
показать возможность выбрать Z гладкой хотя бы в некоторой окрест-
окрестности.
Сейчас мы покажем, что если в некоторой области существует
гладкая матрица Z такая, что Z~1CZ = /C, то в этой области
гиперболическая система
+с
может быть приведена к некоторому каноническому виду.
Сделав подстановку и = Zu, запишем нашу систему так:
Выполняем дифференцирование
и умножаем систему слева на Z1
Пользуясь тождеством Z ЛС1 = /( и обозначая
z-1f=g,
приходим к системе следующего вида, который называется кано-
каноническим:
dv . г, dv
Вот пример системы второго порядка в канонической форме:
dv~ + kx{x, t)d^ + mn(x, 0 ух + т12 (л:, t)v2 = gl(x, t),
d^+k2(x, t)~*-+m21(x, 0fi + ^22(*> *К = ?2(*> О-
Компоненты Vi (x, t) искомой вектор-функции v (x, t) в канони-
канонической форме системы называются римановыми инвариантами.
Так как матрица Z, приводящая систему к каноническому виду,
определена неоднозначно, то неоднозначно определяются и рима-
новы инварианты. В дальнейшем нам будет удобно этой неодно-
неоднозначностью пользоваться,
144 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Иногда говорят, что система -аГ + С-^—\-Du = f называется
гиперболической, если существует гладкая матрица Z, приводящая
ее к описанному каноническому виду. При этом совсем необяза-
необязательно требовать некратности характеристических корней. Эта
некратность была нам нужна лишь для построения гладкой Z (x, f).
Если же канонический вид получен, то для построения дальней-
дальнейшей теории требование некратности совсем необязательно.
Пример. Система уравнений Максвелла
\х дНу _ дЕг е дНу_ _ dJ^
7о~ dt ~~ дх ' с^ ~д/ дх '
IX дНг дЕу е дЕг дНу
с0 dt ~~ дх ' с0 dt ~~ дх
имеет двукратные характеристические корни, но это не мешает
ей приводиться к каноническому виду
д(У
д(У
д(У
д(у
> Ну + Уг
dt
dt
dt
E.)
Ey)
Ez)
Ey)
со д (Vix Ну + Уг Е2)
дх
c0
= 0,
= 0.
дх
'у-Уг g*)=ft
д (/jT Hz + УгЕу)
dt +/jS дх
Ближайшие параграфы будут посвящены подробному исследо-
исследованию важного класса гиперболических систем— симметрических
^-гиперболических (по Фридрихсу) систем. Напомним их опреде-
определение, данное нами в § 6 гл. I для случая трех независимых пере-
переменных х, у, t. Система уравнений
Л(х, у, t)^ + B(x, у, f)j; + C(x, у, t)ddu- = f(x, у, t, и)
называется симметрической t-гиперболической системой, если мат-
матрицы А, В, С являются симметрическими, а матрица А к тому
же положительно определенной.
Мы видим, что в случае двух независимых переменных гипер-
гиперболическая система после приведения ее к каноническому виду
dv
является симметрической /-гиперболической, так как диагональ-
диагональная матрица К симметрична, а единичная матрица Е положи-
§ llj ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ 145
тельно определена. В случае, если независимых переменных
больше, чем две, произвольную строго гиперболическую систему
(с некратными характеристическими корнями) не удается, вообще
говоря, привести к форме, симметричной по Фридрихсу.
Однако если система
л ди Rdu гди
уже является симметрической гиперболической системой, то ее
можно привести к некоторому специальному каноническому виду,
который отличается простотой матриц Л и В. Такой каноничес-
канонический вид будет удобен при изучении задач, в постановке которых
выделена ось #-ов, например, задач, в которых решение разыс-
разыскивается при х>0, а на плоскости х = 0 ставятся граничные
условия. Мы сейчас покажем, как такое приведение осуществ-
осуществляется.
Пусть столбцы матрицы Z
(ZU Z12
г21 г22
Znl Zn2
являются решениями уравнений
где kj — собственные значения пучка матриц kA—B, т. е. корни
уравнения
det || АЛ-В|| = 0.
Если А = А(х, у, f), В = В (х, у, t) — симметрические с гладкими
элементами, А — положительно определенная и среди Щ нет крат-
кратных, то можно считать гу = гу(х, у, t) гладкими функциями
с той же гладкостью, что и у элементов матриц Л, В.
Доказательство, по существу, следует из приведенных выше
рассуждений, в которых теперь вместо С надо брать А~гВ, и
все рассматриваемые функции считать зависящими не от двух
аргументов (х, у), а от трех (х, у, t).
Вместо тождества CZ = ZK мы будем иметь теперь тождество
AlBZ = ZK,
которое может быть переписано в виде
146 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Умножив это тождество слева на Z*, получим
/*.
Z*BZ = Z*AZ-\ кг ..
\ О '" *«
Это тождество утверждает, что /-й столбец симметрической мат-
матрицы Z*BZ получается из /-го столбца симметрической Z*AZ
умножением на Щ. Легко видеть, что если среди kj нет равных,
то из этого тождества следует диагональность матриц Z*BZ и
Z*AZ:
I Z*BZ-{
6„
J
Здесь 8/ = 2 aikzi/zk/ > 0 определяются нормировкой столбцов
i.k = \
у Z (нормировкой собственных векторов). Если считать, что нор-
нормировка обеспечивает равенства б/ = 1, то мы будем иметь Z*AZ =
= /, Z*BZ = K<. Сделав в симметрической гиперболической си-
системе
A + B+c
подстановку u = Zv, а затем помножив ее слева на Z*, мы при-
приведем ее к виду
который в силу нашей конструкции Z опять является симмет-
симметрической гиперболической системой
В дальнейшем, пользуясь таким каноническим видом симметри-
симметрической гиперболической системы, мы не будем предполагать, что все
kt на диагонали матрицы К различны. Дело в том, что многие
уравнения математической физики допускают приведение с гладко
зависящей от х> у, t матрицей Z, даже если среди собственных
значении kt есть кратные. В качестве примера можно указать
$ Щ ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИЙ
уравнения трехмерной акустики
1 др . ди , dv . dw
147
ди др _
~di + d~ ~
др
=о,
да; .др __ п
р0 W "*" dz "" U>
канонический вид которых
/1 0 0 0\ /иЛ /со
О 1 0 0\д_( и2] , I О
0 0 10
\0 0 0 1/
о о
о о
+
\«4
_1_
72Со °
о о
+
Со О
О О
о о
о о
О О 0\ /игу
-с0 0 0Щи2|
О О О I дх \и3 ' "^
\
0 0 0-
/
О О О ±=со\
0 0 0 О
0 0 0 О
о
\п« 00
/
получающийся при переходе к новым неизвестным функциям:
имеет диагональную матрицу К с двумя нулями на главной
диагонали.
Нам будет удобно в записи матрицы К такого канонического
вида выделять знаки ее диагональных элементов и предполагать,
что эти знаки в рассматриваемой области не меняются, т. е.
предполагать, что kh ненулевые в какой-то точке (х, у, /),
не будут обращаться в нуль нигде в этой области. После этих
замечаний должно стать ясным, какие ограничения накладываются,
если мы в некоторых задачах предполагаем, что симметрическая
гиперболическая система
ди_
dt
148 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
имеет матрицу В следующего специального вида:
k2
"-По
—ь„
— к„
О
[ГЛ. II
о\
На самом деле без какого-либо дальнейшего ограничения общно-
общности мы можем предполагать, что все kj (/=1, 2, ..., пх) не зави-
зависят от (х, у, f) и даже равны единице. Действительно, пусть В
имеет описанный выше диагональный вид с гладкими и всюду
отличными от нуля къ &2, ..., 1гПо, kno + u ..., kni. Сделаем под-
подстановку
/ 1
О
1
\о
после чего еще умножим полученную систему
dv \ RTdv \ ГТди I (пг \ АдТ \ ПдТ
слева на Т* = Т. Мы приходим опять к симметрической системе
~ + Т*СТ~ +
у которой диагональная матрица Т*ВТ коэффициентов при ~
§ п) ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ 149
имеет на диагонали постоянные элементы, равные ± 1 или нулю:
+ 1
+ 1
+ 1
(У
п0 штук
— 1
-1
п0 штук
— Пх штук
Конечно, матрица Т*АТ коэффициентов при производных ~-
теперь уже не будет единичной. Для дальнейшего важно лишь
то, что она положительно определена и что ее элементы — глад-
гладкие функции от ху у, t.
Сейчас мы выведем для симметрических /-гиперболических
систем одно очень важное тождество, называемое интегралом
энергии. Оно будет играть основную роль при построении всей
теории симметрических систем.
Ограничимся линейными системами вида
/A dt ' " дх ' w ду
где
Л = А (х9 у, /), В = В (х9 у, t\ С = С (х, у, О,
\^ — ^х у™у Чу )у I —" / V ' У у /у
И
Матрица Q симметричной не предполагается. Умножим систему
скалярно на вектор 2и
(Qu, «) = 2(/, и).
Преобразуем отдельные слагаемые полученного равенства (поль-
1бО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. It
зуемся тем, что Л = Л*, В = В*, С = С*):
-{*?¦*)+(?•*')-(* *¦• »)+(*»¦$¦)-
?¦*)+(?•*')-(* *¦• »)+(*»¦$
Аналогично:
Кроме того,
2(Qu, u) = (Qu9 u) + (u, Q*u) = ([Q + Q*]u, и).
После выполнения всех этих преобразований можно написать, что
iu(Auy и) + -^-(Ви9 и) + -к-(Си, u) = (Du, u)+2(fy и).
Здесь
Из последнего равенства ясно, какой гладкости надо требовать
от Л, В, С, Q, чтобы D обладала той или иной определенной
гладкостью.
Рассмотрим какую-либо область G, лежащую внутри области
существования решения и, ограниченную кусочно гладкой поверх-
поверхностью 5. Проинтегрируем наше тождество по области G
-^(Ви, и) + ^(Си, u)]dxdydt~
w, w)+ 2(A u)]dxdydt.
Интеграл в левой части, как интеграл от дивергенции, может
быть преобразован в поверхностный по теореме Гаусса— Остро-
Остроградского. Мы будем единичный вектор внешней нормали к по-
§ 11] ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ 151
верхности 5 обозначать (т, ?, т]). Имеем
и, u) + r\(Cu, u)]ds =
= $$№"> u) + 2{f, u)]dxdydt.
G
Интегральное тождество
\\\ u)]dxdydt
называется интегралом энергии для симметрической системы.
Если взять в качестве примера систему уравнений, описываю-
описывающих распространение звуковых волн (см. § 6) с матрицами
/о 1 о\ /ooi
В = \\ о о С= о о о
(матрица Q и вектор / — нулевые), то получится тождество
И Iх (ik+р°+p°v2)+l2pu+^Hds=0>
о
выражающее (после деления на 2) закон сохранения энергии зву-
звуковых волн. В случае двух переменных х, t мы таким законом
уже пользовались в § 5 при доказательстве теоремы единствен-
единственности.
Выведенный нами интеграл энергии будет использован в сле-
следующем параграфе для доказательства единственности решения
задачи Коши в случае произвольной гиперболической системы.
Интегралы энергии можно строить не только для симметри-
симметрических систем первого порядка. Сейчас мы опишем интегралы
энергии волнового уравнения
Для этого умножим обе его части на
dt ^ т дх + п ду '
и преобразуем слагаемые, получившиеся в произведении, по
152 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
следующим правилам:
dt dt2 ~ dt 2 * dt dx2 dx WWx) dt
~dt ' Ik? = ~dy (Ptpy> ~~ ~dt ~2~'
~dx ~W = ~dt (ptpx> ~~~дх~2~' 'ду ~W = ~dt ^^у> ~~ ~fy Y'
?Ж = ?Т' ~дх~дф = ~ду(РхрУ>~дх~~2~*
~ду ~W = ~дх (рхру) ~~ду~2> ~ду' ~дуг = ду ~2~'
В результате мы придем к выполненному на решениях тождеству
дГ[- — 2^ — "J ~
д Утр) + 2c\ptpx — тс\р\ + 2пс%рхру + тс%р* 1
-^L 2 J-
д [ np2t-\- 2c\ptp — nc\pl + 2mcZp p + nc\p\ 1
--щ\ i ^J=°-
Если т2-\-п2<Сс1> то квадратичная форма от производных
р) + 2mptpx + 2nptpy + cl (pi + pi),
стоящая в этом тождестве под знаком дифференцирования по /,
является положительно определенной. Тождество носит название
интеграла энергии для волнового уравнения и используется для
тех же целей, что и интегралы энергии у симметрических гипер-
гиперболических систем.
В заключение этого параграфа докажем вспомогательную лемму,
которой в дальнейшем не раз будем пользоваться.
Лемма об интегральном неравенстве. Пусть при
O-^t^T функция I(t)^0 непрерывна и дифференцируема. Если
такая I (t) для любых 0^ti^t2^T удовлетворяет неравенству
и и
I{t2)^Hti) + M \l(t)dt+N \Vl(t)dt (M>0, N^O),
и и
го
УЩ^УТЩе2 +JJi^t_iJ# A)
Доказательство. По предположению, для tx<t2 имеет
место неравенство
Ь
k-k ^ k-u
§ 12] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 153
Мы воспользовались здесь теоремой о среднем значении, выбрав
с ее помощью t* {ti^t* ^t2). Стягивая [tv t2] к внутренней
точке t интервала и пользуясь дифференцируемостью /(/), полу-
получаем
%^MI(f) + NV7JF). B)
Если l(t) = 0 для выбранного значения ?, то выполнение
неравенства A) в точке i очевидно. Пусть теперь /(?)>0. Обо-
Обозначим посредством tr либо наибольшее из тех значений /, для
которых /@ = 0 и t < t, либо (если / (t) > 0 для всех t < t)
точку ?=0. На интервале (tly t) функция I(t) положительна.
Поделим обе части неравенства B) на 2 j/7 (t). Имеем
jt
Умножим обе части последнего неравенства на
d\e 2 К7У)| N
It ^ 2 ^
Проинтегрируем это неравенство от tx до t
М а М .. [ М
Следовательно,
м
Л. Л
Так как t—t1^t, а /(/х) либо равно /@), либо равно нулю,
то интегральное неравенство A) доказано.
§ 12. Теорема единственности
и оценки решений гиперболических систем
Использование интеграла энергии для оценок решений симметрических
гиперболических систем. Оценки проводятся в области полупространства t > 0,
ограниченной сверху некоторой «шапочкой», о которой известно, что по ней
поверхностный интеграл энергии неотрицателен. Как проверить это условие,
пока не выясняется. Теорема единственности для рассматриваемых областей.
Получение оценок для производных путем применения изучаемой техники
к расширенным системам, включающим уравнения для оцениваемых производ-
производных. Расширение уравнений акустики.
154
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ II
Мы начинаем изучение теоремы единственности и теоремы
о непрерывной зависимости решений от начальных данных для
симметрических гиперболических систем. Попутно мы получим неко-
некоторые важные оценки для реше-
решений и их производных. Все эти
теоремы и оценки получаются
из исследования интегралов энер-
энергии с помощью интегрально-
интегрального неравенства, доказанного в
конце прошлого параграфа. До-
Доказательство, которое здесь бу-
будет проводиться, предполагает
неотрицательность некоторых
поверхностных интегралов. Сей-
Сейчас мы этими интегралами за-
заниматься не будем, поэтому все
наши выводы будут носить усло-
условный характер. Условия неотри-
неотрицательности таких интегралов
будут изучены в последующих параграфах. Их изучение связано
с важными идеями.
Изучая гиперболическую симметрическую систему
Рис. 31.
дх
ду
мы в предыдущем параграфе установили для ее гладких решений
интегральное тождество, которому было присвоено название «инте-
«интеграл энергии»:
(Д u)]dtdxdy.
В этом тождестве поверхность S ограничивает область G в про-
пространстве (t, х, у), вектор (т, |, г]) — единичная внешняя нормаль
к этой поверхности. Матрица D определяется равенством
Пусть некоторая область ограничена поверхностью, которая
разбивается на две части. Первая из этих частей представляет
собой ограниченный кусок плоскости t = 0, а вторая — является
как бы «шапочкой», опирающейся на границу первой и располо-
расположенной в полупространстве tf>0. Такая «шапочка» изображена
на рис. 31.
Мы будем предполагать, что всюду на поверхности «шапочки»
квадратичная форма ([хА + ЪВ-\-цС] и, и) неотрицательна. При
каких условиях это предположение выполняется, мы сейчас выяс-
§ 12J ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 155
нять не будем. Проведем сечения t = tl9 t = t2 (^>^i) и рассмот-
рассмотрим область G, ограниченную этими сечениями и поверхностью
«шапочки». На сечении / = /2 вектор внешней нормали (т, ?, г\)
имеет координаты A, 0, 0), а на сечении t — ^ координаты
(— 1, 0, 0). Опуская в тождестве интеграла энергии неотрица-
неотрицательный интеграл по боковой поверхности и заменяя тройной
интеграл по области G на повторный, получим неравенство
^ (Аи, u)dxdy^ JJ (Аи, u)dxdy +
+ $/ $$ [| (Da, u)\ + 2\(f, u)\]dxdy)dt.
tt I/= const J
Здесь все интегралы по сечениям t = t2, t = tl9 t — const берутся
только по пересечению G с соответствующей плоскостью.
Обозначим через / (/) интеграл
J J (Аи, и) dx dy.
t = const
Воспользуемся неравенствами:
— М(Аи, u)^(Du, u)^M(Au, и),
\\ | (Dm, u)\dxdy^M \\ (Аи, и) dxdy = MI (t),
t = const t = const
$$ 2 {f, u)\dxdy^2 $$ V(f,f)V(u,u)dxdy
t = const t= const
t = const ^ ^= const
JJ (Аи, u)dxdx=NVT{f).
t= const
С их помощью получаем, что
/ (Q < / (y + Af f / (/) Л + iV f УТЩ dt.
и
Применяем теперь лемму об интегральном неравенстве, доказан-
доказанную в конце прошлого параграфа:
М * ,2
+n±s±
Постоянная М здесь оценивает коэффициенты системы и их произ-
производные, г N — правые части /•
156
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
Из доказанного неравенства вытекаат, что если и = 0 при / = 0
и если f(x, t) = 0, то I(t) = Ot а следовательно, всюду внутри
«шапочки» и = 0. Это утверждение представляет собой теорему
единственности. Правда, мы пока не обосновали важнейшего
условия положительности поверхностного интеграла по «шапочке»
и поэтому не установили, для каких «шапочек» такая теорема
имеет место.
о
I
Л
L
\у ~\s"
«27
Рис. 32.
Рис. 33.
Заметим, что (и, u)^const(Auy и), и, определив норму ||#||
вектор-функции u(t) = u(x, у, t) на сечении / = const равенством
\ \ (и, u)dxdy,
t = const
запишем выведенную оценку в следующей форме:
|| и (/) || < const || и @) || + const max \\f(t) ||.
t
Мы предполагаем здесь, что /
0 ^ t ^ Г, и благодаря этому
меняется
оцениваем
на
м
е2
конечном
м
t e2 — 1
t л л
отрезке
сверху
через некоторые постоянные.
Рассуждения, которые мы проводили, никак не связаны, кроме
обозначений, с тем, что число пространственных переменных х, у
равно двум. Точно так же могут быть разобраны случаи трех
пространственных переменных х> у, z или одного только х.
Остановимся кратко на последнем случае. При этом надо
рассмотреть рис. 32. «Шапочка» в этом случае представляет собой
не поверхность, а кривую, вместо двойных интегралов по сече-
сечениям / = const мы должны рассматривать однократные. Норма
|| и (t) || определяется здесь так:
/~*2(/)
II«@11 = 1/ $ [!>?(*, Old*.
§ 12] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 157
Конечно, можно представить себе случай «шапочки», изображен-
изображенной на рис. 33. Сечения такой шапочки прямыми t = const могут
состоять из нескольких не связанных между собой отрезков. Без
всякого труда можно получить аккуратные формулировки, при-
пригодные и для таких случаев.
Сейчас я расскажу, как описанный выше прием может быть
использован для получения оценок не самих решений, а их произ-
производных. Рассмотрим наряду с исходной системой
еще три равенства, получающиеся из нее дифференцированием
по /, х, у. Эти равенства вместе с исходной системой образуют
расширенную систему, содержащую в четыре раза больше урав-
уравнений и неизвестных, чем исходная:
Л да , D да , п да
Эту систему можно записать с помощью клеточных матриц еще
в следующей форме:
Из этой формы видно, что расширенная система тоже будет
симметрической. Это позволяет применять к ней рассуждения,
разобранные нами выше. С их помощью могут быть оценены произ-
производные от и (х, у, t) через их начальные значения при / = 0 и
через правые части и их производные fh fx, fy. Константы в этих
оценках зависят от матриц расширенной системы. Для их полу-
получения надо требовать большей гладкости от коэффициентов исход-
исходной системы и ее правых частей, чем при оценке самой вектор-
функции и (х, у, t).
158 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Начальные значения производных их, иу могут быть получены
дифференцированием начальных данных, а начальные значения
производной щ вычисляются через начальные значения и, их, иу
с помощью основной системы уравнений:
Ащ = — Вих — Сиу — Qu + f,
щ = А-1 (/ - Вих - Сиу - Qu).
В случае, если надо оценить не только первые, но еще и вто-
вторые производные или даже производные более высокого порядка,
то, аналогично, дальнейшим дифференцированием расширяют
систему так, чтобы она после этого содержала в качестве иско-
искомых функций производные всех тех порядков, какие мы только
хотим оценивать.
Ясно, что чем выше порядок производных, для которых мы
хотим получить оценку, тем большей гладкости нам нужно тре-
требовать от коэффициентов исходных уравнений, их правых частей
и от начальных данных.
Упражнение. Получите расширенную систему, с помощью которой
можно оценить вторые производные от решений.
В некоторых случаях удобно использовать расширенные си-
системы с симметричными клеточными матрицами коэффициентов,
клетки которых отличны от исходных А, В, С.
Сейчас будут описаны, без какой-либо мотивировки, три раз-
различных примера такого расширения уравнений акустики,
__L ^R i— _l EL — о
pocf} dt ~r dx~r dy~~v*
du dp _ 0
dv dp 0
которые нам понадобятся в § 15 при разборе поучительных при-
примеров постановок задач.
Продифференцировав первое уравнение этой системы по /,
вычтя из результата второе и третье уравнения, деленные на р0
и продифференцированные соответственно по х, у, получим урав-
уравнение второго порядка для р, только множителем отличающееся
от следующего волнового уравнения:
Если теперь ввести постоянный параметр / и обозначить:
/ = Pt ~ Фу, Г = Рх> S = py,
12]
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
159
то, пользуясь тождествами
dt2 ° \ dx2 "•" ду2 I'
1 \( \ (г2 Р\ ( 1
dt ду 1 \ду ) v ° ' ду \dt ду
легко убедиться, что /, г, s удовлетворяют системе:
дг_
dt
dr
ds
ds
Если известно решение этой системы, то р, w, t; могут быть полу-
получены с помощью уравнений
др , 1 ди 1 да 1
В результате мы пришли к симметрической системе шестого
порядка:
1 0. / о—с» 0ч /\
(с?-Р) . . .0\
о ¦ \
°/
а
//\
s
р
V/
1 0 \
0
0
/ + /S
1
1
/•
Ро
1
__ о
V Ро i
A)
которая при |/|<С^о является гиперболической.
Следующий пример расширения мы получим, заметив, что при
произвольных параметрах k, l линейная комбинация производных
от р,
160 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. II
удовлетворяет волновому уравнению
dt2 C° \ дх2 "•" dy2 J ~~
При этом, как нетрудно убедиться, производные от я, р:
п дл о дя дя
8 = -гт-, о = -ц—, к = -~—. г = р г, s = ри
dt dx dy ^ ry
и сами я, р, a, v являются решениями уравнений:
1 дб дб дх _ n dp dp dp _
cl dt dx dy ' dt dx ду ~ у
дб дб ^ dr у dr ^ dr „
dt dx ' dt dx dy ~ '
дх дб ^ ds * ds . ds v ;
d/ d|/ J dtf d^ ^f/ '
dл q du [ dv 1
d^ ' d/ ~~" po ' dt ~ p0 '
которые также образуют (при любых k, I) симметрическую гипер-
гиперболическую систему.
Третий вид расширенной системы можно получить, если вос-
воспользоваться тождеством
\dtJrk'dx~ ~ l~dy) \df ~~k~d~x ~ l~dy) ~ ~Щ [~Ж ~ C\~dx^ + Ту
и получить для давления р уравнение
dy ~*~ ^ ^~l ' ду*
дл , , дл i дл л i / с /
dt ' дх ду ' '
которое допускает еще и следующую запись:
/ д 1с*
\dt cl — № dyj\dt cl — k? dy
Введя обозначения
§ 12J ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 161
получим для р, f, g уравнения первого порядка:
- /к), C)
df
dt с
dg
dt cl
Icl df
l-k*dy
Icl dg
— k2 dy
c0
Cq !
k\ Vk
cl-
k | У k2
T
2 + /2 —
-{-l2 —с
Icl
tf dg
dy
2 df
dy
cl
r2 A,2
o,
f
c* — k2 dy
Компоненты w, v скорости удовлетворяют уравнениям:
du±
л ' co(c;i-
представляющим собой запись в новых обозначениях равенств:
du _ \ dp dv 1 dp
dt ~~ ~fa dx' dt "~ p0 dy'
Если объединить уравнения для 0, б, к, л из B) с уравнени-
уравнениями C), D) для /, g, p, uy v, мы придем к замкнутой системе
девятого порядка, которая тоже может считаться расширением
уравнений акустики. Это последнее расширение является симмет-
симметрической гиперболической системой, только если &2 /2 О
Все три приведенных сейчас примера расширений уравнений
акустики имеют вид симметрических гиперболических систем
л dw p dw r dw ,
Для дальнейшего нам важно отметить, что связанные системами
квадратичные формы (Bwf w) имеют вид
для первого расширения (Bw, w) = — 2cl jr, где j = pt — lpy,
2
для второго расширения (Bw, w) = — 205 — k (r
6 = df (pt ~ kpx ~ 1Ру)> 8==^х(р<~ k
для третьего расширения (Bwt w) = — 206.
Напомним еще, что для осуществимости первого из наших
расширений необходимо выполнение неравенства \1\<с0, а для
осуществимости третьего — выполнение трех неравенств: к2
k2 l20 О
В дальнейшем (см. § 15) мы воспользуемся построенными
здесь примерами при анализе смешанной задачи,
6 С. К. Годунов
162 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
§ 13. Условие неотрицательности квадратичной формы,
связанной с интегралом энергии
Конус векторов, связанных с неотрицательно определенными квадратичными
формами интеграла энергии. Его выпуклость. Способ вычисления границы этого
конуса. Неравенство т + #(?, т]);>=0 и определение #(?, т]). Однородность и
вытекающее из нее равенство 1,Н^-\-х\Нц = Н. Примеры: гиперболическая си-
система с двумя независимыми переменными х, t в канонической форме и уравне-
уравнения теории упругости. Замечание о случае переменных коэффициентов.
В предыдущем параграфе при исследовании интегралов энер-
энергии мы столкнулись с необходимостью изучать такие поверхности S,
на которых
здесь т, ?, г] — компоненты вектора нормали к поверхности S;
Л, В, С —симметрические матрицы, причем Л положительно
определена. Мы сейчас фиксируем некоторую точку (х0, /0, у0)
пространства и рассмотрим для матриц Л, В, С, описывающих
коэффициенты некоторой системы в этой точке, множество всех
тех векторов (т, g, т]), для которых тЛ+^В + т]С неотрицательно
определена.
Во-первых, заметим, что вектор т=1, 1 = 0, г) = 0 отвечает,
по условию, положительно определенной форме тЛ+?fl-|-r)C.
Отметим также, что вместе с каждым вектором (т, Н, tj), отвечаю-
отвечающим положительно (неотрицательно) определенной форме, любой
вектор т = рт, | = н?, Т] = |ят] при |я>0 также дает положи-
положительно (неотрицательно) определенную матрицу тА -\- |В -|-rjC =
= \х(%А +^В-\-г\С). Это утверждение можно сформулировать так:
Векторы, отвечающие положительно (неотрицательно) опреде-
определенным формам, образуют конус.
Покажем, что конус векторов (т, ?, tj), отвечающих положи-
положительно определенным формам, является выпуклым. Действительно,
пусть
тх(Ли, и) + ?1(Ви1 u)+r\1(Cuf и)^кг(иу и),
т;2{Аи, и) + 12(Ви, и) + чJ(Си, и)^х2(и, и).
Любой вектор (т, ?, rj), лежащий на отрезке, соединяющем концы
векторов (ть llt Tii), (т2, g2> тJ), может быть представлен в форме
т = A - а) тх + ат2, g = A - а) ^ +а?2, Л = I1 - а) % + ат]2
с неотрицательным а, не превышающим 1. Отсюда ясно, что
г (Аи, и) + Ъ(Ви, u) + i\(Cu, ^^[(l-aJXi + axJ^, и) 2*
^min[xb x2](u, и).
Это неравенство и означает положительную определенность.
§ 13] НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТЬ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ 163
Итак, мы видим, что вместе с каждыми двумя векторами,
отвечающими положительно определенным формам, все векторы,
являющиеся их линейными комбинациями с положительными коэф-
коэффициентами, тоже отвечают таким формам. Таким образом, конус
векторов (т, ?, г\) с положительно определенными формами явля-
является выпуклым и содержит вектор A, 0, 0), перпендикулярный
плоскостям t = const. Этот конус не совпадает со всем простран-
пространством, так как вектору (—1, 0, 0) отвечает отрицательно опре-
определенная форма.
Рассмотрим векторы, лежащие на границе конуса положи-
положительно определенных форм. В силу непрерывности квадратичной
формы x(Aut и) + 1(Ви, и) + ц {Си, и) относительно вектора (т, ?, т])
эта форма на границе конуса будет неотрицательно определенной:
х{Аи, и) + 1{Ви, и) + к\(Си, и) 5*0.
С другой стороны, для вектора (т0, ?0, %), лежащего на гра-
границе конуса, эта форма не может быть положительно определен-
определенной, так как в противном случае выполнялось бы неравенство
хо(Аиу u) + to(Bu, u) + r\0(Cu, и)>х>0,
если
(и, и) = 1,
которое в силу непрерывности квадратичной формы было бы спра-
справедливо и для всех векторов (т, ?, т]), близких к (т0, gOf т]0). Это
противоречит тому, что (т0, ?0, %) —граничный вектор.
Из алгебры известно, что квадратичная форма симметрической
матрицы х(Аи, и) + 1(Ви, и) + ц(Си, и) будет положительно
определенной тогда и только тогда, когда все ее собственные
значения положительны, и эта форма будет неотрицательно опре-
определенной тогда и только тогда, когда все ее собственные значе-
значения неотрицательны. Поэтому неотрицательность квадратичной
формы, не являющейся положительно определенной, влечет за
собой равенство нулю одного из характеристических корней ее
матрицы. Отсюда ясно, что для векторов (т, g, rj), лежащих на
границе конуса положительно определенных форм,
= 0.
Конус векторов, которые удовлетворяют последнему равенству,
называется, как мы знаем (§ 6), конусом характеристических
нормалей. Он делит все пространство на несколько частей. Рас-
Рассмотрим ту часть, которая содержит вектор A, 0, 0). Мы пока-
показали, что эта часть пространства совпадает с теми векторами
(т> Ёэ *]), для которых форма положительно определена. Она явля-
является выпуклой.
Чтобы найти границу конуса положительно определенных
форм, надо при каждой фиксированной паре (?, т)) найти наиболь-
164 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
ший корень т* (I, г\) уравнения
Легко видеть, что выполнение неравенства
является условием неотрицательности формы:
х(Аи, u) + t(Bu, u) + y)(Cu9 и).
Обычно вместо т* (?, т)) рассматривается функция
//(Е,г,) x*(gf Л),
а конус векторов (т, ?, tj), отвечающих неотрицательным формам,
задается неравенством:
Ясно, что при а>0 справедливо равенство
Я(аН, ат)) = аЯе, г)),
которое означает, что функция Н является однородной функцией
первой степени однородности. Если Я— дифференцируемая функ-
функция, то по теореме Эйлера для однородных функций
Сейчас проиллюстрируем описанную конструкцию двумя при-
примерами.
Первый пример рассмотрим в случае всего двух перемен-
переменных х9 t, чтобы подчеркнуть независимость наших выводов от
числа пространственных переменных. Ясно, что в этом случае
Н = Н(%), но при этом может быть, что Н(—?)=??= — Н (%).
Рассмотрим гиперболическую систему в канонической форме:
% 0\
Здесь А = Е (единичная матрица), 5 =/С,
Уравнение det ||т?+ 1^1 = 0 определяет конус характеристических
нормалей: п прямых т + А^ = 0, которые делят плоскость (т, g)
на некоторое число углов. Угол, содержащий вектор т=1, ^ = 0,
ограничен лучами прямых т + ^Д = 0, отвечающих наибольшему
и наименьшему коэффициентам kp (рис. 34). Функция Н (I)
§ 13] НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТЬ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ 165
определяется здесь так:
Н (|) = max (— %ki).
i
В качестве второго примера рассмотрим двумерные уравнения
теории упругости:
ди дап . да12
р0 Ш ~~ ~дх~ + ~ду~'
dv da2i . da22 12 21'
^° dt dx ' dy '
daw (тт . 4
да22
2
ди
dv
В этой системе уравнений р0 — плотность среды, и, v —¦ компоненты
вектора скорости перемещения, aik — компоненты тензора напря-
напряжений. Постоянные положительные коэффициенты К и \i назы-
называются соответственно модулем
всестороннего сжатия и моду-
модулем сдвига. Вывод уравнений
теории упругости имеется в
курсе механики, сплошных
сред.
Выписанная система не име-
имеет симметрической формы и по-
поэтому неудобна для наших це-
целей. Поделим последнее урав-
уравнение на jii, а вместо третьего
и четвертого возьмем некоторые
их линейные комбинации.
После этих преобразований уравнения упругих волн запишутся
в следующей окончательной форме:
ди да ц да i2 ^
P°dt дх~ ~~ ~Ш = U'
Рис. 34.
,_3/C_-j-4[i
dv дпп да>2 __ п
jdt ~~ ~d~x ~~ ~di — U<
3/<-2и
dt
' +
ог221
1 dav
"и It
dv
' dx
dii
'dy
166 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Эта система уже является симметрической системой вида
Ь Tx + Lд~у ^ U#
В этом легко убедиться, если, обозначив и^ —
u4 = a22i w5 = er12, выписать матрицы Л, В, С:
= vt u3 =
А =
\
о
о
о
о
О -1
Ро О
0 Po
0 0 ;
0 0-;
0 0
за:—
С=
0
0
за:-
Ol\ -j-
а(за:-
0
^ о
0
0
0
.-l
2ц
Щ
¦fM)
0
0
0
—1
0
°\
0
о
n
1 ,
0
0
0
0
0
>
0
-1
0
0
0
—1
0
0
0
0
Уравнение det || тЛ + gfl + r)C || = 0 для этой системы имеет вид
о —Б °
з/<-24и
О
О
'4МЗ/С+Ю
0 —г] —т
-л -I
Замечая, что
— т
т
-Б
о
о
т
= 0.
и вводя обозначения
со = ко0т, а = -
Ь = х-
мы перепишем это уравнение менее громоздко:
со о — I о —т]
о со о —п —?
—gO a
О —г) -6
-т] — g О
—b
a
О
= 0,
§ 13] НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТЬ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ 167
а затем раскроем определитель:
[а (р + Л2) - со (а2 - &2)] [?2 + xf - 2со (а + Ь)] = 0. A)
Выражение для определителя может быть получено прямым
(довольно громоздким) вычислением. Значительного упрощения
выкладки можно добиться, заметив, что система уравнений
инвариантна относительно вращения и поэтому естественно ожи-
ожидать, что определитель зависит от переменных \ и г\ простым
образом: он зависит лишь от ?2 + т]2. Полагая в определителе
г\ = 0 и разлагая его по второй и четвертой строкам, получаем
равенство
со -I 0
0 —Ь а
= [— I2 + 2ю (а + Ь)] [со {а2 - Ь2) - af] = 0.
Заменяя теперь |2 на ?2 + if, приходим к равенству A).
Теперь можно вернуться к первоначальным обозначениям и
написать
+ Л2)J [т2 - ?- (^ + Л2)] = 0.
Это уравнение определяет плоскость т = 0 и два конуса:
Эти конусы и плоскость т = 0 изображены на рис. 35. Внутренней
полой конуса, содержащей вектор т = 1, ? = 0, т] = 0, будет верхняя
пола конуса
4
Это значит, что матрицы хА +1? + г|С будут неотрицательно
определены, если
168 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Функцию Н (?, г|) здесь надо определить равенством
[ГЛ. II
Ро
Мне кажется, что эти примеры достаточно проиллюстрировали
структуру и способ определения множества векторов, отвечающих
неотрицательно определенным матрицам гА-{-1В-\-г\С.
В заключение сделаем еще одно замечание. До сих пор мы
) С ) й
изучали
рис 35.
она дифференцируема, ?#^
пользуемся в дальнейшем.
I (Ви, и)-\-ч) (Си, и) в некоторой
фиксированной точке (х0, у0, /0).
Если матрицы коэффициентов Л,
В, С —переменные, т. е. зависят
от точки (х, у, /), то и конус
векторов (т, |, т]), связанных с
неотрицательно определенными
формами, будет в каждой точке
свой. Поэтому мы должны писать
его уравнение в виде
1 + Н&, г)» х, у, 0S*0.
Функция Н и здесь — однород-
однородная первой степени по перемен-
переменным Н, г) и, следовательно, если
-\-г[Нц = Н. Этим равенством мы вое-
§ 14. Уравнение Гамильтона — Якоби
Неравенство и уравнение Гамильтона —Якоби. Схематическое описание
приема интегрирования этого уравнения. Бихарактеристики и канонические
уравнения Гамильтона для их построения. Конус характеристических нормалей
для уравнений акустики и уравнения Гамильтона — Якоби для этой системы.
Описание областей единственности для нее. Конус характеристик и конус
характеристических нормалей. Пример: уравнения акустики.
В этом параграфе мы подведем итог в рассмотрении вопроса
об области единственности для решений симметрических гипербо-
гиперболических систем.
Пусть некоторая область ограничена снизу плоскостью / = 0,
а сверху «шапочкой» ер (л;, у, /) = 0 (gradcp^O). Предположим,
что внутри области ф<0, а вне ее ф>0. Итак, мы рассматри-
рассматриваем область, высеченную неравенствами ф<0, />0. Эта область
предполагается ограниченной. Внешняя нормаль к «шапочке»
Ф = 0 направлена вдоль вектора — градиента (ф/, ф*, ф^). Если
(Ti It Ц) — единичный вектор внешней нормали, то
§ 14] УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 169
Если мы хотим, чтобы форма х(Аи, и)-\-1,(Ви, и) + х\(Си, и)
была неотрицательно определенной, нам надо, как мы уже знаем,
потребовать, чтобы
х + Н(%, х\, х, у, 0^0.
Умножим левую часть неравенства на положительное k и восполь-
воспользуемся однородностью (первой степени) функции Н:
kx + H(kl, Ь, х, у, /M*0.
Иными словами, уравнение поверхности ср(лг, у, t)^0 должно
задаваться функцией ф, удовлетворяющей неравенству
Ф/ + Я(фх, уу, х, у, 03*0.
Это неравенство называется неравенством Гамильтона — Якоби.
Среди всех поверхностей, удовлетворяющих этому неравенству,
особую роль играют поверхности, для которых функция ф удов-
удовлетворяет равенству ф/ + #(фд-, qv, хч у, 0 = 0. Это равенство
называется уравнением Гамильтона — Я коби. Заметим еще раз,
что если взять по поверхности ф = const, связанной этим уравне-
уравнением, интеграл
\[ и, u]ds,
то этот интеграл будет неотрицательным.
Отметим еще тот факт, что при получении оценок для произ-
производных мы расширяли изучаемую систему до системы, матрицы
коэффициентов при производных у которой принимали клеточный
вид
Очевидно, что условия неотрицательной определенности расши-
расширенной матрицы
совпадают с условиями неотрицательной определенности матрицы
А 1В + С
В свое время мы определили понятие характеристики как
такой поверхности, для которой вектор нормали (т, |, г|) удов-
удовлетворяет уравнению det||T>t -\-1В-\-цС\\ = 0. Равенство т + Я = 0
дает только часть решений этого уравнения. Равенство det ||тг^4 -j—
-|- \В + у\С || = 0 определяет некоторый конус — конус характеры-
стических нормалей. Уравнение Гамильтона — flкоби выделяет цз
170 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
этого конуса только одну полу, а именно полу, охватывающую
положительную полуось т.
Способы интегрирования уравнения Гамильтона —Якоби изу-
изучаются в курсе теоретической механики. Сейчас я очень коротко
остановлюсь на процедуре получения решения (существование и
гладкость которого, равно как и гладкость функции Я, предпо-
предполагаются), чтобы использовать эту процедуру при разборе важного
примера.
Наряду с уравнением % + Н(ух, ц>У9 х, у, t) = 0 рассмотрим
равенства, получающиеся из него дифференцированием по л: и по у:
д(рк ^фх ^Ф*/
дсрх деру
Заметив теперь, что-у- =-j-, перепишем их так:
dt ' фх дх ' ф/у ду ' х
Ж" + H*X-dx+H<*y-dIf + НУ =
СаМо исходное уравнение
| ^, ф/у, х, у, 0 = 0,
воспользовавшись тождеством Я(ф^, ф^, х, у, 0 = УхНц>х + Ф/УЯФ
(однородность Я по фх, ф^ первой степени), можно переписать
так:
^ ' ^х дх 1 ф(/ ^f/
Систему
W + Н<*х Ш + Яф(/ Jij = °>
дЦ>х 1 И дух н д(рх И п
нетрудно проинтегрировать методом характеристик, который изу-
изучается в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений,
§ 14] УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 171
Обозначим qi = x, д2==У* Ф* — Ръ Ф*/ = #з и перепишем систему
еще раз:
Яъ Яъ О-д-^ + ЯрЛЛ! Аз> Яъ Я* 0-д^- = О,
Рассмотрим характеристики этой системы:
dqi _ гт ^h___ и
dt ~Пр*' dt —nP*'
Вдоль этих характеристик
dpi __ d?i , гт dPi ] ы dPi __ ы dP2
dt " dt ~tnp>'d^~T~np>~dj; - — Пя^ dt
Кроме того, опять же вдоль характеристик
dt "
Итак, если мы знаем, что в некоторой окрестности плоскости
/ = 0 точнее, в некоторой окрестности определенной области на
этой плоскости) существует решение ф (х, у, t) уравнения Гамиль-
Гамильтона— Я коби
принимающие при / = 0 начальные значения ф(л:, у, 0) = фо(л:, у),
то мы можем построить это решение так.
Через каждую точку (ху у) нашей области на плоскости / = 0
проведем характеристику, определяемую начальными данными
и уравнениями
^Pi _ lj dqt __ г.
dt -" — ^v ЧГ"Пр1
(канонические уравнения Гамильтона). Траектории этих уравне-
уравнений
* = ft = <7i & Яю> ?2о); У = Яч==Яг{и Яш Я20)
заполняют некоторую окрестность нашей области, заданной при
t = 0. Вдоль каждой из этих траекторий ф = ф (ql0, q20) = Фо (9ю» ?го)
не зависит от t. Из уравнений x — qx(t, q10, q2o), y =
172 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ II
по заданным х, у, t могут быть определены q10, q20y а следова-
следовательно, и значения <р.
Провести по описанной схеме доказательство существования
решения не слишком сложно, но громоздко и кропотливо. Акку-
Аккуратно такое доказательство, даже для более общего случая, про-
проведено в книге И. Г. Петровского «Лекции по теории обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений». Мы ограничимся только при-
приведенной схемой и перейдем к рассмотрению примеров.
Отметим только, что характеристики уравнения ф/ = #(срх, <ру,
х* У> 0 = 0, в свою очередь описывающего характеристическую
поверхность некоторой системы, называются бихарактеристиками.
Выпишем уравнение Гамильтона — Якоби для симметрической
системы, описывающей распространение звуковых волн в движу-
движущейся среде,
ди , Тг ди . dp n
Р + Ри+ = 0
dv , Тг dv . dp
1 др , U др , ди , dv __ ^
~W* ~df + р^" ~дх + ~дх ~т~ ~~ду~~ '
Здесь u-\-U, v — компоненты скорости (u<^Uy v<^U)y p — возму-
возмущение давления. Если положить /' = /, х'=х — Ut, y'=y (т. е.
перейти к движущимся со скоростью U координатам), эта система
перейдет в уже известную нам систему уравнений акустики:
ди др п
Ро dt' ^ ду' ~ и>
1 др , <5 и , ди п
Рос?, а/' "^ их' ¦*" аг/7 и*
Уравнение det || тЛ + gfi + т)С || = 0 для уравнений звука в движу-
движущейся среде имеет вид
0 I
Раскрывая определитель, получаем равенство
(т + f/Ю2 - с\ (^2 + л2)] = о.
Конус характеристических нормалей для этой системы распада-
распадается на плоскость
§ 14] УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
и конус второго порядка
173
Таким образом, конус характеристических нормалей разбивает
все пространство т, ?, г\ на четыре части:
I.
II. сс
III. 0>
IV.
Вектор т=1, ? = 0, г] = 0, очевидно, принадлежит области I:
{т + (/?;>со]/!;2 + т12}. Именно в этой области лежат векторы
(т, Н, г|), отвечающие положитель-
положительно определенным энергетическим
формам.
Если |{/|<с0, то для векторов
этой области
Вся эта область при этом лежит
в полупространстве />0. Если
же \0 \
Рис. 36.
урр
\0 \>с0, то область т
с0 ]/~?2 + ц2 — 11Ъ> уже пересека-
пересекается с полупространством т<;0. Ее расположение в этом случае
изображено на рис. 35 ((У>>0).
Уравнение Гамильтона — Якоби, отвечающее нашей системе,
имеет вид
В покоящемся газе (G = 0) оно упрощается:
Построим сначала характеристики для этого простейшего слу-
случая (//(|, г|) = — c0Yl2-\-\f). Пусть неравенство <ро(л;, f/)<0
определяет на плоскости х, г/ некоторую область, изображенную
на рис. 37. Кривая ф0 (х, у) = 0 является ее границей. Постара-
Постараемся построить функцию ф = ф (ху у у t) такую, чтобы ф (х, у> 0) =
^ФоС^» У) и чтобы она удовлетворяла уравнению Гамильтона —
Я коби
174
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
Мы будем сейчас интересоваться лишь тем, как с течением
времени меняется граница области ср<0, т. е. как движется
линия ф(лг, у, t) = 0 при изменении t. Возьмем какую-либо точку
(*о> Уо) на линии фо = 0 и определим в ней
— X0
Q20 —
Очевидно, что вектор (/?10, р20) направлен по внешней нормали
к кривой фо = О. Выпишем уравнения бихарактеристики, прохо-
проходящей через точку (х0, Уо)(Н = — c0Vp2i +P*)>
dx _ dqi _ rj __ Pi dpi _ ы _о
dt
dt
dt
dt
dt
• = — Ho =0.
Из этих уравнений видно, что вдоль бихарактеристики ръ р2
будут постоянны, а следовательно, будет постоянен и вектор ско-
скорости движения (-ТГ, -п-) вдоль бихарактеристики. Этот вектор
dt ' dt 1
У
О
Рис. 37.
Рис. 38.
направлен по той же прямой, что и (ръ /?2), но в обратную сто-
сторону, а его модуль равен
_
~dt
dt
Итак, двигаясь по бихарактеристике, мы будем смещаться
внутрь области Фо<<0 по нормали к ее границе с постоянной
скоростью с0. Напомним, что вдоль бихарактеристик
ф(^, У у 0 = const = 0.
На рис. 38 изображено, куда сместится граница ф(лг, у, /)^0
за небольшое время t.
Вспомним теперь теорему единственности, которую мы изучали.
По этой теореме начальные данные, известные нам при / = 0
§ 141 УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 175
в области ф (х, у, f) <C О, однозначно определяют решение для
/>0 в области ф(лг, у, /).<0. Почему с ростом t на нашем
рисунке эта область уменьшает свои размеры? Вспоминая, что
скорость движения границы этой области носит название «скорость
звука», мы можем дать этому факту следующее нестрогое, но по
существу правильное, наглядное истолкование. То, что мы знаем
начальные данные внутри области ф (х> у, 0) < 0, еще не значит,
что они не существуют при ф (х, у, 0) > 0. Просто они нам там
неизвестны. Влияние этих начальных данных распространяется
со скоростью звука с0. В каждый момент времени / линия ф (ху у, f) =
= 0 разделяет области, до которой дошло и до которой не дошло
влияние неизвестных нам начальных данных. Поэтому ничего
удивительного в том, что граница <р(#, у, t) = 0 движется внутрь
области ф<0 со скоростью cQ, нет. Более того, пользуясь этим
наглядным истолкованием, Нетрудно понять, как меняется с тече-
течением времени t область единственности и в случаях, когда гра-
граница начальной области фо(л:, у) = 0 имеет изломы.
Уравнение Гамильтона — Якоби
имеет, например, следующие решения, являющиеся линейными
функциями х, уу U
В частности, такими решениями будут
<Pi = <Pi(*» У» 0 = ^-^ — 3,
У у t)=cot
Ф4 = ф4(*> У у t) = cot — y—l.
Кусочно гладкая функция
ф(*, У> 0 = т1п(ф1» Фг» Фз» Ф4) =
= min[c0t — x — 3, cot + x, cot + y, c
в каждой области гладкости будет решением уравнения
Ф/ 4>Кф + ф2
Поэтому, если в этих областях гладкости направить единичный
вектор (т, ?, г|) по внешней нормали к границе области ф<0,
мы будем иметь, что
176
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. TI
(Этот интеграл можно разбить на сумму интегралов по областям
гладкости поверхности ср = О).
Область ф<0, />0 является областью единственности для
уравнений акустики. Рассмотрим ее внимательнее. Неравенство
Ф(лг, у, 0)<0 выделяет на плоскости / = 0 прямоугольник — 3<
<х<0, -1<у<0, изобра-
изображенный на рис. 39. При увели-
увеличении / граница ф = 0 будет пе-
перемещаться внутрь первоначаль-
первоначального прямоугольника. Нормаль-
Нормальная скорость этого перемещения
равна с0. На рисунке видно,
как с течением времени область
Рис. 39. ф<0 уменьшается. При ^ = -т^-
ZCQ
горизонтальные границы схлоп-
нутся и, начиная с этого времени, область ф<0 перестанет
существовать.
Если изобразить эту область в пространстве х, у, /, то она
выглядит как насыпь (рис. 40). Начальные данные, заданные
на основании этой насыпи, определяют единственное решение
всюду внутри нее. Боковые грани насыпи, ограничивающие об-
область единственности, являются характеристиками уравнений аку-
акустики. Не все характеристики годятся для ограничения области
единственности — надо, что-
чтобы нормали к ним принад-
лежали к границе конуса
положительно определен-
определенных форм. Уравнение Га-
Гамильтона — Якоби выделя-
выделяет именно такие характе-
характеристики.
Вот еще важный при-
пример области единственно-
единственности для той же системы.
Пусть теперь область задания начальных данных представляет
собой круг V*2 + y2^R. Рассмотрим функцию
Рис. 40.
<р(дг, у, t) = yx2 +
Эта функиия удовлетворяет уравнению
и начальным данным
J/. 0) =
14] УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНЛ-ЯКОБТТ
, у, 0) < 0 внутри круга). Поэтому поверхность
177
представляет собой границу области единственности (рис. 41).
Эта граница является конической поверхностью с вершиной
в точке х = 0, у = 0, / = --. Для / > — эта поверхность Ух2 + у2 +
а
[
V
О
Рис. 41.
Рис. 42.
-\-cot — R = 0 перестает существовать. На границе существования
она имеет особую точку — вершину конуса.
Ясно, что геометрически картина не изменится, если центр
круга будет расположен не в начале координат, а в произволь-
произвольной точке (х0, //0). Это позво-
позволяет нам сказать, что реше-
ние при некотором t = tQ в
точке (х0У у0) зависит лишь от
начальных данных при t = 0
в области G, если характери-
характеристический конус (х — х0J +
Q2 0
@,0)
(точнее, его пола при t<Ct0)
опирается при / = 0 на круг,
целиком лежащий в области G
(рис. 42).
Полная область единст-
единственности будет объедине-
объединением таких (характеристи-
(характеристических) конусов, опирающихся
ласть G.
Задача. Опишите структуру области единственности для случая, когда
начальные данные для той же системы заданы в области, изображенной
на рис. 43. В скобках около вершин многоугольника поставлены координаты
{х, у) этих вершин.
Рис. 43.
своим основанием на об-
об178 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
В свое время, давая определение характеристической поверх-
поверхности, мы ее определили как поверхность, вектор (т, ?, rj) нор-
нормали к которой лежит на конусе характеристических нормалей
Пусть вектор (т, ?, ц) пробегает такой конус. Сопоставим
каждому такому вектору перпендикулярную к нему плоскость
Когда (т, ?, г\) пробегает конус характеристических нормалей,
эти плоскости огибают некоторый другой конус. Ясно, что если
поверхность имеет нормаль, лежащую на конусе характеристи-
характеристических нормалей, то она сама касается одной из плоскостей
и огибаемого ими конуса. Этот последний носит название конуса
характеристик.
Проиллюстрируем понятие конуса характеристик на примере
уравнений звука в движущемся газе. Конус характеристических
нормалей для этих уравнений задается, как мы видели, равен-
равенством
Плоскости x(t — to) + l(x — x0) +ц (у — Уо) = 0, ортогональные век-
векторам (т, ?, г]), связанным равенством т + G| = 0, проходят через
прямую x — Ut = x() — UtOy y = y0, что видно из тождества
Эта прямая и является «конусом», который получается как оги-
огибающая плоскостей, нормаль к которым лежит на плоскости
Если (т, Е, ц) пробегают конус (т + f/HJ — с§ (g2 + Л2) = 0, то
нормальные к ним плоскости огибают конус
Ф (х, у, 0 = d (t - О2 - [(х - Ш) - {х, - UQf - (у - у0J = 0.
В этом легко убедиться, проверив прямым вычислением, что
ф (*> У, t) удовлетворяет уравнению
Итак, для уравнений распространения звука конус характери-
характеристических нормалей состоит из плоскости
и из конуса
* 14]
УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
179
тогда как конус характеристик распадается на прямую л; — Ш =
= х0 — Ut0> y = y0 и на конус
cl (t- toJ - [(*- Ut) - (х0- Uto)f -(у-yof = 0.
Расположение конуса характеристик с вершиной в начале
координат xo = 0t yo = 0> to = 0 изображено на рис. 44 в дозву-
дозвуковом (|?/|<со)> ^ на рис. 45 —в сверхзвуковом (|?/|>с0) слу-
случаях. Конус характеристик для рассматриваемых уравнений (точ-
(точнее, одна из его пол) всегда расположен в верхнем полупространстве
х
Рис. 44.
Рис. 45.
и содержит ось t только в дозвуковом случае. (Сравните рисунки
конуса характеристик с рисунком конуса характеристических нор-
нормалей, который рассматривался в начале этого параграфа: рис. 36,
сверхзвуковой случай.)
Рис, 46.
Рис. 47.
В заключение приведем область единственности для уравнений
звука в движущемся газе, если начальные данные заданы при
ф(*> У) = Vх2 + У2 — R<0t т. е. внутри круга радиуса R с центром
в начале координат. Решение уравнения Гамильтона — Якоби
180 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
с начальным условием
дается формулой
<р(*, у, t) = V(x-
Поверхность
ограничивающая нужную нам область единственности, представляет
собой одну полу характеристического конуса с вершиной в точке
1 *^ 111 U 1\ л
*о = т~> xo = Uto = -—y yo = O.
Со Со
Расположение области единственности в пространстве х> у, t изо-
изображено на рисунках 46 (дозвуковой случай) и 47 (сверхзвуковой
случай).
§ 15. Постановка смешанной задачи
для гиперболической системы
Обсуждение (на примере) постановки граничных условий для гиперболиче-
гиперболической системы. Число условий, которое надо задавать на той или иной границе
для однозначной разрешимости задачи. Условия согласования начальных дан-
данных и граничных условий (на примере). Диссипативные граничные условия.
Возможность такого приведения гиперболической системы к каноническому
виду, чтобы граничные условия стали диссипативными. Смешанная задача для
уравнений акустики в двумерном пространстве и ее приведение к диссипатив-
ному виду.
В ближайших параграфах мы будем изучать способы полу-
получения оценок решений и теорему единственности для гиперболи-
гиперболических систем в случае, когда решаемая задача не является зада-
задачей Коши. Мы покажем, что кроме начальных данных разумно
иногда задавать еще и некоторые граничные условия.
Например, решая уравнение dj + - - =0 при х>0 мы можем
задавать значения и не только при / = 0, но и на некотором
отрезке оси t (x = 0). При этом решение u = f(x — t) определится
во всех точках плоскости х, t, через которые проходят характе-
характеристики, пересекающиеся с областью задания начальных данных
и граничных условий. Если решение имеет смысл разыскивать
только при #>0, />0, то его область определения будет иметь
вид, изображенный на рис. 48. С этим примером мы встречались
в § 5. Гладкие начальные данные
и(х, 0) =
«@, 0 =
§ 161
ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
181
должны, конечно, удовлетворять условию согласования ф @) = \|) @),
чтобы решение и (л:, /) было непрерывным на характеристике
x — t — O. Так как, в силу уравнения, -=- = — ~, то для непре-
непрерывности производных в точке @, 0) надо потребовать равенство
Ф'@) = -Ф'@).
Если мы знаем, что и(ху t) два раза непрерывно дифференци-
дифференцируема, то ф (х), \|) (/) удовлетворяют еще равенству ф" @) — а|)" @) = 0.
В самом деле, для решений выполнены
равенства:
а I ди . ди
~яТ I "я/ • ~fa
dt \dt
a f ди_
~dt
~~ dt* +
dxdt
= 0,
ди
~дх
dxdt
Разность левых частей этих равенств q
dht дч 0
и
«27
Рис. 48.
Это равенство, рассмотренное в точке х = 0, / = 0, как раз и
превращается в сформулированное условие ф" @) — \р" @) = 0.
Задача. Выведите условия согласования в точке л: = 0, / = 0 производных
третьего и четвертого порядков от начальных и граничных данных. Напомним,
что изучаются такие решения уравнения и/ + м* = 0, для которых и (х, 0) =
() @ /)Ф@
Чем большую гладкость решения мы хотим получить, тем
более жесткие условия согласования на начальные данные и гра-
граничные условия мы должны накладывать. С условиями согласо-
согласования нам придется иметь дело при доказательстве теоремы суще-
существования. При изучении теоремы единственности мы о них гово-
говорить, как правило, не будем. Нам достаточно предполагать, что
та или иная задача имеет достаточно гладкое решение, а за счет
какого согласования такая гладкость получается, нам пока не
важно.
Чтобы понять, какие граничные условия надо ставить для тех
или иных гиперболических систем, рассмотрим следующий пример.
Пусть в области 0 ^ х ^ L, t ^ 0 мы изучаем решения системы
dt
дх
ди2 , о ди2 __ (
"W + ^'ar"'
182
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ II
Эта система имеет два семейства характеристик с положительным
наклоном:
Л""' ) dt Z'
1 \
одно семейство с отрицательным наклоном
( dx 1
и одно — вертикальное
—-О
Для определения функции и4 достаточно ограничиться начальными
данными
и4(х, 0) = ф4(л;),
так как щ постоянна вдоль вертикальных характеристик. Эти
характеристики изображены на рис. 49. Значения иг надо задавать
t\
Характеристики
dt
О
L ш
Рис. 49.
Рис. 50.
при / = 0 на отрезке [0, 1] и на оси / при />0. Из рис. 50, на
котором изображены характеристики -^г = 1 (вдоль них их по-
постоянна), ясно, что начальные данные
их(ху 0) = ф1(^), 0<*^L,
а, @, 0 = ^(/), 0^/,
определяют решение всюду в рассматриваемой области.
Аналогично, для определения и2(х, t) достаточно задать
ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
183
при / = 0,
при л: = 0,
г0.
Функция ия(ху t) определяется по ее значениям на основании
(/ = 0, O^x^L) и на правой границе (x = L, t^O) области.
Это очевидно из чертежа (рис. 51), на котором изображены линии
постоянства ^(характеристики -^ = — 1 j. Полагаем и3(х> 0) =
Итак, мы видим, что решение системы в выбранной области
полностью определяется следующими начальными и граничными
условиями.
Начальные условия
их (х, 0) = фх (*), и2 (х, 0) = ф2 (х),
щ (х, 0) = ф3 (х), и4 (х, 0) = ф4 (х)
Граничные условия на левой границе
иг @, t) = \|)j (t)
и2 @, /) = \|J (/)
Граничные условия на правой границе
u3(L, 0 = ^з@ при x = L, V-
На разных границах нам пришлось задавать разное число
условий. На левой границе надо задавать столько условий, сколько
у нашей системы характеристик с положительным наклоном -~.
По мере увеличения / эти характеристики удаляются от левой
границы, унося с нее значения соответст-
соответствующих римановых инвариантов. Мы будем
говорить, что для левой границы харак-
характеристики с положительным наклоном
-^->0 «уходящие», а с отрицательным
наклоном— «приходящие». Для правой
границы характеристики с -тт-> 0—-«при-
0—-«приходящие», а с -~ < 0 — «уходящие».
В разобранном примере нам пришлось
на каждой границе поставить столько
граничных условий, сколько на этой границе семейств «уходя-
«уходящих» с нее характеристик. Эти граничные условия могут иметь
и несколько более сложный вид. Пусть, например,
Рис. 51.
= «23^3
+ Ы0> 1
на левой границе,
(t) — на правой границе.
184
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ГГЛ ТТ
Задав эти граничные условия, а также указав начальные данные
при / = 0: их(х, 0) = ф1(л:), и2(х, 0) = ф2(я), и3(х, 0) = ф3(л;),
и4 (х, 0) = ф4 (х), выберем Т так, чтобы за время Т ни одна из
характеристик не успела пересечь нашей полосы O^x^L от
одной границы до другой. Достаточно, чтобы
Г max
dx
<Т
-т^ — наклон характеристик). В системе уравнений нашего при-
максимальный наклон характеристик — равен 2.
Поэтому можно выбрать
мера max
dx_
dt
1 ~~ 8 "" 2 '
max
'dt
При O^t^T значения и9 на левой границе определяются
только с помощью начальных данных, без использования каких-
либо граничных условий. Это стано-
становится ясно, если обратиться к рис. 52,
на котором изображены характеристики
-j°t = — 1, вдоль которых щ постоянна.
Для определения и4 всюду в рас-
рассматриваемой области, в том числе и
на левой границе, как мы уже отме-
отмечали, достаточно лишь начальных дан-
данных. Мы видим, что для O^t^T при
х = 0 могут быть найдены и3 @, /), и4 @» 0» а после этого вычис-
вычислены их комбинации
Рис. 52.
Эти комбинации, в силу граничных условий, равны ^@, /),
Аналогично, на правой границе при 0 <; t <; Т только по
начальным данным определятся значения иъ и2, которые «прино-
dx *
сятся» на эту границу характеристиками с наклонами -— = 1,
dx г= 2
ние а4. Это дает возможность по формуле
«3 = 1
ВЫЧИСЛИТЬ по.
-ту = 2. Начальными данными определяется и граничное значе-
значе§ 15] ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 185
Определив на левой границе иъ и21 а на правой и3, мы свели
задачу к уже разобранному случаю и теперь мы в состоянии
определить их (х, /), и2(х, /), и3(х, /), и4(х> f) всюду в прямоуголь-
прямоугольнике 0^ t^ 7, O^x^L. Затем, приняв значения t = T за началь-
начальные данные, мы совершенно так же найдем решение для 7 ^
/27\
Продвигаясь и дальше такими шагами по времени, мы после-
последовательно найдем искомые функции при 27 ^ / ^ 37, 37^/^47
и т. д., т. е. при всех />0.
Для произвольной гиперболической системы нужное число
граничных условий и их вид, оказывается, будут определяться
совершенно так же, как и в разобранном примере. На каждой
границе надо оставить столько условий, сколько семейств харак*
теристик уходит от этой границы. В качестве таких условий нельзя
задавать значения «римановых инвариантов», отвечающих прихо-
приходящим характеристикам, или значения каких-либо функций от
этих инвариантов.
В дальнейшем мы ограничимся разбором только таких систем,
у которых нет вертикальных характеристик. Предположим даже,
что в рассматриваемых областях -тт (абсолютная величина харак-
характеристической скорости) ограничена снизу положительной кон-
константой.
Пусть гиперболическая система уравнений задана нам в кано-
каноническом виде
п
ди,} , * dui . VI с / • 1 о ч
\1 — 1, Z, . . . , По),
, ..., n),
в полосе О^Ж/ для 0</<7.
Рассмотрим для этой системы следующие граничные условия:
при * = 0 (t = l, 2, ..., я0),
/ = /го+1
п
и1= 2 М/ ПРИ х = 1 A = по + 19 ..., п).
/ = 1
Для простоты мы ограничиваемся однородными граничными усло-
*) В дальнейшем будут рассматриваться и более общие системы, в кото»
рыл некоторые из /?/ равны нулю,
186 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
виями, коэффициенты которых а/у, Р/у являются гладкими функ-
функциями /. Начальные данные для описываемой задачи задаются
в виде
щ (х, 0) = ер, (х).
Можно доказать, что так поставленная задача имеет, и притом
единственное, решение, если наложить на систему и начальные
данные некоторые ограничения гладкости. Более того, можно
показать, что решение такой задачи непрерывно зависит от началь-
начальных условий, коэффициентов и правых частей системы, коэффи-
коэффициентов граничных условий.
Доказательство перечисленных фактов (доказательство кор-
корректности задачи) и служит обоснованием разумности ее поста-
постановки. Приведенные же нами рассуждения на типичном примере
могут рассматриваться только как наводящие соображения, позво-
позволившие придумать хорошую постановку задачи.
Сначала мы начнем проведение доказательства теоремы един-
единственности. Теорема о непрерывной зависимости решений от данных
задачи и теорема существования будут разобраны позже. При их
доказательстве мы еще сузим класс рассматриваемых задач, чтобы
сделать вывод менее громоздким.
При изучении теоремы единственности никакие дополнительные
ограничения использоваться не будут. В процессе доказательства
теоремы единственности будут также получены некоторые оценки
решения и его производных.
Прежде чем приступать к проведению доказательства (оно будет
разобрано в следующем параграфе), воспользуемся произволом
в приведении системы к каноническому виду. На наличие такого
произвола мы в свое время указывали. Умножим каждое из урав-
уравнений системы
на какой-нибудь положительный гладкий множитель jli = fX/ (л:, /)>0.
Результат этого умножения можно записать так:
±к
dt дх
Обозначив \i(Ui через viy получаем для этих новых неизвестных
функций опять каноническую систему гиперболических уравнений
Характеристические корни kt (x, t) этой системы такие же, как и
§ 15] ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 187
у исходной, а коэффициенты при младших членах Шц и правые
части fj — другие. Граничные условия
п
Ut= ^]. ацЩ (t = l, 2, ..., По) ПрИ * = 0,
л0
и*=Д]М/ (t=/io+l, .... я) при * = L
/= i
перепишутся для неизвестных ^ = |ы^/ так:
/г
IT
J7hvf (i=no+ly ..., /г) при * = L.
Интересно, что |ыь стоящие в числителе, отвечают номерам, свя-
связанным с «уходящими* характеристиками, a \ij в знаменателях
имеют / такие же, как и «приходящие» характеристики. Выбором
функций \it (x, f) можно добиться, чтобы все элементы матриц
граничных условий для vu v2i ..., vn были по абсолютной вели-
величине меньше любого заданного фиксированного числа. Конечно,
уменьшая эти элементы, мы будем изменять и, как правило,
увеличивать mih ft и их производные.
Сейчас будет приведено важное определение, смысл которого
выяснится в следующем параграфе во время проведения собственно
доказательства теоремы единственности.
Граничные условия, заданные на одной из границу называются
диссипативными, если в точках этой границы для любой вектор-
функции (иъ и2, ..., ип)> удовлетворяющей граничным условиям,
выполнено неравенство
-2 ш+ Z hui^o.
по прихо- по уходя-
дящим i щим i
(Мы пишем «по приходящим г», подразумевая под этим, что сум-
суммирование выполняется по всем тем /, для которых соответствую-
соответствующая характеристика —приходящая. Аналогично истолковывается
сокращение «по уходящим *».)
Воспользуемся свободой в выборе нормировочных множителей
№(*» 0» чтобы сделать граничные условия диссипативными.
Рассмотрим, например, левую границу с граничными условиями
п
188 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ II
и подставим значения vu v2, ..., vno из этих условий в выражение
-2 ы+ 2 ад«- 2
по по t = Ло +1
проходящим t уходящим i
--2 mi+Ы 2
В результате подстановки первая сумма — отрицательно опреде-
определенная формы yrt04i, У/1Оч2» • • •» у/г» вторая — некоторая другая форма
тех же переменных. Выбором ji/ можно сделать все коэффициенты
этой второй формы достаточно маленькими, а тем самым полную
сумму отрицательно определенной. При таких {i/ граничные усло-
условия для vu v2y ..., vn будут диссипативными.
Более того, граничные условия будут строго диссипативными.
Так мы будем называть условия, при которых для любой вектор-
функции, удовлетворяющей граничным условиям, выполнено нера-
неравенство:
по по по
приходящим ' уходящим i приходящим i
Выбрав jut; отдельно на левой и отдельно на правой границах,
чтобы удовлетворить условиям диссипативности, мы можем потом
построить всюду внутри прямоугольника такие гладкие функции
\х( (лс, t), чтобы на границах они совпадали с теми, которые там
были выбраны.
В дальнейшем, рассматривая систему
dt
n
dui i dui i V^
у . i
с граничными условиями
Щ= 2 ачи1 (i = l, 2, ..., А70) при л;-О,
о
ui= 2 P'yw/ (l' = «o + l. •••> «) при * = Lf
/= j
мы всегда имеем право предполагать, что эта задача днссипатшша
и даже строго диссипативна.
15]
ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
189
До сих пор мы обсуждали постановку смешанной задачи только
у гиперболических систем с двумя независимыми переменными х, t.
При изучении смешанной задачи для симметрической системы
л ^и \ р> ди . р ди \г\ с
в некоторой подобласти четверти пространства лг>0, />0 с на-
начальными данными, заданными при / = 0 и граничными услови-
условиями, поставленными при дс = О, мы всегда будем предполагать,
что систему перед этим изучением удалось привести к каноничес-
каноническому виду, который обеспечивает следующую простую форму
матрицы В:
кх С\
к*
В =
— k
«0
— кт
\о
Матрица А при этом может быть произвольной симметрической
положительно определенной, а С—произвольной симметрической
(см. по этому поводу § 11). Для таких систем мы опять будем
рассматривать при х = 0 граничные условия (строго диссипатив-
ные) вида
обеспечивающие отрицательность квадратичной формы (Ви, и)
Задача. Покажите, что граничные условия вида
пх п
Ui= у. rxifU,-{- у] Yisus (t= 1, 2, ..., п)
не являются диссипативными, если среди
есть отличные от нуля.
Отметим, что определение диссипативных граничных условий
как таких условий, которые обеспечивают отрицательность или
190 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
неположительность квадратичной формы (Виу и)у применимо и
в том случае, когда В не записано в каноническом виде. Мы будем
пользоваться этим замечанием при разборе ряда примеров. Исполь-
Использование канонического вида В несколько упрощает построение
общей теории.
В случае задач с тремя (х, у, /) или большим числом неза-
независимых переменных не существует такого простого способа при-
приводить более или менее произвольные граничные условия к дис-
сипативному виду, которым мы пользовались в случае двух
независимых переменных. О характере возникающих осложнений
можно судить по примеру смешанной задачи для уравнений аку-
акустики, разбор которой мы начнем со следующей задачи.
Задача. Покажите, что граничное условие
заданное при л; = 0 для уравнений акустики
1 dp.du.dv
рос§ dt "* ~дх * ду '
ди , др _ 0
dv , др __
решаемых в полупространстве х;>0, диссипативно, лишь если / = 0, &>=0.
Оказывается, что если даже эти условия диссипативности (/ =
= 0, k^O) не выполнены, то в целом ряде случаев можно пост-
построить такое расширение уравнений акустики, для которых наше
граничное условие диссипативное. Эти расширения были описаны
в конце § 12.
Первое из них, построенное при |/|<с0. приводит к симмет-
симметрической гиперболической системе
ш dw р dw ^ dw i
dt дх ду
для вектор-функции w с компонентами
Условие диссипативности (Bw> w)^0 для этой системы имеет вид
неравенства —2c20jr^0. Граничные условия р + kpou-f-lpov = 0,
после дифференцирования по / и замены poutf povt на равные им
— pXi — ру> дают соотношение pt — kpx — lpy = Ot эквивалентное
для расширенной системы граничному условию j = kr. Диссипа-
тивность этого последнего, если &^0, очевидна.
Второе из описанных в конце § 12 расширений выполнено при
любых k} l. Оно приводит к условию диссипативности
(Bw9 w) =в -
§ 15] ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 191
где
6 = ~Qt (А - kpx - 1ру), 6^-gj-ipt- kpx - lpy)y
Эта диссипативность, очевидно, имеет место при k^O на реше-
решениях, удовлетворяющих нашему граничному условию pt — kpx —
— lpy = Of без каких-либо ограничительных предположений о коэф-
коэффициенте /. Некоторое неудобство этого второго расширения, по
сравнению с первым, состоит в том, что оно использует произ-
производные исходных функций /?, и, v более высокого порядка.
Диссипативность третьего расширения из § 12 обеспечивается
неравенством
(Bw, w) = — 266^0,
где опять
Q^dfipt — kP* - 1Ру)> 6 = "&Г (А - kpx ~ lpy}'
Эта диссипативность всегда, при любых &, /, имеет место на
решениях с нашим граничным условием. Однако само это третье
расширение можно осуществить лишь, если k2 +12 > с20у k2 Ф с%.
Итак, мы можем получить оценки решений смешанной задачи
страничным условием р + kpou + 'роу = 0 для уравнений акустики
в случае двух пространственных переменных х, у путем приведе-
приведения к диссипативной задаче для расширенной системы. Такое
приведение не удается осуществить, лишь если ?=— с0, или если
выполнены одновременно неравенства
Напомним, что в§ 8 была продемонстрирована некорректность
смешанной задачи при k= — с0 или при одновременном выполнении
неравенств
В дальнейшем (§§ 16—19) будет показано, что для симметри-
симметрической гиперболической системы смешанная задача с диссипатив-
ными граничными условиями поставлена корректно. (Мы, правда,
будем накладывать несколько более ограничительное предположе-
предположение о строгой диссипативности.) В доказательстве мы воспользу-
воспользуемся, по существу, лишь тем, что в диссипативном случае можно
оценить интегралы энергии. Поэтому естественно ожидать, что
корректность должна иметь место всегда, когда удается оценка
этих интегралов. В настоящее время доказано (см. [7], [8], [9],
[10]), что для решения смешанной задачи у гиперболических урав-
уравнений и систем всегда может быть получена оценка интегралов
энергии, если только приемом, описанным в § 8, не строится
192 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
пример, демонстрирующий некорректность задачи. Эти доказа-
доказательства очень трудные. Приведенная здесь конструкция иллю-
иллюстрирует, на сравнительно простом примере уравнений акустики,
утверждения этих работ.
§ 16. Теоремы единственности
и оценки решений в смешанной задаче
Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями.
Оценка решения и теорема единственности. Расширение системы уравнений и
граничных условий задачи. Получение сценок производных. Обзор оценок реше-
решений для симметричных гиперболических систем. Условия согласования началь-
начальных данных и граничных условий. Непрерывная зависимость решений от усло-
условий задачи. Понятие об обратимых задачах. Примеры исследования постановок
граничных условий для гиперболических систем.
Переходим непосредственно к доказательству теоремы единст-
единственности и к получению оценок для решения диссипативной сме-
смешанной задачи. Начнем со случая двух независимых переменных.
Мы рассматриваем при O^x^L, t^O решения системы
п.
1=\
i
l, ..., n
с граничными условиями
л,
Ui= 2 tti/Ujf 1 = 1, 2, ..., п0 при л: = 0,
Ui = 2 Р//^/> / = /20 —(— 1, ..., az при х = L,
Начальные данные для этой задачи задаются в виде
щ (х, 0) = ер,- (а:), 0 ^ х ^ / (i = 1, 2, ..., п).
Так поставленная задача называется смешанной, так как она
требует выполнения для решений не только начальных, но и гра-
граничных условий. Предположим, что на обеих границах выполнены
условия диссипативности. А именно, предположим, что для любых
щ{х> Ot удовлетворяющих граничным условиям, на каждой из
§ 16] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ
границ выполняются неравенства
193
Ш+
*,«?«>.
по
приходящим i
по
уходящим /
Наша система является симметрической гиперболической системой
F ^и _1_ К ^и -1_ f
dt * дх * '
со следующими матрицами:
? =
о
Q
= \\mlk\\.
Было показано, что для решений этой системы имеет место сле-
следующее тождество, носящее назва-
название интеграла энергии,
J J [±(«,«) + ±(Kut
(«, u)dx + (Ku, u)dt =
Рис. 53.
Элементы матрицы D могут быть
вычислены через элементы мат-
матрицы m = ||m/*J и через произ-
производные от элементов /С, т. е. через производные от kt (x, t).
Рассмотрим прямоугольный контур на плоскости xt tt ограни-
ограниченный справа и слева отрезками вертикальных прямых * = 0,
х = 1, а сверху и снизу — отрезками горизонтальных прямых ^ = /1э
t = t2. Такой контур изображен на рис. 53.
194 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. Т!
Рассматривая по этому контуру {АгА2АдА^ интеграл энергии,
мы приходим к неравенству
]'B «?) dx ^ j [- 2 *««! +
A4\i = 1 / At I no no
приходящим t уходящим i J
2 м+ 2 M
по по
приходящим t уходящим i J
/4L.o
Здесь вместо равенства выписано неравенство, так как мы по-
подробно не расписывали двойной интеграл по внутренности пря-
прямоугольника. Этот двойной интеграл заменен на больший. Кон-
Константы М и N оценивают сверху, соответственно, матрицу D и
вектор правых частей /. Аналогичные рассуждения при оценке
интегралов энергии несколько подробнее проводились в § 12.
В силу диссипативности'мы только усилим неравенство, отбро-
отбросив интегралы по левой и правой границам. Обозначив, для
сокращения, через / (t) интеграл
/ п
J (f\ =Д V /7?(y t\ Ну
О 1 = 1
получим для него уже знакомое нам неравенство
и
[MI (t) + NVI (t)] dt9
в котором постоянная N оценивает сверху правые части (| ft |).
Из этой оценки по лемме об интегральном неравенстве полу-
получается следующее ограничение роста решений
м
м
Теорема единственности следует из этого неравенства. Действи-
Действительно, если бы у нас существовало два решения задачи с одними
и теми же правыми частями Д- (х, /) ис одинаковыми начальными
данными щ (а:, 0) = фДх), то разность этих решений удовлетворяла бы
однородной системе (fi = 0) и нулевым начальным данным. Рас-
Рассматривая однородную систему с нулевыми начальными данными,
мы должны считать, что N—0, /@) = 0. Отсюда I (t) = 0. Больше
для единственности ничего не нужно.
Перейдем теперь к случаю, когда независимы к переменных
не две, а три (*, у, t).
16]
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ
195
i
Пусть некоторая область G пространства (я, у, f), лежащая
при х>0, t>0y ограничена поверхностью, состоящей из трех
частей. Две из этих частей — примыкающие друг к другу по отрезку
прямой х = 0у t = 0 ограничен-
ограниченные куски полуплоскостей х = О,
/>0 и ^>0, ? = 0, тогда как
третья является как бы «шапоч-
«шапочкой», опирающейся на границу
первых двух (рис. 54). Мы бу-
будем предполагать, что единич-
единичный вектор (т, J-, т]) внешней
нормали во всех точках «шапоч-
«шапочки» удовлетворяет неравенству
Гамильтона — Якоби
ность
х, у, fK*u,
обеспечивающему неотрицатель-
квадратичной формулы Рис. 54.
В области G мы будем рассматривать решения симметриче-
симметрической гиперболической системы
Ади вди сди Q f
dt ' дх ' ду ' "
и получим для них оценки, вытекающие из тождества интеграла
энергии:
§ $ ([тЛ + 1В + т]С] w, w) ds = J J ^ [(Du, u) + 2 (/, w)] d^ dx dy.
s g
Удобно применять это тождество не ко всей области G, а только к
ее части t2>t> tl9 ограниченной плоскостями t = tl9 t = t2i x = 0
и поверхностью «шапочки». При этом мы приходим к равенству
$$ (Аи, u)dxdy= $$ (Аи, u)dxdy+\\ (Bu, u)dydt —
по «шапочке»
и, и) ds -f-
[(Du, u) + 2(f, u)]dtdxdy.
Из этого равенства, пользуясь диссипативностью граничных усло-
условий, в силу которой (Ви, &)*-o^O, выводим неравенство:
\\ (Aut u)dxdy<, \\ (Аи, и)dxdy +
t tt
+ U JJ [\(Du, u)\ + 2\f(u)\]dxdy)dt.
tx \t = const j
Это последнее ничем не отличается от неравенства, с помощью
196
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
которого доказывалась теорема единственности и получались оцен-
оценка решения в случае задачи Коши (см. § 12). Тем самым теорема
единственности решения у смешанной задачи доказана.
Для дальнейшего существенно отметить, что предположение
о непрерывности и (х, у, t) в замкнутом полупространстве x^0f
которое использовалось в намеченном здесь доказательстве един-
единственности, может быть ослаблено. Достаточно ограничиться пред-
предположениями:
1) непрерывности и(х, у, t) во всех внутренних точках, т. е.
при *>0;
2) непрерывности вплоть до границы х = 0 вектора Ви и квад-
квадратичной формы (Ви, и). Эти предположения отличаются от пред-
предположения о непрерывности при х^О вектор-функции и(х, у, t)
в случае, если матрица В вырожденная;
3) существования при каждом t интеграла
JJ (Аи, u)dxdy
t = const
и непрерывной его зависимости от времени t.
Читатель без труда убедится, что при указанных ослабленных
требованиях 1), 2), 3) к решению и(х, у, t) намеченное нами
доказательство проходит с несложными уточнениями рассуждений.
Мы не будем на них подробнее останавливаться.
Теперь естественно попытаться, так же как и в § 12, применить
развитую технику оценок интегралов для получения оценок про-
производных от решения. Но в случае смешанной задачи мы стал-
сталкиваемся здесь с серьезными затруднениями. Конец этого пара-
параграфа будет посвящен их преодолению.
Мы обсудим, как получить в диссипативной смешанной задаче
расширенную систему, содержащую уравнения для производных
от решения. Вся трудность состоит в получении для этой рас-
расширенной системы диссипативных граничных условий. Наше иссле-
исследование будет производиться в предположении, что изучаемая
система имеет матрицу В вида
о\
~кт
— k
'по+ 2
§ 16) ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ
и что граничные условия
197
являются строго диссипативными (&0>0):
«о
1 =
/
Кроме того, для некоторого упрощения и без того громоздких
рассмотрений мы ограничимся случаем однородной системы урав-
уравнений (/ = 0). Это ограничение не является существенным.
Из сделанного предположения о виде В вытекает, что
о/
1 д
1 д
о/
х
х
о/
где Ro — некоторая матрица с ограниченными гладкими коэффи-
коэффициентами.
198 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Точно так же показывается, что
Вх = Bt- B\ Ву = В2* В,
где Rb /^ — ограниченные матрицы, имеющие ту же гладкость
по х, у, t, что и производные ВХу Ву матрицы В. Продифферен-
Продифференцировав исходную систему по t> x> у, мы приходим, так же как
и в случае Коши (см. § 12), к расширенной системе для и, uty uXy иу:
Для дальнейшего нам удобно слагаемые Btux, Byxx во втором и
четвертом уравнениях выразить с помощью первого уравнения
(исходная система) через щ, иу, и:
Btux = R0Bux = — R0A щ - Rfiug - R0Qu,
Byux = R2Bux = — R2A щ — Rfiuy — R2Qu,
и исключить из системы третье уравнение. Тогда для и, щ, ид
мы приходим к следующим уравнениям:
л du . Ddu
A+B
(А OU/мЛ /Б °\^(иЛ i (C 0\<L(u*
\0 A) dt \uy) + \0 В} дх \иу) "t" \0 С) ду \иу
Ct-RoC
uy) l(Qy-R2Q)u\-
Ay-R2A Cy-R2C + Q)\uy) l(Qy
Мы в этой записи постарались подчеркнуть важные для даль-
дальнейшего особенности ее структуры: уравнение для и независимо
от уравнений для ии иу> тогда как эти последние составляют
симметрическую гиперболическую систему, зг-авязанную с уравне-
уравнением для и младшими членами. Если матрицы коэффициентов Л,
В, С, Q были достаточно гладкими, то можно рассматривать
полученную здесь систему как исходную и опять провести рас-
расширение, включив при этом уравнения для вторых производных:
/А 0 0\ futt\ (В 0 04 /в/л (С 0 0V /«„
0 А 01^ \щ + 0 В 0 \ \и + 0 С 0 \| \щ
\0 0 nj \U,ju/ \\J \J и / \uyy<
(В 0 04 /в/л (С 0 0V /«„\
0 В 0 \~ \и,у + 0 С 0 \|- \щу ]
Здесь многоточием в правой части заменены младшие члены, пред-
ставляющие собой суммы слагаемых, каждое из которых получа-
получается применением ограниченных матриц к и, щ% иуу utty uty> иуущ
§ 16}
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ
199
Ясно, что при достаточной гладкости коэффициентов возможны
и дальнейшие шаги процесса расширения, которые включаются
в систему уравнения для все более и более высоких производных
по / и по у. Важной для дальнейшего особенностью описанной
здесь схемы получения расширенных систем является то, что при
их составлении мы как бы полностью игнорируем производные
по переменному х> исключая эти производные с помощью либо
исходных уравнений, либо уравнений, выписанных в результате
предыдущих шагов расширения.
Можно было сделать выкладки при нашем описании процесса
расширения чуть более короткими, если предполагать, что рас-
расширяемая каноническая система имеет матрицы В постоянными.
При этом производные Ви Ву равны нулю и поэтому пропадает
необходимость выражать их через В. Напомним, что если система
приведена к каноническому виду, который использовался при
описании расширения, то она может быть приведена и к канони-
каноническому виду постоянными В (см. § 11).
Получив расширенную систему, мы постараемся использовать
ее для вывода оценок, так же как это делалось в случае задачи
Коши. В случае смешанной задачи нам придется пользоваться
диссипативностью граничных условий. При этом граничные усло-
условия расширенной системы мы будем получать дифференцировав
нием по t и по у граничных условий исходной
«i@, у, 0= 2 «//(у. 0"/(°. У. 0.
1 = 1, 2, .... nQ.
/ = По + 1
Таким дифференцированием мы придем к соотношениям:
2
j == По + 1
2
/ = По + 1
I = n0
nx
y= 2
2
n0 + 1
/ = no + 1
+ 2
j = n0 4- 1
nx
2
у = «о + 1
/ = n0
2
/ = n0 + 1
2
/ = п0 +1
200 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
которые могут рассматриваться как граничные условия для рас-
расширенной системы. Если бы мы включили в нашу систему урав-
уравнения для иХу ихх, ихуу uxt, то для них мы не сумели бы получить
граничных условий описанным здесь приемом, так как нельзя
дифференцировать по х граничные соотношения, заданные нам
только на плоскости # = 0. Именно это обстоятельство побудило
нас строить расширенную систему специальным образом, включая
в нее только производные по у и по /. Однако и теперь у нас
еще нет уверенности, что граничные условия расширенной системы
оказались диссипативными. Они действительно могут не быть
таковыми.
Чтобы справиться с возникшим затруднением, удобно, выбрав
гладкие положительные множители
= M*> У> 0.
= M*. У> 0.
использовать в расширенной системе в качестве неизвест-
неизвестных не вектор-функции и; щ, иу\ Щи utyy иуу\ а пропор-
пропорциональные им
Характер системы от введения таким образом новых неизвест-
неизвестных не изменится. Она опять будет иметь следующий вид:
^ ^ ^ члены, содержащие [цом],
(А 0\д_(\ъ\чиЛ.(В 0 \ a_/Md и-1«/\ л_(с
\0 A)d\)'r\ jd^J-f^
s= младшие члены, содержащие [>0«],
/В О 0\ - /|io JJ-! |i2 #// \
-(- I О В 0 ] ^- I |j,0 \it (и2 w^ I
^0 0 Л/ "" \|л0 и-i И-2 иуу/ \° 0 BJ Х Vo |ii ^2 "w/
/СО 0\ - /jLlo И-i fA2 W// \
О С 0 ] т- Ио |ых Ц2 "/г/ 1 = младшие члены, содержащие
\0 0 С01
§ 16] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ 201
Изменятся коэффициенты граничных условий, которые теперь
пишутся так (i = l, 2, ..., п0):
= 2 aylWjl
«i nt
Av] = 2 a^№%]+ 2
/ = «o+l j=no + \
«i tii
= 2 «// [HoHi%] + 2
/ = /го+1 / = Ло +
/ = «o
«1
/ij] + 2
/ = «o + l / = /го+1
Благодаря сделанной подстановке у некоторых из этих коэф-
коэффициентов появились множители \1Ъ jli2, \i2\iv Поэтому, пользуясь
свободой в выборе \i^ ju2, [i2, мы можем сделать коэффициенты,
содержащие эти множители, произвольно малыми (но не нулями!!!),
и за счет этой малости обеспечить диссипативность граничных
условий.
Поясним, как это делается на примере расширенной системы,
с помощью которой оцениваются только и, щ, иу. В качестве
неизвестных при этом должны быть выбраны вектор-функции
v = )хои, v = и^Н/, v =
202 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
удовлетворяющие при х = 0 граничным условиям:
«1
f/ = 2 а№*
Vi= 2 <*>№+ 2 №i/tV/, (/ = 1, 2, ..., no),
/ = «o+l / = /Z0+l
«1 «1
/=«o + l / = /zo+l
а при х > 0 системе, у которой мы выпишем только старшие
члены, содержащие производные от неизвестных функций:
(А 0 0\ л /и\ /ВО 0\ /и\ /СО 0\ . А>\
О Л oUL-Uo Б О U И+ О С оШ* +... = 0.
\о о Ja/W \о о в)дх\5) \о о c/^W/
Условие строгой диссипативности, при используемых нами диаго-
диагональных В, имеет вид неравенства
П0
t -1
V) +
+1 J
[«о «1
[
J Ь=1
2 a^/+^i 2 a^/) - 2
/
2 a^+^i 2 aW) - 2
l
«1
/=«0+1
которое заведомо выполнено при достаточно малых \xv (При
^ = 0 оно является следствием диссипативности граничных усло-
условий для исходных уравнений. Левая часть условия диссипатив-
диссипативности является квадратичной формой от переменных v;-, Vj, Vj
О = /го+1» •••» ni)y сумма квадратов которых стоит в правой
части неравенства. Коэффициенты этой квадратичной формы не-
непрерывно зависят от \iv) По существу, идея этой конструкции
§ 16J ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ 203
та же самая, что и у приведения к диссипативному виду гранич-
граничных условий в задаче с двумя независимыми переменными
(см. § 15).
Теперь мы уже можем стандартным образом применить тех-
технику оценок интегралов энергии, развитую в § 12 и приспособ-
приспособленную к смешанной задаче в начале настоящего параграфа.
В результате мы получим для рассматриваемых решений следую-
следующее неравенство:
JJ [|Ыо(Лг/, ti)-{-\il\i\ (Аи^ Ut)-\-\io\i\(Auy, uy) dxdy^
G
t = const
Atiy, uy)]dxdy,
x>0
с постоянной Mf которую можно оценить через коэффициенты
решаемой системы, через коэффициенты граничных условий и
через производные всех этих коэффициентов. Эта оценка не содер-
содержит никакой информации о производных их. Для получения
такой информации удобно применить следующий прием. В силу
исходного уравнения
Вих = — А щ — Сиу — Quf
(Вих, Вих)--
(Aut, Qu) + 2(Cuyy Qu)
Так как А положительно определенная, то
(A2ut> щ)^ const (Ащ, tit),
(C2uyy uy)^ const (Ally, uy),
(Q2Uy и) ^ const (Аи, и),
\(Auh Cuy)\^V(A%, ut){C2uyy uy)^
<у(Л2^, ut) + ~(C2uyy uy) < const [{Aut, ut) + {Auy, uy)].
В результате этих оценок мы приходим к выводу, что на реше-
решениях нашей системы
(BuXf Bux)^ const [(Auy u) + (Auh ut) + {Auyy uy)].
Отсюда и из выведенного выше неравенства, дающего интеграль-
264 ^ИГТЕРБОЛИЧЁСКЙЕ УРАВНЕНИЙ [ТЛ. И
ную оценку решения, заключаем
У х >0
[(Аи, и) + (Аиь щ) + (ВиХ9 Ви
uy)]dxdy*
< const,/ 55 [И"» u)+(Aut> ид+фих, Bux)+(Auy, uy)]dxdy
^const-, Г \\ [(Аи, и) + (Вих, Вих) + (Аиу, uy)]dxdy.
У G,t = 0
У х>0
В последнем неравенстве мы воспользовались тем, что
и что в силу этого
(Aut, щ) \^0 ^ const [(Buxt Bux) + (Auy, uy) + (Auy и)]^.
Мы научились, таким образом, оценивать производные иХ1 вхо-
входящие в форму (Вих, Вих). Правда, если В вырожденная (если
ft>fti)> то производные по х не от всех компонент вектора и
в эту форму входят. Этот дефект оценки не удается полностью
устранить, хотя его можно ослабить с помощью приема, который
вскоре будет описан.
Пока же мы отметим, что если оценивать интегралы энергии
для расширенной системы, содержащей вторые производные реше-
решения, то через начальные данные может быть оценен
max
\\ [\il(Au, u) + \il\i\(Aut, ut) + \il\i\(Auyi uy)
G,t = const
x>0
+ Vi\vl(Au U) + \il\i\\il(Au uyt) +
utt)]dxdy,
а через этот интеграл в свою очередь может быть оценен
max \\ [(ВиХ9 Вих) + (Вих<, Buxt) + (Buxy, Buxy)]dxdy.
t Git = const
x>0
Аналогичное положение имеет место и при получении оценок для
высших производных.
Для оценок производных их в точках, лежащих строго внутри
области х>0, можно воспользоваться следующим приемом, кото-
который приводит к включению в расширенную систему уравнений
для производных uXf умноженных на гладкий неотрицательный
множитель vl(x)i отличный от нуля при л:>Я1>0 и равный
нулю в полосе Х0
§ 16] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ 205
Продифференцировав по х основную систему
и помножив результат дифференцирования на vx (x), запишем его
в виде равенства
Вхих - v[ (x) Bux + vxAxut + vxCxuy + v&u = 0.
Заменив в подчеркнутых слагаемых Вих на —Aut — Cuy — Qu,
Bxux = RxBux на — Rx (Aut~\-Cuy + Qu), а затем выразив ии иу, и
в младших членах через \xQu, \iQ\iiUty \io\iiUy9 мы сможем включить
это уравнение в расширенную систему оценки первых производ-
производных, которая будет теперь выглядеть так:
(А 0 0 0\ /\iou \ /В 0 0 0\ /\iou
0 А 0 0 ] _а [ цо 1*1 и/ ] , [ 0 В 0 0 \д_ I ц0 ^ tt/
0 0 А 0 Й Uii^J1" 0 0 Л 0 / д* I щ> Hi
О О А/ \ vxuj \0 О О В/ \ vi их
/С 0 0 0
О С 0 0 \ д
\0 О О С/ \ \\их/
Здесь младшие члены —это линейные комбинации величин \iou,
В силу того, что вектор v^ равен нулю в некоторой окрест-
окрестности границы, можно считать, что он на границе удовлетворяет
произвольным однородным линейным соотношениям. В качестве
таких соотношений могут быть взяты некоторые граничные усло-
условия, например, те же самые, что и условия, которым удовлетво-
удовлетворяет вектор и. При этом, как нетрудно проверить, будет обеспечено
выполнение условия диссипативности для только что выписанной
расширенной системы, которой удовлетворяют \хои, ^^щ, \i^iUy,
\гих. Пользуясь этой диссипативностью, нетрудно вывести нера-
неравенство:
max \\ v\(Aux, ux)^
T>t>00
uxy Bux)+(Auy, uy)+v\(AuXf u
G,x>0
<const 55 [(Ли, и) + (Вих, Bux) + (Auyy uy) + x2(Aux, ux)]dxdy,
* = 0
G,x>0
оценивающее производные их во внутренних точках области G.
206 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Для получения оценок производных порядка выше первого ту
расширенную систему с диссипативными граничными условиями,
которая использовалась при оценке первых производных, подвер-
подвергают следующему расширению. Это расширение выполняется
в точности по той же схеме, что и описанное сейчас расширение
исходной системы. Только теперь роль исходного вектора и дол-
должен играть составной вектор, векторными компонентами которого
являются \коиу Ро^хЩу M<oMi^, \хих. В результате расширения мы
теперь придем к симметрической гиперболической системе с дис-
диссипативными граничными условиями, которая позволит нам оце-
оценить уже вторые производные от и.
При построении описываемого расширения мы будем исполь-
использовать производные по х от исходного составного вектора, умно-
умноженные на неотрицательный «срезающий» множитель v2 (%), равный
нулю в некоторой полоске вблизи % = 0 (аналогично множителю
vx(x)f использованному при первом расширении). Наличие сре-
срезающих множителей vb v2 приводит к тому, что квадратичные
интегралы от вторых производных, которые нам удается оценить,
будут эти срезающие множители содержать. Таким образом, мы,
в частности, оценим
max $$ v\vl(Auxx, uxx)dxdy,
t G,x>0
t = const
max JJ v\(Auxy, uxy)dxdy.
1 Gfx>0
t = const
По той же схеме, с помощью дальнейших последовательных
расширений, оцениваются во внутренних подобластях интегралы
от высших производных.
На самом деле, вместо vx (x), v2 (х), ... обращающихся в нуль
в некоторых окрестностях границы x = 0, можно взять как
в качестве vb так и в качестве v2, v3, ..., одну и ту же v (x) ss х,
обращающуюся в нуль только на границе х = 0. Конструкция
с множителями v1(x)y va(*), ... выглядит несколько прозрачнее,
потому мы с нее и начали изложение. Читатель без труда про-
проверит, что во всех приведенных выше рассуждениях и формулах,
действительно, можно считать vx (х) = v2 (х) =... = х. Полученная
с помощью \1(х)=х оценка и и первых производных
uX9 Bux) +
uy, uy)]dxdy я
^const 1 / $ $ [(Аи, и)+(ВиХУ Bux)+x2(Aux, ux)+(Auy, uy)]dxdy,
/;
х>0
= 0
§ 16] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ 207
ведет к неравенству
|| и У < const || ф ||ф,
если для оценки решения и и начальных данных ф ввести сле-
следующие нормы:
[(Аи, u) + (Auh ид + (Вих, Ви
G,x>0
t = const
2(Aux, ux) + (Auyy uy)]dxdy}dt +
4- max "I/ g,*>o
Г l7 ^ const
[(Ли, и) + (Ви*. Bux) +
2 (Aux, ux)-{-(AUy, uy)]dxdyt
|ф
- у
[(Лср, ф) + (Вф^, Вцх) + х2(Ац)х, <рх) + (А<ру9 q>y)]dxdy.
o, t=o
x>0
Константа в оценке нормы решения через норму начальных дан-
данных оценивается через коэффициенты системы и граничных усло-
условий, через производные этих коэффициентов и через геометрию
области.
Приведенная сейчас оценка решения, очевидно, обобщает на
смешанную задачу с диссипативными граничными условиями
неравенства для норм решений, которые мы получили во вводной
части (§ 5) для простейшей гиперболической системы одномерных
уравнений акустики. Надо сказать, что и вывод, приведенный
здесь, делался по той же схеме, что и в § 5, но только теперь
мы обращали внимание на большее число подробностей, имея
в виду менее элементарные задачи. Мы видели, что чем больше
гладкость коэффициентов и начальных данных, тем для большего
числа производных удается получить оценку.
На этом мы закончим изложение техники, с помощью которой
оцениваются квадратичные интегралы от решения и от его про-
производных. Мы изложили самую трудную часть этой техники на
задачах с тремя (я, у, t) независимыми переменными. Применение
ее к более простому случаю двух независимых переменных (х, t)
не должно вызывать каких-либо недоразумений. Сделаем, однако,
несколько важных для дальнейшего замечаний.
Изучая смешанную задачу для системы
да . г/ да
208 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
в каноническом виде
k2
[ГЛ. II
о\
— k
¦Ло+1
\о о/
в области O^x^l с двумя боковыми границами х =
на которых заданы диссипативные граничные условия:
щ= 2 аИи1 i==l> 2> •••» ло при х = 0у
при
и строя расширенную систему для первых производных, нам
будет удобно считать неизвестными функциями в ней векторы:
(АИ, Щ, X(X — 1) Ux.
Обращающийся в нуль на обеих границах множитель х{х — 1)
при производных их вводится здесь с той же целью, с которой
в задаче с одной границей х = 0 вводился множитель х. Чита-
Читателю рекомендуется проделать аккуратно построение соответству-
соответствующей расширенной системы и убедиться, что получающиеся
оценки записываются в сокращенном виде
I и \и < const || ср ||ф,
если определить нормы в пространстве U решений и в простран-
пространстве Ф начальных данных формулами:
/Т I
о о
max
У о
щ) + (Киху Ких) + х2 (х - If (ux, ux)] dx
[(«, и) + (КиХ9 Ких) + х2 (х - / J (их, ux)]dx,
- If
dx.
§ 16] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ 209
Теперь мы кратко остановимся на том, как развитая здесь
техника позволяет получить теоремы о непрерывной зависимости
решений от начальных данных, правых частей и коэффициентов
уравнений в случае симметрических гиперболических систем.
Оценку разности решений двух систем:
мы будем проводить в области, ограниченной снизу плоскостью
? = 0, а сверху «шапочкой», удовлетворяющей неравенствам Гамиль-
Гамильтона — Якоби, полученным как с помощью одной, так и другой
систем.
Определим норму || v || некоторой вектор-функции v как
/ = const
Двойной интеграл здесь берется по внутренней части сечения
/ = const, лежащей внутри «шапочки». Предположим, что для
решений обеих систем ограничены нормы
\dui
\
dut
I uiи» и ^ и» QX
Для этого достаточно предположить, что коэффициенты и началь-
начальные данные обеих систем достаточно гладкие, но мы не будем
останавливаться на доказательстве этого факта.
Рассмотрим разность уравнений наших систем. Эту разность
можно переписать в виде следующего уравнения для разности
решений их — и2\
Если |] Лх —Л2[|, || Sx-S21|, ICi-CJ, || Qx-Q21|, ||Л-/а| малы, то
мала и вся сумма (по нашей норме || ||), вынесенная в правую
часть этого равенства.
Рассматривая это векторное уравнение как систему для их — и2
и предполагая малость разности начальных данных, т. е. малость
||и10 — и2о||о> мы отсюда можем получить оценку малости Ц^ — и2\\.
Тем самым доказывается, что если начальные данные, коэффици-
коэффициенты и правые части являются достаточно гладкими, то решение
непрерывно зависит от всех этих параметров задачи.
Точно так же доказывается непрерывная зависимость решений
смешанной задачи от всех определяющих ее реличин. При этом
210 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
только надо предположить, что их{ху /), щ(ху f) удовлетворяют
одинаковым граничным условиям. На самом деле доказательство
можно провести и в случае близких граничных условий, но мы
не будем останавливаться на нужных для такого доказательства
изменениях техники.
Если бы для всех разбиравшихся нами задач (задача Коши
в области под «шапочкой» и смешанная задача при ?>0, О^х^
^1) были доказаны теоремы существования, то из доказанной
единственности решений и из их непрерывной зависимости от
условий задачи вытекала бы их корректность. Мы приведем
в дальнейшем доказательство теоремы существования для случая
трех независимых переменных (х, у, z).
Остановимся теперь на одном простом, но очень важном для
дальнейшего, понятии — понятии обратимой смешанной задачи.
Обратимые задачи играют принципиальную роль в теории метода
Фурье, изучением которого мы будем заниматься в четвертой
главе.
При решении системы
п
^и1 I h ^Ui _1_ ^V f ' 10
01 OX jm^
n,
с граничными условиями
n
- 0 (i = 1, 2, ..., nQ\
ПРИ X=l (^ = «0+1. .... П)
и начальными данными
щ(х, 0) = ф/(Д
у нас может появиться желание разыскивать решение не при
t^0y а при /^0. В случае такого «обращения» времени «при-
«приходящие» на границу и «уходящие» с границы характеристики
меняются ролями. Число граничных условий должно теперь рав-
равняться числу характеристик, «приходящих» в старом смысле.
Решать задачу в сторону ?<с0 и одновременно в сторону ?>0
возможно лишь, если число характеристик с положительным
§ 17J КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ 211
наклоном равно числу характеристик с отрицательным наклоном
(т. е. если п = 2п0) и если граничные условия можно разрешить
как относительно римановых инвариантов, связанных с положи-
положительным наклоном характеристик (иъ и2, ..., иПо), так и относи-
относительно инвариантов, отвечающих характеристикам с отрицатель-
отрицательным наклоном (иПо+и иПо+2, ..., И2л0). В этом случае граничные
условия можно записать так:
на одном из концов (det || у у || Ф 0, det || ау || Ф 0) и аналогичное
условие с другими матрицами уу, ау на другом конце отрезка.
Такие задачи, для разрешимости которых направление времени
не играет роли, мы будем называть обратимыми.
§ 17. Критерии компактности сеточных функций
Сеточные функции и правила их интерполяции —распространения на всю
область, покрытую сеткой. Оценки квадратичных интегралов от проинтерполи-
рованных функций через сеточные суммы. Применение критерия компактности.
Дифференцируемость пределов и оценки непрерывности пределов и их произ-
производных.
При доказательстве теоремы существования решений у сим-
симметрических гиперболических систем нам придется пользоваться
критериями компактности некоторых семейств функций. Ряд таких
критериев был уже приведен в § 9. Цель настоящего параграфа
состоит в том, чтобы приспособить эти критерии к последова-
последовательностям приближенных решений, которые будут строиться
в процессе доказательства теоремы существования. Приближенные
решения мы будем получать в виде сеточных функций, опреде-
определенных на дискретной системе точек x = lh, y = jht t = kx с це-
целыми /, /, k. Постоянные h, х называются шагами сетки.
Обычно у нас будет целое семейство сеточных функций, опре-
определенных каждая на своей сетке, причем среди этих сеток будут
сетки с как угодно малыми шагами т, h. Рассматривая фикси-
фиксированную сетку, мы обозначим и (х, у, t) = u(ih, jhf kx) через
ui/k и сформулируем правило интерполяции, позволяющее функ-
функции, первоначально заданной только на сетке, сопоставить вполне
определенную непрерывную функцию, заданную уже при всех х,
у, t. Эту непрерывную функцию, определенную по сеточной uijkj
мы в дальнейшем будем опять обозначать и (х, у, t). Значения
и(х, у, t) внутри параллелепипеда (ячейки сетки)
212 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
мы определим формулой
и(х,у, t) = uUi
*'. У. *'
В последней сумме Г, /', &' пробегают значения, соответствующие
вершинам параллелепипеда, а через аг, у, ^ (я, у, 0 мы обозначили
коэффициенты интерполяционной формулы, подробно выписанные
в первых строках. Внутри параллелепипеда и (х, у, t) будет ли-
линейной по х при фиксированных у, tt линейной по t при посто-
постоянных х, у, линейной по у при фиксированных х, t. Нетрудно
убедиться, что в каждой точке (л\ у, t) параллелепипеда, сумма
всех коэффициентов а^ j>f ь> равна единице. Действительно, если
Uijtk во всех вершинах равна 1, то и (х, у, /), будучи линейной
по каждому аргументу, оказывается единицей при всех х, у, t
внутри параллелепипеда. Для такой uijk очевидно, что и (х, yf t)
получится единицей во всех внутренних точках, т. е.
i', /', k' i'j'k'
Интегрируя доказанное сейчас равенство
\ \ \
ih \h kx
(t + l)ft (/+ i)h(fc+ Dt
= 25 I I ai'j'bf (x> y> *)dx dy dt>
i'l'k ih jh kx
мы приходим к выводу, что сумма интегралов в правой части
равна №х. Любые два интеграла слагаемых в этой сумме равны
§ 171 КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ 213
между собой, как это легко вытекает из следующих свойств
симметрии:
у, t) = ai+\j'k'([i + l]h — l9 у, t),
а'7+1*'(*> [/ + 1]/г —л, О,
ОН',-* (х, уУ kx + 8) = atrk+ i(x, у, [k +1 ] т - б).
Поэтому для каждого из коэффициентов а^-'б' (#, у, t)
+)(j+) (+)
J J J ai'i'k(x> У*
ih jh ki
В этом можно убедиться и непосредственной выкладкой.
Воспользуемся тем, что
ai.j'k* Э* 0, 2 а'7'*' (^» ^ 0 = U
и применим неравенство Буняковского:
и2 (х, yf t) = I 2 а^'/'Л' (^, У, О "*7'И2 =
^ О М*
Полученный таким образом вывод
мы проинтегрируем по всему параллелепипеду
5 S ^
ih jh кт
Итак,
по сеточному по всем восьми
параллелепипеду вершинам
параллелепипеда
Если некоторая область G в пространстве х, у, t покрывается
полностью некоторым конечным числом ячеек сетки (сеточными
параллелепипедами), то, суммируя доказанные неравенства по
всем этим ячейкам (каждая вершина —узел сетки — принадлежит
не более, чем восьми примыкающим к ней параллелепипедам),
214 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
получаем неравенство
Ш(*' »' t)dxdydt^hh 2 и*(х, у, t).
G по всем
узлам
Это неравенство показывает, что если мы построим какую-
либо сеточную функцию и оценим для нее
(*. У' о.
по всем
узлам сетки
то, продолжив интерполяцией эту сеточную функцию на всю об-
область G, покрытую сеткой, мы можем для этого продолжения
автоматически использовать оценку интеграла
И^2(Х> У у t)dxdydt,
G
той же самой величиной, которой оценена сеточная сумма. На
каждом фиксированном сеточном слое t = kx = const
и(х, у, t) = ccijk{x, у у t)uiJk + ai^jk(xf у t t)ui
-\-aij+i,k(x, Уг» 0 ^ij+ik-hai+i,j+itk (x, У, j
(все остальные коэффициенты a^rk+i(xy у, &т) = 0). Повторением
с очевидными упрощениями и видоизменениями, только что про-
проведенных рассуждений доказывается неравенство
\\ и2{х, у, kx)dxdy^h2 2 (*> #> kx)-
t~ const по всем узлам
G слоя t — kx
При kx^t^{kJr\)x и при нашем способе интерполяции
и(х, у, Г) = (к+Х1%-* и{х, у, к%)+^и(х, у,
и2(х, У, t)^{k+lli:~t и*(х, у, кт)+^и*(х, у,
у, Г)йхйу^(к + Х\х-* ^ и*(х, у, kx)dxdy +
t = const t=kx
G G
:/ $$ u2dxdyf \l u2dxdy).
Поэтому при любом t
u2(x, у, t)dxdy^ max / J] u2{x, yy kx)h%
^const п0 всем I по слою f
q сеточным ^ t=kx '
слоям
§ 17} КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИИ 215
Теперь мы докажем, что оценки квадратичных интегралов от
производных проинтерполированной и (х, у, t) вытекают из оценок
соответствующих сумм квадратов разностных отношений сеточной
функции. Обозначим через -? разностное отношение
Аи Аи
— и(х, у,
K = ih, y=jk, t=kx T
На интервале времени (k-\-l)x>t>k%, производная по t у на-
нашей проинтерполированной и (х, у, t) при фиксированных х, у
постоянна и вычисляется по формуле
д . ,ч vi , , ч Г Аи~\
4tU(X, у у I) = У &i'j'k \Х> У у «Т) -д7- #/
Поэтому на этам интервале времени
2 / л ^- V / «. \ Г д" I2
/yj IV* /1 т\ <^7 у ГУ '* 'и- I Y 11 t?T I I I
Mf \у*у И у v 1 ~-:^z / ^**l 1 к У™, У У *) \ \4 \ > >
Теперь уже очевидно, что *)
max \ \ и? (х, у, t)dxdy^ max I > A (-rrj I-
t J J по всем I ••'¦' \ ' |
^ = const сеточным по слою I
^ слоям ^ = ^т
Обозначая вычисляемые по сеточной функции разностные отноше-
отношения:
Аи _ Аи_ _ u([i + \]h, у, t) — u(ih, yy t)
~г~~~~г~ x=ih~ h
y=ih
Аи
Ах
Аи
Аи
~~ Ах
Аи
__и(х, [! + l]h, t) — u(x,]h, t)
= ih~~ h
отметим еще следующие неравенства для и (х, у, t), построенной
при помощи описанной интерполяции:
{VI / Аи \2 1
> (-Д-) Л1,
t = kx
и*у(х, у, t)dy~-
*) Максимум по t следует брать только по тем t, для которых^/ сущест-
существует, исключив тем самым из рассмотрения конечное число значений t-
216 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Интегралы в этих неравенствах берутся по отрезкам прямых,
параллельным координатным осям. Докажем первое из них. Вто-
Второе обосновывается заменой обозначений х на у и наоборот.
При ih(i l)h h(l)h ^ & t
u(x, t/, t) = VJ 'h -u(x, jh, kx) + h и (х, [/ + 1]A, kx),
Wjc (x, у у t) = w ,; ^ w^ (л:, /А, йт) + . Wj, (x, Г / +1 ] К kx)y
/ * i 1) /t и ii jh
li iv* // /i <^T* ^^ ^ У л* Iv* //7 Л>тгЧ I ^ ' ft% /у Г < I 1 1 Ь% Ьт\ •
1лx \л, w, f> 1 7==zz. 1 Их v * I 1 ft v I ~~\ т *^x v > I / —1 I • ^> »* v / ===
s (/ + l)/i —у г Дц J2 t/-/A Г A^12
j yU+
t = kx t=kx
j
ih
Суммируя эти неравенства по /, приходим к доказываемому утвер-
утверждению:
С
i! = const
Итак, мы показали, что если сетки с шагами h, x покрывают
некоторую область G, то из неравенств для сеточных функций
(по сетке, покрывающей G):
2 и2(х, yf t) hh < const,
х, у, t
max 2 и2 (х> У> t) h2 ^ const,
f x, у
max > f -ry J /r^ const,
x, У
д- ) h ^ const,
JC
§ 17J КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ 217
вытекают аналогичные неравенства:
и2 (х, у, t) dx dy dt ^ const,
G
max J $ u2 (x, y, t) dx dy ^ const,
max \ \ \x\ (x, y, t) dx dy ^ const,
t J
max \ u% (л:, у, t) dx ^ const,
max \ ul (x, уf t) dy <; const,
которым удовлетворяют функции, продолженные (проинтерполи-
рованные) на всю G. Константы в соответствующих неравенствах
для сеточных и продолженных функций одинаковы.
Доказанное утверждение позволяет нам воспользоваться тео-
теоремой 2 из.§ 9 главы I и следствием из этой теоремы и теоремы
Арцела (см. тот же § 9).
Цель, к которой мы стремились, исследуя продолжения
сеточных функций,—достигнута. На компактности будет основано
доказательство теоремы существования (см. §§ 19, 20).
С очевидными упрощениями аналогичное исследование свойств
продолжений (интерполяций) может быть проведено и для сеточных
функций и (х, t) от двух переменных x = ih, t — kx. В каждой
ячейке
мы проинтерполируем такую функцию линейно по х при t== const
и линейно по t, при постоянном х. Не останавливаясь на дока-
доказательстве, ограничимся только формулировкой важных нам свойств
такой интерполяции.
Из неравенств для сеточных функций (по сетке, покрывающей
область G):
2 и2(х, t) hx ^ const,
х, t
max 2 и2 (х, t) h <; const,
i x
max > f д^-j h^ const,
X
вытекают, для продолженных на G непрерывных и (а:, //, /), еле-
218 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
дующие неравенства, имеющие, соответственно, те же постоянные:
const,
max $ и2 (x, t) dx ^ const,
max \ a] (x, t) dx ^ const,
max \ul(x> t)dx^const.
t J
Теорема 1 из § 9 главы I и там же сформулированное следствие
из нее и из теоремы Арцела позволяют для прямоугольной области
G: (х1^х^х2У ti^t^Q вывести из этих неравенств утверждение
о компактности (относительно равномерной сходимости) любого
бесконечного семейства функций, удовлетворяющих выписанным
неравенствам.
Теперь мы уже имеем критерий компактности для сеточных
функций как от трех, так и от двух переменных.
Для сеточных функций от трех переменных (х, у, t) мы
в дальнейшем будем пользоваться критерием компактности в не-
несколько иной формулировке, а именно мы будем требовать выпол-
выполнения неравенств:
max 2 и2 (*> У> t) h2 ^ const,
* у
ax У l-^j h* ^ const,
х,у
max
х, у
x, У
левые части которых содержат суммы только по целым сеточным
слоям t = const и не содержат сумм по отдельным сеточным
рядам (t = const, y = const), (t = const, x = const), которые участ-
участвовали в критерии, обоснованном выше. Вместо этого мы включили
суммы по слою от квадратов вторых разностей
_ А (Аи\ _ и (x+h, y + h) — u (x, y+h) — u (x+h, y) + u {x, у)
A \АУ /2
Xty
Покажем, что из сформулированных сейчас неравенств следует
выполнение уже обоснованного критерия компактности. Область G
мы считаем прямоугольным параллелепипедом с гранями, парал-
171
КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
219
лельными координатным плоскостям:
= %\ -Ь X,
Пусть
х, у
\AxAy
/C2
Обозначим через S(y0) сумму
X
У=Уо
и оценим разность S (yo + h) — S (у0)
V (Гц
Ги
/г2
AxJy=y0-\-h
Zi I AxAy
У=Уо
у\.
Аи
Ах
Аи
Ах
Чтобы оценить S (y') — S (у"), достаточно просуммировать эти
неравенства по уо(у'^Уо^у" — h). При этом мы только усилим
оценку, если правую часть просуммируем по всей сетке, а полу-
получившуюся сумму оценим сверху с помощью неравенства Буня-
ковского. Мы получаем таким образом:
Кроме того, очевидно, что
220 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Отсюда следует существование такого у', что
Теперь очевидно, что для любого у
iaJ \Ax]
X
у = const
t ==¦ const
Нам удалось оценить а(д~) ^ чеРез размеры G, через
х,у х, у
и через
" "" \2 иг
-/г.
\AxAyJ
х, у
Оценка суммы \[~/r-) h получается сменой обозначений перемен-
У
ных xt у. Удобная для нас форма критерия компактности в трех-
трехмерном случае обоснована.
Задача. Сформулируйте и докажите аналогичный критерий для случая
четырех независимых переменных х, у, г, t.
Обоснованные критерии компактности (двумерный и трехмерный)
дают возможность, построив удовлетворяющие им последователь-
последовательности сеточных функций, утверждать, что из них можно выбрать
подпоследовательности, равномерно сходящиеся к некоторой
непрерывной функции. Иногда есть возможность установить
дифференцируемость этой предельной функции. Для этого, ока-
оказывается, достаточно потребовать, чтобы наряду с сеточными
и (х, у, t) критериям компактности удовлетворяли и все их первые
Аи Аи Аи г-*
разностные отношения тт» д~> x~- ° самом деле, рассмотрим
наряду с множеством сеточных {uh(xt у, t)} еще совокупности
таких функций {vh (x, у, t)}t {wh(x, у, t% {gh(x, у, t)}, которые
определим при помощи равенств
, ,ч u(x-\-h, у, t)—u(x> у, t) Аи
и (х> У + h* t) — u(x, у у t) Аи
Wh{xy у. 0= Iду
Ы А и(х, у, t + T) — u(x, у, t) Аи
КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
221
Выберем из {uh (л;, у, /)} сходящуюся подпоследовательность, из нее
выберем подпоследовательность такую, чтобы построенные по ней
Vh (x> У, t) тоже сходились. Из этой последовательности выберем
в свою очередь подпоследовательность так, чтобы ее wh (x, у, t) были
сходящимися. Переходом к следующей подпоследовательности мы
добьемся сходимости также и gh (x, у, t). Итак, при выполнении
критерия компактности для uh, -тт > -Р1, -/г1, из семейства се-
сеточных функций uh (а:, у, f) можно выбрать подпоследовательность
такую, что непрерывные функции uhf vhi why ghy полученные
описанной выше интерполяцией с сеток на всю покрываемую ими
область, будут равномерно сходиться к непрерывным функциям
й (х, у, t), *> (х> У* 0» w (*> У> 0» g" (x> У, t), так, что
\uh(xt у, t) — u(xf у, 01<8(А» т)>
W(x, yy t)-v(x, у, *)|<е(й, т),
u>h(x, У, i)-w(x, у, t)\<e{h, т),
\gh{x, У, t)-g(x, у, t)\<e(h, т)
е (Л, т)->0 при | "^
(мы будем в качестве uh, vh, wh рассматривать теперь только эту
сходящуюся подпоследовательность).
Про uhy Vh, why ghi определенные на всей плоскости, нам,
кроме того, известно выполнение неравенств, дающих оценку их
непрерывности:
Уъ Ъ) —
Мы воспользуемся этими неравенствами для того, чтобы доказать
равенство
xz ^
й (х2, Уо> Q - й (#i, у0, t0) = \ v (х, yOi t0) dx,
которым связаны значения функций-пределов й, v на произволь-
произвольной прямой у = у0, t = t0, параллельной оси х.
Рассмотрим сетку с некоторыми шагами Л, т, соответствующие
сеточные uhi vh и их интерполяцию на покрытую сеткой область.
Эту интерполяцию мы обозначаем теми же буквами uh{x, у, t),
222
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
vh(x9 у, t). Положив x1 = ii l1 2 2 2
==ftr + 6. ISil^y. 1^1<у. hl^y» |б|<~, мы тем самым
выберем сеточный ряд точек y = jh, t = kx, ближайший к прямой
У = #о» t = t0. Очевидно, что
I uh (хъ у0, О - uh (*Д \К
\ин(х* уо> to)-uh(i2ht \K
, jhy kx) — uh (iji, jhy kx) =
2 Y\
? = ? 2 — 1
^ 2
откуда
i2h
2» Уо> Q - uh {хъ у0, g - ) vh {x, jh, kx) dx
С другой стороны, пользуясь имеющимися у нас оценками огра-
ограниченности и непрерывности подынтегральной функции vh (x, у, /),
нетрудно установить, что:
i2h
vh (х, Уо» Q dx — \ vh (x, jh, kx) dx
xt
vh{x, /
i2h
ixh
x, jh, kx)dx
Объединяя утверждения неравенств (*) и (**), приходим к ра-
равенству:
У*
-\ vh(x, y0, t0)dx =
в котором можно перейти к пределу при h, x, стремящихся к нулю.
В результате этого предельного перехода выводим:
х2
и (х2у у0, g - и (хъ у0, g = \ v (л:, г/0, g dx.
I7J
КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
223
Пользуясь произвольностью х2У хъ yot tQy перепишем это утверж-
утверждение в виде
х
и (х, у, t)-u (xot у, *) = $ v (?, yt t) d\.
Совершенно аналогично доказываются равенства
У> t) —
у
у0У t) = \ w(x, г], t)dx\,
Уо
1
и (х, У у t) - и (х, у, *0) = $ ? (^э У, б) d8y
to
которым удовлетворяют предельные функции и, v, wt g. Из этих
равенств уже следуют дифференцируемость и(х, у, t) и равенства
ди
——
дх
ди
ду
да
dt
обеспечивающие непрерывность производных.
т-, „ ^ ди ди ди
Для дальнейшего важно отметить, что и, -^-, -^-, -^-, полу-
полученные как пределы равномерно сходящихся последовательностей
равностепенно непрерывных и равномерно ограниченных функций,
будут удовлетворять тем же оценкам:
I ^(#> У> 0 1^ const,
i — Та|
ди
; const
< const
+
+ 5
i—ТЯ I
+
+ 5
; const,
du
: const,
Y
ди
dt
i —T2
^ const,
224 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
что и функции ил, ул, wA, gh, из которых и, -^, ~, ¦— полу-
получаются в результате предельного перехода. Константы в этих
неравенствах при переходе к пределу не меняются, и, следова-
следовательно, зависят лишь от постоянных, оценивающих суммы квад-
квадратов разностных отношений, входящих в соответствующие кри-
критерии компактности сеточных функций.
§ 18. Разностная схема и основная теорема
об оценке ее решений
Описание разностной схемы и разностных граничных условий. Предположе-
Предположения относительно начальных данных. Три леммы об оценках разностных реше-
решений. Эти оценки аналогичны неравенствам, вытекающим из интегралов энер-
энергии. Доказательство и формулировка основной теоремы об оценке разностных
решений.
В этом параграфе мы опишем простейшую разностную схему,
с помощью которой можно приближенно решать диссипативную
краевую задачу для гиперболических уравнений. Доказывать, что
приближенные решения близки к точным, мы не будем. Да мы и
не смогли бы этого сделать, так как пока нам не известен факт
существования решения у дифференциальных уравнений. В даль-
дальнейшем теорема существования будет доказана. В ее доказатель-
доказательстве важную роль играет разностная схема, которую мы сейчас
изучим. Оценки решений разностных уравнений, аналогичные
оценкам интегралов энергии, будут существенно использоваться
в доказательстве теоремы.
Основное внимание при изучении разностной схемы мы обра-
обратим именно на получение этих оценок. Система дифференциаль-
дифференциальных уравнений, которую мы будем пытаться приближенно решить
в прямоугольной области
O^x^l, — оо<#< + оэ,
имеет вид
^ ди , п ди , ^ ди
При этом предполагается, что матрицы А и С симметрические и
положительно определенные, тогда как симметрическая В от х, у,
t не зависит (постоянна) и имеет следующий канонический вид
§ 18]
(СМ.
§
ОСНОВНАЯ
11):
ТЕОРЕМА
+ 1
i
о
ОБ
-1
ОЦЕНКЕ
штук
1
РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ
П\
0
штук
' 0
0 \
*ii штук
•
225
Мы будем представлять В в виде разности В = В0 — В1 постоян-
постоянных неотрицательно определенных симметрических матриц:
+ 1
о\
+ 1 п0 штук
"'+1
О
О
О
— п0 штук
о
О щ
О
4-1
¦и
О
\
I —-Яо
О п — щ
"' О
граничные условия при л; = 0 и при х = 1 мы предполагаем задан-
заданными в виде
nt
По
(i' = U 2 ••• ^о) ПРИ ^ = °»
(i = no+l пг) при * = /,
и строго диссипативными. Условия строгой диссипативности
состоят в выполнении неравенств:
3 С. К. Годунов
226 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
при х = 0
1 = 1 х = п0 + 1
2 «/>«/)- I] «?<-*ь 2 "< (
при х = 1
о \ 2 Al0 AIo
t=/lo+l \/ = 1 / 1 = 1 t = l
которые сокращенно можно записать как
(Воиу и) —(В^, и)< — kQ{Bxuy и) при * = 0,
{Вги, и) — (Вои> и) <C — ko(Bout и) при х = 1.
Эти неравенства должны выполняться на всех векторах иу удов-
удовлетворяющих соответственным граничным условиям.
Предположение о положительной определенности матрицы С
не является обязательным. Оно введено для упрощения конструк-
конструкции разностной схемы. На самом деле, если интересующая нас
система имеет матрицу С, этому предположению не удовлетворяю-
удовлетворяющую, то, перейдя в новую систему координат х\ у\ t\ начало
отсчета которой движется относительно старой с постоянной ско-
скоростью со параллельно оси у,
х'=х, y' =
мы должны будем переписать уравнения в виде
W + B W + (C + aA)w + Qu = f,
у которого симметрическая матрица С + ыА коэффициентов при
—у будет, при достаточно большом со, положительно определен-
определенной. Матрица В, вид граничных условий, а следовательно, и их
диссипативность, при таком преобразовании не изменятся.
В продолжение всего нашего построения и исследования ре-
решений разностных уравнений мы будем считать, что все коэффи-
коэффициенты системы и граничных условий являются ограниченными
и достаточно гладкими функциями.
Начнем с построения разностной сетки, которая будет у нас
состоять из точек x = ph, y = qhy t^rx с целыми р, q, r. Шаги
сетки h (по пространственным переменным ху у), т (по времени t)
18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОЦЕНКЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ 227
мы выберем так, чтобы на отрезках О^л;^/, O^t^T укладыва-
укладывалось целое число шагов. На самом деле нам придется рассматри-
рассматривать в дальнейшем не одну разностную сетку и построенное на
ней разностное решение, а целую последовательность решений на
сетках с шагами хъ Лх; x2,h2\ т3,Л3» • • •» стремящимися к нулю:
Т/я~~*0| hm-+0 при т->-оо. При выборе последовательности шагов
мы будем обеспечивать неизменность отношения шага по времени
к шагу по пространству:
Для этого, выбрав каким-либо образом хъ Нъ можно выбрать
шаги более мелких сеток по правилу:
_1 — ±_ _ 1
^2 — 2 ^ъ ^3 — 22 ^1э *''' ^т — 2т~ь ^ъ * *'
= ~2 1» з == "gF ^1» • • •» "т == 2m-i ^1» • • •
Мы увидим вскоре, что отношение шагов x/h не может быть
выбрано произвольно. Оно должно не превышать некоторого пре-
предела, который вычисляется по матрицам Л, В, С. При таком
ограничении нам удастся получить для разностных решений оценки,
которые при всех достаточно малых шагах от величины этих
шагов не зависят.
Переходим к построению разностного решения на сетке с неко-
некоторыми фиксированными шагами т, h. Значения и(х, уу 0) =
= и (ph, qh, От) во всех точках сетки на начальном сеточном
слое^ = 0 предполагаются заданными. Схема, которую мы построим,
позволит по этим начальным значениям вычислить приближенные
значения искомых функций на первом временном слое t = x. Затем,
считая слой / = т за начальный, мы по той же разностной схеме
рассчитаем решение на слое t = 2x. Считая теперь заданным слой
/ = 2т, рассчитаем слой / = 3т, и т. д.
Для того чтобы описать схему, нам, очевидно, достаточно будет
показать, как величины на сеточном слое t-\-x вычисляются по
величинам на слое /. Пока мы будем иметь дело только с двумя
слоями t, / + т, величины на нижнем слое будут обозначаться и,
А, С, Q, иногда с дополнительным указанием координат ху у:
и{ху у) = и(х, у, 0,
А(х, y-h)==:A(x, у-h, t) и т. д.
Над величинами, относящимися к верхнему слою t-\-x% будет ста-
ставиться крышечка:
и (*, у) — и{х, у, t + x\
С{ху y-h) = C{x, y-ht t + x).
8*
228
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ II
Разностные уравнения, приближающие нашу систему, мы полу-
получим, заменив в ней производные на аппроксимирующие их раз-
разностные отношения:
ди
Их
ди
dt
xt у
ди
ду
— заменяется
заменяется либо
либо
— заменяется
х, у
на
на
на
на
Аи
At
Аи
Ах
Аи
Ах
Аи
х, у
х, у
X, У
V 11
и (л:, х
и(х,
/) — и (х,
X
у)-и(х-
h
u(x + h, у) —и
и(х, .
h
У)-и(*.
h
У)
у
~h> У)
(х. У)
У-h)
При этом вместо дифференциальных уравнений
л ди i & ди & ди , ^ ди
dt ° дх 1 дх
мы строим следующие разностные:
Аи Аи Аи
Аи
Аи
^f + Q(Xf У)и(х, у) = 0.
В приведенной сокращенной записи подразумевается, что входя-
входящие в нее разностные отношения вычисляются в точке х, у (точ-
(точнее, Ху у у t). Из этих разностных уравнений
А (х, у) и (х, \)) = А (х, уу t) и(ху у, t + r) = A (*, у). и (*, у) -
Аи Аи Аи
[Аи Аи Аи
мы можем вычислить й (х> y)t используя с нижнего слоя u(x — hy у),
и(х, у), u(x + hy у), и(ху y — h). На самом деле нам достаточно
знать и(х — К у), u(x + h, у) не полностью, а только те компо-
компоненты этих векторов, которые определяют значения B{)u(x~hi y)t
Bi + h, у), т. е.
— h, у), u2(x-hy y)y ..., uno(x — h, у),
, у), uno+2(x + ht у), ..., uni(x + h, у).
(Напомним, что у нас Во, Вг — постоянные диагональные матрицы,
на главной диагонали которых стоят единицы или нули.)
Ясно, что если на слое / нам известны и (х, у) во всех точках
сетки:
(* = 0, y = qh), (x = h, y = qh)t (x = 2h, y=qh), ...
9mmt(x = t-h, y = qh)9 (x = l,y = qh) ? = 0, ± 1, ±2, ±3, ...,
то построенная схема позволяет определить значения й (х, у) не
§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОЦЕНКЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ 229
во всех точках слоя / + f» а только при h^x^l — h. Для опре-
определения й (О, у)у й (/, у) придется воспользоваться граничными
условиями, которые должны быть приближением граничных усло-
условий, заданных для дифференциальных уравнений. Мы будем зада-
задавать граничные условия разностных уравнений равенствами:
ui (О, У) = I! <*/у (у, 0 uj (Л, у) (( = 1,2,..., л0),
/ = Я0+1
ЬA, и)= Ц М</> t)u){l-K У) (i = no + l
/= i
в которых коэффициенты ai} (yt /), р/у (у, t) те же самые, что и.
в граничных условиях для дифференциальных уравнений.
Напомним, что aij9 E/у удовлетворяли условию диссипативно-
сти. Благодаря этой диссипативности мы будем иметь на реше-
решениях разностных уравнений неравенства:
(ВA u)Oiy-(Bxu, u)h>y^o,
(ВА йI9у-(Вой§ й)/.Л,у<0.
С помощью описанных сейчас разностных граничных условий мы
никак не определим
йло + 1@, у), йЯо+2@, у), ..., йл@, у)\
йгA, у), й.2(/, у), ..., й„0(/, у); йЛ1+1(/, у), ..., йл(/, у),
но эти компоненты граничных значений й @, у), й (/, у) не влияют
на значения Вой @, y)f Bvu @, у), которые будут использоваться
в разностной схеме, для вычисления сеточных функций на сле-
следующем слое сетки, отвечающем времени / + 2т. Для того чтобы
упростить структуру сеточной функции, удобно, все же опреде-
определить недостающие компоненты й @, у), й (/, у), положив их рав-
равными значениям этих компонент в ближайшей сеточной точке
(/г, у) или (/ — Л, у). Нам удобно считать, что и на начальном
слое / = 0 были заданы начальные значения и(х,у90) только
во внутренних точках сетки h^x^l — /г, а граничные значения
и @, у> 0), и (/, у> 0) определялись из граничных условий (при
U y, 0 =
ui(l-h, y, 0. {«1, 2,..., n0; tti + 1, ^ + 2, ..., az,
МУС — Л» S/> 0» *
230 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ II
Это предположение является разностным аналогом предположения
о согласовании начальных данных и граничных условий, которое
мы всегда должны делать при изучении гладких решений сме-
смешанных задач.
Заметим, что в дальнейшем нам придется иногда рассматри-
рассматривать сеточные функции, полученные из разностных решений допол-
дополнением недостающих значений и(@у у, t) (i = Aio+l, яо + 2,... п)\
М/, У у 0 (t' = 1» 2» ... я0; /ii+1, •••> п) не просто путем их пере-
переноса из соседней точки, но еще и с домножением (при этом пере-
переносе) на некоторые ограниченные множители yt (у, t), б,- (у, /):
«/@, У, t)=yi(yy 1)щ{к% у, 0» 1 = ло+1, Яо + 2, ..., пу
щ {К у у t) = б/ Q/, 0 и/ (/ - К у у 0»
1 = 1, 2, ..., n0; ^i + 1, п2 + 2, ..., п.
При нашем исследовании свойств разностных решений, мы будем
отмечать факты, которые остаются верными, в случае, если
В течение всего нашего исследования разностных уравнений
и доказательства теоремы существования мы будем предполагать,
что начальные данные отличны от нуля только в ограниченной
области, например, только при — у У<у<~2 У- При t = r раз-
разностное решение, полученное по описанной схеме, заведомо будет
равно нулю, если \у\>~2 Y + h> при / = 2т, если \y\>-^Y + 2h
и т. д. На последнем сеточном слое t = T разностное решение
1 т
будет равно нулю, если \у\>~^У Л h. Таким образом, на
любом из рассматриваемых сеточных слоев сеточная функция
и (Ху у) будет отлична от нуля только в конечном числе точек.
При не слишком больших t, u(x> y> t) = 0, если \y\>Y. Этим
свойством разностных решений мы будем пользоваться.
Теперь мы уже можем переходить к получению оценок раз-
разностных уравнений, аналогичных оценкам интегралов энергии.
Нам удобно начать со следующих подготовительных лемм:
Лемма 1. Пусть A, D — симметрические матрицы, причем
А положительно, a D — неотрицательно определены. Параметр
положителен и такой, что A—pD неотрицательно определена.
Тогда, если векторы w, w'y w" связаны равенством
Aw = [А - pD] w' + pDw\
то имеет место неравенство:
{Aw, w)^{[A-pD]w', w') + p(Dw\ w').
Для доказательства удобно, сделав подстановку
§ 181 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОЦЕНКЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ 231
с помощью некоторой невырожденной матрицы R, и переписав
в новых величинах исходное равенство
ARW = [A-pD] Rw' + pDRw'\
помножить его слева на /?*:
R*ARw = [R*AR - pR*DR] w' + pR*DRw".
Неравенство, которое мы хотим доказать, в силу того, что
(Aw, w) = (ARw, Rw) = (R*ARwy w),
(Aw\ w') = (R*ARw\ wr),
(Dw\ w') = {R*DRw\ w')y
(Dw\ w") = {R*DRw\ w"\
перепишется в виде
(R*ARw, w)^([R*AR — pR*D]w\ w')-\-p(R*DRw\ w").
Как известно из линейной алгебры, преобразующую матрицу R
можно подобрать так, что /?*Л/?, R*DR одновременно станут
диагональными:
/ал 0\ /di О
Я*Л/? = | й2 ч ), R*DR =
\0 ' aj \0
^•>0; dt^0.
Для справедливости этого утверждения надо, чтобы А и D были
симметричными и одна из них — (Л) —положительно определен-
определенной. Неравенства dt^0 вытекают из неотрицательной определен-
определенности D. Легко также убедиться, что параметр р удовлетворяет
(при всех i) неравенствам
at ^ di — pdi ^0, 1 ^ 1 — о —L ^ 0.
Компоненты щ, w\, w'i векторов w, w\ w" при таком выборе R
оказываются связанными равенствами
и надо доказать, что из них следует неравенство
J] atw] ^ J] (а, -
232 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ II
Очевидно, достаточно убедиться в справедливости при всех i
оценки:
которая вытекает из следующей цепочки очевидных равенств и
неравенств:
1-р.|)(©;)«+р 4 (©,')«
Доказательство леммы 1 завершено.
Лемма 2. ?а/ш
оу = -g- [wx + w2 + w8]9 Au
то для положительно определенной А:
{Aw, w)<:-j[(Awl9 wJ + iAw» w2) + (Aw3f w3)]t
(Ли, u)^~[(Awly wx) + (Aw2, w2)+(Aw3, w3)] +
Доказательство первого утверждения леммы следует из равен-
равенства
(A w, w) = -g (A [wi + w2 + w3], [wx + w2 + w3]) =
\ 3i w3)+2(Awlt w2)
+ 2(Aw2y w3) + 2(Aw
и из неравенств
2(Awh Wj)^2V{Awh Wi)-V(Awh wf)-^(Awh wt) + (Awh wf).
Второе утверждение обосновывается следующим образом:
(Ли, u) = (Aw + xf, w + xA~1f) = A(wt w) + 2x{f, w) + x2(f, Л-1/)^
Aw, A~lf) + 2x2(ft A-lf) = (Aw, w) +
= (Awy w) + 2x(Au, A~1f)^{Awi w) + 2xV(Au, u)x
2, w2) + (Aw3t w3)] +
x[{Aut u)
Лемма 2 доказана.
18]
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОЦЕНКЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ
233
Лемма 3. Пусть Во, Въ С, С2 симметрические неотрица-
неотрицательно определенные матрицы, А, А — положительно определены
и пусть 1 > т > 0, h > О таковы, что
тоже неотрицательно определены. Тогда из равенства
1А [и-и] + \ Б0[ы_н0]_-iB1[Ul_u]+lc[u-«2]=
вытекает неравенство
(Аи, и)— (Ли, и) . (Вои, и) — (Вощ, щ) (Вхиъ ul) — (Blu, и)
т ^ h
, (Си, и)~(С2и2, и2) .
f 1 *s
г"
(Ай,и)+\~([А-А]й, Щ+
Т([С-С2]и2, и2)
Доказательство сводится к применению лемм 1 и 2.
Равенство, определяющее и, может быть переписано в виде
где
По лемме 1:
(Aw0, w0)
(Awlt w
Aw0 = Au + -? Bo [u0 - u\
Зт
u> ")+-x-[(flo«o. Щ)-(Вои, u)l
\иъ u1)-(B1u1 u)l
Зт
-j[(C2u2i u2)-(Cu, u
Зт
nrl([C-CJttll u2)\
234 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
и, следовательно,
1
-о-[(Лш0, w0) -f-(Awi, w±)-\-(Aw2yw2)] ^
о
^(Аиу и)-\--г[(ВоиОУ ио) — (Вои, и)\ + -г [(Bi^i, ux) — (Bxu, и)]-\-
+ 1[{С2и2У и2)-(Си, u)]+x\(\[C-C2]u2t u)\.
Теперь можно применить лемму 2:
(Аи, и)^(Аи, й) +
[(Л ) + (Aw W) + (A2, w2)]
[(Аи, Ь
^[(Воио, ио)-(Вои, u)] + j[(BlUl, uJ-
~[(С2и2, и2)-(Си, и)] + х\^[С-С2]и2, м
Нам осталось, воспользовавшись неравенством
т(Аи, u)^t(Au, u) + x {([A — А] и, и)\^
^т(Аи, и)~\-т (— [А — А]и, и II,
I \ т /I
справедливым при 1^т>-0, заменить дважды подчеркнутое сла-
слагаемое в правой части на большую величину:
т(Ащ и) + т\(±-[А-А]й, ли)\.
В результате такой замены получаем неравенство
(Аи, и)<:(Аи, и)+~[{ВоиОУ ио)-(Вои9 и)] +
2J u2)-(Cu, u)] +
м, и) +
+ —([А — А]йу й)\,
эквивалентное утверждению леммы.
Задача. Докажите, что лемма 3 допускает следующее усиление. Вместо
неотрицательной определенности матриц А г- Во, Л — &v A тгС>
§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОЦЕНКЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ 235
можно потребовать неотрицательной определенности A — p0BQ, A — piBi, A —
— РгС (р/ > 0), а параметры т, h подчинить неравенству
Pi P2
Утверждение, доказанное в лемме 3, можно сформулировать
так:
На решениях разностных уравнений
Аи Аи Аи Л Аи
А(х, у, t)^f^BQ^-B1^ + C(x, у, 0^=/(*. у, О
выполнено неравенство
Д (Аи, и) Д (Вои, и) А (В^и, и) Д (Си, и)
xi Ь —
Л* Ах l Ay ^
^(Аи, и) + \^([А-А}и, Ли)\ + \±([С(х, у, t)-C(x,y-K OJX
xu(xt у-К t\ и(х, у-К OI + H-'A /)<
<М{(Ла, и) + (Аи[х, у, t], u[x, у, t]) +
+ (Аи[х, у-К t], u[x, y-K t])} + (A-*ft /),
если только матрицы Л, С имеют ограниченные производные, и
если отношение шагов ~ не превышает некоторого значения р,
обеспечивающего неотрицательную определенность во всех точках х,
у, t матриц
А - ЗрВ0, А - ЗрВи А — ЗрС.
При этой переформулировке мы воспользовались также посто-
постоянством Во, Вх и равномерной положительной определенностью А.
Из нашей формулировки очевидно, что доказанное неравенство
является разностным аналогом дифференциальной формы интег-
интеграла энергии.
Умножим обе части неравенства на т/z2 и просуммируем по всем
внутренним точкам сеточного слоя, отвечающего выбранному
моменту времени /:
2
А(Аи, и) А(Вои, и) Л^м, и) А (Си, м
l—h
< + оо
Мы выписываем здесь формально суммы бесконечного числа ела-
236
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ II
гаемых, но это только формально, так как только конечное число
из них отлично от нуля, в силу того, что разностное решение
не равно нулю лишь в конечном числе точек. Такое же предпо-
предположение делается и о правой части /.
Левая часть этого просуммированного неравенства допускает
упрощения. В самом деле,
*•
— oo<#<+oo
Поэтому
— оо< у< +оо
Пользуясь диссипативностью разностных граничных условий,
§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОЦЕНКЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ 237
в силу которой
(Вои, u)Oty(B1u$ u)h,
(Вги, u)ity-(Bou9 и)/-л,
и обозначая
2 2 (Аи, u)hA,
y=—cox = h )
+ r) = { 2 2*0* «• "И>
V y=—cox — h )
+ ОО /—ft
+ ОО
= 2
^ y——c
приходим к неравенствам
U (t + т) - U @ < xMU (t + т) + 2xMU (t) + xF (t),
A -хМ) U(t + х) ^ A +2тМ) U (t) + xF(/).
Нам удобно теперь рассмотреть еще суммы
, и)И,
распространенные на весь сеточный слой
<4-°°» з не только на внутренние точки h^x^l — h, входив-
входившие в сумму ?/(/). Очевидно, что
V(t)
С другой стороны,
(/ = ОО f/:^ 00
В силу граничных условий
„ /п и Л ^j -./^. О «/(Л, У, 0» ^=1, 2, ..., п0,
Щ{К {/, 0, i = no + l, по + 2, ..., п
должно иметь место неравенство:
(Аи, и)х-0^const (Аи, u)x,h = M0(Aut u)x-ht
(/=—00
0 2
238 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Аналогично, используя граничные условия
щA — Н9 у, 0, *=1. 2» •••> >V> nt+\9 ..., я,
Щ (п> У> 4 =
доказывается неравенство
По
°°
^=—оо # =— оо x =
теперь очевидно, что
Заметим, что к такому же выводу мы пришли бы в случае, если
вместо граничных условий
«/(О, У, t) = Ui(h, у, 0. *' = /io + l, ^o + 2, ..., п,
М*. У> () = щA-ку у, t), i=h 2, ..., n0; ^+1, пг + 2, ..., Аг
выполнялись условия
"/(О, у, t)=yt(yy t)-ut(h9 у, t)9 i = no+ly no + 2, ..., n,
ui{U y, t) = 8i(y9 t)Ui{l — h, y, t), f = l, 2, ..., n0; пг + 19 ..., n
с ограниченными yt (у, f), 8t (y, t).
Сделаем еще предположение, что правые части f(x, у, t) на-
наших разностных уравнений вычисляются по значениям и (х, уу /),
u(x±ht у, t)y u(xJrh1 y — 2h, /)•••» т- е- по некоторому конеч-
конечному числу значений и на рассматриваемом слое t в точках, со-
соседних с точкой х, у, tt причем так, что имеет место неравенство
= 1 — h
2
(M, O = const).
Эта гипотеза, в частности, справедлива, если f(xt у, t) = Q(x, у, t)x
хи(х, у, t)*). Выписав теперь доказанные и постулированные
неравенства
A -тЛГ) U (/ + т)< A +2тМ) U
*) В этом случае можно положить Ф = 0.
§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОЦЕНКЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ 239
мы из них без труда выведем следующие следствия @<т<-м.
тах{Ф, ^(^ + г)}^1+т^ + ^1т+^+^+%ах{Ф, U
При т->0
1 — хМ )
и поэтому при достаточно малых т и при 0 <: / ^ Т:
A+Afo
2 • A +УИ0 + Л1Х) е[1+м+мг-A+м„+м,)] г =
у = — оох = о J^ = const L^ = _oox=o J^=
Это последнее неравенство и было целью предпринятого нами
исследования разностных уравнений.
Сформулируем доказанное утверждение:
Основная теорема об оценке разностных реше-
ни й:
Пусть 1°. Коэффициенты разностных уравнений
являются достаточно гладкими функциями *), матрицы А (х, у, /),
С (х, у, /) положительно определены, В01 Вг —постоянные диаго-
*) Конечно, коэффициенты разностных уравнений при каждом фиксиро-
фиксированном шаге определены только в конечном числе точек, поэтому требует уточ-
уточнения утверждения об их гладкости. Мы считаем, что Л (х, у, t), С (х, у, t)
заданы при всех х, у, t, как матрицы с гладкими элементами, а в разностные
уравнения входят в качестве коэффициентов их значения в точках сетки.
240 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
нальные матрицы следующего вида:
[ГЛ. II
о\
п0 шгук
\0
0 nQ штук
О
On — п0
0 штук
О
+ 1
+1
штук
+ 1
штук
О
Обозначения разностных отношений приняты следующие:
ди и(х, у, t + x) — u(xy у, t) Аи и(х, у, t) — u(x — h, у, t)
Аи u(x + h, f/, t) — u(x, у, t) Аи и(х, y + h, t) — u(x, у, t)
"ДлГ^ h ' Ту = h e
2°. При х = 0, х = 1 на любом сеточном слое t = const (в том
числе при t = 0) выполнены граничные условия
I
ЩA, У, 0 =
6/(у,
aif (у, t) uj (Л, у, t), {=1,2,..., л0,
i(y> t)ui{h, у, 0» i = no+l, ^о + 2, ..., п\
-К у, t), i = l, 2, ..., /i0;/ii+1,
, ..., л,
^ О Щ
с ограниченными коэффициентами atJ (у, /), yt (у, t), Р/у (у, t), б/ (у, /).
Эти граничные условия диссипативны в том смысле, что на лю-
любых сеточных функциях, им удовлетворяющих, выполнены неравен-
неравенства
{Вхи, u)hy-(Bou, u)i-hf
§ 19] ОЦЕНКИ РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЙ 241
3°. В приведенной сокращенной записи системы предполагается,
что значения f(x, у, t) вычисляются через значения и на том же
сеточном слое / = const, причем имеет место неравенство
2 Ц И/. /)/i2< const 2 2(Л«, «)/i2+const.
у = — со x = h у=—оэ х = о
Это предположение, в частности, выполнено, если
/(*, У, 0 = — <?(*, У, t)-u(x, у, /),
где Q (х, у, t) — ограниченная матрица.
При условиях 1°, 2°, 3° существуют постоянные ЛГ, М" та-
такие, что
max
fy = + cox=l \ (у = + сх>х = 1 \
\у== — оо х = о '/ = const ^=—со^ = о ^ =
Постоянные М\ М" можно вычислить по коэффициентам (и их
производным) уравнения, коэффициентам граничных условий, а
также через константы условия 3°.
§ 19. Оценки разностных отношений
и компактность приближенных решений
Расширение разностных уравнений. Первый шаг —включение уравнений
для разностных отношений по у и по / и приведение граничных условий
у расширения к диссипативному виду. Начальные данные и их распростране-
распространение на расширенную систему. Оценка квадратичных сумм разностных отношений
по у и по t через начальные данные. Использование разностных уравнений
для оценки сумм, содержащих разностные отношения по х. Уравнения и оценки
для таких отношений, помноженных на множитель, аннулирующийся вблизи
границ. Исследование компактности сеточных функций, которая следует из всех
полученных оценок.
В этом параграфе мы продолжим изучение решений разностных
уравнений и установим для их решений более тонкие оценки.
Как следствие этих оценок будет получена компактность сеточ-
сеточных функций и с ее помощью мы проведем доказательство тео-
теоремы существования.
Компактность решений будет выведена из критерия компакт-
компактности сеточных функций, который изучался в § 17. Чтобы его
применить, нужно сначала получить оценки для сумм по сетке,
слагаемыми в которых будут квадратичные формы от разностных
отношений различных порядков. Эти оценки получаются приме-
242 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ II
нением основной теоремы предыдущего параграфа к расширен-
расширенной системе разностных уравнений. Такой метод аналогичен
использованию интегралов энергии при изучении расширенных
систем гиперболических дифференциальных уравнений в § 16.
При первом чтении несколько громоздкие выкладки и построения
настоящего параграфа, набранные петитом, можно опустить и
прямо перейти к его заключительной части, где из компактности
сеточных функций выводится теорема существования решений
у дифференциальных уравнений.
Начнем с построения расширенной системы разностных урав-
уравнений. Пусть и (ху у, /) — сеточная функция, определенная только
в точках сетки и удовлетворяющая разностным уравнениям:
А[х, у, О-дГ + ^о^7~^1^ + с^ #' 1)^ + ч{х, У, t)u = o.
Аналогично тому, как в § 16 мы получили расширенную систему
дифференцированием исходной, так и здесь мы ее будем получать
путем «разностного дифференцирования» —применения операторов
А А
¦дг» t^i описанных в § 18. Так мы приходим к уравнениям
А (х, у,
А
А(х, у,
Ди\
напоминающим дифференциальные уравнения § 16.
Правда, здесь есть одно отличие. В младших членах послед-
Аи Аи
него равенства сеточные функции -гг, -^—, и берутся не в тех же
точках [х, у> /], что и в первом равенстве, а в смещенных точ-
точках [х, у —К f]. Проводя дальнейшее расширение разностной
системы, в нее можно включить уравнения для разностных отно-
*(?)
§ 19] ОЦЕНКИ РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЙ 243
шений высшего порядка по у и по /:
А*и " \ м ) А*и
AyAt Ay 9 At3 '
И Т. Д.
В нашей разностной системе такое расширение проводить даже несколько
проще, чем для дифференциальных уравнений в § 16, так как теперь мы пред-
предполагаем постоянство матриц Во, Bi и поэтому избавлены от необходимости
А А А А
исключать --—ВОу т^^о» "тт^1> -^-#i — они нули. Как уже не раз отме-
отмечалось (§ 5, § 16) предположение о постоянстве Во, Bt не является существен-
существенным ограничением.
По мере того, как в разностную систему включаются уравнения для выс-
высших разностей, ее вид будет несколько усложняться за счет того, что в млад-
младшие члены начинает входить все большее и большее число точек нижнего слоя,
сдвинутых относительно точек х, y,t на ±.ht ±. 2/г, ±3/i, ... вдоль оси у. Для
наших целей будет достаточно ограничиться включением в систему уравнений
для разностных отношений вплоть до третьего порядка. После этого получен-
полученную систему надо преобразовать, выбрав в количестве новых неизвестных функ-
функций векторы
М-о(*> У* 0 * и = и@);
Аи Аи Аи
А2и
которые отличаются от « и ее разностных отношений положительными глад-
гладкими множителями щ~щ(х, у, t). Описанное сейчас преобразование полно-
полностью аналогично такому же преобразованию дифференциальной системы в § 16,
однако теперь надо иметь в виду следующее обстоятельство.
При переходе к новым неизвестным функциям, младшие члены нижнего
слоя в разностных уравнениях еще усложнятся за счет того, что в них вой-
войдут значения в точках, сдвинутых относительно х, у, ( не только параллельно
оси у, но и в точках с первой координатой x + /i, x—h. Чтобы разъяснить
эти замечания и не слишком загромождать изложение, ограничимся введением
только множителя \хо(х, у, t) при получении уравнения для иш. Помножив
на скалярный множитель |ы0 уравнение
Аи Аи Аи Аи
A c
преобразуем полученный результат
Аи Аи Аи Аи
244 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
воспользовавшись тождествами;
. У> Ч At - ^
Аи A\iou 1 А\х0
Да Afio" I Afxo
t) р ^ |
р ^ —. |
Аи Ацои i Ацо
в результате чего придем к уравнению для u(O)=\iou следующего вида:
l^o (x, y, / + t) v ' At ' ° Ax Ay ' x * ' Ay
Младшие члены этого равенства, замененные в этой записи многоточием,
будут содержать значения и@ =\хои на нижнем слое как в точке х> у, /, так
и в точках» сдвинутых относительно х, у, t на h по координате ху т. е. в точ-
точках (х ± h, y> t).
Точно такой же сдвиг по х на h в младших членах появится и в уравне-
уравнениях для разностных отношений (по t и по у) после перехода к неизвестным,
получающихся из разностных отношений помножением на соответствующие
множители. Правда, уравнения для разностных отношений по t и по у содер-
содержали еще до этого помножения в младших членах слагаемые со сдвинутыми
на +Л, ±2h, ± ЗЛ аргументами, но, как уже отмечалось, это были сдвиги
только параллельно оси у. Теперь уже нетрудно понять, какова структура раз-
разностных уравнений для и<°\ иA» 1\ мAJ), ..., и^> 2), иC»3), иC'4). Эти урав-
уравнения имеют следующий вид:
„ Аи -Аи ^ Аи „ Аи
At Ax Ax Ay
Здесь и составной вектор, имеющий «векторные компоненты» и@\ иA'1\ и^>2\
и^2'2\ ..., иB>3\ а клеточно диагональные Л, Во, Blf С составлены следую-
следующим образом:
х, у, t+x) v"' "' ''
Ho (*. У, t) Hi (*, У. t) . , t)
О
Все младшие члены мы объединили в «правой части» /, значения которой
в точке (х, у, t) (h^x^l — h) вычисляются как сумма векторов, каждый
§ 19] ОЦЕНКИ РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЙ 245
из которых получается применением той или иной матрицы к значениям й
в точке (л:, у, t) и в некотором (вполне определенном и не зависящем от t)
числе соседних точек сеточного слоя t = const, O^x^l). Матрицы, с помощью
которых / вычисляются через значения и на нижнем слое, выражаются через
jut/, а также через матрицы коэффициентов исходного разностного уравнения и
через их разностные отношения вплоть до некоторого порядка. Ограниченность
этих разностных отношений будет обеспечена, если \i(, а также коэффициенты
системы имеют ограниченные производные соответствующих порядков. Если
такую ограниченность предположить, то мы, очевидно, будем иметь неравенство
у=-\- оо х = 1— h у = -\-оэх=1
23 23 (л-v,/)л2^const 23 ?№, я)/**,
y=L—'co x = h У = — оох = 0
которое позволит нам применить для оценки и основную теорему об оценке
разностных решений.
Чтобы эта теорема была применима, необходимо еще добиться диссипатив-
ности граничных условий у нашей расширенной системы. Именно для этого
при ее построении были введены множители щ (х, у, t). Они здесь могут быть
использованы точно так же, как и в случае расширения системы дифференци-
дифференциальных уравнений (§ 16). В самом деле, диссипативные граничные условия
исходной разностной системы
пх
Ui(O,y,t)= 2 ац(У> t)Uj(h> У> *)> i = l, 2, .... л0,
щ@, у, t) = m(h, у, t), i = no+\, no + 2,...,n
влекут для разностных отношений равенства
Aiij (О, У. t) VI ДИ/ (/2, у, t)
= 2 Щ/{У t+x)+
= 2 Щ/{У> t+x)
1Ь
Ay ^
"* /=«о + 1 -
2 Да//
=^ и, (Л, г/, 0. < = !> 2, ..., п0,
Ащ (О, I/, /) Ащ (/г, г/, О
Ay Ay > '
Эти равенства можно рассматривать как граничные условия расширенной систе-
системы. Записанные через компоненты и[.0), и^' *\ и^* 2^ введенных нами неиз-
неизвестных вектор-функций и@), it1* l\ и^1' 2\ они выглядят следующим
246
образом:
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. II
„Г (о,
«<•'•" @. у.
)- 2
-g^-g«f'(*. *r. 0.
1 = 1, 2, ..., Яо,
2, ... , л,
i
2
1, 2, ..., AZ0,
+ 2
/ = п0 + 1
П Но @, У, t) ^ @, у, t) Aaif
9 —*• // f 0 )
/ = П0 + 1
, У, О
Легко видеть, что при любых положительных ограниченных и гладких
Но (*> У> 0» Hi (х> #> 0 это условие формально того же вида, который описан
в пункте 2° основной теоремы об оценке разностных решений (§ 18). Диссипа-
тивность их, при достаточно малых Hi (х> У* 0» доказывается почти дословным
повторением доказательства диссипативности граничных условий у расширенной
системы дифференциальных уравнений в § 16. Только теперь коэффициенты
граничных условий расширенной разностной системы зависят от значений
И/ (х> У* О» а1 (х> У* 0 не только в точке х, у, ty но и в соседних точках раз-
разностной сетки. Поэтому мы должны говорить, что выполнение условия дис-
диссипативности обеспечивается при достаточно малых и* (*> У у 0 и при достаточно
малых шагах /г, т.
Ограничившись этими замечаниями, мы не будем проводить доказатель-
доказательство подробнее. Ясно, что подобными рассуждениями обосновывается возмож-
возможность приведения к диссипативному виду разностной смешанной задачи у рас-
расширенной системы разностных уравнений и в случае, когда в нее включаются
разностные отношения не только первого порядка, но также второго, третьего
и более высоких, если только это включение допускается гладкостью коэф-
коэффициентов и граничных условий. Для наших целей необходимо включение
в расширенную систему разностных уравнений вплоть до третьего порядка.
§ 19] ОЦЕНКИ РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЙ 247
Мы здесь описали приведение к диссипативному виду граничных условий
на левой границе х = 0 рассматриваемой нами области. Диссипативность гра-
граничных условий для расширенной системы на правой границе х = / обеспе-
обеспечивается совершенно аналогично.
К расширенной системе с диссипативными граничными условиями мы будем
применять основную теорему об оценке решений разностных уравнений. Для
применения теоремы к оценке некоторого решения необходимо, чтобы, задав
разностные началььые данные при * = 0 на некоторой сетке при любых у
в точках х = /г, 2/г, 3/г,..., / — 2/г, / — /г, и достроив граничные значения в точках
с координатами л; = 0, х = /, мы могли оценить по этим данным квадратичную
форму
i; = -|~ ОО X = /
у = — СО Х = О
Для этого, как нетрудно убедиться, достаточно уметь оценивать
AtAy)h' LL\A~Ky'
Аи A2u Аи
Разностные отношения -гт, д7~д~ > ••• » Т7 Д°л>кны при этом вычисляться
с помощью разностных уравнений и вблизи границ х = 0, х = /, с помощью
граничных условий. Сейчас будет описан некоторый способ задания начальных
данных на последовательности сеток, шаги которых h стремятся к нулю. Этот
способ обеспечивает равномерную (для всех таких сеток) ограниченность вы-
выписанных квадратичных форм от разностных отношений.
Зададим в качестве начальных данных и (х, у, 0) = ф (х, у)
некоторую гладкую ф(дг, у), определенную в полосе O^x^l и
равную нулю при достаточно больших у:
Сеточные начальные данные мы будем определять как значения
Ф (х, у) в соответствующих точках той или иной сетки.
Для упрощения доказательств мы предположим, что на ф (я, у)>
дополнительно наложено еще одно ограничение:
у) = 0, если 0^#^?, либо если / —
где |>0 — произвольный параметр. Тем самым мы предполагаем,
что ф(#, у) отлично от нуля только в конечной части полосы
O^x^l, нигде не примыкающей к границам этой полосы.
Вместо этого, на первый взгляд очень жесткого ограничения,
можно было бы ограничиться требованием, чтобы у(х, у) удовле-
удовлетворяло граничным условиям дифференциальной системы урав-
уравнений, полученной в § 16 в качестве расширения исходной, т. е.
условиям согласования начальных данных и граничных условий.
248 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ II
При достаточно мелкой сетке, в каждую из полосок
/ — %^х^1 попадает больше пяти приграничных сеточных слоев,
^ <yU v / Q1,
л/ — ?fl>f л> — t ~~~~ 4Utl>)
д. __ g^ x = l 3h
x = 4h, x = / — 4/г,
которые только и используются при определении значений раз-
разностного решения и (х, у, t) в точках
л:-и, ах, i х-1, i ах,
\ f = 0, т, 2т, Зт, \ /==0, т, 2т, Зт.
Поэтому эти значения будут нулями, а следовательно, равны
нулю при х = 0, I и при / = 0 разностные отношения
А/2 Ау ' А7^2' Д^3'
и пропорциональные им значения всех компонент вектора и на-
начальных данных нашей расширенной диссипативной разностной
системы. Тем самым наш способ задания начальных данных обес-
обеспечивает автоматическое выполнение условий их согласования
с граничными условиями у расширенной разностной системы.
_ Аи Д2ц АЧ А*и А3и ДЗи
При вычислении ^, д^, др, ^^, д/3, -^ на начальном
слое / = 0 с помощью разностных уравнений, мы получим их как
линейные комбинации (с ограниченными матричными коэффици-
коэффициентами) значений в точках слоя ср (х, у) и разностных отношений:
Дф д2ф дзф г> Дф Д2ф ^3Ф
~А^' Ai/3'
р р
~Ау' ~А^' Ai/3' Дх' Ах~Ауу Ах Ау2'
R А2_Ф d А3Ф о ДЗф А3ф
^ Дх2» ^ Ах2 Дг/J ^ Дх3 ' ^ Ах2 Ау '
Это дает возможность оценить начальное значение
"I
а) Л1
через
§ 19] ОЦЕНКИ РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЙ 249
В свою очередь, если у ср (х> у) вторые производные непрерывны,
эти суммы при /г->0 стремятся соответственно к
/ -f- oo t f- оо
О — оо
П
О — оо
и, следовательно, при достаточно малых h не превышают удвоен-
удвоенных значений этих интегралов.
Применив основную теорему об оценке решений разностных
уравнений, мы установим, что следующие суммы:
Aw J^M/^ V lд A3^ _^
a, // а:, у
будут равномерно ограничены на отрезке времени O^t^T при
достаточно малых шагах h.
Суммы, которые удалось оценить, содержат квадратичные формы
от и и от разностных отношений ^-, ~^9 ... , -^ по у и по /
вплоть до третьего порядка. Чтобы оценить разностные отношения
по х, мы должны, как и в дифференциальном случае, воспользо-
воспользоваться уравнениями расширенной системы.
Так, из уравнений
мы сможем выразить при x = h, 2h, ..., / — h
Аи Аи
0 Ах ~~ 1 ~~Ех
через значения и, -дт-, -д—. Это позволяет оценить сумму
{
/ = — оо д;==Л W = I
^г|,
^50 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ. TI
в которую вошли все разностные отношения ~-t i=U 2, ..., nl%
за исключением следующих:
щ(Ьг у\ t) — ut(O, у, t) - ___ _, |
Щ A> У* Ц — щ (l — h, у\ t) . __ « 9
Напомним, что при построении разностных решений нам не
требовалось определять входящие в эти отношения значения
Щ @, у, /), Щ (/, у, /). Мы их довольно произвольно доопределили,
положив равными значениям этих же компонент в соседних точ-
точках. Благодаря этому
uj(h, у, ()-щ@, у, t) _ п _
^ и, t гс0 -(-1, ..., пъ
ЩA, У> t) — Ui(l—h, у, t) n • 1 о
й = 0, 1 = 1, 2, ..., ло,
и, следовательно,
Аи п Аи Аи п Аи
B BB
1 \ 21 s р
y = Jroox = l — h
2 V [в^- B-^—)h2= У (в— В~\
Zj \ Дх ' Дх / Zj \ Дх » Дх / *
В результате применения изложенных соображений мы приходим
к неравенству, выполненному на каждом сеточном слое с фикси-
фиксированным t:
*'i
iconstB №,«)/•¦+2(л-?. ^
Аналогично, используя разностные уравнения расширенной
системы, которым удовлетворяют все разностные отношения;
Аи Аи А2и А2и А2и
U* ~Af' ~Ay* ~~KF* ~Ay*> AtAy *
мы сумеем оценить суммы
р Д3^ \ г а
* Ax At Ay Г
Ах At Ay * Ах At Ay
§ 19J ОЦЕНКИ РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЙ 251
через уже оцененные суммы квадратичных форм от разностных
отношений по t и по у. Вследствие того, что В может ока-
оказаться вырожденной, а также потому, что в наши разностные
отношения -г— входит только в первой степени, эти оценки не
дают полной информации о всех разностных отношениях третьего
порядка, а такая информация нам нужна, чтобы с ее помощью
установить компактность приближенных решений и сходимость
ее подпоследовательностей к дифференцируемым функциям.
Мы постараемся получить нужную нам информацию о разност-
А3 А3 с лс
ных отношениях д , с помощью приема, который в § 1о
нам помог оценить интегралы от производных ихху, ихх^ ..., на
некотором удалении от границы.
Начнем опять с исходной системы
Aw Aw Aw Aw
Авс
и так же, как мы это делали в начале этого параграфа, построим расширенную
систему, которой удовлетворяют разностные отношения:
Aw Aw A2w A2w A2w
Ut ~KF' ~a7~ ' KF' At/2 > At At/ *
Нам достаточно здесь ограничиться разностными отношениями до второго
порядка. Удобно состаЕной вектор, векторными компонентами которого являются
перечисленные сейчас разностные отношения, обозначить буквой v, клеточно
Аи Av
диагональные матрицы коэффициентов при разностных отношениях —jrr, -^—,
Аи Аи ~*
—, -^— буквами /О, Во, Вх, С, а все «младшие члены», содержащие компо-
компоненты v, но не содержащие разностных отношений от них, обозначить через g*
В этих обозначениях расширенная система записывается как
Аи Аи Аи
-т Bi^=—r-C-^ = g.
Ал: Ay l Ay
Как уже отмечалось нами в начале параграфа, g представляется как сумма
слагаемых, каждое их которых получается как результат умножения некоторого
матричного коэффициента на вектор v, взятый в одной из соседних с точкой х,
у, t точек (х, у ±h, t) (x, у ± h, t). Матричные коэффициенты, умножаемые
на v в этом представлении, определяются матрицами коэффициентов исходной
системы и их разностными отношениями. Вследствие этого
y — Jf-co x — l — h f/ = -f-oo x = l — h
I] Ц (/tig, g)h*^ const 2 2 (lh,v)h*.
y = — oo x = h f/== —oo x = h
2 1
h
~l— h
^ const 2 2 у2(дс)(/11"й">'й')Аа+соп5* 2
x 2h ~* ~*
252 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ II
при любой неотрицательной v2 (я). Константы в этих неравенствах определяются
гладкостью коэффициентов исходной системы и оцениваются через их произ-
производные. Полезно еще заметить, что Во, Bx —- клеточно диагональные матрицы,
клетки на диагоналях которых —это матрицы Во, Blt которые диагональны,
а на их диагонали стоят единицы и нули. Таким же свойством, очевидно,
обладают и составные Во, В^ Применив к уравнению для v> т. е. к нашей
А
расширенной системе, оператор -г*-, получим уравнения
Av\
Av \ Г A 1 / Av \ Ag
Эти уравнения имеет смысл рассматривать при произвольных у, t в точках
л: = 2Л, x = 3h x = l — h. Теперь помножим обе части полученной системы
на гладкий положительный скалярный множитель v (л:), который можно внести
А А
под знак разностных отношений -г-, -г*-, и воспользовавшись элементарными
тождествами
Aw A [vw] / Av '
Ал: Ал: \ Ал:
Aw A \vw] I Av
^_и,(л:-Л, у, t),
\ Ал: / v * '
перепишем систему в виде
, Av\ I Av
A [v^r
Av
А (v ~" ,
— \ Ах / Av Г Ду1 Av
Теперь выберем конкретный вид v (л:), положив
(л:—5/г) (/ — Ыг — л:), если это выражение положительно,
О в противном случае.
v (*)=*{
Заметим, что так выбранное v (л:) ограничено и имеет ограниченные разностные
отношения
Av v(at) —v(jc —Л)
V l Л л
Ал: h v V 2
Av v
§ 19] ОЦЕНКИ РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЙ 253
Введем теперь сокращенные обозначения
Av
Av) Av С Av
А
trU,.
и отметим неравенства
= l — ft
у у /н^
*— La \ Ах
к = 2Н
I
^ const
2 S
— со x=2h
+ oo l — h
= — со x= h
у = — oo х = 2П ^ — ^ ~* ' *"
+ оо /—ft
У = -\~СОХ = 1— П ! А г А_ ч ^^
vr/ Avf Ay)
2 (*'1r{B-fr}.
^/ = —оо ^ = 2Л
4- со l — h
/ = — 00 * = ft
. — co x = 2h
= — oo a; = /
Первое из них мы в несколько иной форме уже выписывали, когда вводили
обозначение для g. В правых частях второго, третьего, четвертого стоят суммы
Av Av \ [ю Av и-, Av \ /го Av ю Av \
254 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Вспоминая, что v — составной вектор, составленный из и, —, ~ , —~?
&2и А2и
~д—д7 » "л~~2"» мы можем эти правые части выразить через квадратичные формы
от разностных отношений до третьего порядка вектор-функции и. Разностные
отношения по х участвуют только в следующих из этих форм:
В
Аи Аи\ / А2" о А2" \ /о А% D A*u \
В) В В) [В 8A-Aj)>
(R &и н А*и \ ( А*и А*и \ / А*и р Д% \
\ АхАу*' АхАу*)' \ AxAyAt ' Ах Ay At )' \ Ах А/2 ¦ AxAt*)'
Все такие квадратичные формы от разностных отношений до третьего
порядка уже оценены нами через интегралы от производных начальной функ-
функции ф (я, у). Это позволяет представить g (хУ у, t) в виде суммы
? (х, у у t)=g0 (x, у, t) + g! (x, у, t),
так что
у = -\-со x = l — h
2 2 (/ид,.
у = —со x = 2h
у = -\-со x = l — h y = -\-oo x = t — h
y = — co x = 2h y = — co x = 2k
где постоянная Ф оценивается через квадратичные интегралы от ф (х, у) и от
ее производных до третьего порядка.
Заметим еще, что v (xf у, t) обращается в нуль во всех точках сетки,
отстоящих от границы я = 0 или х=/ не более, чем на 5/г. Поэтому такие v
при а: = 0 х~1 обращают в нуль квадратичную форму (BtJ, v) и, следовательно,
можно считать, что v удовлетворяют при х = 0, х = / диссипативным гранич-
граничным условиям. Это позволяет оценивать v по основной теореме об оценке раз-
разностных решений.
Обозначим
C = +cox = l-h _ -1
=—оо x = h J/ = const
y = -\-cx> x = l — h
F W = 2 2 (^o. go) Л2 ^ M'U (t) + Ф.
h
—co x =
Неравенство, связывающее f/(^ + T), U (t), было установлено при доказатель-
доказательстве основной теоремы в предыдущем параграфе. Оно имеет вид
A __ТМ) U (t + т) ^ A + 2тМ) U (t) + TF (О-
Основная теорема утверждает, что на фиксированном интервале
времени
max U(t)^M'U@) + M*.
Чтобы расшифровать содержание этого неравенства, вспомним, что
Av Av
v ' Ах v Ax •
а сам вектор у—составной и состоит из сеточной вектор-функции а (я, yt t) и
ее ч разностных отношений по у и по / вплоть до второго порядка.
19] ОЦЕНКИ РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЙ 255
Оценив
max !/(/) = max У У. (Av, v)h\
^t<T t yjri^ x==h
мы тем самым оценили максимальное по времени значение сле-
следующих сумм, взятых по сеточному слою с фиксированным t:
2 *• с* <¦> (л к • &У- 2 " <*•»(и
V №
А2и \
' Ал: At/ У'
лv2 (х>
' Ах At/
Эти суммы оцениваются через Ф и через начальное при t = 0,
значение таких же сумм. Эти начальные значения в свою очередь
оцениваются через соответствующие интегралы от производных
ф(#, у). Так как v2 (x> /г) в каждой точке х> у, t нашей области
при h -> 0 стремится к х2 (I — х2), то из полученных сейчас оценок
разностных отношений и из оценок полученных в начале этого
параграфа, следует, что во всякой внутренней подобласти
нашей полосы 0^*^/, в которой мы строим сеточные функции,
для них ограничены следующие суммы разностных отношений,
вычисленные на любом сеточном слое / = const:
/ Аи Аи \ . (Аи Аи
(№и_ А*и\ , / А2и А2и \ (№и_ А*и_\
\ Af/2 ' Аг/2 ) "+" \ Ay At ' At/ A^ У "*" \ A/a > д/2 J
( f
\ Ал: Ay > Ax Ay ) ^ \ Ax At ' Ал: At
\1 Л2
(
At3 ' At*) + '" + [ Ax Ay At ' Ax Ay At
x,y
Во все участвующие здесь разностные отношения символ -г- опять
входит не выше, чем в первой степени, и все разностные отно-
отношения, вплоть до третьего порядка, этому условию удовлетво-
удовлетворяющие, в выписанных суммах участвуют.
256
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Вспомним теперь условия компактности сеточных функций,
установленные в § 17. Согласно этим условиям из ограниченности
2 <«•«><•'. 2[(?-¦=)+(?•?)+(?•?)]*¦•
У
х,у
вытекает компактность сеточных функций и (х, уу t) относительно
равномерной сходимости. Из ограниченности
Аи *а\ и* \ 17 А2и А2и \ л. ( А2и
Ы* Ы) ' L L А At ' A At ) "*" \ A A
а и \ 17 л. (
Ы) ' Lk L\ Ал: At ' Ax At ) "*" \ Ay At ' Ay At
Ax Ay A
следует компактность сеточных функций -—-, а конечность сумм
'ДИ. ДИ^2 V Г/ Д2Ц А2Ц \ I /Д2^ Д2"\ |
^d [ \ Ал: Ау ' Ах Ay у ' \ Дг/2 ' Дг/2 у ~
. / Д2а А2и \Ъа V Г Д3" ]2/,2
"• \ Аг/ Д^ ' At/ А/ /J * j?i L Ал: Дг/2 J
влечет компактность сеточных -г-. Для того чтобы установить
компактность -г-, нам была бы нужна ограниченность
2/Аи Аи\ <2 VI ГI А2и А2и \ . / Д2а A2w \
У'Дл7' ~Ах] ' Zj Lv'A^'' ^лТ/ + \ Дл: Ду ' Ах Ау) '
+ ("A^FJ ~AfKf)\h2'
Однако нам пока не известно, ограничены ли суммы
_ h у (
x2) Ах2I' Д\Ах2Ау' Ах2 Ay
х,У *>У
Нам и в дальнейшем не удастся доказать их ограниченность,
« о Д?/
не удастся доказать компактность сеточных функции -=-.
Вместо этого мы ограничимся тем, что установим компакт-
компактность сеточных функций
Аи Аи Аи
§ 20) ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 25?
Действительно, в силу уравнения
л Аи Аи Аи Аи
A+BB+C
каждая сеточная функция интересующего нас семейства В-^
представляется в виде суммы функций
Аи Аи
At ' Ау ' ^
принадлежащих компактным семействам. Ясно, что такое пред-
-, » п Аи
ставление влечет за собой компактность В -г-.
Теперь пора подвести итоги и резюмировать все выводы, полу-
полученные в результате проведенных нами рассуждений. Этим итогам
и выводам посвящен следующий параграф.
§ 20. Теорема существования решения смешанной задачи
Следствия из компактности сеточных функций о характере пределов их
подпоследовательностей. Выполнение для этих пределов дифференциальных
уравнений и граничных условий. Формулировка доказанной теоремы существо-
существования и замечания о следствиях из ее доказательства. Формулировка теоремы
существования в одномерном случае. Неравенства для решений и их производ-
производных. Замечания к одномерной теореме существования: 1) отказ от диссипатив-
ности граничных условий, 2) случай коэффициентов, не зависящих от времени,
3) теорема существования задачи Коши внутри характеристического треуголь-
треугольника.
В предыдущем § 19 установлена во всякой внутренней под-
подобласти 0<с^<#</ —?t<C / компактность сеточных функций
Аи Аи г> Аи
Uy Ay ' At ' 'Ах '
В § 17 было установлено, что отсюда следует непрерывность функ-
функции U (ху у, /), которая получается как предел некоторой схо-
сходящейся подпоследовательности, существование у нее непрерыв-
непрерывных производных -д- U (х, у, /), -6t U (х, у, t), а также непрерыв-
непрерывная дифференцируемость по х вектор-функции BU, т. е. суще-
существование и непрерывность -ч- BU. Ясно, что из последователь-
последовательностей, сходящихся во внутренних подобластях, можно выбрать
подпоследовательность, сходящуюся в каждой такой подобласти.
Конечно, скорость ее сходимости будет убывать по мере расши-
расширения подобласти. Только эту подпоследовательность мы и будем
в дальнейшем рассматривать. Оказывается, что из нее можно
выбрать подпоследовательность сеточных функций, таких, что
построенные по ним функции Вы будут уже равномерно сходиться
9 С. К. Годунов
558 Гиперболические уравнения
в замкнутой области
[гл. it
Для того чтобы в этом убедиться, достаточно проверить компакт-
компактность сеточных функций Ви. Эта компактность вытекает из огра-
ограниченности сумм
2] (A/, Bu)h\
х, у
которая нами также установлена еще в начале § 19.
На этом мы закончим доказательство компактности сеточных
функций и исследование непрерывности и дифференцируемости
их пределов.
Самая трудная часть исследования решений разностных урав-
уравнений завершена. Полученные нами выводы легко приведут к тео-
теореме существования, которая на самом деле уже почти доказана.
Мы сейчас покажем, что предельная вектор-функция U (х} //, /)
удовлетворяет дифференциальным уравнениям.
Действительно, на всех сетках были выполнены разностные
уравнения:
Аи Аи
Л . | D -»
** kj. *Т~ Oft л „
Аи
Аи
-f^ + Q(x> у> О« = о
или, что то же самое,
Аи
Л/
х, у, t
x-h,y,t
Ax
Если теперь заданные на сетке функции
Аи Аи
и> ~КГ>
Аи
~Ах
Аи
Ay
Аи
+ Q(x, у, /)и = 0.
Аи
At/
проинтерполировать на всю область, покрытую сеткой так, как
это было описано в § 17, и воспользоваться тем, что проинтер-
полированные функции равностепенно непрерывны и отличаются
в двух каких-либо точках внутри одной сеточной ячейк-и на ве-
величину порядка Otyh), то легко заметить, что всюду имеет
§ 20] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 259
место соотношение
Оценка O(Yh) равномерна во всякой внутренней подобласти.
В такой подобласти, как мы знаем, и, -— , В-^х = (В0 —Вх) -^-,
-г^ можно считать, для рассматриваемой подпоследовательности
сеточных функций равномерно сходящимися (при Л-^0), соот-
соответственно к
v * у* ;* дх * дх • ду
Отсюда выполнение уравнения
в любой точке любой внутренней подобласти очевидно. Тем самым
доказано, что построенная нами функция действительно удовлет-
удовлетворяет уравнению всюду при 0<*«</.
Далее, для любого Н>0 U (х, у, t) непрерывна по х, у> t
при ?<#</ — ?. Покажем, что при / = 0 имеет место равенство
U (х, у, 0) = ф(х, у), т. е. что удовлетворяются начальные дан-
данные. Действительно, для любой сеточной и (х, у, t) в точках сетки,
лежащих на слое / = 0, мы имеем по построению и(ху у, 0) =
= ц)(х, у). Так как ф (х, у) имеет ограниченные производные,
а проинтерполированная с сетки на всю область и(х, уу t) меняется
в пределах одной сеточной ячейки на О (У К), мы имеем
и(х9 у, 0)-Ф(х, y) = O(Vh).
Сеточные // (х, у, t) из нашей подпоследовательности равномерно
при l^x^l — t, -Y^y^Y, O^t^T сходятся к U (х, у, t)
при /г->0. Теперь очевидно, что
U(x, у, 0)-ф(*. у)-0.
Из-за произвольности Н>0 это равенство имеет место всюду при
0/
Точно так же проверяется выполнение граничных условий при
# = 0, х = 1. При этой проверке мы должны пользоваться непре-
непрерывностью BU при O^x^L Напомним, что BU — это вектор
с компонентами Uu ?/2, Uno, —Uno+U —Uno+2, .... —Unt, 0,
0, ..., 0. Тем самым мы подчеркнем, что Uu U2, ..., Uni у нас
непрерывны в замкнутой области O^x^L (Про непрерывность
{//!, + !, Unt±2> .... Un мы можем утверждать, что она имеет место
лишь при 0<x</. Непрерывности этих последних функций
260
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ II
вплоть до границы мы доказывать не умеем.) Для сеточных ult
u2i ..., ип% мы имеем равенства (в граничных точках сетки):
О, У, f)= 2
У. t)u,(h9 у, 0» t = l, 2 ... я0,
М*. 0. 0= 2 М#> t)uf(l-h, у, /), 1 = яо+1, /г0 + 2 ... /гх.
Для проинтерполированных щ (х, у, t) отсюда заключаем, что
МО, У, 0" 2] «/у 0/. 0^/@, у, /) = О(|/А)э *=1, 2, ..., /г0,
/=«о+1
Mi (Л ^ 0-Я2 Р//(у. О "у (/. у, 0 (
Переходя к пределу при ft-*0, убеждаемся в выполнении гра-
граничных условий для предельных функций.
Сформулируем доказанную теорему и все налагаемые при
этом условия.
I. Область, где строится решение, задается неравенствами:
О ^ х < /, — оо < у < + оо, 0<<<Г.
II. Система уравнений:
у,
+ 1
, у,
п0 штук
X, У,
о
¦+1
—1
— 1 ПХ — /20
—1
О
О п — rii штук
"о
имеет матрицу В постоянной специального вида, А, С — матрицы
симметрические и положительно определенные. Все матрицы коэф-
коэффициентов достаточно гладкие.
III. Граничные условия на левой границе
(i==1» 2
$ 20] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 261
на правой границе
По
atj(y> 0> $ij{y> 0 — достаточно гладкие функции времени.
Граничные условия предполагаются строго диссипативными. Это
означает, что любая вектор-функция и, удовлетворяющая гранич-
граничным условиям, удовлетворяет также неравенствам
(Ви, и) \x-i ==^ ko 2j и*
ko>0.
Если осу, р/7 постоянны, то, как это видно из приведенного дока-
доказательства, вместо строгой диссипативности можно ограничиться
просто диссипативностью (ko = Q).
IV. Начальные данные и (х, у, 0) = ф (х, у) предполагаются
достаточно гладкими, равными нулю при \ у \ > у У и во всех точ-
ках х, у, таких, что либо 0^#^|, либо I — х^%>0 для неко-
некоторого ?.
V. При предположениях I — IV существует решение поставлен-
поставленной задачи. Это решение будет отлично от нуля лишь в ограни-
ограниченной части описанной в I области.
Решение единственно. По поводу единственности см. конец
приведенного ниже замечания 2.
Замечание 1. В формулировке пункта IV можно отказаться
от требования, чтобы ф (х, у) обращалась в нуль в окрестности
границ * = 0, х — 1. Проще всего это сделать, построив последо-
последовательность решений, начальные данные которых обращаются
в нуль в полосках все более и более узких, но имеют ограничен-
ограниченными все производные до некоторого порядка, причем эти про-
производные сходятся к производной предельной функции. Последо-
Последовательность соответствующих решений, как можно показать, будет
компактна и из нее можно выбрать подпоследовательность, схо-
сходящуюся к решению, начальные данные для которого — предел
начальных данных из выбранной последовательности. Мы не будем
проводить эти рассуждения подробнее, ограничившись лишь при-
приведенной схемой. Заметим, однако, что начальные данные, для
которых таким путем удастся доказать существование решения,
окажутся согласованными с граничными условиями в том смысле,
какой был описан в § 15.
262
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ II
Замечание 2. Для построенного решения из нашего дока-
доказательства можно вывести оценки с постоянными, выражающи-
выражающимися через размеры области, коэффициенты уравнений и граничных
условий, начальные данные и через производные этих функций
достаточно высокого порядка. Такие оценки вытекают из заклю-
заключительного замечания § 17 и из полученных при доказательстве
теоремы существования оценок сумм квадратов разностных отно-
отношений. Оценки решения имеют вид
1 = 1, 2,...,Л \
ut \ ^ const,
дщ
~дТ
дщ
~dt
; const,
дщ
: const,
; const (V\ *, - *a i + Kl *i - *, 1 + V\y1-yi\),
da i
dy
i=\,2,
const (yr\ /, -121 + V\ Xi -x.2\ + V\ Ух - Уъ I).
*i> <A, /i) - Щ (x,, y2, t.2) | ^
/t -121 + V\xx-x2\ + V\y1-yi\),
const
dx
. const
tx - t2 \ + V i хл - x2, + V yx - /y2!),
"ax
-i- const.
Из этих оценок, в частности, следуют свойства 1), 2), 3) решения
и (ху у, /), которые в § 16 использовались при доказательстве
теоремы единственности.
В дальнейшем мы будем существенно использовать теорему
существования в одномерном случае. Такая теорема доказывается,
по существу, так же как и двумерная, описанная нами, но, конечно,
несколько проще. Не останавливаясь на отличиях в деталях дока-
доказательств, приведем ее формулировку и обсудим некоторые простые
следствия из нее.
Нам удобно, имея в виду дальнейшие применения, считать
в этой формулировке постоянной не матрицу В коэффициентов
при производных по ху а матрицу А коэффициентов при произ-
производных по t. Эту последнюю матрицу мы будем, не ограничивая
общности, считать единичной. Матрица В предполагается диаго-
диагональной с элементами главной диагонали ± kt (/, л:), не обращаю-
обращающимися в нуль.
1. Область, где строится решение, является прямоугольником
i 201 ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 263
II. Система уравнений
-*«?'+2
Коэффициенты предполагаются достаточно гладкими.
III. Граничные условия на левой границе
п
/ = л 0 + 1
#я правой границе
"i= 1] М/ (i = no+\t ..., л).
«//@» Р/ДО~ достаточно гладкие функции времени. Гранич-
Граничные условия предполагаются строго диссипативными. Это озна-
означает, что любая функция, удовлетворяющая граничным условиям,
удовлетворяет также и неравенствам
По П
— 2 Ь^ + 2 huj ^ — ko — m правой границе,
i = \ i = п0 Н- 1
— 2 й/^f + ^] &;«/ ^ — ко — на левой границе.
afy, p// постоянны, то достаточно ограничиться просто
диссипативностью (ko = O).
IV. Начальные данные щ{х, 0) = ф/(л;) предполагаются доста-
достаточно гладкими и согласованными с граничными условиями вместе
со своими производными достаточно высокого порядка.
V. При предположениях I — IV существует единственное реше-
решение поставленной задачи в прямоугольнике O^x^l, O^t^T
(единственность была доказана в § 16).
Для этого решения могут быть получены оценки с постоянными,
выражающимися через размеры прямоугольника, через коэффи-
коэффициенты уравнений и граничных условий, начальные данные и через
производные этих функций достаточно высокого порядка.
Гиперболические уравнений
[ГЛ. П
Вот эти оценки:
ди.
дх
ди,
~Ы
и, | «S const,
_дщ
ди,
х.. t. dt
х2,
X
и
дщ
~dt
¦—
; const,
дщ
~дх
; const,
; const (]/| tx —121 + Y\ x\ — x21)>
stiVU^tTi+Vix^xzi).
Сделаем несколько замечаний относительно теоремы и ее форму-
формулировки.
Замечание 1. В формулировке пункта III можно отказаться
от требования диссипативности граничных условий. В случае,
если граничные условия имеют такой вид, как в пункте III, то
преобразованием неизвестных иг{х, t) можно добиться выполнения
условий диссипативности. Это преобразование приведет только
к некоторому изменению констант в окончательных оценках.
Если коэффициенты граничных условий и уравнений не зависят
от времени /, то преобразование неизвестных функций также
можно сделать не зависящим от времени.
Замечание 2. Если система с коэффициентами и гранич-
граничными условиями, не зависящими от /, задана в области 0 ^ t <с оо,
О^х^/, то решение поставленной задачи существует для всех
/>0 и удовлетворяет оценкам вида
дщ
"дх
; Се*',
дьц
~dt
хи tt
дх
дщ
df
tlt t
Экспоненциальная зависимость констант от времени следует
из оценки для роста разностных «интегралов энергии», получаемой
так же, как и в разобранном нами двумерном случае. Действи-
Действительно, постоянная IW в этих оценках, получаемых при помощи
основной теоремы об оценке разностных решений (§ 18), зави-
зависит от Т экспоненциально, так как мы предположили, что коэф-
коэффициенты уравнений не зависят от t.
Сделанное в этом замечании утверждение понадобится нам
в дальнейшем в главе IV при построении теории метода Фурье
и преобразования Лапласа.
Замечание 3. Нами была доказана единственность решения
задачи Коши для гиперболической системы. Эта задача требует
только начальных данных. Граничные условия ей не нужны.Ре-
нужны.Решение определяется однозначно внутри характеристического тре-
треугольника, опирающегося на отрезок оси х, где задаются началь-
§ 20] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 265
ные данные. Этот треугольник высекается характеристикой ~ =
=* kt (x, t) с наибольшим kh проходящей через левую границу от-
отрезка, и характеристикой ^=^/ (*, 0 с наименьшим^- (х, /), прохо-
проходящей через его правую границу. Коэффициенты &/(*,/) системы
мы здесь не предполагаем строго положительными или отрица-
отрицательными. Они могут даже менять знак.
Мы сейчас покажем, как из нашей теоремы существования для
граничной задачи вывести теорему существования решения задачи
Коши внутри характеристического треугольника. Во-первых, пока-
покажем, что можно ограничиться только случаем строго положитель-
положительных наклонов характеристик kt (x, t). Действительно, преобразо
вание независимых переменных
x'=x-at, t' = t
приводит систему к виду
Ясно, что выбором достаточно большого положительного а можно
добиться положительности наклонов характеристик
dx'
Рассмотрим систему с положительным наклоном характеристик
внутри некоторого достаточно большого прямоугольника, содержа-
содержащего характеристический треуголь-
треугольник (рис. 55). Если система не была
определена в этом прямоугольнике
всюду, то мы ее доопределим, про-
должив коэффициенты и правые час- ч '
ти произвольным достаточно гладким
образом. Продолжим также началь-
начальные данные на все основание этого -=
прямоугольника. Так как систему мы
Ха,ракгперистииес>
L х
предполагаем с положительными kiy Рис 55.
то граничные условия нужно для
нее задавать только на левой границе. Зададим их опять-таки
произвольно достаточно гладкими и согласованными с начальными
данными. (В качестве граничных условий могут быть заданы зна-
значения всех неизвестных функций щ на левой границе.)
266 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ II
У такой расширенной задачи по доказанной теореме будет су-
существовать решение. В частности, оно будет существовать и внутри
характеристического треугольника. По теореме единственности
решение внутри этого треугольника не зависит от нашего произ-
произвола в продолжении уравнений, начальных и граничных условий.
В нашем доказательстве мы не сформулировали аккуратно
предположений относительно коэффициентов и начальных данных
(из которых следовала бы возможность их гладкого продолжения)
и не дали точного описания такого продолжения. Мы не будем
останавливаться на этих тонкостях. Этими замечаниями мы за-
закончим наше обсуждение теоремы существования.
Глава III
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
§ 21. Свойства гармонических функций
Инвариантность уравнения Лапласа и интеграла Дирихле относительно
конформных преобразований плоскости. Две теоремы о среднем арифметическом
для гармонических функций. Следствие —оценка гармонической функции в центре
круга через интеграл ее квадрата. Из сходимости последовательности гармони-
гармонических функций в среднем вытекает равномерная сходимость в некоторой под-
подобласти. Решение задачи Дирихле в круге бесконечно дифференцируемо во всех
внутренних точках. Оценка его производных в центре круга. Теорема Гарнака
о равномерной сходимости и о гармоничности предела. Сходимость производных
во внутренних точках. Неравенство Гарнака для неотрицательных гармони-
гармонических функций. Теорема Лиувилля. Усиленный принцип максимума. Теорема
о разрывной мажоранте. Устранимые особенности.
В этом параграфе мы начнем подробное исследование решений
простейшего эллиптического уравнения — уравнения Лапласа
d'hi . dki л ^
л~2~ ~т~ л "з"" этим уравнением мы уже встречались во вводной
части курса.
Остановимся сначала на инвариантности уравнения Лапласа
относительно некоторых преобразований плоскости независимых
переменных xt у. Такими преобразованиями являются произволь-
произвольные невырожденные конформные преобразования
х = х(%, г)),
У = У(Ъ, Л)-
Условие конформности (как известно из теории функций комплекс-
комплексного переменного) записывается в виде уравнений Коши — Римана
дх __ ду
дх _ ду
дп ~" ~" 5р
Невырожденность преобразования эквивалентна неравенству
дхдх
Щдц
Нам будет удобно пользоваться не самими условиями Коши
268
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
|ГЛ III
Римана, а легко вытекающими из них тремя группами равенств
/дх\* , [дху _ (ду\* (дуу
дц) ~~Щ) + [дц)
I.
II.
дх ду дх ду
щщ + щщ
дх
д%
ду
91
дх
дц
ду
дц
Какова бы ни была достаточно гладкая функция и (х, у), мы
можем для нее получить следующие равенства:
да да дх , ди ду
/аи\«
ди ди дх , ди ду
дц ~~ дх дг\ ' ду дц'
д*\2]
д±\дхд1 дхдуЛ
dldfdt ~^ дд]
. (ди\ъ\[ду
дх
Ч
ду
д^
дх
дц
ду
дц
&и __ д*и /ал
ag2 — д* щ
(9л: а^ Щ Щ
ф \agy + Ьх д^ • а^
д% /д#\2 , а« а2л: , ди д*у
дх*[ду~\] ^^дх~д~удг\дг\'г ду*\дц) ^ дх дц* + ду дц*'
с дх
X ^
г. д*и , д2и ~
Последнее из них показывает, что утверждения ^г2 + ^-2 = ^ и
^9 + я-ь = 0 эквивалентны.
Проинтегрируем равенство
ди
по некоторой области у на плоскости |,
дх
дц
ду
дц
дх
dl
дУ
п
дх
дц
ду
щ
21]
СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
269
Если при преобразовании х = хA-9 ц), у = у{1, ц) область у пере-
переходит в область g, то, как известно из интегрального исчисления,
дх
а%
ду
oh
дх
дц
ду
Ж
-ш
Мы доказали равенство
*j2 + (_lJl^dT1 =
показывающее инвариантность интеграла \ I \(-J-\ +(л~) \dxdy
относительно конформных преобразований. Этот интеграл назы-
называется интегралом Дирихле. В дальнейшем он будет играть важ-
важную роль в теории задачи Дирихле. Подчеркнем, что функция
и (*» У)» участвующая в доказанном равенстве, вовсе не обязана
быть гармонической.
Напомним формулу Пуассона (§ 2):
2Л
w(pcosa, psina)-— С f (со + а) Д'' ~р2, , _о rfco =
2Л
"л J
Мы знаем, что эта формула дает решение задачи Дирихле
в круге с любой непрерывной функцией /(ф). Напомним еще
следующий вариант записи формулы Пуассона, который будет
нам иногда полезен:
2Л
2Л
i
Сейчас мы установим целый ряд интересных и важных свойств
гармонических функций.
Две формы теоремы о среднем арифметическом.
Если и(х, у) непрерывна в круге К {(х — х0J + (у — yQJ ^ R2}
и гармонична внутри него, то
2Л
и (х, у) dx dy
и (х, у) dx dy
270 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. И!
Для доказательства первого утверждения достаточно перепи-
переписать формулу Пуассона для круга с центром в точке (х0, у0):
"~2л
и положить р = 0.
Вторую форму теоремы о среднем арифметическом легко
вывести из первой. Действительно, при любом г (O^r^R)
1 р
и(Х0, yo)=oZ \ U (Х0 + Г C0S ф| Уо + ^51Пф)^ф.
о
Умножим обе части этого равенства на г dr и проинтегрируем
по г от 0 до 7?:
R ая Я
р iff/
w (х(„ i/0) \ г dr = п~ \ \ u\xo"\~r cos ф, i/0 + rsini
0 0 0
Отсюда
J J И (*, У) ^А' rf(/
« (Л'О» i/o) = — Р2 '
Следствие 1. При тех же предположениях
5«2(л-, y)dxdy.
К
Доказательство следует из второй формы только что доказанной
теоремы:
\и(х09 у0)
и (х, у) dxdy
^\ у\и (х, у). dx dy
и из неравенства Коши — Буняковского:
|и(х, у) \dxdy^ l/$p (х, У) ^ dt/1/5 J I2 dx dy =
* к
«•(*. у)dxdy.
Будем обозначать посредством Gs множество точек области G,
удаленных от ее границы больше, чем на б > 0.
> 21]
СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
271
Следствие 2. Последовательность \ип{ху у)} гармонических
в G ^функций, сходящихся в G в среднем, в каждой внутренней
подобласти G6 сходится равномерно.
Это утверждение следует из того, что
I "п (х, у) - ит (л:, у) | < г~ 1/^ J J (ип - umJdxdy,
так как любой круг радиуса б с центром в G& принадлежит
полностью G (разность ип — ит также гармонична).
Оказывается, что гармоническая функция внутри круга может
быть сколько угодно раз продифференцирована, если она на
всем круге непрерывна и ограничена. Для доказательства этого
факта заметим, что
и что | Rei4> — (x-\-iy)\>,R — У^х2 + у*. Последнее становится оче-
очевидным, если на комплексной плоскости рассмотреть треугольник
со следующими вершинами: Rei(p, x + iy и начало координат.
Отсюда
д'1
дх'" дуп~'п Rei(? — (х + iy)
n]R
Аналогично
?>-< Ф
дХт ду!1~ГП Це~Щ (д; .
nl R
Существование, ограниченность и непрерывность всех этих про-
производных делают законным формальное дифференцирование внутри
круга x2 + y2^r2<:R2 формулы Пуассона
*2
2Л 2Л
2я J ^•ф„(л;_|_/'{/)-1-2л 3
по параметрам х, у любое конечное число раз. (Непрерывность
/ьх производных вытекает из ограниченности п+1-х). Для про-
производных получаем оценку (п>0):
_д»и(х, у) ^ 2nlRM
дхт дуп-т ~~~~~~ (% __ у"хЩ~у2)пп '
Через М мы обозначили max | / (ф) | = шах ; и (R cos <p, R sin ф) |.
В центре круга, т. е. при х = у = 0
Ч* (*> У) 1
дхтдуп-™}х= о
и= о
272
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ III
Ясно, что такая же оценка может быть написана и для круга
с центром в произвольной точке:
д"и(х, у)
У=Уо
Л |
sin <p)\.
Первая теорема Гарнака. Последовательность непре-
непрерывных на G гармонических функций, равномерно сходящаяся на
границе Г области G, равномерно сходится и внутри G, причем
ее пределом является гармоническая функция. Для каждой внут-
внутренней подобласти сходимость равномерная не только для самих
функций, но и для их производных любого фиксированного порядка.
Равномерная сходимость последовательности \uk (дс, у)} внутри G
вытекает из ее равномерной сходимости на границе. Это прове-
проверяется применением принципа максимума к гармоническим функ-
функциям ub(x, y) — ul(xf //).
Докажем теперь равномерную сходимость производных некото-
некоторого фиксированного порядка
dnuk (x, у)
дхт дуп~т
внутри Gg. Построив вокруг произвольной точки (х0, у0) круг
радиуса 8, целиком лежащей в G, применим к гармонической
функции uk (х, у) — иь (дг, у) оценку
2м! , , ч ,
^ ,-- max I uk (x, у) — uf (x, у) \.
0 г
Из произвольности точки (х0, у0) е G§ выводим, что всюду
внутри G6
; -Д- max | uk (дг, у) - щ (дг, у) \.
дхт дуп'т
Зто неравенство и доказывает равномерную сходимость производ-
производных в Об- По известной теореме анализа отсюда вытекает, что
всюду в области G существуют производные
д«и
дхт
=lim
Переходя к пределу при А->оэ в уравнении -^ + -^ = 0» при-
приходим к выводу, что предельная функция и (х, у) гармонична
в области G. Теорема Гарнака доказана.
Следствие. Последовательность функций uk(x, у), гармони-
гармонических в некоторой области G и непрерывных в ее замыкании G,
сходящаяся в этой области в среднем, внутри любой подобласти Оа
§ 21] СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 273
сходится равномерно вместе с производными любого фиксированного
порядка. Пределом этой последовательности является гармони-
гармоническая функция и (х, у), а пределом последовательностей производ-
производных—соответствующие производные от и.
Это утверждение вытекает из доказанной теоремы Гарнака и
второго следствия теоремы о среднем арифметическом.
Выведем из формулы Пуассона изящное неравенство Гарнака
для неотрицательных гармонических функций.
Неравенство Гарнака. Пусть и (ху у)^0 гармонична
(и непрерывна вплоть до границы) внутри круга (х — х0J + (у J
^R2. Тогда она удовлетворяет неравенству @<ср<#)
^(xOi y0).
Для доказательства воспользуемся неравенством
R-P = /?2-p2 /?2-p2 ^/?2-р2 =
R + P ~~ (R + pJ^ R2 + p2-2Rpcos®^ (R-p)- R-p
и формулой Пуассона
и (х0 + р cos ос,
j
Пользуясь еще неотрицательностью и (х0 + ??cos ф, ^/0 -f- /?sin ф) =
/ (ф), мы имеем
о о
По теореме о среднем арифметическом
2^ j /(ф)Лр = ы(х0, у0).
о
Неравенство Гарнака доказано.
Докажем теперь одну замечательную теорему о гармонических
функциях, определенных во всех точках плоскости (х> у).
Теорема Лиувилля. Гармоническая на всей плоскости
функция и (х, у) не может быть ограниченной сверху или снизу,
если она не постоянна.
Доказательство. Если и(х, у) ограничена сверху, то
— и (х, у) ограничена снизу. Поэтому достаточно рассмотреть случай
гармонической функции и (х, у), которая всюду больше некоторого
числа М. Более того, можно считать, что М = 0. Действительно,
и(х, у) — М Э* 0, а разность и — М гармонична. Итак, предпола-
274 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ III
гая существование гармонической во всей плоскости неотрицатель-
неотрицательной функции и (х, у), мы докажем, что эта функция постоянна.
Воспользуемся неравенством Гарнака @<р</?):
a(O, 0).
Если функция и(х, у) гармонична во всей плоскости (и^О), то,
фиксировав произвольное р>0 и неограниченно увеличивая /?,
мы получим
)^w@, 0),
w(pcosa, psina)==w@, 0).
Теорема Лиувилля доказана.
Усиленный принцип максимума. Если гармоническая
в области G функция и (х, у) принимает свое наибольшее или свое
наименьшее значение в некоторой внутренней точке (jt0, y0), то
и (jc, у) = const.
Доказательство. Достаточно рассмотреть только случай
и(х, у)^и(х{I Уо) = О. Все другие случаи приводятся к этому
так же, как и в предыдущей теореме. Пусть круг радиуса R
с центром в точке (x0J у{)) содержится в G. Для любой внутренней
точки (х, у) этого круга (x — xoJ + (y — yoJ = p2<:R2 по неравен-
неравенству Гарнака
Итак, и(х, у) = 0 внутри круга. Пусть теперь (**, у*) — любая
другая внутренняя точка G. Соединим ее с точкой (х0, у0) ломаной,
целиком лежащей в G. Пусть каждая точка ломаной отстоит от
границы больше чем на б>0. Выберем /?<6 и построим на
ломаной конечную последовательность точек (х0, //0), (хи уг), ...
..., (хп, Уп) (хп=х*, уп = у*)такую, что {xk — xk-iJ + (yk — yk^J^:
^cR2/4. Если мы построим круг с центром в точке (xky yk) радиу-
радиуса /?, то точка (^+i, f//f+i) будет для него внутренней. Если нам
удалось для неотрицательной гармонической функции и(х, у) уста-
установить, что и (хь, f/*) = 0, то по доказанному и (.v/?4, yk.^)—0. Сле-
Следовательно, из и(х0, Уо)=О вытекает, что u(x*t y*j = O. Усилен-
Усиленный принцип максимума доказан.
Теорема о разрывной мажоранте. Рассмотрим ог-
ограниченную область G с границей Г и отметим в G = G-\-\
конечное число точек (хъ yt), (x2, у2), • • •, {%n> Vn)- Некоторые из
этих точек могут лежать внутри G, некоторые могут быть на
границе Г. Пусть и (а:, у), v (x, у) — две функции, непрерывные и
гармоничные в G + Г, кроме, может быть, точек (xh yi). В этих
точках и (х, у)> v (а:, у) могут терпеть разрыв или могут быть
§ 211 СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 275
не определены. Предположим, однако, ограниченность этих функций:
\и(х, у)\^М, \v(x, y)\<>M
в G + Г (за исключением, конечно, точек (л:,-, yi)).
Если и (х, у) |г ^ v (х, у) \г во всех точках границы, кроме,
быть может, попавших на границу точек (xt, yi), то и всюду
внутри G + Г и(х, y)*^v(x, у). (Опять-таки за исключением,
быть может, точек (xh yi), лежащих внутри.)
Для доказательства рассмотрим функцию
w* (х, и) = и (х, у) — v (а:, и) — / —-г In r
Здесь d — диаметр области G, так что
8>0 — некоторое фиксированное маленькое число.
Рассмотрим область Ge, полученную вырезанием из G кружоч-
кружочков радиуса 8 с центрами во всех точках (.v/f yi). Граница G^
состоит из кусков границы Г области G и из дуг окружностей,
ограничивающих вырезанные кружочки. Очевидно, что на G^
вместе с ее границей функция w$(x, у) непрерывна, гармонична
и неположительна. Последнее утверждение вытекает из принципа
максимума и из неравенства
w6(х, у)-=и {х, y)-v (х, у) - У -^ In
-*7" In
выполненного на границе Сб.
Зафиксируем точку (х, у) и, устремляя в неравенстве w&(xy y)^
^0 параметр б к нулю, убедимся, что и(х, y)—v(x, y)^0.
Теорема о разрывной мажоранте доказана.
Из этой теоремы можно вывести теорему единственности
решения задачи Дирихле в ограниченной области с кусочно
непрерывной граничной функцией, имеющей конечное число точек
разрыва.
Другим следствием теоремы о разрывной мажоранте является
Теорема об устранимой особенности. Пусть
и (хУ у) — гармоническая и ограниченная в окрестности некоторой
точки (х0, у0) функция, за исключением, быть может, самой этой
точки. Тогда можно так доопределить значение и (xQ, y0), чтобы
после этого и (х, у) стала гармонической во всей рассматриваемой
окрестности точки (х09 у0), включая и саму эту точку.
Доказательство. Пусть круг (х — xltJ + (у — у0J ^ R2
лежит целиком внутри окрестности. Пусть и* (х, у) — гармониче-
276 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. ТТТ
екая всюду внутри круга и принимает на окружности (х — хоJ-{-
+ (У — УоJ = #2 те же значения, что и и (л:, #). Функцию и* можно
построить с помощью интеграла Пуассона. Ясно, что если
и(х, у)\^М, то и \и*(х, у)\^М. Поэтому мы можем приме-
применить лемму о разрывной мажоранте и с ее помощью утверждать,
что
и*(х, у)^и(х, у)^и*(х, у)
всюду, кроме точки (х0, у0). Следовательно, и (х, у) = и*(х, у).
Это позволяет утверждать, что, положив и(х0, Уо)^=и*(хо, у0),
мы превратим и(х, у) в функцию, непрерывную и гармоническую
во всей окрестности.
На этом мы закончим обзор основных свойств гармонических
функций в областях общего вида и в следующем параграфе вер-
вернемся к изучению гармонических функций в круге.
§ 22. Вариационный принцип Дирихле
Формула для вычисления интеграла Дирихле гармонической в круге функ-
функции по коэффициентам Фурье граничных значений. Пример непрерывной в круге
гармонической функции, имеющей бесконечный интеграл Дирихле. Неравенство
для интегралов Дирихле двух функций, принимающих на границе круга оди-
одинаковые значения, одна из которых гармоническая. Пример Адамара непрерывной
на границе круга функции, которая не может быть продолжена внутрь
с конечным интегралом Дирихле. Вариационный подход к задаче Дирихле.
Некоторые исторические замечания. Пример неразрешимой вариационной задачи.
Единственность экстремальной функции. Принцип Дирихле для круга и для
простейших областей, полученных из пего конформными преобразованиями.
Ближайшие параграфы будут посвящены доказательству раз-
разрешимости задачи Дирихле для уравнения Лапласа в областях
весьма широкого класса. Доказательство основано на так назы-
называемом вариационном подходе к задаче и опирается на некоторые
важные и интересные свойства интеграла Дирихле.
Сейчас мы изучим интеграл Дирихле для функций, гармони-
гармонических в круге, и докажем экстремальное свойство этого интеграла.
Для простоты рассмотрим круг радиуса R с центром в начале
координат и напомним, что интегралом Дирихле называется вы-
выражение
2я г
D,(u)= Jj (ul + ul)dxdy=§ §
x2 + y2^r2 0 0
Если функция и (jc, у) гармонична в круге радиуса R, то внутри
круга радиуса r<cR производные их и уу непрерывны. Следова-
Следовательно, интеграл Dr (и) — интеграл от непрерывной функции. Но
§ 22] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ 277
при r = R этот интеграл может оказаться несобственным интег-
интегралом. При этом под DR(u) понимается lim Dr(u).
r-+R
Как было показано во вводной части (§ 2), функция и (х> у)>
непрерывная в круге x2+y2^R2 и гармоническая внутри этого
круга, представляется в виде ряда
оо
w (p cos a, psina) = ~-+ У (-бТ fan cos /га + bn sin /га),
где коэффициенты ап и Ьп являются коэффициентами Фурье гра-
граничной функции / (ф) = и (R cos ф, /? sin ф):
2JT
Ф йф, /г = 0, 1, 2, ...,
2Л
Сейчас мы воспользуемся выписанным рядом для вычисления
интеграла Дирихле. Очевидно, это внутри круга 0<р^г по-
почленное дифференцирование по р и ос для ряда j/(pcosoc, psina)
законно, так как формально продифференцированные ряды
оо
«р = 2 -^г- (Ял cos /га + 6Л sin /га),
оо
wa= У (%) п(—ansinna-{-bncosna)
сходятся там равномерно. Следовательно,
оо
ди
^W VI Р" /
_ __ __ у <2 --- 1 г
dOL ^nJ ^^
лг = 1
Это позволяет вычислить интеграл Дирихле Dr(u) в явном виде.
Начнем с вычисления
2л 2я
Иди\2
278 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
Подынтегральные выражения представляются двойными суммами
т, п= 1
оо
= У тп 9пт+п (— ап sin па + Ьп cos па) (— am sin ma -j- &mcos ma).
m, л = 1
Теперь заметим, что
2 л
\ (ап cos /za + bn sin /га) (am cos ma + bm sin ma) da =
6
О, если тфп,
тп -\~b'n)n, есл и /n = /г ^
2 л
J (—an sin na-\-bn cos /га) (—am sin ma-\-blTl cos ma) da =
0, если тфп,
ctn + btyn, если т =
Это замечание приводит нас к выводу, что
2 л 2 л оо
Г / ди \2 , [• / ди \2 1 \1 2 о р2«-1
3 (aoj Pda=J tej p-da-=« 2 л8(од+ад ^—.
0 0 л = 1
Отсюда
г Bл
Г \2п
- = 1 0 /1 =
Из определения интеграла D^ (и) вытекает, что
DR(u)=\\mDr(u) = n 2] «(aS + W). A)
Если ряд в правой части расходится, то это значит, что
DR (и) = оо.
Адамар построил пример непрерывной функции /(ф) такой,
что решение задачи Дирихле в круге 0<ср^^ для уравнения
§ 22] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ 279
Лапласа =-$ -f- -~-^- = 0 с граничным условием и (R cos ф, R sin ф) =
= /(ф) имеет бесконечный интеграл Дирихле. Функция Адамара
записывается равномерно сходящимся рядом:
(Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций
непрерывна.) Решение и (л:, у) задачи Дирихле с граничными
значениями /(ф) имеет интеграл Дирихле:
оо
DR(u)=n 2 7? ==о°-
Этот пример в дальнейшем нам понадобится при обсуждении
очень важного и интересного вариационного подхода к решению
задачи Дирихле. А сейчас мы докажем с помощью ряда A) сле-
следующую замечательную теорему.
Теорема. Пусть g(p, ф) — какая-либо непрерывная в круге
О ^ р ^ R кусочно гладкая функция с конечным интегралом Ди-
Дирихле
2л R
DR(g)=\ \ (gp + ^g^pdpdq-
о oJ V P '
На границе круга g(p, ф) принимает граничные значения
Построим гармоническую функцию и (р, а) с теми же самыми
граничными значениями и (/?, ф) =/ (ф). Мы докажем, что интеграл
Дирихле DR (и) конечен и не превышает DR (g):
Граничной функции f({p)=g(R, ф) может быть сопоставлен
сходящийся к ней в среднем ряд Фурье
21
/2=1
Решение и (р, ф) задачи Дирихле представляется тогда рядом
« (Р. Ф) = f
280 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ III
Интеграл Дирихле этого решения
Для того чтобы доказать неравенство
DR(u)^DR(g)y
очевидно, достаточно убедиться в том, что при всех
N
т. е. в том, что
где
В доказательстве, которое мы приведем, будет использовано, что
uN имеет непрерывные вторые производные. (На самом деле «л—
полином переменных дс, у и имеет производные любого порядка.)
Доказательство будет состоять из двух лемм.
Лемма 1. Выполнено равенство
2 л
, 4>)-uN(R, Ф
Доказательство. Ясно, что g(R, y) — uN(Ry ф) — непре-
непрерывная функция, имеющая сходящийся к ней в среднем ряд
Фурье
00
g(R, y)-uN(R, ф)= 2 (ап cos mp + bn sin ncp).
Коэффициенты Фурье, отвечающие значениям индекса от 1 до N
включительно, будут для этой функции равны нулю. Эти коэф-
коэффициенты определяются интегралами:
2л
Ло=5 [g(Ri ty) — uN(R> q>)]d(p = O,
о
2л
Ап = ^ [g (R, ф) — un (/?, ф)] cos /2ф d(p = О,
: !"=i.2
22] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
Любая линейная комбинация Ло, Аъ ..., AN, Въ ..., BN юже
будет равна нулю. В частности,
Это равенство можно переписать еще так:
2л Г N
$ . ф)-"*(#. ф)Л 2 п (ап cos ny + bn sin n<p)\dq> = Q.
L J
о Lrt.-=j
Теперь осталось только заметить, что
N
п (ап cos яф + bn sin яф) ==
Доказательство первой леммы завершено.
Лемма 2. Пусть G —некоторая конечная область с кусочно
гладкой границей Г, функция г|52 (х, у) имеет в замкнутой области G
непрерывные вторые, а урх (х, у) — кусочно непрерывные первые
производные. Тогда
ds — дифференциал длины дуги Г, ^—производная по внешней
нормали).
Доказательство этой леммы мы проведем для области,
в которой ур! (х, у) непрерывно дифференцируема вплоть до гра-
границы. В случае кусочной гладкости область G может быть раз-
разбита на конечную сумму областей Gx, G2, ... Gky для каждой из
которых это предположение выполнено. Доказав интересующее
нас тождество для Gl9 G2, ..., Gky а затем сложив их, мы полу-
получим тождество для G. При этом интегралы по внутренним к G
участкам границ Gb ..., Gk уничтожатся, так как для двух
соседних подобластей внешние нормали, а следовательно, и -^,
отличаются лишь знаками, функции же %, входящие в гранич-
граничные интегралы, — непрерывны. Внутри подобласти Gi9 где грх, г|52
имеют непрерывными соответственно первые и вторые произвол-
282 уравнений Лапласа (гл lit
ные, выполнено тождество
"аГ7 "•¦ ^""а7 + % \F "г -щ*) - дху^1 ~дх~) + ду [w If)*
Проинтегрируем это равенство по G^.
Для преобразования двойного интеграла в контурный мы восполь-
воспользовались теоремой Гаусса — Остроградского. Лемма 2 доказана.
Следствие.
И
Действительно, положив и^ = ^ g~uN ~^\ и применяя пре-
предыдущую лемму к области x2-\-y2^R2> получим
И
Остается для пояснения еще заметить, что uN — гармоническая
функция:
Теперь тождество
§22] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ 283
в правой части которого последний интеграл равен нулю, а пред-
предпоследний неотрицателен, сразу позволяет заключить, что
Как мы отмечали, отсюда следует неравенство
DR(u)<:DR(g).
Мы доказали, что если для некоторых граничных значений f((p)
существует непрерывное и кусочно гладкое продолжение g(p, ф)
внутрь круга, обладающее конечным интегралом Дирихле, то гар-
гармоническая функция и (р, ф), отвечающая тем же граничным зна-
значениям, будет также иметь конечный интеграл Дирихле, не пре-
превышающий DR(g).
В частности, отсюда следует, что граничная функция Адамара
оо
sin (/г!ф)
не имеет продолжения g(p, ф) внутрь круга O^p^R (g(R, ф) =
= /(ф)) с конечным DR(g). Доказанное нами сейчас экстремальное
свойство гармонических функций носит название вариационного
принципа Дирихле. Мы его доказали в случае, когда гармони-
гармонические функции рассматриваются в круге. На самом деле анало-
аналогичный принцип справедлив для очень широкого класса областей.
Мы этот класс в дальнейшем опишем, а сейчас остановимся на
несколько более развернутом описании идеи вариационного под-
подхода.
Рассмотрим какую-либо ограниченную область на плоскости,
на границе которой задана непрерывная функция f(s). Возьмем
внутри этой области гладкие функции и (х, у), принимающие гра-
граничные значения f(s), и для каждой из них вычислим интеграл
Дирихле
В основе вариационного подхода лежит утверждение, что мини-
минимальное значение D (и) принимается на гармонической функции,
решающей задачу Дирихле.
Ясно, что D(u)^0, и поэтому для значений этого функцио-
функционала существует нижняя грань. Пусть эта нижняя грань дости-
достигается на гладкой функции и(х, у). Как известно из вариацион-
вариационного исчисления, и(х, у) тогда должна удовлетворять уравнению
284 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
Эйлера
или, что то же самое,
— уравнению Лапласа.
Идея этого вариационного подхода к уравнению Лапласа была
впервые высказана Гауссом. Дирихле излагал этот подход на
своих лекциях, одним из слушателей которых был Риман. Риман
развил эту теорию и под названием принципа Дирихле положил
ее в основу своей геометрической теории функций комплексного
переменного.
Эта работа произвела большое впечатление на математиков
того времени. Но через 18 лет Вейерштрасс показал, что утверж-
утверждения, положенные в основу вариационной теории, неубедительны.
Дело в том, что из рассуждений Римана не следовало существо-
существование функции и (х, у), на которой достигается нижняя грань D (и).
Риман не сумел найти ответ на критику Вейерштрасса. Только
через 32 года Гильберт сумел построить корректное обоснование
принципа Дирихле.
Так как идеология вариационных методов имеет чрезвычайно
важные и многочисленные приложения, мы не можем обойти ее
стороной.
Начнем наше обсуждение с пояснений критики Вейерштрасса.
Разберем пример вариационной задачи, для которой не существует
функции, дающей минимум функционала D (и).
Пусть и = 0 на границе круга х2-\-у2 = \. Потребуем еще,
чтобы и (О, 0) = 1. Рассмотрим всевозможные кусочно гладкие
функции и (х, у), удовлетворяющие сформулированным ограниче-
ограничениям, и для каждой из них вычислим интеграл Дирихле D(u).
Постараемся оценить нижнюю грань D (и). Для этого введем
полярные координаты x = rcosy, y = rsinq) и определим функции
"а(г» ф) @<6<1) равенством
In
ln?
(б < г).
§ 22] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ 285
Вычислим Dr(Ub):
о о
2л С Г1п ТI , 2л М , 2л
= р \ I—7Г—1 rdr= г \ is гаг = -
Ясно, что D(us)->0 при б~>0. Очевидно, что
т. е. иь(х9 у) допустимы в нашей задаче. С другой стороны, мы
показали, что Ь(иь)-+О при б~>0. Отсюда ясно, что
Из неотрицательности D (и) вытекает равенство
Однако ни на одной допустимой функции эта нижняя грань не
достигается. В самом деле, если
2 + ^^1
то и — const, но постоянная не может принимать различных зна-
значений в центре круга и на окружности.
Тот же самый пример последовательности функций {иб} б =
= у, у, ..., — , ... может играть еще одну роль. Он представ-
представляет собой интересный пример последовательности функций, при-
принимающих на границе круга нулевые значения и имеющих интег-
интеграл Дирихле, стремящийся к нулю. Замечательно, что сами эти
функции к нулю равномерно не сходятся, несмотря на то, что
функция и(х9 у) = 0 является здесь экстремальной. Мы видим,
что даже в случае, когда экстремальная функция существует,
минимизирующая последовательность может к ней не сходиться.
Есть еще одна трудность в вариационном подходе к задаче
Дирихле. Выше был построен пример непрерывной на границе
круга функции, которая не может быть продолжена внутрь круга
так, чтобы иметь там конечный интеграл Дирихле (пример Ада-
мара).
Ясно, что для граничной функции Адамара нельзя решать
задачу Дирихле с помощью вариационного принципа. Поэтому
мы накладываем на граничную f(Q) следующее ограничение:
существует в области G непрерывная вплоть до границы, гладкая,
286 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
или кусочно гладкая функция g(x, у), имеющая конечный интеграл
Дирихле DG (g) и принимающая на границе G значения f (Q).
Только такие f (Q), допускающие продолжение в G с конечным
интегралом Дирихле, будут нами рассматриваться. Только для
них будет доказана разрешимость задачи Дирихле, да и то не
для всех областей. Так, например, область, представляющая собой
единичный круг с выколотым центром, не является допустимой.
Рассмотренный нами пример функций иь(х, у) привел нас к вы-
выводу, что не для всякой допустимой непрерывной граничной функ-
функции существует продолжение с минимальным интегралом Дирихле.
Функция
1 при х = 0, у = 0,
О при х2 + у2 = 1
может считаться непрерывной функцией на границе. Мы видели,
что она допускает непрерывное продолжение внутрь области с как
угодно малым интегралом Дирихле. Непрерывная же функция
с нулевым интегралом Дирихле по необходимости,—константа и
наших краевых значений принимать не может.
Предположим теперь, что для некоторой области и для неко-
некоторой граничной функции f(s) нам удалось построить такое про-
продолжение и(ху у) внутрь G этой f(s) (u\r = f)y что D0(u) конечен
и равен нижней грани \nlDQ(z) интегралов Дирихле функций
г(х, у), удовлетворяющих граничному условию
(через DG (z) мы обозначили интеграл Дирихле от z (x9 у) по об-
области G). Мы покажем, что такое экстремальное гладкое продол-
продолжение и (х, у) единственно.
Пусть
D D() d
Докажем равенство
° (") + Т °о (*) - т Da (и - v).
2
Для этого достаточно сделать элементарные преобразования подын-
подынтегрального выражения:
(v) -\DQ(u- v).
§ 22] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ 287
Из доказанного равенства и из неравенства
>н (a±i
d f d
вытекает, что d ^ у d -f- 2~ d — -j- DG (^ — и). Отсюда
Do (и - и) = И К"* ~ и^2 + (иу ~ vy^ dx йУ
Таким образом, и — v = const. На границе и — v = 0. Равенство
и ~ v ^ 0 всюду в G доказано.
Применение этой теоремы единственности экстремальной функ-
функции к случаю круговой области завершает для этой области обос-
обоснование принципа Дирихле.
Повторим формулировку принципа в этом случае:
Если f (ф) — непрерывная функция, допускающая хотя бы одно
непрерывное кусочно гладкое продолжение g (p, cp) (g (р, ф) = f (ф))
внутрь круга O^p^R с конечным интегралом Дирихле ?^(g),
то существует среди таких продолжений единственное гладкое
продолжение и(р, ф) такое, что DG(u)=d, где d —нижняя :рань
интегралов Дирихле для таких продолжений. Продолжение и (р, ф)
является гармонической в круге функцией, решающей задачу Ди-
Дирихле
u(R, ф)=/(ф).
В предыдущем параграфе мы показали, что уравнение Лапласа
и интеграл Дирихле инвариантны относительно обратимых кон-
конформных преобразований
х = хA, г)). 1 = 1 {х, У).
Л), 11 = Л(^, У)
независимых переменных. Отсюда вытекает, что если некоторая
замкнутая область G + Г может быть непрерывно и конформно
отображена на круг, то мы
можем ручаться, что задача
Дирихле с непрерывными гра-
ничными значениями для об-
ласти разреи]има.
В частности, отсюда вы- Рис. 56.
текает разрешимость задачи
Дирихле для областей, изображенных на рис. 56, т. е. для кру-
кругового сектора или для луночек, ограниченных дугами окружно-
окружностей. В теории функций комплексного переменного приводятся
простые формулы для отображений этих областей на единичный
круг.
2в8 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ III
Для всех этих областей справедлив и принцип Дирихле. Дей-
Действительно, пусть Г —граница G, u\T = f. Покажем, что
где g — какая угодно кусочно гладкая функция, определенная
в G и принимающая те же самые граничные значения, что и
и(х> У) (g\r = f). Пусть равенства
* = *(?, л),
У = У&> Л)
определяют конформное отображение круга /({|2 + Л2^П на G-
При этом г/[х(|, т]), г/(|, т])] — гармоническая функция от ?, т|,
и |6.+ti«=i =/[*(?, л), 1/(|, t))J. Очевидно, что функция v(i, Л) =
= ?[*(?> Л)» #(?> Л)] принимает на окружности ?2 + Л2==1 те же
граничные значения, что и и[хA, л)» УA> Л)]- В силу инвариант-
инвариантности интеграла Дирихле
DG(u)=DK{u[x(ly л), У& Л)]},
DG(g) = DK{g[x(t, л), У(?, Л)]},
а в силу принципа Дирихле для круга
DK{g[x(t, Л), УA, У)\}^Ок]и[хA, Л), УA, Л)]}-
Поэтому DG(g)^DG(u).
Наше доказательство единственности экстремальной функции
годится для произвольных областей, в том числе и для рассмат-
рассматриваемых сейчас.
Мы заканчиваем на этом обоснование принципа Дирихле и
разрешимости задачи Дирихле для всех областей, которые эле-
элементарными конформными преобразованиями могут быть непре-
непрерывно (вместе с границей) отображены на круг. В частности,
принцип Дирихле и разрешимость задачи Дирихле обоснованы
для сектора и луночек, изображенных на рис. 56.
В следующем параграфе будет изучен альтернирующий метод
Шварца, с помощью которого нам удастся распространить тео-
теоремы о разрешимости задачи Дирихле и о применимости прин-
принципа Дирихле на любые многоугольники.
Если воспользоваться теоремой о том, что всякую односвязную
область со спрямляемой границей, содержащей не менее двух
точек, можно непрерывно и конформно отобразить на круг, то
после некоторого уточнения формулировок нетрудно обосновать
разрешимость задачи Дирихле и принцип Дирихле. Однако мы
не будем пользоваться этой теоремой о конформных отображе-
отображениях, так как ее доказательство в аккуратной формулировке,
которая нас бы удовлетворяла, совсем не так просто.
§ 23] МЕТОД ШВАРЦА 289
§ 23. Метод Шварца
Альтернирующий метод Шварца доказательства существования решения
задачи Дирихле для составных областей. Критерий Шварца. Формулировка
теоремы и ее доказательство. Использование метода Шварца для обоснования
принципа Дирихле. Пример получения теоремы существования решения задачи
Дирихле и принципа Дирихле в неодносвязном многоугольнике. Проверка
критерия Шварца с помощью геометрического «условия луночки». Схема дока-
доказательства принципа Дирихле и разрешимости задачи Дирихле для любых
многоугольных областей.
В этом параграфе будет рассмотрен альтернирующий метод
Шварца решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в состав-
составных областях. Предположим, что область G разбивается на три
части Gu G2, G3 так, как это показано на рис. 57. Обозначим
теоретико-множественную сумму областей Gx и G2 вместе с их
общей границей Р через G1>2. Аналогично обозначим G2>3 = G2U
U G3 U V, где U означает знак
объединения. Граница области
G1>2 состоит из дуг а, у и а.
Предположим, что для частич-
частичных областей Glt2 и G2,3 разре-
разрешима задача Дирихле с любы-
любыми непрерывными граничны-
граничными значениями. Нашей целью
будет формулировка усло-
условия на области Gl9 G2, G3, Рис- 57«
при котором из разрешимости
задачи Дирихле для частичных областей G1>2 и G23 будет вы-
вытекать ее разрешимость для всей области G. Сначала мы сфор-
сформулируем этот критерий в той форме, в какой он нужен для
проведения доказательства существования, но из которой, на
первый взгляд, совсем не видно эффективного способа про-
проверки, выполнен ли он для конкретно заданных геометрически
областей. В дальнейшем будут указаны простые геометрически
наглядные достаточные условия выполнения нашего критерия.
Критерий Шварца. Мы будем говорить, что система
областей Glf G2, G3 с граничными дугами а, р, у, б, а удовлет-
удовлетворяет критерию Шварца, если выполнены следующие_два условия:
1. Любая гармоническая в G1>2, непрерывная в G1>2 функция,
равная нулю на a (J о и не превышающая по абсолютной величине 1
на у, всюду на дуге р не превосходит по модулю некоторого 8<1.
2. Любая гармоническая в G2>3, непрерывная в G2>3 функция,
равная нулю на 8[]о и не превышающая по абсолютной величине 1
на р, всюду на дуге у не превосходит по модулю б<1.
В этом критерии предполагается, что постоянная 6 может
быть выбрана для данной системы областей Glf G2, G3 раз и
навсегда и, следовательно, она не зависит от рассматриваемой
Я/2 Ю С. К. Годунов
290
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ II).
непрерывной гармонической функции. (Напомним, что знак черты
над множеством означает замыкание этого множества.)
Будем говорить, что область G1>2 (G2,3) удовлетворяет условию
разрешимости, если при любой непрерывной на а {] у U а (б U E U а)
граничной функции существует отвечающее ей непрерывное реше-
решение задачи Дирихле в G1>2 (G2>3)- Аналогично, область G =
= G1>2L)G2>3 будет удовлетворять условию разрешимости, если
при любой непрерывной на a U б U а граничной функции сущест-
существует отвечающее ей непрерывное решение задачи Дирихле в G.
Теорема. Если система областей Gly G2, G3 удовлетворяет
критерию Шварца и если для областей G1>2, G2j3 выполнено усло-
условие разрешимости, то это условие выполнено и для составной
области G = Gh 2 U G2) 3.
Доказательство. Пусть на а{]8[]о задана непрерывная
граничная функция f(s). Пусть g(xf у) — какая-либо непрерывная
в G функция, равная f(s) на границе а{]6(]о. Мы сейчас опи-
опишем итерационный процесс, который, отправляясь от начального
приближения g(x, y)y приведет нас к решению задачи Дирихле.
Положим ио(х, y) = g{x, у) и определим vo(x, у) следующим
образом:
у) =
ио(х, у) на Gx U or U б;
решению задачи Дирихле в G,
с граничными условиями
2,3
В дальнейшем последовательные приближения ип (ху у), vn (x, у)
будут строиться следующим образом:
>„-! (л;, у) на GgUaTJa;
ип{х9 у) =
решению задачи Дирихле в G1>2
с граничными условиями
и„ I— = f (s) = vn i (х и) I—
Un\y = Vn-iiX, У)\у,
ип (л;, у) на Gx [} а [} у;
решению задачи Дирихле в G2>3
с граничными условиями
Очевидно, что каждая из функций ип (х, у), vn (x, у) по по-
построению является непрерывной в G и принимает на границе
§ 23] МЕТОД ШВАРЦА 291
значения f(s). Мы докажем, что последовательность
uOf vot ul9 vl9 и2, ..., vk-l9 uk, vk,
равномерно сходится. Отсюда будет следовать, что ее предел
будет непрерывной функцией, принимающей на а [} б U <? заданные
значения f(s).
Легко показать, что этот предел будет в G функцией гармо-
гармонической. Действительно, возьмем в G какую-либо внутреннюю
точку (х09 у0). Эта точка будет внутренней хотя бы для одной
из областей G1B, G2>3. Рассмотрим, для определенности, случай
(х0, у0) е Glt2. Последовательность ио(х, у), иг(х9 у), ..., ип (х9 у), ...
гармонических в Glt2 функций тоже равномерно сходится в G12
к тому же пределу как подпоследовательность сходящейся после-
последовательности. По первой теореме Гарнака ее предел будет гар-
гармонической в GL2 функцией.
Если бы (х09 yo)^G2f3, то, аналогично, надо было бы выде-
выделить подпоследовательность v09 vv v2y ... и установить гармонич-
гармоничность ее предела.
Мы видим, что для обоснования условия разрешимости задачи
Дирихле в G достаточно установить равномерную сходимость
последовательности
и09 vQ, иъ vl9 и29 v2, ...
Переходя к этому исследованию сходимости, отметим, что
tin — Un-1 =
2, 3, 4, ...)
(n=lf 2, 3, ...)
0Л_1 —0„-2 на G3 U о- U ос;
гармонической в G1J функции,
равной 0 на a U от и равной
0„-1 —0„-2 на у;
Un — Un-! на G1[)a[j6;
гармонической в G2>3 функции,
равной 0 на б U сг и
равной ип — ип-г на р.
Обозначим
ап= тах_|ил(АГ, у)-ип^(х, у)\9
(х, у)<=.$
bn= max _\vn(x, y)-vn.1(x, y)\.
(X, i/)GV
Из выполнения критерия Шварца мы выводим следующие утверж-
утверждения:
ял < Qbn-i, bn ^ бал.
Д/2 Ю*
292 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
Отсюда
я^еч^^е2^-2^,
Очевидно, что из принципа максимума для решения задачи
Дирихле следуют неравенства:
\Un(x, y) — Un-i(x> у) I ^ ft/i-i ^ const б2*,
\vn(x9 y) — vn-1(x, */) | ^ а„ < const 62";
(х9 y)<=G9 n = 2, 3, 4, ...
Равномерная сходимость последовательностей
UOi Ui, tl2t . . . ,
V09 Vl9 V2J ...
очевидна. Теперь заметим, что, начиная с л=1, функции vn — un,
очевидно, будут гармоническими и непрерывными в каждой из
областей Gb G2, G3 и будут равны нулю на внешней границе
alJSIJtf- Из определения очевидно также, что vn — un = 0 на Gx
и на р. На дуге у функция ип по построению совпадает с vn-v
Поэтому vn — un на у равно vn — vn-v По принципу максимума
! vn (х9 у) — ип (х9 у) | <тах| vn — un\ = т_ах| vn — vn-x| = ^^conste2^.
V V
Отсюда ясно, что составная последовательность
«о. ^о. «1. *>i. W2» ^2. •••
тоже равномерно сходится. Доказательство теоремы завершено.
Оказывается, что принцип Шварца позволяет переносить на
составные области не только разрешимость задачи Дирихле
с непрерывными граничными значениями, но и выполнение прин-
принципа Дирихле.
Пусть непрерывная и кусочно гладкая функция g(x9 у) имеет
конечный интеграл Дирихле DG (g)=DGl (g)+DG2 (g) + DG3 (g).
Предположим также, что принцип Дирихле выполнен для каж-
каждой из областей Glt2, G2,3-
Выполнение этого принципа означает, что для любой кусочно
гладкой в G1J функции v(x9 у) и для гармонической там же
функции и (х9 у), совпадающей с v на границе C [) a [} б, справед-
справедливо неравенство
DGi2(«)<DGi2(i>).
В частности, для последовательности функций иП9 vn9 участ-
участвовавших в доказательстве предыдущей теоремы,
JA>л-1), /1 = 1, 2, 3, ...
§ 23] МЕТОД ШВАРЦА 293
Отметим еще, что на <?3 un = vn-1 и поэтому
Объединяя два последние утверждения, имеем:
DG(un)^DG(vn^ n = l, 2, 3, ...
Аналогично, предполагая выполнение принципа Дирихле для G2,3,
мы без труда установим неравенство
DG{vn)^DG(un\ л = 0, 1, 2, 3, ...
Так как ио(х, y)=g, мы убедились в том, что интеграл
Дирихле любой из функций последовательности
и0, v0, иъ vlf и2, v2, ...
не превышает DG(g). Мы знаем, что это последовательность рав-
равномерно сходится к гармонической в области G функции и (х, у),
совпадающей с g(x, у) на границе этой области. Докажем, что
Do(u)^DG(g).
Достаточно установить неравенство
для любых внутренних подобластей Ht областей Gt (Hx
H2aG2t H3aGs) и воспользоваться затем равенством
Внутри каждой из подобластей Ht последовательность
uL, vl9 и2, v2, ua, v3f ...
является последовательностью гармонических функций, равно-
равномерно сходящихся вместе со своими первыми производными.
(Вспомните теорему Гарнака и теорему о сходимости производных
у равномерно сходящихся гармонических последовательностей.)
Поэтому
?//,U".u//a(w)= lim DH,[}H,\}iu iun)-
П-+ОО
С другой стороны,
?Чия?ия3 (un)^DG (un)^DG (g).
На этом мы заканчиваем доказательство неравенства
По теореме единственности решения задачи Дирихле функция
и(х, у) определяется по граничным значениям g(x, у)\а[)&[)о одно-
однозначно. Ее существование следует из доказанной теоремы о раз-
разрешимости задачи Дирихле в G = G1UG2UG3. Функция, совпа-
10 С. К. Годунов
294
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. III
дающая с g(x, у) на границе а[N[)о и имеющая интеграл
Дирихле, равный DG {u)t единственна. Это было доказано в прош-
прошлом параграфе.
Перечисленные сейчас факты составляют содержание принципа
Дирихле для составной области G. Итак, мы показали, что из
критерия Шварца для Glf G2, G3, из разрешимости задачи Дирихле
для Gb2, G2i3 и из выполнения принципа Дирихле для G1J, G2,3
следует разрешимость задачи Дирихле и выполнение принципа
Дирихле для составной области G = G1>2UG2,3. Прежде чем вос-
воспользоваться этими фактами, сделаем несколько замечаний отно-
относительно проведенного доказательства. В этом доказательстве нам
было совсем не существенно, чтобы области были односвязными,
а каждая из дуг границы а, C, у» б» ° связной. Каждая из них
может состоять из нескольких различных дуг, как это, например,
изображено на рис. 58. На этом рисунке двусвязный многоуголь-
многоугольник Gl[]G2[)G3 мы рассекли двумя параллельными прямыми
Р (л: = 0) и у (jc = I/2) на несколько частей. Части G[l) и GT мы
считаем составляющими область Gv Части G!/', G!22), G^ образуют
область G2 *). Границы а, б состоят каждая из трех ломаных аъ
а2» а3'» 6Ь б2, б3. Граница о разбивается на шесть различных
*) Под областью обычно понимается открытое связное множество, так что,
строго говоря, Gt и G2 не являются областями. Однако нам при рассмотрении
этого примера будет удобно, немного отклонившись от общепринятых опреде-
определений, называть GA и G2 областями,
§ 23]
МЕТОД ШВАРЦА
295
частей. На каждой из прямолинейных границ р, у должно рас-
рассматриваться по три отрезка; на рис. 59 изображены области Glf
G2, G3, расположенные так, что дуга а вообще отсутствует. Пока-
Покажем, что области, изображенные на рис. 58, удовлетворяют кри-
критерию Шварца.
Рассмотрим гармоническую функцию -f-(jc + 2), неотрицатель-
неотрицательную в GiUG2 и равную 1 на у (х =1/2). Неотрицательность этой
функции следует из того, что вся наша фигура расположена
в полосе —2^ х ^2, как это видно из рисунка.
Очевидно, что для любой непрерывной гармонической функ-
функции, не большей 1 на у и равной нулю на ее U а, из принципа
максимума следует неравенство
Если мы знаем, что и (х, у) не
меньше —1 на у и равна нулю ос
на а\]оу то аналогично мы мо-
можем написать:
и(х,
Рис 59
Отсюда ясно, что если \и\ ^ 1
на у и если и = 0 на а [} а, то
при х = 0, т. е. наг р, имеет место неравенство j и \ ^-=- (х~\- 2) = -?-.
о о
Точно таким же способом, с помощью гармонической функции
1— х/2, положительной в G1[)G2 и равной единице на р(х = 0),
показывается, что любая гармоническая функция, не превышающая
1 по модулю на р и равная пулю на 8и<?, удовлетворяет на
||34 М
у
-у (л: == 1 /2) неравенству
й Ш
у ур
Мы видим, что в рассматриваемом
8
случае критерий Шварца выполнен, если за 8 выбрать
4 /3 4
Если бы мы имели обоснование разрешимости задачи Дирихле
и принципа Дирихле для односвязных областей G\v \]G{^ [] G:2" U
U Pi U P3; GT U Gf U P2; G3 U СГ U Or U Gt U Yi U V2 U 7з, то имели бы
право перенести эти утверждения и на неодносвязную область
GiLJG2UG3. Ясно, что приведенное сейчас рассуждение является
общим. Мы не будем на нем подробнее останавливаться и, дока-
доказав в дальнейшем выполнение принципа Дирихле для односвяз-
односвязных многоугольников, не будем при исследовании эту односвяз-
односвязность оговаривать. Перенесение доказанных фактов с односвязных
на многосвязные многоугольники проводится по разобранной на
этом примере схеме путем разрезания на односвязные части.
10*
296
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ III
Сейчас мы опишем и докажем одно очень простое и удобное
геометрическое условие, из которого следует выполнение критерия
Шварца.
Пусть внутри области G2 можно выделить подобласть Gl22>, ог-
ограниченную двумя дугами окружностей, пересекающихся в точках
Л, Bt лежащих на границе G2 так, что дуги р, у оказываются
по разные стороны от луночки
АВ.
На рис. 60 изображены не-
несколько допустимых для нас
вариантов расположений луноч-
луночки &22) внутри области G2. Дуги
окружностей, ограничивающих
луночку, мы предполагаем не
совпадающими. На рис. 61 изо-
изображена область, в которую
луночку поместить нельзя, так
как дуги р и у касаются между
ос
б В б
Рис. 60.
Рис. 61.
собой в точках Р9 Q. Оказывается, что если в G2 описанным выше
образом мооюно поместить луночку, то критерий Шварца выпол-
выполнен. Сейчас мы это докажем.
Пусть нам известно, что некоторая непрерывная гармоничес-
гармоническая функция и(х, у) равна нулю на а[)о и не превышает по
модулю 1 на у. Тогда по принцицу максимума она не превышает
по модулю 1 на дуге окружности, ограничивающей луночку справа
(см. рис. 61). Если удастся показать, что абсолютная величина
этой функции не больше некоторого 6F<1) на левой дуге, огра-
ограничивающей луночку, то из принципа максимума без труда вы-
выведем, что и на р такое неравенство имеет место. Достаточно
построить гармоническую функцию w (xt у), равную 1 на правой
дуге и неотрицательную на остальной части границы области
Gi U Gi1} U Ga2), чтобы из принципа максимума вывести неравенство
[U(X9
(*, ?/), (X, у) €Е Gv
§23]
МЕТОД ШВАРЦА
297
Если при этом окажется, что на левой дуге, ограничивающей
луночку, w^B, то нужное нам утверждение будет доказано. Гар-
Гармоническую функцию — мажоранту w(x, у) —мы построим так,
чтобы она была однозначна на плоскости с разрезом вдоль пра-
правой дуги нашей луночки, равнялась 1 на этой дуге слева от раз-
разреза и нулю справа от него. Эту функцию нам удастся построить
постоянной вдоль каждой дуги той или иной окружности, про-
проходящей через точки Л, В. Для этого достаточно воспользоваться
гармоничностью функции
w(x, y) = a[Arctgj^-Arctgj^j + b
и подобрать постоянные а, Ь и ветви арктангенса так, чтобы
удовлетворить поставленным условиям. Гармоничностью этой
функции мы пользовались еще во вводной главе при выводе фор-
формулы Пуассона для решения задачи Дирихле в круге. На левой
границе луночки наша w, очевидно, принимает некоторое положи-
положительное, меньшее 1, значение 6.
Правда, использовать функцию w (x, у) в качестве мажоранты
на основе простейшего принципа максимума нельзя, так как она
разрывна в точках Л, В, лежащих на границе G. Однако она
ограничена, что позволяет использовать лемму о разрывной мажо-
мажоранте (§ 21). На этом закан-
заканчиваются рассуждения, дока-
доказывающие, что из равенства
и (х, у) = 0 на а [} а и нера-
неравенства |«|^1 на у следует
неравенство | и | ^ G на р.
Проверка первой половины
критерия Шварца закончена.
Вторая половина проверяется
совершенно аналогично. р >
Сейчас мы покажем, как
использование критерия лу-
луночки позволяет легко убе-
убедиться в разрешимости зада- Рис. 62.
чи Дирихле и в выполнении
принципа Дирихле для любого многоугольника. Как уже было
отмечено, мы ограничимся односвязными многоугольниками.
Пусть некоторый многоугольник можно отрезком прямой АВ,
лежащим целиком внутри многоугольника, разрезать на две части
АРВ и BQA (рис. 62), для каждой из которых справедливость до-
доказываемого утверждения уже установлена. Для краткости мы
будем утверждение о разрешимости задачи Дирихле и о выполне-
выполнении принципа Дирихле называть утверждением ?>¦
298 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
Окружим отрезок АВ некоторой луночкой, лежащей целиком
внутри многоугольника. Как было показано в предыдущем пара-
параграфе, для луночки ArBs утверждение D справедливо. С помощью
нашего геометрического критерия легко проверить справедливость
D для области APBsA, состоящей из многоугольника АРВ, до-
дополненного заштрихованной частью луночки.
Из справедливости D для APBsA и для BQA уже нетрудно
вывести, опять-таки с помощью условия луночки, справедливость
D для APBQA.
Любой односвязный многоугольник можно разрезать прямоли-
прямолинейными отрезками на треугольники так, что каждое сечение уве-
увеличивает число раздельно лежащих областей. Поэтому достаточно
ограничиться проверкой справедливости D для треугольников и
даже для прямоугольных треугольников (любой из треугольников
может быть рассечен на два прямоугольных одной из своих вы-
высот). На рис. 63 изображено, как
прямоугольный треугольник ABC
разрезается на три области Glf G2,
G3 дугами АЕ, AF окружностей,
проходящих через точку Л, центры
которых помещены в вершины ост-
острых углов С и В.
Очевидно, что и здесь условие
луночки выполнено. Поэтому доста-
Рис- 63# точно уметь проверять справедли-
справедливость утверждения D лишь для кру-
круговых секторов САЕ, BAF. В конце прошлого параграфа была
доказана разрешимость задачи Дирихле и выполнение прин-
принципа Дирихле для любых секторов. На этом мы заканчиваем
описание схемы доказательства того, что по любой непрерывной
функции, заданной на границе произвольного многоугольника
с конечным числом сторон, внутри этого многоугольника может
быть построена гармоническая функция, непрерывная вплоть до
границы и там совпадающая с заданной. Если это гармоническое
продолжение граничной функции внутрь многоугольника имеет
бесконечный интеграл Дирихле, то не существует какого-либо
продолжения этой граничной функции внутрь с конечным интег-
интегралом Дирихле. Если же интеграл Дирихле гармонического про-
продолжения конечен, то для любого другого продолжения он строго
больше или бесконечен.
Эти утверждения составляют содержание принципа Дирихле
для многоугольных областей. Теперь он нами обоснован, так же
как и разрешимость для этих областей задачи Дирихле при любой
непрерывной граничной функции.
§ 24] ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА Ё КРУГЕ 299
§ 24. Задача Гильберта
для уравнений Коши— Римана в круге
Постановка и примеры. Индекс граничного условия. Нормировка (регуля-
(регуляризация) граничного условия в задаче Гильберта. Теорема существования реше-
решения в случае неотрицательного индекса граничного условия. Исследование
неединственности при положительном или нулевом индексе граничных условий.
Единственность и условия разрешимости при отрицательном индексе. Задача
с косой производной и ее сведение к задаче Гильберта. Задача Неймана. Индекс
задачи и индекс граничных условий. Понятие об индексе для системы линейных
алгебраических уравнений.
Мы довольно подробно изучили задачу Дирихле для уравне-
уравнения Лапласа, как пример типичной задачи, решаемой для уравне-
уравнений эллиптического типа. В этом параграфе будет разобран не-
несколько более сложный пример задачи Гильберта для уравнений
Коши — Римана.
При изучении задачи Гильберта мы ограничимся только про-
простейшей односвязной областью —кругом. Основные факты, кото-
которые мы для этой задачи установим, могут быть получены также
для любой односвязной области с достаточно гладкой границей.
Более того, они могут быть получены из теорем, доказанных для
круга, с помощью конформного преобразования. Мы не можем
в нашем курсе на таком перенесении останавливаться, так как
в нашем распоряжении нет тех тонких теорем о граничных
свойствах конформных преобразований, которые для этого пере-
перенесения нужны.
Задача Гильберта в единичном круге х2-\-у2^,1 ставится так.
Надо найти решение и (х, у), v {x, у), непрерывное вплоть до гра-
границы Г (х2 + у2 = 1), уравнений Коши — Римана
Ux-vy = О,
uy + vx = О,
удовлетворяющее на границе граничному условию
Коэффициенты a(s)f Ь (s) предполагаются достаточно гладкими
функциями длины дуги s единичной окружности; функция f(s) —
тоже достаточно гладкая, a2 (s) + b2 (s) > 0.
Изучение задачи Гильберта начнем с разбора двух типичных
примеров.
Пример 1. Пусть a(s) = l, fc(s) = 0, u\r = f(s). Мы получаем
здесь задачу Дирихле для гармонической функции и(х, у). Сопря-
Сопряженная к ней гармоническая функция v(xy y)=c-\-vo(x> у) опре-
определяется с точностью до произвольной постоянной. В § 2 было
доказано, что v (x, у) будет непрерывной вплоть до границы, если
f(s) достаточно гладкая.
300
.УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. III
Пример 2. Пусть a(s) = x(s), b (s) = —y(s) (х2
(xu-yv)\r = f(s).
Предположим, что нам удалось найти аналитическое в единич-
единичном круге и непрерывное вплоть до границы решение и (х, у) +
+ iv (jc, у) этой задачи. Как известно, ф (и + iv) (dx + i dy) =
= §(u dx—vdy) + i§(udy + vdx) = 0 по любому замкнутому кон-
контуру, лежащему в круге. Мнимая часть этого интеграла дает ра-
равенство
§udy-\-vdx=0.
В силу непрерывности и(х, у), v(x, у) контур можно продеформи-
ровать, не изменяя результата, и превратить в границу—единич-
границу—единичную окружность. На этой окружности dy^xds, dx = — yds. Отсюда
2л
§ {их — vy)ds=^ f (s) ds.
о
Из разрешимости задачи Гильберта в этом примере следует, что
интеграл от правой части равен нулю. Задача оказалась разре-
разрешимой не при всяких правых частях f(s).
Приведенные нами простые примеры показывают, что характер
задачи существенно зависит от коэффициентов a(s), b(s) гранич-
граничного условия. В дальнейшем выяснится, что разрешимость или
N=-1
О
N = 0
Рис. 64.
Рис. 65.
Рис. 66.
неразрешимость задачи Гильберта, а также условия единствен-
единственности зависят от некоторого целого числа N, которое может быть
определено по виду функций a(s)9 b(s). Это число называется
индексом граничного условия.
Пусть s — длина дуги единичной окружности—меняется отОдо
2л при движении точки вдоль окружности против часовой стрелки.
При этом вектор с координатами a (s), b (s) опишет некоторую
кривую на плоскости (at b). Число оборотов, которое сделает эта
кривая вокруг начала координат, и называется индексом. На
§24]
ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА В КРУГЕ
301
рис. 64—68 изображены такие кривые в случае различных индексов.
Стрелкой указано направление движения вдоль кривой при воз-
возрастании s. В разобранных нами примерах 1 и 2 значения ин-
индекса были, соответственно, равны нулю и минус единице.
Теорема. Задача Гильберта при N^0 всегда имеет неедин-
неединственное решение. Это решение зависит от 2N +1 постоянной.
N=0
, N=-2
а
Рис. 67.
Рис. 68.
При N < 0, если задача Гильберта разрешима, то она разрешима
однозначно. Для разрешимости необходимо и достаточно, чтобы
правая часть f (s) была ортогональна к любой функции из некото^
рой линейной конечномерной системы функций. Размерность этой
системы 2 | N I - 1 = — BN + 1).
В разобранном примере (пример 2) задачи с индексом N = — 1
правая часть f(s) должна быть ортогональна всего лишь к одно-
одномерному пространству. Это пространство состоит из констант.
Отсюда и получается условие $ f (s) • 1 ds = 0. Из сформулирован-
о
ной теоремы вытекает, что для любой достаточно гладкой f(s),
удовлетворяющей этому равенству, задача Гильберта этого примера
разрешима однозначно.
Доказательство теоремы будет дано немного ниже, а сейчас
мы проведем ряд полезных предварительных построений.
Прежде всего еще раз отметим, что задача Гильберта эквива-
эквивалентна задаче нахождения аналитической внутри круга и непре-
непрерывной вплоть до границы функции w = u(xf y) + iv(x, у), удов-
удовлетворяющей граничному условию
302 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА \ТЛ. III
В частном случае 6 = 0 в примере 1 мы показали, что при та-
таком граничном условии [и \r==^pr:=fi (s)j задача Гильберта легко
исследуется. Ниже мы покажем, что и в общем случае задача мо-
может быть, по существу, сведена к рассмотренному частному при-
примеру.
Для этого предположим сначала на минуту, что a (s) и Ь (s) —
это граничные значения действительной и мнимой частей некото-
некоторой аналитической в круге и не равной там нулю функции
a(x, y) + ib(xy у).
Тогда аналитическая в круге функция
w u-\-iv au-\-bv , . av — bu j/i-t/
~n~ n i TUT ~m i Тл Г" ^ ni i A2 i '
с
имеет вещественную часть U = аи2 ^ , \ , значение которой на гра-
границе известно: оно равно 2. lv_b2 \ • Как мы уже напоминали
в примере 1 (подробное доказательство изложено в § 2), гармо-
гармонические функции U (х, у) и V (х, у) восстанавливаются по гра-
граничным значениям U', причем V определяется с точностью до ад-
аддитивной постоянной. Тем самым определяется w(x + iy) = с (х + iy) •
•[U (x, y) + iV(xy у)]. Конечно, наше предположение о том, что
a (s), Ь (s) — граничные значения действительной и мнимой частей
аналитической в круге функции, вообще говоря, не выполняется.
Однако ясно, что граничное условие
a(s)u + b(s)v=f(s)
эквивалентно любому условию вида
р (s) a(s)u + p (s) b(s)v = p (s) f (s),
какова бы ни была строго положительная функция р (s).
Обозначения
a(s) = p(s)a(s)f P(s) = p(sN(s)
позволяют записать его в форме
Ясно, что индекс пары (a (s), p (s)) в точности равен индексу ис-
исходной пары, и мы попытаемся подобрать множитель р (s) так,
чтобы a (s) и Р (s) были граничными значениями действительной
и мнимой частей аналитической в круге функции а (х, у) + ф(х, у).
Посмотрим, можно ли подобрать множитель так, чтобы функция
a + ф не имела нулей внутри круга. Будем сразу искать эту
функцию в виде а (я, у) + ф(-г, у) =еР(х- ^>+ '?(*, у)у где p + iq —
аналитическая в единичном круге функция. (Легко видеть, что
§ 24] ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА В КРУГЕ 303
представление в таком виде функции а + ф эквивалентно требо-
требованию, чтобы эта функция не имела нулей, но нам нет надобности
на этой эквивалентности останавливаться.) Из равенства модулей
в представлении функции а + ф получаем
ер <*. у) |г = р (s) Va2(s) + b2(s). A)
Следовательно,
Задача, таким образом, состоит в том, чтобы найти функции р (s),
р(х, у) и q(x, у), удовлетворяющие соотношениям A), B). Мы
будем сначала искать q (x, у), затем р (х, у) как сопряженную
с ней функцию. И, наконец, из равенства A) определится p(s).
Итак, попробуем найти q(xy у). Из определения индекса N пары
(a(s), b (s)) видно, что при движении точки по единичной окруж-
окружности против часовой стрелки после обхода всей окружности
вектор W+ iiL. обойдет окружность N раз. Следовательно,
У a2 (s) + b2 (s)
Q (x, у) |г (это просто аргумент указанного вектора) получит при-
приращение 2яЛЛ Тем самым, при ЫфО q{xyy) даже на границе
круга не является однозначной функцией, и наше построение
функции а (я, y) + i$(x, у) незаконно.
Чтобы построить функцию а(х, y) + i$(x, у), нам придется
отказаться от требования, чтобы у этой функции внутри круга
не было нулей и полюсов. Заметим, что аналитическая функция
(x + iy)N при обходе аргументом единичной окружности тоже
увеличивает свой аргумент на 2nN. Следовательно, после того,
как аргумент s изменится от 0 до 2я, аргумент функции
a(s) + ib(s) 1
Vcfi(s)+b*(s) ' (x + iyf
Уа2+Ь2 cos Ns + isin Ns
возвращается к первоначальному значению. Поэтому этот аргу-
аргумент определяется однозначно. Приняв эти значения аргумента
за граничные значения функции q(x, у), построим внутри круга
аналитическую функцию р (х, y) + iq(x, у). Построение аналити-
аналитической функции по граничным значениям ее мнимой части пол-
полностью аналогично восстановлению аналитической функции по гра-
граничным значениям ее действительной части, так как — / (р + iq) =
— q — ip. Произвольную постоянную действительной части р
фиксируем каким-либо определенным образом. Тем самым мы
построили аналитическую внутри круга функцию #><*» 0> + *'<7(*. у)9
которую мы обозначим ао(х, y) + i$0(x, у). На границе круга
[ао(х,
Х, У)
a(s) + ib(s)
Г Va2(s)+b2(s) (x + iy)N
304 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
Следовательно, функция
а(ху
t ,s a(s) + ib (s) л, , ч
на границе круга равна е^^х*у' • г Множитель p(s) =
еР(х, У) |г
==ь г' -— называется региляризириющим множителем.
При достаточно гладких функциях a (s) и b (s) функция
а<о(х, y) + ifio(x, у) будет дважды непрерывно дифференцируемой
вплоть до границы. (Из рассмотрения способа построения функ-
функций р(х, y)-\-iq(x, у) в § 2 видно, что для этого достаточно,
чтобы a(s) и b(s) были четырежды непрерывно дифференцируемы.)
Приступим к доказательству сформулированной выше теоремы.
Пусть N^0. В этом случае построенная аналитическая функ-
функция а(х, y) + i$(x, у) имеет внутри круга единственный нуль
порядка N в начале координат. Построим аналитическую в круге
и непрерывную вплоть до границы функцию U (x, y)-\-iV(x, у)
по граничным значениям ее действительной части:
U
Тогда функция и (х, у) + iv (x, у) = (а + ф) (U + iV) является иско-
искомой функцией. Действительно, она по построению аналитична
в круге и непрерывна вплоть до границы. Кроме того, она удов-
удовлетворяет граничному условию. Действительно,
_о^ "(*. y) + iv(x, у)
а (х, у) + ф (jc, у)
Следовательно, au-{-fiv\r = p (s)f(s). Существование решения при
N ^0 доказано.
Исследуем теперь вопрос о его единственности (а точнее,
о степени неединственности). Ясно, что решение задачи Гильберта
(как и решение любой линейной задачи) определяется с точностью
до произвольного решения однородной задачи. Итак, пусть
и(х, y)-{-iv(x, у) — решение однородной задачи: (аи + bv) |г = 0,
а, следовательно, и (au-\-§v) jr = O. Поэтому функция
U
имеет вещественную часть U, обращающуюся в нуль на границе
круга. Так как и(х, y)-\-iv(x, у) регулярна внутри круга,
а а(х, y)-\-i?>(x> у) имеет в начале координат нуль кратности N,
то функция U (x, y) + iV(x, у) имеет в начале координат не выше
чем N.
Мы найдем сейчас общий вид аналитической функции V -\-iV,
имеющей в начале координат полюс кратности не выше Af и
§ 24] ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА В КРУГЕ 305
такой, что U (х, у)==0 на окружности х2-{-у2 = 1. Пусть U-\-iV
имеет в центре круга полюс с главной частью:
2 (lk + ir\k)(x+iy)k.
Нетрудно проверить, что полином
2 <?k-ii\k)(x + iy)-*
имеет вещественную часть, принимающую на границе те же зна-
значения, что и вещественная часть главной части. Поэтому функция
Ф + Р? = ? [(& + щк) (х + iy)" - A„ - щк) (х + iy)-*]
имеет вещественную часть, обращающуюся на границе в нуль,
и ту же главную часть, что и U + IV. Следовательно,
ограничена, и вещественная часть разности принимает на гра-
границе нулевые значения. Отсюда V — Ф = 0, V — *Р = С* = const.
Итак,
k=—\
С другой стороны, постоянные ?*, r\k могут быть выбраны произ-
произвольно. Функция U -\-iV будет при этом аналитической с нуле-
нулевой вещественной частью на окружности и с полюсом порядка
не выше N в центре. Это решение зависит от 2N -f-1 постоянных
Ъ-1» Ъ-2» • • • » Ъ-Nf
Л-ъ Л 2» •••» Л-^v» с*-
Мы показали, что при N^0 решение задачи Гильберта опре-
определяется с точностью до 2Л/ + 1 линейно независимых решений
однородной задачи. (Почему они линейно независимы?)
Рассмотрим теперь случай Л/<0. Пусть и(х, y) + iv(x, у) —
решение задачи Гильберта. Так как построенная выше функция
а(х, y) + i$(x, у) имеют полюс порядка \N\ в начале координат,
то функция
имеет нуль в начале координат кратности не меньшей чем | N |.
Граничные значения вещественной части U (х, у) равны
306 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
= 2*/\-Lft2/ \- Пусть коэффициенты Фурье этой функции равны
а E/~гР \s)
ап и Ьп. Ранее, в § 7, было показано, что коэффициенты ряда
Тейлора функции
определяются по формулам
(*n = cLn-ibn (п>0) C)
однозначно с точностью до постоянной С. Так как первые | NI
коэффициентов обращаются в нуль, то это означает, что все коэф-
коэффициенты ряда Тейлора функции U -\-iV (а значит, и сама функ-
функция) определяются однозначно по граничному условию. Сле-
Следовательно, и + iv = @ -f- iV) (a -f- ф) определяется однозначно.
Итак, мы доказали, что при ;V<;0 не существует более одного
решения задачи, и если задача разрешима, то
С другой стороны, если эти условия выполнены, то построенная
функция U -\-iV имеет нуль в начале координат порядка не ниже
чем | N | (постоянную С в соотношении C) полагаем равной нулю).
Тогда функция и-{-iv = (a ~\-i$) (U-\-iV) аналитична в круге и,
по построению U, удовлетворяет граничным условиям.
Записав явные выражения для коэффициентов Фурье, получим
необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Гиль-
Гильберта:
2л
2Я
Г f(s)
sinnsds=0 (n = l, 2, ..., \N\-l).
Обозначив
sin ks
= lf 2,
p (,) [fl2 E) + ^2 (s)] ^ - | 7V |, | /V |
мы можем, переписав эти равенства в виде
2Я
5O. A = l, 2, ....
§ 24] ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА В КРУГЕ 307
сказать, что для разрешимости задачи Гильберта при N <С.О
необходимо и достаточно, чтобы правая часть f(s) была ортого-
ортогональна к 2 | N | — 1 -мерному пространству функций, являющихся
линейными комбинациями срь ф2, ..., ф2|Л/|-ь (Вопрос: почему
функции ф между собой линейно независимы?) Теорема полностью
доказана.
В заключении рассмотрим одну задачу для уравнения Лап-
Лапласа, тесно связанную с задачей Гильберта.
Задача с косой п рои зво дно й. Найти решение ф(х, у)
уравнения Лапласа -^~ + -^ = 0, непрерывное вплоть до границы
вместе с первыми производными и удовлетворяющее граничному
условию: -^
==/(s). Здесь ^ означает производную по некото-
некоторому направлению v. Если обозначить направляющие косинусы
этого направления через a(s), — & (s), то граничное условие пере-
перепишется следующим образом:
Положим и = цХ1 v = — Ц)у. Очевидно, что иу = — vx. Кроме того,
Ux — Vy = (q>x)x — (—q>y)y = 4>xx + q>yy==Q- Мы выяснили, что и(х, у),
v(x, у) связаны условиями Коши — Римана. Функция u + iv —
аналитическая. Граничное условие acpx — bcpy = f перепишется для
этой аналитической функции так:
Таким образом, каждому решению задачи с косой производной
соответствует решение задачи Гильберта по формулам и = фл.,
v = — ф^. Обратно, по решению задачи Гильберта можно одно-
однозначно, с точностью до произвольной аддитивной постоянной,
определить решение ф задачи с косой производной.
Таким образом, в случае единичного круга было доказано
следующее: если индекс граничного условия Л/^О, то по дока-
доказанной теореме задача Гильберта, а с ней и задача с косой про-
производной всегда разрешимы. При этом функция ф определяется
с точностью до 2Л/ + 2 линейно независимых решений однородной
задачи (одна произвольная постоянная появляется при переходе
от и, v к ф).
Если же индекс N < 0, то для разрешимости задачи необхо-
необходимо и достаточно выполнения 2\N\ — l условия, и решение ф
определяется с точностью до одной произвольной постоянной.
В качестве примера можно рассмотреть так называемую задачу
Неймана — частный случай задачи с косой производной, когда
направление v совпадает с нормалью. Для круга в этом случае
a(s)=coss, b(s) = — sins и, следовательно, индекс равен — 1.
308 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
Условие разрешимости, как это вытекает из теоремы (и из ра-
2л
зобранного ранее примера 2), записывается в виде $ f(s)ds = O.
о
Решение задачи Неймана определяется с точностью до произволь-
произвольной постоянной.
На этом мы заканчиваем изучение задачи Гильберта. Сделаем
лишь еще одно терминологическое замечание.
В настоящее время индексом той или иной краевой задачи
принято называть разность между числом решений однородной
задачи и числом условий ортогональности, которые должны
выполняться для правой части в случае разрешимости. В задаче
Гильберта эта разность равна 2N+1 (а в задаче с косой про-
производной 2/V + 2) как в случае положительного, так и в случае
отрицательного N. Именно поэтому мы назвали N индексом гра-
граничного условия, чтобы не путать его с индексом 2N + 1 задачи.
Упражнение. Докажите, что для разрешимости системы
К
2 fh * = L 2> .... А D)
необходимо и достаточно, чтобы // были ортогональны ^ zifi=z^\ любому
\t = i /
решению однородной сопряженной системы
/
2 а**г* = 0, *=1, 2, ..., К- E)
i = l
Разность любых двух решений системы D) удовлетворяет однородным урав-
уравнениям
К
2 а1кУк=О- F)
k = 1
Разность размерностей пространств решений у систем F), E) называется
индексом системы D). Докажите, что этот индекс равен K — I-
§ 25. Некорректные задачи
Обсуждение возможности решения некорректных задач на примере задачи
Коши для периодических решений Лапласа. Разложение этих решений в ряд
Фурье. Логарифмически выпуклые функции и получение с их помощью нера-
неравенств для логарифмических функций. Условная корректность в классе огра-
ограниченных решений. Регуляризация приближений для начальных данных и
отыскание решения некорректной задачи, ограниченного известной константой.
В заключение нашего обзора теории эллиптических уравнений,
который мы проводим на простейших типичных задачах, оста-
остановимся еще на разборе «некорректной» задачи. Несмотря на по-
постулат Адамара о том, что реальные физические процессы опи-
описываются, как правило, задачами корректными, есть много науч-
§ 251 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 309
ных вопросов, сводящихся к задачам некорректным. Обычно эти
вопросы бывают связаны с попыткой восстановить течение какого-
либо процесса, описываемого корректной задачей, по результатам
измерений, которые должны единственным образом определять
решение, но делают это некорректным образом. Так, например,
потенциал поля тяготения может быть получен по заданному
распределению масс решением некоторой корректной задачи для
уравнения Пуассона. Однако, если мы постараемся определить
это поле по результатам измерений, сделанных на какой-либо поверх-
поверхности, например, на поверхности Земли, то мы придем к некоррект-
некорректной задаче Коши, рассмотренной в примере Адамара. Несмотря на
это, задачу восстановления поля тяготения по данным Коши часто
решают, например, в целях гравиметрической разведки.
Этот параграф будет посвящен решению задачи Коши для урав-
уравнения Лапласа. Несколько точнее будет сказать, что мы решаем
смешанную краевую задачу, так как и (х, у) мы будем предпола-
предполагать периодической по х с периодом 2я. Более того, мы огра-
ограничимся предположением, что и(х, #) = —и(—х, у). Пусть реше-
решение определено и непрерывно вместе с первыми производными
в полосе О^г/^с 1. Для простоты еще предположим, что и (х, 0) =
= 0, и обозначим
ди (х, у)
ду
Предполагая, что такое решение существует, выпишем его раз-
разложение в ряд Фурье по переменной х. В силу наложенных
условий (нечетности и гладкости функции) этот ряд имеет вид
оо
и (*» У) = У) bn(y)sinnx
и сходится при каждом у@^у^1) равномерно относительно х.
Чтобы вычислить коэффициенты Фурье Ьп (у), заметим, что
2я
Ьп (у) =с — \ и(х, у) sin nxdx. Затем умножим уравнение Лапласа
д2а +д^ - о
dx* ^ ду°~
почленно на sin и* и проинтегрируем получившееся равенство
от 0 до 2я:
2я 2я
д*и (х, у) .
С д2и (х, и) . , С
\ —-V 9 smnxdx + \
J № J
Это равенство справедливо для внутренних точек полосы 0 < у<а 1.
Для этих точек гармоническая функция и (х, у)у как мы знаем,
310
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. III
бесконечно дифференцируема. Поэтому во втором интеграле можно
поменять местами операции интегрирования и дифференцирования.
А первый интеграл преобразуем интегрированием по частям два
раза и воспользуемся периодичностью функции и (х, у). В резуль-
результате получим соотношение
2л
~
2л
- п2 ^ и (jc, у) sin nx dx + ~ С и (X, у) sin nxdx =
или, что то же самое,
Общее решение этого уравнения имеет вид
Из интегрального представления функций Ьп (у) видно, что они
непрерывны при O^y^l. Следовательно, из условия и(х, 0) = 0
(а следовательно, и Ьп @) = 0) окончательно имеем
bn(y) = Anshny.
Итак, мы получили, что для функции и (х, у), удовлетворяющей
нашим предположениям, справедливо представление
и(х> У)=
0)
п= 1
В частности, и(х, 1) = 2 Ап&п sin пх, откуда вытекает, что
I Anshn
2л
\ и(х, 1) si
sin nxdx
К
: sh n'
Следовательно, | An
Из этой оценки вытекает, что ряд A) можно любое число раз
дифференцировать почленно при 0^с#< 1. В частности,
ди
= % пАп sin пх,
т. е. Лл = ^, где ая — коэффициенты Фурье функции ф (х).
§ 251 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 311
Тем самым получено (при наложенных выше предположениях)
решение задачи Коши для уравнения Лапласа с условиями:
и(х, 0) = 0,
оо
ди / \ V •
g- _ = <р (х) = 7 ап sin nx.
Мы показали, что если решение существует в полосе 0^у^ 1, то
оо
и (х, у) = У ~ S^ пу sin nx B)
И
| ап | < const -?-. C)
И обратно, если коэффициенты Фурье ап удовлетворяют неравен-
неравенству C), то ряд B) дает решение задачи Коши. Действительно,
легко проверить, что каждый член ряда является гармонической
функцией и, в силу неравенства C), ряд можно дифференцировать
любое число раз при |у|<1. Следовательно, функция и(х, у)
тоже гармонична и удовлетворяет начальным условиям.
Пример Адамара показывает, что задача восстановления и (х, у)
по и (х, 0), "д не является корректной. Однако если знать,
что решение существует и удовлетворяет некоторым неравенствам,
то оказывается, что его можно приближенно решить, даже если
пользоваться не совсем точными начальными данными.
Мы расскажем решение задачи о восстановлении
оо
и(х, У)= 2 -~-shm/-sinAi*
по приближенным значениям
оо
(р(х) = ^ ял sin я*.
п = 1
Наш рассказ будет основан на работе М. М. Лаврентьева. Решае-
Решаемая задача некорректна. Однако если предположить, что мы вос-
восстанавливаем решение, про которое известно, что
я
\и2(ху y)dx<M2 при всех 0<у^1,
о
то некорректность исчезает благодаря следующей теореме.
Теорема. Если и (л:, у) — непрерывная при O^y^l гармо-
гармоническая функция, удовлетворяющая нашим условиям периодичности
312 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III
и регулярности: и(ху 0) = 0,
по
я
$ и2 (*, у) dx
о
Положительную гладкую функцию /(/)>0 мы будем называть
логарифмически выпуклой, если -^1п/(/)^0. В силу равенства
1п/ ^0
dt2 МГКЧ— dt \f dt j~ f* =^u
для логарифмической выпуклости необходимо и достаточно выпол-
выполнения неравенств />0, /"/ — Г2^0, что в свою очередь эквива-
эквивалентно неотрицательности формы
при произвольных 5, Ц*
Лемма 1. Сумма логарифмически выпуклых функций является
логарифмически выпуклой.
Доказательство этой леммы вытекает из неравенства
tfi + h)" I2 + 2 (/i + /2)' 6Л + (/i + /2) Л2 ^ О,
выполненного для любых 5, т|, если только для них выполнены
неравенства
означающие логарифмическую выпуклость /2, /2. Очевидно, что
доказанный факт имеет место для любого конечного числа сла-
слагаемых.
Лемма 2. f(t)= ь ^2а логарифмически выпукла при любом а.
В самом деле,
sh2
2а| sh2 ^t/
—р-2— является логарифмически выпук-
k = \
лой функцией. Доказательство вытекает из лемм 1, 2.
§ 25] НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 313
Из логарифмической выпуклости вытекают неравенства
InЫ#) ^#In Ы1)+ (!-</) In МО), O^y^l,
Очевидно, что если обозначить
х, У) = 2 Г sh п# sin nx*
то
In
In
In
(y) —
A) =
@) =
Я
2 f 2
0
я
— 1 (/д/ (.
0
N
V 2
/1=1
/ (x, у) dxy
x, l)dx,
я
— l фд^ (X
0
Это позволяет переписать доказанное нами неравенство так:
IF
При наших предположениях им (xf у), фдг М сходятся равномерно
(Itfl^O к и (х> У)> ФМ соответственно. Из этой равномерной
сходимости вытекает, что
^/2(х, 1) Лс К<
о J Lo
Доказательство теоремы закончено.
Пусть теперь {и{к) (х, у)} — последовательность гармонических
функций
и^ (х, у) = 2, ~-^~~ sh Щ sin aza:,
ограниченных одной и той же постоянной при |у|^1. Тогда для
314 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
любой из этих функций
[ГЛ. III
к* U) ~~ U' ду
Пусть и (х, у) — некоторая гармоническая функция того же вида:
оо
и = \. — sh ny- sin пх,
1 = 0
«(*, 0)=0,
и пусть мы знаем, что
Тогда u^k) (x, у) сходится к и (х, у) равномерно вместе со всеми
своими производными до любого фиксированного порядка внутри
любой полосы | у | ==с Y < 1.
Доказательство. Во-первых, заметим, что
л
\[uW(x, l)-u(x, l)]2dx^
о
2я
О
, \)fdx + 2
2я
, \)u(x, \)dx
Далее, по предыдущей теореме (заменив М2 на 4УИ2)
][и{к)(х, у)-и(х, y)]2dx^..
Мы видим, что и^ (х, у) сходятся к и (х, у) в среднем внутри
прямоугольника О^лг^я, \y\<Y. Из-за периодичности и(х, у)
по х и благодаря ее нечетности сходимость в среднем имеет место
Проинтегрируем это неравенство по у от —Y до Y *):
у я
J J[^U)(^ У)-и(х, У)
— У О
*) Очевидно, хотя мы на этом и не остановились, что и (х, у) =
—и(*, —у); и<*>(х, у) = — и<*>(х, —у).
§ 251 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 315
для любой конечной части полосы \у\<У- Как мы знаем, для
гармонических функций из сходимости в среднем вытекает равно-
равномерная сходимость внутри любой внутренней подобласти. Эта
сходимость равномерна не только для самих и(х, у), но и для
их производных любого фиксированного порядка.
В классе ограниченных решений два решения мало отличаются
друг от друга, если достаточно близки их начальные данные.
Говорят, что здесь имеет место условная корректность — непре-
непрерывная зависимость от начальных данных, при условии, что все
рассматриваемые решения удовлетворяют дополнительному реше-
решению — ограниченности.
Теперь мы остановимся на принципиальной возможности при-
приближенного вычисления и (х, у) по приближенным значения tyN (x)
для ф(я). Не ограничивая общности, можно предполагать, что
ipTv (x) является тригонометрическим многочленом
N
Пусть
j
б n
Кроме того, предположим, что
Гармонические функции, построенные по нулевым начальным зна-
значениям и (х, 0) и по значениям tyN (x) для начальных значений
производных по у
uN (х, у) = У -^— sh пу - sin nx,
не обязаны быть равномерно ограниченными при | у \ ^ 1, и поэтому
могут не образовать сходящейся последовательности.
Мы начнем с «регуляризации» приближенных значений tyN (x)
для начальных данных. Положим
л/
y\N\-*'j— ^/j u-n ми ал,
n= 1
где a^nN) мы выберем так, чтобы они удовлетворяли неравенству
2 L п*
316 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА ГГЛ. Ш
и при этом условии давали минимальное значение выражению
п=\
Существование таких й^} не вызывает сомнения, так как речь
идет о минимуме непрерывной функции N переменных в конечной
области jV-мерного пространства.
Если бы мы положили а^) = ап (/г = 1, 2, ..., Л/), то нера-
неравенство
было бы выполнено и, кроме того, мы имели бы
у 2 K'-^p-f 2
П=1 /1=1
(так поступить на самом деле мы не можем, так как ап нам
неизвестны). Отсюда вытекает, что для п^\ дающих минимум
N
выражению у / [a{nN)— &{nN)y9 этот минимум не будет превосхо-
п = \
дить 8дг, так как в допустимой области есть точка, в которой
значение минимизируемого выражения не больше eN. Мы теперь
уже знаем, что
п =0
? 2
Из неравенств а), Ь) с помощью элементарного неравенства
(Ь - аJ ^ 2 (Ь2 + а2) выводим
§ 25] НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
Объединим полученный результат с с):
о
Кроме того, по построению
1
о
Здесь мы обозначили
N -(ЛО
——sh ny • sin nx,
AZ = 1
1 Л* г / д / \ I о
По доказанному ранее, гармонические функции uN (x, у) б
при |у|<1 сходиться к и(х, у), если yV~>oo, 8^~>0.
В заключение опишем вкратце, как могут быть найдены
чения a^T). Начнем с того, что выясним, какой из случаев:
f 2 ^
II)
имеет место.
В случае I) достаточно положить
Тогда мы будем иметь
а меньших значений это выражение принимать не может,
В случае II ясно, что минимум
318 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. ТИ
будет достигаться для а\^\ лежащих на поверхности N -мерного
эллипсоида
Для отыскания условного экстремума воспользуемся множителем
Лагранжа XN и, составив выражение
приравняем к нулю его производную по я}, ':
Отсюда
Параметр %N надо найти как решение уравнения
г = 1
Ясно, что существует, и притом единственное, положительное
решение, так как левая часть является монотонно убывающей
функцией XN и меняется от ~ У -L-—-Lsh2/г > М2 до нуля при
п = \
изменении XN в пределах от нуля до плюс бесконечности.
Интересующий нас минимум достигается на положительном
корне.
Это видно из того, что правые части равенств
2к>-«-?=2 /,,,^я
я v 15<Л
я\1 1 К Т
уменьшатся, если при отрицательном XN сменить знак.
Мы показали принципиальную возможность решения некор-
некорректной задачи, если нам известно, что интересующее нас реше-
§ 25] НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 319
ние действительно существует и принадлежит некоторому множе-
множеству решений, для которого имеет место «условная корректность».
На изложении эффективного технологического процесса реше-
решения некорректных задач мы останавливаться не будем. Отметим
только, что обычно этот процесс состоит в замене исходной задачи
близкой к ней, но уже корректной. Решение этой близкой (регу-
ляризированной) задачи обычно оказывается мало отличающимся от
разыскиваемого решения, принадлежащего некоторому классу
«условной корректности».
В этом параграфе мы кратко остановились на обсуждении
постановки типичной «некорректной» задачи. Цель этого обсуж-
обсуждения—более выпукло оттенить современное содержание понятия
корректности и обратить внимание на сравнительно новую и бурно
развивающуюся область математической физики. К сожалению,
мы не можем здесь останавливаться на обзоре методов решения
«некорректных» или «условно корректных» задач, которым посвя-
посвящена обширная литература. См.г например, [11].
Глава IV
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 26. Система обыкновенных дифференциальных уравнений
Изучение формул для решения систем обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами при помощи соображений, которые
будут использоваться для обоснования метода Фурье. Интеграл Дюамеля и Пре-
Преобразование Лапласа. Частотная характеристика. Формулировка теоремы
об обращении преобразования Лапласа и ее применение для представления
решения в виде суммы экспонент.
Мы приступаем к изучению теории метода Фурье на примере
его приложения к смешанным задачам для гиперболических сис-
систем с двумя независимыми переменными х, t. Этот метод является
перенесением на более сложный случай известного приема Эйлера
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Прием Эйлера состоит в отыскании у системы —г—Аи = 0 част-
частных решений u = eKitVi и в конструировании произвольного реше-
решения из этих частных. Мы сейчас опускаем некоторые известные
видоизменения этого приема, возникающие в случае, когда харак-
характеристическое уравнение det || Л — Я? || =0 имеет кратные корни.
С методом Фурье для уравнений с частными производными
мы уже знакомились во вводной части этой книги (гл. 1, § 7).
Там были разобраны в качестве примеров задача Дирихле для
уравнения Лапласа и простейшая гиперболическая система — урав-
уравнения акустики. В этой главе мы построим теорию метода Фурье
для гиперболических систем с двумя независимыми переменными
х, t. Подробно будет рассмотрен случай двух уравнений. В слу-
случае систем большего порядка схема теории остается той же самой,
но результаты могут быть несколько другими. Дело в том, что
далеко не всегда любое решение представимо в виде суммы част-
частных решений типа стоячих волн. Хотя в этой главе будет разо-
разобран только один пример неполноты системы стоячих волн в слу-
случае, когда собственных функций вообще нет, я думаю, что из при-
приведенной теории должно быть ясно, в каких конкретных случаях
полнота имеет место, а в каких нет.
Мы построим теорию метода Фурье, основываясь на технике
преобразования Лапласа. Чтобы сделать все выводы более про-
§ 26] СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 321
зрачными, опишем сначала идею теории в случае обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Прежде чем давать формальное определение, разберем наводя-
наводящие соображения, поясняющие смысл процедуры, с помощью
которой определяется преобразование Лапласа.
Пусть w(t) является решением системы
с не зависящей от времени / матрицей Л, удовлетворяющим нуле-
нулевым начальным данным w@) = 6. Наряду с этой системой рас-
рассмотрим зависящее от параметра t0 семейство и (/, /0) решений
однородной системы
dt яи - и'
Утверждается, что
Действительно,
ri* @) t)+hu(t-to,to)dto==ni)+fAuit_u< U)du
LLL fj til ij
0 0
/
u(t-t0, to)dto=f(t) + .
0
Уравнение —г—Aw = f(t) выполнено. Выполнение для w началь-
начального условия w@) = 0 очевидно.
Формула
t
w (t) = \ и (t — t0, t0) dtOi
6
представляющая решение неоднородной задачи через решения одно-
однородных, называется интегралом Дюамеля.
Рассмотрим теперь случай специальной правой части вида
f (t) — еи ф (ф — постоянный вектор). Решение и (t, t0) однород-
однородной задачи
~df~Au==0>
зависит от t0 простым явным образом:
и (f, to) = el<°u(t, 0).
322 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ IV
В дальнейшем мы будем этим пользоваться, опуская в u(t, 0)
второй (нулевой) аргумент и записывая решение w неоднородной
задачи
w |/-0 = 0
формулой
/ t
w (t) = \u(t-t0)eUo dto=:eM\u(t-to)e-w-t«) dt0.
о;
Входящая в этот интеграл вектор-функция и (/) удовлетворяет
следующим уравнениям и начальным условиям:
а |/_0 = ф.
Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно,
что решение может быть, как правило, представлено в виде ли-
линейной комбинации экспонент ек{(, где k{ являются корнями харак-
характеристического уравнения
detp?-i4||=0.
Слова «как правило» означают, что некоторые уточнения должны
быть внесены при наличии кратных корней у этого уравнения.
Из представления решения в виде комбинации экспонент следует,
что если Re>u>-max Re&/? то
i
t lo — t
0 / оо
=- — \u(x)e-kxdr = \u(r)e-lxdxT^l u(t)e hidt = v(k),
t о о
т. е. последний интеграл сходится.
(Задача. Докажите сходимость интеграла при том же предположении
Re^>»max Re?/ в случае, если среди корней k{ имеются кратные.)
В этом случае говорят, что «вынуждающая сила» еиу раска-
раскачивает систему со своей «частотой». Через v (к) мы обозначили
устанавливающуюся при t-+oo амплитуду колебаний. Слово
«частота» мы взяли в кавычки, потому что понятие частоты со,
строго говоря, определено лишь для чисто мнимых Х = ш. Для
простоты и большей наглядности мы будем некоторое время пред-
предполагать, что К ==i(o у нас чисто мнимое и что max(Re&;)<<
§ 26] СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 323
< — /?<0. Потом мы покажем, как обобщить нужные нам факты
на тот случай, если неравенство max (Re &;)< — р не выполнено.
Итак, рассматривая решение системы
мы имеем для него формулу
t
w (t) = гш \u(t-10) *-'«<'-'o> dt0.
о
При t-^oo
t
о
'-'o> dt0 ->¦ v (ico) = \ u(t) е~ш dt.
Вектор-функция v(ko) от частоты со носит название частотной
характеристики системы ~- — Аи=0, а представляющий ее ин-
оо
теграл § u(t)e~m dt называется преобразованием Лапласа от u(t).
о
Рассмотрим сейчас в качестве совсем простого частного при-
примера случай системы, состоящей всего из одного уравнения
du I n t dw *
-dt — ku = 0, I _ _ feo/ =
Для и (t), w(t) могут быть выписаны следующие явные формулы:
и 111 = ше и; = ^i W/ т е^.
v ' Y * /со — ^ ico — /г
Так как мы предполагаем, что Re/e<0, то в формуле для w
второе слагаемое стремится к нулю при t-+oo. Коэффициент
при первом слагаемом—функция v (ко) = . ^ является час-
частотной характеристикой и может быть вычислена в виде интеграла
оо оо
— к
В этом примере частотная характеристика —это просто ска-
скалярная функция от со или, если угодно —одномерная вектор-функ-
вектор-функция. Оказывается, что если для довольно произвольной функции
324 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
и (t) известна ее частотная характеристика
то сама функция a (t) может быть восстановлена по этой частот-
частотной характеристике. Имеет место следующая теорема об обраще-
обращении преобразования Лапласа:
Теорем а. Пусть функция и (/), определенная при O
удовлетворяет неравенствам
\u(t)\<Me Л | и' @ | < Мег* (р > 0)
и пусть, кроме того, при 0 ^ tt ^ 27"
\u'{t1)-u'(t2)\^MV\tl-t,\.
Определим преобразование Лапласа v (ш) формулой
оо
v (to) = jj ^-/co/« @ df.
о
Гогйй исходная функция и (t) может быть восстановлена по о (tco)
с помощью равенства
ъ
— b
Оценка константы в О(-г-) равномерна для всех / из отрезка
0<С/о-<;/^Т и для всех функций и (/), удовлетворяющих нера-
неравенствам в условии теоремы. Эта теорема лишь деталями форму-
формулировки отличается от общеизвестной теоремы об обращении
преобразования Лапласа: здесь на функцию и (/) накладываются
несколько более сильные ограничения и получается более точная
асимптотика для интеграла. Доказательство теоремы будет при-
приведено в следующем параграфе, а пока вернемся к рассмотрению
частотной характеристики v (ко) системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений — Аи = 0, и\(^0 = ц). Оказывается, что каж-
каждая компонента этой частотной характеристики v (tco), является
рациональной функцией ico, имеющей полюсы в точках k, удов-
удовлетворяющих характеристическому уравнению
det|| Л-/г?||=О.
Докажем это. Наряду с преобразованием Лапласа и (t)
00
v (ш) = ^ е~ши (t) dt
о
§ 26] СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 325
рассмотрим еще преобразование Лапласа от Au(t) и от ¦ UJ. :
ОО 00
I e~mAu (t) dt = A\ е~ши (t) dt = Av (to),
о о
= — и @) + to \u (t) е~ш dt = — ф + коv (ш).
о
Отсюда
ос
е~ш [^г — Au)dt = — ф + fcot; (ico) — Av (to).
l
Так как -т.— Аи = О, то v(m) удовлетворяет системе линейных
уравнений
(А — шЕ) v + ф = О,
которая разрешима, если только to не является корнем характе-
характеристического уравнения det \\A—kE\\= 0. Сформулированное
утверждение про v (to) следует из вида этой системы. Если все
корни характеристического уравнения простые, то v (to)y очевидно,
допускает представление в виде
Воспользуемся теперь теоремой об обращении преобразования
Лапласа (O<to^t^T):
—ъ j \ —ъ I
Немного ниже мы покажем, что при b-^оо и Refy<0,
ii ^-^°(^ m
— b
Это дает нам право утверждать, что
326 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
В силу произвольности Ь отсюда получается представление
решения системы в виде комбинации экспонент. Тем самым зна-
знание частотной характеристики v (ко)
позволяет найти собственные «частоты
kj» и вычислить векторные коэффици-
Л=б+го) енты ypj разложения решения по этим
частотам, то есть собственные векторы
матрицы Л.
Докажем соотношение A). Для этого
рассмотрим
— ь
Изобразим путь интегрирования в
виде отрезка —fc^co^fc на комплекс-
комплексной плоскости X = i(u и дополним этот
путь полуокружностью \X\ = b (Re>,<cO) так, как это сделано на
рис. 69. Интеграл
+ъ с
т;—"• Ф ~\—т dX = -~— 1 — г dco -f- -x—- J -г—г- dX
2,711 JA, — к ZJI J 1@ — R Zm K'=b A — к
— Ь ReA,<0
может быть вычислен точно с помощью вычетов. Он отличается
от нашего исходного на интеграл по полуокружности, про кото-
который будет показано, что он при b-^оо является величиной по-
/ \ \
рядка О (-г-). При достаточно большом b полюс X = k лежит внутри
контура интегрирования и имеет вычет ekt. Следовательно,
Для оценки интеграла по полуокружности заметим, что
X = Ъ (— sin ф + i cos ф), 0 < ф ^ я,
Выбрав достаточно большие fc, можно считать, что на полуокруж-
полуокружности \l\X-k\<2lb.
Поэтому
2лг J X — k
§ 26] СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 327
Л Л/2
Г С ( 1 \
и нам остается показать, что I ecsinvd<p = 2 \ ?-csin(Pd<p = O — L
« о VC/
где обозначено c — bt. Представим этот положительный интеграл
в виде
Л/2 л/4 _ gin Л/2
J COS ф J
О Л/4
Л/4 . Л/2
I
Л/4
11/" 9 I I l/" 9
так как по предположению t^to>O. Эта оценка в курсе теории
функций комплексного переменного часто носит название леммы
Жордапа.
Мы разобрали подробно случай, когда характеристическое
уравнение не имеет кратных корней. Случаю кратных корней
посвящена следующая задача.
Задача. В случае, если характеристический корень kf- матрицы Л имеет
кратность г,-, функция v (ш) может быть представлена в виде
Ч
Вычислите (в предположении, что Re kf < 0) интегралы
+ оо
С
+
1 С ei<*f did
2л J (m — kjf '
Результат используйте для вывода представления решения и (/).
Изучение метода Фурье для уравнений в частных производ-
производных будет проводиться по следующей схеме. Сначала с помощью
преобразования Лапласа решения системы уравнений с частными
производными будет построена «частотная» характеристика этой
системы, являющаяся аналитической функцией параметра X
(«частоты»). Затем аналитическая природа этой «частотной харак-
характеристики» будет тщательно изучена, будут выделены ее полюсы,
определены в их окрестности главные части лорановского разло-
разложения. С помощью теоремы об обращении преобразования Лап-
Лапласа решение будет аппроксимировано контурным интегралом,
который в свою очередь будет вычислен в виде конечной суммы
по полюсам. Тщательное выполнение этой программы приведет
нас к теореме о возможности как угодно точной аппроксимации
любого решения смешанной задачи для гиперболической системы
конечной суммой специальных решений — «стоячих волн».
328 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
§ 27. Теорема об обращении преобразования Лапласа
Формулировка теорем об обращении преобразования Лапласа и ее обоб-
обобщение на растущие (не слишком быстро) функции. Первые три леммы и вы-
вытекающие из них следствия приводят к важному тождеству с тригонометриче-
тригонометрическим интегралом. Обсуждается характер остаточного члена в этом тождестве.
Окончание доказательства теоремы.
Приведем формулировку теорем, которые будут доказаны в этом
параграфе.
Теорема 1. Пусть функция и (/), определенная при О ^ / <
< со, удовлетворяет неравенствам
| и @ | < Me-**,
Iи' (О I < Me~pt, p > О,
и пусть, кроме того, при О ^ /,- ^ 2Т
I и' (/]_) — ur (t2) | ^ Af (Т) • ]/"| /х — /2
7o2E« п/?а 0 <с /0 ^ ^ ^ Т выполнено неравенство
Здесь v (ко) — преобразование Лапласа функции u(t):
оо
o(ico) = J er^u{t)dt,
о
й постоянная Мх зависит лишь от р, t0, Т, Му N (Г).
Теорема 2. Пусть функция и (/), определенная при 0 ^ / < оо,
удовлетворяет неравенствам
\u(t)\<Me",
и' (t) \ <
(Эля
при O<to^t^T справедливо неравенство
a + tt
a—ib
где v (X) = ^ и (t) e~u dt — преобразование Лапласа функции и (/)»
о
а постоянная Мх зависит лишь от К, t0, Т, М и N (Г).
Легко видеть, что теорема 2 вытекает из теоремы 1. Действи-
Действительно, пусть функция и (t) удовлетворяет условиям теоремы 2.
Введем функцию и {t)=e~atu (t). Тогда 1 и (t) \ = [ и (t) \ erat <
§ 27] ТЕОРЕМА ОБ ОБРАЩЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 329
<Me-(a~K)t = Me~pt, где обозначено р = а — /С>0. Проверим, что
функция и (t) удовлетворяет остальным двум неравенствам в усло-
условии теоремы 1:
| и' (t) \=e-at | и'(t)-аи (t) |<MA +1а|)ег# = МегР*,
I и' (к) - и' (t2) | = | er«* [W (у - аи (Щ - ег«* [и' (/2) - аи (/2)] | ^
^\(e-°t*-e-°t>)[u'(t1)-
at>[u' (tj-u' (t2)-au (t
при 0^?/^27\ Функция u(t) удовлетворяет, таким образом,
всем условиям теоремы 1. Следовательно, если положить
б (ко) = $
о
то имеет место формула
u{t) = u (t) eat = ~ §v (fa) еш dco + O (-J-J =
a + ib.
+
J
ib
J
a—ib
Положим ?i = a + to), v(k) = v(a + fa) = v(m). Так как при /0^
z^t^T выражение e~at ограничено как сверху, так и снизу, то
из последней формулы после сокращения на e~at вытекает заклю-
заключение теоремы 2.
В дальнейшем мы будем пользоваться той формой обращения
преобразования Лапласа, которая дается в теореме 2.
Приступим к доказательству теоремы 1. Мы начнем с нескольких подго-
подготовительных лемм о тригонометрических интегралах.
Лемма 1 При t >> О, Ь ;> 0 выполнено неравенство
(Про ф (^) предполагается, что она имеет непрерывную производную q/ (?) и
конечную правую часть в выписанном неравенстве.)
Для доказательства леммы преобразуем интегрированием по частям следую-
следующий интеграл (В > /):
г в
— Х Ф @ cos bt ф (В) cos ЬВ
-ь\ t в - (
11 С. К. Гддуиов
330
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЁ
[ГЛ. IV
а.затем оценим слагаемые полученной суммы:
в
С sin bl iT.
Если существуют
sup I Ф (I) I.
то из приведенного неравенства следует, что
в2
sin bl
(В2
\<P'(i)\dl,
где e(Bi)-vO при Вх-^оо. Это последнее утверждение эквивалентно выпол-
выполнению критерия Коши для проверки сходимости интеграла
Итак, этот интеграл сходится. Переходя к пределу при В ->оо в обеих частях
в
С sin 6H .... JV
неравенства для \ —г"^ Ф (ё) > приходим к утверждению леммы.
Первое следствие из леммы 1:
+ * . ...
JL ±
ь ' t'
-t-oo
Действительно, из курса математического анализа известно, что \ sin *dE = n
J I
а из леммы 1, положив ф(?) = 1, получим
sin
Теперь сформулированное следствие очевидно.
Второе следствие из леммы 1. Если при t ^ О
| и (t) | ^ Л^е-^, | и' @ | ^ Мг^,
то для t ^ tQ > О
с остаючным членом 0(т-
<-г
. 27} ТЕОРЕМА ОБ ОБРАЩЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
В самом деле, по лемме 1:
331
sin ^g
u(t + l)<
= b
1 \ M
У T
Следствие обосновано.
Лемма 2. Пусть при — t ^ g ^ / выполнены неравенства j / (|) | <С Ж,
Доказательство:
f ^ = -| f /ffi) dсое65 =
6/
f si
6=-/
l"V
[/@-f (-/)] +у J
sin 65/E)
2M 1
Лемма 3. Пусть при | ? | < < выполнены неравенства: I Ф (S) I < Ж,
Ф' (I) I < M,
Доказательство. Построим функцию
ш=ФA)-Ф@)
и докажем, что |/ (g) | < М, | /' (|) | < г Действительно,
V\l\
Отсюда
11*
332
Далее:
Поэтому
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
%р'-[ф (Е)-ф @I _ Еф' (Е)-Еф' №) __ ф' (Е)-ф' №)
= Р Е2 "" Б
[ГЛ. IV
Применим теперь лемму 2:
Теперь остается лишь отметить, что по первому следствию из леммы J
-dg —я-ф(О)
ь' t -
Доказательство леммы 3 завершено.
Следствие из леммы 3. Пусть при t
| и (t) | < МегР* ^ УИ, | и' (t) | <
а при 0 ^ti^t2^2T оценка непрерывности и' (t):
Тогда для
имеет место равенство:
выполнены неравенства
с остаточным членом О[-г) таким, что
~
(Для вывода следствия из леммы 3 достаточно положить ф (?) = ( + ?).)
Объединяя это следствие со вторым следствием из леммы 1, мы получим для
функций и (/)> удовлетворяющих всем сформулированным для них условиям,
равенство
—t
где постоянная с в оценке
О f-T-j <-т- зависит лишь от М, р, t0, T: с —
= с(М, р> tOy T), если 0 <to^.t ^T. (Расширяя допустимый отрезок изме-
изменения t, например, путем приближения t0 к нулю, мы будем увеличивать
постоянную с в этой оценке.)
§27]
ТЕОРЕМА ОБ ОБРАЩЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
333
Мы говорим в таком случае, что оценка остаточного члена О 1-г) равно-
равномерна по всем функциям и (/), удовлетворяющим оценкам
| и (t) | < Ме-Р*, | и' (t) | < Ме-Р*, t ^ 0,
I W (t2)-uf (h) | ^ M Vh^Tv O^x <
и для всех t из фиксированного отрезка
0 < t0 ^ t ^ Т.
В курсах математического анализа часто доказывается, что если функция
g (Q такова, что:
Л- ef ft) непрерывна при ?0 — А<|<|о + А и имеет в этом интервале
ограниченную вариацию, то для нее выполнено предельное соотношение
Из этого утверждения получается, что если положить
при ?> — tt
О при ? «< — t,
то
—/
Наложив на и (t) более жесткие условия, мы сумели показать, что при Ъ ->¦ со
интеграл в правой части отличается от и (t) на величину порядка l/b равно-
равномерно для всех функций и (/), удовлетворяющих этим предположениям, и для
всех / из некоторого фиксированного отрезка 0 <.to^.t ^ 7\
Ограничение t0 > 0 необходимо накладывать по следующей причине. Функ-
Функция g (I) имеет у нас график такого типа, который изображен на рис. 70.
При ?==— t она, как правило,
разрывна. Ясно, что сходимость
непрерывных по ?0 функций
-Ьоо
6 —go
(I)
к функции g(lo) при b-+co пере-
перестает быть равномерной в окрест-
окрестности точек разрыва g. Именно
поэтому точка разрыва ? = — t
должна быть достаточно удалена от изучаемой точки
неравенством 0 < t0 ^ t.
Итак, мы доказали, что
Рис. 70.
= 0, что и обеспечивается
334 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. TV
Теперь уже можно переходить к теореме об обращении преобразования Лап-
Лапласа.
Доказательство теоремы 1.
Чтобы доказать эту теорему, достаточно убедиться в том, что
f
± f v (/со) еш dco= I
-b
В интеграле, представляющем v (/со), удобно в процессе доказательства обозна-
обозначать переменную интегрирования не буквой tf а какой-либо другой буквой,
например, т. Проведем выкладку, доказывающую нужное нам равенство:
-\-Ь -\-Ь I оо
~ J v (/со) ё** d© - -L j № U "(т)
—b -b \0
-\-b oo -\-b oo
1 " " и
Последний интеграл равномерно сходится и, следовательно, допускает перемену
порядка интегрирования:
-\-b -\-b оо
-b -b -t
Внутренний интеграл может быть вычислен:
sin i
1 ^-^Srfo)=— rz—
/I = 2
Окончательно:
-\-Ь со
— О — t
Доказательство теоремы завершено. Правило для обращения преобразования
Лапласа обосновано.
§ 28. Преобразование Лапласа
для решений гиперболической системы
Описание постановки обратимых смешанных задач для гиперболической
системы. Существование решений и оценки для них изучались в § 20. Преоб-
Преобразование Лапласа vt (x, К) решения при достаточно больших Re к. Его ана-
аналитичность. Обыкновенные дифференциальные уравнения, которым оно удов-
удовлетворяет. Оценки. Использование обратимости. Изложение схемы дальнейшего
изучения. Основные свойства vi (x, к), которые будут обоснованы в следующих
параграфах, и получение с их помощью формулы обращения, содержащей
интеграл по замкнутому контуру.
§ 28] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ 385
Мы будем изучать теорию метода Фурье на примере системы двух
гиперболических уравнений, записанных в каноническом виде
Предполагается, что у этой системы одна характеристика
имеет положительный наклон, а другая отрицательный, что обе-
обеспечивается неравенствами kx {х) > 0, k2 (х) > 0. Условия kt (х) Ф 0
означают, что у характеристик нет вертикальных касательных.
Рассматривая эту систему на отрезке 0 ^ х ^ /, мы должны задать
еще граничные условия
«А@, t)+a2u2@, /)=0,
Mi (К 0+РаС 0 = 0
и начальные данные при / = 0: их(х, 0) = ф1(л:), и2(х> 0) = ф2(л:).
Если все коэффициенты (alf a2, ръ р2) в граничных условиях
отличны от нуля (агф0, а2=^=0, рх^О, р2=^=0), то при доста-
достаточной гладкости коэффициентов системы и начальных данных
возможно построение решения как «в верхней» полуполосе
плоскости Ху /, так и в нижней
Такие задачи, которые могут решаться как в сторону растущих
/(/>0), так и в сторону убывающих (/<0), мы называем обра-
тимыми (см. § 16). Обратимость будет существенно использоваться
в дальнейшем при построении теории. Для необратимых задач
не только не проходит схема нашего исследования, но и сами
факты теории метода Фурье совсем другие. Далеко не каждое
решение необратимой задачи может быть аппроксимировано част-
частными решениями вида еи и (л:), использование которых лежит
в основе метода. В дальнейшем мы убедимся в этом на примерах.
Как было сформулировано в § 20, решение поставленной нами
задачи существует (как в полуполосе />0, 0^*^/, так и
в полуполосе /<0, 0^*^;/) и удовлетворяет неравенствам
щ(х,
дщ
- j^ const eKlt],
dul (*» *i) dut(x,t2)
dt dt
\t\ \t \\
\ tx\9 \i2\).
В этих неравенствах С = С (| /x |, 1121) — постоянная, зависящая от
интервала времени, в котором заключены tly t2. Рассмотрим реше-
336 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. tV
ние, построенное в полуполосе *>0, 0<л:</, и построим его
преобразование Лапласа
(х, Ь)=
о
Интеграл в этой формуле сходится и, следовательно, преобразо-
преобразование Лапласа определено, если ReX>/(. С помощью правил
дифференцирования несобственных интегралов по параметру легко
убедиться, что в каждой точке полуплоскости ReX>/C сущест-
существует производная V ?—> представляемая сходящимся интегра-
интегралом:
Отсюда следует, что vt (л:, Я) в полуплоскости Re К > К явля-
являются аналитическими функциями X, зависящими от веществен-
вещественного параметра -х.
Определим еще преобразования Лапласа от производных
dut (x, t) дш (х, t) ъ -
—-j:—-, —-±:—-. оти преобразования можно также считать
определенными при ReX>K и нетрудно проверить, что
J
- J и, (х, f) dtr" *=
i X).
Теперь нетрудно получить для vt (x, К) обыкновенное дифферен-
дифференциальное по х уравнение, зависящее от параметра X:
О = J ег* (^- + kx д? + тпи1 + т12и2) Л = - ф1 (х) +
12v2(x, X).
Мы пишем для производной ^ '—- знак обыкновенной производ-
производной Vl^—s так как в дальнейшем дифференцирование по пара-
параметру Л ни в каких выкладках до § 31 не будет участвовать и,
§ 28] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ 337
следовательно, такое обозначение не сможет привести к недора-
недоразумениям.
Аналогично, рассматривая интеграл
оо
0 = J e~U (l? ~ *« Ж
получаем второе уравнение
х, X)-k/V2i^X) + m2lv1(xt l)+m22v2(x, X)=0.
Система обыкновенных уравнений
И + К -? + ЩЛ + m12v2 == фь
hV2 ~К-^Л- ^21^1 + ^22^2 = Ф2
будет играть в наших дальнейших исследованиях важную роль.
Нетрудно проверить, что v± (л:, X), v2 (л:, X) удовлетворяют при
х = 0 и при х = 1 граничным условиям
@, X)+a2v2@, X)=0,
Их проверка выполняется так (мы ограничиваемся проверкой
лишь одного):
со оо
(О, А,)+ 0^2 @, A,)=a1J^?^1(O \
б
Мы определили преобразование Лапласа в полуплоскости
Если выбрать /С*>/С>0, то оказывается, что в полуплоскости
ReX>/(* может быть получена чрезвычайно важная для даль-
дальнейшего оценка:
, , л ч i ^ COnst
\V(X h)\<
Выведем ее. Сначала покажем, что (Re X > /С*)
щ{х, t)e~Ktdt
о
оо
'* tr*/ jj. Const
^const V
338 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
Аналогично:
[ГЛ IV
(*, I) 1
dx
. const
Из обыкновенных уравнений, которым удовлетворяют vt (л:,
находим:
их (л:, X) = - [ф! (л:) - ^ ^- -
^2 (X, ^) = X [ф2 М + fe2 ^ ~ /Waif I ~ ^22^2] •
Если правую часть этих равенств оценить с помощью только
что полученных неравенств, то мы и придем (при ReX>/(*)
к обещанному утверждению:
i / w ^ const
\vi(xt A,)|<—-.
При каждом фиксированном х функции U[ (#, /) удовлетворяют
всем тем условиям, которые обеспечивают применимость теоремы
об обращении преобразования Лапласа, доказанной в предыдущем
параграфе. Поэтому
аЛ-ib
В этой формуле интеграл берется по отрезку прямой ReX = a,
параллельной мнимой оси и такой, что а>/С. При фиксирован-
фиксированном а оценка равномерна по О^л:^/, T^t^to>O. Равномер-
Равномерность по х следует из того, что оценка
дщ (x,
< const eKt, -щ- < const eKt
дщ (х, /.
dt
dt
содержит константы, не зависящие от х. Фиксировав /С*, мы
будем полагать а = К*.
Итак, теорема существования решения у гиперболической
системы в полуполосе t > 0, 0 ^ х ^ / позволила нам определить
его преобразование Лапласа, компоненты которого являются
аналитическими функциями от параметра X в полуплоскости
Re X > /С,, и получить оценку | vt \ < *—- в полуплоскости Re К >
> /С* > /С > 0. Кроме того, обоснована возможность вычисления
щ(х, t) при О^лг^с/, 0</0^/^Т через v( (x, X) с помощью
приближенной формулы обращения преобразования Лапласа с рав-
равномерной оценкой остаточного члена.
§28]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ
339
Теперь посмотрим, какие выводы можно сделать из обрати-
обратимости исходной задачи, т. е. из существования ее решения в полу-
полуполосе /<0, O^x^l. Для этого рассмотрим интегралы:
е-иЩ^_А1 = \
= —Ф/(д,
(х, X).
Сходимость этих интегралов и законность выполненных преобра-
преобразований легко обосновывается при ReA,< —/О
С помощью оценок
\щ(х, f) |< const-
дщ
~дх
< const
~dt
< const g*l'I
точно так же, как и для преобразования Лапласа при ReX>/C,
проверяется, что vt(x, X) удовлетворяют уравнениям
и граничным условиям
Эти уравнения и граничные условия по своей форме никак не
отличаются от тех, которые получены при ReХ>0 для vt(x, X).
В дальнейшем мы этим обстоятельством воспользуемся. Точно
так же легко убедиться, что Vi(x, ^ — аналитические функции А,
при Re?i<; — К.
Рассмотрим теперь наши функции vt (х, X), Vij? ' в полупло-
полуплоскости
— ОО
\ e-uut(xt t)dt
const \ e
о
-**
const
дщ (х, X)
дх
е
дх
const
340 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
Записав уравнения для vt в форме
1 Г , дщ
% = у [ф2 + К д-^ - m2Xvx - m22v2 j
и используя для правой части полученные оценки, находим, что
В дальнейшем мы изучим поведение решений обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений
ш = Фь
kv2 -k2-^ + m21v1 + m22v2 = ф2
с граничными условиями
при изменении А, в полосе — 2/С* ^ ReX^2/C*. Во время этого
изучения выяснится, что решение системы единственно для почти
всех X из этой полосы. Более того, все точки, в которых единст-
единственность нарушается, лежат дискретно в полосе | Re A, | < К (напом-
(напомним, что /С </(*). Из этой дискретности будет выведено, что
существует полоска | ImA, — a|< {5, внутри которой всюду имеет
место единственность. Будет также показано, что в окрестности
каждой точки единственности решения v>t (x, к) являются анали-
аналитическими функциями к.
Из теории функций комплексного переменного известно, что
аналитическая функция однозначно определяется своими значе-
значениями в любой сколь угодно малой области. В дальнейшем будет
показано, что в полосе /С* ^с Re X ^ 2/С* решение системы обык-
обыкновенных уравнений единственно и, следовательно, совпадает
с вектор-функцией {иг(х, X), v2(x, А,)}, получившейся преобразо-
преобразованием Лапласа из вектор-функции {их(х, t), u2(x, t)}. Следова-
Следовательно, та аналитическая функция от А,, зависящая от х как
от параметра, которая определяется в полосе (с выколотыми диск-
дискретными точками неединственности) — 2/С* ^ Re А,^ 2/С*, является
аналитическим продолжением этого преобразования Лапласа.
В частности, рассматривая аналитическое продолжение вдоль
полоски | Im Я — а | < р в левую полуплоскость Re X < — /С*, заме-
заметим, что в силу единственности решения системы обыкновенных
уравнений в полосе — 2/С* < Re A, < — /С* там это аналитическое
продолжение будет совпадать c{v1(x4 A,), v2(x, X)}.
§ 28] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ 341
Этими рассуждениями обосновывается возможность аналити-
аналитического продолжения преобразования Лапласа
vt(x, Ц = \е-*щ(х, t)dt,
о
определенного этим интегралом при ReA,>/(, на всю плоскость
комплексного переменного X, за исключением некоторой дискрет-
дискретной последовательности точек, лежащих в полосе | Re к | <: /О
В дальнейшем выяснится, что точки этой последовательности,
как правило, являются полюсами для vt(x, А,). (Эти полюса общие
для всех х.) Оказывается, что полюса можно занумеровать ..., А,_р,
А,_р+1, ..., h-i, Kq, ^, ..., А,р, ... так, чтобы при |/?|->-оо имела
место асимптотическая формула:
Параметры jx, v, x легко вычисляются через коэффициенты кг (х),
k2 (x), mik (x) изучаемой системы и через коэффициенты а1э а2,
Р1э Р2 граничных условий. Отметим, что параметры х и |х веще-
вещественны, a v может быть комплексным, и что все полюса лежат
в полосе |Reh|< /С*.
Рассмотрим еще горизонтальные прямые
от каждой из которых полюса Хр и Хр+1 асимптотически (при
больших р) удалены одинаково. Будет показано, что на отрезках,
высекаемых из этих прямых полосой |Re^|^2/C*, имеет место
оценка
const
равномерно для всех х.
Мы сейчас покажем, как, воспользовавшись этим обстоятель-
обстоятельством, можно замкнуть контур интегрирования в формуле обра-
обращения преобразования Лапласа. В последующем интеграл по
замкнутому контуру будет уже нетрудно заменить суммой выче-
вычетов по полюсам. Обоснованную ранее формулу обращения преоб-
преобразования Лапласа нам теперь удобно записать в следующей форме:
Напомним, что оценка остаточного члена О (—] равномерна при
/ и для любого фиксированного отрезка времени с ниж-
342
Преобразование лапласа и метод фурьё
ГГЛ IV'
ней границей, отделенной от нуля: 0</0^/^7\ Нарисуем на
плоскости X = o-\-ix следующий довольно сложный контур /W*3
PtPbPePiPsPdPi, изображенный на рис. 71. Участки P8P9i Р3Р4
этого контура лежат на горизонтальных прямых
и вдоль них | Vi (х, X) | <с const//?, | e%t | =
1
2ш
р*
2ш
. Отсюда
.const
. const
Константы здесь и во всех оценках, которые будут сейчас про-
проводиться, можно выбрать не зависящими от t, x из прямоуголь-
прямоугольника to^t^ 7, O^x^l.
В дальнейшем мы эту
равномерность оценок бу-
будем все время подразуме-
подразумевать, не оговаривая особо.
Мы уже знаем, что при
| Re X | з? /С*, а следова-
следовательно, и при Re X =
= ± К* имеет место оцен-
Рис. 71.
к a v{
Пользуясь этим, мы, оче-
очевидно, приходим к тому,
что по каждому из отрез-
^-Bp+1Ot-ImV КОВ Р2РЯ9 Р4Рб, Р7Р8, P9Plt
имеющих ограниченную
длину, интегралы
J_
2ш
тс
являются также величинами типа О(~). Оценим теперь модуль
интеграла по дуге Р5РвР7 окружности |Х\ = ¦
§ 28] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ 343
Так как на окружности | А,| = р~*~ 'п
ТО
Поэтому
¦ (а" + 1)я<,1,8
Утверждение, что последний интеграл можно считать величиной
типа О (—т), составляет содержание леммы Жордана, часто исполь-
используемой в теории функций комплексного переменного. Ее неслож-
несложное доказательство было изложено в § 26.
Итак, мы показали, что
2~ J e"v,{x, k)
PPPPPPPPPP
-щ
С другой стороны,
Значит,
Из теории функций комплексного переменного известно, что кон-
контурный интеграл не будет менять своего значения, если мы начнем
деформировать контур так, чтобы он при этой деформации не
проходил через особые точки подынтегральной аналитической
функции. Пользуясь тем, что функция vt(x4 k)eKf может иметь
полюса лишь в полосе | Re A, | <;/(*, мы заключаем, что наш слож-
сложный контур без изменения значения интеграла может быть про-
деформирован в границу прямоугольника Р^Р^Р^Р%Р^ который
344 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
мы будем обозначать Пр
Пр : || ReM«?/(*;
Итак, постулировав некоторые асимптотические свойства vt (х, К)
в полосе | Re X | <с const и воспользовавшись уже доказанными
фактами про vt (х, X) (vt (x> К)) вне этой полосы, мы получили
следующее важное представление
Щ(х, 0 = 2Й§
пр
с оценкой О (—J для остаточного члена, равномерной при 0^
Прежде чем пользоваться этой формулой для обоснования
метода Фурье, мы в следующих двух параграфах восполним про-
пробел в нашем доказательстве. А именно, мы изучим функции
Vi (х> X) внутри полосы | Re X \ << const.
§ 29. Асимптотика решений обыкновенных
дифференциальных уравнений
Асимптотические (по X) формулы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений, связанных с преобразованием Лапласа. Эти фор-
формулы получаются из явных представлений решений системы, содержащей два
независимых уравнения. Последующие леммы постепенно приводят к все более
и более сложному характеру зацепления уравнений.
В этом параграфе будет доказана
Теорема об асимптотике решений задачи Коши.
Если ki (x), rriij (x) — функции, непрерывные вместе со своими пер-
первыми производными, то любые решения системы
Ь2 - k2 -^- + m21vx + m22v2 = ф2
удовлетворяют при |Re^|</C* на отрезке [0, /] неравенствам:
| vx (х) — vt @) e-A*i<*)-M*> | <
< jj-r- [max | ф; (х) | + max | ф{ (х) | + max | vt @) |1,
I V2 (X) - V2 @) (ЬУшМ + »Лх) I ^
M
< -щ- Jmax | ф, (дс) | + max | ф,- (a:) | + max | vt @) |1,
$де постоянная М оценивается через максимум модуля коэффици*
§ 29] АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ 345
ентов и их производных, а уг (x)t \ii (x) определены формулами:
Формулировка этой теоремы на первый взгляд кажется довольно
сложной. Но это только кажется. Сейчас поясним, в чем смысл
этой теоремы.
Оказывается, что рассматривая решения нашей системы при
больших по модулю i> лежащих в некоторой узкой полосе около
мнимой оси, мы можем вычеркнуть из системы коэффициенты т12,
т21, запутывающие уравнения, и правые части фь ф2. Решение
оставшейся после этого расцепленной однородной системы
dv2 _ Г
dx [
k2 (x) ' k2 (X)
выписывается формулами
vl(x) = v1@)e-^^
которые и представляют собой главный член нашей асимптотики.
Члены порядка Ofy-J в этой асимптотике оценивают влияние
отброшенных членов в уравнениях. Мне кажется, что после этих
пояснений формулировку доказываемой теоремы будет нетрудно
запомнить.
Приступим к доказательству теоремы. Рассмотрим сначала решение одного
уравнения с постоянным коэффициентом
Это решение может быть выписано формулой
Очевидно, что а@) = 0. Непосредственным дифференцированием легко убедиться
в том, что уравнение выполнено. Интегрированием по частям формулу для реше-
346 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
ния можно привести к другому виду:
1 1 С
= у \Я (У) —Я Ф)е~^] —у \ e~^(y~Wq' (ц) dt\.
Предполагая, что \y\^Y, А, = о* + 'т> |о*|^/С*, а следовательно,
I е~Ху 1 = 1 e~ay~iXy \~e~oy ^eK*Y, | е"^^1^ I <:е^*у,
и используя формулы для решения, мы можем получить неравенства
| и (у) | ^ const • max | q (у) |,
| и (i/) | ^ . [max | ^ (i/) + max | 67' (г/) | ].
Из этих неравенств следует справедливость леммы 1.
Лемма 1. Решение уравнения
„@)=0)
в предположении, что \ Re X \ ^ /(*, 11/ | ^ К, допускает оценку
. ч . const
lmax ax ах "*~ г
Рассмотрим теперь решение z = z(x) уравнения с переменными коэффици-
коэффициентами:
dz
Подстановкой
из которой следует, что
max | 7 (</) I ^ const • max | / (л;) |,
max | q* (y) \ ^ const • max | /* (x) |,
max | q' (y) \ < const [max | f (x) | + max | /' (л:) | ],
уравнения для z приводятся к разобранному в лемме 1 уравнению для и. Нами
доказан^
29] АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ 347
Лемма 2. Если при O^x^l k (х) ФО, k (x) и т(х) ограничены и непре-
непрерывны и если | Re А, | ^ /С*, то решение г (х) уравнения
оценивается неравенством
2 @) =0
\г(х)\ <-уц~ [max | /• (х) | + тах | / (х) | + тах | /'
Решение однородного уравнения
выписывается формулой
г (х) = г @)erby<*>-»
о
Представляя решение неоднородного уравнения в виде суммы решения с нуле-
нулевыми начальными данными и решения однородного уравнения, легко заклю-
заключаем, что
| г (x)-z @) e-**«»-iu" | ^ ~^L [max | /• (x) \ + max | / (*) | + max | /' (x) \ ].
При доказательстве леммы 2 мы пользовались тем, что k (x) не обращается в нуль
при 0^^^/, но нигде не пользовались положительностью к (х). Это позво-
позволяет нам считать доказанной следующую лемму.
Лемма 3. Если при 0^x^:1 коэффициенты &/ (х) > 0, kt (x) и тц (х)
ограничены и непрерывны и если \ Re X | ^ /С*, то решение системы
^*- + ти (х) гх =-Щ^- + /i W.
te2-k2 (x) ^ + т22 (х) 22 = ii^- + f2 (x)
удовлетворяет неравенствам:
I гг (х) - г, @) «-»*.<*>-М*> | ^.JL
а постоянная N зависит от величины коэффициентов, длины отрезка I и от
Производные коэффициентов в эту оценку не входят.
348 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ IV
Доказанное неравенство для решений «расцепленной» системы, состоящей
из двух не связанных друг с другом уравнений, мы положим в основу полу-
получения асимптотического представления решений интересующей нас «зацепленной»
системы.
Сначала рассмотрим случай слабого (при А,-»-оо) зацепления:
(х) -?±- + ти (х) Щ + ~^ [ли (*. А,) Щ + пи (х, X) w2] = ifr (х),
x, X) ш2] =
«Зацепляющие» коэффициенты л,-^ (я, X) предположим непрерывными по х и
ограниченными. Рассматривая некоторое решение Wi(x), w2(x) такой системы,
обозначим
max | Wi (x) I ===== со,
i, х
max | wi @) | = соо,
fif = •-
/a = —
и, пользуясь тем, что/7* = max (|/f | + |/f | ) ^ Leo, |^~^
<M, мы с помощью леммы 3 приходим к неравенству
выполненному для X, лежащих в нашей полосе. Пусть | X | > 2JVL. Тогда
д 1
со ^ Мщ + ^-рг-- F +— со,
а следовательно,
Далее,
Опять применим лемму 3 и получим оценку
| wx {x)-w1 @) е~к»> (х)-^г i
- w2 @) t?^2 <*> + ^ W | ^ -^p [2F + 2ML(D0].
Итак, нами доказана
Лемма 4. Если при 0 ^ х ^ / коэффициенты ki (х) > 0, ^; (х), /я^« (а:) а
n/y(x) непрерывны и, следовательно, ограничены, и если \ReX\^K*, то для
достаточно больших по модулю X, лежащих в указанной полосе, решение системы
_i_ _|_ тпЩ _(__ [n11w1 + n12w2] = tyi (х),
dwo 1
^ [/22!^ + n22w2] == \|?2 (л;)
§ 29] АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ 349
удовлетворяет неравенствам
2
| Wi (x)-w2 @) «*«<*> + »». <*> | ^щ [F + rnax (| wt @) |, | w2 @) |)];
здесь постоянная Q зависит лишь от границ для коэффициентов k{, тц,
а F определяется как
Заметим, что пока мы нигде не пользовались гладкостью коэффициентов
и поэтому границы производных от коэффициентов не вошли в наши оценки.
Вот еще один чуть-чуть более общий вид «слабо зацепленных» систем:
л , t dw1 , 1 Г dwi , dw21 , , 1
1 + l ~dx~ "*" X2" Pn ~~dx—*~Pl2~~dx~ "*" тпЩ "*"T
, dw2 , 1 Г dw1 , dw2 1 , , 1 ,
lW k + [P^P \ +m^ + [
Предположения о коэффициентах /?// — такие же, как и о Я/у — непрерывность
и ограниченность.
_ dwi
Ясно, что если разрешить эту систему относительно , что, очевидно,
ах
возможно при достаточно больших по модулю X, то мы получим равенства
следующего типа:
¦^¦^ \A11W1 + Al2W2]
-^- = Я, [Лa
с ограниченными (при ^->со) непрерывными по х коэффициентами Л^ =
z=Aik(x, К), Bik = Bik(x, К). Подставив эти выражения для производных
1 f dw1 , dw2 I ^
в выражения tj \Pn~i hP/2 ~з— > мы избавимся от слагаемых такого типа,
несколько изменив выражения для п^ (х, X) и для %. После этого можно при-
применить лемму 4 и убедиться, что ее формулировка дословно переносится и
на системы, имеющие зацепление порядка 1Д2 и коэффициентов при производ-
производных.
Можно получить похожие оценки и для систем с зацеплением порядка \/К
в коэффициентах при производных. Нам достаточно будет здесь ограничиться
системами вида
vi p dv<y 1
x~ + X ~dx~ + mnVl+ ~i
Ь2 — k2 -~- + j- —^- + m22v2 + у
Здесь, однако, в константы оценки войдут еще и производные от некоторых
комбинаций коэффициентов.
Запишем нашу систему в матричной форме:
350
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. IV
и сделаем подстановку
а(х,Х)
1
Ь(хЛ)
с достаточно гладкими по х коэффициентами а (х, X), b (х, X), которые вместе
с производными по х предположим ограниченными при Х-^-со.
Очевидно, что
dx
Поэтому система уравнений для wv w2 может быть записана так:
Умножим эту систему еще слева на матрицу
1 —
Ь
X \n21 n22
1 _.
b
"X
и заметим, что
(mn — m22) a
— ab[\
Так как
мы
придем после описанного преобразования к уже изученной «слабо зацепленной»
системе с «зацеплением» порядка \/Х2 при первых производных. Очевидно, из
гладкости р (х), q (x), ki (х) следует гладкость а (х), b (x). Таким образом, при-
30]
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
35
меняя известную нам оценку, имеем
| Wl (я, X) — Wl (О, к)е~'ку1~и'1 | ^
\щ(х9 k) — w2@,
Вспоминая, что
а
v1 = Wi + -г- w
А
мы без труда выводим отсюда, что
JL
| щ @) |, | w2 @) |)],
1 \щ@)\)].
C°nst
[max | tfo (x)! + max \ ^ (x) I + max | v{ @) ] ],
I ^2 W-v2 @) Л^(А:) + ^(д;) I ^ ^* [max |% (x) | +max | \|?; (jc) | + max | vt @) | ].
1 ' x, i x, i i
Эти оценки составляют содержание леммы 5. Чтобы теперь привести основную
нашу систему
dv
= ф2
к изученному уже виду, выпишем знакомую нам форму этих же уравнений:
1 Г и dvi 1
и1=1 Ф1 ~ ^1 -д? — mHVl — m12^'2 ,
dv2
а затем подставим отсюда выражение для Vi во второе уравнение (*) вместо
того ^j, при котором стоит коэффициент m2i. Выражение для v2 подставляется
в первое уравнение на место того v2, при котором коэффициент обозначен
как пг12.
На этом приведение системы к изученному виду заканчивается. Ее новые
правые части будут
I ^12 ^21
% = ф1 ^ ф2» Ч72 = ф2 ^-ф1-
Применяя последнюю из наших лемм, мы убеждаемся, что основная теорема
этого параграфа доказана.
§ 30. Собственные функции краевой задачи
Изучение в полосе | Re к \ < const аналитических функций от X, зависящих
от параметра х. Эти функции удовлетворяют обыкновенным дифференциальным
по х уравнениям и граничным условиям. Вывод асимптотических формул ре-
решения краевой задачи из формул для решения задачи Коши, полученных
в предыдущем параграфе. Функция D (к). Ее нули—собственные значения
352 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
системы. Нулей D (к) вне полосы | Re X | ^ К нет. Асимптотика нулей D (к).
Аналитическое продолжение преобразования Лапласа решения гиперболической
системы на всю комплексную плоскость с выколотыми полюсами в нулях D (к).
В предыдущем параграфе было доказано, что любое решение
системы уравнений
1 + К -? + ™>\&\ + ^12^2 = фц
щ - h -§¦ + nWi + m22v2 = ф2
(O^x^l, kt>0y ku mik ограничены вместе со своими непрерыв-
непрерывными первыми производными, фь cpf непрерывны) удовлетворяет
неравенствам
I vx (х) - vx @) е-ьу* w - i*i о | <
м
< -щ- [max | ф/ (дс) | + max | ф} (х) \ + max | vt @) |],
v2 (x) — v2 @) e%y
^ jjj [max | ф/ (x) | + max | <pj (л:) | + max | v{ @) |].
Постоянная М оценивается через коэффициенты системы и их
производные, a yt (л:), [it (x) определены равенствами
Параметр к предполагается изменяющимся в некоторой произ-
произвольной, но фиксированной полосе |ReXj</C*.
Изучим с помощью доказанных неравенств некоторые специ-
специальные решения систем изучаемого типа v* = (v*, v*), v{1) =
= {v\l\ V2l')y v{2) = (v\2\ vl2S). Решения и*, v{1\ v{2) определяются
своими начальными данными и правыми частями системы так:
1) v* (х, X), V2 (х, X) удовлетворяют начальным данным v* @, X) =
= 0, ^1 @, Я) = 0 и неоднородной системе
-h^& + m2Xvx + m22v2 = ф2
При достаточно больших по модулю X в нашей полосе справед-
справедлива оценка
§ 30] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 353
2) v\X) (х, X), v2l> (х, X) удовлетворяют однородной системе
(фх = 0, ф2 = 0) и начальным данным
v\»@9 *) = 1, vJt>@, Я)=0.
Это решение оценивается так:
\viu(x, i)-^w-^W|<l
3) u(i"(jc, Я), t>22)(*> ^) тоже удовлетворяют однородной системе
(ф1==0, <р2 = 0). Начальные данные этого решения
Для него справедлива оценка
I v'i' (х, Я) - е»*> О + * <*> | < ~.
I ^ I
Отметим еще следующее важное свойство функций v? (х, Я),
:, X) — они являются целыми аналитическими функциями
параметра к. Эта аналитичность является следствием следующей
теоремы, которая имеется, например, в учебнике И. Г. Петров-
Петровского «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений».
Пусть при х0 <; х <; х1 коэффициенты aik (xt X) и правые части
fi (xt К) являются достаточно гладкими функциями х и аналити-
аналитическими при \ X — Хо | < Ь функциями X. Пусть у1о (X) тоже анали-
тичны при | X — Хо | < Ь. Тогда решение системы
при каждом xixo^x^Xi) является аналитической функцией X
при \Х — Х0\<Ь. Если aik(x, X), уг @, Я)—- целые функции X, то
yi (jc, X) — также целая.
Очевидно, что наша система и начальные данные для и*, аA),
v{2) удовлетворяют условиям этой теоремы, и поэтому аналитич-
аналитичность иГ(х, X), vS(x, X), v\"{x, Я), vBv(x, X), v\* (x, X), vf (x, X)
из нее следует. Параметр X имеет право при этом пробегать всю
комплексную плоскость. Это означает, что все перечисленные
сейчас функции — целые.
354 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
Решение vit v2 системы
f + mV + ^^ Ф2>
принимающее при х = 0 начальные значения (Ль Л2), записы-
записывается в виде
Посмотрим, какие должны быть Ль Л2, чтобы vlt v2 удовлетво-
удовлетворяли граничным условиям
Для этого А19 Л2 должны удовлетворять системе:
Обозначив через D (к) определитель этой системы:
D Ш = ai a2
мы приходим к формулам для Аъ Л2:
л = сс2 [pi^f (/, X) + p8pg (/, X)] _ a2a
1 D(X) D(
л = ~«i tPi^f (
2
Очевидно, что а (к), D (к) — аналитические, целые функции X.
Внутри полосы | Re i |< const выполнена оценка
|яМ!<AР|
Очевидно также, что | D (к) | << const в нашей полосе. Это позво-
позволяет написать, что решение краевой задачи представимо в виде
l+Avrv(x к)
l+A2vr=-~v1(x, к)}
v2 = v$ + А&21> + A2vT = -щ^ v2 (x, к)
с целыми аналитическими (по к) vt{x% X), v2(x, к), удовлетворяю-
30]
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
355
щими при достаточно больших | Я | (| Re A, | < const) неравенствам
| v 11< ,0^ . Для D (X) имеем в той же полосе формулы
d м =
ау
@ + ii. (/)
+ О
Напомним, что аг #0, а2 ^= 0, Pj ^=0, р2
Будем говорить, что вектор-функция {vx (x), v2 (x)) является
собственной вектор-функцией с собственным значением \, если vlt
v2 не равны тождественно нулю, удовлетворяют однородной системе
Vi + К "ё"
- К
= 0,
m22v2 = 0
и граничным условиям
Вектор-функции, тождественно равные нулю, к числу собствен-
собственных функций не причисляются. Покажем, что всегда, если D (Хо) =
= 0, то существует собственная вектор-функция с собственным
значением Хо. В самом деле, равенство нулю определителя системы
агах + а2а2 = 0,
показывает, что у этой системы есть ненулевое решение аъ а2У
т. е. существует вектор-функция
v1(x)=alv[1' (х,
, Xo),
удовлетворяющая однородной системе, граничным условиям и
принимающая в точке л; = 0 начальные значения (аъ а2), образую-
образующие ненулевой вектор.
Пусть теперь, наоборот, D (Ко) Ф 0. Любое решение однород-
однородной системы записывается в виде
356 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
Если известно, что это решение удовлетворяет однородным гра-
граничным условиям, то, следовательно, для Ах и А% выполнены
равенства
Так как определитель этой системы D (к0) Ф О, то отсюда выте-
вытекает, что Л1 = Л2 = 0. Значит, Uj — ^^O и LO не является собст-
собственным значением.
Итак, мы показали, что собственные значения (и только они)
являются нулями некоторой целой аналитической функции D (к).
Покажем еще, что при |ReA,|>/C, а следовательно, и подавно
при | ReX | ^К* ^К не может быть нулей D (X), т. е. собствен-
собственных значений. Этот вывод будет сделан при помощи следующего
рассуждения, которое можно сделать совсем строгим. У нас оно
будет строгим не до конца. В чем его нестрогость, мы отметим
позднее.
Пусть Х = Х0 является нулем D(k). Как было показано, отсюда
следует существование вектор-функции (vx (х), v2 (#)), удовлетво-
удовлетворяющей уравнениям
F + mv + my = 0,
2^ + 211 + 222 = 0
и граничным условиям
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что функции
ut (x, t) = eXot Vt (x)
удовлетворяют исходной системе уравнений и его граничным усло-
условиям. Это решение растет при /->оо как etReXo, что невозможно
при ReX0>K. Отсюда и выводится, что ReX0^/(. Нестрогость
этого вывода, впрочем, устранимая, состоит в том, что оценка
роста решений как eKt была выведена только для достаточно
гладких начальных данных, гладко согласованных с граничными
условиями. Для решения, участвующего в нашем рассуждении,
в качестве начальных данных надо выбрать
%{x) = vi{x, Xo).
Исследование гладкости собственных функций и согласования
этой гладкости с граничными условиями мы не проводили.
§ 30] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 357
То, что Re^0> — К, показывается точно так же, если заме-
заметить, что решение
e^vi(x, к0)
при t-*—со растет не быстрее e^i/i ==e-Ktm
Таким образом, мы доказали, что все нули D (к) расположены
в полосе | Re Л-1 </С*.
Мы в дальнейшем убедимся, что D (к) не является тождест-
тождественным нулем. Отсюда уже можно будет сделать важный вывод,
что нули D (к) лежат на плоскости к дискретно, не имея конеч-
конечных предельных точек, и каждый из этих нулей имеет конечную
кратность. Если бы это было не так, то по теореме единствен-
единственности для аналитических функций D (к) было бы тождественным
нулем. Итак, в каждой конечной области полосы X существует
конечное число нулей D(k). (Каждый нуль считается вместе с его
кратностью.) То, что D(k)=?Of вытекает из асимптотической фор-
формулы, которую мы получили для больших по модулю к, лежа-
лежащих в полосе | Reк\ <iconst. Из нее же будет вытекать асимпто-
асимптотический закон распределения собственных значений, попавших
в эту полосу.
Асимптотическую формулу для D (к) мы получили в виде:
D (к) = а^2е^ О + ** <« - а2р^~^ <»-и* <*> + О
Обозначив ^ф- = еу (v вещественно или комплексно, в зависи-
a2pi
мости от знака дроби), можем написать
) - »+(/) {ех !//1
где обозначено
Внутри полосы | Re к \ <; const множитель А (к) ограничен по
модулю как снерху, так и снизу:
358 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
Рассмотрим теперь (внутри нашей полосы) уравнение
D (к) = к (к) (e^ + v + v — \) + о(-Лт)=0.
В его корнях, очевидно,
или, что то же самое,
Иными словами,
1р = й + °[Т7
Мы показали, что при достаточно больших \к\ в нашей полосе
нули D (к) могут быть лишь вблизи точек Рш —И*—v
Покажем, что при достаточно большом р действительно суще-
существует, и притом только один, нуль D (к) вблизи такой точки.
Выберем некоторый достаточно маленький радиус р такой, чтобы
внутри окружности к — -~^~~"v —p 1% = "~^--v -j-pe*'6) лежал
только один нуль функции ekyi^+v — \. Этот нуль, очевидно, отве-
отвечает значению к = ~^l~"v . Очевидно, что внутри каждой из окруж-
окружностей
к = — 1- nelQ
при любом целом р будет тогда содержаться только один нуль
А, = PJX/~fx~"v функции Д (к) {^x+^+v— 1}. На этих окружностях
выражение в фигурных скобках
не зависит от р и, следовательно, ограничено снизу по модулю
положительной постоянной. Функция Д (к) тоже ограничена снизу
по модулю (| Д (к) | > До). Поэтому (на окружностях) все произ-
произведение
Следовательно, по теореме Руше это произведение, отличающееся
от D(k) на О (тут)» будет при достаточно больших р иметь
внутри такой окружности столько же нулей, сколько и D(k).
§ 30) СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 359
Отсюда вытекает существование и простота корней D (к) внутри
этих окружностей при достаточно больших по модулю р.
Пусть при | % | = | а + ix | = ]/а2 + т2 > R все нули в полосе
| Re Л, ] = |a|<const — простые и лежат по одному внутри окруж-
окружностей
2pmE-v_+ ,e_
В конечной части полосы, высекаемой неравенством
имеется конечное число нулей, считаемых столько раз, какова
их кратность. Таким образом, число нулей в прямоугольнике
— Imv
равно (при достаточно больших р) 2р + р0 (р0 — некоторое фикси-
фиксированное целое число).
Пусть теперь K = o + i BP+1)^-Imv (_^<g^^v T> e
X
пусть X пробегает горизонтальный отрезок, лежащий (при боль-
больших р) почти «по середине» между двумя нулями
и Vl^
На этом горизонтальном отрезке
J ^ах + Re v + ц J
к\
(при достаточно больших , р |). Теперь вспомним про представление
, лч vt(x,k) Л . лч const
полученное в начале этого параграфа.
Из этого представления и неравенства для D (к) следует, что
на изучаемых горизонтальных отрезках
\vl{x, X)|^
На ^том мы заканчиваем изучение функций vt (x, к), определен-
определенных в полосе \Rek\^K* с помощью системы дифференциальных
360 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
уравнений, зависящих от параметра Я,
bi + К -jfc + mnv1 + m12v2 = фь
@,
Вспомним теперь, что в § 28, рассматривая решение обратимой
гиперболической системы
W + kl W Й + mu (л;) «х + т12 (л:) и2 = 0,
ад@, 0 + 02^@, 0 = 0,
Pi«i(/, O + M2C, 0 = 0,
растущее вместе с производными не быстрее, чем eKi, и его пре-
преобразования Лапласа
оо
Vi (*, Х) = \ щ (х9 0 ег* dt (Re Я > /С),
о
— оо
О
мы установили, что эти преобразования vt (x, К) являются анали-
аналитическими функциями X в указанных полуплоскостях и удовлет-
удовлетворяют там как раз тем уравнениям, что изучались нами при
|ReJi| <С.К*. Напомним, что К* выбиралось большим, чем /С.
Отсюда следует, что полоса |ReX|</(* пересекается с каждой
из полуплоскостей (Re5i>/C), (Re X < — /(). В этих пересечениях
решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений единственно и, следовательно, совпадает с соответ-
соответствующим преобразованием Лапласа. Так как преобразования
Лапласа и решение обыкновенных дифференциальных уравнений —
аналитические функции X, а аналитическая функция однозначно
определяется своими значениями на любом множестве, имеющем
хотя бы одну конечную предельную точку, то и решение обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений и преобразование Лапласа
при Re5i< — К могут рассматриваться как аналитическое про-
продолжение преобразования Лапласа при ReA>/C.
§ 31] ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 361
Свойства этого аналитического продолжения нами теперь тща»
тельно изучены. Мы установили, что при ReX< —/С* это про-
, л ч / л ч | const
должение vt{x, а) удовлетворяет оценке vi(x, А) | << . , ,
а в полосе |Re?i|^/C* для vt (х, А,) выведены достаточно точные
асимптотические формулы. Из этих формул, в частности, было
показано, что при
|ReJt|</C-f
функции V((x, ^) = О(рг-|). Как было ранее доказано, из этих
\1 ^ I/
фактов следует справедливость следующей формулы обращения
преобразования Лапласа, записанной в виде контурного интеграла
ПР
Контур Пр здесь является границей прямоугольника
-Bp+l)n-Imv
внутри которого, как мы знаем, содержится 2р-}-р{) полюсов
Vi(x, fy. Оценка остаточного члена Of —j здесь равномерна для
всех O^x^l и для любого фиксированного конечного отрезка
изменения времени 0<с/0^^^^> ограниченного снизу положи-
положительным моментом t0.
§ 31. Полнота системы собственных функций
Напоминание доказанных в предыдущих параграфах фактов о свойствах
Vi(x> X) —аналитических функций от А, и о приближенном представлении реше-
решения смешанной задачи контурным интегралом. Вычисление отдельных вычетов.
Решение приближается суммой конечного числа «стоячих волн». Видоиз-
Видоизменения в случае кратных полюсов. Замечания о возможности распространения
теории на системы, не приведенные к каноническому виду.
Теорема о полноте собственных функций. Примеры, показывающие сущест-
существенность обратимости задачи для применимости метода Фурье.
Изучив в прошлых параграфах аналитические свойства пре-
преобразования Лапласа решений гиперболических систем, мы полу-
получили в свое распоряжение мощный аппарат для качественного
исследования этих решений. Здесь будет показано, как этот ап-
аппарат применяется.
12 С. К. Годунов
362 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. TV
Мы рассматриваем обратимую задачу для системы (с гладкими
коэффициентами)
Ж ~^ (*) ^ + ^21 (X) И^/Яи (*) И, =0,
Эта задача определяется граничными условиями
= 0, а^О
( = 0, р^О, р2^0
и начальными данными
^(л:, 0) = q>,(*)f
которые предполагаются достаточно гладкими и гладко согласо-
согласованными с граничными условиями.
Было показано, что существует некоторое К такое, что при
Re X > К определено преобразование Лапласа vt (x, X) решения
щ{х, t):
оо
vi (х, 1) = \ щ{х, t)e-K'dt.
0
Функции Vi (x, X) допускают, как аналитические функции X, про-
продолжение на всю плоскость комплексного переменного с выколо-
выколотыми дискретно расположенными полюсами. Все эти полюса рас-
расположены в полосе jRe^j^/C; все они, за исключением конеч-
конечного числа, —простые, не имеют конечных предельных точек. Они
описываются следующей асимптотической формулой:
±оо_целые.
Параметры ji, v, к вычисляются через коэффициенты уравне-
уравнений и граничных условий. Была доказана следующая «формула
обращения»:
в которой через Пр обозначена граница прямоугольника
,Re3t !</(•,
Внутри каждого такого прямоугольника содержится конечное
число Bр + р0) полюсов функций Vi(xy X). Поэтому интеграл по
Пр может §ыть заменен на конечную сумму не более чем 2p-\-pQ
§ 31] ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 363
слагаемых по контурам Гл, каждый из которых содержит только
по одному полюсу vi (x, К):
Оценка остаточного члена Of—) равномерна для любого отрезка
[t0, T] времени такого, что 0</0^7\ и при О^л:^/.
Для вычисления интегралов по Tk легко применить теорию
вычетов. Пусть А, = А,Л — простой полюс Vi(x, X), т. е. D(kk) = Q,
D' (кк)ФО. Как было показано в предыдущем параграфе, решение
краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений представимо в виде
Vi(x, A)- D{X)
с целыми, аналитическими по К функциями щ(хч К). Так как
^i (х> М удовлетворяют системе уравнений с правыми частями
4>i(x), то, следовательно, функции vt(x, К) удовлетворяют системе
ff = D (X) ф2.
Отсюда видно, что если D(Xk) = 0, то пара v1(x9 h), v2(x, к)
удовлетворяет однородной системе уравнений и краевым условиям.
В предыдущем параграфе было показано также, что при усло-
условии D(Xk) = 0 существует собственная вектор-функция —ненулевое
решение однородной системы, удовлетворяющее однородным кра-
краевым условиям. Так как по предположению ^ — простой корень,
то (как нетрудно заметить из рассмотрений предыдущего пара-
параграфа) существует лишь единственная с точностью до множителя
собственная вектор-функция. Мы будем обозначать ее, нормиро-
нормировав каким-либо образом, через (yW (x\ vW (#)). Итак,
vi (х9 h) = ckv\k)(x).
Теперь нетрудно уже и подсчитать интеграл по Гл:
(х, 1к) сk %ki {k) ()
D'(Xk) ТУШ < Kh
Обозначим д,сД . = dk. Таким образом, если D (к) не имеет крат-
12*
364 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ TV
ных нулей, то решение щ {х, t) нашей задачи может быть пред-
представлено в виде:
щ(х9 t) =
слагаемых)
с оценкой остаточного члена, равномерной по х и t,
Непосредственной подстановкой в систему
dui , , diii
~dt + kl ~di
и граничные условия
ai«i + a2w2 U=o = 0, p^i + р2г/2 |х=/ = О
легко убедиться, что функции
являются частными решениями этой системы и удовлетворяют
граничным условиям. Такие частные решения носят название
«стоячих волн». Это название связано с тем, что «форма волны»
v(k) (x) не зависит от времени, тогда как ее «амплитуда» опреде-
определяется зависящим только от t множителем ек*'.
Кратко говорят, что решение может быть аппроксимировано
конечной суммой стоячих волн. На простом примере уравнений
акустики представление решения в виде ряда по собственным
функциям было доказано в вводной части (гл. I, § 7).
Мы не будем до конца уточнять формулировки в случае крат-
кратных нулей D(k). Ограничимся рассмотрением примера двукрат-
двукратного корня D(^) = 0, D'(kk) = 0, D"(Xk)^0. При этом
1 9 1 9D'" Ск \ 1
ЦЩ = WMW^f ~ 3[ТОРГ^ + аналитическая Функция;
2t 2D"f (Хь) "I e k .
Щк) - WJfa) ' (A,-A*)a ^ 1^ГШ ~ 3 [D" (A,*)]2 J X^X7 +
'+ аналитическая функция;
yf* \Xf AJ = fj ^, -
§ 31] ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Перемножим два последних ряда:
г*щ (*, X) 2щ (х, lk) № . [Г 2t 2D"> (Xk)
365
D(X)
D" (Xk) (X-
Vi
^ е
" (Xk) 3 [D"
[-аналитическая функция от Я =
/.j« (JC) + ^g(« (je)] 1 +
h — hk
+ аналитическая функция.
Отсюда
f . О = 2
Мы ввели здесь обозначения
2-J, (х,
= tW (X)
(X).
2Р'
Задача 1. Докажите, что f)^, S^ удовлетворяют следующей системе
обыкновенных дифференциальных уравнений:
57
и граничным условиям:
при х =
носят название присоеди*
Функции Vi опять являются собственными, а
нениых собственных функций.
Задача 2. Если Xq—двукратный корень характеристического уравнения
11 12 -=0, то любое решение системы обыкновенных диффе-
366 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
ренциальных уравнений
dux
-^
du2
-^
представляется в виде
\и2) \v2r \v2
где vi> vi являются решением линейной системы:
v2
Покажите, что v^ v2 отличны от нуля, лишь если матрица || #/# |] не приводится
подобным преобразованием к диагональному виду.
Задачи 1 и 2 позволяют проследить и в случаях кратных
корней D (X) аналогию между нашими гиперболическими систе-
системами и системами линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
Доказанное нами утверждение о возможности как угодно точ-
точного приближения решения конечными суммами «стоячих волн»,
т. е. суммами специальных решений, которые в случае простых
корней D (к) имеют вид щ = vf) (х)еКк\ представляет собой основ-
основной результат этой главы.
Способ отыскания решения краевой задачи в виде суперпози-
суперпозиции таких специальных решений носит название метода Фурье.
Таким образом, нами обоснован метод Фурье для обратимой гипер-
гиперболической системы в случае двух независимых переменных при
определенных ограничениях на коэффициенты и краевые условия.
Ради этого мы развили теорию преобразования Лапласа, которой
были посвящены параграфы этой главы.
Подробно метод Фурье для системы акустики был разобран
в вводной части. Для этой системы мы не только доказали, что
произвольное колебание можно представить в виде суперпозиции
стоячих волн, но и показали, как, исходя из начальных данных,
вычислить коэффициенты разложения.
В следующем параграфе мы сделаем то же самое для специ-
специальных систем более общего вида. А сейчас сделаем ряд замеча-
замечаний по поводу доказанной теоремы о разложении.
Напомним, что разбираемая задача предполагается обратимой,
а начальные данные щ(х, 0) = ф,(л:) должны быть достаточно
гладкими и согласованными с граничными условиями.
Система, для которой проводилось доказательство, была запи-
записана в каноническом виде. На самом деле, такое же утверждение
§ 31} ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 367
об аппроксимации решений стоячими волнами имеет место и для
системы, не приведенной к каноническому виду, лишь бы ее
коэффициенты зависели только от х и лишь бы для нее приведе-
приведение к каноническому виду (со всеми ограньчениями на kx(x)y
k2(x) и граничные условия) было выполнимо. Заметим еще, что
если коэффициенты системы зависят только от ху то элементы
матрицы преобразования искомых функций, приводящей такую
систему к каноническому виду, тоже могут быть выбраны зави-
зависящими только от х. В этом можно убедиться, если вспомнить
процесс приведения, который мы разбирали еще во второй главе.
Сейчас мы подробнее останавливаться на этом не будем.
Теперь мы выведем из теоремы об аппроксимации решений
одно очень важное следствие, которое обычно носит название
теоремы о полноте множества собственных (и присоединенных)
функций.
Пусть система
+ k M i + m W
-J ~ К (x) -JJ- + m21 (x) ux + m22 (x) u2 =
с граничными условиями
2u2@, /)=0f
удовлетворяет всем условиям применимости предыдущей теоремы.
Во всяком случае, это значит, что для достаточно гладких
ФгМ» Фг (*)> согласованных с граничными условиями, существует
решение системы (иг (х, t), u2(x, t)) такое, что
Ul(x, 0) = q>1(x), u2(xy 0) = ф2(д:).
Такое решение существует как для />0, так и для /<0. При
t = — т (т —некоторое положительное число) это решение прини-
принимает определенные значения
и2(х, — т) = \р2(х).
Заметим теперь, что если (их (х, t), u2 (x, t)) является реше-
решением, то решением является также
#i = Mi(a;, f) = u1(x, / —т),
й2 = п2(х, t)~u2(x, t — x).
Это решение удовлетворяет при ^ = 0 начальным условиям
368 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ ГЛ. IV
и при t = x принимает значение
М#, t) = <Pi(*). &*(*» Т) = Ф2(^)-
Очевидно, что к решению (й1у й2), отличающемуся от (иг, и2)
только сдвигом по времени, применима вся разобранная нами
теория преобразования Лапласа, со всеми вытекающими из этой
теории выводами. В частности, мы воспользуемся тем, что на
любом отрезке времени 0 <to^t^T решение йъ й2 может быть
как угодно точно аппроксимировано (равномерно по х и t) линей-
линейной комбинацией собственных (и присоединенных) функций
(с коэффициентами, зависящими от времени). Мы положим /0 = т/2,
Г = Зт/2. Тогда из этого утверждения вытекает, что {пг(х, т),
й2(х, т)) может быть как угогно точно аппроксимировано линей-
линейной комбинацией собственных (и присоединенных) функций.
Теперь вспомним, что йх (х, т) = фх(л:), й2 (х, т) = ф2(л:).
Итак, какова бы ни была достаточно гладкая вектор-функция
(фх (х)у ф2 (л*)), согласованная с граничными условиями, она может
быть как угодно точно (равномерно по х) приближена линейной
комбинацией собственных вектор-функций (в случае обратимой
задачи). При наличии кратных собственных значений к собствен-
собственным функциям иногда надо добавлять еще и так называемые при-
присоединенные.
С кратными собственными значениями приходится иметь дело
сравнительно редко. Так, например, нами было уже показано,
что все достаточно большие по модулю собственные значения —
простые.
Теперь мы покажем на примере, что в случае, если для гипер-
гиперболической системы изучаемая задача — необратимая, то аппрок-
аппроксимации решения «стоячими волнами» нет. (Ее нет не только
в этом примере —это общий факт.) В качестве примера возьмем
простейшую систему, состоящую всего из одного уравнения
ди ,ди_ _ П
dt "Г" дх
рассматриваемого при 0==с#^;1, />0 с граничным условием
и @, 1) = 0. Начальные данные зададим при / = 0 формулой
и (х, 0) =л:3. Рассмотрев характеристики х — t = const этой системы,
легко заметить, что если бы мы захотели решать задачу с теми
же начальными данными для /<0, то нам пришлось бы задавать
граничные условия уже не при * = 0, а при х=1. Кроме того,
ясно, что так как решение имеет вид u=f{x — t), то при t>x
искомая функция будет равна нулю (и(х> t) = 0 при t>x).
Собственные функции такой задачи должны удовлетворять
уравнению
и граничному условию и@, Х)=0,
§ 32] РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 369
Общее решение уравнения имеет вид
v(x, \)=ceAx.
Из граничного условия находим с==0. Итак, мы показали, что
нетривиальных собственных функций у нашего уравнения нет.
Представим на некоторое время, что такая собственная функ-
функция нашлась и что она отвечает собственному значенио Хо. Тогда
у уравнения в частных производных существовало бы решение
вида
и(х, t) = elofv(xy Хо),
отвечающее при / = 0 начальному условию и(х, 0) = v(x, Х0)=?0.
Из поведения характеристик мы видим, что при t>x и(х> /) = 0
(во всяком случае, и(х, /)=0 при />1). Но это противоречит
представлению и(х, t) = e%otv(x, Хо).
В случае более общих необратимых задач для гиперболических
уравнений собственные значения у системы могут быть, но при-
приблизить любое решение линейной комбинацией «стоячих волн»,
связанных с этими собственными значениями, и тогда не удается.
Этому, в частности, мешает отсутствие оценки
Все на том же примере мы покажем, что этой оценки действи-
действительно нет. Функция v(x, Я), отвечающая начальным данным
и(х, 0)=х'3, является решением уравнения
dv _ з
v@, X) = 0
и имеет вид
v(л:, X) = у. ' .
Из этой формулы видно, что при ReX-y — оо функция v (x9 X)
экспоненциально возрастает (у нас х>0), что и доказывает от-
отсутствие оценки \v(x9 X) | <const/| X\.
§ 32. Ряд Фурье для консервативной системы
Консервативная гиперболическая задача для системы из двух уравнений.
Интеграл энергии для вещественных и комплексных решений. Комплексные
евклидовы пространства, натянутые на собственные вектор-функции. Унитар-
Унитарность преобразования, связанного со сдвигом времени. Свойства унитарных
преобразований. Вывод из этих свойств ортогональности собственных функций
и доказательство того, что Xk чисто мнимы. Использование ортогональности
при приближении начальных данных «стоячими волнами». Формула для коэф-
коэффициентов в разложении решения в ряд Фурье. Пример.
370 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
В этом параграфе будут разобраны некоторые замечательные
свойства собственных значений и собственных функций в задачах
с законом сохранения энергии. Мы назовем такие задачи кон-
консервативными. Краевая задача для системы уравнений акустики,
которая рассматривалась в вводной части (гл. I, § 7) является
примером консервативной задачи.
Рассмотрим систему
/ ч duo
(x) ^г
с симметричными матрицами || aik (х) |], |) blk || (!) aik (x) || — положительно
определенная, ||6^|| не зависит от х, постоянная). Матрицу
lcik(x)\\ = ( Cq ) мы предполагаем кососимметрической.
Умножая первое уравнение на и{, второе —на и2 и складывая,
мы приходим к следующей дифференциальной форме закона со-
сохранения энергии
dt дх
Интегрируя это равенство по прямоугольнику
мы получаем следующее соотношение:
у \[апи\ + 2а12^!Г/2 + a22ull-xdx = у (
о о
т
j F! + ^b + ЬЪ)х_ь dt
х
dt.
Предположим еще дополнительно, что граничные условия
^х <*2W2 ^ 0 при л: = 0 и $1и1-\-$2и2 = 0 при л: = / таковы, что
из них следует обращение в нуль при лг = О, х = 1 квадратичной
формы bllu\Jr2bl2u1u2-\-b22ul' Иными словами, пусть граничные
условия обеспечивают отсутствие потока энергии через границу.
Это возможно, если форма bllu\-{-2b12u1u2-\-b22U2 может быть
разложена на два линейных множителя и если граничные усло-
условия состоят в равенстве нулю того или иного из этих множите-
§ 32] РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 371
лей. Для таких граничных условий
+ 2а12иги2 + а22иЦ-х dx = \ [апи\ + 2а12ихи2 + а22иЦ^0 dx,
о
т. е. энергия рассматриваемой системы сохраняется. Описанный
класс задач естественно назвать консервативным.
Пусть вектор-функция {ulf u2} является комплексным реше-
решением нашей системы, удовлетворяющим граничным условиям
— О при # = 0,
— 0 при х = 1.
Пусть vk и ^ — вещественная и мнимая части функции
Мы предполагаем коэффициенты уравнения и коэффициенты гра-
граничных условий вещественными. Следовательно, вместе с реше-
решением {и1л и2] решениями нашей системы будут вектор-функции
{vb v2} и {wly w2]. Они также будут удовлетворять рассматри-
рассматриваемым граничным условиям. Тогда, как мы установили, интегралы
\ (anv\ + 2al2vxv2 + a22v\) dx
i
\ (Яца>! + 2a12wxw2 + a22wl) dx
не меняются при изменении времени /.
Так как сумма этих интегралов равна
i
\ {аххихйх + а12 (игп2 + и2п^) + а22и2п2) dx, A)
о
то тем самым нами доказано, что на комплексных решениях кон-
консервативных задач с течением времени не меняется эрмитова форма
A), являющаяся аналогом интеграла энергии вещественных ре-
решений.
Покажем, что из равенства этой формы .нулю для непрерыв-
непрерывной вектор-функции {^(х), и2(х)} вытекают равенства u1(x)^0J
и2 {х) = 0. Действительно,
flii«i#i + «12 («Л + щщ) + а22и2п2 =
= anv\ + 2a12vxv2 + a22v\ + anw] + 2a12wLw2 + a22w22y
где Ui = Vi-{-iwi. Так как, по предположению, матрица aki является
положительно определенной, то из равенства нулю формы A)
372 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
вытекает обращение в нуль интегралов энергии для вектор-функ-
вектор-функций {vlt v2} и {wlt w2}. Следовательно, 1/л = 0, wk = 0 и
uk (x) = vk (x) + iwk (x) = 0.
Мы показали, что эрмитову форму интеграла энергии для ком-
комплексных решений можно считать положительно определенной,
если она положительно определена на решениях вещественных.
Матрицу Ьы мы предполагали такой, что из выполнения одного
из граничных условий вытекает обращение в нуль квадратичной
формы b11us\+2b12u1u2-\-b22ui. Мы отмечали уже, что для этого
необходимо, чтобы указанная форма разлагалась на два сомно-
сомножителя. Предположим дополнительно, что эти множители раз-
различны и, следовательно, сигнатура квадратичной формы равна
A, —1). Характеристики ^ = ^D —- = k2(x) консервативной
системы определяются с помощью уравнения
det\\B-kA\\=Q (B = \\bik\\, A=\\aik\).
Как известно из алгебры, существует такая невырожденная
матрица S, что
SMS = L А (А — положительно определенная),
Так как сигнатура квадратичных форм при изменении базиса
сохраняется, то корни k1 = k1(x), k2 = k2(x) имеют разные знаки.
Следовательно, если коэффициенты достаточно гладкие, консерва-
консервативная система может быть приведена к каноническому виду,
который использовался при обосновании метода Фурье. Можно
также показать, что граничные условия у консервативной задачи
удовлетворяют тем требованиям, которые нужны для примени-
применимости развитой на предыдущих лекциях теории. Мы не будем
на этом останавливаться.
Рассмотрим конечномерное линейное векторное пространство,
натянутое на N собственных вектор-функций нашей консерватив-
консервативной системы. Каждый элемент {cplf ф2} этого пространства пред-
представим в виде
N
Здесь {v<[l)(xI vBk)(x)} — собственная вектор-функция, отвечающая
собственному значению Xk. Мы будем для простоты предполагать,
§ 32] РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 373
что система не имеет кратных собственных значений, хотя крат-
кратность по существу ничему не может здесь помешать.
Сопоставим элементу {фь ф2} элемент {\ръ ty2} по формуле
Фа =2
k = \
Это сопоставление можно трактовать так. Построим по началь-
начальным (при / = 0) данным (рх, ф2 решение изучаемой системы, а затем
рассмотрим значение этого решения при / = т. Это значение и
будет вектор-функцией {\|)ь \|J}. Нами было доказано, что
/
) [Яцф1ф2 + fl12 (Ф1ф2 +
О
Легко также сообразить, что еккхфекрх при достаточно малых т,
если hk^=kp. В самом деле, так как Хъ Я2, ..., XN — конечное
число различных собственных значений, то существует max | Хр —
—Xk | = А. Выберем т <С д-. Тогда | Хрх — Хкх \ <С 2я, а следовательно,
е к
Преобразование {фь Фг}-^}^, 'Фг} является линейным пре-
преобразованием, а числа е%кХ — его собственные значения. Отвечаю-
Отвечающие им собственные векторы —это соответствующие собственные
вектор-функции. Введем в нашем конечномерном векторном про-
пространстве комплексное скалярное произведение
i
@, ф) = \ [0!АФ! + а12 {дг<р2 + вафх) + а2202ф2] dx.
о
Легко убедиться, что
1° (б, Ф)=(фГб),
2° (Я0, <p)=M6, Ф).
3° F + 0, ф) = (в, Ф) + (е, Ф),
4° (б, 0)^0, причем равно нулю, лишь если 6 = 0.
Последнее утверждение мы недавно аккуратно проверяли.
Свойства Г —4° являются аксиомами, которым должно удов-
удовлетворять скалярное произведение в комплексном евклидовом
374 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
пространстве. Закон сохранения энергии при преобразовании
мы можем теперь толковать как сохранение скалярного квадрата
вектора при рассматриваемом линейном преобразовании: (ср, ф) =
= (г|), \|)). Преобразование, обладающее таким свойством, назы-
называется унитарным. Легко проверить, что собственные значения
унитарного преобразования U обязательно равны 1 по модулю.
В самом деле, пусть ?/ф = цф. Тогда, в силу унитарности,
(/, (/ф) = (ф, ф). С другой стороны,
= (|Хф, |Хф)=|Х(ф, |Хф) = |х(|Хф, ф)=Ц.[х(ф, ф).
Скалярный квадрат (ф, ф) веществен и положителен, а следова-
следовательно, (ф, ф) = (ф, ф). Мы видим, что (ф, ф)=[г-[г(ф, ф), а зна-
значит, fX • JLX = 1, | fi I = 1.
В нашем случае собственные значения —это ehx. Из условия
\е1рх\ = 1 вытекает, что Ярт —число мнимое. Очевидно, что Хр
тоже будет чисто мнимым. Мы доказали, что для рассматривае-
рассматриваемых консервативных систем все собственные значения Хр лежат
на мнимой оси.
Докажем еще, что собственные функции, отвечающие различ-
различным собственным значениям, ортогональны в смысле введен-
введенного скалярного произведения. Сначала заметим, что из равенств
следует, что
(t/ф,
Действительно,
(U (Ф + г|)), U (Ф + ф)) = (t/ф,
([/(Ф + /г|)), 1/(ф + 1
С другой стороны,
, ф),
= (ф, Ф),
Сравнивая все эти равенства, находим
) Ф), B)
»(* Ф)- C)
§ 32] РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 375
Прибавляя к тождеству B) тождество C), умноженное на i%
получим равенство
Утверждение (f/ф, U\p) = (y, ty) доказано. Пусть теперь 1/ф = [х1ф$
?/<ф = [х2г|\ причем fxx =7^= fx2. Мы уже знаем, что Mim = l, |я2[х2=1.
Неравенство — =^=1 можно записать в виде ^[Xg^l. Восполь-
Воспользуемся тождеством
По условию
(t/cp,
Это равенство возможно лишь, если [Xifx2 = l или если (ф, \|))=0.
Первое невозможно по предположению. Следовательно, (ф, г|))=0.
Ортогональность собственных функций доказана.
В случае если консервативная задача имеет кратные собствен-
собственные значения, преобразование щ(ху 0)->Ui(x> т) не перестает
быть унитарным. С помощью обычных для линейной алгебры
приемов можно показать, что в этом случае никаких присоеди-
присоединенных функций не существует и что каждому r-кратному соб-
собственному значению отвечают г линейно независимых собственных
вектор-функций. Так как любая линейная комбинация собствен-
собственных вектор-функций, отвечающих одному и тому же собственному
значению, опять будет собственной с тем же собственным зна-
значением, то для них может быть выбран ортогональный базис.
Напомним, кстати, что кратные собственные значения будут
лишь в конечном числе и каждое из них имеет конечную крат-
кратность. Собственные вектор-функции, отвечающие различным соб-
собственным значениям, по доказанному выше будут ортогональны
автоматически.
Ортогональностью базиса из собственных вектор-функций удобно
пользоваться при приближении начальных данных. Пусть мы
хотим начальную вектор-функцию Ф = {ф1(л:), Ф2(*)} приблизить
при помощи конечной линейной комбинации собственных вектор-
N
функций 2 ckV{k) (x) (v(k) = {v[k\ v{2k))}. Естественно определить
N
коэффициенты ck из условия минимума невязки б = ф— 2 ckV{k).
Для измерения величины А невязки удобно пользоваться нашим
376 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
скалярным произведением:
TV
= (ф. Ф)- Ц
iV
\ ! \ck(v^k\ v{k)) — (wy v{k))\2 —
k = 1 v ' /г—1
Отсюда видно, что А принимает минимальное значение при
(ф, V{k))
Теперь мы можем вернуться к вопросу о нахождении коэффици-
коэффициентов в разложении решения в ряд Фурье, полученный в пре-
предыдущем параграфе. Там было показано, что для решения спра-
справедлива формула
N
и (у f) — у A v{k) (у) pKkl _L Г) I JL.)
N
1
где v{k) (x) = {v\k) (x), vBk) (х)} — собственные функции, a Xk — собст-
собственные значения нашей задачи. Остаточный член, правда, оце-
оценивался лишь для 0<</0^/^7\ Но если учесть обратимость
задачи, то можно за начало отсчета времени взять / = — тс на-
начальными данными и(х, — т), так что можно считать оценку
равномерной при О^-J^T. В частности,
N
и (х, О) = ср (х) = У dkvW (x) + О
Если задача консервативна, то умножая это равенство скалярно
на v{h) (x) (в введенном нами скалярном произведении), получаем
(Ф, v<») = c
или, в силу произвольности yV,
dk = ((Р'р1*')
), v(k)) #
Другими словами, коэффициенты dk — STo и есть коэффициенты
Фурье разложения начальной вектор-функции по собственным
функциям унитарного преобразования U,
§ 33] САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 377
В результате получаем окончательную формулу для решения
задачи с гладкими согласованными начальными данными ц(х)=--
Рассмотренный во вводной части пример акустической системы
61 "^ ро дх ~~Uj
является частным случаем консервативной задачи. Ее собственные
вектор-функции it sin -у^-, —p0c0cos-^-\t собственные значения
Xk = i-^ cOf скалярное произведение равно \ (р0а1й2+ PlPt ) dx,
* J \ Poco I
0
а формула для решения имеет вид:
где
§ 33. Самосопряженная система второго порядка
Ее сведение к симметричной системе первого порядка. Эта система консер-
консервативна. «Кинетическая» и «потенциальная» энергия для решений этой системы.
Собственные вектор-функции и собственные значения соответствующей краевой
задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Собственные
функции ортогональны как в «потенциальной» метрике, так и в «кинетической».
Формулы для приближенного решения задачи. Замечания о методе Ритца.
Изучение метода Фурье мы закончим рассмотрением некоторого
класса типичных задач, к которым этот метод применим. Это рас-
рассмотрение покажет одно из важных направлений, в которых допу-
допускает расширение проиллюстрированная на простом примере
теория.
378 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
Мы будем рассматривать симметрическую и так называемую
самосопряженную систему второго порядка
=1 2 Ь<*М^Г ' < = 1> 2,..., л.
Матрицы \\aik (х) ||, | bik (x)|| здесь предполагаются симметричными
и (обе) положительно определенными.
Граничные условия при * = 0 и при х = 1 будем предполагать
заданными в следующем виде:
при x=
с неотрицательно определенными квадратными матрицами aiky eik.
Начальные данные при / = 0 должны для этой системы зада-
задаваться так:
ик (х, 0) = ф* (*),
дик
dt
Мы сейчас покажем, как такую задачу можно привести к консер-
консервативной задаче для системы уравнений парвого порядка, содер-
содержащей в два раза больше уравнений, чем исходная система второго
порядка. Консервативность этой задачи будет гарантией се обра-
обратимости, используя которую, можно доказать применимость метода
Фурье.
Обозначим
о)
Матрицу \bik\ * обозначим \cik{x)\. Легко проверить, что Цс^Ц
будет симметрической и положительно определенной. С ее исполь
зованием могут быть записаны тождества
^cribik = 8k (символ Кронекера),
Эти последние равенства, будучи продифференцированы по t,
§ 33] САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 379
приводят к уравнениям
Исходные же уравнения переписываются в следующей форме:
VI , ч dvb dwt
Объединяя уравнения этих двух видов, приходим к симметрической
системе
УС.{Х) dw* - dV*
ZiClk[X) dt - дх
которая, с учетом замены A), эквивалентна первоначальной системе.
После умножения уравнений полученной системы на vt и wh
соответственно, сложения и интегрирования по области с кусочно
гладкой границей Г получаем интеграл энергии (см. § 9):
i,k
У CikWiWk\
Квадратичная форма ^ У aikViVk = у
i, k i, k
зать, «кинетической» энергии, а форма
1 VI ! V / V \ I
22[2c
) dt = 0.
-~ -~- отвечает, так ска-
dut
1
и;
i,k i \ r I i i, k
— «потенциальной». Мы пишем слова «кинетическая» и «потен-
«потенциальная» в кавычках, чтобы подчеркнуть, что речь идет о неко-
некотором общем классе уравнений, для которого понятия кинетиче-
кинетической и потенциальной энергии могут иметь только условный смысл.
Из граничных условий при х = 0 вытекает, что
х = 0
t.k
дщ
dt
- 1J_ V
,"" 2 dt Zi'
i,k
Аналогично из граничных условий при х = 1 получаем
i, n
380
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. IV
Отсюда
12щщ х=оdt=fу 2
* t \ i k
tt
f
\ i, k
^т2
\ i,
t=t2
i, к
-Гт2
Используя эти тождества в интеграле энергии для прямоуголь-
прямоугольника О^х^/, ti^t^t2, мы приходим к следующему закону
сохранения:
i, /г
г /v .v \
и \i, к i, к t = t,
x = 0
i, к
x=l
+HB
0 \i, к i, к lt = ti
В этом законе к «потенциальной» энергии добавлены слагаемые
-к-У,а1ки1ик » у а8'7^/"* _ J представляющие собой «запас
упругой энергии» граничных условий.
Полученное тождество можно толковать, как некоторое обоб-
обобщенное условие консервативности, обеспечивающее унитарность
преобразования решения при переходе от t = tx к t = t2. Исходя
из этого, как и в предыдущем параграфе, нетрудно доказать, что
собственные значения обыкновенных дифференциальных уравнений
Kuk = уЛ
при наших граничных условиях оказываются чисто мнимыми,
а система собственных функций ортонормирована в смысле мет-
метрики, задаваемой эрмитовой формулой
i, k
1 (
0 \i, к
it к
it К
§ 33] САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 381
Однако эта ортогональность обычно не используется при прибли-
приближении начальных данных комбинациями собственных функций.
Дело в том, что собственные функции, оказывается, можно считать
ортогональными в более простой метрике, связанной лишь с матри-
матрицей «кинетической энергии» |а^|. Сейчас мы покажем, как к такому
выводу можно прийти.
Переписав уравнения
в форме
к
и подставив отсюда Xwi в равенства
X2
*"*- dx
к
получаем уравнения второго порядка:
Так как собственные значения К являются чисто мнимыми, то,
следовательно, X2 должно быть вещественным и отрицательным.
Обозначим X2 = — jLi.
Мы установили, что собственные функции должны удовлетво-
удовлетворять уравнениям с вещественными коэффициентами
U,
Граничные условия
2 bik (°) 4г = 2 °ikUk ^при Х ^ °^
(при х=1)
с помощью равенств fKuk = vk могут быть для наших собственных
функций переписаны так:
bik (°) "^Г = 2 °ikVk ^при х = °^
к к
^ 2et; (при ^=
382 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
Мы видим, что уравнения для собственных вектор-функций
{vl9 v2J ..., vn} и граничные условия для них вещественны. Отсюда
следует возможность считать {vly v2, ..., vn) вещественными.
Покажем, что собственные вектор-функции
отвечающие различным собственным значениям filf (ы2 ((ых =^ |ы2),
ортогональны в смысле скалярного произведения
О i, к I
Для этого выпишем уравнения, которым удовлетворяют i/A), v{2):
_ к
d
dx
Умножим i-e уравнение для v'l) на vT\ a i-e уравнение для v'2)
на v'i\ вычтем их друг из друга и просуммируем по всем i:
,<» d (Vh dv<kl)\ «'" d
i ^[Zbik~T)--Vi ~Z
i, k
Выражение в квадратных скобках может быть преобразовано сле-
следующим образом:
,2> d
dvk dvi
~Jx"~dx~'
После суммирования по i последние две суммы уничтожатся и мы
будем иметь
§ 33] САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 383
Проинтегрируем это равенство по л: от 0 до /:
f 2
О i,k
2
J,k
В силу граничных условий при х = 0
2ь^ 2 ^ 2ь
= 2 ^ 2ь» пег = 2 ^ 2 *»*" = 2 <"^1*1'
i k i k i,k
Совершенно так же устанавливается, что
Следовательно,
5 2 ^2> ^=о,
5
О i, k
I
\^aikvrvTdx^0.
6 i, k
Ортогональность собственных функций доказана. Пользуясь этой
ортогональностью, нетрудно дать формулы, с помощью которых
вектор-функции ик(х, 0) — q)k(x), -^- _ =%(х) могут быть при-
приближены суммами вида
=Z Bpvip)(x).
р = \
Начальные значения ик (х> 0) и производной -^/- _ приближаются
независимо. В нашей записи это подчеркнуто тем, что их коэффи-
коэффициенты Фурье обозначены разными буквами. Точное решение
исходной системы
д
384 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
соответствующее этим приближенным начальным данным, запи-
записывается в виде
2 [р cos (ViV)+вр sin
Упражнение. Убедитесь в этом непосредственной подстановкой в урав-
уравнения и в начальные условия.
Мы уже отмечали, что собственные функции нашей задачи
ортогональны еще и в смысле метрики, задаваемой формой
f=у 2 а**и1п* i*-o+у J B a*kViVk+2 с'*ш*®^
i, к 0 \t, h i, к I
у ^ е/*м''й* U-/ = у 2 а/л«/% U-o + у 2
i, к i, k
О \i, k i, к I
Вычислим значение этой формы на собственной вектор-функции,
для которой
Непосредственное использование этих равенств дает
F == у J ^ aikViVk dx +
у J ^
0 i, k
I
f 2
i, к 0 i, к i, k
Преобразуем интегрированием по частям интеграл, входящий
в квадратную скобку,
z
1
2
о Г
i, к
=» - у 2 °ikvivk U-o — у 2е'^^ Uw+I1 j 2
i к i к 0 k
2 2j 2
i, к i, к 0 t, k
§ 33] САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 385
При получении последней строчки мы еще воспользовались урав-
уравнениями
и граничными условиями
= 0 (при х — 0),
2b* чг
x=
Окончательно приходим к выводу, что на собственной вектор-
функции рассматриваемая форма равна
1 Г \i - 1 f \i A
"о" 1 / &ikViVfi CLX-\—q- I / CLikV[Vfi (XX.
0 i, k 0 i, k
Это утверждение эквивалентно утверждению о том, что на соб-
собственной вектор-функции, отвечающей собственному значению |и,
«потенциальная» квадратичная форма
/ 1
л\\\\ I , 1 Г VI * dvi dvb i , 1 V^
[I \ТГ / (Jfikvivk\x=0~T~-o' \ 7 "ik ~7 1—dX-TUT 7 Eikvivk
\ i,k 0 i, Л i\ Л
x-V
равна «кинетической» квадратичной форме
1
о
Задача. Докажите, применяя интегрирование по частям и используя
дифференциальные уравнения для собственных вектор-функций W^\ v^} vn)}i
\v{?\ v'?] vn))f отвечающих различным собственным значениям
М» М (|^1 z* 1^2/»
ЧТО
Эта ортогональность собственных функций в «потенциальной»
метрике вместе с уже доказанной раньше ортогональностью в «кине-
«кинетической» дает их ортогональность в полной энергетической мет-
метрике («кинетическая» + «потенциальная»).
386 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
Для упрощения записи обозначим:
i
П (у, *) = -if 2 oikytzk U-o + 1 f ^ Ь* Ж itdx + Т
tfc 0 ik i
Пусть t;A), vB\ ..., v{r) — собственные вектор-функции, отвечаю-
отвечающие собственным значениям ^^(л^^- ..^JV> и пусть
является вектор-функцией, лежащей в пространстве, натянутом
на эти собственные.
Тогда
(р, у) _ Д^ПИ1, v(k))
К (у, »)
Если предполагать, что собственные функции нормированы так,
что К(Уи), v^) = \, то
К(«, v)~ E«+g» + ... + E- — H-i-
Если все собственные значения различны, то минимум
. П (v, v)
ПИП— г = Lli
К (v, v) ri
достигается только на вектор-функциях, пропорциональных v{1\
т. е. на собственной функции, отвечающей наименьшему собст-
собственному значению.
Это утверждение допускает следующее важное обобщение. Пусть
v пробегает вообще все гладкие вектор-функции, а не только те
из них, которые являются линейными комбинациями конечного
числа собственных. Можно доказать, что для таких v
К (v, u)^1'
где (Ltx — наименьшее из собственных значений нашей задачи,
причем минимум достигается только на собственной функции,
отвечающей \iv
§ 33] САМОСОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 387
Этот факт служит основанием очень важного для приложений
метода Ритца, предложенного в 1908 г. и применяемого для
вычисления собственных функций и собственных значений.
Разберем идею этого метода на примере задачи, в которой
одна искомая функция v(x) и формы К (v, v), П(у, v) задаются
формулами
К (и, v)= \a{x)v2dx,
о
Будем искать минимум
min к , v) = min П (vy v) (при условии K(t>, v) = l)
не среди всех v(x), а только среди v(x)> являющихся полиномами
степени р:
Для
таких
П(и,
К (v,
v(x)
v) =
v) =
i
p
2
i, k = 0
P
i
= ik \b(x)xi+k-2dx+lt
ъ Щи = \a(x)*i+k dx,
о
и дело сводится к нахождению минимума квадратичной формы
р
ufik на векторах (аОУ а1у..., ар)у удовлетворяющих условию
, k0
Как известно, этот минимум jn равен наименьшему корню
характеристического уравнения степени р + 1
det || я^ — fix/fe || == 0,
а собственный вектор, на котором этот минимум достигается,
удовлетворяет однородной системе
Таким образом, дело сводится к решению алгебраической
задачи. Естественно ожидать, что, повышая степень р полинома,
388 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. IV
мы будем все точнее и точнее приближаться к собственному
значению и к собственной функции.
Практическое удобство метода Ритца состоит в том, что обычно
удается получить хорошие приближения, рассматривая в качестве
допустимых лишь функции, лежащие в пространствах не слишком
большой размерности. Эти пространства не обязательно должны
быть пространствами полиномов.
Особенно выгодно применять метод Ритца для отыскания
собственных значений и функций в случае задач с двумя или
тремя пространственными переменными, где нет почти ни одного
конкурирующего с ним метода. Отметим еще, что обычно метод
Ритца дает очень хорошую точность для собственных значений и
несколько худшую для собственных функций.
В заключение главы IV, посвященной методу Фурье, заметим
следующее. Часто изложение этого метода состоит в построении
решения краевой задачи (и тем самым в доказательстве сущест-
существования решения) с помощью решений специального вида «стоячих
волн». И во вводной первой главе, и в настоящей мы предпочли
опереться на независимым образом доказанные теоремы сущест-
существования решения краевых задач и затем уже разлагать эти
решения по функциям специального вида. Однако полученные
нами формулы для коэффициентов разложения решений симмет-
симметричных консервативных задач дают возможность выписать явные
выражения для решений по начальным данным, если известны
собственные функции краевой задачи для соответствующей системы
обыкновенных дифференциальных уравнений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Годунов С. К- Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1971.
2. Седов Л. И. Распространение сильных взрывных волн.—ПММ, 1964,
т. IX, вып. 2.
3. КолмогоровА. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ-
функционального анализа.—М.: Наука, 1972, гл. II, § 3.
4. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального ана-
анализа.— М.: Наука, 1965, гл. I, § 3.
5. С о б о л е в С. Л. Некоторые применения функционального анализа в ма-
математической физике.—Л.: ЛГУ, 1950, с. 1—255; Новосибирск, 1962,
с. 1-255.
6. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и тео-
теоремы вложения. —М.: Наука, 1977.
7. К р е й с О. Смешанные задачи для гиперболических систем. —В кн. «Мате-
«Математика», 1970, т. 14, № 4, с. 98—111.
8. Сакомото Р. Смешанные задачи для гиперболических уравнений.—
В кн. «Математика», 1972, т. 16, № 1, с. 62—100.
9. I k a wa M. Mixed problem for the wave equation with an oblique derivative
boundary condition.— Osaka J. Math. 1970, v. 7, p. 495 — 525.
10. Годунов С. K-, Гордиенко В. М. Смешанная задача для волнового
уравнения,—АН СССР, Сибирское отделение. Институт Математики. Диф-
Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды семинара
С. Л. Соболева. Новосибирск, 1977, с. 5 — 32.
11. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа. —ИАНСССР
(сер. математическая), 1956, т. 20, с. 819 — 842.
12. Т и х о н о в А. Н., Арсенин В. Я- Методы решения некорректных
задач.—М.: Наука, 1974, с. 211—221.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамара пример 112, 285
Арцела теорема 126
Бихарактеристики 172
Вариационный принцип Дирихле 283,
285
Гамильтона — Якоби уравнение 169
Гармонические функции 19, 20
Гарнака неравенство 273
— первая теорема 272
Гильберта задача 299
Гиперболические системы 81, 140, 144
— уравнения 57
/-гиперболическая система 85
симметрическая 86, 144
Гладкая функция 58
Даламбера формула 67, 105
Дирихле вариационный принцип 283,
285
— задача 28
— интеграл 269
Диссипативные граничные условия 187
Дюамеля интеграл 321
Задача Гильберта 299
— Дирихле 28
— консервативная 370, 371
— корректная 112
— Коши 65, 77
для уравнения второго порядка
90
— некорректная 112
— обратимая 211, 335
— о косой производной 307
— смешанная 192
Закон сохранения энергии 68
Инварианты римановы 64, 143
Индекс граничного условия 300
Интеграл Дирихле 269
— Дюамеля 321
— Пуассона для уравнения теплопро-
теплопроводности 41
Интегралы энергии 87, 149, 151, 154
Консервативные задачи 370, 371
Конус характеристик 178
— характеристических нормалей 88,
163, 169
Корректная задача 112
Коши задача 65, 77
для уравнения второго порядка
90
Коэффициент теплопроводности 31
Критерий Шварца 287
Лапласа преобразование 323
— уравнение 12
Лемма об интегральном неравенстве
152
Лиувилля теорема 273
Метод Фурье 92
— Шварца 287
Модуль всестороннего сжатия 165
— сдвига 165
Начальные условия 62
Некорректная задача 112
Неравенство Гарнака 273
Обобщенная функция 50
Обобщенные решения 56, 76, 127, 132,
135
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
391
Обратимые задачи 211, 335
Объемный (ньютоновский) потенциал 15
Первая теорема Гарнака 272
Пополнение пространства 75
Потенциал объемный (ньютоновский) 15
Преобразование Лапласа 323
Пример Адамара 112, 285
Принцип максимума 19
для уравнения теплопроводно-
теплопроводности 33
усиленный 274
— минимума 34
Присоединенные собственные функции
365
Пуассона интеграл для уравнения теп-
теплопроводности 41
— уравнение 12
— формула 25
Равностепенная непрерывность в сред-
среднем по t 122
Равностепенно непрерывное семейство
126
Регулирующий множитель 304
Римановы инварианты 64, 143
Скорость звука 64
Смешанная задача 192
Собственная вектор-функция 100
Собственные значения 100
— функции присоединенные 365
Соотношение на характеристике 79
Стоячие волны 102
Теорема о максимуме и минимуме 19
— от разрывной мажоранте 274
— об асимптотике решений задачи
Коши 344
— об обращении преобразования Лап-
Лапласа 324, 328
— об устранимой особенности 275
Теоремы о среднем арифметическом 269
Теплоемкость 31
Уравнение Гамильтона — Якоби 169
— Лапласа 12
— малых колебаний струны 66
— Пуассона 12
— теплопроводности 28, 41
— Эйлера 93
Уравнения акустики 63
Формула Даламбера 67, 105
— Пуассона 25
Функция гармоническая 19, 20
— гладкая 58
— обобщенная 50
Фурье метод 92
Характеристики 62, 63, 76, 79, 84, 89
Характеристический треугольник 63
Частотная характеристика 323
Шварца критерий 287
— метод 287
Теорема Арцела 126
— Лиувилля 273
Эйлера уравнение 93
Эллиптическая система 91
Сергей Константинович Годунов
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
М.. 1979 г., 392 стр. с илл.
Редактор В. В. Абгарлн
Технический редактор Е. В. Морозова
Корректор //. Б. Румянцева
И Б № 2298
Сдано в набор 06.07.78. Подписано к печати 25.01.79.
Бумага 60X907i6, тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая
печать, Условн. печ. л. 24,5. Уч.-изд. л. 25,66. Тираж 20 000 экз.
Заказ № 119. Цена книги 1 р. 10 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградское производственно-техническое объ-
объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького «Союз-
полиграфпрома» при Государственном комитете СССР по
делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136,
Ленинград, П-136, Гатчинская, 26