Text
                    ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВИ СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ
И. Г. АРАМАНОВИЧ и В. И. ЛЕВИН
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве ухебного пособия
для студентов высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1969


5П.2 A79 УДК 517.944 @75.8) 2-2-8 85-69
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие * 7 Введение 9 1. Дифференциальные уравнения с частными производ- производными 0 2 Однородные линейные дифференциальные уравнения с частными производными и свойства их решений ... 14 8. Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сфери- сферических координатах , 20 ГЛАВА 1 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ § 1. Уравнение колебаний струны . 24 4 Вывод уравнения колебаний струны 24 5 Постановка начальных и краевых условий 30 § 2. Колебании бесконечной и полубескоиечной струны. Метод Даламбера 33 6 Бесконечная струна Формула Даламбера 33 7. Распространение волн отклонения 37 8. Распространение воян импульса ............. 48 9. Полубесконечная струна 51 § 3. Метод Фурье 55 10. Метод Фурье 55 11. Стоячие волны 62 12 Примеры 64 § 4. Вынужденные колебания и колебания струны в среде с сопротивлением ..... 72 13. Вынужденные колебания струны 72 14. Колебания струны в среде е сопротивлением , 77 1»
4 ОГЛАВЛЕНИЕ § б. Продольные колебания стержня . 80 15. Постановка задачи и метод решения 80 16. Примеры 87 § 6. Крутильные колебания вала 91 17. Уравнения крутильных колебаний 91 18. Крутильные колебания вала с диском на одном конце 94 § 7. Электрические колебания в длинных однородных ли- линиях 99 19. Теле1рафное уравнение . 99 20. Линия без потерь 103 2\. Линия без искажения '05 22. Линии конечной длины 107 § 8. Уравнение колебаний мембраны 114 23. Вывод уравнения колебании мембраны . . . П4 24. Начальные и краевые условия .119 § 9. Колебания прямоугольной мембраны 120 25. Собственные функции 120 26. Стоячие волны прямом ольной мембраны ........ 123 27. Вторая часть метода Фурье Двойные ряды Ф>рье ... 126 28. Стоячие волны с одинаковой частотой 128 § 10. Уравнение и функции Бесселя 130 'Л). Уравнение Бесселя , 130 30. Условие ортогональности функций Бесселя нулевого порядка 134 31. Функции Бесселя первого порядка ............ 136 § 11. Колебания круглой мембраны 139 32 Круглая мембрана 139 33 Стоячие волны круглой мембраны ............ 143 г л А в а и УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ § 12. Уравнение линейной теплопроводности . 145 34. Вывод уравнения линейной теплопроводности 145
ОГЛАВЛЕНИЕ 8 85. Начальное и краевые условия 148 36. Теплопроводность в стержне при наличии теплообмена через боковую поверхность 151 § 13. Теплопроводность в бесконечном стержне 153 37. Метод Фурье для бесконечного стержня 153 38. Преобразование решения уравнения теплопроводности 159 39. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и его физический смысл 162 40. Примеры 168 § 14. Теплопроводность в конечном стержне ........ 173 41. Приведение к задаче с однородными краевыми усло- условиями. Метод Фурье 173 42. Распространение тепла в стержне в случаях постоянной температуры на концах или теплоизоляции концов 177 43. Общий случай краевых условий 183 44. Примеры 186 § 15. Теплопроводность в полубесконечном стержне .... 196 45. Распространение тепла при теплоизоляции или постоян- постоянстве температуры конца стержня 196 46. Примеры 200 § 16. Некоторые пространственные задачи теплопровод- теплопроводности 202 47. Вывод уравнения теплопроводности в пространственном случае ..... 202 48. Начальное и краевые условия 207 49. Распространение тепла в однородном цилиндре .... 210 50. Распространение тепла в однородном шаре 214 § 17. Задачи диффузии 216 51. Уравнение диффузии 216 52. Уравнения теплопроводности и диффузии с краевым условием, зависящим от времени 219 63. Примеры 223
ОГЛАВЛЕНИЕ I Л А В А III УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА g 18. Краевые задачи для уравнении Лапласа. Метод функ- функции Грина 226 64. Постановка краевых задач 226 65. Метод функции Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай) 230 56. Метод функции Грина для задачи Дирихле (двумерный случай)] 237 57. Задача Неймана 240 § 19. Решение задачи Дирихле для шара н полупростран- полупространства 242 58. Сопряженные точки 242 59. Задача Дирихле для шара 244 60. Задача Дирихле для внешности шара .......... 252 61. Задача Дирихле для полупространства ......... 253 § 20. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости 258 62. Задача Дирихле для кр>ч а 253 63. Задача Дирихле для внешности круга 264 64. Задача Дирихле для полуплоскости 264 § 21, Метод Фурье для уравнения Лапласа 267 65. Двумерное уравнение Лапласа и задача Дирихле для круга 267 66. Разделение переменных в трехмерном уравнении Лап- Лапласа в сферических координатах. Многочлены Лежандра 271 67. Решение задачи Дирихле для шара в осесимметричном случае разложением по многочленам Лежандра .... 278 Заключение 2S2 68. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка 282 60. Корректность постановки задач математической физики 284 Литература 287
ПРЕДИСЛОВИЕ Несмотря на наличие богатой литературы по математи- математической физике, студенты и аспиранты высших технических учебных заведений, так же как и инженеры, работающие в промышленности, которым необходимы первоначальные сведения по уравнениям математической физики, испытывают серьезные затруднения в подборе руководства по этой важ- важной отрасли прикладной математики. Это объясняется тем, что почти все книги, существующие в этой области, либо опираются на слишком большой объем математических зна- знаний, либо написаны столь сжато и развивают математиче- математический аппарат столь далеко, что оказываются недоступными для указанного выше круга возможных читателей настоящей книги. Авторы исходили из того, что читатель знаком только с обычным курсом высшей математики, изучаемым в наших втузах. Мы учи швали также, что читатель может интере- интересоваться не обязательно всеми задачами математической фи- физики, рассмотренными в книге, а только теми, которые имеют непосредственное отношение к его специальности (одних, например, могут интересовать только вЪпросы колебаний, других — задачи теплопроводности). В соответствии с этим книга построена так, что отдельные ее главы могут изучаться сравнительно независимо друг от друга. В частности, важней- важнейший метод решения многих задач математической физики — метод Фурье — изложен с одинаковой степенью подробности как в первой, так и во второй главе. Книге предпослано введение, в котором в помощь чита- читателю собраны некоторые факты математического анализа (в основном, обычно излагаемые в общем курсе втуза, но также и некоторые дополнительные), которыми в дальней- дальнейшем приходится пользоваться.
b ПРЕДИСЛОВИЕ Большое внимание уделено физической стороне дела. Вы- Выводы основных уравнений изложены достаточно подробно, а получаемые решения, как правило, исследуются с физи- физической точки зрения. Всюду, где это возможно, указано па связь с теми дисциплинами, в которых чшатель найдет при- применение рассматриваемых в книге задач. Вместе с тем чисго математическая сторона дела (тео- (теоремы существования, единственности, законность предельных переходов и т. п.) почти не затрагивается. Читатель, инте- интересующийся вопросами такого рода, должен обратиться к более полным руководствам (см. перечень литературы ])). Однако даже при этом математический аппарат достаточно сложен и от читателя потребуются известные усилия для его усвое- усвоения. Пункты и примеры, которые являются более трудными, напечатаны мелким шрифтом; читатель, пропустивший эти места, не будет испытывать затруднений при чтении основ- основного текста. Чтобы, с одной стороны, избежать излишних повторений, а с другой стороны, облегчить пользование книгой, изложе- изложение сопровождается ссылками на книгу А. Ф. Берманта и И. Г. Арамановичз «Краткий курс математического анализа для втузов» («Наука», М.). Мы выражаем искреннюю благодарность Н. Я. Виленкииу, чьи советы повлияли на окончательную структуру книги, а также Н. А. Угаровой и В. А. Угарову за их замечания по 1ексту рукописи и Т. С. Плетневой, внимательно про- прочитавшей рукопись. Авторы Во втором издании устранены замеченные опечатки и не- неточности. ') В тексте книги ссылки на литературу помещены в квадрат- квадратные скобки.
ВВЕДЕНИЕ 1. Дифференциальные уравнения с частными произ- производными. В дальнейшем будем предполагать, чго читатель уже знаком с основами теории обыкновенных дифферен- дифференциальных уравнений, т. е. уравнений, связывающих неизвест- неизвестную функцию одной независимой переменной, ее производные и саму независимую переменную. Мы приведем лишь самые основные сведения. Дифференциальное уравнение первого порядка вида у'= =/(х,у) имеет бесчисленное множество решений, опреде- определяемых формулой, содержащей одну произвольную посто- постоянную: у = <р (х, С). Аналогично общее решение дифферен- дифференциального уравнения второго порядка у" = /(х, у, у') со- содержит две произвольные постоянные: j/ = <p(jc, Clt Cs). Выде- Выделение частного решения может быть произведено путем задания начальных условий, которые для уравнения второго по- порядка обычно имеют видз' \л==Ха—уп, у' \х^х0=У'«- Подстав- Подставляя эти значения х,у и У в общее решение и в его производную, получим два уравнения для отыскания произвольных посто- постоянных С\ и С2. Если правая часть уравнения — функция }{х,у,у) — непрерывна в некоторой окрестности значений •^о. Уч и У о и имеет там непрерывные частные производные д/ д/ -j~ и -^, то существует единственное частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям (теорема су- существования и единственности решения). В дальнейшем особенно часто будут встречаться линей- линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Для однородного уравнения общее решение есть линейная комбинация двух его частных
10 ПВГДЕНИЕ решений Vi(x) и у^(х), если только эти решения линейно независимы (т. е. у% Ф kyh где k — константа): Общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В этой книге будут изучаться дифференциальные урав- уравнения с частными производными, т. е. уравнения, содер- содержащие неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные. Обычно приходится иметь дело с уравнениями для функций двух или трех независимых пе- переменных. Вот примеры таких уравнений (х, у, z — незави- независимые переменные, и — неизвестная функция): ди I да __ о ,,ди vди — п д2« д*и . да „ д3и , д3и , д*и gj* — др + дх ~~ ' Э^2 "г" ар "Г" д? ~lL В первой строке написаны уравнения, содержащие част- частные производные только первого порядка. Такие уравнения называются уравнениями первого порядка. Соответственно уравнения, написанные во второй строчке, являются приме- примерами уравнений второго порядка. Мы вовсе не ставим перед собой задачу изучать вообще способы решений дифференциальных уравнений с частными производными. Мы буделг рассматривать только те конкрет- конкретные уравнения (да и то далеко не все), которые сущест- существенны для физики, механики и техники. Именно эти урав- уравнения и называются дифференциальными уравнениями ма- математической физики. Предварительно без доказательств познакомимся с про- простейшими свойствами уравнений с частными производными; будем считать, что неизвестная функция я зависит от двух неременных х и у. Возьмем уравнение
ВВЕДЕНИЕ 11 Ясно, что искомая функция и(х,у) не зависит от перемен- переменной х, но может быть любой функцией от у: B) Действительно, дифференцируя функцию <р(у) по х, мы получаем нуль, а это и значит, что равенство A) соблю- соблюдается. Следовательно, решение B) уравнения A) содержит одну произвольную функцию tpCv). В этом и заключается коренное отличие решения уравнения с частными произ- производными первого порядка от общего решения обыкновен- обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, кото- которое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение B), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения A). Рассмотрим более сложное уравнение |=/(Л О) где f(y) — заданная функция. Все функции и(х, у), удо- удовлетворяющие уравнению C), имеют вид D) где ty{x)—произвольная функция от х. Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства D) но у. Найденное решение уравнения C) зависит от одной произвольной функ- функции, т. е. является общим. Легко проверить, что уравнение х^—[-j/^- = 0 имеет общее решение и{х> у) = у (—), где <р — произвольная'диф- ференцируемая функция. Напомним для этого правило дифференцирования слож- сложной функции нескольких переменных (см. [1], п. 116). Если u = f(v,...,w), где v,...,w — функции переменных х, у,..., t, то ди_ да dv , , ди dw Шс dv дх * "'~*dwdx' Аналогичные формулы имеют место и для производных по у , t. При этом число промежуточных аргументов v w, так же как и число независимых переменных х, у,..., t, может быть любым.
12 BBEflEHHF В нашем примере i/ = <p(x>), где v = 2-. Поэтому ди ,. J у\ ди ,. . 1 дл: \ л-2у' ду т к х Подставляя эти выражения в уравнение, получим тождество ~ ди Точно так же можно проверить, что уравнение т — у- = 0 имеет общее решение и(х, у) = у(х-\-у), а урав- ди ди _ , . а | .»ч нение _у т х-т- = О имеет общее решение и = у(х -\-у), где — <р произвольная дифференцируемая функция. Рассмотрим теперь уравнения второго порядка. Пусть /"-=0. E) Положим -J— = v. Тогда уравнение E) примет вид д 'да\ dv „ ,., dv n . ¦т- t3~) —5~ = ^- Общим решением уравнения т—= и Су- Суде! произвольная функция /(.у). Возвращаясь к функции и, получим опять уравнение первого порядка ди ,, . Согласно D) его общим решением будет функция а (х, y) = \f(y)dy + <t (x). Так как /(у)—произвольная функция от у, то и инте- интеграл от нее также является произвольной функцией, которую мы обозначим через <р (у). В результате мы получили реше- решение в виде u(x,y)=^(x)-\-f(y), F) где 'f(y) и ф(х)— произвольные дифференцируемые функции. Лег ко проверить, что функция F) действительно удовлет- удовлетворяет уравнению E).
BUI Д I НИР 13 Решение F) уравнения E) с частными производными вто- второго порядка содержит уже две произвольные функция. В этом случае оно называется общим решением. Проверим, что функция и(х, у) = ху(х-\-у)-\-у${х-\-у) является общим решением уравнения §7* ~~ дГду "Г" ду» ~ • Пользуясь приведенным выше правилом дифференцирования сложной функции и обозначая х -\-y = v, последовательно получим: -? = 9 (?) + x<?' (х>)+j/f (v), 2ф' (v) + yf (v), =» 9' (v) + xt?" (v) + f (v) + j;f (г.). Подставляя выражения для производных в левую часть урав- уравнения, убеждаемся, что она обращается в нуль. Предлагаем читателю проверить, что функция и(х, у)=* — 9 i.x + аУ) Н" Ф (х — <У)> гДе 9 н ф — произвольные дважды дифференцируемые функции, является общим решением урав- уравнения ^_а2~ = 0, а функция и(х, t) = ср <УТх — 0 + -j- tji (]/^2х -|- i) — общим решением уравнения До сих пор мы еще не ставили вопроса об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополни- дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетво- удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и дополни- дополнительным условиям. Оказывается, чго дифференциальные уравнения математи- математической физики, которыми мы будем в дальнейшем заниматься,
,-, ВВЕДЕНИЕ имеют между собой довольно много общих черт: все они — второго порядка и линейны относительно неизвест- неизвестной функции и ее частных производных. Чаще всего все ко- коэффициенты перед функцией и ее производными — постоян- постоянные числа. Общий вид таких уравнений для функции и, за- зависящей от двух переменных х и у, таков: . dsu | г. даи | ~д2и , т-. да , „ да А+В + С + ° + Е где А, В, С, D, Е и F — постоянные числа, а правая часть — заданная функция переменных х и у. Отметим, что характер и поведение решений этого урав- уравнения существенно зависят от его коэффициентов. Об этом мы скажем в заключении, после того как познакомим- познакомимся с простейшими уравнениями типа G) и способами их решений *). 2. Однородные линейные дифференциальные уравнения с частными производными и свойства нх решений. Если в уравнении G) правая часть равна нулю, то уравнение на- называется однородным. Оно имеет вид ppL *» + D? + E%-\-Fu = O. (8) ду" [ дх ' ду ' ч Apt+BpL + C + D? + E% дх* ' дхду ' ду" [ дх ' ду Вообще в теории дифференциальных уравнений уравне- уравнение называется однородным, если функция, тождественно равная нулю (и = 0), является его решением. Решения ли- линейных однородных уравнений вида (8) обладают следующим свойством: Если каждая из функций iii(x, у), м2(дг, у), ..., uk(x, у) является решением уравнения (8), то и их линейная комбинация Qa, {х, у) -f Сгщ {х, у) -\-... -\- Ckuk {x, у), (9) J) Отчасти порядок изложения материала в книге будет напо- напоминать порядок изложения теории кривых второго порядка в курсе аналитической геометрии. Там тоже вначале пишут общее уравне- уравнение кривых второго порядка Ах3 -\-Вху + Су2 + Ду -+- Еу + F=0, а исследование его производят лишь после изучения свойств эл- эллипса, параболы и гиперболы, т. е, кривых, уравнения которых представляют частные виды общего уравнения. Эта аналогия, как мы увидим в заключении, не случайна, она служит основанием для классификации уравнений типа G).
ВВЕДЕНИЕ 15 где d, С9, ..., С/,— произвольные постоянные, -также является решением этого уравнения. Для доказательства достаточно заметить, что если и есть линейная комбинация частных решений: (для краткости аргументы функций не пишутся), то любая производная функции' и будет такой же линейной комбина- комбинацией соответствующих производных функций Hi, «a, ..., мй: -gy--r----rbk dy- Разумеется, так же будут выглядеть и производные вто- второго порядка. Есл[} подставить выражения для производных функций в левую часть уравнения (8) и перегруппировать слагаемые, то получим Поскольку по условию функции щ, щ, ..., uk являются ре- решениями уравнения (8), то каждая из скобок обратится в нуль, а вместе с ними и вся левая часть уравнения; это в означает, что функция и является его решением. Точно такое же свойство, как известно, имеет место и для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Однако надо иметь в виду, что обыкновенное линейное диф- дифференциальное уравнение л-го порядка имеет в точности я линейно независимых частных решений, линейная комбинация которых и дает общее решение. Уравнение же в частных производных может иметь, как мы убедимся в дальнейшем, бесконечное множество ли- нейно независимых частных решений, т. е. такое мно- множество решений, любое конечное число которых является функциями линейно независимыми. (Система функций щ(х, у\ Щ{х, у), ..., ип{х, у) называется линейнр независимой, если ни одна из этих функций не является линейной комбинацией остальных.) В соответствии с этим нам придется иметь дело не только с линейными комбинациями конечного числа
16 ВВЕДЕНИЕ решений, но и с р яд а м и, .членами которых служат произве- произведения произвольных постоянных на частные решения: Ci»i (х, У) + С^(х, у) -\-.., + Cniin (х, у) +... = = |] Спип(х, у). (Ю) я=1 Мы дадим здесь необходимые определения и укажем некото- некоторые свойства рядов, членами которых являются функции не- нескольких переменных. Этими свойствами мы будем пользо- пользоваться в дальнейшем. Будем считать, что члены ряда — функции двух перемен- переменных; все определения легко переносятся на случай функций трех переменных. Рассмотрим функциональный ряд , у)-j-... + vn( = !>„(¦*. J* (") 1 — 1 Этот ряд называется сходящимся в точке (х0, уа), если числовой ряд 2 г>„(хо> У о) сходится. Совокупность всех п=1 точек, в которых ряд сходится, называется областью схо- сходимости ряда. Все члены ряда считаются непрерывными и дифференцируемыми функциями переменных х и у во всей области сходимости ряда. Мы будем в дальнейшем рассматривать только такие ряды, суммы которых есть непрерывные функции от х и у, v{x,y)=fivn{x,y\ A2) и —1 Кроме того, будем предполагать, что все встречающиеся ряды можно дважды почленно дифференцировать, т. е. что оо оэ оо dv v V! dvn dv V! dvn д-v VI d'-vn . „. x~~Zi~dx' 'dy~~Zi~dy' dx~* —Zi dx* *¦ ' И Т. Д.
ВВЕДЕНИЕ 17 Очень часто нам придется интегрировать ряд A2) либо по некоторой области D, либо по одной из переменных. По- Последнее означает, чю мы полагаем, например, _у=_у0 и ин- интегрируем по х в некоторых пределах от ха до х%. Возмож- Возможность почленного интегрирования ряда заключается в том, что ) v (х, у0) dx=2j \ vn (x, yo)dx. A4) Хо Г.=1 Хц (Разумеется, предполагается, что рассматриваемые значе- значения х и у0 принадлежат области сходимости ряда.) Обозначим сумму ряда A0) через и(х, у) и будем счи1агь, что выполняются все введенные предположения. Тогда оо со по ди vi „ дип ди \ (~ дпп д"и _ ~дх Zi п ~дх ' ~ду 2ш п ~~ду~' ~дх*~ Отсюда ясно, что функция и{х, у) — сумма ряда A0), т.ак же как и члены ряда, является решением уравнения (8). Можно указать сравнительно простые признаки, при соблюде- соблюдении которых все высказанные предположения о рядах будут спра- справедливы. Введем для этого следующее определение. Функциональный ряд vv (x, у) -f-1>2 (x, у) + ... + °л (х< У) -f" ¦ • ¦! называется правильно сходящимся в области D, принадлежа- принадлежащей области сходимости ряда, если все члены его по абсолют- абсолютной величине не превосходят соответствующих членов некото- некоторого сходящегося знакоположительного числового ряда, т. е. \vn(x, у) |есМ„, причем неравенство соблюдается во всех точках области D, а Мп — член сходящегося числового ряда. Для правильно сходящихся рядов имеют место следующие тео- теоремы, которые мы приводим без доказательства. 1. Сумма правильно сходящегося ряда из непрерывных функ- функций есть функция непрерывная- 2. Правильно сходящийся ряд можно почленно интегриро- интегрировать. 3. Если ряды, составленные из производных сходящегося ряда, сходятся правильно, то ряд можно почленно дифферен- дифференцировать. Определение правильно сходящегося ряда без всяких измене- изменений переносится как на функции одной переменной, так и на ф}нк- ции тпех и большею числа переменных.
]g ВВЕДЕНИЕ Напомним, что все три сформулированные свойства имели ме- оо сю для степенных рядов J} апхП в интервале их сходимости. я = о Нетрудно показать, что степенной ряд является правильно сходя- сходящимся в любом интервале, целиком заключенном в интервале схо- сходимости ряда (см. [1], п. 190I). В дальнейшем нам встретятся и такие случаи, когда функ- функция и(х, у, X) при всех значениях параметра \ заключен- заключенных в некотором интервале [Х„, Xj], является решением урав- уравнения (8). Тогда говорят, что частные решения зависят от непрерывно изменяющегося параметра. Обычно ин- интервал изменения параметра \ составляет или всю числовую ось, или положительную полуось. Мы будем в дальнейшем функцию и(х, у, X) записывать в виде ti\(x, у). Этой формой записи подчеркивается анало- аналогия между случаями, когда решения зависят от параметра, принимающего только целые значения (uk(x, у)), и когда решения зависят от параметра, принимающего любые значения (ih(x, у)). Покажем, что если мы умножим функцию их(х, у) на произвольную функцию CQ.) и проинтегрируем в пределах изменения параметра к y)d\, A5) то вновь получим решение уравнения (8). Ясно, что инте- интеграл A5) есть некоторая функция переменных х и у Предварительно познакомимся с некоторыми свойствами интегралов типа A5). Пусть дан интеграл F(x,y) = \ v(x, у, l)d\ A6) где У-d и Xj — конечные пределы. Имеет место следующая теорема, которую мы приводим без доказательства ') Для читателей, знакомых с определением равномерной схо- сходимости ряда, отметим, что если ряд сходится правильно, то он сходится и равномерно; однако не всякий равномерно сходящийся ряд сходится правильно.
ВВЬДСНИЕ 19 Если подынтегральная функция ь(х, у, X), а также ее частные производные по х и по у непрерывки при всех рассматриваемых значениях аргументов х, у и \ то и функция F(x, у) непрерывна вместе со с юн ми частными производными, причем дх— i^"-4J- ^"idy1' 5?" Jft?1*'4 A7) Aq Aq Aq и т. д. В случае, когда хотя бы один из пределов интегриро- интегрирования обращается в бесконечность, интеграл A6) ста- становится несобственным и указанные свойства функции F(x,y) соблюдаются лишь при некоторых дополнительных условиях, о которых мы скажем ниже. Возвращаясь к интегралу A5), обозначим его через U(x, у) и предположим, что для него справедливы фор- формулы A7). При этом пределы интегрирования \0 и Xt могут быть как конечными, так и бесконечными. Тогда В Т. Д. Подставляя выражения для функции U(x, у) и ее про- производных в уравнение (8) и заменяя сумму интегралов ин- интегралом от суммы функций, получим в левой части А. Так как по предположению выражение в квадратных скобках при любом X равно нулю (ведь функция ик (х, у) при любом X является решением уравнения (8)), то и весь интеграл равен нулю. Следовательно, функция U{x, у) дей- действительно является решением уравнения.
'20 ВВЕДЕНИЕ Сформулируем простой признак, аналогичный соответствую- соответствующему признаку для рядов, при соблюдении которого выполняются все приведенные свойства для несобственных интегралов вида V F(x,y) = \ v(x, у, X) rfX, где один или оба предела интегрирова- интегрировало ния обращаются в бесконечность. Если можно указать такую положительную функцию ч> (X), что для всех рассматриваемых значений х, у а \ соблюдается неравенство \v(x, у, X)|«s<p(X) и несобственный интеграл от функции <f (X) сходится, то функция F(x, у) непрерывна. Такую сходимость несобственного интеграла от функции v (x, у, X) будем называть правильной. Если аналогичное свойство имеет место и для интегралов от частных производных функции v (x, у, X), то функция F(x, у) дифференцируема и ее производные находятся по формулам A7). dv (х, у, X) Например, если —v ':*'—- ^^(Xj и интеграл от ф (X) сходится, dF С dv ., то з- = \ s~ d\ . дх } дх Ло 3. Оператор Лапласа. в полярных, цилиндрических и сферических координатах *). В этом пункте мы рассмо- рассмотрим вспомогательный вопрос о выражении оператора Лап- Лапласа в различных системах координат; эти выражения пона- понадобятся нам в дальнейшем. Напомним, что трехмерным оператором Лапласа Дгг называется выражение где и(х, у, г) — функция трех переменных. Если функция и зависит только от двух переменных, то оператор Лапласа &=?? + *$ A9) дх% ' ду3 к ' называется двумерным. Начнем с двумерного оператора Лапласа и произведем замену декартовых координат х и у полярными г и <р по формулам х = г cos <р, у — г sin ср. B0) •) Этот пункт следует прочесть или перед изучением задач, в которых встретится необходимость преобразования оператора Лапласа (п. 32, п. 49—50), или перед чтением гл. III.
ВВЕДЕНИЕ 21 Если в функцию и{х, у) подставить вместо х и у их выражения, то получится функция н (г cos 9, г sin 9) перемен- переменных г и ср. Выразив вторые производные от функции и но х и по у через производные по г и ip я подставив затем найденные выражения в формулу A9), мы и получим опера- оператор Лапласа в полярных координатах. По правилу дифференцирования сложной функции ди ди дг , ди dtp ди ди дг , ди dtp дх дг дх*~ dtp dx' ду дг ду ' ду ду' Для отыскания частных производных г и tp no x и у выра- выразим из формул B0) г и 9- Находим, что r==Vx^-\-yi; отсюда dr л дг у .г>г,ч ¦з- = —= costp и — = — = sines. B2) дх г т ду г ' к Поскольку tg ш — — , то dtp v ¦ -5х = — ^Ч и 1 cos2 tp dx жа cos2 9 ду x' Заменяя х и у по формулам B0), получим dq> sin и dtp costp ,„„, -J1 = 2 и -гт = L. B3) дх г ду г х Подставив B2) и B3) в равенства B1), окончательно найдем ди ди выражения частных производных л~ и ~т~ чере?: пере- переменные г и 9 и производные по этим переменным: d« da ди sin tp d?J do . . ducosm ,„.. ^- = -j-C0S9 ; I, -v = -г- sin tp -f- ^ -t, B4) dx dr T dtp r ' ду дг т ' dtp r v ' Перейдем к отысканию вторых производных. Применим к производной з- опять правило дифференцирования слож- сложной функции д2и \дх) дг , ' dxs дг дх~* дч> д~х'
22 ВВЕДЕНИЙ Из равенств B4) \дх) dsu дги sin 9 t '?и sin <p = 5—r- COS ф — -з- Sin ф Умножим теперь первое равенство на -5- = соБф, а второе на тр = — ^-^ и сложим. Приводя подобные члены, по- получим йви б2и з п д^и sin tp cos 9 i о ^° s'n ?cos ? i , ди sin* у | ^аа sin8 <p Совершенно аналогично, воспользовавшись соотношением й|у8 дг ду ' 6f d[y найдем, что д"и д"и i .„ д^и sin <р cos 9 9 ^" s'n T cos ? 1 Ту* — бРSln 9 ~г dr d? r^ d^ P ' Ту* ^^ ди cos3tp ^^ <J2u cos3 9 Складывая B5) и B6), окончательно получим выражение оператора Лапласа в полярных координатах: . д'и . д2и д-и , 1 да . 1 <Эг« .„_,. Последнее выражение очень часто бывает удобно запи- записать в следующем виде: Тождественность правых частей формул B8) и B7) легко проверяется дифференцированием. Перейдем к трехмерному случаю и начнем с цилин- цилиндрических координат. Цилиндрические координаты г, <р
ВВЕДЕНИЕ 23 и z связаны с декартовыми соотношениями х = г cos ср, у — г sin ср, г = г. Функция и(х, у, г) преобразуется в функцию г? (/ cos ср, г sin 9, z). Здесь третья переменная z остается неизменной, и в выражении B7) двумерного оператора Лапласа в поляр- полярных координатах добавляется только вторая производная по г: -iS-- B9> Для сферических координат г, 6 и ср имеем формулы: х= r sin 8 cos 9, У = г sin 8 sin ср, 2 = г cos 9, в которых г = у х* -\-уг -\- z*—расстояние точки (х, у, г) от начала координат, 6 — угол между радиусом-вектором точки и осью Ог, а ср — угол между проекцией радиуса- вектора на плоскость Оху и осью Ох. Здесь непосредствен- непосредственное преобразование производных функции u (r sin 8 cos ср, г sin б sin ср, г cos 6) очень громоздко, и мы его проводить не будем, ограничившись тем, что выпишем окончательное выражение оператора Лапласа в сферических координатах: д д*и_ . _2_ да , cos 6 ди , J_ _с^ы_ , __J__ д^_и_ drs ~t~ г ~5? ' г2 sin 0 дО ' г8 E6J ~* rs sins G dtp* ' Эту формулу часто записывают в виде . 1 d / о ди \ , 1 д I г. ди\ , Д"=^дГ1г д7) + 7^етдбE1пе-ж; + , 1 д*и > г2 sina в dtp8 " Предоставляем читателю проверить тождественность обеих формул.
ГЛАВА 1 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ § 1. Уравнение колебаний струны 4. Вывод уравнения колебаний струны. Пусть конеч- конечные точки струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывесги струну из положения равновесия (например, оттянуть ее или ударить по ней), то струна начнет коле- колебаться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные коле- колебания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости. Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных коор- координат хОи. Тогда, если в начальный момент времени струна располагалась вдоль оси Ох, то и будет означать отклонение струны от положения равновесия. В процессе колебания ве- величина отклонения и бу- будет зависеть от абсциссы точки струны х и от вре- времени t. Таким образом, чтобы знать положение любой точки струны в произвольный момент времени, нам надо найти зависимость и от х и t, т. е. найти функцию и(х, 0- При каждом фиксированном значении t график ф>нм!.ии и(х, t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис. 1), частная производная ?- = u'x(x,t) дает при эюм угловой коэффициент каса- Рис. 1.
4 II УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 1Ъ тельной в точке с абсциссой х. При изменении t форма струны, очевидно, изменяется, и, чтобы представить себе процесс колебаний, мы должны построить несколько гра- графиков функции н(х, t) при различных значениях t, т. е. сделать несколько мгновенных снимков колеблющейся струны. При постоянном значении х функция м(х, f) дает закон дви- движения точки с абсциссой х вдоль прямой, параллельной оси Ои, производная ¦ у = u't(x, t) — скорость этого дви- д-и жения, а вторая производная -зтз ускорение. Наша задача состоит в том, чтобы составить уравнение, коюрому должна удовлетворять функция и(х, t). Для этого сделаем предварительно несколько упрощающих предположе- предположений. Будем считать гтруну абсолютно гибкой, т. е. не сопротивляющейся изгибу; эю означает, что если удалить часть струны, лежащую по одну сторону or какой-либо ее точки, ю сила натяжения Т, заменяющая действие удаленной части, всегда будет направлена по касательной к струне (р(.с. 1). Струна предполагается упругой и подчиняющейся закону Гука; изменение величины силы натяжения при этом пропорционально изменению длины струны. Примем, что струна однородна; линейную плотность ее обозначим бук- буквой р (р—масса единицы длины ci руны). Предположим, далее, что па струну в плоскости колеба- колебания действуют силы, параллельные оси Ои, которые могуг меняться вдоль струны и со временем. Силы эти будем счи- считать непрерывно распределенными вдоль струны; величину силы, направленной вверх, условимся считать положительной, а вниз — отрицательной. Плотность распределения этих сил вдоль струны ') являекя функцией абсциссы х и времени t; обозначим ее через g(x, t). Если, в частности, единствен- единственной внешней силой является вес струны, ю g(x, t)——pg, где р—плотность струны, a g — ускорение силы тяжести. Силами сопротивления среды, в которой колеблется струна, мы пока пренебрегаем. 1) Плотность распределения параллельных сил, изменяющихся вдоль линии, определяется как предел отношения величины равно- равнодействующей этих сил, приложенных к малому участку, к длине участка при условии, что участок стягивается в точку. Это опре- определение совершенно аналогично определению обычной плотности.
26 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ |ГЛ. 1 Мы будем изучать только малые колебания струны. Если обозначить через &(х, t) острый угол между осью абсцисс и касательной к струне в точке с абсциссой х в момент времени t, то условие малости колебаний заключается в том, что величиной а?(х, f) можно пренебрегать: а2^0. A.1) Поскольку разложение функции sin а в ряд Маклорена имеет вид A.2) то в силу условия A.1) можно считать, что sin а я-а. м, Далее, 1—cos a. = 2 sin2у- «=! ^~ и, следовательно, If 1 Q4 ¦ ( * ««Э f И наконец, tg a — sin a = = tga(l—cos a)«^ 0 и tg a ?=« sin a. O-fy ""J" Так как -^- = tg a, то в си- силу полученных условий заклю- Рис. 'Л чаем, что1) Отсюда сразу следует, что в процессе колебания мы можем пренебречь изменением длины любого участка струны. Действительно, длина участка М\М% в момент времени t (рис. 2) равна ') Подобного рода предположения встречаются и в различных других задачах. Так, при изучении движения кругового маятника максимальный угол отклонения маятника считают настолько малым, что его можно принять равным синусу; при рассмотрении изгиба балки (в курсе сопротивления материалов) кривизну нейтральной линии считают равной второй производной от неизвестной функции (уравнения этой линии), пренебрегая квадратом первой производ- производной и Т-. д.
$ 1) УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 27 Согласно A.5) заключаем, что MiMt?& х% — jfj. A-7) Покажем теперь, что при наших предположениях вели- величину силы натяжения Т можно считать постоянной, не зависящей ни от точки ее приложения, 'ни от вре- времени t. Возьмем для этого какой-либо участок струны MiMt х рис. а х*ах Рис. 4. (рис. 3) в момент времени t и заменим действие отброшен- отброшенных участков силами натяжений Tt и Ts. Так как по усло- условию все точки струны движутся параллельно оси Ои и внешние силы также параллельны этой оси, то сумма проек- проекций сил натяжения на ось Ох должна равняться нулю: — Г, cos ai -j- Г3 cos яа = 0. A.8) Отсюда в силу A.3) заключаем, что Тх=Тъ Так как точки Мх и М^ выбраны произвольно, то это и доказывает, что в данный момент времени силы натяжения во всех точках равны между собой. Поскольку мы пренебрегаем изменением длины любого участка струны, то в силу закона Гука неизменным остается и натяжение струны. Итак, мы показали, что в пределах выбранной точности Т есть величина постоянная: Т^Т*. A.9) Перейдем теперь к выводу уравнения колебаний струны. Выделим бесконечно малый участок струны MiM%, проекти- проектирующийся щ интервал [х, x-{-dx] оси абсцисс (рис. 4). На него действуют силы натяжения Tt и Та, заменяющие влияние
28 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. 1 отброшенных частей струны. Как уже отмечалось выше, силы Tt и Ts направлены по касательным к струне в точках Mi и Mi, величина зтих сил постоянно равна Тц. Согласно равенству A.8) сумма проекций сил Т, и Т, на ось Ох равна нулю. Вычислим сумму проекций этих же сил на ось Он: — 7sinat-j- 7sinъг=жТа(sinя, — sinаД В силу A.4) можно записать, что sin Дд = tg оц = и'х (х -f- dx, t\ sin at = tg a, = u'x (x, f). Следовательно, To (sin aa — sin at) = = Ta [ux (x + dx, t) - u'x (x, t)] =T0-j?dx. A.10) Здесь мы заменили частное приращение производной -^ при переходе от аргументов (х, 0 к аргументам (x-^-dx, t) ее частным дифференциалом, т. е. -g-Ydx. Примечание. Если бы участок струны MtAU располагался, как на рис. 2, то с>мма проекций сил Tt и Та равнялась бы 7 (— sin as — sin at); но теперь sin aa =— их (х + dx, t), и в резуль- результате мы снова получили бы формулу A.10). Равнодействующую внешних сил, приложенных к участку MyMi в момент времени t, обозначим через F. Согласно определению функции g(xri) и приближенному равенству A.7) можно считать, что F^g(x, t)MJ[^wg(x, t)dx. A.11) Направление равнодействующей F определится знаком функции g(x, t) (направление F на рис. 4 соответствует случаю g(x, 0<0)- После того как найдены все силы, действующие на участок MiMi, применим к нему второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равно сумме всех действующих сил (в силу малости участка М\М% мы рассматриваем его просто как материальную точку).
% 1] УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 29 Так как масса участка М\Мг струны равна рМ\М* ~ = р dx, то, используя формулы A.10) и A.11), получим ?dx^=*T9%?dx + gbc, t)dx. Сократив на dx и разделив все члены равенства на р, при- приведем полученное уравнение к виду г = — — положительная постоянная величина). В резуль- результате мы получили линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэф- коэффициентами. Уравнение A.12) называется уравнением коле- колебаний струны или одномерным волновым уравнением. Это одно из простейших и в то же время важнейших диф- дифференциальных уравнений математической физики. Как мы позже увидим, к нему сводится не только рассматриваемая задача, но и многие другие. Если g(x, 0=0. jo уравнение A.12) называется одно- -родным; оно описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий. Если g(x, t) не тождественно равно нулю, то уравнение называется неоднородным, в этом случае рассматриваются вынужденные колебания струны. Когда на струну дей- действуют только силы тяжести, а натяжение струны Го ве- вели к о, мы вправе пренебречь вторым слагаемым в правой части уравнения струны по сравнению с первым и рассма- рассматривать, таким образом, колебания струны как свободные. Читатель, конечно, обратил внимание на то, что вывод уравнения колебаний струны A.12) сопровождался целым ря- рядом допущений как механического, так и геометрического порядков. Такое же положение, разумеется, имеет место и при выводе дифференциальных уравнений (как в частных производных, 1ак и обыкновенных) других задач математи- математической физики. Вопрос о том, насколько точно уравнение описывает физический процесс, может быть решен только сраинением результатов, полученных при решении уравнения и экспериментальным путем.? В настоящей книге этим вопро- вопросом мы занимался не будем, чтобы сосредоточить основное внимание на методах решения уравнений.
10 УРАВНРНИЯ КОЛЕБАНИИ ГГЛ 1 В связи со сказанным уместно сделать следующее заме- замечание. Хорошо известна роль моделей при изучении раз- различных вопросов техники Например, гидротехники при про- проектировании плотины часто строят в значительно уменьшен- уменьшенном размере ее модель, чтобы, производя опыты над ней в лабораторных условиях, сделать некоторые заключения о характере усилий, действующих на реальную плотину Та- Такую же роль играют модели проектируемых мостов, крыльев и фюзеляжа самолетов и др. Разумеется, данные, полученные при исследовании моделей, нельзя просто переносить на ре- реальные обьекты. Ведь в лаборатории нельзя создать псе условия, которые могут встрегиться в действительности, яа и, кроме того, явления, происходящие при исследовании мо- модели, далеко не всегда в точности копируют соответствующие явления в природе1). Однако наиболее существенные черты процесса все-таки часто удается уловить, и дальнейшая эадача проектировщика в том и состоит, чтобы увязать на- наблюденные на модели факты с теми, которые встретятся в натуре. Подобную же роль в физике играет и изучение дифферен- дифференциальных уравнений математической физики. Учитывая основ- основные закономерности физического процесса, мы создаем его ма- математическую модель. Изучение этой модели и позво- позволяет делать определенные суждения о характере процесса. Образно говоря, в настоящей книге мы знакомим читателя только с основными методами изучения математических моделей, оставаясь, так сказать, в «лабораторных усло- условиях математики». 5. Постановка начальных и краевых условий. Как уже отмечалось во введении, дифференциальные уравнения с част- частными производными второго порядка имеют бесчисленное мно- множество решений, зависящих от двух произвольных функций. Чтобы определить эти произвольные функции, или, иначе ю- воря, выделить необходимое нам частное решение, нужно на искомую функцию и (х, г) наложить дополнительные усло- условия. С аналогичным явлением читатель встречался уже при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, когда выделение часшого решения из общего заключалось в про- ') Вопросу о подобии явчений, протекающих в модели и в нат>рс, посвящена обширная литература.
i II УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 31 цессе отыскания произвольных постоянных по заданным на- начальным условиям. При рассмотрении задачи о колебаниях струны дополни- дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и кра- краевые (или граничные). Начальные условия показывают, в каком состоянии нахо- находилась струна в момент начала колебания. Удобнее всего Считать, что струна начала колебаться в момент времени fs=O. Начальное положение точек струны задается условием «k=o = /W- 0-13) в начальная скорость где f(x) и F(x)— заданные функции. Запись «|* = о означает, что функция и(х, f) взята при произвольном значении л: и при t — О, т. е. и\,=0 = ц(х, 0); аналогично -sr- = u't(x, 0). Такая форма записи посто- постоянно применяется в дальнейшем; так, например, u\x^0 — u(Q, t) V Т Д. Условия A.13) и A.14) аналогичны начальным условиям в простейшей задаче динамики материальной точки. Там для •^Определения закона движения точки, помимо дифференциаль- дифференциального уравнения, нужно знать начальное положение точки и ее начальную скорость. Иной характер имеют краевые условия. Они показывают, что происходит на концах струны во все время колебаний. В простейшем случае, когда концы струны закреплены (начало струны — в начале координат, а конец — в точке (/, 0)), функция и(х, t) будет подчиняться условиям alr-o=O, hU_, = 0. A.15) С такими же точно условиями читатель встречался в курсе сопротивления материалов при изучении изгиба балки, лежа- лежащей на двух опорах, иод действием статической нагрузки. Физический смысл того факта, что задание начальных и краевые условий полностью определяет процесс, проще всего проследить для случая свободных колебаний струны.
32 'УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. I Пусть, например, струну, закрепленную на концах, как-то оттянули, т. е. задали функцию /(х) — уравнение начальной формы струны, и отпустили без начальной скорости (это значит, что F(x) = 0). Ясно, что этим самым дальнейший ха- характер колебаний будет полностью определен и мы найдем единственную функцию z?(x, t), решая однородное уравнение при соответствующих условиях. Можно заставить струну ко- колебаться и иначе, а именно придав точкам струны некоторую начальную скорость. Физически ясно, что и в этом случае дальнейший процесс колебаний будет вполне определен. При- Придание точкам струны начальной скорости может быть осущест- осуществлено при помощи удара по струне (как это имеет место при игре на рояле); первый способ возбуждения струны применяется при игре на щипковых инструментах (например, гитаре). Сформулируем теперь окончательно математическую за- задачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах. Требуется решить однородное линейное дифферен- дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами dtJ дх* ^ ' ^ nvu начальных условиях u\(=o=f\x), ^ tmm0 = F{x) A.17) и краевых условиях и|* = 0 = 0, н|,= , = 0. A.18) Функции f(x) и F(x) определены на интервале [О, /] и, как эго следует из первого условия A.17) и условий A.18), Можно доказать, не опираясь на физические представле- представления, что при некоторых ограничениях, наложенных на функ- функции /(х) и F(x), эта задача имеет единственное решение. Примечание. Решение поставленной математической задачи будет отражать реальный характер процесса колебании лишь в том случае, кмда начальное смещение и начальные скорости точек струны настолько малы, что соблюдаются все высказанные ранее предположения. Имея в виду в дальнейшем главным образом мате- матическ}к> сторону вопроса, мы при решении конкретных приме- примеров обращать на это внимания не будем.
МЕТОД ДАЛАМБЕРЛ 33 § 2. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Даламбера 6. Бесконечная струна. Формула Даламбера. Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, мы рас- рассмотрим более простую задачу — о колебаниях бесконечной струны. Если представить себе очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникшие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния. Так, если взять длинную натянутую веревку и слегка качнуть ее в середине, то по веревке влево и вправо побегут волны. Картина начнет искажаться только тогда, когда волны дойдут до концов веревки и, отразившись, пойдут обратно. Следова- Следовательно, не учитывая влияния концов струны, мы тем самым не будем учитывать влияния отраженных волн. Рассматривая свободные колебания, мы должны, таким образом, решить однородное уравнение 5т^ = а'2,^ B.1) при начальных условиях II \i а = j t = 0 где функции /(х) и F(x) заданы па всей числовой оси. Ни- Никакие краевые условия на искомую функцию и(х, t) не на- накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коша. Метод решения ее, который мы сейчас изложим, называется методом Даламбера или методом бегущих волн. Прежде всего покажем, что общее решение уравне- уравнения B.1), т. е. решение, зависящее от дв\х произвольных функций (см. введение), имеет вид и (х, t) — <?(x — at) -j- ^ (x -f- at), B.3) где функции 9 и ф предполагаются дважды дифференцируе- дифференцируемыми. 2 И. Г, Араманович, В. И. Левин
34 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. I Действительно, последовательно дифференцируя, находим: и'хх = ?'(* — at) + ф' (Jf + at), u't = _ ai {x — at) -f of (x -f oQ, н? = astp* (x — at) -f- cfy" (x -\- at). Отсюда ясно, что dt* а дх3' т. е. что равенство B.1) соблюдается. Наша задача состоит теперь в том, чтобы, пользуясь на- начальными условиями B.2), определить неизвестные функции сриф. Полагая в B.3) ( = 0 и подставляя выражение для и{х, 0) в первое из условий B.2), получим <р(*)+ф (*) = /(.*). B.4) Полагая теперь / = 0 в выражении для u't и пользуясь вто- вторым условием B.2), придем к уравнению - af (x) -f оф' (х) = F (х). B.5) Интегрируя это равенство в пределах от 0 до х, получим соотношение которое приведем к виду х |Л B.6) где C'i=—tp@) —j— ф@) — некоторая постоянная величина. Из системы уравнений B.4) и B.6) находим искомые функ- функции а{х) и ty(x): Ч» W = y/(*)-S B-7)
§ 2) МЕТОД ДАЛАМБЕРА 35 Заменяя в формулах B.7) аргумент л: соответственно на х — at и x-\-at и подставляя полученные выражения в фор- формулу B.3), найдем функцию и(х, ty. х - at u(x, t) = ±-f{x — at) — ^ [ F{x)dx + x + at + Замечая, что x - at x + at — ] F(x)dx-\- ^ F(x)dx — о о I) x ¦+¦ cu x + at = ^ F{x)dx-\- \ F(x)dx= I F(x)dx, x — at 0 x — at придадим решению и(х, t) следующий вид: u{x, f)=/^-°H/(HD + ^a'F(x)fa B8) x — at Формула B.8) называется решением Даламбера задачи Коши для уравнения колебаний струны. Предоставляем читателю самостоятельно проверить, что найденная функция и(х, t) действительно удовлетворяет как уравнению B.1), так и условиям B.2)'). ') При дифференцировании учесть, что х + at x + at ~ \ F(x)dx = F(x + at), JL [ о с Оба равенства немедленно следуют из правила дифференцирования Интеграла по переменному верхнему пределу; нужно только рассмат- г ривать интеграл как сложную функцию от х и t, \ F(x)dx, где г = х -)- at. Аналогичные формулы получаются при дифференцирслании х — at интеграла \ F(x)dx. 2»
УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. Г Для того чтобы выяснить физический смысл полученного решения, рассмотрим прежде всего в отдельности функции, входящие в общее выражение B.3) для и(х, t). Начнем с функции ср (х — at) и построим графики этой функции при возрастающих значениях i: t — t0, t = tlt t = tt и т. д. (на рис. 5 они расположены сверху вниз). Второй график будет t-t. Рис. 5. сдвинут относительно первого на величину ath третий — на величину ait и т. д. Если по очереди проектировать эти ри- рисунки на неподвижный экран, то зритель увидит, что гра- график, изображенный на верхнем рисунке, «побежит» вправо. (Этот способ изображения движения положен, между прочим, в основу съемки мультипликационных фильмов.) При этом, если мысленно перемещаться вправо вдоль струны с посто- постоянной скоростью а, то отклонение струны будет казаться все время постоянным. Действительно, начав движение, скажем,
§ 2) МЕТОД ДАЛАМБЕРА 37 в точке х0 и переместившись за время t в точку х, будем иметь x=xa-\-at или х — а? = х0. Но тогда и {х, t) — <?(x — at) = 'f (хй). Процесс передвижения отклонения по струне называется волной. При этом коэффициент а = 1/ -2- в уравнении ко- колебаний струны является скоростью распространения волны. С частным случаем распространения волн, именно с сину- синусоидальными волнами, читатель должен быть уже знаком из курса физики. При этом, если скорость распространения та- такой волны равна а и точка, совпадающая с началом коор- координат, колеблется по закону « = Д sin wt, то отклонение и (х, t) равно и[х, t) = Asina>U— Записав последнее выражение в виде A sin — (at — х\ сразу замечаем, что это функция аргумента at— л: (или, что то же самое, аргумента х — at). Второе слагаемое формулы B.3), функция ty(x-\-at), будет представлять такой же процесс, но только волна будет распространяться со скоростью а влево (рис. 5 будет пока- показывать моментальные снимки такой волны, если на него смотреть снизу вверх, т. е. считать ^<^i<^o)- Теперь мы перейдем к исследованию решения, даваемою формулой Даламбера B.8), и рассмотрим два наиболее hhic- ресных случая: когда отсутствуют начальные cuopocisi (F(х) = 0) и когда отсутствуют начальные о т к л о и е н и я (f(x) = 0). Общий случай будет являться результатом наложе- иия (суперпозиции) обоих случаев. 7. Распространение волн отклонения, Пусть начальные скорости точек струны равны нулю и струна колеблется в результате начального отклонения. В этом случае в форму- формуле B.8) надо положить F(x)=0, и мы получим
38 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. t Так как функция /(х) известна, то мы можем вычислить значение и(х, t) для любых х и t. Согласно сказанному выше колебание u(x, t) слагается из двух волн: первая волна ffix — at) распространяется со скоростью а вправо (прямая волна), а вторая волна -<yf(x-\-at) распростра- распространяется с той же скоростью влево (обратная волна). t-0 -I 21 \l*at l + at Рис. 6. В начальный момент времени 2 = 0 профили обеих волн совпадают. Предположим, что в начальный момент функция /(х) отлична от нуля только на некотором интервале (—/, /). Для простоты изложения считаем функцию f(x) четной. Тогда /(Л') = 0 при л:<^—/ и при х^>1. Легко чисто геометрически проследить за изменением формы струны в любой момент времени. На рис. 6 в левом столбце изобра- изображена в различные моменты времени волна -^ f (x-\-at), бегущая влево, а в правом столбце — в те же моменты вре- времени золна -я t (х — at), бегущая вправо. В среднем столбце
§ 2] МЕТОД ДАЛАМБЬРА 39 показана сумма этих волн, т. е. результирующее отклонение точек струны. До тех пор, пока *<[—, есть учасюк, где обе волны накладываются друг на друга; начиная с момента 1=— эти волны уже не накладываются и расходятся в раз- разные стороны. Из сказанного можно сделать заключение о характере колебания точки струны с фиксированной абсциссой х. Если х^>1, то в начальный момент точка струны лежит па оси абсцисс, она не участвует в начальном отклонении. Волна, бегущая вправо, дойдет до этой точки в момент времени х ; ?, = , и с этою момента точка струны начнет колебаться. Как только волна пройдет через рассматриваемую точку, , х + 1 , т. е. начиная с мешенi а га = ——, =эта точка снова будет Находиться в покое. В момент времени tt до точки х доходит передний фронт волны, а в мешен г t$ — задний фронт. Таким образом, рассматриваемая точка струны уча- ствует в колебательном процессе при <С^<С~^~' Это неравенство удобнее записать так: — 1<^х — at<^l. Если 0 <^х<^1, то через точку проходят уже как прямая, так и обратная волны. Передний фронт обеих волн распо- располагается впереди \точки; задний фронт обратной волны пройдет ^ х через точку в момент tl = , а задний фронт прямой I А- х волны — в момент t2= . При t^>t.2 точка струны будет находиться в покое, т. е. лежать на оси Ох. Аналогично, если х<^ — /, то точка участвует в колебательном процессе при — /<^ х -|- at <^ /; если же 0 ^> х ^> — /, то колебания за- закончатся, когда через точку пройдет задний фронт обратной , 1-х волны, т. е. при 1= . Очень наглядное изображение описанного процесса можно получить, введя фазовую плоскость xOt (рис. 7). Каждая точка М (х, t) фазовой плоскости (при t^sO) соответствует точке струны с абсциссой х в момент времени t. В част- частное 1 и, точки оси абсцисс (^ = 0) соответсшуют точкам страны в начальный момент времени. Точкам, лежащим на прямой
40 Уравнения колебаний [ГЛ. Г t = ta, соответствует положение точек струны в фиксирован- фиксированный момент времени tu, а точкам, лежащим на прямой х = хй,— положение фиксированной точки ха в различные моменты времени. Как мы уже видели, через точку х в момент времени t проходит прямая волна, если —1<^х—at<^l, п обратная волна, если — /<^х-(- at<^/. Построим на фазо- фазовой плоскости прямые х — at — ± / и х ~ at = ± / (на рис. 7 x-at=-L x+at-l x+at—l x-at<-L x*al<1L x-at-t Рис. 7. изображены части этих прямых, лежащие в верхней полупло- полуплоскости). Эти прямые называются характеристиками. При этом полуплоскость <5&0 разбивается па шесть частей. Колебание происходит только в тех точках и в те моменты времени, которые сосиветсгвуют точкам зон /, II и ///. В зоне 11 действует только прямая волна, в зоне /// — только обратная, а в зоне /—и та и другая. Точкам построен- построенных прямых соответствуют положения переднего и заднего фронтов обеих волн. В точках, соответствующих зонам IV и V, колебания еще пет, так как до них не дошел перед- передний фронт прямой (зона IV) и обратной (зона V) волн, а в точках, соответствующих зоне VI, колебания уже нет, так как через них задние фрошы обеих волн уже прошли (оба задних фроша проходят только через точки фазовой плоскости, для которых —/s.c х ==g/; через ючкп, для кото- которых х^> I или х<^—1, проходит задний фронт только одной из воли). Зафиксировав какую-либо точку х0 струны и поднимаясь вверх по прямой х = х,ь легко написать выра- выражения для функции н (,vu, t) в любой момент времени t.
МЕТОД ДАЛАМБЕРА 4! Пусть ха^> I. Тогда при 0 <^ i < '-± . точка фазовой X — I плоскости находится в зоне IV и и(хц, t) = 0. Если <[ ^^^-JLIL—( т0 точка попадает в зону // — зону действия прямой волны — и и (xq, f) =-ту / (х0 — at). Второе слагае- слагаемое у /(х9-f- at) равно нулю, таи как аргумент хй-{- at~^>l, х А-1 a f(x) = 0 при х~^>1. Наконец, при t ^> ° ~— точка по- попадает в зону VI и снова г/(хо> Г) = 0. Читатель легко проверит, что в ючке дтц где функция u(x,t) будет принимать следующие значения: „ри при Ясно, что при переходе oi одного интервала изменения t к другому функция u(x,t) ос1ается непрерывной. Точно так же можно получить выражения для функции и(х, 0 при фиксированных значениях t. При t<^—точка фазовой плоскости при движении слева направо пересечет последовательно зоны V, 111, 1, 11 и IV, а при t^>— вместо первой зоны она пройдет шестую. В первом случае Ко<^—), — at0 < х < at{) - - I, /-f- получим f fix \ + at 1 0 /(Jr-j-a/o) Hx-at.) 0 при при ~~~ и Р I't при при
42 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ ГГЛ. 1 Рекомендуем читателю самостоятельно написать выражения ... , ^ / для и(х, ц) при ч^>—. Описанный процесс представляет распространение оди- одиночной волны отклонения; после прохождения такой волны точки струны возвращаются в свое исходное положение на оси абсцисс. Как мы уже отмечали, такой процесс может наблюдаться в очень длинной струне до тех пор, пока волны, бегущие по струне, не дойдут до ее концов. Перед тем как перейти к конкретному примеру, необхо- необходимо сделать одно важное замечание. Мы рассматриваем уравнение д2и 2 д2и ~dF~~~a Их* с начальными условиями Поэтому функция и(х, f), определяемая формулой B.8): х \- си $ $ х - at только тогда будет решением уравнения, когда у нее суще- существуют вторые производные по х и по t Для этого, как легко проверить, пользуясь сноской на стр. 35, функция f(x) должна име1ь вторую производную, а функция F(x)—пер- F(x)—первую. Между гем часто приходится рассматривать задачи, в которых функции f(x) и F(x) не удовлетворяют указан- указанным условиям. Уже в следующем примере начальная форма струны будем име1ь угловые точки (см. пример 1, рис. 8), в которых функция /(х) не имеет производной (см. [1|, п. 52). В последующем нам встретятся примеры, в которых функция F (х), определяющая начальные скорости, имеет точки разрыва. Во всех таких случаях функцию и{х, t), определяемую формулой (.2.8), мы все равно считаем решением задачи, несмотря на то, что при пекоюрых значениях х и ( она может и не иметь соответствующих производных. Это
«21 МЕТОД ДАЛАМБЕРА объясняется тем, что всегда можно, чуть-чуть изменив началь- начальные условия, добиться того, чтобы функции f(x) и F(x) стали достаточно гладкими, т. е. имели нужные производные. Заметим, что реальные начальные условия всегда имеют именно такой сглаженный характер, так что придание им формы, изображенной на рис. 8, является дополнительной идеализацией процесса. доказать; что малые изменения малые же изменения Рис. 8. В то же время можно начальных условий влекут за собой решения. Поэтому решения, полученные при помощи сглаживания начальных ус- условий, будут сколь угодно мало отличаться от тех, ко- которые мы получаем по фор- формуле B.8), когда функции f(x) и F(x) имеют точ- точки разрыва или не везде дифференцируемы. Вообще, если решение задачи единственно и непрерывно зависит от начальных условий, т. е. малые изменения послед- последних влекут за собой малое изменение решения, то говорят, что решение задачи устойчиво или что задача поставлена корректно. Учитывая это замечание, мы в дальнейшем при рассмотре- рассмотрении примеров никогда не будем требовать, чтобы началь- начальные условия обязательно удовлетворяли условиям непрерыв- непрерывности и дифференцируемое™. Пример 1. Начальные отклонения точек струны имеют форму треугольника, изображенного на рис. 8, а начальные скорости равны нулю. Составим выражения для функции и(х, t) в разные моменты времени и при различных зна- значениях х. Функция f(x) имеет вид О f{x) = ft 1- при при при при
44 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ (ГЛ. I В точках х = —I, х = 0, х = 1 функция f(x) непре- непрерывна, но не имеет производной. Как мы уже видели, выражения для отклонения и(х, t) = = -ii ~у ———— удобнее всего писать, рассматривая движение точки (х, t) в фазовой плоскости. Здесь задача осложняется только тем, что при переходе аргументов х -j~ at их — at через нуль функции меняют свое выражение. Поэтому t  Рис. а на фазовой плоскости мы дополнительно проводим прямые x±at=0, в точках которых и происходит указанное изме- изменение. Из рис. 9 видно, что точки струны, лежащие в интер- интервалах @, -=-], (-J7-, Л, G, ©о), по-разному переходят из зоны в зону (в силу четности функции f(x) мы рассматриваем только положительные значения х). Проведя необходимые выкладки (рекомендуем читателю проделать их самостоя- самостоятельно), получим выражения для функции и(х, t): а) 0О<т Х) Ч' at ~Т х — at л а а 1-х а 1±± а
5 2! МЕТОД ДЛЛАМБЕРА 45 б) ± а(х, t) Am x — at\ x — at I 0. / —; в) *>/ О, д: — at 4(>- , 2 \L i ~7 JLzzl a ' Если мы хотим получить форму волны в фиксированный момент времени, то должны выписать значения функции и(х, f) для трех интервалов времени: (о, -^-j, [^, --J, ^—, coj. (Опять-таки, ограничиваемся значениями х^О.) и(х, 0 = A 1 at_ I i I 1 X А V1 —г — at, 1 — x— at 0,
46 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ [ГЛ. 1 б) ' — at, x— at h 2"' h 2 I* \ (l 1 o, I X Г X — — I at at О < х < at — /, at — о, л: Во всех случаях функция н(лг, О непрерывна. Советуем читателю построить формы струны в различные моменты времени по найденным формулам и чисто геометри- геометрически и сравнить полученные графики. 8. Распространение волн импульса. Пусть теперь равны нулю начальные отклонения точек струны и струна колеблется в результате того, что в начальный момент ее точки получили некоторые начальные скорости. В этом слу- случае говорят, что по струне распространяются волны импульса. Полагая в формуле B.8) функцию /(.v) = 0, получим ~ -\- где B.10) B.11) И здесь, как я в п. 7, решение и (х, t) слагается из двух волн: прямой волны wt= —Ф(х — at) я обратной волны щ = Ф(х ~j- at). Форма первой из них в начальный момент
I 2] МЕТОД ДАЛАМБЕРА 47 * = 0 имеет уравнение н, = —Ф(х), а второй — уравне- уравнение иа = Ф(х). В результате, как и следовало ожидать, получим и(х, 0) = 0. Чтобы наглядно представить себе картину процесса, будем для простоты считать, что функция F(x) равна нулю <р'ЛГ/| всюду вне интервала (—/, I), а в точках этого интервала принимает постоянное зна- ^ чение: F (х) = IV Иными словами, точкам струны, ле- леl жащим в интервале (—/, /), придана постоянная началь- Рис. 10. ная скорость г»0, направлен- направленная вверх. При этом функция F(x\ в точках х = ±1 имеет разрывы. Функция Ф(х) будет принимать следующие значения: х \Aх ^ если —27 \ x>»cfx==^==4) если х>/, о x = —^- = — ^:, еслих<— \ о —I где /г = —. Функция Ф(х) непрерывная и нечетная (рис. 10). Перейдем теперь к геометрическому построению реше- решения и(х, t). В левом столбце рис. И построим графики обратной волны и2 = Ф(х-)-а0 в различные моменты вре- времени, а в правом столбце — графики прямой волны щ = = — Ф(х — at) в те же моменты времени (благодаря знаку минус графики прямой волны окажутся по отношению к гра- графику функции Ф(х) перевернутыми). В среднем столбце показано результирующее отклонение точек струны. Мы сразу замечаем, что характер колебаний существенно отличается от распространения волн отклонения. Начнем для определен- определенности с точки струны, находящейся в момент i = 0 в начале
48 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ t координат. По мере увеличения t sia точка будет подни- подниматься вверх; это ясно видно и из формулы B.10), так как интервал интегрирования (—at, at) расширяется. При t= — мы получим "@, ^г) = ^ а 2а J а Если теперь брать t^>—, то все равно будет м@, f) = ft, так как вне интервала (—/, I) функция F(x) равна нулю. Поэтому на рисунках, соответствующих значениям f^> —, отклонение и @, t) остается постоянным. Рассмотрим еще, к примеру, поведение точки х\=-^. Вначале, пока ^<^ она будет подниматься вверх под действием обеих волн: пря- прямой и обратной. При t^>-~— отклонение обратной волны в этой точке примет постоянное значение -^ и точка будет продолжать подниматься уже только под действием пря- 31 мой волны. Наконец, при t ^> -у- отклонения обеих волн достигнут величины -?¦ и смещение и f-j, t\ станет рав- равным h. Если взять точку х%^>1, ю отклонение обратной волны в этой точке постоянно равно -^\ отклонение прямой волны h вначалг равно к-, и точка начнет подниматься вверх только тогда, когда до нее дойдет наклонный участок прямой волны, т. е. при t = . Точка поднимется на максимальную высоту h, когда через нее начнет снопа проходить горизонталь- ный участок прямой волны, т. е. при i ^> —^—• ( рекомендуем читателю вычислить аналитически по формуле B.10) откло- отклонения w|-g-, t\ и м(ха, t) в рассмотренные моменты времени'. Таким образом, окончательно графики функции и(х, t) при различных значениях ( будут выглядеть так: при (=0
МЕТОД ДАЛАМБЕРА 49 7 / II I I I I I \ I I I I \ V \ \
50 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ГГЛ. 1 прямая и = 0; при профили в форме трапеций, у которых верхнее основание поднимается и уменьшается в размерах; при t = треугольный профиль и при?]> — расширяющиеся профили, имеющие вид трапеций (рис. 11). С течением времени каждая точка струны под влиянием на- начальных скоростей, сообщенных участку струны (—I, I), x+at'l Рис. 12. поднимется на высоту h и дальше будет все время оставаться на этой высоте (остаточное смещение). И в этом случае ход колебаний наглядно представляется при помощи фазовой плоскости (рис. 12). Пользуясь выражениями для функции Ф(х), легко по- получим, что в зонах //, IV и VI отклонение обратной волны Ф(х-\-аЦ постоянно равно у, а в точках зон ///, V и VI такое же отклонение имеет прямая волна — Ф(х — at). По- Поэтому зона VI представляет зону остаточного смещения; в точках, ей соответствующих, функция и (х, t) = Ф (х -(- at) — — Ф(х—at) = h. В зоне IV прямая волна имеет отклоне- отклонение —к >' такое же отклонение в зоне V имеет обратная волна. Поэтому обе эти зоны являются зонами покоя точек струны. Когда точка фазовой плоскости переходит из зоны IV в зону VI, то по мере прохождения ею второй зоны откло- h Л гт пение прямой волны изменяется or —-к до -у. Пользуясь
f 2] МЕТОД ДАЛАМБЕРА 51 этими соображениями, напишем, например, выражения для функции и(х„, t), где х„]>/: и(*о. 0 = 0, х„ — at I ft, Рекомендуем читателю самостоятельно написать выраже- выражения для и(хъ t), где Xi<^l, а также выражения для и(х, t), I , ^ I ,^ l рассмотрев случаи г<^— и г^> —. Разумеется, описанный процесс носит еще более идеали- идеализированный характер, чем в первом случае. Явление остаточ- остаточного смещения фудно себе представить еще и потому, что если даже пренебречь влиянием концов струны, то неизбежно будет сказываться влияние силы тяжести, т. е. колебания нельзя будет рассматривать как свободные. 9. Полубесконечная струна. Метод решения задачи для бесконечной струны, рассмотренный в п. 7, легко применить й к случаю полубесконечной струны. Мы предположим теперь, что струна в состоянии покоя располагается на по- положительной полуоси Ох и ее конец, находящийся в на- начале координат, неподвижно закреплен. Тогда к уравнению колебаний струны и начальным условиям, заданным при и|м = /(Л), Щ^=Р{х) B.13) необходимо добавить еще одно краевое условие: и|^ = 0. B.14) Из условий B.13) и B.14) следует, что /@) = 0. При исследовании этой задачи мы особое внимание уде- уделим колебаниям струны вблизи закрепленного конца и рас- рассмотрим важный вопрос об отражении волн. Решение уравнения B.12) при условиях B.13) и B.14) *южег быть получено из формулы Даламбера B.8) следующим
52 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. Г образом. Допустим, что функции /(х) и F(x), определенные сначала только при х^О, доопределены нами произвольным образом и при х<^0. Напишем выражение для и@, f): \F()d B.15) - at Чтобы н@, t) было равно нулю при всех значениях t, нужно значения функций f{x) и F (х) при Л"<^0 выбрать так: /(— *) = — /(дг) и f(— *)= т. е., как говорят, функции /(дг) и F(x) продолжить нечетным образом на всю числовую ось1). Первое сла- слагаемое формулы B.15) при этом, очевидно, равно нулю; второе слагаемое также обращается в нуль, потому что мы интегрируем нечетную функцию в интервале, симметричном относительно начала координат. Продолжив таким образом функции f(x) и F (х) на всю числовую ось, напишем фор- формулу Даламбера: х f at O+i ^ | F{x)dx. {2.16) Теперь это выражение определено для всех дг и t и при х 5= 0 дает решение поставленной задачи. Действительно, функция B.16) удовлетворяет уравнению B.12), условиям B.13) и, в силу доказанного, краевому условию B.14). Так же, как и раньше, укажем геометрический способ построения решения и(х, t) в двух случаях: когда F(,r) = 0 (волна отклонения) и когда f(x) = Q (волна импульса). Рассмотрим сначала волну отклонения. Пусть функция f(x) отлична от нуля на некотором интервале (а, C), где 0 <^ а <^ р. Продолжая f(x) нечетным образом, определим ее на всей числовой оси (рис. 13). Начало процесса будет полностью ') С подобным продолжением читатель уже встречался, когда функцию, заданную на половине периода, приходилось разлагать в ряд Фурье или когда функцию, заданную в интервале @, со), при- приходилось представ ля гь интегралом Фурье. (См. [1], и. 201).
2] МЕТОД ДАЛАМБЕРА 63 соответствовать случаю бесчонечиой струны (см. п. 7); за- заданное отклонение следует разбить на две полуволны — одна из них будет распространять- распространяться вправо, а другая влево. Как только полуволна, бегу- бегущая влево, дойдет до на- начала координат, туда же по- __ дойдет и полуволна, бегущая вправо по отрицательной полуоси. В последующие мо- моменты времени эти полувол- О Рис. 13. ны начнут накладываться друг на друга, что и соответствует процессу отражения. Весь процесс отражения показан на рис. 14. Сначала отражающаяся волна укорачивается, потом исчезает и наконец переворачивается. (Если начальная форма волны не симмет- симметричная, то полного исчезновения от- отклонений может и не быть.) Таким образом, после того как волна полностью отразилась, откло- отклонения точек меняют свой знак: как говорят, фаза волны изменила знак. После этого по струне побегут вправо с одинаковой скоростью две волны, находящиеся в противо- противоположных фазах. (На рис. 14 изо- изображена только отраженная волна; волна, с самого начала уходившая вправо, не показана.) Если мы захотим составить ана- аналитическое выражение для функции и (х, t), то опять-таки удобно вос- воспользоваться фазовой плоскостью (рис. 15). Рекомендуем читателю составить выражения для функции значениях х и t. При этом необхо- заштрихованных треугольниках дей- Рис. 14. и(х, t) при различных димо учитывать, что в ствуют одновременно две волны. Перейдем к рассмотрению волны импульса и снова будем считать, что только точки участка (а, Р) струны получили
УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ (ГЛ. I Рис 16
5 3] МЕТОД ФЬ РЬЕ 55 постоянные начальные скорости v0. Начало процесса распро- распространения волны полностью соответствует бесконечной ар>не, но как только левый конец волны подойдет к началу коордь- нат, туда же подойдет и правый конец аналогичной волны, распространяющейся от симметричного участка (— р, — а) и находящейся в противоположной фазе. Процесс наложения этих волн и образования результирующей отраженной волны изображен на рис. 16 После отражения по струне побежш вправо с постоянной скоростью волна в форме трапеции (Процесс построения лишь чуть-чуть усложнится, если левь,й конец распространяющейся волны достигнет начала коорди- координат раньше, чем в середине интервала (а, р) отклонение до- достигнет наибольшего значения.) В случае конечной струны для получения решения можно было бы применить метод Даламбера, воспользовавшись сг- ражением от обоих концов страны (см. стр. 66). Однако дтя конечной струны этот метод значительно менее нагляден №ni будем решать эту задачу методом Фурье, к изложен, о которого сейчас и перейдем § 3. Метод Фурье 10. Метод Фурье. Мы рассмотрим в эюм параграфе за- задачу о свободных колебаниях струны, закрепленной на обоих коьцах. Как указано в § 1, задача сводится к решению одно- однородного уравнения струны д2а__ %д-а -, ... при начальных условиях и краевых условиях U ^.о U, И \x_t U F 6) Метод Фурье (или, как его еще называют, метод раз- разделения переменных) принадлежит к числу важнейших ме- методов решения уравнений математической физики. Мы с ним будем в дальнейшем неоднократо встречаться. Первая часть метода Фурье состоит в том, чю мы отыскиваем частные решения уравнения C 1),
56 yPABHFHHJT КОЛЕБАНИЯ ГГЛ. Г удовлетворяющие краевым условиям C.3), вида tt(x, t)=X(x)T{t). C.4) Каждое из искомых частных решений, таким образом, представляется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только ст х, а другая — только от t. Дифференцируя дважды выражение C.4) по jc и по f, получим д'2иу„Т дЬг л 1 (Для сокращения записи мы не пишем аргументов функций Х{х) и 7 (О-) Подставляя выражения для производных в уравнение C.1), получим ХТ" = а1Х или, деля обе части равенства на произведение а*ХТ, 1 T"\t)_X"(x) а3 7 (О ~ X (х) • C.5) Чтобы функция и (х, t)=X(x)T(t) была решением уравне- уравнения C.1), равенство C.5) должно соблюдаться при всех зна- значениях х и t. Левая часть этого равенства зависит только от переменной t и не может изменяться при изменении х. Поэюму, "если зафиксировать t и менять х, левая часть, а следовательно и правая, будет сохранять постоянное зна- значение. Рассуждая аналогично, установим, что правая часть, а следовательно и левая, не может изменяться и при изме- изменении t Это будет справедливо только в том случае, когда обе части равенства C.5) вообще не зависят ни от х, 1 Т" X" ни от t, т.е. когда оба отношения -^ -=- и -=т являются ве- величинами постоянными: 1 V (U Х"(х) а3 1 (t) ' Х(л) = с = const. C.6) Отсюда следует, что функции Т и X должны удовле- удовлетворять дифференциальным уравнениям Х"(х)—сХ(х)--=0 и 7"@ — еа2Г@ = 0. C 7)
 31 метод фурье 57 Поскольку мы ищем частые решения, удовлетворяющие краевым условиям C.3), то при любом значении t должны соблюдаться равенства и '^0 = А-(О) 7 @ = 0, и \ХЧ = X(l)T (t) = 0. Если бы обращался в нуль и горой множитель, то реше- решение и(х, f) равнялось бы нулю при всех значениях х и t Поэтому, чтобы отыскать решения, не тождественно равные нулю (а только такие пас и интересуют), мы должны счи- считать, что Л"@) = 0 и Л'(/) = 0. В результате для ошсканпя функции Х(х) мы пришли к следующей задаче'): найти решения линейного дифферен- дифференциального уравнения второго порядка Х"(х) — сХ{х) = 0 C.8) при условиях 0 Разумеется, эта задача при любом с пмеег решение, ю- ждественпо равное пулю: А'(.*;) = 0. Оказывается, однако, чю при некоторых значениях постоянней с sia задача имеет и другие решения. Заметим, что в этом состоит существенное отличие реше- решения рассматриваемой задачи от решения обыкновенных диф- дифференциальных уравнений с начальными условиями, когда для определения частного решения задаются значения функции и ее производной в некоторой начальной точке. Как известно (см. введение), последняя задача имеет единс1веннге решение. Полагая X(х) = егх, составим для уравнения C.8) харак- характеристическое уравнение ,л _ с — о и рассмотрим различные случаи. 1) Эта задача является частым случаем общей задача Штурма—Лаувилля, заключающейся в отыскании решений линей- линейного дифференциального уравнения второго порядка вида [р (х)у'\' •+- ¦\-г(х)у — су —0, удовлетворяющих некоторым краевым усло- условиям, т. е. условиям, налагаемым на искомую функцию или ее про- производную в точках х = a iu = i (концах интервала).
58 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 1 1) Пусть с = А2^>0. Тогда корни характеристического уравнения действительны, г = ±Х, и общее решение урав- уравнения имеет вид Чтобы соблюдались условия C.9), мы должны положить Так как определитель этой однородной системы !• " не равен нулю, то система имеет единственное решение Таким образом, в этом случае решений, отличных от тожде- тождественного нуля, не существует. 2) Пусть с — О. Тогда оба корпя характеристического уравнения равны нулю и Подставляя в условия C.9), получим т. е. опять-таки С1=Са = О. 3) Пусть, наконец, с = — А2<^0. Корни характеристиче- характеристическою уравнения чисго мнимые, г=±/Х, и решение будет содержать тригонометрические функции X (х) — Cj cos Ах -|- С2 sin Ах При х = 0 должно быть а при х=; Последнее равенство возможно, когда Са =? 0, именно оно будет удовлетворяться при sin М = 0,
} 31 МЕТОЛ ФУРЬВ 59 т. е. при 11= fa (А = ±1, ±2, ...) (k не равно нулю, так как по условию X ф 0). Итак, если к = —, т. е. с — — (-у , то сущест- существуют решения уравнения C.8), не равные тождественно нулю. Решение, отвечающее некоторому фиксированному k, обозначим через Xh{x). Оно имеет вид Хк(х) = Акйп^, C.10) где Ak — произвольная постоянная. Мы вправе в дальнейшем придавать к только положительные значения: к = \, 2, ..., поскольку при отрицательных k будут получаться решения того же вида (ведь Ak — произвольные постоянный, которые могут иметь любые знаки). Как мы видим, каждому значению Xfe = —" соответствует бесчисленное множество решений C.10), отличающихся друг от друга постоянным множителем. Величины Хй = -т- называют собственными числами, а функции sin —. собственными функциями дифферен- дифференциального уравнения C.8) с краевыми условиями C.9). Напомним читателю, что система функций <pi(jf), уг(х), ... ..., <р„(х), ... называется ортогональной в интервале [а, Ь], если интеграл от произведения любых двух различных функ- b ций системы равен нулю: § cpn (x) <?m (x) dx = 0, если пф т а (см. [1], п. 205). Легко установить, что найденные собствен- собственные функции оатогональны на интервале [0, /]. Действи- Действительно, при пф /п , ътк . кпх , sin —г— sm —г- ах = . т. (m — п) х . г. (m 4- п) х ' 2я L m — п m-\- n Jo = 0.
60 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. » Теперь обратимся к отысканию функций T(t). Каждому собственному числу Xfe будет соответствовать своя функ- функция Tk (t), определяемая вторым из уравнений C.7) (напоми- (напоминаем, что с— — У?): 4 Его общее решение имеет вид Tk(t)=Bk cos —-\-Dk sin—, (З.П) где Sft и Dh — произвольные постоянные. Подставляя выражения (ЗЛО) и (З.П) в формулу C.4), найдем частные решения уравнения C.1), удовлетворяющие краевым условиям C.3). При этом каждому значению &=1, 2, ... будет отвечать решение , ,. I г, Ыаг . „ , hr.at\ uk(x, O = ^cos|Dsln) Внося множитель А^ в скобку и вводя обозначения AkBk = ah и Ai,Dj,=bk, запишем иь(х, t) в виде cos-^ \-bksm-j-\sm-j-. C.12) Решения iik{x, t) называются собственными функциями задачи; соответствующие им колебания струны называются собственными колебаниями. Физический смысл решений C.12) мы рассмотрим не- несколько позже, а сейчас перейдем ко второй части метода Фурье и при помощи собственных функций построим реше- решение, удовлетворяющее начальным условиям C.2). Для этого возьмем сумму решений C.12), которая в силу линейности и однородности уравнения C.1) также будет являться его решением: от u{x, t)— У fat cos-j—f-0*sin-^-j sm-y-. C.13) Поскольку мы составили бесконечный ряд, то, разумеется, нужно, чтобы он был сходящимся. Мы предположим также, что его можно дважды почленно дифференцировать (см. введение). Ясно, что функция и(х, t) удовлетворяет краевым^ условиям C.3), так как им удовлетворяет каждая из функций щ,(х, t).
Л 1-0= 2. —-^sin-^-^FW. C.15) § 3] МЕТОД ФУРЬЕ 61 Будем теперь подбирать произвольные постоянные а/, и bk так, чтобы функция C.13) удовлетворяла начальным условиям. Подставляя значение < = 0, получим 00 ЪТГГ jSin—= /(д;). C.14) Дифференцируя ряд C.13) по t: 00 ди VI йяа / . knot , , kitat\ , Ых ¦57= / —7—1 uk SID ; f-t>?COS—;— I Sltl —7— . Ot jiml I \ I ' / / ( и подставляя < = 0, удовлетворим второму начальному усло- условию: U —о — Формулы C.14) и C.15) показывают, что величины а* и -^ ^а являются коэффициентами разложения функций f(x) и F(x) в ряд Фурье по синусам в интервале @, /) (см. [1], п. 201). Вспоминая формулы для коэффициентов этого разложения, найдем а*: i 2 Г ктх ak — -r\ / (x) sin—j-dx. C 16) ' i п. къа , 2 f p, . . kiz.K , Так как —j—bk = j \ F(x)sin^— ax, то C 17) Подставляя выражения для коэффициентов at и h s ряд C.13), мы окончательно найдем решение поставленной за- задачи. Мы не останавливаемся на условиях, которые надо наложить на функции f{x) и F(x), чтобы было оправдано сделан- сделанное допущение о возможности почленного дифференцирования
62 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ (ГЛ. I ряда C.13). Обычно в физических задачах Э1и условия соблю- соблюдаются. Формула C.13) показывает, что в моменты времени . 21 . 41 г=—, г = —, ... струна возвращается в свое первона- первоначальное состояние; это означает, что колебания струны не- незатухающие и периодически повторяющиеся, с периодом 21 Т =—. Так происходит потому, что мы пренебрегли си- силами трения. При учете их получились бы затухающие коле- колебания, аналогично тому как это имеет место в случае обык- обыкновенных гармонических колебаний точки. Решение задачи в этом случае приведено в п. 14. 11. Стоячие волны. Прежде чем перейти к примерам, выясним физический смысл собственных функций ttk(x, t), определенных формулой C.12). Перепишем ее в виде llk(X, l) = Г fit), C 18) где Из формулы C.18) видно, что все точки струны совер- совершают гармонические колебания с одной и той же ча- частотой u)ft=-^ и фа- / зой ft,. Амплитуда ко- колебания зависит ог абс- абсциссы х точки струни и равна Fk sin —j—. При таком колебании все точки струны одно- одновременно достигают сво- своего максимального от- отклонения в ту или иную сторону и одновременно проходят положение рав- равновесия. Такие колебания струны называются стоячими волнами. Рис. 17.
МЕТОД ФУРЬЕ 63 На рис. 17 показана форма струны в различные моменты времени для случая k=\; при этом неподвижными остаются только концы струны, а наибольшего отклонения Fi дости- достигает только точка x = -j. При ? = 2 неподвижных точек будет уже три: кониы и середина струны1 sin — -к-=sin ic=0 а точек, в которых от- отклонения будут достигать наибольшего значения,— I Ы две: х — -? и х = -^ (рис. 18). Вообще стоячая вол- волна iik(x, t) будет иметь столько неподвижных то- точек, сколько корней имеет уравнение sin —т~ = О в интервале [0, /]. Та- Таких точек будет k-\-\, их Рис. 18. абсциссы: 0, -г, —, Неподвижные точки называются узлами стоячей волны. Посередине между узлами располагаются точки, в которых отклонения достигают максимума; такие точки называются пучностями. Каждая струна может иметь собственные коле- колебания лишь строго определенных частот u)a = -^— . Эти ча- частоты называются собственными частотами струны. Наи- Наименьшей собственной частотой будет C.19) где Тй — натяжение, ар — плотность струны. Когда струна колеблется, она издает звук, высота кото- которого возрастает вместе с частотой колебаний. Если струна совершает собственные колебания, то самый низкий тон будет, когда частота равна wj. Из формулы C.19) видно, что при этом звук чем выше, чем больше натяжение То и чем короче
64 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ [ГЛ. 1 и легче струна1) (т. е. чем меньше / и р). Остальные тона, соответствующие частотам шк, называются обертонами или гармониками. Если струна совершает свободные колебания, определяемые начальными условиями, то функция и{х, t) представляется, как это видно из формулы C.13), в виде суммы отдельных гармоник. При этом характер звучания струны (тон, сила звука, тембр) будет зависеть от соотно- соотношения между амплитудами и отдельных гармоник. Основное назначение ре- решения C.13) как раз и заключается в том, что оно позволяет произвести срав- сравнение этих амплитуд. 12. Примеры. Пример 1. Найти колебания струны с закрепленными концами х = 0 и x=zl, если на- начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение имеет форму треугольника с вершиной в точке (с, Н) (рис. 19). (Натяжение струны 7, плотность р, величина а= I/ -°. Функция f(x) = u |(,o задается формулами Рис. 19. /(*) = fix с ' h(l-x) I —с если если Функция F(x) = ди dt согласно условию, равна нулю. Поэтому в общем выражении C.13) для решения и(х, t) все коэффициенты bk =¦ 0. ') Читателю, имевшему дело со струнными инструментами, на- например с балалайкой, хорошо известно, что, чем туже натянута струна, тем более высокий за\к она излает; точно так же можно увеличить высоту звука, зажав струну в какой-либо ее точке, т. е. укоротив ее.
§ 3) МЕТОД ФУРЬЕ 65 Коэффициенты ak находим по формуле C.16): i = 4 f h i* . knx , , h [С h i* T \ 0 с Вычисляя интегралы по частям, получим: kitx , 1х (IX х sin—г- с/дг = — -г- cos т- (IX = — -г- COS —j /» + 1 . №1Л J / ST. ( 0 ' «*я* / О к Ыс_ . Р . Апс и аналогично V'- с ч . Алл , N/ — с) kite , Z2 . йпе X) Sin -у- «Л: = —-г COS -,- -j- т^-V Sin -у-. Следовательно, пк— kWc(l-c) slnT"* Подставляя выражение для аА в формулу C.13), получаем искомое решение 00 ,. 1IU2 V 1 • kne , knx knot ,„ ог.ч " (*> О = я»е(/ —О 2j F S1" 7~ -7- COS -у-. C.20) Есля число k таково, что sin-.- =0, т. е, точка с является узлом k-й гармоники, то аь = 0 и в найденное ре- решение/ соответствующая гармоника не входит (если k0 — наи- наименьшее из таких чисел, то все остальные будут ему кратны). Пусть, например, с i руна оттянута в середине, т. е. с = -,у-. Тогда -^- = ~ и при всех четных значениях k точка -н- является узлом; поэтому в решение будут входить только Нечетные гармоники Читатель легко проверит, что в этом случае (с = -к-) решение будет иметь вид U(X, I)— __., ^ {2п + 1K Sin / COS t F.ZI) п -- О 3 И. Г. Арамановнч, В. И. Левин
66 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ [ГЛ I Выражение C.20) для решения и(х, I) показывает, что амплитуда ?-й гармоники пропорциональна величине -я-, т е довольно быстро убывает с возрастанием номера k. Это значит, что гармони- гармоники достаточно высоких порядков на результиру- результирующее колебание практи- практически никакого влияния оказывать не будут. Для построения фор- формы струны в любой мо- момент времени не обяза- обязательно производить вы- вычисления но формуле C.20). Можно восполь- воспользоваться уже хорошо изученным явлением от- отражения волны от закреп- закрепленного конца струны (см. п. 9); теперь только нужно отразить волну от обоих концов. Чтобы произвести построение, продолжим первоначаль- первоначальный график струны па интервале @, I) «нечет- «нечетным» образом влево и вправо и разобьем его на прямую и обратную волны. (На верхнем из Рис. 20. рисунков 20, соответст- соответствующем моменту времени t = 0, графики обеих волн сливаются.) Затем обычным обра- образом строим графики прямой и обратной волн в разные мо- моменты времени и складываем их в интервале @, Г). Весь этот процесс в промежутке времени (О, —) изображен на рис. 20 (с== — ] и рис. 21 (с — -о"). В следующий полу- \ О J \ j период { —, — j струна, пройдя в обратном порядке все
> 3] МЕТОД ФУРЬЕ 67 = — и{х, f), отмеченные положения, вернется в первоначальное состояние (при t== 0), после чего процесс будет периодически повторяться [с периодом Г= —). Рис. 20 и 21 показывают существен- существенное отличие характера полученного колебания от свойств стоячей вол- волны. Так, например, если сф-х-, то точки струны проходят положение рав- равновесия в разные мо- моменты времени; кроме того, струна не будет за- занимать положения, сим- симметричного с первоьа- чальным, относительно оси Ох. Предоставляем чита- читателю доказать, что функ- функция и(х, t\ определен- определенная формулой C.20), удовлетворяет условию Рис. 21. t-1 и объяснить геометри- геометрический смысл этого усло- условия. Пример 2. Пусть в условиях предыдущего примера начальная фор- форма струны задается функ- функцией f(x) = A sin -у—, где п — целое число, а начальные скорости равны нулю. В этом случае начальное положение струны совпадает с графиком одной из собственных функций п решение осо- особенно просто. Помимо всех коэффициентов Ь^, обращаются в нуль и все ak при 1гфп, так как собственные функции ортогональны (см. стр. 59). 3*
58 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. I Найдем коэффициент а„: an = A-j- \ sin2^- dx = А, и, следовательно, г? (л:, 1) = А sin -у- sin j Таким образом, струна совершает стоячее колебание. Пример 3. Пусть в условиях примера 1 начальная форма струны — парабола, симметричная относительно сере- середины струны, и максимальное отклонение равно h (рис. 22). Найдем колебания струны. Составляя уравнение параболы, получим По-прежнему все ^ = 0, а ak вычисляются по формулам Дважды интегрируя по частям, получим (необходимые выкладки читатель проведет само- самостоятельно) 16А ., Отсюда следует, что если k четно, то ah ~ 0. Если же k нечетно и равно 2и-)-1, то 32Л rv 1 о \ (" ° 1 2 ) Окончательно получаем решение в виде I Bп + \)пх BЯ + о' / ° Здесь амплитуды последовательных гармоник (нечетных) убы- убывают еще быстрее, чем в первом примере. В подобных
§ 3] МЕТОД ФУРЬЕ E9 случаях высшие гармоники оказывают влияние только на тембр звука, издаваемого струной, в то время как тон определяется основной наименьшей частотой «, (см. формулу C.19)). Пример 4. Пусть в начальном положении струна на- находится в покое и точкам ее на участке (я, |3) придана постоянная начальная скорость г»в (этого можно добиться, ударяя по струне на этом участке плоским жестким моло- молоточком). Найдем колебания струны. Сохраняя предыдущие обозначения, будем иметь '(мы уже отмечали тот факт, что функция F(x) может быть разрывна). Коэффициенты ак общей формулы C.13) равны нулю, а коэффициенты bk находятся по формулам C.17): , 2va * kr.a Следовательно, sin—r- dx = -rr~{cos -; cos-y • / kVa \ I I j kna къ$ COS • COS ~~~i ( t . ' ' ¦ knx . knot ¦ knx . knot ,0 oo, sin "Г sin ~Г¦ $ 23) В частном случае, если начальные скорости г»0 получают все точки струны (а = 0, р = /), то оо и (х, г) = ~ У /о л- i \е sin "Г'— sin ~i л = 0 (для четных k разность 1—cos А™ равна нулю, а для нечет- нечетных— двум). Нетрудно найти в этом случае наибольшее отклонение струны от положения равновесия. Физически ясно, что больше всего отклонится от положения равновесия середина струны, т. е. точка х = -тт. Выбирая еще момент
70 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. I времени 1 = ^-, получим "\2 ' 2а/~ т.Ч Li B Bл-j- 1)в Так как sin2^-^ ^'- = 1, то это значение и и будет наибольшим. Учитывая формулу ') Bл- я=0 найдем, что ггтах = ^\ Пример 5. Пусть в условиях примера 4 струна возбу- возбуждается ударом очень острого молоточка, передающего струне импульс / в точке с. Начальное отклонение точек струны равно нулю, В этой задаче мы имеем дело с так называемым сосре- сосредоточенным импульсом. Будем понимать это следующим образом: сначала положим, чго импульс равномерно распре- распределен по некоторому малому участку струны (с — 8, с-\- Ь), окружающему точку с. Тогда, в силу закона сохранения ') Указанная формула следует из решения примера 1. Подставлял в формулу C.21) значения л: = -п- и < = 0 и учитывая, что . Bя4-1)п . ,._ I sin к =(— I) , а начальное отклонение в точке -ту равно п, получим: L откуда 2i
S 3] МЕТОД ФУРЬЕ количества движения, будет соблюдаться равенство 71 где р — линейная плотность струны, a v0 — приобретаемая ею на участке (с — 8, с -j- 8) начальная скорость. Найдя решение этой задачи и перейдя к пределу при 8 ->» О, мы получим искомое решение. Положим в формуле C.23) а = с — Ъ,ф = с-\-Ъ и ?>0 =з= gfl COS —S) fen (с -f- 8) 1 — — COS f- - Sill у SHI По правилу Лопиталя lira ftr. (с — Ь\ ы (с + Ь) / sin (с — Ь) I -(-sin ' (с 1 =-р sin -,-• Считая возможным почленный переход к пределу под знаком суммы, получим решение задачи о колебаниях струни под действием сосредоточенного импульса lt(X, 2/ kr.C , kr.X kitat Пример 6. Пусть в условиях примера 4 начальное распределение скоростей задается функцией О, если 0 ^ х <^ ха — 8, cos 0, если если если — 8 х 0 -\~ 8> Показать, что колебания струны описываются функцией и (х, t) = ~- > - 4=1 1 —: . -КПХ . TzrtOl Sin-у-Sill —у-
72 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. I § 4. Вынужденные колебания и колебания струны в среде с сопротивлением 13. Вынужденные колебания струны. Меюды, разви- развитые в § 3, позволяют решать и задачу о вынужденных коле- колебаниях струны. Эта задача приводит к неоднородному уравнению колебаний (см. § 1) ( мы обозначили через О(х, t) функцию — g(x, t), где р — плотность струны, a g(x, I) — плотность распределения внешних сил]. Начальные и краевые условия примем такими же, как и для случая свободных колебаний: Так же как и при решении обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений будем искать решение уравнения D.1) в виде суммы двух функций: u(x,t)=v(x,f)-\-w(x,f). D.2) Функцию v(x, t) выберем так, чтобы она удовлетворяла d*v 9dsv однородному уравнению ^-j-==a -г-j- и условиям Тогда функция w (x, t) должна удовлетворять неоднород- неоднородному уравнению и нулевым начальным и краевым условиям Легко проверить, что при таком выборе функций v и w их сумма D.2) будет являться искомым решением. Функция v(x, t) описывает свободные колебания стру- струны, происходящие только вследствие придания точкам сi руны
$ 4| ВЫНУЖДГННЫЕ КОЛГБАНИЯ 73 начальных отклонений и скоростей. Функция w(x, t) описавает вынужденные колебания, которые совершаются под дейст- действием внешних сил при отсутствии начальных возмущений. Поскольку функцию v(x, t) мы уже умеем отыскивать (см § 3), то займемся теперь только ошсканием решения неоднородного уравнения — функции w(x, t). Вудем искать функцию w(x, t) в виде ряда по соб- kr К ственным функциям sin -j- однородной задачи: D.4) где "ffc@ — не определенные пока функции от t. Прежде всего заметим, что функция w(x, t) действительно удовле- удовлетворяет краевым условиям w |л._в = w \х_г — О, так как все собственные функции обращаются в нуль при дг = О и х = /. Чтобы функция w{x, f) удовлетворяла и нулевым начальным условиям, достаточно считать, что ^@) = 0 и -^@) = 0. Запишем уравнение D.3) в виде d~w з dsw у-,, и заменим функцию w (x, t) рядом D.4). Тогда получим ? [т* @ + ^7r-T*@|sln^ = O(*f t). D.5) Разложим теперь функцию Q(x, t) в интервале (О, I) в ряд по синусам по аргументу х (это производится точно так же, как в разложение в ряд Фурье функции одной пере- переменной, но только коэффициенты разложения будут являться функциями переменной ()¦ го D.6) где gk (I) = у J Q(*, t) sin k~ dx. D.7) (При интегрировании t счигае1Ся постоянным.)
74 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ 1ГЛ. I Если, в частности, плотность распределения внешних сил не зависит от времени, то функция Q(x, t) не зависит от t, т. е. О(х, t) = Q(x) и формула D.6) представляет собой обычное разложение в ряд Фурье по синусам. В этом случае функции g/,(t) постоянны. Если же функция О(х, I) не зависит от х, а зависит только от времени /, т. е. Q(x,t) = Q(t), то функции g/,(t) будут равны i sin-у- dx = 14 — G@. если k нечетное, ** - D.8) О, если k четное. Приравнивая в разложениях D.5) и D.6) коэффициенты при собственных функциях, составим дифференциальные урав- уравнения для отыскания неизвестных функций К полученному неоднородному уравнению второго порядка следует присоединить установленные выше начальные условия 0. D.10) Общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению D.9), имеет вид . hnat , „ . knot Ak cos —j- -f- Bk sin -y-. Решение неоднородного уравнения D.9) в случае, когда функция gk (t) имеет специальный вид (в частности, постоянна), может быть найдено методом неопределенных коэффи- коэффициентов; при произвольной правой части решение следует искать методом вариации произвольных постоянных (см. [1 j, пи. 171 и 172). Пользуясь этим методом, можно показать, что при любой пра- правой части gk (t) решение уравнения D.9) с начальными усло- условиями D.10) дается формулой D.11)
% 4) ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 73 Выводить эту формулу мы не б\ чем, и рекомендуем читателю сде- сделать это самостоятельно. После того как псе функции yft(/) найдены, остается подставить их в формулу D.4-), и мы получим искомую функ- функцию w(x, t). Пример 1. Найдем вынужденные колебания струны, на которую в момент времени ? = 0 начинает действовать постоянная сила, равная силе тяжести. В этом случае функция G(x, t) = — g и задача сильно упрощается, поскольку все коэффициенты gk(t) разложе- разложения D.6) постоянны. По формуле D.8) откуда gin I == — - Bn + 1) я ' Функции 7jn@ тождественно равны нулю, так ка.< они удовлетворяют однородному уравнению Bп)- *W „ п Т 21 р с нулевыми начальными условиями -\гп |/_0 = 0 я ^'1Л |^_п = 0. Для функций с нечетными индексами fsn+i @ уравне- уравнение D.9) принимает вид ^±^=_^1_. D.12) Частное решение неоднородного уравнения находится сразу; это есть постоянная величина, равная — ^тгп5г^' довательно, общим решением уравнения D.12) будет функция Ain+1 cos l ) h Bin+l sin Подставляя начальные условия, находим произвольные постоян- постоянные Ац,+1 и Р,П41-
76 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 1 Итак, функции Yan+i(O найдены: Подставляя полученные выражения в формулу D.4), полу- получим решение w(x, t), описывающее вынужденные колебания струны, совершающиеся под действием силы тяжести: * о— S 2 (Знак минус указывает па то, что в начале колебания точки струны отклоняются вниз.) Каждая точка струны совершает сложное периодическое колебание с периодом —. В моменты 11 времени t = —k (k — 0, I, 2, ...) все точки струны про- проходят положение равновесия. Легко заметить, что наибольшие отклонения от положения равновесия будут наблюдаться для середины струны 1х —у в моменты времени г = —, 31 I — и т. д. (Эго можно установить и аналитически: при х = -^- , I , 2nl , dw dw , и t — 1 обе частые производные -з— и -$г обра- обращаются в нуль.) Поскольку sin 2 j—I—ч > a tos- -( — —i> то Известно, что1) Bл + !)' ~ 32 ') Указанная формула следует из решения примера 3 п. 12. Полагая в C.22) л: = -н- и < = 0, пол>чим: и(~т> оо со — IT / /9„Т », откуда 7 /о!"_L.n< — ?>•
5 41 ВЫНУЖДЕННЫЕ ЮЛЕБАНИЯ 77 следовательно, ?'* Пример 2. Найдем вынужденные колебания струны без на- начальных смещений и скоростей, если на струну действует равно- равномерно распределенная сила с плотностью g(x. /)=Hpsmo>i, зави- зависящей от времени (р — линейная плотность струны). В этом случае функция G (х, <)=*§-!_!—I—a Sln ш( не зависит от х и по формуле D.8) мы получим- А А Как и в предыдущем примере, замечаем, что itn(tt=O Функ- Функции же Ysn+i № находим по общей формуле D 11): А1А С B«-f- 1)яо(< —т) . ) =* 7Т—¦ i » а \ sin »t sin i '-—Ц—i '- dx. _ x Bп4-1)яв Вводя обозначение швЯт1т.^ U-i и производя все необхо- необходимые вычисления, получим, что t 4М <fl*-' dnat — a gfa Найденное выражение имеет смысл для любого п только в случае, если частота ш вынуждающей силы не совпадает ни с одной из не- нечетных собственных частот струны (отсутствует резонанс). Подставляя выражения для Чая+1 (t) в общую формулу D,4), вавершаем решение задачи: OUI Рекомендуем читателю самостоятельно установить, что если Для какого-нибудь k имеет место равенство ?ш>А+1«ш, то соответ- соответствующее слагаемое в выражении t» (x, t) надо заменить на ЦА Utb+jt COS a./u.it — Sttl u>,b+1t — ш8*+1< COS Msft+,0 . 14. Колебания струны в среде с сопротивлением. До си.х пор мы все время рассматривали колебания струны, не учитывая
78 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ (ГЛ I сопротивления окружающей среды. Естественно, что при этом получались незатухающие колебания. Рассмотрим теперь слу- случай, когда колебания струны происходят при наличии сопро- сопротивления среды. Силу сопротивления, возникающую при этом, примем пропорциональной скорости движения (такой же закон для силы сопротивления принимается и при изучении гармонических ко- колебаний точки). Тогда на бесконечно малый участок струны МгМг (см. § 1, рис. 4) действует сила *-^dx, D.14) где а — коэффициент пропорциональности. Рассуждая так же, как при выводе уравнения A.12), и учитывая, что сила сопротивления всегда направлена против движения, придем к уравнению dsu J'a n да , 1 , ., .. 1К. ~Wв а IF ~2т dt + J g(A''l)' DJ5) где введено обозначение — — 2т (все остальные обозначения та- такие же, как в § 1). Ограничиваясь случаем свободных колебаний, запишем уравнение D.15) в виде д*и , „ ди . д"а ,. ,_. Начальные и краевые условия имеют прежний вид, т. е. *=Р{х), и\х., = п^х_1 = 0. D.17) Решение уравнения» D.16) с условиями D.17) опять будем произ- производить методом Фурье. Полагая и(х, t)—X(x) T (t) и поступая, как в § 3, получим \^г_ D18) Поскольку краевые условия для ф) нкцнй X (х) остались та- такими же, как и для случая колебаний без сопротивления, то равен- равенство D,18) будет возможно, если обе его части равны —Х|, где Xj==-^ собственные числа D=1, 2, ...); при этом собствен- собственные функции Хь{х) определяются по формуле (ЗЛО) (мы опускаем числовые коэффициенты): „ , . . kitx *k (x) = sin —j- , Для определения функций Ть (t) получим дифференциальное уравнение (^)'гл = 0. D.19)
§ 4] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Его характеристическое уравнение имеет корпи Мы будем предполагать, что коэффициент трения т настолько мал, что подкоренное выражение отрицательно для любых значе- значений k. Ясно, что это будет тогда, когда т < '— Вводя обозначе- обозначена \8 ние —г—) —ms — ql, получим \ I J г1,| = -« ± "?*• Следовательно, общее решение уравнения D.19) таково '): Тк @ — e"mt ("k cos qkt -f- bk sin qkt). По функциям Xft (x) и Тк (t) составим выражения для частных решений «? (х, t): kr.x Uf,(x, t) — e~mt (йк cos q/it -f- bk sin q^) sin —т—. Каждая из полученных стоячих воли благодаря множителю е~ш является затухающей. Переходя ко второй части метода Фурье, составим ряд 00 и(х, t) =e'mt У (efccosq. и подберем его коэффициенты так, чтобы удовлетворялись началь- начальные условия. При ? = 0 2 и величины аь определяются уже известной формулой C.16): i — ?_ { / Ых и Ь ') Если выражение 'от2 — (——j при небольших значениях k положительно, то общее решение уравнения D.19) для этих к будет иметь другой вид, содержащий показательные функции. Дальнейшее решение в этом случае несколько усложняется.
?0 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ И Л.) Находя производную -g? и полагая f = 0, получим со , . . . кюс „, s '— mak -f- bkqh) sin —j- = f- (a), откуда г 2 f _, . . ккх . 2 Пример. Пусть в примере 1 п. 12 дополнительно предполо- предположено, что струна колеблется в среде с сопротивлением, причем т = — <-j-. По условию начальные скорости F(x) — 0, и по- Р ' этому го Предоставляем читателю установить, что решение будет иметь вид « {х, t) = В,с(/-С) е Z ft* ЯП 1" SI" ~ \C0S qkt + fft S1" qktJ ' где § 5. Продольные колебания стержня 15. Подстановка задачи и метод решения. В этом пара- параграфе нами будет рассмотрена задача о продольных колеба- колебаниях однородного стержня. Стержень—это тело цилиндри- цилиндрической (в частности, призматической) формы, для растяжения или сжатия которого надо приложить известное усилие. Мы будем считать, что все силы действуют вдоль оси стержня и каждое из поперечных сечений стержня oqrs (рис. 23) перемещается поступательно только вдоль оси стержня.
§ 5) ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ 81 Обычно это предположение оправдывается, если поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной, а силы, действующие вдоль оси стержня, сравнительно невелики1). На практике продольные колебания возникают чаще всего тогда, когда стержень предварительно немного растягивается или, наоборот, сжимается, а затем предоставляется самому себе. В этом случае в нем возникают свободные продольные колебания. Выведем уравнения этих колебаний. Направим ось абсцисс по оси стержня (рис. 23); в со- состоянии покоя концы стержня имеют соответственно абс- абсциссы дг = О и х = 1. Рассмотрим сечение pqrs; x — его A 0\ 1 _ / X 7 г 1 г— п х*</х \,А, 1\ _ '/ х р р, Рис. 23. абсцисса в состоянии покоя. Смещение этого сечения в любой момент времени г будет характеризоваться функцией и(х, t), для отыскания которой мы и должны составить дифферен- дифференциальное уравнение. Найдем прежде всего относительное удлинение участка стержня, ограниченного сечениями pqrs и P\4if\S\.- Если абсцисса сечения pyqirxsY в состоянии покоя x-\-dx, то смещение этого сечения в момент времени t с точностью до бесконечно малых высшего порядка равно u(x-\~dx, t) = n{x, 0 +g?**. Поэтому относительное удлинение стержня в сечении с абс- абсциссой х в момент времени t равно ') Если эти силы велики, то стержень может начать изгибаться. В курсе сопротивления материалов устанавливается, что наимень- наименьшая нагрузка Р, при которой стержень может принять устойчивое .изогнутое положение (критическая нагрузка), определяется по фор- муле Эйлера Р = —~—, где И — модуль Юнга, J— момент инер- ЦИи поперечного сечения относительно его центра аяжести, • '— длина стержня.
82 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ [ГЛ 1 Считая, что силы, вызывающие это удлинение, подчиняются закону Гука, найдем величину силы натяжения Т, действую- действующей на сечение pqrs: T = ESn'x{x, t), E.2) где 5—площадь поперечного сечения стержня, а ? — модуль упругости (модуль Юнга) материала стержня. Формула E.2) должна быть хорошо известна читателю из курса сопроти- сопротивления материалов. Соответственно сила Th действующая на сечение равна xt t). Поскольку силы Т и 7"i заменяют действие отброшенных частей стержня, то их результирующая равна разности n—T=ESК(х + dx, t)-ttx(x, t)] =ES^dx. Считая выделенный участок стержня материальной точкой с массой pSdx, где р — объемная плотность стержня, и при- применяя к нему второй закон Ньютона, составим уравнение dx. E.3) Сокращая на Sdx и вводя обозначение — =й2, получим диф- дифференциальное уравнение свободных продольных коле- колебаний стержня Если дополнительно предположить, что к стержню приложена внешняя сила g(x, t), рассчитанная на единицу объема и действ) ю- щая вдоль оси стержня, то к правой части соотношения E 3) добавится слагаемое g(x, t) S dx и уравнение E.4) примет вид д*а , dsu , 1 , .. ,. Сч ^=aliF + 7^(x'0' (o5) что в точности совпадает с >равнением вынужденных ко!ебаний стр>ны. Перейдем теперь к установлению начальных и краевых условий задачи и рассмотрим практически наиболее интерес-
$ Б) ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ 83 ный случай, когда один конец стержня закреплен, й дру- другой — свободен. Если считать неподвижным конец стержня, совпадающий с началом координат, то и\х_0 = 0. На свободном конце краевое условие будет иметь иной вид. Так как на этом конце внешние силы отсутствуют, то должна быть равна нулю и сила Т, действующая в сече- сечении x — t, т. е откуда О~Х \х-1 ' Колебания происходят оттого, что в начальный момент стержень был деформирован (растянут или сжат) и точкам стержня были приданы некоторые начальные скорости. Сле- Следовательно, мы должны знать смещение поперечных сечений стержня в момент t = О и 1<-о =/(•*). а также начальные скорости точек стержня Итак, задача о свободных продольных колебаниях стержня, закрепленного на одном конце, возникающих бла- благодаря начальному сжатию или растяжению, привела нас к уравнению dhi 2 д*и с начальными условиями и краевыми условиями и\х 0 = 0, д" =0. F.8) ]х~° ' дх х-1 к ' Именно последнее условие и отличает с математической точки зрения рассматриваемую задачу от задачи о колебаниях струны, закрепленной на обоих концах.
84 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ t Будем решать поставленную задачу методом Фурье, т. е, отыскивать частные решения уравнения, удовлетворяющие краевым условиям E.8), в виде и(х, t) = X(x)T(t), E.9) причем А"@) = 0 и Х\1) = 0. Так как дальнейший ход решения аналогичен уже изло- изложенному в § 3, ограничимся только краткими указаниями. Дифференцируя фунииию и(х, t), подставляя полученные выражения в E.6) и разделяя переменные, получим 1 L *- — 1« а* Г X (Предоставляем читателю самостоятельно установить, что в силу краевых условий постоянная в правой части не может быть числом положительным или нулем.) Общее решение" уравнения X' -j-X*A'=O имеет вид Х(х) = С) cos Кх -)- С9 sin Хдг. В силу условий, наложенных на функцию Х{х), будем иметь Решения, не тождественно равные нулю, будут получаться только при соблюдении условия cos)/ = 0, т. е. при X/ — ==-j--\-kv:, где k может принимать значения 0, 1, 1, ... Итак, собственными числами задачи служат числа TC (ft = 0, I, 2, ...). E.10) Каждому \k соответствует собственная функция X(x) = sinK у E.11) Как мы уже знаем, умножая любую из собственных функ- функций на произвольную постоянную, будем получать решение уравнения X' -\-к Х—0 с поставленными краевыми усло- условиями. Легко проверить, что, придавая числу k отрицатель- отрицательные значения, мы не получим новых собственных функций (например, при А==—- 3 будет получаться функция, отли- отличающаяся от собственной функции Xt(x) только знаком),
§ 5) ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ 85 Докажем прежде всего, что собственные функции E.11) ортогональны в интервале @, /). Действительно, при т Ф п f . Bm 4-1) я* . Bп+ 1)пх \ sin ^~ sin-—~~ sin - ^~ sin ~ sin-—~~ 1 . (m — n) их . (in 4- n 4- 1) n * sm r- sin v —! г—-— т — п т \- и \- = 0. Если же т = п, то Bд Доказать ортогональность собственных функций Л^(дг) и иначе, не опираясь на их явные выражения, а пользуясь только дифференциальным уравнением и краевыми условиями. Пусть \т « i,— два различных собственных числа, Хт и Хп—соответ- Хп—соответствующие им собственные функции. По определению эти функции удовлетворяют уравнениям и краевым условиям. Умножим первое из уравнений на Хп, в горое на Хт и вычтем одно из другого: Х"тХп - Х'пХт + (X», - X») ХтХ„ = 0. Интегрируя это равенство в пределах от 0 ло / и замечая, что (X"mXn-X»nXm) = lXmXn-XnXJ, получим, что (ХтХп - Х'пХт) i + (XJ, - Х-) \ ХтХп d, = 0. Первое слагаемое обращается в нуль при любой из следующих комбинаций начальных условий: 1) Я@) = 0, ЛГ(/) = О (задача о колебаниях струны), 2) Х@)=О, Х(/)==0 (колебания стержня со свободным концом), 3) Х@) = 0, Х'A)—0 (колебания стержня, У которого оба конца свободны). Следовательно, во всех случаях так как по условию 1тф}п. Приведенное здесь рассуждение будет неоднократно встречаться в дальнейшем.
86 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. Г При >. = Xft общее решение уравнения V -J-asX|7"—О имеет вид Тк (t) = ak cos -!—2L-J ]_ йа sin <—1LJ _ E.12) Поэтому частным решением u^ix, t), соответствующим соб- собственному числу Xfc, будет функция «к(х, 0 = — \ak cos 2; г bkSln fi I I 27' E.13) Для окончательного решения задачи составляем ряд и(х, t) = ¦— Zj ] —~2i ' Я —~zi E.14) В силу начальных условий E.8) Чтобы найти коэффициенты ак н bk, заметим, что написан- написанные равенства представляют разложения функций /(х) и F(x) в ряды по ортогональной системе функций sin — <yi (см- П]> П- 205). Предполагая такое раз- разложение возможным, легко находим коэффициенты ап и Ьт . Bп 4-1) кх умножая обе части разложения на sin -т~ и интегри- интегрируя в пределах от 0 до /. Так как интеграл от квадрата
§ 5] ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ 87 любой собственной функции равен -я-, то 2f'^-.- {2n+!)KXdx, * i E.16) t * {F(xW2n+p**dx. Bл + 1)ка J II Подставляя в ряд E.14) найденные значения а„ и Ь„, пслучим искомое решение. 16. Примеры. Пример 1. Пусть однородный стержень плотности р и длины /, закрепленный в точке х = 0, рас- растянут силой Р, приложенной к другому его концу. В мо- момент времени t = Q действие силы мгновенно прекращается, после чего стержень предоставлен самому себе. Найдем воз- возникающие продольные колебания стержня. Будем считать, что сила Р, действующая на стержень в начальный момент, такова, что применим закон Гука, и най- найдем начальное смещение точек стержня я|(_ог^:/(лг). Так как в каждом сечении сила натяжения Т постоянна и равна Р, то по формуле E.2) где Е — модуль упругости, 5-1—площадь поперечного сече- сечения. Интегрируя и учитывая, что /@) = 0 (стержень при j; = 0 закреплен), получим т. е. смещение любого сечения в начальный момент про- порщюнально его абсциссе. (Заметим, что если бы стер- стержень сжимался силой Р, то в выражении для f{x) изме- изменился бы только знак.) Так как начальные скорости равны нулю, то F{x) = 0 и все bk обращаются в нуль. Найдем теперь по формуле F.15) коэффициенты а*: -2Р { xzin{2k+l)KXdx-&Pl {~{)"
88 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. I Подставляя выражения для ак в формулу E.14), получим функ- функцию u(x,t), описывающую продольные колебания стержня: 00 V 1—1 Bft-f IJ 2/ 0U1 2/ где 0=1/—. V 9 Так как при дг = / то на свободном конце стержня все гармоники имеют пуч- пучность (см. стр. 63). Ясно, что в закрепленном конце всегда , ГТ 71Д Л -1 /~Г будет узел. Первая гармоника имеет частоту тп = jr у ~ » это есть основная частота колебаний стержня. Частоты осталь- остальных гармоник будут получаться при умножении основной частоты на последовательные нечетные числа. Пример 2. Пусть стержень примера 1 выводится из со- состояния равновесия ударом по его свободному концу в про- продольном направлении. Найдем возникающие колебания стержня, если импульс, сообщенный стержню при ударе, равен &". В этом примере наибольшую трудность представляет фор- формулировка начальных условий. Сообщение стержню ударного импульса приводит к тому, что точки его свободного конца получают начальные скорости Удар предполагается мгновен- мгновенным, поэтому начальные скорости, строго говоря, должны по- получать только те точки стержня, которые лежат в сечении х = 1. Однако физически эго нереально. Ведь по второму закону Ньютона сообщенный импульс должен быгь равен изме- изменению количества движения, т. е. произведению массы на ско- скорость, а масса сечения стержня х = 1, очевидно, равна нулю. Поэтому мы выделяем малый участок стержня / — е^ e^x^l и считаем, что все его точки получили в резуль- результате удара одну и ту же скорость v0. Масса выделенного участка равна р5е, где р — плочность^стержня и 5—площадь поперечного сечения. Приравнивая изменение количества дви- движения импульсу силы, получим
* Щ ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ 89 откуда Функции f{x) и Fix), определяющие начальное состояние стержня, будут равны: f(x) = 0, 10 при 0^х<^1— е, * при ,_.<*</ (знак минус берется потому, что скорость v9 направлена в отрицательную сторону оси Ох). Коэффициенты, входящие в общую формулу E.14), находим по формулам E.15): 21 "** — Bk + l) к (i — e) —РГ COS — ~ ~ ' V ' (+y? 21 Так как cos _ f cos[ 2/ cos[ 2 27 то "* Bft+l)s^op5e S1" 2/ • В полученных выражениях для b'P легко перейти к пределу при s -*¦ 0. Поскольку ¦ limsm t-*0 е то, обозначая litn Ь^=Ьк, получим
90 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ГГЛ I Подставляя выражения для bk в формулу E14), оконча- окончательно получим * №+1) «at <2k+l)*x Sln U "V*.v — KafS j^ {2k +1)-"" 21 Если нас интересуют колебания конца стержня, то мы должны положить х = 1; тогда Bk+[)nat СО пи v ' ' 4/ Период колебания Т = ~. Смещение u(I, г) равно нулю . ,. 21 4/ ., л при г = 0, —, —.... Наибольшее смещение конца стер- жия 01 положения равновесия будет при ? = —: ГО (-l)ft 2k+\' Сумма написанного ряда, как известно, равна -j (этот числовой ряд получается, если в разложении arctg лг в ряд Маклорена принять х=1; см. [1], п. 194). Поэтому где Е — модуль упругости. Пример 3. Пусть стержень длины /, конец которого jc = O закреплен, находится в состоянии покоя. В момент I = 0 к его свободному концу приложена сила Q, действующая вдоль стержня. Показать, что задача сводиich к решению урав- уравнения свободных колебаний стержня E 6) с условиями нЬ 0 = 0, Q dt (-0 = 0, dt ч-1 IS что колебания стержня описываются функцией со Q 8Q/ VI (— 1 )п Bп -\- \) 7zx B/2-4-1)
КРОИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В4ЛА § 6. Крутильные колебания вала 17. Уравнение крутильных колебаний. Для того чтобы вывести дифференциальное уравнение крутильных колебаний вала (круглого цилиндрическою стержня), напомним основ- основные положения, лежащие в основе теории кручения круглых стержней, изучаемой в курсах сопротивления материалов. Со- Согласно этой теории поперечные круговые сечения стержня при кручении остаются плоскими и сохраняют между собой первоначальные расстояния, радиусы, проведенные it этих Рис 21. сечениях, не искривляются 1). Таким образом, кручение круг- круглого вала можно представить как результат сдвигов, вызван- вызванных поворотом поперечных сечений друг относительно друга, причем все повороты совершаются вокруг оси вала. Вслед- Вследствие этого в поперечных сечениях возникают только каса- касательные напряжения, действующие в плоскости сече- сечения, а нормальные напряжения равны нулю. Так как касательные напряжения симметричны относительно центра поперечного сечения, то они приводятся к паре сил, момент которой называется крутящим моментом. Поскольку нас интерес)ют только относительные повороты сечений, то любое из mix можно принять за неподвижное. Будем считать, что неподвижен левый конец вала (как говорят, *левый конец заделан). Поместим начало координат в центр неподвижного сечения и направим ось абсцисс по оси стержня (рис. 24). В результате закручивания вала поперечное сечение ') Если стержень не кр\глый, то эти положения не могут со- соблюдаться Решение задач кручения некруглых стержней значи- значительно сложнее; оно рассматривается в курсах теории >пр)гости.
УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ !гл. В АВ, взятое на расстоянии х от заделки, повернется от- относительно неподвижного сечения на некоторый угол 9, зави- зависящий oi х; сечение А'В', отстоящее от сечения А В на расстояние dx, повернется при эгоч на угол 0-|-<$. Таким образом, поворот сечения А В' относительно сечения АВ будет равен d%. Вычислим сначала кру- крутящий момент Мх, прило- приложенный к сечению АВ. Вы- Выделим для этого отдельно участок вала, ограниченный сечениями АВ и AIB' (рис. 25), сдвинутыми друг относительно друга на угол K!OL' — d%. Возьмем про- произвольный элемент площа- площади da, расположенпый на расстоянии г от центра сечения, и определим величину напряжения т, вызванного сдвигом эле- элементарного волокна К К' в положение KV. Считая, что мы находимся в пределах применимости вакона Гука, получим где ? — угол сдвига волокна, a Q—постоянная для данного материала величина, называемая модулем сдвига. В силу малости угла у дугу K'L' можно принять за хорду, и тогда i ~ ё 7 ^х • ^ С другой стороны, дуга K'L' равна K'L' = r dd и, следовательно, Таким образом, напряжение т прямо пропорционально рас- расстоянию г рассматриваемого волокна КК' от центра сечения. Усилие, приходящееся на площадку do, выразится произве- произведением , _ df) , х до = Or ~r~ da dx
§ 6] КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛА 93 и будет направлено перпендикулярно радиусу. Обо шачая через dMx элементарный закручивающий момент, при/,ожен- ный к элементу da, получим dMx = rid3= Gr* -g da. F.2) Величину искомого момента Мх найдем, интегрируя выраже- выражение F.2) по площади сечения АВ: I ак как для всех точек поперечного сечения величина и-т- одна и та же, то ее можно вынести за знак интеграла; тогда где ,/(, = ^ r^dc — полярный момент инерции поперечного сечения АВ относительно его центра. Перейдем к выводу дифференциального уравнения кру- крутильных колебаний вала, рассматривая по-прежнему эле- элементарную часть его, заключенную между сечениями АВ и А В'. По второму закону Ньютона, примененному к вра- вращательному движению тела вокруг оси, произведение момента инерции тела относительно оси на угловое ускорение равно моменту внешних сил относительно оси вращения. Угол 6 поворота сечения зависит теперь уже как от абсциссы х, так и от времени t, т. е. 6 = 6(jc, t). Угловое ускорение элементарного участка вала будет равно -^. Если через К обозначить величину момента инерции вала относительно оси вращения, приходящуюся на единицу его длины, то момент инерции рассматриваемого участка будет равен К dx. Момент внешних сил найдем как разность кру- крутящих моментов, приложенных к сечениям А'В' и АВ. Согласно формуле F.3), в которой -г- заменено на 0Г, -Мл = О7„ [в; (х + dx, t) - в, {х, t)] = О7„ g dx.
94 JРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ [ГЛ. I Таким образом, мы выразили все величины, входящие в вакон Ньютона. Применяя его, получим или где ?-•¦?. <6-4> Таким образом, дифференциальное уравнение крутильных колебаний вала, так же как и продольных колебаний стержня, полностью совпадает с уравнением колебаний струны. Однако обычно встречающиеся ксжкретные задачи приводят к иным краевым условиям, нежели те, которые были рас- рассмотрены в §§ 3 и 5. Так как вал однородный, то, обозначая его плотность через р и учитывая, что К — момент инерции единицы длины вала, найдем Отсюда F.5) Примечание. В то время как уравнение продольных коле- колебаний выведено для любых призматических стержней, уравнение кр\тильных колебаний применимо только для кр}глых стержней (валов). Для иекруглых стержней, как мы уже отмечали, задача становится значительно более сложной. 18. Крутильные колебания вала с диском на одном конце. Пусть один конец вала длины / закреплен, а на другой его конец насажен массивный диск, момент инерции которого относительно оси вала равен Jv. В начальный момент диск закручивается на малый угол а и отпускается без начальной скорости. Изучим характер возникающих при этом крутильных колебаний вала. Сохраняя введенные выше обозначения, составим прежде всего начальные и краевые условия, которым должна удовлетворять ф}нкция, являющаяся решением задачи.
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛА Чтобы найти в|/_0, рассмотрим рис. 26. Так как угол я мал, то, рассуждая так же, как при выводе формулы F.1), получим соотношения (/?— радиус вала) [ as: на и хч = i откуда Далее, согласно условию dt = 0. F.6) F.7) Поскольку конец вала х=0 неподвижен, то в (л._0 = 0. F.8) Если бы диска на правом конце вала не было, то крутящий момент Mi = GJa -д~ ОХ | х-1 был бы просто равен нулю, так как внешние силы от- отсутствуют. Это привело бы = 0, условию -г- х-1 Рис. 26. и решение в точности сов- совпало бы с решением при- примера 1 п. 16 (см. стр. 87). В нашем же случае на- надо приравнять нулю сумму крутящего момента Mi и произведения момента инерции диска Jt на его угловое ускорение (момент силы инерции диска): x-t F 9) Полученное условие удобно записать в виде 3? х-1 • ох х-1 где Итак, будем искать решение уравнения F.4), удовлетворяющее условиям F.6) —F.9). Запишем искомую функцию в виде 8 (х, t)=T (t) X {х), под- подставим в уравнение F.4) и разделим переменные;
96 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ [ГЛ. 11 (Предоставляем читателю доказать, что и здесь в силу условий, которые налагаются на функцию X (х), постоянная в правой части равенства обязательно отрицательна.) Функции T(t) и Х(х) являются решениями обыкновенных диф- дифференциальных уравнений: ГЧ-а2Х2Г=0, F.10) A" + XsX=0, F.11) причем из F.8) следует, что функция X (х) должна удовлетворять условию Х@) = 0. Далее, из краевого условия F.9) получим Т'ХA) = — саТХ'A) и, заменяя, согласно уравнению F.10), Т" на —aWT, придем ко второму условию, налагаемому на функцию X (х): с*Х'A) — аЧ*ХA) = 0. F.12) Заметим, что в рассматриваемой задаче постоянная X входит не только в дифференциальные уравнения, определяющие функции Т (t) и Х(х), как это было во всех предыдущих случаях, но и в краевое условие, которому должна удовлетворять функция X (х). Это приведет, как мы увидим в дальнейшем, к некоторому услож- усложнению решения. Решение уравнения F.11) имеет вид X (х) = С^ cos lx + С2 sra lx. Из условия Х@) = 0 след>ет, что d = 0. Второе условие для функции Х(х) приводит к уравнению X (с3 cos X/ — о2Х sin X/) С2 == 0. Так как С%ф0 и Х^О (иначе мы получаем тривиальное решение Х(х) = 0), то для определения собственных чисел мы приходим к трансцендентному уравнению — o8X sinX/ = 0 или ctgX/ = ^X. F.13) Из формул, определяющих а и с, следует, что ^ = -±' на- с /\ помним, что Jt — момент инерции диска, а К—момент инерции единицы длины вала. Полагая пишем >равнение F.13) в виде единицы длины вала. Полагая Х/ = ц и обозначая --J-=m, nepe- F.14)
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛА 97 Как мы сейчас покажем, это уравнение имеет бесчисленное множество корней; б\дем обозначав их (i^. Каждому корню цд соогветствиот собственное число > к = ~ и собственная функция Xk (x)= smXAA-= sm у*. F.15) Так как обе части уравнения F.14) — нечетные функции отно- относительно ;л, го каждом) положительному корню (а# соответствует равный ему по абсолютной величине отрицательный. Поскольку изменение знака fit приводит к изменению знака }/,, что не влечет Рис. 27. за собой образования новых собственных функций (они только из- изменят знак, что несущественно), будем отыскивать только положи- положительные корни сравнения F.14). Для этого построим графики функ- ций a=ctg[i a u = ffl,a (рис 27). Ясно видно, что эти i рафики имеют бесчисленное множество точек пересечения, г. е. что \ рав- равнение имеет бесчисленное множество корней |j./v (fc= I, 2, ...). lloai>- зуясь какнм-ниб)дь способом приближенного решения уравнении, можно вычислить значения корней (при заданном т) t любой сте- степенью точности. Из рис. 27 видно также, что при больших значе- значениях k корни пряблизительно равны [^^(ft—1)~. После того как собственные числа найдены, ищем соо[вет- ств}ющие им решения уравнения F.10): @ = "k cos dkkt + bk sin alkt. F 16) Перемножая функции Xk{x) и Tk (t), найдем решения уравнения колебаний F.4), }довлетворяющие краевым условиям: 4 И. вА (л, t) = (db cos dkkt -f bk sin dh),t) sm ^Ux- Г. Араманович, В. И, Левин
98 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. « Как обычно, решение, }довлетворяющее начальным условиям F.6) и F.7), ищем в виде суммы: О (х, t) = 2j (ak cos a^kt -\- bk sin el-kt) sin X ja". F.17) Для определения неизвестных коэффициентов а^ и Ь^ получаем два условия: 00 — \ -X — — ° *~, 1 ' F.18) ¦_„= ° и * *sin *Л ~ 68 Tt U-0 Из второго условия заключаем, что все &fe==0. Заметим, что собственные функции sin^.t* не ортого- ортогональны в интервале [0, /]. Поэтому мы не можем отыскивать ак, пользуясь формулами Фурье для коэффициентов разложения в ряд по ортогональным функциям. В этом и заключается та сложность задачи, о которой говорилось выше. Оказывается, что это затруд- затруднение легко обойти, поскольку производные от собственных функций (т. с. функции cos??,t) уже образуют ортогональную си- систему. Действительно, при я ф. k имеем \ COS ) ),Х COS \пХ й\ = о 1 ["sin (X^ -f- )я) х . sin (Х^,—Хя)а"М -  [ п+Тп ! 1к — Xn W^ I к sin ) ь1 cos 1J — Хя sin Х„/ cos l ^ __ sin Xfc/ sin X „/ Воспользовавшись уравнением F.13), корнями которого являются числа ХА и )„, найдем, что >* ctg Хл/ — la ctg ).л/ = ^ (ХА?.„ — )ЯХЛ; = 0. Следовательно, при kzfi.n i ^ cos Xftx cos Х„а- rfA" = 0. F.19) о
5 7] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 99 Если же А' = л, то i С si j Iх 1 sin2Xn.t\M / . sin 2Х„/ V cos8 Х„* <^= у + ~^Ч I = Y + Г^* ¦J \ * ^Г П /1A ^ ЧЛЯ о Диффереицир) я первое из условий F.18), полччим = т- Умножим обе части равенства па cos ) пх и проинтегрируем по интервалу [О, I]. Так как — \ caslnxdx-=-r—.smlnl, ю, восполь- ' J 'я' зовавшись равенствами F.19) и F.20), найдем, что , / / . sin 2> п1\ а . , , отк)да a sin ), Заменим 1п1 через |л„ п придадим выражению для ап более удоб- удобный вид: , 4а sin [1„ " ~~ V-n С^п. -I" sin 2ц„) * Подставляя найденные коэффициенты в ряд F.17), окончательно получим решение задачи: оо 6 X, t) = 4x 7 г: -*^г ¦ COS ~~ Sin Щ- , ' ' ?Л1Ч B;xfc -t- sin 2(.iftj / / Для того чтобы произвести числовые расчеты, нужно зиять корпи jjk хракнення F.14). Отметим, что значения этих корней при различных значениях т можно найги в специальных таблицах. § 7. Электрические колебания в длинных однородных линиях 19. Телеграфное уравнение. Знакомясь с теорией обык- обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоян- постоянными коэффициентами, читатель, наверное, сталкивался с применениями этой теории к расчету электрических цепей переменного тока, содержащих сосредоточенные парамсфм. 4*
]00 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ Г Важнейшим примером такой цепи является колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных сопро- сопротивления, емкости и индуктивности. При этом считается, что все сопротивление контура сосредоточено только в реостате, т.е. чю ни индуктивная катушка, ни соединяющие провода при прохождении электрического тока не выделяют тепла. Точно гак же переменный магнитный поток индуцирует электродвижущую силу только в индуктивной катушке, а токи электрического смещения возникают только между обклад- обкладками конденсатора. В курсах электротехники подробно изучается возможность таких предположений; в частности, при периодических процессах они считаются допустимыми, если линейные размеры всех элементов цепи малы по срав- сравнению с длиной электромагнитной волны в окружающем цепь диэлектрике. Если протяженность цепи сравнима с длиной электромаг- электромагнитной волны (например, телеграфные линии или линии пере- передачи энергии при практически используемых частотах), ю такую цепь уже нельзя характеризовать сосредоточенными параметрами. В этом случае можно говорить о линиях с рас- распределенными парамепграми *). При изучении таких линий учитывают активное сопротивле- сопротивление проводов, индуктивность линии, угечку юка вследствие несовершенства изоляции проводов, а также взаимную емкость между проводами (или между проводом и землей). Мы будем считать линию однородной; это значит, чго ее параме1- ры — сопротивление, индуктивность, проводимость изоляции и емкость — распределены вдоль провода равномерно. Рассмотрим двухпроводную линию (рис. 28); напряже- напряжение между проводами и юк в некоторой точке линии зависят ') Если длина электромагнитной волны настолько ма ia, что она сравнима с расстоянием между проводами ти с поперечными раз- размерами проводника, то выводимые в дальнейшем }равнения стано- становятся неприменимыми. В этом случае необходимо прибегать к решению уравнений электромагнитного поля, излагаемому в более подробных курсах. Отметим, что решение задачи о длинных линиях методами операционного исчисления здесь re рассматривается (см., например, книгу И. Г. Арамановича, Г. Л. Лумца и Л. Э. Эльсгольца «Функ- «Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости^ «Наука», 1968).
5 ?1 ЭЛЫчТРПЧЬСКПЕ КОЛЕБАНИЯ Ю1 от рассюяния х эюй точки до начала линии и времени t Обозначим эти функции соответственно через и(х, t) и t(x,t); они-то и являются искомыми. (В случае однопроводной линии функция и (х, t) есть потенциал точек линии относитель- относительно земли.) Пусть R — активное сопротивление, L — индуктивноегь, С—емкость и Q—активная проводимость между проводами, рассчитанные на единицу длины провода. Напомним, что индук- индуктивность L есть коэффициент пропорциональности, связы- связывающий индуктивное падение напряжения со скоростью изменения тока, емкость С еаь коэффициент пропорционально- пропорциональности между током смеше- смешения и скорос1ыо измене- (-> j^rfx иия напряжения, активная проводимость О ест ь коэф- фициеш пропорциональ- пропорциональности между юком утеч- утечки и напряжением. Для соаавления диф- дифференциальных уравнений, которым должны ) довлегворя] ь функции и {х, I) и I (x, t), выде- выделим участок линии 01 ючки с абсциссой х до точки с абсциссой х -j- dx. Если обозначить для краткости через и и i напряже- напряжение и ток в точке х в момент времени t, то в точке x-\-dx в тот же момент времени значения этих величин (с точностью до бесконечно малых величин высших порядков, чем dx) будут равны u-\--^-dx и i-A-^dx. их О С Разность напряжений в начале и в конце рассматриваемого участка линии равна сумме падения напряжения на активном сопротивлении, равном Rdxi, и индуктивного падения напря- напряжения, равного Ldx-к-. (множитель dx возникает потому, что характеристики линии рассчитаны на единицу ее длины). По- 31 ому т. е. л Рис. Ж ди . 1 x+dx
lOi УРАВПГНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ I Далее, изменение тока на этом же участке обусловлено током утечки и током смещения. Следовательно, 1 — A-\-т-ах) =Odxu-\-Cdx~ \ ' ox I ' dt ' откуда ? + О„ + С^=0. G.2) Полученные уравнения G.1) и G.2) представляют систему двух уравнений с частными производными пеивого пи- рядка. Из них легко исключить любую из неизвестных функ- функций, например ток. Дифференцируем для этого уравнение G.1) но х, а уравнение G.2) no t: дх ' dt дх О, дх dt > и dt Из второго равенства находим. j-~rt = —О -^ — С ^". Выражая еще -.- из уравнения G.2): -,~:^—Gn — С-^, и подставляя все в первое из равенств G.3), получим /?^о + с нли окончательно d2" _L ^с + АО да ^ RG 1 й2н Полученное уравнение называется телеграфным уравне- уравнением. Рекомендуем читателю проверить самостоятельно, что, исключая функцию и, мы придем к точно такому же урав- уравнению и для функции /: дЧ j RC + LG di J_ RG ; l (Vi _n ,i -4 Полное исследование уравнения G.4) (или G.5)) требует применения специальных методов п выходит за рамки книги. Мы ограничимся рассмотрением частных случаев, впрочем играющих значительную роль в электротехнике. При этом сначала отвлечемся от краевых условий, г. е. будем считав
3 7) 3J1FKTPH4FCKHE КОЛЕБАНИЯ ЮЗ линию бесконечно просгирающейся в обе стороны. Предпо- Предполагается, что в начальный момент, т. е. при t = 0, вдоль линии задано распределение напряжения и тока n\t-a = f(x)> Mt-o = ?(*)• G.6) Пользуясь уравиеииячп G.2) и G.1), леш.о иайги ^- ОС = 0. t-o G.7) di 'dt . Из G.2) t-o Поскольку -э- ox A' алошчпо ел За едуег -\- Gu j^0 —J— С -v- t-o ~ Ot = <р'(х), то t-o du dt a ,. t-o С EL dt = — i ?{x)— ~f'{x). G.8) t-o L. L 20. Линия без потерь. Если сопротивление провода очень мало и он хорошо изолирован, то приближенно можно положить R = G = 0. Уравнение G.4) обращается при этом в обычное уравне- уравнение колебаний сjруны: Как мы уже знаем из § 2, общее решение этого уравне- уравнения имеет вид и С*, i)=^(x — at) + x С* -+¦ at) и представляет результат наложения двух волн, распро- распространяющихся вправо и влево со скоростью а = —т }¦ Z,C Произведенные измерения величин L и С для воздушных линий показали, что скорость распространения волн в этих линиях практически совпадает со скоростью света в воздухе. Эю явилось в свое время убедительным доказательством элекфомапштпой природы света.
104 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ (ГЛ Г Начальные условия для функции и(х, t), согласно G.6) и G.7), таковы (напомним, что G = 0): _ , да 1 Воспользовавшись общей формулой Даламбера (см. ар. 35), сразу получим выражение для напряжения: x — at Вычисляя интеграл и учитывая, чю аС = -~==Л/ —.- , запишем и(х, i)— r2 : h у j 2 G.10) Для функции i(x, f), как мы уже отмечали, уравнение G.9j сохраняет свой вид; начальным» условиями будут Опять-таки по формуле Даламбера получим и-г А -9 (* + <")-г" ?(* — "') /*"С/(^ G.11) Формулы G.10) и G.11) и дают решение поставленной задачи. Как легко заметить, в любой точке линии отношение напря- напряжения к юку для прямой волны равно Ъ -рг, а для обрат- обратной — \ ~~с • Величина 1/ -^- пазывае!ся волновым со- сопротивлением линии. Возникновение волн в линии очень часто бывает связано с атмосферными разрядами. Если в линии на некотором ее протяжении внезапно возникает индуцированный заряд, то вдоль линии начинают распространяться волны напряжения и тока с одинаковой скорое 1ыо. Так как начальный ток равен нулю, то <р(лг)=^=О, Функция f{x) буде! оышчна or
§ 71 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 105 нуля на некотором участке, именно на том, где возник инду- индуцированный заряд. Процесс графического построения таких волн был подробно рассмотрен в § 2. 21. Линия без искажения. Линией без искажения назы- называется линия, параметры которой связаны соотношением RC^LQ. G.12) Покажем, что в такой линии волны напряжения и тока рас- распространяются таким же образом, как и в линии без потерь, но с той разницей, что амплитуда волны при ее продвижении по линии все время уменьшается, т. е. происходит зату- затухание волн. Рассмотрим снова уравнение G.4) и введем вспомогатель- вспомогательную неизвестную функцию v(x, t), связанную с и{х, t) соот- соотношением -1' tt(x, t) = e L v(x, t). G.13) Дифференцируя ее дважды по х и t, получим: dsu ~ ди __ -jf I R _1_<М Ft~~e \ Tv i dtj' Подставим выражения для производных в G.4), сократим на е и сгруппируем члены: d'v , дт>( 2R RC + LG R* R RC + LQ , RG\ 1 d'v В последнем уравнении коэффициенты при v и jr равны нулю (первый — тождественно, а второй — в силу усло- условия G.12)); поэтому для функции v(x, t) мы получили опять-таки уравнение колебаний струны d-v dv з diT~ due*' где по-прежнему а =
106 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ {ГЛ. I Счшая, как и раньше, заданными начальное напряжение и гок, составим начальные условия для функции v(x, t). Из G.13) и G.6) следует, что Далее, di~Te u-\~el -, ; учшывая условия G.7) и G.12), получим dv dt Сразу замечаем, что уравнение и начальные условия для функции v{x, t) точно такие, какими они были в п. ifO при отыскании напряжения в линии без потерь. Следовательно, функция v(x, t) определится по формуле G.10) и функция и(х, t) будет равна п{х, t) = R *T'f/(.i-f at) -\-f(x — at) Проделав аналогичные преобразования для уравнения G.5) (настоятельно рекомендуем 4Hiaie.rno выполнить их самостоя- самостоятельно), установим, что i(x, t) = н , t . ~ i [<f (x + at) + <?(x:— at) , -\fC /(r— at) —f{x-\- at)l _e ^ 2 УУ Z 2 [• Таким образом, n лпппп 6ej искажений, так же как и в линии без потерь, между напряжением и током в прямой и обраiной волнах сохрапяе)ся постоянное отноше- отношение 1/ -рг (волновое сопрошвление). Волны напряжения и тока распространяются опять-таки, как в линии без потерь, но с той существенной разницей, что благодаря множи- телю е обе волны со временем по показательному закону затухают. Ясно, чю причиной затухания волн является рассеяние энергии, вызванное выделением тепла в проводах, а также утечкой тока. Если соотношение RC = LQ не выполняется, то связь между напряжением и гоко-м становится значительно более
§ 7) ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 107 сложной. В этом случае волновое сопротивление уже не является величиной постоянной, а существенно зависит от характера возбуждения линии. В курсах электротехники и связи подробно рассмафи- ваегся вопрос о pacnpociранении по длинной линии перемен- переменного синусоидального тока с частотой w. Нарушение cooi- ношения RC=LO приводит здесь к тому, что и скороаь распространения тока, и его 3aiyxanne зависят от частоты ш. Если по линии распространяется сложный импульс, являющийся наложением простых синусоидальных юков, то каждый такой ток будет иметь свою скорость распространения и свой коэффи- коэффициент затухания. 9то и приводит к искажению сш налов при передаче по такой линии. 22. Линии конечной длины, Рассчогрим наиболее часто встречающиеся краевые условия в линиях конечной длины /. Если в начале линии (х = 0) включен источник питания с постоянной электродвижущей силой Е, то Если к началу линии подключено синусоидальное напряже- напряжение, то Если на конце (х = !) линия коротко замкнут (при одно- проводной линии ее конец в этом случае заземлен), то если же конец линии изолирован, го Из уравнения G.1) отсюда следует, что -у-. 1 — 0 Если считать линию полубесконечной, то поставленные краевые условия при х = 0 нриводяг к явлению отражения волн напряжения и тока. С математической точки зрения эти задачи аналогичны тем, какие были рассмотрены в § 2 при изучении полубесконечиых струн. Часто встречается случай, когда двухпроводная линия на конце имеет приемник энергии с сопротивлением Rt
Ш8 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ (ГЛ Г и индуктивностью /.[ (рис 29). Toi/ta, рассуждая так же, как при выводе уравнения G.1), получим Рекомендуем читателю написать краевое условие, если лрием- ник энергии содержит еще и конденсатор. Г Ч)х-о L Рис. -У. Разумеется, можно рассматривать любую комбинацию условий при х = 0 и х = 1. Перейдем к рассмотрению конкретных примеров. Пример 1. Пусть однопроводная линия длины /, свобод- свободная от искажений (RC = LQ), заряжена до потенциала Е (по отношению к земле). Один конец линии (х = /) изоли- изолирован, а другой (дг = О) в" начальный момент заземляется. Найдем распределение потенциала вдоль линии. Если потенциал обозначить через и(х, t), то в результате введения новой функции (см. G.13)) v(x, t) = eL u(x, t) уравнение G.4), согласно результатам п. 21, обрааиется в уравнение колебаний струны ~ = а4з-^, где а = —_г. Так как u\t^0=E, a i|/i=0 =0, го согласно G.7) найдем, ди G с что -тт — — -рЕ. Перейдем к составлению начальных условий для функции v(x, t). Первое остается без изменения: v\t^(i = E. Так как dv /? т' 1 Т'ди si = ~г е и -4- е -77 . то dv Ш
5 7] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 109 Краевые условия таковы: и1ла_и = 0, ции v эги условия имеют тот же вид: ах =0. Я л я функ- VI „ = 1 = 0. Оконча!ельно задача формулируется 1ак. Найги решение уравнения dt* с начальными условиями и краевыми условиями dv = 0 Заметим, что на первый вз1ляя условия н ^ = 0 == ? и и^Хжтц=**-0 противоречат яруг другу, так как из первого следует, что и @, 0) »»?, а из второго «@, 0) = 0. Дело в том, что при заземлении потен- потенциал на конце х=0 исчезает не мтовенно, а за ьекоторый малый промеж}ток времени, в течение которою и происходит непрерыв- непрерывное убывание потенциала. Пренебре1ая этим, мы и приходим к нашим условиям. Уравнение, к которому свелась задача, мы уже решали в § 5, рассматривая продольные колебания стержня. (Реко- (Рекомендуем читателю самостоятельно восстановить эго решение.) Согласно E.14) решение ищется в виде ряда по собственным функциям V(X, t)=s СО = / пь cos -—~\, (- Ьь sin -—;i, sin = 0 Tl Коэффициенты ак и bk отыскиваются по формулам E.15), 1Де /(Jf) = t»!t-U = IE fl*=T
1H VPABHFHUfl КОЛЕБАНИИ [ГЛ.1 Переходя к функции и(х, t), окончательно получим И . соч B* + 1) *ot Bft+1) ял П р и м е р 2. Пусть у однопроводной линии длины /, для кото- которой соблюдаегся условие RC = LQ, оба конца изолированы. Найдем распределение потенциала вдоль линии, если в началь- начальный момент потенциал распределен по линейному закону, т. е. u[tm.0 = Ax. Рассуждая так же, как и в примере 1, получим для фулк- • ?Lt ции v{x, t) = eL и{х, t) уравнение л?* ~а*7Г»> dv 7Г»> началь- i , dv ные условия v\ti=0 — Ax, 37 dv = 0 и JK* dv_ дх о =0 и краевые условия = 0. Если положить, как обычно, х v(x, t) = X{x) T(t), то для отыскания собственных функ- функций Х(х) придем к уравнению X" -j- №X = 0 с краевыми условиями А"@) = 0, Х'A) — 0. В отличие от предыдущих случаев ло = О является собственным числом. Действи- Действительно, при этом общее решение -Y = CiX-)-Cs удовлешо- ряет обоим краевым условиям при С, = 0. Мы положим Xq—V, функция 70@ найдется из уравнения 7о=О, т. е. 70 = Со + ht Если X ф 0, то X = Ct cos Xx -f- C2 sin Xj?. Краевые условия приводят к уравнениям XCS = 0 и — ХС, sin X/ = 0. Собственные числа суть корни уравнения sin X/ = 0, откуда Хй = у. Собственные функции Хк (х) = cos ~- (здесь k может равняться нулю). Ортогональность собственных функ- функций доказана па сгр. 85; впрочем, ее легко установить и непосредственным интегрированием. Функцию v(x, t) за- запишем в виде ряда со v(x, I) = а0 -f Ь4 -}- ^ (аь cos аХ„* + iA sin a\ki) cos -^, A- 1 где член ав-|-^ отвечает собственному числу Х„ = 0.
§ П ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛГБАНИЯ 111 Рекомендуем читателю дальнейшие иыкладки проделать самостоятельно и получить следующий ответ: и(х, О — — Ale L о со к -«<• —!_'— cos i 4- 2 tJ jL (In-\-W rt = 0 Любопьино отметить, что если бы в этом примере началь- начальное распределение iioieimna/ia было постоянным: u\t<i = E, -S.t то мы получили бы, что v(x, t):= Е и и{х, f) = Ee L . Физически картина v, эюм случае ясна' в любой момент вре- времени все точки линии имеют одинаковый потенциал, который уменьшается вследствие ioha утечки. Пример 3. Задача о включении лини и. Пусть линия длины / без noiepi, (R = G = 0) подключается одним концом (_*г = 0) к источнику переменного тока, электро- электродвижущая сила которого равна /JsinW. Найдем напряжение и(х, t) линии при условии, что на другом конце (.г — /) она накоротко замкнута и в момент включения напряжение и ток в линии равны нулю. Функция и(х, t) должна удовлетворять уравнению dsu , д-и при начальных условиях ди l-o J_ dt С дх = 0 t-0 и краевых условиях и ] _v_0 = ? sin wt, и |x_t = 0 Краевые условия последнего типа нам раньше не встречались; они называются неоднородными условиями. Метод Фурье здесь непосредственно неприменим, поскольку сумма частных решений, каждое из которых удовлетворяет краевым условиям, уже не удовлетворяе1 краевому условию при х = 0. Поэтому будем отыскивать решение нашей задачи в виде суммы двух функций и(х, *) = ¦»(*¦, t)-\-w(x, t).
512 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ |ГЛ Г каждая из которых является решением уравнения колебаний. Первую функцию v(x, i) выберем так, чтобы она удовле- удовлетворяла только краевым условиям v |*_о = Е s in mt, v !л_, = 0. Для этого положим v(x, t)=X(x)sin®t, где Х(х) — Неизвестная пока функция. Дифференцируя функ- функцию v(x, t) и подставляя в уравнение колебаний, придем (после сокращения на sin ш/) к обыкновенному дифферен- дифференциальному уравнению для функции Х(х): при условиях Х{0) = Е, Х(/) = 0. Произвольные постоянные в общем решении Х(х) = Q cos — -f С» sin — определятся пз системы d — E, dcos^ + CjSin^'^O, откуда Ci = E, Ct = — f?ctg —. Отметим, что при этом — ф Ы, т. е. ц>ф—г-ш Последнее условие означает, как мы сейчас увидим, что частота внешнего напряжения не совпа- совпадает ни с одной из частот собственных колебаний (т. е. нег резонанса). Следовательно, функция v(x, t) найдена: v(x, t) =z IE cos E ctg ~ sin — sin юг. Послгднее выражение легко преобразовать к более простому виду: ,, . «(/ — х) Lj ol\l v(x, t) = sin - a
^ 7] ЭЛЕКТРИЧРСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 113 \Если бы линия была подключена к источнику с постоянным напряжением и\х_й = Е, ло, как легко проверить, v(x, f) — l Перейдем теперь к отысканию функции w{x, i). Она также удовлетворяет уравнению колебаний, но уже с одно- однородными (нулевыми) краевыми условиями (Ясно, что при этом u = v-\-w удовлетворяет требуемым краевым условиям.) Начальные же условия для функции w(x,t) уже будут иные. Так как и dv dw = 0. , dv то, находя гм(_о и -п (=0 из выражения для функции v(x, t), получим: „ . и,A~ X) n vw a '-" ' dt /—о . ш sin — а Как мы видим, для отыскания функции w (x, t) мы пришли к задаче, подробно разобранной в § 3. По формуле C.13) w(x, t) = 2, [аи cos —j~ + *,,sm -y-j sm-^. Так как w\t^ = 0, то все ал=0. Коэффициенты bh находим по формуле C.17): ! 1~* I г. . Ш И Х)\ Еч> sm —-—- \ , а \ . Ых _2_ \ I " ""' a \_t__knx kna ч, — г—. \ I ~г ! sm -г- ах. sin — / Заменяя . <о (/ — х) . k-xx SHI —!: '- Sin —r- =: а I - i {~ [т
1L УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ (ГЛ. II и интегрируя, получим , 2Еч>а Как уже отмечалось выше, знаменатель ни при каком значении k не обращается в нуль. Числа —г— как раз пред- аавляют частоты собственных колебаний. Беря сумму функций v(x, t) и w(x, t), окончательно получаем „ . <лA — х) J° . krtat . ккх ism—- „„ VI sm—у—sin И <Х, t) = SHI Ш -\ ; ^ l \ I Отметим, что задача о включении линии без искажения peuiaeica точно так же, но приводит к значительно более громоздким выкладкам, даже в случае подключения постоян- постоянной электродвижущей сплы. § 8. Уравнение колебаний мембраны 23. Вывод уравнения колебаний мембраны. В преды- предыдущих параграфах рассматривались задачи, приводящие к одномерному волновому уравнению д'2и __ g д2и Сейчас мы перейден к изучению двумерного волнового уравнения, т. е. уравнения вида dt- \дх- ' ду-1 y ' Покажем, что к этому уравнению сводится задача о сво- свободных колебаниях однородной мембраны. Говоря о мембране, мы подразумеваем упругую свободно изгибаю- изгибающуюся натянутую пленку. Пусть в состоянии покоя мембрана занимает некоторую область D в плоскости хОу, а за]ем, будучи каким-то образом выведена из этого состояния, начи* нает колебался так, что все ее точки движутся перпенди* кулярно плоскости хОу {поперечные колебания мембраны).
§8] УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ 115 Отклонения точек мембраны от плоскости хОу будем обо- обозначать через и. Величина и зависит от координат то'-ки (.V, у) мембраны и от времени L Функция и{х, у, t) и является искомой. При фиксированных х и у эта функция дает закон колебания точки (х, у) мембраны; при этом ди д'и частные производные -^ и -^ определяют соответственно скорость и ускорение движущейся точки. Если зафикси- зафиксировать t, то поверхность и = и(х, у, t) представляет форму колеблющейся мембраны в момент времени t; с изменением t эта форма, очевидно, будет изменяться. Как известно (см. [1], п. 119), нормаль N к рассматриваемой поверх- поверхности имеет проекции |—ч-т, —-т-, 1>; знаки проек- проекций выбраны так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью Ои. Направляющие косинусы нормали находятся но формулам: и' и [, cos а = у. ¦¦ -., : cos 3 = - cos 7 = ¦ г Мы будем изучать малые колебания мембраны, т. е. счи- считать угол 1 отклонения нормали от оси Ои настолько малым, что COS 1 *»» 1. Из формулы для cos 7 следует, что при этом мы пренебре- пренебрегаем квадратами частных производных и'х и а/. диди можно также принять, что и \'словия (8.2) совершенно аналогичны условию A.6), введенному при изучении малых колебаний струны. Приняв условия (8.2), получим: = — ^, cosp = —^, cos 1=1. (8.3)
lie УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ ГГЛ Г Рис. 30 Следовательно, вектор N являекя единичным векюроис | N S = }/ uj + tty + 1 = j/cos8 a -f cos'2 p -j- cos" f = 1. Вычислим еще площадь поверхности мембраны в произ- произвольный момент времени t. Она выражается интегралом (см. 11], п. 148) \\\r\+u'x-\-u'J dxdy. В силу условий (8.2) заключаем, что изменением площади поверхности мембраны в процессе колебания можно прене- пренебречь. Эю, разумеется, от- относится как ко всей мембране, так и к любой ее части. Перейдем теперь от гео- геометрических предположений к механическим. Если выре- вырезать какой-нибудь участок мем- мембраны, то действие отброшен- отброшенной ее части следует заменить силами, распределенными вдоль контура L выделенного участка. Поскольку мембрана свободно изгибается, то эти силы будут действовать в касательных плоскостях к мембране по направлению нормалей к контуру L (рис. 30). Будем считать, что мембрана находится под действием рав- равномерного натяжения. Это значит, что величина си- силы, приложенной к любому элементу ds линии разреза, равна 7 ds, т. е пропор- пропорциональна длине элемента ds Площадь вырезанной части мембраны во все вре- время колебаний считается не- неизменной, и поэтому величи- величину 7 также можно считать постоянной Прежде всего найдем равнодействующую сил на тяжения, приложенных к контуру L. Выберем направление обхода этою KOHiypa, как на рис. 31 и обозначим черед ds вектор, направленный но карательной к контуру и по модулю Рис. 31.
$8] УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ 117 равный дифференциалу длины дуги ds. (Направление каса- 1ельной считается совпадающим с выбранным направлением на контуре.) Если х, у, и — координаты точек контура, то ds = dxi -\- dyj -\- dnk. Поскольку точки контура лежат на поверхности мембраны, то аппликата и определяется из уравнения и = и{х, у, t) при фиксированном L Поэтому йи = -^- dx-\- т" dy. Вектор п, вдоль которого направлена сила натяжения, перпендикулярен вектору ds и нормали N (N — нормаль к поверхности мембраны). Следовательно, он имеет напра- направление векторного произведения векюров ds X N; из рис. 31 видно, что векгор п направлен как раз в строну отбро- отброшенной часш мембраны. Вычисляя векторное произведение, получим i dx дх j dy k dn Так как JN| = 1,to \n\ =ds-1 • sin 90°=rfs. Это зна- значит, что сила натяжения, дейовующая на элемент ds, равна 7~п; направление ее совпадает с направлением вектора п, а величина равна 7jn|=7rfs. Проекция этой силы на ось Он равна Г(про„п)= Т ди , I ди , v - -j— оjc 4- , - оУ . Чтобы найги проекцию равнодействующей всех сил нагя- жения, надо полученное выражение проинтегрировать по кон- контуру /., т. е. вычислить интеграл ГУ-^ да Подынтегральное выражение зависит только от х и у, поэтому криволинейный интеграл по кощуру L можно за- заменить интегралом по контуру V (V — проекция /, на
118 УРАВНЕНИЯ КОЛГБЛНПЙ [ГЛ Г плоскость хОу). Преобразуя последний интеграл по формуле Грипа (см. [1], п. 140), получим dx+di>r\\\ + )dxdy (84) -5- du = -г- -г- dx 4- N- dy =s 0, L' (направление обхода контура L' положительно, как это и требуется в формуле Грина). Воспользовавшись условиями малости частных производных и'х и и\, легко проверить, что проекции равнодействующей сил натяжения па оси Ох и Оу равны пулю. Действительно, Но a ^ Г rf^i, очевидно, равен нулю, как интеграл по замкнутому коп- T)pv от полного дифференциала. Аналогично доказывается и вторая часть утверждения. Чтобы вывести дифференциальное уравнение колебаний мембраны, выделим бесконечно малый участок А<з области D, окружающей точку (х, у). В любой момент времени масса части мембраны, проецирующейся в этот участок, равна р da, где р — поверхностная плотноеib, считающаяся постоянной (мембрана предполагается однородной). Ускорение точек выбранною элементарного >час1ка равно -, ?. При свобод- свободных колебаниях мембраны единственной действующей силой будет проекция на ось Он сил натяжения, определяемая по формуле (8.4). Применяя к двойному интегралу, взяюму но облает da, теорему о среднем, запишем выражение для этой проекции в виде Т {ч— -р ^—2! da. Рассматривая выде- ленный участок как материальную точку и применяя закон Ньютона, составим уравнение , д-и ,г 'd-и i д2и ^'^ +
$81 УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ 119 Сокращая на da и вводя обозначение — = а'\ окончательно получим д'и 2 fd'ti . д dt1 \дх2 ' д Поскольку выражение в скобках есть двумерный оператор Лапласа Д», запишем полученное уравнение в виде ~djz = я2Дгг. (8-5) Отметим, что имеется много задач, приводящих к трехмер- трехмерному ео.моному уравнению д'и , /д'и , д'2и , д2и\ . , dtJ \дх> ду dz~) где Ли — трехмерный оператор Лапллса. К этому j равнению сводятся задачи колебания газа, находя- находящеюся в некотором объеме, задачи теории распространения зв\- ковых волн (ак)стнческие волны) и ряд других Решение трехмер- трехмерных задач еще более сложно, чем дв\ мерных, и мы их касаться не б}дем, отсылая читателя к более подробным к>рсам. 24. Уачальные и краевые условия. Сформулируем начальные и краевые условия задачи о колебаниях мембраны. Если в состоянии покоя мембрана занимала в плоскости хОу область D, ограниченную кот у ром Г, то, чтобы мембрана начала колебался, нужно ее точкам придать либо начальные отклонения, либо начальные скорости, либо и то и друюе. Это значит, чго заданы функции и \t = 0 = / (х, у), -Д-1 z=F(x, у), (8.6) определенные в области D. Будем CMiuaib, чго край мембраны закреплен. Тогда а\с = 0, (8.7) где символ н',г дает значения функции и (х, у, t) в точках контура Г в любой момент времени t Трудность решения двумерного уравнения колебаний суще- существенно зависит ог геомегрической формы мембраны. Как мы увидим дальше, даже для сравнительно просшх случаев
120 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. I прямоугольной и круглой мембран способы решения будут различны. В случае же мембран другого вида уже требуются специальные приемы, которые мы в настоящем курсе изучать не буде;-:. § 9. Колебания прямоугольной мембраны 25. Собственные функции. Пусть мембрана в состоянии покоя имеет форму прямоугольника, ограниченного прямыми х = 0, х = 1, у = 0 и у = т (рис. 32). Согласно резуль- результатам § 8 задача о колеба- У ниях мембраны сводится к решению уравнения с начальными условиями «1м> =/(•*, У), Рис. 32. dt = F(x, у) (9.2) (-0 и краевыми условиями, заданными на границе прямоугольника, Поставленную задачу будем решать методом Фурье. Ищем решения уравнения (9.1), удовлетворяющие краевым условиям (9.3), в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента: и(х, у, t)=X(x)Y(y)T(t). (9.4) Из первого условия (9.3) следует, что X@) Y(у) Т(t) = 0. Так как нас интересуют решения, не тождественно равные нулю, то А'@) = 0. Аналогично составим и остальные усло- условия, налагаемые на функции Х(х) и Y(y). Выписав их все вместе, получим: АГ(О) = О, ХA) = 0, У@) = 0, У(/я) = 0. (9.5) Дифференцируем дважды функцию (9.4) по каждому из аргу- аргументов: д-и
$ 9] КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМВРАНЫ 121 (как и раньше, аргументы у функций для сокращения записи опущены). Подставляя выражения для производных в уравнение (9.1) и разделяя переменные, придадим ему вид IL — Xl-^Y'l Левая часть равенства не завиап ог переменных х и у, а правая часть — от переменной t. Поэтому оно может соблю- соблюдался только при условии, что ни левая, ни правая част не зависят ни от одной из переменных, т. е. I" X" , Y" , aTf = 'х + f = const- X" Далее, так как отношение -^- зависит только от х, У" X" У" а -у только от у, то сумма -v--|- у может быть постоянной лишь при условии, что каждое из этих слагаемых ecib в свою очередь величина постоянная, т. е. Х" — _)9 П — _ 2 X — "> у— Iх- Обе последние постоянные выбраны отрица1ельными, так как в противном случае функции Х{х) и У{у) не могли бы удовлетворять краевым условиям (9.5). Доказагельаво этого было приведено в § 3 (стр. 58). В резульше для отыскания функций Х(х), Y{y) и T(t) получены уравнения: X@) = X(t) = 0, (9 6) = 0, (9.7) (9.8) Решения уравнений (9.6) и (9.7) имеют вид Х(х) = Cj cos ax -j- Сг sin ).x, cos Краевые условия Х@) = ХA) = 0 приводят к соотношениям d = 0 и Х/=Ая, где k — целое число. Только при соблю- соблюдении последнего требования уравнение (9.6) имеет нулевое решение. Аналогично из условий У@)= К(/ге)==0 следует,
122 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ (ГЛ. Г чю ?)| — 0 и у.т=пп (я— целое число). Собственные числа \ и [а„ определяются формулами где ft и п — любые целые положительные числа. Каждой паре собственных чисел соответствуют собственные функции Xk(x) = sln-^-, Yn(y) = sin^-. (9.10) Из (9.10) ясно, что если брать числа А и я отрица1елыш\ш, то новых собственных функций не получится. (Напомним, что, умножая любую из собственных функций на произволь- произвольную посюянную, мы будем снова получать решение урав- уравнения (9.6) или (9.7) с нулевыми краевыми условиями.) Перейдем к уравнению (9.8). Для каждой пары собствен- собственных чисел -.- и — оно примет вид Г (9+«V (? + ??) 7 @=0. Решение этого уравнения обозначим функцией 7k,n(t) с двумя индексами; произвольные постоянные, входящие в ею общее решение, придекя также обозначить буквами с двумя индексами: akitl и bkn. Имеем '/а. а@ = at,, ncosш/(, J-\-bk.nsinu>ki nt, (9.11) ко- где («fc> п = ка 1/ -.а—|- —5 собственные частоты лебанпа мембраны. Составив произведение функций (9.10) и (9.11), образуе-м функции чк,п(х, у, t), удовлепюряющие уравнению (9.1) и краевым условиям (9.3). Каждой паре положительных чисел k и п coomeicTByer функция »а nix, у, t) — = (aki „ cos (Dftr „^ -j- bki n sin o>fci „/) sin lkx sin ja^. (9.12) Прежде чем переходить ко вюрой части метода Фурье — отысканию решения, удовлетворяющего начальным усло- условиям,— выясним свойства функций (9.12).
5 91 КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ 123 26. Стоячие волны прямоугольной мембраны. Функции i'k.n(x> У> 0 описывают собственные колебания мем- мембраны. Каждая из них представляет стоячую волну для прямоугольной мембраны. Запишем формулу (9.12) в виде "k, п (X, У, t) = Fk,n Sin К, nt -f ?А_ „) Sin l.tlX Sin \lny, где Ясно видно, что каждая точка (х, у) мембраны совершает простое гармоническое колебание с частотой u>ft, „ и ампли- амплитудой Fk,ns\nlkxsln\xny. Все точки проходят положение равновесия в одни и те же моменты времени, определяемые равенствами u>ft, л^ Ч" Та, п = гтс> где г принимает значения 0, 1, 2, 3, ... Точно так же одно- одновременно точки достигают максимального отклонения (в ту или другую сторону). Для большей наглядности рассмотрим сначала самое простое колебание, соответствующее случаю k = n=l: «1.1 (•*-'. У, 0 = F\. I sin (cou {t -f 'fli t) sin -у -x r.y sin — Его частота \аХЛ=т.аЛ/ rr-j—j является наименьшей собственной частотой, и характеризует основной, тон мембраны. Особенно просто выражение для чаетты основ- основного тона в случае квадратной пластинки (т — 1). Здесь <oi> t = па 1/2 к У2 т FT ,r — —1—=_l— |/ _7 где /^—натяжение, а р — плотность. При колебании мембраны контур ее остается неподвижным. Так как внутри прямоугольника 0<^х<^/ и 0<^_у<^от, , их ну то функции sin —г- и sui -=-- положительны и все точки ^J I m мембраны одновременно находятся то по одну сюроку плоскости хОу, то по другую (в зависимости от знлка sln(<fl1# ii-f-Ti. 0)- Наибольшую амплитуду колебаний будет иметь точка, для которой sin —.— = 1 и sm-- = l, т. е. точка с коор- координатами (-S-, у) —центр мембраны. Так же как и для струны,
124 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ [ГЛ. I такие точки называются пучностями. Линии, точки кото- которых не коле6лю1ся, называются узловыми линиями (для рассматриваемого простейшего случая узловые линии совпадают с конiуром мембраны). На рис. 33 изображена мембрана в тот момент, когда все ее точки достигают наи- наибольшего отклонения вверх. 3aieM все от- отклонения уменьшаются, становятся равными ну- нулю, после чего мембра- Рис 33. на начинает прогиба 1ься вниз. Так же просто проанализировать колебания мембраны, описываемые функ- функцией , У, Ц = sin -f <ft_ ,) sin ¦-— sin *J-. Узловые линии определяются из уравнений sin —у- = 0 и sin —=0. Помимо точек контура, это будет отрезок прямой Пучность Рис. 34. х = ,~. При ~2 функция sin—у- положительна, а при -п<Сх<?1 — отрицательна; функция же sin—- везде JL ttl положи1ельпа. Поэтому левая и правам половины мембраны будут прогибайся в разные стороны (рис. 34). Соогветственно
КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ 125 будет две пучности -— точки пересечения прямой j/= — с прямыми х— . и лг = -. (При этих значениях л: и _у функции sin ^~i— и sin "-n- принимают значения dLl.) Узловая прямы Рис. 35. Рекомендуем читателю так же подробно рассмотреть коле- колебания, соответствующие функциям н,р % и nii4 (рис. 35 и 36). КУзлодая пряная Рис. 36. Другие стоячие волны имеют более сложный иид. При колебаниях «и, п{х, у, t) = помимо линий контура, будет &—1 узловая линия, парал- л ' 2/ (й— 1)/ лельная оси Оу: х — -г, х — ~-, ..., х = ~—к- , и и—1 линия, параллельная оси Ох: _у = ~, _у = "-, ...
126 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ [ГЛ. I ..., у = ¦ "¦ ~~ '' "¦' (при этих значениях хну собственные функции обращаются в нуль). Эти линии разобьют мембрану на nk прямоугольнпксв, причем в двух соседних (г. е. имеющих общую сюрону) отклонения будут направлены в разные сто- стороны. Центр каждого такого прямоугольника будет являться пучнос1ыо. 27. Вторая часть метода Фурье. Двойные ряды Фурье. Вернемся теперь к задаче опускания решения, удовлетворяю- удовлетворяющего начальным условиям г(9.2). Как обычно, будем искать его в виде ряда, составленного из частных решений (9.12). Каждое частное решение зависит от двух индексов: k и и, поэтому нам придется образовать двойную сумму и(х, у, 0 = ОО ОО = / / (Я* „COS(O/, nt-\-bh „SindOfr J) Sitl -—- Sin——. (9.13) шш .•_ ' ' ' I m Заставляя индексы суммирования k и п пробегать все положительные числа независимо друг от друга, мы тем самим учтем все частные решения вида (9 12). Подставляя значение ? = 0 в функцию и(х, у, ()и в производную -т-, получим: ОО ОО ^ ? аК л sin-у- sin -jjf-=f{x, у), (9.14) = I л.^ I со ди_ j 0t t-o (9Л5) Формулы (9.14) и (9.15) представляют разложения функ- функций двух переменных в двойные ряды Фурье. С подобным разложением мы сталкиваемся впервые и поэтому рассмотрим его подробнее. Возьмем систему функций sm-^-sin"^- н лекажем, чю в области D (O^jcsc;/, О^у «^/«) сна ортогональна. Это зпачи!, чю двойной интеграл, взятый по облает D or произведелия двух различных функций
5 9] КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ 127 системы, равен нулю. Действительно, 1 т . k.TX . sin -~-sin = \ sin-L-sin-?-- с/л: \ sin^-^si m Поскольку система функций sin—j- ортогональна в интер- интервале [0, /], а система sin-^ в интервале [0, т] (см. сгр. 59), то написанное выражение равно нулю, если соблю- соблюдается хотя бы одно из неравенств &t ф кг и п^ Ф щ. Если же A4 = ^i = ^ и и2 = «!=«, то / т С С \ \ о о j- sin* ~- dx dy = . о knX _, m'rfj 4 Tin i 0 4 m [ j \ 1 0 I с m k р.м fe?u: ^.^ «тг_у 1 sin . sin I Ifl Исходя из установленных соотношений, легко найги все коэффициенты разложений (9.14) и (9.15). Формулы для их отыскания совершенно аналогичны обычным формулам Фурье: (9.16) Ьь .=-. \ \ F(x, _y)sin —j— sin—-dxdy. (9.17) ' о 0 Мы не останавливаемся на тех условиях, которые надо наложить на функция f(x, у) и F(x, у), чтобы они могли быть разложены в двойные ряды Фурье. В практически встречающихся задачах они всегда выполняются. Подставив выражения для коэффициентов а^, „и &*, п в формулу (9.13), завершим решение задач». Пример. Найдем колебания квадратной мембраны {1 = т=\), всем точкам которой приданы одинаковые
128 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ (ГЛ. ? начальные скорости va. (Разумеется, это не касается непод- неподвижно закрепленных точек контура мембраны').) Начальные условия (9.2) имеют вид f{x, у) = 0, Следовательно, в решении (9.13) все коэффициенты я* „ —0. Коэффициенты Ьк„ найдем по формуле (9.17), полагая в ней F(x, y) = v(i, I=m—\, wk „ = яяК** +n\ i i \ \ sin knx sin my dx dy. и о лв у k2 + n* J J 1 и о Двойной интеграл разбивается на произведение двух обыкно- обыкновенных интегралов, и мы получим **¦ » — Tir^7h^f=2cos knx n'akn у k* + n8 Если хотя бы одно из чисел k или я четно, то Ьь,п = О, так как тогда по крайней мере одна из скобок равна нулю. Поэтому нужно считать, что А = 2г -)- 1 и n — 2s-\-\—не- 2s-\-\—нечетные числа. При этом и _ "ir | 1, 2S-+1 " 16г1» 'в Br + 1) Bs + 1) у Br + l)s + Bs и решение примет вид U(X, у, 0=2j S &i' + Так как знамена1ели у коэффициенюв bir+lis+x быстро возрасгают, то ряд хорошо сходится и для вычисления зна- значений функции п(х, у, t) придется брать очень небольшое число его членов. 28. Стоячие волны с одинаковой частотой. В заключение кратко остановимся на одной важной особенности колебаний мем- мембраны. При колебаниях струны каждой собственное! частоте соот- ') При этом функция ^(а-, у) оказывается разрывной. Объясне- Объяснение этою факта аналенично приведенному на стр. 42,
КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ 129 ветствовала одна стоячая волна, вполне определяющая форму струны. При колебаниях мембраны одной а той же собственной частоте может соответствовать несколько различных стоя- стоячих волн. Проще всего это проследить на квадратной мем- мембране. Примем для простоты, что стороны квадрата равны ге (т = / = п) и что начальные скорости точек мембраны равны нулю: F(x,y) = 0. Тогда из (9.17) следует, что все г>А)„=0, и общее выражение для решения и (х, у, t) примет вид (см. формулу (9.13)) и (х, у, t) = ah, n cos wft, at sin kx sin ny. (9.18) В разложении (9.18) содержится только одна стоячая волна, соответствующая наименьшей частоте ш(I==в"|/2. Это будет волна аи i cos а У~2 t sin x sin у. Следующие частоты, a2il = а У'2- -f- la и «ь2 = в]/ I2 -j- 2s, обе равны с "|/5. Поэтому частоте 0)^5 соот- соответствуют в рассматриваемом колебании две волны: а2,, cos a 1^5 i sin 2л: sin у и el: 2 cos a ]/5 t sin л: sin 2y. Общее колебание квадратной пластинки с частотой а уЬ пред- представляется суммой стоячих волн 2 cos а У51 sin x sin у (e2) j cos x + а,,, cosj»). Узловые линии такого колебания, отличные от сторон мембраны, будут иметь уравнение а„, 1 cos х -(- ai, a cos .у = 0. Если 12,1=0, то узловой линией служит отрезок прямой j/ = -^- (рис. 37), а если «,, „ = 0, то отрезок прямой х = -у (рис. 38). О я х Рис. 37. л я г Рис. 38. В случае, когда в2,, = — alt 2, из уравнения следует, что 003^ = cos x, т. е. что у = х; узловой линией будет диагональ квадрата (рис. 39). Если же а2A = в,J, то cosjy = — cos x == cos (-к — л:) и узловой линией будет другая диагональ: _у = л — х (проведена пунктиром на рис. 39). При произвольных aSl, и allS узловая линия может б И. Г. Араманович, В, И, Левиц
130 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ 1ГЛ. I иметь очень сложную форму; отметим только, что она всегда про- (JI X при лг = -к-( У —-2 левая часть урав- уравнения обращается в нуль). При рассмотрении более высоких частот могут встретиться самые разные случаи. Так, частоте ш2, s = a]/8 соответствует только одна стоячая волна; частоте а |/0 — две волны: и3) t и й^ 3i а частоте вуТЮ — три: и1O, а5)8 и «,,(. Ясно, что, чем больше различных волн соответствует данной частоте, тем сложнее картина распре- распределения узловых линий. Существует любопытный прием, при помощи которого можно практически получать узловые линии. Пластинку посыпают тонким слоем песка и заставляют колебаться, проводя по краю смычком. Тогда мембрана совершает колебания с одной из собственных частот и песок, скатываясь с пучностей, будет скапливаться вдоль узловых линий. Образующиеся при этом фигуры называются фигу- фигурами Хладни '). § 10. Уравнение и функции Бесселя 29. Уравнение Бесселя. Для того чтобы перейти к реше- решению задачи о колебаниях круглой мембраны, мы предвари- предварительно должны познакомиться с функциями Бесселя. Функ- Функции Бесселя являются решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами = o. (ЮЛ) Это уравнение называется уравнением Бесселя. И само уравнение, и его решения встречаются не только в задаче о колебаниях круглой мембраны, но и в очень большом числе других задач. Параметр k, входящий в уравнение A0.1), может, вообще говоря, принимать любые положительные значения. Решения уравнения при заданном k называются бесселевыми функ- функциями порядка k (иногда их называют цилиндрическими функциями). Мы рассмотрим детально лишь наиболее про- простые случаи, когда й = 0 и k—l, так как в дальнейшем изложении нам встретятся только бесселевы функции нуле- нулевого и первого порядков. Для общего изучения бесселе- ') По имени немецкого физика Э. Хладни A756—1827).
^ 101 УРАВНЕНИЕ И ФУНКЦИИ БЕССПЛЯ 13! вых функций мы отсылаем читателя к специальным руко- руководствам (см., например, [6|, гл. V). Уравнение Бесселя нулевого порядка имеет вид /+|/+J=0. A0.2) При лг = 0 коэффициент при первой производной терпит разрыв; как говорят, точка х = 0 для уравнения A0.2) является особой. В этом случае мы не можем заранее сказать, существуют ли решения уравнения, принимающие определен- определенные значения при х = 0; теорема существования и единствен- единственности решения (см. введение) здесь неприменима. Уравнение A0.2) не принадлежит ни к одному из типов уравнений второго порядка, допускающих решение простыми приемами; поэтому будем его решать при помощи степенных рядов. Предположим, что решение можно представить в виде ряда .+ спх" + ... A0.3) Продифференцируем этот ряд дважды: у = и подставим в дифференциальное уравнение A0.2): с2х Приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях х, мы и получим систему уравнений для отыскания неопределенных коэффициентов с0, сч, Начнем с члена, содержащего —; коэффициент при нем Ci = 0. A0.4) Условие (Ю.4) показывает, что решение в виде ряда A0.3) может существовать только тогда, когда ci=y |*=0 =0. Это и означает, что произвольно задавать значение первой производной У при х = 0 нельзя. Б*
132 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. I Выпишем теперь коэффициенты при нечетных степенях xi х, х3 и 1. д.: Поскольку Ci = О, то и все последующие коэффициенты с нечетными индексами равны нулю: с3 = сь = ... = СоЫ1 = ... = 0. A0.5) Перейдем к отысканию коэффициентов с четными индексами. Последовательно выбирая слагаемые, содержащие свободный член, х*, Л'4 и т. д., составим систему уравнений Можно написать и общую рекуррентную формулу, связы- связывающую любые два коэффициента, индексы которых отли- отличаются друг от друга на две единицы. Собирая члены, содержащие хп, получим (я -I- 2) (и + 1) с я_, + (я + 2) tn+.2 + сп = 0, или (n + 2fcn,+ cn = 0. A0.6) Легко проверить, что все написанные выше уравнения представляют частные случаи равенства A0.6). Оставляя коэффициент с0 произвольным, последовательно выразим через него все остальные чегные коэффициенты: ?о ?г__?о^ ?4_ «а Ч 22' 4 1- 2г4~< ь 6s '?>?& и вообще
3 101 УРАВНЕНИЕ И ФУНКЦИИ LZCCF.44 C3 Таким образом, найдено решение уравнения Бесселя при k — Q: У—С»к1 2а^21B!J 2вC!)а ' "' ' *¦ } 2-" (nl)- > ''') ~~ @! счи 1 алея равным 1). Покажем, чго ряд A0.8) сходится при всех значениях х. Применяя признак Даламбера, составим отношение абсолют- абсолютных величин двух последовательных членов ряда: Это ошошение при любом значении х стремится к нулю при л->оо, что и доказывает абсолютною сходимость ряда. Постоянная со=_у!д._о может быть выбрана произвольно. Если ее положить рашюй единице, то получающаяся функция 1=0 и называется функцией Бесселя первого рода порядка 0. Она является решением уравнения A0.2) при начальных условиях уW-o = i. /4-0 = 0. Как известно, общее решение линейного дифференциаль- дифференциального уравнения второго порядка представляет линейную ком- комбинацию двух его частных решений у1 и у2 при условии, что их отношение — не является постоянной величиной. Одним из таких решений является функция Бесселя Jn{x). Второе частое решение уже не будет функцией, непрерыв- непрерывной при лг = 0; аналитическое выражение этого решения значительно более сложное, и мы его не приводим. Otmcihm только, что эго второе решение называют функцией Бекеля второго рода (или еще функцией Неймана) и обычно обозначают через Nq(x). Отличительная его черга состоит в том, что | No (x) | -> со при х -> 0.
tS4 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ I Для функции Бесселя J<>(x) составлены подробные таблицы '). График функции J0(x) приведен на рис. 40; он похож на график затухающих колебаний. Эта функция четная, и поэтому на рисунке изображена только половина графика, соответствующая положительным значениям х. Функ- Функция Jtt(x) имеет бесчисленное множество корней f*,-, кото- которые в дальнейшем исследо- y=J0(x) вании будут играть важную роль. Приведем значения первых из них с двумя г знаками после запятой: Рис- 40- Цз = 8>65; 1X4=11,79 и т. д. ОтмеТИМ, ЧТО ДЛЯ боЛЬШИХ Номеров П раЗНОСТЬ [1„— [!,„_, ?%; ТС. 30. Условие ортогональности функций Бесселя нуле- нулевого порядка. Рассмотрим теперь уравнение несколько более общего вида у+1у + ^ = о (Ю.Ю) и покажем, что оно сводится к уравнению Бесселя нулевого порядка. Введем для этого вместо х новую независимую пере- переменную \ = \х. Тогда у dx dl dx rf? • y й% Jx rfi3" После подстановки производных у' и у" в уравнение A0.10) множитель X2 сократится, и мы придем к уравнению A0.2) с новой независимой переменной ?: Его частным решением являеюя функция Бесселя J0(l); сле- следовательно, решением уравнения A0.10) будет функция J0(kx). Пусть теперь X последовательно принимает значения [i|, |х2, ... положительных корней функции Бесселя J0(x). Последовательность функций JofaiX), 7ц(|а2х), ..., J(,(y-nx), ... ') См., например, Люстерник Л. А., Акушский И Я., Диткин В. А, Таблицы бесселевых ф^нкци^, Гостехкздат, 1949 или Япке Е, Эмде Ф., Леш Ф, Таблицьг функций с форм>лами и кривыми. «Наука». 1968.
§ 10] УРАВНЕНИЕ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 133 будет удовлетворять на интервале [0, 1] следующим усло- условиям ортогональности: — 0, если кфт , (Ю.П) Эти условия ортогональности отличаются от обычных только тем, что под интегралом содержится еще множитель х (в таких случаях часто говорят об «.оптогональноспм с весом»). Докажем условия A0.11). Функции J0(px) и Jo (qx) удовлетво- удовлетворяют уравнению A0.10) при X, соответственно равных р и q: I dja(px) dx* +x dx Умножим первое из равенств на xJ0 (qx), второе на xJ0 (px) и вычтем одно из другого: Полученному равенству можно придать вид (рекомендуем читателю проверить это самостоятельно). Интегрируя последнее равенство по х в пределах от 0 до 1, получим + (Р3 -Is) 5 xJt (px) Л (qx) dx=0. A0.12)
136 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 1 До сих пор мы не дела in никаких предположений относительно чисел р и д. П}сть теперь р — ^^, а <7 = р-п, где ^ и ц.„ — два р а з л и ч и ы х положительных корня уравнения Уо (х) = 0. Тогда в результате подстановки преде нов выражение в фигурных скобках обратится в нуль, так как Jo (а/,) — Jo (цп) = 0; поскольку ^ф^ окош^сльпо заключаем, что 1 \ xJa (fJ-^-v) J,, (цпх) dx = 0. о Чтобы доказать второе нз соотношений A0.11), положим в равен- равенстве (\0A2j р — цк и перепишем ею в виде Aхкх) J (<? "д = Г5 У Мы учли, что —!^-—- = ." р р ?= У„ (р.у) р. Будем считать 17 переменной величиной и заставим ее стремиться к ^. Числитель II знаменатель в правой части равенства A0.13) стремятся при этом к нулю (Ja ([i^) = 0), поэтому для отыскания предела мы восполь- з}еыся правилом Лопиталя lim J° № J<> №к) .aft _ Л <^к) Л, (Ы 14 _ J_ г„ , , v д->н У2 — V-1 2Н 2 Левая часть равенства A0.!3) при q-=.\xk обращается в иитересуго- 1 щий нас интеграл ^ xJ\ (y-kx) dx, так что и второе соотноше- 6 пие A0.11) доказано. 31. Функции Бесселя первого порядка. Найдем еще выражение для функции Бесселя первого порядка, т. е. Л(-*\)- Подставляя ряд A0.3) и его производные в уравнение
§ 1L| УРАВНЕНИЕ И ФУНКЦИИ БЬОСЬЛЯ получим оо Уп(п — \)спхп'-'\-- Объединяя первую, вторую и четвертую суммы вместе и за- замечая, что слагаемые, содержащие — (во второй и четвертой суммах), уничтожаются, перепишем последнее равенство в виде Отсюда ясно, что с0 = 0. Эго значит, что решение в виде ряда существует только тогда, когда у \ _v_0 = с0 = 0. Рекуррентная формула, при помощи которой коэффи- коэффициент сп выражается через сп^ь выглядит так: Поскольку с0 = 0, то отсюда последовательно получаем, что все коэффициенты с четными индексами равны нулю: с2 = Ci =... = cln =... = 0. Коэффициенты с нечетными индексами выразим через ct: С"° C (З2 — 1) * С"° CJ — 1) Es — 1)' "•' '••' C2n+i —(~~ lY (&— 1)E2— 1)...[Bл+1K— 1]' Знаменателю выражения для с2п+\ удобнее придать несколько иной вид: = B.4)D-6)...2лBл4-2) = =B-4...2«)D.6...2(«4- 1)) =
138 ЬРЛВНЬНИЯ КОЛЬЪАНИй (ГЛ. 8 Подставляя коэффициенты с„ в разложение A0.3) и полагая c1 = -^t получим функцию Бесселя порядка 1 (первого рода) (*+!)!• A0.15) График функций Jx(x) показан на рис. 41; эта функция нечетная. Функция Ji(x\ так же как и функция J0{x), 0,5- имеет бесчисленное множество корней V;. Приведем значения первых из них с двумя знаками после запятой: Ч1 = 3,83, N2=7,02, N9=10,17, v4 = 13,32. Как и на стр. 134, отметим, что ч„ — v^^-iv для больших п. Относительно таблиц значений функции Jt(x) смотри сноску на стр. 134. Отметим часто встречающуюся формулу j;(jc)=-j,D (Ю.16) которая получается почленным дифференцированием ряда A0.9) для J6(x). Эта формула позволяет при помощи таблиц для Ji(x) вычислять значения ^(j^), входящие в формулу A0.11). Согласно формуле A0.16) функция Jq(x) имеет экстре- экстремумы именно в тех точках, о\Т~2 \ V /'' \j/i'" Vj Б которых функция Jt (x) об- обращается в нуль, т. е. в Рис. 42. точках V;. Из рис 42 вид- видно, чго корни функций Бес- Бесселя нулевого и первого порядков перемежаются, т. е. меж- между двумя любыми последовательными корнями функции J(,(x) лежит обязательно один корень функции .1\{х), и наоборот.
§ HI КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ 139 Рассуждая аналогично, модно найти выражения для функций Бесселя любого целого порядка k: Из общей формулы A0.17) при ft = 0 и k= 1 получаются функ- функции Бесселя Ja (х) и J, (*). Во всех случаях мы каждый раз на- находим одно частное решение уравнения; формула для второго част- частного решения имеет более сложный вид. Соответствующая функция | N/, (х) | также стремится к со при х—»0. Выражения для бессе- бесселевых функций не цечого порядка мы не приводим. § 11. Колебания круглой мембраны 32. Круглая мембрана. В § 9 методом Фурье была ре- решена задача о колебаниях прямоугольной мембраны. Сейчас мы покажем, как, пользуясь результатами предыду- предыдущего параграфа, можно тем же методом решить задачу о ко- колебаниях круглой мембраны. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса R с центром в начале координат. Введем полярные коорди- координаты г и (р. Уравнение границы круга будет при этом r = ft. Отклонение точек мембраны и является теперь функцией полярных координат г и ср и времени t: 11 = U (Г, ср, t). Воспользуемся результатами п. 3 введения, где было по- показано, что выражение для оператора Лапласа Ди в полярных координатах имеет вид дн _Ё!Н -L- — — 4- — — Тогда уравнение колебаний мембраны ^- = а'Дн пере- перепишется следующим образом' % , 1 да , 1 д2и\ П1 п дг ?) Краевое условие в полярных координатах записывается осо- особенно просто: и\г.ц = 0. A1.2)
140 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ (ГЛ. I Начальные условия имеют вид , ,. да „. .,. „. Мы будем рассматривать юлько осешмметричные ко- колебания мембраны, т. е. предполагать, что начальные функ- функции /(г,ср) и F(r,<f) не зависят от угла <р. Это значит, что величины начальных отклонений и скоростей зависят только от расстояния точки мембраны до ее центра. Иначе говоря, все точки окружности, концентрической с границей круга, в начальный момент имеют одни и те же скорости и отклоне- отклонения. Тогда ясно, что и в любой момент времени величина отклонения не будет зависеть от полярного угла о и будет являться функцией только г и t, т. е. и = и(г, t). Это зна- значит, что при любом фиксированном t форма колеблющейся мембраны будет поверхностью вращения. При этом упрощающем предположении задача сводится к уравнению С начальными условиями и краевым условием и|г-« = 0. (П.6) Как обычно в методе Фурье, полагаем u(r, t)=U(r)T{t) A1.7) и отыскиваем частные решения, удовлетворяющие краевому условию (П. б). Подставляя A1. 7) в краевое условие, найдем, что U(R) = 0. Дифференцируя функцию (П.7), подставляя в уравне- уравнение A1.4) и разделяя переменные, получим аЧЧГ)^ W) =—*¦¦• (п-8) Постоянная выбрана в виде —X9 из тех же соображений, что и раньше. Доказательство того, что функция U(r) при ином выборе постоянной не может удовлетворять условию
I П| КО'ИЬАНПЯ КМЫиИ МЬМьРАНЬ, Н[ U(R) = 0, мы не приводим. Впрочем, физически ясно, что про- процесс носит колебательный характер, а уравнение для T(t) только тогда имеет решения в виде тригонометрических функ- функций, когда в правой части A1.8) стоит отрицательная вели- величина. Равенства (Н.8) приводятся к двум уравнениям: A1.9) 7 O. A1.10) Уравнение A1.10) совпадает с уравнением A0.10), изученным в § 10. Одним из его частных решений является функ- функция J0(Xr). Второе частное решение — функцию Л/о— мы брать не будем потому, что в центре мембраны (при г = 0) оно обращается в бесконечность. В то же время ясно, что прогиб мембраны всегда есть величина конечная. Поскольку произвольные постоянные войдут в общее ре- решение уравнения A1.9), ю решение уравнения A1.10) просто берем в виде Подстановка краевого условия (П.6) приводит к уравнению, определяющему собственные числа задачи: Таким образом, собственными числами задачи являются ве- величины где (ift — корт функции Бесселя Jt,(x). После того как собственные числа найдены, решаем уравнение A1.9). Получим Ть @ = ak cos lkat -f bh sin \kat. Собственные функции uk (r, t) таковы: «ft (Л 0 = (a* cos \kat-\-bh sin lkat)J0(lkr). A1.12) Как видим, в выражение для собственных функций, в от- отличие от всех предыдущих задач, входя г не только тригоно- тригонометрические функции, но и функции Бесселя.
14'/ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 1 Составляем теперь сумму собственных функций 00 и (г, 0=2 (a* cos lkat -f- bk sin \kat) Jo (XAr) A1.13) и подбираем коэффициенты так, чтобы выполнялись началь- начальные условия 1,-0= ^ А = I я ^= 1 (Мы заменили собственные числа Xft их значениями.) Введем новую переменную, положив -^-вдг (это равносильно тому, что мы выбрали масштаб, при котором радиус круга R равен единице; х, конечно, не является декартовой координатой точек мембраны). Тогда написанные ряды примут вид ft = I Последние же равенства означают, что мы раскладываем функции f(Rx) и F(Rx) в ряды по функциям J9(ii.kx), кото- которые, как мы показали в § 10, удовлетворяют в интервале [0, 1] почти обычным условиям ортогональности. Предполагая, что разложения A1. 14) и A1. 15) имеют место и допускают почленное интегрирование, находим все неопределенные коэф- коэффициенты, воспользовавшись условиями ортогональности A0.11). Для этого умножим обе части каждого разложения на хУи(\><пх) и интегрируем в пределах от 0 до 1; тогда слева останется только по одному слагаемому: i ап • у -С Ол) = jj xJo fan*) f (Rx) dx, Ь i ¦^ bn -\ J'i (|i „) =
§ II] КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ 14? Воспользовавшись равенством yjJ(jira) = 7i' {\xn) (см. формулу A0.16)), окончательно получим (индекс и мы заменили на k): 1 Подставляя коэффициенты ak и bk в ряд A1.13), мы и завершаем решение задачи. 33. Стоячие волны круглой мембраны. Как и во всех предыдущих случаях, функции uk (r, t), определенные фор- формулой A1.12), представляют стояние волны. Пучности и узлы располагаются здесь по концентрическим окружностям. Узловые окружности получаются при тех значениях г, для которых ^jJWL) — !). \ ^ I Кроме очевидного значения r = R (края мембраны), это будут значения, определяемые из соотношений R — г* r т. е. Ясно, что нет смысла приравнивать •—— корням функции Бесселя Ja(x) с индексами большими, чем k, так как тогда г получилось бы больше Я Если, скажем, ~- = ^+1, то Следовательно, стоячая волна uk(r,f) имеет k узловых окружностей (считая и край мембраны). Между ними распо- располагаются окружности пучностей. Они соответствуют тем зна- значениям г, при которых функция Л(-^тг) достигает максимума
144 УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ [ГЛ. I! или минимума. Это будут корни уравнения J$ [-Ц^- ) = 0, или, если воспользоваться связью между ^(х) и Jt(x), корня уравнения Jil^-yr) = Q- В частности, пучность будет всегда при г = 0. Решение конкретных примеров на колебания круглых мембран вызывает обычно значительные затруднения, так кап в формулы для коэффициентов ak и bk входят функции Бес- Бесселя под знаком интеграла. Эти интегралы крайне редко вы- выражаются через известные функции, и приходится прибегать к численному интегрированию; последнее, впрочем, весьма облегчено наличием подробных таблиц бесселевых функций.
ГЛАВА II УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ § 12. Уравнение линейной теплопроводности 34. Вывод уравнения линейной теплопроводности. Рас- Рассмотрим металлический стержень, боковая поверхность кото- которого теплоизолирована. Теплоизолированность боковой поверхности стержня означает, что через поверхность не про- происходит теплообмена с окружающей средой 1). Если этот стержень в начальном состоянии неравномерно нагрет, то бла- благодаря теплопроводности в нем будет происходить передача тепла от более нагретых частей к менее нагретым. В про- простейшем случае, когда притока тепла извне нет и концы стержня тоже теплоизолированы, температура точек стержня с течением времени будет, изменяясь, выравниваться и в ко- конечном итоге станет постоянной во всем стержне. Если возмо- возможен теплообмен с окружающей средой через концы стержня О х Рис. 43. (торцевые сечения) или в некоторых участках стержня выде- выделяется тепло, то распределение температуры будет соответ- соответственно усложняться. В задаче линейной теплопроводности стержень предполага- предполагается настолько тонким, что в каждый момент времени темпера- температура всех точек данного поперечного сечения стержня (рис. 43) ') Задача о теплопроводности стержня при условии теплооб- теплообмена с внешней средой через боковую поверхность будет рассмот- рассмотрен 1 в п. 36.
146 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II будет одной и той же. Если принять ось стержня за ось абсцисс, то температура и будет являться функцией координаты х и времени t. При постоянном t функ- функция и{х, 0 представляет зависимость температуры точек стержня в данный момент времени от их расстояния до на- начала координат; частная производная -?- выражает при этом скорость изменения температуры в направлении оси Ох. Если зафиксировать абсциссу х, то и(х, t) выражает закон изменения температуры в данном сечении стержня с течением времени. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности основан на следующих физических предпосылках: 1. Количество тепла, которое необходимо сообщить одно- однородному телу, чтобы повысить его температуру на Аи, равно A2.1) где V — объем тела, р — его плотность, с — удельная тепло- теплоемкость. 2. Количество тепла, протекающее через поперечное се- сечение стержня за момент времени Д^ (тепловой поток), пропорционально площади сечения, скорости изменения тем- температуры в направлении, перпендикулярном к сечению, и промежутку времени bd, т. е. равно ^, A2.2) где «S1—площадь поперечного сечения, k — коэффициент теплопроводности. Знак минус в формуле A2.2) объясняется тем, что вели- величину теплового потока мы будем считать положительной, когда тепло проходит в сторону возрастания х. Если -г- ^>0, то это значит, что с возрастанием х температура повышается, а так как тепло переходит от более нагретых участков к менее нагретым, то тепловой поток будет направ- направлен в сторону уменьшения х, т. е. его величина будет отрицательной. Мы будем считать коэффициент теплопро- теплопроводности постоянным; это предположение оправдывается, если стержень однородный и температура меняется в небольших пределах. Заметим еще, что способы экспери-
$ 1J1 УРАВНЕНИЕ ЛИНЬЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ \tf ментального определения коэффициентов теплопроводности различных материалов весьма сложны и во многом опираются*8 на развиваемую дальше математическую теорию теплопро- теплопроводности. Выделим участок стержня, ограниченный поперечными сечениями с абсциссами х и х-^&х, и составим для него уравнение теплового баланса. По формуле A2.2) количе- количество тепла, входящее через поперечное сечение с абсцис- абсциссой х за промежуток времени At, равно —kS-^~&t. Если отбросить бесконечно малые величины высших порядков, то значение частной производной по х в точке х -|- Д.г бу- дет равно -|? + djr(-^)=*-^ + !5-A* (см. [1], п. 109). Поэтому величина теплового потока, выходящего через сечение je-f-Длг, равна —kS (-Д -4- -*-^- Длг) Д? Взяв раз- \ OX OX J ность величин входящего и выходящего тепловых пото- потоков, мы получим количество тепла AQ, сообщенное выбран- выбранному участку стержня за время Ы: С другой стороны, за этот же промежуток времени темпе- температура изменилась на величину_ -sr^t (опять-таки с точ- точностью до бесконечно малых высшего порядка). Поэтому по формуле A2.1) сообщенное количество тепла равно (объем V равен Приравнивая полученные выражения для &Q и сокращал на общий множитель SAjc/W, составим уравнение Y dt дх- Введя обозначение — = а2, окончательно получим осноечое уравнение теплопроводности для однородного стечения без тепловых источников: 4?-=яа-Й-, A2.4) dt длА '
14Ь УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II Постоянную а — 1/ — называют коэффициентом темпе- температуропроводности. Уравнение A2.4) является однородным и линейным. Предположим теперь дополнительно, что в некоторых участках стержня может возникать или поглощаться тепло. Как говорят, внутри стержня имеются тепловые источники. Выделение (или поглощение) тепла очень удобно характери- характеризовать с помощью плотности тепловых источников. Под плотностью тепловых источников понимают функцию F{x, t) такую, чш на малом участке стержня (х, x-\-hx) за малый промежуток времени (t, t -\- M) выделяется количество тепла, рапное (с гочноаью до бесконечно малых высшего порядка) A2.5) (Если F(x, t)<C^> T0 тепло не выделяется, а поглощается.) Например, при пропускании через стержень постоянного электрического тока в нем будет выделяться тепло, причем в этом случае F(x, t) — const = PR, где /—ток, а (? — сопротивление единицы длины стержня. При составлении уравнения теплового баланса A2.3) надо учесть тепло, возникающее в рассматриваемом участке стержня. Для этого прибавим к правой части уравнения A2.3) вели- величину, определяемую формулой A2.5) и разделенную на SM Получим: да , д2и i С 'г Разделив обе части равенства на ср и введя обозначение -yyF{x, t) = g(x, t), придем к уравнению ди а д2и а Уравнение A2.6), полученное в предположении, что внутри стержня имеются тепловые источники, в отличие от уравне- уравнения A2.4) является неоднородным. Разумеется, полученные уравнения теплопроводности вы- выведены при условии некоторой идеализации процесса. 35. Начальное и краевые условия. Перейдем теперь к начальному и краевым условиям. Начальное условие для уравнения теплопроводности состоит в задании темпе-
§ 121 УРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 149 ратуры во всех точках стержня в некоторый момент, от ко- которого ведется отсчет времени; обычно полагают, чго в на- начальный момент ? = 0; тогда начальное условие имеет ши uix,0) = u\t_a=f(x), A2.7) где f{x) — данная функция. Краевые условия должны выполняться там, где стержень может иметь теплообмен с окружающей средой, т. е. на торцевых сечениях стержня (напомним, что боковая поверх- поверхность тела но условию теплоизолирована). Пусть начало стержня совпадает с началом координат (х = 0), а его ко- конец имеет абсциссу х=1. Самый простой случай краевых условий тот, когда концы стержня поддерживаюiел при постоянной температуре. Это значит, что »@,0 = и|*-о = «'о. "],-< = «„ A2.8) где щ и щ — заданные числа. Возможны, однако, и более общие краевые условия, когда на торцевых сечениях стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Этот закон со- состоит в том, что"поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды, т. е. равен где и — температура конца стержня, и — Tennepaiypa окру- окружающей среды и h — коэффициент пропорциональности, за- зависящий от физических свойств стержня и среды. Коэффи- Коэффициент h называется коэффициентом теплообмена (или еще коэффициентом внешней теплопроводности); мы будем считать его для данного торцевого сечения стержня постоян- постоянным1). Условимся также, чго /i^>0, т. е. что поток тепла считается положительным, когда тепло уходи г из стержня ') Как показывают точные эксперименты, коэффициент h зави- зависит также от температуры. Мы эту зависимость ) читывать не будем. Отметим лишь, что в еиязи с этим обстоятельством в экспериментах по теплопроводности стараются но возможности уменьшить теплообмен.
150 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. ТГ в окружающую среду (гг^>гг), и отрицательным в противо- противоположном случае. Количество тепла, передаваемое со всею торцевого сечения за момент At, будет разно h(и — и)SAL По закону сохранения энергии количество уходящего тепла должно быть в точности равно поюку тепла, прохо- проходящего через рассматриваемое горцевое сечение в силу теп- теплопроводности стержня. Согласно формуле A2.2) тепловой поток, проходящий через поперечное сечение стержня в направлении оси Ох, равен —kS-r—At. На правом конце стержня направление потока, идущего во внешнюю среду, совпадает с направле- ди нием оси Ох и поток равен — . На левом конце эти направления противоположны и поэтому поток равен kSAt-^- .Мы также будем считать, что внешние среды могут быть на концах стержня разными, так что могут быть различными h и и; пусть на левом конце A = A0 и и = щ, а на правом h = hlt н = ггг. Тогда краевые усло- условия на торцевых сечениях запишутся в виде , ди k —— Ох k дх = кй{и\х = й — щ}, ди ~ A2Л0) где щ и и1 — заданные температуры внешней среды, которые мы будем считать известными функциями времени, а в наи- наиболее простом случае — постоянными величинами. Если какой-либо конец стержня теплоизолирован, то со- соответствующий коэффициент теплообмена равен нулю и крае- краевое условие на этом конце примет вид 4^=0. A2.11) Условия A2.8) также можно рассматривать как частный слу- случай общих условий A2.10) при очень больших значениях
§ 12] УРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 151 коэффициентов теплообмена. Записав, например, первое усло- условие A2.10) в виде к да 1 v. перейдя к пределу при й0—>-оо, получим первое из усло- Bt й A2.8). Разумеется, можно рассматривать любую комбй- пашчо краевых условий па разных концах стержня. Подводя итоги сказанному в двух последних пунктах, мы можем следующим образом сформулировать математи- математическую задачу теплопрсвод!юсти для однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью без тепловых источников. Отыскивается температура и = и(х, f), удовлетворяющая уравнению A2.4) диа д2« a начальному условию A2.7) и краевым условиям A2.10) да kTx дх . ¦ ...... lj j 11 I 7/1 x-l (или их частным случаям A2.8) и A2.11)). В теории дифференциальных уравнений с частными про- производными доказывается, что эга задача всегда имеет един- единственное решение (при некоторых достаточно общих пред- предположениях относительно заданных функций f{x), ttu(f) и 36. Теплопроводность в стержне при наличии теплообмена через боковую поверхность. Сформулир>см задачу теплопровод- теплопроводности в стержне при условии теплообмена с внешней средой через боковую поверхность. Правда, здесь предположение постоянства температуры ло любому сечению в каждый момент времени явля- является физически менее оправданным, поскольку в этом случае вблизи контура сечения температура должна меняться довольно
152 УРАВНЬНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II резко. В этой задаче дифференциальное уравнение имеет уже вид, отличный от A2.4). Для вывода этого уравнения обозначим через S площадь поперечного сечения стержня, через р—периметр по- поперечною течения и рассмотрим произвольный отрезок стержня от сечения с абсциссой х до сечения с абсциссой х -\-Ах. Как было установлено в п. 34, количество тепла, сообщенное выбранному участку стержня за промежуток времени (t, t -f- At) в результате про- хождения вдоль стержня теплового потока, равно kS-^-^ Ax At. По закону Ньютона количество тепла, поступающего в отрезок стержня через боковою поверхность за этот же промежуток времени, равно h [и (х, t) — а (х, t)]pAx At, где р Ах — площадь боковой поверхности, h — коэффициент тепло- теплообмена и и (х, t) — температура внешней среды. Составляя уравне- уравнение теплового баланса, получим kS д~ 1к-М + h [а — tt]p Ax At = c?S Ax ?~ At, [де правая часть представляет тепло, благодаря которому темпера- температура точек стержня изменилась на ^т ¦ Разделив обе части ра- равенства на србМ.г At, приведем уравнение к виду ди „ д'ги , ,„ .„ , + ь {Пи) ( ' -I FT где а = I/ — — коэффициент температуропроводности, а ph Ъ- = ¦—=.. Если й = 0, т. е. боковая поверхность стержня теплоизо- ерб лирована, то &2 = 0 и мы вновь получаем уравнение A2.4). Началь- Начальное и краевые условия для уравнения A2.12) формулируются так же, как и для уравнения A2.4) (см. п. 35). Важно отметить, что в слу- случае постоянной температуры внешней среды, т. е. в практи- практически наиболее интересном случае, уравнение A2.12) с помощью замены неизвестной функции может быть сведено к уравнению A2.4). Действительно, пусть в = const. Можно считать, что а = 0, так как иначе нам достаточно было бы начать отсчет температуры от значения и, что равносильно введению новой функции ul=u — и. Легко проверить, что при такой замене уравнение A2.12) приобретает вид Tt^a~dx*-b"U- A2ЛЗ)
§ 13! ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В БЕСКОНЕЧНОМ CTFPXfflE 153 Полагая и = е~ v (х, t)y где v — новая искомая ф} лк'шп, naii- деч, что __ „b, дх"~е дх*- Подставляя в уравнение A2.13), uoijmhu — b*e °'v-\-e uc-jr = ai!e u '-^ —b"e или, после сокращения, dv „ dsv ..„... Начальное условие для фхнкции v {x, t) сохрапясгеп, так гак v ^0 == а |^„. Краевые условия изменятся и, например, д!я случая постоянства температуры на концах стержня (см. A2 8)) примут biu v 'х-о = и/П, »1^ = «/" A2.15) Здесь правые части явмются \ же не иосгоячкигн величинами, а известными функциями времени t. Меюд решения таких задач будет указан в п. 52. § 13. Теплопроводность в бесконечном стержне 37. Метод Фурье для бесконечного стержня. Рассмот- Рассмотрим тонкий длинный аеплопроводящпй стержень, боковая поверхность которого теплоизолирована. Согласно результа- результатам § 12 температура и (л*, I) точек этого сгержня при отсут- отсутствии тепловых источников удовлетворяет уравнению дп о д-а ,,,,, Ъ = а<&- A3Л) Если стержень очень длинный, то па процессы, протекающие в его средней части, главное влияние оказывает начальное распределение температуры; влияние температурных условий на концах стержня в течение довольно длительного времени почти не будет сказываться. В задачах такого типа стержень считают бесконечным. Краевые условия при этом
154 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II отпадают, и на искомую функцию и(х, t) накладывается только начальное условие n\t^=f{x), A3.2) где функция f(x) определена на всей числовой оси (—со<^<^оо). Задача решения уравнения A3.1) при усло- условии A3.2) называется задачей с начальным условием или задачей Коши. Прежде чем решать уравнение A3.1) при начальном усло- условии A3.2), мы несколько упростим задачу, введя вместо вре- времени t новую переменную х — аЧ. A3.3) Тогда ди ди дх з ди ~dt~lh~dt~a Ж' и уравнение A3.1) примет вид ди д*а A3.4) не зависящий от физических свойств стержня. Так как при t = 0 и т = 0, то в качестве начального условия мы будем иметь и |t _„=/(*> A3.5) Чгобы решить эту задачу, применим метод разделения переменных и суперпозиции частных решений Фурье. Этот метод состоит из двух частей. Сначала мы находим частные решения уравнения A3.4), имеющие вид X(x)T(j) произведения дпух функций, каждая только от одной из не- независимых переменных. Подставляя это произведение вместо а в уравнение A3.4), получим: или Х(х) ' Обе части этого уравнения должны быть постоянными, по- поскольку его левая часть не зависит от х, а правая — от т, т. е. ни левая, ни правая части не могут зависеть ни от х, ни от т. В этом рассуждении — ключ к методу разделения переменных Фурье. Обозначим теперь постоянную, которой
§ 131 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 15". должны быгь равны и левая и правая части равенства A3.6), через с. Тогда уравнение A3.6) распадается на два уравнения: ИМ —с Х^-с П37) Г(т) —с' Х(х) ~С- К ¦'> Первое из них имеет общее решение Поскольку ни в одном сечении стержня (т. е. ни при каком фиксированном х) температура н = Х(х) 7(т) не может не- неограниченно возрастать по абсолютной величине при х —>¦ со (т. е. при t —>¦ со), с должно быть отрицательно. Поло- Положим с = —X2; тогда Второе из уравнений A3.7) принимает вид и имеет общее решение X {х) = A cos lx -j- В sin Xx Таким образом, мы получим частное решение нашего урав- уравнения A3.4): и—(AC cos be -f ВС sin he) ё~№\ или ц = (a cos Ъс-j-^ sin \х)е'^\ A3.8) где а = АС и р = ВС. Здесь С, А, В, а следовательно а и р, — произвольные постоянные; X также обозначает произ- произвольное число. Функция A3.8) являегся при любом фиксированном X решением уравнения A3.4), и мы можем, конечно, для каждого значения X выбирать разные постоянные аир. Это означает, что 1 и р могут быть произвольными функциями от X: а = ос(Х), р—р(Х), так что окончательно мы имеем семейство частных решений уравнения A3.4): иА(х, ¦*) = [ос (X) cos /.х -j- ^ (X) sin Xjc] e~X2\ A3.9)
156 УРАБИГНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ II ДИФФУЗИИ [ГЛ II зависящее от параметра К который может принимать все значения or —оо до -[-со. Тем самым первая часть метода Фурье завершена. Вторая часть метода Фурье — суперпозиция полученных решений и, (х, ¦:)—состой! в следующем. Уравнение A3.4) линейное и однородное; оно имеет, как мы только что уаановпли, бесчнсльнное .множество частных решений, зависящих от непрерывно изменяющегося параметра >. Со- Согласно п. 2 введения, функция со и(х, т)= jj — со A3.10) также является решением уравнения A3.4). Нам остается теперь только подобрать неизвестные функ- функции a (X) и Ji(a) так, чтобы решение A3.10) удовлетворяло начальному условию A3.5), i. e. чюбы со и11 = 0= \ [у (X) cos Xx -j- В {I) sin \x] <ft = f(x). A3.11) Последнее равенство означает, что функцию f(x) надо рач- лоаить в интеграл Фурье (см. [1], гл. XII, § 3). Напомним, что разложение функций f(x) в интеграл Фурье возможно, если функцию f(x) можно ра-можть в ряд Фурье в любом конечном интервале и если ииге- OQ грал \ \f(x)\dx сходится, т. е., как говорят, ф\пк- — да ция fix) абсолютно интегрируема на всей оса Ох. Оба условия выполняются во всякой физической задаче (функция f(x) — начальное распределение температуры). СО Второе условие, т. е. сходичоаь интеграла ^ \f(x)'dx, означает конечность тепловой энергии стержня (так как гепловая энергия пропорциональна абсолюшой темпераlVpe).
13] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 157 Разложение функции f(x) в интеграл Фурье имеет вид1! — со — оо Так как cos X (\ — х) = cos X? cos A.jc -[- sin АД sin he, то инте- интеграл Фурье можно переписать в виде ( U i 5 /®cos>U5jcosbf + - со (Д -'со / 4-11- f /(?) sin Xg «I sin Juel dl. Сравнивая это разложение и формулу A3.11), заключаем, что реизвестные пока функции а(Х) и р(Х) должны определи! ьси по формулам: A3Л2) Отметим, что из второго условия, наложенного выше на функ- функцию f(x), вытекает, что а (X) и fi (X) ограничены: ') Так как cosXE — л:) — четная функция относитетьно >, то разложение можно написать и так: со со О —со
i58 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II Найдя таким образом функции а(Х) и р(Х) по формулам A3.12) и подставив их в решение A3.10), мы получим функцию DO 00 п{х, i) = t^ \ d\ S. f{l) {cos he cos X? -j- — 00 — OO 4- sinX*slnX&}e-x'T<# = CO 5 sX(jc —|)е-^(Я, A3.13) — OO — 00 которая одновременно удовлетворяет и уравнению A3.4) и начальному условию A3.5). Эта функция A3.13) решает, следовательно, поставленную в этом параграфе задачу о теплопроводности в бесконечном стержне. Докажем, что интеграл A3.10), в котором функции а (X) и b(l) определены формулами A3.12), действительно является решением уравнения A3.4) для всех х и т^то<О. Как было отмечено выше, функции а (X) и р (X) ограничены; |<х(Х)|<АТ и lfl(X)|</C оо для всех X, где А"= =— \ |/(S)|tf? В этих предположениях — со | их (х, 1) ] = | а (К) cos Хх + р (X) sin \х \ е-Х2т *=: 2Ке -Х2т°. Далее, ^ = — [а (X) cos Хд: + Р (X) sin Xx] Хяв~хи и при соблюдении тех же условий Совершенно аналогично получим, что В правых частях неравенств, полученных для функции а^ (л;, t) и ее производных, стоят функции, зависящие только от пара* метра X, причем интегралы от этих функций сходятся. Для до» казательства этого напомним предварительно, что -J.2
5 13] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 159 Этот интеграл называется интегралом Пуассона (об его вычисле- ос. нии см. [1], п. 131). Интеграл ^ g—X2to d\ вычисляется с по- DO мощью замены переменной. Полагая \У%0 = р., находим, что 00 СО Далее, интегрируя по частям, полагая \ = и и 1е~~ Х2т° dl = dv, по- получим лучим так как первое слагаемое стремится к нулю при X—»±оо. 00 Таким образом, мы доказали, что как сам интеграл ^u^(x,x)cfK, — со так и интегралы от частных производных подынтегральной функ- функции сходятся правильно. Согласно п. 2 введения (см. мелкий шрифт на стр. 20) в этом случае функция A3.10) действительно является решением уравнения A3.4). Это справедливо для всех зна- значений х и для всех положительных значений х. 38. Преобразование решения уравнения теплопровод- теплопроводности. Для того чтобы решение A3.13) можно было физи- физически истолковать, необходимо его преобразовать. Прежде всего заметим, что если в правой части формулы A3.13) изменить порядок интегрирования, то получится следующая формула для и(х, т): со / ет ¦» и(х, т) = ^ J /Щ j e-^cosl(x-DdUdl, A3.14) — оо I,— со J где внутренний интеграл по X в правой части уже не со- содержит заданной функции /E). Если мы произведем замену переменной Х = -^= и введем обозначение х~~ =ш, то Ух Ух будем иметь со со -^= *{ е-°2 cos осе da = 4=7И Г rv-, '
?60 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II Интеграл 00 /(сй)= [ е~°2 cos aco de — со может быть вычислен следующим специальным приемом. Во-первых, мы замечаем, что 7@) есть интеграл Пуассона 00 /@)= $ е-°Ыв— /п. — со Образуем далее (см. формулу A7) введения) производную со /'(ш) = — [ ве-°2 sin owdo. Преобразуем /'Сю), интегрируя — со по частям: со \ в а"ст sin ело da = - со I 2 . = 1г-га sinою со — -к- \ е-11 cosou>cfa = ^ /(ее) — СО Ь J / — со ак как внеинтегральный член обращается в нуль при —»--|-оо и а—э со). Решая получившееся дифференциаль- дифференциальное уравнение для функции 7(и>), получаем Пользуясь тем, что 7@)= V^71. находим произвольную по- постоянную: С = у п. Итак, а так как со =х , то t.v-6J
§ 13] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 161 Подставляя найденное выражение а формулу (I'd. H), окончательно найдем, что 1 и С*, *) = -ггт= После того как решение A3.13) преобразовано к виду A3.15), можно непосредственно проверить, что функиия и(х, *) удовлетворяет уравнению A3.4) и начальному усло- условию A3.5). Второе легче всего сделать, если вместо 5 ввести новую переменную интегрирования: ^J d\ = — 2 / т do>, o J, 1х 2 К' и записать интеграл A3.15) в таком виде, чтобы х уже не стояло в знаменателе, т. е. со и(х, %) = 4= { fix— 2<а /x)e-w'du>. — оо Тогда 00 СО у я J у it J — оо — оо т. е. условие A3.5) выполняется. Чтобы проверить, удовлетворяет ли функция A3.15) урав- уравнению A3.4), заметим, что функция =? (je, х) A3.16) <i j' tit является решением уравнения A3.4) при любом Ь Действи- Действительно, I 4У 8т2 6 И. Г, Араманович, В. И, Левин
162 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. И ду, с?2©. Следовательно, -§~ = -g^, T- е- уравнение A3.4) удо- удовлетворяется. Поэтому функция и(х, х), полученная интегри- интегрированием функции <р (х, т.) по параметру k, также является решением уравнения A3.4) (см. п. 2 введения). Чтобы от функции и(х, т), являющейся решением урав- уравнения A3.4) с начальным условием A3.5), перейти к реше- решению и(х, t) исходного ураинения ~ = а%^~1 с начальным условием h|(_0==/(jc), мы должны вспомнить, что 1==а\ и тогда по формуле A3.15) получим 1 и(х, 0 = ^р=- ) f®e АаЧ dl A3.17) 39. Фундаментальное решение уравнения теплопро- теплопроводности и его физический смысл. Перейдем теперь к выяснению физического смысла полученного решения A3.17). Как мы уже видели, функция <pe(Jt, x), определенная формулой A3.16), является решением уравнения A3.4). Под- Подставляя t = аН, мы получим функцию ¦ ia4 , A3.18) являющуюся решением исходного уравнения A3.1). Функция <рЕ(х, t) зависит от х и tl) и, кроме того, от произволь- произвольного параметра %. Она называется фундаментальным ре- решением уравнения теплопроводности и имеет важный физи- физический смысл, связанный с понятием теплового импульса. Физическим тепловым импульсом мы будем называть следующее начальное распределение температуры: и0, если |дг— -Ко(<Се> О, если \х — х0 j ^> e (см. рис. 44), где н0 — постоянная и е]>0. Такое начальное распределение температуры возникает, если в стержень, тем- ') При * = 0 функция fz(x, t) не определена. Исследование ее поведения при *-»0 будет проведено несколько поз^е.
13) ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 161 Рис. 44. пература которого в каждой точке первоначально равна нулю, в момент t = G на отрезке от х„— е до jco-)-s вне- внезапно введено некоторое количество тепла (например, если к этому отрезку на мгновение поднесено высокотемпера- высокотемпературное пламя, так что температура этого отрезка в мо- 'мент ? = 0 подскакивает до значения гг0). Это количе- количество тепла б0 пропорционально заштрихованной ид рис. 44 площади 2гг/0, а именно, если .S—пло- .S—площадь сечения стержня, т. е. 2sS—объем отрез- отрезка стержня, 2&Sp — его масса, то %=2eSpctt0l где с — удельная тепло- теплоемкость. Практически темпера- температура, конечно, не может представляться разрывной функцией /?(х), но график температуры будет очень близок к графику fB(x) (он буд^л иметь примерно вид пунктирной линии на рис. 44) и бути i тем меньше отличаться от графика f,(x), чем резче и кратко- временнее будет подогрев. Тот факт, чю на графике функ- функции /s(jc) температура в точках х„— е и лго-(-е не опреде- определена, не имеет для нас никакого значения (если разрывную функцию /, (х) представить интегралом Фурье, то его аш- чение в этих точках будет равно -^ > поэтому можно счи- считать, что и температура равна -—)• При таком физическом тепловом импульсе в качестве на- начального распределения температуры решение A3.17) задачи теплопроводности будет иметь вид и(х, 0 = 2а dl A3.19) JfO-E По теореме о среднем интегрального исчисления
164 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. 1Г где I — некоторая ючка, лежащая внутри интервала интегри- интегрирования: jc0 — е <^ i <^ х0 -\- s. Таким образом, решение A3.19) может быть записано и так: 9 „ _ и(х, () = — -?= с У ' laYrt (с \ так как 2er;0==—~j. Предположим конкретно, что подве- подведенное количество тепла %=Spc (чтобы исключить физи- физические параметры стержня). Тогда мы получим решение в случае физического теплового импульса в виде От физического теплового импульса перейдем теперь к точечному (идеальному) тепловому импульсу, устрем- устремляя s к пулю. "!ак как в наших предположениях 2егго=1, то при е -> 0 имеем «„->-}-ос. Кроме того, очевидно, чго ?->А'о, так чго решение A3.20) превратится теперь (для и- чечного теплового импульса) в функцию и (х, t) = _±=, е~ ~&*~ = Чхо {х, t), A3.21) т. е. в фундаментальное решение A3.18) при значении параметра \ = х0. Точечный тепловой импульс является, конечно, еще в боль- большей мере абстракцией, чем физический импульс на отрезке. Но он также можег быть приближенно реализован, если пламя, о котором шла речь выше, будет очень узким. Математически начальное распределение температуры при то- точечном нмп>льсе представляется так называемой импульсной функ- функцией Дирака Ъ (х— х„), представляющей как бы предел физиче- физическою ими)льса /г (-*¦) при е —• 0. Ей приписываются следующие свойства: A) »(*л.)в/ ^ \ +оо, если х=^
§ 131 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 165 (последнее объясняется тем, что и0—>-{-со при г —> 0; это значит, что температура в точке х0 становится равной оо). B) (х — х„) так как в наших предположениях 2е«0 = 1 при любом г (в послед- последнем интеграле нижний предел может быть заменен любым числом, меньшим ха, а верхний—любым числом, большим х„). Итак, фундаментальное решение <fVg (x, t) является решением задачи теплопроводности в бесконечном стержне (с теплоизолиро- теплоизолированной боковой поверхностью) при начальном распределении тем- температуры f(x)=b (x — x0). Рассмотрим теперь, как распространяется тепло в стержне после ючечного импульса. Для этого надо исследовать гра- графики фундаментального решения tpVo(-^> ^ [см. формулу A3.21)} для разных зна- значений t^>0. Эти кривые называются кривыми Гаусса (сама функция <р и ее график играют важную роль в теории вероятностей). Мы установим следу- следующие свойства функции "Р*вС*. 0 и ее графика. 1. График функции tfxo(x> 0 ПРИ любом зна- значении t симметричен отно- относительно прямой х = ха (см. рис. 45). Максимум достигается при л: = лг0, и он равен F 2a 7=г (ИЗ физических соображений также ясно, что в каждый момент максимальная температура будет в той точке стержня, где был приложен импульс). Если мы рассмотрим фиксирован- фиксированный момент <^>0, то эга максимальная температура будет обрат- обратно пропорциональна коэффициенту температуропроводности
166 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II AT а= I/ — (качественно это очевидно из физических сообра- соображений: в каждый момент времени максимальная температура но стержню будет тем меньше, чем больше коэффициент внутренней теплопроводности k и чем меньше удельная теп- теплоемкость с и плотность р материала стержня). 2. Площадь под каждой кривой равна 1 (см., например, заштрихованную площадь на рис. 45). Чтобы это доказать, вычислим интеграл К В результате замены переменной: —-~ = ш, dx = 2а \Ti dm, он принимав! вид со Viz ,! Физически это означает, что количество тепловой энергии, сообщенной стержню в начальный момент ? = 0 в резуль- результате импульса, остается ? неизменным с течением времени. 3. В каждой фикси- фиксированной точке х ф ха функция <рХо(х, t), как функция времени t, сна- сначала возрастает от 0 (при ? — 0) до некоторого - максимального зна- гпкм чения U(x) и затем Рис. 46. монотонно убывает, стре- стремясь к нулю при t -»• оо (см. рис. 46). При ? = 0 функция <рХо(х, t) не определена, и мы имеем в виду ее предел при t ->¦ 0:
13] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 167 1 Записав последний предел в виде litn -;—™-г> и применив к нему правило Лопигаля, получим Aat ;:.т'.-"' .г„^ Н К г? Разумеется, этого заключения нельзя сделать при х^х^ Также ясно, что Нт <?х (х, I) = 0. Чтобы найти максимальное значение U(x), найдем произ- производную функции <рх (х, t) no L 1 t.V-.V0K <У_ГА* it - ха at 2а V*- 4^7~ I Приравняв выражение в квадратной скобке нулю, найдем то значение ^ = ^тах. при котором <» = (/: (Читатель легко проверит, что при этом значении t функция действительно имеет максимум.) Следовательно, Таким образом, температура в любой точке х ф хй сна- сначала повышается до значения U(x), а затем убывает и стре- стремится к нулю. Максимально достигаемая температура в точке х ф х0 стержня обратно пропорциональна при этом расстоя- расстоянию этой точки от точки приложения импульса, а время,
168 УРАВНГНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. 1Г необходимое для достижения этой максимальной температуры, прямо пропорционально квадрату указанного расстояния. Нам остается только применить разъясненный выше фи- физический смысл фундаментального решения A3.18) к физи- физическому толкованию решения A3.17). Решение A3.17) задачи теплопроводности в бесконечном стержне при начальном условии A3.2) может рассматриваться как результат су- суперпозиции (наложения) температур, возникающих в точке х в момент времени t вследствие непрерывно распределенных по стержню тепловых импульсов <шя- тенсивностт /(?) в точке X, приложенных в момент ? = 01). Такие импульсы можно приближенно реализовать в виде большого числа языков пламени разной температуры, поднесенных в момент t==0 на очень краткий промежуток времени к стержню так, что в каждой точке % стержня мгновенно возникает температура /(?) (конечно, это очень приближенная картина, однако она наглядно описывает характер происходящего процесса). I Рис. 47. 40. Примеры. Пример 1. Пусть начальное распреде- распределение температуры , ч_{Н0. еСЛИ Xl<. \ 0, если либо х<^хь либо (см. рис. 47). Тогда в качестве решения по формуле A3.17) ') Начальное распределение температуры / (лг) можно предста- представить себе «разложенным» на импульсы: (это соотношение является следствием свой(лва B) импульсной функции Дирака).
§ 131 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 169 мы получим и(х, 1) = —%= { е 4а" d\. A3.23) 2аУкг J Эта функция выражается через одну важную специальную функцию, называемую интегралом вероятностей: Z '-^-ф.. A3.24) и * х ^ Действительно, полагая в нашем решении — 2ayt = — 2а V^ и;1) найдем, что 2а Yt A— Vl X— \j 2и Yt 2a Yt A3.25) Остановимся на свойствах функции Ф{г). Эга функция нечетная: Ф(—z) = —Ф(г). Действительно, Ф() { ^/ О г ' —г r U Последнее равенство следует из того, чго подынтегральная
170 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II функция четная. Далее, если z ->-{" °°> то ^(.z) стремится оо к интегралу —р= \ е~^ du. = l. Следова1ельно, ' о ф(оо)=1 и Ф(— оо) = — 1. График функции Ф(г) изображен на рис. 48; для этой функции имеются специальные таблицы'). Исходя из свойств функции Ф(г), нетрудно проверить, чю функция A3.25) действительно удовлетворяет начальному условию. Если или х^>хь то оба аргумента 2a VF и —i при t—>0 одновременно стремятся или к —оо (при х <[ х{), или к -\- оо (ири х^>х%); в обоих слу- случаях значения функций, Ф(г) -7 т -I Рис. 48. О I Рис. 49. стоящих в кзадратных скобках формулы A3.25), стремятся к одному и тому же пределу (—1 или 1), а их разность — к нулю. Если же Xi <^х<je2, то первый аргумент стремится к -\- оо, а второй к —оо; выражение в скобках при этом стремится к 2, т. е. и (х, 0) = «0. Наконец, если х = х. или лг = х3 (точки разрыва началь- начального распределения TeMiiepaiyp), то при t-*Q температура ') Дальнейшие сведения об имеграае вероятностей см. в книге |6)
§ IS] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В БГСКОНЕЧ1ЮМ СТРРЖНЕ 171 Пример 2. П^сть начальное распределение температуры х\ у] для для -l^x^ О для x^l и для х=б— / (см. рис. 49). Тогда формула A3.17) дает 2а у 2a ]Ач- .. Полагая вновь — = [*, преобразуем решение к виду 2а yt { X + l X 2а ft 2a ft х \ С ( х \ С -г) \ е р-3 rffi -|- A j-) \ х-1 laft 2aft ?±L x \ 2a f Г 2a f Г •TVT 2о /Г 2о /Г
172 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. П Полученное решение имеет довольно громоздким вид, но оно позволяет судить о поведении температуры в стержне. Легко про- проверить, что оно является четной функцией от х, что начальное условие выполняется и что «^0 при t^co в любой точке х. Установим, как понижается температура в точке л; = 0: где z = -=. Покажем, что полученное выражение для и\ 2а у t может быть преобразовано следующим образом. Заметим, что производная выражения, стоящего в прямых скобках, равна ? ГФ (г) -Infill = Л dzl гУ-л \ У-к е~" кроме тою, само это выражение стремится к 0 при z—>¦ 0, так как 1 — e~zi Ф@) = 0 и Ига —- = 0. Поэтому Z-+0 2 /я / 2а Yt Поскольку з—= 1— -tjt-]-¦••> то для больших t, т. е. малых значений верхнего предела - 2а У t i 2a Yt «o f л «о'
14) ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 173 ПримерЗ. Показать, что если/ (х) = иое~:!~л~, и0 > О, о >0, то показать, что в тех точках стержня, в которых кривая начального распределения температуры вып)кла I х I <—-7=), температура V чу 2/ монотонно >бывает h и\лю с возрастанием t, а в тех точках, г не эта кривая вогн)та ( | х [ >—т^)> температура сначата повы- "о ^ шастся до —¦— а затем }же монотонно >бывает к нулю. оу2с|А-| Пример 4 Показать, чго если /(л:) = «„е"' х ', то показать, что для больших ?. § 14. Теплопроводность в конечном стержне 41. Приведение к задаче с однородными краевыми условиями. Метод Фурье. Задача линейной теплопровод- теплопроводности в конечном иержпе отличается от задачи для бесконечного стержня, рассмотренной в предыдущем параграфе, тем, что необходимо учитывать краевые условия на торцевых сечениях (концах) стержня. Как мы увидим, наличие краевых условий вносит весьма существенные изме- изменения в ме!од Фурье по сравнению с задачей без краевых условий, Предположим, что длина стержня равна I. Начало коор- координат на оси х выберем в левом конце стержня; тогда его торцевые сечения будут х = 0 и х = /. Температура и = и (х, t)
174 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ 1ГЛ. II должна удовлетворять (при условии теплоизоляции боковой поверхности) для 0<^лг<^/ уравнению A3.1): dt a дх2 • Начальное условие имеет прежний вид A3.2): но только теперь функция f(x) (начальное распределение температуры) должна быть задана лишь на интервале 0<^л;<Ч Общие краевые условия на торцах стержня были установлены в п. 35 (формулы A2.10)). Если температурные условия на концах стержня различны, ю 7 x~* (ил) ~ * dx *4 —1г' *" 1^г М'Ь Напомним, что k — коэффициент теплопроводности стержня, ha и ht — коэффициенты теплообмена на торцах стержня, й0 и й1— заданные температуры концов стержня. Метод Фурье, с помощью которого мы предполагаем решить задачу, в случае краевых условий A4.1) непосред- непосредственно неприменим, так как они неоднородны, ест й0 ф 0 или й, ф 0: решение и^О им не удовлетворяет. Эю значит, что сумма двух решений iii(x, t) и иг{х, t), каждое из которых в отдельности удовлетворяет условии A4.1), этим условиям уже не удовлетворяет; точно так же не удо- удовлетворяет этим условиям произведение любого решения на постоянную величину (читатель легко убедиica в этом само- стоя1ельно). Поэтому, прежде чем применять метод Фурье, мы должны свести задачу к такси, в которой краевые усло- условия однородны. Мы это сделаем в предположении, что температуры внешних сред щ и й1 постоянны. Для этого введем новую искомую функцию w=w{x,t\ связанную с и формулой и(х, t) = w{x,{)-\--\-\- fix, A4.2) где и f fi — некоторые постоянные коэффициенты, кото- которые мы будем пытаться подобрать так, чтобы для функции vj
§ HI ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 173 т. ди получились однородные краевые условия. 1 ак как -г- = dw дх' = з—J-Ti» T0 условия A4.1) перепишутся в виде , dw дх -V-0 = h1® U-o + «оТ — kb = fitw\x_t + k)b — hfii- Требование однородности этих условий состоит в выполне- выполнении равенств A4.3) Система уравнений A4.3) относительно f и Ti имеет един- единственное решение, поскольку определитель этой системы не равен нулю: йо — * ht lht -f-, так как ft0, hu k и / — положительные числа. Найдя из урав- уравнений A4,3) f и ft, получим для w(x,t) краевые условия в виде 'дх A4.4) которые уже являются однородными. С другой стороны, в качестве начального условия для функции w мы получаем w !,_„ = » |м — т — ?!¦*=/(-*) — Т — Ъ^=Л W. A4-5) где A(Jc), как и /(лг), — функция, заданная на интервале 0<^х<^1. Наконец, уравнение, которому должна удовле- удовлетворять функция те», не отличается от исходного уравне- уравнения A3.1), так как да dw дх' дх*'
176 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ II ДИФФУЗИИ (ГЛ. II Таким образом, мы приходим теперь к следующей задаче: найти функцию w = w(x, t), удовлетворяющую для 0<^jc<^/ и и всех t^>0 уравнению ^-=а*^, A4.6) dt dxa ' v - ; начальному условию A4.5) и краевым условиям A4.4). с)та задача уже решается методом Фурье, так как краевые условия однородны (им удовлетворяет изменение w~0). Первая часть метода Фурье— разделение переменных — применяется без каких бы то ни было изменений, и мы найдем, как в предыдущем параграфе, частные решения вида A3.8): w {х, f) = (« cos Xx + Р sin lx) e ~Х2°г' A4.7) (где вместо х подставлено аЧ). Но если в случае бесконечного стержня X оставалось совершенно произвольным, то наличие краевых условий, как мы сейчас увидим, накла- накладывает па X определенные требования. Действительно, под- подставляя функцию w(x, t) из (Н.7) в условия A4.4) и сокра- сокращая на e~x~°st, мы найдем, что для первого множителя в правой части A4.7): a cos lx -J- p sin Xx = X {х), должны выполняться равенства kX'@)=haX@), —kX'(l) = hlX(l). A4.8) Заменяя значения функций X и X' их выражениями, получим k$X = hfp,, ЫХ sin XI — k$X cos XI = hp. cos X/ -f- h$ sin X/, откуда, с одной стороны, а с другой стороны, р (/гг sin X/ -f- kX cos X/) = a (^X sin X/ — ft, cos XI), т. e. a hi sin X/ -)- ftX cos X/ ht tg A/ -f- feX У ЙХ sin XI—hi cos II klXglt—hi ' Таким образом, Х должно удовлетворять уравнению k у htgXl + kk h ftXtgX/ —Л/ '
5 141 ТРППОПРОВОДНОСТЬ В КОНЕЧНОМ CTFPKHE 177 ИЛИ Прежде чем рассматривать решение в общем случае, займемся наиболее важными частными задачами. 42. Распространение тепла в стержне в случаях по- постоянной температуры на концах или теплоизоляции концов. В п. 35 мы уже видели, что краевые условия зна- значительно упрощаются, если концы стержня либо теплоизоли- теплоизолированы, либо поддерживаются при постоянной температуре. В случае теплоизоляции какого-либо конца надо соответ- соответствующий коэффициент теплообмена положить равным нулю, а в случае постоянства температуры устремить этот коэф- коэффициент к бесконечности. При этом мы условимся говорить об одинаковом режиме на концах стержня, если они оба либо теплоизолированы, либо поддерживаются при постоянной температуре, и о раз- разном режиме, если один из них (для определенности левый: лг = О) теплоизолирован, а другой (правый: х = 1) поддер- поддерживается при постоянной температуре. Пусть сначала концы стержня находятся при одинако- одинаковом режиме. Если они теплоизолированы, то /го = /гг = О и уравнение A4.9) примет вид tgW = O. Чтобы рассмотреть случай постоянства температуры на концах, разделим числитель и знаменатель правой части формулы A4.9) на произведение haht: Переходя к пределу при й0 -*¦ оо, ht -»• оо, замечаем, что снова получаем условие tgW = 0. Итак, в случае одинакового режима на концах стержня X должно являться корнем уравнения tgW = 0. A4.10) Пусть режим на концах разный. Если, скажем, ft0 — 0> то tgX/ = -4 или ctg X/ = j—. При h, ->oo получается
178 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. 1Г уравнение ctg\l = O. Поменяв ролями /г0 и hb мы снова при- придем к этому же уравнению'). Таким образом, в случае разного режима на концах стержня X должно удовлетворять уравнению Начнем со случая одинакового режима; X должно быть корнем уравнения A4.10), т. е. должно быть X/ = ятс, где п — любое целое число. Таким образом, X может прини- принимать только значения из бесконечной последовательности Х = Х„ = ^, я = 0, 1, 2, ... A4.12) Эти значения называются собственными числами задачи. Отметим, что мы не учитываем отрицательных значений п потому, что в решении A4.7), куда мы должны подставить Х = Х„, знак Х„ не играет никакой роли (в показатель e-x'2i число X входит в квадрате, cos lx — четная функция от X, а знак синуса может быть включен в произвольную постоян- постоянную р). В случае разных режимов X должно удовлетворять уравнению A4.11), т. е. собственными числами в этой задаче являются ЩПЛ1 п = 0, 1, 2, ... A4.13) (отрицательные значения X мы не учитываем по указанным выше соображениям). Каждому из собственных чисел Х„ будут соответствовать свои коэффициенты и„ и р„ в формуле A4.7). Таким образом, решения уравнения A4.6), удовлетворяю- удовлетворяющие поставленным краевым условиям, должны иметь вид sin 1^с)е-^аЧ, A4.14) ') Если в формуле A4.9) сначала устремить Ло к со, то полу- получим 1gX/ = -^-X или ctgX/ = rr. Положив Aj = O, мы опять при- приходим к уравнению ctgX/ = O.
§ 14] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 179 где а„ и р„ связаны соотношением A4.8')- В частности, [3„ = 0, если /i0 = 0, и а„ = 0, если /г„ = оо (в этом мы еще непо- непосредственно убедимся ниже). Ввиду того, что в дальнейшем выражение <х„ cos Xnje-}- ~|-р„ sin Х„ л; из формулы A4.14) будет фигурировать в каче- качестве общего члена ряда Фурье, условимся, что при я = 0 это выражение мы будем заменять на -у. Рассмотрим подробнее все три решаемые нами задачи. Задача А. Оба конца теплоизолированы. Задача Б. На обоих концах поддерживается по- постоянная температура. Задача В. Левый конец теплоизолирован, a ha пра- правом конце поддерживается постоянная температура. В задачах А и Б собственные числа >.„ = -— и Но в задаче А должно быть дк x = 0 (fro = /2, = O в краевых условиях A4.4)), откуда вытекает, что [3„ = 0, л = 0, I, 2, ... Таким образом, уравнению и краевым условиям задачи А удовлетворяют функции wn {х, t) — а„ cos —'y e l" , A4.15A) В задаче Б должно быть (ft0 = Aj = oo в краевых условиях A4.4)), откуда следует, что а„ = 0, п = 0, 1, 2, ... Таким образом, уравнению и краевым условиям задачи Б удовлетворяют функции ®>п (х, t) = % sin ^f- e *~. A4.15Б) Наконец, в задаче В собственные числа \п = п "Г '%- и . л / Bn+l)nx . D . Bп-\-\) ^n+ll"laSl Wn (x, t) = l^n cos i—Л__! J- рл sin k—3—
180 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ, II Здесь мы должны иметь = 0, wn\x-t=*0, откуда вытекает, что C„ = 0, п = 0, 1, 2, ... Таким образом, уравнению и краевым условиям задачи В удовлетворяют функции . A4.15В) Решения A4.15А) — A4.15В) однородного уравнения A4.6) удовлетворяют соответствующим, и гоже однородным, крае- краевым условиям задач А — В. Следовательно, сумма ряда, со- С1авленного из этих решений, %wn(x,t) A4.16) также удовлетворяет и уравнению и соответствующим крае- краевым условиям. Заметим, что выделение с помощью краевых условий после- последовательности собственных чисел каждой задачи существенно отличает зги задачи от задачи Коши без краевых условий, которую мы решили в предыдущем параграфе для бесконеч- бесконечного стержня. Там \ оставалось произвольным и, чтобы использовать все полученные частные решения, нам надо было интегрировать их по \. Здесь X может пробегать только последовательность собственных чисел, и мы должны сум- ми р о в а 1 ь частные решения но всем собственным числам. Там произвольные коэффициент а(Х) и $(к) определялись из разложения начального распределения температуры в инте- интеграл Фурье. Здесь произвольные коэффициенты а„ и [3„ определятся, как мы сейчас увидим, из разложения началь- начального распределения температуры в ряд Фурье. В этом и заключается существенное отличие второй части метода Фурье (суперпозиция частных решений) в применении к задачам без краевых условий — бесконечный стержень — и к задачам с краевыми условиями — конечный стержень, о котором мы упоминали в самом начале этого параграфа. Перейдем к определению произвольных коэффициентов ал или р„ из начального условия A4.5). Это мы должны по Отдельности сделать для каждой из задач А, Б и В.
§ 14] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 181 Задача А. Решение имеет вид (см. A4.15А)) w(x, f)= 2 «»« " cos7^', A4.17A) и начальное условие A4.5) записывается так: Мы должны, следовательно, разложить функцию fi(x), заданную на интервале 0<^х<^1, в неполный ряд Фурье —ряд косинусов. Как известно из теории рядов Фурье (см. [1J, п. 121), коэффициенты разложения находятся ьо формулам i =у \ A4.18A) Подставляя это выражение для а„ в формулу A4.17А), полу- получим искомое решение задачи. Задача Б. Здесь решение имеет вид (см. A4.15Б)) я=1 и начальное условие записывается так: 2 л=1 Здесь мы должны разложить функцию Д (х), заданную на интервале 0<^х<^1, в ряд по синусам. Коэффициенты р„ вычисляются по формулам i iL*;' A4.18Б) и, подставив это выражение в формулу A4.17Б), получим искомое решение задачи.
182 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II Задача В. Решение имеет вид (см. A4.15В)) sBn+2^X , A4.17В) л—О и начальное условие записывается так: со I VI Bп -4-1) тел: л ом<=о= 2ja«cos—~ir—=^ Легко проверить, что система функций cos -—^. ¦* (п = 0, 1, 2,...) ортогональна на интервале (О, I) (см. аналогичное доказательство на стр. 85). Поскольку 2? то коэффициенты а„ разложения функции ft {x) по ортого- ортогональной системе функций находятся по формулам (см. [1], п. 205). «„ = !?/, (х) cos Bя+/)дх dx. A4.18В) ПодСставляя выражение A4.18В) в формулу A4.17В), полу- получаем искомое решение задачи. Заметим, что формулу A4.18В) можно получить иначе, опираясь только на знание обычных рядов Фурье. Сумма тригонометриче- тригонометрического ряда 2^ а« cos % =/W является четной функцией с периодом 4/, обладающей еще спе- специальным свойством: f(x + 2/)==—/(л), где 2^—половина периода. Действительно, достаточно убедиться в том, что каждое слагаемое меняет знак на обратный при замене х на х + 21, а это очевидно: Bп + 1) я (х + 21) cos !—-к-. ! = _ B/1 + 1) ка;
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 163 Графически это свойство иллюстрируется так: чтобы получить гра- график функции на левой половине периода (— 21, 0), можно график на правой половине @, 21) зеркально отобразить относительно оси х и затем сдвинуть на 11 влево («зеркально-сдвинутые* пол) волны). Процесс построения графика в интервале (— 21, 21) показан на рис. 50. Сначала кривая A) из основного интервала @, I) четно B) Рис. 50. продолжается в интервал (— /, 0), в результате чего получается кривая B). Затем кривую B) сдвигаем на 2/ вправо и берем ее зеркальное отображение относительно оси Ох\ получаем кривую C). Наконец, кривая D) строится так: берем зеркальное отображение кривой A) относительно оси Ох и сдвигаем ею на 21 влево; то же получится, если кривую C) зеркально отобразить относительно оси Оу. Коэффициенты ап вычисляются но обычным формулам Фурье для четных функций: 21 I Bя + 2 С* ¦dx = - f (х) cos 21 dx, так как подынтегральная функция имеет равные интегралы по чет- четвертям периода: @, /) и (/, 2/), В интервале (О, I) функция/ (х) =/, (х), и мы вновь получаем формулу A4.18В). 43. Общий случай краевых условий. Аналогично обе шит дело и в случае общих краевых условий A4.4), когда Я должно удовле- удовлетворять трансцендешнодзу уравнению A4.9): k (Ло -г hi) X простейшие частные случаи которого мы рассматривали выше. Уравнение A4.9) также имеет бесконечное множество корней, обра- образующих последовательность Алз=0 (см. рис. 51, где жирными ли- линиями изображены графики левой и правой частей уравнения A4.9): сплошной линией—график левой части (тангенсоида) и пункта-
184 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ ГГЛ. П ром — iрафик правой части). Нетрудно видеть, что в этом общем случае Хя для больших п очень близки к последовательности A4.12) собственных значений для задач А и Б. В соответствующих реше- решениях для общего случая ®>п (х, () = (ап cos X„л: + р„ sin Х„ х) е~ " коэффициенты ап и р„ должны быть связаны соотношением A4.8'): а^= 7,-^1' т- е- ал = 1Г ^я?л> и эти Решения принимают вид Рл "о "о л {х, t) = hfj Xn sin Ряд V A4.19) A4.20) будет решением уравнения A4.6), удовлетворяющим условиям A4.4). Рис. 51. Чтобы удовлетворить начальному условию A4.5), мы должны по- положить со Рл (I;} я cos ХпХ+sitl >nX> e/i (JC)>
§ U1 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 183 Докажем прежде всего, что система функций Х„ (х) =-г- ln cos lnx + sin ).пх, п =0, 1, 2, ..., «о ортогональна на интервале @, /), т. е. что для тфп I \Xm{x)Xn(x)dx^b. A4.22) Из определения функций Хт (х) и Х„ {х) следует, что они удо- удовлетворяют уравнениям Умножим левую часть первого уравнения на Хп, а второго — на Хт и вычтем одно из другого: \}'гп — ?'/г) ХпХт = ХщХ/i — ХпХт =¦ \XmXn — ХцХт) • Интегрируя в пределах от 0 до /, получим (Х;л — Хп) \ ХпХт их = Хт (!) Хп (J) — Хп (!) Лщ (') — & — Хт @) Хп @) + Хп @) Хт @). Но Хт и Хп должны удовлетворять условиям A4.8), так что х'т @) = h хт ф), х'п @) = Ь хп @), Am \t) "^ ~ г* sim (t), Лп \i) == г" Ад (/). Учитывая это, мы сразу находим, что (km — лп) \ лтлп ах — и, а так как \*т=?\%, то равенство A4,22) доказано. Записывая раз- разложение A4.21) в виде
186 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОД?ЮСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II ьаходим коэффициенты разложения fi,, функции fx {x) по ортого- ортогональной системе функций Хп (х): i ^ = Tn\fl{x)Xn(x)dx' (R23) п о где Последний интеграл может быть выражен через Хя. Общую фор- формулу ввиду ее громоздкости мы не выписываем; частные случаи приведены в примерах 9 и 10 п. 44. Подставляя выражение A4.23) в формулу A4.20), получим искомое решение задачи в общем случае. 44. Примеры. Пример 1. В конечном стержне (с тепло- теплоизолированной боковой поверхностью) оба торцевых сечения теплоизолированы, а начальная температура постоянна по стержню: f(x) = щ @ <^ х <^ /)¦ Тогда мы имеем ha = hl = O и w из A4.2) совпадает с и, a /i(x) из A4.5) — с /(х), так как в силу уравнений A4.3) -f = -[i = 0- Это — задача А, а по формуле A4.18А) 2и0 С плх , [ 2"о, если п — 0, а. = -у0 \ cos —г- ах = < 1 1 l \ 0, если и>0. Следовательно, по формуле A4.17Л) W = и = 2 == "о (см. замечание к формуле A4.14)). Таким образом, мы по- получили физически очевидный результат: при полной тепло- теплоизоляции стержня постоянная начальная температура сохраняется в нем для всех t^>0. Пример 2. При тех же условиях, что и в примере I, предположим, что начальное распределение температуры если 0<Сх<С — /(*) = 0, если тл<С.х<С.1.
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 187 Тогда по формуле A4.18А) ао = щ, а для и i •1 i 2и„ С ппх л 2и J \ cos dx 2и„ С ппх л 2и0 пъх\1 о„ = -,J \ cos —j- dx = —?sm-7- = = —^ Sin т,- = ПК 1 О при п = 1т, т = \, 2, 3,..., т = 0, 1, %... Следовательно (учитывая замечание к формуле A4.14)), решением задачи будет (см. A4.17А)) , Bт + 1) кх cos - Bт + 1 2т т=-0 При x~-j все косинусы равны нулю, так что и ] _ / =-~ дли всех t^>0. Кроме того, при замене х на ——х все и I х Рис. 52. косинусы меняют знак на обратный, так что при любом график и симметричен относительно тонки (-у, Щ- (см. рис. 52). Поэтому для любого i 1
188 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ ?ГЛ. II площадь, пропорциональная количеству тепла в стержне, заштрихована на рис. 52). Теплоизоляция концов стержня находит свое выражение в том, чго кривые распределения температуры при t = const имеют горизонтальные касатель- касательные при х — 0 и х = 1. При t-+co главным членом ряда является первый, так что г.2аН cos ^- (для больших t). Как ясно и из физических соображений, и—> гущ при t—yoo. Пример 3. При тех же условиях, что в примере 1, пред- предположим, что' начальное распределение температуры таково: если О s-T) щ 9 _ °-е 7С ' — х), если (см. рис. 53). Тогда а„ = и0) а для п а« = У \ xcos —dx-f--^ \ (/_x)cos—fl!^. О ? Сделаем во втором интеграле подстановку у^1 — х и новую переменную интегрирования снова обозначим через х; тогда ? 2 У{1+( если п — 2т— 1, если я = 2/я, от = 1, 2, 3, ... Таким образом, отличными от нуля ада кроме а0, будут те, для которых я=2/я, a /n = 2s-j-l, s = 0, 1, 2,..., т. е. n=4s-J-2> причем 4"о
§ м] теплопроводность в конечном стрржне 1«ч Следовательно, как в предыдущем примере, получим ет Ds -f 2i т.х COS -——! ^ D9-|-2)8 цЗяз/ Й ~~ Т ~ ^2 ^j ~Bs+ l)s 6 При х = //4 и х = 3//4 все косинусы равны нулю, так что в этих точках и=-~цй для любого (^>0. Ясно также, Рис. 53. что при каждом фиксированном t график и симметричен от- относительно прямой х = //2 и что каждая его иоловийа сим- симметрична относительно, соответственно, точек A/4, ио/2) и C//4, ко/2). Поэтому для любого ?^>0 \ и dx = -j
190 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II (см. заштрихованную на рис. 53 площадь). Для больших t н~й° — ^-е ^ со-; Х Пример 4. В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) концы поддерживаются при постоян- постоянных температурах: и\х^ = йь и|л_г = й7 (задача Б), а на- начальная температура постоянна по стержню: f(x) = tt9 @<^х<[/). Тогда /z0 = /;; = co и уравнения A4.3), которые можно записать в виде превращаются в ? = ио> "f + *Ti = «;> т. е. i — i Т1 = у(йг — щ), и по формуле A4.5) А 0*0 = «о — й№ j- (й; — #0). Поэтому по формуле A4.17Б) w (х, t) = где (см. формулу A4.18Б)) = 1- {и, — й, -(- (— 1У (ы, - но)}-
§ 14] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ Таким образом, 191 Sin —т— п.1т^а4 *, t) = — (Щ — Щ) У ~п е (* . ПКХ sm—— ¦ X. Чтобы по существу разобраться в полученном решении, заметим, что та-*0 при ^-*-оои, следовательно, H->«ft-j- -]—г ~ ° ¦ х, т. е. к линей- линейному распределению темпе- температуры между температура- температурами на концах (см. рис. 54, где принято й0 ^> ий ^> йД Для сравнительно малых t ^> 0 график и должен резко спускаться из точки @, #„), примыкать к прямой и = щ и затем опускаться в точ- точку (/, й/) (кривая G)). Для больших i Рис. 54. ^2«2< sin— ¦ — (йг — щ)е — 1ГГ it л: т. е. ордината графика « ниже ординаты соответствующей точки прямой, соединяющей точки @, щ) и (/, йД на вели- величину, пропорциональную sin ^: получается кривая B). Вид графиков и может резко меняться в зависимости от соотношения величин н0, й0 и йг. Так, если щ = -^ (йв -\- йг)
192 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II (начальная температура равна среднему арифметическому темпе- температур концов), то и» — й0 = — -к- («о — й1) = п1 — щ и в вы- выражении для w(x, t) останутся только слагаемые с чет- четными индексами п = 2т: . 2ткх sin m 2 = 0. В этом случае графики и симметричны отно- /1 , \ сительно точки 1-=-/, щ); они изображены на риа 55. Здесь для больших t W яй i ~x Представляет интерес ча- частный случай йо = йл Тогда в сумме останутся только сла- слагаемые с нечетными инде- индексами п = 2т-\-\ и, полагая для определенности ио^>йа, будем иметь 2от+1 и «(jc, t) — w(x, f)-\-H0. Графики н симметричны относи- относительно прямой х = -п-; они изображены на рис. 56 для воз- возрастающих t: (/), B), C). Заметим, что в этом примере количество тепла, содержа- содержащееся в стержне, изменяется с течением времени, хотя боковая яоверхность стержня теплоизолирована: теплообмен с внешней
§ 14] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 19.'' средой происходит через торцевые сечения. Например, в последнем рассмотренном случае тепло уходит из стержня через торцевые сечения в более холодную внешнюю среду. Пример 5. В конечном стержне (с теплоизолирован- теплоизолированной боковой поверхностью) концы поддерживаются при Рис. 57. постоянной температуре йл = й;, а начальная температура у-° х, если 0 <[ х sg у /, ^°(/-х), если | 7 И Г. Араманович, В. И. Левин
194 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. И (см. рис. 67, где принято 0 <^ й0 Bт + 1) sin 2т + 1 ' ita)- Показать, что 1,2т + l)Sr.=as< Sin Bт Bт + i m—Q Bт + IJ Провести исследование полученного решения для малых ^^> О (кривая (/)) и больших t (кривая C)). Найти приближенное выражение и для больших значений t и установить, что для них и ^> йв, если щ ^> — й0) и г/ <^ «о, если ?70 <^ 4" й». Ана- Аналогично исследовать случай 0 <^ щ <^ «„. Пример 6. В конечном стержне (с теплоизолирован- теплоизолированной боковой поверхностью) левый конец теплоизолирован: а =0, правый поддерживается при постоянной темпе- р ату ре: х-0 начальная температура постоянна по I х Рис. 53. стержню: и|(_о = ио. Это — задача В, Предварительно опре- определим 1 и ¦[] из уравнений A4.3) Так как здесь /г0 = 0, h, = оо, то эти уравнения принимают вид fi = 0i ¦\ = п1 и мы имеем и = да-}-йг, h(x)^=uu—ul (по формулам A4.2) и A4.5)). Далее, по формуле A4.17В) Bп + cos
§ 14] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ Ш5 где по формуле A4.18В) _2(и„ —Д,) Г Bit+l)iuc ,.._4K-5,)/ , „ О Таким образом, решением будет cos , (см. рис. 58, где принято ио]>Яг). Для больших t (кривая C)) _ , 4 (иг. — ЯЛ —ттт- их и я» п, -4—— е 4l' cos тст. Пример 7. Пусть в условиях примера б Показать, что тогда ^ у (_ lf - + 1 <2я + Построить приближенно графики и для гго^>"; и Пример 8. Пусть в условиях примера 6 Показать, чго тогда со cosv lktj ¦ <2л - 2n + 1 ¦ е Mi л2 „ Bя + 1) nx °° COS^ ^ U* НKя-'д2< у . е «j
196 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ (ГЛ. It Построить приближенно графики а для случаев ио^>й/ и щ < щ Пример 9, Пусть в общем краевом условии A4.8) /?0 = 0 и h, = h. Тогда в выражении A4.14) р„ = 0 и ¦щ>л = а„ cos \nxe~lna ', где Х„— корень уравнения tgW=-i (частпый случай уравнения A4.9)). Непосредственным, вы- вычислением проверить, что функции Хп(х) — cos\пх ортого- нальны в интервале @, /) и \ Х\ (х) dx = -у (/ 4- ., (J z \ к'лп-г Пример 10. Пусть в общем краевом условии A4.8) ft,, = ht = h. Показать, что в этом случае i § 15. Теплопроводность в полубесконечном стержне 45. Распространение тепла при теплоизоляции или постоянстве температуры конца стержня. Стержень, огра- ограниченный только с одной стороны, а в другую сторону про- простирающийся в бесконечность, называется полубесконечным. Будем по-прежнему считать, что боковая поверхность стержня теплоизолирована и что его единственный — левый — конец расположен при Л" —0. Тогда мы имеем только одно крае- краевое условие, относящееся к х = 0, ив общем виде оно за- писываекя так: k*± —h \ц\ л — щ\ A5 1) дл д_о о i л:- ; к • > (первое равенство A4.1)). Начальное условие имеет преж- прежний ВИД' я!,_, = /(.*) (х>0), A5.2) где начальное распределение температуры f(x) должно быть вадано лишь на полуоси х~^>0. Задача теплопроводности в полубесконечном стержне легко решается при помощи формул § 13 в случаях /zo = Q (тепло-
5 151 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 197 изоляция на конце) и /?0 = оо (постоянная температура на конце). Действительно, если мы сначала рассмотрим случай теплоизолированного конца: JM =0, A5.Г) и продолжим f{x) на отрицательную полуось лг = О чет- четным образом: /(—х) = /(х), то функция A3.17); Т (v-i-И wt d\, П5.3) lay nt — со будет являться решением нашей задачи. Как мы знаем, она является решением линейного уравнения теплопровод- теплопроводности A3.1) и удовлетворяет начальному условию A5.2). Чтобы проверив, что она удовлетворяет и краевому усло- условию A5.Г), образуем ди дх ж-л Последний интеграл равен нулю, так как /(!•) по построе- построению — четная функция, ?/(?), следовательно, нечетна и вся подынтегральная функция нечетна. Таким образом, усло- условие A5.Г) выполняется. Решение задачи A5.3) может быть в этом случае не- несколько преобразовано. Используя четность f{x), получим^ о 1^F = 2а у тЛ 2aynt
198 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. 1Г где в первом интеграле 5 заменено — ?; таким образом, при краевом условии A5.10 решением будет . A6.30 Перейдем к случаю, когда конец х = 0 поддерживается при постоянной температуре щ: ii\x_Q = D0. A5.1") (Решение для случая, когда й0 есть функция времени t, при- приведено в п. 52.) Сначала сведем краевое условие к одно- однородному, полагая w — u—йо, /,(х) = /(дг) — й0 ( и продолжим Л(х) на отрицательную полуось лс<^0 не- нечетным образом- /, (— х) = — Д (х). Тогда функция удовлетворяет уравнению -^--= a*-t-j , начальному условию гг»; ,_о = Л (jc) (д:]>0) и краевому условию к'|д:_0:=0. По- Последнее вытекает из того, что поскольку Д (?) — нечетная функция. Следовательно, А (?) е и
§ 15] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 199 -е Преобразуем эту формулу, привлекая интеграл вероятно- вероятностей Ф(г) (см. пример 1 § 13). Для этого, гюлаитя х — 5 jj, = i———, заметим, что х 2aVT — { 2a V* о -с а полагая и = —Щ=, — что 2ayv.t о 2а YT вследствие чего !\ — < Поэтому окончательно мы получим решение задачи в случае краевого условия A5.1") в виде
200 JTABHI-НИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. 1Г задачи теплопроводное! и в нолубесконечном стержне при общем краевом условии A5.1) представляет значительно большие трудности и требует иных средств '). 46. Примеры. Пример 1. Левый конец х = 0 иолу- бескопечного стержня (как и его боковая поверхность) тепло- теплоизолирован. Начальное распределение температуры: 0, если 0<^ Щ> если 0, если х Найдем и — и(х, t). По формуле A5.3') имеем 2аУ%1 J I полагая для первого слагаемого '. = ,_, найдем, что 2а Vt "о , Ут. X — к — '1и\ XI х_ и у i ¦2aYt «о /ф Iх — Х1 2ау = , а для второго 2а Yt i В частности, полагая х± = 0, xt = /, получим Вид графиков и при фиксированных значениях tf^>0 виден на рис. 59. Так как теплообмена с окружающей средой нет, ') Решение задачи теплопроводности для пояубесконечпого стер- стержня методами операционного исчисления приведено в книге, упомяну- упомянутой на стр. 100.
§ 15] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ ю площадь под каждым графиком равна ии1 (заштрихована на рис. 59). Рис. 59. Представляет интерес предельный случай решения A5.4) при = —_ и Л"В-^Л"!. ЕСЛИ ПОЛОЖИМ Xi = Xl-\-S (s —* 0), 2а /^ / (Х% + е) - W (хх) так что 2 lim и = ¦ е-О Дифференцируя ? (^i) no хи найдем, что {Xi) ' 2a"ft \2a ft J 2a ft \2a yt)' Так как а то Ф' (г) = —?= г~ г2 и, сдедовательно, У™ lim « = ?=^И в-о 2а|АГ^ \ JCi>S? A5.6)
202 УРЛВНГНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II Но очевидно, что осуществленный в начальном условии предель- предельный переход означает, что u\t-a = b(x — Xl), A5 7) где Ь(х — х1)— ф>нкция Дирака (см, стр. 164). Таким образом, решением задачи для иолубесконечного стержня при ¦краевом усло- условии A3.1') н начальном условии A5.7) является с}мма ф)ндамен- тальных решений _ см. формулу A3.18)). Это можно усмотреть и непосредственно. П р и м е р 2. Левый конец х^О полубесконечного сгержия (с теплоизолированной боковой поверхностью) поддерживается при постоянней температуре й0: н|*_о = йо- Начальное рас- распределение темпера1уры то же, что в примере 1. Показать, ¦но d этом случае (но формуле A5.3")) рассмотреть частный случай решения при Xj —О, х.2~/ и приблп ¦ 01 по нарисовать графики и при фиксированных зна- значениях i ^> 0. Пример 3. Показать, "то при условиях примера 2, по при начаты ом условии и \^0 — Ъ (х — Х[) решение имеет вид § 16. Некоторые пространственные задачи теплопроводности 47. Вывод уравнения теплопроводности в простран- пространственном случае '). Рассмотрим неравномерно нагретое тело. Пуаь (емпература в каждгй точке (х, у, z) тела в момент ') Перед чтением этого пункта читателю необходимо вспомнить 1еорию поля (векторный анатиз). Все необходимые сведения содержатся в [1J, i л. VII, пп. 126 и 127 и гл. IX, пп. 152—154.
§ 16] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 203 времени I определяется функцией и(х, у, z, t). Физические предпосылки были подробно рассмотрены в п. 34 при вывода уравнения линейной теплопроводности. Поэтому мы ограни- ограничимся краткими замечаниями, обратив основное внимание на те усложнения математической стороны дела, которые возникают в пространственном случае В любой момент времени t функция и определяет ска- скалярное поле—поле температуры. В общем курсе анализа обычно ограничиваются изучением стационарных полей, когда температура и не зависит от времени '). Нам же сейчас придется рассматривать нестационарное поле, по- поскольку мы предполагаем, что температура точек тела изме- изменяется со временем. Если зафиксировать момент временя t, то совокупность точек, в которых температура и(х, у, z, t) принимает одно и то же значение, образует изотермическую поверхность (поверхность уровня). В отличие от стацио- стационарного случая, форма и расположение изотермических поверхностей с течением времени будут изменяться. Как известно, направление наибольшей скорости изме- изменения температуры и совпадает с направлением градиента функции и{х, у, z, t) при данном значении t. При этом , да . , да . . ди , gradH==_! + _J + _k. В точках изотермической поверхности градиент направлен по нормали к этой поверхности в сторону увеличения зна- значений и п модуль градиента равен производной по этому направлению: Обобщая формулу A2.2), считают, что величина теплового потока чеоез малый участок Да изотермической поверх- поверхности за время Lt равна AQ = — k'^AeLt, A6.1) ') Задачи о стационарных температурных полях приводят к уравнению Лапласа, которое мы рассматриваем в гл. Ш.
204 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ ГГЛ. TI где k — коэффициент теплопроводности, который мы считаем постоянным (см. стр. 146)*). Обратим особое внимание на роль знака «минус» в фор- формуле A6.1). Условимся считать величину теплового потока положительной, если направление потока тепла совпа- совпадает с выбранным направлением нормали, и отрицатель- отрицательной, если оно ему противоположно. Для нормали, совпа- совпадающей с направлением градиента, -г- ^> 0; тепло же пере- переходи г от более нагретых участков к менее нагретым, т. е. как раз в противоположную сторону, и, следовательно, по определению, AQ<^0, что и объясняет знак «минус» в формуле A6.1). Изменив направление нормали на противо- противоположное, мы получили бы, что -5^<[0; но тогда AQ^>0 и опять-таки знак «минус» сохраняется. В линейном случае изотермическими поверхностями являются сечения стержня, перпендикулярные оси Ох; нор- /-. ди ди , маль к ним совпадает с осью Ох, и -^- = -5- (если напра- 1 on ох у ' влеиие нормали совпадает с положительным направлением оси Ох). В теории теплопроводности доказывается, что фор- формула A6.1) для величины теплового потока справедлива для любых поверхностей (не только для изотермических). Производная ->- по направлению нормали к выбранной по- поверхности равна проекции градиента па эту нормаль, т. е. скалярному произведению grad гг на единичный вектор нор- нормали IV да ') Вообще коэффициент й может зависеть от температуры и координат точки х, у и г (для неоднородного тела). Возможен и более сложный случай, когда тело обладает свойством тепловой анизотропии, т. е. когда коэффициент теплопроводности зависит от направления, в котором происходит передача тепла (например, для тел с волокнистым строением). Любое из этих предполо- предположений приводит к значительному усложнению уравнения тепло- теплопроводности.
161 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 205 Поэтому поток тепла через участок Аз любой поверх- поверхности за время М будет равен Д<3 = —/г grad н • п Да Д1 A6.2) Для краткости назовем вектор — k grad и вектором тепло- теплового потока и обозначим через А: А = — k grad гг. Тогда AQ есть поток вектора А через элементарную пло- площадку До за время Lt: Д<2 == Ап Да М. Если теперь выделить в теле некоюрую часть, ограни- ограниченную замкнутой поверхностью S, то поток тепла изнутри через эту замкнутую -поверх- -поверхность за время bd будет равен произведению потока вектора А на М: Q: Anda, A6.3) Рис. 60. где Ап — проекция А на внеш- внешнюю нормаль (рис. 60). Поток Q будет положитель- положительным, если выбранная часть тела теряет тепло, и отрицательным, если приобретает. Применяя к интегралу в формуле A6.3) теорему Гаусса — Осгроградского, запишем, что ) Ап da = JJ J div A dv, s v где V — часть тела, ограниченная поверхностью S, а div А = — k div grad и-. l/6"~u ' д*а ' д*" где Да =-pi-4-XI4-X! — оператор Лапласа. ox oy OZ- Таким образом, количество тепла Qit приобретенное выделенной частью тела за счет прохождения теплового
206 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ 1ГЛ II потока, будет равно (оно противоположно по знаку вели- величине Q) ^udv. A6.4) Предположим, далее, что в теле имеются тепловые источники, плотность которых характеризуется функцией Fix, у, z, t) (см. стр. 148). Тогда за промежуток времени (t, t -\- Д^) в выбранной части тела выделится тепло Qit равное (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) Q2 = tt\ $ $ F {х, у, z, t) dv. A6.5) v Общее количество тепла, сообщенного выделенному объему V, будет равно сумме Qi -f- Q2. Подсчитаем теперь это тепло иначе, учитывая изменение температуры в точках тела, лежащих внутри поверхности & В точке (х, у, z) за промежуток времени Д^ температура изменится на величину п{х, у, z, t + M)-n{x, у, z, t) = ~U. Поэтому элементарному объему Дг> для такого изменения температуры потребуется количество тепла, равное срДг>->тД^ 1де с — удельная теплоемкое] ь, р — плотность, а всему об ьему — количество которое должно быть равно с\ мме Ql -\- Q.j. Следовательно, w dv=: Перенося все слагаемые в левую часть, приходим к равенству $ \ср Tt ~kbl- F)dv=°-
§ 16] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 207 Равенство A6.7) должно соблюдаться для любой части тела V. Это возможно только тогда, когда в каждой точке внутри тела ср~ — АДн — F = 0. A6.8) Это заключение справедливо, когда все слагаемые в левой части равенства A6.8) — непрерывные функции. Действительно, если предположить, что в точке М (х, у, г) равенство A6.8) нару- нарушается, т. е., например, ( ср -^— — к Да—F) >0, то в силу непре- рывности это же неравенство будет соблюдаться и в некоторой области Й, окружающей точку М. Но тогда интеграл но этой области, вопреки условию A6. 7), был бы величиной положительной. Подобное же рассуждение неоднократно встречалось в курсе ана- анализа (см., например, [1], стр. 488). Переписав равенство A6.8) в виде *fee«A,, + lF, A6.9) получим основное уравнение теплопроводности {а = = 1/ коэффициент температуропроводности). Если тепловые источники внутри тела отсутствуют, го F = 0 и уравнение становится однородным: a Lla U+ + J Еще ра^ отметим, что уравнения A6.9) и A6.10) выве- выведены в предположении, что все физические величины, характе- характеризующие свойства тела (плотность, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности), постоянны. Ясно, что уравнение A2.4) линейной теплопроводности является частным случаем уравнения A6.10). 48. Начальное и краевые условия. Перейдем теперь к начальному и краевым условиям. Начальное условие для уравнения теплопроводности состоит в задании температуры во всех точках тела в некоторый данный момент, от которого ведется отсчет времени. В этот начальный момент поэтому полагают t = 0, так что начальное условие прини- принимает вид u[xt у, г, 0)==и1м> = /(-*> У, *), Об-11)
208 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II где f(x, у, г) — данная функция, определенная и непрерыв- непрерывна i во всех точках тела. Краевое условие должно выполняться на поверхноаи Г, 01 раничивающей тело. Вдоль Г тело граничит с окружающей средой, имеющей в каждой точке I, -ц, С границы Г свою температуру й = й (Е, t), L t). Разность и B, \ (., t) — й E, % С, t) между температурой тела в точке границы и температурой окружающей среды в этой точке называется перепадом температур в точке \, % С границы. Существует физиче- физический закон, устанавливающий, что поток тепла изнутри тела через любую часть поверхности Г пропорционален перепаду температур на этой части границы. Если выделить некоторую часть границы, то поток тепла через нее за время М будет равен М\ \h(u-u)dv; тде Г, — рассматриваемая часть границы Г, a h — коэффи- коэффициент теплообмена, зависящий от физических свойств тела н окружающей среды. Вообще говоря, h может изменяться от точки к точке границы, т. е. h = h (?, -ц, С), но в случае однородности тела и среды h = const. Поскольку поток тепла, уходящий в окружающее пространство, должен рав- равняться потоку тепла, подходящему изнутри, то, применяя формулу A6.3) к участку Гь получим \ \Аяйа=\ \h{u-u)dc 14 г, Так как rt — любая часть границы, то, повторяя рассужде- рассуждения, обосновывающие равенство A6.8), придем к условию на границе Г: An = h(u — й> Вспоминая, что Ап = —k grad и ¦ п = —k -т—, где -д произ- производная и в точке границы по направлению внешней нормали к ней, запишем последнее равенство так: дп ч = А[и1г—й]. A6.12)
$ 16] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 209 Здесь черта подстановки | г означает, что имеется в виду значение соответствующей величины в точке границы Г. Общее краевое условие A6.12) может в частных случаях иметь более простой вид. Первый частный случай h = 0. Это означает, что переход тепла через границу тела исключен, т. е. что, как говорят, граница тела теплоизолирована. В этом случае крае- краевое условие принимает вид ди дп , = 0. A6.13) Второй случай соответствует очень большому коэффи- коэффициенту внешней теплопроводности h. Тогда условие A6.12), r^ rt ГА i » У* Л ж т w f*\ ^Х ^* Л |Г 1 tW f\ записанное в виде k ди в пределе при h ->¦ со приводит к равенству а|г = а, A6.14) выражающему тот факт, что на границе тело имеет темпера- температуру внешней среды. Следует отметить, что разные части границы тела могу г находиться в задачах теплопроводности в разных условиях, выраженных разными значениями Н. Так, нап ример, одна часть границы может быть теплоизолирована, а па другой температура тела может совпадать с температурой окру- окружающей среды. Подводя итоги, мы можем следующим образом сформули- сформулировать математическую задачу теплопроводности (для одно- однородного тела без тепловых источников): ищется температура и = и (х, у, г, t) внутри тела, удовлетворяющая там уравне- уравнению A6.10), начальному условию A6.11) и краевому усло- условию A6.12) (или условиям A6.13) или A6.14)). В теории дифференциальных уравнений в частных производных показы- показывается, что эта задача имеет одно и только одно решение [при некоторых достаточно общих требованиях к заданным функциям / и й, следующих из условий A6.11) и A6.12)]. Перейдем теперь к решению этой задачи для простейших случаев.
210 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. 1Г 49. Распространение тепла в однородном цилиндре '). Пусть боковая поверхность бесконечного круглого цилиндра радиуса R поддерживается при постоянной температуре. Если в начальный момент времени температура в каждой точке зависит только от ее расстояния г до оси цилиндра, то ясно, что и в последующем температура и будет зависеть лишь от г и времени t. Тепловой поток при этом всегда направлен по радиусам цилиндра. Таким образом, u = u(r, f). Преобразуем общее уравнение теплопроводности A6.10) ди (а — коэффициент температуропроводносгтг) к цилин- цилиндрическим координатам, учитывая, что функция и не зависит от (р и z. Придем к уравнению радиального распростра- распространения тепла в цилиндре: Начальное условие имеет вид н|<-о = <Р@, A6.16) где <р (г) — заданная функция в интервале 0 ^ г ^ R. Краевым условием будет условие постоянства температуры боковой поверхности цилиндра и !,._* = и» A6.17) Будем считать, что щ = 0, т. е. что краевое усло- условие A6.3) однородное. В противном случае нужно ввести новую функцию п(г, t) = u(r, t) — н0. Уравнение A6.15) не изменится, а начальное и краевое условия примут вид &\t- о = <Р('')— «о и u\r_]R = 0. Применим к решению задачи метод Фурье. Полагая u(r,t)=U(r)T(t), разделим переменные: г@ ... P-W+T-e-W _ a>T(t) ~ U (г) ') Перед чтением этого пункта рекомендуем вспомнить содер- содержание § 10, касающегося уравнения и функций Бесселя.
§ 16] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 211 (Соображения, в силу которых постоянная в правой части не может быть положительной, приведены при решении задачи о бесконечном стержне на стр. 155.) Отсюда Для функции U(r) получаем уже знакомое нам уравнение (см. п. 30): У'(г) + 7и'(О + №(г) = 0, A6.18) одно частное решение которого выражается через функцию Бесселя пулевого порядка: Второе линейно независимое решение уравнения A6.18) — ф\нкцию Неймана AV—мы пе принимаем в расчет, так как она обращается в бесконечность при г = 0. Чтобы решение удовлетворяло однородному краевому условию, нужно положить 0. A6.19) Таким образом, собственными числами задачи яэляются величины \к—Щ-, где }xk—корни функции Бесселя нулг- вого порядка. Каждому собственному числу ) k cooiBer- ствует собственная функция uk{r, 9 = e-x*ef' Л (Со- (Сообразуем теперь функцию от u(r,t)= 2 С*е-*г<АЛ(ХАг) A6.20) и = i и подберем коэффициенты Ck так, чтобы со Полагая r = Rx, придадим последнему равенству вид к — 1
212 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II после чего, основываясь на условиях ортогональности функ- функций 70(|л*г), выраженных формулами A0.11), найдем коэффи- коэффициенты Си: 1 С* = ~^ § *Л fax) 9 (Rx) dx. A6.21) Напомним еще, что Jo2 (ц*) = J\ (\xk) (см. формулу A0.16) п. 31). Вычисляя коэффициенты Си по формулам A6.21) и под- подставляя в ряд A6.20), мы и завершим решение задачи1). Почти так же решается задача в случае теплоизоляции боковой поверхности цилиндра. Краевое условие запишется теперь в виде ди =0 A6.22) дг r-R (нормаль к боковой поверхности цилиндра направлена по радиусу). Для определения собственных чисел взамен уравнения A6.19) мы получим уравнение /0(kR) = 0 или, согласно фор- формуле A0.16), ./i(X/?) = 0. A6.23) Таким образом, собственными числами являются величины Xfc=-?-, где vji — пули функции Бесселя первого порядка (см. п. 31). Собственные функции uk (г, t) = е-'1&а'1' Л(** чт) отли- отличаются от собственных функций предыдущей задачи (постоянство температуры на поверхности цилиндра) только тем, что в аргумент функции Бесселя входяг множителями корпи не самой функции 70(х), а корни функции Ji(x). Ряд D6.20) запишется теперь в виде и {г, t)= 2 C*e-4«t yo(v*-y), A6.24) ') Решение почти полностью повторяет решение задачи о коле- колебаниях круглой мембраны, разобранное в п. 32.
^ 161 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 213 и, чтобы удовлетворялось начальное условие A6.16), должно соблюдаться равенство со 2 CkJ0DkX)=<f(Rx), A6.25) где х = s. Оказывается, что функции Ja(vkx) в интервале [0, 1) удовлетворяют такому же условию ортогональности, что и функции J0(pkX). Это следует из формулы A0.12) п. 30. На- Напомним, что, согласно этой формуле и примечанию к фор- формуле A0.13), для любых чисел р и q J xJa (px) Л (qx) dx = 4JAP)J'tl%ZP? Отсюда сразу следует, что при p — vit и q = vn, где кфщ правая часть обращается в нуль, так как jo(vfc) = 7i (ч<,) = 0 и Ja(Vn)==Q- Если же k = n, то, полагая р — ч/, и переходя по правилу Лопиталя к пределу при q -*¦ v*, получим = lim Из уравнения Бесселя Уо(л;)-^ J'^ (х) -\- Jo (х) = 0 и условия ^0(v*) = 0 следует, что Jj(vfe)=—J0(-ik)- Поэтому Воспользовавшись этим соотношением, сразу получим, что коэффициенты С* в формуле A6.25) равны <Р (Rx) dx. Подставляя найденные значения Ck в ряд A6.24), завер- завершим решение задачи.
214 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II ди Общий случай краевых условий —г— +/w I D = 0 может быть рассмотрен точно так же, однако уравнение для отыскания собственных чисел приобретает более сложный вид1- )Jl>QR)-\- -j- hjo OR) = 0. Решение зтого уравнения и доказательство орто- гональчостн получающихся собственных функций требуют более детального знакомства с теорией бесселевых функций; мы этим заниматься не будем 50. Распространение тепла в однородном шаре. В ка- качестве шорой нроаранавешюй задачи рассмотрим радиаль- радиальное распространение тепла в однородном шаре ра~ диуса R. Мы предполагаем, что как в начальный, 1ак и в произвольный момент времени температура одна и та же во всех точках, находящихся на одинаковом расстоянии г от центра шара. Если ввести сферические координаты, то это означает, что температура зависит только от г и t Переходя в общем уравнении A6.10) к сферическим координатам, получим (см. п. 3 введения) ^- = ^(^-4- — —). A6.26) dt \ дг2 ' г дг j v ; Начальное и краевое условия примем такими же, как в задаче о цилиндре: и|,_, = ?(гЪ «|^ = 0 A6.27) (как уже отмечалось, неоднородность краевого условия и \r_R = щ легко устраняется введением вспомогательной функции). При решении нам даже не понадобится заново применять метод Фурье. Введем новую неизвестную функцию v(r,t)=ru(r,t). A6.28) Тогда dv 0и до ди , d2v д-а . пди dt dt ' дг дг ' ' дг2 dr2 ' clr ' Уравнение A6.26) преобразуется при этом к виду dv j d2v dt drs ' Начальное условие примет вид
§ 16] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 215 а краевое останется без изменения: Кроме того, появится новое условие В результате мы пришли к задаче о теплопроводности в конечном стержне длины R, на концах которого поддер- поддерживается 1емпература, равная нулю, а начальное распределе- распределение температур задается функцией v\ t_a= rrf(r). Эта задача уже решена в п. 42 (задача Б). Согласно формуле A4.17Б) ее решение имеет вид v{r, 0= 2 Р»е ^sln^, A6.30) где коэффициенты р„ определяются по формулам A4.18Б), в коюрых функцию ft(x) надо замени 1ь на ху(х): 2 Г ... ппх "гГ \ x'f (х) Sin ~п~ ' О Чтобы вернуться к функции u(r,t), на ад найденную ф\щ<- цию г;(г, t) разделить на г: ТПГ п'-тЧаЧ sm —г— Из формулы A6,31) получается, что температура в цсшре шара (г = 0) буде1 для любого ^^>0 равна и @, 0 = lim и (г, 0 = -"- V /гр 0 i\ J4 рл Если па поверхности шара задано обнес краевое кл0'1ие (однородное) ди
216 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II то для вспомогательной функции v оно преобразуется в следующее, г дг г' r-R ^ \ г г.ц или L дг r-R При этом вновь добавляется условие v\ =0. Решение задачи с такими краевыми условиями приведено в п. 43, и мы его повторять не будем. Отметим только, что урав- уравнение A4.9) для определения собственных чисел принимает более простой вид: это соответствует случаю /r0 = oo, fe= I, hi = h = § 17. Задачи диффузии 51. Уравнение диффузии. В процессе диффузии иско- искомой функцией является концентрация диффундирующего вещества, которую обычно обозначают через с = с{х,у, г, t). Этот процесс во многом схож с распространением тепла, и в предположениях, аналогичных тем, которые мы делали в § 16 при выводе уравнения теплопроводности, функция с(х, у, z, t) удовлетворяет уравнению ^ = DU, A7.1) тождественному с уравнением теплопроводности A6.10). По- Положительный коэффициент D называется коэффициентом диффузии. Он играет роль коэффициента а8 в теории тепло- теплопроводности. Начальное условие ' c\t^=f{x,y,z) A7.2) задает начальную концентрацию. В качестве краевых усло- условий рассматриваются главным образом условия дп = 0 т A7.3')
§ I7i ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ 217 где Г — граница области, в которой происходит диффузия. Условие A7.3') означает, что Г является непроницаемой для диффундирующего вещества стенкой, а условие A7.3") задает концентрацию на границе Г. Линейные задачи диффузии в тонкой трубке с непро- непроницаемой стенкой: дс п д'2с . и на конце или на концах ^— = 0 или с = ~с, решаются при помощи методов, изложенных в §§ 13, 14 и 15. В соответ- соответствующих формулах следует только и заменить на с и а на /а В большинстве практически интересных задач коэффи- коэффициент D является переменным. Это приводит к дальней- дальнейшему усложнению задачи. Мы рассмотрим три наиболее часто встречающихся случая неременного коэффициента диф- диффузии для линейных задач. I. В первую очередь D зависит от температуры. По- Поскольку температура в условия задачи явно не входит, но закон зависимости температуры от времени, как правило, известен, то коэффициент диффузии может рассматриваться как функция времени: D = D(t). Уравнение диффузии ста- становится уже уравнением с переменным коэффициентом: 4НЖ0?. (П.4) Однако это уравнение легко привести к более простому виду, введя вместо независимой переменной t новую пере- переменную: t Ь = $ D (x) dz. Так как D^>0, то & = &(?) монотонно возрастает с t (а при ? = 0 также и & = 0). Поэтому существует однозначная обратная функция t = t(b), так что концентрацию с можно считать функцией х и 9-. Но дс дс д*> дс
2]8 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II (так как -^т =D@) • Поэтому уравнение A7.4) принимает простой вид: дс _ dsc <ЭЭ дх* ' т. е. вид уравнения теплопроводности с о2=1. Начальное условие не меняется: с 1о = 0=/(х), краевое условие также остается прежним. П. Если отвлечься от изменения коэффициента диффузии со временем (например, если процесс диффузии происходит при постоянной температуре), то коэффициент диффузии D не обязан все же быть постоянным. Процесс диффузии мо- может происходить в неоднородной среде, и тогда D будет зависеть от х: D —D(x). Уравнение значительно сложнее урагшеиия A7.4), так как в него вхо- входит вторая производная искомой функции по переменной х, от которой зависит коэффициент D(x). Уравнение A7.5) уже не может быть сведено к уравнению с ирстоянным коэффи- коэффициентом, его приходится решать приближенно. Одним из простых методов приближенного решения является замена D (х) к у с о ч н о-п остоянной функцией. Для этого интер- интервал изменения х (всю ось, конечный интервал или полуось) разбивают на частичные интервалы (Хи^, Хь) и в каждом частичном интервале считают D постоянным: D = D* (в ка- качестве Dk можно взять значение D(x) в любой точке ?* частичного интервала: Dit — Dfa))- В каждом частичной интервале задача решается методами §§ 13—15 с краевыми условиями «склеивания» решения: если Хк — точка деления (граница двух соседних частичных интервалов), го в ней концентрация с должна быть непрерывной. Практически важным является и несколько более простой случай, когда диффузия проходит через конечное число сред с разными коэффициентами диффузии (т. е. через кусочно-однородную среду)', задачи подобного рода при- приведены в п. 53. III. При достаточно больших концентрациях коэффици- коэффициент диффузии зависит от самой' концентрации: D~D(c).
5 17] ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ 219 Соответствующее уравнение будет уже нелинейным и может быть решено только при- приближенно специальными методами. 52. Уравнения теплопроводности и диффузии с краевым условием, зависящим от времени. До сих пор, рассматривая за- задачи теплопроводности с краевыми условиями для полубесконеч- полубесконечного или конечного стержня, мы ограничивались случаями, когда температура внешней среды й была постоянной (см. стр. 174 и 197). Однако во многих важных задачах диффузии для кусочно- однородных сред приходится иметь дело и с такими краевыми условиями, когда концентрация вещества на границе (в терминах теплопроводности — температура конца стержня) является некото- некоторой заданной функцией времени..Сейчас мы рассмотрим такую за- задачу, ограничиваясь случаем полубесконечной трубки (стержня). Имея в виду последующие примеры, будем считать, что трубка занимает интервал 1^х <со, где /^0. Соответствующая задача формулируется так: Найти решение уравнения диффузии (теплопроводности) дс д2с удовлетворяющее начальному условию с!с_о = О (х>1) A7.7) и краевому условию c\x-t = <?(t) <t>0), A7.8) где j(t)-*O при t-* 0. dio — более сложная задача, чем те, которые решались нами в §§ 14 и 15, так как краевое условие неоднородно и непо- непостоянно. Для того чтобы ее решить, необходимо в первую очередь за- заменить краевое условие A7.8) однородным путем введения новой искомой функции g(x, t)=c(x, t)—f(t). A7.!)) Тогда для g(x, t) уравнение A7.6) примет вид начальное условие A7.7) сведется к g|/_,«=0 (*>/) A7.11)
220 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II (поскольку <р(?)=0 при t = 0), а краевое условие A7.8) — к *1,-1«=0. A7.12) Таким образом, мы заменили однородное уравнение A7.6) с неод- неоднородным краевым условием A7.8) неоднородным уравнением A7.10) с однородным краевым условием A7.12). Рассмотрим теперь выражение t \i/{t-x)t (т) «ft, б называемое сверткой функций ф и у. Чтобы найти производную свертки по t, воспользуемся правилом Лейбница (для диф- дифференцирования интеграла от функции, зависящей от параметра, при условии, что пределы интегрирования также являются функ- функциями этого параметра): JL jj f(z,t)dz*=f(b,t)b'(t)-f(a,t)a'(t)+ \ ^ dt a\t) a It) Частным случаем этого правила, когда а и & не зависят от t, яв- является теорема, упомянутая в п. 2 введения. Производная свертки будет равна t t — V ф (t — т) х (т) di— ф @) х @ + \ Ф' (* — t) х (t) dt. о о Воспользуемся этой формулой, взяв в качестве ф любое реше- решение «! (ж, () однородного уравнения A7.6) и положив t \ci(x, t — z)x(z) dx = gl(x, t). A7.13) 0 Тогда дх* О так что
$ 171 ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ 221 Поскольку функция d (х, t) выбрана так, что она является реше- решением уравнения A7.6), то подынтегральное выражение равно пулю при любом значении t > x и, следовательно, -%-- D ^=С!(х, 0O.@- О7-14) Пусть теперь функция ct (х, t) удовлетворяет начальному условию сг(х, 0j = —1 (л->/; A7.15) и краевому условию сЛ>, t)=0 (t>0). A7.16) Функция ct (х, t), как решение уравнения A7.6) при условиях A7.15) и A7.16), может быть найдена из решения примера 2 п. 46. Для этого надо в формуле A5.8) положить as = D, г70=0, uo=—1, лг1 = О, ха = оо и заменить х на х — /. Мы получим (рекомендуем читателю все выкладки провести самостоятельно) где Ф (х) — интеграл вероятностей. Легко проверить, что при .*;>¦/ и t—*0 функция Ci (х, t) —<¦—1, а при <>0 и х = 1 функция Cl (/, ?) = 0. Именно так следует понимать начальное и краевое условия. Тогда функция g{ (x, t), определенная формулой A7.13), примет вид t о-, <х t) = —[ Ф (—*~1 )у (х) dx. } VVD(t)jk Согласно равенству A7.14) и условию A7.15) она является реше- решением уравнения dt-U дх* х {t)' а согласно A7.13) и A7,16) удовлетворяет условиям Ociaeica только положить
222 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ [ГЛ. II и задача решена. Окончательно функция g(x, t), удовлетворяющая неоднородному уравнению A7.10) и условиям A7.11) и A7.12), будет иметь вид t или, после интегрирования по частям, о g(x, t) = —4 Так как f @) = 0, Ф (со) = 1 (получается при х > / и т = t) и t ^Ч (х) -j- Ф [—.111! .)dx. 2 /1)(/-т) 9 -^~ t 4O If - t) 2 у -т) ch- Согласно формуле A7.9) окончательное решение поставленной за- задачи б}дет J) (v - I)'1 с{х> 0== JL=4. { . 1W -ewu^dx. A7.17) 2/г.О ,1 ((— x)s/2 v ' о Тот факт, что функция с (х, t) удовлетворяет начальному и крае- краевому условиям, следует понимать так: при х > / и t—>Q функция с (х, t)-*0, а при ?>0 и х — I функция с (х, t)—*c(l, ()=<p(f). Проверка последнего условия наиболее важна, так как на первый взгляд из формулы A7.17) следует, что при х = 1 функция с (I, t) равна нулю благодаря множителю перед интегралом. На самом же ') Другой вывод формулы A7.17), основанный на применении операционного исчислении, содержится в книге, указанной в снос- сноске на стр. 100.
§ 17] ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ 223 деле при лг=/ интеграл становится расходящимся; это осо- особенно ясно видно, если <р {х) = с^Ь(). Действительно, dx И при x = t правая часть обращается в со. Таким образом, просто подставлять значение х — 1 в формулу A7.17) нельзя. Чтобы все- таки проверить требуемое условие, преобразуем эту формулу, про- произведя замену переменной (как это )же неоднократно делалось раньше): х—1 (x-l)dx г ~ г> 4уъ(t— Тогда X — I lYDt Теперь видно, что при л: = / и оэ 2 (здесь мы воспользовались значением интеграла Пуассона). 53. Примеры. Пример 1. В тонкой бесконечной непроницае- непроницаемой трубке находятся две среды: 1) х < I (I > 0) с коэффициентов диффузии Di и 2) х>1 с коэффициентом диффузии Da. В момент ? = 0 в трубку при х = 0 вводится («вспрыскивается») «погонная единица» диффундирующего вещества (т. е. такое количество, кото- которое при равномерном распределении по единице длины трубки дает концентрацию, равную единице1))- Тогда в среде 1, т. е. для х < I, решением будет фундаментальное решение ') Л^ожно сказать, что начальным условием является с |^_0 = 8 (х), где 5 (л:) — импульсная функция Дирака (см, стр, 164).
224 УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ (ГЛ. II Чтобы найти решение в среде 2, мы должны для отрезка трубки х~>1 поставить следующую задачу: найти решение уравнения диф- диффузии двг п д% dt Us дх* • удовлетворяющее начальному условию и краевому условию (условию «склеивания») Это в точности та задача, которая была нами решена в п. 52. По формуле A7.17) где При фактическом отыскании функции с2 (л:, t) возникают серьезные затруднения, связанные с необходимостью численно вычислять не- несобственные интегралы. П р и м е р 2. В полубесконечной (непроницаемой) тонкой трубке х > 0 конец лг=О закрыт непроницаемой перегородкой. В отрезке 0<лг</ имеется постоянная концентрация со в среде с коэффи- коэффициентом диффузии /Jj. В отрезке трубки х > / диффундирующего вещества нет (концентрация равна нулю); этот отрезок заполнен средой с коэффициентом диффузии D2. При х — 1 находится непро- непроницаемая перегородка, которая в момент t — О удаляется. С этого момента начинается процесс диффузии, в течение которого надо определить концентрацию с (х, t) (х > 0). Для участка трубки 0 < х < / решение совпадает (с соответ- соответствующими изменениями) с решением примера 1 п. 46. Заменяя в формуле A5.5) о0 на с, и о на YDlt получим с(х, t) = Cl(х, t)=сл 2 1 WDj) \2VDJ При *=/ концентрация будет равна
S 171 ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ 225 и это значение служит (в силу условия «склеивания») краевым условием для концентрации с2 (х, t) на отрезке х > I. Таким обра- образом, мы должны решить для с2 следующую задачу: дс»-п д°с°- Эта задача совпадает-с задачей п. 52 при ТЧ' 2 \VDTt}- Решение дается, как мы видели, формулой A7.17), т. е. г_ { v /I I li/ с8 (х, t) = 8 И. Г. Араманович, В. И. Левин
ГЛАВА III УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА § 18. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Метод функции Грина 64. Постановка краевых задач. Уравнением Лапласа называется уравнение Ди = 0, A8.1) где Дг/ — лапласиан, имеющий в декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно следующий вид см. введение, п. 3): Л" + + A8J) г- д-в- ' дг- ' ___}__д_ ( % ди\ i 1 д_! ¦ п ди ' ~~ г* дг \Г W/ ~т" г" sin 6 dO \Sln сH _}___ ( _ г* дг \Г W/ ~т" г" sin 6 dO \Sln сH У i гз sjns о d<f* ' A8.2') Уравнение Лапласа играет важную роль в приложениях. Например, ему должно удовлетворять всякое стационар- стационарное распределение температуры в теле (см. § 12). Действи- Действительно, если температура и=и(х, у, z, i) не зависит от t, ю -^т-^0 и уравнение теплопроводности A6.10) сводится к уравнению Лапласа A8.1I). Применение уравнения Лапласа выходит далеко за рамки вопроса стационарного распреде- распределения температуры. Однако при изучении этого уравнения ') Уравнению Лапласа удовлетворяет также потенциал стацио- стационарного электрического ноля во всякой области, где О1сутств>ют заряды.
^ 18) КРАГВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 227 представление функции и как температуры очень удобно и наглядно. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, назы- называются гармоническими. В каждой задаче, связанной с урав- уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций определенным дополнительным условием, которое чаще всего является краевым. Если обратиться к «тепловой» иллюстрации, то общим краевым условием является условие A6.12) п. 48. Таким образом, возникает следующая краевая задача: в области про- пространства, ограниченной замкнутой поверхностью Г, ищется гармоническая функция и {х, у, г), удовлетво- удовлетворяющая на границе Г краевому условию (л — направле- направление внешней нормали к Г) да г = м |г — и, где Н и п — функции, заданные па границе Г. В задаче ста- k ционарного распределения температуры И = -г, и — тем- температура внешней среды на границе тела. Наиболее важным является частный случай Н = 0 этой краевой задачи, соответствующий случаю h = oo, т. е. зада- заданию температуры границы тела: и [г = й. Эта краевая задача называется задачей Дирихле. Задача Дирихле в пространстве форму ли- руекя так: Найти функцию и(х, у, г), удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности Г уравнению Лапласа Ан = 0 и принимающую на границе Г заданные значения: и\т = й. A8.3) То, что задача Дирихле всегда имеет решение (при не- некоторых весьма общих предположениях относительно Г и й), можно считать очевидным по физическим соображениям. Дей- Действительно, если каждая точка границы тела постоянно под- поддерживается при определенной температуре (которая может быть разной в разных точках границы), то в каждой точке тела установится в конце концов своя температура, кото- которая и дает решение задачи Дирихле при данных граничных 8«
228 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. lit значениях. Кроме того, очевидно, что по тем же соображе- соображениям это решение будет единственным. Задача Дирихле может, конечно, интерпретироваться также и в терминах диффузии: ее решением будет стационарная концен- концентрация (см. § 17) при условии, что концентрация на границе известна. Задача Дирихле может быть поставлена ив двух изме- измерениях. Если и зависит только от двух пространственных координат, например хну (или только от г и ср в поляр- полярной системе координат), то уравнение Лапласа A8.2) или A8.2') принимает более простой вид: или ди\ ) W ' A8'2а) Задача Дирихле наплоскосги формулируется так: Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую внутри замкнутой кривой Г уравнению Лапласа Дн = 0 и прини- принимающую на границе V заданные значения: и|Г —й. A*8.3а) Эга задача тоже имеет единственное решение. Она может возникнуть в физических задачах двух типов, которые мы разъясним опять на примере тела, распределение темпера- температуры в котором стационарно. Первый тип задачи относится к стационарному распределению температуры в тонкой одно- однородной пластинке, параллельной плоскости хОу с теплоизо- теплоизолированными нижней и верхней поверхностями. Край пла- пластинки Г поддерживается при определенной температуре й. Пластинка должна быть настолько тонкой, чтобы можно было пренебречь изменением температуры по ее толщине. Тогда температура и будет функцией только х и у. Второй тип задачи возникает при рассмотрении стацио- стационарного распределения температуры в бесконечном однород- однородном цилиндре, у которого образующие параллельны оси г, направляющая Г лежит в плоскости хОу, а боковая поверх- поверхность поддерживается при определенной температуре й (см. п. 49). Здесь и тоже остается постоянной на любой прямой, па- реллельиой оси г, проходящей в цилиндре, так что и — и(х,у\
5 18) КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЬНИЯ ЛАПЛАСА 229 Заметим, что задача Дирихле решается очень просто в одномерном случае, т. е. когда в соответствующей системе координат неизвестная функция и зависит только or одной из координат. В случае декартовых координат одномерное уравнение Лапласа принимает вид -^ = 0 и его решениями являются линейные функция и = Ах-\~В (стационарное распределение темпера1уры в тонком аержне с теплоизолированной боко- боковой поверхностью всегда линейно). Задача Дирихле имеет в этом случае решение п = —~—-x-\-Uq, где ио = и \x_q, «l=u\x-l- В случае задач с осеней симметрией запишем урав- уравнение Лапласа в цилиндрических координатах (le^'), считая, что и не зависит or ср и z: \ dr Отсюда г -,— = А и и = A In r -\- В, где А а В — произволь- произвольные постоянные. Задача Дирихле п\г_а = иа, и\г_ь = иь имеет, как это легко проверить, решение 1 ~~ "*Iп г + ^'*1п а ~~ "а 1п ln-L : "a + ("b — «a) %r Эта формула дает решение задачи о стационарном распре- распределении тепла в пространств между дв>мя цилиндрами с об- общей осью при условии, чю на поверхпоаях цилиндров под- поддерживается постоянная температура '). (Ясно, что если ua=ttit то гг = ио.) Заметим, что полученное решение теряет смысл при г = 0. Наконец, если гармоническая функция и зависит только от расстояния точки до начала координат, то, воспользовав- ') Можно такжй сказать, что а — потенциал электросташ te- скою поля в цилиндрическом конденсаторе, на обкладках которое потенциалы соответственно равны иа и иь.
230 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. ПГ шись сферическими координатами (см. A8.2")), получим уравнение откуда г2-^- = Л, — = ~ и v — (- В. Поставив за- задачу Дирихле u\r_a=i/ai u\r_b—ub, найдем сгационарное распределение температуры в сферическом слое1) asgrscfr: и=иа-\-{нь — иа (и здесь решение не имеет смысла при г = 0). Трехмерные и двумерные задачи Дирихле могут быть точно решены только для сравнительно простых' областей (приближенные методы решения мы не рассматриваем). Мы сейчас изложим основы общего метода решения задачи Ди- Дирихле, называемого методом функции Грина % 55. Метод функции Грина для задачи Дирихле (трех- (трехмерный случай). Метод функции Грина базируется на фор- формуле Грина, являющейся следствием формулы Остроград- Остроградского— Гаусса (см. [1], п. 152): ndc = \ \\div Adv, A8.4) где 5—граница области V, n = cos ai -(- cos J3j -j- cos fk — единичный вектор внешней нормали к 5, Л„ = Ап — проек- проекция вектора А па направление п. Пусть и = и (х, у, z) и v = v (х, у, z) — две любые дважды дифференцируемые функции и А =ц grad v — v grad it. Тогда Ап = (н grad v — v grad и) п = и grad v ¦ n — v grad и • п. ') и является также потенциалом электростатического поля в шаровом конденсаторе. г) Если читатель интересуется только применением метода Фурье, то он может прямо перейти к чтению § 21.
§ 181 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 23) Поскольку скалярное произведение градиеша функции на единичный вектор равно производной функции по направле- направлению этого вектора, то , dv , ди gradxJn gradnn Поэтому выражение для Ап примет вид . dv da A« — "fa~VdTi- Перейдем теперь к вычислению divА: div A = div (и grad v — v grad и) = div (и grad v) — di v (v grad u). Преобразуем каждое из выражений в правой части: ,. , , . ,. ( dv . , dv . , dv. \ div (u grad v) = di v it -r- i 4- it -s- i + it ~r- к = 46 ' \ dx ' dy J ' dz j d I dv\ . d ! dv \ , d [ dv\ a.v V o.v; ' dy \ dy / ' dz \ dz J v d'v d'*~o \ , du dv . du dv , du dv k* ~T" dyz ~r~ dz'2 j ' dx ~dx ' dy dy ~' dz t!z = и Ди -j- grad it • grad v и аналогично div (xi grad if) =«A»-[- grad v- grad гг. Поэтому div A = и Дг> — г) Дн. Подставляя выражения для Ап и div А через и и г> в фор- формулу A8.4), получим формулу Грина Нам понадобится, однако, обобщение этой формулы на тот случай, когда область ограничена не одной, а двумя поверхностями. Пусть область W ограничена снаружи замкнутой поверхностью S и изнутри замкнутой поверх- поверхностью Si, лежащей целиком внутри 5 (так что W—это часть внутренности 5, внешняя относительно Sj). Тогда фор- формула Остроградского—Гаусса A8.4) запишется в виде Ц АП1Л -\-1| Ап do = ^ ^ div A dv,
232 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. ПГ где ni — единичный вектор внешней нормали к Si, т. е. век- юр, направленный внутрь Si (внутренность 5[ не принад- принадлежит W и поэтому является областью, внешней относи- относительно Щ. Соответственно формула Грина A8.5) примет вид dv ди \ , , eg I dv ди \ , A8.6) i, Эта формула и служит основой метода функции Грина реше- решения задачи Дирихле в пространстве. Введем теперь определение самой функции Грина для трехмерного случая. В качеаве поверхности 5 возьмем гра- границу Г области Q, для которой мы решаем задачу Дирихле, и выберем внутри Г произволь- произвольную, но фиксированную точку А(х0, уа, z9), которую окружим сферой 3"[ радиуса е ^> О с центром в А При этом мы предположим, что сфера 5, це- целиком лежит внутри Г (рис. 61). Ч oi да между б1", и Г мы имеем область W. Обозначим, далее, через Р(х, у, г) любую точку области 2, отличную от А, и через г ар — рассюяние между ючками А и Р: Рис 61 г ар — У (х — хо? + (У —У»? + (- ' /!егко проверить, что функция 1 'АР является гармонической, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа Д«» = 0, во всех точках, кроме самой точки А, в которой она обращается в бесконечность. Действительно, дглр дх ' Л. ¦"" ГАР dw 1 дг Г'А1' АР дх
18] КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 233 •ар "л га> _ 2{х — х„)* — (у—у0У—(г — гя) аналогично d*w _2(y — yl,K — (x~x0y~(z — z^ d2w_ 2(г — го)* — (х — хо)* — (.у — у<1)!> dz* rAP и Еще проще в этом можно убедиться, если рассмотреть ла- лапласиан в сферической системе координат с началом в точке Л (см. A8.2")); тогда ГАР = г, w = ~ и Д^ = ~ ~^ г* —^ == 0, так как г2 з- = — 1 и w не зависит от 6 и ш. сг Обозначим, далее, через wx решение задачи Дирихле д.та области 2 с краевым условием Wi\i=w\v. A8.7) Согласно определению функция wt — гармоническая уже во всей области Q, в ю время как ¦к» — гармоническая только в области W, получающейся удалением из области Q сферы Sy содержащей точку А (таким образом, область W не содер- йч и т точки Л). Поясним =>ю простым примером. Пусть 12—шар радиуса 1 с центром в начале координат, Г — его ipaimua и точка Л совпадает с началом координат. Тогда w=— и w\r=w\r_1 = l. В то же время функция, прини- принимающая на Г значения, равные 1, и гармоническая во всем uiape, будет, очевидно, тождественно равна единице: и>1=1 (эю особенно ясно из физических соображений: если темпе- температура в точках тела не меняется с течением времени, а на границе тела постоянна, то она вообще будет величиной
234 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. HI постоянной). Этим примером подчеркивается, что функции w и ©л совпадают, вообще говоря, только на границе Г. Разность функций w^ — w называется функцией Грина для области Q и обозначается обычно через O = Q(x, у, z; x0, ya, z^) = wl~w=^wi—-^-. A8.8) ГАР Обратим внимание па то, что функция Грина зависит как о г координат х, у, z текущей точки Р, так и от координат ха, у0, za произвольно выбранной, но фиксированной точки А (последние входят в явном виде в w, но они войдут также через краевые значения и в Wi). Особо отметим, что, в силу условия A8.7), функция Грина на границе Г обращается в нуль. G|r = 0. A8.9) Пусть теперь в— искомая гармоническая функция в об- ласш Q, принимающая на границе Г значения й; положим ii = G и применим к области И? формулу Грина A8.6). Тогда, ввиду того что в этой области Дгг = 0 и Дг> = 0, правая часть формулы Грина обращается в нуль, и мы получим сле- следующее равенство: Si Второй из этих интегралов в силу равенства A8.9) и усло- условия и |i = й сведется к Для вычисления первого интеграла- введем систему сфе- сферических координат г, 0, ср с началом в точке А. Тогда на St гАР = г = е, ^ = ~lr, do = ^sin Следовательно, равенство A8.10) перепишется в виде
18] КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНГНИЯ ЛАШНСЛ 235 Правая часть этого равенства, очевидно, не зависит от е. Поэтому она должна быть равна также и пределу левой часги при е —>¦ 0: A8.11) Чтобы вычислить этот предел, заметим, что по формуле A8.8) Q = wl (iai< как мы теперь гАР обозначаем че- через г\ Тогда и» да f sin 9 dO — sin e (/о. Функции и и a>i — гармонические во всей области Q, вклю- включая точку А. Поэтому они вместе со своими производными ограничены (точное доказательство этого факта мы не проводим; отметим лишь, что с физической стороны он совершенно ясен: функции и ив, можно толковать как не- некоторые стационарные распределения температур в однород- однородном теле). Это значит, что о о Со вторым интегралом дело обстоит сложнее, так как 1 II 1 = г и — I =— неограниченно возраааюг
236 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 1ГЛ. ПТ при е -> 0. Найдем предел каждого слагаемого в отдельности: sin G dO -. 2n « = lim \ dr9 i и \r , sin 9 d%. г -> 0 J J о о Так как функция г/ непрерывна, то lim н| г_, = и |г_0. Счи- Считая возможным переход к пределу под знаком интеграла, получим 2п л U О Далее, в силу ограниченности °^- 2гс к \ f— рт-) sin G сГО = о 2гс к da .. Г . Г ди = 1)П1 S \ Ясс \ з— и о /¦-в sm e f/e = о. Таким образом, предел в левой часги равенства A8.11) есть просто 4ян !,_„== 4чи1(дгв> _у0, г0), так как при г = 0 в каче- качестве аргументов функции н мы получаем координаты точки Л. Теперь формула A8.11) принимает окончательный вид: Уо> *о) = -j- g Й gf Л- A8.12) др^ даеот решение задачи Дирихле в кро- странстве, если известна функция Грина О; действи- действительно, мы получили значение искомой функции и в любой точке А области Q. Примечание. В некоторых руководствах под функцией Грина понимается функция, отличающаяся от функции A8.8) зна- знаком. Соответственно появляется знак минус перед интегралом в формуле A8.12j.
§ [8] КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 2.47 56. Метод функции Грина для задачи Дирихле (дву- (двумерный случай). Здесь метод функции Грина также осно- основывается на формуле Грина, аналогичной формуле A8.5), а именно: Udd)^ A8.13) где С — замкнутая кривая на плоскости, ограничивающая п ди dv область Д a j- и -, производные по направлению внеш- внешней нормали к С. Эта формула может быть получена из формхлы A8.5), приме- примененной к цилиндру высоты 1, построенному на С как на напра- направляющей с образующими, параллельными оси г. Тогда, поскольку и и v не зависят от г, \ f (и Av — V Ли) dv = 1 • V \ (и До — V Дм; rfu, D ас ( dv ди\ , , С / dv ди\ I. ф к 3 v -ч- (плюс интегралы по основаниям цилиндра, которые, однако, равны V д д нулю, так как на верхнем основании -^—= -;—, на нижнем ~~ дг' а дг дг дп ~~ дг' а дг дг Отметим, что формула A8.13) может быть выведена из фор- формулы Грина на плоскости. Нам нужна обобщенная формула Грина, ана- аналогичная формуле A8.6), а именно: dv ди \ , , С / dv ди\ , с = J5 (" &V — v Дн) do, A8.14) Е где Ct — замкнутая кривая, лежащая внутри С, а ? — двухсвяз- двухсвязная область, заключенная между кривыми Q и С. Как и
2по УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. ИГ в пространственном случае под направлением вектора п± по- понимается направление внешней нормали к кривой С\ (см. рис. 62). Функция Грина на плоскости вводится теперь следующим образом. В качестве кривой С возьмем границу Г области D, для которой мы решаем задачу Дирихле, и выберем внутри Г произвольную, по фиксирован- фиксированную точку А(х0, _у0); за кон- контур С[ примем окружность ра- радиуса г ^> 0 с центром в точ- точке А. При этом мы предполо- предположим, что окружность d цели- целиком лежит внутри Г. Тогда между С] и Г мы имеем область Рис. 62. ? (заштрихованную на рис. 62). Обозначим вновь через Р(х,у) люб^ю точку области D, отличную от А, и через гАР— рас- расстояние между точками А и Р: г ар = V(x Проверим, что функция w — In ГАР = — In гАР является гармонической, т. е. удовлетворяет уравнению Действительно, дгА] ~~дх х — х0 dw 1 дг АР АР 'АР дх 'АР 1 'АР Аналогично , г, Х ~ Л'о дгАР ' ~г\р~*~ гар _ (у— уоу — {х — гар dszt> дх* д-w
§ 18) КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 23Э В этом можно также убедиться, если рассмотреть лапла- лапласиан в полярной системе координат с началом в точке Л (см. A8.2')); тогда rAP=r, w==—lnr и Ди>=—^ fr —J =0, так как г-г- = —1 и w не зависит отер. Отметим, что функция w — гармоническая в области Е (так как эта область не содержит точку А). Обозначим, далее, через W\ решение задачи Дирихле для области D с краевым условием Wi \r = w\p. A8.15) Функция Wi — гармоническая уже во всей области D. (Разли- (Различие между функциями w и wt было выяснено на стр. 233.) Тогда функция Грина для области D будет име1ь вид G = G(x, у; ха, _yo) = Wi — w = Wi — In-—. A8.16) ГАР Как и в трехмерном случае, функция Грина и здесь зависит от координат точек Р и Л, и по определению A8,16) и условию A8.15) О1г = 0. A8.17) Для искомой гармонической функции и, удовлетворяющей условию н[г = й, и функции v = Q запишем формулу A8.14), правая часть которой обратится в нуль (так как Дн = Дг1 = 0): г причем в силу равенства A8.17) дп Введем полярные координаты г, ср с началом в точке А. Тогда па окружности Q справедливы соотношения f~'-= — 57' гДр = г=^з и ds = zdv. Учишваи все это, мы можем
240 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. HI переписать формулу A8.18) в виде E О так как гг |Г = м. Поскольку правая часть равенства A8.19) не зависит от е, то в левой части можно перейти к пределу при е —*¦ О аналогично тому, как это было сделано в предыдущем пункте (см. A8.11)). Подставим О из формулы A8.16); разбивая ин- интеграл к левой части формулы A8.19) на два слагаемых и учитывая, что функции и, те>, и их производные ограни- ограничены ') в области D, получим, что искомый предел равен так как е In е ->• 0 при е-»¦ 0, а н|г_,-»-н |/._0 = н(лгв) .Уо)- Поэтому hy0) = ~~ founds. A8.20) Эта формула дает решение задачи Дирихле на пло- плоскости, если известна функция Грина G. 57. Задача Неймаиа. В приложениях встречается еще одна краевая задача для уравнения Лапласа, так называемая задача Неймана. Задача Неймана состоит в следующем: Найти функцию и, удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности {или кривой) Г уравнению Лапласа Д«=0 и на гра- границе Г условию где з производная по направлению внешней нормали к Г, о «1 — функция, Заданная на Г. J) Точное доказательство этого факта мы опускаем (см. соот- соответствующее замечание ьа стр. 235).
§ 18) КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 241 Прежде всего отмстим, что функция их на поверхности (или кривой) Г не может быть задана произвольно, Если в формуле A8.5), верной для любых функций а и v, положить о=1, то з~ =0 и Д» = 0 и формула примет вид Поэтому для любой функции и, гармонической в области V, огра- ограниченной поверхностью Г, должно соблюдаться равенство §ЙЛ=0- A8-22) г Следовательно, граничное значение производной -- на Г — функ- функция #i — должно удовлетворять \стовию ^1 = 0. A8.23) (Аналогично в двумерном случае из формулы A8.13) будет следо- следовать, что ф j-ds = 0, где Г — граница области D.) г При соблюдении условия A8.23) задача Неймана всегда имеет решение. При этом очевидно, что вместе с любым решением и решением будет также и + const. Можно доказать, что других ре- решений задача Неймана не имеет, т. е. что разность двух любых реше- решений задачи Неймана постоянна. Это означает, что решение задачи Неймана единственно с точностью до аддитивной постоянной. Задача Неймана играет важную роль в теории волновых про- процессов, в частности в теории электромагнетизма. Метод функции Грина может быть применен и к решению за- задачи Неймана на основе формул A8.6) (для пространства) и A8.14) (для плоскости). Но функция Грина G для задачи Неймана должна быть определена несколько иначе. Мы по-прежнему полагаем 1 1 G==.wi — w, где да = для пространства и н/ = 1п для пло- гар ''ар скости; однако на функцию wl7 гармоническую во всей области V, накладываем теперь краевое условие dwl dw ~"&п Применяя формулу A8.6), можно доказать, что если положить /^= 4itjS, где 5 — площадь поверхности Г (или, в двумерном случае, /С=2п//, где / — длина кривой Г), то интеграл от -—-, взятый но ipamme Г области V, будет равен нулю, т. е. что условие A8.22}
242 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III будет соблюдаться. Тогда дО и, рассуждая так же, как в пп. 55 и 56, мы придем к решению задачи Неймана и (-*•„ у„, г,) = — -^ (П) a,Q rf<J A8.24) г (в пространстве) и 1 С « (-Го, Л> =— -о~ Ф «lG^s (I8.25) (на плоскости); как уже отмечено, функция и определяется с точ- точностью до произвольной постоянной. Задачу Дирихле часто называют первой краевой задачей для уравнения Лапласа, а задачу Неймана — второй краевой задачей. Рассматривается еще третья краевая задача: найти функцию и, удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности (или кривой) Г уравнению Лапласа Дм = 0 и на границе Г условию дп |г ' 'г ~ '*' где й, р, 7 — функции, заданные на Г. Очевидно, что задачи Ди- Дирихле и Неймана являются частными случаями этой задачи. Однако третьей краевой задачи мы касаться не будем. § 19. Решение задачи Дирихле для шара и полупространства 58. Сопряженные точки. Основной трудностью при ре- решении задачи Дирихле является нахождение функции Грина, которая в явном виде известна только для небольшого числа простых областей. В частности, функция Грина известна для шара, круга, полупространства и полуплоскости. Поэтому мы и займемся решением задачи Дирихле для этих областей. Решения, которые мы получим, играют важную роль в приложениях. При построении функций Грина нам понадобится понятие .сопряженных точек. Две точки А и А* называются сопряженными отно- относительно плоскости (в пространстве) или прямой (на пло- плоскости), если они симметричны относительно этой плоско- плоскости или прямой. 'Гак, точки А (хй, у9, z9) и A* (xu, уй, — z9) сопряжены относительно плоскости z = 0, а точки А (х9, у0) и А* (ха, —уа) — относительно прямой у — О.
« 19] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ UUPA 243 Несколько сложнее понятие сопряженноеiи относительно сфер ы (в пространстве) пли окружности (на плоское! и). Точки А и А* называются сопряженными относительно <феры или окружности, если они лежат на одном луче, исходящем из центра О сферы пли окружности, и про- произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса: О А- О A* =R*, где R — радиус сферы или окруж- окружное i и. Если центр сферы совпадает с началом координат, то в пространстве точка А(х0, у0, г„) сопряжена с точкой ' 5 ^J'o. 7^о\ где ro= OA =VA + У1 Чтобы в этом убедиться, обозначим координаты сопряженной точки Л* через xj, у$, z%, тогда г^ = ОА*=\/ х%'-\-у%' -(-zf . Р силу определения гг,;! = /?'2. Поскольку точки А и А* ле- лежат на одном луче, выходящем из начала координат, то ¦^ о о о 3 о о т. е. Г>2 О2 4rJ'o . где г0 = ОЛ = 1/л'5Н-з'§, сопряжены Г5 / Совершенно аналогично получим, что точки А(х0, _у«) A'' i-r-Xo, -4rJ'o . \ гп 5 / относительно окружности радиуса /? с центром в начале координат. Очевидно, что если точка А лежит внутри сферы пли окружности, то точка Л* находится вне сферы, cooiBer- ственно окружности; если А лежит на сфере (окружности), то А* совпадает с А. Центру сферы или окружности не со- сопряжена никакая точка. Для сферы и окружности геоме1рн- ческое построение сопряженных точек состоит в следующем. Пусть А лежит внутри окружности и не совпадает с ее центром (рис. 63); проведем через Л хорду ТТЬ перпенди- перпендикулярную лучу О А, и через концы Т и jTj — касательные
244 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. ИГ к окружности; эти касательные пересекаются в точке А* на луче О А, так как из подобия треугольников О AT и ОТ А* вытекает, что n ~ = ^-^г > откуда О А ¦ О А* = ОТ1 = /?*. Если мы будем вращать фигуру на рис. 63 вокруг оси О А А*', то возникает соо гве гствуютее постро- построение для сферы. Очевид- Очевидно, что указанным обра- образом можно по точке А* построить точку А (т. е. сопряженную с точкой, лежащей вне сферы или окружности). 59. Задача Дирихле для шара. Рассмотрим шар радиуса R с цент- центром в начале координат. Пусть А(х0, _уо> z0) — фиксирован- фиксированная точка шара, A~*(Xq, yt, z%) — точка, ей сопряженная, и Р{х, у, z) — произвольная переменная точка. Тогда Рис. 6J. гАР = У (х - х»? rA,P = V(x - xtf + СУ + {г - z$)\ Если ввести обозначения ОР = г, ОА — г0, = $ (рис. 64), то по теореме косинусов гАР = VV 4- г? — 2гг0 cos ф и гдфР = V г2 -f rf — 2/То5 cos ф. Так как гаг$ = то I Согласно доказанному в п. 55, функция w = удовле- творяет уравнению Лапласа во всех точках, кроме точки А. Поэтому функция ГА*Р
191 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА 245 будет гармонической всюду внутри шара, так как точка А* лежит вне шара (точка А* — сопряженная с точкой, лежащей внутри шара). Рис. 64. Далее, если точка Р расположена на границе шара сфере Г, то r = R и 7Т ~ 2 7~ cos * = 7Т = f VrF? + П - 2Rr, cos ф = В- гАР |г. I го "о J A9.2) Поэтому функция wl = — Wj=—— является гармонической "о ''д»? во всем шаре, и ее значения на сфере Г совпадают со зна- значениями функции w = , так как ГАР R ГА*Р — W г. •ар
246 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА ГГЛ. ПГ Согласно определению (см. п. 55) функция Грина для шара имеет вид гар A9.3) После того как функция Грина найдена, можно по общей формуле A8.12) написать решение задачи Дирихле для шара. Для этого нужно предварительно вычислить значения произ- производной от функции Грина по внешней нормали, т. е. при r = R. Согласно формулам, определяющим G, гДр — и Та*р, имеем 5G 1 dr дг 7А~И"~д? R 1 drAt Atp __ г — г0 соз у ~ ГАР п Г — -2— COS ф Я г0 т Учитывая формулы A9.2), получим да дг /? Го COS ф п R 7Гглр - 2/?r0 cos Введем теперь сферические координаты с началом в О: х = г sin 6 cos ср, у = г sin 6 sin ср, г = г cos 6. Обозначим координаты точки Р через г, 9, <р, а координаты точки А — через г0, %, <р0- Тогда в формуле A8.12) н будет функцией S и <р, и нам остается только выразить через введенные сферические координаты величину costy
5 19] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА 247 из выражения A9.4). Это можно сделать при помощи еди- единичных векторов е0 и е направлений ОА и ОР. Так как О А ^= x, + Jj = r0 sin 60 cos cpoi -j- ra sin 0O sin уoj -j- r0 cos Qok, OP = r sin 6 cos cpi -}- r sin 6 sin tpj -j- r cos 6k, TO e0 = — О A = sin 60 cos -f oi -+- sin 6osin 'f oj + cos 9„к, '0 1 e = — OP = sin 6 cos ff I -j- sin S sin cp j -j- cos 6k. Следовательно, cos ф = eoe = sin 60 sin 6 cos (=p — cp0) -f- cos 00 cos 9. A9.5) Таким образом, мы получаем окончательное решение за- задачи Дирихле для шара в следующем виде: "(/о, %> <?о) = — ч 4л 3. г = -L С d» ii й@, ф) ^ (^8~П) ^sin Odd, A9.6) 4д J T^ ' (R' + rl — 2Rr0cos^K'2 где вместо cos'} нужно подставить его выражение A9.5). Интеграл A9.6) называется интегралом Пуассона для шара. Следует обратить внимание на то, что при выводе фор- формулы A9.6) мы должны были предполагать, что точка А не совпадает с началом координат, т. е. что г0 -ф 0 (так как центр сферы не имеет сопряженной точки). Но по непре- непрерывности решения формула A9.6) останется в силе и при го = О; она тогда примет вид §ф, tfdo, A9.7) означающий, что в центре сферы гармоническая функция имеет значение, равное среднему ее значений на сфере (теорема о среднем для гармонических функций).
248 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. Ill Формула решения A9.6) довольна сложна, однако ею можно воспользоваться в некоторых частных случаях. Если мы предположим, что граничная температура й = 1 на всей сфере, то в силу единственности решения задачи Дирихле всюду внутри шара из1. Это означает, по фор- формуле A9.6), что 2* — П) sin 9d9=l A9.8) для всех 0^ rn^R, 0^60^тс, 0 <: ср^ =g; 2-я (cos ф опре- определяется по формуле A9.5)). Указанный факт можно про- проверить и непосредственно, правда, при этом приходится иметь дело с весьма сложными интегралами. Пример 1. Дан однородный шар радиуса R, верхняя половина границы которого поддерживается при темпера- температуре 1, а нижняя — при темпе- температуре 0. Найдем стационарное распределение температуры вдоль диаметра шара SN (рис. 65). Для точек верхней полу- сферы у, для точек нижней полусферы у следовательно, и = 1, если 0, если y Рис. 65. Сложность формулы Пуас- Пуассона A9.6) видна из того, что даже в этом простейшем случае распределения внешней тем- температуры получить выражение для температуры во всех точках шара очень затруднительно. Поэтому мы и ограничиваемся лишь частным случаем. Будем искать температуру в точках вертикального диа- диаметра SN. Если точка А лежит на радиусе ON (т. е. в верхней части шара), то во=гО и cos(]j=cos9 (cm.
191 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ UUPA 24<4 формулу A9.5)). Если же точка А лежит на радиусе 05, то 6в = it и cos ф = — cos 6. По формуле A9.6) для точки А, лежащей на радиусе ON на расстоянии г0 от О, получим 2* n / na r2\ с U = Ъ— \ 4я J it/2 (R* + n — 2«r0cos6)s/a /? (/?3 — r30) г/2 sin 0 ? — 2/?r0cos 2 ' 2r Для точки А, лежащей на радиусе OS на расстоянии г0 от О, 2it it/2 4w J sin 9 2г„ . 2 2ro Таким образом,температура па вертикальном диаметре SN равна где верхний знак берется для верхней половины диаметра, а нижний^—для нижней. Любопытно отметить, что полу- полусумма температур в точках, одинаково удаленных от центра
250 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ.111 шара, раина -к-. Это же значение получится, если найти пре- предел а при Го-vO. Можно показать, что полусумма темпера- температур двух точек, лежащих на любом диаметре и равно- 1 удаленных от центра, равна тр. Значительно более сложным оказывается вычисление теыпера- т\ры в точках экваториальной плоскости. Здесь 0о—4^-и cos ф = = sin 6 cos (a> — <р0). Согласно формуле A9.6) / it \ 1 « г„ — , »о 1 = — где интеграл распространен по верхней полусфере. Вычисление / я \ 1 этою интеграла показывает, что и\г0, -ту, сро==—. Пример 2. Дан однородный шар радиуса R и на его границе — сфере Г — точка М со сферическими координа- координатами Ь' и ср' (рис. 66). Проведем на Г с центром в точке Л1 маленький кружок, видный из центра сферы под углом 2з (е^>0). Площадь полученного сферического сегмеща Е (за- шгрнхован на рис. 66) равна 2я/?*A—cos3)=: 4K/?2sin'2 .^--'. Пусть граничная температура й на всей сфере Г, кроме сег- меша S, равна 0, а на Б равна •, т. е. величине, 4л^2 sin3 y обратной площади сегмента И. Найдем стационарное распре- распределение температуры внутри шара при малых значениях угла г. 1) Если совместить ось сегмента с осью Ог, то площадь его выразится с помощью интеграла F? \ rf? $ sin 9 db = 2tijRs (I — cos s). о о
§ 191 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА 251 Применяя форм)глу A9.6), найдем, что в данном случае «(Го, К <Ро)=? J ? ! г „,..¦ R\~rL .,„. da, rl —2Rr0 где da = R- sin 6 dO cf'f — дифференциал площади сферы Г. По теореме о среднем интегрального исчисления эго может быть записано в виде "(гй! в0, сро) = I 2 - г-„ (R* + rl — 2Rrtt cos ty причем через 6 обозначено среднее значение t|>, соответствую- соответствующее некоторой точке М со сферическими координатами 6 и <р Рис. 66. лежащей в сегменте ?. При е —у 0 граничная температура сведется к нулю па всей сфере Г, кроме точки М, где тем- температура будет бесконечна {двумерная импульсная функ- функция Дирака; см. стр. 164). Так как при е->0 9->8' и ср -*¦ ср', то стационарное распределение температуры будет стремиться к
252 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III где согласно формуле A9.5) COS (|/ =s Sin 60 Sin b' COS (<p0 — cp') -j- COS 90 COS 6'. Опуская теперь штрихи, мы можем сказать, что выра- выражение -r-fjr, A9.9) (R* + r$ — где cos i[> определен формулой A9.5), является стационар- стационарным распределением температуры в точке (г0, 6„, tp0), если на границе шара поддерживается всюду темпера- температура О, кроме одной точки М с координатами 8 и <р, в которой температура бесконечна (в смысле указанного выше предельного перехода при е -у 0). Выражение A9.9) называется ядром Пуассона для шара. По формуле A9.8) интеграл от ядра Пуассона для шара по граничной сфере Г равен 1 для любых г0, во и <ро: й л- f — 2/?r0 cos ф) h J (/?s + r5 — 2/?г0 о 60. Задача Дирихле для внешности шара. Можно пред- представить себе теплопроводящее пространство, из которого изъят шар. Границей оставшейся бесконечной области будет сфера, являющаяся и границей шара (юлько темпера- температуру, поддерживаемую на этой границе, мы должны себе теперь представить «приложенной» изнутри). Очевидно, что решение задачи о распределении температуры в такой бес- бесконечной области, внешней к шару, может быть получено так же, как и формула A9.6); единственное изменение, ко- юрое мы должны произвести в выводе, заключается в том, что нужно точки А и Ли поменять местами, т. е. г0 в фор- Rs муле A9.6) заменить на - . Тогда мы получим искомую
§ 19J РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ Ш \РА 253 температуру = -.- \ d<f \ u{p, <p) где уже, конечно, r0 ^> R. Пример. В условиях граничной температуры примера I п. 59 стационарное распределение температуры во внешности шара па продолжениях вертикального диаметра мы получим, поменяв местами г0 и R в соответствующих формулах для температуры^внутри шара (именно такая замена переводит интеграл A9.6) в интеграл A9.10)), Таким образом, M=s=l±_Lfr rt 2 ад I Vn с верхним знаком для верхнего продолжения диаметра SN и с нижним — для нижнего. Отметим, что в обе стороны и -> у при Го -*¦ оо. 61. Задача Дирихле для полупространства. Для полу- полупространства z ^> 0 функция Грина имеет вид 0(х, у, z\ ха, у0, гл) = - —, ГА*Р ГАР где А {х№, Уо, Z(,) — произвольная точка полупространства z~^>0 и А*(дг0, уй, —z№) — точка, ей сопряженная. В этом случае Г АР = V{X — X,)* + (У — У of + (Z — Z»?, ГА'Р = V(X - X»? +(У — у»? + (Z + Za)* и 1раницею Г служит плоскость г = 0.
.'54 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. TIT Действительно, при этом 1 = ГАР ,*_0 ГА*Р — гармоническая при z^O. Далее, и функция 2-0 ' А*Р dG дО " дг (так как внешняя нормаль к Г направлена вниз, в сторону отрицательных z), a 5J r\tp дг ' r\p дг Л,Р Следовательно, dG дп Граничные значения й здесь заданы на плоскости z = 0, r. е. й = й (х, у) (— оо <^ дг <^ оо, — оо <^у <^ оо), и по ((юр- муле A8.12) i Г Интеграл A9.11) называется интегралом Пуассона для полупространства. Если ввести в пространстве цилиндри- цилиндрические координаты, положив x=rcos'f, y = rsiny, z = z, то формула A9.11) может быть записана в виде A9Л2) Следует иметь в виду, что интегралы A9.11) и A9.12) несобственные и для их сходимости (тем более пра- правильной) граничные значения й должны достаточно хорошо себя на бесконечности, например быть ограниченными.
19! РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА Ядро Пуассона для полупространства ?п 1 г« I 255 физически может быть (по аналогии со случаем шара) интер- интерпретировано как стацио- стационарное распределение температуры в одно- , родном полупростран- полупространстве г^>0, на границе которого — плоскости г = 0 — поддерживается температура 0 всю- всюду, кроме точки (х, у) этой плоскости, где она бесконечна. Дей- Действительно, если й = 0 пне квадрата х?— е<^ У-в< и равно -— внутри этого квадрата (рис. 67), то по формуле A9.11) х'-е х' + Рис. 67. *' 4-» у + г i*/s где л' — е <^ х <^ х' -f- е, при е —»¦ 0 мы получаем У — пределе т. е., опуская штрихи, ядро Пуассона для полупространства. Как следует из единственности решения задачи Дирихле, — оо —от
256 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. ЦТ т. е. интеграл от ядра Пуассона для полупространства по всей граничной плоскости равен 1. Это может быть проверено непосредственно интегрированием. Перейдем к примерам. Пример 1. На границе г = 0 однородного полупро- полупространства z^>0 температура равна 0 для д:<^0 и равна 1 для х~^>0. Найдем стационарное распределение температуры в полупространстве. По формуле A9.11) 00 00 U = ?- { d,X [ jT- dy. Очевидно, что это выражение не зависит от _уо> так как замена у—_уо = т( приведет к выражению [оо оэ II —— ~^z— \ CLX \ Вычислим внутренний интеграл, обозначив для краткости (jc — хо)г-\-z% = ^s и совершая подстановку i\ = \tgt: Тогда 00 :, f dx 1 , x — X.-. °° 1,1 , ,rn я=-\; rr-j—, = — arctg—-—- =-t?-\ arctg-5-. т. \ (x — xtty + zi я Б z0 о 2 ' 7t б 20 0 Таким образом, и (x0, y№ z0) = -j + — arctg ^, В этом случае температурное поле в каждой плоскости уй = const одно и то же. В разрезе плоскостью уо = О мы получим картину, изображенную на рис. 68. Изотермами
19] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА 257 являются лучи, исходящие из начала координат; луч, накло- наклоненный к положительному направлению оси х9 под углом air, 0<^<х<М, является изотер- изотермой и = 1 — я. Изометриче- Изометрическими поверхностями слу- служат плоскости, проходящие через ось _у0. Пример 2. На грани- границе z =0 однородного по- полупространства г^>0 под- "'° ""' хо держивается температура 0 PlIC gg всюду вне круга радиуса R с центром в начале коор- координат, а внутри этого круга поддерживается температура 1. Найдем стационарное распределение температуры на положи- положительной полуоси г„. Здесь удобнее применить формулу A9.12). Ввиду осевой симметрии задачи искомая температура и не будет зависеть от ср0, и мы получим rdr 2rr0 cos На оси z9 имеем Го = О, поэтому подынтегральное выраже- выражение значительно упрощается. Интегрируя, получим rdr Температура »@, г0), таким образом, монотонно убывает ог 1 до 0 при возрастании z0 от 0 до со. Для точек, не лежащих на оси zq, т. е. при го^>О, внутренний интеграл по г может быть вычислен точно, однако интегрирование по <р приводит к интегралам, не беру- берущимся в элементарных функциях, именно к эллиптиче- эллиптическим интегралам '). ') См. книгу [10]. 9 И. Р, Арамановнч, В. И. Левин
258 СРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 11.1. Ill § 20. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости 62. Задача Дирихле для круга. Эта задача решается аналогично соответствующей задаче для шара, только фор- формулы, естественно, получаются более простыми. Покажем, что функция Грина для круга ра- радиуса R с центром в начале координат имеет вид О(х, у; К -^ In— B0.1) ГА*Р ГАР Рис. 69. (ср. с формулой A9.3)), где х, у— координаты точки Р, хо> У« — координаты точки А. Точки А а А* сопряжены, и а гй = ЦИЯ ХИ\ = In ¦ о (рис. 69). Нетрудно проверить, что функ- R_ ' А*Р In [-const удовлетворяет уравнению ГА*Р ГА*Р Лапласа -^~-\--~-=:0 всюду внутри круга, так как точка Л* лежит вне его. Это доказывается так же, как на стр. 238 для функции w — ln . Из рис. 69 видно, что ГАР г ар = Уг* -\-r\- 2rr0 cos cos (? -
20) РЕШЫШЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ M'J'IA 259 Если точка Р попадает па границу круга (т. е. г = /¦?), то R_ Следовательно, значения функций а> = 1п и wx=z\?i —- ГАР ГА*Р совпадают на границе круга, и согласно определению (см. п. 56) правая часть формулы B0.1) действительно предста- представляет собой функцию Грина для круга. Чтобы воспользоваться общей формулой A8.20), нам осталось вычислить дО Ш дг Поскольку Or дгАР__ Г~ Г0со5 rAP дг ГА*Р то из формулы B0.1), которую удобно записать в виде О = 1п — — 1н га*р 4- In rар, получим Го дО 1 дгАР 1 5гА,Р = = ТАТр дг = г Г — Го COS (ф — <f0) Го Отсюда где г\п — Н*-\-г\~2/?r0cos(-f — ср0). Таким образом, окон- окончательно IF | — 2/?r,cos(<f 9'
260 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА (ГЛ. ИВ и решение задачи Дирихле для круга по формуле A8.20) примет вид И(Г„ Ъ) = (дифференциал длины дуги ds окружности Г заменен на R dy). Интеграл B0.2) называется интегралом Пуассона для круга, а выражение /?а + гЦ —2tfr0 соз (<р —<р„> B0.3) — ядром Пуассона для кру- круга. Физической иллюстрацией его является стационарное рас- распределение температуры вну- внутри круга радиуса R, граница которого — окружность Г —- поддерживается при температуре 0 всюду, кроме одной точки М с полярной координатой <р, в которой температура беско- бесконечна. Для доказательства положим в формуле B0.2) й = 0, если | <р — <р'|>е> и « = -2ЪГ» если \f — ?'1 <С е (Рис-70). По формуле B0.2) Рис. 70. 2ju/? где ^ — некоторое среднее значение ср, | ф — ?' I <С * (здесь мы, как и в пространственном случае, применили теорему о сред- среднем интегрального исчисления). При s—>-0 ф_>ср', и в пре- пределе мы получаем стационарное распределение температуры 1 — П 2ntf /?s + r|— 2/?r0cos(<p' — ?„) ' которое и является ядром Пуассона для круга, если мы опустим штрих при ср. Нетрудно видеть также, что инте- интеграл от ядра Пуассона дли круга по граничной окружности Г
20] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА 261 равен 1: 1 ¦2F>r0 cos (<? — •?„) 2« — 2#r0 cos =1. B0.4) Это вновь следует из единственности решения задачи Дирихле и может быть также проверено непосредственно интегрированием. Пример. Дана тонкая однородная круглая пластинка радиуса R, верхняя половина границы которой поддержи- поддерживается при температуре 1, а нижняя — при температуре 0 и-1 Рис. 71. (рис. 71). Найдем стационарное распределение температуры на пластинке и определим форму изотерм. В формуле общего решения B0.2) мы должны положить й(ср) = О для ic<^<p<^2ic и й(ср)=»1 для 0<^<р<^1с; сле- следовательно, искомое распределение температуры будет дано формулой и (Го, <?о) = § —2/?r0 cos (? ¦dy. Этот интеграл надо вычислять с осторожностью. Предположим
262 JРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. TIT сначала, что 0 <^^о<С'г: (т< е- чт0 точка го> <Ро расположена в верхнем полукруге); тогда разность ср— срв изменяется в пределах от —ср0 до тс — <?о> а этот интервал длины те пе содержит точек ± it. Поэтому законна подстановка tgi_i».—<t cos(-f — <p0) = i-qr^a- d<?=TqrF' и мы лучаем -.«V Чтобы преде 1авить найденное выражение в более удобном виде, вычислим tg (И«) = {*< -г "о = ^Щ? [ct5 "'г" + Ъ*-)== — 2Rr0 sin Так как правая часть отрицательна, то это означает, что и для О<^сро<[т; удовлетворяет неравенствам -у<Г«<С ^ ^а" ким образом, или и=\ — larctg Л'~гЬ @<сро<^)- B0.5) Если 1г<[ср1)<С2тс (точка (г9, ср0) расположена в нижнем по- полукруге), то интервал (— ср0, я — ср0) изменения ср — ср0 содержит точку — тс, но не содержит точку 0 и мы можем сделать под- подстановку Ctg?^ = <, COS (? — ?») = ?=-[, d'f = — -~j.
§201 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУ1А 263 Таким образом, для этих значений ф0 1 Преобразовывая, как и раньше, найдем tc(ar)_ / tg + ctg sin ¦— прежний результат, с тем лишь различием, что теперь правая часть положительна, так как sin cp0<^ 0. Следовательно, и0<и<1. Изотермы в верхнем полукруге по формуле B0.5) будут иметь уравнение (м постоянно, -g-<С. н <^ или, если перейти к декартовым координатам хй = r0cos¦?0» _у0 = г0 sin '.p0, уравнение т. е. ^1 Эго — уравнение окружности с центром в точке @, — R tg [A — н) «]) радиуса cos [A"!_ ц) пу проходяи1ей через точки (± R; 0); однако пашей изотермой является лишь дуга этой окружности, лежащая в верхней полуплоскости ^®
264 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. Ш (так как sincp0^>0). Аналогично показывается, что в нижнем полукруге _Уо<^0 изотермами также являюj ся дуги окруж- окружностей, проходящих через точки (±R; 0)(рис. 71). Уравнения этих окружностей: х1А-(\'л — ts,-uf = ~--— ' cos-л (г 63. Задача Дирихле для внешности круга. Так же, как мы поставили и решили выше задачу Дирихле для внешности шара (см. п. 60), можно поступить и с внешностью кр)га. Решением будет формула B0.2), в которой нужно поменять местами г0 и /?: 2* R* + г? — cos (<р — <р0) Если мы теперь поставим задачу об изотермах во внешности круга радиуса JR, верхняя половина границы которого поддержи- поддерживается («изнутри») при темпе- температуре 1, а нижняя—при тем- температуре 0, то эти изотермы будут продолжением изотерм для внутренности круга, т. с. дополнительными дугами соот- соответствующих окружностей. При этом, если д\га такой окр}ж- ности является вн}три кр) rd радиуса Л? изотермой и, то ее дополнительная д>га вне этого круга является изотермой 1 — и (рис. 72). Это ле!ко доказать таким же образом, как мы это делали выше для внутренности кр}га. 64. Задача Дирихле для полуплоскости. Функ- Функция Грина для полуплоско- полуплоскости у0^>0 имеет вид 0(х,у; хо, Уо) — Рис. 72. ГА*Р 'АР , B0.7) где А (х0, j>0) — произвольная точка полуплоскости _у„ ^> 0, а А* (хй, —ул) — точка, ей сопряженная. В этом случае Г АР X,f-\-(y-yt>f,
§20] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА 265 и границей Г служит прямая у = 0. (Рекомендуем читателю получить формулу B0.7) самостоятельно.) Далее (см. задачу Дирихле для полупространства, п. 61), да дп дО ' ду \гА,р ду rAP dft и решение запишется в виде (но формуле A8.20)) Выражение B0.8) называегся интегралом Пуассона для полуплоскости, а irx-xoy+yi Bа9) — ядром Пуассона для полуплоскости. Физический смысл ядра Пуассона для полуплоскости со- состоит в том, что функция у0 1 тс (*'_jro)«+yj представляет Стационарное распределение температуры в полу- полуплоскости Уо^>О, если граница — ось х — поддерживается при температуре и = Ъ(х — х^) (см. сгр. 164), т. е. при температуре 0 для всех х Ф х' и температуре оо в точке х' (в смысле предельного перехода, который ведет к импульс- импульсной функции Дирака Ь(х — х1)). Интеграл от ядра Пуас- Пуассона для полуплоскости по границе полуплоскости равен 1: .5 (х — Все эти утверждения предоставляем доказать читателю. Рассмотрим в заключение еще один пример. Пример. Дана однородная полуплоскость уа ^> 0, гра- граница которой — ось х — поддерживается при температуре О для \х\^>1 и при температуре 1 для |jc|<^/. Найдем
26fi УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. Ill стационарное распределение температуры в полуплоскости и соответствующие изотермы. В интеграле формулы B0.8) U'O -i и-1 I u*0 *, сделаем замену переменной х — хй = E; тогда ^— l—xo - jarctg-y-1-f arctg- —i У о 1-х, 1 -l-xt' 1 Начнем с изотермы и = -^-. На ней ^ +arctg ^, = -|, т. е. 2- = -^—•, откуда Эта изотерма является верхней полуокружностью радиуса с центром в начале координат (рис. 73). Для м<^
§21! МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Л\П1ЛСА 267 т. е. sinJ (ик)' Изотермой является дуга окружности радиуса — лежащая в верхней полуплоскости. Окружность эта прохо- проходит через точки (±/, 0) и имеет свой центр на положитель- положительной полуоси уй в точке @, /ctg(?/z)). Для -у<^г/<М мы приходим к аналогичному результату, только цешр окруж- окружности будет располагаться на отрицательной полуоси у0 (рис. 73} § 21. Метод Фурье для уравнения Лапласа 65. Двумерное уравнение Лапласа и задача Дирихле для круга. Метод Фурье разделения переменных, кою- рый играет большую роль в задачах колебании и тепло- теплопроводности (см. гл. 1 и 11), применим также к решению уравнения Лапласа и задачи Дирихле для таких простых областей, как круг, прямоугольник и т. п. В этом пункте мы решим методом Фурье задачу Дирихле для круга. Радиус круга обозначим через R, центр поместим в начало коорди- координат. Очевидно, что целесообразно решать задачу в полярных координатах. Тогда задача формулируется так: ищется реше- решение м = м(г, <р) уравнения Лапласа ди для r<^R, принимающее на границе круга, т. е. при r = R> заданные значения и (<р): B1.1а) Метод Фурье заключается в том, что мы сначала ищем решения уравнения B1.1) в виде н= 1/(г)Ф(<р)> где неиз- неизвестные функции U(г) и Ф (ср) зависят каждая только от одной переменной, соответственно г и <р- Тогда для этих неизвестных функций из уравнения B1.1) находим:
268 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА ТГЛ. TIT ИЛИ г d(rdU\— ] аЩ Г212-» Так как левая часть уравнения B1.2) не зависит от 9> а пра- правая— от г, то ни левая, ни правая части этого равенства не могут зависеть ни от 9, ни от г, т. е. являются постоян- постоянными: /(rfW -1^ = -*, B1.3) U dr\ dr} Ф df' ' v ' где X — постоянная разделения. Постоянная X, как мы сейчас увидим, должна быть неотрицательной. Второе из уравнений B1.3), ^-^ —|— ХФ = 0„ имеет общее решение /T V^ , B1.4) где А и В— произвольные постоянные. Покажем теперь, что X не может принимать любые значения. Это выте- вытекает из того, что увеличение 9 на 2те возвращает точку (г, <р) в исходное положение; значит, все функции от <р> которые мы рассматриваем, должны быть периодическими по <р с пе- периодом 2ir. Таким образом, и Ф (<р -4- 2z) = Ф (ср), а это по формуле B1.4) означает, что у X должен равняться целому числу «(« = 0, 1, 2, ...). Отрицательные « мы можем отбросить, так как знак п влияет только на знак произвольной постоянной В. Итак, Х = «2 (собственные числа) и Ф((р)= A cos п?-{-В sm пу. B1.4а) Вернемся теперь к первому уравнению B1.3), в котором заменим X на «*: г d f dU\ a )" откуда Эго уравнение для функции U(r) может быть решено под- подстановкой и=гл, причем для показателя а легко получаем уравнение а (а — 1) г" -|- аг* — «V — 0
§21] МГТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНСНИЯ ЛАПЛ\С\ 269 или а(а —l)-fa —n* = 0, а* = к3, л=±.п. Следовательно, U(r)^=rn либо U(r)=r n. Второе из этих решений мы должны отбросить, так как при и^>0 оно обращается в бесконечность в цели ре круга г = 0. Окончательно "п (г, <р) = г" (А„ cos по -f Bn sin я f), Полученное частное решение уравнения Лапласа B1.1), которое мы искали в виде и= ?/(г)Ф(ср), обозначено через н„, так как оно зависит от я; произвольные постоянные А„ и Вп гоже зависят от п. В силу линейности и однородности уравнения Лапласа с) чма частных решений 00 ОЭ и С, <?) = 2 "я (г, <р) = 2 г" (Ая соь и? -f ^п sin no) B1.5) будет также решением уравнения Лапласа; эго решение со- содержит две бесконечные последовательности неопределен- неопределенных коэффициентов (произвольных посюянных) Ап и Вп. Чтобы придать решению B1.5) вид, напоминающий ряд Фурье, положим Ло = ^, Ап = ап Вп = Ьп (я=1, 2,...). Тогда и (г, ф) может быть записано в виде оо и{г, ?)=??¦-\- У (ancosn-s>-{~bnsnMio)r'1, B1.5а) Ос1авшиеся неопределенными коэффициеты в„, ап и Ь„ мы определим из граничного условия B1.1а), в котором задан- заданная функция й('-р) также должна быть периодической с пе- периодом 2«. Полагая в решении B1.5а) r = R, получим гра- граничное условие в виде соотношения
270 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III которое представляет собой разложение й(<р) в ряд Фурье. По известным формулам для коэффициентов Фурье мы можем теперь установить, что 2х б т. е. что 2л 2т ап=±\й (<}>) cos Щ dif, Ъп = ^ ^ й (?) sin яф rf<p. B1.6) б б Чтобы получить решение задачи Дирихле для круга, остается только подставить формулы для коэффициентов B1.6) в вы- выражение B1.5а). Покажем, что полученное решение совпадает с интегралом Пуассона для круга (см. формулу B0.2)). Действительно, подста- подстановка формул B1.6) в выражение B1.5а) дает 2т , со -1 Сумма в фигурных скобках может быть вычислена. С этой целью заметим, что согласно формуле Эйлера (см. [1], п. 74) cos n (<f — tj1) = Re ein 1!f"*'» где Ке 2 означает вещественн}ю часть г. Поэтому Для г < R отношение -т3< 1 и ряд А; •-2 «— 4ч -9
5 211 МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 271 является бесконечной геометрической прогрессией с знаменателем <7 = т; е'1»"*1, модуль которого \ ?1 = -н < I- Производя простые преобразования, получим 1 * Чтобы отделить вещественную часть этого выражения, умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженный знаменатель: 2 ^_,-ef(F?rJ — Ке |_2 (/?— ге'^-Ф1) (Я— r<Tf 4>-ф>) J " _ Г 1 R* — rs + 2iRr sm(<!— 6)'| _ ~К L2 Л2-2/?гсоз(?-ф) + /-г J 1 /?2 — г2 2 RJ — 2Rr cos (tp — ty) так что 1 , V fr\" , ,, 1 Rs — r~ о Это и есть интеграл Пуассона для круга (отличие от формулы B0.2) состоит только в том, что вместо г0, <р„ мы теперь пишем г, <?, а вместо ip применяем переменную интегрирования (],). 66. Разделение переменных в трехмерном уравнении Лапласа в сферических координатах. Многочлены Ле- жандра. Применим теперь метод Фурье к трехмерному урав- уравнению Лапласа в сферических координатах ^L _ о. ' r2 sin 8 d6 V дОУ ~ гг sin8 8 Мы рассмотрим здесь наиболее простой и важный случай, когда и не зависит от tp: u = u(r, 6). Это — так называемый осесимметричный случай, в котором и постоянно на каждом круге широты: г = const, 8 = const, О^ср^тс, Тогда
272 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 1ГЛ. Ill уравнение Лапласа принимает вид (после сокращения на общий множитель -у). Посмотрим, каковы могут быть решения этого уравнения вида и= (/(г)Ф(в), ограниченные в шаре радиуса R с цен- центром в начале координат. Подставляя и=?/(г)ФF) в урав- уравнение B1.7), находим dr или По стандартному для метода Фурье рассуждению, поскольку левая часть уравнения B1.8) не зависит от 8, а правая—Ът г, обе они должны быть постоянными: ?±) -X, B1.9) Ф sin 8 где X — постоянная разделения, которую опять-таки считаем неотрицательной. Для дальнейших вычислений нам удобнее вместо X ввести другую произвольную постоянную v, связан- связанную с X соотношением Тогда первое уравнение B1.9) примет вид Полагая U=r", мы найдем для показателя а уравнение а(а—l)-f-2a —v(v-f 1) = 0 или Очевидно, что это квадратное уравнение относительно a имеет следующие два корня: a = v и а = —v—1. Считая v 3= 0, мы можем второй из этих корней отбросить, поскольку соответствующая функция [/(г) = г"'"! обращается в бес- бесконечность при г = 0 (напомним, что наша цель — найти
21) МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 274 ограниченные решения). Таким образом, остается решение Ur) = r" (v^O). Вернемся теперь ко второму уравнению B1.9): Так как сферическая координата 6 изменяется от 0 до «.* О^б^я, то мы должны искать решения уравнения B1.10), ограниченные для всех таких 8. Преобразуем уравнение B1.10), введя вместо б новую независимую переменную B1.11) При 6, изменяющемся от 0 до к, х изменяется от 1 до —1: — l^jcsgil. Кроме того, при дифференцировании по 6 мы должны учесть, что по правилу дифференцирования сложной функции в силу подстановки B1.11) ~Ж~1Г~Ш ~ — sin""rf~i d ( d Ф \ d Шут Wj~Sn Ik и уравнение B1.10) должно быть записано в форме пли Если мы, кроме того, обозначим зависимую переменную Ф как функцию от х = cos 9 через у: Ф (в) = Ф (arccos x)=y (х), то получим для определения искомой функции у уравнение 0, B1.12) называемое уравнением Лежандра. Решения этого уравне- уравнения играют важную роль во многих прикладных вопросах. Точки x = rtl являются особыми для дифференциального уравнения B1.12), и поэтому не все решения уравнения Ле- Лежандра будут ограничены на отрезке —l^jf^l (анало- (аналогичную картину мы наблюдали для других дифференаиальных
274 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. [II уравнений этой главы, а также для уравнения Бесселя (см. п. 29)). Можно показать, что уравнение Лежандра имеет ограниченные решения только в том случае, когда v = n = целому числу (я^О). Для таких v ограни- ограниченными решениями уравнения Лежандра B1.12) являются некоторые многочлены, называемые многочленами Ле- Лежандра. Эти многочлены имеют довольно простое замкну- замкнутое выражение: B1ЛЗ) Покажем, что многочлены B1.13) действительно удовлетворяют уравнению B1.12) при v = n. Положим (хг—1)™ = г и у = гш>. Тогда 2' = 2nx(A's—l)" и (х2—1)г' = 2лА'г. Дифференцируя последнее равенство л раз но х, будем иметь Jl B1.14) Но по правилу Лейбница дифференцирования произведения (см. [1], п. 54) d" — (uv) = 4. " -f... + nuln-l]v' + yn'v, в при u==x'—I, v = z' получим 2L 2nxz(n' так как все производные ф}пкции и = ж2— 1 порядка выше вто- второго равны нулю. Точно так же по правилу Лейбница при и=-х, v — z найдем, что dxn Следовательно, равенство B1.14) может быть также записано в виде (xs— 1) г1и+11 + "inxz<ni 4- п (п — 1) zln~l) —2пхгш + an^1 или (лг« — 1) г(л+11 — и (л 4- 1) г1 = 0. Дифференцируя это последнее равенство еще раз по х, придадим ему вид
5 2Ц МЕТОД Ф\РЬП ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 275 или, поскольку гШ) —у, ([II Это показывает, что у = г1 = -j—ц Кх° — 1)"] является решением >равненпя B1.12) при м = /г, а следовательно, при любой постоян- d" ной С и Су = С-т-^\{хг — 1)п] является решением этого же урав- уравнения. Выбор постоянной С — ~уг -j B многочлене Лежандра B1,13) зависит от условия нормировки: потребуем, чтобы при х= 1 много- многочлен Лежандра Рп (х) принимал значение 1: Рп A)= 1, гс = 0, 1, 1,.,. Тогда нужно выбрать С так, чтобы выполнялось условие По правилу Лейбница, j же использованному выше, Й^'-'Л = ^г t(-v + I)" (-V- 1)ч] = d d^~* T i ^л- v ~ dxn~l " ' по все члены последнего выражения, начиная со второго, содержат разность х— 1 в качестве множителя и поэтому обращаются в нуль при л'=1, В силу этого — 2пп\. .v = l Из )словия нормировки B1.15) теперь действительно следует, что Таким образом, мы установили, что в качестве ФF) сле- следует взягь Рп(х) = Рп(cos 6) и чго, следовательно, ограни- ограниченными решениями вида ?/(г)Ф(б) уравнения Лапласа B1.7) будут функции
276 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. III Рассмотрим некоторые свойства многочленов Лежандра. 1. Многочлен Рп{х) содержит только степени х одина- одинаковой с п четности, а именно: х", л:""'2, Jt"~4,...; низшей степенью х в Рп{х) будет первая, если п нечетно, и нуле- нулевая, если п четно. В качестве примера приведем первые пять многочленов Лежандра, вычисленных по формуле B1.13I): Ро(*)*=1, Pi(x) = x, Р*(х) = -2фх*—1), Р3 (х)= -у Eх* — 3*), Р4 (х) = -J- C5** — 30*3 + 3> Графики этих многочленов изображены на рис. 74. 2. При х= 1 значение Р„A)=1 и при лг = —1 значе- значение Рп(— 1) = (— If для всех и = 0, 1, 2,... Выше (см. формулу B1.15) и связанный с ней текст) уже показано, что Р„A)=1. Ввиду того, чго при п четном Рп{—х) = Рп(х), а при п нечетном Р„(—лг) = — Рп(х), очевидно и соотношение Р„(—• 1)=(—1)". Графики Рп(х) при четом п симметричны относительно оси у, а при нечет- нечетном п обладают центральной симметрией оиюсительно начала координат. 3. На отрезке —1*^x^1 многочлены Лежандра сами по абсолютной величине не превосходят единицы: Sl для ,д;!<1. Для первых пяти многочленов Лежандра это видно из рис. 74, в общем случае мы доказательства не приводим. 4. Многочлен Рп(х) для п^>1 имеет п действительных простых корней, расположенных в интервале —1<[д:<[1. Например, на рис. 74 отмечены 4 корня Р^(х). Доказатель- Доказательство в общем случае мы также опускаем. 5. Многочлены Лежандра ортогональны на интервале (— 1, 1), т. е. для пфт L \ B1.17) ') Таблицы многочленов Лежандра имеются в книге [10].
МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 277 Докажем это важное свойство методом, неоднократно приме- применявшимся ранее. Пусть пфт, и запишем, что Рп{х) и Рт (х) {У / X J удовлетворяют уравнению Лежандра B1.12) соответственно для ч ¦=¦ и Умножим первое из этих равенств на Рт (х), а второе на Рп(.х)< и вычтем из первого полученного равенства второе: (ж ¦+- 1) — п (п + 1)} РпРт Нетрудно видеть, что
278 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. ГГГ интегрируя это последнее равенство по х в пределах от х — — 1 до х = 1, найдем, что {т (т + 1) — га (га + 1)} $ Р„ (х) Рт (х) dx — = 0, — I так как последнее выражение из-за множителя 1—л:2 обращается в нуль при х — ±\. Учитывая, что т {т-\-\) — п (л -\-\)фО, мы приходим к равенству B1.17). 6. В приложениях многочленов Лежандра важную роль играет еще формула :>%{x)dx = ^r[ (я = 0, 1, 2,...), B1.18) которую мы не будем выводить. Ее легко проверить для ма- малых л = 0, 1, 2, 3, 4: так, например, i \(х)dx=\\фхя — ЗхJdx = 1 Г25 , {х _1 И 2 i) 7 Доказательства всех приведенных свойств многочленов Лежандра имеются и более полных курсах. 67. Решение задачи Дирихле для шара в осесиммет- ричном случае разложением по многочленам Лежандра. Осесимметричная задача Дирихле для шара радиуса R с цент- центром в начале координат состой г в определении функции и (г, 6), удовлетворяющей уравнению Лапласа B1.7) для r<^R и гра- граничному условию »[л = ^=й(Ч). B1.19) Выше мы установили, что для я —0, 1, 2,... решениями уравнения B1.7) являются функции B1.16): r"P4(cos6). Ввиду линейности и однородности уравнения Лапласа его
$ 211 МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 279 решением будет также функция „ (г, 6)= 2 С„г"Р„ (cos 6), B1.20) я —О где С„ — произвольные постоянные коэффициенты, которые мы определим так, чтобы функция B1.20) удовлетворяла гра- граничному условию B1.19). Для этого надо потребовать, чтобы по S, О^б^и, тождественно и.мело 2често соотношение со й@)= 2 С„/?лРл(со5 9). B1.21) В предположении, что тождество B1.21) имеет место, мы можем эти коэффициенты найти, воспользовавшись свойством ортогональности многочленов Лежандра (свойство 5 в пре- предыдущем п. 66). Действительно, умножим тождество B1.21) на Рт(cos6), где mls^O — некоторое фиксированное целое число, и проинтегрируем его по граничной сфере радиуса R: 00 а F) Рт (cos 6) da = 2 CnRn Ц Pn(cos 6) рт (cos S)da. B1.22) Элемент площади поверхности сферы da = Rv sin QdQdy, и интегрирование по сфере означает интегрирование по & в 17ределах от 0 до х и но f в пределах о г 0 до 2к. Поэтому -\ <*9\Рп(cosв)Рт(cosб)/?2 sin6db = о о
280 i РАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. Ш Здесь интегрирование по <р дало множитель 2я, а последую- последующая замена переменной cos6 = jc, —sm в dQ=*dx приводит к последнему интегралу, который по свойствам 5 и 6 много» 2 членов Лежандра (п. 66) равен 0 при пфт и ^т л. f при п ='т. Таким образом, в правой части равенства B1.22) все члены суммы, кроме одного, равны нулю; действительно, когда п, пробегая все значения от 0 до оо, принимает зна- значения, отличные от фиксированного номера т, соответствую- соответствующий интеграл равен 0; только в единственном члене суммы соответствующем значению п = т, интеграл оказывается отличным от нуля. Следовательно, правая часть равен- равенства B1.22) равна откуда следует, что ^§ B1.23) Так как т — произвольный фиксированный номер, /и = 0, 1, 2,..., то мы можем заменить его на л и подставить выражение B1.23) в решение B1.20). Тогда мы получим окончательное решение задачи Дирихле для шара радиуса R. Мы уже имели выше (см. п. 59) решение задачи Дирихле для шара в виде интеграла Пуассона в более общем (не осе- сичмегричном) случае зависимости граничной функции п и решения от а. Можно показать, что решение B1.20) совпа- совпадает с решением A9.6) из. п. 59 в том частном случае, когда й не завпст от ?. Формула B1.20), представляющая решение задачи Дирихле (в осесимметрнчном случае) в виде ряда по многочленам Лежандра, имеет некоторые преимущества перед решением в виде интеграла Пуассона. Мы ограничимся только одним простейшим следствием из этой формулы. Очевидно, что если граничные значения G (9) сами являются одним из много- многочленов Лежандра или их конечной линейной комбинацией, то в правой части формулы [B1.20) останется только одно или несколько слагаемых, отличных от нуля. Например, если й(б) = cos 8 = Pt (cos 9), то в формуле B1.23) итеграл
§211 МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНРНИЯ ЛАПЛАСА 281 6y;iei отличен от нуля только для /к=1 и при этом Таким образом, по формуле B1.20) решением задачи Дирихле для шара радиуса R при граничных значениях »(*)) = cost» будет и (г, 9) = —-cos 9. Рассмотрим еще один такой при- пример: пусть й (9) = cos 29; представим cos 29 в виде линейной комбинации многочленов Лежандра: cos 29 = 2 cos2 9 — 1 = 2х% — 1 = =4 р* (•*)—т р» W = i Pi (cos e) - т р» <cos °>- где x = cos6. Следовательно, в решении B1.20) от суммы останутся только два отличных от нуля члена, соответствую- соответствующих д = 0 и я = 2, причем С S й ^ Р (C0S 6) d° так что решением задачи Дирихле при этом граничном усло- условии будет " v i vj 3 \fi I * v ' 3 ' Изложенный выше метод Фурье решения задачи Дирихле для шара применим не только в осесимметричном случае. Однако в общем случае при разделении переменных в урав- уравнении Лапласа в сферических координатах мы получаем вместо уравнения Лежандра B1.12) более сложное уравне- уравнение, решения которого — так называемые присоединенные функции Лежандра — тесно связаны с многочленами Лежандра. Соответственно и формула решения в виде ряда примет более сложный вид. Подробнее эти вопросы рассматриваются в спе- специальных руководствах.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 68. Классификация линейных дифференциальных урав- уравнений с частными производными второго порядка. Как уже отмечалось во введении, общий вид линейного диффе- дифференциального уравнения второго порядка при условии, что неизвестная функция и зависит от двух переменных х и у, таков: A j—, -4- Вз—з- + С -, , A-D j—f- Z: ,—h Fн = /(x, y). A) Как и раньше, мы предполагаем, чго все коэффициенты уравнения постоянны '). Большинство дифференциальных уравнений математиче- математической физики, которые изучались в настоящем курсе, пред- аавляют частные случаи общего уравнения A). Так, если для единообразия обозначений вместо пере- переменной t (времени) писать переменную у, то уравнение сво- свободных колебаний струны (§ 1) примет вид а^«_ <*!"={), B) а уравнение линейной задачи теплопроводности (§ 12) у Наконец, уравнение Лапласа (§18) в двумерном случае имеет вид гг+з = а D) ') Приводимая ниже классификация линейных уравнений пере- переносится и на уравнения с переменными коэффициентами, которые в нашей книге не рассматриваются.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 283 В уравнении D) обе вторые частные производные входят в левую часть с одинаковыми знаками, в уравнении B) — с противоположными знаками, а в уравнении C)—вторая производная по одной из переменных вовсе не входит. Л. Эйлер доказал, чго любое дифференциальное урав- уравнение вида A) с помощью замены независимых переменных х и у может быть приведено к одному из следующих трех видов. /?- 1. Если АС j- ^> 0, то после введения новых незави- независимых переменных \ и т\1) уравнение A) причет вид + + D + E+Fu f( ) E) В этом случае уравнение называется эллиптическим. Наи- Наиболее простым эллиптическим уравнением является уравнение Лапласа D). В3 2. Если АС j <^0, то уравнению A) можно при- придать вид д-и dsu , о ди , „ ди , ^ f Гг ¦. ,о-. w - д^ + °>ж+Ещ+^"=/з E- т'} • F) Такое уравнение называется гиперболическим; простей- простейшим примером его является одномерное уравнение свободных колебаний B). fi2 3. Если АС -г = 0, то уравнение A) приводится к следующему: д2и , ~ ди , j- ди =/»(«. П), G) и называется параболическим. Примером его служит ураи- нение линейной теплопроводности C). Наименования уравнений объясняются тем, что при исследовании общего уравнения кривых второго порядка Av9 -J- Bxy -J- Су*-j- Dx-f- Ey -j- F = 0 оказывается, что ') Мы ограничиваемся только принципиальной стороной вопроса и не указываем формул, по которым фактически производится замена переменной. Читатель, интересующийся этим вопросом, должен обратиться к более полным курсам.
284 ЗАКЛЮЧЕНИЕ в случае АС т]>0 кривая представляет эллипс, в случае АС j <^ 0 — гиперболу и в случае АС у =0 — параболу'). Уравнения E), F) и G) можно еще более упростить введением новой неизвестной функции. Именно, вводя функ- функцию %)(<;, т]) по формуле мы можем всегда подобрать числа аир так, что в эллипти- эллиптическом и гиперболическом уравнениях исчезнут члены с про- производными первого порядка, а в параболическом—член с первой производной по одной из независимых переменных (в уравнении G) по I) и член с самой функцией. Введение вспомогательной функции по формуле (8) >же встречалось нам в п. 21 при изучении телеграфного уравнения для линии без искажений (см. формулу G.13)). Окончательно любое уравнение вида A) может быть, с учетом сделанных замечаний, приведено к одному из сле- следующих канонических типов: " -j- ~' ~{-cu = g (эллиптический тип), м" ~~ 'xi ~Ь си ~ S (гиперболический тип), д*и ди , ,, . ,,2 —g— = g (параболический man) (с — постоянное число, g — функция переменных х и у). 69. Корректность постановки задач математической физики. Уравнения гиперболического и параболического типов возникают чаще всего при изучении процессов, про- протекающих во времени (в нашем курсе это были уравнения колебаний, распространения электрических волн, распростра- распространения тепла, диффузии). В одномерном случае всегда уча- участвовала одна координата х и время t. ^Поскольку бывают еще случаи вырождения кривых второго порядка, то чаще говорят, что в первом случае кривая эллиптического типа, во втором — гиперболического и в треть- третьем — параболического (см., например, книгу Н. В. Ефимова «Квадратичные формы и матрицы», Физматгиз, М., 1967).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 285 Поэтому канонические уравнения этих типов обычно за- записываются так: дги д*и ¦^ — fjp -f- си — g (х, t) {гиперболический тип), g-g — sr = g (x, t) (параболический тип). Для задач, приводящих к таким уравнениям, дополни- дополнительные условия разделяются па начальные и краевые. Начальные условия, как мы видели, состояг в задании при t = 0 значений искомой функции и и ее про- производной (в гиперболическом случае) или только значений самой функции (в параболическом случае). Краевые условия для эшх задач заключаются в том, что указываются значения неизвестной функции и(х, 1) на концах интервала изменения координаты (в задаче о коле- колебаниях струны это концы струны'), в задаче о распростра- распространении электрических колебаний это концы линии, в задаче о линейной теплопроводное! и это концы стержня и т. д.). Если процесс протекает в бесконечном интервале изменения координаты х (бесконечная струна, бесконечный С1ержень), го краевые условия отпадают и получается за- задача только с начальными условиями, или, как ее часто называют, задача Коши. Если ставится задача для конечного интервала, то должны быть заданы и начальные и краевые условия. Тогла говорят о смешанной задаче. Уравнения эллиптического типа возникают обычно при исследовании стационарных процессов. Время t в зги уравнения не входит, и обе независимые переменные являются координатами точки. Такими оказываются уравнения стацио- стационарного температурного поля, электростатического поля и уравнения многих других физических задач, которые мы в курсе не рассматривали. Для задач такого типа ставятся только краев ы е усло- условия, т. е. указывается поведение неизвестной функции на контуре области. Это может быть задача Дирихле, когда заданы значения самой функции; задача Неймана, когда заданы значения нормальной производной искомой ') В задаче о колебаниях мембраны задаются значения неиз- неизвестной функции на копт) ре мембраны.
286 ЗАКЛЮЧЬНИЕ функции, и, наконец, задача, когда на контуре задана линейная комбинация функции и ее нормальной производной. В основных задачах математической физики, рассматри- рассматривавшихся в настоящей книге, именно физические соображения подсказывали, какие дополнительные условия следует поста- поставить в той или иной задаче, чтобы получить единственное ее решение, отвечающее характеру изучаемого про- процесса. Кроме того, следует иметь в виду, что все выведенные уравнения носят идеализированный характер, т. е. отражают лишь наиболее существенные черты процесса. Функции, вхо- входящие в начальные и краевые условия, в физических задачах определяются из экспериментальных данных и могут счи- считаться известными лишь приближенно. Поэтому мы должны быть уверены в том, что решения задачи при прибли- приближенных исходных данных будут близки к тем решениям, которые получились бы при точных исходных данных. Таким образодг, важно, чтобы малые изменения данных задачи вызывали лишь малые изменения в ее решении во всей области, в которой эти решения рассматри- рассматриваются. В этом случае говорят об устойчивости задача относительно начальных и краевых условий. Все задачи, рассмотренные в книге, принадлежат к типу задач, имеющих единственное решение, устойчивое относи- относительно исходных данных. Как говорят, эти задачи постав- лени корректно. Исследование корректности более сложных задач матема- математической физики представляет очень важную и трудную задачу теории этих уравнений.
ЛИТЕРАТУРА 1. БермантА. Ф. и Араманович И. Г., Краткий курс математического анализа, «Наука», 1967. 2. Кош я яков Н. С, Г л и н е р Э. Б., Смирнов М. М., Основные дифференциальные уравнения математической физики, Физ.матгиз, 1962. 3. Л е в и н В. И., Гроссберг Ю. И., Дифференциальные уравнения математической физики, Гостехиздат, 1951. 4. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. [Г, «Натка», 1967. 5. Т и х о н о в А. Н., Самарский А, А., Уравнения мате- математической физики, «Наука», 1966. 6. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приюжения, Физматгиз, 1963. 7. Б у д а к Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н., Сборник задач по математической физике, Гостехиздат, 1956. 8. Л е б е д е в Н. Н., С к а л ь с к а я И. П., У ф л я н д Я. С, Сборник задач по математической физике, Гостехиздат, 1955. 9. Смирнов М. М., Задачи по уравнениям математической физики, «Наука», 1968. 10. Я н к е Е., Э м д е Ф., Л е"ш Ф., Таблицы функций с форму- формулами и кривыми, «Наука>, 1968.
Исаак. Генрихович Араманович, Виктор Иосифович Левин УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (Серия- «Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов») М., I9fi9 г., 288 стр. с im. Редактор М. М. Горячая Техн. редактор Л. А. Пыжова Корректор Л. С. Кугушева Сдано в набор 23/1 1969 г. Подписано к пе- печати 9/1V 1969 г. Бумага 84X108'/и. Физ. печ. л. 9. Условн. неч. л. 15,12. Уч.-изд. л. 13,3. Тираж 75 000 экз. Цена книги 57 коп. Заказ К"° 243. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Главполиграфнром Комитета по печати при Совете Министров СССР. Отпечатано в Ленинградской типографии № 2 им. Евг. Соколовой, Измай- Измайловский пр., 29. с матриц Ордена Трудового Крас- Красного Знамени Ленинградской типографии № I «Печатный Двор» имени А. М, Горького, Гат- Гатчинская ул., 26.