Text
                    ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ
Рекомендуемая розничная цена: 279 руб.
Розничная цена: 49,90 грн, 990 тенге
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D^AG OSTIN I
23
--—J
Лягушки и жабы

занимательные «ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ» Издание выходит раз в две недели Выпуск №24,2013 РОССИЯ ИЗДАТЕЛЬ. УЧРЕДИТЕЛЬ. РЕДАКЦИЯ ООО Де Агостини % Россия ЮРИДИЧЕСКИМ АДРЕС: 105 Обб, г Москва, ул. Александра Лукьянова, д.З, стр.1 Письма читателей по данному адресу не принимаются ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Николае* Скиллкис ГЛАВНЫМ РЕДАКТОР: Анастасия Жаркова ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР: Наталия Василенко КОММЕРЧЕСКИЙ ДИРЕКТОР Александр Якутов МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ. Любовь Мартынова Свидетельство о регистрации средства массовой информации в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникации [Рос ком над юр] ПИ №ФС77-4И1О от 28 I 2 2010 г. Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, за кодите на сайт www.deagostmi.ru По остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной «горячей линии в России С 8-800-200-02-01 Телефон горячей пинии для читателей Москвы; С 8-495-660 02-02 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ- Россия, 170100. г. Тверь, почтамт, а/я 245, кДе Агостини , Занимательные головоломки* РАСПРОСТРАНЕНИЕ ООО ч Бурда Дистрибысшен Сервисна УКРАИНА ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ; ООО Де Агостини П^бпишинг , Украина Юридический адрес онвг, Украина, г Киев, ул Саксаганского, д119 ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Екатерина Клименко Свидетельство о государственной регистрации печатного СМИ Министерства юстиции Украины КВ № 17502 6252Р от 01.012011 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ: Украина. 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини*, иЗанимАтельные головоломки УкраЕна, 01013,м Ки1в, а/с ДеАгост1НП Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, «ходите на сайт www.deagostmi.ua По остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной «горячей линии в Украине f 0-800-500-8-40 БЕЛАРУСЬ ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР В РБ: ООО «Росч tpк*. 220037. г. Минск уо. Авангардная, д. 4Ва. литер В/к. теп., факс +375 17 2 999-260 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ; Республика Беларусь. 22ОТ40, г. Мйнск, а/я 221 ООО «Росчерк*. «Де Агостини , Занимательные головоломки КАЗАХСТАН РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТОО"КГII "Бурда Алатау-Пресс РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 279 руб РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 49,90 грн. 990 тенге ОТПЕЧАТАНО 6 ТИПОГРАФИИ G. Can.dc & С S.p.A. Sos. Cernica 47, Bucuresti, Pantelimon - Hfov. Romania ТИРАЖ: 68 000 эм. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность номеров и их содержание. Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую цену выпусков Неотъемлемой частью каждого выпуска является приложение. С ООО ।Де Агостини», 2013 РВА Coieccwnables, 2011 ISSN 2225 1782 ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ С1.01 2013 ГОЛОВОЛОМКИ КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINI В этом выпуске: Математическая вселенная Противоположности или части единого це юга? Дискретен нам не- прерывен наш мир? Чго лежит в его основе — частицы или волны? Большинство физиков полагает, что дискретность и непрерывность нс- описывают одну и ту же реальное гь, а характеризуют реальность в том виде, в котором мы ее наблюдаем, во взаимоисключающих об- стоятельствах. Однако все большее количестве физиков считают по- добную форму тройку неясной и у версии, ч 1 о принцип дополнитель- ности не соответствует основной цели пауки — познать, каков наш мир на самом деле. Блистательные умы уКс ичужинд античного мира Образование Гипатии, дочери Тео- на А еексдндрийского, проходило в Александрийском мувес. Следуя пути, намеченному отцом, основное внимание она уделяла евкли \о- вой геометрии и арифметике Диофанта. Она также стала автором очень популярного тр' дао конических сечениях Аполлония. Гипа- тия интересовалась п прикладными науками: она изобрела астроля- бию и скон.трупровала в мастерских Му тея рэ (личные измеритель- ные ивструме нты Математика ни каждь >й —кь Htреворот в цифровом мире Майкл Барнсли — изобретатель фрак- тального сжатия, алгоритма, который совершил переворот в передаче изображений I кследованпя Барнсли навели его на мысль о том, что изображение хорошего качества можно передать с помощью набора инструкций, заметно меньших по объему, чем само исходное изобра ЖСНИС. I (зобретателк основал собственную компанию п доказал, что магсмагичеткое открытие может принести миллионы своему автору. Mr-ri матичгскиг мдвчки Jmtr ош Снм Лонда Многие задачки мэтра головоломок вошли в историю» но это не означает, что ответы на них известны всем Се- годняшние задачи можно использовать в качестве проверки для начи- нающих ювелиров» виноделов и — в очередной раз — перевозчиков через реку несговорчивых пассажиров. Головоломки 1мгушки и жабы — одна из самых известных головоломок, в кото- рых нужно переставлять фишки, и тенив их начальное расположе- ние на диаметрально противоположное. Зго игра для одно!о челове- ка, которая имеет множество вариантов и названий, например, «Козы и овцы» пли «Зайцы и черепахи». У берите часть шариков и решите несколько более простых задач, прежде чем перейдете к полной В( р спи игры.
Противопоставление дискретного и непрерывного, которое восходит к трудам древнегречес ких философов, до сих пор проявляется в СТОЛЬ различных науках, как физика, математика, ПСИХОЛОГИЯ И ЛИНГВИСТИКА. Дискретное и непрерывное Противоположности или части единого целого? ► / JH ApfWHtif H H- npr- рывшие в плетенных v.ir.ix Cmpe tKN чмPtf еклчкморл,- lie пере ие/ц,l№>m ч if ? ^дцага н 3wi*jw процен ява чemt ч полнен тьы дискретным. Однако caw течение ере йена уже много веков считается в фишке непрерывны ч. Чтопы понять суть противопоставления дискретного и непрерывного, сначала нуж- но определить, что означают етн понятия. Несмотря на то. что они имеют четкое матема- тическое определение, они интуитивно понят- ны, и их легко продемонстрировать примерами из повседневной жизни. Противопоставление непрерывного и дискретного имеет некоторое сходство с противопоставл! нием потенцналь- ной и актуальной Еэссконечнот ти. поэтому не- v дпвптельно. что в обоих случаях дискуссия име- ет больше философский смысл Доказательством этому служит противостояние между Пифаго- ре. икон и 1лейскои школами в Древней Греции, ярчайший пример которого — парадоксы Зено- на. Ключевом вопрос дискуссии дискретен или непрерывен наш мир? .)тот вопрос очень тесно связан с нашими ощущениями и. как сл< дствие, лежит в плоскости теории познания. В начале XX век., физики и математики, будучи далеки от философских размышлений и пспхг мм имеешь интерпретаций, без колебаний сделали свой вы- бор в пользу концепции дискретного мира с по- явлением квантовой механики и так называемой дискретной математик и. * Это Н itWpMKfHUO МОЖНО трахнкнышь но-рл лнпыу. iMauCHO t hlMHb, ЧШО мн thitApcHWHf Moi.iedo- AlHif Н1Н(КГПЬ HJHC/Uh MiifXl*- лдог Hit нвверхнамь воды. Ha также uojutHo подучать, чме wo фотомонтаж^ нзо- оражашцнн пески ft'Kv mi to женtm одшш н той же wutt бе время ее непрерывном падения. Основы Толковый иливарь русского языка даст слову «диекре 1 ныл» такое определение: «прерыви l 1 ы й, дробнып, гостиящнйпз > >тдслы ii.ix чае гей ». ХсчЯ I лови « О1ДСЛ1.НЫХ» понятно каждому из нас. как мы увидим ч\ п. позже, упомина- ние «отдельвы.х частей.» является отсылкой к продвину тому разделу математики. Лучше всего понять смысл ди крез ное in можно через ее противопоставление непрерывное! и. Напри мер, время течет непрерывно с 9 у гра до 9 вече- ра. I То ее от мы посмотрим на расписание поез- дов, которые отправляют,.!, с 91 .радо 9 вечера, то учи дим дискретное мнПжеово значений. Ес- ли и\ии поезд отправляется н 10 утра, а следую- щий — в 11, то между этими увумя значениями 10 п 11, нет никакого другого, поэтому Зги зна- чения называют диекре гнымп. Напротив, тече- ние времени между 111 и II часами непрерывно, п время может равняться, например, 10 часам 25 минутам п 0,346287617200ч 12444 4 секун- ды. Если мы составим список европейских сто- лиц и у кажем для каждой из них число жителей, то получим дискретное множество значений. I Тапрсп ив. уровень воды в водохрани чи- ще и'.меняется непрерывно между некими максимальным и минимальным «качения ми. Также никому не придет в голову ска- зать. что объем воды в обычном кувшине вместимостью, например, два литра, мо- жет принимать только дискретные значе- ния. например только литр, пол хитра или 257 кубических сантиметров. Скорость автомобиля также изменяется нспрсрыв но. что показывает с грелка спидометра, ко- торая движется плавно, а не скачкообразно. Г [оказания счетчика пробега, напротив, яв- ляются дискретными. Как мы уже говорили, концепции дис- кретности п непрерывности являются ин- туитивно понятными и поэтому кажутся
А Веепри.чтне ооьгкт.г t. jk дискретного и tn непре- рывного мажет u«n< rj»h от шиитам. leon.ipilo изоярлшл «Джоконду» иначе, но ее ш мы пред- ^пмвииеек.к чножесшво никое 1ей, та не и.мети м рлницы. Чем боеьше мы иудеи отЛчтн еч от ти- ной картины, теч ченнше будет се от енчис от оригн- нл i.i. Fiuu мтичисттссюя теория верна и В. е term.1.9 < остонш и < ме аьчлйшц v дшкретных члтиц, то, хак л я примере с «. \жокон- дой... восприятие окружаю- щего мира как непрерывного ошибочно. простыми. Гем не менее, вокруг них на протяже- нии многих лет кипят жаркие споры. 11 вопрос нельзя считать закрытым. Отчасти это происхо- дит потому, что. как мы увидим позднее, интуи- ция не всегда хороший советчик. Иногда одно и то же явление кажется непрерывным или дис- кретным в зависимости or выбранною масшта- ба. Как бы то ни было, ответ на этот вопрос влия- ет на наше восприятие мира, поэтому интересует не только математиков, но и философов. Эти две точки зрения очень тесно связаны между собой. Французский математик Жан-Шарль де Борда (1733—1'99) как-то сказал: «Без математики нельзя глубоко проникнуть в cv гь философии, без философии нельзя глубоко проникнуть в суть ма- тематики, а без того и другого нельзя понять суть чего бы то ни было». Философия дискретности и непрерывности Ученые всегда испытывали тягу к теориям, кото- рые объясняют все с помощью простых законов. В большинстве случаев для этого нужно найти некие простейшие (и, следовательно, неделимые) элементы, составляющие мир, который мы хо- тим объяснить с помощью этих законов. После- дователи пифагорейской школы считали такими «атомами природы» числа и основывали свое видение мира именно на них. 11пфагорепцы при- давали особое значение геометрическим фигурам, связанным с так называемыми фигурными числа- ми. Основами пифагорейской философии были изменение и унижение. Эту точку зрения не раз- деляли последователи элейской школы, основан- ной Парменидом из Элен (ок. -160 г. до н. э.), кото- рые считали бытие неизменным. Зенон Элейский (ч90—125 г. до н.э.), ученик Парменида, был од- ним из представителей этой школы и принципи- альным противником тою. что движение возмож- но, а простране гво и время, где происходит это движение, реальны. Зенон пытался показать, что «бытие» должно быть единым и однородным, и что, вопреки хо1 икс п чувствам, ни непрерыв- ное гь, ни дискретность пространства и времени нельзя обосновать. Для этого он обратился к па- радоксам — диалектическому методу, состояще- му в том, что на основе утверждений оппонента формируется цепочка рассуждений, в результате которой противник вынужден принять противо- положную точку зрения. Подобные рассуждения дали начало математическому методу, который используется и сейчас и называется «приведение к абсурду». Парадоксы Зенона Существует около сорока парадоксов, приписы- ваемых Зенону, которые известны нам из трудов Аристотеля. Большинство из них посвящены про- тивопоставлению дискретного и непрерывного.
Противоположности или части единого целого? Самыми известными и сложными являют- ся дихотомия, парадокс Ахиллеса и черепа- хи. парадокс стрелы и парадокс стадиона. Рае скажем о последнем из них. наиболее сложном п противоречивом. Допустим, что время — дискрет пая величина. Пуеть (тазовой единицей времени является г — произвольная сколь угодно малая величина. Это означает, что нс существу ст единицы времени, меньшей т. то есть т неделима. Можно предста- вить часы, где каждому звуку «тик» или «так» соответствует эта неделимая единица времени. Рассмотрим четыре равных тела Al, А2, АЗ и А4, которые находятся в состоянии покоя (в исходной формулировке парадокса речь идет о шеренге из четырех сол уат). движутся влево гак, что в каждый момент време- ни каждое из них находится напротив одною из тел А. 1 (арадокс возникает когуа мы одновременно рассматриваем оба движения: для тел В и для тел С. Если шходнос положение ТСл таково, как пред- ставлено на рисунке ниже, и еще четыре теза В1, В2 ВЗ и Вч. равные преды- дущим четырем, которые движутся вправо. Они движу тся так. что в каждый момент вре- мени одно из тел В находится напротив одного из тел А: то в следующий момент времени («тик» часов) тела будут расположены гяк: Рассмотрим теперь третий ряд тел: Cl, С2, СЗ и Сч, также равных предыдущим, которые Ни это означает, что С1 за промежуток вре- мени т сместилось на расстояние, равное вели- чине двух тел В. Следовательно, чтобы переме- ститься на расстояние, равное величине одного и.ч них, ему понауобнлась половина г, что проти- воречит исходному у гвержденню о неделимости этой величины. Дискретное и непрерывное 131
Дискретная математика Дискретная природа объекта предполагает, что его можно описать целыми числами. Напри- мер, если мы буд« ы фиксировать число посетите- лей мрея каждый лень в течение месяца, то по- л\ чим множество, состоящее из 30 целых чисел. Чтобы некий объект имел днекретнх ю природу, он не обязательно должен быть конечным. До- статочно, чтобы была возможность пронумеро- вать его составляющие. 1 с ли мы рассмотрим пря- мую, обозначим на иен начальную точку 0 и будем обозначать с лед} ющие точки 1,2,3,... с пн серва лом в один сантиметр, то получим бесконечное дискретное множес гво точек. Объекты, которые имеют непрерывную природу, напротив, описы- ваются вещественными числами. Длина отрезка, которая является непрерывной величиной, мо- жет оыть равной 1,25 см или \ 2 см — эти чис- ла нс явтчюгс.ч целыми 13 соответствии с этим дискретную математику нужно понимать как Считывающая головка и игла раздел математики, изучающий объекты, кото- рые описываются целыми числами (положитель- ными или отрицай, льнымп!, в то время как для описания непрерывных объектов нужны веще- ственные числа. Дискретную математику нель- зя назвать новой дисциплиной, каковыми в свое время стали топология и проективная геометрия. Она скорее объединяет различные области тради- ционной математики, например комбинаторику, теорию вероятное гей, арифметику или элемсн тарную геометрию, а также более современные, например теорию 1рафов и особенно все разделы наулл которые имеют отношение к информати- ке и телеком муникациям Следует учитывать, что цифровая информация, которая обрабатывается и хранится в компьютерах, записывается как по- следовательность ну хей и единиц. Даже если объ- ем информации измеряется триллионами бит, она все равно будет иметь дискретную пририд> Кро не этого, компьютерные алгоритмы основаны на конечном числе шаюв и рлОоиют с конечными ▼ o/i/U-t м 1.2- ппвнт щгмгыкш-дщкн — tifiiuttp тетио тени ЛЮАНЩКОННрУЮГЫ в17Г1Ор0Ну дискретном храпения ин- (рорклщи. При Проигрыва- нии вННН шоых ПЛНСНШКОК непрерывные внйрацин иялы, движущейся ttdoib дорожек, мреайрд jyromc. я в 1лекшричс- ский, ,i лдтем Жуковой сиг- нал. В аучлсс кочп.хкт-дис- ком,. нлнротнл. impede инныс участки поверхности шоп отражают луч талера, .шйо кет. Тлкни оОрлзам форми- рует .V последовательность нулей и единиц, которая м- тем преобразуется в жук. мас сивами данных. В атом смысле можно утверж- дать, что мир информатики и компьютеров явля- ется дискретным. Если гонорин. точнее, то д1ыКр« тиая матема- тика изучает свойеi на систем с конечным числом элементов либо с бесконечным счетным множе- ством элементов, ратделенных между собой. Здесь стоит уточнить, чю означает «разделенные меж- ду собой». Строго говоря, это означает «удов- летворяющие условию разделимости То». Это понятие ввел венгерский математик Фридьсс Рисе (1880—1956). Оно означает, что для двух любых несовпадающих элементов по крайней ме- рс у одного из них есть окрестность, которая не содержит другой элемент. Чтобы лучше понять это определение, представим, что в рассматрива- емом нами дискретном пространстве для люоых двух произвольных элементов мы всегда можем взять карандаш и обвести в кружок только один из них, сколь бы близко они ни располагались. Физика квантов Вода из открытого i рана течет непрерывно. Но если закрытый кран протекает и из него падают капли воды, то эго событие будет иметь уже дис- кретн} ю природу. На более общем уровне урав- нения гидродинамики являюия непрерывными и описываю! непрерывные системы. Ошако ги- дродинамические системы образованы дискрет- ными cj щноетями (атомами и молекулами , и ил также можно описать дискретно. В природе су- ществует бесконечное множество похожих при- меров. чго таетавляетзаду магься: ► Jtr j величайших снециаш- ста no кивнгтниш фа шке: /Умяк (/«#—W7J сдеде и дльйерш Эйнштейн (/^79-/955) справа. В /УООгеду П-ынк ftpep- мулировлл основную идею Квантовой фишки: при теп швом излучении энергия испугклстш ч и яд? лощвепн v не непрерывно, а отдельны ми норцнлми. Эйнштейн Я / УД5 cdf iO4 С if дующий шаг и показал, что с.гш и мучение также и wew дискретную природу. Не- смотря на огромный вклад Эйнштейна в квантовую теорию, он всю мнлнь отно- iu и,ч к ней Критически.
Противоположности или части единого целого? каков же мир, в котором мы живем? Он дискрет- /Лт JC (как, н.гири мер, .мд.” ни типе гш.гт Зечм, нигбра* мгинис hi рисунке) чвинтсч примером непрерывности в fpit inter. Это некоторая СУ'ЩШНГПЪ, Определенная оо всех точках пространства и особым обрлло u во tdriii т- вуюм$лх Hd men — подобно тому как магнитное поле отклоняет ппрелку ко und- id. Однако я первой трети XX еека фи тки поняли, что непрерывное и дискретное мер 1 грыпно свя сапы между со бой я ио св йогу/и лыинуплть о ро Ш UOipt^HUK 7Л при ««« ный или непрерывный? Бели мы будем считать, «оЛйгшяии чл.„шц. чго точнее Всею наш мир опт ывает физика, то окажется, что ответить на этот вопрос не так-то легко. В классической фишке существует ПОНЯ1ИС поля (например, электрического, млн. и hoi о пли гравитационного), ко- торое подраз} мсьает непрерывность. С другой i гороны, в физике также рассматриваю. _я частицы — дис- кретные сущности, лежащие в осно- ве ньютоновской механики, из ко- торых, предположительно, состоят все физические тела. Однако я нача се XX века были совершены открытия, которые показали: электромагнитные волны могут вести себя как дискретные частицы, а частицы, например электроны, могут демонстрировать волновые свойства, в частности интерференцию и дифракцию. Это ствустосновной цели науки — познать, каков наш мир на самом деле 7ак, Дэвид Бом (191"7—1992), следуя старой гипотезе Луи де Бройля (1892— 198"’). создал теорию, которая, как и квантовая механика, полностью согласуется с данными экс- периментов. Однако в теории Бома ди< кретине частицы и непрерывные волны присутствуют по- всеместно, являются реальными и неразрывно связаны ме.к yv собой во всех физических гслах. Дискретный разум Очевидно (либо, по крайней мере, так кажется), что наш мозг способен хранить непрерывную ин- формацию. Однако с точки зрения физики наш мозг имеет дискретную природу. Число нейронов и их синапсов очень велико, по нес же яклясия конечным. Хроме этого, импульсы нейронов рас- пространяются по принципу «все или ничего» А 7»/и« ч томинмт Сол- и нс имеют промежу точных значений. Когда мы наблюдаем за непрерывным течением реки, то в нашей дискретной памяти сохраняется не- прерывная информ гция. Ник го ис знает, как именно это происходит. Существу- Ю1 теории, очень близкие к кванто- вым теориям, которые утверждают, чго непрерывный процесс может быть образован миллионами или даже ми ллиардами мельчайших дис- кретных процессов. Также суще- ствует вероятность того, что непре- рывность — не Билсе чем Иллюзия, возникающая из-за неимоверно боль- шого числа составляющих дискретного процесса. Как бы тс ни Было, понят ь соб- ственную природу — очень и очень сложная ыдача для человеческого разума. Кто-то однаж- серьсзно пошатнуло основы классической теории, ды сказал, что если бы человеческий мозг был Ha- lt на смену ей пришла квантовая механика. Много воды утекло с тех пор, новая теория HCHHVtc.tume’M.. чгктроны врящлн>тс.ч л тру. лфч но- столько прост, чго мы смогли бы его понять, то мы сами Были бы настолько глупы, что не смогли бы получила все новые и новые подтверждения, но окончательная картина мира до сих пор нс сфор- мирована. На прежние вопросы все еще ист от- ветов. Дискретен или непрерывен наш мир? Что лежит в его основе — частицы пли волны? Боль- шинство физиков сходятся во мнении с Ниль- сом Бором (1885—1962), который полагал, что дискретность и непрерывность нс- описывают од- ну и ту же реальность. Они характеризуют ре- альность в том виде, в котором мы ее наблюдаем, во взаимоисключающих обстоятельствах. Соглас- но принципу дополнительное ги, тип проводимо- го эксперимента определяет, каким будет поведе- ние системы — непрерывным пли дискретным. Образно говоря, одна и та же система будет вести себя как доктор Джеки л днем и как мистер Хайд ночью. Одиако все большее количество физиков считают подобную форм; лировку неясной и пола- гают, что принцип дополнительности нс соответ- IttpHO тому, К..1К Н-ЫНСМЫ вращаются вокруг Солнца. Разница заключается в mosit что электроны нс могут мни мать новое положение, какое им ллхочетсч. Они могут находиться tnutu h.i определенных .тергети на ких уровнях ► 1 Ьибрахсенис нейроное, полученное мри немощи рас- трового электронного микро- ixond. лЬвбонышныс мвбен- Hvtmu строения нейронов нолейля ют предположить, что молг имеет дт кретную природу и оо многом напоми- нает компьютер. его понять. Дискретное и непрерывное EESI
Мозг, машина и шахматы Шахматный поединок между компьютером Deep Blue и чемпионом мира Гарри Каспаро- вым можно считать воплощением противо- стояния человека и машины Компьютер является дискретным; все процессы в нем выполняются шаг за шагом, «бит за битом». Что происходит в мозгу игрока, точно неиз- вестно, но все указывает на то, что мысли- тельный процесс также имеет дискретную природу и выполняется «синапс за синапсом Однако результатом будет нечто неделимое, непрерывное, будь то интуиция, разум или вдохновение. Фннлкш тоекои, и обре- тенный Жомгфо w II шшо (/50/ — I883), выгахднт как при ш/тнвный мра- обра («< vept меннвги кине- .матогра^а. Ec.irt быетро вращать днек и е иошрешь на него vepei прорезь, то наш ми <г нреоираауеш дш кретнуы not ледоеа- те fhHui ть изоНрАЖеннй в непрерывную, u нам будет илзлтыя, что нзшадь t начет ^иоио.ч, а акробат i веерные ш к у нырок. ▼ j_j Таким образом, становится понятно, что машина будет всегда вы- игрывать, и задача состоит лишь в том, чтобы дать ей необходимые инструкции, обеспечить требуемый объем памяти и скорость вычисле- ний. Все это лишь вопрос денег и технологий, и, к сожалению, мы не можем улучшить спо- собности нашего мозга подобным образом. Л.Ч Кн/ыров (вверху) многими нерпы мн < чн- таетеч лучшн w в иеторин игрока и в шахматы. /1мен- w<5 поэтому его поединки Ct'H.tbNfHWU-VU UtA.XMHfHHf-l- ми программами цритека.ш I'WOAb драмаШИЧНО: OHH PM fti (юрМЫ индивидуума и машины, ве- личайшего даы че weewt тва и шкуктвенного инте пек- ши. йеоб&е внимание привлек w.twjy» прошедший в №7л>- wrw<?) Kat паровым tt компьютером Deep Blue, который г мини wt ивым перевею ы одержи t победу не ювеко.м. /It шорню шаме- нишай иых.иатмн машины еееадинеш Фан Сун Сю онкелл л увлекательной кни- ге Behind Deep Blue. жшщш Допустим, что мы сделали 24 последователь- ные фотографии идущего человека Если мы будем смотреть на них по отдельности, то получим дискретное представление движения. Но если мы просмотрим все 24 фотографии за одну секунду, то движение из дискретного станет непрерывным. На этом основано одно из революционных изобретение современно- сти — кинематограф. На его примере наглядно видна тончайшая грань между дискрет-ым и непрерывным. При взгляде издалека поток зерна в элеваторе кажется непрерывно текущей желтой жидко- стью. Зто один из приемов, которые использует наш мозг, чтобы преобразовать дискретно** в непрерывное. I Во всех г ипотезах относительно «теории всего», в которой были бы унифицированы различные взаимодействия и разрешено противоречие между квантовой механикой и теорией относи- тельности, фигурирует загадочная физическая вел гчина, так называемая планковская длина. Ее 31 ачение крайне мало и имеет порядок 10’и сантг-летрэй По мнению многих авторов, она является своеобразным атомом:: про- странства, наименьшей возможной длиной
О НЕЗАУРЯДНОМ УМЕ ЭТОЙ ЖЕНЩИНЫ, СРАВНИМОМ С ЕЕ КРАСОЮИ, СЛАГАЛИ ЛЕГЕНДЫ. УВЫ, ИСТОРИЯ Гипатии также является свидетельством того, сколь разрушительную силу порой может иметь религиозный ФАНАТИЗМ. Жемчужина античного мира Гипатия 4 Л прошлом только вы- дающие г.ч женщины «лЗН* Ч1Н НМЛ >111-1.4 H.iyKVf И Г» №лу<<М№.Ч.‘ Нодчт МО было отряжено < pin шки для ил «ПЗИЯ //< ЩорНЯ Гипатии (я ’ображъниы. на । »i. tpuHHau гравюре) по- калывает, exatt, жестокий была церковь, которая учини еа над Hi и кровавую pdinpiey, чтобы нак.1>лтыа индивиду Liu си. Тс HLMiioiHL данные о жилш Глпатлн, ко- торые дошли до наших дней, извсс гиы и.* трудов историка Сократа Схоластика, на* лисавшсго се биографию спустя 120 л^т после сс смерти. Гипагпя родилась в Египте в 370 году. Опа была дочерью Теона Александрийскою, препода- вателя Александрийского му юя, видного матсма* тп1 а и астронома, известною своими работами о «Началах» Евклида и «Арифметике» Дио- фанта. Заметив одаренность дочери, Теон лично занялся ее воспитанием, обучив се основам мате- матики, аСТрОНОМИИ И философии. ЭТО был ОЧСН1 отважным шаг. По тем временам было немысли- мо, чтобы л-еншина занималась наукой, нс огрл ничиваясь ролька супруги и матери. Рано проявившийся талант Очень скоро Гипатия Продемонстрировала свой талант п, следуя по стопам отца, нала препода- вать математику и философию в Александрий- ском музее — одном из важнейших на, чных цен- тров антично! о .мира. Отец и дочь вместе изучали математические тс се гы и занимались а. ^рономи- сн. Теон, по его словам, хотел сделать дочь 4s иде- альным человеком», и это ему удалось, если ве- рить словам Сократа Схоластика: «Красота, ум и талант этой великой женщины Оылп легендар- ны; ина превтошла отца во всех областях знания, особенно в наблюдении за зв< * \амп». Учитель учителей За исключением редких поездок в Италию и Афи- ны. где Гипатия обучалась философии, се обра- зовании’ проходило в Александрийском музее. Следуя пути, намеченному отцом, основное вил манне она удела va евклидовой геометрии и ариф- метике Диофанта. Она также стала автором очень популярного труда о конических сечениях Апол- лония. Гипатия интересовалась и прикладными науками: она изобрела астролябию и скопструи- рОПа ха В мастерских Музея различные измери тельные инстру менты, в частности водяной ниве- лир, гигрометр и прибор для дистилляции воды. Гип.ттл fi~0— J 15) Л На картинг кл ч шкоаа •- Рмрл ыь п юбрлш л женщину u jh женоподобного мерюнлжа, прообразом кото- рого была Гнпатич. Тем не менее, чтобы обойти центру церкви, Рафаэль nocvitm.Lt гужннч придать этому персонажу черты Франче- ско дел и Ропере — своего мецената и покропите 1 паеилнннкл Петы Ртикого Юлия //. я YJ / леке лнчногть Гипатии лее еще лъ&ылалл неприятие со гто- plliic ЦерКЯМ. 45
Музей Со времени основания Александром Македонским Александрия была космополитичным городом, в котором уживались египтяне, иудеи, персы, римляне, греки, арабы и сирийцы. После развала империи Александра Птолемей I, который стал властителем Египта, сделал Александрию столи- цей своего государства и основал школу, которую можно считать первым университетом в истории. В ней было две библиотеки: одна содержала 500000 томов и была доступна только ученикам школы; другая, в которой хранилось 43 000 томов, была открыта для всех желающих. В секции есте- ственной истории хранились чучела животных, там же находился неболь- шой зоопарк. В библиотеке располагались обсерватория, залы для музыки и занятий, мастерская, в которой проектировались и конструировались различные приборы, а также комнаты, где могли разместиться ученые, прибывшие из дальних стран. Птолемей назвал этот центр Музеем В пере- воде г греческого это слово означает «место, где обитают музы». Будучи привержен ни цеп неоплатонической школы Плотина, она обучала философии всех желающих. По этой причине, как пишет Сократ Схоластик, «хотевшие изучить философию сте- кались к ней со всех сторон ». Трагический финал Во времена Гипатии история Александрийско- го музея насчитывала уже примерно семь веков, но христианская верхушка, которая приобре- ла большое влияние во властных кругах, счи- тала этот центр греческой мысли очагом язы- чества, подлежащим уничтожению. Примерно в ч(Ю году Гипатия возглавила Музей и стала мн шенью лея нападок религиозных фанатиков гос- подствовавшей христианской церкви. Ей много раз угрожали, требуя принять христианство, что имело больше политический, нежели религиоз- ный подтекст: в церковной идеологии женщи- ны не могли занимать никаких государственных должностей. Гипатия твердо придерживалась По свидетельствам биографов, Гипатия посвя щала утренние часы физическим упражнениям, после чего принимала расслабляющие ванны. Это помогало сосредоточиться и посвятить остаток дня науке, музыке и философии. Все это было предусмотрено планом, который разра- ботал ее отец. Первой женщиной-математиком, о которой нам известно, была Феано, жившая в VI веке до н.э. Ее отец — Милон, покровитель Пифаго- ра. Феано была преданной ученицей Пифагора и впоследствии стала его женой. своей позиции п отказывалась принять чуждую ей веру. В 412 году христианский епископ Кирилл, один из наиболее ярых фанатиков, повелел сжечь Александры некий музей. Три года спустя люди Кирилла по устерегли Гипатию у церкви. Ес схва- тили и втолкнули внутрь. Там ее раздели п содра- ли с нее кожу, после чего протащили тело ко ули- цам Александрии. 1ПслЧ15 год нашей эры. Л Руины .иеьиндршаый шкмы ef'tvrH Гнгыпшя. AaJKC tttt'idl МЫ.WJUfM tilt' деть itiryiieHu 6 иШ ынлплнм. Иум/шнгжг НрННЦЮГу i ynu- etptitWfmi nut аудиторам it tt haunt dfm. ► fakoii увиде ta Гмнатмю f/pttmam uni tpmaipi^ A7.V mjui Дмулял Л/лД'л- pt »i Ka Mfpvtf. Эта фота- графЯЧ — одна Mi tipilli портретов мгшорнча кнх тчностем. Модели оплачены в тон тихи, а фото- графии tint iKU к т тори- чеекн и карта нач tt t/ян tr tMAtOfUif та.
МОЖНО ЛИ ЗАПИСАТЬ НА ОДИН КОМПАКТ-ДИСК 7 ЧАСОВ МУЗЫКИ, 1 00 МУЛЬТФИЛЬМОВ, 800 цветных карт и 8000 фотографии? Майкл Барнсли напел способ, ПОЗВОЛЯЮЩИЙ сделать это МАТЕМАТИКА Папоротник Барнсли Переворот в цифровом мире ► Четыре препбречевания, с по- чощми которых форпиру. пкя фрактан-ный шт >. торятчи- к.г. Не первом pin унхе inofipa Wr'« mem nn irut, (оыд leu чгрным ийеШин). Hl I (едуЮЩНХ кртныч цветом 9m чечены ча .mu luem.i пмуменньи [Парю- щью р I ктчных преойрл ювлний. Первые три премрлтыния — ежлнше. lit pt not и вр.ице шее in ini,i. При nni.irdur,/ пречбр.1.10 мини шип vp и n новую еегт.я « одо.ю nmfii.4. Существует простая игра, которая требует немного терпения, но позволяет получить удивительные резу льтаты. Вам понадобится мкт бумаги в клетку, карандаш к монета. На ли- сте нужно обозначить начальную точку, например центральную клетку. Правила игры гаковм: нуж- но бросить монету. Если выпадет решка, то нуж- но отсчитать две клетки влево и закрасить следу ю- щ\ ю. Г ели же выпа дет орел, то нужно перейти на одну клетку ниже н закрасить ее. Правила можно изменять по нашему усмотрению например, ес- ли выпадает решка, то нужно отсчитать две клет- ки вверх и три вправо. Пос де nuclei (дькид ходов на бумаге начнет появляться рису мок. Это может быть, например, дерево или цветок. Рисунок бу- дет полностью с суча иным: мы установили лишь минимум правил, подобно тому как природа уста- навлпваете пои законы. Можно написать прост \ ю компьютерную программу ттобы мгновенно смо- делировать тысячу или две тысячи ходов. Нечто подобное про дела л исследователь компании 1ВМ Мань л Барнсли, и в результате получился удиви- тельно красивый лист папоротника. Фрактильмая природа В природе существует множество фрактальных структур. Особенно много фракталов можно увидеть, если понаблюдать та формой деревьев или растений. Если мы внимал \ыю посмотрим на лист папоротника, го увидим, что каждая ве- точка в точности повторяет все растение. Строго говоря, фрактал — это фигдра. которая состоит из нескольких частей, каждая из которых подоб- на всей фигуре. Фрактал может формироваться л Майки HilpHi in. urn- pent linei>> фрixni-i-iiiHo.’O сжатия— uwpuinit.i, ко- торый 1<миршн i nrpt.iopom e передаче и юпрпигиий. И Oil Ливан Н.Я ll,ipni IU Hataill eeo на «н, lfi о mnu что ис- ходное н отражение хорошего качества моъно передать г немощью ниюря инструк- ций, i,u« mini шяыаих на имаму. чем самоисходное иыйр.ыпеине. по оч^нь простым правилам. Например, к по ду- ченному на каждом этапе и .отражению может каждый p.i । применяться одно и то же преобра- зование-. Резу дьтдтом каждого преобрд юндния будет несколько уме ныненных копии оригинала. Зак у дерева образуется множество веток, каждая из которых подобна дереву в миниатюре. 11мснно это свойство самоподобия и яв дастся основным свойством фракталов. Упорядоченная случайность Рассмотрим подробнее фрактальную структуру листа папоротника. Мы мож'ем применить к ли- сту различные геометрические преобразования, например сжатие, врашенис и перенос. Сочетая эти прс-чбраювлния и выбирая определенные значения параметров, мы получим различные ча- сти листа папоротника, которые будут выглядеть как измененные копии целого диета. 11з этих ча- стей можно будет составить лис г папоротник^, це- ликом. 1 1ам потребуется всего четыре геометри- ческих преобразования. Обозначим их А, В, С и 1) Именно здесь! дивптельным образом вме- шивается случайность. Возьмем мешок, в кото- ром лежат четыре с зпгаконыд шара, на каждом и которых написана одна из букв: А, В Снам 1). Обозначим на плоскости точку, вытащим шар из мешка и применим к точке соответствующее преобразование. Нанесем на плоскость получен- ною точку, затем вытащим из мешка новый шар, применим к этой точке покос преобразование и так далее. На бумаге начнет появляться «хао- тичное» множество точек, из которых постепен- но начнет вырисовываться лист папоротника. 71
Этот удивительный результат, полученный Барнсли, натолкну г ею на мысль, что подоб ный алгоритм можно иснользовдгь при < жатнп изображений. Фрактальное сжатие Изображения на экране компьютера состоят из маленьких цветных точек (в действительно- сти — крохотных ква уратов), которые ня тывают- ся пикселями Фоroi рафия сре днего разрешения, отоьражасмая на весь экран может содержать по- рядка миллиона пикселей. ЧтоОы перс дать эту ин- формацию с помощью электрического сигнала по телефонной линии (с помощью модема', необхо- димо использова гь один из алгоритмов сжатия изображения. Существуют различные форматы сжатия: JPFG.GIF и другие. Барнс\и таметил, что на любом изображении всегда есть области, более или менее похожие друг на друга в зависимости от выбранного масштаба. Следовательно, в каж- дой паре похожих областей одну из них можно получить из другой с помощью более или менее простых преобразовании. Мы уже увидели, как < A.wv точные млтечати- ческие а сгорит мы сжятнл по методу Барнс ей доста- точно сюжны, нон.чть их общую идею довольно просто. Программа сканирует изо- бражение в поисках похожих областей (как. например. две выделенные области на изо- бражении сверху) и преобра- зует их в набор инструкций, которые затеи будут и<* пользованы при декомпрессии отображения. На нижнем рисунке приведено вен ч танов- ленное изображение. А . (га о w/jptvcw v изображений но методу Барнсли. Псре- daemrs не все изображение, а то гько набор инструкций. па то I чющих выстлновишь его. fioti танов teuite проис- ходит гюсттенка; сначала и юбражение больше нано- мин, jem иножатво цветных точек, где незаметны чет- кие границы. Постепенно из tmux точек вырисовываете ч и юбрлженме бабочка (трам вин у). можно нарисовать лист папоротника» используя всего одну точку и четыре преобразования. Объ- ем этой информации существенно меньше, чем совокупность информации обо всех точках, ко- торые образуют лист папоротника. Аналогичные действия можно выполнить для любого изображе- ния, в котором существует достаточно много по- хожих областей. Барнсли созда с алгоритм сжатия, . оторыи мог соперничать с лучшими алгоритмами на рынке, и запатентовал свое изобретение. Алго- ритм получил название «фрактальное сжатие». ЭТО игошо Сначала рынок слабо отреагировал на по- явление алгоритма фрактального сжатия, так как считалось, что математики переоценивают возможно; тй коммерческого использования фракталов Тогда Барнсли основал собствен- ную компанию и доказал, что математическое открытие может принести миллионы своему автору. > Энциклопедия Encarta которая выпускалась компанией Microsoft на CD-RuW содержит тысячи изображений, сжатых по алгоритму Барнсли. Без использования этого алгоритма нельзя было и представить что стандартный компакт-диск способен вместил»такое количе- ство инф ^рмации. 72
Лучшее от СэмаЛойЪа Задачи на исследование операций 1. Задача об ожерелье ВПСПОЛЬЗУ Юе! С О 4.1CM. ЧТ1 «1>ы дометить: хотя мок задали! очень н шести ы. «то нс означает, что всем тнестны от- веты на нит. Отче гы на некоторые самые популярные додачи нпког- 1 не । у бликов., eiici и, насколь- ко мне известно, они так п не были решены. В качестве при- мера я приведу задачу on оже- релье о которой я писал не- сколько дет назад Любой, ь го прочтет ее, скажет, что ему не составит града мпюпенпо най- ти решение. Однако я не прнпо мппаю чтооы кому то удалось сра- зу дать прлпи льиый ответ. 1 L к, этон простои задачи — показать, наскодь- ко ошибается обычный чс ловек. когда пы- тается произвести какие-либо действия, грс I Лииш.ш.и буюшпе начальных знании мат. матпки. Задача лишена каких бы то ни было ловушек или «про- пущенных шеньев». Я предлагал решить ее лучшим ювелирам Нью-1 [орка, и они сказали, что нс в шли бы па ра богу продавца, который не смея бы верно выпил нить с голь нростл ю операцию, описание ю в :мда ч< Тем нс менее, никому и i ни л не удалось дать верный oilier. Некая дама купила 12 звеньев цепочки (они раеИОЛОЖеИЫ По ОКрУ ЖНОСТН рНеУШ-Д. ПрППСДСН ною выше) и захотела изготовить in них одно ожер-лье из 100 «пенье в. Ювелир скатал ей. что разъединить н сое линт > заново маленькое шсио стоит 15 центов, разъедини гь п соединить Роль шое звено — 20 ценьов. (. колько должна злила гить дама за изготовление ожерелья? 2. Продавцы наштгхов из страны гипс з юпомок Разумеется, всем нам так ома задачаQ некоем чс ловек, который про лапал бочку меда. Он нашел покл нагеля, который лоте л купить ч тыре квар ты меда, пол негре гобой Ныло только два бочон- ка — па три кваргы п пять кварг. Отмерить че тырс I чарты в этой за даче очень просто, но ку да слоя iueопределить наименьшее* чне ло пере -лииа- >1НЙ. которыми можно решить эту додачу Эта всем п 1яес гная та дача подготовит пас к той 1 иловоломкс, кот ору hi я намерен предложить. У продавца напитков есть Ночка полочной водки п бочка сп дра емкостью по 31 5 тал лона каж, лая Нужно отмерить напитка Mountain Dew —смс си еплра п яблочной водки — ровно па 21 дол- дар 6 центов У продавца есть мерные бочонки на 2 н Ч галлона, а пркл'пнтслю нукио наполнить доверху бочку в 26 галлонов. Определите, в какоп пропорции нужно смешать с iyp и волку, что- Оы получить 26 галлонов Mountain Пелл стоимостью ровно 21 лол.ллр и 6 цен гон. Галлон яОлочнон видки стоит S5 центов. 1.1Л.ЛОН сидра — 17 центов. Затем noni JT.niTCLi, най- ти наименьшее число операций, которое нужно совершить, чтобы наполнить бочку покл нагеля. 3. Враждующие супруги В качестве предисловия к одной пн терссне и задаче, в которой группе по- ссорившихся молодых людей .iv^ho пере правнп.е я через реку в одной лодке, упомяну, чго всем им известна задача о некоем крестьян!!- не, которому нужно было переправить через ре тимг> длм.1 м и WHnreMHUf ожерелья? ку волка козу и 1..11.11.1 В нашем варианте .а дачи трем супружеским парам, возвращающимся с пикника, нужно пере- сечь реку в небольшой лп дке. В ло лке moi у г поме етиться нс бо.хсе д вл х человек, при этом пп одна да.мд не умесг грести. Случилось так, чти приходской священник, ироиопсдник Чнпч, поссорился С лвумя 'ГИМН мл жчнлидмц в эгоп компании. В ре дльгатс грело жа Чннч иоееори лаеь с остальными дам ими. kat ncpeirpttiiHTi. Ctrtprron через реку г.и .что- бы никто in поссорившихся нс оказался в од нон лодке или на о дном берегу реки? Line о уно любопытное уе.лотнк задачи таково: ни один из ▼ отмерять нмшпии MtrHHLun Dftrран- ни н.1 21 dot-up и 6центов f 45
джентльменов не должен оставаться на берег у од- новременно с двумя дамами. 11ужно определить, сколько раз лодка должна пересечь реку, чтобы все супруги переправились на другой берег. Польтуясьслл чаем, добавлю, что никто не может решить эту задачу без помощи ка- рай аша и бумаги, хотя научиться решать подоб- ные задачи в 1 ме можно очень быстро. 4. Носилыцик кирпичей Молодой человек, которого вы видите на рису н- ке, только что объяснил нос: лыцнку кирпичей эту весьма необычную задачу. Начиная с земли, нужно попеременно подни- маться и спускаться по лестнице, имеющей 9 сту- пеней, нс пропуская ни одной гн них. 11однимать- ся и спускаться нужно так, чтобы косил гься земли еще только один раз; подняться на верхнюю сту- пеньку можно только два раза; м при этом нужно наступить на чес остальные ступеньки одинако- вое число раз. Например, можно подняты я до самого верха, спуститься на зем дю и снова подняться на самый верх: все условия задачи выполнены »а 2~ ша гов. Суть задачи — определить, как можно вь полнить все условия за наименьшее число шагов. Носильщику придется не pa j подняться н епу ти1ъся ио лес гннце, пре кде чем он найдет пра- вильный ответ! ► Объясните. по оестнпщ i.i нлименыиее чист вигов. Решения 1.99% всех, кто пытается решить эту задачу, говорят, что наилучшим вариантом будет расковать 12 маленьких звеньев на концах 12 частей цепочки. Таким образом, стоимость работы составит 1 доллар 80 центов. Однако правильный ответ таков: нуж- но расковать десять звеньев в двух частях цепочки, имею- щих по пять звеньев. Каждая из этих частей цепочки состо- ит из трех маленьких и двух больших звеньев. Если раско- вать все эти звенья и сковать их заново, чтобы получилось одно большое ожерелье, то это будет стоить всего 1 дол- лар и 70 центов. Это и будет ответом к задаче. 2. Старую задачу о том, как отмерить 4 кварты с помощью бочонков на 5 и 3 кварты, можно решить за 6 ходов: 1. Наполнить ббльший из бочонков. 2. Пепелить мед из боль- шого в малый бочонок. В боль- шом останется 2 кварты. 3 Вылить содержимое малого бочонка в бочку. 4. Перелить две кварты из большого бочонка в малый. 5. Наполнить большой бочонок из бочки. б. Наполнить малый бо чонок из большого. Таким образом, в большом останется 4 кварты. Во второй задаче с по- мощью элементарной ал- гебры нетрудно вычислить, что 26 галлонов Mountain Dew должны состоять из 24 и 8/17 галлона яблочной водки и 1 и 9/17 галлона сидра, чтобы полученный ка- литок стоил ровно 21 доллар и 6 центов при указанных це- нах. Отмерить водку и сидр за наименьшее число действий можно так: 1. Наполнить оба бочонка яблочной водкой. 2. Перелить яблочную вод- ку из бочки продавца в бочку покупателя. 3. Вылить содержимое обо их мерных бочонков в бочку, где была водка. 4. Перелить 2 галлона из бочки покупателя в бочку с яблочной водкой. 5. Перелить 2 галлона сидра из бочки продавца в бочку покупателя, 6. Наполнить оба мерных бочонка смесью из бочки покупателя. В бочке покупа- тели останется смесь, которая будет содержать 1 и 9/171 ал- лона сидра. 7 Наполнить бочку по- купателя из бочки с яблочной водкой. 3. Чтобы все супружеские пары оказались на другом бе- регу, необходимо совершить 17 переправ: 1. На другой берег пере- правляются господин и госпо- жа Ч. 2. Господин Ч. возвращает- ся один. 3. Господин Ч. переправля- ется с одной из дам. 4. Господин Ч. возвращает- ся с супругой. 5. Господин Ч. переправля- ется с другой дамой. 6 Господин Ч. возвращает- ся один. 7. Через реку переправля- ются два других джентльмена. 8 Один из джентльменов возвращается с женой 9. Господин и госпожа Ч, переправляются через реку. 10. Один из джентльменов возвращается с женой 11. Через реку переправля- ются два джентльмена. 12. Господин Ч. возвраща- ется один. 13. Господин Ч. переправ- ляется с одной из дам. 14. Возвращаются госпо- дин и госпожа Ч. 15. Господин Ч. переправ- ляется с одной из дам. 16. Господин Ч. возвраща- ется один. 17. Господин Ч. с супругой переправляется через реку. 4. Решить задачу можно за 19 шагов следующим обра- зом: подняться на ступеньку 1, спуститься на землю, затем наступая на ступеньки 1,2,3, 2, 3,4, 5,4, 5,6, 7,6,7,8,9,8,9.
Цель головоломки «Лягушки и жабы», в которой нуж1 ю перемещать шарики по несложным ПРАВИЛАМ, ПРОСТА И ПОНГПНЛ: ПОМЕНЯТЬ МЕСТАМИ ШАРИКИ РАЗНЫХ ЦВЕТОВ. Применяем хитроумную стратегию Лягушки и жабы << )ни игра пыла впервые упомянута в журна и Imerican styicHforW в 7 Л’6 7лй)у. I же она по- лучи ы современное название ^Анеушки и жабы» (вори- гик.иг^ * uhcJ 7bads « /. На etwee imoii игры бы in созданы двух мерные версииt например ^Головоломка ста- рого морям» Сача. tfoiida. ММ ЯГУШКН II жабы» -- ОДНА ИЗ САМЫХ ИЗ- ZZ I I НССТПЬЬХ I ОЛОВО ХОМОК. где нужно перс- I ставлять фишки. Эю шра ди) одною игрока, которая имеет множество вариантов и на- званий, например. « Козы и овцы» или «Зайцы и черепахи». Чтобы решить головоломку, нужно применить эле>антную и .мироумную crparciию. Описание и цель игры Для этой игры необходимо: — 8 фишек (в нашем случае шариков две х рав- ных цветов. 4 черных и t белых, — игровое поле, на котором в один ряд распо- ложены 9 клеток. На каждой клетке доски может размещаться только одна фишка. В начальной позиции шарики располагают- ся так, как показано на рисунке: -1 черных ша- рика занимают Ч крайних хешах ячейки, 4 бе- лых --1 крайних правых ячейки. Таким образом, в центре доски остается одна tiyciaa ячейка. •••• Правила Черные фишки можно двигать только вправо, бе- лые — только влево. В, аждой ячейке может нахо- диться только один шарик. Допускается два воз- можных вида .ходов: перемещение и прыжок. 11ри перемещении фишка перемещается в со- седнюю пустую ячейку. Пример: белая фишка пе- ремещается из ячейки 6 в ячейку 5- •••• Цель игры — поменять мссхами черные и бе- лые шарики, расположив их гик, как и оказано на рисунке: При прыжке фишка одного цвета может пере- прыгивать через фишку другого цвета, если следую- щая к четка пуста. 73
Так, например, черная фишка перемещается из клетки ч в клетку 6, перескочив через белую фиш- ку в ячейке 5: Ризминка Мы советуем зам решить несколько более про- стых задач, где нужно поменять мсс гам и меньшее количество шариков, прежде чем перейти к пол- ной версии игры. Во всех случаях пустая ячейка находится в центре используемой части доски, остальные ячейки не используются. Первая задача: по одному шарику каждого цвета Рассмотрим всего грп ячейки доски, на которых расположено по одному шарику каждого цвета, как пока >ано на рисунке. Дея этого случая с .чествует два возможных решения: в одном первый ход делается черной фишкой, в другом — белой. Оба решения экви валентны и позволяют поменять фишки местами всего в три хода: Вторая задача: по два шарика каждого цвета Рассмотрим доску с пятью ячейками, где два шарика каждого цвета расположены по обе сто- роны от центральной пустой ячейки: В этом случае первый ход можно сделать чер- ным или белым шариком, расположенным ближе к центру. Вне зависимости от первого хода реше- ние состоит и । Boel ми ходов: Грстья задача: по три шарика каждого цвета Это последний шаг на пути к окончательному ре- шению полной версии головоломки В этом слу- чае доска состоит из семи ячеек, по обе стороны от цен тральной пустой ячейки расположены по три ш ipiiKi каждого цве.а; ••• 74
Лягушки и жабы Как и в иредыду щих случаях, первый ход мож- но сделать черным или белым шариком, располо- женным в ячейке, соседней с центральной. Вне за- висимости от выбранного первого хода решение будет состоять из 15 ходов: Подсчет ходов Так как фишки одного цвета не могут переска- кивать друг через друга, то они перемещаются в финальное положение, сохраняя располо- жение друг относительно друга. Иными сло- вами, фишка, изначально стоящая в ячейке 1, окажется в ячейке 6; та, что изначально на- ходится в ячейке 2, окажется в ячейке 7 и так далее. Представим, что на доске находится л шариков каждого цвета Расположим на до- ске только черные шарики Для перемещения каждого шарика в нужное положение требу- ется n + 1 ходов. Следовательно, общее число ходов, необходимое для перемещения всех черных шариков, будет равно л (л +1). Если мы учтем аналогичный случай для белых шари- ков, то получим, что общее число ходов равно 2г> (л + 1). Теперь учтем прыжки фишек друг через друга. Каждый прыжок равносилен двум перемещениям, иначе говоря, каждый прыжок экономит одно перемещение. Общее число прыжков равно л х п, так как каждый черный шарик должен перепрыгнуть через все белые либо через него должны перепрыгнуть все белые. В итоге общее число ходов, необходи- мое для того чтобы поменять местами п белых шариков и п черных, равно 2л (л +1) - п2 = п2 + 2л. 1акчм образом, для л = 1 имеем I1 + 2 • 1 = = 3 хода, для л = 2 имеем 21 + 2 • 2 = 8 ходов, для л = 3 будет 3J + 2-3 = 15 ходов, для л = 4 получится 4г + 2 4 = 24 хода и так далее. Число фишек Число ходов каждого цвета (п) (л2+2л) 1 3 2 8 3 15 4 24 5 35 Неравновесные задачи Можно придумать и другие игры с теми же правилами, но с другим количеством фишек обоих цветов, например: Задача 1. Попробуйте поменять местами один белый uiapFiK и четыре черных. Задача 2. Попробуйте поменять местами три черных и два белых шарика. Применяем хитроумную стратегию 75
Решение Ключ к разгадке этой головоломки в том, что нужно найти стратегию для каждого хода. На доске всегда есть только одна пустая ячейка, и именно в нее нужно переместить один из шариков. Иногда возможен только один ход, и в этом случае все просто Бее осложняется, когда допустимы два хода В этом случае возможны три различные ситуации. 1. «Прыжок/прыжок». В этом случае как справа, так и слева от пустой ячейки шарики располагаются так, что единственным допустимым ходом является прыжок. Вне зависимости от вы- бранного нами хода рядом окажут<я два шарика одного цвета. Они станут непреодолимым препятствием для шарика другого цвета, и рано или поздно игра будет проиграна. Следовательно, чтобы решить головоломку, подобного положения нужно из- бегать всеми возможными способами. с другой стороны — перемещение. В этом случае всегда нужно выбирать прыжок, так как в противном случае рядом снова окажутся два шарика одного цветз. которые станут непреодо- лимой преградой. 3. гПеремещение/перемещение». В этом случае как справа, так и слева от пустой ячейки шарики располагаются так, что един- ственным допустимым ходом является перемещение. В этом случае нужно выбрать такой код, который не приведет к по- зиции «прыжок/прыжок», иначе тогда головоломка не будет иметь решения. 2. «Прыжок/перемещение». Иными словами, для шарика с од- ной стороны от пустой ячейки возможен прыжок, для шарика Для решения полней версии головоломки С восемью шари- ками требуется 24 хода. Решение полной версии головоломки 76
х
XttGOSTINI ПРЕДСТАВЛЯЕТ Пропустили выпуск любимой коллекции? О Просто закажите его на сайте 3 www.deagostini.ru Для украинских читателей — по телефону горячей линии 0-800-500-8-40 в киосках. Новый взгляд на геометрию Феликс Клейн Шкатулка • с секретом ' Лучшее от Генри Э. Дьюдени Задачи с тачками и линиями Системы единиц Как измерить все что угодно Спрашивайте В следующем выпуске через 2 недели Башня из кубиков Измерение N За гранью понимания