Text
                    ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ	Рекомендуемая розничная цена: 279 руб.
Розничная цена: 49,90 грн, 990 тенге
занилсательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ DAAGOSTINI
26
Гексиамонды

занимательные «ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ» Издание выходит раз в две недели Выпуск №26, 2013 РОССИЯ ГОЛОВОЛОМКИ КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINI В этом выпуске: ИЗДАТЕЛЬ, УЧРЕДИТЕЛЬ, РЕДАКЦИЯ: ООО иДе Агостини». Россия ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС 105 ОЪЪ. г. Москва, ул. Александра Лукьянова, дЗ, стр Л Письма читателей поданному адресу не принимаются. ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Николаев СкиЛакии ГЛАВНЫМ РЕДАКТОР: Анастасия Жаркова ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР: Наталия Василенко КОММЕРЧЕСКИМ ДИРЕКТОР: Александр Якутов МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ: Любовь Мартынова Свидетельство о регистрации средства массовой информации в Федеральной службе по надзору в сфере связи информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) ПИ №ФС77-43310 от 28.12.2010 г. Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам касающимся информации О коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru Пи остальным вопросам обращайгесь по телефону бесплатной «горячей линии! в России: С 8-800-200 02-01 Телефон «горячей гании для читателей Москвы: С 8-495 660 02 02 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ Россия. 1701 ОС, г. Тверь, почтамт, а я 245. *Де Агостини», «Занимательные головоломки РАСПРОСТРАНЕНИЕ: ООО Бурда Дистрибьюшен Сервисна УКРАИНА ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ: ООО Де Агостини Паблишинг^, Украина ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 01D32. Украина, г. Киев, ул. С акСага некого, д. 119 ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР Екатерина Клименко Свидетельство о государственной регистрации печатного СМИ Министерства юстиции Украины КВ № 17502-6252Р от 01.03.2011 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ' Украина, 01033, г. Киев, a/я Де Агостини , яЗанимательные головоломки Украша. 01033. м. Кив. а/с «Де Агоспни Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua По остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной ^горячей линии в Украине С 0-800-500-8-40 БЕЛАРУСЬ ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР В Р6 ОСЮ Росчерк», 220037, г Минск, ул. Авангардная,, д. 48а. литер В/к. Тел./факс +375 17 2 999-260 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ Республика Беларусь. 220040. г Минск, а/я 224,000 Росчерк , «Де Агостини»,»Занимательные головоломки КАЗАХСТАН РАСПРОСТРАНЕНИЕ. ТОО «КГП ^Бурдв’Алатау’Пресс»» РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА; 2 79 руб. РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА 49,90три. 990 тенге ОТПЕЧАТАНО В ТИПОГРАФИИ. G. Carale & С. S.p.A. Sos. Сеттлса 47, Bucurestt, Farilehmon - llfov, Romania. ТИРАЖ: 68 СССэкз. Издатель оставляет за гобои право изменять последовательность номеров и их содержание, Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую цену выпусков. Неотъемлемой частью каждого выпуска является приложение. ООО «Де Агостини . 2013 © РВА Coleccionables. 2011 ISSN 2225 1782 ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ: 2901 2013 Математическая вселенная Левое и правое Мы живем в мире, полном ориентированных объ- ектов. Ориентированностью обладаем и мы сами. Например, наше сердце находится слева, а печень — справа. Однако во многих случа- ях понятие правого и левого в природе не имеет никакого значения. Еще Лейбниц говорил, что если бы весь мир заменился зеркальным отражением, мы бы этого нс заметили. Но иногда различие между правым н левым может быть равносильно разнице между здоровьем и болезнью. Блистательные умы Иск 1ючшнельнляженщина Софья Ковалевская, которой в 1870 го- ду запретили посещать Берлинский университет даже в качестве слу- шателя просто потому, что она была женщиной, спустя 15 лег полу- чила должность профессора механики Стокгольмского университета. Bic времена доступ в научные круги для женщин был закрыт, и ей пришлось выслушать много отказов, прежде чем она добилась успе- хов, позволивших ей заслужить титул принцессы науки. Математика на каждый Как лучше всего уложить аиелыины Задачи об упаковке, как пра- вило. крайне сложны и требуют отдельных решений в каждом от- дельном случае. Чаще всего для их решения требуется комбинатор- ный анализ и применение сложных компьютерных программ. И это не просто занимательные задачи, решаемые учеными только чтобы написать еще несколько статей. Задачи об упаковке широко приме- няются при изучении различных химических соединений, а также для определения п исправления ошибок при хранении данных на компакт-дисках. Iwouc Кэрролл Вес знают, что тело, полностью погруженное в во- ду, вытесняет количество жидкости, равное его объему- Но что бу- дет. если наполнить камешками маленькое ведерко и погрузить его в большое? Вы уверены, что объем воды в большом вехре будет равен объему маленького ведерка? Поэкспериментируйте! А потом можете прочесть трактат Бальбуса, написанный по этому поводу. Головоломки Гексиамонды — это фигуры, полученные соединением шест равно- сторонних треугольников. Они во многом схожи с пентамшю стой лишь разницей, что их составными частями являются треугольники, а нс квадраты. Кроме этого, пентамино располагаются на клетчатой доске, подобной шахматной, а гексиамонды — на доске, состоящей из треугольников.
Понятия ЛЕВОГО И ПРАВОГО ПОЛНОСТЬЮ ИНТУИТИВНЫ И ВОСПРИНИМАЮТСЯ КАК НЕЧТО БЕССПОРНОЕ и очевидное. Однако они являются прямым следствием определенного математического свойства ПРОСТРАНСТВА, В КОТОРОМ МЫ ЖИВЕМ. ЭТО СВОЙСТВО НАЗЫВАЕТСЯ ОРИЕНТИРУЕМОСТЬЮ. Ориеюпируемост ь Левое и правое 1 11 2. гак чтоОы электрические кабели не пересе- кались. Решить эту задачу очень просто. Однако для трех заводов п трех электрос ганций задача су- щественно усложняется Так как речь идет о дву- мерной плоскости, то понятно, что кабели не мо- гут проходить один над другим. Представьте, что заводы, электростанции и кабели в задаче полно- стью п эоскис-. Подумайте над р шенпем, но не слишком долго. Понятие ориентируемого пространства мож- но легко объяснить с помощью простых опытов с бумагой и нож шцамп. Напри- мер, лента Мёбиуса — один из немногих при- меров нсириентируемого пространства, которое можно встретить в нашем ЗП-мире. Понятия левого и правого применимы нс только к гео- метрическим фигурам, изучаемым математикой, но и к самой реальности, в которой мы живем: of формирования бехков. являющихся основой жизни, до элементарных частиц, из которых со- стоит материя. Трудный вопрос Допустим что перед нами стоит следующая за- дача. Есть два завода, А и В. каждый из кото- рых нужно подключить к дьхм электростанциям, А Орйотициз « tfaa-яря вп -, иинфлжгнмля Мик. ын- джем на </у>л i.r.v Сикгтии- ской качены, 4пкют в основе нашел jur/w и ытрасныет ерунда нентальные иснввы нрнцехиждениае самой жимш и uwiepuu, иеконшрчисо' гпишш л г /гши. Ориентируемое пространство Прежде чем мы продолжим объяснение, стоит прояснить некоторые вопросы, чтобы понять, что такое неориентируемые пространства и как они связаны с измерением. И заводы, и элек- тростанции в нашей задаче являются двумерны- ми. Чтобы лучше уяснить, что это означает, возь- мем лист бумаги и нарисуем на нем асимметричный силу- эт человека — господина П хо- ского, как показано на рисун- ке. Важно отмстить что ни он сам, ни лист бумаги, на кото- ром он нарисован, не имеют толщины. Они имеют толь- ко два измерения — ширин- и высоту. В двумерном мире господина Плоско- го существуют верх и низ, а также правая и левая стороны, но не существует понятий «впереди» и «позади». Здесь нам стоит на минуту .забыть о нашем привилегированном положении в трехмерном ми- ре. Например, силуэт госпожи Плоской никогда не сможет полностью наложиться на изо- бражение господина Плоско- го, так как для этого ей потре- буется покинуть двумерный 141
мир и разверирться так. чтобы отобразиться сим- метрично самой себе. Можно представить, что го- сподин и госпожа Плоские живут на бесконечной плоскости, подобно тому как мы живем в беско- нечном трехмерном пространстве, и ничего не знают о другой стороне этой плоскости. Они да- же НС знают, существует ли она. Ограничим мир, в котором они живут. Для этого вырежем полоску из бумаги и склеим ее концы так, чтобы получил- ся ободок. Кое-что изменилось. Теперь господин шоспожа Плоские живут в конечном мире с дву- мя четко определенными границами. Они могут переходить эти границы, если захотят. В осталь- ном их мир нс изменился, в нем по-прежнему су- ществовуют верх и низ, право и лево. Теперь перевернем их мир в некотором смысле с ног на голову. 11 в этот раз многое серьезно изме- нится. (Будет удобнее, если bi t будете рассматри- вать полоску бумаги на просвет.) Лента Мёбиуса Вырежем из бумаги ленту и перед тем как скле- ивать ее концы, предварительно развернем один из них. Получится так называемая лента Мёбиу- са. Господин Плоский будет по-прежнему жить в двумерном мире, ио кое-что изменится. Раньше он мог свободно переходить с одной стороны по- лоски бумаги па другую- Теперь он нс может этого сделать — в его мире осталась только одна сторо- на. Убедимся, что это и в самом деле так. Поста- вим отметку карандашом на одной из сторон. Затем проведем пальцем вдоль полоски бумаги, начиная с этой точки, и мы придем в ту же самую точку, ни разу нс оторвав палец от бумаги. Еще Удивительнее то, что у всей ленты Мебиуса толь ко одна сторона. Бумажный ободок, который мы изготовили ранее, можно раскрасить двумя цве- тами, например, одну сторону красным цветом, а другр ю синим. Чтобы раскрасить ленту Мебиуса целиком, будет достаточно краски одного цвета. L этом нетрудно убедиться: возьмите фломастер и начните проводить линию на одной из сторон ленты Мебиуса. Описав полный круг, линия вер- нется в исходную точку на той же стороне. Однако самые удивительные изменения про- изойдут с ориентируемостью этого нового про- странства. Это очень интересный эксперимент, и мы советуем вам выполнить его самим. Напом- ним, что господин и госпожа Плоские нс имеют толщины. Вырежем фигурку господина Плоско- го из бумаги и нарисуем на ленте госпожу Пло- скую. Господин Плоский отправится на прогулку. Он 65дет идти вдоль ленты, пока снова не ветре тится со своей подругой. Удивительно, ио теперь они будут «смотреть» в одну сторону. На обыч- ном кольце из бумаги это было бы невозможно без перехода в третье измерение. Теперь для го- сподина Плоского правая и левая стороны поме- нялись местами, что показано на рисунке в цен- тре с границы ▼ Сг/МЫТ* врнгнИЛЛЬНОС и Iftf- pii.K/of npedt шлвле/ше. A/etmyia. которое пред- став гена ил иллюстрации, шн создать шшъ художник, часштлйа Корне- шш Эшера (/2?9£—JP72J. Пл ofltadaa уднвнтг /ьлы м лыадешь Jf и ш- оражатн t цмые г гажныг фи- гуры я пространстве и голДы мломэттияв рло&ш, которые ш.шюш привычное tfucripu.H- тие pea. шны тн. Решение задачи Задача о соединении грех заводов с тремя элек- тростанциями, о которой мы говорили ранее, не имеет решения в обычном двумерном простран- стве, но ее можно решить на ленте Мёбиуса. Сна- чала покажем, как соединить первые два завода с двумя электростанциями. Возьмем полоску бу- маги и отметим на ней точки А, С, 1 и 3. Нарису- ем две красные лшшн, которые будут выходить из точек А и 3, и две синие, которые будут выходить из точек 1 и С. Если мы склеим края полоски бу- маги так. чтобы получилось кольцо, то совпадут концы красных и синих линий. Однако если мы поверием один из краев полоски так, чтобы пору- чилась лента Мёбиуса, то заметим, что теперь бу- дут совпадать линии одною цвета. Мы соединили завод А с электростанцией 1 и завод В с элек- тростанцией 2 так, что кабели вс пересекаются. В этом заключается решение задачи, о которой
Левое и правое Полезное изобретение Немецкий математик Август Фер (.инанд Мёбиус (1”90-1868) известен важными работами в аф- финной и проективной 1еом< грин Iгак, он пер- вым ввел понятие однородных координат). Одна ко его имя стало невероятно популярным среди широкой публики благодаря удивительному изо- бретению — ленте, которая носит его имя. При- нято считать, что ученые, особенно математики, достигают творческого пика в юности, а в >релом возрасте лишь уточняют и доводят до совершен ства свои первые гениальные открытия. В этом смысле Мебиус — яркое исключение, так как он открт (д неориентируемое пространство в возрас тс 68 лет. мы говорили в самом начале. Дос таточно скле- ить ленту Мёбиуса и соединить иноды и длск тростанцнн гак, как показано на рисунке выше «Афганские ленты» Один из самых удивительных экспериментов, которые можно провести с лентой Мёбиуса в домашних условиях, — разрезать ее нож- ницами в разных местах. Например, если разрезать ее ровно посередине, то вместо двух узких лент получится одна длинная лента с двумя витками. Если мы разрежем ленту Мёбиуса, отступив от края на треть ширины, то получатся две ленты, связанные одна с другой, как звенья одной цепи. Это любопытное свой- ство ленты Мёбиуса используется в фокусе с «афганскими лентами», когда бумажные лен- ты Мёбиуса не разрезают ножницами, а чертят на них дорожку нитратом калия. Фокусник вешает ленты на гвоздь и поджигает их снизу, например, сигаретой. Удивление зрителей гарантировано. ▼ Многие .художники нл- ходи tueeloxheeiHue в ноте Л/< бн:х.1, x.u, нлпрнгвер, ив- тор мной екульнтуры в Ггд- М.0Н1 (Южная Корея). ► i-ciu pit хрезмнь геншу MtHuym ровно >ю- егреднне, товмехто двух .f«W НОЖНО 014.10 бы пребпомжитъ, получите 1 гентл беоннои Олины, иоплыно n.i к ертине го малЛ Xw» мАлтаы M.i- :рнц,< Эшер,е. 1hirepcc к ленте М, Опуса вышел далеко за рам- ки чистой математики: она нашла применение в промышленности и технике и легла в основу бо- лее дюжины патентов. Например, фильм можно записать с двух сторон п тенки (этот же принцип использовался п в магнитофонных лентах), поло- са конвейера, которая имеет форму ленты М< бм- уса, изнашивается в два раза mi дленнее, а лента абразивного материала такой формы прослужит в два раза дольше обычной. Ориентируемость Ш1
Мёбиус и саспенс Перед очарованием ленты Мебиуса не устоял даже мир кино. В 1959 году Армин Дейч написал рассказ A subway called Moebius (очевидный намек на название пьесы ‘Трамвай„Жела- ние"» — A Streetcar Named Desire), в котором поезд метро исчезает в топологической сети станций, перейдя «на другую сторону зеркала», как если бы туннель метрополитена превратился в ленту Мебиуса. В1996 году Университет кинематографии Буэног Айреса на основе это- го рассказа выпустил фильм «Мёбиус» в математических и фантастических традици- ях, свойственных выдаю- щемуся аргентинскому писателю Хорхе Луису Борхесу Одна из исчезнувших станций загадочною метро называется «Борхес». Бутылка Клейна Бутылка К тепла (или по-другому поверхность Клейна, нсориснгирусмыи гор) — еще один при- мер неорнентируемой поверхности. Ес изучени- ем занимался немецкий математик Феликс Клейн (18-+9—1925) в 1882 г. Название «бутылка» — результат игры слов, так как Kleinschc Flache пере- водится с немецкого как « поверхность Клсина», a kleinsche Flaschc — «бутылка Клейна». Мы предлагали вам самим изготовить ленту Мёбиу- са, но, к сожалению, мы не можем привести здесь инструкцию по изготовлению бутылки К иейня. в том числе потому, что для «того потребуется склеить некоторые ее части в четыре хмерном про- странстве. Тем нс менее можно представить себе процесс ее изготовления, хотя сделать это будет непросто. Для этого будем использовать простил прием «математического оригами» и укажем на полосе бумаги стрелками направление «Склеива- ния, Например, рисунок 1 означает, что лепту нужно склеить краями, следуя по направлению стрелок. В этом случае получится обычная лента, такая же, какую носят на голове спортсмены, что- бы пот и волосы не попада ум в глаза. На рисунке 2 стрелки указывают в противоположные сторо- ны. Это означает, что перед склеиванием снача- ла нужно поверну гь один край полоски точно так же, как мы делали, чтобы получить ленту Мсби уса. Стрелки на рисунке 3 обозначают сразу два действия: сна гала нужно склеить длинные сторо- ны (получится цилиндр), а затем склепгь корот- кие ^тороны. Получится тор — геометрическое тело ь форме бублика. Н« рисунке 4 прсдставлс- на UHi грукипя ни склеива- нию бхть'хки Клейна. Пер вое действие — гакое же, как и при склеивании цилиндра, но вторая пара с грелок у кавы- вает в разные стороны I Imchho это действие нельзя выполнить без перехода в четвертое измере- ние. Полученная юомегрнческая фигура будет выглядеть примерно так, как показано на рисунке внизу страницы. Чтобы получить бутыл- ку Клейна, нужно продеть горлышко внутрь бутылки, нс сделав при этом ни единого разреза, и приклеить гор- лышко к бутылке изнутри. Эта бутыл- ка, помимо интересных топологических свойств, обладает одной особенностью: ▼ БуЖЫШЯ, . №|).1U№U нг- ЧСфСН. W tMWf IMJVHMW Фгшнам Км-йном. —/>г- JKtfcWrfw «члтечатпч^ского QpH&tMH», ЧнМЮЫ и VIW' вить такую оугнылку. нужно < к.ягнш£>« ₽ четвертом its череннм. продел .'п/ыыш ко внутрь ёутымн. Элементы жизни смотрят влево Существуют химические соединения, которые присутствуют б природе одновременно в двух формах — они подчиняю гея и правилу правой
Левое и правое Фатальная ошибка В 1956 году в продажу поступило успокои- тельное под названием талидомид, когорое не наносило вреда организму даже при приеме в больших дозах. В 1960-е годы было обнаружено, что у матерей, которые принимали это лекарство в первые месяцы беременности, рождались дети с врожден- ными уродствами. В лекарстве сочетались правоповоротные и леволоворотные моле- кулы. В настоящее время известно, что этой катастрофы можно было бы избежать, если бы компонентами лекарстга были только левоориентированные молекулы. руки, и правилу левой руки. Иными словами, од- но из этих соединений является зеркальным ото- бражением второго. Эю свойство называется хиральность, а само слово происходит от греческого keir — «рука». Эти формы одной н той же молекулы называются энантиомерами. Узнать, какая молекула является «правой», а какая — «левой», можно пример- но гак же, как мы определяем в темноте, какую перчатку нужно надеть на правую руку, а какую — на левую. Белки, основа жизни, состоят из амино- кислот, и все аминокислот, ы являются «левыми». Напротив составляющие ДНК и РНК рибо- за и дезоксирибоза, подчиняются правилу пра- вой руки. Почему хиральность заключена в осно- ве самой жизни? Это одна из величайших загадок науки. При поисках жизни на других планетах ученые ищут именно хирадьные молекулы. Мо- лекулы, которые нс обладают хиральностью, нс содержат информации, необходимой, чтобы раз- личать левое и правое. Те молекулы, которым при- суща хиральность, смешиваются <1 грого в соотно- шении 50:50. Лакая смесь называется рацемат. Несмотря на го, что структура хоральных мо- лекул одинакова, их вкус и запах могут серьез- но отличаться, и даже химические реакции будут приходить по-разному. Сахара, подчиняющиеся правилу левой руки, сладкие па вкус, но не уча- ствуют в обмене веществ, поэтому от них нс тол- стеют. Различие между правым и левым в неко- торых случаях может быть равносильно разнице межлу здоровьем и болезнью. Немецкий математик Герман Вейль (1885- 1955) выразил это так: «В теле человека все аминокислоты закручиваются влево. Ужасное подтверждение этому — болезнь под названи- ем фенилкетонурия, которая ведет к потере па- мяти. Ее вызывают продукты е левым изомером фенилаланина, в то время как правый изомер этой же аминокислоты нс имеет стиль ужасны л последствий». Сквозь зеркало Мы живем в мире, полном ориентированных объ- ектов. Орисншрованносзью обладаем и мы сами. Сердце находится слева, а печень — справа. Од- нако во многих случаях понятие правого и левого ЭТО ЮТ Различия между левым и правым очень за- метны в природе, цели вылить воду в раковину или ванную, то образуется водоворот, вода в котором будет вращаться против часовой стрелки. Однако так происходит лишь в Се- верном полушарии. В Южном полушарии вода вращается в противоположную сторону. Это явление вызвано действием силы Кориолиса, возникающей при движении одного тела по поверхности другого, вращающегося тела. Именно из-за воздействия этой силы рельсы на железной дороге изнашиваются с одной стороны больше, чем с другой, в зависимости оттого, в каком полушарии они проложены. Деление партий на «правые» и «левые» берет свое начало 5 мая 1789 года, когда король Лю- довик XVI созвал французское Национальное собрание. Знать не .лелавшая изменений, за- няла места справа от короля, а простолюдины, жаждавшие перемен расположились слева. Ориентируемость t££J
в природе нс имеет никакого значения. Лейбниц говорил, что, если бы весь мир заменился зеркаль- ным отражением, мы бы этого не заметили. Зер- кальные отражения — популярный образ в фило- софии и литературе. Наверное, самым известным примером будет «Алиса в Зазеркалье» Льюиса Кэрролла. Когда Алиса проходит сквозь зерка- ло, то понимает, что произош со, только потому, что запомнила расположение предметов в комна- те. Если же мы поместим человека по другую сто- рону зеркала в незнакомой комнате, он никак не сможет узнать, что попал в Зазеркалье. Никакой физический эксперимент нс поможет ему опре- делить это. Если говорить научным языком, то физиче- ский объект или система обладают симметрией, если описывающие их уравнения не изменяются при следующем преобразовании координат: Х-»-х, Y-»-y, Z-*-z. В этом смысле в классической физике правые и левые системы координат полностью эквива- лентны. Например, уравнения, описывающие движение бильярдного шара, не изменятся, ес- ли мы будем наблюдать за движением шара в зер- кале. Это так называемая зеркальная симметрия вселенной. В микромире эквивалентом понятию симметрии является четность. Говорят, что в фи- зической системе сохраняется четность, если ис- ходное явление и зеркально симметричное ему наблюдаются с одинаковой частотой. Возвраща- ясь к примеру с перчатками, можно провести та- кую аналогию: если мы вернулись домой и нам на глаза попалась перчатка на правую руку, то мы точно знаем, что где-то лежит такая же пер- чатка, но на левую руку. Если мы наблюдаем не- кое физическое явленно, го в определенных ус- )Т0 И11Ш410 > Эта любопытная партитура для двух скрипок написана Моцартом. Оба музыканта должны исполнять одну и ту же партитуру один — сверху вниз, второй — наоборот. ловпях можно наблюдать явление, которое будет зеркально симметрично ему. Однако в 1957 го- ду физики Янг Чжэньнш! и Ли Чжэндао прове- ли эксперимент, в котором показали, что этот закон нс выполняется для слабых взаимодей- ствий. Этот результат, который позднее получил название «нарушение четности», оказал огром- ное влияние на все научное сообщество, а фраза «четность ни сохраняется» облетела весь мир. Была нарушена нс только физическая теория, но и целая картина мира, в основе которой лежала всеобщая симметрия. 4 Л W/LJW йоКуМеЮНСь ИШЬ- шг-.w огромное историческое значенье» фм.шкн Лиг m « sift Чкэндао пока что МрННЦЫМ сохранеHtt.4 четное ma нс нымалняетсч элементарных частиц, tt тем симы ч зафиксируй ifi крушение одной нз незы- блемых истин, лежагцпх o ot wee нашей картины мира» wdmeepdw omiym- стене всеобщей симметрии. Четность — свойство, ха- рактерное да. v бпаьшикгт& i фи шческнх процессов. Оно ыклмчастся д том, что физические законы не изме- няются при зеркальной си и- ,ч «тог/нда, то есть когда. ireoc и правое меняются матами. ОЭн JW VCTJMft ЛНДО не обл.1- дают нн радиоактивность, нн ( ыбые вмимодейстяия.
Во ВРЕМЕНА СООЬИ КОВАЛЕВСКОЙ ДОС ГУП 6 НАУЧНЫЕ КРУГИ БЫЛ ЗАКРЫТ ДЛЯ ЖЕНЩИН, И ЕЙ ПРИШЛОСЬ ВЫСЛУШАТЬ МНОГО ОТКАЗОВ, ПРЕЖДЕ ЧЕМ ОНА ДОБИЛАСЬ УСПЕХОВ, ПОЗВОЛИВШИХ ЕЙ ЗАСЛУЖИТЬ ТИТУЛ ПРИНЦЕССЫ НАУКИ, Исключительная женщина Софья Ковалевская ► С. Ковалевская f /550— llWi) я течение всей жнзнн пыталась. и не bet труда. сочетать роль матери и выдающегося ученого. За ее зас луги ей был присвоен неофициальный титул принцессы науки. Софья Вас !\ьевна Ковалевская роди лась ь Москве 3 января 1850 года. Она была младшей из двух доч_ рей Василия Корвпн-Круковско! о, от- ставного генерала артиллерии и бога- того землевладельца. Обе сестры, Анна н Софья, получили начальное обра юва- ние дома. Анна проявила способности к литературе, а Софья (и ли Соня — она люби ла, когда ее так называли' обнару- жила талант к математике. Ей помигал дя- дя Петр Васильевич Круковскип, который часто посещал дом старого генерала и посня щал Софью в тайны решения уравнений и зада- чи о квадра i у ре круга. Отец Софьи, воспитанный в старинном духе, решил положить конец заняти- ям дочери, но та ночами, когда все спали, украд кой читала 1 чебник по алгебре. Спустя некоторое время их сосед профессор Тыртов преподнес Кру- ковским в подарок учебник физики своего автор- ства. Софья принялась за) чебник, но ей встрт ти- лясь непонятные функции, и Тыртов с радостью объяснил ей, о чем идет речь. Он поразился, с ка- кой легкостью Софья понимала все его объясне- ния. и посоветовал се отцу продолжить обучение дочери, но тот ответил отказом. Фиктивный брак Софья п сестра очень хотели учиться и чувствова- ли себя неуютно в обществе, I ле женщинам отво- дилась исключительно роль жены и матери. Г дин- ствснной альтернативой было покинуть Россию и уехать в Европу, что было немыслимо для оди- нокой женщины. Поттом, Софья решилась на фиктивный брак, который позволил бы ей пу- тешествовать, куда она захочет. В 18 лет она вы- шла замуж за Владимира Ковалевского; он изучал геологию и позднее стал видным ученым. Ново- брачные переехали в Гейдс сьберг, но вскоре ре- шили кип, по отдельности, сохранив дружеские отношения. В конце 1870-х голов Софья пере- ехала в Берлин. Там она ш питала первое разоча- рование, увидев, что перед женщинами закрыты двери всех университетов. Тогда она обратилась к Карлу Вейерштрлссу (1815—1897), препода- вателю математики Берлинскою университе- та Он был решительно против обучения женщин в университетах, но согласился давать Софье частные уроки два раза в неделю- Софья опубликовала три работы, которые привлекли к себе внимание в научных кругах: л О те- ории уравнений в частных произ- водит х», «О форме колец Сатур- на** и «О приведении некоторого класса аОе левых интегралов третье- го ранга к эллиптическим интегра- лам ». 11ервая п этих работ стала ее докторской, за которую Гёпишен- ский университет «в ее отсутствие» присвоил ей степень доктора в ию- ле 18~-f года. Тем не менее, несмотря на рекомендации Вейерштраеса, который ▼ 5 коре после нлчелл ынчтий у б term хщгго не нецксго математика Кар/л Вейсрштрагга Со- фья публикует три рабо- ты, в однай и а которых ИЗуЧЛеГШЯ фор ил ко 1СЦ Сатурна — зта тепл была очень популярной е научных кругах того времени. Другая из *ти.х работ легла в основу ее докторской диссертации, сл которую Геттингене кии университет се отсут- ствие** присвоил ей степень доктора в июле /577Л Ко ел леве кая (18 '0—1891) 19
к тому времени стал ее ярым защитником, ей нс удалось занять должность преподавателя матема- тики, где 1 рсбоьалось бы нечто большее. чем объ- яснять школьникам таблицу умножения. В том же году Софья и ее муж решили вернуться в Россию. Годы несчастий Отец Софьи изменит отношение к дочерям: не- преклонное ИриТИЦОДСЙеГННе сменилось безого- ворочной поддержкой. Между Софьей н отцом установились прекрасные отношения, которые, к сожалению, оборвала внезапная кончина генера- ла в октябре 18“5 го да. Софья 1 лу боко переживала смерть отца. Три гоуа спустя, 17 октября 1878 го- да, з нее родилась дочь Соня дима се на тыкали Фуфой' Софья оставила математику и полностью посвятила себя семье. В эти же время она пишет фантастические рассказы, пьесы и научно-попу- лярные статьи. Лишь семь лет спустя Софья вер- нулась к занятиям математикой. Она представила работу об абслсвт<х интегралах, которая была при- нята очень хорошо, и решила вернуться в Берлин к Всйсрштрассу. Новость о самоубийстве мужа по- вергла се в глубок) ю депрессию, и Софья стала ду- мать о том. чтобы тоже покончить с жизнью, но усилиями ее учителя ей удалось преодолеть кри- зис и снова всецело отдаться математике. Окончательное признание Лишь в 1883 год) Софье Ковалевской наконец улыбнулась удача. Шведский математик Магнус -J О AN S Р 1 С С I «И» У ИШ11 »*| kejs'ul* < OruavtJiv книги Bryuricl z/ir Limil — гын/глыиш pv чанл, в которо. ч р,л t xa* зывлется мхватынак/щлн история о мечшш жизни и научной patwmrудиви- тельной женщины — Софьи Etlfl.l 1СЛ хон. Л Шведский Л1. сгнус lei m.i Миттлг- deffiiep (fK-HS—i92~r), тторый m ncyii бы i улгл//- eaw K.tp„< Вейсрштряаи. e I SSj году прнгые iu C 'ырыв Преподавать в ( mCK- университете. Л 1855 envy чти r tern p.Kvmn в Стокге.и-че l публикует первую рнйиту и прш т li.i.ix и тогда же получает УвляГтпть препо- давателя механики в ( »/ел- JCrt-Чс АС.Ч ywtflfpl wwrwr. &ьми первой женщиной в Европе, ьилужывни й Ли % - яать профессора. Второй женщиной, которой удомпг- стать профессором в Ста- ром Свете, стлы ALipti.s Кюрн. ЭТО И41ТСРССЛ0 В поместьях, подобных тем, где родилась Софья, стент. । комнат обычно оклеивали обоям» Однако везти обои из Москвы было слишком долго, поэтому обычно использова- ли переработанную бумагу Как то раз юная Софья обнаружила, что в детской под обоя- ми, которые уже начали отходить от стены, были наклеены страницы из конспектов по дифференциальному исчислению, которые остались от ее дяди. Именно поэтому не- сколько лет спустя, когда Ковалевская училась в Сгнкч-Петербургг* она уже знала все, о чем рассказывал преподаватель. । Помимо серьезности и выдающегося ума Со- фья Ковалевская также обладала удивительной красотой. Ее шляпка, слегка прикрывавшая большие зеленые глаза, была известна всем. Знаменитый химик Бунзен как-то написал Вейерштрассу: «Эта женщина заставила меня отказаться от моих гобственньлг слов Ей не нужно снимать шляпу - без нее эта женщина очень опасна». Софья Ковалевская, которой в 1870 году запре- тили посещать Берлинский университет даже в качестве слушателя просто потому, что она была женщиной, в итоге получила должность профессора механики Стокгольмского универ- ситета в 1885 году Геста Миттаг-Леффлер (1846—1927), который также был учеником Вепсрштрасса, пригласил Софью преподавать в Стокгольмском универси- тете. По прошествии двух лет Софья публикует первую работу о кристаллах, и в том же 1885 го- ду получает должность преподавателя механики, В эти счастливые годы Софья Ковалевская обре- тает широкое призы- hiic в обществе. В 1888 году перед широкой аудиторией ей была вручена пре- мия Парижской академии наук за работу «О вра- щении твердого тела». Два года спустя опа бы- ла избрана членом Петербургской академии наук. Помимо важных научных трудов Софья также на- писала лв.обиотрафпческие «Воспоминания дет- ства» и роман «Приват-доцент». Опа а., гнвно у частвовала в общее. тенных движениях roi’O вре- мени, от обенно тех, что боролись за пр 1ва жен- щин. Ковалевская умерла 29 января 1891 года в 41 год после сильного воспаления легких, по- лученного при возвращении из путешествия в Италию.
Задала об упаковке шаров столь же известна, как и задача о квадратуре круга или теорема Ферма, Однако в отличие от них она также имеет очень большое техническое значение. Упаковка шаров Как лучше всего уложить апельсины в АдЫЫП'гдеж; середина А7А дезд Традиционный сноюб укыдмг 4t)fp НА СКЛАДАХ It A it АНГЛЫ If HtMi HA нрилАгисах всегда {читал- ся onmtt st<L,ihHf4M. Эя/о было подтверждено под- рибн ы.и млтелшти чееКкм доклитеамтвшм. В задаче об упаковке шаров идет речь о таких простых вещах» как составление пирамиды из стальных шариков» выкладка пирамиды из апельсинов и укладка шариков для настольно- го тенниса в коробку Если приводить более слож- ные примеры, можно вспомнить о структурных единицах листовых силы катов. В любом случае суть задачи — упаковать шары одинаковою ра- диуса так, чтобы между ними осталось как можно меньше пустою пространства. ► xJttf варианта рм д-ыДиг монет на плоскости: при прямоугольном расположении ж«м.1Хи монет а касается четырех других. при шест и - угольном — шесты других. Второй вариант намного плотнее. Трудный вопрос Исходную задачу сформулировал в середине XVI века сэр Уолтер Рэли (1552—1618), который хотел узнать, можно ли каким-то способом бы- стро подсчитать сколько пушечных ядер лежит на палубе корабля. Он задал этот вопрос английско- му математику Томасу Хэрриоту (1560—1621), который дал ответ на этот и многие другие по- хожие вопросы, пока Уолтер Рэли нс задал самый трудный из них: как нужно ухожить шары, что- бы мс кду ними было как можно меньше пусто- го пространства. Хэрриот обратился к немецко- му астроному Иоганну Кеплеру (1571 —1630), который пришел к выводу, что оптимальной бу- дет укладка, которую уже использовали на флоте моряки для укладки пушечных ядер и продавцы апельсинов на рынке. Это так называемая шпо- теза Кеплера. Способы упаковки Проанализируем задачу об упаковке в общем ви- де. Ес хи мы будем рассматривать се в двух изме- рениях, то увидим, что заполнить плоскость кру- гами одного размера можно двумя способами. В результате образуется либо сетка, где каждый круг распола! ас гея в углу воображаемого ква- драта, либо сетка, где каждый круг окружен ше- стью другими, расположенными в форме пра- вильною шестиугольника. Сразу же становится понятно, что шестиугольная сетка намного эф- фективнее. Простые подсчеты показывают, что плотность такой укладки равна 0,907. Болес того. 77
Три основных типа упаковки Три основных типа упаковки шаров, о которых рассказано в тексте, выглядят так: Кубическая упаковка Гранецентрированная Гексагональная кубическая упаковка упаковка эту плотность нельзя превзойти никакой равно- мерной (Карл Фридрих Гаусс, 1831) или неравно- мерной укладкой (Аксель Туэ, 1910). Перейдсм к трем измерениям и рассмотрим. например, укладку апельсинов. Их можно укла- дывать различными способами. Можно выложить первый слой в форме прямоугольника и затем вы- кладывать шары точно поверх шаров первого слоя. В этом случае получится так называемая кубическая упаковка. Если выложить первый слой в форме шестиугольника, то получим гекса- гональную упаковку. Плотность упа- ковки, которую вычислил еще Кеплер, в этих двух случаях будет соответствен- но равна 0,5236 и 0,60ч6. Однако су- ществуют и другие возможные способы расположения. Например, можно выло- жить основание в форме прямоугольника и поместить шары второго слоя так, что- бы они укладывались в углубления, образо- ванные шарами первого слоя, шары третье- го слоя — в углубления второго слоя и так далее. В результате получится грансцсн- трпрованная кубическая упаковка — имен- но так продавцы выкладывают на прилавок апельсины. Существует и четвертый способ, в котором первый слой выкладывается в фор- ме шестиугольника, а все последующие шары укладываются в углубления предыдущего слоя. Любопытно, что этот способ упаковки полно- стью аналогичен предыдущему, и разница меж ду ними заключается лишь в угле обзора. С по- мощью непростых вычислений было показано, что плотность такой укладки, то сеть соотноше- ние между суммарным объемом шаров и объемом пространства, которое занимает укладка, равна 0,74048 — приблизительно 75 %. Решение Среди многочисленных доказательств гипотезы Кеплера, которые пытались найти математики разных времен, выделяется доказательство немец- кого математика Карла Фридриха Гаусса, который доказал, что эта упаковка шаров является опти- мальной для частного случая, называемого решет- чатой упаковкой. Однако оставался открытым вопрос, существуют ли другие, более эффектив- ные упаковки, которые не являются решетчаты- ми. Окончательное решение нашел Томас Хэйле, профессор математики Мичиганского универси- тета, который работал над своим доказательством десять лет. Fro доказательство объемом 250 стра- ниц содержит три гигабайта информации. Пра- вильность всех этапов доказательства до сих пор нс подтверждена. Тем не менее это решение бы- ло принято журналом «Анналы математики», но С необычным комментарием редакции, указыва- ющим, что правильность доказательства не была подтверждена на все 100 %. Учитывая его объем, должно пройти определенное время, чтобы меж- дународное математическое сообщество подтвер- дило корректность этого доказательства. cn°s's г о **, Не только апельсины Задачи об упаковке, как правило, крайне сложны и требуют отдельных решений для всех частных случаев. Такими задача- ми занимается комбинаторная геометрия. В большинстве случаев для их решения требуется комбинаторный анализ, при- менение сложных компьютерных про- грамм и использование мощных ком- пьютеров Кроме тою, ЭТО Нс Просто занимательные задачи, решаемые уче- ными только чтобы написать еще не- сколько статей. Задачи об упаковке широко применяются при изучении различных .химических соединений. Также они крайне важны для опре- деления и исправления ошибок при хранении данных на компакт- дисках и в программах сжатия . данных для последующей пере- дачи. Таким образом, задачи об упаковке имеют очень большое значение в современном мире. ЖJWjWiWltf » Иоганна Кеплера (1571—1630). Этот не.шхнй немецким яс троном выдвинул гинвн/е- fOZ frir™ KOmOpOM itlMOH плотной упаковкой ныров рЛЛПОгО РЛЗЛ1 rpit .‘itt.i.'it mis грлхецентрированнля купкчегкаяупаковка. лоцшош Математик Давид Гильберт (1862—1943) пред ставил на Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году список из 23 задач, которые он считал наиболее важны- ми для математиков XX века. Доказательство гипотезы Кеплера указано в этом списке под номером 18 78
Льюис Кэрролл Запутанный рассказ Узелок 9 Змея с угла,-ли Bie иода, ьодд ноыюду, Л напить — и кяплн нет. — Еще один камешек, и оно утонет! — Хвтед бы я знать, что это ты делаешь с ведерками? Действующие лица: Хью и Ламберт. Л кето действия: пляж в Литтл Мендпп. Хью пускал мд ленькое ведерко плавать внутри другого, несколь- ко больших размеров, иы пись определи гь, еко.м ко камешков можно положить в первое ведерко, — Сначала поешь, потом поговорим, — ска- зал Бальбус. — Ты ведь знаешь старую поговор- ку: «Сначала — баранина, потом — механика». Обед прошел в полной тишине. Когда со сто ла было убрано. Хью достал чернила, ручки и бу- магу, и Бальбус приступил к формулировке зада чи. которую он приготовил для дневных занятий. — У одного моего друга был прекраснейший сад, хотя и небольших размеров... — Каких именно? — спросил Хью. — ' 1менно это вы и должны будете опреде лить, — весело ответил Бальбус. — Скажу лишь, что сад имел форму прямоугольника — был ров- но на пол ярда больше в длину, чем в ширину, прежде чем оно потонет. Лам берт лежал на спине и предавал- ся безделью. Несколько минут Хью сидел молча, что то обхумывая, а затем, вскочив на ноги, закричал: — Ламберт, что я тебе сей- ше покажу! Ни за что не дога- даешься! Помнишь, чю Бальбус говорил нам сегодня у гром? Тело, полностью погруженное в иоду, вытесняет количество жидкости, равное его объему Верно? — спросил Хью. — Что-то в этом роде Бальбус действительно говорил, — неуве- ренно согласился Ламбер. — А теперь взгляни сюда! Ви- дишь: ма и-нькос ведерко поч- ти полностью погр) жено в воду. Слсдов.11Тльно, оно должно вы- теснять количество воды, равног свосму объему. Я беру и — раз, два, три! — вынимаю ею из боль- шого ведерка, С этими с совами Хью вынул маленькое ведерко, а большое пе- редал Ламберту. и что посыпанная гравием до- рожка шириной в 1 ярд, начина- ясь в одном углу, шла вокруг всего сада. Концы дорожки нс смыка- лись. Каждый раз. когда дорожке уже, казалось, не оставалось ни- чего дру того, как сомкну ться, она поворачивала и вновь шла вокруг всего сада рядом со своим пер- вым отрезком, потом снова по- ворачивала и снова шла вокрут всего сада вдоль предыдуща о от- резка н т ак до тех пор, пока в са- ду не осталось ни клочка земли. — Дорожка извивалась, г.ак змея с углами? — спросил Ламберт. — Совершенно так же! 11 ес- ли пройти вдоль всей дорожки до последнего дюйма, держась се середины, то длина пройденно!о пути окажется равной 2 1 /8 ми- ли. А пока вы найдете длину и ширину сада, я пор гзмыелю над тем, почему объем воды в боль- шом ведерке оказался меньше объема маленького ведерка. Предоставив мальчикам ло- — Видишь? Воды в большом ведерке чуть-чуть на донышке. Неужели ты думаешь, что это ни- чтожное количество воды равно но объему ма- ленькому ведерку? — Оно должно бы 1 ь равно, — сказал Ламберт. — А вот и нет! — торжествующе- воскликну*. Хью и перелил воду из большого ведерка и ма- ленькое. — Видишь: ведерко наполнилось мень ; ее время при ute.t усамой авАо штпи в ру- ках, чмтично чиерулл чным в норе. мать голову над 1аданной задачей, Бальбус уеди- нился у себя в комнате, чтобы поразмыслить над обнаруженным Хью механическим парадоксом. — Для простоты предположим, — бормотал он, расхаживая взад и вперед по комнате, — чго у пас имеется цилиндрический стеклянный сосуд, на поверхности которого через каждый дюйм на- несены метки, и мы аполиим его водой до дсся- шс чем наполовину. Бальбус уже ждал их. чюбы вместе идти к столу. Хью сразу же поведал ему о возникшем затруднении. гой метки. Усховнмся считать, что каждое деле- ние на стенке сосуда соответствует одной пинте воды. Возьмем теперь сп сошной цилиндр, каж- дый дюйм которого имеет объем в полппнты во-
ды, и погрузим его на 4 дюйма в воду, налитую в первый цилиндр. Дно сплошного цилиндра до- стигнет отметки 6 дюймов на стенке первого ци- линдра. При этом епдощной цилиндр вытеснит 2 пинты воды. Что станет с этими двумя пинта- ми? Если бы сплошной цилиндр не выступал над поверхностью воды, то эти две пинты преспокой- но расположились бы вверху, заполнив наружный цилиндр до отметки 12 дюймов. Но сплошной цилиндр выступает над поверхностью воды, зани- мая половину объема, который мог бы вместиться между отметками 10 и 12 дюймов. Следователь- но, оставшаяся часть пространства может вме- стить лишь одну пинту. А что же станется со вто- рой? Если бы сплошной цилиндр не выступал над поверхностью воды, эта пинта преспокойно могла бы разместиться сверху, заполнив наружный ци- линдр до отметки 13 дюймов. Но, к сожалению... О, тень великого Ньютона! — воскликнул Баль- бус в ужасе. — Что же сможет остановить непре- станно поднимающийся уровень воды? И тут его осенила блестящая идея. — Напишу-ка я обо всем этом небольшой трактат. Трактат, написанный Бальбусом Известно, что тело, погруженное в жидкость, вы- тесняет часть жидкости, объем которой равен объему тела. При этом уровень жидкости подни- мается ровно н столько, насколько он поднялся бы. если бы к уж< имеющейся жидкости добави- ли количество жидкости, объем которого равен объему погруженного тела. Ларднер обнаружил, что частичное погружение тела сопровождается точно такими же явлениями. Предположим, что на поверхности жидкости каким-либо образом удерживается частично по- груженное в нее тело. Поскольку часть жидкости вытесняется, уровень ее поднимается. Вследствие повышения уровня жидкости какая-то новая часть тела оказывается погруженной, вытесняет новую порцию жидкости, что приводит к новому повышению уровня и т. д. Ясно, что весь этот про- цесс должен продолжаться до тех пор, пока в жид- кость не погрузится все тело, после чего начнет погружаться то. что его удерживало (это нечто мо- жет рассматриваться как часть тела). Пред1 гавим себе человека, стоящего во время прилива у самой воды с шестом в руках, который час гично погру- жен в море. Человек этот стоит прямо и непод- вижно. и мы все знаем, что он непременно утонет. Люди, во множестве погибающие таким образом, дабы удостовериться в философской истине, имс ют большее право называться мучениками науки, чем Галилей или Кеплер. — Должно быть, в мои рассуждения где то вкралась ошибка, — сонно пробормотал Бал1 бус. вытягивая свои длинные ноги на софе. — Надо проверить их еще раз. (Перевод Юрия Данилова, публикуется с сокращу ниями.) Решения КУБЫ Задача В учебниках физики говорится, что теьо, полностью погруженное в жидкость, вы- тесняет столько жидкости, что ее объем равен ооъему самого тела. Справедливо ли это утверждение для маленького ведерка, плавающего в другом ведерке несколько больших размеров? Решение Говоря о теле, «вытесняющем жидкость», авторы учебников имеют в виду, что оно «занимает пространство, которое можно заполнить жидкостью, не вызывая каких либо изменений в окружающей среде». Если уничтожить ту часть меньшего ве- дерка, которая выступает над поверхно- стью воды в большем ведерке, а вместо остальной части ведерка взять столько воды, сколь ко оно вмещает, то уровень воды в большом ведерке в полном соот- ветствии с учебниками физики останется неизменным. ТРАКТАТ БАЛЬБУСА Задача Из рассуждений, приводимых е трактате Бальбусз, следует, что при погружении тела в сосуд с водой уровень воды по- следовательно поднимается на 2 дюйма, 1 дюйм, 1 /2 дюйма и т. д. Бальбус считает бесконечным ряд, образуемый при- ращениями уровня, и делает вывод, что уровень воды должен неограниченно возрастать. Верно ли такое заключение? Решение Нет, наверно. Сумма всех приращений уровня никогда не д< стигнет 4 дюймов, ибо, сколько бы членов ряда мы не взяли, от отметки 4 дюйма нас будет отделять расстояние, равное последнему взятому члену ряда. САД Задача Сад имеет форму прямоугольника, дли- на которого на 1/2 ярда больше ширины Дорожка шириной в 1 ярд и длиной в 3630 ярдов, усыпанная гравием и закру- ченная спиралью, заполняет сад. Найти длину и ширину сада. Ответ Ширина сада 60 ярдов, длина — 601/2 ярда Решение Разделим дооижку на прямые участки и повороты — квадраты размером 1x1 ярд в углах. Число полных ярдов и их долей, пройденных вдоль прямых участков дорожки, очевидно, равно площади прямых учас гкс в дорожки, измеряемой в квадратных ярдах. Расстояние, прохо- димое на каждом повороте, равно 1 ярду, а площадь уголка также равна 1 ярду (но уже квадратному). Таким образом, площадь сада равна 3630 квадратным ярдам. Если х — ширина сада в ярдах, то х (х +1/2) = 3630. Решая это квадратное уравнение, получаем х~ 60. Следова- тельно, ширина сада равна 60 ярдам, а его длина — 601/2 ярда.
ПОдОЬНО ПЕНТАМИНО ИЛИ ТАНГРАМУ, ГЕКСИАМОНДЫ ДАРЯТ НАМ НЕМАЛО УВЛЕКАТЕЛЬНЫХ МИНУТ, КОГДА МЫ ПЫТАЕМСЯ ПОСТРОИТЬ ЗАДАННЫЕ ФИГУРЫ ИЛИ СОЗДАТЬ НОВЫЕ. Шесть соединенных треугольников Гексиамонды Покрытие плоскости Некоторые геометрические фигуры обладают особым свойством, ими можно полностью покрыть плоскость без наложений (нахле- стов). Подобное покрытие плоскости также называется замощением. Существует множе- ство подобных фигур, например квадрат или правильный шестиугольник. Шесть равно- сторонних треугольников, расположенных в правильном порядке, образуют правильный шестиугольник, поэтому ими также можно за- мостить ПЛ01 кость. Фигуры, которыми можно замостить плоскость, особенно удобны для образования полифигур, наг ример, полимино или полиамондов. Она напоминает символ бубновой масти в ко- лоде карт, по >tomv матема- тик Гомас О’Бенрн, кото- рый занимался изучением подобных фигур, назвал ее диамондом (от английского diamond — «бубны»), а все подобные фигуры — полиа- мондами. В такой терминологии гексиамонды — это фигуры, полученные соединением шести равносторонних треугольников. Они во многом схожи с йен 1 амино с гоп лишь разницей, что со- ставными частями 31 их фигур вместо квадратов являются треугольники Кроме этого, пентамино располагаю гея на доске, разделенной на квадрат- ные клетки (подобно шахматной доске), а гскси- Д 12 еячиетричных и не- г« w иетричнык я а ь он- дов, ю кеттрых еаетаит галовола. икл, — tma члет- ный случай (дл.ч шести тре- ум гьников) так назывл> чых поиычондое. Они ингуш выть состав ины яз <tev.v треугц-ьиик«в (АилмонАы). трея (тртиюнАы), четырех (тетрк.1 чонНы), пчти (пен- тих чинды) и так Ал гг<. Тити- О'Бейрн яриАчлыа наяишш ^яениаичяды > пи лн LiiKim г нла&ши- гм гмиоолн Сгуонввон уьит и — (lioiHJonfL Число фигур Похоже, что из ше- ф стн равносторонних треугольников мож- но составить всего 12 фи- гур. В этом легко убедиться, если вы са- ми попробуете составить из них разные фигуры. Существует ровни столько же различных фигур пентампно — 12, амонды — на доске, состоящей из треугольников (подобно доске для китайских шашек). Ч Все во z южные /дл нл чон- ды мл рисунке Кейт Джонс. ЧК7 /\ХУ Ал - А ► Нл рисунке нокммяы 12 гекенл мондо& которые иьрл.умтсл соединеннее рлв- носwopHHHUX треугольников. 79
Несимметричные гексиамонды При подробном рассмотрении 12 гексиамон- дов можно определить семь из них, которые нс являются симметричными. Эти фигуры особен ные, так как их вращением можно получить раз- ные фигуры. Если мы возьмем эти семь несимме- тричных фигур. ТО увидим, что их вращением можно получить семь новых фигур: Классификация полна мои дон В своей книге «Полимино» Соломон Голомб подробно рассматривает фигуры, образован- ные путем соединения квадратов (полимино), и предлагает читателю изучить фигуры, со- ставленные из равносторонних треугольни- ков. Несколько лет спустя этим занялся Томас О’Бейрн. Сначала он соединил сторонами два треугольника и получил диамонд, названный так по аналогии с английским названием бубновой масти. Затем он использовал корень «монд» и те же приставки, что и Голомб, для следующих фигур. Посмотрим, сколько по т.иамондов можно составить из разного числа треугольников: Если мы рассмотрим эти 14 несимметричных фигур и добавим к ним 5 симметричных, которые показаны на рисунке, то получим еще одну головоломку. Из этих 19 элементов можно составить краси- вые фигуры, например такую: или этот шестиугольник причудливой формы. 2 треугольника 3 треугольника 4 треугольника 5 треугольников б треугольников 7 треугольников 8 треугольников 1 диамонд 1триамонд 3 тетриамонда 4 пентиамонда 12 гексиамондов 24 гептиамонда бб октиамондов и так далее. Игры с гекс намой дам и Подобно пентамино и танграму, гексиамонды идеально подходят для того, чтобы составлять ИЗ НИХ разные заданные геометрические фигуры. Кроме того, из них можно составить множество произвольных фигур. Перед тем как рассказать о фигурах из 12 гексиамондов, в качестве размин- ки рассмотрим каждый элемент головоломки. Бу- дет интересно определить, какие элементы име- ют одну или несколько осей симметрии. В этом нам помогут следующие задачи. Далее представ- лен ряд фигур, состоящих Из нескольких элемен- тов головоломки. Постройте следующие симметричные фигуры: Из двух элементов: Птица Добавим, что составить такой шестиугольник можно 12ч 518 разными способами.
Ггксиамонды Близнецы 1 (нужно составить две фигуры одновременно) Затем нужно составить еще две фигуры. Близнецы II (нужно составить две фигуры одновременно) Наконец, добавив к этим четырем фигурам ма- лый шестиугольник, мы получим нужную фигуру. Из четырех элементов: Наконечник стрелы Из трея элементов: Стрела Фигуры из 12 гексиамондов Предлагаем вам составить из 12 гексиамондон следующие фигуры. Из восьми элементов Звезда Также можно составить правильный шестиут олъник двумя разными способами: а — из четырех элсмен гов 6 — из девяти элементов Из няin элементов; Маска с тремя прорезями Особенный шестиугольник И1 девяти гскеиамондов можно составить шести- угольник разными способами. Одно из решений будет особенным и симметричным. Приведем не- которые у казан ня для решения этой задачи: Фигура с отверстиями В качестве последней ^адачи предлагаем вам со- ставить из 12 гексиамондов фигуру с максималь- но возможным числом треугольных отверстий. Отверстия не соприкасаются вершинами и сто- ронами. Они также не- должны касаться края фн- I уры и ее вершин. I Ijbcctho решение С девятью отверстиями. Сначала нужно одновременно составить две слсдующих фшуры, каждая из которых состоит из двух элемент ов. Шесть соединенных треугольников 81
Решения Из двух элементов: Птица Особенный шестиугольник: на одном рисунке приведены оба решения: один шестиугольник из четырех элементов и один — из девяти. Из двенадцати гексиамондов: Из полного набора гексиамондов нужные геометрические фигуры можно составить следующим образом: Близнецы II Из четырех элементов: Из пяти элементов: Маска 82
х
D^AGOSTINI ПРЕДСТАВЛЯЕТ Пропустили выпуск любимой коллекции? @ Просто закажите его на сайте www.deaeostini.ru Для украинских читателе й — по телефону горячей линии 0-800-500-8-40 В следующем выпуске через 2 недели Дьявольский куб Теория чисел Диофантовы уравнения и Ферма Гениальный математик-любитель Пьер де Ферма Спрашивайте Многогранники. «Объемные многоугольники» Лучшее от Сэма Лойда Арифметические и алгебраические задачи