Text
                    ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ
Рекомендуемая розничная цена: 279 руб.
Розничная цена: 49,90 грн, 990 тенге
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINI
Игральный кубик

занимательные «ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ» Издание выходит раз в две ньдели Выпуск №22,2012 РОССИЯ ГОЛОВОЛОМКИ КОЛЛЕКЦИЯ ЛО1 ИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINL В этом выпуске: ИЗДАТЕЛЬ. УЧРЕДИТЕЛЬ, РЕДАКЦИЯ: ООО «Др Агостини», Россия ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 105 066, г. Москва, ул Александра Лукьяном, д.З, стр. 1 Письма читателем по данному адресу не принимаются. ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: НмколаоС Скилакис ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР: Анастасия Жаркова ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР; Наталия Василенко КОММЕРЧЕСКИЙ ДИРЕКТОР: Александр Якутов МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ: Любовь Мартынова Свидетельства о регистрации средства массовой информации в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационны^ технологии и массовых коммуникаций (Роскомнадзор} ПИ №ФС77-433Ю от 28.12.2010 г Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите кд сайт v/ww-deagostini.ru По остальным вол росам обращайтесь по телефону бесплатном «горячей г^нии в России; С 8-800-200-02-01 Телефон «горячей линии- для читателей Москвы: С 8-495-660-02-02 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ; Россия, 170100, г Тверь, почтамт, а/я 245, *Де Агостини*, Занимательные головоломки» РАСПРОСТРАНЕНИЕ; ООО 1 Бурда Дистрибьюшен Сервис из» УКРАИНА ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ: ООО -«Де Агостини Паблишингв, Украина ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС; 01032. Украина, г. Киев. ул. Саксаганского, д. 119 ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Екатерина Клименко Свидетельство о государственной регистрации печатного СМИ Министерства юстиции Украины КВ № 17502-6252РОТ01.03.2011 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ: Украина, 01033, г Киев, a/я чДе Агостини*. «Занимательные головоломки^ Укратна, 01033, м Км& а/с «Де А гост ни Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www deagostrni.ua По остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной -Горячей Лмниид в Украине, СО-800-500-8-40 БЕЛАРУСЬ ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР 6 РБ: ООО Росчерк. 220037. г. Минск, ул. Авангардная, д. 48а, литер В/к, тел./факс; +375 17 2-999-260 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ Республика Беларусь. 220040, г. Минск, а/я 224, ООО «Росчерк*. Де Агостини», «Занимательные головоломки» КАЗАХСТАН РАСПРОСТРАНЕНИЕ: ТОО -КГП -Бурда Алатау Пресс» РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 279 руб. РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА; 49,90 грн, 990 тенге ОТПЕЧАТАНО В ТИПОГРАФИИ: G. CacaleM. Sp-A Sos Сетка 47. Bucuresti, Pantehmcn - llfov, Romania. ТИРАЖ: 68 000 iK3. Издатель оставляет м собой право изменять последовательность номеров и ик содержание Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую цену выпусков. Неотъемлемой частью каждого выпуска является приложение- С ООО *Де Агостини», 2012 RBA Colecoonabtes, 2011 ISSN 2225-1782 ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ: 04.12.2012 Математическая вселенная Искусство нахождения неизвестных Уравнения, неизменно появ- ляющиеся в задачах, требующих найти некую величину, могут Ныть простейшими, с которыми справится младший школьник, а могут оказаться не под силу солидному ученому. Из материала вы узнаете о видах уравнений, способах их решений и правилах игры на поле уравнений, чго, несомненно, поможет вам при решении задачек из Этого же номера. lea математика — одна судьоа Одним из важнейших дос гмжений математики XVI века "ыло решение уравнений третьей и четвертой степеней. Главные герои этой необычной и Увлекательной истории — два незаурядных ученых, две выдающиеся личности — Кардано п Тарталья. 1 .х противостояние было ожесточенным п непримири- мым, а его ре культа! как ito часто бывает, — несправедливым. Математика на каждый день Открытие непредсказуемого мира «Хаотичная система» — какое противоречивое сочетание! То, что мы нриныкли называть хаосом, на самом деле подчиняется собственным внутренним законам, которые хоть и просты, но сильно зависят от начальных условий. Именно по- этому их поведение становится очень трудно предсказат ь, а со стсро ны оно кажется хаотическим. По-настоящему примечательно то, что хаос в природе не исключение, а правило. lyutueeот Тенра3. {/.юдени Сегодня вы наконец сможете решить задачу, занимающую умы большинства женщин на планете. Вам не ка- жется, что му ж должен полнот-ю доверять же нс во всем что касается денег? Многие женщины согласятся с этим, но беда ь том, ч го супруг никогда не говорит, насколько выросли его доходы. Хотите это уз- нать? Теперь вам будсг уостаточно мимолетного в иляда на страницы его записной книжки, чтобы вычислить всю нужную информацию. Головоломки Игральный кубик Если вы страстный поклонник забав с использо- ванием игральных костей, любите сразиться в нарды или «Монопо лию», то вам будет трудно пройти мимо сегодняшней головоломки. Игральный кубик можно не только бросать, но и собирать Как вы считаете, с колькими способами у вас полу чится это сделать?
Сложность РАЗНООБРАЗНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ РЕШЕНИЙ МОЖЕТ СЕРЬЕЗНО РАЗЛИЧАТЬСЯ. ВОТ ПОЧЕМУ УРАВНЕНИЯ НЕ ТОЛЬКО ИЗУЧАЮТСЯ В ШКОЛАХ И УНИВЕРСИТЕТАХ, НО И НА ПРОТЯЖЕНИИ МНОГИХ ЛЕТ ПРИКОВЫВАЮТ ПОВЫШЕННОЕ ВНИМАНИЕ КРУПНЫХ V4LHblX. Уравнения Искусство нахождения неизвестных Как правило. уравнения появляются в зада- ча у, я которых требуется пяцти некую вс дичину. Уравнение позволяет сформу упре- вать задачу на языке аиебры. Решив уравнение, мы полечим значенп нужной величины, которая называется неизвестной. «У Андрея в кошельке Несколько рубле*!. Если умножить это число н„ 2, а затем вычесть 5, получится 1(1. Сколько денш у Андрея?» Обозначим неизвестную сумму денег за х и запишем уравнение: 2v-5 = Ю. J jtUfWfWH.ir Нию/ихнко нрнменяютлм up eicwj- момиыя ойысгнчх нарки н техники, где задачи можно ирорму шррватъ в числсн- нич виде. Помимо прочелг, < их помощью решаются А икныелыте иатические ыдачн оптими с щин. нл- пример при управлении ценными &унлглмн. Чтобы говорить о способах решения уравне ний, сначала ну к но опрсде шть основные поня- тия и познакомиться с общеириня! ыми обозначь ниями. Для разных типов уравнений существуют различные ампритмы их решения. Проще все- го решаются уравнения первой степени с одной нсизве. гной. Многим со школы знакома форму- ла для решения квадратных уравнений. Приемы высшеи M.iTCM.lTiif и помогут решить уравнения более высокого порядка. Множество чисел, на ко- торых определено уравнение, тесно связано с сто решениями. Также интересна взчимосаязь между уравнениями н графиками функции, так как пред- ставление у равнений в графическом виде велико- лспно помогает н их решении. Описание Уравнение — это математическое равенство с од- ной или несколь- кими НСИЗВСС тцн- ми величинами; 2л + 3> = О. Выражения по обе стороны знака равен- ства называются усвой и правой частями урав- нения. Буквами латин- ского алфавита обозна- чаются цензе- 'стные. Хотя число неизвестных мож'ет быть любым, далее мы рас- скажем только об уравнепн ях с одной неизвестней, ко- торую будем обозначать за ▼ Теория сравнении и лл решении р.г teiteatat ь по- етененно. одновременно г ылтемажнк&й в целом Некотирьн И т/гилтнкл tf л ЙСГ tfp't/J» близки к тому, чшины 1пнгршнть решите зьнын прорыв в лной oOMi ти Гм., Рлфлзьсь Бои- веллн (1 ^26—J 572} первым оцени f по коми iriu ям.* чте1 при решении >д«нг- ний идн. 1 иг его книг итира- мена н. t рш ywwr Степень уравнения — это мак .ома сьная степень, в ьотор ю возводится неизвестная. Например, ту4 т 6.v - 1 = 0 — уравнение четвертой степени, л- - 4л— + 6л- =8 — уравнение второй с геиенн. Числа, на которые умножается неизвестная, на >ывак>тся коэффициентами. В предыдущем примере неизвестная в чегвергой степени имеет коэффициент 5. Если при замене у на это число выполняется 1аданное равенство, то говорят, что это число удовлетворяет у равнению. Оно на 'ыва етсярешением уравн, ния, или его корнем. Напри мер. 3 является корнем, или решением, уравнения 2л + 8 — 14, так как 2-3 + 8 — 6 + 8 = 14. Решение уравнений Допустим, что мы хотим решить уравнение 2л + 5 = 11- Можно подставить в нею какое-нибудь значе- ние с, например л* — 2. Заменим л’ на 2 и получим 2-2 + 5 = 415 = 9. Здесь что то нс гак, потому что в правой чйс ги уравнения мы должны были получить 11. Попро- буем .у = 3: 2-3 + 5 = 6 + 5=11. Отвез верный. Получается, что если неизвест- ная прпнимас г значение 3, то рагспство выполня- ет ся. Следовательно, мы показали, что число 3 яв- ляется решением уравнения. Способ, который мы использовали для ре- шения этого уравнения, называется методом подбора. Очевидно, что он неудобен в исполь лощении. Более тоги, его даже нельзя назьать 777
методом. Чтобы ) бсдиться р этом, достаточно по- пробовать применить его к уравнению вида л- - 5.*1 + 16 = 2365. Пра млознаков Для решения уравнений обязательно нужно знать следующие правила, которым подчиняются элементарные арифметические операции. Методы решения При решении т равней'ы су щест ас ют так на !ывас мыс «правила игры», с которыми будет полезно ознакомиться. Наша цель — определит! значение неизвестной, которое удовлетворяет уравнению. I [оэфому Н! жно каким-либо способом выделить неизвестную. Для этого необходимо перенести члены уравнения и.з одной его части в уругую. Первое правило решения уравнений таково 1.11рп переносе члена уравнения из одной ча- сти в другую его знак меняется на противополож- ный : плюс меняется на минус и наоборот Рассмо- трим в качестве примера уравнение 2л, + 5 = 11. 1кренссем 5 пз левой части в прану ю: Zr = 11-5. Уравнение примет вид 2е = 6. 1к'рейдем ко второму правилу. 2. Обе части уравнения можно умножать и де- лить на число, не равное нулю. Применим это пра- вило к нашему уравнению: 6 л- =--=3. 2 В левой части равенства осталась только неиз- весгнач л, следовательно, мы нашли ее значение и решили уравнение. Мы только чго рассмотрели простейшую за- дачку — линейное уравнение с одной неизвест- ном. 5 равнения этого типа всегда имени решение, йолее того, ил всегда можно pt. шть с помощью простейших операций: сложения, вычшанпя, ум- ножения и деления. Увы, не все уравнения столь же просты. Более того, степень их сложности ноз- растаег очень быстро. Например, уравнения вто- рой степени легко решит любой ученик средней школы, но способы решения систем линейных уравнений пли уравнении высших степеней изу- чаются только в старших классах. Уравнения второй стопени Существуют ли методы решения уравнений лю- Оого типа? Краткий ответ: нет, их не существу- ет. Подробный ответ гаимст несколько томов, в которых также будет и слагался история мате- матики, так как решение ’.равнении было и про- дол кает оставаться одним из важнейших стиму- лов развития этой науки. Далее мы поговорим об + — + (плюс на плюс дает плюс) 2-3 = 6. — = — (плюс на минус дает минус) 2-(-3) = -6. (минус на плюс дает минус) (-2) 3 = -6. - = + (минус на минус дает плюс) (-2П (-3) -6. Зги правила знаков справедливы также и для деления. Хотя они знако- Mt । ка.кдому школьнику, не следует думать, что речь идет о чем-то эле- ментарном: потребовалось много веков, "тобь четко сформулировать эти соотношения. у равнениях, известных каждому школьнику. Для их решения су ществует алгоритм и даже конкрет- ная формула. Уравнение второй степени — это уравнение вида ii-v1 + Ьх + с = 0. Египтянам удалось решить некоторые особые случаи подобных уравнений. 11х заметно пре- взошли вавилоняне, которые умели решать боль- шннстьо видов квадратных уравнений. Греки ис- пользовали геометрические методы Четвертая теорема книги II евклидовых «Начал» описыва- ет геометрический метод решени.. уравнении вто- рой степени. Общий метод решения квадратных уравнений встречается ч книге Миха муя Штткрсля Aritmcnca inregra — одном пз важнейших трууов ► ( р, гое ковач миниатю- ра. на которой ишоражгн Евкаиё), погруженный в иу- ченш .тиярян. Этот великий гречееШей мгете- иатнк также занимался ре tutнаем второй t w t И АШ. / fpfd i VJAXNH Ы f if И и ли? современника ии СИЛЙ- ьы оы-лн преимущественно геомгтриха
Искусства нахождении неизвестных ио алгебре, написанном в XVl веке. В этой кни- ге уже ikiioalзуютея знаки + и а также упомы наются корни из отрицательных чисел, хотя сам НГгпфсль называл их nuinc-ri abxurdi — абсурдны- ми числами. Формула, позволяющая напряли ю найти реше- ния уравнения шорой степени, вьнлядит следх ю щнм обратом: Так, например, корнями уравнения V1 + 2л - -8 = 0 будут Знак ±, который использован в числителе, применяется для одновременной записи двух ре- шений. Чтобы получи и, одно решение, мы долж- ны сложить выражения в числителе, а д ся нахож дсния второго корня — вычислить их разность. Если мы обозначим одно решение уравнения >а С), а дрг гос за Л], го по сучим: Уравнения второй степени могут иметь два разных решения (как в предыдущем случае или одно решение, как, например, уравне нне х1 - 6х + 9 = 0: б ± \/<?~ 4 1 9 2 1 6 ± л/36 - 36 6 ± 0 -----------------=---------= 3. > 1 В этом случае говорят, что уравнение iinici кратный корень. У равнение так же может нс им ст ь решеии . если лея нахождения сто корней ну дно вычислить квадратный Корень из огрицаг \ь ното числа, как в елх чае с уравнением Зл’ + 2х + 1 = 0. Его решениями являются -2 ± Д?4 - 12 6 Важно отмстить, что в последнем слхчас, ког- да мы говорим, что сравнение нс- имеет решений, мы имеем в виду отсутствие вещественных кор- ней. В действительности уравнение имеет два комплексных решения, которые не рассматрива- ются в этой главе. Уравнения и функции Графическое представление функций может ока- заться полезным при решении уравнений. С его помощью нс всегда получится найти точные ре- йв ния, ио можно определит! количссз во корней и примерный интервал, в котором они распола- гаются Рассмотрим простейший случай — ли- нейное уравнение, например v —3 = 0. Ему бу- дет соответствовать функция /(.у) = х — 3. Это уравнение прямой. Точка, в которой эта пря- мая пересекает ось X. х = 3, является решени- ем уравнения Если мы представим у равнение графически, его решениями будут точки, в которых график пересекает ось абсцисс. Например, если мы по- с 1 роим график функции/(.v) = ,vJ + л1 + Л" + 1, то уиц дим, что [рафик пересекает ось абсцисс все- то в одной точке л = — 1 Jro значение являет- ся решением уравнения хд + v1 + х + 1 = 0. Так как графи:, функции нс пересекает ось абсцисс и дру тих точках, у] аннение имеет единственное
Уравнения второй степени и параболы Графическое представление уравнений можно использовать при изучении уравнений второй степени. Графиком функции вида Г(х) = + Ьх + с всегда является пагабола Ее форма будет зависеть от значений а, b и с. Знак параметра а определяет, куда направлен! i вг'ви парабо- лы, вверх или вниз. Существует всего три возможных располо- жения параболы. Если она пересекает ось X в двух точках, это означает, что уравнение имеет два решения. Если она пересекает ось X в одной точке, то есть касается оси, в этом слу чае уравнение имеет один корень. Наконец, если парабола не пересекает ось X, то уравне- ние не имеет вещественных решений. Роль уравнений в развитии математики Рассмотрим несколько простых уравнений, на- Т Пятая книга < Ариф- метики Диофанта Александрийского, "днот из не представляло трудностей и решалось по мето- ду, который мы уже объясняли: хождение решение каждого из которых станови- лось важной вехой в истории ма.ематики. Урав- нение вида л + 1 =0 не имеет решения для тех, кто не знает о существовании отрицатель- ных чисел, так как единственным корнем уравнения является х = — 1. Если же счи гать, что это уравнение определено на множестве целых чи- сел Z (положительных и отрицатель- ных), то мы ле1 ко сможем найти ре- шение. В данном случае х = — 1. Тем не менее для древних подобные рас- суждения были не столь просты. Например Диофант отрицал су- ществование отрицательных чисел, а вместе с ними и все уравнения, ко- торые имели отрицательные корни. В культуре Древней Индии, которую можно считать очень развитой в ма- тематическом отношении, отрица- тельные числа впервые упоминаются лишь в 628 году. Но даже тогда они использовались только для обозна- чения долгов, причем с многочислен нымп оговорками. Уравнение вида 2л-4 = 0 везиких чатгиатиков Ан- тичности. Диофантовыми называютсяуравнения, до- пускающие решения только Однако уравнение « целых числах.. Г 1 Д I ОФ ANTOT А Л F. Н A N а Р I £1 L ArtOUHTtKQN t DJOPHANT1 ALEXANDRIA AR.1THM ETICORVM L IBEX <^yiNT VS. QVaESTIO L jundraxMii tilo Efl ып jronxtrx* рпэрогоо- в!ам, ем Mfr* fab «- rftrprt (омеяеи* baiwT ж- ЛЭмй “ "f-7»»*. itf". /I Й1 Л^Л>4,1Ж| * СяД T *№ faokfai fcefl Пгм e»kir nF- on MoJHti ET.fxriN -C , barer Immulh frwifii* fe.f-M Ъый 4 2х=4;л =--= 2. 2 2x- 1 =0 не имеет решении на множестве целых чисел, так как его корень х = 1/2 не принадлежит к множеству Z Для решения этой задачи нужно допустить существование множества рациональных чисел Q, (Напомним, что рациональное число можно пред- ставить в вид< дроби с целым числи- телем и на! уральным знаменателем.) Любопытно, что дробные числа, бо- лее сложные, чем отрицательные, бы- ли известны уже в Древнем Египте, Вавилонии и Греции, где использо- вались без каких-либо затруднений. Неприятие отрицательных корней уравнений лежит больше на психо- логическом уровне, чем на понятий- ном. Это не должно удивлять. Любой из нас может провести небольшой эксперимент и спросить знакомых, сколько будет 4 минус 7. Вы убеди- тесь, что заметная часть населения не знает о существовании отрицатель- ных чисел.
Искусство нахождения неизвестных Экзотические кривые: суперэллипс Математикам нравится изучать новое. Что прои- зойдет, если слегка изменить условие задачи? Например, пусть некое уравнение определяет кривую или семейство кривых. Какая кривая будет графиком видоизмененного уравнения? Возьмем например, уравнение эллипса, которое в декартовых координатах имеет вид № у1 — + — = 1. а1 Ь2 Заменим показатель степени 2 на другое число, г. X V yV —+ —=1 о I t> Это уравнение определяет множество кри- вых, форма которых зависит от г. Впервые их изучил французский математик Габриель Ламе СуперЭЛЛипсы Уравнения и иррациональные числа На след! ющем ^тапс развития математики нача- лось из) ченпе уравнений вида л-2- 2 = 0. Перенеся двойку в правою часть уравнения, мы получим № = 2. Для решения этого уравнения нам недостаточно четырех арифметических дей- ствий (сложения, вычитания, умножения и деле- ния), которыми мы иоле ювались до этого. Здесь требуется извлечь корень, в данном случае квз дратный, чтобы получить решение: Вспомним, что квадратным корнем числа на- зывается такое число, которое при возведении в кьадраг дает исходное число. Например. \ i = 2. так как 22 = 2 • 2 = 4. Аналогично \ If = 4. Для в 1818 году. При изменении г в интервале от 1 до 2 кривая будет постепенно превращаться из криволинейного ромба в эллипс. Для значений г, превышающих 2, кривая примет форму супе- рэллипса. Эти фигуры, которые подробно изучил датский математик Пит Хейн, являются разно- видностью «прямоугольников с закругленными краями» и имеют высокую декоративную и эсте- тическую ценность. При вращении вдоль оси симметрии эллипс образует эллипсоид вращения (именно такую форму имеет мяч для регби), а су- пери .липе образует суперъяйцо, которое может вертикально стоять на плоской поверхности. ▼ Суяерммтсы часто становятся источников вдохновения для дизайнеров. Такую фор nj ц чеют не только сто и подносы, но даже футбольные стадионы. Н. J рис у нке изображен ста- дион вблизи Парижа, откры тын в 1998 году. решения нашего уравнения нам нужно найти чис- ло. которое при возведении в квадрат дало бы 2. Здесь происходит качественный скачок, ведь ни одно из рациональных чисел не превращается в 2, будучи возведенным в квадрат. Этот факт, обна- руженный еще учениками пифагорейской шко- лы. привел к введению понятия иррациональных чисел, одним из которых является \ 2. Рацио- нальные числа вкупе с иррациональными состав- ляют R — множество вещественных чисел. Урав- нения, подобные привеченному выше» имеют решения на этом множестве. Уравнения 121
Софистические корни Джероламо Кардано сформулировал задачу о нахождении двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение — 40. В ходе решения получается уравнение второй степени. Если обозначить одно из искомых чисел за х, из ▼ Фронтнепне книгн Ичишпа МмЬетМнт RetenvtiHf рп jJlgebrjm Nozam (I 646) Иоанна jKmemwfj. Среди ujW’ rifptffrii пешчины KjpdjNl) N tOflpLWfH Mfp.VJf £ rj/Wrf/f, p y^0.V C f’ffJUf Ц первого условия задачи следует что второе число равно (10 - х), так как их сумма равна 10. Второе условие задачи выражается в виде (10-х) х 40. Решив это уравнение, мы получим требуе- мый ответ. Раскрыв скобки, имеем 10х-х2 -40. Перенесем все члены уравнения в одну часть и получим х2- 10х + 40 = 0 Решениями этого уравнения второй степени будут Здесь Кардано столкнулся с квадратным корнем из отрицательного числа. Числа, получаемые в результате извлече- ния такого корня, он назвал софистическими. ЦИОНЛЛЬНЫС то есть «мудреными*. Кардано считал, что гдля осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика. II четыре основных арифметиче- ских действия. Несмотря на это, подобные решения начали при- знавать лишь спустя несколько сто сети 11. \ажс Декарт отрицал существование мнимых корней уравнений Боссе того, он пер вым назвал такие чисел «вооб- ражаемыми». Ньютон также не придавал нм особого значе- ния. Тем не менее корни уравне- ний подобного типа существу ют и называются мнимыми, или комплексными. Только благ одаря работам Гамильтона. Гаусса и Ар- гана комплексные числа стали считаться полноценными числа- ми. Множество С — множество комплексных чисел — включа- ет в себя все прочие множества чисел натуральные, целые ра- вещеетвенньк . Если бы математи- которая была бы столь же утонченной, сколь бесполезной». Несмотря на это, ему следует отдать дань уважения, так как он не проигнорировал эти 1 н не о 1 ноеил|и ь с иодолрением к «закрытым» гемам, можно было бы скаэать, что у этой исто- числа и увидел, что за ними может скрываться что-то «мудреное». Нерешаемое уравнение Располагая огромным множеством веществен- ных чисел R, мы можем поду мать, чт о на нем бу де г иметь решение любое уравнение. Увы, лоне так: существуют уравнения, от которых долгое время математики бежали как от огня Простейшим из них является л-: +1=0. Чтобы лучше понять причину подобных за- труднений, сделаем небольшое оз с \ пленит. Су- ществует прэчи \о шаков, которое гласит: «ми- нус на минус дает пмое», то есть нропзведение отрицательиы\ чисел вешда будет похожизеи,- НЫМ. Например, (-3) • (-2) = 6. Следовательно. лю( ос число при умножении на само себя никое ,а не даст отрицательный результат. Если исход ное число положительное, например 3, его ква- дратом б^дет 9- Если оно oipitum хыюе, то все равно (-3) • (-3) = 9. По згой причине утверж- \алось, что I ва \ратны.х корней ira отрицательных чисел нс существует, следовательно, уравнение л2 + 1 = 0 не имеет решен ни Джероламо Карда- но (1501 —1576) прсдчувс гвовя.л, что за подоб- ными корнями уравнений скрывается нечто важ- ное. Затем Рафаэль Бомбелли (1526—1572) стал рассматривать их как числа и определил для них рии счастливый конец, так как доказано, что лю- бое I равнение с комплексными коффицш-нтамп A /Gr/u Фркдрнх Глуп едино £ЛШ ffo i VffWAt'Wi.W tithiUV Ц1 tint иим unit нт н \ чмнемл- mith.ve ллс времен и народов. On Hputie.t иинамщи четыре i.iracf ытвл оеновмой теоремы алгебры. «мест решение на множестве Ст Так утверждает- ся а теореме, носящей пышный титул «Основная теорема алгебры ». Ее доказал в своей докторской диссертации «принц .математиков» (лат. Princcps matheiiiatkorimi) Карх Фридрих Гаусс в 199 го- ду, когда ему было 22 года. Теорема приобрела ши- рокую известность в математическом мире. )Т0 шюто • В современной терминологии до сих пор остались свидетельстве того, что в свое время геометрия преобладала над алгеброй Мы называем вторую степень квадратом тре- тью — 1,убом, также мм говорим о квадратных и кубических корнях. Связь с геометрическими фигурами очевидна. । В науке об уравнениях, которая сформирова- лась в арабском мире и получала развитие в эпоху Возрождения, неизвестную обозначали res (отлэт. чвещьг). Букву л первым использо- вал Декарт.
В эпоху Возрождения одновременно с изобретением книгопечатания появились две противоречивые фигуры — Тарталья и Кардано, главные герои одного из ожесточеннейших ПРОТИВОСТОЯНИЙ ЗА ВСЮ ИСТОРИЮ математики. Два математика — одна судьба Кардано и Тарталья Одним из главных до- стижений математи- ки XVI века было решение уравнений тре- тьей и четвертой степеней. История этого откры- тия весьма незаурядна: она напоминает увлека- тельный роман и не ли- шена интриги. Главные герои «той истории — два незаурядных уче- ных, две выдающиеся личности — Кардано и Тарталья. Кардано Джероламо Кардано родился в Павии 24 сентября 1501 года. Его отец был адвокатом п занимал достаточно высокий пост, чтобы опла- тить образование сына в родном городе. Кардано изучал медицину и в 1524 году получил диплом врача в Падуе Однако любоп ы гство заставило ш о начать изучение астрологии и математики. Так на- чался неспокойный период его жизни, в котором сочетались преподавание математики и заняшя астрологией. Он прожил год в Шотландии, где был личным врачом архиепископа Гамильтона, который покровительствовал Кардано. Всрнув- шись в Италию, он стал преподавать в Болонском университете, но в октябре 1570 года был аресто- ван по обвинению в ереси. Он был освобожден при условии, что нс будет »анима гься черной ма- гией на территории Папской области Именно тогда Кардано вернулся к занятиям медициной. В 1571 году он переехал в Рим и заручился благо- склонностью Папы Римского, который назначил ему пожизненную пенсию в награду за труды по астрологии. Кардано умер 21 сентября 1576 года. Тарталья О жизни Тарталья (его настоящее имя — Никко- ло Фонтана) мы знаем немного, Известно, что он родился в Брешии примерно в 1500 году. Никко- ло был еще совсем маленьким, когда его отец умер, не оставив наследства. 11з за недостатка средств Тарталья с ранних лет начал учиться самостоя- тельно. Он сам выучился читать, писать и «раз- мышлять о трудах умерших». Помимо прочего, < Кардано был не только выдающимся математиком, но и очень. северным челове- ком, Кроме того, его отлича- ла склонность к азартны и играм. На put унке изобр гже- нытиы) юные ..исты двух его книг, одна из которых, Jtrs Magna (- Великое ис- кусство^), гЧитается основным трудом Карда- но. Нл титчльнач листе но чещен портрет авгчор к он также занимал- ся преподаванием в Веро- не, Мантуе и Венеции. В Венеции он и умер 13 декабря 1557 года. Из-за бедности он нс смог изучить латынь и все свои труды писал на про- стонародном итальянском языке той эпохи. Но наиболее выдающиеся результаты его работы не упоминаются в книгах. Это знание он ревност- но охранял, так как оно преумножало не только его ум, но и кошелек. Речь идет об умении решать уравнения. Кубическое уравнение Считается, что куоическое уравнение, в частности уравнение вида № + ах=Ь, первым смог решить Сципион дель Ферро '1465—1526), пре- подаватель математики из университета Болоньи. Он никогда не публи- ковал свое решение и передал его в завещании своему ученику Антонио Марио Фиоре, который не отличался особым талантом. Точно неизвестно, удалось ли Тартанье разгадать тайну дель Ферро или он нашел собствен- ное решение, только к 1541 году ему уже оыл известен способ решения кубических уравнений. Более того, он расширил этот способ и смог приме- нить его для уравнений вида х3 + ах* = Ь. Решение Тартальи для уравнений вкда х3 н ах = b в том виде, в каком оно дотла до нас в «Великом искус- стве» Кардано, выглядит так: Кардано (1501—15~6) и 1 арпшлья (1500—155~) КЗ
Противостояние 2 января 1539 года Тарта ЛЬЯ ПОЛУЧИЛ ПИСЬМО, ПОД' писанное Кардано,в ко- тором тот сообщал, что пишет книгу по алгебре и хотел бы упомянуть о Тарталье и сто методе решения кубических у рав- нений. Таргалья был не готов раскрывать свои се- креты и отказался. Карда- но продолжал настаивать, перейдя в последующих письмах от рассерженно- го к примирите дьному то- ну. 1J марта того же года Кардано пригласи л Тар та- лью в свой дом в Милане с обещанием представить его маркизу дель Вас го, который был покровите- лем и защитником Кар дано. Тарталья, который был готов ухватиться за любое пред ложенне, что- REGOL^I G Efr'ER^LE SP- levarb'con RACtONE e MISVRA no(ofamftcogniaffond i Naue'.mauna 7 'оттг Soft da di Mtttallu Tfemudj. Nkoh) Tiruglb fdt1le Aliiptine МмЪсгпик» irnitore inilrolau b. TRAVAGHATA IN V(-NT[ONE. JnBcme сб un irri&ciofo mode di pocer a.ndn-tt& fhrc plogo tfpo Cot to acqVM Ic mittrk aflbndaic,& in toco prefundo. Cicnicuianrhorvn iMUrj.tli fcgni ddlc muiailoiiidcirArh.oucr di (fpl,iTDHrU no №cn uriktclic псгсСГапа^ N auigimiT5u afrit бы выбиться из нужды, в конце концов принял приглашение. Кардано неоднократно обещал за- шифровать метод способами тогдашней крип- тографии, чтобы сохранить его и тайне. В ито- ге Тарталья сдался и объяснил Кардано способ решения уравнении третьей степени. Так нача- лось одно из сильнейших противостояний за нею историю математики. Кардано присвоил авторство себе и опубликовал алгори i м в сво- ей книге «Великое искусство», лишь мельком упомянув о Тарталье. С того момента Карда- но и Тарталья в переписке почти не касались математических тем и по большей части обме- нивались оскорблениями. Кардано неизменно A Нартрет Никко to Фон- там,! (I'jpm.Libu) в одной ил его кии; L.t Nuova S.ie»li.t, опубликованной в 15-ffi году и гилекящентш 6.1 i.iiii тике. Гил лип ни чмть времени Тарт. алия носе чтиtне ими- елнию книг, .г yt.tauuto я ма- те игтичел кик турнирах. Ь-ыгодарч шини.чм и опыту ему удаоалт t. побеждать в Kuuxypt.ix. Наградой ему были неболышм суммы денег или рвекотный обед. ЛО И41ТЕРК41О » । Астрология играла важную роль во многие моменты жизни Кардано. Так, он был заточен в тюрьму за то, что составил гороскоп Христа По легенде, он предсказал дату своей смерти и совершил самоубийство, чтобы предсказание сбылось. По-видимому, безумие Кардано передалось его потомкам: его старшего сына казнили за то, что он отравил свою жену, а преступления младшего сына были столь велики, что его отец не осмеливался рассказывать о них, но лично отрезал сыну уши перед тем как того заключи ли в тюрьму. В1512 году Брешия, родной город Тарталья, был захвачен французами. Солдат, вооружен- ный мечом, ворвался в дом Тартальи, и его мать, чтобы защитить маленького Никколо, об- хватила его руками Тем не менее удар пришел- ся ему в лицо. От перенесенного потрясения, а может, от полученной травмы Тарталья начал заикаться. После этого его прозвали «заикой» (в переводе с итальянского tartaglia означает «заика»). отвечал отказом на все предложения Тартальи воротиться при свидетелях и разрешить спор. В итоге политическое влияние Кардано оказа- лось сильнее, и Таргалья был вынужден поки- нуть сцену. I ктория оказалась несправедливой: алгоритм решения кубических уравнений, кото- рый, несомненно, принадлежи г Тарталье, изве- стен как формула Кардано. Переправа через реку Известно множество вариантов этой задачи. В самом извест- ном из них говорится о волке, козе и капусте, которых некоему крестьянину нужно в целости и сохранности перевезти через реку. Но в лодке вместе с крестьянином может находиться или волк, или коза, или капуста. Тарталья придумал интересный вариант этой задачи. В нем речь идет о трех прекрасных девуш ках и их ревнивых возлюбленных, которым нужно перебраться через озеро. У берега есть лодка, в которой могут поместиться только двое. Сколько переправ нужно совершить, чтобы пере- везти всех через озеро при условии, что ни одна из девушек не должна оставаться в компании другого мужчины, если побли зости нет ее возлюбленного7 Для трех пар нужно 11 поездок, для двух пар — 5. Любопытно, но для четырех пар и более задача не имеет решения. 42
М« ?ЕМя । ИМА Привлекательность частичных систем вызвана не только интересом ко всему новому. I lo-НАСТПНЩЕМУ примечательно, что хаос в природе не исключение, а правило. Природа и хаос Открытие непредсказуемого мира Хаос всегда ассоциируется с беспорядком, с чем-то пло- хим. Согле.но этимило!ичс скому словарю, слово «хаос» про- исходит от древни реческою слова, означавшею «расселина, мрачная бедна бесконечное пространство, су шествовавшее до сотворения ми- ра >. Следовательно, система называется хаотич- ной, если мы не можем се конгролировлт ь, но не потому, что нам неизвестны се законы, а пото- му, что их нет. Хаотичная система в математике определяется несколько иначе. В частности, в ней присутствует определенный порядок, гак как ха- отичные системы строю подчиняются законам природы и в эюы смысле ЯВЛЯЮ 1СЯ полностью детерминированными Говоря простым языком, в них происходит не все что у одно, а 1 о, что долж- но происходить. Однако подобные системы столь сложны, что их поведение нельзя предсказать даже с помощью многочисленных и сложных математи- ческих уравнений. Только в этом смысле эти си- стемы являются непредсказуемыми и случайными. Проше говоря, хаотичные системы являются п[>п- сгны.чЛ, чувствиям чвмыми и определенными. Они просты, так как описываются прос тыми ф- нкция- ми, но их поведение может оказаться неожиданно сложным. Они чувствительны к начальным усло- виям, так как малейшее их изменение полностью меняет поведение таких систем. Наконец, они яв- ляются опрс уеденными, так как подчиняются пра- во лам, законам. )iи законы описываются функци- ями. которые определяют такие системы. Двойной маятник Сконструировать простой маятник несложно. Достаточно найти основание, подвес и груз, ко- торып Ьудст раскачиваться в разные стороны. Столь простое устройство поможет нам изучит ь колебания маятника. Поднимем труз на опреде ленную высоту, затем отпустим его и понаблю- даем за его движением. Маятник б' дет возвра- щаться не в ту же точку 1де мы его отпусти .и, а немного ниже. Если мы повторим этот экспери- мент. всякий pas поднимая маятник на одну и гу же высоту, то нам быстро наскучит это делать: ре- зультаты опыта будут крайне пред- сказуемыми. Хотя, как бы мы пи старались, мы нс сможем постоян- но отпускать маятник точно из од- ной п той же точки, ио столь малые изменения начальных условий экс- перимента едва ли ощу гимо повли- яют на результат. Изменим форму маятника и сконструируем так называемый двойной маятник. Его очень просто аитсиы чоляются v.wjjwv- «ЦЖ УйМ WHhtHf MtAltA Hf- бесносо mtu, тем быстрее она деичсени ч. Вр< метлам нримгисумак, на котором движение нежных тел ста- HOOitWt fl KfUpfdt КМ. tyfMI4.it, t ot мм. i чет око to 20 *lw мет Дг а крупных планет и примерно </.идмлет th.v малых. Однако ww wumw нре& ка нег/et - мы\ адег. юдемтыхтутннку Сатурна Гппсрнону. более чем на нгско и>ко чачю ниергд. илоговить нз подручных материалов. Повторим эксперимент. Подни- мем маятник на определенную высо- ту и отпустим. Нас сразу же удивит траектория его движения — со- всем нс такая гармоничная, как траектория простого маятни- ка. Движение маятника будет странным и хаотнч*
Как извлечь пользу из хаоса Интересным практическим применением теории хаоса является акустический анализ. Предста- вим, что мы хотим записать разговор двух людей в номере старого отеля, где шум кондиционера смешивается с голосами, и в итоге мы не можем разобрать ни слова. Проанализируем запись в лаборатории. Будем считать, что шум кондици- онера — это звук, а голоса — шум, от которого мы хотим избавиться. Шум кондиционера — от- личный пример хаотичной системы, созданной в нелинейной электрической цепи Мы знаем ее законы, следовательно, мы можем опреде- лить эту гистему и отделить шум от всех прочих звуков, то есть от голосов. Теперь нам остается только подавить определенные нами шумы, и мы получим отчетливую запись разговора. таковым оно прсдс гаст лишь из-за особенностей нашего восприятия. Возможно, для какого-нн будь экзотического насекомого в колебаниях двойного маятника сокрыта некая г армоиня, не- ведомая нам. Но мы несколько отвлеклись от те- мы Было бы интересно заснять движение такого маятника, а затем повтори п. эксперимент, под- няв двойной маятник на ту же высоту. Мы мо- жем измерить положение маятника, температуру и вла иость воздуха в комнате и повторить экс- перимент в то же самое время. Однако траекто- рия маятника бкдет абсолютно непредсказуемой. Если мы заснимем движение маятника и в этот раз, то позу ченпые записи будут полностью раз- личны, поскольку малейшее отклонение п начал;, ных условиях имеет существенные последствия для поведения системы. Это нельзя назвать опре- деляющим признаком хаотичных систем, но тем нс менее таким свойством обладают все хаотич- ные системы На нем основан знаменитый «эф- фект бабочки», который гласит, что взмах крыла бабочки на охнем краю земли молст создать ци- клон за тысячи километров от этого места. Аттракторы Несмотря на то, что хаотическое движение явля- ется полностью непредсказуемым, оно подчиня- ется детерминированным законам 11наче говоря, движение может быть любым, но в определенных рамках. С ксдоватсльно. существуют определен ные зоны, куда стремятся траектории элементов системы. Внутри этих зон. которые называются аттракторами. находятся очаги си льнов нсста- t>r зьности, где царствует хаос, но попадание ча- стиц в эти зоны предсказуемо. Как бы ни бы хи запутаны траектории движения частиц, они ни- когда не пересекают сами себя и всегда заключе- ны в границах аттрактора. LA CONVERSE JON 4 Th* Caiivara-Btion I GENE HACKMAN John Cazale - Aten Garfigkj - Gndy Wtams director FRANCIS FORD COPPOLA Ч’ОвОр» вднн WJ лучших фильмов Франсиса Форда Коцполы. Вису р,и< называется история специалиста по npociy- шквлннци ч уетройстс^м, который запнсывл w д ю- говор о парке и нс ыожет ошдешто голоса от шума на фоне. //арадехса зьно, но при решении мной задачи хаотичная природа шума будет1 корсе помогать, чем мешать. PALMA DE CROodtl hn*r rccon.1 de CANNES technicolor Рагв-псхюг ▼ 1раекторпи в хаоти- ческой системе непредска- зуемые, но в до досрочной перс пси тиле окальаиюшея •амкнфными в границах определенныхзон, называе- мых аттракторами, На ри- сунке изобра ViCH аттрактор Ресслера, которы й обладает нешнейная система, очень Похожая на ту, что ксно »#*- т метеоролог Эдвард ,/оренц при шс ледованни Л.ЮПШЧНЫА CftCW&t. СМСЮС- ма уравнений, мин ыа еющая мпу систему, очень простая. Ъно доказывает, чтохь/с не является порождением к,ttux-mo м. imcuamu чески с южных процессов. де
Открытие непредсказуемого мира Английский матсма/и, 11эн Стюарт предло- жил прекрасный пример, который помогает по- нять природу аттракторов. Представьте себе шарик для настольного тенниса, погруженный в бурное морс на определенную глубину. Как только мы отпустим шарик, он начнет всплывать на поверл посты Затем он подпрыгнет над во- дой и под действием силы тяготения снова опу- стится на поверхность воды. Как только мы от- пустили шарпь на него сразу начали действовать всевозможные морские течения, под влиянием которых его траектория изменялась. Когда шарик подпрыгнл л над водой и начал снижаться, на не- го стали оказывать воздействие различные пото- ки воздуха. Траектория спуска н подъема не будет прямолинейной, а окажется во многом непред- сказуемой, но мы точно знаем, чем завершится движение шарика, он будет плавать на поверхно- сти воды, то есть в зоне аттрактора. Это не озна- чает, что в пределах аттрактора движение шарика будет предсказуемым. Шарпг будет хаотично дви- гаться под действием волн и ветра, но не покинет пределов аттрактора, которым является поверх- ность воды. По i равнению с bi личиной шарика поверхность моря («з трактора) имеет колоссаль- ные размеры. В действительности это нс всегда так, н размеры аттракторов могут быть намного меньше. Странный аттрактор Можно сказать, что аттракторы в некотором смысле представляют геометрию хаоса. В целом существует три типа аттракторов: точка, окруж- ность и тор (геометрическое тело в форме бубли- ка). I1нымп словами, Tpaei тории частиц будут за- ► Законы рвстл папул чции ручном хрущаку подробно ИЗУ ченные группами маю - гов, в 1997 году смыли mevou зна ш нитон сюлтыл s жур- нале Science (*Нлукл»}. В статье ноказыаа госъ, что законы его размноже- ния хаотичны, но нчеют аттрактор, которым яв- ляется фракгмаюм. Зто ис- следование в шутку пазка tu Beeilemania (от анг шйского Reet/e — .. н ул ». З.-ию ;и.ч на Бе itlenuHia — « Битло- илниям, вмооы, к группе ГЬе Bellies). ключены внутри одного из этих геометрических тел. В теории хаоса их называют классическими аттракторами. Однако существуют системы с ат- тракторами других типов, которые имеют бо- лее сложную форму и получили название стран- ных аттракторов. Различие между классическим и странным аттрактором в том. чгО последний предстаг хяст собой фрактал. Вспомним, что фрактал — это Структура, обладающая свойством самоподобия, то сеть составленная из несколь- ких частей каждая из которых подобна всей фи гуре целиком. Например,окрлжнооь не обладает -Я Затухающие вынужден- ные xoiediHux начтнихл — то колебании, вызываемые внешней периодической си юй и птухающие код деймеи- ем сивы mpfuu. 1. Подобные движения хаотичны, а их лтгпряктор приставлен н-iptu гнк. lx. H i рисунке справа —увеличенное изо- йрлженне и икитряции не ва. Впадины аттр сктори, покачнныг различными цве’плми, разделены <6рак таенными границами. Цриродл и v.wr 65
подобным свойством: если взять произвольную дугу и начать увеличивать ее, в какой-то момент она станет больше похожа на отрезок прямой» чем на дугу. Странные аттракторы были открыты, когда при решении сложных дифференциальных уравнений начали использоваться численные ре- шения» найденные с помощью компьютеров. Они появились столь неожиданно» что когда Лоренц обнаружил первый странный аттрактор, то снача- ла посчитал его ошибкой компьютера. Со временем было обнаружено, что в стран- ных аттракторах нет ничего « странного» в том смысле, что они очень часто встречаются в при роде. Поэтому их стали называть фрдкшальнымн л мтра к шор. *мн. Открытие аттракторов пробудило огром- ный интерес к ним в научном мире. Аттракто- ры стали предметом пристальною изучения нс только в математике, но и в прикладных науках. О них написано множество исследований, как серьезных, так и имеющих сомнительную науч- ную ценность. Темы подобных работ варьиру- ются от возможности обнаружения аттракторов в непредсказуемых биржевых системах до поис- ка аттракторов среди номеров выигрышных лоте- рейных билетов. Очень часто, как и в последнем примере, многие путают хаотичные и полностью случай н ые сне гем ы. Вездесущий хаос Первым математиком, который столкнулся с хао- тичными процессами, скорее всего, был Анри Пуанкаре (1854—1912), который занимался решением задачи трех тел, взаимодействующих согласно закону тяготения. Намного позже Эд- вард Лоренц повторно открыл этот феномен, на этот раз применительно к метсоролопш. По- мимо этого он сформировал теоретическую ба- зу и открыл для математиков своеобразную но- вую территорию, которая с тех пор непрерывно )Т0 H4IW4I0 » ► На электрокардиограм- мах были обнаружены резкие изменения сигналу которые считаются прахе. 1сНи.чмн хаоса. Подобные и ц/енекал» которые моеуШ мгалтЛ фатальными Jj.v пациента, монсно также использовать в терапевтических целях: речи идет о так называемом «хлогинческо и управлении Сердце человека — хаотичная система. Ка- залось бы с одной сгороны, это позволяет сердцу возвращаться в нормальное состоя ние после каких-либо изменений (например вслед! гвие испуга) Однако г другой стороны, это может стать причиной аритмии фибрнлля ции и даже остановки сердца. ▼ В нашей Move также проис кодят хюйнпные со- бытия. Бы to доказано, что они ингуш стать причиной энтетин. В настоящее время существуют способы визуализации активности мозга при выполнения определенных действий и ш во вре и.ч болезни. Ззпм дм изображения были по сучены i ко мощью позитронно- »мйлионной зпоиогр,ирии: слева — нор мяльный справа — vflA’ больного эпи- лепсией во время приступа. Оборудование для смешивания красок проек тируется так, чтобы движения его механизмов были случайными. Так можно гарантировать, что жидкость будет размешана полностью. исследуется. Однако хаотичные системы встре- чаются и в других естественных науках. Хаос — отличительны и признак нелинейных сие гем. Эти системы до недавнего времени считались тяжеловесными и неинтересными, но теперь их рассматривают в качестве моделей природных процессов. Они встречаются повсюду. Так, ха- ос можно найти в турбулентном течении жид- костей, в расколе Кении ас героидов Солнечной системы, в закономерностях роста популяции насекомых, утечке воды из кр<ша, метаболизме клеток, в химической реакции или колебани- ях в электрических цепях. Также известно, что поведение нашею мозга нс всегда описывается линейной системой. Есть гипотеза, что лоннс* скос мыш сенис. подчиняющееся причинно-след- ственным связям, является сознательным выра- жением механизма, который до этого управлялся законами хаоса. Эта теория успешно использует- ся при проектировании искусственных нейрон-
Лучшее от Генри Э. Дьюдени Задачи о деньгах 1. На рынке Н основывай. вою уверенность на деньгах, а гучше храни кх в надежно» юн те. Оливер Узндслл Холмс Трос крестьян встретились на рынке, куда приш- ли продавать скот, — Смотри. — сказал Хода Дженксу. — я дам тебе шесть моих свиней за одну из твоих лоша- дей. и v тебя станет в дна раза больше животных, чем у меня. — Если ты хочешь вести дс то так — сказал Дюрант Ходжу, — я дам тебе четырнадцать овец за одну лошадь. н у тебя ока кется в три раза боль- ше животных, чем у .меня. — Я не остановлюсь на атом. — сказал Джейкс Дюран 1 — Я лам тебе четырех коров за одну ло- шадь. и у тебя будет в шесть раз больше живот- ных, чем у меня. Несомненно, это очень примитивный спое.,б торговли, но было бы интересно узнать, сколько же животных изначально было у Джейкса, Ход- жа и Дюрннта. 2. Китайские деньги Китайцы — странный наро\: многое они дела- ют наоборот. Говорят, что они нс надавливают на пилу, как мы. а пилят с нижней стороны и тянут пилу вверх, и что они работают рубанком не «от себя», а « к себе». Еще говорят, что сначала сип сооружают крышу, а1 ж потом достраивают снизу дом. Китайские деньги называются «лян». и их ценность постоянно меняется. Лян с каждым ра- зом становился все тоньше, п в итоге стопка из A Сколько мивомныл. чрн- веш н.1 рынок,J^eitKi, ХпЛж и, 1юрлнгн? 2000 ляп стала иметь в высоту меньше грех дюй- мов. В обращении находят! я монеты разной тол- щины с круглыми, квадратными или треугольны- ми дырками посередине, как показано на рисунке. Их надевают па нить, как пуговицы. До- плстим, что 11 монет с круглой дырой стоят 15 чин. чангов, 11 монете квадратной дырой сто- ят 16 чинг-чангов, a 11 монет с треугольной ды- рой стоят 17 чинг-чангов. Как я могу разменять 30 пенсов, используя только монеты зтих трех ви- дов- Одни Ч1П1Т-ЧЛИГ стоит ровно 2 пенса и четы- ре пятна уцатых чппг-чанга. 3. Домашняя бухгалтерия Юная госпожа Перкинс Патин написала мне: «Я была бы очень признательна, если бы вы по- могли мне решить одну задачу, которая в послед- нее время очень беспокоит меня. Мы с мужем не- давно обвен'галпсь. Спустя хва года после того как мы поселили, ь в нашем доме, муж сказал, что ис- тратил треть годового дохода на арендную плату, взносы и налоги, половину — на домашние рас ходы, а хсвятл ю часть — на другие расходы. У не- го осталось 190 фунтов в банке. 11оследнее я знаю точно. Как го раз он забыл дома свою ianисную книжку п я мельз зм взглянула в нее. Разве вам не кажется, что муж должен полносз ью дов< рятк же- не во всем, что касается двнег? Я считан., что дол- жен. но сколь бы невероятным зто ни казалось, он никогда нс говорил мне, насколько выросли его доходы. Естес твенно. я хочу зто проверить. Мо- жет! ли вы объяснить мне. как выросли его дохо- ды. зная цифры, которые я вам сообщила?» Разумеется. д!Ш11ь к, указанных госпожой Пер- кинс, вполне достаточно, чтобы решить задачу. 11 почти все мои читатели, <?с .и будут дс йство- вать невнимательно, назовут мне число, во мно- го ра.з превышающее верный ответ. 41
4. Покупка яблок Покупать яблоки понемногу всегда непросто, и мне кажется уместным привести некоторые на- блюдения по этому поводу. Все мы знаем историю о смышленом парнишке, который, узнав, что тор- говка продаст четыре яблока затри пенни, сказал: « Вот ’то да! Четыре яблока за три пении! Значит, три отдают за два пенни, два яблока — за одно од- но — бесплатно. Возьму одно!» Это не единственный случай, который может сбить вас с толку. Например, как-то раз ребенок взял яблоко ценой в один пенни, но когда узнал, что груши идут по той же цене, поменял яблоко на грушу и собрался уходить. — Постой! — сказала ему торговка. — Ты нс заплатил за грушу! — Конечно же нс г, — oibl тн i мальчик. — Вза- мен я дал вам яблоко. — Ноты не заплатил з [яблоко! — Боже мои! Вы хогигс, чтобы я заплатил п за яблоко, и за грушу? 11 пика пожилая торговка пыталась вникнуть во все эти хигросплегения, мальчик исчез. В нашей -адачс некий человек дал маль- чику шесть пенсов и пообещал да гь еще, ес- ли тог превратит шесть пенсов в девять. Ма лыш вернулся спустя пять минут. — У меня получилось превратить шесть неп- сов в девять, — сказал ои протягивая три пенса своему блат одетслю. — Как у тебя это вышло? — спросил ом, — Я купил яблок на три пенса. — Но откуда же у тебя появилось девять пенсов? — Очень просто, — ответил ребенок. — Тор- говка яблоками пол} ила три пенса, верно? У ме- ня есть яблоки ценой в три пенса, и я только что дал вам еще три пенса. Разве в сумме не получа- ется девять? Малыша опредс сеино следует научить пра- вильно покупать яблоки. Я предлагаю читателю Просту ю задачу на эту же тему Торговка продавала яблоки грех сортов: одчо яблоко первого сорта за 1 пенни, два яблока второго сорта за 1 пенни и три яблока третьего сорта за 1 пенни. Разу- меется, два яблока второго сорта и три яблока грегьыо сорта были равны по раз- мерам одному яблоку первого сорта. Некий джентльмен, у которого было норови, сыновей н дочерей, дал им семь пенсов, чтобы они ку лили яблок на всех. Н', кно разделить купленные ябло- ки поровну между всеми детьми Как праы ,ьно нот ратин, семь непсов, и сколько всего детей бы- ло у джентльмена? Решения 1. У Джейкса было 7 животных, у Ход- жа — 11, у Дюранта — 21. Всего 39 животных. 2. Так как один чинг-чанг стоит ровно 2 пенса и четыре пятнадцатых чинг- чанга, одиннадцать пятнадцатых чинг- чанга должны стоить 2 пенса. Значит, 11 чинг-чангов стоят ровно 30 пенсов. Для размена понадобится семь монет с круглым отверстием и одна монета с квадратным отверстием. Заметим, что 7 монет с круглым отверстием стоят семь одиннадцатых от 15 чинг-чангов, а одна монета с квадратным отверстием стоит одну одиннадцатую от 16 чинг-чангов. Получается, что 77 монет с круглыми отверстиями равны 105 чинг-чангам, а 11 монет с квадратными отверстия- ми равны 16 чинг-чангам. Значит, 77 . круглых» монет плюс 11 < квадратна* равны 121 чинг-чангу; 7 «круглых» монет плюс 1 «квадратная» равны 11 чинг- чангам, или 30 пенсам. На практике эти расчеты куда проще, чем может пока- заться из наших объяснений. 3. Если бы я не оговорил это особо, чита- тели единогласно ска >али бы, что доходы господина Перкинса равны 1710 фун- там что совершенно неверно. Госпожа Перкинс пишет: «Мы потратили грето его годового дохода на аренду и прочее», то есть за два года они потратили некую сумму, равную трети его годового дохо- да. Обратите внимание: она говорит, что эта сумма тратилась не ежегодно, а за два года бели внимательно прочитать ее объяснения, то мы получим единствен- но возможнъ й ответ: доходы ее мужа составляли 180 фунтов. Так, траты за два года, в течение которых доход мужа воз- рос до 360 фунтов, составили 60 фунтов на аренду и прочее, 90 — на домашние расходы, 20 — на остальное, и в банке осталось 190 фунтов. 4. Так как у джентл! .мена было поровну сыновей и дочерей, очевидно, что число детей четное. В зависимости оттого, насколько внимательно мы прочитаем текст задачи, возможны три разных ответа. Детей могло быть 2,6 или 14. В первом случае яблоки можно купить десятью разными способами. Но в этом случае в задаче не говорилось бы о «сы- новьях и дочерях», потому «то про сына и дочь нельзя сказать «сыновья и доче- ри». Поэтому такой вариант исключается. Если детей четырнадцать то единствен- но возможный способ — дать каждому яблоко ценой в половину пенни. Но каж- дый ребенок должен получить поровну «яблок», то есто яблок, очевидно, было несколько. Таким образом, этот вариант также исключается. Вернемся к третьему случаю, который удовлетворяет всем заданным условиям Три мальчика и три девочки получат по 1 яблоку ценой в половину пенни и по 2 яблока ценой в треть пенни. Стоимость этих 3 яблок равна одному и одной шестой пенни. Умножив это число на шесть, мы полу чим семь пенсов Следовательно, ответ будет таким: шестеро детей, три мальчи- ка и три девочки 42
Существует множество шестигранных кубиков, но настоящими считаются только те, сумма чисел на противоположных гранях которых равна семи. Головоломка, которую мы представляем в этом ВЫПУСКЕ, ОЧЕНЬ ПОХОЖА НА ЭТИ КУБИКИ. СКОЛЬКИМИ РАЗНЫМИ CI1ОСОБАМИ МОЖНО ЕЕ СОБРАТЬ? Жребий брошен Игральный кубик A куоик^ — один П.1 Вариантов KdMfU- hcikou гониюмики. пред став генной американцем .1н^ЖСС0 Гырф.КЛНОН в КОНЦе Г/Д'нгк,!. [ругая похожая eotueo whk.i 6t*aaсанами н- тована примерно в 1900 го- ду под названием Spoi puzzle, что переводе. английского о нлчает « Го шлоломка < точками *. Сколькими разными способами можно упо- рядочить числа на гранях кубика? Допу- стим мы хотим расположить числа от 1 до 6 на шести гранях кубика. Сра.-п же становится понятно: м \а бы мы ни поместили число 1. мы всегда можем развернуть кубик так. что это число окажется на верхней грани. Если теперь мы рас- положим на нижней грани 2, то остальные числа можно расставить шестью разными способами. Если же на нижней грани будет 3. подучим еще шесть возможных вариантов. Аналогично и для чисел 4, 5 и 6. Всего существует 30 возможных способов расположения чисел от 1 \о 6 на гранях кубика. Рассмотрим варианты расположения для случая, когда на верхней грани находится число 1, а на нижней — 2: Однако числа на гранях кубика располагают- ся не случайным образом. Как правило, сумма чи- сел на противоположных гранях должна равнять- ся 7. Таким образом, 1 и 6, 2 и 5, 3 и -4 должны располагаться на противоположных гранях. Если следовать этому правилу, то из 30 возможных ва- риантов останутся только два, изображенные на рисунке справа В первом случае грани с числами 1, 2,3 будут иметь общую вершину и располагать- ся против часовой стр< лки. В другом случае грани с числами 1. 2,3 также буду г иметь общую верши- ну. но располагаться по часовой стрелке. М ногогра нн ые игральные кости Мы привыкли, что игральная кость имеет форму куба. Но куб — это лишь один из многогранников. Существует множество многогранников, любой из которых можно использовать в качестве игральной кости, про- нумеровав его грани. В ролевых играх обычно использу ются игральные кости в форме правильных многогран- ников. Правильных многогранников всего пять: тетраэдр (с четырьмя гранями), куб (с шестью гранями), октаэдр (с восемью гранями), додекаэдр (с 12 гранями) и икосаэдр (с 20 гранями). Игральные кости в форме правильных -лногогран ников имеют неоспоримое преимущество: любое число может выпасть с одинаковой вероятностью, если кубик однородный и не имеет дефектов. Шестигранные игральные кости —лишь частный случай игральных ко- стей, для которых вероятность выпадения чисел на всех гранях одинакова. В ролевых играх используются десятигранные кости, также обладающие этим свойством, но они имеют форму не правильного многоугольника, а пятиугольной бипирамиды.
Однако все возможные варианты на этом hl ia- ;.лнчпвак>1ся. Числа на гранях кубика представле- ны точками, и 2 точки можно расположить вдоль раинах диагоналей, равно как и S или 6 точек. А я каждого из этих чисел существуют два во.: модных расположения. Следовательно, для каж доги из 30 вариантов расположения чисел суще стиуег также 8 способов расположения точек на кубике, го ecu. общее число вариантов равно 2 10. Ес хи сумма чисел на противоположных гранях должна равняться ”, то имеем 2 • 8 = 16 вариантов. Рассмотрим эти 8 вариантов для кубика, в ко- тором грани с числами 1, 2, 3 имеют общую вер- шину и расположены против часовой стрелки (эти частные случаи нашей 1 оловоломки на ри- су нке выделены красным цве том • +3 + 4 + 5 + 6), то эле- менты головоломки нуж но расположить гак что- бы все точки оказались на внешних гранях. Каж- дый элемент можно раз местить 27 разными спо- собами. Нужно, чтобы точки на элементах го- ловоломки повторя- ли расположение точек на настоящем играль- ном кубике. Учитывая эти ограничения, нетруд- но видеть, что элемен- ты 6 и 9 можно поместить единственным спосо- бом: так. как показано на рисунке выше 11о этой же- причине элемент” также можно расположить единственным образом: Решение Прону меру см элсменгы t иловоломки ио числу то- чек на них, от меньшего к большему Подсчитав общее число точек на элементах го- ловоломки, мы увидим, что их 21. Поскольку сум- ма точек на гранях кубика также равна 21 1 + 2 + 11озиции остальных элементов также опреде- ляются однозначно. Сл< довательно, головоломка «Игральныйку бик» име- ет только одно решение: 70
х
D^AGOSTINI представляет Пропустили выпуск любимой коллекции? О Просто закажите его на сайте www.dea20stini.ru Для украинских читателей — по телефону горячей линии 0-800-500-8-40 в киосках Спрашивайте Математика в навигации Широта и долгота Последний универсальный математик Анри Пуанкаре Льюис Кэрролл Запутанный рассказ В следующем выпуске через 2 недели Шкатулка с секретом * Топология * Резиновая геометрия