Н. Н. БУХГОЛЫД
ОСНОВНОЙ КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
КИНЕМАТИКА, СТАТИКА,
ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
С. М. ТАРГОМ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
качестве учебника для гасударст&еппт» fnuvilKum^iuo
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1965

531
Б 94
УДК 531/534
84г
280-65

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 5
Предисловие кшестому изданию 5
Глава I. Введение 7
§ 1. Предмет теоретической механики. Законы механики .... 7
§ 2. Краткий исторический очерк развития механики 10
§ 3. Векторы 18
РАЗДЕЛ I
КИНЕМАТИКА
Глава II. Кинематика точки 46
§ 4. Введение в кинематику 46
§ 5. Прямолинейное движение точки 52
§ 6. Криволинейное движение точки 61
Глава III. Кинематика системы и абсолютно твердого тела ... 91
§ 7. Механическая система 91
§ 8. Основные движения твердого тела 94
§ 9. Плоскопараллельное движение 100
§ 10. Движение твердого тела около неподвижной точки .... 132
§ 11. Сложное движение твердого тела 138
§ 12. Движение свободного твердого тела 153
§ 13. Сложное движение точки 158
раздел и
СТАТИКА
Глава IV. Элементарная (геометрическая) статика 168
§ 14. Введение в кинетику 168
§ 15. Определения и аксиомы статики 183
§ 16. Система сил, приложенных в одной точке. Сходящиеся силы 190
§ 17. Трение и связи с трением 196
§ 18. Параллельные силы 204
§ 19. Центр тяжести 211
§ 20. Момент силы 224
§ 21. Теория пар 227
§ 22. Система сил, произвольно расположенных в пространстве . 234
§ 23. Частные случаи систем сил 242
I*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 24. Условия равновесия систем сил 246
§ 25. Основы графостатики # . 257
§ 26. Графический расчет ферм 265
Глава V. Аналитическая статика 272
§ 27. Работа силы 272
§ 28. Виртуальные перемещения точки 276
§ 29. Статика материальной точки 282
§ 30. Статика системы материальных точек 294
§ 31. О равновесии гибкой и нерастяжимой нити 309
РАЗДЕЛ III
ДИНАМИКА
Глава VI. Динамика точки 319
§ 32. Дифференциальные уравнения движения и решение задач
динамики точки 319
§ 33. Общие теоремы динамики точки 324
§ 34. Прямолинейное движение материальной точки 350
§ 35. Прямолинейные колебания точки 359
§ 36. Движение свободной материальной точки в однородном
поле тяжести 378
§ 37. Движение свободной материальной точки под действием
центральных сил 383
§ 38. Движение несвободной материальной точки 403
§ 39. Относительное движение материальной точки 438
§ 40. Уравнения движения материальной точки в обобщенных
координатах (уравнения Лагранжа второго рода) 452
Литература 461
Предметный указатель. . . . . . 462

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящий курс имеет целью дать пособие для изучения теоре-
теоретической механики студентам университетов и тех вузов, где тео-
теоретическая механика является самостоятельной дисциплиной, а также
инженерам, желающим пополнить и углубить свои знания в этой
области, полученные в технической школе.
Материалом для курса послужили лекции, читанные мною за
последние годы в Московском государственном университете; часть
этих лекций была записана и издана в литографированном виде
моими учениками, которым я приношу глубокую благодарность.
При изложении я старался применять современные методы
и, в частности, векторное исчисление, которое в настоящее время
служит наиболее подходящим математическим аппаратом для раз-
различных отделов механики и математической физики. Необходимые
сведения по векторному исчислению помещены в главе I.
Предлагаемая книга представляет собой первую часть курса
и содержит кинематику, статику и динамику точки; вторая часть
курса, издание которой предполагается в скором времени, будет
содержать динамику системы, динамику твердого тела и аналити-
аналитическую механику.
Н. Бухгольц
Москва, 1932 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
«Основной курс теоретической механики» профессора Н. Н. Бух-
гольца A880—1944) построен на материале лекций, которые
он в течение многих лет читал в Московском государственном уни-
университете. Курс, выдержавший при жизни автора пять изданий,
зарекомендовал себя как хороший учебник для студентов универси-
университетов и как ценное пособие для учащихся других вузов, а также
для инженеров, желающих пополнить и углубить свои знания в области
механики. Большой заслугой Н. Н. Бухгольца явилось то, что
он в своем курсе, своеобразном как по содержанию, так и по форме

6 ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
изложения, впервые в нашей стране систематически применил вектор-
векторный метод, наиболее подходящий для изложения механики и ставший
сейчас общепринятым.
Курс разбит на две части. Первая часть содержит кинематику,
геометрическую и аналитическую статику и динамику точки. Во вто-
второй части дается динамика системы материальных точек, динамика
твердого тела и аналитическая механика. При сравнительно неболь-
небольшом объеме каждой из частей в них с достаточной полнотой изло-
изложены все основные разделы теоретической механики.
Однако, как бы хорошо ни был написан тот или иной курс,
длительно существовать как учебник он может лишь в том случае,
если будет со временем совершенствоваться и обновляться, отражать
процесс развития самой данной науки и методов ее преподавания.
Не случайно поэтому даже хорошие учебники обычно умирают
вместе с их авторами, если такой процесс обновления прекращается.
Со времени выхода в свет последних изданий книг Н. Н. Бух-
гольца прошло 20 лет. Естественно, что за эти годы изменились
и программы курса теоретической механики и требования, предъявляе-
предъявляемые к самим учебникам. Поэтому, несмотря на все достоинства
«Основного курса теоретической механики», при настоящем его
переиздании нельзя было ограничиться только устранением отдельных
вкравшихся в текст погрешностей или опечаток; чтобы сохранить
курс как учебник, оказалось необходимым переработать весь мате-
материал книги и внести в нее ряд дополнений.
Наиболее существенной переработке подвергся материал §§ 9, 17,
27 и 37, а также п. 14 в § 6, п. 2, 3 в § 8, п. 3, 5 в § 13, п. 5
в § 25, п. 4, 5, 6 в § 33. Заново написаны п. 2 в § 2, п. 9 в § 6,
п. 10, 12, 13 в § 9, п. 5 в § 17, п. 4 в § 24, п. 4, 5 в § 35, п. 7,
9 в § 37, п. 13, 14 в § 38; отдельные небольшие добавления сде-
сделаны во многих других местах книги; заново сделаны многие ри-
рисунки. Кроме того, во всех параграфах добавлено большое число
задач и примеров. Для удобства ссылок нумерация параграфов сде-
сделана общей во всей книге. Терминология и обозначения автора
в основном сохранены, однако термин «материальная частица» заме-
заменен на принятый в первых изданиях термин «материальная точка».
В тексте книги все внесенные изменения и дополнения специально
не оговариваются; это лишь мешало бы пользоваться книгой как
учебником.
С. М. Тарг

ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Предмет теоретической механики.
Законы механики
1. Основные понятия. Теоретическая механика есть наука об
общих законах механического движения и взаимодействия материаль-
материальных тел. Будучи, по существу, одним из разделов физики, теорети-
теоретическая механика выделилась в отдельную дисциплину и получила
широкое самостоятельное развитие благодаря своим обширным и важ-
важным приложениям в естествознании и технике, одной из основ кото-
которых она является. Беря свое начало от техники и развиваясь вместе
с ней, теоретическая механика особенно тесно связана с техниче-
техническими науками, в которых законы и методы механики широко ис-
используются как при обосновании ряда исходных положений, так и
при проведении многочисленных конкретных инженерных расчетов.
Движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, есть
форма существования материи и обнимает собой все происходящие
во вселенной изменения и процессы. В теоретической механике
изучается одна из форм движения — механическое движение, состоя-
состоящее в том, что тело изменяет с течением времени свое положение
в пространстве по отношению к другим телам. В дальнейшем под
термином «движение» мы всегда будем понимать механическое дви-
движение.
Для учета механического взаимодействия между телами в клас-
классической механике, основание которой положили Галилей и Ньютон,
вводится понятие о сале '). Под механическим взаимодействием по-
понимают то действие тел друг на друга, в результате которого про-
происходит или изменение движения этих тел или изменение взаимного
положения их частиц (деформация). В качестве меры механического
взаимодействия материальных тел в механике вводится величина, назы-
называемая силой.
') Вместо силы можно взять за основное понятие энергию, как это де-
делается в так называемой аналитической механике. 8 системе механики,
созданной Г. Герцем, сила как основное понятие была совсем устранена.

8 ВВЕДЕНИЕ (ГЛ. t
Для данного тела сила является внешним фактором, изменяющим
его движение. Кроме этого внешнего фактора, характер движения
тела будет зависеть от степени податливости тела оказываемому на
него внешнему воздействию или, как говорят, от степени инертности
тела. Чем больше инертность тела, тем медленнее изменяется его
движение под действием данной силы, и наоборот. Мерой инертности
материального тела является его масса, зависящая от количества
вещества тела. Таким образом, понятиями, лежащими в основе клас-
классической механики, являются: движущаяся материя (материальные тела),
пространство и время как формы существования движущейся материи,
масса как мера инертности материальных тел и сила как мера меха-
механического взаимодействия между телами.
2. Законы механики. Соотношения между основными понятиями
механики определяются аксиомами или основными законами Дви-
Движения (Axiomata, sive leges, motus), которые были даны Ньютоном
в его «Principia:» ')•
1-й закон. Всякое тело продолжает удерживаться в своем
состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движе-
движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными си-
силами изменять это состояние.
Первый закон заключает в себе закон инерции, а также опре-
определение силы как причины, нарушающей инерциальное состояние тела.
По этому закону тело само по себе, без всяких воздействий извне,
совершает простейшее, инерциальное движение, скорость которого
постоянна по величине и по направлению, а ускорение (изменение
скорости) равно нулю; при действии силы скорость изменяется и, сле-
следовательно, появляется ускорение.
2-й закон. Изменение количества движения пропорцио-
пропорционально приложенной движущей силе и происходит по напра-
направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Количество движения, по определению Ньютона, есть величина,
пропорциональная произведению массы на скорость; следовательно,
изменение количества движения по современной терминологии есть
производная этой величины по времени, т. е. — ' . Выбрав еди-
единицы для измерения массы и силы таким образом, чтобы фактор про-
пропорциональности был равен единице, получим аналитическое выраже-
выражение 2-го закона Ньютона в виде
d(mv) „
!) «Philosophiae naturalts principia mathematical A687). Имеется русекий
перевод акад. А. Н. Крылова: И. Ньютон, Математические начала Нату-
Натуральной философии (Собрание трудов акад. А. Н. Крылова, т. VII, изд.
АН СССР, 1936). Формулировка законов Ньютона дается по этому пере-
переводу.

$ 1] ПРЕДМЕТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
или, считая массу постоянной,
mF
Так как —^- есть ускорение, то 2-й закон Ньютона может быть
кратко сформулирован так: сила равна произведению массы на
ускорение. Этот закон, дающий связь между силой и ускорением,
является основным законом динамики.
3-й закон. Действию всегда есть равное и противополож-
противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг
на друга между собой равны и направлены в противополож-
противоположные стороны.
Третьим законом устанавливается, что если на тело А действует
какая-либо сила FA, то это действие всегда оказывает некоторое
тело В, на которое тело А действует в свою очередь с силой FB,
равной и противоположной силе FA, и наоборот. Если силу FA на-
назовем действием, то FB будет противодействием. Таким образом,
третий закон указывает, что источником силы FA, действующей на
тело А, является тело В, на которое тело А действует с силой FB,
равной и противоположной силе FA.
Аксиомы или законы движения заканчиваются следствиями из этих
законов. Следствие 1-е в формулировке Ньютона гласит: «При си-
силах совокупных тело описывает диагональ параллелограмма
в то же самое время, как его стороны при действии сил
порознь». Это следствие представляет собой закон параллело-
параллелограмма сил.
В такой формулировке законы механики были даны Ньютоном
в 1687 г. Следуя современной терминологии в этих формулировках,
надо под «телом» понимать материальную точку, т. е. тело доста-
достаточно малых размеров (см. § 14, п. 2).
3. Механику принято разделять на кинематику и кинетику.
В кинематике изучается движение тел с геометрической точки зрения
без учета причин, вызывающих изменение этого движения, т. е. сил.
По существу кинематика представляет собой геометрию движущихся
пространственных образов, или геометрию четырех измерений, причем
четвертым измерением является время.
Кинетика посвящена изучению движения материальных тел в за-
зависимости от действия на них сил и разделяется на статику — уче-
учение о равновесии тел под действием сил и динамику — учение
о движении тел под действием сил. В динамике решается наиболее
общая задача теоретической механики, а именно: по данным силам,
действующим на тело, определить движение этого тела и, наоборот,
по данному движению тела найти силы, на него действующие.

10 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
§ 2. Краткий исторический очерк развития механики
1. Механика, подобно геометрии, получила свое начало в глубо-
глубокой древности под влиянием запросов практики; ее развитие нераз-
неразрывно связано с развитием производительных сил общества. При
постройке громадных сооружений, развалины которых сохранились
до наших дней, постепенно накапливался опыт, обобщение которого
привело к знанию некоторых законов механики; это давало возмож-
возможность строить различные машины, употреблявшиеся для строительных
и военных целей.
Механика как наука возникла с того времени, когда появились
первые сочинения, дающие более или менее систематическое изложе-
изложение накопленного опытом материала в виде общих законов. Первые
дошедшие до нас сочинения по механике появились в древней Гре-
Греции, где получили свое начало многие из точных наук.
Великий мыслитель и ученый древности Аристотель, ученик Пла-
Платона, живший в IV веке до н. э. C84—322), касается учения о дви-
движении и силах в своих сочинениях «Физика», «Механика», «О мире
и небе» и первый вводит термин «механика», который происходит от
греческого слова \ir\yavr\, что означает: изобретение, машина, соору-
сооружение. В сочинениях Аристотеля, носящих в основном философский,
а не естественнонаучный характер, излагается учение о равновесии
рычага и других машин, а также общее учение о движении.- Метод
Аристотеля существенно отличается от современного метода точных
наук и носит метафизический характер. Аристотель стремится выяс-
выяснить причины явлений чисто умозрительным путем, не прибегая к на-
наблюдению и опыту, и поэтому иногда приходит к выводам, несоглас-
несогласным с действительностью; так, Аристотель считал скорости падающих
тел пропорциональными их весу, полагал, что тело, движущееся
прямолинейно с постоянной скоростью, находится под действием по-
постоянной силы и др. Ошибочность этих взглядов была доказана только^
через 2000 лет Галилеем.
Появление «Начал» Евклида (III век до н. э.) дало толчок мате-
математической мысли древности и повлекло за собой сочинения знаме-
знаменитого сиракузского геометра и механика Архимеда B87—212 до-
н. э.), который дал механике настоящее научное обоснование. В своих
сочинениях Архимед, излагая учение о равновесии рычага и о цен-
центрах тяжести тел, дает основания геометрической статике; там же
содержится учение о равновесии тел, плавающих в жидкости. Сочи-
Сочинения Архимеда отличаются строгостью своих выводов и изяществом
метода.
Дальнейшее развитие механики в классической древности совер-
совершалось благодаря трудам греческих геометров, среди которых необ-
необходимо упомянуть Герона из Александрии (II век до н. э.), занимав-
занимавшегося теорией равновесия простых машин, а также астрономов Гип-

§ 2} КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ II
парха (II век до н. э.) и Птолемея (II век н. э.). которые изучали
видимое движение светил на небесной сфере. Птолемей дал свою
знаменитую геоцентрическую картину мира, господствовавшую в те-
течение двенадцати веков, до Коперника.
Средние века, после падения Римской империи, не дали ничего
существенного для развития механики, как и других естественных
наук, вследствие причин исторического характера, а также благодаря
влиянию метафизики и схоластики, которыми вообще отличалась эта
эпоха.
Интенсивное развитие естественных наук, а с ними и механики,
начинается в эпоху Возрождения, с XV века, сначала в Италии,
а затем и в других странах. Этот подъем связан с возникновением
и ростом в странах Западной и Центральной Европы буржуазных
отношений, давших толчок к развитию различных ремесел, торговли,
мореплавания и военного дела (распространение огнестрельного ору-
оружия).
Среди деятелей эпохи Возрождения особенно выделяется гениаль-
гениальный художник, геометр и инженер, итальянец Леонардо да Винчи
A452—1519), которому принадлежат исследования в области теории
механизмов, трения в машинах и движения по наклонной плоскости.
Кроме того, он занимался перспективой, теорией теней и строил мо-
модели летательных машин. Им построен также эллиптический токар-
токарный станок, носящий до сих пор его имя. Другой замечательный
деятель этой эпохи, великий польский ученый Николай Коперник
A473—1543) создал свою гелиоцентрическую картину мира, кото-
которая, сменив геоцентрическую картину Птолемея, произвела большой
переворот в научном мировоззрении и оказала огромное влияние на
все последующее развитие естествознания. Благодаря работам Ко-
Коперника и многочисленным наблюдениям датского астронома Тихо-
Браге Иоганн Кеплер A571 —1630) получил свои три знаменитых
закона движения планет, послуживших Ньютону основанием для его
закона всемирного тяготения*). Далее следует упомянуть о работах
голландца Стевина A548—1620), который исследовал законы равно-
равновесия тел на наклонной плоскости и в результате пришел к выводу
основных законов статики.
Фундаментальное значение для этого периода развития механики
имеют работы гениального итальянского ученого Галилея A564—1642).
До Галилея развивалась главным образом та часть механики, которая
посвящена изучению законов равновесия тел, т. е. статика; что же
касается законов движения тел под действием сил, т. е. динамики,
то в этой области существовали довольно смутные представления,
!) Первые два закона Кеплера были опубликованы в 1609 г. в знамени-
знаменитом сочинении «Astronomia nova»; третий закон был найден позднее и окон-
окончательно сформулирован в сочинении. Кеплера «Harmoniees mundi» A619 г.).

12 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
так как само явление движения благодаря влиянию господствовавших
в то время метафизических теорий Аристотеля казалось весьма зага-
загадочным и объяснялось иногда довольно путаными и надуманными
способами. Галилей своим мощным умом оценил важность наблюде-
наблюдения и опыта для изучения явлений природы и благодаря этому уста-
установил правильное понимание законов движения, положив, таким
образом, начало динамике. Изучая падение тел, он показал, что в без-
безвоздушном пространстве, вблизи поверхности земли, все тела, неза-
независимо от их веса, будут падать одинаково (равноускоренно с одним
и тем же ускорением), дал законы равномерно ускоренного движе-
движения, введя при этом само понятие ускорения, исследовал движение
тела по наклонной плоскости и, рассматривая предельный случай
горизонтальной плоскости, открыл закон инерции; им же был открыт
закон независимости действия силы от состояния тела. Исследования
Галилея изложены в его сочинении «Discorsi» (т. е. «Беседы»), на-
написанном на итальянском языке и вышедшем в Лейдене в 1638 г. ')•
Работы Галилея были продолжены голландцем Христианом Гюй-
Гюйгенсом A629—1695), который изучил движение маятника, обобщил
введенное Галилеем понятие об ускорении и дал ряд теорем о цен-
центробежной силе.
Новый период развития механики начинается со времени великого
английского математика и механика Исаака Ньютона A643—1727),
который завершил построение основ современной классической меха-
механики и, одновременно с Лейбницем, положил начало анализу беско-
бесконечно малых (около 1670 г.).
В своем сочинении «Phllosophiae naturalis principia mathematica»,
которое Лагранж называет «величайшим из всех произведений чело-
человеческого ума», Ньютон как бы подводит итоги работы всех своих
предшественников и создает логически стройную, законченную си-
систему механики.
В своих «Principia» Ньютон дает разъяснения и определения
основных понятий механики: массы, времени, пространства, силы,
а также устанавливает основные законы движения (аксиомы), которые
были приведены в § 1. На основании этих понятий и аксиом, пред-
представляющих собой обобщение многочисленных опытов и наблюдений,
логически строится с помощью математического анализа вся система
механики. Кроме создания системы механики, Ньютону принадлежит
открытие закона всемирного тяготения, который лег в основу теоре-
теоретической астрономии и небесной механики. В своих исследованиях
Ньютон не пользуется методами открытого им анализа бесконечно
малых, а употребляет главным образом геометрические методы, строя
изложение по образцу «Начал» Евклида.
') Имеется русский перевод: Галилео Галилеи, Беседы и мате-
математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей иауки и отно-
относящиеся к механике и местному движению, ГТТИ, М„ 1934.

$ 2] КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ 13
Одновременно с «Principle» Ньютона в 1687 г. появилось сочи-
сочинение французского ученого Вариньона A654—1722) «Проект новой
механики», в котором, на основе доказанной им теоремы о моменте
равнодействующей и правил сложения и разложения сил. дается систе-
систематическое изложение статики.
После появления созданного Ньютоном и Лейбницем исчисления
бесконечно малых, в XVIII веке начался быстрый рост математиче-
математических наук, а с ним и механики. Период XVIII и начала XIX века
может быть справедливо назван «золотым веком» математических
наук. Методы механики начали быстро совершенствоваться благодаря
применению мощного математического аппарата — анализа бесконечно
малых — и развитие механики шло вперед вместе с развитием мате-
математики. В свою очередь некоторые новые математические методы
возникали и развивались в связи с решением ряда задач механики.
Различия между этими двумя науками в «золотой век» математики
не существовало.
В этом периоде братья Якоб и Иоганн Бернулли, исследуя ана-
аналитически движение тяжелой точки по различным кривым, положили
начало вариационному исчислению. Кроме того, Иоганну Бернулли
принадлежит точная формулировка одного из основных принципов
механики — принципа виртуальных перемещений A717 г.).
Основная заслуга в приложении методов анализа бесконечно малых
к решению задач динамики принадлежит великому математику и меха-
механику Леонарду Эйлеру A707—1783), являвшемуся с 1727 г. дей-
действительным членом молодой тогда Российской Академии наук. Эйлер
разработал аналитические методы решения задач динамики путем со-
составления и интегрирования соответствующих дифференциальных
уравнений и дал аналитическую теорию движения твердого тела. Ему
принадлежит первый курс механики в аналитическом изложении
(Mechanica sive motus scientia), изданный в Петербурге в 1736 г.1).
В 1743 г. появился труд французского энциклопедиста Даламбера
A717—1783) «Traite de dynamique» 2), в котором автор установил
Основной принцип механики, носящий его имя; этот принцип дает
общий метод решения динамических задач для любых несвободных
механических систем путем составления уравнений движения этих си-
систем в форме уравнений статики. Аналитическое направление в раз-
развитии механики достигло наиболее широких обобщений в капитальном
сочинении крупнейшего французского ученого Лагранжа A736—1813)
«Mecanique analytique», вышедшем в 1788 г.3). В этом сочинении
') См. русский перевод: Л. Эйлер, Основы динамики точки, ГОНТИ,
М„ 1938.
2) В русском переводе: Ж. Даламбер, Динамика, ГТТИ, М. — Л..
1950.
8) См. русский перевод: Ж. Л а г р а н ж, Аналитическая механика, т. I
B-е изд.) и т. II, ГТТИ, М. —Л., 1950.

14 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
вся механика изложена строго аналитическим методом на основе
одного общего начала, без всяких чертежей.
Дальнейшее развитие аналитической механики связано с трудами
творца «Небесной механики» Лапласа, Фурье, Гаусса, Пуассона,
К. Якоби, Гамильтона, Остроградского, Кирхгофа, Гельмгольца,
лорда Кельвина, Герца, Ковалевской, Ляпунова, Чаплыгина и многих
других выдающихся ученых.
Одновременно с аналитическими в механике продолжали разви-
развиваться и геометрические методы исследования. В 1804 г. появилось
сочинение французского геометра и механика Пуансо A777—1859)
«Elements de statique» *), в котором излагаемся стройная система гео-
геометрической статики, причем, в отличие от Вариньона, в основу кла-
кладется разработанная Пуансо теория пар; им же была дана наглядная
геометрическая картина движения твердого тела в случае, исследо-
исследованном аналитически Эйлером.
Одновременно с разработкой и совершенствованием аналитических
и геометрических методов исследования движений материальных частиц
и твердых тел в механике под влиянием запросов практики возникает
и интенсивно развивается целый ряд новых областей и направлений,
таких как механика жидкостей и газов (гидромеханика, аэромеханика,
газовая динамика), механика упруго и пластически деформируемых
тел (теория упругости и теория пластичности), общая теория устой-
устойчивости равновесия и движения механических систем, механика тел
переменной массы и др.
В середине XIX столетия в связи с быстрым ростом техники
начинают развиваться различные области технической механики,
целью которой является решение возможно более простыми методами
соответствующих практических задач. Однако обширность и слож-
сложность задач, выдвигаемых современной техникой, требуют в настоя-
настоящее время использования в технической механике не менее тонких
математических методов, чем в механике теоретической.
В основе классической механики Галилея — Ньютона, кроме поня-
понятия о движении, изучением которого механика занимается, лежит вво-
вводимое аксиомами Ньютона понятие о силе, где сила определяется
как абстрактно представленная причина изменения состояния движе-
движения. Понятие о силе возникло из примитивного опыта и наглядного
представления о мускульном усилии человека. Это представление,
будучи распространено на все виды движений, вызвало значительные
затруднения при стремлении ученых-механиков -создать логически
строгую систему механики вследствие того, что понятие о силе само
по себе связано с большим количеством не всегда ясных, а иногда
и противоречивых опытных соотношений. Поэтому еще до работ Нью-
Ньютона некоторые исследователи [как, например, Декарт A596—1650)]
') Есть русский перевод: Л. Пуансо, Начала статики, М. — П., 1920.

§ 2] КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ 15
пытались обосновать систему механики, избегая вводить понятие
о силе как внешней причине движения, а базируясь на понятии о дви-
движущейся материи. С этой, принципиально иной, точки зрения все
механические явления объясняются как результат контактного взаимо-
взаимодействия движущихся масс. Эта точка зрения — кинетическая,
в отличие от ньютонианской — динамической, строго и последова-
последовательно проведена в системе механики Г. Герца A857—1894), где
автор высказывает много блестящих и еще далеко не использован-
использованных идей; такой же точки зрения держались Гюйгенс, Даламбер,
Ломоносов, в значительной мере Эйлер и др.
В начале XX века Альберт Эйнштейн A879—1955) создал теорию
относительности, которая представляет собой после Ньютона следую-
следующий крупный шаг в развитии механики. Основанная на теории отно-
относительности релятивная механика вкладывает совершенно новое содер-
содержание в основные понятия механики о пространстве, времени, материи
и в своих уравнениях учитывает взаимосвязь этих понятий; класси-
классическая ньютоновская механика является ее частным случаем и в пре-
пределе, при малых скоростях и на больших расстояниях от масс, со-
совпадает е релятивной. Кроме того, А. Эйнштейн, введя совершенно
новое представление о пространстве, создал теорию тяготения—явле-
тяготения—явления, ранее не поддавшегося объяснению.
2. В России первые научные исследования по механике появляются
после открытия в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук,
где работали такие крупнейшие механики XVIII века, как Д. Бер-
нулли, Л. Эйлер и др., оставившие после себя ряд даровитых уче-
учеников и последователей.
Большое влияние на развитие механики, как и всей отечественной
науки, оказало многогранное творчество первого русского академика
М. В. Ломоносова A711 —1765), основоположника материалистиче-
материалистической философии и опытной науки в России.
Со второй половины XVIII века в Академии наук, являвшейся
одновременно и учебным заведением, а также в других, созданных
в стране научных и учебных центрах, в том числе в основанном
в 1755 г. Московском университете, начинают свою деятельность
талантливые отечественные механики-теоретики С. К. Котельников
A723—1808) — автор первого на русском языке достаточно полного
учебника механики, вышедшего в 1774 г., М. Е. Головин A756—
1790), М. И. Панкевич A757—1812), С. Е. Гурьев A764—1813)
и др. Их деятельность способствовала быстрому распространению
в стране знаний по механике, созданию оригинальных и переводных
учебных руководств и дальнейшему развитию отечественной науки.
Период интенсивной творческой деятельности русских ученых-
механиков начинается в ХГХ столетии трудами выдающегося исследо-
исследователя М. В. Остроградского A801 —1861), основные работы кото-
которого посвящены дальнейшему развитию и обобщению аналитических

16 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
методов и общих принципов механики. Научное наследие М. В. Остро-
Остроградского оказало сильное влияние на всю последующую деятель-
деятельность школы механиков-аналитиков в нашей стране.
Другим крупнейшим ученым этого периода является П. Л. Чебы-
шев A821—1894), известный своими многочисленными математиче-
математическими исследованиями и трудами по прикладной механике; он явился
основоположником отечественной школы теории механизмов и машин.
Большое внимание современников привлекли к себе исследования
С. В. Ковалевской A850—1891), завершившиеся решением одной из
труднейших задач динамики твердого тела; до нее законченные ре-
результаты в этой области удалось получить только Эйлеру и Лагранжу.
Особое значение для дальнейшего развития естествознания и техники
имело творчество ученика П. Л. Чебыше'ва, виднейшего математика
и механика А. М. Ляпунова A857—1918), создателя основ современ-
современной теории устойчивости равновесия и движения. На основные резуль-
результаты и идеи Ляпунова опираются труды большого числа его учеников
и последователей, способствовавших дальнейшему развитию этой
области науки.
Со второй половины XIX столетия наряду с продолжающимися
строгими и изящными аналитическими исследованиями в механике под
влиянием чрезвычайно быстрого роста техники возникает и все более
и более интенсивно разрастается другое направление, связанное с ре-
решением реальных практических задач; при этом важным методом
исследования в механике наряду с математическим анализом и гео-
геометрией становится эксперимент. Выдающимися представителями этого
направления являются творец теории вращательного движения артил-
артиллерийского снаряда в воздухе Н. В. Майевский A823—1892); осново-
основоположник гидродинамической теории трения при смазке Н. П. Пет-
Петров A836—1920); «отец, русской авиации» Н. Е. Жуковский
A847—1921); создатель основ механики тел переменной массы, нашед-
нашедшей важные приложения в теории реактивного движения, И. В. Ме-
Мещерский A859—1935); известный исследователь в области ракетной
техники и теории межпланетных путешествий К. Э. Циолковский
A857—1935); автор выдающихся трудов во многих областях механики,
непосредственно связанных с техникой, основоположник современной
теории корабля А. Н. Крылов A863—1945); один из крупнейших
отечественных ученых, автор ряда фундаментальных работ по анали-
аналитической механике и аэродинамике, создатель основ аэродинамики
больших скоростей С. А. Чаплыгин A869—1942) и многие другие1)-
Исключительное значение для дальнейшего развития научных иссле-
исследований по механике в нашей стране имело творчество Н. Е. Жуков-
!) Более подробно о трудах отечественных ученых по механике см.:
А. А. Космодемьянский, Очерки по истории механики, 2-е изд., «Про-
«Просвещение», М., 1964; Я. Л. Г е р о н и м у с, Очерки о работах корифеев рус-
•ской механики, ГТТИ, М., 1952.

§ 2] КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ 17
ского, которому, кроме фундаментальных трудов по устойчивости
движения, динамике твердого тела и гидродинамике, принадлежит
разработка основ таких новых направлений в механике, как теория
гидравлического удара в трубах, подземная гидравлика, теоретическая
и экспериментальная аэродинамика, динамика самолета и др. Вся
деятельность Н. Е. Жуковского и созданной им научной школы была
направлена на решение реальных задач механики. Жуковский значи-
значительно расширил границы механики и разработал прочную теорети-
теоретическую базу для ряда разделов техники, которые его современникам
казались вообще не поддающимися строгому и точному анализу.
«Гигантскому уму Н. Е. Жуковского, — писал один из его ближай-
ближайших учеников и последователей Л. С. Лейбензон, — впервые после
Галилея удалось объять грандиозную науку — механику во всей ее
совокупности. Для него не было разделения механики на теоретиче-
теоретическую и практическую. Перед его умственным взором стояла единая
наука механика, которую он прилагал для решения проблем окру-
окружающей действительности».
Одновременно Н. Е. Жуковский, а также И. В. Мещерский,
А. Н. Крылов и их последователи уделяли большое внимание поста-
постановке преподавания теоретической механики в вузах страны, повы-
повышению наглядности обучения и установлению тесной связи курса
механики с прикладными науками.
Новый этап в развитии всей отечественной науки, в том числе и
механики, наступает после Великой Октябрьской социалистической
революции, когда наука становится важным государственным и все-
всенародным делом. В научные исследования вместо одиночек ученых
вовлекаются большие научные коллективы; в стране создаются все
новые и новые научные центры с мощной экспериментальной базой
и всеми современными средствами научного исследования.
В кратком очерке невозможно охарактеризовать все достижения
советских ученых-механиков, сделавших ценный вклад и в дальней-
дальнейшее развитие теории1) и в разработку методов приложения этой
теории к решению разнообразных практических задач во многих
областях современной техники, в том числе и в такой прославившей
нашу страну области, как освоение космоса.
Творчество советских ученых, вносящих новые оригинальные идеи
в развитие всех областей механики, служит целям дальнейшего про-
прогресса народного хозяйства и культуры нашей великой Родины.
3. Успехи физики в начале нынешнего века, ознаменовавшиеся
новыми исследованиями в области электродинамики и строения мате-
материи, показали, что законы классической механики Галилея — Ньютона
применимы только к движению тел, размеры которых значительно
') Обзор работ многих советских механиков можно найти в книге
«Механика в СССР за 30 лет», Гостехиздат, М., 1950.
2 Н, Н. Бухгольц

18 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. Г
больше размеров атома, а скорости — значительно меньше скорости
света. Для тел очень малых размеров и для очень больших скоростей,
выводы классической механики теряют свою силу, и сама механика
нуждается в дальнейшем развитии.
Теория относительности, созданная А. Эйнштейном, внесла до-
довольно существенные изменения в основания механики и показала
ограниченность ньютоновских представлений о пространстве, времени
и материи, вследствие чего стало возможным дать простое теоретиче-
теоретическое обоснование ряду явлений, которые не могли быть объяснены
с точки зрения классической механики. Кроме того, классическая
механика оказалась неприменимой к теории строения атома, и это
обстоятельство явилось причиной возникновения атомной, или кван-
квантовой, механики.
Несмотря на это, классическая механика Галилея — Ньютона про-
продолжает сохранять свою огромную ценность как мощное орудие
научного исследования различных вопросов естествознания и техники,
и ее законы дают при этом вполне достаточную для практики точ-
точность. Все разнообразные технические сооружения и все современные
расчеты, связанные с космическими полетами, построены на основании
законов классической механики и, как показывает опыт, с успехом
выполняют свое назначение. Поправки и изменения, вносимые в законы
классической механики теорией относительности и квантовой меха-
механикой, исчезающе малы в обычных условиях и становятся заметными
только при больших скоростях, близких к скорости света, и для тел,
размеры которых имеют порядок размеров атома. Поэтому классиче-
классическая механика Галилея — Ньютона никогда не потеряет своего науч-
научного значения и практической ценности.
§ 3. Векторы
1. Величины скалярные и векторные. Методы векторного ис-
исчисления, широко применяемые в механике и других отделах физики,
имеют белыное преимущество перед координатным методом в смысле
сокращения письма, наглядности и физической картинности формул;
но самым главным преимуществом этих методов является то, что
векторные формулы не связаны с системой ориентировки (т. е. систе-
системой координат) и не изменяются при переходе от одной системы
к другой; иными словами, векторные формулы инвариантны па
отношению к преобразованиям координат. Не следует, однако, думать,
что можно совершенно игнорировать координатный метод: последний
иногда оказывается удобнее векторного, особенно в тех случаях,
когда требуется довести вычисление до конца и получить конкретный
численный результат.
В математической физике встречаются два типа величин: скаляр-
скалярные и векторные. Скалярной величиной или просто скаляром

§ 3] ВЕКТОРЫ 19
называется величина, которая вполне определяется одним числом,
выражающим отношение этой величины к соответствующей единице
измерения. Для всякой скалярной величины можно установить шкалу
(латинское scala), на которой для каждого значения скаляра закреплено
определенное место; отсюда и происхождение термина «скаляр».
Вообще скаляр может быть представлен положительным или отрица-
отрицательным действительным числом. Масса, температура, энергия, объем
и много других физических величин являются скалярными величинами.
Простейшей векторной величиной, или вектором, является
направленный отрезок, который вполне определяется заданием его
длины (численной величины вектора), измеренной в некотором мас-
масштабе, и его направления в пространстве. Такие физические величины,
как скорость, ускорение или сила, представляют собой величины
векторные: задание этих величин получает смысл только тогда, когда,
кроме их численных значений, указывается и их направление.
Термин «вектор» происходит от латинского слова vehere, что означает
«влечь», «тянуть».
В зависимости от свойств изображаемой им величины вектор
может быть свободным, т. е. приложенным в любой точке про-
пространства, скользящим, т. е. приложенным в любой точке некоторой
прямой, называемой основанием или линией действия вектора,
и неподвижным, т. е. приложенным в некоторой фиксированной
точке (подробнее об этом см. в конце параграфа, п. 13).
Мы здесь рассмотрим основы векторного исчисления для сво-
свободных векторов, так как изучение скользящих и неподвижных векто-
векторов сводится к изучению векторов свободных.
Как известно из аналитической геометрии, косинусы трех углов,
образуемых направлением I какого-либо вектора с осями прямоуголь-
прямоугольных координат, связаны соотношением
cos2 (Сх) -f- cos2 (Су) + cos2 (Cz) — 1;
следовательно, направление вектора определяется двумя числами;
приняв во внимание еще численное значение вектора, получим для
свободного вектора другое определение: свободный Д
вектор есть величина, вполне определяющаяся тремя
числами (в пространстве трех измерений) и удовле-
удовлетворяющая правилу сложения, изложенному ниже, д
в п. 5.
2. Геометрическое представление вектора. Рис. 1.
Единичный вектор. Умножение вектора на скаляр.
Вектор может быть геометрически изображен прямолинейным отрез-
отрезком АВ (рис. 1), длина которого в известном масштабе соответ-
соответствует численному значению вектора, а направление совпадает с на-
направлением вектора. Численную величину вектора называют еще

20
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. Г
модулем вектора. Концы А и В отрезка АВ, изображающего вектор,
называются соответственно началом и концом вектора АВ. Сим-
Символом АВ обыкновенно обозначается отрезок независимо от его
направления. Для обозначения вектора будем пользоваться тем же
символом, но с чертой наверху. Тогда
вектор АВ = АВ;
длина отрезка АВ представит его модуль
модуль вектора АВ = \АВ\ = АВ.
Часто вектор обозначают одной буквой с чертой над ней или
буквой, напечатанной жирным шрифтом:
вектор а = а=а,
а его модуль — символом \а\ или буквой, напечатанной обыкновен-
обыкновенным шрифтом; таким образом, \а\ = а. Мы будем обозначать векторы
жирными буквами.
Два вектора считаются равными, если они параллельны, напра-
направлены в одну сторону и имеют равные модули (рис. 2), т. е. если
то
При изменении направления вектора а на про-
противоположное получим вектор, противополож-
противоположный а, который будем обозначать символом —а
(рис. 3), т. е. если
а = Ь и а\\Ь,
то
а = — Ь.
Если а\\Ь, то векторы называются параллель-
параллельными, или коллинеарными; они могут быть оди-
одинаково направленными и противоположно
направленными. Иногда первые векторы назы-
называются просто параллельными, а вторые анти-
антипараллельными. Векторы, параллельные одной и той же плоскости,
называются компланарными.
Вектор, по направлению своему совпадающий с направлением
данного вектора и имеющий модуль, равный единице, называется
единичным вектором, или ортом данного вектора. Очевидно, что
длина отрезка, изображающего единичный вектор, должна быть равна
единице длины. Единичный вектор будем обозначать тем же символом,
Рис. 3.

§3]
ВЕКТОРЫ
21
что и данный вектор, но с показателем 0, т. е. (рис. 4)
единичный вектор для а = а0.
Из определения следует, что
При помощи единичного вектора всякий вектор может быть пред-
представлен как произведение модуля на единичный вектор, т. е.
а
¦¦ аа°,
A)
Рис. 4.
Рис. 5.
При таком представлении вектор распадается на два элемента: модуль,
характеризующий численное значение вектора, и единичный вектор„
определяющий направление вектора
в пространстве.
При умножении вектора на ска-
скаляр т получаем новый вектор
Ь — та = таа°. B)
Вектор 6, очевидно, параллелен век-
вектору а (рис. 5) и направлен в ту
же или противоположную сторону,
в зависимости от знака скаляра т;
модуль вектора та будет:
\та\ = \т\ • \а\ = \т\ а. C)
Если два вектора коллииеарны, то частное от их деления есть
всегда скаляр, положительный или отрицательный, в зависимости
от направлений этих векторов.
3. Проекция вектора на ось и на плоскость. Осью называете*
прямая, на которой установлено положительное направление отсчета.
Углом между двумя векторами (или между
вектором и осью, или между двумя осями)
называется наименьший угол, на который
нужно повернуть один вектор (или ось),
чтобы он совпал по направлению с другим
вектором (осью) (рис. 6).
Проекцией вектора АВ = а на ось /
(рис. 7) называется взятая с соответствую-
соответствующим знаком длина отрезка Аф^ заключен-
заключенного между проекциями начала и конца
вектора АВ на эту ось (здесь и далее рас-
рассматриваются только ортогональные проек-
проекции); при этом проекция берется со знаком плюс, если перемеще-
перемещение от Ах к Bi совпадает с положительным направлением оси /, и
О.
Рис. 6.

22 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
со знаком минус, если не совпадает. Из определения следует, что
или
i = (AB)l=±\AlBl\ = ±\AA'\ = АВ cos (АВ, I) D)
прг (a) = al=a cos (a/). E)
V
в
X
Таким образом, проекция вектора на ось равна модулю вектора,
умноженному на косинус угла между вектором и осью проекций.
Согласно определению проек-
проекция вектора на ось есть вели-
величина скалярная, положительная
или отрицательная в зависи-
зависимости от того, острый или
тупой угол образует проекти-
проектируемый вектор с осью про-
проекций.
.1 Если отрезку, представляю-
представляющему собой проекцию вектора
на ось, дадим направление,
совпадающее с направлением
Рис. 7. перемещения от проекции на-
начала вектора к проекции его
конца, то получим вектор, называемый ортогональной составляю-
составляющей, или компонентом вектора а по оси I.
Очевидно, ортогональная составляющая вектора a no оси / равна
его проекции на эту ось, умноженной на единичный вектор,
соответствующий направлению оси,
т. е.
щ — atl°. F)
Проекцией вектора АВ = а на
плоскость Р называется вектор A-Ji^,
соединяющий проекции начала и
конца вектора АВ на эту плоскость
(рис. 8). По определению ар =
= A-fiy есть вектор, так как для
его задания необходимо, кроме чи-
рИС- 8. сленной величины A-Ji^, указать
еще и направление этого отрезка
а
в плоскости Р. Модуль вектора ар определяется равенством
ар = | Афг | = a cos 9,
G)
где 0 — угол между векторами а и ар.

§3]
ВЕКТрРЫ
23
4. Аналитическое задание вектора. Аналитически вектор вполне
определяется тремя своими проекциями на оси координат; эти проекции
поэтому иногда называются коорди-
координатами вектора.
Если дан вектор а, т. е. даны
его модуль а и его направление,
которое определяется направляю-
направляющими косинусами, то известны и
проекции вектора на оси координат;
в самом деле, на основании равенства
E) эти проекции будут (рис. 9):
ах = a cos (а, х),
ау = a cos (а, у),
az = a cos (a, z).
(8)
Рис. 9.
Обратно, если даны проекции вектора на оси координат, то вектор
определен. Действительно, возведя почленно в квадрат равенства (8)
и складывая их, имеем:
откуда найдем модуль вектора
' x > "у I "z-
Далее на основании (8) и (9) получаем:
cos (а, х) = —?=
а
cos (а, у) = — ~
а
cos (а, z) = —- =
Формулы A0) дают выражения направляющих косинусов череа
проекции вектора.
В дальнейшем единичные векторы по направлению прямоуголь-
прямоугольных координатных осей будем обозначать через i, j и k (вместо JC0,
У0 и 2°); тогда составляющие вектора по осям координат будут:
ах = a cos (a, x) i,
ау = a cos (а, у) j,
az — a cos (а, z) k.

ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ Г
На основании A) и A1) получим выражения для компонентов
единичного вектора:
а° = cos (а, х) I,
а°у = cos (а, у) У,
а0 = cos (а, z) k
A2)
<г
Отсюда видно, что проекции единичного вектора на оси коор-
координат равны направляющим косинусам вектора В этом смысле
и говорят, что «единичный вектор задает направление».
5. Сложение и вычитание векторов. Суммой двух векторов а
и Ь называется вектор с-=а-\-Ь, соединяющий начало вектора а
^ с концом вектора Ь, если вектор Ь
° "" отложен от конца вектора а (рис 10 )
Это чисто формальное определение
суммы векторов имеет свое обоснова-
обоснование во многих законах природы, на-
например законе параллелограмма сил,
параллелограмма скоростей и др. Из
рис. 10 ясно, что
, A3)
а
так как a-j-6 и б-j-a равны одной
и той же диагонали с параллелограмма, построенного на векторах a
и 6 Отсюда вытекает, что сложение двух векторов обладает свой-
свойством коммутативности (переместительности).
Из Д ABC имеем
отсюда, так как а = я — (а, Ь),
os((Cb). A4)
Из A4) вытекает, что если (а, &) = 0, то
|о+6| =а + *.
если же (а, Ь) = л, то, полагая для определенности а>Ь, имеем:
=a — Ь\
вообще же
a —

§ 3)
ВЕКТОРЫ
25-
Сумму нескольких векторов получим последовательным приме-
применением закона сложения двух векторов, для получения суммы п
векторов а, Ь, с. U I, m сумму двух первых векторов (а+&>
сложим с третьим с, полученную сумму трех первых векторов
(a-f- b-\-c) сложим с четвертым вектором и т. д ; сложив сумму п— 1
первых векторов (a-j-6-f-c-j-rf-j- .. -\-1) с последним вектором т
(рис. 11), получим сумму всех п векторов
Таким образом, сумма нескольких векторов есть вектор, который
изображается замыкающей стороной ломаной линии, составленной
из сла1аемых векторов, при этом на-
начало каждого последующего слагаемого
вектора откладывается от конца преды-
предыдущего, а замыакющий вектор направ-
направлен от начала первого слагаемого век-
тора к концу последнего.
Составленный таким способом мно-
многоугольник носит название векторного
многоугольника, а самый метод —
правила векторного многоуголь-
многоугольника
Если ломаная линия, составленная из
слагаемых векторов, замыкается сама
(т. е. если конец последнего из ела-
гаемых векторов совпадает с началом
первого), то сумма векторов равна нулю (вектор равен нулю, если его
модуль равен нулю)
Так как при сложении любой пары векторов в равенстве A5)
согласно уравнению A3) имеет место закон коммутативности,
то и сумма п векторов обладает свойством коммутативности.
Непосредственно из рис 11 видно, что сумма п векторов обла-
обладает также свойством ассоциативности {сочетательности),
т. е. что
Рис
и т. д
Свойство коммутативности, позволяя сделать всевозможные пере-
перестановки слагаемых, распространяет ассоциативность на любые соче-
сочетания слагаемых, например
. A6)

26
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Рис. 12.
Свойства коммутативности и ассоциативности, в сущности, и опра-
оправдывают описанный геометрический метод сложения векторов по пра-
правилу векторного многоугольника. Заметим, что в общем случае этот
многоугольник пространственный, так как со-
составляющие его векторы вообще не компланарны.
В случае коллинеарности слагаемых векто-
векторов (т. е. когда они лежат на одной прямой)
векторное сложение сводится к алгебраичес-
алгебраическому сложению направленных отрезков.
Разностью двух векторов а и Ь называется
вектор d, получающийся от сложения вектора а
с вектором — Ь, противоположным Ь (рис. 12),
т. е.
d = a— & = a4-(— Ь). A7)
Из рис. 12 видно, что сумма с = а-\-Ъ есть одна из диагоналей
параллелограмма, построенного на векторах а и Ъ, а разность
d — a— Ь есть другая его диагональ.
6. Разложение вектора по направлениям координатных осей.
Разложение вектора на сумму нескольких векторов есть вообще
задача неопределенная, но в некоторых случаях, при наличии допол-
дополнительных условий, эта задача может стать определенной. К таким
случаям принадлежат: разложение вектора по трем заданным неком-
некомпланарным направлениям и разложение
вектора по двум заданным направлениям,
компланарным с данным вектором.
а) Пусть вектор а — ОМ требуется
представить в виде суммы трех неком-
некомпланарных векторов, параллельных за-
рис J3 данным прямым. Для этого через начало
вектора проводим прямые 01, От и On,
параллельные заданным направлениям, и на векторе ОМ, как на диа-
диагонали, строим параллелепипед, ребра которого направлены по этим
прямым (рис. 13). Тогда, как ясно из рисунка,
или
где обозначено:
A8)
ЪС~ап.
Если триэдр 1тп принять за оси косоугольной системы коорди-
координат, то векторы а(, ат, ап будут косоугольными составляющими
(компонентами) вектора а по осям /, т, п. При этом равенство A8)

§ 3] ВЕКТОРЫ
можно представить в виде
атт°+апп°,
27
A9)
где Р, т°, п° суть единичные векторы, соответствующие напра-
направлениям I, т, п. В случае прямоугольной системы xyz (рис. 14)
имеем:
ji, B0)
где ах, ау, аг будут уже ортогональными (прямоугольными) соста-
составляющими вектора а по осям л;, у, z.
г
О/,
В
7
а-т/ а
D
Рис 14.
Рис. 15.
б) Пусть вектор а требуется разложить по двум направлениям,
компланарным с ним. Поступая аналогично предыдущему случаю,
имеем (рис. 15):
= а = ОА = ОВ,
или
а
где щ и ат будут косоугольными компонентами
вектора а в осях I, т. В случае прямоугольной
плоской системы координат ху (рис. 16)
,/• B2)
Рис. 16.
7. Теорема о проекции суммы векторов. Аналитический спо-
способ сложения векторов. Докажем теорему: Проекция суммы век-
векторов на какую-либо ось равна алгебраической сумме проек-
проекций этих векторов на ту же ось.
Пусть имеем п векторов
av =
(v = 1. 2, .... я).
Складывая эти векторы, получим:
V=J
n v-n
a J + 2 avzk.
B3)
B4)

28 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. Г
Сравнивая найденное выражение с равенством B0), видим, что ска-
скалярные суммы 2 avx, 2 avv и 2 avz СУТЬ проекции вектора s =
V V V
= 2"v на соответствующие оси координат, т. е.
V
v=n v=n v=n
2 avx> Sy = 2 flvy Sz = 2 flvz- B5)
I l
2
v=l
Теорема доказана. Одновременно формулы B5) определяют проекции
вектора 5 на оси координат. Модуль суммы * выразится тогда
согласно (9) равенством
v = л
Углы, образуемые вектором * с осями координат, найдутся по фор-
формулам, аналогичным A0).
8. Произведение векторов. В векторном исчислении различают
два вида умножения векторов: скалярное и векторное.
а) Скалярное, или внутреннее, произведение двух векторов а
и Ь есть скалярная величина, равная произведению модулей а и Ь
этих векторов, умноженному на косинус угла
с *",''* (<*, Ь) между ними. Операция скалярного умно-
,'' жения обозначается обычно символом а • Ь
[иногда (а, Ь) или ab, но мы будем всегда
ч применять обозначение а ¦ Ь\. По определению
¦»* а- Ь—\а\ • |6|cos(a, b) = ab cos (a, 6). B7)
Рис. 17. Скалярное произведение двух векторов
можно еще рассматривать как произведение
модуля одного вектора на проекцию на него другого (рис. 17),
а именно
а ¦ Ь = aba = bab = ab cos (a, 6). B8)
Непосредственно из определения скалярного произведения сле-
следует, что:
1) скалярное произведение двух векторов обладает свойством
.коммутативности, т. е.
a • Ь = Ь ¦ а; B9)

$ 31 ВЕКТОРЫ 29
2) скалярное произведение обладает свойством дистрибутивности
(распределительности) относительно суммы векторов, т. е.
C0)
Действительно,
(а -}- 6) • с = с • (а -f- 6) = с (а -f- ?)с = сас -f- с?с =
Кроме того, как легко видеть,
та • nb == тпа • Ь; C1)
нз равенства B7) следует еще, что
когда аЦЬ, то cos (а, 6)=1 и а • b = ab, I
когда а]/\Ь, то cos (а, Ь) = —1 и а-6 = —ab, j
а также, что
если a J_ &, то cos (а, &) = 0 и а • 6 = 0, I
если а = Ь, то cos (а, Ь) = 1 и а • a == а2, J
т. е. 1) скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных
векторов равно нулю; 2) скалярный квадрат вектора равен
квадрату его модуля.
Для единичных векторов «, j и k формулы C3) дают:
C4)
Опираясь на распределительный закон скалярного умножения C0)
и на формулы C4), получим выражение скалярного произведения
двух векторов через их проекции. Имеем:
тогда
а • Ь = (aj + V + azk) • (М + V + ЬгЩ =
= axbxi • f + «А*' ./+«А*' *+ V*/ vM
Н- а/г/ • ft+ aj)xk • /-f «ДА • у + «А* # * =
= «A+Vy + flA- C5)
Таким образом, мы находим, что скалярное произведение двух век-
векторов равно сумме попарных произведений из одноименных (по
индексу) проекций векторов на координатные оси:
а ¦ b = ab cos (a, b) = axbx -f ayby + a A- C6)

30 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. Г
Отсюда имеем выражение косинуса угла между векторами а и 6
s^. а ¦ b Q-Xbx -\- uvbv -+- а,Ь,
eos («,*)= — = flV+Z- • C7)
Если вектор а перпендикулярен к вектору Ь, то
«A+Vy+flA = °- C8)
Рассматривая выражение E) проекции вектора а на ось I, видим, что
аг — а cos (а, I) = а • 1 • cos (а, I) = а • Р, C9)
т. е. проекция вектора на ось есть скалярное произведение вектора
на единичный вектор данной оси.
б) Векторное, или внешнее, произведение двух векторов есть
вектор, модуль которого равен произведению модулей перемножае-
перемножаемых векторов, умноженному на синус угла между ними, а направ-
направление перпендикулярно к плоскости, проходящей через оба вектора,
и выбрано так, чтобы, смотря из конца по-
лученного вектора, мы видели вращение пер-
первого множителя для кратчайшего совмещения
его со вторым против хода часовой стрелки
(рис. 18I). Операция векторного умножения
^> обозначается обычно символом а X & (иногда
,*'' [ab] или а /\ Ь, но мы будем всегда приме-
применять обозначение а X &)• По определению
Рис.18. \aXb\ — absin(iCb). D0)
В основу выбора направления векторного произведения положено,
очевидно, известное правило правого винта. В винте мы имеем
сочетание определенного направления с вращением в плоскости, пер-
перпендикулярной к этому направлению. Соответственно понятиям о
левом (с левой нарезкой) и правом (с правой нарезкой) винтах
различают также левую и правую системы координат (рис. 19).
В левой системе координат кратчайшее совмещение оси л: с осью у
видно с конца оси z по ходу часовой стрелки, а в правой — против
хода часовой стрелки. На плоскости обычно всегда пользуются пра-
:) Строго говоря, векторное произведение геометрически изображается
односторонней площадью параллелограмма, построенного на умножаемых
векторах, а площадь параллелограмма в свою очередь — вектором, который
направлен так, чтобы, смотря из конца этого вектора, мы видели обход
контура, ограничивающего площадь, против хода стрелки часов (т. е. как
указано в определении). Таким образом, векторное произведение, по существу,
есть не вектор, а антисимметричный тензор второго ранга.

ВЕКТОРЫ
31
/?ебыц бинт
Лрабый бинт
вой системой координат х, у. Поэтому в дальнейшем мы будем поль-
пользоваться правой системой координат и для пространства, так как едино-
единообразный выбор координатных систем на плоскости и в пространстве
весьма целесообразен и при рас-
рассмотрении вопросов теории и при
решении практических задач.
Непосредственно из определе-
определения векторного умножения сле-
следует, что:
1) модуль векторного произ-
произведения двух векторов численно
равен площади параллелограмма,
построенного на этих векторах
(см. рис. 18);
2) векторное умножение двух
векторов свойством коммутатив-
коммутативности не обладает, потому что
oX» = -(ftXo); D1)
Рис. 19.
это следует из того, что | а X & | = | & X а|, а направления этих
произведений (рис. 20) противоположны.
Кроме того, легко видеть, что
та, X пЬ = тп (а X Ь). D2)
Геометрически векторное произведение а X Ь векторов а и Ь
можно найти следующим построением (рис. 21): проводим плоскость Р,
перпендикулярную к вектору а,
строим ортогональную проекцию
вектора Ъ на плоскость Р, повора- ^6
бка
Рис. 20,
Рис. 21.
чиваем эту проекцию в плоскости Р вокруг точки О иа 90° против
хода часовой стрелки (если смотреть на плоскость с конца вектора а);
умножив полученный вектор 01 на а, найдем вектор а X Ь.
Действительно, ^
%
= ?sm(a, Ь)Ь%,
D3)

32 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
после же поворота вектора Ър на 90° модуль его останется неизмен-
неизменным, а единичный вектор из Ьр перейдет в (а X &)°; следовательно,
полученный после поворота вектор 01 будет равен
Ш = Ь sin (аГь) (а X &)° = -j (а X Ь).
откуда аХ& = й-О/. Пользуясь этим представлением векторного
произведения, можно доказать, что
3) векторное умножение обладает свойством дистрибутивности
по отношению к сумме двух векторов:
c = aXc-\-bXc. D4)
Этот результат легко получить, если учесть, что
Отметим следующие частные случаи векторного умножения:
если а\\Ь, то sin (а, 6) = 0 и оХ& = 0. D5)
если а = Ь, то sin (а, &) = 0 и аХа = 0, D6)
если a_j_&, то sin (а, &}=1 и \aXb\— ab, D7)
т. е. 1) если векторы коллинеарны, то их векторное произведение
равно нулю, 2) векторный квадрат вектора равен нулю и 3) модуль
векторного произведения двух взаимно перпендикулярных векторов
равен произведению их модулей.
Для единичных векторов i, J, k формулы D6) и D7) дают:
iXi = JXj =kXk = Q, D8)
jXb = i, kxi = j. iXJ = k, D9)
а также, согласно свойству D1),
kXj=*~i, iXft^ — j, jxi = — k. E0)
Теперь найдем выражение векторного произведения векторов a
и Ь через их проекции. Имеем:
Перемножая правые части век/порно и пользуясь последовательно
дистрибутивным законом D4), а также равенствами D8), D9) и F0),

§3]
ВЕКТОРЫ
33
получим:
а X Ь = (aj + ayj + azk) X
= ел (« х /) + «
+ fly^ (У X i) + Cl
+ а А (* X О +
^yft — а А/ —
Следовательно,
+ V+***) =
(IX У) + «А (* X *) +
yby (У X У) + «А (У X *) +
А (* X У) + «Л (ft X ft) =
у
— а А) У + (в А —
У 4-
или
flX Ь =
У
fl,,
E1)
E2)
Из E1) видно, что проекции векторного произведения на оси коор-
координат равны
Xi),=
а его модуль
(«X 6),
(a X b)z =
| a X 6| = У (a X 6)J + (a X 6)? + (a X
"y
E3)
E4)
где стоящие под знаком радикала величины определяются равенст-
равенствами E3).
9. Произведения трех векторов. Комбинированные произведения
из трех векторов могут иметь вид аF • с), а ¦ F X с), а У. (by, с),
а X F ¦ с). Прежде всею замечаем, что первая комбинация есть про-
произведение вектора а на скаляр 6 • с; четвертая же не имеет смысла,
так как нельзя векторно множить век гор а на скаляр b • с
Произведение трех векторов типа а ¦ {by с) называется смешан-
смешанным произведением векторов и есть, очевидно, скаляр.
Чюбы составить выражение этого произведения через проекщш
векторов а, Ь, с, воспользуемся сначала формулой C6), а затем E3),
имеем:
а • (Ь X с) = ах F X с)х + fly F X с)у + ая F X с\ =
E5)
H.
by bz
cy cz
+ «y
Н Бухгольц
Cx
+ «г
*y
Cy
—
ax
bx
cx
«y
by
Cy
a.
bz

34 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
Из равенства E5) вытекают следствия:
1. Если какие-либо два из входящих в состав смешанного про-
произведения вектора равны друг другу, то все произведение равно
нулю, так как при этом две строки в опреде-
7Л лителе E5) будут одинаковы.
f I 2. В смешанном произведении возможны
Ь | { циклические перестановки множителей
а-(ЬХс) = Ь-(сХа) = с- (а X Ь), E6)
Рис. 22. так как при этом определитель E5) сохранит
свою величину и знак. Другие перестановки
сомножителей уже отражаются на знаке произведения, например
а ¦ (с X Ь) = 6 • {а X с) = с ¦ {Ь X а) = — а ¦ (Ь X с).
Численно смешанное произведение определяет объем параллелепипеда,
построенного на векторах а, Ь и с (рис. 22).
Произведение трех векторов типа а X (Ь X с) называется трой-
тройным векторным произведением и есть вектор. По формуле E2)
имеем:
i j k
а X (Ь X с) =
а
у
(ЬХс)х (ЬХс)
'х \w ss *vy
E7)
где (Ь X с)х, (Ь X с)у и (& X с)г суть проекции векторного произ-
произведения Ъ X с.
Составляя, согласно формулам E3), выражение проекции трой-
тройного векторного произведения на ось х, получим:
[а X Ф X с)]х=ау(Ь X с)ж — аг(Ь X с)у =
= «у ФхСу — ьусх) ~ ajfizcx — bxcz) = ау Ьхсу — aybycx — azbzcx -f-
-Ь azbxcz + axbxcx — axbxcx = bx (axcx + aycy + azcz) —
— cx («A + а A + a A) = bxa-c — cxa ¦ b. E8)
Проекции на две другие оси найдутся совершенно аналогично. Итак,
[а X (* X с)]х = Ьха • с—сха- Ъ,
[аХФХс)]у = Ьуа-с — суа-Ь, E9)
[aX(bXc)]z = f>za-c~ сга • Ь.
Умножая равенства E9) соответственно на /, j, k и складывая их
почленно, получим окончательно:
а X (Ь X с) = Ь (а ¦ с) — с {а ¦ Ь). F0)

§3]
ВЕКТОРЫ
35
Заканчивая краткое изложение векторной алгебры, приведем сле-
следующие простые, но важные положения и формулы, которые могут
быть легко доказаны:
1) Два вектора а и & коллинеарны, если
аа + р& = 0, F1)
где а и р — некоторые отличные от нуля скаляры, и обратно.
2) Три вектора а, Ь и с компланарны, если
aa + P&+Y^ = 0' F2)
где a, p и у суть некоторые, отличные от нуля скаляры, и обратно.
3) Имеет место равенство
F3)
4) Если а || 6, то
(а ¦ bf = аЧ2,
вообще же {а • bf < a2b2.
5) Имеет место равенство
(а X &J+(а • bf = a2b2. F4)
10. Момент вектора. Для неподвижного (или для скользящего)
вектора можно ввести понятие момента относительно центра и отно-
относительно оси. Пусть вектор а приложен в точке М. Положение
точки М по отношению к осям Oxyz может быть определено
радиусом-вектором г, проведенным
из центра О в точку М (рис 23).
При этом r = rJ~\-ry]-\-rzk или,
так как проекции радиуса-вектора
представляют собой координаты точ-
точки М, то
F5)
г = xi-\-yj-\-zk.
Рис. 23.
Моментом вектора а относительно центра (или точки)
О называется векторное произведение г X о радиуса-вектора г, про-
проведенного из центра О в точку М, где приложен вектор а, на этот
вектор (рис. 24). Обозначается момент вектора а относительно
Центра О символом momoa. Следовательно,
j k
momoa = г X о. =
|momoa|~/-flsin(r, a).
F6)
F7)

36
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ t
Как всякое векторное произведение, момент вектора а относи-
относительно центра О по модулю равен площади параллелограмма, по-
построенного на векторах г к а.
Если центр О, относительно которого берется момент, совпадает
с началом координат (как на рис. 24), то момент вектора а отно-
относительно начала координат, согласно
F5), выразится равенством
J
momoa = r X о =
a.
a,
F8)
Рис, 24.
Теорема. Проекции на ось z
моментов вектора а относительно
любых двух центров О и О', взя-
взятых на оси г, равны между собой,
т. е.
(тотоа)г = (тотсса)г. F9)
Действительно, (тотоа)г = (г X а)г —(г X а) • 2°, где z° есть
единичный вектор оси z. Но по свойству смешанного произведения
трех векторов
В
Так как легко видеть, что вектор z°Xr не зависит от положения
точки (центра) О на оси г, то тем
самым справедливость равенства F9)
доказана.
Формулу F9) легко получить также
из геометрических соображений. Дей-
Действительно, обозначая угол между век-
вектором г X « и осью г через у (рис. 25),
имеем:
(momo аJ = (г X «)г = I г X а | cos y=*
= 2|пл. OAB\cos\
или
(momo а)г = ± 2 (пл. O^BJ, G0)
где треугольник ОХА1В1 есть проекция треугольника ОАВ на плос-
плоскость я, перпендикулярную к оси г. Очевидно, что площадь этой
проекции не зависит от положения точки О на оси г, откуда
следует равенство F9).
На основании доказанного свойства проекции момента на какую-
либо ось устанавливается следующее определение момента вектора
относительно оси:
Рис. 25.

§3]
ВЕКТОРЫ
37
Моментом вектора относительно оси называется проекция
на эту ось момента данного вектора относительно любой точки оси.
Будем обозначать момент вектора а относительно оси / симво-
символом mom, а. Тогда, если точка О лежит на оси /, то
mom2 a = (momo а)г.
G1)
Моменты вектора относительно осей координат х, у, z будут
равны проекциям на эти оси момента вектора относительно начала О.
Следовательно, согласно F8),
= yaz — zay
momy a = (г X a)y = zax — xaz>
X4= «у ~ Уах-
Из равенств G1) и G0) следует, что тотга—+ 2 пл.
Но, как видно из рис. 25,
2 пл.
G2)
где АХВХ — проекция вектора АВ = а на плоскость я, перпенди-
перпендикулярную к оси z. Отсюда следует другое определение момента
вектора относительно оси: момент вектора а относительно какой-
нибудь оси z равен численной величине момента проекции вектора а
на плоскость я, перпендикулярную к оси z, взятого относительно
точки Ох пересечения оси z с этой
плоскостью, т. е.
тотг a =
G3)
Найдем выражение момента век-
вектора а относительно любого цент-
центра С (рис. 26), не совпадающего
с началом координат. Имеем:
momca = r' X о,.
Но так как г'= г — гс, то
momca — (г — гс) Ха =
= (гХа)~ (гс X а), G4)
Рис. 26,
т. е. момент вектора относительно произвольного центра С равен
разности двух моментов относительно начала: момента данного вектора
и момента вектора, равного данному, но приложенного в точке С.

38
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Проекции разности г' =
У— Ус и z — zc> поэтому
гс на оси координат оудут: х — хс,
mom
r' X я =
i
j ь
— Ус z — ;
G5)
Заметим, что проекции вектора (г' X «) на оси координат дают
моменты относительно осей, проходящих через начало вектора г'.
Поэтому (г' X а)х, (г' X «)г {*"' X а)г будут равны моментам век-
вектора а относительно осей х', у', z', параллельных осям х, у, z
и проходящих через точку С, а не моментам относительно осей х, у, z
(см. рис. 26), т. е.
G6)
(г' X а)х — топу а = (у — ус) az—(z — zc) ay
(г' X а)у = тоту, a = (z — гс) ах — (х~ хс) аг
(г' X а\
тотг, a =
с) ау — (у — ус) ах
Моменты же вектора а относительно осей х, у, z будут по-преж-
по-прежнему определяться формулами G2).
11. Дифференцирование векторов по скалярному аргументу.
Пусть вектор а есть непрерывная функция некоторого скалярного
аргумента t, т. е.
a = a{t). G7)
При этом в общем случае с изменением скаляра t непрерывно изме-
изменяются и модуль и направление векто-
вектора а. Следовательно, если учесть, что
а — аа° = a {t), то
а = а (if), а° = а0 {(). G8)
В частных случаях вектор может из-
изменяться только по модулю
а = a (t), a0 = const G9)
или только по направлению
а» = а° (t), а = const. (80)
рис, 27, Будем вектор a (t) в процессе его
изменения всегда откладывать от общего
начала (полюса) О (рис. 27). Тогда в общем случае при изме-
изменении t конец вектора a(t) будет описывать некоторую опреде-
определенную кривую (плоскую или пространственную), которая называется
годографом вектора a{t). Если полюс О примем за начало прямо-

§ 3] ВЕКТОРЫ 39
угольной декартовой системы координат, то параметрическое урав-
уравнение годографа будет иметь вид
х = ах (t), y — ay (t), z=-az (t),
где ах, ау, az — проекции вектора а на оси координат.
В частности, в случае G9) годографом вектора а будет прямая,
вдоль которой направлен этот вектор, а в случае (80) — кривая на
сфере равдуса а.
Заметим, что векторная (а также и скалярная) величина может быть
функцией не только скалярного, но и векторного аргумента. В частности,
это имеет место, когда соответствующая величина образует поле.
Полем данной скалярной или векторной величины называется
область пространства, каждой точке которой однозначно соответствует
определенное значение скалярной или векторной величины; в этом случае
скалярные и векторные величины представляют собой функции координат
точки xyz или ее радиуса-вектора г.
Перейдем теперь к рассмотрению понятия производной от пере-
переменного вектора. Если аргумент t получит приращение At, то век-
вектор а получит приращение Aa = a(t-\-At)— a(t) (рис. 28). Предел
отношения Да к At (при Д/->0), если он существует, называется
производной вектора а по скалярному аргументу t (это опре-
определение совпадает с определением про-
производной скалярной функции). Следо-
Следовательно, Л^!^ \йа
= а'@ = 4г- (81)
На годографе (см. рис. 27) вектор Да направлен вдоль хорды,
т. е. по секущей АЬ. В пределе секущая занимает направление каса-
касательной Ах. Следовательно, так как от деления на скаляр Д? напра-
da
вление вектора не меняется, то направление производной —гт- совпа-
совпадает с направлением касательной к годографу вектора a (t) в точке А.
Если вектор выражен через его проекции на неподвижные оси,
т. е. если
a(t) = axi-\-ayj-\-azk.
то ясно, что
ax = ax(t), ay = ay{t), at = a,(f)'. (82)
векторы же I, J, k будут постоянными и по модулю и по напра-
направлению. Поэтому
da d dax dav daz
— =1[F{axi+ayj+azk) = —i+^j + -wk, (83)

40 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ I
т. е. производная вектора по скалярному аргументу есть вектор,
проекции которого на неподвижные оси равны производным по тому же
аргументу от проекции дифференцируемого вектора.
Во многих задачах механики аргументом t является время. При
этом обычно производная по времени обозначается точкой:
ig- = a@ = fl^4-V+^*- (84)
Тем же методом, как и для скалярной функции, можно легко
доказать следующие формулы:
(86)
Покажем, что дифференциал (или производная) единичного век-
вектора перпендикулярен к дифференцируемому вектору. Действительно,
из C3) следует, что
а°-о°=1;
дифференцируя это равенство, мы, согласно формуле (85), получим!
2~1Г'а° = 0'
следовательно,
Рис 29 dt J-
или, так как дифференциал аргумента dt есть скаляр, не влияющий
da°
на направление , то
da° J_ a°. (87')
Кроме того, легко показать (рис. 29), что !)
| da01 = | а° | dtp = dq>. (88)
') Действительно, треугольник, изображенный на рис. 29, равнобедрен-
равнобедренный, ибо [ а01 = | a0 -j- Да01 = 1; из ^того треугольника имеем:
. Аф
[ Ла» | = 2 sin ^f = —-г-— Дф-
1 2 Дф т
Отсюда, деля обе части равенства на At и переходя к пределу при Д*->¦(>,
находим:

§3]
ВЕКТОРЫ
41
Пользуясь соотношениями (87) и (88), можно получить следую-
следующее выражение производной вектора по скалярному аргументу. Так
как а = аа°, то, учитывая G8), будем иметь:
da da n . da0
dt dt a ' dt
(89)
Это равенство показывает, что производная от вектора по скаляр-
скалярному аргументу t есть вектор, равный сумме двух взаимно перпенди-
da
кулярных векторов, один из которых,
ние вектора а по модулю, а второй,
daa
¦ а, — изменение его по направле-
направлению (рис. 30). Первый вектор, как
видно из формулы (89), имеет направ-
ление вектора а, а второй к нему
перпендикулярен.
Второй член формулы (89) может
быть представлен и иначе. Так как,
согласно (88),
—тг
а > характеризует измене-
изменеda*
dt
dff
W
Рис. 30
то, обозначая единичный вектор по направлению da0, перпендику-
перпендикулярному к вектору а0, через р°, имеем:
Следовательно,
da
dt
dt
dt
(89')
Из формулы (89) видно, что в общем случае \<1а\ф da. Равен-
Равенство J da) = da имеет, очевидно, место лишь при ,, = 0, т. е.
в случае G9), когда вектор а изменяется только по модулю.
Найдем в заключение выражение производной от ортогональной
составляющей вектора а по оси I. Согласно равенствам F) и E),
(90)
at-=a cos (a, t)P = atP.
Тогда, если ось / неподвижна (l° = const), то
¦1°.
Если же направление
мер, времени), то
dt dt
меняется с изменением параметра t (напри-

42
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ Г
12. Преобразование проекций вектора. Найдем, как изменяются
проекции ах, ау и аг вектора а на прямоугольные оси координат
(х, у, z) при переходе к другой также прямоугольной системе
осей (х', у', г').
Если новые оси х', у' и z' параллельны прежним и имеют с ними
одинаковое направление, то проекции ах<, оу и аг', очевидно, будут
равны соответственно проекциям ах,
\? \г' ,' ,г ау и аг (рис. 31, а), т. е. если
то
' = ах,
¦ = av,
> = аг.
(92)
Рис. 31.
Пусть теперь (рис. 31, б) оси
новой системы (л;', у', z') обра-
образуют с осями прежней системы (х, у, z) углы, косинусы которых
определяются таблицей
У'
г'
X
(И)
B1)
C1)
У
A2)
B2)
C2)
г
A3)
B3)
C3)
Тогда, в случае прямоугольности систем (х, у, z) и (х', у', z'), эти
косинусы связаны шестью условиями ортогональности:
(Ol)(pl) + (a2)(p2) + (o3)(p3) = 0; а Ф р. \
1J=1 (а=1, 2, 3). / (УЗ)
Если системы (х, у, z) и (х', у', z') имеют общее начало, то формулы
преобразования координат имеют вид
(94)
г'= C1) * +C2) у+ C3) 2.
Найдем теперь формулы преобразования проекций вектора а.
Обозначая единичные векторы, соответствующие направлениям осей

§ 3] ВЕКТОРЫ 43
систем (х, у, z) и (х', у', z'), через /, j, k и /', f, k' соответ-
соответственно, имеем, согласно формуле C9),
ах =ai' = (aj + ayj + azk) ¦ i' = aj • i' + ayj ¦ V + azk ¦ i'.
Принимая во внимание, что
/./' = A1), у./' = A2). ft-/'=A3),
получим:
ах,=а- /' = (ll)fl^-f A2)fly
ау.=а- / = B1) ах^г B2) ау + B3) аг
аг, =а-й'
Аналогично, составляя выражения для проекций ау< и az>, найдем
следующие три формулы преобразования проекций вектора:
(95)
Отсюда видим, что формулы преобразования для проекций вектора
те же, что и для координат, с той лишь существенной разницей,
что формулы (94) имеют место в случае, когда начало координат
у систем (х, у, z) и {х', у', z') является общим, а для формул (95)
это ограничение отсутствует.
13. Классификация векторов. В зависимости от свойств физи-
физических величин, изображаемых векторами, векторы разделяются на:
1) свободные (или несвязанные),
2) скользящие (или связанные с прямой, вдоль
которой направлен вектор),
3) неподвижные или приложенные (связанные
с точкой своего приложения).
Свободный вектор изображает такую век-
векторную величину, которая может быть отнесена
к любой точке пространства, не теряя при этом рис ^
своего первоначального физического смысла, т. е.
всякие два равных вектора в этом случае могут представлять ту же
самую физическую величину. Так, например, скорость поступательного
движения тела (рис. 32) есть свободный вектор, потому что она
может быть отнесена к любой точке. Свободный вектор определяется
тремя числами (своими проекциями ах, ау и аг).
Скользящий вектор изображает такую величину, которая,
не теряя своего первоначального (физического смысла, может быть
отнесена к любой из точек, лежащих на прямой DE, вдоль которой
направлен вектор, т. е. одну и ту же физическую величину могут
в этом случае представлять только те векторы, которые одновре-
одновременно равны друг другу и направлены вдоль одной и той же прямой;
эту прямую, на которой лежит вектор, называют основанием или

44
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ 1
Рис 33
линией действия вектора. Примером скользящего вектора может
служить сила, приложенная к абсолютно твердому телу, или угловая
скорость (рис. 33).
Геометрически скользящий вектор определяется: 1) прямой, на
которой он лежит (основанием вектора), 2) длиной отрезка, изобра-
изображающего вектор, 3) стороной или направле-
направлением действия (это направление обозначается
стрелкой на конце вектора). Аналитически
скользящий вектор определяется пятью чис-
числами, например тремя проекциями ах, ау, az
вектора а и координатами xv 3*1 точки пересе-
пересечения прямой, вдоль которой направлен этот
вектор, с плоскостью Оху.
Неподвижный вектор изображает такую
физическую величину, которая может быть отне-
отнесена лишь к одной определенной точке про-
пространства и теряет свое первоначальное физи-
физическое значение, будучи отнесена ко всякой
другой точке пространства. Так, скорость дви-
движущейся точки представляет собой вектор,
связанный с этой точкой. Неподвижный вектор, таким образом,
определяется шестью числами: тремя проекциями вектора и тремя
координатами точки приложения.
При операциях сложения, умножения и дифференцирования сколь-
скользящие и неподвижные векторы рассматриваются как свободные.
Другая классификация векторов основана на том существенном
различии между ними, что направление одних определяется непо-
непосредственно по физическому смыслу пе-
личин, которые этими векторами изобра-
изображаются (например, сила, скорость),
тогда как другие имеют условное напра-
направление, которое физическим смыслом изо-
изображаемых ими величин определяется
лишь косвенно (например, угловая ско-
скорость, момент). Первые векторы назы-
называются полярными, а вторые — аксиаль-
аксиальными или осевыми.
Выбор направления аксиального век-
вектора зависит от выбора положительного
направления вращения, другими словами, от выбора правой или
левой системы координат (см., например, определение векторного
произведения в п. 8 и рис. 19). Переход же от правой системы
к левой (или обратно) может быть совершен простой заменой по-
положительных направлений осей на отрицательные. Действительно,
правая система Oxyz (рис. 34) при замене положительных напра-
JO
Рис. 34.

§ 3] ВЕКТОРЫ 45
влений осей на отрицательные образует показанную пунктиром
левую систему координат Ox'y'z', которая никакими поворотами
не может быть совмещена с правой.
Заметив это, легко сообразить, что проекции полярного вектора,
сохраняющего свою ориентацию в пространстве, при замене осей
на прямо противоположные изменяют свой знак, тогда как проекции
осевых векторов, меняющих при этом свое направление также на
противоположное, должны будут его сохранить. На основании этого
можно дать другое определение полярных и аксиальных векторов.
Полярным вектором называется такой вектор, проекции
которого при изменении направления координатных осей на
прямо противоположные меняют свой знак. Аксиальным век-
вектором называется такой вектор, проекции которого при
изменении направления координатных осей на прямо проти-
противоположные не меняют своего знака.

РАЗДЕЛ I
КИНЕМАТИКА
ГЛАВА ВТОРАЯ
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§ 4. Введение в кинематику
1. Основные понятия. Кинематика есть раздел механики, по-
посвященный изучению движения тел с геометрической точки зрения,
без учета причин, вызывающих изменение этого движения, т. е. сил.
От геометрии кинематика отличается, по существу, тем, что при
рассмотрении перемещений тел (или соответствующих геометрических
образов) в пространстве принимается во внимание еще и время пере-
перемещения. Поэтому кинематику иногда называют «геометрией четырех
измерений», понимая под четвертым измерением время. Такое пред-
представление оказалось плодотворным в теории относительности, где
при изучении движения учитывается взаимосвязь пространства и
времени друг с другом и с движущейся материей (мир по термино-
терминологии Г. Минковского рассматривается как пространственно-временное
многообразие четырех измерений, а событие — как точка этого
многообразия).
В механике Ньютона метрические свойства пространства считаются
не зависящими от движущейся в нем материи и оно рассматривается
как трехмерное евклидовр пространство, однородное и изотропное
по всем направлениям. Время в механике Ньютона также считается
не связанным с движущейся материей, т. е. абсолютным, проте-
протекающим одинаково во всех точках пространства, на любых, как
угодно движущихся друг относительно друга в пространстве телах.
Трехмерное евклидово пространство и абсолютное время отражают
реальные свойства пространства и времени лишь приближенно; но
это приближение дает вполне достаточную для практики точность
при изучении движений, рассматриваемых в механике Ньютона,
т. е. движений со скоростями, малыми по сравнению со скоростью
света.
Для измерений в пространстве выбирается некоторая единица
длины, устанавливаемая по общему соглашению. В СССР, как и
в большинстве других стран, такой единицей является метр {м).

§ 4] ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ 47
Измерение времени основано на его арифметизации, т. е. на
установлении соответствия между последовательными моментами вре-
времени и множеством действительных чисел. Осуществляется измере-
измерение времени при помощи часов в широком смысле этого слова, т. е.
при помощи какого-либо периодического процесса (процесса, много-
многократно повторяющегося через промежутки времени, которые на
основании опыта и наблюдений можно считать равными).
Обыкновенно для измерения времени используются периодические
астрономические явления—вращение Земли вокруг ее оси или же
движение Земли вокруг Солнца. За единицу времени принимается
секунда {сек).
Арифметизированное время представляет собой непрерывную по-
последовательность одного измерения и графически может быть изо-
изображено бесконечной прямой, называемой прямой или осью времен;
последовательность точек на этой прямой
соответствует последовательности момен' 0 Т
тов времени. *-
Отсчет времени ведется от неко- Рис. 35.
торого начального момента (t — 0),
или начала отсчета времени, о выборе которого каждый раз
уславливаются. На оси времен начальному моменту соответствуем
начальная точка О (рис. 35). Подобно тому как отрезок прямой
определяет расстояние между двумя точками, так и отрезок на оси
времен изображает «расстояние» между двумя моментами времени,
т. е. промежуток времени. Далее, как и в геометрии, положение
всякой точки Т на оси времен определяется ее расстоянием ОТ от
начальной точки О; иначе говоря, любой момент времени t опреде-
определяется промежутком времени, протекшим до него от начального
момента (величину t=OT можно рассматривать как «координату»
момента времени). Наконец, подобно тому как координаты точек
геометрической прямой имеют различные знаки в противоположных
направлениях от начала, так и «координатам» моментов времени t
можно придать тот или иной знак, в зависимости от того, пред-
предшествуют ли соответствующие моменты началу отсчета времени или
следуют за ним. Отрицательные времена (—t) отвечают представле-
представлению «раньше» начального момента, а положительные (-\-1) — пред-
представлению «позже» начального момента.
Всякое тело, движение которого изучается в механике, мы можем
мыслить состоящим из очень большого числа материальных частиц
ничтожно малых размеров, характер связи между которыми зависит
от свойств данного тела. Эти частицы называют материальными
точками. Любое тело, таким образом, представляет собой систему
(совокупность) материальных точек.
В кинематике, где движение изучается с геометрической точки
зрения, масса материальной точки во внимание не принимается и

48 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ. II
поэтому материальная точка рассматривается просто как точка гео-
геометрическая.
Неизменяемой системой называется система материальных точек,
в которой расстояние между двумя любыми точками постоянно. При
непрерывном распределении масс такая система дает идеальный образ
твердого тела и называется абсолютно твердым телом- Абсолютно
твердых тел, ни при каких условиях не изменяющих свою форму,
в природе не существует. Однако во многих случаях при изучении
движения реальных твердых тел их деформациями можно практически
пренебречь и рассматривать эти тела как абсолютно твердые, что
существенно упрощает все расчеты. Реальные твердые тела, спо-
способные деформироваться, а также тела жидкие и газообразные пред-
представляют собой изменяемые системы материальных точек.
2. Система отсчета. Относительность понятий движение и
покой. Положение тела (или геометрического образа) в пространстве
может быть определено только относительно произвольно выбранного
другого неизменяемого тела, называемого телом или системой
отсчета. Для определения положения рассматриваемого объекта
с телом отсчета неподвижно связывают какую-нибудь (декартову или
иную) систему координат (систему ориентировки). Обычно такую
«нстему координат и рассматривают как систему отсчета; по существу,
она представляет собой математическую абстракцию материального
тела отсчета, которое можно себе представить неподвижно скреп-
скрепленным с этой системой координат.
Экспериментально перемещение всякого тела устанавливается
именно относительно тел отсчета. Полное отсутствие практической
возможности установить какое-либо абсолютное («неподвижное») тело
отсчета приводит к необходимости пользоваться относительными
системами отсчета. Однако в каждом конкретном случае движение
рассматривается по отношению к определенной системе отсчета,
которая называется основной и должна быть точно указана.
Если положение тела (или геометрического образа) относительно
выбранной системы отсчета со временем не изменяется, то мы говорим,
что это тело (или геометрический образ) покоится относительно
данной системы отсчета; если же тело (или геометрический образ)
изменяет свое положение относительно выбранной системы отсчета,
то мы говорим, что это тело, (или геометрический образ) относи-
относительно данной системы отсчета движется. Таким образом, понятия
«движения» и «покоя» являются по существу своему относитель-
относительными и имеют смысл только тогда, когда указана система отсчета,
относительно которой рассматривается положение тела. Более того,
одно и то же движение носит совершенно различный характер,
смотря по тому, к какой системе отсчета это движение будет отнесено.
3. Траектория. Движение по существу своему непрерывно. Поэтому
точки пространства, в которых последовательно находится любая

§ 4] ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ 49
движущаяся точка, представляют собой непрерывное многообразие
одного измерения и, следовательно, образуют непрерывную кривую.
Эта непрерывная кривая, описываемая точкой при ее движении, на-
называется траекторией точки.
Термин происходит от латинского слова trajicio («перебрасываю») и пер-
первоначально обозначал путь артиллерийского снаряда, а потом стал упо-
употребляться в более широком смысле. В астрономии траектория часто на-
называется орбитой.
Согласно определению, траектория есть непрерывная, плоская или
пространственная кривая, к которой можно провести в каждой ее
точке только одну касательную, за исключением, может быть, не-
некоторого конечного числа особых точек.
Покой и движение точки, как и всякого другого геометрического
образа, определяются только относительно выбранной системы от-
отсчета. Поэтому и вид траектории точки зависит от той системы от-
отсчета, к которой отнесено движение. Так, например, камень, брошен-
брошенный вертикально вверх с палубы поступательно и равномерно дви-
движущегося парохода, будет относительно наблюдателя, находящегося
на пароходе, двигаться прямолинейно, а относительно наблюдателя,
стоящего на берегу, т. е. связанного с Землей, — по параболе, и т. д.
4. Задачи кинематики. Движение тела (или геометрического
образа) по отношению к выбранной системе отсчета будет известно,
если можно определить его положение относительно этой системы
отсчета в любой произвольный момент времени.
Положение точки или тела относительно данной системы отсчета
определяется соответствующими параметрами (координатами), а дви-
движение (или закон движения) — уравнениями, выражающими эти пара-
параметры, как функции времени.
Установление тех способов, с помощью которых может быть
задано движение точек или тел по отношению к выбранной системе
отсчета, является одной из задач кинематики. Основная задача кине-
кинематики состоит в том, чтобы по уравнениям, определяющим закон
движения данной системы точек (тела), найти все кинематические
характеристики этого движения (траектории различных точек, их
скорости, ускорения и др.).
Движение любой системы точек относительно данной системы
отсчета будет известно, если известно движение каждой точки от-
относительно той же системы отсчета; следовательно, изучению дви-
движения системы точек должно предшествовать изучение движения
одной точки. Поэтому кинематика распадается на два отдела: кине-
кинематику точки и кинематику системы.
б. Способы задания движения точки. Определить (или задать)
движение точки — значит определить (задать) ее положение относи-
относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Это
делается одним из следующих способов.
4 Н, Н. Бухгольц

50
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. II
а) Естественный способ определения движения точки требует
задания ее траектории относительно выбранной системы отсчета
xyz (рис. 36). На траектории следует задать начало и положи-
положительное направление отсчета расстояний s = OM; расстояние s-
от начала отсчета О до точки М, измеренное вдоль дуги траектории
и взятое с соответствующим знаком, будет однозначно определять
положение точки М на траектории,
а следовательно, и в системе отсчета
xyz. Далее должно быть указано на-
начало отсчета времени (начальный мо-
момент t = 0). Тогда движение точки
будет определено, если для каждого
момента времени t будет известна ве-
величина s, указывающая положение точ-
точки, т. е. если будет дана зависи-
зависимость
A)
Рис. 36.
Равенство A) называется законом движения (или конечным
уравнением движения) точки.
Таким образом, при естественном способе определения движе-
движения точки должны быть заданы: 1) траектория точки; 2) начало от-
отсчета расстояний на траектории с указанием положительного на-
направления отсчета и начальный mo-
si мент времени; 3) закон движения
точки вдоль траектории в виде
Рис. 37.
По самой природе движения
функция f (t) должна быть:
1) однозначной, ибо в один и
тот же момент времени движущаяся
1 точка не может находиться в двух
различных точках пространства;
2) непрерывной, ибо движение
непрерывно и поэтому каждому
бесконечно малому изменению t соответствует бесконечно малое
изменение s;
3) дифференцируемой, т. е. должна допускать производную.
Необходимость этого требования будет вполне очевидна из рассмо-
рассмотрения основных положений кинематики и динамики.
Если s = с = const, то это означает, что точка относительна
данной системы отсчета находится в покое.
Закон движения точки может быть задан не только аналитически,
но и графически (рис. 37), т. е. в виде кривой, дающей зависимость
между s и t. Это графическое изображение закона движения со-

§ 4] ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ 51
кращенно называют графиком движения. Кривую графика движе-
движения не следует смешивать с траекторией движения; траектория может
быть, например, прямой, а закон движения вдоль этой прямой может
быть каким угодно, т. е. график движения может быть выражен
любой кривой.
б) Координатный способ определения движения точки состоит
в том, что даются: 1) какая-либо система координат (система ориен-
ориентировки), связанная с телом отсчета, и 2) координаты движущейся
точки, как функции времени.
Положение точки в пространстве трех измерений определяется
тремя числами qv q2, <7з> которые вообще называются криволиней-
криволинейными координатами точки. Следовательно, закон движения точки
будет в общем случае задаваться уравнениями
q1=ql(t), q2 = qa(f), <78
Здесь, как и в равенстве A), все функции должны быть одно-
однозначными, непрерывными и дифференцируемыми.
Чаще всего для определения положения точки используется прямо-
прямоугольная декартова система координат xyz. В этой системе коор-
координат движение точки задается в виде
x = x(t), y = y(t), г = z(f). C)
Каждое из трех уравнений C), взятое отдельно, определяет закон
движения проекции точки на соответствующую ось; поэтому можно
считать, что при этом способе задания исследуемое движение раз-
разлагается по направлениям осей координат и представляется как сово-
совокупность трех движений вдоль этих взаимно перпендикулярных осей.
Уравнения C) представляют собой, с одной стороны, закон
движения точки, так как позволяют для каждого момента времени t
определить х, у и z, а следовательно, и положение точки М;
с другой стороны, эти уравнения являются уравнениями траекто-
траектории точки в параметрической форме, причем роль параметра
играет время t. Исключая из уравнений C) параметр t, получим
одну из следующих систем двух уравнений:
у (у, г) = 0
каждая из этих систем представляет траекторию точки как пересе-
пересечение двух цилиндрических поверхностей, образующие которых па-
параллельны осям координат (рис. 38). Если х=а, y = b, Z — C
где а, Ь и с — постоянные, то точка М относительно системы от-
отсчета xyz находится в покое.
Кроме декартовой, в механике для изучения движения точки
используются и другие системы координат, в частности сферические
и цилиндрические, которые будут рассмотрены ниже (см. стр. 83).

52
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. II
в) Векторный способ определения движения точки основан на
задании ее положения радиусом-вектором г, проведенным из начала О
выбранной системы ориентировки (см. рис. 38). Так как
то в векторной форме закон движения точки представится в виде
E)
Траекторией точки при векторном задании движения будет годограф
радиуса-вектора г (см. стр. 38).
В случае плоского движения, т. е. когда траектория есть пло-
плоская кривая, вакон движения точки относительно какой-либо системы
координат, расположенной в плоскости
движения, выразится только двумя
уравнениями.
В частности, в случае плоской де-
декартовой системы координат (ху) бу-
будем иметь:
F)
системы
а в случае плоской полярной
координат (г, ф) (см. рис. 53)
Рис. 38.
G)
где г — полярный радиус.
Векторное выражение закона плоского движения будет
Исключая t в системах F) или G), получим уравнения траектории
плоского движения в декартовых координатах
/(*. 30 — 0 (9)
или в полярных
ф(г, ф) = 0. A0)
По характеру траектории движение точки может быть прямо-
прямолинейным и криволинейным, причем эти свойства траектории,
конечно, зависят от выбора системы отсчета. Движение» прямоли-
прямолинейное относительно одной системы отсчета, может быть криволи-
криволинейным относительно другой, и наоборот.
§ б. Прямолинейное движение точки
1. Закон прямолинейного движения. Прямолинейным называется
такое движение точки, при котором ее траектория относительно вы-
выбранной системы отсчета есть прямая линия. Положение точки на
прямой определяется координатой х (рис. 39), которая представляет

§ 5] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 53
собой расстояние движущейся точки М от произвольно выбран-
выбранного начала О, и берется с положительным или отрицательным зна-
знаком в зависимости от направления отрезка ОМ; величина ОМ — х
есть, следовательно, величина алгебраическая. Когда точка М дви-
движется прямолинейно, то закон движения
ее выражается уравнением м' М, Мг
сг~ргл:^
Если х по абсолютной величине воз- Рис 39.
растает, то точка М удаляется от на-
начала О и движение называется прямым, в противном случае —
возвратным. Если x=f(t) за все время движения на некотором
интервале времени только убывает или только возрастает, то прямо-
прямолинейное движение на этом интервале называется монотонным.
Если х от времени не зависит, то точка М не изменяет своего рас-
расстояния от начала О и, следовательно, находится в покое относи-
относительно данной системы отсчета. (По существу, положение точки М
определяется вектором ОМ; но так как все векторы ОМ при прямо-
прямолинейном движении коллинеарны и различаются между собой, кроме
длины, только стороной, куда они направлены, т. е. знаком, то
в этом случае положение точки М можно определять алгебраической,
величиной ОМ.)
Пусть точка М движется по прямой Ох (см. рис. 39) и в мо-
момент времени tx находится в положении Mv а в момент t2— в по-
положении М2. Вектор М1М2, имеющий начало в начальном положении
точки, а конец—в конечном, называется перемещением точки М
за промежуток времени t2— tx. Необходимо различать между собой
понятия «перемещение» и «путь»: точка М может прийти из по-
положения М{ в положение М2, пройдя разные пути (например*
путь М{М'М2), тогда как перемещение ее будет одно и то же,
т. е. МгМ2.
В случае прямолинейного движения векторы перемещений точек бу-
будут коллинеарны, и мы их можем тоже рассматривать как алгебраиче-
алгебраические величины. Понятия «перемещение» и «путь» совпадают только
в том случае, если движение прямолинейно и монотонно.
2. Скорость в прямолинейном движении. Пусть точка дви-
движется по прямой Ох и в момент-времени t положение точки опре-
определяется координатой х, а в момент f — координатой х'. Тогда за
промежуток времени Л? = ^— t точка совершает перемещение
Ах = х' — х. Отношение перемещения точки к соответствующему
промежутку времени, т. е. величина
t'-t ~ hi'

54 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ. II
называется средней скоростью движения точки за этот промежуток
времени.
Если уменьшать промежуток времени Л^, устремляя его к нулю,
то в пределе средняя скорость дает величину, называемую ско-
скоростью точки в момент времени t, т. е.
&х dx ,. ... ,_
\F или * = "Т/Г = /(')¦ C)
? al
Таким образом, скорость точки в данный момент времени равна
первой производной от расстояния по времени.
Легко убедиться, что если на данном участке пути скорость
dx
v=—rr и координата х имеют одинаковые знаки, то точка уда-
удаляется от начала О и ее движение на этом участке является прямым;
если же v и х имеют разные знаки, то точка приближается к на-
началу О и ее движение будет возвратным.
Скорость может обращаться в нуль в двух существенно разных
случаях: 1) Если w^—-=0 в какой-либо момент времени, то х
в этот момент имеет стационарное значение. При этом если, в част-
частности, х имеет максимум или минимум, то скорость v, переходя
через нуль, меняет знак и происходит изменение движения с прямого
на возвратное или наоборот. 2) Если v = О в течение какого-то
промежутка времени, то в течение этого промежутка х = const
и точка находится в покое (говорить в первом случае, что «точка
находится в покое в данный момент времени», бессмысленно,
так как понятия «движение» и «покой» не могут быть отнесены к мо-
моменту времени).
Скорость, как частное от деления двух именованных величин,
¦есть величина нового наименования; ее размерность
. . длина L_
' ' время Т
Единицами измерения скорости обычно служат см/сек, м/сек или
км/час.
Если V = v0 = const, т. е. если скорость точки постоянна, то
движение называется равномерным. Найдем закон этого движения.
Имеем:
— = ©0 и dx = v0 dt.
Интегрируя это выражение, получим закон прямолинейного равно-
равномерного движения точки:
x = xo + vot. D)

§ 5] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 55-
В этом случае расстояние есть линейная функция времени. Постоян-
Постоянная величина х0 в равенстве D) представляет собой координату
точки в начальный момент ^ = 0, или начальное расстояние.
3. Ускорение прямолинейного движения. В общем случае ско-
скорость прямолинейного движения является функцией времени. Допу-
Допустим, что в момент t точка имеет скорость v, а в момент t' — ско-
скорость v'\ тогда Av~v'—v есть приращение скорости за промежуток
времени &t = t' — t.
Отношение приращения скорости к соответствующему проме-
промежутку времени, т. е. величина
называется средним ускорением точки за этот промежуток времени.
Если уменьшать промежуток времени Л^ до нуля, то среднее уско-
ускорение в пределе становится величиной, называемой ускорением
точки в момент времени t, т. е.
или, учитывая равенство C),
_
dt
Таким образом, ускорение точки в данный момент времени равняется
первой производной от скорости или второй производной от рас-
расстояния по времени.
Ускорение получается из выражения v(t) так же, как скорость,
из выражения x{f), и есть как бы скорость второго порядка. Раз-
Размерность ускорения будет:
. . скорость расстояние L
*¦ ' время время • время Т2 '
Единицами измерения ускорения обычно служат см[сек2 или м/сек2.
Движение, ускорение которого, постоянно, носит название равно-
равномерно переменного. Найдем закон этого движения. Пусть w — а =
= const; тогда
—л- = а и dv = a dt.
Интегрируя это равенство, получим:
v = vo + at, (8)
где постоянная vQ есть скорость точки в момент ? = 0, т. е. началь-
начальная скорость точки. Подставляя, далее, в равенство (8) v — -^-

56 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ. 1Г
и интегрируя затем получившееся равенство, найдем закон равно-
равномерно переменного прямолинейного движения точки
где х0 есть начальное расстояние точки (расстояние в момент ?=0).
Заметим, что при равномерно переменном движении расстояние
есть функция второй, а скорость — первой степени относительно
времен^.
Если скорость по абсолютной величине возрастает, то движение
называется ускоренным, а если убывает, то замедленным.
При v > 0 движение будет ускоренным, если —тг = w > 0, и
замедленным, если -тт- = «'<0; при v < 0 — наоборот. Следова-
Следовательно, если ускорение будет иметь тот же знак, что и скорость,
то движение будет ускоренным, а если противоположный, то замед-
замедленным.
Скорость и ускорение, как известно, являются величинами вектор-
векторными. Но в случае прямолинейного движения эти векторы направлены
вдоль траектории (коллинеарны) и, кроме модулей, отличаются лишь
знаками; поэтому они рассматриваются как величины алгебраиче-
алгебраические 1).
4. Графическое представление закона движения. Закон прямо-
прямолинейного движения может быть изображен графически. Возьмем
систему прямоугольных декартовых координат на плоскости и будем
откладывать по оси абсцисс промежутки времени t, а по оси орди-
ординат— соответствующие расстояния х. Тогда закон движения изобра-
изобразится кривой, исследование которой позволит определить все свой-
свойства данного движения. Эта кривая называется, как указывалось,
графиком движения или графиком расстояния.
Чтобы получить графически среднюю скорость движения
* Ах
V
для промежутка времени Л^ = f — t, достаточно провести секущую
через точки графика, соответствующие моментам t и t' (рис. 40);
') По существу, алгебраические величины v и w представляют собой
проекции векторов г» и о» на ось х, т. е. v — vK и w — wx. Однако здесь и
всюду далее проекцию любого вектора и, коллинеарного оси I, на эту ось
мы будем (как и модуль) обозначать символом и (щ = и) и называть, в от-
отличие от модуля, численной или алгебраической величиной вектора и. Так
как численная величина вектора может отличаться от его модуля только
Знаком, то это совпадение обозначений обычно несущественно. В случаях же,
когда могут возникнуть недоразумения, модуль вектора будет обозначаться
символом | и 1.

iBJ
прямолинейное движение точки
57
тогда искомая скорость выразится тангенсом угла наклона секущей
к оси времен, ибо с точностью до масштабного коэффициента
&.Х
= tga\
Для построения средней скорости откладываем на оси времен отре-
отрезок OF, равный по масштабу 1 сек, и проводим через точку F
прямую FT, параллельную секущей; тогда отрезок ОТ, измеренный
в масштабе длин, даст среднюю скорость в единицах скорости (на-
(например, в см/сек).
Скорость точки в какой-либо момент времени t, т. е. величина
V == —тт~¦ выразится на графике движения тангенсом угла а, который
г/
-1 0
Рис. 41.
образует с осью абсцисс касательная к кривой в точке М, соответ-
соответствующей этому моменту. Ее построение выполняется так же, как и
построение средней скорости V* (рис. 41). Расположение кривой
расстояний относительно оси времен определяет характер изменения
б)
скорости. Из рис. 42, а и б видно, что выпуклость кривой по от-
отношению к оси t (угол а, а следовательно, и его тангенс со време-
временем возрастают) соответствует ускоренному, а вогнутость (тангенс
убывает)— замедленному движению.

.58
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. ГГ
Скорость как функция времени может быть также представлена
некоторой кривой, называемой графиком скорости.
Пользуясь аналогией, отмеченной в п. 3, находим, что графиче-
графическое построение среднего и истинного ускорений по кривой скоро-
скоростей может быть выполнено так же, как и построение скорости по
графику расстояний. Из рисунков видно, что с точностью до мас-
масштабного коэффициента ¦да* —tgp* (рис. 43, а) и w = tg$ (рис. АЪ,б).
F/^
-1
Г
t
i
\P
i
i
Рис. 43.
Путь Sl2, пройденный точкой за данный промежуток времени
t2—tv изобразится на графике скорости площадью, ограниченной
кривой скорости, ординатами, соответствующими началу и концу
промежутка времени, и осью времен, т. е. площадью ABCt2Bt1
(рис. 44), где обе заштрихован-
заштрихованные части берутся со знаком
плюс, так как
5„= | \v\dt
Рис. 44.
(под знаком интеграла стоит мо-
модуль скорости). Выражение
и
\ vdt = х2 — #1
даст не путь, а перемещение точки М, т. е. изменение ее расстоя-
расстояния от выбранного начала отсчета за промежуток времени t2 — tv
Геометрически перемещение (х2—х{) выразится разностью площадей
{ABtx) ~ (BCt2).
Для равномерного движения, закон которого есть х — xo-{-vot,
графиком расстояний служит прямая (рис. 45); х0 есть начальное
расстояние, а скорость, определяемая величиной tga, постоянна.
Для равномернопеременного движения график расстояний изобра-
изображается ветвью некоторой параболы, а графиком скорости служит

ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
59
прямая, тангенс угла наклона которой к оси времен определяет
величину ускорения в данном движении.
б. Гармоническое колебание. Одним из часто встречающихся
в приложениях случаев прямолинейного движения является гармо-
гармоническое колебательное движение, закон
которого дается уравнением
x = asin(?>t- A0)
Скорость точки при гармоническом коле-
колебании будет:
JC
v = ~- = аи cos cot,
а ускорение
_ dv
W dt
(И)
A2)
О
Рис. 45.
Величина а есть наибольшее отклонение движущейся точки от на-
начала отсчета О и называется амплитудой колебаний (рис. 46);
точка О называется центром ко-
лебаний, а промежуток времени,
в течение которого точка воз-
возвращается в прежнее положение
с той же скоростью, — периодом
О
м
-а
Рис. 46.
Рис. 47.
колебаний (Г). Период определяется из условий [см. формулы A0)
и (И)]:
sinfi)(^+r) = sinu)^ и
откуда
соГ = 2я и Т = —.
A3)
Величина, обратная периоду, т. е.
Т ~~ 2я ~ V>
называется частотой колебаний. Аргумент синуса u>t называется
фазой колебаний. Величина G> = 2nv называется циклической или
круговой частотой колебаний. Кривой расстояний этого движения
является синусоида (рис. 47), кривой скоростей—косинусоида, а кри-
кривой ускорений — также синусоида, но сдвинутая по фазе относительно

60
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. II
графика движения на л. Как видно из формулы A2), ускорение гар-
гармонического движения точки пропорционально ее отклонению от
центра колебаний.
В общем случае закон гармонических колебаний дается уравне-
уравнением х — a sin(utf + a), где величина а является начальной фазой
колебаний (фазой в момент ? = 0). В частности, при <х=0 получаем
закон A0); при а=-о- закон движения будет х = a cos a>t.
6. Примеры. При решении задач кинематики точки необходимо,
как правило, вначале установить по данным задачи закон, которым
определяется рассматриваемое движение. После этого все искомые
характеристики движения находятся по формулам, полученным в этом
параграфе.
1. Тело, брошенное вертикально вверх с поверхности Земли, падает
обратно на Землю через Т сек после начала движения. Найтн, на какую
наибольшую высоту Я поднялось тело, если его ускорение во все время
движения направлено по вертикали вниз и равно постоянной величине g
(пример соответствует случаю, когда сопротивлением воздуха можно прене-
пренебречь; g здесь ускорение силы тяжести).
Пренебрегая размерами тела, будем рассматривать его как точку. Так
как по условиям ускорение g = const, то двнжение будет равномерно пере-
переменным. Считая ось Ох направленной
вертикально вверх (начало отсчета О
*д* в точке бросания) и учитывая, что
ускорение g направлено вниз, будем
иметь закон движения в виде
• v ot — ¦
(а)
где v0 — неизвестная нам начальная
скорость, полученная телом при бро-
бросании. В момент падения л: = 0, а
t = Т. Подставляя эти величины в
уравнение (а), находим:
Рис. 48.
= -^-- (б)
Скорость в этом движении меняется по закону v ¦¦
шей точке v ¦¦
: х = v0 — gt. В нанвыс-
v T
= 0; следовательно, время подъема ti=—S- = -^-. Подставляя
это значение tl и величину v0 из равенства (б) в уравнение (а), найдем
искомую высоту подъема
Н = votl 2~ = —g"-
2. На неподвижную проволочную окружность радиуса R (рис. 48) надето
колечко М. Через колечко одновременно проходит стержень АВ, вращаю-
вращающийся вокруг оси О так, что угол ?>0В = ф растет пропорционально вре-
времени по закону ф = a>t, где <в — заданная постоянная величина (такое враще-
вращение называется равномерным). Определить скорость и ускорение движения
асолечка М вдоль стержня.

«в]
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
61
Так как необходимо определить движение колечка относительно стержня,
то основную систему отсчета Оху связываем со стержнем, направляя
ось Ох вдоль стержня. Движение колечка в этой системе отсчета будет
прямолинейным (вдоль оси Ох). Для решения задачи надо сначала опреде-
определить закон этого движения, т. е. зависимость х =» ОМ от времени t. Из
рисунка видно, что ОМ *¦ 2R cos <p. Следовательно, закон движения будет:
х жж 2R cos wt.
Отсюда видно, что колечко совершает вдоль стержня гармоническое колеба-
колебание с амплитудой 2R. Скорость и ускорение этого движения будут [ср.
с формулами A1) и A2)]:
v = х »= — 2Re> sin 4>t, w = x =« — 2Rayi cos wt = — a?x.
3. Ползун А движется из положения D вдоль вертикальных направляю-
направляющих с постоянной скоростью и (рнс. 49). Прикрепленная к ползуну нерастя-
нерастяжимая нить перекинута через блок О и несет на конце груз В, который
тоже перемещается вертикально. Расстояние
блока О от вертикали AD равно а. Прене-
Пренебрегая размерами блока, найтн скорость и
ускорение груза В как функцию пути s, про-
проходимого ползуном А.
Движение рассматривается относительно
системы отсчета Оху. Закон движения гру-
груза В будет известен, если будет установлена
зависимость между расстоянием OB = x и
DA = s, так как по данным задачи s = ut.
Эта зависимость дается равенством (/ — дли-
длина нити)
yt ¦*"¦" JCJ — S ¦ '|' Or • \**/
Дифференцируя это равенство два раза по
времени, будем иметь:
и
— х (I — х) = si = su,
— х (I — х)+ хг =» ш
и2.
Рис. 49.
Отсюда, учитывая равенство (а), получаем следующие значения для ско-
скорости v = x и ускорения w = x груза В:
SU
W =
Знаки показывают, что груз движется вверх и притом ускоренно (перед
корнем берется знак плюс, так как / — х>0).
§ 6. Криволинейное движение точки
1. Закон движения. Если траектория движущейся точки относи-
относительно выбранной системы отсчета есть кривая линия, то движение
называется криволинейным.
Положение точки в данной системе отсчета определяется радиусом-
вектором г(х, у, z), имеющим начало в начале координат (рис. 50).

62
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. II
При движении точки радиус-вектор меняется (в общем случае и по
модулю и по направлению) как функция времени. Закон криволиней-
криволинейного движения точки выражается век-
векторным уравнением
r=f(f). A)
которое равносильно трем скалярным
уравнениям;
B)
= МО-
представляющим собой законы движе-
движения проекций точки по осям коорди-
координат, или закон движения точки в осях прямоугольных декартовых
координат.
Если г = const, то точка находится относительно данной системы
отсчета в покое. Если г изменяется в зависимости от времени, точка
будет двигаться, описывая траекторию, которая явится годографом
вектора г. Равенства B) представляют собой одновременно уравне-
уравнения траектории в параметрической форме.
2. Скорость в криволинейном движении. Пусть в некоторый
момент времени t положение точки М (рис. 51) определяется радиу-
радиусом-вектором г, л в момент /' — ра-
радиусом-вектором г' = г-{- Аг. Тогда
Jf ь~1щ-тг = ж перемещение точки М за промежу-
промежуток времени At = t' — t будет:
Величина, равная отношению пере-
перемещения точки к соответствующему
промежутку времени, т. е.
г' —г
t' — t
=ib с»)
Рис. 51.
называется средней скоростью
точки за промежуток времени АЛ
Следовательно, средняя скорость точки есть вектор, направленный
по хорде в сторону движения (так как А? есть скаляр).
Скорость точки в данный момент определяется как предел, к кото-
которому стремится средняя скорость при Д?—>0, т. е.
MM'
At
= Ига
At->0
Лг
или ©=¦
dr_
dt
D)

§ 61 КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 63
Таким образом, скорость точки в данный момент времени есть век-
векторная величина, равная первой производной от радиуса-вектора точки
по времени. Так как в пределе, при Л^->0, направление вектора —
совпадает с направлением касательной к траектории (см. рис. 51),
то скорость точки в данный момент времени направлена по касатель-
касательной к ее траектории. Далее, так как \dr\ = \ds\, где ds есть эле-
элемент дуги траектории, то модуль скорости
КМ =
dr
dt
ds
dt
E)
Заметим, что равенство
определяет алгебраическую величину скорости или, иными словами,
проекцию вектора V на касательную X, проведенную в точке М
в сторону положительного отсчета расстояния s, т. е. в этом случае
t» = ft (см. подстрочное примечание на стр. 56).
Выражая г через его проекции на прямоугольные декартовы оси
координат в виде
r — xi-^-yj-^-zk,
получим выражение скорости точки через ее проекции на те же оси:
Отсюда легко заключить, что проекции скорости точки на прямо-
прямоугольные декартовы оси координат равны первым производным от
координат точки по времени, т. е.
dx ' dy • dz •
v ^x v ?y v z (8)
Из этих равенств следует также, что проекция скорости точки на
любую неподвижную относительно данной системы отсчета ось равна
скорости проекции этой точки на ту же ось.
По общей формуле, выражающей модуль вектора через его проек-
проекции, из равенств (8) имеем:
y или v = yxi-\-yi-\-zl. (9)
Для направляющих косинусов скорости получим:
cos (vTx) = -?, cos (гГу) =~. cos (о, z) = ~, A0)
где vx, <oy, vz и v определяются равенствами (8) и (9).

64
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
|ГЛ. II
Формулы (8) — A0) позволяют вычислить скорость точки в любой
момент времени, если движение задано уравнениями B), т. е. коор-
координатным способом.
3. Скорость в круговом движении. Угловая скорость. Рас-
Рассмотрим движение точки М по окружности радиуса R (рис. 52).
Скорость точки М в этом случае будет иметь численное значение
и=Ясо
так как ds—R dq>. Величина
(И)
A2)
Рис. 52.
называется угловой скоростью вращения ра-
радиуса ОМ = R (см. еще § 8, п. 2).
Таким образом, при круговом движении
скорость точки будет:
v = Ra>. A3)
Направлена скорость по касательной к окружности, т. е. перпенди-
перпендикулярно к радиусу ОМ.
4. Разложение скорости на радиальную и трансверсальную
составляющие. Представим радиус-вектор г точки в виде
r = rr°, A4)
где г° есть единичный вектор по направлению г. При движении
точки вектор г меняется и по длине и по направлению, а следова-
следовательно, г° и г суть некоторые функции времени. Дифференцируя
равенство (/4) по t, получим следующее выражение скорости точки:
dr
dt
A5)
Скорость, как видно из этого выражения, состоит из двух слагае-
слагаемых. Первое из них —п*® имеет то же направление, что и радиус-
вектор г, и характеризует изменение г по модулю. Чтобы выяснить
смысл второго слагаемого, заметим, что \dr°\ =^ф [см. формулу (88)
на стр. 40], где ф — угол поворота вектора г; следовательно, модуль
второго слагаемого будет:
dr° I d<p_
dt j dt #
Направление этого слагаемого перпендикулярно к направлению г0,
так как направление дифференциала единичного вектора перпенди-

§6]
криволинейное движение точки
65
кулярно к направлению самого вектора
dr°
r
Тогда
dt
—Г dt P '
A6)
где р° есть единичный вектор направления, перпендикулярного к /*1).
Таким образом, второе слагаемое представляет изменение вектора г
по направлению- Окончательное выраже-
выражение скорости будет:
У
dt
A7)
dr
Первое слагаемое vr = -—r0 называется
Рис. 53.
dt
радиальной составляющей, а второе сла-
слагаемое vp = r-~ p° — трансве реальной
(или поперечной) составляющей скорости
(рис. 53).
б. Скорость точки в полярных координатах. Пусть точка дви-
движется в плоскости и закон ее движения дан в полярных координатах
уравнениями
Тогда (рис. 53)
v = <оТ + v
где, согласно A7),
v
vpp°,
Модуль скорости найдется из равенства
v -
или v —
B0)
— У г2
¦rV- B1)
Рис. 54.
Этот же результат можно получить непосредственно, исходя из
выражения элемента дуги ds в полярных координатах на плоскости.
Рассматривая бесконечно малый криволинейный треугольник М^М.2Р
(рис. 54), мы можем его, с точностью до бесконечно малых высшего
порядка, считать за прямолинейный и прямоугольный (угол Р — пря-
прямой, так как РМХ есть дуга окружности радиуса г). Тогда по тео-
теореме Пифагора получим:
= (PM2f
') Из равенства A5) следует, что вектор р° лежит в плоскости, прохо-
проходящей через векторы г° и V, т. е. через радиус-вектор точки и касательную
к траектории в этой точке; его направление получается поворотом вектора г°
в этой плоскости на 90° в сторону возрастания угла <р.
5 Н. Н. Бухгольц

66 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ. II
Но МХМ2 — ds, PM2 =*dr и МгР = r dq>. Следовательно,
Отсюда, деля обе части равенства на dfi, получаем:
что совпадает с результатом, даваемым формулой B1).
6. Секторная скорость. Предположим, что точка М движется
по закону:
x=x(t). y = y(Q, z = z(t), B3)
или, в векторной форме,
B4)
Радиус-вектор точки, перемещаясь в пространстве, описывает конус,
направляющей которого служит траектория точки. Обозначим вели-
величину площади ОМ0М боковой по-
верхности этого конуса, ограни-
ченной кривой и двумя радиусами-
векторами r(t0) и r(f), через а
(рис. 55). Пусть в момент t точка
находится в положении М, опре-
определяемом радиусом-вектором r(t),
а в момент t-\-kt приходит в по-
положение М', определяемое радиу-
радиусом-вектором г' = r(?-j- Af).
Тогда, если Д^ мало, то при-
приращение площади а за промежу-
промежуток времени Л/ можно прибли-
приближенно (с точностью до малых
высшего порядка) представить вектором, изображающим плоскую
площадку ОММ', т. е. вектором, модуль которого равен половине
площади параллелограмма, построенного на векторах г и Лг = г' — г,
следовательно,
Л9
Рис. 55
1
B5)
Предел отношения приращения площади, описываемой радиусом-
вектором, к соответствующему промежутку времени А^, при Л^—>0,
называется секторной скоростью точки относительно центра О.
Следовательно,
оа= lim -2г или va =
B6)

F1
криволинейное движение точки
67
Чтобы найти выражение va через вектор скорости о, разделим
обе части равенства B5) на Л/; получим:
Переходя в выражении B7) к пределу при
основании известных теорем о пределах:
Дг
B7)
найдем на
= lira (гх4т-] =
lim
&t->o
Следовательно,
2ва = 2? = гХв, B8)
т. е. удвоенная секторная скорость точки относительно не-
некоторого центра равна моменту скорости этой точки от-
относительно того же центра.
Из равенства B8) видно, что
секторная скорость зависит от
центра, относительно которого
она определяется, и для каждого
центра будет иметь свою вели-
величину; поэтому, задавая секторную Ч
скорость, необходимо указывать
центр, относительно которого
она берется.
Вычислим проекции va на оси
координат. Для этого заметим,
например, что проекция на ось Oz
da
вектора ~rr, перпендикулярного
к площадке da, равна проекции
площади этой площадки на плоскость ху, перпендикулярную к оси г,
т. е. площадке daxy, разделенной на dt (рис. 56). Спроектируем
теперь все части равенства
i j k
р
х у z
х у z
на оси координат х, у, z с началом в центре О. Получим:
B9)
ауох = z -jp = <г х v)x = yz — zy,
2vay = 2 ~^- = (r X v)y = zx — x'z,
dt
doXy
dt
= (r X v)z — xy — yx.
C0)

68
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. II
Из равенств C0), дающих выражения, для проекций секторной ско-
скорости на оси координат, следует, что удвоенная секторная скорость
проекции точки на какую-либо плоскость, проходящую через центр О,
равна моменту скорости точки относительно оси, перпендикуЛйрной
к этой плоскости и проходящей через тот же центр О.
В случае плоского движения величина элемента площади может
быть представлена через полярные координаты в виде (см. рис. 54)
da = 0МгМ2 = ^r2 dq>,
следовательно, численное значение секторной скорости в полярных
координатах выражается равенством
где ф есть полярный угол.
7. Ускорение точки в криволинейном движении. Пусть точка,
двигаясь по закону, выражаемому равенствами A) или B), в мо-
момент t находится п положении М и имеет скорость v=^v(t)<
а в момент t~\- А/ приходит в положение М' и имеет скорость v'=
_т =v(t-\-M) (рис. 57). По-
Построим вектор, равный <о',
в точке М- ТогДа
VM' v' — o = Ao,
где Ао есть приращение
скорости за промежуток
времени АЛ Разделив А* на
Ы, получим вектор
рис. 57. который называется сред-
средним ускорением точки за
промежуток времени АЛ Перейдя к пределу, при А^->0, получим
величину 10, называемую ускорением точки в данный момент вре-
времени t:
или, учитывая равенство D),
•dv
7
d2r
Таким образом, ускорение точки в данный момент времени есть
векторная величина, равная первой производной от вектора скорости
или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

§ 61 КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 69
Вектор W расположен по ту же сторону от касательной Мх
к траектории, что и векторы да* или /V»; следовательно, он всегда
направлен в сторону вогнутости траектории.
Предельное положение плоскости, проходящей через какие-нибудь
три точки кривой, когда эти точки стремятся к точке М, или (что
то же) предельное положение плоскости, проходящей через каса-
касательную Мх и точку М'', когда эта точка стремится к М, опреде-
определяет соприкасающуюся плоскость в точке М кривой. Для плоской
кривой соприкасающаяся плоскость есть, очевидно, плоскость самой
кривой.
Из равенства C3) следует, что вектор w будет лежать в той же
Аи
плоскости, в которой в пределе лежит вектор -rj-, т. е. в соприка-
соприкасающейся плоскости. Таким образом, вектор ускорениями лежит в со-
соприкасающейся плоскости и направлен в сторону погнутости траектории.
Разложим вектор г по осям координат; тогда
r = xi~\-yj-\-zfc.
Дифференцируя это выражение два раза по времени, получим:
d2r _d*x d2y <Рг k
dt2 ~ dt2 ^ dt2 J ^ dP
Отсюда
d2x ¦¦ d2y ¦¦ d2z ¦¦ ,OK,
wx=-air = x> Wy^-air^y • ™г = -лг = г C5)
¦sy = В/ w ~\-w -\-w или w=y xl —I— у —p^ • (^6)
Направляющие косинусы ускорения будут:
cos (да, jc) =—, cos (да, у) = —^-, cos (да, 2) = —-, C7)
где значения wx, wy, wz и w даются равенствами C5) и C6).
Согласно C5), проекции ускорения точки на оси координат равны
втррым производным от координат этой точки по времени. Одно-
Одновременно из формул C5) видно, что проекция ускорения точки на
любую, неподвижную относительно данной системы отсчета ось,
равна ускорению проекции этой точки на ту же ось.
Формулы C5)—C7) позволяют вычислить ускорение точки в любой
момент времени, если движение задано координатным способом урав-
уравнениями B).
8. Некоторые сведения из дифференциальной геометрии.
1) Естественный трехгранник. Предельное положение прямой,
проходящей через точки М и М' кривой, когда точка М' стремится
к М, определяет касательную к кривой в данной точке М.

70
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. II
Перпендикуляр к касательной в точке М называется нормалью
к кривой в этой точке. Очевидно, что в данной точке кривой
можно провести бесконечное множество (пучок) нормалей, и все
они будут лежать в плоскости, проходящей через точку М и перпенди-
перпендикулярной к касательной. Эта плоскость называется нормальной пло-
плоскостью. Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, назы-
называется главной нормалью к кривой в точке М. Таким образом,
главная нормаль есть линия пересечения нормальной и соприкасаю-
соприкасающейся плоскостей в данной точке М кривой'). Нормаль, перпенди-
перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.
Обозначим единичные векторы: касательной через t°, главной
нормали через »° и бинормали через й° (рис. 58). Через эти векторы
Рис 58
Рис. 59.
проходят плоскости: (z°n°) — соприкасающаяся, (п°Ь°) — нормальная
и (&0<с°) — называемая спрямляющей плоскостью.
Три взаимно перпендикулярных направления, определяемых век-
векторами х°, п° и 6°, образуют прямоугольный триэдр с вершиной
в точке М, называемый естественным, натуральным или под-
подвижным трехгранником, причем направления и0, п° и 6° опреде-
определяются так же, как направления координатных осей (по правой
системе).
2) Кривизна кривой. В двух точках кривой М п М' проведем
единичные векторы касательных: х° и х° . Угол между этими каса-
касательными, называемый углом смежности, обозначим через Л0,
а длину дуги ММ'—через As (рис. 59). Отношение
') Напоминаем, что соприкасающаяся плоскость в точке М кривой
определяется как предельное положение плоскости, проходящей через любые
три точки кривой, когда эти точки стремятся к точке М, или же как пре-
предельное положение плоскости, проходящей через касательную в точке М и
любую точку М', когда М' стремится к М.

КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
71
называется средней кривизной кривой на отрезке ММ', а предел
этого отношения при As—>0, если он существует, т. е.
1ш1д7=11т
dd ,
. = —_ft.
C9)
называется кривизной кривой в данной точке Мх).
Таким образом, кривизна кривой в данной точке равна отноше-
отношению элементарного угла смежности к элементу дуги, т. е.
к = 1П' D0)
Найдем кривизну окружности радиуса R (рис. 60). Элемент дуги
окружности MM' ~ds — RdQ, где центральный угол rf9 равен углу
смежности. Тогда
RdQ
J_
R '
D1)
M'
т. е. кривизна окружности есть величина, об-
обратная радиусу R и постоянная для всех точек;
следовательно, окружность есть кривая по-
постоянной кривизны.
Кривизна любой кривой вообще не по- рИс. 60.
стоянна, а меняется от точки к точке.
Если через три точки М, Mv M2 любой кривой провести ок-
окружность, то в пределе (при приближении точек М1 и М2 к точке М)
она будет лежать в соприкасающейся плоскости (рис. 61, а). Эта
Рис. 61.
предельная окружность называется соприкасающимся кругом или
кругом кривизны. В соприкасающейся плоскости можно построить
бесчисленное множество окружностей, центры которых будут лежать
') Угол
функции 9.
в равенстве C9), вообще не есть дифференциал некоторой

72
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. II
на главной нормали к кривой и которые будут иметь в точке М
общую касательную с кривой, т. е. касаться кривой в этой точке
(рис. 61,6). Из всего этого множества только соприкасающийся круг
проходит через три бесконечно близкие точки кривой, т. е. нахо-
находится с кривой в касании второго порядка (остальные окружности
проходят через две бесконечно близкие точки кривой). Поэтому кри-
кривизна кривой в точке М равна кривизне соприкасающегося круга;
отсюда термин «круг кривизны». Центр круга кривизны называется
центром кривизны, а радиус этого круга—радиусом кривизны
кривой в точке М.
Обозначая радиус кривизны через р, получим выражение кривизны
кривой в точке М
D2)
k— — — —
ds p
9. Разложение ускорения по осям естественного трехгранника.
Представим скорость точки М в виде
v = vxt° = vx°, D3)
где v = vx — проекция вектора v на ось МтР (см. рис. 58). Диф-
Дифференцируя равенство D3) по вре-
времени, получим:
IV:
dv
dt
Первое слагаемое есть вектор
направленный по касательной т°.
Найдем значение второго слагае-
слагаемого. Дифференциал единичного век-
вектора dx° перпендикулярен к т° и,
как видно из рис. 62, лежит в
рис 62. соприкасающейся плоскости; сле-
следовательно, вектор rft° направлен
по главной нормали »°. Кроме того, \dz°\ — \x°\dQ — dQ, где dQ —
угол смежности [см. формулу (88) на стр. 40]. Отсюда находим, что
4> dQ° и
dt
Но
так как
dd
dt
ds
dt
dt '
rf9 ds
~dJ~dT
v
= v, a —=— = —
dQ
IF

§ 6] КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 73
где р есть радиус кривизны кривой в точке М. Следовательно,
~- = ~п\ D5)
Подставляя найденную величину в равенство D4), получим окон-
окончательно:
да==~ё~т°+тя0' Dб)
Таким образом, проекции ускорения на оси естественного трех-
трехгранника равны')
dv
dt
dt2
D7)
Вектор ivx = Wxt0 называется тангенциальной или касатель-
касательной составляющей ускорения, а вектор wn = wrln° — нормальной
составляющей (рис. 63). Модуль уско-
ускорения на основании равенств D6) будет:
W
V'ЗУ2 -4— ISp'
ИЛИ
w =
Mj
Угол р, между вектором <w и главной
нормалью определяется из уравнения (см.
рис. 63)
-^-. D9)
/ *^\.
Рис.
/
/
/
/
/
/
\п
63.
По формулам D7) — D9) можно определить модуль и направле-
лие ускорения, если движение задано естественным способом, т. е.
дана траектория (следовательно, известен радиус кривизны в каж-
каждой ее точке) и дан закон движения вдоль траектории в виде s = f(().
Вектор т° (или ось т) направляется в этом случае в сторону поло-
положительного отсчета расстояния s.
Рассуждая так же, как в случае прямолинейного движения (стр. 5й),
придем к выводу, что движение будет ускоренным, когда проекции
векторов v и W на ось х, т. е. величины v = —^- и wx = -^-,
имеют одинаковые знаки (угол между о и да острый, рис. 64, а),
') Значение wx можно еще представить в виде
_ dv __ dv ds dv _ d I v2 \
w*-4r==~dT~d7~v~ds~=1~d7 \T) •

Если же —г;- = wx = О в течение
74 кинематика точки [гл. /I
и замедленным, когда эти знаки разные (угол между <о и W тупой,
рис. 64, б).
Если в данный момент времена -гг = wx = О (что может
иметь место, коглд величина скорости достигает максимума или
минимума), то ускорение точки
в этот момент направлено по глав-
главной нормали (да = да„, ц = 0).
dv
dt
некоторого промежутка време-
времени, то на этом интервале времени
Рис 64 численная величина скорости по-
постоянна (движение является равно-
равномерным криволинейным), а ускорение, появляющееся за счет изме-
изменения вектора v по направлению, направлено вдоль главной нор-
нормали к траектории ( w = — »° j.
Аналогично если в данный момент времени "Wn — — = 0,
то вектор W в этот момент направлен по касательной к траектории
(W — 1!)X, ц = 90°). Такой случай может иметь место или когда в
данный момент скорость точки обращается
У в нуль (точка меняет направление своего дви-
—^ жения), или же когда движущаяся точка на-
^ ходится в точке перегиба своей траектории,
где о = оо (рис. 65). Если же т„ = — =0
Рис. 65. " Р
в течение некоторого промежутка времени,
а точка движется (v^O), то это может быть лишь в случае, когда
в течение всего промежутка времени движение прямолинейно (р = оо).
Наконец, полное ускорение точки в течение некоторого проме-
промежутка времени может быть равно нулю (W = 0), когда в течение
этого промежутка и wx = 0 и wn = 0, т. е., как следует из пре-
предыдущих рассуждений, когда точка в течение этого промежутка дви-
движется относительно выбранной системы отсчета равномерно и пря-
прямолинейно.
10. Законы равномерного и равнопеременного криволинейного
движения. 1) Если во все время движения численная величина ско-
скорости постоянна, т. е. o = ti0 = const, то криволинейное движение
называется равномерным. Из выражения —г- = v или ds — vdt, ин-
интегрируя, найдем закон равномерного криволинейного движения:
s = su + vut. E0)
где s0—начальное расстояние точки (в момент f = 0).

КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
75
2) Если касательное ускорение точки во все время движения по-
постоянно, т. е. wx Т= а% = const, то криволинейное движение называется
равнопеременным. Из выражения —тг = ах или dv = axdt найдем
закон изменения скорости в этом движении:
v — vo-\-axt, E1)
где v0 — начальная скорость точки (в момент ? = 0). Отсюда, при-
ds
нимая во внимание, что г» = —тт-, получим закон равнопеременного
криволинейного движения в виде
s = so + V + -^-. E2)
где s0—начальное расстояние. От случая прямолинейного движения
[см. стр. 56, формула (9)] выражение E2) отличается тем, что в него
вместо х входит s, а вместо а — величина ах,
11. Ускорение в круговом движении. Если точка движется по
окружности радиуса OM = R (рис. 66), то, согласно A3), скорость
€е бУДеТ! со ^ ш„-Яе
v = /?со. E3)
М
4t\4F)--dF E5)
Дифференцируя это выражение по t, полу-
получим тангенциальную проекцию ускорения
Величина
называется угловым ускорением вращения
радиуса OM=*R (см. еще § 8, п. 2).
Нормальную проекцию ускорения, кото- рис. 66.
рую при круговом движении называют еще
центростремительным ускорением, получим, принимая во внима-
внимание, что радиус кривизны р = /?, в виде
и2 <в2./?2
«»„ — — = —д- =
Модуль ускорения точки в круговом движении будет:
E6)
E7)
Угол |Л, который образует ускорение W с радиусом, определяется
из равенства
teii — 7 —755-' E8)

76
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ II
Если v = const, то ускорение в круговом движении будет на-
направлено по радиусу, так как тангенциальное ускорение в этом
случае равно нулю.
12. Разложение ускорения на радиальную и трансверсальную
составляющие. Выражение ускорения в полярных координатах.
Пусть точка движется по плоской кривой (рис. 67) по закону
r — r(t). Согласно формуле A7), скорость <о этого движения можно
представить в виде
v==
dr_
It
dt
Дифференцируя данное равенство по t, получим:
dv
~dt
dt dt
dt dt
E9)
Найдем модуль и направление вектора —jj- . Дифференциал еди-
единичного вектора dp0 перпендикулярен к р° и направлен, как видно
из рисунка, противоположно г° (направ-
(направление dp0 получается поворотом р° на
90° в сторону положительного отсчета
угла ф); кроме того, | dp0 | = dq>. Сле-
Следовательно,
dp0
Рис, 67.
dt ~ dt
Подставляя это значение
F0)
~df B Ра"
венство E9) и вынося единичные векто-
векторы г° и р° за скобки, получим, принимая во внимание равенство
A6) и приводя подобные члены,
Формула F1) представляет собой разложение ускорения на со-
составляющие: радиальную
dt1
dt
F2)
направленную по радиусу-вектору, и т рансве реальную (или по-
поперечную)
^\^ F3>
перпендикулярную к радиусу-вектору.

§ 6] КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 77
Рассмотрим отдельно члены, входящие в выражения w и ча„.
d2r
Член —гт есть ускорение точки вследствие ее движения по радиусу-
вектору, а г \—гг\ есть центростремительное ускорение, происхо-
происходящее вследствие вращения радикса-вектора [см. формулу E6)];
d2d>
этим же вращением вызывается тангенциальное ускорение г—~
в выражении wp [формула E4)]. Член 2 -^- -— представляет собой
так называемое поворотное или кориолисово ускорение, которое
будет рассмотрено в конце главы III.
Заметим, что величина wp может быть представлена еще в виде
«V-7
Выражение -k--ti у~ТГ)' котоРое [|а основании C1) можно запи-
записать в виде
1 " ¦«.
2 dt V dt ! dt dt2 '
называется секторным ускорением.
Легко доказать, что момент ускорения относительно какого-либо
центра равен удвоенному секторному ускорению относительно этого
центра. Действительно, согласно равенству B8),
Дифференцируя это равенство по времени, будем иметь:
Так как -гт- = да, a ~jr=z'v' вследствие чего первый член левой
части обращается в нуль, то окончательно получим:
или
momo«y = 2 -~, F5)
что и требовалось доказать.
Если закон движения точки дан в полярных координатах урав-
уравнениями
r = r{t) и ф = ф (t),

78
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. II
то по этим данным легко вычислить проекции ускорения wr и wp,
так как, согласно F2) и F3),
<wr =™ г — гф2, wp = гф -\- 2гф.
Модуль ускорения выразится формулой
•до = v tifl -4- tn
Y(r — Гф
2гФJ-
F6)
F7)
18. Примеры. Как уже указывалось, для нахождения кинемати-
кинематических характеристик движения точки (траектории, скорости, уско-
ускорения и др.) надо знать уравнения, определяющие закон ее движения.
Если уравнения движения точки непосредственно не заданы, то ре-
решение задачи обычно следует начинать с нахождения этих уравнений.
1. В механизме эллипсографа, изображенного на рис. 68, ползуны А ы В,
соединенные линейкой АВ, могут перемещаться по взаимно перпендикуляр-
перпендикулярным направляющим. Механизм приводится в движение кривошипом ОС
(С — середина отрезка АВ), вращаю-
</\ щимся с постоянной угловой скоро-
3/4 стью а. Найти траекторию, скорость и
ускорение точки М линейки АВ, если
Направим оси Ох и Оу основной
системы отсчета вдоль направляющих
ОА и ОВ и найдем закон движения
точки М, т. е. ее координаты х, у, как
функции времени t. Из рисунка видно,
чю х = a cos ф, у = Ь sin <p. Но по усло-
условиям задачи <р = at, следовательно,
уравнения движения точки М будут:
х = a cos at, y = b sin mt. (a)
Для определения траектории исключим t из уравнений (а), представив
их в виде
х V
— = cos at, -4- = sin at.
a b
Возводя обе части этих равенств в квадрат и складывая их почленно,
найдем:
v-2 „2
— 4-— = 1
а2 ~Г Ь2 - *¦
(б)
Таким образом, траекторией точки М будет эллипс с полуосями а и Ь.
Закрепляя с помощью простого устройства в любой точке М линейки АВ
карандаш, мы получим прибор, который будет чертить эллипсы с разными
полуосями а и Ь; отсюда и наименование прибора — эллипсограф.
Для определения скорости точки М вычисляем проекции скорости, диф-
дифференцируя равенства (а) по L Получим:
¦aetsinat,
= у=Ьш cos at.
(в)

§6]
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
79
Отсюда модуль скорости будет:
v = a yV sin2 wt -+- b2 cos2 at.
(r)
Если а> Ь, то скорость v изменяется между ее наибольшим значением
«=<ва, которое она имеет при л: = 0, у = ±Ь, т. е. на концах малой по-
полуоси эллипса, и наименьшим значением vmin = (ob при х= ±а, у = 0, т. е.
на концах большой полуоси. Направление вектора v в любой момент вре-
времени определяется из равенств
cos (¦», Ох) = ¦
cos (v, Оу) = —,
где величины, стоящие справа, даются формулами (в) и (г).
Ускорение точки М также найдется по его проекциям:
wx = х = — а2а cos at = — <й2х,
Отсюда модуль ускорения будет:
да =
y — у
а>2 bsinmt ¦
У2 =
(Д)
= — й>2у. (е)
(ж)
Следовательно, ускорение точки пропорционально ее расстоянию ОМ = г
от начала координат. Для углов, образуемых вектором w с осями коорди-
координат, находим:
^~^ Wx X
cos (да О*)=—= ——,
cos
= —! — __. (з)
Так как —, — представляют собой на-
направляющие косинусы радиуса-вектора
г, то отсюда видно, что вектор w на-
направлен прямо противоположно векто-
вектору г. т. е. вдоль линии МО к центру О.
2. При малых углах отклонения
груз М маятника (рис. 69) движется по
окружности радиуса АМ = 1 по закону
s = a sin kt, где s = Ом, а величины
а и k — постоянные. Найти скорость,
а также касательное и нормальное
ускорение груза и те положения, в которых эти величины обращаются
в Ьули.
В данном случае движение точки М задано, причем естественным спо-
способом, так как известны ее траектория и закон движения вдоль траекто-
траектории s (t). Тогда, пользуясь соответствующими формулами, находим:
„2
v = s = ak cos
. = у = — аи2 sin W, да = —г-
I
COS2 kt.
Точка М совершает вдоль траектории гармоническое колебание с дуговой
амплитудой а. В крайних положениях М' и М", для которых ОЙ' = 0~М"=а,
будет sin kt = ± 1 и cos kt = 0. Следовательно, в этих точках скорость
ч нормальное ускорение обращаются в нуль, а касательное ускорение

80
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. II
принимает наибольшее по модулю значение wx raax = а№. Наоборот, в начале
отсчета О, где s = О, будет sin й = 0 и cos kt=\. В этом положении wx = 0,
a v и wn имеют максимальные значения
= ak и дагетах =
I
Пример подтверждает сделанный ранее общий вывод о том, что в точ-
точках, где скорость в данный момент имеет максимум (или минимум), каса-
касательное ускорение wx = 0, а в точках, где v = 0
(или в точках перегиба траектории), нормальное
ускорение wn = 0.
3. Закон движения точки дан уравнениями
at2
х = R cos at, y = R sin со*, z = ut + -s-- (a)
Найти касательное и нормальное ускорения точки
и радиус кривизны ее Траектории.
Возводя первые два из уравнений (а) в квад-
квадрат и складывая их почленно, найдем, что траек-
траектория точки лежит на поверхности x2-}-y2 = R2,
т. е. на круговом цилиндре радиуса R, ось кото-
которого совпадает с осью Oz (рис. 70).
Точка М движется так, что ее проекция Mi
на плоскость Оху описывает окружность радиу-
радиуса R, а расстояние МХМ = г со временем возра-
возрастает; следовательно, точка М описывает некото-
некоторую винтовую линию. Расстояние h, на которое
точка М поднимается за время, в течение которого ее проекция Mi опи-
описывает полную окружность, т. е. за время Т = 2я/а, называется шагом
винтовой линии. В данном случае шаг будет переменным (возрастаю-
(возрастающим). При а = 0 расстояние MtM = z = ut растет пропорционально времени
и h = ut= 2mt/tt>= const. В этом частном случае траекторией точки будет
винтовая линия с постоянным шагом.
Для определения wx и wn надо сначала по уравнениям (а) вычислить v
Рис. 70.
и w. Тогда искомые величины найдутся из равенств
\dv\dt\ и
w2 — w\-\-w2n (значение wn можно было бы найти как i>2/p, вычисляя р по
формулам дифференциальной геометрии, но такой путь сложнее).
Производя соответствующие подсчеты, получим:
<>>Rs\n(s>t,
go2/? cos a>t,
= у — a>Rcos at, vz
y — y = — a>2Rslna>t,
Отсюда
t,2 = a2R2 + (u + utf,
w1 = e>*R2 + a2 = const.
F)
dv
Дифференцируя первое из этих выражений по времени, находим v —rj- -
= а (а + at), откуда, представляя wx как функцию v, получим:
a2/?2
(в)

§ 6] КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 81
После этого из равенства w\ — w2 — w\ окончательно находим:
Зная wn, легко определить радиус кривизны траектории р. Так как wn = v2/p,
то, следовательно,
Р = „ ,/-¦ 0 , , • (Д)
Значения всех искомых величин как функции времени t можно найти,
заменяя v его значением из (б). В частном случае, когда а = 0 и точка опи-
описывает винтовую линию с постоянным шагом, будем иметь:
Точка в этом случае движется с постоянными по модулю скоростью и уско-
ускорением, причем ускорение направлено по нормали к траектории (перпенди-
(перпендикулярно к оси Oz). Для радиуса кривизны,
полагая в (д) а = 0 и заменяя v его зиа- v ,
чением из (е), будем окончательно иметь: \ у^й
Таким образом, радиус кривизны вин-
винтовой линии с постоянным шагом больше,
чем радиус R кругового сечения цилиндра.
4. Точка М начинает двигаться вдоль
прямой ОА из положения Мп со скоро-
скоростью и, пропорциональной расстоянию
ОМ = г (рис. 71). Таким образом, u — kr
и г = г0 при ? = 0. Сама прямая враща-
вращается вокруг центра О в плоскости рисунка
с постоянной угловой скоростью а. Найти р 7]
траекторию, скорость и ускорение точ-
ки М.
Закон движения точки удобно определить, воспользовавшись полярными
координатами гиф. По условиям задачи ц> = ®t, а радиальная проекция ско-
dr
рости v, = —тт = « = kr, откуда
dr ,
— = k dt.
г
Беря определенные интегралы слева в пределах от г0 до г, а справа от 0
до t, получим:
In — = И или г = roeKt.
Го
Таким образом, уравнения движения точки в полярных координатах будут:
г = faeM, ф = at. (a)
Исключая из этих равенств t, найдем уравнение траектории
±,
г=гое& . (б)
б Н, Н. Бухгольц

82 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ. 1Г
Следовательно, точка М описывает логарифмическую спираль. Скорость к
ускорение точки подсчитаем по их радиальным и трансверсальным проек-
проекциям [формулы B0) и F6)]. Имеем из уравнений (а)
vf = г = krtfi1** = kr, vm = r<$ = cd/%
... .... (в>
w, = г — гф2 = (ft2 — ш2) г, и;р = гср + 2г ср = 2&ог.
Отсюда
v = Vk2 + (^r, w = /(*2 — »2J + 4А2«2 г = (А2 + и2) г. (г)
Таким образом, модули скорости и ускорения точки растут пропорционально
ее расстоянию г от центра О
Теперь, аналогично тому как это делалось в примере 3, легко подсчи-
подсчитать касательное и нормальное ускорение точки и радиус кривизны траек-
траектории:
| V V ш2 г,
(Д>
CD
Все эти величины также растут пропорционально г,
14. Криволинейные координаты. Выражение скорости в криво-
криволинейных координатах. Пусть в некоторой декартовой системе К
точка М имеет координаты х, у, z. За координаты этой точки мы
можем принять любые однозначные и дифференцируемые функции
х, у, z:
9i—fi(x> У> z), g2 — f2(x, у, z), g3=z=f3(x, y, z), F8)
если только возможно из системы F8) однозначно определить:
gv ?з)> У = Ф2(?1' 4v ?з)> z = ф3 (gv gv g3) F9)
(точечное преобразование пространства). Действительно, тогда всякой
системе значений (х, у, z) будет соответствовать определенная система
значений {дг, д2, ^з)> даваемая равенствами F8), и обратно. Числа qit
д2, q3 называются вообще криволинейными координатами точки М.
Заметим, что уравнения F9) при каждом частном значении пере-
переменных (qx, q2, g3) обращаются в уравнения координатных плоскостей
системы К
x = cv У = с2, z = c3; G0)
эти плоскости параллельны основным координатным плоскостям и
пересекаются в точке (сР са, с3). В свою очередь уравнения F8) при
каждом частном значении переменных (х, у, z) представляют собой
уравнения некоторых поверхностей:
?1 = а. 92=Р> Ь = Ч> G1)

§ 6] КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 83
где а, р и у суть некоторые постоянные, причем вид этих поверхно-
поверхностей зависит от вида функций Д, /2 и /3. Действительно, подставляя
в равенства G1) вместо qlt q2 и q3 их выражения через х, у и z,
получим уравнения
/г(х, у, г) = а, /2(х, у, г) = р, /3(х, у, г) —у. G2)
которые являются относительно декартовой системы координат урав-
уравнениями поверхностей.
Таким образом, если декартовы координаты х, у, z какой-нибудь
точки связаны с тремя параметрами qv q2, q3 уравнениями F8), то
Ч\> Qv Яг можно рассматривать как координаты той же точки в не-
некоторой системе координат, у которой роль координатных плоско-
плоскостей играют поверхности, определяемые уравнениями G1) или G2);
поэтому эти поверхности называются координатными поверхно-
поверхностями данной системы координат (qv q2, q3).
Уравнения G0) представляют семейство координатных плоскостей.
Каждые два уравнения из этих трех в совокупности определяют
семейство координатных линий (прямых). Итак, в декартовой си-
системе координат точка определяется пересечением или трех коорди-
координатных плоскостей, или соответствующих координатных линий. Рас-
Рассуждая аналогично, найдем, что в случае системы координат {qv q2, q3)
точка определяется пересечением или трех координатных поверхно-
поверхностей, или соответствующих им координатных линий, определяемых
попарным пересечением координатных поверхностей. Так как коор-
координатные линии вообще будут кривыми, то все системы координат,
имеющие произвольные координатные поверхности, называются криво-
криволинейными системами координат.
В случае декартовой системы координат все пространство можно
себе представить состоящим из множества бесконечно малых парал-
параллелепипедов, ребра которых параллельны осям координат. При пре-
преобразовании координат точек этого пространства к криволинейным
координатам эти параллелепипеды, исказившись, обратятся в беско-
бесконечно малые ячейки с кривыми гранями и ребрами, образуемыми
координатными поверхностями и линиями. Преобразование координат
точек, конечно, не изменяет метрики пространства, и последнее
остается прежним евклидовым пространством.
Среди всех возможных пространственных криволинейных систем
координат всего чаше употребляются сферические и цилиндрические
координаты.
В сферической (или полярной) системе координат положение
точки М (рис. 72) определяется длиной полярного радиуса ОМ = г,
проведенного из начала координат О, углом ф, который образует
полярный радиус г с плоскостью Р (плоскостью Оху), называемой
полярной или экваториальной плоскостью (или углом, образуе-
образуемым г с осью Oz, называемой полярной осью), и двугранным углом К,

84
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. ГГ
который образует плоскость, проходящая через полярную ось и
точку М, с основной плоскостью Q (называемой иногда плоскостью
первого меридиана). Так как этой системой часто пользуются
в астрономии, то угол ф называют еще широтой, а X — долготой
(иногда вместо широты ф употребляют полярный угол Q = ~—ф).
Итак, сферические координаты точки М суть:
г = ОМ, % — ^хОА, у = 1тА0М. G3)
Непосредственно из рисунка видно, что связь между сферическими и
декартовыми координатами при рас-
расположении осей х, у, z, указанном
на рисунке, будет следующая:
X — Г COS фCOS ^, 1
у = г совф sin %, G4)
z = г sin ф.
Координатные поверхности в сфе-
сферической системе координат представ-
представляются уравнениями
г —а, А, = р, Ф = у> G5)
где а, Р и у—некоторые перемен-
переменные параметры. Эти уравнения со-
соответственно представляют:
л = а—сферу, описанную ра-
радиусом а из центра О,
Я. = р — плоскость, проходящую через точку М и полярную
ось z,
<р = у — круглый конус с осью z, вершиной О и углом при вер-
(я \
шине, равным I -^ — ф].
Координатные линии получаются пересечением координатных по-
поверхностей, т. е. определяются следующими совокупностями двух
уравнений из G5):
Рис. 72.
(в)
г = а.
G6)
Они представляют собой:
(а) — окружность AMD радиуса а (или меридиан),
(б) — прямую ОМ, по которой направлен вектор г,
(в) — окружность МВСМ радиуса a cos ф (или параллель).
В цилиндрической или полуполярной системе координат поло-
положение точки М (рис. 73) определяется расстоянием ее О'М = г до

КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
85
оси Oz, проходящей через начало О, расстоянием проекции точки М
на ось Oz до начала О, т. е. величиной 00' — z, и двугранным
углом ф —/_СО'М, образуемым плоскостью, проходящей через
точку М и ось Oz, с основной плоскостью Q. Иначе положение
точки М в цилиндрической системе координат определяется расстоя-
расстоянием плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно к оси Oz,
от начала О, т. е. величиной 00' -=z, и плоскими полярными коор-
координатами точки в этой плоскости
О'М — г и /^СО'М — у.
Итак, цилиндрические коорди-
координаты точки М суть:
В
z = OO'.
Непосредственно из рисунка видно,
что связь между цилиндрическими и
декартовыми координатами при рас-
расположении осей х, у, z, указанном
на рисунке, будет следующая:
У = Г51Пф, Z = Z. G7)
Рис. 73.
Координатные поверхности в цилиндрической системе координат
даются уравнениями
где а, E и у—некоторые переменные параметры. Эти уравнения
соответственно представляют:
г = а — круглый цилиндр радиуса а, ось которого совпадает
С ОСЬЮ Z,
ф = E—плоскость, проходящую через ось z и точку М,
z—y — плоскость, проходящую через точку М перпендикулярно-
к оси z.
Координатные линии получатся пересечением координатных поверх-
поверхностей, т. е. определятся следующими совокупностями уравнений
из G8):
(а)
=а
| z = y
G9}
Они представляют собой:
(а) — прямую М'М,
(б) — прямую О'М,
(в) — окружность МВСМ.
Сферические и цилиндрические системы координат обладают тем
свойством, что координатные линии у них пересекаются между собой

"86 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ И
под прямыми углами. Такие системы называются ортогональными.
Прямоугольные декартовы координаты также принадлежат к ортого-
ортогональным системам.
Чтобы получить выражение скорости в криволинейных коорди-
координатах, проще всего воспользоваться формулой
(80)
и найти в криволинейных координатах выражение элемента дуги ds.
Пусть имеем прямоугольную декартову систему координат. Тогда
ds2 = dx2 -f- dy2 + dz2. (81)
Найдем квадрат дифференциала дуги в произвольной системе криво-
криволинейных координат (qx, q2, q3). Для этого вычислим дифференциалы
х, у, z, рассматривая их как функции qv q2, q3 [равенства F9)].
Получим:
(82)
Подставляя эти значения dx, dy, dz в равенство (81), найдем ds2
в виде квадратичной формы от дифференциалов координат qv q2, q3
(т. е. в виде однородного многочлена второй степени относительна
этих дифференциалов):
ds2 = an dq\ + a22 dq\ + a^ dq\ + 2tf23 dq2 dq3 + 2fl3I dq3 dq1 +
з
-\-2a12dq1dq2^ 2 aikdqidqk, (83)
i, ft = l
где обозначено:
d
ду .
¦p-dq,-\
dqi 41 '
дх
ду
dq2-
dq2 -
, дх
, ду
, дг
"~ dq3 9з> .
Если система (qv q2, q3) ортогональная, то коэффициенты alk из
равенств (85) обращаются в нули и выражение квадрата дифферент
циала дуги в этом случае будет:
ds2 = an dq\ + aB dq\ + fl33 dq\. (86)
В самом деле, координатная линия qx определяется как пересече-
пересечение поверхностей ^г —cons* и ^3= const. Направляющие косинусы

§ 6] КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 87"
касательной к этой линии будут пропорциональны dx, dy, dz или,
как видно из равенств (82), где в этом случае dq2 = dq3 = 0, эти
косинусы пропорциональны
дх ду dz
dqi ' ~d<h' й?Г'
Аналогично направляющие косинусы касательных к координатным
линиям q2 и q3 будут пропорциональны соответственно
дх ду dz дх ду dz
dq2 ' ^"' dq2 dq3 ' dq3 ' dq3 '
Отсюда видно, что в случае, когда система (qv qv q3) ортогональна,
величины (85) действительно равны нулю.
Подставляя в (80) выражение элемента дуги (83), имеем:
чг^ dq dq. ^гч • >
t,k = l i,k=l
откуда получаем следующее выражение модуля скорости в криво-
криволинейных координатах.
Если система (gv q<i< q?) ортогональная, то равенство (87) при-
примет вид
В частности, сферическая и цилиндрическая системы координат
ортогональны и для них v определяется формулой (88).
Для сферических координат, считая ql=zr, q2 = %, q3=^q>, най-
найдем из равенств G4), пользуясь формулами (84),
а" = (itJ+(if)' + (wf =cos2 v (cos2 *+sin* a,)+sirf <p =. i.
и аналогично
a22 = r2 cos2 ф, a33 = r2.
Следовательно, в сферических координатах, согласно (88),
!ф2. (89)
Для цилиндрических координат, полагая q1 = r, <y2 = ф,
получим аналогичным образом из равенств G7), что au = l, a2

88 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ 1Г
а33=1. Следовательно, в цилиндрических координатах, согласно
<88),
v=Vr2-{- г2ф2 + z2. (90)
Формулы (89) и (90) легко получить и непосредственным расчетом, подобно
тому как это делалось для плоской полярной системы координат (см. стр. 65).
Элементарное перемещение ds складывается в сферических координатах
геометрически из элементарных перемещений вдоль координатных линий
ОМ, MB и MD (см. рис. 72); эти перемещения взаимно перпендикулярны
и численно радны dr. ME ¦ dX — (г cos cp) dX и г dq>. Следовательно,
ds2 = dr2 -f- {г cos фJ dX2 -\- r2 dq>2, откуда, деля обе части этого равенства
на dt2, получим формулу (89).
Точно так же в цилиндрических координатах ds складывается из взаимно
перпендикулярных элементарных перемещений вдоль координатных линий
О'М, MB и М'М (см. рис. 73), численно равных dr, r dq> и dz\ следова-
следовательно, ds2 = dr2 + r2 dq2 -\- dz2, откуда, деля обе части этого равенства
на dt2, приходим к формуле (90).
Выражение ускорения в криволинейных координатах будет выведено
в динамике точки иным методом.
15. Теорема о сложении скоростей. Если мы знаем движение
точки относительно системы отсчета К и движение системы К отно-
относительно основной (неподвижной) системы отсчета К±, то можно
определить движение точки по от-
отношению к системе Kv Движе-
Движение точки по отношению к под-
подвижной системе К называют в
этом случае относительным,
а по отношению к неподвижной
системе К\ — сложным или,
условно, абсолютным; движение
самой системы К по отношению
s/'K, к системе К\ называют перенос-
переносным движением.
Рис 74. Пусть подвижная система зани-
занимает в момент времени t положе-
положение К, а движущаяся точка М находится в этот момент в положе-
положении А (рис. 74). За промежуток времени At точка М переместится
по отношению к системе К в новое положение В, совершив отно-
относительное перемещение АВ. Величина')
называется относительной скоростью точки М.
') Относительную, переносную и абсолютную скорости точки будем обо-
обозначать иотн, ©пер. *>абс или vT, ve, va (индексы „г" и „е" от французск.
relatif — относительный и entratner — увлекать с собой, переносить).

§ 6] КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 8&
Одновременно система К за промежуток времени Д^ переместится
(по отношению к основной системе К{) в другое положение К' и
точка А системы К, где в момент t находилась точка М, придет
в положение А'. Вектор АА' определяет переносное перемещение
точки, а величина
Л Л/
* * 11тдг (92)
называется переносной скоростью точки М. Следовательно, пере-
переносная скорость — это скорость той, принадлежащей подвижной си-
системе отсчета точки А, с которой в данный момент совпадает дви-
движущаяся точка М.
В результате точка М придет через промежуток времени At
в положение В' и совершит по отношению к основной системе от-
отсчета К\ абсолютное перемещение АВ'. Величина
~АВ'
*> *> Iim ТТ- (93)
называется абсолютной скоростью точки М или скоростью
сложного движения.
Зависимость между всеми этими скоростями дается теоремой:
скорость слоокного движения точки равна геометрической
сумме относительной и переносной скоростей. Для доказатель-
доказательства заметим, что из векторного треуголь-
треугольника АА'В' следует равенство АВ'= A A' -J- 1/ш„/ ^***7
•Ц-А'В'. Деля обе его части на А/ и пере- / ^^*Ьабс ',
ходя к пределу при Л^->0, получим: [^^"^ '
,. АВ' .. АА' . WB' М *пе1>
Iim , = Iim—rj—|— Jim—-т-т—.
м^о Д{ Л? йг Рис 75.
Отсюда, замечая, что при Д^->0 положение Л" подвижной си-
системы неограниченно приближается к Л" и, следовательно,
Т~В' ,. ТВ
а также учитывая (92) и (93), находим:
'»абс=='г'отнЧ-'г»пер- (94)
Равенство (94) и выражает теорему о сложении скоростей или так
называемый закон параллелограмма скоростей (рис. 75).
Последовательно применяя полученный результат к случаю, когда
движущаяся точка перемещается по отношению к подвижной системе
отсчета Л"х, которая в свою очередь движется относительно другой

"90
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. П
подвижной системы К2 и т. д. вплоть до некоторой системы Kn_i>
движущейся относительно основной системы отсчета Кп, получим:
"абс '
2
ft = l
(95)
•Vnep
где т>! — относительная скорость точки по отношению к системе ATj,
v2 — первая переносная скорость, получаемая при движении системы АГХ
относительно АГ2> v3—вторая переносная скорость, получаемая при
движении системы К2 относительно Ка, и т. д. Кратко этот резуль-
результат формулируют так: скорость сложного движения равна гео-
геометрической сумме скоростей составных дви-
движений.
Доказанная теорема позволяет также, зная
абсолютную скорость точки по отношению к
основной системе отсчета К\ и движение подвиж-
подвижной системы отсчета К по отношению к К\, оп-
определить относительную скорость точки в систе-
системе К по вытекающей из (94) формуле (рис. 76)
В качестве простейшего примера применения формулы (94) найдем выра-
выражение скорости точки в полярных координатах. Движение точки по отно-
отношению к основной системе отсчета Оху (см. рис. 53) можно рассматривать
как относительное вдоль радиуса ОМ со ско-
скоростью «отн = г = v Т. Переносным движением
будет при этом вращение радиуса ОМ с угло-
угловой скоростью ф и переносная скорость будет
равна скорости той точки радиуса, где в данный
момент находится точка М; следовательно, по
формуле A1) vnep = гф = vp. В результате при-
приходим к найденным ранее равенствам B0) и B1).
Примерами применения формулы (96) служат
известные из элементарной физики задачи о ла-
клоиении зонта под дождем или астрономиче-
астрономических труб для устранения влияния «аберрации».
Так, например, скорость дождевой капли, падаю-
падающей на землю вертикально со скоростью фабс. будет относительно чело-
человека, идущего со скоростью Фпер (рис. 77), выражаться вектором ФОтн> на-
наклоненным к вертикали под углом
Упер
Рис. 76.
¦Чп,
/////////у
Рис. 77.
о = arete ¦
»абс'

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 7. Механическая система
1. Механическая система. Число степеней свободы системы
и абсолютно твердого тела. Механической системой называется
множество материальных точек, в котором движение каждой точки
зависит от положения и движения остальных точек системы. Пусть я
есть число точек системы. Так как положение каждой точки Mv
(v=l, 2, .... п) относительно выбранной системы отсчета опреде-
определяется тремя ее координатами xv< у , zv, то положение системы
(конфигурация) известно, если известны координаты всех точек си-
системы, т. е.
*1. У1- *1. Х3. У2, Z2. .... Х„, Уп, Zn. A>
Зависимость между движениями точек системы существует:
1) вследствие сил взаимодействия между ними (например, движения
тел солнечной системы зависят друг от друга, так как между ними
действуют силы тяготения), 2) вследствие наличия связей геометри-
геометрических и кинематических.
Связями называют условия, которые налагают ограничения либо*
только на положения, либо также и на скорости точек системы.
В первом случае связь называется геометрической, или конечной,
во втором — кинематической, или дифференциальной. Аналитически-
связи выражаются уравнениями, которым в любой момент движения
должны удовлетворять или только координаты точек системы (геомет-
(геометрическая связь), или координаты и их первые производные по вре-
времени (кинематическая связь). Поэтому уравнения связей имеют вид
f(xv yl zn; t) = 0 {геометрическая связь), B)
yt zn, xv yv .... 'zn\ t) = 0 (кинематическая связь). (З)
Пусть на систему наложено k геометрических связей:
fx{xvyx zn, f) = 0 (Х=1. 2 k). D>

92
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
Рис. 78.
Тогда из Ъп координат независимых будет только Ъп — k координат,
ибо при задании каких-либо Ъп — k координат остальные опреде-
определяются из уравнений связей D). Эти независимые координаты на-
называют также координатами системы. Число координат системы
в случае существования только геометри-
геометрических связей называется также числом
степеней свободы этой системы.
^Абсолютно твердым телом или не-
неизменяемой системой называется, как
указывалось, такая механическая система,
в которой расстояние между любыми двумя
точками неизменно. Абсолютно твердое тело
имеет шесть степеней свободы. В самом
деле, возьмем три точки тела М±, М2,
Мг, не лежащие на одной прямой (рис. 78).
Девять координат этих точек связаны тремя соотношениями, выра-
выражающими неизменяемость длин трех отрезков М2М&, M^MV М1М2;
поэтому положение трех точек определится шестью независимыми
параметрами. Если добавить какую-нибудь четвертую точку Ж4, то
положение ее определяется еще тремя числами х4, у4, z4, которые,
однако, связаны с координатами первых трех точек тремя условиями:
M1Mi = const, М2М4—const, УИ3Л14 = const.
Таким образом, число независимых координат остается равным
шести.
Из этих рассуждений следует также, что положение абсолютно
твердого тела в пространстве определяется положением любых трех
его точек, не лежащих на одной
прямой.
Дополняя сказанное о движении
абсолютно твердого тела, заметим,
что движение тела, как абсолютно
твердого, возможно только в евкли-
евклидовом пространстве (а также и в не-
неевклидовом пространстве постоян-
постоянной кривизны).
2. Аналитическое определение
положения абсолютно твердого
тела. Эйлеровы углы. Покажем,
каким образом можно задать шесть
независимых параметров, однозначно определяющих положение абсо-
абсолютно твердого тела. Пусть Ql,r\?, есть неподвижная прямоуголь-
прямоугольная система координат (основная система отсчета) и пусть абсолютно
твердое тело неизменно связано с некоторой другой, подвижной,
прямоугольной системой Oxyz (рис. 79). Координаты начала О под-
Рис. 79.

МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
93
вижной системы относительно неподвижной пусть будут а, Ь, с,
а косинусы углов между осями систем заданы таблицей
X
У
Z
A1)
B1)
C1)
Т)
A2)
B2)
C2)
5
A3)
B3)
C3)
Девять косинусов (I, k) связаны шестью условиями ортогональ-
ортогональности, а именно, так как система Й|т]? прямоугольна, то
E)
а так как и система Oxyz прямоугольна, то
B1) • C1)+ B2) • C2)+ B3) • C3) = 0, ]
C1) • (П) + C2) • A2)+ C3) • A3) = 0,
1 = 0. )
F)
Следовательно, из девяти косинусов (I, k) независимы только три.
Присоединяя сюда три числа а, Ь, с, мы и получаем шесть пара-
параметров, определяющих положение твердого
тела-
Предположив, что начала координат в
системах Q|r? и Oxyz совпадают, мы мо-
можем определить положение твердого тела
тремя эйлеровыми углами. Если ОК есть
прямая пересечения плоскостей О\% Оху,
называемая линией узлов, то углы эти сле-
следующие (рис. 80): 1) угол <р между О К и
Ох, 2) угол я|) между ОЪ, и ОК и 3) угол 9
между 01, и Ог. При этом все углы берутся
между положительными направлениями осей.
Положительное направление линии узлов вы-
выбирается согласно правилу правого винта, т. е. так, чтобы наблюдатель,
смотрящий вдоль КО, видел поворот от О? к Oz совершающимся
против хода часовой стрелки.
По аналогии с терминами, принятыми в астрономии, иногда назы-
называют: ф—углом собственного вращения тела, ф — углом пре-
прецессии, 0 — углом нутации.
Очевидно, что триэдр О|т]? может быть приведен в совпадение
с Oxyz путем трех поворотов, совершаемых в такой последова-

94 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
тельности: 1) на угол я|) вокруг оси О?, 2) на угол 8 вокруг линии
узлов ОК, 3) на угол ф вокруг оси Oz. При этом все повороты
производятся против хода стрелки часов, если соответствующая ось
вращения направлена на наблюдателя.
В общем случае, когда начала обеих систем координат различны,
можно определить положение твердого тела тремя числами а, Ь, с
и эйлеровыми углами, определяющими положение подвижной си-
системы Oxyz относительно третьей, промежуточной, системы коорди-
координат 0\{(\?,v начало которой совпадает с началом подвижной системы,
а оси параллельны осям неподвижной.
§ 8. Основные движения твердого тела1)
Впоследствии мы покажем, что всякое движение твердого тела
может быть сведено к двум основным движениям: поступательному
и вращательному, с рассмотрения которых мы и начнем.
1. Поступательное движение. Поступательным движением
твердого тела называется такое его движение, при котором каждая
из двух не параллельных между собой
прямых, неизменно связанных с телом,
перемещается параллельно самой себе,
т. е. оставаясь параллельной своему на-
начальному направлению. В этом случае
параллельно самой себе перемещается
любая прямая, связанная с телом. Пусть
A-i, В1 и А2, В2 суть положения двух
точек тела для двух моментов времени t1
и t2 (рис. 81). По определению твердого-
тела AiBl = A2B2; по определению по-
поступательного движения. Л^ ||^2^2' Следовательно, отрезки АхАг
и ВгВ2 равны и параллельны, т. е.
A1A3 = B1BS. G)
Это равенство могло бы быть принято за определение поступатель-
поступательного движения, и тогда наше первоначальное определение получи-
получилось бы из нового как следствие.
Обозначив перемещения ArA = AtA2, ArB = BlB2, будем иметь:
А А ^ f
') В дальнейшем абсолютно твердое тело мы часто будем сокращенна
называть «твердым» телом или просто телом, если это ие может вызывать,
каких-либо недоразумений.

$ 8] ОСНОВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 95
где Л^ = ?2— h есть промежуток времени, в течение которого тело
перемещается из положения 1 в положение 2. Переходя к пределу
лри At->0, получим, согласно определению скорости:
vA = vB = v, (8)
где vA, vB суть скорости точек А и В. Так как точки А, В были
выбраны произвольно, то при поступательном движении твердого
тела скорости всех точек тела в данный момент равны друг другу
и выражаются одним и тем же вектором, который мы обозначили
просто через v.
Поэтому, в отличие от скорости материальной точки или точки
произвольно движущегося тела, которая есть вектор, приложенный
к этой точке в данном ее положении, скорость твердого тела,
движущегося поступательно, еоть вектор свободный, ибо он может
быть приложен к любой точке тела. Только в случае поступатель-
поступательного движения и можно говорить о скорости тела как целого. Траек-
Траектории всех точек тела в этом случае суть конгруэнтные кривые,
т. е. такие кривые, которые при наложении совпадают всеми своими
точками.
Равенство (8) имеет место в любой момент времени, т. е. предста-
представляет собой равенство функций: vA (t) = vB (t) — v (t). Поэтому,
дифференцируя все части этого равенства по времени, получим:
dv. dvn dv
= -ЦГ = -аТ' или «а = «в = «- (9)
Таким образом, и ускорение W точек поступательно движущегося
тела есть вектор свободный. Итак, при поступательном движе-
движении скорости и ускорения всех точек тела для каждого мо-
момента времени равны между собой.
Из всего предыдущего вытекает, что поступательное движение
твердого тела вполне определяется движением одной из его точек.
Поступательное движение неизменяемой системы можно определить
иначе, именно как движение, при котором для любого момента вре-
времени все точки системы имеют равные скорости; из этого определе-
определения как следствие вытекают все остальные свойства поступательного
движения. Если скорость поступательного движения постоянна, т. е.
<0 = const, то все точки системы движутся прямолинейно и равно-
равномерно; такое движение неизменяемой системы, на основании пер-
первого закона Ньютона, называется инерциальным. Если скорости
всех точек неизменяемой системы равны между собой только для
одного какого-либо момента, то из этого не следует, что система
движется поступательно; в этом случае мы будем говорить, что
неизменяемая система в данный момент имеет мгновенную посту-
поступательную скорость.

98
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
2. Вращательное движение. Угловая скорость и угловое уско-
ускорение. Если твердое тело движется так, что две его точки А и В
остаются неподвижными, то движение тела называется вращатель-
вращательным, а прямая АВ— осью вращения. При
вращательном движении твердого тела траек-
траектории всех его точек суть окружности, пло-
плоскости которых перпендикулярны к оси вра-
вращения, а центры лежат на этой оси (рис. 82).
В самом деле, если М есть какая-нибудь
точка тела, то в силу неизменяемости рас-
расстояний AM и ВМ точка М должна по-
постоянно оставаться как на поверхности сфе-
сферы, описанной из А радиусом AM, так и на
поверхности сферы, описанной из В радиу-
радиусом ВМ. Следовательно, она остается на
линии пересечения обеих сфер, т. е. на
окружности, плоскость которой перпендику-
перпендикулярна к АВ, центр лежит на этой прямой,
а радиус равен расстоянию точки от оси
вращения. Если М лежит на оси, то радиус окружности обращается
в нуль, так что точки оси вращения остаются неподвижными.
Положение вращающегося тела может быть определено взятым
с соответствующим знаком двугранным углом ср между двумя полу-
полуплоскостями, проходящими через ось вращения,
одна из которых, Q, неподвижна относительно
системы отсчета, а другая, Р, неизменно связана
с телом (рис. 83). Для определения знака <р
совмещают с осью вращения координатную ось
Az, и считают, что <р > 0, если с положитель-
положительного конца оси z угол <р виден отложенным от
неподвижной полуплоскости против хода стрелки
часов (в правой системе отсчета).
Положение тела в любой момент времени t
определяется уравнением
Риг. 82.
дающим закон вращательного движения.
Если за промежуток времени Л^ угол ф полу-
получает приращение Аф, то величина
Рис.83. «>* = 4г A1)
называется средней угловой скоростью тела за данный промежуток
времени. Предел, к которому стремится эта величина при А(->0, т. е.
а — Игл — или <»> =-gf-= Ф> С12)

§ 8] ОСНОВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 97
называется угловой скоростью тела в данный момент или просто
угловой скоростью вращения твердого тела.
В общем случае © с течением времени изменяется, т. е. со = &)(?).
Если приращение ю за промежуток времени At равно Дю, то величина
называется средним угловым ускорением тела за данный промежуток
времени. Предел, к которому стремится эта величина при \t->0, т. е.
,. Аи da • •• ., ..
? = hm-j-r или е =-^-= (о = ср, A4)
называется угловым ускорением тела в данный момент времени.
Размерности этих величин, когда угол ср измеряется в радианах,
будут:
~~ время — /" l?J~ Л ' ^1Ь)
а единицами измерения служат соответственно сек~1 и сек~2.
Состояние движения вращающегося твердого тела в данный
момент характеризуют вектором ю, направленным по оси вращения
(см. рис. 83). Длина этого вектора изображает в некотором масштабе
модуль угловой скорости, т. е. |ю|, а направление выбирается так,
чтобы наблюдатель, смотрящий с конца вектора, видел вращение
совершающимся против хода стрелки часов (по правилу правого винта).
Если бы правую систему координат мы заменили левой, то напра-
направление ю должно было бы быть заменено противоположным, так что
to есть вектор аксиальный. Кроме того, очевидно, что ы есть сколь-
скользящий вектор, который можно считать приложенным в любой точке
оси вращения.
Угловое ускорение вращающегося тела можно также изобразить
da) „
в виде вектора г = —гг, направленного вдоль оси вращения. При этом
направление е совпадает с направлением ы, когда тело вращается
ускоренно (т. е. так, что модуль угловой скорости со временем воз-
возрастает), и противоположно ш, когда вращение является замедленным.
Величины © и е, определяемые равенствами A2) и A4), выражают
численное или алгебраическое значение угловой скорости и углового
ускорения и представляют собой, по существу, проекции векторов
ft) и s на ось, направлением которой определяется знак угла ф.
Если во все время движения ю = const, то вращение называется
равномерным. Закон такого вращения, если обозначить через ф0
начальный угол (в момент t = 0), будет:
7 Н. Н Бухгольц

98
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. Ill
Если во все время движения е = const, то вращение называется
равнопеременным. Закон этого вращения имеет вид
"Т. A7)
= 0). При этом
A8)
где ю0—начальная угловая скорость (в момент
угловая скорость вращения изменяется по закону:
© = ©0 -j- et.
Формулы A6) и A7) получаются так же, как формулы D) и (9)
для прямолинейного движения точки (см. § 5).
3. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Так как
любая точка М тела совершает круговое движение, то по фор-
формуле A3) § 6
vM — OnM-(x). (l§\
Из равенства A9) следует, что по модулю вектор v равен Imom^wl,
ибо О0М есть плечо вектора to относительно точки М (рис. 84).
Согласно определению момента, легко установить, что v совпадает
с глотам и по направлению. Следова-
Следовательно,
!ом = тотмю. B0)
Если О есть произвольная точка оси, в ко-
которой приложен скользящий вектор w, и
г = 0М, то
v
M
(о = МО Х» =
Рис. 84.
Таким образом, для всякой точки вращаю-
вращающегося твердого тела скорость v опреде-
определяется формулой Эйлера
ъ = ь>Хг. B1)
Так как одновременно 1°:==~^т> то 0ТС1°Да следует, что если
вектор г изменяется со временем только по направлению
(|r| = const), то
^. = «Хг, B2)
где (о — угловая скорость поворота вектора. Формулой B2) часто
удобно пользоваться при вычислении производной.
Возьмем произвольную точку О на оси вращения за начало си-
системы координат Oxyz и направим ось Oz вдоль оси вращения

ОСНОВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
99
(см. рис. 84). Тогда tOj, = юу = 0, а ыг = со, где со—алгебраическое
значение угловой скорости, и мы получим:
i j
i = w X f" = О 0 со B3)
X
О
У
или
¦у„ = —cov, V., = сох, v =0 B4^
Равенства B4) дают проекции скорости любой точки М (х, у, z)
вращающегося твердого тела на выбранные оси координат. Легко
заметить при этом, что вид формул B4) не зависит от того, будут ли
оси Oxyz неподвижными или же будут связаны с вращающимся
телом. Следовательно, проекции скоростей ковариантны по отно-
отношению к переходу от неподвижной к подвижной системе осей
(т. е. определяются в этих осях формулами одинакового вида).
Ускорение любой точки М вращающегося тела также находится
по формулам кругового движения (стр. 75). Следовательно,
wx = О0М • е, wn = O0M -co2,
— ОаМ
г2 + со4. B5)
Выражение для w можно еще получить из равенства B1)
dv d , . . .
или
B6)
Из рис. 84 видно, что вектор е X г коллинеарен <яУ(г = <о, т. е.
направлен вдоль касательной к траектории, а вектор »Х" на-
направлен вдоль МО0, т. е. по главной нормали к траектории; следо-
следовательно,
8Хг=даг, (о X v=w . B7^1
Из B7) и A9) находим \wx |= |e| r sin /_ О0ОМ = |е| О0М,
wn = сои = со200Ж, т. е. приходим к равенствам B5).
Если взять систему координатных осей Oxyz, в которой ось z
направлена вдоль оси вращения, и представить wn в виде
«)„== — g?OqM, to, согласно B6) и B7), будет:
I J '
Я) = (бХО — co200M = 0 0 i
х у ,
Отсюда получаем формулы для вычисления проекции ускорения любой
точки М (х, у, z) вращающегося тела на выбранные оси координат:
ге»г = О. B9)
й>2ОпЛ1.
B8)

100
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
Эти формулы будут также ковариантны по отношению к переходу
от неподвижной системы осей к подвижной.
4. Перманентная и мгновенная оси вращения. Если скорости
точек тела, лежащих на оси АВ, равны нулю во все время движе-
движения, то эта ось называется перманентной или постоянной осью
вращения. Изложенные выше результаты относятся именно к этому
случаю. Если же скорости точек тела, лежащих на некоторой оси,
равны нулю только в данный момент времени, то эта ось назы-
называется мгновенной осью вращения. Значения скоростей всех точек
тела в этом случае также определяются формулой B1), где вектор-
векторная величина to, направленная по мгновенной оси вращения, назы-
называется мгновенной угловой скоростью тела. В отличие от перма-
перманентной оси, мгновенная ось вращения, а с ней и вектор мгновенной
угловой скорости to непрерывно изменяют свое направление как
в самом теле, так и по отношению к основной системе отсчета.
Вследствие этого вектор е = —тг не будет совпадать по направлению
с вектором (о и картина распределения ускорений точек тела будет
отлична от изображенной на рис. 84; этот рисунок относится только
к случаю, когда ось Oz перманентна (см. § 10).
§ 9. Плоскопараллельное движение
1. Основные понятия. Плоскопараллельным (или плоским) дви-
движением абсолютно твердого тела называется такое движение, при
котором все точки тела движутся параллельно
какой-нибудь неподвижной (основной) пло-
плоскости. Из геометрических соображений ясно,
что при плоскопараллельном движении всякая
прямая, скрепленная с телом (рис. 85) и пер-
пендикулярная к основной плоскости, будет
двигаться поступательно, т. е. параллельно
самой себе (само же тело будет двигаться
вообще не поступательно). В самом деле, если
отрезок прямой АВ, перпендикулярный к основ-
основной плоскости, за некоторый промежуток вре-
мени &t переместится в положение А'В', то
так как тело абсолютно твердое (АВ = А'В'),
а перемещения АА' и ВВ' должны быть параллельны основной пло-
плоскости, заключаем, что фигура ABB'А' — параллелограмм и А'В'ЦАВ.
Отсюда следует, что движение точек тела, лежащих на прямой,
перпендикулярной к основной плоскости, определяется движением
одной из этих точек, а движение всего тела — движением параллель-
параллельного основной плоскости сечения 5 тела в плоскости этого сечения.
Таким образом, рассмотрение плоскопараллельного движения тела
/ 7
Рис. 85.

§9]
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
101
сводится к рассмотрению движения неизменяемой плоской фигуры
в ее плоскости. При этом неизменяемой фигурой мы называем такую,
у которой расстояние между любыми ее точками всегда остается
постоянным.
Строго говоря, рассматривая кинематически движение неизменяе-
неизменяемой плоской фигуры в ее плоскости, мы рассматриваем движение
всей плоскости, неизменно связанной с движущейся фигурой, отно-
относительно неподвижной плоскости, так что вопрос сводится к рас-
рассмотрению движения подвижной плоскости относительно неподвиж-
неподвижной. Точно так же кинематическое рассмотрение движения абсолютно
твердого тела сводится к рассмотрению движения подвижного про-
пространства, неизменно связанного с
движущимся телом, относительно
неподвижного.
Положение неизменяемой плоской
фигуры в ее плоскости вполне опре-
определяется положением двух ее точек,
или, что то же, положением отрезка
прямой, соединяющей эти две точки,
например отрезка АВ на рис. 86.
Основными видами движения
плоской фигуры в ее плоскости
являются поступательное и вра-
вращательное.
Поступательным движением
плоской фигуры будет такое дви-
движение, при котором любая прямая, взятая в плоскости движущейся
фигуры, перемещается параллельно самой себе. Из этого определения
следует, так же как и в случае твердого тела (см. § 8), что все
точки фигуры (подвижной плоскости) в этом случае имеют равные
скорости и ускорения и описывают конгруэнтные траектории.
Вращательным движением фигуры в ее плоскости будет такое
движение, при котором одна точка фигуры, называемая центром
вращения, остается неподвижной. В этом движении все точки фи-
фигуры движутся по концентрическим окружностям, имеющим центр
в центре вращения (см. рис. 66), причем скорости и ускорения точек
пропорциональны их расстоянию до центра вращения, которое назы-
называется радиусом вращения, т. е.
Рис. 86.
"м '¦
¦¦ ОМ • со,
= ом.
О)
B)
где © и е — угловая сколость и угловое ускорений вращения. Уско-
Ускорение точки фигуры пп • 1" mshom движении отклонено от радиуса
Вращения на угол ji _. * для всех течек имеет одинаковую

102 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. Ill
величину и зависит только от о и е, поскольку
wr
2. Геометрическое рассмотрение движения плоской фигуры
в ее плоскости. Теорема I. Всякое перемещение плоской фи-
фигуры в ее плоскости может быть составлено из поступатель-
поступательного перемещения и поворота около произвольного центра
{полюса}.
Пусть имеем два произвольных положения П1 и /72 плоской
фигуры П, характеризуемые положениями Аф^ и А2В2 отрезка АВ,
неизменно связанного с этой фигурой (рис. 86). Поступательным
движением фигуры П переместим ее из положения /7, в /73 так, чтобы
точка Ах заняла положение А2 (это перемещение определяется векто-
вектором АХА2). Тогда отрезок АВ зай-
займет положение А2В3\\А1В1. При по-
повороте фигуры около центра А2
на угол ВгА2В2 отрезок А2В3 зай-
займет положение А2В2, а фигура П —
требуемое положение П2.
В ходе доказательства в каче-
качестве полюса, выбор которого про-
- ° изволен, была взята точка А. При
этом поступательное перемещение
фигуры определялось вектором АХА2, а вращательное — углом поворота
Аф = 1^. В3А2В2. Если в качестве полюса взять другую точку,
например В (рис. 87), то из положения П1 в /72 фигура будет пере-
переведена поступательным перемещением, определяемым вектором В1В2
и поворотом вокруг полюса В2 на угол Аср' = /_ АЪВ2А2. Легко
видеть, что ВХВ2 Ф АХА2, т. е. что поступательная часть перемещения
с изменением полюса меняется; угол же Аф' = Аф, так как эти углы
образованы параллельными отрезками. Следовательно, вращатель-
вращательная часть движения фигуры от выбора полюса не зависит*
т. е. при любом полюсе, чтобы привести фигуру из положения Пх
в положение Я2, ее надо повернуть вокруг полюса на один и
тот же угол Аф, равный углу между направлениями отрезков AXBX
и А%В2.
Поскольку поступательная часть перемещения фигуры с измене-
изменением полюса меняется, оказывается возможным выбрать полюс так,
чтобы эта часть перемещения вообще отсутствовала.
Теорема II. Всякое непоступательное перемещение плоской
фигуры в ее плоскости может быть выполнено одним поворо-

§ 9] ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЮЗ
том ее около определенного центра, называемого центром,
или полюсом конечного вращения.
Пусть имеем два произвольных положения Пх и /72 плоской
фигуры /7, характеризуемых положениями А1В1 и А2В2 отрезка АВ,
неизменно связанного с этой фигурой (рис. 88), причем, согласно
условиям теоремы, А1В1\{ А2В2.
Если центр конечного вращения
существует, то он должен нахо-
находиться в такой точке О, которая
была бы равно удалена от Аг
и А2, а также от Вх и В2, так
как должно быть 0Ах = ОА2 и
ОВ1 = ОВ2. Следовательно, центр
вращения должен находиться в
точке О пересечения перпендику-
перпендикуляров, восставленных из сере-
середин отрезков Л]/42 и В}В2. Докажем, что точка О действительно
есть центр вращения.
В самом деле, так как АХО = А2О, ВХО — В2О и /. А1ОА2 =
= /_ ВХОВ2, то при повороте фигуры на ?_ А1ОА2 — Лср отрезок АгВх
совпадает с А2В2 и фигура из положения П1 перейдет в положе-
положение П2.
Равенство углов АХОА% и ВХОВ2 легко доказать следующим обра-
образом. Из равенства соответственных сторон (Л,/?, = А^В2, ОАХ — ОА2
и ОВХ = ОВ2) следует равенство треугольников АхВгО и А2В2О,
откуда ?_ А1ОВ1 — ?_ А2ОВ2; прибавив к обеим частям последнего
равенства по углу В1ОА2, получим:
/. АЛОА2 = /_ ВгОВ2 = Аф.
При этом легко видеть, что угол Дер равен углу между напра-
направлениями отрезков А1В1 и А2В2, т. е. остается таким же, как при
повороте вокруг любого полюса по теореме I.
Доказанные теоремы касаются лишь вопроса о том, как можно
переместить плоскую фигуру из какого-то одного фиксированного
положения в другое. Однако, основываясь на них, можно предста-
представить и геометрическую картину движения плоской фигуры.
Всякое движение, в том числе и движение плоской фигуры в ее
плоскости, непрерывно и может рассматриваться как непрерывная
последовательность элементарных перемещений, которые по доказан-
доказанным теоремам можно представить двумя способами.
1) Согласно теореме I элементарное перемещение можно получить
путем бесконечно малого поступательного перемещения вместе с про-
произвольно выбранным полюсом и поворота на бесконечно малый угол
вокруг этого полюса. Отсюда вытекает, что всякое движение
плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как

104 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
совокупность поступательного движения, определяемого движе-
движением произвольно выбранного полюса, и вращательного дви-
движения вокруг этого полюса.
2) Согласно теореме II любое элементарное перемещение фигуры
можно осуществить одним только поворотом на бесконечно малый
угол вокруг некоторого определенного центра, называемого мгно-
мгновенным центром вращения. Отсюда вытекает, что всякое непо-
непоступательное движение плоской фигуры в ее плоскости можно
рассматривать как непрерывную последовательность беско-
бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных центров вращения-
При этом положение мгновенного центра вращения непрерывно изме-
изменяется как в неподвижной плоскости, так и~ в плоскости, связанной
с движущейся фигурой.
Из доказанных теорем следует также, что поворот вокруг любого
полюса или вокруг мгновенного центра происходит с одной и той
А<р
же для данного момента времени угловой скоростью со= lim -~.
Величина <о, не зависящая от выбора полюса, называется угловой
скоростью фигуры в данный момент времени или мгновенной угло-
угловой скоростью.
3. Мгновенный центр вращения. Мгновенный центр вращения
получается как предельное положение центра конечного вращения О
(см. рис. 88), когда положение П2 фигуры
неограниченно приближается к /7t. Таким
образом, этот центр представляет собой
точку, элементарным поворотом вокруг ко-
которой фигура перемещается из данного по-
положения в соседнее положение, бесконечно
близкое к данному. Скорости всех точек
Alt A2 Ап плоской фигуры будут в
данный момент перпендикулярны к радиусам
вращения, соединяющим мгновенный центр Р
с этими точками (рис. 89). Скорость точки
ис' * плоской фигуры, совпадающей с центром Р,
будет в данный момент равна нулю; эту точку фигуры называют
мгновенным центром скоростей. Зная положение мгновенного
центра Р, можно, очевидно, найти в данный момент направление ско-
скорости любой точки плоской фигуры. Так как перпендикуляры
к направлениям скоростей всех точек плоской фигуры, восставленные
из этих точек, пересекаются в данный момент в центре Р, то для
определения положения мгновенного центра вращения надо
знать направления скоростей каких-нибудь двух точек фи-
фигуры; восставив из этих точек перпендикуляры к направлениям
их скоростей, получим в точке пересечения этих перпендикуляров
мгновенный центр вращения Р.

§9]
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
105
/
(
в
)
а)
S

--~
•ч
\
)
б)
4. Центроиды. Геометрическую картину движения плоской фигуры
в ее плоскости можно еще представить с помощью так называемых
центроид. Как указывалось, при движении плоской фигуры положе-
положение мгновенного центра вращения будет вообще непрерывно изме-
изменяться как на неподвижной плоскости, так и на плоскости, связанной
с движущейся фигурой. Геометрическое
место мгновенных центров вращения
иа неподвижной плоскости есть, сле-
следовательно, непрерывная кривая, кото-
которая называется неподвижной цент-
роидой (или неподвижной полодией).
Геометрическое место мгновенных цен-
центров вращения на подвиоюной плоско-
плоскости, связанной с движущейся фигурой,
есть также непрерывная кривая, назы-
называемая подвижной центроидой (или
подвижной полодией).
Картину образования центроид мож-
можно представить себе следующим обра-
образом. Будем точки, принадлежащие не-
неподвижной плоскости, обозначать знач-
значком (О)- а подвижной — значком (X).
Пусть в некоторый момент времени tx
1
точка (®) является мгновенным цент-
центром вращения (рис. 90, а; эта точка
обозначена знаком ® как принадле-
принадлежащая одновременно и неподвижной
и подвижной плоскостям). В следую-
следующий момент времени t2 (рис. 90, б),
после поворота вокруг нового мгно-
1 1 1
венного центра, точки (О) и (X) разойдутся. Точка (О) сохра-
сохранит при этом свое положение в неподвижной плоскости п^ц,
а точка (X) по отношению к плоскости Й^Л переместится, но со-
сохранит свое положение относительно подвижной плоскости; положения
2
нового мгновенного центра на неподвижной плоскости (О) и на под-
2 2
вижной (X) будут опять совпадать в точке (®) и т. д. Таким
образом, мгновенные центры, соответствующие последовательным мо-
моментам времени (рис. 90, в), действительно расположатся по непре-
непрерывным кривым — центроидам. В каждый момент времени обе цен-
центроиды будут касаться друг друга в мгновенном центре вращения,
соответствующем этому моменту.

0.
106 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
После элементарного поворота фигуры вокруг данного мгновен-
мгновенного центра подвижная центроида, повернувшись вместе с фигурой,
соприкоснется с неподвижной в новой точке, которая будет мгно-
мгновенным центром для следующего момента времени и т. д.
Следовательно, при движении фигуры подвижная центроида ка-
катится по неподвижной без скольжения (точка касания, являющаяся
для фигуры мгновенным центром скоростей, имеет скорость, равную
нулю). Пользуясь этой картиной, данной
Лодоижная ллосностьи Пуансо, можно всякое непоступательное
подвижная центроида J „ . '
• движение плоской фигуры в ее плоскости
осуществить геометрически качением без
скольжения неизменно связанной с этой
фигурой подвижной центроиды по непо-
неподвижной (рис. 91).
Так, например, если круг D (рис. 92)
f/елоддижная центроида катится без скольжения по прямой d, та
рис 91. окружность круга будет подвижной, а
прямая d — неподвижной центроидой.
Мгновенный центр вращения будет в точ-
точке Р касания обеих центроид.
: fj Чтобы представить кинематическую
¦Р картину движения, надо еще в каждый
Рис. 92. момент времени задать угловую скорость
фигуры, т. е. задать e>(f).
Траектория какой-либо точки М фигуры по отношению к непо-
неподвижной центроиде является рулеттой (рис. 93). Рулеттой вообще
называется траектория какой-либо точки плоскости, неизменно свя-
связанной с плоской фигурой, катящейся
Рале/пта / без скольжения по неподвижной кри-
кривой, называемой базой. Например,
при качении одной окружности па
другой рулета ами будут укороченные
г/р ""///7^7ft777Tr^ и РастянУтые эпи' или гипоциклоиды.
При решении некоторых кине-
кинематических задач можно пользо-
Рис. 93. ваться принципом обратимости
движения, т. е. считать за основ-
основную, неподвижную, плоскость — подвижную, а за подвижную—ту»
которая раньше считалась неподвижной. При таком обращении дви-
движения, очевидно, подвижная и неподвижная центроиды поменяются
ролями. Это бывает удобно при решении задач на нахождение центроид.
Пример. Рассмотрим движение отрезка прямой, концы которого дви-
движутся по сторонам прямого угла, так называемое карданово движение
(рис. 94). Ясно, что скорости концов отрезка АВ будут направлены по сто-
сторонам прямого угла АСВ.

«91
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
107
Поэтому мгновенным центром вращения будет точка Р пересечения
перпендикуляров к этим сторонам, проведенных из точек А а В. При дви-
движении мгновенный центр Р будет оставаться на постоянном расстоя-
расстоянии от точки С, так как для любого положения отрезка АВ всегда
PC = АВ = const; следовательно, неподвижной центроидой будет окружность,
описанная из С, как из центра, радиусом СР. Чтобы найти подвижную цен-
центроиду, воспользуемся принципом об-
обратимости и, считая отрезок АВ не-
неподвижным, найдем неподвижную цен-
центроиду для движения прямого угла.
Рис. 94.
скользящего своими сторонами по концам отрезка АВ (рис. 95). Мгновенный
центр Р, очевидно, опишет в этом движении окружность, имеющую диа-
диаметром отрезок АВ, так как во все время движения PA J_ PB; эта окруж-
окружность, служащая для обращенного движения неподвижной центроидой, для
необращенного движения явится искомой подвижной центроидой (окруж-
(окружность с центром в С для обращенного движения будет, очевидно, подвижной
центроидой).
Таким образом, карданово движение можно осуществить качением
окружности, диаметр которой равен длине движущегося отрезка, по вну-
внутренней стороне окружности с диаметром, равным удвоенной длине отрезка.
б. Скорости точек плоской фигуры. Пусть плоская фигура
движется по отношению к основной системе отсчета Q^n (рис. 96),
в которой положения полюса А и произволь-
произвольной точки М определяются соответственно ра-
радиусами-векторами рл и рм. Тогда в любой
момент времени между Векторами рА, рм и
r = AM имеет место соотношение рл1 = Рл~"Ьг<
Дифференцируя обе части этого равенства по
времени, будем иметь:
dr
J2
dt
_ d'A ¦
~~ dt ~r
dt
Рис. 96.
Но так как АМ = const, то вектор г изменяется при движении
фигуры только по направлению. Следовательно, для него справед-
dr dp.
лива формула B2) § 8, т. е. -^ = n»Xr. Кроме того,
a —f- — vA, и мы получаем:
dt
¦ = v.
или vM =
D)

108
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ Ш
Таким образом, в соответствии с теоремой о сложении скоростей,
скорость любой точки М плоской фигуры складывается из: 1) ско-
скорости vA произвольно выбранного полюса А, общей для всех точек
фигуры; это скорость поступательной части движения фигуры; и
2) скорости vMA — 0) X г, происходящей
вследствие вращения фигуры вокруг по-
полюса А (рис. 97). Вектор vMA направлен
перпендикулярно к МА в сторону вра-
вращения фигуры, а по модулю vMA = е> • AM.
Полученный результат позволяет най-
найти скорость любой точки фигуры, если
известны скорость какой-нибудь одной
ее точки А и угловая скорость фигуры е>.
Другие способы определения скоростей
точек плоской фигуры вытекают из рас-
рассматриваемых ниже теорем.
Теорема I. Если известны скорость какой-либо точки
фигуры и направление скорости другой ее точки, то можно
определить скорость любой точки плоскости этой фигуры
с помощью мгновенного центра вращения.
Пусть даны скорость точки А и направление скорости точки В.
По данным направлениям скоростей в точках А к В (рис. 98) строим
мгновенный центр вращения Р. Тогда из
равенства
vA = © • РА
находим мгновенную угловую скорость о>
вращения фигуры
» = ;&¦ E)
Рис. 97.
Рис. 98.
Отсюда скорость vM произвольной точки М
фигуры в этот момент будет:
vM = <*.PM = vA-^, F)
а направление vM перпендикулярно к РМ.
Равенство F) показывает, что в каждый данный момент времени
скорости всех точек плоской фигуры пропорциональны их расстоя-
расстояниям от мгновенного центра вращения.
Если направления заданных скоростей vA и vB будут между собой
параллельны, то доказанная теорема теряет силу. При этом может
иметь место один из следующих случаев.
а) 'РдЦфд, но точки Л и В не лежат на общем перпендикуляре
к vA (рис. 99). В этом случае, как видно из рисунка, мгновенный
центр Р лежит в бесконечности и равенство E) дает е> = 0.

§9]
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
109
Тогда из формулы D) следует, что скорость любой точки фигуры
vM = vA, т. е. имеет место мгновенное поступательное распределение
скоростей.
б) ФдИ^д. а точки А и В лежат на об-
общем перпендикуляре к АВ (рис. 100). В этом
случае перпендикуляры АР и ВР к векто-
векторам юА и vB сливаются и для определения
положения точки Р надо дополнительно знать
модули обеих скоростей. Тогда, согласно
формуле F), будет:
РА
в
РЕ
Рис 99.
и точка Р найдется как пересечение прямой,
соединяющей концы векторов, изображаю-
изображающих скорости vA и vB, с прямой АВ.
Следовательно, в этом случае для на-
нахождения скорости любой точки фигуры надо
знать модули и направления скоростей обеих
точек А и В.
Если, в частности, будет vA~vB, то
опять имеет место мгновенное поступатель-
поступательное распределение скоростей и для любой
точки фигуры v = vA.
В заключение отметим, что если плоское
движение фигуры осуществляется путем ка-
качения ее без скольжения по некоторой неподвижной линии (как,
например, на рис. 92), то контур фигуры и эта линия будут соответ-
соответственно подвижной и неподвижной центроидами и, следовательно,
точка их касания будет мгновенным
центром вращения. Для определения
скорости любой точки фигуры надо в
этом случае знать только скорость
какой-нибудь одной из ее точек.
Во всех случаях, когда мгновенный
центр Р найден, угловая скорость
фигуры или скорость любой ее точки
вычисляются по формулам E) и F).
Теорема II. Проекции скоро-
скоростей концов неизменяемого отрезка
на его направление равны между
собой. Пусть vA и vB суть скорости концов отрезка АВ (рис. 101).
Восставив из точек А и В перпендикуляры к соответствующим ско-
скоростям, найдем мгновенный центр вращения Р. Если мгновенная
угловая скорость отрезка АВ равна со, то скорости точек А я В
Рис 101.

по
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. III
будут:
= & • PA, vB —
а их проекции на отрезок АВ
А А' = (уА)АВ = vA cos a = е> • РА • cos а = сой,-
ВВ1 = (vB)AB = vB cos p — со • РВ • cos p = ah,
где Л есть длина перпендикуляра, опущенного из Р на направление
отрезка АВ. Следовательно,
(VA)AB = &в)
G)
что и требовалось доказать.
6. Примеры. 1. При свободном падении середина С стержня АВ дли-
длиной 2/ движется вертикально вниз с постоянным ускорением g, а сам стер-
стержень вращается вокруг центра С с постоянной угловой скоростью <в, двигаясь
в вертикальной плоскости (рис. 102).
В начальный момент стержень гори-
горизонтален. Найти скорости его концов
А и В в любой момент времени t.
В
vв _
Рис. 102.
Р
Рис. 103
По формуле D) "°А —"°с~\-*>АС< где vc = gt (вектор ©с вертикален),
a v Ас = ю/, причем vAC J_ С А. Угол между vc и ч>АС равен углу поворота
стержня ф = at. Следовательно,
vA = Y~g2t2 + ю2/2
cos (at.
Аналогично определяется скорость точки В.
4 2. Определить угловую скорость и скорости точек обода колеса
радиуса R, катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу, зная
скорость vA центра А колеса (рис. 103).
Будем положение любой точки М на ободе определять углом МРА = а.
Так как колесо катится без скольжения, то точка касания Р является в дан-
данный момент мгновенным центром вращения. Пользуясь результатами, выте-

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Ш
кающими из теоремы I, находим:
v,
"м
VA
ТА-
ТАРА' РМ
Но РМ = РВ ¦ cos а = 2 • РА ¦ cos а н окончательно
R '
v = 2v . cos a.
М А
(а)
ч>м 1_ РМ, т. е. направление скорости любой точки обода
При этом
в данный момент времени проходит через конец В вертикального диаметра.
Наибольшую скорость vB = 2vQ имеет точка В.
Расчет по формуле D) оказался бы в этом случае значительно сложнее,
в чем предоставляем убедиться читателю (для определения ю при этом
расчете надо использовать то условие, что vp = 0); теоремой II мы здесь
сразу воспользоваться не можем, так как не знаем направления v^, однако,
установив, что vM J_ РМ, легко получить результат (а) и по теореме II.
3. Методы кинематики часто применяются к изучению движения меха-
механизмов, т. е. систем попарно соединенных между собой тел (звеньев),
каждое из которых имеет определенное движение по отношению к другим.
Когда все звенья движутся в параллельных плоскостях, механизм называется
плоским. Рассмотрим два плоских механизма: а) четырехзвенник ABCD
(рис. 104), состоящий из шарнирно соединенных стержней, в котором звено AD
Рис. 104.
Рис. 105.
неподвижно, и б) кривошипно-шатунный механизм (рис. 105), состоящий из
кривошипа АВ, шатуна ВС и ползуна С (шатун соединен с кривошипом и
ползуном шарнирами). Механизмы имеют одну степень свободы. Покажем,
что, зная скорость какой-нибудь точки К такого механизма, можно найти
скорость любой другой его точки Е.
Пусть нам известна скорость о„ какой-либо точки К звена АВ. Тогда
нам будет известна и угловая скорость <одв звена АВ, так как а>АВ = vJ
С другой стороны, зная <в^в, мы можем найти скорость v точки В, при-
принадлежащей одновременно звену ВС, а именно v = а. ¦ АВ и v „ J_ AB.
Одновременно нам известно направление скорости vr другой точки С

112
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
звена ВС: в случав a) vc ± CD, так как точка С принадлежит одновре-
одновременно звену CD, а в случае б) vc параллельна направляющим, так как
точка С принадлежит одновременно ползуну.
Восставляя в точках В и С перпендикуляры к vB и г>с, найдем в месте
их пересечения мгновенный центр вращения Р звена ВС. Тогда по форму-
формулам E) и F)
РВ
AB-PE
PB
АВ-
Если провести отрезок Ае || РЕ, то из подобия треугольников АВе и РВЕ
имеем:
РЕ _ Ае
РВ ~ АВ'
и скорость vB выразится через а>АВ в виде
Аналогично найдем, что vc = &АВ • Ас, где Ac || PC, и т. д. Таким обра-
образом, скорости различных точек звена ВС пропорциональны соответствую-
соответствующим отрезкам, проведенным из точки А параллельно мгновенным радиусам
вращения этих точек.
Заметим, что все доказанные выше теоремы справедливы для данного
твердого тела, а в случае механизма — для каждого данного звена меха-
механизма в отдельности. Поэтому если Р является мгновенным центром вра-
вращения звена ВС, то для любой точки этого звена vE = a>BC- РЕ, но, напри-
например, для точки К такое соотношение не имеет места (у „ Ф ивс ¦ РК), так
Рис. 106.
Рис 107.
как точка К принадлежит другому звену (звену АВ), имеющему центр вра-
вращения в точке А, тл. v = ч>Ад ¦ АК- Отметим интересный частный случай.
Если в четырехзвеннике ABCD будет АВ = DC и AD = ВС, то он обра-
образует шарнирный параллелограмм (рис. 106). При этом в любой момент вре»
мени од||»с. а следовательно, vB = vc. Звено ВС движется в этом случав
поступательно.
Для кривошипно-шатунного механизма подобный случай имеет место
в момент, когда /_ CAB =» 90° (рис. 107), но, в отличИе от шарнирного
параллелограмма, скорости всех точек звена ВС будут равны друг другу
только в данный момент времени, т. е. здесь имеет место мгновенное
поступательное распределение скоростей.
4. Рассмотрим еще пример механизма, состоящего из трех стержней
длиной ОА = 2г, ВС = I, DC = г и двух шестерен радиуса г (рис. 108).
Шестерня /, ось которой насажена на конец А стержня ОА, обкатывается

ПЛОСКОГДАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
113
по неподвижной шестерне 2. Стержень ВС прикреплен в точках В и С
к шестерне / н стержню DC шарнирами. Оси вращения О н D стержней ОА
и DC, лежащие на одной горизонтали, неподвижны. Найдем угловые
скорости «j шестерни / и а стержня ВС в момент, когда стержни ОА
и ВС горизонтальны, а стержень DC вертикален, считая угловую ско-
скорость а>0А стержня ОА в этот момент известной.
Для определения угловой скорости тела надо зиать скорость какой-
нибудь его точки и расстояние этой точки от центра вращения. По данным
Задачи v, = » ,-2г. Мгновенный центр вращения шестерни /, катящейся
без скольжения по шестерне 2, нахо-
находится в точке их касания Pt. Следова-
Следовательно, vB _L PjB. С другой стороны,
скорость vA _L АР^ a vQ J_ DC. Отсюда
no теореме II находим, что vB cos 45° =
«=i/. н v cos45° = vr. Таким образом,
Зиая направления vB и vc, строим
мгновенный центр вращения Р2 стерж-
стержня ВС. При этом, как видно из рисунка,
Р2С = 1. Окончательно находим:
VC
= 2@
ОА-
Рис. 108.
Заметим, что было бы ошибочно искать какой-то центр вращения, вос-
сгавляя перпендикуляры к скоростям яд и v?, так как точки А и С при-
принадлежат разным телам.
В этом примере, как и в предыдущих, механизм имел одну степень
свободы, т. е. движение механизма определялось движением одного враща-
тельно (или поступательно) перемещающего звена. Если в рассмотренном
механизме шестерня 2 будет вращаться во-
вокруг оси О (независимо от стержня ОА), то
механизм будет иметь две степени свободы.
Движение такого механизма определяется за-
заданием вращательного (или поступательного)
движения двух звеньев. Пусть в данный мо-
момент будут известны угловые скорости е>2 ше-
шестерни 2 и в>0А стержня ОА, вращающихся
независимо друг от друга в одну и ту же сто-
сторону (рис. 109; стержни ВС и CD на нем не
показаны). Найдем в этот момент угловую
скорость coi шестерки /.
По условиям задачи для шестерни / ле1КО определяются модули и на-
направления скоростей двух ее точек: v = оу (К — точка касания шестерен)
и vA = а>0А ¦ 2г; обе скорости параллельны. Тогда мгновенный центр вра-
вращения Pi шестерни / находится построением, аналогичным показанному
на рис. 100 (в этом случае мгновенный центр уже не будет в точке К, так
как шестерня 2 вращается). По формуле E) имеем:
Рис 109
к
Следовательно, ю, =2<в
ил
8 Н, Н Бухгольц

114
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. Ш
7. Графическое построение скоростей. Изложенные в п. 5 теоремы
дают возможность простого графического построения скоростей любых
точек плоской фигуры (или связанной с ней подвижной плоскости) по ско-
скоростям двух точек. Начнем с построения скоростей точек отрезка.
а) Пусть скорости точек А и В направлены перпендикулярно отрезку АВ
(рис. 110). Тогда, как мы знаем, для определения скорости любой точки
фигуры надо знать величины vA и v . При
этом мгновенный центр вращения Р строит-
строится так, как показано на рис. 100. Скоро-
Скорости всех точек отрезка АВ будут также
к нему перпендикулярны, а концы их лежат
на прямой I, поскольку для произвольной
точки М скорость vм = и ¦ РМ.
б) Если скорость vA не перпенди-
перпендикулярна к отрезку АВ, то для опреде-
определения скорости любой точки надо знать
вектор и. и направление ВЬ скорости о
составляющие v,,, перпендикулярную к АГ
Рис. ПО,
(рис. 111). Разложим vA на
и vA2, направленную вдоль
Поэтому, отложив от точки В
АВ. По теореме
вектор vB2 = 1
перпендикуляр
¦А], перпендикулярную
II должно
2 н восставив из его конца
к АВ до пересечения с
линией ВЬ, найдем вектор vB, а затем и
B
его составляющую vBY Скорость любой
точки М на прямой АВ можно построить
как геометрическую сумму составляю-
составляющей vM2, направленной вдоль АВ и одина-
одинаковой для всех точек прямой (рМ2 — vai)>
и составляющей 9^, перпендикулярной к
АВ. При этом концы векторов гг
Рис. 111.
Рис. 112.
всех точек отрезка лежат, очевидно, на линии 1^, соединяющей концы о
и Ogj. Так как скорость любой точки М получается от сложения ч>м с
одним и тем же для всех точек вектором tfw,. то концы всех векто-
векторов vM расположатся на прямой /, получающейся из 1{ параллельным
смещением. Окончательно построение будет следующим. Зная vA и по-
построив vB, проводим через их концы прямую /. Для нахождения vM

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
115
откладываем от точки М вектор vM2 = vA2 и из его конца восставляем
перпендикуляр к АВ до пересечения с линией I в точке т. Тогда Mm = V .
Скорость любой точки Е фигуры, не лежащей на отрезке АВ, опреде-
определяется в обоих случаях следующим построением. Зная vA и найдя (или
зная) vB, соединяем точку Е с точками А к В (рис. 112). Откладываем от
точки Е вектор Ее^ = Аа и вектор Ее2 = ВЬ, где Аа и Ш — соответственно
ортогональные составляющие vA no направлению АЕ и г>д по направле-
направлению BE. Восставив из еу перпендикуляр к АЕ, а из е2 перпендикуляр к BE,
найдем точку их пересечения е. Тогда Ее = я?. Справедливость этого по-
построения следует из теоремы II.
8. План скоростей. Для графического определения скоростей
точек плоской фигуры удобно пользоваться планом скоростей. Пусть
даны скорость vA точки А и направление ВЬ скорости точки В
(рис. 113). Отложим от произволь-
произвольной точки О в выбранном мас-
масштабе вектор Oa=vA (рис. 114)
и проведем луч Ob, параллель-
параллельный ВЬ. По формуле D) долж-
должно бЫТЬ 'Ов^='°А-\-'ОВА' Где
10ва J- АВ. Следовательно, если
из точки а провести прямую ab,
направленную перпендикулярно к
АВ, до ее пересечения с линией Ob,
то вектор Ob даст в том же мас-
масштабе скорость vB, а вектор ab будет равен vBA. Для нахождения
скорости любой точки С фигуры, не лежащей на АВ, надо, очевидно,
провести из точки а прямую ас, направленную перпендикулярно
к АС, а из точки Ь — прямую be, направленную перпендикулярно
ВС, до их взаимного пересечения в точке с. Тогда на основании
той же формулы D) заключаем, что ?>с —Ос;
при этом ас —Vca1 ^с=={°св- Построенная на
рис. 114 фигура и называется планом скоро-
¦стей.
Как известно, ab = vBA — со • АВ, ас =
~vca — **' AC, bc = vCB^=® • ВС; следова-
следовательно,
ab ас __ be
ТС= ...=&. (8)
Рис. 113.
Таким образом, отрезки, соединяющие концы векторов скоростей
на плане скоростей, по направлению перпендикулярны отрезкам,
соединяющим соответствующие точки фигуры, а по модулю пропор-
пропорциональны этим отрезкам.
8*

116
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
Отсюда следует, что скорость любой точки М, лежащей на от-
отрезке АВ, найдется, если разделить отрезок ab в таком же отно-
отношении, в каком точка М делит отрезок АВ 1-^- = -т~
\ то MB
тогда
\ J
Om = vM. Угловая скорость фигуры, если известен план скоростей,
определяется из равенства (8) с учетом масштабных коэффициентов.
План скоростей механизма строится как совокупность планов ско-
скоростей всех его звеньев, причем все векторы скоростей отклады-
откладываются от одного общего центра.
Пример. Построим план скоростей механизма, изображенного на
рис. 115, считая скорость vA известной; шарнир С находится в середине АВ.
Начинаем построение со звена АВ (шатун), для которого известны ско-
скорость vA и направление скорости vQ. Откладываем от произвольного центра О
в выбранном масштабе вектор Оа = vA. Проведя линию ОЬ, параллельную
Рис. 115.
направляющим (т. е. о?), и линию ab, перпендикулярную к АВ, нахо-
находим *>в— Ob. Деля затем отрезок ab пополам (так как АС = СВ), получаем
вектор vc = ОС.
Теперь, зная <ос и направление скорости точки Е (v? J_ O,?), строим
план скоростей звена CDE. Проводя линию Ое ]_ О2Е и линию се j_ СЕ,
находим вектор Ое = о?; после этого проводим cd j_ CD и ed J_ ED и нахо-
находим вектор Od = v . Угловые скорости звеньев АВ и CDE определяются
из равенств
ab DE
9. Ускорения точек плоской фигуры. Скорость любой точки М
плоской фигуры, согласно формуле D), будет:
г). (9)
где r = AM — радиус-вектор, проведенный из полюса А в точку М
(см. рис. 96). Дифференцируя обе части этого равенства по вре-
времени, получим:
dt) M dt) a I rfw \ / dr \
dt ~~ dt ' \ dt ) ~~^ \ dt)'

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
\\Т
Величина -^—= е есть вектор углового ускорения фигуры, напра-
направленный (как и to) перпендикулярно к плоскости фигуры. Кроме
того, согласно формуле B2) § 8, -—т- = й)Х *"• Тогда, учитывая,
что ft)J_r и to-г— О, будем иметь:
tt>X-^ = w Х(«Х г) ==»(» • г) — г (to • to) = —е>2г.
В результате равенство A0) даст:
A1)
Введем обозначения
— coV = «ыцс . П 2)
Векторы W^A и W^A представляют соответственно те вращательное
(касательное) и центростремительное (нормальное) ускорения, кото-
которые имела бы точка М, если фигура совершала бы только вращение
вокруг полюса А. Окончательно находим:
или
где *"/Ил==а'л?л~Ьа!/ИЛ- Таким образом, ускорение любой точки
плоской фигуры складывается геометрически из ускорения полюса
и ускорения, которое точка получает при
вращении фигуры вокруг полюса. Так как
ej_r и г = АМ, то численно [ср. с
формулой B5) § 8]
е>2,
A5)
Угол ц, который вектор V0MA образует
с радиусом МА, определяется из равенства
..цс
®МА
Рис. 116.
Полученные результаты позволяют построить вектор wM так, как
это показано на рис. 116.
10. Примеры. При решении задач обычно бывает проще поль-
пользоваться равенством A3). При этом следует иметь в виду, что век-
вектор 11>^А направлен перпендикулярно к AM в сторону вращения
фигуры, когда оно ускоренное, и против вращения — когда замедлен-
замедленное (рис. 117); вектор w^A всегда направлен вдоль МА к полюсу А.

118
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1ГЛ. III
1. Центр С колеса радиуса R, катящегося без скольжения по прямоли-
прямолинейному рельсу, имеет в данный момент времени скорость vQ и ускорение wс.
Рис. 117.
Найдем ускорения точек обода колеса. Будем положение точки М на
ободе определять углом ср (рис. 118). Для вычисления чх>м по формуле A3)
найдем сначала а и б фигуры. Так как
точка касания Р является мгновенным
центром вращения, то
~PC~~R~
(а)
Поскольку здесь в любой момент времени
PC = R= const, то, дифференцируя обе
части равенства, получим:
•/////////У/7/////////////
Рис. 118.
d® I dvr wCr
dt ~ R dt ~ R
5i
R
В данном случае wc% — wc, так как точ-
точка С движется прямолинейно. Направле-
Направления (в и е определяются по направлениям vc и wc Зная ю и е и учитывая,
что СМ = R, находим по формулам A5)
wmc — е —wo wMC — a ~~д~'
(в)
Теперь изображаем в точке М векторы Wq, w^c и w^c, из которых,
-согласно A3), складывается ускорение w^, и вычисляем проекции и»„ иа
оси: (/), направленную вдоль МС, и B), перпендикулярную к МС. Получаем:
да «1 = —п— 1
w „п ='
cos ср).
(г)
Интересно отметить, что для мгновенного центра вращения Р (<р = 180°)
"с
¦будет ®>р2 = ®> wp\ = ~~о~' Следовательно, ускорение мгновенного центра «|„

.9]
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
119
направлено по общей нормали PC к колесу и рельсу, т. е. к центроидам,
и не зависит от ускорения полюса С (см. п. 13).
Примененным при решении задачи способом определения е можно поль-
зоваться лишь тогда, когда расстояние от мгновенного центра вращения
до полюса (в нашем случае PC) постоянно.
2. Показать, что ускорение любой точки плоской фигуры можно опре-
определить, зная скорость и ускорение какой-нибудь одной точки фигуры и
траекторию другой ее точки.
Пусть даны векторы од и wA скорости и ускорения точки А и траек-
траектория точки В (рис. 119). Следовательно, известны vA, wА> углы а, $ и q>,
радиус кривизны pfl траектории точки В
(так как дана траектория) и расстоя-
расстояние АВ.
Скорость vB направлена по каса-
касательной Вт к заданной траектории. Вос-
Восставляя перпендикуляры к vA и -ов
в точках А и В, находим мгновенный
центр Р вращения фигуры и определяем
ее угловую скорость
РА
(а)
Рис. 119.
Расстояние РА найдется из Д АВР по
теореме синусов. Заметим, что здесь
не удастся найти е дифференцированием выражения (а), так как расстоя-
расстояние РА со временем изменяется и закон этого изменения неизвестен. По-
Поэтому воспользуемся другим методом решения.
Согласно равенству A3), имеем wB = wA + «»$д + и'дд- С другой сто-
стороны, должно быть wB = i»Bx -\- wBn. Следовательно,
< = wA + wBBA+wBcA. (б)
В этом равенстве нам известны величины
2 _ VB
WA, WBA= -(В И Wm = —,
так как значение vg можно определить или из равенств v —<o- PB, или по
теореме II, которая дает v cos E ==¦ v . cos a.
Следовательно, проектируя обе части равенства (б) на направление ВР,
перпендикулярное неизвестному вектору wBx, мы получим уравнение
Bn
= ~WA sin (P — Ф) —
соа
Sin P-
из которого найдется wBpA; если величина wBpA получится отрицательной,,
то это будет означать, что вектор wBpA имеет направление, противополож-
противоположное показанному на рисунке. Зная wBA, находим
АВ •

120
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
Теперь величины ю и е определены и, зная w., можно вычислить уско-
ускорение любой точки фигуры. Если спроектировать обе части равенства (б)
на ось ВА, перпендикулярную i»BpA, то мы найдем величину wBx и по со-
составляющим иввх и wBn сразу определим ускорение точки В.
Из полученного результата следует, например, что для нахождения уско-
ускорения любой точки звена ВС механизмов, изображенных на рис. 104 и 105.
надо знать скорость и ускорение точки В, так как траектория точки С
известна.
11. Мгновенный центр ускорений. При непоступательном дви-
движении плоской фигуры в ее плоскости на фигуре (или на связанной
с ней подвижной плоскости) в каждый момент времени имеется точка,
ускорение которой в этот момент равно нулю. Эта точка называется
мгновенным центром ускорений. Для доказательства проделаем сле-
следующее построение. Пусть нам известны уско-
ускорение wA точки А, а также угловая скорость
е> и угловое ускорение е фигуры (рис. 120).
Вычислим величину \i из равенства tgpL = —^ ;
проведем под углом ц к вектору wA полупря-
полупрямую, которая должна быть отклонена от WA
в сторону вращения фигуры, если это враще-
вращение ускоренное, и против вращения, если оно
замедленное. Отложим вдоль этой прямой от-
отрезок AQ, равный
Рис. 120.
A7)
Точка Q и будет мгновенным центром ускорений. В самом деле,
=AQ y
+ со4 = wA.
Кроме того, вектор wQA должен составлять с прямой QA угол |х;
следовательно, этот вектор параллелен wA и направлен в противо-
противоположную сторону, т. е. WqA = — WA. Поэтому Wq = wa-\-WqA = 0.
Приведенное доказательство дает одновременно правило построе-
построения мгновенного центра ускорений.
Если точку Q принять в данный момент за полюс, то, так
как Wq — О, будем, согласно формулам A4) и A5), иметь:
W
'м-
A8)
Таким образом, ускорения всех точек фигуры пропорциональны
в данный момент их расстояниям до мгновенного центра Q:
_ WA _WB _
MQ ~ AQ
BQ

»91
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
121
Кроме того, углы, образуемые векторами ускорений с отрезками,
соединяющими соответствующие точки и центр Q, одинаковы и
равны ц (рис. 121). Следовательно, ускорения всех точек фигуры
распределены в данный момент так, как если бы она вращалась
вокруг центра Q, как вокруг неподвижного.
Следует подчеркнуть, что мгновенный
центр вращения Р и мгновенный центр уско-
ускорений Q — это точки разные. Для точки
фигуры, совпадающей с центром Р, vp — 0,
но wp ф 0. Для точки же, совпадающей с
центром Q, Wq=0, но Vq ф 0. Справедли-
Справедливость этих утверждений доказана ниже,
в п. 13.
Если фигура совершает чисто вращатель-
вращательное движение, то центры Р и Q совпадают
с неподвижным центром вращения фигуры.
Пример. Рассмотрим колесо радиуса R, катящееся без скольжения
по прямолинейному рельсу (рис. 122). Допустим сначала, что скорость vA
его центра А, движущегося прямолинейно, постоянна. Тогда wд = 0 и точка А
является мгновенным центром ускорений. Так как при этом мгновенный
центр вращения находится в точке касания Р, то о
мы сразу убеждаемся, что эти центры не совпа- -
дают. Далее имеем:
v, v, da
Рис 121
Тогда, согласно формуле A8), для любой точки М
обода колеса
V//////////////////////
Рис. 122.
Поскольку [х = 0, вектор а>д направлен вдоль
МА, т. е. ускорения всех точек колеса напра-
направлены к его центру А.
Расчет с помощью мгновенного центра ускорений оказывается в этом
случае очень простым. Отметим в заключение, что w.. не является нор-
нормальным ускорением точки М, так как мгновенный центр вращения колеса
находится не в А, а в точке касания Р. Поэтому нормаль к траектории
точки М направлена вдоль МР, а касательная — вдоль MB и wМп = wM cos a,
a wMx = wM sin а.
Рассмотрим теперь случай, когда центр колеса движется неравномерно.
Допустим для упрощения расчета, что R=\ м и что в некоторый момент
времени vд = 1 м/сек, wд = 1 м/сек2, причем оба вектора направлены
V л w я
в одну сторону (рис. 123). Тогда в этот момент ш = —~ = 1 сек'1, е = —~ —
R *\
1 сек~г, tg |х = 1,
45°

122
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. III
Кроме того, по формуле A7)
AQ = -
= м.
Следовательно, в этот момент времени мгновенный центр ускорения лежит
на середине гипотенузы РВ равнобедренного прямоугольного треуголь-
треугольника РАВ. Все точки, лежащие в вершинах этого треугольника, имеют оди-
одинаковые по модулю ускорения, направленные
гак, как показано на рисунке. Ускорение лю-
любой другой точки М колеса найдется из про-
пропорции
WM WA
QM ~ QA '
Заметим, что вычисление расстояния QM
для произвольной точки М оказывается до-
довольно громоздким, особенно при произволь-
произвольных значениях vA и wд. Поэтому обычно
ускорения точек плоской фигуры в подобных
случаях вычисляют или по формуле A3) (см.
рис J23 п. 10), или же графически (п. 12).
12. План ускорений. Графически уско-
ускорения точек плоской фигуры можно опре-
определять путем построения так называемого плана ускорений. Пусть нам
известны скорость г>д и ускорение wA какой-нибудь точки А фигуры
<рис. 124, векторы на нем изображены без соблюдения масштаба) и
траектория другой ее точки В (см. пример 2 в п. 10); тем самым известны
направления касательной Вх и нормали Вп к траектории в точке В и радиус
кривизны рд траектории в этой
точке. Покажем, что по этим
данным можно построить гра-
графически ускорение любой точ-
точки фигуры.
Рис. 124.
Рис. 125.
Для этого сначала, зная vA и направление vg (вдоль Вх), строим для
данной фигуры план скоростей (рис. 125, а); построение ведется так, как
указано в п. 8. Теперь строим план ускорений, откладывая векторы ускоре-
ускорений всех точек (в выбранном масштабе) от общего центра О\ и обозначая.
по аналогии
( р )
с планом скоростей, wA= OJav wB=O]by и т. д. Начнем
Д A3)
A Jv B
с определения wB- Для этого исходим из равенства A3)
A9)

§ 9] ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 123
а также из того, что от„ можно представить как сумму его нормальной
и касательной составляющих
wb = wBn + wbx- B0>
Имея план скоростей, вычисляем угловую скорость фигуры
аЪ be cd
и величину vB = Ob. По этим данным находим:
(обJ vl (ОбJ
<k=-2-^ = W' .,„-.?-.—. B2)
Теперь строим графически равенство A9). Для этого откладываем
в выбранном масштабе от некоторого центра О{ (рис. 125, б) вектор О^ =*
= w., а от его конца — вектор a-fi' — wBcA, модуль которого вычисляется
по формуле B2), а направление совпадает с направлением ВА. Так как
«"ад -L wbCA' то> восставив из точки b' перпендикуляр к axb', заключаем, что
конец Ь* вектора О^Ь, — а> должен лежать где-то на этом перпендикуляре,
поскольку, согласно A9), должно быть О^-^а^Ь'-\-b'bi = О-^Ьу.
С другой стороны, откладывая от центра О, вектор O^b" = wBn, модуль
которого тоже вычисляется по формуле B2), а направление совпадает с Вп,
и восставив из точки Ъ" перпендикуляр к О\Ь", заключаем на основании
равенства B0), что конец Ь^ вектора 0^^ = wB должен одновременно лежать
и на этом перпендикуляре,. так как, согласно B0), должно быть Оф"-{-
~|- b"bi = O\bv Таким образом, пересечение проведенных перпендикуляров
к axb' и О^Ь" дает точку Ьх — конец вектора wR. Соединяя точки О{ и bv
находим графически вектор Olbl = wR.
Из равенства A9) следует, что б'б, = wBpA, где, согласно A5), wBBpA =»
= АВ ¦ е. Отсюда можно определить величину углового ускорения фигуры ')
Одновременно, соединяя на рис. 125, б точки ах и Ьх вектором агЬи
получаем Olbl = O1al -f- aj>x или wB = wA + axby Сравнивая этот результат
с равенствами A4) и A5), заключаем, что д,6 = и . и
= А В VV +со4. B4)
Такое же соотношение имеет место для любых отрезков, соединяющих
концы векторов ускорений точек фигуры на рис. 125,6. Следовательно,
отрезки, обозначенные одинаковыми буквами, большими на рис. 124 и малыми
с индексом 1 на рис. 125, б, будут пропорциональны, т. е.
<25>
') При всех расчетах по формулам B3) — B5) должен, конечно, учиты-
учитываться масштабный коэффициент.

124 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
а треугольники, образованные соответствующими отрезками, будут подобны.
При этом, так как каждый из векторов ахЬх — wBA, blcl = wCB, . ¦. образует
соответственно с ВА, СВ~, ... один и тот же угол ц, то отрезки а\Ь{, Ъ^с^ ...
(или треугольники й^с, ...) повернуты относительно отрезков АВ, ВС, ...
(или треугольников ABC,...) на угол я— |х. Этим можно пользоваться
при построении плана ускорений, а также для проверки правильности полу-
полученных результатов.
После того как вектор ОХЬ^ = wB найден, ускорение любой другой
точки фигуры строится следующим образом.
а) Если точка D лежит на отрезке АВ (рис. 124), то ADB—прямая;
следовательно, и точки ах, dv b\ на рис. 125, б тоже лежат на одной прямой.
С другой стороны, согласно B5), должно быть:
dlbl - DB • (гЬ)
Поэтому, деля отрезок albl в данном отношении, мы найдем точку dt
и определим вектор O)dl = wD.
б) Если точка С не лежит на отрезке АВ (рис. 124), то, считая сначала
полюсом точку А, а затем точку В, будем иметь-
wc = wa + Чл + а>с?д> wc = wb + wcb + w*<?b
Пользуясь планом скоростей, вычисляем [см. первую из формул B2)]:
Теперь откладываем от точки ах вектор ахс = та^д, направление кото-
которого совпадает с СА на рис. 124, и восставляем из с' перпендикуляр к ахс';
затем от точки Ьх откладываем вектор Ьхс = «>св> направление которого
совпадает с СВ, и восставляем из точки с" перпендикуляр к Ь^с". Пересе-
Пересечение этих перпендикуляров дает точку с^; следовательно, Ох = ai . Дру-
Другим путем вектор OJci = wc можно найти, построив на отрезке а Ь^ тре-
треугольник a1blcl, подобный Д ABC на рис. 124 и повернутый относительно
него на угол я — |х (или же таким путем проверяется правильность пре-
предыдущего построения).
Полученная на рис. 125, (У фигура и является планом ускорений.
План ускорений механизма строится как совокупность планов ускорений
всех его звеньев, причем все векторы ускорений откладываются от общего
дентра О\.
Пример. Построим план ускорений для механизма, изображенного
на рис. 126, а, где АС — СВ (план скоростей этого механизма построен
на рис. 115, б). Допустим, что звено О'А вращается с постоянной угловой
скоростью а>0. Тогда ускорение точки А звена АВ будет wA^=6^j-0'А,
причем вектор w. направлен вдоль АО'. Кроме того, известна траектория
точки В этого звена — отрезок прямой О'В. Следовательно, можно построить
план ускорений звена АВ. Откладываем от центра Ot в выбранном масштабе
вектор Ojffi, = w. (рис. 126, б). Затем вычисляем

г 91
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
125
беря значение аЬ с плана скоростей; откладываем от ах вектор axb' = w^A
(аф' ff BA) и в точке Ь' восставляем перпендикуляр к аф'. Так как точка В
движется прямолинейно, то в этом случае мы сразу знаем направление wB
Рис. 126
Траектория
movitu P .
Лодбижн
центроида
(вдоль прямой О'В). Поэтому, проводя из О{ прямую, параллельную О'В,
до ее пересечения с перпендикуляром к аф', находим точку Ь,, а 'следо-
'следовательно, и вектор 0,6, = w„. Нако-
Наконец, деля отрезок а^б пополам, нахо-
находим точку Cj и ускорение wc = Olcl
Теперь, зная ускорение точки С и
траекторию точки Е (окружность радиу-
радиуса 0"Е), строим от того же центра Ot
план ускорений звена CDE. При этом
ускорения точек Е и D определяются
в точности так же, как ускорения то-
точек В и С на рис. 125. Окончательный
результат показан на рис 126, ff.
13. Некоторые свойства мгновен-
мгновенного центра вращения и мгновен-
мгновенного центра ускорений. До сих пор,
поскольку это не вызывало недоразуме-
недоразумений, мы обозначали одним и тем же
символом Р и мгновенный центр враще-
вращения и ту точку фигуры, которая в дан-
данный момент совпадает с этим центром,
ffenodti "> /
центроида
W
а
Рис. 127.
цр
т. е. мгновенный центр скоростей (это же
относится и к символу Q). В этом пункте мы условимся обозначения Р и Q
относить только к соответствующим точкам движущейся фигуры, а поло-
положения тех же центров на неподвижной плоскости обозначать через я и и.
Чтобы пояснить разницу в обозначениях, заметим, чтр геометрическое
место точек к на неподвижной плоскости образует неподвижную центроиду,
а геометрическое место положений точки Р на той же плоскости дает траек-
траекторию этой точки — рулетту (см. рис. 127). При этом очевидно, что в момент,

126
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ ГГГ
когда точки Я и я совпадают, касательная к траектории точки Р направлена
по нормали к центроидам (так как подвижная центроида катится по непод-
неподвижной без скольжения, то вдоль центроиды точка Р переместиться не может),
а) Скорость перемещения мгновенного центра вра-
вращения. Пусть плоскопараллельное движение задано качением без сколь-
скольжения подвижной центроиды по неподвижной, причем для каждого момента
времени известна угловая скорость со фигуры (рис. 127). Найдем скорость vn
перемещения мгновенного центра вращения я вдоль центроиды '). При каче-
качении подвижной центроиды по неподвижной точка касания (Р, я), являющаяся
в данный момент мгновенным центром, перейдет на этих центроидах соот-
соответственно в новые положения Р' и л'\ так как качение происходит без
скольжения, то
нли
РР' = яя'
dsl = ds2 = ds.
Угол поворота плоскости, связанной с подвижной центроидой, равен dq>,
так как после поворота нормаль P'Oi будет продолжением Ол'. Из рисунка
видно, что
где afcpi и а?ср2 суть углы между соседними нормалями соответствующих
центроид. Обозначая через р, и р2 радиусы кривизн центроид, будем
иметь:
dS) = р; d<p{, ds2 = р2 dcp2.
Р А.. / Следовательно,
Pi
P2
Pl
Разделив левую и правую части получен-
полученного равенства на dt, найдем:
dt
или
_ds_(J_ , _М
dt U ~*~ Р2 )
" \ Pi ^ P2 /
Отсюда получаем:
„ PiPs »
"рТ+рГ" *.+*»* B7)
Где А — кривизна. Легко видеть, что если центроиды будут расположены,
как показано на рис. 128, то скорость va перемещения мгновенного центра
будет:
" Pi Р2 k2 — kl'
б) Ускорение точки фигуры, совпадающей с мгновен-
мгновенным центром вращения. Для этой точки Р, являющейся в данный
') Эту скорость не следует смешивать со скоростью vp точки Р плоской
фигуры, которая в данный момент равна нулю (ур = Оу

i 9]
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
127
момент времени мгновенным центром скоростей, будет г/р = 0. Следовательно,
равно нулю и ее нормальное ускорение и вектор ускорения wp направлен
по касательной к траектории точки Р, т. е. вдоль общей нормали РО\
к центроидам (см. рис. 127). Для определения модуля wp заметим, что
t> =0 в данный момент t, а в момент t-\-kt, когда мгновенный центр
вращения переместится в положение к
(а -f- Да) • As, где As = Рк' = пп'. Тогда
эта скорость будет равна
Wp = W
Рх
,. (a>4-A<»)As
lira -1—' . , '— = a> hm
As
B9)
где г>я — скорость перемещения мгновенного центра вращения вдоль цент-
центроиды.
Пользуясь равенствами B7) и B8), находим окончательно:
PiP2
Pi ± р2
C0)
где нижний знак соответствует расположению центроид, показанному
на рис. 128. Как видим, ускорение точки Р зависит только от угловой
скорости фигуры и не зависит от ее углового уско-
ускорения (см. п. 10, пример 1).
в) Скорость точки фигуры, совпа-
совпадающей с мгновенным центром уско-
ускорений. Пусть в данный момент времени с мгно-
мгновенным центром вращения совпадает точка Р фи-
фигуры, а мгновенный центр ускорений находится в
точке Q (рис. 129). Тогда vQ = а ¦ PQ. Но, с другой
стороны,
wp = QP
согласно формуле A8), должно быть
У^е2 -f- а>4. Отсюда следует, что
или, если учесть равенство C0),
VQ=-
C1)
- C1')
Рис. 129.
?2-f- и* Pi ^ P2
Полученные результаты подтверждают сделанное в п. 11 замечание
.о том, что в данный момент для точки фигуры, совпадающей с мгновенным
центром вращения (т.е. для мгновенного центра скоростей), ср = 0, а а>р=^0;
для точки же, являющейся мгновенным центром ускорений, о»_ = 0, а ®0ФО-
14. Аналитическое рассмотрение движения плоской фигуры
В ее плоскости. Пусть плоская фигура движется по отношению
к основной (неподвижной) системе осей Q|rj (рис. 130). Примем
точку А за полюс и свяжем с фигурой подвижную систему осей Аху.
Тогда положение фигуры в любой момент времени будет определено,
если будут известны координаты %А, цА полюса А и угол ф между
осями Ох и Q?. Чтобы знать движение фигуры, надо знать зависимости
C2)

128 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
Уравнения C2), определяющие закон движения плоской фигуры
в ее плоскости, называются уравнениями плоскопараллельного дви-
движения. Покажем, как, зная уравнения C2), можно чисто аналити-
аналитическим путем найти все кинематические характеристики движения
точек плоской фигуры.
Обозначим через рд и р радиусы-векторы, определяющие поло-
положение полюса А и произвольной точки М фигуры относительно
неподвижных осей Щц, а через г — радиус-вектор, определяющий
положение той же точки М в подвюк-
7 ,-, -"/7"-^ ных осях Аху- Все эти векторы при
движении фигуры будут функциями
времени
и будут в каждый момент времени свя-
связаны соотношением
-<f P = Pa + '- C4)
Рис. 130. Обозначим через |, ц координаты точ-
точки Ж в осях Й|т], а через х, у —
координаты той же точки в осях Оху (х и у—величины постоян-
постоянные, но разные для разных точек фигуры). Тогда, проектируя обе
части равенства C4) на оси Q| и Qr], получим:
Уравнения C5) определяют закон движения точки М относительно
осей Ос,т]. Время в эти уравнения входит через |д, цА и ф, заданные
равенствами C2). Одновременно C5) дают уравнение траектории
точки Л1 в параметрической форме; уравнение траектории в виде
ф(|, rj) = 0 можно найти, исключив из C5) время t. Наконец, диф-
дифференцируя равенства C5) по времени, можно определить аналити-
аналитически скорость и ускорение любой точки М фигуры.
Мы получим выражения для проекции скорости vM и ускоре-
ускорения wM на оси координат несколько иным путем. Из формулы D)
имеем:
C6)
или, согласно равенству C4),
«л==«А + »Х(р-рд)=-%1 + »Х(р-рл). C7)

§9]
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вводя единичные векторы неподвижных осей f°, *j°,
C7) в виде
О
О
@
129
представим
C7')
где© = —5-—алгебраическая величина угловой скорости фигуры.
Тогда проекции скорости vM на неподвижные оси | и ц будут:
dr\
C8)
Теперь, вводя единичные векторы подвижных осей jc°, y°, z°, пред-
представим C6) в виде
Х° у0 2°
«л = «д+ 0 0 (о C9)
л; у О
и найдем проекции vM на подвижные оси х и у
D0)
Входящие сюда величины vAx и ¦Оду могут быть найдены путем
проектирования на оси Ох и Оу обеих частей равенства
откуда
¦^ = -7r-C0S(P + -
dt
I
di\
vAy== 5rsin(P + -rfrC0S(P- J
I
J
D1)
Координаты мгновенного центра вращения Р найдем, если при-
равням нулю скорость vM или выражения ее проекций C8) и D0).
Тогда в неподвижной системе координат получим:
где %р и цр — координаты мгновенного центра Р. Отсюда
D2)
9 Н» Н. Бухгольц

130 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. III
В подвижной же системе будем иметь:
D3)
где хр и ур—координаты центра Р. Отсюда
"Ау
Ах
Все входящие в полученные равенства координаты |р, г\р, хр и ур
являются функциями времени, причем вид их зависимости от времени
Определяется равенствами C2) и D1).
Очевидно, уравнения D2) и D3) представляют собой одновре-
одновременно параметрические уравнения неподвижной и подвижной центроид.
Исключая из них время t, можно получить соответственно уравнения
неподвижной и подвижной центроид в виде
ФAР. Лр) = 0 и f(xp, уР) = 0. D4)
Ускорение <а)м точки М получим из формулы A1) или непосред-
непосредственно дифференцируя по времени VM в равенстве C6):
= -1Г =
d
dt
D5)
dm
где s = —tz угловое ускорение фигуры.
Представив равенство D5) в виде
—Рл)~ w2(p —
найдем проекции <шм на оси |, ц
Л =
= ^# — е (Л — Т1Л) — о 2
rf2ri
D6)
D7)
Проекции WM на оси л: и у найдем непосредственно из равенства D5)
wx — wAx — еу — (?>2х,
— о2у.
D8)
При этом wAx и t2)Ay вычисляются по формулам, которые получаются
аналогично формулам D1),
*=-JiT- COS ф
•COS ф.
D9)

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
131
Координаты мгновенного центра ускорений Q найдем, приравнивая
нулю ускорение wM или выражения его проекций D7) и D8). Тогда
для определения координат lQ, t]q в неподвижной системе осей по-
получим уравнения
- е (Лс - Т1Л) - со2 (|Q - 1А) = О,
откуда
е
SO »Д
E0)
Соответственно координаты xQ, yQ мгновенного центра ускорений
в подвижной системе осей найдутся из
уравнений -л
откуда
Ах
E1)
Рис. 131,
Пример. Рассмотрим в качестве при-
примера карданово движение (см. пример в
п. 4), т. е. движение отрезка BD, скользящего своими концами по сто-
сторонам прямого угла (рис. 131). Пусть BD = 2a. Возьмем в качестве
полюса середину А отрезка и направим оси О|т) и Аху так, как показано
на рисунке. Допустим, что при движении отрезка угол ср растет пропорцио-
пропорционально времени: q> = at. Тогда |д = a sin cp, r\A = a cos cp и уравнения дви-
движения C2) будут:
= a sin <о*, цА = a cos at, cp = at.
(а)
Для любой точки М отрезка BD координата х<
сывающие движение этой точки, примут вид
= 0 и уравнения C5), опи-
I = 1д — у sin ср = (а — у) sin at,
Tl = цА -f У cos cp = (a + у) cos &t.
F)

132 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
Теперь с помощью полученных выше формул можно найти все характе-
характеристики движения. Определим сначала уравнение траектории точки М и
уравнения центроид. Исключая из равенств (б) время t, найдем:
(й-уJ г
Следовательно, траекторией любой точки М (О, у) отрезка BD является
эллипс. Далее по формулам D2) будем окончательно иметь:
— 2а sin «rf, цр = 2а cos at. (в)
1р
динат Q.
Теперь по
и, подставляя
формулам
V =
D1)
находим:
a® cos 2at, 1
эти значения в
ХР
= а:
равенства
si n 2arf,
и =
ДУ
D3),
УР =
= — a® sin 2at
определим:
¦ д cos 2a^.
Исключая отсюда время t, получим |р -f- тг^ = 4а2. Следовательно, непод-
неподвижная центроида есть окружность радиуса 2а с центром в начале коор-
коорQ
(г)
(д)
Исключая отсюда время t, получим х2р -f- y% = а2. Следовательно, подвиж-
подвижная центроида есть окружность радиуса а с центром в полюсе А.
Полученные результаты, в чем нетрудно убедиться, останутся справед-
справедливыми при любом законе вращения ф (t). Однако вид этого закона скажется
на значениях скоростей и ускорений точек отрезка.
Найдем еще положение мгновенного центра ускорений Q. По форму-
формулам E0), учитывая, что в рассматриваемом случае е = 0, получим | = 0,
х] — 0. Следовательно, когда ср изменяется по закону <р == at, мгновенный
центр ускорений находится все время в начале координат Q. Ускорение
любой точки М будет равно wM = QM ¦ a>2 и направлено к центру Q.
§ 10. Движение твердого тела около неподвижной точки
1. Теорема Эйлера — Даламбера. Рассмотрим теперь движение
абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку.
Докажем, что в этом случае имеет место теорема Эйлера—Даламбера:
Всякое перемещение твердого тела около неподвижной точки
можно получить одним только поворотом тела вокруг опреде-
определенной оси, проходящей через эту точку и называемой осью ко-
конечного вращения. Доказывается эта теорема аналогично теоре-
теореме II на стр. 102. Как известно, положение твердого тела в пространстве
определяется положением любых трех его точек, не лежащих иа йдной
прямой (§ 7, п. 1). Если точка О тела неподвижна, то его положе-
положение определится положением любых двух других точек, не лежащих
на одной прямой с точкой О. Опишем из неподвижной точки О тела,
как из центра, сферу произвольного радиуса и на этой сфере возьмем
две точки А и В (рис. 132); тогда положение тела можно опреде-
определить положением дуги АВ большого круга рассматриваемой сферы.

§ 10] ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 133
Пусть тело переместилось так, что дуга АВ заняла положение Л,^,;
тогда, соединив точки А и Av В и Вх дугами большого круга и
восставив из середины этих дуг С и D сферические перпендикуляры
(т. е. проведя через точки С и D дуги больших кругов, пересекающих
ортогонально дуги ААг и ВВг), получим в пересечении их на сфере
точку Ох, которая будет равноудалена от точек А и Ах, В и В\.
При этом сферические треугольники АВО1 и Л15]0( будут равны. По-
Повернув тело вокруг оси ОО{ на /. АО1А1 = /_ ВО1ВХ. мы совместим
дугу АВ с дугой AXBV Следователь-
Следовательно, перемещение тела из положения,
определяемого дугой АВ, в поло-
положение, определяемое дугой А^ВХ,
действительно получается одним
только поворотом вокруг оси OOV
2. Геометрическая картина
движения. Подвижный и непо-
неподвижный аксоиды. Движение твер-
твердого тела около неподвижной точки
можно рассматривать как непрерыв- Рис. 132
ную последовательность элемен-
элементарных перемещений. Согласно доказанной теореме, всякое такое
элементарное перемещение можно осуществить одним только пово-
поворотом на бесконечно малый угол вокруг некоторой оси, проходящей
через неподвижную точку и называемой мгновенной осью вращения.
Таким образом, движение твердого тела около неподвижной точки
можно рассматривать как непрерывную последовательность беско-
бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных осей вращения, прохо-
проходящих через эту точку.
Геометрическое место мгновенных осей вращения при движении
тела образует в пространстве, связанном с неподвижной системой
отсчета, конус, называемый неподвижным аксоидом (от слова
axis — ось). Кроме того, мгновенная ось вращения при движении
тела изменяет свое положение в самом теле (точнее, в пространстве,
связанном с телом). Эта коническая поверхность, образуемая семей-
семейством мгновенных осей вращения в пространстве, связанном с дви-
движущимся телом, называется подвижным аксоидом.
Подвижный и неподвижный аксоиды имеют общую вершину
в точке О, и в каждый данный момент времени мгновенная ось
вращения будет служить общей образующей для подвижного и не-
неподвижного аксоидов. Таким образом, подвижный аксоид при дви-
движении тела будет катиться без скольжения по неподвижному аксоиду.
Как видим, получающаяся в этом случае картина движения тела
совершенно аналогична картине, данной Пуансо для плоскопарал-
плоскопараллельного движения (см. § 9), только роль мгновенного центра вра-
вращения здесь играет мгновенная ось, а роль центроид — аксоиды.

134
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА |ГЛ III
Плоскопараллельное движение твердого тела можно рассматривать
как движение около неподвижной бесконечно удаленной точки; тогда
аксоиды из конусов превращаются в цилиндры, пересечения которых
с основной плоскостью дадут центроиды. Заметим, что теорема
Эйлера — Даламбера в этом случае пере-
переходит в теорему II для плоскопараллель-
плоскопараллельного движения (стр. 102).
Примером может служить волчок с не-
неподвижной точкой О (рис. 133), совер-
совершающий так называемую регулярную пре-
прецессию (волчок вращается вокруг своей
оси Oz, а эта ось обращается в свою
очередь вокруг вертикали О\ так, что
?_ zO\ = const). При этом движении мгно-
мгновенная ось вращения волчка ОР, лежа-
лежащая между осями z и |, описывает от-
относительно неподвижного пространства
неподвижный конус 1, а в самом теле —
подвижный конус 2; при движении волчка около точки О подвижный
конус (аксоид) будет катиться без скольжения по неподвижному.
3. Мгновенная угловая скорость и мгновенное угловое уско-
ускорение тела. Угловая скорость ю, с которой происходит элементар-
элементарный поворот тела вокруг мгновенной оси вращения, называется мгновен-
мгновенной угловой скоростью или угловой ско-
скоростью тела в данный момент времени. Век-
Вектор w направлен вдоль мгновенной оси
вращения и может быть приложен в любойее
точке, в частности в точке О, общей для
всех мгновенных осей. При движении тела
вектор w в общем случае изменяется со вре-
временем и по модулю и по направлению, т. е.
to = м (/). Производная от <о по времени
определяет вектор
dt
A)
Рис 134.
называемый мгновенным угловым ускоре-
ускорением или угловым ускорением тела в дан-
данный момент времени. Направление вектора $ совпадает с направле-
направлением касательной Ах к годографу вектора ь> (рис. 134). Вектор е
будем также изображать отложенным от центра О.
4. Скорости точек тела, движущегося около неподвижной
точки. По аналогии с плоскопараллельным движением заключаем,
что распределение скоростей всех точек твердого тела будет в дан-
данный момент времени таким же, как если бы мгновенная ось враще-

§ 10] ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 135
ния была неподвижной. Следовательно, скорость любой точки тела
в данный момент времени определяется векторной формулой Эйлера:
i j k
р q r , B)
х у z
где г = ОМ — радиус-вектор, проведенный из центра О в точку М
тела; р = ах, <7 = «у, г = @г — проекции вектора ь> на какую-нибудь
систему прямоугольных осей Oxyz, проведенных из точки О (см.
рис. 134); х, у. z — координаты точки М в этой системе осей.
Из векторного равенства B) получаем:
vx = qz — ry, vy = rx— pz, vz = py — qx. C)
Это — так называемые формулы Эйлера, определяющие проекции
скорости любой точки М (х, у, z) тела, имеющего неподвижную
точку О. Вид этих формул не зависит от того, считаем мы оси Oxyz
неподвижными или же связанными с телом и вращающимися вместе
с ним, т. е. эти формулы ковариантны по отношению к переходу
от неподвижной к подвижной системе осей. Формулы B4) в § 8
являются их частным случаем.
5. Ускорение точек тела, движущегося около неподвижной
точки. Теорема Ривальса. Найдем ускорение точки М твердого
тела, движущегося около неподвижной точки О. Дифференцируя по
времени обе части равенства B), получим:
dv do> ., , ч , dr ...
Но здесь ¦—- = v — w X '". а -^- = е. Поэтому
e = tXr+eX« = iXr4-nX(«Xr). E)
Раскрывая второй член правой части, как тройное векторное про-
произведение, получим w X (м X г) = w (w • г) — гйJ и, следовательно,
«у = еХ r+w(w -г)— га2. F)
Здесь вообще ь> не перпендикулярно к г, как это было в случае
плоскопараллельного движения, и w • г Ф 0.
В проекциях на оси координат Oxyz (подвижные или непод-
неподвижные) равенство F) дает:
— a2y, \ G,
(a2z. )
Если оси Oxyz неподвижные, то ех = р, ey = q, ег = г.

136
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
Выражению F) можно придать иной вид. Заменяя U) через юа>°
и вынося со2 за скобки, имеем:
*» X (<•> X г) = «о2 {и>° (ю° • г) — г}.
Но 1й°-г=г(Л есть проекция вектора г на направление w (рис. 135),
поэтому
««> X («о X г) = о2 (r^w0 — г) == ю2/*,
где А — вектор, равный разности векторов гаы° и г.
Окончательное выражение ускорения, принадлежащее Ривальсу,
будет:
2 (8)
Рис. 135
Вектор @2А, направленный к мгновенной ос» вращения, называется
осестремительным компонентом ускорения (по аналогии с выраже-
выражением /?о>2 — центростремительного компонента при
круговом движении точки). Что касается вектора
sX г, то он направлен перпендикулярно плоско-
плоскости, проходящей через векторы г и е, т. е. так,
как было бы направлено касательное ускорение
точки М, если тело вращалось бы вокруг оси,
совпадающей с е. Вектор е X г называют еще
вращательным компонентом ускорения.
6. Уравнение мгновенной оси вращения.
Уравнение мгновенной оси вращения найдем,
исходя из того соображения, что скорости то-
точек твердого тела, лежащих на мгновенной оси, в данный момент
времени равны нулю. Возьмем две системы координат, имеющих
общее начало в неподвижной точке О: одну неподвижную (основ-
(основную) Olrfc, а другую, Oxyz, подвижную, неизменно скрепленную
с телом. Пусть проекции вектора w на неподвижные и подвижные
оси будут соответственно pv qv rx и р, q, r, а проекции радиуса-
вектора г любой точки М тела на те же оси (т. е. координаты этой
точки) — Е, ц, I и х, у, z.
Заметим, что проекции мгновенной угловой скорости w будут
функциями времени; что же касается вектора г, то его проекции
на подвижные оси, т. е. координаты х, у, z какой-нибудь точки
тела, будут постоянны, так как оси Oxyz неизменно связаны с телом,
проекции же |, ц, ? на неподвижные оси зависят от времени.
Для точек, лежащих на мгновенной оси w, будет v = 0 или
по формуле Эйлера
X г = 0.
(9)

$ 10] ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 137
Проектируя равенство (9) на подвижные и неподвижные оси или
пользуясь непосредственно формулами C), получим соответственно:
qz— гу —0, rx — pz = 0, ру— qx = 0 A0)
и
qll = 0. A1)
Таким образом, координаты точек мгновенной оси удовлетворяют
уравнениям A0) в подвижной и уравнениям A1) в неподвижной
системе осей.
Из равенств A0) получаем уравнение мгновенной оси вращения
для подвижной системы
±=У- = ±, A2)
р q г' к >
а из равенств A1) — для неподвижной
Р\ Ч\ Г!
Исключая из уравнений A2) и A3) время, от которого зависят
проекции р, q, r и рх, qx, rv получим уравнения подвижного и не-
неподвижного аксоидов. Из A2) имеем:
причем правые части суть функции времени. Исключая из этих ра-
равенств время, получим:
т. е. уравнение конуса, который будет подвижным аксоидом. Таким же
образом получим уравнения неподвижного аксоида.
Пример. Круглый конус, высота которого равна h, а угол при вер-
вершине — 2а. катится по горизонтальной плоскости без скольжения так, что его
вершина О неподвижна, а центр основания С движется с постоянной по
модулю скоростью vc (на рис. 136 показано осевое сечение конуса верти-
вертикальной плоскостью). Найдем скорость и ускорение точки В конуса, зани-
занимающей в данный момент наивысшее положение.
При качении без скольжения скорости всех точек образующей ОА равны
в данный момент нулю, следовательно, ОА является мгновенной осью вра-
вращения. Поверхность конуса будет подвижным аксоидом, а горизонтальная
плоскость — неподвижным.
Так как скорости точек тела пропорциональны их расстояниям от мгно-
мгновенной оси вращения, то

138
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. III
Для определения от„ надо найти to и в. Вектор о» направлен вдоль ОА
(если точка С движется к нам), а по модулю
(б)
Поскольку и = const, то вектор о» изменяется только по направлению,
вращаясь вокруг вертикали Ог с некоторой угловой скоростью о», (при
движении точки С на нас вектор о»[ на-
направлен вниз). Тогда, согласно формуле
B2) на стр. 98,
Л .. . .
Е = —ГГ = «>i X ю. (В)
причем вектор s направлен перпендику-
перпендикулярно к плоскости гОА (к нам). Замечая,
что о»; J_ to и по модулю
~ж;
h cos a '
будем иметь:
(г)
(Д)
После_этого находим по теореме Ривальса, что w— w^ -f- w2, где вектор
То] = s X OB направлен перпендикулярно к ОВ, а вектор а»2 = ш2 • ВВ1 пер-
перпендикулярен к ОА. По модулю
h sin 2a cos a
-_b-.
h sin a
Оба вектора лежат в плоскости сечения ОАВ и угол между ними
равен 180° — 2а; следовательно,
j -f- и>2 — 2a>1a>2 cos 2a .
(ж)
Наиболее общим случаем движения твердого тела по отношению
к данной системе отсчета является произвольное движение свобод-
свободного тела. Это движение будет рассмотрено в § 12 после изучения
сложного движения твердого тела.
§ 11. Сложное движение твердого тела
1. Постановка задачи. Рассмотрим твердое тело, движущееся
относительно системы отсчета Oxyz, которая в свою очередь пере-
перемещается по отношению к неподвижной системе Щт]?. Пусть «W есть
скорость точки М тела в его движении относительно осей Oxyz
(относительная скорость), а vt-M) — скорость той неизменно Связанной
с системой Oxyz точки пространства, в которой в данный момент
находится точка М (переносная скорость). Допустим, что относительное
движение тела и переносное движение, т. е. движение системы Oxyz

§ И] СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 139
по отношению к системе О|т]?, известны; тогда скорости vf№
будут известны для всех точек тела в каждый данный момент времени.
Скорость точки М в сложном движении (абсолютная скорость) по
теореме о сложении скоростей будет:
V<.M) = vW-\-V(M). A)
Настоящий параграф посвящен решению следующей задачи:
в каждый данный момент времени при различных частных предполо-
предположениях о характере относительного и переносного движений найти
вид того результирующего сложного движения, которому соответ-
соответствует распределение абсолютных скоростей точек тела в этот момент.
Таким образом, здесь будет идти речь о сложении мгновенных
(бесконечно малых) перемещений тела. Так как распределение скоро-
скоростей точек твердого тела в данный момент зависит от его поступа-
поступательной и угловой скорости в этот момент, то рассматриваемую
задачу можно еще назвать задачей о сложении мгновенных поступа-
поступательных и угловых скоростей тела1). Заметим, что если мы имели бы
в виду сложение не мгновенных, а конечных перемещений тела,
то соответствующие теоремы получили бы в общем случае совер-
совершенно иную формулировку.
Из равенства A) вытекает, что слагаемые движения коммутативны
в том смысле, что мгновенное распределение скоростей результирую-
результирующего движения не изменится, если относительное и переносное дви-
движения поменять ролями.
Все изложенное распространяется на случай п движений, когда
тело движется относительно системы Olxlyizl, система Oxxxyxzx—
относительно системы О2хгуггг и т- д- и> наконец, система
Оп-\хп-\Уn-\zп-\ — относительно основной системы Q|t]?.
v 2. Сложение поступательных скоростей. Когда все составные
движения являются поступательными, то, в отличие от всех после-
последующих случаев, теорема о сложении скоростей формулируется и
доказывается одинаково как для мгновенных, так и для конечных
перемещений. Пусть твердое тело движется поступательно со ско-
скоростью Ч)х относительно системы Oxyz, которая в свою очередь
движется поступательно со скоростью ©2 относительно неподвижной
системы й|г|?- Тогда абсолютная скорость каждой точки тела есть
сумма относительной скорости, которая для всех точек равна vlt
и переносной скорости, которая в этом случае для любой точки
') В дальнейшем, говоря для краткости о сложении, например, двух
мгновенных угловых скоростей или мгновенной угловой и поступательной
скорости, мы всегда подразумеваем, что одну из этих скоростей имеет тело
по отношению к подвижной системе отсчета, а другую — подвижная система
отсчета по отношению к основной. То же относится к случаю сложения
трех и более скоростей.

140
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
равна ©2. Поэтому абсолютные скорости всех точек тела выражаются
одним и тем же вектором
© = ©, + ©2- B)
Следовательно, результирующее движение тела будет тоже поступа-
поступательным со скоростью v = vx-\-©2-
Если тело участвует одновременно в п поступательных движениях
со скоростями и,, 1J, ..., 1)п, то легко показать, что результирую-
результирующее движение будет также поступательным со скоростью
S
B')
ЗУ Сложение мгновенных угловых скоростей. Пусть твердое
тело совершает мгновенное вращение относительно системы Oxyz,
которая в свою очередь совершает также мгновенное вращение по
отношению к неподвижной системе Q|t]?. Таким образом, слагаемые
движения представляют собой мгновенные вращения с некоторыми
угловыми скоростями wt и w2. Рассмотрим сначала те частные случаи,
когда мгновенные оси вращения, а следова-
следовательно, и векторы wlt w2 пересекаются или
параллельны.
1) Мгновенные угловые скорости пе-
пересекаются в одной точке. Отнесем век-
векторы wlt w2 к точке О пересечения мгно-
мгновенных осей (рис. 137) и построим на них
параллелограмм. Скорость конца А диаго-
диагонали параллелограмма будет:
О А.
Рис. 137.
Модули обоих слагаемых одинаковы, так
как они численно равны удвоенным площа-
площадям равных треугольников, на которые параллелограмм разделяется
диагональю; по направлению же, как легко видеть, оба слагаемых
прямо противоположны. Поэтому скорость точки А, так же как и
скорость О, равна нулю, и прямая О А есть мгновенная ось вращения
в результирующем движении.
Если обозначить направленную вдоль О А мгновенную угловую ско-
скорость через Q, то скорость какой-нибудь точки М тела должна быть:
с другой стороны, по формуле A)
vM = Wl X ОМ -\-ы3ХОМ = (щ + Щ)ХОМ. C')

И]
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
141
Так как равенства C) и C') имеют место при любом ОМ, то отсюда
следует, что
Q = »! + ©,. D)
Следовательно, результирующее движение будет мгновенным враще-
вращением вокруг оси, проходящей через точку О, с мгновенной угловой
СКОРОСТЬЮ Q = tOj —j— Cl>2-
Этот результат легко обобщается: если твердое тело одновре-
одновременно участвует в любом числе мгновенных вращений с угловыми
скоростями tav ta2, . . ., ft),, вокруг осей, пересекающихся в одной-
точке О, то результирующее движение будет также мгновенным
вращением с угловой скоростью
Q
ti>2
... +ft)n=
1=1
E)
вокруг оси, проходящей через О.
Пример. Если волчок вращается вокруг своей оси Ог с угловой ско-
ростью о»,, а сама ось Ог обращается вокруг вертикальной оси О? с угло-
угловой скоростью о»2 (рис. 138), то эти движения, складываясь, дают мгновенное
вращение с угловой скоростью о» = o»j -\- о»2
вокруг оси 01, направленной по диаго-
диагонали параллелограмма, построенного на
векторах о»! и ю2 (оси ги J здесь также
являются мгновенными, так как ось Ог
меняет все время свое направление по от-
отношению к системе O|ii?, а ось О? — по
отношению к самому движущемуся телу).
Совершаемое в этом случае волчком дви-
движение называется регулярной прецессией;
при этом мгновенные оси Ог и 01 опи-
описывают вокруг вертикали два круговых
конуса.
Обычно наряду с обращением вокруг
вертикали ось волчка совершает еще весь-
весьма малые и частые колебания около своего
среднего положения (нутация). При этом
волчок будет иметь еще одну угловую скорость т3, направленную в каж-
каждый момент перпендикулярно к плоскости zOt,, а его результирующая
мгновенная угловая скорость о> = о»! -f- o»2 + «з будет направлена по диаго-
диагонали параллелепипеда, построенного иа векторах »ц *>г, о»3
2) Мгновенные угловые скорости параллельны и направлены
в одну и ту же сторону (рис. 139). Очевидно, что в этом случае
движение тела будет плоскопараллельным и скорости точек, рас-
расположенных на какой-либо прямой, параллельной мгновенным осям,
будут в данный момент одинаковы; поэтому достаточно рассмотреть
скорости точек, расположенных в какой-нибудь плоскости, перпенди-
перпендикулярной к Wj и hJ. Пусть эта плоскость пересекает плоскость осей
(совпадающую с плоскостью рис. 139) по прямой АВ. Скоро-
Скорости, которые любая точка М, лежащая на отрезке АВ, получает
Рис. 138

142
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ Ш
от мгновенных вращений с угловыми скоростями tax, ft>2, будут,
очевидно, противоположны по направлению; по модулю же эти ско-
скорости равны соответственно Oj ¦ AM и to2 • ВМ. Поэтому одна из этих
точек, а именно точка С, для которой
выполняется равенство
Г
Т
ИЛИ
да
С
Рис. 139.
В
имеет скорость, равную нулю. То же са-
мое имеет место и для всех точек, лежа-
лежащих на прямой, проходящей через С и
параллельной осям; эта прямая есть поэтому мгновенная ось враще-
вращения в результирующем движении.
Для определения мгновенной угловой скорости Q результирующего
движения удобно рассмотреть скорость одной из точек А или В.
Например, для точки В мы имеем:
vB = Qj • АВ -f- (й2 • 0 =
АВ,
а с другой стороны,
vB = Q • СВ\
отсюда Q • Cfi = t
B
АВ и, следовательно,
АВ АС+СВ
или, на основании F),
G)
Итак, результирующее движение будет мгновенным вращением
с угловой скоростью Q = cu1-|-(D2- Мгновенная угловая скорость Q
расположена в плоскости мгновенных угловых скоростей talt gJ
слагаемых движений, параллельна им, направлена в ту же сторону
и делит расстояние между ними внутренним образом на части, обратно
пропорциональные модулям (Oj, to2.
3) Мгновенные угловые скорости антипараллельны, т. е.
векторы
ft>2 параллельны, но направлены в противоположные
х
стороны (рис. 140). Так же как в предыдущем случае, построим
плоскость, перпендикулярную к обеим мгновенным осям, и прямую АВ,
по которой эта плоскость пересекается с плоскостью осей.
Пусть к»! Ф сй2, и положим для определенности (Oj > о2.
Для любой точки М, лежащей на продолжении отрезка АВ за боль-
большей мгновенной угловой скоростью ю1( скорости, происходящие
от мгновенных вращений с угловыми скоростями щ, ю2, противо-

11]
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
143
положны по направлению, а по модулю равны ах • МА и со2 • MB.
Тогда одна из этих точек, а именно точка С, для которой
х • С А = а2 • СВ
или
СА
СВ
ш2
¦©г
(8)
имеет скорость, равную нулю. Следовательно, прямая, параллельная
to1, to2 и проходящая через С, есть мгновенная ось вращения для
результирующего движения. Если Q есть мгновенная угловая скорость
этого движения, то для точки В имеем:
fn = (o, • AB = Q- СВ.
Отсюда
п АВ
СВ — СА
СА\
~ ~св)
J2
со.
или, на основании (8),
Т
Рис. 140,
Итак, в случае, когда <ssx4=<ss2, результирующее движение есть
мгновенное вращение с угловой скоростью, численно равной Q =
= 0»! — о2' мгновенная угловая скорость Q расположена в плоскости
мгновенных угловых скоростей ю^ ю2 слагаемых движений, парал-
параллельна им, направлена в сторону большей и делит расстояние между
ними внешним образом на части, обратно
пропорциональные модулям tolt to2-
4. Пара вращений. Совокупность
двух мгновенных вращений вокруг парал-
параллельных осей с одинаковыми по модулю и
противоположными по направлению угло-
угловыми скоростями образует пару мгновен-
мгновенных вращений или, как говорят для крат-
краткости, пару вращений. Угловые скоро-
скорости юх и ft>2 Этих вращений, удовлетво-
удовлетворяющие соотношениям
(^=@2 = 0), A0)
— — ю2
где
Рис. 141.
составляют пару мгновенных угловых ско-
ростей (рис. 141).
Формулы (9) и (8) показывают, что в случае антипараллельных
угловых скоростей в пределе при ч>2->а>1 результирующая угловая
скорость стремится к нулю, а мгновенная ось результирующего дви-
движения уходит вместе с точкой С в бесконечность, так как в пределе

144 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 1ГЛ ИГ
АС-*ВС. Отсюда можно заключить, что результирующее движение
не является вращательным.
Покажем, что пара вращений дает мгновенное поступательное дви-
движение или, иначе, что пара мгновенных угловых скоростей эквива-
эквивалентна поступательной скорости. Действительно, обозначая через Р
и Q какие-нибудь две точки, взятые на мгновенных осях вращения,
будем для любой точки М тела иметь (см. рис. 141):
v = ft>i X РМ +- о>2 X QM = щ
— ft>! X (РМ -~ QM) = ft>! X PQ-
Итак, скорости всех точек тела в данный момент равны друг другу.
Следовательно, пара мгновенных угловых скоростей действительно
эквивалентна поступательной скорости
Из A1) видно, что скорость <о результирующего поступательного
движения перпендикулярна к плоскости пары «о1( ft>2 и направлена
так, что наблюдатель, глядящий с конца v, видит векторы пары
указывающими на вращение против хода стрелки часов. Расстояние d
между мгновенными угловыми скоростями щ,
h>2 называется плечом пары. Модуль v численно
равен площади параллелограмма, построенного
на векторах щ, о>2, т. е.
v = ad. A2)
Вектор v, определяемый равенством A1),
называется моментом пары; так как он мо-
может быть приложен в любой точке тела, то это
вектор свободный. Следовательно, пара мгно-
мгновенных угловых скоростей эквивалентна мгно-
рис 142. венной поступательной скорости, равной мо-
моменту этой пары.
Наоборот, всякая поступательная скорость <о может быть пред-
представлена в виде пары мгновенных угловых скоростей, плоскость
которой перпендикулярна к «и, а плечо d и модули мгновенных угло-
угловых скоростей ю1 = а>2 = со удовлетворяют равенству A2).
Укажем еще на следующий результат. Если тело имеет в данный
момент мгновенное вращение с угловой скоростью о> вокруг оси, про-
проходящей через точку А (рис. 142), то состояние движения не изме-
изменится, если в любой точке В приложить два вектора ft)' = to и
— w' = — со. Но векторы «о и — <и' образуют пару, эквивалентную
поступательной скорости в = »Х АВ. Следовательно, мгновенное
вращение тела с угловой скоростью h> вокруг оси, проходящей через
точку А, эквивалентно мгновенному вращению с такой же угловой

II]
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
145
скоростью в/ = to вокруг параллельной оси, проходящей через любую
точку В, и поступательной скорости <о = ft) X АВ.
Пример. Движение велосипедной педали CD складывается из ее отно-
относительного вращения вокруг оси В, укрепленной на кривошипе АВ, и пере-
переносного вращения кривошипа вокруг оси А (рис. 143). Угловые скорости «,
и ю2 этих вращений по направлению противо-
противоположны, а по модулю одинаковы, так как
в любой момент времени угол поворота <р,
педали относительно кривошипа равен углу
поворота ф2 кривошипа. Таким образом, эти
два вращения образуют пару, и в результате
движение педали будет поступательным со
скоростью v = ю2 • АВ.
Пример показывает, что пара вращений
может быть эквивалентна не только мгновен-
мгновенному, но и перманентному поступательному
движению. Рис. 143
5. Сложение мгновенных угловой и поступательной скоро-
скоростей ')• Пусть теперь твердое тело совершает относительно системы
Oxyz мгновенное вращение с угловой скоростью ft), а сама эта
система совершает по отношению к неподвиж-
неподвижной Q|,T|S поступательное движение со скоро-
скоростью V (или наоборот, что в силу коммута-
коммутативности мгновенных движений несущественно).
Рассмотрим возможные частные случаи.
1) Поступательная скорость перпен-
перпендикулярна к мгновенной оси вращения Аа
(рис. 144). Заменим в этом случае мгновенную
поступательную скорость v парой угловых ско-
скоростей (ft)', — to'), беря ta' = 1Л (где h> — за-
заданная угловая скорость) и располагая пару
так, как показано на рисунке; при этом, со-
согласно A2), плечо пары d = v/a. Тогда мгно-
мгновенные вращения вокруг одной и той же оси
с угловыми скоростями ft) и — ft)' = — ft)
взаимно уничтожатся и останется только мгновенное вращение во-
вокруг мгновенной оси ВЬ с угловой скоростью й)' = й>.
Итак, при сложении мгновенного вращательного движения с угло-
угловой скоростью to и поступательного движения со скоростью v, на-
направленной перпендикулярно к to, результирующее движение будет
мгновенным вращением с такой же (по модулю и направлению) угло-
угловой скоростью ft), но вокруг мгновенной оси, смещенной в плоскости,
перпендикулярной к вектору v, на величину d = v/a.
\-со
Рис. 144
') Во всех рассматриваемых ниже случаях поступательное движение
может быть как мгновенным, так и стационарным.
10 Н. Н Бухгольц

146
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. ГЦ
Частный пример такого случая сложения движений дает плоскопарал-
плоскопараллельное движение твердого тела или движение плоской фигуры в ее пло-
плоскости, которое слагается из поступательного движения вместе с полюсом
и вращательного движения вокруг полюса и эквивалентно в каждый момент
времени мгновенному вращению с той же угловой скоростью вокруг мгно-
мгновенного центра вращения.
2) Поступательная скорость параллельна оси вращения*
В этом случае результирующее движение тела будет или перманент-
перманентным, или мгновенным винтовым движением,
а) Винтовое движение (перманентное). Пусть движение тела
слагается из равномерного вращения с угловой скоростью to вокруг
оси постоянного направления и равномерного прямолинейного посту-
поступательного движения со скоростью v, параллельной to. Результирую-
Результирующее движение тела в этом случае называется перманентным винтовым
или просто винтовым движе-
движением, а ось вращения—осью
винта.
Любая точка М тела остается
во время движения на поверхности
круглого цилиндра, описывая вин-
винтовую линию (рис. 145, а). Если
разрезать цилиндр по той обра-
образующей, на которой точка М на-
находилась в момент t = t0, и раз-
развернуть его поверхность на пло-
плоскость (рис. 145, б), то в течение
первого оборота положение точ-
точки М на развертке будет опре-
определяться координатами
где г есть расстояние точки от оси винта. Отсюда вытекает, что траек-
траектория точки М на развертке будет прямой линией, наклоненной
к оси Ох под углом а = arctg I—j.
Если в данный момент точка М находится на некоторой обра-
образующей, то через промежуток времени
т=-
A3)
она вновь пересечет эту образующую, переместившись вдоль нее на
расстояние
A4)

И]
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
147
Расстояние h называется шагом винта и не зависит от г. Ве-
Величину
Р = % A5)
называют параметром винта. Отметим, что для винта имеют место
следующие соотношения:
tg- а = — = -?;—. A6)
Скорость точки М по модулю равна
и = yV-
A7)
а направление ее составляет угол а с плоскостью, перпендикулярной
к оси винта. Ускорение точки М направлено к оси винта (перпенди-
(перпендикулярно к этой оси), а его модуль равен
w = ra2. A8)
б) Мгновенное винтовое движе-
движение. Если движение тела слагается из мгно-
мгновенного вращения с угловой скоростью и> и
поступательного движения со скоростью V,
параллельной мгновенной угловой скорости to,
то результирующее движение представляет
собою мгновенное винтовое движение,
а ось этого винта называется мгновенной
винтовой осью. Как и мгновенная ось
вращения, мгновенная винтовая ось меняет
с течением времени свое положение в про-
пространстве и в самом движущемся теле. Па-
Параметр мгновенного винтового движения равен v/a и будет вообще
тоже величиною переменной.
3) Поступательная скорость образует произвольный угол а
с мгновенной осью вращения Аа (рис. 146). Разложим поступа-
поступательную скорость <о на составляющие <о', ч>", направленные соответ-
соответственно по заданной мгновенной угловой скорости и и по перпенди-
перпендикуляру к ней. Очевидно, что
v' = v cos a, v" = v sin а.
Сложение мгновенной угловой скорости ft) и перпендикулярной к ней
поступательной скорости v" дает, согласно случаю 1), вращение
с угловой скоростью ft)' = ft) вокруг новой мгновенной оси Bb, лежа-
лежащей в плоскости, перпендикулярной к чз"\ при этом расстояние между
осями Аа и ВЬ будет равно
v" v .
d = — = — sin a.
Рис. 146.
10*

148 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
В результате тело будет иметь мгновенную угловую скорость
to' —to, направленную вдоль оси ВЬ, и параллельную ей поступа-
поступательную скорость <о', которые, слагаясь, дают мгновенное винтовое
движение с параметром
Итак, результирующее движение будет в рассмотренном случае
мгновенным винтовым движением вокруг оси ВЬ, параллельной h> и
отстоящей от оси Аа на расстоянии d.
V6. Приведение системы скользящих векторов. Главный вектор
и главный момент. Наиболее общим случаем сложного движения
твердого тела будет тот, когда тело одновременно участвует в k
мгновенных вращениях с угловыми скоростями ю,, to2 юа и т
мгновенных поступательных движениях со скоростями ч)\, 1?2> ¦ ¦ • > "°т-
Но каждую поступательную скорость можно представить как пару
мгновенных угловых скоростей; следовательно, рассматриваемый общий
случай сводится к сложению одних только мгновенных угловых ско-
скоростей Юр ft>2 Юя-
Так как угловая скорость есть вектор скользящий, то этот вопрос
представляет собой в свою очередь частный случай более общей за-
задачи о приведении системы скользящих векторов к простейшим эле-
элементам. Рассмотрим эту задачу, понимая в дальнейшем под <о любой
скользящий вектор.
Лемма. Всякий скользящий вектор to, приложенный в точке А,
можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В,
н прибавив при этом пару с моментом,
равным моменту приложенного в точ-
точке А вектора to относительно точ-
точки В. Действительно, пусть в точке А
приложен вектор to (рис. 147). Прило-
Приложим в точке В два взаимно противопо-
противоположных вектора to' —м и w" = — to. Эти
векторы в сумме дают нуль и, следова-
Рис. 147. тельно, не изменяют действия вектора ft).
Но полученную систему трех векторов со,
to', u>" можно рассматривать как вектор to' = to, приложенный в
точке В, и пару (to, to"), момент которой будет:
mom (to, to") = BA X к> = momB to. A9)
Тем самым лемма доказана.
Рассмотрим теперь систему скользящих векторов Wj, to2, ..., о>„,
расположенных как угодно в пространстве. Будем переносить эти
векторы в произвольно выбранную точку О, прибавляя при этом,
согласно только что доказанной лемме, соответствующие пары. Этот

II]
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
149
процесс называется приведением системы скользящих векторов к дан-
данному центру О; точка О носит название центра приведения- Пере-
Перенося какой-либо вектор tat, приложенный в точке At, в центр О, мы
получим вектор ft)J —й>г приложенный в точке О, и пару, момент-
которой, согласно A9), будет равен
momo ft); = гi X ft>j,
где ri = OAl (рис. 148). Этот момент,
как свободный вектор, мы можем при-
приложить в той же точке О. Таким об-
образом, после перенесения в центр О
всех векторов ы1 мы получим в точке О
две системы векторов: систему векто-
векторов h)j и систему векторов rt X «V
Складывая векторы h>(' и учитывая,
что h)^ = юг, получим вектор
0 = 2 ю;> B0)
Рис. 148.
называемый главным вектором данной системы скользящих векто-
векторов. Складывая же векторы rt X «>р полу-
получим вектор
называемый главным моментом данной
системы скользящих векторов. Итак, в ре-
результате приведения системы скользящих
векторов к центру О, мы получаем следую-
следующие элементы приведения: один скользящий х
вектор, равный главному вектору системы Si, рис 14э
и один свободный вектор, равный главному
моменту v системы относительно центра О (рис. 149). При этом
главный вектор Si равен сумме всех векторов системы, а главный
момент v равен сумме моментов всех векторов системы относительно
центра О [формулы B0) и B1)].
\/1. Изменение центра приведения. Инварианты системы сколь-
скользящих векторов. Приведем теперь рассматриваемую систему сколь-
скользящих векторов ft)], u>2, .... й)л к другому центру О' (рис. 150).
Тогда, согласно равенствам B0) и B1), получим следующие элементы
приведения:
Q/ ^ „f V" / I x. \
*? ' i ^ ' V'
где r't = O'At. Очевидно, что
tt' = 2. B2>

150
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ TII
т. е. что главный вектор не изменяется при изменении центра при-
приведения; поэтому главный вектор является инвариантом системы сколь-
-зящих векторов относительно перемены центра приведения.
, Главный момент системы
О л
«' = 2 (г) X «*,)
зависит от выбора центра приведения.
В самом деле, так как r'(:=rl — 00' =
= ri-{-OrO (см. рис. 150), то
но, согласно B1) и B0),
= ^> следовательно,
B3)
т. е. главный момент изменяется при изменении центра приведения
на величину О'О X Q. которая представляет собой, очевидно, момент
главного вектора Q, приложенного в точке О, относительно нового
центра приведения О'.
Покажем, что вторым инвариантом системы скользящих векторов
будет скалярное произведение главного вектора на главный момент,
т. е. величина
•о ¦ Q = vQ cos (v, Q). B4)
Действительно, на основании B2) и B3) имеем:
<о' • Q' = (v + ОЧТх Q) • Q =
Рис.151. =v-Q-\~(O7OXQ)-Q-
Но так как смешанное произведение (О'О X Q) • Q = 0, то величина
не зависит от выбора центра приведения- и поэтому будет инвариантна
по отношению к изменению последнего.
Вследствие инвариантности Q за второй инвариант системы, как
видно из B4), можно принимать величину
•у cos (я, Q), B5)
т. е. проекцию главного момента на направление главного вектора
(рис. 151). Так как для любого центра приведения величина B5)

S U]
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
остается неизменной, то, очевидно, главный момент системы имеет
наименьшее значение в том случае, когда его направление совпадает
с направлением главного вектора.
8. Винт. Центральная ось. Пусть данная система скользящих
векторов ft), приведена к центру О и для нее найдены Q и <о (рис. 152).
Предположим далее, что найден такой центр приведения О*, для кото-
которого главный момент ©* будет наименьшим и, следовательно, будет
направлен по главному вектору Q' = Q.
Тогда вся система векторов при при-
приведении к центру О* заменится сколь-
скользящим вектором, равным Q, и парой
с моментом v*, направленным вдоль Q.
Такая совокупность скользящего век-
вектора Q и пары с моментом v*, парал-
параллельным Q, называется винтом. Про- А-,
ходящая через точку О* прямая, вдоль
которой в этом случае направлен век-
вектор Q, называется центральной осью
системы скользящих векторов. Оче-
Очевидно, что все точки центральной оси
будут обладать тем же свойством, что Рис. 152.
и точка О*.
Найдем уравнение центральной оси. Это уравнение мы получим,
написав условие коллинеарности векторов Q и V*, т. е. полагая:
v*
B6)
где р есть постоянный скаляр, называемый параметром винта. Так
как, согласно B3), v* = <о -f- 0*0 X Q (см. рис. 152), то уравнение
центральной оси в векторной форме будет:
B7)
Вводя проекции векторов
v (vx, vr vz), ~Од*(х*, у*, z*), Q(QX, Qy, Q,),
найдем из B7) уравнение центральной оси в осях Oxyz прямоуголь-
прямоугольной декартовой системы координат
— z*Q,y) vy — (г*йх — x*Qz) vz —(x*Qy — y*Qx)
Q.,
Q,
B8)
где x*. у*, z* — текущие координаты оси. Из уравнений B7) или
B8) ясно, что центральная ось параллельна вектору Q.

152 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. Ш
9. Общий случай сложения мгновенных движений тела. Как
было указано в начале п. 6, в наиболее общем случае сложного
движения тела определение результирующего движения сводится к
сложению мгновенных вращений вокруг произвольно расположенных
осей. Пусть твердое тело участвует одновременно в п таких мгно-
мгновенных вращениях с угловыми скоростями юх, о>2 юя. Приводя
систему скользящих векторов v>t к какому-либо центру О (рис. 153),
мы заменим их одной результирующей
мгновенной угловой скоростью Q, равной
главному вектору этой системы,
и одной поступательной скоростью v, рав-
равной главному моменту этой системы,
t i i ( о г
Рис. 153. Складывая затем поступательную ско-
скорость v с мгновенной угловой скоро-
скоростью Q, получим (см. п. 5, рис. 146) мгновенное винтовое движение
{мгновенный винт) с параметром (см. рис. 153)
v cos a
ось этого винта будет, очевидно, центральной осью системы векто-
векторов »;.
Таким образом, самый общий случай сложного движения тела
приводится к мгновенному винтовому движению около некоторой
мгновенной винтовой оси. Поэтому винтовое движение есть самый
общий вид движения твердого тела.
Непрерывное движение тела будет слагаться из серии мгновен-
мгновенных винтовых движений вокруг мгновенных винтовых осей, которые
будут изменять свое направление в пространстве и в самом теле,
образуя соответственно неподвижный и подвижный винтовые ак-
соиды. Эти аксоиды будут неразвертывающимися линейчатыми по-
поверхностями, которые при движении твердого тела, касаясь друг
друга по образующей, будут катиться одна по другой со скольже-
скольжением вдоль мгновенной винтовой оси; поэтому иногда эту ось на-
называют мгновенной осью вращения и скольжения (см. еще § 12.
п. 1).
Если параметр мгновенного винта р равен нулю (т. е. если по-
поступательная скорость по оси вращения есть нуль), то мгновенная
винтовая ось обращается в мгновенную ось вращения, а результирую-
результирующее движение тела будет мгновенным вращением.

12]
ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
153
§ 12. Движение свободного твердого тела
1. Теорема Шаля для движения свободного твердого тела.
В предыдущем параграфе рассматривалось сложное движение тела,
слагавшееся из движения по отношению к одной системе отсчета,
которая в свою очередь перемещалась по отношению к другой и
т. д., при этом каждое из составных движений было мгновенным,
вращательным или поступательным движением. Результирующее дви-
движение в самом общем случае оказалось мгновенным винтовым.
Сейчас мы рассмотрим самый общий случай движения твердого
тела по отношению к одной фиксированной (основной) системе от-
отсчета. Таким движением является движение свободного твердого тела.
Это движение, оказывается, тоже будет слагаться из серии мгновен-
мгновенных винтовых движений. К такому выводу приводит теорема Шаля,
которая по отношению к свободному телу играет ту же роль, что-
и теорема Эйлера — Даламбера по отношению к твердому телу,
имеющему неподвижную точку (§ 10, п. 1), и которая нами уже
была рассмотрена для случая плоскопараллельного движения (§ 9,
п. 2).
Теорема Шаля состоит в следующем: всякое перемещение сво-
свободного твердого тела из одного положения в другое может
быть получено посредством поступательного перемещения
вместе с произвольно выбранным полюсом и поворота вокруг
некоторой оси, проходящей через этот полюс.
Пусть мы имеем твердое тело, положение которого по отноше-
отношению к системе отсчета 2|tj? определяется тремя точками А, В, С
(рис. 154, а), и пусть это тело переместилось так, что точки Л„
N 'Л6'
п
Рис. 154.
В, С заняли положения Ах, Вх, Сх. Нам нужно показать, что тело
может быть переведено из первого положения во второе посред-
посредством поступательного перемещения и поворота. Для этого пере-
переместим сначала тело поступательно так, чтобы точка А (полюс)
совпала с точкой Ах, тогда треугольник ABC займет положение
АХВ'С, причем АХВ'#АВ, В'С'#ВС, С'АХПСА. Остается совместить-

154 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III
точки В' с В) и С с Cv Но это мы можем сделать, согласно тео-
теореме Эйлера—Даламбера, посредством поворота тела вокруг неко-
некоторой оси АХР, проходящей через точку Av Итак, любое переме-
перемещение свободного твердого тела может быть действительно осущест-
осуществлено путем поступательного перемещения и вращения.
При этом, как видно из рисунка, поступательная часть переме-
перемещения зависит от выбора полюса (при полюсе А это перемещение
определяется вектором ААг, а при полюсе В—вектором ВВ1ФАА1
и т. д.); вращательная же часть перемещения, как и в случае плоско-
плоскопараллельного движения, от выбора полюса не зависит.
Проведем через полюс А координатные оси Axyz, которые бу-
будут перемещаться вместе с полюсом поступательно (рис. 154, б).
Тогда теорема Шаля, по существу, утверждает, что любое переме-
перемещение свободного тела по отношению к осям Щч]?, слагается из
вращательного перемещения вокруг точки А по отношению к осям
Ax'y'z' и поступательного перемещения вместе с осями Ax'y'z' по
отношению к осям 2|ti?. В § 11 было показано, что в случае мгно-
мгновенных перемещений такие два движения, слагаясь, дают мгновенное
винтовое движение. Можно доказать, что аналогичный результат
имеет место и для конечных перемещений. Поэтому теорема Шаля
допускает еще следующую формулировку: всякое перемещение сво-
свободного твердого тела может быть осуществлено одним
винтовым движением около некоторой винтовой оси, назы-
называемой осью конечного винтового перемещения.
Полученные результаты позволяют представить картину движения
свободного твердого тела как непрерывную последовательность эле-
элементарных перемещений одним из следующих двух способов. Из
первой формулировки теоремы Шаля вытекает, что движение сво-
свободного твердого тела можно рассматривать как слагающееся из по-
поступательного движения, определяемого движением произвольно
выбранного полюса, и из вращательного движения вокруг этого по-
полюса, как вокруг неподвижной точки. В свою очередь движение
вокруг неподвижной точки представляет собой непрерывную после-
последовательность бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных осей
вращения, проходящих через эту точку.
По второй из этих формулировок всякое элементарное переме-
перемещение тела представляет собой мгновенное винтовое движение
вокруг соответствующей мгновенной винтовой оси. Поэтому движе-
движение свободного твердого тела можно еще представить как непре-
непрерывную последовательность мгновенных винтовых движений. Гео-
Геометрические места мгновенных винтовых осей в пространстве, свя-
связанном с неподвижной системой отсчета, и в самом движущемся те-
теле образуют две линейчатые поверхности, называемые соответственно
неподвижным и подвижным винтовыми аксоидами; .так как две
соседние (бесконечно близкие) мгновенные винтовые оси не могут

12]
ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
155-
Рис. 155.
пересекаться, то эти поверхности будут неразвертывающимися. При
движении тела подвижный винтовой аксоид катится по неподвиж-
неподвижному, имея с ним в каждый данный момент времени общую обра-
образующую, являющуюся для этого момента мгновенной винтовой осью,
и одновременно проскальзывает вдоль этой образующей. Такое ка-
качение с продольным скольжением и дает последовательность мгно-
мгновенных винтовых движений. Отсюда следует, что
геометрическую картину движения свободного
тела в общем случае можно получить, если жестко
связать это тело с подвижным винтовым аксо-
идом и катить этот аксоид со скольжением вдоль
образующих по соответствующему неподвижному
аксоиду.
Примером такого качения со скольжением
может служить движение однополостного гипер-
гиперболоида по другому такому же неподвижному
гиперболоиду при условии, что эти гиперболоиды
во все время движения касаются друг друга по
образующей, которая и будет мгновенной винто-
винтовой осью (рис. 155).
В соответствующих частных случаях аксоиды
могут быть коническими поверхностями (при движении тела около не-
неподвижной точки) или цилиндрическими (при плоскопараллельном дви-
движении). В этих случаях качение аксоидов происходит без скольжения.
2. Скорости точек свободного твердого тела. Рассмотрим сво-
свободное твердое тело, которое движется относительно основной (непод-
(неподвижной) системы отсчета 2|ti?. Возь-
Возьмем подвижную систему координат
Axyz с началом в произвольной точ-
точке А, неизменно связанную с твердым
телом. Обозначим радиус-вектор
точки А через рл(?л, х\А, ?л), ра-
радиус-вектор любой точки М тела
относительно неподвижной системы
через р (?, т], ?), а относитель-
относительно подвижной—через г(х, у, z)
(рис. 156).
Согласно теореме Шаля, движе-
движение тела мы можем рассматривать
составленным из поступательного
движения вместе с полюсом А и
движения тела около точки А как неподвижной. Поэтому скорости
какой-либо точки М тела будет равна сумме двух скоростей:
1) скорости от поступательного движения, равной скорости vA = dpA/dt
точки А, и 2) скорости от движения около точки А как неподвижной»
J2
Рис. 156.

156
КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. III
которая, согласно формуле B) § 10, равна ft) X f- где to —
мгновенная угловая скорость тела. Следовательно,
dp я
ю = ю« -4— to V г = ———I— to У г. (\^
Другим путем это равенство можно еще получить так, как это сде-
сделано в § 9, п. 5.
Если принять во внимание, что г — р— рА, то формулу A) можно
еще представить в виде
dp dpA
Обозначим проекции мгновенной угловой скорости <о на подвиж-
подвижные и неподвижные оси соответственно через р, q, г и pv qv rx.
Тогда, проектируя обе части равенства B) на оси системы 2|т|?,
получим проекции скорости точки М на неподвижные оси:
dt
C)
Проектируя же на оси системы Oxyz обе части равенства A), най-
найдем проекции скорости точки М на подвижные оси:
D)
Входящие сюда величины vAx, vAy, vAz (проекции вектора <оА на
оси х, у, z) могут быть вычислены по формулам:
*>ау = -
dT
dt
dt
A3),
-B3),
^ = ¦^¦C1L-
^
C2) + -^АC3),
dt
E)
где (ik) (i, k = 1, 2, 3) суть косинусы углов между осями подвиж-
подвижного и неподвижного трехгранников, определяемые таблицей на
стр. 93.

12]
ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
157
3. Ускорения точек свободного твердого тела. Скорость лю-
любой точки М свободного твердого тела определяется формулой A)
dp.
Дифференцируя обе части этого равенства по t и учитывая, что
dr
dt
= to X г, получим (см. § 10, п. 5):
dv
или
w — да.4- —rr- X r-\- to (to • r) — to2r.
F)
G)
Проектируя обе части равенства G) на оси подвижного трехгран-
трехгранника Axyz, получим проекции ускорения на подвижные осих):
4f Z — %t У + (P* + ЧУ +
dt
dt
X ¦
dt
dp
dt
— G>2X,
+ (P x -г- ЧУ + rz) q — to2}»,
(8)
где и>Лд., ®^y wAz — проекции вектора wA на оси х, у, z. Поло-
Положив в формуле G) г = р— рл, получим выражение ускорения точки М
в виде
«' = ¦^2-= -дг + ^- X (р ~ рл) + ю [» • (Р — рлI ~ ю2(Р ~ Рл)- (9)
Проектируя обе части этого равенства на оси неподвижного трех-
трехгранника Q|ii?> найдем проекции ускорения на неподвижные оси:
d2t, d\. da. dr.
\Px (|-
г, (С-
(I-
d2ri аГ2т]л drt
[Pi (I -
?i (Л —
- ЕлI r, - to2 (C —
A0)
') Справедливость равенств \-тг) =
на стр. 161.
-^- и т. д. обоснована в сноске

158 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ ИГ
4. Уравнение мгновенной винтовой осн. Уравнение мгновенной
винтовой оси получим, исходя из того, что эта ось есть геометри-
геометрическое место точек, направление скоростей которых в данный мо-
момент совпадает с направлением вектора to. В векторной форме ус-
условие коллинеарности г и ю будет:
¦D — pta, A1)
где р— скалярная величина, представляющая собой параметр мгно-
мгновенного винта. Умножая числитель и знаменатель левой части пре-
предыдущего уравнения скалярно на ы, получим для р выражение
~ о- д» vcos (о>, v)
где v cos (о), v) представляет собой, очевидно, составляющую ско-
скорости, параллельную to. Проектируя обе части равенства A1) на
неподвижные оси и принимая во внимание формулы C), получим
уравнение мгновенной винтовой оси в неподвижных осях координат;
_
= р. A2)
Уравнение мгновенной винтовой оси относительно подвижных осей
найдется аналогичным путем с помощью равенств D) в виде
р q Г Р-
Исключая из уравнений A2) и A3) время, входящее через проекции
векторов рА (или vA) и со, получим соответственно уравнения непод-
неподвижного и подвижного аксоидов.
§ 13. Сложное движение точки
1. Основные понятия. Пусть точка движется относительно не-
некоторой подвижной системы отсчета Oxyz, которая в свою очередь
перемещается по отношению к основной (неподвижной) системе Щц?,.
Тогда движение, скорость и ускорение точки, рассматриваемые по
отношению к системе Oxyz, называются относительными, а по от-
отношению к системе Q|i]C—абсолютными (см. §6, п. 15). Разумеется,
что термин «абсолютный» есть лишь способ выражения, обозначаю-
обозначающий, что соответствующие величины отнесены к системе Q|ti^, яв-
являющейся основной (в этом же условном смысле основную систему
называют неподвижной).

131
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
159
Движение подвижной системы Oxyz по отношению к неподвиж-
неподвижной Q|ii? является для движущейся точки переносным движением,
а скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижной си-
системой отсчета точки пространства, в которой в данный момент на-
находится движущаяся точка, называются переносными. Иным образом
переносную скорость и переносное ускорение можно в каждый мо-
момент времени представить себе как ту скорость и то ускорение,
которые движущаяся точка имела бы в данный момент, если она
начиная с этого момента оказалась бы жестко связанной с подвижной
системой (т. е. не совершала относительного движения).
Для решения ряда задач механики необходимо установить зави-
зависимости между скоростями и ускорениями точки по отношению к
подвижной и неподвижной системам отсчета. Для скоростей эта за-
зависимость уже была найдена геометри-
геометрически (§ 6, п. 15) и имеет вид
A)
М
Рис. 157.
Соответствующую зависимость для уско-
ускорений получим, используя понятие об от-
относительной производной вектора.
2. Полная и относительная произ-
производные от вектора. Пусть подвижная
Oxyz и неподвижная O|tj? системы от-
отсчета имеют обшее начало О, и пусть <л— <с'
мгновенная угловая скорость подвижной
системы Oxyz по отношению к непо-
неподвижной (рис. 157). Рассмотрим точку М,
совершающую движение, которое не зависит от движения три-
триэдра Oxyz. Ее радиус-вектор г = ОМ будет, очевидно, с течением
времени изменяться в каждой из систем отсчета по разным законам.
Тогда за некоторый промежуток времени Д^ вектор г получит по
отношению к осям 0|г)? и Oxyz разные приращения, которые мы
соответственно обозначим через Дг и AV,
Пределы отношений Дг н Аг к At при At->0 дадут соответ-
соответственно производные
dr
dt
Дг
dr
dt
dr
и —гг=
dt
Дг
М
dr
Производную ~г будем называть «абсолютной» или «полной», а
производную —п «относительной» или «локальной». Найдем зави-
зависимость между этими производными. С этой целью обратимся к их

160 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. III
кинематическому смыслу. Из определений относительной <ог и абсо-
абсолютной ч)а скоростей следует, что
Но, согласно A), •oa = vr-\-ve, где переносная скорость <ое есть
скорость той неизменно связанной с триэдром Oxyz точки прост-
пространства, в которой в данный момент находится точка М. Тогда по
формуле Эйлера iJe = ft>X т и равенство A) дает:
! = ! + « X г. D)
Так как всякий вектор а = а (t), заданный как непрерывная и
дифференцируемая функция времени, можно рассматривать как ра-
радиус-вектор некоторой точки (конца этого вектора), то полная и
локальная производные любого вектора a{t) будут связаны тем же
соотношением
da da , w ,-.
Если воспользоваться проекциями, то локальная производная
любого вектора а относительно системы Oxyz может быть опреде-
определена как вектор, проекции которого на оси этой системы равны
производным от проекции вектора а на те же оси.
Дадим другое доказательство справедливости формулы E). Пусть,
как всегда, i, j, k суть единичные координатные векторы подвиж-
подвижного триэдра Oxyz; тогда
a = axi-\- ayj + azfc.
Дифференцируя по времени, получим:
da I dax ш day t daz \ I di dj
Первые три члена справа дают локальную производную
dar dav da, . da
так как они представляют собой производную вектора а при усло-
условии, что i, j, k постоянны. Производные единичных векторов суть
скорости их концов, т. е. скорости точек неизменяемой системы,
которой является триэдр Oxyz. Следовательно, по формуле Зйлера
IN"*'- ! = "Х-Л ? = »Х*. (8)

§ 131 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 151
Равенства (8) называют еще формулами Пуассона. Тогда из выра-
выражения (б) находим:
4г==-ж+^@ хн-а/» х/+<**<•> х *=
или
Заметим, что формула E) сохраняет свой вид и в том случае,
когда трехгранник Oxyz, кроме вращения вокруг точки О, совер-
совершает еще и поступательное движение, т. е. перемещается как сво-
свободное твердое тело. В самом деле, от поступательного перемещения
триэдра Oxyz единичные векторы его осей /, J, k не изменяются,
следовательно, формулы Пуассона (8) сохраняют свой вид и равен-
равенство F) опять приводит к соотношению E).
Рассмотрим частные случаи.
1) Если система Oxyz неподвижна, то
—о- ?-#¦>• <9>
2) Если вектор а неподвижен по. отношению к основной си-
системе Q|tiS, to
?-0. #«—Х«. (Ю)
3) Если вектор а неизменно связан с триэдром Oxyz, то
da r, da . , ,,,,
ЧГ^^ -rfr==WXa> AI)
т. е., как и должно быть, скорость конца а определяется в этом
случае как скорость точки твердого тела, скрепленного с триэд-
триэдром Oxyz.
К случаю второму относится вычисление относительных произ-
производных от единичных координатных векторов |°, у]0, ?° неподвижной
системы О|т|С. По формуле A0) получим:
dt
. A2)
') Равенство (9) имеет еще, очевидно, место в случае, когда а \\ о».
В частности, для самого вектора ю по этой причине будет —ут- = —•- и,
at &t
I dm\ I do» \ dp
следовательно, —n-1 = —rr = ~тг и т. д. Этот результат и использован
\ "' )х \ лъ !х at
при выводе формул (8) в § 12.
11 Н. Н. Бухгольц

162
КИНЕМАТИКА GHCTEMbt И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. III
С помощью равенств A2) можно определить производные от коси-
косинусов углов между осями подвижного и неподвижного триэдров,
которые заданы табличкой на стр. 93. По этой табличке проекции §9
на оси Oxyz равны A1), B1), (81); если р, q, r суть проекции со
на те же оси, то
i J k
^.==_wX|o==_
р q г
(И) B1) C1)
A3)
Разлагая по осям системы Oxyz, получим:
.¦=A*1)=:—[д C1)— г B1)],
= B*1) = — [г A1) — р C1I,
«=C1)-= —[рB1) —дA1)].
A4)
Из двух других равенств A2) аналогичным путем находятся фор-
формулы для производных остальных шести косинусов.
V 3. Теорема о сложении ускорений. Пусть подвижная система
Oxyz движется относительно неподвижной О|т? как свободное твер-
твердое тело. Обозначим скорость и ускорение начала (полюса) О по от-
отношению к осям QS,t? через tH и
1ОО, а мгновенную угловую ско-
скорость и угловое ускорение самого
трехгранника Oxyz по отношению
к тем же осям Q?,rfc, через ы и е
(рис. 158). Рассмотрим точку М,
совершающую движение, которое
вообще не зависит от движения
системы Oxyz. Обозначим через
р и г ее абсолютный и относите ль-
п
и/„
7 ный радиусы-векторы, а через р0
радиус-вектор точки О. Тогда в
любой момент времени
Рис. 158.
Возьмем от обеих частей этого равенства полную производную
по времени. Учитывая формулы E) и C), будем иметь:
dp dp dr dr
A6)
Но по формуле A) § 12 vo-{-taXr есть скорость той неизменно
связанной с системой Oxyz точки, в которой в данный момент на-

§ 13] СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 163
ходится точка М, следовательно, по определению это — переносная
скорость, т. е.
flo-f- мХг = «, A7)
В результате из A6) находим:
«e = «V-f-v,. A8)
Таким образом, мы другим путем доказали теорему о сложении
скоростей.
Беря теперь производные от обеих частей равенства A8), будем
иметь:
dva _ dvr . dve
Wa~ dt ~ dt "+" dt '
или, после замены iJe его значением из A7),
d dv dvn dm dr dv
^ + X) + f ^ + X + X + f
Применяя здесь формулу E) к г и иг, получим:
dvn dm I dr
В этом выражении
dvQ dm dr
vQ
T=='WO'
-dT=='WO' St
и его можно представить в виде
после приведения,
*> = -ЗГ + ®о + еХг+йХ(йХг) + 2{иХг1,). A9)
рассмотрим, что представляют собой слагаемые, входящие в пра-
правую» часть равенства A9). Величина
естч* по определению относительное ускорение (как локальная
про^водная от относительной скорости по времени). Иным путем
в этом можно убедиться, положив в A9) w = 0, е = 0, «?о = 0, т. е.
считая, оси Oxyz неподвижными. Тогда полное ускорение точки М
должно совпасть с относительным и мы придем к равенству B0).
Величина
™е = 10о + гХг + ъ>х(.<аХг) B1)
11*

164 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. III
есть переносное ускорение, так как, согласно формуле F) § 12, она
равна ускорению той неизменно связанной с системой Oxyz точки,
в которой в данный момент находится точка М. Иным путем это
можно получить, положив в A9) vr~0, та?г=г0, т. е. считая, что
точка М неизменно связана с системой Oxyz. Тогда ее полное уско-
ускорение совпадает с переносным и мы получим равенство B1).
Величина
We = 2t»Xvr> B2)
которая не входит ни в относительное, ни в переносное ускорения,
называется поворотным или кориоласовым ускорением.
В результате получаем следующую теорему о сложении ускоре-
ускорений или теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки при
сложном движении равно геометрической сумме относитель-
относительного, переносного и кориолисова ускорений
wa = <wr + we + wc. B3)
Если переносное движение (движение подвижной системы Oxyz)
является поступательным, то wc = 0, так как w = 0, и мы имеем:
wa = wr-\-we. B4)
Следовательно, при поступательном переносном движении абсо-
абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного
и переносного ускорений.
Кориолисово ускорение появляется только тогда, когда подвиж-
подвижные оси при своем движении вращаются (отсюда термин «поворотное»
ускорение). Как видно из хода доказательства, вектор wc является
суммой двух векторов со X vr Один из них учитывает изменение
вектора относительной скорости vr при непоступательном переносном
движении, а другой — изменение переносной скорости ve при отно-
относительном перемещении точки (при изменении вектора г в относи-
относительном движении).
Если подвижная система отсчета движется поступательно, равно-
равномерно и прямолинейно, то it)o — 0, со = 0, е = 0 и, как видно из B1)
и B2), zoe — 0 и it)c — 0, т. е. в этом случае относительное и абсо-
абсолютное ускорения совпадают.
Отметим еще, что кориолисово ускорение может обращаться
в нуль в данный момент времени, если в этот момент со = 0, или
vr = 0, или же <оГ || ю.
В тех случаях, когда wc ф О, его модуль, согласно B2), вычи-
вычисляется по формуле
<we = 2шТ sin (ю, vr), B5)

§ 13]
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
165
а направление определяется как направление векторного произведе-
произведения (о X г. Направление чос можно еще найти, спроектировав вектор vr
на плоскость П, перпендикулярную к ю, и повернув эту проекцию
на 90° в сторону переносного вращения, что видно из рис. 159.
Такой способ особенно удобен в случае
плоского движения, когда vr уже лежит
в плоскости, перпендикулярной к ю.
4. Примеры. При решении задач следует
иметь в виду, что относительная скорость vr
и относительное ускорение <вог вычисляются
обычными методами кинематики точки; при
этом подвижная система отсчета рассматри-
рассматривается как основная (неподвижная). Перенос-
Переносная скорость ve и переносное ускорение we
вычисляются как скорость и ускорение той
точки подвижной системы отсчета, с которой
в данный момент совпадает движущаяся точка.
Поскольку подвижная система движется как
абсолютно твердое тело, то вычисление ve и we производится по формулам
кинематики твердого тела. Наконец, кориолисово ускорение вычисляется по
формулам B2) или B5).
1. Шар радиуса R (рис. 160, а) вращается вокруг оси ОА по закону
ф = Ф (t). Вдоль меридиана АВ из полюса А движется точка М по закону
Рис. 159.
Рис. 160.
s = s (t). Найдем абсолютные скорость и ускорение точки в произвольный
момент времени t.
Абсолютная скорость точки М вычисляется по формуле A8). В данном
случае численно vr — s, а направлен вектор z>r по касательной Мх к отно-
относительной траектории АВ в сторону, определяемую знаком s. Переносная
скорость ve равна скорости той точки поверхности шара, с которой в дан-
данный момент совпадает движущаяся точка М; следовательно, ve = Лео = Л<р,
где Л — расстояние от точки М до оси вращения в рассматриваемый момент

166 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ ИГ
времени, т. е. (см. рис. 160)
?> „In Д D „In J
А = Я sin в =/? sin D-I- (а)
Направлен вектор ve перпендикулярно к плоскости, проходящей через
ось г и точку М в сторону, определяемую знаком q>. Строя на векторах
vr и ve параллелограмм, находим va = vT -\- ve. По модулю
va = У v*+ vl+ 2vrve cos (V"e
В данном частном случае vr ±ve и последнее слагаемое под знаком
радикала обращается в нуль.
Абсолютное ускорение точки М находим по формуле B3). При этом
относительное ускорение вычисляем как сумму его касательной и нормаль-
нормальной составляющих: wr = wrx + wTn, где составляющие wrx и wTn напра-
направлены соответственно по касательной Мх и главной нормали Мп к траек-
траектории АВ (рис. 160, б) и численно равны
dv. .. vl h2
W^ = ^r = s> ^„ — = 75-; (б)
здесь pr — радиус кривизны относительной траектории АВ в той ее точке,
где в данный момент находится точка М (в данном случае всюду pr = R).
Переносное ускорение вычисляем как ускорение той точки поверхности
шара, в которой в данный момент находится точка М. Следовательно,
we = wex +wen, где численно
wex = Ы = й'ф, wen = ha2 — Лф2, (в)
а Л — расстояние точки М от оси вращения, определяемое равенством (а).
Направлены векторы wex и wen соответственно по касательной и нормали
к окружности, которую описывает точка поверхности шара, совпадающая
в данный момент с движущейся точкой М. Величина кориолисова ускорения
вычисляется по формуле B5)
• • S
wc = 2wt»r sin (<ог>г) = 2фв cos -^. (г)
Направление wc находится как направление векторного произведения
о» X vr. При показанных на рис. 145, а направлениях vr и » вектор wc на-
направлен так же, как вектор ve.
Окончательно получаем:
wa = wrx + wrn + wex + wen + wc- (д)
Чтобы найти модуль wa, проводим через точку М какие-нибудь коор-
координатные оси Мхуг (например, Mxnb) и вычисляем проекции всех стоящих
в правой части равенства (д) векторов на эти оси. Тогда
= 2 Wi*

S 131
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
167
2. Вычислим с помощью теоремы Кориолиса ускорение точки, совер-
совершающей плоское движение, если это движение задано (в полярных коор-
координатах) уравнениями (см. § 6, п. 12)
r = r(t) и q> =
Будем рассматривать движение точки М как сложное, считая движение
вдоль радиуса ОМ относительным, а вращение самого радиуса переносным
(рис. 161). Тогда будет:
== г • е -
' Гф, We
vr = 2фг
(а)
(б)
щ
Так как движение является плоским, то
направление wc сразу находится поворотом
вектора vr на 90° в сторону переносного вра-
вращения, т. е. в данном Случае против хода ча-
часовой стрелки (рисуиок соответствует случаю,
когда г > 0, ф > 0); направления остальных
векторов показаны в предположении; что
г">0 и <р>0. Проектируя обе части равенства (б) на радиус-вектор ОМ и
перпендикулярное к нему направление Мр, найдем радиальную и трансвер-
сальную проекции ускорения
Рис. 161.
W
рад ;
¦¦ г —
и>тр = гф 4- 2гф.
(в)

РАЗДЕЛ II
СТАТИКА
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
§ 14. Введение в кинетику
1. Сила и масса. В то время как в кинематике движение тел
изучают с геометрической точки зрения, рассматривая изменение их
положения относительно определенной системы отсчета и принимая
во внимание время, в течение которого это изменение происходит,
вторая часть механики — кинетика — посвящена изучению движения
материальных тел в зависимости от факторов, обусловливающих ха-
характер или закон рассматриваемого движения. Эги факторы зависят
как от тел, окружающих данное тело, так и от свойств самого тела.
Влияние окружающих тел заключается в том, что они взаимо-
взаимодействуют с данным телом, изменяя его движение (или вызывая
деформации тела). Это взаимодействие может происходить как путем
непосредственного соприкосновения, так и на расстоянии (с точки
зрения классической механики Галилея — Ньютона); его эффект зави-
зависит от свойств взаимодействующих тел и от их расположения в про-
пространстве. Величина, являющаяся мерой механического взаимодействия
материальных тел, называется в механике силой.
Кроме внешних воздействий, т. е. сил, движение любого мате-
материального тела определяется еще его инертностью, или инерцией,
являющейся одним из основных свойств материи. Это свойство
проявляется в способности тела сохранять свое движение при отсут-
отсутствии сил и изменять его под действием сил не сразу, а постепенно,
тем медленнее, чем больше вещества (материи) содержится в теле.
Таким образом, чем больше вещества заключено в теле, тем больше
его инерция. Величина, являющаяся мерой инерции тела, называется
массой этого тела.
Сила и масса представляют собой осЕЮвные понятия кинетики;
поэтому величины, зависящие от силы или массы, носят название
кинетических величин, тогда как величины, зависящие от расстоя-
расстояния, проходимого телом в пространстве, и от времени, называются
кинематическими.

§ 14] ВВЕДЕНИЕ В КИНЕТИКУ 169
Понятие о силе, так же как и понятие о механическом движении,
возникает из наблюдений и опыта; но существенное различие этих
понятий состоит в том, что понятие о механическом движении вполне
поддается математической интерпретации, тогда как понятие о силе
нуждается в дальнейшей абстракции.
Когда мы говорим о силе человека или животного, то мы обыкно-
обыкновенно оцениваем силу с точки зрения производимого ею эффекта,
который выражается в возникновении движения из состояния покоя
или в изменении происходящего движения, причем масштабом для
этой оценки служит субъективное чувство мускульного напряжения,
которое производит тот же самый эффект. Это представление мы
переносим на неживые вещи. Например, ощущая давление тела на
руку, в которой мы его держим, мы говорим также о давлении,
испытываемом от этого тела столом, на котором оно лежит, или
о натяжении нити, на которой подвешено это тело, причем полагаем,
что как стол, так и нить действуют на тело с некоторой силой,
которая удерживает его от падения на Землю совершенно таким же
образом, как и наша рука, в которой мы его держим. Продолжая
эту абстракцию далее, мы, в конце концов, приходим к понятию
о силе в универсальном смысле этого слова.
Точно так же понятие о массе тела является результатом абстрак-
абстракции и расширения представления о «количестве вещества, заключаю-
заключающегося в теле». В повседневной жизни о количестве вещества судят
по весу тела. Но вес тела, как известно, меняется в зависимости от
широты места и высоты над уровнем моря, а количество вещества
в теле от этих факторов зависеть не может, так как оно должно
зависеть только от свойств самого тела; поэтому вес нельзя принять
в качестве меры количества вещества. С другой стороны, известно,
что отношение веса тела к ускорению его свободного падения в без-
безвоздушном пространстве (вблизи поверхности Земли) есть величина
постоянная для данного тела и не зависит от места наблюдения, т. е.
если вес тела обозначим через Р, а ускорение свободного падения
обозначим g, то для данного тела
— — m = const. A)
Величина т., зависящая только от свойств самого тела, назы-
называется весомой массой тела и, очевидно, может быть принята за
меру количества вещества, содержащегося в теле. Ясно, что весомая
масса т в одном и том же месте пропорциональна весу тела.
Далее, из опыта известно, что различные силы сообщают одному
и тому же телу ускорения, пропорциональные силам. (Говоря здесь
об «ускорении тела», мы считаем размеры этого тела столь малыми,
что различием в движениях его частиц можно пренебречь.) Поэтому,
если под действием силы тяжести Р тело движется с ускорением g.

170 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ ГУ
то при действии на это тело какой-нибудь другой силы F оно полу-
получит такое ускорение w, что
7-7- <2>
Отсюда имеем:
F = f-w. C)
g
р
Полагая эДесь, как и в равенстве A), — = т. находим:
F = mw. D)
Чем больше величина т, входящая в равенство D), тем меньшее
ускорение w получает тело под действием одной и той же силы F,
т. е. тем медленнее под действием данной силы изменяется скорость
движения тела. Таким образом, эта величина т служит мерой инер-
инерции тела и поэтому называется инертной массой тела.
Многочисленными опытами установлено, что весомая масса и
инертная масса тела совпадают. Это весьма важное и, на первый
взгляд, очевидное положение носит название «принципа эквивалент-
эквивалентности» и является одним из основных положений общей теории отно-
относительности А. Эйнштейна, из которой вытекает созданная им теория
тяготения.
Из предыдущего следует, что масса, будучи мерой количества
вещества тела, служит в то же время мерой его инерции; следова-
следовательно, материальность и инерция проявляются в механике как
свойства эквивалентные.
2. Аксиомы, или основные законы, механики. Основные понятия
кинетики — сила и масса — вводятся в механику путем соответствую-
соответствующих определений, а соотношения между ними устанавливаются систе-
системой аксиом, или законов, которые кладутся в основу механики. Эти
аксиомы устанавливаются в результате обобщения многочисленных
наблюдений и опытов над движением материальных тел. Наиболее
распространенной является классичеекая система таких аксиом, дан-
данная И. Ньютоном и опубликованная им в 1687 г. (см. главу I, § 1).
В современной формулировке эти аксиомы (законы) могут быть
изложены в виде следующих положений.
Будем рассматривать тело столь малых размеров, что различием
в движении отдельных его точек можно пренебречь. Такое тело
называется материальной точкой (или материальной частицей); его
можно представлять себе в виде точки (геометрической), снабженной
массой. В дальнейшем материальную точку для краткости будем
часто называть просто точкой (частицей). Произведение массы т
материальной точки на ее скорость v есть векторная величина, назы-
называемая количеством движения (или импульсом) точки; так как

§ 14) ВВЕДЕНИЕ В КИНЕТИКУ 171
масса т есть величина скалярная, то направление mv совпадает
с направлением скорости точки.
Аксиома 1 (закон инерции). Материальная точка, на
которую не действуют никакие силы, имеет постоянную по
модулю и направлению скорость.
Таким образом, всякая, лишенная каких бы то ни было воздей-
воздействий извне свободная материальная точка движется прямолинейно и
равномерно (и = const) или, в частности, находится в покое (и=0).
Из кинематики известно, что всякое движение является по
существу своему относительным и требует обязательного указания
системы отсчета, по отношению к которой оно рассматривается. При
этом одна и та же точка может по отношению к одной системе
отсчета находиться в покое или двигаться равномерно и прямоли-
прямолинейно, а по отношению к другой системе совершать неравномерное
криволинейное движение, и наоборот. Отсюда вытекает, что закон
инерции имеет место только по отношению к некоторым определен-
определенным системам отсчета, которые называются инерциальными. Вопрос
о том, можно ли данную систему отсчета рассматривать как ннер-
циальную, решается опытом. Как показывает опыт, для нашей сол-
солнечной системы инерциальной можно практически считать систему
отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси напра-
направлены на так называемые «неподвижные» звезды. При решении мно-
многих технических задач можно с достаточной для практики точностью
рассматривать в качестве инерциальной систему отсчета, связанную
с Землей, или же систему, имеющую начало в центре Земли, а оси,
направленные на неподвижные звезды.
Аксиома 2 (основной закон динамики). Производная по вре-
времени от количества движения материальной точки равна
действующей на нее силе, т. е.
d (ту) _ р
dt ' ^ '
Из этого закона, справедливого также лишь по отношению
к инерциальной системе отсчета, следует, что сила, действующая на
материальную точку, является фактором, изменяющим ее количество
движения. В классической механике масса частицы считается постоян-
постоянной; поэтому основной закон динамики может быть еще представлен
в виде
m4F=F F)
dv
или, так как —tt = w, где w есть ускорение точки,
m1V = F, G)
т. е. произведение массы точки на ее ускорение равно дейст-
действующей на точку силе. Так как масса есть величина скалярная,

172 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ IV
то векторы IV и F коллинеарны, т. е. сила есть вектор, направлен-
направленный по ускорению, которое получает точка от действия силы.
В частности, если сила на точку не действует, т. е. если F=0, то
то> —0, откуда
*w = -jt- = 0 или v = const.
Итак, эффект действия силы на материальную точку заключается
в том, что точка получает ускорение; при отсутствии силы ускорение
точки равно нулю, т. е. точка движется по инерции.
Основной закон динамики дает количественную связь между кине-
кинетическими факторами, обусловливающими движение точки, т. е. между
действующей силой (внешний фактор) и массой точки (внутренний
фактор), с одной стороны, и кинематической величиной — ускорением,
с другой. Из аналитического выражения этого закона, даваемого
равенством G), следует, что: 1) одна и та же сила сообщает раз-
различным точкам ускорения, обратно пропорциональные их массам, и
2) различные силы сообщают одной и той же точке ускорения, про-
пропорциональные силам. Таким образом, действие силы на точку зави-
зависит от массы точки, которая поэтому и является мерой ее инерции.
Аксиома 3 (закон действия и противодействия). Две мате-
материальные точки действуют друг на друга с силами, равными
по модулю и направленными вдоль пря-
" мой, соединяющей эти точки, в противо-
противоположные стороны.
Эта аксиома предполагает дальнодей-
ствие, г. е. возможность действия мате-
риальных тел друг на друга на расстоянии,
что характерно для классической механики
Галилея ¦— Ньютона.
Рис. 162. Если точка А с массой тА действует на
точку В с силой FB, а точка В с массой тв
действует на точку А с силой FA (рис. 162), причем точки А и В
получают от действия этих сил ускорения, соответственно равные WA
и чов, то имеем:
FB = -FA и FA = FB
или
mAwA = mBwB;
следовательно, ускорения, сообщаемые материальным точкам силами
взаимодействия, обратно пропорциональны массам точек.
Аксиома 4 (закон независимости действия сил). Если на
материальную точку действует одновременно несколько сил,
то каждая из этих сил действует независимо от других и
сообщает точке ускорение, равное этой силе, деленной на
массу точки. Следовательно, если на точку с массой т действует

§ 14] ВВЕДЕНИЕ В КИНЕТИКУ 173
система сил Fv F2, . .., Fn, то каждая сила Ft сообщит точке уско-
ускорение
поэтому ускорение, получаемое точкой от действия всей системы
сил, будет:
откуда имеем:
п
mw='2iFr (8)
Из этого равенства следует, что система нескольких сил Fx,
F2 Fn действует на материальную точку так же, как одна
сила F, равная сумме Fv F2 Fn, т. е.
F=%fi- (9)
Это следствие представляет обобщенный закон параллелограмма
сил.
3. Системы основных единиц. Для измерения всех механических
величин достаточно ввести три основные единицы измерения. Двумя
из них принято считать единицы длины и времени, уже введенные
в кинематике. В качестве третьей (кинетической) единицы удобнее
всего выбрать единицу измерения массы или силы. Но так как сила
и масса связаны между собой основным уравнением динамики:
сила — масса X ускорение,
то произвольно может выбираться единица измерения только одной
из кинетических величин: или массы, или силы. В зависимости от
этого в механике возможно введение двух принципиально различных
систем основных единиц.
1) Первый тип систем единиц. В этих системах за основные при-
принимаются единица длины, единица времени и единица массы, а сила
измеряется производной единицей.
К системам такого рода относится международная система
единиц измерения физических величин (СИ), в которой основными
единицами измерения механических величин являются: метр A м),
килограмм массы A кг) и секунда A секI).
') В системе СИ метр есть длина, равная 1 650 763,73 длины волны
(в вакууме) излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р1й
и Ыц атома криптона-86; секунда есть 1/31556925,9747 часть тропического
года для 1900 г., января 0, в 12 часов эфемеридного времени; килограмм —
масса соответствующего платнно-иридиевого эталона.

174 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ. IV
Единицей измерения силы в системе СИ является производная
единица, численно равная силе, которая массе в 1 кг сообщает уско-
ускорение 1 м/сек2. Такая единица силы называется ньютоном A к).
Следовательно,
1 м = 1 кг • 1 м/сек2 = 1 кгм/сек2.
Другой аналогичной системой является распространенная в физике
система СГС, в которой основными единицами являются сантиметр,
грамм массы и секунда, а сила измеряется производной едини-
единицей — диной (l дина = 1СГ5 м).
2) Второй тип систем единиц. В этих системах за основные
принимаются единица длины, единица времени и единица силы, а масса
измеряется производной единицей.
К таким системам относится имеющая большое распространение
в технике система МКГС (техническая система единиц), в которой
основными единицами являются метр A м), килограмм силы
A кГ) и секунда A сек). Единицей измерения массы в этой системе
будет 1 , т. е. масса, которой сила в 1 кГ сообщает уско-
ускорение 1 м/сек2.
Соотношение между единицами силы в системах СИ и МКГС
таково: 1 кГ«9,81 м или 1 к да0,102 кГ.
Принципиальное различие между названными системами единиц
состоит в том, что в одних за основную кинетическую единицу при-
принимается единица массы, а в других — единица силы.
4. Система материальных точек. Совокупность (множество)
материальных точек (частиц) носит название системы материальных
точек (частиц). Такую систему мы можем образовать из любого мно-
множества материальных точек, выбранных нами совершенно произ-
произвольно; поэтому всякая данная точка может или принадлежать к рас-
рассматриваемой системе, или не принадлежать. Если система материальных
точек обладает тем свойством, что движение каждой точки зависит
от положения и движения остальных точек системы, то такая система
называется механической системой материальных точек. Следова-
Следовательно, для того чтобы система была механической, необходимо,
чтобы точки системы были каким-либо образом связаны между собой;
при этом между точками системы будут действовать силы взаимо-
взаимодействия (как, например, между планетами солнечной системы, если
их рассматривать как материальные точки). Любое материальное тело
(твердое, жидкое или газообразное) представляет собой механическую
систему, состоящую из очень большого числа материальных частиц
(точек), связанных между собой силами интрамолекулярного действия,
которые налагают определенные ограничения на взаимные расстояния
между частицами сообразно природе тела. Всякая совокупность мате-

§ 14] ВВЕДЕНИЕ В КИНЕТИКУ 175
риальных тел, так или иначе связанных между собой, также образует
механическую систему (ферма, механизм, машина и т. п.).
Если точки системы или тела связаны между собой неизменно,
т. е. так, что взаимное расстояние между двумя любыми точками
остается постоянным, то такая система называется неизменяемой
системой, а тело — абсолютно твердым телом; в прэтивном
случав система называется изменяемой, а тело деформируемым.
Положение системы определено, если известно положение каждой
из точек, составляющих систему, и наоборот; точно так же движение
системы известно, если известно движение каждой точки, принадле-
принадлежащей к системе, и обратно.
б. Связи. Если каждая из точек системы может занимать произ-
произвольное положение в пространстве и иметь произвольные скорости,
то система называется свободной; в противном случае система будет
несвободной. Условия, которые налагают ограничения на движение
системы, называются связями. Если связь налагает ограничение
только на положение системы или на относительное положение точек,
составляющих систему, в том смысле, что система, а следовательно,
и ее элементы не могут занимать произвольного положения в про-
пространстве, то такая связь называется геометрической; если же связь,
кроме того, налагает ограничения еще и на кинематические элементы
(например, на скорости), то такая связь носит название кинема-
кинематической-
Геометрические связи представляются аналитически уравнениями,
дающими зависимость между координатами точек системы. Для
системы, состоящей из п материальных точек, положения которых
определяются их декартовыми координатами xv ух, xv x2, у2, zv ••¦•
уравнение геометрической связи имеет вид
уг, zv х2, у2, z2 х„, у„, zn) = 0 A0)
или, сокращенно,
/(*. у, z) = 0. A0')
Примечание. Отсутствие индексов в равенствах вида A0') означает
здесь и далее, что при х, у и г нужно подразумевать все индексы от 1 до и.
Уравнение же кинематической связи, налагающей ограничения
не только на положения, но и на скорости точек системы, имеет вид
f(x, у, z, х, у, z) = 0. A1)
Связи обычно осуществляются в виде различных тел, стесняющих
свободу перемещения точек системы. Если влияние связи не может
прекратиться или, другими словами, система не может освободиться
от связи, то такая связь называется неосвобождающей; если же
система может покинуть связь, то связь носит название осво-
освобождающей. Пусть, например, материальная точка принуждена

176 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ IV
двигаться по данной поверхности; тогда эта поверхность будет по отно-
отношению к точке геометрической связью, — неосвобождающей, если
точка не может оставить поверхность, и освобождающей, если точка
может сойти с поверхности в какую-либо одну сторону; если же
точка может сойти с поверхности в обе стороны, то поверхность
уже не будет связью.
Связи, выражаемые уравнениями вида A0) или A1), являются
неосвобождающими. Если связь является освобождающей (и геоме-
геометрической), то она выражается неравенством вида
f(x, у, г)>0 или /(#, у, 2)<0. A2)
Связи, не зависящие от времени, называются стационарными
или склерономными (по терминологии Больцмана). Если же связь
зависит от времени, то она называется нестационарной или рео~
номной связью. Например, неподвижная поверхность или кривая,
по которой принуждена двигаться точка, будет склерономной связью;
если же эта поверхность или кривая движутся, то связь будет рео-
номной.
Связи, выражаемые уравнениями вида A0), A1) или A2),убудут
склерономными. Уравнение реономной связи (и притом геометриче-
геометрической, неосвобождающей) имеет вид
/(*, у, г. 0 = 0. A3)
Отметим, наконец, что по отношению к рассматриваемой системе
связи можно разделить на внутренние и внешние. Внутренней
называется такая связь, которая не препятствует перемещению всей
системы в целом, а налагает ограничения только на относительное
расположение точек системы; в противном случае связь называется
внешней. Таким образом, если связями служат тела, принадлежащие
g к системе, то эти связи будут
а>\ внутренними, и наоборот. Систему,
yf \ которая имеет только внутренние
1ы л<<^Г \ связи, также называют свободной
\с ^^~~—-\с системой.
'"'о а) 6) Пример 1. Рассмотрим систему
трех материальных точек А, В, С,
Рис. 163. соединенных между собой гибкими и
нерастяжимыми нитями, длины кото-
которых соответственно равны lAB, lBC> lАС (рис. 163, а). Эти нити по отноше-
отношению к системе частиц А, В, С будут внутренними связями, следовательно,
система будет свободной. Кроме того, эти связи будут геометрическими,
потому что взаимные расстояния точек системы не могут быть какими
угодно, а подчинены условиям:
АВ<1АВ> ВС<1ВС> АС<1АС <Э>
и освобождающими, потому что эти связи действуют только тогда, когда
AB = l,D, ВС = 1В„, АС = 1.Г, т. е. когда нити натянуты; если же,
До dC AC

§ 14] ВВЕДЕНИЕ В КИНЕТИКУ 177
например, АВ < 1дд, то точка А освобождается от связи, которой служит
нить АВ. Аналитически первая нз связей (а) выражается неравенством
(ХА ~ ХвУ + (У А ~ У В)' + (ZA ~ *В> ~ 1АВ < °-
Аналогичными неравенствами выражаются и две другие связи.
Если рассматривать систему, состоящую только из двух точек А и В,
то для этой системы нить АВ будет внутренней связью, а нити ВС и С А —
внешними, так как точка С уже ие принадлежит рассматриваемой системе.
Если нити АВ, ВС и СА заменим неизменяемыми стержнями (т. е. такими,
длина которых не может изменяться), то система (рис. 163, б) будет сво-
свободной неизменяемой системой, а связи — неосвобождающими.
Пример 2. Пусть твердый шар находится на неподвижной шерохо-
шероховатой плоскости и может катиться по ней без скольжения. В данном случае
плоскость будет налагать стеснение не только на перемещения шара, но
и на скорости его точек, потому что скорость точки шара, в которой шар
касается плоскости, должна быть равна нулю; следовательно, плоскость по
отношению к шару будет кинематической связью, притом внешней и склеро-
склерономной.
6. Координаты системы. Независимые между собой величины,
определяющие положение или конфигурацию системы материальных
точек относительно какой-либо системы отсчета, называются коорди-
координатами системы. Конфигурацию системы мы можем геометрически
изобразить точкой пространства, число измерений которого равно
числу координат системы. Если на систему наложены только гео-
геометрические связи, то число координат системы называется числом
степеней свободы этой системы.
Пусть мы имеем систему, состоящую из га материальных точек.
Положение каждой точки определяется тремя декартовыми коорди-
координатами (xv, yv, z\ где v есть номер точки; следовательно, положе-
положение всей системы, если на нее не наложены связи, будет определяться
Зге координатами:
•V -V *v (v=I. 2 »).
и такая система будет иметь Зга степеней свободы.
Допустим теперь, что система подчинена k геометрическим связям
вида A0), т. е.
/x(*i. У1- *i. *а. Уа- *2- •••• хп> Уп< гп) = 0 (х=1, 2, .... k). A4)
Тогда Ъп координат точек системы не будут уже между собой не-
независимы и не могут иметь произвольных значений, а будут связаны
k условиями A4); поэтому независимых координат будет:
Ъп — k. A5)
Таким образом, число координат системы, а следовательно и число
степеней свободы ее, будет 3ft — k.
12 Н, Н. Бухгольц

178
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
За координаты системы можем принять в данном случае любые
Зга — k декартовых координат xv, yv, z^, которые будем считать
независимыми; тогда остальные k из этих координат будут функциями
первых. Можно Зга — k независимых декартовых координат системы
преобразовать б другие посредством точечного преобразования, выра-
выразив их в функциях Зл — k независимых переменных qv q2, .... qSn_k>
т. е. положив
где xv yj, ... будут аналитическими функциями переменных qt,
причем якобиан
д(хи уи ,..) , Л
Тогда qv q2, ,,., q3n_k будут координатами системы, в общем случае
криволинейными. Декартовы координаты точек системы в этом случае
будут функциями координат qx, q2, .... q3n_k, т. е.
уп, zn\qv q2
q3n_k.
Пример 1. Система двух материальных точек /«ц и т2, соединенных
между собой неизменяемым стержнем длиной /, движется по сфере
радиуса R. Возьмем начало координат в центре
сферы (рис. 164), и пусть координаты точек будут
"И (хь У и Z\) и т2 (хг, уг, ^г). Тогда связи системы
~т\ выразятся уравнениями;
-/2 = 0, (а)
-/?2 = 0, (б)
\-R2 = 0. (в)
Таким образом, шесть координат точек системы
связаны тремя уравнениями и независимых коор-
координат будет три. Следовательно, система имеет
три степени свободы, и число координат системы (за которые можно при-
принять любые три из шести координат хх, уи гг, х2, у2, г?) равно трем.
Связи, выражаемые уравнениями (а), (б), (в), будут геометрические, неосво-
бождающие и склерономные. Если точки тх и т2 могут сходить со сферы
во внутреннюю область, то последние две связи станут освобождающими и
будут выражаться неравенствами:
Рис. 164.
4+А+4-
(а')
(б')
Если радиус сферы изменяется пропорционально времени, т. е. R =
где а есть постоянный коэффициент, то равенства (б) и (в) примут вид
-о,
= 0.
(а")
(б")

ВВЕДЕНИЕ В КИНЕТИКУ
179
Связи будут уже реономными, так как в их уравнения будет явно входить
время.
Пример 2. Неизменяемая система. Рассмотрим неизменяемую си-
систему, состоящую нз и материальных точек. Возьмем три какие-либо точки:
/, 2, 3 (рис. 165), координаты которых соответствен-
соответственно будут: '
(v=l, 2, 3).
Так как эти точки связаны между собой неизмен-
неизменно, то девять их координат должны удовлетворять
трем уравнениям связи'):
S (х1 — х2) — /12
•*з) =**
23'
^ 3 u dl Рис. 165.
где /12> '2з> 'з1 будут постоянные расстояния между
соответственными точками; следовательно, из девяти координат независи-
независимыми будут только шесть. Присоединим четвертую точку; тогда при-
прибавятся три координаты х4, у4, г4 и три уравнения связи предыдущего
типа, выражающие постоянство расстояний четвертой точки от точек /, 2, 3.
Таким образом, присоединение каждой новой точки вносит три коорди-
координаты и три уравнения связи. Следовательно, Зя координат точек си-
системы будут связаны 3 + 3 (и — 3) =
= 3и — 6 уравнениями связи; поэтому
число независимых координат будет
равно
Зй — (Зй — 6) = 6.
Итак, свободная неизменяемая сис-
система (в частности, абсолютно твердое те-
тело) определяется шестью координатами
и, следовательно, имеет шесть степеней
свободы.
7. Виды сил. Материальные те-
тела могут действовать друг на дру-
друга или путем непосредственного со-
соприкосновения, или на расстоянии;
в зависимости от этого силы, которые служат в механике мерой
взаимодействия тел, можно разделить на две категории.
1) Поверхностные силы — силы, действующие на точки поверх-
поверхности тела. Они возникают при действии одного тела на другое не-
непосредственным соприкосновением и приложены к той части поверх-
поверхности тела, в которой взаимодействующие тела касаются друг друга.
Пусть тело 1 действует на тело 2, касаясь его вдоль некоторой поверх-
поверхности о (рис. 166). Действующие на эту поверхность распределенные
силы характеризуются их напряжением р, т. е. величиной силы,
Рис. 166.
') В этих равенствах S (xi~ x2J ^=(xl~x2J-\-(yi — угJ + {г1 — г2J
и т. д.
12*

180
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
приходящейся на единицу площади. Если на элемент da площади
контакта действует сила dF, то
Величина р будет вообще функцией координат точки, определяющей
положение элемента da; размерность р будет сила 2 .
Если на очень малый элемент поверхности действует
конечная сила F,r то, пренебрегая размером этого эле-
элемента, мы придем в пределе к абстрактному представле-
представлению о сосредоточенной силе, приложенной к телу
в одной точке. С достаточной степенью точности со-
сосредоточенной можно, например, считать силу, с кото-
которой на тело действует нить (рис. 167), прикрепленная
к телу в точке А (фактически, конечно, нить прикре-
прикреплена не к «точке», а к какому-то элементу поверх-
поверхности тела).
2) Массовые, или объемные, силы — силы, кото-
которые действуют иа все частицы тела. К таким силам
относятся силы дальнодействия, такие, например, как силы тяготения
или тяжести. Массовые силы характеризуются их напряжением /, т. е.
величиной силы, приходящейся на единицу
объема. Пусть при взаимодействии тел
(]) и B) на элемент объема di тела 2
действует сила dF (рис. 168); тогда
Рис. 167.
L
dx
A8)
будет
Величина / является вообще функцией
рис 168. координат точки, определяющей положе-
положение элемента объема dr. Размерностью /
Пусть масса рассматриваемого элемента объема
сила
(длинаK
равна dm; тогда величина
dm
•==p.
A9)
представляющая собой массу единицы объема в данной точке, назы-
называется плотностью тела в данной точке и есть, очевидно, функция
координат этой точки; размерность ее будет начз ¦ Если ускоре-
ускорение, сообщаемое элементу объема силой dF, обозначим по, то будем
иметь;
dF = dm • w = pw dx. B0)

§ 14] ВВЕДЕНИЕ В КИНЕТИКУ 181
Сравнивая равенства A8) и B0), получим:
f=pw. B1)
Если силу dF будем относить не к единице объема, а к единице
массы, то из равенства B0) получим:
¦—=«. B2)
dm v '
Отсюда видно, что сила, отнесенная к единице массы в данной точке
тела, равна ускорению, получаемому этой точкой от действующих
на тело массовых сил.
Кроме деления сил на поверхностные и массовые, силы, действую-
действующие на систему, можно разделить еще на внутренние и внешние.
Внутренними силами называются силы, происходящие от взаимо-
взаимодействия частиц (тел), принадлежащих системе; силы, происходящие
от действия тел, не принадлежащих системе, называются внешними.
8 Реакции связей. Связи, налагаемые на точки системы, сте-
стесняют свободу движения этих точек, отклоняя их движение от того,
которое они имели бы под действием тех же сил, будучи свобод-
свободными от связей. Поэтому мы можем считать, это эффект действия
связей такой же, как и действия сил, вследствие чего действие
связей можно заменить соответствующими силами, которые
называются реакциями связей (аксиома связей).
Реакции связей по природе своей несколько отличаются от всех
других действующих на систему сил, не являющихся реакциями,
которые принято называть активными силами. Это отличие заклю-
заключается в том, что реакция связи не вполне определяется самой
связью; ее модуль, а иногда и направление зависят еще от других
сил, действующих на систему, и от движения системы (при отсут-
отсутствии активных сил и движения реакции вообще не возникают).
Модуль же и направление каждой активной силы (или их зависимость
от времени, координат точки приложения силы и скорости) известны
заранее и от других приложенных к системе сил не зависят. Кроме
того, активные силы, действуя на покоящуюся систему, могут сооб-
сообщить ей то или иное движение (отсюда и наименование «активные»);
реакции же связей этим свойством не обладают, вследствие чего
их еще называют пассивными силами.
Связи осуществляются обычно в виде различных тел, стесняющих
свободу движения системы. В этих случаях реакция связи пред-
представляет собой силу, приложенную в точке, в которой связь сопри-
соприкасается с телом, причем направление реакции совпадает с тем
направлением, по которому связь препятствует перемещению тела;
если таких направлений несколько, то направление реакции, а также
и напряжение ее определяются в зависимости от активных сил,
действующих на тело, и от движения самого тела. Кроме того.

182
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
ГГЛ. IV
нужно заметить, что реакция связи есть действие связи на тело;
при этом тело действует на связь с силой, равной реакции и ей
противоположной, по закону действия
и противодействия.
Пусть, например, твердое тело ве-
весом Р подвешено в неподвижной точ-
точке О на нерастяжимой нити, прикре-
прикрепленной к точке А тела (рис. 169, а).
Нить, служащая связью, дает реакцию Т,
приложенную в точке А тела и на-
направленную по нити; числовое значение
этой реакции равно в данном случае
весу тела Р, ибо нить действует на
тело с силой Т, а тело действует на
нить с силой Р. Если же тяжелое тело
весом Р, подвешенное на нити к непо-
неподвижной точке О (рис. 169, б), совер-
совершает колебания (маятник), то реакция
нити Т будет по-прежнему направлена вдоль нити, однако ее
численная величина будет зависеть не только от Р, но и от угла <р
и угловой скорости ~г, т. е., вообще говоря, от движения тела.
Если связью служит неподвижная гладкая поверхность (рис. 170),
то она дает реакцию N, приложенную в точке касания А тела к этой
поверхности и направленную по нормали к ней; напряжение реакции
зависит от активных сил, действующих на тело, и от движения тела.
Неподвижная гладкая кривая, служащая связью (рис. 171), развивает
б)
Рис 169.
Рис. 170.
Рис. 171.
Рис. 172.
реакцию, приложенную в точке касания А и направленную по нор-
нормали к кривой; в этом случае реакция может иметь какое угодно
напряжение и направление, лежащее в нормальной плоскости, про-
проведенной к кривой через точку А. Если связью является неподвижная
точка О (рис. 172), то она может дать любую по напряжению и
направлению реакцию N, приложенную к этой точке. Модуль и

§ 35) ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ 183
направление реакции в последних двух случаях зависят от действую-
действующих активных сил и от движения тела.
Связи, развивающие нормальную реакцию, являются идеальными
связями (связями без трения), в отличие от связей с трением, ко-
которые, кроме нормальной реакции N. дают еще реакцию F, лежащую
в касательной плоскости (рис. 173) и возникающую благодаря трению;
вследствие этого реакция связи с трением Л^ мо-
жет отклоняться от нормали на некоторый угол <р. ¦- '
9. Разделение кинетики на статику и дина-
динамику. Кинетика, как было уже сказано, посвя-
посвящена изучению движения и равновесия механи-
механической системы (в частности, материальной точки)
в зависимости от действующих на систему сил.
Обычно кинетику разделяют на статику — уче- рИс 173.
ние о равновесии механической системы под дей-
действием сил и динамику — учение о движении системы под действием
сил. Если на материальную точку никакие силы не действуют, то она
по отношению к инерциальной системе отсчета находится в покое
или движется по инерции, т. е. прямолинейно и равномерно. Анало-
Аналогично можно ввести понятие о движении по инерции и для механи-
механической системы. В частности, абсолютно твердое тело при отсутствии
действующих сил может или находиться в покое, или совершать
поступательное, равномерное и прямолинейное движение, также
называемое движением по инерции или инерциальным *). При дей-
действии сил движение материальной точки или системы будет вообще
отличаться от инерциального. Изучение таких движений и составляет
основное содержание динамики. Однако может случиться, что при
действии некоторой совокупности (системы) сил материальная точка
или механическая система будет оставаться в покое или двигаться
инерциально, т. е. вести себя так же, как и при отсутствии сил.
Про такую систему сил говорят, что она находится в равновесии.
Таким образом, определение условий, при которых точка или меха-
механическая система могут находиться под действием сил в равновесии,
сводится прежде всего к определению условий равновесия, действую-
действующих на точку или систему сил. Сообразно этому статику можно
назвать учением об условиях равновесия сил, действующих на меха-
механическую систему.
§ 15. Определения и аксиомы статики
1. Элементарная и аналитическая статика. Статика есть часть
кинетики, посвященная изучению условий равновесия механической
системы под действием сил, или, иначе, условий равновесия сил,
') Твердое тело может совершать «по инерции> и другого вида движе-
движения (например, равномерное вращение и т. д.); этн движения будут рас-
рассмотрены в ч. 11.

184
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
{ГЛ. IV
действующих на механическую систему. Ее можно в свою очередь
разделить на: 1) элементарную (или геометрическую) и 2) аналити-
аналитическую.
Элементарная статика представляет собой в основном статику
абсолютно твердого тела. В ней силы рассматривают как некоторые
определенные заданные величины и изучают методы замены различ-
различных систем сил, действующих на абсолютно твердое тело, простей-
простейшими системами, а затем находят условия равновесия этих систем.
Так как сила, действующая на абсолютно твердое тело,
как будет показано далее, есть вектор скользящий, то к изложению
элементарной статики может быть применен богатый материал гео-
геометрии скользящих векторов, вследствие чего изложение получает
геометрический характер.
Аналитическая статика представляет собой развитие одного
из основных принципов механики, именно принципа виртуальных
(возможных) перемещений, который дает общий критерий равно-
равновесия механической системы, вследствие чего выводы аналитической
статики относятся к какой угодно механической системе. В аналити-
аналитической статике имеет широкое применение математический анализ,
поэтому изложение носит аналитический характер.
tf 2. Сила. Понятие о силе в элементарной статике является основ-
ньш. Известно, что сила, действуя на материальную точку, сообщает
ей ускорение, направленное по силе; поэтому действие силы на точку
зависит: 1) от направления силы и 2) от напря-
напряжения (численного значения или модуля) силы.
Направление силы есть то направление, по ко-
которому свободная материальная точка, находящаяся
в покое, начинает двигаться под действием силы.
Прямая, по которой направлена сила, называется
линией действия силы.
Напряжение, или модуль, силы есть величина,
которая равна произведению массы точки на мо-
модуль ускорения, сообщаемого ей силой, ибо, со-
согласно второй аксиоме, F=mw.
Это — динамическое определение напряжения
силы. Статическое определение напряжения силы
основано на сравнении данной силы с другой,
принятой за единицу меры. Для этой цели обыкновенно пользу-
пользуются пружинными весами, или динамометрами. Устройство динамо-
динамометра основано на свойстве сил вызывать в упругих телах исчезающие
деформации, пропорциональные силам, если только эти силы невелики
по сравнению с пределом упругих деформаций. Простейший динамо-
динамометр представляет собой упругую пружину (рис. 174), неподвижно
укрепленную в точке О и снабженную индексом А и шкалой S. На
другом конце пружины находится приспособление В для приложения

§ 15] ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ 185
измеряемой силы (крюк, ручка и т. п.). Шкала динамометра градуи-
градуируется посредством последовательного подвешивания к концу В
динамометра одного, двух, трех и т. д. эталонов, вес каждого из
которых равен единице (например, 1 кГ), причем против стрелки
индекса на шкале наносятся соответствующие значения. Принимая во
внимание, что при действии равных сил пружина динамометра по-
получает равные удлинения, мы можем по указаниям стрелки ин-
индекса определить напряжение силы F, приложенной к концу В
пружины.
Итак, сила есть физическая величина, определяемая не только
напряжением, но и направлением в пространстве; кроме того, как
будет установлено, сложение сил производится по правилу параллело-
параллелограмма. Следовательно, сила есть величина векторная, модулем
(или численной величиной) которой является напряжение силы. Точ-
Точкой приложения вектора силы будет та материальная частица, на
которую сила действует.
Силы, как векторные величины, изображаются векторами, и по
отношению к ним применимы все положения и операции, которые
относятся к векторам вообще. Если сила действует на какое-либо
тело, которое, как известно, представляет
собой систему очень большого числа мате-
материальных частиц, между собой связанных, то
движение тела под действием силы зависит
не только от направления и напряжения силы,
но также и от точки приложения силы. Так,
например, сила Fv приложенная в точке А
тела, действует на тело иначе, чем равная
по напряжению и параллельная ей сила F2, Рис 175
приложенная в точке В (рис. 175), потому
что при действии силы Гг движение свободного тела будет иным,
чем при действии силы F2- Отсюда следует, что сила есть вектор,
связанный с точкой приложения, т. е. неподвижный вектор, и что
данная сила не может быть перенесена из одной точки тела в другую
без изменения действия силы. Таким образом, сила, как неподвижный
вектор, определяется: 1) точкой приложения, 2) направлением и
3) напряжением.
3. Основные определения. В основании элементарной статики ле-
лежит система определений и аксиом, посредством которых вводятся
основные понятия.
Определения- 1) Совокупность сил, действующих на какую-либо
механическую систему, в частности на твердое .тело, называется
системой сил.
2) Система сил, которая, действуя на свободное твердое тело,
находящееся в покое, не сообщает ему никакого движения, находится
в равновесии, или, иначе говоря, эквивалентна нулю.

186 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ. IV
3) Если направления всех сил какой-либо системы (S) изменить
на противоположные, сохраняя точки их приложения, то получается
система сил (S'), которая называется системой, противоположной
системе E). Символически это обозначается так:
(S') = (—5).
4) Если две системы сил E[) и (S2), действующие одновременно
на свободное твердое тело, находятся в равновесии, то говорят, что
система E2) уравновешивает систему E,), и наоборот.
5) Если система сил (S{) уравновешивается системой, противо-
противоположной системе E2), то системы сил EХ) и E2) называются экви-
эквивалентными. Символически это определение записывается так: если
(Sj)-f-(—<S2) со О, то (Sl)co(S2) (знак со есть символ эквивалент-
эквивалентности).
Физический смысл эквивалентности двух систем сил заключается
в том, что каждая из этих систем, действуя на одно и то же перво-
первоначально неподвижное свободное тело, сообщает телу одно и то же
движение.
Следствие 1. Из определения 5) следует, что если система
сил E2) уравновешивает систему (S{), то система (—52) эквивалентна
системе (St).
Следствие 2. Дре системы сил E[) и (S2), эквивалентные
третьей E), эквивалентны между собой, т. е. если (Sx) со E), E2) со
со E), то (S!)ooE2).
6) Если система сил (S) эквивалентна одной силе F, то сила F
называется равнодействующей системы E).
Из определений 5) и 6) вытекает, что если система сил E) имеет
равнодействующую F, то эта система E) уравновешивается одной
силой, равной — F.
7) Если все силы, действующие на твердое тело, образуют систему
сил, находящуюся в равновесии, то мы будем говорить, что и само
тело находится в равновесии. Из последнего определения следует,
что под состоянием равновесия твердого тела (а в дальнейшем и
механической системы) мы будем понимать те состояния, которые тело
может иметь под действием уравновешенной системы сил, т. е. со-
состояния покоя или инерциального движения (см. § 14, п. 9); какое
именно из этих состояний имеет место, с точки зрения задач, рас-
рассматриваемых в статике, несущественно. Рассмотрение инерциальных
движений, которые может совершать твердое тело, относится к за-
задачам динамики.
4. Аксиомы статики. 1) Система двух взаимно противо-
противоположных сил, равных по напряжению и приложенных в одной
точке, находится в равновесии (рис. 176).
2) Система двух равных по напряжению взаимно противо-
противоположных сил, приложенных в двух каких-либо точках абсо-

15]
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ
187
Рис. 176.
Рис. 177.
лютно твердого тела и направленных по прямой, соединяющей
их точки приложения, находится в равновесии (рис. 177).
Необходимо иметь в виду, что эта аксиома имеет место только
по отношению к абсолютно твердому телу, для которого расстояние
между двумя любыми точками неизменно; по-
поэтому все выводы, основанные на этой аксио-
аксиоме, применимы только к абсолютно твердому *'"
телу.
3) Всякую систему сил (S,) можно, не
изменяя оказываемого ею действия, заме-
заменить другой системой E2), ей эквива-
эквивалентной.
Физический смысл этой аксиомы состоит в
утверждении, что эквивалентные системы сил (S{)
и (S2) действуют на одно и то же тело одина-
одинаково (см. определение 5).
Следствие. Если к точкам А и В абсо-
абсолютно твердого тела (рис. 178) приложены рав-
равные по напряжению и взаимно противополож-
противоположные силы Ft и F2, направленные по прямой АВ,
то, согласно аксиоме 2), сила F2 уравновешивает силу Fx; тогда
сила — F2, противоположная F2, будет эквивалентна силе Fx
(см. следствие из определения 5); отсюда на основании аксиомы 3)
заключаем, что сила — F2, равная Fj и приложенная в точке В тела,
оказывает на него такое же действие, как сила Fv приложенная
в точке А, т. е. приходим к выводу, что всякую силу, прило-
приложенную в какой-либо точке абсолютно твердого тела, можно,
не изменяя ее действия, перенести в любую другую точку,
лежащую на линии действия этой силы- Таким образом, сила,
приложенная к абсолютно твердому телу, есть
вектор скользящий; во всех же других случаях
(например, в случае деформируемых тел) сила,
как было сказано выше, есть вектор неподвижный.
Отсюда следует, что для определения силы,
действующей на абсолютно твердое тело, надо
знать: 1) какую-либо точку, через которую про-
проходит линия действия силы, 2) направление
силы, 3) напряжение силы.
Необходимо заметить, что две равные по
напряжению и параллельные силы F} и F2,
приложенные в двух точках тела Л и В и не направленные по пря-
прямой АВ (см. рис. 175), не эквивалентны, т. е. если Ft = F2l то из
этого не следует, что Flcr> F2.
4) Две системы сил, различающиеся между собой на систему
сил, эквивалентную нулю, эквивалентны между собой.
Рис. 178.

188 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ. IV
Отсюда следует, что всякой системе сил можно придать или отнять
от нее систему сил, находящуюся в равновесии, не изменяя действия
этой системы.
5) Равновесие механической системы, находящейся в покое, не
нарушается от наложения новых связей; в частности, равно-
равновесие механической системы не нарушится, если все частицы си-
системы связать между собой неизменно {принцип отвердевания).
Таким образом, если какая-либо механическая система находится
в равновесии, то она останется в равновесии, если сделается абсо-
абсолютно твердым телом. Отсюда, между прочим, следует, что условия,
необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела,
е необходимы, но недостаточны для равновесия ка-
какой угодно механической системы.
б) Система двух сил, приложенных в одной
точке, эквивалентна одной силе, приложен-
приложенной в той же точке и равной геометрической
сумме этих сил (закон параллелограмма сил).
Таким образом, если на точку А действуют
две силы Fx и F2 (рис. 179), то система сил (Fv F2)
эквивалентна силе F, тоже приложенной в точке А,
причем
Рис. 179. Р=Р\+Р2'
иначе говоря, сила F есть равнодействующая системы сил (Fv F2).
Следствие. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной
точке и направленных по одной прямой, равна алгебраической сумме
этих сил и направлена по той же прямой.
б. Несвободное твердое тело. Аксиома связей. Всякое твердое
тело, которое может занимать произвольное положение в простран-
пространстве, называется свободным; если же на тело наложены внешние
связи, стесняющие свободу его перемещений, то тело становится не-
несвободным. Выше было указано (см. § 14, п. 8), что механический
эффект связей можно заменить пассивными силами, которые назы-
называются реакциями связи; поэтому на всякое несвободное тело мы
можем смотреть как на свободное, освободив тело от связей и заме-
заменив действие связей их реакциями. Отсюда вытекает весьма важная
аксиома связей; Всякое несвободное твердое тело можно освобо-
освободить от связей, заменив действие связей их реакциями, и рас-
рассматривать его как свободное, находящееся под действием
приложенных к нему активных сил и реакций связей.
В статике связи, налагаемые на твердое тело, чаще всего встре-
встречаются в виде неподвижных поверхностей, линий и точек, а также
в виде гибких нитей. Как было уже сказано, в случае идеальных
связей неподвижная поверхность (см. рис. 170) дает реакцию, прило-
приложенную в точке касания и направленную по нормали к поверхности.

15]
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ
189
Когда связь осуществляется в виде некоторого тела, реакция на-
направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел
в точке их касания (рис. 180, а); если же одна из поверхностей
вырождается в точку, то реакция направлена по нормали к другой
поверхности (рис. 180, 6). Реакция неподвижной линии (см. рис. 171)
приложена в точке касания и может иметь любое направление в нор-
нормальной плоскости, проведенной к кривой в этой точке. Примером
такой связи служит цилиндрический шарнир (подшипник), в котором
ось шарнира, перпендикулярная к рисунку, является неподвижной
о)
Рис. 180.
Рис 181.
прямой (рис. 181, а); реакция R такого шарнира может иметь любое
направление в плоскости, перпендикулярной к его оси (т. е. в плос-
плоскости рисунка). Неподвижная точка (см. рис. 172) может развить
какую угодно по модулю и направлению реакцию. Примером такой
связи служит шаровой шарнир (рис. 181, б) или подпятник (подшип-
(подшипник с упором). Реакция гибкой нити всегда направлена по нити (см.
рис. 169) и равна натяжению иити. Во всех этих случаях напряжения
реакций (а для шарниров и направления) определяются в зависимости
от действующих на тело активных сил (см. § 14, п. 8).
6. Задачи элементарной статики. В элементарной статике рас-
рассматриваются различные системы сил, действующих на абсолютно
твердое тело, с целью замены этих систем наиболее простыми систе-
системами, им эквивалентными, и нахождения необходимых и достаточных
условий равновесия этих систем. Процесс замены систем сил про-
простейшими системами, в частности одной равнодействующей, называют
еще процессом приведения сил. (Этот термин нельзя смешивать с тер-
термином «сложение сил», который употребляется в случае сложения
сил как свободных векторов.) Операция замены одной силы системой
сил, ей эквивалентной, носит название «разложения» сил.
Для решения различного рода вопросов в элементарной статике
можно пользоваться или аналитическим, или геометрическим методом.
При аналитическом методе данные и искомые величины определяются
численно, причем векторные величины даются своими проекциями на
оси координат. При геометрическом (или графическом) методе
процесс нахождения исксмых величин производится с помощью

190 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ. IV
соответствующих геометрических построений. При этом все величи-
величины могут задаваться и определяться графически (рисунком). Развитие
последнего метода привело к появлению важного для техники отдела
механики — графической статики, которая используется при решении
некоторых инженерных задач.
В настоящем курсе мы будем держаться синтетического метода
изложения и рассматривать различные системы сил, начиная с про-
простейших и кончая самым общим случаем какой угодно системы.
§ 16. Система сил, приложенных в одной точке.
Сходящиеся силы
1. Равнодействующая системы сил, приложенных в одной
точке. Предположим сначала, что на тело действуют две силы Р
и Q, приложенные в одной точке А и образующие между собой угол
^^
PQ = y (рис. 182). Равнодействующая R этих двух сил, согласно
аксиоме о параллелограмме сил, равна геометрической сумме данных
сил, т. е.
/? = P+Q. A)
Модуль равнодействующей можно
определить из треугольника ABC; заме-
заметив, что I ABC =180° — (pTq), по-
получаем:
#2 = pi _|_ Q2_ 2PQ cos [ 180° — (pTq)J
или
РИС' 182" R = У Р2+Q2 + 2PQ cos (pTq). B)
Найдем теперь направление равнодействующей, т. е. определим углы
а = (?>) и р- = (оГ>).
которые равнодействующая составляет с силами Р и Q. Применяя
известную теорему тригонометрии, получим из треугольника ABC,
учитывая, что sin[180° — (рГя)] = ^п(Р, Q),
Р Q R
sin (Q, R) sin (R, P) sin «?, Р)
C)
Формулы B) и C) определяют модуль и направление равнодействую-
равнодействующей, если известны величины составляющих сил и угол между ними.
Вектор R можно также найти, строя один из треугольников ABC
или ADC, образующих параллелограмм ABCD (см. рис. 10 на стр. 24).
Задача разложения данной силы R на эквивалентные ей две силы Р
и Q, которую можно считать задачей, обратной определению равно-
равнодействующей, имеет, очевидно, бесчисленное множество решений.

16]
СИСТЕМА СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ В ОДНОЙ ТОЧКЕ
191
Для определенности надо задать дополнительно или линии действия
искомых сил, или их модули, или же модуль и направление одной
из сил- Первая задача сводится к построению параллелограмма,
у которого известна диагональ R и направления сторон АВ и AD
(см. ряс. 182). Другие же две задачи сведутся к построению тре-
треугольника по трем заданным сторонам (имеет два решения) или по
двум сторонам и углу между ними.
Перейдем теперь к определению равнодействующей системы п
сил (F\, F2, Fir .... Fn), приложенных к телу в точке О (рис, 183).
Применяя последовательно аксиому параллелограмма сил, получим!
(Fv F2)coRn,
где
далее,
где
и т. д.
(*«¦
Наконец,
(«123 • • ¦
Fa)cr.
(й-1).
5 «123*
F«)«
Я
где
1 = 1
D)
Рис. 183.
Таким образом, система сил, приложенных в одной точке, эквива-
эквивалентна одной силе, т. е. имеет равнодействующую. Эта равнодей-
равнодействующая равна геометрической сумме всех сил системы и приложена
в той же точке.
Равнодействующая R может быть получена или графически, при-
причем сложение сил совершается по методу векторного многоугольника,
или аналитически через проекции составляющих сил на оси коорди-
координат. В последнем случае, применяя выведенные ранее формулы вектор-
векторного исчисления, получим:
Rx —
R —
cos(/?, х) = -?-, cos (Я, у)=-?-, cos(R, z)~
E)
F)
Формулы E) и F), дающие модуль и направляющие косинусы
равнодействующей рассматриваемой системы сил, вполне определяют
ее по напряжению и по направлению.

192
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
2. Равнодействующая системы сходящихся сил. Система дей-
действующих на абсолютно твердое тело сил (Fv F2 Fn), обла-
обладающих тем свойством, что линии действия всех сил
системы пересекаются в одной точке О, называется
системой сходящихся сил (рис. 184). Очевидно,
г что этот случай приводится к предыдущему, ибо все
силы мы можем перенести по линии их действия
в точку О и заменить данную систему сил системой
сил, приложенных в точке О. Следовательно, система
сходящихся сил имеет равнодействующую, равную
сумме этих сил и проходящую через точку, в кото-
которой пересекаются линии действия сил.
Рис. 184. 3. Условия равновесия. Как мы установили, вся-
всякая система сходящихся сил (в том числе и сил, при-
приложенных в одной точке) имеет равнодействующую; поэтому для
равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы равно-
равнодействующая системы R была равна нулю, т. е.
&"•'
(J)
Это — условие равновесия в векторной форме. В проекциях на
прямоугольные декартовы оси координат, т. е. в аналитической
форме, условия равновесия, согласно E), представляются в виде
п п п
Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо
и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей
координат была равна нулю. Для
плоской системы сил будем иметь
в проекциях на оси координат
только два условия равновесия.
Наконец, так как при R = О
силовой многоугольник замкнется,
т. е. конец последней силы совпадает
с началом первой (см. рис. 183),
получаем следующее условие равно-
равновесия сходящихся сил в геометри-
геометрической форме', для равновесия си-
системы сходящихся сил необходимо
и достаточно, чтобы векторный (силовой) многоугольник, построен-
построенный из сил системы, был замкнутым.
Так, например, чтобы узнать, будет ли в равновесии система трех
сил (Fj, F2, /у (рис. 185), из какой-либо произвольной точки А
В
Рис. 185.

§ 16]
СИСТЕМА СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ В ОДНОЙ ТОЧКЕ
193
проводим вектор, равный силе Fv от его конца В проводим вектор,
равный силе F2, и от конца С этого вектора — вектор, равный силе Fz.
Если векторный (силовой) треугольник ABC оказывается замкнутым,
то рассматриваемая система сил находится в равновесии.
4. Теорема о трех силах. Если плоская система трех не-
непараллельных сил находится в равновесии, то линии дей-
действия этих сил пересекаются в одной
точке.
Пусть плоская система трех сил Fv
F2, F$, приложенных в точках Аь А2, Л3,
находится в равновесии (рис. 186). Пред-
Предположим, что линии действия сил Flt F2
пересекаются в точке О; перенесем эти
две силы Fv F2 по линиям их действия
в точку пересечения О и по правилу па-
параллелограмма найдем их равнодействую-
равнодействующую Rl2. Тогда
(Fj, F2, F3) со (Rl2, F3). Рис. 186
Но система двух сил находится в равновесии только в том случае,
если эти силы направлены по одной прямой. Следовательно, линия
действия силы F3 должна совпасть с линией действия силы /?12, ко-
которая проходит через точку О, т. е. прой-
пройти через точку О.
Итак, для равновесия системы трех сил,
лежащих в одной плоскости, необходимо
(но недостаточно), чтобы линии действия
этих сил пересекались в одной точке.
Этой теоремой иногда удобно поль-
пользоваться при решении задач на равновесие
тел, находящихся под действием плоской
системы трех сил, в частности для опре-
определения наперед неизвестных направлений
реакций связей.
Пример. Рассмотрим однородный брус АВ
весом Р, конец А которого закреплен шарни- Рис. 187.
ром и который опирается на выступ в точке D
(рис. 187). На брус действуют три силы: сила тяжести Р, приложенная
в центре тяжести бруса, т. е. в его середине, реакция ND опоры D, напра-
направленная перпендикулярно к брусу, и реакция R шарнира А, направление
которой неизвестно. Но так как брус находится в равновесии, а линии дей-
действия сил Р и JV_ пересекаются в точке О, то по доказанной теореме и
реакция R должна пройти через точку О, т. е. будет направлена вдоль
линии АО.
5. Задачи. Решение задач статики сводится обычно или к опре-
определению условий, при которых тело под действием данных сил можег
13 П. Н. Бухгольц

194
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
находиться в равновесии, или, когда тело заведомо находится в равно-
равновесии, к нахождению действующих на него при этом сил (в боль-
большинстве случаев реакций связей). Так как получаемые методами
элементарной статики условия равновесия относятся к силам, дей-
действующим на абсолютно твердое тело, то при решении любой задачи
следует прежде всего установить, равновесие какого именно тела
надо рассмотреть для нахождения искомых величин. После этого,
изобразив приложенные к телу активные силы, пользуются аксиомой
связей, т. е. заменяют действия связей их реакциями и, рассматривая
тело как свободное, составляют условия равновесия всех приложенных
к телу сил (и активных и реакций связей). Из этих условий и опре-
определяются искомые величины.
В случае сходящихся сил, когда их общее число равно трем,
проще пользоваться геометрическим методом решения, а при большем
числе сил — аналитическим (или графическим). Если используется
аналитический метод, то направления осей координат целесообразно
выбирать так, чтобы проекции сил вычислялись возможно проще.
Удобно также одну из осей направлять перпендикулярно к неиз-
неизвестной силе; тогда соответствующее уравнение будет содержать
меньше неизвестных.
Рассмотрим примеры.
1. Тяжелый шар весом Р подвешен на стержне АВ, прикрепленном
к шару и к неподвижной точке А шарнирами (рис. 188), и удерживается
в отклоненном положении горизонтальной
силой Q. Найти, какой угол а образует
стержень с вертикалью при равновесии и
чему при этом равна реакция стержня. Ве-
Весом стержня пренебречь.
Рассмотрим равновесие шара. На него
действуют две активные силы Р и Q, ко-
которые нам заданы, и реакция N, которой
мы заменяем действие связи (стержня) на
р . „„ шар, направленная вдоль стержня '). Эти
рис. 1ВУ. ТрИ силы лежат в одной плоскости, и их
линии действия при равновесии пересе-
пересекаются в одной точке. Следовательно, мы будем иметь для них в аналити-
аналитической форме два условия равновесия. Проводя оси координат так, как
показано на рисунке, получим:
iy
Q — N sin a = 0,
') Стержень, если его весом пренебрегают, будет находиться в равно-
равновесии под действием только двух сил, приложенных к нему в точках А и В
со стороны шарниров. Согласно аксиоме 2), эти силы должны быть напра-
направлены вдоль АВ, т. е. вдоль стержня. Следовательно, и реакция со стороны
стержчя на шарнир В (а значит, и на шар) направлена тоже вдоль стержня
(по закону действия и противодействия).

§ 16] СИСТЕМА СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ В ОДНОЙ ТОЧКЕ 195
или N sina=Q, N cos а = Р. Отсюда находим:
Рассмотрим теперь геометрическое решение. Так как силы Р, Q и N
находятся в равновесии, то построенный из них многоугольник (в данном
случае треугольник) должен замыкаться. Начиная построение с известных
сил, откладываем от произвольной точки а (рис. 189) силу Р, а от ее
конца b — силу Q; соединяя теперь конец с силы Q с точкой а, получаем
замкнутый треугольник, в котором сторона са дает искомую силу N. Из тре-
треугольника аос находим:
В данном случае при геометрическом методе решения расчеты оказы-
оказываются несколько проще.
Наконец, задачу можно решить графически, если при построении сило-
силового треугольника abc изображать силы Р и Q в определенном масштабе.
Тогда, измерив сторону са в том же
масштабе, найдем напряжение силы JV;
угол а = /_ Ъас также находится непо-
непосредственным измерением.
2. На плоскости, наклоненной к го-
горизонту под углом а, находится тяжелый
шар весом Д привязанный гибкой не-
нерастяжимой нитью в точке А, причем
угол р" известен (рис. 190). Определить
натяжение нити и давление шара на
плоскость, пренебрегая трением.
Для решения задачи рассмотрим
равновесие шара. На него действуют р .„„
заданная сила Р, реакция Т нити, чис-
ленно равная искомому натяжению и
направленная вдоль нити, и реакция N плоскости, численно равная искомому
давлению на плоскость и направленная по нормали к плоскости. Так как
шар заведомо находится в равновесии, то построенный из этих сил тре-
треугольник должен быть замкнутым. Построение начинаем с известной силы Р,
откладывая ее от произвольной точки а; через конец Ь вектора Р проводим
прямую, параллельную силе N, а через начало а — прямую, параллельную Т.
Пересечение этих прямых даст точку с, являющуюся одновременно концом
вектора N и началом вектора Т. Из построенного треугольника по теореме
синусов находим:
Т _ N Р
sina ~ sinp ~~~ sin [180° —(a+ P)] "
Отсюда
_ Psina P sin P
7-s.n(a+p)' N~-
При чисто графическом решении значения Т и JV можно найти, измерив
стороны be и са силового треугольника в масштабе силы Р.
Искомое натяжение нити и давление на плоскость, как указывалось,
численно равны Т и JV, но имеют противоположные силам Т и N на-
направления.
13*

196
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
Задачу можно также решить аналитически, составив условия равновесия
(направления осей показаны на рисунке):
P sin а — Т sin (а+ р) = О,
— Р cos a+ T cos
Fu
Из полученных уравнений найдем те же значения для Т п N, но расчет
будет несколько длиннее, чем при геометрическом методе.
3. Горизонтальный стержень АВ закреплен шарниром в точке В и под-
поддерживается двумя тросами АС и AD, образующими с горизонтальной пря-
прямой CD, перпендикулярной к стержню,
углы аир (рис. 191); при этом пло-
плоскость ACD наклонена к горизонту под
углом Y- В точке А подвешен груз ве-
весом Р. Найти натяжения тросов и уси-
усилие в стержне, пренебрегая его весом.
Для определения искомых вели-
величин рассматриваем равновесие точки
(узла) А. На узел действует активная
сила Р и реакции Ти Т2 и N тросов и
стержня, образующие систему сходя-
сходящихся сил, не лежащих в одной пло-
плоскости. В таких случаях обычно поль-
пользуются тремя условиями равновесия
в аналитической форме. Проводя ось Ах
параллельно DC, ось Ау— вдоль стержня и Аг — по вертикали вверх, бу-
будем иметь (для вычисления проекций сил Г] и Т2 на оси хну находим
сначала их проекции на прямую АЕ, лежащую в плоскости ху):
2 Fix = Г, cos <х — Т2 cos f5 = О,
Рис. 191.
Fiy == —
sin a cos v — T2 sin p cos v + N = 0,
2 Fl/e = Tl sin a sin y + T2 sin p sin v — Я = 0.
Решая полученную систему уравнений, найдем окончательно:
т .Pcosp _ _ Я cos a .,
sin (a + Р) sin y
sin (a -f- P) sin y
Все найденные величины положительны, следовательно, реакции связей на-
направлены так, как показано на рисунке (тросы растягиваются, а стер-
стержень сжат).
§ 17. Трение и связи с трением
1. Тренне скольжения. Связь, которая развивает реакцию, на-
направленную по нормали к поверхности (или линии), служащей связью,
называется идеальной связью') или связью без трения. Связь с тре-
трением, кроме нормальной реакции N, развивает еще тангенциальную
реакцию F, лежащую в касательной плоскости, проведенной через
точку А, в которой тело соприкасается с поверхностью, служащей
') Это понятие будет уточнено в главе V.

§ 171 ТРЕНИЕ И СВЯЗИ С ТРЕНИЕМ 197
связью (рис. 192); если связью служит кривая, то тангенциальная
реакция F направлена по касательной к этой кривой. В то время
как нормальная реакция представляет собой давление связи на тело,
тангенциальная реакция появляется благодаря силе трения-
Саш трения есть результат взаимодействия двух соприкасающихся
под некоторым давлением тел. Эта сила возникает в точках сопри-
соприкосновения, лежит в общей касательной плоскости к поверхностям
соприкасающихся тел и препятствует сколь-
скольжению одного тела относительно другого.
Трение такого рода носит название трения
скольжения.
Трение между двумя соприкасающимися
телами происходит прежде всего вследствие
шероховатости их поверхностей и наличия
сцепления у прижатых друг к другу тел.
Несмотря на то, что трение есть одно из
самых распространенных явлений природы и
встречается почти во всех задачах механики,
точные законы трения до сих пор не уста-
установлены вследствие трудностей, связанных Рис. 192.
с выявлением полной физической картины воз-
возникновения силы трения и с количественной оценкой всех факторов,
от которых эта сила зависит. Поэтому практически при учете сил
трения пользуются законами, которые носят в основном качественный
характер и представляют собой только некоторое приближение
к действительности. Эти законы были установлены в результате пер-
первых опытов над трением, проделанных Амонтоном A699 г.), и бо-
более, точных экспериментальных исследований Кулона A781 г.).
\J 2. Законы трения скольжения. При рассмотрении явления трения
следует различать статическое трение, имеющее место при относи-
относительном покое соприкасающихся тел, и трение движения, которое
имеет место при относительном движении тел.
Установленные экспериментально законы трения скольжения при
покое можно сформулировать так:
1) Сила трения скольжения действует в общей касательной пло-
плоскости к поверхностям соприкасающихся тел; численно сила трения
имеет всякий раз то значение, которое необходимо для предотвра-
предотвращения относительного скольжения тел, но не может стать больше
некоторой определенной предельной величины, т. е.
2) Величина предельной силы трения зависит от природы сопри-
соприкасающихся тел и от возникающей при их взаимном давлении друг
на друга нормальной реакции N и определяется равенством

198
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
где /0—отвлеченное число, называемое коэффициентом трения сколь-
скольжения при покое (или статическим коэффициентом трения). Коэффи-
Коэффициент /о зависит от материала, характера обработки и состояния
(влажности, температуры и др.) трущихся
поверхностей и определяется опытным
Г1 путем.
\ 3) Сила трения не зависит от площади
контакта соприкасающихся при трении
— поверхностей.
Из равенств A) и B) следует, что
Рис. 193.
C)
Представление о величине /0 дают
следующие данные! при трении дере-
-f-0,7, при трении металла о металл
ва о дерево /0 = 0,4-
/0 = 0,15-г-0,25.
При движении сила трения направлена в сторону, противопо-
противоположную относительной скорости тела, а ее численная величина опре-
определяется равенством
F = fN. D)
где / — коэффициент трения скольжения при движении (или дина-
динамический коэффициент трения). Он также зависит от материала,
степени обработки и состояния трущихся поверхностей и, кроме того,
от скорости движения. Обычно с увеличе-
увеличением скорости величина / сначала несколько
убывает, а затем сохраняет почти постоян-
постоянное значение (рис. 193). Исключение соста-
составляет, например, трение кожи о металл, при
котором / с увеличением скорости несколько
возрастает.
Пример. Пусть груз весом Р лежит на
горизонтальной плоскости (рис. 194) и пусть ста-
статический коэффициент трения груза о плоскость
равен Д. В данном случае N = Р. Тогда, если к грузу приложить горизон-
горизонтальную силу Q, численно меньшую, чем .Fmax = /пР, то груз останется
в покое; при этом на него будет действовать сила трения, напряжение
которой F=Q < Fmix. Чтобы сдвинуть груз, к нему надо приложить силу
Qj = faN = f0P. При движении с некоторой скоростью v > 0 сила трения
станет равна fP < f$P (когда / < /0); поэтому если на груз будет продол-
продолжать действовать сила Qlt то он будет двигаться ускоренно. Равномерное
движение груз будет совершать, если действующая сила Q = fP < Qt,
3. Реакция связи с трением. Угол и конус трения. Полная
реакция R связи с трением слагается геометрически из нормальной
реакции Af и перпендикулярной к ней силы трения F. Так как
Р ^ ^"гаах' то ПРИ данной величине N полная реакция может иметь

§ 17]
ТРЕНИЕ И СВЯЗИ С ТРЕНИЕМ
199
шац
разные численные значения и образовывать разные углы с нормалью.
Наибольшее значение Лтах полная реакция имеет при F' = F
(рис. 195). Образуемый при этом реакцией/?гаах
угол ф с нормалью (наибольший из всех воз-
возможных углов отклонения) называется углом
трения. Как видно из рисунка, Fma = N tg ф.
Сравнивая этот результат с равенством B), на-
находим, что
Рис. 196.
Рис. 195
Так как тело может перемещаться вдоль
поверхности, реализующей связь, по любому
направлению, то связь с трением может раз-
развить реакцию по всякому направлению, лежа-
лежащему внутри конуса (вообще не кругового,
если структура поверхности неоднородна), осью
которого служит нормаль, а угол между осью
и образующей равен углу трения ср (рис. 196).
Отсюда, в частности, следует, что для равно-
равновесия тела, касающегося шероховатой поверх-
поверхности в точке А, необходимо, чтобы все силы,
действующие на тело, привелись к равнодействующей, проходящей
через точку А и лежащей внутри конуса трения.
4. Задачи. При определении условий равновесия тел с учетом
трения можно встретиться с задачами двух типов: а) задачи, в кото-
которых рассматривается предельное положение равновесия и сила трения
считается равной ее предельному значению B); б) задачи, в которых
отыскиваются все возможные положения равновесия и величина силы
трения определяется неравенством C).
В задачах второго типа решения полу-
получаются в виде неравенств, определяю-
определяющих все множество значений искомых
величин, при которых возможно равно-
равновесие (область равновесия).
1. Найти, при каком наибольшем угле
наклона а (рис. 197) тяжелый груз, лежа-
лежащий на наклонной плоскости, остается
в равновесии, если коэффициент трения
груза о плоскость равен /0.
На груз в рассматриваемом предель-
предельном положении действуют сила тяжести Р,
нормальная реакция N и предельная сила трения Fmi%. Составляя условия
равновесия в проекциях на оси х и у (см. рисунок), будем иметь:
Psina — /?max =
N — Pcosa =
(а)
(б)

200
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
Из (б) находим N = P cos а. Тогда Ртлх =
значение в (а), получим P(sina — /Ocosa)
q = /aP cos а. Подставляя это
0. Отсюда, согласно E),
tg а = /о = tg ф или a = ф.
Следовательно, наибольший угол наклона, прн котором возможно равно-
равновесие, равен углу трения.
Если мы будем искать все углы а, при которых возможно равновесие,
tq тогда в уравнении (а) вместо /'max будет стоять F и оно даст F = Р sin a.
Но в этом случае F •< /N или F <; f0P cos a
и мы получим, что Р sin a <; /0Я cos а, откуда
или а<ф.
(в)
Рис. 198.
я Следовательно, равновесие вообще воз-
возможно при любом угле наклона, меньшем угла
трения или равном ему. Неравенство (в) опре-
определяет область равновесия.
2. К ползуну А весом Р, который можег
скользить вдоль вертикальных направляющих
(рнс. 198), прикреплена нить, перекинутая че-
через блок В и несущая на конце груз весом Q.
Коэффициент трення ползуна о направляющий
равен /0. Зная угол а, определить, при каком
соотношении между Р и Q возможно равно-
равновесие. Трением в блоке пренебречь.
Рассматриваем равновесие ползуна, пренебрегая его размерами. На
ползун действуют сила Р, натяжение нити Т, численно равное Q, нормаль-
нормальная реакция N и сила трения F, которая может быть направлена или вверх
(когда Р > Q sin а), или вниз (когда Р < Q sin а). Составляя условия равно-
равновесия в проекциях на оси л" и у, будем иметь:
7" cos a — iV =
7 sin а — Р ± /г = 0.
Так как Т = Q, то отсюда N = Q cos а и F = ± (Р — Q sin а). Но
или Р <; /oQ cos а. В результате приходим к двум неравенствам:
Р — Q sin а < /0Q cos а,
(P — Q sin а) <; /0Q cos а,
откуда находим:
(sin а + /о cos а)
(sin а — fo cos а)"
Так как /о =
Ф> то неравенство (б) можно еще представить в виде
gin (a -+- tp) P sin (а — ф)
—->-§>
COS ф
СОЭф
(б)
(в)
Полученный результат показывает, в каких границах можно изменять отно-
отношение P/Q, не нарушая равновесия (т. е. определяет область равновесия).
При отсутствии трения (/0 = 0) равновесие, как видно из (б), возможно,
только когда Р = Q sin a.
Отметим еще, что если весом ползуна по сравнению с весом груза
можно пренебречь и считать PjQ = 0, то условие равновесия (в) принима-
принимает вид
Bin (а — ф)
или а <
. Ф.

§17]
ТРЕНИЕ И СВЯЗИ С ТРЕНИЕМ
201
т. е. сводится к тому, что участок АВ нити должен лежать внутри угла
трения (см. п. 3); при этом система будет в равновесии, каков бы ии был
груз Q (самотормозящееся устрой-
устройство).
3. Лестница опирается концами А
и В на горизонтальный пол и верти-
вертикальную стену (рис. 199). Прене-
Пренебрегай весом лестницы, опреде-
определить, при каких положениях сто-
стоящего на ней человека система
остается в равновесии. Углы тре-
иия ш. и го_ в точках А и В из-
т А о
вестны.
Решим задачу графически. На
лестницу действуют сила тяжести Р,
равная весу человека, и реакции R.
и RB в точках А и В, которые могут
иметь любые направления внутри уг-
углов трени». При равновесии эти силы
должны пересекаться в одной точке.
Но реакции RA и RB могут пересечь-
пересечься где угодно внутри заштрихованной
на чертеже площади. Следовательно, при равновесии линия действия силы Р
должна пересекать эту площадь. Поэтому при том положении лестницы,
которое показано иа рисунке, человек может подняться только до точки D.
Чтобы человек мог дойти до верхнего конца В лестницы, угол а, который
она образует с вертикалью, должен быть
ие больше угла трения фл (от трения
в точке В этот результат не зависит).
При отсутствии треиия реакции бу-
будут нормальными и пересекутся в точ-
точке О. Равновесие будет возможно только
тогда, когда человек стоит в точке А
лестницы.
Рис. 199.
б. Трение гибкой нити о цилин-
цилиндрическую поверхность. Рассмо-
Рассмотрим ннть, касающуюся поверхности
кругового цилиндра вдоль дуги ADB
с центральным углом а (рис. 200).
Коэффициент трения нити о цилиндр
равен /0. К одному концу нити при-
приложена сила Р. Найдем, какую рис. 200.
наименьшую силу Q надо приложить
к другому концу, чтобы сохранить равновесие. Для этого рассмотрим
равновесие элемента нити DE длины ds = Rdd, где R — радиус ци-
цилиндра. На него действуют приложенные в точках D и Е натяжения
нити T-\-dT и Т, нормальная реакция dN и сила трения dF. Со-
Составляя условия равновесия в проекциях на касательную т и нор-
маль п и считая sin-
COS
~1T:
1, будем иметь (пренебрегая

202 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ. IV
малыми высшего порядка):
ИМ — 9Т ciri
dN = 2T sin4i= TdQ. {6)
Но так как рассматриваемое положение равновесия является предель-
предельным, то dF = fodN. Подставляя сюда значения dF и dN из
равенств F), получим:
Так как натяжение нити в точках А и В равно соответственно
Р и Q, то, разделяя в полученном уравнении переменные и беря
от обеих частей определенные интегралы в соответствующих пре-
пределах, получим:
Р а
Г dT Г
J — = foj
J foj или
<Э о
откуда
G)
Формула G), найденная Эйлером, показывает, что уравновеши-
уравновешивающая сила Q не зависит от радиуса цилиндра и при данном /0
быстро убывает с увеличением а.
Пример. Прн трении пенькового каната о дерево /0 = 0,5. Если
обернуть такой канат вокруг столба два раза (а = 4я), то будет Q =-Pe~2jl&
х 0,002Р; натяжение в 1 Г можно при этом уравновесить силой в 2 кГ.
6. Трение качения. Опыт показывает, что для качения тяжелого
цилиндра (катка) по горизонтальной плоскости к оси цилиндра необ-
необходимо приложить некоторую горизонталь-
горизонтальную силу Q для того, чтобы преодолеть
сопротивление, возникающее при качении ци-
цилиндра. Это сопротивление носит название
трения качения.
Трение качения возникает оттого, что
поверхность катящегося тела и плоскость, по
которой тело катится, не абсолютно тверды,
а несколько деформируются вследствие дав-
давления тела на плоскость.
Допустим сначала, что цилиндр и пло-
рис. 201. скость являются абсолютно твердыми и ка-
касаются друг друга в точке А. Чтобы могло
происходить качение без скольжения, их поверхности должны быть
шероховатыми. Пусть к оси цилиндра приложена горизонтальная сила Q,
величина которой меньше FmdX (рис. 201). Тогда точка касания
цилиндра А скользить вдоль плоскости не будет. На цилиндр при

17]
ТРЕНИЕ И СВЯЗИ С ТРЕНИЕМ
203
этом будут действовать две взаимно уравновешивающиеся силы: сила
тяжести Р и приложенная в точке А нормальная реакция N, и две
другие силы: сила Q и препятствующая скольжению точки А сила F,
которые не могут уравновесить друг друга (см. аксиому 2). Под
действием этих сил и началось бы качение цилиндра при любой
сколь угодно малой силе Q.
В действительности картина будет иной. Вследствие деформации
тел под действием сил Р и N их касание происходит не в точке,
а вдоль некоторой площадки (рис. 202). При действии силы Q,
направленной вправо, давление
у левого края убывает, а у проти-
противоположного — возрастает. При
этом нормальная реакция N сме-
смещается вправо в некоторую точ-
точку В и вместе с силой трения
скольжения F (см. рис. 201) дает
равнодействующую Nv которая
проходит через ось О цилиндра
и уравновешивает силы Р и Q.
Как видно из соответствующего
силового треугольника, с увели-
увеличением силы Q сила Л^, чтобы
уравновесить систему, должна
образовывать все больший угол а
с вертикалью, т. е. точка В приложения реакции ЛГ должна все
больше смещаться вправо. Но это смещение имеет известный пре-
предел, зависящий от свойств материалов соприкасающихся тел; обо-
обозначим его через k. Тогда, если Q имеет наибольшее значение Qnp,
при котором еще возможно равновесие, то AB — k. Значение Qnp
можно найти из подобия силового треугольника и Д ОАВ. Считая
приближенно О А = R, где R — радиус цилиндра, будем иметь
QBVjP = kjR или
Qa = ~Р. (8)
Если Q < Qnp, то цилиндр находится в покое, а при Q > Qap начи-
начинается качение. Входящая в равенство (8) линейная величина k на-
называется коэффициентом трения при качении. Измеряют k
обычно в сантиметрах и определяют опытным путем. Например, при
качении вагонного колеса по рельсу А = 0,005 см, а для шариковых
подшипников (закаленная сталь) k = 0,001 см.
Отношение k/R для большинства материалов значительно меньше,
чем коэффициент трения скольжения /. Поэтому в технике, когда
это возможно, трение скольжения стремятся заменить трением каче-
Ния (колеса, катки, шариковые подшипники и т. п.).
Рис. 202.

204
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[Г Л IV
§ 18. Параллельные силы
1. Система двух параллельных сил, направленных в одну
сторону. Рассмотрим сначала систему двух параллельных сил Р
и Q, направленных в одну сторону и действующих на абсолютно
твердое тело (рис. 203). Так как сила, действующая на твердое
тело, есть вектор скользящий, то достаточно знать только линию
действия каждой силы и ее напряжение, а за точку приложения
можно брать любую точку на линии действия соответствующей силы,
например точку А для силы Р и точку В для силы Q. Соединим
эти точки прямой АВ и приложим в них две численно равные силы
S и S', направленные по прямой АВ
в противоположные стороны. Очевидно,
система
(S, S')coO.
Теперь, сложив силы Р, S и силы Q
и S', получим их равнодействующие
/?i и R2. Система (Р, Q) со (Р, Q, S, S'),
следовательно,
(Р, Q)^(RV R2).
Продолжим линии действия сил Rt
Рис. 203. и R2 до их пересечения в точке О
и перенесем /?lt R2 в эту точку. Теперь
каждую силу Rlt R2 разложим по правилу параллелограмма на со-
составляющие силы Р и S, Q и S', параллельные прямой АВ и
силам Р и Q. Таким образом, наша система сил свелась к системе
сил, приложенных в одной точке О.
Рассмотрим систему четырех сил (Р, Q, S, S') в точке О. Систему
сил (S, S'), как эквивалентную нулю, отбросим; остаются две силы
Р и Q. Эти силы направлены в одну сторону и действуют по одной
прямой, которая параллельна линиям действия сил Р и Q; следова-
следовательно, равнодействующая этих сил R = P-\-Q будет по модулю равна
сумме модулей слагаемых сил, т. е.
A)
Из подобия соответст-
и направлена параллельно данным силам,
вующих треугольников имеем:
Р S
АС '
*¦
S'
Разделив почленно одну пропорцию на другую, получим:
Р СВ Р Q

§ 18] ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ 205
Таким образом, точка С находится на отрезке АВ и делит его
внутренним образом на части, обратно пропорциональные силам.
Составив из последней пропорции производную пропорцию, получим:
P + Q Р 0_
АС + СВ~ СВ ~ АС '
или, так как P-\-Q = R, а АС-+СВ=АВ,
~СВ~— АС ~ АВ ¦ W
Из равенств B) легко определить отрезки АС и СВ.
Итак, система двух параллельных сил, направленных в одну сторону,
имеет равнодействующую, которая по модулю равна сумме модулей
данных сил, параллельна им и направлена в ту же сторону. Линия
действия равнодействующей проходит через точку, которая делит
отрезок АВ на части, обратно пропорциональные данным силам,
внутренним образом.
Решим теперь задачу о разложении данной силы R на две парал-
параллельные. Такое разложение, как и в случае сходящихся сил, может
быть проведено бесконечным множеством способов. Для определен-
определенности задачи недостаточно также задать только напряжения Р и Q
слагаемых сил, ибо и это разложение может
быть совершено бесконечным множеством
способов, лишь бы только точки А и В при-
приложения слагаемых сил Р и Q удовлетворяли
только что выведенному соотношению B).
Задача станет вполне определенной, когда
будут заданы или напряжение и линия дей-
действия одной из слагаемых сил, или линии
действия обеих слагаемых сил.
Пусть, например, требуется силу R
(рис. 204), приложенную в точке С, разложить Рис. 204.
на две параллельные ей силы так, чтобы одна
сила была приложена в точке А и напряжение ее было равно Р
(АС и Р заданы). Напряжение второй слагаемой силы Q и точка ее
приложения В определяются тогда из соотношений
* = P + Q. ТЯ—¦&¦
откуда
Q = R — P, CB = fr-AC.
Пусть теперь силу R требуется разложить на две параллельные
силы (рисунок тот же), приложенные в точках А и В (АС и СВ
заданы). Тогда напряжения Р и Q определяются из соотношений

206
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ IV
Рис 205
Отметим в заключение следующее. Равенства B), очевидно, сохра-
сохранятся, если силы Р и Q считать приложенными в точках Аг и Bv
лежащих на общем перпендикуляре к ли-
линиям действия этих сил (рис. 205). Тогда,
полагая Afi — p, CB1=q, будем иметь:
Р СВХ _ д
откуда
Pp=Qq. C)
Расстояние от точки С до линии дей-
действия силы называется плечом силы отно-
относительно точки С; например, р есть плечо
силы Р относительно точки С. Произве-
Произведение силы на плечо представляет собой
числовое значение величины, называемой
моментом силы относительно данной точки. Таким образом, формула C)
показывает, что моменты параллельных сил относительно любой точки,
находящейся на линии действия их равнодействующей, равны между
собой по числовому значению.
2. Система двух параллельных сил, направленных в проти-
противоположные стороны (антнпараллельных). Две параллельные силы,
направленные в противоположные стороны, называют антипараллель-
антипараллельными. Пусть мы имеем систему антипараллельных сил Р и Q,
не равных по модулю и приложенных в точках А и В- (рис. 206).
Разложим большую силу Р на две параллельные силы R и Qv из
которых одну (Qj), равную по напряжению силе Q, приложим
в точке В так, что силы Q и Qj
будут действовать по одной прямой
в разные стороны. Тогда напряжение
другой силы R и точка ее прило-
приложения С определятся из соотношений
вида A) и B), которые, учитывая, что
Qj = Q, дают:
ВС
Q
АС
R
АВ
E)
Сила R, модуль и направление кото-
которой определяются равенствами D), E),
и будет равнодействующей системы
антипараллельных сил Р и Q. Действительно, (Р, Q) со {R, Qx, Q);
но система (Qv Q) со 0, следовательно,
(Р, Q)<^R.

§ 18] ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ 207
Итак, система двух антипараллельных сил имеет равнодействую-
равнодействующую, которая равна по модулю разности модулей этих сил, им парал-
параллельна и направлена в сторону большей силы. Линия действия равно-
равнодействующей проходит через точку, которая лежит на продолжении
отрезка ВА и делит этот отрезок на части, обратно пропорциональ-
пропорциональные силам, внешним образом.
Задача разложения данной силы на две антипараллельные является
опять задачей неопределенной; она становится определенной, если
заданы положение и напряжение одной силы или линии действия
обеих слагаемых сил. Это разложение проводится таким же спосо-
способом, как и в случае параллельных сил.
Из равенств E) легко найти, что и для антипараллельных сил
имеет место соотношение C), т. е. что моменты этих сил относи-
относительно любой точки на линии действия их равнодействующей равны
по числовому значению (см. рис. 206).
3. Пара сил. Хотя формулы D) и E) получены для случая,
когда Р Ф Q, мы можем с их помощью рассмотреть, что произойдет
с равнодействующей двух антипараллельных сил, если модуль одной
из них, например Р, будет приближаться к Q. Из равенства D)
видно, что при P—>Q будет R->0. Равенство же E), которое
можно представить в виде
показывает, что при R-*0 расстояние АС-*со, т> е. что точка С,
где приложена равнодействующая, при P—>Q уходит в бесконеч-
бесконечность. Этот результат можно истолковать в том смысле, что
при P = Q две антипараллельные силы одной
какой-нибудь силой заменить нельзя.
Система двух равных по модулю антипарал-
антипараллельных сил, действующих на абсолютно твер-
твердое тело (рис. 207), называется парей сил.
Пара сил, как будет доказано, действительно
не имеет равнодействующей, т. е. не может
быть заменена одной эквивалентной ей силой.
Поэтому пара сил является в статике таким же рис. 207
самостоятельным элементом, как сила. Ее
свойства будут рассмотрены отдельно в § 21.
4. Система многих параллельных сил. Рассмотрим две парал-
параллельные силы Pi и Р2, приложенные в точках Л и В и направлен-
направленные в одну сторону. Пусть оси выбранной системы координат
будут Oxyz. Положение точек А и В вполне определится заданием
радиусов-векторов гх и г2. проведенных из начала координат
в точки А и В (рис. 208). Проекциями этих векторов на оси координат

208 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ IV
являются, очевидно, координаты точек А и В, т. е.
гДхр у,, zx). r2(x2, y2, z2).
Определим положение точки С, через которую проходит равно-
равнодействующая R сил Р1 и Р2, т. е. определим радиус-вектор г0
точки С, зная радиусы-векторы Г;
и г2 точек Л и В. Заметим, что
r: + AC = rQ, ro-\-CB — r2, откуда
rQ— rv
= r2— r0.
С другой стороны, положение точ-
точки С определяется соотношением
Рис 208.
АС
Р2
АС_ _ СВ_
или Р2 - Р,
так как векторы АС и Л? коллинеарны. Подставляя вместо АС и CS
их значения, получим:
Го — г, г2 — г0
откуда
F)
Итак, если даны Pv P2, rv r2, то вектор г0, определяющий
положение точки С, находится по формуле F). Проектируя обе части
этого векторного равенства на оси
координат, получим координаты
точки С:
v - р^ ¦
Рис 209 Перейдем теперь к системе «парал-
«параллельных сил Р], Р2, Р3 Рп,
приложенных в точках Alt А2, А3 Ап и направленных в одну
сторону (рис. 209). Найдем сначала точку С2, через которую про-
проходит равнодействующая #2 двух сил Рг и Р2, потом точку С3,
через которую проходит равнодействующая #3 сил ^2 и Рз> т- е- трех
сил Pj, Р2, Р3, и т. д. На основании формулы F) радиус-векюр гс ,

§ 181 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ 209
определяющий положение точки С2, будет:
При этом l\1 2
Таким же образом радиус-вектор гс точки Су через которую
проходит равнодействующая R3 сил #2 и Я3, т- е- сил Р\< Я2. Я3.
представится, если учесть равенство G), в виде
з
Замечая общий закон составления выражений для радиусов-век-
радиусов-векторов, докажем по методу полной индукции переходом от k сил
к fe-j-1, что этот закон справедлив для любого числа сил. Имеем
для точки Ск, где приложена равнодействующая k сил Rk,
Складываем силу Rk с силой Яй+1; принимая во внимание, что
будем иметь:
R г с -\-Рк
г- =* —
причем
^-Л+я2+^3+ ... +Р*. (Ю)
Подставляя значения гс и Rk из (8) и A0) в равенство (9), по-
получим:
ft+i
что и требовалось доказать. Численная величина равнодействующей
равна, очевидно, сумме величин заданных сил
14 Н Н Бухгольц

210 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ IV
Точка, через которую проходит равнодействующая системы парал-
параллельных сил, направленных в одну сторону, определяемая по формуле
—а • A2)
называется центром параллельных сил.
Проектируя обе части равенства A2) на оси координат, найдем
выражения для координат xQ, yQ, z0 центра параллельных сил:
где xt, yt, zt—координаты точки приложения силы Рг
Если повернем данные силы на один и тот же угол, сохраняя их
точки приложения, то и равнодействующая этих сил повернется на
тот же угол, причем положение центра параллельных сил не изме-
изменится, так как формулы A2) или A3) показывают, что положение
центра от направления сил не зависит, а зависит только от модулей,
данных сил и от их точек приложения.
Когда нам дана система параллельных сил, направленных в раз-
разные стороны, то мы можем разделить силы этой системы на две
группы, из которых каждая включает силы, направленные только
в одну сторону Находя равнодействующую каждой группы, мы при-
приведем данную систему к системе двух антипараллельных сил, а эта
система, как известно, приводится или к одной силе (равнодействую-
(равнодействующей), или к паре сил. Легко также проверить, что для определе-
определения R и rQ (при R Ф 0) можно непосредственно пользоваться фор-
формулами A1) и A2) [или A3)], беря в них значения Р( для сил,
направленных в какую-нибудь одну сторону, со знаком плюс,
а в противоположную — со знаком минус.
б. Статические моменты. Для определения радиуса-вектора
центра параллельных сил мы получили формулу A2). В этой фор-
п
муле выражение 2 Pji носит название статического момента-
системы параллельных сил относительно центра О. Этот стати-
статический момент, как видно лз A2), равен произведению радиуса-век-
радиуса-вектора центра параллельных сил на сумму всех сил, т. е.

19]
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
211
Точно так же входящее в равенства A3) выражение
носит
название статического момента системы параллельных сил отно-
относительно плоскости yz и т. д Как видно из формул A3),
§ 19. Цеятр тяжести
1. Общие понятия. Сила, с которой тело притягивается к Земле,
называется силой тяжести, численная величина этой силы равна весу
тела. Сила тяжести имеет направление нити, один конец которой
неподвижно закреплен, а к другому привязан тяжелый груз. Это
направление называется отвесным или вертикальным, плоскость, пер-
перпендикулярная к вертикали, называется i оризонтальной плоскостью.
Если разбить тело на множество элементарных частиц, то сила
тяжести, действующая на каждую такую частицу, будет приложена
в точке, которую можно считать сов-
совпадающей с самой частицей. Когда рас- г
сматриваемое тело невелико (по сравне-
сравнению с радиусом Земли), направления
этих сил будут практически между со-
собой параллельны. Равнодействующая
всех сил тяжести, действующих на
частицы тела, будет _ численно равна
весу тела, а ее линия действия будет
проходить через вполне определенную
точку, совпадающую с центром парал- О
лельных сил тяжести частиц тела При /
изменении ориентировки тела в про- /С
странстве, что соответствует изменению
направлений сил относительно тела, эта
точка, согласно свойству центра парал-
параллельных сил, не изменяет своего положения по отношению к телу.
Точка, являющаяся центром параллельных сил тяжести частиц тела,
называется центром тяжести данного тела Таким образом, нахо-
нахождение центра тяжести сводится к нахождению центра параллель-
параллельных сил
Пусть мы имеем некоторое тело (рис. 210) Разобьем его на от-
отдельные малые частицы и обозначим через v объем всего тела,
через A.v — объем какой-нибудь частицы, а через ДР вес этой
частицы. Величина
v==|im .?¦ = -<? П)
Рис 210
14*

212 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ IV
называется весом единицы объема тела в данной точке (численно у
равняется удельному весу), а величина
Р = — B)
&
называется плотностью тела (масса единицы объема) в данной точке.
Вообще у и р суть функции координат точек тела (непрерывные
или прерывные); если же тело однородно, то у и р постоянны для
данного тела. Очевидно, что единицей измерения для у в технической
системе единиц будет 1 кГ/м3, а для р— 1 кГсек2/м4.
Из определения у и р следует, что вес любой частицы с объе-
объемом Лг>( будет:
Если все силы тяжести частиц мы будем считать параллельными,
то их равнодействующая будет численно равна сумме весов всех
частиц, т. е. весу тела. Радиус-вектор и координаты точки при-
приложения этой равнодействующей определятся как радиус-вектор (коор-
(координаты) центра параллельных сил формулами ])
хо — —vt—: • Уо — —^л—\
и будут искомыми координатами центра тяжести тела.
Если теперь мы вес единицы объема Y; заменим величиной
то формулы C), C') примут вид
^pgA^-y %pgbv г
Допустим, что тело достаточно мало. Тогда g( можно сократить,
так каь ускорение силы тяжести для всех точек тела будет в данном
случае одно и то же, и формулы D), D') примут следующий вид:
2>АР.г
г о = —^—-— , (о)
Af х 2pAf-y ^pbv-z
Уо = "^ го — ——: • ^b)
хо =
где 2рд<у есть масса всего тела.
') Индекс суммирования / в формулах C) — F) и далее для упрощения
записей опускаем.

§ 191 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ 213
Формулами E) и F) определяются соответственно радиус-вектор
или координаты центра масс (центра инерции) тела. Как видно
из этих формул, положение центра масс зависит только от распре-
распределения масс в объеме, занимаемом телом. Понятие о центре масс
является более общим, чем понятие о центре тяжести, так как оно
имеет смысл не только для одного твердого тела, но и для любой
механической системы; кроме того, это понятие не связано с тем,
находится тело в поле тяжести или нет. Для тела, находящегося
в однородном поле тяжести (в поле тяжести, где g— const), поло-
положения центра тяжести и центра масс совпадают.
Заметим, что центр тяжести (или центр масс) есть точка гео-
геометрическая, которая может не совпадать ни с одной из частиц тела
(например, для кольца).
Если Y и Р будут непрерывными функциями координат точек
тела, то входящие во все полученные формулы суммы будут в пре-
пределе представлять собой интегралы, взятые по объему тела.
Если тело однородно, то мы можем в формулах C) и C') или
E) и F) сократить у или р; тогда получим:
I r dv I xdv I у dv \ г dv
rn = — или хп = — , уп = — , га = . G)
Эти формулы определяют координаты так называемого центра тяжести
объема тела.
Мы видим, что определение положения центра тяжести (или
центра масс) однородного тела является задачей чисто геометриче-
геометрической и сводится к отысканию центра тяжести объема этого тела.
Величины, стоящие в числителях выражений G), называются
статическими моментами, причем I r dv есть статический мо-
момент объема относительно начала координат О, a xdv—статиче-
xdv—статический момент объема относительно плоскости yz и т. д.
Иногда приходится находить центр тяжести пластинок (плоских
фигур). Толщина пластинки (например, листа железа) по сравнению
с двумя другими ее измерениями очень мала и всюду одинакова,
поэтому мы можем находить центр тяжести не объема, а площади.
В данном случае вес частицы тела будет равен у' А5, где у' — вес
единицы площади (единицей измерения величины у' будет 1 кГ/м2),
a AS — элемент площади. Тогда радиус-вектор и координаты центра
тяжести пластинки, расположенной в плоскости ху, будут опреде-
определяться формулами

214 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ. IV
Для однородного тела у', как и в предыдущем случае, можем
сократить; тогда 2 ^ даст площадь S данной фигуры, а суммы
в числителях формул (8) заменятся интегралами, взятыми по пло-
площади всей фигуры,
Г rdS Г х dS Г у dS
ros=-^— или хо = -^—^—, уо=^—^—. (9)
Сумма 2х AS произведений элементов площади на их коорди-
координаты х называется статическим моментом площади относи-
относительно оси у, а 2 У AS — статическим моментом площади относи-
относительно оси х.
В некоторых случаях требуется найти центр тяжести материаль-
материальной линии, т. е. тела, у которого площадь поперечного сечения
всюду одинакова и очень мала по сравнению с длиной (например,
какой-либо фигуры, сделанной из проволоки). Пусть вес единицы
длины будет у" (единицей измерения величины у" будет 1 кГ/м).
Разобьем длину линии на элементы длины Д/. Тогда определение
центра тяжести тела сведется к определению центра тяжести линии,
положение которого найдется по формулам
У, у"М ¦ г
^LY A0)
2 V
или Х°=
Полагая линию однородной, мы можем сократить на у". При этом
суммы в равенствах A0), A0') заменятся интегралами, взятыми вдоль
данной кривой, и мы получим:
[rdl fxdl fydl fzdl
rQ=^—t или xo = ^—l—, yo= j—, 20 = jL-/—• (И)
Итак, нахождение центров тяжести однородных тел является
задачей чисто геометрической и сводится к нахождению центра
тяжести объемов (для тел), центра тяжести площадей (для пластин)
и центра тяжести линий (для материальных линий).
2. Методы нахождения координат центра тяжести. 1) Метод
группировки. В задачах о нахождении центра тяжести какого-нибудь
тела иногда бывает легко определить центры тяжести отдельных его
•частей, на которые можно разбить тело. Пусть, например, мы дан-
данное тело разбили на несколько частей /, //, ///, ... (рис. 211) и

§ 19] ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ 215-
определили центр тяжести каждой такой части тела, т. е. нашлш
и т. д. A2)
(где в сумму I входят только веса частиц первой части тела,
в сумму II — веса частиц второй части тела и т. д.). Если теперь
в формуле C) сгруппировать слагаемые, отно-
относящиеся к каждой из частей тела, то она даст
окончательно [с учетом равенств A2)]:
г
A3)
где Рх, Рц, ... суть веса соответствующих рИс 211.
частей тела.
Приведенный здесь метод группировки или разбиения имеет
широкое применение при решении практических задач на нахождение
центров тяжести различных тел. Ясно, что в случае однородных тел
веса заменяются соответствующими объемами, площадями и длинами.
2) Симметрия. Покажем, что если однородное тело имеет пло-
плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести этого тела нахо-
находится соответственно в плоскости,
на оси или в центре симметрии. Ди(-х,-у,г)
а) Пусть тело симметрично
относительно плоскости, которую
i Av(x,y, -г)
Рис. 212.
Рис. 213
примем за плоскость ху (рис. 212). Тогда вследствие симметрии
каждому элементу объема тела Av с координатами (х, у, z) будет
соответствовать такой же по величине элемент объема с коорди-
координатами (х, у,—z). Поэтому статический момеит 2г-Дг/ = 0

216
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
1ГЛ IV
и координата z0-
:0 (но х0 ф 0, у0ф0). Следовательно,
центр тяжести тела будет лежать в плоскости симметрии ху.
б) Пусть тело симметрично относительно оси, которую примем
за ось z (рис. 213). Тогда всякому элементу объема тела kv с ко-
координатами (х, у, z) будет соответствовать такой же по величине
элемент объема, расположенный симметрично относительно оси z
и имеющий координаты (— х, — у, -f- z); поэтому статические моменты
2х ¦ Av У\ у ¦ Ду
(но zo=jfeO). Следовательно, центр тяжести будет находиться на оси
симметрии z.
в) Пусть тело имеет центр симметрии, который примем за начало
координат О. Тогда всякой частице тела объемом /S.V, определяемой
радиусом-вектором г, будет соответствовать частица такого же
объема с радиусом-вектором — г, симметричная ей относительно
центра О. Поэтому статический момент
2г-Лт> = 0 и гп = =—-. = 0.
II
Следовательно, центр тяжести будет находиться в центре симметрии О.
3) Метод отрицательных масс. Этот метод является частным
случаем метода разбиения и применяется к телам, имеющим вырезы.
Способ его применения пояснен
ниже, в примере 3.
Пользуясь методом разбие-
разбиения и свойствами центров тя-
тяжести симметричных однород-
однородных тел, можно находить центр
~л тяжести сложного тела, разби-
разбивая тело на такие части, центры
тяжести которых легко опреде-
определяются. Рассмотрим несколько
примеров.
1. Дано однородное тело
(рис. 214); требуется найти его
центр тяжести. Будем рассматривать это тело как состоящее из трех тел:
двух шаров и одного цилиндра. Данное тело имеет ось симметрии, которую
примем за ось х; поэтому нужно искать только одну координату х0.
Обозначим радиус первого шара через г, второго — через R, высоту
цилиндра — через Ь, а его диаметр — через 2а. Возьмем начало координат
в точке О. Тогда абсцисса центра тяжести первого тела будет рав-
I Ь\ г,
на г, второго 12г-{""о'| и третьего Br -\- b -\- R). Следовательно, абсцисса
центра тяжести всего тела определится на основании принципа разбиения
Рис. 214.

S 191
равенством
-i nr*
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
4
217
¦*»'
2. Найдем центр тяжести линии, изображенной на рис. 215. Данная
фигура плоская, осей симметрии не имеет. Возьмем оси координат х, у так,
как указано на рисунке, тогда координаты центра тяжести этой плоской
фигуры будут:
' •">— a + b + c + d
3. Найдем, пользуясь методом отрицательных масс, центр тяжести
круга, в котором имеется круглое от-
отверстие (рис. 216). Можно рассматри- "
вать отверстие как площадь с отри- *"\хв
цательной массой. Фигура имеет ось
1
Рис. 215
симметрии, поэтому ищем только одну координату х. Взяв начало коор-
координат в центре большого круга, получим:
ха--
¦ 0 —
г*-с
я (R1 — г2)
М
При нахождении центров тяжести тел, имею-
имеющих полости, ^последние считаются объемами
с отрицательной массой.
3. Центры тяжести некоторых линий,
площадей и объемов. На практике бывает
полезно знать положения центров тяжести
некоторых часто встречающихся объемов,
площадей и линий.
1) Центр тяжести дуги окружности.
Пусть дана дуга АВ окружности радиуса R
(рис. 217). Проведем хорду АВ этой дуги
и перпендикулярный к хорде радиус ОС, который будет осью симмет-
симметрии. Возьмем оси координат с началом в центре круга и ось х

218
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
направим по ОС; очевидно, центр тяжести будет лежать на оси сим-
симметрии, т. е. на оси х. Таким образом, нам нужно найти только
одну координату центра тяжести х0. Соединим концы дуги с центром;
пусть центральный угол равен 2а. Разобьем дугу на элементы длины
dl; тогда координата центра тяжести дуги будет:
С xdl
v ¦/
0 — I '
i, a х = Rcosq и l~R-2a, то окончательно
Так как dl =
получим:
-t-u
/
cos ф
хп=-
sin a
2Ra
A4)
A5)
I R sin а Л
Следовательно, координаты центра тяжести дуги суть I—-—, UI.
Так как
2Rsma=AB (хорда), 2Ra = АВ (дуга),
то выражение координаты х0 можно еще представить в виде
_ АВ
° АВ '
Рассмотрим частный случай, когда дуга равна полуокружности;
тогда угол а = -н-, и, следовательно, sina=l. В результате фор-
формула A4) примет вид
xo = R~^-^R A6)
/ 22 \
если считать я « -=- .
Таким образом, центр тяжести
дуги полуокружности удален от цен-
центра окружности на расстояние, боль-
большее половины радиуса.
2) Центр тяжести площади
треугольника. Дан треугольник
ABC; найдем центр тяжести пло-
площади этого треугольника (рис. 218).
Разобьем треугольник на элемен-
элементарные полоски параллельно осно-
основанию АС. Так как эти полоски мы берем очень тонкими, то мы
можем их считать за материальные отрезки прямой линии, и, следо-
следовательно, центры тяжести данных элементарных полосок будут ле-
лежать на их серединах.
\ \~ \ч\
о
Рис 218.

19]
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
2191
Отсюда заключаем, что центр тяжести площади всего треуголь-
треугольника находится в геометрическом месте середин этих полосок, т. е.
на медиане ВО треугольника ABC.
Но мы можем за основание взять и другую сторону, например АВ,
и разбить треугольник на элементарные площади-полоски, параллель-
параллельные АВ; тогда найдем, что центр тяжести площади треугольника
будет лежать на другой медиане СЕ. Следовательно, центр тяже-
тяжести площади треугольника лежит на пересечении его медиан, ко-
которые, как известно, пересекаются в одной точке, расположенной
на расстоянии одной трети длины каждой из медиан от соот-
соответственной стороны треугольника. Если мы
имеем многоугольник и желаем опреде-
определить центр тяжести его площади, то разби-
разбиваем многоугольник на треугольники, опреде-
определяем центр тяжести площади каждого тре-
треугольника, а затем, рассматривая эти центры
как материальные точки с массами, пропор-
пропорциональными площадям треугольников, нахо-
находим центр тяжести всего многоугольника.
3) Центр тяжести площади круго-
кругового сектора. Пусть мы имеем некоторый
круговой сектор АОВ (рис. 219); найдем его
центр тяжести. Проведем оси координат, взяв
за начало центр круга О. Разобьем данный
сектор на равные элементарные секторы, т. е.
на секторы с очень малыми центральными углами. Такие секторы мы
можем принять за очень малые равнобедренные треугольники; их
2
центры* тяжести будут находиться на расстоянии -^ R от центра
круга. Таким образом, центры тяжести этих элементарных секторов
2
расположатся на дуге круга радиуса -^ R; сосредоточивая массы
элементарных секторов в их центрах тяжести, мы сведем нахождение
центра тяжести площади кругового сектора к нахождению центра
2
тяжести дуги окружности радиуса -^ R с центральным углом 2а,
которая равномерно покрыта массами (так как площади элементарных
секторов равны) и, следовательно, однородна.
Для дуги радиуса г, согласно формуле A4), имеем:
в данном случае радиус г = -у R; следовательно, абсцисса центра
тяжести площади кругового сектора будет:

220
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
В частности, для центра тяжести полукруга будем иметь
a—-S-, следовательно, sina=l и формула A7) дает:
•"•О — Т ~ '¦
14
A8)
22
(если считать я = -
Таким образом, центр тяжести площади полукруга удален от
центра круга на расстояние, меньшее половины радиуса.
4) Центр тяжести поверхности сферического сегмента.
Дана поверхность сферического сегмента ABCEF (рис. 220). Найдем
центр тяжести его поверхности.
Разделим высоту Н на очень большое число равных частей Л//
и через точки деления проведем плоскости, параллельные основанию
сегмента. Тогда поверхность сег-
сегмента разделится на очень боль-
большое число поясов. Площади этих
поясов будут равны между собой,
так как площадь поверхности
сферического пояса равна длине
окружности большого круга, умно-
умноженной на высоту пояса, а высоты
всех поясов, согласно условию,
одинаковы.
Так как поверхности поясов
очень малы, то мы можем считать
эти пояса материальными окружностями. Центр тяжести каждой такой
окружности будет находиться в геометрическом центре, а центры
всех таких окружностей расположатся по высоте Н.
Таким образом, высота Н будет равномерно покрыта материаль-
материальными точками одинаковой массы; следовательно, центр тяжести по-
поверхности сегмента будет находиться в середине отрезка Df? = W.
Беря начало координат О в центре сферы и направляя ось х вдоль
оси симметрии, найдем, что абсцисса центра тяжести будет:
Jfn= а —
Н_
2
A9)
В частном случае, когда
мула A9) примет вид
= R (поверхность полусферы), фор-
фор) = R 2" = у
B0)
т. е. центр тяжести поверхности полусферы находится на середине
радиуса, перпендикулярного к основанию.

§ 19]
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
221
5) Центр тяжести объема пирамиды. Возьмем треугольную
пирамиду (тетраэдр) SABC (рис. 221) и разделим ее на элементар-
элементарные пластинки плоскостями, параллельными основанию ABC. Центры
тяжести этих элементарных пластинок лежат на прямой SF, соединяющей
вершину пирамиды 5 с центром тяжести
площади основания, который лежит на пе-
пересечении медиан треугольника ABC, т. е.
в точке F, где
= -~-EC.
о
Деля затем пирамиду на бесконечно
большое число элементарных пластинок
плоскостями, параллельными грани SAB,
мы найдем, что центры тяжести этих пло-
площадок расположатся по прямой КС, где
К — центр тяжести площади треуголь-
треугольника ASB, причем EK = -rES-
Итак, искомый центр тяжести лежит
одновременно и на прямой КС и на пря-
прямой SF; следовательно, он лежит на пе-
пересечении их в точке О. Определим
положение этой точки. Проведем отрезок KF; очевидно, KF\\SC
и /\KOF~ l\OSC. Из подобия этих треугольников находим:
FO _ KF
OS — SC '
но
KF _ EK _ EF _ 1
SC ~ ES ~ ЕС ~~ 3 '
следовательно,
Рис. 221.
Окончательно имеем:
B1)
т. е. центр тяжести объема пирамиды лежит на прямой, соединяющей
центр тяжести площади ее основания с вершиной, на расстоянии -г
длины этой прямой, считая от основания. То же самое справедливо
для центра тяжести объема многоугольной пирамиды и объема конуса.
6) Центр тяжести объема сферического сектора. Пусть дан
сферический сектор ОАСВ (рис. 222), вырезанный из сферы ра-
радиуса R. Определим центр тяжести его объема. Разобьем сектор на
элементарные пирамиды с равновеликими площадями оснований, вер-
вершины которых будут в центре сферы. Поверхность всего сегмента

222
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
разобьется, таким образом, на очень большое число равных элемен-
элементарных площадей.
Положение центра тяжести объема пирамиды определяется равен-
равенством B1). Поэтому центры тяжести элементарных пирамид располо-
расположатся на поверхности сегмента радиуса -j- /?, где А?—радиус сферы;
сосредоточивая массы элемен-
элементарных пирамид в их центрах
тяжести, мы получим певерх-
ность сегмента, равномерно по-
покрытую массами, ибо объемы
Л элементарных пирамид одина-
ковы. Следовательно, центр тя-
тяжести сферического сектора
лежит в центре тяжести по-
поверхности этого сегмента.
Определим центр тяжести
полученного сегмента; обозна-
обозначим стрелку сегмента заданного
сектора через Н, а стрелку
о
сегмента радиуса -j-R через h;
тогда h = ~x;H. Направляя теперь ось Ох вдоль оси симметрии сек-
сектора и используя формулу A9), получим:
0 ~~ 4 к 2 •
Заменяя здесь h на -г И, найдем, что абсцисса центра тяжести объема
сферического сектора будет:
•?п ^^ ~л~
Рис 222
В частности, для центра тяжести объема полусферы, пола-
полагая Н = R, получим:
= TR' С23)
хо — ~
Следовательно, центр тяжести объема полусферы лежит на радиусе,
перпендикулярном к основанию, на расстоянии 3/8/? от центра сферы.
4. Теоремы Гульдена — Паппа. Теорема 1. Площадь поверх-
поверхности, полученной вращением дуги плоской кривой (или лома-
ломаной линии) вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но ее не пере-
пересекающей, равна длине этой дуги, умноженной на длину
окружности, описанной ее центром тяжести.

¦§19]
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
223
Пусть дана дуга АВ некоторой кривой и ось вращения у в плоско-
плоскости этой кривой (рис. 223). Разобьем дугу на элементы длины Al.
При вращении вокруг оси элемент длины А/ опишет элементарную
поверхность, площадь которой равна 2лх Al
(как площадь поверхности усеченного конуса
или цилиндра).
Площадь поверхности, описанная всеми эле-
элементами, будет:
С ^1 О-* V Л / ОтТ >^ V* Л 7
О ^^ ^JlA t-At ZJl j^ Л i\l.
Но в соответствии с равенствами A1)
2 х Al = xol, где х0 есть координата центра
тяжести дуги АВ. Следовательно, площадь по-
поверхности, описанной дугой АВ, будет:
S == 2пхо1. B4)
Теорема 2. Объем тела вращения, образованного враще-
вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой
фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади
этой фигуры на длину окружности,
описанной центром тяжести пло-
площади фигуры.
Разобъем данную площадь на эле-
элементарные площадки AS (рис. 224). При
вращении каждая элементарная пло-
площадка образует некоторое элементарное
тело, объем которого будет равен
Av = 2ях AS.
Сумма этих объемов даст полный объем
v = 2 2я* AS = 2л 2 х AS. B5)
Но в соответствии с равенствами (9)
2 х AS = x0S, где х0 есть координата
центра тяжести всей площади. Следо-
Следовательно, объем полученного тела вра-
вращения будет:
v = 2nxQS.
Пример. Найдем с помощью теоремы Гульдена площадь поверхности
и объем тора (кольца) круглого сечения (рис. 225).
По формулам B4) и B5) получим, что площадь поверхности тора равна
S = 2я/? • 2лг = ¦
а объем тора равен
v = 2я# • яг2 = :
Рис. 225.

224
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ IV
r*F
§ 20. Момент силы
1. Момент силы относительно центра. Пусть даны сила F,
приложенная в точке А какого-либо тела, и некоторый центр О
(рис. 226); тогда моментом силы относительно центра (или точки) О
будет называться вектор, приложенный к центру О, направленный
перпендикулярно к плоскости треугольника ОАВ по правилу правого
винта (т. е. в ту сторону, откуда поворот,
совершаемый силой, виден против хода
стрелки часов) и численно равный удвоен-
удвоенной площади этого треугольника (см. § 3,
п. 10); иначе говоря ]),
momoF=rXF- (О
Модуль (числовое значение) этого вектора
равен, очевидно, произведению модуля
силы F на расстояние h от центра О до
линии действия силы, которое называется плечом силы относительно
центра О, т. е.
Очевидно, что когда центр О лежит на линии действия силы, то
момент силы относительно этого центра равен нулю (так как плечо
равно нулю).
Если сила измеряется в кГ, а плечо в м, то момент будет изме-
измеряться в килограммометрах (кГм).
Проведя через центр О какую-
нибудь систему прямоугольных осей
Oxyz (рис. 227), мы можем пред-
представить момент силы F относительно
центра О в виде
Рис. 226.
Рис. 227.
i
х
Fr
J
У
C)
Формула (З) позволяет вычислить момент силы относительно начала
координат, если известны проекции Fx, Fy, Fz силы на оси коорди-
координат и координаты х, у, z точки приложения силы.
Когда все силы лежат в одной плоскости, то векторы, изображаю-
изображающие моменты этих сил относительно какого-либо центра, лежащего
') Символ тогао здесь и далее [кроме формул D) и (8)] обозначает
вектор момента силы, в отличие от случая плоской системы сил,- когда
этот же символ обозначает его числовую (алгебраическую) величину.

i 201
МОМЕНТ СИЛЫ
223
в той же плоскости, будут перпендикулярны к плоскости; поэтому
в данном случае моменты сил будут различаться между собой только
числовой величиной и знаком (а не
направлением, как в случае простран-
пространственной системы сил) и эти момен-
моменты можно рассматривать как величины
скалярные. Условимся, придержи-
придерживаясь правой системы, считать момент
положительным, если сила стремится
вращать тело около центра против
хода часовой стрелки (рис. 228), и
отрицательным — если по ходу часо-
часовой стрелки (рис. 229; плоскость сил считается совмещенной с пло-
плоскостью рисунков). Тогда в случае плоской системы сил
momo(F)= ±Fh. D)
2. Момент системы сил относительно центра. Если мы имеем
систему сил (векторов) Fv F2, F3 Fn (рис. 230), то вектор Мо,
Рис. 228.
Рис. 229.
Рис. 231.
равный сумме моментов всех этих сил (векторов) относительно цен-
центра О, т. е.
"i = S (г, X РЦ.
E)
называется главным моментом системы этих сил (векторов) относи-
относительно центра О. Если все силы (векторы) приложены к одной точке,
то (рис. 231)
л п
— >^ /V v р \ «• v ^ J7 /?\
Следовательно, момент суммы сил (векторов), приложенных к одной
точке, относительно какого-либо центра равен сумме моментов этих
сил (векторов) относительно того же центра (теорема Вариньона).
3. Момент силы относительно оси. Моментом силы относи-
относительно оси называется проекция момента силы, взятого относительно
любой точки оси, на эту ось, т. е.
тотх F=(rXF)x. G)
15 Н. Н. Бухгольц

226
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ IV
•г
V
Рис. 232.
Докажем, что проекция момента силы F, взятого относительно
некоторой точки О оси х, на эту ось не зависит от положения
точки О на оси (рис. 232). Действительно, равен-
'*" ство G) можно представить в виде
Выражение х° X г< как нетрудно видеть на ри-
рисунке, есть величина постоянная, численно равная
удвоенной площади треугольника с основанием jc°
и высотой rsin(jc°, r) = d- Как основание, так
и высота—величины постоянные, сила F тоже
остается постоянной; следовательно, величина
(г X F)x не зависит от положения точки О.
Моменту силы относительно оси можно дать
r-F еще другое определение, равносильное предыду-
предыдущему, а именно: момент силы F относительно
какой-либо оси х (рис. 233) есть момент проек-
проекции силы F на плоскость, перпендикулярную
к оси х, взятый относительно точки Oj пересе-
пересечения оси х с этой плоскостью (см. § 3, п. 10). При этом момент
проекции FA относительно точки Ог рассматривается как скалярная
величина, имеющая знак плюс, если
поворот, совершаемый силой FA ви-
виден с положительного конца оси х
против хода часовой стрелки, и
знак минус — если по ходу часовой
стрелки (см. п. 1). Таким образом,
тотхР = momOc FA = ±FAh\- (8)
Из предыдущего следует, что
если линия действия силы F пере-
пересекает ось х или ей параллельна,
то момент силы F относительно этой
оси равен нулю.
Рис. 233. Моменты силы относительно осей
какой-либо прямоугольной системы
координат (см. рис. 227) можно, пользуясь равенством C), пред-
представить в виде
тоту F = (г
= zFx — xFz,
(9)
Формулы (9) определяют одновременно проекции вектора
momo (F) = г X F на оси координат.

i 21]
ТЕОРИЯ ПАР
227
Рассмотрим примеры вычисления моментов силы относительно оси.
Найдем моменты относительно осей координат силы F, параллельной
плоскости Охг, и силы Р, направленной вдоль AD, если АВ — а, ОВ = Ь,
?_ CAB = а, ?_ ODA = р (рис. 234).
а) Для определения momx(F) проектируем силу F на плоскость Оуг,
перпендикулярную оси х. Числовая величина этой проекции будет Fyz=
= F sin а. Тогда по формуле (8) с уче-
учетом знака будем иметь: г i
mom (F) = mom (F ) = bF sin a. D ¦ >
При вычислении monij, (F) замечаем,
что сила F лежит в плоскости ABC,
перпендикулярной к оси у; следователь-
следовательно, FXz = F- Тогда, согласно (8), учи-
учитывая направление поворота, получим:
mora (F) — тогад (F) = — Fa sin a.
Для вычисления гаогаг (F) проекти-
проектируем силу F на плоскость Оху и нахо- X
дим, что Fxy = F cos a. Следовательно,
гаога2 (F) = morao (Fxy) = bF cos a.
б) Так как линия действия силы Р пересекает ось г, то тотг (Р) = 0.
Для нахождения двух других моментов воспользуемся формулами (9). Заме-
Замечая, что в нашем случае х = а, у = Ь, г = 0, a PZ = P cos p, получаем:
(P) == yPz = ЬР cos
mom. (P) = — xPz = — aP cos p.
§ 21. Теория пар
1. Момент пары. Парой сил называется система двух равных по
напряжению антипараллельных сил, действующих на абсолютно твер-
твердое тело. Так, например (рис. 235), система двух _
сил {F, F') образует пару, если
Расстояние d между линиями действия сил пары
называется плечом пары; плоскость, в которой
действуют силы пары, называется плоскостью
действия пары. Совокупность нескольких пар, дей-
действующих на тело, называется системой пар.
Пара сил не имеет равнодействующей. Докажем это, исходя
от противного: пусть пара сил (F, F') имеет равнодействующую R,
не параллельную силам пары (рис. 236). Тогда, прибавив к системе
сил (F, F') силу R', противоположную равнодействующей R, мы полу-
получили бы систему трех сил (F, F', R), находящихся в равновесии.
Но этого быть не может, так как линии действия сил F, F' и /?'
не проходят через одну точку и, следовательно, не выполняется не-
необходимое условие равновесия. Точно так же можно показать, что
15*

228 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ. IV
пара сил не может иметь равнодействующей, параллельной силам
пары.
Пара сил, действующая на тело, стремится сообщить ему некото-
некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуют величи-
величиной, называемой моментом пары. Поскольку этот эффект будет
тем больше, чем больше напряжение сил, со-
составляющих пару, и чем больше ее плечо, то
численно (по модулю) момент пары измеряют
произведением модуля одной из сил пары на
ее плечо, т. е. величиной F-d.
Если силы измерять в кГ, а плечо — в м,
то момент пары (как и момент силы) будет
измеряться в килограммометрах.
Кроме числовой величины Fd, действие
Рис. 236. пары на тело, а следовательно, и ее момент
зависят еще от того, как расположена пло-
плоскость действия пары в пространстве, и от направления, в котором пара
стремится вращать тело. Поэтому момент пары обладает определен-
определенным направлением в пространстве и, следовательно, есть величина
векторная.
Так как направление плоскости в пространстве определяется на-
направлением прямой, перпендикулярной к этой плоскости, то вектор,
изображающий момент пары, направляют перпендикулярно к плоско-
плоскости действия пары. Длина этого вектора берется равной (в выбран-
выбранном масштабе) числовой величине (модулю) момента пары (т. е. вектор
имеет столько соответствующих
д/770/7? (F,F') масштабу единиц длины, сколько
| единиц момента (кГм) имеет мо-
момент пары).
Сторона, в которую направлен
вектор-момент пары, должна ха-
характеризовать направление враще-
вращения пары. Мы здесь имеем уже
* тот (РР1) встречавшийся нам случай сопря-
сопряжения направления на прямой с на-
Рис. 237. правлением вращения в плоскости,
перпендикулярной к этой прямой.
Правило такого сопряжения зависит от нашего выбора и может соот-
соответствовать правому или левому винту. Как и везде ранее, мы будем
следовать правилу правого винта, т. е. считать вектор-момент пары
mom (F't F) направленным в ту сторону, откуда вращение пары видно
против хода стрелки часов (рис. 237).
Итак, момент пары есть вектор, перпендикулярный к пло-
плоскости действия пары, направленный по правилу правого винта
а численно равный произведению одной из сил пары на ее плечо.

«21]
ТЕОРИЯ ПАР
229
Остается невыясненным вопрос о точке приложения этого вектора.
Приводимые ниже теоремы об эквивалентности пар показывают, что
вектор-момент пары может быть приложен в любой точке простран-
пространства, т. е. является вектором свободным.
Если пары расположены в одной плоскости, то их векторы-мо-
векторы-моменты будут направлены перпендикулярно к этой плоскости в ту или
иную сторону, в зависимости от направления вращения пары. Поэтому
в данном случае моменты пар будут отличаться между собой только
числовой величиной и знаком, т. е. могут рассматриваться как вели-
величины скалярные. Условимся, придерживаясь правой системы, считать
момент пары, вращающей против хода стрелки часов, положительным,
mom(F>F')
Рис. 238.
Рис. 239.
а по ходу стрелки часов — отрицательным (рис. 238; плоскость пар
считается совмещенной с плоскостью рисунка). Тогда для плоской
системы пар
mova.(F, F')— ± Fd. A)
Как легко видеть, момент пары численно равен площади парал-
параллелограмма, построенного на силах пары (рис. 239); следовательно,
вектор-момент пары равен векторному про-
произведению векторов АВ и F', т. е.
mom (F. F') = А~В X F'= В~А X F. B)
Докажем следующую теорему: момент
пары есть сумма моментов сил пары
относительно любого центра. В самом
деле, возьмем произвольный центр О
(рис. 240) и проведем из него радиусы-
векторы г1 и г2 в точки А к В, где приложены силы пары (F, F').
Тогда АВ = г2 — г1 и
C)
АВ X Fl = (ri — r0 X F' = ra X F' —r, X F'.
Заменяя во втором члене F' через — F, получаем:
mom (F, F') = ABXF'=.riX F+ r2 X F'.
что и требовалось доказать.

230
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ IV
2 Эквивалентность пар. Теорема 1. Действие пары
на абсолютно твердое тело не изменится, если переместить
пару в другое положение в плоскости ее действия.
Пусть мы имеем пару (F,, F2) (рис. 241), причем силы пары при-
приложены к концам плеча пары А к В. Переместим плечо АВ пары
в некоторое новое положение, напри-
например Афу Приложим в точках Аг и Вг по
две силы Fz, F4 и F5, F6, равных силам
пары и направленных в противоположные
стороны перпендикулярно к A-Jii, тогда
(Fv
F6),
так как
0.
Рис. 241.
От пересечения линий действия сил
данной пары с линиями действия сил, при-
приложенных к точкам AY, Bv получим па-
параллелограмм, который будет ромбом, ибо
АВ = А]В1. Перенесем силы F1 и F4
в точку К пересечения линий их действия.
Эти две силы, как равные по модулю, будут иметь равнодействующую,
направленную по биссектрисе угла CKD, т. е. по диагонали ромба.
Силы F2 и Fb перенесем в противоположную вершину ромба L. Эти
силы также дадут равнодействующую, численно равную предыдущей
и направленную по той же диагонали в про-
^в тивоположную сторону; следовательно, равно-
,„ действующие сил Fv F4 и сил F2, /^уравно-
/^уравноV
Г ,'
JF
*
2F'
Рис. 242.
весятся, т. е. система
Таким образом, система (Fv F2) эквива-
эквивалентна системе (F3, Fg), т. е. пара (Fv F2)
эквивалентна паре (F,, Fs).
Теорема 2. Действие пары на абсо-
абсолютно твердое тело не изменится, если
мы плоскость ее действия будем пере-
переносить параллельно самой себе.
Пусть мы имеем пару (Fv F2) с плечом АВ (рис. 242). Перенесем
плечо АВ параллельно самому себе в положение А]В1 и к точкам Ах
и Вг приложим направленные в противоположные стороны силы F3, F4
и F5, F6, равные по напряжению силам пары (Z7,, F2) и параллельные им.
Тогда система сил
(Ft, F<y)'~ [Ft, Fn, Fn, Fi, Fc, Fr).
Соединив концы плеч, получим параллелограмм. Сложив силы F2 и F4>
получим равнодействующую, равную 2F, которая будет приложена

ТЕОРИЯ ПАР
231
в середине диагонали параллелограмма и направлена вверх. Сложив
силы Fl и Ръ, получим их равнодействующую, равную — 2F и напра-
направленную вниз; точка приложения ее будет в середине второй диа-
диагонали параллелограмма; таким образом, обе равнодействующие имеют
общую точку приложения, равны между собой и направлены в про-
противоположные стороны, следовательно, они взаимно уравновеши-
уравновешиваются. Отсюда вытекает, что система (Fx, F5, F2, F4) ел 0. Поэтому
система
(Р р р р & р\ _», (р рЛ
и пара (Fz, F6) эквивалентна паре (Fv F2).
Отсюда вытекает, что плоскость пары можно действительно пере-
переносить параллельно ей самой, не изменяя при этом оказываемого
на тело действия.
Теорема 3. Действие пары на абсолютно твердое тело
не изменится, если любым способом видоизменить силы и плечо
пары, сохраняя постоянным их произведение, т. е. момент
пары.
Пусть мы имеем пару (Рх, Р2) (рис. 243). Разложим силу Р2
на две силы Q и (Р2 — Q)> приложенные в точках С к А. Силы Рх и
(Р2 — Q) имеют равнодействующую Q',
модуль которой <2'=Л—(Р2—Q)~Q-
В результате мы получим новую
пару (Qr, Q), плечо которой равно АС,
причем для этой пары сила Q и плечо АС
удовлетворяют соотношению
Q
АВ
= 4f или
АС
D)
Но произведение Q • АС есть момент
пары (Q\ Q), а Р2 • АВ есть момент
данной пары (Рх, Р2). Таким образом,
теорема доказана. Из теоремы следует, рис 243.
что данную пару можно всегда привести
к данной силе или к данному плечу при условии сохранения величины
ее момента, так как из равенства D) видно, что, задаваясь силой Q
произвольно, можно определить соответствующее плечо АС новой
пары, и наоборот.
Из доказанных трех теорем вытекает, что: 1) вектор-момент пары
может быть переносим в любую точку пространства и, следовательно,
есть вектор свободный, и 2) пары, имеющие равные векторы-моменты,
эквивалентны, так как на основании доказанных теорем одна из этих
пар может быть всегда преобразована в другую.
3. Сложение пар. Теорема. Система пар, действующих
на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной паре, момент
которой равен векторной сумме моментов этих пар.

232
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ TV
а) Плоская система пар- Рассмотрим сначала случай плоской
системы пар. Пусть дано несколько пар
(F,, F[), (F2, F2), (Fa. F3) (FB. Fb).
плечи которых равны соответственно dv d2 dn (рис. 244).
Приведя все пары к одному плечу D, повернем их так, чтобы плечи
их совпали с произвольно выбранным отрезком AB — D; тогда D
будет* их общим плечом, а силами, составляющими пары, будут
Сложив эти силы, получим новую пару (R, R') с плечом D
(силы R и R' на рисунке не показаны); при этом, учитывая напра-
направления сил, показанные на рисунке, бу-
будем иметь:
Пара (R, R') будет эквивалентна данной
системе пар; момент ее будет:
Рис. 244.
mom (R, R ) =
+ (—QaD)+...+(QaD). E)
Но, согласно формуле A) и теореме 3,
QiD = Fidj = mom (Fi, Fi),
— Q2D = — F2d2 = mom (F2> F2),
QnD = Fndn = mom (Fn, F^).
Сложив эти равенства почленно и учитывая E), получим:
mom(/?, /?') = 2 mom
1=1
F)
т. е. плоская система пар эквивалентна одной паре, момент которой
равен алгебраической сумме моментов этих пар.
б) Пространственная система пар. Рассмотрим систему
двух пар, расположенных в пересекающихся плоскостях. Пусть дана
пара (Fi, Fi), лежащая в плоскости А, и пара (F2, F2), лежащая
в плоскости В (обе пары могут быть ориентированы в своих пло-
плоскостях любым образом). Выберем на линии пересечения плоскостей
некоторый отрезок MN = d (рис. 245), который примем за плечо, и
приведем обе данные пары к этому плечу, изменив соответствующим
образом величины сил, составляющих пары. Тогда вместо пар (Fj, Fi)

$21]
ТЕОРИЯ ПАР
233
и (Ffr F2) получим пары (Ри р[) и (Рг, Р0. лежащие в тех же пло-
плоскостях А и В, причем
(рь Я[) со (F,. F[), (Ра. P^cnfa. F'2)
и, следовательно,
тот(Рь Pj) = mom(/7i, Fi). mom(P2. Рг) = mom (/=2. fQ' G)
а по модулю
| mom (Pb P[) I = Pxd, \ mom (P2, P'2) | = P2d. G')
Силы Я1( Pj и Яг, Р2 будут, конечно, перпендикулярны к пря-
прямой NM, ибо отрезок d является плечом обеих пар. Складывая
тот (R,R,')
пмип(Ж
силы Pi с Р2 и Pi с Яг. получаем новую пару (/?, /?'), эквивалент-
эквивалентную данным. Изобразим теперь векторы-моменты пар (Рь Р[)
и (Рг, Рг). которые должны быть перпендикулярны соответственно
к плоскостям А и В, и построим на этих векторах-моментах парал-
параллелограмм. Этот параллелограмм подобен параллелограммам, построен-
построенным на силах, вследствие равенства углов с взаимно перпендику-
перпендикулярными сторонами и пропорциональности сторон, согласно равен-
равенствам G'). Поэтому его диагональ перпендикулярна к плоскости
пары (/?, R') и по длине равна Rd. Следовательно, диагональ, построен-
построенная на векторах-моментах пар (Pi, P{) и (Р2, Р2). представляет собой
момент равнодействующей пары (/?, R'), т. е.
mom(Pi, Pi)+mom(P2, Рг) = тот(/?, /?')
или, согласно равенствам G),
^ ^ ( (8)
^~ тот (/?,/?'),
где суммы являются, конечно, векторными.

234
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
Если дано несколько пар, то, последовательно применяя равен-
равенство (8), найдем, что вектор-момент равнодействующей пары будет
равен векторной сумме векторов-моментов слагаемых пар
mom (/?, /?') = 2 mom (Fi, F't).
(9)
§ 22. Система сил, произвольно расположенных в пространстве
1. Основная лемма. Всякая сила, приложенная к абсо-
абсолютно твердому телу в данной точке А, эквивалентна той же
силе, приложенной в другой точке В, и паре, момент кото-
которой равен моменту силы, приложенной
•а в точке А, относительно точки В.
Пусть в точке А твердого тела прило-
приложена сила FA. Приложим к точке В две
взаимно противоположные силы Fb и Fb<
равные по напряжению силе FA и параллель-
параллельные этой силе (рис. 246). Тогда
Рис-246' FAcn(FA, FB, Fb).
Но силы FA и Fb составляют пару, поэтому имеем:
FAco[FB и пара [FA, F'b)\,
причем момент пары [fa, F'b) будет очевидно равен моменту дан-
данной силы FA относительно точки В,
т. е. В А X FA. Следовательно, лемма
доказана.
2. Приведение пространствен-
пространственной системы сил. Пусть мы имеем
произвольную систему сил Fv Fv
Fv . .., Fn, действующих на абсо-
абсолютно твердое тело (рис. 247), рас-
расположенных как угодно в простран-
пространстве. Выберем произвольный центр О
и перенесем все силы системы в этот
центр. От перенесения каждой силы
мы получим силу и пару, момент которой равен моменту переносимой
силы относительно выбранного центра О. Складывая все силы
в центре О (на рис. 247 эти силы не показаны), получим одну ре-
результирующую силу R, где
Fn
Рис. 247.
R
п
2
A)

§ 22] СИЛЫ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ 235
Складывая моменты всех пар, получим вектор-момент результирую-
результирующей пары
п
Величина R, равная векторной сумме всех сил системы [равен-
[равенство A)], называется главным вектором системы, а величина Мо,
равная векторной сумме моментов всех сил системы относительно
центра О [равенство B)], называется главным моментом системы
относительно этого центра.
Заметим, что так как силы системы расположены в пространстве
совершенно произвольно, то главный момент Мо по отношению
к главному вектору R может быть направлен под каким угодно
углом. Таким образом, любая пространственная система сил, будучи
приведена к некоторому центру О, заменяется приложенной в этом
центре результирующей силой, равной главному вектору системы
R = 2 Ft< и результирующей парой, момент которой равен главному
моменту системы Мо относительно центра приведения.
3. Перемена центра приведения. Пусть пространственная система
сил приведена к центру О и заменена результирующей силой R
и парой с моментом Мо, который с направлением R образует неко-
некоторый угол а (см. рис. 247). Возьмем новый центр приведения О'
и приведем все силы системы к этому центру; по-
получим в центре О' силу R' и пару с моментом Мо-.
Но очевидно, что
т. е. результирующая сила, равная главному век-
вектору системы, с изменением центра приведения не
изменяется. Главный же момент при этом вообще
изменится, так как относительно нового центра
приведения момент каждой из сил системы станет
вообще другим. Найдем это изменение. Условимся для краткости
обозначать главный момент системы относительно центра О просто
через М, а относительно нового центра О' через М'. Тогда
где г\ — радиус-вектор точки приложения силы Ft, проведенный
из центра О' (рис. 248). Но из рисунка видно, что r'. = rl — 00'.
Заменяя г'( его выражением, получаем:

236 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ IV
В этом равенстве, как следует из B), 2 (ri X /\) = М; поэтому
М' = М — 2 (ОО7 X Ft) = М — Ш X 2 *>
Но 2 ^ = #< и окончательно получаем:
' } r0XR, C)
т. е. при изменении центра приведения главный момент изменяется
на величину, равную моменту результирующей силы относительно
нового центра приведения (см. рис. 247).
4. Инварианты приведения. Мы видели, что при изменении центра
приведения главный вектор R остается без изменения, поэтому
он представляет собой инвариант пространственной системы сил
по отношению к изменению центра приведения, т. е.
R'=R. D)
Вторым инвариантом системы будет скалярное произведение
главного вектора на главный момент, т. е. величина R-M =
= RMcos(RM), или же проекция главного момента на направление
главного вектора, т. е. величина М cos (RM) (так как R есть инва-
инвариант). Докажем это. Для центра О мы
имеем:
/*f / \ jr., р Vp я* V(, VF\
Для центра О', согласно равенствам D)
и C), будет:
Отсюда
M' = R- (Л + O7OXR) =
Но второй член яравой части равен нулю вследствие того, что
в смешанном произведении имеются два равных множителя; следо-
следовательно,
Я'.ЛГ = /?-M = const, E)
или же, так как R • М = RM cos (RM), a R = const, то
М cos (/?ТЛ1) = М' cos (/?%) = const. F)
Таким образом, скалярное произведение главного вектора на глав-
главный момент, или же проекция главного момента на направление
главного вектора (рис. 249), есть величина постоянная для данной

§22]
СИЛЫ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
237
м
системы сил и не зависит от выбора центра приведения, а поэтому
является вторым инвариантом системы.
б. Приведение системы к динаме (винту). Если центр приве-
приведения О выбран произвольно, то, как мы видели, главный вектор R
и главный момент системы М будут
составлять между собой некоторый
угол а, вообще отличный от нуля
(рис. 250).
Разложим главный момент М на
две составляющие: составляющую
М*, направленную вдоль главного
вектора R, и составляющую Mv пер-
перпендикулярную к главному вектору;
таким образом,
. Рис. 250.
Вектор М*, как ортогональная составляющая главного момента
по направлению главного вектора, есть для данной системы величина
постоянная, не зависящая от выбора центра приведения, т. е.
М* = const,
причем численно
М'= М cos
G)
Таким образом, с изменением центра приведения будет изменяться
только перпендикулярная составляющая Mv Мы всегда можем найти
такой центр приведения О*, чтобы переменная составляющая Л1,
обратилась в нуль; тогда главный момент
и главный вектор будут направлены по
одной прямой, т. е. будут коллинеарны,
и вектор М будет иметь минимальную ве-
величину, равную М*.
Совокупность силы и пары, вектор-
момент которой коллинеарен силе, или,
что то же, совокупность силы и пары,
лежащей в плоскости, перпендикулярной
к силе, носит название динами или
динамического винта (рис. 251). Аналитически центр О*, при при-
приведении к которому система заменяется динамой, можно определять
из условия, что для этого центра ЛГ||/?, т. е.
ц —Р— R2 • (8)
где р — постоянная линейная величина, называемая параметром винта
или динамы.
р

238 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ IV
Так как, согласно равенству C),
ЛГ = М— OO*XR.
то уравнение (8) можно представить в виде
»-™**=р. (9)
Этому уравнению, как нетрудно видеть, удовлетворяет бесконечное
множество точек, лежащих на общем направлении векторов R и ЛГ.
Следовательно, уравнение (9) есть уравнение прямой, которая назы-
называется центральной осью системы.
Равенство (9) выражает уравнение центральной оси в векторной
форме, причем текущей координатой является вектор 00*.
Если координаты векторов М, /?, 00* обозначить
М(МХ, Му. Мг), R(RX, Ry, Rz), 00* (х\ f, z*),
то в проекциях на оси координат уравнение центральной оси при-
примет вид
' R~x — Ry — RZ —P-
A0)
Так как для всех центров приведения, лежащих на центральной оси,
главный момент направлен по главному вектору, то, очевидно, для
этих центров главный момент имеет наимень-
q шую числовую величину, определяемую ра-
" венством G).
Итак, всякая система действующих на
абсолютно твердое тело сил, для которой
второй инвариант R • М не равен нулю,
приводится к динаме; эту динаму образуют
сила R, направленная по центральной оси
системы, и пара с моментом Л1*.
6. Приведение системы к двум силам.
Покажем, что всякую систему сил, действую-
Рис. 252. щих на тверДое тел0) для которой второй
инвариант R • М ф 0, можно еще привести
к двум силам, одна из которых проходит через заданную точку О.
Приведем систему к центру О; тогда получим для центра О резуль-
результирующую силу, равную главному вектору R, и результирующую
пару с моментом, равным главному моменту М. Представим М в
виде пары сил (F, F'), одна из которых проходит через точ-
точку О (рис. 252); тогда вся система приведется к двум силам:
Q = R-\-F и F', которые будут лежать в разных плоскостях, при-
причем сила Q будет проходить через заданную точку О.

§ 22] СИЛЫ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ 239
Если Mj_R, т- е- M-R = 0, то R будет лежать в плоскости
пары (F, F'), а следовательно, силы Q и F' будут в одной плоскости,
и вся система приведется к одной силе — равнодействующей. Если же
при этом R = Q, то, очевидно, вся система приведется к паре сил.
7. Общие выводы. Случаи приведения. По доказанному всякая
система сил (или вообще скользящих векторов) при приведении
к данному центру заменяется результирующей силой R, равной глав-
главному вектору системы, и результирующей парой с моментом М,
равным главному моменту системы относительно этого центра. Век-
Векторы R и М называются элементами приведения системы (или коор-
координатами системы скользящих векторов). Их значения определяют-
определяются формулами A) и B) или вытекающими из этих формул равен-
равенствами
2^ y 2
п п.
М = 2 тот (FJ, Mz= 2 morn^). A2)
i = l i = l i = l
Равенства A2) следуют из того, что по определению [§ 20, фор-
формула G)] (Г;Х Fl)x^momx(Fl) и т. д.
Главный вектор R не изменяется с изменением центра приведения
и является поэтому первым инвариантом системы. Главный момент М
изменяется при изменении центра приведения на величину, равную
моменту главного вектора R относительно нового центра, так что
если О и О' — соответственно старый и новый центр приведения, то
'OXR- A3)
Вторым инвариантом системы будет скалярное произведение век-
векторов R и М, т. е. величина R • М, или, так как R есть инвариант,
то вторым инвариантом можно считать проекцию М на направле-
направление R, т. е. величину Mcos(R, M).
В зависимости от значения инвариантов системы и элементов при-
приведения можно различать следующие случаи приведения системы сил.
1) R • М Ф 0. Система приводится к динаме (винту) с параметром
__М cos (/Of) _ RM
R R2
или к двум силам, лежащим в различных плоскостях. При этом
динама будет образована силой R, равной главному вектору системы
и направленной вдоль центральной оси, определяемой уравнением A0),
и парой с наименьшим моментом ЛГ, коллинеарным R; числовая
величина этого момента определяется равенством G).

240
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ IV
2) R.M = 0. Здесь возможны следующие частные результаты,
а) Если R ф 0, то система сил приводится к одной силе, т. е.
к равнодействующей, равной главному вектору системы,
Это вытекает из того, что при R-M = 0 будет р = 0 и, со-
согласно равенству (8), М* = 0; следовательно, динама вырождается
в одну силу /?* = /?, т. е. равнодействующую. Линия действия этой
равнодействующей совпадает с центральной осью системы, и ее
уравнение дается равенствами A0), если в них положить р — 0.
При этом, если одновременно Л1 = 0, то равнодействующая будет,
очевидно, проходить через центр приведения О; если же М ф 0, то
равнодействующая проходит через некоторый другой центр О*, что
видно из рис. 250, если на нем считать в данном случае ЛГ = 0,
М1 = М.
Легко также убедиться, что если система сил приводится к равно-
равнодействующей, то для этой системы R Ф 0, #Л1 = 0. Таким обра-
образом, чтобы система сил имела равнодействующую, необходимо и
достаточно выполнение двух условий: R ф 0, R-M = 0 для любого
центра приведения.
б) Если # = 0, но М ф 0, то при этом, как видно из A3),
М = М' = const, т. е. главный момент не зависит от выбора центра
приведения. Система приводится в этом случае к паре сил с моментом
= 2 (г, X Ft) =
momo
где О есть произвольный центр.
в) Если # = 0 и Л1==0, то система сил эквивалентна нулю, т. е.
находится в равновесии.
г
У
г,
¦ у у
г
0
У
-у:
а)
в,
х
Рис. 253.
Пример. Приведем к простейшему виду систему четырех одинаковых
по напряжению сил (Ft = F2 = Ft == Ft = F), действующих вдоль ребер куба
со стороной а (рис. 253, а).
Прежде всего заметим, что силы F3, FA образуют пару, которую можно
перенести в плоскость Оху и расположить так, как показано на рис. 253, а

§ 22] СИЛЫ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ 241
пунктиром. Отбросив после этого уравновешенные силы, F2, F^, находим,
что заданная система эквивалентна двум силам Fl и Р^ = Р2, причем по-
последняя сила приложена в точке В и ОВ = 2а (рис. 253, б). Приведем эту
систему сил к центру О и подсчитаем по формулам A1) и A2) проекции
главного вектора R и главного момента MQ = М. Получим:
RK = 0,
Мх=*0,
откуда
Y~ = 2Fa.
Теперь определяем значение второго инварианта системы
tf М = RXMX + RyMy + RZMZ = 2aF2.
Так как второй инвариант не равен нулю, то система приводится к динаме
с минимальным моментом М* и параметром р, определяемыми равенствами
G) и (8). Следовательно,
R РУТ R
Центральную ось системы находим по уравнению A0). Подставляя туда
найденные значения Rx, Rr Rz, Mx, My, Mz и р, будем иметь:
— yF + zF _ xF __ 2aF — xF __
Так как а Ф 0, то из первого отношения следует, что — у -)- г — 0, а из
второго находим, что х = а. Следовательно, центральная ось определяется
как пересечение плоскостей
у = z и х = а,
т. е. совпадает с диагональю АС передней грани куба.
Итак, данная система сил приводится к динаме, образованной силой
R= FYT, направленной вдоль линии АС, н парой с моментом М* = at
лежащей в плоскости, перпендикулярной к АС.
Такой же результат, конечно, получится если
систему заданных четырех сил сразу приводить
к центру О без предварительного ее упрощения.
8. Теорема Вариньона. Если си-
система сил имеет равнодействующую, то
момент этой равнодействующей отно-
сительно произвольного центра равен
сумме моментов всех сил системы отно-
относительно того же центра.
Пусть некоторая система сил Fu F2 Fn pm 2g4
имеет равнодействующую Л = 2^> прило-
приложенную в точке О* (рис. 254). Перенесем равнодействующую R в
произвольную точку О. При этом добавится пара (R, R") с моментом
16 Н. Н. Бухюльц

242 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ IV
С другой стороны, Л! есть главный момент системы относительно
центра О и равен сумме моментов всех сил относительно этого
центра, т. е.
Л! = 2 taomoFr
Сравнивая между собой эти два равенства, получаем теорему
Вариньона:
momoR = 2 motnp/7;. A4)
Проектируя обе части равенства A4) на любую ось, проходящую
через центр О, найдем, что теорема Вариньона справедлива и для
моментов относительно оси.
§ 23. Частные случаи систем сил
1. Плоская система сил. Система сил, расположенных в одной
плоскости (плоская система), как и всякая другая, является частным
случаем пространственной системы снл. Пусть мы имеем какук>
угодно плоскую систему сил Fv F2 Fn. Возьмем в плоскости
действия сил произвольный центр О и приведем систему к этому
центру. Тогда эта система, как и любая другая, приведется к при-
приложенной в центре О силе, равной главному вектору системы R,
и к паре с моментом, равным главному моменту Мо системы отно-
относительно центра О, где
tf = 2/V Л10 = 2 momo/?, = ]? г, X/> A)
Но так как в данном случае все силы Ft и центр О лежат
в одной плоскости, то сила R будет лежать в той же плоскости»
а все векторы-моменты rt X Fr а следовательно, и главный мо-
момент Мо, будут перпендикулярны к этой плоскости.
Отсюда следует, во-первых, что числовое значение главного
момента плоской системы сил можно вычислять как алгебраическую
сумму моментов этих сил относительно центра О, т. е. если h{ —
плечи сил Ft, то
Мо = 2 momo (Ft) = 2 ± Ftht. B)
Во-вторых, поскольку главный момент Мо плоской системы сил
всегда перпендикулярен к главному вектору R, то второй инвариант
R ¦ М для любой плоской системы сил равен нулю, т. е.
R • М = 0 C)
Первым инвариантом системы по-прежнему будет Л = 2Л-
Отсюда на основании результатов, полученных в § 22, п 7,
заключаем, что для любой плоской системы сил (не находящейся

§ 23] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СИСТЕМ СИЛ 243
в равновесии) может иметь место один из следующих двух частных
случаев.
1) Если R Ф 0, то система проводится к одной силе R*=R,
которая будет равнодействующей данной системы сил. Линия дей-
действия этой равнодействующей есть прямая, относительно всех точек
которой главный момент системы равен нулю Эта прямая будет
центральной осью данной системы сил. Ее векторное уравнение
получится из равенства (9) § 22, если в нем положить р = 0, и
имеет вид
Мо — OO*XR = 0, D)
где О* — любая точка центральной оси.
Проведя в плоскости действия сил координатные оси Оху с на-
началом координат в центре О и обозначив координаты точки О*
через х*, у*, получим уравнение центральной оси в декартовых
координатах, проектируя обе части уравнения D) на ось z, перпен-
перпендикулярную к плоскости Оху, в виде
Ryx*~ Rxy* = M0, E)
где Мо есть алгебраическая сумма моментов всех сил системы от-
относительно начала координат О, вычисляемая по формуле B) Этот же
результат найдем из равенств A0) § 22, учитывая, что для плоской
системы сил z* — 0, Rz = 0, Мх = Му = 0, Mz = Мо.
2) Если R = 0, то момент результирующей пары М при пере-
перемене центра приведения не изменяется; система сил приводится в этом
случае к одной паре, момент которой М будет равен сумме моментов
всех сил системы относительно любой точки плоскости.
Итак, всякую плоскую систему сил, не эквивалентную нулю,
можно привести или к одной силе (равнодействующей)
если R = ^jFi=fc 0. или к одной паре с моментом
если
2. Система параллельных сил. Пусть мы имеем систему парал-
параллельных сил Fv F2, ..., Fn, направление которых характеризуется
единичным вектором р (рис. 255). Условимся в дальнейшем пони-
понимать под Ft проекцию силы Ft на направление р, т. е.
Ъ = РО>- F)
16*

244
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
Тогда выражения главного вектора и главного момента будут иметь
вид
т. е.
R — pR, где R = ^Ft.
Главный момент системы относительно любого центра О будет:
или
(9)
Для системы параллельных сил (так же как и для плоской-
системы) второй инвариант R ¦ М оказывается равным нулю. Дей-
Действительно,
так как в смешанном произведении два мно-
множителя pR и р коллинеарны. Следователь-
Следовательно, система параллельных сил может также
приводиться или к равнодействующей, или
к паре.
Если R ф 0, то система параллельных
сил приводится к одной силе
Рис. 255. Линия действия этой силы есть прямая,
относительно всех точек О* которой главный
момент системы равен нулю, т. е. центральная ось системы; уравне-
уравнение ее в векторной форме есть уравнение D). Заменяя в нем Мо его-
значением из равенства (9), получим уравнение центральной оси в виде
или, деля обе части на R,
Но
где г0—радиус-вектор центра параллельных сил (см. § 18, п. 4).
Таким образом, уравнение центральной оси примет вид
(гп—
(И)

5 23]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СИСТЕМ СИЛ
245
Если векторное произведение равно нулю и ни один из векторов
не равен нулю, то векторы г0—ОО* и р коллинеарны; следова-
следовательно, уравнение центральной оси можно представить еще в виде
га-О(Г _и
р -*•
A2)
где k есть скалярная величина. В проекциях на оси координат
уравнение A2) будет иметь вид
х* — хо__ у* — у» __ г* — гй
Рх Ру Рг
A3)
о)
где х*, у*, 2* суть координаты точки О* (проекции вектора ОО"),
a xQ, y0, z0—координаты центра параллельных сил (проекции век-
вектора г 0).
Из уравнения A3) центральной оси видно, что центральная ось
системы параллельных сил есть прямая, параллельная этим силам и
проходящая через центр параллельных
сил. Этом вывод соответствует резуль-
результатам, полученным в § 18.
Итак, при ЯФ 0 система параллель-
параллельных сил приводится к равнодействую-
равнодействующей.
Предположим теперь, что R=Q.
Тогда
Xp = const A4)
для всех центров приведения. Система параллельных сил приводится-
в этом случае к паре, момент которой постоянен.
Наконец, когда R — 0 и М — 0 система параллельных сил экви-
эквивалентна нулю. Случай этот обладает одной особенностью, если силы
рассматривать как приложенные в данных точках (а не как скользя-
скользящие векторы). Из равенства A4) видно, что Л1=:0 в случаях, когда
векторы 2 Ftrt и р коллинеарны или когда 2 Fft — О-
Тогда, если М = 0 вследствие коллинеарности векторов 2 Fft
и р, то равновесие будет иметь место только при данном направле-
направлении сил Ft. Если же направления сил изменить (сохраняя их модули
и точки приложения), то вектор 2 Fft ПРИ этом не изменится,
а направление рх станет другим; следовательно, векторы 2 Firi
и рг не будут коллинеарны и мы получим М Ф 0, т. е. система по-
повернутых сил приведется к паре. Такой результат объясняется тем,
что в данном случае центры сил, параллельных и антипараллельных р,
лежат в разных точках С, иС2 и система приводится к двум равным.

246 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ JV
по напряжению и противоположно направленным силам Rv R2, при-
приложенным в этих центрах (рис. 256, а); поэтому при изменении на-
направления сил равновесие нарушается.
Если же М = 0 вследствие того, что 2 ri^i = 0, то равновесие
имеет место при всяком р, т. е. при всяком направлении параллель-
параллельных сил (система приводится в этом случае к двум численно равным
антипараллельным силам, приложенным в одной и той же точке,
рис. 256, б). Такой случай равновесия системы параллельных сил
называется безразличным, или астатическим.
§ 24. Условия равновесия систем сил
1. Условия равновесия произвольной системы сил. Так как
при изменении центра приведения результирующая сила R не меняется,
то для того, чтобы система была в равновесии, необходимо, чтобы
R = 0. Если R = 0, то вся система приводится к одной паре, момент
которой М не изменяется при изменении центра приведения. Следо-
Следовательно, для равновесия необходимо еще, чтобы было М = 0. Эти
условия также и достаточны, потому что если R = 0, то система
приводится к одной паре с моментом М; если же Л! = 0, то система
находится в равновесии (эквивалентна нулю).
Таким образом, мы имеем в векторной форме два необходимых
и достаточных условия равновесия произвольной системы сил, а именно:
М е= 2 momo Ft = 0, B)
где О—произвольный центр.
В проекциях на оси координат [см. § 22, формулы A1), A2)]
число условий равновесия для пространственной системы сил будет
равно шести, а именно:
= 0,
=0,2 тот, Ft = 2 (xf^ — ytFix) = 0,
C)
т. е. для равновесия произвольной пространственной системы сил
необходимо и достаточно, чтобы: 1) сумма проекций всех сил
на каждую из координатных осей равнялась нулю, 2) сумма моментов
всех сил относительно каждой из осей координат равнялась нулю.

§ 24] УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМ СИЛ 247
2. Условия равновесия плоской системы сил. В случае пло-
плоской системы сил условий равновесия в векторной форме будет
также два, а именно:
2 o Ft = 0.
В проекциях число условий равновесия будет три, а именно, если
силы действуют в плоскости ху, то
2/^ = 0, 2/>„ = <), 2тото/>, = 2<*Л»-У^,) = 0. D)
Итак, для равновесия произвольной плоской системы сил необ-
необходимо и достаточно, чтобы: 1) сумма проекций всех сил на каждую
из двух координатных осей (произвольно выбранных в плоскости
действия сил) равнялась нулю и 2) сумма моментов всех сил отно-
относительно любого (произвольно взятого в той же плоскости) центра
равнялась нулю.
Необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы
сил можно выразить еще в двух других формах, а именно:
1) Для равновесия плоской системы сил необходимо и до-
достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно
каждого из трех произвольных, но не лежащих на одной
прямой центров равнялась нулю (теорема о трех моментах), т. е.
2 тотл F, = 0, 2 тотв F, = 0, 2 тотс Ft — 0, E)
где А, В и С — произвольные, не лежащие на одной прямой центры.
Необходимость этих условий очевидна, так как при равновесии
сумма моментов сил системы относительно всякого центра есть нуль.
Докажем достаточность условий E). Ранее было установлено, что
если для данной плоской системы ?ил главный момент МА —
= 2 шотл Fl = 0, то система находится в равновесии или приво-
приводится к равнодействующей, проходящей через центр А. Тогда если
выполняются все условия E), то система должна или находиться
в равновесии, или приводиться к равнодействующей, проходящей
одновременно через центры А, В и С. Но последнее невозможно,
так как эти центры не лежат на одной прямой. Следовательно, при
выполнении условий E) имеет место равновесие.
2) Для равновесия плоской системы сил необходимо и до-
достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно
двух произвольных центров и сумма проекций всех сил
на произвольную ось, не перпендикулярную к прямой, сое-
соединяющей эти центры, равнялись нулю, т. е.
/^ = 0, 2
где ось / не перпендикулярна к прямой АВ.

248 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ IV
Ясно, что эти условия необходимы, так как при равновесии
плоской системы сил сумма моментов всех сил относительно любого
центра и сумма проекций всех сил на любое направление равны
нулю. Докажем достаточность условий F). Рассуждая как в преды-
предыдущем случае, заключаем, что при выполнении первых двух из усло-
условий F) система должна или находиться в равновесии, или приво-
приводиться к равнодействующей R, проходящей одновременно через
центры А и В, т е. направленной вдоль линии АВ. Но проекция
такой равнодействующей на ось I, не перпендикулярную к АВ,
была бы отлична от нуля. В то же время по последнему из усло-
условий F) должно быть
Следовательно, при одновременном выполнении всех условий F)
система не может приводиться к равнодействующей, т. е. имеет
место равновесие.
3. Условия равновесия системы параллельных сил. Когда
силы расположены в пространстве, то, направляя ось z параллельно
силам, мы найдем, что для каждой из них будет Flx = 0, Fty — 0,
тотг F{ = 0. Следовательно, первое, второе и последнее из ра-
равенств C) обратятся в тождества вида 0^0 и мы получим для
пространственной системы параллельных сил следующие три
условия равновесия:
2^« = 0. 2 mom, F, = 2 ^ = 0,
2 momy F, = — 2 xtFtz = 0.
Если рассматривать силы как приложенные в данных точках
(см § 23, п. 2), то равенства G) будут соответствовать случаю,
когда равновесие не является астатическим. Чтобы равновесие было
астатическим (безразличным) должно быть 2,Ftrt=Q, что в проек-
проекциях на оси координат приводит к еще одному дополнительному
условию: ^lzlFcz = 0-
Для плоской системы параллельных сил, направляя ось у
параллельно силам, получим из D) два условия равновесия:
2/^ = 0, 2 тоио^, 53 2*1/^ = 0. (8)
Другая форма условий равновесия имеет вид
2 тогпд Ft = 0, 2 тотв Ft — 0, (9)
где центры А и В не лежат на прямой, параллельной силам. Спра-
Справедливость этого результата доказывается так же, как для условий F),
4. Системы статически определимые и неопределимые. При
решении задач о равновесии несвободного твердого тела в условия
равновесия входят наряду с активными силами реакции связей, вели-

§ 24] УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМ СИЛ 2491
чины которых наперед неизвестны. Число этих неизвестных зависит
от числа и характера наложенных связей. Соответствующая задача
может быть решена методами статики твердого тела лишь в том
случае, если число неизвестных реакций связей будет равно числу
уравнений статики, в которые эти неизвестные входят. Такие задачи
называют статически определенными, а системы тел, для которых
это имеет место, — статически определимыми системами.
Если же число неизвестных реакций связей будет больше числа
уравнений статики, в которые эти реакции входят, то задача будет
статически неопределенной, а система тел, для которой это имеет
место, — статически неопределимой системой.
Рассмотрим, например, горизонтальную балку, лежащую на двух
опорах А и В и нагруженную вертикальными силами Pv Р2, .... Рп
(рис. 257, а). Кроме этих сил, на балку действуют перпендикулярные
Л ,*/
Рис 257
к ней реакции опор NA и NB. Составляя для полученной плоской
системы параллельных сил условия равновесия (9), будем иметь:
-1 = 0, ^iB(i) A
Эти два уравнения содержат две неизвестные реакции, которые
отсюда легко определяются.
Пусть теперь та же балка покоится на трех опорах А, В к С
(рис. 257, б). Тогда на нее будут действовать, кроме активных сил,
три реакции связей NA, NB, Nc. Но действующие силы образуют
по-прежнему плоскую систему параллельных сил; следовательно,
условий равновесия останется два:
2 momBPl — NA-l — Nc{l—a) = 0.
Определить из этих двух уравнений три неизвестных нельзя
Таким образом, балка на двух опорах является статически опре-
определимой, а балка на трех (и более) опорах будет статически неопре-
неопределимой.
Статическая неопределимость появляется вследствие наложения
лишних связей, ненужных для обеспечения равновесия абсолютно-

250
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ IV
твердого тела. Расчет статически неопределимых систем требует
учета их деформаций. Такие задачи решаются в курсах сопроти-
сопротивления материалов или статики сооружений.
б. Решение задач. При решении любой задачи методами геоме-
геометрической статики следует, как уже указывалось, выделить тело,
равновесие которого рассматривается, и изобразить все дгйствующие
на это тело активные силы и реакции связей (если направление
реакции какой-либо связи наперед неизвестно, то обычно эту реак-
реакцию представляют ее составляющими вдоль осей координат). После
этого для полученной системы сил составляют условия равновесия,
число и вид которых зависят от характера системы сил; из получен-
полученных таким путем уравнений и определяют искомые в задаче величины.
Если в задаче приходится рассматривать равновесие системы
тел, соединенных внутренними связями в виде шарниров, гибких
нитей и т. п., то эту систему расчленяют на отдельные тела и
составляют условия равновесия для
сил, действующих на каждое из тел
системы в отдельности (особенности
решения таких задач отмечены в при-
примере 2).
Рассмотрим примеры.
L Горизонтальная однородная балка
длины 21 и веса Р укреплена в точке А
шарниром, а концом В опирается на
гладкую плоскость, наклоненную к гори-
горизонту под углом а (рис. 258). На балке,
на расстоянии а от шарнира А покоится
груз весом Q, Найти реакции шарнира
и плоскости.
Для определения искомых вели-
величин рассматриваем равновесие балки.
На нее действуют две активные силы Р и Q, реакция N плоскости, напра-
направленная по нормали к этой плоскости, и реакция RA шарнира, которую
представим ее составляющими ХА н YА вдоль осей координат. При этом
целесообразно направить ось х горизонтально, а у — вертикально. Для полу-
полученной плоской системы сил составляем условия равновесия в форме D),
беря моменты относительно центра А, где пересекаются две неизвестные
силы XА и Уд. Получаем:
a-P-Q = 0, (a)
(б)
Рис 258
тотд Fk = ZNl cos a — PI — Qa = 0.
Момент реакции N можно находить или как произведение N на плечо
h = 2l cos а, или же можно представить силу N разложенной вдоль АВ и
по нормали к АВ на составляющие Nu N2 и искать mom^ N по теореме
Вариньона: momAN = mom^ Nl-\-momA N2. При этом raora^7V1 = 0 и мы
лолучим гаогад N = гаога^ N2 = 11 ¦ N • cos а. Такой прием бывает особенно
удобен в случаях, когда возникают затруднения с подсчетом плеча.

24) УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМ СИЛ 251
Решая полученную систему уравнений, находим:
21 cos a '
д и YА определяют реакцию R . Условия равновесия
можно было бы составить и в другой форме, беря, например, уравнения
моментов относительно центров А, В и С, в каждом из которых пересе-
пересекаются по две неизвестные реакции. Тогда к уравнению (б), позволяющему
найти N, добавились бы два уравнения:
a — Pl — Qa = 0, j
которые служат для определения YА и Xд. Система уравнений (б) и (в)
интересна тем, что каждое из них содержит только по одной неизвестной
реакции.
2. Два одинаковых однородных стержня весом Р каждый соединены
шарниром В и прикреплены шарнирами А и С к неподвижным опорам так,
что стержень АВ горизонтален, а стержень ВС образует с вертикалью
угол а (рис. 259, а). Определить реакции шарниров.
Для решения задачи рассматриваем равновесие каждого из стержней
в отдельности. На каждый стержень (рис. 259, б) действуют сила тяжести
и реакции соответствующих шарниров, которые мы представляем их соста-
составляющими вдоль осей координат. При этом, согласно закону действия и
противодействия, реакции Хв, YB шарнира В на стержень ВС должны
быть направлены противоположно реакциям Хв, Ув на стержень АВ.
По численной же величине
Хв = Хв, Y в = Y в. (а)
Теперь составляем условия равновесия для действующих на стержни
плоских систем сил [в форме F) для АВ и в форме D) для ВС]. Обозначая
АВ = ВС = 2а, будем иметь:
для стержня АВ
Fl^sYB-2a — Pa = О,
в F^Pa — Y?а = О,
F)
для стержня ВС
2 momc F^Pa sin a + YB ¦ 2a sin a —XB • la cos a = 0.
Заметим, что для стержня АВ нельзя составлять третье уравнение в виде
2 Fiy = 0, так как ось у перпендикулярна к АВ. Если бы, однако, мы эта
сделали, то получили бы уравнение Уд-\-Уд — Я = 0, являющееся след-
следствием первых двух.

252
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
Учитывая равенства (а), найдем из полученных шести уравнений с ше-
шестью неизвестными:
у у у Ptcrn V V Р V ^ D
л л >.. я " z »• J
Направления реакций Ад, Л^ и А"с противоположны показанным иа
рисунке.
Задачу можно еще решать другим путем, рассматривая сначала равно-
равновесие всей системы (рис. 259, а). Так как внутренние силы взаимно уравно-
уравновешиваются, то необходимо составить условия равновесия только внешних
Рис, 259.
•сил, действующих на систему, т. е. сил тяжести и реакций RA и RQ (на
рисунке не показаны). В результате получим:
тотА Ft^ — Pa — PBa + a sin a) — Xc- 2a cos a +
+ Y Ba -f 2a sin а) = 0.
(г)
Эти трн уравнения содержат четыре неизвестных. Поэтому для решения за-
задачи надо дополнительно рассмотреть условия равновесия одного из стерж-
стержней [но не обоих, так как уравнения (г) являются следствиями уравнений
(а) и (б)]. Решая совместно систему уравнений (б) и (г), найдем искомые
реакции.
Такой путь решения иногда бывает проще, так как уравнения вида (г),
вытекающие из условий равновесия всей системы в целом, содержат меньше
неизвестных (в них не входят внутренние реакции).
Из рассмотренного примера следует, что вопрос о статической опреде-
определимости или неопределимости конструкции, состоящей из нескольких тел,
должен решаться путем расчленения этой конструкции на отдельные тела.
Если при этом общее число неизвестных реакции связей будет равно числу
полученных уравнений, в которые эти реакции входят, то конструкция
является статически определимой, что и имеет место в рассмотренном при-
примере. На основании одних только уравнений (г), составленных для сил, дей-
действующих на конструкцию в целом, делать заключения о ее статической
определимости или неопределимости нельзя.
3. Трехногий стол, стоящий на горизонтальной плоскости, нагружен
вертикальными силами, равнодействующая которых Р проходит через точку
К (•*¦ У) (Рис- 260). Точки опоры А, В л С лежат в вершинах равносторон-
равностороннего треугольника со стороной 2а. Найти реакции плоскости.
Рассмотрим равновесие стола, на который действуют сила Р и реакции
JV., NB> N~. Проводя оси координат так, как показано на рисунке, соста*

,241
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМ СИЛ
253
вляем для полученной пространственной системы параллельных сил условия
равновесия G). Получаем:
тотy
— Nch = 0
Отсюда находим:
JL l-\
2А 2а)'
Легко проверить, что если линия действия силы Р проходит внутри тре-
треугольника ABC, то все реакции положительны. В противном случае некото-
некоторые из реакций становятся отрицательными (например, при х < О, NQ < 0)
и стол опрокинется.
Если при тех же условиях рассмотреть равновесие стола на четырех
ножках, то неизвестных реакций будет четыре, а уравнений, содержащих эти
реакции, останется три; следовательно, задача будет статически неопреде-
неопределенной.
4. Однородная прямоугольная пластина ABED весом Р со сторонами
AD = а, АВ = 6, образующая с вертикалью угол а, укреплена в точке А
цилиндрическим, а в точке В сферическим шарнирами так, что линия АВ
горизонтальна (рис. 261). Пластина удерживается в равновесии нитью DK,
лежащей в вертикальной плоскости, проходящей через линию DE, и обра-
образующей с вертикалью угол р. Найти реакции шарниров и нити.
Для определения искомых величин рассматриваем равновесие пластины.
Проводим оси координат: Az — по вертикали вверх, Ах — вдоль линии В А,
Ау — перпендикулярно к плоскости xAz. На пластину действуют сила тя-
тяжести Р, направленная по вертикали вниз и приложенная в центре плиты С,
реакция Т нити, направленная вдоль нити, и реакции шарниров. Реакция
цилиндрического шарнира А может иметь любое направление в плоскости уАг,
перпендикулярной к его оси; изображаем ее двумя составляющими Y, и Z.,
Реакция сферического шарнира В может иметь любое направление в про-
пространстве; ее мы изобразим тремя составляющими А_, К„, 2Г„.

254 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [ГЛ. IV
Для полученной пространственной системы сил составляем шесть усло-
условий равновесия C):
\ momx Fi = Г cos C • a sin а — Р -^ sin а = О,
V тогау /^ = Г sin р. a cos а — Р -^ -f ZВЬ = О,
2 momz f. е- Г sin р • д sin а — Кв • 6 = 0.
Входящие в условия равновесия моменты сил относительно осей коор-
координат обычно вычисляют как момент проекции силы на плоскость, перпенди-
перпендикулярную к соответствующей оси, относительно
точки пересечения оси с этой плоскостью. Напри-
Например (рис. 262), тога Р=тот.Р = — Р -Л,—
= — Р • -j sin а, так как Руг = Р, Л, = -^ sin а. Ана-
Аналогично находятся другие моменты.
При вычислении момента силы Т относительно
оси у можно разложить эту силу на составляю^
щие: Г], направленную вдоль DE, и Т2, парал~
лельную оси г. Тогда по теореме Вариньона
mom у Т = mom у 7\ + momy Т2. Но momy Т2 = 0,
так как сила Г2 пересекает ось у. Следовательно,
momy Т= momy Т\ = Тха cos а, где ТХ = Т sin p. Ta^
КОй прием особенно удобен в случаях, когда возник
кают затруднения с определением проекций силы
на плоскость, перпендикулярную к соответствующей оси. В этих случаях
можно также вычислять моменты непосредственно по аналитическим фор-
формулам, представленным в уравнениях C).
Решая полученную для определения реакций систему уравнений, найдем
окончательно:
= ^(l—f-tgpcosa).
(а)
Так как величина Y. получилась отрицательной, то это означает, что,
составляющая У. имеет фактически направление, противоположное показан-
показанному на рис. 261. Найденные значения проекций определяют реакции RA и RB.
Заметим, что если в точке А также был бы сферический шарнир, то
появилась бы дополнительная реакция Хд и первое из условий равновесия
приняло бы вид
X
Остальные уравнения при этом не изменились бы и мы нашли бы для вели-
величии Т, УА, ZA, Y , ZB те же значения, которые даны в равенствах (а)..

S 24] УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМ СИЛ 255
Однако задача определения реакций X. и X в из одного уравнения (б) ока-
оказалась бы статически неопределенной, так как, сделав шарнир А сфериче-
сферическим, мы наложили на систему лишнюю связь (отсутствие скольжения вдоль
оси х обеспечивается одним сферическим шарниром В).
6. Условия равновесия несвободного тела. Всякое несвободное
тело можно рассматривать как свободное, отбрасывая связи и заме-
заменяя действия их реакциями (§ 15, п. 5). Условиями равновесия тела
будем называть уравнения, которые связывают активные силы, дей-
действующие на тело, или параметры, определяющие положение тела, и
не содержат неизвестных реакций связей.
Число независимых перемещений, которые может иметь тело, назы-
называется числом степеней свободы тела. Свободное твердое тело,
кроме трех поступательных перемещений, параллельных осям коорди-
координат, может иметь еще три вращения вокруг тех же осей; следова-
следовательно, оно имеет шесть независимых перемещений. Чтобы тело не
двигалось поступательно параллельно какой-нибудь оси, необходимо,
чтобы сумма проекций всех сил на эту ось равнялась нулю, а чтобы
тело не вращалось около какой-нибудь оси, необходимо, чтобы сумма
моментов всех сил относительно этой оси
равнялась нулю. При равновесии тела дей- У „
ствующие на него силы должны удовлетво- - * '
рять таким условиям, чтобы они не могли
сообщить телу допускаемых связями движе-
движений; поэтому число условий равновесия тела
равно числу его степеней свободы.
1) Равновесие рычага. Рычагом назы-
называется твердое тело которое может вращаться
вокруг неподвижной оси под действием сил,
расположенных в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной к этой оси. Пусть на рычаг действуют активные силы /*,,
Р2, .. ., Рп, лежащие в названной плоскости (рис. 263). Реакция
оси R будет, очевидно, лежать в той же плоскости и иметь в ней
произвольное направление. Проведем оси координат Оху и составим
для действующей на рычаг плоской системы сил три условия равно-
равновесия в форме D):
% %PV + RV = O, A0)
Р = 0. A1)
Равенства A0) дают уравнения, которые служат для определения
реакции R, а равенство A1), не содержащее реакций, определяет
условие равновесия рычага.
Следовательно, условие равновесия рычага заключается в том,
чтобы сумма моментов всех сил относительно оси вращения равня-
равнялась нулю.

256
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ IV
2) Равновесие твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку. Пусть мы имеем тело, закрепленное в одной точке О (сфе-
(сферический шарнир), на которое действуют активные силы Я,, Р2, ..., Рп
(рис. 264). Реакция R будет приложена в точке О и имеет произ-
произвольное направление в пространстве. Проведем оси координат Oxyz
с началом в точке О и составим для дей-
действующих на тело сил условия равновесия C);
Я
Рис 264.
02)
A3)
2] тотг Р{ = 0.
Равенства A2) служат для определения реакции R, а равенства A3)
являются условиями равновесия тела. Следовательно, условия равнове-
равновесия твердого тела, имеющего неподвижную точку, состоят в том, что
суммы моментов всех действующих сил относительно каждой из трех вза-
взаимно перпендикулярных осей, проходящих че-
через неподвижную точку, должны равняться
нулю.
3) Равновесие тела, имеющего ось
вращения — скольжения. Пусть тело имеет
ось вращения, вдоль которой оно может
скользить, т. е., например, закреплено с по-
помощью двух цилиндрических шарниров (под-
(подшипников) в точках А и В (рис. 265). Тогда
реакции в точках закрепления будут нор-
нормальны к оси, т. е. (при направлениях осей,
показанных на рисунке) будут иметь соста-
составляющие YA, ZA и Yв, ZB. Составляя для действующих на тело
сил шесть условий равновесия C), мы найдем, что из них только
два, а именно
2^ = 0 и 2 mom_»./>, = 0, A4)
не содержат неизвестных реакций и являются условиями равновесия
тела. Таким образом, для тела, имеющего ось вращения — скольже-
скольжения, будет два условия равновесия, состоящих в том, что сумма
проекций всех действующих сил на данную ось и сумма их моментов
относительно этой оси должны быть равны нулю.
4) Равновесие тела, имеющего неподвижную ось вращения.
Если один из шарниров, А или В, показанных на рис. 265, сделать
сферическим, то ось вращения тела станет неподвижной; при этом

§ 25]
ОСНОВЫ ГРАФОСТАТИКИ
257
добавится еще одна составляющая реакции, направленная вдоль оси х.
Следовательно, теперь только одно из равенств A4), а именно
не будет содержать неизвестных реакций и явится условием равно-
равновесия тела. Таким образом, для тела, имеющего неподвижную ось
вращения, будет одно условие равновесия, состоящее в том, что
сумма моментов относительно этой оси всех действующих сил должна
быть равна нулю. Заметим, что, в частности, такое тело может быть
рычагом (когда все силы лежат в плоскости, перпендикулярной
к оси АВ).
§ 26. Основы графостатики
1. Система сил, сходящихся в одной точке. Учение о графи-
графических методах решения задач статики представляет собой отдел
механики, который называется графостатикой. При графическом
методе сила изображается, как
обычно, вектором, длина кото-
которого берегся в определенном
масштабе и направление соот-
соответствует направлению силы.
Рассмотрим систему сил, прило-
приложенных в одной точке. Равно-
Равнодействующая их, как известно,
находится по правилу силового
многоугольника (рис. 266). Если многоугольник замкнут, то систе-
система находится в равновесии, если же он не замкнут, то система при-
приводится к равнодействующей, которая изо-
изображается вектором, замыкающим силовой
многоугольник.
Рассмотрим пример (см. еще § 16, п. 5).
К отвесной стене приставлен стержень ве-
весом Р, другой конец которого упирается в угол.
Найти реакции сгены н угла (рис. 267).
Реакция стены N направлена перпендику-
перпендикулярно к стене, направление силы тяжести Р тоже
известно. Чтобы система трех сил была в равно-
равновесии, необходимо, чтобы линии действия сил
пересекались в одной точке. Линии действия двух
сил Р п N пересекутся в точке О, следовательно,
при равновесии направление реакции угла 5
должно пройти через эту же точку О. Для опре-
определения величины реакций N и S по данной силе Р и известным направле-
направлениям реакций строим силовой треугольник (план сил), начиная построение
с силы Р. Из полученного треугольника определяем N н S.
2. Метод веревочного (нитяного) многоугольника. Пусть мы
имеем некоторую силу F (рис. 268, а). Возьмем произвольный
///77/77777
Рис. 267.
17 Н, Н. Бухгольц

258
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
полюс О, не лежащий на линии действия силы F, и соединим его
с концами силы F; тогда мы можем рассматривать силу F как равно-
равнодействующую двух сил: 01, 10 (читается: нуль — один, один — нуль),
приложенных в той же точке, в которой будет приложена сила F.
Рис 268.
Поэтому если мы возьмем нить АСВ, так что АС и СВ будут соот-
соответственно параллельны силам 01 и 10, и закрепим концы А и В
неподвижно, а к точке С приложим ту же силу F, то эта сила
может быть представлена как равнодействующая сил 01 и 10, при-
приложенных к точке С (рис. 268, б); при этом силы 01 и 10 будут,
очевидно, равны натяжениям участков нити АС и СВ. Фигуры (а)
и (б) обладают тем свойством, что являются взаимными [их сто-
стороны параллельны и линии, сходящиеся на одной фигуре в одной
точке (точка С на рис. 268, б), образуют на другой фигуре тре-
треугольник (Д Oab на рис. 268, а)]; первая фигура называется пла-
планом сил, вторая — нитяным или веревочным (или стержневым)
многоугольником.
Определим теперь графически величину момента силы F, при-
приложенной в точке ?>, относительно центра К (рис. 269). Для этого
Рис. 269.
от некоторой точки а откладываем вектор ab = F и, взяв произ-
произвольный центр О, строим сначала силовой треугольник Oab, а затем
соответствующий ему нитяный многоугольник. Для построения нитя-
нитяного многоугольника проводим из произвольной точки А луч, парал-
параллельный 01, до пересечения с линией действия силы F в точке В,
а от точки В — луч, параллельный 10, до произвольной точки С.
Для нахождения момента силы F относительно центра К проведем
через К прямую, параллельную направлению силы F; тогда тог% F

§25)
ОСНОВЫ ГРАФОСТАТИКИ
259
будет пропорционален отрезку т этой прямой, полученному от пере-
пересечения ее с направлениями сторон нитяного треугольника. Действи-
Действительно, из подобия соответствующих треугольников имеем
jn d
F — h '
откуда Fd = mh\ следовательно, момент силы F относительно
центра А равен отрезку т, умноженному на полюсное расстояние /г,
причем отрезок т измеряется в масштабе длин, а Л — в масштабе сил.
3. Плоская система сил. Пусть дана плоская система сил 1,
2, 3, 4, действующих на некоторое твердое тело (рис. 270, а).
Рис. 270.
Строим силовой многоугольник, замыкающая которого R даст равно-
равнодействующую данной системы сил по напряжению и направле-
направлению (рис. 270, б). Определим теперь, где эта равнодействующая
приложена к телу. Для этого выберем произвольный полюс О, не
лежащий на сторонах силового многоугольника или их продолже-
продолжениях (см. п. 2), и соединим его с вершинами силового многоуголь-
многоугольника лучами 01, 12, 23, 34, 40. Тогда силу / мы можем рассма-
рассматривать как равнодействующую сил 01 и 12, силу 2—как равно-
равнодействующую сил (—/2) и 23 и т. д., где (—12) — сила, равная
по модулю 12 и направленная ей противоположно.
Построим теперь на рис. 270, а для данной системы сил вере-
веревочный многоугольник. Для этого от любой точки А проводим пря-
прямую, параллельную лучу 01, до пересечения ее с линией действия
силы 1 в точке а. Затем из а проводим прямую, параллельную
лучу 12, до пересечения с линией действия силы 2 в точке b и т. д.
Последнюю прямую dB проводим из точки d параллельно лучу 40
до произвольной точки В. Фигура AabcdB и будет для данной си-
системы сил веревочным или стержневым многоугольником (такую
форму принимает нить, укрепленная в точках А и В и нагруженная
в точках а, Ъ, с, d силами /, 2, 3, 4, или же система жестких
невесомых стержней, соединенных в точках а, Ь, с, d шарнирами,
17*

260
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
прикрепленных к неподвижным точкам А и В также с помощью
шарниров и находящихся под действием сил /, 2, 3, 4, приложен-
приложенных к шарнирам). Заметим теперь, что, согласно показанному в п. 2,
мы можем силу / заменить двумя силами 01 и 12, приложенными
в точке а (на рис. 270, а эти силы показаны в уменьшенном мас-
масштабе), силу 2 можем таким же образом заменить двумя силами (—12)
и 28, приложенными в точке Ъ, и т. д. При этом, как уже было
указано, сила (—12) численно равна, а по направлению противо-
противоположна силе 12 и т. д. В результате первоначальная система
сил (/, 2, 8, 4) заменится другой, эквивалентной ей системой сил,
Которые будут направлены по прямым Аа, ab, be, cd, dB, причем
силы, направленные по прямым ab, be, cd, как равные и противо-
противоположные, взаимно уравновешиваются. Таким образом, вся система
сил приводится к двум силам, направленным по прямым Аа и Bd,
параллельным лучам 01 и 40.
Так как равнодействующая двух сил, лежащих в одной плоскости,
проходит через точку пересечения линий действия этих сил, то равно-
равнодействующая системы сил (/, 2, 3, 4) должна пройти через точку К
пересечения прямых Аа и dB. Проводя через точку К вектор R,
найденный построением силового многоугольника, мы и получим
А
Рис. 271.
искомую равнодействующую. Таким образом, если силовой много-
многоугольник не замкнут, то данная система сил проводится к равно-
равнодействующей, численная величина и направление которой опреде-
определяются замыкающей стороной силового многоугольника, а линия
действия проходит через точку пересечения крайних сторон вере-
йочного многоугольника.
Если силовой многоугольник замыкается (рис. 271, а), то сумма
сил равна нулю, но, как известно, для равновесия этого еще недо-
недостаточно. Веревочный многоугольник в этом случае обладает, оче-
очевидно, тем свойством, что крайние стороны его Аа и сВ парал-
параллельны (рис. 271, б). Если крайние стороны не совпадают, как это
имеет место на рис. 271,6, то система приводится к паре сил C1, —31).

i 25)
ОСНОВЫ ГРАФОСТАТИКИ
261
Момент эгой пары равен произведению модуля силы 31, изме-
измеренной на рис. 271, а в масштабе сил, на расстояние h между пря-
прямыми Аа и сВ, измеренное на рис. 271,6 в масштабе длин.
Если же крайние стороны Аа и сВ сливаются, то веревочный
многоугольник замыкается (рис. 271, в), плечо пары обращается
в нуль и система находится в равновесии. Таким образом, необхо-
необходимые и достаточные условия равновесия произвольной плоской си-
системы сил (в геометрической или графической форме) состоят в том,
что построечные для этой
системы силовой и веревоч-
ный многоугольники должны
быгь замкнутыми.
4. Параллельные силы.
Задача определения равно-
равнодействующей двух парал-
параллельных н направленных
в одну сторону (рис. 272)
или антипараллельных сил
(рис. 273) сводится к построению соответствующего силового и ве-
веревочного многоугольников (стороны силового многоугольника в слу-
случае параллельных сил сливаются в один отрезок; на рисунках эти
Рис. 272.
2
Рис. 273.
отрезки для наглядности смещены). Пересечение крайних сторон 01
и 20 веревочного многоугольника дает точку, через которую прохо-
проходит равнодействующая.
Аналогично находится равнодействующая любого числа парал-
параллельных сил (если только R ф 0).
Чтобы разложить данную силу F на две параллельные силы, про-
проходящие через точки А и В (рис. 274), проводим через эти точки
прямые, параллельные силе F. На силе F строим силовой, треуголь-
треугольник. Через произвольную точку с на линии действия силы F про-
проведем прямые, параллельные лучам 01 и 20, которые пересекут пря-
прямые, проходящие через точки А и В, в точках а и Ь. Из полюса О
проводим прямую, параллельную ab\ она рассечет данную силу на

262
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
две силы / и 2, которые и будут искомыми силами, проходящими
через точки А и В.
Разложение данной силы F на две антипараллельные силы, про-
проходящие через точки А и В, производится аналогично (рис 275).
Рис. 274.
Рис. 275.
б. Определение реакций опор. Допустим, что какое-нибудь
твердое тело (неизменяемая конструкция) имеет в точке А неподвиж-
неподвижную шарнирную опору, а в течке В—опору на катках (рис. 276, а).
А
о/
Рис. 276.
На тело действуют заданные силы, например 1 и 2. Найдем графи-
графически реакции опор. Для этого изображаем на рис. 276, а, выпол-
выполненном в соответствующем масштабе длин, заданные силы 1, 2 и
известную нам линию действия силы 3 — реакции опоры В; о силе
4— реакции шарнира А — мы знаем лишь, что она проходит череа

§ 25J
' ОСНОВЫ ГРАФОСТАТИКИ
263
точку А. Затем на рис. 276, б (в выбранном масштабе сил) строим
из действующих на тело сил силовой многоугольник Ыт, начиная
с заданных сил / и 2. Построение обрывается изображением напра-
направления силы 3, так как модуль этой реакции нам неизвестен. Не-
Неизвестны также модуль и направление реакции 4, однако, так как
имеет место равновесие, то конец этой силы совпадает с началом
силы /. Далее выбираем произвольный полюс О (только не на сто-
сторонах силового многоугольника или их продолжениях) и соединяем
его с известными нам вершинами k, I, m силового многоугольника
лучами 41, 12, 23; луч 34 мы провести не можем, так как не знаем
величины силы 3, т. е. вершины п многоугольника. Чтобы найти
этот луч (а тем самым и искомые силы), строим на рис. 276, а
веревочный многоугольник. Построение этого многоугольника сле-
следует обязательно начинать из точки А, где приложена неизвестная
по направлению реакция 4 (в противном случае мы не сумеем замк-
замкнуть веревочный многоугольник, так как никакой другой точки на
линии действия силы 4 не знаем). От точки А, где приложена сила 4,
пойдет луч 41 до пересечения с линией действия силы / в точке а.
Из точки а проводим луч 12 до пересечения с линией действия
силы 2 в точке Ь, а из точки b—луч 23 до пересечения с линией
действия силы 3 в точке с. Замыкая теперь, согласно условиям
равновесия, веревочный многоугольник линией сА, найдем направле-
направление искомого луча 34. После этого проводим из полюса О на
рис. 276, б луч 34, параллельный линии сА. Точка п пересечения
этого луча с направлением силы 3 определяет искомую вершину
силового многоугольника. Таким образом, реакция 3 дается (в выбран-
выбранном масштабе) вектором тп, а реакция 4 — вектором nk.
Пример графическо\-о определения реакций опор в случае парал-
параллельных сил показан на рис- 277. В этом случае построение вере-
веревочного многоугольника можно начинать из любой точки, так как
Рис. 277.
направления обеих реакций 4 и 5 наперед известны. Искомым лучом
является 45.
Рис. 277 одновременно показывает, как находится равнодейетвую-
щая параллельных сил /, 2, 3; линия действия этой равнодействую-
равнодействующей проходит через точку К, где пересекаются лучи 51 и 34.

264
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
6. Определение наибольшего изгибающего момента. Пусть
на балку, свободно лежащую на опорах, действуют вертикальные
силы 1, 2, 3, 4 (рис. 278, а). Отбросив опоры и приложив реакции
опор 5 и 6, мы получим уравновешенную систему параллельных
сил /, 2, 3, 4, 5, 6, приложенных к балке.
Возьмем какое-нибудь сечение С балки, мысленно разрежем балку
в этом месте и отбросим левую часть. Тогда действие отброшенной
левой части на правую выразится силами упругости, действующими
в сечении С, которые, как и всякую плоскую систему сил, можно
Рис. 278.
привести к одной результирующей силе Р, называемой поперечной
силой, и к паре с моментом М, который называют изгибающим мо-
моментом. Очевидно, что
Р = 2 ^л- м = 2 momc FlJt,
где Fu—все силы (включая реакции), действующие на левую,
отброшенную часть балки (в нашем случае это силы 6, 1, 2).
Определив построением силового и веревочного многоугольников
реакции 5 к 6 (рис. 278), мы можем найти поперечную силу и
изгибающий момент в любом сечении балки, что необходимо для ее
расчета.
Графически изгибающий момент в сечении С (рис. 278, а) най-
найдется следующим путем. Как было показано в п. 2, моменты
сил 6, 1, 2 с учетом их знаков будут:
тотс 6 = — DE • h, momc / = ЬЕ • h, momc2 = kb • h.
Следовательно, изгибающий момент N\ в сечении С будет:
М = — h {DE—be — bk) = — Dk- h.
Таким, образом, изгибающий момент в любом сечении балки будет

26]
графический расчет ферм
265
пропорционален направленным параллельно силам отрезкам, которые
образуют заштрихованную на рис. 278, а область, ограниченную
веревочным многоугольником. Наибольший изгибающий момент будет
для рассматриваемой балки в том сечении, где приложена сила 2
(опасное сечение).
7. Графическое определение центра тяжести. Найдем графи-
графически центр тяжести пластинки, изображенной на рис. 279.
Разобьем данную фигуру на такие части, центры тяжести кото-
которых легко определить; в данном случае на три прямоугольника.
Рис. 279.
Приложим к центрам тяжести параллельные силы, пропорцио-
пропорциональные площадям, и построим сначала силовой, а затем веревочный
многоугольники. Таким образом найдем равнодействующую R этих
параллельных сил. Теперь изменим направление сил, повернув их на
прямой угол, и построим новый веревочный многоугольник, стороны
которого будут, очевидно, перпендикулярны к сторонам первого
веревочного многоугольника; получим другую равнодействующую Rt.
Точка С пересечения линий действий этих равнодействующих и даст
центр тяжести фигуры. Если фигура имеет ось симметрии, то доста-
достаточно построить только один веревочный многоугольник; центр
тяжести будет находиться на пересечении равнодействующей с осью
симметрии.
§ 26. Графический расчет ферм
1. Фермы. Графические методы удобно применять при расчете
ферм. Фермой называется конструкция, составленная из стержней,
концы которых соединены между собой шарнирами так, что стержни
не могут иметь относительных перемещений, т. е. вся конструкция
представляет собой неизменяемую систему; места соединения стерж-
стержней называются узлами фермы. Фермы часто употребляются в
различных сооружениях, например при. постройке мостов, стропил,

266
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ IV
грузоподъемных машин и пр., и при некоторых условиях допускают
простой, элементарный, расчет, не говоря уже о значительной эко-
экономии материала. Расчет фермы становится весьма простым, если
под действием внешних сил стержни фермы подвергаются только
продольным усилиям, т. е. растяжению и сжатию. Для этого должны
иметь место следующие условия:
1. Стержни фермы должны быть прямолинейны и соединены
своими концами шарнирами без трения.
2. Силы должны быть приложены в узлах фермы.
Конечно, на практике эти условия, как идеальные, осуществляются
не вполне, а с возможным приближением.
2. Условие жесткости. Если оси стержней фермы лежат в одной
плоскости, то ферма называется плоской, в противном случае — про-
пространственной; здесь мы будем рассматривать только плоские фермы.
Найдем наименьшее число стержней, необходимое для построения
фермы, образованной из треугольников и имеющей п узлов (рис. 280, а).
I
8 г
Чтобы связать первые три узла, необходимо три стержня; для
жесткого присоединения каждого из остальных (и — 3) узлов нужно
по два стержня. Следовательно, для того чтобы ферма обладала
жесткостью (т. е. чтобы стержни не могли иметь относительных
перемещений), необходимо, чтобы число стержней было:
Л/ = 3 + 2(я —3)=2ге —3. A)
Если число стержней N < 2я—3, то конструкция не будет обла-
обладать жесткостью, т. е. уже не будет фермой (рис. 280, б); если же
N > In — 3, то ферма будет иметь «лишние» стержни (рис. 280, в).
Равенство A) будем называть условием жесткости.
3. Статическая определимость. Если ферма обладает жест-
жесткостью, то ее можно рассматривать как абсолютно твердое тело,
находящееся под действием активных сил и реакций связей; будем

$ 26] ГРАФИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ФЕРМ 267
предполагать, что эти силы приложены в узлах фермы и, если ферма
плоская, действуют в плоскости фермы. При равновесии такая
система сил должна удовлетворять трем уравнениям равновесия.
На каждый узел фермы будет действовать плоская система сходя-
сходящихся сил, состоящая из внешних сил, действующих на ферму, и
внутренних — усилий в самих стержнях, которые будут, согласно
сделанным допущениям, иметь направления стержней; поэтому система
сил, действующих на каждый узел, должна удовлетворять двум
уравнениям равновесия. Таким образом, все действующие на ферму
внешние силы (активные и реакции) и усилия в стержнях фермы
должны удовлетворять 2п уравнениям, где п — число узлов. В число
этих 2п уравнений будут входить три уравнения, выражающие усло-
условия равновесия внешних сил, поэтому для определения усилий в стерж-
стержнях фермы остается 2п — 3 уравнений. Если число стержней фермы
N — 2n—3, то эти усилия могут быть определены из уравнений
статики и, следовательно, ферма будет статически определимой;
если же N > 2я — 3, то усилия в стержнях посредством одних
только уравнений статики абсолютно твердого тела определить
нельзя и ферма будет статически неопределимой. Следовательно,
условие жесткости A) является для плоской фермы и условием ста-
статической определимости.
4. Графический расчет. Так как система внешних сил (активных
и реакций связей), действующих на ферму, представляет собой пло-
плоскую систему сил, находящуюся в равновесии, то построением сило-
силового и веревочного многоугольников можно графически определить
реакции внешних связей (реакции опор), если, конечно, система ста-
статически определимая (см. § 25, п. 5).
Для графического определения усилий в стержнях фермы удобно
пользоваться методом «вырезания узлов», который состоит в том,
что каждый узел вырезывается из фермы и рассматривается отдельно,
как находящийся в равновесии под действием приложенных к нему
внешних сил и реакций разрезанных стержней, которые направлены
по стержням в сторону узла, если усилие сжимающее, и в противо-
противоположную, — если усилие растягивающее. Система сил, действующих
на узел, есть плоская система сходящихся сил, находящаяся в равно-
равновесии; поэтому силовой многоугольник, построенный из этих сил,
должен быть замкнутым. Построение многоугольников следует начи-
начинать с узла, в котором сходятся два стержня. Так как действующие
на узел внешние силы (активные и реакции опор) известны, то
построением замкнутого многоугольника (треугольника) найдутся уси-
усилия в этих двух стержнях. После этого можно переходить к сле-
следующему узлу и т. д.; при этом каждый следующий узел выби-
выбирается так, чтобы в нем сходилось не более двух стержней, для
которых усилия еще не найдены. Построив силовые многоугольники
для всех узлов фермы, графически определим усилия в стержнях.

268 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА [Г Л IV
Направления сил, приложенных к узлу, и построенный для этого
узла силовой многоугольник обладают свойством взаимности, т. е.:
1) направления соответствующих прямых параллельны и 2) прямым,
сходящимся на одной фигуре в одной точке, соответствуют парал-
параллельные прямые, образующие замкнутый многоугольник на другой,
и наоборот (таким же свойством взаимности обладают план сил и
веревочный многоугольник, см. § 25, п. 2).
б. Диаграмма Максвелла — Кремоны. Поскольку любой из
стержней фермы соединяет два узла, то усилия в каждом стержне
будут входить в два силовых многоугольника. Эти многоугольники
при определенном порядке их построения (и одинаковом масштабе)
могут быть последовательно сложены друг с другом равными сторо-
сторонами, так что составят одну фигуру, взаимную по отношению к фигуре,
представляющей собой чертеж фермы вместе с приложенными к ней
внешними силами; такая фигура, дающая полную картину усилий
в стержнях фермы, называется диаграммой Максвелла — Кремоны.
Методы ее построения даны на основании теории взаимных фигур
английским физиком К. Максвеллом и, независимо от него,
итальянским геометром Л. Кремоной.
Чтобы построить диаграмму Максвелла — Кремоны для данной
фермы, на которую действуют заданные активные силы, прежде всего
методом графической стагикн (или аналитически) определяем реакции
внешних связей (реакции опор) и на плане сил строим многоугольник
внешних сил, который, конечно, должен быть замкнутым; при этом
векторы внешних сил на рисунке фермы располагаем вне контура
фермы. Затем строим многоугольники сил для узлов фермы, начиная
с того узла, где сходятся только два стержня (для простых ферм,
которые могуг быть составлены из треугольников, такой узел всегда
имеется), и обходя узлы фермы в такой последовательности, в кото-
которой они следуют по периферии фермы; в таком же порядке должны
располагаться внешние силы при построении соответствующего сило-
силового многоугольника. Точно так же в силовых многоугольниках,
построенных для узлов, последовательность сил должна соответство-
соответствовать той, в которой силы расположены вокруг рассматриваемого
узла, причем направление последовательности должно быть такое же,
как при обходе узлов.
Пример 1. Рассмотрим простейшую ферму, состоящую из трех стерж-
стержней (рис. 281, а); в узлах этой фермы приложены заданные внешние силы /,
//, ///, находящиеся в равновесии. При построении диаграммы будем поль-
пользоваться системой обозначений, предложенной Боу (Bow), а именно: части
плоскости вне фермы, ограниченные линиями действия приложенных
к узлам фермы сил, обозначим буквами А, В, С; часть плоскости внутри
фермы, т. е. в данном случае плоскость треугольника, обозначим буквой D.
Тогда, векторы сил на диаграмме (рис. 281, б) будут обозначаться двумя
малыми буквами, соответствующими обозначению тех областей, для которых
линия действия силы или стержень является границей. Например, сила /

! 26]
графический расчет ферм
269
получит обозначение аЬ, сила //—be, сила /// — са, усилие в стержне
12—bd, 23— cd и в стержне 31— ad. Строим сначала многоугольник внеш-
внешних сил abc, откладывая в нем силы в том порядке, в котором мы их встре-
встречаем при обходе контура фермы против хода часовой стрелки. К этому
многоугольнику последовательно
пристраиваем силовые много-
многоугольники (в данном случае тре-
треугольники) для узлов /, 2, 3, начи-
начиная построение для каждого узла
с известных сил и откладывая все
силы также в том порядке, в ко-
котором они встречаются при обходе
узла против хода часовой стрелки.
Например, на узел / действуют
заданная сила / и реакции стер-
стержней 13 и 12. Сила /, т. е. ab, на
рис. 281, б показана; проводя че-
через точку b прямую, параллельную
стержню 12 (так как при обходе Рис 281.
узла / против хода часовой
стрелки за силой / следует стержень 12), а через точку а — прямую, парал-
параллельную стержню 13, получаем силовой треугольник abd для узла /, где
bd — реакция стержня 12, a da — стержня 13.
Указанное правило построения позволяет определить по диаграмме не
только величину усилия, но и установить, будет данный стержень растянут
или сжат. Если реакция стержня направлена к узлу, то узел действует на
стержень в противоположную сторону и, следовательно, стержень сжат;
если же реакция направлена от узла, то стержень растянут.
Например, чтобы найти усилие в стержне 12 надо рассмотреть силовой
треугольник узла / или 2. Для узла / (обходя его на рис. 281, а против хода
часовой стрелки!) находим, что силовым треугольником будет abda. Тогда
Рис. 283.
реакция стержня на узел будет bd (см. диаграмму); она направлена к узлу,
и, следовательно, стержень сжат. Если же рассмотреть узел 2, обходя его
также против хода часовой стрелки, то для него силовой треугольник
будет cdbc, реакция стержня на узел будет db, т. е. опять направлена к узлу
(к узлу 2).
Пример 2. Построим диаграмму усилий (Максвелла — Кремоны) для
плоской фермы, изображенной на рис. 282 и нагруженной в узлах I, 4, 5
соответственно силами /, //, ///. Число узлов в этой ферме равно 5, число
стержней — 7; так как 2>5— 3 = 7, то условия жесткости и статической

270
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА
[ГЛ. IV
определимости A) удовлетворены. Следуя системе Боу, обозначаем внешние
области между силами /// и / через А, между силами / и //—через В и
между силами // и ///—через С и строим многоугольник внешних сил abc
(рис. 283). Затем строим силовые многоугольники для узлов /, 2, 3, 4, 5,
обходя их в направлении против хода часовой стрелки; для первых четырех
узлов силовые многоугольники будут треугольниками, а для последнего,
пятого, узла силовым многоугольником будет пятиугольник dcafed. Опре-
Определяя направление сил в силовых многоугольниках, построенных для каждого
узла, можно, таким же образом как и в предыдущем примере, найти,
будет ли рассматриваемый стержень сжат или растянут. Например, стер-
стержень 25, усилие в котором равно (fe), будет растянут, так как, рассматри-
рассматривая на диаграмме (рис. 283) силовой многоугольник для узла 5, т. е. много-
многоугольник dcafed, найдем, что сила fe имеет направление от / к е, т. е. от
узла 5- Стержень 15, усилие в котором равно (af), будет сжат, так как
в том же многоугольнике для узла 5 сила af направлена от а к /, т. е.
к узлу 5, и т. д.
6. Метод Риттера. Диаграмма Максвелла — Кремоны дает усилия
во всех стержнях фермы путем последовательного построения связан-
связанных между собой силовых многоугольников; методом Риттера можно
определить усилие для любого стержня фермы непосредственно,
независимо от остальных. Этот метод состоит в том, что ферма рас-
рассекается на две части таким образом, чтобы в сечении было не более
трех стержней с неизвестными усилиями; отбрасывая отсеченную
часть фермы и рассматривая оставшуюся часть фермы в равновесии
под действием приложенных к ней внешних сил и усилий, заменяющих
действие рассеченных стержней, получим для этой части фермы три
уравнения равновесия, в которые войдут три неизвестных усилия.
Эти уравнения удобно брать в виде равенства нулю суммы моментов
всех сил, действующих на оставшуюся часть фермы, относительно
трех различных центров (см. § 24, п. 2), принимая за центры момен-
моментов те точки, в которых попарно пересекаются рассеченные стержни
(или их продолжения); тогда уравнение моментов для каждого центра
будет содержать только одно неизвестное, а именно усилие в том
стержне, направление которого через этот центр не проходит.
У
-.—а
Рис. 284.
Пример. Рассмотрим ферму, изображенную на рис. 284, вместе с дей-
действующими на нее внешними активными силами и реакциями опор и опре-
определим усилие 547 в стержне 47. Проведем сечение хх, пересекающее

§ 26] ГРАФИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ФЕРМ 271
стержни 45, 47, 78, и будем рассматривать равновесие левой части фермы под
действием сил: реакции N2 — P-\-Q в узле А, силы Р в узле С и усилий
в рассеченных стержнях 45, 47 и 78. При этом все усилия 545', Si7, -$78
направляем от соответствующих узлов (т. е. так, как они были бы напра-
направлены, если все стержни были бы растянуты). Для определения усилия Si7
возьмем сумму моментов всех сил, действующих на левую отсеченную часть
фермы, относительно центра В, где пересекаются направления стержней 45
и 78; получим:
(P-\-Q). (АВ) — P-BC + Si7-h = 0,
откуда
PBC-(P+Q)(AB)
547 = Ъ •
Если величина S47 получится положительной, то стержень 47 растянут, а если
отрицательной, то — сжат.
Усилия 545 и S7a найдутся аналогичным образом, если составить уравне-
уравнения моментов относительно центра С (узла 7) и центра D (узла 4).
При расчете линейные размеры берутся из рисунка, а моменты могут
определяться или вычислением, или методами графостатики. Центры момен-
моментов В, С, D называют иногда точками Риттера. Если два из трех стержней
сечения (например, сечения уу) параллельны, то одна из точек Риттера уда-
удаляется в бесконечность; тогда для определения усилия в непараллельном
стержне вместо уравнения моментов можно взять сумму проекций всех сил
на направление, перпендикулярное параллельным стержням. Например, для
усилия S3S в стержне 38 на рис. 284 получим, так как N2 = P-{-Q:
(P + Q) — P—Q + S3i sin a = 0,
откуда усилие 538 = 0.

ГЛАВА ПЯТАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
§ 27. Работа силы
1. Предварительные замечания. В элементарной статике были
выведены необходимые и достаточные условия равновесия абсолютно
твердого тела. Для всякой иной системы материальных точек эти
условия, согласно принципу отвердевания, будут только необходимы,
но недостаточны. Определение достаточных условий равновесия меха-
механической системы методами элементарной статики требует, как мы
видели на частных примерах, рассмотрения условий равновесия
каждого из твердых тел (или точек), входящих в систему. Расчет
при этом существенно усложняется необходимостью вводить большое
число новых неизвестных — реакций внутренних связей.
Аналитической статикой называют часть статики, в основе кото-
которой лежит принцип виртуальных (возможных) перемещений, выража-
выражающий собой необходимое и достаточное условие равновесия для
любой механической системы. При этом
условия равновесия определяются ме-
методами, принципиально отличными от
методов геометрической статики. Осно-
Основываются эти методы на понятиях о вир-
виртуальном (возможном) перемещении си-
системы и о работе силы.
2. Элементарная работа силы.
Пусть материальная точка М, находя-
находящаяся под действием силы F, совер-
совершает элементарное перемещение dr
(рис. 285). Тогда элементарной работой
силы F на этом перемещении называется скалярное произведение силы
на перемещение, т. е. величина
d'A — F- dr = Fds cos (F, dr) A)
Рис. 285.
или
d'A = Fx ds.

§ 27] РАБОТА СИЛЫ 273
где Ft — проекция силы F на касательную, направленную в сторону
перемещения точки.
Обозначая, как обычно, проекции силы F на оси координат
через Fx, Fy, Fz, а проекции dr через dx, dy, dz, где х, у, z —
координаты точки М, можно представить элементарную работу
в виде ')
d'A = Fxdx + Fy dy + Fz dz. B)
Единицей измерения работы в системе СИ служит джоуль
A дж= 1 нм), а в технической системе единиц — килограммометр
(кГм).
В случае, когда точка, совершающая перемещение dr, находится
под действием системы сил Fv F2, .... Fn, элементарная работа
л
d А =^ 2^ F/ ¦ dr === R ' dr,
i-i
п
где R = 2 Fv есть равнодействующая данной системы сил; таким
образом, элементарная работа равнодействующей равняется сумме эле-
элементарных работ сил составляющих на том же перемещении.
Если же разложить перемещение dr на составляющие перемеще-
п
ния drL, то тогда dr = 2 drL и
п
т. е. элементарная работа силы на данном перемещении равна сумме
элементарных работ той же силы на составляющих перемещениях.
3. Понятие о потенциальном силовом поле. Работа потенциаль-
потенциальной силы. Остановимся на вычислении элементарной работы потен-
потенциальных сил, т. е. сил, образующих потенциальное силовое поле.
Полем сил вообще называется область пространства, в каждой точке
которого на помещенную туда материальную частицу действует опре-
определенная сила, являющаяся однозначной, конечной и дифференцируе-
дифференцируемой функцией координат этой точки. Поле сил называется стацио-
стационарным, если сила не зависит явно от времени; в противном случае
поле называют нестационарным. В стационарном поле сила F
является функцией только координат точки поля, т. е.
x>
') Символ d' употребляется с целью отличить его от знака дифферен-
дифференциала d, так как в рассматриваемых выражениях правая часть, как будет
показано дальше, вообще не является полным дифференциалом какой-нибудь
функции координат.
18 Н. Н Бухгольц

274 АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА [ГЛ. V
Следовательно, элементарная работа сил такого поля будет:
d'A = Fx(x, у, z)dx~{-Fy(x, у, z)dy-\-Fz(x, у, z)dz. C>
Если дифференциальный трехчлен, стоящий в правой части
равенства C), является полным дифференциалом некоторой функции
U (х, у, z), то эта функция носит название потенциальной или
силовой функции, а поле сил, для которого такая функция суще-
существует, называется потенциальным силовым полем-
Таким образом, если
Fx{x, у, z)dx~\-Fy(x, у, z)dy-\-Fz{x, у, z)dz = dU(x, у, z) D>
или, что то же, если
Г*~дх' ГУ~~ду' Г*~дг' W
то силовое поле является потенциальным, a U(x, у, z) есть силовая-
функция этого поля.
В том, что равенства E) вытекают из D) и наоборот, легко-
убедиться, если представить D) в виде
и учесть, что координаты х, у, z между собой не зависимы.
Чтобы установить, при каких условиях данное силовое поле будет
потенциальным, возьмем от равенств E) соответствующие частные
производные по координатам х, у, z. Тогда, принимая во внимание, что-
и т. д.,
дхду
получим:
дг ~ ду ' дх ~ дг • ду ~~ дх ' W
Таким образом, условия F) необходимы для того, чтобы поле
силы F(FX, Fr Fz) было потенциальным; можно показать, что эти
условия являются и достаточными.
Вектор F, проекции которого определяются равенствами E), на-
называют градиентом скалярной функции U (х, у, z):
F=gtadU, G)
где
, dU . , dU . , dU t. ,a\
Следовательно, сила в потенциальном силовом поле является гра-
градиентом силовой функции. Такую силу называют еще потенциаль-
потенциальной силой.

,27]
РАБОТА СИЛЫ
275
Рис. 286.
Из изложенного следует, что для вычисления элементарной работы
потенциальной силы надо знать только потенциальную функцию
U(x, у, z). Тогда
С
d'A — dU(x, у. z). (9)
Одно из основных свойств потенциаль-
потенциального силового поля выявляется при вы-
вычислении работы силы на конечном пере-
перемещении. Если точка, на которую действует
сила F, совершает перемещение АСВ
(рис. 286), то полная работа силы на
этом перемещении вычисляется как сумма
¦соответствующих элементарных работ в виде следующего криволи-
криволинейного интеграла:
я
АСВ
В общем случае величина этого интеграла зависит от вида траек-
траектории АСВ и при перемещении по другой кривой АСВ будет дру-
другой. В случае же, когда сила F является потенциальной, будем иметь:
в
А АСВ~ J dU =
лёЬ А
Таким образом, работа потенциальной силы на любом конечном
перемещении зависит не от вида кривой, по которой перемещается
точка, а только от начального и конечного
положения этой точки (при условии, что си-
силовая функция U однозначна).
Подробнее вопрос о вычислении работы
и о свойствах потенциального силового поля
будет рассмотрен в § 33.
В качестве примера потенциального силового
поля рассмотрим однородное поле тяжести. Если
вблизи поверхности Земли выделить область, раз-
размеры которой малы по сравнению с радиусом
Земли, то во всех точках этой области можно
считать силу тяжести Р — tng постоянной. Если
сила Р = const, то поле такой силы называют однородным. Легко видеть, что
для однородного поля условия F) выполняются, следовательно, оно является
потенциальным. Направим ось z вертикально вверх; тогда проекции силы
тяжести, действующей на точку с массой т, будут (рис. 287):
117)
Рис. 287.
следовательно,
18*
dU = — mg dz.

276 АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА [ГЛ. V
откуда, интегрируя, получим силовую функцию для однородного поля
тяжести:
U — — mgz 4- const. A2)
4. Элементарная работа потенциальных сил, действующих
на систему. Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть имеем
систему материальных точек т1 (/=1, 2, 3, ..., п), причем на
каждую точку системы действует сила, зависящая только от поло-
положения данной точки, т. е. пусть на точку тг (xv yt, zj) действует
сила Fv проекции которой равны Fxi, Fyi, Fzi, причем
Fxv Fyi' Fzi\xi' Уi- zi-
Предположим, что рассматриваемая нами система за элементарный
промежуток времени dt как-нибудь переместилась; тогда все точки
совершат бесконечно малые перемещения. Элементарная работа всех
сил при этом перемещении будет:
d'A = S Fi • drt = S (Fxi dxt + F t dyt + Fzi dzt).
i=l i=l
Если существует функция U {xv yv zv x2 xn, ya, zn),
удовлетворяющая условию
n tl
dU = ^Ft- drt = 2' {Pxi dxt + Fyi dyi + Fzi dzt), A3)
i=i /=i
то эта функция носит название потенциальной или силовой функции
сил, действующих на систему. Когда функция U существует, то,
очевидно,
Определение элементарной работы такой системы сил, как видно
из A3), сводится также к вычислению дифференциала соответствую-
соответствующей силовой функции.
§ 28. Виртуальные перемещения точки
1. Истинные и виртуальные перемещения. В кинематике мы
рассматривали перемещения движущейся точки за некоторый проме-
промежуток времени с целью определения скорости точки или ее положе-
положения в какой-то последующий момент времени и т. д. Такие переме-
перемещения, совершаемые движущейся точкой за определенный промежуток
времени и зависящие от закона ее движения, будем называть истин-
истинными. Таким образом, если точка движется по закону
или, в проекциях на оси,
x = x(t), y = y(t), z = z(f).

§ 28] ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЧКИ 277
то ее истинное перемещение за бесконечно малый промежуток вре-
времени dt будет dr(dx, dy, dz), где
dx == х dt, dy = у dt, dz = z dt.
Как мы видим, координаты точки при истинном перемещении изме-
изменяются вследствие того, что аргумент t (время) изменяется на вели-
величину dt; математически эти изменения выражаются дифференциалами
координат. Если точка неподвижна (по отношению к рассматриваемой
системе отсчета), то ее истинное перемещение равно нулю.
Однако понятию о перемещении точки можно придать несколько
другой смысл и использовать его в иных целях. Рассмотрим точку
(или механическую систему), на которую наложены некоторые, огра-
ограничивающие ее перемещения связи. Тогда о суммарном эффекте этих
связей можно в любой момент времени судить но совокупности всех
тех элементарных перемещений, возможность совершать которые
(без нарушения наложенных связей) у точки сохраняется. Эти пере-
перемещения, в отличие от истинного, не совершаются фактически
за какой-то промежуток времени, а представляют собой множество
всех мыслимых перемещений, которые
могли бы быть сообщены точке в дан-
данный момент времени; зависят они только
от положения точки в этот момент и
наложенных на нее связей. Любое эле-
элементарное перемещение, которое может
быть сообщено точке из занимаемого
ею в данный момент времени поло-
положения при сохранении наложенных на л
нее в этот момент связей, будем назы- рис 288.
вать виртуальным (или возможным)
перемещением '). В отличие от истинного, виртуальное перемещение
точки будем обозначать через Ьг (рис. 288), а его проекции на оси
координат — через Ьх, by, bz. Виртуальным перемещением системы
будем называть совокупность виртуальных перемещений всех ее точек.
') Некоторые авторы (например, Г. К. Суслов, Теоретическая меха-
механика, 1944, гл. XXVJJI) вводят еще понятие о множестве перемещений,
которые точка при наложенных на нее связях могла бы совершить из дан-
данного положения за какой-то промежуток времени At, и называют такие
перемещения «возможными», сохраняя за перемещениями, которые точке
при наложенных связях можно сообщить в данный момент времени, на-
наименование «виртуальные». Суть различия между этими понятиями обнару-
обнаруживается при нестационарных (изменяющихся со временем) связях и будет
аналогична различию между векторами Ъг и dr, показанными ниже иа
рис. 291. Однако при изложении аналитической механики наряду с истин-
истинными существенную роль играют только виртуальные перемещения; поэтому
здесь иных понятий можно не вводить, а термин «возможные», как это
делают многие авторы, считать русским переводом термина «виртуальные».

'278 АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА [ГЛ. V
Бесконечно малое изменение функции, происходящее вследствие
изменения аргумента, выражается дифференциалом этой функции;
если же изменение функции происходит вследствие изменения вида
самой функции, то такое изменение называется вариацией функции
и обозначается символом 6. Пусть, напри-
например, x = f(t) (рис. 289). Тогда, как
известно, при изменении аргумента на dt
функция изменяется (с точностью до ма-
малых высшего порядка) на
Если же мы изменим вид самой функции,
т. е. возьмем функцию
Рис-289' х
где е есть бесконечно малое, a r\(f)— произвольная дифференцируемая
функция, то изменение функции
х — х = ет) {() — Ьх
будет вариацией этой функции. Проекции виртуального перемеще-
перемещения точки Ьх, by, bz будут, следовательно, представлять собой
вариации координат этой точки.
Истинное перемещение точки может принадлежать к числу вир-
виртуальных, но не всегда, как это будет показано ниже.
2. Условия, налагаемые геометрическими связями иа вариа-
вариации координат. Связи, налагающие ограничения только на положе-
положения точек системы, называются геометрическими, а налагающие
ограничения еще и на скорости этих точек — кинематическими.
В статике мы будем рассматривать только геометрические связи.
Эти связи могут быть в свою очередь (см. § 14, п. 5) склероном-
склерономными (стационарными) или реономными (нестационарными), а также
неосвобождающими или освобождающими. Для точки с координа-
координатами х, у, z уравнения соответствующих неосвобождающих геомет-
геометрических связей имеют вид
f(x, у, г) = О (склерономная связь), A)
f(x, у, г, t) — Q (реономяая связь). B)
Освобождающей будет связь, которую точка может покидать, но
только в какую-нибудь одну определенную сторону. Например, при
связи f(x, у, z)^0, которую в дальнейшем условимся записывать
в виде
f(x, у, z) = c, C)
где с^-0, точка должна находиться на поверхности f(x, у, z) = 0
ш может сходить с нее в ту сторону, для которой / (х, у, z) > 0.

§ 28]
ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЧКИ
27$
Координаты х, у, z несвободной точки должны в каждый момент
времени удовлетворять уравнению связи. Поэтому если на точку
наложена одна геометрическая связь, то независимых координат будет
две и, следовательно, число степеней свободы точки будет также
равно двум. При двух геометрических связях точка будет иметь одну
степень свободы, л при трех геометриче-
геометрических связях точка будет относительно
данной системы отсчета неподвижна.
Найдем, каким условиям удовлетво-
удовлетворяют вариации координат несвободной
точки. Пусть на точку наложена склеро-
склерономная и неосвобождающая связь
а:
рис
У
у, z) = 0.
Обозначим координаты точки М че-
через х, у, z. Если дадим точке М виртуаль-
виртуальное перемещение ММХ = 6г (рис. 290),
то координаты точки Мг будут x-f-бх, у + бу, z-\-bz. Так как
связь неосвобождающая, то новые координаты точки должны удовле-
удовлетворять уравнению связи, т. е.
/(х + 6х, у + бу, z + 6z) = 0.
Разлагая это выражение в ряд Тейлора, будем иметь:
но /(х, у, z) = 0, следовательно, пренебрегая членами, содержащими,
бесконечно малые высших порядков, получим:
Итак, при наличии связи / (х, у, z) = 0 вариации координат-
точки должны удовлетворять соотношению D) и независимых вариа-
вариаций будет только две.
Пусть теперь связь будет реономная и неосвобождающая, т. е.
f(x, у, z, 0 = 0.
Обозначив координаты точки М через х, у, z, дадим точке вирту-
виртуальное перемещение MM1=6rFx, 6y, 6z); тогда координаты точки Жг
будут лг-j-ox, у_|_бу, z-\-bz. Так как координаты точки Мх должны
удовлетворять уравнению связи, то, подставляя их в это уравнение
и развертывая его в ряд Тейлора, будем иметь:
х, у-Иу, z-i-bz, t) =
= /(*. У. г,
в. п. =0.

280 АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА [ГЛ. V
Но f(x, у, z, t) = 0. Поэтому, отбрасывая члены высшего по-
порядка малости, найдем, что вариации координат должны удовлетво-
удовлетворять совпадающему с D) соотношению
Отсюда видно, что на вариации координат реономность связей никакого
влияния не оказывает, потому что время при этом не варьируется.
Рассмотрим теперь истинное перемещение точки при связи
f(x, у, z) = 0. Пусть в момент t координаты точки М будут (л:, у, z).
Через промежуток времени dt точка придет в положение М[ с коор-
координатами x-f-rfx, y~\-dy, z-\-dz, совершив истинное перемещение
MM\ = dr. Так как координаты точки Mi должны удовлетворять
уравнению связи, то
f(x-{-dx, y + dy, z + dz) —
= /(*. У' z) + ^dx + -^dy + ^dz + 4*. в. п.=0.
и те, принимая во внимание, что f(x, у, z)~Q, и отбрасывая малые
высшего порядка, получим:
Следовательно, в случае связей склерономных проекций истинного
перемещения удовлетворяют тому же соотношению, что и виртуаль-
виртуального, или, что то же, истинные перемещения принадлежат к числу
виртуальных. Если связь реономна, т. е. в-ыражается уравнением
f(x, у, z, t) = Q, то для точки Mi будем иметь:
f(x~\-dx, y-\-dy, z-\-dz, t-\-dt) =
= /(*, у, z, ъ+К_<1х-\~Ц-<1у + ^<1г+^
или, пренебрегая членами с бесконечно малыми высших порядков и
учитывая, что / (х, у, z, t) ~ 0, получим:
%'*+%*+%'•+%«-*¦ <6>
В этом случае проекции истинного перемещения dx, dy, dz
удовлетворяют уже другому соотношению, не совпадающему с соотно-
соотношением D') для вариаций Ьх, by, bz. Это означает, что истинные
перемещения в случае реономной связи не принадлежат к числу вир-
виртуальных.

i 28]
ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЧКИ
2S1
Этот результат ясен и из чисто геометрических соображений.
Пусть точка вынуждена двигаться по поверхности, изменяющейся
со временем, и пусть в момент времени t эта поверхность занимает
положение /, а движущаяся точка находится в положении М (рис. 291).
Тогда для момента времени t любое
виртуальное перемещение Ьг = ММХ
будет лежать в касательной к поверх-
поверхности / плоскости, проведенной через
точку М. Истинное же перемещение dr
совершается за промежуток времени dt,
в течение которого поверхность придет
в какое-то новое положение //; следо- ^
вательно, вектор йг—ММ\ не будет
лежать в упомянутой касательной пло-
плоскости и не может совпадать ни с одним
из векторов Ьг.
Рассмотрим теперь, какие условия налагает на вариации коор-
координат точки склерономная освобождающая связь вида
f{x, у, z) = c,
где с^>0. Дадим точке виртуальное перемещение Ьгфх, by, 6z).
Тогда для нового положения точки будем иметь:
Рис. 291.
причем 6с = 0, если точка не покидает связи, и 6с Ф О и имеет
определенный знак, если точка покидает связь. Развертывая это
выражение в ряд Тейлора, получим с точностью до бесконечно малых
высшего порядка
df df df
fix, v, z)-i—^— bx —)—^— ov —]—^— o? =
* \ ' •'' / I ft V ^ I /111"' I fi ¦?
или, поскольку / (.v, у, z) = i
ду
дг
G)
Равенство G) и выражает условие, налагаемое освобождающей
связью на вариации координат. Когда точка не покидает связи,
be = 0 и это условие совпадает с условием D). Если же точка по-
покидает связь, то 6с имеет определенный знак.
Аналогичный вывод получим и в случае реономных связей. Най-
Найденные результаты можно еще представить в другом виде. Принимая
во внимание, что
grad/(jcr, y, z) = -^i-
L
ду
дг

282
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
[ГЛ. V
получим для соотношений D) или G), которым должны удовлетворять
вариации координат 6л;, 6у, Ьг, при наличии связей f(x, у, z) = 0
или f{x, у, z) — c, выражения:
grad/.6r = O,
¦если связь неосвобождающая, и
(8)
-6r = 6c, (9)
если связь освобождающая, причем 6с имеет определенный знак.
§ 29. Статика материальной точки
1. Принцип виртуальных перемещений для точки. Если мы
имеем свободную материальную точку, то для ее равновесия необхо-
необходимо и достаточно, чтобы сумма всех действующих на нее сил рав-
лялась нулю, т. е.
Дадим точке виртуальное перемещение бг(блг, 6у, bz). Умножая
скалярно обе части равенства A) на Ьг, полу-
получим:
п
2 Fr 6r = 0, B)
1=1
или, в проекциях,
Рис. 292.
= O. B')
Условие B) необходимо для равновесия точки
как следствие A); оно также и достаточно, так
как при выполнении условия B) ввиду произ-
произвольности Ьг должно быть *?iFi = 0.
Рассмотрим теперь случай, когда точка несвободна и на нее нало-
наложена связь в виде некоторой неподвижной гладкой (идеальной) поверх-
поверхности. Тогда для равновесия точки необходимо и достаточно, чтобы
было
2 о, C)
где ft — активные силы, а N—реакция связи, направленная по нор-
нормали к поверхности (рис. 292).
Дадим точке виртуальное перемещение Ьг. Если связь неосвобо-
неосвобождающая, то перемещение Ьг лежит в касательной плоскости, и

§ 29] СТАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 283
поэтому N_\_br. Умножая обе части равенства C) скалярно на 6г,
получим:
п
1=1
но N ¦ br = 0, следовательно,
или, в проекциях,
t
Условие D) необходимо для равновесия точки как следствие C).
Оно также и достаточно, ибо виртуальное перемещение Ьг лежит
в данном случае в плоскости, касательной к поверхности связи.
Поэтому при выполнении условия D) равнодействующая всех ак-
активных сил /?=»2^ будет перпендикулярна к этой поверх-
поверхности и уравновесится развивающейся реакцией
связи N.
В случае освобождающей связи виртуальные пере-
перемещения образуют с реакцией N прямой или острый
угол (рис. 293), так как точка может покидать связь
только в ту сторону, куда направлена нормальная
реакция N\ поэтому N • Ьг^>0.
Но поскольку при равновесии
6г = 0, Рис.293.
то условие равновесия для освобождающей связи будет иметь вид
2 Ft ¦ Ьг = 2 {Fix bx + Flyby + Fiz Щ
Если связью является гладкая (идеальная) кривая, то на точку
действует, кроме активной силы /7=2^'е реакция кривой N, ко-
которая будет направлена по нормали к кривой. Поэтому
{= 0 для связи неосвобождающей,
^>0 для связи освобождающей;
Следовательно, условие равновесия представится в виде D) или E),
как и в предыдущем случае.
Таким образом, для равновесия материальной точка, на ко-
которую наложены идеальные связи, необходимо и достаточно*

284 АНАЛИТИЧЕСКАЯ С ГАтНКА П"Л. V
чтобы при всяком виртуальном перемещении сумма элемен-
элементарных работ всех действующих на точку активных сил
была или равна нулю (в случае связей неосвобождающих), или же
была равна нулю или меньше нуля (в случае связей освобождаю-
освобождающих), т. е.
2 /V Ьг == S (Fix Ьх + Fly by + Fu bz) < 0. F)
Это положение носит название принципа виртуальных (воз-
(возможных) перемещений. Установленный И. Бернулли, он был окон-
окончательно сформулирован Лагранжем, вследствие чего условие F)
часто называют условием Лагранжа.
Как мы видели, этот принцип вытекает как следствие из посту-
постулата, что в случае идеальных связей работа реакций связи при
виртуальном перемещении или равна нулю (для неосвобождающей
связи), или же равна нулю или больше нуля (для освобождающей
связи).
Иногда условие Лагранжа записывают в виде
2 Fr Ъг == 2 (Fu bx + Fly by + Flz bz) = бл, G)
где
6я = 0 для неосвобождающих связей,
бл -^ 0 для освобождающих связей.
2. Метод множителей Лагранжа. Наложенные на точку связи
могут удерживать ее на какой-нибудь поверхности или кривой. Рас-
Рассмотрим, как при этом составляются уравнения, определяющие поло-
положение равновесия точки с помощью множителей Лагранжа.
1) Равновесие точки на поверхности, а) Пусть на точку
наложена такая неосвобождающая связь, что точка все время нахо-
находится на поверхности,
f{x, у, г) = 0. (8)
Если на точку действует активная сила F{FX, Fy, Fz), то по пре-
предыдущему условие равновесия точки будет:
yy + F,6z = 0, (9)
где 6х, by, 6z суть вариации координат, удовлетворяющие условию
Следовательно, из трех вариаций независимыми будут только две.
Для получения уравнений, определяющих положение равновесия,

§ 29] СТАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 285
воспользуемся методом множителей Лагранжа. Умножим обе части
равенства A0) на к и сложим его с равенством (9); тогда получим:
Примем за независимые вариации любые две (например, by и bz),
тогда вариация Ьх будет зависимой. Выберем множитель к так, чтобы
коэффициент при 6л; обратился в нуль; тогда вследствие того, что
вариации by и bz независимы, множители при них также должны
равняться нулю. Таким образом, мы получим три уравнения:
Fx+k^o, ^ + ^4f = 0' JV!-A-if = o. (И)
Присоединяя к ним уравнения связи
/(*. у, г)==0. A2)
получим систему четырех уравнений A1) и A2), из которых опре-
определим к и х, у, z, т. е. положение точки при равновесии,
б) Рассмотрим теперь случай освобождающей связи
/(*. у, z) = c.
Предположим, что на точку действует активная сила F(FX, Fy, Fz);
тогда условие равновесия можно взять в виде
Fxbx-\-Fy6y-\-Fzbz*=tot, 6я<0. A3)
Вариации координат точки должны удовлетворять условию
% ^ ^bz^bc, A4)
причем 6с должно иметь определенный знак; предположим, что 6с ^>0.
Умножив обе части A4) на к и сложив с A3), получим:
A5)
Так как в случае освобождающих связей перемещения, при кото-
которых точка не покидает связи, принадлежат к числу виртуальных,
то для таких перемещений имеем!
Считая независимыми вариациями by и bz, выберем к так, чтобы
коэффициент при зависимой вариации Ьх обратился в нуль. Тогда
вследствие независимости вариаций by и bz коэффициенты при них
также должны равняться нулю и мы получим:

286
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
[ГЛ. V
Присоединяя к этим трем уравнениям уравнение связи
f{x, у, г) = с,
A7)
определяем из системы четырех уравнений A6) и A7) х, у, г, К,
подобно тому как это делалось в случае неосвобождающей связи.
Так как коэффициенты при вариациях равны нулю, то из A5) имеем:
A8)
но, когда связь освобождает, бл < 0, следовательно,
к Ьс > 0.
Таким образом, множитель X должен иметь тот же знак, что и 6с.
Отсюда видно, что при освобождающих связях положение равновесия
стеснено еще добавочным условием, а именно соответствующим
выбором знака множителя X.
Пример. Найдем положения равновесия тяжелой материальной точки
на сфере.
а) Предположим сначала, что точка не может покидать сферу радиуса R
(связь неосвобождающая). Возьмем начало координат в центре сферы
(рис. 294) и ось г направим вертикально вверх.
Уравнение связи будет:
х2 + у2 + г2 — Я2 = 0.
Так как проекции силы тяжести точки на оси
координат равны
Fx = 0, Fy = 0, Fz = ~ mg,
-(/ то условие Лагранжа представится в виде
— mg bz = 0. (а)
Варьируя уравнение связи, найдем:
2хЬх + 2уЬу + 2гЬг = 0. (б)
Умножив обе части равенства (б) иа Я и сло-
сложив с (а), будем иметь:
2Ях Ьх + 21у Ьу + BХг — mg) Ьг = 0.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при Ьх, Ьу, Ьг нулю, получаем для опре-
определения положений равновесия уравнения:
2Хх = 0, |
1
Рис. 294.
Присоединив к ним уравнение связи
х2 + у2 + г2 — R2 = 0,
(г)
получим систему четырех уравнений (в) и (г), из которых определим х, у, г, Я..
Возводя уравнения (в) почленно в квадрат и складывая их, находим:
4Я2 (х2 + у2 + г2) =
илн 4K2R2 = m2g2,

СТАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
287
откуда
Так как ХфО, то
* = 0, y = 0, 2=^?- =
Следовательно, положениями равновесия точки будут @,0, R) и @,0, — /?),
т. е. концы А и В вертикального диаметра сферы.
б) Предположим теперь, что связь освобождающая, т. е. что точка может
сходить со сферы и именно во внутреннюю сторону (рис. 295). Тогда
уравнение связи будет:
причем
х* + У2 + г2 — R2 = с,
с < 0, 6с < 0.
Условие равновесия G) для этого случая
имеет вид
— mg Ъг = 6я, Ьл <; 0,
(Д)
причем вариации координат должны удовле-
удовлетворять условию
бс
хЬх+уЬу-\-гЬг=^-^, 6с<0. (е) рис 295
Умножив обе части уравнения (е) на Я и складывая с (д), будем ичеть:
Кх 6х -{-Ху 6у-\- (кг — mg) 6г = 6я + Я -д-.
Принимая во внимание, что неосвобождающие перемещения принадлежат
к числу виртуальных, получим прежние уравнения равновесия, из которых
найдем:
mg
2/? '
х = 0, у ¦¦
¦* '-*¦
Но, согласно равенству A8), когда связь освобождает, Лбе > 0, следовательно,
знак Л должен совпадать со знаком be, т. е. должно быть X < 0, поскольку
6с < 0. Таким образом, в данном случае
т. е. точка будет находиться в равновесии только в положении А @,0, —Я)
Если предположим, что точка может сходить со сфгры во внешнюю
сторону, то 6с > 0, а следовательно, X > 0; поэтому X = ^~ иг = Д Поло-
жением равновесия будет точка В.
2) Равновесие точки на кривой, а) Рассмотрим сначала случай
неосвобождающих связей. Пусть уравнения связи, т. е. уравнения
поверхностей, пересечением которых является данная кривая, будут:
fi(x, у, 2) = 0,
, у, г) = 0.

288
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
(ГЛ. V
Если на точку действует активная сила F(FX, Fy, Fz), то условие
равновесия Лагранжа будет иметь вид
Sz = 0. A9)
B0)
Варьируя уравнения связей, получим
—г— fox ~~\—ч— 6v ~4*~
дх ду у
дх ' ду У>
Следовательно, вариации координат bx, by, bz должны удовле-
удовлетворять двум условиям B0), поэтому независимой будет только одна,
положим Ьг. Умножая тогда обе части равенства B0) соответственно
на A,j и %2 и складывая их с A9), получим:
Пользуясь произволом выбора множителей Лагранжа A,j и к2, под-
подберем их так, чтобы коэффициенты при зависимых вариациях Ьх и 6_у
обратились в нуль; тогда коэффициент при бг должен быть также
равен нулю и мы будем иметь:
B1)
Присоединяя к этим трем уравнениям два уравнения связей
/г(х, у, г) = 0, /,(*, у, г) = 0,
получим систему пяти уравнений, откуда и определим величины
х, у, z, Aj и Я2> соответствующие положению равновесия.
б) Если точка может покидать кривую (т. е. если связь осво-
освобождающая), то уравнения связи будут:
fx{X, у, Z)r=
/2(Х, у, Z) =
причем 6сх и Ьс2 должны иметь определенные знаки. Условие Лаг-
Лагранжа для этого случая будет:
Fx bx -}-Fyby-{- Fz bz = 6л, бл < 0.
B2)

5 2<~! СТАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Варьируя уравнения связи, получим:
дх
28D
ду
дг
дх ' ду * ' dz 2
Умножая обе части равенств B3) соответственно па
дывая их с B2), будем иметь:
и Х2 и скла-
склаСчитая перемещения неосвобождающими, получим прежнюю
систему уравнений, из которых определим х, у, z, %v k2, но к пяти
ранее полученным уравнениям прибавляется еще одно условие, влияю-
влияющее на выбор Я,х и к2' а именно:
г Ьс1
Ьс2 = 0.
Допустим, что точка покидает первую связь, а вторую не поки-
покидает; тогда 6с2 = 0, и мы имеем:
Так как, когда связь освобождает, 6л < 0, то
следовательно, множитель ^ должен иметь тот же знак, что и 6сг.
Предположив, что точка покидает вторую связь, но остается на пер-
первой, получим бС] —0; следовательно,
откуда, так как бл < 0, найдем:
к2 Ьс2 > 0,
следовательно, знак к2 должен быть одинаков со знаком бс2.
3. Физический смысл множителей Лагранжа. Пусть точка
находится на поверхности
и на нее действует сила F(FX, Fy, Fz). Уравнения равновесия точки
в этом случае будут иметь вид
19 Н. Н. Бу\гольц

290 АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА [ГЛ. V
Умножая эти уравнения соответственно на i, j, k и складывая,
получим:
или
Сравнивая с условием равновесия F-\-N = 4, где N есть нормальная
реакция, находим:
N
откуда
"— - I grad/I *
Но так как
то
Таким же образом, в случае равновесия точки на кривой, умнвжая
обе части каждого из уравнений B1) соответственно на i, j, k и
складывая их почленно, получим следующее векторное равенство:
F+ Я,х grad f1 + h grad /2 = 0.
Сравнивая это равенство с условием равновесия
где Л^] и N2 — соответственно нормальные реакции поверхностей
/j = 0 и /2=0, найдем, что
Aj grad /1 = N1, A2 grad /2 = Mj,
т. е. произведения множителя Лагранжа на соответствующие grad/
суть нормальные реакции поверхностей /х = 0 и /2 = 0, пересече-
пересечением которых является данная кривая.
Итак, множитель Лагранжа есть скалярная величина, пропорцио-
пропорциональная реакции соответствующей связи.
4. Метод обобщенных координат. Для определения положения
равновесия, кроме метода неопределенных множителей Лагранжа,
можно пользоваться методом независимых параметров (обобщенных
или криволинейных координат).
1) Равновесие точки на поверхности. Пусть на точку, нахо-
находящуюся под действием активной силы F(FX, Fy, Fz), наложена
неосвобождающая связь
/(*, у. 2) = 0.

§ 291 СТАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 291
Тогда из трех координат х, у, z независимыми будут только две;
следовательно, координаты точки или ее радиус-вектор можно пред-
представить как функции двух независимых параметров qx и q2 любой
размерности, которые можно принять за обобщенные координаты
точки. Таким образом,
х = х (qv q2), у = у (qv q2), z = z {qv q2),
или так как г = xi-\- yj-\-zk, то r = r(qx, <72)-
Преобразуем условие равновесия F)
F-6r = 0 B4)
к координатам qx и q2. Для этого выразим вариацию Ьг через
вариации криволинейных координат; получим:
6г = —г— 6<7i —\—^— bq<) •
OQi aq2
Тогда равенство B4) дает:
F • -г— 6<7j -f- F • -^— hq2 = 0. B5)
Выражение
F.*L = F to p Ъ te=Q 2
dq, x oqt ' У dqx ' z dqt L
называется обобщенной силой, отнесенной tc координате qx,
аналогично
F- — — F -^J-F-^--)-/7— — О f26">
называется обобщенной силой, отнесенной к координате qv
В результате условие B5) примет вид
Qlbq1 + Q2bq2 = O. B7)
Так как вариации bqx и bq2 независимы, то отсюда следует, что при
равновесии
Q1 = 0, Q2 = 0. B8)
Таким образом, условия равновесия состоят в том, что обобщен-
обобщенные силы, отнесенные к выбранным независимым координатам,
должны быть равны нулю.
Если связь освобождающая, то уравнение связи имеет вид
f(x, уУ z) = c,
где с имеет определенный знак. В этом случае г будет функцией
координат ^1> Чъ и с, т. е.
r = r(qv q2, с).
19*

¦292 АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА |ГЛ. V
Так как освобождающее перемещение происходит при изменении с,
то вариация радиуса-вектора г
х дг , i дг . , дг «
Подставляя это выражение в условие равновесия G)
Fbr = бл, 6л < О,
получим:
dqt " ' dq2 l дс
или
Ql tyll + ^2 ^Я2 = Ья — С ЬС,
где
C—F-— — F —Ц-F 12-A-F —
Так как неосвобождающие перемещения принадлежат к числу
виртуальных, то для них 6л = 0, 6с = 0, и мы имеем:
Qi = 0, Q2 = 0. B8')
Кроме того, отсюда следует, что
бл — С6с = 0.
Так как для освобождающих перемещений бл < О, то С6е<0 и,
следовательно, С и be должны иметь различные знаки. Это условие
добавляется к условиям B8) в случае освобождающих связей.
2) Равновесие точки на кривой. Ограничимся рассмотрением
случая неосвобождающей связи. Пусть точка, на которую действует
сила F(FX, Fy, Fz), принуждена остаться на кривой
В этом случае только одна координата будет независимой, поэтому
координаты точки могут быть представлены как функции одного
независимого параметра q, т. е.
х, у, z\q или r = r(q).
Тогда
, dr ,
6г = -г— bq.
dq ч
Подставляя это в условие равновесия F • dr — О, будем иметь:
F--?-bq = O или Q б<7 = 0, B9)
где

§ 20! СТАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 293
есть обобщенная сила, отнесенная к координате д. В результате
получаем следующее условие равновесия:
Q = 0. C1)
Из выражения C0) видно, что обобщенная сила Q пропорцио-
пропорциональна проекции силы F на касательную к кривой; следовательно,
при равновесии проекция силы на касательную к кривой должна
равняться нулю.
5. Обобщенные силы. Из предыдущего видно, что для опреде-
определения условий равновесия методом обобщенных координат следует
определить отнесенные к этим координатам обобщенные силы и при-
приравнять их нулю. Обобщенные силы Q, можно вычислять по фор-
формулам B6) или C0). При этом требуется установить в явном виде
зависимость декартовых координат х, у, г от обобщенных qr Однако
в ряде случаев оказывается более простым другой путь вычисле-
вычисления <3(. В самом деле, из равенств B7) или B9) следует, что их
левая часть представляет собой выражение элементарной работы
приложенных к точке активных сил в обобщенных координатах, т. е.
ЬА = Qj 6<?i + Q2 6<72 или bA = Qbq. C2)
Следовательно, если непосредственно вычислить выражение элемен-
элементарной работы и представить его в виде C2), то коэффициенты при
вариациях обобщенных координат и будут соответствующими обоб-
обобщенными силами.
Заметим, что размерность обобщенной силы Q зависит от раз-
размерности соответствующей обобщенной координаты, причем, как
следует из C2),
lQ] = -^f. C3)
Таким образом, если q — величина линейная, то Q имеет размер-
размерность обычной силы, если же q— угол, то размерность Q будет
совпадать с размерностью момента силы и т. д.
Пример. Найдем положения равновесия тяжелой материальной точки
на сфере (см. пример на стр. 286) методом обобщенных координат.
Считаем сначала связь неосвобождающей. Положение точки М на сфере
можно определить широтой % и полярным углом 6(<?1 = ^i, у2 = 9). Изо-
Изобразим меридиональное сечение сферы и направим из ее центра вертикально
вверх ось z (рис. 296, угол А между этим сечением и плоскостью хг на
рисунке не показан). Рассматриваемая точка находится в однородном поле
тяжести и для нее (см. § 27, п. 3) силовая функция
U = — mgz -|- const = — mgR cos 9 -j- const,
где R— радиус сферы. Следовательно, элементарная работа
ЬА = bU = mgR sin 6 66.
С другой стороны, согласно C2), должно быть:
ЬА = Q, 6X + Q2 69-

294
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
(ГЛ. V
Отсюда заключаем, что
Q, =0, Q2 = mgR sin G.
Поскольку д2 = 0 — угол, то Q2 в соответствии со сказанным выше пред-
представляет собой момент силы р = mg относительно центра О.
При равновесии Q2 = 0, i. e. sin 0 = 0, откуда находим два положения
раьновесия: 6[ = 0, 92 = я.
Допустим теперь, что связь является освобождающей и точка может
покидать сферу, например перемещаясь внутрь сферы. Тогда радиус-век-
радиус-вектор г точки, покинувшей сферу, и ее коорди-
координата г соответственно будут (см. рис. 296).
М
z = R cos 6 -\- cz.
Отсюда
Рис. 296.
U — — mgR cos 6 — mgcz -\- const
и
ЬА = mgR sin 6 60 — mg Ьсг.
Здесь опять Q, =0, Q2 = mgR sm 9 и поло-
положения равновесия соответствуют 61 = 0, 92 = я.
Но из этих двух положений следует отобрать то,
для которого С и 6cz имеют разные знаки,
где С — коэффициент при бсг в выражении ЬА.
В данном случае С = — mg < 0. Следовательно,
равновесие имеет место лишь в точке А (рис. 296),
для которой bcz > 0.
Если же точка может покидать сферу во внешнюю сторону, то 6сг > О
в положении В, которое и будет положением равновесия.
Как видим, с помощью обобщенных координат положения равновесия
определяются быстрее, чем с помощью множителей Лагранжа. Но зато, зная
множитель К, мы можем дополнительно найти реакцию сферы.
§ 30. Статика системы материальных точек
1. Принцип виртуальных перемещений. В применении к системе
материальных точек принцип виртуальных перемещений состоит
в следующем: для равновесия системы материальных точек
со стационарными и идеальными связями необходимо и доста-
достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих
на систему активных сил при всяком виртуальном переме-
перемещении системы была равна нулю (для связей неосвобождаю-
щих) или же была равна нулю или меньше нуля (для связей
освобождающих), т. е. соответственнох)
') Для освобождающих связей знак равенства в формуле (]') соответ-
соответствует случаю, когда все перемещения brk являются неосвобождающими,.
а знак неравенства — случаю, когда хотя бы одно из перемещений 6г.
является освобождающим. Это замечание относится и ко всем остальным
формулам данного параграфа, содержащим неравенства.

§ 301 СТАТИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 295
ИЛИ
2/v6rft<0. A')
Этот принцип логически вытекает из постулата идеальных связей,
согласно которому для идеальных связей сумма элементарных работ
реакций этих связей при всяком виртуальном перемещении или равна
нулю (если связи неосвобождающие), или же равна или больше нуля
(если среди связей есть освобождающие), т. е. соответственно
i]Wft-6rft = 0 или J2 #*¦&>"*> 0- B)
По существу, каждое из соотношений B) служит определением
идеальных связей, и в дальнейшем под идеальными связями мы будем
понимать такие, для которых это соотноше-
соотношение выполняется-
Покажем сначала, что даваемое принци- Jo^^ гГ
пом виртуальных перемещений условие равно- ^--^*^*~*- *
весия является необходимым. Пусть некоторая
механическая система, состоящая из я мате-
материальных точек, находится в равновесии. Рас- Рис. 297,
смотрим какую-нибудь точку Ak системы;
обозначим сумму всех действующих на нее активных сил через Fk,
а сумму всех реакций связей — через Nk (рис. 297). Так как дей-
действие всех наложенных на точку Ak связей заменено их реакциями,
то точку можно рассматривагь как свободную. Если система нахо-
находится в равновесии, то всякая точка системы Ak будет тоже в равно-
равновесии, поэтому для каждой из точек системы
Fk-{-Nk=0 (k =1,2 п). C)
Дадим каждой точке Ak виртуальное перемещение brk. Умножив
обе части равенства C) скалярно на Ьгк> будем иметь:
brk = Q (* = 1, 2, .... я).
Складывая эти равенства почленно, получим:
Но, согласно постулату идеальных связей (здесь и далее для
общности рассматриваем случай, когда среди связей имеются осво-
освобождающие),

296
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
[ГЛ. V
Тогда из равенства D) вытекает, что если система находится в равно-
равновесии, то
п
или
п
где бя^О. Следовательно, условие E), выражающее принцип вир-
виртуальных перемещений, необходимо.
Покажем, что это условие и достаточно, т. е. что если оно вы-
выполняется, то система будет в равновесии. Допустим, что к точкам
системы, первоначально находившейся
в покое, приложили активные силы Fk,
удовлетворяющие условию E), и что
,КН при этом хотя бы одна из точек Ak
системы пришла в движение. Тогда
для нее равенство C) выполняться не
будет и силы Fk, Nk будут иметь равно-
равнодействующую Rk, отличную от нуля
(рис. 298). Под действием этой силы
точка совершит истинное перемеще-
перемещение drk, которое будет неосвобождаю-
щим (так как полагается, что Ыкф0) и направленным вдоль Rk (так
как движение начинается из состояния покоя). Поскольку связи ста-
стационарны, то одно из неосвобождающих виртуальных перемещений
Ьгк совпадает с drk и для него будет Rk- brk = {Fk-\-Nk) ¦ brh> 0.
В результате вместо D) получим:
F)
Допустим, что все остальные виртуальные перемещения также
являются неосвобождающими. Тогда, согласно B), должно быть
2 Nk ¦ brk = 0 и неравенство F) даст 2 Fk • &rk > 0. Но это про-
противоречит первоначальному допущению о том, что силы Fk удов-
удовлетворяют условию E) при любых виртуальных перемещениях си-
системы. Следовательно, при выполнении условия E) система должна
оставаться в равновесии. Таким образом, условие E) действительно
выражает необходимое и достаточное условие равновесия механиче-
механической системы. В декартовых координатах оно имеет вид
k=l
+ F
ky
Fkz bzk) = 6л,
0.
G)

§ 30] СТАТИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 297
2. Исследование равновесия системы в декартовых коорди-
координатах. Метод множителей Лагранжа. Пусть имеем систему п ма-
материальных точек, на которую наложены связи: неосвобождающие
/„(*. У- г) = 0 (а = 1, 2, ... I)
и освобождающие
фр(х, у, г) = ср ф=1. 2 т),
причем бср имеют определенные знаки (отсутствие индексов у коор-
координат обозначает, что под х, у, z подразумеваются координаты всех
точек системы; следовательно, /а и ф„ суть функции всех Ъп коор-
координат).
Таким образом, на систему наложено A-\-т) геометрических свя-
связей и число независимых координат системы будет равно
[Зя — G-f-m)]= r.
Запишем условие равновесия системы:
Ii(Fk^k^-Fky6yl!^-Fk2bzk)=6n, 6я<0. G')
k = i
Вариации координат точек системы должны удовлетворять ус-
условиям, которые мы получим, варьируя уравнения связей, а именно:
= 0 (a=I. 2,
(8)
Так как 3« вариаций 6A;ft, byk, bzk должны удовлетворять (/ —{— /те)
условиям (8), то независимых из них будет Ъп — A-\-т) — г, т. е.
столько же, сколько независимых координат.
Умножая обе части равенств (8) соответственно на ка и ц$ и
складывая их почленно с G'), получим:

298
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
[ГЛ. V
Мы имеем (/ -j- m) зависимых вариаций. Выберем множители
Лагранжа ка и цр таким образом, чтобы коэффициенты при зависи-
зависимых вариациях обратились в нуль; тогда коэффициенты при неза-
независимых вариациях будут также равны нулю, поскольку соотноше-
соотношение (9) должно выполняться и в случае, когда связи не освобождают,
т. е. когда 6я и все бср равны нулю. Таким образом, получим
систему Зя уравнений:
kx
3=1
dxk
0,
= 0,
а=\
р=1
а=1
:= 1, 2 n) A0)
из которых необходимо найти Зя -f- (/ -f- in) величин: Зя координат
xk, yk, zk, определяющих положение равновесия системы и A-\~т)
множителей ha, |Jp.
Присоединяя к уравнениям A0) еще A-\-т) уравнений связей
/„(*. У- «) = 0 (а=1. 2 /), |
х, у, z) — Ср (р = 1, 2, ..., /к), I '
будем иметь полную систему Ъп-\-{1-\-т) уравнений.
Эффект освобождающих связей будет влиять на выбор множи-
множителей fip, которые, как видно из (9) и A0), должны удовлетворять
условию
Предполагая, что освобождает только первая связь, а остальные
не освобождают, получим отсюда:
6л
Ч = 0
или
так как 6л < 0. Следовательно, множитель цг должен иметь знак,
одинаковый с 6с,, и т. д.
3. Условия равновесия системы в обобщенных координатах.
Обобщенные силы. Рассмотрим сначала случай неосвобождающих
связей. Пусть на систему п материальных точек наложено I неос-
неосвобождающих геометрических связей
/Лх. у. г) = 0 (а=1. 2 /)•

S 30] СТАТИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 299
Тогда число назависимых координат системы будет Зи — 1 = г, при-
причем декартовы координаты хк, yk, zk или векторные координаты rk
точек системы можно выразить в функциях г независимых парамет-
параметров (обобщенных координат) qv д2 qr, т. е.
rk = rk(q1, q2 qr).
Отсюда
г
p=i
Подставив эти выражения brk в условие равновесия
п
получим
k=l p=l
Введем обозначение
где Q будет обобщенная сила, отнесенная к координате q . Тогда
получим условие равновесия в виде
M = ilQ^=0. A3)
p=i м v
Из равенства A3) видно, что обобщенные силы Q представляют
собой величины, равные коэффициентам при вариациях обобщенных
координат в выражении элементарной работы. Размерность их, как
уже указывалось, будет
и зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты.
Так как координаты q независимы, то из равенства A3) получаем
следующие условия равновесия:
Q, = 0. Q2 = 0 Q, = 0. A4)
Таким образом, для равновесия системы с неосвобождающими свя-
связями (стационарными и идеальными) необходимо и достаточно, чтобы
обобщенные силы, отнесенные к выбранным обобщенным координа-
координатам, были равны нулю.

300 АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА (ГЛ. V
Если связи освобождающие, то уравнения связей будут иметь вид
/„(*. У. г) = са (а=1. 2 /),
причем Ьса будут иметь определенные знаки. Тогда радиусы-век-
радиусы-векторы rk точек системы могут быть выражены в функциях Зя — 1 = г
независимых параметров qv q2, .... qr и величин cv с2, .... cv т. е.
rk = rll{qv q2, .... qT, cv c2 с}.
Отсюда
p=l M a=l
Подставляя эти значения brk в условие равновесия
получим:
A=l Lp=i " a=l
Вводя обозначения
n n
? F OL*. = V
4
будем иметь;
или
2Qp&<7 р = бя-2Са6са. A5)
p=l M a=i
Поскольку это соотношение должно выполняться и в случае,
когда связи не освобождают, т. е. когда
6л = 0, Ьса = О (а =1, 2, ...,/),
то отсюда опять приходим к условиям равновесия A4):

5 30]
СТАТИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
301
Однако теперь к ним присоединится еще вытекающее из A5) доба-
добавочное условие:
6л — ^СаЬса=0.
а=1
Рассуждая по предыдущему, находим в случае освобождающих свя-
связей следующие добавочные условия равновесия: каждая из вели-
величин Са должна иметь знак, обратный знаку Ьса.
4. Некоторые частные случаи равновесия системы.
1) Равновесие свободного абсолютно твердого тела. Усло-
Условия равновесия абсолютно твердого тела, выведенные в элементарной
статике, вытекают из общего условия равно-
равновесия (условия Лагранжа) как частный слу-
случай. Пусть имеем свободное абсолютно твер-
твердое тело, на которое действуют силы Fk.
Тогда при равновесии эти силы должны
удовлетворять условию
перемещения точек
где brk — виртуальные
тела.
Известно, что всякое элементарное пере-
перемещение абсолютно твердого тела слагается РИС- 299.
из поступательного перемещения 6х, общего
для всех точек тела, и поворота около некоторой мгновенной оси на
угол бср') (рис. 299); поэтому всякая точка тела Mk получит пере-
перемещение
где rk есть радиус-вектор точки. Подставляя это выражение Ьгь
в условие равновесия A6), получим:
или
k=l
n
¦Si
fc = l
Преобразуем второй член левой части:
х rk) = o.
A7)
') Под бу мы понимаем вектор, численно равный бф и направленный
вдоль мгновенной оси в ту сторону, откуда поворот виден против хода ча-
часовой стрелки.

302 ЛНАЛИГИЧЕСКАЯ СТАТИКА [ГЛ. V
Тогда из A7), учитывая, что 6а и бср являются в первой и второй
суммах соответственно общими множителями, получим:
S('»xJ-«? = 0, A8)
! = 1 J
Ввиду того, что 6а и б^р суть независимые вариации, находим от-
отсюда:
л
% "' к A9)
ft = l
Равенства A9) представляют собой известные из элементарной
статики условия равновесия свободного абсолютно твердого тела
в векторной форме. Заметим, что условия A9) необходимы для рав-
равновесия всякой системы материальных точек, потому что, предпола-
предполагая эту систему отвердевшей, мы налагаем добавочные связи и не
нарушаем равновесия системы, но достаточными эти условия будут
только для абсолютно твердого тела.
2) Равновесие твердого тела, имеющего неподвижную ось
вращения. Такое тело имеет одну степень свободы — поворот во-
вокруг оси вращения z\ за обобщенную координату можно выбрать
угол поворота ф. Если к телу приложены активные силы Fk, то
элементарную работу этих сил можно определить из равенства A8),
полагая в нем 6а = 0, а вектор 6;р направленным вдоль оси z.
Тогда, поскольку в данном случае 6фл. = 6фу = 0, а 6ср2 = бф, бу-
будем иметь:
ЬА = [2 С* X /="*)] • 6? = 2 (г» X Fh\ 6Ф.
Но по определению (rk X Fk)z — momzFk, т. е. представляет собой
момент силы Fk относительно оси z. Введем обозначение
Mz = 2 пютг Fk, B0)
где величина Mz называется вращающим моментом. Тогда получим:
6Л = уИг6ф, B1)
т. е. элементарная работа сил, приложенных к телу, имеющему не-
неподвижную ось вращения, равна вращающему моменту, умноженному
на элементарный угол поворота.
Из равенства B1) следует, что соответствующая координате ф
обобщенная сила Q равна вращающему моменту Mz. Следовательно,
условием равновесия тела, имеющего неподвижную ось вращения,
будет:
" ^ = 0. B2)

30]
СТАТИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
ЗОН
Такой же результат был найден методами геометрической ста-
статики.
3) Равновесие системы, находящейся в однородном поле
тяжести. Пусть мы имеем систему материальных точек с идеаль-
идеальными связями и пусть действующими на нее активными силами
являются только силы тяжести; следовательно, на
каждую точку системы действует активная сила
mkg, где mk — масса точки (рис. 300). Направим
ось г вертикально вниз; элементарная работа силы
тяжести при всяком виртуальном перемещении
будет равна inbgbzk и условие равновесия системы
примет вид
2
, = и или
= 0. B3)
поскольку g, как общий множитель, можно вынести за знак суммы
и на него сократить. Но
п
где М — масса системы, z0—координата центра масс. Тогда из B3)
находим:
п п
2л ть Ьгь
6 ^ tnkzk = M bzr. = 0.
Отсюда, так как МФО, имеем:
= station,
B4)
т. е. координата центра масс при равновесии имеет стационарное
значение.
Отсюда вытекает принцип Торричелли: тяжелая система ма-
материальных точек с идеальными связями находится в равно-
равновесии только при том условии, что высота ее центра масс
имеет стационарное значение.
Сказанное можно пояснить примером, изображенным на рис. 301.
Q
:А 20-C0nst \
" (ни max, нитщ но Szn-t»
Рис. 301
4) Равновесие системы под действием потенциальных сил-
Пусть силы, действующие на систему, имеют потенциал; связи пред-
предполагаем неосвобождающими.

304 АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА [ГЛ V
В этом случае, если U{x, у, z) есть потенциальная функция, то
р _ _ р
г*«- ~ дхк ' ГкУ ~ дук ' Ckz ~ dzk '
подставляя эти значения в условие равновесия, получим:
ky ?>Уь + Fkz bzk) =
^и^ »¦ г) = 0' <25)
т. е. при равновесии первая вариация потенциальной функции U
должна равняться нулю, или, чго то же, система материальных то-
точек будет находиться в равновесии тогда и только тогда, когда по-
потенциальная функция U имеет стационарное значение.
Найдем выражение обобщенных Сил через потенциальную функ-
функцию U. Так как
а для потенциальных сил
F —A^L f — ди f —JOL
кх~ дхк' ьу~~ dyk' rKz— dZk<
то, полагая функцию U выраженной через обобщенные координаты
qt, т. е, считая U = U(qv q2, .... qr), получим:
^ хк дЯр ¦+¦ dyk dq9 ¦+¦ 0zk dgj^ dqp '
Следовательно, обобщенная сила равна производной от силовой
функции по соответствующей обобщенной координате.
Условие равновесия в обобщенных координатах имеет вид
откуда
U = station, B7)
т. е. получаем тот же результат.
5. Задачи. Для механической системы с неосвобождающими
связями (идеальными и стационарными) условие равновесия E) име-
имеет вид
2бЛА = 0, B8)

§ 30] СТАТИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 305
где ЬАк— элементарные работы активных сил, которые можно вы-
вычислять по одной из следующих формул:
bAk = Fkxbxk-\-Fky6yk+Fkzbzk, B9)
bAk = Fkbskcos(F^brk), C0)
ЬАк — {momz Fk)byk — mztyk. C1)
Последняя формула (см. п. 4) относится к случаю, когда сила Fk
(или пара с моментом т) действует на тело, имеющее неподвижную
ось вращения z.
Если ЬАк вычисляются по формулам C0) и C1), то при этом все
перемещения 6sk и 6фА должны быть выражены через независимые
(для системы с одной степенью свободы—через одно). Если же исполь-
используется формула B9), то первоначально координаты хк, yk, zk можно
выразить через' любое число параметров и, проварьировав эти выра-
выражения, найти Ьхь, Ьук, Ьгк; но затем также следует все вошедшие
в выражения ЬАк вариации параметров выразить через независимые.
После этого уравнения для определения искомых величин находят,
приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях (т. е.
обобщенные силы).
Для определения реакции какой-либо связи отбрасы-
отбрасывают эту связь и заменяют ее соответствующей реакцией,
которую включают в число активных сил. При этом
у системы с отброшенной связью увеличивается число
степеней свободы, т. е. число независимых вариаций
координат, что дает дополнительные уравнения для опре-
определения искомой реакции.
В рассматриваемых ниже примерах весами всех
звеньев (если веса не заданы), а также трением прене-
пренебрегаем.
1. В механизме, состоящем из шариирко соединенных
«стержней, образующих п одинаковых параллелограммов
{рис. 302), найти зависимость между силами Р и Q при равно-
равновесии.
Механизм имеет одну степень свободы, так как его по- Рис 302.
ложение полностью определяется одним углом а
Обозначая виртуальные перемещения точек Ау и Ап через 8sL и 6s,,,
имеем следующее условие равновесия:
=0.
Но при виртуальном перемещении диагонали всех параллелограммов
удлиняются на одну и ту же величину 6s; следовательно, 8sL == 6s, bsn — п Из
и мы получим (пР — QNs = 0, откуда, так как 6s Ф 0, Q=>nP.
Можно также, проведя из неподвижной точки О по вертикали вниз
ось Ох, представить условие равновесия в виде Qlcbxl -\-РхЬхп = 0. Вводя
параметр а и обозначая сторону параллелограмма через а, имеем хх = la cos a,
jcn = Ina cos а, откуда 6xt = — 2asinaSa, Ьхп = — 2па sin аба. Тогда, так
20 Н. Н Бухгольц

306
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
[ГЛ. V
как Qx = — Q, Рх = Р, получим (Q — пР) 2а sin а 6а = 0, откуда опять нахо-
находим Q = пР.
2. В прессе, изображенном на рис. 303, ABDE есть шарнирный парал-
параллелограмм, у которого АВ = DE = а и звено АЕ неподвижно. С звеном DE
жестко связана рукоять ЕК длины /;
точке К перпендикулярно к рукояти
Р Нй Q
9
N
рур ру
приложена сила Р. Найти силу давления Q
на поршень, если при данных углах аир
имеет место равновесие.
Эта система также имеет одну степень
свободы, так как ее положение (зная длины
стержней) можно определить одним углом а.
По условию равновесия будет:
6Л(Р) + 6Л«?)=О. (a)
Если звено АВ при виртуальном переме-
перемещении повернется в сторону возрастания
угла а на 6а, то звено ED параллело-
параллелограмма и жестко связанная с ним рукоять'
повернутся около центра ? также на угол 6а;
следовательно, с учетом знака
6А(Р)=— |mom?P| 6а = — Р/ба. (б)
Для определения 6А (Q) проведем иа
неподвижной точки А вертикально вверх
, где Q = — Q, ус = a cos a + Ь cos р и
ось у. Тогда ЬА (Q) = Q б>
6ус = — (a sin а ба -\- b sin p бр).
Но так как система имеет одну степень свободы, то углы аир должны
быть связаны некоторым соотношением. Из рисунка легко видеть, что это
соотношение будет b sin p — a sin a = h = const, откуда, варьируя, находим
* cos р бр — a cos а 6а = 0 и
SQ a cos а
бр = -г ;
b cos |
В результате будем иметь:
- ба.
ЬА (Q) = Qa (sin a + cos а tg Р) 6а,
и условие равновесия (а) принимает вид
[— PI + Qa (sin a + cos а tg Р)] 6а = 0.
Отсюда получаем
0 =
Р1
PI cos I
a cos a (tg a-f tg P) asin(a
Если надо дополнительно найти реакцию направляющей на поршень, то,
отбрасывая эту связь, заменяем ее действие искомой реакцией N. При этом
система может получить дополнительное (независимое от первого) виртуаль-
виртуальное перемещение в виде поворота стержня ВС вместе с поршнем вокруг
центра В на некоторый угол бер (при a= const). Сообщая системе такое
перемещение и приравнивая сумму работ сил Q и /V на этом перемещении
нулю, получим:
(Nb cos p — Qb sin Р) бф = О,
откуда
/V=Qtgp.

i 30]
СТАТИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
307
3. Четыре одинаковых соединенных шарнирами стержня расположены
в вертикальной плоскости так, что /, CBD = /_ CDB (рис. 304); при этом
конец А первого стержня закреплен шарнирно, а конец Е последнего стержня
опирается на гладкую горизон-
горизонтальную плоскость. В точках В,
С и D к стержням приложены три
одинаковые вертикальные силы
(Р, = Р2 = Р3 = Р), а в точке
Е— горизонтальная сила Q. Опре-
Определить углы а и р при равно-
равновесии.
Конфигурация системы, при
условии, что 2. CBD — L CDB,
определяется двумя независимыми
между собой углами аир (пере-
(перемещая точку Е вдоль плоскости,
можно изменить угол а, не меняя
угла §, и наоборот). Следовательно, для определения искомых величин
можно получить два уравнения, как для системы с двумя степенями свободы.
Проведем через неподвижную точку А координатные оси л и у. Так как
проекции сил Рь Р2 и Р3 на ось х и силы Q на ось у равны нулю, то усло-
условие равновесия имеет вид
= 2а cos а -|~ la cos f5,
V777/////////////////////////Z/////////, ас
Рис. 304.
Обозначая длину стержня через а, имеем:
ув = yD = a sin а, ус = a sin а + а sin р",
откуда
Кроме того,
= a cos а 8а, бус = a (cos а 6а + cos p 8fl),
6хЕ — — la (sin а 6а -f sin p" 6^).
P2y=Piy = — Р, Qx
фф
Q. Подставляя все эти значе-
значе8 б4 б
р , ly 2yiy Qx Q
ния в равенство (а) и выделяя коэффициенты при 8а и бр4, будем иметь:
(— 3Pcosa + 2Qsina)a8a + (— ^ cos p1 +2Q sin Р) а бр = 0. (б)
Поскольку, как было указано, 8а и 8[4 между собой независимы, то коэффи-
коэффициенты при них должны быть порознь равны нулю. Отсюда находим:
о г>
2Q.
р
2Q-
Интересно отметить, что при любых значениях сил Р и Q углы аир
будут связаны соотношением tga = 3tgp.
4. Для механизмов с одной степенью свободы часто бывает удобно
ввести в условие B8) так называемые виртуальные скорости; при этом опре-
определение зависимости между силами, действующими на звенья механизма при
равновесии, сводится к чисто кинематической задаче — определению зависи-
зависимости между скоростями гэтих звеньев при возможном их движении (пере-
(передаточного числа).
Пусть, например, на звено / механизма (ведущее), которое может совер-
совершать чисто вращательное движение, действует пара с моментом т (или сила,
20*

308
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
[ГЛ. V
хшмент которой относительно оси вращения равен /и), а на звено 2 (ведо-
(ведомое), которое может совершать только поступательное движение, действует
сила F (рис. 305). Тогда при равновесии
*~*
т бф -f- F bs cos (F, br) = 0.
Но при стационарных связях истинное перемещение является одним из
виртуальных. Следовательно, если при возможном движении механизма
звено / будет иметь некоторую угловую скорость и,
а звено 2— поступательную скорость v (и и v на-
называют виртуальными скоростями), то можно при-
принять бф = и dt, bs = v dt. Тогда предыдущее равен-
равенство дает:
та -|~ Fv cos (Fv) = 0,
откуда, так как F cos {Fv) = Fv есть проекция силы
на направление виртуальной скорости v, находим:
У///////////////.
Рис. 305
т
v
и
C2)
Аналогично, если оба звена какого-либо меха-
механизма могут иметь или только поступательные, или
чисто вращательные движения и на эти звенья действуют или силы Fu F2,
или пары с моментами От[от2, то при равновесии будет:
V
и
и
Till
т2
<в2
C3>
Из полученных равенств видно, что действующие на звенья механизма
при равновесии силы (или моменты пар) обратно пропорциональны соответ-
соответствующим виртуальным скоростям. Это является отражением известного еще
древним «Золотого правила механики» — «то, что выигрывается в силе,
теряется в скорости».
Поясним изложенное двумя примерами.
а) Пусть в механизме, изображенном на рис. 108 (стр. 113), иа стержни
ОА и DC действуют соответственно пары с моментами, равными по модулю
mQA и mDC. Тогда по второй из формул C3) при равновесии будет:
тол ._. юдс
DC
ОА
Но из решения рассмотренной на стр. 113 задачи следует, что у данного-
механизма для положения, показанного на рис. 108, a>DC = —^ = — = 2<в0Л.
Следовательно, при равновесии mQA = 2тDC.
б) Применим этот метод к решению рассмотренного выше примера 2.
По формуле C2) будет (см. рис. 303):
PI- vQ'
В данном случае а „ = й _ =юдп- Чтобы найти связь между ю
АВ
рассмотрим скорость точки В, По модулю vв = а>АВ • а; при этом вектор v?

i 31)
О РАВНОВЕСИИ ГИБКОЙ И НЕРАСТЯЖИМОЙ НИТИ
309
перпендикулярный к АВ, образует со стержнем ВС, как легко подсчитать,,
угол, равный [90° — (a-f-P)]. Вектор же vc образует с ВС угол р. Тогда по
известной теореме кинематики v? cos [90° — (a-f-P)] = wc cos p или
илда sin (a -f- P) = vc cos [}, откуда
cos
a sin (a + |
PI cos P
Рассмотренные примеры показывают, что при применении принципа вир-
виртуальных перемещений для определения условий равновесия механизма надо
знать только соответствующее передаточное число, которое, в частности,
можно определить экспериментально, не зная всех деталей механизма. Мето-
Методами геометрической статики определить условие равновесия механизма, не
зная всех его деталей, принципиально невозможно.
§ 31. О равновесии гибкой и нерастяжимой нити
1. Натяжение нити. Под гибкой нерастяжимой питью мы будем
подразумевать систему материальных точек, непрерывно расположен-
расположенных по кривой, причем расстояния между точками системы, считая
вдоль кривой, остаются
неизменными.
Пусть имеем такую
идеальную нить, закре-
закрепленную в точках А к В
(рис. 306, а), на кото-
которую действуют некоторые
активные силы; под дей-
действием их нить принимает
вообще форму определен-
определенной кривой, являющуюся
фигурой равновесия нити.
Если мы мысленно разрежем нить в произвольной точке С и уда-
удалим часть СВ, то для удержания оставшейся части нити в равновесии
необходимо будет приложить некоторую силу Т, направленную по
касательной к нити в точке С; эта сила называется натяжением
нити в данной точке.
2. Уравнения равновесия нити. Пусть нить АВ находится
в равновесии под действием сил, которые действуют на все точки
нити. Обозначим силу, действующую на единицу длины нити, через F;
эта сила вообще есть функция координат точки, на которую она дей-
действует. Длину отрезка нити от начальной точки А до некоторой
произвольной точки а (рис. 306, б) будем обозначать через s. При.
этом за положительное направление отсчета s принимаем направление
Pc/s-
Рис. 306.

310
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
[ГЛ. V
от А к В; таким же считаем направление вектора Т в любой точке
нити.
Рассмотрим равновесие элемента нити ab = ds. Обозначим натя-
натяжение нити в точке а через 7, а в точке Ъ через Т1 (оба эти век-
вектора направлены по принятому условию в направлении положитель-
положительного отсчета s). Тогда на элемент ab действуют следующие силы:
1) натяжение —Т в точке а, 2) натяжение Тх в точке Ь, 3) прило-
приложенная извне сила F ds.
Условие равновесия этого элемента будет:
Так как Tx = T-\-dT, то отсюда находим:
Fds-\-dT = 0,
или
ds
0)
Равенство A) выражает дифференциальное уравнение равновесия нити
в векторной форме.
Представим это уравнение в проекциях на оси прямоугольной
декартовой системы координат Oxyz. Так как косинусы углов, кото-
которые касательная к кривой в точке а(х, у, г) образует с осями коор-
координат, равны
dx dy dz
ds ' ds ' ds '
TO
_, ™ dx j. j. dy j. yi dz_
Тогда, проектируя обе части равенства A) на оси координат, будем
иметь:
dlTdx\
ds \ ifi ) \ х
d
ds
B)
или
dl
ds
ds
dl
ds
dx
ds
ds
dz
ds
i_ T-
1 T
i_ f
\ '
d2x ! F 0
7y
d*z 1 F 0
ds2 z ''
C)

§31, О РАВНОВЕСИИ ГИБКОЙ И НЕРАСТЯЖИМОИ НИТИ 31Г
Этими уравнениями обычно и пользуются при решении конкретных
задач.
Найдем теперь уравнения равновесия нити в проекциях на ocw
построенного в точке а естественного трехгранника (см. рис. 58).
Обозначим орты касательной, главной нормали и бинормали соответ-
соответственно через т°, п° и 6°. Тогда T — Ti° и мы получим:
dT d
Ho
ds ds
где р есть радиус кривизны кривой в точке а; следовательно,
dT _ d
ds ~ d
и уравнение равновесия A) дает:
dT _ dT Q я°
ds ~ ds > р
Так как F— Fxx°-\-Fnn°-\-FbtP, то равенство D) можно предста-
представить в виде
4^ *° + Т ^- = - Fxt°- Fnn« - Fbb°.
Отсюда получаем следующие уравнения равновесия нити в проек-
проекциях на оси естественного трехгранника:
¦w=-p~ T=-F"' F» = °- E)
Из уравнений E) видно, что производная от натяжения нити по
дуге равна взятой с обратным знаком проекции действующей силы
на касательную, а произведение натяжения нити в данной точке на,
кривизну той кривой, по которой нить располагается в равновесии,
равняется взятой с обратным знаком проекции силы на главную нор-
нормаль (под силой всюду понимается сила, отнесенная к единице длины
нити). Из равенства же Fb — 0 следует, что при равновесии нить
располагается так, что проекция действующей силы на бинормаль
есть нуль; другими словами, при равновесии нити действующая сила
лежит в соприкасающейся плоскости кривой, по которой распола-
располагается нить.
3. Случай параллельных сил. Пусть силы, действующие на
нить, параллельны, т. е F—FF0, где F°=^ const; следовательно,
при переходе от точки к точке сила изменяется только по модулю.
Дифференциальное уравнение равновесия
4 ° (б>

312 АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА [ГЛ. V
преобразуем, умножая его векторно на единичный вектор F0; получим:
Второй член равен нулю, так как перемножаемые векторы коллине-
-арны; следовательно,
или, так как F° = const,
d
откуда
ГХ F° = const.
Это означает, что нить располагается в одной плоскости, параллель-
параллельной силам.
Возьмем теперь в плоскоегн нити направление А0, перпендику-
перпендикулярное к FJ. Умножив обе части равенства F) скалярно на А0,
получим:
Скалярное произведение F-h° = 0, так как, по условию, векторы F
и А0 взаимно перпендикулярны; следовательно,
ds
Но так как А0 = const, то
f
ds ds
откуда
Т • A0 = const.
„„„ Следовательно, проекция натяжения нити на
направление, перпендикулярное к силам, есть
величина постоянная.
4. Случай центральных сил. Найдем фигуру равновесия идеаль-
идеальной нити под действием центральных сил, т. е. таких, направление
которых проходит через одну точку О (рис. 307).
Взяв начгло в центре сил О, умножим основное уравнение равно-
равновесия A) векторно на векторную координату г точки М нити;
лолучим:

§ 31) О РАВНОВЕСИИ ГИБКОЙ И НЕРАСТЯЖИМОЙ НИТИ 31У
В случае центральных сил векторы Риг коллинеарны, поэтому
= 0 и, следовательно,
_ X г = 0. G>
Но
Так как \dr\=ds, то
dr _ 0
ds ~Х '
где т° есть единичный вектор касательной. Поэтому, учитывая, что>
векторы Гит0 коллинеарны, получим:
*• ~ds '
Следовательно, условие равновесия G) примет вид
или, интегрируя,
TXr = const.
Таким образом, под действием центральных сил нить расположите»
по плоской кривой, плоскость которой проходит через центр сил.
5. Случай потенциальных сил. Пусть сила F имеет потенциал,,
т. е.
где потенциальная функция U, как и сила F, отнесена к единице
длины нити. Тогда основное уравнение A) примет вид
Умножив обе части этого уравнения скалярно на единичный вектор
касательной г°, получим:
ds
Но
ds ds l' z > ' ds
или

314
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
[ГЛ. V
поскольку векторы T — Tz0 и йт° взаимно перпендикулярны. На
¦основании равенства (9) условие равновесия (8) примет вид
_?_ (Г • х°) + grad U ¦ х° = 0.
ds
A0)
dU
дх
dU
^
dU
, а *°=
dx
TO
о _ J^L -?? _i_ Ш- EL _i_ 1*L JE. — dU
^r ' dx ds ' dy ds ' dz ds ds '
Кроме того, Т-ъ°—Т и уравнение A0) принимает вид
ds
откуда имеем:
T-\-U = const.
A1)
Равенство A1) есть интеграл уравнения (8), т. е. интеграл основного
уравнения A) при условии существования потенциала сил.
6. Цепная линия. Найдем форму кривой, по которой располо-
расположится однородная идеальная нить в поле тяжести (рис. 308). Пусть
вес единицы длины нити равен у; так как
нить однородна, то у — const. Вследствие
того, что нить находится под действием па-
параллельных сил, каковыми являются силы
тяжести, фигура равновесия нити будет пло-
плоской кривой, лежащей в вертикальной
плоскости; примем эту плоскость за пло-
плоскость ху, причем ось у направим верти-
вертикально вверх. Тогда, поскольку в данном
¦у, уравнения равновесия нити B) примут
¦ х
Рис. 308.
¦случае Fх =
вид
dx
ds У ds)~Y>
Из первого уравнения следует, что
A2)
A3)
т. е. проекция натяжения на ось х есть величина постоянная. Из A3)
имеем:
Т Т

§ 31] О РАВНОВЕСИИ ГИБКОЙ И НЕРАСТЯЖИМОЙ НИТИ 315
Подставляя это выражение Т во второе уравнение системы A2),
получим:
d /_ ds dy
или
««(г. ?)-
Но
Следовательно,
Для интегрирования полагаем —?- = р\ тогда уравнение A4) примег
вид
Разделяя переменные
или, полагая —— =
Y
Интегрируя, найдем
, получим:
dp
У1+Р2
а,
dp
yi + p2
In (p + 1/T+
у
т0
dx
a
—5\ ¦*
Положим, что при />==—^- = 0 л: = 0, т. е. проведем ось у через-
ту точку кривой, где касательная параллельна оси х. При этом
условии ?j = 0, и мы будем иметь:
Для определения р возьмем обратную величину
и вычтем из первого выражения второе. Получим:

316
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
(ГЛ. V
-г dy , х
Так как р — —— = sh — , то
r dx a
dy = sh — dx,
откуда, интегрируя, найдем:
у — дсп 1-е,.
Пусть при х = 0 у = а; тогда, так как chO=l, c2 = 0 и
A5)
т. е. однородная идеальная нить расположится в однородном поле
тяжести по цепной линии (рис. 309).
О
Рис. 309.
х
Так как силы тяжести имеют потенциал ?/ — — уу, то в этом
случае, согласно A1), 7-j- U = const, или
но поскольку —-=а, то Го—
= 0 и, следовательно,
Итак, натяжение в каждой точке тяжелой однородной нити равно
весу отрезка той же нити, длина которого равна ординате этой
точки.
Из этого результата следует, в частности, что нить, перекинутая
через два лишенных трения блока (рис. 310), будет в равновесии
тогда, когда свободные концы ее опустятся до оси х.
Примечание. Галилей предполагал, что тяжелая однородная нить рас-
располагается в поле тяжести по параболе. Это предположение с известной
точностью оправдывается, если х < а. В самом деле,
е" =\А

О РАВНОВЕСИИ ГИБКОЙ И НЕРАСТЯЖИМОЙ НИТИ
¦§ зп
отсюда
следовательно, уравнение цепной линии принимает вид
, 1 хг . 1 х1 .
317
Если х < а, то, удерживая члены до второго порядка включительно, получим
уравнение
__ 1 х2
т. е. уравнение параболы.
7. Параболическая нить. Пусть нить находится под действием
непрерывной вертикальной нагрузки, равномерно распределенной по
длине проекции нити на горизонтальную ось аЪ и приложенной
во всех точках нити. Такой случай /,
нагрузки встречается в висячих мо-
мостах. Найдем форму кривой, по ко-
которой расположится нить при этой
нагрузке (рис. 311).
Так как силы, действующие на
нить, параллельны, то пить распо-
расположится в вертикальной плоско-
плоскости ху. Направим ось х г ^чзон-
тально, а ось у вертикально вверх.
Тогда на элемент нити ds будет
действовать сила, равная ydx, где у есть нагрузка, приходящаяся
, п г* Т dx
на единицу длины ао. Поэтому в данном случае г =-Ч— и урав-
CIS
нения равновесия нити B) примут вид
*(»¦•?)-о.
— ydx = 0.
Из первого уравнения имеем, как и в предыдущем случае:
r-27 = r° = const'
откуда
rr. ~, ds
Рис. 311.
Подставляя это значение Т во второе уравнение, получим:

318 АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА [ГЛ. V
ИЛИ
0 dx2
Т
Полагая—- = а, будем иметь:
откуда, интегрируя, наймем:
где С] и с2 суть постоянные интегрирования. Отсюда следует, что
в этом случае нить расположится по параболе, ось которой верти-
вертикальна.

РАЗДЕЛ III
ДИНАМИКА
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ДИНАМИКА ТОЧКИ
§ 32. Дифференциальные уравнения движения
и решение задач динамики точки
1. Основной закон динамики. Задачи динамики точки. Дина-
Динамика представляет собой часть кинетики, посвященную изучению
движения материальных тел (или вообще механических систем) в за-
зависимости от действующих на них сил. Движение тела определяется
движением всех материальных точек (или частиц) его составляющих;
поэтому естественно начать изучение динамики с изучения движения
материальной точки. Как указывалось '), под материальной точкой
мы понимаем тело столь малых размеров, что различием в движении
его частиц можно пренебречь Материальную точку можно рассма-
рассматривать как точку (геометрическую), имеющую массу. В дальнейшем
часто для краткости материальную точку будем называть просто
точкой.
Основным законом динамики является второй закон Ныогона:
производная по времени от количества движения материаль-
материальной точки равна действующей на нее силе, т. е.
-^(mv) = F. A)
Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение
в виде
{I'D
т -jj- = F или т<Ю = F, B)
где W есть ускорение точки. Отсюда вторая формулировка закона:
произведение массы материальной точки на ее ускорение
равно действующей на точку силе. Эта формулировка второго
закона Ньютона предполагает, что масса движущейся точки постоянна.
1) См. введение в кинетику (§ 14), являющееся одновременно введением
в динамику; в этом введения рассмотрены понятия силы и массы, изложены
законы (аксиомы) динамики и даны основные сведения о применяемых
в механике системах единиц

320
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ VI
Задачами динамики точки являются:
1) зная закон движения материальной точки, определить, под дей-
действием какой силы такое движение может происходить, и 2) зная
действующие на материальную точку силы, а также ее начальное
положение и начальную скорость, определить закон движения точки.
Вторая задача является в динамике основной.
2. Дифференциальные уравнения движения точки. Задачи
динамики точки решаются с помощью соответствующих дифферен-
дифференциальных уравнений, связывающих координаты движущейся точки
с действующими на нее силами. Эти
уравнения получаются из второго (основ-
(основного) закона динамики. Представим урав-
уравнение B), выражающее второй закон
Ньютона, в виде
m^m- = F' C)
где г—радиус-вектор точки по отноше-
отношению к инерциальной системе отсчета Oxyz
Рис. 312. (рис. 312), F = 2 Fk — равнодействующая
приложенных к точке сил. Уравнение C)
есть дифференциальное уравнение движения свободной материальной
точки в векторной форме.
Проектируя обе части равенства C) на оси Oxyz, получим диф-
дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки
в прямоугольных декартовых координатах:
<Рх
d2y
m t— —
dt2
d2z
m
D)
Дифференциальные уравнения движения могут составляться также
в любых криволинейных координатах. Такие уравнения будут рас-
рассмотрены в § 40. Иногда пользуются уравнениями в проекциях на
оси естественного трехгранника. Проектируя обе части равенства B)
на касательную т, главную нормаль п и бинормаль Ъ и учитывая,
dv d2s v2
что wx = —rr = —гр , wn= — , где р — радиус кривизны траектории
и wb = 0, будем в этих осях иметь:
d2s
mv2
==/?„, 0 = Fb.
E)

§ 32] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 321
Последнее уравнение показывает, что траектория движущейся
под действием силы F свободной точки такова, что соприкасающаяся
плоскость всегда содержит в себе силу F.
3. Решение первой задачи динамики. Эта задача состоит в том,
чтобы, зная закон движения точки, т. е. кинематические уравнения
x = x(f). y = y(t). z = z(t), F)
найти действующую силу, т. е. Fx, Fy, Fz. Задача, как видим,
легко решается с помощью уравнений D) и сводится к вычислению
вторых производных по времени от заданных функций F).
Пример. Пусть точка массы т движется по закону, определяемому
уравнениями
х = a sin kt, у — b cos kt, г = 0. (a)
Очевидно, траекторией точки является эллипс с полуосями а и Ь. Из урав-
уравнений D) находим, что проекции действующей на движущуюся точку силы
равны
Fx=m'x = — mtfa sin kt, Fy = m'y = — mk4 cos kt, Fz = 0.
Исключая отсюда с помощью уравнений движения параметры а и Ь, получим:
Fx = — mk2x, Fy = — mk2y или F = — mk2r. (б)
Последний результат дает закон изменения силы, под действием кото-
которой точка может описывать любой из эллипсов семейства (а). Как видим,
такое движение возможно под действием центральной силы, направленной
в центр эллипса и изменяющейся пропорционально расстоянию точки от
этого центра.
4. Решение второй (основной) задачи динамики. Эта задача
состоит в том, чтобы, зная действующую силу F, найти закон дви-
движения точки, т. е. кинематические уравнения F). Сила F может
вообще зависеть от времени, от положения точки в пространстве
и от скорости ее движения ]), т. е.
F\t, r, v,
а следовательно,
Fx, Fy, Fz\t, х, у, z, x, у, z,
где х, у, z суть координаты точки; х, у, z — проекции ее скорости.
') На практике примером силы, зависящей от времени, может служить
периодически изменяющаяся сила, вызывающая колебания'(вибрации) частей
двигателя с плохо центрированным валом; примером силы, зависящей от
положения точки, является ньютонова сила тяготения, или упругая сила
пружины, а пример сил, зависящих от скорости движения, дают силы со-
сопротивления среды (воздуха, воды и др.).
21 Н. Н. Бухгольц

322
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. VI
Поэтому дифференциальные уравнения D) будут в общем случае
иметь следующий вид:
m-^ = Fx{t, x, у, z, x, у, z),
m-rpf — Fy(t, x, у, z, x, у, z),
m-^=Fz(t. x, y, z, x, y, z).
G)
Правые части этих уравнений будем считать однозначными и конеч-
конечными функциями указанных аргументов (за исключением, быть может,
конечного числа особых точек).
Нахождение закона движения данной точки сводится к интегри-
интегрированию системы G), т. е. системы трех совместных дифференциаль-
дифференциальных уравнений второго порядка, в которых неизвестными функциями
являются координаты движущейся точки х, у, z, а аргументом —
время t. Проинтегрировав эту систему дифференциальных уравнений,
получим х, у, z в функциях времени и шести произвольных по-
постоянных, т. е. найдем общее решение (общие интегралы) системы G)
в виде
X = X (t, Cx
z = z (t, cl
c2,
Co,
(8)
Наличие п правых частях уравнений (8) произвольных постоянных
указывает на то, что под действием данной силы точка может совер-
совершать не какое-то вполне определенное движение, а целый класс
движений, имеющих разные законы при разных значениях постоян-
постоянных cv с2, . . ., с6.
Физически этот результат объясняется тем, что точка, на кото-
которую начинает действовать некоторая сила, будет двигаться по-раз-
по-разному в зависимости от так называемых начальных условий, т. е.
от начального положения и начальной скорости этой точки. Напри-
Например, движение свободной материальной точки под действием силы
тяжести может быть прямолинейным или криволинейным в зависи-
зависимости от направления ее начальной скорости.
Чтобы сделать соответствующую задачу динамики определенной,
надо, кроме действующих сил, задать начальные условия, т. е. для
некоторого момента времени t = t0 (начальный момент) задать:
начальное положение точки х = х0, у — у0, z = z0
и начальную скорость точки х = х0, у = у0, z = z0.

321
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
323
По этим начальным условиям определяются постоянные интегри-
интегрирования Cj, c2 с6. Для этого, взяв производные по времени
от уравнений (8), находим проекции скорости:
x = x{t, cv с2 с6),
y = 'y(t, cv с2 с6),
'z=z(t, cv с2, .. ., с6).
(9)
Подставив затем в уравнения (8) и (9) начальные данные, получим
шесть алгебраических уравнений, которые будут содержать слева
данные величины х0, у0, z0, х0, у0, z0, а справа — данную вели-
величину t0 и искомые постоянные cv с2, . ¦ •, cs. Решая эту систему
уравнений, мы можем найти из нее значения постоянных интегриро-
интегрирования, соответствующие заданным начальным условиям, т. е. найти
Уо>
= 1. 2 6). A0)
Последнее следует из того, что функциональный определитель си-
системы
д _ д (х0, уд, г о, х0, у0, г0)
д(с,, с2, с3, с4, с6. св)
не равен нулю, так как при А = 0 начальное положение и началь-
начальная скорость точки, друг от друга не зависящие, оказались бы свя-
связанными некоторым соотношением.
Заменив теперь в уравнениях (8) все с^ их значениями из равенств
A0), мы получим частное решение системы дифференциальных урав-
уравнений G), удовлетворяющее заданным начальным условиям, в виде
x — x(t, х0, у0, z0, xQ, y'o, z0),
y=y(t, х0. у0, z0, х0, у0. z0),
z=z(t, x0, y0, z0, x0, y0, z0).
A1)
Уравнения A1) и определяют закон движения точки под действием
заданных сил при данных начальных условиях, т. е. дают решение
соответствующей задачи динамики. Конкретные примеры отыскания
таких решений будут рассмотрены в §§ 34—37.
Решение основной задачи динамики можно еще свести к отыска-
отысканию первых интегралов системы дифференциальных уравнений G).
т. е. соотношений вида
или
, у, z, х, у, z, с) = 0
fit, х, у, z, х, у, z) = c,
A2)
21*

324 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
которые в силу уравнений G) имеют место при любых начальных
условиях и дают связь между временем, координатами точки, ее
скоростью и произвольной постоянной.
Если общее решение системы G) известно, т. е. известны урав-
уравнения (8) и (9), то, разрешая их относительно произвольных постоян-
постоянных ck, можно получить шесть первых интегралов уравнений движения
fk(t, х, у, z, х, у, 'z)~ck (k = l, 2, .... 6). A2')
Наоборот, определив каким-либо путем шесть независимых между
собой первых интегралов, мы можем получить из них общее решение
уравнений движения в виде (8). Отыскание первых интегралов имеет
еще то важное значение, что для решения ряда конкретных задач
механики оказывается достаточным найти только некоторые из этих
интегралов (иногда даже один), что существенно упрощает процесс
решения.
Во многих случаях первые интегралы уравнений движения могут
определяться из так называемых общих теорем динамики, которые
для точки являются следствием основного закона B). К рассмотре-
рассмотрению этих теорем мы сейчас и перейдем.
33. Общие теоремы динамики точки
\/1. Теорема об изменении количества движения точки. Коли-
Количеством движения точки называется, как известно, величина mv,
равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Основной
закон динамики можно представить в виде
или, в проекциях на оси координат,
d (тх) _ р d (ту) d (тг) __
dt ~ х' dt ~ ГГ dt ~
Умножая обе части равенства A) на dt, получим:
_ р d (ту) d (тг) __ р ,,,
dt ~ х' dt ~ ГГ dt ~г*' к >
B)
Величина dS — F dt называется элементарным импульсом силы.
Равенство B) выражает следующую теорему об изменении количества
движения точки в дифференциальной форме: дифференциал коли-
количества движения материальной точки равен элементарному
импульсу силы 1).
') Если на точку действует несколько сил, то под «силой», здесь и
всюду далее будем понимать равнодействующую приложенных сил.

§ 33] ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ 325
Проинтегрируем уравнение B), беря при этом справа определен-
определенный интеграл от некоторого начального момента t0 до произвольного
момента времени t; получим:
mv
= J Fdt+c.
Примем в качестве начальных условий, что при t = t0 v — v0.
Подставляя эти условия в полученное равенство, найдем, что c = mv0,
и окончательно будем иметь:
t
— mv0 = j Fdt C)
mv
или
mv — mv0 = S, C')
где величина
t
^ D)
называется импульсом силы за конечный промежуток времени
*-*„.
Равенство C) выражает теорему об изменении количества движе-
движения точки в конечной (интегральной) форме: изменение количества
движения точки за некоторый конечный промежуток времени
равняется импульсу действующей силы за тот же проме-
промежуток времени-
В проекциях на оси координат равенство C) дает три скалярных
уравнения:
y
где
тх—mxo = Sx, ту — myo — Sy, mz — mzo = St, E)
zdt F)
'о t, h
— проекции импульса на оси координат.
Если сила действует в течение очень малого промежутка вре-
времени т, то
mv — ш>0 = (Fdt,

326 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
или, по теореме о среднем значении интеграла, имеем:
mv — mv0 = ~zF*.
%
где F* = \ f Fdt.
о
Предположим, что при бесконечно малом т количество движения
изменяется на конечную величину. Для того чтобы %F* было конеч-
конечной величиной при бесконечно малом т, необходимо, чтобы сила F*
была бесконечно велика (порядка —1. Отсюда следует, что беско-
бесконечно большая сила, действующая на материальную точку в течение
бесконечно малого промежутка времени, изменяет количество дви-
движения точки на конечную величину. Такая сила называется удар-
ударной силой, а самое явление носит название удара.
Рассмотрим случай, когда теорема об изменении количества дви-
движения дает первые интегралы уравнений движения точки.
а) Пусть F=0; тогда из уравнения B) сразу находим вектор-
векторный интеграл
v = c G)
или, в проекциях на оси, три скалярных первых интеграла
Этот результат выражает тот факт, что при отсутствии силы
свободная материальная точка движется равномерно и прямолинейно,
т. е. по инерции (здесь, как и везде ранее, движение рассматри-
рассматривается по отношению к инерциальной системе отсчета).
б) Пусть на точку действует сила постоянного направления, на-
например параллельная все время оси г. Тогда FX=Q, /^ = 0 и тео*
рема B) дает, очевидно, два первых интеграла:
x = cv у = с2. (8>
Геометрически эти интегралы означают, что траекторией точки
в данном случае будет плоская кривая, лежащая в плоскости, парад-*
лельной оси z, т. е. линии действия силы. В самом деле, из ра-
равенств (8) имеем с1у = с2х или cxdy—c2dx = 0, откуда, интегри^
руя, найдем:
сху —-?2х = const. (9)
Но уравнение (9) есть уравнение плоскости, параллельной оси zK
т. е. силе. Так как координаты л; и у точки все время удовлетво-
удовлетворяют этому уравнению, то, следовательно, точка действительно дви~
жется в этой плоскости.

§ 33] ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ 327
в) Если сила все время перпендикулярна к какой-либо оси, на-
например оси х, то Fx = 0 и теорема B) дает один первый интеграл
x = cv A0)
т. е. движение точки при этом происходит так, что проекция ее
скорости на ось, перпендикулярную к силе, остается величиной
постоянной.
В случаях, отличных от рассмотренных, для получения из тео-
теоремы об изменении количества движения первых интегралов надо
вычислить импульс 5 или его проекции Sx, Sy, Sz. Поскольку
вообще F=F(x, у, z, x, у, z, t), то, как видно из равенства F),
для вычисления импульса надо знать х (t), у (t), z (i), т. е. общее
решение уравнений движения точки. Но если известно общее реше-
решение, то использование уравнений C) или E) для отыскания первых
интегралов утрачивает смысл.
Однако если действующая сила постоянна (F = const) или зависит
только от времени, т. е. F = F(t), то интеграл D) непосредственно
вычисляется и теорема дает один векторный или, в проекциях на оси
координат, три скалярных первых интеграла уравнений движения
точки. Эти первые интегралы выражаются равенствами C) или E),
где стоящие справа импульсы 5 или Sx, Sy, Sz будут (после вычи-
вычисления соответствующих определенных интегралов) известными функ-
функциями времени.
Примеры 1. Рассмотрим точку, которая движется вблизи земной по-
поверхности в безвоздушном пространстве под действ юм только силы тяжести
Р = mg. Так как сила F постоянно направлена по вертикали вниз, то мы
заключаем (согласно случаю б), что траектория точки будет плоской кривой,
лежащей в вертикальной плоскости. Проводя в этой плоскости оси Оху
(Ох горизонтально, Оу по вертикали вверх), будем иметь Рх = 0; следова-
следовательно, здесь имеет место интеграл A0)
Далее, так как Ру —— Р —— rng ~ const, то Sy = — mg (t —10) и из E)
находим еще один первый интеграл
Заметим, наконец, что поскольку траектория точки лежит в пло-
плоскости Оху, то интегралом движения будет также г =¦ с3- Дальнейшее реше-
решение этой задачи не вызывает затруднений (см. § 36, п. 1).
2. Точка массы т начинает двигаться из состояния покоя прямолинейно
под действием силы, изменяющейся по закону F = Fo A — kt). Найти ско-
скорость точки в момент, когда сила обращается в нуль, а также определить
тот момент времени, отличный от начального, когда скорость точки обра-
обращается в нуль.

328 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
Направим вдоль траектории точки координатную ось х и будем обо-
обозначать vx = i/, Sx== S. Тогда
t t
5= f F dt = Fo J* A — kt) dt = FJ (l—~t\.
о о
Подставляя это значение S в первое из уравнений E), т. е. в уравне-
уравнение mvx — mvox = Sx, и учитывая что fo = O, найдем отсюда
1 F
Так как F = 0 в момент t^ = -г-, то. следовательно, в этот момент V\ = = ° .
2
В свою очередь » = 0в момент t2 = -r- = 2/,.
2. Теорема об изменении момента количества движения точки
(теорема моментов) и закон площадей. Возьмем основное уравне-
уравнение динамики
dv _
Умножая векторно обе части этого уравнения на г, получим:
г '
но
— dt v /s »).
dr . . _ _
так как —тт-Х ч> = vX'O = 0. От-
сюда имеем:
Рис. 313.
и уравнение A1) окончательно прилиыает вид
¦^(rXmv) = rXF- A2)
Величина г X F представляет собой, как известно, момент силы F
относительно центра О (рис 313). Аналогично величина rXmv
является моментом количества движения mv относительно того же
центра. Таким образом, уравнение A2) выражает собой следующую
теорему об изменении- момента количества движения точки: произ-
производная по времени от момента количества движения точки
относительно какого-либо центра равна моменту действую-
действующей силы относительно того же центра.

- 33]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
329
8 проекциях на оси координат равенство A2) дает три скаляр-
скалярных уравнения:
d_
dt
d
, m ( \) 7 7 \)\ У p 21 p =
- XZ)
zFx — xFz = momy F,
dt
m {xy — yx) == xF — yFx == тотг F.
A3)
Рассмотрим случаи, когда теорема моментов дает первые инте-
интегралы.
а) Пусть rX.F = 0; это возможно или когда сила F = 0, или же
тогда, когда линия действия силы все время проходит через одну
и ту же точку О. Такая сила называется центральной силой,
а точка О, через которую проходит линия действия силы, — центром
силы. В этом случае имеем:
следовательно,
^r(rX mv) = 0;
г X two = const,
A4)
т. е. момент количества движения в случае центральной силы
есть величина постоянная. Равенство A4) можно еще представить
в виде
= с A5)
A5')
или, в проекциях на оси координат.
y'z — zy = ct,
ZУС —— jCZ Ccj
xy — yx = c6.
Таким образом, при движении под дей-
действием центральной силы теорема об из-
изменении момента количества движения
дает один векторный или три скалярных первых интеграла уравне-
уравнений движения.
Этим интегралам можно дать наглядную геометрическую интер-
интерпретацию. Так как вектор гХ'. перпендикулярный к плоскости,
проходящей через векторы гиф, имеет, согласно равенству A5),
постоянное направление (рис 314), то векторы гиг» должны все
время лежать в одной плоскости, проходящей через центр О. Сле-
Следовательно, траектория точки, движущейся под действием централь-
центральной силы, есть плоская кривая. Это можно доказать еще следующим

330 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
образом. Векторный интеграл A5) дает в проекциях на оси коор-
координат три скалярных первых интеграла A5'). Умножая равенства A5')
соответственно на х, у, z и складывая их почленно, получим, что
координаты движущейся точки будут все время удовлетворять урав-
уравнению плоскости
проходящей через центр силы О, т- е. что траектория точки есть
плоская кривая.
Далее, как было установлено в кинематике (см. § 6, п. 6),
момент скорости v равен удвоенной секторной скорости; поэтому
из A5) имеем, что
monio(w) = |rXe| = 2-§- = c. A6)
т. е. секторная скорость в данном случае постоянна. Интегрируя
уравнение A6), получим:
, A67)
т. е. площади, описываемые радиусом-вектором точки, растут, про-
пропорционально времени. Итак, в случае движения точки под дей-
действием центральной силы траектория точки есть плоская кривая,
а площади, описываемые радиусом-вектором, пропорциональны вре-
временам. Этот результат выражает так называемый интеграл или
закон площадей.
Покажем справедливость обратного вывода, т. е. что если
/¦Хо= const, то сила, действующая на точку, будет центральная.
Действительно, пусть rX' = const. Дифференцируя это равенство
'о времени, получим:
-^.(гХ«) = 0. A7)
Но
Умножая обе части этого равенства на т и учитывая A7), будем
иметь;
Следовательно, если F ф 0, то направление силы все время должно
проходить через точку О, т. е. сила является центральной.
б) Если момент силы относительно какой-либо оси равен нулю
(I. е. сила пересекает ось или ей параллельна), то момент скорости

§33]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
331
относительно той же оси есть величина постоянная. Действительно,
пусть
A8)
Таким образом, теорема дает в этом случае один скалярный первый
интеграл, который можно еще представить в виде (см. § 6, п. 6)
тогда на основании уравнений A5') имеем:
yz — zy = тот^ (v) — c4.
dt
ь4-
A8')
Пример. Движение планеты происходит под действием силы притя-
притяжения ее к Солнцу, т. е. силы центральной. Следовательно, это движение
подчинено закону площадей. Траекторией планеты является эллипс, в одном из
фокусов С которого находится Солнце
(рис. 315). Найдем, как связаны между со- v
бой скорости планеты в перигелии Р (точке, *
ближайшей к Солнцу) и в афелии А (точке,
наиболее удаленной от Солнца). Согласно
уравнению A6), имеем:
CP — vA- С А,
mom_ (vDs
откуда
) = momc
V
V
(*л)
р _
или
СА
~СР
В перигелии скорость планеты будет наиболь- °ис' "•
шей, а в афелин — наименьшей.
8. Теорема об изменении кинетической энергии точки. Ска-
Скалярная величина —а—, равная половине произведения массы точки
на квадрат ее скорости, называется кинетической энергией (или,
по старой терминологии, живой силой) точки.
Найдем, чем обусловлено при движении точки изменение ее кине-
кинетической энергии. Для этого обратимся опять к основному уравне-
уравнению т -^j- = F и умножим обе его части скалярно на V. Тогда
будем иметь:
dv
~dT
= F -v.
Но так как масса т постоянна, a v2 = v • v = v2, то
dv d
mv2
d I mv2

332
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ VI
и окончательно получим:
d_
dt
= F -v.
A9)
Величина W = F • v, т. е. равная скалярному произведению силы
на скорость точки ее приложения, называется мощностью. Таким
образом, мы нашли, что производная по времени от кинетической
энергии точки равна мощности.
Обычно уравнение A9) представляют в ином виде, вводя вместо
мощности величину, характеризующую действие силы на некотором
перемещении и называемую работой силы.
Пусть точка, на которую действует сила F, совершает элемен-
элементарное перемещение dr (рис. 316). Тогда элементарной работой силы
называют величину, равную скалярному
j/V произведению силы F на элементарное пе-
f . I ^ ремещение dr, т. е. ])
ИЛИ
d'A = F ¦ dr
d'A = Fds cos (Fdr) =
B0)
B0')
Работа' силы на конечном перемеще-
перемещении М0М определяется как сумма соответ-
соответствующих элементарных работ, т. е. как
криволинейный интеграл от элементарной работы, взятый вдоль
дуги Л10Л1 траектории
Рис. 316.
AtyH
_ Г
F-dr=.
Fxds.
B1)
Мощность и работа связаны соотношением
т. е. мощность равна работе, совершаемой в единицу времени.
Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль
A дж=\ нм), а в технической системе—1 кГм. Мощность изме-
измеряют соответственно в ваттах A вт = 1 дж/сек) и в кГм/сек.
В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная
сила = 75 кГм/сек » 736 вт.
') О значении символа d' см. сноску на стр. 273.

33]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
333
Обратимся теперь к равенству A9). Умножая обе его части на dt
и учитывая, что V dt = dr, получим следующее выражение теоремы
об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме
= F-dr.
B2)
т. е. дифференциал кинетической энергии материальной точки
равен элементарной работе, действующей на точку силы.
Если рассмотреть конечное перемещение точки из положения Мо,
где ее скорость равна v0, в положение М, где скорость равна v
(рис. 317), то, беря от обеих частей ра-
равенства B2) соответствующие интегралы,
получим:
mv
dr
или
mv
B3)
B3')
Равенство B3) выражает теорему об
изменении кинетической энергии точки Рис. 317.
в конечной (интегральной) форме'л* из ме-
нение кинетической энергии точки при некотором ее перемеще-
перемещении равно работе действующей силы на том же перемещении.
Для решения основной задачи динамики доказанная теорема, как
и две предыдущие, играет существенную роль в случае, когда она
дает первый интеграл уравнений движения точки.
Если F=0, то из равенства B2) сразу находим v = с — резуль-
результат, являющийся следствием известного интеграла G). Для получения
нетривиального интеграла, даваемого теоремой, а именно интеграла
энергии, надо рассмотреть ряд вопросов, связанных с теорией сило-
силового поля.
4. Работа силы. Силовое поле. Элементарная работа силы
определяется равенствами
= F- dr = Fds cos (Fdr) = Fx ds.
B4)
Если силу F выразить через ее проекции Fx, Fy, Fz па оси
координат, а перемещение dr— через дифференциалы координат х, у, z
точки приложения силы, то, раскрывая скалярное произведение F • dr,
мы представим элементарную работу в виде
B5)

334 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
Работа силы на конечном перемещении М0Мг вычисляется как
криволинейный интеграл от элементарной работы, взятый вдоль
дуги М0Мг траектории
= fFxds B6)
или
j zdz). B7)
В общем случае Fx, Fy, Fz зависят от времени t, координат
точки х, у, z и ее скорости х, у, z. Следовательно, для вычисле-
вычисления интеграла B7) надо знать x(t), y{t), z (t), т. е. закон движения
точки. Тогда, выражая все переменные через время t, получим под
знаком интеграла выражение вида (&(t)dt и
/ B8)
где t0 и t1 — моменты времени, соответствующие положениям Мо и Мх
движущейся точки.
Таким образом, в общем случае работа силы зависит не только
от вида траектории движущейся точки, но и от закона движения
этой точки и может быть вычислена лишь тогда, когда этот закон
известен.
Для получения из теоремы об изменении кинетической энергии
первого интеграла уравнений движения надо, очевидно, найти класс
сил, работу которых можно вычислить, не зная закона движения
точки, на которую действует сила. Из вида правой части равен-
равенства B7) следует, что к такого рода силам могут относиться так
называемые позиционные силы, т. е. силы, зависящие только от коор-
координат точки, для которых F—F(x, у, z) или
Fx = Fx(x, у, z), Fy = Fy(x, у, z), Fz = Ря{х. у, z). B9
Область пространства, в каждой точке которой на помещенную
туда материальную частицу действует определенная сила, являющаяся
однозначной, ограниченной и дифференцируемой функцией координат
этой точки, называется силовым полем. Равенства B9) при условии,
что стоящие справа функции удовлетворяют указанным требованиям,
определяют стационарное (не изменяющееся со временем) силовое поле.
Направление сил поля характеризуется силовыми линиями,
т. е. линиями, у которых касательная в каждой точке совпадает

! 33]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
335
с направлением силы, действующей в этой точке (рис. 318). Диф-
Дифференциальное уравнение силовой линии будет:
dx
dy
dz
Fx{x,y,z) Fy(x,y,z) Fz(x, y, г)
C0)
Пусть в силовом поле дана какая-нибудь кривая уравнениями
/i (x, у, z) — 0, /2(x, у, z) = 0. Тогда из трех координат точки,
перемещающейся вдоль этой кривой, независимой будет одна. Вводя
криволинейную координату q, можно найти x(q), y(q), z (q) и пред-
представить интеграл B7) в виде
я,
C1)
где q0 и <7j — значения координаты q, соответствующие точкам Мо
и Мх, а величина Q (q) называется обобщенной силой. Таким обра-
образом, зная Q (q), мы вычислим работу. При этом
работа позиционной силы, кроме начального и
конечного положения точки, будет зависеть еще
и от траектории, так как с изменением траек-
траектории меняется вид функций х (q), у (q), z (q).
Если траектория точки будет известна за-
заранее (что, например, может иметь место при
несвободном движении), то, вычислив работу,
мы найдем из B3) первый интеграл уравнений
движения точки.
Заметим, что если известна траектория, то
работу силы F можно еще подсчитать в случае,
когда Fx = const; при этом мы из равенства B6)
найдем, что А^-ц = Fxs, где 5 — длина дуги
MQMy В частности, если сила Сбудет все время перпендикулярна
к перемещению точки, то Fx = 0 и работа силы на любом переме-
перемещении будет равна нулю.
Однако при движении свободной точки ее траектория заранее
не известна (она будет зависеть от действующих сил и начальных
условий). Поэтому для свободной точки мы в рассмотренных случаях
первого интеграла из уравнения B3) не получим.
5. Потенциальное силовое поле. Рассмотрим такой частный вид
силового поля, для которого стоящий в равенстве B7) под знаком
интеграла дифференциальный трехчлен (элементарная работа) является
полным дифференциалом некоторой функции U от координат
точки, т. е.
Рис. 318.
F-dnE=FJcdx-\-Fydy-\-Fzdz =
, у, z).
C2)

336 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
Функция U(x, у, z), дифференциал которой равен элементарной
работе, называется потенциальной или силовой функцией. Сила
или силовое поле, для которых существует такая функция, называются
потенциальными.
Так как
dU(x, у, z) = ^Ldx + ^-dy + ^-dz. C3)
то, как легко видеть, соотношение C2) эквивалентно трем равенствам:
устанавливающим, что в потенциальном силовом поле проекции силы
равны частным производным от силовой функции по соответствующим
координатам.
В самом деле, если соотношение C2) выполняется, то, заменяя
в нем dU его выражением C3) и учитывая, что dx, dy, dz между
собой независимы, мы придем к равенствам C4). Наоборот, если
имеют место равенства C4), то из них вытекает соотношение C2),
которое мы получим, заменив в выражении элементарной работы
Fx dx -\- Fy dy -f- Fz dz проекции сил их значениями из C4) и учтя
равенство C3).
Найдем, каким условиям должны удовлетворять силы поля,
чтобы оно было потенциальным. Для этого возьмем от обеих частей
равенств C4) частные производные по соответствующим координатам.
Тогда, учитывая, что
dy dz dzdy
получим:
dy dz
dz dx
dFy dFx
dx dy
C5)
Отсюда следует, что условия C5) необходимы для того, чтобы
силовое поле, заданное уравнениями B9), было потенциальным.
Можно доказать (см., например, В. В. Степанов, Курс диффе-
дифференциальных уравнений, гл. II, § 3), что эти условия являются
и достаточными.
Представим полученные результаты в терминах векторного ана-
анализа, относящихся к любым потенциальным полям. Если проекции
некоторого вектора выражаются через функцию U(x, у, z) равен-

§ 33'
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
337
ствами вида C4), то такой вектор называют градиентом скалярной
функции U, т. е.
дх
ду J ' dz
C6)
где V (набла) — дифференциальный оператор Гамильтона, предста-
представляющий собой символический операторный вектор
C7)
' — • дх
Таким образом, в потенциальном силовом поле
F = grad U.
Далее, если левые части равенств C5) принять за проекции неко-
некоторого нового вектора, то последний будет называться ротацией
вектора F; таким образом,
C8)
или
rotF =
t.
д
дх '
dFz dFy\ ldFx
ду dz j '
I dz
J.
д
ду '
F '
dF,
dx
k
d
dz
V dx
dFx
ду
C8')
Введя это понятие,,мы можем условия C5) представить в виде
rot/•" = (). Следовательно, чтобы векторная функция F(x, у, z) имела
потенциал или, что то же, была градиентом скалярной функции
U(x, у, z), необходимо и достаточно, чтобы ротация /Сравнялась нулю.
Если существование силовой функции установлено, то сама функ-
функция U(x, у, z) определяется, как это следует из C2), с точностью
до произвольной аддитивной постоянной равенством
U
= J (Fx dx -\-Fydy + Fz dz) + const.
C9)
Потенциальную функцию с фиксированной аддитивной постоянной
называют еще потенциалом.
Рассмотрим некоторые свойства потенциального силового поля.
Поверхность
U(x, у, z) = c, D0)
на которой потенциальная функция U имеет постоянное значение,
называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью
уровня. Для данного поля эти поверхности образуют семейство
с параметром с; давая постоянному с разные значения, мы будем
22 Н, Н Бухгольц

338
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ VT
получать разные поверхности уровня, которые в случае, когда функ-
функция U однозначна, не могут пересекаться и будут разделять силовое
поле на слои (рис. 319). Соответственно этому такое поле называют
ламеллярным или слоистым (пластинчатым).
Уравнение силовой линии C0), если учесть равенства C4), можно»
представить в виде
dx dy dz
дЦ
дх
dU
ду
dU
dz
Так как
dU dU dU
-r—, -г—i-^— пропорциональны косинусам нормали
к поверхности U(x, у, z) = const, т. е. к поверхности уровня, то
отсюда следует, что силовые линии поля ортогональны к эквипотен-
эквипотенциальным поверхностям (см. рис. 319), а сила в любой точке поля
Силовые
линии
х
Рис 319
Рис. 320
направлена по нормали к поверхности уровня, проходящей через
эту точку.
Последний результат вытекает также из соотношения C2)
F ¦ dr = dU. В самом деле, если рассмотреть элементарное пере-
перемещение u?r = rf'5, направленное по касательной т к поверхности
уровня в некоторой ее точке М (рис. 320), то для этого переме-
перемещения, так как на поверхности уровня t/= const, будет F-dr =
= dU = Qi. Отсюда следует, что сила F = gvadU направлена пер-
перпендикулярно к dt, т. е. по нормали к поверхности уровня. С дру-
другой стороны, если рассмотреть перемещение dr = dn, направленное
в сторону действия силы, то на этом перемещении F • dn^> 0,
а следовательно, и dU > 0, т. е. в направлении действия силы U
возрастает. Итак, вектор силы F (или grad U) направлен в любой
точке поля по нормали к поверхности уровня, проходящей череа
эту точку, в сторону возрастания потенциала U.

33]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
339
Найдем теперь выражение для проекции силы, действующей
в точке М поля, на какое-нибудь направление s, проходящее через
эту точку и характеризуемое единичным вектором s° (см. рис. 320).
Так как проекции S0 и силы F = gra.dU на оси координат соответ-
соответственно равны
ds _ds_ _ds\ p ldU_ d(J__ dlT
dy ' dzj ' \ dx ' dy ' dz
TO
, n dU dx , dU dy , dU dz
т. е. проекция силы F (или grad U) на некоторое направление s
равна производной от потенциальной функции U по этому напра-
направлению
Если взять проекцию силы (или градиента) на направление поло-
положительной нормали к соответствующей поверхности уровня (т. е. нор-
нормали, направленной в сторону возраста-
возрастания U), то мы получим Fn = F- Отсюда,
согласно D1), будем иметь:
^-, D2)
т. е. в каждой точке поля модуль силы
(градиента) равен производной от сило-
силовой функции по направлению положи-
положительной нормали к поверхности уровня,
проходящей через эту точку.
Последние результаты можно наглядно
представить геометрически, если на век-
векторе F—gradU, как на диаметре, описать сферу (рис. 321) и
через точку М (начало вектора) провести пучок прямых!). Тогда
отсекаемые сферой отрезки этих прямых будут равны проекциям
силы (градиента) на соответствующие направления или, что то же,
производным от силовой функции по этим направлениям. Отсюда
видно, в частности, что сила (или grad U) имеет направление быстрей-
быстрейшего возрастания функции U.
Пусть U = с некоторая поверхность уровня. Давая с последова-
последовательно приращения dc, 2dc, ..., получим семейство поверхностей
уровня U=c, U = c-\-dc, U = c-{-2dc, ... При переходе с любой
= const
Рис. 321.
') На рис. 321 показано сечение поверхности уровня U = const пло-
плоскостью, проходящей через нормаль Мп. Аналогичные сечения изображены
на рис. 322 и 323.
22*

340
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ VI
из этих поверхностей на соседнюю U получает одно и то же при-
приращение dU = dc. Тогда из равенства D2) следует, что сила (или
градиент) будет больше в тех точках поля, где расстояние dn между
соседними поверхностями уровня меньше (рис. 322), т. е. где по-
поверхности уровня проходят гуще (теорема Кельвина).
Jdeco grad U
меньше
Jdeco gradI/
больше
Рис 323
6. Работа потенциальной силы. Потенциальная энергия. Пусть
мы имеем потенциальное силовое поле. Тогда элементарная работа
Fdr = dU,
а работа силы на конечном перемещении из точки Мо в точку М
поля (рис. 323) будет:
А _ =
м0 м
D3)
MQM
Следовательно, работа потенциальной силы равна разности
значений силовой функции в конечной и начальной точках
пути; она зависит только от положения начальной и конечной точек
и не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка
приложения силы lee ли, как мы все время предполагаем, функция
U(x, у, z) однозначна]. Этот результат выражает основное свойство
потенциального силового поля. Более точно можно сказать, что работа
потенциальной силы зависит лишь от того, с какой поверхности
уровня и на какую перемещается точка.
Если, в частности, перемещение происходит по замкнутому кон-
контуру CC-fi<p, то, как видно из D3), работа потенциальной силы
будет равна нулю. Криволинейный интеграл
Fdr
от векторной функции F(x, у, z) по замкнутому контуру называется
циркуляцией вектора F. Таким образом, когда потенциальная функ-

J 3?,1 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ 34Г
ция однозначна, то циркуляция потенциального вектора равна нулю
[вообще циркуляция будет равна нулю по любому замкнутому кон-
контуру, который можно стянуть в одну точку, не проходя при этом
через особые точки функции U(x, у, z)\.
В потенциальном силовом поле можно ввести понятие о потенци-
потенциальной энергии частицы как о запасе работы, которую могут
совершить силы поля при перемещении частицы из занимаемого
ею положения на какую-нибудь поверхность уровня, условно при-
принимаемую за нулевую. Выберем в равенстве C9) аддитивную по-
постоянную так, чтобы на нулевой поверхности было U'н — 0 (см.
рис. 323). Тогда по определению потенциальная энергия V в любой
точке М поля будет равна работе на перемещении МН или, со-
согласно D3), V = UH—U, где 0—значение силовой функции в точке М.
Так как Uн = 0, то окончательно имеем:
V(x, у, z) = — U(x, у, г), D4>
т. е. величина потенциальной энергии в любой точке поля равна
значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.
7. Интеграл энергии. Если все действующие на материальную
точку силы являются потенциальными, то F-dr = dU —— dV и
уравнение B2) принимает вид
откуда, интегрируя, находим:
mv
-\-V(x, у, z) — h, D5>
где h—постоянная интегрирования. Равенство D5) дает первый
интеграл уравнений движения точки, называемый интегралом энер-
энергии. Оно выражает собой следующий закон сохранения механической
энергии: при движении точки под действием потенциальных;
сил сумма кинетической а потенциальной энергии точки, т. е.
ее полная механическая энергия, остается величиной постоян-
постоянной. По этой причине потенциальное силовое поле, для которого-
имеет место данный закон, называют еще консервативным (от ла-
латинского conservare—сохранять).
Значение постоянной h определяется по начальным данным. Если
в некоторой точке поля jc0, y0, z0 частица имеет начальную скорость
v0, то
у0, z0), D5')
т. е. постоянная h равна начальной энергии частицы.

342 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
При решении задач или непосредственно пользуются равен-
равенством D5), или используют теорему кинетической энергии в интег-
интегральной форме B3'), вычисляя всякий раз по заданным силам их
работу на рассматриваемом перемещении.
Из равенства D5) видно, что при движении в консервативном
тюле скорость материальной точки является функцией только ее по-
положения. В частности, точка, движущаяся в консервативном поле
по замкнутому пути, будет, приходя в данное положение С: (см.
рис. 323) иметь в нем всегда одну и ту же скорость vv сколько бы
циклов (оборотов) точка ни совершила. Отсюда вытекает невозмож-
невозможность построения вечного двигателя (perpetuum mobile), т. е. машины,
которая могла бы передавать движение другому объекту (совершать
работу) вечно, без притока энергии извне.
В земных условиях на движущееся тело наряду с потенциальными
силами неизбежно действуют различные непотенциальные силы в виде
сил сопротивления среды, трения и др. Это приводит к тому, что
полная механическая энергия точки с течением времени убывает
(рассеивается), переходя в соответствии с общим физическим законом
сохранения энергии в другие формы энергии, например в тепло.
По этой причине указанные силы сопротивления называют еще дис-
сипативными. Пусть, например, точка движется под действием по-
потенциальной силы с потенциалом U в среде, оказывающей сопро-
сопротивление, пропорциональное скорости точки. Тогда на точку действует
еще диссипативная сила R — — к<о и по теореме B2), учитывая, что
U — — V, будем иметь:
d (^-) = dU — kv-dr = — dV—kv- dr.
Так как <о • dr — v ¦ vdt — v2dt, то отсюда
или
^=-2Д- D6)
где Е = —к \-V есть полная механическая энергия точки, a 2D—kv2.
Так как D > 0, то из равенства D6) видно, что полная механическая
энергия точки будет в данном случае с течением времени убывать.
Функцию D(v), численно равную половине механической энергии,
убывающей в единицу времени, называют диссипативной функцией
или функцией рассеивания. Так как в нашем случае D=-^kv2,
dD
то отсюда —— = kv, т. е. величина диссипативной силы определяется
как производная от диссипативной функции по скорости.

i 33]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
343
8. Примеры потенциальных силовых полей. В том, что данное
силовое поле является потенциальным, можно убедиться или по
условиям C5), или установив непосредственно, что элементарная
работа сил поля является полным дифференциалом некоторой функ-
функции координат точек поля.
1) Рассмотрим силовое поле, в котором проекции силы F на оси
координат являются функциями только соответствующей координаты,
т. е.
¦¦Fx(x), Fy =
D7)
где, в частности, правые части могут быть постоянными. Очевидно,
что условия C5) в этом случае
выполняются и элементарная работа
откуда
J F2(z)dz +const
= dU(x, у, г),
D8)
\/ 2) Рассмотрим однородное поле
тяжести. Если вблизи земной
поверхности выделить область, раз- х
меры которой малы по сравнению Рис, 324
с радиусом Земли, то во всех точ-
точках этой области можно считать силу тяжести Р = mg по модулю
и направлению постоянной. Такое силовое поле называется однород-
однородным. Направляя координатную ось z вертикальновверх (рис. 324),
будем иметь:
Очевидно, это поле потенциально, так как является частным случаен
поля D7). Для него
d(J =zF
Fy dy-\-Fzdz = — mg dz.
Отсюда, интегрируя, получим:
U = — mgz ~\- const,
или, считая G = 0 при z=0,
V = mgz.
D9)
Поверхностями уровня будут плоскости z — с, т. е. горизонтальные
плоскости, так как ось z вертикальна. Силы поля направлены, как
видим, по нормали к поверхностям уровня в сторону возрастания U.

344
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ VI
Работа силы тяжести на перемещении М0М будет.
A —U — U =
~^)-=± mgh.
E0)
где h = | z0—z\ — разность высот точек Мо и М (знак плюс в по-
последнем равенстве соответствует случаю, когда точка Мо выше
точки М, а знак минус — когда ниже).
Если точка перемещается из положения Мо с начальной ско-
скоростью v0, то скорость в любом положении М найдется по теореме
об изменении кинетической энергии
откуда
mv
v =
2gh.
где знак плюс соответствует случаю, когда точка М ниже точки Мо'
В частности, если начальная скорость
г>0 —0, то точка может двигаться толь-
только вниз (z < г0), и мы получим извест-
известную формулу Галилея
v=\/2gh.
3) Рассмотрим поле централь-
центральной силы, т. е. силы, линия действия
которой проходит все время через
данный центр О (рис. 325). Пусть
при этом величина силы, действующей
на движущуюся в этом поле точку
М, зависит только от расстояния МО —г. Тогда
Рис 325.
где Fr — проекция силы на направление радиуса-вектора г, причем
Fr = F для отталкивающей силы и FT = — F для силы притягиваю-
притягивающей. Элементарная работа силы F будет:
E1)
так как из равенства г2 = г2, если его продифференцировать, сле-
следует, что г • dr~ rdr.
Отсюда можно заключить, что для данного поля существует
силовая функция U (г), так как элементарную работу можно пред-
представить в виде дифференциала такой функции
F-dr = Fr (r) dr = dU (r).

5 331 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ 345
Интегрируя, найдем потенциальную функцию поля центральной
силы:
U(r) = j Fr (r) dr-\-const E2)
Выражение U (x, у, z) можно получить, учитывая, что r=|/rjc2-f-y2-f-22.
Так как при г = const функция U (г) принимает постоянное зна-
значение, то поверхностями уровня в центральном силовом поле будут
концентрические сферы с центром в центре сил О. Сила, как видим,
здесь также направлена по нормали к поверхностям уровня в сто-
сторону возрастания U.
Рассмотрим два частных примера центрального поля.
а) Квазиупругая сила. Квазиупругой называют центральную силу,
линейно зависящую от г, для которой
Fr(r) = — с (г —а), E3)
где с и а — положительные константы, причем, в частности, может
быть а — 0. При г > а квазиупругая сила будет притягивающей,
а при г < а — отталкивающей.
Примером такой силы служит упругая сила пружины (пока она
подчиняется закону Гука), если один конец пружины закреплен не-
неподвижно в точке О; при этом г — а будет удлинением (сжатием)-
пружины, а с — так называемым коэффициентом жесткости.
Из равенства E2), так как d(r—a) = dr, найдем, что для квази-
квазиупругой силы
U — — 4- {г — а? -4- const,
t p.
или, считая, что ?/ = 0 при г = а, т. е. когда F = 0, получим:
t/ = — -g-(r — a)\ v = j(r — af. E4)
Работа квазиупругой силы на перемещении из некоторого поло-
положения Мо в положение Мг будет:
V*=Um' ~и*>=ъ 1(г° ~af ~(ri ~аП E5)
Эта работа положительна, когда \гх — а | < | г0—а\, т. е. когда
точка, на которую действует сила, приближается к поверхности г = а,
на которой F = 0, и отрицательна, когда точка удаляется от этой
поверхности. Для пружины (г0—а) и (гг—а) представляют собой
соответственно начальное и конечное удлинение (сжатие) пружины.
Заметим, что рассмотренное силовое поле представляет собой,
по существу, сопряжение двух полей, одного в области г > а, где
сила является притягивающей, и другого в области г < а, ме сила

345
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ VI
будет отталкивающей. Поэтому в нем U (или V) может иметь оди-
одинаковые значения на двух разных поверхностях уровня, из которых
одна находится в первой, а другая—во второй из указанных
областей, например на сферах r = a-\-h и г = а — h, где h < a.
Физически это означает, что потенциальная энергия пружины, сжатой
или растянутой на одну и ту же величину к, одинакова. Отсюда
следует также, что в данном поле работа может быть равна нулю
при перемещении не только по замкнутому контуру, но и с одной
из упомянутых выше сфер r — a-\-h и r = a — h на другую.
Пример. К концу Во вертикальной пружины (рис. 323) подвешивают
груз весом Р и отпускают без начальной скорости. Пружина в начальный
момент не напряжена, а ее жесткость равна с. Пренебрегая массой пру-
пружины и всеми сопротивлениями, найти скорость груза,
когда он опустится на высоту h.
По теореме об изменении кинетической энергии
К/////////Л
mv
mvo _ л
в„в
На груз действуют две потенциальные силы: сила
тяжести Р и упругая сила F = с (г — а), где г — АВ, а
а = АВ0 — длина ненапряженной пружины. Работа этих сил
иа перемещении В0В будет соответственно равна Ph и
— -=- Л2, так как в данном случае начальное удлинение
пружины (г0 — а) = 0, а конечное удлинение (гх — а) = Л.
Поскольку i/0 =¦ 0, то будем иметь:
Р V2 Пи С и, 2 /о С
Если бы груз, висящий на данной пружине, находился в покое, ю он
растянул бы пружину на величину 60, называемую статическим удлине-
удлинением пружины. Так как при равновесии будет Р = /?ст = с60, то
..-f
Введя эту величину в полученный результат, найдем окончательно, что
Рис. 326
Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, то
наибольшее удлинение пружины hm.dX = 2f>i, т. е. равно удвоенному стати-
статическому удлинению; скорость груза при h = hmeLyL обращаеася в нуль.
Сила тяготения. Действующая па материальную точку сила
тяготения будет по закону Ньютона центральной силой, пропорцио-
пропорциональной массе т точки и обратно пропорциональной квадрату ее
расстояния ог притягивающего центра. Следовательно, для этой силы
E6)

. 33J
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
347
и из равенства E2) будем иметь:
или, полагая, что ?/ = 0 при г — оо,
= HL+ const.
г
E7)
Работа силы тяготения на перемещении из положения Мо в поло-
положение Мх будет:
(к) E8)
Работа положительна, когда гх < г0, т. е. когда точка, на кото-
которую действует сила, приближается к притягивающему центру.
Поверхности уровня для любого центрального поля, в том числе
и для двух рассмотренных полей, являются сферами. Однако если
их построить, меняя U через равные интерьалы, т. е. давая U зна-
значения U — c, U ~1c, U = Ъс и т. д., то расположение этих сфер
для разных центральных полей в соответствии с теоремой Кельвина
будет разным; в частности, в поле квазиупругой силы расстояние
между поверхностями сфер с удалением от центра О будет убывать
(если а = 0), а в поле силы тяготения—возрастать.
Пример. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдем, какую наи-
наименьшую направленную вертикально вверх начальную скорость v0 надо
сообщить точке, находящейся на поверхности Земли,
чтобы она удалилась от этой поверхности на рас-
расстояние Н, а также какую скорость будет иметь
точка, свободно падающая с высоты Н, достигнув
поверхности Земли.
Сила земного тяготения определяется равенст-
равенством E6), где г = ОМ — расстояние от центра Земли О
(рис. 327). Выразим сначала значение постоянной ц
поля земного тяготения через ускорение g силы
тяжести на земной поверхности и радиус R Земли.
Так как на поверхности Земли г = R, a FT = — mg,
то, подставляя это в равенство E6), получим
mS = -^Г .откуда
И = gR2- (a)
По теореме об изменении кинетической энергии
будем иметь:
м,м,
(б)
Рис. 327.
При движении точки, брошенной из Мо вертикально вверх, она имеет
в наивысшем положении Mt скорость г/: = 0. Вычисляя работу по фор-
формуле E8), где в нашем случае r0 = R, a rx = R-\-H, получим:
т v%
1
R
\irnH
R

348 ДИНАМИКА ТОЧКИ ГГЛ.
Заменяя здесь \i его значением (а), найдем окончательно:
При падении точки без начальной скорости из положения М1 в Ма
(см. рис. 327) слагаемые в левой части равенства (б) поменяются местами,
но одновременно будет А v, — — А v,. Следовательно, скорость точки,
M,Mt Ж„/И,
упавшей на Землю с высоты Н, также определяется формулой (в).
Рассмотрим два предельных случая.
а) Если Н много меньше R, то, деля в подкоренном выражении равен-
равенства (в) числитель и знаменатель на R, получим:
т. е. приходим в пределе при #//?-> О к формуле Галилея.
б) Найдем, при какой начальной скорости f0 точка может удалиться
в бесконечность (или, наоборот, какую скорость будет иметь точка, упавшая
на Землю из бесконечности). Деля числитель подкоренного выражения
в равенстве (в) на И, получим:
Отсюда, считая g = 9,81 м/сек2, а средний радиус Земли R » 6370 км,
получим при Н =со
v0 = Y%gR я 11,2 км/сек. (е)
Эта начальная скорость, при которой материальная точка может уда-
удаляться неограниченно далеко от центра Земли, называется второй косми-
космической скоростью, или скоростью освобождения от поля земного тяготения.
Одновременно равенство (е) определяет примерную величину скорости,
с которой входят в земную атмосферу метеориты.
9. Устойчивость равновесия точки в потенциальном силовом
поле. Теорема об изменении кинетической энергии дает возможность
определить достаточное условие устойчивости равновесия материальной
точки в потенциальном поле сил.
Для равновесия точки необходимо и достаточно, чтобы действую-
действующая на нее сила равнялась нулю. Если поле потенциально, то
F = gtadU и из условия /7 = 0 следует, что в положении равновесия
f_0. «U=0. e = 0. E9)
дх ду дг
т. е. материальная точка будет находиться в равновесии в тех точ-
точках поля, где силовая функция U (или потенциальная энергия V — —U)
имеет стационарное значение.
Покажем, что если потенциальная энергия в данной точке А поля
имеет минимум, т. е. VA = Vm|n, то равновесие частицы, находящейся
в этой точке, будет устойчивым. Так как силовая функция U опре-
леляется с точностью до постоянной, то мы всегда можем принять,

f 33] ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ 349
что на поверхности уровня, проходящей через точку А, значение
?/д = 0, а следовательно, и VA = 0. Поскольку в точке А потен-
потенциальная энергия имеет минимум и значение VmIn выбрано равным
нулю, то в некоторой достаточно малой области, содержащей точку А,
величина V будет положительна (V > 0) и будет по мере удаления
от точки А возрастать. Опишем в этой области вокруг точки А
сферу радиуса р, где р — малая величина, отличная от нуля, и сооб-
сообщим нашей частице некоторую начальную энергию
F0)
т. е. сместим частицу из положения А в точку, где У = К0>0,
и сообщим ей начальную скорость vQ. Тогда если при данном р
можно выбрать такое, сколь угодно малое, но не равное нулю зна-
значение h, что ер все последующее время частица не выйдет за пре-
пределы сферы радиуса р, то положение равновесия в точке А назы-
называется устойчивым (по Ляпунову). Покажем теперь, что если УА — УпЛа,
то равновесие в точке А устойчиво. В самом деле, когда точка,
выведенная из состояния равновесия, придет в движение, то для нее,
согласно интегралу энергии D5), будет:
2
=h или
где h — начальная энергия. Допустим, что наименьшее значение,
которое величина V принимает на поверхности сферы радиуса р,
равно Vv и примем h—Vv Тогда, поскольку с удалением от точки А
значение V возрастает, то если при выбранном h частица могла бы
выйти за пределы данной сферы, для нее оказалось бы КЖр т. е.
V > h, и кинетическая энергия частицы стала бы отрицательной, что
невозможно. Таким образом, мы доказали, что если потенциальная
энергия в точке А поля имеет минимум, то равновесие материальной
частицы, находящейся в этой точке, будет устойчивым, т. е. дока-
доказали достаточность этого условия.
Определение необходимых условий устойчивости равновесия пред-
представляет собой задачу, значительно более сложную; в этой части
курса мы на ней останавливаться не будем.
Рассмотрим в качестве примера поле квазиупругой силы, для
которого, согласно равенству E4), потенциальная энергия
V = ^c{r — af.
Тогда из условия

350 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VT
находим, что свободная частица будет в этом поле в равновесии
при л = а, т. е. в любой точке на поверхности сферы радиуса а.
Так как —-г = с>0, то в положении равновесия V имеет минимум
и равновесие будет устойчивым.
§ 34. Прямолинейное движение материальной точки
1. Услэвия прямолинейности движения. Чтобы движение сво-
свободной материальной точки было прямолинейным, необходимо и до-
достаточно, чтобы действующая сила имела постоянное направление,
а начальная скорость была направлена по силе или равна нулю.
Пусть траектория точки совпадает с осью х, тогда
y = z — 0 и у = 2 = 0,
т. е. скорость точки во все время движения направлена по оси х,
следовательно, и начальная скорость точки должна быть направлена
по оси х или равна нулю. Далее, так как у = z = 0, то из урав-
уравнений движения следует, что
т. е. что сил] должна быть направлена по оси х. Итак, высказанные
условия необходимы. Докажем их достаточность.
Пусть сила направлена по оси х, тогда из уравнений движения
имеем у = 0, z = 0 и. интегрируя их, получим:
Если начальная скорость направлена по
оси х, то Cj = 0, с2 = 0, следовательно,
О
Интегрируя второй раз, получим у = е3*
z = с.. Если в начальный момент точка на-
насА
ходилась на оси х, то с3 = с4 = 0 и
Рис. 328. У = 0, 2=0,
т. е. траекторией точки будет ось х.
Покажем, что если сила—центральная и начальная скорость
направлена по силе или равна нулю, то движение прямолинейно.
Возьмем за плоскость движения плоскость Оху, и пусть О будет
центр сил (рис. 328). Так как сила—центральная, то будет иметь
место закон площадей, т. е. момент количества движения или момент
скорости относительно центра О есть величина постоянная; следо-
следователь! о,
momo (v) = xy — ух = с.

§ 34] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 351
Так как начальная скорость проходит через центр сил (или равна
нулю), то момент ее будет равен нулю, т. е. в начале движения
с = 0. Следовательно, ху — ух = 0, или
i.—A
У х '
Интегрируя, получаем:
In у = 1n x-j-ln cv
или
т. е. траектория точки есть прямая, проходящая через центр сил.
2. Дифференциальное уравнение прямолинейного движения.
Прямолинейное (вдоль оси х) движение свободной материальной
точки определяется одним дифференциальным уравнением второго
порядка
m^- = Fx{t.x.x), A)
где сила может быть функцией времени, координаты и скорости.
Интегрируя его, получим общее решение
x = x(t, cv c2); B)
взяв производную по времени, будем иметь:
х = х (t, cv c2)- C)
Определяя из равенств B) и C) постоянные интегрирования, получим
два первых интеграла:
Ф1^, х, х)г=сх,
Ф2(г, х, х) = с2.
Уравнение B) определяет целый класс движений, происходящих
под действием данной силы F. Для нахождения закона данного ар i
жения необходимо задать начальные условия. Пусть
при t —
х —
вставив эти значения в уравнение B) и C), будем иметь:
xQ = x(tQ, cv с2), vo = x(to, cv с2).
Из этих двух алгебраических уразнений найдем постоянные и>> i(i:.-
рования с, и с2 и, подс1авив их в уравнение B), получим частное

352 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
решение, соответствующее данным начальным условиям, в виде
x = x(t, t0, х0, v0). D)
Уравнение D) и дает искомый закон движения точки.
3. Общие теоремы динамики для прямолинейного движения
точки. В ряде случаев первые интегралы уравнения B) могут быть
получены из теорем об изменении количества движения или кинети-
кинетической энергии (§ 33). Представив уравнение B) в виде
или d(mvx) = Fxdt, E)
получим для прямолинейного движения теорему об изменении количе-
количества движения в дифференциальной форме.
Интегрируя уравнение E) и полагая, что при t = 0 скорость
vx — V{)X, найдем выражение той же теоремы в интегральной (конеч-
(конечной) форме:
mvx — mvOx = Sx< F)
где
t
Sx^jFxdt G)
о
есть проекция импульса равнодействующей приложенных к точке сил
на ось х.
Если сила будет функцией одного только времени, т. е. Fx = Fx (t),
или когда сила постоянна (Fx = const), импульс Sx непосредственно
вычисляется и теорема F) дает первый интеграл уравнения движе-
движения B).
Вторую теорему можно получить, преобразовав первое из уравне-
уравнений E) к аргументу х. Так как
dvx dvx dx
dt dx dt
то дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки
примет вид
Отсюда, так как v2x = v2, получим:
d(^) = Fxdx. (9)
Уравнение (9) выражает для прямолинейного движения теорему
об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме; вели-
величина Fxdx будет в данном случае элементарной работой равнодей-
равнодействующей приложенных к точке сил.

§ 34] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 353
Интегрируя уравнение (9) и полагая, что при х = х0 скорость
v = v0, получим выражение теоремы в интегральной форме
mv2 oti/q
2 2~ ~ м^м'
где
X
А — — \ F dx (\\Л
есть работа действующих сил на перемещении из MQ(x0) в М (х).
В случае, когда сила зависит только от расстояния, т. е.
Fx = Fx (х), или постоянна (Fx = const), работа A1) непосред-
непосредственно вычисляется и теорема A0) дает первый интеграл уравнения
движения B).
Заметим, что если сила постоянного направления зависит только
от расстояния, то она будет потенциальной; в этом случае элемен-
элементарная работа Fx (x) dx = dU (x) и потенциальная функция
U(x)= С Fx (x) dx -f const.
4. Интегрирование уравнения прямолинейного движения в не-
некоторых частных случаях. Покажем, что если сила есть функция
только одного переменного, то дифференциальное уравнение прямо-
прямолинейного движения интегрируется методом разделения переменных.
1) Сила—функция только времени. Пусть
Тогда теорема об изменении количества движения F) сразу дает
первый интеграл:
mvx
— mvOx = j Fx (t) dt,
о
j
о
откуда
t
Интегрируя дальше, получим:
x = j Vox+±f Fx(t)dt
0 L 0 J
2) Сала — функция только расстояния. Пусть
23 Н. Н. Бухгольц

354 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
Тогда по теореме об изменении кинетической энергии будет:
mv2 mvi
или
Из этого уравнения, учитывая, что при прямолинейном движении
vx = ± v, находим:
Знак перед радикалом определяется по знаку vx; разделив перемен-
чые, получим:
dx ,.
Интегрируя это уравнение, получим х как функцию времени, т. е.
закон движения.
3) Сила — функция только скорости. Пусть
Fx = Fx(vx)>
Тогда из уравнения
разделяя переменные, получим:
Интегрируя, будем иметь:
dvx , ,
77Ш = *-*0'
ИЛИ
A2)
Если из этого уравнения можно определить vx как функцию t,
т. е.
W (t)
х — dt
то, интегрируя, найдем:

§341
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
355
Если из уравнения A2) нельзя определить vx как функцию t, то
можно применить другой способ интегрирования. Представляем диф-
дифференциальное уравнение движения в виде (8)
dvv
mvr —г^- = ¦
* dx
разделяя переменные, будем-иметь:
¦ = dx,
откуда, интегрируя, получим:
Исключая из уравнений A2) и A3) vx, найдем зависимость х от t:
* = /(/).
т. е. искомый закон движения.
Из изложенного видно, что, когда сила зависит только от вре-
времени t или только от расстояния х, для решения задач можно пользо-
пользоваться первыми интегралами, которые в этих случаях дают соответ-
соответственно теоремы об изменении количества движения и кинетической
энергии точки. Примеры таких решений рассмот-
рассмотрены в § 33 (п. 1 и п. 8). Если же сила зависит
от скорости движения, то общие теоремы первых
интегралов не дают, и для решения соответст-
соответствующей задачи необходимо непосредственно инте-
интегрировать дифференциальное уравнение движения.
Пример такого случая мы сейчас рассмотрим.
б. Движение в сопротивляющейся среде.
Пусть в воздухе падает вертикально некоторое
тело. На тело будут действовать сила тяжести mg
и сила сопротивления воздуха R (рис. 329).
Если ось х направим вертикально вниз и
будем рассматривать тело как материальную точ-
точку, то уравнение его движения, так как при па-
падении все время vx = v, будет ]):
m—rr — mg — R. A4)
dt ° сс
Закон сопротивления среды довольно сложен, Рис. 329.
так как сопротивление среды зависит от формы
и размеров движущегося тела, от свойств самой среды и от ско-
скорости тела относительно среды. Найдено, что при малых скоростях
О
ее
к
Л
)
ту
W///////A
') Как будет показано в динамике системы, уравнение A4) описывает
движение центра тяжести тела.
23*

356
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. VI
(до 0,1 м/сек) сопротивление среды можно считать пропорциональ-
пропорциональным первой степени скорости; при дозвуковых скоростях (примерно
до 240 м/сек) сопротивление будет пропорционально второй сте-
степени скорости. При бблыних (околозвуковых и сверхзвуковых)
скоростях зависимость сопротивления среды от скорости имеет более
сложный характер.
В аэродинамике принято считать:
1
A5)
где р — плотность воздуха; S — площадь так называемого миделевого
сечения тела (от английского middle—середина), т. е. площадь проек-
проекции тела на плоскость, перпендикулярную к направлению его ско-
скорости (рис. 330); для шара, например, S будет площадь большого
круга; сх — безразмерный коэффициент сопро-
сопротивления, зависящий от формы тела. При упо-
упоминавшихся выше дозвуковых скоростях вели-
величину сх можно считать постоянной.
Будем в дальнейшем рассматривать случай
падения тела без начальной скорости (г;0 = 0).
Установим сначала одно свойство такого дви-
движения, справедливое при любом виде зависи-
зависимости Rip)- Представим силу сопротивления
в виде
Рис. 330. R — mgf(v), A6)
где / (у) есть сила сопротивления, отнесенная к весу тела. Тогда
уравнение A4) примет вид
dv
¦ mgf (v)
A7)
или, после сокращения на т,
dv _
~dt~
A70
По данным опыта функция f(v) обладает в рассматриваемом слу-
случае следующими свойствами: при v — 0 (когда тело относительно
среды покоится) /@) = 0; с увеличением ю величина f (у) возрастает
до известного предела; предельное значение f(v) равно единице, так
как мы не считаем возможным, чтобы сила сопротивления R, дей-
действующая на падающее без начальной скорости тело, стала больше
силы тяжести mg (см. рис. 329). То значение скорости v, при кото-
котором /(г»)=1. будем называть предельной скоростью г>пр.
Таким образом, тело, падающее в воздухе (или вообще в сопроти-
сопротивляющейся среде) без начальной скорости, лвижется ускоренно, но

S 34J ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 357
притом так, что скорость его не может стать больше некоторой вели-
величины vnp. Значение vnp определяется из условия
R или /(wnp) = l.
Разделим в уравнении A7') переменные и проинтегрируем его,
полагая, что при ? —0 скорость v — О. Тогда получим:
dv
При v = vnp будет f(vnp)—l и подынтегральная функция обра-
обратится в бесконечность. Если интеграл при этом расходится, то ско-
скорость v будет равна vnp при t = оо, т. е. скорость падения будет
стремиться к своему предельному значению асимптотически. Практи-
Практически, как показывает опыт, приближение к предельной скорости
происходит довольно быстро, если только коэффициент сопротивле-
сопротивления не слишком мал.
Рассмотрим теперь конкретный случай, когда сила сопротивления
пропорциональна квадрату скорости, и положим
A8)
Тогда из уравнения A7'), разделяя переменные, получим;
dv
и, интегрируя, найдем:
1 , l+fcv
Так как по начальным условиям при ? = 0 скорость © = 0, то
и мы будем иметь:
или
l + kv _ e2kgt
Определяя из этого уравнения v, получим:
V - к ^ + i - к
или
B0')

358 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
Так как th(oo)=l, что непосредственно видно из равенства B0),
если представить его в виде
то, следовательно, при ?-»оо скорость v стремится к предельному
значению 1/й, т. е.
<>nP = i- B1)
Этот результат следует и из предыдущих общих рассуждений,
так как соотношение / (vnp) = 1, определяющее предельную скорость,
дает в данном случае, согласно равенству A8), &V = 1.
Выразим г»пр через коэффициенты формулы A5), считая в ней р
и сх постоянными, что будет иметь место, когда высота падения не
очень велика, а скорость не близка к звуковой. В нашем случае
/ (v) — k2v2. Подставляя это значение в формулу A6) и приравнивая
ее правую часть правой части равенства A5), найдем соответствую-
соответствующее значение k и получим, что
Таким образом, предельная скорость растет с увеличением веса
тела и с уменьшением коэффициента сопротивления, плотности среды
и площади миделя.
Скорость приближается к своему предельному значению асимпто-
асимптотически. Однако можно считать, что, начиная с некоторого момента,
когда, например, г> = 0,99г;Пр (т. е. когда скорость отличается от
предельной менее чем на 1%), тело практически движется равно-
равномерно со скоростью v — vap.
Этот момент tx найдем из равенства A9), полагая в нем v/vnp=:
= fc-y = 0,99; получим:
1 1 _|_ 0,99 vnn vnD
1^11992-65^- <23>
Следовательно, время tx тем меньше, чем меньше vnp.
Найдем теперь закон движения падающего тела. Из равенства B0')
имеем:
откуда
1 sh (kgt)
ах~ k ch (kgt) aU

$ 35] ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ 359
Интегрируя это уравнение и принимая во внимание, что по на-
начальным условиям при ?=0 координата х = 0, найдем окончательно:
~
B4)
Примеры. 1. Пусть два однородных шара одинакового диаметра, но
разной плотности падают свободно в воздухе. Найдем отношение их пре-
предельных скоростей. Для рассматриваемых шаров величины сх и S одина-
одинаковы, а массы /И[ и т2 разные; одной и той же будет и плотность воздуха р.
Тогда формула B2) дает:
np
где (i, и (*2 — плотности шаров. Таким образом, предельные скорости двух
геометрически равных однородных шаров прямо пропорциональны корням
квадратным из их плотностей. Этот результат был впервые получен
Мариоттом.
2. Найдем предельную скорость падения парашютиста при затяжном
прыжке и с открытым парашютом, полагая вес парашютиста Р = mg = 75 кГ,
1 кГеек2
а плотность воздуха р = -g- j—.
При затяжном прыжке можно считать для парашютиста сх = 1,0 и
5 = 0,4 м2, тогда по формуле B2) получим fnpw 55 м/сек. Из равенства B3)
найдем, что tl x 15 сек, т. е. уже через 15 сек скорость падения (при
t»0 = 0) отличается от предельной на 1%.
При падении с открытым парашютом, примем для него сх = 1,4, S == 36 м2.
Тогда соответственно получим vnp = 5 м/сек и tl m 1,4, сек, т. е. если пара-
парашют раскрывается сразу, то примерно через 1,5 сек i/=0,99i/np.
§ 35. Прямолинейные колебания точки
1. Свободные колебания точки при отсутствии сопротивления
(гармонические колебания). Рассмотрим прямолинейное движение
точки с массой т под действием центральной силы F = —cr, на-
направленной к неподвижному цент-
центру О (рис. 331)и пропорциональ-
пропорциональной расстоянию от этого центра
(квазиупругая сила). К таким си-
силам относятся, например, упругие
силы, подчиняющиеся закону Гука.
Силу F называют еще восстанавливающей силой, так как она стре-
стремится вернуть точку в равновесное положение О, где /7 = 0, т. е.
восстановить равновесие.
Если начальная скорость точки М равна нулю или направлена
вдоль линии ОМ, то, как было установлено в § 34, движение под
действием центральной силы F, будет прямолинейным. Покажем, что
это движение представляет собой простое гармоническое колебание.

360 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
Направим вдоль ОМ координатную ось х (см. рис. 331). Тогда
Fx = — cx, A)
где с — постоянный коэффициент (для пружины этот коэффициент
называется коэффициентом жесткости; он численно равен силе, которая
удлиняет пружину на 1 см). Составляя дифференциальное уравнение
движения точки, получим:
—сх.
Отсюда, деля обе части на т и полагая
с и<1 /п\
будем иметь:
x-\-k2x = Q. C)
Уравнение C) есть дифференциальное уравнение простого гармо-
гармонического колебания. Его общее решение, как известно, имеет вид
х = с^' -f- c2e^', D)
где Х1 и Х2 суть корни характеристического уравнения. Чтобы со-
составить характеристическое уравнение, делаем в уравнении C) под-
подстановку
х = е«.
Тогда х — №еи и мы получим:
откуда находим характеристическое уравнение
А,2 + ?2 = 0.
Решая его, получаем:
Я.1 = -\- ik, А/2 = — ik.
Подставляя значения A,x и Я,2 в общев решение D), будем иметь:
или, так как
ет = cos {kt) + / sin (йО, e-/w = cos (ftf) — / sin (ft^).
найдем, что
A\ 2) cos
Полагая здесь

§35]
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ
361
получим общее решение в виде
х = A cos (kf) + В sin (АО.
где А и 5 суть постоянные интегрирования.
Введем новые постоянные а и а, полагая:
E)
Тогда получим:
или
А = a sin a, В = a cos а.
д; = а [sin а cos (kf) -j- cos a sin {kf)]
x =
F)
Уравнение F) есть также общее решение дифференциального
уравнения C), но в другой форме. Постоянными интегрирования
здесь являются а и а. Решение F) показывает, что точка движется
по закону синуса (или косинуса). Такое движение носит название
Рис. 332.
простого гармонического колебания; график его показан на
рис. 332. Скорость точки в этом движении будет:
о = х — ak cos (kt -\- a).
G)
Поскольку |sin(yW + a)|-^ 1, то постоянная а определяет наи-
наибольшее отклонение точки от центра колебаний О; ее называют
амплитудой колебаний. Величина kt-\-a, определяющая, как видно
из F) и G), положение и скорость точки в данный момент времени,
называется фазой колебаний; следовательно, постоянная а есть
начальная фаза.
Из уравнения F) видно, что движение является периодическим.
Периодом колебаний называется промежуток времени Т, в течение
которого точка совершает одно полное колебание. Так как через

362 динамика точки [гл vr
период, т. е. в момент t-\~T, точка должна прийти в то же поло-
положение х и иметь ту же скорость vx, что и в момент t, то вели-
величина Т найдется из условий:
s\n[k (t + T)-\- а] = sin (ft* + <*)• cos [k (t + Т)-\-а] = cos (kt + а).
Наименьшее значение Т, при котором выполняются эти условия,
определяется равенством кТ = 2л, откуда период
Т = Ц-. (8)
Величина v, обратная периоду, определяет число колебаний, со-
совершаемых за одну секунду; ее называют частотой колебаний:
v=4 = A. (9)
Величина k, пропорциональная v, носит название круговой или соб-
собственной (а также циклической) частоты. Важно отметить, что частота
и период колебаний от начальных условий не зависят.
Постоянные а и а определяются из начальных условий. Пусть
при t= О
x = x0,
A0)
тогда, подставляя эти значения в равенства F) и G), получим:
хо = asina, v0— akcosa,
откуда, возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая,
а затем деля их почленно друг на друга, найдем:
Таким образом, амплитуда и начальная фаза колебаний зависят
от начальных условий. Из равенств A1) видно, что если начальная
скорость равна нулю (t>0 = 0), то амплитуда равна начальному рас-
расстоянию д:0, а a = " и закон движения точки будет:
x = acoskt. A2)
Если же v0 Ф 0, то амплитуда будет больше д:0.
Часто общее решение уравнения C) берут в форме E):
х — A cos (kt) + В sin (fit).
Тогда
х — k (— A sin kt -j- В cos kt).

35]
прямолинейные колебания точки
363
Подставляя в эти равенства начальные данные A0), получим xQ = А,
vQ = Bk, откуда
Окончательно закон движения будет иметь следующий вид:
x = x0coskt-+-¦??¦ sinkt.
A3)
При vo~Q получаем ранее найденный закон A2). Если же д:0 = 0,
то будем иметь:
x — -?g-s\n(kt + a). A4)
Такой же результат при д:0 = 0 получим и из равенств F) и A1).
Из полученных результатов следует, что, на какой бы расстоя-
расстоянии х0 от центра колебаний точка ни находилась в момент, когда
ее скорость равна нулю, она придет в этот центр через -j периода.
Движение, обладающее таким свойством, называют таутохронным.
Одновременно, поскольку период Т не зависит от вели-
величины размахов (амплитуды), это движение является изо-
изохронным.
Пример. Висящий на вертикальной пружине груз рас-
растягивает ее на величину 60 (статическое удлинение пружины).
Пренебрегая сопротивлением среды, найдем закон вертикаль-
вертикальных колебаний груза, отклоненного от равновесного положе-
положения на расстояние h и отпущенного без начальной скорости.
Пусть АВ длина ненапряженной пружины; 60 — статиче-
статическое удлинение (рис. 333). Возьмем начало координат в точ-
точке О (положение статического равновесия) и направим ось х
по вертикали вниз. Тогда в произвольном положении на груз
действуют сила тяжести Р = mg и упругая сила F = с | Д/1,
где в нашем случае удлинение пружины Д/ = бо + х Состав-
Составляя дифференциальное уравнение движения груза в проекции
на ось х, получим:
m'x=mg—c (б0 + х).
(а)
Рис. 333.
Но так как в равновесном положении пружина растянута на б0 и ее упругая
сила уравновешивает силу тяжести, то Р = mg = сб0. Тогда, производя
в уравнении (а) соответствующее сокращение и вводя обозначение
m 60
получим дифференциальное уравнение колебаний груза в виде
Отсюда сразу находим, что период колебаний
Т — — — 2п.
(б)
(в)
(г)

864 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
т. е. период колебаний пропорционален корню квадратному из статического
удлинения пружины. Этот результат справедлив и в случае, когда роль
пружины играет упругая балка, если 60 — статический прогиб балки.
Интегрируя уравнение (в), получим:
х = A cos
По начальным условиям при t = 0 х = h, va = 0. Тогда, как мы видели,
А = h, В = 0 и закон движения примет вид
х = h cos kt.
Таким образом, центром колебаний будет равновесное положение О.
Отсюда видно, что действие постоянной силы Р не меняет характер коле-
колебаний, происходящих под действием упругой силы F, а только сме-
смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину б0
(см. ниже, п. 4).
2. Свободные затухающие колебания точки при сопротив-
сопротивлении, пропорциональном скорости. Пусть на точку с массой т,
кроме восстанавливающей си-
р R м лы F = — сг, направленной
Я? * ' ? "^ к центру О, действует сила
1^___ jr м сопротивленияR— — \xv, про-
пропорциональная скорости и на-
Рис. 334. правленная против движения
(рис. 334).
Тогда Fx = —ex, Rx = — \ix и дифференциальное уравнение
движения точки будет:
тх = — сх — цх.
Перенося все члены в левую часть, деля на т и полагая
-?- = ft2, JL = 2ft, A5)
mm K /
получим дифференциальное уравнение свободных затухающих коле-
колебаний в виде
х-+-2Ьх-+-№х = 0. A6)
Это линейное и однородное дифференциальное уравнение, как и
уравнение C), имеет общее решение
x = c1eK>t-+-c2el*t, A7)
где Я, и Х2 — корни характеристического уравнения. Подставляя
в уравнение A6)
х = е«, х = Хвм, х =
получим:

§ 35] ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ 365
Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид
0. A8)
Решая его, определим X:
Окончательный вид решения зависит от соотношения между b и к.
а) Пусть b < k. Тогда, обозначив
— b'2 = k1, A9)
будем иметь:
Х1~ — b-{-ikv X2 = ~b~ikl,
и общее решение A7) примет вид
х = <:,*<-»+'*•> < + с/-*-г*>I = e
-bt
Преобразуя выражение в скобках так же, как в п. 1, получим реше-
решение уравнения A6) в одном из следующих двух видов:
B0)
или
x = e-bt asin(ft^H-a), B1)
где А и В или а и a — постоянные интегрирования, определяемые
по начальным условиям.
Из вида уравнения B1) следует, что описываемое им движение
будет колебательным, так как синус есть функция периодическая. Эти
колебания называют затухающими, поскольку благодаря наличию
множителя e~bt размахи колебаний будут со временем убывать, стре-
стремясь к нулю.
Величину
2л
являющуюся периодом тригонометрической части уравнения B1),
называют периодом затухающих колебаний. Сравнивая эту величину
с периодом незатухающих колебаний (8), мы видим, что наличие
сопротивления несколько увеличивает период или уменьшает частоту
колебаний. Если величина b очень мала по сравнению с k, то практи-
практически можно считать k-^^k и ТхтаТ.
Чтобы установить закон затухания размахов колебаний, отметим,
что промежуток времени между двумя последовательными максималь-
максимальными отклонениями колеблющейся точки вправо (или влево) равен
периоду Tv так как моменты tt, когда точка имеет эти наибольшие

366 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
отклонения, определяются из уравнения
х = e~bta [kxcos(kxt-\-a) — bsin (kxt-{-a)\ = О
или
1g(*if + ci)=-T- B3)
Следовательно, если уравнение B3) удовлетворяется в момент tt, то
оно удовлетворяется и в момент fi+l = tt~\-Tv Поэтому величины xt
и х1+1 двух последовательных максимальных отклонений, например,
вправо будут:
= ae-b
Следовательно,
?l±± = e-bTli B4)
¦*»
т. е. полуразмахи колебаний убывают по закону геометрической про-
прогрессии, знаменатель которой е~ьт' называется декрементом колеба-
колебаний. Соответственно вели-
величину
Г, ; ^ = |111е --¦ =vix
1 „„-Л!
называют логарифмическим
декрементом. Графически за-
] t кон затухающего колебания
изображен на рис. 335.
б) Пусть b > k. Тогда, обо-
обозначив
Рис. 335 УЬ2 — k2 = n2, B5)
найдем, что корни характеристического уравнения A8) будут дей-
действительные числа:
Ях = — Ь-\-п, %ъ = — Ь — п,
и общее решение A7) примет вид
х = е~ы (cxent + c2e~nt). B6)
Учитывая, что
еп( = ch (nt) -\- sh (nt), e~nt = ch (nf) — sh (nf),
мы можем получить другую форму общего решения:
х = e~bt [A ch (nt) -f В sh (я*)!. B6')

. 35]
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ
367
где А и В — новые постоянные интегрирования. Уравнения B6) и B6')
указывают, что х будет функцией апериодической, т. е. колебаний
в этом случае не будет.
Так как п < 6, то из уравнения
B6) видно, что х с течением вре-
времени неограниченно убывает, стре-
стремясь к нулю, т. е. точка со време-
временем асимптотически приближается к
притягивающему центру. График этого
движения, который можно построить по
уравнению B6), имеет в зависимости от
величины и знака начального откло-
отклонения д:0 и начальной скорости v0 фор-
форму одной из кривых, изображенных на
рис. 336 (или им симметричных отно-
относительно оси абсцисс).
в) В случае, когда b = k, корни
характеристического уравнения A8)
будут Х1 — Х2 = — Ь и общее решение'
уравнения A6) примет вид
6)
Так как е~ы убывает быстрее, чем Рис. 336
растет t, то картина движения в этом
случае будет качественно такой же, как показанная на рис. 336.
Движение будет неколебательным (апериодическим) затухающим.
3. Вынужденные колебания точки. Резонанс. Колебания ма-
материальной точки называются вынужденными, если на точку, кроме
направленной к центру О восстанавливающей силы, действует не-
некоторая изменяющаяся со временем сила Q(t), называемая возмуща-
возмущающей. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда возмущающая
сила является гармонической, т. е. из-
изменяется по закону q M
B7)
Q
Рис 337.
Исследуем сначала вынужденные
колебания точки при отсутетвии со-
сопротивления. Пусть на точку М массы т (рис. 337) действуют
восстанавливающая сила F = — сг и гармоническая возмущающая
сила B7). Тогда дифференциальное уравнение движения точки, если
считать QOx = Qo, будет
тх = — сх -\~ Qo sin (pf).

368 ДИНАМИКА ТОЧКИ 1ГЛ. VI
Деля обе его части на яг и полагая
получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки
при отсутствии сопротивления в виде
x-+-k2x=P sin (pt). B8)
Уравнение B8) есть неоднородное линейное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами. Как известно, общее реше-
решение такого уравнения равно сумме какого-либо частного решения
этого уравнения и общего решения соответствующего однород-
однородного уравнения. Будем искать частное решение уравнения B8) в
виде
l = Asm{pt). B9)
Для определения А подставляем в уравнение B8) вместо х выраже-
выражение |; получим тождество
Л (ft2 — j»2) sin (j»0 = Я sin (j»0- C0)
Отсюда, полагая, что рфк, найдем:
Следовательно, частное решение уравнения B8) будет:
6
Соответствующее уравнению B8) однородное уравнение
x-\-k2x = 0
имеет общее решение
х = a sin (ft/-f-а),
поэтому общее решение уравнения B8) будет:
x = asin(kt-\-a)+ P 2stn(pf), C2)
к р
где а и а суть произвольные постоянные, определяемые начальными
условиями.
Из уравнения C2) следует, что при действии возмущающей силы
точка совершает сложное колебание, которое является результатом
суперпозиции (наложения) двух колебаний: собственных колебаний
с частотой k и вынужденных колебаний с частотой /?, равной частоте
возмущающей силы. Заметим, что амплитуда вынужденных колебаний

§35]
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ
369
-ri т (в отличие от амплитуды а собственных колебаний) от на-
R —р
чальных условий не зависит. С увеличением частоты возмущающей
силы р амплитуда вынужденных колебаний стремится к нулю; следова-
следовательно, действие возмущающей силы, частота которой очень велика по
сравнению с частотой собственных колебаний, почти не нарушает
режима собственных колебаний.
Если частота возмущающей силы
равна частоте собственных колебаний,
т. е. если p = k, то, как видно из C0),
частного решения вида B9) у уравне-
уравнения B8) не существует. Рассмотрим
тогда другое частное решение
о . О
которое получается из общего решения
C2) при значении произвольных по-
постоянных:
Р
При р — k это частное решение обращается в неопределенность
0
вида -jr, раскрывая которую, получим:
-^ [sin (pt)-sin (At)]
P=k
Следовательно, общее решение уравнения B8) при p = k будет:
Pt
х = — -яг- cos (kt)-\- a sin (kt + а).
2k
C3)
Отсюда видно, что в том случае, когда частота возмущающей
силы делается равной частоте собственных колебаний, амплитуда
вынужденных колебаний будет с течением времени неограниченно
возрастать. Такое явление носит название резонанса и играет боль-
большую роль в акустике, радиотехнике и при динамическом расчете
сооружений. Картина вынужденных колебаний при резонансе пока-
показана на рис. 338.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания точки при сопроти-
сопротивлении, пропорциональном скорости. Пусть действующие на точку М
с массой т восстанавливающая сила F, сила сопротивления среды R
и возмущающая сила Q (рис. 339) соответственно равны: F = — сг,
24 Н. Н. Бухгольц

370 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
R = — [iv и Q—Qosinpt, Тогда дифференциальное уравнение дви-
движения точки в проекции на ось Ох будет:
т'х = — сх — [ix + Qo sin (pt).
Деля обе его части на т, получим дифференциальное уравнение выну-
вынужденных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости,
в виде
* ¦, ¦ д 2— -х х + 2b'x+ k2x = P sin (pt), C4)
где
Рис. 339, с и О
Уравнение C4) есть неоднородное линейное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Как изве-
известно, общее решение этого уравнения будет:
где X есть общее решение уравнения без правой части, а | — какое-
-либо частное решение всего уравнения.
Общее решение уравнения
мы нашли выше, рассматривая затухающие колебания. В случае, когда
k~> b, оно имеет вид B1)
где а и а — произвольные постоянные, a
Будем искать частное решение уравнения C4) в виде
Значения Лир найдем, подставляя \ в уравнение C4). Для этого
вычислим первую и вторую производные | по времени, полагая для
сокращения записи pt — р = 0; получим:
| = Ар cos 0; | = — /l
Подставляя это вместе со значением \ в уравнение C4), будем иметь:
— Ар2 sin 0 + 2bАр cos 0 + k2A sin 0 = P sin @ -f- p),
или
— Ар2 sin 9 -f 2Л6/> cos 6 -(- Л/г2 sin 0 = P (sin 0 cos p + cos 6 sin p).

<§ 35] ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ 371
В этом уравнении левая и правая части тождественно равны
друг другу; следовательно, коэффициенты при переменных cos9
и sinG должны быть одинаковы, т. е.
A(k2,— /?2) =
Возводя оба эти равенства в квадрат и складывая их почленно,
получим:
2 2
откуда
А — Р . C6)
V(k2 ру + 4р2*2
Далее, деля почленно второе из полученных равенств на первое,
найдем:
*Р = -р^Г' C7)
или
P = arctg(-^_). C7')
Следовательно,
Р in(nf — В), C8)
а общее решение уравнения C4) будет:
« in(^-p)l C9)
где а и а — произвольные постоянные, определяемые по начальным
данным.
Решение C9) показывает, что при одновременном воздействии на
точку восстанавливающей и возмущающей сил точка совершает слож-
сложное колебательное движение. Первый член правой части уравнения C9)
выражает собой собственные колебания точки, а второй член опре-
определяет так называемые вынужденные колебания, т. е. колебания
точки под действием возмущающей силы.
Если сопротивление среды отсутствует, то Ь — 0 и колебания,
как было найдено ранее, совершаются по закону
х = asin (kt-\-а)-+-^~^ sin (pt). C9')
Частота собственных колебаний равна kx или k [формулы A9)
и B)] в зависимости от наличия или отсутствия сопротивления; ампли-
амплитуда а и начальная фаза а этих колебаний зависят от начальных
условий. При наличии сопротивления собственные колебания будут
24*

372 динамика точки [гл vr
затухающими, так как множитель e~bi со временем уменьшается,
стремясь к нулю. Поэтому практически (так как наличие сопротивлений
неизбежно) можно считать, что по истечении некоторого промежутка
времени, называемого периодом установления, точка будет совершать
только вынужденные колебания.
Частота вынужденных колебаний равна частоте р гармонической
возмущающей силы (эта сила как бы «навязывает» системе свою ча-
частоту колебаний).
Вынужденные колебания являются незатухающими; их амплитуда А,
а также величина р, характеризующая сдвиг фазы вынужденных коле-
колебаний по отношению к фазе возмущающей силы, от начальных усло-
условий не зависят и определяются равенствами C6) и C7).
Разделим в правых частях равенств C6) и C7) числитель и зна-
знаменатель на к2 и введем обозначения
4 = *.. А = а. -?—% = A, D0)
Величина Ао есть так называемое «статическое отклонение»; она
определяет, на каком расстоянии от притягивающего центра О точка
будет находиться в равновесии под действием восстанавливающей силы
Fx = — с* и постоянной силы QX = QO (при равновесии cxpuB = Q0,
т. е. храв = -^- =
Тогда формулы C6) и C7) примут вид
~ /A Х2J + 4Л2Х2 ' *¦ '
T^ D2>
Отсюда видно, что амплитуда А вынужденных колебаний и сдвиг
фаз р зависят от двух безразмерных параметров X и h, где А, есть
отношение частоты возмущающей силы к частоте собственных коле-
колебаний, а А— величина, пропорциональная коэффициенту сопротивле-
сопротивления |i.
Исследуем, как будет изменяться амплитуда вынужденных колеба-
колебаний в зависимости от изменения X и ft. Для этого рассмотрим под-
подкоренное выражение
При Я = 0 будет / @) = 1 и А = Ао независимо от значения А. Далее,
вычисляя производную f {%), будем иметь:
/' (Я,) = 4Я [Я2 — A — 2й2)]. D 3)
Пусть сопротивление не очень велико и 2h2<^l. Тогда при воз-
возрастании X от нуля для малых Я будет /' (к) < 0; следовательно,

i 35]
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ
373-
знаменатель выражения D1) убывает, а амплитуда А растет. Прирав-
Приравнивая правую часть выражения D3) нулю, найдем, что при Хх = О
и Х2 = \Л — 2/г2 (значения X < 0 мы не рассматриваем) функция / (Я)
имеет экстремум. По знаку второй производной легко проверить,
что когда 2ft2 < 1, то / (Яг) =/max- a f(X2) — fml0. Следовательно,
при Я = 0 амплитуда Л имеет минимум (А — А^), а при
= У1 — 2h2
D4)
амплитуда А имеет максимум, т. е. при Я = А2 наступает резонанс.
Из равенства D4) видно, что значение Я, при котором имеет
место резонанс, чем меньше отличается от единицы, чем меньше ft.
В случаях, когда Л очень мало (что обычно имеет место на прак-
практике), можно считать Я2=1, т. е. что резонанс наступает тогда,
когда частота возмущающей
силы равна частоте собст-
собственных колебаний {p^k).
Когда h > V т0 с Уве"
личением Я амплитуда А
убывает, стремясь к нулю
при Я->оо. Таким образом,
если частота возмущающей
силы будет очень велика по
сравнению с частотой соб-
собственный колебаний (p~^>k),
то амплитуда вынужденных
колебаний будет близка к
нулю.
Что касается зависимости
А от h, то, как видно из 0,5 10 1,5
D1), величина А при дан-
данном к будет тем меньше,
чем больше ft. Вид зави-
зависимости Л (Я) при разных h, даваемый формулой D1), показан на
рис. 340. Кривая h — 0 соответствует случаю отсутствия сопротивле-
сопротивления. При этом надо иметь в виду, что когда ft = 0 и p—k, фор-
формула D1) утрачивает смысл, а закон колебаний определяется уравне-
уравнением C3), из которого следует, что, когда й = 0, амплитуда выну-
вынужденных колебаний при резонансе будет со временем неограниченно
возрастать.
Характер зависимости сдвига фаз р от Я и ft, даваемой равен-
равенством D2), представлен на рис. 341. Как видно из формулы D2),
при % = 0 будет Э = 0; при X = 1, т. е. при резонансе, tg p = со и
p = i; при Я> 1 tgp<0, a P> х и, когда к стремится к беско-

-374
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ VI
нечности, р стремится к я. Следовательно, при малых А фазы выну-
вынужденных колебаний и возмущающей силы примерно совпадают, при
резонансе эти фазы сдвинуты на 90°, а при больших значениях А
сдвиг фаз приближается к 180°. Если
сопротивление отсутствует (Л — 0), то
при любом А < 1 р = 0, при А = 1
р = 90° и при любом Х>1 р —180°.
Теория вынужденных колебаний
имеет много важных приложений в раз-
разных областях физики и техники (акус-
(акустика, радиотехника, сейсмография, про-
проблема виброзащиты различных соору-
сооружений и др.). При этом широко
используется явление резонанса, позво-
позволяющее даже при малой величине воз-
возмущающей силы (т. е. когда Qo мало)
получить интенсивные вынужденные ко-
колебания за счет совпадения частот р
и k, а также другое важное свойство
этих колебаний, позволяющее, наобо-
наоборот, даже при больших значениях возмущающей силы сделать
амплитуду вынужденных колебаний очень малой за счет такого под-
подбора соотношения между частотами
р и k, при котором р много
больше k.
П р и м е р ы. 1. Пусть статический
прогиб балки под действием веса
- и стоящего на ней мотора равен б0. Тог-
да из примера, рассмотренного ранее
(см. стр 363), следует, что период и
частота собственных колебаний балки
(если пренебречь ее массой) будут со-
соответственно
рис 341
rib
Ьа
2lt
Рис 342
Вследствие неизбежного эксцентри-
эксцентриситета вала мотора возникнет напра-
направленная от оси так называемая центробежная сила Qo, проекция которой
на ось Ох (рис. 342) будет Qx = Qo sin corf, где со — угловая скорость вра-
вращения вала. Сила Qx и будет действующей на балку возмущающей силой;
частота ее р = со. Следовательно, при р = k, т. е. при
.наступит резонанс. Величина ю,ф называется критической угловой скоростью

i 35]
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ
375
I например, при бо =
в минуту пкр = ¦
см йкр « 31,3 l/сек или критическое число оборотоа
об
:300
об \
мин}'
мин.
Так как наступление резонанса в подобных случаях крайне нежела-
нежелательно, то рабочее число оборотов вала мотора следует подбирать таким,
чтобы оно было значительно больше лкр; тогда будет р ^> k и амплитуда
вынужденных колебаний системы будет близка к нулю.
2. Пренебрегая сопротивлениями, исследуем вынужденные колебания
груза, подвешенного к вертикальной пружине DB, верхний конец D кото-
которой колеблется по закону |_ = aQ sin (pt).
Пусть в начальный момент пружина с вися- 2?0<
щим на ней грузом находится в покое (рис. 343, а)
и пружина при этом имеет статическое удлинение
. Р ^
6
где Р — вес груза, с — коэффициент жесткости
пружины. Будем отсчитывать координату х груза
от равновесного положения Во и направим ось
Вах по вертикали вниз В произвольный момент
времени t (рис. 343, б) пружина получит удлинение
М = Ь0 + х — |д; тогда /^ = — с FQ + л: — |D),
Рх= Р = с60 и дифференциальное уравнение дви-
движения груза будет:
тх
или, полагая — =
т
¦¦ — сх + c%D,
х + кгх = k2aQ sin pt.
Рис 343.
Полученное уравнение, как легко видеть, совпадает с уравнением B8)
или с уравнением C4) при 6 = 0; следовательно, движение груза склады-
•^ л» ГЧ ШЛ Л TI Л Л ^Ч ^^ Л ГЛТ^ r\.4W4W W IP П Т^ Г TTTW
тся из собственных и вынужденных колебаний.
Частота вынужденных колебаний груза равна частоте р колебаний верх-
) конца пружины. Амплитуда колебании и сдвиг фаз при р ф k будут:
_ aa
1--Z
р = О (при р < k), р = it (при р > k).
Следовательно, если р <<^ k (конец D пружины колеблется очень мед-
медленно), то А т аа, а сдвиг фаз р = 0, т. е. груз колеблется почти так, как
если пружина была бы жестким стержнем Если р > k, то с возрастанием
частоты р амплитуда А убывает, при этом сдвиг фаз р=180°, т е. когда
конец D пружины идет вниз, груз поднимается вверх, и наоборот; если
р "^> k, то амплитуда А а 0 и можно практически считать, что груз остается
в покое в положении статического равновесия Ва (частота колебаний конца D
пружины столь велика, что груз не успевает за ними следовать). Наконец,
при р = k наступает резонанс и размахи вынужденных колебаний будут
со временем возрастать, согласно уравнению C3).

376 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
4. Влияние постоянной силы на свободные колебания точки.
Пусть на точку, кроме восстанавливающей силы F~— cr, напра-
направленной к центру О, действует еще постоянная сила Q = const
(рис. 344). Поместим начало координат в положение статического
равновесия Ох и направим вправо координатную ось Оххг. Статиче-
Статическое смещение ООх=Ь0 от притягивающего центра О определится
из равенства с60—Q. Тогда будем иметь Fx = — с{хх-{-Ь0) и
„ Fx + Qx=—c*i — cba-)rQ=—cxl\
следовательно, дифференциальное
уравнение колебаний, если ввести
обозначение B), примет вид
тхх = —схх или х\ + k2xx = 0. D5)
Рис 344. Уравнение D5) в точности совпа-
совпадает с уравнением C), следовательно,
совпадут и законы этих колебаний, с той лишь разницей, что цен-
центром колебаний, описываемых уравнением C), является точка О,
а для колебаний, описываемых уравнением D5), центром колебаний
будет точка Ох (амплитуда и начальная фаза колебаний определяются
в каждом случае своими начальными условиями). При другом напра-
направлении силы Q центр Ох будет левее точки О.
Таким образом, влияние постоянной силы Q на свободные колеба-
колебания точки сводится к тому, что центр колебаний смещается в сто-
сторону действия силы на величину
Частота, а следовательно, и период колебаний при этом не изме-
изменяются.
б. Затухающие колебания при постоянном трении. Рассмотрим
часто встречающийся на практике случай колебаний точки под дей-
действием восстанавливающей (упругой) силы Fx^= — сх и направлен-
направленной против движения постоянной силы трения fN, где / — динами-
динамический коэффициент трения, JV—нормальное давление. Примером
могут служить колебания груза, прикрепленного к горизонтальной
пружине и скользящего вдоль шероховатой горизонтальной плоскости.
Пусть в начальный момент точка находится в положении Мо на
расстоянии а0 от притягивающего центра О (конца ненапряженной
пружины) и начинает движение без начальной скорости (рис. 345, а).
Во все время движения точки до крайнего левого положения Мх на
нее, кроме упругой силы, действует постоянная сила fN, направлен-
направленная вправо. Следовательно, согласно результатам п. 4, движение
точки на отрезке МОМХ будет гармоническим колебанием около

§ 35{ ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ 377
центра Ох, который, согласно равенству D6), смещен от центра О
вправо на величину
«ь=~ <47>
Частота этого колебания определяется формулой B).
Вычислим расстояние ОМХ = ах от притягивающего центра О до
крайнего левого положения, куда придет точка в конце первого раз-
размаха колебаний. Так как цен-
центром этого колебания являет- М, 0 0, м Мо
ся Ох, то ОхМй = ОхМх или ] ~Л<Г I" " ~ 'Х
«о — 60 = а1 + 60, откуда j ~*| .'
ах — а0—2Ь0. ' а)
Из положения Мх точка />f/ ,. У , ft f *\г
начинает двигаться вправо fNCJL~\ <Оj x
(рис. 345, б). При этом, кроме L а
восстанавливающей силы, на ' .
нее действует постоянная сила '
трения /Л/, которая теперь бу- Рис. 345.
дет направлена влево. Следо-
Следовательно, движение иа отрезке МХМ2 будет гармоническим колеба-
колебанием с той же частотой k, но около центра О2> смещенного влево
на расстояние ОО2 = 60. Тогда О2МХ — О2М2 или ах — 6О—#2 + ^0'
откуда а2=а1 — 260. Следовательно, к концу второго размаха точка
придет в положение М2, находящееся от притягивающего центра О
на расстоянии
ач = «1 — 2&о = ао — 2 • 260.
Продолжая аналогичные расчеты, найдем, что к концу /t-го коле-
колебания точка будет находиться от притягивающего центра О на рас-
расстоянии
D8)
(справа при п четном и слева при п нечетном).
Таким образом, при действии постоянной силы трения колебания
точки будут затухающими. Размахи этих колебаний, как видно из
равенства D8), будут убывать по закону арифметической прогрессии
с разностью 260 (в отличие от затухания при сопротивлении, про-
пропорциональном скорости, где размахи убывают по геометрической
прогрессии). Частота же рассматриваемых затухающих колебаний со-
совпадает с частотой собственных колебаний k.
Колебания прекратятся, как только остановка точки, т. е. положе-
положение Мп, придется в так называемой «мертвой зоне», т. е. в зоне, где
восстанавливающая сила — сх будет численно меньше статической
силы трения /,//. Границы ± h этой зоны находятся из равенства

378 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
?h — fuN (так как вообще /0^/, то ft Ф 60); следовательно,
Й = -М-. D9)
Число s размахов, которые точка проделает до остановки, най-
найдется из условия as_l > ft, as < А или а0 — 2E—1N0>Л,
aQ — 2s60 < h, откуда
E0)
Графически закон этих колебаний показан на рис. 346, где ab, be,
cd, . .. представляют собой отрезки синусоид, определяющих закон
движения на каждом размахе.
¦z i
Рис 346.
Пример. Пусть груз весом Р = 2 кГ, прикрепленный к пружине
¦с жесткостью с = 1 кГ/см, совершает колебания на горизонтальной пло-
плоскости, причем динамический и статический коэффициенты трения груза
о плоскость соответственно равны / = 0,15 и /о = О,18, а начальное откло-
отклонение аа = 8 см. Тогда N = Р, 6а = 0,3 см, h0 = 0,36 см и неравенство E0)
дает 13,7 !> s ;> 12,7. Следовательно, груз совершит до остановки 13 колеба-
колебаний. Размахи колебаний убывают каждый раз на 2б0 = 0,6 см. Таким обра-
образом, к концу 13-го колебания (нечетного) д13 = 0,2 см и груз остановится
слева от центра О, т. е. в положении, когда пружина будет сжата на 0,2 см.
Частота этих колебаний k « 2,2 l/сек, а период Т « 2,9 сек.
§ 36. Движение свободной материальной точки
в однородном поле тяжести
1. Уравнения движения тяжелой материальной точки в без-
безвоздушном пространстве. Пусть материальная точка движется в одно-
однородном поле тяжести под действием одной только силы тяжести tng
постоянной по численной величине и направлению. Найдем уравнения»

i 36]
ДВИЖЕНИЕ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
379'
движения точки в декартовой системе координат, считая ось z напра-
направленной параллельно силе по вертикали вверх (см. рис 347). Диф-
Дифференциальные уравнения движения имеют вид
тх =>0,
ту — О,
tnz = — mg.
Интегрируя уравнения A), получим три первых интеграла:
у=с2,
Интегрируя еще раз, найдем общее решение
У = c2t + с5,
Полученные уравнения дают в зависимости от значений произ-
произвольных постоянных с,, с2 с6 целый класс движений. В каждом
конкретном случае эти постоянные можно определить, зная начальные
условия, и найти, таким образом, закон соответствующего движения.
Рассмотрим два частных случая движения тяжелой материальной
точки в безвоздушном пространстве при различных начальных
условиях.
2. Движение тяжелой материальной точки, брошенной верти-
вертикально вверх. Пусть точка в начальный момент находится в начале
координат и имеет скорость я0, направленную вертикально вверх.
Этому предположению соответствуют начальные условия:
при t = О
х = у = z = 0,
х — у — 0, z
Подставляя эти начальные данные в уравнения B) и C), определим,
произвольные постоянные:
сг = с2 = 0,
с3 = v0,

380 ДИНАМИКА ТОЧКИ
и будем иметь для этого случая закон движения:
[ГЛ VI
т. е. движение будет прямолинейным; оно будет равномерно замед-
замедленным до момента, когда скорость z = v0— gt обратится в нуль,
а затем—равномерно ускоренным.
3. Движение тяжелой материальной точки, брошенной под
углом к горизонту. Пусть точка в начальный момент находится
в начале координат и имеет скорость <о0, лежащую в плоскости Oxz
и направленную под углом а к горизонту (рис. 347). В этом случае
начальные условия будут:
при t — 0
¦ 0, z = vosina.
л; = гH cos а, у-
Подставляя эти начальные данные в уравнения B) и C), найдем для
постоянных интегрирования значения;
Следовательно, закон движения точки опре-
определяется уравнениями:
х = vot cos a,
z = vot sina — -77 gf.
E)
Из этих уравнений видно, что траекторией точки будет некоторая
кривая, лежащая в плоскости Oxz. Независимо от уравнений E),
это заключение вытекает непосредственно из того, что направление
силы, действующей на точку, постоянно.
Найдем уравнение этой траектории в непараметрической форме.
Для этого исключим t из уравнений E). Из первого уравнения
получим:
t_ х
Vo COS tt '
подставляя это выражение в последнее уравнение, найдем:
F)
2i/q cos2 a

•§ 361
ДВИЖЕНИЕ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
381
Как видим, траекторией является парабола с осью, параллельной оси z,
проходящая через начало координат. Угол а, который образует
начальная скорость с горизонтальной плоскостью, называется углом
бросания.
Исследуем некоторые свойства рассматриваемого движения.
а) Найдем горизонтальную дальность полета, т. е. отрезок ОА
(рис. 348). Для этого определим точки пересечения траектории F)
с осью Ох. Полагая z = 0, получим:
=0.
Отсюда найдем две точки пересечения: д:х = i
нат, и
х2 — О А =
a ¦ cos2 a
, т. е. начало коорди-
; sin 2a
g
G)
Это и будет искомая горизонтальная дальность.
Очевидно, что при данной начальной скорости v0 она будет наи-
наибольшей, когда
sin 2а = 1,
т. е. при а = -^-. Заметим, что при угле бросания а = 45° точка
будет иметь наибольшую горизонтальную дальность в безвоздушном
пространстве; в воздухе этот угол г
будет несколько меньше.
Так как
sin 2а = sin (я — 2а),
то, положив я—2а —2{$, найдем,
что для угла Р = -^ — а
sin 2а = sin 2E,
откуда видно, что при углах
сания а и р —90° — а горизонталь-
горизонтальная дальность будет одинакова (см. рис. 348). Говоря иначе, гори-
горизонтальная дальность будет одинакова независимо от того, направим
мы начальную скорость под углом а к горизонту или к вертикали
(настильная и навесная траектории).
/ б) Найдем теперь максимальную высоту подъема точки при дан-
данном угле бросания а; для этого нужно найти максимум z, т. е. при-
приравнять нулю производную —г-. Используя уравнение F), получим:
dx
= 0,

382 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
откуда следует, что tz будет иметь максимум при
хо =
v% tg a cos2a Vq sin a cos a
g g
(что z имеет максимум, видно по знаку —гт)' Подставив это значе-
значение х0 в уравнение F), найдем:
VQSinacosatga gv^ sin2 a cos2 a
g 2g-2fQ cos2 a
или, после упрощений,
H r== z~a- == "к—sin"ct. (8)
* 2g
Отсюда видно, что при данной начальной скорости v0 наибольшая
высота подъема будет, когда а = -^- т> е- когда начальная скорость
направлена вертикально вверх; в этом случае
v2
в) Найдем, наконец, время движения Т из точки О в точку А.
Подставляя в первое из уравнений E) вместо х величину горизон-
горизонтальной дальности х2, определяемую равенством G), получим, что
Т = -^ sin a. (9)
4. Парабола безопасности. Из предыдущего видно, что для
различных углов бросания при одной и той же начальной скорости
мы будем иметь траектории движения точек в виде парабол, лежащих
в плоскости Oxz, причем для предельных парабол
х =? 2 =?
Лтах „ • •'¦щах 2g '
Если построить огибающую семейства парабол F), то мы получим
некоторую кривую, которая ограничит ту часть плоскости, куда
может попасть точка, если ей сообщена некоторая начальная ско-
скорость v0, под каким бы углом к горизонту последняя ни была на-
направлена. Найдем уравнение этой кривой.
Для нахождения огибающей семейства кривых z — f(x, а) нужно
исключить параметр а из уравнений
*=/(*, а) и ¦!?-=:/'(л, а) = 0.

137)
ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
383
Для удобства мы примем в уравнении F) за переменный параметр
не угол a, a p = tga; тогда, заметив, что
1 sec2a=l+tg2a=l-+-p2,
cos2 a
мы получим уравнение F) в виде
2vi
Присоединим к нему уравнение
дг
¦ = X
= 0
A0)
(П)
dp v0
и исключим из уравнений A0) и A1) параметр р. Из уравнения A1)
получаем:
Парабола
Подставляя это значение р Т /Л ^-^безопасности
в равенство A0), после упро-
упрощений найдем искомое урав-
уравнение огибающей в виде
v2 г
z = — ^х2. A2)
Таким образом, оги-
огибающая будет параболой с
осью, параллельной оси z
(рис. 349). Эта парабола
называется параболой безопасности. Легко видеть, что она пройдет
через точки наибольшей дальности и наибольшей высоты подъема.
Действительно, полагая z = 0, получим из уравнения A2)
V7,
g v0 "О
—у = — , откуда д; = — = jcraai,
полагая х — 0, найдем:
§ 37. Движение свободной материальной точки
под действием центральных сил
1. Закон площадей. Если действующая на точку сила является
центральной и начало координат взято в центре, через который про-
проходит линия действия силы, то г X F= 0- Тогда теорема об изменении

384 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
момента количества движения
дает первый интеграл
rXv = c. A)
Отсюда следует, что траектория точки, движущейся под действием
центральной силы, есть плоская кривая, а движение точки происхо-
происходит по закону площадей, т. е. с постоянной секторной скоростью
или, иначе говоря, так, что радиус-вектор точки, проведенный из
центра силы, в любые равные промежутки времени описывает равные
площади (см. § 33, п. 2).
Из равенства A) находим, что закон площадей может быть
выражен уравнением
|гХ*|=2§ = С, B)
da
где —гг есть секторная скорость точки, а с — постоянная, называемая
постоянной площадей.
Значение с определяется начальными данными. Если в начальный
момент г — г0 и и = v0, то
с = | momo (*>0) | == rovo sin (r^v0). C)
Поскольку при движении под действием центральной силы траек-
траектория точки есть плоская кривая, то для изучения движения можно
пользоваться полярными координатами г и ф, что значительно упро-
упрощает все расчеты.
В полярных координатах, как было показано в § 6, п. 6,
da 1 2 ^Ф
~Ж~~2Г ~ЗГ
и уравнение B), выражающее закон площадей, примет вид
"$-«¦ <¦>
2. Скорость материальной точки, движущейся под действием
центральной силы. Известно, что' в полярных координатах г и ср
скорость точки выражается формулой
где
dr d<p ,~.

37]
ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
385
суть соответственно радиальная и трансверсалышя проекции скорости.
Преобразуем выражения F), исключив из них время t с помощью
равенства D). Тогда получим:
dt
Vp — r dt — r '
?_
d(f'
Введем новое переменное
Тогда, учитывая, что
будем иметь
и = —.
du
1 dr
G)
(8)
¦ — с-
du
, = си
и окончательно найдем для скорости точки, движущейся под дей-
действием центральной силы, выражение
3. Дифференциальные уравнения движения точки под дей-
действием центральной силы. Формула Бинэ. Для получения назван-
названных уравнений обратимся к теореме об изменении кинетической энергии
точки. Так как в случае центральной силы
(рис. 350) элементарная работа F-dr — Frdr,
где Fr = F для отталкивающей силы и
/7Г = — F для силы притягивающей [см.
§ 33, формула E1)], то будем иметь:
м
d
или, деля обе части этого равенства па dtp,
т d(v2) р dr
2 dm r dq>
Рис. 350
Заменяя здесь v2 выражением, даваемым равенством A0), найдем:
Отсюда, учитывая, что, согласно равенству (8),
dr у du 1 du
25 Н. U. Бумсшьц

386 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VT
получим:
Сократив обе части на -т— и умножив на и2, найдем окончательно:
Полученное уравнение называют"формулой Бинэ (Binet).
В общем случае в этом уравнении Fr = Fr(r, ф, vr, vp, t) или,
как видно из G) и (9), Fr = Fr(u, ф, —, А. Присоединяя сюда
уравнение D), выражающее закон площадей, которое можно пред-
представить в виде
получим систему двух дифференциальных уравнений A1) и A2), из
которых, зная Fr, можно определить зависимость г и ф от t, т. е.
найти закон движения точки под действием центральной силы.
Особый интерес представляет случай, когда сила F явно не за-
зависит от времени. Тогда уравнение A1), связывающее FT с коорди-
координатами г и ф, будет представлять собой дифференциальное уравнение
траектории точки. Из него можно непосредственно определить, под
действием какой центральной силы точка может описывать данную
траекторию, и, наоборот, найти, какую траекторию точка опишет
под действием данной центральной силы.
Закон движения точки вдоль траектории найдется при этом из
уравнения A2).
Полученные уравнения играют важную роль при изучении движе-
движения в поле тяготения Солнца или планет (небесная механика, дина-
динамика ракет, космонавтика).
4. Движение по окружности. Начнем с рассмотрения простей-
простейшего примера. Найдем закон центральной силы, под действием ко-
которой точка будет двигаться по окружности г = а = const, где а —
радиус окружности. Подставляя это значение г в формулу Бинэ, по-
получим
Следовательно, сила по модулю постоянна. Из формулы A0)
видно, что численная величина скорости точки в этом случае также
постоянна и равна
с
= cu = —.
а

§ 37] ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 387
Исключая из двух полученных равенств постоянную с, найдем,
что
Таким образом, движение свободной материальной точки массы от
по окружности радиуса а происходит с постоянной скоростью v = v0
под действием постоянной притягивающей силы, равной ?!?_; Эту
силу называют еще центростремительной силой.
5. Движение планет. Закон всемирного тяготения. В основе
небесной механики лежат три закона, открытых Кеплером A571—1630).
Эти законы были им получены из многочисленных наблюдений астро-
астронома Тихо Браге над движением планет и состоят в следующем:
1) Все планеты (и кометы) описывают вокруг Солнца плоские
орбиты, следуя закону площадей.
2) Орбиты эти суть конические сечения, в одном из фокусов ко-
которых находится Солнце.
3) Квадраты звездных времен обращения планет вокруг Солнца
пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.
Из законов Кеплера Ньютон нашел закон, по которому изменяется
сила, действующая на планету при ее движении вокруг Солнца,
а затем пришел к закону всемирного тяготения.
Покажем, как может быть решена задача динамики, состоящая
в том, чтобы, зная закон данного движения (законы Кеплера), опре-
определить действующую силу. Из первого закона Кеплера непосред-
непосредственно вытекает, что действующая на планеты сила есть сила цен-
центральная, -направление которой проходит через центр Солнца
(см. § 33, п. 2). Из второго закона легко найти, что сила, действую-
действующая на планеты, будет силой, притягивающей их к Солнцу обратно
пропорционально квадрату расстояния. Для этого воспользуемся фор-
формулой Бинэ.
Как известно, уравнение конического сечения в полярных коор-
координатах будет:
где е есть эксцентриситет, а р — параметр, причем в случае эллипса
или гиперболы
где а п b — соответственно большая и малая полуоси.
Так как по второму закону Кеплера орбита есть коническое се-
сечение, то, подставив из уравнения A3) значение и в формулу Бинэ,
25*

388 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
найдем действующую силу. Произведя подстановку, получим:
тс2и2 , it, , г-.
—-— [— е cos ф + 1 -\- е cos ф] = — Fr,
откуда
Введем обозначение
где ц носит название постоянной Гаусса. Тогда, так как и = —,
получим
/?г = —И--^-. A5)
Таким образом, действующая сила F будет силой притягивающей,
изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния от при-
притягивающего центра.
Из третьего закона Кеплера следует, что постоянная [i будет одна
и та же для всех тел солнечной системы. Действительно, третий за-
закон Кеплера можно представить в виде
— = const или —р— = const. A6)
Согласно равенству B), постоянная площадей с равна удвоенной сек-
секторной скорости, т. е. удвоенному отношению описанной радиусом-
вектором площади к соответствующему времени. Так как площадь
эллипса равна nab, то в нашем случае
2каЬ
¦2
с = —=— и с
Введя сюда параметр р =—, получим:
С2 =
откуда
с2
Но из предыдущего — = (х, и мы, согласно A6), получим:
у^A7)
Следовательно, коэффициент (х (постоянная Гаусса) есть величина,
одинаковая для всех тел, движущихся под действием притягивающей
силы Солнца, и поэтому должна зависеть только от массы Солнца.

§37) ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 389
Из предыдущего легко вывести открытый Ньютоном закон все-
всемирного тяготения. Для тел, движущихся под действием притяжения
Земли, существует своя гауссова постоянная. Назовем ее Я. Сила,
с которой Солнце притягивает Землю, будет:
где т есть масса Земли. Сила же, с которой Земля притягивает
Солнце, равна
где М есть масса Солнца. По закону равенства действия и противо-
противодействия имеем:
Frl = Fr2 или ~^==——,
откуда
-iL = -L = ^L = const,
М т тп
где —2- есть отношение гауссовой постоянной любой планеты к ее
тп
массе.
Следовательно, отношение гауссовой постоянной любого тела
к его массе есть величина постоянная, называемая гравитационной
постоянной. Обозначим гравитационную постоянную буквой /,
тогда
Л ___L_ f
М ~ т ~~]'
откуда
Подставляя это значение (х в уравнение A8) или значение Я, в ура-
уравнение A8') и обозначая \Frl\ = |/%2| =F, получим:
F=f-^. A9)
Эта формула выражает закон всемирного тяготения: два тела
притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведе-
произведению их масс и обратно пропо рциональной квадрату расстоя-
расстояния между ними.
Размерность гравитационной постоянной в абсолютной системе
будет:
MLLi ?3
f
V* — Л. М2 " /ИГ* "
В системе СИ
/ = 6,673- 10"" м*/кгсек2.
При определении силы, действующей на точку, которая движется
по законам Кеплера, мы брали уравнение конического сечения

390 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
в виде A3), учитывая, что по второму закону Кеплера притягивающий
центр находится в одном из фокусов. Можно решить более общую
задачу: найти закон центральной силы, зависящей только от положе-
положения точки, под действием которой точка при произвольных началь-
начальных условиях описывает некоторое коническое сечение. В такой по-
постановке задача была решена Бертраном, который нашел, что сила
в этом случае будет притягивающая или прямо пропорциональна рас-
расстоянию или обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра.
Кенигс поставил задачу еще шире, а именно: найти закон силы f(r),
под действием которой точка описывает алгебраическую кривую при
любых начальных условиях. Решение этой задачи привело Кёнигса
к такому же результату.
Наблюдения над двойными звездами показывают, что звезда-
спутник движется около главной звезды по эллипсу, в фокусе кото-
которого находится главная звезда, следовательно, здесь имеет место
ньютонов закон притяжения. Если бы имел место закон притяжения
пропорционально расстоянию, то главная звезда находилась бы в цен-
центре орбиты спутника, что противоречит наблюдениям.
v 6./Движение материальной точки в ньютоновом поле тяготе-
тяготения. Определение траектории. Найдем траекторию материаль-
материальной точки, притягиваемой неподвижным центром с силой,
обратно пропорциональной квадрату расстояния (задача Нью-
Ньютона).
Для решения этой задачи воспользуемся формулой Бинэ, полагая
получим уравнение
или, деля обе части на тс2и2,
Общее решение этого уравнения будет:
«=-?-f acos(cp + e),
где а и е суть постоянные интегрирования.
Введем в соответствии с равенством A4) обозначение
B1)
Тогда, вынося множитель -^- = — за скобку и вводя вместо а
новое постоянное е = ра, получим:

§37]
ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
391
Сравнивая этот результат с уравнением. A3), мы видим, что траек-
траекторией точки будет коническое сечение (эллипс, парабола или гипер-
гипербола), один из фокусов которого совпадает с притягивающим цен-
центром О. Конкретный вид траектории зависит от значений постоянных
интегрирования е и е, т. е. от начальных условий.
Заметим прежде всего, что надлежащим выбором начала отсчета
угла ф, т. е. полярной оси, можно сделать е = 0. Тогда
1 -{- е cos ф
или г =
\-\-e cos
B3)
Так как при ф = 0 косинус имеет наибольшее значение, то, сле-
следовательно, полагая е = 0, мы условливаемся отсчитывать угол ф
от той точки траектории, для которой и
имеет максимум, а г — минимум, т. е. от
точки Р орбиты, ближайшей к притяги-
притягивающему центру (рис. 351) и называемой
перицентром1) (от греч. nspt—возле).
Положение этой точки наперед не изве-
известно и подлежит определению по началь-
начальным данным.
Из уравнения B3) имеем:
du e , ,_..
-т— = э1пф. B4)
йф р
-0)
О
Рис. 351
Пусть в начальном положении Мо точка находится от притяги-
притягивающего центра на расстоянии г0 и имеет начальную скорость v0
(см. рис. 351). При этом ?.РОМ0 = (р0 и есть подлежащий опреде-
определению угол, указывающий положение перицентра Р по отношению
к начальному положению точки Мо. Тогда, находя начальное зна-
значение —г— из равенства A0), будем иметь следующие начальные
условия:
При ф = ф0
1
B5)
Мы берем перед корнем знак минус, считая скорость <о0 напра-
направленной так, что знаки vta и v^, а следовательно, и (drH, (с/фH,
одинаковы; тогда, как видно из равенства (8) должно быть \-f\ <0.
\«Ф/о
') При движении вокруг Солнца перицентр называют перигелием (греч.
>S — Солнце), а при движении вокруг Земли — перигеем (греч. щ — Земля).
Точку эллиптической орбиты, наиболее удаленную от Солнца или Земли,
называют соответственно афелием или апогеем (греч. <ш> — вдали).

392 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
Подставляя начальные данные B5) в уравнения B3) и B4),
получим:
1 + е cos ф0 1т /—5 5~т е
4= р . 7 Vvl— cul =
р . 7
l
Заменяя здесь р его значением из формулы B1), будем иметь:
±У , = -?-a0—1. B6)
Отсюда, деля сначала равенства B6) почленно друг на друга, а за-
затем возводя их в квадрат и складывая, найдем окончательно:
Значение входящей сюда постоянной площадей с вычисляется по на-
начальным условиям согласно равенству C).
Формула B7) дает значение угла <р0, определяющего положение
перицентра траектории по отношению к начальному радиусу-век-
радиусу-вектору г0; [значение этого угла уточняется равенствами B6)]. Постоян-
Постоянная е, дающая величину эксцентриситета траектории, определяется
из равенства B8). Как видим, значение е зависит от знака величины
A=«g-2|i«0 = «§--^-. B9)
Установим физический смысл этой величины. Принимая во вни-
внимание, что потенциальная энергия V точки в поле тяготения опре-
определяется формулой E7) из § 33, вычислим полную начальную энер-
энергию этой точки. Получим:
2
Следовательно, h есть величина, пропорциональная полной начальной
энергии точки, и вид траектории зависит от знака начальной энергии:
2и
если h < 0, т. е. те < —<- , то е < 1 и траектория— эллипс;
•о
если Л = 0, т. е. <у2=—!-, то е=1 и траектория — парабола;
если h > 0, т. е. х»2 > —s- , то е > 1 и траектория — гипербола.
Чтобы точка могла неограниченно удаляться от притягивающего
центра, ее начальная скорость должна быть не меньше параболи-

§ 37] ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 393
ческой скорости vn=\/ —. Как видим, скорость va, называемая
еще скоростью освобождения, прямо пропорциональна корню квад-
квадратному из гауссовой постоянной \i данного поля и обратно про-
пропорциональна корню из начального расстояния г0.
7. Определение закона движения вдоль орбиты. Уравнение
Кеплера. Чтобы определить закон движения точки вдоль ее орбиты,
обратимся к уравнению D) или A2)
dt
Заменяя здесь величину и ее значением из уравнения траекто-
траектории B3), будем иметь:
at - р2
с
откуда
<р
t~ *0 — — J
где t0—момент прохождения через перицентр.
Для вычисления интеграла начнем с обычной подстановки
tgJj- = T]. C1)
Тогда
- d<P = Ttt C2)
и мы получим после несложных преобразований
A -j-ecos(PJ
Рассмотрим сначала случай, когда движение происходит по эллип-
эллиптической орбите и е< 1. Положим тогда
1~ = к и u = ki\, C4)
где новое переменное ¦& есть в свою очередь половина тангенса не-
некоторого угла Е. Таким образом, по аналогии с C1) и C2) будет:
C5)

394 ДИНАМИКА ТОЧКИ (ГЛ. VI
Тогда равенство C3) примет вид
dtp _ 2(k* + W)d$ __ 1— e + (l + e)W p __
A + е cos <рJ ~~ к3 A + еJ A + ft2J ~~ А3 (I + еK A + ft2) ~
Подставляя найденное выражение в правую часть равенства C0)
и вычисляя интеграл, получим окончательно:
Е — es\nE = X{t —10), C6)
где обозначено
с(\ «,2\3/2
и, согласно равенствам C1), C4), C5),
В небесной механике угол ф называют истинной аномалией,
а угол Е—эксцентрической аномалией. Уравнение C6), устанавли-
устанавливающее зависимость между эксцентрической аномалией и временем,
называется уравнением Кеплера. Система уравнений B3) и C6) позво-
позволяет найти г и ф в любой момент времени, т. е. определить закон
движения точки в рассматриваемом случае.
Если обозначить период обращения через Т, то при ф = л про-
Т Р
межуток времени (t—?0)=-_-, a tg^-=oo и Е = п. Следовательно,
уравнение C6) дает 2n — kT. Отсюда получаем выражение % через
период обращения
к = ^?-. C9)
Таким образом, уравнение Кеплера можно еще представить в виде
Е— eslnE = -^(t —10), D0)
где, как уже указывалось, t0 — момент прохождения перицентра.
При движении по параболической орбите мы, полагая в ра-
равенстве C3) е — 1 и вычисляя интеграл C0), сразу найдем:
Рассмотрим теперь случай гиперболической орбиты е>1. Из
уравнения траектории B3) видно, что при изменении угла ф от нуля
до значения ф*, определяемого равенством е cos ф* = — 1, точка
переместится по соответствующей ветви гиперболы от перицентра
до бесконечности (угол ф* дает направление асимптоты гиперболы).

$37]
ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
395
Как видно из соотношений C4), закон движения вдоль этой ветви
гиперболы можно найти, полагая в равенствах.C6) — C8) E = tE1 и
учитывая, что siniEl = tshE1, tg tEl = ithE1. Тогда для определе-
определения закона движения получим уравнение
eshE1~E1=l1(t~t0), D2)
где
е — 1
D3)
Последнее из соотношений D3) при изменении угла ф в интер-
интервале 0<^ф^ф* всегда имеет место, так как если есоБф^—1, то
в чем легко убедиться, выражая cos <p через tg -^-.
8. Задача двух тел. Поправка к третьему закону Кеплера.
Во всех предыдущих расчетах притягивающий центр (Солнце) счи-
считался неподвижным по отношению к
некоторой инерциальной системе от-
отсчета (к звездам). Уточним получен-
полученные результаты, принимая во внима-
внимание взаимное притяжение Солнца 5 и
движущейся вокруг него планеты Р, и
считая расстояние между этими телами
столь большим по сравнению с их
размерами, что тела можно рассмат-
рассматривать как материальные точки.
Пусть гр есть радиус-вектор пла-
планеты Р относительно некоторой инер-
инерциальной системы отсчета Ox1ylzv
a rs — радиус-вектор Солнца отно-
относительно той же системы отсчета
(рис. 352). Массы Солнца и планеты обозначим соответственно че-
через Мит; тогда уравнение движения Солнца относительно си-
системы отсчета Oxly1z1 будет:
„ d2r~ /Mm .
" '* D4)
Рис. 352.
г
г
а уравнение движения планеты относительно той же системы отсчета
D5)
d2rp /Mm r
где r = SP—радиус-вектор планеты Р по отношению к Солнцу S
или, точнее, по отношению к системе осей Sxyz, которые

396 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
перемещаются вместе с точкой 5 поступательно по отношению к си-
системе отсчета Oxxyxzv Умножая обе части уравнения D4) на т, а
уравнения D5) на Ж и вычитая затем почленно из уравнения D5)
уравнение D4), будем иметь:
Отсюда, так как гр — rs = г, получаем, сокращая на М,
m J^L — /« {М + т) г _ ц'т г_.
т dP ~~ 7* г ~~ г2 г ' <-4D>
где
D7)
В уравнениях D4) и D5) при вычислении производных от rs и гр
рассматривается изменение этих векторов относительно осей Ох^^г^,
следовательно, и в уравнении D6) производная от г берется по
отношению к тем же осям. Но из сказанного в § 13, п. 2 следует,
что в данном случае, так как оси Sxyz перемещаются по отноше-
отношению к системе отсчета Ох1у1г1 поступательно, локальная производ-
производная в осях Sxyz совпадает с полной производной в осях Ох-^у^.
Следовательно, уравнение D6) описывает движение планеты отно-
относительно связанной с Солнцем системы отсчета Sxyz, или, как
говорят кратко, относительно Солнца. Из этого уравнения видно,
что относительное движение планеты вокруг Солнца происходит как
движение вокруг неподвижного притягивающего центра, в котором
сосредоточена масса, равная не массе Солнца М, как мы считали
ранее, а М-\-т, т. е. сумме масс Солнца и движущейся вокруг
него планеты. В формулах п. 6 этот результат легко учесть, заме-
заменив всюду \х = /М на (л'=/(/И-)-т).
Отсюда вытекает также, что гауссова постоянная \*. поля тяго-
тяготения Солнца (планеты) фактически равна не /М, a f(M-\-m),
т. е. не является постоянной и зависит не только от массы притя-
притягивающего тела, но и от массы тела, движущегося в поле притя-
притяжения; считать j.i = const можно лишь приближенно в случаях,
когда М ~^> т.
Заметим, наконец, что когда в поле тяготения тела 5 (Солнца)
движется одновременно несколько тел Pt (планет), то точное реше-
решение задачи требует учета не только сил притяжения между телами Р1
и телом 5, но и взаимного притяжения тел Pt. Точное решение воз-
возникающей отсюда задачи п тел, т. е. задача о движении п мате-
материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, свя-
связано с большими математическими трудностями, и его не удалось
пока найти с помощью известных в анализе функций даже для слу-
случая трех тел.

«371
ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
397
Исходя из результатов, полученных для задачи двух тел, найдем
соответствующую поправку к третьему закону Кеплера. Рассмотрим
движение вокруг Солнца двух планет с массами щ и т%. По фор-
формулам A7) и D7) будем иметь:
для первой планеты g- = щ = f (M
для второй планеты j- = ц2 = f (М -(- т2).
Деля первое равенство на второе, получим:
А
п
т2
11
(Щ
тогда как по третьему закону Кеплера правая часть равенства D8)
должна равняться единице. Следовательно, третий закон Кеплера
имеет только приближенный характер
и справедлив постольку, поскольку
массы планет т^ и т2 малы по сравне-
сравнению с массой Солнца М.
9. Движение в поле тяготения
Земли. Искусственные спутники и
эллиптические траектории. Прило-
Приложим полученные выше результаты к
изучению движения тела в поле тяготе-
тяготения Земли. Будем считать Землю не-
неподвижной, а движущееся тело рассма-
рассматривать как материальную точку мас-
массы т. Сопротивлением воздуха будем
пренебрегать, что для рассматривае-
рассматриваемых далее высот полета в первом при-
приближении допустимо. Пусть в началь-
начальный момент точка находится в поло-
положении Мо на расстоянии R = ОМ0 от
центра Земли (рис. 353) и пусть уско-
ускорение силы земного притяжения в точке Мо равно g. Заметим, что
под R мы будем понимать любую величину, ббльшую земного ра-
радиуса. В случаях, когда точка Мо берется на поверхности Земли,
мы будем считать R равным радиусу земного экватора, Ro = 6378 км
и g — ?о = 9-81 м/сек2.
Действующая на точку в положении Мо сила притяжения равна
Рис. 353.
Fr = нг = — mg.

398 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
Отсюда получаем значение гауссовой постоянной поля земного
тяготения, выраженное через Rug:
\i = R2g. D9)
Допустим далее, что в начальном положении Мо точка получает
начальную скорость v0, направленную под углом а к горизонту
Тогда постоянная площадей с будет:
с = motno v0 = Rv0 cos a. E0)
Траекторией точки является, как было установлено, коническое
сечение
I -\-e cos m p
Я = р ИЛИ Г=
где угол ф отсчитывается от перигея Р. Параметр р и эксцентриси-
эксцентриситет е траектории определяются соответственно формулами B1) и B8),
а значение угла ср0 = РОМ0 (см. рис. 353) можно найти из ра-
равенств B6). Заменяя везде с и [i их значениями D9) и E0) и учи-
учитывая, что ио=1//?, получим:
с2 vl cos2 a
. , vk cos2 a
«= V 1+ °„2»2 frg-2gg), E3)
v\ cos2 a vk cos2 a
—p—tga. есоБф0=:—^ 1. E4)
Из формулы E3) видно, что траекторией будет эллипс (е < 1)
при vQ < |^2^-/?, парабола (е=1) — при vu=Y^§R и гипербола
(*>1) —при vo>V2JfR.
Параболическая скорость (скорость освобождения) vn = ~\f2gR
представляет собой, как было уже упомянуто, наименьшую начальную
скорость, при которой тело может покинуть поле тяготения Земли;
ее называют еще второй космической скоростью. Если начальное
положение Мо взять на поверхности Земли и положить R =
—/?0=6378 км, g"=g=9,81 м/сек2, то мы получимся» 11,2 км\сек.
Тело, получившее начальную скорость г»0^>г>п, направленную под
любым углом а к горизонту, будет неограниченно удаляться от Земли,
двигаясь по параболе или гиперболе (при a = 90° — по прямой).
При начальной скорости v0 < vn брошенное тело или превра-
превращается в искусственного спутника Земли, или падает обратно на
Землю. Рассмотрим эти случаи.
1) Искусственные спутники. Чтобы тело, брошенное с поверх-
поверхности Земли, описало вокруг Земли замкнутую кривую, должно быть

§ 37] ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 399
в любой точке траектории г^>/?0 или, так как /?0 = г(ф0), то
+ е cos
1 -{- е cos
Следовательно, при изменении угла ф от 0 до л должно быть
р^ф0, что возможно лишь при фо = 0. Итак, перигей искусствен-
искусственного спутника совпадает с его начальным положением Мо. Подста-
Подставляя значения R = Ro и ф0 = 0 в равенства E4), получим:
cos2 a • tga = O,
' 2
; cos a
— l=e.
E5)
Так как е > 0. то cos2a#0; следовательно, tga = O и a = 0
(или а = я). Одновременно из последнего равенства, учитывая, что
<х = 0, а е > 0, получаем г»2 > g0R0. Следовательно, чтобы тело,
брошенное с земной поверхности, превратилось в искусственного
спутника Земли, необходимо вы-
выполнение двух условий:
Эллилс
Эксцентриситет орбиты спутника
при любом /?, как видно из E5),
будет:
е = ^--!- F7)
Скорость vK=YgR> ПРИ к°- Рис. 354.
горой г=0 и спутник движется
по круговой орбите радиуса R, называется круговой или первой кос-
космической скоростью; при бросании с поверхности Земли vK =
— V goRa «7910 MJceK. Если vQ > vK, то орбитой спутника будет
эллипс, эксцентриситет которого тем больше, чем больше v0 (рис. 354).
Когда угол бросания а ф 0, то ни при какой начальной ско-
скорости v0 тело, брошенное с земной поверхности, не может стать
спутником Земли. Практически для запуска искусственного спутника
используется управляемая ракета, которая поднимает спутник на за-
заданную высоту и сообщает ему в пункте Мо (см. рис. 354) нужную
скорость v0 под углом а«0 к горизонту. С увеличением высоты Н
пункта Мо над поверхностью Земли становится возможным отклоне-
отклонение от условия а = 0. Кроме того, так как, согласно равенству D9),
— so и
и i

400 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
то при R = /?0 -f
Следовательно, с возрастанием И величина круговой скорости убы-
убывает
Период обращения Т спутника можно найти из третьего закона
Кеплера, выразив его равенством A7). Заменяя в A7) гауссову по-
постоянную [1 ее значением D9), будем иметь:
E9)
Входящую сюда длину большой полуоси орбиты можно в свою
очередь выразить в виде
а=Гр+/А или в=т-?-г-. F0)
где гр и гА — соответственно расстояния от центра Земли до пери-
перигея и апогея орбиты, а р и е— величины, определяемые равенствами
E2) и E3); при а = 0 значение е определяется равенством E7).
2) Эллиптические траектории. При а>0 и vQ < Y2g0R0
тело, брошенное с земной поверхности, описав дугу эллипса, упадет
обратно на Землю. Такие э пиитические траектории описывают при
больших дальностях снаряды и ракеты. Найдем основные характе-
характеристики этих траекторий.
Начнем с определения дальности полета. Обозначая центральный
угол М0ОМ1 (см. рис. 353) через 2,8, получаем, что дальность из-
измерения вдоль земной поверхности будет
D = луИ, = 2/?ор. F1)
Так как р-=я—ср0 и tgp =— tg<Po> то, деля почленно равен-
равенства E4) друг на друга, найдем, что
о о
«„COS В
«„COS В
«gP= ° 2 2-tga. F2)
S^ uos
22
— uocos
Формулы F1), F2) и определяют величину дальности полета
по данным значениям v0 и а. Заметим, что при v0 cos a =
тт
тт
угол р = — и дальность D = n/?0, т. е. падение будет в точке Mv
диаметрально противоположной Мо (рис. 355). Вопрос о наименьшей
начальной скороеш, необходимой для получения заданной дальности,
будет рассмотрен ниже.

C71
ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
401
Наибольшую высоту траектории Н можно найж ш равенства
ff=r(n)—R9. Полагая в уравнении E1) ф = л и заменяя р его
значением E2), будем иметь:
..2,
Н =
9
cos a
Время полета из Мо в Ж, (см. рис. 353) найдем с помощью
уравнения Кеплера C6), полагая в нем для простоты /0 = 0 Тогда,
обозначая период обращения по со-
соответствующей эллиптической орби- 4
те через Т, получим:
^полета = 2 [/ (я) — f (Я — 0) ] =
или, используя уравнения C9) и C6),
71полета=у (Л —?"l + eSin?,). F4Л
где 2?i есть значение Е при ф =
— л — р, а
л
Рис 355
последний результат следует из формул C7), E0) и E2), если
в точке Мо считать /? = /?0 и g — g0.
Полагая в равенстве F4) л, -Ef~Ev найдем окончательно!
71
* ПОЛРТЯ '
2t'('cos3a
Согласно уравнению C8), в юмором надо считать
а Е — Е,— л — Е„, здесь
-/4
— е
-2 или
— е
F8)
с — Р.
F7)
а значение е дается равенством E3).
Найдем теперь наименьшую начальную скорость v™1" и соответ-
соответствующий ей наивыгоднейший угол бросания ан, при которых может
быть получена заданная дальность D = 2R0$.
Для этого, выразив начальную скорость v0 через р из равенства
F2), получим:
Q~~ sin 2a + 2соь2a tg p * ( }
26 Н Н Бухгольц

402 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VT
При данной дальности, т. е. при данном угле р, потребная вели-
величина v0 зависит от а и будет наименьшей, когда знаменатель
F(a) =sin2a-l-2cos2atgp
имеет максимум. Из уравнения
F'(а) = 2 cos 2ct — 2sin2atgp = 0
находим ctg 2a = ig f>, откуда
aH = 45°-|. F9)
Легко проверить, что /'"(OjXO и, следовательно, при 0 = 0,, мы
имеем vo = v™la. Подставив значение ан в уравнение F8), получим:
G0)
Формулы G0) и F9) определяют наименьшую начальную скорость,
необходимую для получения заданной дальности D = 2/?0р, и угол
бросания ан, под которым эта скорость должна быть направлена
к горизонту. В отличие от случая движения в однородном поле тя-
тяжести (§ 36) наивыгоднейший угол ан зависит от дальности и с ее
увеличением уменьшается; если дальность очень мала, то ан«45°,
как и в однородном поле тяжести.
Отметим еще следующий результат. Представим выражение F8)
в виде
, _ 2go/?o sin p
о— 2cosasin(a+0) '
и заменим угол а на угол а'= 90 — ф-(-а). Тогда будет cosa' =
= sin(a-(-p), а sin(a'-|-p) = cosa и мы получим при данной даль-
дальности для угла бросания а' то же самое значение потребной началь-
начальной скорости v0, что и для угла а. Следовательно, если при заданной
начальной скорости vQ попадание в данную точку земной поверхности
возможно, то в эту точку можно попасть двумя траекториями: одной
с углом бросания a < aH (настильная траектория) и другой с углом
бросания а'= 90° — (а + Р)>Он (навесная траектория). Если a —aH,
то, как следует из формулы F9), и a' = aH; в этом случае обе
траектории сливаются в одну—наивыгоднейшую. Это свойство эл-
эллиптических траекторий аналогично свойству параболических траек-
траекторий в однородном поле тяжести.
Отметим в заключение, что если считать в пределе угол |}->0,
а величину 2/?oP = D рассматривать в пределе как горизонтальную
дальность (см. § 36), то формулы теории эллиптических траекторий
перейдут в соответствующие формулы для траекторий параболических.

§ 38] ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 403
§ 38. Движение несвободной материальной точки
1. Постановка задачи. Материальная точка называется несво-
несвободной, если она не может занимать произвольного положения в про-
пространстве; условия, стесняющие свободу движения точки, называются
связями. Связи, наложенные на точку, могут удерживать ее на не-
некоторой кривой или поверхности. При изучении несвободного дви-
движения точки будем, как и в статике, исходить из аксиомы связей,
согласно которой несвободную точку можно рассматривать как сво-
свободную, заменив действие связей их реакциями. Таким образом,
существенное отличие несвободной точки от свободной заключается
в том, что на несвободную точку при ее движении, кроме активных
сил, действуют еще реакции связей. Если связь идеальна (без трения),
то реакция связи будет направлена по нормали к кривой или поверх-
поверхности, на которой точка вынуждена оставаться в силу наложенных
связей. Величина этой реакции наперед не известна и будет вообще
зависеть как от действующих активных сил, так и от закона дви-
движения точки. Таким образом, основная задача динамики для несво-
несвободной материальной точки будет состоять в том, чтобы, зная дей-
действующие активные силы и начальные условия, определить закон
движения точки и реакции наложенных связей.
2. Дифференциальные уравнения движения точки по заданной
кривой в проекциях на декартовы оси координат. Допустим для
общности, что связь реономна, т. е. что кривая, по которой вынуж-
вынуждена двигаться точка, может с течением времени изменяться и задана
уравнениями
fi(x, у, г. 0 = 0, /2(х, у, z. 0 = 0-
Дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме
будет
™%=F+N, A)
где N есть реакция кривой, направленная по одной из нормалей
(рис. 356). Если рассматривать заданную кривую как пересечение
двух поверхностей Д и /2 (рис. 357), то реакцию кривой N можно
считать суммой реакций N^ и N2 этих поверхностей, направленных
по нормалям к соответствующим поверхностям, т. е.
N=NX + N2. B)
Очевидно, N, и N2 лежат в нормальной плоскости данной кривой.
Так как направление нормали к поверхности / = 0 совпадает с на-
направлением вектора grad /, то
C;
26»

404
ДИНАМИКА ТОЧКИ
1ГЛ. VI
гле Х1 и ^2—подлежащие определению множители. Принимая во вни-
внимание равенства B) и C), получим уравнение движения точки A)
в виде
и
D)
Из уравнений C) следует, что
где
Аналогичное выражение получим для к2- В результате будем иметь:
л/. \г
E)
Величина
Д./. *
Д./2 '
называется первым дифференциальным параметром функции / (по Ламе).
Рис, 356.
Рис. 357,
Из E) видно, что множители Я,] и Х2 равны соответственным нор-
нормальным реакциям, деленным на первый дифференциальный параметр
сьязи.
В проекциях на оси координат уравнение движения D) дает:
ду
ду •
F)

§38]
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Это будет система совместных дифференциальных уравнений второго,
порядка; присоединяя к ним уравнения связи
/г(х, у, z, 0 = 0.
/2(х, у, z, t) = 0,
получим систему пяти уравнений, из которых мы можем определить
х, у, z, Хг, к2 как функции t.
3. Естественные уравнения движения точки по заданной кри-
кривой. Когда заданная кривая АВ, по которой движется точка, непод-
неподвижна (связь склерономна), удобно пользоваться уравнениями движения
в проекциях на оси естественного трехгранника: касательную т,
направленную в сторону положительного отсчета расстояния s, главную
нормаль п, направленную в сторону вогнутости траектории, и би-
бинормаль b (рис. 358). Пусть действующая на точку активная сила
равна F, а реакция связи — N; если связь идеальна, то реакция ЛГ
нормальна к кривой, т. е. лежит в плоско-
плоскости nb. Тогда уравнение движения
mw = F-{- N
в проекциях на оси т, п, Ь даст:
dv г, rf2s
- = f или
mv2
_
Рис. 358
Уравнения G) называются естественными уравнениями движения точки
по заданной неподвижной гладкой кривой. Они замечательны тем,
что первое из этих уравнений не содержит наперед неизвестной ре-
реакции связи и служит для нахождения закона движения точки; уравне-
уравнения же G6) и Gв) определяют реакцию связи, которая, как видим»,
зависит как от активной силы F, так и от скорости движения.
Таким образом, пользуясь естественными уравнениями, можно
находить закон несвободного движения, не отыскивая реакцию связи,
чего с помощью системы F) сделать нельзя.
4. Теорема об изменении кинетической энергии для несвобод-
несвободной точки. Если к несвободной точке кроме активной силы F, при-
приложить реакции связей, то точку можно рассматривать как свобод-
свободную и применять к ней все теоремы, справедливые для свободной
точки.
По теореме об изменении кинетической энергии имеем:
d
grad /,. ar + А,2grad /2 ¦ dr,

406 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
Так как
_dy+lLd2,
а из уравнения связи f(x, у, г, 2) = 0 следует, что
то
grad / • dr = — Ц^ dt.
Таким образом, теорема об изменении кинетической энергии для
реономной связи примет вид
Если связь склерономна, то -^- = -^- = 0, и мы получим:
=F.<tr. (9)
Следовательно, в случае склерономной идеальной связи реакции связи
в выражение элементарной работы не входят и теорема об изменении
кинетической энергии сохраняет тот же вид, что и для свободной
точки. Это объясняется тем, что при склерономных идеальных связях
действительное перемещение rfr будет всегда перпендикулярно к ре-
реакции N, а потому элементарная работа реакции будет равна нулю.
Из (9) можно получить выражение теоремы и в конечном виде
mv2 mv\ a
А 1
где А^-м — работа на перемещении MQM активной силы F.
Если действующая на точку активная сила будет потенциальной,
то элементарная работа
F .dr = dU=z — dV,
где V (х, у, г) есть потенциальная энергия точки, и мы получим из
уравнения (9) интеграл энергии
^ у, z) = h, A1)
где h — начальная энергия точки.
Таким образом, интеграл энергии имеет место и для несвободного
движения, если действующая сила является потенциальной, а связь
— идеальной и склерономной.

§38]
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
407
Рассмотрим примеры.
/. Движение тяжелой точки по неподвижной кривой. Пусть точка М
массы т движется в однородном поле тяжести по заданной гладкой не-
неподвижной кривой (рис. 359). Направим вертикально вверх ось г. Тогда
V = mgz, и уравнение A1) даст:
g
mv2 , . . .
\gz h. (a)
Пусть в начальный момент
По этим данным находим, что
h = —2 VmSzu'
и из уравнения (а) будем иметь:
Рис. 359
Полагая v% + 2gzQ = 2ga, где а, очевидно, есть линейная величина, получим:
v2=*2g(a — г), (б)
Отсюда видно, что z не может быть больше а = га-^-~^—; следовательно,
точка не может подняться над плоскостью ху больше чем на высоту а.
Представив равенство (б) в виде
^' = 2g(a-z).
мы, извлекая корень и разделяя переменные, полу-
получим уравнение
интегрируя которое можно определить закон дви-
движения точки.
2. Определение реакции связи. При движении
точки вдоль неподвижной гладкой кривой реакции
связи можно определять по уравнениям G6) и Gв);
при этом, когда действующие активные силы потен-
потенциальны, для отыскания входящей в уравнение G6)
скорости v проще всего пользоваться теоремой об
изменении кинетической энергии. Рис 360
Пусть груз весом Р, подвешенный на нити дли-
длиной /, получает в равновесном положении Мо на-
начальную скорость va, перпендикулярную к нити (рис. 360). Найдем натяже-
натяжение нити как функцию угла отклонения ср и условие, при котором груз опи-
опишет полную окружность.
В произвольном положении на груз, который рассматриваем как мате-
материальную точку, действует активная сила Р и реакция N. численно равная
натяжению нити. Проводя в сторону вогнутости траектории (окружности ра-

408 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
диуса /) главную нормаль п и составляя уравнение G6), получим:
—j— = — Pcosy-\-N. (a)
Так как сила Р потенциальная, то для определения v воспользуемся
теоремой A0)
tnv2 mv\ л
(б)
В данном случае А — = — Ph — — PI A — cos tp) и равенство (б) дает:
tnv2 = mv\ — 2Р1 A — cos <p).
Подставляя это значение tnv2 в уравнение (а), найдем окончательно:
(в)
Нить является связью освобождающей и точка (груз) будет двигаться
по окружности радиуса / до тех пор, пока N > 0. При N < 0 направление
реакции изменяется на противоположное; такую реакцию, направленную от
точки подвеса, мог бы развивать жесткий стержень, в случае же нити точка
при этом сойдет с окружности (покинет связь) и будет двигаться как сво-
свободная до тех пор, пока ее расстояние от точки подвеса не станет равно I.
Найдем, какую начальную скорость надо сообщить грузу в положении
Мо, чтобы он описал полную окружность. Из равенства (в) видно, что N
имеет наименьшее значение при <р = 180°; при этом
Груз опишет полную окружность, если реакция N нигде (кроме, может
выть, точки М') не обратится в нуль; для этого, очевидно, необходимо,
чтобы было ЛГП1|П>0 или
Если нить заменить жестким невесомым стержнем, то условие того,
что груз опишет полную окружность, изменится и будет состоять в том,
что скорость груза нигде, кроме, может быть, точки М', не должна обра-
обратиться в нуль. Из формулы Галилея следует, что это будет, когда vo"^>
Yi
g
Если грузу, подвешенному на нити, сообщить начальную скорость vo =
то, как видно из уравнения (в), при cos tp, = ^ реакция N обра-
2
гится в нуль и груз в точке Ми на высоте-=-/ от центра О, сойдет с окруж-
окружности и начнет двигаться как свободная точка (по параболе).
5. Плоский математический маятник. Математическим маятнн-
1 ом называется тяжелая материальная точка, которая двигается или
по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или
по сфере (сферический маятник). В первом приближении математи-
математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный
ла нерастяжимой гибкой ниш.

38!
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
409
Рассмотрим движение плоского математического маятника по
окружности радиуса I с центром в точке О (рис. 361). Будем опре-
определять положение точки М (маятника) углом отклонения ф радиуса
ОМ от вертикали. Направляя касательную Мх в сторону положи-
положительного отсчета угла ф, составим естественное уравнение движе-
движения Gа). Получим в проекции на ось Мх
dv
т —п- = — tng sin <p,
где т есть масса маятника.
Отсюда, так как v = l—%-, находим:
dt
mlптг
Сокращая на т и полагая
будем окончательно иметь:
A2)
A3)
Рис. 361.
Рассмотрим сначала случай малых коле-
колебаний.
Пусть в начальный момент маятник отклонен от вертикали на
угол ф0 и отпущен без начальной скорости. Тогда начальные усло-
условия будут:
при ^ = 0 ф=ф0, фо = О. A4)
Из интеграла энергии следует, что при этих условиях в любой мо-
момент времени угол ф<]ф0. Допустим, что угол ф0 мал (фо<^1);
тогда угол ф будет также мал и можно приближенно положить
ф. При этом уравнение A3) примет вид
A5)
Уравнение A5) есть дифференциальное уравнение простого гармони-
гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид
Ф= A cos cot-\-В sin at = asin(<jtf-|-e),
A6)
где А и В или а и е суть постоянные интегрирования.
Отсюда сразу находим период малых колебаний математического
маятника
а
07),

410 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VT
Для нахождения закона движения при начальных условиях A4)
вычисляем:
ф = <й(—A sin at-\-В cos at). A8)
Подставляя значения A4) в уравнения A6) и A8), получим:
Фо = А, 0 = тВ,
т. е. В = 0. Следовательно, закон движения для малых колебаний
при условиях A4) будет:
A9)
Найдем теперь точное решение задачи о плоском математическом
маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движе-
движения A3). Так как
rf2q> d(f dq> d<p • dф
~dW~~~di ф" ~Ж ~~ * ф"'
то A3) можно представить в виде
Отсюда, умножая обе части уравнения на йф и интегрируя,
¦получим:
Обозначим здесь через ф0 угол максимального отклонения маятника;
тогда при ф = ф0 будем иметь ф = 0, откуда С = — с^соэфо-
В результате интеграл B0) дает:
ф2= 20J (COS ф СОЭфо), B1)
тде ю определяется равенством A2).
Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть
непосредственно получен из уравнения A0), если учесть, что в нашем
-случае ^0 = 0, v = l<p и А^м = mgh = mgl (cos ф — соэфо) (см.
рис. 361).
Из уравнения B1) видно, что при движении маятника угол ф
<>удет изменяться между значениями -f- ф0 и — ф0 (| ф | -^ ф0> так как
•ф2 ;> 0), т. е. маятник будет совершать колебательное движение.
Условимся отсчитывать время tm от момента прохождения маятника
через вертикаль О А при его движении вправо (см. рис. 361). Тогда
•будем иметь начальное условие:
при ^ = 0 ф = 0. B2)

§38]
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
41!
Кроме того, при движении из точки А будет <р > 0; извлекая иа
обеих частей равенства B1) квадратный корень, получим:
) — СОвфо)
Разделяя здесь переменные, будем иметь:
dm
- — (ddt.
Так как
У 2 (cos ф — cos ф0)
созф= 1 —2 sin2 -гр
cos ф — cos ф0 = 2 (sin2 -т?- — sin2 -S-
Подставляя этот результат в уравнение B3), получим:
B3)
то
sin* ^-sin*
B4)
Чтобы проинтегрировать уравнение B4), нужно найти квадратуру
левой части. Для этого перейдем от ф к новому переменному а,
полагая:
ГО л (Пл
где к — sin ~п~ • t*4r
Тогда
откуда
Кроме того,
Йф-
sin2-^-
dq> ф
2k cos a da
Ф
C0ST
-sin2-f = А2(
= k cos a da,
2k cos a fifa
У1—ft2 sin2 a
1— sin2a) = A2
Подставляя все ати величины в уравнение B4) и заменяя о его зна-
значением A2), получим:
По принятым начальным условиям B2) при f = 0 угол ф = 0„
а следовательно, как видно из B5), и а = 0. Тогда, беря от обеих
частей уравнения B6) определенные интегралы справа от 0 до />

412 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
а слева от 0 до а, получим закон движения маятника в виде
а
У1-
о
Интеграл, стоящий в левой части равенства B7), представляет
собой эллиптический интеграл первого рода. Величина k называется
модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция
верхнего предела и модуля, т. е.
а
и = f da = F (a,k). B8)
Если в равенстве B8) рассматривать верхний предел а как функцию
от интеграла и, то такая функция носит название амплитуды а и
обозначается так:
a = am[/:'(a, k)\,
или
а=ашй, B9)
Беря от обеих частей равенства B9) синус, мы получим:
sin a = sin am и = sn и. C0)
Функция sn и (синус-амплитуда и) представляет собой так назы-
называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно урав-
уравнению B7), и = 1/ ~ t, то, переходя в равенстве C0) от а к ф
с помощью формулы B5), найдем закон движения маятника, выра-
выраженный через эллиптическую функцию sn, в виде
Найдем период Т колебаний маятника. Из положения ф = 0в по-
положение Ф = Ф0 маятник приходит за четверть периода. Так как,
согласно равенству B5), при ф = 0 и а = 0, а при ф = ф0 величина
а =4^-, то из уравнения B7) имеем:
V I 4 ~
da

4 381 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 413
Таким образом, определение периода колебаний маятника сво-
сводится к вычислению величины
л/2
F(f • *)-*•
представляющей собой четверть периода эллиптического инте-
интеграла B8).
Известно (формула Валлиса), что
л/2
о
Разлагая в выражении C3) подынтегральную функцию в ряд, получим:
(] - й2 sin2 а)'/г 1 T2ssmat2.4 ~r
Тогда, используя формулу C4), будем иметь:
я/2
J У\—к'Ып*а 2
+()k+(
Подставляя это значение К в равенство C2) и учитывая, что
получим для периода колебаний плоского математического маятника
выражение
/1[A)%^A|J^ ] C6)
Следовательно, чем больше ф0 (угол размаха), тем больше период
колебаний маятника. Таким образом, математический маятник свой-
свойством изохронности не обладает. Если при малых размахах ограни-
ограничиться в формуле C6) только двумя первыми членами, то, полагая
sin Щ- ~ -к*-, получим приближенное выражение периода
6. Циклоидальный маятник. Чтобы маятник был изохронным,
необходимо с увеличением размаха уменьшать его длину; тогда
точка М будет уже двигаться не по дуге окружности, а по некото-
некоторой другой кривой. Оказывается, что эта кривая будет циклоидой.

414
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. Vt
Докажем это. Рассмотрим циклоиду EF (рис. 362). Если направить
ось Oz так, как показано на рисунке, то длина дуги ОМ = s цик-
циклоиды, как известно, будет:
s=y&az. C8)
где а есть радиус образующего круга. Найдем теперь закон движе-
движения тяжелой точки по вертикальной циклоиде. Для этого обратимся
к интегралу энергии. Пос-
? е" "
кольку в однородном поле
0 тяжести потенциальная энер-
энергия V = mgz-\- const, то
уравнение A1) дает:
= А. C9)
О
Рис. 362.
Пусть в начальном поло-
положении Мо координата z—zo>
а начальная скорость равна
нулю; тогда постоянная h—gz0 и мы будем иметь:
v* = 2g(z0 — z).
Отсюда, учитывая, что при движении из начального положения Мй
расстояние s = ОМ убывает и v — s < 0, получим:
D0)
Но из равенства C8) следует, что
Z ^ггт
s2
8а '
и уравнение D0) примет вид
dt~ V 4а \so s У
Разделяя здесь переменные, получим:
ds
и, интегрируя, найдем:
Так как при ? = 0, т. е. в начальный момент, когда точка на-
находится в MQ, s = s0, то, подставляя эти начальные данные, получим:
с = arccos 1=0,

$ 38] ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 415
и закон движения маятника представится окончательно в виде
Следовательно, период колебаний циклоидального маятника равен
Отсюда видно, что для циклоидального маятника период Т не
зависит от размаха; следовательно, циклоидальный маятник будет
изохронным. Из формулы D1) ясно, что движущаяся точка М до-
достигнет положения О (где s = 0) по истечении промежутка времени
Т _ я /" 4д
4 — 2V g
от начала движения. Как мы видим, этот промежуток времени совер-
совершенно не зависит от начального положения точки. Поэтому, если
взять на циклоиде ряд точек Мо, Мх, ... (см. рис. 362) и заставить
их падать по циклоиде без на-
начальной скорости, то они придут
в точку О все одновременно
(свойство таутохронности).
7. Брахистохрона. Пусть ма-
материальная точка с массой m
движется в однородном поле тя-
тяжести по некоторой кривой ABC
(рис. 363), лежащей в вертикаль-
вертикальной плоскости, и выходит из точ-
точки А без начальной скорости.
Найдем время, в течение которого точка пройдет по кривой путь АВ.
Возьмем начало координат в точке А и ось z направим вертикально
вниз. Тогда, в отличие от предыдущего случая, потенциальная энер-
энергия точки V' = — mgz-\- const и интеграл энергии A1) дает:
— = gz-\-h. D2)
Так как по принятым условиям при z = О скорость v = 0, то по-
постоянная h = 0, и мы получим:
Рис. 363.
Пусть уравнение кривой АВ будет z = z (x)\ тогда, обозначая
—— = г' (х), будем иметь:
rfs =
 = \f 1
-g-J dx = Vl + z'2 dx.

416 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
Отсюда, так как ds = vdt, находим:
ds Vl + jz'Ydx
и время, в течение которого точка пройдет по кривой путь АВ,
будет:
D3)
Таким образом, время t зависит от вида функций Z (х), т. е. от
кривой, по которой движется точка; иначе говоря, t будет функцией
линии. Такая величина, значение которой зависит от выбора одной
или нескольких функций, называется функционалом; аргументом
функционала является та функция, от которой он зависит. В нашем
случае
/ = Ф [«(*)],
т. е. время t есть функционал от функции z (x), которой выражается
уравнение кривой АВ.
Будем теперь искать такую кривую, двигаясь по которой точка
пройдет путь АВ в кратчайшее время; аналитически эта задача сво-
сводится к нахождению такой функции z (x), которая обращала бы
функционал D3) в минимум. Кривая, обладающая таким свойством,
называется брахистохроной (от греческих слов |}рахюто?—крат-
|}рахюто?—кратчайший и XP'->V0?—время). Задача о брахистохроне была впервые
поставлена и решена в 1696 г. Иоганном Бернулли, который тем
самым положил начало вариационному исчислению — отделу анализа,
посвященному нахождению экстремумов функционалов.
Таким образом, задача о брахистохроне сводится к нахождению
минимума функционала, общий вид которого есть
х
J[z(x)]= f F(x, z, z')dx, D4)
т. е. к так называемой простейшей задаче вариационного исчисления.
Для того чтобы функция z (х) обращала функционал J в минимум,
необходимо, чтобы для какой угодно функции z(x) = z {x)-\-&t,{x),
достаточно близкой к z (x) [или, что то же, для кривой, достаточно
близкой к кривой z = z (х) и проходящей через точки А и В],
значение J[z(x)] было боише значения J\z{x)\.

§ 38] ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 417
Величина е?(х), на которую функция z(x) отличается от функ-
функции z(x), называется, как известно (см. § 28, п. 1), вариацией этой
функции, т. е.
z (х) — z (х) = е? (х) = bz.
Следовательно,
X
J[z(x)] = f F(x, z-\-bz, z' + bz')dx. D5)
о
Развертывая выражение J[z(x)] в ряд и ограничиваясь ввиду
малости е членами первого порядка, имеем:
X
J F(x, z-\-bz, z'-\~bz')dx =
о
х
F(x, z,
Из равенств D5) и D4) видно, что последний интеграл в правой
части представляет собой, с точностью до малых высшего порядка,
разность J[z{x)\ — J[z(x)\. Эта разность называется первой вариа-
вариацией функционала J, т. е.
, z, z')dz = bJ. D6)
Преобразуем выражение bJ, принимая во внимание, что поскольку
bz — z (х) — z (х), то
[z(x) — z(x)] dbz
т. е. для рассматриваемой вариации операции варьирования и диф-
дифференцирования являются переместительными. Тогда, интегрируя по
частям, найдем, что
-/?¦'<»•>--
X
27 Н, Н. Бухгольц

418 динамика точки [гл vr
Так как в точках А и В z(x) = z(x) [т. е. кривые z — z~(x), до-
достаточно близкие к кривой z = z (х), должны проходить через
точки А и В], то в этих точках вариации bz обращаются в нуль,
и следовательно, проинтегрированный член правой части исчезает.
В результате, так как bz = e?(x), получим из равенства D6)
Проводя те же рассуждения, которые имеют место при выводе
необходимых условий экстремума функций, мы придем к заключению,
что необходимое условие для экстремума функционала У состоит
в том, чтобы
Так как функция ?(х) произвольна и на пределах интеграла обра-
обращается в нуль (ибо вариации 6z в точках А и В равны нулю), то
в силу основной леммы вариационного исчисления подынтегральное
выражение равно нулю, т. е.
Итак, чтобы функция z(x) давала экстремум функционала J,
необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла дифференциальному
уравнению D7), которое впервые было дано Эйлером и носит его
имя. Так как F — F(x, z, z'), то уравнение Эйлера в раскрытом
виде запишется так:
дг'дх ' дг'дг дг" дг
Это уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка относительно искомой функции z (x).
В частном случае, если функция F явно не зависит от х, то
уравнение Эйлера дает первый интеграл. Действительно, умножая
обе части уравнения D7) на z', получим:
Но

§ 38] ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 419
Следовательно, уравнение D8) можно представить в виде
Если F = F(z, z'), то
и равенство D9) дает:
откуда
-^rz'-F^c, E0)
где с есть произвольная постоянная. Таким образом, мы получили
первый интеграл уравнения Эйлера. Так как F от х не зависит, то
уравнение E0) интегрируется в квадратурах.
Возвратимся к задаче о брахистохроне, которая, как мы видели,
сводится к нахождению минимума функционала
I±?RdXi
J V'lgz (.*)
т. е. к интегрированию соответствующего уравнения Эйлера. В дан-
данном случае
F — ¦
следовательно, функция F явно от х не зависит и существует пер-
первый интеграл E0), имеющий вид
-г-? J—— )\
= const,
или, в раскрытой форме,
Z'2 /i+F»
т== ! = COnSt.
/г |Л + г'2 /г
Приводя это выражение к общему знаменателю, получим после
упрощений
= const,
откуда
z(l + z'*) = C. E1)
где С есть произвольная постоянная.
27
*

420 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
Из равенства E1) находим:
Введем переменное ф, полагая
| |E3)
Подставляя это значение z в правую часть равенства E2), получим
dz , го
отсюда, так как dz —С sln-f^-cos ^dy> будем иметь:
dx = —¦ — С sin2 —¦ dy =-х-A — cosq>)dq>,
ctg-|-
и, интегрируя, найдем:
Q
E4)
Так как минимизирующая кривая z = z (х) должна проходить через
точку /1@, 0), то при х — 0 2 = 0 и, следовательно, как видно
из E3), ф = 0. Подставляя эти значения в уравнение E4), получим
С1 = 0. Окончательно, принимая во внимание E3), найдем следующее
уравнение брахистохроны в параметрической форме:
Q
X = -я-(ф — ЭШф),
Q
=-Fj-A СОЭф).
E5)
Таким образом, для однородного поля тяжести брахистохроной будет
циклоида, у которой диаметр образующего круга есть С. Величина С
определяется из того условия, что циклоида проходит через точку
B(xv z{); следовательно, должно быть:
С С
(ф sin<p), Zj = -2-(l
Отсюда, исключая ф, выразим С через хх и уг.
Задачу о брахистохроне можно поставить шире, т. е. искать
брахистохрону для потенциального поля сил, определяемого силовой
функцией U (х, у, z). В этом случае имеем интеграл энергии

$ 38] ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 421
принимая во внимание, что ds2 = dx2-{-dy2-{-dz2, получим:
at =. "" = / *t/ -t;— dJC>
V 2U (x, у, г) + A V^f/ (л:, у, г) + А
откуда
J
д У2У(лт. у, г) + А
Задача сводится к вариационной задаче о нахождении минимума полу-
полученного интеграла, т. е. к нахождению минимизирующих функ-
функций у(х) и г (л:), которые и дадут уравнение бра-
брахистохроны:
у = у (х), z = z (х).
8. Дифференциальные уравнения движения
точки по заданной поверхности в декартовых ко-
ординатах. Пусть
f(x, у, z, 0 = 0 Рис. 364.
— уравнение поверхности, по которой принуждена двигаться точка.
Уравнение движения точки будет:
где F—действующая активная сила, N—реакция связи; так как
связь счияется идеальной, то реакция N направлена по нормали
к поверхности (рис. 364). Полагая тогда
получим уравнение движения точки в виде
или, в проекциях на оси координат,
E6)
Присоединяя к системе E6) уравнение связи
/(*, у, z. 0-0,

422 ДИНАМИКА ТОЧКИ 1ГЛ. VI
получим систему четырех совокупных уравнений, из которых можно
определить X, х, у, z в функции /. Это и будет решение задачи
в общем виде.
Покажем, что если связь идеальна и склерономна, то теорема
об изменении кинетической энергии формулируется так же, как для
свободной точки, т. е. элементарная работа реакции N равна нулю.
Имеем:
d B™1) = F ¦ dr+lgradf- dr.
Но
а дифференцируя уравнение связи, найдем:
следовательно,
a (mOLA—p а . df .
Если связь склерономна, то -— = 0, и теорема об изменении
кинетической энергии выражается уравнением
т. е. имеет тот же вид, что и в случае движения свободной точки.
9. Естественные уравнения движения точки по поверхности.
Траекторией точки, движущейся по поверхности, будет, очевидно,
кривая, лежащая на этой поверхности всеми своими точками. Возьмем
поверхность Q (рис. 365), и пусть аа' будет элемент траектории
точки. Проведем в точке М касательную к траектории Мх, нор-
нормаль к поверхности MN и главную нормаль к траектории Мп. Про-
Проведем теперь через касательную т и нормаль N к поверхности
плоскость, которая пересечет поверхность по некоторой кривой;
элемент ЬЬ' этой кривой будет принадлежать геодезической линии
данной поверхности, касающейся траектории в точке М *). Проведем
') Геодезической линией на поверхности называется линия, в каждой
точке которой главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности;
поскольку ЬЬ' есть элемент кривой, лежащей в плоскости xMN, то главная
нормаль к этой кривой в точке М направлена по MN. Следовательно, ЬЬ' —
элемент геодезической линии.

§38]
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
423
затем через точку М прямую МР в касательной плоскости перпен-
перпендикулярно к касательной т; эта прямая МР будет, очевидно, одно-
одновременно перпендикулярна к ММ, т. е. является бинормалью для эле-
элемента геодезической линии bb'. Ясно, что элемент траектории аа' дви-
движущейся точки будет совпадать в точке М с элементом геодезической
линии поверхности только в том
случае, когда направление глав-
главной нормали к траектории совпа-
совпадает с направлением нормали к
поверхности в этой точке.
Уравнение движения точки по
поверхности
E7)
где N есть нормальная реакция
поверхности (силы F и N на
рис. 365 не показаны).
Будем проектировать обе ча-
части уравнения E7) на три напра-
направления: на MN—направление
нормали к поверхности, на Мх — направление касательной к траекто-
траектории и на МР — направление бинормали к геодезической линии по-
поверхности.
Для удобства при проектировании представим ускорение как
сумму двух ускорений, тангенциального и нормального; тогда урав-
уравнение E7) примет вид
E8)
где
Проектируя обе части уравнения E8) на выбранные оси, получим:
dv
т° и п° суть единичные векторы касательной и главной нормали, а
N kgradf
в проекции на Мх: т -^j- &= ,
на ММ:
на МР:
mv2 cos 8
¦—> Р,
E9)
где 9 есть угол между нормалью к поверхности N и главной нор-
нормалью траектории п, а р = МО есть радиус кривизны траектории
в рассматриваемой точке М. Проведем в нормальной плоскости
через центр кривизны траектории О прямую, перпендикулярную
к главной нормали п; тогда она пересечет прямые МР и MN
в точках К и L; отрезок ML^=pN называется радиусом нормальной

424
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. VI
кривизны и, очевидно, равен —^-g-; отрезок MK = Pg называется
радиусом геодезической кривизны и равен - д ¦„ . Когда 9 = 0, то
траекторией будет геодезическая линия, а если 6 = -$> то траектория
будет наиболее уклоняться от геодезической линии. Вводя р^ и pg,
мы можем уравнения E9) представить в следующем виде:
dv
«. dv —
F0)
Первое и третье из этих уравнений дают закон движения, вто-
второе определяет неизвестную реакцию N.
Наиболее простым случаем движения будет тот, когда на дви-
движущуюся по поверхности точку не действует никакая активная сила.
Естественные уравнения для этого случая будут:
dv n
т
= 0.
F1)
Из первого уравнения следует, что скорость по модулю
постоянна (v = const). Далее, траекторией точки будет геодезическая
линия. Действительно, так как
т
= 0,
то геодезическая кривизна
1 sin 8 „
Pg P
откуда следует, что 8 = 0, т. е. что траектория есть геодезическая линия.
Наконец, из второго уравнения системы F1) вытекает, что в этом
случае величина нормальной реакции будет обратно пропорцио-
пропорциональна pN; но так как в данном случае 9 = 0, то pN = р; следова-
следовательно, величина реакции обратно пропорциональна радиусу кривизны
траектории.
10. Теорема Клеро. Полученные результаты позволяют легко найти
некоторые свойства геодезических линий. Пусть мы имеем поверхность
вращения (рис. 366). Примем ось вращения за ось г, и пусть mm' будет

$38]
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
425
V
одним из меридианов поверхности, a g есть геодезическая линия поверхности
вращения, проходящая через точку М. Обозначим через i угол, под кото-
которым геодезическая линия пересекает меридиан. Рассматривая геодезическую
линию g как траекторию инерциально движущейся точки, можно сделать
следующие выводы.
Скорость точки v направлена по касательной к траектории (т. е. к гео-
геодезической линии); реакция поверхности N направлена по нормали к поверх-
поверхности и будет пересекать ось г. Так как Л'
пересекает ось вращения, то момент силы N г
относительно этой оси равен нулю, следова-
следовательно, по теореме площадей момент ско-
скорости относительно оси вращения будет вели-
величина постоянная. Таким образом, если обозна-
обозначить через г радиус параллели, проходящей
через М, то
rv sin i =s const;
но v == const, следовательно,
r sin i = const. F2)
Это есть теорема Клеро. Из формулы F2)
ясно, что с уменьшением г увеличивается
угол t и, следовательно, геодезическая линия
все более отклоняется от меридиана.
11. Геодезические линии поверхности Рис- 366.
вращения. Исходя из того, что траектория
точки, движущейся на поверхности по инерции, есть геодезическая линия
этой поверхности, можно легко найти геодезические линии поверхности
вращения.
Примем ось вращения за ось г, и пусть уравнение меридиана, лежащего
в плоскости хг, дано в виде
Перейдем к цилиндрическим координатам г, <р, г. Тогда уравнение рас-
рассматриваемой поверхности вращения будет:
-fir)-
F3)
Выражение для дифференциала дуги в цилиндрических координатах имеет
вид (см. § 6, п. 14):
ds* = dr* + г2 rfq>2 -f dz*.
Для взятой нами поверхности вращения F3) будем иметь:
F4)
где /'2 = [/' (г)]2. Поскольку уравнение поверх юсти г = / (г) задано, то для
определения траектории (геодезической линии) достаточно найти, используя
F4), зависимость между гиф. С этой целью воспользуемся имеющими место
для рассматриваемого движения двумя первыми интегралами. Так как актив-
активная сила F =0 (точка движется по инерции), то из интеграла энергии сле-
следует, что скорость по модулю постоянна, следовательно,
ds = va dt.

426 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
Кроме того, относительно оси вращения имеет место интеграл площадей, т. е.
откуда
Тогда
где обозначено ^
с
Подставляя полученное выражение ds в формулу F4), будем иметь:
(ar2 dtpJ = dr*
r2 dtp2 (r2a2 — 1) = dr2 A + f'\
откуда
где знак определяется направлением начальной скорости va. Из полученного
уравнения квадратурой найдем:
-*УЧ
F5)
где а и с суть произвольные постоянные, которые можно определить из
условия, что геодезическая линия проходит через две заданные точки или
через одну заданную точку и имеет в ней заданное направление. Таким
образом, с помощью формулы F5) определяется в конечной форме уравнение
геодезических линий поверхностей вращения.
12. Движение тяжелой точки по поверхности вращения, ось
которой вертикальна. Направив ось z вертикально вниз, имеем,
как и в ранее рассматривавшихся случаях, интеграл энергии D2):
V2 = 2(gz + h) F6)
или
где h — постоянная, пропорциональная начальной энергии. Подста-
Подставляя в левую часть уравнения F6) значение ds из формулы F4)
и принимая во внимание, что z=f(r), получим:
F7)
или
dr2 [ 1 4- f'! (r)] 4- г2 d<p = 2 [gf (r) 4- h] dP. F7')

138]
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
427
Так как относительно юси вращения имеет место теорема площа-
площадей, то
dw
г2 dw
dt - - — c
Подставляя это значение dt в уравнение F7'), получим:
или
F8)
Отсюда, интегрируя, найдем ф как функцию г, т. е. уравнение
траектории.
13. Сферический маятник. Сферическим маятником называется
тяжелая материальная точка, движущаяся по неподвижной сфере.
В первом приближении таким маятни-
маятником можно считать малый груз, под-
подвешенный на нерастяжимой нити или
невесомом (легком) жестком стержне.
Для решения задачи о движении маят-
маятника можно, очевидно, использовать
результаты п. 12. Однако в данном
случае будет несколько удобнее про-
провести исследование не в цилиндриче-
цилиндрических, а в сферических координатах.
Пусть 1=ОМ (рис. 367) —ра-
—радиус сферы, по которой движется
точка (длина нити). Направим из цен-
центра О сферы вертикально вниз ось
Oz и будем определять положение маятника сферическими коорди-
координатами ф и 8, где ф — угол отклонения радиуса ОМ от вертикали,
а 9—угол между вертикальными плоскостями MOz и xOz. На
маятник М действуют сила тяжести mg и реакция сферы (или на-
натяжение нити) N. Для составления уравнений движения воспользуемся
первыми интегралами энергии и площадей. Так как сила mg потен-
потенциальная, а связь идеальная и склерономная, то имеет место инте-
интеграл энергии D2)
^- — gz=h. F9)
С другой стороны, поскольку сила mg параллельна оси z,
а реакция N пересекает ось, то относительно оси z имеет место
интеграл площадей
тот2 (v) = г2 -7т = с,
Рис. 367.

428 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
где г есть расстояние точки М от оси z. Так как т = I sin ф, то
этот интеграл принимает вид PsitPy-rr — c или
51п2Ф^ = с1. G0)
Элементарное перемещение точки М по сфере складывается из
двух взаимно перпендикулярных перемещений ld(f> и / sin ф й?6, на-
направленных соответственно по касательным к меридиану и к парал-
параллели, проходящим через точку М. Следовательно,
tfs2 =/2 <V-Н2 sin2
откуда
2
v
Подставляя это значение v2 в уравнение F9) и учитывая, что
= lcosq>, получим:
где кг — новая постоянная, которая, так же как и сх, определяется
подстановкой начальных условий в уравнения G1) и G0).
Таким образом, движение маятника описывается системой диффе-
дифференциальных уравнений G0) и G1).
Умножая обе части равенства G1) на sin29 и вычитая из него
квадрат равенства G0), получим для определения ф уравнение
sin2 ф (^р}2 = (л, + 2 ¦?• cos ф) sin2 ф — с\. G2)
Введем новое переменное и, полагая:
г du
и со5ф
Тогда уравнение G2) преобразуется к виду
(?)WW, (Г4>
где
F(u)=(h1 + 2 fa) A-й2) -с2. G5)
Из уравнения G4) находим:
G6)

§ 38] ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 429
откуда
и
УТЩ' G7)
где и0 — значение и в момент t = 0.
Поскольку F(и) есть многочлен третьей степени относительно и,
то стоящий в правой части интеграл будет эллиптическим. Таким
образом, зависимость между и и /, а следовательно, и между ф и /
может быть выражена с помощью соответствующей эллиптической
функции, называемой функцией Вейерштрасса.
Представим уравнение G0), перейдя в нем от ф к переменному и,
в виде
G8)
dt~ 1 — «2 -
Если зависимость и (t) определена, то из G8) найдем:
G9)
где 90 есть значение 8 в момент ^ — 0.
Таким образом, определение закона движения сферического
маятника сводится к вычислению интегралов, стоящих в правых
частях равенств G7) и G9).
Уравнение траектории маятника можно найти, исключив t из
уравнений <p = q>(f) и 8 = 8(f), даваемых интегралами G7), G9).
Можно также, заменив в G9) dt его значением из равенства G6),
получить непосредственно уравнение
(80)
связывающее 9 и ф, т. е. определяющее траекторию маятника.
Покажем, как можно, не вычисляя соответствующих интегралов,
получить качественное представление о характере движения маятника.
Это движение можно рассматривать как слагающееся из колебаний
в вертикальной плоскости MOz (см. рис. 367), определяемых изме-
изменением угла ф, и из вращения этой плоскости вокруг оси г, опре-
определяемого изменением угла 8.
Рассмотрим многочлен третьей степени F(u) и покажем, что все
три корня этого многочлена являются вещественными. В самом деле,
если изобразить зависимость F{u) графически, то легко убедиться,

430
ДИНАМИКА ТОЧКИ
(ГЛ. VI
что кривая F(u) имеет вид, показанный на рис. 368. Для этого
представим выражение G5) в виде
Тогда, очевидно, что
F(-j-oo) = — сю, F{—oo)=-f-oo (точки / и 5).
Далее, из самого равенства G5) следует, что
F (+ 1) = — с\, F(—\) = — c\ (точки 2 и 4).
Наконец, исключая пока из рассмотрения случай, когда во все
время движения ср = const и -—-^0, мы видим из уравнения G4),
Рис. 368
что при некотором значении и, соответствующем рассматриваемому
движению, т. е. при \а\ = |cosф| < 1, должно быть
F(u) = (—/7~) > 0 (точка 5).
Итак, кривая F(k) проходит через точки /, 2, 3, 4, 5. Так как
она должна при этом пересечь ось абсцисс три раза, а уравнение
/=•(«) = 0 имеет только три корня, то других точек пересечения
с осью абсцисс у кривой F(u) нет. Следовательно, многочлен F(u)
действительно имеет три вещественных корня uv u2, н3, из которых
первые два по модулю меньше единицы, а |и3| > 1.
При построении графика рис. 368 мы рассматривали и как про-
произвольную переменную. Найдем теперь, какие значения величины и
и F (и) могут принимать в нашей задаче. Так как у нас M = coscp,
то —1<!и-^-[-1. Кроме того, поскольку F(u) есть правая часть
уравнения G4), то F(«)>0. Обоим этим условиям одновременно
удовлетворяет только та часть кривой, которая ограничивает за-
заштрихованную на рисунке площадь. Но тогда
их > и > и2 (81)

§38]
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
431
и, следовательно, при движении маятника угол ф (или координата
z = 1и = / cos ф) изменяется в пределах
где ф1 = агссозв1, ф2 —arccosa2. Таким образом, маятник будет дви-
двигаться между параллелями ф = ф, и ф = ф2 (или г = гх и z = z2),
показанными Fia рис. 369, попеременно достигая каждой из них,
т. е. движение маятника в плоскости MOz (см. рис. 367) будет
представлять собой колебания
между положениями ф = ф1 и ф =
= ф2. Последний вывод следует
из того, что скорость ф может
обратиться в нуль только при
Ф = фх и ф = ф2, так как, согласно
формулам G3) и G4), при ф = О
будет к = 0 и F (и) — 0, а для
маятника по доказанному F(u) = О
только при в = «! и в = и2.
Положения параллелей Ф = Ф1
Рис. 369.
и ф = ф2 можно в каждом кон-
конкретном случае определить, найдя соответствующие корни уравнения
F(k) = 0; значения этих корней, как видно из равенства G5), за-
зависят от h-y и Cj, т. е. от начальных условий. Однако можно дока-
доказать, что всегда и1 = г1{1>0, и при этом и, > |и2|, т. е. гх > |z2|.
Таким образом, если в частном случае z2 < 0, т. е. верхняя парал-
параллель лежит выше центра О сферы (движение при этом возможно,
когда связь будет неосвобождающей), то эта параллель будет ближе
к центру О, чем нижняя; иначе говоря, при движении маятника его
среднее положение по вертикали будет всегда ниже центра сферы О.
Чтобы это доказать, разделим обе части равенства G5) на коэффи-
коэффициент при в3, т. е. на —2g-//; тогда в уравнении F(«) = 0 коэф-
коэффициент при и будет равен —1 и по свойству корней кубичного
уравнения должно быть:
Н1Н2 =
Отсюда находим, что
так как по доказанному Ib^I <1 и в3 < 0. Следовательно, или
оба корня Н] и в2 положительны, или положителен наибольший из
них, т. е. Bj, и при этом их > |и2|.
Покажем, что колебания маятника в плоскости MOz являются
периодическими. Действительно, при движении маятника от парал-
параллели ф = ф2 до параллели ф = ф1 угол ф убывает, а в растет.

432 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
Следовательно, в равенстве G6) перед радикалом надо взять знак
плюс и время этого движения будет:
7\,= ' du
При движении же от ф = фх до <р = ф2 величина и убывает и
время этого движения будет:
. Г du Г
du
Отсюда и следует, что маятник движется между параллелями
ср = фх и ср = ф2 периодически с периодом Т = 2Т12-
Рассмотрим теперь, как вращается плоскость MOz вокруг вер-
вертикали Oz. Для этого обратимся к уравнению G8). Будем считать
С] Ф 0, так как при сх — 0, т. е. при тошг (v0) = 0, угол 6 = const
и мы получим уже рассмотренный в п. 5 случай плоского маятника.
При сх Ф 0 для значений и2 -<! и -^ их будет и2 < 1 (см. рис. 368).
Тогда из уравнения G8) следует, что угловая скорость 8 имеет по-
постоянный знак, определяемый знаком cv Таким образом, плоскость
MOz вращается все время в одну и ту же сторону с переменной
угловой скоростью, тем большей, чем больше |и] = \z\jl, т. е. чем
ближе маятник к вертикали Oz.
Из изложенного следует, что траектория маятника на сфере будет
иметь вид кривой, показанной на рис. 369; эта кривая попеременно
касается параллелей ф —ф! и ф = <р2 (на параллелях ф = 0, а 8 Ф 0)
и располагается симметрично относительно меридиана АВ. Чтобы
убедиться в последнем, рассмотрим две точки L и М траектории,
лежащие на одной и той же параллели, для которых, следовательно,
uL — им. Тогда, учитывая, что величина и на участке LA растет,
а на участке AM убывает, получим из уравнения (80)
А А ' du
;1 _ и2) F (и) '
fl _fi С du. _ f du
иж «л— ci J (\—u*)F(u) — Ci J (l—u2)F(u)'
"a ul
т. е. 9Д — 0t = QM — вд, откуда и следует наличие указанной сим-
симметрии.

f 38]
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
433
Проекция траектории на горизонтальную плоскость ху в случае,
когда и2 > 0, т. е. когда обе параллели ф = ф1 и ф = <р2 лежат на
нижней полусфере, показана на рис. 370. Траектория должна по-
поочередно касаться окружностей г = ОАГ=
—/Бтф2 и г = ОВХ —/sincpj, при этом
можно доказать (доказательство опускаем),
что ^А^ОВ^ЭО0 и что кривая не имеет
точек перегиба. Картина движения в пло-
плоскости ху представляется такой, как
если бы точка двигалась по кривой,
близкой к эллипсу, которая в свою оче-
очередь вращается вокруг центра О в сто-
сторону движения точки (эта кривая тем
ближе к эллипсу, чем меньше отклонения
маятника от вертикали).
В случае, когда и2 < 0 (параллель
ф = ф2 лежит на верхней полусфере),
проекция траектории маятника на пло-
плоскость ху будет попеременно касаться параллели ф = ф1, экватора,
параллели ф = ф2 и т. д. (рис. 371); в отличие от предыдущего
случая, эта кривая может иметь точки перегиба.
Картину движения маятника при малых колебаниях можно по-
попытаться найти, исходя из урав-
уравнений движения в проекциях на оси
декартовых координат (см. рис. 367):
Рнс. 370.
тх = — N -г
г,
ту— — N ~,
mz = mg — N у
(83)
Так как
то, считая х <^ / и у <СС h можно Рис- 371-
в первом приближении принять
zml, z = 0. Тогда из уравнений (83) получим N=mg и
28 Н, Н. Бухгольц

434 ДИНАМИКА ТОЧКИ (ГЛ. VI
откуда, интегрируя, найдем:
x = asin(kt-t-a), у = Z>sin(/i^ + p), (84)
где a, a, b, p — постоянные интегрирования. Если принять,
что в начальный момент ?=0 х = х0, х = 0, у = 0, y — v0, то
из (84) получим закон движения маятника, соответствующий этим
начальным условиям, в виде
лг — xQcoskt, y = ^-sinkt; (85)
при этом х0 и vQ/k считаются величинами малыми по сравнению с I.
Исключая из уравнений (85) t, найдем, что траекторией маятника
в плоскости ху будет эллипс. Этот результат не является, однако,
верным, так как оказывается, что, полагая приближенно z t^il, мы
теряем в решении (85) члены того же порядка малости, чго и х0
и vo/k. Если же учесть эти потерянные члены, то окажется, что
траекторией маятника в плоскости ху будет не неподвижный эллипс,
а эллипс, вращающийся в сторону движения точки1), что и было
отмечено выше.
14. Конический маятник. При исследовании движения сфери-
сферического маятника мы исключили из рассмотрения случай, когда ф0 = 0
и во все время движения ср = ф0 = const. Если такой случай имеет
место, то ф1 = ф2 = ф0, т. е. полоса, в которой движется маятник,
вырождается в окружность; получающийся при этом маятник назы-
называется коническим. В случае конического маятника уравнение F(k) = 0
должно иметь кратный корень и1=и2=и0; одновременно (см. рис. 368)
будет F/(u0) = 0. Следовательно, корень ио удовлетворяет двум
уравнениям
Исключая отсюда At, находим, что с1 и и0 связаны зависимостью
С1 ~ Ыа Г ио) ¦
1) См. А. Н. Крылов, Лекции по приближенным вычислениям, изд. 6,
1954, стр. 266—273.

38] ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 433
Но, как следует из равенства G8),
ao = COS(jPcr
В результате приходим к выводу, что конический маятник может
получиться лишь в том случае, когда при фо = О между начальным
углом отклонения ср0 и начальной угловой скоростью 80 имеет место
зависимость
Поскольку траектория конического маятника (окружность радиуса
r=lsinq>0) заранее известна, то соотношение (86) можно непосред-
непосредственно найти из уравнений движения маятника в проекциях на глав-
главную нормаль и бинормаль к траектории. Эти уравнения, если учесть,
что скорость конического маятника v — r%= (Zsincp0) 90, дают (см.
рис. 367):
m
(l sin cpo)92 = iVsinф0, 0 = N cos ф0 — mg,
откуда, исключая N, и получаем равенство (86).
15. Принцип Даламбера. Для изучения несвободного движения
можно пользоваться принципом Даламбера, являющимся одним из
основных принципов (начал) механики. Рассмотрим сначала случай
свободной точки. Если на свободную материальную точку действует
сила F, то она сообщает точке ускорение <tso, направленное по силе;
уравнение движения точки будет:
mW = F, (87)
откуда
(_ тщ — о или F-\-J=Q. (88)
В равенстве (88) вектор ./ = — тчи можно рассматривать как
силу, которая, будучи приложенной к точке, уравновесит силу F.
Эта сила, равная произведению массы точки на ее ускорение и на-
направленная в сторону, противоположную ускорению, называется
силой инерции. Уравнение (88) показывает, что сумма векторов
F и У = — mw равна нулю или что в каждый момент времени
силы, приложенные к точке, могут быть уравновешены до-
добавлением к ним силы инерции. Это и есть начало Даламбера
для свободной материальной точки.
Рассмотрим теперь несвободную материальную точку. Когда точка
несвободна, то она под действием активной силы F получает уско-
ускорение iv, которое вообще не направлено по силе.
28*

436
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. VI
\J=-mui
Если ра?ложить силу F на силу, равную mw, и некоторую дру-
другую силу R (рис. 372), то точка будет двигаться так, как будто
на нее действует только сила mw (эффективная сила); сила R при
этом как бы теряется (потерянная сила). Высказанный Даламбером
принцип состоит в том, что при не-
несвободном движении потерянная сила
R уравновешивается реакцией связи N,
т. е.
N-j-R = Q. (89)
Из рис. 372 видно, что если к дви-
движущейся точке М приложить силу инер-
инерции J' =— mw, которая противоположна
эффективной силе, то будет иметь место
равенство
Перенося R влево и учитывая, что на основании равенства (89)
— R = N, получаем:
F-j-N-\-J=0. (90)
Равенство (90) представляет собой другое выражение принципа
Даламбера для несвободной материальной точки: действующие на
движущуюся материальную точку активные силы и реакции
связей можно в любой момент времени уравновесить добавле-
у нием к ним силы инерции. Таким
образом, принцип Даламбера дает
возможность при решении задач ди-
динамики составлять уравнения движе-
движения в форме уравнений равновесия,
используя для этого соответствую-
соответствующие уравнения или принципы статики.
Эффективность такого метода осо-
особенно выявляется в динамике си-
системы.
В качестве примера рассмот-
рассмотрим груз массы т (который будем
далее считать материальной точкой),
привязанный к нити ОМ длиной г
и движущийся по окружности (рис. 373). На точку М действует
реакция нити N (действием других сил, например силы тяжести,
пренебрежем). Для составления уравнений движения воспользуемся
принципом Даламбера и приложим к точке М силу инерции J, раз-
разложив ее на касательную и нормальную составляющие Jx и У„; при
этом Jf и Jn направлены соответственно противоположно iS)t и <wn.
Рис. 373.

§ 38] ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 437
а по модулю
г
где (о — угловая скорость вращения радиуса г (нити). Тогда, согласно-
принципу Даламбера, силы N, J%, Jn должны находиться в равно-
равновесии. Составляя уравнения равновесия в проекциях на оси х и у,
получим:
, т dv n . л, п
yT==m_ = 0. Jn-N = Q.
Из первого уравнения находим, что v = const = v0, т. е. что точка
движется при этом по окружности с численно постоянной скоростью;
из второго уравнения определяем величину реакции: Л/ = тг(о2.
Метод решения задач с помощью принципа Даламбера ясен из рас-
рассмотренного примера и остается таким же, если на точку, кроме
реакции N, действует любая система других сил.
Следует еще раз подчеркнуть, что в рассмотренном примере-
к точке приложена только сила N (центростремительная сила) и под
действием этой силы точка описывает окружность; никакая сила
инерции J на точку не действует и понятие об этой силе вводится
лишь для того, чтобы, используя принцип Даламбера, решить задачу
методами статики.
Отметим еще следующее. Если на точку действует некоторая сила F,
то эта сила есть результат взаимодействия точки с каким-то другим телом.
При этом по третьему закону Ньютона на данное тело будет со стороны
точки действовать сила Q — — F (сила противодействия). С другой стороны,
если мы будем применять к точке, движущейся под действием силы F,
принцип Даламбера, то, вводя силу инерции J, получим, согласно уравне-
уравнению (88), F-{-J=0 или У = — F. Отсюда следует, что J=Q, т. е. что сила
инерции равна как вектор силе противодействия. Однако эти две силы не
следует отождествлять. Сила Q есть сила, реально действующая на тело,
с которым взаимодействует движущаяся точка, и равенство Q = — F выра-
выражает соотношение, вытекающее из закона действия и противодействия
(уравновешивать силу F сила Q не может, так как эти силы приложены
к разным телам).t Сила же J = — mw, иа движущееся тело (или точку)
не действует, а равенство F-{-J=0 выражает в статической форме уравне-
уравнение движения точки, находящейся под действием только силы F. Эти рас-
рассуждения относятся и к случаю, когда на точку действует несколько сил,
если под F понимать их равнодействующую, а под Q — геометрическую
сумму сил противодействия.
В рассмотренном выше примере сила противодействия Q, векторио
равная J, будет приложена со стороны груза к нити и вызывает ее натяже-
натяжение (центробежная сила). Если точка М, изображенная на рис. 373, будет
двигаться по окружности радиуса г под действием силы притяжения
к телу Ми находящемуся в центре О, то определяемая тем же расчетом
сила JV = mroJ — это сила, с которой тело М, притягивает точку М, а сила
противодействия Q, векторно равная У, будет силой, с которой точка М
притягивает тело М,, и будет приложена к этому телу. При этом по-прежнему
никакая сила инерции J на точку М действовать не будет.

438
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. VI
§ 39. Относительное движение материальной точки
1. Инерциальные и иеинерциальные системы отсчета. Вопрос
об относительном движении материальной точки тесно соприкасается
с самыми основными идеями механики. Всякое движение точки (или
тела) мы должны рассматривать относительно некоторой системы
отсчета. До сих пор мы изучали движение по отношению к так назы-
называемой инерциальной системе отсчета (см. § 14, п. 2), т. е. система
отсчета, в которой справедливы основные законы динамики и по
отношению к которой материальная точка, на которую никакие силы
не действуют, движется по инерции (равномерно и прямолинейно).
Инерциальную систему отсчета называют еще условно неподвижной,
а движение по отношению к ней — абсолютным.
Сейчас мы перейдем к рассмотрению движения точки по отноше-
отношению к системам отсчета, как угодно перемещающимся по отношению
к инерциальной системе отсчета. Такое движение точки называют
относительным. Ниже будет показано, что система отсчета, пере-
перемещающаяся по отношению к инерциальной системе поступательно,
равномерно и прямолинейно, будет также инерциальной, т. е.^в ней
основные законы динамики будут справедливы. Если же движение
данной системы отсчета по отношению к инерциальной не является
поступательным, равномерным и прямолинейным, то эта система
является неинерциальной и в
ней основные законы динамики,
и в частности закон инерции,
места не имеют. Чтобы распрост-
распространить все уравнения динамики
на неинерциальные системы от-
отсчета, вводятся соответствующие
силы инерции, аналогично тому
как это делается в принципе Да-
ламбера.
2. Дифференциальные урав-
уравнения относительного движения
точки. Рассмотрим материальную
точку М, на которую действует
сила F, являющаяся результатом взаимодействия этой точки с другими
материальными телами. Составим уравнения движения этой точки
по отношению к системе отсчета Axyz, произвольно перемещающейся
относительно инерциальной системы отсчета Bx1y1z1 (рис. 374).
Из кинематики известно, что ускорение точки М относительно
основной системы В, которое обозначим <wa, равно сумме трех
ускорений; относительного wr, т. е. ускорения по отношению к си-
системе отсчета А, которое будем обозначать <w, переносного we и
добавочного или кориолисова ю(, = 2(вХ?), где «о есть угловая
В
м
"У/
Рис. 374.

§ 39] ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 439
скорость системы отсчета А относительно системы В, a v = vr —
скорость точки по отношению к системе отсчета А. Тогда
а ~т~ we~T~ с' \*/
Уравнение движения точки М относительно инерциальной системы
отсчета В, согласно основному закону динамики, будет:
mwa = F. B)
Заменяя wa его выражением из равенства A), получаем:
mw -f- mwe -f- mwc = F,
откуда
Введем обозначения
Je = — mwe, Jc = — mwc. D)
Величины Je и Jc, имеющие размерность силы, назовем соответ-
соответственно переносной и кориолисовой силами инерции. Тогда из
равенства C) получим:
mw — F-\-Je-\-Jc. E)
Уравнение E) и представляет собой в векторной форме уравне-
уравнение относительного движения точки (по отношению к подвижной
системе отсчета А). Сравнивая между собой E) и B), заключаем, что
уравнения относительного движения точки можно составлять так же,
как уравнения абсолютного движения, если к действующим на точку
силам взаимодействия с другими материальными телами прибавить
переносную и кориолисову силу инерции.
Проектируя обе части равенства E) на оси Axyz, получим диф-
дифференциальные уравнения относительного движения точки в проек-
проекциях на прямоугольные декартовы оси координат:
d2x
т др =
т -fir =
~г•'
су
F)
Как видно из уравнений E) или F), введение сил инерции Je и Jc
позволяет при изучении относительного движения составлять уравне-
уравнения движения точки в неинерциальной системе отсчета в той же
форме, которая имеет место для инерциальной системы. Иными сло-
словами, с помощью сил Je и Jc учитывается влияние движения подвижной
системы отсчета на относительное движение точки.
Отметим в заключение, что в ¦частном случае подвижная система
отсчета А может также быть инерциальной. Это, очевидно» будет

440
ДИНАМИКА ТОЧКИ
!гл. VI
иметь место, если уравнения E) и B) совпадают, т. е. если юе = 0
и 10С = 2(й> X v) = 0, что при произвольном виде зависимости v(t)
возможно только тогда, когда система отсчета А движется относи-
относительно системы В поступательно, равномерно и прямолинейно. Отсюда
заключаем, что любая система отсчета, движущаяся относительно
инерциальной системы поступательно, равномерно и прямолинейно,
также является инерциальной. Из этого результата в свою очередь
вытекает, что никаким механическим экспериментом нельзя обна-
обнаружить, находится данная система отсчета в покое или же совершает
поступательное, равномерное и прямолинейное движение (принцип
относительности Галилея — Ньютона).
3. Уравнение относительного покоя точки. Из уравнения E)
легко найти уравнение относительного покоя точки. Если точка
находится относительно подвижной системы отсчета А в покое,
то ю = 0 и v — Q, а следовательно, и wc = 2 (к> X ") = 0- Приняв
это во внимание, мы из E) получаем уравнение относительного
покоя в виде
F+Je = Q. G)
Отсюда следует, что уравнения относительного покоя составляются
так же, как уравнения равновесия в неподвижной (инерциальной)
системе отсчета, если к действующим на точку силам взаимодействия
с другими телами прибавить переносную силу инерции.
Отметим следующее различие понятия об условиях равновесия
в инерциальной и неинерциальной системах отсчета. В инерциальной
системе отсчета условие равновесия /7 = 0 означает, что точка при
_ этом может быть или в покое, или в состоянии
равномерного прямолинейного движения. В неинер-
неинерциальной же системе отсчета уравнение G) опре-
определяет только условие относительного покоя точки.
Если же точка совершает равномерное и прямо-
прямолинейное относительное движение (у = const Ф 0).
то действующие на нее силы будут удовлетворять
уравнению
= 0, (8)
Рис. 375.
где Jc ф 0, когда подвижная система движется
непоступательно и скорость v не параллельна м.
Рассмотрим следующий пример: пусть лифт, в ко-
котором находится наблюдатель, изолированный от внеш-
внешнего мира, может опускаться или подниматься
по вертикали (рис. 375) и пусть к имеющимся в лифте пружинным весам
подвешен некоторый груз весом Р. Если лифт находится в покое или дви-
движется равномерно, то весы показывают вес Р. Если же лифт вместе с на-
наблюдателем будет подниматься вверх с ускорением w, то, согласно уравне-
уравнению G), весы покажут вес, больший Р на величш!у переносной силы инерции

i 39]
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
441
p
Je = — w, а при движении лифта вниз с ускорением w весы покажут вес
Р w, меньший Р. Наблюдатель, сидящий в лифте и не знающий о его
движении, может объяснить увеличение или уменьшение веса
груза изменением интенсивности поля тяготения, в котором
находится груз.
Если лифт будет опускаться вниз с ускорением w = g,
р
то пружинные весы покажут вес, равный Р g = 0, т. е.
для наблюдателя, находящегося в лнфте, тело потеряет свой
вес; это явление наблюдатель может объяснить или свобод-
свободным падением лифта, или отсутствием поля тяготения. То
же явление обнаруживается в опыте с маятником, который
находится на доске, могущей свободно (без трения) падать
по вертикали вниз (рис 376). В этом случае маятник, откло-
отклоненный от вертикали на угол <р, при свободном падении до-
доски вниз колебаться не будет, так как из уравнения G) сле-
следует, что он будет относительно падающей доски в покое
(опыт проф. Любимова).
Эти примеры приводят нас к принципу эквивалентности
инертной и тяжелой масс.
Рис. 376.
4. Теорема об изменении кинетической энергии при относи-
относительном движении. Поскольку уравнение относительного движения E}
отличается от уравнения B) только наличием в правой части допол-
дополнительных слагаемых Je и Jc, то, очевидно, все общие теоремы
динамики точки, полученные в § 33 как следствия уравнения B),
имеют место и в относительном движении, если только к действую-
действующим на точку силам взаимодействия с другими телами прибавить
переносную и кориолисову силы инерции.
Например, теорема об изменении количества движения точки
(в дифференциальной форме) имеет в инерциальной системе отсчета вид
следовательно, в неинерциальной системе отсчета выражение этой
теоремы будет:
d{m<o) = Fdt-\-Jedt-\-Jcdt. (9)
Аналогично теорема об изменении кинетической энергии в неинер-
неинерциальной системе отсчета может быть выражена равенством
¦dr,
где г есть радиус-вектор точки относительно подвижной системы
отсчета А. Покажем, что последнее слагаемое Jc ¦ dr в равенстве A0)
будет всегда равно нулю. В самом деле,
jc . dr = — т (w X v) dr = — т (ы X ~j • dr = 0,

442
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. VI
так как в полученном смешанном произведении два вектора —?- и dr
коллинеарны.
Следовательно, выражение теоремы об изменении кинетической
энергии точки в относительном движении принимает вид
(И)
т. е. при относительном движении дифференциал кинетической энер-
энергии точки равен элементарной работе приложенных к точке сил
взаимодействия с другими телами, сложенной с элементарной работой
переносной силы инерции.
5. Относительный покой и относительное движение вблизи
поверхности Земли. Земля не является инерциальной системой от-
отсчета, так как по отношению к звездам она совершает вращение
вокруг своей оси и движется непрямолинейно вокруг Солнца. Однако
последнее движение для промежутков времени, много меньших одного
года, мало отличается от равномерного и прямолинейного. Поэтому
мы рассмотрим только влияние суточного вращения Земли вокруг ее
оси на относительный покой или движение
тел, находящихся вблизи земной поверхности.
Это сравнительно медленное вращение со-
совершается (по отношению к звездам) со ско-
скоростью 1 оборот за 23 часа 56 минут 4 се-
секунды, т. е. с угловой скоростью
со =
1л
86164
¦ 0,0000729 1/сек. A2)
Рис 377
1) Относительный покой вблизи земной
поверхности. Кажущийся вес тела. Рас-
Рассмотрим груз массы т, подвешенный к пру-
пружинным весам (или к нити) и находящийся относительно Земли в покое
(рис. 377). Тогда, согласно уравнению G), будет F-\-Je-\-N=0,
где F — сила притяжения Земли, направленная к ее центру, N— реак-
реакция пружины, равная ее натяжению, Je—переносная сила инерции.
Так как со = const, то сила Je имеет только нормальную составляю-
составляющую, перпендикулярную к оси вращения Земли, а численно Je — wco2,
где г есть расстояние груза от оси вращения Земли. Введем обо-
-значение
= P. A3)
Тогда условие равновесия дает P-f-Af=O или # — — Р. Следо-
Следовательно, Р есть та сила, которую пружинные весы регистрируют
как силу тяжести (вес) груза. Направление силы Р дает направление
.вертикали (кажущейся) в данной точке земной поверхности, а

30]
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
443
плоскость, перпендикулярная к Р, будет горизонтальной плоскостью.
Поскольку величина (о для Земли мала, то численно сила Р мало
отличается от силы притяжения F (на экваторе разность F—р
является наибольшей и составляет около 0,34% от величины F); на-
направление силы Р так же мало отличается от направления F (разность
показанных на рис. 377 углов X—геоцентрическая широта и
Ф — астрономическая широта будет наибольшей при X = 45° и равна
приблизительно 11').
Так как при всех практических расчетах в уравнения равновесия
вводится сила Р, определяемая взвешиванием, а не сила притяжения F,
то тем самым в этих уравнениях фактически учитывается сила Je.
Следовательно, при решении задач статики никаких дополнительных
поправок для учета вращения Земли в уравнения равновесия вводить
не надо.
2) Отклонение падающих тел от вертикали. Рассмотрим
материальную точку М, свободно падающую на земную поверхность
с небольшой (по сравнению с ра-
радиусом Земли) высоты. Действующую
на точку силу тяжести Р — mg,
где Р определяется равенством A3),
будем считать постоянной, а со-
сопротивлением воздуха пренебрежем.
Свяжем с Землей подвижную систе-
систему координат, причем ось z под-
подвижного трехгранника направим по
вертикали вверх, ось х — по каса-
касательной к меридиану к югу, а ось
у — по касательной к параллели к
востоку (рис. 378).
Рассматривая движение точки М
относительно выбранной системы
отсчета, связанной с Землей, мы
должны, согласно уравнению E),
придать к силе притяжения Земли, действующей на точку, еще силы
инерции Je и Jc. Но сила Je входит в силу тяжести Р = mg, напра-
направленную по оси г (вертикально вниз). Следовательно, для учета
вращения Земли надо к силе Р прибавить только кориолисову силу
инерции Jc = — mwc.
Рассмотрим сначала, как это скажется на результате качественно.
Так как сила Jc мала по сравнению с Р, то относительную ско-
скорость <о падающей точки можно в первом приближении считать на-
направленной по силе Р, т. е. по вертикали вниз. Вектор угловой
скорости w направлен вдоль земной оси в ту сторону, откуда враще-
вращение Земли видно происходящим против хода часовой стрелки (см.
рис. 378). Тогда, как видно из рисунка, кориолисово ускорение

444
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. VI
с (о) будет направлено перпендикулярно к плоскости мери-
меридиана NOS на запад, а сила Jc —— mwc—на восток (и в северном
и в южном полушариях). Таким образом, в первом приближении
влияние вращения Земли скажется в том, что свободно падающая
точка будет отклоняться от направления вертикали к востоку.
Произведем теперь количественный расчет. Составляя уравнения
относительного движения точки F) в проекциях на выбранные оси
координат, получим:
тх = —
ту —
mw
где
¦er
w. = 2 (w X «0 = 2
z = — mg— mwcz.
j k
со,
A4)
A5)
Если широту точки М обозначить через ф, то проекции вектора ft)
на оси х, у, г буяут:
(дх = СОСОЭф, @„ = 0, ttVj = 0)Sin ф.
Заменяя а>х, &>у, coz в равенстве A5) их значениями, будем иметь:
«>„ = 2
i
СО COS ф
X
k
cosin ф
z
откуда
wcx = — 2сй sin ф • у,
•wcy = 2(о(соБф • 2 + з1пф • д;),
wcz = — 2сй cos ф • у.
Подставляя в уравнения A4) найденные значения wcx,
сокращая на т, получим:
х = 2(о sin ш • у,
A6)
у = — 2со (cos ф • z -j- sin ф ¦ х).
Z — —5"+2всо8ф • у.
Так как величины ю и ф постоянны, то мы можем уравнения A6)
проинтегрировать один раз. Предполагая, что в начальный момент точка
находится в начале координат и начинает падать без начальной ско-
скорости, имеем начальные условия:
при t=О
х = у = г = 0.

§ 39] ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 445
Интегрируя уравнения A6) при этих начальных условиях, получим:
л; = 2@ sin q> • у,
у =— 2со(cos ф • 2 +sin ф- л:),
z — — gt-\-2a> cos ф • у
(произвольные постоянные, как легко видеть, равны нулю).
Интегрировать дальше эту систему уравнений обычными методами
несколько сложно; поэтому будем интегрировать их методом последо-
последовательных приближений. Учитывая равенство A2), делаем первое
приближение, пренебрегая членами, содержащими множитель со. Тогда
будем иметь:
х = 0, у —0, z — —gt,
откуда, интегрируя и учитывая начальные условия, найдем:
лс = О, у = 0, « = —ygf1. A8)
Уравнения A8) дают закон движения точки без учета влияния вра-
вращения Земли. Подставляя полученные значения х, у, z в уравне-
уравнения A7), будем иметь:
х — 0, у = a>gt2 cos ф, z = — gt,
откуда, интегрируя, получим второе приближение:
у8ф, Z = — \gP- A9)
Уравнения A9) дают закон движения точки, в котором введением
кориолисовой силы инерции учтено влияние вращения Земли. Из этих
уравнений видно, что точка при падении отклоняется от вертикали
к востоку по закону
у = — agfi cos ф.
Подставляя далее полученные значения х, у, z из A9) в уравне-
уравнения A7), мы делаем третье приближение, которое дает более точный
закон движения. Имеем:
• 2
X — у liJg Sin ф COS ф • t3, у = (Og COS ф • f,
z = — gt-{-1-co2g-cos2 ф • t3.

446 ДИНАМИКА ТОЧКИ (ГЛ. VI
откуда, интегрируя и учитывая начальные условия, получим третье
приближение:
х = со2 sin ф cos ф
у = ^
B0)
Мы видим, что при третьем приближении появляется составляющая
движения по оси х; следовательно, кроме отклонения к востоку,
точка имеет еще отклонение к югу (для северного полушария), кото-
которое весьма мало, так как в выражение х входит очень малая вели-
величина со2.
Продолжая далее таким образом, мы будем получать все более
и более точные формулы. Однако практически эти поправки ввиду
их малости интереса не представляют.
Рассмотрим, как в первом приближении величина восточного
отклонения зависит от высоты падения. Исключая из уравнений A9)
время t, найдем уравнение траектории точки (полукубическая пара-
парабола)
». Bi)
Тогда если точка падает с высоты Н, то при падении на Землю
z= — //и восточное отклонение
|/ —.
Это отклонение пропорционально угловой скорости вращения
Земли со и, следовательно, является величиной малой. Например, на
широте Москвы (ф «* 56°, g я» 9,82 м/сек2) при падении с высоты
Н — 100 м величина еж 1,2 см. С увеличением Н отклонение е
растет пропорционально Н .
Заметим, что предыдущие результаты можно получить непосред-
непосредственно, интегрируя векторное уравнение
т -^р- = mg— 2т (ю X v).
Так как в первом приближении v = gt, то, подставляя это зна-
значение и сокращая на т, будем иметь:

§ 39) ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 447
откуда, интегрируя первый раз, получим:
Интегрируя далее, найдем:
/- = НГ— (<*>>< ?•)-?-¦ B2)
gt%
где вектор -^я— направлен противоположно оси 2, а вектор
— (<*> X g) -у = м^ cos ф -д- /
направлен по оси у перпендикулярно к плоскости, проходящей через
меридиан и ось вращения Земли. Поэтому, проектируя обе части
уравнения^B2) на выбранные оси координат, получим систему урав-
уравнений A9).
3) Влияние вращения Земли на движение тел вдоль земной
поверхности. Рассмотрим материальную точку, движущуюся на по-
поверхности Земли по совершенно гладкой горизонтальной плоскости.
Для учета того, как влияет на рассматриваемое движение вращение
Земли, составим уравнение относительного движения E) в осях Oxyz
(см. рис. 378). Принимая во внимание, что сила Je по-прежнему
входит в силу тяжести Р, получим:
B3)
где N— нормальная реакция плоскости.
Один из первых интегралов уравнения B3) можно сразу найти
с помощью теоремы об изменении кинетической энергии A1), кото-
которая, так как силы Р и N перпендикулярны к плоскости движения,
дает:
rfl—g—1 = 0 или v — vo = const. B4)
Следовательно, относительное движение происходит с постоянной
по модулю скоростью. Чтобы определить, как изменяется направле-
направление движения, разложим вектор «о (см. рис. 378) на составляющие:
<о3 вдоль оси х и w2 вдоль оси г; при этом
| со, | = со cos ф, | со21 = со sin ф. B5)
Тогда вектор Jc = —2m(<ay.v) в свою очередь разложится на
составляющие
Л, = — 2m (W] X v), /Сг — — 2т (w2 X f)- B6)
Поскольку «!>! и v лежат в плоскости движения ху, то состав-
составляющая Уе, будет перпендикулярна к этой плоскости и вместе с силой

448 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. Vf
тяжести Р уравновесится реакцией плоскости N. Следовательно, будет
P-f-^,+N = 0 и уравнение B3) примет вид
mw = JCl. B7)
Составляющая <i>2 направлена в северном полушарии по положитель-
положительному направлению оси z, а вектор <о лежит в плоскости ху. Сле-
Следовательно, JCl также лежит в плоскости ху, а направление JCi
можно получить, повернув вектор
yftocmo/t) v на до0 по ходу часовой стрелки,
т. е. так, как показано на рис. 379;
для южного полушария направле-
направление JCl будет прямо противопо-
противоположным. Отсюда заключаем, что
вследствие вращения Земли точка,
движущаяся в горизонтальной пло-
плоскости, будет отклоняться вправо
от направления своего движения в
северном полушарии и влево — в
•х(юг) южном. Этим, в частности, объяс-
Рис 379. няется так называемый закон Бэра,
согласно которому реки в север-
северном полушарии пбдмывают правый берег, а в южном — левый; в этом
же причина отклонения ветров постоянного направления (пассатов).
Замечая далее, что вектор v направлен по касательной т к траек-
траектории точки, а следовательно, вектор JC2 — по главной нормали п
(см. рис. 379), спроектируем обе части уравнения B7) на ось п.
Тогда, учитывая, что, согласно B6) и B5), \JCl\ =2m |co2| v =
= 2mva>sin(p, получим:
nvwn = j JCi { или —— = 2mv в) sin <p.
Отсюда, принимая во внимание B4), находим:
Так как в—величина малая, то радиус кривизны траектории
очень велик, т. е. отклонение от начального направления <о0 проис-
происходит достаточно медленно. Если для небольших 'перемещений считать
ф= const, то и р= const, т. е. траекторией точки будет окружность
радиуса р.
4) Маятник Фуко. В качестве еще одного примера относитель-
относительного движения точки вблизи поверхности Земли рассмотрим коле-
колебания сферического маятника длиной I (маятник Фуко), принимая
в расчет влияние вращения Земли. Возьмем прямоугольную систему
координатных осей, связанную с Землей; начало координат поместим

§ 391
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
449
в точке подвеса маятника, ось z направим вертикально вниз, ось у —
по касательной к меридиану на юг, а ось х — по касательной к па-
параллели на восток (рис. 380). Будем рассматривать только малые
колебания маятника, т. е. такие, когда х и у малы по сравнению с /.
На маятник действуют сила тяжести Р = mg, включающая в себя
силу инерции Je, и реакция нити ЛГ, проекции которой на оси ко-
координат будут:
О
Тогда, кроме этих сил, для соста-
составления уравнения относительного дви-
движения E) к маятнику нужно прило-
приложить еще только кориолисову силу
инерции Jc = — 2m (w X ¦»)¦ и мы по-
получим:
= mg-\-N— 2m(w X
B9)
Рис. 380
Для выбранной системы координат имеем (при определении проек-
проекций со сравн. рис. 380 и 378):
ng@, 0, mg); tf(— Л/у, —Л/у, — Л/f);
<!>@, —СО COS ф, —СО Sin ф).
Проектируя обе части уравнения B9) на оси координат и учитывая,
что
i J
0 —I
получим:
C0)
х у z
тх = — Л/ у — 2тсо (— cos ф • z -\- sin ф ¦ у), ]
"V ' I
ту = — Л/у+ 2/recosin9 • х,
mz
z = mg — N -j — 2шо cos ф • jc.
Точное интегрирование этих дифференциальных уравнений ока-
оказывается довольно сложным; поэтому будем интегрировать их при-
приближенно. Так как Р = х2 + у2 -\- z2, то
Z =4
29 Н. Н Бухгольц

450 динамика точки ггл vr
поскольку здесь х и у малы по сравнению с /, то, пренебрегая ма-
х2 -4- v2
лой величиной —^— по сравнению с единицей, примем z «/.
Тогда в третьем уравнении системы C0) z = 0; отбрасывая в пра-
правой части этого уравнения слагаемое, содержащее малый множитель со,
будем иметь:
N= mg.
Внося значения N'= mg, z — l и z = 0 в другие два уравнения
системы C0) и сокращая на т., получим:
х = — —, 2со sin ф • у.
C1)
pry • V '
¦ ^f--\- 2@ sin ф • х.
Умножим первое из этих уравнений на — у, второе — на х и сло-
сложим их. Тогда будем иметь:
ху — ух = 2@ sin ф (хх 4- У У)- C2)
Заметим теперь, что
• _d_ I х2 + у2 \ J_ d$P_ '
где р2 = х2 -j- у2, а
d
ху — ух = —гг (ху — ух).
Величина (ху — ух) представляет собой момент скорости <о маятника
относительно оси z, равный удвоенной секторной скорости конца
радиуса-вектора р, проведенного в плоскости ху; следовательно,
ху — ух = р2 -^-,
где 6 есть угол между радиусом-вектором р и осью х; поэтому,
принимая во внимание все полученные соотношения, мы можем пред-
представить уравнение C2) в виде
откуда, интегрируя, находим:
C3)

§ 39] ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 451
Пусть маятник начинает колебания из отвесного положения; тогда
при ? = 0 р = 0 и, следовательно, с = 0. Сокращая на р2, будем
иметь:
и, интегрируя еще раз, получим:
6 —60 ¦+¦(«> sin ф)?. C4)
Формула C4) показывает, что с течением времени плоскость ка-
качания маятника поворачивается на угол 0—00 в сторону положи-
положительного направления отсчета этого угла (от востока через юг и на
запад), т. е. против вращения Земли. Это — так называемый эффект-
Фуко.
Угловая скорость вращения плоскости качания маятника, как,
видно из равенства C4), будет:
6 =
отсюда следует, что полный оборот эта плоскость сделает за время
Т_ 2л _ 2я
9 rosin ф *
Так как — есть время полного оборота Земли вокруг ее оси, рав-
равное 24й (звездное время), то
sin ф
где ф есть широта места. Следовательно, за час звездного времени
плоскость поворачивается на угол
360° 360° . ,_0 .
—jr- = -2j-sin<p= 15° sin ф.
Формула C4) указывает также, что наибольший эффект Фука
будет на полюсе (ф = 90°).
Приближенное решение, которым мы пользовались, полагая z я* I,
является, как было указано в § 38, п. 13, неточным. Оно показывает
(если не принимать во внимание влияние вращения Земли), что
траекторией сферического маятника будет эллипс, и не учитывает
медленного вращения этого эллипса в сторону движения маятника.
Однако в опыте Фуко появление указанного эффекта вообще не-
нежелательно и поэтому начальные условия движения берут такими,
чтобы маятник при неподвижной точке подвеса был плоским мате-
математическим. Для обнаружения же эффекта Фуко принятое прибли-
приближение оказывается достаточным.
29*

452 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
§ 40. Уравнения движения материальной точки
в обобщенных координатах
(уравнения Лагранжа второго рода)
1. Уравнения Лагранжа для материальной точки. Рассмотрим
материальную точку, находящуюся под действием сил, равнодей-
равнодействующую которых обозначим F- Будем определять положение точки
какими-нибудь независимыми между собой параметрами любой раз-
размерности q-v однозначно определяющими положение точки, которые
назовем обобщенными координатами. Число их будет равно
числу степеней свободы точки, т. е. для свободной точки их будет
три, а для несвободной — две или одна. Тогда декартовы коорди-
координаты точки, а следовательно, и ее радиус-вектор r = xi-\-yj-\-zk
можно выразить через параметры qt и время t, которое может
вообще войти в эти соотношения или в результате соответствующего
выбора координат qt, или когда на точку наложены нестационарные
связи. Допустим для общности, что1)
r = r{qx, q2, q3, t). A)
Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид
Умножим обе части этого уравнения скалярно на
4^- A= 1. 2, 3).
oqi '
Тогда получим:
dv дг р дг
или
Преобразуем уравнение B), заменив -^- и -гг \-^—\ другими
выражениями. Для этого возьмем сначала производную по времени от
r = r(gv q2, q3. t);
учитывая, что при движении точки qv q2, q3 являются функциями
времени t. получим:
дг , дг • . дг • , дг •
+ 0+0 + __?з. C)
1) Мы берем выражение г в виде A), чтобы охватить сразу все воз-
возможные частные случаи. Для несвободной точки будет, в частности,
г = г (<7ь <72> 0 или r = r(<7i, f) и соответственно во всех последующих фор-
формулах нужно считать число координат q-t равным трем, двум или одной.

* 40] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 453
Беря от обеих частей равенства C) частные производные по qt, q2, qz.
будем иметь:
д'г дг д'г дг д'г дг
d'qi dql ' dq2 dq2 ' dq3 dq3 '
ли вообще
iC- = -^- (? = 1,2.3). D)
dqt dq{
Далее, возьмем производную по времени от -т—, принимая во вни-
д ^'
мание, что -^-(ft. ?2> Яз> 0> a qi = qt(t); получим:
С другой стороны, взяв частную производную по ql от обеих частей
равенства C), найдем, что
дг д*г | д2г • , д2г
dqt - ~да~Ш "Г" dq. dqx ^ + 1а~[дц ^ ^ dq. dq^ ^
В равенствах E) и F) правые части равны, следовательно,
Соотношение G) показывает, что операции полного дифференциро-
дифференцирования по t и частного дифференцирования по qt переместительны.
о /Г)Ч дг d I дг \ ...
Заменяя в уравнении B) -з— и -jt -s— их выражениями из D)
и G) и учитывая, что /* = 1J, получим:
±lmv.J°-)-mv*-=;F.*L (/=1,2,3). (8)
<rt \ dqt I dqt dql
Введем в равенство (8) кинетическую энергию материальной точки
т _ mv2 ^
Из равенства C) видно, что при переходе к обобщенным коорди-
координатам Т будет функцией qt, qt и t. Следовательно,
dv дТ dv дТ
mv — =——, nvo • = . (9)
dq. dq. да. да.
С другой стороны,
30 Н. Н. Бухгольц

454 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
где Qt есть обобщенная сила, отнесенная к координате q-t (см. § 29,
а. 4). Подставляя величины (9) и A0) в равенство (8), найдем окон-
окончательно уравнения движения точки в обобщенных координатах
(уравнения Лагранжа) в виде
Таких уравнений будет три для свободной точки и два или одно
для точки несвободной.
дТ
Входящая в уравнения A1) величина —г-, равная производной
dq.
от кинетической энергии по обобщенной скорости qt, называется
обобщенным импульсом, отнесенным к соответствующей коорди-
координате (или просто импульсом).
Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит
в том, чтобы, зная действующую силу F, определить закон движения
точки, т. е. найти <7г==<7г(О- Для составления уравнений A1) надо
выразить кинетическую энергию точки через qt и qt, т. е. определить
Т = Т (qu ..., <7i 0- Затем вычисляются частные производные
от Т по q{ и q( и подставляются в левую часть уравнений A1).
При этом после дифференцирования по t туда войдут еще qt. Таким
образом в окончательном виде уравнения A1) будут обыкновенными
дифференциальными уравнениями второго порядка относительно иско-
искомых функций <7г@ виДа
ФгG1> .... <?!• ..., ?!• .... f) = Q, A=1, 2, 3).
Обобщенные силы Qt, если F задана, могут быть вычислены
по формуле A0). Однако обычно проще, как было указано в § 29,
п. 5 и в § 30, находить Qt, учитывая, что в обобщенных коорди-
координатах элементарная работа силы F на любом виртуальном переме-
перемещении точки будет:
ЬА = Q, 6?i + Q2 6?2 + <?з &?з-
Так как qi между собой независимы, то, например, для опреде-
определения Q1 достаточно сообщить точке такое перемещение, при котором
меняется только координата qv и, вычислив на этом перемещении
элементарную работу 6Ai силы F, представить ЬАХ в виде
6Л, = Q, 6^1.
Коэффициент при 6<7i и будет равен обобщенной силе Qv Анало-
Аналогично вычисляются Q2 и Q3- Размерность Qt может быть различной
в зависимости от размерности соответствующей координаты qv

§ 40] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 455
Примеры составления уравнений A1) будут рассмотрены ниже,
в п. 6.
2. Случай потенциальной силы. Предположим, что действующая
сила потенциальна, т. е. что /7 = grad?/; тогда
F — Ш. F —Ш- F — dU
г*~ дх ' У~~ ду ' ' дг
и обобщенная сила, как видно из равенства A0), будет:
„ дх . р ду . „ дг дЦ дх . дЦ ду dU_ dz
^i~~ x~dql"~l~ Лу1^"г Г*~Ы[[~-1)х~~Ы[[~Т~ ду dqi'^"dT dqt
или
Qi = -^r~- A2>
Подставляя эти значения Q^ в уравнения A1), получим:
jL^L-tL^M. (i = 1.2,3). A3)
Уравнения A3) можно представить в ином виде. Так как потен-
потенциальная функция зависит только от координат точки и, может быть,
времени, т. е. U — U(x, у, г, t), то при переходе к обобщенным
координатам получим U=U(qv q2, q3, t). Следовательно U от qt
не зависит и производная от U по обобщенной скорости qt равна
нулю. Принимая это во внимание, мы можем преобразовать A3)
к виду
(/1>2>3).
dt dqi dqi
Величина T-\-U есть разность между кинетической энергией Т и
потенциальной энергией V = — U\ обозначим:
T+U=:L. A5)
Функция L называется функцией Лагранжа или, по Гельмгольцу,
кинетическим потенциалом.
Вводя функцию L, получим уравнение A4) в виде
—1-^=- — — = 0 (/=1,2,3). A6)
dt \ dqj dqt ' к '
Заметим, что так как Т есть функция qt, qt, t, a U есть функция q/t t,
то L будет функцией qt, q{, t.
3. Выражение кинетической энергии точки в криволинейных
координатах. Имеем:
30»

456 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. VI
Заменяя здесь <о его значением из равенства C), получим:
~ т Г/ дг у ¦ 2 , ( дг \2 • 2 , / дг \2 • 2 , о дг дг
дг дг • • , п дг дг • ¦ . п дг дг
, „ дг дг • . о дг дг ¦ . I дг \2
или
где значения введенных коэффициентов а.ц, bt и с очевидны. Сокра-
Сокращенно выражение A8) можно еще представить в виде
3 3
Т= 2 аид^+ 2^, + с. A9)
/ > 1 i l
Первый член выражения A9) есть квадратичная форма (т. е. одно-
однородная функция второй степени) от обобщенных скоростей, второй —
линейная форма от тех же скоростей, с от скоростей совсем не за-
зависит. При этом все коэффициенты а1}-, bt и с суть функции коор-
координат qv 72> 7з и времени t.
Таким образом, кинетическая энергия в криволинейных координа-
координатах выражается в виде полинома второй степени от обобщенных
скоростей 7;-
Если время t в выражение A) для г явно не входит (для свэбод-
ной точки это имеет место при надлежащем выборе q{, а для не-
несвободной еще и при условии, что наложенные на точку связи
являются склерономными, т. е. не изменяющимися со временем), то
тогда
и коэффициенты bx, bv Ьъ и с обратятся в нули. Таким обра-
образом, в данном случае кинетическая энергия будет квадратичной
формой (однородной функцией второй степени) от обобщенных ско-
скоростей qt, т. е.
t, j=l
Число слагаемых, которые будут входить в выражения A8), A9)
или B0), зависит от числа обобщенных координат qt, т. е. от числа

* 40] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 457
степеней свободы точки; поэтому верхний индекс над суммами может
быть не только 3, но и 2 или 1 (см. а. 5).
4. Интеграл энергии. Предположим, что действующая на точку
сила F имеет потенциал, т. е. F=grad U, и что наложенные связи
склерономны. При таких условиях уравнения движения точки A3)
дают интеграл энергии. Для получения этого интеграла умножим
каждое из уравнений A3) на соответствующую скорость qt и сло-
сложим; получим:
У^.д1. B1)
ftdq 4l У '
Преобразуем первый член, стоящий в левой части; имеем:
d I 0Т\- d I дТ ¦ \ дТ ¦¦
Внесем это значение в уравнение B1); тогда получим:
JZVr?'b4'' B2)
Так как в рассматриваемом случае кинетическая энергия Г яв-
является однородной функцией второй степени от скоростей qt, то по
известной теореме Эйлера об однородных функциях
3 3
V дТ ' от d Y* дт
Кроме того.
dqt 4i dt {A dqt 4l dt
дТ ¦¦ \ dT V dU ¦ dU
так как Т и U явно от времени не зависят. Тогда равенство B2) дает:
dT dT _ dU dT __ dU
l~dt ~dT—~dT или dt —~dt'
откуда
T = U + h, B3)
где h есть постоянная, равная начальной энергии точки. Таким об-
образом, мы получили известный интеграл энергии.
б. Несвободное движение точки. Остановимся конкретнее на
случае несвободного движения точки. Пусть точка движется по по-
поверхности, причем связь стационарна и определяется уравнением
/ (х, у, z) = 0. В этом случае обобщенных координат будет только две,
« в качестве этих координат можно взять криволинейные координаты

458 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. Vt
Гаусса и и v, полагая q1 = u, q2 — v. Тогда уравнения движения
точки по поверхности примут вид
B4)
Для кинетической энергии точки, учитывая, что связь стационарна,
получим из A7) выражение
Т = ¦—- [Ей2 + 2Fuv + Gv2), B5)
где
d
dt
d
dt
dT
du
dT
dv
du
dT — о
dv v
du ) ' du dv ' \ dv ,
причем E, F, G суть функции и и v.
Если точка движется по кривой, то она имеет одну степень сво-
свободы, и, следовательно, ее положение определяется одной криволи-
криволинейной координатой q. Уравнение движения точки будет только одно,
а именно:
-iL-^ZL—iZl^Q. B6)
dt dq dq K '
При этом, как видно из A7), если связь стационарна, то кинети-
кинетическая энергия точки имеет выражение
Т = ^-аср, B7)
где
Т) = Ыг) + \~k) + VW! '
6. Примеры. Рассмотрим два частных примера. 1) Найдем уравнения
движения свободной материальной точки в декартовых координатах. Имеем:
JLJ!L.--?L = q1 (/=1,2,3), B8)
dt dqi oqi
где qt = x, q2 = у, <?з = г. Выражение кинетической энергии точки в декар-
декартовых координатах будет:
Тогда
Т=-
dT _
d'x ~
дТ _
ду ~
дТ __
дг ~
тпх-
ту,
тг >
дТ
дх
dT
dy
dT
дг
= 0.
= 0,
= 0.

* 401 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 459
Далее, выражениие элементарной работы в декартовых координатах имеет
вид
ЬА = Fxbx + Fyby + Fzbz.
Отсюда
Qi = Fx, Qi = Fy, Qt**Pv
Подставляя все найденные величины в уравнения B8), получаем:
тх = Fx, ту = Fy, тг = Fz,
т. е. известные уравнения движения в декартовых координатах.
2) Найдем уравнения движения свободной точки на плоскости в поляр-
полярных координатах г, <р. Обобщенными координатами будут qx = г, д2 = <р и
уравнения движения примут вид
a^l-JL./?, ±^_«:=ф, B9)
dt dr dr dt <5ф dtf
где R и Ф суть обобщенные силы, отнесенные к координатам г и <р.
Известно, что в полярных координатах (см. § 6, п. 5)
Следовательно, кинетическая энергия точки
r = 4rO-"= + rV)- C0)
Отсюда имеем:
—^- == mr , = /игф2. —г- = /иг2ф. = 0.
дг дг ду d(f
Подставляя найденные величины в уравнения B9), получаем уравнения дви-
движения точки в полярных координатах:
т. —п- (г2ф) = Ф.
C1)
Найдем теперь выражения R и Ф через действующую на точку силу F
Разлагая F на радиальную и трансверсальную (перпендикулярную к г) со-
составляющие, будем иметь F = Frr° -\-Fp.pP. В свою очередь элементарное пе-
перемещение точки Ьг слагается из радиального перемещения, численно рав-
равного 6г, н поперечного перемещения, равного гбф; следовательно, Ьг ==
= 6г-г° + г 6ф-р°. Тогда элементарная работа силы F равна
6Л = F • Ьг = Fr8r + Fpr6y.
Коэффициенты при Ьг и бф и будут обобщенными силами. Таким образом,
R = Рт, Ф = rFp = mom 0 (F). C2)
7. Циклические координаты. В случае потенциальных сил урав-
уравнения движения точки имеют вид A6), т. е.
JL1L. ^_—о а— 1 9 Ti
~т; г — и \}—1. ^. о),
dt dqt dqt

460 ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ VI
где L — T-\-U есть кинетический потенциал и, как было показано,
l>=L(q1 q\ t),
причем L, как и Т, является функцией второй степени от обобщен-
обобщенных скоростей qt (/=1, 2, 3). Если функция L не зависит от
какой-либо из координат, например от qv но зависит от производной
этой координаты по времени, т. е. от скорости qlt то уравнение
движения относительно координаты <7i будет иметь вид
-?--^- = 0. C4)
dt dqt
так как по условию -г— = 0. В этом случае координата q^ называется
циклической и уравнение движения C4) дает первый интеграл:
wrav C5)
где Oj — постоянная. Определяя из интеграла C5) скорость q{ и под-
подставляя ее значение в уравнения C3), мы исключим из них перемен-
переменную <7i (напоминаем, что по условию сама координата <7i в эти уравне-
уравнения не входит, а входит лишь <7i и, может быть, <7t); тогда задача сведется
к интегрированию двух уравнений с переменными q2 и <7з- Следова-
Следовательно, при наличии циклических координат число дифференциальных
уравнений движения может быть уменьшено на число этих координат.
Пример. Пусть в случае плоского движения, рассмотренного выше,
действующая сила является центральной и имеет силовую функцию
U =*U (г). Тогда, учитывая, что Т выражается равенством C0), получим:
Уравнения Лагранжа
d dL dL d dL dL ~
dt дг дг dt дщ d<f
примут по аналогии с C1) вид
-iL (r*cp) = О. C6)
Координата <р, непосредственно в функцию Лагранжа не входящая, яв-
является циклической. Поэтому второе из уравнений C6) дает интеграл C5)
в виде
г2ф = с. C7)
Это — известный интеграл площадей. Определяя отсюда <р = с/гп и под-
подставляя в первое из равенств C6), получим дифференциальное уравнение,
содержащее одну только координату г. Проинтегрировав его и найдя г {t),
мы после этого определим из C7) <р@, и закон движения будет таким об-
образом найден.

ЛИТЕРАТУРА
Жуковский Н. А., Теоретическая механика, над. 2, 1952.
Л о и ц я н с к и й Л. Г. и Л у р ь е А. И., Курс теоретической механики,
т. 1 изд. 7, 1958 и т. 2, изд. 5, 1954.
Н е к р а с о в А. И., Курс теоретической механика, т. 1, изд. 6, 1955 и
т. 2, изд. 5, 1955.
Суслов Г. К., Теоретическая механика, изд. 3, 1946.
Чаплыгин С. А., Механика системы, 1923—1924, а также в собрании
сочинений, т. IV, 1949.
А п п е л ь П., Теоретическая механика, т. I и т. И, перев. с франц., 1960.
Балле Пуссен Ш. Ж., Лекции по теоретической механике, т. I и
т. II, перев. с франц., 1949.
Вебстер А., Механика материальных точек, твердых, упругих и жид-
жидких тел, перев. с англ., 1933.
Лев и-Ч и в и т а Т. и А м а л ь д и У., Курс теоретической механики,
т. I, ч. 1, 2 и т. II, ч. 1, 2, перев. с итал., 1952.
Уиттекер Е. Т., Аналитическая динамика, перев. с англ., 1937.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома связей 181, 188
Аксиомы механики 170
— статики 186
Аксоид винтовой неподвижный 152,
154
подвижный 152, 154
— неподвижный 133
— подвижный 133
Амплитуда колебаний 59, 361
Аномалия истинная 394
—• эксцентрическая 394
Апогей 391
Афелий 391
Бинормаль 70
Брахистохрона 416, 420
Вариация функции 278
Вектор 18
— аксиальный 44, 45
— главный 149, 235, 242, 244
—, его линия действия 19, 44
—, его модуль 20
—, его проекция на ось 22
— единичный 20
— неподвижный (приложенный) 19,
43, 44
— полярный 44, 45
— свободный (несвязанный) 19, 43
— скользящий (связанный с прямой)
19, 43
Векторы антипараллельные 20
— коллинеарные 20
Величина кинематическая 168
—¦ кинетическая 168
Вес тела кажущийся 442
Взаимодействие механическое 7
Винт 151
— динамический 237
—¦ мгновенный 152
Влияние вращения Земли на движе-
движение тела вдоль земной поверх*
ноет и 447
Вращение тела равномерное 97
— — равнопеременное 98
Годограф скорости 38
Градиент скалярной функции 337
График движения 56
— расстояния 56
— скорости 258
Графостатика 257
Движение в поле тяготения Земли
397
— винтовое 146
— — мгновенное 147, 152
— замедленное 56
— изохронное 363
— ииерцнальное 8, 183
— карданово 106, 131
— механическое 7
— переносное 159
— планет 387
— свободного твердого тела 153
— таутохронное 363
—= тела вращательное 94, 96
около неподвижной точки
132
— — плоскопараллельпое (плоское)
100
сложное 138
— точки абсолютное 88
в ньютоновом поле тяготения
390
в сопротивляющейся среде 355
— — криволинейное 52, 61
— —' — равномерное 74
— — — равнопеременное 75
несвободное 403, 457
— — относительное 88, 438
— вблизи поверхности Земли
442
по заданной кривой 403
. поверхности 421

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
463
Движение тела под действием цен-
центральной силы 383
— точки прямолинейное 52, 350
— точки сложное 88, 158
— тяжелой точки, брошенной под
углом к горизонту 380
— —• —, — вертикально вверх 379
по неподвижной кривой 407
по поверхности вращения,
ось которой вертикальна 426
— ускоренное 56
Декремент колебаний 366
— логарифмический 366
Диаграмма Максвелла-Кремоны 268
Динама 237
Динамика 9, 183, 319
—, ее задачи 320
Дифференцирование векторов по ска-
скалярному аргументу 38
Единицы измерения основные 173
Жесткость фермы 266
Задача двух тел 395
— Ньютона 390
Задачи динамики 320
Закон вращательного движения
96—98
— всемирного тяготения 387, 389
— движения плоской фигуры в ее
плоскости 128
точки 50, 51
— действия и противодействия 9,
172
— динамики основной 9, 171, 391
— инерции 8, 171
— криволинейного движения точки
74, 75
— независимости действия сил 172
— параллелограмма сил 9, 173, 188
— площадей 330, 384
— прямолинейного движения точки
55, 56
Законы движения основные 8, 9,
170
— Кеплера 387
— механики основные 8, 9, 170
— Ньютона 8, 9
•— трения скольжения 197
Импульс 170, 454
— обобщенный 454
— силы элементарный 324
Инварианты приведения 236
Инварианты системы скользящих век-
векторов 149
Инертность 8, 168
Инерция 8, 168
Интеграл площадей 330
— энергии 341, 457
Интегралы первые 323
Кинематика 9
—, ее задачи 49
Кшгетика 9, 168, 183
Классификация векторов 43
Колебания вынужденные 367, 371
— гармонические 59, 359, 361
— затухающие 365, 376
— свободные 359
Количество движения 8, 170
Конус трения 199
Координаты криволинейные 82
— независимые 92
— обобщенные 452
— системы 92, 177
— сферические 83
¦— циклические 460
— цилиндрические 83, 84
Коэффициент жесткости 360
— трения при качении 203
скольжения при покое 198
— — статический 198
Кривизна 71
— средняя 71
Круг кривизны 71
— соприкасающийся 71
Линия геодезическая 422
— — поверхности вращения 425
— действия силы 184
— силовая 334
— узлов 93
— цепная 3D
Масса 8, 168, 169
— весомая 169
— инертная 170
Маятник 79
— изохронный 413, 415
— конический 434
— математический 408
— — плоский 408, 409, 410
— сферический 408, 427
— Фуко 448
— циклоидальный 413
Метод вырезания узлов 267
— множителей Лагранжа 284, 297
— обобщенных координат 290
— Риттера 270

464
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Механика аналитическая 7
— классическая 7, 18
— релятивистская 15
— теоретическая 7
— техническая 14
Многоугольник векторный 25
— веревочный (нитяной) 258
Множители Лагранжа 285, 290
Модуль вектора 20
¦— силы 184
Момент вектора относительно оси 37
— точки (центра) 35
— главный 149, 225, 235, 242,
244
— изгибающий 264
— пары 227, 228
вращений 144
¦— силы относительно оси 22Г>
¦ центра 224
— системы сил относительно центра
225
— статический 210, 211, 213, 214
Натяжение нити 309
Неопределимость статическая 249
Нить гибкая нерастяжимая 309
— параболическая 317
Нормаль главная 70
Оператор Гамильтона дифференци-
дифференциальный 337
Определимость статическая 267
Орбита 49
Орт вектора 20
Ось винта 146
— вращения 96
и скольжения мгновенная
152
— — мгновенная 101, 133, 136
перманентная (постоянная) 100
— центральная 151, 238, 243, 245
Отклонение падающего тела от вер-
вертикали 443
Пара вращений 143
— сил 207
Парабола безопасности ^83
Параметр винта 147, 237
— динамы 237
Перемещение 53
— виртуальное 277
— возможное 277
— истинное 276
Перигей 391
Перигелий 391
Период колебаний 59, 361
Перицентр 391
План сил 258
— скоростей 115, 122
Плечо пары сил 227
вращений 144
— силы 206, 224
Плоскость нормальная 70
— соприкасающаяся 69
— спрямляющая 70
Поверхности координатные 83
Поверхность уровня 337
— эквипотенциальная 337
Покой относительный 440, 442
Поле консервативное 341
— нестационарное 273
— потенциальное 336
— силовое 334
потенциальное 274, 3^5, 336
— скалярное или векторной величи-
величины 39
— стационарное 273
— тяжести однородное 343
Полодия неподвижная 105
— подвижная 105
Поправка к третьему закону Кеплера
397
Постоянная Гауссова 388, 396
— гравитационная 389
Постулат идеальных связей 295
Потенциал 337
— кинетический 455
Правило многоугольника 25
Приведение пространственной систе-
системы сил 234
— системы к двум силам 238
к динаме (винту) 237
— — скользящих векторов 149
Принцип виртуальных (возможных)
перемещений 184, 284, 294
— Даламбера для точки 435
436
— отвердевания 188
— относительности Галилея — Нью-
Ньютона 440
— Торричелли 303
Произведение векторное (внешнее)
30
— скалярное (внутреннее) 28
— трех векторов 33
Производная единичного вектора 40
— вектора относительная (локаль-
(локальная) 159
по скалярному аргументу 39
¦ полная (абсолютная) 159
Путь 53

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
465
Работа потенциальной силы 340
— силы иа конечном перемещении
334
Равновесие астатическое 246
— механической системы 188
—• несвободного тела 255
— плоской системы сил 247
— произвольной системы сил 247
— рычага 255
— системы материальных точек 297,
298
находящейся в однородном
поле тяжести 303
—¦ — параллельных сил 248
• под действием потенциальных
сил 303
— твердого тела, имеющего непо-
неподвижную ось вращения 302
свободного 301
— тела 186
— точки иа кривой 287, 292
-на поверхности 284, 290
Равнодействующая 186, 190, 192, 243
Радиус геодезической кривизны 424
— кривизны 72
—• нормальной кр>'зизны 423
Реакция опоры 189, 262
— связи 181
с трением 198
Резонанс 369
Ротация вектора 337
Рулетта 106
Рычаг 255
Связь 91, 175
— без трения 181, 196
— внешняя 176
— внутренняя 176
— геометрическая 91, 175, 278
— дифференциальная 91
— идеальная 183, 196
— кинематическая 91, 175, 278
— конечная 91
— неосвобождающая 175, 278
— нестационарная 176, 278
— освобождающая 175, 278
— реономная 176, 278
— с трением 183, 196, 198
— склерономная 176, 278
—¦ стационарная 176, 278
Сила 7, 14, 168, 169, 184, 185
— активная 181
— внешняя 181
— внутренняя 181
восстанавливающая 359
— диссипативная 342
Сила инерции 435
— — кориолисова 439
переносная 439
— квазиупругая 345, 359
— массовая 180
— обобщенная 290, 293
, ее размерность 293
— объемная 180
— пассивная 181
— поверхностная 179
— потенциальная 274, 336
— сопротивления среды 342
— сосредоточенная 180
— трения 197
— тяготения 346
— тяжести 211
— ударная 326
— центральная 344
— центростремительная 387, 437
Силы антипараллельные 206
— параллельные 204
Система координат криволинейная
83
левая 30, 31
ортогональная 86
правая 30, 31
сферическая (полярная) 83
цилиндрическая (полуполяр-
(полуполярная) 84
— материальных точек 47, 174,
294
— механическая 91, 174
— — изменяемая 48, 175
неизменяемая 48, 92, 175, 179
несвободная 175
свободная 175, 176
— основных единиц 173
— отсчета 48
ииерциальная 438
— — иеииерциальиая 438
_ — неподвижная 438
— — основная 48
— пар 227
— сил 185
, находящаяся в равновесии 185,
186
— — параллельных 207, 243, 261
плоская 242, 259
.приложенных в одной точке
190
, произвольно расположенных з
пространстве 234
сходящихся 192, 257
, эквивалентная нулю 185
— статически неопределимая 249
определимая 249

466
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Системы сил эквивалентные 186, 187
Скаляр 18
Скорости точек вращающегося тела
98
— — плоской фигуры 107
— — свободного твердого тела 155
тела, движущегося около не-
неподвижной точки 134
Скорость абсолютная 89
— в криволинейном движении 62
— в криволинейных координатах 87
— в круговом движении 64
— в полярных координатах 65, 190
— в прямолинейном движении 53, 54
— в сферических координатах 87
— в цилиндрических координатах 88
— космическая вторая 348, 398
первая 399
— круговая 399
— освобождения 393, 398
¦— относительная 88
— параболическая 392, 398
— переносная 159
— поступательная мгновенная 95
—• секторная 66
— сложного движения точки 89
— угловая 64, 97
мгновенная 100, 103, 134
Сложение векторов 22
— мгновенных движений тела 152
— — поступательных скоростей 139
— — угловой и поступательной ско-
скоростей 145
—¦ — угловых скоростей 140
— пар 231
— скоростей 159
— ускорений 162
Составляющая вектора 22
— скорости радиальная 65
• трансверсальная 65
— ускорения касательная 73
— — нормальная 73
радиальная 76
— — тангенциальная 73
трансверсальная (поперечная)
76
Спутник Земли искусственный 398
Статика 9, 183
— аналитическая 184, 272
— геометрическая 184
— графическая 190
— элементарная 184
Сумма векторов 24
Таутохронносгь 415
Тело абсолютно твердое 48, 175, 192
Тело деформируемое 175
Теорема Вариньона 241, 242
— Гульдена-Паппа 222
— Кельвина 340
— Клеро 425
— Кориолиса 164
— моментов 328
— о проекции суммы векторов 27
— о сложении скоростей 89, 90
— о сложении ускорений 164
~- о трех силах 193
— об изменении кинетической энер-
энергии 333, 352, 405, 441
•— об изменении количества движе-
движения 325, 352
•— об изменении момента количества
движения 328
— Ривальса 136
— Шаля 153, 154
— Эйлера-Даламбера 132
Точка материальная 9, 47, 170, 319
Траектория 49
— навесная 381, 402
— наивыгоднейшая 402
— настильная 381, 402
Треиие гибкой нити 201
— качения 202
— скольжения 196, 197
Трехгранник естественный (нату-
(натуральный, подвижный) 70
Угол бросания 381
— нутации 93
— прецессии 93
¦— смежности 70
— собственного вращения тела 93
— трения 199
Углы эйлеровы 92, 93
Удар 326
Узел фермы 265
Уравнение геометрической связи 17В
'— движения точки конечное 50
— Кеплера 394
— кинематической связи 175
— мгновенной винтовой оси 158
оси вращения 137
— прямолинейного движения диффе-
дифференциальное 351
— реоиомной связи 176
— центральной оси 151
— Эйлера 418
Уравнения движения несвободной
точки по заданной кривой
405
точки в обобщенных координа»
тах 452, 454

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
467
Уравнения движения точки диффе-
дифференциальные 320
— Лагранжа второго рода 454
— равновесия нити 310
— траектории точки в параметриче-
параметрической форме 51
Ускорение в криволинейном движе-
движении 68
— в круговом движении 75
— кориолисово 77, 164
— переносное 159, 164
— поворотное 77, 164
— прямолинейного движения 55
— секторное 77
— точек вращающегося тела 99
— — плоской фигуры 116
— — свободного твердого тела 157
тела, движущегося около не-
неподвижной точки 135
— угловое 75, 97
мгновенное 134
— центростремительное 75
Условие жесткости фермы 266
— равновесия рычага 255
Условия равновесия в инерциальной
системе координат 440
•— •— в иеинерцнальиой системе ко-
координат 440
в обобщенных координатах 299,
300
несвободного тела 255
— — плоской системы сил 247
— — произвольной системы сил
246
¦ системы параллельных сил 248
системы сходящихся сил 192
Устойчивость равновесия точки в по-
потенциальном силовом поле 348
Фаза колебаний 59, 361
— начальная 361
Ферма 265
—, статически неопределимая 267
— — определимая 267
Формула Бинэ 386
— Валлиса 413
— Эйлера 202
Формулы Пуассона 161
Функционал 416
Функция дисснпативная 342
— Лагранжа 455
—¦ потенциальная 274, 336
— рассеяния 342
— силовая 274, 336
Центр вращения 101
мгновенный 104, 121 125
— инерции 213
— колебаний 59
¦— кривизны 72
— масс 213
— параллельных сил 210, 211
— приведения 149
— скоростей мгновенный 104, 125
— тяжести 211
— — дуги окружности 217
объема пирамиды
полусферы 222
— сферического сектора 221
площади кругового сектора 219
— треугольника 218
поверхности сферического сег-
сегмента 220
.способы его нахождения 214—
216
— ускорений мгновенный 120, 121,.
125
Центроида неподвижная 105, 134
— подвижная 105, 134
Циркуляция вектора 340
Частица материальная 170
Частота колебаний 59, 361
— круговая 59, 362
— собственная 362
— циклическая 59, 362
Число степеней свободы 92, 177, 255-
Шаг винта 147
Эквивалентность пар 230
— системы сил 186
Энергия кинетическая 331
в криволинейных координатах
456
Эффект Фуко 451

Николай Николаевич Бухгольц
Основной курс теоретической механики
Часть первая
М., 1965 г., 468 стр. с илл.
Редактор И. А. Маркузон
Техн. редактор Л. А. Пыжова
Корректор С. М. Кайсер
Сдано в набор 7/VIH 1965 г. Подписано к пе-
печати I0/XI 1965 г. Бумага бОХЭО'/щ. Физ. печ. л. 29,25.
Условн. печ. л. 29,25. Уч.-изд. л. 27,61.
Тираж 26 000 экз. Т-13762. Цена книги 93 коп.
Заказ J* 1764.
Издательство «Наука»
Главная редакция
фнзнко-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография Ks 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпромж
государственного комитета
Совета Министров СССР по печати.
Измайловский проспект, 29.