НАУКА- MAC С АМ
П.С.АЛЕКСАНДРОВ
8.А.ЕФРЕМОВИЧ
О ПРОСТЕЙШИХ ПОНЯТИЯХ СОВРЕМЕННОЙ ТОПОЛОГИИ
онтм
1935
Популярная библиотека по математика* 
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ ПРОФ. Л. А. ЛЮСТЕРНИКА
П. С. АЛЕКСАНДРОВ -и В. А. ЕФРЕМОВИЧ
О ПРОСТЕЙШИХ понятиях СОВРЕМЕННОЙ ТОПОЛОГИИ
объединенное Научно-техническое издательство нктп СССР ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ &ИТЕРАТУРЫ И НОМОГРАФИИ МОСКВА 1 93 5 ЛЕНИНГРАД
f 29-4-4
Оглавление
Стр.
Глава I ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1.	Метрическое и качественное в геометрии....... . . . .	3
2.	Элементарные поверхности............................ 6
3.	Односторонние поверхности........................... 8
4.	Внутренние и невнутренние свойства. Гемеоморфизм и изотопия 10
5.	Двусторонность и ориентируемость	. ............... 14
Глава II МНОГООБРАЗИЯ
6.	Идеальные элементы. Абстрактные геометрии.......... 16
7.	Топология проективной плоскости. Замкнутые неориентируемые поверхности........................................... 18
8.	Трехмерные замкнутые многообразия. Топологическое произведение ................................................ 21
9.	Некоторые математические и физические многообразия ... 24
Глава III ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	27
4»
ГЛАВА I
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Метрическое и качественное в геометрии. Элементарная геометрия имеет дело почти исключительно с такими свойствами фигур, которые связаны с понятиями длины, угла, площади, объема и тому подобными элементами измерительного характера. Такие свойства называются метрическими. Лишь очень немногие ее теоремы как бы случайно затрагивают свойства иного характера (например теорема о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке). Да и тогда эти свойства выступают не самостоятельно, а почти всегда тесно переплетаются с метрическими (так, в нашем примере метрическим является то обстоятельство, что биссектрисы делят углы на две равные части).
Однако уже с возникновением проективной геометрии стало ясно, что не эти метрические свойства пространства являются основными и наиболее глубокими его свойствами. Обнаружился обширный класс интересных и вместе с тем несомненно глубоких свойств пространства, не зависящих от понятий ' длины, угла и тому подобных метрических элементов. Это — класс проективных свойств, т. е. таких свойств геометрической фигуры, которые сохраняются при любых преобразованиях этой фигуры, не искривляющих прямых линий. Преобразования такого рода носят название проективных преобразований. Все точки фигуры, находящиеся на одной прямой, остаются прямолинейно расположенными, какому бы проективному преобразованию ни подвергалась вся фигура.
Примером проективного преобразования может служить деформация, которой подвергается плоская фигура при центральном проектировании ее (например при помощи проекционного фонаря) на какую-нибудь плоскость (вообще не параллельную плоскости фигуры). При таком проектировании размеры, углы, пропорции отдельных частей искажаются, однако
3
прямые остаются прямыми, следовательно, фигура подвергается проективному преобразованию. Можно доказать, что любое проективное преобразование плоской фигуры может быть осуществлено при помощи центрального проектирования (отсюда название: проективное преобразование).
Углы и относительные размеры (пропорции) отдельных частей фигуры остаются неизменными при любых преобразованиях подобия, при проективных же преобразованиях они уже не сохраняются, они оказываются недостаточно прочны-ми, чтобы устоять про-
Sтив °^щих проектив-/	ных преобразований.
/	Еще менее стойкими
I	1	являются абсолютные
\ wlw /	, размеры фигуры: дли-
\ 'ШЖх /	ны, площади, объемы
X.	/	и т. д. Они сохраня-
F	ФиГ- 1	ются лишь при кон-
%	груэнтных преобразо-
ваниях.
Данное геометрическое свойство должно считаться тем более глубоким, существенным, чем прочнее оно оказывается, то есть чем разнообразнее те преобразования, которые оно выдерживает, оставаясь неизменным. С этой точки зрения проективные свойства оказываются глубже, существеннее метрических.
Желая из геометрических свойств выделить лишь самые существенные, самые стойкие, выдерживающие наиболее широкие преобразования, мы приходим к топологическим свойствам. Это — свойства, не нарушающиеся ни при каких взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях фигур. Так называются преобразования, которые точки данной фигуры F переводят в точки другой фигуры Ф, причем осуществляются следующие условия:
1. Каждой точке одной из фигур соответствует в силу преобразования одна и только одна точка другой (взаимная однозначность).
2. Бесконечно близким точкам одной фигуры соответствуют бесконечно близкие точки другой (взаимная непрерывность).
Точный смысл второго условия таков: пусть х — произвольная точка фигуры F, а §—соответствующая ей точка фигуры Ф (ее «образ» при данном преобразовании), тогда для каждой 4
окрестности (как бы мала она ни была) одной из этих точек найдется такая (достаточно малая) окрестность другой, что в с е ее точки соответствуют (в силу преобразования) точкам, принадлежащим первой окрестности.
Здесь под термином «окрестность1 данной точки» можно подразумевать, например, совокупность всех точек фигуры,расстояния которых от этой точки меньше определенного числа е (радиус окрестности). Легко видеть, что данное здесь определение непрерывности тождественно с обычным в математике.
Взаимно однозначные и взаимно непрерывные преобразования называются топологическими преобразованиями. Они не сохраняют, вообще говоря, ни длин, ни углов, ни даже прямолинейности, но сохраняют лишь отношение соседства, бесконечной близости точек. Мы получим, например, топологическое преобразование фигуры, если будем ее деформировать как угодно, лишь бы при этом не происходило разрывов или «склеиваний». Так, окружность может деформироваться в эллипс, в овал неправильной формы, или даже в многоугольник, — одним словом, в любую простую замкнутую линию (простую, т. е. без двойных точек). Однако при такой деформации она не может превратиться в незамкнутую линию, так как для этого пришлось бы ее разорвать, или в лемнискату (восьмерка), так как для этого пришлось бы соединить две ее точки в одну—произвести «склеивание».
Точно также при помощи топологического преобразования сферу можно превратить в поверхность эллипсоида, куба и т. п., однако ее нельзя превратить в тор.
Покажем, например, как наглядно осуществить топологическое соответствие между точками сферы и точками поверхности куба. Для этой цели расположим их так, чтобы их центры совпадали, и искомое соответствие установим при помощи центрального проектирования из их общего центра. Как нетрудно убедиться, это соответствие будет взаимно однозначным и взаимно непрерывным.
Проектированием часто пользуются для установления топологического соответствия.
Задача. Доказать, что внутренность круга можно топологически отобразить на всю плоскость.
Указание. При помощи центрального проектирования отобразить сначала внутренность круга на полусферу,
1 Или полнее: «окрестность точки относительно фигуры».
5
затем, проектируя из центра полусферы, эту последнюю ото- £ бразить на плоскость, параллельную плоскости ее экватора.
Изучая топологические свойства фигур, свойства, не зави- ; сящие от каких бы то ни было метрических элементов, топология (или, как ее иначе называют «Analysis situs») с полным основанием может быть названа качественной геометрией.
Фигуры, допускающие топологическое преобразование одна в другую, называются гомеоморфными или принадлежащими одному топологическому типу. По определению все топологические свойства у гомеоморфных фигур совпадают, поэтому для той ветви геометрии, которая изучает топологические свойства фигур, все гомеоморфные между собой фигуры равноценны — представляют собой как бы различные экземпляры одного и того же топологического образца, различные его метрические осуществления.
2. Элементарные поверхности. Обратимся за примерами топологических типов и топологических свойств к замкнутым '
Фиг. 4
Фиг. 3
поверхностям, лежащим в трехмерном пространстве. Можно доказать, что здесь разнообразие всех топологических типов исчерпывается следующими:
0)—сфера (или поверхность рода нуль); метрически может реализоваться в виде поверхности шара, эллипсоида, куба, додекаэдра и т. п.;
6
i) — тор, поверхность, происходящая от вращения окружности (образующей) вокруг оси, лежащей в ее плоскости и ее не пересекающей. При вращении различные точки образующей описывают окружности разных радиусов—параллели тора; окружности, представляющие различные положения в пространстве образующей, называются меридианами тора.
Эту поверхность можно также реализовать в виде сферы с присоединенной к ней в форме ручки трубкой 1;(фиг. 2). Поверхности этого топологического типа носят название поверхностей рода один.
Наконец, вообще
р)—поверхность рода р — сфера с р-трубками, присоединенными к ней в виде ручек (фиг. 3).
Одно из простейших топологических свойств сферы состоит в том, что любой замкнутый разрез разбивает ее на два куска
Фиг. 5
Фи г.£6
(теорема Жордана). Этим свойством не обладает поверхность тора. Если мы разрежем ее по меридиану или по какой-нибудь параллели, то она не распадается на два куска. Если даже произвести два этих разреза одновременно, то и тогда поверхность не распадется, а лишь превратится в прямоугольник; склеивая надлежащим образом противоположные его стороны, мы снова вернемся к исходной поверхности (фиг. 4).
Приведем несколько примеров топологических типов незамкнутых поверхностей.
1.	Внутренность круга, квадрата, треугольника и т. п. Все они гомеоморфны между собой и, следовательно, при-
1 Это нужно понимать так: в сфере вырезано два круглых отвер стия, и трубка, согнутая в форме ручки, приклеена одним концом к границе одного отверстия, другим — к границе другого.
7
надлежит одному топологическому типу (плоская однобвйзййй область).
2.	Плоская двухсвязная область — кусок плоскости, заключенный между двумя концентрическими окружностями. Метрической реализацией может служить также боковая поверхность цилиндра или .поверхность шара с двумя отверстиями (фиг. 5).
3.	Плоская r-связная область (можно реализовать, например, в виде поверхности шара с r-отверстиями) (фиг. б).
4.	Наконец, вообще одна из замкнутых поверхностей с несколькими отверстиями (на фиг. 7 изображен тор с одним отверстием). .
Таким образом мы уже имеем довольно большое разнообразие топологических форм двух измерений. Однако ими не исчерпываются все топологические типы поверхностей.
Фиг. 7
3. Односторонние поверхности. Во многих отношениях замечательной поверхностью является так называемый лист Мёбиуса (Mobius)—поверхность, получаемая из прямоугольной полоски склеиванием двух ее противоположных краев, как показано на фиг. 8.
Возьмем произвольную точку р поверхности Мёбиуса (например на средней линии сс) и опишем вокруг нее на поверхности маленький кружок. Этот кружок, естественно, имеет две стороны. Если мы, находясь в точке р, на одной стороне этого кружка, отправимся отсюда вдоль линии сс в направлении, указанном стрелкой, то, вернувшись после одного обхода названной линии в исходную точку р, увидим, что мы оказались на другой стороне кружка. Таким образом, двигаясь по поверхности и не переходя ее границы, мы с одной стороны кружка перешли на другую.
Лицевая сторона поверхности непрерывно переходит в изнанку, их нельзя отделить (например выкрасивши одну сто-8
рону в красный, а другую — в синий цвет) — у поверхности Мёбиуса нет двух сторон, как у тех поверхностей, которые мы до сих пор рассматривали. Вследствие этого говорят о так называемой односторонности (точнее об одностороннем расположении в пространстве) листа Мёбиуса.
Кроме односторонности лист Мёбиуса обладает многими другими неожиданными свойствами, впрочем, тесно связанными с его односторонностью. Например, на вопрос, на сколько частей распадается эта поверхность, если разрезать ее вдоль средней линии вокруг, редко услышишь правильный ответ, и обычно лишь ножницы восстанавливают истину.
Точное определение одностороннего расположения поверхности в пространстве может быть сформулировано, например, так. Возьмем в точке р поверхности нормаль (т. е. прямую, перпендикулярную к малому участку поверхности, могущему
Фиг. 8
считаться плоским). На этой нормали возьмем точку?и симметричную ей (по отношению к малому участку поверхности) точку q’. Когда точка р непрерывно движется по поверхности, то и нормаль непрерывно перемещается.
Поверхность называется расположенной односторонне в пространстве, если при обходе по некоторому замкнутому пути рср на поверхности нормаль q'pq, так сказать, перевертывается, то есть отрезок pq на ней переходит в отрезок pq' и обратно.
Другой пример односторонней в этом смысле поверхности дается фиг. 9.
Легко убедиться, что из этой поверхности можно вырезать лист Мёбиуса.
Если теперь эту поверхность и полусферу склеить по их границам (фиг. 10), то получится замкнутая односторонняя поверхность (так называемая поверхность Клейна). На фиг. 10 эта поверхность пересекает сама себя по окружности АВ— это, как говорят, поверхность с самопересечениями.
9
Последний факт не является случайным, — оказывается, всякая замкнутая односторонняя поверхность, расположенная в трехмерном пространстве, имеет самопересечения.
4. Внутренние и невнутренние свойства. Гомеоморфизм и изотопия. Существенной особенностью данного выше определения односторонности является то, что в нем участвуют не только геометрические элементы самой поверхности, но и элементы, характеризующие взаимоотношение поверхности и окружающего ее пространства: таким элементом являлась нормаль, которую мы должны были привлечь для определения од-
Фиг. 10
Фиг. 9
носторонности. Построение же нормали существенно предполагает, что мы рассматриваем поверхность как фигуру, расположенную в трехмерном пространстве.
Здесь мы приближаемся к вопросу первостепенной важности, значение которого весьма велико не только для топологии,— к вопросу о внутренних и невнутренних свойствах.
Мы определили топологические свойства фигуры F, как такие ее геометрические свойства, которые сохраняются при всех взаимно однозначных и взаимно непрерывных ее преобразованиях. В этом определении нет ни слова о том пространстве, в котором данная фигура лежит; фигура рассматривается как некий замкнутый мир, и все то, что находится вне ее, для нас в настоящую минуту как бы не существует. Совокупность таким образом определенных топологических свойств фигуры F образует внутреннюю топологию этой фигуры. Одностороннее расположение поверхности в пространстве дает пример топологического свойства, не входящего в эту внутреннюю топологию поверхности. Теперь возникает вопрос о так называемой невнутренней топологии, «топологии положения», трактующей о свойствах данной фигуры по отношению к 10
Окружающему ее пространству. Совершенно так же, как мы рассматриваем свойства фигуры F, сохраняющиеся при топологических отображениях ее, мы можем рассматривать те ее свойства, которые; сохраняются лишь при топологических преобразованиях всего пространства, в котором лежит рассматриваемая фигура. Мы назвали фигуры гомеоморфными, если одна из них может быть переведена в другую топологическим преобразованием самой данной фигуры. Назовем изотопными две фигуры, могущие бытьТпереведены одна в другую путем топологического преобразования всего
Фиг. 12
пространства самого в себяг. Топологические свойства самой фигуры (внутренние топологические свойства) — это те свойства, которые, принадлежа данной фигуре, принадлежат и всем гомеоморфным с ней; те же свойства, которые, принадлежа данной фигуре, принадлежат лишь всякой изотопной с нею (не принадлежа некоторым фигурам гомеоморфным данной), суть топологические свойства расположения данной фигуры в пространстве. Мы сейчас дадим примеры гомеоморфных и изотопных, а также неизотопных фигур.
Две окружности, лежащие на плоскости, а также окружность и эллипс изотопны между собой (по отношению к плоскости).
Боковая поверхность цилиндра и плоская кольцевая область, рассматриваемые как фигуры, лежащие в трехмерном пространстве, изотопны между собой (фиг. 11).
1 Важное примечание. Следует собственно говорить об изотопии двух фигур по отношению к данному пространству: две фигуры могут быть не изотопны в плоскости, будучи изотопными в пространстве.
11
ОднаКо боковая поверхность цилиндра И поверхность, КО* , торую можно получить из длинной плоской бумаги, перекручивая ее вокруг средней линии на 360° и затем склеивая ее короткие края (фиг. 12), гомеоморфны, но не изотопны относительно пространства.
Пусть будет —фигура, состоящая из двух окружностей, внутренним образом касающихся друг друга, F2—фигура, состоящая из двух окружностей, внешним образом касающихся друг друга (фиг. 13). Fx ?и F2 гомеоморфны [и даже изотопны между собой по отношению к трехмерному пространству, однако Fx и F2] не изотопны по отношению к“плоскости.
\Две окружности, лежащие в трехмерном пространстве, называются зацепленными между собой, если они расположены так, как показано на фиг. 14 (т. е. если одна из < них пересекает всякую поверхность, ограниченную другой).
Фигура, состоящая из двух зацепленных окружностей, го-меоморфна, но не изотопна фигуре, состоящей из двух неза-цепленных окружностей без общих точек (фиг. 15).
12
Заузленная замкнутая линия гомеоморфна, но не изотопна иезаузленной (фиг. 16). 
Можно, сказать, что внутренние свойства фигуры суть свойства, для описания которых достаточно пользоваться лишь отношениями между элементами самой фигуры, не привлекая каких бы то ни было построений, выходящих за ее пределы. Внутренние свойства фигуры, таким образом, могли бы быть познаваемы воображаемым существом, живущим в данной фигуре, которая образует, так сказать, его «мир», вне которого для него нет ничего.
Деление свойств на внутренние и невнутренние касается не только топологических свойств. Эта же классификацйя играет существенную роль, например, в диференциальной геометрии. Две поверхности, могущие быть изогнуты одна в другую (без растяжений и сжатий), имеют тождественными все внут-	/Z	\\
ренние диференциально-геометри-	1(
ческие свойства; так, кусок ко-нической или цилиндрической по-	\\	//
верхности может быть разогнут /7	))
в плоский кусок и отличаться от (( у/Чк )) последнего лишь своим отношением к окружающему пространству. (Воображаемое двумерное существо,	Фиг. 16
живущее в таком куске конической поверхности и могущее измерять длины линий своего мира, никогда не могло бы определить, является ли его мир куском конической, цилиндрической поверхности или даже просто куском плоскости.) Между тем кусок сферической поверхности обладает внутренней метрикой, совершенно отличной от внутренней метрики куска плоскости и не может быть в него разогйут. Наше воображаемое существо могло бы заметить кривизну сферического мира, например, определяя измерением отношение длины окружности к диаметру.
Гауссова кривизна1 служит примером внутреннего в этом смысле свойства поверхности, тогда как средняя кривизна есть величина, зависящая от расположения поверхности в пространстве, — не остается без изменения при изгибании поверхности.
1 См. какой-нибудь курс диференциальной геометрии (например Д. Е г о р о в, Диференциальная геометрия, Гиз, 1923).
13
5.	Двусторовность и ориентируемость. Вернемся к вопросу об односторонности поверхностей. Как мы видели, одно-сторонее расположение поверхности не является свойством, определенным внутренним образом. Однако оказывается, что как бы мы ни реализовали в трехмерном (евклидовом) пространстве поверхность данного топологического типа, она остается либо всегда двусторонне, либо всегда односторонне расположенной. Это обстоятельство наводит на мысль о существовании некоторого внутреннего свойства, отвечающего свойству одностороннего расположения.
Ф. Клейн предложил для выяснения этого свойства следующее построение: поместим на поверхности Мёбиуса (лучше
сказать в поверхности) маленькую окружность1, снабженную определенным направлением обхода,—стрелкой (будем называть это Направление обхода «вращением двумерных часов») (фиг. 17). Если, оставляя эту окружность все время в поверхности, перемещать ее вдоль средней линии, то, сделав полный оборот и вернув окружность в исходное положение, мы заметим, что направление стрелки будет противоположно тому ее направлению, которое было в начальный момент движения (внешний наблюдатель сказал бы: «Часы повернулись ко мне другой стороной»). Существование замкнутого пути, изменяющего направление вращения двумерных часов, можно принять за определение искомого внутреннего свойства — свойства не ориентируем ости.
Если такого пути на поверхности не существует, то, выбрав определенное направление вращения часов в некоторой начальной точке, можно перенести его в любую другую точку поверхности (причем несущественно, каким путем в этом случае пользоваться —результат переноса будет один и тот же; не так дело обстоит с неориентируемыми поверхностями) и таким образом установить единообразное напра-
1 Это значит, что все точки окружности принадлежат поверхности.
14
вление вращения «часов» во всех точках поверхности_____
«проориентировать поверхность».
Очевидно, что в случае неориентируемой поверхности невозможно непрерывно установить единообразное вращение «часов» во всех ее точках.
В трехмерном евклидовом пространстве ориентируемые поверхности располагаются всегда двусторонне, неориенти-руемые — всегда односторонне.
Подобно тому как поверхность может быть односторонне
или двусторонне расположена в пространстве, замкнутая линия может быть расположена односторонне или двусторонне на поверхности. Рассмотрим на поверхности Мёбиуса среднюю линию сс. Если представить себе ее в виде узкого
канала, наполненного водой, и заставить наше воображаемое существо двигаться по одному берегу этого канала в направлении, указанном бтрелкой, то, обойдя всю поверхность и вернувшись к той точке канала, откуда было начато движение, оно окажется
к нашему удивлению
на другом берегу, хотя и не переходило канал вброд. Другими словами, один берег канала является непрерывным
продолжением другого; в сущности здесь уже нельзя говорить о двух берегах: наш канал имеет только один берег! Средняя линия листа Мёбиуса расположена на нем односторонне.
Если же перенести эту линию сс на плоскость, то там она расположится, конечно, двусторонне, как и всякая замкнутая линия на плоскости1. Таким образом одна и та же линия при одних обстоятельствах располагается двусторонне, при других—односторонне. Одностороннее расположение — свойство не внутреннее.
1 Можно даже доказать, что простая замкнутая линия на любой ориентируемой поверхности располагается всегда двусторонне. Поверхность тогда и только тогда неориентируема, когда на ней можно найти замкнутую линию, расположенную односторонне.
15
ГЛАВА II
МНОГООБРАЗИЯ
6.	Идеальные элементы. Абстрактные геометрии. В проективной геометрии (а также и в аналитической) для сохранения общности формулировок наряду с реальными геометрическими образами вводятся идеальные: бесконечно удаленные точки, прямые и т. д. Для этого к каждой прямой присоединяют одну идеальную точку и условливаются считать близкими к ней все точки этой прямой, достаточно удаленные от какой-нибудь одной, принятой за начальную. Говоря точно, окрестностью присоединенной точки относительно прямой считаем совокупность всех точек этой прямой, лежащих вне произвольного ее отрезка. Расширяя этот отрезок, мы уменьшаем окрестность идеальной точки. После такого присоединения прямая становится гомеоморфной окружности. Условливаются затем считать, что все параллельные между собой прямые имеют общую идеальную точку, идеальные же точки непараллельных прямых различны; что идеальные точки всех прямых, параллельных одной плоскости, образуют идеальную прямую; наконец, что все идеальные точки образуют идеальную плоскость. Далее, во всех рассуждениях проективной геометрии уничтожают всякое различие между идеальными; и реальными элементами. Пополненное таким образом пространство называется проективным пространством, плоскости, его называются проективными плоскостями, а прямые — проективными прямыми.
Известно, насколько плодотворно было введение в геометрию идеальных элементов. Оно позволило свести до минимума число аксиом и благодаря этому чрезвычайно упростило и сделало весьма стройным и легким все здание проективной геометрии.
Но вместе с тем благодаря этому введению геометрия перестает уже быть геометрией нашего пространства (точнее про, странства, как м ы его себе обычно представляем) —> 10
ее фигуры образованы уже не из точек такого пространства, а из «идеальных точек»—-абстрактных элементов, вопрос о физи-
ческой природе которых не возникает. Она становится абстрактной геометрией, теоремы которой .применимы к объектам любой природы, лишь бы эти объекты удовлетворяли системе
аксиом, образующих логическое^основание данной геометрии. Последнее обстоя-
тельство чрезвычайно расширяет область применения такой геометрии. Так, в связке1 прямых проективного пространства, называя каждую прямую «точкой», можно построить геометрию, формально совпадающую с геометрией проективной плоскости. Проще всего это сделать так: пересечем нашу связку произвольной плоскостью Е, не проходящей через центр связки. Тогда установится взаимно однознач-
Анри Пуанкаре (Н. Poincare) -(1854—1912)
проходит единственная пря-
ное соответствие между
всеми точками плоскости и всеми прямыми связки, так как через каждую точку плоскости Е
мая связки, и каждая прямая связки пересекает плоскость Е в одной и только в одной точке (бесконечно удаленные точки ведь уже присоединены!). Полученное соответствие позволяет
перенести все геометрические отношения из плоскости в связку (и прежде всего отношение соседства, т. е. позволяет установить в связке окрестности).
Эти отношения и образуют геометрию связки, формально неотличимую от геометрии проективной плоскости.
Взаимно однозначное соответствие между прямыми связки и точками плоскости позволяет без труда ввести на проектив.
1 Связка прямых—совокупность прямых пространства, проходящих через одну точку (центр связки).
17
2 Александров и Ефремович, 6543
ной плоскости новую систему расстояний, так чтобы все расстояния были конечными (и, следовательно, окончательно • исчезли последние следы различия между реальными и бесконечно удаленными элементами1). Для этого достаточно поло- " жить расстояние между двумя точками плоскости равным ; меньшему из углов (в отвлеченной мере), между теми двумя ; прямыми связки, которые этим точкам соответствуют. Ясно, \ что наибольшее расстояние между двумя точками плоскости окажется при этом равным
Из геометрических свойств пространства наглядного j представления топология оставляет минимальный класс — лишь свойства, основанные на понятии близости, свойства, j вытекающие из непрерывности пространства. Поэтому здесь	।
переход от конкретных точек к абстрактным элементам со-	I
вершается наиболее легко. Любая совокупность может стать j объектом топологического анализа, лишь бы между ее эле- j ментами существовали отношения близости.	;
Любые непрерывные образования, многообразия в широком i смысле—вот область топологического исследования.	j
Также широка и область применения результатов этого j исследования: теоремы топологии применимы ко всевозможным : математическим и физическим непрерывностям. Многообразия, Исследуемые топологией, нет нужды мыслить расположенными в пространстве; как и во всякой внутренней геометрии, здесь многообразие мыслится независимо от пространства, «вне пространства»; лучше сказать, само по себе является «пространством». Эту мысль подчеркивают, когда многообразие называют топологическим пространством.
Топология — это геометрия топологических пространств.
Начавшись с землемерия, став учением о пространстве, геометрия в своей самой молодой ветви — топологии — превращается в теорию непрерывных многообразий, в наиболее широком смысле этого слова; из науки о пространстве — в науку о пространствах...
7.	Топология проективной плоскости. Замкнутые неори-ентируемые поверхности. Мы уже говорили о том, что топологическая структура проективной плоскости та же, что
1 Конечно, такое «расстояние» сильно отличается от того, что обычно понимается под расстоянием. Здесь переносится геометрическое отношение (угол) из связки на проективную плоскость и наименовывается «расстоянием».
18
и у связки прямых. Чтобы яснее представить эту структуру, опишем вокруг центра связки сферу произвольного радиуса, тогда каждой прямой связки будет соответствовать пара диаметрально противоположных точек сферы. На многообразие всех этих пар переносятся все геометрические отношения из связки. Таким образом если каждую пару диаметральных точек сферы принять за один элемент, как бы отождествить между собой точки, составляющие пару, и соответственным образом установить отношение близости этих элементов, то полученное многообразие будет гомеоморфно проективной плоскости.
Топологически проективную плоскость можно получить идругимспособом—взяв круг(или полусферу)и отождествляя диаметрально противоположные точки границы [то есть рассматривая две ее точки, как один элемент—одну (идеальную) «точку»].
Если на плоскости, пополненной бесконечно удаленными элементами, провести три прямые, не проходящие через одну точку, то рни, как нетрудно видеть, разбивают плоскость на четыре треугольника, из которых один (фиг. 19) лежит в «конечной» части плоскости, а остальные три пересекаются бесконечно удаленной прямой. Отсюда видно, что каждая точка бесконечно удаленной прямой является либо внутренней точкой одного из треугольников, либо точкой, лежащей на общей стороне двух треугольников. Другими словами, бесконечно удаленная прямая вовсе не является границей плоскости, как можно было бы ошибочно думать. Проективная плоскость вообще не имеет никакой границы и является замкнутой поверхностью. Легко показать, что проективная плоскость есть поверхность неориентируемая: из нее можно вырезать полоску, гомеоморфную поверхности Мёбиуса. Такую полоску вырезает из нее, например, любое коническое сечение (читателю удобно себе его представить в виде гиперболы— полоской является часть плоскости, лежащая между ветвями гиперболы1 (фиг. 20). Мнимая ось этой гиперболы служит средней линией поверхности Мёбиуса).
1 Граница нашей полоски получается непременно в форме кони-ческого сечения, если мы хотим, чтобы полоска имела постоянную ширину в смысле метрики, определенного в предыдущем параграфе расстояния точек на проективной плоскости. Мы не могли ограничить полоску двумя прямыми, параллельными средней прямой (как, казалось, было бы проще всего), так как они пересекли бы ее в бесконечно удаленной точке.
19
Так как далее проективным преобразованием всей плоскости можно гиперболу превратить в эллипс, и даже в круг, то можно сказать, что часть проективной плоскости, лежащая вне какого-нибудь круга, гомеоморфна листу Мёбиуса. Отсю-
да получаем интересное топологическое построение проектив.
ной плоскости: нужно лишь склеить границами круг и поверхность Мёбиуса (граница последней состоит ведь из одной замкнутой линии!).
Мы познакомились с двумя замкнутыми неориентируемыми поверхностями—с поверхностью Клейна и с проективной плоскостью. Присоединяя к ним «ручки», можно из них получить все неориентируемые замкнутые поверхности.
Фиг. 20
Ни одна из них не может быть помещена в трехмерное евклидово пространство без самопересечений, однако, не следует думать, что такие поверхности, мыслимые абстрактно вне отношения к окружающему пространству, обладают неоднородной структурой (ветвятся). Вовсе нет, окрестность каждой точки устроена у них совершенно так же, как окрестность точки на плоскости. Те самопересечения, которые получаются при помещении их в наше пространство, свидетельствуют лишь о том, что для них это пространство слишком, так сказать, тесно. [Подобные же самопересечения получаются, 20
если заузленную Замкнутую линию, лежащую в Трехмерном пространстве, спроектировать на плоскость (фиг. 16).]
Фиг. 21 изображает расположенную в трехмерном пространстве проективную плоскость. Линия АВ—линия самопересечения, особая линия расположения.
Фиг. 21
Фиг. 22 изображает поверхность Клейна. Линия АВ— особая.
8.	Трехмерные замкнутые многообразия. Топологическое произведение. Существо, живущее в плоскости и не могущее никакими способами выйти за ее пределы, не могло бы себе представить наглядно существование замкнутых поверхностей, например поверхности шара или тора, так как в плоскости никакая замкнутая поверхность не помещается.
Если бы новое существо пришло бы тем не менее к математическому понима
нию поверхности, называемой нами тором, оно рассуждало бы примерно следующим образом
«В плоскости, в которой я живу, каждая точка определяется двумя координатами. Но ведь координата есть, в сущности говоря, точка числовой прямой, значит каждая точка моей плоскости может быть рассматриваема, как пара точек прямой линии, или, еще удобнее, как пара точек, из которых одна
21
есть точка одной прямой (оси абсцисс), а другая—точка другой прямой (оси ординат). Если я теперь возьму вместо двух прямых две окружности X и Y и буду рассматривать пару точек (х, у), гле х есть точка X, а у есть точка Y, как точку некоторого нового геометрического образования, то что я получу? я получу некоторую странную плоскость, некоторое «двумерное многообразие», где будут иметься две оси координат (одна — геометрическое. место точек вида (О, у), где О есть начало отсчета на первой окружности, другая— геометрическое место точек вида (х, 0), где 0 есть начало отсчета на второй окруж-_____________------ ности). Эти оси координат .__________________будут пересекаться в одной
X''''	'Х	точке (О, О), и все отличие
г	J	от обычных осей будет за-
ключаться в том, что они
----------СУТЬ окружности, а не пря-। А -* -|-мые (нам, читатель, эти оси
удобнее всего представить ’	Фиг. 23	как экватор и один из ме-
ридианов тора).
«Но самое главное — на моем двумерном многообразии — у каждой точки будут иметься окрестности, устроенные совершенно так же, как окрестности точек на плоскости; если рассматриваемая мною точка есть = (х0, у0), то, выбравши произвольно малое число 8, я назову окрестностью точки £0 совокупность всех точек § =(х, у) таких, что расстояния между х и х0 и между у и у0 меньше, чем е, и эта окрестность отображается взаимно однозначно на квадрат моей плоскости, определенный неравенствами |х—х0| <е, |у—у0| <е-Число е определяет размеры окрестности».
Мы с вами, живя в трехмерном пространстве, не можем себе наглядно представить трехмерного замкнутого многообразия, так как ни одно такое многообразие в нашем трехмерном пространстве не помещается. Но мы можем изучать их теми же методами, как наше воображаемое «плоское» существо могло бы изучать замкнутые поверхности. Чтобы иметь простой пример, посмотрим, как построить трехмерное многообразие, аналогичное.тору. Каждая точка обыкновенного трехмерного пространства может быть рассматриваема как тройка действительных чисел, или как тройка (х, у, z) точек трех прямых (оси ох, оу, oz). Возьмем 22
в качестве точки искомого трехмерного многообразия тройку точек, принадлежащих соответственно трем окружностям X, Y и Z. Окрестностью произвольной точки §0— (х0, Уо> z0) назовем совокупность всех точек § = (х, у, z) таких, что расстояния между х и х0, между у и у0, между z и z0 меньше, чем е; произвольное число е определяет размеры окрестности. Определенные таким образом окрестности устроены совершенно так же, как окрестности точек в пространстве, — они отображаются взаимно однозначно на куб нашего пространства, определенный неравенствами:
|х —Хо|<8, |у — Уо|<8, |z — Zo!<8.
Другой пример получается при помощи следующих соображений. Точка трехмерного пространства может быть рассматриваема не только как тройка точек трех координатных осей, но и как пара точек, из которых первая точка принадлежит плоскости хоу, а вторая—оси oz. Если здесь плоскость хоу заменить сферой, а ось oz— окружностью, то вместо обычного трехмерного пространства получится трехмерное замкнутое многообразие, окрестности точек которого, будучи определены аналогично предыдущему, окажутся устроенными совершенно так же, как окрестности точек нашего пространства.
Построение, употребленное в этих примерах, представляет собой частный случай общего построения, являющегося развитием метода координат Декарта, построения так называемого топологического произведения двух (или нескольких) данных пространств. Топологическим произведением XY двух пространств X и У называется пространство, точками которого служат всевозможные пары (х, у) \ где х есть точка X, а у есть точка Y, окрестности же определены следующим образом: пусть §0 = (х0, у0) — какая-нибудь точка ХУ, возьмем произвольную окрестность U точки х в пространстве X и окрестность V точки у в У и назовем окрестностью §0 в XY совокупность всех точек § = (х, у) таких, что х принадлежит U, у принадлежит V.
Аналогичным образом определяется топологическое произведение нескольких пространств.
Рассмотренные выше примеры представляют собой топологические произведения: первый—трех окружностей, второй — произведение сферы на окружность.
1 Можно также обозначить просто ху.
23
Проективное пространство также дает пример трехмерного замкнутого многообразия. Топологически это многообразие может быть получено из трехмерного шара, если отождествить диаметрально противоположные точки его границы (т. е. каждую пару таких точек посчитать за одну «бесконечно удаленную» точку).
И* 'Наконец, замкнутым многообразием является трехмерная сфера (поверхность шара в четырехмерном пространстве, см. следующий параграф). Это многообразие может быть топологически построено присоединением единственной бесконечно удаленной точки к евклидову трехмерному пространству, причем окрестностью этой точки нужно считать совокупность всех точек, лежащих вне какого-нибудь шара; чем большую часть пространства захватывает этот шар, тем меньше останется на долю окрестности, тем «уже» она.
Замкнутые трехмерные многообразия (а также и вообще любые многообразия п измерений) были подвергнуты систематическому исследованию основателем многомерной топологии Пуанкаре (Poincare), однако ни он, ни более поздние исследования не дали полной теории этих многообразий.
Детально разработанными могут считаться лишь вопросы, связанные с так называемыми группами Бетти и фундаментальной группой многомерных многообразий х.
В следующем параграфе дается несколько примеров многообразий различного числа измерений, рассматриваемых в математике и физике.
9.	Некоторые математические и физические многообразия. Математика и физика являются неисчерпаемыми источниками всевозможных топологических форм. Здесь будет рассмотрено лишь несколько примеров.
1. Совокупность всех действительных чисел (числовая прямая). Здесь естественным образом определено отношение близости: два числа близки, если абсолютная величина их разности мала. Этим определяется топологическая структура числовой прямой.
Ту же топологическую структуру имеет многообразие моментов времени, многообразие всевозможных температур
1 О гомологиях и числах Бетти см., например, П. Александров и В. Ефремович, Краткое введение в топологию, 1935, а также Seifert und Т hr el foil, Lehrbuch der Topologie, Berlin 1934. Там же можно найти указания на топологическую литературу, 24
й т. п. Йсе эти многообразия гомеоморфны интервал^—МНб* 1 жеству всех внутренних точек прямолинейного отрезка.
2.	Множество всех комплексных чисел гомеоморфно множеству всех точек обычной плоскости. То же множество, будучи пополнено бесконечно большим числом оо (как это делается в теории функций), образует многообразие, гомеоморфное сфере. Топологическое отображение на сферу может быть выполнено при помощи стереографической проекции.
3.	п-мерное евклидово пространство—совокупность всех возможных систем (хх, х2, . . ., хп) действительных чисел; эти системы считаются его точками, числа хх,х2, . . ., х„ называются координатами точки § = (хх, х2, . . ., хя). Расстоянием $(§, т?) между двумя точками §=(х1, х2, . . ., х„), Ч = (У1, Уг, • • > Уп) называется выражение:
е (£, ri) = /(«х — У1)2 + (х2 — у2)2 + . . . + (Х„ — У„)2.
Окрестностью точки §0 служит совокупность точек § таких, что о(§, §о)<е; е— радиус окрестности.
Топологически л-мерное евклидово пространство является произведением л осей координат (называем осью охк множество точек, определенное уравнениями хй = 0 при h^-k).
Легко доказать, что л-мерное пространство гомеоморфно внутренности л-мерного шара:
xl + xl + ...+x\<\\
4.	Мгновенное состояние данной механической системы определяется положением всех ее точек и их скоростями (или импульсами) в рассматриваемый момент. Многообразие * всех возможных состояний данной механической системы называется ее фазовым пространством. Определенное таким образом фазовое пространство аморфно (в нем не определено ни понятие длины, ни понятие прямолинейности и т. п.); оно обладает лишь топологической структурой. При этом две точ
1 Доказывающее это утверждение топологическое преобразование п
всего пространства во внутренность л-мерного шара 2	1 мож-
1
но определить, например, формулой:
-----—-Xh — — . - (Л = 1, 2,	п). .
1+/х? + ^+...
25
ки фазового пространства считаются близкими, если определяющие их координаты (координаты точек системы и компоненты их импульсов) имеют близкие значения. Другими словами, окрестностью точки х0 фазового пространства служит совокупность всех его точек х, координаты которых отличаются от соответственных координат точки х0 меньше чем на е (число, определяющее окрестность).
Возьмем для примера механическую систему, состоящую из одной материальной точки, могущей двигаться по данной круговой орбите с произвольной скоростью (ротатор). Фазовое пространство для этой системы гомеоморфно поверхности цилиндра. Действительно, состояние системы определяется циклической координатой положения точки на орбите (полярным углом) и величиной скорости. Так же можно определить и положение точки на поверхности цилиндра: циклической координатой и расстоянием по образующей от какого-либо кругового сечения цилиндра.
В общем случае системы с г степенями свободы фазовое пространство представляет собой 2г-мерное многообразие1 [здесь состояние системы определяется криволинейными координатами 9i, д2,.. . , 9, (свободные параметры Лагранжа) и г сопряженными импульсами р1г р2, . . ., pj.
Окрестности любой точки этого пространства устроены совершенно так, как окрестности точек в 2г-мерном евклидовом пространстве.
5.	Многообразие всех линейных элементов на плоскости (линейный элемент = точка + проходящая через нее прямая). Близость линейных элементов определяется естественным образом. Это трехмерное многообразие играет важную роль в диференциальных уравнениях.
Ту же топологическую структуру имеет многообразие всех перемещений плоскости по себе (непрерывная группа движений плоскости).
б.	Непрерывная группа движений трехмерного евклидова пространства—многообразие шести измерений.
7.	Многообразие всех прямых трехмерного проективного пространства—-многообразие четырех измерений довольно сложной топологической структуры.
vТочное определение «-мерного многообразия смотреть в конце книжки (стр. 30).
26
ГЛАВА Ш
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
10. Разберемся несколько в том материале, который нам дают только что рассмотренные примеры.
Мы уже видели, что геометрическая фигура или геометрическая протяженность, в общем смысле этого слова, есть понятие гораздо более широкое, чем понятие элементарногеометрической фигуры, лежащей в обычном трехмерном пространстве, что каждый геометрический образ может быть рассматриваем сам по себе, независимо от пространства, в которое он погружен, что он сам собою образует некоторое пространство.
Мы видели, кроме того, что геометрическая протяженность, рассматриваемая сама по себе, как некоторое пространство, может быть построена из элементов самой различнойдприроды, рассматриваемых как точки данного пространства. Однако пространство не является только множеством своих точек; это последнее, чтобы стать пространством, должно быть как-то организовано, должно быть чем-то объединено, между его элементами должны быть установлены некоторые соотношения. Оттого, какой природы эти соотношения, зависит, какой именно отдел геометрии мы перед собой имеем. Соотношения, лежащие в основе топологий, суть соотношения близости или соседства. Устанавливаются они на основе понятия окрестности: мы видели, что в тех примерах многообразий, которые мы имели только что, у каждой точки многообразия имеются окрестности, которые взаимно однозначно отображаются на обыкновенную окрестность точки евклидова пространства.
После того как окрестности в многообразии установлены, легко устанавливаются нужные нам основные в топологии соотношения близости, или, точнее, предельные соотношения: мы говорим, что переменная точка х данного многообразия •	27
нимается множество
П. С. Урысон (1898—1924)
стремится к постоянной точке а, если точка х пробегает такой последовательный ряд положений, что попадает в процессе своего изменения в любую наперед заданную окрестность точки а так, что,'попавши в ее, уже более не покидает этой окрестности.
Понятие окрестностиТведет нас далеко за пределы понятия многообразия, к общей концепции топологического пространства. Под топологическим пространством по-: элементов —точек пространства, в котором для каждой точки определены некоторые подмножества-окрестности данной точки. При этом требуется, чтобы установленные таким образом окрестности удовлетворяли некоторым требованиям аксиоматического характера, которые я здесь не буду перечислять.
На основе понятия окрестности определяются предельные соотношения также, как для многообразий. Удобнее, однако, определять не понятие предела переменной точки, а понятие предельной точки бесконечного множества:
точка а называется предельной точкой (точкой накопления, точкой сгущения) множества М, если всякая окрестность точки а содержит в себе бесконечно много точек множества М1. Окрестности же позволяют определить понятие непрерывного отображения, топологических свойств, гомеоморфизма и т. п. совершенно так, как мы это делали в самом начале нашего изложения.
1 Предельная точка может и не принадлежать множеству Л4<
28
Понятие топологического пространства является, невидимому, окончательным обобщением понятия геометрической фигуры как предмета топологического исследования. Все, что топология изучает, входит в общую концепцию топологического пространства.
Достигнув, таким образом, высшего возможного обобщения своего предмета исследования, топология систематическим анализом выделяет из класса всех топологических пространств все более и более узкие классы, доходя постепенно от самых отвлеченных геометрических и теоретике-множественных построений до наиболее конкретных, в конце концов до много- * образий. На этом пути конкретизации топологических пространств одним из самых важных шагов является выделение класса так называемых метризуемых топологических пространств, которые мы здесь просто будем называть метрическими пространствами. Это такие топологические пространства, в которых можно определить расстояние между каждыми двумя точками а, b в качестве положительного числа £»(а, Ь), удовлетворяющего для любых трех точек а, Ь, с соотношению:
е (a, b) -w (Р, су^о (а, с).
Кроме того, предполагается, что расстояние между двумя точками не зависит от их порядка [то есть что q (а, Ь)=о (Ь, а)] и что расстояние от точки до нее самой равно нулю
[(? (а, а)=0)].
При этом окрестностью какой-нибудь точки а метрического пространства является совокупность всех точек х, отстоящих от данной точки а на расстояние, меньшее некоторого, наперед заданного, положительного числа 8.
Примеры метрических пространств:
1.	Всякое множество, лежащее в евклидовом пространстве, любого числа измерений является метрическим пространством.
2.	Рассмотрим обычную плоскость с системой прямоугольных координат х, у. Однако расстояние о (р, р') между двумя точками р = (X, у) и р' = (х', у') определим не по формуле аналитической геометрии, а так:
е(р, р'} = |х—х'| + |у—у'\.
Полученное метрическое пространство гомеоморфно плоскости.
29
3.	Чрезвычайно важным для современного анализа и для физики является метрическое пространство Гильберта. Его «точками» являются всевозможные последовательности действительных чисел:
(xlt х2,. . ., X» , . .
удовлетворяющие лишь одному ограничительному условию, °°	9
а именно, требованию, чтобы ряд^ Хь сходился. Расстояние между
§ = (Х1, х21.X» ,. . .),
V = (У1, Уз, • • •, У» , • - •)
пространства Гильберта определяется по формуле:
е(§, »?) = у ^(xs-yby •
Очевидно, как понятие точки гильбертова пространства, так и понятие расстояния между двумя точками в нем является прямым обобщением соответствующих понятий, построенных для п-мерного евклидова пространства: п сделалось бесконечным. Поэтому гильбертово пространство иногда называют евклидовым пространством бесконечно большого числа измерений.
4. Множество непрерывных функций /(х), определенных на отрезке О С х 1, является метрическим пространством, если максимум абсолютной величины разности двух функций /х(х) и /2(х) рассматривать как расстояние между этими функциями:
С (/i, /г) = max | /х (х)—/2 (х) |.
5. Из того же множества непрерывных функций получим другое метрическое пространство, если за расстояние между Л(х) и /2(х) примем:
Самыми важными среди всех топологических пространств, однако, остаются n-мерные многообразия. Мы можем их теперь определить вполне точно, как топологические пространства, окрестности всех точек которых гомеоморфны окрестностям точек в п-мерном евклидовом пространстве (при этом обычно 30
Понимают под многообразиями лишь связные многообразия, состоящие из одного куска), л-мерные многообразия являются основными образами всей современной геометрии, и следует подчеркнуть, что сколько-нибудь глубокое и разностороннее их исследование существенным образом предполагает достаточно полное овладение их топологическими свойствами. Топология многообразий, более чем какая-нибудь другая часть топологии, связана многочисленными и разнообразными нитями с другими отделами математики, а также с механикой и математическим естествознанием; чтобы понять, откуда берутся эти связи, достаточно вспомнить, что фазовые пространства самых различных механических систем являются многомерными многообразиями.
Мы видим, что в определении всякого многообразия фигурирует число п—число измерений этого многообразия. Это число выражает самый основной характер данной протяженности, отвечает' на вопрос, является ли эта протяженность линейной, или протяженностью типа поверхности (двумерной), или типа тела—трех, четырех или более измерений. Несмотря на фундаментальный характер свойства протяженностей, выражаемого их числом измерений, только в 1911 г. была доказана [знаменитым голландским математиком Брауэром (Brouwer)] теорема о том, что число измерений выражает топологическое свойство данного многообразия, т. е. что два гомеоморфные многообразия имеют всегда одно и то же число измерений. (В частности, только из теоремы Брауэра вытекает невозможность взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения л-мерного евклидова пространства на ш-мерное при пфт.) Важность этого предложения (известного под названием теоремы об инвариантности числа измерений) совершенно исключительна и можно без преувеличения сказать, что не будь этой теоремы, все развитие современной топологии было бы лишено почти всего своего интереса: ведь топология имеет своей основной целью выяснение самой общей, качественной природы геометрических форм, справедливо полагая, что эта качественная природа протяженностей в первую очередь выражается в тех их свойствах, которые сохраняются при взаимно однозначных и взаимно непрерывных (т. е. при топологических) преобразованиях. Этой точке зрения был бы нанесен решительный и смертельный удар, если бы оказалось, что такое наиболее общее и основное свойство геометрических образований, как число их измерений, т. е. свойство их быть
31
Линией, поверхностью и т. д.,не сохраняется При Топологических преобразованиях.
Теорема Брауэра, окончательно установив топологический характер числа измерений многообразий, вместе с тем естественным образом выдвинула некоторую новую проблему, еще несколько лет перед тем (впервые) формулированную (хотя и не вполне отчетливо) Пуанкаре.
Нельзя ли каждой, сколь угодно сложной геометрической фигуре (т. е. в свете наших теперешних знаний—каждому топологическому пространству) поставить в соответствие некоторое целое число, которое было бы естественно считать числом измерений этого пространства?
Таким образом поставленная проблема получила положительное решение в трудах Брауэра, Урысона и Менгера и повела к построению так называемой общей теории размерности (или числа измерений), являющейся несомненно одним из самых глубоких и ярких достижений современной топологии. Заметим, в частности по отношению ко множествам, лежащим в евклидовых пространствах любого числа измерений, что теория размерности дает возможность исчерпывающей классификации, в смысле подразделения их на линии, поверхности, трехмерные тела и т. д'. А пользуясь этой классификацией, удалось ввести большую и во многих случаях окончательную ясность в область самых широких и общих геометрических построений, удалось показать, что при всем разнообразии форм, которые топологическая природа этих построений способна принимать, основные законы, управляющие этим разнообразием, суть те же самые, что и в области наиболее элементарных геометрических построений.
Редакция р. Hi Бончковского. Оформление С. Л. Дыман. Корректура 3. В. Смирновой. Выпускающий А. В. Малов, Сдано в производстве 20/VII 1934 г. Подписано к печати 4/П 1935 г. Листов 2. Тираж 7 000. Формат 82х1101/88. Печ. зн. в книге 75264. Заказ № 6543. ГТТИ № ?26. Уполномоченный Главлита В-15452.
б*я типография Трансжелдориздата НКПС. Москва, Кзланчевский тупик, д. 3/5.
Цена 20 коп.
Т 29-4-4