«Механика в техническом университете»
Серия основана в 1999 году
В восьми томах
Том 1
Ответственный редактор К С. Колесников
Редакционный совет:
К. С. Колесников (председатель)
Н.А. Алфутов
О.С. Нарайкин
Д.Н. Попов
О А. Ряховский
В.А. Светлицкий
В.И. Усюкин
КВ. Фролов
И. С. Шумилов
Москва
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана
2005

КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
Под редакцией К.С. Колесникова
Издание третье, стереотипное
Допущено Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по направлению подготовки дипломированных специалистов
в области техники и технологии
Москва
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана
2005

УДК 531.8 @75.8)
ББК 22.21
К93
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук В. В. Сазонов, кафедра
теоретической механики Московского государственного
авиационного института (технического университета МАИ)
j
Авторы: В. И Дронг, В. В. Дубинин, М. М. Ильин,
К. С. Колесников, В. А. Космодемьянский, Б. П. Назаренко,
A. А. Панкратов, П. Г, Русанов, Ю. С Саратов, Ю. М. Степанчук,
Г. М. Тушева, Я. М. Шкапов
--?
К93 Курс теоретической механики: Учебник для вузов / В. И. Дронг,
B. В. Дубинин, М. М. Ильин и др.; Под общ. ред. К. С. Колесникова. 3-е
изд., стереотип. — М.: Изд-во МТУ им. Н. Э. Баумана, 2005. — 736 с:
ил. (Сер. Механика в техническом университете; Т. 1).
ISBN 5-7038-1695-5 (Т. 1)
ISBN 5-7038-1371-9
Изложены кинематика, статика, динамика точки, твердого тела и механи-
механической системы; аналитическая механика; теория колебаний; теория удара; вве-
введение в динамику тел переменной массы; основы небесной механики. Приведе-
Приведены примеры решения задач.
Содержание учебника соответствует программе и курсу лекций, которые
авторы читают в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Для студентов машиностроительных вузов и технических университетов.
Может быть полезен аспирантам и преподавателям, а также специалистам в
области статики и динамики механических систем.
УДК 531.8 @75.8)
ББК 22.21
© Коллектив авторов, 2002
ISBN 5-7038-1695-5 (Т. 1) © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002
ISBN 5-7038-1371-9 © Издательство МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2002

Предисловие
Учебник является результатом многолетней преподавательской
деятельности авторов в МГТУ им. Н. Э. Баумана, выпускающем инжене-
инженеров-конструкторов и исследователей, которые специализируются в облас-
области машино- и приборостроения. Ему предшествовали учебники, написан-
написанные также преподавателями университета В. В. Добронравовым,
А. Л. Дворниковым, Н. Н. Никитиным, которые переиздавались не-
несколько раз и сыграли большую роль в обучении студентов.
Переход к университетскому инженерному образованию потребо-
потребовал расширения содержания курса, более полной физической трактовки
ряда вопросов и естественного усложнения используемого математиче-
математического аппарата. С этой целью в разделе «Кинематика» более полно из-
изложена глава «Общий случай движения твердого тела».
Статика излагается как самостоятельный раздел, поскольку такие
предметы, как сопротивление материалов, теория механизмов и меха-
механика машин, детали машин, предметы инженерного проектирования,
требуют от студента четкого представления о способах преобразования
и передачи силовых взаимодействий в механизмах машины.
Значительные дополнения сделаны в разделе «Динамика». Здесь
введены интегральные вариационные принципы, элементы небесной
механики; более полно изложены теория колебаний, теория удара и не-
некоторые другие вопросы.
Материал в учебнике распределен между авторами следующим
образом: Предисловие, Введение, главы 8-12 написаны К. С. Колесни-
Колесниковым (примеры в гл. 8-12 составлены В. И. Дронтом); § В1-В6, В8
гл. 6 — Г. М. Тушевой; § В7, § 4.2, гл. 5, § 16.2 и 16.3 — П. Г. Русановым;
главы 1, 2, 7, § 16.1 — П. М. Шкаповым; главы 3, 4 — Б. П. Назаренко;
гл. 13, § 19.10 — Ю. С. Саратовым; главы 14, 15, 20 — В. В. Дубини-
Дубининым; § 15.6,15.7 — Ю. М. Степанчуком; главы 17, 18 — В. И. Дронтом;
§ 18.6 — В. А. Космодемьянским; гл. 19 — М. М. Ильиным; главы 21 и
22 — А. А. Панкратовым.
Авторы будут благодарны читателям, приславшим замечания и
пожелания по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5, Издательство
МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Введение
Теоретическая механика (классическая механика Галилея-
Ньютона) есть наука об общих законах механического движения
и взаимодействия материальных тел. Будучи по существу одним
из разделов физики, теоретическая механика выделилась в само-
самостоятельную дисциплину и получила широкое развитие благода-
благодаря своим обширным и важным приложениям в естествознании и
технике, одной из основ которой она является. Беря свое начало
от техники и развиваясь вместе с ней, теоретическая механика
особенно тесно связана с техническими науками, в которых зако-
законы и методы механики широко используются как при обоснова-
обосновании ряда исходных положений, так и при проведении многочис-
многочисленных конкретных инженерных расчетов.
Движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова,
есть форма существования материи и охватывает все происходя-
происходящие во вселенной изменения м процессы. В теоретической меха-
механике изучается одна из форм движения — механическое, состоя-
состоящее в том, что тело изменяет с течением времени свое положение
в пространстве по отношению к другим телам.
Для учета меры механического взаимодействия между тела-
телами в классической механике, основание которой положили Гали-
лео Галилей A564-1642) и Исаак Ньютон A643-1727), вводится
понятие о силе. Для данного тела сила является внешним факто-
фактором, изменяющим его движение. Характер движения зависит как
от силы, так и от степени инертности тела. Чем больше инерт-
инертность тела, тем медленнее изменяется его движение под действием
данной силы, и наоборот. Мерой инертности тела является его
масса. Таким образом, понятиями, лежащими в основе классиче-
классической механики, являются: движущаяся материя (материальные те-
тела), пространство и время как формы существования движущейся
материй, масса как мера инертности материальных тел и сила как
мера механического взаимодействия между телами.

В классической механике Галилея-Ньютона пространство
считается трехмерным евклидовым, свойства которого не зависят
от движущихся в нем материальных объектов. Положение точки
в таком пространстве относительно какой-либо системы отсчета
определяется тремя независимыми параметрами, или координа-
координатами точки. Время в классической механике универсально. Оно
не связано с пространством и движением материальных объек-
объектов. Во всех системах отсчета, движущихся друг относительно
друга, оно протекает одинаково. Массы материальных объектов
не зависят от скорости их движения.
После Г. Галилея и И. Ньютона (Галилей опубликовал «Бе-
«Беседы о науках» в 1638 г., Ньютон — «Математические принципы
натуральной философии» в 1687 г.) методы механики начали бы-
быстро совершенствоваться благодаря применению мощного мате-
математического аппарата — анализа бесконечно малых. Основная
заслуга в приложении этих методов к решению задач динамики
принадлежит великому математику и механику Леонарду Эйле-
Эйлеру A707-1783), являвшемуся с 1727 г. действительным членом
молодой тогда Российской Академии наук и прожившему в Пе-
Петербурге 31 год. Л. Эйлер разработал аналитические методы
решения задач динамики путем составления и интегрирования
дифференциальных уравнений. Аналитическое направление в
развитии механики достигло наиболее широких обобщений в ка-
капитальном сочинении «Аналитическая механика» крупнейшего
французского ученого Жозефа Луи Лагранжа A736-1813), вы-
вышедшем в 1788 г.
Из наших соотечественников М. В. Остроградскому A801-
1861) принадлежит ряд существенных результатов в развитии тео-
теоретической механики по аналитическому пути, в частности, им
дан вариационный принцип динамики, который называется
принципом Остроградского-Гамильтона, так как независимо от
М. В. Остроградского в несколько менее общем виде он одно-
одновременно был сформулирован ирландским математиком Уилья-
Уильямом Гамильтоном A805-1865). К двум случаям, когда движение
твердого тела вокруг неподвижной точки можно аналитически
изучить до конца, С. В. Ковалевская A850-1891) добавила тре-
третий. Работы А. М. Ляпунова A857-1918) об устойчивости движе-
движения до сих пор в мировой науке являются непревзойденными.

Н.Е.Жуковский A847-1921) создал себе мировую известность
работами в области аэродинамики. Он значительно расширил
границы механики и разработал прочную теоретическую базу для
ряда разделов техники. Для него механика была не разделом при-
прикладной математики, а подлинной наукой о природе, использую-
использующей все средства математики, но во всех стадиях своего развития
опирающейся на эксперимент. Н. Е. Жуковский в 1878 г. органи-
организовал первую в России кафедру теоретической механики в ИМТУ
(МВТУ им. Н. Э. Баумана) и заведовал ею в течение 43 лет до
конца своей жизни. И. В. Мещерский A859-1935) впервые дал
уравнение движения точки переменной массы.
Успехи физики в начале XX в., ознаменовавшиеся новыми
исследованиями в области электродинамики и строения мате-
материи, показали, что законы классической механики Галилея-
Ньютона применимы только к движению тел, размеры которых
значительно больше размеров атома, а скорости — значительно
меньше скорости света. Для тел очень малых размеров и для
очень больших скоростей выводы классической механики теряют
свою силу.
В теории относительности, созданной Альбертом Эйнштей-
Эйнштейном A879-1955), свойства пространства зависят от материальных
объектов и их движения; пространство и время связаны между
собой, они рассматриваются как единое четырехмерное про-
пространство - время; время при этом зависит от того, в какой сис-
системе отсчета оно изменяется. Теория относительности внесла до-
довольно существенные изменения в основы механики и показала
ограниченность ньютоновских представлений о пространстве,
времени и материи, вследствие чего стало возможным дать тео-
теоретическое обоснование ряду явлений, которые не могли быть
объяснены с точки зрения классической механики. Кроме того,
классическая механика оказалась неприменимой к теории строе-
строения атома, и это обстоятельство явилось причиной возникнове-
возникновения атомной или квантовой механики.
Несмотря на это, классическая механика Галилея—Ньютона
продолжает сохранять свою огромную ценность как мощное
орудие научного исследования различных вопросов естество-
естествознания и техники, а ее законы дают при этом вполне достаточ-
достаточную для практики точность. Она явилась основой для создания

многих прикладных направлений, получивших большое разви-
развитие. Это механика жидкости и газа, механика деформируемого
твердого тела, теория колебаний, динамика и прочность машин,
гироскопия, теория полета и управления, навигация и др. Клас-
Классическая механика замечательна тем, что наряду со строгостью
изложения имеет широкое инженерное приложение. Все разно-
разнообразные технические сооружения и все современные расчеты,
связанные с космическими полетами, построены на основе за-
законов классической механики и, как показывает опыт, с успехом
выполняют свое назначение. Поправки и изменения, вносимые в
законы классической механики теорией относительности и
квантовой механикой, исчезающе малы в обычных условиях и
становятся заметными только при больших скоростях, близких к
скорости света, и для тел, размеры которых имеют порядок раз-
размеров атома. Поэтому классическая механика Галилея-Ньютона
никогда не потеряет своего научного значения и практической
ценности.
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИЙ ВЕКТОРОВ
В.1. Скалярные и векторные величины.
Единичные векторы
В теоретической механике широко применяются методы
векторного исчисления, имеющие большое преимущество перед
координатным методом благодаря компактности и физической
наглядности векторных формул.
Главным преимуществом этих методов является независи-
независимость векторных формул от выбора системы координат.
В математической физике встречаются два типа величин:
скалярные и векторные.
Скаляром называется величина, которая не имеет направле-
направления, но выражается числовым значением, не зависящим от выбо-
выбора системы координат.
Вектором называется количественная характеристика,
имеющая как числовое значение, так и направление, и не свя-
связанная с выбором системы координат. Геометрический образ

вектора — это направленный отрезок прямой, определенным об-
образом ориентированный в евклидовом пространстве.
Точки А и В, ограничивающие вектор
АВ (рис. В.1), называют его началом и
концом. Длина отрезка АВ представляет
собой модуль вектора АВ:
\~АВ\=АВ.
Часто вектор обозначают одной бук-
Рис. В.1 вой с чертой над ней:
А=1в,
а его модуль — символом
\А\=А.
Если вектор не связан с какой-либо определенной линией
или точкой, он называется свободным. Вектор, связанный с
прямой, по которой он направлен, называется скользящим. Ес-
Если же вектор связан с точкой своего приложения, он называется
приложенным.
Рассмотрим далее основы векторного исчисления для сво-
свободных векторов.
Два вектора А и В называются равными, если они равны по
модулю и направлены вдоль параллельных прямых в одну сторо-
сторону: если А-В, ATtB ,то А -В .
Если два вектора равны по модулю, но противоположно на-
направлены, т. е. А- В, А\\>В , то А = -В .
Векторы, расположенные в одной плоскости, называются
компланарными.
Если А 11В, то векторы называются параллельными, или
коллинеарнымщ эти векторы могут быть одинаково или противо-
противоположно направленными.
Единичным вектором, или ортом, данного вектора А на-
называется вектор а0, по направлению совпадающий с данным
вектором А , а по модулю равный единице (рис. В.2). Тогда
А =Аа0, или а0 -А/А. (В.1)
10

Умножая вектор А на скаляр т9 полу-
получаем новый вектор
В = тА =тАао,
направленный в ту же или противопо-
противоположную сторону в зависимости от знака
скаляра т. _
Рис. В.2
В.2. Проекции вектора на ось и плоскость
Осью называется прямая, на которой установлено положи-
положительное направление отсчета.
Ортогональной проекцией вектора А = АВ на ось I
(рис. В.З) называется отрезок А'В\ заключенный между ортого-
ортогональными проекциями на эту ось на-
начала и конца вектора АВ, или алгеб-
алгебраическая величина, равная произве-
произведению модуля вектора на косинус
угла между направлением вектора А
и положительным направлением оси'/:
(AB)t = ABcos(ABJ) = ± | A'B' |,
или
л
A{ = ^cosD,/). (В.2)
Ортогональной проекцией векто-
вектора А- АВ на плоскость П называется
вектор АХВХ, соединяющий ортого-
ортогональные проекции начала и конца век-
вектора АВ на эту плоскость (рис. В.4).
Модуль вектора Ап определяется так:
Рис. В.З
где ф—угол между А и Ап.
Рис. В.4
11

В.З. Координаты вектора. Аналитическое задание вектора.
Радиус-вектор точки
Вектор А = ОМ (рис. В.5) считается заданным, если извест-
известны его модуль А и направление, т. е. направляющие косинусы
углов а 5 р и у, образуемых этой прямой с осями прямоугольной
системы координат Oxyz:
cos a = cos(jc , ОМ), cos p = cos(y, ОМ),
= cos(z,0M).
(В.З)
Рис. В.5
Поскольку косинусы углов а, р и у связаны между собой
известным соотношением cos2 a + cos2 Р + cos2 у = 1, то вектор
однозначно определяется тремя независимыми величинами, на-
называемыми координатами вектора. Удобнее всего принять за
координаты вектора его проекции на оси декартовой прямо-
прямоугольной системы координат:
Ах =
Ау =
А2 =
(В.4)
12

Поскольку
**.х • "«
л_ — А «
то модуль вектора и направляющие косинусы, согласно выраже-
выражениям (В.З, В.4), определяются так:
"" "; (в.5)
(В.6)
Ах о АУ Az
cosa=—¦=-, cosP = ——, cosy = —=-.
A A J A
Введем в рассмотрение единичные векторы (или орты) коор-
координатных осей. Обозначим их соответственно i,j9k (см.
рис.В.5). Тогда Ax=Axi=iAcosa9 Ay = Ay]^jAcosP, A2 =
= Azk = к Acosy- ортогональные составляющие вектора А , по-
поэтому
A = AX+Ay+Az= AxT + AyJ + Azk . (B.7)
Однако, согласно (В.1), А=Аа0, ао=А/А. Тогда аОх =
aQz =aOzk= к cosy.
aQy = cos
aOz = cos у,
(В.8)
= a0jc/=/cosa, aOy =a0yj =
Следовательно,
аОх = cos a,
т.е. проекции единичного
вектора а0 на оси коорди-
координат равны косинусам уг-
углов a, P, у для вектора
А.
В частном случае, ес-
если вектор ОМ измеряется
в линейных единицах и
имеет свое начало в нача- ,
ле координат О, а конец— / Рис. В.6
в некоторой точке М9 он х
называется радиус-вектором точки М. Тогда проекциями вектора
ОМ = F (рис. В.6) являются координатыx9ynzточки М9 и выраже-
выражение для радиус-вектора точки М имеет вид
7 j zA. (B.9)
13

В.4. Сложение и вычитание векторов
Суммой двух векторов А и В_ называется вектор А + В_,
соединяющий начало вектора А с концом вектора В
(рис. В. 7, а, б), если вектор В отложен от конца вектора А . Это
построение называется законом сложения векторов. Из рис. В.7, в
ясно, что
А+В=В + А. (В.10)
В
В
В
Таким образом, заключаем, что сложение двух векторов об-
обладает свойством коммутативности (переместительности).
Из А АВС (см. рис. В.7, б) имеем
=А2+В2 -lABcosa,
__ л
но а = п - (А, В), тогда
\A + B\ = yjA* +B* +2ABcos(A, В). (В.11)
Сумму нескольких векторов получим последовательным
применением закона сложения двух векторов: сумму двух
(Ах + А2) сложим с третьим вектором Аъ (рис. В.8), полученную
сумму (Ах + А2 + Аъ) сложим с четвертым вектором и т. д. Сло-
Сложив сумму п -1 первых векторов (Ах + А2 +... + Ап__х) с послед-
последним вектором Ап, получим сумму п векторов:
14

S = A} + A2 + Аъ +... + Д,, или # =
(B.12)
Таким образом, сумма п векто-
векторов есть вектор, который изображает-
изображается замыкающей стороной векторного
многоугольника, составленного из
слагаемых векторов. Замыкающий
вектор направлен от начала первого
вектора к концу последнего.
Сумма п векторов обладает так-
также свойством коммутативности.
На рис. В.8 видно также, что
сумма п векторов обладает и свойст-
свойством сочетательности (ассоциатив-
(ассоциативности):
Рис. В.8
S =
А2
Ап =
Таким образом, построение векторного многоугольника
можно осуществить, складывая векторы А],А2,...,Ап в любом
порядке, в любых сочетаниях.
Если векторный многоугольник ока-
оказался замкнутым (т. е. конец последнего из
слагаемых векторов совпадает с началом
первого), то сумма векторов равна нулю:
Разностью двух векторов А и В на-
называется вектор, полученный от сложения
векторов А и - В (рис. В.9)
А-В=А+(-В).
Видно, что сумма векторов А + В
есть одна диагональ параллелограмма,
построенного на векторах А и В, а раз-
разность — другая его диагональ.
Рис. В.9
15

Чтобы определить модуль и направление вектора S вида
(В. 12), воспользуемся аналитическим способом сложения векто-
векторов. Пусть нужно сложить п векторов A],A2,...,Ai,An, где А, =
= Aixi + Ai}j + Aizk (/ = 1,2,..., и). Складывая эти векторы, со-
согласно (В. 12), получаем
Здесь
Sx = |Х , Sy=?Aiy , Sz =Y,Aiz . (B.14)
Согласно (В.5),
(В. 15)
а направление вектора ? определяется с помощью направляю-
направляющих косинусов из выражений, аналогичных (В.6).
В.5. Умножение векторов
В векторном исчислении различают два вида произведений
векторов: скалярное и векторное.
Скалярное произведение двух векторов А и В есть скаляр-
скалярная величина, равная произведению модулей А и В этих векторов
л
на косинус угла (А ,В) между ними:
— — —_ % _ __ п ___
где А • В > 0, если 0<А,В< —, и АВ<0, если — < А , В < п.
Как показано на рис. В. 10, скалярное произведение двух век-
векторов можно еще рассматривать как произведение модуля одного
вектора на проекцию на него другого вектора:
16

А • В =
= A(Bcosa).
(В. 17)
Из соотношений (В. 16), (В. 17) следует:
1) скалярное произведение двух векторов обладает свойст-
свойством коммутативности, т. е.
А-В=В-А; (В.18)
2) скалярное произведение векторов обладает свойством
распределительности относительно суммы векторов, т. е.
(А+В)С=АС+ВС=СА+СВ; (В.19)
3) при умножении вектора на скалярную величину имеет ме-
место сочетательный закон:
тАпВ=тпАВ. (В.20)
Кроме того, из (В. 16) следует, что
(В.21)
(B.22)
(B.23)
1 = 1, АВ=АВ при АТТВ;
cos(I*5) = -l, AB=-AB при 2НВ;
Я) = 0, АВ=0 при А±В;
2*) = 1, А-В=А2 при А=В.
Для единичных векторов, согласно (В.22), имеем
i • i = j • j = к к = 1.
3 Зак. 16
17

Используя соотношения (В. 19) и (В.23), запишем скалярное
произведение двух векторов через их проекции. Если А = Axi +
A-B=(Aj + AJ + A2k)(Bj + В j + B2k) =
_л_ (В.24)
= А В cos(A , Я) = АХВХ + АуВу + А2В2.
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно
сумме попарных произведений одноименных (по индексу) про-
проекций векторов на координатные оси.
Из (В.24) имеем выражение для косинуса угла между векто-
векторами А и В:
?±1А*+ЛВ*А*-. (В.25)
_ _ А-В А-В
Если AJlB ,to
АхВх+АуВу+АжВх=Ъ. (В.26)
Рассматривая выражение (В.2), видим, что
) = A To, (B.27)
где /о - единичный вектор оси /.
Из (В.25) следует, что косинус угла между единичными век-
векторами а0 и Ьо равен скалярному произведению этих векторов:
X) = *o А- _ __ (В.28)
Векторным произведением двух векторов АхВ называется
вектор, модуль которого равен произведению модулей пере-
перемножаемых векторов на синус угла между ними, а направление
перпендикулярно плоскости, проходящей через эти векторы
(рис. В. 11, а), и выбрано так, чтобы с конца полученного векто-
вектора, можно видеть, что для кратчайшего совмещения первого со-
сомножителя со вторым его нужно вращать против хода часовой
стрелки. Согласно определению, если
1х5=С, (В.29)
то
\С | = С = А В sin(I * В )=пл. CJODEF, (B.30)
18

т. е. модуль векторного произведения численно равен площади
параллелограмма ODEF, построенного на перемножаемых век-
векторах.
б
Рис. В. 11
По установленному соглашению направление векторного
произведения С определяетсяЛ правилом правого винта
(рис. В.11, б). В соответствии с этим правилом в правой системе
прямоугольных декартовых координат (рис. В. 12) направление
кратчайшего совмещения оси Ох с осью Оу видно с конца оси Oz
против направления движения часовой стрелки. Единичные век-
векторы i, j, к образуют правую систему единичных векторов.
В дальнейшем будем пользоваться именно правой системой
координат, чтобы иметь единообразный подход к рассмотрению
вопросов теории и к решению задач.
Векторное произведение двух векторов свойством перемес-
переместительности не обладает (рис. В.13):
АхВ=-(ВхА). (В.31)
При умножении вектора на скаляр векторное произведение
обладает свойством сочетательности:
(т А)х В = т(А х В). (В.32)
По отношению к сложению векторов векторное произведе-
произведение обладает свойством распределительности:*
(А+В)хС=АхС +ВхС .
Отметим частные случаи векторного умножения:
(В.ЗЗ)
19

если А ±В, то sin(I*2*) =
(B.36)
Рис. В.12
Рис. В.13
Для единичных векторов z, j и к (см. рис. В.12) формулы
(В35) и (В.36) дают
JxI = ]x] = kxk=0; (B.37)
i х j = k , jxk = i, kxi =j. (B.38)
Запишем теперь выражение векторного произведения через
его проекции на координатные оси. Имеем: А = Axi + Ayj + Azk,
В =Bxi + Byj + Bzk . Перемножая правые части этих соотноше-
соотношений векторно и пользуясь последовательно выражениями (В.33),
(В.37) и (В.38), получаем
AxB=(AyBz -A2By)I + (AzBx -AxBz)j + (AxBy -AyBx)k, (B.39)
или ф
i J к
Ay. Аг) Az
в,
АхВ =
(В.40)
у
вх ву
Из (В.40) видно, что проекции на оси координат для вектор-
векторного произведения равны
20

А
У
By
А,
z
в:
; (АхВ)у =
Ат
Z
в2
Ах
X
вх
;(АхВ)г =
А
вх
А
By
(B.41)
Произведение трех векторов типа А(ВхС) называется
смешанным произведением векторов и представляет собой
скаляр.
Запишем это произведение через проекции векторов А , В и
С , воспользовавшись сначала выражением (В.24), а затем (В.41).
Тогда
А(ВхС) =
Ах Ау А2
вх ву в2
сх су с2
(В.42)
Численно смешанное произведение векторов определяет
объем параллелепипеда с площадью основания 5хС и боко-
боковым ребром \а\ (рис. В. 14).
Рис. В.14
Из этого следует, во-первых, условие компланарности трех
векторов:
IExC) = 0, (B.43)
21

и, во-вторых, в смешанном произведении возможны циклические
перестановки сомножителей:
А-(ВхС) = В-(СхА) = С-(АхВ). (ВАЛ)
Произведение трех векторов типа Ах(ВхС) называется
двойным векторным произведением и является вектором.
Вектор Ах(ВхС) (рис. В. 15) перпендикулярен плоскости
П, в которой лежат векторы А и (В х С). Поэтому вектор
А х(В хС) лежит в плоскости векторов В и С . Тогда вектор-
векторное произведение (А х В) х С есть вектор, лежащий в плоскости
векторов А и В (рис. В. 16). Ясно, что векторы Ах(ВхС) и
(АхВ)хС — разные величины, т.е. положение скобок имеет
существенное значение.
Рис. В.15
Согласно формуле (В.40), имеем
22

Ах(ВхС) =
J j к
Ax Ay Az
(B.45)
(BxC)x (BxC)y (BxCJ
где (В хС)х, {ВхС)у и (В xCJ — проекции на координатные
оси векторного произведения (ВхС), определяемые соотноше-
соотношениями (В.41).
Рис. В.16
Проекции вектора А х (В х С ) на координатные оси имеют вид
\ах(В xC)L =BxA-C-CxA-B;
[ах(Вх С)\ =ВуАС- СуА • В; (В.46)
\ах(ВхСI =В2АС-С2АВ.
Умножая равенства (В.46) соответственно на /, ]\ к и склады-
складывая почленно, получаем
). (В.47)
23

В.6. Векторы и матрицы
Совокупность тхп величин aik, записанных в виде табли-
таблицы, содержащей т строк и п столбцов, образует прямоугольную
матрицу с размерами тхп:
аи ап ... аХп
А =
а
21
*22
а
т\
(В.48)
В записи элемента матрицы alk первый индекс указывает номер
строки, второй — номер столбца. Компактная запись выражения
(В.48) имеет вид
А = [*,-*] (/ = l,2,...,*i; * = 1,2,...,л). (В.49)
Равными считаются две матрицы А = В одинакового разме-
размера тхп, соответственные элементы которых равны, т. е.
Матрица, у которой т-п, называется квадратной, ее элемен-
элементы ап (/ = 1,...,«) составляют главную диагональ матрицы. Квад-
Квадратная матрица пхп называется симметричной, если ajk =aki.
Диагональной называется симметричная матрица, у которой эле-
элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю:
', 0 ... О
D =
О d,
о
О 0 ... d
где d]9...9dn — любые числа.
Если в диагональной матрице dx -d2 =... = dn = d, то для
любой квадратной матрицы А размером пхп справедливо ра-
равенство
AD=DA.
Если dx =d2 =... = dri -1, диагональная матрица называется еди-
единичной и обозначается Е:
24

Е =
1
0
0
0 ...
1 ...
0 ...
Тогда справедливы соотношения
АЕ =
= ЕА =
0
0
1
А.
(В.50)
Таким образом, особая роль единичной матрицы Е анало-
аналогична той роли, которую играет число 1 при перемножении веще-
вещественных чисел.
Определитель, составленный из элементов квадратной мат-
матрицы, записанных в том же порядке, что и в матрице, называется
определителем матрицы и обозначается
detA =
а\
а
12
'22
4\п
а
2/»
(В.51)
ап\ ап2 ••• а
Для квадратной матрицы А, определитель которой detA от-
отличен от нуля, существует обратная матрица А, такая, что
выполняется условие
А"!А = Е,или АА =Е.
Если в выражении (В.48) поменять местами строки и столб-
столбцы, получится матрица размерами wx/w, которая по отношению
к матрице (В.48) называется транспонированной и обозначается
Ат. Симметричная матрица А размерами пхп равна своей
транспонированной:
А = АТ.
Сложение и вычитание матриц может быть выполнено с матри-
матрицами одинаковых размеров тхп. Суммой (разностью) двух та-
таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой рав-
равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В:
С = А±В, (В.52)
если cik =aik ±bik (/ = !,...,m; ? = l,...,w).
23ак. 16
25

Суммы матриц обладают следующими свойствами:
Умножение матрицы на число означает, что каждый элемент
этой матрицы умножается на данное число:
(i = U.,m; * = l,...,/i). (B.53)
Умножение матрицы А порядка (т х р) на матрицу В поряд-
порядка (рх«) осуществимо лишь тогда, когда число столбцов А рав-
равно числу строк В. Тогда матрицы А и В называются конформны-
конформными, и их произведением С = А В называется матрица размерами
т х «, элемент cik /-й строки и k-го столбца которой равен сумме
произведений элементов i'-й строки матрицы А на элементы А>го
столбца матрицы В:
<ч*=|>,A* (i = l...,m; k = \,...,n). (B.54)
Представим теперь вектор А , определяемый совокупностью
п величин а,, а2,..., aw («-мерный вектор), в виде вектора-столбца
(В.55)
или матрицы (п х 1). Если компоненты ах, а2,..., ап расположить
горизонтально, получим матрицу A х п), т. е.
I = [a1?a2,...,aJT. (B.56)
Одномерный вектор есть скаляр.
Поскольку все операции над векторами, о которых пойдет
речь, можно проводить, лишь пользуясь векторами-столбцами,
будем применять термин «вектор» для величины, заданной фор-
формулой (В.55).
Трехмерный вектор А , заданный своими проекциями на оси
декартовой системы координат, имеет компоненты ах = Ах,
а2 = Av, аъ = Az и записывается в виде '
26

А =
Два вектора А и В одинаковых размеров п равны, если рав-
равны их соответствующие элементы:
а.=Ъг (J = l,...,it).
Сумма двух векторов одинаковых размеров п записывается в
соответствии с (В.52), как
rax +b
А+В =
а«+Ъ,
¦.
(В.57)
операция сложения векторов обладает свойством коммутативно-
коммутативности (как при сложении матриц) и ассоциативности:
А+В=В + А; (В.58)
А+(В + С)=(А+В) + С. (В.59)
Умножение вектора на скаляр осуществляется как умноже-
умножение матрицы на число, согласно (В.53),
с1А=Ас1 =
схах
схаг
(В.60)
Скалярное произведение векторов — это скалярная функция:
Из (В.61) следуют известные свойства скалярного произве-
произведения векторов:
BД) = AД); (сД5)=С1A,5);
(А + В, С + D) = (А, С) + (В, С) + (A, D) + (В, Б). (В.62)
* Здесь использовано обозначение операций для многомерных векторов.
2*
27

Тогда скалярную величину (А,А) можно рассматривать как
квадрат «длины» вещественного вектора.
Два вещественных вектора А и В называются ортогональ-
ортогональными, если они удовлетворяют соотношению
A,Я) = 0.
При умножении вектора С на матрицу А имеем
В=АС9 (В.63)
где В у С —векторы, связанные, согласно (В.54), соотношением
bi=i*ijcj a=u.,*). (в.64)
В сущности, выражение (В.бЗ) можно рассматривать как опера-
операцию преобразования вектора С в вектор В. Если, например,
нужно преобразовать один трехмерный вектор С (с проекциями
Сх=с}9 Су=с29 Сг=съ) в другой вектор В (Bx=bl9 By=b29
Bz = Ъъ), то, согласно (В.64), можно записать
Ъх=апсх+апс2+ахъсъ\
Ъ2 = а2Хсх + а22с2 + а2Ъсъ; (В.65)
Ь3 =аЪ1сг +апс2 +а33с3.
При этом в системе координат Oxyz существует матрица А —
тензор второго ранга с элементами atj (i, j = 1,2,3):
Л\. ттт
\
«11
«21
«31
«12
«22
«32
«13
«23
«33 J
(В.66)
Тензор А является самостоятельной физической величиной, спо-
способной преобразовать один трехмерный вектор в другой в любой
координатной системе. Так, вектор главного момента количеств
движения Ко твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной
точки О, определяется через вектор угловой скорости ю по из-
известной зависимости
№9 (В.67)
28

где J — тензор инерции тела в точке О, его компонентами явля-
являются осевые и центробежные моменты инерции тела относитель-
относительно осей Ох, Оу и Oz\
J =
-J
X Z
'у х
-л
-J
Z X
(В.68)
В.7. Связь между проекциями вектора на оси
двух прямоугольных систем координат
В евклидовом пространстве ненулевой вектор имеет в общем
случае различные проекции на оси двух систем координат с про-
произвольной взаимной ориентацией осей. Покажем, как влияет вза-
взаимная ориентация осей прямоугольных систем координат на
связь между двумя вариантами проекций одного и того же векто-
вектора. Будем исходить из того, что оба варианта проекций задают
один и тот же вектор, т. е., например, для вектора Ь (рис. В. 17)
ВХ1+ BYJ + BZK=bxi+byj + b2k, (B.69)
где ВХ9 BY9 Bz и bx, by, b2 — соответственно проекции векто-
вектора b на оси двух систем координат; aI9J,Kni9],k — ор-
орты рассматриваемых систем координат.
После скалярного умножения обеих частей уравнения (В.69)
на орты I, J, К, получим
ykJ) ; (B.70)
Bz=bx(f K) + by(jK) + bz(k К) .
Более компактный вид соотношения (В.70) имеют в векторно-
матричной форме записи:
2? = А6, (В.71)
где JS =
~*х'
By
Bz
; b =
'ь;
, А —
«и
«21
l«31
«12
13
«22 «23
32
29

В формуле (В.71) проекции одного и того же вектора Ъ на
оси соответствующих систем координат считаются элемен-
элементами векторов-массивов В и Ъ , а скалярные произведения
двух ортов — элементами матрицы А, т.е. ап =/•'/,
ап =jl и т. д.
Z i
1
Oj
I
J
X V
n
у
Рис. В.17
Отметим ряд важных свойств формулы (В.71) и матрицы А,
причем условимся называть систему координат с ортами I, ),
к — первой, а с ортами 7, J, К — второй.
1. Формула (В.71) определяет правила расчета проекций век-
вектора на оси второй системы координат по его известным проек-
проекциям на оси первой системы, при этом матрица А считается мат-
матрицей перехода от осей первой системы координат к осям
второй.
2. Согласно формуле (В.28), скалярные произведения соот-
соответствующих ортов разноименных осей координат равны косину-
косинусам углов между перемножаемыми ортами (или между соответ-
30

ствующими осями систем координат), т. е. аи =/ • 7 = cos(jc , X),
_ _ л
аХ1 = j • / = cos(j>, X) и т. д. Поэтому матрицу А называют мат-
матрицей направляющих косинусов.
3. Элементы каждой строки матрицы являются проекциями
соответствующего орта второй системы координат на оси пер-
первой, а элементы каждого столбца матрицы — проекциями соот-
соответствующего орта первой системы координат на оси второй,
например:
7 = (ап,а129а13)т; аи =1Х; а]2 =1у; аи =12.
i = (аи, а2Х, аъх )т; а„ = ix; а2Х = iY ; а31 = iz .
4. Сумма квадратов элементов каждой строки или каждого
столбца равна единице, так как такая сумма выражает квадрат
модуля орта, например:
а,2,+а?2+e|23=/x2+/J+/»=!.
5. Скалярное произведение двух различных строк или двух
различных столбцов равно нулю, так как такое произведение со-
соответствует скалярному произведению двух ортогональных век-
векторов, например:
аиа2] + апа21 + аиа2Ъ = IXJX + IyJy + I2JZ =0.
6. Определитель матрицы равен единице:
detA = l.
Этот результат можно получить, опираясь на формулу расчета
смешанного произведения трех векторов (/, j, к или I, J, i?),
образующих правую тройку. Он соответствует объему куба со
стороной, равной единице.
7. Обратная матрица А равна матрице, транспонированной
к матрице А:
А=А\
8. Формула обратного пересчета проекций вектора на оси
первой системы координат по его известным проекциям на оси
второй имеет вид
b=ATB. (B.72)
31

В.8. Вектор-функция. Годограф вектора.
Дифференцирование вектора по скалярному аргументу
Если модуль и направление вектора А зависят от значений,
принимаемых переменными /, и, v, w, то вектор А называется
векторной функцией этих переменных, или вектор-функцией.
Ограничимся рассмотрением вектор-функций только от од-
одной независимой переменной /:
A=A(t). (B.73)
При этом в общем случае с изменением скаляра / непрерыв-
непрерывно изменяются и модуль, и направление вектора А . Следова-
Следовательно, с учетом (В.1) можно записать
(B.74)
В частных случаях вектор А может изменяться или только
по модулю:
а0 = const, А = A(t)a0, (B.75)
или только по направлению:
А = const, A=Aao(t). (B.76)
Если вектор А = A(i)-OM в процессе его изменения всегда
откладывается от общего начала (полюса) О (рис. В. 18, а), то
геометрическим местом концов этого вектора будет некоторая
кривая (плоская или пространственная), называемая годографом
вектора А .
Если полюс О принять за начало прямоугольной системы
координат, то, согласно (В.7),
А = Ax(t)i + Ay(t)j + Az(t)k , (В.77)
где Ax(t), Av(t)9 Az{t) — проекции вектора А на оси коорди-
координат. Тогда уравнения годографа вектора А, записанные в пара-
параметрической форме, имеют вид
х = Ах(О, y = Ay(t), z = A2(t). (B.78)
В частности, если вектор А изменяется только по модулю
(см. (В.75)), его годографом будет прямая, вдоль которой направ-
32

лен этот вектор. Если вектор А изменяется только по направле-
направлению (см. (В.76)), его годографом является кривая, расположен-
расположенная на сфере радиусом А. Годограф будет плоской кривой, если
вектор А остается параллельным некоторой неподвижной
плоскости.
Z {
Рис. В.18
Найдем производную вектора A{t) по скалярному аргумен-
аргументу /. Предел отношения А А (рис. В.18, б) к At (при At->0),
если он существует, называется производной вектора по скаляр-
скалярному аргументу t. Это определение совпадает с определением
производной от скалярной функции.
Таким образом,
At)-A(t) = dl
At dt '
,. АА ..
hm — = lim
(В.79)
На годографе (см. рис. В.18, а) вектор АА направлен вдоль
хорды, или по секущей Мс. В пределе (А/-»0 ) секущая Мс
занимает положение касательной Мх и, следовательно, направ-
направление производной — совпадает с направлением касательной к
dt
годографу вектора A (t) в точке М
33

Если вектор выражен через его проекции на неподвижные
оси (см., например, (В.77), где /, j, к — векторы, постоянные
по модулю и направлению), то
— = — (АХ1 + AJ + AJ) = ^I + —^j+'Q-k, (B.80)
dt dt x 'J - dt dt J dt
т. е. производная вектора по скалярному аргументу есть вектор,
проекции которого на неподвижные оси равны производным по
тому же аргументу от проекций дифференцируемого вектора. Это
утверждение справедливо и для производной «-го порядка:
_ • L7-I v ; I - Г /d on
— I I / т Л . I 1_/.О 1 I
dt" dt" dt" dt"
Как и для скалярных, для векторных функций справедливы
следующие выражения:
— (АВ) = В+А , (В.82)
dt dt dt
\Л X D ) — X D т Л X . yD.OJ)
dt dt dt
Рассмотрим теперь частный случай дифференцирования не-
некоторого вектора В, который изменяется только по направле-
направлению, т. е. В =В = const. Годограф такого вектора — кривая, рас-
расположенная на сфере радиусом В. Производная этого вектора
— есть вектор, перпендикулярный к дифференцируемому
dt
(рис. В. 19). Действительно, поскольку, согласно (В.21),
. ВВ=В2 =const,
то, дифференцируя это равенство, с учетом (В.82) получаем
Следовательно,
Hi
34

Пусть за время At вектор В повернулся на угол Аф и полу-
получил приращение АВ. Модуль \ав\ можно найти как длину осно-
основания равнобедренного треугольника (Щ = \в + АВ ) с углом Аф
при вершине (см. рис. В. 19):
-Аф. (В.84)
Тогда
dB
dt
Н
д/-*о
аф->о Дф/2 ^о At
^-а>\ В
At
(В.85)
Обозначим предел lim
общем случае предел отношения
Аф w d®
—— не является производной -^,
At dt
поскольку для вектора, годограф
которого — пространственная кри-
кривая, не существует функции
ф = фG), которая определяла бы его
положение.
Введем единичный вектор
ро±В9 направленный в соответст-
соответствии с поворотом вектора В . Тогда с учетом (В.85) имеем
dB dB
~dt =
Ро
Рис. В.19
dt
(В.86)
Таким образом, производная вектора постоянного модуля по
скалярному аргументу равна произведению его модуля на со* и
на единичный вектор, перпендикулярный дифференцируемому и
направленный в соответствии с поворотом вектора В . '
Остановимся на случае, когда вектор В остается параллель-
параллельным неподвижной плоскости и поэтому его годографом будет
окружность радиусом |б|. Тогда существует функция ф =
35

Аф do>
определяющая вращение вектора, и hm—¦— = —ь. Поэтому из
^ОД1 dt
(В.86) следует
— = \Щ—Ро- (В-87)
В частном случае дифференцирования единичного вектора
а0 имеем
где
da0
dt
(В.88)
Учитывая теперь, что и модуль, и направление вектора А
изменяются, запишем его в виде (В.74):
A=A(t)ao(t).
Тогда производная вектора А по скалярному аргументу t может
быть представлена двумя взаимно перпендикулярными вектора-
векторами (рис. В.20):
dl dA_ Ada^ pM)
Рис. В.20
Очевидно, первый вектор в
уравнении (В.89) направлен вдоль
или. против вектора % и характе-
характеризует быстроту изменения векто-
вектора А по модулю. Согласно (В.86),
вектор А —- = А(о*р0 направлен
dt
перпендикулярно вектору А в со-
соответствии счего поворотом и оп-
определяет изменение вектора А по
направлению. Следовательно,
at
(в.9О)
36

Если вектор А остается параллельным некоторой непод-
неподвижной плоскости (т. е. годографом А является плоская кривая),
то из (В.87) и (В.90) следует:
dA dA __ с/ф _
Заметим, что равенство
dA
dt
(B.9I)
имеет место лишь в слу-
случае, когда направление вектора А не меняется.

Раздел I
КИНЕМАТИКА
Кинематика — раздел теоретической механики, в кото-
котором изучается механическое движение тел без анализа опре-
определяющих это движение условий и причин (с геометрической
точки зрения).
Механическое движение, то есть изменение положения
материального тела в пространстве, определяется по отноше-
отношению к некоторому телу, которое называется телом отсчета.
С телом отсчета связывают систему координат, в которой
рассматривают перемещение исследуемого материального
тела или системы тел с течением времени. Начало отсчета
времени выбирают произвольно. Связанная с телом отсчета
система координат с принятым в ней отсчетом времени обра-
образуют систему отсчета.
Изучение механического движения в кинематике возможно
на основе задания движения материальных тел. Задать движе-
движение материального тела означает указать способ или алгоритм,
позволяющий однозначно определить положение рассматривае-
рассматриваемого материального тела в выбранной системе отсчета в любой
момент времени.
В данном разделе будут рассмотрены главы по кинематике
точки и абсолютно твердого тела.
Простейшей моделью материального тела, размерами
которого в условиях решаемой задачи можно пренебречь,
является материальная точка. При этом в кинематике поня-
понятие материальной точки тождественно понятию геометриче-
геометрической точки.
Абсолютно твердым, или просто твердым телом назы-
называется модельное представление материального тела в виде тела
(системы материальных точек), в котором расстояние между лю-
любыми точками является неизменным.
38

Глава 1
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
1Л. Скорость точки
Кинематика точки — раздел кинематики, в котором ис-
исследуется механическое движение материальных точек.
Одной из важных характеристик движения точки является
траектория, т. е. геометрическое место последовательных (с
течением времени) положений точки в пространстве, определяе-
определяемое в той или иной системе отсчета.
Другими кинематическими характеристиками движения точ-
точки являются скорость и ускорение.
Основными задачами кинематики точки являются задачи по
определению траектории, скорости и ускорения точки, а также
исследованию закономерностей их изменения.
Среди способов задания движения точки выделяют вектор-
ный9 координатный и естественный. Все три способа взаимо-
взаимосвязаны, т. е. возможен переход от одного способа задания дви-
движения точки к другому.
Предположим, что точка при движении по траектории в мо-
момент времени t совпадает с точкой М и ее положение определяет
радиус-вектор r(t), проведенный в некоторой системе отсчета из
неподвижной точки О, а в момент времени (t + At) — с точкой
Ml9 которой соответствует радиус-вектор r(f+ Af), (рис. 1.1).
Приращение радиус-вектора за промежуток времени At составит
AF = F(f + At)-7(t). Отношение этого приращения к промежутку
времени At можно определить как среднюю скорость vcp точки за
время At, vCp = AF/ At. Предел этого отношения, когда промежу-
19

ток времени At стремится к нулю, называют скоростью точки в
момент времени L Такой предел есть производная от радиус-
вектора точки по времени, т. е.
v=lim — = — = г. A.1)
д*->о At at
Траектория
точки Ч %ж
Ad
по
Вектор vcp направлен по приращению Аг радиус-вектора
точки, т.е. по направлению секущей ММХ. При стремлении At к
нулю секущая в пределе становится касательной к траектории в
точке М, поэтому вектор v направлен также по касательной
(см. рис. 1.1).
Таким образом, скорость точки есть векторная физическая
величина, равная первой производной по времени от радиус-
вектора точки; скорость всегда направлена по касательной к
траектории, а ее численное значение определяется модулем |vj.
Единица измерения скорости в СИ — метр в секунду (м/с).
Путь L, пройденный точкой по траектории за промежуток
времени At = (t2 -tx)y можно определить как предел суммы мо-
модулей приращений радиус-вектора точки |Д^| за малые отрезки
40

времени Д/4, на которые разбивается промежуток времени
(t2 - /j), при условии, что ДгА -> 0, A?ft -» 0 :
-Atk = )v(t)dt. A.2)
Здесь v(t) = |v (t)\ — модуль скорости, выраженный в виде функ-
функции времени.
1.2. Ускорение точки
Если откладывать вектор v = v (/) точки в текущие моменты
времени из некоторой неподвижной точки Ох, то получим линию
в пространстве, называемую годографом скорости (рис. 1.2, а).
Очевидно, что приращение скорости за время At составит
Av = v(t + At) - v(t). Отношение этого приращения к промежутку
времени At, за который оно произошло, определяет среднее ус-
ускорение точки за рассматриваемый промежуток времени. Предел
этого отношения при At, стремящемся к нулю, называется уско-
ускорением точки в момент времени /, т. е.
_ Av dv ^ d2r n
я = lim -—= —- = v =—т- = г • A-3)
д/-»о At dt dt
По своему физическому смыслу ускорение есть скорость из-
изменения скорости, и направлено оно по касательной к годографу
скорости (см. рис. 1.2, а).
Определим направление вектора я, вычисляемого согласно
A.3), по отношению к траектории точки. Очевидно, что направ-
направление вектора Av / At всегда совпадает с направлением прираще-
приращения скорости Av . При А* -> 0 точка Мх на траектории прибли-
приближается к точке Му а плоскость, в которой лежат векторы v и Av ,
поворачиваясь вокруг вектора v , т. е. касательной к траектории в
точке My занимает свое предельное положение, совпадающее с
плоскостью, являющейся соприкасающейся плоскостью кривой
41

(траектории) в точке М (рис. 1.2, б)*. В итоге можно сделать за-
заключение, что вектор а лежит в соприкасающейся плоскости
траектории в точке М, причем направлен он всегда внутрь вогну-
вогнутости траектории точки в этой плоскости.
Годограф
скорости
а
Траектория
точки
Если траектория точки является плоской кривой, то соприка-
соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит
траектория точки.
Таким образом, ускорение точки а есть векторная физиче-
физическая величина, равная первой производной по времени от скорости
* Геометрически соприкасающаяся плоскость определяется как предельное
положение плоскости, образованной касательными к кривой в точке М и в со-
соседней точке Мх при неограниченном сближении этих точек.
42

точки или второй производной от радиус-вектора точки;
вектор а расположен в соприкасающейся плоскости и на-
направлен в сторону вогнутости траектории точки в этой
плоскости; численное значение ускорения определяется моду-
модулем \а\.
Единица измерения ускорения в СИ — метр на секунду в
квадрате (м/с2 ).
Если при движении точки по траектории модуль скорости
возрастает со временем (dv/dt>0)9ro такое движение называет-
ся ускоренным, причем, если <tfv/<if = const>0, то равноуско-
равноускоренным. Если же модуль скорости при движении точки умень-
уменьшается (dv/dt<0), то движение является замедленным, а при
dv/dt = const < 0 — равнозамедленным. В случае v(t) = const
(dv/dt = 0) движение называется равномерным.
Производную dv/dt можно интерпретировать как проек-
проекцию ускорения а на ось М xv, совпадающую по направлению с
направлением скорости v (см. рис. 1.2, б). Эта проекция может
быть найдена так: av =IIp7a=avxv, где xv=v/v — вектор,
имеющий направление скорости, и модуль, равный единице.
Тогда
_ v dv v I dv I dv ,л А.
Модуль проекции ускорения на ось Mxv9 равный |av| = |
характеризует собственно изменение скорости по величине. Знак
этой проекции определяет характер движения. Так, при
av=dv/dt>0 (угол а между векторами а и v меньше 90°)
движение ускоренное, при av=dv/dt<0 (угол сс>90°) — за-
замедленное, а при av=dv/dt = 0 — равномерное (v = const). В
общем случае равномерного движения точки по прямолинейному
участку траектории а = 0, v = const; при равномерном движении
по криволинейному участку траектории v = const, но v>const,
поэтому a±v, а * 0.
43

1.3. Векторный способ задания движения точки
Движение точки можно задать, если выразить ее радиус-
вектор в некоторой системе отсчета в виде функции времени
г=г(О- A.5)
Функция r(t) для определенности дальнейших рассуждений
предполагается непрерывной, дважды дифференцируемой. Такое
задание радиус-вектора точки предполагает наличие системы
отсчета, но не конкретизирует ее. В данном случае траекторию
точки молено определить как годограф ее радиус-вектора, т.е.
геометрическое место концов радиус-вектора г, изменяющего-
изменяющегося во времени согласно зависимости A.5). -
Определения скорости и ускорения точки при векторном
способе задания движения соответствуют приведенным в § 1.1 и 1.2.
Формулы для их выражения имеют вид A.1) и A.3).
Векторный способ задания движения точки ввиду своей про-
простоты и компактности широко применяется для введения основ-
основных понятий и кинематических характеристик движения точки,
которые в дальнейшем используются в том числе и при других
способах задания ее движения, а также в теоретическом изложе-
изложении различных разделов курса.
1.4. Координатный способ задания движения точки
Для задания движения точки координатным способом необ-
необходимо ввести систему отсчета с некоторой системой координат
и дать зависимости изменения координат точки в виде функций
времени*. Эти зависимости называются кинематическими урав-
уравнениями движения точки в соответствующей системе коор-
координат. Рассмотрим случаи задания движения тс^чки в конкрет-
конкретных системах координат.
* Функции, определяющие изменение координат во времени, во всех далее
рассматриваемых случаях будут полагаться непрерывными, дважды дифферен-
дифференцируемыми.
44

Задание движения точки в прямоугольной
декартовой системе координат
Прямоугольная декартова система координат с началом в
точке О и осями Ox, Оу, Oz показана на рис. 1.3. Положение
точки М в пространстве с использованием данной системы коор-
координат задается ее координатами х, у, z. Чтобы знать положение
точки в пространстве в любой момент времени необходимо
иметь уравнения движения точки в виде
A.6)
а(ах,а az)
Рис. 1.3
Выражения A.6) представляют собой уравнения движения
точки в декартовой системе координат и одновременно являются
уравнениями траектории точки, записанными в параметрической
форме, где параметром является время f.
Чтобы найти уравнение траектории в форме непосредствен-
непосредственной зависимости между координатами jc, у, z, из системы уравне-
45

ний A.6) необходимо исключить время. В таком случае траекто-
траекторию будет определять, например, система уравнений вида
jo.
Следовательно, траектория представляет собой линию пере-
пересечения цилиндрических поверхностей, уравнения которых со-
составляют систему A.7).
В частном случае задания движения точки на плоскости Оху, например в ви-
виде уравнений движения х = x(t), у = y(t), уравнение траектории будет
Д*,>0 = 0. A.Г)
Следует также заметить, что траекторией точки может быть не вся кривая, опи-
описываемая A.7) или A.7*), а только ее часть, соответствующая физически реали-
реализуемому процессу и положительным значениям времени /.
Проведем из начала декартовой системы координат (см.
рис. 1.3) радиус-вектор г точки Ми выразим его через коор-
динаты точки и орты i,j,k этой системы координат, состав-
составляющие ее векторный базис. С учетом уравнений A.6) будем
иметь
r=x{tji+y{t)j + z(tjk. A.8)
Из A.8) следует, что координаты точки есть проекции ее радиус-
вектора на оси декартовой системы координат, т. е.
х-г •/, у = г-у, z = гк . A.9)
Соотношения A.8) и A.9) устанавливают взаимный переход от
задания движения точки в декартовой системе координат к век-
векторному способу и наоборот.
На основании A.1) и A.8) скорость точки, при задании ее
движения в декартовой системе координат, определится так:
v = г = x(t)i + y(t)j + z(t)k . A.10)
В A.10) производные х, у, z, т. е. коэффициенты при /, ], к ,
имеют смысл проекций скорости точки на оси декартовой систе-
системы координат. Действительно,
vx=v-i=x(t), v =v-j = ><0, v,=v-*=i(/). A.11)
46

Таким образом, в рассматриваемом случае скорость точки
представляет собой сумму составляющих векторов, параллель-
параллельных осям декартовой системы координат:
V = Vх + Vу + V, ,
где vx = vx% vy = vy]\ vz = vzk , а ее численное значение (модуль)
определится по формуле
|| /2+v^v^. A.12)
Представление о направлении вектора v можно получить по значениям на-
направляющих косинусов углов, которые составляет этот вектор с осями декарто-
декартовой системы координат:
cosot = vv /v, cosp = vy /v, cosy = v, /v .
Здесь а, р. у — углы, которые составляет вектор v с осями Ох, Оу и Oz соот-
соответственно.
На основании A.3) и A.8) формула для расчета ускорения
примет вид
а = ? = x(t)i + №J + *@* , A-13)
проекции ускорения на оси декартовой системы координат будут
ax=a-i =x = vx;ay=a'j = y = vy; az=ak =z-v2, A.14)
составляющие ускорения, параллельные осям координат, опре-
определятся как ах =axi;ay =ayj;az =azk, а численное значение
ускорения будет равно модулю вектора а :
+a2z . A.15)
Представление о направлении ускорения можно получить по
значениям направляющих косинусов углов, которые составляет
вектор а с осями декартовой системы координат:
Проекцию ускорения на ось, совпадающую по направлению
с вектором v , для определения характера движения точки (т. е.
ускоренно или замедленно она движется) можно в данном случае
найти, согласно A.4), в виде
47

dv _
— = a
dt
axv,+a v +arvr
Пример 1.1. Движение точки задано на плоскости в декартовой системе коор-
координат уравнениями движения вида х = Ыг; у = ct, где 6 = 1 м/с2 ; с = 1 м/с .
Определить траекторию точки, а также для момента времени t = 1 с найти и
изобразить на чертеже ее скорость, ускорение и их составляющие.в декартовой
системе координат. Установить характер движения точки (ускоренное или за-
замедленное) для данного момента времени.
Решение. Исключив из уравнений движения время, получим уравнение траек-
траектории точки в виде x = (b/c2)y2, что соответствует уравнению параболы
(рис. 1.4). Траекторией будет являться лишь часть параболы, расположенная выше
оси абсцисс, так как координата у при t > О может быть только неотрицательной,
т. е. у > 0. Проекции скорости и ускорения точки на оси декартовой системы
координат, согласно A.11) и A.14), имеют вид: vx = 2bt; vy = с; ах = 2b ; ay = 0.
Для t = 1 с получаем jc = 1m, >> = 1м, vx=2 м/с , v^ = 1 м/с, ах = 2 м/с2 ,
Яу = 0. Составляющие скорости vx, v^ и ускорения ах точки, а также ее ско-
скорость v и ускорение я изображены на рис. 1.4. МоДули скорости и ускорения
равны
v2 =VJ«2,23m/c; a =
V4=2m/c2
Рис. 1.4
На чертеже видно, что угол между векторами v и а меньше 90°, так что
движение точки следует считать ускоренным (av>0). Действительно, в данном
случае при * = 1 с
48

Задание движения точки в полярной системе координат
Если движение точки происходит в некоторой плоскости, то
иногда целесообразно использовать полярную систему коорди-
координат. Положение точки М в ней определяется координатами г и ср,
являющимися скалярными величинами (рис. 1.S).
РасЛЬложение полярной оси (луча, проведенного на плоско-
плоскости из некоторой точки О) выбирают в плоскости движения точки,
исходя из удобства решения задачи. Полярный радиус г — скаляр-
скалярный неотрицательный параметр, равный длине отрезка ОМ, т. е.
расстоянию от начала координат (точки О) до точки М. Полярный
угол ф — это угол между полярной осью и линией ОМ При от-
отсчете угла ф за положительное принимают направление, проти-
противоположное направлению движения часовой стрелки. Ортами
полярной системы координат, составляющими ее векторный ба-
базис, являются единичные векторы г0 и р0. Первый из них на-
направлен из начала координат О к точке М и задает положитель-
положительное направление радиальной оси Or. Второй ему перпендикуля-
перпендикулярен, находится путем поворота первого на 90° против направле-
направления движения часовой стрелки и определяет положительное на-
направление трансверсалщ т. е. поперечной оси Ор9 перпендику-
перпендикулярной радиальной оси (см. рис. 1.5, а)*. Орты полярной системы
координат г0 и р0 являются подвижными, изменяющими свое
направление с изменением угла ф.
Для задания движения точки в полярной системе координат
необходимо иметь уравнения движения в виде
Система A.16) является также параметрической формой за-
записи уравнения траектории точки. Если из A.16) исключить вре-
время, то уравнение траектории можно получить в форме
Как будет показано далее, для общего случая криволинейных координат,
частным случаем которых являются полярные координаты, начало указанных на
данном рисунке осей и единичных векторов может быть отнесено и в текущее
положение точки на траектории ее движения (см. рис. 1.5, б).
5 Зак. 16 лд

) = О. A.17)
В полярной системе координат радиус-вектор точки, проведен-
проведенный из центра О, равен г = гг0 и, согласно A.16), выражается так:
r=r(t)r0. A.18)
х(Р)
Рис. 1.5
Уравнение A.18) соответствует векторному уравнению дви-
движения точки в форме A.5). Тогда на основании A.1) скорость
точки
^^ = ^ ^
dt dt ° А
В A.19) производную dro/dt, согласно правилу дифференциро-
дифференцирования вектора постоянного модуля (см. формулу В.87), можно
определить так:
dr0 d^ _
dt dt™
С учетом A.20) выражение A.19) примет вид
v =
dt
*\п
ИГ
A.20)
(
A.21)
Из A.21) следует, что вектор v представляется в виде сум-
суммы двух векторов, каждый из которых является составляющей
скорости по направлению, задаваемому векторами г0 и р0 соот-
соответственно. Первое слагаемое в A.21) называется радиальной
составляющей, а второе — трансверсальной составляющей
скорости точки:
vr=rr0; vp=rq>p0. A.22)
50

Проекции скорости на радиальную и трансверсальную оси
имеют вид
vr =v-ro=r; vp=vp0=ry. A.23)
По знакам проекций vr и vp можно установить направления
составляющих скорости A.22) по отношению к направлениям
радиальной и трансверЬальной осей или единичных векторов г0
и р0 соответственно.
Так как составляющие скорости в A.22) взаимно перпенди-
перпендикулярны, то ее модуль
j2+vj. A.24)
Согласно A.3) и A.21), ускорение точки
_ dv d,._
a= — = —(rro
at at
Отсюда можно получить
а=—(гго+гфро) = гго+гго+г^ро+гфро+г^ро. A.25)
at
В правой части выражения A.25), согласно правилу диффе-
дифференцирования единичных векторов (В.87), г0 = ф/?0, р0 = -фг^ .
Таким образом,
а = (г - гф2 )г0 + (гф + 2гф),р0. A.26)
Из A.26) следует, что ускорение точки также можно пред-
представить в виде суммы двух слагаемых:
а=аг+ар9 A.27)
где аг = (г - г<р2)г0, ар = (гф + 2гф)/?0—радиальная и трансвер-
сальная составляющие ускорения точки соответственно.
Проекции ускорения на радиальную и трансверсальную оси*,
задаваемые единичными векторами г0 и р0, найдутся так:
Следует заметить, что в рассматриваемом случае направления осей проеци-
проецирования, задаваемые направлениями единичных векторов г0 и р0, изменяются в
пространстве с течением времени, поэтому в отличие от A.13) проекции уско-
ускорения на направления этих осей не равны производным от проекций скоростей
на те же оси: агФ\г\ ар *vp.
5* 51

ar = ar0 = f - гф2, ap=a p0 =rip + 2гф. A-28)
Так как составляющие ускорения в A.27) взаимно перпенди-
перпендикулярны, то его модуль
^ ""• A.29)
Для определения характера движения (ускоренное или замедленное) точки
по траектории следует найти проекцию ускорения на ось, совпадающую по
направлению с вектором v . В соответствии с A.4)
dv av arvr+apvp
av = a • tv = —- = = —. .
Если полагать, что полярная ось OP совпадает с осью Ох декартовой систе-
системы координат и движение точки происходит в плоскости Оху, то уравнения для
перехода от задания движения точки в полярной системе координат в форме
A.16) к заданию ее движения в декартовой системе координат в виде A.6) будут
выглядеть так:
.y = r(Osin[<p(O].
Уравнения для обратного перехода будут следующими:
<p = arctg[y(t)/x(t)].
Единичные векторы, образующие векторный базис полярной и декартовой
систем координат, связаны зависимостями
так что
xvr+yvv xvv—yvY *
^^ A23)
A.28*)
Несложно получить и обратные выражения для проекций скорости и ускорения
точки на оси декартовой системы координат через их проекции на оси полярной
системы координат.
Пример 1.2. В условиях задачи, сформулированной в примере 1.1 перейти к
заданию движения точки в полярной системе координат, полярная ось которой
совпадает с осью Ох декартовой системы координат. Для указанного момента
52

времени г = 1 с найти радиальную и трансверсальную составляющие скорости и
ускорения точки, показать их на чертеже.
Решение. В данном случае
I Ф = arctg[y(O /x(t)]
Проекции скорости и ускорения точки на радиальную и трансверсальную оси
полярной системы координат могут быть вычислены по формулам A.23) и
A.28) соответственно. Однако удобнее воспользоваться формулами A.23*) и
A.28*), подставив в них вычисленные в примере 1.1 для момента времени
/ = 1с значения координат точки и проекций скорости и'ускорения на оси
декартовой системы координат. В итоге получаем: vr =3/>/i2»2,12м/с;
vp=-l/V2«-0,707 м/с; аг = >/2« 1,41 м/с2; ар - -Л « -1,41 м/с2 . Ради-
Радиальные и трансверсальные составляющие скорости и ускорения точки изобра-
изображены на рис. 1.4.
Задание движения точки в криволинейных
координатах
Движение точки в пространстве можно считать заданным,
если известны законы изменения трех ее декартовых координат
х, у, z как функций времени (см. A.6)). Однако в некоторых слу-
случаях пространственного движения материальных точек (напри-
(например, в областях, ограниченных поверхностями различной формы)
использование уравнений движения в декартовых координатах
неудобно, так как они становятся слишком громоздкими. В таких
случаях можно выбрать другие три независимых скалярных па-
параметра qx, q2, q3, называемых криволинейными, или обобщен-
обобщенными координатами, которые также однозначно определяют
положение точки в пространстве. Тогда радиус-вектор точки мо-
может быть выражен функцией как декартовых, так и криволиней-
криволинейных координат:
r=r(x,y,z) = xi + у] + zk =F(ql9q2,q3). A.30)
При этом следует иметь в виду, что декартовы коордщщш точки
могут также быть выражены в виде функций, зависящих от кри-
криволинейных координат:
53

Для задания движения точки в криволинейных координатах
необходимо иметь уравнения движения точки в виде
^=^@;'=п. A.31)
Характеристиками криволинейной системы координат яв-
являются координатные линии и координатные оси.
Координатные линии (#,), проходящие через любую выде-
выделенную точку М пространства с фиксированными значениями
координат qm, q2M, q3M и соответствующие каждой i-й криво-
криволинейной координате, можно определить как годограф радиус-
вектора гм точки М9 изменяющегося в результате варьирования
одной выделенной z'-й криволинейной координаты при условии,
что другие сохраняются постоянными и равными их значениям в
выделенной точке:
A-32)
Касательная к /-й координатной линии в данной точке назы-
называется координатной осью Mqt, относящейся к /-й криволиней-
криволинейной координате в данной точке (рис. 1.6).
Положительные направления координатных осей задаются
единичными векторами, которые называются базисными. Они
определяются через частные производные от радиус-вектора точ-
точки по i-й обобщенной координате в данной точке М:
Здесь Нг = — параметр, который называется i-м коэф-
коэффициентом Ламе и равен значению модуля частной производ-
производной от радиус-вектора точки по /-й криволинейной координате,
вычисленной в данной точке М Каждый из векторов et имеет
направление, соответствующее направлению движения точки
конца радиус-вектора гм при возрастании *-й обобщенной коор-
координаты (см. A.32)).
54

Таким образом, в общем случае при любом текущем поло-
положении точки М в пространстве можно построить семейство ко-
координатных линий (q,), осей Mqi и базисных векторов е,, со-
соответствующих каждой из трех криволинейных координат qi
(см. рис. 1.6).
Рис. 1.6
Если базисные векторы ё, во всех точках пространства вза-
взаимно перпендикулярны, то такая система криволинейных коор-
координат называется ортогональной. При этом ег ej=O, если
i ^ j , i = 1,3, j = 1,3. В дальнейшем будем рассматривать только
такие системы.
С учетом A.30) коэффициенты Ламе могут быть выражены
через частные производные от декартовых по криволинейным
координатам в виде
дг
-т на на
A.34)
55

Скорость точки М при задании ее движения в криволиней-
криволинейных координатах определится в виде векторной суммы состав-
составляющих скоростей, параллельных координатным осям:
_ dr дг . дг . дг . _ _ _
Проекции скорости на соответствующие координатные оси
равны
v,/; =у.ё, =#,</,,/ = п- A.36)
Модуль скорости в ортогональной криволинейной системе
координат можно рассчитать по зависимости
В формулах A.34)-A.37) значения производных и коэффи-
коэффициентов Ламе вычисляют для текущего положения точки М в
пространстве.
Проекции ускорения точки М на оси криволинейной систе-
системы координат определяют в соответствии с A.3), A.33) и A.35)
по формуле
— / — — Л *
dv _ 1 f dv дг I . —г ,,,04
<4.e.,1._..,__[-r_j,,_|,3. (US)
Преобразуем выражение A.38) к удобной для расчетов фор-
форме. Для этого выражение в скобках представим в виде
dv дг d(_dr) _d( dr)
= — v -v— . A.39)
dt dq, dt{ dq,) dt{dq,)
В последнем слагаемом в A.39), изменяя порядок дифферен-
дифференцирования, проведем тождественное преобразование
\{\>*.. (,.40)
Дифференцируя левую и правую части выражения A.35), полу-
получаем
56

Соотношение A.41) называется тождеством Лагранжа.
С учетом A.39), A.40) и A.41) из A.38) можно последовательно
выразигць
dt
dt\dqt
d(-dv) _dv
V -V
dt{ dqj dqt
d(dv2l2\ dv2/2
dt{ dq,
v2
или, обозначив — = T , окончательно имеем
Т\ дТ
dtidqj dq,
A.42)
Таким образом, ускорение точки при задании ее движения в
криволинейных координатах определится в виде векторной
суммы составляющих ускорений, параллельных осям этой сис-
системы координат,
где aqi — проекции ускорения на оси, определяемые согласно
A.42),/ = п.
Модуль ускорения в ортогональной криволинейной системе
координат вычисляется по формуле
+<- (L43)
Задание движения точки в цилиндрической
системе координат
Координатами точки в цилиндрической системе координат
являются скалярные параметры Д q>, Z. Система уравнений дви-
движения точки имеет вид
A.44)
4 Зак. 16
57

На рис. 1.7 показаны радиус-вектор г, проведенный из нача-
начала координат, а также координатные линии и оси рассматривае-
рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории. Видно, что
координатные линии (Z) и (ср) расположены на поверхности кру-
кругового цилиндра с радиусом основания, равным R, при этом ко-
координатная линия (Z) является его образующей. Данная криволи-
криволинейная система координат — ортогональная, так как ее оси (MR,
Мф, MZ) и соответствующие им базисные векторы (го,ро,ко)
взаимно перпендикулярны.
Рис. 1.7
В рассматриваемом случае декартовы координаты точки мо-
могут быть выражены через криволинейные в виде x = Rcosy;
y = Rsin<p; z = Z. Тогда коэффициенты Ламе, согласно A.34),
для данных криволинейных координат во всех точках определят-
определятся так:
Проекции скорости точки на оси цилиндрической системы коор-
координат
Уд=Л; уф=Дф; vz=Z, A.45)
а ее модуль
58

Функция T = v2 /2 = (R2 +R2q>2 + Z2)/2. Тогда проекции
ускорения будут
ад=Л-/гф2; аф=Лф + 2Лф; az=Z, A.46)
а его модуль, согласно A.43),
Как частный случай, полагая в A.45) и A.46) Z = 0, можно
получить формулы для проекций скорости и ускорения на оси
полярной системы координат с полярной осью, совпадающей с
осью Ох (см. рис. 1.7), с полярной координатой г = R и поляр-
полярным углом ф (см. A.23), A.28)).
Задание движения точки в сферической
системе координат
Координатами точки в сферической системе координат яв-
являются скалярные параметры г, ф,9, отсчитываемые так, как
показано на рис. 1.8. Система уравнений движения точки в дан-
данном случае имеет вид
•fr = r(O;
ф=ф(О; A.47)
[0 = 9@.
На рис. 1.8 изображены радиус-вектор г, проведенный из
начала координат, углы ф и 6, а также координатные линии и
оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траекто-
траектории*. Видно, что координатные линии (ф) и @) лежат йа по-
поверхности сферы радиусом г. Данная криволинейная система
координат также является ортогональной. Ее оси Mr, Mp иАЮ и
Приведенные ниже формулы даны для сферической системы координат с
углом 0, отсчитываемым от оси Oz, как показано на рис. 1.8. В некоторых дру-
других случаях угол 6 можно отсчитывать от проекции радиус-вектора точки на
плоскость Оху, и тогда приведенные здесь соотношения несколько изменятся.
4* 59

соответствующие им единичные векторы ег, еф, eQ, определяю-
определяющие положительные направления осей, взаимно перпендикулярны.
z
Рис. 1.8
Декартовы координаты точки в соответствии со схемой,
приведенной на рис. 1.8, могут быть выражены через криволи-
криволинейные координаты так:
jt = rcos(psinO; j/ = rsin(psin0; z = rcos0.
Тогда коэффициенты Ламе A.34)
Я, =1, tf^rsinG, #e=r;
проекции скорости точки на оси сферической системы координат
vr=>% v(p=^sin0, ve=r0, A.48)
а ее модуль
v =
202
+ v2+ve2 =Vr2+r2<p2sin2e + r2e2 .
Функция T = v2 /2 = (r2 + г2ф2 sin2 0 + r202)/2, следова-
следовательно проекции ускорения A.42) на оси сферической системы
координат
ar =r-np2sin20-r02;
яф =Apsin0 + 2/4psin0 + 2AJHcos0; A.49)
ае =гё + 2г0-гф2 sin0cos0,
60

а его модуль
Как частный случай, полагая в A.48) и A.49) 0 шп/2, мож-
можно получить формулы для проекций скорости и ускорения на оси
полярной системы координат с полярной осью, совпадающей с
осью Ох (см. рис. 1.8), полярной координатой г и полярным уг-
углом ф (см. A.23), A.28)).
1.5. Естественный способ задания движения точки
Если траектория точки известна (т. е. в некоторой системе
отсчета определена графически, с помощью уравнения или дру-
другим образом), то задать движение точки можно естественным
способом. Для этого необходимо: зафиксировать на траектории
точку начала отсчета, выбрать положительное и отрицатель-
отрицательное направления отсчета дуговой координаты и указать уравне-
уравнение движения точки по траектории в виде
s = s(t). A.50)
Всего этого в совокупности достаточно для однозначного
определения положения точки в пространстве в любой момент
времени.
Скалярный параметр s в данном случае имеет смысл криво-
криволинейной (дуговой) координаты, модуль которой определяет
текущее расстояние по траектории
от начала отсчета (точки О) до под-
подвижной точки Л/, а знак показывает,
по какую сторону от начала отсчета
находится точка М на траектории
(рис. 1.9).
Следует отметить, что уравне-
уравнение движения в форме A.50) опреде-
определяет текущее положение точки
именно на траектории, при этом мо-
может быть установлена взаимно одно-
однозначная связь между значениями Рис. 1.9
61

координаты s и радиус-вектором точки М в той системе отсчета,
в которой определена в рассматриваемом случае траектория
движения точки (см. рис. 1.9). Тогда радиус-вектор точки может
быть представлен в виде функциональной зависимости от пара-
параметра s в виде
r = r(s). A.51)
Прежде чем находить скорость и ускорение при рассматри-
рассматриваемом способе задания движения точки, определим естествен-
естественную систему осей и ее векторный базис, т. е. систему трех еди-
единичных векторов, задающих положительное направление этих
осей.
Первая ось естественной системы — ось, касательная к кри-
кривой (траектории) в данной точке М, может быть определена как
предельное положение секущей, проходящей через две близле-
близлежащие точки М и Мх кривой, когда расстояние между этими
точками стремится к нулю. При этом положительное направле-
направление касательной оси следует принимать в направлении возраста-
возрастания значений дуговой координаты s. Задавать это направление
оси можно с помощью единичного вектора т, касательного к
траектории в данной точке. Исходя из A.51), этот вектор можно
определить так:
1
Единичный вектор х всегда направлен по касательной к тра-
траектории в направлении возрастания значений дуговой координа-
координаты s.
Вторая ось естественной системы, которая называется нор-
нормальной осью (нормалью), расположена в соприкаса!шцейся плос-
плоскости. Она перпендикулярна касательной к траектории в точке и
направлена в сторону вогнутости траектории точки* по главной
нормали.
* Определение соприкасающейся плоскости дано в 1.1 и 1.2 как предельное
положение плоскости, проходящей через касательные в точке М и вблизлежа-
щей точке М{ на кривой при ее предельном сближении с точкой М. Там же
показано, что в этой плоскости находятся скорость и ускорение точки.
62

Здесь следует напомнить, что производная от единичного
вектора х по скалярному аргументу s есть вектор, перпендику-
перпендикулярный х и направленный по нормали к касательной траектории
движения точки в сторону ее вогнутости. Модуль этой производ-
производной равен кривизне кривой в данной точке:
К =
dx
ds
d2r
ds2
где p —радиус кривизны траектории в данной точке.
Тогда единичный вектор п, задающий положительное на-
направление нормальной оси, может быть определен так:
_ dx
n=—\
ds
ds
d2r
ds2
пЫ.
Вектор п лежит в соприкасающейся плоскости и направлен
по главной нормали в сторону вогнутости траектории к центру ее
кривизны в данной точке.
Третья ось естественной системы называется бинормальной
осью {бинормалью). Она перпендикулярна к касательной и нор-
нормальной осям, а ее положительное направление можно найти по
единичному вектору бинормали Ъ , который определяется как
результат векторного произведения единичных векторов х и п в
виде
Ъ = ххй , \Ъ 1=1.
Таким образом, векторный базис т, п и Ъ определяет по-
положительные направления соответствующих координатных
осей в каждой точке траектории.
Оси естественной системы (касательная [х], нормаль [п] и
бинормаль [Ь]), построенные в точке М траектории, образуют
естественный трехгранник. Грани его, определяемые каждой
парой пересекающихся осей, совпадают с соприкасающейся (х,
л), нормальной (п, Ь) и спрямляющей, или касательной, (&, х)
плоскостями (рис. 1.10). При движении точки Мпо своей траек-
траектории естественный трехгранник с вершиной в точке М также
движется и ориентация его граней и осей, их образующих, изме-
изменяется в пространстве.
63

Нормальная
плоскость
Соприкасающаяся
плоскость
ь
Спрямляющая
плоскость
Рис. 1.10
Теперь можно перейти к определению скорости при естест-
естественном способе задания движения точки. Согласно основному
определению скорости A.1) и A.51),
_ dr dr ds dr .
v = = = s,
dt ds dt ds
или, с учетом определения единичного вектора т = d rids,
A.52)
Из A.52) следует, что проекция скорости точки на ось, ка-
касательную к траектории точки, равна
Vx = V • X = S .
Очевидно, что v = vx = vxx .
При vx = s > 0 точка движется в положительном направле-
направлении отсчета s, а при vx = s < 0 — в противоположную сторону.
Модуль скорости, т. е. ее численное значение, при естест-
естественном способе задания движения точки определяется так:
Для ускорения на основании A.3) имеем
d{vJt)
_ dv
—
—
dt
dt
dvx- dx .._ .dx
dt dt dt
64

где
dx _dx ds _ds 1 _
dt ds dt dt p
Таким образом,
или
_ .._ s' _
a=51 + —n ,
P
v _
=vTx + —n
P
A.53)
Из A.53) следует, что ускорение представляет собой сумму
касательной
(рис. 1.11):
и нормальной ап =—п составляющих
Р
Рис. 1.11
Полученный результат подтверждает вывод о том, что век-
вектор а лежит в соприкасающейся плоскости (х, п) (см. § 1.2).
Проекции ускорения на оси естественной системы координат
(касательйую, нормаль и бинормаль) равны
65

i2 v2
an=a-n= — = — ; A.54)
_p p
ab =a-b =0.
Модуль проекции ускорения на касательную ось характери-
характеризует изменение скорости по величине, а знак показывает соответ-
соответствие направления касательной составляющей ускорения направ-
направлению единичного вектора т, т. е. выбранному положительному
направлению отсчета s.
Проекция ускорения на нормаль всегда неотрицательна* и
характеризует изменение скорости только по направлению. Если
точка на криволинейном участке траектории движется с постоян-
постоянной по модулю скоростью ( v = const), то она все же будет иметь
ускорение, направленное по нормали и определяющее изменение
направления вектора v , так что в этом случае а IV иа=ап.
Очевидно, что ах =ятт, ап =апп, ах1Лп, и модуль ускоре-
ускорения
+*F- О-55)
Характер движения точки по траектории (ускоренный или
замедленный) можно определить, исходя из знака скалярного
произведения ускорения и скорости: в случае a -v" = tfTvT >0 —
движение точки ускоренное ( v > 0 ), при этом ах и v направлены
в одну сторону; в случае av =axvx < О — движение точки за-
замедленное (v<0), при этом ах и v направлены в противопо-
противоположные стороны. При ax(t) = 0 движение точки равномерное
(|v| = const), в этом случае при движении по криволинейной тра-
траектории а =ап и a±v .
Заметим, что проекции ускорения на касательную (ах =Sr =
= vT) и на ось, совпадающую по направлению с вектором
v ( av = v ), равны по модулю, т. е. \ах\ = \av\.
Положительное направление нормали всегда принимается в сторону вогну-
вогнутости траектории точки в соприкасающейся плоскости.
66

Текущее значение пути L(t), пройденного точкой по траек-
траектории, и закон движения точки по траектории s(t) также могут
совпадать (с точностью до знака), но только в случае, если нача-
начало отсчета пути соответствует такому моменту времени *0, при
котором s(to) = O, и за рассматриваемый промежуток времени
t - t0 проекция скорости на касательную не меняла своего знака.
Тогда можно записать
L(t) = \s(t)\= \v(t)dt.
'о
Пример 1.3. В задаче, сформулированной в примере 1.1, дополнительно
определить закон движения точки М по ее траектории.
Решение. Согласно приведенному в примере 1.1 решению, движение точки
М происходит по траектории, являющейся частью параболы, расположенной
над осью Ох (см. рис. 1.4). Примем начало отсчета криволинейной координаты s
в точке О и будем считать положительным направление, соответствующее на-
направлению перемещения точки вверх по параболе. В рассматриваемом случае в
течение всего времени движения перемещение точки происходит по траектории
в положительном направлении (проекции скорости на оси координат vx = 2bt,
vy = с не меняют своего знака). Следовательно, закон движения точки по тра-
ектории имеет вид s(t) = гv(t)dt, где v(t) = Jv\ + v^ = ^BbtJ + с2 . После вы-
о
числения интеграла получаем
Значения констант Ъ и с даны в примере 1.1.
Пример 1.4. Движение точки М происходит в плоскости Оху по окружности
радиусом /? = 1м согласно закону s(t) = csin(bt), где с = л/2м, b = lc~l,t —
время в секундах. Начало отсчета (точка Мо) и положительное направление
отсчета координаты s(M0M) заданы на рис. 1.12. Для момента времени
t! = я/6 с найти скорость и ускорение точки М, показать ш на чертеже, ,
Решение. Положение точки на окружности удобно определять через значе-
значения центрального угла а , опирающегося на дугу окружности иМ0М с дли-
длиной, равной s:
a = s(t)/R. A.56)
67

Положительные значения угла в данном случае будем откладывать от гори-
горизонтального диаметра против направления движения часовой стрелки, а отрица-
отрицательные по ее ходу. При этом диапазон изменения дуговой координаты
-c?s?c9 поэтому а^^-п/!, атах=я/2, так что траекторией является
лишь правая половина окружности, выделенная на рис. 1.12 жирной линией.
У)
о
\ У
Рис. 1.12
Проекция скорости точки М на касательную vx = i = cb cos(bt). Проекции
ускорения точки М на касательную ось и нормаль соответственно равны
. 2 . /L ч v2 [cbcos(bt)]2
Р Я
В момент времени t«tx = тс/6 с а = я/4, vx = я>/з/4 »1,36 м/с, ат = -тс/4 «
« -0,785 м/с2 , дЛ = Зп2/\6 »1,85 м/с2 . Положение точки на траектории, каса-
касательная и нормальная оси, а также скорость и ускорение точки М показаны на
рис. 1.12. Так как vt > 0, то вектор v направлен по касательной к траектории в
положительном направлении касательной оси, а касательная составляющая
ускорения ах, поскольку ах < 0, — в противоположном направлении. Нор-
Нормальная составляющая ускорения а„ направлена по нормали от точки М к
точке О,. Полное ускорение точки М а -ах +а„ совпадает с диагональю пря-
прямоугольника, построенного на векторах ах и а„ как на сторонах (см. рис. 1.12).
Модуль ускорения а
2,01 м/с2 .
68

Пример 1.5. В задаче, решаемой в примере 1.4, перейти от естественного
способа задания движения точки М к заданию ее движения в декартовой систе-
системе координат Оху (см. рис. 1.12). Рассмотреть также движение точки в полярной
системе координат, полярная ось которой совпадает с осью Ох декартовой сис-
системы координат. Записать уравнения траектории точки М в этих системах коор-
координат.
Решение. Согласно чертежу, приведенному на рис. 1.12, геометрические со-
соотношения для декартовых координат точки М имеют вид
Уравнения движения точки в декартовой системе координат, с учетом A.56),
можно записать так:
х = R+Rcos[s(t)/R];
y = Rsin[s(t)/R]9
где закон движения точки по траектории s(t) имеет вид, приведенный в усло-
условии задачи из примера 1.4.
Уравнение траектории в данном случае можно получить в форме
(x-RJ у2
При этом следует учесть диапазоны изменения декартовых координат точки:
R<x<2R;
-R<y<R.
На рис. 1.12 видно, что полярный угол ср = а/2, а полярная координата г
равна длине отрезка ОМ, являющегося стороной равнобедренного треугольника
ОО^М . Из этого треугольника находим ОМ = 2/?cos<p .
Таким образом, уравнения движения точки М в полярной системе координат
имеют вид
r = 2Rcos[s(t)/BR)];
Уравнение траектории будет r = 2/?cos(p. При этом диапазоны изменения по-
полярных координат точки М следующие:
y[2R<r<2R;
Читателю предоставляется возможность самостоятельно ре-
решить вопрос о целесообразности и трудоемкости определения
кинематических характеристик движения точки в задачах, рас-
рассмотренных в примерах 1.1-1.5, для разных способов задания ее
движения.

Глава 2
ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей
Кинематика твердого тела — раздел кинематики, в кото-
котором изучают кинематику абсолютно твердого тела.
Основным свойством твердого тела является неизменность
расстояния между любыми его точками. В кинематике форма
твердого тела не влияет на кинематические параметры его дви-
движения, и в данном случае можно использовать аксиому неогра-
неограниченного расширения тела, полагая, что в движение вместе с
ним увлекаются любые точки из примыкающей области про-
пространства, так что их также можно отнести к рассматриваемому
твердому телу.
Задачи кинематики твердого тела сводятся к разработке спо-
способов задания его движения, определению на этой основе харак-
характеристик движений самого тела и отдельных точек, ему принад-
принадлежащих.
Для задания движения твердого тела необходимо прежде
всего установить число степеней свободы, т. е. минимальное
число независимых скалярных переменных, в совокупности одно-
однозначно определяющих положение материального тела в про-
пространстве*.
В гл. 1 данного раздела показано, например, что для одно-
однозначного определения положения точки в пространстве в общем
случае надо знать три ее координаты (декартовы или криволи-
криволинейные), и, следовательно, свободная материальная точка имеет
три степени свободы. При движении на плоскости требуются две
* Эти переменные называются также обобщенными координатами.
70

координаты, однозначно определяющие положение точки на этой
плоскости; в этом случае материальная точка имеет две степени
свободы. Наконец, при движении точки по заданной траектории
одна координата определяет ее положение на траектории; в этом
случае точка имеет одну степень свободы.
При задании движения твердого тела следует исходить из
того, что его положение в пространстве можно считать опреде-
определенным, если известно положение трех его точек, не лежащих
на одной прямой, например А, В, С (рис. 2.1). В таком случае
для однозначного определения положения твердого тела в про-
пространстве необходимо знать по три координаты каждой из этих
точек, т. е. для точек А,ВиС нужно знать хА, уА, zA, хв, ув,
2в хс> Ус> zc- Однако все эти девять параметров нельзя счи-
считать независимыми, так как координаты тех же точек твердого
тела будут связаны тремя уравнениями, вытекающими цз усло-
условия неизменности расстояния между точками в твердом теле:
(хА -хвJ +(уА -увJ +(zA -zBJ =Z2^;
(хА -xcf +(yA -ycJ +(zA -zcJ =L2AC;
(xc -xBJ +(yc -yBJ +(zc -zBJ =4C,
где L^, LAC, LBC — расстояния между соответствующими точ-
точками в теле.
Рис. 2.1
71

Таким образом, можно сделать вывод, что число степеней
свободы для свободного, т. е. ничем не ограниченного в своем
движении, твердого тела в общем случае его перемещения в про-
пространстве равно шести Cx3-3 = 6). При этом в качестве неза-
независимых параметров могут выступать как любые шесть незави-
независимых координат точек А, В, С и (или) их комбинаций, так и
шесть других независимых скалярных переменных, конкретный
перечень которых будет определен при рассмотрении этого вида
движения твердого тела.
Кроме общего случая движения твердого тела могут быть
выделены и другие его виды, характеризующиеся некоторыми
отличительными признаками, позволяющими выделить их из
всей возможной совокупности движений. Простейшими движе-
движениями являются: поступательное движение твердого тела и его
вращение вокруг неподвижной оси, более сложными — плоское
и сферическое движения, а также общий случай движения твер-
твердого тела.
Для любого вида движения твердого тела справедлива тео-
теорема, которую иногда называют основной теоремой кинематики
твердого тела.
Теорема 2.1. Проекции скоростей точек тела на ось, совпа-
совпадающую с прямой, проходящей через них, равны.
Доказательство. Выделим в теле две точки Аи В, положение
которых в пространстве определяют радиус-векторы гА и гв соот-
соответственно (рис. 2.2). Тогда вектор АВ можно записать в виде
гв-гА=АВ.
При возведении в квадрат левой и правой частей этого выра-
выражения получим
(rB-rAJ=(ABJ=I\
где I = АВ; I2 = /2; / = АВ = const — расстояние между точками
А и В в рассматриваемом твердом теле.
Дифференцируя по времени последнее соотношение, получаем
\ dt dt
72

_ drA_drR___T
Так как в этом равенстве —— = vA, —— = vB, rB - rA = / , то
dt
dt
после замены имеем
21 (vB - vA) = 0, или ZvB = /vA.
^ г
Рис. 2.2
Раскрывая скалярное произведение векторов и сокращая на /,
получаем
где аир — углы между скоростями соответствующих точек и
осью / , направленной по прямой АВ (см. рис. 2.2).
Таким образом, сформулированную выше теорему можно
считать доказанной.
2.2. Поступательное движение твердого тела
Поступательным движением твердого тела называется
такое его движение, при котором прямая, проходящая через лю-
любые две точки в этом теле, будет оставаться параллельной сво-
своему первоначальному положению во все время движения . Заме-
Заметим, что при этом траектории точек тела могут быть любыми и
иметь форму прямой, окружности, пространственной кривой и т. д.
Для идентификации этого вида движения достаточно, чтобы указанный
признак выполнялся для любых двух непараллельных прямых, проведенных
через точки рассматриваемого тела.
73

Примерами поступательного движения служат движения
контактной рейки трамвайного пантографа относительно вагона,
кабины колеса обозрения в парке относительно земли, ступеней
эскалатора относительно пола в метро и т. д.
Свойства поступательного движения:
1) траектории всех точек тела, совершающего поступатель-
поступательное движение, конгруэнтны, т. е. одинаковы, и могут быть полу-
получены одна из другой параллельным переносом;
2) скорости всех точек тела одинаковы;
3) ускорения всех точек тела одинаковы.
Эти выводы можно подтвердить на основании следующего
анализа.
Для двух любых точек А и В тела, совершающего поступа-
поступательное движение (рис. 2.3), можно записать соотношение
гв=гА+АВ9
где АВ = const — вектор, имеющий постоянные модуль и на-
направление во время движения, так что траектории точек А и В как
годографы соответствующих радиус-векторов гА и гв оказыва-
оказываются смещенными в любой момент времени одна относительно
другой на одну и ту же величину в одном и том же направлении,
что и доказывает первое свойство.
Траектория
точки Л
Рис. 2.3
74

Дифференцируя левую и правую части приведенного выше
векторного соотношения и учитывая, что dAB/dt = 09 получаем
drB/dt = drA/dt, или vB = vA. Дифференцируя по времени ле-
левую и правую части полученного соотношения для скоростей,
находим dvB/dt = dvA/dt, или ав = аА.
На основании вышеизложенного можно сделать следующий
вывод: чтобы задать движение и определить кинематические
характеристики тела, совершающего поступательное движе-
движение, достаточно задать движение одной его любой точки (по-
(полюса) и найти ее кинематические характеристики.
Как и материальная точка, тело при его поступательном
движении будет иметь одну степень свободы при движении по
направляющей, задающей траекторию его точкам; две степени
свободы в случае движения на плоскости (при постоянном кон-
контакте с ней хотя бы одной точкой) и три степени свободы в об-
общем случае движения в пространстве.
2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси (или про-
просто вращательным движением) называется такое движение твер-
твердого тела, при котором в теле можно выделить прямую, все точки
которой будут оставаться неподвижными во время движения. Эта
прямая называется осью вращения твердого тела. Очевидно, что для
ее задания достаточно указать как минимум две неподвижные точки
в рассматриваемом теле, через которые она проходит.
Алгоритм задания вращательного движения может быть оп-
определен на основе следующего анализа.
Введем неподвижную прямоугольную декартову систему
координат Oxyz и аналогичную подвижную систему координат
OXYZ, жестко связанную с рассматриваемым телом, расположив
оси Oz и OZ на оси вращения тела (рис. 2.4).
Пусть в начальный момент времени оси координат подвижной
и неподвижной систем совпадали. Тогда положение вращающегося
тела относительно неподвижной системы координат в любой теку-
текущий момент времени однозначно определится значением дву-
двугранного угла ф между неподвижной плоскостью Oxz иподвиж-
75

zkZ
ной плоскостью OXZ, вращающейся вместе с рассматриваемым
телом. Таким образом, при вращении вокруг неподвижной оси
тело имеет одну степень свободы, так как его положение в не-
неподвижной системе координат Oxyz однозначно определяется
значением одного скалярного параметра — угла ср. Уравнение,
определяющее изменение этого угла как функции времени, об-
общего вида
где ф@ — непрерывная дважды дифференцируемая функция
времени, называется законом вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси*.
* Угол ф также может быть углом между любой неподвижной плоскостью, про-
проходящей через ось вращения, и подвижной, связанной с телом и также проходящей
через указанную ось плоскостью.
76

Отношение изменения угла поворота тела вокруг неподвиж-
неподвижной оси к промежутку времени At называется средней угловой
скоростью вращения тела:
Аф _ (рО + At) - (рО)
"AT" Af '
Предел этого отношения при Af—»0 называется угловой
скоростью вращения тела в момент времени t:
. d(p л. Аф
ф = —L= lim—-.
dt д*->о Д^
Здесь ф — скалярная алгебраическая величина, которая может
принимать положительные и отрицательные значения.
На чертеже угол поворота тела и направление угловой ско-
скорости принято условно изображать дуговыми стрелками. При
этом за положительное направление отсчета угла ф обычно при-
принимают направление, противоположное направлению вращения
часовой стрелки, если смотреть с положительного направления
координатной оси, совмещенной с осью вращения тела. Это, в
частности, соответствует так называемой правой декартовой сис-
системе координат.
Угловую скорость можно определить и как вектор ш, рас-
расположенный на оси вращения и равный
где к — единичный вектор, задающий положительное направ-
направление оси вращения, или орт оси Oz (рис. 2.5).
Проекция вектора угловой скорости на ось вращения Oz
coz =Ш =ф,
т. е. она равна угловой скорости вращения тела. Положительные
направления отсчета ф, ф и оси Oz соответствуют правой декар-
декартовой системе координат.
Численное значение угловой скорости ш равно модулю век-
вектора со и определяется как модуль проекции coz либо как модуль
угловой скорости тела при его вращении вокруг неподвижной
оси:
77

Единица измерения угловой скорости в СИ — радиан в се-
секунду (рад/с).
Рис. 2.5
Изменение угловой скорости тела во времени характеризует-
характеризуется его угловым ускорением.
Угловым ускорением тела называется первая производная
от угловой скорости или вторая производная по времени от угла
поворота вокруг неподвижной оси:
2 '
dr dt
где ф - скалярная алгебраическая величина.
Как векторную величину угловое ускорение можно опреде-
определить так:
78

е = = ibk .
Л
Проекция углового ускорения на ось вращения Oz
т. е. она равна угловому ускорению тела. Положительные на-
направления отсчета ср, ф, ф и оси Oz соответствуют правой декар-
декартовой системе координат.
Значение (модуль) углового ускорения
Единица измерения углового ускорения в СИ — радиан на
секунду в квадрате (рад/с2 ).
На чертеже угловое ускорение условно изображают дуговой
стрелкой, направленной при ф > 0 так же, как и стрелка, задающая
положительное направление отсчета угла ф, и противоположно
при ф < 0. Угловое ускорение можно также изображать в виде
вектора, расположенного на оси вращения и совпадающего по
направлению с осью вращения Oz при г2 = ф > 0 или направлен-
направленного в противоположную сторону при г2 = ф < 0 (см. рис. 2.5).
Векторы ю и 8 являются скользящими векторами, распо-
расположенными на оси вращения тела и не имеющими на ней кон-
конкретной точки приложения.
Вращательное движение называется ускоренным, если произ-
производная от модуля угловой скорости положительна (d(u/dt>0), и
замедленным, если эта производная отрицательна (d(o/dt < 0 ). Эту
характеристику можно дать также исходя из знака скалярного про-
произведения @-8: при ю-8 = со282=фф>0 вращательное движе-
движение будет ускоренное, а при юе = (оге2=фф<0 — замедлен-
замедленное; при 8(/) = 0 тело вращается равномерно, в этом случае
со = const.
При вращательном движении твердого тела траектории всех
точек этого тела являются окружностями, лежащими в плоскостях,
перпендикулярных оси вращения. Центры всех этих окружностей
лежат на оси вращения, а радиусы равны кратчайшему расстоянию
79

от этих точек до оси вращения. На рис. 2.6 для точки А тела, вра-
вращающегося вокруг неподвижной оси Oz, показана ее траектория —
окружность радиусом А, а также единичные векторы х, п, Ъ ес-
естественной системы осей, причем вектор бинормали Ъ направлен
так же, как единичный вектор к на оси Oz. Запишем радиус-
вектор г этой точки, проведенный из точки О на оси вращения
^ где ОО\=ООхк;
Скорость точки
ОО\ = const.
OxA--hn, причем
А определим в виде
v= — = -й . Согласно правилу дифференцирования вектора
dt dt
постоянного модуля (В.87) в данном случае = -фх, так что
dt
v = йфтГ.Поскольку x = nxb =пхк ,то v" = Щпхк = <рк х(-/ш) =
= фА: х (ОС\ • А: - /ш). В итоге получаем
B.1)
Рис. 2.6
80

Формула B.1) называется векторной формулой Эйлера.
Численное значение (модуль) скорости точки тела при этом
определится как модуль соответствующего векторного произве-
произведения, т. е.
Скорости точек при вращении вокруг неподвижной оси на-
направлены по касательной к окружности радиусом h в соответст-
соответствии с направлением угловой скорости тела. Направление вектора
v можно определить, исходя из свойств векторного произведе-
произведения B.1).
Ускорение точки А тела
_ dv d(Exr) d!5 __ _ dr
a = = — - = xr + cox .
dt dt dt dt
В последнем выражении d lo/dt = e, d rfdt = v . Следовательно,
ZF = 8xF"+g>xv. B.2)
Слагаемые в правой части выражения B.2) представляют со-
собой касательную (тангенциальную) ах = е х F и нормальную
aw=caxv = G)x(G)xr) составляющие ускорения точки.
Действительно, направление ах, исходя из векторного произ-
произведения 8 х F, будет определено как направление вектора, каса-
касательного к окружности радиусом h в точке A, ax=hif>F. На
рис. 2.6 видно, что это направление также соответствует направ-
направлению углового ускорения тела. Модуль касательного ускорения
точки в данном случае равен
\ах | = |s х г | = sr sin(e, r ) = zh. B.3)
Вектор ап всегда направлен по нормали к траектории точки
А в сторону ее вогнутости (к оси вращения тела, перпендикуляр-
перпендикулярно к ней). Модуль нормального ускорения точки
|ал | = ап = |ш х v| = ©V sin(rc/2) = со2 h . B.4)
Полное ускорение точки тела, вращающегося вокруг непод-
неподвижной оси, а = ах + ап. Вектор а лежит в плоскости, перпенди-
перпендикулярной оси вращения тела (см. рис. 2.6), а его численное зна-
значение (модуль) определяется по формуле
7 Зак. 16 g.

B.5)
Таким образом, можно сделать вывод, что модули скоростей
и ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,
прямо пропорциональны кратчайшему расстоянию от них до
оси вращения, причем, чем дальше находится точка от оси вра-
вращения, тем больше ее скорость и ускорение.
Пример 2.1. В механизме, изображенном на рис. 2.7, связь тел 7 и 2 с непод-
неподвижным основанием осуществляется с помощью цилиндрических шарниров О и
Oj, а тела 3 с телами 7 и 2 с помощью цилиндрических шарниров А и В соот-
соответственно. Тело 4 перемещается в вертикальных направляющих М и N и не
проскальзывает относительно тела 2 в точке Е. Известно, что ОА = О1В =
= L = 0,2m, ООх =Л# = </ = 0,4м , ?D = e = 0,5M, 7? = O,5L, А В LBD. Движе-
Движение стержня 7 задается уравнением изменения его угла поворота вокруг оси Oz,
проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа в виде
ф@ = bt-ct2 - тс, где Ь = 2я рад/с; с = Зя/4 рад/с2; t — время в секундах.
Для момента времени /, = 1 с определить угловые скорости и угловые уско-
ускорения тел 7 и 2, а также скорости и ускорения точек А , D , Е и тела 4. Все най-
найденные кинематические параметры движения тел и точек показать на чертеже
(включая траектории точек А и D).
Решение. В рассматриваемом механизме тела 7 и 2 совершают вращатель-
вращательное движение (их неподвижные оси вращения совпадают с осями цилиндриче-
цилиндрических шарниров О и О] соответственно). Тело 3 совершает поступательное дви-
движение (линия, проходящая через точки А и В, все время остается вертикальной,
а линия, проходящая через точки В и Д —^горизонтальной). Тело 4 также совер-
совершает поступательное движение, перемещаясь в вертикальных направляющих.
Проекции угловой скорости и углового ускорения тела 7 на ось вращения Oz
найдем по формулам
„ , я 7С рад Зя рад
При / = 1 с ф = — рад; со1г = — -—; е,, = -s-y-, а модули угловой ско-
. тс рад Зя рад
рости и углового ускорения тела 7 ю, = — -—; е, = — ¦*-=-.
2 с 2 с
Направление угловой скорости тела 7 показано на рис. 2.7, а дуговой стрел-
кой, совпадающей по направлению с дуговой стрелкой, указывающей положи-
положительное изменение угла ф, так как colz > 0; дуговая стрелка углового ускоре-
ускорения, для которого Е1г < 0, имеет противоположное направление.
Углы поворота тел 7 и 2 в их вращательных движениях одинаковы (ОА и
ОХВ являются противоположными сторонами подвижного параллелограмма
82

ОАВОХ), так что угловая скорость и угловое ускорение тела 2 идентичны анало-
аналогичным параметрам тела / (со2 = со,; ё2 = ё,).
т а Траектория >
к- —^ точки D
Рис. 2.7
Для точки Л, как точки, принадлежащей телу /, совершающему вращатель-
нос движение, vA = со,/, = (тс/2) 0,2 «0,314 м/с . Вектор vAlDA и направлен в
соответствии с направлением дуговой стрелки угловой скорости тела /
(см. рис. 2.7, а). Ускорение точки А аА=ахА +аА . Вектор аА1ОА , его направ-
направление соответствует направлению углового ускорения тела У, а модуль
\аА =*:,/, = (Зя/2)• 0,2 « 0,942 м/с2. Нормальная составляющая ускорения аА
направлена из точки А к точке О, аА = со2 • 0/1 = (тс/2J • 0,2 « 0,493 м/с2. Полное
ускорение точки Л расположено на диагонали прямоугольника, построенного на
83

векторах а\ и аА как на сторонах; его модуль аА = у(аАJ+(аАJ »
« 1,07 м/с2 (см. рис. 2.7, а).
Так как тело 3 совершает поступательное движение, то скорости и ускоре-
ускорения всех его точек одинаковы и равны скорости и ускорению самого тела 3,
поэтому v3 = vD = vA , яз = Я/;> = а^ . Траекторией точки А является окружность
радиусом г = L = 0,2 м с центром в точке 0@, 0), а точки D — окружность с
таким же радиусом и центром в точке О2 с координатами хОг = е = 0,5 м,
у0 --d- -0,4 м (см. рис. 2.7, а).
В месте контакта тел 2 и 4 в точке ? выделим точки ?2 и ?»» физически
принадлежащие телам '2 и 4 соответственно. Для точки Е2 имеем:
ve2 = со2/?« 0,157 м/с; вектор vEllOxE и его направление соответствует направ-
направлению дуговой стрелки угловой скорости тела 2; ускорение аЕг = aEl + а?2, где
вектор aJr2±O]E и направлен в соответствии с направлением углового ускоре-
ускорения тела 2,
а],2
=e2R = (Зп/2) • 0,1» 0,471 м/с2, а вектор аЕг направлен из точки
Е к точке О,, а = cd\R = (л/2J • 0,1» 0,247 м/с2; полное ускорение аЕг распо-
расположено на диагонали прямоугольника, построенного на векторах aEl и аЕг как
на сторонах, его модуль ahi = */я22Т + я2.-2„ « 0,532 м/с2 (см. рис. 2.7, б).
Из условия отсутствия проскальзывания между телами 2 и 4 в точке их кон-
контакта следует v/<4 = v/l2, т. е. скорости точек Е^ и ЕА одинаковы (равны и по
величине, и по направлению); %4 = а];2, т. е. полное ускорение точки Е4 равно
тангенциальной составляющей ускорения точки Е2 . Скорости и ускорения всех
точек тела 4, совершающего поступательное движение, одинаковы и равны
скорости и ускорению самого тела 4: v4 = vEa , a4 = аЕ^ (см. рис. 2.7).

Глава 3
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
3.1. Разложение плоского движения твердого тела
на поступательное и вращательное движения
Плоским, или плоскопараллельным, движением твердого
тела называют такое его движение, при котором точки тела
движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной
плоскости.
Примерами такого движения могут служить: качение шес-
шестерни с подвижной осью по другой неподвижной шестерне, ка-
качение колеса по прямолинейной направляющей, движение шату-
шатуна кривошипно-шатунного механизма.
Плоское движение твердого тела имеет большое практиче-
практическое значение, поскольку звенья большинства механизмов и ма-
машин, применяемых в технике, совершают в процессе их эксплуа-
эксплуатации именно такое движение.
При изучении плоского движения необходимо рассмотреть
способы задания этого движения, приемы и методы вычисления
скоростей и ускорений точек тела.
Пусть твердое тело совершает плоское движение. Тогда, со-
согласно определению, все точки тела будут перемещаться в плос-
плоскостях, параллельных между собой и некоторой неподвижной
плоскости По (рис. 3.1). Отсюда следует, что любая прямая АВ,
перпендикулярная этой плоскости и принадлеэюащая телу, бу-
будет в процессе его движения перемещаться вместе с ним по-
поступательно, т. е. траектории, скорости и ускорения всех точек
этой прямой будут одинаковыми. Таким образом, для изучения
движения точек, лежащих на рассматриваемой прямой, в соот-
85

ветствии с основной теоремой о поступательном движении дос-
достаточно знать движение одной из них, например точки А. Следо-
Следовательно, плоское движение твердого тела полностью определя-
определяется движением плоской фигуры 5, образованной пересечением
тела любой плоскостью 77, параллельной неподвижной плоско-
плоскости, и задание плоского движения твердого тела может быть све-
сведено к заданию движения плоской фигуры в плоскости, парал-
параллельной плоскости 770.
77777
7777/
I M I
Рис. 3.1
Рассмотрим твердое тело, участвующее в плоском движении
(рис. 3.2). Совместим координатную плоскость Оху системы коор-
координат Oxyz с плоской фигурой S тела. Выделим два любых поло-
положения фигуры 5, которые она занимает в процессе плоского дви-
движения тела. Поскольку положение плоской фигуры вполне опре-
определяется положением ее двух точек или отрезка, соединяющего
эти точки, то исследование движения плоской фигуры можно
свести к изучению движения принадлежащего ей отрезка АВ.
Перемещение фигуры из одного положения в другое можно
разложить на поступательное движение вместе с произвольной ее
86

точкой, называемой полюсом, и вращение в плоскости Оху фигу-
фигуры вокруг оси, параллельной оси Oz и проходящей через выбран-
выбранный полюс.
O(z)
w
(Si
А
^ и
\
^4 Т^Л
Рис. 3.2
В самом деле, выберем за полюс, например, точку А. Тогда
при поступательном движении фигуры отрезок АВ9 перемещаясь
параллельно самому себе, займет положение АХВ*. Повернув
отрезок на угол ср, совместим его с отрезком АХВХ плоской фи-
фигуры в новом положении, обеспечив тем самым рассматриваемое
движение плоской фигуры. Аналогичный результат получается,
если выбрать за полюс точку В.
Важно отметить, что тогда как поступательная состав-
составляющая плоского двиэюения тела в общем случае различна для
разных точек тела, величина и направление отсчета угла пово-
поворота плоской фигуры всегда одни и те лее, т. е. они не зависят
от выбора полюса.
3.2. Уравнения движения, угловая скорость и угловое
ускорение твердого тела при плоском движении
Итак, для исследования плоского движения твердого тела
достаточно изучить движение его плоской фигуры. Совместим
плоскость Оху неподвижной системы крординат Oxyz с плоско-
плоскостью Я, в которой движется плоская фигура (рис. 3.3).
87

У1
Ул
O(z)
( AB
Y *.
у I'
X
Рис. 3.3
Плоская фигура при движении имеет три степени свободы и
ее положение определяется тремя независимыми координатами:
декартовыми координатами хА и уА полюса А и углом поворота
ф отрезка АВ вокруг этого полюса. При движении плоской фигу-
фигуры координаты хА, уА полюса А и угол ф, изменяясь с течением
времени, являются некоторыми однозначными и непрерывными
функциями времени t. Уравнения
определяющие положение и движение плоской фигуры в непод-
неподвижной плоскости Оху, называются уравнениями плоского дви-
движения твердого тела.
В плоском движении вращение твердого тела вокруг под-
подвижной оси, проходящей через полюс, характеризуется углом ф.
Как и при вращении тела вокруг неподвижной оси, за положи-
положительное направление отсчета угла ф принимают направление,
противоположное направлению вращения часовой стрелки. Вве-
Введем проекцию угловой скорости coz и проекцию углового уско-
ускорения ez .на ось AZ для плоского движения твердого тела:
Алгебраические величины coz и ez могут быть как положитель-
положительными, так и отрицательными; они не зависят от выбора полюса.
88

При плоском движении твердого тела угловую скорость и
угловое ускорение считают векторами, направленными вдоль
подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре. Направление
вектора со должно быть таким, чтобы с его конца вращение фи-
фигуры виделось бы происходящим против вращения часовой
стрелки. При ускоренном вращении направления со и ? совпа-
совпадают, при замедленном — противоположны. Поскольку выбор
полюса произвольный, со и 8 являются свободными векторами.
Очевидно, при этом, что угловая скорость ф и угловое уско-
ускорение ф плоского движения твердого тела — суть проекции со-
соответствующих векторов на ось Z, а их знаки — свидетельство
совпадения или несовпадения направлений векторов со и е" с
положительным направлением оси Z(z).
3.3. Скорости точек тела при плоском движении
Представим движение плоской фигуры и ее отрезка АВ в не-
неподвижной системе координат Oxyz (рис. 3.4). Для произвольного
момента времени справедливо векторное равенство
гв=гА+АВ. C.1)
О
Рис. 3.4
При движении плоской фигуры векторы гА и гв изменяются
и по модулю, и по направлению, вектор же ,АВ изменяется толь-
только по направлению, так как его модуль равен постоянному для
твердого тела расстоянию между точками Аи В. Запишем произ-
производную по времени от обеих частей равенства C.1):
6 Зак. 16 89

drB _drA dAB
dt dt dt
Обозначив = vBA и назвав vBA скоростью точки В тела
dt
при вращении его вокруг полюса А, получим
Vn — Уд +уПл. C.2)
Рассмотрим вектор vBA. Поскольку АВ — вектор постоян-
постоянного модуля, то
d
VBA =
dt
dt
где т — единичный вектор, лежащий в плоскости фигуры, пер-
перпендикулярный АВ и направленный в сторону возрастания угла
поворота фигуры ф. Тогда вектор vBA лежит в плоскости дви-
движущейся фигуры, перпендикулярен отрезку АВ, соединяющему
точку В с полюсом А, и направлен в сторону вращения фигуры
вокруг этого полюса (см. рис. 3.4).
Определим модуль вектора vBA :
Обозначив |ф| = со, запишем
v^=coA5. C.3)
Применив формулу Эйлера, представим выражение C.3) в век-
векторной форме:
d~AB _ —
у». = = сох АВ.
ВА dt
Окончательно имеем
vB -vA +vBA =vA +юхАВ. C.4)
Таким образом, скорость какой-либо точки фигуры при ее
плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и
скорости этой точки при вращении фигуры вокруг полюса.
3.4. Мгновенный центр скоростей
В любой момент времени при плоском движении фщуры
существует единственная точка фигуры, скорость которой равна
90

нулю* Эту точку называют мгновенным центром скоростей
(МЦС). Найдем эту точку, обозначив ее Р.
Возьмем за полюс точку А фигуры 5, скорость vA которой
известна (рис. 3.5). Пусть в этот момент времени угловая ско-
скорость фигуры равна со.
О
Рис. 3.5
Для определения скорости точки Р воспользуемся форму-
формулой C.2): ,
Отсюда следует, что векторы vA и vPA должны быть равны
по модулю и противоположны по направлению. Так кщ; вектдр
vPA перпендикулярен отрезку АР, то прямая, на которой должна
находиться точка Р, перпендикулярна вектору vA. Проведем таг
кую прямую MN через точку А. Чтобы выполнялось условие
vA =-vPA, точка Р должна находиться на луче AN. .Иосколь&у
jvA|^|vPA|,a vPA =co- АР,находим AP = vA/(b. J :
Таким образом, МЦС находится на перпендикулярел восста-
восстановленном к вектору скорости точки vA, на расст6янвд;
' ' ' ¦¦¦' '
91

Примем точку Р за полюс фигуры. Тогда для ее произволь-
произвольной точки В можно записать:
^=^+Удр=Удр; vB=vBP=(o-PB9 C.5)
где РВ — расстояние от МЦС — точки Р до точки В; вектор vB
перпендикулярен отрезку РВ, направлен в сторону вращения
фигуры вокруг МЦС (см. рис. 3.5), а его модуль пропорционален
расстоянию от МЦС до точки.
Таким образом, скорости точек плоской фигуры в данный
момент времени вычисляются так же, как если бы фигура вра-
вращалась вокруг неподвгиисной оси, проходящей через МЦС перпен-
перпендикулярно плоскости движения, с той же угловой скоростью <5.
Использование МЦС часто упрощает определение скоростей
точек твердого тела в плоском движении.
Рассмотрим случаи, когда положение МЦС может быть ус-
установлено либо с помощью геометрических построений, либо в
силу физических соображений.
Пусть известны направления скоростей двух точек А и В фи-
фигуры (рис. 3.6, а). Тогда МЦС будет находиться в точке пересе-
пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А и В к на-
направлениям их скоростей vA и vB.
В том случае, когда точки А и В лежат на общем перпенди-
перпендикуляре к их неравным скоростям, МЦС фигуры находится в точ-
точке пересечения перпендикуляра с прямой, соединяющей концы
векторов скоростей этих точек (рис. 3.6, б, в).
Если скорости двух точек А и В плоской фигуры параллель-
параллельны, направлены в одну сторону и равны между собой, то МЦС
лежит в бесконечности, а угловая скорость плоской фигуры рав-
равна нулю (так как vA =vB , то vBA = юх АВ = 0). Такое движение
тела называют мгновенно-поступательным. При нем скорости
всех точек фигуры одинаковы по направлению и модулю
(рис. 3.6, г). Однако следует иметь в виду, что ускорения точек
при таком движении различны.
В некоторых случаях, исходя из физических соображений,
удается сразу установить МЦС плоской фигуры. Речь идет о до-
довольно распространенном на практике классе задач, в которых
рассматривается качение без скольжения плоской фигуры по
92

некоторой неподвижной плоской линии (рис. 3.6, д). Например,
качение без скольжения колеса по неподвижной прямой линии
или одного колеса по другому неподвижному колесу. В таких
случаях МЦС плоской фигуры находится в точке ее контакта с
опорой, скорость которой равна нулю.
О
Рис. 3.6
93

Пример 3.1. Колесо радиусом R (см. рис. 3.6, д) катится без скольжения по
неподвижной прямой; скорость центра vc. Используя понятие МЦС, опреде-
определить скорости точек MnN обода колеса.
Решение. Поскольку колесо катится без скольжения, его МЦС находится в
точке Р контакта обода с неподвижной прямой. Тогда, в соответствии с C.5),
угловая скорость колеса
vc
оэ = ,
PC R
а направление его вращения определится направлением вектора vc по отноше-
отношению к МЦС (направление вращения колеса совпадает с направлением движения
часовой стрелки).
Теперь, так как РМ = JlR , a PN = 2R , то
vM =<oPM = <j2vc; vN =&PN = 2vc .
Векторы скоростей точек Ми N колеса перпендикулярны отрезкам прямых,
соединяющих эти точки с МЦС, и направлены в сторону вращения колеса во-
вокруг МЦС (см. рис. 3.6, д).
3.5. Мгновенный центр вращения. Центроиды
На рис. 3.6 видно, что скорости точек сечения тела при плос-
плоском движении распределены в каждый момент времени так, как
если бы движение сечения тела представляло собой вращение
вокруг МЦС. Поэтому МЦС называют мгновенным центром
вращения. Ось Pz, вокруг которой в данный момент времени
происходит вращение тела, перпендикулярную к его сечению и
проходящую через МЦС — точку Р, называют мгновенной осью
вращения.
Мгновенный центр вращения при плоском движении тела
меняет свое положение как на неподвижной плоскости, в которой
движется фигура, так и на связанной с ней подвижной.
Геометрическое место мгновенных центров вращения на не-
неподвижной плоскости называют неподвижной центроидой, а
геометрическое место этих же центров на подвижной плоскости,
связанной с движущейся фигурой, — подвижной центроидой.
Например, при качении диска по плоской кривой без сколь-
скольжения (рис. 3.7) неподвижной центроидой является кривая К, по
которой катится диск, а подвижной — окружность L диска. В
каждый момент времени подвижная и неподвижная центроиды
94

Рис. 3.7
имеют общую точку
касания Р, скорость ко-
которой равна нулю. Эта
точка является мгновен-
мгновенным центром скоростей
диска. Таким образом,
при действительном
движении плоской фигу~
ры подвижная центрои-
центроида катится без сколь-
скольжения по неподвижной.
Если вместо движе-
движения плоской фигуры рас-
рассмотреть плоское движе-
движение твердого тела, то неподвижная и подвижная центроиды будут
для него неподвижной и подвижной цилиндрическими поверхно-
поверхностями.
Теория центроид нашла широкое применение в специальных
курсах кинематики механизмов, в теории механизмов и машин
при профилировании зубчатых колес.
Рассматривая в качестве примера движение линейки эллип-
эллипсографа (рис. 3.8), убедимся, что оно тождественно движению
окружности Z,, катящейся без скольжения внутри неподвижной
окружности К вдвое большего радиуса, при котором точки В и А
первой окружности движутся соответственно по горизонтально-
горизонтальному и вертикальному диаметрам второй (см. рис. 3.8). В самом
деле, проведя перпендикуляры к направлениям скоростей точек А
и В эллипсографа, найдем МЦС — точку Р. Очевидно, что на
неподвижной плоскости Оху разным положениям линейки АВ
соответствуют разные положения центра Р9 но при этом ОР оста-
остается постоянным и равным АВ. Следовательно, неподвижная
центроида — это окружность К, описанная из центра О радиу-
радиусом, равным АВ. Положение центра Р в процессе движения меха-
механизма меняется и относительно линейки АВ9 но расстояние меж-
между серединой линейки С и центррм Р остается постоянным ц рав-
равным СР = АВ/2, Таким образом, окружность L с радиусом АВ/2
и центром в точке С будет подвижной центроидой.
95

Рис. 3.8
3.6. Вычисление угловой скорости твердого тела
при плоском движении
При решении задач на определение скоростей точек плоской
фигуры необходимым этапом является нахождение ее угловой
скорости. Рассмотрим ряд приемов определения со.
1. Если заданы уравнения движения плоской фигуры, то мо-
модуль угловой скорости можно определить как модуль производ-
производной от угла поворота по времени:
@ =
Вектор угловой скорости при этом направлен перпендикулярно
плоскости движения так, что с его конца направление вращения
плоской фигуры было бы противоположно направлению движе-
движения часовой стрелки.
Направление угловой скорости плоской фигуры удобно зада-
задавать дуговой стрелкой. Если в данный момент при выбранном вы-
выше положительном направлении отсчета угла поворота <р тела при
96

его плоском движении алгебраическое значение угловой скоро-
скорости ф>0, то направление дуговой стрелки со противоположно
направлению движения часовой стрелки, а если ф < 0, то совпа-
совпадает с ним.
2. В ряде задач модуль угловой скорости со можно опреде-
определить, разделив скорость какой-либо ее точки на расстояние меж-
между этой точкой и МЦС фигуры:
&=vA/AP.
Направление же вращения фигуры (дуговой стрелки со) опреде-
определяется при этом направлением вектора vA упомянутой точки по
отношению к МЦС.
3. Угловую скорость фигуры при плоском движении можно
установить из уравнения C.2), связывающего скорости двух то-
точек плоской фигуры, если задана vA и известно направление vB.
Проецируя векторы скоростей, входящие в уравнение C.2), на
направление, перпендикулярное vB, исключаем vB и определяем
со по формуле C.3).
Пример 3.2. Кривошип ОХА (рис. 3.9, а) вращается вокруг неподвижного
центра О, с угловой скоростью со,. Шатун АВ соединен шарнирно с кривоши-
кривошипом О, Л и диском, который может вращаться вокруг неподвижного центра О2.
Найти угловую скорость со2 шатуна АВ, если механизм занимает в данный
момент положение, указанное на рис. 3.9, а, а размеры его звеньев известны.
Решение. Построим для шатуна АВ механизма план скоростей — графиче-
графическое изображение векторного уравнения для скоростей точек плоской фигуры в
данный момент времени.
Так как скорость точки А известна из условия задачи (vA=(OlOlA,
vAlOx A), выберем эту точку за полюс. Тогда
Для построения векторного треугольника выберем вне плоской фигуры точ-
точку Во (см. рис. 3.9,6) и построим в некотором масштабе вектор vA. Через конец
этого вектора (точку а) проведем прямую аЫАВ (vBA±AB ) до пересечения ее в
точке Ь с прямой, проведенной из Во параллельно направлению искомой ско-
скорости точки В (vB±O2B). Тогда вектор аЪ представляет собой в выбранном
масштабе скорость точки В при вращении шатуна вокруг полюса Л, т. е. vBA, a
вектор ВОЬ — искомую скорость vB.
97

-3?
^_ Рис. 3.9
Спроецировав векторы, входящие в уравнение vB = vA + vBA , на направление
О2у , получим
или
0.
Откуда находим
со, =•
ABs'mfi
3.7. Ускорения точек тела при плоском движении
Перейдем теперь к определению ускорений точек плоской
фигуры. Выше было показано (см. § 3.3), что при движении пло-
плоской фигуры в любой момент времени справедливо соотношение
C.2) между скоростями двух ее точек. Продифференцировав его
по времени, получим
dvB dvA dvBA
~~ ¦ + ¦
л л
л
98

dvR _ dvA _
Здесь —— = ав, —— = aA — ускорения точек В и А относи-
dt dt
dvBA _
тельно неподвижной системы координат; —— = аВА — ускоре-
dt
ние точки В при вращательном движении плоской фигуры вокруг
подвижной оси, проходящей через полюс А перпендикулярно
плоскости фигуры, или просто вокруг полюса .4.
Таким образом,
Si^+SJM» ¦ C-6)
т. е. ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском
движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения
этой точки при вращательном двиоюении плоской фигуры вокруг
полюса.
Учитывая, что vM = со х АВ, найдем
dvBA d _ —ч dl5 — _ dAB
aRA=—— =—(<oxAB) = xAB + cox = •
BA dt dr J dt dt C.7)
dco _
где = 8 —угловое ускорение тела при плоском движении.
dt
Оценивая слагаемые в соотношении C.7), отмечаем, что
ускорение точки аВА при вращательном движении плоской
фигуры вокруг полюса, как и в случае вращения тела вокруг
неподвижной оси, состоит из касательной и нормальной со-
составляющих:
аВА =8х]45, аВА =юх(юх^5) = шхуА4, C.8)
модули которых
' \A=eAB9anBA=G>2AB. C.9)
Касательное ускорение аВА направлено перпендикулярно
отрезку АВ в сторону, указанную дуговой стрелкой 8
(рис. 3.10, а). Нормальное ускорение а^ направлено от точки В
к полюсу А. Таким образом,
99

= А5л/е2+со4.
C.10)
Обозначив угол между ускорением аВА и отрезком АВ через
а, найдем
C.11)
Угол а постоянен для заданных со и е, т. е. в данный мо-
момент времени, и не зависит от положения точек тела.
Рис. 3.10
Как и при определении скоростей точек движущейся пло-
плоской фигуры, в необходимых случаях рассматривают план уско-
ускорений точек фигуры. На рис. 3.10, б построен в масштабе много-
многоугольник ускорений.
Пример 3.3. Колесо радиусом R катится по неподвижной прямой
(рис. 3.11). Известны ускорение центра колеса ас, угловая скорость со и
угловое ускорение е . Определить в данный момент времени ускорения точек
А, В и Р, расположенных на концах вертикального и горизонтального диамет-
диаметров обода колеса.
100

У{
о
/
вл пс
V
А]
а\
г
зс
С ^с
•
.) j
—п Ш
аРС/
аАС
X
Рис. 3.11
Решение. Примем за полюс точку С, ускорение которой задано. Тогда, со-
согласно C.6) и C.8), ускорение точки А
где a\c=eCA = eR; апАС = со2СА = со2/?.
Ускорение о^с перпендикулярно отрезку С А и направлено в сторону, ука-
указанную дуговой стрелкой 8 , а ~а\с направлено от точки А к полюсу С. Постро-
Построив для точки А план ускорений, входящих в правую часть исходного равенства,
найдем искомый вектор как вектор аА (см. рис. 3.11). Его модуль
aA=yj(ac+axACJ+(anACJ =yj(ac +etfJ+co4/?2 .
Рассуждая аналогично, находим для точек В и Р соответственно:
ахвс=гСВ = гЯ; апвс = со2СВ = со2R ;
ав =yj(ac +anBCJ+(aACJ =^(ас +@2/?J +?2Я
o2D2
= со2 PC = со2/?;
aP=J(ac-axPCJ+(anPCJ =A/(ac-e/?J+co4/?2 .
В частном случае, если ас = аРС = ?/?, то аР = со2/? = а?с . Этот результат
возможен, очевидно, когда колесо катится по неподвижной прямой без сколь-
скольжения, то есть когда МЦС колеса совпадает с точкой контакта его с основанием —
точкой Р.
Таким образом, ускорение точки Р колеса при его качении по неподвижному
основанию не может быть равно нулю, поскольку нормальная составляющая
ускорения аРС = со2/? имеет ненулевое значение.
101

3.8. Мгновенный центр ускорений
При определении скоростей точек плоской фигуры было
установлено, что в каждый момент времени существует такая
точка Р фигуры (МЦС), скорость которой равна нулю. Пока-
Покажем, что в каждый момент времени существует точка фигуры,
ускорение которой равно нулю. Такая точка называется мгно-
мгновенным центром ускорений (МЦУ). Обозначим ее через Q.
Рассмотрим плоскую фигуру, совершающую движение в
плоскости рисунка (рис. 3.12). Примем за полюс какую-либо
точку А, модуль и направление ускорения аА которой известны
в рассматриваемый момент времени. Пусть в этот момент вре-
времени известны угловая скорость со и угловое ускорение ? фи-
фигуры. Из формулы C.6) следует, что точка Q будет МЦУ, если
аА + я од = 0, т. е. когда аА = -а^ . Так как вектор aQA состав-
составляет с линией AQ угол а (tg а = е/со2 ), то параллельный ему
вектор аА направлен к линии, соединяющей полюс А с точкой
Q, также под углом а (см. рис. 3.12).
О
Ф<0
Рис. 3.12
102

Проведем через полюс А прямую MN, составляющую с век-
вектором его ускорения угол а, откладываемый от вектора аА в
направлении дуговой стрелки 8. Тогда на луче AN найдется точ-
точка <2, для которой аА = -я?д •
Поскольку, согласно (ЗЛО), я^д =A(?V82 4-со4 , то точка Q
(МЦУ) будет отстоять от полюса А на расстоянии
AQ= . ' Л| =. C.12)
V82+C04
Таким образом, в каждый момент движения плоской фигу-
фигуры, если со и 8 не равны нулю одновременно, имеется единст-
единственная точка этой фигуры, ускорение которой равно нулю. В
каждый последующий момент времени МЦУ плоской фигуры
будет находиться в различных ее точках.
Если МЦУ — точку Q выбрать за полюс, то ускорение лю-
любой точки А плоской фигуры
а А = aQ + aAQ = aAQ,
так как aQ = 0. Тогда
C.13)
Ускорение аА составляет с отрезком QA, соединяющим эту
точку с МЦУ, угол а, откладываемый от QA в сторону, противо-
противоположную направлению дуговой стрелки углового ускорения 8
(см. рис. 3.12).
Ускорения точек фигуры при плоском движении пропорцио-
пропорциональны расстояниям от МЦУ до этих точек (см. C.13)).
Таким образом, ускорение всякой точки фигуры при. ее плос-
плоском движении определяется в данный момент времени так лее,
как и при вращательном движении фигуры вокруг МЦУ.
Выше (см. пример 3.3) было показано, что при качении ко-
колеса по прямой без скольжения ускорение его МЦС не равно
нулю. Следовательно, в общем случае МЦС и МЦУ являются
разными точками плоской фигуры.
Рассмотрим случаи, когда положение МЦУ можно опреде-
определить с помощью геометрических построений.
юз

1. Пусть известны направления ускорений двух точек пло-
плоской фигуры, ее угловые скорость и ускорение (рис. 3.13). Тогда
МЦУ лежит на пересечении прямых линий, проведенных к век-
векторам ускорений точек фигуры под одним и тем же острым уг-
углом
g
<x = arctg—т-*0,
со2
отложенным от векторов ускорений точек в направлении дуговой
стрелки углового ускорения.
Рис. 3.13
2. Пусть известны направления ускорений хотя бы двух то-
точек плоской фигуры, ее угловое ускорение 8 = 0, а угловая ско-
скорость со*0. Это возможно, например, когда плоская фигура
вращается в своей плоскости с постоянной угловой скоростью
или е = 0 в какой-либо момент времени. Тогда
tga = s/oo2 =0, a = 0,
и МЦУ лежит в точке пересечения прямых линий, по которым
направлены ускорения ее точек (рис. 3.14), а сами ускорения на-
направлены к этому центру, так как они представлены лишь нор-
нормальными составляющими от вращения фигуры вокруг МЦУ.
Следовательно, расстояния от них до МЦУ будут
104

У i
о
Рис. 3.14
У {
О
Ф<0
Рис. ЗЛ5
3. Пусть известны направления ускорений хотя бы двух то-
к плоской фигуры, ее угловая скорость со = 0, а угловое уско-
ние е*0. Это возможно, когда в процессе плоского движения
105

тела меняется направление его вращения. Поскольку
tga = e/(x>2 =oo, угол a — прямой. Следовательно, МЦУ лежит
на пересечении перпендикуляров, проведенных из точек фигуры
к векторам их ускорений (рис. 3.15). Расстояния от точек, уско-
ускорения которой известны, до МЦУ будут
AQ = aA/s,BQ = aB/s
(см. C.12)).
3.9. Способы вычисления углового ускорения тела
при плоском движении
Из C.7) следует, что для определения ускорения произволь-
произвольной точки плоской фигуры необходимо знать угловое ускорение
тела 8 . Рассмотрим некоторые способы его нахождения.
1. Угловое ускорение можно определить дифференцирова-
дифференцированием по времени угловой скорости или угла поворота плоской
фигуры, если они заданы как функции времени:
Причем, если в данный момент времени алгебраическое зна-
значение углового ускорения тела ф>0, то направление дуговой
стрелки 8 совпадает с принятым положительным направлением
отсчета угла поворота ср, если же ф < О — то противоположно
ему.
Во многих задачах зависимость угла поворота или угловой
скорости данного тела рассматриваемой системы от времени
неизвестна, но ее можно установить по параметрам движения
других тел этой системы, известным в рассматриваемый момент
времени. Например, в планетарном механизме (рис. 3.16) извес-
известен закон изменения угловой скорости С02=@2@ водила О А,
Требуется определить угловое ускорение ех планетарного коле-
колеса. Поскольку обкатывание его происходит без скольжения, то
его МЦС лежит в точке Р контакта колес. Следовательно,
_vA _ АО (. 1С
^"АР"®2 г
откуда
106

d(Ox d@2 (л
L = 4 1
dt dt{
л R
=?2 1 + —
Рис. 3.16
2. Угловое ускорение можно определить, зная вектор скоро-
скорости какой-либо точки плоской фигуры и положение ее МЦС.
Пусть известны скорость v A и расстояние от точки А до МЦС АР
как функции времени vA = v^@; АР = AP(t). Тогда
co=vA/AP.
Дифференцируя это соотношение по времени, получаем
8 =
1
АР
dvA
dt
dt{AP
Если АР = const (качение колеса радиусом R без скольжения,
точка А — центр колеса), то
1
АР
dvA
dt
R
3. Угловое ускорение плоской фигуры можно найти по урав-
уравнению, связывающему известные ускорения двух точек плоской
фигуры,
107

=аА +al
"В ~"А ^"ВА
Записывая данное равенство в проекциях на ось, перпендикуляр-
перпендикулярную вектору ускорения ав, и считая аА и со известными, полу-
получаем уравнение с одним неизвестным \ахВА\. Решив его относи-
тельно
ахВА , находим
8 =
а
ВА
ВА
Пример 3.4. Определить угловое ускорение е2 линейки АВ эллипсографа
(рис. 3.17), если в рассматриваемый момент времени, угловые скорость щ и
ускорение е1 кривошипа ОС известны, а размеры звеньев и положение меха-
механизма заданы.
\\\\\\\\
\\\\\\\\
Рис. 3.17
Решение. Так как ускорение шарнира С, по сути, задано, примем точку С за
цолюс, участвующей в плоском движении линейки АВ. Тогда, согласно C.14),
ав = ас +авс = апс +а^авс +^с.
В этом уравнении векторы о?, ~ахс и авс известны по модулю и направле-
направлению. Вектор 5*2 по модулю \а? = oof • ОС и направлен к оси вращения криво-
кривошипа O{z) . Вектор 5? по модулю равен 3? = гх • ОС и направлен в соответ-
соответствии с направлением дуговой стрелки углового ускорения еР Так как
108

vc =C01OC = 0JCP2, где Р2 — МЦС линейки АВ, ОС = СР2 и GJ =
= vc /CP2 =* ОС• G^ /ОС = COj, то, следовательно вектор авс по модулю
fc- = О^ВС = CofOC и направлен от точка 5 к полюсу С ). Векторы ав и
а^с известны лишь по направлению (а^с перпендикулярен ВС, а ав паралле-
параллелен оси Оу) (см. рис. 3.17). Спроецировав упомянутое векторное уравнение на
ось Ох, перпендикулярную неизвестному вектору ав, и полагая, что дуговая
стрелка углового ускорения ?2 линейки направлена против направления дви-
движения часовой стрелки, найдем
0 = -апс cos(p+tfx? sin<p+tf2c cos(p-axBC sincp.
(Здесь в силу принятого направления дуговой стрелки е2 проекция а1С на ось
Ох будет отрицательной.) Отсюда
а1с = Кс ~anc)ctgq+al =атс>0 (апвс = апс).
Поскольку а\с = г2ВС = е20С (ВС = ОС),
то
Направление дуговой стрелки углового ускорения линейки эллипсографа
определяется установленным знаком а^. Так как авс > 0, то это означает, что
выбранное ранее направление углового ускорения ?2 вернр, т. е. его дуговая
стрелка действительно в данный момент времени направлена против направле-
направления движения часовой стрелки.

Глава 4
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ
НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
4.1. Число степеней свободы. Углы Эйлера.
Уравнения вращения
Движение твердого тела называется вращением вокруг
неподвижной точки, если во все время движения одна и та же
точка твердого тела остается неподвижной. Вращение твердо-
твердого тела вокруг неподвижной точки называют сферическим дви-
движением, поскольку траектория любой точки тела располагается
на поверхности сферы с центром в неподвижной точке тела.
Положение свободного твердого тела можно определить
тремя точками, не лежащими на одной прямой и неизменно свя-
связанными с телом. Поскольку на девять координат этих точек на-
наложено три ограничения, выражающих неизменность расстояний
между ними, можно сделать вывод, что число независимых пара-
параметров, задающих положение свободного тела в пространстве,
а значит, и число степеней его свободы, равно шести.
Если во время движения твердого тела одна и та же его точ-
точка остается неподвижной, то число степеней свободы такого тела
уменьшится по сравнению со свободным на три единицы. Следо-
Следовательно, тело, совершающее вращение вокруг неподвижной
точки, имеет три степени свободы, и для оценки его положения и
движения необходимо задать три независимых параметра (коор-
(координаты). Сделать это можно различными способами.
Например, в качестве таких параметров могут быть введены
предложенные А. Н. Крыловым так называемые корабельные
углы, определяющие положение тела (корабля) относительно
системы координат, связанной своим началом с его центром
110

тяжести С. Пусть система координат CXYZ (рис. 4.1), жестко свя-
связанная с кораблем, в исходном положении совпадает своими
осями с осями неизменного направления неподвижной системы
координат Cxyz. Тогда, если ось СХ направлена от кормы к носу
корабля, ось CY— к его левому борту, а ось CZ образует с ними
правую систему координат, то углы Крылова будут определены
следующим образом: угол дифферента \|/ — угол между осью
Сх и линией СК пересечения координатных плоскостей Cxz и
CXY; угол рыскания (р — угол между линией СК и осью СХ и,
наконец, угол крена S — угол между осью CZ и линией СМ пе-
пересечения плоскостей Cxz и CZy. Зная эти углы для каждого мо-
момента времени, можно всегда найти положение системы коорди-
координат CXYZ, а следовательно, и положение тела (корабля),
скрепленного с ней, относительно неподвижной системы коор-
координат Cxyz.
Mi
Рис. 4.1
В тех случаях, когда угловая скорость вращения в одном на-
направлении значительно больше угловых скоростей вращений в
ill

двух других направлениях (генераторы, моторы, турбины, гиро-
гироскопы), положение тела, как правило, определяется углами Эйле-
Эйлера: углом прецессии \у , углом нутации 0, углом собственного
вращения ср.
Чтобы задать эти углы, представим себе твердое тело, вра-
вращающееся вокруг неподвижной точки О (рис. 4.2). Введем не-
неподвижную систему координат Oxyz, имеющую начало в точке О.
Жестко свяжем с телом вторую, подвижную систему координат
OXYZ с началом в той же точке. Чтобы определить положение
твердого тела в неподвижной системе координат Oxyz, достаточ-
достаточно определить в ней положение неизменно связанной с телом
подвижной системы координат OXYZ.
Рис. 4.2
Линию ОК пересечения координатных плоскостей Оху (на
рис. 4.2 изображена в виде заштрихованного овала) и OXY (огра-
(ограничена белым оралом) назовем линией узлов. Тогда угол прецес-
прецессии \j/ определяет положение линии узлов ОК относительно не-
неподвижной координатной оси Ох. Для изменения этого угла тело
должно вращаться вокруг неподвижной оси Oz, называемой осью
прецессии. Угол нутации 6 определяет положение подвижной
112

оси OZ относительно неподвижной Oz и равен углу между этими
осями. Изменение угла 6 сопровождается вращением тела вокруг
линии узлов ОК, называемой осью нутации. Наконец, угол соб-
собственного вращения ф характеризует вращение тела вокруг оси
OZ, называемой осью собственного вращения. В подвижной
плоскости OXY это угол между линией узлов ОК и подвижной
осью ОХ.
Положительное направление отсчета углов Эйлера ц/, 0 и
Ф противоположно направлению движения часовой стрелки,
если смотреть на поворот тела с положительных направлений
осей Oz, OK и OZ соответственно.
Углы Эйлера являются независимыми параметрами, харак-
характеризующими положение тела с одной неподвижной точкой от-
относительно неподвижной системы координат. Они широко ис-
используются в теории гироскопов. Движение гироскопа —
симметричного тела, имеющего неподвижную точку на своей оси
симметрии, в общем случае можно представить состоящим из
трех движений (рис. 4.3): вращения с большой угловой скоро-
скоростью вокруг оси симметрии (оси собственного вращения), при
котором меняется угол собственного вращения ф; вращения
вместе с осью симметрии вокруг неподвижной оси Oz (оси пре-
прецессии), при котором меняется угол прецессии \|/, и движения
оси симметрии гироскопа относительно линии узлов ОК9 в ре-
результате которого меняется угол нутации 6 между осями OZ и
Oz. При прецессионном движении ось симметрии гироскопа OZ
описывает волнистую коническую поверхность, если же угол
нутации 9 не меняется, то описываемая ею поверхность будет
правильной конической.
При движении твердого тела около неподвижной точки углы
v|/, 9, ф являются некоторыми функциями времени:
vi/=/i(O;e=/2(O;<P=/3(O. D.1)
Эти выражения называются уравнениями вращения твердого
тела вокруг неподвижной точки. Бели уравнения D.1) заданы,
то положение твердого тела относительно неподвижной системы
координат Oxyz может быть определено для любого момента
времени.
9 3ак. 16 113

Рис. 4.3
4.2. Матрица направляющих косинусов.
Траектория точки тела
Пусть Х9 У, Z — координаты произвольной точки Мтела в
подвижной системе координат S, жестко связанной с ним, а лг,
у, z — ее же координаты в неподвижной системе координат So.
Очевидно, что при движении тела координаты Х9 У, Z остаются
постоянными в отличие от координат jc, у, z.
Полагая, что закон движения тела имеет вид DЛ), установим
зависимость координат jc, у, z от времени в явном виде: х = x(t),
у = y(t), z = z(t), что позволит судить о закономерностях движе-
движения точки М относительно неподвижной системы So.
В отношении вектора ОМ воспользуемся формулой (В.72),
устанавливающей взаимосвязь проекций вектора на оси двух
систем координат,
г=Атр, D.2)
114

где г = [х9 у, z]7 9 р = [X, Y, Z]T — проекции вектора ОМ на оси
координат систем So и S соответственно; Ат — матрица, транс-
транспонированная к матрице направляющих косинусов А C х 3 ), за-
задающей преобразование поворота от осей системы So к осям
системы S.
Получим выражение А = А(/), основываясь на взаимном по-
положении четырех систем So, S}, S2, S (рис. 4.4), из которых сис-
системы S] и S2 выполняют вспомогательную роль. Переход от
осей системы So к осям системы 5, осуществляется поворотом
на угол \|/ вокруг оси Oz системы So, от осей системы S} к осям
системы S2 — поворотом на угол 0 вокруг оси Ох] системы S]
и от осей системы S2 к осям системы S —' поворотом на угол ф
вокруг оси Oz2 системы S2.
Каждому из трех преобразований систем координат соответ-
соответствуют матрицы направляющих косинусов А^, Ае, Аф:
Сф 8ф О
- $ф сф О
О 0 1
(Здесь для краткости записи тригонометрических функций sin и
cos углов Эйлера вместо самих функций указаны лишь первые
буквы их названий.)
Тогда*
-SV|/
0
С\\)
0
0
0
1
1
0
0
0
ев
-S0
0"
S0
с9
С1|/8ф-8\)/С0Сф -
sv|/s0
— cvj/sG
c0
D.3)
При заданном законе сферического движения D.1) выраже-
выражение D.3) позволяет сформировать зависимость А ^ А(/), опреде-
Следует обратить внимание на порядок расположения сомножителей в
произведении матриц АфАвА4|/, поскольку он влияет на результат перемножения.
9*
115

ляющую искомый закон движения и траекторию выбранной точ-
точки тела: г(t) = Ат (/)р .
У\
О
xl9x2
Рис. 4.4
4.3. Мгновенная ось вращения. Аксоиды
Положение твердого тела в пространстве определяется по-
положением любых трех его точек, не лежащих на одной прямой.
При неподвижной точке О положение тела определится поло-
положением любых двух других точек, не лежащих на одной прямой
с точкой О. Перемещение твердого тела с неподвижной точкой
116

из одного заданного положения в другое может быть осуществ-
осуществлено различными способами, в частности путем изменения уг-
углов Эйлера при последовательных поворотах вокруг соответст-
соответствующих осей.
Докажем теорему о конечном перемещении твердого тела.
Теорема Эйлера-Даламбера. Самое общее конечное пере-
перемещение твердого тела, имеющего неподвиэюную точку О, есть
вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через эту точку.
Доказательство. Возьмем в теле две точки Аи В, равноуда-
равноудаленные от неподвижной точки О, но не лежащие с ней на одной
прямой. Проведем через точки А и В сферу с центром в непод-
неподвижной точке О (рис. 4.5). Пусть в результате конечного переме-
перемещения тела точки Аи В займут положения Ах и Вх.
Рис. 4.5
Соединим дугами больших кругов, проведенных из непод-
неподвижной точки, между собой А и В, Ах и В{,Аи Ах, В и Вг. Оче-
Очевидно, АВ = АХВ{ (как расстояния между точками твердого тела).
117

Из середин дуг ВВХ и ААХ (точек D и С) проведем к этим дугам
сферические перпендикуляры — дуги больших кругов, гаюско-
сти которых перпендикулярны плоскостям цугААх и ВВХ . Пер-
Перпендикуляры пересекутся в точке Р сферы. В построенных таким
образом сферических треугольниках АРАХ и ВРВХ АР = АХР9 а
ВР = ВХР как дуги, имеющие равные проекции. Следовательно,
сферические треугольники АР В и АХРВХ равны (по трем сторо-
сторонам), и при повороте тела вокруг оси, проведенной через точки Р
и неподвижную О, сферический треугольник АРВ9 перемещаясь
по сфере, совпадет с треугольником АХРВХ. Что доказывает
теорему.
Ось ОР называют осью конечного вращения. Для любых
двух положений тела имеет место своя ось конечного вращения,
проходящая через неподвижную точку. Ось, вокруг которой сле-
следует вращать тело для перевода его из одного положения в дру-
другое, бесконечно близкое первому, называют мгновенной осью
вращения.
Мгновенная ось вращения представляет собой геометриче-
геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент вре-
времени равны нулю. Отсюда следует, что движение твердого тела
вокруг неподвижной точки можно представить непрерывной по-
последовательностью его вращений вокруг мгновенных осей вра-
вращения, проходящих через неподвижную точку. Положение мгно-
мгновенной оси вращения тела не остается неизменным: в различные
моменты времени она занимает различные положения в про-
пространстве, но всегда проходит через неподвижную точку.
Геометрическое место мгновенных осей вращения в про-
пространстве неподвижных осей координат называется неподвиж-
неподвижным аксоидом и является конической поверхностью (в частном
случае правильной) с вершиной в неподвижной точке. Геометри-
Геометрическое место мгновенных осей вращения в движущемся теле на-
называется подвижным аксоидом. Как и неподвижный, подвиж-
подвижный аксоид в общем случае сферического движения тела
представляет собой коническую поверхность с вершиной в не-
118

подвижной точке тела. При вращении твердого тела связанный с
ним подвижный аксоид перекатывается по неподвижному так,
что в каждый момент времени он касается неподвижного аксоида
по общей образующей ОР, являющейся мгновенной осью враще-
вращения тела.
4.4. Мгновенные угловая скорость и угловое ускорение
На основании теоремы Эйлера-Даламбера о мгновенной оси
вращения тела положим, что за малый промежуток времени At
поворот тела вокруг оси характеризуется углом Д7. Введем еди-
единичный вектор Ку, лежащий на этой оси вращения тела и на-
направленный так, что с конца его поворот тела на Дер виден про-
происходящим против направления движения часовой стрелки.
Тогда мгновенную угловую скорость тела в сферическом движе-
движении как характеристику изменения угла его поворота вокруг
мгновенной оси вращения можно определить как:
±КУ. D.4)
Вектор со лежит на мгно-
мгновенной оси вращения тела и его
считают приложенным в непод-
неподвижной точке. Поэтому мгновен-
мгновенная ось вращения тела есть пре-
предельное при At—>0 положение
оси, вокруг которой был совер-
совершен поворот на угол Д7
(рис. 4.6). Модуль угловой ско-
скорости
со=
lim^-
Д*->0 Д/
В приведенных формулах в
общем случае предел используе-
используемого отношения Ay/At нельзя
Рис. 4.6
119

заменить производной, так как угол поворота вокруг мгновенной
оси вращения не выражается скалярной функцией времени и
дифференциала этого угла не существует*.
Очевидно, что тело с одной неподвижной точкой в общем
случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угло-
угловых скоростей которых в случае использования углов Эйлера
определяются следующим образом: ук — вектор угловой ско-
скорости прецессии; вп — вектор угловой скорости нутации;
фАГ — вектор угловой скорости собственного вращения, где к,
п , К — единичные векторы осей Oz, OK и OZ соответственно
(рис. 4.7). Поскольку названные оси пересекаются в
точке О, то, как будет показано в гл. 7 этого раздела, абсолют-
абсолютное совокупное Движение тела представляет собой в каждый
момент времени вращение вокруг мгновенной оси, проходящей
со
Рис. 4.7
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси (частный случай
сферического движения тела) этот предел равен производной от угла поворота
тела вокруг его оси вращения (см. гл. 2).
120

через точку пересечения названных осей, с мгновенной угловой
скоростью со, равной векторной сумме угловых скоростей состав-
составляющих движений:
Тй = (рК + 6n+\j/Jt. D.5)
Ось, совпадающая с вектором со, является мгновенной осью
вращения твердого тела вокруг неподвижной точки О.
Мгновенная угловая скорость меняется с течением времени
не только по величине, но и по направлению. Это изменение оце-
оценивается производной по времени и называется мгновенным уг-
угловым ускорением тела:
_
? =
dt
(О
Рис. 4.8
Вектор е направлен параллельно касательной к годографу
вектора угловой скорости со и не совпадает с вектором со из-за
8 Зак. 16
121

изменения направления последнего, в чем нетрудно убедиться,
представив вектор со как произведение со на единичный вектор
аH, т. е. ю = соE0. Тогда
d , __ ч d<0—
или
ё = ё, + ё2,
где ё1 = — с50 — составляющая ё, направленная вдоль мгновен-
dt
ной оси вращения и характеризующая изменение со по величине;
0 -
s2 =со —составляющая 8, перпендикулярная вектору со0 и
dt
характеризующая изменение со по направлению (^J-ej).
Условимся вектор мгновенного углового ускорения 8 от-
откладывать от неподвижной точки О тела (рис. 4.8).
4.5* Скорости точек тела. Кинематические
уравнения Эйлера
Поворот тела за малый промежуток времени А/ на угол Ау
вокруг мгновенной оси вращения приводит к изменению прове-
проведенного из неподвижной точки тела радиус-вектора г на величи-
величину AF. Это изменение, если пренебречь изменением положения
мгновенной оси вращения тела за рассматриваемый малый про-
промежуток времени At, с точностью до величин второго порядка
малости может быть выражено так (см. рис. 4.6):
а его модуль
Дг = Ay r sin Р = Ay h.
Разделим обе части приведенной зависимости на А/ и найдем
пределы, устремив А/ к нулю:
limfJCT]limf
Д/ д/->о^ At J Д*-><\ А/
122

Учитывая D.4), найдем, что соотношение, устанавливающее
скорость точки тела в случае его сферического движения, при-
принимает вид формулы Эйлера*
v = coxF. D.6)
Модуль скорости точки тела v = oo&, где h — кратчайшее
расстояние от рассматриваемой точки тела до мгновенной оси
вращения (рис. 4.9). Следовательно, как и при вращении тела
вокруг неподвижной оси, при вращательном движении вокруг
неподвижной точки скорости точек тела в данный момент вре-
времени пропорциональны расстояниям от точек до мгновенной
оси вращения тела.
Рис. 4.9
Вектор скорости точки тела перпендикулярен плоскости, в
которой находятся векторы со и г (заштрихованная плоскость
* Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси формула Эй-
Эйлера выведена в гл. 2.
8* 123

(йх
X
J
Y
К
coz
Z
на рис. 4.9), а следовательно, перпендикулярен h и направлен по
касательной к мгновенной траектории точки в сторону дуговой
стрелки углЬвои скорости тела, вращающегося вокруг мгновен-
мгновенной оси. Найдем вектор V через его проекции на оси подвижной
системы координат OXYZ.
Представив правую часть равенства D.6) в виде определите-
определителя, получим
v =
где / , / , К — орты подвижной системы координат OXYZ; (Ох ,
cor, coz — проекции вектора мгновенной угловой скорости на
подвижные оси координат; X, Y, Z — координаты точки тела в
подвижной системе координат.
Развернув этот определитель по элементам верхней строки,
найдем
v = (wrZ -wzY)I + ((OZX -сохZ)J + (coxY -coYX)K .
Таким образом, проекции скорости v точки тела на координат-
координатные оси подвижной системы координат OXYZ будут равны
vx =(OYZ-(DZY;
vY =cozX-coxZ; D.7)
vz =coxF -(OyX.
Установим теперь проекции вектора со, определяемого со-
соотношением D.5), на оси той же подвижной системы координат
OXYZ (рис. 4.10).
Вектор \\fk угловой скорости прецессии разложим предва-
предварительно на две взаимно перпендикулярные составляющие, одна
из которых совпадает с осью OZ и равна \j/cos0, а вторая, равная
\j/sin0, принадлежит плоскости OXY и совпадает с вспомога-
вспомогательной осью OL, составляющей с осью OY угол ф. Тогда,
проецируя последнюю составляющую на оси плоскости, которой
она принадлежит, находим
\\fk =\j/sin9sin(p/+\j/sin6cos(p J
124

Вектор 0« угловой скорости нутации, совпадая с линией
узлов ОК9 располагается в плоскости OXY подвижной системы
координат и составляет с осью ОХ угол ср (см. рис. 4.10). Следо-
Следовательно, для него можно записать
0w = 0coscp/-0sirup J.
И, наконец, вектор угловой скорости собственного враще-
вращения, совпадающий с осью Сытела, будет равен (рК .
Составим вспомогательную таблицу проекций векторов, вхо-
входящих в соотношение D.5) на оси подвижной системы координат:
со
. У к
ей
vj/sinOsincp
Gcoscp
0
со,,
vj/sin9cosq>
-Ssincp
0
coz
\j/cos9
0
Ф
125

Таким образом, искомые проекции вектора угловой скорости
на оси подвижной (скрепленной с телом) системы координат
будут равны
&х =\j/sin6sin(p + Gcos(p;
соу =\j/sin0cos(p-9sin(p; D.8)
(Oz =\j/COS0 + (j).
Полученные соотношения носят название кинематических
уравнений Эйлера. Они устанавливают связь между проекциями
вектора угловой скорости тела ю, углами Эйлера \|/, 6, ф и их
первыми производными по времени.
Подстановка D.8) в D.7) и дает искомые проекции вектора
v на оси координат OXYZ.
Скорости точек тела, лежащих на мгновенной оси
(см. рис. 4.9), в рассматриваемый момент времени равны нулю, и
их проекции на оси координат должны удовлетворять следую-
следующим уравнениям:
coyZ-oozy = 0; <ozX -®xZ = 0; (dxY-g>yX = 0,
или
A = X = A. D.9)
(Ox CDr G)z
Соотношения D.9) являются уравнениями прямых, прохо-
проходящих через начало координат, и представляют собой уравнения
мгновенных осей вращения тела в подвижной системе коорди-
координат. Если величины, входящие в D.9), рассматривать как функ-
функции времени, то эти соотношения будут представлять собой па-
параметрическую форму уравнений подвижного аксоида.
Для неподвижной системы координат Oxyz в формулы D.7)
и D.9) вместо (ох, oor, coz и1, У, Z нужно подставить <ох9 <оу9
coz и х9 у, z, т. е. проекции угловой скорости со и радиус-вектора
F точки тела на неподвижные оси Ox, Оу, Oz.
Если положение мгновенной оси вращения установлено, то
для определения модуля угловой скорости тела со в данный мо-
момент времени достаточно модуль скорости какой-либо точки тела
в тот же момент времени разделить на кратчайшее расстояние от
нее до мгновенной оси вращения тела.
126

Пример 4.1. Найти неподвижный и подвижный аксоиды и угловую скорость
конуса высотой Н и углом полураствора при вершине а (рис. 4.11), если конус
катится по горизонтальной неподвижной плоскости без скольжения, его верши-
вершина О неподвижна, а скорость v центра С его основания постоянна.
Рис. 4.11
Решение. Так как движение конуса происходит без скольжения, то скорость
его точки А контакта с неподвижным основанием равна нулю. Неподвижной
точкой является и точка О. Следовательно, прямая ОА — мгновенная ось вра-
вращения конуса.
Геометрическое место мгновенных осей вращения в неподвижной системе
координат Oxyz — плоскость Оху, по которой катится конус (неподвижный
аксоид). В подвижной же системе, связанной с конусом, геометрическое место
мгновенных осей образует коническую поверхность, совпадающую с поверхно-
поверхностью самого конуса (подвижный аксоид).
Так как v = юЛ, a h = СЕ = #sina , то
0) = .
Я sin a
Если вектор скорости точки С конуса направлен в сторону, указанную на
рис. 4.11, то вектор его мгновенной угловой скорости направлен от вершины
конуса к основанию по мгновенной оси вращения ОА.
Учитывая, что скорость какой-либо точки тела, с одной сто-
стороны, есть первая производная по времени от ее радиус-вектора
127

г , проведенного из неподвижной точки тела, а с другой — опре-
определяется векторной формулой Эйлера D.9), можно записать
— = юхг. D.10)
dt
Поскольку модуль радиус-вектора г — расстояние между
двумя точками М и О твердого тела — постоянен (см. рис. 4.9),
равенство D.10) можно рассматривать как формулу для вычисле-
вычисления производной по времени от вектора постоянного модуля,
изменение которого сводится лишь к его повороту вокруг непод-
неподвижной точки. Если взять в качестве таких векторов единичные
векторы /, J, Кт подвижной системы координат OXYZ, вра-
вращающейся с угловой скоростью со (см. рис. 4.9), то
= сох/; = coxj; = ШхК. D.11)
dt dt dt
Формулы D.11) называют формулами Пуассона.
4.6. Ускорения точек тела
Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвиж-
неподвижной точки О, и выберем в нем какую-либо точку М (рис. 4.12).
Если в данный момент времени скорость точки тела равна v , то
ее ускорение может быть выражено формулой
a=dv/dt.
Полагая v = со х г , запишем
_ dv d _ „ do5 _ __ dr
a = — = —(coxr) = xr + cox — .
dt dt dt dt
Поскольку d7d/dt = г, a dr/dt = v = coxr , то
tf = exr + coxv. D.12)
Установленное соотношение называют формулой Ривальса.
Она дает представление о распределении ускорений точек в
твердом теле, движущемся вокруг неподвижной точки. Ускоре-
Ускорение а есть сумма двух ускорений. Первое
aBp=sxr D.13)
называют вращательным ускорением, второе
128

осестремительным ускорением точки. Таким образом,
а = апп + апг.
D.14)
D.15)
Рис. 4.12
Вектор вращательного ускорения явр направлен перпенди-
перпендикулярно к плоскости, образованной векторами 8 и г (заштрихо-
(заштрихованная плоскость на рис. 4.12), так, что с конца его поворот пер-
первого вектора до совмещения его со вторым виден происходящим
против направления движения часовой стрелки. Модуль вектора
явр равен
явр = |е х г | = б г sin(e , г ) = 8 Л,,
D.16)
где hx =rsin(e , r) — кратчайшее расстояние от точки до линии,
вдоль которой направлен вектор углового ускорения 8 в данный
момент времени (см. рис. 4.12).
Вектор осестремительного ускорения а^ (см. рис. 4.12),
являясь результатом векторного произведения с5 и v , перпенди-
129

кулярен к плоскости, образованной последними, и направлен от
точки Мпо перпендикуляру, проведенному из нее на мгновенную
ось вращения тела.
Модуль вектора аос, учитывая D.6) и то, что aoc±v , равен
л
аос = |ш х v| = соvsin(co , v) = соv = со2А. D.17)
Итак, ускорение точки тела, вращающегося вокруг непод-
неподвижной точки, равно векторной сумме вращательного и осе-
стремительного ускорений.
Модуль ускорения а равен
а = \ авР + Яос + 2^вРаос C0S(^bP ^oc) • D-18)
Отметим, что формула Ривальса D.12) напоминает формулу
B.2) для ускорения точки тела, вращающегося вокруг неподвиж-
неподвижной оси. Вращательному и осестремительному ускорениям здесь
соответствуют тангенциальное ах =sR и нормальное ап =со2Л
ускорения.
4.7. Вычисление углового ускорения тела
Для вычисления ускорения произвольной точки тела, вращаю-
вращающегося вокруг неподвижного центра, необходимо знать его угловое
ускорение 8. Рассмотрим один из способов его определения.
Если угловая скорость, а значит, и ее проекции сох, coy, coz
на неподвижные оси координат являются известными функциями
времени, то проекции углового ускорения тела на те же оси оп-
определяются следующим образом:
Зная проекции вектора 8, найдем его модуль и направление в
пространстве (косинусы тех углов, которые вектор 8 составляет с
осями координат).
Если угловая скорость постоянна по модулю, то
130
~ ^^ — — ГА ОЛЧ
8 = = cot, х со, D.20)
dt

где оос, — угловая скорость дифференцируемого по времени век-
вектора угловой скорости а>.
Рассмотрим пример вычисления угловой скорости и углово-
углового ускорения тела, а также скоростей и ускорений его точек при
вращении тела вокруг неподвижного центра.
Пример 4.2. Правильный конус с углом при Ьершине 2а и высотой Н ка-
катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения, при этом
вершина О конуса остается неподвижной, а центр С его основания движется по
окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, с постоянной скоро-
скоростью v (рис. 4.13). Найти угловую скорость и угловое ускорение конуса, скоро-
скорости и ускорения точек А и В его основания.
Рис. 4.13
Решение. Введем неподвижную систему координат Oxyz с началом в точке
О конуса и осью Оу, направленной в данный момент по его образующей ОА,
вдоль которой конус касается неподвижной плоскости.
Поскольку конус катится без скольжения, то скорости всех его точек, лежа-
лежащих на образующей ОА, равны в данный момент нулю. Следовательно, мгно-
мгновенная ось вращения конуса совпадает с образующей ОА и направлена вдоль
оси Оу.
Установив положение мгновенной оси вращения, найдем модуль мгновен-
мгновенной угловой скорости конуса. Поскольку
vc=<oCD,
где CD = ОС sin a — кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси, то
Vr V
G) = -
CD Я sin a
= const.
131

Учитывая заданное направление вектора vc = v , отложим от точки О вдоль
мгновенной оси ОА вектор со так, чтобы видеть с его конца вращение конуса
вокруг этой оси в направлении, противоположном направлению движения часо-
часовой стрелки (см. рис. 4.13).
Скорость точки A vA - 0, так как в данный момент времени эта точка при-
принадлежит мгновенной оси вращения конуса.
Скорость точки В
у
vB =о)Лд =(дВЕ = :—2//sina = 2v .
//sin a
Вектор vB перпендикулярен плоскости ОБЕ и в соответствии с направлени-
направлением вращения конуса вокруг мгновенной оси ОА направлен параллельно оси Ох
неподвижной системы координат.
Поскольку мгновенная угловая скорость со конуса постоянна, его угловое
ускорение определяется как производная от вектора постоянного модуля D.20):
_ (Ш _ _
б = — = сой х со .
dt
Кратчайшее расстояние от точки С до оси Oz равно CL « ОС cosa = Я cosa и
Ш' CL Я cosa '
Так как ©Дю , то
2v2
6 = COgOOSil^OO^ СО) = СОеСО =
Я2 sin 2a'
Ускорение какой-либо точки конуса определим в соответствии с D.15) как
геометрическую сумму вращательного и осестремительного ускорений.
Для точки А конуса
У а*/=гОА; a? A
Вектор аъ/ направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы е
и ОА, т. е. параллельно оси Oz вверх. Поскольку vA = 0, то а* = 0 .
Таким образом,
Для точки В конуса
2v2
Я2 sin 2a
а$ =ЪхОВ\
2v2 Я
Я2 sin 2а cosa
Я
cosa
V
Я cos2
V
Ясов2
2
a sin a
2
a sin a
132

v2 2v2
af = (O2BE flHi
Я2зт2а Я sin а
Вектор agp перпендикулярен плоскости, образованной в точке В векторами
8, ОБ, принадлежит плоскости Oyz, а его направление определяется вектор-
векторным произведением гхОВ.
Вектор а™ перпендикулярен плоскости, образованной в точке В векторами
со, vB, и направлен от точки В к мгновенной оси вращения конуса
(см. рис. 4.13).
Полное ускорение точки В найдем как диагональ параллелограмма, постро-
построенного на векторах af , ajp :
cos a cos a

Глава 5
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
5.1. Число степеней свободы. Обобщенные координаты.
Уравнения движения
Движение твердого тела относительно рассматриваемой
системы отсчета So на интервале времени (f,, t2) называется
общим случаем движения, если на этом интервале времени нет
геометрических ограничений на положение и ориентацию тела. В
данном случае в отличие от ранее рассмотренных движений
предполагается, что тело может геометрически свободно дви-
двигаться в пространстве. Свобода движения тела здесь понимается
не как отсутствие препятствующих сил, а как принципиальная
возможность осуществления любого варианта движения тела из
занимаемого им положения. Такую возможность твердое тело
имеет, например, находясь в пустоте или в деформируемой сре-
среде — газе, жидкости. Если учитывать деформирование поверхно-
поверхностей всех смежных с ним тел в зонах контактов, то движение
твердого тела должно быть также отнесено к случаю общего
движения.
Термин «общий случай движения» дан в связи с тем, что все
иные типы движения твердого тела можно рассматривать как его
частные проявления. Формулы кинематики и динамики общего
случая движения справедливы для любых движений твердого
тела.
Приведем примеры общего случая движения твердого тела:
полеты самолета, ракеты, спутника относительно планеты; кач-
качка судна в воде относительно берегов; галопирование вагона
или подрессоренного корпуса автомобиля относительно грунта
при езде по неровной дороге; вибрация вращающегося ротора,
134

установленного в упругих опорах, относительно корпуса; движе-
движение груза, подвешенного на упругом тросе, при движении стрелы
подъемного крана.
Положение любой точки твердого тела, а следовательно, и
положение самого твердого тела в системе отсчета движения So
определяется положением каких-либо трех фиксированных его
точек, не лежащих на одной прямой, ибо такие точки позволяют
построить в теле базисную систему S с началом в одной из них.
Поскольку в системе S координаты любой точки тела постоянны,
то движение точек тела является следствием движения самой
системы S9 т. е. выбранных базисных точек.
Последнее доказывает, что характеристики движения произ-
произвольной точки полностью определяются движением трех вы-
выбранных базисных точек тела. Поэтому при изложении формули-
формулировок определений частных случаев движения твердого тела
достаточно указывать свойства геометрических ограничений
лишь для его базисных точек. Например, движение тела будет
поступательным относительно системы So, пока хотя бы два из
трех отрезков, соединяющих три базисные точки, не изменяют
своей ориентации в SQ.
Из девяти координат трех базисных точек тела лишь шесть
могут быть независимыми, поскольку длины трех отрезков меж-
между этими точками твердого тела должны сохраняться. Поэтому
положение тела в общем случае движения задается шестью неза-
независимыми переменными параметрами #,,...,#6, называемыми
обобщенными координатами тела. Это означает, что тело имеет
шесть степеней свободы относительно системы So. Большего
числа степеней свободы твердое тело как самостоятельный объект
изучения никогда не имеет.
Возможны различные варианты выбора обобщенных коор-
координат. Для наглядности восприятия в качестве последних обычно
выбирают геометрические параметры — прямолинейные или
криволинейные координаты и углы. Типовой вариант выбора
обобщенных координат для общего случая движения твердого
тела показан на рис. 5.1. Тело здесь изображено в виде прямо-
прямоугольного параллелепипеда, который надо воспринимать как не-
некоторый «кусочек» тела произвольной формы. Помимо основной
135

системы So отсчета движения здесь используются две вспомога-
вспомогательные подвижные системы ?, и S2. С некоторой точкой тела,
например А, связано начало осей системы S}, направления кото-
которых всегда совпадают с направлениями одноименных осей ис-
исходной системы So. При таком условии система S] движется
поступательно относительно системы So. Положение системы
5| относительно So может быть задано, например, с помощью
декартовых координат точки А.
Рис. 5.1
Система S2 с началом в точке А жестко связана с телом. По-
Поэтому любое нетривиальное движение тела (и осей системы S2)
относительно системы S] будет сферическим по определению
этого вида движения. Пространственная ориентация осей систе-
системы S-y относительно системы S} может быть задана, например,
тремя углами Эйлера.
Три декартовы координаты хА9 уАь zA точки А и три угла
Эйлера v|/, Э, ф являются обобщенными координатами тела в
системе So. Представленный вариант обобщенных координат не
является единственным. Начала систем ?, и ?2 можно совмес-
совместить с любой точкой тела. Вместо декартовых координат точки А
136

можно использовать, например, ее цилиндрические координаты,
а вместо углов Эйлера — иную систему углов.
Совокупность уравнений
<7, =/,(') O = U6), E-1)
определяющих зависимость обобщенных координат тела от
времени, называют законом движения тела, или уравнения-
уравнениями его движения, на некотором интервале времени (tl9 t2).
Например:
Информация, заключенная в уравнениях движения E.2),
является исчерпывающей для ^расчета любых кинематических
характеристик движения отдельных точек и пространственной
ориентации тела. Получение информации об общем случае дви-
движения тела в заданных физических условиях в виде E.1) обычно
составляет главную цель задач динамики твердого тела.
Любой вид движения твердого тела можно рассматривать
как частный случай общего движения. Нетрудно убедиться, что
частным случаям законов изменения обобщенных координат
твердого тела E.2) отвечают частные виды движений твердого
тела, в том числе и покой. Так, если углы Эйлера на некотором
интервале времени остаются постоянными, то движение тела со-
соответствует определению поступательного движения. Аналогич-
Аналогично, если координаты точки А остаются постоянными, то движе-
движение тела соответствует определению сферического движения.
Если же остаются постоянными координата zA и два угла Эйлера
v|/, 6(9 = 0), то движение тела соответствует определению плос-
плоского движения, параллельного плоскости осей Оху системы So.
Таким образрм, фиксируя некоторые обобщенные координаты,
можно генерировать различные частные случаи движения тела с
меньшим числом степеней свободы.
Другой вариант сокращения числа степеней свободы твердо-
твердого тела — установление какой-либо функциональной зависимо-
зависимости между двумя или несколькими исходными обобщенными ко-
координатами. Например, будем считать, что при движении тела
137

изменяются лишь две координаты: z A и угол ф, причем их изме-
изменения пропорциональны одно другому, т. е.
zA = г°+ЛФ/Bя).
Тогда движение тела соответствует одностепенному винтовому
движению с шагом винта Я, поскольку за полный оборот тела
(ф = 2л) точка А перемещается вдоль оси Oz на расстояние Я
(рис. 5.2). Закон такого винтового движения задается лишь одной
функцией, например ф = /(/).
z Взаимосвязь между исходными
обобщенными координатами может
иметь более сложный вид, например
при движении тела по поверхности
с непрерывным контактированием.
Аналитическое выражение такой
? i зависимости определяется формой
2[ тела и формой поверхности. Для
i простоты рассмотрим случай дви-
движения круглого тонкого диска —
монеты радиусом R по плоскости
стола (рис. 5.3). Расположим оси Ох
и Оу системы So в опорной плоско-
плоскости, а в качестве точки А системы
S2 возьмем центральную точку
диска, при этом ось AZ системы S2
направим перпендикулярно плос-
плоскости диска. При непрерывном кон-
контактировании тел значение координаты zA будет зависеть от угла
наклона плоскости монеты к плоскости стола:
Рис 5 1
где 0 — угол нутации в группе углов Эйлера, задающих про-
пространственную ориентацию осей системы S2 относительно сис-
системы So. Так как переменные параметры zA и 0 оказались взаи-
взаимозависимыми, то в данном случае движения диск не может
иметь более пяти степеней свободы.
138

о
Рис. 5.3
Вопросы кинематики движения тел произвольной формы по
поверхности без или со скольжением в точках контакта выходят
за рамки данного учебника.
5.2. Траектория произвольной точки тела
Покажем, как рассчитать траекторию произвольной точки
тела, если уравнения его движения записаны в форме E.2). Пусть
такой точкой является точка /?, находящаяся от точки А на рас-
расстоянии /. Радиус-векторы точек В и А в системе So связаны со-
соотношением
гв=гА+АВ. E.3)
Вектор АВ имеет различные проекции на оси координат двух
систем So и S2: в So AB = R=[lxJy,l2]\ а в S2 ~AB = p =
= [/v,/y,/z]T, причем lX9 lY, /z остаются постоянными при
движении тела.
На основании формулы (В.71) запишем связь проекций АВ
на оси координат систем So и52:
? = Атр, E.4)
где Ат — матрица, транспонированная к матрице А направляю-
направляющих косинусов углов между осями систем So, Sx и S2, элементы
139

которой, согласно D.3), могут быть выражены через углы Эйлера,
т.е. А = А[1|/@,в@,Ф@]-
Соотношение E.3) с учетом E.2) и E.4) позволяет получить
в явном виде уравнения движения точки В на заданном интервале
изменения времени V.
гв = хА @/ + У А (t)] + zA (t)k + Ат [ц/@,6@,
Представленное уравнение можно считать параметрической
формой задания траектории точки В относительно системы коор-
координат So.
5.3. Скорость произвольной точки тела
Отметим, что по уравнениям движения E.2) можно рассчи-
рассчитать проекции вектора скорости точки А на оси So:
а также проекции вектора угловой скорости сферического дви-
движения тела относительно системы S} на оси системы координат
S2 (см. формулы D.8)).
Вектор со и его производную по времени 8 = со будем назы-
называть соответственно векторами угловой скорости и углового ус-
ускорения тела в общем случае его движения.
Продифференцировав по времени уравнение E.3), полу-
получим
vB=vA+AB.
Так как АВ является вектором постоянного модуля, его произ-
производную по времени можно вычислить по формуле Эйлера D.6):
АВ = со х АВ.
Тогда
vB =vA +®хАВ. E.5)
При известном законе движения тела (см. E.2)) формула E.5)
позволяет рассчитать скорость произвольной точки В тела для
любого момента времени на заданном интервале времени.
140

Отметим важное свойство, характерное для общего, а сле-
следовательно, и для любого частного случая движения твердого
тела. Докажем, что вектор со , а следовательно, и вектор 8 не за-
зависят от выбора точки А в теле и ориентации осей системы S2 по
отношению к телу.
Предположим, что при выборе, например, точки В в качестве
начала координат системы S2 (с иным направлением'осей по от-
отношению к телу) угловая скорость щ изменения ориентации те-
тела отлична от со . Воспользуемся закономерностью E.5) для раз-
различных случаев выбора начала координат системы S2. Если
начало координат системы 1S2 находится в точке А, то
vB =vA +ыхАВ, если же в точке 5, то vA =vB +7o}xBA.
Суммируя эти равенства для одного и того же момента времени,
приходим к следующему условию:
О = (со - щ) х ~АВ .
Поскольку А и В — произвольные точки тела, это условие вы-
выполняется ЛИШЬ При СО = COj .
5.4. Ускорение произвольной точки тела
Отметим, что по уравнениям движения E.2) можно рассчитать
проекции вектора ускорения точки А на оси координат системы So:
а также проекции вектора углового ускорения сферического движе-
движения тела относительно системы S} на оси координат системы S2:
Дважды продифференцировав по времени уравнение E.3), получим
_ * ав=аА+АВ.
Так как вектор АВ жестко связан с твердым телом и его модуль
постоянен, вторая производная вектора АВ по времени может
быть вычислена по формуле Ривальса D.12):
141

АВ - е х АВ + со х (со х АВ).
Тогда
я*=^+а^+а°<, E.6)
где ajfr -sх АВ и а^ =Шх(юх,42?) — соответственно враща-
вращательное и осестремительное ускорения точки В при ее движении
вокруг точки А вследствие сферического движения тела относи-
относительно системы координат Sx. При известном законе движения
тела (см. E.2)) формула E.6) позволяет рассчитать ускорение
произвольной точки В тела для любого момента времени на за-
заданном интервале.
Обратим внимание на математическую особенность примене-
применения уравнений E.5) и E.6), правые части которых представляют
собой суммы векторов. При геометрическом суммировании этих
векторов не возникают какие-либо методические трудности, одна-
однако при выполнении аналитических расчетов вручную или с помо-
помощью компьютера к операции сложения векторов следует отнестись
неформально. Математическая операция аналитического сложе-
сложения векторов предполагает, что складываемые векторы заданы
своими проекциями на оси координат одной и той лее системы.
Согласно принятым обобщенным координатам и закону
движения тела E.2) векторы vA и аА были заданы проекциями
на оси системы So. В таком случае в формулах E.5) и E.6) ос-
остальные (прибавляемые) векторы должны быть также представ-
представлены в виде проекций на оси системы So. Следует иметь в виду,
что во многих задачах динамики свободного движения твердого
тела векторы со и 8 обычно предполагаются заданными своими
проекциями на оси подвижной системы S2, так как в этой систе-
системе осевые и центробежные моменты инерции тела постоянны.
Поэтому в этих случаях при применении формул E.5) и E.6) сна-
сначала рассчитывают проекции векторов, являющихся результата-
результатами произведений со х АВ, 8 х АВ, со х (со х АВ) на оси системы
S2 (как указывалось выше, в этой системе координат вектор АВ
предполагается заданным в форме вектора р), а затем с помо-
помощью соотношения (В.72) — на оси системы So.

Глава 6
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
6.1. Относительное, переносное и абсолютное
движения точки
В ряде задач механики оказывается целесообразным рассмотре-
рассмотрение движения точки одновременно в нескольких системах коорди-
координат, из которых одна (основная) условно принимается за неподвиж-
неподвижную, а другие определенным образом движутся относительно нее.
Так, движение космического корабля к Луне нужно рассматривать
одновременно и относительно Земли, и относительно Луны. Движе-
Движение точки, исследуемое одновременно в основной и подвижной
(подвижных) системах отсчета, называется сложным. В простей-
простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и
переносного движений. Определим эти движения.
Рассмотрим сложное движение точки М9 перемещающейся
по отношению к подвижной системе O'XYZ (рис. 6.1), связанной
с некоторым телом Q, которое в свою очередь совершает свобод-
свободное движение по отношению к основной, условно неподвижной
системе Oxyz.
Движение точки М по отношению к неподвижной системе
отсчета Oxyz называется абсолютным, или сложным, состоящим
из относительного движения по отношению к подвижной сис-
системе O'XYZ и переносного — движения подвижной системы
отсчета O'XYZ по отношению к неподвижной системе Oxyz.
Положение точки М в неподвижной системе Oxyz зададим векго-
ром г(f) с началом в точке О. Тогда абсолютная траектория М0М
точки М является годографом этого радиус-вектора r(t), а абсолют-
абсолютные скорость и ускорение точки М определяются выражениями
- dr _ dv d2r /? 1Ч
Л dt dt1
143

Q
7
Положение точки Мв подвижной системе координат O'XYZ
характеризует радиус-вектор p(f) с началом в точке О. Траек-
Траектория точки М в подвижной системе отсчета называется отно-
относительной траекторией и представляет собой годограф радиус-
вектора р@. Скорость движения точки Мпо отношению к осям
подвижной системы координат называется относительной ско-
скоростью и обозначается vr. Вектор v,. определяет скорость изме-
изменения с течением времени радиус-вектора р(*) в подвижной сис-
системе O'XYZ и поэтому выражается его относительной, или ло-
локальной, производной по времени,
-
V =
Л
F.2)
Ускорение точки М в этом движении называется относи-
относительным ускорением и обозначается аг. Вектор аг характери-
характеризует скорость изменения вектора относительной скорости vr в
подвижной системе O'XYZ и поэтому выражается относитель-
относительной, или локальной, производной по времени от vr:
j — 72—
_ dvr dp
F.3)
144

Движение подвижной системы O'XYZ по отношению к не-
неподвижной Oxyz является для точки М переносным движением,
а скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижной
системой отсчета точки А, с которой в данный момент времени
совпадает точка М9 называют переносными скоростью и уско-
ускорением точки Ми обозначают ve и ае.
В рассматриваемом нами общем случае переносным являет-
является движение тела Q и связанной с ним системы O'XYZ. Напом-
Напомним, что тогда тело Q имеет шесть степеней свободы и его дви-
движение в каждый момент времени слагается из поступательного
движения вместе с полюсом О1 со скоростью v0, и ускорением
аа и мгновенного вращения вокруг этого полюса с угловой ско-
скоростью юе и угловым ускорением ге. Поэтому переносные ско-
скорость и ускорение точки М определяются по формулам
v.=vii=v + ®exp; F.4)
ае = аА = а0, + ге х р + ©е х (ше х р), F.5)
где v0, и а0. — скорость и ускорение точки О' подвижной сис-
системы координат.
В задачах кинематики сложного движения точки устанавли-
устанавливаются зависимости между абсолютными, относительными и
переносными скоростями и ускорениями точки. Для этого преж-
прежде всего определяют связь между изменениями вектора в под-
подвижной и неподвижной системах координат.
6.2. Абсолютная и относительная производные вектора.
Формула Бура
Рассмотрим изменение вектора b(t) (рис. 6.2) по отноше-
отношению к двум системам координат —подвижной O'XYZ и непод-
неподвижной Oxyz.
Абсолютной, или полной, производной вектора Ъ по аргу-
db
мешу t называется вектор , определяющий изменение векто-
dt
pa b(t) в неподвижной системе Oxyz. Относительная, или ло-
11 Зак. 16 145

кальная, производная определяет изменение вектора b(t) в
dt
подвижной системе O'XYZ.
О
Рис. 6.2
Найдем зависимость между этими производными. Если вос-
воспользоваться проекциями вектора b(t) на оси подвижной систе-
системы O'XYZ, то можно записать
и /*\ и У | l 7 I Ji F //с /с\
и\1) == их 1 ~ruyJ -tD7I\. 9 ^O.OJ
где 7, J, К — орты, не изменяемые в этой системе отсчета.
Поэтому локальная производная
d b dbx - dby - db7 —
dt dt
db
dt
dt
к,
F.7)
а полная производная с учетом изменения также ортов /,
dt
J , К имеет вид
db dbx 7 dby 7 db7 -
= —-1 + —- J + —- K + bx + bY+ b2
dt dt dt dt x dt Y dt z dt
dbx 7 dby 7 db7 - , dl , dJ .
= —-1 + —- J + —- K + bx — + bY + b
d x d Y d
dJ . dK /A оч
Y + b2 . F.8)
Y dt z dt
146

В правой части уравнения F.8) первые три слагаемые выра-
выражают локальную производную F.7), а производные от ортов 7,
J, К определяются формулами Пуассона D.11), т. е.
= + bxG5xI) + by((uxJ) + bz((oxK) =
dt ?_ F.9)
= + ю х (bx I + bY J + bz К).
С учетом F.6) получаем
db db г- /r i/44
= +cox6. F.10)
dt dt
Выражение F.10) носит название формулы Бура и устанав-
устанавливает, что абсолютная производная вектора равна сумме ло-
локальной производной этого вектора и векторного произведения
вектора угловой скорости подвижной системы отсчета на
дифференцируемый вектор.
Рассмотрим частные случаи.
1.Если со = 0,то
db Jib
dt " *-"
2. Если вектор Ь не меняется в подвижной системе отсчета
(?)
?¦•)-
db
3. Если b = #5), т. е. вектор 6 все время параллелен вектору
угловой скорости (@x6=0), то
dt dt
В Частности, если 6 = ©, то
11* 147

т. е. вектор угловой скорости со изменяется одинаково для под-
подвижной и неподвижной систем координат.
6.3. Теорема о сложении скоростей
Зависимость между абсолютной v, относительной vr и пе-
переносной ve скоростями точки в сложном ее движении устанав-
устанавливает теорема о сложении скоростей.
Теорема. Абсолютная скорость точки равна геометриче-
геометрической сумме относительной и переносной скоростей.
Доказательство. Действительно, поскольку для любого
момента времени (рис. 6.3)
г = * а + Р >
то, продифференцировав по времени это векторное равенство,
получим
df,
(У
dr _
где —— и —— — полные производные, причем — = v есть
dt dt dt
drn,
абсолютная скорость точки М\ —— = vo, — скорость точки О*.
dt
Рис. 6.3
148

Согласно формуле Бура,
dp _ _ _ _ _
: — 4- (Ое X р = Vr + (Ое X р .
dt
F.12)
zLZ
Здесь локальная производная —— = vr представляет собой отно-
dt
сительную скорость точки М Таким образом,
v = v(r+vr + ю, хр.
Поскольку vo. + cot> x p = ve — вектор переносной скорости точки
М, то, следовательно,
v=vr+ve. F.13)
Пример 6.1. Точка М движется с постоянной скоростью и вниз по образую-
образующей конуса, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью со
(рис. 6.4). Найти зависимость скорости точки М от расстояния s = А0М , если
угол а = 30° .
Решение. Абсолютное движение точ-
точки М по отношению к неподвижной сис-
системе Oxyz представим в виде суммы двух
движений: относительного по образую-
образующей АОАХ конуса (с которым свяжем
подвижную систему O'XYZ) и перенос-
переносного — вращения конуса вокруг оси Oz.
Тогда в произвольный момент времени /
точка М, находясь на расстоянии
s = AqM от вершины конуса, имеет отно-
относительную скорость vr = и = const, на-
направленную сверху вниз по образующей
конуса. Переносной скоростью для точки
М будет скорость точки А конуса, с кото-
которой в этот момент времени совпала точка
М: ve =а)Л = (ossin30° = ш/2, где h —
расстояние от точки М до оси вращения.
Вектор ve направлен по касательной к
траектории точки А. Поскольку в нашем
случае векторы vr и vt, взаимно перпен-
перпендикулярны, получаем
Рис. 6.4
149

6.4. Теорема о сложении ускорений, или кинематическая
теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса*
Найдем зависимость между абсолютным, относительным и
переносным ускорениями точки. С учетом F.13) абсолютное
ускорение точки
_ dv dvr dve dvr d ,_ — -ч ,,лл\
я = — = —- + —- =—- + — (vn, + оу, хр), F.14)
А Л А А А ° с
dvr dve
где —- и — полные производные векторов vr и ve, запи-
dt dt
санные для неподвижной системы координат.
Воспользовавшись формулой Бура, имеем
_ dvr _ _ dvn, d7oe __ __ dp
a = ——- + cot, x vr + —f- + —-- x p + coe x —f- =
dt dt dt dt
_ . _ _ . (dp _ -1
= ar 4- coe xvr+flo.+sexp + ©ex + ©e x p =
I*
= 5r+%-f6exp + (Dc> x (coe x p) + 2(®e x vr).
Так как
Яс;< +6exp + 5ex(fflexp) = fle,
получаем
fl=Sr+fle+2(©exvr),
или
a = ar +ae + aK, F.15)
где
aK=2(co,xvr) — F.16)
ускорение Кориолиса, или поворотное ускорение.
Формула F.15) выражает теорему о сложении ускорений,
или кинематическую теорему Кориолиса: абсолютное ускоре-
ускорение точки является векторной суммой трех ускорений: относи-
относительного, переносного и ускорения Кориолиса.
Остановимся на вычислении ускорения Кориолиса, опреде-
определяемого по формуле F.16).
Ускорение ак было получено Г. Кориолисом в 1833 г., К.Гауссом в
1803 г. и Л. Эйлером в 1765 г.
150

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произ-
произведению угловой скорости переносного движения на относи-
относительную скорость точки.
Согласно общему правилу векторного умножения, вектор
ак направлен перпендикулярно плоскости, содержащей 75е и vr
(рис. 6.5, а\ в ту сторону, откуда поворот юе к vr на наимень-
наименьший угол виден происходящим против направления движения
часовой стрелки. Если угол между векторами 7ое и vr обозначить
а, то по модулю ускорение Кориолиса
vr sin a.
Рис. 6.5
Заметим, что вектор vr* (см. рис. 6.5, а), равный по модулю
v* = vr sin a, представляет собой проекцию вектора относитель-
относительной скорости vr на плоскость Я, перпендикулярную вектору юе.
Сформулируем правило Жуковского, очень удобное для опреде-
определения ускорения Кориолиса: ускорение ак молено получить,
спроецировав вектор vr на плоскость, перпендикулярную векто-
вектору Ше,увеличив полученную проекцию v* в2сое раз и повернув ее
на 90° в направлении переносного вращения.
151

Если траектория относительного движения — плоская кри-
кривая, находящаяся в плоскости, перпендикулярной сое, то, соглас-
согласно правилу Жуковского, направление ак можно получить, по-
повернув на 90° в направлении переносного вращения сам вектор
относительной скорости vr (рис. 6.5, б).
Пусть точка М движется по гипотенузе АВ треугольника
О'АВ, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz с угловой ско-
скоростью ©в (рис. 6.6). На рис. 6.6, а относительная траектория
точки М описывает коническую поверхность, а в случае, изобра-
изображенном на рис. 6.6, б, плоскость треугольника О'АВ перпенди-
перпендикулярна оси O(z) переносного вращения. Поэтому направление
вектора ак на рис. 6.6, б получено поворотом вектора vr на 90°
в направлении переносного вращения.
О'О{
Рис. 6.6
Остановимся на частных случаях, когда ускорение Кориоли-
са обращается в нуль.
1) cot, = 0, т. е. переносное движение — поступательное;
2) vr = 0, т. е. в те моменты времени, когда в относительном
движении точка останавливается, например, при изменении на-
направления относительного движения;
152

3) sin(©e, vr) = sin a = 0, когда вектор скорости относитель-
относительного движения параллелен вектору угловой скорости переносно-
переносного вращения ( vr || a>e).
Следует также отметить, что ускорение Кориолиса зависит
от выбора подвижной системы координат, т. е. при различном
разложении одного и того же абсолютного движения на относи-
относительное и переносное возможны разные ускорения Кориолиса.
6.5. Сложение ускорений в частных случаях
переносного движения
1. Переносное движение — поступательное.
В этом случае ускорение Кориолиса обращается в нуль
(сое = 0) и абсолютное ускорение складывается из относительно-
относительного и переносного:
а=аг+ае.
Если переносное движение — поступательное, равномерное и
прямолинейное, то абсолютное ускорение равно относительному:
а=аг.
Действительно, в этом случае ак = 0, ае = 0.
2. Переносное движение — вращение вокруг неподвиж-
неподвижной оси.
В этом случае переносные скорость и ускорение опреде-
определяются по формулам
a;=©ex(©exp), < =a#i; F.18)
ает=8ехр, axe=se2h, F.19)
где h — расстояние от точки до оси вращения.
Пример 6.2. Трубка (рис. 6.7, а\ имеющая форму полукольца радиусом
R = 0,1 м, закреплена на пластинке, вращающейся вокруг неподвижной оси Oz
по закону ф(/) = 4/ -t2 (ср — в рад, t — в с). Внутри трубки движется шарик Ы
10 Зэк. 16
153

по закону s(t) = 0,1(я/3)/2 (s — в м, t — в с). Для момента времени tx = 1 с
определить абсолютные скорость и ускорение шарика М.
Рис. 6.7
Решение. Введем неподвижную систему координат Oxyz, где ось Oz совпа-
совпадает с осью вращения пластинки. Подвижную систему координат OXYZ свя-
свяжем с пластинкой.
Принимая шарик М за точку, представим абсолютное движение точки М как
сумму относительного движения по трубке на пластинке и переносного враще-
вращения пластинки вокруг оси Oz.
В относительном движении траектория точки М — полуокружность радиу-
радиусом R = 0,1 м . К моменту времени tx = 1 с точка М переместилась по этой траек-
траектории на расстояние М0М = s\f чс = 0Д(я/3) м (рис 6.7, б). Тогда ZMQO'M =
, 3
Определим в этот момент времени положения касательной т и нормальной
п осей на относительной траектории точки. Относительная скорость точки М
vrx|
vrx| =0,21 м/с,
относительное ускорение
154

где апг = vf/R, <| = 0,212/0Д = 0,44 м/с2; a) = vr = if« const > 0, arT =
= 0,27t/3 = 0,21 м/с2.
Векторы vr и 5? направлены по касательной в сторону увеличения коорди-
координаты s.
Переносное движение для точки М— вращение пластинки вокруг оси Oz с
угловой скоростью
и угловым ускорением
8е* = ®ez = Ф = COnst < °» е« = -2 рад/с2 .
Векторы 5>в и ее указаны на рис. 6.7, б. В момент времени tx = 1 с точка М
находится на расстоянии h = R sin 60° = 0,086 м от оси вращения и совпадает с
той точкой пластинки, которая движется по окружности радиусом h = 0,086 м.
Следовательно, переносные скорость и ускорение точки М находим из выраже-
выражений F.17), F.18) и F.19):
ve = meh = 2 • 0,086 = 0,172 м/с;
ае =a?+at, ane =g>2/i = 4-0,086 = 0,344м/с2;
|aj| = |еех |Л = 2 • 0,086 = ОД 72 м/с2. *
Вектор ve направлен по касательной к окружности радиусом h в направле-
направлении переносного вращения, вектор а" — к оси вращения Oz, а вектор Ъ] (в
соответствии с ее) — противоположно вектору ve.
Как видно на рис. 6.7, б, векторы ve и "а] параллельны оси OZ.
Ускорение Кориолиса, согласно F.16),
Вектор ак (рис. 6.7, б) направлен перпендикулярно к плоскости пластинки,
содержащей векторы ©в и vr, так, что с конца вектора ак поворот вектора ®е
к vr на наименьший угол виден происходящим против направления движения
часовой стрелки.
Найдем абсолютные скорость и ускорение точки М. Известно, что
v=vr+ve.
Поскольку в рассматриваемом случае векторы v, и vr оказались взаимно пер-
перпендикулярными, то
Ю* 155

v = ^/v2+v2 = д/0,212 + 0,1722 = 0,27 м/с.
Для определения абсолютного ускорения точки М найдем проекции всех
векторов, входящих в выражение а = а" + а, + а" + ает + ак, на оси О'Х, Or Y и
O'Z:
O'Z:
ах =a/Tcos60°-<sin60°-<=0,21 --0,44—-0,344 = -0,62м/с2 ;
ау =fl/T sin 60° + a;'cos60° = 0,21 -^- + 0,44- - = 0,4 м/с2 ;
<*z = <Ч - % = 0,172 - 0,42 = -0,248 м/с2 .
Отсюда
= ^а\
+а\=
+ 0,42 + 0,2482 = 0,78 м/с2 .
Теоремы о сложении скоростей и ускорений удобно приме-
применять в случаях, когда, например, известно абсолютное движение
точки и требуется найти кинематические параметры переносного
и относительного движений.
Пример 6.3. В мальтийском механизме (рис. 6.8, а) кривошип вращается во-
вокруг оси O(z), перпендикулярной плоскости рисунка, с постоянной угловой
скоростью со, = V2 рад/с. Палец Д неподвижно закрепленный на кривошипе,
скользит вдоль паза диска и приводит его во вращение вокруг оси O'{Z), па-
параллельной оси O(z).
O(z) a
CO.
Рис. 6.8
Для показанного на рис. 6.8, а положения механизма определить угловую
скорость и угловое ускорение диска, а также относительное ускорение пальца D
относительно паза диска, если OD - OD = R = 0,2 м , а = 45°.
156

Решение. Свяжем неподвижную систему Oxyz с опорой О, а подвижную
систему O'XYZ — с вращающимся диском (рис. 6.8, б). Принимая палец D за
точку, рассмотрим движение точки D кривошипа как сложное, состоящее из
относительного движения точки D по пазу диска и переносного движения —
вращения диска вокруг оси O'(Z).
В абсолютном движении точка D перемещается по окружности радиусом
OD. Абсолютная скорость точки D
vD = щОИ = const, vD = >/2 • 0,2 = 0,2>/2 м/с
направлена перпендикулярно радиусу OD в сторону вращения кривошипа.
Абсолютное ускорение точки D
но azD = zx0D = 0, поскольку 8^0 при coj = const; тогда ускорение
и направлено,к оси вращения O(z) (см. рис. 6.8, б). Таким образом, абсолютное
движение точки D известно.
Получим теперь кинематические характеристики относительного и перенос-
переносного движений. Относительное движение точки D — прямолинейное, следова-
следовательно, векторы vr и аг = ~ахг должны быть направлены вдоль паза^В перенос-
переносном движении в заданном положении механизма точка D находится на окруж-
окружности радиусом O'D = R, поэтому вектор скорости ve JL07), а переносное уско-
ускорение определяется выражением
Воспользуемся теоремой о сложении скоростей
Направления относительной vr и переносной ve скоростей известны, поэтому с
учетом треугольника скоростей (рис. 6.9, а) можно записать
= 0,2 м/с.
Тогда, поскольку ve = а>207Э = а>2/?, угловая скорость диска
а>2 ж фе ж ve /R = 0,2:0,2 = 1 рад/с,
а направление дуговой стрелки <ое соответствует направлению вращения векто-
вектора ve вокруг оси O\Z) (см. рис. 6.8, б).
Согласно теореме о сложении ускорений, в рассматриваемом случае получа-
получаем выражение
157

б
Рис 6.9
Модуль и направление вектора anD уже были определены. Модуль вектора а"
а;=юе2д = 1.0,2 = 0,2 м/с2,
направлен он к оси O\Z). Для вектора ак = 2(юв х vr) получаем
Его направление установим, пользуясь правилом векторного произведения
(см. рис. 6.8, б).
Направления векторов аг и ~а)\мпе известны. Построив, согласно F.20),
многоугольник ускорений (рис. 6.9, б), запишем проекции векторов, входящих в
F.20), на оси О'Х и ОТ соответственно:
F.21)
F.22)
Из F.21) находим
aD cos45° = ar -a" + 0+0.
= ак + aD
cos45° = 0,4 + 0,4>/2 :2 = 0,68 м/с2
Следовательно, угловое ускорение диска
0,2
с2.
Направление дуговой стрелки е2 соответствует направлению вектора а).
Из F.22) находим
аг = aD cos45°+апе = 0,4>/2 :2+0,2 = 0,48 м/с2 .
3. Переносное движение — плоскопараллельное (плоское).
158

В этом случае переносные скорость и ускорение точки М на-
находим как скорость и ускорение точки тела, совершающего плос-
плоское движение. Пусть при этом за полюс выбрана точка С. Тогда
v^=v#=vc+v^; F.23)
F.24)
at* =
= аг + я а
+ «
МС >
= ееСМ, СМ—расстояние
где vMC = соеСМ, апмс = о
точки Мдо полюса С. %
Пример 6.4. Диск 7 радиусом Л = 0,4 м (рис. 6.10, а) катится без сколь-
скольжения по прямолинейной направляющей 2, закон вращения диска <р = 3/-;2
(ф в рад, t в с). Внутри паза 3 на диске 1 движется точка М по закону
М0М = s(t) = 0,23(/2 + 0, где s в м, t в с.
Для изображенного на рис. 6.10, а в момент времени tx = 1 с положения дис-
диска 7, когда а = 30°, определить абсолютные скорость и ускорение точки М.
«к
Рис. 6.10
Решение. Свяжем неподвижную систему отсчета Оху с направляющей 2, а
подвижную систему О'ЛТ с диском 7 (рис. 6.10, б). Тогда абсолютное движе-
движение точки М будет состоять «из относительного (прямолинейного) движения
точки М по пазу 3 и переносного (плоского) движения диска 7. В относительном
движении к моменту времени tx = 1 с точка М переместится на расстояние
M0M\t _1с = 0,46м . Поскольку О%М = А/0Л/ = XM(i) = 5@, то относительные
скорость vr и ускорение аг найдем так:
v* =*„=* = 0,23B*+ 1)>0, угД1=1с =0,69 м/с;
vr=v,^ =0,69 м/с.
159

<*rX = \x =*M= COnSt> °> ar = K^| = °>46
Векторы vr и аг направлены вдоль паза 3 в сторону возрастания координаты
XM{t) (см. рис. 6.10, б).
Вычислим теперь угловые скорость и ускорение диска 1 в переносном дви-
движении по заданному закону ф(/):
«>i, = «>** - Ф = 3-2r|/i=i с > 0, <йе2\^с = 1 рад/с;
^г=е„=(Ьвг=ф<0, ?„=-2рад/с2.
Таким образом, при t = 1 с диск катится замедленно, т. е. направления дуго-
дуговых стрелок шв и Ев противоположны (см. рис. 6.10, б).
При отсутствии скольжения точка контакта диска 7 с направляющей 2 являет-
является МЦС диска. Поэтому для точки С центра диска несложно определить ско-
скорость vc и ускорение ас:
Ру=ю1Л, vc=10,4 = 0,4m/c,
Направление вектора vc соответствует направлению вращения диска вокруг
МЦС, а вектора яс = й? — противоположно vc при замедленном движении
(см. рис. 6.10,6).
Переносные скорость и ускорение точки М найдем, согласно F.23) и F.24),
приняв за полюс точку С:
MC|/i=lc =0'A/sin3O° = 0,460,5 = 0,23м , v^l^ =10,23 = 0,23 м/с ;
а=а+а + а амс =о>гЛ/С = 12-0,23 = 0,23 м/с2 ,
20,23 = 0,46 м/с2.
Абсолютная скорость точки М
У=Уг+Ув,ИЛИ V =
Записав последнее равенство в проекциях на оси Ох и Оу (рис. 6.11, а):
vx = vr cos30°+vc + Vj^ = 0,69>/з : 2+0,4+0,23 = 1,23 м/с,
v^=vrsin30°, vy= 0,69 0,5 = 0,345м/с,
находим
v = ^v2+v2, v = VU32+0,3452= 1,28м/с.
Абсолютное ускорение точки М
160

a=ar+ae+aK,
или
F.25)
где ак =2(шехуг), ак = 2o>evr sin 90° = 2-1-0,69 = 1,38 м/с2 .
О
Рис. 6.11
Направление вектора ак получим, повернув вектор vr на 90° в направле-
направлении переносного вращения. На рис. 6.11, б изображен многоугольник ускорений
точки М, построенный с учетом F.25). Записав F.25) в проекциях на оси Ох и
Оу:
:2 = -1,19м/с2 ,
1,2 м/с2 .
ах * ar cos30°-ac -|ам;|+% sin30°
= 0,46л/3:2-0,8-0,46+1,380,5
найдем абсолютное ускорение точки М
а = Jal + а2у
V0»172
161

Глава 7
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
7.1. Теорема о сложении угловых скоростей
при сложном движении твердого тела
Движение твердого тела так же, как и материальной точки,
может быть рассмотрено одновременно в нескольких системах
координат (см. гл. 6). Пусть одна из них является условно непод-
неподвижной, а другая движется относительно первой (рис. 7.1, а). То-
Тогда движение тела относительно неподвижной системы коорди-
координат (абсолютное движение) можно рассматривать как сложное,
состоящее из движения тела относительно подвижной системы
координат (относительное движение) и движения вместе с под-
подвижной системой координат как единого целого относительно
неподвижной системы координат (переносное движение). Таким
образом, сложное движение твердого тела представляется как
результат сложения двух движений: относительного и пере-
переносного .
Подобным образом движение твердого тела можно разло-
разложить на п составляющих движений при введении в рассмотрение
п систем координат, из которых одну принимают условно непод-
неподвижной, а движение каждой из последующих определяют отно-
относительно предыдущей (рис. 7.1,6).
Теорема. При любом виде переносного и относительного
движений твердого тела его абсолютная угловая скорость (в не-
В этой главе при рассмотрении задач на сложение соответствующих дви-
движений рассчитываются лишь угловые скорости тел и скорости их точек в задан-
заданный момент времени, считая, что ускорения могут быть определены, исходя из
конкретного вида движения (абсолютное, относительное или переносное) твер-
твердого тела либо на основании рассмотрения сложного движения точек тела.
162

подвижной системе координат) равна сумме относительной и
переносной угловых скоростей тела.
Рис. 7.1
Доказательство. Рассмотрим движение твердого тела от-
относительно подвижной системы O'XYZ, которая в свою очередь
движется относительно неподвижной системы Oxyz
(см. рис. 7.1, а). В каждом из рассматриваемых движений твердо-
твердого тела связь скоростей его точек А и В в любой произвольный
момент времени может быть установлена по формулам
G.1)
Ч =vA+vBA
vra=v'+vr
BA; vB
vcB=veA+ve
BA,
где vBA = со х АВ; vBA = cor х АВ; \ВА = сое х АВ; со, сое, со, —
соответственно абсолютная, относительная и переносная угловые
скорости движения тела.
Скорости точек А и В могут быть также определены, исходя
из теоремы о сложении скоростей точек
I"=V1+V"; G-2)
Из G.1) и G.2) последовательно несложно получить
х ,41?,
5Г х АВ + ®е х АВ.
Приравнивая правые части этих равенств, находим
vB = vA
* + * =v +75
163

со х АВ = сог х АВ + сое х АВ = (со,. + сое) х АВ.
Так как вектор АВ произвольный, то
со = со,.+сое. G.3)
Последнее и требовалось доказать.
В случае п составляющих движения тела, в каждой из кото-
которых угловая скорость равна со,, где / = 1,2,..., п, абсолютная уг-
угловая скорость тела определится как векторная сумма ее состав-
составляющих:
Так как абсолютная угловая скорость тела не зависит от
разложения двиэюения на составляющие, то ее моэ/сно рассмат-
рассматривать как кинематический инвариант.
7.2. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
В случае вращательных относительного и переносного дви-
движений твердого тела, когда оси их вращений пересекаются в точ-
точке О (рис. 7.2), абсолютное движение будет движением твердого
тела вокруг неподвижной точки О (сферическим движением) с
угловой скоростью, определяемой согласно G.3). Нетрудно убе-
убедиться, что скорости всех точек, лежащих на линии, по которой
направлен вектор со, равны нулю. В самом деле, например, ско-
скорость находящейся на этой линии точки А тела v = со х f = О (по
свойству произведения коллинеарных векторов ©иг). Таким
образом, прямая, на которой расположен вектор со , является
мгновенной осью вращения тела.
Скорость любой точки Мтела в данном случае можно опре-
определить так:
или
v=ve+vr,
где ve =юе xrM; vr=75rxrM.
Модули составляющих, а также абсолютной скорости точки
М равны модулям соответствующих векторных произведений и
могут быть вычислены по формулам
164

vc=(uehe; vr=G)rhr> v = a>h, fc
где he9 hr,h — кратчайшие расстояния от точки М до соответст-
соответствующих осей вращения (см. рис. 7.2).
Мгновенная
ось вращения
Рис. 7.2
7.3. Сложение вращений вокруг параллельных осей.
Пара вращений
Если оси вращательных движений тела параллельны, то век-
вектор результирующей угловой скорости со тела в неподвижной
системе координат, определяемый согласно G.3), будет коллинеа-
рен векторам ее составляющих ые и о5г. Положение мгновенной
оси вращения тела как оси, проходящей через неподвижную в дан-
данный момент точку Р тела, т. е. точку его МЦС в плоскости П,
перпендикулярной осям вращений (рис. 7.3), можно определить из
следующего анализа. Относительная скорость точки Р
v, =©, хОгР9 а переносная ve =юех0еР. Здесь Ог и Ое —
точки пересечения плоскости П с соответствующими осями вра-
вращения. Тогда скорость точки Р в неподвижной системе координат
vp = ve + vr, причем, согласно определению МЦС, vP = 0 . Отсюда
следует ve = -vr, так что ve = vr и о)е ОеР = сог ОГР .
В зависимости от взаимного расположения и численного
значения векторов сог и 7Бе можно выделить три случая сложе-
сложения вращательных движений.
165

1. При совпадении направлений векторов сог и сое абсолют-
абсолютное движение будет плоским (см. рис. 7.3).
Рис. 7.3
Абсолютная угловая скорость в этом случае будет иметь на-
направление, совпадающее с направлениями ее составляющих, а ее
модуль со = со,. + cot,.
Точка Р, через которую проходит мгновенная ось вращения
тела, лежит на отрезке, соединяющем точки Ог и Ое. При этом
ОеОг =ОГР + ОеР и положение точки Р можно найти из про-
пропорции
cot, сог со
ОГР ОеР ОеОг
G.4)
Скорость любой точки тела, например М9 в данном случае
может быть найдена по формуле v = со х РМ, а ее модуль
v = сойд, , где hM — кратчайшее расстояние от точки до мгновен-
мгновенной оси вращения, проходящей через точку Р.
2. При противоположных направлениях векторов со,, и &е,
когда (ог * ое, абсолютное движение, как и в первом случае, бу-
будет плоским (рис. 7.4).
Абсолютная угловая скорость при этом будет иметь направ-
направление, совпадающее с направлением большей по модулю состав-
составляющей угловой скорости, а ее модуль со = |©г - (ое\.
Точка Р, через которую проходит мгновенная ось вращения
тела, лежит в плоскости П, перпендикулярной осям вращатель-
166

ных движений, на прямой, проходящей через точки Ое и Ог;
расположена она внешним образом по отношению к этим точкам
со стороны той точки, через которую проходит ось вращения
движения с большей угловой скоростью. При этом *
ОеР = -ОеОг + ОГР, если сое > со,;
ОГР = -ОеОг + ОеР, если сое < сог.
Пропорции для нахождения положения точки Р имеют
вид G.4).
Рис. 7.4
3. При противоположных направлениях векторов сое и со,, и
равенстве их модулей (сог = сос), если условие сос = -<»,. выполня-
выполняется на отрезке времени /2 ~ *\ > абсолютное движение будет по-
поступательным*. Такой случай сложения вращательных движений
называется парой вращений.
Действительно, в данном случае <5е = -а>г, так что со =
= сос, + со, = 0, и для любой точки тела справедливы соотношения
v = EС х г, + со,, х г2 = сое х (г, - г2) = юе х О Л ~~
= сог х
где г,, г2 — радиус-векторы точки, проведенные из Ос и Ог
соответственно.
Следовательно, скорости всех точек тела в данном случае
одинаковы и равны скорости поступательного движения тела.
* Если условие о>с = -со, выполняется лишь в момент времени / = /,, абсо-
абсолютное движение будет мгновенным поступательным движением.
167

Примером такого движения может служить движение кабины
колеса обозрения (рис. 7.5). Кабина поворачивается вокруг оси под-
подвеса на ободе колеса относительно системы координат O'XY, свя-
связанной с колесом, на угол фг с угловой скоростью со,., а поворот
подвижной системы координат O'XY вместе с колесом относитель-
относительно системы координат Оху, связанной с неподвижным основанием,
на угол фе происходит с угловой скоростью сос,. Очевидно, что
Фе = фг, а направления изменения этих углов противоположны. От-
Отсюда следует, что переносная и относительная угловые скорости
равны по модулю и противоположны по направлению. В результате
движение кабины является поступательным (со = 0), поэтому ско-
скорости всех ее точек одинаковы и равны скорости движения самой
кабины v(). =vA = v, а ее модуль v = сос, 00' - со,. 00'.
Уи
ПА. Сложение поступательных движений
Если переносное и относительное движения твердого тела в его
сложном движении являются поступательными (мгновенно-посту-
(мгновенно-поступательными), т. е. сог =шв =0, то абсолютное движение твердого
тела будет также поступательным (мгновенно-поступательным).
168

Очевидно, что в данном случае в соответствии с G.3) со*- 0 и
скорость абсолютного поступательного движения тела и принад-
принадлежащих ему точек определится в виде векторной суммы скоро-
скоростей составляющих поступательных движений тела, т. е.
v = ve + vr (рис. 7.6).
Все это справедливо и в слу-
случае п поступательных состав-
составляющих движений. Абсолютное
движение будет также поступа-
поступательным движением со скоро-
скоростью, определяемой по формуле
где v;— скорость /-го состав-
составляющего поступательного дви-
движения тела.
Рис. 7.6
7.5. Сложение поступательного и вращательного
движений
Пусть переносное движение тела — поступательное со ско-
скоростью ve9 а относительное — вращение с угловой скоростью
сог. Тогда абсолютная угловая скорость тела со = ©г.
В зависимости от взаимного расположения векторов ve и со,.
рассмотрим два* отдельных случая.
1. Скорость переносного поступательного движения перпен-
перпендикулярна оси относительного вращения (veJJ5r).
Выделим плоскость П, перпендикулярную оси относитель-
относительного вращения тела и пересекающуюся с ней в точке О (рис. 7.7).
Скорости всех точек сечения тела этой плоскостью будут лежать
в данной плоскости, а скорости других точек тела — в парал-
параллельных ей плоскостях. Таким образом, можно утверждать, что
тело совершает в данном случае плоскопараллельное движение и
* Общий случай сложения переносного поступательного и относительного
вращательного движений здесь не рассматривается.
169

в плоскости П имеется точка Р (МЦС), скорость которой равна
нулю. Для этой точки vP = ve + vr = 0, так что ve = -vr (здесь
vr = со,, х OP). Тогда vc = (DrOP и, следовательно,
Мгновенная
ось вращения
Рис. 7.7
Точка Р находится в плоскости П на линии, перпендикуляр-
перпендикулярной к вектору ve, на расстоянии ОР от точки О. Очевидно, что
другие точки тела, имеющие нулевую скорость, будут находиться
на оси, перпендикулярной плоскости П в точке Р. Эта ось являет-
является мгновенной осью вращения твердого тела.
Таким образом, в данном случае абсолютное движение твер-
твердого тела есть вращение с угловой скоростью, равной по модулю
и одинаковой по направлению с угловой скоростью относитель-
относительного вращения вокруг мгновенной оси вращения. Эта ось парал-
параллельна оси относительного вращения и находитсяся от нее на
расстоянии, равном отношению модуля скорости поступательно-
поступательного переносного движения к модулю угловой скорости относи-
относительного вращательного движения.
Скорость любой точки тела, например А, может быть опре-
определена тогда по формуле v = Ш х РА, а ее модуль v = (ohA, где
hA — кратчайшее расстояние от точки до мгновенной оси вра-
вращения тела.
170

Примером рассмотренного выше сложения движений может
служить плоское движение твердого тела (см. гл. 4), которое
можно представить в виде суммы поступательного движения тела
вместе с полюсом (переносное движение) и вращения вокруг оси,
проходящей через полюс и перпендикулярной к плоскости дви-
движения (относительное движение).
2. Относительное движение есть вращение вокруг оси, па-
параллельной скорости переносного поступательного движения
(©,||ув)(рис.7.8).
Рис. 7.8
Абсолютное движение тела в данном случае называется
винтовым движением, или кинематическим винтом. Оно не
сводится к какому-либо другому более простому эквивалентному
движению и характеризуется собственными параметрами и отли-
отличительными особенностями.
Ось относительного вращения называют осью винта. Пара-
Параметром винтового движения называют величину, равную от-
отношению модуля переносной скорости поступательного движе-
движения тела к модулю относительной угловой скорости его
вращения, р = ve I юг. В общем случае ve = \ds I dt\, где s = s(t) —
171

закон перемещения тела вдоль оси винтового движения;
© = 0),. =\dq>/dt\, где <р — угол относительного поворота тела
вокруг оси винта.
Таким образом, параметр р численно равен расстоянию, на
которое переместится тело при винтовом движении вдоль оси
винта при повороте на один радиан (при данных значениях vc и
сог), и может быть вычислен по формуле
При совпадении направлений векторов ve и со винтовое движе-
движение (винт) называется правым, а при противоположных их на-
направлениях — левым.
Траекторией любой точки М тела является винтовая линия.
Скорость точки, удаленной от оси винта на расстояние А, склады-
складывается из ее скоростей в переносном и относительном движениях:
v = ve + vr, где vr = со х г , a vr = юА , причем скорости ve и v;.
взаимно перпендикулярны, так что v = сод//?2 + А2 .
В случае ve = const, со = const параметр р постоянен, и для
характеристики движения можно использовать понятие шаг
винта, который равен смещению тела вдоль оси винта при пово-
повороте на один оборот:
Уравнения движения произвольной точки М тела по винто-
винтовой линии в декартовой системе координат (см. рис. 7.8) в дан-
данном случае будут иметь вид
х = Acoscp = Acosco/;

Раздел II
СТАТИКА
Глава 8
АКСИОМЫ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИКИ
Статика — раздел механики, в котором изучают условия
равновесия материальных тел, находящихся под действием сил,
и операции преобразования одних систем сил в другие.
При изучении равновесия используют принцип неизменно-
неизменности геометрических форм и размеров твердых тел, поскольку их
изменение под действием сил обычно мало по сравнению с пер-
первоначальными размерами. Поэтому в статике материальные тела
считают абсолютно твердыми.
Понятие «сила» в механике является одним из важнейших.
Силой называется векторная величина, являющаяся мерой меха-
механического действия одного материального тела на другое. Вектор-
сила характеризуется числовым значением, или модулем, и на-
направлением действия. Основной единицей измерения силы в Меж-
Международной системе единиц (СИ) является 1 ньютон A Н); приме-
применяется и более крупная единица 1 килоньютон A кН = 1000 Н).
Вектор-силу обозначают какой-либо буквой со знаком век-
вектора, например, F , а модуль силы — символом | F | или просто
буквой F. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется
линией действия силы.
Приведем основные определения статики.
Системой сил называется совокупность сил, действующих
на твердое тело.
Если систему сил, действующих на свободное твердое тело,
можно заменить другой системой, не изменяя при этом механи-
механического состояния тела, то такие две системы сил называются
эквивалентными.
Система сил, под действием которой свободное твердое тело
может находиться в покое, называется уравновешенной, или
эквивалентной нулю.
173

Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила назы-
называется равнодействующей данной системы сил.
Силы, действующие на данное тело или систему тел, можно
разделить на внешние — силы, действующие на данную систему
со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему,
и внутренние — силы, с которыми действуют друг на друга тела,
входящие в рассматриваемую систему.
Механической системой называется любая совокупность
взаимодействующих материальных точек.
8.1. Аксиомы статики
1. Если на свободное твердое тело действуют две силы, то
тело может находиться в равновесии только тогда, когда эти
силы равны по модулю, действуют по одной прямой в противо-
противоположные стороны.
2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое те-
ло не изменяется, если к ней добавить или от нее отнять урав-
уравновешенную систему сил (рис. 8.1).
Рис. 8.1
Следствие. Не изменяя действия силы на абсолютно твер-
твердое тело, силу моэюно переносить по линии ее действия в любую
точку тела.
В самом деле, если в точке В (см. рис. 8.1) приложить урав-
уравновешенную систему сил (F,, F2) и принять Fx = -F2, FA ^F,
174

то можно образовать новую уравновешенную систему сил (F ,
F2) и отбросить ее. В результате на тело будет действовать толь-
только одна сила Fx = F , но приложенная не в точке А, а в точке В.
Вектор, изображающий силу F , называется скользящим.
Сформулированные по-
положения справедливы только
для сил, действующих на аб-
абсолютно твердое тело. В этом
нетрудно убедиться, рассмот-
рассмотрев, например, равновесие /-/
тонкого длинного стержня под
действием сжимающей силы
F (рис. 8.2). Для равновесия
абсолютно твердого стержня
безразлично, где приложена
сила — в точке А или В. Для
равновесия упругого стержня
это далеко не так. Сила, при-
приложенная в точке А, может
вызвать потерю устойчивости
прямого стержня и способст-
способствовать его изгибу, тогда как
сила, приложенная в точке Я, ^
таким действием обладать не
будет. Переносить силу вдоль рис 8 2
линии действия нельзя и то-
тогда, когда требуется опреде-
определить внутренние силы в какой-либо части конструкции. Напри-
Например, внутренняя сила в сечении /-/ равна F , когда внешняя си-
сила приложена в точке А, и нулю, если внешняя сила перенесена
в точку В.
3. При всяком действии одного материального тела на дру-
другое со стороны другого тела имеется противодействие, такое
же по величине, но противоположное по направлению.. Другими
словами, силы взаимодействия двух тел всегда равны по модулю
и направлены в противоположные стороны. Эту аксиому назы-
называют законом равенства действия и противодействия. Он был
175

сформулирован Ньютоном и принят в качестве третьего основно-
основного закона механики.
Например, груз лежит на поверхности Земли и давит на нее
силой, равной своему весу Р . Земля действует на груз такой же
силой Р1, но направленной в противоположную сторону. Сила
Р приложена к Земле, а Рг — к грузу. Таких примеров можно
привести сколь угодно много. Но нужно твердо усвоить, что силы
взаимодействия двух тел не создают уравновешенную или экви-
эквивалентную нулю систему (хотя равны по модулю и направлены
вдоль одной прямой в противоположные стороны), так как при-
приложены к разным телам. Действие одного тела может вызвать
движение другого, например электровоз вызывает движение же-
железнодорожного состава, действуя на него силой F , в то время
как железнодорожный состав сопротивляется этому движению и
действует на электровоз силой - F .
Следствие. Сумма всех внутренних сил всегда равна нулю.
Действительно, разделяя мысленно твердое тело или механиче-
механическую систему на отдельные части и принимая во внимание, что
все они взаимодействуют между собой с силами, равными по мо-
модулю и направленными по одной прямой в противоположные
стороны, приходим к выводу о равенстве нулю суммы всех внут-
внутренних сил. Это означает, что при рассмотрении условий равно-
равновесия тела или системы тел нужно учитывать только внешние
силы.
4. Две силы, приложенные к твердому телу в одной точке,
имеют равнодействующую, приложенную в той лее точке и изо-
изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих
силах как на сторонах. Это так называемое правило параллело-
параллелограмма сил. Сила R* эквивалентна системе двух сил F} и F2.
Вектор R * равен геометрической сумме векторов F] и F29 т. е.
R'=Fi+F2.
5. Механическое состояние системы не изменится, если ос-
освободить ее от связей, приложив к точкам системы силы, рав-
равные реакциям связей. Эту аксиому называют аксиомой о связях.
Материальные тела, ограничивающие перемещение данного
тела в пространстве, называют связями.
176

Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его пе-
перемещениям, называется силой реакции связи, или просто реак-
реакцией связи.
8.2. Основные виды связей и их реакции
Реакция связи направлена в сторону, противоположную
той, куда связь не дает перемещаться телу. Правильное опреде-
определение направлений реакций связей играет важную роль при ре-
решении задач механики. Поэтому рассмотрим подробно, как на-
направлены реакции некоторых основных видов связей.
Поверхности связей полагаем идеально гладкими, т. е. такими, в
которых не возникают силы трения. Подобные связи называют
идеальными.
1. Гладкая поверхность (плоскость). Реакция R в случае
гладкой поверхности направлена по общей нормали к поверхно-
поверхностям связи и тела в точке их контакта и приложена к телу. На
рис. 8.3 показаны некоторые примеры направления реакций.
J L
Рис. 8.3
2. Нить. Этим термином обозначают цепи, тросы, канаты,
.которые могут воспринимать только силы растяжения. Нить счи-
считается гибкой и нерастяжимой. Реакция нити на тело направлена
по касательной к нити в точке ее закрепления (рис. 8.4).
3. Цилиндрический шарнир (подшипник). Цилиндриче-
Цилиндрический шарнир представляет собой цилиндрическую втулку, в ко-
которой находится ось вращения (рис. 8.5). Он не воспринимает
осевой силы, его реакция находится в плоскости Аху, перпенди-
13 3ак.16 П7

кулярной оси шарнира. Реакция RA может быть направлена по
любому радиусу шарнира в плоскости Аху.
Л
Рис. 8.4
Рис. 8.5
4. Сферический шарнир. Он позволяет телу поворачиваться,
но не разрешает линейные перемещения. Реакция сферического
шарнира R приложена к его центру и может быть направлена
по любому радиусу шарнира (рис. 8.6).
zJ(
5. Подпятник. Он отличается от цилиндрического шарнира
тем, что кроме радиальных сил может воспринимать и осевую
силу (рис. 8.7). Реакция подпятника, как и реакция сферического
шарнира, может иметь любое направление.
6. Невесомый стержень с шарнирами на концах (рис. 8.8).
Реакция прямолинейного невесомого стержня с шарнирами на кон-
концах направлена вдоль оси стержня. В отличие от нити такой стер-
стержень может передавать как силы растяжения, так и силы сжатия.
Если связью является криволинейный стержень, то его
реакция будет направлена по прямой АВ, соединяющей шар-
шарниры А и В.
178

в\
У\
П? Щ
Рис. 8.7
Рис. 8.8
При решении задач статики "реакции связей обычно являют-
являются неизвестными и подлежат определению, а зная силы, дейст-
действующие на систему, и силы реакций связей, можно определить
внутренние силы в телах, необходимые для расчета на проч-
прочность.
13*
179

На рис. 8.9 и 8.10 показаны реакции связей соответственно
для стержня АВ, опирающегося в точке А на гладкую стену и
подвешенного в точке В к стене нитью, и полукруглой плоской
арки, опирающейся в точке А на подвижный шарнир (каток), а в
точке В — на неподвижный шарнир.
Рис. 8.9
Рис. 8.10
180

8.3. Система сходящихся сил
Равнодействующая системы сходящихся сил
Систему сил, приложенных к твердому телу, называют
системой сходящихся сил, если линии действия всех сил пересе-
пересекаются в одной точке.
Пусть на тело действуют силы, линии действия которых рас-
расположены в пространстве и пересекаются в одной точке О
(рис. 8.11, а). Перенеся силы вдоль линий действия в эту точку и
сложив их последовательно по правилу параллелограмма, найдем
равнодействующую R* данной системы сил (рис. 8.11, б):
а
Рис. 8.11
В общем случае для системы сходящихся сил:
(8.1)
Результат сложения векторов не зависит от последователь-
последовательности их сложения. Графическое сложение векторов возможно
и без построения параллелограммов сил. Для этого нужно
181

от конца вектора одной силы отложить вектор другой силы, затем
от его конца отложить вектор какой-либо третьей силы и т. д.,
пока не будут отложены все силы. Для нахождения равнодейст-
равнодействующей системы сил нужно соединить начало первого вектора с
концом последнего (см. рис. 8.11, б). Многоугольник OABCD на-
называется силовым многоугольником.
Рис. 8.12
Таким образом, система сходящихся сил эквивалентна одной
равнодействующей силе, которую моэюно определить замыкаю-
замыкающим вектором R* силового многоугольника, построенного на
векторах-силах системы сходящихся сил. Другими словами, рав-
равнодействующая системы сходящихся сил равна их геометриче-
геометрической сумме.
Аналитический способ задания и сложения сил
Аналитический способ решения задач статики основывается
на представлении вектора силы в виде трех его составляющих по
182

направлениям осей прямоугольной декартовой системы коорди-
координат. Будем пользоваться правой системой координат (рис. 8.12).
В этой системе координат
Fx = Fcosoc, Fy=Fcos$, Fz=Fcosy;
Проекция вектора F на координатную ось есть скалярная
величина, которая может быть положительной, отрицательной
или равной нулю. Если равнодействующая
к=\
ТО
Ы\ к=\
Таким образом, проекция вектора равнодействующей систе-
системы сил на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций
векторов (составляющих) сил на ту же ось.
Модуль равнодействующей
а ее направление можно определить через направляющие коси-
косинусы:
R* К R*
cosa = —-; со8В = -^-; 0087 = -^-. (8.4)
R* R* R*
Кроме сложения сил иногда возникает необходимость их
разложения. Разложить данную силу на несколько составляющих
означает найти такую систему нескольких сил, для которой дан-
данная сила является равнодействующей. Задача разложения являет-
является обратной задаче сложения сил. Разложить вектор R по двум
заданным направлениям на плоскости или по трем направлениям
в пространстве труда не представляет. В первом случае вектор R
будет диагональю параллелограмма, во втором — диагональю
параллелепипеда, ребра которого параллельны заданным направ-
направлениям.
183

Условия равновесия системы сходящихся сил
Так как система сходящихся сил эквивалентна одной равно-
равнодействующей, то тело под действием такой системы сил будет
находиться в равновесии тогда, когда равнодействующая равна
нулю, т. е. силовой многоугольник должен быть замкнут. Ус-
Условия равновесия в векторной и аналитической форме имеют со-
соответственно следующий вид:
Дф=Х^=о; (8.5)
к=\
*; =!*•*, =0; Л;=2Х=О; *;=?f4,=0. (8.6)
к=\ к=\ Ы\
Равенства (8.5) и (8.6) содержат заданные и неизвестные ве-
величины. Их называют уравнениями равновесия.
Последовательность решения задач статики
Для решения задач статики целесообразна следующая мето-
методика.
1. Выбор тела (или тел), равновесие которого должно быть
рассмотрено.
2. Освобождение от связей, т. е. действие связей нужно заме-
заменить действием сил.
3. Составление уравнений равновесия. После освобождения
от связей выбранное тело (или система тел) стало «свободным».
На него действуют заданные силы и неизвестные силы реакций.
Для свободного тела, находящегося в равновесии, записывают
уравнения равновесия в векторной (8.5) или в аналитической (8.6)
форме.
4. Решение уравнений равновесия. Решение рекомендуется,
как правило, проводить в общем виде (алгебраически): получить
формулы для искомых величин, подставить числовые значения и
найти результат. Решение в общем виде проще проверить и, если
допущены ошибки, то обнаружить их.
5. Качественная оценка решения. Полученным результатам
целесообразно дать качественную оценку, т. е. проанализировать
их соответствие физическому представлению о распределении
сил. Такая оценка на практике иногда помогает обнаружить
184

ошибки. Например, если стержень АВ (рис. 8.13), поддержи-
поддерживающий балку, в результате решения задачи получился растя-
растянутым, то такое решение ошибочно, так как на самом деле
стержень сжат.
Рис. 8.13
Приведем примеры решения таких задач.
Пример 8.1. Между вертикальной стенкой и заделанной в нее пластиной на-
находится цилиндр, вес которого Р (рис. 8.14, а). Определить силы давления ци-
цилиндра на стенку и пластину.
Решение. Рассмотрим равновесие цилиндра. Для этого освободим его от
связей. Приложим к центру тяжести цилиндра силу Р, а действие связей заме-
заменим действием сил. Силы N,, N2 реакций связей должны быть направлены по
нормалям к поверхностям в точках контакта (рис. 8.14, б).
Важно правильно наметить линию действия реакции связи. Если линии дей-
действия всех сил пересекаются в одной точке, то система сил будет системой схо-
сходящихся сил. Условием равновесия является равенство нулю равнодействую-
равнодействующей системы сил:
?*=?+#,+#2=0.
Построим векторный треугольник (рис. 8.14, в) и найдем
. #,=Pctga, N2=P/sina
(при малом угле a N} и N2 могут быть очень большими).
По условию задачи требуется найти силы давления цилиндра на стенку и
пластину. Применив закон действия и противодействия, получаем силы -N, и
- N2, показанные на рис. 8.14, г.
12 3ак. 16
185

Рис. 8.14
Пример 8.2. Нить, на концах которой закреплены грузы весом Рх и?2, пе-
перекинута через блоки А и В (рис. 8.15, а). В точке О к нити подвешен груз, вес
которого /> = 1000Н. Система грузов находится в равновесии при а = 60°,
Р = 30° . Пренебрегая трением на осях блоков, определить вес грузов Р] и Р2.
Решение. Силы натяжения Т, Г, и Т2 нити грузами равны по модулю их
весам. В данной задаче блоки не изменяют значений сил, а изменяют только их
направления. В точке О пересекаются линии действия всех сил (Т, Г,, Т2),
поэтому рассмотрим ее равновесие (рис. 8.15, б).
Для составления условий равновесия воспользуемся их аналитической фор-
формой (8.6):
186

*=|
Ar=1
Построим систему координат с началом в точке О (рис. 8.15, в). Проецируя
силы на оси координат, находим
/?;=r2cosp-7;cosa = 0, R*y =-
Откуда
12*
1.87

cosp
: cos a
или
Г-rJsina-^+sinpl.
L cosa J
Подставляя числовые значения, получаем
Г2 = />2=500Н; Г,=Р,=866Н.
Положительные значения Т} = Рх и Т2 = Р2 свидетельствуют о том, что их
направления выбраны правильно. Верно и то, что Рх > Р2, так как в противном
случае не будет соблюдаться условие равновесия /?* = 0.
При решении задач статики иногда удобно пользоваться
теоремой о трех силах. Если твердое тело находится в равно-
равновесии под действием трех непараллельных сил, леэюащих в одной
плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной
точке.
Доказательство. Сложив две из трех сил, например
F, + F2 = R*, приходим к выводу, что тело находится в равнове-
равновесии под действием двух сил F3 и R *. Следовательно, силы F3 и
R* лежат на одной прямой, а линия действия силы F3 проходит
через точку пересечения линий действия сил F} и F2, что и тре-
требовалось доказать.
Пример 8.3. Однородный стержень весом Р и длиной 4/ опирается на непод-
неподвижный цилиндрический шарнир А и упор В (рис. 8.16, а). Угол наклона стерж-
стержня к горизонту a = 30° , АВ-Ъ1. Определить реакции связей.
188

Решение. Рассмотрим равновесие стержня. Реакцию связи неподвижного
шарнира вместо двух составляющих представим одной силой RA, направлен-
направленной в точку D пересечения линий действия сил Р и RB (рис. 8.16, б). Из гео-
геометрических соображений (см. рис. 8.16, а, б) находим Р, = 60° и Р2 = 30°. а из
силового треугольника (рис. 8.16, в) определяем
8.4. Момент силы относительно точки и относительно оси
Момент силы относительно точки
Пусть к телу в точке А приложена сила F (рис. 8.17). Тогда
моментом силы F относительно точки О называется вектор
MO(F), приложенный в точке О перпендикулярно плоскости
треугольника ОАВ и равный
M0(F) = rxF, (8.7)
где г — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А при-
приложения силы F .
\MO(F)
ВЛ
Рис. 8.17
189

Модуль вектора M0{F) равен произведению модуля силы
F на расстояние h от точки О до линии действия силы, которое
называется плечом силы относительно точки О, т. е.
Нетрудно заметить, что радиус-вектор г из точки О может
быть проведен не только в точку А, но и в любую другую точку,
лежащую на линии действия силы F , так как при этом будет из-
изменяться и г, и угол а, однако \r\ sin a = h останется без изме-
изменения.
Момент силы относительно точки равен нулю, когда линия
действия силы проходит через эту точку.
Момент системы сил относительно точки
Если мы имеем систему сил F],F2,...,Fk,...,FN (рис. 8.18),
то вектор Lo, равный сумме моментов всех этих сил относитель-
относительно точки О
Fk)>
(8.8)
называется главным моментом системы сил относительно
точки О.
Рис. 8.18
Если все силы приложены в одной точке (рис. 8.19), то
190

10=?(гх^) = гх?^=гхД\ (8.9)
Ы\ k=l
Вьфажение (8.9) представляет собой векторную запись теоремы
Вариньона: момент равнодействующей относительно какой-
либо точки равен сумме моментов составляющих сил относи-
относительно той же точки.
О
Момент силы относительно оси
Моментом силыР относительно оси называется проек-
проекция векторного момента этой силы, взятого относительно любой
точки оси, на эту ось, т. е.
Mz(F) = (rxFJ. _ (8.10)
Покажем, что проекция момента силы F, взятого относи-
относительно какой-либо точки О оси Oz9 на эту ось не зависит от по-
положения точки на оси (рис. 8.20).
Равенство (8.10) можно представить в виде
Из рис. 8.20 следует, что модуль векторного произведения (кхг)
есть величина постоянная для любой точки на оси. Численно он
равен удвоенной площади треугольника с основанием к и высо-
191

той d = rsin(k , г). Сила F тоже ос-
остается постоянной, следовательно,
величина (FxFJ не зависит от по-
ложения точки О.
Моменту силы относительно оси
можно дать другое определение: мо-
моментом силы F относительно произ-
произвольной оси Oz называется момент
проекции этой силы на плоскость,
перпендикулярную оси Oz, взятый от-
относительно точки Ох пересечения оси
с плоскостью П (рис. 8.21). При этом
момент силы рассматривается как ска-
скалярная величина
= MOi(Fn), (8.11)
Рис. 8.20
для которой берется знак «+», если проекция силы на плоскость,
перпендикулярную оси, стремится вращать тело вокруг оси про-
противоположно часовой стрелки, и знак «-» в противном случае. В
формуле (8.11) Mq^(Fyi) = ± Fjjh есть алгебраический момент
силы Fjj относительно точки О[.
Рис. 8.21
192

Покажем, что моменты силы относительно оси, вычислен-
вычисленные по формулам (8.10) и (8.11), являются одинаковыми. Так как
угол а между нормалями к плоскостям ОАВ и О^^ есть угол
между этими плоскостями, то
2 пл. AO^i?! = 2 пл. АОАВ cos a.
Отсюда получаем
M2(F) = \Mo(F)\cosa.
Момент силы относительно оси равен нулю, если линия дей-
действия силы пересекает ось или сила и ось параллельны, т. е. нахо-
находятся в одной плоскости.
Пример 8.4. На консольный брус длиной / и шириной а действуют силы F
и Fx (рис. 8.22). Определить моменты этих сил относительно координатных
осей Ох, Оу, Oz.
Рис. 8.22
Решение. Линия действия силы F пересекает ось Оу, поэтому My(F) = 0.
Чтобы вычислить моменты силы F относительно осей Ох и Oz, спроецируем ее
на плоскости, перпендикулярные этим осям, т. е. на плоскости Oyz и Оху.
193

Сила F} на плоскости Oxz и Oyz проецируется в натуральную величину.
С учетом правила определения момента силы относительно оси получаем
Моменты силы относительно осей декартовой
системы координат
Момент MO(F) относительно начала координат (см. (8.7))
можно представить в виде
= Mx(F)i+My(F)]
X
Fr
F F
Раскрывая определитель по элементам верхней строки, получаем
в виде множителей при /', у, к проекции момента MO(F) на
оси координат, равные моментам силы относительно осей:
= zFx-xFz;
(8.12)
Таким образом, чтобы вычислить моменты силы F относи-
относительно осей координат, надо знать координаты х, у, z точки при-
приложения силы и проекции самой силы на эти оси Fx9 Fy9 Fz
(рис. 8.23).
Пример 8.5. К торцу горизонтального Г-образного бруса в точке А приложе-
приложена сила F (рис. 8.24). Определить моменты силы F относительно осей коор-
координат с началом в центре заделки.
Решение. Вычислим координаты точки приложения силы:
х = 12+Ь, y = li+b, z = a.
Определим проекции силы F на оси координат
Fx=0, Fy =-Fcosa, Fz=-Fsina.
Согласно формулам (8.12), находим
MX(F) = -(/, + b)Fsina + aFcosa ,
194

Рис. 8.23
Рис. 8.24
195

8.5. Сложение параллельных сил. Пара сил
Параллельные силы, направленные в одну сторону
Пусть к твердому телу в точках Аи В приложены две парал-
параллельные силы Fx и F2 (рис. 8.25). Приложим в этих точках на
прямой АВ равные по величине и противоположно направленные
силы Тх и Т2. Заменим силы Fx, Тх и F2, T2 равнодействующи-
равнодействующими Rx и R2, которые перенесем в точку D пересечения их линий
действия. Теперь разложим Rx и R2 на две составляющие по на-
направлениям действия сил Fx, F2 и прямой, параллельной АВ.
Получим составляющие силы, соответствующие силам, прило-
приложенным в точках АиВ9т. е.
F{=FX\ TX'=TX; F2' = F2; F2' = f2.
Рис. 8.25
Отбросив систему сил (Тх 9Т2)9 эквивалентную нулю, полу-
получим две силы Fx и F2 , действующие вдоль прямой DC парал-
параллельно направлению заданных сил Fx и F2. Равнодействующая
таких сил
196

R*=Fl+F2.
Из подобия треугольников KED и DAC, а также MDL и BDC на-
находим
ВС _ Т{
dc f; ' dc f{ '
Разделив левые и правые части этих соотношений друг на друга,
получаем
AC F2 AC ВС АВ /в1_
= — или = = —. (8.13)
ВС Fx F2 F} R*
Таким образом, две параллельные силы, направленные в одну
сторону, имеют равнодействующую силу, параллельную им,
равную по модулю сумме их модулей и направленную в ту э/се
сторону. Линия действия равнодействующей сипы расположена
меэюду линиями действия заданных сил и делит отрезок прямой
меэюду линиями действия этих сил на части, обратно пропор-
пропорциональные модулям сил, внутренним образом.
Если две параллельные силы, направленные в одну сторону,
можно заменить одной силой, то и любую силу можно разложить
на две параллельные силы, направленные в ту же сторону.
Неравные параллельные силы, направленные
в противоположные стороны
Пусть сила F} больше силы F2 (рис. 8.26). Разложим силу
F, на две параллельные силы R * и F[, направленные в одну сто-
сторону, причем силу F[, равную по модулю силе F2, приложим к
точке В. Тогда F} = R * + F2, откуда R * = F} - F2 и R* = Fx - F2.
Точку С приложения силы R* определим из соотношений
(8.13), где за равнодействующую для сил R* и F2 следует при-
принять силу F}. В результате получаем
АС АВ _ ВС
Таким образом, две неравные параллельные силы, направ-
направленные в противоположные стороны, имеют равнодействую-
197

щую силу у равную по модулю разности модулей сил, параллель-
параллельную им и направленную в сторону большей силы. Линия дейст-
действия равнодействующей силы располосмсена за линией действия
большей из них и делит отрезок прямой между линиями дей-
действия заданных сил на части, обратно пропорциональные мо-
модулям сил, внешним образом.
Г
В
Рис. 8.26
Пара сил. Момент пары сил
Парой сил, приложенной к твердому телу, называется
система двух равных по модулю параллельных сил, направленных
в противоположные стороны (рис. 8.27). Сумма сил пары равна
нулю, но пара сил не уравновешена. Кратчайшее расстояние ме-
между линиями действия сил пары называется плечом пары сил.
Плоскость, в которой действуют силы пары, называется плоско-
плоскостью действия пары сил. Совокупность нескольких пар сил,
действующих на тело, называется системой пар сил.
Пара сил не приводится к равнодействующей. Докажем это
от противного. Пусть пара сил (F , F') имеет равнодействую-
равнодействующую R *, не параллельную силам пары (рис. 8.28). Тогда, приба-
прибавив к паре сил (F ,F') силу /?', противоположную равнодейст-
равнодействующей R *, мы получим уравновешенную систему трех сил (F ,
F', Л'). Но этого не может быть, так как линии действия сил F ,
198

Ff, R* не проходят через одну точку и, следовательно, не вы-
выполняется необходимое условие равновесия. Можно показать,
что пара сил не может иметь равнодействующей, параллельной
силам пары, так как не выполняется условие для точки приложе-
приложения равнодействующей.
Рис. 8.27
Рис. 8.28
Действие пары сил на тело характеризуется моментом пары
, F'), равным ±Fd. (На рис. 8.27 M(F, F') = Fd.)
Теорема о переносе пары в плоскости ее действия. Не из-
изменяя действия пары сил на тело, ее молено переносить куда
угодно в плоскости действия, изменять силы и плечо, сохраняя
неизменными модуль и направление момента пары сил.
Доказательство. Пусть на твердое тело действует пара сил
(F]9F2) с моментом M = -Fd (F}=F2=F) (рис. 8.29). Перене-
Перенесем F, в точку О,, a F2 в точку О2 и проведем через точки Ох и
О2 две параллельные прямые, пересекающие линии действия сил
пары и лежащие, следовательно, в плоскости ее действия. Соеди-
Соединив прямой точки О} и О2, разложим F} и F2 по правилу парал-
параллелограмма, как показано на рис. 8.29. Так как F} и F2 образуют
пару сил, то Fx = -F2 и, следовательно,
_ _
Поскольку (F}*9 F2 )<х>0, то эту систему двух сил можно от-
отбросить. Остается пара сил (F/, F2). Покажем, что моменты
199

исходной пары (/**,, F2) и образованной после переноса пары
(F{, F[) одинаковы. Направление вращения у них одно и то же.
Имеем
М = M(FX, F2) = -2 пл.
Af' = М(^', ^f) = -2 пл. ,2
Но площади ЬОхОгА и АОХО2В равны, так как эти тре-
треугольники имеют общее основание ОХО2 и равные высоты. Та-
Таким образом, теорема доказана.
Рис. 8.29
Действие пары сил на тело характеризуется не только моду-
модулем, но и положением плоскости действия пары в пространстве и
направлением, в котором она стремится вращать тело. Поэтому
момент пары сил можно рассматривать как вектор.
200

Векторный момент пары сил есть вектор М = M(F,F'),
перпендикулярный плоскости действия пары, направленный в ту
сторону, откуда видно, что пара сил стремится повернуть тело
против направления вращения часовой стрелки, и численно рав-
равный произведению модуля одной из сил пары на ее плечо.
Остается выяснить вопрос о точке приложения этого вектора.
Определим векторный момент пары сил относительно про-
произвольной точки О (рис. 8.30)
rA xF'.
Таккак F' = -F и гв -гА = ЛЯ,то
F l'). (8.14)
Рис. 8.Э0
Таким образом, векторный момент пары сил равен вектор-
векторному моменту одной из ее сил относительно точки приложения
другой силы или сумме векторных моментов ее сил относитель-
относительно произвольной точки О.
Так как выбор точки О произволен, то вектор М можно
считать приложенным в любой точке тела, т. е. этот вектор сво-
свободный. Поэтому пару сил можно переносить куда угодно в
плоскости и в параллельную плоскость, изменяя модуль силы и
плечо пары, но сохраняя при этом неизменными модуль момен-
момента пары и направление, в котором она стремится вращать твер-
твердое тело.
201

Две пары сил, имеющие одинаковые векторные моменты, эк-
эквивалентны независимо от того, где каждая из них расположена
(на одной плоскости или в параллельных плоскостях) и чему рав-
равны модули сил и плечи пар.
Если пары расположены в одной плоскости, то их векторные
моменты будут направлены перпендикулярно этой плоскости в ту
или иную сторону в зависимости от направления, в котором пара
стремится вращать тело. Поэтому в данном случае моменты пар
можно различать по модулю и знаку, т. е. можно рассматривать
как алгебраические величины. Условимся, придерживаясь правой
системы координат, считать момент пары сил положительным,
если она стремится вращать тело против направления движения
часовой стрелки, и отрицательным при противоположном на-
направлении вращения. Тогда для плоской системы пар сил
и
4-1 Ы\
Теорема о сложении пар сил. Вся совокупность пар сил,
действующих на тело, эквивалентна одной паре сил, векторный
момент которой равен сумме векторных моментов всех пар сил.
Доказательство. Если на тело действует несколько пар сил,
расположенных произвольным образом, то для их сложения и
приведения к одной паре сил можно применить выражение (8.14).
В самом деле, если векторные моменты пар сил равны Мх,
М2,..., Mk9...9MN, то сумма моментов всех сил, образующих
эти пары, относительно какой-либо точки О равна
kBkxFk=?Mk. (8.15)
к=\ к=\
Формула (8.15) выражает теорему о сложении пар сил.
На основании формулы (8.15) можно сформулировать усло-
условие равновесия системы пар сил, действующих на твердое тело.
При равновесии
М = ?л/,=0. (8.16)
к=\
202

Пример 8.6. На твердое тело, имеющее форму куба (рис. 8.31), по трем
его граням действуют пары сил F], F{ ; F2, F2 и F3, F3. Модули момен-
моментов пар А/, = 60Нм, М2=20Нм, М3 =20Нм. Найти результирующую
пару сил.
Рис. 8.Э1
Решение. В некоторой точке А построим векторы моментов пар сил А/,,
А72, А/3. Поскольку эти векторы взаимно перпендикулярны, то модуль резуль-
результирующей пары сил
М = >/л/,2+Л/22+Л/32 =>/б02+202+202 =20VTT Нм.
Направление вектора М определяется косинусами углов между векторами
A/j, М2, Мг и М :
cos(M,?F4 Mx 3
1
cos(M2?a7) = ^
л/
cos(A/^, М) = —- = -р=г
3 М ^
203

8.6. Приведение системы сил к простейшей системе
Теорема о параллельном переносе силы
Теорема. Сипу, приложенную к твердому телу, можно, не
изменяя ее действия, перенести параллельно самой себе в любую
точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным мо-
моменту переносимой силы относительно точки, в которую она
переносится.
Доказательство. Пусть в точке А на тело действует сила F
(рис. 8.32, а). Приложив в точке Я, куда переносится сила F из
точки А, эквивалентную нулю систему сил F' = -F" = F
(рис. 8.32, б), получаем силу F', приложенную в точке В, и пару
сил (F , F"), векторный момент которой М= ВАх F = Мв (F),
что и требовалось доказать. На основании этой теоремы можно
любую систему сил, действующих на твердое тело, перенести в
одну точку и заменить одной силой и парой сил (рис. 8.32, в).
Рис. 8.32
Приведение системы сил к заданному центру
Точку, к которой приводят систему сил, называют центром
приведения данной системы сил.
Теорема. Произвольную систему сил, действующих на твер-
твердое тело, молено привести к какому-либо центру, заменив все
действующие силы одной силой, равной главному вектору систе-
системы сил, приложенному в этом центре, и одной парой сил с мо-
моментом, равным главному моменту системы сил относительно
того же центра.
204

Пусть на твердое тело (рис. 8.33, а) действует произволь-
произвольная система сил (Fx,F29...9Fk9...9FN). Возьмем какую-либо
точку О за центр приведения и, пользуясь теоремой о парал-
параллельном переносе силы, перенесем все силы в эту точку, при-
присоединяя при этом соответствующие пары. На тело теперь дей-
действует система сил (Fx\F{9...9Fk9...9F^)9 приложенных в
точке О9 и система пар сил, векторные моменты которых
М0(Ц)9 Mo(F2)9...9Mo(Fk)9...9Mo(FN). При этом F^Fk9
где ? = 1,2,...,JV.
Рис. 8.33
Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой R *,
которая равна главному вектору системы сил
(8.17)
k=\
Систему пар сил можно заменить одной парой, момент ко-
которой
к=\
(8.18)
205

равен главному моменту системы сил относительно центра
приведения (рис. 8.33, б), т. е. М = LO.
Заметим, что главный вектор системы сил не зависит от вы-
выбора центра приведения. Он вычисляется по такой же формуле,
что и равнодействующая, но при этом не эквивалентен данной
системе сил.
На основании доказанной теоремы можно сформулировать
условие эквивалентности системы сил: две системы сил, прило-
приложенных к твердому телу, эквивалентны, если они имеют одина-
одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одно-
одного и того же центра.
В противоположность главному вектору главный момент
системы сил зависит от выбора центра приведения.
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
Теорема. Если данная система сил имеет равнодействую-
равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой точки
О равен сумме моментов сил системы относительно той лее
точки*.
Доказательство. Пусть некоторая система сил (F} F2,...,
— — — N —
Fk,...,FN) имеет равнодействующую R* = J]Fk, приложенную
в точке А (рис. 8.34). Перенесем R * в
произвольную точку О — центр при-
приведения — параллельно себе. При
этом добавится пара сил (/?*, R") с
моментом М = Мо (/?*). Кроме того,
М есть главный момент системы сил
относительно центра О9 равный сумме
моментов всех сил относительно этого
центра, т. е.
Рис. 8.34
* П. Вариньон A654-1722) — выдающийся французский математик и механик.
206

Сравнивая между собой полученные выражения для М, по-
получаем математическую запись теоремы Вариньона
Проецируя векторы, входящие в обе части этого равенства,
на любую ось, проходящую через центр О, находим, что теорема
Вариньона справедлива и для моментов относительно оси.
Реакция заделки
Связь, которая запрещает как линейные, так и угловые пере-
перемещения твердого тела, называется заделкой.
При приведении сил реакции заделки к точке А (рис. 8.35) на
основании теоремы о приведении системы сил к заданному центру
получим силу RA и пару сил с моментом МА . Модуль силы и мо-
момент пары сил в заделке могут быть определены из условий равно-
равновесия твердого тела, к которому они приложены. Например, для
балки, показанной на рис. 8.35 (плоская система сил), будем иметь
сю-ЕЕ
Рис. 8.35
Соотношение между главными моментами системы сил
относительно двух центров приведения
Допустим, что при приведении системы сил к центру О по-
получили главный вектор R и главный момент Lo. Найдем выра-
выражение главного момента Lo той же системы сил относительно
нового центра Ох (рис. 8.36)
207

Рис. 8.36
Из векторного треугольника ОкО} находим
с/| к I О к
Тогда
к=\
к=\
к=\
Окончательно получаем
i (8.19)
Таким образом, главный момент системы сил относительно
второго центра приведения О, равен сумме главного момента
системы сил относительно первого центра приведения О и век-
векторного момента главного вектора, приложенного в первом
центре приведения, относительно второго.
Инварианты системы сил
Инвариантами системы сил называются скалярные или
векторные величины, не зависящие от выбора центра приведения.
208

Первый инвариант — главный вектор системы сил. Для лю-
бого центра приведения R = ^ Fk .
Второй инвариант — скалярное произведение главного век-
вектора на главный момент системы сил. Для доказательства этого
утверждения умножим равенство (8.19) скалярно на главный век-
вектор R :
LO] R=LOR + (О^Ох R)R .
Поскольку (О,О х R) • R = 0, то LOiR = L0R .
Частные случаи приведения пространственной
системы сил к простейшему виду
Покажем, к какому простейшему виду можно привести про-
пространственную систему сил, не находящихся в равновесии.
В общем случае любая система сил эквивалентна силе, рав-
равной главному вектору R, и паре сил, момент М которой равен
главному моменту Lo относительно центра приведения О:
Частные случаи дальнейшего упрощения можно получить из
анализа второго инварианта системы сил. Допустим, что второй ин-
инвариант системы сил LOR = 0, тогда возможны следующие случаи.
1. Если для данной системы сил Lo = 0, a R ф 0, то система
сил приводится к равнодействующей R *, равной R и проходя-
проходящей через точку О.
2. Если R =0, a Lo *0, то система сил приводится к паре
сил с моментом М = LO, который на основании (8.19) не зависит
от выбора центра О.
3. Если R *0, Lo *0, но Lo ±R , то заданная система сил
приводится к равнодействующей R *, равной R , но проходящей
не через точку О, а через точку О], отстоящую от точки О на рас-
расстоянии
15 3ак.1б 209

R
(8.20)
Действительно, главный вектор R и пара сил с моментом Lo
лежат в одной плоскости. Представим момент пары сил в виде
произведения Lo = R'd и расположим пару (R\R*) так, как пока-
показано на рис. 8.37, причем выберем |Л'|= R* = R\. В результате
силы R и R' уравновесятся, а система сил будет эквивалентна
одной равнодействующей R *, проходящей через точку Ох.
Рис. 8.37
Теперь рассмотрим систему сил, для которой второй инва-
инвариант L0R *0. В простейшем виде такую систему можно пред-
представить совокупностью векторов Lo и R, расположенных на
одной линии и называемых динамическим винтом (рис. 8.38).
К одной силе (или одной паре сил) данную систему сил привес-
привести нельзя.
Докажем, что если LoR*09 причем в общем случае вектор
Lo не параллелен вектору R , то система сил приводится к дина-
динамическому винту. Разложим Lo на две составляющие: Lx, на-
210

правленную вдоль R, и ?2, перпендикулярную R (рис. 8.39).
Вектор L2 представим в виде пары сил R', R\ равных по мо-
модулю силе R , как это показано для вектора Lo на рис. 8.37, т. е.
L2 = R'd. Силы R и R" взаимно уравновешиваются, а вектор I,
как свободный перенесем в точку О,. В результате имеем дина-
динамический винт R\ Lx, проходящий не через точку О, а через точ-
точку Ох. Прямая, вдоль которой (через точку О,) направлен вектор
R', называется осью динамического винта.
Рис. 8.38
Рис. 8.39
15*
211

Пример 8.7. На твердое тело, выполненное в виде куба с длиной ребра а
(рис. 8.40), действует система, состоящая из девяти равных по модулю сил Fk
(к = 1,..., 9). Привести систему сил к вершине куба — точке О и упростить ее.
Рис. 8.40
Решение. Построим систему координат с началом в точке О и определим
проекции на оси координат главного вектора R и главного момента Lo :
к=9 к=9 Ы9
Y Z Х
к=9
к=\
к=9
А=9
*=1
Найдем модули главного вектора и главного момента
Второй инвариант системы сил
L0R = LXRX + LyRy + LZRZ = 6F2a .
212

Так как L0R*Q, то система сил приводится к динамическому винту. Мо-
Модуль момента динамического винта L, определим исходя из того, что
где L, направлен по R , a L2±R .
Следовательно,
R
Параметры динамического винта

Глава 9
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ
9.1. Условия равновесия системы сил
Условия равновесия произвольной пространственной
системы сил
Произвольная система сил, приложенных к твердому телу,
эквивалентна силе, равной главному вектору R, и паре сил с мо-
моментом, равным главному моменту Lo относительно какого-либо
центра О. Чтобы такая система находилась в равновесии, необхо-
необходимо и достаточно равенство нулю и главного вектора R, и
главного момента Lo. Поэтому условия равновесия пространст-
пространственной системы сил могут быть представлены в векторной форме
Z^?Mo(F,) = 0. (9.1)
Два векторных условия (9.1) эквивалентны следующим шес-
шести аналитическим условиям равновесия:
R* =Z/r*« =0' Ry =IX =0' Rz = IX =0;
*=1 *=1 *=1
Lx =2Х(/?,) = 0; Ly =?My(Fk) = 0; (9.2)
к=\ к=\
к=\
Условия равновесия (9.2) можно сформулировать так: для
равновесия произвольной системы сип, приложенных к твердому
214

телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил
на оси декартовой системы координат равнялись нулю и суммы
моментов всех сил относительно этих осей также равнялись
нулю.
Пример 9.1. На балку ABCD, заделанную одним концом, в сечениях (точках)
В и D действуют силы F, и F2 и пары сил с моментами Мв = 2Fa и МD = Fa
(рис. 9.1, а). Определить реакцию заделки, приняв F, = F, F2 = 2F .
Решение. Действие заделки на балку заменим силой RA и парой сил с мо-
моментом МА , направления которых неизвестны. Представим их в виде трех со-
составляющих, направленных по координатным осям. На рис. 9.1,5 изображена
освобожденная от связи балка, моменты Мв и Мо показаны в виде векторов,
сила RA представлена составляющими X А, YA, ZA , момент МА в виде трех
составляющих МАх, МАу, МАг. Балка находится в равновесии.
Составим условия равновесия в аналитической форме
k=\ k=\ k=\
YdMix = MB-2Fa + MAx=0;YlMt?
k=\ k=\
k=\
Учитывая, что Мв = 2Fa и МD = Fa, находим
ХАш0, YA=F, ZA=2F;
MAx=0, MAy=-3Fa, MAt=2Fa. .
Из полученных данных следует, что действительное направление МАу про-
противоположно изображенному на рис. 9.1, б.
Условия равновесия пространственной системы
параллельных сил
Если силы, действующие на твердое тело, параллельны меж-
между собой, то можно выбрать такую систему координат, когда од-
одна из ее осей, например Oz, параллельна направлению действия
сил (рис. 9.2). Тогда из шести аналитических условий равновесия
три выполняются тождественно, и система параллельных сил бу-
будет иметь только три условия равновесия:
215

216

N
к=\
N
к=\
(9.3)
к=\
Рис. 9.2
Условия равновесия плоской системы сил
Для плоской системы сил условия равновесия будут частным
случаем уравнений (9.2), определяющих условия равновесия про-
пространственной системы сил. Например, если силы расположены в
плоскости Оху, то аналитические условия равновесия можно за-
записать в виде
*, =1Х =0; Л, =|Х =0; Lo «? Mo(Fk) = Q. (9.4)
Ы\ Ы\ k=\
Для равновесия произвольной плоской системы сил необхо-
необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую
из двух координатных осей и сумма алгебраических моментов
этих сил относительно любого центра О были равны нулю.
Алгебраическим моментом силы относительно точки назы-
называют момент силы относительно оси, проходящей через данную
точку перпендикулярно плоскости, в которой расположена сила и
точка (см. (8.11)).
Вместо (9.2) иногда удобно применить условия равновесия
в виде уравнений трех моментов: для равновесия произвольной
плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы
14 Зак. 16
217

алгебраических моментов всех этих сил относительно любых
трех центров А, В, С, не лежащих на одной прямой, были равны
нулю:
fX(F,) = O; fX(FA) = O; ?мг(/;) = 0. (9.5)
k=\ k=\ *=1
Необходимость утверждения следует из того, что третье ус-
условие (9.4) справедливо для любой точки. Достаточность дока-
докажем методом от противного, используя теорему о приведении
произвольной системы сил к центру. Допустим, что плоская
система сил не находится в равновесии. Тогда, приводя ее пооче-
поочередно к точкам А, В, С, будем иметь в этих точках равнодейст-
равнодействующую R*. Для выполнения равенств (9.5) равнодействующая
должна пройти одновременно через все три точки, а это невоз-
невозможно, так как точки не лежат на одной прямой. Следовательно,
равнодействующая равна нулю и система сил, удовлетворяющая
равенствам (9.5), находится в равновесии.
Пример 9.2. Составить условия равновесия для плоской системы сил, при-
приложенных к балке (рис. 9.3).
Рис. 9.3
Решение. На основании уравнений (9.4) имеем
= 0; Ry
= YA-F2sma + YB-^ =0;
lc=\
или, согласно уравнениям (9.5),
218

1-Fx3l = 0;
-^2/ + F2/since - Fxl = 0;
= 0.
Пример 9.3. Однородная прямоугольная рама (рис. 9.4) весом Рх = 400 Н,
прикрепленная к стене с помощью сферического шарнира в точке А и петли в
точке В, удерживается в горизонтальном положении тросом СК. К раме в точке Е
подвешен груз весом Р = 50 Н . Определить натяжение троса СК9 а также реак-
реакции сферического шарнира и петли, если a = 60°, Р = 60°, СЕ-DE и ВС = /.
Решение. Условия равновесия рамы, согласно уравнениям (9.2), имеют сле-
следующий вид:
N
Д, = ]Tf*x = Хл - 7] cosacosP = 0;
k=\
N
Ry = y?iFky = 1^ + У5 -7JcosasinP = 0;
- ТхШа-Р±1-Тг1 = 0;
Ly
где /, = ^5; T2 = P.
Из уравнений находим
^= 72,17H; У^
YB = 0; ZB=-25U; 7; = 288,7H.
Пример 9.4. Ворот 7 (рис. 9.5, a\ предназначенный для подъема груза 2 ве-
весом Р, удерживается в равновесии вертикальной силой F, приложенной в точ-
точке С к горизонтальному рычагу CD. Определить реакции связей, а также модуль
силы F, если Р = 2кН; вес барабана /} = 0,08 кН; г = 0,1м; /!=/2=/3 =
= 0,3 м; /4 = 0,8 м . Угол а между наклонным участком троса и горизонтом
равен 30°, а ZCDB = 90°.
219

OS
го

б
Рис. 9.5
Решение. Рассмотрим условия равновесия ворота. Освободив его от связей
(подпятника Л, подшипника В) и отсоединив трос с грузом 2 от барабана 3 в
точке схода троса с барабана, получим расчетную схему (рис. 9.5, б). Запишем
уравнения равновесия:
Л,
; Ry
, = YA =0;
k=\
k=\
k=\
N
*=1
221

Сила Т натяжения троса равна (по модулю) весу Р груза 2. Из составленных
уравнений находим проекции на оси декартовой системы координат реакций
подшипников и модуль силы F :
; YA=0; Z^
; ZB =-0,085кН ; F = 0,25kH.
9.2. Равновесие системы тел
На практике во многих случаях приходится проводить ста-
статический расчет конструкций, состоящих из системы твердых
тел, соединенных связями. Связи, соединяющие части данной
системы тел, будем называть внутренними в отличие от внеш-
внешних связей, скрепляющих конструкцию с телами, в нее не вхо-
входящими.
Если внешние связи заменить силами, то условий равновесия
(9.2) будет недостаточно для их определения. Существуют два
метода решения.
1. Составляют, пользуясь свойствами внутренних связей, до-
дополнительные условия равновесия, из которых определяют неиз-
неизвестные реакции. Например, для плоской трехшарнирной арки,
показанной на рис. 9.6, а, четвертым уравнением будет равенство
нулю суммы моментов относительно шарнира С всех сил, дейст-
действующих на какую-либо одну половину арки. Тогда
ы\
Из этих четырех уравнений определяют неизвестные ХА, YA,
222

2. Мысленно расчленяют конструкцию на отдельные части,
заменяя внутренние связи силами. Поскольку все части конст-
конструкции находятся в равновесии, то для любой из них можно со-
составить условия равновесия и определить неизвестные реакции
связей.
Такое расчленение трехшарнирной арки показано на
рис. 9.6, б. На основании закона действия и противодействия
реакции связей в шарнире С попарно равны по модулю и проти-
223

воположны по направлению, т. е. Х'с = -Хс, Yc'- = -Yc . Для каж-
каждой половины арки (плоская система сил) имеем три независи-
независимых условия равновесия (всего их шесть), из которых находим
неизвестные ХА, YA, XH9 Ye, Xc, Yc.
Метод, связанный с расчленением системы на части, приме-
применяют, когда нужно определить силы во внутренних связях.
Пример 9.5. Две горизонтальные балки АС и DE длинами 21 и / соответст-
соответственно в точках А и Е прикреплены к неподвижному основанию цилиндриче-
цилиндрическими шарнирами (рис. 9.7). Концы балок С и D с помощью цилиндрических
шарниров соединены балкой СД длина которой /. Все три балки находятся в
одной плоскости, внешние силы приложены к серединам балок. Определить
реакции опор.
F
Рис. 9.7
Решение. Для трех тел можно написать девять независимых условий равно-
равновесия и найти все неизвестные. Поступим иначе, т. е. составим три условия рав-
равновесия для всей системы и два дополнительных условия: сумма моментов всех
сил, действующих на балку D?, относительно точки D равна нулю и сумма мо-
моментов всех сил, действующих на систему, состоящую из двух балок CD и DE,
относительно точки С также равна нулю. Получим пять уравнений для опреде-
определения пяти неизвестных:
А=1
224

f,MA(Fk) = /(-0,5P, + YB -\5Рг - 2P3 - 2,5РЛ -0.5F &YE + XE) = 0 ;
Приняв PlS=i>2=P3=P4=F = P, находим Л^ОДР; У,—1,5/>; ^=
9.3. Определение внутренних сил
Внутренними называются силы, с которыми одна часть тела
в каком-либо сечении действует на другую его часть. Внутренние
силы приходится определять, например, при расчетах на проч-
прочность. На основании закона действия и противодействия внут-
внутренние силы всегда попарно равны по модулю и противоположны
по направлению. Если левая часть тела действует на его правую
часть силой F 9 то, в свою очередь, правая часть действует на
левую силой - F.
Метод определения внутренних сил в телах аналогичен ме-
методу определения неизвестных реакций связей. Рассмотрим его
на примере балки (рис. 9.8, а). Балка АВ заделана левым концом и
нагружена силами Fx, F2 и парой сил с моментом Мв. Все силы
находятся в одной плоскости. Определить внутренние силы в по-
поперечном сечении С балки, находящемся от заделки на расстоя-
расстоянии ах.
Определим реакции связи в сечении .4:
Мысленно рассечем балку на две части и действие одной
части на другую заменим силами. Так как направления и модули
сил в поперечном сечении С неизвестны, то их можно предста-
представить в виде произвольно направленных векторов Rq и Мс . Для
рассматриваемой плоской системы сил
Re =XC+YC; Mc = MCz.
225

yi
Гл.
«A
a,
h
С
мв
а
м
На рис. 9.8, б изображены две части балки с действующими
на них силами. Согласно закону действия и противодействия, си-
силы, приложенные в сечении С к одной части балки, равны по мо-
модулю и противоположны по направлению силам, приложенным в
том же сечении к другой части балки. Теперь для любой части
балки можно написать уравнения равновесия и определить неиз-
неизвестные внутренние силы ХС9 Yc и момент MCz в сечении С.
Например, из условий равновесия правой части балки получим
Хс =0; Гс =FX -F2; МСг =МВ +Fta2 -F2(l2 -я,)-
Таким образом, в сечении С действует поперечная сила Yc и
изгибающий момент MCz. Аналогично можно найти ХС9 Yc,
MCz, рассматривая левую часть балки.
В данном примере на правом конце балки нет неизвестных
реакций. Поэтому внутренние силы в поперечном сечении С
можно найти и без предварительного определения реакций связи
в заделке.
226

9.4. Статически определимые и статически
неопределимые системы
При решении задач статики реакции связей являются неиз-
неизвестными и их определяют из уравнений равновесия. Бели число
неизвестных составляющих реакций связей равно числу незави-
независимых уравнений равновесия, то рассматриваемая система на-
называется статически определимой. Системы, в которых число
неизвестных составляющих реакций связей больше числа урав-
уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.
На рис. 9.9, а, в показаны статически определимые, а на
рис. 9.9, б, г — статически неопределимые системы, поскольку в
последних число неизвестных составляющих реакций больше
числа уравнений равновесия. Связи, реакции которых не могут
быть определены с помощью уравнений равновесия, условно на-
называют лишними, хотя для прочности конструкции они необхо-
необходимы. Например, если двух крайних тросов недостаточно, чтобы
удержать груз, устанавливают третий трос, который обеспечивает
надежную подвеску груза.
а
г I'
Рис. 9.9
227

В инженерной практике нередко приходится встречаться со
статически неопределимыми системами. Определить реакции в
них методами, изложенными в этом разделе для абсолютно твер-
твердого тела, невозможно. Для решения статически неопределимых
задач необходимо считать тела деформируемыми и дополнитель-
дополнительно составлять уравнения деформаций, известные из курса сопро-
сопротивления материалов.
9.5. Расчет плоских ферм
Фермой называется жесткая конструкция, состоящая из пря-
прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Мес-
Места соединения концов стержней называют узлами. Все внешние
силы, действующие на ферму, прикладываются только в узлах.
Силами тр#ения в узлах пренебрегают; веса стержней или не учи-
учитывают, если они малы по сравнению с действующими внешни-
внешними силами, или их распределяют по узлам. Таким образом, внеш-
внешние силы, приложенные в узлах фермы, будут вызывать сжатие
или растяжение стержней. Как правило, фермы являются стати-
статически определимыми.
Расчет фермы сводится к определению опорных реакций
связей и сил в ее стержнях. Метод решения основан на рассмот-
рассмотрении условий равновесия систем сил.
Разберем его на примере фермы, представленной на
рис. 9.10, а. Из условий равновесия найдем реакции X А, YA, YB
опор. Далее воспользуемся методом вырезания узлов. Узлы бу-
будем вырезать в такой последовательности, чтобы в каждом из них
было не более двух неизвестных сил, поскольку для системы
сходящихся в узле сил можно составить только два аналитиче-
аналитических условия равновесия. Для рассматриваемой фермы последо-
последовательность вырезания узлов может быть следующей: /, ///, //, IV,
V, VI, VII или VIII, VII, VI,IV, V, III, IL Узлы вырезают мысленно,
разрезая стержни 1-13 и прикладывая силы от узла вдоль стерж-
стержня (стержень считать растянутым). На рис. 9.10, б показаны сис-
системы сил в вырезанных узлах /, ///, //. Так как X А и YA уже най-
найдены из условий равновесия фермы, то из условий равновесия
узла / определяем силы 7] и Т2, узла ///— Г3 и Т6, узла II — Т4
228

и Т5 и т. д. В результате решения получаем, что Г3=0 и Г„=0,
т. е. для рассматриваемой конструкции стержни 3 и 11 лишние,
поскольку без них ферма также сохраняет свою жесткость.
9.6. Распределенные силы
В инженерных расчетах часто приходится встречаться с сила-
силами, распределенными по поверхности или объему тела. Наиболее
распространенными из них являются силы тяжести, давление воды
или газа на какую-либо поверхность, электромагнитные силы.
При рассмотрении равновесия тел распределенные на каком-
либо участке силы заменяют их равнодействующей. Приведем
некоторые простейшие примеры распределенных сил, лежащих в
одной плоскости. В этом случае распределенные силы характери-
229

зуются интенсивностью q, т. е. силой, приходящейся на единицу
длины. Единица измерения интенсивности силы — ньютон на
MjStp (Н/м).
На рис. 9.11 изображены примеры распределенных на отрез-
отрезке ОА-а параллельных сил. Для распределенных сил, изобра-
изображенных на рис. 9.11, равнодействующая R* будет соответствен-
соответственно равна
R;=qa; Д2*=^; R;=)q(x)dx.
О
а
Линию действия равнодействующей (точку В на этой линии)
согласно теореме Вариньона находим из условия, что момент
равнодействующей относительно какой-либо точки равен сумме
моментов распределенных сил относительно той же точки. Таким
образом, получаем
= ^; 02*2=^; OB3=-L]q(x)xdx.
2 3 R* л
230

Рассмотрим систему сходящихся равномерно распределен-
распределенных по дуге окружности сил (рис. 9.12). Такие силы возникают,
например, от гидростатического давления на боковые стенки ци-
цилиндрического бака.
Рис. 9.12
Для этой системы равнодействующая сила R * направлена по
оси симметрии Ох, причем /?*=/?*.
Для определения R* выделим на дуге элемент dS-rda, по-
положение которого определяется углом а, отсчитываемым от оси
симметрии Ох. Тогда qdS-qrda, а модуль равнодействующей
будет равен сумме проекций всех элементарных сил qdS только
на ось Ох:
R* = \qr cosa da = 2qr sin a0.
-a0
Так как 2r sin a0 = h, то R* = qh.
Следовательно, равнодействующая системы сходящихся
равномерно распределенных по дуге окружности сил равна про-
произведению интенсивности сил на длину хорды, стягивающей ду-
дугу: линия действия равнодействующей перпендикулярна хорде и
проходит через ее середину.
231

Пример 9.6. Балка АС (рис. 9.13, а) жестко заделана в основание и образует
с горизонтом угол а . К ней в точке С шарнирно прикреплена горизонтальная
балка CD. которая также с помощью шарнира соединена с вертикальной балкой
BD. Определить реакцию заделки и силу в шарнире С, если АС = BD = /;
CD = 2/: BE=DE: АК = B/3I: / = 3м; ot = 60°; P = 45°; ^=10кН;
F2 = 40 кН : Л/ = 6 кН • м ; FX±AC .
Рис.9.13
Решение. Система находится в равновесии, поэтому в равновесии находится
каждая из балок. Для балки CD (рис. 9.13, б)
откуда
Гг = М/B/); Гг=1кН.
Из условий равновесия балки CD Xc найти нельзя. Поэтому рассмотрим
равновесие части CDB системы (рис. 9.13, в). Для нее
232

ЛГС =14,14 кН; Re = ^Х% + Ус2 ; i^ =14,18 кН.
Теперь можно определить реакцию заделки. Для этого составим уравнения
равновесия балки А С (рис. 9.13, г):
-y^cosa = 0.
Решив эти уравнения, найдем Хл = 5,48 кН; YA = 6 кН; МА =
= -15,24 кНм.
Пример 9.7. К кривошипу О А кулисного механизма (рис. 9.14, а) приложена
пара сил с моментом М. Определить вертикальную силу F, необходимую для
уравновешивания механизма при a = 30°, а также силу взаимодействия между
ползуном и кулисой ОХВ, если B4 = 2/; АВ = 1; / = 0,2м; А/ = 100Н-м.
Трением между ползуном и кулисой, а также в шарнирах пренебречь.
Решение. Поскольку трение между ползуном и кулисой не учитывается, то
силы взаимодействия между ними перпендикулярны кулисе. Составим уравнение
равновесия кривошипа ОА с прикрепленным к нему ползуном (рис. 9.14, б)
N _
]Г M0(Fk) = М - RA since • 2/ = 0
и вычислим
А = 2/sina ' A~
Приравнивая к нулю сумму моментов сил, приложенных к кулисе ОХВ
(рис. 9.14, в) относительно точки Ох, получаем
^М^ (Fk) = RfA4l - F • 5/sina = 0,
откуда находим
5 sin a
Пример 9.8. Трехшарнирная полукруглая арка (рис. 9.15, а) нагружена па-
парой сил с моментом М и системой сходящихся распределенных на участке сил с
постоянной интенсивностью д. Найти опорные реакции, если М = 20 кН • м ;
q = 4 кН/м; г = 1 м.
Решение. Распределенные силы заменим их равнодействующей, модуль ко-
которой R* =qBC = qrjl .
233

о
Рис. 9.14
Запишем два уравнения равновесия всей арки (рис. 9.15, б)
к=\
и найдем
Y = -/Tsin45o--— • Y =
YH = R*sin45°-YA; Yh = \2kH.
Так как из третьего уравнения равновесия всей арки П? FA х = 0 силы Л'^
и А'^ вычислить нельзя, то запишем уравнение равновесия левой половины
арки (рис. 9.15, в)
234

и определим ХА:
yi
После этого вернемся к расчетной схеме (см. рис. 9Л 5, б), для которой
N
JV,, = ХА + Хв - R* cos45° = 0.
Отсюда
R*cos45°-XA;

Глава 10
ТРЕНИЕ
10.1. Законы трения скольжения
Между движущимися телами в плоскости их соприкоснове-
соприкосновения возникает сила трения скольжения. Обусловлено это преж-
прежде всего шероховатостью соприкасающихся поверхностей и на-
наличием сцепления у прижатых тел.
В инженерных расчетах обычно пользуются установленными
опытным путем закономерностями, которые с некоторой степе-
степенью точности отражают действие силы трения. Эти закономерно-
закономерности называют законами трения скольжения. Их можно сфор-
сформулировать следующим образом.
1. При стремлении сдвинуть одно тело относительно другого в
плоскости их соприкосновения возникает сила трения F , модуль
которой может принимать любые значения от нуля до Fmax, т. е.
Сила трения приложена к телу и направлена в сторону, про-
противоположную возможному направлению скорости точки прило-
приложения силы.
2. Максимальная сила трения равна произведению коэффи-
коэффициента трения/ на силу нормального давления N:
*тах=/^ (ЮЛ)
Коэффициент трения/— безразмерная величина, зависящая
от материалов и состояния поверхностей соприкасающихся тел
(шероховатость, температура, влажность и т. п.). Определяют его
опытным путем.
Различают коэффициенты трения покоя и трения скольже-
скольжения, причем последний, как правило, зависит и от скорости
236

скольжения. Коэффициент трения покоя соответствует такой
максимальной силе трения Fmax, при которой имеется предель-
предельное состояние равновесия. Малейшее увеличение внешних сил
может вызвать движение. Коэффициент трения покоя, как прави-
правило, немного больше коэффициента трения скольжения. С увели-
увеличением скорости скольжения значение коэффициента трения
скольжения сначала незначительно уменьшается, а затем остается
практически неизменным. Значения коэффициентов трения для
некоторых пар трения следующие: дерево по дереву 0,4-0,7; ме-
металл по металлу 0,15-0,25; сталь по льду 0,027.
3. Максимальная сила трения в довольно широких пределах
не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.
Силу трения скольжения иногда называют силой сухого
трения.
10.2. Реакция шероховатой поверхности. Угол трения
Реакция идеально гладкой поверхности, как уже говорилось
выше, направлена по нормали к поверхности. На шероховатой
поверхности могут возникать силы трения скольжения. Поэтому
реакцию шероховатой поверхности представим в виде двух со-
составляющих: нормальной реакции N (равна по модулю силе нор-
нормального давления) и перпендикулярной ей силы трения F
(рис. 10.1). Полная реакция R=N + F всегда отклонена от норма-
нормали к поверхности на некоторый угол а. На рис. 10.1 видно, что
tgoc = F/N.
Если тело лежит на горизонтальной шероховатой поверхности
и на него не действуют никакие внешние силы, кроме силы тяже-
тяжести, то F = 0, а полная реакция
R = N и перпендикулярна опор-
ной поверхности. Приложив к
телу силу Fx, мы стремимся вы-
звать его движение, но оно не
происходит, так как возникает
сила трения F = -is, причем
. С увеличением силы
237

Fx будет возрастать и сила F . Наконец, при F{ = F^ наступит
предельное состояние равновесия, при котором полная реакция
R отклонится от вертикали на угол а^, называемый углом
трения. Обозначив его через <р, получим
Г. A0.2)
N
Тангенс угла трения равняется коэффициенту трения. Пол-
Полная реакция неидеальной связи при равновесии имеет направле-
направление в пределах угла трения.
10.3* Реакция связи при качении
Абсолютно твердых тел, как и абсолютно гладких поверхно-
поверхностей, в природе не существует. Поэтому круглое тело (цилиндр,
колесо), деформируясь, вдавливается в опорную поверхность.
При качении цилиндр вдавливается в опорную плоскость и кон-
контактирует с ней по некоторой поверхности, которая в плоскости
рисунка образует дугу СД сдвинутую относительно вертикаль-
вертикального диаметра цилиндра в направлении качения (рис. 10.2, а).
Полная реакция R опорной поверхности на цилиндр как сумма
системы распределенных сил, вызванных деформацией поверх-
поверхности, препятствует качению последнего. Это сопротивление,
возникающее при качении одного тела по поверхности другого,
условно называют трением качения.
со
оо4—Ц
238

Определение значений и направлений распределенных сил
представляет сложную задачу механики деформируемого твердого
тела. В инженерных расчетах нас интересует момент сопротивле-
сопротивления качению (рис. 10.2, б). Схематизируя явление, будем рассмат-
рассматривать качение по недеформируемой поверхности, а полную реак-
реакцию R (см. рис. 10.2, а) представлять в виде двух составляющих,
приложенных в точке В, смещенной от точки А в сторону возмож-
возможного качения на некоторую величину 6 (рис. 10.2, в). Сила F —
сила трения скольжения, а сила N — нормальная реакция, рав-
равная по модулю силе нормального давления.
Из условия равновесия цилиндра (см. рис. 10.2, в) будем
иметь
N = P, F = Q, QmaKr = W. A0.3)
Произведение 6N = (Мтр)тяк называется моментом сопро-
сопротивления качению, или моментом трения качения. Если сила Q
мала, то смещение силы N от вертикального диаметра цилиндра
также незначительно; с увеличением Q это смещение возрастает.
Наконец, при gmax цилиндр достигнет предельного состояния
равновесия и нормальная реакция N будет Ьтстоять от вертикаль-
вертикального диаметра на предельном расстоянии 6, которое называется
коэффициентом трения качения. Выражают 5 обычно в санти-
сантиметрах. Коэффициент 8 зависит от свойств материалов и состоя-
состояния поверхностей соприкасающихся тел, определяют его опытным
путем. Например, при качении колеса по рельсу 5 = 0,005см, за-
закаленного шарика по закаленной канавке (шариковый подшипник)
8 = 0,001 см.
10.4. Равновесие тела при наличии трения. Конус трения
Равновесие тел с учетом сил трения скольжения рассматри-
рассматривают обычно для предельного состояния, когда сила трения дос-
достигает максимального значения. Реакция неидеальной связи
представляется двумя составляющими: нормальной реакцией
N и максимальной силой трения Fmax. В зависимости от по-
поставленной задачи результат решения может быть выражен в ви-
виде равенства или в виде неравенства.
239

Равновесие тела на наклонной шероховатой плоскости
Рассмотрим вначале предельный случай равновесия тела на
наклонной шероховатой плоскости, когда F = Fm2iX (рис. 10.3).
Проецируя все силы, которые действуют на тело, на ось Ох, по-
получим
или
tg^max =/.
Но тело может находиться в покое на наклонной плоскости и
при меньших углах ее наклона. Поэтому условие равновесия тела
на наклонной плоскости выразим в виде неравенства
tga</.
Равенство / = tgamax можно использовать для опытного
определения коэффициента трения скольжения.
О
Рис. 10.3
Рассмотрим равновесие тела на наклонной шероховатой
плоскости, когда кроме силы тяжести на тело действует внешняя
сила F, (рис. 10.4). Здесь возможны две ситуации: 1)если
Fj < Ps'm a , то тело может начать скользить вниз, а сила трения
Fmax будет препятствовать этому скольжению (см. рис. 10.4);
2) если Fx >Psina, то тело будет стремиться перемещаться по
наклонной плоскости вверх, сила трения Fmax в этом случае бу-
будет направлена в противоположную сторону и будет это движе-
240

ние тормозить. Следовательно, чтобы тело не скользило вниз и
не начало двигаться вверх, необходимо выполнить следующие
условия:
F] > Ps'ma- fPcosa ;
F} <Ps'ma + fPcosa.
Рис. 10.4
Таким образом, условие равновесия тела на наклонной ше-
шероховатой плоскости выражается двойным неравенством
P(s'ma-fcosa)<F] <P(sina-f/cosa).
Конус трения
Рассмотрим равновесие невесомого тела на горизонтальной
шероховатой плоскости под действием наклонной силы F}, стре-
стремящейся его сдвинуть (рис. 10.5). Тело будет сдвинуто только
тогда, когда
Fxsma>Fnm = F,cosa-/ .
Предельному случаю равновесия соответствует такой угол
наклона a, при котором выполняется равенство F, sin a =
= /F, cosa, или tga = /. Если tga </, то как бы не возрастала
сила F], тело сдвинуть с места невозможно. Возрастающей сдви-
сдвигающей силе F} sin a будет противостоять пропорционально ей
увеличивающаяся сила трения F,/cosa.
17 3ак.16 241

Поворачивая вокруг вертикали
вектор силы F] и сохраняя при
этом предельное равновесие, опи-
опишем конус, называемый конусом
трения. Если свойства соприка-
соприкасающихся поверхностей во всех
направлениях одинаковы, то угол
а будет постоянным, а конус тре-
трения круговым.
Конус трения обладает тем за-
замечательным свойством, что если
действующая на тело сила нахо-
находится внутри него, то тело всегда
будет находиться в равновесии.
Этим объясняются известные явле-
явления заклинивания, или самотормо-
самоторможения тел.
Равновесие тела с учетом трения качения
Рассмотрим две схемы, широко встречающиеся на практике:
ведомого и ведущего колес.
Схема нагружения ведомого колеса изображена на рис. 10.2.
Если, согласно A0.3),
Q<-N, A0.4)
г
то колесо не сможет катиться; если же
Q<F=fN,
то колесо не будет скользить (без качения) и будет находиться в
равновесии. Как правило, 8/г « /, поэтому определяющим яв-
является неравенство A0.4). Чтобы вызвать качение, требуется зна-
значительно меньшая сила Q , чем для скольжения. Поэтому в техни-
технике, везде где возможно, скольжение стремятся заменить качением.
Ведущее колесо от ведомого отличается тем, что к нему
прикладывается пара сил с моментом М (рис. 10.6). Сила Q
характеризует сопротивление транспортного средства, напри-
242

мер автомобиля, которому ведущее колесо стремится сооб-
сообщить движение вправо.
Из условия равновесия колеса получаем
В предельном состоянии равновесия
Ведущее колесо может сообщать автомобилю силу Qmax
только тогда, когда к колесу будет приложен момент Мтах. В
этом случае полностью используется
максимальная сила трения скольже-
скольжения Fmax =fN. При M<Mmax сила
Q < Qmzx 9 при М > Л/тах сила Q
должна быть больше Fmax, что не-
невозможно (колесо начинает буксо-
буксовать); ведущее колесо может сооб-
сообщать автомобилю силу, не
превышающую силу трения сколь-
скольжения. Такую силу называют силой
тяги по сцеплению. Рис. 10.6
Трение нити о цилиндрическую поверхность
(задача Эйлера)
Пусть круглый вал обмотан нитью, к одному концу которой
приложена сила F, (рис. 10.7). Определим наименьшую силу F2,
которую надо приложить к другому концу нити, чтобы удержать
силу F,, если угол охвата нити у, а коэффициент трения нити о вал/
Рассмотрим равновесие элементарного участка нити DE
длиной ds = rrfp, где г — радиус вала. В точках D и Е натяжение
нити будет соответственно Г и (T + dT). На нить, кроме того,
действует сила нормального давления вала dN и сила трения
dF, приложенные в точке С. Сумма проекций всех сил на каса-
касательную к валу в точке С равна нулю. Тогда
17*
243

T+dT
Рис. 10.7
Наименьшее значение силы F2 будет соответствовать пре-
предельному случаю равновесия, поэтому dF = fdN.
Проецируя все силы на нормаль Су, находим
dN = (T + T + dT) sin(rfp/2) = 2Г(<ф/2) = 7V/p.
Подставим это значение dN в выражение dT = fdN :
Разделим переменные и проинтегрируем полученное урав-
уравнение в пределах от F2 до F, и от 0 до у:
Отсюда находим
или
При / = 0, как и следовало ожидать, F2 =F}. Увеличивая угол
охвата у, можно значительно уменьшить силу F2. Например,
при / = 0,5 и у = 4я F2= 0,002/;.
244

Рассмотренная задача часто встречается в практике, напри-
например при расчете Ленточных тормозов или швартовки кораблей к
причалу.
Пример 10.1, Цилиндрический каток весом Р, обмотанный двумя симмет-
симметрично расположенными нитями, находится на наклонной плоскости, образую-
образующей угол а с горизонтом (рис. 10.8, а). Найти, при каких значениях угла а
каток будет в равновесии, если коэффициент трения скольжения между катком
и плоскостью равен/ Трением качения пренебречь.
В
Рис. 10.8
Решение. Освободим каток от связей, заменив их реакциями (рис. 10.8, б).
При равновесии катка на плоскости
*=1
В предельном случае равновесия F = Fmax = /N , где N = Pcosa^. Следова-
Следовательно,
sinanp=2/cosanp.
Равновесие катка возможно, если
a < anp»
где anp =arctg2/.
Пример 10.2. Грузозахватный механизм (рис. 10.9, а) состоит из двух оди-
одинаковых рычагов У и 2, конуса 3 и стяжки 4. Определить значение коэффициен-
коэффициентов трения скольжения между пластинами механизма и грузом 5, при которых
245

возможно равновесие системы в заданном положении. Весом механизма по
сравнению с весом Р груза, а также трением между конусом и рычагами пре-
пренебречь.
Рис.10.9
Решение. В предельном случае равновесия системы сила трения скольже-
скольжения, приложенная к рычагу 1 в точке С,
где Nc — сила давления груза на рычаг.
Для определения Nc рассмотрим вначале условия равновесия конуса 3
(рис. 10.9,5). К конусу приложена система сходящихся сил. Следовательно,
условие равновесия имеет вид
NA + ND + T =0,
где Т — сила натяжения троса, равная по модулю весу Р груза 5.
Находим
N
А
2sina
Условия равновесия рычага 1 (рис. 10.9, в):
N'Acosa lx + N'Asina -/3 -F/3 - Л^с/2 = 0.
246

Так как F = NA sin a , то
Nc = N'A cosa • -1- = —Lrctga.
/2 2/2
Из условия равновесия груза 5 в проекции на ось Оу имеем
откуда
Следовательно,
и равновесие системы в заданном положении возможно, если

Глава 11
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
11.1. Центр системы параллельных сил
Рассмотрим две направленные в одну сторону параллельные
силы Рх и Р2, приложенные к телу в точках А{ и А2 (рис. 11.1).
Равнодействующая этих сил
приложена в точке С, лежащей на прямой А, А2. Положение точ-
точки С найдем на основании теоремы Вариньона. Согласно этой
теореме,
Так как Мс (Р) = 0, то
Р1СА1=Р2СА2.
A1.1)
р
Рис. 11.1
А-,
Повернув силы Рх и Р2 в одну сторону на один и тот же про-
произвольный угол а вокруг точек Ах, А2, придем к выводу, что и
248

равнодействующая повернется в ту же сторону на угол а и будет
приложена в той же точке С. Такая точка называется центром
системы этих параллельных сил.
Приложим к телу в конкретных точках систему парал-
параллельных сил Р}, Р2,..., Рк,..., PN . Пусть она имеет равнодейст-
равнодействующую
? = Z^- (".2)
Последовательным сложением всех сил найдем точку С при-
приложения равнодействующей Р . При повороте сил Рк в одну сто-
сторону на один и тот же угол равнодействующая повернется на тот
же угол, оставаясь приложенной в точке С и параллельной силам
Рк. Точка С приложения равнодействующей системы параллель-
параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложе-
приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол называется
центром системы параллельных сил.
Найдем координаты центра системы параллельных сил,
(рис. 11.2). На основании теоремы Вариньона
JU1
Рис. 11.2
16 Зак. 16
249

Запишем моменты сил в виде векторных произведений
где гс — радиус-вектор центра системы параллельных сил.
По направлению действия сил Рк введем единичный вектор е и
приведем полученное векторное равенство к виду
N
к=\
ИЛИ
( N N
V к=\ Ы\ )
В этом векторном произведении перемножаемые векторы непа-
непараллельны, поэтому
N N
к=\ к=\
В результате получаем формулу для определения положения цен-
центра системы параллельных сил в векторной форме
(П.З)
Записав векторное равенство A1.3) в проекциях на оси коор-
координат, находим координаты точки С
2 ?
N
В формуле A1.3) выражение ^Ркгк носит название стати-
статика
ческого момента системы параллельных сил относительно цен-
центра О. Этот статический момент равен произведению радиус-
вектора гс центра параллельных сил на сумму всех сил, т. е.
N N
11
250
JM

Точно так же входящее в первое равенство A1.4) выражение
N
^Ркхк называется статическим моментом системы парил-
парилка
лельных сил относительно плоскости Oyz и т. д.
11.2. Центр тяжести твердого тела
На каждую частицу тела, находящегося вблизи поверхности
Земли, действует направленная вертикально вниз сила, которая
называется силой тяжести. Силы тяжести каждой частицы тела,
строго говоря, направлены по радиусам к центру Земли и не
являются параллельными. Но для тел, размеры которых малы по
сравнению с размерами Земли, непараллельность настолько
незначительна, что в расчетах с большой точностью силы тяже-
тяжести их частиц можно считать параллельными, сохраняющими
свои значения, точки приложения и параллельность при любых
поворотах тела. Поэтому, обозначив силу тяжести частицы через
Рк, можно, согласно формулам A1.3) и A1.4), найти точку С, ко-
которая неизменно связана с телом и называется центром систе-
системы параллельных сил тяжести.
Таким образом, центром тяжести твердого тела называ-
называется центр системы параллельных сил тяжести частиц данного
тела. Точка С — это геометрическая точка, она может и не при-
принадлежать телу, но она всегда с ним связана, например центр тя-
тяжести баскетбольного мяча, кольца и др.
Выразим силу тяжести (вес) частицы тела через ее объем V.
Тогда величина
.. АР dP
у- lim = —
дг-ю AV dV
называется удельным весом, а величина
p=y/g
— плотностью тела в данной точке. Единицами измерения у и
р в СИ будут н/м3 и Нс2/м4 соответственно.
Для частицы тела будем иметь Рк = Vkyk =Vkpkg . Подста-
Подставив эти соотношения в выражения A1.3) и A1.4), получим фор-
формулы для гс и координат центра тяжести:
16* 251

к=\
N N
к=\ . _ к=\_
К! > ZC ~ КГ
к=\ Ы\ Ы\
После сокращения на g эти выражения представляют собой
соответственно радиус-вектор и координаты центра масс (цен-
(центра инерции) тела.
'г — ГГ
N
Х,.=*±
к=\ к=\ к=\
Для тела, находящегося в однородном поле тяготения
(g = const), положения центра тяжести и центра масс совпадают.
Однако понятие о центре масс является более общим, чем поня-
понятие о центре тяжести, так как оно имеет смысл не только для од-
одного твердого тела, но и для любой механической системы; кроме
того, это понятие не связано с тем, находится тело в поле тяготе-
тяготения или нет.
Если плотность тела во всех его точках одинакова, то в при-
приведенных соотношениях можно сократить р^. Тогда, заменяя
суммирование интегрированием по всему объему тела F, получаем
\rdV \xdV \ydV \zdV
{V) (V) (V) (V)
252

Эти формулы определяют гс и координаты центра тяжести объ-
объема тела.
Иногда тело выполнено в виде тонкой пластинки, имеющей
постоянную толщину и удельный вес, причем толщина пластинки
несоизмеримо мала по сравнению с двумя другими ее размерами.
В этом случае интеграл по объему заменяется интегралом по
площади S:
\rdS \xdS jydS
Эти формулы определяют радиус-вектор и координаты центра
тяжести пластинки в плоскости.
11.3. Методы определения координат центра тяжести тела
1. Метод симметрии. Покажем, что если однородное тело
имеет плоскость, ось или центр материальной симметрии, то его
центр тяжести находится соответственно в плоскости, на оси или
в центре симметрии.
а. Пусть тело симметрично относительно плоскости Оху
(рис. 11.3). Тогда вследствие симметрии каждому элементу К тела
объемом AVk(xk9yk9zk) будет соответствовать элемент К! того
же объема с координатами (xk,yk9-zk). Поэтому статический
момент объема ^zkAVk =0 и координата zc =
ы\ к=\
Следовательно, центр тяжести тела будет лежать в плоскости сим-
симметрии Оху.
б. Пусть тело симметрично относительно оси Oz (рис. 11.4).
Тогда всякому элементу К тела объемом AVk с координатами
(хк, ук, zk) будет соответствовать такой же по объему элемент
К1, расположенный симметрично относительно оси Oz и имею-
имеющий координаты (- хк, - ук, zk). Поэтому статические моменты
253
к=\ к=\ к=\

и, следовательно, координаты
Таким образом, центр тяжести будет находиться на оси сим-
симметрии.
Рис. 11.3
Рис. 11.4
254

в. Пусть тело имеет центр симметрии, который примем за
начало координат. Тогда всякой частице тела объемом AVk9 оп-
определяемой радиус-вектором гк, будет соответствовать частица
такого же объема с радиус-вектором - гк, симметричная ей отно-
n
сительно центра О. Поэтому ro=^FkAVk=0. Следовательно,
центр тяжести будет находиться в центре симметрии. Например,
центры тяжести однородных куба, сферы, кольца, прямоугольной
или круглой пластины лежат в геометрическом центре этих тел.
2. Метод разбиения. Этот у
метод основан на применении
формул A1.3) и A1.4). Его исполь-
используют, когда тело можно разбить на
ряд частей, центры тяжести кото-
которых известны из условий симмет-
симметрии. Метод разбиения можно на-
наглядно проиллюстрировать с
помощью рис. 11.5. Расположив
тело в системе координат, разде-
разделив его мысленно на отдельные
части, веса которых Рх, Р2, Р3,
Р4? а центры тяжести известны,
вычислим вес тела и, согласно
формулам A1.4), координаты цен-
центра тяжести С всего тела.
Если тело имеет вырез, при-
причем известны центр тяжести тела
без выреза и центр тяжести выре-
вырезанного тела, то для определения
координат центра тяжести ис-
используют метод отрицательных
масс (частный случай метода
разбиения).
На рис. 11.6 изображена
квадратная пластина, сторона
которой а. В пластине выполнено
Рис. 11.5
Рис. 11.6
255

круглое отверстие с радиусом г = 0,2а и координатами центра
дг2 =-0,3*; 72=0-
Координаты центра тяжести С, пластины без отверстия
Х] = 0, >>| = 0. Рассмотрим два тела: пластину без отверстия и
диск, соответствующий вырезанному отверстию. При использова-
использовании формул A1.4) вес диска будем считать отрицательным. Тогда
Р = р(а2-лг2);
хс <Л 22) Ф ^,)]^^;
1 i а —иг
ус=0,
гдер — вес единицы площади пластины.
3. Метод интегрирования. Когда тело нельзя разбить на со-
составные части, центры тяжести которых известны, используют
метод интегрирования, являющийся универсальным.
11.4. Определение центра тяжести простейших
однородных тел
1. Центр тяжести дуги окружности (рис. 11.7). Рассмотрим
дугу окружности радиусом R с центральным углом 2а0. Центр
тяжести дуги лежит на оси симметрии Ох. Для определения ко-
координаты хс выделим элемент дуги длиной ds и запишем
п <*„
xrS= \xds= [Rcosol- Rda ,
в -а0
где S = R • 2a0.
Выполнив интегрирование, найдем
xc = —i?sina0.
a0
2. Центр тяжести площади треугольника. Разобьем пло-
площадь треугольника ABD (рис. 11.8) на узкие полоски, параллель-
параллельные стороне AD. Центры тяжести этих полосок будут лежать на
медиане BE. Следовательно, центр тяжести площади всего тре-
треугольника также лежит на этой медиане. Проводя аналогичные
256

разбиения параллельно сторонам АВ и BD, найдем, что центр тя-
тяжести площади треугольника лежит в точке С пересечения его
медиан, поэтому
= B/3)ВЕ.
В
/ \
/ \
/
/
g
/
/
g _^^^
\ ^**^
\
\
Е
Рис. 11.8
D
257

Рис. 11.9
3. Центр тяжести площади
кругового сектора. Круговой сектор
радиусом R с центральным углом
2ос0 показан на рис. 11.9. Центр тя-
тяжести лежит на оси симметрии Ох.
Разобьем сектор на мелкие сектора и
отождествив каждый из них с тре-
х угольником, найдем дугу окружно-
окружности радиусом B/3)Л, на которой
расположены центры тяжести пло-
площадей мелких секторов. Теперь за-
задача свелась к уже известной — на-
нахождению центра тяжести дуги
окружности, для которой
B/3)/? sin а0
4. Центр тяжести прямого кругового однородного конуса.
Пусть R — радиус основания конуса, а А — его высота
(рис. 11.10). Элемент объема
dV = nr2dy = J^R) dy.
У,
\\. 2г
2R
Л/
О
Рис. 11.10
258

Объем конуса
" , nR2h
(П о
Положение центра тяжести
1 г .„ 1 h
F (V) v 0 V Л J V
{V) U v — у
Полученный результат справедлив для любой многоугс
пиоамилы.
ной пирамиды

Глава 12
РАВНОВЕСИЕ ГИБКОЙ И НЕРАСТЯЖИМОЙ НИТИ
12.1. Дифференциальные уравнения равновесия нити
Гибкую нерастяжимую нить будем рассматривать как систе-
систему материальных точек, равномерно расположенных по кривой.
Нить не оказывает сопротивление изгибу и может быть только
растянута. По смыслу понятие нити наиболее близко к такому
физическому объекту, как цепь, общая длина которой значитель-
значительно больше длины отдельного звена.
Пусть нить АВ находится в равновесии под действием внеш-
внешних сил, которые действуют на все ее точки (рис. 12.1, я). Обо-
Обозначим силу, действующую на единицу длины нити, через F ; эта
сила есть функция координат точки, на которую она действует.
Возьмем произвольную точку С, отстоящую от начальной точки
А на расстоянии S, причем положительное направление отсчета S
примем от А к В.
Рис. 12.1
260

Рассмотрим равновесие элемента нити CD - dS . Обозначим
натяжение нити в точке С через Т , а в точке D через Т}. Натяже-
Натяжение Т считается положительным, если оно совпадает по направ-
направлению с положительным направлением S. На элемент CD дейст-
действуют три силы: натяжение Т в точке С, натяжение Г, в точке D
и внешняя сила F dS .
Условие равновесия этого элемента будет:
Так как Г, = (-Г) + dT , то можно записать
FdS + dT = 0,
или
F + — = 0. A2.1)
Равенство A2.1) выражает уравнение равновесия нити в век-
векторной форме. Представим это уравнение в проекциях на оси
прямоугольной системы координат Oxyz. Так как косинусы углов,
которые касательная к кривой в точке С(лс, у9 z) образует с осями
dx dy dz
координат, равны —, -j-, —, то
аЬ аЬ аЬ
х~ ~dS* y~ ~dS* z~ ^'
Тогда для равенства A2.1) будем иметь
dS{ dS) х dS{ dS)
или
_____1_Т— _i_ р —О* У | т i_ j_ F —О*
dS dS dS2 x~ 'dSdS dS2 y~ ' A23)
- + T—t + F, =0.
dS dS dS2
261

Этими уравнениями обычно пользуются при решении кон-
конкретных задач.
Найдем теперь уравнения равновесия нити в проекциях на
оси естественного трехгранника (т, л,Ъ\ построенного в точке С
(рис. 12.1, б). Обозначим орты касательной, нормали и бинорма-
бинормали соответственно через x9n9b. Тогда Т = Тх и
Р1>*+т.
dS dS dS dS
Но
dx _dcp__ и
~dS~~ds"~~p'
где р — радиус кривизны кривой в точке С и, следовательно,
dS dS p
Векторное уравнение равновесия A2.1) принимает теперь вид
^ + 1* + ^0. A2.4)
dS p '
Для нахождения уравнений равновесия в проекциях на оси
естественного трехгранника разложим внешнюю силу F по его
осям:
Представим уравнение A2.4) в виде
dT T —-
rrr.rr Z7«f E7 XT Z7 Zk
dS p
Таким образом, уравнения равновесия нити в проекциях на
оси естественного трехгранника будут следующими:
4L.-F,.l.-,.,F..O. A2.5)
Видно, что в уравнениях A2.5) производная от натяжения
нити по ее длине равна взятой с обратным знаком проекции
внешней силы на касательную ось, а произведение натяжения
нити в данной точке на кривизну кривой, по которой нить рас-
располагается в равновесии, равняется взятой с обратным знаком
262

проекции внешней силы на главную нормаль. Поскольку Fh = 0,
то при равновесии нити внешняя сила лежит в соприкасающейся
плоскости.
Рассмотрим возможные варианты граничных условий.
1. Пусть к концам нити приложены внешние силы FA и FB.
Так как натяжение нити Т направлено всегда по касательной, то
на концах нити должно быть
TA*A=~FA> ТВ*В=-рВ-
2. Предположим, что один из концов нити, например А, на-
находится на гладкой поверхности. Тогда реакция RA поверхности
направлена по нормали к ней, т. е. RA = RAnA, и на этом конце
граничное условие будет следующим:
FA+TATA+RAnA=0.
В частности, если к концу нити не приложена внешняя сила
(FA = 0), то либо ТА =RA = 0 (конец нити лежит на гладкой по-
поверхности), либо ТА = -RA (конец нити перпендикулярен по-
поверхности).
12.2. Частные случаи внешних сил
1. Пусть внешние силы, действующие на нить, параллельны,
т. е. F = FF0, где Fo = const — единичный вектор. Умножив сла-
слагаемые дифференциального уравнения равновесия A2.1) вектор-
но на Fo, получим
Второй член полученного уравнения равен нулю, так как векторы
коллинеарны, следовательно,
dT*F -О
Поскольку Fo = const, то
263

откуда
TxF0 =const.
Это означает, что под действием параллельных сил нить рас-
располагается в плоскости, параллельной силам.
2. Найдем форму нити, которую она будет иметь в состоянии
равновесия под действием центральных внешних сил, проходя-
проходящих через точку О (рис. 12.2).
О
Рис. 12.2
Умножив слагаемые в уравнении равновесия A2.1) векторно
справа на радиус-вектор г, получим:
хг + /гхг=0.
dS
Векторы F и г коллинеарны, поэтому F х г = 0 и, следова-
следовательно,
хг =0.
dS
A2.6)
Преобразуем это уравнение:
dT _ </ - _ dr
хг =—(Гхг)-Гх .
dS dSK J dS
Так как \dr\ = dS, то <iг/<я?5 = т . Учитывая, что векторы Гит
коллинеарны, получим
264

T dr A
Т х — = 0.
dS
Следовательно, уравнение A2.6) принимает вид
(f xr) 0
dS
или после интегрирования
Т xr = const.
Таким образом, под действием центральных сил нить распо-
расположится в плоскости, проходящей через центр сил.
12.3. Цепная линия
Найдем форму, которую будет иметь однородная нить в од-
однородном поле силы тяжести (рис. 12.3, а). Обозначим вес еди-
единицы длины нити через у = const. Вследствие того, что силы тя-
тяжести частиц нити параллельны, нить при равновесии
расположена в вертикальной плоскости. Совместим с этой плос-
плоскостью координатную плоскость Оху9 причем ось Оу направим
вертикально вверх. Поскольку в данном случае Fx = 0, Fy=-y9
уравнения A2.2) равновесия нити примут вид
A2.7)
т
dS\ dS
(т
dS{ dS
о
a
X
б
Рис. 12.3
265

Из первого уравнения A2.7) следует, что
^ A2.8)
т. е. проекция силы натяжения нити на ось Ох есть величина по-
постоянная. Из A2.8) имеем
0 dx
Подставив это выражение во второе уравнение A2.7), получим
dS
или
^HdS.
с
Элементарная длина дуги
Следовательно,
яЬс. A2.9)
Для более компактной записи обозначим dy/dx = p. Тогда
уравнение A2.9) примет вид
Разделив переменные, получим
Т0
или, полагая То /у = а,
dp _dx
Jl + p2 a '
После интегрирования имеем
ух/а+С19
266

где Cj — постоянная интегрирования.
Проведем ось Оу через ту точку нити, где касательная к ней
параллельна оси Ох. В этом случае при у = а, jc = O, p =
= dy/dx = 0 и СХ =0. Тогда
p + jl + p2 =ex/a. A2.10)
Для определения/; возьмем обратные величины:
Умножив числитель и знаменатель левой части этого уравнения
на сопряженное знаменателю число, получим
-р + Ф + р2 =е'х/а. A2.11)
Вычтя из равенства A2.10) уравнение A2.11), будем иметь
p = 095(ex/a-e-x/a)=sh(x/a).
Так как р = dy/dx = sb(x/a), то
Интегрируя полученное уравнение, находим
где С2 — постоянная интегрирования.
При х = 0, у = а, так как ch 0 = 1, получаем С2 = 0 и
д; = асЬ- = -\е*+е~* . A2.12)
а 2^ J
Выражение A2.12) является уравнением формы однородной
нити, находящейся в равновесии в однородном поле силы тяже-
тяжести (рис. 12.3, б). Это уравнение называют уравнением цепной
линии.
Пример 12.1. Найти форму троса, удерживающего висячий мост, полагая,
что вес погонного метра моста постоянен (у = const), мост подвешен к тросу
так, что вертикальная нагрузка равномерно распределена по длине проекции
троса на горизонтальную ось, а трос нерастяжим (рис. 12.4, а).
267

с
У/////Л
Рис. 12.4
Решение. Внешние силы в вертикальной плоскости, в которой расположен
трос, параллельны. Направим ось Ох горизонтально, а ось Оу вертикально
вверх. Воспользуемся уравнениями равновесия A2.2). На элемент троса dS
действует сила ydx, поэтому внешняя сила, действующая на единицу длины
троса, будет F = ydx/dS. Уравнения равновесия A2.2) примут вид
Из первого уравнения получаем
откуда
Подставляя полученное выражение для Т во второе уравнение равновесия,
находим
-ydx,
268

или
d2v
Полагая Г0/у = а, имеем
откуда после интегрирования получаем
Из этого уравнения следует, что трос расположится по параболе, ось которой
вертикальна. Если ось Оу провести через вершину параболы, а Ох на расстоянии
Ъ ниже этой вершины, то граничные условия для определения произвольных
постоянных С, и С2 будут следующими:
Тогда С, = 0, С2 = Ь и уравнение параболы, по которой расположится трос,
будет
х2 .
у = — + Ь.
2а
Пример 12,2. В условиях предыдущей задачи определить натяжение троса в
точках А и М(рис. 12.4, б).
Решение. С учетом симметрии конструкции (см. рис. 12.4, а), рассмотрим
равновесие половины длины троса (рис. 12.4, б). Система внешних параллель-
параллельных вертикальных сил, действующих на половину троса AM, эквивалентна рав-
равнодействующей Р = уАВ/2 , где АВ-1 — расстояние между опорами. Натя-
Натяжение троса в точках AwM обозначим соответственно через ТА и Тм .
Силы ТА, Тм , Р , действующие на трос, составляют равновесную систе-
систему, т. е.
ТЛ+Ти+Р=0.
Откуда следует (рис. 12.4, в)
Р v/
Т 1T
cos a 2 cos а 2
Чем больше угол а , т. е. чем меньше стрела провисания троса по сравне-
сравнению с расстоянием между опорами, тем больше его натяжение как в точке А9 так
и в точке М. Если в точке А трос опирается на блок, в оси которого нет трения,
то его натяжение на участке А С равно ТА =ТА .

Раздел III
ДИНАМИКА
В динамике изучается механическое движение материальных
объектов с учетом их взаимодействия с окружающими матери-
материальными телами и средой, т. е. с учетом сил, действующих на эти
объекты. Из статики в динамику переносят аксиому освобожде-
освобождения от связей точек системы, теорию сложения сил и приведения
систем сил к простейшему виду, из кинематики — методы и
приемы описания движения и запись уравнений связей. В дина-
динамике в отличие от статики как активные силы, так и реакции свя-
связей — в основном переменные величины. Активные (заданные)
силы могут зависеть от времени, положения и скоростей точек в
системе, а реакции связей еще и от их ускорений.
В динамике ставятся следующие задачи: по заданному дви-
движению определить силы, вызвавшие его, и по заданным силам
установить движение системы. Встречаются также смешанные
задачи, в которых необходимо решать оба типа задач. Кроме
того, в динамике определяют силы взаимодействия точек (тел)
системы.
Свойства материальных объектов в динамике схематизируют,
из всей совокупности свойств во внимание принимают только те,
которые являются существенными для механического движения.
В зависимости от того, какую часть свойств учитывают при ре-
решении задач механики, получают различные модели материаль-
материальных объектов.
Простейшая модель материального тела в механике — мате-
материальная точка — представляет собой тело, которое независимо
от его формы и размеров можно принять за геометрическую точку,
обладающую определенной массой. Материальная точка — это не
обязательно тело малых размеров. Колесо, которое катится по ше-
шероховатой поверхности, нельзя рассматривать как материальную
точку при любых его размерах. В зависимости от постановки зада-
задачи одно и то же тело может либо выступать, либо не выступать как
материальная точка: все зависит от того, меняются силы, дейст-
действующие на тело при изменении его ориентации по отношению к
270

окружающим телам и среде, или нет. Например, спускаемый
космический аппарат вне пределов атмосферы движется под
действием сил тяготения, которые от ориентации аппарата
практически не зависят, и, следовательно, аппарат можно рас-
рассматривать как материальную точку. При движении того же ап-
аппарата в атмосфере появляются силы, зависящие от его ориента-
ориентации, и считать аппарат материальной точкой уже нельзя.
Движение материальных объектов представляет собой изме-
изменение их положения в пространстве и во времени по отношению
к другим телам. В рамках классической механики пространство
принимается трехмерным эвклидовым. Кроме того, пространство
и время считаются абсолютными, т. е. не зависящими друг от
друга, а также от материи и движения. Принимается также, что
масса точки не зависит от скорости ее движения.
Глава 13
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
13.1. Аксиомы динамики
Основу классической механики составляют принятые как
аксиомы законы Ньютона, опубликованные им в 1686 г. в сочи-
сочинении «Математические начала натуральной философии». В со-
современной форме аксиомы формулируются применительно к
простейшей модели материального тела — материальной точке.
1. Существуют системы отсчета, называемые инерциаль-
ными, по отношению к которым материальная точка, не ис-
испытывающая действия или находящаяся под действием урав-
уравновешенной системы сил, сохраняет состояние покоя или
равномерного прямолинейного движения. Таким образом, первая
аксиома постулирует возможность существования тел и связан-
связанных с ними систем отсчета, движущихся без ускорения, т. е. по-
поступательно, равномерно и прямолинейно, причем любая из та-
таких систем отсчета может быть принята за неподвижную при
решении задач динамики.
Никакое тело во Вселенной не является полностью изолиро-
изолированным от воздействий, поэтому инерциальные системы отсчета
271

являются воображаемыми и могут быть введены с той или иной
степенью приближения. В частности, близкой к идеальной являет-
является гелиоцентрическая система отсчета, начало которой совпадает
с центром Солнца, а оси направлены на удаленные звезды.
2. Ускорение материальной точки относительно инерциаль-
ной системы отсчета пропорционально приложенной к точке
силе и совпадает с ней по направлению. Если F — приложенная
к точке сила, а — ускорение точки относительно инерциальной
системы отсчета, то
та - F .
Положительный коэффициент пропорциональности т харак-
характеризует инертные свойства точки и называется массой. Масса
материальных тел определяется методом сравнения с эталонами.
В случае F = О а = О , т. е. точка оказывается в состоянии движе-
движения по инерции. Таким образом, вторая аксиома устанавливает
причину нарушения инерциального состояния точки (действие на
точку других материальных тел), а также соотношение между
ускорением (мерой отклонения точки от инерциального состоя-
состояния) и силой/(мерой механического воздействия).
3. Силы взаимодействия двух материальных точек направ-
направлены по прямой, соединяющей эти точки, в противоположные
стороны и равны по модулю¦, т. е.
Следовательно, третья аксиома определяет условие взаимо-
взаимодействия между двумя материальными точками. Ее называют еще
законом о равенстве сил действия и противодействия, хотя здесь
имеет место только равенство модулей сил, сами же силы проти-
противоположны по направлению.
4. Ускорение, полученное точкой под действием системы
сил, равно векторной сумме ускорений от действия отдельных
сил, т. е. если (F}, F2,..., Fk,..., FN) — система сил, приложенных к
точке, то
N
к=\
где ак =Fk/m.
272

Таким образом, четвертая аксиома постулирует принцип
суперпозиции сил, или принцип независимого действия. В каче-
качестве четвертой аксиомы динамики может быть принята аксиома
статики о векторном сложении сил. Тогда принцип независимости
действия сил превращается в следствие: для системы сходящихся
сил справедливо выражение
Разделив на массу, получаем
к=\ к=\
13.2. Дифференциальные уравнения движения
материальной точки
Из второй и четвертой аксиом следует уравнение движения
точки в инерциальной системе отсчета
ma=F, A3.1)
где F = ^ Fk — равнодействующая всех сил, приложенных к
точке.
Так как ускорение точки связано с ее радиус-вектором соот-
соотношением a=d2r/dt2, а сила в рамках классической механики
может быть функцией времени, положения и скорости точки, из
A3.1) получаем векторное дифференциальное уравнение дви-
движения точки
m^- = F(t9r9—). A3.2)
dt dt
В проекциях на декартовы оси (базис i9j9k) дифференци-
дифференциальные уравнения движения точки имеют вид
mx = Fx(t9x9y9z9x9y9z);
ту = Fy(t9 х9 у, z, х9 y9 z); A3.3)
mi = FJt, jc, y, z, i, v, z).
19 3ак. 16 273

В частных случаях дифференциальных уравнений движения
точки может быть меньше. Так, при движении точки в плоскости
Оху уравнений движения будет два:
т'х = Fx(r,х,у,i,у); ту = Fy(t,x,у,х,у) .
В случае движения точки по прямой будем иметь одно диффе-
дифференциальное уравнение, например:
mx = Fx(t,x,x).
В проекциях на естественные оси (базис х,п,Ь ) уравнения
движения точки имеют вид
т s — р . W2L_- р • /7 -О ГП41
б/Г р
где v = |vT |, vT = ds/dt, р — радиус кривизны траектории. Первое
уравнение A3.4) является дифференциальным уравнением второ-
второго порядка относительно дуговой (естественной) координаты s,
второе уравнение имеет первый порядок, а третье является усло-
условием равновесия для проекций сил на бинормаль. Проекции силы
могут быть функциями переменных t, s, ds/dt.
В проекциях на оси криволинейной системы координат, на-
например цилиндрической, уравнения движения будут такими:
/!i(r-rq>2) = Fr; m(rip + 2гф) = Fp; m'z = Fz. A3.5)
13.3. Две основные задачи динамики
материальной точки
На основе дифференциальных уравнений движения мате-
материальной точки решают две задачи динамики точки.
Первая задача состоит в том, чтобы по заданному закону
движения точки массой т определить силу, под действием кото-
которой происходит это движение. Часто первую задачу рассматри-
рассматривают как задачу управления движением, в рампах которой тре-
требуется установить характеристики воздействия, обеспечивающие
заданный закон движения материальной точки. В зависимости от
способа задания движения при решении этой задачи используют
соответствующие скалярные уравнения A3.3-13.5).
274

Пример 13Л. Материальная точка, имеющая массу т, движется в верти-
вертикальной плоскости по баллистической траектории
= pi + sina —— +gT2
J cos a ^ v0tcos a >
в соответствии с уравнениями
х = v0xcosa[l-exp(-r/x)];
у = -git + T(gx + v0 sin a)[l - exp(-r/x)],
где g, v0, T — положительные константы, единицы измерения которых м/с2 ,
м/с несоответственно.
Найти силы, под действием которых происходит движение точки.
Решение. Из приведенных уравнений следует, что точка начинает движение
из начала координат (jto = O, yo=O)c начальной скоростью v0, направленной
под углом а к оси Ох.
Вычисляя производные координат, находим проекции равнодействующей
силы
Fx=mx = -(m/x)v0 cos a- ехр(-г/т);
Fy = my = ~(m/T)(gx + v0 sin a)exp(-f/x).
Учитывая выражения для проекций скорости точки
vx = i; = v0cosa-exp(-/l/T); v^ = у = -gr + (gT + vosina)exp(-f/T),
получаем
'Рх=-Р*х> Fy=-mg-\ivy ,
где ц = т/т —константа, Н • с/м . Откуда находим
F = FJ + Fy j = -mg j - \i(vxi + vyj) = -mg - JlLv .
Таким образом, исходные уравнения описывают движение точки под дейст-
действием силы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной скорости точки.
Вторая задача состоит в определении движения точки по
заданным силам и начальным условиям движения, при этом силы
должны быть выражены как функции переменных, используемых
для задания движения. Решение этой задачи сводится к интегри-
интегрированию дифференциальных уравнений второго порядка, в про-
процессе которого в решениях появляются произвольные постоян-
постоянные, подлежащие определению. Так, в задаче о движении точки в
трехмерном пространстве, решаемой на основе дифференциаль-
дифференциальных уравнений A3.3), общие решения будут содержать шесть
произвольных постоянных:
19*
275

x = x(/,C1?...,C6); y = y(t,Cl9...\C6); z = z(t9Cl9...9C6)9
для определения которых потребуется постановка дополнитель-
дополнительных условий. Из математики известно, что если эти условия по-
поставлены для начальных (при t = О) значений функций и их пер-
первых производных, т. е. в виде х@) = х0, у@) = у0, z@) = z0,
х@) = х0, у@) = у0, z@) = i0, то задача (задача Коши) при неко-
некоторых ограничениях, налагаемых на правые части дифференци-
дифференциальных уравнений, имеет решение и причем единственное. Таким
образом, приложенные к точке силы определяют только ее уско-
ускорение, движение же точки помимо сил зависит от начальных ус-
условий — положения точки в рассматриваемой инерциальной сис-
системе отсчета и ее скорости.
Замечание. Первым интегралом системы дифференциальных уравнений
A3.3) называется функция Ф(/, х9 у, z, х, у, z), зависящая от координат, ско-
скоростей и времени, сохраняющая постоянное значение для любого конкретного
решения системы. Выражение
'</Ф\ дФ дФ . дФ . дФ . 1 (дФ ^ дФ ^ дФ „
) = + х + v + z + —\ FY+ Fv+ F7
dt I dt дх by dz т{дх х ду у dz z
называется производной по времени функции ФG, х, у9 z, x, у, z), вычислен-
вычисленной в силу дифференциальных уравнений A3.3). Аналогичные определения
можно дать для любой произвольной системы дифференциальных уравнений.
В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что функция Ф бу-
будет первым интегралом системы дифференциальных уравнений тогда и только
тогда, когда ее производная, вычисленная в силу этих уравнений, будет тожде-
тождественно равняться нулю.
Для того чтобы полностью найти закон движения материальной точки, дос-
достаточно найти шесть функционально независимых первых интегралов. Действи-
Действительно, пусть
ФгA, х, у, z, х, у, z) = Cx;
Ф6(/, х, у, z, х, у, z) = C6
— шесть независимых первых интегралов системы A3.3). Так как по условию
Ф15 ..., Ф6 — функционально независимы, то, определяя х, у, z, x, у, z как
276

функции t и шести констант Сх, ..., С6, получаем общее решение системы
A3.3) в виде
x = x(t, Cl9 ..., С6); y = y(t9 Cl9 ..., Сб); z = z(/, С„ ..., Сб);
* = *(*, Q, ..., С6); y = y(t, СХ9 ..., Сб); i = i(f, С„ ..., Сб).
Отметим, что знание одного первого интеграла системы позволяет пони-
понизить ее порядок на единицу.
Возможность получить аналитическое решение задачи для
произвольных начальных условий существует не всегда и зависит
от того, насколько сложна система дифференциальных уравне-
уравнений. Даже при одномерном движении точки в соответствии с
уравнением
в случае, когда Fx = Fx (t, x, x) является произвольной функцией
всех своих переменных, аналитическое решение выполнить не
удается. В таких ситуациях приходится обращаться к прибли-
приближенным и численным методам интегрирования.
Пример 13.2. Материальная точка М9 имеющая массу т = 4,9 кг, брошена с
поверхности Земли с начальной скоростью, направленной вертикально и равной
vo=98,O м/с. Сила сопротивления воздуха R=-\ivv (R = \iv2), где ц =
= 0,02 Н с2 /м2. Определить, на какую высоту Н над поверхностью Земли и за
какое время tx поднимется точка, а также какова будет скорость vK ее призем-
приземления.
Решение. Систему отсчета, связанную с Землей, при исследовании кратко-
кратковременных движений можно считать достаточно близкой к инерциальной.
Направим ось Oz системы отсчета вертикально, совместив ее
начало с начальным положением точки (рис. 13.1). Сила тя-
тяжести Р = nig .
Векторное дифференциальное уравнение движения точки
dv _ -
т—=mg+R
dt
в проекции на ось Oz имеет вид
— при подъеме (vz=z>0)h
mz = -mg + \\z2
— при падении (v2 < 0, \vz \ = -vz).
P
R
Рис. 13.1
277

Полученные дифференциальные уравнения являются нелинейными, поэто-
поэтому решать их будем методом понижения порядка и разделения переменных.
Разделим в уравнениях все члены на коэффициент \х и введем обозначения:
X = т/у. = 245,0 м — характерная постоянная расстояния; и2 =gk = mg/\i =
= 2401 м2/с2 — квадрат предельной скорости падения точки (и = 49 м/с ) под
действием силы тяжести в среде с сопротивлением, пропорциональным квадра-
квадрату скорости (при такой скорости силы уравновешиваются R = mg).
Дифференциальное уравнение движения точки на этапе подъема примет вид
Разделив переменные, представим уравнение в виде
\ + (vz/uJ
где т = Х/и = 5,0 с — характерная постоянная времени.
Интегрируя, находим
arctg(v,/i/) = С,-//г.
В соответствии с начальными условиями движения (при t = 0 vz = v0) посто-
постоянная интегрирования С, = arctg(vo/tt). Время подъема f, точки до крайнего
верхнего положения, в котором vz = 0 ,
/, = т С, = т arctg(vo/w) = 5 arctg2 = 5,54 с.
Для определения высоты подъема выполним замену независимой перемен-
переменной dvjdt = (dvjdt)(dz/dz) = (dz/dt)(dvz/dz) = v2(dvz/dz) и представим диф-
дифференциальное уравнение движения в виде
и +vr
Общее решение этого уравнения будет
В соответствии с начальным условием vz = v0 при z = 0 постоянная интегри-
интегрирования С2 = (Х/2)\п(и2 + Vq). В высшей точке подъема vz = 0, и высота
Я = (A/2)ln(l +vo2/w2) = 122,5In5 « 197 м.
Для определения скорости приземления в дифференциальном уравнении,
описывающем движение точки на этапе падения, произведем замену независи-
независимой переменной и разделим переменные:
X-
В общем решении 1п(и2 - v2) = C3 +2z/X
278

в соответствии с начальными для этапа падения условиями (vz = 0 при z = Н )
постоянная интегрирования
С3 = 1п(м2)~2ЯД.
Таким образом, зависимость проекции скорости точки от координаты имеет
вид
vr = -и J\ - ехр[-2(Я - z)/X],
откуда скорость приземления точки
vK = |vr@)| = иф-ехр(-2Н/Х) = иф - ехр(-\,6) = 0,894м = 43,8 м/с.
Пример 13.3. Материальная точка массой т, находящаяся на некоторой вы-
высоте над поверхностью Земли, движется в условиях ветра, дующего равномерно
со скоростью и. Сила сопротивления,
действующая на точку со стороны
воздуха, R = -\xvr, где ц = const > 0,
v, — скорость точки относительно
воздуха. Точка начинает движение с
начальной абсолютной скоростью v0,
направленной горизонтально под
прямым углом к скорости ветра.
Решение. Совместим начало сис-
системы отсчета с исходным положением
точки, а связанные с Землей оси на-
направим как показано на рис. 13.2.
Векторное уравнение движения точки
т— = Р + R ¦•
dt
mg-ф-и)
в проекциях на координатные оси
имеет вид
j \xu; '
Рис. 13.2
= 0; mz+ \xz = mg .
Разделив эти уравнения на ц и обозначив т = m/ц, где т — постоянная времени,
получим
xjc + к = и; ту + у = 0; xz + i = gx .
Как видно, движение точки описывается системой несвязанных линейных
дифференциальных уравнений, общее решение которой
х = ш + С, -I- С2 ехрН/т);
Определив с помощью начальных условий:
*@) = у@) = z@) = 0, х@) = 0, Я0) = v0, z@}= 0 ,
279

произвольные постоянные интегрирования, приведем кинематические уравне-
уравнения движения точки к виду
х = ш- ит[1 - ехр(-*/т)];
>> = уот[1-ехр(-//т)];
z = gTt-gT2[\-exp(-t/x)).
Проекции скорости точки изменяются по закону
уг=и[1-ехрН/т)];
v, =уоехр(-//т);
Из этих уравнений следует, что при t -> оо vx -* и , vy -> 0, vz -» gx, т. е. со
временем точка будет двигаться практически в вертикальной плоскости с уста-
установившейся скоростью
v = ui + grk .
13.4. Движение несвободной материальной точки
В рассмотренных выше задачах движение материальной точ-
точки определялось начальными условиями и взаимодействием ее с
силовыми полями и окружающей средой. Все силы, приложен-
приложенные к точке, выступали как заданные, т. е. как известные функ-
функции г, г и v . Взаимодействие с другими телами путем прямого
контакта и связанные с этим взаимодействием какие-либо огра-
ограничения на движение в пространстве отсутствовали.
Если на движение материальной точки в пространстве не
налагаются ограничения, то она называется свободной. Однако
чаще движение материальной точки сопровождается непосредст-
непосредственным взаимодействием ее с другими материальными телами.
Аналогично схематизации свойств материальных тел это взаи-
взаимодействие также схематизируется в виде кинематических ог-
ограничений, налагаемых на движение. В такой ситуации точку
называют несвободной, а условия, стесняющие свободу ее дви-
движения, — связями.
Связь, выраженная уравнением
f(x,y,z) = 09 A3.6)
является геометрической и означает, что точка движется по неко-
некоторой неизменной (время t в уравнение связи явно не входит) по-
280

верхности и не может ее покинуть ни в какую сторону. Геомет-
Геометрическая связь такого типа называется стационарной и неосво-
бождающей. Освобоэюдающие связи выражаются неравенствами.
В случае движения по поверхности число степеней свободы ма-
материальной точки, определяемое числом независимых координат,
необходимых для однозначного задания положения, меньше, чем
у свободной точки, и равняется двум. Еще меньшим будет число
степеней свободы, если на точку наложены две связи. Это озна-
означает, что при движении точка должна все время оставаться на
линии пересечения поверхностей обеих связей.
Так как в соответствии с аксиомой о связях последние могут
быть отброшены, а их действие заменено соответствующими си-
силами, уравнение динамики несвободной материальной точки
примет вид
dv — —
m?- = F + R. A3.7)
dt
Здесь к активным силам, равнодействующая которых F , добав-
добавляется динамическая реакция связи R . Реакция R является пас-
пассивной силой, так как зависит от приложенных к точке активных
сил, физических свойств связи и движения точки. Последнее оп-
определяет ее отличие от реакции связи в статике, что подчеркива-
подчеркивается ее названием.
Реакцию связи R можно всегда разложить по двум направ-
направлениям на составляющие, одну из которых N направить по нор-
нормали к поверхности связи, определяемой A3.6), а другую — в
плоскости, перпендикулярной к нормали. Если второй состав-
составляющей пренебречь, то поверхность можно считать абсолютно
гладкой, а связь — идеальной. В этом случае реакцию связи пред-
представляют в виде N = A,grad(/), где X = N/grad(f) — скалярный
коэффициент, называемый множителем связи. Векторное урав-
уравнение движения несвободной точки с идеальной связью прини-
принимает вид
Ш dt"
В проекциях на оси декартовой системы координат получаем
уравнения
18 Зак. 16 281

y = Fy+X(df/dy); A3.8)
m'z = F2+X(df/dz),
известные как уравнения Лагранжа первого рода.
В случае движения по негладкой поверхности необходимо
учитывать действие связи на материальную точку в плоскости,
перпендикулярной нормали. Если оно обусловлено шероховато-
шероховатостью поверхности связи, то в векторном уравнении движения до-
добавляется сила сухого трения, предельное значение которой при
v ^ 0 определяется выражением
F=-)iXgrad(f)-,
1 v
где ц — коэффициент трения скольжения.
Три дифференциальных уравнения A3.8) и уравнение связи
A3.6) содержат четыре неизвестные функции, следовательно,
решение возможно. Однако в декартовых координатах при произ-
произвольном выборе системы отсчета аналитическое решение задачи
удается получить лишь для простейших связей первого порядка.
Более эффективными в ряде случаев являются уравнения движе-
движения точки в криволинейных координатах. Особенно удобно при
этом пользоваться такой системой координат, в которой поверх-
поверхность связи, определяемая уравнением A3.6), выступает в качест-
качестве одной из координатных поверхностей.
Пусть, например, точка движется по внутренней гладкой по-
поверхности цилиндрической трубы (рис. 13.3), уравнение которой
в декартовых координатах будет
В цилиндрических координатах уравнение примет вид
/(#•,9,*) = /^ -г = 0,
а сама поверхность трубы будет координатной поверхностью.
Вектор-градиент ее направлен по радиусу, и, следовательно, про-
проекции нормальной реакции на две другие координатные оси рав-
равны нулю. Сила тяжести Р - nig. Уравнения движения точки при-
принимают вид
= 0; mr^dp2 -~mgcoscp + N. A3.9)
282

Рис. 13.3
С решением этой системы уравнений связана смешанная за-
задача динамики точки: сначала на основе первого и второго урав-
уравнений по активным силам и начальным условиям определяется
движение точки (вторая задача динамики точки), а затем из
третьего уравнения определяется динамическая реакция N (пер-
(первая задача динамики точки).
Пример 13,4. Материальная точка массой т начинает движение по гладкой
внутренней поверхности трубы радиусом г^ из крайнего нижнего положения с
начальной скоростью v0, вектор которой расположен в касательной плоскости
под углом а к образующей поверхности трубы (см. рис. 13.3). Определить, при
каких условиях точка будет двигаться, не покидая стенок трубы.
Решение. Неудерживающая связь, налагаемая на точку стенкой трубы, вы-
выражается в цилиндрических координатах неравенством г^ - г > О и находится в
напряжении (действует), если N >0 . Как видно из третьего уравнения системы
A3.9), N является функцией координаты ф и ее производной. Выполнив в пер-
первом уравнении A3.9) замену независимой переменной <р = ф(а?фД/ф), разделим
переменные и найдем первый интеграл
ф2/2 = C + te/r^ )cos<p.
В соответствии с начальными условиями движения (при ф = 0 <р = фо =
/jp ) произвольная постоянная интегрирования
18*
283

Подстановка полученного выражения в третье уравнение A3.9) дает зависи-
зависимость
Л' = /иг-трфо -mg{2-
Точка при движении будет оставаться на внутренней поверхности тр\бы.
если в любом ее положении, в том числе и в крайнем верхнем, при ф = я
= -1 ). .V > 0 . Отсюда получаем
гтрфо = (v0 since)" /гтр > 5g . или v/;@)>
где v/;(O) = vosina — начальное значение трансверсальной проекции скорости
точки.
Расчеты показывают, что. если условие vp @) > J5grjp выполнено, точка
никогда не отделится от стенок трубы и движение ее будет длиться вечно. Та-
Такой рез\льтат. несогласующийся с опытом, объясняется несовершенством при-
принятой расчетной схемы, а именно идеализацией свойств связи. Если же принять
во внимание шероховатость поверхности трубы, то в первом и втором уравне-
уравнениях A3 9) нужно учесть проекции силы сухого трения
Тогда эти уравнения примут вид
'*трФ
тгтр ф = -mgsin ф - |
а Л: будет определяться третьим уравнением системы A3.9).
Нелинейные уравнения этой системы являются связанными, так как все три
функции — две координаты (г, ф ) и сила N — присутствуют в каждом из урав-
уравнений. Система уравнений может быть проинтегрирована только численно при
конкретных значениях параметров, при этом обе задачи динамики точки здесь
не разделяются, а решаются параллельно.
Если движение точки стеснено двумя связями вида A3.6),
векторное уравнение движения с неопределенными множителями
принимает вид
dv -
dt ] ] 2 2
Интегрирование системы скалярных уравнений, включаю-
включающей три дифференциальных уравнения и два уравнения связи,
принципиально возможно, но практически весьма затруднитель-
затруднительно. Решение таких задач целесообразно проводить на основе
дифференциальных уравнений движения точки, записанных в
проекциях на естественные оси.
284

В случае движения точки по абсолютно гладкой линии, т. е.
при идеальной связи, в уравнениях движения A3.4), которые
примут следующий вид:
m's = FT, mv2/p = Fn+Nn, 0 = Fb+Nb,
проекции реакции связи N будут присутствовать только во вто-
втором и третьем уравнениях. Опять имеет место смешанная задача
динамики точки, причем задачи разделяются — сначала из перво-
первого уравнения по заданным активным силам и начальным услови-
условиям определяют движение точки, а затем из второго и третьего
уравнений находят реакцию связи.
В случае неидеальной связи появится третья составляющая
реакции, проекция которой будет зависеть от физических усло-
условий взаимодействия точки со связью и войдет в первое уравне-
уравнение. Задачи динамики могут не разделиться, так как уравнения
окажутся связанными.
Пример 13.5. Материальная точка М начинает движение из положения,
близкого к крайней верхней точке А сферического купола, радиус которого г,
Р = mg (рис. 13.4). Пренебрегая трением, определить, на какой высоте от плос-
плоскости основания нарушится контакт точки с поверхностью купола.
Рис. 13.4
Решение. В проекциях на естественные оси уравнения движения точки
имеют вид
dvx ¦ V2
т—L = mgsinф ; т — = mgcosц>- N .
dt r
285

Выполнив замену независимой переменной dvx/dt =vxdvx/(rdq>), приведем пер-
первое уравнение к виду
vxdvx = gr sin ydq>
и после интегрирования при начальных условиях v = 0 при ф = ф0 получим
v2 = 2#г(со8ф0 - совф),
где совфо » 1.
Данное выражение определяет зависимость скорости точки от угловой ко-
координаты только на участке ее движения в контакте с поверхностью купола. Из
второго уравнения находим
N = mg cosy-mv2/г = mgCcosq>-2).
Контакт нарушится в положении, где N = 0 , т. е. при совф* = 2/3 . Высота
точки над основанием в этом положении h = rcosy* = 2r/3.
Пример 13.6. Разгонный участок лыжного трамплина выполнен в виде дуги
окружности радиусом г = 50м. Лыжник, масса которого т = 80кг, начинает
разгон без начальной скорости из точки
старта Л, расположенной на высоте
h = г/2 над точкой отрыва В (рис. 13.5).
На лыжника действует сила сопротивле-
сопротивления воздуха R = -|xv • v (R = \iv2), где
|X = 0,16 H • с2/м2 — аэродинамический
коэффициент, сила трения о снег, коэффи-
коэффициент трения скольжения / = ОД и сила
тяжести Р = mg . Рассматривая лыжника
как материальную точку, найти его ско-
скорость в конце участка разгона.
Решение. Определим положение
лыжника на участке разгона естественной
координатой s = AM = гф (см. рис. 13.5).
Рис. 13.5 Векторное дифференциальное уравнение
движения
dv _- — - -
dt w
спроецируем соответственно на касательную и нормаль естественного трех-
трехгранника:
m^L = m sinoc-F - v2-
т dt -т8$1Па * ЦУ' A3ло)
V
т — = -mgcosa + N,
г
286

где а = 7с/3 - <р .
Найдем из второго уравнения N и подставим выражение
/Vp = /N = /(mgcosa + mv2/r)
в первое уравнение A3.10). Получим нелинейное дифференциальное уравнение
т—L = -{\x + fmjr)v\ + mg(sina-/cosa). A3.11)
dt
Выполним замену независимой переменной dvx/dt = vxch>z/(rd(p), введем новую
переменную z = v2 = v2 и представим уравнение A3.11) в виде
— + 2kz = u2[sin(n/3 - ф) - /cos(tc/3 - q>)],
d(p
где к = {r\xjm) + / = 0,2 — приведенный коэффициент трения; и2 = 2gr =
= 980 м2/с2 .
В частном решении
z* = A sinGi/3 - ф) + Bcos(n/3 - ф)
этого линейного уравнения константы А и В, определенные методом неопреде-
неопределенных коэффициентов, равны
л 2k + f 2 D 1-2*/ 2
Постоянная интегрирования С общего решения
z = C exp(-2fap) + A sin(rc/3 - ф) -f Bcos(n/3 - ф)
в соответствии с начальным условием (z = 0 при ф = 0) равна
С = -As\n(n/3) - Bcos(n/3) = -0,787м2.
Тогда в конечной точке В участка разгона при ф = я/3 скорость лыжника будет
vH = <jB + CQxp(-2kn/3) = Uyj24/29-0,787ехр(-0,4189) = 0,5567м = 17,4 м/с .
Движение лыжника без учета сопротивления воздуха описывается более
простым дифференциальным уравнением, которое можно получить из A3.11),
положив в нем \х = 0 и / = 0 . Решение
z = и2 [cos(tt/3 - ф) - cosGt/3)]
этого уравнения при тех же начальных условиях позволяет найти другое значе-
значение скорости в конце участка разгона:
v* = ij2gr[\ - cos(*/3)] = ^2ф = 22,1 м/с,
которое показывает, что сопротивление воздуха заметно снижает скорость
лыжника.
287

13.5. Динамика относительного движения
Неинерциальной является система отсчета, которая с уско-
ускорением движется относительно другой, инерциальной системы
отсчета. Движение точки рассматривается одновременно по от-
отношению к двум системам отсчета, т. е. является сложным
(рис. 13.6). При этом предполагается:
1) движение неинерциальной системы отсчета O'XYZ отно-
относительно инерциальной Oxyz, или переносное для точки движе-
движение, задано и от движения материальной точки не зависит;
2) приложенные к точке силы в соответствии с уравнением
динамики A3.1) определяют абсолютное ускорение точки — ус-
ускорение относительно инерциальной системы отсчета;
3) предметом изучения является движение точки относи-
относительно неинерциальной системы O'XYZ, т. е. относительное
движение.
Рис. 13.6
288

Представим абсолютное ускорение точки в виде трех состав-
составляющих
а = аг+ае+аК9
где аг,ас,ак — соответственно переносное, относительное и
кориолисово ускорения, и подставим в уравнение A3.1). Разре-
Разрешая полученное выражение относительно аг, находим
mar = F + {-тас) + (~так ).
Произведения, содержащиеся в скобках, имеют единицу из-
измерения силы, хотя силами в истинном смысле этого термина,
т. е. характеристиками взаимодействия с другими материальными
телами, они не являются, а выступают в качестве некоторых по-
поправок на неинерциальность системы отсчета. Их называют соот-
соответственно переносной силой инерции Фе = - тае и кориолисовой
силой инерции Фк=-так. Поскольку переносное движение
предполагается заданным, то силы инерции являются известными
функциями времени, относительных координат и скорости точки.
Формулы для ускорений в общем случае переносного движения
известны из кинематики:
ае =а(У + s х р + со х-(а> хр); 5K=2©xvr
Таким образом, векторное уравнение движения точки в не-
инерциальной системе отсчета, или основной закон динамики
относительного движения, имеет следующий вид:
mar=F + Q>e + Фк. A3.12)
Если учесть кинематические соотношения ar -d\rjdt-
= d2p/dt2 , уравнение A3.12) можно представить в форме диф-
дифференциального уравнения относительного движения точки,
причем, если точка является несвободной, то к активным силам
добавится реакция связи
md2p/dt2 =Р + 1 + Фе +ФК. A3.13)
Записывая векторное уравнение A3.13) в проекциях на те или
иные оси неинерциальной системы отсчета, получают соответст-
соответствующие скалярные дифференциальные уравнения, которые отли-
отличаются от скалярных уравнений движения точки в инерциальной
289

системе отсчета A3.3) - A3.5) лишь тем, что в их правых частях
к проекциям приложенных сил добавляются проекции сил
инерции.
Приведем частные случаи относительного движения точки в
динамике.
1. При поступательном движении неинерциальной системы
отсчета O'XYZ в силу того, что переносные угловые скорость и
ускорение отсутствуют (сое = 0, ге =0), кориолисово ускорение
ак = 0, и относительное движение точки определяется уравне-
уравнением
mar =F + Фс,,
где Фе = - т ае, ае = аа.
2. При поступательном, равномерном и прямолинейном
движении системы отсчета O'XYZ Фе =ФК =0, mar =F, т. е.
эта система превращается в одну из инерциальных. Уравнения
движения точки как по отношению к основной инерциальнои, так
и по отношению к любой другой инерциальнои системам отсчета
оказываются одинаковыми. Невозможность путем наблюдения за
механическим движением тел отличить одну инерциальную
систему отсчета от другой составляет содержание принципа от-
носительности Галилея.
3. Равномерный и прямолинейный характер относительного
движения материальной точки (аг = 0) имеет место при условии
равновесия системы приложенных к точке сил и ее сил инерции:
F + Фе + Фк = 0.
4. Условием покоя точки по отношению к неинерциальной
системе отсчета является равенство F + Фе = 0.
Пример 13.7. При аварийном покидании самолета кресло с пилотом общей
массой т = 250 кг с помощью катапультирующего устройства отделяется от
самолета с начальной скоростью v0 = 20,0 м/с . В момент катапультирования
самолет пикирует под углом а к горизонту со скоростью и0 = 20,0 м/с и уско-
ускорением tf = (g/2)sinot (в м/с2) (рис. 13.7). Сила, действующая на кресло со
стороны неподвижного (предполагаем отсутствие ветра) воздуха, R = -\xva ,
где |! —аэродинамический коэффициент, ц = 50Нс/м; va —абсолютная
290

(относительно воздуха) скорость кресла. Полагая кресло с пилотом материаль-
материальной точкой, найти координаты точек пересечения траекторий кресла и самолета
при пикировании с а = 0...300 .
Решение, Опасной при ката-
катапультировании является ситуация
встречи кресла при его падении с
самолетом. Поэтому движение
кресла будем рассматривать в свя-
связанной с самолетом системе коор-
координат, Эта система отсчета движет-
движется поступательно и прямолинейно,
но ускоренно, и поэтому является
неинерциальной. Векторное урав-
уравнение движения кресла
dv — — ~
т-
dt
= Р + R + Ф„
Рис. 13.7
где Р = mg , R = -|iva = -ц(м + v), Фе = -та , спроецируем на оси координат:
тХ = -\i(X -и)- mg sin a + та; mY = -mgcosa - \xY,
или
хХ + X = и0 + at - (gsina - а)х; xY +Y = -gxcosa,
где х = m/ix = 5,0 с — постоянная времени.
Частное решение первого уравнения X = At л- Bt2/l; методом неопределен-
неопределенных коэффициентов находим константы В = а, А = MoT-gxsina . Частное ре-
решение второго уравнения Y = -gxcosa • /.
В общем решении уравнений
Ar = C1+C2exp(-r/x) + (tt0~<gxsina)^ + a/2/2;
Y = C3+C4 exp(- t/x)- gxcosa-1
постоянные интегрирования определяем в соответствии с начальными условия-
условиями Х@) = Г@) = 0 , ^@) = 0, Г@) = v0:
-С, = С2 = (и0 -gxsina)x, С3 = -С4 = (v0 + gxcosa)x.
Тогда уравнения движения примут вид
X = («о ~ gxsina)x[y/x -1 + ехр(-//х)] + at2/2;
У = (vo + gxcosa)x[l -ехр(-//х)]- gxcosa t.
Из условия Y = 0 находим моменты времени, соответствующие точке пере-
пересечения траекторий кресла и самолета при различных углах a . Решив численно
трансцендентное уравнение
У (О = (vo + grcosa)x[l - ехр(-г*Д)]- g^cosa • t* = 0,
A3.14)
291

из первого уравнения A3.14) определяем координату
X(t*) = (uo-g%sma)x[t*/T-l + exp(
Ниже приведены рассчитанные значения t* и X* при различных углах а:
а.
t\ с
Х\м
0
3,65
21,1
10
3,70
18,3
20
3,85
16,2
30
4,15
15,1
Таким образом, при падении кресла опасности его встречи с самолетом при
а = 0...300 нет при условии, что расстояние от кабины до хвоста самолета ме-
менее 15 м.
Пример 13.8. Материальная частица М массой т движется в горизонталь-
горизонтальной плоскости под действием лопатки вентилятора, вращающегося вокруг вер-
вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со (рис. 13.8). Лопатка выполне-
выполнена в виде дуги окружности, радиус которой равен радиусу г вала; центр С
окружности лежит на поверхности ва-
U U
ла, а длины дуг АС и АВ равны меж-
между собой и соответствуют углу тс/3.
Движение частицы начинается от корня
(положение А) лопатки с начальной
относительной скоростью, полученной
вследствие столкновения с лопаткой и
равной v0 = cor/2 .
Пренебрегая трением о поверхность
лопатки, определить относительную
скорость, с которой частица отделится
от лопатки, и нормальное давление ее
на лопатку в этом положении.
Решение. Материальная частица
(точка) совершает сложное движение.
Переносным для нее является извест-
известное движение ротора. Требуется найти
относительное движение точки вдоль
Рис. 13.8 лопатки. Система отсчета, связанная с
вращающимся ротором, является не-
инерциальной, поэтому движение точки определяется векторным уравнением
dvr - - — —
т—- = тя + N + Фе + Фк .
dt 6 е К
В проекциях на естественные оси
т dvxr /dt = Фе cos(rc/6+(p/2);
mvr2/r = OK+Nn; A3.15)
292

где vj=ds/dt, s = AM = rq>\ Фе=т@20М, ОМ = 2rsinGi/6 + <p/2); Фк=2тсо\', .
Первое уравнение системы A3.15), определяющее движение точки, можно
привести к виду
dvxjdt - (o2rsm(n/3 + ф).
Полученное уравнение является нелинейным, однако, выполнив замену не-
независимой переменной dv] /dt = (dvxr/dt)ds/(rdq>) = vxdvxr/(rd(p) и разделение
переменных, можно найти его первый интеграл
v2 = С - 2o)V2 cosGt/3 + ф).
В соответствии с начальными условиями (при ф = 0 и 5 = 0 vr= cor/2 ) по-
постоянная интегрирования
С = (сог/2J + 2coV cosGt/3) = 5со2 г2/4.
Таким образом, зависимость относительной скорости частицы от координа-
координаты имеет вид
v2 = о V[5/4 - 2cos(tt/3 + ф)].
В момент отделения от лопатки при ф = я/3 относительная скорость части-
частицы v' = v, (я/З) = Зсо г/2 и давление ее на лопатку
Q = _W/; = 2mcov - m(v'J/r = mcoVC - 9/4) = 0,75mco2r .
13.6. Равновесие и движение материальной точки
относительно Земли
Все мы живем на Земле, поэтому задачи динамики движения
материальных тел относительно Земли имеют исключительное
значение. Так как к точности решения этих задач могут предъяв-
предъявляться самые различные требования, возникает необходимость
установить, насколько существенным является отличие системы
отсчета, связанной с Землей, от инерциальной.
Движение Земли относительно инерциальной гелиоцентри-
гелиоцентрической системы отсчета является довольно сложным. Без учета
эффектов, обусловленных влиянием Луны и планет Солнечной
системы, Земля участвует в следующих движениях:
обращается вокруг Солнца по близкой к круговой орбите ра-
радиусом около 150 млн км;
вращается вокруг собственной оси с практически постоянной
угловой скоростью, совершая один оборот в сутки.
293

Переносная сила инерции точки в системе отсчета, связанной
с Землей, определяется формулой
Фе = -тае = -т(ао + а" + а]).
Ускорение а0 от орбитального движения Земли вокруг Солнца
составляет 5,9 10 м/с2 . Влияние сил инерции от такого уско-
ускорения может оказаться заметным лишь для весьма долговремен-
долговременных движений точки. Если этим ускорением можно пренебречь,
инерциальной становится геоцентрическая система отсчета. По
отношению к такой системе отсчета переносная сила инерции
определяется только нормальным ускорением а" во вращатель-
вращательном движении Земли вокруг собственной оси:
Ф" = т(й2г3 coscp = m(ove,
где со = 2я/24 • 60 • 60 = 7,3 • 10~5 рад/с; г3 « 6370 км — соответ-
соответственно угловая скорость вращения Земли и ее радиус; ф — гео-
географическая широта места; ve — переносная скорость точки.
Максимальное переносное нормальное ускорение имеют точки
на экваторе (а")тгх =со2г3 = 3,3-10~2 м/с2.
Свободная материальная точка может находиться в состоя-
состоянии покоя относительно Земли при условии, что
р + ф;=о,
т. е. если сила тяготения Земли и переносная сила инерции урав-
уравновешиваются. Такое возможно только для точки, которая нахо-
находится в экваториальной плоскости Земли на расстоянии h от ее
поверхности, при котором равны модули сил тяготения и инер-
инерции. На поверхности Земли сила тяготения точки массой т
где g = 9,8 м/с2 — ускорение силы тяготения на экваторе. Тогда
на высоте h
г2
mg-—^. 2(A)
( + h
294

и высота стационарной орбиты
[]
-1]= r3 [Vg/« )max -1]« 36000 км .
Условие равновесия несвободной материальной точки на по-
поверхности Земли (рис. 13.9) помимо силы тяготения и переносной
силы инерции включает реакцию связи:
mg + Ф" +N=0 .
Рис. 13.9
Равнодействующая двух первых сил есть вес тела. Она мо-
может быть представлена в виде mg' = /w(g - а"), где g' — ускоре-
ускорение тяготения с учетом неинерциальности (вращения) системы
отсчета. Величина g' зависит от широты местности: максималь-
максимально оно на полюсах, минимально — на экваторе. Линия действия
равнодействующей определяет местную вертикаль (т. е. линию
отвеса в данной точке поверхности Земли). Только на полюсах и
экваторе местная вертикаль проходит через центр Земли.
Уравнение относительного движения материальной точки в
системе отсчета, связанной с Землей, помимо веса и других при-
приложенных сил включает также кориолисову силу инерции
Фк =-так =-2m((D х vr),
295

модуль которой зависит от ориентации вектора v,. относительно
оси вращения Земли. Значение кориолисовой силы инерции
Фк = 2mcov,. максимально при движении точки в плоскости, пер-
перпендикулярной оси вращения Земли, и не зависит от географиче-
географического положения точки. На первый взгляд может показаться, что
поскольку Фк линейно зависит от со (величины высокого порядка
малости), кориолисова сила инерции велика по сравнению с Ф" . В
действительности отношение модулей этих сил определяется за-
зависящим от географического положения точки отношением от-
относительной и переносной скоростей: Фк/ф" =2vr/ve.
При движении точки по параллели кориолисова сила инерции
направлена по той же линии, что переносная сила инерции Ф"
(рис. 13.10). В случае движения на восток обе силы оказываются
направленными в одну сторону и модули их складываются. При
движении на запад силы противоположны, модули вычитаются, а
при скорости относительного движения vr = vc/2 = 230coscp ко-
кориолисова сила инерции полностью компенсирует переносную.
Таким образом, при движении точки по параллели изменяется
лишь ее вес.
Рис. 13.10
296

При движении в меридиональной плоскости Земли кориоли-
сова сила инерции перпендикулярна этой плоскости и в северном
полушарии направлена вправо по отношению к направлению
движения точки. Так как значения переносного и кориолисова
ускорений малы по сравнению с ускорением силы тяготения (от-
(отличие составляет несколько порядков), влияние соответствующих
им сил становится заметным только в длительных движениях с
небольшими относительными ускорениями, например в атмо-
атмосферных процессах, в течении рек, орбитальных движениях
спутников и тому подобных явлениях. В задачах динамики ма-
машин, для которых характерны значительные относительные ус-
ускорения, влияние этих сил несущественно, поэтому систему от-
отсчета, связанную с Землей, обычно считают инерциальной.

Глава 14
ГЕОМЕТРИЯ МАСС
14.1. Центр масс механической системы
При движении системы материальных точек большую роль
играют величины, характеризующие распределение масс точек.
Называют эти величины моментами и определяют как суммы
произведений масс тк (к = 1,2,..., N) точек системы на однород-
n
ную функцию их координат: ^rnkx%y%zyk, где а + Р + у = / —
степень момента. Моменты вычисляют относительно точки, оси
или плоскости.
Момент первой степени So =^щгк называют статиче-
ским моментом масс точек относительно какого-либо центра
N
О, а момент второй степени Jo =^mkrk —моментом инерции
*=i
системы относительно центра О.
Систему материальных точек называют также механической
системой. Механическая система - совокупность материальных
точек, положение или движение каждой из которых определяется
положением или движением других точек этой совокупности.
Рассмотрим систему, состоящую из конечного числа N ма-
материальных точек с массами тк и определим положение мате-
материальных точек относительно точки О с помощью радиус-
векторов гк (рис. 14.1). Для механической системы важное зна-
значение имеет центр масс, характеризующий распределение масс
материальных точек в системе. Центр масс системы — это
298

геометрическая точка С, поло-
положение которой определяется ра-
радиус-вектором гс, проведенным
из точки О (см. рис. 14.1).
Статический момент массы
механической системы относи-
относительно какой-либо точки О ра-
равен произведению массы сис-
Мк(тк)
темы М =
на радиус-
ы\
вектор центра масс гс:
Рис. 14.1
ы\
откуда
к=\
М
A4.1)
Проецированием A4.1) на оси прямоугольной декартовой
системы координат получаем выражения для вычисления коор-
координат центра масс механической системы:
х -
хс -
М
N
Выражения
М
N
z -
zc -
М
N
A4.2)
к=\
называют статическими моментами массы системы относи-
относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Оху. Из A4.2) имеем
SOyz = Мхс ; SOxz = Мус; SOxy = Mzc .
Для сплошных однородных тел So можно записать в виде
интеграла по массе тела:
So = lim 2^rkAmk = \rdm.
*тк~*°к=\ (A/)
299

Тогда
\fdm
г -W± A4.3)
и
\xdm \ydm jzdm
_ (М) if _ (М) _{М)
хс - ГГ~ ' Ус - Г7~ ' zc ~ ТТ~ •
МММ
Если тело имеет постоянную плотность р, то dm-pdV и
масса тела М = pV, где dV, V— элементарный объем частицы и
объем тела соответственно. Тогда
\rdV
и
\xdV jydV jzdm
v _(Л . „ _{V) . „ _{M)
с у sc vC V
Для материальной поверхности будем иметь dm
М = Pi5\ где pj - поверхностная плотность; dS — площадь по-
поверхности элементарной частицы; S — площадь рассматриваемой
материальной поверхности. Формула для радиус-вектора в этом
случае примет вид
\rdS
( S
Для материальной линии dm = p2dl, M = p2/, где р2 —ли-
—линейная плотность; dl — длина элемента линии; / — длина матери-
материальной линии, а радиус-вектор
\rdl
Если в качестве точки, относительно которой нужно вычис-
вычислить статический момент системы, выбрать центр масс С, то
300

k=]
так как радиус-вектор центра масс относительно этой же точки
равен нулю, т. е. рс = 0.
14.2. Моменты инерции
При рассмотрении вращательных движений твердых тел
вводят понятия моментов инерции, которые характеризуют рас-
распределение массы тела по отношению к точке (полюсу), оси или
плоскости.
Моментом инерции материальной точки М относительно
точки О называется произведение массы т этой точки на квадрат
ее расстояния г до точки О:
Jo=mr2-
Рассмотрим механическую систему, состоящую из N мате-
материальных точек с массами тк (к = 1,2,..., N). Момент инерции
механической системы, состоящей из N материальных точек Мк,
относительно точки (полюса) О равен сумме моментов инерции
этих точек (рис. 14.2):
*=1 Ы\
Момент инерции относительно точки называют полярным
моментом инерции.
Моментом инерции механической системы материальных
точек относительно оси О1 называется сумма произведений масс
этих точек на квадраты их расстояний до оси О1 (см. рис. 14.2):
N
X2
к=\
Для тела, имеющего непрерывное распределение массы,
имеем соответственно интегралы по массе М:
Jo