ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
С.В.БОЛОТИН, А.В.КАРАПЕТЯН, Е.И.КУГУШЕВ,
Д.В.ТРЕЩЕВ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
УЧЕБНИК
Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
по классическому университетскому образованию
в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по специальностям «Математика» и «Механика»
АСАОЕМА
Москва
Издательский центр «Академия»
2010

УЦК 621@75.8)
ББК 22.21я73
Т338
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф., акад. РАН В. Ф.Журавлев
(гл. науч. сотр. Ин-та проблем механики РАН);
канд. физ.-мат. наук А. С. Сумбатов
(ст. науч. сотр. Вычислительного центра РАН)
Теоретическая механика : учебник для студ. учреждений
Т338 высш. проф. образования / С. В. Болотин, А. В. Карапетян,
Е. И. Кугушев, Д. В. Трещев. — М.: Издательский центр
«Академия», 2010.—432 с.
I8ВN 978-5-7695-5946-4
В учебнике наряду с традиционным материалом (кинематика и динамика
точки и системы материальных тел; лагранжев и гамильтонов формализм;
вариационные принципы; устойчивость положений равновесия и теория
малых колебаний) представлены разделы, отражающие достижения науки
второй половины XX в. (теория устойчивости стационарных и
периодических движений, элементы КАМ-теории и т.д.).
Для студентов учреждений высшего профессионального образования.
УДК 621 @75.8)
ББК22.21я73
Оригинал-макет данного издания является собственностью
Издательского центра «Академия*, и его воспроизведение любым способом
без согласия правообладателя запрещается
©Коллектив авторов, 2010
©Образовательно-издательский центр «Академия», 2010
I8ВN978-5-7695-5946-4 ©Оформление. Издательский центр «Академия», 2010

ПРЕДИСЛОВИЕ
Термин «теоретическая механика» является стандартным, но
чрезвычайно неудачным. Он создает впечатление, что остальная
механика — «практическая»,«тогда как на самом деле другими
ее разделами являются механика сплошной среды,
статистическая, квантовая и релятивистская. Несколько лучше отражает
суть дела термин «классическая механика», но и он не вполне
удовлетворителен, так как его противоположностью, как
правило, считается «квантовая механика».
В сущности, речь идет об изучении движения систем,
состоящих из конечного набора материальных точек и абсолютно
твердых тел под действием сил, зависящих от положения,
скорости и времени. В системах могут также присутствовать
связи. Движения описываются уравнениями Ньютона или их более
продвинутыми версиями (имеются в виду уравнения Лагранжа,
Гамильтона, различные виды уравнений неголономной
механики, а также уравнения, вытекающие из общих теорем
динамики).
Данному предмету посвящено большое количество учебников
от классических [1, 19, 22, 28, 30, 34, 36] до современных^, <6, 7,
8, 11, 21, 31]. Что нового можно найти в данной книге?
Авторы стремились разделить предлагаемый материал «а
несколько уровней. Наиболее простой уровень (текст, набранный
обычным шрифтом, см. гл. 1 — 9 и 12, 13) вполне доступен
студентам технических университетов. Эту часть учебника можно
считать достаточно традиционной. Дальнейшие уровни (текст,
набранный мелким щрифтом в перечисленных главах, а также
гл. 10, 11, 14 и 15) читатель может выбирать самостоятельно в
зависимости от области интересов.
В более сложных разделах авторы пытались хотя бы
частично отразить как современный уровень развития классической
механики, так и современный язык, используемый в ней. В
связи с этим к математической подготовке читателя
предъявляются дополнительные требования. Надеемся, что определенную
помощь для восприятия этого материала окажет приложение, со-
3

держащее краткое изложение некоторых математических
конструкций, используемых в учебнике.
Авторы надеются, что даже специалисты найдут в книге
немало нового для себя.
В учебнике дан анализ большого количества механических
задач, ставших классическими, но отсутствующих в учебной
литературе. Прежде всего это касается динамики твердого тела
(см. гл. 10 и 11), но такие задачи имеются и в других
подразделах.
В книге содержится много учебных задач, большинство из
которых тривиальны, остальные снабжены указаниями.
В учебниках, написанных механиками, теоретическая
(классическая) механика, как правило, выступает самодостаточной
областью знаний с более или менее ясно очерченным кругом
задач и методов. Для физиков, наоборот, классическая механика —
лишь первый шаг для изучения дальнейших разделов: теории
поля, статистической, квантовой механики и т. д. Это
накладывает ясный отпечаток на стиль изложения (см, например, [20]).
На классическую механику можно также смотреть как на
фактически полностью формализованную часть физики,
являющуюся по этой причине частью математики. В значительной
степени будут правы специалисты по теории динамических систем,
считая, что классическая механика — часть их области
изучения. Вряд ли также стоит спорить с геометрами,
отождествляющими гамильтонову механику с симплектической или пуассоно-
вой геометрией. При этом подходе несложно заметить, что
классическая механика занимает одно из центральных мест в
математике и имеет непосредственные связи с большинством
структурообразующих математических теорий.
Не имея возможности отразить все эти взгляды, авторы все-
таки пытались привлечь внимание читателя как к
неожиданным механическим эффектам, проявляющимся при
рассмотрении конкретных задач, так и к красивым математическим
теориям, находящим успешное применение в рамках проблематики
классической механики. Многие из этих теорий возникли
благодаря данной проблематике.
Несколько слов о необходимом уровне подготовки читателя.
Прежде всего, авторы рассчитывают на то, что читатель
хорошо знаком с начальным курсом математического анализа
(дифференцирование, интегрирование, функции многих переменных,
соображения компактности, критические точки, теорема о
неявной функции) и со стандартным курсом линейной алгебры (ко-

нечномерные векторные пространства, линейные операторы,
билинейные и квадратичные формы, скалярное произведение).
В некоторых разделах требуется знание начальных
понятий дифференциальной геометрии (гладкие многообразия,
касательные и кокасательные пространства, риманова метрика,
дифференциальные формы) и функционального анализа
(производная функционала, метрические пространства, теория
меры, сжимающие операторы). Впрочем, большинство из этих
понятий определяется в основном тексте учебника или в
приложении.
Несмотря на то что основной предмет исследования —
дифференциальные уравнения классической механики, глубокого
изучения курса обыкновенных дифференциальных уравнений
не требуется. Вполне достаточно умения решать простейшие
уравнения (с разделяющимися переменными, линейные с
постоянными коэффициентами) и понимания теоремы о
существовании и единственности решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Формирование взглядов авторов на предмет теоретической
механики происходило при значительном влиянии
академика РАН В. В. Козлова. Многие методические идеи, воплощенные
в этой книге, взяты из лекций, которые Валерий Васильевич
читал в течение ряда лет на механико-математическом факультете
МГУ им. М. В. Ломоносова.
Очень ценным для авторов было общение с коллегами по
кафедре теоретической механики и мехатроники
механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Большую
пользу принесло обсуждение вопросов преподавания
теоретической механики в рамках методического семинара под
руководством И. Л. Антонова и К. Б. Якимовой.
Особую благодарность авторы выражают И.Л.Антонову,
В.В.Козлову, К.Б.Якимовой, прочитавшим рукопись и
высказавшим ценные замечания, а также В.Ф.Журавлеву и
А. С. Сумбатову за конструктивную критику учебника.
Авторы

Глава 1
КИНЕМАТИКА
1.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
1.1.1. Скорость и ускорение
Кинематика — раздел механики, в котором изучаются
свойства движения механических систем независимо от 1гричин,
вызывающих это движение. Механическая система — Зто
система материальных точек, в частности одна материальная точка
или абсолютно твердое тело, а движение — это изменение
положения системы в пространстве с течением времени. В
классической механике предполагают, что пространство евклидово
и выбрана ортогональная система координат Оехеуе2,
называемая абсолютной системой отсчета. Предполагается также, что
существует абсолютное время I е К, не зависящее от выбора
системы отсчета. В физическом пространстве естественного
выбора системы отсчета не существует, так что понятия «абсолютная
система отсчета» и «абсолютное время» условны. В
зависимости от решаемой задачи абсолютная система отсчета может быть
связана с Землей, Солнцем или другими
телами.
Пусть движение точки Р изучается по
отношению к абсолютной системе отсчета
Оехеуег (рис. 1.1). Положение точки
задается радиусом-вектором г = ОР. Функция
г(<) = х(Ь)ех + у(*)еу + я(*)ег, а < I < Ь, вы-
р 1 1 т р Ряжйятзакон движения точки.
ис. очка Траекторией движения называют кри-
движется в про- г г г
вую
странстве по кри- *
вой у Г = {г(<) | а < I < Ь} С К3; A.1)
6

скоростью точки — производную радиуса-вектора1'
у(«) = Щ = -^г(<) = ±{Щ + у(<)еу + *(*)ег;
ускорением — производную вектора скорости
а(«) = *(*) = г(«) = я(*)ех + у(*)еу + 5(*)е,.
Пример 1.1. Равномерное прямолинейное движение точки
описывается формулой г(*) = Го + Уо1. Здесь V = Уо, а = 0.
Более общо, производная векторной функции {{р) = /(<)ех +
+ #@? + М')е* определяется так:
Задача 1.1. Покажите, что для векторных функций
сохраняются обычные свойства производных:
|(Г + 8) = * +8, !<*,8> = <*,В> + <*.8>,
|[',«]«[*,й+ ['.«¦
Здесь (¦, ¦) — скалярное, а [¦, ¦] — векторное произведение.
Следствие 1.1 (свойство единичного вектора). Если
|ОД| = 1, тоГ±Г.
Задача 1.2. Докажите следствие 1.1.
Пример 1.2. Рассмотрим движение точки по окружности
радиуса г в плоскости Оху (рис. 1.2). В полярных координатах
х = гсовср, у =; гзтф. Обозначим ег =
= со8(рех + 81Пфеу;еф = — 81Пфех + со8феу.
Тогда г = гег.
Задача 1.3. Покажите, что производные
векторов ег, еф имеют вид
ёг = феф, ёф = -фег. A.2) рис 12 Др^етю
Отсвда в примере 1.2 V = гуе^ а = Т°^р^^Н(>
= -гф^ег + гфеф.
Обычно производная по времени обозначается точкой.

1.1.2. Скорость и ускорение в полярных,
цилиндрических и сферических координатах
Пусть движение точки в плоскости Оху задано в полярных
координатах (г, ф) (см. рис. 1.2). Дифференцируя равенство г =
= гег и используя A.2), получим
V = гег + гуе^, а = V = (г - гф2)ег + (гф + 2гф)еф. A.3)
Пусть движение точки в пространстве задано в
цилиндрических координатах (г, ф, г) (рис. 1.3). Тогда г = гег + гег и,
следовательно, в силу A.2)
у = гег + гфеф + гег,
а = (г - гф2)ег + (гф + 2гф)еф + гег
A.4)
Пусть движение точки задано в сферических координатах
(г,ф,8) (рис. 1.4). Тогда
X = ГСО8 0СО8ф, у = ГСО8 081Пф, 2 = Г81П0.
Задача 1.4. Покажите, что базис
ег = - = сое 0 сов фех + сое 8 зт феу + зт 0ег,
г
дт/дсо
ею = ттгЛ^-т = -зшфва; + со8феу,
ее =
|вг/Лр|
дт/дЪ
\дт/т\
= — 81П 6 СОЗ фвх — 81П 8 81П фву + СОЗ 6ег
О
1 ев>
т/
/т
А /
)/$
_>%
Ф ^ч
V
/&**
\Р
<р,
Рис. 1.3. Цилиндрические коорди- Рис. 1.4. Сферические координа-
наты (г, ф, г) точки Р ты (г, 0, ф) точки Р
8

ортонормированный и проверьте выполнение следующих
равенств:
ёг = 8ее + фсо8 8еф,
ёф = —ф(сОЗ Эвг — 81П
ее = —8ег — ф зт
Задача 1.5- Дифференцируя равенство г = гег, покажите,
что
V = г = гег + гу сов 8 еф + г8 ее,
а = \г = [г + г(-82 + ф2со828)]ег+
A-5)
+ [2(г сое 8 - гб вш 8)ф + гф соз 8]еф+
+ [2г8 + гф - ф2 вш8сое 8)]ев.
1.1.3. Проекции ускорения на касательную, нормаль
и бинормаль
Пусть задан закон движения г = г(^), а < I < Ь, точки Р.
Если в некоторый момент времени I скорость отлична от нуля,
т. е. уD) = г(*) ф 0, то в точке Р = г(*) определена касательная
к траектории — прямая с направляющим вектором V. В
противном случае точка траектории называется особой. Будем
предполагать, что |г(*)| ф 0 всюду. Тогда траектория у = {г(*) | а < I <
< Ь} — гладкая кривая (рис. 1.5).
Нам потребуются некоторые простые факты из
дифференциальной геометрии кривых. Пусть кривая у задана
параметрически как в формуле A.1), причем г(*) ф 0, а < I < Ь.
Параметризация задает ориентацию (положительное направление
движения) на у. Вектор т = г(*)/|г(*)| называется (положительным)
единичным касательным вектором к ориентированной кривой
у в точке Р. Параметризацию г(*) удобно интерпретировать как
закон движения точки Р по у. Тогда V = г;т, V = |у|.
Рис. 1.5. Движение точки по
пространственной кривой у

Лемма 1.1. Определение вектора т корректно, т. е. зависит
только от ориентированной кривой у и точки Р и не зависит
от того, как точка Р движется вдоль у в положительном
направлении.
Доказательство. Рассмотрим другой закон движения точки
Р вдоль у: г = г(*(в)), где Ь(з) — монотонно возрастающая функ-
Лг
ция, 1'(з) > 0. Тогда — = г' = Н', так что г/|г| = гУ|г'|. ¦
аз
Определение 1.1. Параметр в на кривой у называется
натуральным, если \г*(з)\ = 1.
Поскольку г7 = г—, то в = V. Значит, в = у{Ь)<И. Если
зафиксировать начальную точку Ро = г(*о)> то я = г;(*)сЙ —
длина дуги вдоль кривой от Ро до Р. При натуральное
параметризации г7 = т, V = ет.
Определение 1.2. Пусть векторы а = гиу = гне
параллельны. Плоскость П, проходящая через Р и натянутая на
векторы V и а, называется соприкасающейся плоскостью к кривой у
в точке Р.
Лемма 1-2. Определение соприкасающейся плоскости П
корректно, т. е. зависит только от кривой у и точки Р и не
зависит от закона движения вдоль у.
Доказательство. При другом законе движения вдоль у
новые скорость и ускорение лежат в той же плоскости: г7 = г*' € П
и г" = (г*')' = г*72 + Н" еП(в обозначениях леммы 1.1). ¦
Определение 1.3. Вектором главной нормали п к кривой у
в точке Р называется единичный вектор, ортогональный т,
лежащий в П, и направленный в ту сторону от касательной, куда
направлен вектор ускорения. Вектор Ь = [т, п] называется
вектором бинормали. Репер т, п, Ь называется репером Френе, или
естественным трехгранником кривой у в точке Р.
При натуральной параметризации г' = т. Согласно свойству
производной единичного вектора (см. следствие 1.1), т' 1ти
т' Е П. Отсюда т' = &п.
Определение 1.4. |г"| = к называется кривизной, а р = А:-1
радиусом кривизны кривой у в точке Р.

Задача 1.6. Покажите, что для окружности радиус
кривизны р — эта ее радиус.
Теорема 1.1 (о разложении ускорения на нормальное
и касательное). Ускорение точки разлагается на нормальную
и касательную составляющие по формуле
а = апп + о^т = кь2п + г>т, A.6)
где ап = ку2 — нормальное иа^ = V — касательное ускорение.
Доказательство. По правилу дифференцирования сложной
функции
а = г = й(т'з)/<И = г"*2 + г'а = кпз2 + та. ¦
Практически натуральная параметризация почти не
используется, поскольку вычисление длины дуги вдоль кривой требует
взятия интеграла.
Предложение 1.1. При произвольной параметризации
кривой т=тA), _
* = |[г,г]|/|г|3.
Доказательство. Согласно A.6), к = (а, п)/у2 = |[а,у]|/г;3. ¦
Теорема 1.2 (формулы Френе). При натуральной
параметризации
т' = &п, п' = — йт + хЬ, Ъ' = —хп.
Доказательство. Коэффицент х называется кручением
кривой в точке Р. Первая формула Френе уже доказана. Докажем
вторую формулу. Поскольку п — единичный вектор, топ' 1 п.
Значит, п' = Хт + хЬ. Остается проверить, что X = —к.
Дифференцируя равенство (п, т) = 0, получим (п', т) + (п, т') = (п7, х) +
+ к = 0. ¦
Задача 1.7. Докажите третью формулу Френе.
Задача 1.8. Докажите формулу для кручения траектории
движения: „
х = ([^а],а)/|[у,а]|2.
1.2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
1.2.1. Задание положения твердого тела
Определение 1.5. Твердое тело — это 'система точек Р»,
таких, что, расстояние между каждой парой Р», Р^ постоянно:
<Ий(Р^ Р,) = (? = сопзЪ для всех г^.
11

Рис. 1.6. Ортогональная
система отсчета 5$7)С,
связанная с твердым
телом
В дальнейшем, как правило, будем
добавлять еще условие
невырожденности: существуют три точки Р\,Р2,Рз
тела, не лежащие на одной прямой. Наг
пример, отрезок — вырожденное
твердое тело.
С твердым телом можно (не
единственным образом) связать
ортогональную систему отсчета 5ВД (рис. 1.6).
Например, пусть 8 = Р\. Направим ось
$5 вдоль Р\Р2- Выберем ось 5т) так, что
Рз находится в верхней полуплоскости
5^7). Ось $С определяется однозначно
так, чтобы репер был правым. Таким
образом, движение твердого тела задает движение евклидова
пространства К3. В кинематике удобно считать, что твердое тело
заполняет все пространство.
Положение твердого тела однозначно задается векторами
г5? в^, е^, е^. Разложим подвижный базис по неподвижному:
((е5,ех) (е^еу) (е5,ег)>
(е^ея) (е^ву) (е^е*)
(е?,ех) (е^еу) (е?,ег)>
Задача 1-9. Покажите, что матрица перехода X
ортогональная: ХХТ = ХТХ = Е (Хт означает транспонирование
матрицы X).
Таким образом, положение твердого тела однозначно
задается вектором т$ и ортогональной матрицей X. Матрицу X
можно задать тремя параметрами, например углами Эйлера (см.
п. 1.3.3).
1.2.2. Вектор угловой скорости твердого тела
Продифференцируем базисные векторы подвижного репера.
Так как векторы ех, еу, ег неподвижны, то
= Х
A.7)
где П = XX'1 = ХХТ.
12

Лемма 1.3. Матрица Г2 = ХХТ кососимметрическал:
Доказательство. Дифференцируя равенство ХХТ = Е,
получим
О = ^(ХХТ) = ХХТ + ХХТ = П + С1Т. Ш
ах
Общий вид кососимметрической матрицы размера 3x3:
/О со< -соД
П = | -о? О О); I .
\'^ " ° /
Определение 1.6. Вектор со = о^е^+0)^+6)^ называется
вектором угловой скорости твердого тела.
Из A.7) вытекает следующая теорема.
Теорема 1.3 (формулы Пуассона).
ё; = со^е,, - со^ = [со,е5],
ё^ = со^ - со^ = [со, е,,], A.8)
ё^ = со^е; - со^ = [со,е?].
Задачи 1.10—1.12 показывают, что в качестве других
определений угловой скорости можно принять соотношения A.9) и
A.10).
Задача 1.10. Докажите, что
*> = (ёт,,е?)е5 + (ё^е^ + (ё^е,)^. A.9)
Задача 1.11. Докажите, что
*> = \ ([«*.**] + [в,,*,] + кЛ]). A.Ю)
Задача 1.12. Используя тождества
<ё?, в,) + (е5, ёц) = 0, (в,, ес) + (е,,, ё?) = О,
(ё5,е?) + (е5,ёг;) = 0,
выведите формулы Пуассона из формул задачи 1.10 или 1.11.
Пример 1.3. Система отсчета ОВД вращается вокруг оси
Ог = ОС (рис. 1.7). Пусть ф — угол между осями Ох и 02;,
отсчитываемый против часовой стрелки, для наблюдателя,
расположенного на положительной части оси Ог. Так как ё^ = 0, то
13

(о || ег. Так как ё$ = фе^, ё^ = — фе^, то из
формул Пуассона следует, что со = фег.
Задача 1-13- Пусть точка движется по
пространственной кривой.
а) Покажите, что угловая скорость репера
Френе определяется соотношением
Рис. 1.7. Враще- со = (хт + кЪ)з,
ние системы отсче- , „
та ОЫ вокруг оси где * и х ~ кРивизна ¦ кручение кривой; т -
02 _ 0г касательный вектор; Ь — бинормаль.
Вектор со называется вектором Дарбу.
б) Найдите угловую скорость координатного репера ег, еф, ее
при задании движения точки в сферической системе координат
(см. п. 1.1.2).
Теорема 1.4 (формула Эйлера). Для любых двух точек
А, В твердого тела
*в = *а + [»,Щ. A.11)
Доказательство. Вектор АВ = ае; + Ъе^ + се^ имеет
постоянные компоненты в системе Зе^е^е^. По формулам Пуассона
ув-ча = АВ = аё^ + Ьёц + сё^ = [со,ае% + Ье^ + се$] = [со,~АВ]. ¦
Замечание 1.1. Вектор угловой скорости твердого тела не
зависит от выбора подвижного (правого) репера Зе^е^е^, жестко
связанного с телом. Действительно, пусть ^'е^е^ — какой-либо другой
репер, связанный с твердым телом, а со' — его угловая скорость. Тогда
из формулы Эйлера чв — ча = [со', АВ], т.е. [со' - со, АВ] = 0 для
любых двух точек твердого тела. Поскольку тело содержит три некол-
линеарные точки, то со = со'. Таким образом, формулу Эйлера можно
принять за определение вектора угловой скорости. Для вырожденного
тела, например отрезка, компонента угловой скорости вдоль отрезка
определена неоднозначно.
Задача 1.14. Пусть в твердом теле скорости двух точек
одинаковы (например, равны нулю): ч& => уд. Покажите, что
со || АВ.
Теорема 1.5 (формула Ривальса). Для любых двух точек
твердого тела
ав = ал + [со, [со, АВ]] + [с, АВ], с = со. A.12)
Доказательство. Получается дифференцированием
формулы Эйлера с учетом того, что АВ = ^в — ^А — [*>, АВ]. ¦
14

/
Вектор с называется угловым
ускорением твердого тела. Второе
слагаемое в правой части A.12) называется { ^
осестремителъным ускорением и опре- \
деляется соотношением: Ч ч
«ос,
<0П
ЧВ
\
\
/
аос = [со, [со, АВ]] = (о(||>, АВ) -*02АВ =
= -со2(АВ-(АВ,е)е),
е = со/|со|.
Рис. 1.8. Пояснение к
формуле Ривальса
Чтобы объяснить смысл этого названия, введем ось I,
проходящую через точку А и направленную вдоль вектора со. Тогда
аос направлено от точки В к оси / и равно по модулю со2 (Из1(В, /)
(рис. 1.8). Здесь д0в1(В,1) означает расстояние от точки В до
прямой /.
1.2.3. Поступательное движение твердого тела.
вращение твердого тела вокруг неподвижной
оси
Если угловая скорость Твердого тела тождественно равна
нулю, то скорости и ускорения всех его точек одинаковы (см.
формулы A.11) и A.12)). В этом случае говорят, что твердое тело
совершает .поступательное движение. Поступательное
движение твердого тела полностью определяется движением любой
его точки.
Бели в какой-то момент времени угловая скорость тела
обращается в нуль, то говорят, что в
этот момент времени тело
совершает мгновенно-поступательное
движение. При этом скорости всех точек
твердого тела совпадают, а ускорения
могут не совпадать.
Если скорости всех точек
твердого тела, лежащих на какой-либо
неподвижной прямой 2, тождественно
равны нулю, то говорят, что тело
совершает вращательное движение
(вращается) вокруг оси /. Рис 19 Вращательное
Возьмем некоторую точку О пря- движение твердого тела
мой I и выберем ее в качестве нача- вокруг прямой I = Ог =
ла как неподвижной Охуг, так и по- = ОС
15

движной (вмороженной в тело) 0\т^ систем координат,
причем оси Ог и ОС направим вдоль I так, чтобы они совпадали
(рис. 1.9). При этом система координат 02;т]С вращается вокруг
оси Ог = ОС Пусть ср = ср(*) — угол между осями Ох и ОС Тогда
е; = соз сред; + 81П среу,
е,, = -зпкрея + созфву, A-13)
е? = ег.
Используя A.9), получаем отсюда, что о> = фе2 и со = срег. Из
формулы Эйлера (см. A.11)) скорость любой точки тела равна
г = ф[е2, г]. Следовательно, г 1 е2, г 1 г. Конечно, это и так
очевидно, поскольку при вращательном движении; все точки тела,
лежащие на оси вращения, неподвижны, а остальные
описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных оси вращения,
и вращательное движение полностью определяется законом
изменения угла ф. При этом \р = \д для любых двух точек РиB,
лежащих на прямой, параллельной оси вращений.
Если в какой-то момент времени * скорости всех точек тела,
лежащих на прямой /(*), равны нулю, то говорят, чта^ло
совершает мгновенное вращение вокруг мгновенной оси вращения 1A).
Задача 1.15- Пусть движение твердого тела
мгновенно-поступательное при всех I. Можно ли утверждать, что тело
движется поступательно? Движется ли тело прямолинейно?
1.2.4. Плоскопараллельное движение твердого тела
Пусть каждая точка твердого тела движется в плоскости,
параллельной неподвижной плоскости П = Оху. Тогда можно
рассматривать плоское твердое тело — сечение плоскостью П. Для
любых точек А, В твердого тела имеем \в — ^А = [<¦>, АВ] || П.
Значит, если тело содержит три точки, не лежащие на одной
прямой, то со А. П, <о = о>ег. Бели все точки тела лежат на одной
прямой, то по определению считается, что со А. П. Таким
образом, можно говорить об угловой скорости плоскопараллельного
движения отрезка.
Пусть 5ВД — система координат, связанная с плоским
твердым телом (рис. 1.10). Тогда его положение полностью
определяется радиусом-вектором г^ и углом ср между осями Ох и 8%.
При этом, как и при вращательном движении, выполняются
равенства A.13). Следовательно, со = фе2 = фе^.

Рис. 1.10.
Плоскопараллельное движение
твердого тела
Согласно формулам Эйлера и Ри-
вальса для любой точки Р тела имеем
Ур=У$+[сО,5Р],
аР = а$ + [со, 5Р) + [со, [со, 5Р]] =
= а5 + [со,5Р]^со25Р.
Если со(*) = 0, то плоское
твердое тело совершает в момент
времени * мгновенно-поступательное
движение. Если существует точка С
плоского твердого тела, такая, что
^(*) = 0, то плоское твердое тело совершает в момент
времени I мгновенно-вращательное движение вокруг точки С
Предложение 1.2. Если при плоскопараллельном движении
со(^) ф 0, то существует точка С = СA) твердого тела,
такая, что Vс(^) = 0.
Здесь и в дальнейшем в этом подразделе будем считать, что
твердое тело заполняет всю плоскость П.
Доказательство. Пусть ф — какая-либо точка сечения Е
твердого тела плоскостью П и уд — ее скорость. Найдем
точку С € 2, такую, что ус = 0. В соответствии с формулой
Эйлера должно выполняться равенство уд + [со,фС] = 0.
Умножив обе части равенства векторно слева на со, получим [со, уд] +
+ [со, [со, фС]] = 0. Отсюда по формуле двойного векторного
произведения (см. П.1) [со,уд] = со2фС, т.е. фС = [со,уд]/со2.
Поскольку со А. П, то точка С определяется однозначно при любом
со^О. ¦
В ъ
Рис. 1.11. Центр скоростей С ле- Рис. 1.12. Неподвижная и по-
жит на пересечении перпендику- движная центроиды отрезка, кон-
ляров к векторам скоростей точек цы которого скользят по
непотела, движным осям
17

8
Рис. 1.13. Качение
диска без
проскальзывания по прямой
Определение 1.7- Точка С плоского
твердого тела, скорость которой равна
нулю, называется мгновенным центром
скоростей.
В общем случае С = С(*), т.е.
положение центра скоростей с течением
времени меняется как в неподвижной, так и
подвижной, жестко связанной с телом,
системах координат. Геометрическое место
мгновенных центров скоростей в
абсолютном пространстве и плоском твердом теле называется
соответственно неподвижной и подвижной центроидой.
Задача 1.16. Докажите, что при плоском движении
плоского твердого тела центр скоростей лежит на пересечении
перпендикуляров к векторам скоростей (рис. 1.11).
Пример 1.4. Концы отрезка скользят по неподвижным
координатным осям. Неподвижная центроида — это дуга
окружности с радиусом, равным длине отрезка, и центром в начале
координат (рис. 1.12), а подвижная — дуга окружности,
диаметром которой является отрезок АВ.
Пример 1.5. Пусть диск катится по неподвижной прямой
(рис. 1.13). Будем считать, что качение происходит без
проскальзывания, т. е. скорость точки Р диска, в которой он в данный
момент времени касается прямой, равна нулю. Центр скоростей
совпадает с точкой Р.
Задача 1.17. Найдите ускорение точки Р, если скорость V
центра диска 5 постоянна (см. рис. 1.13), а радиус диска равен г.
1.2.5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной
точки
Пусть точка О твердого тела неподвижна. По формуле
Эйлера чр = [со, ОР]. Точки на оси / = Осо имеют нулевую скорость.
Таким образом, ось / = /(*) является мгновенной осью вращения.
Скорости точек твердого тела распределены так, как будто бы
оно вращается вокруг оси /. В процессе движения угловая
скорость твердого тела со изменяется, поэтому мгновенная ось враг
щения I изменяет свое положение как в абсолютном
пространстве, так и в теле. Геометрическое место мгновенных осей
вращения в пространстве (и в теле) называется неподвижным Ка
18

Рис. 1.14. Вращение твердого тела
вокруг неподвижной точки О.
Подвижный аксоид К0 катится без
проскальзывания по
неподвижному аксоиду Ка (аксоиды
соприкасаются по оси мгновенного
вращения I). Мгновенная угловая
скорость со направлена по этой же оси
(и подвижным К0) аксоидом. Аксоид представляет собой
коническую поверхность, так как все мгновенные оси проходят Через
неподвижную точку О (рис. 1.14).
Распределение ускорений точек твердого тела с неподвижной
точкой определяется формулой Ривальса а = [со, г] + [со, [со, г]].
1.2.6. Произвольное движение твердого тела
Определение 1.8. Винтовым движением твердого тела
называется такое движение, при котором тело равномерно
вращается вокруг некоторой неподвижной оси I и скорости всех
точек тела, лежащих на этой оси, равны между собой, постоянны
и направлены вдоль оси { (рис. 1.15).
Рассмотрим произвольное движение свободного твердого
тела. Согласно формуле Эйлера, чв =чд + [со, АВ] для
произвольных точек А и В. Таким образом, мгновенное движение
свободного твердого тела представляет собой суперпозицию поступаг
Рис. 1.15. Винтовое движение твердого тела вокруг оси I, т. е. вращение
вокруг нее с угловой скоростью со и перемещение вдоль нее со
скоростью У5 E — любая точка на оси /)
19

тельного движения с мгновенной скоростью уд и
мгновенно-вращательного движения вокруг точки А с угловой скоростью со.
Предложение 1.3. Если со ф 0, то в каждый момент
времени существует прямая I = 1A) в твердом теле, такая, что
со || / и ур || I для любой точки Р е1.
Предполагается, что твердое тело заполняет все
пространство. Такое движение называют мгновенно-винтовым, а
прямую / — мгновенно-винтовой осью.
Следствие 1.2. В каждый момент времени твердое тело
совершает либо мгновенно-поступательное, либо мгновенно-
вращательное, либо мгновенно-винтовое движение.
Доказательство предложения 1.3. Рассмотрим
произвольную точку ^ твердого тела и проведем через нее плоскость
П А. со. Будем искать точку 5 € П такую, что у^ = Хсо. Имеем
уравнение
Уд + [со,ф?]=Хсо.
Умножив обе его части векторно на со, получим
[со, уд] + [со, [со, Щ] = [со, уд] + со(со,ф5) - 05со2 = 0.
Так как (со, ф$) = 0, то
05 = ^1
со2
Пусть прямая / проходит через точку 5 и направлена по со.
Тогда для любой точки Р е /
Ур
= ^ + [со,^=^ = уд + !^М =
*>(со,уп) _ _ (со, уд)
Число X называется параметром винта. Бели X ф 0, то тело
совершает мгновенно-винтовое движение. Бели X = 0, то тело
совершает мгновенно-вращательное движение.
Название параметра X проясняет следующая задача.
Задача 1.18. Представим себе движение винта, который
завинчивается в отверстие с постоянной угловой скоростью со
(которая, конечно, направлена вдоль оси симметрии винта). Покат
жите, что при таком движении на одном обороте винт сместится
вдоль оси вращения на величину X — шаг винта.
20

1.3. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ
1.3.1. Формулы сложения скоростей и ускорений
Пусть имеются системы отсчета Охуг и З^т^. Первая
называется абсолютной и считается неподвижной, а вторая движется
относительно первой. Радиус-вектор точки Р по отношению к
неподвижной системе отсчета есть г = хех + уеу + гег, а
относительно подвижной р = Ее^ + т\ец + Се^. Тбгда г = К + р, К = 08
(рис. 1.16).
Определение 1.0. Абсолютной скоростью точки Р
называется вектор скорости, вычисленный в системе Охуг: Уабс = хех +
+уеу+гег. Относительной скоростью точки Р называется
вектор скорости, вычисленный в системе 5ВД: Уотн = Ёцг + т^ +
+ ^. Переносной скоростью точки Р называется абсолютная
скорость точки подвижной системы отсчета, совпадающей в
данный момент с точкой Р: упер = К + ^ё; + 7)^ + Сё^.
Из определения и правила дифференцирования
произведения вытекает теорема.
Теорема 1.6 (формула сложения скоростей).
Vабс = V(УГн + Упер- A-14)
Задача 1.10. Прямые /ь'г» лежащие в неподвижной
плоскости, движутся поступательно с заданными скоростями VI, V2.
Найдите скорость точки пересечения. Угол между прямыми а.
Указание. Свяжите подвижную систему координат сначала с
прямой /1, а затем с прямой /г- Примените два раза A.14) для
точки пересечения прямых.
Рис. 1.16. Неподвижная и подвижная системы отсчета
21

Задача 1.20 (метод Роберваля построения касательных к
эллипсу). Покажите, что касательная к эллипсу составляет
равные углы с направлениями на фокусы.
Указание. Пусть точка Р движется по эллипсу. Тогда ее
скорость параллельна касательной к эллипсу. Свяжите подвижную
систему координат сначала с лучом Р\Р, а затем — с лучом ^2-Р»
где Р\, 1? — фокусы эллипса. Примените два раза формулу
сложения скоростей и используйте тождество \РгР\ + |1*2-Р| = сопзЪ.
Задача 1.21. Распространите метод Роберваля на другие
кривые второго порядка (гиперболу и параболу).
Лемма 1.4 (связь абсолютной и относительной
производной). Производные вектора иA) по времени в неподвижной
и подвижной системах отсчета связаны формулой
(И
абс
и = т
си
и+ [<¦>, и]. A.15)
Доказательство. Если и = ще% + и^е^ + иде/то по формуле
Пуассона A.8)
_1
(И
и = ще1 + щ[^е(\ + ¦¦¦ = —
абс
и + [со,и].
Формула A.15) фактически использована при Доказательстве
теоремы сложения скоростей.
Абсолютное а^, относительное аотн и переносное апер
ускорения точки Р определяются аналогично соответствующим
скоростям.
Определение 1.10. Абсолютным ускорением точки Р
называется вектор ускорения, вычисленный в системе Охуг: &,&. =
= хех + уеу + гег. Относительным ускорением точки Р
называется вектор ускорения, вычисленный в системе 5ВД: ваш =
= $в5 + тр^ + Ёе^. Переносным ускорением точки Р
называется абсолютное ускорение точки подвижной системы
отсчета, совпадающей в данный момент с точкой Р: аПер =
+ ^ё; + т^ + Сёт;- Кориолисовым (добавочным) ускорением
называется вектор акор = 2F)^^), где со = «Опер —
вектор угловой скорости системы 8%г\Ъ по отношению к системе
Охуг.
Абсолютное, относительное и переносное ускорения связаны
следующей теоремой.
22

Теорема 1.7 (формула сложения ускорений, или
формула Кориолиса).
аабс = Зогн "Ь ^пер + акор- Ч-!")
Доказательство. Дифференцируя равенство г = К + ^е^ +
+ Ч^ + *»еС Д88, Р838-» получим
аабс = г = а^н + апер + 2(?ё$ + т)^ + Сё^)-
По формулам Пуассона A.8) сумма в скобках равна [со, Ее; +
Переносные скорость и ускорение вычисляются по формулам
Эйлера A.11) и Ривальса A.12): упер = у§ + [<о,р], апер = а$ +
+ [со, р] + [со, [со, р]]. Действительно, переносное движение
происходит как движение твердого тела, жестко связанного с
системой отсчета $Ет)С
Пример 1.6 (скорость и ускорение в полярных
координатах). Пусть движение точки Р в плоскости Оху задано
полярными координатами г, ср. И пусть начала подвижной и
неподвижной систем координат совпадают, т. е. 5 = О. Ось 0\ проходит
через точку Р, т. е. направлена по ег, тогда ось Ог\ параллельна
еф (рис. 1.17). УгЛовая скорость подвижной системы со = сре2.
По формуле сложения скоростей V = Уотн + Vпер = тег + >феф.
По формуле Кориолиса A.16) а = а^ + апер + 2[со, Уош] снова
получим A.3):
а = гег.+ (гёф - гу2ег) + 2[фег, гег] = (г - гу2)ег + (гф + 2гф)еф.
Пример 1.7. Пусть точка движется с постоянной по
величине скоростью V по меридиану Земли, вращающейся с
постоянной угловой скоростью со (рис. 1.18). Найдем ускорение точки.
Подвижная система отсчета связана с Землей.
Рис. 1.17. Скорость и ускорение в Рис. 1.18. Движение точки по ме-
полярных координатах ридиану Земли
23

Ускорение вотн по модулю равно г;2/Д, где Я — радиус Земли,
и направлено к центру Земли; апер по модулю равно со2 сое ф и
направлено к оси вращения; акор по модулю равно 2йи;вшф и
направлено вдоль параллели: в Северном полушарии влево, в
Южном — вправо по ходу движения.
Присутствием слагаемого акор обычно объясняют тот факт,
что у рек, текущих в Северном полушарии с юга на север,
правый берег обрывистый, а левый пологий.
1.3.2. Сложение угловых скоростей твердого тела
Пусть движение твердого тела изучается по отношению к
системам отсчета Охуг и 5$7)С, условно называемым подвижной и
неподвижной.
Определение 1.11. Абсолютной угловой скоростью СОабс
называется вектор угловой скорости твердого тела по отношению
к неподвижной системе Охуг. Относительной угловой
скоростью соотн называется вектор угловой скорости твердого тела по
отношению к подвижной системе отсчета 5ВД. Переносной
угловой скоростью й>Пер называется угловая скорость системы 5ЗД
по отношению к системе Охуг.
Теорема 1.8 (формула сложения угловых скоростей).
Юабс = Юоти + (д)Пер.
Доказательство. Пусть А, В — любые точки твердого тела.
По формуле Эйлера
*2с = **с + [*>абс> АВ], V*. = У^н + [»от,ЯВ],
^р=упер + [<Апер,АВ]-
По формуле сложения скоростей \^ = у^н + ^р» у^с =
= *отн + утер- Вычитая, ПОЛУЧИМ [сОабс - <*<угн ~ <">пер, АЩ = О
для любых точек А,В. Поскольку твердое тело содержит три
неколлинеарные точки, то СОабс — *>отн — сопер = 0. ¦
По индукции теорема сложения угловых скоростей
обобщается на случай нескольких систем отсчета $о, - -., 5П. Пусть со, —
вектор угловой скорости системы 5* по отношению к 5»_1, а со —
угловая скорость системы 8п по отношению к <§о-
п
Задача 1.22. Покажите, что со = У^сОг-
1=1
24

1.3.3. Углы Эйлера. Кинематические формулы Эйлера
Пусть твердое тело с неподвижной точкой О движется по
отношению к системе 5о = Охуг. Свяжем с твердым телом систему
отсчета 5 = ОЗД. Будем считать, что векторы ег и е^ неколли-
неарны. Линия пересечения 0x1 плоскостей Оху и 02[т)
называется линией узлов. Тогда система 8 получается из 5о с помощью
трех поворотов (рис. 1.19):
• повернем систему Охуг вокруг оси Ох на угол ф против
часовой стрелки до совмещения оси Ох с линией узлов — получим
систему 8\ = Ох\у\г\
• повернем систему 5х вокруг линии узлов на угол 6 до
совмещения оси Ог с осью ОС — получим систему 3% = Ох\у&\
• повернем систему 5г вокруг оса ОС на угол ф до
совмещения линии узлов Ох\ с осью 0\ — получим систему отсчета
Итак, положение твердого тела с неподвижной точкой
задается тремя углами: ф е [0,2л) — угол прецессии, 8 € [0, л] — угол
нутации, ср € [0,2л) — угол собственного вращения. Углы ф, ф, 8
называются углами Эйлера.
Углы Эйлера являются локальными координатами на множестве
положений твердого тела, которое представляет собой гладкое
многообразие: (Множество положений твердого тела с цеподвижной точкой)
= (Множество правых ортонормированных реперов) = (Группа
ортогональных матриц с единичным определителем) = 50C). Углы
Эйлера вырождаются на подмногообразиях 8 = 0 и 8 = л.
По формуле сложения угловых скоростей, вектор угловой
скорости твердого тела есть о> = сох + о>2 + соз, где о>1 — угловая
скорость системы 5х по отношению к 5о; *>2 ~* угловая скорость
системы 5г по отношению к 8\\ соз —
угловая скорость твердого тела по *|
отношению к системе $2- По
определению
*>1=фег, Ш2 = 6еХ1, соз = фе^.
Разложив векторы ег и еХ1 по баг
зису е^, е,), е^, имеем следующее:
вектор еХ1 = е$ сов ф — е-ц вш ф получат
ется поворотом вектора е^ на угол
(-ф) вокруг оси ОС Для вектора
ег = е^ сое 8 + Т81П0 первое слагав- Рис. 1.19. Углы Эйлера
25

мое — это проекция ег на ось О^, а второе — его проекция- на
плоскость 0\т\, их — единичный вектор вдоль проекции.
Поскольку ег ± еХ1 и еХ1 лежит в плоскости 0\т\, то т 1 еХ1,
причем т получается поворотом е^ на угол (—ф) вокруг О^:
Т = в; 81П ф + е^ СОЗ ф.
Значит, ег = е^ сов 8 + е; зт ф зт 8 + е^ сов ф яп 8. Поэтому
<о = фег + 0еХ1 + фе? =
= е$(ф 81П ф 81П 6 + 6 СОВ ф)+ A-17)
+ ет;(фсо8ф81пв- взтф) + е5(фсо8в + ф).
Окончательно получаем кинематические формулы Эйлера
о>5 = фвшввшф + 6со8ф,
а)^ = фзтбсовф — взтф, A-18)
@? = ф + ф СОВ 6.
1.3.4. Углы Крылова
Систему 5 можно получить из системы 5о и с помощью
других трех поворотов (предположим, что векторы ех и е^ неколли-
неарны), рис. 1.20:
• повернем систему 5о вокруг оси Ох на угол ос против
часовой стрелки — получим систему 8\ = Оху\г\\
• повернем систему 8\ вокруг оси Оу\ на угол C против
часовой стрелки до совмещения оси Ог\ с осью ОХ> — получим
систему 52 = Ох2у&\
• повернем систему 32 вокруг оси ОС на угол у .против
часовой стрелки до совмещения осей Ох2 и Оу\ с осями 0\, От) соот>-
ветственно — получим систему отсчета 5.
Углы ос,р,у называются углами
Крылова, или карданными углами. В
приложениях при определенном выборе системы
координат, связанной с твердым телом, эти углы
могут называться корабельными, или
самолетными, углами, а также углами тангажа,
крена и рыскания.
Угловая скорость системы 5 по
отношению к системе 3& определяется по формуле
Рис. 1.20. Углы сложения угловых скоростей
Крылова
(о = о>1 + 6*2 + *>з = *Ъх + (Зву1 -I- те?-
26

Разложив векторы ех, е^ по базису е$, е^, е^, получим
а>5 = асоврсову+ рвту,
со,, = -схсозрвшу + рсову,
(О^ = у+ <Х81Пр.
1.4. КВАТЕРНИОНЫ
1.4.1. Алгебра кватернионов
Кватернионы представляют собой аналог комплексных
чисел. В то время как поле С комплексных чисел
отождествляется с плоскостью К2, алгебра кватернионов Н отождествляется с
пространством К4. Как известно, в случае комплексных чисел
стандартный базис в К2 отождествляется с 1 и г. В случае
кватернионов стандартный базис в К4 обозначается 1, 1, ^ к.
Комплексное число г = х + гу € С можно представлять как
точку (я, у) плоскости К2, а кватернион д = до + 91* + ЙЛ + йк —
как точку (до>91»92»9з) пространства К4. Кватернионы, у
которых ?1 = ?2 = 9з = 0> отождествляются с вещественным числом
(скаляром) до» а при д0 = 0 — с вектором ^ = 911 + ду + йк
из К3. Произвольный кватернион можно записать в виде суммы
скалярной и векторной частей: д = до + <\.
Кроме естественной структуры векторного пространства К4,
множество Н кватернионов'наделяется операцией умножения.
Это умножение ассоциативно, дистрибутивно, но не
коммутативно. Операция умножения задается так, что вещественные
числа коммутируют с векторами 1, }, к, а произведение векторов
задается таблицей умножения
?=? = & = -!, у = -Л = к,
]к = -Ц] = 1, И = -1к = ^
Умножение произвольных кватернионов а = ао + а\\ + а^ +
+ озк иЪ = Ъо + Ь11 + Ь2} + Ьзк определено однозначно условиями
ассоциативности и дистрибутивности.
, Задача 1.23. Запишем кватерниоцы в виде суммы
скалярных и векторных частей: а = ао + а, Ь^ Ьо + Ь. Проверьте, что
кватернион сЬ = с имеет вид с = со + с, где
со = ооЬо + (а, Ь), с = аоЬ + Ьоа + [а, Ь].
27

Для чисто векторных кватернионов имеем
аЬ = (а,Ь) + [а,Ь]. A.19)
Сопряженным к кватерниону 9 = ?о + Ч называется
кватернион д = до — Ч- Отметим, что ^ — скаляр тогда и только тогда,
когда д = д, и вектор тогда и только тогда, когда д = —д. Из
определения умножения следует, что евклидова длина |д|
кватерниона д удовлетворяет равенству
дд = дд = д^ + д? + д^ + ?3 = |д|2".
Задача 1.24. Проверьте, что для любых двух кватернионов
а, Ъ имеем аЬ = Ьа. Выведите отсюда, что \аЪ\ = \а\\Ь\.
Определим обратный кватернион формулой д = |д|д-
Получим
дд = д_1д = 1.
Таким образом, любой ненулевой кватернион имеет
обратный.
1.4.2. Представление вращений кватернионами
Пусть д — единичный кватернион: |д| = 1. Определим
линейный оператор X : К3 —> К3 по формуле
Ха = дад,
где а — вектор пространства К3, рассматриваемый как чисто
векторный кватернион. Поскольку
¦Щ = дад = -дад,
Хз. — действительно вектор из К3. Имеем
\Хз\2 = даддад = даддад = |а|2.
Таким образом, X — ортогональное преобразование
пространства К3. Построено отображение / : 53 —> 50C), X = /(д)
единичной сферы 53 = {д € И : |д| = 1} в группу 50C)
ортогональных преобразований К3, сохраняющих ориентацию (т.е.
ортогональных матриц: ХХТ = Е). Можно показать, что любое
ортогональное преобразование X представимо в виде X = /(д).
Таким образом, любое вращение задается кватернионом.
Множество 53 единичных кватернионов представляет собой
группу по умножению.

Задача 1-25- Покажите, что отображение / : 53 —> 50C)
является гомоморфизмом групп (т. е. произведению
кватернионов отвечает композиция ортогональных преобразований). Оно
не является изоморфизмом, поскольку /(—<?) = /(<?)¦
Задача 1.26. Проверьте, что образ отображения / — вся
группа 50C), а его ядро1 — группа {1,-1}. Таким образом,
отображение 53 Э (90Lь№»9з) »-* X = /(д) задает двузначные
избыточные координаты (д0,91, ?2, й) на группе 50C).
Указание. Любое ортогональное преобразование
представляется в виде композиции поворотов относительно координатных
осей.
В качестве следствия получим, что группа 50C) диффео-
морфна сфере 53 с отождествленными противоположными
точками, т. е. проективному пространству КР3.
1.4.3. Угловая скорость в кватернионах
Движение твердого тела с неподвижной точкой задается
ортогональной матрицей Х{1) так, что вектор а в системе обсчета,
жестко связанной с телом, и тот же вектор Ь в неподвижной
системе отсчета связаны как Ь = Я"(*)а. Пусть ?(?) — единичный
кватернион, такой, что Х{1) = /(?(*)). Поскольку дд = 1, то по
правилу дифференцирования произведения
?? + 99 = 0. A.20)
Значит, ?5 — чисто мнимый кватернион, т.е. вектор из К3.
Покажем, что вектор угловой скорости в теле имеет вид
со = 2дд. A.21)
Действительно, вектор а в теле и тот же вектор Ь в
пространстве связаны как Ъ{1) = Х(*)а. Задавая движение тела
кватернионом ?(?), получим
Ь(«) = «(*)¦*(*)¦
Пусть со — вектор угловой скорости в теле, а() = Хсо — в
пространстве. Тогда по формуле Эйлера A.11)
Ъ=[П,Ъ]=Х[и,в].
То есть прообраз единицы / {Е), Е € 80C) — единичная матрица.
29

По правилу дифференцирования произведения
Ь = ^(?»9) = 9а9 + Я*$ = 9(«?а + а$д)д.
Отсюда
[П, Ь] = дад + да^, [со, а] = дда + а^д.
Ввиду A.20) для любого д(*), равного по модулю единице,
имеем д = — ддд. Поэтому
[со, а] = дда - адд = 2[дд, а].
Последнее равенство вытекает из A.19). Итак, доказано, что
со = 2#д и, следовательно, П = дсод = 2д#.
Задача 1.27. Покажите, что в компонентах полученные
формулы для угловой скорости принимают вид
0I =
0J :
Ь>3 :
Пг
а2
П3
= 2(д0?1 -
= 2(?? -
= 2(?? -
= 2(?? -
= 2(?? -
= 2(?? -
- 91?) + 2(?? -
- ?2?) + 2(91? -
- 9з9о) + 2(?? -
- ?1?) - 2(?? -
- 92?) - 2(91? -
- 9з9о) - 2(д291 -
" 92?))
- 9з91),
- 9192),
- 929з),
- 9391),
- 9192)-

Глава 2
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
2.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
2.1.1. Принцип детерминированности Ньютона
С точки зрения физики материальная точка — это тело,
размерами "которого можно пренебречь. На точку в процессе
движения могут воздействовать другие тела. В динамике точки их
движение считается заданным и не зависящим от движения
рассматриваемой точки.
Пусть точка движется по отнощению к системе отсчета Охуг,
называемой абсолютной, или неподвижной. Прцнцип
детерминированности утверждает, что движение г(*) однозначно
определяется, если, задать положение г(*о) и скорость г(*о) в
произвольный момент времени *о- В частности, ускорение г(*о) —
функция положения и скорости:
г(«б) = Г(р(«й),р(*й),<й)-
Поскольку момент времени *о произволен, движение точки
удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка
г = Г(г,г,*).
Вектор-функция ? определяется из физических соображений.
Она описывает влияние других матеральных тел на движение
точки.
Пример 2.1 (закон икерции Галилея —Ньютона).
Экспериментально установлено, что существует абсолютная система
отсчета, такая, что если материальная точка не взаимодействует с
31

другими телами, то ее ускорение равно нулю. То же верно, если
система отсчета движется по отношению к абсолютной системе
равномерно и прямолинейно. Такие системы называются инер-
циалънъши.
Пример 2.2 (движение в однородном поле тяжести (задача
Галилея)). В этом случае ускорение постоянно а = ?, так что
рD) = г0 + Vо(* - *0) + 8(* " *оJ/2.
Задача 2.1. Найдите в задаче Галилея множество
достижимости
Ртом = М*) I * 6 К,г(*о) = го, |г(*0)| = зд}.
Это множество положений, в которые можно попасть, бросая
точку с заданной по модулю скоростью в разных направлениях.
Пример 2.3 (колебания тела на пружине (гармонический
осциллятор)). Эксперимент показывает, что г = —сг, где О 0 —
постоянная; г — смещение тела. Общее решение уравнения имеет
вид
тA) = г0созХ(* - *0) + ^ 8шХ(* - *0), B.1)
Л
где X = у/с — частота колебаний.
Эксперименты показывают, что с = Л/т, где к > 0 зависит
только от пружины и называется жесткостью пружины, или
коэффициентом Гука. Коэффициент тп зависит только от
материальной точки и называется массой.
Говорят, что масса — мера инерции. Физический смысл
массы — количество вещества в частице, так что масса
удовлетворяет свойству аддитивности: масса материальной точки,
составленной из нескольких других материальных точек, равна сумме
их масс. Оказывается удобным переписать уравнение движения
в виде уравнения Ньютона
тг = Г(г,г,*), B.2)
где Г = тГ называется силой, действующей на материальную
точку. Уравнение B.2) называют также вторым законом
Ньютона.
В частности, сила Гука имеет вид Г = — кг. Роль массы по-
настоящему проявляется в динамике системы точек. Более
подробно понятие массы обсуждается в подразд. 3.1.1.
32

Основная, или прямая, задача динамики — найти закон
движения г(г), если известны сила Р и начальные условия
г(*о) = г0, г(*о) = у0.
По существу это задача теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. Обратная задача динамики — найти силы,
если известны свойства движений. Более подробно понятие
силы обсуждается в гл. 3.
Силы удовлетворяют принципу суперпозиции: если на точку
оказывают влияние две группы материальных тел, действующие
на нее с силами БЧ(г, г, I) и Гг(г, г, I), то ее движение
описывается уравнением B.2), где
Р = Р1(г1р1*) + Ра(г,р|*).
Задача 2.2 (движение в поле силы тяжести при учете
сопротивления воздуха). Пусть Г = т{* — су. Найдите г(*) и
2.1.2. Общие теоремы динамики точки
Зафиксируем абсолютную систему отсчета Охуг. Определим
основные динамические величины для материальной точки:
• импульс р = ту;
• кинетический момент относительно начала координат О:
Ко = [г,р] =т[г,у];
т 1 2
• кинетическая энергия Г = -ту*.
Второй закон Ньютона B.2) переформулируется в виде
следующей теоремы.
Теорема 2.1 (об изменении импульса). Производная
импульса равна заданной силе: р = Г.
Пусть е — постоянный вектор и ре = (р, е), Ре = (Г, е).
Теорема 2.2 (об изменении импульса в проекции на
ось е). Производная проекции импульса на неподвижную ось
равна проекции силы на эту ось: ре = Ре.
Следствие 2.1. Если проекция силы на ось е равна нулю, то
проекция импульса на ось е постоянна.
Вектор Мо = [г, Г] называется моментом силы
относительно точки О.
2 Болотин
33

Теорема 2.3 (об изменении
кинетического момента). Производная
кинетического момента относительно точки О
равна моменту силы относительно точки О:
Ко = М0!
Доказательство. Ко = тп[г, г] + т[г, г] =
Рис. 2.1. К зада- _ гг р1 ц
че 2.3: сила
приложена в точке С, Пусть е — постоянный вектор и I — ось Ое.
АС ± /, СВ || Г, Тогда. #1 = (К0,е) иМ{ = (М0,е) зависят
АВ ± Г только от оси /, но не от положения точки О
на оси /.
Действительно, пусть О' — другая точка на оси /. Тогда 00' =
= Хе. Значит, (Ко',е) = ([г—Хе,р],е) = (Ко, е), и также для М/.
Скалярная величина К\ называется кинетическим
моментом относительно оси I, а М\ — моментом силы относительно
оси1.
Задача 2.3. Проверьте, что если / А. Г, то момент силы равен
произведению силы на плечо, т. е. |М)| = Рр, р = |АВ| (рис. 2.1).
Теорема 2.4 (об изменении кинетического момента
относительно оси). Производная проекции кинетического
момента на неподвижную ось равна моменту силы
относительно этой оси: К\ — М\.
Следствие 2.2. Если момент силы относительно непо-
движной оси I равен нулю, то кинетический момент
относительно оси I постоянен.
Пример 2.4. Сила Р называется центральной, если Г||г и
величина силы зависит только от расстояния г до центра О. То-
г
гда Г = Р(г)ег, где г = |г|, ег = -. При этом Мо = 0, так что
г
Ко = сопз1. Отметим, что часто условие Р = Р(г) не включают
в определение, допуская зависимость Р от г, г й I.
Следствие 2.3. Траектории движения в центральном
поле — плоские кривые.
Действительно, так как Ко = [г,р] = сопз*, то г(^) лежит
в неподвижной плоскости, проходящей через О и
ортогональной Ко- ¦
/»
м*
в
-_г
34

Теорема 2.5 (об изменении кинетической энергии).
Производная кинетической энергии равна мощности силы: Т =
= <*>>.
Доказательство. Т = — — (V, V) = тп{у, V) = (Р, V). ¦
Пример 2.5. Движение заряда в магнитном поле. Сила
Лоренца, действующая на движущийся заряд д, имеет вид Р =
= -[у,В], где В — вектор магнитной индукции; с — скорость
с
света. По теореме 2.5 Т = сопя*, так что у(Ь) = сопз*.
Приведем другую формулировку теоремы 2.5.
Теорема 2.6. Приращение кинетической энергии равно
работе силы: ЛТ — (Р, йг).
Отсюда
«о
— работа силы за время от *о до 1\.
2.1.3. Потенциальные силы
Сила называется позиционной, если она зависит только от
положения и времени: Р = Г(г, *). Позиционная сила называется
потенциальной, если существует функция 11(т,1), такая, что
Р(г,«)=егах1РС/(г,0 = ^. B.3)
Здесь — вектор градиента с компонентами -^-, -^-, —-.
от ох оу ог
Функция С/ называется силовой функцией, а V = —ЕЛ—
потенциальной энергией (обе эти функции определены с точностью
до константы). Если потенциальная сила не зависит от времени,
то она называется консервативно^. Тогда можно считать, что
г
го
35

где интеграл (работа силы на перемещении) взят по любой
кривой, соединяющей гд и г.
Теорема 2.7 (закон сохранения энергии). Если сила
потенциальная и не зависит от времени, то полная
механическая энергия постоянна на любом движении: Н = Т+У = сопз1;.
Доказательство. Г = (Г, г) = -(^гас! У(г), г) = -У. ¦
Закон сохранения энергии называют еще интегралом
энергии. Законы сохранения называют также первыми интегралами
системы. Они очень важны для изучения свойств движения.
Определение 2.1. Первым интегралом системы
обыкновенных дифференциальных уравнений х = Г(х,*) называется
функция Ф(х,*), постоянная вдоль любого ее решения. (Здесь
х = (хь ... ,яп), Г(х,*) = (Д(х,*), ..., /п(х,*)H
Если вектор-функция Г не зависит явно от времени, Г = Г(х),
то обычно рассматривают первые интегралы, также не
зависящие от времени: Ф = Ф(х).
Чтобы применить это понятие к уравнению второго порядка
B.2), нужно сначала представить его в виде системы уравнений
первого порядка г = V, V = Г(г,у,*)/т. Тогда х = (г, V).
Следовательно, первые интегралы должны быть функциями
переменных г, V, I. Бели сила Р не зависит от времени, то обычно
рассматривают первые интегралы, не зависящие от I.
Теорема 2.8 (теорема Лагранжа). Центральная сила Г =
= Р(г)ег потенциальна, причем
V = У(г) = - [р{г)д.г.
Доказательство. По правилу дифференцирования сложной
функции: вгас1У(г) = У'{г)%ръАг = — Р(г)р:вАг. Осталось
доказать, что
бгайг = ег, Лг = (ег,йг). B.4)
Это получается дифференцированием формулы г = (х2 + у2 +
+ ^/2. В
Пример 2.6. Для силы гравитационного притяжения Г =
\1ТП [1ТП
= —1—=-ег потенциальная энергия У = — ¦—.
36

2.1.4. Одномерное движение в потенциальном поле
Пусть точка движется по прямой Ох под действием
позиционной силы, не зависящей от времени. В одномерном случае
позиционная сила всегда потенциальная, причем У{х) = — Р(х)Ах,
р[х) — -У(х). Уравнейие Ньютона тх = Р(х) примет вид:
тх = -У\х). B.5)
Закон сохранения энергии дает первый интеграл Н(х, х) =
ТПгХ
= —— + У(х) = сопз! = к уравнения Ньютона. Таким об-
разом, решение уравнения Ньютона с начальными условиями
хAо) = яо, *('о) = %о сводится к решению уравнения первого
порядка
V тп
Разделив переменные, получим
тп Г их
= «-«0, B.6)
л\
2 ^ ±у/Н - У[х)
хо
где к = Я"(хо,±о)- Знак «+» берется, пока решение находится в
области х > 0; знак «—» — в области х < 0.
Пример 2-7 (гармонический осциллятор). Пусть Р = —кх.
Тогда У(х) = кх2/2. Из формулы B.6) получаем
х® = УТтУт^~*°)9 B)
где йи*о- произвольные постоянные.
Задача 2.4. Найдите связь констант к, 1$ с начальными
условиями жо и ±о-
2.1.5. Фазовый портрет
Перепишем уравнение Ньютона B.5) в виде системы двух
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
{
у = Р(х)/т. К '
37

Плоскость Ш2{х,у} называется фазовой плоскостью.
Согласно теореме о существовании и единственности решений
обыкновенного дифференциального уравнения при выполнении
стандартных условий регулярности для функции Р(х) (условие
Липшица) через любую точку фазовой плоскости проходит
единственное решение уравнений движения B.8). Для любого
решения хA) кривая {(&(*),и(*))} называется фазовой кривой.
Фазовый портрет — это совокупность всех фазовых кривых,
ориентированных естественным образом. В верхней половине фазовой
плоскости, где V = х > 0, координата х монотонно возрастает, а
в нижней половине, где V = х < 0, координата х монотонно
убывает. Таким образом, фазовые кривые ориентированы так, что
в верхней полуплоскости движение по ним происходит
слева-направо, а в нижней — справа-налево. В частности, замкнутые
фазовые кривые ориентированы по часовой стрелке.
Согласно закону сохранения энергии каждая фазовая кривая
содержится в множестве уровня энергии 1\ = {(х,у) \ Н(х,у) =
= н}.
Пример 2.8. Фазовый портрет гармонического осциллятора
(см. пример 2.7) — совокупность эллипсов {(х,у) \ ту2 + кх2 =
= 2к} при к > 0 (рис. 2.2). При к = 0 фазовая кривая
вырождается в точку @,0). При Л < 0 движение невозможно.
Критическая точка потенциальной энергии — это точка жо,
где У(хо) = 0. Она является положением равновесия системы,
т.е. материальная точка, начав движение из этого положения с
нулевой скоростью все время будет оставаться в нем и решение
уравнений движения будет иметь вид х{1) = од- Фазовая кривая
положения равновесия — это точка (жо, 0) на фазовой плоскости,
которая называется состоянием равновесия. Множество уровня
интеграла энергии 1\, содержащее состояния равновесия,
называется критическим, как и само значение энергии к.
Рис. 2.2. Фазовый портрет гармонического осциллятора
38

3?
V1
X
к
?
X
X
Рис. 2.3. Движение по замкнутой фазовой кривой является
периодическим. Фазовый портрет удобно изображать на одном рисунке,с
графиком потенциально^ энергии .
Лемма 2Л. Множества уровня энергии — гладще кривые,
кроме тех случаев, когда они содержат состояния равновесия
(ж = жо, V = 0), где У(х0) = 0.
Задача 2.5. Докажите лемму 2.1.
Указание. Дримените теорему о неявной функции. Особое
внимание уделите тем точкам множества уровня, где V = 0.
Проекция множества уровня энергии Г& на ось Ох:
Вн = {х | У(х) < Ъ)
называется областью возможности движения с энергией Н.
В общем случае Вь — объединение отрезков (в том числе
вырождающихся в точку и бесконечных).
Теорема 2-9- Пусть Вь = [ягьжг], причем V < Н на (х\,Х2)
и У{х\) ф 0, У(х2) ф 0. Тогда Г& — замкнутая фазовая кривая,
а соответствующее решение уравнения Ньютона —
периодическое с периодом
т = \/2ш
х2
Г дх
)
XI
у/Н-Щх)
Доказательство. Возьмем решение B.6) уравнения Ньютона
с начальным условием х@) = х\, х@) = 0. Поскольку Х2 > х\ и
V < К на (жь жг) (Рис- 2.3), из закона сохранения энергии
следует, что х > 0 при движении от х\ до х^ Интеграл
39

-Л
Х2
Ах
B.9)
у/Н-У(х)
XI
есть время движения от х\ до хг- Аналогично, з — время
движения от Х2 до XI. Поэтому т = 2я. ¦
Задача 2.6. Интеграл B.9) несобственный, поскольку к —
— У(х\) = к — У{х2) = 0. Покажите, что он сходится.
Указание. Воспользуйтесь тем, что в окрестности точек х\ и
Х2 под интегралом стоит величина, обратная корню
квадратному из линейной функции (с точностью до малых второго
порядка).
Задача 2.7. Период т движения по замкнутой кривой 1\
зависит от значения энергии. Покажите, что т(/ь) = т8'(к), где
8(к) — площадь области, ограниченной кривой IV
2.1.6. Движение в окрестности невырожденного
устойчивого положения равновесия
Пусть хо — точка невырожденного локального минимума
потенциальной энергии У{х)\ У(хо) = 0, У"{хо) = к > 0. Это —
положение равновесия, т. е. х{1) = х\> является решением
уравнения B.5). Покажем, что оно устойчиво в том смысле, что
движение, начавшееся с малой начальной скоростью в малой
окрестности положения равновесия, будет в дальнейшем иметь малые
скорости и мало отклоняться от положения равновесия.
Обозначим ко = У{хо). Тогда в достаточно малой
окрестности положения равновесия будет У(х) > ко при х ф жо- При
к < ко движение в окрестности положения равновесия
невозможно. Для малого е > 0 рассмотрим движение с энергией
¦ 9
ТТЪХ
к = ко + е. Из закона сохранения энергии ——I- У(х) = к
получаем 2Е
х2 < —, У(х) - У(х0) < е.
тп
Таким образом, движение будет происходить в малой
окрестности положения равновесия и скорости будут оставаться
малыми. Для движений с энергией к —* ко + 0 скорости будут
стремиться к нулю, а область возможности движения1 будет
сжиматься к положению равновесия хо-
1 Точнее, компонента связности области возможности движения,
содержащая точку хо.
40

Для исследования движения воспользуемся линейным
приближением. Положим 2; = х — хо. Уравнение движения B.5)
примет вид
тЪ = -У(х0 +1) = -У(х0) - У"{хоI + 0(?) = -« + 0E2)-
Линеаризуем уравнение движения в окрестности хо, т.е.
отбросим нелинейности:
т\ = -А& B.10)
Определение 2.2. Уравнение B.10) называется уравнением
малых колебаний.
По форме B.10) совпадает с уравнением движения
гармонического осциллятора. Общее решение этого уравнения имеет вид
гармонических колебаний с периодом то = 2ку/т/к, который
называется периодом малых колебаний в окрестности
невырожденного устойчивого положения равновесия х = хо. Фазовые
кривые уравнения малых колебаний представляют собой семейство
эллипсов (см. рис. 2.2).
1? = {(*,!/) | ГПУ2 + к(х - Х0J = 2(/1 - У(Х0))} ,
к>к0 = У(х0).
Теорема 2.10. Фазовые кривые в окрестности точки (х = хо,у =
= 0) замкнуты и близки к эллипсам — фазовым кривым уравнения
малых колебаний: Г& —» Г{| при Н —> Но + 0. Движения с энергией Н,
близкой к Но, периодические с периодом т(й), причем
Нт т(Л) = то = 2ку/т/к. B.11)
Н—>/1о+0
На самом деле докажем более точную оценку:
т(й) = 2ъу/т/к + 0(Н - Н0) при /1->йо+0. B,12)
Это соотношение называется асимптотикой периода колебаний в
окрестности невырожденного минимума потенциальной энергии.
Заметим, что величина т(йо) не определена, так как значению энергии Но
соответствует положение равновесия. Тем не менее колебания с
энергией, близкой к минимальной, имеют период, близкий к периоду малых
колебаний, а их фазовые кривые близки к фазовым кривым уравнения
малых колебаний.
Лемма 2.2 (лемма Адамара). Пусть /(х),х е К, - функция
класса Ск, такая, что /@) = 0. Найдется функция д(х) класса С*,
такая, что /(х) = хд(х). При этом д@) = /'@).
1
Доказательство. Функция д имеет вид д(х) = /#(*я) <И. Ш
о
41

Следствие 2.4. В условиях леммы B.2) при к > 1 найдется
такая функция д(х) е С*, что /(ж) = ж/;@) + х2д{х). При этом
5@) = /"@)/2.
Задача 2.8. Докажите следствие из леммы 2.4.
Задача 2.9. Сформулируйте и докажите лемму 2.2 и следствие из
нее для случая функции многих переменных.
Лемма 2.3 (лемма Морса для одномерного случая). Пусть
7@) = У@) = 0, У"@) = к ф 0. Тогда в окрестности нуля
существует гладкая невырожденная замена координат х = /(г/), /@) = 0,
/'(О) = 1 такая, что в новых переменных У(/(у)) = ку2/2.
Заметим, что лемма Морса справедлива и в многомерном случае.
Гладкая функция в окрестности невырожденной критической точки
локальной заменой координат приводится к квадратичной форме,
сигнатура которой совпадает с сигнатурой матрицы Гессе функции в этой
критической точке.
Доказательство. По следствию из леммы 2.2 найдется гладкая
функция ср(д;) такая, что У(х) = -кх2у(х). При этом кф@) = У"@) = Л,
т. е. ср@) = 1. Положим у — Ху/у(х). Невырожденность замены
вытекает из того, что т/'@) = ^/ср@) = 1. ¦
Доказательство теоремы 2.10. Перенесем начало координат в
точку хо- Добавление константы к потенциальной энергии У не изменяет
уравнения движения. Поэтому, не нарушая общности, будем считать,
что хо = 0 и У{0) = Но = 0 (в положении равновесия полная
энергия равна нулю). Согласно лемме Морса в координатах у, V на фазовой
плоскости Г/! = {(у, у) | ту2 + ку2 = 2Н} — это эллипс — фазовая
кривая уравнения малых колебаний. Поскольку /'@) = 1, то у = х + 0(х2)
в окрестности положения равновесия. Это доказывает первое
утверждение теоремы 2.10.
Докажем теперь B.12). По теореме 2.9
с(й) = у/2т I
Лх
XI (Л)
где Н — У(х\р) = 0. В соответствии с леммой Морса произведем в
окрестности нуля замену координат х = /(у), при которой У{/(у)) =
= ку2/2. Тогда
,+с
^тт'
где с = у/2Н/к. Произведем замену переменных у = сзшб. Тогда
42

т(Л) = 2^- ^ /'(С81пв>йе.
—те/2
Подынтегральное выражение равно /'(О) + /"@)у/2к/к 81П0+0(Л) при
}ь -> -|-0. Поэтому т(й) = 2ъу/т/к + О(Л). ¦
2.1.7. Движение в окрестности невырожденного
неустойчивого положения равновесия.
Сепаратрисы
Пусть хо — точка невырожденного локального максимума
потенциальной энергии У(х): У(хо) = Но, У{хо) = 0, У"(хо) =
= — к < 0. Как и в случае минимума потенциальной энергии,
точка хо является положением равновесия.
Фазовые кривые линеаризованного уравнения движения
т% = к\, $ = х — хо ,
представляют собой семейство гипербол
1? = {(*, ^) | пи/2 - к(х - хоJ = 2(/1- Но)}.
В отличие от случая гармонического осциллятора, здесь
движение возможно как при к > Но, так и при к < Но.В первом
случае ему отвечают фазовые кривые сверху и снизу от положения
равновесия, во втором — слева и справа. Значению Н = Но
отвечают пять фазовых кривых — четыре асимптотические кривые
и состояние равновесия, в котором эти кривые сходятся. В целом
они составляют линию уровня ГЦ0, которая называется
сепаратрисой линеаризованной системы. Асимптотические кривые
называются ветвями сепаратрисы.
Определение 2.3. Сепаратриса — это связная компонента
линии уровня интеграла энергии, содержащая хотя бы одно
положение равновесия, соответствующее локальному максимуму
потенциальной энергии. Ветвями сепаратрисы называются фаг
зовые кривые, лежащие на ней, для которых состояние
равновесия является граничной точкой.
Как и в подразд. 2.1.7, из леммы Морса вытекает следующее
утверждение.
Теорема 2.11. Пусть Хо — точка невырожденного локального
максимума V. Тогда фазовые кривые в окрестности точки (хо,0)
43

Рис. 2.4. Фазовый портрет в Рис. 2.5. Перйбдическое движе-
окрестности невырожденного не- ние в окрестности сепаратрисы
устойчивого положения
равновесия
близки к фазовым кривым линеаризованных уравнений: Г/» = Гд при
Н —> Но (рис. 2.4)-
Доказательство. Действительно, из леммы Морса 2.3 следует, что
вблизи (хо, 0) замена переменных, близкая к тождественной, переводит
Г„вГ°. ¦
Отсюда, в частности, следует, что положение равновесия х = хо
неустойчиво: движение, начавшееся со сколь угодно малой начальной
скоростью в сколь угодно малой окрестности положения равновесия,
может в дальнейшем иметь конечные скорости и отклоняться от
положения равновесия на конечную величину.
В силу доказанной теоремы в исходной системе сепаратриса,
содержащая положение равновесия (яо, 0), имеет в его окрестности четыре
ветви. По двум движение направлено к положению равновесия и по
двум — от него.
В условиях теоремы существования и единственности решений
обыкновенного дифференциального уравнения фазовые кривые не
могут пересекаться. Поэтому время движения по ветвям сепаратрисы к
положению равновесия (или от него) бесконечно.
Задача 2.10. Покажите, что тангенс угла между ветвями
сепаратрисы и осью абсцисс равен у/к/т.
Рассмотрим периодическое движение в окрестности сепаратрисы,
когда замкнутые фазовые кривые близки к ней. Для определенности
разберем ситуацию, представленную на рис. 2.5. Здесь потенциальная
энергия имеет один локальный максимум хо внутри глубокой
потенциальной ямы. Сепаратриса содержит точку (яо,0). Ее левые ветви
лежат на одной фазовой кривой — левой петле, а правые ветви на
другой — правой петле.
Добавляя к потенциальной энергии V постоянную, добьемся Но = 0.
На рис. 2.5 изображена замкнутая фазовая кривая 1\, соответствую-
44

щая случаю Н > 0. Обозначим период движения т(Л) и рассмотрим его
асимптотику при к —> +0.
Теорема 2.12. Верна следующая асимптотика периода колебаний
в окрестности сепаратрисы:
т(й) = 2\/^1п^+0A) при Н - +0. B.13)
Доказательство. Можно считать, что хо = 0. Обозначим ?1(/1) и
здСО абсциссы точек пересечения фазовой кривой Г/» с осью Ох. Они
определяются соотношением Н — У(я») = 0. Введем точки пересечения
сепаратрисы с осью Ох: а\ < 0 < а*. Выберем достаточно малое с > 0
(см. неравенство B.14) ниже) так, чтобы а\ < — с < 0 < с < а^. Пусть
Н < с2. Разобьем отрезок [?1(/1),^2(/1)] на пять частей:
хг(Н) < -с < -\/Л <у/Л<с< х2{Н).
Тогда
т(Л) = >/2т Г
ха(/|)
вх
*!(/»)
>/Л - У(х)
= >/2ш(/1 +/2 + /3 + /4+ /б),
где пять слагаемых — это интегралы по пяти введенным отрезкам.
Произведем их оценку. Слагаемые
—с
6х
ха(Л)
у/К-Щх)
и 1ь
-\
Ах
у/Н-У{х)
ограничены при Н —> +0.
Для удобства обозначим У'@) = — к = —4а2. Применив лемму 2.2
трижды, найдем гладкую функцию д(х) такую, что У(х) = — 2а2х2 +
+ х3д(х). Обозначим В = тах \д{х)\ и будем считать, что
[-с,с]
2сВ < а2. B.14)
Тогда при Л < а2/В мхе [-*,с| будет
\х3д{х)\ < а2*2 и \Н - У(*)| = \к + 2а2*2 - ^(х)| > \Н + а2а;2[ > А.
Оценим слагаемое /з".
|/з| =
+у/Й
\
-у/К
их
у/Н - У(х)
+\/Н
Г —
) у/к
-уЩ
= 2,
т. е. слагаемое /з также ограничено при Н —» +0.
45

Введем функцию
Для доказательства теоремы достаточно показать, что /г — РСО =
= 0A) и /4 — РСО = 0A). Докажем это только для второго
соотношения, так как для первого рассуждения будут совершенно
аналогичными. Для краткости записи обозначим у/к — У(х) = у/*. Имеем
№-М»I =
[A > и
Обозначим подынтегральное выражение р(Н) и для оценки домно-
жим и поделим его на л/2аж 4- >/*¦ Тогда
Р(Л) =
2а2д;2 - й + У (д)
л/2аж^(л/2аа; + у/*) ~ 2а.2х2у/^ + у/2ах{уДJ'
-Н + ж30{ж)
Используя то, что на интервале 0 < х < с вьшолнены неравенства
у/* > у/Н + а.2х2 > ах, получаем
|Р(ЛI <
Отсюда сразу видно, что
Ь + ж3|д(а;)|
2а2х2у/1
/1 + Д3В
2о3!3 '
С
|Л-Р(Л)|< ]"¦
/1 + Ж3Д
2а3ж3
Ох *= 0A) при Л -> +0.
Задача 2.11. Найдите асимптотику периода для двух классов
периодических решений в окрестности сепаратрисы при Н —> — 0 (им
соответствуют фазовые кривые, лежащие внутри левой и правой петель
сепаратрисы).
2.1.8. Построение фазового портрета
Построение фазового портрета в случае потенциальных сил
основано на доказанных утверждениях:
• множества уровня Г& — гладкие кривые всюду, кроме
состояний равновесия;
46

Рис. 2.6. Фазовый портрет для движения точки по прямой Ох в поле
силы Р = —х* + 1: К — уровень энергии; Он — область возможности
движения; Гь — уровень интеграла энергии, состоящий из двух
фазовых кривых
• кривые Гл расположены на плоскости (я, г;) над (и под)
областями возможности движения {х : У{х) < к}. Они
симметричны относительно оси абсцисс;
• в окрестности устойчивого равновесия (точки мицимума V)
фазовые кривые похожи на эллипсы, а в окрестности
неустойчивого равновесия (точки максимума V) — на гиперболы;
• при возрастании потенциальной энергии вдоль фазовой
кривой скорость убывает.
Определяющее значение для вида фазового портрета имеют
сепаратрисы Г&, где К = У{хо) — значение V в точке
неустойчивого равновесия: У(хо) = 0, У"{хо) < 0.
Задача 2.12. Проверьте, что фазовый портрет для движения
точки по прямой Ох в поле силы Р = —х2 + 1 такой, как на
рис. 2.6. '
Задача 2.13. Постройте фазовый портрет для движения
точки по прямой Ох в поле силы Р = ах+Ьх3 при различных знаках
а,Ь.
2.1.9. Фазовые портреты линейных колебаний
Фазовые портреты можно строить и в случае
непотенциальных сил. Движение материальной точки по прямой под
действием силы Гука и силы вязкого трения описывается
уравнением
47

тх = —кх — \1±, т > 0, к > О, ^ > О. B.15)
Начало координат х = 0 является положением равновесия
системы. Точку х = 0, х = 0 фазовой плоскости (ж, г; = ±) будем
называть состоянием равновесия.
Пусть
-^± у/и1-2 ~~ 4т*;
Х1-2 = ък
— корни характеристического уравнения тХ2 + ^Х + к = 0. В
соответствии с теорией линейных дифференциальных уравнений
общее решение уравнения B.15) имеет следующий вид:
а) если о) = 1т Хх ф 0, то х{1) = (с\ сое со* + С2 8тсо*)ер*, где
р = ЕеХ1;
б) если 1т Хх = 0 и XI ф Хг, то хA) = схе*1* + сге*2*;
в) если Хх = Х2, то ж(*) = (с\Ь + сг)^1*.
Здесь С1 и сг — произвольные постоянные.
Рассмотрим изменение фазового портрета системы в
зависимости от параметров гЛ, с, \и
• при \12 > 4тк (трение велико) оба корня
характеристического уравнения действительные, различные и отрицательные:
Х1,2 < 0. Фазовый портрет (рис. 2.7) типа ^устойчивый узел*.
Решения уравнения B.15) имеют вид хA) — схе*1* + сге*2*.
Положение равновесия асимптотически устойчиво в том смысле,
что для любого начального состояния (хо, хо) материальная
точка стремится к состоянию равновесия системы (хотя и не
достигает его за конечное время);
Рис. 2.7. Фазовый портрет типа Рис. 2.8. Фазовый портрет типа
«устойчивый узел» ([X2 > 4тй) «вырожденный устойчивый узел»
(^2 = Атк)
48

Рис. 2.9. Фазовый портрет имеет ±1
типа «фокус» @ <[х2 < 4тк)
• при \г = Атк имеем один действительный отрицательный
корень кратности два: Хх = Хг < 0. Фазовый портрет (рис. 2.8)
типа «вырожденный устойчивый узел*. Решения уравнения
имеют вид х{Ь) = (с\Ь + сг)еХ1*. Как и в первом случае,
положение равновесия асимптотически устойчиво;
• при 0 < [I2 < Атк (малое трение) имеем два комплексно
сопряженных корня с отрицательной вещественной частью.
Фазовый портрет (рис. 2.9) типа «фокус*. Решения уравнения
имеют вид х{1) = (С1СО8С0* + сг 81п со*)ер*, где р = ЕеХх, со = ЬпХь
Положение равновесия асимптотически устойчиво;
• при (I = 0 (трение отсутствует) имеем два чисто мнимых
сопряженных корня. Фазовый портрет (см. рйс. 2.2) типа «центр*.
Решения уравнения — гармонические колебания по положению
и скорости: х{1) = с\ сов <&1 + с% вт ю*, где со = 1тЛь
Задача 2.14. Убедитесь в том, что фазовые портреты в
перечисленных случаях такие, как показаны на рисунках.
Проверьте, что в первых двух случаях направление движения меняется
не более одного раза, а в двух последних случаях — бесконечное
число раз (точка совершает затухающие колебания). Покажите,
что в двух последних случаях колебания происходят с частотой
со = у/±тк - [12/2т.
2.1.10. Вынужденные колебания в линейных системах.
Резонанс
В подразд. 2.1.9 было рассмотрено движение точки по прямой
под действием упругих сил и сил вязкого трения. Оно
описывалось уравнением B.15). При добавлении внешней силы К сов V*,
изменяющейся со временем по гармоническому закону, это
уравнение перейдет в следующее:
49

тх =-кх - \ис + Ксав\1, к > О, у > О, V > 0. B.16)
Общее решение этого неоднородного линейного уравнения
представляется как сумма частного решения неоднородного
уравнения и общего решения однородного уравнения.
Задача 2.15. Покажите, что при условии (—т\2 + кJ +
+ \12»2 Ф 0 уравнение B.16) имеет решение вида
хA) = а СОЗ V* + Ь 81П V*.
B.17)
Задача 2.16. Покажите, что при (I > 0 любое решение
уравнения B.16) асимптотически стремится к частному решению
B.17). Система постепенно переходит к колебаниям, частота
которых совпадает с частотой приложенной силы. В этом случае
говорят о вынужденных колебаниях системы.
Рассмотрим случай у = 0. Обозначим со = у/к/т частоту
колебаний системы, свободной от воздействия внешней силы. Она
называется собственной частотой колебаний системы.
Если о) ф V, то уравнение B.16) имеет частное решение х(Ь) =
К/т
СО
,2_л,2
соз V*. Общее решение имеет вид
х(Ь) = С\ СОЗ (О* + С2 81П (О* +
К/т
О)
,2-4,2
СОЗ V*.
Таким образом, при несовпадении собственной частоты
системы и частоты внешней силы общее решение системы
представляет собой суперпозицию двух гармонических колебаний с
разными частотами. Такое движение называется квазипериоди-
ческим. Первые два члена в решении — свободные колебания,
Рис. 2.10. Если 6) — V мало, то наблюдаются биения
50

Рис, 2.11. В случае резонанса
(со = V) наблюдаются колебания с
линейным по времени ростом
амплитуды
последний член — вынужденные колебания. Амплитуда
вынужденных колебаний (и, значит, амплитуда полного движения)
растет неограниченно при приближении частоты вынуждающей
силы к частоте свободной системы.
Если со = V, то говорят, что в системе имеет место резонанс.
Характер движения системы вблизи резонанса иллюстрирует
К/т
такой пример. Возьмем решение при с\ =
О)
2_ч|2
,с2 = 0:
/1Ч К/т . ш .
х{1) = -^1—2 (с°8 ю' + С08 *Ч —
от
Л К/т о) + V, о) — V
= 2—тг1 ~ с°8 —«—* СОЗ —-—?.
оJ - V2 2 2
Если о) — V малб, то на медленные колебания с частотой (о> —
— V)/2 наложены быстрые колебания с частотой (б> + V)/2,
близкой к собственной частоте системы (рис. 2.10). Такие движения
называются биениями.
Рассмотрим теперь случай резонанса: со = V.
Задача 2.17. Покажите, что в резонансном случае общее
решение системы B.16) имеет вид
ТС/тп
ХA) = С\ СОВ (О* + С2 81П ьЛ + ~-—181П (О*.
Движение представляет собой колебания, амплитуда
которых растет линейно по * (рис. 2.11). Такой резойанс называют
линейным. В нелинейных системах частота зависит от
амплитуды и типичная ситуация другая: амплитуда ограничена,
возникают изолированные предельные циклы (периодические
движения).
51

2.2. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
2.2.1. Первые интегралы задачи о движении точки
в центральном поле
Напомним, что сила Р называется центральной, если Г =
= Г(г)ег, где г = |г|, ег = -. Тогда момент силы относительно
г
точки О равен нулю, так что кинетический момент постоянен:
Ко = тп[г, V] = сопи!. Траектории движения в центральном
поле — плоские кривые, лежащие в неподвижной плоскости П,
проходящей через точку О и ортогональной вектору кинетического
момента Ко (см. следствие 2.3 к теореме 2.4).
Выберем оси координат так, что П = Оху. Пусть г, ф —
полярные координаты в плоскости П. Тогда г = гег, V = гег + гфеф,
так что [г, у] = г2уег. Таким образом, для любого движения
точки в центральном поле г2ф = с = сопз!. Этот закон сохранения
называется интегралом площадей.
Геометрическая интерпретация. Обозначим через 8A)
площадь сектора, заметаемую радиусом-вектором г(*) за время
от *о до * (рис. 2.12, где фо = ф(*о); го = г(*о)). По формуле для
элемента площади гйгйф в полярных координатах
8№ = \$Аг)М*)- B-18)
Иначе говоря,
25(«) = г2ф = с, 8{г) = ф - *0)/2. B.19)
Доказана следующая теорема.
Теорема 2.13 (второй закон Кеплера). Площади,
заметаемые радиусом-вектором за равные промежутки времени,
равны.
Рассмотрим другой способ получения интеграла площадей.
Из A.3) и уравнения Ньютона следует
Рис. 2.12. Интеграл площадей:
площади, заметаемые радиусом-
вектором за равные промежутки
времени, равны
52

т(г — гф2) = ^(г), 7п(гф + 2гф) = 0.
Второе уравнение дает интеграл площадей: -т-(г2ф) = 0.
а1
Подставив ф = с/г2 в первое уравнение, получим
тг = Р+Г^- = -Ус'(г), %(г) = У(т) + ^. B.20)
Функция Ус называется приведенной потенциальной
энергией. Таким образом имеет место следующая теорема.
Теорема 2.14. Задача о движении точки в центральном
поле сводится к задаче о движении точки по полупрямой {г > 0}
под действием силы с потенциальной энергией Ус(г).
Закон сохранения энергии
о
ГПУ __ 7П, .о о.9\ -гг/ ч
Я = —_ + У = -(г2 + гУ) + У(г) =
о B.21)
771Г
= — Ь Ус(г) = Н = СОП8*
превращается в закон сохранения энергии для одномерного
движения точки.
2.2.2. Определение траекторий
Соображения, связанные с задачей об одномерном движении
точки, применимы к задаче о движении точки в центральном
поле. Область возможности движения с энергией к и
постоянной площадей с: Вс^ = {(г,ф) | Ус{т) < к} представляет собой
объединение одного или нескольких колец г\ < г < Г2, возможно
бесконечных. Функция г = гA) находится разделением
переменных в B.21):
%(р))
Если г = г(Ь) найдено* то
*0
53

Таким образом, гA) колеблется между г\ и гг, а ф(*) меняется
монотонно.
Для того чтобы определить вид траекторий движения в
полярных координатах, удобно действовать иначе. Поскольку
ф(*) — монотонная функция (при с ф 0), она имеет обратную
I = *(ф). Поэтому г = г(*(ф)) можно представить как функцию
от ф, которую будем обозначать (не очень аккуратно) г = г(ф).
Производную по ф обозначим штрихом. Тогда
йт йф , с , .
г = ^ А =^)^ = -^D0. Р=1/г-
Подставив полученное выражение в интеграл энергии B.21),
получим
тс*?'2
2
Разделив переменные, имеем
р
+ УсA/р) = Ь.
ср - <р0 = ± I •
*° B.22)
Из этого уравнения определяем р(ф).
2.2.3. Задача Кеплера
Задачей Кеплера называется задача о движении точки в поле
гравитационной силы, обратно пропорциональной квадрату рас-
„ йтп
стояния до неподвижного притягивающего центра: Р = — —тт-ег.
г*
Здесь (I = уМ, где у — гравитационная постоянная; М —
масса притягивающего центра, находящегося в начале координат.
Потенциальная энергия гравитационного притяжения имеет вид
V = —\шь/г. Ньютон показал, что точно такой же потенциал у
однородного шара массы М.
Предложение 2.1. Гравитационный потенциал
однородного тара во внешней его области эквивалентен
гравитационному потенциалу точки, расположенной в центре шара, в
которой сосредоточена вся его масса.
Доказательство. Пусть точка Р массы т находится на расстоянии
г > йот центра О шара. Свяжем с шаром систему координат Охуг
так, чтобы ось Ох проходила через точку Р (рис. 2.13). Проведем через
54

точку (я, 0,0), х е [-Я,Я]
сечение шара плоскостью,
перпендикулярной оси Ох, и построим в
этом сечении окружность радиуса
у е [0, \/Д2 — х2] с центром в
указанной точке. Все точки этой
окружности находятся на одном и том же
расстоянии у/(г — хJ + у2 от точки
Р. Объем шара равен 4лЯ3/3, а
плотность массы в его точках составляет ..
ЗМ/DлД3). Таким образом, гравита- Рис- 2ЛЗ- Гравитационный по-
ционный потенциал шара V в точке тенциал однородного шара
Р определяется соотношением
я >/Да-яа
Шт Г Г 2пУау _
4Т1Л3 ^ ] у/(г-хJ+у2
-я о у ч '
я
= -ТдГ I [уг2 - 2та + Я2 - (г - ж)] (*х =-у-—=-у—. ¦
Рис. 2.14. Приведенный потенциал и фазовый портрет в задаче
Кеплера. Орбиты:
-* — круговая; 2 — эллиптическая; 3 — параболическая; 4 — гиперболическая
55

Задача 2.18. Найдите гравитационный потенциал однородной
сферы массы М вне и внутри сферы; найдите гравитационный потенциал
однородного шара массы М внутри шара.
Перейдем к решению задачи Кеплера. Приведенная
потенциальная энергия B.20) имеет вид
Задача 2.19. Первая космическая скорость у\ — скорость
движения спутника по круговой орбите радиуса К (радиус
Земли). Покажите, что у\ = у/р/Я-
Задача 2.20. Вторая космическая скорость г?2 — наименьшая
скорость запуска спутника, при которой его орбита уходит на
бесконечность. Покажите, что ^ = у/2\х/Я = у2у\.
Задача 2.21. Найдите области возможности движения В^с
и нарисуйте фазовый портрет задачи Кеплера на плоскости г, г.
Траектории находятся из уравнения B.22):
р
Ф - сро = ± ] I 2
ро у-~2 С'1 + Н-та ~~ гпс2а2/2)
р — и/с2
= ± агссоз * „ + СОП81;.
у/2Н1т<? + ^/с4
Можно положить фо + сопв!: = 0, повернув оси координат.
Тогда
и и Г 2Н<?
и уравнение траектории в полярных координатах имеет вид
г=- - , B.23)
1 + есозср
где
с2 Г 2Н& ,ппл.
р=-, в =4/1 + о- 2-24
Это уравнение кривой второго порядка, в фокусе которой наг
ходится притягивающий центр О. В зависимости от значений
постоянных с, к (или е,р) возможны следующие случаи (рис. 2.14):
56

• е = 0, к = —[12тп/Bс^)т Траектория — окружность;
• 0 < е < 1, —\12т/B<?) < к < 0. Траектория — эллипс;
• е = 1,/1 = 0. Траектория — парабола;
• е > 1, к > 0. Траектория — гипербола.
Выше был пропущен случай с = 0. Тогда траектория —
отрезок ф = фо, 0 < г < г0 при к < 0, и луч ф = фо, г > 0 при к > 0.
Задача 2.22. На плоскости параметров с, к нарисуйте
области, соответствующие различным типам траекторий.
2.2.4. Интеграл Лапласа
Предложение 2.2. Вектор
1=^[г,К]-^,
771 Г
называемый вектором Лапласа, остается постоянным при движении
в задаче Кеплера.
Доказательство. Воспользуемся уравнениями движения гаг =
= —пцхт/г3, тем, что К = 0, и соотношением (г, г) = гг. Используя
формулу двойного векторного произведения (П.1), получим
Точка орбиты, ближайшая к притягивающему центру, называется
перицентром. В случае эллиптической траектории точка орбиты,
наиболее удаленная от притягивающего центра, называется апоцентром.
Для движения в поле притяжения Солнца используются термины «пе-
ригелий* и напогелий», а в поле Земли — «перигей* и «апогей*.
Скорость в перицентре максимальна по величине и ортогональна радиусу-
вектору (первое вытекает из интеграла энергии, второе — из условия
минимальности расстояния до притягивающего центра).
Задача 2.23. Пусть К ф 0. Докажите, что 1 = 0 тогда и только
тогда, когда орбита круговая.
Указание. Воспользуйтесь вычислениями в доказательстве
предложения 2.3.
Предложение 2.3. Если К^О и орбита не круговая, то вектор
Лапласа направлен от притягивающего центра к перицентру.
Доказательство. Поскольку в перицентре (г, г) = 0, из (П.1)
получаем
[г, I] = [г, [г, [г, г]]] = г(г, [г, г]) + [г, г](г, г) = 0.
57

,2
Значит, I и г коллинеарны. Осталось показать, что (г, I) > 0. Из
B.23), B.24) следует, что в перицентре
р К2 К2
Г~1 + в ут2{\ + еУ Т"е' МГ~т2A + е)"
Поэтому
К2 К2 е
(г,1) = (г, [г, [г,г]]) - у.г = [г,г]2 -^=-^-^= -2— > 0. ¦
771* 771* 1 -+¦ е
Три компоненты вектора Лапласа связаны двумя соотношениями
со значениями кинетического момента К и энергии Н. Этот вектор
лежит в плоскости орбиты и, значит, (I, К) = 0. Кроме того, его модуль
выражается через |К| и Л. В самом деле, г _1_ К, значит, [г, К]2 = г2К2.
Поскольку (г, [г, К]) = (К, [г, г]) = К2/т, то
1^^,^-2^(^,^) + ^ = ^^-2^)+^ = ^+^
ТПГ 7ПГ 1X1* \ Г/ ТПГ
Однако вектор Лапласа не может быть выражен через вектор
кинетического момента и значение энергии движения. В самом деле, вектор
Лапласа (если он отличен от нуля) позволяет определить перицентр
орбиты. По значениям кинетического момента К и энергии й этого
сделать нельзя.
Наличие дополнительного интеграла — вектора Лапласа —
является характерной особенностью гравитационного потенциала. Бели У (г)
имеет другой вид, то, как правило, других интегралов (независимых от
Н и К) нет. Динамическим проявлением существования в задаче
Кеплера дополнительного интеграла является ее вырожденность, состоящая
в том, что все ограниченные траектории оказываются
периодическими. Согласно теореме Бертрана, подобной вырожденностью в классе
задач о движении точки в центральном поле сил обладает лишь задача
Кеплера и гармонический осциллятор, для которого У(г) = —кг2/2.
2.2.5. Законы Кеплера
Случай эллиптического движения реализуется при 0 < е < 1,
т.е. —т\12/Bс2) < к < 0. Напомним, что е называется
эксцентриситетом эллипса, а р —фокальным параметром. Пусть а, Ъ —
большая и малая полуоси эллипса (рис. 2.15). Тогда
р = аA-е2), Ь = ал/1 - е2. B.25)
Из B.23), B.24) следует, что
р _ <?1\х. _ [1гп
а =
1 — е"
1-Ы1 +
х-'2 ( ГИ^У 2Н
58

Рис. 2.15. Эллиптическое
движение планеты 15. Солнце 5
расположено в фокусе эллипса; Р —
второй фокус эллипса; ОВ —
большая полуось; ОС — малая полуось
Большая полуось эллипса зависит только от энергии К (все
остальные параметры эллипса зависят также и от с).
Найдем период т движения по эллипсу. Согласно закону
площадей, площадь, заметаемая радиусом-вектором за время т
(площадь эллипса), равна 5 = ст/2 = каЬ. Используя B.24) и
B.25), получаем
2каЪ 2ъа2>/Т=1? 2ш3'2
т = = — = ——-. B.26)
Период обращения по эллипсу зависит только от большой
полуоси, т. е. только от энергии. Доказана следующая теорема.
Теорема 2.15 (теорема Ньютона). При движении под
действием центральной силы, обратно пропорциональной
квадрату расстояния, при ненулевом кинетическом моменте и
отрицательной энергии выполняются законы Кеплера.
Напомним законы Кеплера (центр О называется Солнцем, а
рассматриваемая материальная точка — планетой).
• / закон. Планеты движутся по эллипсам, в одном из
фокусов которого находится Солнце.
• // закон. За равные промежутки времени радиус-вектор заг
метает равные площади.
• III закон. Отношение квадрата периода обращения к кубу
большой полуоси постоянно для всех планет.
Последнее утверждение следует из B.26).
Верна и обратная теорема.
Теорема 2.16 (теорема Ньютона). Если при движении
точки в некотором поле сил Р выполняются законы Кеплера,
то Г = — ^твг для некоторой постоянной и. > 0.
г*
В действительности ц = Му, где М — масса Солнца; у —
гравитационная постоянная.
59

Доказательство. Следуя Ньютону, выведем формулу для
силы, действующей на планету.
1. Поскольку орбита — эллипс (I закон Кеплера), то
движение прюисходит в постоянной плоскости. Введем в ней полярные
координаты (г, ср) с полюсом, расположенным в том фокусе
эллипса, где располагается Солнце. Для площади 5 сектора,
заметаемого радиусом-вектором, имеем (см. рис. 2.12), из B.19)
г2ф = 25. Следовательно (II закон Кеплера), г2ф = с = сопз!;.
Дифференцируя по времени, получаем г(пр+2гф) = 0.
Поскольку движение эллиптическое, то г ф 0. Таким образом,
гф + 2гф = 0. B.27)
2. Пусть г — радиус-вектор планеты; т — ее масса и Г = т{ —
действующая на нее сила. Тогда г = Г. Нужно найти Г.
Подставив B.27) в формулу для ускорения в полярных координатах
A.3) г = (г — гу2)ег + (гср + 2гф)еф, получим
Г = (г - гф2)ег. B.28)
3. Поскольку ф = с/г2 ф 0, то фD) — монотонная функция
времени. Возьмем ср в качестве параметра на траектории. Тогда
г = г(ф), I = *(ф), сЙ/скр = г2/с. Заметим, что
йф \ г) г2 (И йф с
й2 / 1\ _й/г\Л_Л
йф2 у г) ей \с) йф с2
Исключив из B.28) производные по времени, получим
формулу Вине
4. Обозначим а и Ь — большую и малую полуоси эллипса.
Выберем положительное направление полярной оси1 от
притягивающего центра к перицентру. Тогда уравнение эллипса при-
Ь2
нимает стандартный вид B.23), где р = фокальный па-
а
раметр; е — эксцентриситет. Подставив B.23) в B.29), получим:
Полярная ось — ось, от которой отсчитывается полярный угол.
60

{ = — -^ег, где (I = —, т.е. сила притягивающая и убывает об-
гг р
ратно пропорционально квадрату расстояния.
5. Пусть Т — период обращения планеты по орбите. За период
радиус-вектор заметет полный эллипс, площадь которого равна
паЬ = сГ/2. Следовательно,
с2 BтшЬJа
Т2^
4л2о3
у2
и из III закона Кеплера следует, что р, одинаково для всех планет.
Окончательно получаем гпт = Р = — ^-о-вг. ¦
2.2.6. Определение закона движения
по эллиптической траектории
Найдем закон движения г = г(^), ф = ср(<) по эллиптической
траектории (рис. 2.16). Подставим уравнение траектории B.23)
в интеграл площадей:
рЦ
A + есозфJ
= с,
^ A + есозфJ
B.30)
Интеграл берется заменой
^ ф /1 + е . и
Рис. 2.16. Определение
закона движения по эллиптической
траектории (обозначения см. на
рис. 2.15)
61

Задача 2.24. Проверьте, что после вычисления интеграла
второе равенство B.30) принимает вид
и — евши = п{1 — *о), B-31)
В астрономии полярный угол ф называют истинной
аномалией, а и — эксцентрической аномалией.
Задача 2.25. Проверьте, что геометрический смысл
эксцентрической аномалии указан на рис. 2.16. Обозначения такие же,
как на рис. 2.15, и \ОР\ = \ОВ\, РИ 1 ОВ.
Постоянная п называется средним движением. Поскольку
период обращения по орбите равен 2к/п = 2ш3/2/у/\1, то п —
средняя скорость изменения полярного угла при движении по
орбите. Трансцендентное уравнение B.31), связывающее пи<,
называется уравнением времени Кеплера. Чтобы найти закон
движения ф = ф(*), нужно разрешить B.31) относительно и =
= иA). Решение может быть найдено в виде ряда по степеням
е. Задача исследования сходимости этого ряда сыграла важную
роль в создании комплексного анализа. Эксцентрическую
аномалию можно также выражать из B.31) в виде ряда Фурье по
гс(* — <о)- Исследование этих разложений в значительной степени
стимулировало развитие теории рядов Фурье.
2.3. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ НАЛИЧИИ СВЯЗИ
2.3.1. Уравнения движения по поверхности
Пусть дана поверхность Е в К3, возможно зависящая от
времени. Будем предполагать, что
Е = {геК3|5(г,*)=0},
где </(г,*) — гладкая функция такая, что §гас1г (/(г, ?) ф 0 при
г € Е. Тогда Е — гладкая поверхность.
Пусть точка массой т движется по поверхности Е. Тогда
говорят, что на движение точки наложена связь. Примем, что
принцип детерминированности выполняется и при наличии
связи. Тогда уравнения движения имеют вид тг = С(г, г, *).
Обычно сила С разбивается на две компоненты С = Г + К, где Г —
сила, которая действовала бы на точку, если бы связи не было;
62

К — дополнительная сила, обеспечивающая сохранение
.уравнения связи. Сила Р называется заданной силой, К — реакцией
связи. Возможность описать влияние связи силой реакции
иногда называется аксиомой освобождаемости от связи.
Таким образом, уравнения движения точки при наличии
связи имеют вид
шг = Г(г,г,*)+Щг,г,*), в(г,0 =0. B.32)
При одной и той же геометрической связи реакция может
быть различной: К зависит от физического способа
реализации связи (например, движение по поверхности с трением и без
него). Однако нормальная компонента определена однозначно.
Пусть п — вектор единичной нормали к поверхности Е в
точке г. Разложим силу С на касательную и нормальную к
поверхности компоненты: С = Ст + Спп, Сп = (С, п).
Лемма 2.4. Нормальная сила Оп определена однозначно
условием т{1) Е Е, независимо от физического способа
реализации связи.
Прежде чем доказывать лемму, вспомним несколько фактов из
теории поверхностей. Будем считать, что уравнение поверхности Е не заг
висит от времени. Зададим поверхность параметрически: г = т(и,у),
где (и, у) — локальные координаты. Введем две квадратичные
формы, заданные на векторах, касательных к поверхности. Пусть тA) =
= т(иA), уA)) — кривая на поверхности. Первой квадратичной формой
поверхности в точке Р называется квадратичная форма |г|2 от
касательного вектора г = тий + туу. В координатной записи |г|2 = Ей2 +
+ 2Рйу + Су2, где Е = г2, Г = (ги, г,;), С = г2. Часто эту форму заг
писывают в виде |йг|2 = ЕЛи2 + 2РЛиёю + ОЛу2. Она определяет длину
кривых на поверхности (риманову метрику): из2 = |г|2еЙ2.
Пусть п — вектор единичной нормали к поверхности. Поскольку
(ги,п) = 0, (г„,п) = 0 и г = тиий2 + 2тиуйу + тууу2 + тий + туу, то
(г, п) = Ьй2 + 2Мйу + Иу2, где Ь = {тии, п), М = (тиу, п), N = (туу, п).
Функция
Яг (г) = (г, п) = Ьй2 + 2Мйу + т2 B.33)
называется второй квадратичной формой поверхности в точке г. Она
связана с кривизной линий на поверхности. При движении по кривой
У ускорение равно г = А;|г|2пт + —|г|хг, где к — кривизна кривой; пг и
ас
"Су — главная нормаль и касательная к у (см. A.6) в п. 1.1.3). Поэтому
(г,п) = ку2 (пг,п). Отсюда
- (*'п) _ ^Ц2 + 2Мйу + Ыу2
¦ к{Пу'П} " |г|2 " Ей2 + 2Рйу + Су2 '
63

т. е. величина кп — &(пу, п), называемая нормальной кривизной линии
на поверхности, равна отношению двух основных квадратичных форм
поверхности. Величина кд = ку/\ — (пт,пJ называется геодезической
кривизной линии на поверхности] величина К = -—; — гауссо-
ЕС — г*
вой кривизной поверхности в данной точке. Поскольку первая
квадратичная форма положительно определена, то ЕС — Р2 > 0. Поэтому
знак гауссовой кривизны поверхности К совпадает со знаком
произведения собственных чисел второй квадратичной формы.
Доказательство леммы. Рассмотрим для простоты случай, когда
связь стационарна, т. е. уравнение поверхности Е не зависит от
времени. Из уравнения движения и B.33) Сп = т(г, п) = тпВг(т). ¦
Следствие 2.5. Нормальная реакция Кп = (К, п)
определена однозначно силой Г и геометрией связи Е, независимо от
физического способа реализации связи.
Касательная реакция Н^ = И — НпП часто называется силой
трения. Связь считается идеальной, если касательная реакция
равна нулю. Тогда реакция связи определена однозначно, так
что B.32) представляет собой замкнутую систему уравнений.
Задача 2.26. Считаем, что связь стационарна и идеальна, так что
точка движется по поверхности при отсутствии сил трения. Пусть
точка движется по инерции, т. е. внешняя сила Р отсутствует. Покажите
следующее:
1) геодезическая кривизна траектории движения всюду равна нулю
(такую траекторию называют геодезической кривой);
2) в тех точках траектории движения, где нормальная реакция
равна нулю, гауссова кривизна поверхности неположительна: К < 0
(иными словами, при прохождении через точку поверхности с
положительной гауссовой кривизной (К > 0) нормальная реакция всегда будет
ненулевой);
3) для любой точки поверхности с неположительной полной
кривизной (К < 0) существует движение, проходящее через эту точку с
нулевой нормальной реакцией.
Теорема 2.17 (об изменении кинетической энергии
при наличии связи). Пусть связь идеальна и не зависит от
времени. Тогда Т = (Г, V).
Доказательство. По теореме 2.5 Т = (Г + К, у). При условии
теоремы V ± п и п || К, так что (К, V) = 0. ¦
Если к тому же сила Р потенциальная: Г = — §гас!У(г), то
имеет место закон сохранения энергии Г + V = сопз!;.
64

2.3.2. Движение точки по кривой
Все изложенное в подразд. 2.3.1 переносится на случай,
когда материальная точка движется по кривой у. Разница лишь в
том, что нормальная реакция имеет две компоненты — по
главной нормали и бинормали. Если кривая у не зависит от времени,
то согласно A.6) уравнения движения в проекции на
касательную, нормаль и бинормаль имеют вид (естественные уравнения
движения)
ту = Г? + Дг,
тхг
= Рп + Вп, 0 = РЬ + Яъ,
B-34)
Если связь идеальная (В^ = 0), то первое уравнение B.34)
дает уравнение движения тз = -Рт(в, «,<), где з — натуральный
параметр на кривой у. Оставшиеся уравнения служат для
определения реакций.
Если у не зависит от времени, связь идеальная, а сила Р
потенциальная, так что имеет место закон сохранения энергии
Т + V = Л, то
Пп = 2{к-У)/р-Рп.
2.3.3. Математический маятник
Точка массы тп движется по окружности радиуса 2,
расположенной в вертикальной плоскости Ояг, под действием силы
тяжести — гпдег (рис. 2.17). Будем считать связь идеальной
(реакция ортогональна т). Отсчитывая угол ср от нисходящей
вертикали, получим из B.34) гаг) =
= ,РТ, ГДе V = /ф, Р? = — 7710 81Пф.
Уравнение движения
математического маятника имеет вид
Ф = —(д/1) зтф. Оно
решается с помощью интеграла
энергии ту2/2 + У = Л, V = тду =
= —т^/созф. Этот интеграл
можно представить в виде ф2/2 —
~~ (#/0СО8Ф = Ъ,/(т12), который
совпадает по форме с законом
сохранения энергии в случае
одномерного движения точки. В
частности, переменные разделяются:
Рис. 2.17. Математический
маятник
Болотин
65

±1(=?+?-,Г"*-'-*'-
ФО
Движение возможно только при к > —тпд1. При к = — тпд1
имеем положение равновесия ф = 0. При — тпд1 < к < гпд1
движение имеет колебательный характер с амплитудой и периодом
фтах(й) = аГССОЗ
««-¦Тф+т""»)"*
—фтах
При к = тд1 маятник цаходится в верхнем положении
равновесия ф = ±тс (если ф = 0) или, (при ф ф 0) асимптотически
приближается к верхнему положению равновесия ср = ±гс пр»
* —> ±оо. При к > тпд1 имеем ф ф 0, так что движение маятника
носит вращательный характер.
Фазовый портрет математического маятника представлен на
рис. 2.18.
Период малых колебаний т = Шп т(к) = 2ъу/Т[д около
Л—>—тпд1+0
положения равновесия ф = 0 получается из B.11) или из
линеаризации ф = —(д/1)у уравнения движения ф = —(д/1) зт ф.
Рассмотрим, как меняется период колебаний при стремлении энер
гии к критическому значению к = тпд1, отвечающему верхнему поло
жению равновесия ф = л.
При к —> тпд1 — 0 маятник совершает колебательные движения так,
что на периоде фазовая кривая дважды подходит к положению рав*
новесия ф = "к. Такой случай был разобран в п. 2.1.7. Асимптотика
Рис. 2.18. Фазовый портрет математического маятника
66
(Л-\

периода колебательных движений дается формулой B.13) при т = 1,
к = я/1'
™=*{Н^н)+от-
При Н —» 7710/ — 0.
Отметим, что под знаком логарифма стоит выражение тд1/(тд1 —
- Н) вместо 1/{тд1 — Н) (см. B.13)), чтобы логарифм брался от
безразмерной величины. Впрочем, с точки зрения асимптотики, никакой
разницы нет.
При Л —> тд1 + 0 маятник совершает вращательные движения так,
что на периоде фазовая кривая подходит к положению равновесия
ф = 71 только один раз. Вследствие этого главный член асимптотики
периода уменьшается вдвое:
уя \Н-тд1)
тС0 = А/-Ь т——:)+0A) при к->тд1 + 0.
Второе уравнение B.34) —— = —трсозср + Нп позволяет
определить нормальную реакцию как функцию от положения
точки на кривой и постоянной интеграла энергии (т. е. от
начальных условий):
„ 2к ту%
Нп = — + Зтд сое ф = —=-^ — 2тд соз сро + Зтьд сое ср.
I ь
2.3.4. Циклоидальный маятник
Точка массы т движется по дуге циклоиды
Ж = а(ф + 8ШСр), у= -<хA + С08ф), ф€ (—71/2,71/2),
расположенной в вертикальной плоскости Оху, под действием силы
тяжести —тдеу (рис. 2.19) без трения (связь идеальная). Значит,
выполняется закон сохранения энергии тз2/2 + тду = сопя!;.
Длина дуги АВ, отсчитываемая от нижней точки @, —2а),
определяется соотношением (штрих означает производную):
ф ф
з
о
= Г \/*'2(Ф) + ^(Ф) <*Ф = а(у/2{1 + бозф) йф =
о
<р
= а I 2соз(ф/2)йф = 4авт(ф/2).
67

Значит, у = 2а(8та(<р/2) — 1) =
= в2/(8а) — 2а, и закон
сохранения энергии примет вид те2/2 +
+ тдз2/(8а) = сою*. Точно
такой же вид имеет закон сохранения
для гармонического осциллятора с
жесткостью к = тд/Dа). Значит,
Рис. 2.19. Циклоидальный ма- циклоидальный маятник совершает
ятник гармонические колебания с частотой
V = у/д/4а. Таким образом, период
колебаний точки в потенциальной яме з € [-з0, до], («о € @,4а)) не
зависит от амплитуды 5о колебаний. В этом состоит главная особенность
циклоидального маятника.
Задача 2.27. Покажите, что уравнения движения циклоидального
маятника имеют вид
3+-^-3 = 0.
4а
2.3.5. Сферический маятник
Пусть точка массы т движется по сфере радиуса I без трения
(связь идеальная) под действием силы тяжести —тдег.
Уравнения движения имеют вид
тг = тя + К, |г|=/, К = ЛГег. B.35)
Имеют место закон сохранения энергии Н = т|г|2/2 + тдг =
= к и закон сохранения кинетического момента относительно
оси Ог\ Кг = т([г,г],ег) = сопМ. Действительно, Кг = Мг =
= ([г,т8 + К],ег)=0.
Перепишем Н иКгв сферических координатах ф, 6.
Поскольку (см. п. 1.1.2) г = /ег, г = Я(фсо8 8еф + 8ее), ег = 81п8ег +
+ соз6ее, то
Я = -т/2(82 + ф2 сов2 8) + тд1 зт 8 = Л,
2 B.36)
Кг = т/2ф сое2 8 = га/2с, с = сопз!.
Будем предполагать, что с ф 0 (при с = 0 имеем ф = фо,
т.е. движение сферического маятника совпадает с движением
математического маятника).
Дальнейшие вычисления точно такие же, как в задаче о
движении точки в центральном поле. Из равенств B.36) получим
-ггйЧ2 + Ус(9) = Н, Уе(В) = ^к + тд1 зт 6.
68

Рис. 2.20. Приведенная потенци- Рис. 2.21. Область возможности
альная энергия сферического ма- движения Вс%ь сферического
маятника ятника
Здесь Ус — приведенная потенциальная энергия (рис. 2.20).
Интеграл энергии принял тот же вид, что и в задаче об
одномерном движении точки.
Задача 2.28. Покажите, что функция Ус имеет
единственный минимум 8С € (—к/2,0). Для этого проверьте, что 14(8) —>
-> +оо при 8 -> ±п/2 и У"{$) > 0 при любых 8.
Функция Ус имеет единственный минимум 6С € (—к/2,0),
и при всех К > Ус(дс) область возможности движения Вс^ =
= {(ф» в) I УсФ) < Ъ>} — КОЛЬЦО вщт < в < 8тах На сфбрв. ФуНК-
ция 8D) меняется периодически от втт до вщах» а ф(*) —
монотонная функция (рис. 2.21).
Около нижнего положения равновесия сферические
координаты вырождаются, так что воспользуемся декартовыми
координатами я, у,' г = ->у/12 — х2 — у2. В положении равновесия
г = — 1ег уравнения B.35) дают N = — тд. Значит, при мВт
лых колебаниях вблизи положения равновесия N = — тд +
+ 0(^1 V, я, У)- Тогда уравнения B.35) в проекции на оси Ох, Оу
принимают вид
тх = Мс/1 = -тдх/1 + 0(х2 + у2 + х2 + у2),
ту = Иу/1 = -тду/1 + 0(х2 +у2 + х2 + у2).
Уравнения малых колебаний х = —(д/1)х, у = —{д/1)у
соответствуют гармоническому осциллятору на плоскости Оху, х
69

решения имеют вид B.1), где г = хех+уеу, а X = \[д]\.
Траектории — эллипсы на плоскости Оху с центром в начале координат.
2.4. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
2.4.1. Силы инерции
Ранее были описаны законы движения материальной точки
относительно фиксированной системы координат, условно
называемой неподвижной. Однако часто удобнее изучать движение
точки относительно подвижной системы координат. При выводе
соответствующих уравнений возникают дополнительные члены,
которые называются силами инерции. Опишем это подробнее.
Пусть наряду с основной (неподвижной) системой отсчета
Охуг имеется система отсчета 5$т)С, движущаяся относительно
Охуг. Пусть аабс — ускорение материальной точки
относительно неподвижной системы Охуг\ Эотн — относительно подвижной
системы 8\т$>. По формуле Кориолиса A.16) уравнение
Ньютона в неподвижной системе отсчета шаабс = Г переписывается в
виде уравнения относительного движения
тает = Г + Гпер + Ркор,
' пер = ^1в>пер»
¦^ кор = шаКОр-
Дополнительные слагаемые в правой части называются
переносной и кориолисовой силами инерции.
В частности, если подвижная система отсчета движется по
отношению к неподвижной равномерно и прямолинейно, то
¦* пер *Т" * кор = О-
Пусть (о = (Одер ~ угловая скорость движения системы 52;т]С
относительно системы Охуг. Если р — радиус-вектор точки М в
подвижной системе отсчета, то
аотн = р, акор = 2[со, Уотн] = 2[со,р],
где производная берется относительно подвижной системы
отсчета:
р = 5е5 + 7N, + Сес, р = ^е5 + т^ + Се?, р = Ёе5 + тр, + Ёе?.
Переносное ускорение апер вычисляется по формуле Ривальса
A.12)
апер = а5 + [е,р] + [со, [со, р]]. B.38)
B.37)
70

Теорема 2.18 (об изменении кинетической энергии в
относительном движении)** Скорость изменения
кинетической энергии относительно движения равна мощности
заданных сил и переносных сил инерции:
й ту*
отн
<И 2
— (Г + Гпер^отн)-
Доказательство. Следует из равенства (РкоР, Vотн) =0. ¦
Лемма 2.5. Если абсолютное ускорение начала подвижной
системы координат и ее угловая скорость постоянны
относительно подвижной системы^ (а^ = 0, с = 0), то переносная
сила инерции потенциальна:
ГПер = -егах1^(Р),
^(р) = ш((а5,р) + ^(б>,р>2-^2р2).
Доказательство. Из B.38) видно, что в подвижной
системе отсчета сила инерции Гпер(р) позиционная. Согласно
определению потенциальной энергии B.3), требуется доказать, что
(Гпер(р)» йр) = — сИ^(р), где Лр — приращение р в подвижной
системе обсчета:
йр = д&еъ + йг\^ + <К.е$.
Тогда
(Гпер,йр) = -т(а$,йр) - т([со, [со,р]],йр> =
= -тй(а5,р) -т«со(со,р),йр) -со2(р,йр)) =
= -ЛК ¦
Теорема 2.19. Если связи, стесняющие относительное
движение точки, идеальны и не зависят от времени, силы
потенциальны (Р = -егас1У(р)) и выполнены условия леммы 2.5, то
в относительном движенци имеет место обобщенный
интеграл энергии:
Т(т1 + Ужэъл = к = сом*, B.39)
г&е Кзм = V + IV — измененная потенциальная энергия.
Доказательство. Следует из теоремы 2.18 и леммы 2.5. ¦
То есть проекции векторов в^ишнв оси системы 5?Т)? постоянны.
71

B.40)
2.4.2. Движение относительно равномерно
вращающейся системы отсчета
Пусть система 5ВД вращается вокруг оси Ох = ОС с
постоянной угловой скоростью соег. Тогда
Гпер = -тапер = -тсо2[ег, [ег,р]] =
= тсо2(^ + ^е,,)
— сила отталкивания от оси ОС, называемая центробежной
силой. Аналогично Гкор = —2т[о>ег, р] = 2тсо(т)е5 - ?^). Из B.37)
получим уравнения относительного движения
т% = Р$ + то>25 + 2гшот),
тт) = Ец + гаа>27) - 2та>$,
Переносная сила инерции потенциальна с потенциальной
энергией — тсо2B;2 + 7J)/2, а кориолисова сила имеет нулевую
мощность. Бели сила Р потенциальна:
ъ = -
05'
р- ду
/% = -
ее
V = ^E,4,0,
то имеет место обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби)
771
15 = (Ооег = «оде.
?E=4^ + ^) + ^-.=
= сопи,
таг
B.39)
^ -
Рис. 2.22. Математический
маятник во вращающейся системе
координат
где Уизм = V - ^-(? + тJ)
измененная потенциальная
энергия.
Пример 2.9
(математический маятник во
вращающейся системе координат).
Материальная точка массы т
движется без трения по
вертикально расположенной окружности
радиуса г, которая
вращается с постоянной угловой
скоростью (о = о>оег вокруг
вертикального диаметра, и
находится в однородном поле тяжести
72

Рис. 2.23. Приведенный потенциал для математического маятника во
вращающейся системе координат:
а — о2 < д/т\ б — о2 = д/г\ в — о2 > д/г
—тдег. Положение точки на окружности определяется углом ф
(рис. 2.22).
В данной задаче имеет место обобщенный интеграл энергии
Г + V* = Л, где
Т = -тг2ф2, 1^)(ф) = —гпдг соз ф — -тг2со2 зт2 ф.
Относительные положения равновесия точки на
вращающейся окружности определяются из уравнения
\^(ф) = ТПдГ 8111 ф ( 1 СОЗ ф 1 = (X
Это уравнение всегда имеет два корня ф1 = 0 и ф2 = л, а
также если со2 > (//г, — еще два корня фз,4 = ±агссо8(G/гсо2),
рис. 2.23. Вычисляя
у^(ф) = тдг сое ф I 1 сое ф) + тг2со2 зт2 ф,
имеем
УМ < О
УМ > О
УМ < О
С(фЗ,4) > О
при со2 < д/г\
при со2 > д/г;
при всех со;
при оJ > д/г.
Фазовый портрет в рассматриваемой задаче зависит от
параметра со2 и при со2 < д/г имеет вид, представленный на
Рис. 2.24, а, и при а>2 > #/г — на рис. 2.24, 5.
73

Рис. 2.24. Перестройка фазового портрета:
а — о2 < д/г\ б — о2 > д/г
При критическом (бифуркационном) значении со2 = д/г
происходит перестройка (бифуркация) фазового портрета.
Задача 2.29. Нарисуйте фазовый портрет при со2 = д/г.
2.4.3. Равновесие точки на поверхности Земли, вес
Предположим, что Земля представляет собой однородный
шар радиуса Я и массы М. Земля вращается вокруг оси 57У:
юг —север (рис, 2,25) с угловой скоростью со = Пе, где е =
= ЗN/\8N\, П = 2к/Г, Г — период вращения A сут = 86 400 с).
Пусть Ое^е^е^ — репер, жестко связанный с Землей (е^ = е).
Материальная точка М притягивается к Земле по закону
всемирного тяготения. Из B,40) следует, что уравнение движения
точки относительно Земли (репера Ое^е^е^) имеет вид
тр = -Ц-о р - шП2[е, [е, р]] - 2гаП[е, р], B.41)
Р
Если точка находится на поверхности Земли (М = Мо), то на
ее движение наложена связь |р| = Я. При этом в правую часть
уравнения B,41) следует добавить реакцию, которую обозначим
через —р (р — давление точки на Землю).
Определение 2.4. Весом материальной точки называется ее
давление на Землю в состоянии покоя относительно Земли. Вес,
деленный на массу точки, называется ускорением силы тяж&\
сти, или ускорением свободного падения, ?.
74

N'
\ °
5
с
ГУ*
чр/
'к,
м
Хм°
\1
Рис. 2.25. Земля вращается во- Рис. 2.26. Равновесие точки на по-
круг оси 5-/У (юг — север) верхности Земли
Таким образом, вес точки равен
™В = Р|р=р=о = "^ТР " ™,П2[е, [е,р]].
Предположим, что репер Ое^е^е^ выбран так, что точка Мо
находится в плоскости От)С (рис. 2.26). Обозначим через 6
географическую широту — угол между радиусом-вектором р и
экваториальной плоскостью. Введем вектор географической
вертикали: ер = р/Л = 8ш 8 е^+соа 8 е,, (см. рис. 2.26). Пусть д0 = р/К2 —
ускорение силы тяжести в отсутствие вращения Земли. Тогда
8 = --^ + ^^0)88^ =
-90
Я2
8ш 8 е^ + сов 0
и?н
, I Л оДП2 2
9=\Я\ =до\1-2-—аж'
V 9о
•+°т-
= до 1 сое-4 9 + О .
Направление, противоположное ускорению силы тяжести ?,
называется местной вертикалью. Угол ср между местной
вертикалью и плоскостью экватора (экваториальной плоскостью)
называется астрономической широтой.
75

Введем вектор местной вертикали ед = — в/р и получим
|8т(Ф-е)| = |[ер,е9]| = ^-|8ш2е|.
Оценим приближенные значения параметров для Земли:
д = е
ЯП2
П = 86400 с1' Д = 6'4 06 М' 5о = 9'8 М " С~2'
2ро
« 0,0017.
Если 8 = 60е (широта Санкт-Петербурга), то ф - 8 и
« 0,0017>/3/2 и 0,0015 рад « 0,042°, так что вектор в
направлен почти в центр Земли.
2.4.4. Падение материальной точки на Землю
Предположим, что материальную точку бросают с башни.
Поскольку наблюдатель расположен на Земле, выпишем
уравнения движения в подвижной системе координат. Поскольку
переносная сила инерции учтена в ускорении силы тяжести,
ускорение падения точки на Землю имеет вид вош = В — 2[П, у^н].
Исходя из того, что в процессе движения радиус-вектор г
изменяется незначительно (высота башни мала по сравнению с радиусом
Земли), приближенно будем считать, что 8 = сопз1;. Выберем
систему отсчета 0<Е>т&, связанную с Землей, так, что О совпадает
с начальным положением точки, & = — де^ а вектор е^
направлен на Север. Тогда угловая скорость вращения Земли Г2 = Пе,
е = соз ср е^ + 81П ф е^, где ф — астрономическая широта.
Поскольку система отсчета фиксирована, будем писать Уотн =
= V = г, аотн = V, где производная взята в системе отсчета 0\г^.
Решим уравнение V = в—2П[е, V] с начальным условием у@) = 0
на интервале времени 0 < * < т. Это система линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Несложно найти точное решение, но более наглядно
воспользоваться приближенным методом, называемым методом
малого параметра.
По теореме о дифференцируемой зависимости решений от
параметра решение \A) = у(*, П) гладко зависит от П. По формуле
Тейлора на конечном интервале времени имеем
лг{1) = у0(*) + П\г(г) + П2\2A) + 0(П3), 0 < I < т.
76

Здесь V@, П) = 0. Приравнивая коэффиценты при
одинаковых степенях О в уравнении
у0 + Пу1 + П2у2 + --- = 8- 2П[е,у0 + 1М + П2у2 + ¦¦¦],
получим
*о = 8» Vо = к*»
VI = -2[е, у0] = -2[е, 8]*, VI = -[е, 8]<2,
у2 = -2[е,У!] = 2[е,[е,К]]<2, V2 = ^[е,[е,8]]*3.
Отсюда
у(<) = 8* " «[в, 8]<2 + 2П2[е, [е,8]]*3/3 + ¦ ¦ ¦
г(«) = в*2/2 - П[е, 8]<3/3 + П2[е, [е,8]]*4/6 + ¦ ¦ ¦
Для г(*) отброшенные члены имеют порядок </П3т5 =
= /ь0(П3тг), где Н = дт2/2 — высота падения. Таким образом,
для заданной высоты К отбрасываемые члены много меньше
сохраняемых при достаточно малых значениях безразмерного
параметра Пт. Имеем
[в,в] ^созсре,,, [е,[е,8]] = д^смРуе^ - втсрсозсре;).
Пусть, для определенности, дело происходит в Северном
полушарии (полушарие от экватора в сторону вектора П). Тогда в
плоскости местного горизонта}- в первом приближении точка
отклонится на Восток (—й^е,,), а во втором — на Юг (—о^е^):
рШ3совф рП2*4 вш ср соа ф
ЬЕ з , »5 ^ •
Замечание 2.1. Проведенные рассуждения математически
корректны. Чтобы сделать их физически корректными, нужно считать,
что единицы измерения фиксированы. В противном случае малая
физически размерная величина может оказаться большой при другом
выборе единиц измерения. Чтобы избежать зависимости от их выбора, в
физике при использовании метода малого параметра принято
раскладывать в ряд по безразмерной величине. Фактически нами был
получен степенной ряд по безразмерной переменной Ш.
Плоскость местного горизонта — плоскость, ортогональная местной
вертикали (см. п. 2.4.3).
77

Пример 2.10. Рассмотрим падение материальной точки с
Останкинской телевизионной башни. Примем, что К = 500 м,
д = 10 м/с2, ф = 60°. Время падения т = у/2к/д = 10 с. В
первом приближении смещение на восток равно 10 см, и во втором
приближении на юг — 1 мм. Впрочем, не следует забывать, что
в реальной ситуации нужно учитывать влияние воздуха.
Задача 2.30. Определите, куда будет отклоняться точка,
падающая в Южном полушарии Земли.
2.4.5. Маятник Фуко
Пусть сферический маятник находится на поверхности
Земли в точке с астрономической широтой ср. Такой маятник
называется маятником Фуко. Направим ось ОС по местной
вертикали, 0\ — на север, От\ — на запад (рис. 2.27). Тогда в = —де$,
а угловая скорость Земли имеет вид Г2 = П(соеере; + знкре^).
Уравнения движения маятника Фуко относительно Земли
имеют вид
тт = те - 2т[П, г] + Л/ег, |г| = /. B.42)
Напомним, что переносная сила инерции уже включена в га§.
Исследуем малые колебания маятника Фуко около
положения равновесия г = — 1е^. В положении равновесия N = — тпд.
Будем считать 5,т),5,7] малыми1 и получим уравнения
малых колебаний, пренебрегая членами второго порядка малости
02^, г), ?,7)). Тогда, как при исследовании колебаний
сферического маятника:
С = -у/12 ~ V ~ I2 = -* + 02E, т), 5,т|),
? = 02E,7),5,7)), #=-7710 +02E,7),5,7)),
Щ = N1/1 = -гпдЦХ + 02E, Т), 5, т)),
Д, = ЛГт)// = -тдц/1 + 02E, т), 5, т)).
Значит,
г = 5е5 + 7)©ч + 02E,7), 5, т)),
и
[П, Г]? = -П 8Ш ф 7) + 02E, 7), 5, Т)),
[П,г]ч = П8тф5 + 02E,7),5,т)).
1Это означает, что малы следующие безразмерные величины: ?/2, 7)/2,
78

Проектируя уравнения B.42)
на оси 05, От), получим
уравнения малых колебаний маятника
Фуко
т\ = 2гаП81псрт) — тд%/1,
тт\ = —2тПзтср5 _ ™>дт\/1-
B.43)
Поскольку это система
линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами, ее
можно явно решить. Однако
нагляднее использовать дледующий прием- Рассмотрим
гармонический осциллятор на плоскости Оху (точка на пружине),
описываемый уравнениями та = —'йг, или
Рис. 2.27. Маятник Фуко
тпх = —кх, ту = — ку.
B.44)
Перейдем в систему отсчета 02;т)Ё, вращающуюся вокруг оси
ОС = О г с угловой скоростью сое^. Получим уравнения
относительного движения
тт = — кт — 2гп[(ле^ г] + тсо2г, г = Ее; + т^.
B.45)
Уравнение B.45) совпадает с B.43) при со = Петер и к =
= д/1 + гаП2 зт2 ф. Таким образом, решения B.43) — это
решения B.44), вращающиеся вокруг оси ОС с угловой скоростью
-Л зт ф е^. Мы доказали следующее предложение.
Предложение 2.4. Траектории малых колебаний маятника
Фуко представляют собой наложение гармонических колебаний
на вращение с угловой скоростью — Пзтфе^.
Если Г2 = 0, то B.43) —- это уравнения малых колебаний
сферического маятника длины /.

Глава 3
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ
ТОЧЕК
3.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИНАМИКИ
СИСТЕМЫ
3.1.1. Аксиомы динамики системы
Принцип детерминированности. Рассмотрим систему,
состоящую из п материальных точек, положение которых в
некоторой системе отсчета О ту г, называемой абсолютной,
задается радиусами-векторами г», г = 1,2, . ..,гс. Систему будем
называть замкнутой, или изолированной, если нет других
материальных точек, взаимодействующих с данными.
В качестве основной аксиомы динамики примем принцип
детерминированности. Он утверждает, что движение точек
изолированной системы однозначно определяется их положениями
и скоростями г° = (г°, ... ,г°), г° = (г?, ... ,г°), заданными в
любой начальный момент времени *о- Формально
Гг(*) = Ф<(г0,г°,*0;*), г = 1, ...,п,
где Ф{ — некие функции, свойственные данной системе.
Следовательно, начальные ускорения — функции начальных
положений и скоростей:'
Гг(<о) = ^(г°,г°,*о), г = 1, ...,п,
где
Г,(г°,г°,*о) = ^
Ф<(г0,г°,*о,<).
1*=*о
Таким образом, из принципа детерминированности
вытекает, что движение системы определяется системой обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка
г» = й(г1, ...,гп,Г1, ... ,гп,*), г = 1, ...,га.
80

Каждой материальной точке приписывается масса тп{ > 0.
Получим уравнения Ньютона:
ТПгГг =Е\(Г1, . . ., Гп, ГЬ . . . , Гп, *), 1 = 1, . . . , П, C.1)
где величины 171?? = Р^ называются силами.
Принцип относительности. Напомним, что согласно закону
инерции Галилея — Ньютона, существует абсолютная система отсчета,
в которой ускорение свободной материальной точки равно нулю. То же
верно и в любой инерциальной системе отсчета, движущейся по
отношению к абсолютной равномерно и прямолинейно. Обобщением
является принцип относительности Галилея. Он утверждает, что уравнения
движения замкнутой системы одинаковы в любой инерциальной
системе отсчета. Тогда если расположить точки системы относительно этих
систем одним и тем же образом и придать им одни и те же
относительные начальные скорости, то относительное движение точек будет
одним и тем же. Формально это означает, что уравнения движения C.1)
замкнутой системы одинаковы в обеих системах отсчета.
Переход в равномерно движущуюся систему отсчета имеет вид
преобразования Галилея
г »-> г = Ат + го + Vо?, *»->? = I + $(ь
где А — постоянное ортогональное преобразование; го, Vо € К3 и *о —
произвольные постоянные. Множество таких преобразований образует
группу Галилея.
Выпишем условия, налагаемые на силы принципом Галилея, в
явном виде. Поскольку
аъ аъ
то функции Р» удовлетворяют условиям
АР»(гь ...,гп,гь ...,гп,*) = ^(г1,...,гп,?1, ...,?„,*) C.2)
для всех А, го, Vо, *о-
Из C.2) вытекает, что функции Б\ не могут быть произвольными.
Покажем, например, что в замкнутой системе Р; не зависят явно от
времени. Действительно, для любого момента времени *о замена г = г,
* = * — *о является преобразованием Галилея. Следовательно, из C.2)
Р*(ГЬ ...,Г„,Г1, ...,Г„,*0) ЭР<(Р1, ...,Г„,Г1, ...,Г„,0).
Задача 3.1. Докажите, что в замкнутой системе силы Р» зависят
лишь от относительных положений г» — г^- и относительных скоростей
81

Задача 3.2 (закон инерции Галилея —Ньютона). Докажите, что
в замкнутой системе, состоящей из одной точки, Г = 0, иначе говоря,
тело, не взаимодействующее с другими телами, движется равномерно
и прямолинейно. Отсюда видно, в частности, что динамика точки
изучает только незамкнутые системы.
Таким образом, закон инерции — следствие принципа
относительности.
Задача 3.3. Докажите, что в замкнутой системе, состоящей из двух
точек, РЬР2 || П -г2.
Кроме принципа относительности, функции Р* подчиняются и
другим ограничениям, например; связанным с теорией размерности
физических величин.
Определение сил как функций положений, скоростей и
времени в конкретных задачах представляет собой отдельную
проблему, решение которой основывается на экспериментах и
соображениях теоретического характера. Если силы заданы, то C.1) —
это система обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка, из которой в принципе можно найти движение
точек системы.
Основная задача динамики — найти решение этих уравнений
с заданными начальными условиями
Г1(*0) = Г?, - . - , Гп(«о) = Г», Р1(*й) = Г?, . . . , ГП(*0) = Г°.
Принцип детерминированности означает, что эти уравнения
удовлетворяют условиям теоремы о существовании и
единственности решений. Иногда приходится решать обратную задачу:
известны свойства движения системы, а требуется найти силы.
Принципы суперпозиции сил и равенства действия
и противодействия. Кроме принципа относительности, силы
удовлетворяют и другим аксиомам. В замкнутой системе
сила, действующая на г-ю точку, имеет вид Г» = ^ Ру, где Гу —
з&
сила, действующая на г-ю точку со стороны ^'-й. Это принцип
суперпозиции сил. Такие силы Ру называются внутренними.
По определению внутренние силы удовлетворяют
третьему закону Ньютона Гу = —Г7». Предполагается также, что
^У II гх ~ г7» как если бы система состояла только из точек г
и 3- Другими словами,
Г-"
Е# = Рц~ = -^5 C-3)
82

Рис. 3.1. Внутренние силы — это
силы попарного взаимодействия
точек. Они направлены вдоль
линии, соединяющей точки, равны
по величине и противоположны по
направлению
где Гу = Т{ — г^-, Гу = |ру|, а Ру = Р^ — скалярные функции
(рис. 3.1).
Строго говоря, это предположение не вполне обоснованно и
нарушается для некоторых внутренних сил, но оно упрощает
изложение, так что мы его примем.
Отметим, что данная аксиома определяет понятие массы: при
другом выборе множителей гп{ принцип суперпозиции будет
нарушаться. Функции Ъ не удовлетворяют принципу
суперпозиции.
В незамкнутой системе помимо внутренних сил (р"нутр) могут
действовать и другие силы, называемые внешними (р?неш):
Р. _ рвнутр , рвнеш рвнутр _ X ^ р
3.1.2. Общие теоремы динамики системы
Определение 3.1. Массой системы называется сумма масс
тел ее составляющих: т = \^ га».
г
Здесь и далее суммирование ведется по всем точкам системы.
Будем изучать движение системы по отношению к произвольной
инерциальной системе отсчета Охуг.
Определение 3.2. Импульс системы определяется так: Р =
Теорема 3.1 (об изменении импульса). Производная
импульса по времени равна сумме внешних сил: Р = У^ рвнеш = р
Вектор Р обычно называют главным вектором внешних сил.
83

Доказательство. Имеем т^ = У^Ру + Р?1*8111. По третьему
з&
закону Ньютона \^ ^*з = 0> поэтому
#3
р = $>у+5^г?неш = $>¦
М г г
&3
Определение 3.3. Центром масс системы материальных
точек называется точка 5 с радиусом-вектором
Ц8 = Г5= , Ш=> 771?.
т ^—'
Задача 3.4. Покажите, что центр масс корректно определен,
т. е. не зависит от выбора точки О.
Задача 3.5. Покажите, что импульс системы равен
произведению массы системы точек на скорость движения центра масс:
Р = тптз-
Из задачи 3.5 вытекает теорема.
Теорема 3.2 (о движении центра масс). Центр масс
движется как материальная точка массы т = У~^ т*, к которой
приложена сила Г:
тг5 = Г-
В частности, масса аддитивна.
Следствие 3.1. Если сумма внешних сил равна нулю, то
центр масс движется равномерно и прямолинейно.
Определение 3.4. Кинетический момент системы
относительно точки О определяется как сумма кинетических
моментов отдельных точек:
К0 = 5^т»[гг,г»].
Далее считаем точку О началом инерциальной системы
координат.
Теорема 3.3 (об изменении кинетического момента).
Производная кинетического момента по времени равна сумме
моментов внешних сил:
к0 = ^,г?неш] = м0.
84

Вектор Мо обычно называют главным моментом внешних
сил.
Доказательство. Ко = У^7п»([г*,г*] + [г»,Гг]) =
= 2^[г», Г"нутр] + Мо. По третьему закону Ньютона первое слаг
гаемое равно
Е [*«. Е *«] = Еь. ы+Е^ р«] =
'* '* ^ C.4)
^>*
так как для внутренних сил Рц || (г* — гД ¦
Следствие 3.2. Для любой неподвижной оси I = Ое, ЛГ| =
= М/, где /^ = (Ко, е) иМ\ = (Мо, е) — кинетический момент
и момент внешних сил относительно оси I.
Следствие 3.3. Для любой замкнутой системы Р = сопз!,
Ко = СОП81;.
Определение 3.5. Кинетической энергией системы
называется сумма кинетических энергий точек, входящих в эту си-
„2
стему: Г = ^ —^-*-
2
Теорема 3.4 (об изменении кинетической энергии).
Производная кинетической энергии по времени равна мощно-
сти всех сил, приложенных к точкам системы:
Т = ^2(Еиг{), или ОТ±= ^(Р,,**).
Доказательство такое же, как и доказательство теоремы 2.5 в
динамике точки. ¦
Потенциальные силы. Понятия позиционной и
потенциальной силы, действующей на материальную точку, введенные в
подразд. 2.13, естественным образом обобщаются на случай
системы материальных точек.
Силы, действующие на точки системы, называются
позиционными, если они зависят только от положения точек системы
и времени: Г» = Г»(г1, ..., гп, I). Позиционные силы называются
потенциальными, если существует функция II(т\, ... ,гп,*)
такая, что
85

йТТ
Гг(г, *) = -т^- = егаЛг. I/, г = 1, ..., п. C.5)
При этом V называется силовой функцией, а V = — V —
потенциальной энергией системы (обе функции определены с
точностью до константы). Бели потенциальные силы не зависят от
времени, то
^(Р4,Д-,> = -Л^(Р11...,Гп).
г
Тогда для любых двух положений точек системы: Р=(г°, ...,
гп)и<5 = (гЬ -.гЙ имеем
ч
где интеграл (работа сил на перемещении) взят по любой
кривой, соединяющей точки Р и(}в пространстве положений точек
системы.
Теорема 3.5 (закон сохранения энергии). Если силы
потенциальны и не зависят от времени, то полная энергия
Н — Т + V сохраняется.
Доказательство. Т = ^(Е\, г») = — \^ ( -=—, г» > = —V. ¦
Закон сохранения энергии называют также интегралом
энергии.
Потенциальность внутренних сил. Внутренние силы,
зависящие только от расстояний между взаимодействующими
точками г и ], имеют вид Г^- = ^-(гу)—, где гу = г» — г^-, 7? = |гу |.
Гу
Теорема 3.6 (теорема Лагранжа). Внутренние силы,
зависящие только от расстояний между точками, потенциаль-
г
ны, и V = — У^ 0!у(гу)| г&е ^'(Г) = Нц{р)йр ~ первообраз-
У0>») го
нал функции Рц.
тт ъ а* л\ 9|Г» — Г7"| Г» — Г7"
Доказательство. В силу B.4), ——=—— = : =^, т.е.
86

*0 = ЗДг«-г*1)
Гг ~ Г} _ Эг/ц(|г»-Г,|)
1г*-г7-|
откуда и следует утверждение.
дп
3.1.3. Формулы и теоремы Кёнига
Определение 3.6. Пусть Оехеуег — абсолютная система
отсчета. Системой отсчета Кёнига (осями Кёнига) называется
система Зехеуег, где 5 — центр масс системы материальных
точек (рис. 3.2).
Очевидно, г» = г^ + р^, где р^ — радиус-вектор точки гп{
относительно 5.
Предложение 3.1 (первая и вторая формулы Кёнига).
Пусть
К' = Х>[р<,р<] и Г = ^т^/2
— соответственно кинетический момент и кинетическая
энергия в осях Кёнига. Тогда
Ко = ш[г5| у5] + К'; Г = тпу23/2 + Г'.
Доказательство. Докажем первую формулу:
Ко = ^ т*[г$ + р., г5+¦ р.] =
= т[г5, р5] + К' + [га, ]Г ш*Рг] + [Л т*Р*' *5]
Два последних слагаемых
равны нулю, так как ^ т^ = 0. ¦
Задача 3.6. Докажите вторую
формулу Кёнига.
Теорема 3,7 (об
изменении кинетического момента в
осях Кёнига). Скорость
изменения кинетического момента в
осях Кёнига равна сумме
моментов всех внешних сил
относительно центра масс системы:
&' = М5, где М3 = ]Г [р,, Ру—1- Рис. з.2. Оси Кёнига
C.6)
87

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из
теоремы об изменении кинетического момента, теоремы об изменении
импульса и первой формулы Кёнига:
К' = Ко — тп[тз, *§] =
=Е [та+*. *гш] - [*«, Е г?неш] = Е (р«. *п • ¦
Теорема 3.8 (об изменении кинетической энергии в
осях Кёнига). Скорость изменения кинетической энергии
системы в осях Кёнига равна сумме мощностей всех сил в осях
Кёнига: Г = ^(^)-
Задача 3.7. Докажите теорему 3.8.
3.1.4. Задача двух тел и ее сведение к задаче
Кеплера
Задача двух тел — это задача о движении двух гравитирую-
щих точек. Уравнения движения имеют вид
„ _ УШ1Ш2 Г12 УТП1ТП2 Г12
Ш1Г1 = *12 = 5 ' Ш2Г2 = ~*12 = о "
Г12 Г12 Г12 Г12
Все силы внутренние, поэтому центр масс 5 движется
равномерно и прямолинейно, и, значит, кенигова система отсчета с
началом 5 инерциальна. Перейдем в эту систему отсчета.
Радист т2
ус-вектор точки т\ относительно 5 есть г = Г1 — г^ = —142,
т
т = таг + ГП2- Значит,
о
ш1Р = Г12 = |т 2 - = -^-, (X = ут2/т2.
тг г1 г г* г
Следовательно, в осях Кёнига уравнение движения первой
точки по виду совпадает с уравнением задачи Кеплера. То же
получается и для второй точки системы, только константа у
будет другой.
Таким образом, каждая точка в задаче двух тел движется
так, как будто она притягивается к центру масс. При этом
движение обеих точек происходит в плоскости, проходящей через
центр масс и ортогональной неизменному вектору
кинетического момента системы.
88

Уточним законы Кеплера для задачи двух тел. Пусть т\ —
масса планеты, тг — масса Солнца. Тогда выполняются
законы Кеплера, только фокус эллиптической орбиты планеты наг-
ходится не в центре Солнца, а в центре масс системы Солнце—
планета.
По третьему закону Кеплера период обращения
удовлетворяет уравнению т2/а3 = BлJ Дл, где а — большая полуось. Таким
образом, это отношение зависит не только от массы Солнца, но и
от массы Ш1 планеты. В этом состоит уточнение третьего
закона Кеплера. Поскольку т\ существенно меньше тгс2, то ^ « Тт2»
как в задаче Кеплера.
3.1.5. Начальные сведения о задаче п тел
Задача п тел — это задача о движении п материальных
точек, взаимодействующих по гравитационному закону. Все силы
внутренние и зависят только от расстояний между
притягивающимися точками:
У
поэтому по теореме Лагранжа 3.6 они потенциальны и
потенциальная энергия имеет вид
Следствие 3.4. Задача п тел имеет первые интегралы
(законы сохранения) импульса, кинетического момента и энергии:
Р = сопз*, Ко = сопзЪ, Н = Т + V = Н = сопя*.
В отличие от задачи двух тел, при п > 3 перечисленных
первых интегралов недостаточно для нахождения траекторий
движения. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 3.9 (теорема Брунса). При п > 3 любой
алгебраический1 первый интеграл задачи п тел — функция от Р,
К0, Я.
Заметим, что при п = 2 это неверно; существует дополнительный
первый интеграл, найденный Лапласом. Чтобы найти его, переходим в
1 Функция у = /(х\, ... ,хп) называется алгебраической, если она
удовлетворяет уравнению Р(у,х±, ...,хп) — О для некоторого ненулевого
полинома Р.
89

кёнигову систему координат, сводим задачу двух тел к задаче Кеплера
(см. п. 3.1.4) и выписываем для нее интеграл Лапласа, рассмотренный
в подразделе 2.2.4.
Задача 3.8. Пользуясь результатами подраздела 2.2.4, покажите,
что интеграл Лапласа не может быть выражен в виде функции от Р,
Ко, Я.
Несмотря на большое число исследований в этой области,
в общем случае отсутствие вещественно аналитических первых
интегралов задачи п > 3 тел, независимых от Р, Ко, Н, пока не
доказано, хотя никаких сомнений в верности этого утверждения
нет. В работах С. Л. Зиглина и последователей доказано
несуществование дополнительных мероморфных первых интегралов.
Определение 3.7. Движение в задаче п тел называется
устойчивым по Якоби, если при движении отсутствуют
столкновения и точки не разбегаются далеко друг от друга, т. е.
найдется константа С > 0, такая, что для любых г ф з в любой
момент времени * выполнено: |г»(*) — г^(*)| ф 0 и (г^*) — г^- (*) | < С.
Теорема 3.10 (теорема Якоби). Если движение
устойчиво по Якоби, то в кёниговой системе координат полная энергия
системы отрицательна.
Доказательство. Поскольку импульс системы сохраняется,
то кёнигова система координат инерциальна и в ней
сохраняются уравнения движения. Перейдем в нее, тогда Т^ т^г» = 0. Обо-
значим / = 2_\ т*г? — центральный момент инерции системы.
г
Пусть при движении точки системы не сталкиваются, но
полная энергия системы неотрицательна: Н > 0. Покажем, что
точки будут разбегаться. Для этого дважды продифференцируем /
по времени:
= 2 ]Г т{{титг) + 2 5^(тД, г<) = 4Г + 2 $^<тА, г,),
(И
г г г
где Т — кинетическая энергия системы.
Упростим второе слагаемое в правой части. Согласно
уравнениям движения:
90

Здесь мы применил* теорему Эйлера об однородных
функциях (см. теорему П.1) к потенциальной энергии системы V,
которая является однородной функцией степени —1 переменных
П, ¦ ¦¦ »гп.
Таким образом,
I = 4Г + 2У = 4? - 2У > 4/1 > 0.
Значит, /(*) строго выпуклая функция и поэтому / —> +оо
при * —> +оо или * —> —оо. Обозначим М = тахт* и
воспользуемся неравенством
'=Е1г<-г/^'-, C-7)
Получаем, что 3 —> +оо при * —> +оо. Таким образом, условие
неразбегания точек не выполнено.
777.'
Докажем теперь неравенство C.7). Поскольку -ту < 1 для
любого г, то
= м ( ]СШ'Г*? " 2]Г<"№,г,> + ^ггцт) 1 .
Первое слагаемое в скобках дает п1\ второе равно нулю, так
как
5^<"№.г*> = ^(^т^з) = 0;
П
третье неотрицательно. Таким образом, 3 > —/. ¦
3.1.6. Плоская ограниченная круговая задача трех тел
Рассмотрим задачу трех тел — движение трех
материальных точек под действием сил взаимного гравитационного
притяжения. По традиции будем называть их Солнцем E), Юпитером
(«/) и Астероидом (А) (рис. 3.3).
Уравнения движения, после сокращения на массы, имеют
вид:
91

У1
3 0
уА
3 х
Рис. 3.3. Плоская ограниченная круговая задача трех тел
гз),
о), C.8)
га).
Задачу трех тел рассмотрим в ограниченной постановке:
предполагаем, что масса Астероида гпа мала по сравнению с
массами Солнца тз и Юпитера т./. Влиянием на движение
Солнца и Юпитера сил притяжения к Астероиду
пренебрегаем. В такой постановке задачи Солнце и Юпитер движутся как
в задаче двух тел, а Астероид движется в поле сил,
создаваемых Солнцем и Юпитером. Формально, если положить в C.8)
гпа = 0, то в первых двух уравнениях исчезнут вторые
слагаемые.
Будем считать, что задача плоская, т. е. движение всех трех
тел происходит в фиксированной плоскости, и круговая —
орбиты Солнца и Юпитера — окружности в кёниговых осях для
системы Солнце — Юпитер.
Уравнения движения Астероида удобно писать в подвижной
системе координат Охуг с началом в центре масс О системы
Солнце — Юпитер. Движение всех трех тел происходит в
плоскости Оху. При этом О, 5, 3 находятся на одной прямой,
которую мы выбираем в качестве оси Ох. Эту ось направляем по
вектору 03 (от Солнца к Юпитеру). Направление оси О г
выбираем так, чтобы угловая скорость вращения системы Охуг была
92
ушу утА ,
ЧГП8, . ч , УГПА ,_
|г./-г5|3 |г./-га|3
Ч™>5 , х , углу у
Г^ = I 13 ^ ~ ТА) + 1 [а (*\7 -
ГЛ-Г53 ГЛ-Г7ЗХ

направлена в положительную сторону: <о = ые^, со > 0. Солнце
я Юпитер в этой системе координат неподвижны: г$ = — гзех,
хз = т&х,тз,гз > 0.
Величину угловой скорости со найдем, пользуясь тем, что
сила взаимного притяжения Солнца и Юпитера уравновешивается
центробежной силой при их движении по круговым орбитам. Из
C.8) следует, что
(Г3 + 7\/J (г з + Г3J
Сложив эти равенства, получим
{гз + оK
Отсюда видно, что если единицы измерения длины, массы и
времени выбраны так, что гз + ^^ = 1, тз + тз = 1 и у = 1, то
со также оказывается равной единице.
Рассмотрим движение Астероида в плоскости Оху.
Обозначим г = хех + уеу его радиус-вектор в подвижной системе
координат. Введем переносную и кориолисову силы инерции:
Гпер = тлсо2г, Гкор = -2тл[со, г],
а также силу притяжения Астероида к Солнцу и Юпитеру:
дУ __ утз утз
Гграв = —ША-5-1 V = —
и воспользуемся уравнениями относительного движения B.37):
™>АТ = Гграв + Рпер + ^кор-
В координатной записи после сокращения на гпа получим
уравнения движения Астероида:
от г ЯТ/
х = 2соу + а2х - —, у = -2со± + со2у - —. C.10)
ох оу
В соответствии с леммой 2.5 переносная сила инерции
оказалась потенциальной с потенциалом, равным —со2(о:2 + у2)/2.
В соответствии с теоремой 2.19 в относительном движении
имеет место обобщенный интеграл энергии:
\(±2 + у2) + V» = Н, V. = -\<»2(х2 + у2) + V. C.11)
93

В этом можно убедиться непосредственно, домножив первое
уравнение C.10) на ±, второе — на у и сложив их. Функция \^>
называется эффективной потенциальной энергией.
Относительные равновесия. Отыщем положения
равновесия Астероида в подвижной системе координат. Они называл-
ются относительными равновесиями, или точками либрации1.
Из уравнений движения C.10) видим, что точка (х,у)
является положением относительного равновесия тогда и только тогда,
когда она — критическая точка приведенного потенциала
Уш(х,у) = -^ + +)- Утз ^
2 у/(х + гдJ + У2 \/{х - гуJ + у2
Отсюда получаем уравнения относительного равновесия:
2 _ (ж + г3)утз (х - г^утп3
ЫХ ((* + Г5J + У2K/2 ((Я - Г7J + у2K/2 '
2 _ уут8 уут3
У ((* + т8J + у2K/2 ((я - о)'2 + У2K/2'
C-12)
Рассмотрим случай у = 0. Второе уравнение C.12)
выполняется автоматически. Из первого получим
„*х = ТШ2 + Г^> = д{ху C.13)
\х + г3\(х + г3) \х-г3\{х-г3) уу } к }
Функция д(х) имеет две вертикальные асимптоты: х = —г§
и х = ^^. Слева, справа и между ними она монотонно убывает
(рис. 3.4). Поэтому уравнение оJх = д(х) имеет ровно три
решения. Это так называемые коллинеарные точки либрации: A/1,0),
A*2>0), (Ьз>0), Ь\ < —гз < 1>2 < тз < Ьз> найденные Л. Эйлером.
В подразделе 9.1.6 будет показано, что все они неустойчивы в
том смысле, что при как угодно малом отклонении начальных
положений от этих точек и начальных скоростей от нуля
траектория Астероида может уйти достаточно далеко.
Рассмотрим случай у ф 0. Сократив второе уравнение C.12)
на у, получим
2 Ут5 , ТПУ , .
= ((* + Г5J + У2K/2 ((* " Г7J + У2K/2 ¦ ^ '
вибрация — от лат. НЬгаИо — качание, колебание. Имеется в виду
движение в окрестности положения равновесия или периодического движения.
Например, либрация Луны — это ее небольшие периодические маятникообразные
колебания вокруг центра.
94

ь
1
-га
1 1
уУ^О
¦ям
^^1^4^
I* л
О
Ъ
<о^
X
Рис. 3.4. Коллинеарные точки либрации
При подстановке со2 в первое уравнение все члены,
пропорциональные ж, взаимно уничтожаются, и мы получаем
г§тт§ т^тз
((х + г5J + И2K/2 ((* - пJ + У2K/2"
C.15)
Центр масс системы Солнце—Юпитер находится в начале
координат. Поэтому тзгз = тзтз. Значит, знаменатели в C.15)
равны: (х + гзJ + у2 = {х - г уJ + у2 = й2. Таким образом, при
у т^ 0 в относительйом равновесии Астероид находится на одинаг
ковом расстоянии Л от Солнца и
Юпитера. Из C.9) и C.14)
получаем
у(тз + тз) _ у{тз + ш;)
(т\$ + оK й3
откуда й = гз + т\7 — расстояние
от Солнца до Юпитера. Таким
образом, два относительных
равновесия 1/4 {у > 0) и Ь5 (у < 0)
лежат в вершинах равносторонних
треугольников, две другие
вершины которых — Солнце и
Юпитер (рис. 3.5). Эти относительные Рис. 3.5. Точки либрации: Ь\,
равновесия, найденные Лагран- ^2, Ьз — коллинеарные; Гц,
жем, называются треугольными ^ ~ треугольные
95

Рис. 3.6. Области Хилла:
Л < Уш{М A); Л = ^з) B); Уи(Ьа) < Л < Уи(^1) C, 4); Н = Уш{Ьг) E)
Уа{Ь\) < й < Уш(Ья) (б); Н = УШ{Ь3) G); У„№») < к < Уш(Ьл) = Уа{Ьъ) {8)
96

точками либрации. В подразделе 9.1.6 будет исследована их
устойчивость.
Области Хилла. Области возможности движения Бъ в
плоской ограниченной круговой задаче трех тел называются
областями Хилла. Они находятся из обобщенного интерала
энергии C.11):
Он = {{х,у):Н-У„(х,у)>0}.
На рис. 3.6 приведены области Бъ для характерных значений
величины приведенной энергии к при ее изменении от — оо в
сторону возрастания. Знаком « х » отмечены запрещенные для
движения области. При к > УЫ{Ь±) = Уы(Ьь) область возможности
движения занимает всю плоскость (х, у) (за исключением точек
5 и «7, в которых гравитационный потенциал бесконечен).
3.2. СВЯЗИ В МЕХАНИКЕ
3.2.1. Голономные связи, конфигурационное
пространство, обобщенные координаты
Пусть механическая система состоит из N материальных
точек, положение которых характеризуется радиусами-векторами
Г1,Г2, ... ,г/\г € К3. Может оказаться, что на положение точек
системы наложены ограничения вида г = (г1, ... , г/у) Е Е, где
Е — некоторое подмножество в К3^, возможно зависящее от
времени. В этом случае говорят, что на систему наложены
геометрические (или голономные) связи. Обычно Е задается
уравнениями вида
Л(г,<) = Л(г1,г2, ... .г*,*) = 0, ^ = 1,2, ..., А, C.16)
которые называются связями, а множество Е — пространством
положений системы, или конфигурационным пространством.
Замечание 3.1. Именно Е имеет физический смысл, но не
отдельные уравнения C.16), его задающие. Понятие связи условно: одно и то
же пространство положений Е может быть задано различными
системами уравнений.
Часто встречаются также односторонние связи, заданные
неравенствами вида (? (г, I) > 0. Такие связи обсуждаются в
дальнейшем.
4 Болотин
97

Рис. 3.7. Невесомый твердый Рис. 3.8. Движение материальной
стержень точки по поверхности Е
Пример 3.1 (маятник). Материальная точка движется по
окружности Е радиуса 2, расположенной в плоскости Ох г (см.
рис. 2.17). Связи, наложенные на систему, можно, например,
задать двумя уравнениями х2 + 7? — I2 = 0, у = 0.
Конфигурационное пространство Е — окружность.
Если окружность движется, например, вертикально: х2 + (я —
- НA)J — I2 = 0, то получим маятцик с подвижной точкой
подвеса. Здесь Е = Е* зависит от времени.
Пример 3.2. Рассмотрим невесомый твердый стержень
длиной 2, на концах которого имеются две материальные точки с
координатами Г1 = (яь 1/1,,2?) и гг = (^2,3/2^2) (рис. 3.7). На
систему наложена связь: |г1 — гг|2 — I2 = (х\ — жгJ + (у\ — У2J +
+ (г\ — ггJ — I2 = 0. Конфигурационное пространство Е —
гиперповерхность второго порядка в К6. Точку множества Е удобно
задавать точкой гх и единичным вектором е = (гг — т\)/1- Таким
образом, топологически Е — прямое произведение 82 х К3, где
§2 — двумерная сфера.
Пример 3.3. Рассмотрим движение материальной точки по
поверхности Е в К3 (рис. 3.8). На систему наложена одна связь —
уравнение поверхности: /(я, у, г) = 0.
Будем предполагать, что функции /^- (г, *) достаточно
гладкие и уравнения связей C.16) являются независимыми, т. е. при
всех I векторы §гас1Р /д(г,*) линейно независимы в каждой
точке Е:
гапк^/* ¦¦¦>/*)' =* при /1 = ... = Л=0. C.17)
Тогда по теореме о неявной функции пространство
положений — гладкое многообразие размерности п = 3-/У — А, располо-
98

ясение которого в М37У, возможно, зависит от времени1. В связи с
этим иногда употребляется термин конфигурационное
многообразие.
Замечание 3.2. Можно доказать, что если уравнения связей
независимы и Е = Е* компактно для всех ?, то для любых моментов
временя I многообразия Е* диффеоморфны [26].
В дальнейшем, если не оговорено противное, будем
предполагать для простоты, что уравнения связей независимы.
Однако на практике часто удобно использовать зависимые уравнения
связей.
Пример 3.4. Твердое тело состоит из большого числа N
материальных точек, может быть бесконечного. Связи имеют вид
[г»—г^-1 = 7? = сопз*. Таким образом, имеется </У(ЛГ—1)/2
уравнений относительно 3-/У переменных. Значит, при N > А уравнения
связей зависимы. Тем не менее конфигурационное постранство
Е — гладкое многообразие в К3^ размерности 6. Ранее было
показано (см. п. 1.2.1), что Е диффеоморфно 50C) х К3.
Пусть Е — гладкое п-мерное многообразие. Его можно задать
гладкими независимыми уравнениями. Тогда по теореме о
неявной функции в окрестности каждой точки Е можно выбрать
координаты ?1, ..., дп так, что Е задается в виде
{Г1 =Г1(д1,^2, ¦ ¦ ¦ ,9«,*)»
C-18)
г# = глг(91,92? ¦¦¦ ,9п?*)-
Пример 3.5. В частности, если связей вообще нет, то
и в качестве координат можно взять (хь уь .. -, ^)-
Определение 3.8. Размерность п конфигурационного
пространства Е как гладкого многообразия называется числом
степеней свободы голономной системы. Локальные координаты
(<7ь92, - - - ,9п) называются обобщенными координатами]
производные по времени обобщенных координат (?1, й» ¦ ¦ ¦»Яп) —
обобщенными скоростями.
Скорости точек системы выражаются через обобщенные
скорости по формуле
Читатель, не знакомый с гладкими многообразиями, может считать, что
многообразие — это подмножество в евклидовом пространстве, заданное
гладкими независимыми уравнениями. Некоторые свойства многообразий напоми-
*вготся в приложении.
99

ъ-ЪЩр + Ж-
3 3
Для краткости записи будем использовать обозначения я =
= (91.92, ... ,9п) и г = (гь ... ,глг). Тогда
дт . дт
Определение 3.9. Связи называются стационарными,
если многообразие Е не зависит от времени. Тогда можно выбрать
координаты так, что г* = г»^). В противном случае связи
называются нестационарными.
Замечание 3.8. Пусть на систему с обобщенными координатами
Я = (91)92) • • • чЯп) наложена дополнительная геометрическая связь.
Тогда локально эта связь может быть представлена в виде д(<1,1) = 0.
3.2.2. Неголономные связи
В классической механике встречаются ситуации, когда
ограничения наложены не только на положения системы, но и на
скорости: для каждого момента времени I задано множество
Г С Кзлг х Кзлг, такое, что для любого движения системы
(г(?), т{1)) Е Г. Например, если на движение системы наложены
геометрические связи C.16), то Г задается уравнениями
/;(г,*) = 0, 1/^,0 = ^ + ^ = 0, : = 1,2,...,?.
C.19)
Для любого ] второе уравнение C.19), конечно, вытекает из
первого.
Мы будем рассматривать самый распространенный случай,
когда Г задается геометрическими связями C.19) и
дополнительными линейными по скоростям уравнениями
№(г,г,*) = аг(г,*) ¦ г + ЪКг,*) = 0, I = 1, ... ,ггс. C.20)
Такие связи обычно называются дифференциальными.
Дифференциальные связи называются независимыми, если при всех
I векторы щ линейно независимы в каждой точке.
Отметим, что геометрические связи, если записать их в виде
C.19), представляют собой частный случай связей C.20).
Говорят, что дифференциальные связи голономны, если уравнения
100

C.20) можно переписать в виде C.19). Более точно это
определение формулируется в дальнейшем.
В предположении, что уравнения геометрических связей
/Дг, ?)=0 независимы, можно ввести независимые обобщенные
координаты ^ = (?1,?2» ---,Яп) на конфигурационном
многообразии Е (см. п. 3.2.1) и записать уравнения д\ = 0
дифференциальных связей в виде
п
5^а«(Ч'*)й + Ыъ*) = 0, / = 1,2, ... ,т. C.21)
г=1
В векторной форме уравнения связей C.21) имеют вид
4(^)<1 + Ъ(Ч,*) = 0, C.22)
где А = (аи) — (т х гс)-матрица; Ь = (?) — т-мерный вектор-
столбец; <1 — п-мерный вектор.
Дифференциальные связи называются независимыми, если
гапкА = т.
Дополнительные геометрические связи в(ч» *) = 0 также
могут быть представлены в виде C.21). Действительно,
дифференцируя по времени, получаем
|,+ | = 0. C.23)
Заметим, что это равенство не равносильно в(ч»*) = 0; из
C.23) лишь следует, что
8(? *) =сопз*. C.24)
Определение 3.10. Если уравнения дифференциальных
связей C.21) не приводятся к виду C.24), то связи называются
неинтегрируемыми, или неголономными.
В противном случае связи называются голономными, или
интегрируемыми. В соответствии с этим определением
геометрические связи часто называют голономными. Тогда систему
называют голономной.
X Т/ 2
Пример 3.6. Связь — Н Н =* 0 интегрируемая (для
2/2 гх ху
доказательства полезно домножить ее уравнение на хуг).
В пространстве {(? 1)} уравнения связей C.21) можно переписать
в виде
п
щ = ^Гаи(ъ *)** + Мя» 0й* = 0> / = 1,2, ..., т,
1=1
где а>г — дифференциальные 1-формы.
101

Теорема Фробениуса утверждает, что связи C.21) интегрируемы то»
гда и только тогда, когда скйг Л о>1 Л ... Л о>т = 0 при всех г.
Доказательство этого утверждения можно найти, например, в [13].
Задача 3.9. Пусть на голономную систему с тремя степенями
свободы (п = 3) наложена дополнительная связь
«1(я)д1 + а2{ц)я2 + а3(я)дз = 0.
Используя теорему Фробениуса, докажите, что она интегрируема
тогда и только тогда, когда
(да3 да2\ , (д<ц да3\ , (да2 даЛ
аЛ^~д^)+а2[д^~дГг)+а3\д^~д^)=°-
Пример 3.7 (конек Чаплыгина). Конек Чаплыгина — это
диск, опирающийся на плоскость полукруглым лезвием,
прикрепленным к диску в его центре С. Связь состоит в том, что
скорость центра диска параллельна лезвию (рис. 3.9).
Пусть (ж, у) — координаты центра диска; ср — угол поворота
лезвия. Тогда (ж, у, ф) — обобщенные координаты системы.
Условие связи означает, что векторы (ж, у) и (созф,8Шф)
параллельны, т. е.
X 81П ф — у СОВ ф = 0. C.25)
Предложение 3.2. Связь C.25) — пеинтегрируемая.
Доказательство. Доказать, что данная связь неинтегрируе-
ма можно, используя критерий Фробениуса или от противного.
Предположим, что связь приводится к виду /(ж, у, ф) = сопз!.
Это означает, что из данного положения (яо>!/сь<Ро) можно
попасть, не нарушая связи, лишь в положения, удовлетворяющие
равенству /(я, у, ф) = /(ж0, уо, фо)-
хя
а
_^ф_
Рис. 3.9. Конек Чаплыгина:
а — вид сбоку; б — обобщенные координаты
102

Покажем, что в действительности можно попасть в любое
положение (х',у',у'), не нарушая связи. В самом деле, повернем
конек так, чтобы лезвие смотрело в точку (я', у') плоскости, и
продвинем его по прямой до этой точки. Затем повернем конек
так, чтобы угол стал равен ф'. Полученное противоречие
показывает, что связь неинтегрируема. ¦
Задача 3.10. Используя задачу 3.9, докажите, что связь C.25)
неинтегрируемая.
Пример 3.8 (шар, катящийся без проскальзывания по
неподвижной плоскости). Отсутствие проскальзывания означает,
что скорость точки касания (нижней точки Р шара) равна
нулю: \р = 0.
Задача 3.11. Докажите, что в примере 3.8 связи неинтегри-
руемые.
3.2.3. Виртуальные и действительные
перемещения
Голономные связи. Рассмотрим сначала систему с
геометрическими связями.
Определение 3.11. Зафиксируем момент времени I и
возьмем любую точку г на конфигурационном многообразии Е.
Любой вектор из касательного пространства ТРЕ называется
виртуальной скоростью в точке г в момент времени I.
Касательное пространство ТГЕ называется пространством виртуальных
скоростей.
Напомним, что касательные векторы кЕв точке г это
векторы скорости г'@) для гладких кривых а н-> г (а) € Е, таких, что
г@) = г. Линейная часть перемещения г(а)
8г = г'@)&а
называется виртуальным перемещением.
Виртуальное перемещение — дифференциал функции г(а).
С математической точки зрения разницы между виртуальными
скоростями и перемещениями фактически нет. В физике и
механике чаще используются виртуальные перемещения, поскольку
они имеют физическую размерность перемещения, в то время
как размерность виртуальной скорости зависит от размерности
параметра а.
103

Бели связи заданы уравнениями C.16), то г(а) удовлетворяет
уравнениям
/,A-1@0, ...,тя{а),1)=0, 5 = 1,2, ...,?.
Дифференцируя, получим, что компоненты вектора 8г =
= (8г1,8г2, ..., 8г#) виртуальных перемещений удовлетворяют
уравнениям
C.26)
Поскольку связи независимы, размерность пространства
виртуальных перемещений равна п = ЗЛУ - к.
Удобнее представлять виртуальные перемещения в
обобщенных координатах. Пусть г = г^,*). Перемещение системы при
фиксированном времени имеет вид г(а) = г^(а),*).
Дифференцируя по а, получим общий вид виртуальных перемещений
8г, = —^?1 + ... + -^8?
или короче
8г=—8? 8Ч = Ч'@)8а.
Таким образом, 8г — дифференциал функций г^, *) по
переменным ^. Он описывает в первом приближении перемещения
точек системы, если обобщенные координаты получат
приращения 8^ при замороженном времени. Символ 8 используется
вместо й, чтобы указать на фиксацию времени.
Пример 3.9. В примере с математическим маятником (см.
пример 3.1) связь задается уравнениями (г, г) = |г|2 = I2 и
у = 0. Значит, виртуальные перемещения задаются условиями
(г, 8г) = 0 и 8у = 0. Можно выбрать в качестве обобщенной
координаты угол ф, такой, что г = I соз срех + I вш 9? = 1ег. Тогда
8г = — 8ср = /еф 8ср,
где еф — единичный касательный вектор к окружности, по
которой движется точка.
104

Задача 3.12. Найдите размерность пространства
виртуальных перемещений свободного твердого тела.
Указание: воспользуйтесь формулой Эйлера о распределении
скоростей в твердом теле.
Неголономные связи. Пусть на систему кроме
геометрических связей наложены дифференциальные связи C.20). Тогда
виртуальные перемещения 8г определяются как векторы 5г е
Е ТГЕ, удовлетворяющие равенствам
а/(г, *) ¦ 5г = 0, / = 1,2, ..., т.
Задача 3.13. Проверьте, что в случае интегрируемой
связи определение совпадает с приведенным ранее для голономных
систем (см. определение 3.11).
Определение 3.12. Размерность пространства виртуальных
перемещений называется числом степеней свободы
механической системы.
Задача 3.14. Покажите, что для голономной системы
число степеней свободы совпадает с размерностью
конфигурационного многообразия, а для неголономной системы оно меньше
этой размерности на число наложенных неголономных связей (в
предположении их независимости).
Обобщая изложенное выше, в общем виде уравнения и
геометрических, и дифференциальных связей приводятся к виду
А(г,*)г + Ь(г,*)=0, C.27)
где А — (ЗЛГ х /)-матрица; Ь — /-мерный вектор (/ = к + т). Вир-
туальнбе перемещение — это любой вектор 8г, удовлетворяющий
уравнению АЬт = 0.
Действительные перемещения. Возьмем какое-нибудь
Движение системы г(*) = (гх(*),Г2(*), ..., г#(*)),
удовлетворяющее наложенным связям.
Определение 3.13. Действительным перемещением
называется линейная часть изменения г при изменении 1\
дг = г(*)еЙ,
где г = (гх, г2, ..., г#) — вектор скорости.
105

Бели движение системы задано в обобщенных координатах:
Я = я(*),то
дт , дт ^
Напомним, что для виртуальных перемещений 8г = -^-8я-
Множества действительных и виртуальных перемещений
совпадают, если геометрические связи не зависят от времени, а
дифференциальные — однородны. В противном случае эти
множества обычно различны.
3.2.4. Аксиома освобождения от связей. Реакции
связей
Чтобы получить уравнения движения систем со связями,
требуются дополнительные предположения, отражающие
физический способ реализации связей. В классической механике
обычно принимают так называемую аксиому освобождения от
связей', связи обеспечиваются за счет того, что к точкам системы
приложены дополнительные силы, называемые реакциями
связей. Добавив эти силы, можно отбросить связи и рассматривать
движение системы без связей, учитывая связи при выборе
начальных условий.
Другой возможный подход состоит в том, чтобы принять
принцип детерминированности: движение системы со связями
однозначно определяется начальными положениями и
скоростями. Тогда, как и для свободной системы, уравнения движения
имеют вид
т& = С^{^,^,^), ,7 = 1, ...,ЛГ.
Функции С^ называются силами, действующими на точки
системы. Их обычно представляют в виде
С,-= Б^ + В^, C.28)
где 'Р^ — силы, которые действовали бы на точки системы, еелн
бы не было связей. Их называют заданными силами, а
дополнительные слагаемые К^ = С^ — Г7 — реакциями связей.
Таким образом, силы, действующие на точки системы,
подразделяют на два класса — заданные силы и реакции связей. Это
деление во многом условно. Иногда к заданным силам относя!
силы трения, которые возникают из-за наличия связей, а иногда
106

их относят к реакциям. Более подробно вопрос о разделении сил
на реакции и заданные силы рассмотрен далее (см. п. 3.2.5).
Итак, уравнения движения системы со связями имеют вид
т^=Г7(г,г,*) + %(г,г,«), 3 = 1,2, ...,ЛГ. C.29)
Заданные силы Г^- обычно известны, а для нахождения
реакций К^ приходится привлекать дополнительные
предположения.
3.2.5. Идеальные связи. Принцип
Даламбера—Лагранжа. Уравнения Лагранжа
с множителями
Пусть к точкам системы приложены силы С^-, ] = 1,2, ..., N.
Определение 3.14. Элементарной работой сил С$ на
виртуальном перемещении 8г = (Вгх, 5гг, ..., 8г#) называется вели-
N
чина]Г(С*,&г»).
1=1
Определение 3.15. Связи называются идеальными, если в
каждый момент времени элементарная работа реакций связей на
любом виртуальном перемещении равна нулю:
N
]Г;<Н<,&г<> = 0. C.30)
Бели связи не зависят от времени, то физический смысл
условия идеальности связей состоит в том, что реакции связей не
оказывают сопротивления движению. Неидеальность связей
обычно ассоциируется с трением.
Дадим примеры идеальных связей.
Пример 3.10 (математический маятник). Эта система
была рассмотрена в п. 2.3.3. Пусть связь реализована путем
подвеса материальной точки на нерастяжимой невесомой нити.
Реакция связи — сила натяжения нити — направлена вдоль нити,
и, значит, ортогональна касательным векторам к окружности:
(Н,8г)=0 (рис. 3.10).
Пример 3.11 (твердое тело). Пусть реакции,
обеспечивающие постоянство взаимного расположения точек твердого тела,
107

Рис. 3.10. Математический маят- Рис. 3.11. Реакции связей в твер-
ник дом теле
являются внутренними. В частности, реакция, приложенная к
г'-й точке, равна
где (см. C.3)) ГЦ = -К^ || (г* - г,-).
Тогда связи в твердом теле идеальные (рис. 3.11).
Доказательство. Выписываем элементарную работу
реакции связей
]Г(Н,, 5г,) = ]Г (%,5г,) = ^(Н*, 5г,) + ]Г(Н,г, &г,) =
3 ЗЛФз *<3 *>3
г<3
КЗ
где использовано, что Ну = — К^. Поскольку |г^- — г»|2 = (г^ —
— г», г^- — Т{) = сопз1, то виртуальные перемещения
удовлетворяют уравнениям
(г,- - г*, 8г, - 5г») = 0. C.31)
Так как для внутренних сил Ну || (г^- — г*), то (К^»,5г5 —
- 5г<) =0. ¦
Использованное при доказательстве свойство внутренних сил
Ву || (гг — г7) физически не вполне обоснованно. Возможно,
более корректно добавить условие идеальности связей в твердом
теле в определение твердого тела.
108

Пример 3.12 (шар, 'котящийся без проскальзывания по
шероховатой плоскости). Будем предполагать, что со стороны
плоскости на шар действует единственная сила реакции,
приложенная в точке Р касания шара и плоскости (рис. 3.12).
Покажем, что эта связь идеальная. В самом деле, условие связи
(качение без проскальзывания) состоит в том, что скорость точки
Р равна нулю: \р = 0. Связи стационарны, значит, множества
виртуальных и действительных перемещений совпадают,
виртуальное перемещение точки Р равно нулю: игр = 0.
Следовательно, (Кр, 8гр) = 0, так что связь идеальная.
Пример 3.13 (движение материальной точки по
поверхности). Виртуальные перемещения — касательные векторы к
поверхности. Следовательно, связь идеальная тогда и только
тогда, когда реакция нормальна к поверхности (рис. 3.13).
Нормальная компонента реакции называется нормальной реакцией,
касательная — силой трения. Связь идеальна тогда и только
тогда, когда нет трения.
Бели же трение есть, то обычно реакция разделяется на
нормальную и касательную составляющие. Зависимость
карательной составляющей В^ от положения и скорости точки
определяется физическими соображениями.
Чаще всего используются модели вязкого и сухого трения.
В первом случае Н^ = —су (с > 0). Во втором случае при V ф 0
считается, что В^ = — кЛГу/|у|, где ЛГ — нормальная реакция,
к 6 @,1) — коэффициент трения. При V = 0 обычно
предполагают, что трение покоя 1? | < АТУ. Более подробно модель сухого
трения обсуждается в подразд. 10.2.3.
Часто касательную составляющую реакции (силу трения)
относят к заданным силам, а реакцией называют нормальную со-
Рис. 3.12. Качение шара по плоо Рис. 3.13. Движение
материальности ной точки по поверхности
109

ставляюшую Нп- Тогда связь можно рассматривать как
идеальную.
Так можно действовать и в общем случае. Если связи не
идеальны, то, сформулировав соответствующие модели для
проекции реакций на пространство виртуальных перемещений и
переведя их в разряд заданных сил, можно получить систему с
идеальными связями.
Поскольку В^ = щту — Б^-, условие идеальности связей
можно переписать в виде следующего предложения.
Предложение 3.3 (принцип Даламбера—Лагранжа).
Пусть связи, наложенные на систему, идеальны. Тогда для
любого движения г(Ь) = (г^), ... ,г#(*)) системы и любого вир-
туального перемещения 8г = (8гх, ...,8гу) выполнено
равенство
N
ЕЦЧ-Р,-, 8г,) = 0. C.32)
3=1
Оказывается, что условие идеальности связей позволяет
однозначно определить реакции. Другими словами, имеет место
еще одно предложение.
Предложение 3.4. Принцип Даламбера — Лагранжа
однозначно определяет движение системы.
Доказательство. Покажем, что, если заданы начальные условия
(г(*о),г(*о)), удовлетворяющие связям, то из принципа Даламбера—
Лагранжа C.32) движение восстанавливается одйозначно. Для этого
достаточно показать, что однозначно восстанавливается ускорение *.
Пусть на любом виртуальном перемещении выполнено условие
C.32). Перепишем его в векторной форме
(Мг — Г, 8г) = 0 для всех 8г, таких, что АЪт = 0. C.33)
Здесь М — (ЗДО х ЗЛУ)-матрица масс:
М = с11а§(т1, 7711, 7711, 7712)^12O^2) ¦ • ¦ ^т,^,ГП^,т^)\
Р = (Р1, Рг, ..., Р#) — вектор заданных сил; 8г — виртуальное
перемещение; А — (I х ЗАО-матрица связей (см. C.27)). По лемме о
множителях Лагранжа (см. задачу 3.15) найдется вектор-столбец X =
= (Х1, Хг, ..., Х/)т, такой, что
Мг - Г = АТ\. C.34)
Итак, остается вычислить вектор X. Поскольку массы точек
системы положительны, то матрица М невырождена. Следовательно,
г = М-гАт\ + М_1Р. C.35)
ПО

Дифференцируя по времени уравнение связей C.27), получаем
А(г,*)г + 0(г,г,*)=О, C-36)
где в д собраны все члены, не содержащие ускорений. Домножив C.35)
слева на Л и воспользовавшись C.36), получим
ФХ+й(г,г,*)=0,
где Ф = АМ~1АТ, а в Н собраны все члены, не содержащие множителей
Лагранжа.
Матрица масс и обратная к ней М-1 положительно определены.
Поэтому I х {-матрица Ф положительно определена1 и, следовательно,
невырождена. Значит, X = —Ф~1к(г,г,Ь). Таким образом, множители
Лагранжа однозначно определяются по положению и скорости
системы. Следовательно, из C.35) однозначно определяются ускорения
точек системы, а значит, дифференциальные уравнения движения.
Бели все функции достаточно гладкие, т. е. выполнены условия
теоремы существования и единственности решений дифференциальных
уравнений, то движение системы однозначно определяется
начальными условиями. ¦
Задача 3.15. Докажите лемму о множителях Лагранжа:
Пусть С — (I х га)-матрица и пусть а € Кп. Если (а, Ь) = 0 для
любого Ь е Кп, такого, что СЬ = 0, то найдется такой вектор
X е М' (вектор множителей Лагранжа), что а = С^Х.
Определение 3.16. Уравнения C.34) и уравнения связей
C.27) составляют систему
Мт = Г(г, г, I) + Ат(г, *)Х(г> г, <); ,о Я7,
А(г,*)г + Ъ(г,*) = 0, ^ '
называемую системой уравнений Лагранжа I рода, или
уравнениями Лагранжа с множителями.
Как мы только что установили, эта система замкнута. Она
однозначно разрешается относительно ускорений г и множителей
Лагранжа X. В итоге получаем систему обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка на пространстве
положений системы. Эти уравнения применимы как к голономным,
так и неголономным системам.
Действительно, независимость связей означает, что гапкА = /.
Следовательно, АТч ф 0 для любого вектора V ф 0 из К' и (Фу,у) =
= (М-1А^,Ату)>0.
111

Из C.37) вытекает, что вектор АТХ является вектором
реакций связей. Таким образом, уравнения Лагранжа I рода
позволяют не только находить движение системы, но и определять
реакции связей.
3.2.6. Общая теория статики
В качестве следствия из принципа Даламбера—Лагранжа
вытекает следующее предложение.
Предложение 3.5 (принцип виртуальных
перемещений). Пусть связи, наложенные на систему, идеальны и не
зависят от времени. Тогда точка г° является положением
равновесия системы, если и только если робота заданных сил на
любом виртуальном перемещении Ът = (8г1, ... ,8г^),
выводящем систему из этого положения, равна нулю:
N
]Г>,,5г,)=0. C.38)
3=1
В частности, если заданные силы потенциальны, то Р^- =
= —дУ/дг^, где У = У(г1, ..., г#) — потенциальная энергия
системы. При этом принцип виртуальных перемещений принимает
вид
N
ЪУ = ^{дУ/дт^Ьп) = 0, C.39)
3=1
т. е. точка г0 является положением равновесия системы, если и
только если вариация ЪУ потенциальной энергии, вычисленная
в этой точке, равна нулю.
Ради исторической справедливости отметим, что принцип
виртуальных перемещений, выражающий общую формулу
статики, предшествовал принципу Даламбера—Лагранжа,
который выражает общее уравнение динамики.
Пример 3.14. В чашу, внутренность которой является
полусферой радиуса Д, положили однородный весомый стержень АВ
длины 2а (рис. 3.14). Найдем угол ф наклона стержня к
горизонту в положении равновесия. Задачу решим в плоской
постановке, считая, что на стержень наложены идеальные связи.
Стержень располагается в вертикальной плоскости Оху, проходящей
через центр О полусферы. Он опирается концом А на
внутренность полукруга, а точкой Е на его верхний край.
112

Рис. 3.14. Стержень в полусферической чаше
Виртуальная скорость в точке А касается окружности, а в
точке Е направлена по стержню. Виртуальный центр
скоростей С лежит на пересечении соответствующих
перпендикуляров к этим скоростям. Виртуальное перемещение Кг в центре
масс 5 стержня ортогонально отрезку С8. Из принципа
виртуальных перемещений находим условие равновесия стержня:
(те, Кг) = 0, т. е. отрезок С8 вертикален.
Задача 3-16- Покажите, что условие равновесия стержня
определяется соотношением
а сов ф - 2Д сод 2<р = 0, C.40)
т. е. сов ср = (а + у/а2 + 32Я2)/8Д.
Указание. Докажите, что \ОС\ = Я.
Найдем условия равновесия стержня, пользуясь принципом
виртуальных перемещений в форме уравнения C.39). Имеем:
V = тдуз = — Двт2ф + а вщ ср. Условие равновесия состоит в
том, что 5У = тд{—2Лсов2ср + асовфMср = 0, откуда получаем
C.40).
Заметим, что для физической реализуемости найденных
положений равновесия необходимо проверять, что реакции связей
прижимают стержень к стенкам чаши, а не отрывают его от них.
Пример 3.15. Рассмотрим равновесие твердого тела на
шероховатой поверхности. Пусть тяжелое твердое тело катится без
проскальзывания по поверхности Е. Будем считать, что
поверхность, ограничивающая твердое тело, и поверхность Е
являются (геометрически) гладкими и строго выпуклыми. Пусть тело
113

находится в равновесии,
опираясь о поверхность точкой Р
(рис. 3.15). Условие качения без
проскальзывания состоит в том,
что скорость твердого тела в этой
точке равна нулю: Ур = 0. Для
скорости центра масс тела 5
имеем: у^ = [со,Р5], где со —
угловая скорость тела, которая может
принимать любые значения из К3.
Таким образом виртуальные
перемещения для точки 5 имеют
вид
8г5 = [со,Р5]
для любого (о € К3.
Поскольку действие сил однородного поля тяжести
эквивалентно действию силы тяжести тв, приложенной в центре масс
(см. п. 4.1.5)), принцип виртуальных перемещений C.38) в
данном случае выглядит следующим образом:
(т8,5г5) = (те, [со, Щ) = (со, \РЗ, т8]> = 0,
для любого со е К3.
Значит, условие равновесия состоит в том, что вертикален
отрезок Р5, соединяющий центр масс тела с точкой касания тела
и поверхности.
Используя полученные результаты, дадим объяснение тому
факту, что мяч (однородный шар) скатывается с любой
наклонной поверхности, а огурец (однородный эллипсоид вращения)
иногда может находиться в равновесии. Пусть пр — внешняя
нормаль к поверхности тела в точке Р. Она является нормалью
и к поверхности Е в точке, на которую опирается тело. Поэтому
угол между пр и вектором 8Р совпадает с наклоном
поверхности Е к горизонту в точке Р.
Определим для данного твердого тела предельный угол а,
как максимальный угол между вектором, идущим из центра
масс тела к точке его поверхности, и нормалью к поверхности
в этой точке:
. (8РщпР)
сое а = тт-Ц==-—^
Ре* [ЗР[[пР\
где а — поверхность, ограничивающая тело.
114
Рис. 3.15. Равновесие тяжелого
твердого тела, катящегося без
проскальзывания по
поверхности Е

Данное твердое тело может
покоиться, опираясь на точку
поверхности 2, только в том
случае, когда ее наклон к горизонту
не превышает угла а. Для шара
а = 0.
Задача 3.17. Покажите, что
для однородного эллипсоида
вращения с полуосями а,Ь
предельный угол а наклона поверхности,
на которой он может находиться в Рис. 3.16. Равновесие симмет-
равновесии, определяется соотно- ричного эллипсоида. В
прошением сов а = 2аЬ/{а2+ Ь2). Кро- Д^ьнОм случае ось симметрии
ме того, в положении равновесия
на максимально наклоненной
поверхности ось симметрии эллипсоида наклонена к горизонту под
углом 45е (рис. 3.16).
Указание. В силу симметрии задача сводится к изучению
угла между нормалью к эллипсу с полуосями аиЬв точке ($ и
вектором 5ф, где ($ — произвольная точка эллипса. Используйте
уравнение эллипса в центральной полярной системе координат:
х = асобср, у = Ьвтср.
Условия равновесия твердого тела в произвольном силовом
поле будут даны позже (см. п. 4.1.4).
АВ эллипсоида отклонена от
вертикали на угол ср = л/4
3.3. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
3.3.1. Теорема об изменении импульса
Теорема 3.11. Пусть двязи, наложенные на систему,
идеальны и в каждый момент времени допускают
поступательное перемещение системы как твердого тела вдоль
фиксированного направления е. Тогда скорость изменения импульса
системы в проекции на это направление равна сумме йнешних
заданных сил в проекции на это направление:
где Ре = (Р,е), Г^01 = (Р™6111^), Гвнеш = У^РУ".
з
В правой части — сумма внешних заданных сил {реакции
связей и внутренние силы сюда не входят).
115

о
\
^
Доказательство. Условие
теоремы означает, что среди
виртуальных перемещений есть такое:
8ру = вЬз, ] = 1,2, ... ,-№. Из
принципа Даламбера—Лагранжа
2^(т^г7- — Г^-,е) = 0. Значит,
э
ре = Х>^,е) = ]Г(Г,,е) =
Рис. 3.17. Стержень на гладкой = ^^/рвнеш е\ _
плоскости ~^ 3
з
Следствие 3.5 (закон сохранения импульса). Пусть
связи, наложенные на систему, идеальны и допускают
поступательное перемещение системы как твердого тела вдоль
фиксированного направления е. Если сумма внешних заданных сил
в проекции на это направление равна нулю, то импульс
системы в проекции на это направление не изменяется в процессе
движения.
Пример 3.16. Стержень движется в однородном поле сил
тяжести в неподвижной вертикальной плоскости Оху (рис. 3.17).
Здесь Рх = Рх = 0, значит, хс = 0, т. е. проекция центра масс С
на ось х движется с постоянной скоростью. В частности, если в
начальный момент стержень покоился, то хс = сопз!.
3.3.2. Теорема об изменении кинетического момента
Теорема 3.12 (об изменении кинетического момента
относительно оси). Пусть связи, наложенные на систему,
идеальны и в каждый момент времени допускают поворот всей
системы как твердого тела вокруг оси I, неподвижной в
абсолютном пространстве. Тогда скорость изменения
кинетического момента относительно этой оси равна сумме моментов
внешних заданных сил относительно этой оси:
Кг = М,внеш = <МЬнеш,щ), М^еш = 5^ [г,,Гвнеш].
Следствие 3.6. Если связи идеальны и допускают поворот
всей системы как твердого тела вокруг точки О, то скорость
изменения кинетического момента относительно этой
точки равна моменту внешних заданных сил относительно О:
К0 = м§"
116

Доказательство теоремы 3.12, По условию теоремы среди
виртуальных перемещений есть перемещение Кг с компонентами
Кг,- = [е, г;]№р, з = 1. 2, ..., N. C.41)
Подставляем формулу C.41) в C.32) и получим
5^(т^-Г,,[е,г,])=0.
з
Делаем циклическую перестановку в смешанных
произведениях:
^(т^-,[е,г,]) = ^2([тз,т,тЛ],е) = ^]^([г^т^],е) = Ки
3 3 3
1>*[е,г,1) = 2>,,*л,е).
3 3
Для внутренних сил Р?4^ имеем: Ру = — Р^ || (г, - г*).
Поэтому по формуле C.4) получим У^ [г,,Р^нутр] = 0. Значит,
3
Е(^Ле,г,1) = E:[г„ГГш],е),
3 3
что и доказывает теорему. ¦
Фактически мы повторили доказательство теоремы 3.3.
Новое в теореме 3.12 следующее: при условии теоремы момент
реакций относительно оси / равен нулю.
Следствие 3.7 (интеграл кинетического момента).
Пусть связи, наложенные на систему, идеальны и допускают
поворот всей системы как твердого тела вокруг оси I,
неподвижной в абсолютном пространстве. Если суммарный
момент внешних заданных сил относительно этой оси равен
нулю, то кинетический момент относительно этой оси не
изменяется в процессе движения.
3.3.3. Теорема об изменении кинетической энергии
Рассмотрим теперь закон изменения кинетической энергии
Для системы со связями.
117

Теорема 3.13 (об изменении кинетической энергии).
Пусть связи, наложенные на систему, идеальны и на
траектории движения действительные перемещения принадлежат
пространству виртуальных. Тогда скорость изменения
кинетической энергии системы равна суммарной мощности всех
заданных сил, приложенных к точкам системы (как
внутренних, так и внешних):
3
Доказательство. Применим принцип Даламбера—Лагран-
жа, взяв в качестве виртуальных перемещений действительные:
5г = Лг = г ей. Тогда
э
Замечаем, что
3 3
откуда следует утверждение теоремы. Я
Отметим, что в отличие от теорем об изменении импульса и
кинетического момента системы в теореме об изменении
кинетической энергии следует учитывать как внешние, так и
внутренние силы.
Замечание 3.4- Действительные перемещения принадлежат
пространству виртуальных в двух практически важных случаях:
• если голономные связи стационарны (см. п. 3.2.3);
• если неголономные связи C.22) однородны, т. е. Ь(ц, I) = 0. Тогда
при движении будет Л(я, 1)(\ = 0.
Бели связи нестационарны,
о то, вообще говоря, Т ф У^ (Г5- ,1^),
3
у так как в этом случае реак-
¦ ции могут иметь ненулевую
мощность.
Задача 3.18. Покажите, что
Рис. 3.18. Шарик в гладкой последнее неравенство выполня-
трубке, вращающейся вокруг ется для маленького шарика (ма-
вертикальной оси териальной точки) в гладкой
118

прямой горизонтальной трубке, вращающейся вокруг
вертикальной оси с постоянной угловой скоростью б> (рис. 3.18).
Следствие 3.8 (закон сохранения энергии). Пусть
связи идеальны и действительные перемещения принадлежат
пространству виртуальных. Пусть заданные силы потенци-
альны: Е^- = — —— и потенциальная энергия V не зависит явно
от времени. Тогда полная энергия системы при движении
сохраняется:
Т + V = сопз*.
Доказательство. Согласно теореме об изменении
кинетической энергии, имеем
г=Е(^^) = -Е(^^) = -у.

Глава 4
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТВЕРДОГО ТЕЛА
4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
4.1.1. Момент инерции тела относительно оси,
теорема Гюйгенса — Штейнера
Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О с
угловой скоростью со = сое и I = Ое — мгновенная ось вращения.
Тогда V» = [со,г*]. Воспользовавшись (П.З), получаем
Т=\^т^ = ^гп{\[^т{}\2 =
= 2 2^(^-^^2I
Обозначим (Нв1;(г, I) = г2 — (г, еJ — расстояние от точки г до
оси /. Тогда
Г = 21*' гДе Ь = ^2 т*Р*' Р* = сИя*(Р*| О- С4-1)
Величина // называется моментом инерции твердого тела
относительно оси I.
Замечание 4-1- Предполагаем, что твердое тело состоит из
конечного числа материальных точек. Однако все рассуждения остаются
верными и для твердого тела, состоящего из континуума точек.
Суммирование по точкам при этом заменяется на интегрирование по
области, занимаемой телом. Например, масса т твердого тела и его центр
масс г $ вычисляются по формулам
т = I ейп, Г5 = — I гейп, D.2)
где IV — множество точек тела; йт — элемент массы1 тела.
1 Таким образом, масса — это мера на множестве \У.
120

Например, если масса распределена по объему с плотностью р, то
Лт = рйхйуйг, ат= рёхйуйг.
Аналогично, момент инерции относительно оси I вычисляется как
II = I з2ёт, з = (И81(г, I). D.3)
у/
Предложение 4.1 (формула Гюйгенса — Штейнера).
Пусть I = Ое и у = 5е — параллельные оси, причем у проходит
через центр масс 3. Тогда 1\ = /т + гай2, где й = д.ЫA, у).
Доказательство. Сдвиг начала координат вдоль оси I не
изменяет II и /т, поэтому можно считать, что г^ -1 е. Тогда й= \тз\-
Полагая г* = г^ + р^, получим
II = Е "ч м - <г-еJ) = Е ™* Aр«+г*12- (л+г*еJ) =
= /т + га|г5|2.
Здесь мы использовали равенство 2_\ т*Рг = 0. ¦
Предложение 4.2 (неравенство треугольника). 1Х+1У >
> 1г, причем равенство выполняется тогда и только тогда,
когда твердое тело лежит в плоскости Оху.
Это следует из теоремы Пифагора:
4 = ]Г т{(у2 + г?), 1У = Е т*(*? + *?)>
/ж = 5^пц(х? + »?). ¦
Будем называть однородным сплошное твердое тело, у
которого плотность массы во всех его точках одинакова.
Задача 4.1. а) Однородный прямолинейный отрезок массы
т и длины 21 с центром О лежит на оси Ох. Проверьте, что
1Х = 0,1г = 1у = т12/3.
б) Однородный тонкий обруч (окружность) массы га и
радиуса г с центром О лежит в плоскости Оху. Проверьте, что
12 = таг2,1Х = 1у = тг2/2.
в) Однородный диск массы га и радиуса г с центром О лежит
в плоскости Оху. Проверьте, что 1г = гаг2/2,1Х = 1У = гаг2/4.
г) Однородный шар массы га и радиуса г с центром О. Про-
2 о
верьте, что 1Х = /« = /г = -гаг .
о
121

4.1.2. Кинетическая энергия и кинетический момент
твердого тела
Кинетическая энергия твердого тела с неподвижной точкой
О — квадратичная форма от вектора со (см. 4.1):
Т = \ Е "Ч (<о2г? - (со, г,J) = \ <7оа», <о), D.4)
где ,/осо = У^тДсог? — 1^(@,1^)), так что Зо — симметрический
линейный оператор.
Используя (П.1), находим кинетический момент твердого
тела относительно точки О:
Ко = 5^ ГЩ[Т{, Т{] = ]Г Гщ[Тг, [СО, Г»]] =
= ^ГП^иГ? - Г»(<0,Гг)) = 7ОС0.
Доказана следующая теорема.
Теорема 4.1. Для твердого тела с неподвижной тонкой
О существует симметрический линейный оператор Зо такой,
что
Т = - C0<*, со), Ко = 70<о.
Отсюда получаем
дТ т &Г ^ „
— = .7о<о, где ^Вга^Г.
Определение 4.1. Зо называется оператором (или
тензором) инерции твердого тела относительно точки О.
Оператор инерции — это линейный оператор, отображающий
пространство мгновенных угловых скоростей со твердого тела с
неподвижной точкой О на пространство его кинетических
моментов Ко относительно О.
Рассмотрим произвольное движение твердого тела. Пусть
Зз — оператор инерции относительно центра масс 5. Тогда из
формул Кёнига C.6) следует теорема.
Теорема 4.2 (формулы для кинетической энергии и
кинетического момента).
Г = -тг;| + - C§<*>, со), Ко = т[г$, у5] + 33ь>. D.5)
122

Задача 4.2. Проверьте, что для движения плоского твердого
тела в плоскости Оху
Т = -гпу1 + 275г, Ко = т[г5, у$] + 1зг^ег.
4.1.3. Главные оси инерции и эллипсоид инерции
Вычисление момента инерции тела относительно оси.
Из D.4) имеем: «Тою = У^ гп{ (&>г? — (&>, Тг)т{)¦ Если со = сое,
то Г = - (Зо&, е) о>2 = -/^со2, где / = Ое. Отсюда следует, что
// = <^ое,е).
Вычисление матрицы оператора инерции. В
выбранном базисе оператор инерции задается симметрической
матрицей. Если использовать неподвижную систему отсчета, то эта
матрица зависит от времени. Поэтому удобнее использовать
подвижный репер 0€г)С, жестко связанный с телом. Матрица Зо в
базисе е$, е^, е^ постоянна. Используются обозначения:
/ /5 -? -7К\
Зо = -1щ /, -I* , D.6)
\-Ъ -? к )
где
/5 = (^ое5,е5) = ^т4(т)? + ф,
— моменты инерции относительно осей 05, От), ОС- Числа
называются центробежными моментами инерции.
Поведение матрицы оператора инерции при замене
базиса. При необходимости матрицу оператора Зо в любом
базисе можно найти так. При переходе от репера ОВД к реперу
ОВД, также жестко связанному с телом, имеем со = Гсо, где Г —
постоянная ортогональная матрица перехода. При этом
кинетическая энергия представляется в виде D.4):
123

Г = ^ Gосо,со> = - G0Гй,Гй) = - <Гт70Гй,й> =
= -^70со,со),
где Зо — Гг«ТоГ. Это дает матрицу оператора инерции в
произвольном базисе.
Главные оси инерции твердого тела. Поскольку Т —
квадратичная форма от вектора <*>, по теореме из линейной
алгебры о приведении квадратичной формы к главным осям (см.
теорему П.З) ортонормированный базис е^, е^, е^, жестко
связанный с телом, можно выбрать так, что матрица квадратичной
формы Г будет диагональна: Зо — (Иа§(А,В,С). Оси 02;, От),
ОС называются главными осями инерции твердого тела
относительно точки О; числа А, В, С — главными моментами инерции
твердого тела. Это — моменты инерции относительно главных
осей инерции. Пусть в главных осях со = ре^ + ^еТ^ + ге^. Тогда
Г = - {Ар2 + Вя2 + Сг2), Ко = Аре$ + В^е^^ + Сге^.
Эллипсоид инерции твердого тела. Эллипсоидом
инерции твердого тела относительно точки О называется эллипсоид
Е = {г | Gог,г) = 1}. Он жестко связан с телом и однозначно
задает оператор инерции. В главных осях
Е = {&ц,Ц)\А? + Вт? + С? = 1}.
Главные оси инерции твердого тела совпадают с
главными осями эллипсоида инерции. Квадраты полуосей эллипсоида
инерции равны обратным значениям главных моментов
инерции.
Свойства оператора инерции для однородного тела
определяются геометрией расположения его точек.
Задача 4.3. Покажите, что если однородное тело имеет
плоскость симметрии П, проходящую через О, то П — плоскость
симметрии эллипсоида инерции. Значит, нормаль к П — главная ось
инерции.
Следствие 4.1. Если твердое тело плоское, то нормаль к
плоскости — главная ось инерции.
Задача 4.4. Покажите, что если однородное тело имеет ось
симметрии /, проходящую через О, то I — главная ось инерции.
124

Пример 4.1. Из соображений симметрии для однородной
окружности {х2 + у2 = г2, г = 0} оси Ох, Оу,Ог — главные оси
инерции.
Задача 4.5. Пусть две главные оси инерции тела найдены.
Тогда ось, перпендикулярная им, также является главной осью
инерции.
4.1.4. Уравнения движения свободного твердого тела
Уравнения движения твердого тела можно получить из
теорем об изменении импульса и кинетического момента
относительно неподвижной точки О:
тч3 = Г = у^ р?1
D.7)
Ко = Мо = ][>г,РГеш]-
Ранее упоминалось, что внутренние силы взаимодействия
между частицами твердого тела не входят в правые части.
Эти же уравнения получаются из общих теорем динамики
для систем с идеальными связями (см. теоремы 3.11 и 3.12). Так
что для получения уравнений D.7) достаточно предположить,
что силы взаимодействия между точками твердого тела
являются внутренними (см. пример 3.11).
Можно заменить теорему об изменении кинетического
момента относительно неподвижной точки О теоремой Кёнига К5 =
= М^, где К$ — кинетический момент относительно центра
масс; ЪЛд — момент внешних сил относительно точки 8.
Обозначим через со угловую скорость твердого тела. Тогда
К$ = «/,$<¦>• Получим систему уравнений движения твердого
тела:
т-у5 = Г, -(./50)) = М5. D.8)
В этой системе A/A1 означает производную по времени в
абсолютной системе.
Свяжем с твердым телом систему координат с началом в
центре масс (будем называть ее подвижной системой). Для
любого вектора и(*) имеем
(И
абс «
и(<).
125

Из формулы Эйлера A.11) получаем, что производные V5 и
Ка » абсолютной, кениговой и подвижной системах координат
связаны соотношениями
л
чз =
абс
1
подв
B
I
К5 + КК5].
D.9)
подв
В подвижной системе матрица оператора инерции твердого
тела ^ постоянна и уравнения движения твердого тела
принимают вид
тлг§ + т[со, у$] = Г, ^*> + [со, ^ы] = М$.
D.10)
В этой системе у^иб означают производные по времени
скорости центра масс и угловой скорости в подвижной системе.
Обычно удобнее пользоваться смешанными уравнениями
т
<И
абс
^=Р' *Д
со + [со,75со] = М5. D.11)
подв
В этой системе —
ч§ означает производную по времени
абс
скорости центра масс в абсолютной системе, а — I со — произ-
ш,
водную по времени угловой скорости в подвижной системе.
Будем называть эту систему уравнениями Ньютона — Эйлера.
Чтобы превратить уравнения D.11) в замкнутую систему
обыкновенных дифференциальных уравнений, надо выбрать
координаты, задающие положение твердого тела, например
координаты центра масс и углы Эйлера. Выражая со через углы
Эйлера и их производные с помощью кинематических формул
Эйлера A.18), получцм систему из шести обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка относительно
переменных хз, уз, ЗД, ф, ф, 6. Она настолько громоздка, что практически
почти бесполезна. Для вычислений с помощью компьютера
вместо углов Эйлера обычно используются кватернионы.
В частном случае движения твердого тела с неподвижной
точкой О достаточно уравнения Ко = Мо- Подробнее этот
случай будет рассмотрен в гл. 5.
Бели твердое тело совершает плоскопараллельное движение,
то уравнения движения упрощаются (см. п. 4.3).
126

Теорема 4.3 (об изменении кинетической энергии для
твердого тела). Скорость (приращение) кинетической
энергии твердого тела равна мощности (работе) внешних сил:
т = Т, <р*неш' *«>' ^ = Л РТ-. <Ъ> ¦
Это вытекает из общей теоремы об изменении кинетической
энергии и идеальности связей в твердом теле (см. пример 3.11,
из которого видно, что работа внутренних сил равна нулю).
Мощность внешних сил, действующих на твердое тело,
можно подсчитать с помощью формулы Эйлера A.11):
Г = Х>, Мр = 5>,-гр,Р4],
где Р — любая точка твердого тела.
4.1.5. Эквивалентные системы сил
Определение 4.2. Две системы сил Б\ и Г^, действующие на
твердое тело, называются эквивалентными, если они вызывают
одно и то же движение твердого тела.
Также говорят, что первая система сил приводится ко
второй.
Определение 4.3. Сумма всех сил системы Г = V** Б\ назы-
г
вается результирующей силой или главным вектором системы
сил.
Задача 4.6. Пусть две системы сил имеют одинаковые
результирующие силы. Покажите, что если суммарные моменты
этих сил относительно какой-либо точки совпадают, то будут
совпадать и суммарные моменты относительно любой другой
точки.
Поскольку в уравнения движения твердого тела D,7) входят
только результирующая и суммарный момент сил, то условие
эквивалентности двух систем сил равносильно тому, что
совпадают суммы сил: V"* Т{ = ^ Р^- и суммы моментов: 2_^[г», Р»] —
* з г
= 2^[г^»Б^], гДе г* и Т'з ~ радиусы-векторы точек приложения
э
127

сил Р» и Г'-. Для твердого тела с неподвижной точкой О
достаточно только второго условия — совпадения суммы моментов
сил.
Из теорем об изменении импульса и кинетического момента
следует, что внутренние силы, действующие на твердое тело,
эквивалентны нулю.
Таким образом, для любой точки Р тела любая система сил
приводится к результирующей силе, приложенной в этой точке
(и, следовательно, создающей нулевой момент относительно Р),
и системе сил, суммарно равной нулю и создающей суммарный
момент системы сил относительно точки Р.
Лемма 4.1. Однородное поле сил тяжести Р; = т&
эквивалентно одной силе гав, приложенной в центре масс 5, где
т = 2^ ш* ~~ суммарная масса точек тела.
Доказательство. Имеем 2^1\ = У^т*в = тв, т.е.
суммарная сила тяжести точек тела равна силе тяжести точки с
суммарной массой т = ^т». Из соотношения ^[гг,т»в] =
г
= У^77№,8 = [г,$,т{;] видим, что суммарный момент сил
тяжести точек тела (относительно начала координат) такой же,
как и момент силы т%, приложенной в центре масс. ¦
Существуют системы сил, не приводимые только к
результирующей. Примером является пара сил: Г1+Г2 = О, М = [гх, Г1]+
+ [^2I?] Ф О- Линии действия сил параллельны и не
совпадают, силы равны по величине и противоположны по направлению
(рис. 4.1).
Задача 4.7. Покажите, что если сумма сил, приложенных к
телу (результирующая), равна нулю, то их суммарный момент
относительно любой точки — один и тот же. Это означает, что
такая система сил в любой точке приводится к паре сил.
Задача 4.8. Покажите, что если результирующая не равна
нулю, то в некоторой точке система сил приводится к
результирующей, параллельной суммарному моменту. Докажите, что все
такие точки образуют прямую, параллельную результирующей.
Эта прямая называется осью винта системы сия. Такое
название выбрано исходя из аналогии с мгновенной винтовой осью и
мгновенным винтовым движением твердого тела (см. п. 1.2.6).
128

Рис. 4.1. Пара сил (Рх = —Рг) в Рис. 4.2. «Гантель» в централь-
сумме равна нулю и создает нену- ном гравитационном поле
левой момент
В общем случае при приведении системы центральных
гравитационных сил к центру масс твердого тела результирующая и
суммарный момент сил не равны нулю.
Задача 4.9. Рассмотрим отрезок АВ, в вершинах
которого расположены материальные точки массами гпа и тв
(«гантель»). На точки действуют силы ньютоновского
гравитационного притяжения Та и Тв с центром в точке О (рис. 4.2). Пусть
точки А, В и О не лежат на одной прямой. Покажите, что если
\АО\ = \ВО\, но гпа ф тв, то суммарный момент
гравитационных сил относительно центра масс отличен от нуля. То же самое,
если гпа = гпв, но \АО\ Ф \ВО\.
Рассмотрим условия равновесия твердого тела. Говорят, что
твердое тело находится в положении равновесия или покоится,
если все его точки неподвижны.
Теорема 4.4. Пусть свободное твердое тело в начальный
момент времени находилось в покое. Тогда оно будет
покоиться и далее, если и только если система внешних сил,
приложенных к твердому телу, эквивалентна нулевой, т. е. сумма всех
сил равна нулю и сумма их моментов относительно
некоторого [а значит, и любого) центра равна нулю.
Доказательство. Достаточно воспользоваться теоремами об
изменении импульса и кинетического момента (см. D.7)). ¦
Задача 4.10. Покажите, что для твердого тела с
неподвижной точкой необходимым и достаточным условием равновесия
является равенство нулю моментов внешних сил относительно
неподвижной точки.
Болотин
129

4.2. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
4.2.1. Уравнения движения и определение реакций
Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг оси Ог
абсолютной системы координат Охуг. Предположение о
неподвижности оси Ог в твердом теле можно трактовать как
наложение голономных связей, выражающих условие
неподвижности двух точек тела, лежащих на этой оси. Далее в данном
подразделе заменим эти связи соответствующими реакциями.
Пусть ср — угол поворота тела. Тогда угловая скорость равна
со = фег. Спроектировав уравнение Ко = Мо на ось Ог,
получим Кг = Мг, где Кг = (К0,ег) = 10гЪ Мг = (Мо,ег) —
сумма моментов всех внешних сил относительно оси Ог. Уравнение
движения имеет вид /огф = Мг. Оставшиеся уравнения D.7) не
нужны для определения движения. Их можно использовать для
определения реакции оси вращения.
Пусть твердое тело закреплено на оси вращения шарнирами
в точках ОиР (рис. 4.3). Введем систему 02;т)С, жестко
связанную с твердым телом, так чтобы ее третья ось совпадала с осью
вращения: ОС = Ог. Тогда ОР = Ае^, где Н > 0.
Пусть Р и Мо — результирующая и суммарный момент
внешних сил, действующих на твердое тело, относительно точки О.
Будем считать, что силы, действующие на твердое тело со
стороны шарниров ОиР, приводятся к результирующим Ко и Ир
(реакции в шарнирах). Пусть у$ — скорость центра масс 5
твердого тела; Зо — постоянная
матрица D.6) тензора инерции
твердого тела в подвижных осях 02;т)С
Запишем законы изменения
импульса и кинетического
момента твердого тела в подвижной
системе отсчета:
т\§ + [со,7ПУEг] =
= Г + Ко + Кр,
Зо<* + [со, 7оС|>] =
= Мо+[ОР,НР]
D.12)
Рис. 4.3. Вращение твердого
тела вокруг неподвижной оси
Обозначим 08 = ае^+Ье^+се^
Тогда
130

у5 = [со, ОЗ] = ^{ае^ - 6е5), \г5 = ^(ае,, - Ье5).
Имеем:
70а> = ф(-«/«е5 - ^е,, + 7?е?),
[со, ^ь>] = 4^(--7^ + «Л)?е5),
[ОР, КР ] = МЯр^е, - Д^е;).
Из D.12) получаем
т^ае^ - Ье5) - тф2(ае$ + Ье,) = Г + Ко + Кр,
ф(-^Се5 " ^с^ + ^ес) + ф2(-75?вч + .??) = D-13)
= Мо + М^Р?^ - Арде).
Эти уравнения в проекции на ось ОС = Ог дают
О = Рг + До* + Яр*, 7?ф = М0г. D.14)
Бели момент внешних сил относительно оси Ог задан как
функция положения и скорости твердого тела: Мг = Мг(ф, ф, ?),
то второе соотношение D.14) полностью определяет движение
твердого тела.
Рассмотрим реакции в шарнирах. Предположим, что в точке
О находится сферический шарнир, а в точке Р —
цилиндрический. Математически это означает, что Крг ^ Ои Еог = —Рг
(см. первое соотношение D.14)). Уравнения D.13) в проекции
на оси 0\ и От\ дают четыре соотношения, позволяющих
определить остальные компоненты реакций в шарнирах: Ко%, Ко-ц,
Яр;, Яру). Если не делать никаких предположений относительно
шарниров в точках О и Р, то проекции реакций в этих точках на
ось О г неопределимы (можно найти только их сумму).
Задача 4.11. Тело, вращающееся вокруг оси, называется
сбалансированным, если при отсутствии внешних сил, реакции в
шарнирах не имеют составляющих, ортогональных оси
вращения. Покажите, что твердое тело сбалансировано тогда и только
тогда, когда ось вращения является главной центральной осью
инерции твердого тела, т.е. центр масс лежит на оси вращения,
и соответствующие центробежные моменты равны нулю.
4.2.2. Физический маятник, приведенная длина,
теория Гюйгенса
Пусть твердое тело вращается вокруг горизонтальной оси Ог
под действием силы тяжести — тпдеу. Предполагается, что
131

реакции оси вращения приложены
в точках оси вращения. Тогда их
момент относительно оси Ог
равен нулю. Пусть ф — угол между
вертикалью и вектором 08. Тогда
Мя = ([03,т%],ег) = -т^/зтср.
Получим уравнение движения
физического маятника /о*ф =
= —тд18ш ср. Оно совпадает с
уравнением движения
математического маятника: ф = —(д/Ь) зт ср, если
обозначить через Ь = 1ог/(™1>)
приведенную длину физического
маятника. Период малых колебаний
равен т
По формуле Гюйгенса—Штей-
нера 1ог = 1зг+™12- Положим 1§г = тр2 (р называется радиусом
инерции). С учетом этих обозначений Ь = I + р2/1. Пусть О' —
такая точка, что 5 лежит на отрезке 00' и \00'\ = Ь. Точки
О, О' называются взаимными центрами качания (рис. 4.4).
Теорема 4.5 (теорема Гюйгенса). Если подвесить
маятник на ось О1 х, то уравнения движения не изменятся.
Доказательство. Пусть \0'3\ = I' = Ь — I = р2//. Тогда
Ь' = 1' + р2/1' = Ь. ш
Задача 4.12. Покажите, что период малых колебаний
физического маятника наименьший, если подвесить твердое тело за
такую точку О, что / = \05\ = р.
Рис. 4.4. Физический
маятник
4.3. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
4.3.1. Уравнения движения
Рассмотрим плоское твердое тело, движущееся в
неподвижной плоскости Оху. Пусть 5 — центр масс твердого тела и 52;т)С —
координатная система, жестко связанная с твердым телом, оси
которой 5^ и 5т) лежат в плоскости Оху, а ось 5С параллельна
оси 02 (рис. 4.5). Пусть г,5 — радиус-вектор центра масс в
неподвижной системе и ср — угол между осями Ох и 52;. Теоремы об
изменении импульса и кинетического момента системы в осях
Кёнига дают уравнения движения:
132

Рис. 4.5. Плоское твердое тело
О ех
тт3 = Г, /5?ф = М&,,
D.15)
где тп — масса твердого тела; 1з% — его момент инерции
относительно оси 5С; Г — сумма внешних сил; М§^ — сумма моментов
внешних сил относительно оси 5^.
4.3.2. Качение однородного диска
по наклонной прямой в однородном поле
тяжести
Рассмотрим однородный диск массой га и радиусом г,
который скатывается (может быть с проскальзыванием) под
действием силы тяжести по прямой, наклоненной под углом а к
горизонту. Тогда 1§ъ = гаг2/2 (см. задачу 4.1). Обозначим через (х,у)
координаты центра масс диска. Направим ось Ох абсолютной
системы вдоль наклонной
прямой вниз (рис. 4.6). Тогда у = г.
Будем считать, что со
стороны опорной прямой на диск
действует реакция К,
приложенная в точке контакта.
Разложим реакцию на
касательную и нормальную
составляющие: К = Тех + Л/еу.
Заметим, что из физических
соображений должно быть N > 0.
Теоремы об изменении импульса и
кинетического момента системы рИс. 4.6. Качение однородного
в осях Кёнига D.15) дают урав- диска по наклонной прямой в од-
нения движения: нородном поле тяжести
133

тх = тд зт а + Г, ту — — тд сов а + ЛГ,
-ф = Гг.
тг\. „ D-16)
Поскольку у = 0, из второго уравнения сразу находим
нормальную составляющую реакции: N = тд сова. Оставшиеся два
уравнения содержат три неизвестных: х, ф, Г. Для замыкания
системы необходимо ввести в модель какие-либо предположения
о характере движения (или, что то же самое, о касательной
составляющей реакции Т).
Качение со скольжением без трения. Предположим, что
прямая гладкая, так что Г = 0. Тогда
х = д 81П а, ф = 0.
Качение без скольжения. Предположим, что прямая
абсолютно шероховатая и качение диска происходит без
проскальзывания, т. е. абсолютная скорость точки диска, находящейся в
точке контакта, равна нулю: ±+гф = 0. Тогда из D.16) получаем
-тгф = тд зт а + Г, ——ф = Гг.
Отсюда находим касательную составляющую реакции: Г —
= — (тш/зт а)/3. Уравнения движения приобретают вид:
.. 2 . 2д .
х = -язта, ф = -— вша.
о от
Центр диска движется с ускорение- §г8ш«.
О
Качение с сухим трением. Будем считать, что
нормальная и касательная составляющие реакции связаны законом
сухого трения (см. пример 3.13). Пусть 0 < к < 1 — коэффициент
сухого трения. Рассмотрим случай, когда в начальный момент
времени проскальзывания нет. Если касательная составляющая
трения для качения без скольжения не превосходит (по модулю)
величину кИ, то и дальнейшее движение диска происходит без
проскальзывания. В противном случае диск сразу начинает
двигаться с проскальзыванием, причем Г = — АДО.
Таким образом, если ктд сов а > (тдзта)/3, т.е. ЗА > 1ва,
то диск катится без проскальзывания, и мы находимся в рамках
предыдущего случая.
134

Если же 3? < Ъ& а, то Г = — &ЛГ = — ктдсоза, диск катится с
проскальзыванием, и уравнения движения таковы:
х = дзта — дк сов а, й = — 2к- соз а.
г
Задача 4.13. В случае качения с проскальзыванием (ЗА: <
< 1? а) найдите скорость проскальзывания, т. е. скорость точки
диска, в которой происходит контакт с прямой качения.
Задача 4.14. Исследуйте движение диска в случае ЗА; > 1& а,
если в начальный момент времени скорость проскальзывания
отлична от нуля.

Глава 5
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
5.1. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
5.1.1. Уравнения Эйлера в векторном виде
Предположим, что твердое тело движется таким образом, что
одна из его точек, О, закреплена. Иными словами, на движение
тела наложена геометрическая (голономная) связь, состоящая
в том, что положение точки О в абсолютном пространстве не
меняется.
Из D.7) вытекают уравнения движения твердого тела с
неподвижной точкой
К = М0, К = Ко = 70о.
В неподвижной системе отсчета матрица оператора инерции
непостоянна. Перейдем в подвижную систему 0^7)С главных осей
инерции твердого тела. Согласно A.15), производные по времени
в неподвижной и подвижной системах отсчета связаны
формулой
К= 41 К + [со,К].
(И
абс
си
5.1.2. Уравнения Эйлера в проекциях на главные
оси инерции
В главных осях инерции Зо = (Иа§(А, В, С) = сопз!.
Следовательно, —
Получаем
К = 70со, где со = —
СО.
7осо + [со, 7осо] = Мо-
E.1)
136

Принято обозначать щ =^,0)^ = д, со^ = г. В проекциях на
оси ОВД уравнение E.1) принимает вид
Ар + (С-В)дг = Мь
Вв + (А-С)гр = МЧ1 E.2)
Сг + (В-А)рд = М^
Эти уравнения называются динамическими уравнениями
Эйлера. Подразумевается, что Мо — известная функция от
положения тела, его угловой скорости и времени. Поэтому чтобы
получить замкнутую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений, к уравнениям E.1) (или E.2)) нужно добавить
формулы Пуассона A.8) или кинематические формулы Эйлера
A.19).
Замечание 5.1. Бели положение твердого тела задается
единичным кватернионом ^ (см. п. 1.4.3), а М — известная функция д, со, ?, то
динамические уравнения следует дополнить уравнениями д = дсо/2.
5.2. ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
5.2.1. Первые интегралы и квадратуры
в задаче Эйлера
Пусть сумма моментов внешних сил относительно точки О
равна нулю: Мо = 0. Например, твердое тело находится в
однородном поле сил тяжести, причем центр масс совпадает с
неподвижной точкой О и силы, действующие со стороны шарнира в
точке подвеса, приводятся к равнодействующей. В этом случае
система E.1) примет вид уравнений Эйлера «Тосо + [со, «Тою] = 0:
Ар + (С- В)яг = 0,
В4 + (А - С)гр = 0, E.3)
Сг + (В- А)ря = 0.
Интеграл энергии. Умножив уравнение Эйлера скалярно
на со, получим
Г = ^( 70со, со) = \{Ар2 + Ва2 + Сг2) = Н = сопз*. E.4)
Другой вывод: поскольку внешние силы эквивалентны нулю,
то Т = 0.
Интеграл кинетического момента. Умножив уравнение
Эйлера скалярно на К = «7о<о, получим
137

К2 = 170со|2 = А2р2 + ВУ + С2г2 = *2 = сопз*. E.5)
Другой вывод: согласно теореме об изменении
кинетического момента К = сопзЪ в неподвижной системе отсчета. Значит,
|К|2 = сопи*.
При фиксированных Л, к решения уравнения Эйлера
принадлежат кривой
УМ = {<•> = (Р.9.0 € К3 | Г = Н,К2 = к2},
которая является линией пересечения двух эллипсоидов.
Параметризуем кривую у^ь каким-либо параметром 5. Тогда
уравнения Эйлера сводятся к уравнению с разделяющимися
переменными 5 = д(з).
Рассмотрим, например, несимметричный случай, когда никакие два
главных момента инерции не совпадают. Упорядочим их таким
образом, чтобы было А < В < С. Из E.4) и E.5)
к2 - 2АН = С(С - А)т2 + В{В - А)д2,
2НС -к2 = В(С - В)Ч2 + А{С - А)р2.
В правых частях этих уравнений стоят неотрицательные величины,
поэтому 2АН < к2 < 2кС. Разрешая последние уравнения
относительно р и г, получаем параметризацию ук}н параметром <?:
2 {2НС - к2) - В{С - В)д2 2 _ (?2 - 2Ак) - В{В - А)д2
Р ~ А{С-А) ' Т С{С-А)
Из уравнений Эйлера находим
где Р^д) — полином четвертой степени от д. Это — уравнение с
разделяющимися переменными:
'-""ЧтЬ- <бб)
Интеграл, стоящий в правой части, является эллиптическим,
поэтому мы ограничимся качественным исследованием решений.
Задача 5.1. Проинтегрируйте уравнения движения в задаче
Эйлера для симметричного случая: А = В < С, или А < В = С.
138

5.2.2. Качественный анализ задачи Эйлера
Фазовые кривые уд,/* уравнений Эйлера получаются как
пересечение уровней интегралов энергии E.4) и квадрата
модуля кинетического момента E.5) в пространстве угловых
скоростей (р,д,г). Рассмотрим их для несимметричного случая.
Будем предполагать, что А< В < С.
Согласно теореме о неявной функции все фазовые кривые
гладкие, кроме проходящих через точки, где §гас1Т || фай К2.
Из условия
бгайГ = {Ар, Вд, Ст) \\ &*АК2 = 2{А2р, В\ С2т)
вытекает, что со = (р,0,0), или со = @,д,0), или о = @,0,г).
Таким образом, кривые уь,н гладкие, если они не проходят через
точки, соответствующие равномерным вращениям тела вокруг
главных осей инерции.
Если твердое тело вращается вокруг оси е$, то к2 = 2Ак\
если относительно е^, то к2 = 2Вк\ если относительно е^, то
к2 = 2СН. Зафиксируем энергию к и будем рисовать кривые ун,к
на эллипсоиде 2 = {Г = к}, подобном эллипсоиду инерции.
Имеем: тт^2 = 2Ак, тгхК2 = 2Ск. При к2 < 2Ак или
Е Е
к2 > 2Ск ум = 0. При к2 = 2Ак, ум = {{0,0,±у/2к/А}}
соответствует равномерным вращениям вокруг оси е$. При к2 = 2Ск
Ук,к = {(±\/2Л/С,0,0)} соответствует равномерным вращениям
вокруг оси е^. При к2 = 2Вк
ТМ = {(Р,Я,г) € Е | ^А(В-А)р = ±у/С(С-В)д]
оказывается сечением эллипсоида пересекающимися
плоскостями. Получаются две пересекающиеся кривые (сепаратрисы).
Точки пересечения являются стационарными решениями
уравнений Эйлера р = г = 0, д =
= ±к/В = сопз1 и соответ-. .
ствуют равномерным вращениям
тела вокруг оси е^. Для всех
остальных пар допустимых
значений кик множества у/^
состоят из пары замкнутых фазовых
кривых.
Фазовый портрет задачи
Эйлера на эллипсоиде Е дан на Рис. 5.1. Фазовые кривые волч-
рис. 5.1. Из него видно, что рав- ка Эйлера
139

номерные вращения тела вокруг меньшей ОС и большей 0\ осей
эллипсоида инерции устойчивы. Равномерные вращения тела
вокруг средней оси От\ неустойчивы. Говоря несколько вольно,
в устойчивом случае фазовые кривые у^ь, проходящие
вблизи точки равномерного вращения, не уходят от нее далеко.
В неустойчивом случае фазовые кривые, лежащие вблизи
сепаратрис, близко подходят к обеим диаметрально
противоположным точкам равномерного вращения и не лежат в окрестности
ни одной из них.
Задача 5.2. Докажите, что ограничение интеграла К2 на
Е = {Г = к} имеет строгий экстремум в точках @,0, у/2Н/А),
@,0, у/2Н/С). Выведите отсюда, что решения с
фиксированными Л,й, начинающиеся вблизи этих точек, останутся
близко к ним. Это доказывает устойчивость равномерных вращений
волчка Эйлера вокруг наименьшей и наибольшей осей инерции.
Проинтегрируйте уравнение E.6) в элементарных функциях
в случае к2 = 2Вк. Выведите отсюда неустойчивость
равномерных вращений вокруг средней оси инерции.
Более подробно вопросы устойчивости обсуждаются в гл. 8
и 9.
Задача 5.3. Нарисуйте фазовый портрет в задаче Эйлера
для симметричного случая: А = В < С, или А < В = С.
5.2.3. Геометрическая интерпретация Пуансо
До сих пор угловая скорость со(*) изучалась в системе
отсчета, связанной с твердым телом. Движение твердого тела по
отношению к неподвижной системе отсчета описывается теоремой
Пуансо. Прежде чем ее формулировать, заметим, что эллипсоид
инерции жестко связан с телом. Поэтому для описания
движения твердого тела достаточно знать, как движется его
эллипсоид инерции.
Теорема 5.1 (теорема Пуансо). Эллипсоид инерции Е
твердого тела катится без проскальзывания по неподвижной
плоскости П, ортогональной вектору кинетического
момента К.
Пусть Р — точка пересечения эллипсоида инерции и
мгновенной оси вращения Осо (рис. 5.2). Тогда \р = 0. Доказательство
теоремы Пуансо следует из леммы 5.1.
Лемма 5.1. Касательная плоскость П тс эллипсоиду Е в
точке Р неподвижна и ортогональна К.
140

Доказательство. Пусть г =
= ОР = Хсо. Поскольку Е =
= {г | <7ог,г) = 1}, то
Х2Gо««>,со> = 2Х2Г = 1, так что
X = 1/л/2й. Пусть п — вектор
единичной нормали к 1С в точке
Р. Тогда
п =
егааG0г,г) 70г
|егаЛG0г,г)| |70р|
— Рис. 5.2. Качение эллипсоида
инерции волчка Эйлера
|7осо|
К
к'
Поскольку К = сопзЪ, остается показать, что (Из1@,П) = сопз!.
НоA18*@,П) = (г,п) =
(Хсо, К) _ (со, 7рсо) _ у/2Н
у/2кк
= СОП8*.
5.2.4. Регулярная прецессия динамически
симметричного волчка Эйлера
Определение 5.1. Регулярной прецессией твердого тела с
неподвижной точкой называется движение, при котором
угловая скорость тела может быть представлена в виде: со = (двревр +
+ Ыпрвпр, где орты евр и ещ, неподвижны соответственно в теле
и абсолютном пространстве, причем совр, (Ощ, и угол 8 между евр
и вщ, постоянны1.
Другими словами, тело совершает регулярную прецессию,
если оно вращается с постоянной ^углозой скоростью а>вр вокруг
оси Оевр, неподвижной в теле, которая, в свою очередь,
вращается с постоянной угловой скоростью (опр вокруг оси Овпр,
неподвижной в абсолютном пространстве, причем угол 6 между
этими осями постоянен.
Оси Оевр и Оепр (угловые скорости совр и сопр) называются
осями (угловыми скоростями) собственного вращения и
прецессии соответственно.
Теорема 5.2. Если эллипсоид инерции волчка Эйлера есть
эллипсоид вращения, то движение волчка Эйлера есть
регулярная прецессия.
1 Индексы «вр» и «пр» означают «вращение» и «прецессия* соответственно.
141

Доказательство. Пусть для определенности А = В ф С.
Направим ось Ох неподвижной системы координат вдоль вектора
кинетического момента К = к (ег = к/й, к = |к|) и определим
ориентацию главных осей ОВД эллипсоида инерции углами
Эйлера (см. п. 1.3.3). При этом
Къ = Ар = к 8ш 8 8ш ф, К^ = Ад = к зт 8 сое ф,
Къ = Сг = ксоаВ. ( '
Из уравнений E.3) при А = В следует, что г = го = сопз1;, т. е.
соз 6 = Сго/к = сопз! и 8 = 8о = сопзЪ. Учитывая
кинематические формулы Эйлера A.18) и соотношения E.7), имеем
Лф 81П во 81П ф = к 81П во 81П ф, Аф 81П во С08 ф = к 81П во С08 ф,
откуда следует, что ф = к/А = ф0 = сопзЪ. При этом из
последней формулы A.18) вытекает, что ф = го — фосозво = A —
—С/А)го = фо = сопб!. Следовательно, со = фое?+фоег, (е*;,©*) =
= сов во- ¦
Таким образом, волчок Эйлера с осесимметрйчным
эллипсоидом инерции вращается с постоянной угловой скоростью вокруг
своей оси симметрии, которая, в свою очередь, вращается с
постоянной угловой скоростью вокруг вектора кинетического
момента, причем угол между осью симметрии эллипсоида инерции
и вектором кинетического момента постоянен.
Задача 5.4. Опишите движения шарового волчка Эйлера, у
которого А = В = С.
5.3. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
5.3.1. Уравнения Эйлера — Пуассона и их первые
интегралы
Рассмотрим движение твердого тела с неподвижной точкой в
однородном поле тяжести. Будем предполагать, что момент сил,
приложенных к телу со стороны шарнира, равен нулю (связь
идеальная).
Выберем абсолютную систему координат Охуг с началом в
неподвижной точке О таким образом, чтобы ускорение силы
тяжести было направлено вдоль оси О г абсолютной системы в
отрицательном направлении.
142

Пусть гд — радиус-вектор центра масс и —тдег — сила
тяжести, действующая на твердое тело. Обозначим через у вектор ег,
Л\
Т = Т +
1абс
+ [со, у] = 0. Имеем также динамические уравнения Эйлера К =
= Мо = [г§, те]. Система уравнений Эйлера — Пуассона
записанный в главных осях инерции ООД. Тогда —
•70со + [со, 10а>] = -тд[т8, у], Т + [<•>, т] = 0 E-8)
замкнута относительно переменных со, у.
Пусть в проекциях на главные оси инерции г§ = (а,Ь,с),
У = (Уъ У2, Уз)> со = (р, д, г). Тогда система уравнений Эйлера—
Пуассона в координатной форме принимает вид
Ар + (С- Я)дг = т$(су2 - Ьуз),
Ва\ + (А - С)тр = тпд(ауз - сп),
Ст + {В - А)ря = тд(Ъу1 - оу2),
У2 + ПГ1 - руз = 0,
У1 + 9Уз - НГ2 = 0,
Уз + РУ2-9У1=0.
E.9)
Это — система обыкновенных дифференциальных уравнений
в К6. Она цмеет три первых интеграла.
Интеграл энергии: Н = -Gосо, со) + тд(гз, у) = Л. В
координатной записи
-(Ар2 + Яд2 + Сг2) + тд(ау1 + 6у2 + су3) = Ь. E-10)
Интеграл кинетического момента относительно оси
Ог\ Кг = Gосо,у) = к. В координатной записи
Лрп + Вду2 + Сгу3 = к. E.11)
По аналогии с интегралом кинетического момента в задаче
Кеплера (см. п. 2.2.3) его иногда называют интпеграяом
площадей.
Геометрический интеграл: |у|2 = 1. В координатной
записи
У1+У2 + Уз = 1- E-12)
В пространстве К3 векторов у уравнение E.12) задает сферу,
которая называется сферой Пуассона.
143

Можно показать (см, задачу 12,17), что для нахождения
общего решения уравнений Эйлера—Пуассона достаточно найти
еще один первый интеграл, независимый от указанных трех (так
называемый дополнительный интеграл).
Известны следующие случаи интегрируемости системы E,8):
Эйлера г^ = 0; Лагранжа А = В,г§ || е^; Ковалевской А = В =
= 2С, г$ 1. е^. По-видимому, при других значениях А, В, С, а,
Ь, с система E,8) неинтегрируема, В значительной степени это
доказано, но обсуждение точного смысла этого утверждения дат
леко выходит за рамки данной книги.
Случай Эйлера был рассмотрен в подразделе 5.2, случай
Лагранжа будет представлен в подразделе 5,4. Дополнительный
интеграл в случае Ковалевской дается решением следующей
задачи.
Задача 5.5. Рассмотрим волчок Ковалевской: А = В = 2С,
г$ 1_ е^. Поскольку эллипсоид инерции симметричен (А = В),
главные оси инерции 0\ и От) можно повернуть так, чтобы га =
= (а,0,0).
Динамические уравнения Эйлера E.9) примут вид
2р-дг = 0, 29 + рг = ЯГз, г = -Яу2, Я = ^.
Обозначим Я = р2 — д2 — Х?у1, 5 = 2рд — Бу2- Покажите, что
Я = г8, 8 = —гЯ и выведите отсюда, что функция / = Я2 + З2
является первым интегралом движения в случае Ковалевской.
5.3.2. Перманентные вращения тела
Уравнения Эйлера —Пуассона допускают стационарные решения
у = сопв!;, со = сопз!;, если со = соу и единичный вектор у, и постоянная
со удовлетворяют уравнению
и2[г, ./от] = ™$[т, г$], E.13)
вытекающему из уравнений Эйлера (уравнения Пуассона при этом
выполняются тождественно).
Стационарные решения соответствуют равномерным
(перманентным) вращениям тела вокруг вертикали, неподвижной в теле.
Умножив обе части уравнения E.13) скалярно на г^, получим (при со ф 0),
что вектор у должен удовлетворять уравнению
([Т,^от],г5>=0, E.14)
144

которое в пространстве у задает коническую поверхность второго
порядка (конус Штауде). Пересечение конуса Штауде и сферы Пуассона
(Т> т) = 1 определяет кинематически допустимые оси перманентных
вращений. Домножив обе части E.13) скалярно на [у, г$], получим, что
динамически допустимыми являются только те оси, для которых
<[т,Лот],[т,гв]>>0. E.15)
При условии E.15) величина угловой скорости, определяемая из
уравнения E.13), действительна. Таким образом, перманентные
вращения образуют однопараметрические семейства: для любого у,
лежащего в области E.15) на пересечении конуса Штауде и сферы Пуассона,
найдется соответствующая угловая скорость вращения.
Эти же семейства можно искать исходя не из уравнений движения,
а из других соображений. При заданных значениях к — постоянной
интеграла энергии E.10) и к — постоянной интеграла площадей E.11),
область возможности движения тела на сфере Пуассона составляют
векторы у, для которых
Я(со,Т) = Л, АГг(со,у) = * E.16)
при некотором значении со.
Поскольку Я = Т + V, причем кинетическая энергия Т —
положительно определенная квадратичнаая форма от со, а при любом
фиксированном у второе уравнение E.16) высекает линейное многообразие
в пространстве К3 векторов со, то область возможности движения на
сфере Пуассона определяется неравенством
%(Т) < й. %(т) = т|пЯ(«о,у)\Кш{шл)шк. E.17)
Функция %(у) называется эффективным потенциалом.
Для нахождения эффективного потенциала воспользуемся методом
неопределенных множителей Лагранжа. Точки экстремума Я по со на
уровне Кх = к удовлетворяют уравнению
-=— = X—— или ,/осо = Х./ОГ-
асо осо
Таким образом, со = Ху. Поскольку Кг = Gосо, у) = й, получаем
к
%(Т) = Я(Ху,Т) = тд(г3,у) + \-щ.
В точках строгого локального минимума эффективного потенциала
область возможности движения на сфере Пуассона вырождается в
изолированные точки, которые соответствуют перманентным вращениям
145

твердого тела. Верен более общий факт: любым критическим точкам
эффективного потенциала отвечают перманентные вращения
твердого тела. В самом деле критические точки эффективного потенциала на
сфере Пуассона определяются из уравнений
^-цТ = 0, |у|* = 1,
где ц — неопределенный множитель Лагранжа. Первое уравнение этой
системы имеет вид
к2
тдт8 - -р^оЧ - ЦТ = О-
Умножив левую часть последнего уравнения векторно на у,
получим уравнение
к2
тд[г,т3] = ^[т^отЬ
совпадающее с E.13) при со = (к/7)у.
Таким образом, критическим точкам эффективного потенциала
соответствуют допустимые оси перманентных вращений и,
следовательно, перманентные вращения
у = СОП81, со = у/ чТ = сопв1;.
¦Ат)
Эти вращения образуют однопараметрические семейства,
параметризованные постоянной интеграла площадей.
5.4. ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА
Пусть твердое тело динамически симметрично, т. е.
эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, причем центр масс
лежит на его оси симметрии:
А = ВфС, г8 = се? (х8 = ув = 0, га = с > 0).
Такой выбор параметров определяет случай Лагранжа.
В этом случае уравнения движения тела
Ар + (С - А)цг = гадсуг,
Ад + (А - С)гр = -гпдсги
п + дуз - ПГ2 = о,
у2 + т - руз = 0,
УЗ+РУ2-9У1=0
146

помимо интегралов энергии Н = Н и площадей Кг = к
допускают дополнительный первый интеграл г = со = сопз1 (интеграл
Лагранжа). Таким образом, проекция угловой скорости тела на
его ось динамической симметрии постоянна во время движения.
5.4.1. Редукция к одномерному движению
Пусть 8, ф, ф — углы Эйлера. Тогда интегралы энергии,
площадей и Лагранжа имеют вид:
Я = -Л(ё2 + ф2 81п8) + -С(у + фсозвJ + туесов в = А,
К^ = Аф 8ш2 в + С(ф + ф сод 9) сов 8 = й, E-19)
П = ф + ф С08 в = (д>.
Углы Эйлера (р, ф, в, как локальные координаты в
пространстве положений твердого тела, вырождаются при 8 = 0 и 8 = к
(ось динамической симметрии тела вертикальна). Подставив эти
значения 8 в E.19), получим, что А; = Со> при 8 = 0 и к = — Са>
при 8 = к. В этом критическом случае анализ движения тела
нужно проводить особым образом..
Рассмотрим некритический случай: к ф ±Со>. Тогда 8 ф 0 и
8 ф п и, значит, §т 8^0. При этом из E.19) имеем
; к — Ссосовб А — Сысоев л /рр ллЧ
Ф=—гт-тт—I Ф = *> л . 9/ч—созв, E.20)
т А81п28 т Абш2 8 ч '
и интеграл энергии можно представить в виде
Я = Нк,ы = ±Л92 + Ум(9) = Л, E.21)
г, /пч п 1(Л-С(дС08 9J 1_ , /г„л,
^,ш(в) = т5ссо86 + -К ^^^ ; + -Со2. E.22)
Соотношение E.21) можно рассматривать как интеграл
энергии одномерной (приведенной) системы
АВ = -П',»(9) E.23)
с потенциальной энергией Н>й)(8). Фазовый портрет этой
системы имеет вид, указанный на рис. 5.3, поскольку потенциальная
энергия приведенной системы 1^1й)(8) имеет на интервале @, тс)
единственный минимум.
147

1 \ т\
-1 ] Хо
1 х
{
^4^
1/1-
Л '
! 1 *
л
Рис. 5.3. Потенциальная энергия
приведенной системы имеет
ровно одну критическую точку яо —
строгий минимум. При любых наг
чальных условиях (кроме
положения равновесия хо) движение
периодическое
Для того чтобы показать это, положим х = созб Е (—1,1).
Тогда
^,о> = тдсРк^(х) + 2С<*2,
Рк,и{х) = X + --
E.24)
2Агпдс{1-х2)'
На отрезке (—1,1) функция Рк^(х) имеет ровно одну
критическую точку — точку строгого минимума. В самом деле Рк}(Л(х) —
это дробно линейная функция вида
РыАх) = Ао + Агх + ^-^ + ^г, А2, А3 > О,
причем
+ х
Ит Ркы (х) = +оо.
Производная дробной части монотонно растет от —оо до +оо
на отрезке (—1,1). Линейная часть имеет постоянную
производную. Значит, Ркш(х) > 0 и, следовательно, Ркш(х) на отрезке
(—1,1) обращается в нуль только один раз (в точке хо).
5.4.2. Квадратуры и качественный анализ Пуассона
Область возможности движения приведенной системы E.23)
определяется неравенством 1^>й)F) < к:
__ ч ^ 2к - Со>2
148

и представляет собой отрезок 8 € [01,8г] «*• х € [х\, ха]- Из
соотношения E.21) следует, что
о2
ле^ вш' в = 2/18ш2 е - 2^(8) вш2 е,
или
х1 = (а - ах){1 - ж2) - (C - ЬхJ = Ф(я),
2т5С , С 2Л-Ссо2 _ А:
а = —, Ь=-о, « = —з—, Р = Т
Движение возможно, если х е [хь вд]; при этом Ф(х) > 0 и
= ±(<-*„). E.25)
X
1
хо
у/Щх)
Обращая эллиптический (Ф(х) — полином третьей степени)
интеграл E.25), находим периодическую зависимость а; = х(*), а
затем, используя E.20), получаем
* г
8 = агссоз хA), ф = ф0 + ф(*)^, Ф = фо + ф(*)й<-
Следовательно, угол нутации 8 периодически зависит от
времени и колеблется в пределах 8 € [Эх, 6г].
Рассмотрим в абсолютном пространстве след точки
пересечения оси динамической симметрии тела и единичной сферы с
центром в точке подвеса (сферы Пуассона). Скорость угла
прецессии ф(*) может обращаться в нуль лишь при х = ж* = &/Са> = р/Ь
(см. E.20)). При этом
= 1>0,
, _ _ {к-Сь>х){Си-кх)
*к~™ ~ АтдсA - х*)* ,^
т.е. ж* > жо > х\.
Если полная энергия К равна минимуму приведенной
энергии 1^>(|), то х\ = Х2 = хо и в течение всего времени движения
8 = во = соп81, ф(*) = сопз* ф 0, ф(*) = сопзЪ, т. е. ф(*) и фD)
изменяются с постоянной скоростью. Такое движение называется
регулярной прецессией (рис. 5.4, а). Более подробно его свойства
будут рассмотрены в п. 5.4.4.
149

Рис. 5.4. След (а— г) точки пересечения динамической оси симметрии
тела и сферы Пуассона
Пусть полная энергия к больше минимума приведенной
энергии Ук,ы.
Если х* > Ж2, то во все время движения ф(*) ф 0, и ф(*) —
монотонная функция времени (рис. 5.4, б).
Бели ж* = Ж2, то ф(*) периодически обращается в нуль, но не
меняет знак, так что ф(^) — по-прежнему монотонная функция
времени (рис. 5.4, в).
Если х* < Ж2, то фB) меняет знак при хA) = х* (рис. 5.4, г).
Проанализируем случай, представленный на рис. 5.4, в (я* = хг)
подробнее. Покажем, что в точке «клюва» касательная к следу
направлена вдоль меридиана. Поскольку х* > хо > х\, то уравнения движения
E.23) дают: 8 = 0, 0 = 0о > 0 в верхней точке (где угол 6 минимален).
Из E.20) получаем, что ф = #(9H. Значит, в верхней точке ф = ф = 0.
Итак, если 0@) = 0тт» мы проходим через верхнюю точку при I = 0,
то в окрестности этой точки
9(*) = 9т!„ + \%# + 0(«"), Щ = фо + ^Фо<3 + 0A4).
Разрешая первое уравнение относительно I2, получим
е = |-@ -0т1п) + О(@ -0™пJ),
00
после подстановки во второе имеем
Ь- /9 \3/2
Ф(в) = Фо + ^Фо (§49 " бтш)] + О(@ - 0штJ),
т. е. траектория оси волчка на сфере Пуассона имеет точку возврата
типа полукубической параболы.
Задача 5.6- Покажите, что хо > 0. Выведите отсюда, что ф0 ф 0
при со ф 0.
150

5.4.3. Спящий волчок, условие Маиевского
Прямой подстановкой несложно проверить, что уравнения
движения волчка Лагранжа E.18) допускают равномерное вращение вокруг
вертикально расположенной оси динамической симметрии при
наивысшем расположении центра масс:
П=У2=0, Тз = 1, р = д = 0, г = (о. E.26)
Тогда К$ = (т, К) = Сг, т. е. * = Са>.
Рассмотрим движение волчка с начальными условиями, немного
отличающимися от тех, которые были при точном вращении вокруг
вертикали. Такие начальные условия и само движение называются
возмущенными. Вращение вокруг вертикали называется устойчивым, если
при малых возмущениях начальных условий ось динамической
симметрии в возмущенном движении будет мало отличаться от вертикали
(точное определение устойчивости будет дано в гл. 8).
В случае устойчивости режим движения E.26) называется спящим
волчком.
Исследуем условия устойчивости. Для этого рассмотрим общее
движение волчка Лагранжа в случае к = С<о. При этом 6 € [0, л). Функция
Усы.сДв) (см- E.22)) имеет при 8 = 0 устранимую особенность.
Подставив к = Са> и 8ш2 8 = 1 — соз2 8 в E.22), получим
%„,„№ = трссо.9 + °^~^ + &* = УМ + |ЛА
Точка 8 = 0— критическая для функции Уы (8), причем
^@) = 0, 1?@) =-тес + ^-.
При выполнении условия Маиевского:
С2а>2 - Ытдс > 0
значение 8 = 0 является точкой строгого минимума функции К, F).
Значит, при возмущениях начальных условий, сохраняющих условие
к = Са>, диапазон изменения угла 8 будет мало отличаться от 8 = 0.
Таким образом, движение E.26) будет устойчиво.
При С2 (о2 — ААтдс < 0 значение 8 = 0 является точкой строгого
максимума функции К, F). Можно показать, что в этом случае
вращение вокруг вертикали при наивысшем положении центра масс тела
неустойчиво.
Задача 5.7, Докажите устойчивость равномерного вращения
волчка Лагранжа вокруг вертикально расположенной оси динамической
симметрии при наинизшем расположении центра масс (случай к =
= -Си).
151

Задача 5.8. Докажите устойчивость равномерных вращений,
рассмотренных выше, для возмущений, нарушающих условие к = ±Са>.
Указание. Воспользуйтесь описанием области возможности
движения в некритическом случае (см. п. 5.4.2).
5.4.4. Регулярная и псевдорегулярная прецессии
Регулярной прецессией волчка Лагранжа называется такое
движение, при котором 0 = 0о = сопз! и, как следует из E.20), ф = фо = сопз*,
ф = фо = сопбЪ. При этом волчок вращается с постоянной угловой
скоростью фо вокруг оси динамической симметрии, которая
составляет постоянный угол 0о с вертикалью и вращается вокруг последней с
постоянной угловой скоростью фо (рис. 5.5, а).
Подберем начальные условия так, чтобы движение было
регулярной прецессией с заданным значением 0 = 0о- Зафиксируем значения
констант А: и со интеграла площадей и дополнительного интеграла так,
чтобы к ф ±Со>. Условие 0 = 0О = сопз! означает, что уровень
приведенной энергии минимален и 01 = 0о = 02- Отсюда,
воспользовавшись обозначениями формулы E.24), получаем, что при к = Ссо2/2 =
= 2тдсГк^(хо)/2 движение будет регулярной прецессией. При этом
0 = 0О = ахссозяо, ф = ф0 = (о - _ ^ а?0, Ф = фо = А^_х2у
Рассмотрим теперь псевдорегулярную прецессию волчка Лагранжа,
т. е. такое его движение, при котором угол 0 изменяется в небольших
пределах. При этом волчок вращается с почти постоянными угловыми
скоростями вокруг оси динамической симметрии и вокруг вертикали
(рис. 5.5, б).
В качестве примера рассмотрим движение волчка Лагранжа с
начальными условиями 0(^о) = 0о Ф 0,и; ф(*о) = 0; Ф(*о) = <*>о, причем
а>о » Атдс/С2, т. е. волчок быстро закручен вокруг оси динамической
симметрии, отклоненной от вертикали. Тогда
к = -Са>о 4- тдсхо, к = СсооЯо, о> = а>о (хо = соз0о),
Ук,ш = тдсх + - А°1_х2)' + 2 Сшо (* = соа 9).
Рис. 5.5. Регулярная (а) и
псевдорегулярная (б) прецессии волчка
Лагранжа
152

Таким образом, область возможности движения, определяемая
неравенством
представляет собой отрезок [хъ, х0] ([05,0о]), где
1 - \/1 - 48(жо - 8) Л/.х * Атас
*» = а - = *° + о(*). *=с4«1-
Очевидно, хо — хь «С 1, причем ф = — °) ° обращается в нуль при
ЛA — хг)
х = хо. Следовательно, ось динамической симметрии волчка мало
отклоняется от своего начального положения. Волчок быстро вращается
вокруг этой оси, которая в свою очередь медленно вращается вокруг
вертикали:
5.4.5. Приближенная теория гироскопа. Правило
Жуковского
Быстро закрученное вокруг оси симметрии динамически
симметричное твердое тело с неподвижной точкой иногда
называют гироскопом. Вместо аналитического метода
предыдущего подраздела для исследования движения гироскопа
применим следующие нестрогие вычисления. Пусть, как и раньше,
0^т)С — главные оси инерции гироскопа для неподвижной точки
О; Охуг — неподвижная система координат, ф, 8, ф — углы
Эйлера. Полагая, что гироскоп быстро закручен вокруг оси
симметрии ОС, представим его угловую скорость в виде (см. формулы
A.18))
со = с«>1 +о>2 + 6(со8фв5 — зтбвт,); с«>1 = фе^, о>2 = фег.
Пренебрегая нутационным движением гироскопа: 6 = 0 и
полагая, что угловая скорость прецессии много меньше угловой
скорости собственного вращения: ф <^ ф, выпишем
приближенное выражение его кинетического момента Ко = Сс«>1 и
приближенное уравнение изменения кинетического момента
153

Л ЧЛ ^ ' и E.27)
= С[СО,С01]^С[С02,С01]=М0.
Формула E.27) определяет момент, который нужно
приложить к гироскопу, быстро закрученному вокруг оси симметрии,
чтобы сообщить ему прецессионное движение. Вектор Ьо =
= — Мо = С [со 1,@2] называется гироскопическим моментом:
он действует со стороны гироскопа на устройство, вызывающее
прецессионное движение гироскопа. Из формулы E.27)
вытекает также правило Жуковского.
Правило Жуковского. Если гироскоп, вращающийся с
угловой скоростью о>1 вокруг оси симметрии, поворачивают
вокруг некоторой неподвижной оси с угловой скоростью а>2 (ь>2 «С
<С сох), то возникает момент Мо, стремящийся повернуть ось
симметрии гироскопа к оси сообщаемого вращения так, чтобы
при совпадении этих осей угловые скорости сох и о>2 были
направлены в одну сторону.
Если кинетический момент гироскопа в течение длительного
промежутка времени т существенно превосходит момент
внешних сил (Ко » Мот), то ось гироскопа в течение этого времени
почти не изменяет своей ориентации в инерциальной системе
отсчета.
Пусть, например, гироскоп представляет собой тяжелый
однородный шар массы т = 10 кг и радиуса 10 м,
закрученный вокруг горизонтального диаметра с угловой скоростью ь>1 =
= 109 с-1. Предположим, что момент Мо обусловлен смещением
с = 10~3 м центра шара от неподвижной точки вдоль оси враг
щения. Тогда из формулы E.27) следует, что (д = 10 м ¦ с)
о>2 = тдс/(С(й1) = 4 ¦ 10~8 с-1. Таким образом, за сутки (т =
= 86 400 с) ось вращения гироскопа повернется на угол ф =
= оJт = 3 456 ¦ 10~6 рад Э* 0,2 град.
Поэтому гироскопы широко используются в различных
системах управления движением подвижных объектов: подводных
лодок, кораблей, самолетов, ракет, искусственных спутников
и т. д.
Гигантскими гироскопами являются также планеты.
Например, вследствие сжатия Земли гравитационное притяжение
Луны и Солнца создает моменты, которые приводят к
прецессионному движению Земли. Скорость этой прецессии очень маг
ла: @2 = 3 ¦ 102 с-1, так что текущая ориентация оси
вращения Земли относительно неподвижных звезд повторится через
26 тыс. лет.

Глава 6
ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
6.1. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
6.1.1. Уравнения Лагранжа II рода. Обобщенные силы.
Случай потенциальных сил, лагранжиан
Пусть на систему, состоящую из N материальных точек
(рис. 6.1), наложены голономные связи и на конфигурационном
пространстве 2 локально введены обобщенные координаты я =
= (91» й» ¦ ¦ ¦ »9п)> через которые выражаются радиусы-векторы
точек системы:
г = г(Ч|4), г = (п,г2, ... ,рлг) 6 К3"-
Выразим скорости точек системы через обобщенные
координаты и обобщенные скорости (? = (?1,92, ..., дп)я- .
г-^ч дт 7 . дт^
F.1)
Подставив их в выражение для кинетической энергии,
получим
1 М
где часть Т2 квадратична по
обобщенным скоростям с[, часть
Т\ линейна, а То не зависит от с[.
В явном виде имеем:
1 I,*
Рис. 6.1. Обобщенные координат
. дт
ты (?1, ...,дп),е* = —
155

I
где
Лемма 6.1. Матрица (ау) положительно определена.
Доказательство. Зафиксируем время и возьмем
произвольное виртуальное перемещение 5г = Eгь 5г2, - - -, 5г^) |с
компонентами
к=1 Ч1С
9г дг „
Векторы ——, ..., —— независимы. Поэтому если не все о% =
= 0, то хотя бы один из бгу отличен от нуля. Тогда
^2 а^яМк = ^2 тэ \Ьтэ \2>0- ¦
Задача 6.1. Покажите, что если связи не зависят от времени,
то Г = Г2.
Движение системы будем задавать в обобщенных
координатах: ф) = (?1D), .. .,<?„(*))¦ Тогда гD) = г(Ч(*),*).
Теорема 6.1 (уравнения Лагранжа). Функции ^(?) =
= (?1(^M ¦ ¦ ¦ |9п(*)) задают движение системы тогда и только
тогда, когда они удовлетворяют уравнениям Лагранжа II рода:
где величины
N
*-е("-й>
называются обобщенными силами.
156

Замечание 6.1. Обобщенные силы ($1 имеют следующий смысл,
рассмотрим виртуальное перемещение такое, что 8? = 0 при всех
2 ф г. Тогда элементарная работа на нем будет выражаться так: ЪА =
Замечание 6.2. При вычислении частных производных в
уравнениях F.2) кинетическую энергию системы Т нужно рассматривать как
функцию от 2п + 1 независимых переменных ^, <1, Ь\ Т = Т^, <1,1).
Доказательство теоремы 6.1. В соответствии с принципом
Даламбера—Лагранжа <\[1) задает движение системы тогда и
только тогда, когда
X)(тМ - *з,8г7) = 0, 5г, =^Л
3 г °*
для любых 5^. Возьмем 8? = 0 при ] ф г и 5? ф 0. Получим
Значит, 2_. ( Щ*], -^- ) = Я%- Осталось доказать, что
Имеют место равенства
Здесь при вычислении частных производных переменные ^,
с[, I рассматриваются как независимые. Первое соотношение в
F.3) сразу следует из формулы F.1). Из нее же видим, что
ЛЬ \дЯг) ^ дЯгдЯкЧк дЯгдЬ 0? "
Эти и есть вторая формула F.3). Далее имеем:
157

Воспользовавшись равенствами F.3), получаем, что первая
сумма в правой части последнего соотношения равна
з
а вторая сумма — это
4-Д У^'вй/Аав'
^/ . вид ат
3
Доказательство теоремы завершено. ¦
Заметим, что по ходу доказательства мы получили, что в
обобщенных координатах принцип Даламбера— Лагранжа
записывается следующим образом:
Ё(-И5+5+*)*- м
для любых 8я.
Рассмотрим теперь случай, когда силы потенциальны.
Выразим потенциальную энергию У(г, I) через обобщенные
координаты: У{€\л1) = У(г(я, *),*). Имеем:
Значит, уравнения Лагранжа F.2) можно переписать в
следующем виде:
жщ-ъг0- ->•-•"¦ F5)
где Ь^, ч[, ?) = Г^, 4, ?) — У(^ ?) — функция, которая
называется лагранжианом.
Далее будем использовать также векторный вид уравнений
F.5):
ШЩ-Щ а F-6)
дЬ дЬ
Здесь т—- и — п-мерные векторы.
158

Уравнения Лагранжа являются системой дифференциальных
уравнений второго порядка относительно я. Далее будет показано, что их
можно разрешить относительно вторых производных: (? = /(я, <!,*)-
Взяв обобщенную скорость V = ^ за новую переменную, можно
переписать уравнения Лагранжа в виде системы дифференциальных
уравнений первого порядка
Ч = ч, * = /(Ч|у,*). F.7)
Пример 6.1 (физический маятник). Рассмотрим твердое
тело, которое может свободно вращаться вокруг неподвижной
горизонтальной оси Ох (см. рис. 4.4). Положение тела
описывается одной обобщенной координатой ф — это угол поворота вокруг
неподвижной оси Ох. Отсчет угла производится так, что когда
центр масс тела занимает нижнее положение, ср = 0. Пусть I —
расстояние от центра масс тела до оси вращения Ох и 1Х —
момент инерции тела относительно этой оси. Тогда
Т = 21х^2' У = ~~Ш91 С°8 *'
Ь = Т - V = -1хф2 + тпд1 совср.
Уравнение Лагранжа имеет вид
1ХЩ + тпд181П ф = 0.
ЗУ
В примере 6.1 обобщенная сила ф<,> = --^- = —т^/зтф
равна моменту силы тяжести, приложенной к телу, относительно
оси вращения Ох. Этот факт имеет общий характер.
Предложение 6.1. Пусть одна из обобщенных координат —
это угол поворота ф системы как единого целого вокруг
неподвижной оси I. Тогда обобщенная сила (^^ — это момент
внешних заданных сил в системе относительно оси1.
Доказательство. Пусть е/ — единичный направляющий
вектор оси поворота /. Пусть 5г^ = [ег,г^]8ф — виртуальное
перемещение, соответствующее повороту всей системы как твердого
тела вокруг оси / на угол 5ф. Тогда
5^,5?) = 5^-, [ег,г,])8Ф.
3 3
159

Делаем циклическую перестановку в смешанном
произведении, разделяем силы на внешние Р^неш и внутренние р"нутр и
замечаем, что слагаемые, соответствующие внутренним силам,
сокращаются. Находим, что
5>* [4.?]) = <ег,$>;->1ГГеШ]> = М\
3 3
Задача 6.2. Пусть координата х центра масс системы
выбрана как одна из обобщенных координат. Тогда обобщенная сила
(дх — это сумма внешних заданных сил в системе, в проекции на
ось Ох.
Лагранжиан системы можно изменить так, что уравнения
Лагранжа не изменятся. Такие преобразования называются
калибровочными. Они могут упростить лагранжиан. Приведем
примеры таких преобразований:
• Ь I—> сЬ, где с = сопвЪ ^ 0;
• Ь I—> Ь + с, где с = сопвй;
. Ь » Ь + /, где / = /(Ч>I) и /=^+-^.
Задача 6.3. Покажите, что эти преобразования
калибровочные, т.е. после их применения уравнения движения не
изменятся.
6.1.2. Явный вид уравнений Лагранжа. Геодезические
и движение по инерции
Пусть связи стационарны, тогда г^- = г^). Кинетическая
энергия в обобщенных координатах имеет вид Г = Гг =
= 2 Л ау(ч)*^' причем ау = а^. Поэтому — = ^а^щ. Зна-
г,з з
чит,
Л дТ ^-^ч ^-^ч дам . . &Г 1 ^-^ да«ъ . .
3 31* 3,Ь
Замечаем, что
Уравнения Лагранжа имеют вид
160

Пусть а1-7 — матрица, обратная к ау, так что ^Р а%8а8^ = 5} —
8
символ Кронекера. Домножив F.8) на а81 и просуммировав по г,
получим явный вид уравнений Лагранжа:
Величины
П _ IV" пи (^1 4. Эад* _ дазЛ
Чк 2^ 1^* дЧ5 дд,)
называются символами Кристоффеля римановой метрики
д.з2 = ^2 ^^?^? = 2ТсИ2.
Если обобщенные силы отсутствуют: ^ = 0, т. е. система
движется по инерции, то уравнения движения приобретают вид
й + Ег}*©»^0- F-10)
з*
Уравнения F.10) означают, что движение по инерции
происходит по геодезическим метрики из2 (см., например, [10]).
Иногда ее называют кинетической метрикой.
Мы заодно показали, что уравнения Лагранжа однозначно
разрешаются относительно вторых производных обобщенных
координат, т. е. их можно записать в виде F.7).
Замечание 6.3. Инвариантная форма записи уравнения F.9)
имеет вид У$д = О, где ф — вектор обобщенных сил с компонентами фв, а
V, обозначает ковариантную производную по направлению вектора д.
Если силы потенциальны, получим У$д = — §гай V, где вектор
градиента вычисляется в римановой метрике е/з2.
6.1.3. Первые интегралы уравнений Лагранжа.
Понижение порядка по Раусу
Интеграл Якоби. Рассмотрим уравнения Лагранжа в
потенциальном случае F.5).
161

Предложение 6.2. Пусть лагранжиан Ь не зависит явно
от времени I. Тогда функция
Е{ЧЛ) = (ЩЛ)~Ь FЛ1)
является первым интегралом уравнений Лагранжа.
Доказательство. Используя уравнения Лагранжа F.5) и то,
что -^- = 0, находим
аЬ
ОЕ^_^/дЬ Л_4Ь_
аг ~ач\д^,<1/ аг ~
/йдЬ А /дЬ Л /дЬ А /дЬ А п
Первый интеграл F.11) называется обобщенным интегралом
энергии, или интегралом Якоби. Поясним это название. В
общем случае Ь = Гг + Т\ + Го — V, где Г» — это однородная
форма степени г относительно обобщенных скоростей ^. По теоре-
/ гУТ1 \
ме Эйлера об однородных функциях ( -=-^, <П = зТ8. Значит,
Е = 2Гг + Т\ — Ь = Гг — Го + V. В случае, когда связи не зависят
от времени, имеем Т\ = Го = 0. Тогда Е = Г + V — это полная
энергия системы.
Циклические координаты и интегралы. Рассмотрим
систему с п степенями свободы и обобщенными координатами ^ €
€ Кп. Пусть Ь(ц, <1, ?) — лагранжиан системы. Координата ^8 на-
оь
зывается циклической, если Ь не зависит от нее, т. е. —— = 0.
В соответствии с уравнениями Лагранжа F.5) имеем — ^т- = 0.
а1Ща
Значит, циклической координате соответствует первый интеграл
движения тг-г- = рв, который называется циклическим интегра-
ОЧв
лом.
Понижение порядка по Раусу. Пусть координаты 8 =
= (зь з2, .. -, Зп-*) = (%+ъ 9Л;+2, - ¦ ¦, Яп) — циклические.
Остальные координаты г = (г1, гг, ..., г*) = (?1, ?2» ¦ ¦ ¦»Як) называются
позиционными. Лагранжиан имеет вид Ь(г, г, 8, 4). Циклическим
координатам соответствуют первые интегралы движения
¦^-=РеК', где 1 = п-к. F.12)
162

Из положительной определенности матрицы кинетической
энергии следует, что циклические интегралы, как функции
циклических скоростей, функционально независимы: матрица
д2Ь/дв2 положительно определена. Разрешим локально
систему уравнений F.12) относительно циклических скоростей: 8 =
= з(г, г, ?, р). Составим функцию Рауса
Я(г,г,*,р) = {Ь-фъЪ))\ыКт*МУ F-13)
Теорема 6.2 (уравнения Рауса). При фиксированных
значениях констант циклических интегралов переменные г
удовлетворяют уравнениям Лагранжа II рода с лагранжианом Я.
Доказательство. Выпишем дифференциал функции Рауса
F.13) как функции независимых переменных (г, г, *, C):
,„ дЯ^ дН^ш дН^ дПм ,„ЛА.
м=** + ^* + ЖЛ+вр*- F14)
Этот же дифференциал при рассмотрении Я как сложной
функции от (г, г, ?, Р) и 8 = в(г, г, ?, Р), имеет вид
АК = ^йг + ^йг + ^<й + ^Л - в Л - В Д. F.15)
от от от аЬ
Из F.12) следует, что -хт-сй — Виз =?= 0. Приравнивая в F.14)
и F.15) коэффициенты при дифференциалах независимых
переменных, получим
дЯ_дЬ дК_дЬ^ дК = дЬ^ 0Я = _.
дт~ дт' дт " я-' дь " «¦ ар ~ 8"
Рассмотрим систему с координатами г и лагранжианом А.
Движение системы будет описываться уравнениями Лагранжа
II рода
адН дК_
ТгЖ~Ж-°- F16)
Замечание 6.4- Если к уравнениям F.16) добавить уравнения
то получится система, эквивалентная исходным уравнениям
Лагранжа.
163

Система с координатами г и лагранжианом К называется
приведенной системой. Поскольку число степеней свободы
приведенной системы меньше исходного (на число циклических
координат), то метод Рауса называется также понижением
порядка системы по Раусу, или игнорированием циклических
координат по Раусу.
Если лагранжиан Ь не зависит явно от времени, то у
приведенной системы есть обобщенный интеграл энергии:
ЕГ(т,т,р) = (^,т^-Я = к. F.17)
Задача 6.4. Покажите, что обобщенная энергия приведенной
системы совпадает с обобщенной энергией исходной системы:
Е*(г,г,р) = ,Е7(г,г,8), F.18)
где р определяется из F.12).
Указание. Подставьте F.13) в F.17) и учтите F.12).
Пусть
Ь(Ч,*) = Ь2 + ЬХ + Ь0 = \(А(Ч)ъ*) + (а(Ч),4} - У(Ч), F.19)
где А — положительно определенная матрица; а — вектор; Ь{ —
однородная форма степени г по обобщенным скоростям.
Системы с таким лагранжианом называются
натуральными системами с гироскопическими силами (см. п. 9.1). Функция
V = — Ьо называется потенциалом такой системы, а 1-форма
Ь\ — гироскопической составляющей.
Задача 6.5. Пусть некоторые координаты являются
циклическими. Покажите, что после понижения порядка системы по
Раусу она останется натуральной системой с гироскопическими
силами. Потенциал в такой системе называется приведенным,
или эффективным, потенциалом.
Поскольку Е = Ь2 + V и Ь2 > 0, то потенциал V не больше
обобщенной энергии, а при нулевых скоростях совпадает с ней:
У(о)=Д'ъчО|4^<Я(*чО при всех <*. F.20)
Предложение 6.3. Значение потенциала У*(г,р) в
приведенной системе равно минимуму обобщенной энергии исходной
164

системы по обобщенным скоростям при фиксированных
значениях функций циклических интегралов:
Г(г,р) = ттЕ(г,з,г),
(8,Г)
где минимум берется при
Доказательство. Обозначим для краткости И^(г,C) =
= 1шп22(г,8,г) при — = В. Эта функция определена КОрреКТ-
Оз.г) 08
но, поскольку матрица А в F.19) положительно определена и,
значит, минимум всегда существует.
Для доказательства утверждения достаточно показать, что
неравенства У*(г,р) < к и 1У(г,р) < к равносильны.
Поскольку А положительно определена, то для любых г, г и р
система уравнений F.12) относительно 8 имеет решение з(г, г, р).
Пусть 7*(г,р) < к. Обозначим 8° = 8(г,г,р)|р=0. Тогда из F.20)
и F.18) имеем:
Щг#) < Д(г,Г,8°)|г=0 = Д*(г,Г,Р))|г=0 = ^*(Г,Р) < /I.
Пусть РГ(г,р) < к. Тогда найдется значение (г, з) такое, что
Е(з, г, з) < к и -^т- = р. Из F.20) получаем
ОБ
У*(Г,Р) < ^*(Г,Г,Р) = ^(8,Г,8) < к. Ш
В последующих подразделах будет показано, что понятие
эффективного потенциала используется не только при изучении
лагранжевых систем с циклическими интегралами. В более
широком смысле, если консервативная механическая система
допускает линейные по скоростям первые интегралы движения, то
эффективным потенциалом системы называется минимум
энергии системы по скоростям при фиксированных значениях этих
первых интегралов.
Пример 6.2 (движение точки в центральном поле). Эта
задача рассматривалась в подразд. 2.2. Поскольку движение
точки в центральном поле происходит в неподвижной плоскости, то
771
в полярных координатах Г = —(г2 + г2ф2), V = У(г). Цикличе-
165

дТ 2-
ский интеграл -=-г = гпг'ср = с — интеграл площадей Гкинетиче-
аф
тпт
ского момента). Функция Рауса Я = Ь — су = — К (г), где
ей. Приведенная система имеет одну степень свободы.
Ус = -—г + V называется приведенной потенциальной энерги-
2тг*
Пример 6-3 (движение точки по поверхности вращения).
Пусть материальная точка массы га движется в однородном
поле тяжести по гладкой поверхности вращения, ось симметрии
которой вертикальна. Обобщенные координаты: г — высота; ср —
полярный угол (рис. 6.2). Обозначим расстояние до оси
симметрии г = г (г). Воспользовавшись выражением A.4) для
скорости V точки в цилиндрических координатах (г,ф, г), получим
V2 = г2 + г2 + (гфJ. В данном случае г = г (г). Поэтому V2 =
= г2 + гаг2 + (гфJ, где г' = Дг/Дг. Выпишем лагранжиан
Ь =
ту2
_ У = 5! (A + г'2)^ + г2ф2^ _ т&г
Замечаем, что ср — циклическая координата, и находим
циклический интеграл:
9Ь 2- о
— = тгФ = р.
Его механический смысл — кинетический момент точки
относительно вертикальной оси. Найдем циклическую скорость: ф =
В
= —*-5 и построим функцию Рауса:
тгг
Рис. 6.2. Движение точки по
поверхности вращения
166

Мы перешли к приведенной системе с одной1 степенью
свободы.
Задача 6.6. Для примера 6.3 выпишите обобщенный
интеграл энергии и нарисуйте фазовый портрет приведенной
системы на плоскости (г, г).
Элементарный анализ областей возможности движения
{г | к — тдг — р2/Bтг2(г)) > 0}, а также фазовый портрет
приведенной системы показывает, что при определенном
соотношении между значениями постоянных кинетического момента р и
энергии к (Р не очень мал и к не очень велика) точка не
проваливается в «узкое горлышко» (см. рис. 6.2). Это, конечно,
противоречит нашему опыту из-за наличия трения в реальных системах
такого типа. Впрочем, если трение невелико, можно в простых
экспериментах наблюдать, что прежде чем провалиться в
«горлышко», материальная точка сделает несколько оборотов вокруг
оси симметрии поверхности.
Задача 6.7 (волчок Лагранжа). Пользуясь методом Рауса,
проведите редукцию уравнений движения волчка Лагранжа (см.
п. 5.4.1) к одномерной (приведенной) системе E.23).
Задача 6.8. Немецкий физик Г. Герц высказывал гипотезу,
что в реальных физических системах потенциальные силы
вызываются наличием скрытых координат, которые мы не можем
наблюдать, а движение в расширенном пространстве
происходит по инерции. Рассмотрим лагранжеву систему с
лагранжианом Ь = Ь2 + Ь\ + Ьц, где I/» — форма степени г
относительно обобщенных скоростей. Покажите, что можно добавить
одну новую координату дп+х и построить такой квадратичный по
скорости лагранжиан (кинетическую энергию), что новая
координата будет циклической, и при понижении порядка по Раусу
и исключении этой координаты приведенная система совпадет с
данной.
6.1.4. Лагранжева теория удара
Под ударом принято понимать кратковременный контакт
поверхностей движущихся тел, при котором области контакта
пренебрежимо малы (точечный контакт). Взаимодействие тел при
этом сводится к приложению больших по величине сил действия
и противодействия в точках контакта (а в более сложных
теориях рассматриваются и моменты сил в этих точках). Поскольку
167

время взаимодействия мало, расположение тел за это время
изменится мало.
Удар в лагранжевой механике трактуется как выход системы
на одностороннюю связь, а силы взаимодействия тел в точках
контакта — как реакция этой связи (ударная реакция). Для
простоты будем рассматривать только стационарные односторонние
связи.
Пусть я е Кп — обобщенные координаты механической
системы и д(€1) — гладкая функция, причем считается, что дд/дц ф О
в точках поверхности
Е = {ЧеКп:9(Ч)=0}.
Рассмотрим область
В = {Ч е Кп : »(ч0 < 0}
и ее замыкание Т) — {я € Кп : д{ц) < 0}. Ограничение я € Т)
называется односторонней связью, наложенной на систему1.
Движение я(*) такое, что я(т) Е Е и я(*) Е В при 0 < |* — т| < е,
называется движением с ударом в момент т.
Основной задачей теории удара называется задача
определения обобщенных скоростей V" сразу после удара, зная
положение я системы в момент удара и скорости V" непосредственно
перед ударом.
Основную задачу теории удара решают, вводя различные
предположения о свойствах реакции односторонней связи. Физическую основу
для этих предположений составляют следующие рассуждения.
В действительности удар — это идеализация реального процесса,
который протекает не мгновенно, а длится некоторое малое время. Для
описания этого процесса вместо односторонней связи ^ Е И вводится
большая сила К = (Я\, ..., Дп), препятствующая проникновению
системы в область д(с[) > 0, запрещенную неравенством односторонней
связи, или короче — в «запрещенную область». Для такой силы можно
предложить самые разнообразные модели. В простейшем случае
-{;
если д(ц) < 0,
0(ЛГ52)/&1, если <?(<!)> 0,
*/*- ,-л^п (б-21)
где параметр N считается большим (стремящимся к +оо). Эта и
некоторые другие модели для силы К рассмотрены в [16].
1В случае нестационарной односторонней связи область И зависит от
времени.
168

Движение системы описывается уравнениями
Такое семейство моделей, зависящее от большого параметра ТУ,
называется реализацией односторонней связи, наложенной на систему.
Пусть для некоторых фиксированных начальных условий 1~ (ТУ) и
*+(ЛГ) — соответственно времена входа решения ц[1) в «запрещенную
область» и выхода из нее. Можно проверить [16], что при естественных
предположениях о структуре силы К (например, если К определена
формулой F.21)) существуют и равны друг другу пределы
Шп Г(ЛП = 11т *+(М=т.
Момент времени т естественно назвать моментом удара. Кроме
того, существуют предельные значения обобщенных импульсов:
р± = Шп ?№)), где р(«) = ^.
Далее будут указаны некоторые аксиоматические модели удара об
одностороннюю связь и рассмотрены возможности реализации этих
моделей указанным выше способом.
Дадим определение гладкой односторонней связи с помощью
равенства
(р+-р-,5Ч>=0, р± = ^(,,^,-0 F.23)
в момент удара для любого виртуального перемещения 8^ е ГЧЕ
(т. е. вектора, касательного кЕв точке ^).
Неформальная мотивировка, приводящая к F.23), состоит в
следующем. Гладкость односторонней связи аналогична идеальности
обычной (двусторонней) связи. Это условие должно означать, что для
любого виртуального перемещения 5^ Е ТЧЕ выполнено (К, Вса) = 0.
Умножив F.22) скалярно на о^ и интегрируя по I в «бесконечно малой»
окрестности [1~(-ЛГ),*+ (И)) момента удара т, получим F.23), так как
величины &Г/дЦх и ^^ ограничены и при интегрировании в пределе
дадут 0.
Касательное пространство к поверхности Е в точке удара
называется плоскостью удара. Таким образом, из предположений
о гладкости связи следует, что при ударе проекция обобщенного
импульса на плоскость удара сохраняется.
169

Задача 6.9. Пусть односторонняя связь, наложенная на
систему, гладкая и на своей границе допускает поступательное
перемещение системы как твердого тела вдоль фиксированного
направления е. Тогда при ударе импульс системы в проекции на
это направление сохраняется1.
Задача 6.10. Пусть односторонняя связь, наложенная на
систему, гладкая и на своей границе допускает поворот всей
системы как твердого тела вокруг неподвижной оси I. Тогда при ударе
кинетический момент относительно этой оси сохраняется.
Равенство F.23) не дает достаточной информации для
решения основной задачи теории удара. Поэтому даже в случае
гладкой связи требуются дополнительные предположения.
Рассмотрим натуральную механическую систему с
лагранжианом вида F.19). В любой точке ц конфигурационного
пространства для любых векторов скоростей и и V введем скалярное
произведение
(и, \)т = (ЛСчОи, у) = ^а,-*(<1)и,-!/*.
Как упоминалось в подразделе 6.1.2, оно задает на
конфигурационном пространстве кинетическую метрику. Введем
единичный вектор нормали п к поверхности удара 2 в точке ^:
п А. ГЧЕ в кинетической метрике и |п|т = 1,
где |и|г — норма вектора и в кинетической метрике: |и|т =
= \/(и, и)т- В кинетической метрике любой вектор V
однозначным образом раскладывается на две составляющие:
касательную Уц и нормальную у_ь к поверхности удара:
у = уц+у_1_, где у_1_ = (у,п)тп, уц=у-у±.
Задача 6.11. Покажите, что
(*\\,*±)т = (уц, п)г = 0, |у& = |уц& + |у±&.
Составляющая уц является ортогональной проекцией вектора
у на плоскость удара в кинетической метрике.
*С точки зрения дифференциальной геометрии 8^ — вектор, ар— ковек-
торы, так что свертка (р+ — р~, 5я) = У^(р* — Р^)^Чз корректно определена
з
(не зависит от выбора локальных координат).
170

Задача 6.12. Покажите, что равенство F.23) эквивалентно
следующему утверждению: при ударе сохраняется проекция уц
обобщенной скорости на плоскость удара в кинетической
метрике. Меняется только нормальная составляющая скорости у_1_.
Модель Ньютона. В этой модели считается, что
односторонняя связь гладкая и при ударе отношение величин
нормальных составляющих скоростей до (у][) и после (у+) удара не
зависит от скорости, с которой происходит соударение:
у^ = -р^, у = сопз* € [0,1].
Естественно, нормальные составляющие до и после удара
направлены в разные стороны. Константа (I называется
коэффициентом восстановления нормальной скорости при ударе.
Объединив F.23) и модель Ньютона, получим
у|Г = у|Г' у1 = -^:- F-24)
Эта система уравнений однозначно определяет вектор V" по
вектору V" и нормали к поверхности Е в точке удара.
Формулу F.24) можно переписать в виде
у+ = V" - (у + 1)(у-,п)п. F.25)
Бели (л = 1, то удар называется абсолютно упругим, а
односторонняя связь идеальной. Бели же [I = 0, то удар называют
абсолютно неупругим.
Можно показать, что реализация односторонней связи с помощью
силы F.21) приводит при N —> +оо к абсолютно упругому удару.
Другие значения коэффициента восстановления можно получить,
добавляя к F.21) большую силу вязкого трения [16].
Задача 6.13. Покажите, что в рамках модели Ньютона удар
является абсолютно упругим тогда и только тогда, когда полная
энергия системы сохраняется при ударе.
Пример 6.4. Пусть однородный прямолинейный стержень
движется в плоскости Оху. Рассмотрим в рамках модели
Ньютона удар стержня о горизонтальную прямую у = 0, считая, что
стержень совершает движение в верхней полуплоскости.
Положение тела описывается тремя координатами: (х,у) —
координаты центра масс 5 и ф — угол наклона стержня к
вертикали (рис. 6.3). Кинетическая энергия определяется равенством
2Г = т(±2 + у2) + 7ф2,
171

где т — масса тела; 3 — момент
инерции относительно оси,
проходящей через центр масс и
ортогональной плоскости рисунка.
Значит,
01
Рис. 6.3. Удар прямолинейного
стержня о прямую
А = сИа§(га,т, .7),
А'1 = сЦав(т|т,7).
На систему наложены две
односторонние связи: — у ± / соз ф <
< 0 (I — половина длины стержня). В момент удара считаем, что
соз ф > 0. В этом случае можно учитывать только связь д(у, ф) =
= — У +1 сое ср < 0. Нормаль п к плоскости удара имеет вид
П = = @, 7, ГП1 81П ф).
у/тЗ{1 + га/2 8Ш2 ф)
Из F.25) получаем решение основной задачи теории удара
для рассматриваемой системы:
V = V-
+ _ _ (^ + 1O(уу +/8Шфуф)
У У Л-т/28П12ф
F.26)
+ _ _ (Ц + 1)т1 8Ш ф(у~ + / 81ПфУ~)
Уф ~Уф Л-т/2зт2ср '
При отражении луча света от гладкой поверхности угол
падения равен углу отражения. Точно так же меняется и скорость
при абсолютно упругом ударе, если углы рассматривать в
кинетической метрике. Углы падения и отражения при ударе (а*)
определяются как углы между скоростью и нормалью к
плоскости удара в кинетической метрике:
*8«± =
Задача 6-14- Покажите, что в случае абсолютно упругого
удара угол падения равен углу отражения.
Отметим, что модель Ньютона
моделей удара1.
лишь одна из возможных
1 Большое количество (как правило, существенно более сложных) моделей
имеется в кн. : Иванов А. П. Динамика систем с механическими
соударениями. — М. : Международная программа образования, 1997.
172

Нестационарные связи. Бели односторонние связи, наложенные
на систему, зависят от времени, то в соответствии с принципом Галилея
модель Ньютона применима, если движение системы рассматривается
в такой инерциальной системе координат, в которой в момент удара в
точке удара граница связи неподвижна.
Задача 6.15. На движение точки массой т по плоскости Оху
наложена связь 1х—у<0. Пусть в начальный момент I = О точка покоилась
и занимала положение я@) = 1,2/@) = 1. Покажите, что если удар
абсолютно упругий, то после удара точка приобретет скорость (—1,1).
Кратный удар. Если удар происходит о несколько односторонних
связей одновременно (кратный удар), то ситуация резко
усложняется. В этом случае определить скорость V" естественным образом, как
правило, не удается. Действительно, естественный подход к
проблеме определения V" для кратного удара состоит в следующем.
Изменим слегка начальные условия для движения ^(?). Тогда, как правило,
кратный удар исчезнет, превратившись в серию однократных ударов,
в результате которой ^(?) покинет малую окрестность точки исходного
кратного удара. Назовем кратный удар корректным, если для
некоторой постоянной с > 0 движение ^(?) на отрезке [т — с, т + с] непрерывно
зависит от начальных условий (яо,Чо) = (ч(т — с),<1(т — с)) в
предположении, что эти начальные условия близки к исходным и устраняют
кратный удар в окрестности момента времени т.
Пусть ^*, 40 — начальные условия для исходной траектории в
момент времени т — с. Бели кратный удар корректный, то скорость V4"
можно определить так:
\+ = Нш Шп 6;(т 4- е)-
е->о(Чо,яо)-^ф,Яф)
Здесь во внутреннем пределе предполагается, что на движении с
начальным условием (яо, <1о) нет кратных ударов при I Е [т — с, т + с].
К сожалению, в большинстве ситуаций кратный удар корректным
не является.
Задача 6.16. Покажите, что кратный абсолютно упругий удар о
две односторонние связи корректен
в том и только том случае, когда в
точке кратного удара граничные
поверхности связей пересекаются под
углом л/га, га = 2,3,4, ... в
кинетической метрике.
Указание. Достаточно
рассмотреть задачу о движении точки во
внутренности угла на плоскости
(рис. 6.4). Удары о границу угла аб- Рис. 6.4. Движение точки во
солютно упругие. внутренности угла
173

6.1.5. Биллиарды
Пусть на плоскости имеется открытая связная область ?) с гладкой
границей у. Рассмотрим точку, движущуюся в 01)у так, что движение
в области В равномерно и прямолинейно, а удар о границу является
абсолютно упругим (рис. 6.5). В качестве кинетической метрики следует
взять стандартную метрику плоскости. Полученная механическая
система называется биллиардом в области Б.
Эта задача имеет множество обобщений. Все они также называются
биллиардными.
А. Граница у может оказаться лишь кусочно-гладкой. Тогда удар
об угловую точку границы, как правило, не определен (см. задачу 6.16).
Тем не менее траектории системы оказываются определенными для
почти всех начальных условий.
В. Можно рассмотреть аналогичную систему в случае, когда В —
область в трехмерном евклидовом пространстве, а у — граничная
поверхность.
В. В качестве В можно взять область на произвольном римановом
многообразии М. Тогда движение внутри ?) происходит по
геодезическим, а кинетическая метрика, задающая закон упругого удара о
границу, совпадает с римановой метрикой на М.
Г. Биллиардные системы из примеров А — В можно усложнить
путем введения сил, действующих на точку внутри области П.
К задаче о биллиарде сводится одна из фундаментальных моделей
статистической механики — «газ твердых шариков». Шарики в этой
модели выступают в качестве молекул газа. Поэтому утверждения о
динамике в этой системе имеют ясные физические интерпретации.
271
Рис. 6.5. Биллиард в области ?) с Рис. 6.6. Биллиард на торе
границей у Т2 = {(х,у) тоё 2тс} во
внешности круга К. Ломаная 1—2—3—
4 — 5—6 дает пример траектории
174

Рассмотрим одну из простейших систем такого типа (биллиард
Синая). Пусть имеются два упругих шарика радиуса г на торе Т3 =
= {(х, 2Л А пюй 271}. Двумерный вариант изображен на рис. 6.6.
Задача 6.17. Проверьте, что в случае 4г < 2к задача эквивалентна
биллиарду на торе во внешности шара радиуса 2г.
Указание. Нужно понизить порядок системы с помощью закона
сохранения импульса.
Имеются серьезные основания считать, что системы жестких
шариков должны демонстрировать ярко выраженное хаотическое
поведение. Однако теория таких систем еще далека от завершения1.
Задача 6.18. Пусть на отрезке [0,1] движутся две точки с
массами 7711 и Ш2- Соударения точек друг с другом, а также с концами
отрезка — абсолютно упругие. Проверьте, что эта система эквивалентна
биллиарду в треугольнике. Вычислите углы треугольника в
кинетической метрике.
6.2. НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
Напомним, что система называется неголономной, если на нее
наложены дифференциальные связи, которые невозможно
представить в виде геометрических.
6.2.1. Уравнения Лагранжа с множителями
Пусть на систему наложены геометрические C.16) и
линейные дифференциальные C.20) связи, причем связи C.20) нельзя
привести к виду C.16).
Забывая (на время) о дифференциальных связях C.20),
введем обобщенные координаты2 ^ = (?1, ..., дп):
г« = *(**), » = 1 ЛГ- F.27)
При этом соотношения C.16) выполняются тождественно, а
соотношения C.20) принимают вид C.21). Будем считать, что
связи C.20) независимы.
Виртуальные перемещения 5? удовлетворяют равенствам
п
^2 а1Мэ =0, / = 1, ..., т. F.28)
3=1
!См., например, Бунимович Л. А. Статистические свойства двумерных
гиперболических биллиардов / Л.А.Бунимович, Я.Г.Синай, Н.И.Чернов //
Успехи мат. наук, 1991. - Т. 46. — № 4. — С. 43 — 92.
2Если связи C.16) независимы, то п = ЗЛГ — I.
175

Согласно принципу Даламбера—Лагранжа в обобщенных
координатах F.4) для любых виртуальных перемещений F.28)
должно выполняться
§(-!&+ 5^)^--. <6Й»
где Г — кинетическая энергия системы в обобщенных
координатах; Я$ — обобщенные силы:
Т = Г(Ч| <[,*), Я, = ЯМАЛ
Воспользовавшись правилом множителей Лагранжа (см.
задачу 3.15), получаем, что найдутся числовые функции Х^(*), A =
= 1, ..., гп (множители Лагранжа), для которых
Уравнения F.30) совместно с уравниями связей C.21)
замкнуты относительно п + т переменных ?1, ..., дп Дь ..., Хт.
Если силы потенциальны, т.е. 6? = —дУ^/дд^, то
уравнения F.30) записываются в более компактной форме
й дЬ дЬ \-^ - /л«^ч
^-^ = ХЛ««> 3 = 1'•••"' F-31)
где Ь = Г — V — лагранжиан системы.
6.2.2. Принцип Гаусса. Уравнения Аппеля
Уравнения Аппеля движения неголономных систем не содержат
неопределенных множителей. Они являются прямым следствием
принципа наименьшего принуждения Гаусса.
Определение 6.1. Рассмотрим механическую систему, состоящую
из N материальных точек. Зафиксируем в некоторый момент времени
Ь их положения г = (гх, гг, ..., глг) и скорости г = (гх, гг, ..., глг)-
Придадим точкам системы ускорения г = (гьГг» ... ,глг)- Принуждением
по Гауссу называется функция
лг
г.
771»
2
F.32)
С(г)=Х>,|
1=1
где Шх — массы точек; Е\ (г, г, Ь) — заданные силы, действующие на них.
176

Если ввести матрицу масс М = (Иа§(т1, т\, т\, ...,тлг, льдт, галг)
и вектор сил Г = (Рх, ...,Рлг), то эту функцию можно записать в
следующем виде:
С(г) = (М(т - М?), (г - М?)) . F.33)
Пусть на систему наложены идеальные связи вида C.27): А(т, 1)т +
+ Ь(г, Ь) = 0, где А — к х ЗТУ-матрица; Ь — й-мерный вектор.
Продифференцировав по времени уравнения связей, получим соотношения,
которым должны удовлетворять ускорения точек системы:
^(г,*)* + 8(г,г,*)=0, F.34)
где в & собраны все члены, не содержащие ускорений.
Теорема 6.3 (принцип Гаусса наименьшего принуждения).
Ускорения точек системы обеспечивают минимум принуждения
F.32) при условиях F.34)-
Доказателъство. Условия F.34) определяют аффинное
подпространство П в пространстве ускорений. Принуждение по Гауссу
является полиномиальной функцией второй степени на нем. Квадратичная
часть этой функции (строго) положительно определена. Поэтому
принуждение по Гауссу имеет единственную точку г* экстремума на П, в
которой достигает своего минимума. В соответствии с правилом
множителей Лагранжа при поиске условного минимума С(т) на П
найдется такой вектор X = (Х1, ..., Х&), что будет выполнено
МР - Р = АГХ.
Это соотношение (вместе с уравнениями связей) совпадает с
уравнениями Лагранжа I рода C.37), описывающими движение системы. ¦
Если бы точки системы были свободны от всяких связей, то в
соответствии со вторым законом Ньютона их ускорения были бы равны
а? = Ь\/т*> поэтому
С(г) = (М(г-а°),(г-а°)>.
Таким образом, принуждение по Гауссу равно квадрату отклонения
ускорения г от ускорения системы, освобожденной от связей. Причем
величина отклонения измеряется в кинетической метрике. В связи с
этим принцип Гаусса формулируется следующим образом: среди
ускорений, допускаемых связями, действительное ускорение системы1
минимизирует отклонение от ускорения системы, освобожденной от
связей.
Проясним употребление слова «принуждение» в названии
принципа Гаусса.
Действительное ускорение — это ускорение, которое имеет система в
реальном движении.
177

Задача 6.19. Покажите, что принуждение по Гауссу равно
— |Нп|2, где К» — реакции связей, и поэтому принцип Гаусса мож-
г=1
но сформулировать следующим образом: среди ускорений, допускае-
мых связями, на действительном ускорении величина У —|П»|2 ми-
*—* ГЛ.;
нимальна.
*=1т*
Перейдем теперь к выводу уравнений Аппеля, шин уравнений
движения в квазискоростях. Квазискорость — это (обычно неинтегриру-
емая) линейная комбинация скоростей обобщенных координат с
коэффициентами, зависящими от координат и времени. Введение
квазискоростей помогает упростить вид уравнений движения.
Неинтегрируемость означает, что невозможно ввести новую обобщенную координат
ту, скорость которой выражалась бы такой линейной формой. В
частности, «вектором» квазискорости может быть просто п-мерный вектор
обобщенных скоростей (? или п-мерный ковектор обобщенных
импульсов дЬ/дц. В последнем случае для голономных систем уравнения
движения в квазискоростях можно записать в форме уравнений
Гамильтона (см. подразд. 13.1).
Как и в подразд. 6.2.1, разделим связи на геометрические и неголо-
номные. Избавимся от уравнений геометрических связей, введя
обобщенные координаты Я = (<7ъ • • ¦, <?п)> а неголономные связи запишем в
виде C.22):
А(Ч,*)<1 + Ъ(Ч,*)=0, F.35)
где А = (аи) — (п х т)-матрица; Ь = (?) — тгс-мерный вектор.
Представим уравнения связей F.35) в параметрической форме:
с* = В(Ч,*)*> + с(Ч,*), F.36)
где В — п х (п — т)-матрица, с € Кп, со € Кп~т. Это означает, что
при подстановке F.36) в уравнения связей F.35) последние
удовлетворяются тождественно, причем гапкБ = п — т. Такое представление не
единственно. Его можно получить, например, разрешив систему F.35)
относительно некторого набора п — к обобщенных скоростей.
Величины со = (а>1, ... ,б>п_т) называются квазискоростями. Такое название
отмечает то, что может не существовать обобщенных координат, для
которых со» были бы обобщенными скоростями, т. е. нельзя найти
функции /г(<1, <) такие, что /^=@?.
Продифференцировав F.36) по времени, получим выражение
обобщенных ускорений через квазиускорения
Я = В(Ч,*)со + 8(я, *>,*), F.37)
где в & собраны все члены, не содержащие со. Поэтому для ускорений
точек системы в исходном пространстве имеем равенство
178

дт
г= ^-Всо + Ь(Ч,со,*),
где в Ь собраны все члены, не содержащие со.
Функцию принуждения по Гауссу F.33) выразим через обобщенные
координаты, квазискорости и квазиускорения:
С(Ч, со, со) = (Мг, г) - 2(г, Р) + (М~1Т9 Р) = 25 - 2(со, П) + /,
где 5(? со, со) = -(Мг,г) — так называемая энергия ускорений; П =
/я \ ^1
= I ^— В ) Р — обобщенные силы, отвечающие квазискоростям; в /
собраны все члены, не содержащие со.
В соответствии с принципом Гаусса действительные
квазиускорения доставляют минимум этой функции, что дает соотношения
0С/0СО = О, ИЛИ
||-П = 0. F.38)
Эти уравнения называются уравнениями Аппеля. Вместе с
уравнениями F.36), связывающими скорости и квазискорости, они полностью
описывают движение системы.
Более подробную информацию об уравнениях Аппеля и их
применении можно найти в [25].
6.2.3. Неголономные системы Чаплыгина. Уравнения
Чаплыгина
Предположим, что неголономные связи F.35) не зависят от
времени и однородны по обобщенным скоростям, т. е. Ь = 0. Разрешим
соотношения F.35) относительно каких-либо тп (пусть — последних)
обобщенных скоростей:
к
Як+» = $3^(ч)*! Ц = 1, ¦..,т, к = п-т. F.39)
1=1
При этом уравнения F.30) можно представить в виде
А ЛТ1 /У7
-г. тг: = -д- + <3к+» - Хи, (д = 1, ..., т. F.41)
Выражая из уравнений F.41) неопределенные множители
дТ а дТ
Хц = Одс+и +
дЯк+Ц А %+[!
179

и подставляя их в F.40), имеем
аЧ дяг дф ^ \ аЧ дйь+и дЯк+р )^г~
ггГ F.42)
= Яъ+ ^(^11+^, г = 1, ...,?.
Система га уравнений F.39), F.42) замкнута относительно п
переменных 91) ¦ ¦ ¦, Яп и не содержит неопределенных множителей.
Предположим, что кинетическая энергия Т, обобщенные силы (Э^ и
коэффициенты с^ неголономных связей F.39) не зависят от га = п — А
обобщенных координат дл+и» ц = 1, ..., га. Такие неголономные
системы называются системами Чаплыгина.
Введем функции
Г* =Г*(9ь ...,Фе|91> --->91е) = СО|F39),
т
О* = <Эг*@Ь ---,^,91, -¦-,&)= (О* + $^ 0*+^*) I F 39)»
[1=1
Т|1 = ^(?1, ..., Як, 91, ¦ ¦ •, %) =
/_0Г
"I •
И/ 1F.39)
Vц^^ = VкД^^-(91V ...,%59ь • ¦ ¦ ,Як) = ^- - -^- = -ч»ц,
т
ТО' = У ^ТИ^О'»
ц=1
где выражение (/)|(б.зэ) означает, что в функцию / подставляются
значения обобщенных скоростей ^+^ из F.39).
Тогда уравнения F.42) (с учетом соотношений F.39)) можно
представить в виде
^Ж~^ = д'+^™' » = !.—*¦ F-43)
.7=1
Действительно, вычисляя
дТ^_ о>Т ^ ЯГ
И=1 .7=1
и учитывая уравнения F.39) и F.42), имеем F.43).
180

Уравнения F.43) называются уравнениями Чаплыгина. Они
замкнуты относительно переменных ^\,...,^к• Если ^ = фг(*)»
г = 1, ..., /с, — решение уравнений Чаплыгина, то переменные ^к+\^
определяются простым интегрированием уравнений F.39). Если связи
интегрируемые, то у^- = 0, и получаются обычные уравнения Лагран-
жа.
Замечание 6.5. Если обобщенные силы консервативны, то
уравнения F.43) принимают вид
а дт*
(И дф дд{
дТ* ЭК Л ,
= ~^т + 2Лущ, 1 = 1,--.,*,
.7=1
F.44)
где V = У(д1, ..., 9л) — потенциальная энергия. Поскольку у^- = — у^,
они допускают интеграл энергии
Г* + V = Н = сопз!.
F.45)
6.2.4. Качение диска по горизонтальной плоскости
Рассмотрим задачу о качении тяжелого однородного диска по
горизонтальной плоскости без проскальзывания (рис. 6.7). Пусть Охуг —
неподвижная система координат (плоскость Оху совпадает с опорной
плоскостью, ось Ог направлена вертикально вверх), а 5ЗД — главные
центральные оси инерции диска (плоскость 8%Г) совпадает с
плоскостью диска, а ось 5С ортогональна последней). Обозначим через а
радиус диска, а через тп его массу. Пусть х,у,г — координаты центра масс
диска в неподвижной системе; ф, 0, ф — углы Эйлера, определяющие
ориентацию подвижной системы. Полагая, что диск все время
касается опорной плоскости, имеем г = а вш 6. Таким образом, х, у, ф, 9 и ср —
обобщенные координаты диска. Полагая, что диск не может скользить
по плоскости, имеем для точки К
диска, в которой он ее касается,
ук = ^ + [со,5Х]=0. F.46)
Учитывая соотношения
^з = хех + уеу + гег,
5 К = а(соз 0 81П фея; — соя 0 соз фе^ —
— зт0ег),
СО = @ СОЗ ф -|- ф 8Ш 0 8И1 ф)ея; +
4- @ 81П ф — ф 8Ш 0 соз ф)еу+
+ (фсоз0 + ф)е2,
Рис. 6.7. Качение диска по
горизонтальной плоскости
181

приведем уравнение F.46) в проекциях на неподвижные оси к виду
х = —а(зт 9 зт ф 0 — (ф + ф соз 0) сов ф), F-47)
у = —а(зт 0 соз ф 0 + (ф + ф соз 0) вт ф), F.48)
г = а0 соз 0 = (а зт 0)'. F.49)
Соотношения F.47) и F.48) представляют собой неголономные
связи, разрешенные относительно х и у, а соотношение F.49) — голо-
номную связь г = азтО в дифференциальной форме.
Коэффициенты неголономных связей не зависят от координат х и у. Аналогичным
свойством обладают кинетическая Т и потенциальная V энергии диска:
Г = \ш{±2 + у2 + а202 соз2 0) + 1тпа2ф2 + ф2 зт2 0)+
2 о
+ -та2((ф + фсоз0)8тфJ,
V = тпда зт0.
Таким образом, диск на абсолютно шероховатой плоскости
представляет собой консервативную неголономную систему Чаплыгина.
Задача 6.20. Покажите, что уравнения движения диска в форме
Чаплыгина имеют вид
аот* дт* ду адт* 2 . ..
5^ = -90-"90' ^=та81п9*9'
адт* 2 .
= —та вт
F.50)
где
ей Зф
5 1 3
Г* = -та202 + -та2 зт20ф2 + -та2(ф + фсо8 0J.
8 8 4
Уравнения F.50) допускают интеграл энергии
Я = Г* + У = Л = отав*. F.51)
Для того чтобы проинтегрировать эти уравнения, введем вместо
обобщенных скоростей фиф квазискорости д = ф8т0иг = ф-|-ф соз 6
(диг- проекции угловой скорости диска на линию наибольшего
ската 8 К и нормаль к плоскости диска 5С). Перепишем второе и третье (с
учетом второго) уравнения системы F.50) в виде
2 ¦
г = «00, (дашв)" = 2гввш8. F.52)
о
В новых переменных интеграл энергии примет вид
§ё2 + ±«72 + §г2+ ^9=-^. F.53)
8 8 4а та2
182

Обозначая штрихом дифференцирование по 8, приведем уравнения
F.52) к виду
2
г' = -д, (дашвI = 2гзт6.
о
Дифференцируя первое уравнение этой системы по 6 и исключая с
помощью второго </, получаем
г"+ /^8-^- = 0.
о
Это уравнение представляет собой гипергеометрическое уравнение
Гаусса, его решение г = гF) представляется гипергеометрическими
3
рядами1. Зная г(8), находим д(8) = -г'(8) и, следовательно (см. F.53)),
Таким образом,
е
-й=/
Обращая этот интеграл, имеем 6 = 9D), г = г(9(*)), д = ?(9D)), т.е.
Ф = Ф(*)> Ф = Ф(*) и
г *
ф = фо + Г ф(*)*1 Ф = фо + Г Ф(*)*-
Используя эти формулы, можно показать [4], что для почти всех
начальных состояний диска при всех I выполнено неравенство 0 < 8B) <
< 71. Этот результат объясняет удивительную способность диска
катиться по плоскости, не падая.
6.2.5. Неголономный шар в цилиндре
Рассмотрим однородный шар радиуса а и массы т, который
катится без отрыва и проскальзывания в вертикальном цилиндре радиуса
Н > а (рис. 6.8). Пусть Охуг — подвижная система координат,
построенная следующим образом: Ог — ось симметрии цилиндра; О —
проекция точки 5 (центр шара) на Ог, ось Ох направлена из О в 5. Таким
1С этими вопросами можно ознакомиться, например, в кн. Бейтмен Г.
Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Ле-
жандра. Справочная математическая библиотека. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. —
М. : Наука, 1973.
183

образом центр шара и точка касания
шара и цилиндра А лежат на этой
оси: ЗА = аех, О8 = (Я — а)ех.
Чтобы получить замкнутую
систему уравнений движения шара,
Ч ^—ч^ Х*-----^! Г1* запишем условие качения без про-
" I лг*л I 1 I скальзывания А\ теорему об
изменении импульса Б; теорему об
изменении кинетического момента в осях
Кёнига В.
Цилиндрические координаты
точки 5 обозначим (р = Я — а, ср, й);
** = (р> Ччг) ~ угловая скорость
шара в проекции на оси системы Охуг\
Рис. 6.8. Шар в цилиндре. Ось а = (Нх,Ну,Кг) - реакция в точ-
О х неподвижна ке касания шара и цилиндра в
проекции на эти же оси.
А. Условие качения без проскальзывания состоит в том, что равна
нулю абсолютная скорость точки А шара, касающейся цилиндра:
ул=у5 + [со,5А]=0. F.54)
В проекции на подвижные оси
V*? = (О, (Я - а)ф, Л), [со,Щ = @,аг, -ад).
Подставив в F.54), получим два уравнения
(Я - а)ф + аг = О, Н-ад = 0. F.55)
Б. Ускорение центра масс шара в проекции на подвижные оси:
&з = (-(Я - а)ф2, (Я - а)ф, Н).
Теорема об изменении импульса системы дает уравнения
-т(Я —а)ф2 = Ях, т(Я — а)ф = Яу, тН = — тд + Нг. F.56)
В. Тензор инерции шара относительно центра масс равен ЗЕ, где
3 — 2та2/Ъ\ Е — единичная матрица. Для единичных ортов
подвижной системы имеем
ёх = е^ф, ёу = -ехф, ёг = 0.
Выпишем скорость изменения кинетического момента шара в осях
Кёнига:
К3 = 36> = 3-т-(рех + деу + гег) = 3(р - ду)ех + 3(д + ру)еу + Згег.
184

Момент сил тяжести относительно центра масс равен нулю.
Остаются только моменты реакций
М5 = [ЗА, К] = -аНгеу + аНуег.
Теорема об изменении кинетического момента в осях Кёнига дает
уравнения К$ = М$:
7(р - 9ф) = 0, 7(д + рф) = -аД2, Зт = аНу. F.57)
Система уравнений F.55) — F.57) замкнута относительно
неизвестных (ср, Л,р, д, г, Ях, Ну, Яг). Найдем ср(*) и НA). Первое уравнение F.56)
можно отбросить, так как Нх в других уравнениях не участвует.
Исключив Ку из второго уравнения F.56) и третьего уравнения F.57),
получим тпа(Н — а)ф = 7г. Исключив Яг из третьего уравнения F.56)
и второго уравнения F.57), имеем а(тпН + гпд) = —«/(<? +рф). Остается
пять уравнений
(Д - а)ф + аг = 0, тпа(Я - а)ф = 7г, F.58)
Л — ад = 0, р — дф = 0, таЛ 4- ./(<? 4- рф) = —тпда F.59)
относительно неизвестных (ф, й,р, д, г).
Рассмотрим систему F.58). Дифференцируя первое уравнение по
времени, получаем (К—а)у+аг = 0. Тогда из второго уравнения имеем
(та2 + «7)(Д — а)ф = 0. Поскольку Д > а, то ф *= фо = сопз!;. Но тогда
из первого уравнения следует, что и г = соп&1.
Рассмотрим теперь систему F.59). Дифференцируя третье
уравнение по времени и подставляя р из второго, получаем
та'К + 7§ 4- «/фо? = 0. F.60)
Дважды дифференцируя первое уравнение F.59) по времени и
подставляя Н в F.60), имеем
{та2 + ¦/)§ + 7ф§д = 0. F.61)
Общее решение этого линейного однородного уравнения второго
порядка имеет вид:
9 = АсовП* + ВвшШ, П2 = , 'У0 ТЧ,
(та2 4-./)
где А и В — произвольные постоянные. Теперь из первого уравнения
F.59) находим Н:
Аа _ Да _.
Л = Л0 4- -тг- 81П Ш — СОВ Ш.
ли ли
185

Итак, при фо ф 0 к совершает гармонические колебания. Значит,
шар не упадет вниз, а будет периодически возвращаться на начальную
высоту1. Конечно, если в системе энергия рассеивается, Н будет
уменьшаться (хотя и не обязательно монотонно).
Задача 6.21. Рассмотрите случай фо = 0.
1 «Игрокам в гольф не так уж не везет, как они думают.» (Литлвуд Дою.
«Математическая смесь»).

Глава 7
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
И СИММЕТРИИ
7.1. СИММЕТРИИ
7.1.1. Поле симметрии. Теорема Нётер
Рассмотрим лагранжеву систему с обобщенными
координатами ^ е Кп на конфигурационном пространстве М1. Тогда
в качестве координат на фазовом пространстве можно взять
х = (ч» ч) € Л*2п- Пусть Ь(^ <1,1) — лагранжиан системы.
Определение 7.1. Преобразование <? : Ч >-> д(ц)
конфигурационного пространства сохраняет лагранжиан ?D,4,2), если
для любой кривой 4C) в конфигурационном пространстве для
любых з и I выполнено
,(чМ,^),()^(г(чМ), 4ИЙЦ
Говорят также, что лагранжиан Ь инвариантен по
отношению к преобразованию С.
Задача 7.1. Покажите, что Ь инвариантен по отношению к
д тогда и только тогда, когда для любой точки D, ц) фазового
В данной главе все построения и вычисления, как правило, производятся в
локальных координатах на конфигурационном и фазовом пространствах.
Однако при естественных дополнительных предположениях (типа полноты
векторных полей и пр.) обсуждаемые объекты существуют глобально. Читатель,
знакомый с дифференциальной геометрией, легко убедится, что все
построения не зависят от выбора лагранжевых координат и, следовательно,
справедливы на многообразии. Такой, несколько наивный, подход к предлагаемому
материалу, в сущности, эквивалентен предположению, что конфигурационными
пространствами у рассматриваемых систем являются не произвольные
гладкие многообразия, а области в Кп.
187

пространства в любой момент времени * выполнено равенство
ДЧЬЧ?*) = М&(ч)> я~^*)- Определим отображение1 С
фазового пространства по формуле С(я,<50 = I д(ц), ^-41 )¦ Получим
условие инвариантности в виде Ь(С(х), ?) = Ь(х, ?).
Если координата дп циклическая, то преобразование да (д1?
¦ ¦ ¦ 1 <7п) = (?11 ¦ ¦ ¦ 1 Чп-ъЧп + «) сохраняет Ь. Это позволяет
переформулировать условие существования циклического интеграла
в геометрических терминах.
Дифференциальное уравнение -г- = ч' = V(^), где V — век-
ад
торное поле на пространстве положений, задает фазовый поток
Ч |-> 9* (ч) ~~ преобразования сдвига на «время» з вдоль фазовых
кривых. Это однопараметрическая группа преобразований
пространства положений: д° = к! — тождественное преобразование,
д*1 +82 =д8! одз2
Определение 7.2. Векторное поле V на
конфигурационном пространстве называется полем симметрии лагранжиана
Ь(ч, ЧЬ*), если он инвариантен по отношению к
преобразованиям д3 сдвига вдоль фазовых кривых поля V.
Группа д8 продолжается до группы преобразований фазового
пространства:
0-:@,4)-(/(,),^4)
,2ч ™00"а_л, .^Юа
Поскольку д"(ц) = я+яу(д) + 0(в2), то -=— 4 = 4+з . 4+
+ 0(з2). Значит, С8 является фазовым потоком системы
дифференциальных уравнений в К2"
Ч'-уЮ, «0' = ^* G.1)
Здесь
0у = /сМз)\
ач V ^ )
1В инвариантных терминах С = йд — отображение кокасательного
расслоения ТМ, соответствующее отображению д : М —> М.
188

— матрица частных производных компонент векторного поля
V = («1, ...,«„). Отсюда следует, что V — поле симметрии Ь
тогда и только тогда, когда Ь является первым интегралом
уравнений G.1), т.е.
ЛЬ /дЬ \ /дЬ ду.\ п ,_оЧ
Теорема 7.1 (теорема Нётер). Если\ — поле симметрии,
то Ф^, ч, <) = ( я"г»у ) ~~ первый интеграл уравнений Лагран-
жа.
Доказательство. Дифференцируя Ф в силу уравнений
Лагранжа, получим из G.2)
¦ /йдЬ \ /дЬ ду.\ л
Задача 7.2. Пусть у^°) ф 0. Тогда в окрестности точки ^0
можно выбрать обобщенные координаты так, что интеграл
Нётер станет циклическим.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о выпрямлении
векторного поля и выберите координаты, в которых V = A,0, ..., 0).
7.1.2. Симметрии неголономных систем
Теорему Нётер 7.1 можно обобщить на неголономные системы.
Пусть на систему с лагранжианом Цця с), ?) наложены идеальные
неголономные связи вида C.22):
*(* Я, *) = А(Ч> 04 + Ь(Ч> О = 0, G.3)
где А — к х п-матрица; Г и Ь — ^-мерные векторы.
Движение системы описывается уравнениями F.31), которые также
запишем в матричной форме:
где X = (Хх, ..., Хй) — вектор множителей Лагранжа.
Будем говорить, что связи G.3) допускают сдвиг вдоль
векторного поля V(^), заданного на конфигурационном пространстве, если в
любой момент времени система допускает виртуальное перемещение
^ II у(«|):
Ай,*)у(<1) = 0. G.5)
189

В частном случае, когда Ъ(я, I) = О, это означает, что фазовые
кривые поля V удовлетворяют уравнениям связей.
Теорема 7.2. Если V — поле симметрии лагранжиана Ь и
связи G.3) допускают, сдвиг вдоль V, то Ф(я,Я,2) = ( -^т,ч ) — первый
интеграл уравнений G.4).
Доказательство. Дифференцируя Ф в силу уравнений G.4),
получим из G.2)
. /ЛдЬ \ /дЬ дч\ #,т_ ч Л . . Л
Ф = {**'7 + (*¦*ч/ = {А Х'У) = (Х'Ау) = °" "
Будем говорить, что связи G.3) инвариантны по отношению к
преобразованию д : я и-* </(я) конфигурационного пространства, если для
любой кривой я(т) в конфигурационном пространстве для любых т и Я
выполнено
,(,,^,,) =ф(,(т)),*Й1»,().
Векторное поле у(я) на конфигурационном пространстве
называется полем симметрии системы со связями G.3), если не только
лагранжиан Ь, но и связи инвариантны по отношению к преобразованиям
сдвига вдоль фазовых кривых поля V. Наличие такого поля
позволяет применить метод Рауса (см. п. 6.1.3) и уменьшить на единицу число
степеней свободы (по крайней мере локально).
В самом деле выпрямим поле симметрии в окрестности неособой
точки так, чтобы V = A,0, ..., 0). В этом случае координата ?1
называется циклической для системы со связями G.3). От нее не зависит
лагранжиан и уравнения связей: дЬ1до\ = 0, 9Г/9^1 = 0- Кроме того,
первый столбец матрицы А равен нулю, т. е. сц не входит в уравнения
связей: дГ/д^1 = 0. Первый интеграл системы, который она имеет в
силу теоремы 7.2, вида дЬ/дс[\ = 01 = сопз1; называется циклическим
интегралом системы со связями G.3). Выразим из него сц как
функцию остальных (позиционных) координат и скоростей Яр, Яр и введем
функцию Рауса Д(яр, Яр, 0 = Ь — $\Ч\- Тогда, проводя точно такие же
рассуждения, как в подразд. 6.1.3, получим,что позиционные
координаты и скорости удовлетворяют уравнениям Рауса с функцией Рауса в
качестве лагранжиана:
а он ан Т
(И дцр дяр
= АТ\.
Если у системы есть т > 1 полей симметрии, то число степеней
свободы системы может быть понижено методом Рауса на т, если поля
симметрии коммутируют. Это означает, что коммутируют
преобразования сдвигов вдоль их фазовых потоков, т. е. результат от применения
190

нескольких сдвигов не зависит от порядка их выполнения. Можно
показать, что в этом случае существует локальная система координат, в
которой каждое поле симметрии является полем постоянных векторов.
7.2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
7.2.1. Принцип Гамильтона
Будем считать, что конфигурационное пространство М
лагранжевой системы — область в Кп, хотя почти ничего не
изменится, если М — гладкое многообразие. Зафиксируем точки
Ч(ЬЧ1 € Ми моменты времени 1ц < *1в Пусть П — множество
гладких кривых у : [*о»*1] —> М с фиксированными концами:
т(*о) = Чо> т(*1) = 41 (рис. 7.1). Функционалом действия Га~
мильтона I: И —> К называется интеграл
?1
/(г) = |^(т(*).т(*).*)*-
«о
Вариацией кривой уЕП(с закрепленными концами)
называют гладкое семейство кривых уа е П, |а| < е такое, что уо = Т-
Тогда уа(*о) = 4о, Уа(*1) = 41- Семейство уа называется
гладким, если отображение (?, а) ь-> уа(*) € М гладкое.
7{уа)йа = 5/(у) называют вариацией
1а=0
функционала /, векторное поле §(*) = —
Дифференциал —
аос
0а
уа(*) вдоль кри-
а=0
вой у — векторным полем вариации. Производной
функционала / называется линейный функционал /'(у) на векторном
пространстве полей вариации, задаваемый формулой
ГШ) = I
1Ы-
а=0
Кривую у называют
экстремалью функционала /, если
Г (у) = 0, или, эквивалентно,
Ы(у) = 0 для любой вариации.
Таким образом, у — экстремаль,
если для любой вариации уа € П
с закрепленными концами имеем
ОоЛ
йЛ
Рис. 7.1. Вариация кривой у по
Гамильтону имеет закрепленные
концы: уа(*0) = сю, У«(*1) = ^1
191

Л I
— 1(Уа) = 0. Например, если у доставляет минимум для /
йа1а=0
то у — экстремаль.
Теорема 7.3 (принцип Гамильтона). Кривая уЕП
является экстремалью функционала I тогда и только тогда, когда
она является решением уравнений Лагранжа.
Доказательство. Пусть уа — вариация с закрепленными кон-
9 1
Т«(*) — векторное поле вариации. Тогда
1<*=о
5(*о) = 5(*0 = 0- Дифференцирование и интегрирование по
частям дает
цами, а ?(*) = —
<*=о
1Ы) =
41 ,
¦Я
*0
дьт,т *)?(<) + ^(г(*),г(<), *)§(*)) *=
дч
*Г
G.6)
ЯГ *1 Г
-^(т(*).*(*).*M(«) -] ?(*)$(*)<**,
*0
где
т~\д,1д<1 дц)
¦т(«)
Если у(*)
решение уравнений Лагранжа, то —
аа
/(т.)=о.
<*=0
Действительно, первое слагаемое в правой части G.6) равно
нулю, поскольку 5(*о) = 5(*1) = 0, а второе — в силу уравнений
Лагранжа.
Обратно, пусть вариация функционала равна нулю для
любой вариации кривой у с закрепленными концами. Возьмем
вариацию уа = у0+а?(*), где 5(*) = *(*М*). &(*) = (* " *о)(*1 - *)>0-
Тогда —
асе
/(Га) = - Г|ОД|23(*)ей = 0. Значит, Щ = 0.
о ^
Следствие 7.1. Уравнения Лагранжа инвариантны по
отношению к выбору обобщенных координат. Пусть сделана
замена обобщенных координат ^ = я(Р,*)> Р = Р(я,<)- Тогда
в новых координатах С} уравнения движения будут иметь вид
192

уравнений Лагранжа с лагранжианом Ь^,^,$ =
=ьшлтлш г& ад, 4 о = щ$+§*¦
Действительно, пусть уD) = <Э(у(*),*) — кривая у еП,
записанная в новых переменных.
Тогда /(у) = ЬсЙ = /(у) = Ы1, так что 5/ = 0 тогда и
у
только тогда, когда Ъ1 = 0.
Изначально Лагранж формулировал вариационный принцип,
как принцип наименьшего действия, понимая под этим, однако,
принцип экстремальности функционала действия. Экстремаль
совсем не обязана доставлять минимум функционалу. Тем не
менее верно следующее утверждение.
Теорема 7.4 (теорема Серре). Для натуральной
механической системы при достаточно близких моментах времени
*о < *1 и близких концах яо> Я1 решение уравнений Лагранжа
доставляет локальный минимум функционалу действия.
Задача 7.3. Проверьте, что принцип Гамильтона остается
справедливым, если в качестве пространства кривых, на
котором определен функционал действия, взять пространство
кусочно-гладких кривых, т.е. непрерывных кривых у : [*о^1] —> ^п»
гладких всюду, кроме конечного числа точек разрыва Т1, ..., т*
производной и имеющих односторонние производные в этих
точках.
Задача 7-4- Рассмотрим систему с идеальной
односторонней связью я € А> *о < * < *ь Покажите, что движение я(*)
с ударом в момент т: яСО 6 Ет = &От является экстремалью
функционала / в классе кривых у с фиксированными концами
у(*о) = ^о^ у(*0 = Ях и таких, что у(т) е Ет.
7.2.2. Принцип Мопертюи — Якоби. Метрика Якоб и
Рассмотрим натуральную лагранжеву систему:
Ь(я, я) = Г(я, я) - V(я), Т = - ^2 ац(чОйЩ-
7 Болотин 193

Матрица (оу), как обычно,
предполагается симметрической
и положительно определенной.
Зафиксируем константу к в
интеграле энергии Я^, я) = Т +
+ V = к. Тогда движение про-
Рис 7.2. Вариация кривой по исходит в области возможности
Якоби имеет закрепленные кон- ения { е м . у ( } < й}
цы и свободное время ^ г \ -
Определим функционал
действия Якоби на множестве гладких кривых (рис. 7.2)
У : Мх] -+ Я* = {я € М : У(о) < Л},
соединяющих точки ^о, ^1, по формуле
Л(Т) = |2^/(Л-У(т(*)))Г(г(*),т(*))Л.
В такой форме функционал 3 был определен Якоби. Если
кривая у параметризована так, что энергия постоянна, т.е.
Я"(т(*)»тС0) = Л, тоЛ — "У = Ги, следовательно,
Ч
2Т<Н.
Такая форма была предложена Лагранжем.
Интегрируя по I тождество
Ь + к = Т + Н-У=(у/Т-у/к=УJ + 2^/{к-У)Т,
получаем
ВД + М*1 " *о) = | (л/Т - л/йГ^УJ^ + 7л(у),
откуда вытекает следующая лемма
Лемма 7.1. 7/?(у) < 7(у)+Л-(*1— *о), причел* равенство имеет
место тогда и только тогда, когда Я(у(*),у(*)) = к.
Определим метрику Якоби
из2 = 2(/1 -У(о))^ау(с1)йв 4?
194
Л(т) = р

в области возможности движения Он = {ц : к — У{ц) > 0} (она
вырождается на границе дОн). Тогда Л (у) = \ Лз — длина кри-
т
вой у в метрике Аз. Она не зависит от параметризации кривой
у, а зависит только от ориентированной геометрической кривой
у([*о,*1]) С ?)/1- (Более точно геометрической кривой следует
называть класс эквивалентности параметризованных кривых,
получающихся друг из друга монотонной перепараметризацией.)
Естественно рассматривать функционал Зн на множестве
геометрических (^параметризованных) кривых.
Экстремали функционала длины называются
геодезическими метрики из (см., например, [10]). Назовем траекторией
лагранжевой системы геометрическую кривую,
соответствующую решению уравнений Лагранжа.
Теорема 7.5 (принцип Мопертюи—Лагранжа—Яко-
би). Кривая у С Т>к является экстремалью функционала 1н в
классе кривых с закрепленными концами тогда и только
тогда, когда она является траекторией с энергией к лагранжевой
системы.
Точнее, если у : [*о» *1] —> Он~ решение уравнений Лагранжа
с энергией А, то у — экстремаль ^. Если у С Он — экстремаль
.7^, то ее можно параметризовать так, что Я(у(*),у(*)) = Ли
У : [*о» *1] -^ Он — решение уравнений Лагранжа.
Доказательство. Покажем, что любую гладкую кривую
У : [тоЛ1] —> Он можно перепараметризовать так, что энергия
окажется равной к. Нам надо проверить, что существует замена
т = т(*), *о < * < *ъ такая, что Я(у(т(*)), ~57У(Т(*))) = К или
т2Т(у(т),у'(т)) + У(у(т)) = к. Так ках
• л/Г(у(т), у'(т)) <1т=у/Ь>- У(Т(т)) А,
искомая параметризация определяется равенством
¦со
Пусть у [*о»*1] —* &н и параметризована так, что
#(у(г),у(*)) = к. Пусть уа : [*о^1] —> Он — вариация с
закрепленными концами кривой у. Тогда по лемме 7.1,
/(У.) = Л(Т«) + /(«) + М*1 " *>).
195

где /(а) > 0 и /@) = О. В частности, —
оа
А(Та) == 0 эквивалентно —
/(а) = 0, значит,
«=о
1(Ча) = 0- Теперь теоре-
а=0
ма 7.5 вытекает из принципа Гамильтона. ¦
Следствие 7.2. Кривая у является траекторией движения
с энергией Н тогда и только тогда, когда она является
геодезической метрики Якоби.
7.2.3. Вариационные принципы для периодических
решений. Периодические движения двойного
маятника
Периодическим решением уравнений Лагранжа с периодом т > О
называется решение у(*) такое, что у(* + т) = у(*) при всех I
(положения равновесия к периодическим решениям относить не принято).
Вариацией периодического решения у называется гладкое семейство
периодических кривых уа, |а| < е, такое, что у0 = у и уа(* + т) = уи(*).
Как и ранее, определим функционал действия I на множестве
периодических кривых и его экстремали.
Задача 7.5 (принцип Гамильтона для периодических решений).
Докажите, что любое т-периодическое решение уравнений
Лагранжа является экстремалью функционала действия I и, обратно,
любая периодическая экстремаль функционала действия на множестве т-
периодических кривых является периодическим решением уравнений
Лагранжа.
Задача 7.6 (принцип Мопертюи — Якоби для периодических
решений). Докажите, что траектория периодического решения уравнений
Лагранжа, вдоль которого у(*) ф 0, является замкнутой геодезической
метрики Якоби и, обратно, замкнутая геодезическая при
соответствующей параметризации дает периодическое решение уравнений
Лагранжа.
Пусть пространство положений М — гладкое компактное
многообразие и Н > шах V. Тогда метрика Якоби — риманова метрика на М.
м
В геометрии известна теорема Люстерника— Фета: на любом
компактном римановом многообразии существует замкнутая геодезическая.
Следствие 7.3. Если М компактно иН> шах V, то существует
м
периодическое решение с энергией Н.
Кривая, длина которой минимальна в классе кривых, близких к
ней, является геодезической. Пусть метрика Якоби определена на всем
196

Рис. 7.3. Конфигурационное пространство двойного маятника — тор Т2
конфигурационном пространстве системы. Бели оно не является од-
носвязным1, то в нем существуют замкнутые кривые локально
минимальной длины, которым отвечают периодические движения системы.
Две кривые на М, которые могут быть непрерывно продеформирова-
ны друг в друга, называются гомотопными. Классы эквивалентности
гомотопных друг другу кривых называют гомотопическими
классами. Гомотопический класс называется нетривиальным, если кривые, в
него входящие, не деформируются в точку. Таким образом, различным
нетривиальным гомотопическим классам соответствуют различные
замкнутые кривые минимальной длины и, значит, различные
периодические движения системы.
Пример 7.1 (двойной маятник в произвольном потенциальном
поле). Здесь М = Т2 с координатами ф1 той 271, фг той 271 (рис. 7.3).
Для любых целых п\, пч гомотопический класс замкнутых кривых на
торе, делающих п\ оборотов по ерх и п% оборотов по фг, содержит
кратчайшую кривую, являющуюся замкнутой геодезической. Таким обрат
зом, при Н > тах V существует периодическое движение маятника с
энергией Л, такое, что ерх (* + т) = ф1(*) + 2лп1, ф2(* + т) = фг(<) +
+ 271712-
В действительности периодические движения существуют и при
Н < тахУ, если Н — не критическое значение V. Будем обозначать
м
Въ область возможности движения, а ?)? — ее внутренность.
Теорема 7.62. Если область возможности движения Въ = {ц : Н—
— У{ч) > 0} компактна и на ее границе дВь нет положений
равновесия, то для заданного значения энергии Н существует решение
1гГо есть существуют замкнутые кривые, которые не могут быть стянуты в
точку с помощью их непрерывных деформаций.
2Доказательство теоремы см. в работе: Болотин С. В. Либрационные
движения обратимых динамических систем // Вести. Моск. ун-та. — Сер. Мате
матика и механика, 1978. — X* 6.
197

у : [0,т] -> Вн, такое, что у@),у(т) е
Е дВъ и у(* + 2т) = у(*). Такое
периодическое решение называется
либрацией (рис. 7.4)-
Минимально гарантированное
количество различных либрационных
движений с данной энергией связано с
топологией пространства Вн/дВъ,
получаемого из Вн стягиванием его
границы в точку.
Теорема 7.71. Если Вн
компактна и на дВн нет положений
равновесие. 7.4. Область возможности сил? то чиСло различных либрации с
движения Вн и либрация у энергией Н не меньше минимального
числа образующих фундаментальной
группы пространства Вн/дВн-
Б частности, если дВн имеет п связных компонент, то число
либрации не меньше, чем п — 1. Более подробно с этими вопросами можно
ознакомиться, например, в [4].
Доказательство теоремы см. в работе: Болотин С. В. Либрация в системах
со многими степенями свободы / С.В.Болотин, В.В.Козлов // Вести. Моск.
ун-та. — Сер. Математика и механика, 1980. — Л* 4.

Глава 8
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
8.1. МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
ДЛЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
8.1.1. Постановка задачи
Уравнения движения механических систем обычно
приводятся к виду системы обыкновенных дифференциальных уравнений
х = у(х), (8.1)
где под х е Кт понимаются все фазовые переменные, а V —
гладкое векторное поле в области в Кт.
Обозначим через х(*) = д*(хо) решение с начальным
условием х@) = хо- Отображение хо »-> 5*(хо) — сдвиг вдоль решений
системы (8.1) на время *. Предположим, "что система (8.1)
допускает постоянное решение х(<) = хо, так что V(xо) = 0. Такое
решение называется состоянием равновесия. Тогда <?*(хо) = хо
для всех Ь.
В дальнейшем без уменьшения обпщости будем считать, что
состояние равновесия - начало координат: у@) = 0. Систему
(8.1) будем рассматривать в открытом шаре В? = {х : |х| < р}.
Определение 8.1. Состояние равновесия х = 0
называется устойчивым по Ляпунову', если для любого е > 0 существует
8 > 0 такое, что для любых хо € В* решение х(*) = р*(хо)
существует при всех I > 0 и х(*) € Вг. В противном случае состояние
равновесия называется Неустойчивым.
Определение 8.2. Состояние равновесия х = 0 называется
асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и существует
8 > 0 такое, что
Нт |р*(хо)| = 0 для любых хо € В*. (8.2)
199

Заметим, что из условия (8.2) не следует устойчивость
состояния равновесия. Существуют примеры, когда это условие
выполнено, но устойчивости нет [29].
8.1.2. Теорема Ляпунова об устойчивости
Теорема 8.1 (теорема Ляпунова). Если найдется
гладкая1 функция У на шаре Бр, такая, что:
1) у{0) = 0, У(х) >0для любого хеВр\ {0};
2) У(х) = / —, у\ < 0 для любого х е Вр,
то состояние равновесия х = 0 устойчиво.
Функция V, удовлетворяющая условию теоремы 8.1, обычно
называется функцией Ляпунова.
Доказательство. Зададимся произвольным б Е @, р). Из
условия 1 теоремы
о = ппп У(х) > 0.
|х|=е
В силу непрерывности функции V существует 8 > 0 такое,
что У < о на шаре В& (рис. 8.1).
Возьмем произвольное хо € В& и рассмотрим решение х(*) =
= 5*(хо). Из условия 2 следует, что У(хD)) < У(хо) < о при
*>0.
Таким образом, решение хD) не может пересечь сферу |х| = б,
так что х(*) € В€ при * > 0. ¦
Замечание 8.1. Условие 1
теоремы 8.1 выполнено, если функция V
имеет в нуле строгий локальный
минимум, равный нулю. В частности,
если
ЗУ д2У
У<0)-0, -@) = 0, У«>) = А,
Г\х\ = б гДе квадратичная форма (Ах, х)
(второй дифференциал) положительна
определена. Условие 2 заведомо вы-
Рис. 8.1. Пояснение к доказаг полнен0) если V - первый интеграл
тельству теоремы Ляпунова системы ^).
'Здесь и в других теоремах данной главы достаточно V € С1.
200

Следствие 8.1. Если первый интеграл системы (8.1) имеет
в нуле строгий локальный минимум или максимум, то нулевое
решение устойчиво.
8.1.3. Теоремы Барбашина — К ра сове кого
и Красовского об асимптотической устойчивости
и неустойчивости
Теорема 8.2 (теорема Барбашина — Красовского).
Пусть найдется гладкая функция V на шаре В9 такая, что:
1) У@) = 0, У(х) >0для любого х е ВР \ {0};
2) 1^(х) < 0 для любого хЕВр;
3) множество У(х) = 0 не содержит решений системы
(8.1), отличных от нулевого.
Тогда состояние равновесия х = 0 асимптотически
устойчиво.
Доказательство. Согласно теореме 8.1 решение х = 0
устойчиво. Поэтому найдется 8 > 0 такое, что хD) = д*(хо) Е В9 при
всех * > 0 и хо € 1?. Допустим, что Цт^+в0 |х(*)| ф 0. Тогда из
условий 1, 2 следует, что существуют пределы
Нш У(х(*)) = Уж > 0, Шп. ^(х(*)) = 0. (8.3)
Множество предельных точек решения х(^) — компактное
инвариантное множество, на котором V = 1^» > 0, V = 0.
Последнее противоречит условию 3. ¦
Замечание 8.2. Условия 2, 3 теоремы 8.2 заведомо выполнены,
если функция V имеет в нуле строгий локальный максимум.
Теорема 8.3 (теорема Красовского). Пусть найдется
гладкая функция V на шаре В9 такая, что:
1) у@) = 0, причем начало координат х = 0 принадлежит
границе области П = {хеВр: У(х) > 0};
2) У(х) > 0 в области Г2;
3) множество {хбЙ: У(х) = 0} не содержцт ненулевых
решений системы (8.1).
Тогда состояние равновесия х = 0 неустойчиво.
Доказательство. Допустим, что решение х = 0 устойчиво.
Тогда найдется 8 > 0 такое, что х(*) = <7*(хо) € Вр при всех
* > 0 и любых хо € В&. Возьмем хо Е В& П И, так что 1^(хо) > 0.
201

Из условия 2 следует, что У(х(*)) > ^(хо) > 0. Повторяя
доказательство теоремы 8.2, заключаем, что существуют пределы
(8.3), что противоречит условию 3. ¦
В действительности получено больше чем неустойчивость:
любое решение, начинающееся в П покинет шар В?.
Замечание 8.8. Условия 2,3 теоремы 8.3 заведомо выполнены,
если У(х) > 0 в области П.
Задача 8.1. Докажите на основе следствия 8.1 устойчивость
перманентных вращений р = д = 0,г = со волчка Эйлера вокруг
оси ОС (см. п. 5.2.1) в случае, когда она является наибольшей
(С < шш{Л, В}) или наименьшей (С > тах{А, В}) осью
эллипсоида инерции.
Указание. В качестве первого интеграла, удовлетворяющего
следствию 8.1, рассмотрите интегралы У± = Г2/со2 ± (К2 — СТ).
8.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ
ПРИБЛИЖЕНИЮ ДЛЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
8.2.1. Линеаризованные уравнения движения.
Характеристическое уравнение
Если х = 0 — состояние равновесия системы (8.1), то по
формуле Тейлора
х^(х)=Ах + 0(|х|2), ^ = ^@)- (8.4)
Отбросив в правой части члены выше первого порядка
малости, получим линеаризованную систему:
х = Ах. (8.5)
Характеристическими показателями этой системы называют
собственные значения матрицы А, т.е. корни
характеристического уравнения
/(X) = йе1(\Е - А) = 0, X е С. (8.6)
Задача 8.2. Докажите, что если все характеристические
показатели имеют отрицательные вещественные части, то нулевое
решение линейной системы (8.5) асимптотически устойчиво.
Докажите, что если хотя бы один характеристический показатель
имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение
линейной системы (8.5) неустойчиво.
202

8.2.2. Теоремы Ляпунова об асимптотической
устойчивости и неустойчивости
по первому приближению
Оказывается, нелинейности в системе (8.4), как правило, не
влияют на устойчивость.
Теорема 8.4 (теорема Ляпунова). Если все
характеристические показатели имеют отрицательные вещественные
части, то нулевое решение системы (8.4) асимптотически
устойчиво. Если найдется хотя бы один характеристический
показатель с положительной вещественной частью, то оно
неустойчиво.
Лемма 8.1. Пусть А — вещественная квадратная матрица. Если
все ее собственные значения имеют отрицательные вещественные
части, то найдется такая симметрическая, положительно
определенная матрица В, что
АТВ + ВА = -Е. (8.7)
Если среди собственных значений есть хотя бы один с
положительной вещественной частью, то найдется симметрическая,
неотрицательно определенная п х п-матрица В, имеющая хотя бы одно
положительное собственное значение и удовлетворяющая условию1
АТВ + ВА = Е. (8.8)
Отметим, что производная квадратичной формы V = {Вх., х) в силу
линейной системы (8.5) равна
V = <Вх,х) + (Вх,х) = (ВАх,х) + (Вх, Ах) = ((В А + АтВ)х,х).
Поэтому (8.7) и (8.8) означают соответственно V = — |х|2 и V = |х|2.
Поэтому V — функция Ляпунова для линейной системы (8.5).
Задача 8.3. Покажите, что если все собственные значения имеют
отрицательные вещественные части, то функцию Ляпунова V можно
задать формулой
оо
У(х)= Г|е*лх|2<Й.
о
Доказательство леммы 8.1, а также более подробное рассмотрение
вопросов, связанных с устойчивостью и решением матричных уравнений вида (8.7),
см. в кн.: Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М. : Наука, 1968.
203

Доказательство теоремы 8.4- Воспользуемся леммой 8.1. В
условиях первой части теоремы производная в силу системы (8.4)
положительно определенной квадратичной формы V = (Вх, х) имеет вид
У = -|х|2 + 0(|х|3).
По теореме Ляпунова нулевое решение устойчиво.
В условиях второй части теоремы производная квадратичной
формы V = (Вх,х), принимающей положительные значения, имеет вид
У = |х|2 + 0(|х|3).
По теореме Красовского нулевое решение неустойчиво. ¦
Замечание 8.4 (критерий Рауса — Гурвица1). Представим
уравнение (8.6) в виде
/(X) = а0Хп + агУ1'1 + ¦ ¦ ¦ + ап_1Х + ап = О, а0 > 0.
Все его корни имеют отрицательные вещественные части, если и
только если все главные диагональные миноры определителя
Д =
а\ ао 0
&3 а2 0,\
0
0
0
0
0
а0
0
0
0
0
0
0
Оп-1 О-п-2
0 ап
положительны:
Дх = а\ > 0, Дг = а\а2 - аоаз > 0, ..., Дп-1 > 0,
Дп = апДп_1 > 0.
Задача 8.4. Докажите неустойчивость перманентных вращений
волчка Эйлера вокруг средней оси эллипсоида инерции на основании
второй части теоремы 8.4.
8.2.3. Понятие о критических случаях
Случаи, для которых характеристическое уравнение (8.6) не имеет
корней с положительной вещественной частью, но имеет нулевые или
чисто мнимые корни, называются критическими. В критических
случаях устойчивость состояния равновесия нельзя определить по
линейному приближению. Например, при ап = 0 уравнение (8.6) имеет
нулевой корень. Бели Дп-1 = 0, то можно показать, что уравнение (8.6)
имеет пару чисто мнимых корней.
Доказательство данного критерия можно найти, например, в кн. : Ку-
рош А. Г. Курс высшей алгебры. — М. : Наука, 1965.
204

Критические случаи обычно по- х)
являются в системах, зависящих от
параметра: х = у(х,е). Если при /ц\
е = Ео система имеет состояние рав- -
новесия хо, такое что
характеристическое уравнение имеет нулевые или
чисто мнимые корни, то свойства
системы обычно сильно различаются
При Е < Ео И Е > Ео- ГОВОРЯТ, ЧТО ГфИ
е = Ео происходит бифуркация1.
Критический случай нулевых корней тесно связан с ветвлением
положений равновесия, а критический случай чисто мнимых корней — с
рождением периодических решений (бифуркация
Пуанкаре—Андронова— Хопфа).
Пример 8.1. Рассмотрим уравнение движения точки на прямой
под действием потенциальной и диссипативной сил
Рис. 8.2. Бифуркация
Пуанкаре—Четаева
х + х + х(е — х2) = 0.
(8.9)
Характеристическое уравнение Х2+Х+е = 0 линеаризованного
уравнения х + х + гх = 0 имеет корни Х^г = (—1 ± >/1 — 4е)/2. Согласно
теореме 8.4 равновесие х = 0 асимптотически устойчиво
(неустойчиво) при е > 0 (е < 0). Если е = 0, то Хх = 0, Хг = — 1 (критический
случай одного нулевого корня). При е > 0 от равновесия х = 0
ответвляются нетривиальные равновесия х = ±у/ё (бифуркация Пуанкаре—
Четаева). Множество всех равновесий уравнения (8.9) можно
представить на плоскости (б, х) в виде бифуркационной диаграммы (рис. 8.2),
на которой буквами з ии обозначены соответственно асимптотически
устойчивые и неустойчивые равновесия.
Задача 8.5. Докажите, что равновесия х = ±у/ё неустойчивы.
Задача 8.6. Докажите, что равновесие х = 0 при е = 0
неустойчиво.
Указание, Рассмотрите функцию Ляпунова V = х2/2 — х4/4 и
воспользуйтесь теоремой 8.3.
Задача 8.7. Постройте фазовые портреты для уравнения (8.9) в
случаях е < 0 и е > 0.
Задача 8.8. Рассмотрите уравнение х+х+х(г+х2) = 0. Постройте
Для него бифуркационную диаграмму и фазовые портреты в случаях
е < 0 и е > 0.
^м. кн.: Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. — М. : Наука, 1978. — 304 с.
205

Рис. 8.3. Расщепление «вилки» при нарушении симметрии в уравнении
(8.9)
Бифуркация, приведенная на рис. 8.2, называется «вилка»1.
Следует иметь в виду, что такие диаграммы обычно возникают лишь при
наличии в системе некоторой дискретной симметрии, что, впрочем, в
механических системах случается довольно часто. В рассматриваемом
случае эта симметрия состоит в том, что уравнение (8.9) переходит в
себя при замене х на —х.
Возмущение, разрушающее эту симметрию, как правило,
превращает бифуркационную диаграмму из рис. 8.2 в одну из
представленных на рис. 8.3.
Задача 8-9. Проверьте, что диаграммы, изображенные на рис. 8.3,
реализуются при малом 8 ф 0 в уравнении
х + х + х(е - х2) + о = 0.
Пример 8.2. Проиллюстрируем бифуркацию
Пуанкаре—Андронова—Хопфа на примере уравнения
х + её + хA - хх) = 0. (8.10)
Характеристическое уравнение X2 + еХ 4- 1 = 0 линеаризованного
в окрестности равновесия х = 0 уравнения (8.10) имеет корни Х^г =
= (—е ± у/г2 — 4)/2. Согласно теореме 8.4 это равновесие
асимптотически устойчиво (неустойчиво) при е > 0 (е < 0).
Если е = 0, то Х1,2 = ±г (критический случай пары чисто мнимых
корней). Покажем, что при е > 0 от равновесия х = 0 ответвляются
периодические решения, амплитуда а и частота со которых зависят от е:
а = 2у/1 + О(е), со = 1 + О(е).
Тогда говорят, что при е = 0 имеет место бифуркация Пуанкаре—
Андронова—Хопфа. Заметим, что соо = 1 — частота малых колебаний
уравнения (8.10) при е = 0.
Запишем уравнение (8.10) в виде системы
х = У, У = -х - Ет/ + х2у
В иностранной литературе «рксЫогк Ы&игсаНоп»
206

и сделаем замену переменных х =
= г зтср, т/ = гсозф. В результате
получим систему уравнений:
м
Г = —ЕГСОВ
ср + г3
зт2фсоз2ф,
Рис. 8.4. Бифуркация
Пуанкаре — Андронова—Хопфа
(8.11)
ф = 1 + Б 81П ф СОВ ф — Г2 81П3 ф СОЗ ф.
Полагая г = р^/е, окончательно
имеем
р = ер сов2 ф(р2 вт2 ф — 1),
ф = 1+ е вт ф сов фA — р2 вт2 ф).
Таким образом, при малых е переменная р меняется медленнно, а
переменная ф быстро. Формальный рецепт приближенного исследования
таких систем, называемый методом усреднения1, состоит в том, чтобы
усреднить правую часть по быстрой переменной ф. Получим2
усредненную систему
р = Ер(р2-4)/8, ф = 1, (8.12)
которая имеет периодическое решение р = 2, ф = I периода 271. Так
как р > 0 при р < 2 и р < 0 при р > 2, то оно неустойчиво. Согласно
задаче 8.34, на фазовой плоскости (ж, у) этому решению соответствует
неустойчивое периодическое решение с периодом, близким к 2л,
близкое к окружности радиуса г = 2^Е. Таким образом, уравнение (8.10)
имеет периодическое решение, близкое к х = 2у^вт*, 0 < I < 2л.
Множество положений равновесия и периодических движений
уравнения (8.10) можно представить на плоскости (г, с) в виде
бифуркационной диаграммы (рис. 8.4).
Задача 8.10. Докажите, что равновесие х = 0 уравнения (8.10) при
е = 0 неустойчиво.
Указание. Рассмотрите функцию V = х2 и воспользуйтесь теоремой
8.3.
Задача 8.11. Постройте фазовые портреты для уравнения (8.10)
при е < 0 и е > 0.
Задача 8.12. Рассмотрите уравнение х + её + хA + хх) = 0.
Постройте для него бифуркационную диаграмму и фазовые портреты в
случаях е < 0 и е > 0.
1/8.
1 Обоснование метода усреднения проведено в подразд. 8.5.
2Среднее значение сое2 (р равно 1/2, а среднее значение вт2 фсов2 ср равно
207

8.3. МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
8.3.1. Основные определения
Рассмотрим неавтономную систему дифференциальных уравнений
я = ™(г,*), иеГ, (8.13)
где ^ - гладкое векторное поле в области в Кт, зависящее от времени 1Ш
Обозначим через ъA) = д\0(ъо) решение с начальными условиями
я(*о) = 2о- Отображение1 2о ь-> д10(%о) называют сдвигом вдоль
решений системы за время от *о ДО *. Обозначим через Я&(го) шар радиуса
& с центром 20.
Определение 8.3. Решение х(Ь) = д10{ъо) называется устойчивым
по Ляпунову, если для любого е > 0 существует 8 > 0 такое, что для
любых уо 6 Вй(ио) решение у(*) = ^|0(уо) существует при I > *0 и
удовлетворяет неравенству
|у(«)-¦(*)! <е, *0<*<°о.
В противном случае решение ъ{1) называется неустойчивым.
Часто в определении устойчивости решения ъA) рассматриваются
возмущенные решения с начальными условиями при произвольном
моменте времени из [*о, оо). Однако по теореме о непрерывной
зависимости от начальных условий такое обобщение не дает ничего нового.
Отметим, что для непостоянных решений автономных систем
следует использовать другое определение устойчивости (орбитальная
устойчивость), обсуждаемое далее для случая периодических решений.
Определение 8.4. Решение ъ{1) называется асимптотически
устойчивым, если оно устойчиво и существует 8 > 0 такое, что
Лу^ |у(«) - |(С)| = О, у(«) = 4,(у0), (8-14)
для любого у о € Вв(ао).
Чтобы упростить обозначения, удобно считать, что решение х{1)
нулевое. Для этого сделаем замену переменных х = и — ъ{1). Тогда
система (8.13) примет вид
х = у(х, *), у(х, *) = *г(ж@ + х,*) - иг(ж(*), *), (8.15)
а решение ъ(Ь) переходит в нулевое решение х = 0. Уравнения (8.15)
называются уравнениями возмущенного движения. Также без
ограничения общности можно считать *о = 0. Будем предполагать, что
векторное поле у(х, I) гладкое при х Е В? и I > 0.
1В отличие от автономного случая семейство отображений д\0 не образует
группы.
208

8.3.2. Теоремы Ляпунова об устойчивости
и асимптотической устойчивости
Теорема Ляпунова об устойчивости справедлива и для
неавтономных систем, если добавить в определение функции Ляпунова условие
равномерной положительности.
Теорема 8.5 (теорема Ляпунова). Пусть имеется гладкая
функция У(х, ?), х 6 Вр, I > 0, такал, что:
1) У@, *) = 0 и 1пГ*>о У(х, I) > 0 для любого х <Е Вр \ {0};
Тогда решение х = 0 устойчиво.
Удобно переформулировать условие 1, используя следующее
определение.
Определение 8.5. Непрерывная функция а(г), г > 0, называется
функцией Хана1, если она строго возрастает и а@) = 0.
Задача 8.13. Покажите, что условие 1пГг>о ^(х,$) > 0 при
любом х € Вр \ {0} означает, что существует функция Хана, такая, что
У(х,*)>а(|х|).
Доказательство теоремы 8.5. Зададимся произвольным е € @,р).
Тогда а(е) > 0, и, значит, найдется такое 8 > 0, что У(хо,0) < а(с)
для любого хо € В&. В силу условия теоремы решение х(*) = #о(хо)
удовлетворяет неравенству.
а(|х(«)|) < У(х(*),«) < ^(хо,0) < о(е).
Из строгой монотонности функции а(г) получаем |х(*)| < е. ¦
Теорема 8.6 (теорема Ляпунова). Пусть имеются гладкая
функция У(х,*), х € Вр, I > 0, и функции Хана а(г),Ь(г),с(г), такие,
что:
1)а(\х\)<У(х,1)<Ь(\х\);
в)*(х,*)<-с(|х|).
Тогда решение х = 0 асимптотически устойчиво.
Доказательство. Согласно теореме 8.5 решение х = 0 устойчиво.
Для любого хо Е В& положим хB) = «^(хо)- Из условия теоремы
следует, что функция I н-> У(х(*),*) > 0 не возрастает. Следовательно,
существует предел Нт У(х(*),*) = о > 0, причем У(х(*),*) > о для
4—»+оо
любых * > 0.
^о/т РГ. ЗЪаЫШу оШойоп. — ВегНп : Зрйп^ег, 1967.
209

Докажем, что а = 0. Допустим противное, что а > 0. Тогда из
условия 1, Ь(|хB)|) > У(х(*),2) > а > 0. Значит, найдется такая
константа й > 0, что |х(*)| > Л для любых Ь > 0. Из условия 2 получаем
У(х(*),*) < -с(й). Значит,
У(х(*),*) = 1Чх0,0) + Г УМ < У(хо,0) - с{йI.
о
Отсюда следует, что У(хB),2) < 0 при достаточно больших I, что
противоречит условиям теоремы.
Итак, шп У(х(Ь),1) = 0. Тогда Нт а(|х(*)|) = 0. Значит,
4—>+оо 4—>+оо
^1^4I = 0. ¦
Функции V, удовлетворяющие теоремам 8.5 и 8.6, называются
функциями Ляпунова.
8.3.3. Теорема Четаева о неустойчивости
Теорема 8.7 (теорема Четаева). Пусть ЙС Вр - открытая
область такая, что 0 Е дП (рис. 8.5). Предположим, что
найдутся е > 0, гладкая ограниченная дУункция У(х, I) и функция Хана а(г)
удовлетворяющие при 1>0 условиям:
1) У(х,*) > 0 для всех* е ППВс;
2) У(х, I) > а(У(х, *)) для всех х € П П Вс;
3) У(х, *) = 0 для всех х <Е {дП) П Вс.
Тогда решение х = 0 неустойчиво.
Доказательство. Покажем, что для любого 8 € @, е) существует
хо Е В& такое, что решение х(*) = <?о(хо) выходит на границу шара Вг.
Имеем У(хо,0) > 0 при хо Е Вь П
П Я. Если допустить, что х(*) Е П П
П Вг при любых I > 0, то из
условия 2, У(хA),Ь) > ^(хсО) и
У(х(*),*) > а(^(хо,0)).
Следовательно,
У(х(*),*) =
I
У(хо,0)+ Г^(х(*), *)<**>
о
>^(хо,0) + а(У(хо,0))«.
Значит, У(х(*),*) —> +оо при
~ п , ттт „ ^ л * —> +оо, что противоречит огра-
Рис. 8.5. Шар В, и область П т/- -о о
о.и. Ша,н ^с « ^^* ниченности У. В силу условия 3,
210

х(<) ? дП при I > 0. Следовательно, найдется * > 0, такое, что
х(*1) ? Вс. ¦
Функция V, удовлетворяющая теореме 8.7, называется функцией
Четаева,
8.4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
8.4.1. Периодические решения и их устойчивость
в линейном приближении
Рассмотрим систему1 х = у(х), х € Цт. Непостоянное
решение х = у($) называется периодическим, если существует т > 0
такое, что уA + т) = уD) для любых (ЕМ. Минимальное такое
т называется периодом решения у(*). При изменении * точка у(к)
пробегает на Кт замкнутую кривую, которую мы будем
обозначать у.
Как и в случае положения равновесия, важным вопросом
является исследование устойчивости данного периодического
решения. Прежде всего нужно уточнить, о каком определении
пойдет речь. Обычное определение устойчивости (см. определение
8.3) по Ляпунову здесь, как правило, не является естественным
по следующей причине. Хотелось бы считать периодическое
решение у(*) устойчивым, если любое решение, начинающееся в
малой окрестности кривой у, не выходит из (вообще говоря
другой) малой ее окрестности. Однако, если следовать определению
8.3, то, как правило, имеет место неустойчивость из-за того, что
на решении а (?), целиком расположенном в малой окрестности
кривой у, движение может происходить чуть быстрее (или чуть
медленнее), чем на у(*). И близкие (в начальный момент) точки
у@) и о@) со временем могут разойтись на конечное расстояние.
Поэтому в случае периодических решений обычно говорят об
орбитальной устойчивости (или неустойчивости), смысл которой
был только что описан, а теперь дадим формальное
определение.
Для любого е > 0 назовем е-окрестностью кривой у
множество точек С/Е(т) С Кт, такое, что х е С/е(т) в том и только в том
случае, когда для некоторого у € у имеем: |х — у | < е.
1 Предлагаемые далее конструкции легко переносятся на случай систем
обыкновенных дифференциальных уравнений на произвольном гладком
многообразии.
211

Определение 8.6. Периодическое решение у(*) называется
орбитально устойчивым (по Ляпунову), если для любого е > О
существует 5 > 0 такое, что любое решение аA) с начальными
условиями о@) € Щ(у) при всех I > 0 лежит в С/е(т)-
Периодическое решение у (*) называется асимптотически
орбитально устойчивым, если оно орбитально устойчиво и любое
решение с начальным условием в некоторой окрестности ?/5 (у)
стремится к кривой у при I —> +оо.
Задача 8.14. Покажите, что в полярных координатах
решение г = 1, ф = * системы г = 0, ф = г неустойчиво, но орбитально
устойчиво.
Как и в случае положения равновесия, в вопросах
орбитальной устойчивости по Ляпунову обычно разобраться нелегко.
Поэтому в качестве упрощения можно заменить исходную
систему на систему, линеаризованную около у. Орбитальную
устойчивость (неустойчивость, асимптотическую устойчивость)
решения у(*) в линеаризованной системе называют орбитальной
устойчивостью (неустойчивостью, асимптотической
устойчивостью) решения у(*) в линейном приближении.
Удобнее перейти к рассмотрению линеаризованной
системы, используя отображение Пуанкаре. Рассмотрим
гиперповерхность (в данном случае, небольшую площадку) Е С Кт,
трансверсальную вектору V(xо) в точке хо = у@) € Е. Возьмем
точку 2о € Е, достаточно близкую к хо- Тогда решение системы с
начальным условием 2о пойдет близко к решению уA) и, сделав
один оборот, опять пересечет Е в некоторой точке 251.
Отображение, сопоставляющее точке го точку 21 = Р(го), называется
отображением Пуанкаре. Его область определения — некоторая
гиперповерхность Ео С Е, содержащая точку хо-
Задача 8-15- Точка хо = у@) — неподвижная точка
отображения Пуанкаре Р : Ео —> Е. Покажите, что решение у
орбитально устойчиво тогда и только тогда, когда хо — устойчивая
неподвижная точка отображения Пуанкаре: для любого е > О
найдется 5 > 0 такое, что если |го — хо| < 8, то |Рп(ио) — хо| < б
для всех целых п > 0.
Введем в окрестности точки у @) на Е локальные координаты
§ так, чтобы координаты у@) равнялись нулю. Тогда Р@) = 0.
Разложим Р в ряд Тейлора в окрестности нуля:
яр
Р(§) = 0 + М§ + О(|5|2), М = 5-@).
212

, Квадратная матрица М называется матрицей монодромии, а
ее собственные значения — мультипликаторами периодического
решения у (*).
Периодическое решение называется невырожденным, если ни
один из мультипликаторов не равен 1.
Задача 8-16- Пусть хо — состояние равновесия системы х =
= у(х). Добавляя к этим уравнениям еще одно а = 1, где
переменная з считается угловой: 5 той т, получаем в новой системе
т-периодическое решение х = хо, з = I той т. Выясните, как
соотносятся корни характеристического уравнения (8.6)
положения равновесия хо и мультипликаторы соответствующего
периодического решения.
Задача 8-17. Докажите, что при малом возмущении системы
невырожденное периодическое решение у не исчезает: в
возмущенной системе существует периодическое решение, близкое к у
и имеющее период, близкий к периоду у.
Указание. Пусть возмущение характеризуется малым
параметром е. Перейдите к отображению Пуанкаре ?»->Р(§, е).
Пользуясь тем, что периодическое решение соответствует решению
уравнения Р(?, е) = ?, примените теорему о неявной функции.
Задача 8.18. В примере 8.2 про бифуркацию Пуанкаре—
Андронова— Хопфа в качестве се!^ущей 2 можно взять луч ф = О
с координатой р > 0. Покажите, что отображение Пуанкаре
задается формулой
Р(р) = р + *ер(р2-4)/4 + 0(е3/2),
и найдите мультипликатор периодического решения.
Матрица монодромии связана с периодическим решением не
однозначно, а с точностью до сопряжения1.
Задача 8-19- Проверьте, что э результате выбора другой
начальной точки у(*о)> другой трансверсальной поверхности Е и
другой системы координат т) на ней новая матрица монодромии
окажется сопряженной с исходной.
В качестве следствия получаем, что жорданова форма
матрицы монодромии (и, в частности, мультипликаторы) определена
однозначно.
1 Квадратные матрицы Ли В одинакового размера называются
сопряженными, если А = СВС~Х для некоторой невырожденной матрицы С.
213

Матрица монодромии содержит всю информацию об
орбитальной устойчивости уD) в линейном приближении, так как в
линейном приближении отображение Р является просто умно-
жением на М. Траектории Р на I! в линейном приближении в
координатах 5 имеют вид
?0)М§0,М2§0,..., (8.16)
где 50 — начальное условие.
Задача 8.20. Проверьте, что орбитальная устойчивость у(*)
в линейном приближении имеет место тогда и только тогда,
когда любая траектория (8.16) ограничена.
Ограниченность любой траектории (8.16) имеет место в том и
только том случае, когда последовательность
||м°ц, им1!!, ||м2||,...
ограничена, где || ¦ || — произвольная матричная норма.
Ограниченность указанной последовательности норм зависит
исключительно от жордановой формы матрицы М.
Предложение 8.1. А. Предположим, что хотя бы один из
мультипликаторов по модулю больше единицы. Тогда
периодическое решение орбитально неустойчиво в линейном
приближении.
Б. Предположим, что все мультипликаторы по модулю
строго меньше единицы. Тогда периодическое решение
орбитально асимптотически устойчиво в линейном приближении.
В. Предположим, что жорданова форма матрицы
диагонально, и все мультипликаторы не превосходят по модулю
единицу. Тогда периодическое решение орбитально устойчиво в
линейном приближении.
Задача 8.21. Докажите предложение 8.1.
Указание. В п. А проверьте, что Нт \\Мк\\ = оо. Проявите ак-
к—»оо
куратность в ситуации, когда мультипликатор, по модулю
больший единицы, не лежит на вещественной оси.
В п. Б проверьте, что Нт \\Мк\\ = 0.
к—юо
В п. В воспользуйтесь тем, что на диагонали жордановой
формы матрицы монодромии стоят ее мультипликаторы.
В случаях А и Б орбитальную асимптотическую
устойчивость (неустойчивость) в линейном приближении можно уси-
214

лить до орбитальной асимптотической устойчивости
(неустойчивости) по Ляпунову. Доказательство этого факта можно
найти, например, в [23]. Случай В с этой точки зрения существенно
сложнее.
Замечание 8.5. При изучении периодических решений можно не
рассматривать отображение Пуанкаре, а действовать иначе. Полагая
у = х — у (<), выпишем линеаризованные уравнения возмущенного
движения
У = Л(*)У, А(*)=^
, А(* + т) = Л(*). (8.17)
х=т@
Пусть У{1) — матрицант системц решений уравнения (8.17),
У = АУ, У@)=Д = (Иа8A, ...,1).
Матрицей монодромии называется матрица У(т), а
мультипликаторами решения у(^) — собственные значения этой
матрицы.
Задача 8.22. Докажите, что У {к + т) = У(*)У(т).
Задача 8.23. Докажите, что система (8.17) имеет
нетривиальное решение у(*), удовлетворяющее условию у(* + т) = ру(<),
если и только если р — мультипликатор этой системы.
Задача 8.24. Докажите, что среди собственных значений
матрицы У(т) по крайней мере одно равно единице.
Указание. Проверьте, что система (8.17) допускает т-перио-
дическое решение у = у(*).
Задача 8.25. Проверьте, что спектр матрицы У(т) (т.е.
набор ее собственных значений) получается из спектра матрицы
М путем присоединения «тривиального» собственного
значения, равного 1.
8.4.2. Параметрический резонанс
Параметрический резонанс — это явление потери
устойчивости положения равновесия лагранжевой системы при наложении
периодического по времени возмущения.
Мы обсудим лишь случай лагранжевой системы с одной
степенью свободы. Считаем, что положение равновесия находится в
начале координат. Будем иметь в виду устойчивость в линейном
приближении. Поэтому вместо точного уравнения возмущенно-
215

го движения будем рассматривать линеаризованное. Оно имеет
вид:
х + иГх = О, а;е1.
Здесь со > 0 — частота невозмущенных колебаний.
Рассмотрим возмущение вида е/^*):с, где е > 0 — малый
параметр; / — периодическая функция с периодом 2л; V — частота,
так что период возмущения равен Т = 2к/\. Уравнение
движения приобретает вид:
х + (со2 + е/(у*))х = 0. (8.18)
Слагаемые вида е/(\Ь)х обычно возникают в уравнениях
движения из-за того, что параметры системы начинают
периодически зависеть от времени. Поэтому резонанасные явления в таг
ких системах называют параметрическим резонансом, в отличие
от обычного резонанса, вызванного приложением периодической
вынуждающей силы (см. п. 2.1.10). Уравнение (8.18) называется
уравнением Хилла.
Задача 8.26. Считая, что уравнение (8.18) является
уравнением Лагранжа, найдите лагранжиан.
Система (8.18) неавтономна. Добавив к ней уравнение Ь = 1,
можно рассматривать ее как автономную систему на
расширенном фазовом пространстве
К2 х Т = {ж, х,1 той Г}.
Для автономизированной системы тривиальное решение
хA) = 0 является не положением равновесия, а периодическим
решением
{(ж, л, <) : х = х = 0, I е Т)}. (8.19)
Чтобы исследовать его устойчивость, требуется вычислить
матрицу монодромии М, соответствующую сечению Пуанкаре
Е = {(я,±,*): * = 0 той Г}.
Предложение 8.2. АеЪМ = 1.
Требуемое равенство вытекает из того, что уравнение (8.18)
можно записать в виде гамильтоновой системы (см.
предложение 14.4).
Дадим независимое доказательство предложения. Представим
уравнение (8.18) в векторном виде
х = Л(*)х, х =(*), М*)-(_^!шт 5). (8-20)
216

Пусть IV (I) — матрицант этой системы:
И^О) = Е, № = АЖ (8.21)
Тогда М = \У (Т). Остается воспользоваться стандартной
формулой из теории систем линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений1:
41п(с1е1; Ш*)) = *г АA). (8.22)
ас
Так как Ъг А = 0, получаем: йе! \У{1) = 1. ¦
К сожалению, аналитически найти М удается довольно
редко. Один из таких примеров, когда /(V*) кусочно-постоянна,
разобран в [2]. Мы воспользуемся разложением М в ряд по е.
Мультипликаторы в данном случае находятся из уравнения
йе1{М - \1Е) = \12 - [I ЬтМ+1 = 0.
Здесь 1т М — след матрицы монодромии. Если 11г М\ > 2, то
оба мультипликатра вещественны, причем один из них по
модулю больше единицы, что означает орбитальную неустойчивость
решения (8.19). Если 11г М\ < 2, то мультипликаторы
комплексные и равны по модулю единице. В этом случае решение (8.19)
орбитально устойчиво в линейном приближении.
Предложение 8.3.
, .ж ™ 81П(д)Г-
*гМ = 2со8(оГ-е Р+
@
г
о 81П 0)Г
о
1
| (Л(№(*) " Р.{1)Рс(*))*+ (8-23)
где
+ е2^(*?СО + Рс(Т) -**) + 0(г3),
1 Ъ
= \}(у1)<И, Ра(г)= Г/^т)8т2сотйт,
I
со8 2(оте2т.
1 Равенство (8.22) часто называют теоремой Лиувилля.
217

Доказательство предложения обсудим в конце подраздела, а
сейчас на основе равенства (8.23) построим кривые
| *г М| = 2, М = М(со, е), (8.24)
разделяюпще на плоскости параметров (со, е) области
устойчивости и неустойчивости.
Прежде всего отметим*, что при е = 0 равенство (8.24)
означает, что (*>Г = ли;, к е 2, т. е. съ/\ = к/2. Это означает, что кривые,
задаваемые уравнением (8.24), пересекаются с осью е = 0 в
точках, где отношение частот о>^ принимает полуцелые значения.
Далее предположим для простоты, что Р = 0 (этого всегда
можно добиться заменой со2 ь-> со2 — гР). При малых е ищем
решение уравнения (8.24) в виде
ку 1
<л=- + ^ак + 0(г2), МО. (8.25)
Разложив (8.23) по формуле Тейлора и подставив в (8.24),
получим
2(-1)* A-^)+ е2Ур" (*?СО + Рс(Т)) + 0(е3)
После простых преобразований имеем:
= 2.
ак-± , МО.
Заметим еще, что
Гз(Т) + *?СП = (Рс - №м){Рс + &.) =
т т
= [ Г(»г)е-2Ш<и Г/(у*)е+Мв4Я-
о о
Далее с учетом (8.25) получим
= Г/(и)е-**"А* Г/(и)е+*ийи + О(е) = 4П2|Д|2 + О(е),
218

Б*
\АхЛхЛх] ^ ^
ЗV 2V 5V ЗV
Рис. 8.6. Области параметрического резонанса
где Д — коэффициент Фурье 2л-периодической функции /,
соответствующий номеру к.
Итак,
и уравнение (8.25) переписывается в виде
" = у±^ + 0(е2), МО.
Соответствующие кривые на плоскости (со, е) изображены на
рис. 8.6. Области неустойчивости (они отмечены знаком «х»)
называются зонами параметрического резонанса.
При росте к зоны сужаются, так как Д (и тем более |Д|/&)
стремятся к нулю при к —> оо. Если какие-то из
коэффициентов Д оказываются равными нулю (как, например, в уравнении
Матъе, где /(V*) = соз V*), то области неустойчивости все равно,
как правило, вырастают из точек (со, е) = (А^/2,0). Однако их
к\
границы имеют другую асимптотику: *> = — + 0(ет), т > 1.
Задача 8.27. Как будут выглядеть зоны параметрического
резонанса, если Р ф О?
В заключение обсудим доказательство предложения 8.3. Оно
состоит в прямом вычислении. Напомним, что М = ТУ(Т), где матрица IV (?)
удовлетворяет соотношениям (8.21).
Решения, задающие И^(^), ищем в виде
0 = &)+'&Ь2Й)+О(е3)- <"«>
Подставив (8.26) в (8.20) и собрав члены при одинаковых степенях
е, получим системы
(У)=A)A/<Л (Ь)-»(*)-±(°),
219

\У2) \~х2/ 6) \МУ
Начальные условия для первого столбца матрицы \У:
х0@) = 1, 2/о@) = XI @) = 2/1@) = ха@) = 2/г@) = 0 (8.27)
и для второго
2/о@) = 1, х0@) = XI @) = 2/1@) = ха@) = 2/2@) = 0. (8.28)
Задача 8.28. Проверьте, что в случае (8.27) хоA) = совой, Уо(Ь) =
= — вшой, а для начальных условий (8.28) хо(*) = вшой, Уо(Ь) = совой.
Задача 8.29. Используя метод вариации постоянных проверьте,
что
где в случае (8.27)
А\A) = — I /^т)вто)тсово)тйт, В\{1) = /(VI) сов2 о>тйт,
о) ^ о) ^
о о
а для начального условия (8.28)
А\A) = — /(VI)вт2оугйт, В^*) = I /^т)сово>твто>тйт.
о) ^ о) ^
о о
Задача 8.30. Обозначим, для краткости,
дд(а) = вт2 а, сз(а) = сов а вт а, сс(а) = сов2 а.
Проверьте, что в случае (8.27)
Хг(*) = 2~ I I Йв/(^)сз(о>з) /(^)св(о>т)ЙТ-
\о о
I 8 \
— Aз/(»з)з8(ш) /^т)сс(о)т)йт I —
о /
/ I в
I I йз/^в)сс(о>в) I /^т)сз(о>т)йт-
\о о
о
вшой
г а \
— I ^в/^в)сз(о>з) I /(уг)сс(т)йт I ,
220

а для начальных условий (8.28)
(I 8
- I Лз/(чз)сз(ыз) /^т)*$((от)йт+
0 О
I в \
+ I <1з/(чз)зз(ш) 1 /(уг)сз(о>т)йт 1 +
о /
( * -
- Лз/(\з)сс((Л8) | /(ут)8з(ь>т)(к+
о
*
созсо*
о
+ <1з/(\>з)сз(<й8) I /^т)св(ь>т)Ж: 1
0 0/
Равенство (8.23) следует из формул, представленных в задачах
8.28-8.30.
8.5. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
х = ву(х, г) + 0(е2), хеКт, * той Г, (8.29)
где правая часть гладкая для всех х из открытого множества
V С Мт и Г-периодически зависит от времени.
Здесь и далее в этом подразделе О (г2) означает
вектор-функцию вида е2^г(х, ?, е), где ^г — гладкая функция, Г-периодически
зависящая от времени. Далее считаем, что параметр б мал.
Поэтому х называется медленной переменной. Если перейти к
медленному времени т = е*, то система (8.29) примет вид
х/ = у(х,т/с)+0(е)
с быстро осциллирующей правой частью. Усредненной
называется система
г
у' = *(у), У(у) = ± ^(у,*)*, (8.30)
о
где черта означает временнбе среднее по периоду.
Оказывается, что при малых е решения усредненной системы хорошо
аппроксимируют решения системы (8.29). Выберем произвольное
221

ограниченное открытое множество V, содержащееся в V вместе
с границей. Тогда существует 8 > 0 такое, что любая точка х е V
лежит в V со своей 8-окрестностью, т. е. с шаром В^(х) с центром
в х и радиусом 8.
Теорема 8.8 (теорема Крылова—Боголюбова).
Существует ео > 0 и обратимая замена переменных
х = У + е/(у,<), уеУ, *тос1Г, |е| < е0, (8.31)
еде / — гладкая функция наУ х К, Т-периодически зависящая
от ?, преобразующая систему (8.29) к виду
у = 6у(у) + 0(е2). (8.32)
Доказательство. Подставив замену (8.31) в систему (8.29),
получим
* = У + Е/уУ + Е/4 = Еу(х, *) = Еу(у + Е/(у, *),*).
Потребуем, чтобы в новых переменных получилась система вида
(8.32). Приравняв члены первого порядка по е, получим
Л(У,0^(у,*)-*(у)=и(у,*),
где вектор-функция и(у, I) периодична по времени с нулевым средним.
Отсюда
/(У>*) = I и(у,в)йз
Функция /(у, I) периодична по времени, поскольку
*+т
/(у, * + Г) - /(у, *) = | и(у, з) аз = Гй(у) = 0.
Положим С = тах |/(у, *)|. Тогда при |е| < 8/С, у Е V, х = у +
+ е/(у,*)есл
Покажем, что замена взаимно-однозначная. Существует К > 0,
такое, что
1/(у,*)-/(у','I<*1у-у'1 при у,у'еК
Если у + Е/(у,*) = у' + ЕДу',*), то |у - у'| < К\ф - у'|, что
невозможно при |е| < К 1. Несложно показать, что обратная замена
гладкая. Оставшаяся часть доказательства — задача. ¦
Задача 8.31. Покажите, что обратная замена (8.31) гладкая при
|е| < Ео для достаточно малого Ео и имеет вид у = х — е/(х, I) + 0(е2)-
Обращая проведенные выше вычисления, покажите, что в новых
переменных система (8.29) примет вид (8.32).
222

Замечание 8.6. По индукции можно показать, что для любого п
существует замена х = у + Е/(у, ?, е), I той Т, приводящая систему к
виду У = еу(у) + Е2^(у, е) + 0(еп). Таким образом, система становится
почти автономной.
Следующая теорема показывает, что решения системы (8.29)
и усредненной системы (8.30) близки на большом (порядка 1/е)
интервале времени.
Теорема 8-9- Пусть и(т) Е V, 0 < т < а, решение
усредненной системы (8.30) с начальным условием 25@) = хо-
Существуют с, со > 0 такие, что при 0 < е < Ео решение х(<)
системы (8.29) с начальным условием х@) = хо существует
при 0 < * < а/г и |х(*) — и(е*)| < се.
Доказательство. Поскольку решения преобразованной системы
(8.32) отличаются от соответствующих решений исходной системы
(8.29) не больше чем на еС, будем рассматривать систему (8.32) вместо
(8.29). Пусть у(*) — решение с начальным условием у@) *= х@) = хо-
Тогда и(*) = у(*) — я(е$) удовлетворяет уравнению й = еу(я + и) —
— Еу(а) + 0(е2) и и@) = 0. Пусть 8 > 0 настолько мало, что 5-окрест-
ность V/ кривой х([0,а]) содержится в V. Положим Ь =
= зируеи, ||Ду(у)||. Тогда |у(и + и) - ЕУ(а)| < Ь\и\ при |и| < 5.
Предположим, что |и(<)| < 8 при 0 < I < а/е (это будет обосновано в
дальнейшем). Тогда
|й@1<ЕЬ|и| + Л-Е2, (8.33)
где К > 0 постоянная.
Задача 8.32 (неравенство Гронуолла — Беллмана). Покажите, что
из неравенства (8.33) и условия и@) = 0 вытекает оценка |и(*)| <
< &К1егЫ.
Отсюда |и(*)| < ес, с = КаеЬа при 0 < I < а/е. В частности, при
е < Ь/с предположение \иA)\ < 8 обосновано. ¦
Обсудим теперь связь между состояниями равновесия
усредненной системы и периодическими решениями исходной
системы.
Предложение 8.4. Пусть у о — невырожденное состояние
равновесия усредненной системы (8.30). Тогда при малых г > 0
система (8.29) имеет невырожденное Т-периодическое решение
х.A) = уо + 0(е) . Если уо аеимттютически устойчиво в
линейном приближении, то периодическое решение асимптотически
устойчиво.
Напомним, что состояние равновесия уо асимптотически
устойчиво в линейном приближении, если Не X < 0 для всех соб-
223

ственных значений X матрицы А = -^-^(уо) (характеристике-
ских показателей).
Доказательство. Обозначим через д$ сдвиг вдоль решений системы
(8.29) за время от 0 до I. Отображение Пуанкаре системы (8.29) имеет
вид
т
Р(У) = <КГ(У) = У + е \ V(у> О Л + 0(е2) = у + еГу(у) + 0(е2).
о
Неподвижные точки отображения Р — решения уравнения Р(у) — у,
или у(у) + О(е) = 0. Если матрица А невырождена, то по теореме
о неявной функции уравнение имеет решение у* = уо + О (г). Тогда
решение у(*) = $о(У*) периодическое.
Найдем мультипликаторы периодического решения уB). Матрица
монодромии имеет вид М = -%-Р{у*) = Е + еТА + 0(е2). Пусть Л —
ау
спектр (множество собственных значений) матрицы А. Покажем, что
для любого 8 > 0 и достаточно малого е > 0 спектр матрицы М
содержится в 8е-окрестности множества 1 + сЛ.
Предположим, что расстояние от X € С до множества Л больше, чем
8: й(Х, Л) > 8. Положим ^ = 1 + Хе. Тогда
М - [хЕ = Тг(А - \Е + О(е)) = Тг{А - \Е)(Е+{А- Х^)0(е)).
Если й(Х, Л) > 8, то ||(А — Х^)_1|| < с равномерно ограничено, так
что матрица М — [хЕ обратима при достаточно малом е. Значит, [а не
принадлежит спектру М.
По предположению, найдется р > 0 такое, что КеХ < —р для всех
X Е Л. Для любого собственого значения ц матрицы М найдется X € Л
такое, что |ц —A + еХ)| <8е. Тогда |ц| = 1 + 2еКеХ + 0(8е + е2). Отсюда
|[а| < 1 при достаточно малых 8, е > 0. ¦
Метод усреднения применим также для систем вида
х = еу(х, ф) + 0(е2), ф = о>(х) + еи(х, ср) + 0(е2), (8.34)
где х е V С Кт, а ср той 2л — угловая переменная, т. е. правая
часть 2л-периодична по ср. Предположим, что а>(х) > с > 0.
Тогда ф — быстрая переменная, ах — медленная при малых е. При
ф = о = сапй получим систему х = еу(х,фо + со*) + 0(е2)
вида (8.29). Обратно, если взять ф за независимую переменную, то
(8.34) примет вид
х' = ст(х, ф) + 0(е2), ^ = Щ^-, (8.35)
(о(х)
что совпадает по форме с (8.29).
224

Сформулируем аналог теоремы 8.8. Выберем произвольное
ограниченное открытое множество V, содержащееся в II вместе
с границей.
Теорема 8.10 (теорема Крылова—Боголюбова).
Существуют ео > 0 и гладкая периодическая по угловой переменной
замена переменных
х = У + е/(у, ф), ср = ф + ер(у, ф),
у е V, ф той 2л, |е| < ео,
приводящая систему (8.34) к виду
У = е*(у) + 0(е2), ф = <о(х) + ей(у) + 0(е2).
Задача 8.33. Докажите теорему 8.34.
Выполняется также аналог теоремы 8.9. Усредненная система
имеет вид
У = е*(у), ф = со(у) + ей(у).
Медленная переменная х(*) 0(е)-близка к решению уD) с тем
же начальным условием на интервале времени порядка е-1. Это
неверно для быстрой переменной ф: разница |ф(*) — ф(*)|
оказывается порядка 1. Действительно, х(*) описывается
решением у(*) усредненной системы с ошибкой 0(г). Интегрирование
со(х(<)) — о)(у(*)) на интервале порядка е дает ошибку
порядка 1.
Задача 8.34. Докажите следующий аналог теоремы 8.9 для
системы (8.34). Предположим, что усредненная система у7 =
= у(у) имеет невырожденное состояние равновесия хо: у(хо) =
л
= 0, йе* —у(хо) Ф 0. Тогда при малых е > 0 исходная система
имеет периодическое решение (х(*),ср(*)), х(*) = хо + 0(г) с
периодом 2тс/о>(хо) + О(е). Если хо асимптотически устойчиво в
линейном приближении (характеристические показатели имеют
отрицательные вещественные части), то периодическое решение
орбитально асимптотически устойчиво. Если один из
характеристических показателей имеет положительную вещественную
часть, то периодическое решение неустойчиво.
Указание. Воспользуйтесь сведением к виду (8.35).
Задача 8.35. Используйте этот результат для
доказательства существования неустойчивого предельного цикла в
примере 8.2 на бифуркацию Пуанкаре—Андронова—Хопфа.
о Болотин

Глава 9
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
9.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
9.1.1. Натуральные механические системы
и их положения равновесия
Точка ^0 в конфигурационном пространстве называется
положением равновесия механической системы, если система
вечно может оставаться в этом положении. Положению равновесия
лагранжевой системы соответствует решение уравнений Лагран-
жа вида ^(?) = ^0. В фазовом пространстве положение
равновесия — это точка ^°, 0).
Напомним, что лагранжева система называется
натуральной, если
Ь(Ч,Я)=Г(Ч,Ч)-У(Ч),
где матрица А = (а^) положительно определена.
Бели на систему материальных точек наложены идеальные
связи, не зависящие от времени, и силы потенциальны, то такая
система является натуральной (см. задачу 6.1).
_ . дЬ дЬ дУ
Для натуральных систем при ^ = 0 имеем -^- = 0 и -=— = -^--.
Подставив ^(^) = ^0,^ = ^ = 0в уравнения Лагранжа,
получаем следующее предложение.
Предложение 9.1. Точка ^0 является положением
равновесия натуральной лагранжевой системы тогда и только тогда,
когда она является критической точкой потенциальной
энергии V (т. е. — (я0) = о).
226

9Л.2. Теорема Лагранжа — Дирихле и понятие
об ее обращении
Уравнения Лагранжа имеют второй порядок. Они легко
приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка в фазовом пространстве с координатами ^, V),
где новая переменная V = ф-
В соответствии с определением устойчивости 8.1, положение
равновесия ^0 называется устойчивым по Ляпунову, если для
любого е > 0 найдется 8 > 0 такое, что для любого
решения ^(*)>ч(*)) с начальными условиями ^@),^@)) е В* имеем
{Ф)А{*)) € Ве при всех * > 0. Здесь Я, = {(?? : |я - ^0|2 +
+ \Ч\2 < Р2}.
Теорема 9.1 (теорема Лагранжа—Дирихле). Еслиср —
точка строгого локального минимума потенциальной энергии,
то ^0 — устойчивое по Ляпунову положение равновесия
натуральной системы.
Доказательство. Система натуральная, поэтому (я°,0) —
точка строгого локального минимума полной энергии системы
Н(<1, я) = Т + V, рассматриваемой, как функция в фазовом
пространстве. Поскольку Н = 0, то Н(с1, (?) — функция Ляпунова
(см. теорему 8.1). ¦
Обращение теоремы Лагранжа—Дирихле возможно в
аналитическом случае.
Теорема 9.2. Если функция Лагранжа натуральной
системы аналитическая, а положение равновесия не является
изолированным локальным минимумом потенциальной энергии, то
оно неустойчиво.
В частности, если первая нетривиальная форма у(т\ т>2,
в разложении потенциальной энергии в ряд Тейлора в
окрестности равновесия не имеет даже нестрогого минимума, то
равновесие неустойчиво. При т = 2 этот результат доказан еще
Ляпуновым A892), а для т > 2 — В. В. Козловым и В. П. Паламодовым
A982 — 1983). В общем случае теорема 9.2 доказана
Паламодовым. Однако доказательство опубликовано лишь для систем с
двумя степенями свободы.
Задача 9.1. Докажите теорему 9.2 для натуральных систем
с одной степенью свободы.
Для неизолированных положений равновесия обращение
теоремы Лагранжа—Дирихле, вообще говоря, не имеет места.
227

Пример 9.1 (Уинтпер). Пусть для системы с одной
степенью свободы потенциальная энергия имеет вид:
У(д) = е^ совA/д) при д^О и ^@) = 0.
Тогда 9 = 0 — положение равновесия, в окрестности которого
функция У^) может принимать как положительные, так и
отрицательные значения. Тем не менее в сколь угодно малой
окрестности состояния равновесия д = 0, д = 0 существует
замкнутая связная компонента уровня интеграла энергии Н = Т(д, д) +
+ У(д) = Н = сопз*, охватывающая начало координат фазового
пространства. Следовательно, для любого е > 0 найдется 5 > 0
такое, что любое решение уравнений Лагранжа, выходящее из
К-окрестности состояния равновесия, не покинет Б-окрестности
(рис. 9.1).
Заметим, что функция V бесконечно дифференцируема, но
не аналитична, так как ее ряд Тейлора в точке д = 0 равен нулю.
Теорема Лагранжа—Дирихле допускает следующее
очевидное обобщение. Пусть ?^, ?) = ?2+Ъ\ + Аь так что имеет место
обобщенный интеграл энергии Н = 1^ — Ьо. Здесь I,*, как
обычно, — однородная форма й-й степени относительно обобщенных
скоростей, причем квадратичная форма 1/2 положительно
определена.
Теорема 9.3 (теорема Рауса). Если ^0 — точка
строгого локального максимума функции Ьо(ч)> тпо 4° ~ устойчивое
положение равновесия.
Задача 9.2. Проверьте, что доказательство теоремы 9.1
практически без изменений переносится на доказательство
теоремы 9.3.
{Н=Н}
Рис. 9.1. Для любого е > 0
найдется Н = й(е) такое, что поверхность
{Н = Н} имеет связную
компоненту, целиком лежащую в В€ = {\ц,—
— я°|2 4- |я|2 < е2}. Поэтому
найдется 8 = 8(е) > 0 такое, что Въ
целиком лежит в области Н < Н
228

Пример 9.2. Два
однородных полудиска массой и
радиусом соответственно тх, г\ и гаг,
Г2 расположены в вертикальной
плоскости, причем нижний
касается горизонтальной прямой, а
верхний — прямолинейной
границы первого (рис. 9.2).
Полудиски не могут проскальзывать
в точках К\ и Кч их
касания с горизонтальной прямой и
прямолинейной границей
первого соответственно.
Положение системы
определяется углами ср! = /.К\0\8\ и
ф2 = /.К2О282, где 5х и 5г — центры масс полудисков,
расположенные на осях их симметрии. Предположим, что начальное
положение второго полудиска таково, что система допускает
положение равновесия ф1 = 92 = 0. Тогда потенциальная энергия
имеет вид
V = 7711074A — ЙСОЗф!) +Ш2^{Г1 +
+Г2[A - &С08ф2)с08ф1 — (&81Пф2 — ф2)81Пф1]} =
= ГП23Г2[рA - ЙСОЗф!) + A — ЙС08ф2)с08ф1 +
+ (й81Пф2 - ф2)8Шф1] +ГП25П,
Рис. 9.2. Два тяжелых
однородных плоских полудиска
т\г\ 0{8{
где р = ик =
Зп'
7П2Т2 Т\
Без уменьшения общности будем считать, что единицы
измерения Выбраны таким образом, что т2дг2 = 1.
Вычисляя вторые производные йу =
0ф^-
потенциальной
энергии в положении равновесия ф1 = фг = 0, получаем
Ьц = рй + к - 1, &12 = к — 1, &22 = к > 0.
Определитель матрицы Гессе А = 611622-? = рк2+к—1. Та-
ким образом, при р > ро = /2 равновесие ф1 = фг = 0
доставляет (локально) минимальное значение потенциальной энергии
и, следовательно, устойчиво. А при р < ро положение равновесие
является седловой точкой и, следовательно, неустойчиво.
229

9.1.3. Линеаризация уравнений Лагранжа
около положения равновесия. Уравнения малых
колебаний
Напомним (см. п. 8.2.1), что линеаризацией системы
дифференциальных уравнений
х = у(х) = Сх + 02(х), Оа(х) = 0(|х|2)
около положения равновесия х = 0 называется уравнение
первого приближения х = Сх.
При рассмотрении уравнений Лагранжа термин «положение
равновесия» ^0 будем употреблять для точки
конфигурационного пространства. Для точки (^ = ^0,^ = 0) фазового
пространства, которая является положением равновесия уравнений
Лагранжа, будем использовать термин «состояние равновесия*.
Рассмотрим натуральную систему с функцией Лагранжа (9.1)
около состояния равновесия ^ = 0, я = 0). Из явного вида
уравнений Лагранжа F.8) вытекает такое правило:
Чтобы линеаризовать уравнения Лагранжа в окрестности
состояния равновесия ^ = 0, <1 = 0), надо заменить
лагранжиан Ь на его квадратичную часть:
Ь ¦"* 2 51 *«*й " 2 2 Ь^Я{^ = 2 ^' ^ " 2 ^Ч' ^'
и выписать соответствующие уравнения Лагранжа
Ас1 + ^ = 0. (9.2)
Здесь
д2У@)
а>ч = а^@), Ьу = д д , А = (оу)| В = F^-).
Поскольку матрицы Аи В симметрические и А
положительно определена, то по теореме П.4 об одновременном приведении
пары квадратичных форм к главным осям существует
собственный базис еь ..., еп, такой, что в новых координатах х\, ..., хп
4= У^Дчвг,
1 1 (9.3)
^=2^1 + ---+^)-3(^1 + ---+^)-
Здесь X* — корни уравнения с1е1;(ХА — В) = 0. Собственные
векторы е^ находятся из условия (Х& А — В)еъ = 0. В нормальных
230

координатах х\, ...,хп линеаризованные уравнения Лагранжа
(9.2) распадаются на п независимых уравнений:
** + Х*я* = 0, к = 1, ...,п.
Бели положение равновесия — точка невырожденного
локального минимума потенциальной энергии, так что все Х^ = со^ > О,
то линеаризованная система (9.2) называется системой
уравнений малых 'колебаний. Ее решения, называемые малыми
колебаниями, приближенно описывают решения полной системы
уравнений Лагранжа около состояния равновесия ^ = 0, я = 0).
Числа б>ь > 0 называются частотами малых колебаний.
Общее решение уравнений малых колебаний разлагается в сумму
нормальных колебаний:
Ч = X] х*(*)е*> х*(*) = °к з1п(со** + а*)- (9.4)
Постоянные С* и а& произвольны.
Бели среди чисел Х& есть отрицательные, то линеаризованные
уравнения допускают экспоненциально растущие решения, а
положение равновесия неустойчиво.
Определение 9.1. Степенью неустойчивости по
Пуанкаре положения равновесия натуральной лагранжевой системы
называется отрицательный индекс инерции квадратичной формы
B^, я) (т. е. число отрицательных собственных чисел матрицы
В).
Задача 9.3. Покажите, что степень неустойчивости
положения равновесия совпадает с числом отрицательны* корней
уравнения йеЪ(\А — В) = 0.
Задача 9.4. Покажите, чтр уравнения Лагранжа с
лагранжианом (9.3) допускают п независимых первых интегралов
/г(ч> ч) = °%1 квадратичных по координатам и скоростям.
Пример 9.3. Рассмотрим два одинаковых математических
маятника, колеблющихся в одной вертикальной плоскости и
подвешенных на одной горизонтальной прямой. Пусть маятники
связаны пружиной, длина которой в нерастянутом состоянии
равна расстоянию между точками подвеса маятников (рис. 9.3).
Тогда
Т=~т12{$ + <%),
V = -тдЦсоадг + совд2) + д**^*1 ~ 92^ + °^91 ~ 92^
231

Рис. 9.3. Математические маят- Рис. 9.4. Двойной математиче-
ники, связанные пружиной ский маятник
л _ (т12 0 \ д _ (тд\ + Ы2 -Ы2 \
\0 тп12) ' *~\ -Ы2 гпд1 + Ы2) '
Собственные значения определяются соотношениями Х1 =
= -д/1, Хг = —{д/1 + 2к/гп), так что а>1 = у/д]\, с«>2 =
= ^д/1 + 2к/тп. Собственные векторы имеют вид е\ = A,1),
е2 = A,-1)-
Общее решение (9.4) представляется в виде суммы
синхронных (?1D) = й(*)) и асинхронных (?1(*) = —%(*)) колебаний
маятников.
Задача 9.5. Двойным математическим маятником
называется система двух математических маятников, совершающих
движение в одной и той же неподвижной вертикальной
плоскости, причем точка подвеса одного из них неподвижна, а
другого — совпадает с точкой, в которой сосредоточена масса первого
(рис. 9.4).
Покажите, что в окрестности нижнего положения равновесия
двойного математического маятника (фх = ф2 = 0)
линеаризованной системе уравнений Лагранжа соответствуют следующие
выражения для кинетической Г и потенциальной V энергии:
Г = -ГП1/?ф? + -1712(/191 + ^фгJ,
У = 2 ((Ш1 + т2M'1ф? + 25*292)"
Проверьте, что если т\ — гаг и /1 = /г» то <¦>]_ г =
B±у/2)д/1.
232

9.1.4. Экстремальные свойства собственных значений
Вернемся к рассмотрению натуральных механических
систем. В подразд. 9.1.3 были введены уравнения линейного
приближения (9.2) в окрестности состояния равновесия ^ = О,
4 = 0). В этом подразделе будет показано, что
собственные значения Хх, ... ,ХП этих уравнений являются
критическими точками некоторых функций. Это позволит сформулировать
ряд утверждений о поведении собственных значений при
наложении на систему новых связей или при изменении ее масс-
инерционных характеристик.
Для ц^ 0 введем функцию ф^) = (^, я)/(-4? я), которая
иногда называется отношением Релея. В нормальных
координатах ?1, ... хп отношение Релея примет вид
Для а > 0 имеем ф(ск1) = ф^), поэтому отношение Релея
можно рассматривать, как гладкую функцию на поверхности
ЯЛ = {ЧеКп:(АЧ,Ч) = 1}.
Так как матрица А положительно определена, Еа —
эллипсоид.
Упорядочим собственные значения:
Хх <Х2<...<Х„.
Поскольку
Хх(х? + ... + х*) < Ххх? + ... + Хтх^ < Х„(х? + ... + х\)
0A,0, ...,0)= Хь ...,0(О,...,О,1)=ХЯ|
ТО
XI < 0(я) < Хп, Хх = тшОДО, Хп = тах0(<1).
Эти соотношения являются частным случаем общего
утверждения. Чтобы его сформулировать для т = 1, ..., га,
обозначим Ьт — множество всех ш-мерных подпространств в Кп. Его
элементы, т. е. подпространства размерности т, будем
обозначать символом /.
Предложение 9.2. Для любого т = 1, ..., п
\т = тш ( тахО(а)) = тах ( тт О(а)). (9.5)
1еьт \ че1\о ^чм// 1еьп-т+1 \ че1\о V
233

Доказательство. Докажем только первое равенство. Второе
доказывается аналогично. Поскольку отношение Релея
представляет собой гладкую функцию на эллипсоиде Еа, то
внутренний максимум существует. Существование минимума будет
показано далее. Возьмем га-мерное пространство 7) € Ьт, которое
в нормальных координатах высекается соотношениями хт+\ =
= ... = хп = 0. На этом пространстве
_ мд1 + ¦ ¦ ¦ + Атд;т .
— о , .о » ' и'
я? + ...+а;2
и, значит,
тах д(Ч) = Хт. (9.6)
Ч€Т1\0
Обозначим через (I Е Ьп-т+1 пространство размерности п —
— т + 1, которое в нормальных координатах высекается
соотношениями х\ = ... = хт-1 = 0. На этом пространстве
<?(*)= У," ;ТП. *^о
"тп^тп т •• • ~Г Апа?л
ж2 + + ж2
и, значит,
<2^) > Хт для любого ^ е ^ \ о. (9.7)
Возьмем теперь любое га-мерное подпространство I Е Ьщ-
Суммарная размерность пространств [I и I составляет п + 1 > п,
поэтому их пересечение содержит ненулевой вектор, используя
который получаем из (9.7) оценку
тах <Э^) > ^.
яег\о
Присоединив к этому неравенству соотношение (9.6), приходим
к первому равенству утверждения, в котором минимум
достигается при / = 7). Ш
Рассмотрим теперь, как изменятся собственные значения при
наложении на систему дополнительной независимой связи
д(€ъ) = 0, где д — гладкая функция, такая что дд/дс^о ф 0.
Предполагаем, что д@) = 0. Более того, можно считать, что функция
д линейная, так как рассматривается линейное приближение.
Задача 9.6. Докажите, что в указанных предположениях
точка €\ = 0 останется положением равновесия.
Обобщенные координаты ^ можно ввести таким образом, что
в(ч) — 9т т. е. новая связь будет задаваться уравнением дп = 0.
234

Обозначим <Э(<?ъ ¦ ¦ ¦»Чп-\) — отношение Релея для новой
системы.
Задача 9.7. Убедитесь, что ?(?1, - - - ,9п-1) = <Э^)|<7п=о-
Обозначим Хх < Хг < ... < Хп_1 — собственные значения
новой системы.
Предложение 9.3. При наложении связи новые
собственные значения системы перемежаются со старыми:
XI < Хх < Х2 < Х2 < ... < Х„_1 < Х„.
Доказательство. Введем (п — 1)-мерное пространство
{ч : Яп = 0} и обозначим через Ьт множество подпространств
размерности т, лежащих в нем. Поскольку Ьт С Ьт, то из
первого равенства (9.5)
Хт = тт (тах 0(^)) = тт (тах 0(а)) >
1еЬт че1\о
а из второго равенства (9.5)
Хт = тах ( тт 0(а)) = тах ( тт 0(а)) <
< тах ( тт <2^)) = Хт+ь ¦
1еьп-т ^ег\о
Задача 9.8. Пусть на систему наложено к добавочных
независимых связей. Покажите, что собственные числа Хт новой
системы будут располагаться между собственными числами стаг
рой следующим образом:
Хш < Хт < Хт+ь, , т = 1, ..., п - к.
Рассмотрим теперь две натуральные механические системы
на одном и том же конфцгурационном пространстве. Пусть обе
системы имеют одно и то же положение равновесия ^ = 0.
Обозначим матрицы уравнений первого приближения и отношения
Релея этих систем сответственно А{, В{, ф*(ч)> г = 1,2.
Определение 9.2. Первая система имеет большую
инерционность, чем вторая, в положении равновесия ^ = 0, если
(Агъч) > (А2<ь<1).
235

Первая система имеет ббльшую жесткость, чем вторая, в
положении равновесия ^ = 0, если
<ЯЛ,Я)><ДЛ.«1)-
Задача 9.9. Пусть первая система имеет меньшую
инерционность или ббльшую жесткость, чем вторая. Покажите, что
01(О)>02(О).
Задача 9.10. Докажите следующее утверждение.
Теорема 9.4 (теорема Релея). При уменьшении
инерционности системы или при увеличении ее жесткости
собственные значения не уменьшаются. Если же функция отношения
Релея измененной системы отличается от исходной функции,
то хотя бы одно собственное значение увеличится.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда положение равновесия
является точкой невырожденного локального минимума
потенциальной энергии. В этом случае уравнения линейного
приближения (9.2) называются уравнениями малых колебаний.
Собственные значения этих уравнений положительны и равны
квадратам частот малых колебаний (т.е. собственных частот): со? =
= X» > 0. Из утверждения 9.3 и теоремы Релея 9.4 вытекают
следующие свойства собственных частот системы.
Предложение 9.4. При наложении связи новые значения
собственных частот системы перемежаются со старыми:
Ь>1 < @1 < (и>2 < «02 < ¦ ¦ . < Йп_1 < @П.
Теорема 9.5 (теорема Релея). При уменьшении
инерционности системы или при увеличении ее жесткости
собственные частоты не уменьшаются. Если же функция
отношения Релея ф(я) измененной системы отличается от исходной
функции, то хотя бы одна частота увеличится.
Отметим одно простое следствие из предложения 9.4. Пусть
в исходной системе какая-либо собственная частота имела
кратность к > 2. Тогда при наложении связи в системе сохранится та
же собственная частота с кратностью к — 1.
Пользуясь этим следствием, решите такую задачу.
Задача 9.11. На сферический маятник в однородном поле
тяжести наложили независимую связь, сохраняющую нижнее
положение равновесия. Покажите, что в новой системе с одной
236

степенью свободы малые колебания в окрестности этого
положения равновесия будут иметь частоту т/д/1, где / — длина
сферического маятника; д — ускорение свободного падения.
9.1.5. Влияние гироскопических и диссипативных сил
на устойчивость положения равновесия
Пусть на систему кроме потенциальных действуют
обобщенные силы С}{. Тогда уравнения Лагранжа имеют вид
Задача 9.12 (теорема об изменении энергии). Обозначим
_ аН
через Н = Т+V полную энергию системы. Докажите, что —г-" ==
аъ
г
Обобщенные силы С}{^, д) называются гироскопическими,
если они имеют нулевую мощность: У^ Я\Ч% = 0, и диссипатпивны-
ъ
ми, если У^ф»й < 0 для всех <1 € Кп. Ясно, что как гироско-
з
пические, так и диссипативные силы должны явно зависеть от
скоростей.
Задача 9.13. Пусть матрица (уу(^сзО). кососимметрична.
Покажите, что обобщенные силы (}г = 2^5?? гироскопиче-
з
ские.
Пусть обобщенные силы диссипативны и линейны по
скорости: С» = ^ с%э(я)Чз- Имеем су = /у + ду, где
/у = /я = ^(? "*~ с^*)' 9%з = ~9зг = о\°*з ~~ сзч-
Тогда ^^ = Г^ — —, где обобщенные силы Г* = ^ (?? явля-
^"
ются гироскопическими, а квадратичная форма Ф = - ^ /???
У
{функция Релея) неотрицательна. Если Ф положительно
определена, то говорят, что диссипация полная,
237

Пример 9.4. Пусть функция Лагранжа содержит линейные
по скорости члены:
Ь = Т-У + А, А = ^ак(д)дк.
к
Тогда уравнения Лагранжа имеют вид (9.8), где
_ Л дА дА ^-ч _ да{ да^
Такие силы называются обобщенно-потенциальными.
Задача 9.14- Проверьте, что гироскопические силы
являются обобщенно-потенциальными тогда и только тогда, когда 2-
форма \^ 9%з (ч) ^? ^ ^? точна (является дифференциалом от
1-формы).
Теорема 9.6 (теорема Кельвина—Четаева). Пусть ^0 —
тонка строгого локального минимума потенциальной
энергии V. Тогда равновесие останется устойчивым при добавлении
диссипативных и гироскопических сил. Если диссипативные
силы обладают полной диссипацией, то изолированное равновесие
асимптотически устойчиво.
Доказательство. Рассмотрим функцию Я^, я) = Г + V.
Поскольку Н < О, то первое утверждение доказывается так же, как
и теорема Лагранжа—Дирихле. Второе утверждение теоремы
следует из теоремы Барабашина—Красовского 8.2, поскольку
множество Н = 0 состоит (при условии, что диссипация полная)
только из состояний равновесия, т. е. не содержит (при условии
изолированности исходного равновесия) целых движений
системы, отличных от равновесия ^ = ^0, я = 0. ¦
Теорема 9.7 (теорема Кельвина—Четаева). Если
потенциальная энергия не имеет в положении равновесия
локального минимума, положение равновесия изолировано, а
диссипативные силы обладают полной диссипацией, то равновесие
неустойчиво.
Доказательство. Рассмотрим функцию Н{*±, я) = Т+V. При
условиях теоремы область Н < 0 в фазовом пространстве
непуста и равновесие ^ = ^0, ^ = 0 лежит на ее границе. Поскольку
Н < 0, причем множество Н = 0 не содержит целых движений
238

системы, отличных от равновесия ^ = ^0, <1 = 0 (см.
доказательство теоремы 9.6), неустойчивость этого равновесия следует из
теоремы Красовского 8.3. ¦
Линеаризованные уравнения Лагранжа при наличии дисси-
пативных и гироскопических сил имеют вид
Ац + В* = С<1, (9.9)
где А и В — симметрические матрицы, причем А положительно
определена.
Будем искать решение системы (9.9) в виде ^ = иех*.
Тогда
/(X) = 6еЬ(Ак2 - СХ + В) = 0. (9.10)
Рассмотрим более подробно ситуацию, когда критическая
точка потенциальной энергии невырождена, т. е. с1е1 В ф 0.
Теорема 9.8 (теорема Кельвина—Четаева). Если
неустойчивое положение равновесия натуральной лагранжевой
системы имеет нечетную степень неустойчивости, то его
нельзя стабилизировать добавлением диссипативных и
гироскопических сил.
Доказательство. Пусть степень неустойчивости нечетна.
Рассмотрим /(X) для вещественных X. Тогда /@) = АеЬВ < 0.
Поскольку /(X) = \2пйеЪ(А - С/Х + В/\2) и йеЬА > 0, то
/(+оо) = +оо (п — число степеней свободы системы). Итак,
/@) < 0 и /(+оо) = +оо, значит, характеристическое уравнение
имеет положительный вещественный корень X > 0 (рис. 9.5). ¦
Пусть система консервативна, т. е. в ней отсутствуют дисси-
пативные силы. Линеаризованные уравнения Лагранжа при наг
линии гироскопических сил имеют вид Ас^ + Вц = С<1, где С —
кососимметрическая; В -— симметрическая; А — симметрическая
положительно определенная матрицы.
Предложение 9.5« Характеристический многочлен /(X)
консервативной системы четен. Если X — его корень, то X так-
же является его корнем.
Доказательство. Для любого комплексного X имеем:
/(X) = ёе*(АХ2 - СХ + Ъ)Т = 6е1(АТ\2 - Ст\ + Вт) =
= &е1(А\2 + СХ + В) = /(-X). ¦
239

•
•
,
V
1
,
V
С
•
•
Рис. 9.5. При нечетной
степени неустойчивости
характеристическое уравнение имеет
положительный вещественный корень
Рис. 9.6. Ненулевые корни
характеристического многочлена на
комплексной плоскости
расположены симметричными
четверками и парами
Поскольку /(X) — многочлен с вещественными
коэффициентами, каждому его корню соответствует
комплексно-сопряженный корень. Таким образом, ненулевые корни
характеристического уравнения расположены на комплексной плоскости
(рис. 9.6):
а) четверками X = а ± гЬ и X = — а ± гЬ\
б) парами X = ±а;
в) парами X = ±гЬ.
Здесь а и Ь — вещественные постоянные.
Видим, что в случаях «а» и «б» обязательно найдется корень
с положительной вещественной частью, что означает
неустойчивость положения равновесия. Таким образом, устойчивость
положения равновесия может иметь место только в случае чисто
мнимых и нулевых корней характеристического уравнения.
Замечание 9.1. В силу теоремы Ляпунова 8.4, если
характеристическое уравнение имеет корень, вещественная часть которого
положительна, то положение равновесия неустойчиво. Поэтому иногда
степенью неустойчивости положения равновесия называют число корней
характеристического уравненения (9.10), имеющих положительную
вещественную часть. Бели матрица С = 0, то это определение совпадает
с данным ранее (см. п. 9.1.3). В общем случае (С ф 0) отрицательный
индекс инерции квадратичной формы (Вц^ может не совпадать с
числом корней характеристического уравнения (9.10), имеющих
положительную вещественную часть. Однако четность числа корней,
имеющих положительную вещественную часть, совпадает с четностью
степени неустойчивости по Пуанкаре, поскольку определитель матрицы
В равен, с одной стороны, произведению корней характеристического
уравнения, а с другой — произведению собственных чисел
квадратичной формы (Вц, (?).
240

Предложение 9.6. Если степень неустойчивости
натуральной лагранжевой системы четная, то положение
равновесия можно стабилизировать в линейном приближении
одними гироскопическими силами {без добавления диссипативных
сил).
Доказательство. Пусть степень неустойчивости
натуральной системы четна: <1е1 В > 0. Рассмотрим линеаризованную
систему и перейдем к нормальным координатам. Уравнения
движения разделятся на независимые уравнения движения по
каждой координате. Для координат, отвечающих положительным
собственным значениям матрицы В, движение задается
уравнениями
Устойчивость по этим координатам есть.
Число координат, отвечающих отрицательным собственным
значениям формы B^,я), четно. Разобьем их на пары любым
образом и рассмотрим одну из них, например ?1 и <й- Для нее
Т=\{& + &), V = -^1 + ^), Рх,р2>0.
Добавим гироскопические силы с матрицей
При д = 0, т. е. при отсутствии гироскопических сил,
получаем натуральную систему. В общем случае
/00 =
X2 - р? д\
-дк Х2-р1
= х4 - (р? + р| - Р2)х2 + р?р| = о,
2 р2 + р|-д2±Уд
Л - 2 '
^ = (Р2+Р1-52J-4р?р1.
Очевидно, X е гК, если В > 0 и $\ + р| - д2 < 0.
Следовательно, X € Ж при |5| > Р1 +Рз и имеет место гироскопическая
стабилизация рассмотренной подсистемы с двумя степенями свободы.
Аналогично проводится стабилизация для остальных пар
координат. ¦
241

9.1.6. Устойчивость точек либрации в плоской
круговой ограниченной задаче трех тел
В подразд. 3.1.6 была рассмотрена плоская круговая ограни*
ченная задача трех тел.
Напомним, что в этой задаче изучается движение трех грави-
тирующих точек: двух массивных (обычно называемых Солнце
5 и Юпитер 7) и одной легкой (астероид А). Предполагается,
что масса точки А настолько мала, что не влияет на движение
5 и ^. Солнце и Юпитер движутся как в задаче двух тел — их
движение известно. Считаем, что они движутся по круговым
орбитам вокруг их общего центра масс. Астероид движется в поле
сил, создаваемых Юпитером и Солнцем, в плоскости их орбит.
Пусть единицы измерения выбраны так, что суммарная
масса Солнца и Юпитера равна единице, расстояние между ними
равно единице и гравитационная постоянная равна единице.
Пусть Солнце 5 и Юпитер 3 имеют массы 1 — ^ и у
соответственно. Тогда они движутся по окружностям вокруг их общего
центра масс О с единичной (см. п. 3.1.6) угловой скоростью.
Пусть астероид А движется в плоскости Оху, где ось Ох
проходит через 5 и 7, а ось Оу ортогональна оси Ох. Система Оху
вращается с единичной угловой скоростью вокруг оси Ог. Пусть
(я, у) — координаты астероида в этой системе координат. Тогда
г2 = А 3 = ^(ж-1 + цJ+з/2.
Функция Лагранжа для А (деленная на массу) имеет вид
Ь=1((х-уJ + (у + хJ) + -^ + ^ = к*?+У2)+ху-ух-У,
где У = — -(х2 + у2) — — — эффективная потенциальная
2 Г\ Г2
энергия.
Уравнения Лагранжа содержат гироскопические силы:
х = 2у - Ух, у = -2х - Уу.
Положения относительного равновесия А в системе отсчета
Оху (точки либрации) находятся из уравнений Ух = Уу = 0.
Напомним (см. п. 3.1.6), что существуют три положения
относительного равновесия Ь\, Х*?, /#зсу = 0- каллинеарные точки
либрации Эйлера.
242

Задача 9-15; Покажите, что степень неустойчивости колли-
неарных точек либрации равна 1, так что по теореме 9.8 они
неустойчивы.
Положения относительного равновесия Ьа,Ьь
Л , у/5
!)
_ — [1,±— ) (треугольные точки либрации) открыты Ла-
гранжем. Они являются точками локального максимума для V,
т. е. их степень неустойчивости по Пуанкаре равна двум.
Задача 9.16. Проверьте, что. для уравнений малых
колебаний около 1/4> ^5 матрица вторых производных функции V равна
В = -Ш( У%/3 ±A-2ц)\
4 \,±A-2ц) \/3
Так как В отрицательно определена, то по теореме Кельвина
возможна гироскопическая стабилизация в линейном
приближении.
Задача 9.17. Докажите, что Ьа,Ьь устойчивы в линейном
приближении при 27цA — у) < 1. Это условие выполнено при
достаточно малых (I. Убедитесь, что оно выполняется для пары
Земля-—Луна.
9.2. УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ
9.2.1. Теорема Рауса — Сальвадори об устойчивости
стационарных движений и понятие
об ее обращении
Рассмотрим консервативную голономную механическую
систему с циклическими координатами, движение которой можно
описать уравнениями Раусо, {6.16)
йдК дН дН /П1ПЧ
*7» = *' ' = -<*• р = 0- <9-12>
Здесь г и 8 — соответственно позиционные и циклические
обобщенные координаты; р = дЬ/дв — импульсы циклических
координат; Я — функция Рауса:
Д = Д(г,г,р) = Я2 + Д1 + Я0,
Я2 = 1(В(г)г,р) Я^Мг.р),*), Аа = -^р(г),
243

Ур(г) — приведенный потенциал. Форма 7? положительно
определена относительно г.
Уравнения (9.12) допускают первые интегралы
Я>2 + Ур = СОП81, р = СОПвЪ
и могут иметь стационарные движения вида
г = г0, г = 0, а = 80* + во, р = ро, (9.13)
( дК\\
причем во = I —-~— II , а го определяется из условия
\ 9Р/1г=р0,р=,ро
стационарности приведенного потенциала:
2ИЙ-й (9.14)
ОТ
Отметим, что решения системы (9.14) зависят от постоянных
ро : го = Го(ро). Следовательно, стационарные движения (9.13)
образуют семейства, параметризованные постоянными
циклических интегралов.
Рассмотрим какое-либо стационарное движение (9.13).
Очевидно, оно неустойчиво по отношению к циклическим
координатам: сколь угодно малые изменения начальных скоростей во
приводят к конечным изменениям самих координат. Поэтому имеет
смысл ставить вопрос об устойчивости стационарных движений
по отношению к позиционным переменным и импульсам
циклических координат, т. е. об устойчивости решения:
г = г0(ро), г = 0, р = ро,
системы ^ ^ ^
ей дг дт'
Теорема 9.9 (теорема Рауса—Сальвадори). Если
приведенный потенциал У^ имеет строгий локальный минимум в
точке го(ро) при фиксированных значениях постоянных
циклических интегралов ро, то стационарное движение (9.13)
устойчиво по отношению к позиционным переменным и
импульсам циклических координат.
Доказательство. Рассмотрим функцию
Щт,т,р) = (Д2 + Ур(т) - УроЫ? + |Р - Ро|2- (9.15)
Она представляет собой сумму двух неотрицательных
слагаемых, обращается в нуль на стационарном движении (9.13)
244

и строго положительна в его окрестности. Действительно, если
р ф ро, то второе слагаемое больше нуля, если же р = ро, то
первое слагаемое принимает вид (Яг + Уро(Г) - ^ро(го)J, и
также больше нуля в окрестности точки г = го, г = 0 фазового
пространства приведенной по Раусу системы. Поскольку \У = О,
функция IV удовлетворяет теореме Ляпунова об устойчивости
(см. теорему 8.5). ¦
Замечание 9.2. В общем случае теорема 9.9 необратима,
поскольку присутствие слагаемого Н\ в функции Рауса приводит к
наличию гироскопических сил в уравнениях движения приведенной
системы, которые могут стабилизировать положение равновесия этой
системы даже при условии отсутствия минимума приведенного потенциала
(в случае четной степени неустойчивости).
Теорема 9-10- Если степень неустойчивости по Пуанкаре
положения равновесия г = го(ро) приведенной системы
нечетна, то стационарное движение (9.13) неустойчиво.
Доказательство. Проводится аналогично доказательству
теоремы 9.8. ¦
Пример 9.5. Рассмотрим задачу о плоском движении двух-
массовой системы («гантели»). «Гантель», представляющая
собой две точки А и В массы т/2 каждая, соединенные стержнем
АВ нулевой массы и длины 2а, движется в неподвижной
плоскости Оху под действием сил ньютоновского притяжения к точке
О (рис. 9.7).
Положение «гантели» будем характеризовать полярными
координатами г и ф ее центра масс 5 и углом 6 поворота «гантели»
относительно радиуса-вектора ЦЗ центра масс. Выбирая
единицы измерения так, что т = 1, а = 1 и гравитационная
постоянная A=1, выпишем выражения для кинетической Г и
потенциальной V энергии системы:
г = 1(г2 + гУ) + ^(ё + ФJ,
У = Л( 1 +
2 V (г2- 2г сов 6 + 1I^^
+ (г2 + 2г сов 9 + 1I^ )•
Замечаем, что ф —
циклическая координата, ей соответству- Рис. 9.7. Плоское движение
ет циклический интеграл (пло- «гантели> в центральном гра-
щадей): витационном поле
245
У
0
I
^^ф
А
В*
X

(г2 + 1)ф + 8 = с = сопв!.
Приведенная потенциальная энергия имеет вид
Критические точки приведенного потенциала определяются
из системы уравнений
дУс=1( 1 1 \ . й = п:
08 2\,(г2-2гсо8 8 + 1K/2 (г2+ 2г сое 9 +1K/2УГ8Ш '
9\Гс _ 1 ( г-совб г + соаб \ _
дг ~ 2 \,(г2-2гсо8в + 1K/2 + (г2+ 2г сов в+ 1K/2/
с2г =0.
(г2 +1J
Первое уравнение этой системы тождественно по т
удовлетворяется значениями
9 = 01 = 0, 6 = 62 = п/2 той п.
Других решений оно не имеет, так как выражение в
квадратных скобках отлично от нуля при в Ф к/2 той п. При этом
второе уравнение принимает соответственно вид
Таким образом, «гантель» может совершать стационарные
движения вида
9 = 01 = 0, г = г^с2), 9 = 0,
¦ п ¦ « / ,ч (9Л6)
г = 0> ^ = ^^1 ( )
и
6 = 92 = л/2, г = т2{<?), 9 = 0,
. п . с (9.17)
г = 0' * = ^ТТ'
где Г{{с) — решение уравнения с2 = /»(г), г = 1,2.
Вычисляя вторые производные от приведенного потенциала
на этих стационарных движениях, имеем
246

3(8 = 0)
F = 0)
Рис. 9.8. Бифуркационная диаграмма Пуанкаре—Четаева
\дв*I (г2-1)з>и' \тдгI "'
\дг*I (гЯ + 1J/1_ г(г2-1K <"
при г^\/3 + >/2
(напомним, что г > 1). При г > у/З + у/2 стационарное движение
(9.16) устойчиво, а при г < >/3 + у^2 — неустойчиво (степень
неустойчивости равна 1). Имеем также
(&УЛ Зг2
^ввЯУя (Г2-1M/2
<0,
(**) =0
\,аг2;2 (Г2 + 1J
/г=
>0.
(г2 +1)»/2
Таким образом, стационарное движение (9.17) неустойчиво
(степень неустойчивости равна 1).
На плоскости (<?,г) эти решения и смены их степени
неустойчивости (указаны цифрами Он 1) можно представить в виде
бифуркационной диаграммы Пуанкаре —Четаева (рис. 9.8).
Уравнение с2 = $\{т) имеет относительно г два семейства решений
г^, где г{" < л/2 + у/3 < г?.
Заметим, что смене устойчивости трансверсальных F = 0)
решений соответствует точка ветвления этих решений (с2 = 3\/3,
г = уД+у/2).
9.2.2. Теоремы Рауса для систем с первыми
интегралами
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
х = у(х), хбйСЕ". (9.18)
247

Предположим, что система (9.18) допускает не зависящие от
времени первые интегралы
/о(х) = со, /о : В -> К,
7(х) = с, / : В -+ Кт, 0 < т < п.
Следуя Раусу, положение равновесия системы (9.18), т.е. решение
вида хB) = хо, будем называть стационарным движением,
определенным точкой хо- Это название подчеркивает то, что методы,
рассматриваемые в данном подразделе, развивались для исследования
систем, приведенных по Раусу. И каждому положению равновесия такой
системы соответствует стационарное движение исходной системы.
Теорема 9.11 (Леви-Чивита). Пусть хо — невырожденная
критическая точка интеграла /о(х) на фиксированном уровне
интегралов /(х) = со. Если галЦсМ'/Эх^хо = т, то хо определяет
стационарное движение системы (9.18) ив некоторой окрестности точки
со пространства констант невырожденные критические точки
интеграла 1о(х) на фиксированных уровнях интегралов 7(х) = с
существуют и определяют т-параметрическое семейство х = Хо(с)
стационарных движений системы (9.13).
Доказательство. По теореме о неявной функции в некоторой
окрестности точек Хо и Со систему уравнений
Л(хь ...,хп) =с», г = 1, ...,т,
можно разрешить относительно некоторых т координат Х{. Пусть это
будут координаты (х^, ..., хт) = у:
Хг = ЯЧ(С,У), 1 = 1, ...,771.
В координатах (с, у) Е Кп система (9.18) будет выглядеть
следующим образом:
с = 0, У = 8(с,у),
а точка хо имеет координаты (со, уо)- Запишем условия того, что хо —
невырожденная критическая точка интеграла /о(х) на фиксированном
уровне интегралов 7(х) = с0 в новых координатах:
* "со.Уо \^ / 1со,уо
Поскольку /о — первый интеграл, то
/ /д1° Л-п дт ^о .а/0а8_п .
248

Из первого соотношения (9.19) и второго соотношения (9.20)
следует, что
8(с0,Уо)=0.
1со,у0
0у2
Но тогда из второго соотношения (9.19) получаем в(со»Уо) = 0,
т. е. /(хо) = 0. Значит, хо определяет стационарное движение системы
(9.18). Первая часть теоремы доказана.
Из второго соотношения (9.19) следует, что первое уравнение (9.19)
можно локально разрешить относительно у: у = у (с). Тогда точки
хс = х(с, у (с)) являются невырожденными критическими точками
интеграла /о(х) на фиксированных уровнях интегралов /(х) = с и
определяют т-параметрическое семейство х = Хо(с) стационарных
движений системы (9.18). Вторая часть теоремы доказана. ¦
Теорема 9.12 (теорема Рауса). Тачки хо(со) строгого
локального минимума или максимума интеграла /о(х) на фиксированных
уровнях интегралов 7(х) = с0 определяют устойчивые стационарные
движения системы (9.18).
Доказательство (Г. К. Пожарицкий). Рассмотрим первый интеграл
У(х) = (/о(%) - /о(хо)J + A(х) - соJ.
В малой окрестности хо эта неотрицательная функция обращается
в нуль лишь при х = хо, так как при х ф хо, если 7(х) = со, то (/о(х) —
- /о(хо)J > 0; если же /(х) ф со, то G(х) — соJ > 0. Таким образом,
функция У(х) удовлетворяет теореме Ляпунова об устойчивости (см.
теорему 8.5). ¦
Замечание 9.3. Условие теоремы 9.12 заведомо выполнено, если
вторая вариация функции I в точке х^:
**-5(C?.^) <9-21>
является положительно определенной на линейном многообразии
векторов 8х.
Для краткости здесь и далее используем обозначение (-)о,
подразумевая, что соответствующий объект вычисляется в точке Хо-
Теорема 9.13 (теорема Кельвина). Пусть хо —
невырожденная критическая точка интеграла /о на фиксированном уровне I = с
интегралов 7, независимых в этой точке. Предположим, что на
линейном многообразии (9.22) выполнены условия:
249

1) индекс1 второй вариации (9.21) В2/о нечетен-,
2) гапк@у/0х)о = п - т.
Тогда хо определяет неустойчивое стационарное движение
системы (9.18).
Доказательство (В. В. Козлов). Достаточно показать, что
неустойчиво стационарное движение для системы (9.18), рассматриваемой в
окрестности точки хо только на уровне 7(х) = Со- Как и при
доказательстве теоремы 9.11, поскольку интегралы семейства I независимы в
точке хо, то можно выбрать координаты на данном уровне и
рассмотреть устойчивость в этих координатах. Таким образом, можно
ограничить доказательство случаем т = 0. Итак, считаем, что интегралы
семейства I отсутствуют.
Рассмотрим линеаризованные уравнения возмущенного движения:
*-* р=A)„- (923)
Они допускают квадратичный интеграл
(9.24)
Ыъ, я=*'°
В самом деле разложим правую часть системы (9.18) и интеграл /о
в ряд Тейлора в окрестности точки хо:
у = Р5 + 0(|§|2), 1о = со + \(Я1,1) + 0(\1\3) (§ = х-хо).
Учитывая, что /о — первый интеграл системы (9.18), имеем
= (^) = <д§,Р5> + О(|?|3) = 0.
Таким образом, (<2?, Р?) = 0, т. е. квадратичная форма (9.24)
постоянна на решениях системы (9.23).
Поскольку (9.24) — первый интеграл системы (9.23), то (см.
задачу 9.18) фР = —Р^О?, т.е. фР — кососимметрическая матрица. Из
условия 1 теоремы 9.13 следует, что с!е1;<2 < 0, а из условия 2 — что
де& Р Ф 0. Поэтому дек (}Р Ф 0 и, значит, п четно и деЬ (}Р > 0 (см.
задачу 9.19). Но тогда дек Р < 0. Отсюда следует отрицательность
произведения корней характеристического уравнения Лей (XI? — Р) = 0
системы (9.23). Поскольку комплексные корни группируются в
сопряженные пары и их произведение положительно, число вещественных
корней четно и их произведение отрицательно. Последнее означает, что
1гГо есть число отрицательных собственных значений.
250

число отрицательных корней нечетно, значит, нечетно и число
положительных корней. Отсюда следует, что у характеристического
уравнения есть, по крайней мере, один положительный вещественный
корень.
Применив теорему Ляпунова о неустойчивости (см. теорему 8.4) по
первому приближению, получаем, что стационарное движение х = Хо
неустойчиво. ¦
Задача 9.18. Пусть А и В — квадратные матрицы одинакового
размера, причем В — симметрическая. Докажите, что квадратичная
функция (Вх, х) является первым интегралом системы х = Ах тогда
и только тогда, когда В А + АТВ = 0.
Задача 9.19. Докажите, что для любой вещественной кососиммет-
рической матрицы А размером пхп, если п нечетно, то йе* А = 0. Если
же п четно, то дек А > 0.
Указание. Покажите, что вместе с собственным числом X у матрицы
А имеется собственное число —X (на самом деле верно большее — все
собственные значения нулевые или чисто мнимые).
Задача 9.20. С помощью теорем, приведенных в этом
подразделе, покажите, что в задаче о движении волчка Эйлера стационарные
вращения вокруг наименьшей и наибольшей осей эллипсоида инерции
устойчивы, а стационарное вращение вокруг его средней оси
неустойчиво.
Замечание 9.4- Результаты, изложенные в этом подразделе,
распространяются (с незначительными изменениями и дополнениями) на
случай, когда 1о(х) — не первый интеграл, а невозрастающая вдоль
решений системы (9.18) функция, т. е. когда (д1о/дх) < 0 (см. [12] и
работу В. В. Козлова1). Кроме того, в этом случае справедлива следующая
теорема [12].
Теорема 9.14. Предположим, что хо(с0) — изолированная
критическая точка функции'1о{х) на фиксированных уровнях интегралов
1(х) = со, которая доставляет (не доставляет) функции 1о(х)
строгий (даже нестрогий) локальный минимум, причем функция 1о(х)
убывает в некоторой окрестности точки хо(со) на всех
движениях, отличных от стационарных Хо(с) для с, близких к с0. Тогда
Хо(со) — устойчивое {неустойчивое) стационарное движение,
причем любое возмущенное движение хA), достаточно близкое к
невозмущенному, стремится при I —> +оо к стационарному движению
хо(с), соответствующему возмущенным значениям первых
интегралов.
1 Козлов В. В. О степени неустойчивости // Прикладная математика и
механика. - М., 1993. - Т. 57. - Вып. 5. - С. 14-19.
251

9.2.3. Теоремы Рауса для систем с интегралами,
линейными по скоростям
Практически интересным является случай, когда (локально)
фазовые координаты х Е Кп можно разбить на две группы.
Условно назовем их «обобщенные координаты» д 6 К* и
«квазискорости» со € К', к +1 = п. Пусть система (9.18) допускает
первый интеграл /о, выпуклый по квазискоростям, и систему
интегралов I, линейных по квазискоростям. В такой ситуации на
пространстве обобщенных координат можно определить
эффективный потенциал системы, критические точки которого
отвечают стационарным движениям системы.
В качестве примера рассмотрим консервативную
механическую систему с п степенями свободы, допускающую т первых
интегралов, линейных и независимых по скоростям в каждой
точке конфигурационного пространства. Допустим, что при
описании движения системы вместо обобщенных скоростей (?
используются их линейные комбинации — квазискорости о> (см.
п. 6.2.2). При этом я = -О(я)(о, где со е Кп; В — невырожденная
(тг х п)-матрица.
В квазискоростях интеграл энергии и линейные интегралы
примут вид
Я=^(Лсо,со) + У = Л, (9.25)
К = Вы = к. (9.26)
Здесь А(с[) — симметрическая положительно определенная
(п х п)-матрица; У(с1) — потенциальная энергия; В (ц) — (т х п)-
матрица линейных интегралов, гапкВ = т. Матрицы А и В и
скалярная функция V определены на конфигурационном
пространстве системы.
Согласно теории Рауса критические точки интеграла Н на
фиксированных уровнях интегралов К = к соотвествуют
стационарным движениям системы, причем точки строгого
локального минимума или максимума — устойчивым стационарным
движениям. Задачу отыскания критических точек интеграла (9.25)
на фиксированных уровнях интегралов (9.26), учитывая
структуру этих интегралов, можно решать в два этапа.
Сначала зафиксируем точку ^ и найдем минимум функции
Н по квазискоростям на линейном (по квазискоростям)
многообразии К = к. Поскольку А положительно определена, то
минимум существует и единственен. Применим метод множителей
Лагранжа. Для этого введем функцию ТУ = Н + (X, (К — к)),
252

где X Е К171 — вектор неопределенных множителей Лагранжа, и
выпишем условия ее стационарности по переменным со и X:
Асо + Вт\ = О, Всо - к = 0. (9.27)
Из первой группы уравнений этой системы имеем
с* = -А^ВТ\. (9.28)
Подставив это значение во вторую группу уравнений (9.27),
получим
(ВАВГ)Х = -к. (9.29)
Поскольку интегралы (9.26) независимы (гапкВ = га), то
6еЬ(ВАВт) ф 0, и из (9.28) следует, что
X = -(ВЛ-1Вт)к| со = А'1Вт(ВА-1Вт)'1к = сок.
Таким образом,
пипЯ|к=к = Я(сок) = V + 1((ВА-1ВтГ\к) = Кк. (9.30)
Функция 1^(ч)) определенная на конфигурационном
пространстве и зависящая от постоянных интегралов (9.26),
называется приведенным, или эффективным, потенциалом.
В терминах эффективного потенциала теоремы 9.11 — 9.13
формулируются следующим образом.
Теорема 9.15. Критические точки эффективного
потенциала соответствуют стационарным движениям. Точки
строгого минимума эффективного потенциала соответствуют
устойчивым стационарным движениям. Критические
точки эффективного потенциала, для которых индекс второй
вариации эффективного потенциала нечетен, соответствуют
неустойчивым стационарным движениям.
Задача 9.21. Пусть положение системы определяется
обобщенными координатами, а в качестве квазискоростей взяты
обобщенные скорости, и пусть интегралы (9.26) являются
циклическими интегралами для соответствующих циклических
координат. Покажите, что эффективный потенциал (9.30)
совпадает с приведенным потенциалом системы, получающейся при
понижении порядка по Раусу (см. задачу 6.5).
Рассмотрим бифуркационные диаграммы Смейла. Область
возможности движения системы в конфигурационном простран-
253

стве на фиксированных уровнях интегралов (9.25) и (9.26)
определяется неравенством
Ук < /I. (9.31)
Топологический тип областей возможности движения (9.31)
зависит от констант к и к и меняется при переходе через
бифуркационное множество Е с {(/ь,к)} = Кт+1. В случае
компактного конфигурационного пространства оно определяется
соотношением
Е = {(/I, к) : К = Ъ(д), Ч 6 3(к)}, (9.32)
где (} (к) — множество критических точек эффективного
потенциала.
Бифуркационное множество Е в пространстве констант
первых интегралов называется бифуркационной диаграммой Смей-
ла.
Пример 9.6. Рассмотрим задачу о движении тяжелого
твердого тела с неподвижной точкой (см. подразд. 5.3). Уравнения
движения тела E.9) допускают интеграл энергии E.10),
площадей E.11) и геометрический E.12):
Я = -(Ар2 + Вя2 + Сг2) + тд(ау1 + Ьу2 + су3) = (д
= Н = сопз1,
К = Лру1 + Вду2 + Сгуз = А: - сопд*, (9.34)
Г=Т? + тЗ + г1 = 1- (9.35)
Здесь, как и раньше, А, В,С — главные моменты инерции
тела для неподвижной точки; т — его масса; а,Ъ, с — координаты
центра масс в главных осях инерции тела; р, д, г —
компоненты угловой скорости (о (т. е. квазискорости, см. кинематические
формулы Эйлера A.18)); ух, уг, Уз — компоненты единичного
вектора вертикали у.
Таким образом, интеграл энергии (9.33) квадратичен,
интеграл площадей (9.34) линеен по со € К , а геометрический
интеграл определяет сферу Пуассона: у Е §2.
Найдем эффективный потенциал:
Ук(у)=ттпН\к , = Я(со*,у).
Согласно формуле (9.30)
"к = ШЪ Аг) = Ау21 + ВГ* + Ст1, (9.36)
254

Предположим (для простоты), что центр масс тела лежит на
оси наибольшего момента инерции, т. е., например, А < В < С,
а = Ь = 0, с > 0. Найдем критические точки функции Уъ =
= тдсгз + й2/2./(т) на сфере Пуассона (9.35). Для этого
рассмотрим функцию № = V* + -\(у1 + ч% + у§ - 1) и выпишем
условия ее стационарности по у ь у 2, Уз:
д№ ( Ак2\
^=^-^Г2 = 0, (9.37)
^ = ^--^^+^--0.
Система уравнений (9.35), (9.37) допускает решения
П = Г2 = 0, уз = -1, (9.38)
У1 = Г2 = 0, уз = 1, (9.39)
У1=81П91, У2=0, у3 = С08б1, (9.40)
П = 0, у2 = 81пе2, уз = со8е2, (9.41)
где 6» (г = 1,2) удовлетворяет уравнению
(С - 40?2 _ (А{ 8Ш2 Ь{ + С СОВ2 6гJ
тдс соз 8» '
г = 1,2, Аг = А, А2 = В.
Решения (9.38), (9.39) соответствуют равномерным
вращениям тела вокруг вертикально расположенной оси наибольшего
момента инерции при соответственно наинизшем и наивысшем
расположении центра масс, а решения (9.40), (9.41) —
равномерным вращениям тела вокруг вертикали, лежащей в главных
плоскостях инерции тела Охг и Оуг соответственно (см. (9.36)).
Задача 9.22. Убедитесь, что критическая точка (9.38)
эффективного потенциала 1? на сфере (9.35) всегда соответствует
его минимуму.
255

Вычислим вторую вариацию функции \У на линейном
многообразии 8Г = {8у : (у, &Т> = 0} в точке (9.39):
2&2^ = Х1EГ1J + х2(&У2J, »Тз = 0,
к2{С-А) к2(С-В)
XI = -^ тдс, хг = ^2 т9с-
Таким образом, степень неустойчивости критической точки
(9.39) зависит от величины постоянной интеграла площадей.
Степень неустойчивости по Пуанкаре:
1) равна 2, если к2 < к2 (при этом возможна гироскопическая
стабилизация);
2) равна 1, если к2 < к2 < к% (при этом имеет место
неустойчивость);
3) равна 0, если к2 > к% (при этом имеет место устойчивость).
Здесь к\ = С2тдс/(С - А), к\ = С2тдс/(С - В).
Степень неустойчивости критических точек (9.40) и (9.41)
зависит не только от величины постоянной интеграла площадей,
но и от соотношений между ЗС и 4А, 42?.
Задача 9.23. Рассмотрим простейший случай ЗС > 42?.
Покажите, что решения (9.40) существуют при к2 > к2 и их степень
неустойчивости всегда равна двум, а решения (9.41) существуют
при к2 > к\ и их степень неустойчивости всегда равна единице.
Задача 9.24. Покажите, что при ЗС > 42? бифуркационная
диаграмма Смейла имеет вид, указанный на рис. 9.9. Кривые I
и II представляют собой параболы к = ^тдс + к2/2С и соответу
ствуют решениям (9.38) и (9.39), а кривые III и IV
соответствуют решениям (9.40) и (9.41). Цифрами 0, 2, 2 указана степень
неустойчивости соответствующих решений. Область
возможности движения на сфере Пуассона, соответствующая параметрам,
лежащим:
1) ниже кривой I глобального минимума — пустое множество;
2) между кривыми 1иН — двумерный диск 2Э2 (часть сферы
Пуассона, окружающая южный полюс У1 = У2 = 0, уз = — 1);
3) между кривыми II и IV — два двумерных диска Б2 и Б2
(две части сферы Пуассона, окружающие ее полюса уз = ±1)»
4) между кривыми III и IV — цилиндр 81 х 2Э1 (сфера
Пуассона с двумя дырками вокруг точек (9.40));
5) выше ломаной глобального максимума, состоящей из куска
кривой 27 (?2 < к\) и кривых III (к2 > к2), — вся сфера
Пуассона 52.
256

? ¦ -тдс
Рис. 9.9. Диаграмма Смейла
Задача 9.25. Исследуйте случаи 4А < ЗС < 4В и ЗС < 4А
(при сохранении условий А<В<С,а = 6 = 0,с>0).
Задача 9.26. Исследуйте случай А < В < С при условиях
а > О, Ь = с = 0), или а = с = 0, Ъ > 0.
9 Болотин

Глава 10
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА,
ОПИРАЮЩЕГОСЯ НА НЕПОДВИЖНУЮ
ПЛОСКОСТЬ
10.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО
ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ
ПЛОСКОСТИ
10.1.1. Уравнения Ньютона —Эйлера
Пусть твердое тело, ограниченное гладкой выпуклой
поверхностью Е, движется, опираясь на горизонтальную плоскость П=
= Ожу, под действием силы тяжести. Пусть 5 — центр масс
твердого тела. В системе отсчета 52;т)С, жестко связанной с твердым
телом, поверхность Е задается уравнением /(г) = 0, а ее
внутренность — неравенством /(г) < 0. Пусть г = 8К — радиус-
вектор точки касания К тела и плоскости.
Тогда
Т = Ф(г) = -ягаД/(г)/|вга|1/(г)| (Ю-1)
— единичный вектор нормали ег к П в точке К, являющийся
одновременно вектором внутренней нормали к Е в точке
касания. Для вектора ег используется обозначение у, поскольку он
рассматривается в подвижной системе 52;т)С. Векторы
единичной нормали у к поверхности можно позиционировать как
точки единичной двумерной сферы §2, а соотношение A0.1) — как
отображение поверхности Е на эту сферу.
В силу выпуклости Е, отображение ср : Е —> §2 является
взаимно-однозначным, так что определено обратное ср-1 : §2 —> Е,
которое каждому единичному вектору у сопоставляет точку Е,
в которой нормаль совпадает с у.
Конфигурационное пространство системы пятимерно.
Топологически — это 50C) х М2, точка в нем определяется
ориентацией твердого тела E0C)) и точкой на плоскости, в которой
тело касается ее (К2).
258

Предположим, что реакции,
действующие на твердое тело со
стороны плоскости П,
эквивалентны силе К, приложенной в
точке К (рис. 10.1). Уравнения
Ньютона—Эйлера D.10) примут
вид
т\г + т[со,у] = -тду + К, Рис- 10Л- Качение тела по
т . , г т , г п1 плоскости
75со + [со, 75со] = [г,К],
A0.2)
где г = ср 1(у); V = у^ — скорость центра масс 5; со — вектор
угловой скорости твердого тела. Точкой обозначена производная
по времени в системе 5ВД.
Чтобы замкнуть систему уравнений A0.2), надо добавить
условие постоянства вектора у в а,бсолютной системе координат
Т + [со,Т] = 0 A0.3)
и каким-то образом определить связь реакции К с переменными
V, СО, у.
Для полного определения ориентации тела можно
воспользоваться, например, кинематическими формулами Эйлера A.18).
10.1.2. Модели взаимодействия твердого тела
с плоскостью
Для получения замкнутой системы к уравнениям A0.2) и
A0.3) нужно добавить условие К Е П, или условие
горизонтальности скорости \к точки К тела, в которой оно касается
плоскости:
<у,у+[со,г]>=0, A0.4)
и физические предположения о характере взаимодействия
тела и плоскости, т. е. о касательной составляющей реакции (силы
трения).
Дифференцирование A0.4) по времени дает
(у, V + [со, г]) + <т, V) + (Т, [со, г]) + (у, [со, г]) = 0. A0.5)
Подставив в это уравнение V, со, у из A0.2) и A0.3) и г =
= (9г/5у)у, получим соотношение вида
(Ь,Н)+с = 0, A0.6)
где Ь и с — известные функции V, со, у.
259

1. Если трения нет (абсолютно гладкая плоскость), то К=#у
и из A0.6) получаем N = -(Ь,у)с Уравнения A0.2)-A0-4)
после исключения N дают замкнутую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений относительно переменных V, со,
у. Как и в уравнениях Эйлера—Пуассона, используется система
отсчета, связанная с телом.
2. Если проскальзывания нет (абсолютно шероховатая
плоскость), то уравнение связи имеет вид
Ўаг = у + [о>,г] = 0, A0.7)
а реакция К может быть произвольной. Тем не менее ее
можно найти, как и ранее, дифференцируя по времени уравнения
A0.7):
V = [*,«] +[г, Л]. A0.8)
Учитывая первое уравнение системы A0.2) и
соотношение A0.8), получим
К = т(ду + [г,со] + [г,со] + [со, [г,со]]). A0.9)
Подставляя полученное выражение реакции К во второе
уравнение системы A0.2), окончательно имеем:
•75со + [со, ^<*] = [г, т(ду + [г, со] + [г, со] + [со, [г, со]])]. A0.10)
Поскольку г = ф"х(т)» система уравнений A0.3) и A0.10) заг
мкнуты относительно со и у.
Пример 10.1 (задача Чаплыгина). Рассмотрим качение без
проскальзывания шара радиуса а и массы т по горизонтальной
плоскости. Будем считать, что шар уравновешенный, но
динамически несимметричный. Это означает, что центр масс шара
совпадает с его геометрическим центром, но тензор инерции
произвольный (не шаровой).
Первое уравнение A0.2) запишем в неподвижной системе:
т— = -гп0Т + Ы, A0.11)
аъ
где й/сй означает дифференцирование в этой системе.
Дифференцируя A0.7) по времени и используя то, что г = — ау, т.е.
йг/сЙ = 0, получаем: йч/дй = —а[со, у] (производные со в
неподвижной и подвижной системах совпадают: йсо/сЙ = со + [со, со]).
Из A0.11) находим К = тду + та[со, у]. Подставляя найденное
260

значение реакции во второе уравнение системы A0.2), выпишем
уравнения движения шара в системе отсчета, связанной с
шаром:
^6> + [со, ^<*] = -ггса2[у, [со, у]], У + [со, у] = 0. A0.12)
Система обыкновенных дифференциальных уравнений
A0.12) замкнута относительно со и у.
3. Если тело скользит по плоскости, а трение между телом
и плоскостью удовлетворяет закону Кулона (сухое трение), то
(к > 0 — коэффициент трения)
К = ЛГу - *АГ ,У + [ю,г],. A0.13)
^ + [со,г]| ^
Заметим, что в реальности нет абсолютно твердых тел и
точечные контакты невозможны. При этом модель трения
существенно усложняется (см. п. 10.2.3).
10.2. ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЕЛОГО
ОДНОРОДНОГО ШАРА
10.2.1. Шар на горизонтальной плоскости:
неголономная модель
Для однородного шара массы т и радиуса а имеем (см. зада-
2
чу 4.1) 7$ = -та2, г = -ау. Тогда из A0.7) V = а[со, у] || П. Для
5
шара удобно использовать неподвижную систему отсчета Охуг,
в которой у = ег. Уравнения A0.2) примут вид
й г , „ йсо 5Г _.
та—[со, т] = -тду + К, та— = - - [у, К].
Здесь A/A1 по-прежнему означает дифференцирование в
неподвижной системе отсчета.
Исключив К, получим
е2со 5
та—г- = —та—
(И 2
с2со 11 5 с2со
Значит,
со = со0, V = \0 = а[со0, у], Г5 = г0 + \оA - *о).
261

Шар вращается с постоянной угловой скоростью, а его центр
5 движется равномерно и прямолинейно. При этом К = Л/у,
N = 7715-
Задача 10.1. Покажите, что при качении шара без
скольжения по наклонной плоскости его центр движется по параболе.
10.2.2. Шар на горизонтальной плоскости с учетом
сухого трения скольжения
Пусть е — единичный вектор, направленный вдоль \к = и =
= V—а[со, у] = ие. Умножив первое уравнение A0.2) скалярнона
у, получим, как и ранее, N = тд. Первые два уравнения A0.2)
примут вид (см. A0.13))
¦ Ъкд
\ = -кде, со = -^"[ЬЧ-
Отсюда
5 7
и = V - а[со,у] = -кде - -кд[[у,е],у] = --кде. A0.14)
С другой стороны, и = йе + иё. Значит, ё || е, так что е = ео,
поскольку е — единичный вектор. Уравнение A0.14) принимает
7,
вид и = — -кд, следовательно,
7 2щ
и = щ- -кд{1 - *0), «о < < < <ь «1 = <о + ^Г-
Здесь 1\ — *о — время движения со скольжением. На промежутке
времени [*о, <1] V = — кде^, так что
V = у0 - кдЦ - *0)е0, г5 = г0 + (* - *о^о - -кд{1 - *оJе0.
Итак, установлено, что пока происходит скольжение, центр
масс шара движется по параболе (при \о || ио парабола
вырождается в прямую). В момент времени *х скольжение
прекращается и, согласно результату предыдущего подраздела, центр масс
движется по прямой.
10.2.3. Шар на горизонтальной плоскости с учетом
трения скольжения и верчения
Модель сухого трения скольжения (закон Кулона),
использованная в подразделе 10.2.2, достаточно хорошо описывает вза-
262

Рис. 10.2. Шар на плоскости Рис. 10.3. Пятно контакта
имодействие тела с опорной поверхностью при поступательном
движении тела. Для описания поступательно-вращательного
движения эта модель нуждается в некотором уточнении1.
Проиллюстрируем модель сухого трения (модель Контенсу)
на задаче о движении однородного шара по горизонтальной
плоскости. В отличие от предположений, сделанных в
подразделе 10.2.2, следуя Контенсу, будем считать, что контакт шара
с плоскостью происходит по кругу радиуса г, центр С
которого совпадает с проекцией центра 5 шара на плоскость (рис. 10.2
и 10.3).
Согласно теории Герца, давление неподвижного шара на
плоскость распределено по пятну контакта неравномерно:
<р) = -^^^- A0Л5)
Здесь N — нормальное давление; р е [0, г] — расстояние от
центра С пятна контакта до произвольной точки Р этого
пятна, в которой определяется плотность нормального давления
A0.15J (см. рис. 10.3),
Предположим, что равенством A0.15) можно
воспользоваться и для подвижного шара.
Пусть и = не — скорость скольжения шара (скорость точки
С). Тогда скорость точки Р определяется по формуле Эйлера
1Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее
Учет в теории волчка. Проблемы гироскопии. — М. : Мир, 1967. — С. 60 — 77.
2Формула A0.15) получена на основе линейной теории упругости при
условии, что радиус пятна контакта достаточно мал по сравнению с радиусом шара.
263

чр = чс + [со, СР] = ир + 1Ур,
где ир и у/р — горизонтальная и вертикальная составляющие
скорости точки Р.
В частности,
ир = (и — рсо2 81П а)е + ра>г сое ае_ь
где а — угол между векторами е и СР\ е и е± — взаимно
ортогональные единичные векторы, лежащие в горизонтальной
плоскости.
Пусть Г(Р) — плотность силы трения в точке Р, а Ла =
= рйрйа — площадь элемента пятна контакта, построенного в
точке Р (см. рис. 10.3). Полагая, что сила трения скольжения
$(Р)<1о, действующая на этот элемент и приложенная в точке Р,
удовлетворяет закону Кулона, имеем
{{Р)Aо = -Ы(Р) т^рйрйа.
Приведем систему сил, действующих на шар, к точке С (см.
п. 4.1.5). Результирующая сила трения определяется формулой
= |г(Р)Лт,
A0.16)
где интеграл берется по пятну контакта 2.
Таким образом, Г = Ре, где
271
, ЗЛГ Г /-= «, Г и-рсог81па
Р = ~кЪ^ Р\Л-2-рЧ> , 2 . 2^а-
Лг° ^ ^ у^ — 2гф(ог зш а + р2а>~
A0.17)
Задача 10-2- Докажите формулу A0.17).
Указание. Докажите, что из A0.16) следует, что (Г, е_1_) = 0.
Аналогично определяется главный момент сил трения,
действующих на шар, относительно точки С (момент трения
верчения):
Мс= МСР,Г(РIйо= I [рсо8ае + р8тае±,-Ь1(Р)т^]йа.
Таким образом, Мс = Мсег, где
264

г 2л
о о
A0.18)
Задача 10-3- Докажите формулу A0.18).
Интегралы A0.17) и A0.18) могут быть вычислены в
элементарных функциях, но соотвествующие выражения весьма
громоздки. На основе этих формул можно показать1, что, как и в
случае модели Кулона (см. п. 10.2.2), скольжение шара
прекращается за конечное время. При этом, в отличие от результатов
подразделе 10.2.2, в тот же момент времени прекращается и
верчение шара.
В заключение отметим, что если пйг/и = е 4С 1 (в частности,
о>2 = 0), то
Р = -кЩ1 + 0(е2)),
Г™ г, ъ< 2чч A0-19)
Мс = —еA + 0(е2)),
т. е. при е = 0 модель Контенсу переходит в модель Кулона (см,
п. 10.2.2). Если же и/гсог = 8 « 1, то
^ =-3^5A + 0(8*)),
ЗкгкМ A0-20)
МС = -=^A + 0E2)).
Задача 10.4. Докажите формулы A0.19) и A0.20I.
Таким образом, неподвижный массивный шар сдвинуть с
места значительно труднее, чем быстро вращающийся.
10.3. КИТАЙСКИЙ ВОЛЧОК
Китайский волчок, или «тип-топ», — динамически и
геометрически симметричное тело, опирающееся на горизонтальную плоскость
(рис. 10.4). Симметрия означает, что эллипсоид инерции является
эллипсоидом вращения и поверхность, ограничивающая тело, есть
поверхность вращения, причем центр масс расположен на общей оси
симметрии.
Журавлев В. Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел //
ПММ. - М., 1998. - Т. 62. - Вып. 5. - С. 762-767.
265

Бели китайский волчок быстро
закрутить вокруг вертикально
расположенной оси симметрии при
наинизшем расположении центра масс, то
он перевернется на 180° и начнет
вращаться вокруг вертикально
расположенной оси симметрии при
наивысшем расположении центра масс.
Рис. 10.4. Китайский волчок
10.3.1. Простейшая модель китайского волчка
Рассмотрим тяжелый, неоднородный, динамически симметричный,
шар на горизонтальной шероховатой плоскости с трением скольжения.
Пусть а — радиус шара; с — расстояние между его геометрическим
центром О и центром масс 5. Прямая 50 предполагается осью
динамической симметрии. Пусть А и С — экваториальный и осевой
моменты инерции; т — масса шара; д — ускорение силы тяжести. Главные
центральные оси инерции шара обозначим через 5!;т)С. Положительное
направление оси 5С = ВО выбираем так, чтобы координата точки О
была положительной (С = О 0), рис. 10.5.
Пусть V — скорость центра масс шара; со — его угловая скорость;
у — единичный вектор восходящей вертикали; г = 8К = —ау + се$
(е^ — орт оси 5^); и = V -I- [со, г] — скорость скольжения шара.
На шар действует вес Р = —гаду, нормальная реакция N = N4 и
сила трения скольжения Р, противоположная скорости скольжения и
((Г, и) <0прии^0).
Уравнения движения шара A0.2)-A0.4), отнесенные к его
главным, центральным,осям инерции, имеют вид G = сИаз{Д А, С}):
т\ + [со, тм) = Р + N 4- Р, Л> + [со, 7<о] = [г, ^ + Р)], A0.21)
Г + [со,Т] = 0, (у + [со, г], г) = 0. A0.22)
Рис. 10.5. Простейшая модель китайского волчка
266

10.3.2. Интеграл Желле и эффективный потенциал
Полная механическая энергия шара
Я(у, со, у) = ъту2 + и (^ ») ~ т0<г' Т>
1
2?
не возрастает вдоль движений системы:
^ = -(Г,и)<0.
Независимо от гипотезы о характере силы трения уравнения
A0.21), A0.22) допускают интеграл проекции кинетического момента
на радиус-вектор точки опоры (интеграл Желле):
К = —Gсо,г) = к.
A0.23)
Действительно, из соотношения г = — ау + се$ и первого уравнения
A0.22) следует, что
г + [со,г] = с[е^,со]. A0.24)
Умножив обе части второго уравнения A0.21) скалярно на г с
учетом соотношения A0.24), имеем
0 = (Ло, г) + (г, [со, 7со]> = (Ло, г) + (Л>, [г, со]) =
,= (Ло, г) + Gсо, г) + с( ./со, [со, ес]>.
Таким образом,
— Gсо,г) = -сGсо,[со,ес]) = -с
Лр Ад Ст
р д г
0 0 1
= 0
(как всегда, р, д, г — проекции угловой скорости на оси подвижной
системы 5!;т)С).
Область возможных положений точки пересечения оси симметрии
5^ со сферой Пуассона у2 = 1 определяется соотношением Ук{у) < Н,
где Н — начальное значение полной механической энергии Н\
^(у) = пппЯ(у,со,у)
ч,и
#(«,г)=Л
— эффективный потенциал (см. п. 6.1.3). Покажем, что
к2
Ук(г) = Н(ук, со*, у) = -тдсхз +
л(у?+у!) + с(тз-;;)
^ +тда
267

(у» — проекции единичного вектора восходящей вертикали на оси
системы 5!;т)С).
Применим метод множителей Лагранжа. Введем функцию:
И^(у, со, у, X) = Я — "к(К — к) (X — неопределенный множитель
Лагранжа) и выпишем условия ее стационарности по переменным V, со и X:
_=ту = 0, _ = 7(со + Х-), — = *-*0 = 0.
Таким образом,
V = V* = 0, со = со* = —г = X (т - -еЛ ,
а \ а /
х = хк =
G (т - Ь) • (т - Ь)> л « + т8) + с (гз -1)
Следовательно,
Ук(г)\ п = гпдсРк(у3) + тда,
1та=1
Л(тз) = -тз + Ч1Щ
АA-т1) + о(т8-2)
10.3.3. Равномерное вращение вокруг вертикали.
Регулярная прецессия
Критические точки эффективного потенциала Ук(у) на сфере
Пуассона соответствуют критическим точкам функции -РЦуз) на отрезке
Уз Е [—1,1], причем критические точки ух = у 2 = 0, уз = ±1 —
равномерным вращениям волчка вокруг вертикально расположенной оси
симметрии при наинизшем уз = 1 или наивысшем у3 = — 1 положении
центра масс:
у-0, --(СО,»*), "* = с(±1*_с/а)-
Очевидно,
Эффективный потенциал имеет минимум в северном (южном)
полюсе сферы Пуассона, если Р'к{1) < 0 (Г^-1) > 0). Таким образом,
вращение волчка при наинизшем положении центра масс устойчиво
268

при любой угловой скорости, если с/а+А/С < 1; если же с/а+А/С > 1,
то вращение устойчиво только при достаточно малой угловой скорости:
2 тдс
**+< С(с/а + А/С-1)'
Вращение волчка при наивысшем положении центра масс
неустойчиво при любой угловой скорости, если А/С - с/а > 1; если же А/С —
— с/а < 1, то вращение устойчиво при достаточно большой угловой
скорости:
2 7ГС0С
"- С(с/а-Л/С+1)"
Можно показать, что если параметры волчка таковы, что 1 — с/а <
< А/С < 1 + с/а, то быстро раскрученный вокруг вертикально
расположенной оси симметрии волчок при наинизшем расположении
центра масс перевернется на 180° и начнет вращаться вокруг вертикально
расположенной оси симметрии при наивысшем расположении центра
масс1.
Задача 10.5 (регулярная прецессия). Покажите, что критические
точки функции Рк(уз), лежащие внутри интервала (—1,1),
соответствуют прецессионным движениям волчка: на таких движениях
волчок равномерно вращается вокруг оси симметрии, которая составляет
постоянный угол с вертикалью, проходящей через центр масс волчка, и
равномерно вращается вокруг последней. При этом центр масс волчка
неподвижен, а точка касания тела с плоскостью описывает окружность
как на плоскости, так и на поверхности тела; скорость скольжения
тела на этом движении равна нулю.
10.4. КЕЛЬТСКИЙ КАМЕНЬ
Кельтский камень представляет собой несимметричное твердое
тело, опирающееся выпуклой поверхностью на горизонтальную
плоскость (рис. 10.6).
Если его закрутить вокруг вертикали в одном направлении, то он
продолжит это вращение; если же
его закрутить в противоположном
направлении, то он замедлит это
вращение, начнет совершать
колебательные движения, которые
будут постепенно затухать и в
конце концов кельтский камень станет
вращаться в направлении,
противоположном начальному. Рис. 10.6. Кельтский камень
1Карапетян А. В. Глобальный качественный анализ динамики китайского
волчка («тип-топ») // Изв. РАН, МТТ, 2008. - ДО 3.
269

10.4.1. Простейшая модель кельтского камня
Для краткости изложения главные центральные оси инерции
тела будем обозначать 8x1X2X3 (а не 52;т)С как обычно). Предположим,
что одна из главных центральных осей инерции тела (пусть, 5хз) в
одном из направлений (пусть, в отрицательном) ортогональна
поверхности тела. Точку пересечения отрицательной полуоси 5хз с
поверхностью тела обозначим Р (рис. 10.7). Тогда уравнения поверхности тела
в окрестности точки Р в главных, центральных, осях инерции можно
представить в виде
хз = -а3 +
К
(XI СОЗ 8 + Х2 81П 8J ( (х\ 81П 8-3? СОЗ *^2
О!
¦ + ¦
0.2
ь1\
+ Оз{хг,х2),
где а\ и а.2 — главные радиусы кривизны поверхности тела в точке Р\
аз — расстояние между точками Р и 5; 8 — угол между направлением
главной кривизны а^1 и осью 8х\.
Символом Оь(...) обозначены члены не ниже к-го порядка по (...).
Компоненты вектора г = 8К определяются соотношениями:
х\ = — [(ахсоз2 8 4-028^8)^1 + (а\ — а2)8т8сов8у2] +02(УьУ2),
Х2 = — [(а.1 — а2)8т8со8 8у1 + (а\ вт2 8 4- аг соз2 8)уг] + Ог(Т1»Т2),
х3 = -аз + 02(т11Т2).
Предположим, что опорная плоскость является абсолютно
шероховатой, т.е. движение тела описывается уравнениями A0.2), A0.7).
Дифференцируя обе части соотношения A0.7) по времени, получим
у + [со, г] 4- [со, г] =0.
A0.25)
Исключив из первого уравнения системы A0.2) V с учетом
соотношений A0.7) и A0.25), имеем
К = тду 4- ш[г, со]4-
4-ш[г, со] + га[со, [г, со]].
A0.26)
Подставив A0.26) во второе
уравнение системы A0.2), получим
7со 4- [со, ./со] =
= т [г, дг 4- [г, со] 4- [г, со] + [со, [г, со]]].
A0.27)
Уравнение A0.27) и уравнение
Рис. 10.7. Простейшая модель Пуассона A0.3):
кельтского камня г 4- [со т! = 0
A0.28)
^70

(с учетом того, что г = г(у)) составляют систему, замкнутую
относительно со и у.
В указанном случае тело может равномерно вращаться вокруг
вертикально расположенной оси Зхз, опираясь на горизонтальную
плоскость точкой Р.
Уравнения A0.27), A0.28) допускают решение
П=Т2=0, у3 = 1, @1=0J = 0, 0)з = ". A0.29)
Обозначим через А*, г = 1,2,3, главные центральные моменты
инерции. Если А\ ф Лг, а\ ф аг, 8 Ф Отой л/2, то тело с указанным
распределением масс и геометрией его поверхности называется
кельтским камнем. Для краткости изложения ограничимся рассмотрением
случая 8 = л/4.
10.4.2. Уравнения движения, линеаризованные
в окрестности равномерного вращения
кельтского камня
Проведем анализ линеаризованных уравнений движения A0.27),
A0.28) для нашей системы.
Полагая б>з = (о 4- у, Уз = 1 — г и оставляя для ю», у» (г = 1,2) их
прежние обозначения, выпишем линеаризованные по @?, у», у, г
уравнения движения
[ (Ах + 77Шз)о>1 -I- (Аз — Аъ — таз)@@2—
--ша3(о[(а1 + а2)у1 + («1 - а2)уг]4-
+ 2Ш^ + аз(дJ)[(а1 " ^)^1 + (°1 + а2)Тг] - тдазъ = 0,
< (Лг 4- таз)оJ 4- (Аз — А\ — тс$)инй\ —
--ша3(о[(а1 - а2)у1 4- (а\ 4- аг)У2]+
+ 2т^ + азЖа1 + аз)Т1 4- (а1 - а2)у2] 4- т^а3у1 = 0,
[У1 4" С02 - @у2 =0, У2 ~  + 0>У1 = 0,
A0.30)
у = 0, г = 0. A0.31)
Уравнения A0.31) дают у = уо, г = го. Можно показать, что
характеристическое уравнение системы A0.30) имеет вид:
Ь0Х4 4- Ы3 + Ы2 + Ы + Ь4 = 0, A0.32)
271

где
6о = (Аг + та\)(А2 + тл\) > 0, Ьг = -(А2 - А1)глд3{а2 - ах)(л,
Ьг = [(-Аз - Ах)(Аз - А2) + -гаа3BА3 - Ах - А2)(ах + а2 - 2а3)+
+т2аз(а1 - а3)(а2 - а3) + (Ах + та|)(Л2 + таз)]а>2+
+-тд(А\ + 42 + 2таз)(а1 + а2 - 2а3), Ьз = &1,
&4 = [(Аз - Ах)(Аз - А2) + -та3BА3 - Ах - А2)(ах + а2 - 2а3)+
+т2аз(а1 - аз)(«2 - аз) ю4+
+тд[-BЛ3 -Ах- А2)(аг + а2 - 2а3)+
+2таз(а1 - аз)(а2 - аз) + т2<72(а1 - аз)(аг - аз).
Согласно критерию Гурвица (см. замечание 8.4 в п. 8.2.2), все
корни уравнения A0.32) имеют отрицательные вещественные части при
условиях
{А2 - Ах)(а2 - а1)б) > О,
A0.33)
Л(о2 - тда3 (— - 1) ( — - 1) > О, Ь4 > О,
где
Л = (^1 + А2 - А3) ( — + — - 2 ) - т[4а1 - За3{аг + а2) + 2ага2].
\а3 а3 /
Если, по крайней мере, одно из неравенств A0.33) имеет
противоположный знак, то для уравнения A0.32) существует, по крайней мере,
одно решение с положительной вещественной частью.
Два последних условия A0.33) накладывают ограничения только на
распределение масс, геометрию поверхности тела и величину угловой
скорости, а первое условие A0.33) — на направление вращения.
10.4.3. Качественный анализ
Предположим, что ^1 < А2 < Аз, а\ > а2 > аз, т.е.
кельтский камень вращается вокруг наименьшей оси эллипсоида инерции, а
центр масс занимает наинизшее положение (предположения А\ < А2 и
а1 > а2 несущественны и сделаны для определенности). При этом
третье условие A0.33) выполнено при любых значениях со, второе условие
A0.33) — только при Л > 0 и (о2 > а>§:
272

2 (а!-Дз)(Д2-Дз)
(о0 — тд ,
Лаз
а первое условие A0.33) — при оз < 0. Таким образом, решения системы
A0.30) экспоненциально стремятся к нулю, если Л >0 и а>< — |б>о| <0, и
экспоненциально растут, если Л < 0 или Л > 0, но а> > — |а>о| (со Ф 0).
Следовательно, при Л > 0 и а>2 > со2 равномерное вращение
кельтского камня вокруг вертикально расположенной оси 8х$ (Р8) по
часовой стрелке устойчиво, а против часовой стрелки — неустойчиво.
Натурные и численные эксперименты показали, что если такой кельтский
камень попытаться быстро закрутить вокруг вертикально
расположенной оси Зхз против часовой стрелки, то как угодно малые ошибки в
начальных условиях приведут к тому, что он сначала начнет
совершать растущие по амплитуде колебания вокруг осей 5^1 и 5x2,
замедляя вращение вокруг оси 8х$ до нуля, а затем будет вращаться вокруг
этой оси в противоположную сторону, совершая затухающие
колебания вокруг осей 5^1 и 5^2 При Л < 0 (или при Л > 0, но со2 < о>2)
равномерные вращения тела вокруг вертикально расположенной оси
Зхз неустойчивы при вращении в обоих направлениях. При этом тело
периодически меняет направление вращения и совершает то растущие,
то затухающие колебания.

Глава 11
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
В ЦЕНТРАЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ
ПОЛЕ
11.1. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
11.1.1. Кинетическая энергия твердого тела
Рассмотрим свободное твердое тело в центральном
гравитационном поле (рис. 11.1). Пусть Охуг — неподвижная система
координат с началом в притягивающем центре; 8x1X2X3 —
система координат, жестко связанная с телом, с началом в центре
масс тела, и осями, направленными по его главным центральным
осям инерции; 52;т)С — орбитальная (подвижная) система
координат с началом в центре масс тела, ось 5С которой направлена
вдоль радиуса-вектора г = 05, ось 52; ортогональна оси 5С,
параллельна плоскости Оху и направлена по скорости центра масс
тела, а ось От\ ортогональна плоскости 55С (все системы
координат— правые).
Рис. 11.1. Системы координат
274

Положение тела полностью определяется положением центра
масс в неподвижной системе координат и ориентацией репера
5е1в2ез главных центральных осей инерции тела по отношению
к реперу 8сфу орбитальной системы координат (таким образом,
г = гу).
Положение центра масс 5 тела будем определять
сферическими координатами г, о, 5, где г — длина радиуса-вектора г;
5 — угол между радиусом-вектором и плоскостью Охг\ о — угол
между проекцией радиуса-вектора на эту плоскость и осью Ог.
Ориентацию тела по отношению к орбитальной системе
координат будем определять углами Эйлера ф, 8, ф. Согласно
теореме о сложении угловых скоростей, абсолютная угловая скорость
со тела равна сумме его угловой скорости («>отн относительно
орбитальной системы координат и угловой скорости сопер = 8а +
+ а(рсоз8 + уз1п8) орбитальной системы относительно
неподвижной системы координат: со = соотн + С0пер. Проекции угловой
скорости соотн на главные центральные оси инерции тела
определяются кинематическими формулами Эйлера A.18), а проекции
угловой скорости (йПер на эти оси — соотношениями
(^пер)г = —8«! + <*Рг СОЗ 8 + 6у» 81П 8,
где сц, Р», у г — косинусы углов между осями Зхг и 52;, 5т), 3^:
а» = (ег,а), Рг = (е*,р), у{ = (е^у).
Кинетическая энергия тела определяется по формуле Кёнига
D.5); х 1
Т = -тпу1 + -(^о>, со),
где у,5 = гаек.сое8 + г8р + гт — скорость центра масс тела; гп —
его масса; 3 — сИа§(«71,7г, 7з) ~~ центральный тензор инерции.
Таким образом,
Т = \т(г2 + г2д2 сое2 8 + г282) + -(Ла>? + 72о>| + 73о>§),
где о)» — проекции абсолютной угловой скорости тела на главные
центральные оси инерции:
@1 = ф 81П 8 81П ф + 6 СОЗ ф — 8<*1 + Ь$\ СОЗ 8 + Ь^\ 51П 8,
@2 = ф 81П 8 СОЗ ф — 6 81П ф — 8<*2 + д$2 СОВ 8 + 6^2 ЗШ 8,
о>з = ф соз 8 + ф - 8аз + <*Рз сов 8 + ауз зт 8.
275

11.1.2. Гравитационный потенциал и его спутниковое
приближение
Рассмотрение будем вести, считая тело сплошным (см.
замечание 4.1 в п. 4.1.1). Пусть йт{х) = р(х)д,хйуд,г — элемент массы
тела в точке х = 8М (р(х) — плотность массы в точке х).
Тогда гравитационный потенциал определяется
соотношением (рис. 11.2)
" гГ*"(,) и Г . *"(х) (П1)
где IV — область, занятая телом; ^ = уМ (у — гравитационнная
постоянная; М — масса притягивающего центра).
Считая, что размеры тела много меньше расстояния от его
центра масс до притягивающего центра {1/г <С 1, I = тах |х|) и
пренебрегая членами порядка —— ( - ) и выше, найдем
приближенное значение гравитационного потенциала A1.1):
г ^ [ г2 2 г2 2 г4 ]
Выпишем соотношения D.2), D.3) и аналогичные им для
рассматриваемого случая:
йт = т, хйт = О,
Рис. 11.2. Пояснение к формуле A1.1)
276

I г2дт = I {х\ + х\ + х1)йт = -(Л + 72 + -/з),
(ж| + х\)вт = 7х, (ж§ + яг^йт = 7г»
(х2 + аг^йга = 7з,
х\Х2<1т = Х2Хъдт = I жза^йт = 0.
и^ и^ IV
Используя соотношение
(х, гJ = х\г\ + х&\ + х\г1 + 2(х1аг2Г1Г2 + х2жзг2гз+
+ хзхггзп) = х\{г2 -т\- т\) + х\{т2 - г| - г?)+
+ х\(г2 -Г2- Г2) + 2(Ж1Х2Г1Г2 + Х2Ж3Г2Г3 + ^3X^3^),
окончательно получаем (напомним, что г = гу)
~ ~~т Ъ* 2^( 1Г1 2Га + зГз)"
A1.2)
Потенциал A1.2) называется потенциалом спутникового
приближения. Он отличается от точного потенциала A1.1) на
ит13
члены порядка «.
г г*
11.1.3. Уравнения движения и их первые интегралы
Воспользуемся уравнениями движения Эйлера—Ньютона
D.8):
**-», ^=М, (П.З)
Здесь Р^ = туз — импульс тела; К.5 = ^ы — его
кинетический момент относительно центра масс; Г и М^ — главные
вектор и момент относительно центра масс действующих на тело
гравитационных сил:
277

х . дУ
[г,г + х]
Г х,г + х] Г[г,г-
дУ]
Ат =
ау_
дг
Уравнения A1.3) допускают интегралы энергии
Н=Т+У=Н= сопв* A1.4)
и кинетического момента относительно притягивающего центра
Ко = [г, тп\д] + Кз = к = сопай. A1-5)
В спутниковом приближении главный вектор и главный
момент определяются соотношениями
г = —— = -ц
дт
-ъ +
2г5
-5?<'т,т>
г-^7г
М*с =
г,
дУ*
дт
= Щы'\ = Щыг].
Таким образом, в спутниковом приближении уравнения
движения тела в центральном гравитационном поле принимают вид
= Е",
ак3
= Щ,
а интеграл энергии
Н* = Т + V* = Н = сопв*
A1.6)
A1.7)
(вид интеграла A1.5) не изменяется).
Уравнения A1.3) (или A1.6)) описывают свободное движение
тела в гравитационном поле, которое в небесной механике
обычно называют поступательно-вращательным движением тела.
11.2. ОГРАНИЧЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В ЦЕНТРАЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
11.2.1. Постановка задачи
Первое слагаемое в выражении главного вектора Р* много
больше остальных слагаемых, которые по отношению к первому
278

имеют порядок A/гJ. Если отбросить эти слагаемые, то
уравнения A1-6) примут вид
|(-8) = -^г, |№Ю) = ^т,М (П.8)
Первое уравнение системы A1.8) отделяется от второго и
совпадает с уравнением движения точки в задаче Кеплера. Это —
ограниченная постановка задачи: центр масс тела движется по
кеплеровой орбите, а движение тела вокруг центра масс
описывается вторым уравнением системы A1.8). Таким образом, даже
в ограниченной постановке задачи движение тела вокруг центра
масс зависит от движения центра масс.
Будем считать, что центр масс ргела движется в плоскости
Охг (8 = 0); при этом ось 5т) орбитальной системы координат
ортогональна плоскости орбиты, а ось 5^ направлена вдоль
радиуса-вектора центра масс. Центр масс движется как
материальная точка в задаче Кеплера (см. п. 2.2), В случае круговой
орбиты радиуса го
г = го = сопзЪ, о = д /-? = о>о = сопз1;.
При этом движение тела вокруг центра масс описывается
уравнением
¦75со + [со, ^<*] = Зсо§[у, ^Т], A1-9)
где точка означает дифференцирование по времени в системе
отсчета, связанной с телом. По теореме сложения угловых
скоростей со = соотн + *>пер = ^>отн + <*>оР- Поскольку ^ — диагональная
матрица, то1 [р, ^^огн] = ¦7$Р]. Откуда
^ = 0)(^ + @(^, [и^зи] = [*ож^8*^ + <$&^зр\- A1-Ю)
Напомним, что (Оотн — угловая скорость тела по отношению к
орбитальной системе координат, в которой векторы р и у
постоянны:
Р + К™ Р] = 0, у + [соотн, у] = 0. A1.11)
Подставив A1.10) и первое уравнение системы A1.11) в
уравнение A1.9), приведем его к виду
«^*>отн + [сОотн, ^<*т] - <Оо^[<«>отн,Р] = 3а)о[Т» ^У] ~ ЦIР> ^Р\-
A1.12)
Прямыми вычислениями можно показать, что [Ах, у] = [х, Л у] для любой
симметрической C х 3)-матрицы А и любых х, у 6 К3.
279

Система уравнений A1.11), A1.12) замкнута относительно
переменных соотн) р и у. Умножив A1.12) скалярно на (Оотн с учетом
уравнения A1.11), имеем
(^соош^отн) + Зсо§G5Т,т) - «о§G5р,Р) = О,
откуда следует обобщенный интеграл энергии вращательного
движения тела в орбитальной системе координат:
«(^«Оотн^отн) + И^(р,т) = сом*,
2 о 1 (П-13)
Функция V/(р, у) представляет собой тхзлеекегашй тготенчи-
ал, равный сумме гравитационного потенциала спутникового
приближения и потенциала переносных сил инерции,
вызванных вращением орбитальной системы координат вокруг оси 5т) с
постоянной угловой скоростью. Третье слагаемое в левой части
уравнения A1.12) вызвано наличием кориолисовых сил инерции.
Так как р и у — единичные векторы, имеем
(Р,Р) = 1, <Т,Т> = 1, (Р,Т>=0. A1.14)
Эти равенства можно также трактовать как первые
интегралы уравнений A1.11) с фиксированными (по геометрическим
соображениям) постоянными.
11.2.2. Относительные равновесия
Бели угловая скорость тела по отношению к орбитальной
системе координат равна нулю (сог = 0), то тело неподвижно в этой
системе координат и движется вокруг притягивающего центра,
сохраняя постоянную ориентацию в орбитальной системе
координат. Такие движения тела называют относительными
равновесиями, а соответствующие постоянные ориентации тела —
равновесными ориентациями. Последние соответствуют
критическим точкам измененного потенциала A1.13) при условиях
A1.14) (см. п. 9.2.2). Для нахождения этих точек применим
метод множителей Лагранжа. Введем функцию
Рф,У,>чММ = ^^(Р,Т) + |Х!(<Р,Р> - 1) +
+^Ц<Г.Т>-1)+^з<Р,Т>,
280

где Хх, Хг, Хз — неопределенные множители Лагранжа, и
выпишем условия ее стационарности по входящим в нее переменным:
дР
ж = -73р + Х1Р + ХзТ = 0,
К уравнениям A1.15) следует добавить уравнения A1.14),
выражающие условие стационарности функции Р по Хх, Хг, Хз-
Задача 11.1- Покажите, что Хз — 0.
Указание. Домножьте скалярно первое уравнение A1.15) на
Зу, а второе — на |3 и воспользуйтесь условиями A1.14).
Поскольку Хз = 0, из A1.15) получаем, что р и у —
собственные векторы матрицы Л§ с собственными значениями Х1 и
—Хг/3 соответственно. Значит, главные оси инерции направлены
вдоль осей орбитальной системы координат, т.е. одна из
главных осей инерции направлена на притягивающий центр (или от
него), другая ортогональна плоскости орбиты, а третья касается
круговой траектории центра масс тела.
Итак, система A1.14), A1.15) допускает решения вида
у* = ±1, У,=У* = 0, Р; = ±1, Рг=Р* = 0,
Хх = ^-, Х2 = -3.?. Х3 = 0, A1.16)
г,.?,*; = 1,2,3; гфэфкфг.
Других решений, помимо A1.16), у системы уравнений A1.14),
A1.15) нет.
Перенумеровав собственные оси и поменяв, при
необходимости, их направление на противоположное, без ограничения
общности можно считать, что у = ех, р = ез, а = — ег- Тогда \\ — 3^
Х2 = —371- Вторая вариация функции Р имеет вид
Ъ2Р = G2 - 71)EР02 + G2 - ^)(&РзJ+
+ 3G2 - ^)Eу2J + ЭД - 71)EузJ,
2,- ^^^^2 AЫ7)
причем вариации1 5р» и 5у» удовлетворяют соотношениям (см.
(П.14))
&р2 = 8Г1 = 0, 801 + 8у2 = 0. A1.18)
'Компоненты касательных векторов.
281

Таким образом, квадратичная форма A1.17) на линейном
многообразии A1.18) может быть представлена в виде
Ь2Р = G2 - 7з)(»РзJ + 4G2 - ШЬу2)Ч
+ЗД - Л)(8гзJ. 1 }
Квадратичная форма A1.19) положительно определена при
Зъ > 7з > Л- Следовательно, измененная потенциальная
энергия И^(Р, у) имеет строгий минимум (при условиях A1.14)), если
самая длинная ось эллипсоида инерции тела направлена вдоль
радиуса-вектора центра масс, самая короткая — вдоль нормали
к плоскости орбиты, а средняя — вдоль касательной к орбите.
Такие равновесные ориентации устойчивы. Все остальные
равновесные ориентации не доставляют измененной потенциальной
энергии минимума.

Глава 12
ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА
12.1. СВОЙСТВА ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЫ
12.1.1. Теорема Лиувилля об условиях инвариантности
меры
Рассмотрим на гладком многообразии1 М произвольную
систему обыкновенных дифференциальных уравнений х = у(х, Ь).
В локальных координатах х = (хх, . ,.,жт), V = (их, . ..,г;т).
Считаем, что решения определены при всех * е К.
Неавтономный случай сводится к -автономному путем добавления
уравнения I = 1 и перехода к расширенному фазовому пространству
Мх1. Поэтому в дальнейшем считаем, что V = у(х) не зависит
от I.
Пусть д1 : М —> М — сдвиг вдоль решений системы
* = V(x), A2.1)
сопоставляющий любой точке х Е М — начальному условию в
момент времени 0 — точку р*(х), в которой окажется решение в
момент времени I. Отображения дь образуют однопараметриче-
скую группу преобразований фазового пространства — фазовый
поток д1.
Основным объектом исследования в этой главе являются
меры на фазовом пространстве обыкновенного
дифференциального уравнения, инвариантные относительно соответствующего
фазового потока. Строго говоря, для определения меры
требуется сначала задать о-алгебру измеримых подмножеств. Но для
нас эти тонкости существенного значения не имеют, так как рас-
Напомним, что локально М всегда можно заменить областью в
пространстве Кта.
283

Рис. 12.1. Сдвиг области ВсМ фазовым потоком
сматриваемые меры обладают гладкой плотностью и поэтому
задаются дифференциальными формами. Открытые и замкнутые
множества измеримы.
Пусть (I — мера на М с гладкой плотностью р(х), т.е. для
любого измеримого множества йсМ
ц(Г>) = |ф.
В локальных координатах <1\1 = р(х)<йс, где их = Лх\... Лхт.
Будем требовать, чтобы всюду на М плотность р меры была
больше нуля. Фазовые пространства дифференциальных
уравнений, описывающих движение механических систем, обычно
ориентируемы. Тогда меру с гладкой плотностью можно
отождествить с дифференциальной т-формой р(х) йх\ Л.. . Лйхт (см.
п. 15.3.3). Будем называть ее формой меры (I.
Рассмотрим область /?, в которой задана мера с гладкой
плотностью, и две координатные системы: х и у. Обозначим
соответствующие плотности рх(х) и ру(у). Из теоремы о замене
переменных в кратных интегралах следует, что при сохраняющей
ориентацию замене координат у = у(х) плотность умножается
на якобиан замены:
Р*(х) =
ду
0х
Ру(у(х)),
ду
0Х
—(Ю
A2.2)
Таким образом, р не является в точном смысле функцией на
М. В дальнейшем все рассуждения ведутся в фиксированной
системе координат, так что будем называть р функцией.
Мера A называется инвариантной относительно системы
A2.1), если для любого ^-измеримого множества йсМи
любого* ЕМ (рис. 12.1)
284

Теорема 12.1 (теорема Лиувилля). Гладкая функция р(х)
является плотностью инвариантной меры для уравнения х =
= у(х) тогда и только тогда, когда <Цу(ру) = 0, где
(Цу(ру) = 5^ •
3X1
Доказательство. Возьмем любую малую область Б в
координатной окрестности с координатами х. Тогда для любого
близкого к нулю момента Ь область дь@) лежит в той же координатной
окрестности. Условие ивариантности меры можно записать
следующим образом:
]р(х)йх= ^ р(х)йх.
Произведя в последнем интеграле замену переменных х =
= з*(у), получаем
|р(х)(гх = |Р(^(у))
дд'(у)
ду
Это выражение не зависит от *. Поэтому
Оу.
а^тчи^Щ'--
Поскольку область И произвольна, это условие
эквивалентно обращению в нуль подынтегрального выражения в последнем
соотношении. Так как система автономна, это достаточно
проверить только для ? = 0. Окончательно получаем, что условие
инвариантности меры эквивалентно следующему:
I **(*)!
1И*таI=
_ф(^(х))|^(х)| ^ (М0д«(х)
<и | дх |4=0 <а \ дх
Воспользуемся соотношениями
<7*(x) = x + V(x)< + 0(^2),
-дк--Е+дх-г + 0{П>
A2.3)
= 0.
*=о
A2.4)
285

а также тождеством
^ ^ (Е + В1 + 0(*2)) I _ = *г В, A2.5)
где Е — единичная матрица; В — любая квадратная матрица
соответствующего размера; 1т В — след В (см. задачу 12.1).
Получаем, что при I = 0 A2.3) эквивалентно следующему равенству:
Задача 12.1. Покажите, что йе1(Е + В1) = 1 + атВ + 0(*2).
Задача 12.2. Докажите соотношения A2.4) и A2.5).
Указание. Для доказательства A2.5) вычислите нулевой и
первый члены разложения определителя в степенной ряд по I.
Задача 12.3. Докажите, что для неавтономного уравнения
х = V(x, I) условие Лиувилля инвариантности меры у = р(х, 1)сЬс
выглядит следующим образом:
Зг+с11у(ру) = 0.
Указание. Если добавить уравнение * = 1, то система
сводится к автономной на М х К. Однако это еще не все решение, так
как [I — мера на М, а не на М х К.
Задача 12.4. Покажите, что локально в окрестности
неособой точки уравнения х = у(х) существует бесконечное
количество инвариантных мер с гладкой плотностью.
Указание. Используйте теорему о выпрямлении векторного
поля в окрестности неособой точки (см. теорему П.6).
Задача 12.4 показывает, что факт наличия инвариантной меры с
гладкой плотностью может нести нетривиальную информацию о
динамике системы, лишь если мера определена глобально (на всем фазовом
пространстве) или хотя бы на инвариантной области, содержащей
особую точку векторного поля V. На самом деле реальной пользы от
наличия инвариантной меры нет также в ситуации, когда в динамике нет
возвращаемости (почти все траектории идут из бесконечности в
бесконечность) .
Задача 12.5. Покажите, что для уравнения на прямой х =
= —х в окрестности нуля, даже локально, не существует
инвариантной меры с гладкой плотностью (рис. 12.2). Обобщите это
286

Рис. 12.2. Уравнение х = — х на — " • * х ¦—
прямой ^
утверждение для асимптотически устойчивого положения
равновесия дифференциального уравнения общего вида.
На самом деле в ситуации, описанной в задаче 12.5, некоторая
инвариантная мера имеется. Это мера, сосредоточенная в
положении равновесия (мера любого множества, содержащего это
положение равновесия, равна единице, а мера остальных
подмножеств фазового пространства равна нулю). В эргодической
теории изучаются инвариантные меры, не обязательно имеющие
гладкую плотность, но в рамках настоящего курса такие меры
встречаться не будут.
Задача 12.6. Покажите, что инвариантная мера с гладкой
плотностью для линейного уравнения х = Ах, хе!п
существует тогда и только тогда, когда 1г А = 0.
Задача 12.7. Пусть Хо — особая точка уравнения х = V(x),
т. е. V(xо) = 0. Покажите, что если в ее окрестности существует
инвариантная мера с гладкой плотностью р > 0, то сИу(у(хо)) =
= 0. Если ввести матрицу А = {ду/дх)\х=Хо, то это условие
можно записать в следующем виде: 1г А = 0.,
Задача 12.8. Выведите из предыдущего утверждения, что у
системы, описывающей движение математического маятника с
вязким трением: х = — зт х — кх (к > 0), не может быть
инвариантной меры с гладкой плотностью.
12.1.2. Инвариантная мера на совместном уровне
первых интегралов
Напомним, что функция Р .: М —> К называется первым
интегралом системы A2.1), если она постоянна на решениях:
-Р(х(*)) не зависит от I для любого решения х(*). Если Р гладкая,
то она является первым интегралом тогда и только тогда, когда
ее производная в силу системы равна нулю: Р = ч(Р) = 0. Здесь
/ГПЧ \^ ОР
лг{Р) = > —— г;7- — производная Р вдоль векторного поля V.
Множество уровня функции Р
Мс = {хеМ : Р(х) = с = сошз*} A2.6)
называется неособым, если ^гз,АР не обращается в нуль на Мс.
Неособые уровни A2.6) являются гладкими многообразиями.
287

Задача 12-9- Пусть система A2.1) допускает инвариантную
меру с плотностью р и первый интеграл Р. Докажите, что мера
с плотностью рР также инвариантна.
Задача 12.10. Пусть система A2.1) допускает две
инвариантные меры с плотностями рх и рг, причем рг не обращается в
нуль. Докажите, что на любом решении системы х(*) отношение
плотностей постоянно: Р1(х(*))/рг(х(*)) = сопз*. Иными
словами, Р = рх/рг — первый интеграл системы.
Предложение 12.1. Пусть \1 — инвариантная мера и Р —
первый интеграл. Тогда ограничение системы на неособый
уровень интеграла A2.6) имеет инвариантную меру V. Если мера
[I задается дифференциальной формой A, то V задается формой
V, такой, что
ЛРЛ* = р. A2.7)
Замечание 12.1. Форма V, удовлетворяющая равенству A2.7),
определена неоднозначно, но ее ограничение на Мс определено
однозначно. В неориентируемом случае уравнение A2.7) следует понимать
локально.
Доказательство. Уровень Мс неособый (т.е. ^гвАР\мс Ф 0)-
Следовательно, по теореме о неявной функции в окрестности
любой точки х Е Мс существуют локальные координаты у =
= A/1| ¦ ¦ ¦ I Ут) на М такие, что у\ = Р — с. В частности, Мс
задается уравнением у\ = 0.
Пусть а(у) — плотность меры (I в координатах у. Запишем
уравнения A2.1) в координатах у:
2/1 = Ф1(у) =0, 2/2 = ф2(у), ... ,2/т = фт(у). A2.8)
Согласно теореме Лиувилля,
Уравнение A2.7) в координатах у принимает вид
<*2/1 Л * = а(у) аУ1 Л ... Л Лут. A2.10)
Общее решение уравнения A2.10) есть сумма двух слагаемых:
V = а(у)йу2 Л ... Л дут + Лух Л X,
где X — произвольная (т — 2)-форма. При этом второе слагаемое
оказывается равным нулю при ограничении на Мс. Поэтому
*|ме = а(у)| 0Й2/2 Л ... Айут.
288

Ограничение системы A2.8) на Мс имеет вид
У2 = ф2|у1=0, -.">Ут = фт|У1=0-
Проверка того, что \\мс — форма инвариантной меры (или,
другими словами, что а|У1=о — плотность инвариантной меры в
координатах у) теперь сводится к применению теоремы Лиувил-
ля и использованию равенства A2.9). ¦
12.1.3. Отображение Пуанкаре и его инвариантная мера
Часто исследование динамики системы A2.1) можно (хотя бы
локально) свести к задаче исследования динамики отображения
Пуанкаре. Имеется в виду следующая конструкция, уже
отчасти использованная в подразделе 8.4.1. Рассмотрим в фазовом
пространстве М системы A2.1) гиперповерхность А, трансвер-
сальную векторному полю V (т. е. для любого х е Л у(х) ? ГХЛ).
Пусть д1 : М —> М — фазовый поток уравнений A2.1) и хо —
произвольная точка на Л. Будем считать, что через некоторое
время решение <7*(хо) возвращается на Л. Пусть *1 — момент
первого возвращения: 1\ = гшп{* > 0 : 5*(хо) € Л}. Тогда точка
х1 = 5*1 (хо) называется образом точки хо при отображении
Пуанкаре V (рис. 12.3).
К сожалению, предложенная конструкция обладает рядом
недостатков. Во-первых, д*(хо) может не вернуться на Л
(например, уйти на бесконечность). Тогда V не определено в точке хо-
Впрочем, если в динамике нет возвращений, то она не так
интересна.
Во-вторых, обычно приходится
брать в качестве Л поверхность
с краем или смиряться с
нарушением условия
трансверсальности на некоторых подмножествах
Л. Край Л и множества
нетрансверсальности создают неприятные
граничные эффекты,
проявляющиеся в разрывности V.
Тем не менее, помимо огромной
концептуальной важности
отображения Пуанкаре, следует иметь в
виду ряд ситуаций, когда указан- Рис. 12.3. Отображение Пуан-
ные недостатки себя не проявля- каре
10 Болотин
289

ют. Одна из таких ситуаций — локальная — позволяет свести
исследование окрестности периодического решения к задаче
исследования окрестности неподвижной точки отображения V (см.
п. 8.4.1).
Другая ситуация возникает, если система неавтономна, при-
чем зависимость V от I периодическая, например с периодом т.
Как уже было указано, после добавления уравнения I = 1,
система становится автономной с фазовым пространством М х
х М, а лучше, с учетом периодичности по времени, МхТ, где
Т = М/т2 — окружность, полученная из К отождествлением
всех точек, находящихся на расстоянии т друг от друга. Но
тогда в качестве Л можно взять М х {0}. В результате
автоматически получаем и возвращаемость, и отсутствие краевых
эффектов.
Одно из важнейших следствий, вытекающих из конструкции
отображения Пуанкаре, состоит в том, что динамику
дискретных систем (отображений) следует считать параллельной
динамике, порожденной дифференциальными уравнениями (и столь
же важной).
Пусть имеется дискретная динамическая система, т. е.
отображение Г : N —> ТУ, где N — например, гладкое
многообразие. Траекториями Т называются последовательности вида
ж,Г(о:),Г2(а:), ... Если Г обратимо, то траектории можно
продолжать и в обратную сторону относительно дискретного
времени.
Скажем, что Р : N —> К — первый интеграл для Г, если
Р о Г = Р. Очевидно первый интеграл постоянен на любой
траектории.
Пусть на N задана мера A. Скажем, что ^ инвариантна
относительно Г, если для любого ^-измеримого множества Б С N
полный прообраз Т~1(В) также измерим и \1{Т~1(Б)) = ц(/Э).
Отметим, что на первый взгляд кажется более естественным
писать в последнем равенстве Г вместо Г-1. Однако
предложенное определение обладает тем достоинством, что является
осмысленным также для отображений Т, не являющихся
взаимно-однозначными. Такие отображения (сохраняющие меру (I)
называются эндоморфизмами измеримого пространства (ТУ, \х)*
Взаимно-однозначный эндоморфизм называется
автоморфизмом измеримого пространства.
Задача 12.11. Проверьте, что отображение окружности Т ==
= {х тоб. 1} на себя х »-> 2х тоб. 1 является эндоморфизмом
пространства (Т, йж), где Ах — мера Лебега.
290

Задача 12.12. Предположим, что система A2.1) имеет
первый интеграл Р : М —* К. Проверьте, что соответствующее
отображение Пуанкаре также имеет первый интеграл.
Задача 12.13. Предположим, что система A2.1) имеет
инвариантную меру с гладкой плотностью р > 0. Докажите, что
соответствующее отображение Пуанкаре также имеет инвариантную
меру с гладкой неотрицательной плотностью.
12.1.4. Теорема Пуанкаре о возвращении
Пусть Г — эндоморфизм пространства (М, у) и А С М —
измеримое множество. Точка х Е А называется возвращающейся
(в А), если Т^х) е А для некоторого п е N.
Теорема 12.2. Пусть ц(М) < ос. Тогда для любого
измеримого Ас М [1-почти все точки х е А — возвращающиеся1.
Доказательство. Докажем упрощенный йариант этого
утверждения. Покажем, что в случае \ь(А) > 0 в А найдется хотя бы
одна возвращающаяся точка2. Допустим противное, что
возвращающихся точек нет. Рассмотрим последовательность
подмножеств:
7^D),7-2(,1), ... ,Т~п(А), ... A2.11)
Пусть какая-то пара из них имеет непустое пересечение: IV =
= Т~к(А) П Т~т(А) ф 0 для некоторых целых к, т: 1 < к < т.
Возьмем у Е ИЛ Тогда точка х — Тк{у) € А возвращающаяся,
так как Тт~~к(х) = Тт{у) е А: Это противоречит допущению.
Значит, множества A2.11) попарно не пересекаются и мера их
объединения совпадает с суммой их мер3:
и (г-Ча) ы т-\а) ы ...) = Е №Ла)) =
1=1
= Х>(А)<ц(М).
1=1
1 Некоторое свойство выполняется ц-почти всегда на М, если оно не
выполняется лишь на множестве X С А/ меры нуль: ц(X) = 0.
2Если [1{А) = 0, то теорема 12.2 выполняется автоматически.
3Отметим, что в этом и дальнейших вычислениях подраздела 12.1.4
необходимо, чтобы мера (I была о-аддитивной.
291

Так как [л(М) < оо, это неравенство может выполняться лишь
в случае [л(А) = 0. ц
Докажем теорему 12.2 в полном варианте. Пусть N С А —
множество, состоящее из всех невозвращающихся в А точек. Тогда N =
= А П ( П^! Т~п(М \ А)) измеримо.
Если х € ^, то для любого натурального п имеем Тп(х) ? А.
Следовательно, Тп(х) & ^, откуда вытекает, что х 0 Т~П(Л/'). Поэтому
ЛгПГ"п(Лг) = 0.
Отсюда следует, что ^, Т (ЛГ), Т~2(^),... попарно не
пересекаются. (Действительно, при 0 < пг < п2 Т~П1(М) П Т~П2(М) = Г-П1(ЛГ П
ПГП2+П1(]У)) =0.)
Поэтому
оо > км) > ц(и~=0г-"(лг)) = §и(г-"(^)) = |>(лг).
п=0 п=0
Это возможно лишь при ц(^) =0. ¦
Следствие 12.1. \1-почтпи все х Е А возвращаются
бесконечное число раз.
Доказательство. Если точка х Е А возвращается лишь конечное
число раз, то х не возвращается для Тр при некотором р 6 N.
Множества 7УР соответствующих невозвращающихся точек имеют [а-меру
нуль. Так как [а( Ц1р^ №р)) = 0, множество возвращающихся
бесконечное число раз точек имеет меру, равную [х(А). Ш
Замечание 12.2. Чтобы примененить теорему Пуанкаре о
возвращении для описания динамики, порожденной обыкновенным
дифференциальным уравнением, надо рассмотреть преобразование сдвига
вдоль фазового потока на постоянный интервал времени.
В следующих подразделах будет показано, что лагранжева
механическая система всегда допускает инвариантную меру с
гладкой плотностью в фазовом пространстве. Это пространство
имеет бесконечную меру, однако согласно предложению 12.1
ограничение системы на неособый уровень интеграла энергии
также имеет инвариантную меру. Эта мера часто оказывается
конечной. Тогда из теоремы Пуанкаре о возвращении следует,
что при почти любых начальных условиях система, начав
движение, будет бесконечное число раз возвращаться в окрестность
исходного состояния (по положению и скорости).
В связи с теоремой Пуанкаре о возвращении возникает ряд
механических и физических парадоксов.
Пример 12.1. Рассмотрим идеальный газ в сосуде с
перегородкой. Можно показать, что в этой системе есть инвариантная
292

мера. Если газ поместить в одну половину, а потом убрать
перегородку, то из опыта известно, что он рассредоточится по всему
сосуду. Из теоремы Пуанкаре следует, что почти всегда рано или
поздно газ соберется вновь в начальную половину сосуда. И это
будет бесконечное число раз. Одно из разрешений парадокса
состоит в том, что время возврата может быть очень большим1.
Что можно сказать о динамических свойствах системы в случае
бесконечной меры фазового пространства М?
Пусть Т — автоморфизм пространства (М,(а), причем, возможно,
[х{М) = оо. Рассмотрим множество К С М, [х(К) < оо. Пусть Р —
множество точек из К, положительные полутраектории которых
лежат в К:
Р = {хеМ : Тп(х) е К для любого п > 0}.
Теорема 12.3 (теорема Шварцшильда—Литтлвуда).
Вероятность захвата равна нулю, т. е.
и(ип<0гп(Р)\Аг)=о.
Доказательство. Положим
Рк = ип>кТп{Р), к е2, Роо = пье2Р*, Рк = рк\рк+1.
Очевидно, что выполнено следующее:
1) ... э Р_1 Э Р0 Э Р1 Э ...;
2)Р0,Ри...сК;
3)РкПР1 = 0,кф I;
4)РкПРоо = 0;
ъ)Р = Рь = роои{и^0Рк);
6) Рк+1 = Т(Рк), поэтому ц(Рк) не зависит от к.
Таким образом, имеем:
ОО
оо>н(^)>^о)C'='5)^(Роо) + Е^*) ^ Ц(Л) = 0.
к=0
Пусть теперь п < 0. Тогда
ГП(Р) \ К С ГП(Р) \ Р = (ГП(Р) \ 7^+1 (Р)) 1_1... Ы (Г-^Р) \ Р) =
= Р„|_|...иР_1.
Следовательно, ип<оГп(Р) \ К С 1Л,<о-Рп- Откуда получаем
ц( ип<о ГП(Р) \ К) < ц( Уп<о Рп) = 0. ¦
Обсуждение данного парадокса, а также других парадоксов см., например,
в кн. : Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. — М. : Мир, 1965.
293

Известно, что в системах с абсолютно упругими соударениями есть
инвариантная мера (см., например, [5] и п. 12.1.5). Это позволяет дать
следующую иллюстрацию к теореме 12.3.
Пример 12.2. Будем бросать мячи в неподвижный ящик, желая
собрать их в нем. Если удары о стенки ящика абсолютно упругие, то с
вероятностью единица через какое-то время ящик опустеет. Мяч,
брошенный в него, с вероятностью единица вылетит наружу.
12.1.5. Биллиардное отображение
Одним из вариантов отображения Пуанкаре является
биллиардное отображение. Строится оно так. Пусть имеется плоский
биллиард внутри области Йс12 (см. п. 6.1.5). Кинетическая
энергия в системе сохраняется. Поэтому можно считать, что
вектор скорости V биллиардной частицы имеет единичную длину1:
V Е §, где § — единичная окружность. Зададим на границе у
области И натуральный параметр т. Переменная т угловая: у(т) =
= у(т + 0» гДе I ~ длина у. Положение частицы на у в момент
удара будем задавать значением параметра т.
Пусть V — скорость частицы сразу после удара. Кривую у
можно считать ориентированной. Поэтому единичный вектор V
однозначно задается углом $ между положительным
направлением касательной к у в точке т и V (рис. 12.4). Таким
образом, в момент удара состояние биллиардной системы
характеризуется двумя числами: т той / и #. В момент следующего
удара имеем новую пару т, #. Получаем отображение В цилиндра
2 = {т той /, •д € [0,л]} на себя:
В :2-+ 2, В(т,0) = (т,0).
Отображение В называется биллиардным. Приведем
некоторые его свойства.
1. Бели область И выпуклая, а ее граница у гладкая2, то В
гладкое и взаимно-однозначное. Бели у лишь кусочно-гладкая,
то В не определено при тех т, где у не имеет касательной. Если
Б не выпукла, то В терпит разрыв в тех точках (т,т9), Ф ф 0, тс,
для которых Ь — #(т, •&) равно нулю или л (рис. 12.5).
2. Бели О выпукла, то граничные окружности цилиндра 2
Это соглашение соответствует переходу в биллиардной системе на уровень
энергии к = 1/2.
2То есть дифференцируемая бесконечное число раз.
294

Рис. 12.4. Биллиардное отображе- Рис. 12.5. Биллиардное
отображение (т, д) н-> (т, -д) ние
5о = {М):0 = О}, $, = {(т, *):* = *}
переходят при отображении В в себя. Более того, ограничение В
на окружности $о и 5Л является тождественным отображением.
Последнее утверждение полезно уточнить. Будем считать,
что отображение В\д0 тождественное. Зафиксировав
произвольную точку т, обнаруживаем, что при изменении т? от 0 до л
точка т = т(т,#) пробегает всю кривую у. Поэтому из
соображений непрерывности естественно считать, что при отображении В
окружность ^ совершает полный оборот вдоль самой себя.
Конечно, если рассматривать Зп изолированно (забыв, что В
определено на всем цилиндре 2), этот поворот ничем не отличается
от тождественного отображения.
3. Отображение В имеет инвариантную меру (I с гладкой
неотрицательной плотностью:
ф = 81П $ 6,1 сШ = -ЙТ ЙСОЗ #.
Эта мера, в определенном смысле, наследуется биллиардным
отображением из исходной задачи, являющейся лагранжевой (а
следовательно, и гамильтоновой) системой1. Прямое
доказательство инвариантности меры A\1 несколько более громоздко. Его
можно получить, решив, например, следующие две задачи.
*В гл. 13 будет показано, что всякая гамильтонова система имеет
инвариантную меру с гладкой положительной плотностью.
295

Задача 12.14. Проверьте, что
9т___]_/Д_ . \ дт _ А
Эт~81пДя 8Ш^' М'апГ
&в 1 /Д . _\ 1 дЬ Д
0т ДзниЛД / Я' дд Пзт#
где Д — расстояние между точками тит;йий- радиусы
кривизны кривой у в точках т и т соответственно.
Задача 12.15. Используя формулы из предыдущей задачи,
проверьте, что
4. Следуя Биркгофу, покажем как, используя
геометрическую теорему Пуанкаре, показать, что в биллиардной системе
в случае гладкой выпуклой границы у имеется бесконечное
количество периодических решений. Геометрическая теорема
Пуанкаре состоит в следующем.
Пусть Т — отображение цилиндра 2 на себя, сохраняющее
меру с положительной плотностью. Предположим также,
что Т переводит граничные окружности $о, 8*. в себя и при
этом вращает их в разные стороны1. Тогда Т имеет на 2, по
крайней мере, две различные неподвижные точки.
Доказательство этой теоремы весьма непросто. Пуанкаре
рассмотрел лишь некоторые частные случаи. Полное
доказательство провел Биркгоф [5]. Во второй половине XX в.
геометрическая теорема Пуанкаре дала начало целой области в
математике — симплектической топологии.
Вернемся к выпуклому биллиарду. Для простоты будем
считать, что / = 2л. Отображение В удовлетворяет всем условиям
теоремы Пуанкаре, кроме одного — вращения кривых 5о и 5Я
в противоположных направлениях. Чтобы удовлетворить и это
условие, рассмотрим вместо В отображение 71тВп, т < п, где
72. — поворот цилиндра на угол — 2л: 7^(т, #) = (т — 2л, т?); т и п —
натуральные числа. Теперь граничные окружности вращаются
в разные стороны: 5о — на угол —2лт, а 5^ — на угол 2л(п — т).
Поворот 72, используется лишь в качестве вспомогательного
трюка, позволяющего удовлетворить условиям теоремы Пуан-
То есть, например, на 5о угол т под действием Т убывает, а на 51 — растет.
296

каре. Поскольку 72, оставляет точки цилиндра 2 на месте,
неподвижные точки отображений *ЯтВп и Вп совпадают.
Неподвижные точки Вп являются периодическими точками биллиардного
отображения1. Согласно геометрической теореме Пуанкаре для
любых натуральных т < п ИтВп имеет, по крайней мере,
две неподвижные точки. Если пары натуральных чисел т\,П1
и т2,П2 различны и не пропорциональны, то соответствующие
периодические точки В, конечно, также различны. Но в случае
гп\/т2 = п\/п2, вообще говоря, они могут совпасть.
12.2. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ В КВАДРАТУРАХ
12.2.1. Основные определения
Говорят, что система обыкновенных дифференциальных
уравнений интегрируема в квадратурах, если общее решение
системы может быть получено с помощью конечного набора
алгебраических операций, взятия неявных (обратных) функций,
дифференцирования (взятия частных производных) и нахождения
первообразных (интегрирования по одной переменной).
Поскольку в этом определении используется обращение
функций, которое в общем случае можно проводить только
локально, то утверждения в подразделе 12.2 в основном носят
локальный характер.
Задача 12.16. Интегрируются ли в квадратурах линейные
системы х = Лх?
Предложение 12.2. Если система т-го порядка имеет т —
-1 независимых первых интегралов 2?, ..., Рт-\, тпо она
интегрируема в квадратурах.
Доказательство. Любое решение хD) системы х = у(х)
лежит на некотором совместном уровне интегралов М =
= {х : ^(х) =01,.. - ,^2(х) = Ст-1), где ск = Рк(х(Ь0)). В силу
независимости первых интегралов М — это гладкая кривая (или
некоторый набор гладких кривых). Возьмем кривую,
проходящую через начальную точку искомого решения. Она может быть
параметризована, например, какой-нибудь координатой хг, для
которой (т— 1) х (га-1)-матрица (дРъ/дх^, з ф г, невырождена.
Разрешая систему уравнений ^(х) = с\, . ,.,,Рт-1(х) = Ст-1,
1 Точка ге2 называется периодической для отображения В : 2 —> 2, если
&п(г) = г для некоторого п € N.
297

выразим остальные координаты через хг: ж* = Х{(хг). После это.
го зависимость хг{1) находится из уравнения хг = г;г(х(хг)), в
котором переменные хг и I разделяются. Затем определяются
Хх{1) = Хг(хгA)), %фт. ¦
12.2.2. Теорема Якоби о последнем множителе
Метод последнего множителя был предложен Л. Эйлером для
решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
от двух переменных: и(у, х)йу + у(у, х)Лх = 0. Умножив уравнение на
некоторую функцию р(х, у) (она называется последним, или
интегрирующим, множителем), приводим его к уравнению в полных
дифференциалах: ршй/ + русЬ = йР(у, х) = 0. После этого решение уравнения
у(х) находится в виде неявной зависимости Р(у, х) = сопз*. Якоби
распространил этот метод на системы дифференциальных уравнений [37].
Теорема 12.4 (теорема Якоби). Пусть в окрестности
неособой точки хо система х = V(x) имеет инвариантную
меру с гладкой плотностью р(х) > 0. Тогда для интегрируемости
в квадратурах достаточно иметь п — 2 независимых первых
интеграла.
Доказательство. Пусть п = 2. Рассмотрим
дифференциальную форму со = —рУ2Aх1 + ру\Aх2- Она замкнута, поскольку
ЙО) =
^(^)+^(№)
Ax1 Л Ax2 = спу(ру) Ax1 Л Ax2 = 0.
Согласно лемме Пуанкаре (см. лемму П.1), локально со
является дифференциалом некоторой функции Р(х\, жг):
дР ЭР
^Г-Р' д^2=9У1'
Отсюда вытекает, что Р = 0. Поэтому функция Р — первый
интеграл. Поскольку р(хо) > 0 и V(xо) ф 0, то ЛР\Х0 Ф 0. В
соответствии с утверждением 12.2 система интегрируема в квадрат
турах.
Случай п > 2 сводится к предыдущему. Действительно,
ограничим систему на совместный уровень первых интегралов. Он
двумерный и, согласно предложению 12.1, у получившейся
системы есть инвариантная мера с гладкой знакопостоянной
плотностью. ¦
Задача 12.17. Проверьте, что динамические уравнения
Эйлера—Пуассона E.9) движения твердого тела с неподвижной
298

точкой допускают инвариантную меру с единичной плотностью.
Выведите отсюда, что для нахождения квадратур, дающих
общее решение уравнений Эйлера—Пуассона, достаточно найти
еще один первый интеграл, независимый от указанных в
подразделе 5.3.1 трех (так называемый дополнительный интеграл в
задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной
точкой).
Пусть система х = у(х) порядка т обладает инвариантной мерой
с гладкой положительной плотностью и имеет т — 2 первых
интеграла ^, ..., Рт-2 (т. е. условия теоремы Якоби выполнены глобально).
Рассмотрим совместный уровень первых интегралов
Мс = {х: <Р»(х) = с», г = 1, ...,т- 2}
(для краткости рассуждений считаем, что он связен, иначе возьмем его
связную компоненту). Бели в точках х 6 Мс первые интегралы
независимы, то Мс является гладким двумерным многообразием с
векторным полем у(х) на нем. Предположим, что Мс ориентируемо,
компактно и векторное поле V не имеет на Мс особых точек. В соответствии
с известным утверждением ид топологии1 многообразие.Мс является
двумерным тором Т2. Динамику системы на нем проясняет следующее
утверждение.
Теорема 12.5 (теорема Колмогорова). Пусть на двумерном
торе Т2 задано гладкое неособое векторное поле и соответствующая
система дифференциальных уравнений допускает инвариантную
меру с гладкой плотностью. Тогда на торе можно ввести угловые
координаты ф1, фг той 271, в которых система будет выглядеть
следующим образом:
. _ Ь>1 . • _ 6J
" V((р1,Ср2), ~ V(ср1,ф2),
где со» — некоторые константы; V — плотность инвариантной меры.
После замены времени а\ = V*** система приобретет вид
Йф1 Йф1
—=М1, —=(Л2.
Если в некоторых угловых координатах и, V тос! 2л на торе
система имела вид
й = Мщу), у = /2(щу),
1МС — ориентируемое компактное двумерное многообразие, т.е. сфера с р
ручками. Эйлерова характеристика Мс (число 2 — 2р) равна сумме индексов
особых точек векторного поля V(x). Поскольку особых точек нет, то это нуль:
2 — 2р = 0. Таким образом, р = 1 и Мс = Т2. Подробнее см. [10].
299

и плотность инвариантной меры задавалась функцией р(и,у), то
<*>» = - I рДАмй;, ^ = I рйшй;, г = 1,2.
Доказательство и обсуждение этого утверждения можно найти,
например, в [14, 17].
Если со* соизмеримы (т.е. найдутся такие целые Й1,кг, не равные
нулю одновременно, что @1? + 0J? = 0), то любая траектория на
торе будет периодической. В несоизмеримом случае любая траектория
будет заполнять тор всюду плотно (т.е. в любой окрестности любой
точки тора найдется точка траектории).
12.2.3. Инвариантная мера и интегрируемость
в неголономных системах
В отличие от лагранжевых и гамильтоновых систем наличие
инвариантной меры для неголономных систем не является общим фактом.
Рассмотрим пример, когда ивариантная мера существует.
Задача Чаплыгина. В подразделе 10.1.2 рассматривалась задача
о качении без проскальзывания уравновешенного динамически
несимметричного шара по шероховатой плоскости. Уравнения его движения
A0.12) перепишем в более симметричной форме
к+[со,к]=0, Г + [со,у]=0, A2.12)
где к = «Узсо + та2 [у, [со, у]] — кинетический момент системы
относительно точки К контакта шара с плоскостью, ^з = Ла§{Л, В, С} —
матрица оператора инерции шара в главных центральных осях.
Эти уравнения допускают четыре первых интеграла: (к, со) = 2й =
= сопз!; (интеграл энергии); (к, у) = сопзЪ (проекция кинетического
момента к на вертикальную ось); к2 = сопз1; (модуль кинетического
момента к); у2 = 1 = сопз!: (геометрический интеграл) и инвариантную
меру в координатах (со, у) с плотностью
р = ((та2)-1 - (Т, № + та2^)-^»"' •
Здесь Е — единичная C х 3)-матрица.
Если интегралы независимы, то уравнения движения
интегрируются в квадратурах.
Рассмотрим вопрос о функциональной зависимости первых
интегралов. Поскольку скорость точки К шара, в которой он касается
плоскости, равна нулю, то к = ./со, где 3 = 7(у) — тензор инерции шара,
посчитанный относительно точки К. В переменных (со, у) матрица Якобя
выглядит следующим образом:
300

27со 3(./10, со)/0у\
7у аGо>,Т>/9Т
272со д{./со, Ло)/Зт I "
О 2Т /
Здесь векторы частных производных первых интегралов по со и
у полагаются вектор-строками, т. е. эта матрица имеет размер 4x6.
Определитель ее верхнего левого (Зх 3)-минора равен 4Gсо, [7у, ./2со]) =
= 4(./со, [7у, 7к]). Первые три элемента четвертой строки нулевые, и
всегда у ^0. Значит, достаточным условием функциональной
независимости первых интегралов является (./со, [7у, Лс]) ф О, т. е. линейная
независимость векторов ,/со, 7у, Лс, эквивалентная линейной
независимости векторов со, у, к.
Для неголономных систем типичным является отсутствие
инвариантной меры. Для иллюстрации этого факта сформулируем следующее
общее утверждение.
Расширим понятие ивариантной меры, допустив нулевые и
отрицательные значения плотности. Такая мера называется интегральным
инвариантом системы. Рассмотрим уравнение х = ?(х), х € Кп, с
аналитической правой частью. Пусть х = 0 является его особой точкой:
Г@) = 0. Вектор X = (Х1, ..., Хп), составленный из собственных чисел
матрицы Л = (ЭТ/дх)|о, назовем резонансным, если найдется
ненулевой набор 1 = (^1, ..., 1п) натуральных чисел, для которого (X, 1) = 0.
Теорема 12.6 (В.В.Козлов). Если вектор X собственных
чисел матрицы Л = (д{/дх)\о нерезонансный, то в окрестности точки
х = 0 уравнение х = Г(х) не может иметь интегрального
инварианта с аналитической плотностью.
Лемма 12.1 (лемма Ляпунова). Пусть Фя(х) — ненулевая
однородная форма степени 8 в Кп; А — (п х п)-матрица, имеющая
собственные числа (Х1, ..., Х„). Если для некоторого а € К выполнено
<$•*¦>—«
то а — т{к\ + ... + т„Хп для некоторых целых неотрицательных
(ш1, ..., 7гсп), таких, что тг + ... 4- тпп = з.
Доказательство этой леммы можно найти в [23].
Доказательство теоремы 12.6. Допустим противное: пусть
существует интегральный инвариант с отличной от нуля плотностью р(х).
В силу аналитичности ее можно представить в виде сходящегося ряда
р(х) = рв + рв+1 + ..., з > 0,
где рл(х) — однородные формы степени к от х, и функция рв(х)
отлична от нуля. Она является плотностью интегрального инварианта для
Уравнения х = Лх.
301

Условие инвариантности (Иу(рвЛх) = 0 запишем в следующем виде:
(?.4,)-ТА,..
Поскольку ЪгЛ = Хх 4- ¦ ¦ - 4- Хп, то (см. лемму 12.1)
(/1 + 1)Х1 + ... + (/„ + 1)Х„=0
для некоторых целых неотрицательных (/ь ..., /п), таких, что /1+/2 +
4- ¦ ¦ • 4- 1п = я- Это противоречит нерезонансности X. ¦
Отсутствие аналитического интегрального инварианта типично в
том смысле, что множество резонансных векторов X имеет нулевую
меру в Кп. Действительно, множество весовых векторов 1 счетно, и
каждый такой вектор задает резонансную гиперплоскость (X, 1) = 0,
имеющую в Кп нулевую меру.
Кельтский камень. Доказанная теорема применима при
изучении интегральных инвариантов в окрестности стационарных
движений неголономных систем. В качестве примера рассмотрим задачу о
движении кельтского камня (см. п. 10.4). Уравнения движения A0.27),
A0.28) допускают интеграл энергии и геометрический интеграл.
Стационарные движения A0.29) представляют собой положения
равновесия системы, суженной на четырехмерный фиксированный уровень
этих интегралов; уравнения A0.30) — линеаризованные уравнения
суженной системы. Корни характеристического многочлена A0.32) в
общем случае будут нерезонансны и, значит, инвариантная мера в
окрестности стационарного движения будет отсутствовать. В частном
случае, при выполнении условий A0.33), все корни будут иметь
отрицательные вещественные части и нерезонансность будет иметь место
всегда.

Глава 13
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА:
АНАЛИТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ
13.1. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
13.1.1. Канонические переменные. Уравнения
Гамильтона
Рассмртрим лагранжеву систему с конфигурационным
пространством1 М С Кп и функцией Лагранжа ?D,^,2)-
Напомним, что обобщенным импульсом называют вектор2
Р=|, A3.1)
а обобщенной энергией — функцию
Предположим, что уравнение A3.1) можно разрешить
относительно обобщенных скоростей ^[ = V(^,р, I). Тогда функцией
Гамильтона называется обобщенная энергия, выраженная
через переменные ^, р, 1\
Я(Ч|Р|«) = %у(Ч|Р|*),*) = ((Р,ф-%4*))|^р -
Здесь и далее обозначение с[ и р означает, что надо
вместо <1 подставить <± = у^, р,*). В математических
терминах Н{^ р, I) — преобразование Лежандра функции Лагранжа
?(AL) ?) по скорости я. Общие свойства преобразования
Лежандра обсуждаются в подразделе 13.1.2. Из них легко вытекает
следующая теорема.
1В данной главе гамильтонова механика излагается с традиционной,
координатной, точки зрения. Таким образом, конфигурационное пространство М
механической системы отождествляется с областью в К".
2Точнее, ковектор.
303

Теорема 13.1. При замене переменных (я, Я, <) ¦-> (я, р,4)
уравнения Лагранжа переходят в уравнения Гамильтона
дН дН
ч=ар"' р = -ааГ- (ш)
Задача 13.1. Докажите теорему 13.1, непосредственно
используя правило дифференцирования сложной и обратной
функций.
Таким образом, п уравнений Лагранжа второго порядка
переписаны в виде 2п уравнений Гамильтона первого порядка.
Пространство переменных х = ^, р) называют фазовым
пространством, а переменные (я, р) — каноническими
переменными. Фазовое пространство будет обозначаться М. В данной
главе будем отождествлять его с областью в К2п^, р}.
Отметим, что обычно вектор ч[ пишут в виде столбца, а ковек-
тор дЬ/дц^ — в виде строки. Тогда (р, ф = р<1 является
матричным произведением строки на столбец. Однако в гамильтоновой
механике основным объектом будет вектор х фазового
пространства. Поэтому обычно будем считать, что все векторы —
столбцы. Тогда х е К2п — вектор-столбец.
Система A3.2) имеет вид х = уя(х,*), где х = ^, р), а
уя(х, *) = (дН/др, —дН/д*\) — гамильтоново векторное поле.
13.1.2. Функция Гамильтона натуральных механических
систем
Рассмотрим в качестве примера натуральную механическую
систему с п степенями свободы и лагранжианом
ИЪ€й = Т-У, Г=^(Л(оL,я>, У = У(ч),
где я 6 1п- обобщенные координаты; ^е1п- обобщенные
скорости; Г и V — кинетическая и потенциальная энергия
системы; А — симметрическая, положительно определенная матрица.
Обобщенный импульс определяется по формуле
р = Ц = А(Ч)ч. A3.3)
Функция Гамильтона получается подстановкой
304

в формулу полной энергии
Е(чА) = Т + У = ±(АША) + У(д).
Таким образом, функция Гамильтона имеет вид
Н(я,Р) = Е(Ч,А-1(<дР) = 1{А-Ч<1)Р,Р)+У(ч).
Для натуральных систем матрица А(с1) всегда невырождена,
так что функция Гамильтона всегда определена.
Например, для движения точки в трехмерном пространстве
Ь(ЧЛ) = у|с1|2 - У(д), Я(Ч,р) = ^|р|2 + У(ц).
Замечание 13.1, Функция Лагранжа неавтономных механических
систем обычно имеет вид ?(? <1,1) = Ь2 4- Ь\ + Хо, где
^2 = -(А(я,*)я,я>, Хг! = (а(я,0,Я>, 1<о = -У(ъ Ь).
Тогда
р = А(Ч, 04 + а(Ч> *), я = А (Ч, *)(р - а(Ч> *)) A3.4)
и
Я(Ч, я, *) = Ь2 - Ьа = \(А(я, ?L, 4} + У(Ч, *)¦
Таким образом,
Я(Ч,р, *) = ^'Ч**)(Р - »(Ч.*)). Р - »(Ч. *)> + ПЧ, *)¦ A3.5)
Раскрывая скобки, получаем Н = Н% + Н\ + Но, где
Н2 = ±(А-1р,р), Я^-^-Чр),
Я0 = ±(А-\з)+У.
В классической механике обобщенные скорости обычно
входят в лагранжиан квадратичным образом, так что функция Гаг
мильтона имеет вид A3.5). Однако преобразование Лежандра
определено для функций более широкого класса. Это
позволяет получать уравнения Гамильтона для лагранжианов общего
вида.
305

13.1.3. Преобразование Лежандра и его свойства
Гладкая функция / : Мп —> К определяет отображение
Р : Кп -> Кп, х^у = Р(х) = ^. A3.6)
Будем считать, что вектор х записан в виде столбца. Обычно
вектор (точнее ковектор) у пишут в виде строки. Однако в этой
главе все векторы и ковекторы пишутся в виде столбца1.
Предположим, что отображение Е имеет гладкое обратное
^-1 : Кп —> Кп. Локально это гарантируется условием Лежанд-
д2!
ра АеЪ ^г—2 Ф 0. Будем предполагать, что это условие
выполнено. Преобразованием Лежандра функции / называют функцию
д = / : Кп -> К:
5(у) = ((у,х)-/(х))|х^_1(у). A3.7)
Из следующего утверждения видно, что д также удовлетво-
(Йд
Зу2
Лемма 13.1. Пусть для функции /(х) в точке х
выполнено условие Лежандра, тогда в некоторой окрестности точки
у = — определено преобразование Лежандра д(у) и
ах-у' ау"х' ву*-\д*) ' A38)
Доказательство. Первое соотношение A3.8) выполнено по
определению. Используя его и дифференцируя
ряет условию Лежандра: с!е1 -^-^ ф 0
Запомним терминологию. Ковекторы, или линейные функционалы, на
Лгмерном векторном пространстве образуют п-мерное векторное
пространство — сопряженное пространство. Если в пространстве выбрана
координатная система х, то в сопряженном пространстве определены координаты
у, такие, что значение функционала у на векторе х равно ух = У^хдо-
При замене координат X = Ах (А — невырожденная матрица)
координаты в сопряженном пространстве меняются по закону У = уА-1, так как
ух = у(Л_1Х) = {уА~1)Х = УХ.
306

получаем второе. Отсюда получаем третье:
-1 /п2*\-1
9у2 ду \дх) \д*2)
Пример 13-1. Пусть / — квадратичная форма: /(х) =
= -(Лх,х), где А — невырожденная симметрическая матрица.
Тогда
И
5(У) = «УХ-/(у))|х=л_1у = ^А^у.У).
Предложение 13.1. Преобразование Лежандра инволютив-
но: / = д = /.
Доказательство. Поскольку /(х) = (у,х) — </(у), достаточно
доказать, что — = х. Но это дает второе соотношение A3.8). ¦
В частности, гамильтониан — преобразование Лежандра
лагранжиана, а лагранжиан — преобразование Лежандра
гамильтониана.
Лемма 13.2. Пусть функция / = /(х,я) зависит от допол-
™ * , ч 9д д/
нительного переменного 2. Тогда д = (/(у, я) и — = ——.
ох ох
Доказательство. Повторяя доказательство леммы 13.1,
получим
<*5(У,2) = <йу,х> - (^йъ)
Применив данное утверждение к функции Лагранжа
^(ч>4H' получим, что в канонических переменных уравнения
Лагранжа переходят в уравнения Гамильтона. Это доказывает
теорему 13.2. Отметим еще, что функция Рауса —
преобразование Лежандра лагранжиана по циклическим скоростям, так что
из леммы 13.2 вытекает теорема Рауса 6.2.
Часто преобразование Лежандра применяется к семейству
выпуклых функций / : Мп —> К, т. е. таких, у которых матрица
Гессе положительно определена: тг-« > 0.
ох*
Задача 13.2. Докажите, что для выпуклых функций:
307

а)/(^Х-/(Х) + /(У)'
т
2
б) / может иметь не более одной точки экстремума, которая
будет точкой глобального минимума.
Предложение 13.2. Для выпуклых функций преобразование
Лежандра — также выпуклая функция. Если д(у) определено,
то
9(У) = ™$ «У. х> -/(х)). A3.9)
Доказательство. Поскольку матрица, обратная к положительно
определенной, сама положительно определена, выпуклость д(у)
следует из третьего соотношения A3.8).
Для доказательства A3.9) рассмотрим функцию йу(х) = (у,х) —
— /(х) при фиксированном у. Поскольку -^- = у — —, то х(у), при
ах ах
котором —— = у, является критической точкой Ну. Поскольку матрица
ах
д2Ну а2/
дх2 дх2
положительно определена, то—Ну выпукла. Значит, х(у) — точка
глобального максимума Лу, т. е. йу(х(у)) = д(у) > (у,х) — /(х). ¦
Отметим, что областью определения д может быть не все Кп. Наг
пример, покажите, что для выпуклой функции /(х) = у/1 + |х|2,
д(у) = — у/\ — |у|2, так что область определения д — единичный шар.
Механический смысл / и д — гамильтониан и лагранжиан свободной
частицы в специальной теории относительности.
Следствие 13.1 (неравенство Юнга—Фенхеля). Если
функция д — преобразование Лежандра выпуклой функции /, то в пределах
их областей определения
/(х)+0(у)>(х,у>. A3.10)
Одним из самых удобных для преобразования Лежандра является
класс выпуклых функций суперлинейного роста. Суперлинейный рост
означает, что для любого ненулевого вектора хбКп
Шп Л^)=+оо.
в-»+оо 3
Теорема 13.21. Если функция / : Кп —> К. выпуклая, то
преобразование Лежандра д(у) существует для всех уейп тогда и только
*См., например, Рокафеллер Р. Выпуклый анализ. — М. : Мир, 1973.
308

тогда, когда / имеет суперлинейный рост. При этом р(у) тоже
выпукла и имеет суперлинейный рост.
При выводе уравнений Гамильтона к лагранжианам применяется
преобразование Лежандра по обобщенным скоростям. Отметим, что
свойства выпуклости и суперлинейного роста в механике всегда
выполнены, так как классические лагранжианы квадратичны по скоростям.
Задача 13.3. Докажите, что лагранжиан натуральной системы —
выпуклая функция суперлинейного роста по обобщенным скоростям.
Отметим, что мы уже использовали преобразование
Лежандра при выводе уравнений Рауса и будем использовать его еще
при выводе уранений Уиттекера и в теории канонических
преобразований.
13.1.4. Поведение канонических переменных
при замене координат
Рассмотрим лагранжеву систему с функцией Лагранжа Цц, с}, ?) и
функцией Гамильтона
Я(я, р, ?) = (р ¦ 4 - ?(? я, ?)) |^р.
Предполагаем, что Ь выпукла по скорости: матрица -^^-=- положи-
осг
тельно определена и Ь является функцией суперлинейного роста по (?.
Тогда гамильтониан определен при всех реКп.
Рассмотрим, что происходит с каноническими переменными (ц, р)
при замене обобщенных координат. Пусть старые обобщенные
координаты я выражаются через новые C с помощью соотношения Я=ч((),*)-
Тогда C = 0,{<1,1). В новых координатах лагранжиан Цц^ (\,1)
заменится на лагранжиан С((%, <Э, ?) = Ь(ц[(%, ?), я((Э, ?), ?), где новые
обобщенные скорости C связаны со старыми ^[ соотношением
дц. дц А аса. а<э
Будем записывать обобщенные импульсы в виде строк. Тогда новые
обобщенные импульсы Р связаны со старыми р соотношением
аг _ аь <н±_ дч
~0<Э~ 0*10C ~Рд<1
Новый гамильтониан Н((%, Р, ?) получается из старого по формуле
НЮ, р, *) = нш, *), р. *) + р^г^>
-1 т A3.11)
Р
"'(»'
309

Задача 13.4. Докажите A3.11).
Если преобразование координат ^ = я(C) не зависит от времени, то
новый гамильтониан получается из старого подстановкой в него
старых координат и импульсов, выраженных через новые:
я(С1,р,0 = л(ч(с»,рГС.р))-
В отличие от вектора скорости <1 импульс р с точки зрения
дифференциальной геометрии является ковектором: ^ — вектор-столбец —
при замене координат (я —> C) преобразуется умножением слева на
матрицу Якоби 3(^/с?я, ар — вектор-строка — умножением справа
на обратную матрицу Якоби дц/д(%. Поэтому фазовым пространством
системы A3.2) является кокасателъное расслоение конфигурационного
пространства.
Замены переменных, упрощающие вид дифференциального
уравнения, являются одним из эффективных инструментов исследования
задач динамики. Описанные в этом подразделе замены характерны для
лагранжевой механики. В гамильтоновой механике используется
существенно более широкий класс замен переменных, описываемый далее.
Большая свобода в выборе замен переменных представляет одно из
основных преимуществ гамильтонового формализма перед лагранже-
вым.
Замечание 13.2. В данной главе предполагается, что
конфигурационное пространство — область в Кп. Если конфигурационное
пространство представляет собой гладкое п-мерное многообразие М, то
фазовым пространством лагранжевой системы следует считать
касательное расслоение ТМ — множество пар (? ф, где ^ — точка М, а
<1 — касательный вектор в точке ^ Фазовым пространством
гамильтоновой системы является кокасателъное расслоение М = Т*М
конфигурационного пространства — множество пар ^, р), где ^ — точка М,
ар — ковектор в точке ^
Произведение р • я ковектора на вектор не зависит от выбора
координат.
Следовательно, определение гамильтониана
Я(я, р, 0 = . тах (р ¦ я - Ь(я, я, *))
имеет инвариантный смысл независимо от выбора координат. Менее
очевидно, что определение гамильтонова векторного поля \н на М
имеет инвариантный смысл. Это следует, например, из того, что
решения гамильтоновой системы однозначно определяются из
вариационного принципа Гамильтона (см. п. 7.2.1) для функционала действия,
значение которого от выбора координат не зависит.
Инвариантное изложение гамильтоновой механики содержится в
гл. 14.
310

13.1.5. Простейшие свойства уравнений Гамильтона
Уравнение A3.2) имеет вид х = уя(х,*), где х = (я,р), а
Vя = (дН/др, —дН/дц) — гамильтоново векторное поле на
фазовом пространстве К2п.
Функция Гамильтона Н{^р,1) — это обобщенная энергия
дЬ
Е = -гтя — ?, выраженная через ^,р,?. Для натуральной
системы она совпадает с полной механической энергией системы.
Теорема 13.3 (об изменении энергии). Пусть Н —
производная функции Н в силу уравнений Гамильтона A3.2). Тогда
• _дН
Л"'
* /ОН Л /дН Д
Доказательство. По определению Н=( -о~~> Ч / + \ 75Г"»Р /+
он „
+ -57" ¦ Первые два члена суммы взаимно уничтожаются при под-
становке выражений для (? и р из A3.2). ¦
Следствие 13.2. Если гамильтониан Н = Я(я, р) не
зависит лвно от времени, то он является первым интегралом
уравнений Гамильтона.
Бели координата д{ циклическая, т. е. дЬ/дзд = 0 (см. п. 6.1.3),
то р» = дН(дЦх = 0. Значит, р» — первый интеграл уравнений
Гамильтона. Понижение порядка по Раусу в гамильтоновой
форме тривиально. «Забываем» уравнение <й = дН/др{ и считаем
Р{ = с = сопз1. Получаем гамильтониан и уравнения Гамильтона
для 2п — 2 переменных.
Возьмем дивергенцию гамильтонова векторного поля Уя =
= (дН/др,-дН/дц):
^ / д дН д ЭН\ л
Следовательно, из теоремы Лиувилля 12.1 вытекает, что
стандартная лебегова мера, плотность которой в координатах
(Ч)Р) равна 1, инвариантна относительно фазового потока.
Доказана следующая теорема.
Теорема 13.4 (теорема Лиувилля о сохранении
фазового объема). Фазовый поток гамильтоновой системы
имеет инвариантную меру Лрйс^. Более точно, пусть д\^ : К2п —>
311

—> К2п — сдвиг вдоль траекторий гамилътоновой системы за
время 1о <Ь <11- Тогда для любой области И
уо1(з*^) = уо1A)).
Следствие 13.3. Уравнения Лагранжа имеют
инвариантную меру.
Задача 13.5. Покажите, что плотность этой меры в
пространстве переменных ^, <1 равна определителю матрицы
д2Ь/дср, где Ь(^ <1,1) — лагранжиан системы. В частности, для
натуральных механических систем плотность инвариантной
меры в пространстве переменных ^, ^ равна определителю
матрицы кинетической энергии.
13.2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
13.2.1. Принцип Гамильтона в фазовом пространстве
Зафиксируем точки хо = (чо»Ро) и XI = ^ьрО фазового
пространства М и моменты времени *о < *1- Пусть П —
множество гладких кривых
у:[*о,*1]-+Мщ у(*) = Й(*).Р(*)).
соединяющих точки хо,Х1". у(*о) = хо, у(*1) = XI. Определим
функционал действия А : И —> К по формуле
Мг) = \ (Р(*) ¦ <*(*) - Я(Ч(*),Р(*).*)) А-
«о
Задача 13.6. Докажите, что при другом выборе координат
на конфигурационном пространстве значение функционала
действия не изменится. Значит, функционал действия имеет
инвариантный смысл.
Указание. Воспользуйтесь формулой A3.11).
Задача 13.7. Для любой гладкой кривой ^(?), 1о < I < 1\,
в конфигурационном пространстве лагранжевой системы
определим кривую уD) = (я(<)>р№) в фазовом пространстве, где
р = дЬ/дц — обобщенный импульс. Докажите, что А(у) =
= ?^(?), <1(*), I) <И — лагранжево действие кривой ^(<). Таким
«о
312

образом, лагранжево действие — частный случай гамильтоно-
вого.
Вариация кривой у с закрепленными концами — это гладкое
семейство кривых уа е О, зависящее от параметра а € К, и
такое, что уо = у. Таким образом, уа(*) = ^(*,<х),р(*,а)), где
а(*,а),р(*,а) — гладкие функции и фо,а) = ^о, ^(*1,а) = ^1,
р(*о,а) = ро, р(*ъа) = рь ^(*^0) = ^(*), р(*,0) = р(*).
Кривая у называется экстремалью1 функционала А(у), если
д. | ч
— -А(Та) = 0 для любой вариации уа с закрепленными кон-
аа1а=о
цами.
Теорема 13.5 (принцип Гамильтона в форме
Пуанкаре)- Кривая у : [*о5 *1] —> М является решением уравнений
Гамильтона тогда и только тогда, когда она является
экстремалью функционала действия А : П —> М.
Доказательство. Пусть уа(*) = (ч(*,<х),р(*, а)) — вариация
кривой у. Найдем (для удобства здесь пишем р в виде строки)
^А{Ул) = ^\ (Р(*' °° 4(*' °° " Я(Ч(*' °°'р(*'°°' *}) М =
«о
= Г ГЗВя+п-?Ч _ ^^р - ?Ё.!!*\ *
) \даЧ Рд1д* др да дц да)
Интегрируя по частям, получаем
A Л, ч . ч«ч(*,а) 1*1
=4т.)-р(*.«>-%Д+
?1
+
«о
л*(-©-(**©я*
A3.12)
^(*,а) . 0р(*,а) „ . /аЧ /аЧЧ
где ^ = —^-^, р = —^—. Если ^(*),р(*)) — решение
уравнений Гамильтона и концы фиксированы: ^(?о, <х) = Яо, я(^ь а) =
= 41» то 3~ ^(Та) = 0- Обратное утверждение доказывается
(Ш I а=0
как для обычного принципа Гамильтона (см. п. 7.2.1). ¦
хПри желании можно ввести на П структуру бесконечномерного
многообразия и определить экстремали как критические точки гладкой функции
А : П -> К.
313

Задача 13.8. Докажите обратное утверждение.
Формула A3.12) называется формулой первой вариации.
Обычно ее пишут в дифференциальной форме:
8А=р(«) Вч(С)| 1+\ [»р(я " *щ) " (р + ^)^] *¦ A3ЛЗ)
где
5А(у) =
йа
а=0
Л(уа)8а
называется первой вариацией функционала А, и
9
•чМ-1
^4((,.)8,, Ьр^) = да
а=0
р(*,аMа.
Задача 13.9. Докажите, что если концы кривой и интервал
времени не фиксированы: *о(°0, ?1@1), Яо(<х), 41 (ос) зависят от а,
то формула первой вариации принимает вид
8Л(у) = (р{*)Ьф) - НЫ)\ +
1*0
*1
где
¦ЛЧ*-5)-(*+*Н*
*0
ШЪф) - Я 8«) Г = (р(<1)^1 - Я|<=41 5*1>-
A3.14)
1*0
-{р(*о)Ьяо - н\ь=гоы0),
йа
йа
аа аа
Задача 13.10. Покажите, что уравнения Гамильтона A3.2)
совпадают с уравнениями Лагранжа для лагранжиана Л = р4 —
— Я"^,р,4), если ^, р) рассматривать как обобщенные
координаты, а (<1, р) — как обобщенные скорости. Покажите, что
принцип Гамильтона в конфигурационном пространстве G.6) в
применении к этому лагранжиану даст принцип Гамильтона в
фазовом пространстве.
314

13.2.2. Интегральные инварианты Пуанкаре — Картана
и Пуанкаре
Пусть ^, р) € К2п — координаты в фазовом пространстве
М гамильтоновой системы A3.2). Когда гамильтониан Я^, р, I)
явно зависит от ?, за динамикой естественно наблюдать в
расширенном фазовом пространстве М = М х К переменных ^ р, ?),
которое можно отождествить с областью в М2п+1. Причина
состоит в том, что для неавтономной системы именно в этом
пространстве выполняется теорема о существовании и
единственности решения с начальным условием в данной точке. В
частности, в М определена однопараметрическая группа
преобразований фт, состоящая из сдвигов на время т вдоль решений
уравнения Гамильтона, называемая по аналогии с автономным
случаем, фазовым потоком. Решения у : [*о»*1] -> «М
уравнений Гамильтона представляются их графиками — кривыми
У = {(ч(*)>Р(*)»*) : *о < * < *1} в расширенном фазовом
пространстве, называемыми траекториями системы. Совершая
вольность, будем обозначать решение и соответствующую
траекторию той же буквой у.
Определим на М дифференциальную 1-форму X = ре&1—ЯсЙ,
называемую формой Пуанкаре—Картана. Тогда действие
Гамильтона кривой у есть1
Жг) = |(рА1-Я<Й) = |х.
Пусть у о — ориентированная замкнутая кривая в
расширенном фазовом пространстве. Выпустив из каждой точки у о трат
екторию гамильтоновой системы, получим двумерную
поверхность Е, называемую трубкой траекторий (рис. 13.1).
Предложение 13-3- Пусть уо — ориентированная
замкнутая кривая в расширенном фазовом пространстве, а у —
кривая, полученная из уо в результате непрерывной деформации
вдоль трубки траекторий. Тогда
М'
то
1 Здесь и далее используем обозначение р^ = /]р%Aдг.
г
315

Величина ф X = | (рА1 — Й<Щ
то то
называется относительным ин-
~-^~^ тегралънъш инвариантом
Пуанкаре — Картана.
То\ I ^^
Доказательство. Пусть уо па-
Рис. 13.1. Трубка траекторий раметризована параметром 0 <
< а < 1: уо(а) = (Чо(а),р0(а),
*о(а))? причем уо@) = УоA)- Выпустим из точки уо(а)
траекторию системы оаA) = ^(*,а),р(*,а),*), *о(сх) < I < <1(а). Тогда
кривые оа(*) образуют трубку траекторий Е, а кривые
Уо(а) = аа@), ух(а) = аа(*1(а)) = ^1(а),р1(а),*1(а))
охватывают эту трубку. Пусть
*1(°0
А(аа) = |х= | №*)*&*)-Н{оа{*))) А
°« *о(а)
— действие Гамильтона кривой оа. По формуле первой вариации
A3.14)
|;А(о«) = Р1(а)я1(«) - Я(п(а)) - (ро(а)о[,(а) - Я(у0(а))).
Поскольку кривая уо замкнутая, то ао = ох, так что
1
I ^А(о«) ** = А(о0 - Л(о0) = О,
и значит,
1
|(р1(а)йЧ1(а)-Я(Т1(а))йа) =
о
1
= |(ро(«)А|о(а)-Я(го(а))Л[).
о
Переформулируем предложение в терминах фазового потока
фт : М. —> М. в расширенном фазовом пространстве: для любой
316

замкнутой кривой уо в расширенном фазовом пространстве и
любого т
г г
м=
фтТО ТО
Если кривая у о лежит в гиперплоскости I = ^^,то
/х = /р*1.
ТО ТО
Кривая ух = фтуо лежит в гиперплоскости I = 1\ = *о + т.
Получена следующая теорема.
Теорема 13.6 (теорема Пуанкаре). Для любой замкнутой
кривой в гиперплоскости I = *о>
I Р*1= I р<&1.
Фтто то
I р*1
Выражение р&1 называется относительным интеграль-
то
ним инвариантом Пуанкаре.
Рассмотрим теперь дифференциальную 2-форму
со = йр Л Лц = 22 Фг Л ^Р*-
Легко видеть, что со = й(р йя), где й — внешний
дифференциал (см. П. 10).
Теорема 13.7 (теорема Пуанкаре). Для любой двумерной
ориентированной поверхности Е С М х {*0}
йр Л А* = йр Л 6?.
Фт№)
Это выражение называется абсолютным интегральным
инвариантом Пуанкаре (в относительном интегральном
инварианте интегрирование ведется по многообразию без границы, а в
абсолютном — по любому многообразию).
Доказательство. Границей двумерной поверхности Е
является замкнутая кривая у = 0Е. Аналогично фт(у) = 0фт(Е).
По формуле Стокса (см. теорему П.7)
317

1со=|рА1, I о)= I р<&1,
так что теорема 13.7 вытекает из теоремы 13.6. ¦
Часто бывает удобно вместо расширенного фазового
пространства А4 = М х К рассматривать обычное фазовое
пространство М. Формы р е&1 и йр Л ёц можно отождествить с
дифференциальными формами на М. Фазовый поток фт : М —* М
определяет семейство отображений1 д^ : А4 —> М за время от *о
ДО*1 =
ср41-*°(я,р,*о) = (^(р,я),*1)-
Тогда теоремы Пуанкаре принимают вид
I Р*1= |р*1, I сфЛЛ1= I с*рЛЛ1 A3.15)
в6(т) г вЙ№) Е
для любой замкнутой ориентированной кривой у и двумерной
ориентированной поверхности Е в фазовом пространстве.
13.2.3. Переформулировка на языке
дифференциальных форм
В данном подразделе результаты подраздела 13.2.2
переписаны на более удобном языке диференциальных форм, который
будет использован в гл. 14. Напомним, что прообразом
дифференциальной Аг-формы о) на гладком многообразии (или облаг
сти в евклидовом пространстве) N при гладком отображении
/ : М —> N называется Аг-форма /*о> на М, такая, что для любой
^-мерной ориентированной поверхности ЕвМ
!'-!г"
(более стандартное алгебраическое определение см. в П.4).
Из теоремы 13.7 вытекает следующее следствие.
Следствие 13-4. Сдвиг / = 5? : М —> М вдоль траекторий
гамильтоновой системы сохраняет 2-форму о> = йр Л с^ на
фазовом пространстве: /*со = а>.
1 Отображения д\^ не образуют однопараметрическую группу
преобразований фазового пространства. Поэтому их не принято называть потоком.
318

Доказательство. Для любой двумерной ориентированной
поверхности Е в фазовом пространстве по теореме 13.7
/г-/.-/¦
(О.
Поскольку Е произвольна, /*со = со. ¦
Точно так же доказывается следующее предложение.
Предложение 13.4. Фазовый поток фт : М —> Л4 в
расширенном фазовом пространстве сохраняет 2-форму йХ = й(ре&1—
- НсН) = йр Л <&1 - йЯ Л й*.
Из следствия 13.4 получаем, что для любого к форма сък =
= со Л ¦¦ ¦ Л ц инвариантна относительно отображений / = д^,
к
т. е. является интегральным инвариантом гамильтояовой
системы:
/*(д)Л| = (О* ИЛИ (О* — СО*
для любой ориентированной 2й;-мерной поверхности Е с М.
Задача 13.11. Покажите, что при к = п форма, а>п
невырождена и пропорциональна с постоянным ненулевым
коэффициентом форме объема в фазовом пространстве:
(йр Л <&1)п = (-1)п(п+1)/2пЫд1 Л... Л 4цп Л Лрх Л ... Л Лрп.
Доказано еще одно следствие.
Следствие 13.5 (теорема Лцувилля). Фазовый поток
уравнений Гамильтона сохраняет объем для любой области
фазового пространства.
В конце подраздела 13.1.5 данное утверждение получено
другим способом.
13.3. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
13.3.1. Канонические преобразования. Производящая
функция
Гладкое отображение фазового пространства / : М. —> М
называется каноническим (симплектическим), если оно сохраняет
каноническую 2-форму о> = йр Л ^:
319

/*@ = (О,
где /* — оператор переноса форм для отображения / (см.
п. 15.3.3). Из теоремы 13.4 вытекает следующая теорема.
Теорема 13.8. Для любой гамильтоновой системы сдвиги
вдоль траекторий (/** : М. —> ЛЛ фазового пространства
состоят из канонических преобразований.
Напомним, что для автономной системы семейство
отображений дь = (/о называется фазовым потоком.
Наиболее важное для нас свойство канонических
преобразований дает следующая теорема.
Теорема 13.9. Каноническое преобразование / переводит
решения автономной гамильтоновой системы с функцией
Гамильтона Н в решения гамильтоновой системы с функцией
Гамильтона Н = Н о /~х.
Это вытекает из теоремы для преобразований расширенного
фазового пространства (см. далее теорему 13.10).
Можно рассматривать каноническое преобразование как
замену координат (Р,Р) = /^,р) от переменных ^рк
переменным Р^, р), Р^, р). Замена называется канонической, если
йрЛб^[ = еЯРЛсК}. Тогда функция Н((%, Р) в теоремег 13.9
получается из Я (я, р), если выразить ее через переменные С}, Р. Таким
образом, при канонической замене решения уравнений
Гамильтона с гамильтонианом Н{^ р) переходят в решения уравнений
Гамильтона с гамильтонианом Н((%, Р).
Из определения канонической замены и леммы Пуанкаре (см.
лемму П.1) вытекает, что локально замена является
канонической, если существует гладкая функция 5, такая, что
рЛ* = Рй<3 + й5.
Бели допустить зависимость замены фазовых переменных от
времени, то определение каноничности следует обобщить.
Рассмотрим две неавтономные гамильтоновы системы с функциями
Гамильтона Н(^ р, *) и Н((%, Р, Г) и соответствующими
каноническими 1-формами
хя = р*1 - я<й, \н = рац -нат.
В общем случае временные параметры * и Г также различны.
Гладкое отображение ср расширенного фазового пространства
одной системы в расширенное фазовое пространство другой
системы называется каноническим преобразованием, если
320

Каноническое преобразование ф задается формулами
ф(ч.р.*) = Ю.р.г).
где (},Р,Т — функции от ^р,I. Тогда
йр Л Л* - йЯ Л ей = сПР Л с«Э - йН Л ЛТ.
Еще раз воспользовавшись леммой Пуанкаре, получаем, что
локально определение канонического преобразования
принимает вид
рйц- Я(Ч,р,*) сН = РЙ<Э - И((Э,Р,Г) дТ + й5.
Теорема 13.10. Каноническое преобразование переводит
фазовые 'кривые гамильтоновой системы с функцией Гамильтона
Н в фазовые кривые гамильтоновой системы с функцией
Гамильтона Н.
Доказательство. Для любой кривой у с концами 20 =
= (Чо»Р(Ь*о)> 21 = ^ьРь*1) в расширенном фазовом
пространстве имеем
АпШ) = Ан(у) + 5(а1)-5(ао),
где
Ан(у) = I Хя, А^(у) = I Х^
т т
— функционалы действия, отвечающие гамильтонианам ЯиН.
Поэтому для вариаций с закрепленными концами
ЬАн(у) = 0 эквивалентно ЪАн(у) = О,
где у = ф(у). Теперь теорема вытекает из принципа Гамильтона
в фазовом пространстве. ¦
Можно рассматривать каноническое преобразование ф как
замену переменных (? р, <) —> (Р, Р, Г).
Формулируемое далее следствие теоремы 13.10 означает, что
при канонической замене координат уравнения сохраняют га-
мильтонову форму.
Предложение 13.5. Пусть ^,р,Ги^,Р,Г - системы
координат на расширенном фазовом пространстве, а И —
^ #(ч>Р»*) иН = Н((^,Р,Г) — гладкие функции такие, что
рA<1-Н<И = Р<1С1-Н<1Т + A3. A3.16)
И Болотин
321

Тогда в новых координатах уравнения Гамильтона A3.2) с
функцией Гамильтона Н переходят в уравнения Гамильтона с
функцией Гамильтона Н:
Канонические преобразования, меняющие время,
используются нечасто. Предположим, что замены времени не
происходит: Т = I и уравнение (? = р(я,р,*) можно разрешить
относительно р = р^, C, ?). Согласно теореме о невной функции это
условие выполняется локально, если
йеЪ{дС1/др) ф 0. A3.18)
Тогда (я, C,*) можно взять в качестве локальных координат
на расширенном фазовом пространстве.
Преобразование, для которого выполнено условие A3.18),
иногда называют свободным. Тогда 5 можно выразить через
(^<Э,*). Из A3.16) получаем
р<&1 - НсИ = Рй(Э - Ш1 + 8ч<1ч + 5дй(Э + 3Ь(И.
(Здесь для краткости используются обозначения 5Ч = дЗ/дц,
5Ч = дЗ/дЦ, Зг = дЗ/дЬ.) Следовательно,
р = 5ч, Р = -5д, Н = Н + 5г. A3.19)
Первые два равенства A3.19) можно использовать для того,
чтобы представить замену переменных в обычном виде:
<Э = <Э(^Р,*), р = р(чьр.*)
или
ч = я№,р,«). р = р№,р,*)-
Например, чтобы выразить новые переменные через старые,
следует разрешить уравнение р = 5Ч^,(),1) относительно С).
Согласно теореме о неявной функции, при выполнении условия
это возможно (по крайней мере, локально). Теперь, чтобы
выразить Р через я, р, *, достаточно подставить полученную
функцию С^(я, р, ?) в уравнение Р = — 5д(я, Р, I).
Функция 5(я, C,1) называется производящей функцией
канонической замены (? р, I) ь-> (Р, Р, I).
322

Задача 13.12. Покажите, что если каноническое
преобразование свободное, то автоматически выполнено условие A3.20).
Часто требуется искать замену переменных, близкую к
тождественной. В этом случае производящая функция 5^, С}, I)
неудобна, но можно использовать другой тип производящей
функции. Перепишем A3.16) в следующем виде:
рА1 -Нй1 = -ЙР ¦ <Э - ПсИ + й(РСЗ + 5).
Предположим, что функция1 IV — (Р, (?) + 5 может быть
выражена через ^, Р, I. Тогда И^(^ Р, ?) задает замену переменных
по формулам
р = ^ф C = ^, Н = Н + Щ. A3.21)
Для того чтобы можно было локально выразить я и р через
(Э,Р,*, а также Р и Р — через я, р,<, достаточно потребовать
от IV, чтобы
-ОЙ)-
Задача 13.13. Найдите производящую функцию И^,Р,*)
тождественной замены переменных (^ = ^, Р = р.
Аналогично можно рассматривать производящую функцию
смешанного вида, например 5(я, Фь ^2, - - -, Рп)-
Задача 13.14. Найдите производящую функцию
канонической замены, при которой (дьР1)»-+ (— рь ?1), а остальные
координаты неизменны.
Задача 13.15. Найдите производящую функцию
канонической замены (я, р) н-> (—р, я).
Задача 13.16. Предположим, что локально решение
У : [*о>*1] —> К2п уравнений Гамильтона, уA) = (я(*),р(<)),
*о < * < *1» однозначно задается точками яо = я(<о) и ^1 =
= я(*1), а также моментами времени *о>*1- Покажите, что
фазовый поток фт(яо»Ро»*о) = (ЧьРъ<1) гамильтоновой
системы — это каноническое преобразование с производящей
функцией 5(яо, Яь 4ь 'О = -А(т)| гДе -А — действие по Гамильтону.
Указание. Воспользуйтесь теоремой 13.6.
1 Наблюдательный читатель заметит, что переход от —5 к IV является
преобразованием Лежандра функции —5 по переменным (^.
323

13.3.2. Маятник с быстро колеблющейся точкой
подвеса
Напомним, что математическим маятником называется
механическая система, состоящая из невесомого недеформируемого
стержня АВ, у которого один конец А закреплен, а к другому В
прикреплена точка массой га. Считается, что движение
происходит в неподвижной вертикальной плоскости в поле сил тяжести.
Усложним задачу. Пусть точка подвеса А вертикально
колеблется (рис. 13.2), причем период и амплитуда ее колебаний малы
и имеют порядок е. Нас интересует вопрос: какое влияние
оказывает колебание точки подвеса на динамику при малых б?
Рассмотрим в плоскости движения неподвижную систему
координат такую, что ось х горизонтальна, ось у вертикальна и
точка А находится на оси у. Будем считать, что в этой системе
координат
хА =0,
со*
УА = ДЕСОЗ ,
(О
-#
где д — ускорение силы тяжести; I = \АВ\ — длина маятника;
е — малый параметр. Частота со введена для того, чтобы можно
было считать б безразмерным. Параметр а имеет размерность
длины.
Система неавтономна и имеет одну степень свободы. В
качестве координаты на конфигурационном пространстве
естественно взять угол ср между стержнем и вер-
\Д/\Д/\/^ тикалью. Пусть (ж, у) — координаты
точки В.
Тогда
X = I 81П ф, X = /ф СОЗ ф,
у = ае сое т — I соз ф,
У = — ОД) 81П Т + Щ 81П ф,
где т = «быстрое время».
Следовательно, лагранжиан имеет
вид
Ь =
гагг
га,
Рис. 13.2. Маятник с
вертикально колеблющейся
точкой подвеса
-тду=^AЦ2-
—2а/о>ф 8Ш ф 81п т + а2 со2 зт2 т)—
—тд(ае сое т — I сое ф).
324

Отметим, что третье слагаемое в первой скобке и первое
слагаемое во второй скобке не зависят ни от ср, ни от ф. Поэтому они
не влияют на уравнения движения и могут быть опущены.
Кроме того, лагранжиан Ь можно поделить на постоянный
коэффициент га/2. Это также не отразится на уравнениях. С учетом этих
замечаний лагранжиан приобретает вид
ф2 ао>. . о
Ь = -*- т-ф31П ф 81П Т + О) СОЗ ф.
Перейдем к гамильтоновым переменным ср,р = дЬ/дц с
помощью преобразования Лежандра по переменной ф:
Р = ф г-81Пф81ПТ,
тп ±\ Р2 а@ ¦ д2аJ -2-2 2
Щф»Р>*) = " +р-7-81Пф81ПТ + 2 ВЦГфВИГТ — О) СОЗ ф.
Попробуем подобрать каноническую замену переменных,
близкую к тождественной, так, чтобы гамильтониан перестал
зависеть от * в главном (нулевом) приближении по е. Замену
(ф,р, ?) |-> (Ф, Р, ?) ищем в виде
где функция / 2гс-периодична по т1. Имеем:
р = Р + е/ф, Ф = ф + е/р.
Новый гамильтониан имеет вид
Н(Ф,Р,т) = е/4 + Я(ф,р,т) = соД + Я(Ф - е/Р,Р + Е/ф,т).
Получаем
И = <о/т(Ф, Р, т) + Я(Ф, Р, т) + О(е),
где последнее слагаемое 2л-периодично по т. Следовательно, Н
не будет зависеть от I в нулевом приближении по е, если
функция
ао> а2о>2 о 2
Р = 0)/т(Ф, Р, Т) + Р— 81П Ф 81ПТ + —2" 81п Ф 8*п т
1 Условие периодичности требуется для того, чтобы замена переменных бы ¦
ла равномерно близка к тождественной при всех I.
325

не зависит от т. Выбирая
О
/(Ф, Р, Т) = Ру 81П Ф СОЗ Т + --^- 81ТГ Ф 81П 2т,
т _ а2а>2 . 9 _ __
получаем1: Р = ,,0 виг Ф. Итак, в новых переменных
Н = — - о>2со8Ф + —2- 8ш2 Ф + О(е),
причем часть гамильтониана, содержащаяся в 0(е), 2л-перио-
дична по т.
Замечание 13.3. При желании можно изменить порядок членов,
зависящих от времени, на 0(е2) или О^) для произвольного N > 0 и
даже сделать их величиной порядка е~с/'с1 для некоторой
положительной постоянной с. Но большего достичь в принципе нельзя: какую бы
2л-периодическую по т каноническую, близкую к тождественной,
замену переменных мы ни сделали, зависимость от переменной т останется
в членах, имеющих порядок, больший, чем е~с1\*\ для некоторой
положительной постоянной С.
Исследуем полученную систему, пренебрегая величинами
0(е). Для этого заметим, что систему с гамильтонианом Н
можно трактовать как движение материальной точки по прямой
(или окружности Ф той 2л) в поле сил с потенциалом
УГ = 0JГ-СО8Ф+-Т2 81П2 Ф ] ,
напоминающим потенциал поля сил для вращающегося
маятника (см. п. 2.4.2). Как обычно, фазовый портрет (линии уровня
интеграла энергии)
-— О) С08 Ф + —77Г- 81П Ф = СОПЗЪ
2 \1А
удобно рисовать под графиком потенциальной энергии. В зави<-
симости от значения параметра а имеем два случая (рис. 13.3).
На рис. 13.3, а изображен случай «малой» амплитуды2: а2 <
< 222. В этой ситуации нет никаких качественных различий с
1Бще раз отметим, что функция / должна быть периодической по т.
2Напомним, что на самом деле амплитуда колебаний точки подвеса мала
(имеет порядок б) в обоих случаях.
326

Рис. 13.3. Фазовые портреты:
а — при а2 < 2/2; б — при а2 > 2/2
обычным математическим маятником, когда точка подвеса не
колеблется.
Ситуация качественно меняется, когда а2 > 2/2 (рис. 13.3, 5).
В этом случае фазовый портрет перестраивается и положение
равновесия Ф = ±тс становится устойчивым. Это значит, что в
случае «не очень малой» амплитуды происходит стабилизация
верхнего положения равновесия маятника. Говорят, П. Л.
Капица наблюдал это явление, подсоединяя палочку с грузиком к
колесу швейной машинки.
Задача 13.17. Выясните, как выглядит фазовый портрет
при а2 = 212.
Необходимо также ответить на вопрос: не разрушится ли
эффект стабилизации при учете членов О(е)? Ответ на данный
вопрос будет дан в гл. 15. Сейчас лишь отметим, что при
малых е условие устойчивости сохранится. Исследование
устойчивости упрощается при наличии трения, когда система негамиль-
тонова.
Задача 13.18 (маятник с трением). Пусть на маятник
действует дополнительная диссипативная сила, пропорциональная
ф = Нр. Тогда уравнения Гамильтона заменятся на
следующие:
у = Нр, р = -Яф - кНр, к>0.
327

Используя метод усреднения, покажите, что при а2 > 212 и
малом е > 0 верхнее положение равновесия ф = к
асимптотически устойчиво.
Решение. Бели ввести вектор х = (ф,р) и обозначить у(х,т) =
= (Нр, Ну — кНр), то уравнения движения примут вид
х = у(х,т), т = о>*/е.
Применим метод усреднения (см. теорему 8.9). Усредненная
система имеет вид
У = *(у),
где V — среднее векторного поля V по времени.
Обозначим у = (Ф, Р). Получим
ф = НР = Р, Р= -НФ - кНР = -УФ - кР,
где Н — усредненный гамильтониан:
Я(Ф, Р) = Ц- + У(Ф), У{Ф) = -оJ сов Ф + ^- вт2 Ф.
Получена автономная натуральная система с диссипативной силой:
Ф = — Уф — кФ. При а2 > 2/2, Ф = тс — точка невырожденного минимума
V. Поэтому положение равновесия Ф = тс асимптотически устойчиво
для усредненной системы. Согласно предложению 8.4, при а2 > 212 и
малых б > 0 верхнее положение равновесия маятника асимптотически
устойчиво.
13.3.3. Метод усреднения для гамильтоновых систем
Вычисления подраздела 13.3.2 с небольшими изменениями
доказывают аналог теоремы Крылова—Боголюбова для гамильтоновых
систем1. Пусть гладкая функция Гамильтона Т-периодически зависит от
времени следующим образом:
Я(х, Ь, е) = е^(х,*) + е2С(х, *,е), х = (? р) е V С К2п.
Система уравнений Гамильтона имеет вид:
х = уя(х,*,е) = еу^(х,<) + 0(е2).
Если е мало, то х — медленная переменная. Справедливо следующее
уточнение теоремы Крылова—Боголюбова 8.9. Пусть V —
ограниченная область, замыкание которой содержится в С/.
Этот результат был известен задолго до теоремы Крылова — Боголюбова.
328

Теорема 13.11. Для любого N существует Ео > 0 и гладкая
обратимая Т-периодическая по времени каноническая замена переменных
х = у + е/(у, *, е), у <Е V, |е| < Ео,
которая приводит функцию Гамильтона Я(х, ?, е) к виду
И(у, *, е) = еР(у) + Аг(у, е) + 0(е"),
где ^1 — среднее Р по времени.
Таким образом, преобразованная гамильтонова система почти
автономная. Когда Н - гамильтониан маятника и N = 1, получаем
гамильтониан Н (см. п. 13.3.2). В общем случае доказательство практически
такое же. ¦
Сформулируем теперь гамильтонову версию теоремы 8.10.
Предположим, что система (8.34) гамильтонова с гамильтонианом
#(х, 9,Р, б) = Н{р) + е^(х, д,р) + е2С(х, д,р, е),
^ той 271, (х,р) € 17, й'(р) ^ 0,
где угловая переменная д — одна из канонических переменных; р —
сопряженный импульс, а остальные канонические переменные включены
вх.
Выберем произвольное ограниченное открытое множество V,
содержащееся в \] вместе с границей.
Теорема 13.12. Для любого N существуют Ео > 0 и гладкая 2л-
периодическая по угловой переменной каноническая замена
переменных
(х, 9,Р) = (У, Я, Р) + Е/(у, 3, Р, е),
(у, Р) е V, 0 той 271, |е| < ео,
приводящая гамильтониан Н к виду
Н(у, О, Р, е) = Л(Р) + еР(У, Р) + г2К{у, Р, е) + 0(е").
Доказательство аналогично. Это простейшая теорема гамильтоно-
вой теории возмущений. Некоторые другие результаты обсуждаются в
гл. 15. Приведем один любопытный пример.
13.3.4. Фаза Берри
Пусть замкнутая кривая у вращается вокруг точки О в
горизонтальной плоскости, а материальная точка скользит без трения вдоль у.
Выберем вращающуюся систему отсчета Охуг так, что у лежит в
плоскости Оху и у неподвижна в системе отсчета Охуг. Выпишем
уравнения относительного движения точки.
329

Параметризуем у длиной дуги 0 < д < /:
г(д) = х(д)еж + у(я)еу, я той /.
Пусть со = 0е2 — угловая скорость системы отсчета Охуг.
Абсолютная скорость точки равна
V = Уотн + упер = г'(д)$ + со[е2, г], со = 0.
Лагранжиан (деленный на массу) имеет вид
ЦЯ,Я,1) = \у2 = ^1^(9)9 + @^, г] |2 = 1^2 +со/(9)9+ ^со2|г|2,
где
/(*) = (г', [вЯ|г]> = (в„ [г, г']) = хШ(я) ~ УЙУ(Й-
Гамильтониан имеет вид
Я(9,р,*) = \р2 - <*ПЯ)Р + \*>29(Я), 9 = /2~ |г|2-
Предположим, что кривая у медленно вращается: 0 = ср(т), т = е*,
где б — малый параметр. Тогда со = 0 = Еср'(т) и
Я(в,р,т,е) = \р2 - еср'(т)/(д)р + 0(е2).
Уравнения Гамильтона имеют вид
4 = Р-«?Ш(Я), Р = щ'ШЪ) + 0(е*), т = е.
Отметим, что если у неподвижна, то с) = р, р = 0.
Если |р| не близко к 0, то угловая переменная д пюс!1 быстрая, а
р,т — медленные переменные. Применим теорему 13.12 при N = 3.
Гамильтониан преобразованной системы имеет вид
И(д, Р,т,е) = ^Р2 - Е<р'(т)/Р + е2К(т,Р) + 0(е3),
где / — среднее от /.
По формуле Грина
/= у I {х{я)у'{я)~у{я)х'&))&! = у \{хйу-уЛх) = у II <&<&/ = —,
о г л
где А — площадь области И внутри у.
Получим преобразованную систему
<2 = Р-ЩЬ) + 0(е2), Р = 0(г3), * = :у-
330

Член Х8B) вызван вращением кривой у. Посмотрим, например, что
произойдет с материальной точкой, когда кривая у повернется на
полный оборот: Д6 = 2гс. Поскольку 8 = О(е), на это потребуется время
порядка с-1. На интервале времени длины порядка 1/е имеем
Р{Ь) = Ро + 0(е2), 0(*) = Оо + РЫ ~ Х(8(«) - во) + О(е).
Таким образом, если кривая у повернулась на угол Д0, то
изменение положения точки на кривой, вызванное этим поворотом, равно
ДО = —ХД8 4- О(е). В частности, если у совершила полный оборот:
ДЭ = 2л, то это вызовет изменение положения точки на кривой (по
отношению к случаю, когда кривая неподвижна)
Д0 = -2тгХ + О(е).
Этот сдвиг ДО называется фазой Берри.
Если у — окружность, то I2 — 4пА, X = 1 и ДО = — I + 0(г). Для
любой другой кривой I2 > 4кА, так что 0 > ДО > —'¦ Отметим, что если
у — окружность, вращающаяся вокруг центра, то результат Д5 = — /
очевиден: вращение окружности не влияет на абсолютное движение
точки.
13.3.5. Понижение порядка по Уиттекеру.
Автономизация системы
Пусть гамильтониан Н = #(я, р) не зависит явно от
времени I. Рассмотрим регулярный уровень энергии Мн = {Н = к}
в фазовом пространстве, не содержащий положений равновесия
(йЯ(я,р) ф 0 при (я,р) € Мъ)- Тогда Мь - гладкая
гиперповерхность. Определим функционал действия Мопертюи на
множестве гладких кривых у : [*о>*1] —> Мн, у(*) = (я(*)>Р(*)) по
формуле
-7(т)= I Р*1-
т
Функционал 3 не зависит от параметризации кривой у, а
только от ее ориентации.
Теорема 13.13 (принцип Мопертюи в фазовом
пространстве). Кривая у на уровне энергии Мн является
траекторией гамильтоновой системы тогда и только тогда, когда
она является экстремалью функционала 3 в классе кривых на
Мъ с закрепленными концами.
331

Под траекторией гамильтоновой системы понимается
ориентированная геометрическая кривая в фазовом пространстве,
соответствующая решению. Параметризация значения не имеет.
Доказательство. Пусть у : [*о» *х] —> Мн — решение
гамильтоновой системы, а уа : [*о, 1{\ —> Мн - вариация с
закрепленными КОНЦаМИ Хо = ^0,Ро)» XI = (Я1,Р1). ОтмвТИМ, ЧТО ^(Уа^) Не
зависит от параметризации, так что без ограничения общности
можно считать, что *о < *1 не зависят от а. Тогда
^(т«) = Лт«)-ь(*1-*й).
так что А(уа) и «7(уа) отличаются на константу.
А{Чл) = 0 по принципу Гамильтона, полу-
<*=о
Поскольку —
аа
Л
чим
йа
«^(Та) = 0» что и требовалось. Обратное утверждение
<*=о
доказывается несколько сложнее. ¦
Задача 13.19. Докажите обратное утверждение, используя
метод неопределенных множителей Лагранжа. Другое
доказательство получается с помощью A3.23).
Следствие 13.6. Траектории гамильтоновой системы на
уровне энергии Е = Мн С К2п определяются только
поверхностью Е, но не конкретным видом функции Н.
Отметим, что Е не определяет параметризациию траектории.
Пример 13.2 (регуляризация Леви-Чивита задачи
Кеплера). Рассмотрим плоскую задачу Кеплера (см. п. 2.2.3). Для
простоты выберем единицы измерения так, что масса и
гравитационная постоянная равны 1. Тогда
Ь = ^|2 + Щ' Я=^|р|2"Щ' *ек2\{0},рек2.
Фазовым пространством является М = К2\{0}хК2. Фазовый
поток не полон: решения не продолжаются после столкновения
с притягивающим центром ^ = 0. Это создает трудности при
теоретических исследованиях и при численном решении
уравнений движения. Оказывается, особенность при ^ = 0 можно ре-
гуляризовать с помощью двузначного канонического
преобразования ^, р) »-> (Р,Р)-
Отождествим я, р с комплексными числами ^\ + г<й» Р\ + *й
и положим
Ч = C2/2, р = Р/0.
332

Черта означает комплексное сопряжение. Покажите, что
преобразование /(Р,Р) = (<1,р) является каноническим: (р,йч) =
= (Р,с10). Обратное преобразование двузначное: /(—С},— Р) =
= /((%, Р) и гладкое при я ^ 0.
Покажите, что / переводит уровень энергии 2 = {Н = 2}
гармонического осциллятора
Н = ±\Р\2-к\Я\2, Н<0,
в уровень энергии Мн = {Н = к} задачи Кеплера: /B) = Мн-
Согласно следствию 13.6, / переводит траектории
гармонического осциллятора в траектории задачи Кеплера (с изменением
временнбй параметризации). Замена времени Ыт
определяется уравнением Н <И = Н йт. Отсюда йт = |С}|2 ей.
Таким образом, сингулярный гамильтониан Н заменен на
гладкий гамильтониан Н. В этом состоит регуляризация Леви-
Чивита задачи Кеплера. В частности, решения задачи Кеплера
допускают естественное продолжение после столкновения.
Попробуем ограничить исходную систему A3.2) на Мн так,
чтобы уравнения сохранили обычный (канонический) гамильто-
нов вид. Для этого будем считать Мн расширенным фазовым
пространством системы сп-1 степенями свободы.
Перенумеровав обобщенные координаты и применив, если надо,
каноническую замену ^ »—> —р, р н-> ^^ добьемся, чтобы Н^ ф 0.
Будем параметризовать траектории гамильтоновой системы
координатой т = дп, так что т играет роль времени. Поскольку
дп = НРп ф 0, замена * »-* дп возможна.
Выразим из уравнения Н = Н\
Рп = -^(^1, -чФг-ЬРЬ ---,Рп-1!дгцЙ)-
Положим (? = (дь ...,дп-1) и Р = (р1, ...,р„_1). Тогда К =
= аг(Р,р,т,/1).
Теорема 13.14. Траектории уравнений Гамильтона на
уровне энергии Мн, если их параметризовать параметром т,
совпадают с траекториями гамильтоновой системы с
функцией Гамильтона К:
^ = КР, Р' = -АГд, (-/ = ^- A3-22)
Доказательство. Для любой кривой у на уровне Мн имеем
333

¦7(Г) = [ Р *1 = [ (Р <*<Э " К Ж). A3.23)
т
По принципу Мопертюи (эта часть была полностью доказана)
траектории уравнений Гамильтона на уровне Мн являются
экстремалями функционала (Р<К^ — Квк) на множестве кривых
(Р(т),Р(т)) с закрепленными концами. Теперь теорема следует
из принципа Гамильтона (см. теорему 13.13) в пространстве
переменных (C, Р, т). ¦
Заметим, что из теоремы 13.14 вытекает недоказанная часть
принципа Мопертюи. Действительно, поскольку кривая у С М.^
является экстремалью 3 тогда и только тогда, когда она
является решением уравнений Уитеккера, через любую точку Мн
проходит единственная экстремаль «7. Но то же верно для
траекторий гамильтоновой системы. Значит, любая экстремаль
является траекторией.
Следует отметить, что за понижение порядка пришлось
заплатить определенную цену: система перестала быть
автономной. Операцию автономизации системы, в некотором смысле,
обратную к понижению порядка по Уиттекеру, описывает
следующее предложение.
Предложение 13.6. Неавтономные уравнения Гамильтона
с функцией Гамильтона Я = Я^, р, 4) могут быть получены
из автономных уравнений Гамильтона с функцией
Гамильтона1 И(Ч| *, р, Е) = Я(р, ^ т) + Е:
я' = Нр, р' = -Нч, *' = Не, Е' = -Нт,
, А_ A3-24)
в результате проекции расширенных фазовых пространств
(я,*;р,Я,т) >-> (ър,«).
Доказательство. Сразу следует из сравнения системы
A3.24) с исходной системой
Ч = ЯР, р = -Яф « = 1. ¦
Таким способом из неавтономной системы получаем
автономную за счет увеличения числа степеней свободы.
1 Здесь *, Е считаются канонически сопряженными координатой и
импульсом.
334

13.3.6. Уравнение Гамильтона — Якоби. Полный
интеграл. Разрешимость в квадратурах
Ограничимся такими каноническими заменами, в которых
время не меняется: 1 = Т. Будем искать каноническое
преобразование ^, р, I) »-* (а, р, I) такое, что в новых переменных
гамильтониан тривиален: Й(а,C,*) = 0, так что уравнения Гамильтона
имеют вид а = 0, р = 0. Если выразить старые переменные через
новые: ^ = р(а,C,*), р = р(а,р,*), то'получится общее решение
гамильтоновой системы, зависящее от 2п произвольных
постоянных а, р.
Ищем замену в классе преобразований A3.19), где Р = а,
Р = Р- Получаем уравнение Гамильтона — Якоби
„ ( дЗ \ дЗ л
Как обычно, производящая функция должна удовлетворять
условию невырожденности
\дцдл)
П*^'40- A325)
Семейство решений 5^, а, I) уравнения Гамильтона—Якоби,
зависящее от параметра ае!п таким образом, что
выполнено A3.25), называется полным интегралом уравнения
Гамильтона—Якоби. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 13.15 (метод Гамильтона—Якоби). Если
известен полный интеграл 5^,а,*) уравнения Гамильтона —
Якоби, то общее решение р = р(а,C,1), ^ = ^(а,C,?) уравнений
Гамильтона находится из уравнений
ЙЗ^ьМ} 03(д,сц*)
Р" дц ' Р д^~- A3'26)
Если гамильтониан не зависит от времени: Н = Я^,р), то
полный интеграл можно искать в виде 5^, а, ?) = — к{ьI +
+ ^(ч»°0- Для функции IV получается автономное уравнение
Гамильтона — Якоби
Н (? ^) = Н. A3.27)
335

Пример 13.3 (гармонический осциллятор). Выберем
единицы измерения так, чтобы масса тела и жесткость пружины были
равны единице. Получим Н = -(р2 + д2). Уравнение Гамильто-
"о-" ) + Я2 = 2?. Отсюда
5(9, к) = -М + Щя, к), Щя, к) = Г уДк^Ля
— полный интеграл, зависящий от параметра к. Общее решение
уравнений Гамильтона находится из формул A3.26), где можно
взять а = к:
Отсюда ^ = >/2Лвш(* + Р), р = \/2НсовA + Р).
Разделение переменных в уравнении Гамильтона—
Якоби. Если уравнение Гамильтона—Якоби A3.27) имеет вид
,Л/аж \ д\у дуг \ .
44?^? ^.^.-.^-0,
то говорят, что переменная ?1 отделяется. Тогда полный
интеграл можно искать в виде ^(?, а) = И^1(д1,а) + И^2(й? ---Lп)В)>
(дЩ \
~5—»91 ) = *(*)¦ При этом ИЪ
удовлетворяет уравнению
Например, циклическая координата всегда отделяется. Бели
?1 — циклическая, то можно положить И^ = ах й-
Пример 13.4 (движение точки в центральном поле)»
Лагранжиан, описывающий плоское движение точки в
центральном поле, имеет вид
п . -ч ™>г2 тг2ф2 __, ч
Цгщ ф,г, ср) = — + -у11 - У(г).
Гамильтониан оказывается следующим:
336

Автономное уравнение Гамильтона—Якоби имеет вид
1 (д\У\2 1 /0ИЛ2 ... . .
2ш"Ы +2^Ы) +У{Г) = Н-
Поскольку циклическая координата ф отделяется, ищем
решение в виде V/ = окр + И^(г, а, К). Тогда
5 = -/14 + 0^9 + ^2,
— полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби,
невырожденно (в смысле условия A3.25)) зависящий от параметров а, к.
Пример 13.5 (лиувиллевы системы). Пусть Н =
= =^ . Тогда в уравнении Гамильтона—Якоби
?D5-)-E-))-
переменные разделяются. Полный интеграл можно искать в
виде V/ — У^ И^(%, а*). Тогда уравнение Гамильтона—Якоби
распадается на п обыкновенных дифференциальных уравнений с
разделяющимися переменными
* (Ш* \ I. (Ш* \ ¦ 1
Не»1*;" 5ч^г,97 а" г=1"-п'
где а„ = -(ах + ... + а„_1).
Полный интеграл невырожденно (в смысле условия A3.25))
зависит от п параметров <хь ..., ап_1, К.
Задача 13.20 (поле диполя). Рассмотрим движение
материальной точки массой т на плоскости в поле сил с потенциальной
энергией V = —«-*-. Найдите полный интеграл уравнения Га-
мильтона—Якоби
1 /ЛУЧ' 1 /СТУХ* Есоаср
2т \ дг ) 2тг2 V д<р ) г2
(после умножения уравнения на г2 переменные разделяются).

Глава 14
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА:
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АСПЕКТ
14.1. ИНВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ
ГАМИЛЬТОНА
14.1.1. Лемма об аннуляторе канонической 2-формы
Что отличает уравнения Гамильтона от произвольных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений? В определенном
смысле этот вопрос обсуждался в подразделе 13.2.2 об
интегральном инварианте, где было установлено, что фазовый поток
уравнений Гамильтона обладает рядом специфических свойств.
Ключевую роль в описании этих свойств играет 1-форма
Пуанкаре— Картана X = ре&1 — Н<11 и ее дифференциал.
Пусть ^, р) — канонические координаты на фазовом
пространстве М гамильтоновой системы. Уравнения Гамильтона
задаются в расширенном фазовом пространстве М = М х М в
координатах ^, р, I) векторным полем1
уя = (ЯР1-Яф1),
где для краткости введены обозначения Нр = дН/др, Нч =
= дН/дъ
Рассмотрим дифференциальную 1-форму X = р дх± — Н сЧ на
М. Бе дифференциал ИХ является 2-формой, а значит,
билинейной кососимметрической функцией на касательном простран-
стве ТХМ в любой точке х € М. Ненулевой вектор V е ТХМ
называется аннулятором формы с2Х, если для любого вектора
Нормально следовало бы говорить о поле направлений в расширенном
фазовом пространстве, но для краткости изложения будем отождествлять его с
коллинеарным векторным полем, имеющим единичную временную
компоненту.
338

и € ТХМ имеем: йХ(и, V) = 0. Инвариантный смысл гамильто-
нова векторного поля дает следующая лемма.
Лемма 14.1. Векторное поле \гн является аннулятором 2-
формы ИХ.
Доказательство. Положим и == (а,Ъ,с), где а,Ь Е Кп и
с Е К — компоненты, соответствующие координатам ^, р и *
соответственно. Так как ИХ = фр Л Л\ — АН Л ей, по формуле (П.7)
получим
<&(и, ун) = ЬЯР - а(-Яч) - (^а + НРЪ + Щс) ¦1+
+ (НЧНР + Нр(-Нч)+Щ ¦ 1) • с = 0
(произведения векторов в этом равенстве понимаются как
скалярные). ¦
Задача 14.1. Докажите следующую лемму 14.2, обратную к
лемме 14.1.
Лемма 14.2. Если векторное поле V в расширенном
фазовом пространстве является аннулятором 2-формы ИХ, то V
параллельно лгн, т.е. V = /^,р,*)^я для некоторой функции
Замечание ЦЛ. Параллельным векторным полям в
расширенном фазовом пространстве соответствуют дифференциальные
уравнения, отличающиеся только заменой времени. В частности, если
векторное поле V в расширенном фазовом пространстве параллельно полю
\н: V = /(? р, 2)^я, то на фазовом пространстве ему отвечает
система уравнений Гамильтона с другим временем:
^ = ЯР1 "ЗГ = ~Нъ /йт = *¦
*1 „ Ф
л ^^ *"
Лемма об аннуляторе показывает, что гамильтонова система
полностью задается дифференциальной 2-формой Пуанкаре—
Картана на расширенном фазовом пространстве. Поскольку
дифференциальные формы имеют инвариантный смысл,
независимо от выбора координат, гамильтоновы системы имеют
инвариантный смысл. В действительности все результаты гл. 13
легко выводятся из леммы об аннуляторе. Выведем, например,
из леммы об аннуляторе теорему об интегральном инварианте
Пуанкаре—Картана.
Пусть уо — ориентированная замкнутая кривая в М.
Выпустив из каждой точки уо траекторию уравнений A3.2), получим
двумерную поверхность Е, называемую трубкой траекторий.
339

Предложение 14.1. Пусть у о — ориентированная
замкнутая кривая в М, а у — кривая, полученная из у о в результате
непрерывной деформации вдоль трубки траекторий. Тогда
н^
то т
Доказательство. Действительно, обозначим через Ео учат
сток боковой поверхности трубки между кривыми уо и у (см.
рис. 13.1). Выберем на Ео ориентацию так, чтобы край дЕо с
учетом ориентации имел вид 0Ео = {уо} V {—у}- По формуле
Стокса I X — I X = (ЯХ. Трубка траекторий двумерна, причем
ТО Т Ео
в любой точке касательная плоскость к ней содержит аннулятор
\н формы (ИХ. Поэтому ограничение йХ|я0 равно нулю. ¦
В гл. 13 этот результат был доказан с помощью принципа Гаг
мильтона.
Дальнейшей нашей задачей является изучение гамильтоно
вых систем в инвариантных (бескоординатных) терминах.
14.1.2. Симплектическое многообразие
Определение 14.1. Замкнутая невырожденная
дифференциальная 2-форма со на многообразии М называется симплек-
тической структурой. Пара (М,(й) называется симплектиче-
ским многообразием.
Для любой точки г € М форма о> является билинейной косо-
симметрической функцией со(и, V) от пары векторов и, V е ТЪМ.
В локальных координатах
со(и,у) = (и, Ауг) = ^ауфод^,
где А = (а^ъ) — кососимметрическая матрица. Обычно со
записывают в виде
3<к
где (см. (П.8)) д.гк Л сЦ — базисные 2-формы, задаваемые
формулой {йгк Л йг^)(и, V) = щу^ — и^ук.
Невырожденность формы со означает, что в любой точке г для
любого вектора и ф 0 найдется вектор V такой, что со (и, у) ф 0.
340

Задача 14.2. Проверьте, что условие невырожденности со
эквивалентно условию йе1 А(х) ф 0.
Задача 14.3. Покажите, что на нечетномерном
многообразии А4 любая 2-форма со вырождена.
Следствие 14.1. Размерность симплектического
многообразия всегда четная (дзтМ = 2п).
Теорема 14.1 (теорема Дарбу). В окрестности
любой точки многообразия М имеются локальные координаты
(ч»р) = (?ь---HшР1|---|Рп)| в которых симплектическая
структура имеет вид со = йр Л сЬ) = У^ <1р^ Л йд».
Такие координаты ^, р) называются каноническими, или
координатами Дарбу. Доказательство теоремы Дарбу можно
найти, например, в книге [3].
Симплектической единицей называется Bп х 2п)-матрица
'-{I ".?)• A41>
где Е — единичная (п х п)-матрица.
Задача 14.4. Покажите, что /-1 =^ = —/.
Задача 14.5. Покажите, что в канонических координатах
А = 1.
Ранее было установлено, что 2п-форма <оп невырождена (см.
задачу 13.11). Это означает, что на симплектических
многообразиях существует невырожденная 2п-форма (ориентированный
объем) и поэтому они ориентируемы.
Диффеоморфизм / : М\ —> Мч двух симплектических
многообразий (Мьсог) и (М2,<1>2) называется симплектическим,
если он переводит одну симплектическую структуру в другую:
/*о>2 = сох. В частности, / сохраняет форму ориентированного
объема.
Теорема Дарбу утверждает, что все симплектические
многообразия одинаковой размерности локально симплектически
эквивалентны.
Задача 14.6. Матрица В линейного преобразования М2п —>
-* М2п, сохраняющего форму йр Л йц, называется
симплектической. Покажите, что матрица является симплектической,
если ВТ1В = 7. Покажите, что матрица Якоби симплектического
341

отображения в канонических координатах является симплекти-
ческой матрицей.
Пример 14.1. Симплектические многообразия играют
важную роль в классической механике. Преобразование Лежандра
переводит лагранжеву систему с конфигурационным
пространством N и выпуклым по скорости лагранжианом на ТN к га-
мильтонову виду с фазовым пространством М = Г*ЛГ и
некоторой естественной (или стандартной) канонической
структурой о) на нем. Как мы видели, локально, в правильно устроенных
(канонических) координатах она имеет вид со = йрЛе&1 = д(рд^)ш
Форму а = р<&1 можно описать в терминах, не использующих
локальные координаты, и тем самым определить естественную
каноническую структуру глобально, на всем фазовом
пространстве.
Введем стандартную римплектическую структуру на кокаса-
тельном расслоении М = Т*Ы гс-мерного многообразия N. По
определению кокасательного расслоения любую точку г Е Т*Ы
можно представить, как пару г = (х, а) для некоторой точки
х Е N и линейной формы а Е Г^ЛГ. Пусть к — естественная
проекция к : Г*ЛГ ь-+ N (т. е. к (я) = х). Ее дифференциал сЬ
является отображением соответствующих касательных пространств:
дпя : ТЯМ - ГЛ(Я)ЛГ.
Определим на М 1-форму а по формуле аE) = а(йляE)).
Если на N заданы локальные координаты я Е Кп, то ко-
вектор а е Г^ задается своими компонентами р Е Мп.
Тогда г = (я,р). Переменные ^, р) называются каноническими
координатами на Т*Л/\ В координатах, л(я) = ^. Если вектор
5 Е ТгМ имеет компоненты (я,р), то Лкъ\ = <1, так что аE) =
= (р, я). Таким образом, а = р^ио> = йрЛ дц. В частности,
форма о) невырождена.
Доказано, что со = да задает симплектическую структуру на
М. Из определения следует, что стандартная симплектическая
структура на кокасательном расслоении точна (т.е. является
дифференциалом некоторой 1-формы).
14.1.3. Гамильтоново векторное поле
Пусть (Л4,а>) — симплектическое многообразие,
называемое фазовым пространством. Назовем гамильтоновой системой
тройку (ЛА, с*), Я"), где гамильтониан Н — функция на расширен-
342

ном фазовом пространстве М = М х К. Проекцию I : М —> К
(время) можно рассматривать как функцию на М. Она задает
1-форму ей.
Определим замкнутую 2-форму на М. по формуле й = со —
— д.Н Л ей. Аннуляторы этой формы определяют гамильтоново
поле направлений на М, заданное векторным полем \н, или,
что то же самое, зависящее от времени гамильтоново векторное
поле \н на фазовом пространстве М. В канонических
координатах, где (о = йр Л Дц, й = йр Л <к\ — ЛН Л ей, гамильтоново
векторное поле приобретает стандартный»вид \н = (Нр, —Нч)
(см. задачу 14.1).
Рассмотрим автономную гамильтонову систему
(гамильтониан Н : М —> К не зависит от времени). Заметим, что со
сопоставляет любому вектору V € ТЖЛ4 линейную форму р на ТЯМ:
Р(и) = о>(и, V) для любого и € ТЪМ.
Так как со невырождена и размерности, векторных
пространств ТХМ и Т^М (х € М) совпадают, то и 1-> р —
изоморфизм ТЯМ —> Т*М. Пусть 3 — обратный изоморфизм. Тогда
р(и) я» со(и, 3$) для любого и € ТЯМ. A4.2)
Дифференциал АН является ковекторным полем на М. С
помощью оператора 3 из него можно получить векторное поле.
Определение 14.2. Назовем векторное поле VяB) = ЗйН
на М гамилътоновым векторным полем с гамильтонианом Н.
Из A4.2) следует, что у& однозначно определяется из
формулы
йН{и) = со(и, \н) для любого вектора и. A4.3)
Задача 14.7. Проверьте, что в канонических
координатах гамильтоново векторное поле имеет привычный вид уя =
= {Нр,-Нч).
Указание. Покажите, что оператор 3 задается матрицей
—А-1, где А = (а^ъ) — матрица симплектической формы со, и,
следовательно, в канонических координатах 3 = —/, где / —
симплектическая единица A4.1).
14.1.4. Лагранжевы многообразия
Подмногообразия в симплектическом многообразии
устроены по-разному с точки зрения ограничения на них формы о>.
В частности, если ограничение симплектической структуры на
343

подмногообразии Ь невырождено, то оно называется симплек-
тическим, а если о>|/, = 0, то — изотропным.
Задача 14-8. Покажите, что размерность изотропного
пространства не больше п, где 2п — размерность фазового
пространства.
Изотропное многообразие размерности п называется лагран-
жевым.
Лагранжевым многообразием является, например, нулевое
сечение кокасательного расслоения: Л = {^,р) Е Т*N : р = 0}.
В самом деле ограничение на Л канонической 1-формы а = р йц
равно 0. Поскольку (йа)|д = ^(а|л)> получаем о>|л = 0.
Этот пример является частным случаем более общего. Пусть
/ — гладкая функция на N и йч/ е Т^ — ее дифференциал
(градиент) в точке ^ € N. Отображение д : N —> Т*N задается
по правилу д(с{) = (я,йч/)- Подмногообразие Г = д(М) С Т*N
называется графиком градиента функции /. В канонических
координатах ^, р) имеем Г = {^, р) : р = 0//3^}.
Например, нулевое сечение — график градиента постоянной
функции.
Задача 14.9. Покажите, что Г — гладкое подмногообразие в
Г*ЛГ, диффеоморфное ЛГ, причем д — диффеоморфизм. По
определению это означает, что
1) отображение д : N —> (/(-/V) взаимно-однозначно (является
инъекцией);
2) гапкй<7 = п = сШп^У во всех точках N.
Предложение 14.2. График градиента Г — лагранжево
подмногообразие.
Доказательство. Пусть а = р йц — каноническая 1-форма на
Г*ЛГ. Тогда
*|г = д^*1 = 4Г(<1).
Следовательно, со|г = ^(а|г) = й2/^) = 0. ¦
Задача 14.10. Пусть Л С Т*N — лагранжево
подмногообразие такое, что естественная проекции к : Л —> N —
диффеоморфизм. Тогда Л является графиком градиента некоторой
функции на N.
Функция / называется производящей функцией лагранже-
ва многообразия. Позже будет показано, что важным примером
лагранжевых многообразий являются инвариантные торы инте-
344

грируемых гамильтоновых систем (см. п. 14.3) и вообще уровни
систем функций в инволюции (см. следствие 14.4).
Лагранжевы подмногообразия связаны с решением
уравнения Гамильтона—Якоби, которое было рассмотрено в
подразделе 13.3.6. Если гамильтониан не зависит от времени, то
автономное уравнение Гамильтона— Якоби имеет вид Н(^ 1УЧ) = Л,
где И^ч = д\У/д<1. Таким образом, график градиента функции
IV содержится в уровне энергии Мн = {Н = к} тогда и только
тогда, когда IV удовлетворяет уравнению Гамильтона—Якоби.
Получаем отсюда, что поиск решений уравнения
Гамильтона— Якоби эквивалентен поиску лагранжевых подмногообразий
Л на уровне Мн с невырожденной проекцией на N. Замечаем
также, что дифференциал (Ш = И^с^ = трдл\ совпадает с
ограничением формы а = рс&1 на Л. Поэтому \У отыскивается как
первообразная формы сх|л- Более подробное описание этого
процесса можно найти в [33].
Задача 14.11. Покажите, что лагранжево многообразие Л С
С Г* ТУ инвариантно относительно фазового потока
гамильтоновой системы тогда и только тогда, когда его производящая
функция удовлетворяет уравнению Гамильтона—Якоби.
14.1.5. Отображение Пуанкаре в гамильтоновой
механике
Кроме непрерывных динамических систем, задаваемых
системами обыкновенных дифференциальных уравнений,
можно рассматривать дискретные системы, которые порождаются
отображениями фазового пространства в себя. При этом гамиль-
тоновым системам соответствуют симплектические
отображения.
Согласно следствию A3.4), симплектическим отображением
является сдвиг вдоль траекторий гамильтоновой системы за
фиксированное время, например отображение за период в
неавтономной системе с гамильтонианом, периодически зависящим
от времени.
Другой важный класс симплектических отображений
составляют отображения Пуанкаре, соответствующие гамильтоновым
системам. Конструкция этого отображения в общем случае
была рассмотрена в подразделе 12.1.3. В применении к
гамильтоновым системам она состоит в следующем. Пусть (М,<*,Н) —
автономная гамильтонова система, дь : А4 —> М. — ее фазовый
345

поток, Мн = {г € М : Я(г) = й} — уровень энергии и 5 С Л1ь —
Bга — 2)-мерная поверхность, трансверсальная векторному полю
\н- Отображение Пуанкаре Р действует на поверхности 5
следующим образом: точке я € 5 отображение Р сопоставляет
точку д1{х) е 8 с минимальным положительным *. Иными словами,
Р сопоставляет точке г е 5 точку, в которой положительная
полутраектория {д*(я) : I > 0} в первый раз пересекает 5 (см.
рис. 12.3).
Как уже отмечалось, отображение Р довольно редко
бывает определено на всей поверхности 5. Поэтому оно обычно
рассматривается в окрестности каких-нибудь инвариантных
множеств (неподвижных точек, периодических решений,
инвариантных торов и т. п.).
Теорема 14.2. Верны следующие утверждения:
1) векторное поле \н является аннулятором формы (й\мн,
т. е. для любого вектора и Е ТМн выполняется равенство
со(и,уя) = 0;
2) форма 1й\з невырождена, т. е. задает симплектическую
структуру на 5;
3) отображение Р сохраняет симплектическую структуру
<*\Мн-
Доказателъство. Утверждение 1 следует из равенства
о>(и, уя) = диН = 0 (см. A4.3)) для любого и Е ТМн-
Докажем утверждение 2. Пусть вектор IV Е Тъ8 — аннулятор
формы со|5 (т. е. для любого вектора и Е Тя8 имеем о>(и, IV) = 0).
Пусть Ь(ун) С ТъМн — прямая, натянутая на вектор V#B).
Тогда касательное пространство ТяМн является прямой суммой
Тя8 © Пун) й» следовательно, то — аннулятор формы <й\мь-
Форма со невырождена на М. Значит, для некоторого а Е
Е ТЪМ величина а>(а, Уя) отлична от нуля. Так как а ? ТяМн>
то ТЪМ = ТъМн © Ца), где Ь(з) — прямая, натянутая на вектор
а. Положим
со(а,то)
со(а,уя)
Вектор Ь — аннулятор 1^\м^ так как он является линейной
комбинацией IV и \н- Кроме того, со(а,Ь) = 0,
следовательно, Ь — аннулятор формы о>. Вследствие невырожденности сйм-
плектической структуры Ь = 0, откуда вытекает, что векторы *г
и \н параллельны. Из трансверсальности 5 к полю уя следует,
что то = 0.
346

Теперь докажем утверждение 3. Пусть Ло С 5 —
произвольный двумерный диск, гладко вложенный в 5, и Л^ С 5 - его
образ при отображении Пуанкаре: А\ = Р(Ло). Границы <9Ло и
дА\ дисков соединены трубкой тракторий Ё. Траектории,
начинающиеся на Ло и заканчивающиеся на Ах, в совокупности обрат
зуют трехмерное подмногообразие Г в М с краем Ло и А\ и Е.
Применив формулу Стокса, получим
Ло = со - <о + I о). A4.4)
Г Ло Лх Б
Знак «минус» в правой части взят, чтобы ориентацию
поверхностей можно было считать согласованной в результате
непрерывной деформации вдоль траекторий гамильтонового потока.
Левая часть равенства A4.4) есть нуль, так как форма со
замкнута. Третье слагаемое в правой части также равно нулю. Причина
состоит в том, что со|е = 0.
Равенство со|я = 0 вытекает из следующих соображений. Га-
мильтоново векторное поле \н касается Е и аннулирует со на
уровне энергии Мь,. Так что достаточно воспользоваться дву-
мерностью Е и тем, что Е С Мн-
Итак, для любого Ло получаем: со = ^ откуда следует,
Ло Р(Ло)
ЧТО Р*СО = СО. ¦
Задача 14.12. Рассмотрим фазовое пространство М = К2п
с канонической симплектической структурой со = йр Л с^.
Выведите утверждение 3 из теоремы об интегральном инварианте
Пуанкаре—Картана.
Рассмотрим неавтономную гамильтонову систему с
гамильтонианом, т-периодически зависящим от времени. В этом случае
удобно считать, что расширенное фазовое пространство
представляет собой прямое произведение фазового пространства и
окружности: /А — М. х Т, где Т = К той т. Аннуляторы формы
со = б) — йН Л (И задают гамильтоново поле направлений на М,
или, что то же самое, гамильтоново векторное поле \н на
фазовом пространстве /Л.
Сдвиг Г : М —> М вдоль решений уравнений Гамильтона
г = Уя(г), г € М, на время т называется отображением за
период. Согласно следствию 13.4 отображение Г — симплектиче-
ское.
347

Если симплектическая структура со является точной формой:
со = йа, то для любого симплектического диффеоморфизма Т
1-форма 7) = а — Т*а замкнута, так как дифференциал от нее
равен йт) = со — Т*со = 0. Если форма 7) точна, то Г называется
точным симплектическим отображением.
Предложение 14.3. Предположим, что форма со точна и
Р — отображение Пуанкаре, соответствующее некоторой
гамильтоновой системе (.М,со, Н). Тогда Р — точное симплек-
тическое отображение.
Доказательство. Пусть отображение Р определено на
поверхности 8 С М. Пусть / — произвольный замкнутый контур
на 5. Тогда согласно определению отображения Пуанкаре и
формуле Стокса
1^-1-1-1-^
I I РA) I Л
где Л — двумерная поверхность, образованная отрезками
траекторий гамильтоновой системы, начинающимися в точках кривой
I и заканчивающимися на РA). Поверхность Л расположена на
одном уровне энергии Мъ, С М,. Так как касательные
векторы к траекториям являются аннуляторами формы ьь\мн, имеем
со = 0. Следовательно, (а — Г*а) = 0 для любого замкнутого
Л I
контура I на 5, что и требовалось доказать. ¦
Следствие 14.2. Отображение за период в системе с
периодическим по времени гамильтонианом и точной симплекти-
ческой структурой является точным симплектическим
отображением.
Отметим, что для точных симплектических структур
утверждение 3 теоремы 14.2 является следствием предложения 14.3.
В подразделе 8.4.1 рассматривались отображение Пуанкаре
и свойства матрицы монодромии для периодического решения
дифференциального уравнения общего вида. Для гамильтоно
вых систем матрица монодромии В имеет размер т х т, где
т = 2п — 2 — четно. Верно следующее утверждение.
Предложение 14.4. В гамильтоновых системах
характеристический многочлен /(^) = Aе1B? — \хЕ) матрицы
монодромии возвратный, т. е. /(^) = ^2п/AДа).
348

Доказательство. Согласно задаче 14.6 матрица В симплек-
тична, значит, В*(й = со и В*(йп = соп, т.е. при сдвиге вдоль га-
мильтонова фазового потока сохраняется ориентированный
объем, поэтому с!е1 В = 1. Отсюда утверждение получается прямым
вычислением.
Действительно, так как В = /(В71)-1/, имеем
= с1е*/ае* ((В7')-1 - цЕ) йекГ1 =
АеЪВ ^ \\1 /
= [12п(-1JпйеЬ (в - -Е)Т = \12п/A/\1). Ш
Следствие 14-3- Если \1 — корень /, то 1 Дх — также корень
/, причем кратности корней [I и \/\± совпадают.
Таким образом, мультипликаторы периодических решений
гамильтоновых систем встречаются:
а) вещественными парами (I, \/\± (у Е Ж);
б) сопряженными комплексными парами \1, р (|[1| = 1);
в) комплексными четверками [1, р, 1Да, 1/р, ([I Е С \ К, |[1| ф
^1)-
Стало быть, орбитальная устойчивость периодического
решения гамильтоновой системы может иметь место лишь при
условии, что все мультипликаторы равны по модулю единице, и
действительно имеет место в линейном приближении, если, кроме
того, жорданова форма матрицы монодромии диагональна (т. е.
нетривиальные жордановы клетки отсутствуют).
Вопрос об орбитальной устойчивости по Ляпунову более
труден и подходы к его решению лежат в области теории КАМ и
диффузии Арнольда (см. п. 15.3.1).
Если число степеней свободы равно двум, то
мультипликаторов всего два: (I и 1Да. В этом случае периодическое решение
принято называть
• эллиптическим, если (I ? К; тогда |^| = 1 и 1Дх = р;
• гиперболическим, если (I 6 К и |[1| ф 1;
• параболическим, если (I = 1Да = — 1;
• вырожденным, если (I = 1Да = 1.
349

14.2. СКОБКА ПУАССОНА
14.2.1. Скобка Пуассона и ее свойства
Пусть (Л^,о>) — симплектическое многообразие. Для любых
двух гладких функций Н, Р на Л4 определим их скобку
Пуассона
{Н,Р} = 0унР = 0Р^и).
Здесь д^н — оператор дифференцирования вдоль векторного
поля Ун- Первое равенство — определение, а второе — просто
тождество.
Следующие свойства скобки Пуассона сразу вытекают из
определения.
1. Гладкая функция Р — первый интеграл уравнений
Гамильтона с гамильтонианом Н : М. —> К тогда и только тогда, когда
{Н,Р} = 0.
Задача 14.13. Как выглядит это утверждение в
неавтономном случае (когда Р и Н зависят от *)?
2.{Н,Р} = ы(ун,уе).
3. Операция {•, ¦} билинейна и кососимметрична.
4. В канонических координатах
Поскольку Р н-> {Р,Н} — оператор дифференцирования
вдоль векторного поля, получаем следующее свойство.
5. Тождество Лейбница:
{РС, Н} = Р{С, Н} + {Р, Н}С.
Задача 14.14. Выведите правило вычисления скобки
Пуассона сложной функции:
{Р(Сг, ...,Ск),Н} = ^^-{0{,Н}. A4.5)
Задача 14.15. Прямым вычислением в канонических
координатах проверьте свойство 6.
6. Тождество Якоби:
{Р, {С, Я}} + {С, {Н, Р}} + {Н, {Р, С}} = О
для любых трех функций Р, С, Н : М —> К.
350

Свойства 3 и 6 означают, что скобка Пуассона задает на
пространстве гладких функций структуру алгебры Ли.
Пусть задана операция {-,-}> сопоставляющая паре гладких
функций на многообразии М еще одну гладкую функцию на нем
и удовлетворяющая свойствам 3, 5 и 6. Тогда пара (М, {¦, ¦})
называется пуассоновъш многообразием, а операция {¦, ¦} —
скобкой Пуассона.
Задача 14.16. Покажите, что если задана скобка Пуассона,
соответствующая симплектической структуре о>, то гамильтоно-
во векторное доле \д однозначно определяется условием д^н Р=
= {Н,Р} для любой гладкой функции Р.
Задача 14.17. Пусть симплектическая структура в
локальных координатах х имеет вид со = У^ а^ (х) ёх{ Л дх$. Покажите,
г<3
что
где (Ьу) — матрица, обратная (ау).
Таким образом, всякое симплектическое многообразие
является и пуассоновым. Обратное, вообще говоря, неверно. Сим-
плектическую структуру, согласованную с данной скобкой
Пуассона, однозначно можно определить лишь при условии, что
выполняется свойство 7.
7. Невырожденность. Для любой точки ъ Е М и любой
функции Р на М такой, что ДР(ъ) ф 0, найдется функция С
такая, что {Р, С}(х) ф 0.
Задача 14.18. Рассмотрим скобку Пуассона на К3{х, у, г}
такую, что
{ж, у} = г, {у, г} = ж, {г, х} = у.
Пользуясь A4.5), определяем скобку Пуассона для любых
гладких функций на К3. Проверьте, что таким образом
определенная операция действительно задает скобку Пуассона.
Найдите непостоянную функцию Р на К3 такую, что {Р, С} = 0 для
любой функции О. Такая функция называется функцией
Казимира.
Указание. См. задачу 14.19.
Задача 14.19. Рассмотрим свободную материальную точку
в пространстве Н3{а:, у, г} и обозначим (КХ,КУ, Кг) компоненты
ее кинетического момента относительно начала координат. Их
351

можно рассматривать как функции на фазовом пространстве
К6. Покажите, что их линейные комбинации образуют алгебру
Ли относительно скобки Пуассона, причем
{Кх, Ку} = Кг, {Ку, Кг} = Кх, {Кг, Кх} = Ку.
Таким образом, эта алгебра изоморфна алгебре из задачи 14.18.
Покажите, что это же будет иметь место и для компонент
кинетического момента системы свободных материальных точек.
Пример 14.2. Уравнения Эйлера—Пуассона E.8) движения
тяжелого твердого тела с неподвижной точкой при переходе от
угловой скорости ш к кинетическому моменту К = ./о»
принимают вид
К =
дН
к,эк
+
т =
дН_
г'ак
Н = -(К,^К) +тд(т3,у).
A4.6)
A4.7)
Для любых г, .7, к € {1,2,3} положим
{КиК^ = ^2гфКк, {Кэ,Чэ) = ]Гец*уа;, {Уг,у,} = О,
к к
где Еуь — символ Леей- Чивитпа:
*%эк = \
1, если (г, ,7, к) — четная перестановка;
—1, если (г, ], к) — нечетная перестановка;
О если г = ^, или г = к, или ] = к.
Задача 14.20. Проверьте, что:
а) операция {,} продолжается до скобки Пуассона на
к6{#1,аг2,а:з,у1,у2,уз};
б) функции (К, у) и (у, у) являются функциями Казимира
для этой скобки;
в) уравнения A4.6) гамильтоновы со скобкой Пуассона {,} и
фунцией Гамильтона A4.7), т. е.
^¦ = {Я,^}, у, = {Я,у,}, .7 = 1,2,3.
Теорема 14.3- Пусть Л, ...,/* — гладкие функции на
(М,и) и Мс = {х Е М : Л(а;) = сь ...,Д(х) = ск}. Пара
(Мс, ы\Мс) является симплектическим многообразием тогда и
только тогда, когда матрица ({/», /7}) невырождена.
352

Задача 14.21. Докажите теорему 14.3 (см., например, [33]).
Задача 14.22. Пусть мы находимся в рамках теоремы 14.3.
Обозначим через {¦, -}с скобку Пуассона на (Мс, <й\мс)- Пусть Р
и С — гладкие функции на М такие, что {Р, /*} = {С, /»} = О
при г = 1, ..., к. Докажите, что {Р, С}\Мс = {Р\мс^\мс}с-
Говорят, что функции находятся в инволюции, или
коммутируют, если их скобка Пуассона обращается в нуль.
Например, первые интегралы автономной гамильтоновой системы
(если они не зависят явно от времени) находятся в инволюции с ее
гамильтонианом.
Далее в этом подразделе (М,ы) — 2п-мерное симплектиче-
ское многообразие. Перед формулировкой следующего
утверждения заметим, что если Г = (Д, ..., /п) — система гладких
функций на .М, независимых в точке хо € М (т.е. ранг
матрицы Якоби системы функций в этой точке равен п), то локально,
в некоторой окрестности хо, уровень Мс = {х : Г(х) = с}, где
с = ?(хо) является гладким многообразием.
Предложение 14.5. Пусть Г = (Д, ...,/п) — система
гладких функций на М, независимых в точке хо Е М.
Если они находятся в инволюции на уровне Мс, с = Г(хо) (т. е.
{Л, /Л1м. = 0), то и\мс = 0-
Доказательство. Обозначим V» — гамильтоново векторное
поле, которое получается, если в качестве гамильтониана взять
/». Поскольку Д коммутируют, то для любых г,] имеем
фЛщтц) = 4й(у,) = {/,,/,} = 0. A4.8)
Это, в частности, означает, что во всех точках х Е М.с
векторы у^(х) касаются уровня Мс, т.е. V^(x) е ТХМС- Из
независимости функций следует линейная независимость векторов
Уг (х). Поскольку их число совпадает с размерностью
касательного пространства ТХМС, то они образуют в нем базис. Для
любых векторов и, IV е ТХМС имеем из A4.8):
а>(и,™) = ^щщи&иУ;) = 0,
где
и = ]Г\*у*(х), IV = ^Гю^х). ¦
к к
Следствие 14.4. Пусть (Д, ...,/п) — система гладких
функций на М, независимых на уровне Мс- Тогда Мс является
12 Болотин
353

гладким многообразием. Если /, находятся в инволюции на Л(е
т-е- {/и />}|-Мс = 0, то Мс — лагранжево подмногообразие.
Теорема 14.4 (теорема Лиувилля). Пусть (Д, ..., /п) -.
система гладких функций, находящихся в инволюции и
являющихся первыми интегралами некоторой гамильтоновой
системы на (Л1,б>). Если функции независимы в точке хо € Л4, то в
ее окрестности система уравнений Гамильтона интегрирует,
ся в квадратурах.
Доказательство. Поскольку при автономизации (см.
п. 13.3.5) у системы появляется новый независимый интеграл
(гамильтониан), не нарушающий условия инволюции, то можно
считать, что наша система автономна. Пусть канонические
кооординаты ^, р) на М выбраны так, что с!е* (д/г/др^) |хо Ф 0.
Это можно сделать (см., например, задачи 13.14 и 13.15).
Обозначим через с = (с1, ...,0^) константы первых интегралов
Г = (Д, ... ,/п). По теореме о неявной функции в некоторой
окрестности точки хо систему уравнений
Г(Ч,р)=с A4.9)
можно разрешить относительно р = р^,с). Пусть Мс = {Г =
= с}. По утверждению 14.5
(й(р^))|л!с =*>1мс=0,
т. е. форма ас = р(я, с) с^ замкнута и, следовательно, локально
точна.
Ограничимся окрестностью, в которой форма ас точна. Как
показано в подразд. 14.1.4, первооборазная \У(^с) этой
формы является решением уравнения Гамильтона—Якоби.
Первообразная находится из уравнения
Л**'»-**«). A4.10)
8ч
Решение имеет вид
ч
Щц,с)= I ас,
^о
где криволинейный интеграл не зависит от пути, так как
подынтегральная форма точна.
354

В соответствии с методом Гамильтона—Якоби (см. п. 13.3.6),
чтобы функция 8 = № — Н(с)Ь была полным
интегралом уравнения Гамильтона,—Якоби, осталось проверить, что
Ае1(д2№/дцдс) ф 0. Но это следует из A4.9): дифференцируя
по с левую и правую части, получаем
• Е= (т\ _ (*} @Р\ _ (*\ (#™\
\дс) у^рА^с^ \др^\дЧдс^,
где Е — единичная матрица. ¦
Автономные гамильтоновы системы, имеющие п = сИт.М/2
независимых первых интегралов, находящихся в инволюции,
называются вполне интегрируемыми.
14.2.2. Коммутатор гамильтоновых векторных полей
Напомним, что алгеброй Ли называется векторное
пространство Ь с билинейной кососимметрической операцией [,]
(коммутатором), удовлетворяющей тождеству Якоби [а, [Ь, с]] +
+ [Ь, [с, а]] + [с, [а, Ъ]] = 0 для любых,а, Ь, с Е Ь.
Пример 14.3. 1. Пространство квадратных матриц порядка
п — алгебра Ли относительно коммутатора [А, В] = АВ — В А.
2. Пространство гладких векторных полей на многообразии —
алгебра Ли относительно векторного коммутатора и, V »-¦ [и, у],
где векторное поле [и, V] (называемое коммутатором вектор-
них полей и и V) таково, что соответствующий ему
дифференциальной оператор Э[и1у] равен1 дифференциальному оператору
первого порядка дид^ — д^ди.
3. Пространство гладких функций на симплектическом
многообразии — алгебра Ли относительно скобки Пуассона {,}.
Теорема 14.5. Для любых двух функций Р,С наМ
Доказательство. Для произвольной функции ф на ЛЛ имеем:
1К сожалению, надо быть готовыми к тому, что в разных учебниках вы
можете встретить не эквивалентные друг другу (отличающиеся знаком)
определения коммутатора. Это же касается канонического вида для скобки Пуассона
и симплектической структуры.
355

Следствие 14.5. Отображение Р »—> ур является
гомоморфизмом алгебр Ли.
Фазовые потоки векторных полей коммутируют тогда и
только тогда, когда коммутируют сами поля (см. утверждение П.1).
Отсюда получаем еще одно следствие.
Следствие 14.6. Фазовые потоки д"р и д8а векторных полей
ур и у с коммутируют (т. е. дро д^ = д^,о д*р при всех т и в)
тогда и только тогда, когда {Р, С} = 0.
14.2.3. Теорема Пуассона о первых интегралах
Предложение 14.6 (теорема Пуассона). Пусть Р иС —
первые интегралы гамильтоновой системы. Тогда {Р, С} —
тоже первый интеграл.
Доказательство. Действительно, если система автономна, то
{Я, Р} = {Н, С} = 0. Тогда согласно тождеству Якоби имеем:
{Я, {Р, С}} = 0. Неавтономный случай сводится к этому с
помощью автономизации (см. п. 13.3.5). ¦
К сожалению, это утверждение редко приносит пользу в
задачах поиска новых интегралов движения. Как правило, скобка
Пуассона двух первых интегралов оказывается уже известным
интегралом или вообще нулем.
В автономном случае из кососимметричности скобки @УЯ/ =
= —дм;Н) вытекает обобщение теоремы Нётер.
Теорема 14.6. Функция / является первым интегралом
гамильтоновой системы тогда и только тогда, когда д^//Н = 0,
т. е. фазовый поток векторного поля У{ сохраняет Н.
14.3. ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ
14.3.1. Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых
системах
Пусть имеется гамильтонова система (М, со, Н) (сШп ЛА = 2га),
обладающая п первыми интегралами Д, ...,/п в инволюции:
Из'1 Л} = 0- Рассмотрим интегральный уровень
Л<с = {хеЛ<:/,(х) = с,, ^ = 1, ...,п}. A4.11)
Теорема 14-7 (теорема Лиувилля — Арнольда). Пусть
функции /^- независимы во всех точках Мс- Тогда:
356

1) Мс — гладкое многообразие, инвариантное относительно
фазового потока гамилътоновой системы;
2) каждая компактная компонента связности Е
многообразия Мс диффеоморфна п-мерному тору Тп;
3) в некоторых координатах (ф1, ..., фп) той 2тс на Ес
уравнения Гамильтона имеют вид ф = V, где \ = V(с) е Кп —
постоянный вектор.
Под гс-мерным тором Тп = {(ф1, ... ,фп) той 2л}
понимается пространство Кп, в котором отождествлены точки,
координаты которых различаются на 2ц. Формально Тп = Кп/27г2п. Из
утверждения 3 следует, что Ф = ф0 "*" *'¦ Такое движение
называется условно-периодическим с вектором частот V.
Доказательство. Утверждение 1 сразу следует из теоремы о
неявной функции. Чтобы проверить утверждения 2 и 3,
заметим, что векторные поля у, = V/. касаются Мс-
(Действительно, сЦЛ = (Л> Л} = 0-) Так как функции /5- независимы на Мс,
векторные поля у^ также независимы на Мс- Кроме того,
Остается применить следующий геометрический факт (см.,
например, [2]). ¦
Лемма 14.3. Компактное связное п-мерное
многообразие^ на котором имеется п всюду независимых
коммутирующих векторных полей, диффеоморфно тору1 Тп. Более того,
на нем существуют угловые координаты (фх, ... ,фп) тос! 2л
такие, что все п векторных полей постоянны (имеют вид
V, =сопз1; еКп).
Согласно следствию 14.4 торы Мс из теоремы 14.7 лагранже-
вы.
Верно и более общее утверждение (теорема Эрмана): если у
гамилътоновой системы с точной симплектической структурой есть
инвариантный тор, движение по которому условно периодическое, и частоты
рационально несоизмеримы, то этот тор лагранжев. Подробнее см. [4].
14.3.2. Переменные действие-угол
Удобным средством исследования вполне интегрируемых
систем с компактными совместными уровнями первых интегра-
Бсли отказаться от предположения о компактности, но наложить
дополнительные условия полноты векторных полей ч$й, то Ме оказывается цилиндром
Т* х Кп_к, 0 < А; < п, [2].
357

лов и (что более важно) систем, близких к таковым,
являются переменные действие-угол. Переменные действие-угол (I, ф)
(I = (Д, ...,/„) — действие; ф = (фь ..., ср„) — угол)
удовлетворяют следующим свойствам:
• со = (И Л с&р (каноничность);
• Н = ЯA);
• ф» той 2л — угловые координаты.
Отметим, что согласно традиции, при записи фазовых
координат (I, ф) сначала идут «импульсы» I, а затем —
«координаты» ф в отличие от принятого ранее порядка ^, р).
Уравнения Гамильтона в переменных действие-угол имеют
вид I = 0, ф = Н\. Отсюда вытекает, что I — первые
интегралы гамильтоновой системы.
Одна степень свободы. Пусть Б С К2 = {(?,р)} — область
и Я : Б —> К. Рассмотрим систему A3, йр Л йд, Я). Линии уровня
гамильтониана
Тл = {(в,р)еО:Я(в|р) = А}
являются инвариантными кривыми.
Предположим, что для любого к Е (а, Ь) кривая ун связна и
замкнута.
Определим функцию / : (а, Ь) —> К:
ад=^1
рйд.
Т/1
Если ул ограничивает область 2? С Д т. е. уь = дБь, то по
формуле Стокса
/ = 1|флйд =
площадь A)/?)
2л
Он
Определим переменную действие в области {(<?,р) Е 23 :
а < Я(р, д) < Ь} по формуле 7 = 7(Я(д,р)).
Построим переменную ф, канонически сопряженную к 7, т. е.
такую, что замена (?,р) »—> (ф, /) каноническая.
Для этого, как при построении отображения Пуанкаре,
проведем на фазовой плоскости некую секущую кривую р так,
чтобы кривые у/1 пересекали ее только в одной своей точке. Тогда
траектории движения будут периодически с периодом т(/ь)
возвращаться на р (попадая в свои исходные точки). В силу уравне-
358

ний Гамильтона переменная ср
линейно растет со временем и за
период изменяется на 2тг: ф(*) =
= 2тгё/т + с. Константа с(Н)
выбирается таким образом, чтобы
обеспечить гладкость и
каноничность замены переменных.
Найти зависимость ф(?,р)
можно следующим образом.
Будем считать, что Ы/дН ф 0 при
всех к € (а, ЬI иЯр = 0 лишь в
конечном числе точек на каждой
из кривых уь (рис. 14.1).
Пусть И^(д, /) — производящая функция канонической
замены (р,д) »-> G,ф). Тогда
Р = ЩМ, ф = ^/(д,/).
Чтобы найти IV, выразим из уравнения / = 1(Н(д,р)) пере-
Рис. 14.1. Линии уровня
функции Я(д,р) (они же — кривые
уь). На пересекающих их
кривых дН/др = О
д! д!
менную р через д и /. Для этого нужно, чтобы — =
&•
фО.
др дк др
Согласно нашим предположениям, при к Е (а, Ь) это выполнено
везде на уь, кроме конечного числа точек. Перенумеруем
отрезки ул, на которых д1/др ф 0, индексом ]и Получаем набор
функций р = /^-(д, /), определенных при условии Нр ф 0. Функции /^
продолжаются по непрерывности в точки, где Нр = 0.
Имеем набор уравнений для IV: (И^)9 = /;-. Так как И^ —
первообразные по д от /^-, то они определены с точностью до
слагаемых вида с^A).
дцг.
Итак, ф = -^гуг- + с7G), причем с3A) следует подобрать так,
чтобы переменная ф была непрерывной при переходе через все
кривые Нр = 0, кроме одной (на которой ее значение меняется
на 2л).
Найдем приращение ф при обходе у&:
Ун
Ун
Ун
Следовательно, координата ф — угловая.
^то можно доказать, используя то, что кривые не пересекаются, и, значит,
площадь Ин. в общей ситуации имеет ненулевую скорость изменения.
359

Задача 14.23. Постройте переменные действие-угол для
гармонического осциллятора Н = ^г(а2р2 + Ь2д2).
Системы с разделяющимися переменными. Бели Н =
= Я(/1E1,^1), ¦ ¦ ¦ ,/п(?п,Рп)), то переменные разделяются.
Такие системы вполне интегрируемы по Лиувиллю. Уравнения
Гамильтона имеют вид
. _дН_д11 . __дНд^ '
ф~0/,я&' р'~ аде*1 '-х'-'п-
Функции /^(9^,^^), .7 = 1, ... ,га, являются первыми интеграг
лами в инволюции. С точностью до замен времени
А дН* ¦ 1
йЧг = -^-г<11, ] = 1, . ..,п,
3/.7
система эквивалентна набору из п систем с одной степенью
свободы:
Поэтому задача о введении переменных действие-угол
сводится к случаю одной степени свободы.
Общий случай. К сожалению, процедуру построения
переменных действие-угол в общем случае вряд ли можно признать
эффективной. Впрочем, вопрос об их существовании успешно
решается. Переменные действия определяются как интегралы
формы рек} по базисным циклам на торах Мс (см. A4.11)).
Переменные ср строятся как канонически сопряженные к I.
Подробности см. в [2].
Переменные действие-угол для задачи Кеплера. На
самом деле мы введем переменные действие-угол не в задаче
Кеплера (см. п. 2.2.3), а в системе с одной степенью свободы, к
которой задача Кеплера приводится. Для краткости
лагранжиан задачи
д .2^+,^) +И
1 г
сократим на массу т. Гамильтониан примет вид
„_12, 1 2 И
Н-2Рг + 2г*Р*~7-
360

Координата ф — циклическая: рф = с = сопз*. Получаем
приведенную систему с одной степенью свободы и гамильтонианом
с2 и
График эффективного потенциала Ус(г) = -—^ — - и фазовый
портрет системы приведены на рис. 2.14. При значениях
энергии системы к < О траектории в пространстве (г,рг)
ограничены (эллиптическое движение) и представляют собой замкнутые
кривые. Вычислим действие / на них:
г+(/0
2л/= I ргAг = 2 Г рг{г,к)йг,
н=н г-(Л)
где рг(г, к) = у/2{к — Ус(г)), и г±(к) — максимальное (в
апоцентре) и минимальное (в перицентре) расстояния между точкой
и притягивающим центром. Последние находятся из интеграла
энергии Н = к при условии рг = 0:
г± с2 V с* + <? ¦
Таким образом,
=\\>н*
+ ^+2Н6г. A4.12)
Задача 14.24. Вычислите интеграл A4.12) с помощью
вычетов и покажите, что
' -7?1 н = -&- A413)
Решение. Подкоренное выражение, как функция комплексного
переменного г Е С, голоморфна на плоскости С с разрезом по отрезку
[г_, г.}.] (рис. 14.2). Нам нужно взять интеграл по контуру у.
Деформируем у, растягивая его в бесконечность. Получаем, что 2л/ можно
считать интегралом по контуру вокруг точки оо. Чтобы его вычислить,
введем новую комплексную переменную г = 1/г. Тогда оо перейдет в
361

с, \
^?
г_
Рис. 14.2. Вычисление интеграла Рис. 14.3. В переменных г = 1/г
A4.12) с помощью вычетов интегрируем A4.12) по контуру Г,
охватывающему нуль
нуль. За знаком следить не будем, так как известно, что / > 0.
Поскольку Лт — —йг/г2 и К < 0, по формуле Коши получим (рис. 14.3)
1 Г _—^—^____——_ йу
1 = —$- у/-<?г2 + 2\кг + 2Л -2 =-ггево
у/-с2г2 + 2цг + 2?
,2
= — гу/2Нте&о
У1+5-аё'
1+^+0(г2) ^
- V 2йге8о ^ -^/=2^-
что и требовалось.
Другой способ — найти сначала производную интеграла по
параметру й. Этот интеграл элементарный.
Задача 14.25. Получите A4.13) без вычисления
интеграла, используя формулу для периода обращения Т(к) в задаче
Кеплера и равенство со = Н'A) = 2к/Т в переменных действие-
угол.
Определим переменную «угол» (будем обозначать ее ф, чтобы
отличать от полярного угла ф в исходной задаче Кеплера).
Замена г, рг ь-> ф, / — каноническая. Пусть V/(г, /) — ее производящая
функция. Тогда
" дт "V /2 + г г2'
откуда следует, что
идан^-
362

Таким образом,
и2 й
•1- ™ Г *
ы ) П? 1
= 1^=^
ц2
Сделав замену
2
+ Я-С2
^г - I = -л/Я-^созХ, ^йг = л/^-^зшХйХ,
получим
ф = Г Г1 — у 1 — ^совХ| ИХ = X - у 1 - ^8шХ + ф0(/)-
В небесной механике переменная «угол» называется средней
аномалией.
Задача 14.26. Сравните это равенство с уравнением Кеплера
B.31). Покажите, что у/1 — с*/12 = е — эксцентриситет орбиты,
а переменная X - эксцентрическая аномалия. Случайно ли, что
углу ф, найденному нами, в уравнении Кеплера соответствует
71 (* — *о)> где п = 2л/т и т — период движения по орбите?
Задача 14.27. Ранее были найдены переменные действие-
угол в приведенной системе. Найдите переменные действие-угол
для исходной системы с двумя степенями свободы.
Указание. Воспользуйтесь разделением переменных.
Заметим, что переменные действие-угол можно получить и в
пространственной задаче Кеплера [24].

Глава 15
ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА:
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
15.1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ
15.1.1. Динамика в переменных действие-угол
Пусть имеется вполне интегрируемая по Лиувиллю гамиль-
тонова система с компактными совместными уровнями первых
интегралов. Посмотрим, как выглядят уравнения Гамильтона и
их решения в переменных действие-угол. Имеем:
¦ дН . дН
1=-^=0' * = ж^A)-
Вектор V(I) € Мп называется вектором частот.
Зафиксируем I и рассмотрим движение на соответствующем
торе
Т? = {A,ф):среТГ}. A5.1)
Уравнение имеет вид
ф = ^ * = уA). A5.2)
Стандартная мера йфх ... йфл (или форма объема б?фх Л ... Л
Л йфп) на торе инвариантна.
Равенство
(к, V) = А^1 + ¦ ¦ ¦ + кпУп = 0, к е Ъп \ {0},
называется резонансом. Если имеется резонанс, то вектор
частот V(I) и соответствующий ему тор Тр называются
резонансными.
Задача 15-1. Докажите, что множество резонансных
векторов в Мп всюду плотно, но имеет меру нуль.
364

15.1.2. Теорема Вейля и следствия из нее
Предложение 15.1. Если вектор частот \ — нерезонанс-
ный, то всякая траектория уравнения A5.2) обматывает
соответствующий тор Ту всюду плотно.
Проще всего это установить с помощью теоремы Вейля.
Чтобы ее сформулировать, введем некоторые определения.
Пусть имеется функция / : Т1 —> К. Ее пространственным
средним называется число
</>=(^/л*)**-
Временным средним называется функция
Т
/(90) = ^^1/(^0 + ^)^
(если предел существует).
Теорема 15.1 (теорема Вейля). Пусть V € Мп —
нерезонансный вектор и функция / : Тп —> К интегрируема по Ри-
ману. Тогда для почти любого ф0 е Тп временное среднее
существует и равно пространственному среднему.
Доказательство теоремы 15.1 можно найти в [17].
Теперь доказательство предложения 15.1 сразу получается,
если в теореме Вейля взять /(ф) = Хв(ф) — характеристическую
функцию произвольного шара ВсТп:
&
, ч . А, если (рей,
**<»> = <« еслиф^.
Поскольку пространственное среднее положительно, каждая
траектория обязана побывать в шаре В. ш
Если вектор частот резонансный, то любая траектория
обматывает всюду плотно некоторый тор меньшей размерности,
лежащий в Тп. В частности, если все компоненты вектора V
рациональны, то все траектории периодические.
Целочисленные векторы к, удовлетворяющие резонансному
соотношению (к, уA)) = 0, образуют свободную абелеву группу О
относительно операции сложения. Это значит, что существует набор
независимых образующих кх, ..., кг Е С, таких, что каждый вектор кбС
365

единственным образом представляется в виде к = тхкх Н + тог1г
77? Е 2.
Определение 15.1. Ранг группы С, т.е. максимально возможное
число независимых векторов в группе, называется кратностью реао-
нанса.
Предложение 15.2. В резонансном случае всякая траектории
уравнения A5.2) всюду плотно заполняет подмногообразие в Тп, дьф.
феоморфное тору Тп~г.
Доказательство. Пусть кх, ..., кг — набор независимых образую-
щих группы С. Для любого решения ср(^) уравнения A5.2) имеем
-(ф(*),к;)=0, 0 = 1,...,Г.
Значит, траектория с начальным условием ср° принадлежит множеству
Г = {ср е Тп : Д(ф) = 0 той 2т1, .7 = 1,..., г},
где
Л(ф) = (к,,ср-ср0> A5.3)
— гладкие функции Д- : Тп —> Т = К. той 2л, поскольку при изменении
координаты ср» на 2тс, /Дер) тос! 2л не меняется. Поскольку функции
/^ независимые (ранг матрицы Якоби равен г), то Г — (п — г)-мерное
компактное подмногообразие в Тп.
Возьмем базис VI,..., уп_г в пространстве векторов уеКп, таких,
что (V, к^) = 0, ^ = 1,..., г. Векторы VI,..., Vп_^ задают п — г
независимых коммутирующих векторных полей на Г. По лемме 14.3 Г диф-
феоморфно тору Тп-Г.
В явном виде диффеоморфизм д : Тп~г —> Г можно построить так.
Каждая точка ср Е Г представляется в виде
ср = ср0+ет + ...Ч-9п-^п_г,
где 01, ..., 9П_Г Е К. Можно показать, что базис VI, ..., Vп_^ можно
выбрать таким образом, что 0? определены однозначно той 2л.
Получаем диффеоморфизм д : Т1-7" -^ Г.
В координатах 01,... ,0п-г уравнения A5.2) имеют вид 0^ = 0? =
= сопз1;. Подробности опустим.
Задача 15.2. Докажите утверждение 15.2.
Можно показать, что динамическая система, задаваемая на
Тп уравнением ф = V, в случае нерезонансного вектора V эрго-
дична. Это означает, что любое измеримое инвариантное
множество на Тп имеет либо нулевую меру, либо меру, равную Bтс)п =
= теая(Тп).
366

15.1.3. Классическая схема теории возмущений.
Малые знаменатели
Предположим, что интегрируемую систему, записанную в
переменных действие-угол, слегка возмутили, т. е. гамильтониан
имеет вид
Н% * е) = Я0A) + гНгA, <р) + 0(е2), A5.4)
где е — малый параметр. Используя разложения по е,
попытаемся найти автономную (не зависящую от I) каноническую замену
(I, ф той 2л) ь+ (I, ф той 2л),
приводящую гамильтониан ЯA,ф,е) к виду Н(Л,е). Если это
удастся сделать, то (Л, ф) окажутся переменными действие-угол
в возмущенной системе и уравнения движения легко решатся.
Будем задавать замену производящей функцией, гладко
зависящей от е:
ЩЗ, ф, е) = ИЬ(Л, ф) + гЩC, ф) + 0(е2).
При е = 0 и так все хорошо. Поэтому естественно считать
замену, близкой к тождественной: И^о = (Л, ф).
Замена переменных имеет вид
Новый гамильтониан Н = Н + ]Уг оказывается следующим:
И0, в) = Н (з + е^ + 0(е2), <р, в) . A5.5)
Разложив обе части уравнения A5.5) в ряд по е, получим
ПоC) + гН1C)+0(е2) =
«Яо^ + ^+О^+сЯ! ^ + 1^ + 0(^),9)+0@-
В нулевом порядке по е получаем: Но = Но. Как и следовало
ожидать, при е = 0 гамильтонианы Ни Н совпадают.
367

В первом порядке по б имеем уравнение
%(Л) = ^(Л), 9Щ^]) + Ях(Л,ф), A5.6)
,_. дН0C)
где V(^) = — * — вектор частот.
О о
Для решения этого уравнения в частных производных
относительно И^1 разложим его составляющие в ряды Фурье. Пусть
ке2п ке2п
Тогда
* ' ' кегп
Уравнение A5.6) распадается на независимые уравнения (для
каждого к):
к = 0: ПгC) = Но{3),
к^О: 0 = гМЛ),к)^к(Л) + М^,
откуда находим:
-^=-дар мо- A5-7)
Аналогично можно найти ИЪ(Л), И'з(Л), ¦ ¦ ¦ Формально
задача о нахождении переменных действие-угол в возмущенной
системе вроде бы решена. Однако, к сожалению, не все так просто.
Надо проверить, сходится ли ряд ТУо + еИ^ + е2ИЪ + -. ¦
На самом деле все существенно хуже. Знаменатели в A5.7)*
и аналогичных формулах для И^, И^з, -. - обращаются в нуль на
резонансных поверхностях
Гк = {Л Е Кп : МЛ), к) =0}, к Е Ъп \ {0}.
Если числители не обращаются в нуль, то из-за нулей в
знаменателе правой части формулы A5.7) функция IV не существует
на множествах Гк- В типичной ситуации поверхности Гк в
совокупности образуют в Мп всюду плотное множество, откуда
следует, что производящая функция И^(Л,(р) не определена нигде.
В этом состоит знаменитая проблема малых знаменателей.
368

На практике часто оказывается, что множество тех к Е 2П, для
которых НъC) ф 0, конечно. Тогда можно выполнить конечное число
И шагов теории возмущений, приводя гамильтониан к виду Н{3,ъ) +
4- 0E^+1). При этом следует исключить лишь конечное число
резонансных гиперповерхностей Гк1.
Эти наблюдения наводят на мысль о неинтегрируемости
типичного возмущения интегрируемой системы.
15.1.4. Теорема Пуанкаре о неинтегрируемости
Обратимся снова к системе A5.4). Будем предполагать, что
невозмущенная система невырождена, т. е.
\д№5)
в области В С Мп. Попытаемся найти первый интеграл -РA, ф, е)
гамильтоновой системы, который гладко зависит от е. Разложим
Р в ряд Тейлора
РA, Ф, г) = 2%A, Ф) + еВД, ф) + 0(е2),
где Р^ — гладкие функции на Ип х Тп. Тогда
{Р,Н} = {Р0,Но} + г{{РиН0} + {Ро^Щ})+0(е2) = О,
откуда следует
{Ро,Но}=0, {РиН0} + {Ро,Н1} = 0, ... A5.8)
Важное наблюдение состоит в том, что Ро не зависит от ф.
Действительно, разложим Ро и Р\ в ряды Фурье
>оA,«р)= 2 ЛОО «**»>,
кегп
A5.9)
кб2п
Из первого уравнения A5.8) получим
^гМ1),к)/кA)е*<к^=0,
кбЖп
где V = дНо/д1. Следовательно, ^A),к)ДA) = 0.
1Однако и в этой ситуации при N —> ос, как правило, резонансы 1\, на
которых функция IV не определена, заполняют всюду плотное множество в Кп.
13 Болотин 369

Задача 15.3. Докажите, что если система невырождена и
к ф 0, то ^A), к) ф 0 для почти всех I е И.
Отсюда следует, что /кA) = 0 при к ф 0, так что ^о не зависит
от ср.
Разложим Н\ в ряд Фурье
ке2п
Из второго уравнения A5.8) и соотношений A5.9) получим
(ж*)'*-(ж*) •*=<>¦ <""•»
Для каждого ненулевого к € Ъп определим резонансную
поверхность
Гк = {I € Б : М1), к) = 0, ЛкA) ф 0} С Е*.
Множество В = ик/оГк С И называется вековым
множеством.
Пусть I € В. Тогда I е Гк для некоторого к, а значит,
^A),к) = 0, ЬкA) Ф 0- Из A5.10) получим
Таким образом, в точках I € Гк градиенты Но и ^о лежат в
одной плоскости, ортогональной к.
Назовем гамильтонову систему интегрируемой по Пуанкаре,
если она имеет полный набор п гладких интегралов ^A,<р,е),
] = 1, ... ,п, причем функции /? = Р^\с=о не являются
зависимыми: существует точка, где ранг их матрицы Якоби равен га.
Теорема 15.2 (Пуанкаре). Предположим, что вековое
множество всюду плотно в /?. Тогда система неинтегрируема по
Пуанкаре.
Доказательство фактически проведено: если I е Гк, то
градиенты ^о, ..., Гц в точке I ортогональны к и, значит, зависимы:
Непрерывная функция А, равная нулю на плотном
множестве В, тождественно равна нулю. *
370

Доказанное утверждение — простейшая версия теоремы
Пуанкаре о неинтегрируемости. Более продвинутые варианты см.
в [15].
В аналитическом случае естественно предполагать, что
интегралы Р3 аналитические! Тогда утверждение теоремы верно при
более слабом предположении: множество В должно быть таким,
чтобы аналитическая функция, обращающаяся в нуль на В,
была тождественно равна нулю на В. Такие множества называются
ключевыми для класса аналитических функций.
К сожалению, применение теоремы Пуанкаре обычно требует
громоздких вычислений. Поэтому детали в примере 15.1
опущены. Подробности см. в [4].
Пример 15.1 {ограниченная круговая задача трех тел в
случае малой массы Юпитера \к). При ^ = 0 во вращающейся
системе отсчета (см. п. 3.1.6 и 9.1.6) переменными действие ДДг
служат 1\ = (—2Е)~~г/2 > О, где Е — энергия астероида, и
кинетический момент астероида /2 = О. Угловыми переменными
служат эксцентрическая аномалия фх и угол ф2, задающий
положение перигелия орбиты. Гамильтониан (интеграл Якоби) имеет
вид
Я = Я0 + цЯ1 + 0(ц2), Я0 = --^-/2.
Разложение возмущения в ряд Фурье им;еет вид
Нг -5^Л^(/1,/2)со8(^(р1 -Л(<р1+ф2))-
Коэффициенты Н^ — аналитические функции, не
тождественно равные 0. Векорое множество В содержит бесконечное
множество прямых /2 = {з/^) - Множество В всюду плотно в
полуплоскости 1\ > 0. Однако мы не можем применить теорему
Пуанкаре, поскольку Щ не удовлетворяет условию
невырожденности. Применим следующий прием, предложенный Пуанкаре:
заменим гамильтониан Я на гамильтониан
е# = еЯо+уеЯоЯ1+0(^2).
Уравнения Гамильтона с гамильтонианами Я и ен имеют
один и тот же набор первых интегралов и одно и то же вековое
множество. Однако гамильтониан ея° невырожден (проверьте!).
Значит, ограниченная задача трех тел неинтегрируема по
Пуанкаре.
371

15.2. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КАМ
15.2.1. Диофантовы частоты
Проблема малых знаменателей. Классическая теория
возмущений, как правило, не дает сходящихся разложений по
малому параметру, потому что преследует слишком
амбициозные цели: написать возмущенную1 систему в переменных
действие-угол. Можно попытаться получить сходящиеся
разложения для движений, аналогичных невозмущенным, не во
всем фазовом пространстве, а лишь на некоторых
подмногообразиях. На этих соображениях основана теория Колмогорова—
Арнольда—Мозера (КАМ). Ее основное утверждение состоит в
том, что большинство нерезонансных торов продолжает
существовать и в возмущенной системе. Чтобы сформулировать
точный результат, понадобится два определения.
Во-первых, вместо условия нерезонансности нам потребуется
так называемое условие сильной нерезонансности или диофан-
товости.
Определение 15.2. Вектор частот V Е Кп называется дио-
фантовым, если существуют постоянные с, у > 0 такие, что
|^, к)| > тгт- для всех ненулевых к е 2П. A5.11)
Смысл определения состоит в том, что малые знаменатели не
слишком малы (допускают степенную по |к| оценку снизу).
Скажем, что V е Р(с, у), если выполнены неравенства A5.11).
Лемма 15.1. Пусть у > п — 1. Тогда
теаз(кп\ух>(с,у)) =0.
\ оо /
Следствие 15.1. Почти все векторы частот —
диофантовы.
Докажем лемму только в случае п = 2. В общем случае
доказательство аналогично, но чуть более громоздко2.
Заметим сначала, что гомотетия V ь+ XV (X > 0) не портит ди-
офантовости. Действительно, если V € 2?(с,у), то XV Е 2Э(Хс,у).
*Как правило, неинтегрируемую!
2См., например: Шмидт В.М. Диофантовы приближения. — М. : Мир,
1983.
372

Поэтому достаточно проверить, что недиофантовы векторы
образуют множество меры нуль на прямой ^2 = 1}. Тогда отсюда
будет следовать, что они образуют множество меры нуль на
любой прямой ^2 = с ф 0} (гомотетия). А из этого будет вытекать
утверждение леммы (по теореме Фубини).
Итак, V2 = 1. Значения VI, для которых не выполнено хотя бы
одно неравенство A5.11), задаются условиями
\к\\\ + &2| < тгт- для некоторого ненулевого к € 22. A5.12)
Пусть Ь(к) — множество тех VI е К, которые удовлетворяют
A5.12). Наша задача — показать, что теа&и^х2^^) ~~> 0 ПР11
2с
Имеем: теазЬ(к) = . Следовательно,
«1|К|Т
теа^^к)^ ^ -^. A5.13)
Теперь достаточно воспользоваться следующим
утверждением.
Предложение 15.3. При у > 1 ряд A5.13) сходится.
Лемма доказана. ¦
Докажем предложение 15.3. Достаточно проверить, что при
кг ф 0, у > 1
°° 1 „ 1
где С = С(у) — некоторая постоянная. Проверяем:
*2~х, 1к1г 1ЫТ и 1к1г " 1^1т ^ (*? + Фт/2 "
1 <Г_2^/2Й*2_ =
о
1 21+у/2 1 / 21+^2\ 1
При доказательстве мы воспользовались очевидным
неравенством к\ + к\ > -(\кх\ + ЩJ. Ш
373

Стандартнее условия невырожденности. Другое
важное определение — определение невырожденности. Скажем, что
интегрируемая по Лиувиллю система с гамильтонианом НоA)
невырождена на торе Т|0 (см. A5.1)), если
Ц^)A»)#о.
Рассмотрим систему с гамильтонианом
Я = Я0A)+6^A,^,6), A5.14)
где е — малый параметр, а I, ср той 2л — канонические
переменные: I Е О для некоторой области Б С Кп, <р е Тп. Функция Н\
2л-периодична по ср. При е = 0 A,<р) — переменные действие-
угол.
15.2.2. Теорема Колмогорова
Теорема 15.3. Пусть 1° € И — значение переменной
действие такое, что:
1) вектор невозмущенных частот V(I0) диофантов]
2) невозмущенная система невырождена на Т^0;
3) функция Н вещественно-аполитична в окрестности то-
раТ%-
Тогда инвариантный тор Т^0 невозмущенной системы не
исчезнет при возмущении, а лишь слегка деформируется. Он по-
прежнему будет нести квазипериодические движения с
частотами V(I0), т.е. в некоторых координатах ф той 2л на нем
уравнения Гамильтона останутся прежними: ф = V(I0).
Теоремы типа 15.3 впервые появились в работах А. Н.
Колмогорова в 50-х гг. XX в. Подробные доказательства были даны
В.И.Арнольдом в начале 60-х гг. Довольно скоро выяснилось,
что все три условия теоремы 15.3 могут быть существенно
ослаблены. В частности, Ю.Мозер установил, что условие
аналитичности функции Н может быть заменено на условие достаточно
высокой гладкости.
Доказательство теоремы 15.3 довольно громоздко и поэтому
здесь не приводится1.
Подробнее см. § 3 гл. 6 в кн. [4].
374

15.2.3. Неавтономный вариант теоремы Колмогорова
Напомним, что неавтономной гамильтоновой системой
называют систему с п степенями свободы и периодической
зависимостью от времени. Иногда говорят, что в такой системе число
степеней свободы равно п + 1/2. Пусть функция Гамильтона имеет
вид
Я = ЯA, ср,«, в) = Я0A) + еЯ1A, ф, *, б). A5.15)
Как обычно, A,ф) — канонические переменные, I 6 О С Iя,
ф той 2л € Тп. Зависимость Я от 4 предполагается 2л-пери-
одической. Поэтому естественно считать, что X определено по
то<12л, т.е. «еТ1.
Точнее, на переменную I следует смотреть с двух точек
зрения. С одной стороны, I — время, изменение которого
определяет эволюцию системы, т. е. * е К. С другой стороны, * — фазовая
переменная. Изменение I на 2я не меняет Я и уравнения
движения, т. е. I € К/2л2 = Т. Традиционно обе эти переменные
обозначаются одинаково, что несколько затрудняет понимание сути
дела. Впрочем, никаких ошибок из-за этого не возникает.
Отметим, что указанный двоякий взгляд на переменную I уже был
использован в подразделе 12.1.3.
Рассмотрим сначала случай е = 0, при этом система
автономна. Однако, зная, что после возмущения переменную I придется
включить в список фазовых переменных, сделаем это уже
сейчас. Невозмущенные уравнения принимают вид:
1 = 0, Ф = уA), * = 1.
Итак, невозмущенные торы имеют размерность п + 1:
{A,ф,*) :1 = 1° = соп81;},
причем вектор частот имеет вид ( \ ) € Кп+1.
Теорема 15-4. Пусть 1° € -О — значение переменной
действие такое, что:
л -о М1°Л л, ^
1) вектор частот Vй = I \ ) диофантов\
2) невозмущенная система невырождена при 1 = 1°;
3) функция Я вещественно-аполитична в окрестности то-
ра {1 = 1°}.
375

Тогда инвариантный тор {1 = 1°} невозмущенной системы
при возмущении не разрушится, а лить слегка деформируется
будет существовать в возмущенной системе и по-преэюнему
нести квазипериодические движения с частотами V0.
Доказательство. Сведем теорему 15.4 к теореме 15.3. Для
этого сначала произведем автономизацию (см. п. 13.3.5), после
которой функция Гамильтона примет вид:
НA,Е,ср,*,е) = ЯA,ф,*,е) + ^,
где Н — гамильтониан A5.15); Е — импульс, соответствующий
координате *; новое время обозначаем т.
При е = 0 и I = 1° вектор частот определяется соотношением
/дН/дЛ
\дН/дЕ)
е=0,1=1°
= ?0.
Однако невозмущенная система вырождена, поскольку Н
линейно зависит от Е. Избавляться от вырождений такого типа
умел еще Пуанкаре (см. пример 15.1). Заметим, что вместо
гамильтониана Н можно взять /(Н), где / : К —> К —
произвольная непостоянная гладкая функция.
Задача 15-4- Проверьте, что при условии /' ф 0 у новой
системы траектории в фазовом пространстве Т^ х Т* х 2? х Кд —
такие же, что и у системы с гамильтонианом Н, но движение по
ним происходит, вообще говоря, с другой скоростью.
Всегда можно считать, что 1° = 0. В этой ситуации удобно в
качестве / взять экспоненту (/ = ехр). Проверим, что
невозмущенный гамильтониан е^|е_0 = еНо+Е уже невырожден. В
самом деле
Я0A) = Н+ (А I) + !<!, АХ) + 0(|1|3),
где К = Яо@), V0 = V(I0) и матрица А = 2 @) невырождена
согласно условию 2 теоремы 15.4.
02еЯо+Я
Вычислять матрицу а/т ^.2
дA,ЕJ
функцию еНо+Е в ряд Тейлора:
удобно, раскладывая
1=1°,Я=0
376

ен0+Е = ехр(н + ^, I) + 1A, ЛХ) + 0(|1|3) + я) =
= 6^1 + ^,1) + ^ + ^A^1) + ^ + ^,1)L
+0((|1| + |Д|K)).
Итак, невозмущенная система имеет инвариантный тор,
соответствующий значениям переменных действие (I, Е) = A°, 0).
Частоты на этом торе равны ен\°, причем система невырождена:
V 0A, ДJ У 11=1°,я=о V (* ) 1 У
Здесь V0 считается вектор-столбцом, а применение операции
транспонирования превращает его в вектор-строку ^°)т. Таким
образом,^°^°)т — квадратная (п х п)-матрица.
Согласно теореме 15.3 система с гамильтонианом ен+Е
имеет инвариантный тор с частотами ен\°. Следовательно,
система с гамильтонианом Н + Е имеет инвариантный тор с
частотами V, пропорциональными указанным (см. задачу 15.4). Так как
частота, соответствующая переменной ?, равна единице, то V =
= ?0
15.2.4. Изоэнергетический вариант теоремы
Колмогорова
Рассмотрим автономную систему с гамильтонианом A5.14).
Следующая теорема дает информацию о сохранении
инвариантных торов на данном уровне энергии.
Теорема 15.5. Предположим, что инвариантный тор {I =
= I0} невозмущенной системы лежит На уровне энергии {Но =
= к} и выполнены следующие условия:
1) частоты V(I0) диофантовы;
2) невозмущенная система на этом торе изоэнергетически
невырождена, т. е.
((&Н0/д1>)(ТР) V(I0)^
йе^ VГ(I0) 0 ^0,
3) функция Н вещественно-аполитична.
377

Тогда на уровне энергии {Н = к} в возмущенной системе
имеется инвариантный тор, близкий к исходному. Частоты
на этом торе задаются вектором XV(I0), где X = 1 + О(е).
Доказательство. Сведем теорему 15.5 к теореме 15.4.
Понизим порядок системы на уровне энергии {Н = к} (см. п. 13.3.5).
Для этого решим уравнение 1/A, ф, е) = к относительно 1п. Это
можно сделать, так как при малом е
ЯН
^A,<р,Е) = ^ + ОF)^0.
Вопрос: почему V® ф О?
В результате получаем
Л1 = -^A,ф,фп,е,Ь),
1=(/1, ...,/п-1), ф = (ф1, ...,фп-1)-
Поскольку фп = дН/д1п ф 0, можно перейти к новому
времени * н-> т = фп. Обозначив штрихом производную по т, получаем
уравнения Уиттекера
ф' = дР/д1, Г = -дР/ду.
Нам потребуется явная формула для Р с точностью до
0(|1|3) + 0(Е).
Для простоты считаем, что 1° = 0. Тогда разложение Тейлора
для Н имеет вид
A5.16)
ЯA, /„, ф, фП) е) = к + (V0,1) + V°/т^+
+(Ш,1)/2 + 0(|1|3) + 0(е),
где Н = #о@), V0 = (V?, ....^) и П = &Н/д12{0).
Таким образом, из уравнения Н = к находим:
/п = -<*°>1>Л° +0(|1|2) + 0(е). A5.17)
В частности, отсюда следует, что вектор частот в системе с
гамильтонианом Р имеет вид
№•*¦
(Как обычно, в неавтономной системе дописывается частота,
соответствующая изменению времени т' = 1.) Полученный вектор
частот, очевидно, диофантов.
378

Чтобы вычислить матрицу дРР/дТ?, необходимо повысить
точность в A5.17) до 0(|1|3) + О(е). Положим
Здесь П — симметрическая (п— 1) х (п— 1)-матрица, ар — вектор-
столбец размера п — 1. Подставим в уравнение A5.16)
/п = -(*М)/*!! + ф(!) + о(|!|3) + о(«),
где функция ФA) предполагается квадратичной по I.
Задача 15.5. Найдите функцию Ф и проверьте, что
т 1 (го т\ л. 1 /т т\ / т\ <*°'*> .х. П™ /^ <*°'*>'
" = ~<у ' } + 2<Ш,1) " М-Ъ~ ~2~ \~$Г\
+0(|1|3) + 0(е).
Итак,
&Р.
дР
Задача 15.6. Проверьте, что
Таким образом, мы проверили, что условия теоремы 15.4
выполняются для невозмущенного тора 1 = 0 системы с
гамильтонианом Р\е=о- Инвариантный тор возмущенной системы с
гамильтонианом Р соответствует инвариантному тору в исходной
системе на уровне энергии {Н = Л}, ¦
15.3. УСТОЙЧИВОСТЬ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ
ДИНАМИКЕ
15.3.1. Теория КАМ и проблема устойчивости
в гамильтоновой динамике
Настоящий подраздел носит обзорный характер.
Подробности и ссылки можно найти в [4].
>=Dй-(^т+^,+й?,0(,0)т)
379

1. При малых значениях параметра б из теоремы
Колмогорова вытекает существование большого множества С}Е
квазипериодических движений. Пусть МЕ — подмножество фазового
пространства, дополнительное к <2Е. Пусть^Л — область в фазовом
пространстве такая, что ее замыкание И компактно и любая
точка множества В лежит на инвариантном торе невозмущенной
системы. А. И. Нейштадт доказал, что при условии
невырожденности невозмущенной системы в Б мера множества И П МЕ
имеет порядок О (у/г). Так как мера множества фЕ положительна,
возмущенная система не может быть эргодичной1. Это создает
известные трудности в основаниях статистической механики.
2. Теория КАМ дает средство для доказательства
устойчивости по Ляпунову для типичных устойчивых в линейном
приближении (эллиптических в смысле п. 14.1.5) периодических
решений в автономных гамильтоновых системах с двумя степенями
свободы. Действительно, понизим порядок в такой системе на
уровне энергии Мь в окрестности эллиптической периодической
траектории у. Тогда гамильтониан можно записать в виде
Н(х, у, I) = ф2 + у2) /2 + 0((\х\ + \у\K), A5.18)
где х и у — канонически сопряженные переменные, а
функция A5.18) — 2л-периодична по *. Траектория у имеет вид
{(ж, у, * той 2л) : х = у = 0}.
В окрестности кривой у слагаемое О((|о;| + |у|K) в
гамильтониане Н может считаться малым возмущением. Вырожденность
невозмущенной интегрируемой линейной системы с
гамильтонианом \1(х2 + у2)/2 может быть устранена путем нормализации в
Н членов третьего и четвертого порядка. А именно,
предположим, что выполнены следующие условия:
^ ф п/3, ^ ф й/4, п,ке%. A5.19)
Тогда с использованием преобразования Биркгофа2
гамильтониан A5.18) может быть приведен к виду
Я(х, у, *) = ц(*2 + у2)/2 + М*2 + у2J + 0((\х\ + |у|M).
A5.20)
Тот же вывод справедлив, если ограничиться на уровень энергии.
Преобразованием Биркгофа называется каноническое преобразование,
приводящее гамильтониан к так называемой нормальной форме до членов
сколь угодно высокого порядка, в данном случае — с точностью до членов
четвертого порядка (подробнее см. [4, 24]).
380

Здесь [л* — постоянная и новые канонические переменные опять
обозначены ж, у.
Теперь в качестве невозмущенного гамильтониана можно
взять [ь(х2 + у2)/2 + \1^{х2 + у2J. В случае у* ф О имеем
невырожденность при малых значениях х2 + у2.
Отметим, что существование большого числа инвариантных
торов в системе с гамильтонианом A5.20) не следует прямо из
КАМ-теорем, сформулированных ранее. Тем не менее,
используя стандартные методы КАМ-теории, можно доказать, что для
как угодно малых г > 0 существуют двумерные инвариантные
торы вида
Т* = {(*,у,* той 2л) : х2 + у2 + 0{(\х\ + |у|M) = г2}.
Теперь вернемся к исходной системе с двумя степенями
свободы. Торы Т2, как и периодическое решение у, лежат на уровне
энергии Мъ. Каждый тор делит трехмерное многообразие Мь на
два инвариантных множества: внутренность полнотория
(включающую, в частности, кривую у) и его дополнение (рис. 15.1).
Так как при г —> 0 торы Т2 подходят как угодно близко к у,
периодическое решение у орбитально устойчиво по Ляпунову на
уровне энергии М^.
На соседних уровнях энергии Мк картина аналогична:
периодические решения у^/, близкие к у, окружены инвариантными
торами. Отсюда вытекает орбитальная устойчивость у в полной
системе.
Отметим, что если условия отсутствия резонансов низких
порядков A5.19) не выполнены или ^* = 0, то решение у может
оказаться неустойчивым.
3. Рассмотрим вопрос об эволюции переменных действие в га-
мильтоновых системах, близких к интегрируемым A5.14). Этот
вопрос обсуждается давно. В частности, в этих терминах может
быть сформулирована проблема
устойчивости Солнечной
системы, задача об удержании
потока заряженных частиц в
циклотроне и другие задачи, имеющие
важное теоретическое и
прикладное значение.
В случае двух степеней
свободы в типичной ситуации
возмущенные траектории оказываются Рис. 15.1. Инвариантные торы,
зажатыми на трехмерных уров- окружающие кривую у на Мн
381

нях энергии в узких щелях между (двумерными)
инвариантными торами. Отсюда легко вывести отсутствие эволюции
переменных действие при малых возмущениях системы. Если степеней
свободы больше, то указанных препятствий уже нет. Например,
в случае трех степеней свободы уровни энергии имеют
размерность 5, а торы трехмерны. Следовательно, торы не разделяют
уровни энергии на открытые инвариантные множества и даже
в случае малых возмущений траектории в принципе могли бы,
двигаясь между торами, уйти далеко в направлении изменения
переменных действие. Вопрос о том, реализуется ли такая
возможность, получил положительный ответ в статье Арнольда1,
где был построен пример нетривиальной эволюции переменных
действие в возмущенной системе с двумя с половиной степенями
свободы. Впоследствии в численных экспериментах было
обнаружено, что указанная эволюция действий не имеет
направленного характера и выглядит как случайное блуждание, в связи
с чем Чириков цредложил назвать это явление диффузией
Арнольда.
В настоящее время основные вопросы, связанные с
диффузией Арнольда, звучат так: 1) является ли диффузия типичной;
2) какова максимальная средняя скорость изменения действия
на «диффузионных»2 траекториях?
Ответ на первый вопрос, несомненно, положителен. Но
полные доказательства пока получены лишь в так называемых
априори неустойчивых системах3, где задача оказывается
проще.
По поводу второго вопроса известно следующее. Согласно
теории Нехорошева для систем A5.14) с
вещественно-аналитическим невырожденным гамильтонианом скорость диффузии
экспоненциально мала, т. е. для того чтобы переменные действие
сместились относительно своего начального значения на
величину порядка единицы,4 требуется время не меньше, чем поряд-
1 Арнольд В. И. Неустойчивость динамических систем с многими степенями
свободы // Докл. АН СССР, 1964. - Т. 156. - № 1. - С. 9-12.
2Лучше сказать, эволюционирующих.
3Типичный пример априори неустойчивой системы — возмущение
интегрируемой гамильтоновой системы, являющейся прямым произведением системы,
записанной в переменных действие-угол и математического маятника.
Характерной особенностью таких систем является наличие асимптотических
движений (сепаратрис) в невозмущенной системе. В окрестности этих движений
хаотические явления развиваются существенно интенсивнее.
4То есть на положительную величину, не зависящую от е.
382

ка еа/1*1 , где аир — положительные постоянные1. В априори
неустойчивых системах эволюция действий может происходить
существенно быстрее (со скоростью е/1п |е|). Впрочем, и в этих
случаях доказательства опубликованы только для систем с 2-
степенями свободы2.
15.3.2. Антиинтегрируемый предел. Теорема Обри
Основные идеи и методы антиинтегрируемого предела
удобно излагать на примере стандартного отображения Чирикова.
В более общей ситуации соответствующие результаты
содержатся в [32].
Динамика стандартного отображения Чирикова.
Сначала немного истории. Б. В. Чириков — новосибирский физик,
в конце 50-х гг. XX в. заинтересовавшийся проблемой
неустойчивости электронных пучков в магнитных ловушках. Следуя
обычной физической идеологии, вместо того, чтобы пытаться
описать явление во всех деталях, он предложил простейшую
модель, ухватывающую суть происходящего. Такой моделью
оказалось отображение Те цилиндра
% = {(я, у) : х той 2л}
на себя, сопоставляющее точке (х,у) € 2 точку Ге(х, у) =
= (Х,У)е2,где
X = х + у + Е81по:, У = у + езтх. A5.21)
Здесь б — вещественный параметр, от значения которого зависит
степень хаотичности динамики. Цилиндр 2 естественно считать
фазовым пространством рассматриваемой динамической
системы.
Отображение ГЕ задает дискретную динамическую систему с
фазовым пространством 2. Траектории системы —
последовательности точек (хк, у 1с) € 2 таких, что для любого целого к
(хк+1,Ук+г) = Те{хк,ук).
1 Важно иметь в виду, что экспоненциально малые эффекты имеют место
лишь в вещественно-аналитических системах. Бели гладкость гамильтониана
конечна, то скорость диффузии, вообще говоря, существенно выше (порядка
е^, где N > 0 — постоянная, зависящая от степени гладкости).
2Пифтпанкин Г. Н. Сепаратрисное отображение в гамильтоновой механике /
Г. Н. Пифтанкин, Д.В.Трещев // Успехи мат. наук, 2007. — Т. 62. — №2. —
С. 219-322.
383

Цилиндр 2 является двумерным симплектическим
многообразием относительно 2-формы со = Лу Л сЫ.
Задача 15-7- Проверьте, что отображение ГЕ симплектиче-
ское, т. е. Ге*о> = а>.
Иначе, отображение Те сохраняет площадь.
Замечание 15.1. В первом приближении по с отображение Те
совпадает с фазовым потоком дг математического маятника за время с.
В настоящее время отображение Те считается одной из
концептуально важнейших моделей в гамильтоновой динамике с
двумя степенями свободы. Основная причина состоит в том, что
формулы, задающие систему, очень просты, тогда как все
основные динамические эффекты, встречающиеся в более общих
системах этого типа, есть и здесь.
Перейдем к обсуждению динамики. Сначала заметим, что не
составляет труда посмотреть на траектории ГЕ с помощью
компьютера. Для этого полезно учесть, что при желании
переменную у также можно считать угловой. Действительно,
отображение Т€ допускает не только сдвиг переменной х на 2л, но и
аналогичный сдвиг переменной у в том смысле, что для любых целых
кип
Те(х + 2пк, у + 27т) = (X + 2пк, У + 2пк + 27т)
(сдвиг переменных X и У также имеет вид 2п1 (I € 2)). Поэтому
можно нарисовать на экране компьютера квадрат
5 = {(х,у) : 0 < х < 2л, 0 < у < 2л},
задать начальную точку (хо, Уо) € «5 и нарисовать ее, вычислить
точку @:1,1?) = Те(хо,уо) и нарисовать ее и т.д. Если
очередная точка (жп, уп) оказалась вне квадрата, ее надо вернуть1 в 5
сдвигом переменной х и/или у на 2пк с целым к. Интересно
посмотреть на получающиеся при этом траектории.
Что же все-таки происходит? Сначала положим е = 0. В этом
случае система интегрируема по Лиувиллю и, более того,
записана в переменных действие-угол. Действие у — первый интеграл.
Любая траектория расположена на замкнутой кривой
(одномерном торе)
*с = {(я»у) е2 :у = с = соп8*}.
1В сущности мы заменили (некомпактное) фазовое пространство 2 на
(компактное) Т2 = {(х, у) той 2к}.
384

Кривая 1С поворачивается на угол с. Если число с/к
рациональное, то траектория периодична, т.е. замкнется через
конечное число шагов. Если с/к иррационально, траектория
всюду плотно покроет окружность /с. Такие кривые 1С называются
нерезонансными.
В случае е ф 0 ситуация сильно усложняется. Надеяться на
существование первого интеграла не приходится. Это связано с
тем, что траектории (во всяком случае, некоторые из них)
перестают ложиться на гладкие кривые типа окружностей 1С и
начинают демонстрировать хаотическое поведение.
Впрочем, хаос возникает постепенно. Согласно версии теории
КАМ для симплектических отображений, при малых значениях
параметра е многие из нерезонансных кривых 1С в слегка
деформированном виде будут существовать как инвариантные кривые
для ТЕ. Понимать это надо следующим образом. При малых е на
цилиндре 2 имеется много кривых /С]Е, которые:
• определены не для всех с, но для многих;
• близки1 к кривым 2С;
• инвариантны относительно ГЕ, т. е. состоят из траекторий;
• каждая из этих траекторий покрывает свою кривую всюду
плотно.
Кривые 2С)С хорошо видны при численном счете на
компьютере. Траектории, расположенные на них, принято считать
регулярными.
Хаотические траектории на экране компьютера выглядят как
«облака», более или менее плотно заполненные точками. Можно
доказать, что если е мало и начальные условия берутся наугад,
то вероятность попасть на одну из регулярных траекторий
существенно выше, чем вероятность попасть на хаотическую
траекторию.
Когда е растет, кривые /С)С разрушаются и хаоса становится
больше. При больших б в численном эксперименте видно, как
одна траектория зарисовывает почти без дыр весь квадрат 5.
Антиинтегрируемый предел. Хаотические траектории
можно построить и аналитически, без помощи компьютера.
Особенно просто это можно сделать при больших е, когда система
наиболее далека от интегрируемой. Этим мы сейчас и займемся.
Предел при е —> ос называется антпиинтпегрируемым пределом.
Сначала полезно переписать динамические уравнения A5.21)
в «лагранжевой форме». Пусть последовательность (я/ьУй)» ^ €
То есть /с,е —> 1с в С -топологии (А; > 0 — произвольно) при с —> 0.
385

Е 2, — траектория стандартного отображения Чирикова. Тогда
для всех целых к
хк+1 = хк + ук + евшаъ, ук+\ = ун + езто;*. A5.22)
Исключая импульсы ук, получаем
хк+х - 2хк + хк-1 = е зш^. A5,23)
Теперь отображение приобретает вид (хк-\,хк) 1-> (хк,хк+1),
а фазовый цилиндр становится следующим: {(х-,х) Е М2}/ ~,
где отношение эквивалентности ~ отождествляет любые две
точки (х'__,х') и (х'!_,х") такие, что
х'_ - хЧ =х' - х" = 2л/, 1е 2.
Траекториями будем считать последовательности {хк}к^х,
удовлетворяющие A5.23). В случае необходимости импульсы ук
можно вычислить из первого уравнения A5.22).
Чтобы понять, как устроена динамика при больших е,
сначала рассмотрим случай е = оо. Формально говоря, при е = оо
динамики нет: х&+1 нельзя выразить через хк-\ и хк. Однако
нечто вроде траекторий имеется. Действительно, поделив на е,
получаем
81ПЖА; = -(жь+1 - 2хк + Хк-1) = 0.
Поэтому траектории при е = оо — это последовательности
вида
*к = *Ь. 1к е 2. A5,24)
Основная идея антиинтегрируемого предела состоит в том,
что при больших е стандартное отображение имеет много
траекторий, похожих на A5.24).
Чтобы сформулировать точный результат, возьмем большое
положительное число Л и определим пространство кодов Сд,
состоящее из последовательностей
а = {а>к}кег., ак = тйк, 1к Е 2, \ак+\-ак\<к.
Таким образом, Сд — это пространство последовательностей
A5.24) таких, что расстояния между точками ак+\ и ак
ограничены сверху числом Л.
Для каждого кода а Е С\ определим метрическое
пространство Па последовательностей
х = {я*}*€2| вир \хк - ак\ < оо.
кет.
386

Метрика на Па имеет вид
р(а/,х") = зир |4 - *Ц, *',х" е Па.
Теорема 15.6 (теорема Обри). Пусть зафиксировано
произвольно большое Л > 0. Для сколь угодно малого о > 0
существует ео = ео(Л,о) > 0 такое, что для любого кода а е С\ и
любого е > ео стандартное отображение Чирикова имеет
траекторию х е Па, причем р(ж, а) < о.
Траектория х из теоремы 15.6 следует коду а в том смысле,
что каждая из точек хъ отстоит от а^ не более чем на о.
Таким образом, мы построили множество траекторий
стандартного отображения, находящихся во взаимно-однозначном
соответствии с множеством кодов С\.
Задача 15.8. Найдите мощность множества С\.
Траектории х естественно считать хаотическими, потому что
они согласно нашему заказу могут прыгать по о-окрестностям
точек множества т& почти произвольно (ограничение, состоящее
в том, что величина прыжка не превосходит Л, при больших Л
не очень обременительно). На самом деле есть и более веские
основания приписывать траекториям х свойство хаотичности1,
но здесь не будем на этом останавливаться.
Доказательство теоремы Обри. Доказательство основано на
применении метода сжимающих отображений в метрическом
пространстве (Па, р).
Перепишем уравнения A5.23) в виде
Хк = агойп, ^+1-2х,+х.-^) A5 25)
где агсзт^ — ветвь арксинуса такая, что агсзт^(О) = аъ Е л2.
Таким образом, агсзт^ отображает интервал (—1,1) на интервал
[аъ — -,а& + г) и траектория х = а удовлетворяет уравнениям
A5.25) при е = оо.
При больших, но конечных, с траекторию ?,
удовлетворяющую A5.25), естественно искать следующим образом.
Рассмотрим отображение х »—> х = ТУ (ж) такое, что
1 Несложно показать, что х образуют гиперболическое множество в
стандартном отображении Чирикова.
387

хь = агент* I ] .
Очевидно, любая неподвижная точка отображения IV
является траекторией стандартного отображения Чирикова.
Лемма 15.2. Пусть е > ео, где ео = ео(Л, о) достаточно
велико. Тогда:
1) \У определено на шаре Вау0 С Па с центром в а и
радиусом о;
2) ЩВа,а) С Ва>а;
3) И^ является сжимающим отображением на Ва^а, т. е.
р(ИЧх'), И^х")) < \ Р(я'. *") для любых х', х" е Д,,.. A5.26)
Согласно принципу сжимающих отображений, теорема 15.6
следует из леммы 15.2. Поэтому обратимся к доказательству
леммы. Далее удобно считать, что о < л/2.
Доказательство. Докажем сначала 1 и 2 утверждения.
Чтобы проверить, что И^(Ва?а) С Ва^а, достаточно показать, что для
любого X Е Ва%а
Хк+1 - 2ж* + ХЪ-1
Ото. A5.27)
Б
Так как р(ж, а) < о и а Е Сд, имеем:
|яц-1 - 2хк + х*_!| < \хк+г - хк\ + |х* - хк-г\ < 2(Л + 2а).
Таким образом, неравенство A5.27) выполнено, если взять
2(Л + 2а)
Ео >
81ПО
Теперь докажем утверждение 3. Заметим, что для любой
пары вещественных чисел и', и" Е (— зт о, зт о) выполнена оценка
1агс8пи.и' — агезпи. и"\ < \и' — и"\.
1 ' СОЗО
Здесь = аир
СОЗО г1е(-8то,8то)
— агезть и
Ли
388

Положим х1 = IV(х'), х" = \У{х"). Тогда для любого к Е Ъ
имеем:
\х'к - 3| = | агсвт, ^+1-2^ + ^-1^ _
-«^(^'-^+а*-')|<
С08 0
< 1^+1 ~ ^-ц! + *К - Х'к\ + К+1 ~ «2+11 < _* (ж/ ж«).
есово ~" есово '
Таким образом, неравенство A5.26) выполнено, если
8
ео > .
СОЗО
Лемма 15.2 доказана. ¦
Заключительные соображения. Следует обратить
внимание на одно весьма неприятное обстоятельство. Дело в том, что
все известные к настоящему времени методы построения
хаотических траекторий в применении к отображению Те и
аналогичным системам дают метрически тощее хаотическое множество.
Имеется в виду следующее. При произвольном е рассмотрим
множество точек, лежащих на хаотических траекториях,
которые можно построить всеми доступными к настоящему времени
аналитическими методами. Получится некоторое подмножество
цилиндра 2. Оказывается, это хаотическое множество имеет
меру нуль.
Это не противоречит тому факту, что хаотических
траекторий бесконечно много. Но это противоречит нашей физической
интуиции. Хаос при больших е должен доминировать! На эту
же мысль наводит просмотр результатов компьютерного счета.
А может быть компьютеру в этом вопросе нельзя доверять? Ведь
он считает с конечной точностью...
Все-таки специалисты верят в то, что верна следующая
гипотеза.
Гипотеза. При е Ф 0 хаос в стандартном отображении Чири-
кова и системах такого типа живет на множествах
положительной меры.
Одной из важнейших проблем гамильтоновой динамики в
настоящее время является доказательство или опровержение этой
гипотезы.
389

Рис. 15.2. Около сотни траекторий стандартного отображения при
е = 0,09
Рис. 15.3. Около сотни траекторий стандартного отображения при
е = 0,14
В заключение приведем два рисунка (рис. 15.2, 15.3) [32] с
результатами численного построения траекторий стандартного
отображения. Видно, что с ростом е хаотические облака
увеличиваются.
390

15.3.3. Расщепление сепаратрис
Наблюдение Пуанкаре. Рассмотрим гамильтонову
систему с полутора степенями свободы, полученную в результате
неавтономного возмущения системы с одной степенью свободы.
Имеется в виду система
ЯН ЯТТ
± = ~Ъ' *=~ЗР (^У)е^сК2, A5.28)
где И — область и
Я(я, у, *, е) = Я0(х, у) + е#1(я;, у, *) + 0(е2). A5.29)
Предполагается, что гамильтониан Н 2л-периодичен по ?, а
е — как обычно, малый параметр.
Обозначим г = (я, у). Пусть го = (а?о»Уо) € & ~ положение
равновесия в невозмущенной (е = 0) системе: §гас1Яо(го) = 0-
В расширенном фазовом пространстве О хТ (Т = {* той 2л})
вместо положения равновесия имеем 2тс-периодическую
траекторию го х Т.
Предположим, что положение равновесия (и
следовательно, соответствующее периодическое решение) гиперболично (в
смысле п. 14.1.5). Это означает следующее. Пусть
\ дх2 дудх/
— матрица, задающая линеаризацию системы A5.28) | _0 в
положении равновесия го- Так как ЪтА = 0, сумма собственных
значений матрицы А равна нулю. Условие гиперболичности состоит
в том, что собственные значения А лежат вне мнимой оси, т. е.
с!е1 А < 0. Гиперболические положения равновесия гамильтоно-
вых систем экспоненциально неустойчивы.
На критическом уровне энергии Яо(ж,у) = Яо(го)
невозмущенной системы помимо точки го имеются также
асимптотические кривые — сепаратрисы Лв'и1. Напомним, что
асимптотические многообразия определяются как множества решений,
стремящихся к данному решению (в нашем случае (х({),уA)) = го)
1*з* от англ. «в1аЫе» и «и» от англ. «гш^аЫе» — не очень удачные, но
общепринятые обозначения.
391

или семейству решений, при * —> +оо (Лв) или при I —> —оо (Ли).
Еще одно предположение об устройстве невозмущенной системы
состоит в том, что сепаратрисы сдвоены: Лв = Аи = Л1. В
расширенном фазовом пространстве имеем двумерные
асимптотические поверхности Лв х Т = Аи х Т = Л х Т.
Задача 15.9. Докажите, что при малых значениях
параметра е возмущенная система имеет 2л-периодическое решение
2 = сте(*) = 2о + 0(б) Ей.
Указание. Достаточно доказать существование неподвижной
точки ге = го + О(е) для отображения Пуанкаре Ге : Б х {0} —>
-»Вх {0} AI,1? С И — окрестности точки го).
Существование решения уравнения Ге(г) = г легко получается из теоремы
о неявной функции. При этом вместо условия гиперболичности
понадобится более слабое условие невырожденности Лей А ф 0.
Периодическое решение оеB) из задачи 15.9 гиперболично (в
смысле п. 14.1.5). Поэтому, согласно теореме
Адамара—Перрона2, имеются поверхности И^ев'и С ВхТ, асимптотические к
траектории (аЕ(*), Ь) в расширенном фазовом пространстве. Они
являются малыми деформациями невозмущенных поверхностей
И>ов'и = Лв'и х Т.
Замечательным открытием Пуанкаре является тот факт, что,
как правило, поверхности И^в и И^* не совпадают при е ф 0.
Чтобы пояснить значение этого наблюдения для динамики,
полезно попытаться нарисовать эти поверхности. Рисовать мы будем
не в трехмерном пространстве, а на сечении Пуанкаре И х {0}.
Тогда периодическое решение (оЕ(*),*) будет изображаться
точкой ге = ае@), а вместо поверхностей И^/'" будем иметь кривые
Л2'М = И>?'МП{* = 0}.
Основные соображения, применяемые при получении
рис. 15.4, состоят в следующем:
а) при малых е кривые Ли и Л" (а также Лв и Л^) должны
мало различаться, во всяком случае пока Л2'п не ушли достаточно
далеко от точки ге;
б) кривые Ле*'" инвариантны относительно отображения Цу-
анкаре Ге;
в) кривые Л|'и не могут иметь самопересечений, но в
принципе могут пересекаться друг с другом;
^то предположение, в сущности, означает, что кривые Л*'и не уходят на
бесконечность и не «втыкаются» в другие положения равновесия (см.,
например, фазовый портрет математического маятника на рис. 2.18).
2 Эту теорему для аналитических систем умел доказывать еще Пуанкаре.
392

б
Рис. 15.4. Кривые Л^и:
а — при е = 0; б — при с > 0
г) любая точка г* ф гк пересечения кривых Л* и Л^
(называемая, согласно Пуанкаре, гомоклинической точкой) переходит
под действием ТЕ (а также Т~1) опять в гомоклиническую
точку;
д) около неподвижной точки ге отображение Те в линейном
приближении растягивает вдоль Л^ и сжимает вдоль Л|;
е) отображения Ге и Т~г сохраняют площади. В частности,
площади заштрихованных областей (лунок) на рис. 15.4, б
совпадают.
Теперь остается предположить, что кривые Л* и Л^
пересекаются трансверсально, скажем в точке г*, и почти автоматически
возникает рис. 15.4, 5. Характерной особенностью полученной
картинки является Чрезвычайно сложная и запутанная сеть,
образованная кривыми Л?'11, что свидетельствует о сложности
динамики в возмущенной системе.
Вот, кстати, некоторые соображения, из которых несложно
вывести неинтегрируемость системы, сепаратрисы которой
ведут себя так, как изображено на рис. 15.4. Пусть Р —
вещественно-аналитический первый интеграл отображения ГЕ, т. е.
Р = Р о ГЕ. Так как кривые А1'и состоят из траекторий,
асимптотических к точке гЕ, функция Р на Л|'и должна принимать
постоянное значение, равное Р(гс). Но можно показать, что
вещественно-аналитическая функция, постоянная на множестве,
устроенном так сложно, обязана быть тождественной
постоянной.
Интеграл Пуанкаре. Нашей дальнейшей задачей является
дополнить предыдущие качественные рассуждения результата-
393

ми количественного типа. Расщепление сепаратрис можно
измерять по-разному. Один из наиболее естественных способов —
посчитать симплектическую площадь двухугольной лунки между
двумя гомоклиническими точками (см. рис. 15.4). Основным
инструментом для этого и других подобных вычислений является
интеграл Пуанкаре, определяемый ниже.
Пусть у(*) — естественная параметризация Л, т. е.
Т(«) = (*(*). У(*)) A5-30)
— решение уравнений A5.28) для е = 0, асимптотическое к точке
го при I —> ±оо. Так как добавление к гамильтониану
произвольной функции, зависящей только от I и е, не влияет на динамику,
без ограничения общности будем считать, что Н\{г^,1) = 0.
Таким образом, интеграл Пуанкаре
+оо
Р(т)= Г Я1(т(* + т),*)Л A5.31)
—с»
сходится, поскольку подынтегральное выражение
экспоненциально убывает при I —> ±оо.
Задача 15.10. Докажите, что функция 'Р(х) 2тг-периодична.
Задача 15.11. Проверьте, что
+оо
—оо
где { , } — скобка Пуассона.
Функция V содержит всю информацию о расщеплении
сепаратрис в первом приближении по е.
Теорема 15.7. Пусть 1\ и тг — две последовательные
невырожденные критические точки функции V1. Тогда им
соответствует пара гомоклинических точек таких, что площадь А(г)
соответствующей лунки равна
А{г) = |еР(т!) - еР(т2)| + 0(е2)- A5.32)
1 Другими словами, два простых последовательных нуля функции V.
394

Доказательство. 1. Уравнение Гамильтона—Якоби.
Следуя Пуанкаре, рассмотрим случай, когда Л однозначно
проектируется на ось х (так что рис. 15.4, формально говоря, нашим
доказательством не охватывается). В общем случае
доказательство основано на тех же идеях (см., например, [32]).
Кривая Л (рис. 15.5) задается уравнением у = -^г(х) для
ох
некоторой функции ср(х). Аналогичное уравнение имеем и в
расширенном фазовом пространстве, т.е. поверхность И^ = 1??1
имеет вид
|(я,У,<) :У = §(*)}
Возмущенные асимптотические поверхности задаются
следующим образом:
Ю7'и = {(*,У,<) = У = ^(*,М)} , 8-'"(хА0) = ср(х).
Замечание 15.2. Функции 5*,и определены неоднозначно: с
точностью до добавления произвольных функций /Л,и(*, е).
Предложение 15-4. Можно считать, что функции 5в'и
удовлетворяют уравнению Гамильтона — Якоби
д8а*и ( д38*и \
-^-(х,Ъ,г) + Н (*,~^-(х,*,е),*,г) = 0. A5.33)
Замечание 15.3. Уравнение A5.33) при б = 0 показывает, что
если мы хотим, чтобы равенства 8*%и(х,Ь,0) = у[х) выполнялись
точно, а не с точностью до добавления функции от ?, следует положить
Яо|Л = 0. Это всегда можно сделать.
Доказательство предложения 15.4 основано на прямом
вычислении. Для краткости будем писать 5 = 88'и и У/г — И^'".
Рис. 15.5. Сечения асимптотических поверхностей И^в,и плоскостью
0 = 0}:
а — при е = 0; б — при е Ф 0
395

Пусть (ж, у,I) = ( ж, — (х, *, е), *) — точка, лежащая на 1Уе.
Вычислим производную по времени в силу уравнений A5.28):
у=а^(а;'*'е)+^(х'*'е):с=-^(а;'у'*'е) =
* гг/ ^5. , ч л \ дН. л .0*8,
= -^я1ж'^(х'*'е)'*'е) + -^(а;'у'*'е)^(х'<'е)-
Заметим, что в первом слагаемом последней строки при
вычислении производной по х учитывается, что х входит в Н два
раза: как обычный аргумент Н и как аргумент 5.
Так как согласно уравнениям Гамильтона слагаемые -=-*¦ х и
дхг
дНЭ23
~я~~ я~~2 Равны ДРУ11 ДРУГУ» получаем
^(ж(ж'м) + я(ж'^(ж'*'е)'0)=°-
Поэтому для некоторой функции а(<, е)
—{х^г) + н(х,— (ж,*,е),П =а(*,е).
Как и в A5.33), правую часть можно считать равной нулю. ¦
2. Функции 5*'и и интеграл Пуанкаре. Разложим
уравнения A5.33) в ряд по е. Пусть 5 = ф(ж) + е$1(ж, ?) + 0(е2). Тогда
в нулевом приближении по б имеем:
§ЕН + я0(,|)=о.
Это уравнение уже обсуждалось в замечании 15.3.
В первом приближении получаем
д81
Так как дНо/ду = х (где точка обозначает производную
по времени в силу невозмущенной системы A5.21)), равенство
A5.34) переписывается в виде
^$1(х,*) + ^ (х, |*,Л = 0. A5.35)
396

С этого места следует различать случаи 5 = 5е и 5 = 5".
Подставим в A5.35) вместо х его параметризацию х{Ь + т) (см.
A5.30)). Тогда
(*(*+ *), §*(*(*+ т)))=Т(* + т).
Интегрируя уравнение A5.35) по *, имеем:
+ос
5{{х{1 + т),1)-8{{х{+ж),г)= Г Я1(Т(«+ !),*)&,
I
I
5?(х(* + т),*)-5?(*(-оо),*) = - | Я1(т(в + т),в)А
(Напомним, что ?(-оо) = ?(+00) = хо-) Следовательно,
5?(х(* + !),*)- 3?(*(* + т), *) = Р(т) + Р(*),
где Р(<) = 5*(хо, <) — 5?4 (яо, <)• Дифференцируя по т, получаем
х(* + т) ^E?(*(* + т),*) - 5?(х(< + т),*)) = ^(т). A5.36)
3. Гомоклинические точки и лунки. Гомоклинические
точки задаются уравнениями I х, -^— I = I х, —— I, т. е.
§(*(* + т)) + ^{х{Ь + т),*) + 0(е2) - §*(*(* + т))-
-^(х(« + т),*) + О(е2) = 0,
где мы опять подставили х{1 + т) вместо ж. С учетом A5.36) и
соотношения х{1 + т) ^ О1 после сокращения на е получаем
Р'М +0@=0-
Таким образом, невырожденным критическим точкам
функции Р(т) отвечают гомоклинические точки.
1 Кстати, почему хA + т) ^ 0?
397

Вопрос: для чего нужна невырожденность и в каком смысле
понимать предыдущее высказывание?
Пусть Т1 и тг — две последовательные невырожденные
критические точки функции Р(т). Соответствующие гомоклиниче-
ские точки 21 = (яг1,у1), 22 = (^2,?) на сечении Пуанкаре
{к = 0 той 2л} являются «углами» некоторой лунки.
Посчитаем ее площадь А(г). Имеем:
¦Ш-
I (?(..0..)-^,0,.))
Лх
Р1
+ 0(е2).
Произведем в интеграле замену переменных х = я(т). С
учетом A5.36) получаем
,4(.) =
Т2
|е^ (вгD(т),0) - вГ(*(т),0)L(т)*
+0(е2) =
12
ГеР'(т)Ж
+ 0(е2),
откуда сразу вытекает A5.32). ¦
Стандартный пример. В качестве стандартного
модельного примера рассмотрим маятник с вертикально периодически
колеблющейся точкой подвеса, т. е. систему с гамильтонианом
Н(х, у, *, е) = -у2 + И2 сое х + е6(*) соз ж,
Л1
A5.37)
где 6 — периодическая функция времени.
Произведя, в случае необходимости, замену времени * н-> X*,
можем считать, что функция 8 2л-периодична или, другими
словами, частота колебаний точки подвеса равна 1.
Невозмущенная сепаратриса вместе с естественной
параметризацией у(*) может быть вычислена явно.
Задача 15.12. Проверьте, что соб(хA)) = 1 — 2сЬBШ).
398

+оо
Из A5.31) получаем: Р(т) = Г 8(*) (сов(х(* + т)) - 1) <И.
Задача 15.13. Проверьте, что если 8(*) = сое*, то
гм = *С08Т
«-(я)
В случае 0B) = сое * лунки имеют площадь
Е71

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аппель П. Теоретическая механика : в 2 т. — М. : Физматгиз,
1960. - Т. 1. - 515 с; Т. 2. - 487 с.
2. Арнольд В. И. Математические методы классической
механики. — М. : Эдиториал УРСС, 2000. — 408 с.
3. Арнольд В. И. Симплектическая геометрия / В. И. Арнольд,
А. Б. Гивенталь. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая
механика», 2000. — 168 с.
4. Арнольд В. И. Математические аспекты классической и небесной
механики / В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт. — М. :
Эдиториал УРСС, 2002. - 416 с.
5. Биркгоф Д. Динамические системы. — Ижевск : 1999. — 407 с.
6. Вильке В. Г. Теоретическая механика. — М. : Изд-во Моск. ун-та,
1998. - 272 с.
7. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. — М. :
Наука, 1966. — 301 с.
8. Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. — М. : Изд-во
Моск. ун-та, 2000. — 719 с.
9. Демидович Б. П. Лекции по математической теории
устойчивости. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1998. — 480 с.
10. Дубровин Б. А. Современная геометрия. Методы и
приложения. — Т. 2 : Геометрия и топология многообразий / Б.А.Дубровин,
С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. — М. : Эдиториал УРСС, 2001. —
296 с.
11. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики. — М. : Физ-
матлит, 2001. — 320 с.
12. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. — М. :
Эдиториал УРСС, 1998. - 168 с.
13. Картан А. Дифференциальное исчисление.
Дифференциальные формы. — М. : Мир, 1971.
14. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике
твердого тела. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая механика»,
2000. - 248 с.
15. Козлов В. В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоно-
вой механике. — Ижевск : УдмГУ, 1995. — 238 с.
16. Козлов В. В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику
систем с ударами / В. В. Козлов, Д. В. Трещев. — М.: Изд-во Моск. ун-та,
1991. - 168 с.
400

17. Корнфелъд И. П. Эргодическая теория / И. П. Корйфельд,
Я. Г. Синай, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1980. - 384 с.
18. Крылов Я. М. Введение в нелинейную механику / Н. М. Крылов,
Н. Н. Боголюбов. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2004. — 352 с.
19. Лагранж Ж. Аналитическая механика : в 2 т. — М.-Л. : Гостех-
издат, 1950. - Т. 1. - 594 с; Т. 2. - 440 с.
20. Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. Теоретическая физика : в 10 т. —
Т. 1. Механика. — М. : Физматлит, 2001. — 224 с.
21. Лидов М. Л. Курс лекций по теоретической механике. — М. :
Физматлит, 2001. — 478 с.
22. Ляпунов А. М. Лекции по теоретической механике. — Киев : На-
укова думка, 1982. — 632 с.
23. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М. : Наука,
1968. - 532 с.
24. Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М. : Изд-во ЧеРо,
1999. - 572 с.
25. Неймарк Ю. И. Динамика неголономных систем / Ю. И. Ней-
марк, Н. А. Фуфаев. — М. : Наука, 1967. — 520 с.
26. Новиков С. 77. Современные геометрические структуры и поля /
С. П. Новиков, И. А. Тайманов. - М. : МЦНМО, 2005. - 584 с.
27. Парс Л. А. Аналитическая динамика. — М.: Наука, 1971. — 636 с.
28. Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел: в 2 т. — М.: Наука,
1983. - Т. 1. - 464 с; Т. 2. - 544 с.
29. Руш Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости /
Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа. — М. : Мир, 1980. — 300 с.
30. Суслов Г. К. Теоретическая механика. — М.-Л. : Гостехиздат,
1946. - 665 с.
31. Татаринов Я. В. Лекции по классической динамике. — М.: Изд-
во Моск. ун-та, 1984. — 295 с.
32. Трещев Д. В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых
систем. — М. : Фазис, 1998. — 184 с.
33. Трофимов В. В. Алгебра и геометрия интегрируемых
гамильтоновых уравнений / В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко. — М. : Факториал,
1995. - 448 с.
34. Уиттпекер Э. Аналитическая динамика. — Ижевск : НИЦ
«Регулярная и хаотическая механика», 1999. — 596 с.
35. Халмош 77. Лекции по эргодической теории. — Ижевск : НИЦ
«Регулярная и хаотическая механика», 2000. — 136 с.
36. Четпаев Я. Г. Теоретическая механика. — М. : Наука, 1987. —
368 с.
37. Якоби К. Лекции по динамике. — М.-Л. : ОНТИ, 1936. — 272 с.
14 Болотин

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
П.1. Дифференциальное исчисление
Векторы обозначаются жирными буквами, например х 6 Кп —
вектор в гс-мерном пространстве. Как правило, компоненты вектора
нумеруются нижним индексом: х = (х\, ..., хп). Если не оговорено
противное, в матричных вычислениях векторы считаются столбцами, хотя
часто для экономии места их пишут в виде строки. Если х, у 6 Кп, то:
п
(х, у) = У^ ХгУг — скалярное произведение в стандартной евклидо-
вой метрике в Кп; скобки (,) иногда опускаются, так что произведение
ху двух векторов по умолчанию следует считать скалярным;
п
|х| = ( 2^ я?) — евклидова йорма вектора х в Кп.
1=1
Отметим, что, как правило, при внимательном рассмотрении в
выражениях типа (х, у) один из сомножителей оказывается вектором, а
другой — ковектором, так что произведение имеет дифференциально-
геометрический смысл действия ковектора (линейного функционала)
на вектор.
Если не сказано противное, то все функции предполагаются
гладкими, т. е. дифференцируемыми столько раз, сколько нужно. Частные
производные функции / : Кп —> К. для краткости часто обозначаются
нижними индексами, например,
^/ А« \ (д* 9*
Так как градиент является ковектором, его компоненты естественно
записывать в виде строки. Этого соглашения мы, как правило,
придерживаемся в книге.
Для гладкого отображения д : Жп —> Кт, у = ^(х), его матрица
Якоби обозначается
V ^ )
™-ф-%
Таким образом, индекс г нумерует столбцы, а .7 — строки.
Правило дифференцирования композиции отображений д
Жт и / : Кт -> К* выглядит так
В{{ ° в)(х) = Х}/(у)Дв(х), у = в(х).
402

Функция / : Кп —> К называется однородной степени 8 (я е 1), если
для любых X > 0 и х Е Кп выполнено /(Хх) = Хв/(х).
Теорема П.1 (теорема Эйлера). Для гладкой однородной
функции / степени з выполнено равенство
(И-
¦/(«)¦
Для целого А; > 0 функция /(я?1, ..., хп) на пространстве Кп
называется гладкой класса Ск, если она непрерывна и имеет непрерывные
производные по всем координатам до порядка к включительно.
Рассмотрим векторное уравнение /(х,у) = 0, х е Кп, у Е Кт, где
/ : Кт+П -> Кта — гладкая функция.
Теорема П.2 (о неявной функции). Предположим, что для
некоторого абКпиЬб Кт выполнено
/(а,Ь)=0 и йе^^О,
где — = I -^- 1 — матрица Якоби по переменным у. Тогда сугце-
оу \дуз/
ствует окрестность V точки (а, Ъ) и гладкая функция д : С/ —> Кт
на окрестности V точки а такие, что выполняется равенство
{(х, у) е V : Дх, у) = 0} = {(х,у) : у = е,(х), х е Щ.
Это равенство означает, что уравнение /(х, у) = 0 можно
разрешить относительно переменных у или, что то же самое, его решения
могут быть представлены в виде графика некоторой функции д : С/ —>
403

Приложение 2
П.2. Сведения из линейной алгебры и анализа
П.2.1. Квадратичные формы
Пусть А — (п хп)-матрица. Ее собственными значениями^, ..., Хп
называются корни характеристического уравнения
/(Х)=<1е1;(ХЯ-Л)=0,
где Е — единичная матрица. Собственным вектором матрицы А,
отвечающим собственному значению X, называется ненулевой п-мерный
вектор х (возможно с комплексными координатами) такой, что Ах. =
= Хх. Если матрица А вещественная и симметрическая, то все ее
собственные значения — вещественные числа, и у нее есть п вещественных
взаимно ортогональных собственных векторов хх, ..., х„ (по одному
на каждое собственное значение, считая их с кратностью):
Ахг = Х*х», (х*,х^) =0, г ф з-
Квадратичная форма вКп- это функция Ф(х) = (Ах, х), х € Кп,
где А — (п х п)-симметрическая матрица. Собственные числа этой
матрицы называются собственными числами квадратичной формы. Число
ненулевых собственных чисел называется индексом инерции формы.
Число положительных (отрицательных) собственных чисел
называется положительным (отрицательным) индексом инерции формы.
Если сделать линейную замену координат х = Су, то эта
квадратичная форма примет вид Ф(Су) = (Лу,у), у 6КП, где А — СТАС.
Преобразование координат называется ортогональным, если оно
сохраняет квадратичную форму |х|2, т.е. если СТС = Е — единичная
матрица. Верна следующая теорема о приведении квадратичной
формы к диагональному виду.
Теорема П.З. Существует ортогональная замена координат х =
= Су, после которой квадратичная форма примет вид
Ф(Су) = Х>г/?,
г
где X» — собственные числа матрицы А.
Отсюда вытекает следующая теорема об одновременном
приведении пары квадратичных форм к сумме квадратов.
Теорема П.4. Пусть Фг(х) и Фг(х) — квадратичные формы в
Кп, причем матрица Ф\ положительно определена. Тогда
существует линейная замена координат х = Су, после которой квадратичные
формы примут вид
Ф1(Су) = Х>?, ФгССуН^г,?,
г г
где \{ — корни уравнения Де1;(ХА1 — Аг) = 0.
404

П.2.2. Векторная алгебра
При доказательстве существования центра скоростей и в других
подразделах использовались формулы для двойного векторного
произведения
ЬМ-Ца^-с^Ъ), (П.1)
смешанного векторного произведения
<а,[Ъ,с]> = (Ъ,[с,а]) (П.2)
и квадрата векторного произведения
|[а,Ь]|2 = <[а,Ъ], [а,Ь]) = <а, [Ь, [а,Ь]]) = а2Ьа - (а,Ь>2. (П.З)
П.2.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
х = у(х,*), х€Кп, <€К. (П.4)
Пространство переменных х Е Кп называется фазовым
пространством, а пространство переменных (х, ?) 6 Кп х Е - расширенным
фазовым пространством системы. Производной в силу системы (П.4)
дифференцируемой функции й(х, I) называется производная вдоль
решений системы:
Бе также называют полной произво,Ьной по времени.
Первым интегралом системы (П.4) называется функция Л(х, ?),
постоянная вдоль решений системы. Если к гладкая, то ее полная
производная равна нулю.
Теорема П.5 (о существовании и единственности). Пусть
векторное поле V принадлежит классе СЛ, к > 1, в некоторой
области V С Кп+1. Тогда;
1) для любой точки (хо, *о) € С/ найдется б > 0 такое, что система
имеет единственное решение х(*), *о—е < I < *о+е, удовлетворяющее
начальному условию х(*о) = хо;
2) решение х(*) = Ф(хо,*о!*) — функция класса Ск от своих
аргументов.
Отображение 0*о, определенное как д10{хо) = Ф(хо,*о>*I
называется сдвигом вдоль решений системы за время от ^о до ?.
хМы не обсуждаем негладкие векторные поля, поскольку они нам не ветре
тятся.
405

Следствие П.1. В некоторой окрестности любой.точки (хо,*0)
неавтономная замена переменных* *-> у, х = д\0(у) приводит
систему к виду у = 0.
Система называется автономной, если векторное поле V не зависит
от времени:
х = у(х), х € Кп, (П.5)
Добавляя I в качестве дополнительной переменной,
удовлетворяющей уравнению ? = 1, без ограничения общности можно рассматривать
только автономные системы.
Теорема П.6 (о выпрямлении). Если V класса С*, к > 1, и
у(хо) Ф 0, то в некоторой окрестности точки хо существует
автономная замена переменных х и у, х = в(у) класса Ск такая, что
в новых переменных уравнение примет вид
У1 = 1, Й=0, ..., уп = 0-
Для автономных систем сдвиг д1 фазового пространства вдоль
решений за время от 0 до I называется фазовым потоком: дг = д^. Таким
образом, <7*(хо) = хB) — решение с начальным условием х@) = хо.
Семейство отображений {д1} обладает групповым свойством
В общем случае фазовый поток {д1} не образует группу (только
локальную группу), поскольку решения существуют не при всех I (поток
не полон).
Для автономных систем производная в силу системы функции Л(х)
называется также производной вдоль векторного поля V:
Таким образом, векторное поле V можно рассматривать как линейный
дифференциальный оператор первого порядка Н *-> д^Н.
Коммутатором векторных полей V и и называется векторное поле
Г = [и,у], соответствующее дифференциальному оператору:
К н-> ди(дчп) - д*(диН).
Короче Эр = диду, — ду,ди. В координатах Р^ = диУ{ — д^щ.
Говорят, что векторные поля V и и коммутируют, если [у, и] = 0.
Коммутируемость векторных полей и соответствующих им фазовых
потоков связаны следующим утверждением.
Предложение П.1. Фазовые потоки д[ и д\ систем х = VI (х)
и х = Уг(х) коммутируют (т. е. д{ о д\ = д\ о д\ для любых з и
Ь, таких, что обе части определены) тогда и только тогда, когда
коммутируют векторные поля \\ и\2-
406

, Приложение 3
П.З. Гладкие многообразия
В механике гладкие многообразия встречаются постоянно как
конфигурационные и фазовые пространства механических систем. Однако
в большинстве приложений топология этих пространств не важна.
Поэтому читатель, которого не интересуют глобальные аспекты теории,
может считать, что п-мерное многообразие — это область в Кп.
Произвольное га-мерное многобразие М можно определить как
подмножество в пространстве К* размерности к > п, которое локально,
в окрестности каждой точки р € М, задается системой независимых
уравнений <
/1(г)=о, ...,Л_п(г) = о, гек*.
Функции /1, ..., Д_п называются независимыми, если ранг их
матрицы Якоби равен к — п. По теореме о неявной функции, в достаточно
малой окрестности XI С М произвольной точки р Е М, гладкое
многообразие можно задать в параметрической форме
С/ = {г = 5(х):*еУ},
где V — область в Кп, а д : V —> К* — гладкое отображение, матрица
Якоби которого имеет ранг п. Отображение д : V —> М, г = д(х) задает
локальные координаты х = (х\, ...,хп)наМй окрестности точки го
и называется координатной картой на М.
При другом выборе локальных координат у в окрестности точки
р, заданных координатной картой Н : IV -* М, функции перехода
у = Л-1 о0(х), х € д (Л(И^)) являются гладкими и обратимыми.
Говорят, что карты д и й имеют согласованную ориентацию, если якобиан
этой замены положителен. Гладкое многообразие называется
ориентируемым, если в окрестности каждой точки можно выбрать локальные
координаты так, что все карты согласованы.
Обычно (см., например, [26]) гладкое многообразие определяют как
множество, покрытое набором карт (атласом), таким, что функции
перехода гладкие. По теореме Уитни [26] это определение эквивалентно
нашему.
Пусть IV — область в Кт. Отображение / : V/ —> М С К* гладкое
класса Сг, если оно принадлежит классу СТ как отображение V/ —> К*.
Отображение / : N —> М гладких многообразий называется гладким,
если для любой координатной карты й г И^ —> N на N отображение
/ о й гладкое. В локальных координатах х на М и у на N гладкое
отображение / задается функциями у = у(х) класса Ст'. Гладкое
обратимое отображение с гладким обратным называется диффеоморфизмом.
Касательное пространство. Пусть р — точка многобразия М С
С К* и у : (—е, е) —> М — гладкая кривая такая, что у@) = р. Вектор
скорости V = у@) € К* является касательным к М в точке р. Если
407

рассмотреть всевозможные такие кривые, то множество ТРМ
полученных касательных векторов называется касательным пространством к
М в точке р. В локальных координатах х = [х\, ..., хп) в окрестности
р, задаваемых картой Н : V —> М, кривая задается в виде х = хB),
у(г) = й(х(*)), так что вектор V = 1>Л(х@))х@) задается своими
компонентами («1,...,уп) = х@). Можно ввести базис их, ... ,ип в ТРМ
по формуле и» = ^Л(х@))е». Тогда
В частности, ТРМ — п-мерное векторное пространство в К*.
Часто удобно рассматривать касательный вектор V Е ТРМ как
оператор дифференцирования гладких функций / на М:
*'-г
Лт(*))-
?=0
В координатах
%*+¦¦¦+&¦
а*/ = тг-»1 + ¦ • ¦ + ^-«п,
где — частные производные функции / = /(Л(х)), выраженной
через координаты х. Обычно мы не различаем функцию / на
многообразии и ее представление в локальных координатах.
Бели в каждой точке р 6 М задан вектор V(р) Е ТРМ, то функция
Р ¦-> у(р) называется векторным полем на М.
Производная отображения многообразий. Пусть / : М —>
—> N — гладкое отображение гладких многообразий. Производная
й/(р) : ТРМ —> ТУ(р)^ — линейный оператор уи^ = й/(р)у,
определяемый следующим образом. Любой касательный вектор V Е ТРМ в
точке р Е М является вектором скорости V = у@) кривой у[1) Е М;
проходящей через р в момент Ь = 0. Кривая /(у(Я)) ПРИ * = 0 проходит
через точку /(р). Положим
а
™ = Т
аЧ
/(Т(*))-
Часто й/(р) называется дифференциалом отображения /. Если в
локальных координатах х на М и у на N отображение / задается в
виде у = у(х), то компоненты вектора то = й/(р)у будут вычисляться
следующим образом:
Едуг
з •*
ду
Таким образом, матрица оператора й/(р) — матрица Якоби —.
ах
408

Кокасателыгае пространство. Множество линейных функций
а : ТРМ —> К обозначается Т*М и называется кокасательным
пространством в точке р. Это векторное пространство размерности га,
сопряженное к ТРМ. Его элементы называются ковектпорами.
Для любой гладкой функции / на М отображение V ь-> Эу/
является линейной функцией на ГРМ, а значит, ковектором. Он называется
дифференциалом / в точке р и обозначается й/ = <#"(р). В координатах
# = 1^ + - + 5^- (п-6>
где сЬ?!, ..., йхп — базис на ТрМ, сопряженный базису щ, ..., ип на
ГРМ:
<2х«(и,-) =дщХг =5у.
В частности, ёх\, ..., ейгп — дифференциалы координатных
функций Ж1, ...,ЯП-
Дифференциальные 1-формы. Пусть для каждой точки р
многообразия М задан ковектор ар е ТрМ, т.е. линейная форма
оьр : ТРМ —> М. Функция р —> ар назывется дифференциальной 1-фор-
мой на М. В локальных координатах х\, ... ,хп:
а = «1 Ас1 Н 1- ап сЬ:п-
Форма называется гладкой, если функции ах, ..., а„ гладкие.
Стандартным примером является дифференциал (П.6) гладкой функции.
409

Приложение 4
П.4. Внешние дифференциальные формы
В гамильтоновой механике используется аппарат внешних
дифференциальных форм. Поэтому необходимо напомнить элементарные
сведения из этой области. Более подробное рассмотрение теории
внешних дифференциальных форм можно найти, например, в [2, 10].
Внешней формой степени к (или, для краткости, внешней
^-формой) в точке р Е М называется полилинейная кососимметрическая
функция
VI, ...^Л Н->ЦУ1, -..,Чк)
векторов VI, ..., уь € ТрМ. Таким образом, о>(у1 , ..., чь) линейна по
каждому аргументу V» и меняет знак при перестановке V* и V^-. Если
(о = (Ор задана для каждой точки р Е М, то говорят, что со —
дифференциальная к-форма.
Наиболее важны для нас 1-формы а : ТРМ—>К, 2-формы со : ГрМх
х ТРМ —> К, а также п-формы, п = сИт М.
Внешнее произведение 1-форм. Пусть а и р — 1-формы на ТРМ.
Их внешнее произведение — это 2-форма на ТРМ, которая
обозначается со = а Л C и определяется следующим образом:
(о(и,у)=ае1;ГЦ ^"П для любых у,^еГрМ. (П.7)
Внешнее произведение 1-форм кососимметрично, т. е.
аЛр=-рЛа,
и линейно по а и р. В частности,
Любая внешняя 2-форма со однозначно представляется в виде
(О = 22 ^1112^11 Л ^2"
Аналогично вводится базис в пространстве внешних /с-форм. Пусть
«1> ...,?- 1-формы на ТРМ. Их внешнее произведение— это й-форма
со = ах Л ... Л а*;, которая определяется следующим образом:
0>($1, ...,?) =
«1E0 ¦¦¦ аЛ($1)
|а1Eл) ¦•¦ <*к{Ък)
для любых $1, ..., 5л е ГрМ.
410

В частности,
(^? Л... Л ^)E1,...,Ь) =
1и
(П.8)
Если пара индексов совпадает, то внешнее произведение равно
нулю. Если в П.8 поменять пару индексов ц и га местами, то результат
изменит знак. Любая внешняя /с-форма со однозначно представляется
в виде
и = 51 а*1-** ^? Л " ¦" Л ^ ¦
1<*1<...<гл<п
Иначе говоря, формы Лх^ Л ... Л дяхк при 1 ?, 21 < ... < %к < л
образуют базис пространства внешних &-форм.
В частности, если степень формы со совпадает с размерностью М,
то со = а Лх\ Л ... Л сЬп. Если степень формы больше размерности М,
то форма равна нулю.
Внешнее произведение в общем случае. Пусть Лх%г Л... Л ёх^г
и йх^ Л ... Л дх$а — две базисные г- и з-формы. Их внешним
произведением называется (г + з)-форма
йхх! Л ... Л йх%г Л дх^ Л ... Л дх$л.
В общем случае, если есть г-форма а и з-форма р, представленные
в координатном виде
а= ^2 в«1..лг4с*1Л...Л4с<г>
1<»1<...<»г<П
Р = Ц ^1..^.^1 Л ... Л ?1? ,
1<^'1<.-.<;а<п
то их внешним произведением называется (г+з)-форма, определяемая
по дистрибутивности
а Л Р = X] Е ^¦¦¦«г^'-Л**! л ¦ ¦ ¦
1<»1<...<1г<п1<л<...<^<п
... Л йяг»г Л йя^ Л... Л (Ь^я.
Свойства внешнего произведения-.
1) ассоциативность:
(алр)лу = ал(рлу);
2) дистрибутивность (линейность по а и |3);
3) косая симметрия:
аЛр=(-1)гврЛа.
411

Внешние дифференциальные формы. Если внешняя Лс-форма
(Ор задана в каждой точке р Е М, то говорят, что на М задана
дифференциальная форма со. Тогда в локальных координатах
и= 5^ аг1ттЛк(х)Ох^ Л...Л<1х{к. (П.9)
1<»1<...<1к<П
Форма называется гладкой, если Ог1...гк(х) — гладкие функции.
Гладкая функция на М рассматривается как 0-форма.
Внеп1нее дифференцирование. Рассмотрим
дифференциальную к-форму со, задаваемую в локальных координатах соотношениями
(П.9). Определим дифференциальную (к+1)-форму йсо следующим
образом:
Ао = ^2 ***!¦ .лк (х) Л (Ь^ Л ... Л сЬгк, (П.10)
1<»1<...<»к<П
где
^¦¦-(х) = ^г^1+¦ ¦ ¦+^г^
— дифференциал функции а%1ш.лк -
Таким образом, на пространстве О*; гладких дифференциальных
Реформ определен оператор внешнего дифференцирования
д: Пк —» Пдв+1.
Этот оператор называют также внешней производной. Укажем два
его свойства:
1) пусть а и |3 — сооветственно дифференциальные г- и з-формы.
Тогда
й(а Л Р) = Лх Л р + (-1)га Л йР;
2) для любой дифференциальной /с-формы со
й(Жо) = с^со = 0.
Внешняя дифференциальная /с-форма со называется замкнутой, ес-
ли е&о = 0, и точной, если найдется такая (к — 1)-форма а, что да = со.
Любая точная форма является замкнутой. Обратное, в общем случае,
верно только локально.
Теорема П.7 (лемма Пуанкаре). Всякая замкнутая форма
степени к > 1 локально точна.
Это значит, что если с2со = 0, то в некоторой окрестности каждой
точки найдется такая (к — 1)-форма а, что да. = со.
Перенос дифференциальных форм при отображениях.
Пусть / : N —> М — гладкое отображение гладких многообразий и
#(р):ТрЛГ^ГЛр)М
— производная / в точке р е ЛГ.
412

Пусть б> — дифференциальная &-форма на М. Определим к-форму
со на N следующим образом:
йр($1, ...,&) = <оDГ(РM1,..., #(рM*)- 5ь ¦ • ¦. Ь € ГРМ.
Таким образом, мы определили линейное отображение
/*:Пк(М)-Пк(ЛГ), Го) = й
пространства к-форм на М в пространство к-форм на ТУ. Мы видим,
что при отображениях внешние формы переносятся из образа в
прообраз (с М на ЛГ). Это относится и к функциям, как О-формам.
Пусть в локальных координатах у на N и х на М отображение /
задано в виде х = х(у). Тогда оказывается, что /*со получается из
(П.9) заменой переменных. Базисные 1-формы изменяются по закону
(Ь% = о—^2/1 + ¦ ¦ • + яГ"*"' » = 1, -.. ,п.
#1/1 ОУп
Подставив эти выражения в (П.9) и сгруппировав коэффициенты
при йухг Л ... Л Aугк, 1 < »1 < ... < %к < л, получим коэффициенты
й*1...и(у)Ф°Рмы/*Ь1)-
В частном случае, для га-формы имеем
/*(а(х)йг1Л...Лсгхп) =
=а(х(у)) (^ + ... + ^уп) Л ... Л (—* + ... + ^уп) =
= а(х(у)) йеЬ ( — ) йу^ Л ... Л йуп.
Важным свойством оператора переноса форм /* является то, что
он перестановочен с оператором внешнего дифференцирования:
<*(/•«) = /•(*»)¦
Интегрирование дифференциальных форм. Пусть у : [а, Ь] —>
—» М — гладкая кривая, а со — 1-форма на М. В каждой точке у($)
определен касательный вектор у(*). Интеграл 1-формы (о по кривой у
определяется так:
ь
|со = |/(*)*, /(*) = «(*(*))¦
Т а
В локальных координатах, если а> = а1(х)ЛсН \-ап(х)йхп и у задана
в видех = х(*), то
ь
|(о = | (а1(х(*)) ЛГ1 (*) + ¦¦¦ + а„(х(<)) Лгп(<)).
413

Пусть В С К* — компактная область, граница ЬВ которой состоит
из конечного числа гладких гиперповерхностей еШ = Ц15*.
Стандартный пример — й-мерный куб. Ориентация в И совпадает с
ориентацией в К*. Ориентация на границе выбирается согласованным образом.
В любой точке границы возьмем набор линейно независимых
касательных векторов ^1,... ,5п-1, задающих ориентацию. Пусть т] — вектор
внутренней нормали к границе (т. е. вектор, трансверсальный
границе и направленный внутрь области Б). Ориентацию границы считаем
правильной, если ориентация репера 51, ..., 5п-1» *) совпадает с
ориентацией в К*. В частности, если двумерная область ориентирована
стандартным (правым) образом, то при обходе границы в прямом,
направлении область остается слева.
Пусть на В задана /с-форма а = а(х) дх\/\.. .Лёх*. Интеграл формы
а по области И определяется так:
а= а(х)Ас1 ...ахк.
в в
Пусть / : Б —> М — гладкое отображение. Образ Е = }{0) будем
называть ^-мерной параметризованной поверхностью в М. Отметим,
что отображение / не обязано быть взаимно-однозначным. Определим
интеграл /с-формы со на М по ^-мерной параметризованной
поверхности Е как
где /*(о — &-форма на области И С К*\
Можно проверить, что интеграл не зависит от параметризации Е, а
зависит только от ее ориентации. Точнее, при замене / на / о й, где к -г-
сохраняющий ориентацию диффеоморфизм области в К*, интеграл не
изменится.
Можно определить интеграл формы по более сложным
подмножествам в М, разбивая их на &-мерные параметризованные поверхности.
Однако это нам не потребуется.
Если Е = /(И) — к-мерная параметризованная поверхность в М, то
ее границей называется (к — 1)-мерная параметризованная поверхность
5Е = /(ЗЯ), дО = и8г.
Теорема П.8 (теорема Стокса). Пусть Е — к-мерная
параметризованная поверхность в многообразии М и со — (А; — \)-форма на N.
Тогда
Более общие версии этой теоремы нам не понадобятся.
Отметим еще одно полезное свойство интеграла.
414

Пусть / : N —> М — гладкое отображение многообразий и со —
/с-форма на М. Тогда для любой &-мерной параметризованной
поверхности Е в N
/(Е) Е

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автономизация системы 334
Аксиома освобождения от связей 63
Аннулятор формы 340
Аномалия истинная 62
— средняя 363
— эксцентрическая 62, 363
Антиинтегрируемый предел 386
Апогей 57
Апогелий 57
Апоцентр 57
Асимптотика периода колебаний 41,
45
Биения 51
Бинормаль 10
Бифуркация Пуанкаре —
Андронова— Хопфа 205
— Пуанкаре — Четаева 205
Вариация по Гамильтону 191, 313
Вектор Дарбу 14
— диофантов 373
— касательный 9
— Лапласа 57
— резонансный 365
— частот 365
Вертикаль географическая 75
— местная 75
Вес 74
Внешнее дифференцирование 411
— произведение 409
Волчок Эйлера 137
— китайский 265
— Ковалевской 144
— Лагранжа 146
— спящий 151
Гармонический осциллятор 32, 37
Геометрическая интерпретация
Пуансо 140
Гипотеза Герца 167
Гироскоп 153
Главная нормаль 10
Главные оси инерции 124
Гомоклиническая лунка 398
— точка 394, 398
Горизонт местный 77
Движение винтовое 19
— вращательное 15, 17
— квазипериодическое 51
— мгновенно-винтовое 20
— мгновенно-вращательное 16, 17, 20
— мгновенно-поступательное, 15, 17
— плоскопараллельное 16, 133
— поступательное 15, 17
— произвольное 19
— среднее 62
— условно-периодическое 358
Действие по Гамильтону 191, 312
— по Якоби 194
Динамика точки 31
Диссипация полная 237
Диффузия Арнольда 383
Естественный трехгранник 10
Задача п тел 89
— Галилея 32
— динамики обратная 33, 82
основная 33
прямая 33, 82
— двух тел 88
— Кеплера 54
— Ковалевской 144
— Лагранжа 144, 146
— трех тел 91, 242
относительные равновесия 94,
242
точки либрации 94, 242
— Чаплыгина 300
— Эйлера 137, 144
Закон(ы) инерции
Галилея — Ньютона 31, 82
416

— Кеплера 59
— Ньютона 32, 33, 81, 82
— сохранения энергии 36, 86, 119
импульса 116
кинетического момента 34
Иэоэнергетическаа невырожденность
378
Импульс системы 33
Индекс инерции 403
Интеграл Пуанкаре 395
— геометрический 143
— Желле267
— обобщенный 72, 162
— первый 36, 287
— площадей 52, 143
— циклическиий 162
— энергии 36, 86
— Якоби 72, 161, 162
Интегральный инвариант 301
абсолютный 318
относительный 316, 317
Пуанкаре 317
Пуанкаре—Картана 316
Инвариантная мера 284
— на совместном интегральном
уровне 288
Инволюция 354
Интегрирование дифференциальных
форм 412
Интегрируемость в квадратурах 297
Калибровка лагранжиана 160
Кватернионы 27
— представление вращений 28
— уравнения движения твердого тела
137
Кельтский камень 269, 302
Кинематика 6
— твердого тела 11
— точки 6
Колебания вынужденные 49
— малые 231
— нормальные 231
Коммутатор векторных полей 356
— функций 354, 356
Конек Чаплыгина 102
Конус Штауде 145
Координаты Дарбу 342
— канонические 342
Коэффициент восстановления 171
— трения 261
Кратность резонанса 367
Кривизна гауссова 64
— геодезическая 64
— кривой 10
— нормальная 64
— полная 64
Критерий Рауса—Гурвица 204
— Фробениуса 102
Критический случай 204
Кручение кривой 11
Лагранжиан 158
Лемма Адамара 41
— Морса 42
— об аннуляторе канонической
2-формы 340
— Пуанкаре 411
Либрация 198
230
Малые знаменатели Э69
Матрица монодромии 213
Маятник Фужо 78
— двойной математический 197, 232
— математический 65, 97, 107
— физический 159
— циклоидальный 67
Метод Гамильтона—Якоби 335
— Роберваля 22 >
Метрика кинетическая 161
— Якоби 194
Многообразие гладкое 406
— изотропное 345
— конфигурационное 99
— лагранжево 345
— пуассоново 352
— симплектическое 341
Множество вековое 370
— ключевое 372
Множители Лагранжа 111
Модель Ньютона 171
Момент гироскопический 154
— инерции 120
— кинетический 33, 34, 84
— силы 34
— твердого тела 122
— центробежный 123
Мощность силы 35
Мультипликаторы 213
Неравенство Юнга—Фенхеля 308
Области Хилла 97

Область возможности движения 39,
53
Обобщенные импульсы 169, 304
— координаты 99
— скорости 99
Оператор инерции 122
Оси Кёнига 87
Основная задача теории удара 168
Особая точка траектории 9
Ось винта 128
— вращения мгновенная 16, 18
— мгновенно-винтовая 20
Отделение переменных 336
Отображение Чирикова 384
— Пуанкаре 289, 346
— точное симплектическое 348
Пара сил 128
Параметр винта 20
— натуральный 10
Переменные действие-угол 359
— канонические 304
Перемещения виртуальные 103
— действительные 105
Перигей 57
Перигелий 57
Период малых колебаний 41
Периодическое решение 211
вырожденное 350
гиперболическое 350
параболическое 350
эллиптическое 350
Перицентр 57
Перманентные вращения 144
Плоскость соприкасающаяся 10
— фазовая 38
— удара 169
Поле вариаций 191
— симметрии 188
Положение равновесия 38, 40, 43, 226,
230
Понижение порядка по Раусу 163, 311
— по Уиттекеру 331
Потенциал гравитационный 276
— измененный 280
— приведенный 253
— спутникового приближения 277
— эффективный 253
Поверхность удара 168
Правило Жуковского 154
Прецессия 141
— псевдорегулярная 152
— регулярная 141, 149, 152, 268
Преобразование Биркгофа 381
— Галилея 81
— каноническое 320
— Лежандра 306
— свободное 322
Принцип Гамильтона 192
в фазовом пространстве 312
в форме Пуанкаре 313
для периодических решений 196
— Гаусса 177
— Даламбера — Лагранжа 110, 158
— детерминированности 31, 80
— Мопертюи — Якоби 195
для периодических решений 196
— наименьшего действия 193
— наименьшего принуждения 177
— относительности 81
— равенства действия и
противодействия 82
— суперпозиции сил 33, 82
Приведенная длина 132
Пространство касательное 406
— кокасательное 408
— конфигурационное 97
— положений 97
— фазовое 304
расширенное 315
Работа силы 35 86
— элементарная 107
Радиус кривизны 10
Расщепление сепаратрис 393
Равновесие относительное 280
Равновесные ориентации 280
Разделение переменных 336, 361
Реакции связей 63, 106
Регуляризация Леви-Чивита 333
Репер Френе 10
Резонанс 51, 365
— линейный 51
— параметрический 215
Результирующая 129
Сепаратриса 43, 392
Сила(ы) внутренняя 82
— гироскопические 237
— диссипативные 237
— заданные 63, 106
— инерции 70
кориолисова 70
переносная 70
418

— консервативная 35
— обобщенные 156
— обобщенно-потенциальные 238
— позиционная 35, 85
— потенциальная 35, 85
— трения 64
— центральная 34, 52
Символы Кристоффеля 161
Симплектические
— диффеоморфизм 342
— единица 342
— матрица 343
— многообразие 341
— преобразование 320
— структура 341
точная 343
Симплектоморфизм 342
Система Чаплыгина 180
— абсолютная 80
— вполне интегрируемая 356
— замкнутая 80, 82
— изолированная 80
— консервативная 239
— лиувиллева 337, 356
— механическая 6
— натуральная 164, 226
— отсчета Кенига 87
абсолютная 6
инерциальная 32, 81
орбитальная 274
— приведенная 164
Скобка Пуассона 351
Скорость точки 6, 7
абсолютная 21
в криволинейных координатах 8
переносная 21
— угловая абсолютная 24
в кватернионах 29
относительная 24
твердого тела 12
Собственное значение 403
Состояние равновесия 230
Среднее временное 366
— пространственное 366
Степень неустойчивости по Пуанкаре
231
Связи геометрические 97
— голономные 97, 101
— дифференциальные 100
— идеальные 64, 107
— неголономные 101
— независимые 101
— неинтегрируемые 101
— нестационарные 100
— односторонние 168
— стационарные 64, 100
Сфера Пуассона 143
Тензор инерции 122
Теорема Барбашина — Красовского
201
— Вейля 366
— Гюйгенса 132
— Кельвина — Четаева 239
— Колмогорова 299, 375
изоэнергетический вариант 378
неавтономный вариант 376
— Красовского 201
— Лагранжа—Дирихле 227
— Лиувилля о сохранении, фазового
объема 312, 319
об интегрируемости в
квадратурах 355
об инвариантной мере 285
— Лиувилля — Арнольда 357
— Ляпунова 200, 203, 209
— Нётер189
— Обри 388
— Пуанкаре о нентегрируемости 371
о возвращении 291
— Пуассона 357
— Рауса 228
— Рауса—Леви-Чивита 248
— Рауса—Сальвадрри 244
— Стокса 413
— Фробениуса 102
— Четаева 210
— Шварцшильда — Литтлвуда 293
— Якоби о последнем множителе 298
— о выпрямлении 405
— о движении центра масс 84
— об изменении импульса 33, 83, 115
—. об изменении кинетического
момента 34, 84, 116
в осях Кенига,87
— об изменении кинетической
энергии 35, 85, 117
— об изменении энергии 237, 311
Тождество Якоби 351
Траектория движения точки 6
Трение вязкое 109
— сухое 109
Твердое тело 11
динамически симметричное 146

невырожденное 12
однородное 121
распределение скоростей 14, 19
ускорений 19
с неподвижной точкой 18
Угол (углы) Крылова 27
— карданные 27
— корабельные 27
— крена 27
— нутации 25
— прецессии 25
— рыскания 27
— самолетные 27
— собственного вращения 25
— тангажа 27
— Эйлера 25
Удар абсолютно неупругий 171
упругий 171
— кратный 173
Уравнение(я)
— Аппеля 179
— возмущенного движения 208
— Гамильтона —Якоби 335, 346
полный интеграл 335
— гипергеометрическое 183
— Кеплера 62
— Лагранжа с множителями 111
1рода 111
II рода 156
— малых колебаний 41, 69, 231
— Ньютона 32
— Ньютона—Эйлера 126, 259
— относительного движения 70, 72
— характеристическое 202, 403
— Чаплыгина 181
— Эйлера
динамические 136
— Эйлера — Пуассона 142
Ускорение точки 6, 7
абсолютное 22
в криволинейных координатах 8
кориолисово 23
осестремительное 15
относительное 22
переносное 22
проекция на касательную 9
нормаль и бинормаль 9
угловое 15
Условие Лежандра 306
— Маиевского 151
Устойчивость асимптотическая 48,
199, 208
орбитальная 212
— положения равновесия 40
— по Ляпунову 199, 208
— по первому приближению 202
— по Якоби 90
Узел устойчивый 48
вырожденный 49
Центр 49
Фазовая кривая 38
Фазовый портрет 37, 38
Фокус 49
Форма внешняя 410
— дифференциальная 410
— замкнутая 411
— поверхности вторая квадратичная
63
первая квадратичная 63
— точная 411
Формула(ы)
— Гюйгенса — Штейнера 121
— Кенига 87
— Кориолиса 23
— первой вариации 314
— Пуассона 13
— Ривальса 14
— сложения скоростей 21
— сложения угловых скоростей 24
— сложения ускорений 21, 23
— Стокса 413
— Френе 11
— Эйлера 14
кинематические 26
Функция Гамильтона 303, 309
— Казимира 352
— Лагранжа 158
— Ляпунова 200, 210
— производящая 323
— Рауса 163
— Релея 237
— силовая 35, 86
— суперлинейного роста 308
— Хана 209
— Четаева, 211
Центр масс 84
— скоростей 17
Центральное гравитационное поле
274
Центроида 17
Циклическая координата 162, 311
420

Число степеней свободы 99, 105
Широта астрономическая 75
— географическая 75
Экстремаль 191, 313
Эллипсоид инерции 124
Энергия кинетическая 33, 85
— потенциальная 86
измененная
приведенная
— твердого тела 122
эффективная
Эргодичность 367, 381

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Кинематика 6
1.1. Кинематика точки 6
1.1.1. Скорость и ускорение 6
1.1.2. Скорость и ускорение в полярных, цилиндрических
и сферических координатах 8
1.1.3. Проекции ускорения на касательную, нормаль
и бинормаль 9
1.2. Кинематика твердого тела 11
1.2.1. Задание положения твердого тела 11
1.2.2. Вектор угловой скорости твердого тела 12
1.2.3. Поступательное движение твердого тела, вращение
твердого тела вокруг неподвижной оси 15
1.2.4. Плоскопараллельное движение твердого тела 16
1.2.5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки ... 18
1.2.6. Произвольное движение твердого тела 19
1.3. Сложное движение 21
1.3.1. Формулы сложения скоростей и ускорений 21
1.3.2. Сложение угловых скоростей твердого тела 24
1.3.3. Углы Эйлера. Кинематические формулы Эйлера 25
1.3.4. Углы Крылова 26
1.4. Кватернионы 27
1.4.1. Алгебра кватернионов 27
1.4.2. Представление вращений кватернионами 28
1.4.3. Угловая скорость в кватернионах 29
Глава 2. Динамика материальной точки 31
2.1. Основные положения динамики точки 31
2.1.1. Принцип детерминированности Ньютона 31
2.1.2. Общие теоремы динамики точки 33
2.1.3. Потенциальные силы 35
2.1.4. Одномерное движение в потенциальном поле 37
2.1.5. Фазовый портрет 37
2.1.6. Движение в окрестности невырожденного устойчивого
положения равновесия 40
2.1.7. Движение в окрестности невырожденного неустойчивого
положения равновесия. Сепаратрисы 43
2.1.8. Построение фазового портрета 46
422

2.1.9. Фазовые портреты линейных колебаний 47
2.1.10. Вынужденные колебания в линейных системах.
Резонанс 49
2.2. Движение точки в центральном поле 52
2.2.1. Первые интегралы задачи о движении точки
в центральном поле 52
2.2.2. Определение траекторий 53
2.2.3. Задача Кеплера 54
2.2.4. Интеграл Лапласа 57
2.2.5. Законы Кеплера 58
2.2.6. Определение закона движения по эллиптической
траектории 61
2.3. Движение точки при наличии связи 62
2.3.1. Уравнения движения по поверхности 62
2.3.2. Движение точки по кривой 65
2.3.3. Математический маятник 65
2.3.4. Циклоидальный маятник 67
2.3.5. Сферический маятник 68
2.4. Динамика относительного движения 70
2.4.1. Силы инерции 70
2.4.2. Движение относительно равномерно вращающейся
системы отсчета 72
2.4.3. Равновесие точки на поверхности Земли, вес 74
2.4.4. Падение материальной точки на Землю 76
2.4.5. Маятник Фуко 78
Глава 3. Динамика системы материальных точек 80
3.1. Основные положения динамики системы 80
3.1.1. Аксиомы динамики системы 80
3.1.2. Общие теоремы динамики системы 83
3.1.3. Формулы и теоремы Кёнига 87
3.1.4. Задача двух тел и ее сведение к задаче Кеплера 88
3.1.5. Начальные сведения о задаче п тел. 89
3.1.6. Плоская ограниченная круговая задача трех тел 91
3.2. Связи в механике 97
3.2.1. Голономные связи, конфигурационное пространство,
обобщенные координаты 97
3.2.2. Неголономные связи 100
3.2.3. Виртуальное и действительные перемещения 103
3.2.4. Аксиома освобождения от связей. Реакции связей . . . 106
3.2.5. Идеальные связи. Принцип Даламбера—Лагранжа.
Уравнения Лагранжа с множителями 107
3.2.6. Общая теория статики 112
3.3. Общие теоремы динамики 115
3.3.1. Теорема об изменении импульса 115
3.3.2. Теорема об изменении кинетического момента 116
423

3.3.3. Теорема об изменении кинетической энергии 117
Глава 4. Введение в динамику твердого тела 120
4.1. Основные понятия 120
4.1.1. Момент инерции тела относительно оси, теорема
Гюйгенса—Штейнера 120
4.1.2. Кинетическая энергия и кинетический момент
твердого тела 122
4.1.3. Главные оси инерции и эллипсоид инерции 123
4.1.4. Уравнения движения свободного твердого тела 125
4.1.5. Эквивалентные системы сил 127
4.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 130
4.2.1. Уравнения движения и определение реакций 130
4.2.2. Физический маятник, приведенная длина, теория
Гюйгенса 131
4.3. Плоскопараллельное движение твердого тела 132
4.3.1. Уравнения движения 132
4.3.2. Качение однородного диска по наклонной прямой
в однородном поле тяжести 133
Глава 5. Динамика твердого тела с неподвижной
точкой 136
5.1. Динамические уравнения Эйлера 136
5.1.1. Уравнения Эйлера в векторном виде 136
5.1.2. Уравнения Эйлера в проекции на главные оси
инерции 136
5.2. Задача Эйлера 137
5.2.1. Первые интегралы и квадратуры в задаче Эйлера . . . 137
5.2.2. Качественный анализ задачи Эйлера 139
5.2.3. Геометрическая интерпретация Пуансо 140
5.2.4. Регулярная прецессия динамически симметричного
волчка Эйлера 141
5.3. Движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой . . 142
5.3.1. Уравнения Эйлера—Пуассона и их первые
интегралы 142
5.3.2. Перманентные вращения тела 144
5.4. Задача Лагранжа 146
5.4.1. Редукция к одномерному движению 147
5.4.2. Квадратуры и качественный анализ Пуассона 148
5.4.3. Спящий волчок, условие Маиевского 151
5.4.4. Регулярная и псевдорегулярная прецессии 152
5.4.5. Приближенная теория гироскопа. Правило
Жуковского 153
Глава в. Лагранжева механика 155
6.1. Уравнения Лагранжа 155
424

6.1.1. Уравнения Лагранжа II рода. Обобщенные силы. Случай
потенциальных сил, лагранжиан 155
6.1.2. Явный вид уравнений Лагранжа. Геодезические
и движение по инерции 160
6.1.3. Первые интегралы уравнений Лагранжа. Понижение
порядка по Раусу 161
6.1.4. Лагранжева теория удара 167
6.1.5. Биллиарды 174
6.2. Неголономные системы 175
6.2.1. Уравнения Лагранжа с множителями 175
6.2.2. Принцип Гаусса. Уравнения Аппеля 176
6.2.3. Неголономные системы Чаплыгина. Уравнения
Чаплыгина 179
6.2.4. Качение диска по горизонтальной плоскости 181
6.2.5. Неголономный шар в цилиндре 183
Глава 7. Вариационные принципы и симметрии 187
7.1. Симметрии 187
7.1.1. Поле симметрии. Теорема Нётер 187
7.1.2. Симметрии неголономных систем 189
7.2. Вариационные принципы 191
7.2.1. Принцип Гамильтона 191
7.2.2. Принцип Мопертюи — Якоби. Метрика Якоби 193
7.2.3. Вариационные принципы для периодических решений.
Периодические движения двойного маятника 196
Глава 8. Элементы теории устойчивости 199
8.1. Метод функций Ляпунова для автономных систем 199
8.1.1. Постановка задачи 199
8.1.2. Теорема Ляпунова об устойчивости 200
8.1.3. Теоремы Барбашина—Красовского и Красовского
об асимптотической устойчивости и неустойчивости . . 201
8.2. Устойчивость по первому приближению для автономных
систем 202
8.2.1. Линеаризованные уравнения движения.
Характеристическое уравнение 202
8.2.2. Теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости
и неустойчивости по первому приближению 203
8.2.3. Понятие о критических случаях 204
8.3. Метод функций Ляпунова для неавтономных систем 208
8.3.1. Основные определения 208
8.3.2. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической
устойчивости 209
8.3.3. Теорема Четаева о неустойчивости 210
8.4. Периодические решения. Параметрический резонанс 211
8.4.1. Периодические решения и их устойчивость в линейном
приближении 211
425

8.4.2. Параметрический резонанс 215
8.5. Метод усреднения 221
Глава 9. Устойчивость движения механических систем . 226
9.1. Устойчивость положений равновесия 226
9.1.1. Натуральные механические системы и их положения
равновесия 226
9.1.2. Теорема Лагранжа—Дирихле и понятие
об ее обращении 227
9.1.3. Линеаризация уравнений Л агранжа около положения
равновесия. Уравнения малых колебаний 230
9.1.4. Экстремальные свойства собственных значений .... 233
9.1.5. Влияние гироскопических и диссипативных сил
на устойчивость положения равновесия 237
9.1.6. Устойчивость точек либрации в плоской круговой
ограниченной задаче трех тел 242
9.2. Устойчивость стационарных движений 243
9.2.1. Теорема Рауса— Сальвадори об устойчивости
стационарных движений и понятие об ее обращении . . 243
9.2.2. Теоремы Рауса для систем с первыми интегралами. . . 247
9.2.3. Теоремы Рауса для систем с интегралами, линейными
по скоростям 252
Глава 10. Динамика твердого тела, опирающегося
на неподвижную плоскость 258
10.1. Уравнения движения тяжелого твердого тела
по горизонтальной плоскости 258
10.1.1. Уравнения Ньютона— Эйлера 258
10.1.2. Модели взаимодействия твердого тела
с плоскостью 259
10.2. Задачи о движении тяжелого однородного шара 261
10.2.1. Шар на горизонтальной плоскости: неголономная
модель 261
10.2.2. Шар на горизонтальной плоскости с учетом
сухого трения скольжения 262
10.2.3. Шар на горизонтальной плоскости с учетом трения
скольжения и верчения 262
10.3. Китайский волчок 265
10.3.1. Простейшая модель китайского волчка 266
10.3.2. Интеграл Желле и эффективный потенциал 267
10.3.3. Равномерное вращение вокруг вертикали. Регулярная
прецессия 268
10.4. Кельтский камень 269
10.4.1. Простейшая модель кельтского камня 270
10.4.2. Уравнения движения, линеаризованные в окрестности
равномерного вращения кельтского камня 271
10.4.3. Качественный анализ 272
426

Глава 11. Динамика твердого тела в центральном
гравитационном поле 274
11.1. Неограниченная постановка задачи 274
11.1.1. Кинетическая энергия твердого тела 274
11.1.2. Гравитационный потенциал и его спутниковое
приближение 276
11.1.3. Уравнения движения и их первые интегралы 277
11.2. Ограниченная постановка задачи о движении твердого тела
в центральном гравитационном поле 278
11.2.1. Постановка задачи . . 278
11.2.2. Относительные равновесия 280
Глава 12. Инвариантная мера 283
12.1. Свойства инвариантной меры 283
12.1.1. Теорема Лиувилля об условиях инвариантности
меры 283
12.1.2. Инвариантная мера на совместном уровне
первых интегралов 287
12.1.3. Отображение Пуанкаре и его инвариантная мера . . . 289
12.1.4. Теорема Пуанкаре о возвращении 291
12.1.5. Биллиардное отображение 294
12.2. Интегрируемость в квадратурах 297
12.2.1. Основные определения 297
12.2.2. Теорема Якоби о последнем множителе 298
12.2.3. Инвариантная мера и интегрируемость
в неголономных системах ,. 300
Глава 13. Гамильтонова механика: аналитический
аспект 303
13.1. Уравнения Гамильтона 303
13.1.1. Канонические переменные. Уравнения
Гамильтона 303
13.1.2. Функция Гамильтона натуральных механических
систем 304
13.1.3. Преобразование Лежандра и его свойства 306
13.1.4. Поведение канонических переменных при замене
координат 309
13.1.5. Простейшие свойства уравнений Гамильтона 311
13.2. Вариационные принципы и интегральные инварианты ... 312
13.2.1. Принцип Гамильтона в фазовом пространстве 312
13.2.2. Интегральные инварианты Пуанкаре—Картана
и Пуанкаре 315
13.2.3. Переформулировка на языке дифференциальных
форм 318
13.3. Канонические преобразования 319

13.3.1. Канонические преобразования. Производящая
функция 319
13.3.2. Маятник с быстро колеблющейся точкой подвеса . . . 324
13.3.3. Метод усреднения для гамильтоновых систем ..... 328
13.3.4. Фаза Берри 329
13.3.5. Понижение порядка по Уиттекеру. Автономизация
системы 331
13.3.6. Уравнение Гамильтона—Якоби. Полный интеграл.
Разрешимость в квадратурах 335
Глава 14. Гамильтонова механика: геометрический
аспект 338
14.1. Инвариантная форма уравнений Гамильтона 338
14.1.1. Лемма об аннуляторе канонической 2-формы 338
14.1.2. Симплектическое многообразие 340
14.1.3. Гамильтоново векторное поле 342
14.1.4. Лагранжевы многообразия 343
14.1.5. Отображение Пуанкаре в гамильтоновой
механике 345
14.2. Скобка Пуассона 350
14.2.1. Скобка Пуассона и ее свойства 350
14.2.2. Коммутатор гамильтоновых векторных полей 355
14.2.3. Теорема Пуассона о первых интегралах 356
14.3. Вполне интегрируемые системы 356
14.3.1. Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых
системах 356
14.3.2. Переменные действие-угол 357
Глава 15. Гамильтонова динамика: начальные
сведения 364
15.1. Введение в теорию возмущений 364
15.1.1. Динамика в переменных действие-угол 364
15.1.2. Теорема Вей ля и следствия из нее 365
15.1.3. Классическая схема теории возмущений. Малые
знаменатели 367
15.1.4. Теорема Пуанкаре о неинтегрируемости 369
15.2. Введение в теорию КАМ 372
15.2.1. Диофантовы частоты 372
15.2.2. Теорема Колмогорова 374
15.2.3. Неавтономный вариант теоремы Колмогорова 375
15.2.4. Изоэнергетический вариант теоремы Колмогорова . . 377
15.3. Устойчивость в гамильтоновой динамике 379
15.3.1. Теория КАМ и проблема устойчивости
в гамильтоновой динамике 379
15.3.2. Антиинтегрируемый предел. Теорема Обри 383
15.3.3. Расщепление сепаратрис 391
428

Список литературы 400
Приложения 402
П. 1. Дифференциальное исчисление 402
П.2. Сведения из линейной алгебры и анализа 404
П.З. Гладкие многообразия 407
П.4. Внешние дифференциальные формы 410
Предметный указатель 416

Учебное издание
Болотин Сергей Владимирович,
Карапетян Александр Владиленович,
Кугушев Евгений Иванович,
Тдещев Дмитрий Валерьевич
Теоретическая механика
Учебник
Редактор Л. В. Честная
Технический редактор О. Н. Крайнева
Компьютерная верстка: Т.А.Клименко
Корректор Г. Н. Петрова
Изд. № 101110126. Подписано в печать 31.05.2010. Формат 60 х 90/16.
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 27,0.
Тираж 1200 экз. Заказ № 30490.
Издательский центр «Академия», того.асабепиа-тодедо.ги
125252, Москва, ул. Зорге, д. 15, корп. 1, пом. 266.
Адрес для корреспонденции: 129085, Москва, пр-т Мира, 101В, стр. 1, а/я 48.
Тел./факс: D95) 648-0507, 616-00-29.
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.60.953.Д.007831.07.09 от 06.07.2009.
Отпечатано в соответствии с качеством предоставленных издательством
электронных носителей в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат».
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. того.8агрк.ги

Издательский центр
аЗм?а «Академия»
¦ I II Л
Учебная литература
для профессионального
образования
Наши мини можно приобрели (оптом и в розницу)
МОИМ: 129085, Москва, пр-т Мира, д. 101в, стр. 1
(м. Алексеевская)
Тел.: D95) 648-0507, факс: D95) 616-0029
Е-шаИ: 8а1е@асайепиа-товсо«г.ш
ФШИМЫ: ООООИЦсЛклдешикСеверо-Запад»
190020, Санкт-Петербург, наб. Обводного канала,
д. 211-213, литер «В»
Тел./факс: (812) 251-9253,575-3229
Е-шаИ: пфЪасаё@ре1е1в1аг.ги
Приволжский
603101, Нижний Новгород, пр. Молодежный,
д. 31, корп. 3
Тел./факс: (831) 259-7431, 259-7432, 259-7433
Е-таи: рГ-асабепиа@Ък.ги
Уральский
620144, Екатеринбург, ул. Щорса, д. 92а, корп. 4
Тел.: C43) 257-1006
Факс: C43) 257-3473
Е-шаИ: асайепиа-ига1@таи.га
630108, Новосибирск, ул. Станционная, д. 30
Тел./факс: C83) 300-1005,341-8515
Е-шаЦ: аса<1етп1Я_юЫг@таЦл1
Далыитоггочный
680014, Хабаровск, Восточное шоссе, д. 2а
Тел./факс: D2г2) 274022
Е-пшИ: Ш1а1с>-асайе1ша@уаш1ех.ги
Южный
344082, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская,
д. 10/65
Тел.: (863) 203-5512
Факс: (863) 269-5365
Е-пшИ: асаае!ша-ис@шаи.ги
ПреДСТаМгелЪПМ: в Республике Татарстан
420034, Казань, ул. Горсоветская,
д.17/1,офис36
Тел./факс: (843) 562-1045
Е-шаИ: асайепйа_кагап@таИ.ги
в Республике Дагестан
Тел.: 8-928-982-9248
\у\у\у.асаёе1та-то8со\*г.ги

^-^ Предлагаем
АСАОЕмк вашему вниманию
следующие книги:
Г. М. АМАТОВА, М. А. АМАТОВ
МАТЕМАТИКА: В 2 кн.
Объем: кнЛ. - 256 с; кн. 2 - 240 с
В учебном пособии представлены все разделы типовой
программы курса математики, который читается в вузах на факультетах
подготовки учителей начальных классов. Показано, как те или иные
теоретические знания могут быть применены для решения конкретных
практических вопросов.
Для студентов учреждений высшего профессионального
образования.
В. И. ИГОШИН
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Объем: 448 с.
Предлагаемое учебное пособие составляет основу комплекта
по курсу математической логики и теории алгоритмов, в который
также входит сборник задач (Игошин В.И. Задачи и упражнения по
математической логике и теории алгоритмов). Подробно изложены
основы теории, показаны направления проникновения логики в
основы алгебры, анализа, геометрии, привлечен материал школьного
курса математики для его логического анализа, охарактеризованы
взаимосвязи математической логики с компьютерами,
информатикой, системами искусственного интеллекта.
Для студентов учреждений высшего педагогического
профессионального образования.
ишют. асас1ет1а-то5СОчг. ш