Учебникъ алгебры. Часть 2 - Шапошниковъ Н.А.

Author: Шапошниковъ Н.А.

Tags: математика алгебра

Year: 1908

Similar

Элементарная алгебра. Систематическій курсъ. Томъ 1. Теорія

Начальныя основанія алгебры, съ таблицами степеней чисель отъ 1 до 1000

Элементарная алгебра. Курсъ систематическій. Часть 1

О преподаваніи элементарной алгебры

Text

Н. А. Шапошниковъ.
У Ч Е Б II И К Ъ
АЛГЕБРЫ
примѣненный къ программамъ среднихъ
учебныхъ заведеній.
СЕДЬМОЕ ИЗДАНІЕ,
(ВЪ ДВУХЪ ЧАСТЯХЪ),
съ существенными дополненіями во второй части.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ.
КУРСЫ СТАРШИХЪ КЛАССОВЪ ГИМНАЗІЙ II РЕАЛЬНЫХЪ УЧИЛИЩЪ.
Цѣна 70 коп.
X ИЗДАНІЕ КНИЖНАГО МАГАЗИНА X
К В. В. ДУМНОВА, X
V Кл
р подъ фирмою А
х п Намѣднихи братьевъ Балаевыхъ", б
К’хэсх.эосх.хэос хх>:хххх:X
МОСКВА.
Типографія Имііграторскаго Московскаго Университета.
1908.

ОГЛАВЛЕНІЕ.
л Стр.
Ирраціональныя числа. Дѣйствія съ ними. ........ 1—- 7
Ирраціональныя выраженія. Дѣйствія съ ними...... 8— 15
Степени и корпи съ дробными показателями........ 15— 18
Мнимыя количества?.............................. 19— 26
Уравненія второй степени........................ 27— 44
Ирраціональныя уравненія........................ 14— 47
Уравненія высшихъ степеней...................... 47— 59
Системы уравненій высшихъ степеней.............. 59— 65
Неравенства..................................... 65— 70
Неопредѣленныя уравненія ....................... 70— 81
Разностная прогрессія........................... 81— 84
Кратная лрщрессія............................... 84— 90
Общая теорія логариомовъ........................ 90 — 101
Теоріі десятичныхъ логариомовъ.................101—118
ТеоХі соединеній................................119—126
Биномъ Ньютона..................................126—129
Теорія Непрерывныхъ дробей......................129—143
Способъ неопредѣленныхъ коэффиціентовъ..........143—149
Рѣшеніе неравенствъ второй степени..............150—151
Наибольшія и наименьшія значенія трехчлена......151—157
Общія теоремы о рядахъ..........................157—162
Распространеніе формулы бинома Ньютона..........162—166
Предѣлы нѣкоторыхъ показательныхъ выраженій... 166—171
Разложеніе показательной функціи и логарпома.... 171—176

Ирраціональныя числа. Дѣйствія съ ними.
§ 1. Раздѣленіе чиселъ. Числа раздѣляются по свойству ихъ
абсолютныхъ величинъ па соизмѣримыя и несоизмѣримыя.
Соизмѣримыми числами называются тѣ, которыя
вполнѣ точно выражаются или въ цѣлыхъ единицахъ,
или въ доляхъ единицы.
Соизмѣримыя числа могутъ быть цѣлыя или дробныя.
Несоизмѣримыми числами называются тѣ, которыя
не могутъ быть точно выражены ни въ единицахъ, и
ни въ какихъ доляхъ единицы.
Понятіе о простѣйшихъ несоизмѣримыхъ числахъ получается
при разсматриваніи дѣйствія извлеченія корпя.
Тѣ несоизмѣримыя числа, которыя получаются при извлеченіи
корпя, имѣютъ еще особое названіе ирраціональныхъ чиселъ.
§ 2. Полученіе ирраціональныхъ чиселъ. Теорема 1. Корень
изъ цѣлаго числа, не представляющаго полную соот-
вѣтствующую показателю корпя степень, есть число
ирраціональное.
Положимъ, что А есть цѣлое число, не представляющее
полной п-іі степени. Значитъ, ѴЛ не можетъ быть выраженъ
цѣлымъ числомъ.
Допустимъ, что \/А=“> гдѣ есть несократимая дробь. Тогда,
по опредѣленію корня и но правилу возведенія дроби въ сте-
іпчіь, получимъ А=^-
Это равенство невозможно, потому что первая часть его
есть цѣлое число, а вторая—несократимая дробь. Значитъ,
допущеніе наше неправильно.
Если же разсматриваемый корень не можетъ быть ни цѣ-
лымъ числомъ, пи дробнымъ, то онъ есть число несоизмѣри-
мое—ирраціональное.
Гаковы, напр., числа \1, ^4, ^27, у 11.
Теорема 2 Корень изъ несократимой дроби, которой
числитель пли знаменатель, или оба вмѣстѣ не пред-
ставляютъ полныхъ соотвѣтствующихъ показателю
корня степеней, есть число ирраціональное.
Часть И. 1
Положимъ, что о есть несократимая дробь, въ которой хотя
одинъ изъ членовъ не представляетъ полной я-й степени.
Очевидно, что \/ие можетъ быть выраженъ цѣлымъ числомъ,
потому что я-я степень всякаго цѣлаго числа есть число цѣлое.
Допустимъ, что Ѵу>=(7’ гдѣ есть несократимая дробь.
Тогда, по опредѣленію корня и по правилу возведенія дроби
Л
въ степень, получимъ
Это равенство невозможно, потому что обѣ части его суть
несократимыя дроби, которыя могутъ быть равны только вполпѣ
тождественно, т.-ѳ. такъ, что А=С'“ и а послѣднія
равенства противорѣчаіъ условію, что или А, или І>, или оба
вмѣстѣ не суть полныя я-я степени.
Если же разсматриваемый корень не можетъ быть выраженъ
пи цѣлымъ числомъ, пи дробнымъ, то онъ есть число несоиз-
мѣримое—ирраціональное.
Ѵ~2 ъ/ ь ? Д»
Т’ V ІР Ѵіс’ Vіа’
§ 3. Вычисленіе ирраціональныхъ чиселъ. Хотя ирраціо-
нальныя числа суть числа несоизмѣримыя, т.-е. они не могутъ
быть выражены вполнѣ точно ни въ единицахъ, и ни въ какихъ
доляхъ единицы, однако всякое ирраціональное’ число можно
вычислить съ какою угодно степенью точности.
Вычислить несоизмѣримое число съ точностью до значитъ
подыскать такое соизмѣримое число, которое отличается отъ
даннаго несоизмѣримаго меньше, чѣмъ па |,-
Вычисленіе корней изъ цѣлыхъ чиселъ. Возьмемъ \А, гдѣ А
есть цѣлое число, пе представляющее полной я-й степени,
и положимъ, что истинное значеніе этого корня есть неизвѣстное
число X, ирраціональное. Выбравъ произвольно какое-нибудь
цѣлое число А, допустимъ, что паше неизвѣстное можно пред-
кп ~А
ставить въ формѣ X—и затѣмъ въ формѣ Х=г-р-’
что согласуется съ теоремами о сокращеніи дроби и объ извле-
ченіи корня изъ произведенія.
Разсматривая отдѣльно числителя полученнаго дробнаго
выраженія, замѣтимъ, что его можно вычислить съ точностью
до единицы. Для этого возводимъ числа к, /г—|—1, 2. одно
за другимъ въ степень п до тѣхъ поръ, пока не получимъ два
послѣдовательныхъ цѣлыхъ числа, положимъ а и о-І-І, такихъ,
что ап<^Акп, по ^Ак*.
Тогда придется принять, что а<ѵМГ‘<«41? а вслѣдствіе
а а 4-1 Т1
этого также • Но, такъ какъ въ предыдущихъ нора-
венствахъ разность между наибольшимъ числомъ и наимень-
і
тлимъ есть то па основаніи эгихъ неравенствъ каждое изъ
а '/4 1 у
чиселъ * и —А— отличается отъ неизвѣстнаго X меньше, чѣмъ
на р при чемъ А есть меньшее приближеніе, а -4-—большее.
Примѣръ. Чтобы вычислить »3 съ точностью до К
извлечемъ съ точностью до единицы корень ’^З.б5 или 9375.
При этомъ найдемъ, что 65=7776, а 75=16807, откуда вид-
но, что ѵЗ заключается между г и р
Вычисленіе корней изъ дробей. Вычисленіе корня изъ дроби
сводится на объясненное сейчасъ извлеченіе изъ цѣлаго числа.
п /л 1
Возьмемъ Х=\/^ гдѣ есть несократимая дробь, въ кото-
рой хотя одинъ изъ членовъ не представляетъ полной и-й
•степени.
Можно всегда найти такого множителя для обоихъ членовъ
дроби, который обратитъ знаменателя въ полную п-ю степень.
Въ самомъ невыгодномъ случаѣ такой множитель будетъ Лп~'.
Допустимъ, что А=у—, а затѣмъ, что , что
согласно съ теоремами о сокращеніи дроби и объ извлеченіи
корпя изъ дроби. Этимъ мы приведемъ вопросъ къ извлеченію
корня УАВп~1 изъ цѣлаго числа.
По предыдущему, каковъ бы пи былъ такой корень и ка-
ково бы пи было цѣлое число к, можно найти такія цѣлыя
числа а и «4Ъ что какъ р такъ и —отличаются отъ раз-
х 1
сматрпваемаго корпя меньше, чѣмъ па -.•> и при этомъ первая
дробь меньше корня, а вторая больше.
1*
— 4 —
По изъ неравенствъ АБ' слѣдуютъ неравен-
ства
> которыя показываютъ,
і
числено не только съ точностью до р по
что искомое.X вы-
еще точнѣе, п также-
X
найдены для него два приближенія—меньшее и большее.
1 5 /& і
П р и м ѣ р ъ. Чтобы вычислить у съ точностью до пре-
образуемъ данный корень къ виду у/|з или и извлечемъ
і
изъ числителя корень съ точностью до
При этомъ найдемъ по предыдущему, что у 20.б5 заключается
между 10 и 11, поэтому \ 2 0 между ™ и —ч а слѣдовательно
?/з іо и „
\/^ между и —? т.-е. вычислимъ заданный корень съ точпо-
і
стыо до ттг
§ 4. Понятіе 0 предѣлѣ. Разсужденія о вычисленіи ирраціо-
нальныхъ чиселъ доказываютъ, что ирраціональныя числа нужно
считать возможными, или, иначе, существующими.
Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ въ предыдущихъ разсуждені-
яхъ число Л могло считаться произвольно большимъ, то во-
образимъ, что это число увеличивается постоянно. Тогда,,
сообразно съ каждымъ выборомъ числа /с, будутъ измѣняться,
также увеличиваясь, числа а и При этомъ мы пред-
ставимъ себѣ мысленно рядъ значеній для чиселъ ? и
которыя съ каждымъ новымъ выборомъ к будутъ- попарно
сближаться между собой все больше и больше, не выходя
изъ начальныхъ границъ, но такъ, что разность между ними,
т.-е. дробь г будетъ становиться произвольно малой. Очевидно,
вслѣдствіе этого, что то истинное значеніе, къ которому обѣ-
дроби приближаются, существуетъ какъ постоянное, единствен-
ное для каждаго даннаго случая и опредѣленное число.
Тѣ же разсужденія о вычисленіи ирраціональныхъ чиселъ
устанавливаютъ особый взглядъ па эти числа, какъ па не-
измѣнные предѣлы, къ которымъ безконечно приближаются
перемѣнныя соизмѣримыя числа соотвѣтствующихъ видовъ.
Понятіе о предѣлѣ принадлежитъ къ числу важнѣйшихъ
математическихъ понятій и вообще опредѣляется такъ:
Предѣломъ перемѣннаго числа называется то постоян-
ное число, къ которому перемѣнное приближается та-
кимъ образомъ, что разность между ними можетъ сдѣ-
латься и остается меньше всякаго произвольно малаго
числа. *
Съ понятіемъ о предѣлѣ связано понятіе о такъ называе- .
момъ безконечно-маломъ числѣ. г
Безконечно-малымъ числомъ называется такое пере-
мѣнное число, которое можетъ сдѣлаться и остается
меньше всякаго произвольно малаго постояннаго числа.
Разность между всякимъ перемѣннымъ числомъ и его пре-
дѣломъ есть число безконечно-малое.
Предѣлъ безконечно-малаго есть пуль.
Примѣры приближенія чиселъ къ предѣламъ встрѣчаются
еще въ ариометикѣ. Папр., рядъ десятичныхъ дробей 0,9,
0,99. 0,999,.... имѣетъ предѣломъ 1, потому что такова вели-
чина безконечной періодической дроби 0,9999....
Рядъ чиселъ 5, ™ѣетъ также предѣлъ 1,
1
потому что первое число отличается отъ единицы па второе
іі іі * * * * * * * х
на т, третье па и т. д., такъ что разность между единицей
п данными числами есть перемѣнное безконечно-малое число.
Бсякоѳ ирраціональное число есть предѣлъ безконечнаго
ряда соотвѣтствующихъ ему соизмѣримыхъ чиселъ. Такъ
ѵЯ есть предѣлъ соизмѣримыхъ чиселъ, которыя получаются
, » Л.2>~ " Л.3’^ ’• 1.1“
пзъ формъ—3—’ 4 —••••? когда числители вычисляются
съ точностью до единицы.
" /д
Таким’ь же образомъ у есть предѣлъ соизмѣримыхъ чиселъ,
получаемыхъ изъ формъ -— ? — > >
при подобномъ же вычисленіи числителей.
II р и м ѣ р ъ. Извлекая извѣстнымъ способомъ / 3, нахо-
димъ для него приближенія 1, 1,7, 1.73, 1,732,.... Истинное
значеніе V 3 есть предѣлъ, къ которому постоянно приближа-
ются эти приближенія.
И р и м ѣ ч а н і е. Ирраціональныя числа суть только частные
виды несоизмѣримыхъ. Подобно разсмотрѣннымъ, и всякія дру-
гія несоизмѣримыя числа доіжпы разсматриваться, какъ пре-
дѣлы соизмѣримыхъ, лишь только будутъ найдены способы для
произвольно точнаго вычисленія ихъ.
• § Принципъ теоріи предѣловъ. Въ теоріи предѣловъ наи-
болѣе важно слѣдующее положеніе, которое служитъ основнымъ
началомъ или принципомъ для многихъ выводовъ.
Если два перемѣнныхъ числа равны между собою при
всѣхъ своихъ измѣненіяхъ, то равны п предѣлы пхъ.
Это положеніе можпо считать очевиднымъ, потому что, если
два перемѣнныхъ числа равны между собою при всѣхъ своихъ
измѣненіяхъ, то они выражаютъ одну и ту же величину, кото-
рая. отличаясь отъ своего предѣла безконечно мало, не можетъ
вслѣдствіе этоі’о стремиться къ двумъ разнымъ предѣламъ.
Указанный принципъ ведетъ къ распространенію на несоиз-
мѣримыя числа всѣхъ теоремъ о дѣйствіяхъ, доказанныхъ прежде
для несоизмѣримыхъ чиселъ.
§ 6. Дѣйствія СЪ ирраціональными числами. Вмѣстѣ съ уста-
новленіемъ понятія объ ирраціональныхъ числахъ, какъ предѣ-
лахъ, устанавливается особое понятіе и о дѣйствіяхъ съ ними.
Каждое дѣйствіе съ ирраціональными числами разсматри-
вается, какъ предѣльное относительно ряда однородныхъ дѣй-
ствій, которымъ подвергаются соизмѣримыя приближенія къ дан-
нымъ ирраціональнымъ числамъ.
Такимъ образомъ, сумма двухъ ирраціональныхъ чиселъ есть
предѣлъ суммы двухъ измѣняющихся приближеній къ даннымъ
числамъ.
Точно также, произведеніе двухъ ирраціональныхъ чиселъ
есть предѣлъ произведенія двухъ измѣняющихся приближеній
къ даннымъ числамъ.
Всѣ прежде разсмотрѣнныя свойства дѣйствій распростра-
няются на ирраціональныя чпсла безъ измѣненія.
Для доказательства этого нужно знать, кромѣ опредѣленій
дѣйствій и указаннаго въ предыдущемъ параграфѣ положенія,
только то, что разсматриваемыя свойства доказаны для соиз-
мѣримыхъ чиселъ, и что ирраціональныя чпсла суть предѣлы
соизмѣримыхъ. Приведемъ для примѣра два разсужденія:
1. Требуется доказать, что сложеніе двухъ ирраціональныхъ чи-
селъ У и 1 обладаетъ свойствомъ перемѣстительности, т.-е., что
Замѣнимъ данныя чпсла ихъ приближеніями, которыя бу-
(Ь 1) 7 7
дуть, положимъ, 7. п у и воооразимъ. что А" п / постоянно уве-
личиваются, при чемъ а и Ъ также соотвѣтственно измѣняются.
Такъ какъ оба приближенія будутъ при всѣхъ своихъ измѣ-
неніяхъ оставаться соизмѣримыми, то разсматриваемая формула
будетъ для нихъ справедлива. I
Такъ какъ предѣлъу= Хи предѣлъу= У, то по опредѣленію
сложенія предѣлъ ^у-|“7^=Х-|-У и предѣлъ (у-|-^=У-|-Х.
Такъ "какъ^персімѣпныя числа 7^-7 и у4~7 равны прп всѣхъ
своихъ измѣненіяхъ, то и предѣлы ихъ Х-|-Уи У-|-Х также
равны.
2. Требуется доказать, что умноженіе трехъ ирраціональ-
ныхъ чиселъ Л, У и У обладаетъ свойствомъ сочетательности,
т.-е., что
(ХУ)Х=Х(У%).
. > ѵ а Ъ с
замѣнимъ данныя числа ихъ вриолижешями у и — и во-
образимъ, что А, I и т постоянно увеличиваются, прп темъ
а, 1> и с измѣняются соотвѣтственно.
Такъ какъ этя приближенія соизмѣримы, то выписанная
формула будетъ для нихъ справедлива.
Такъ какъ предѣлы у, у 11 суть, соотвѣтственно, X, У и /,
то но опредѣленію умноженія предѣлъ Гу-у)’ ^==(ХУ) Хи
т т (и 1>\ с а /Ъ с\
Такъ какъ перемѣнныя числа ( у. • 7 ) • ~ и у • (у • - ) равны
при всѣхъ измѣненіяхъ, то равны и предѣлы ихъ (ХУ)/
и Х(У2).
Совершенно также нужно разсуждать прп распространеніи
на несоизмѣримыя числа всякой формулы, доказанной для со-
измѣримыхъ чиселъ.
Поэтому въ дальнѣйшемъ можемъ считать, что всѣ правила
дѣйствій, извѣстныя для соизмѣримыхъ чпсслъ, распростра-
няются на несоизмѣримыя.
Ирраціональныя выраженія. Дѣйствія
съ ними.
§ 7. Ирраціональныя выраженія. Выраженія по ихъ внѣіпне-
М5 виду раздѣляются на раціональныя и ирраціональныя.
Раціональными выраженіями называются тѣ, кото-
рыя не содержатъ знаковъ корней или могутъ быть отъ
нихъ освобождены. Таковы, напр., выраженія п-}-?/, Ъ—<•”
дробныя ирра-
Ирраціональными выраженіями называются тѣ, ко-
торыя содержатъ знаки корной и не могутъ быть отъ
нихъ освобождены. Такъ, напр., \'а и а—(Ь-с суть цѣлыя
. га «4-» Л -— <
ирраціональныя выраженія. и (’УТІ>
ціоналышя выраженія.
Разсматривая ирраціональныя выраженія, мы будемъ считать,
что корни, входящіе въ нихъ, извлекаются изъ положитель-
ныхъ чиселъ и самые корни положительны. Иначе говоря,
будемъ разсматривать только ариометпческія значенія корней.
$ 8. Преобразованіе ирраціональныхъ выраженій. Теорема 1.
Корень не измѣняется, если его умножимъ пли раздѣ-
лима па какое-либо число, а иодрадикальное выраже-
ніе, наоборотъ, раздѣлимъ пли умножимъ па соотвѣт-
ствующую показателю корпя степень того же числа.
Докажемъ, что \\1а' =а'\ А. Для этого возводимъ обѣ части
равенства въ степень п. Въ первой части, по опредѣленію
корпя, получимъ (»СЛаи)м=Лл”, а во второй, но теоремѣ о
возведеніи произведенія въ степень и затѣмъ по опредѣленію
корпя, получимъ также («ѵ А)п=ап( \/А)п=Ааѵ. Слѣдовательно,
предположенное равенство вѣрно.
На доказанной теоремѣ основаны два преобразованія ирра-
ціональныхъ корней.
1. Выведеніе изъ-подъ радикала. Если въ подрадикалыіомч.
выраженіи содержатся множителями плп дѣлителями полныя
соотвѣтствующія показателю корпя степени, то ихъ можно вы-
вести изъ-подъ радикала, сдѣлавъ основанія ихъ соотвѣтственно
множителями или дѣлителями самаго корпя.
— 9 —
2. Уничтоженіе ирраціональности въ знаменателѣ. Если подра-
дикальное выраженіе есть дробь, то можно подъ радикаломъ
уничтожить знаменателя, умноживъ подрадпкальпое выраженіе
па такую полную соотвѣтствующую показателю корня степень,
которая сократила бы знаменателя, и раздѣливъ самый корень
на основаніе этой степени. і
Напр., аЬ\!~~\аЪс.
Теорема 2. Корень не измѣняется, если показателя
корпя и общаго показателя подрадикальнаго выраже-
нія умножимъ или раздѣлимъ па одно и то же число.
Докажемъ, что \ Ат='\Аті>. Для этого возводимъ обѣ
'части равенства, въ степени пр. Въ первой части, по теоремѣ
о возведеніи степени въ степень и во опредѣленію корня,
получимъ а во второй, по
опредѣленію корпя, получимъ также (”Ѵл'п/')и/— Атр. Слѣдо-
вательно, предположенное равенство вѣрно.
і/а этой теоремѣ основаны два преобразованія корней:
1. Приведеніе къ новому показателю. Всякій корень можно при-
вести къ новому показателю, кратному даннаго. Для э?;ого
нужно умножить даннаго показателя корпя и общаго показа-
теля подрадпкальпаго выраженія на дополнительнаго дѣлителя
къ показателю корпя. Напр., »а2=у«4, '^АЪ2—'У.
2. Сокращеніе показателя. Показателя корпя можно умень-
шить въ томъ случаѣ, когда онъ имѣетъ общаго множителя
съ общимъ показателемъ подрадпкальпаго выраженія. Для этого
нужно раздѣлить показателей на ихъ общаго множителя.
Напр., ѵ/а3=\'а,
§ 9. Нормальная форма корня. Подобіе корней. Про-
стѣйшей пли нормальной формой корня считается та, въ ко-
торой 11 показатель корня не можетъ быть уменьшенъ сокра-
щеніемъ и 2) подрадпкальпое выраженіе есть цѣлый одночленъ
плп многочленъ, не допускающій выведенія изъ-подъ радикала.
Таковы, напр., выраженія \'а2Ь, \'а--\-Ъ2 и т. под..
Всякій корень можетъ быть приведенъ къ простѣйшей
формѣ. Для этого нужно: 1) Преобразовать, если возможно,
иодрадпкалыюе выраженіе въ одночленъ, 2) сократить, если
возможно, показателя корня, 3) вывести изъ-подъ радикала
10 —
всѣ полныя степени. 4) уничтожить ирраціональность зна-
менателя.
11Р и м ’Ь Р ы: с-\/ ГбЬ2с.з= \ ± -Ь-
V-----а >^а—4«6-|-46-)=—-~-\ аЬ.
Когда ирраціональный одночленъ приведенъ къ простѣйшей
формѣ, то раціональный множитель корпя называется его ко-
эффиціентомъ. 'Гакъ, въ первомъ изъ предыдущихъ примѣровъ
, аЪ а—2Ь
коэффиціентъ есть во второмъ —- •
Ирраціональные одночлены называются подобными, если
•ши различаются только коэффиціентами, но имѣютъ одина-
ковыхъ показателей и одинаковыя подрадпкальпыя выраженія.
Папр., одночлены а-\к и Ь подобны. Чтобы судить о томъ,
подобны ли данные корни, или нѣть, нужно привести пхт
предварительно къ простѣйшей формѣ.
Примѣры: Ж5—2^=2оу/а2—262.
Одночлены, данные въ предыдущихъ примѣрахъ, оказались
послѣ' упрощенія подобными.
§ 10. Сложеніе И вычитаніе. Для сложенія или вычи-
танія ирраціональныхъ одночленовъ нужно выписать
ихъ рядомъ, соблюдая правила знаковъ этихъ дѣй-
ствій, затѣмъ преобразовать отдѣльные члены въ про-
стѣйшую форму и сдѣлать, если можно, приведеніе.
Приведеніе состоитъ въ томъ, что коэффиціенты подобныхъ
членовъ съ отнесенными къ нимъ знаками членовъ заключа-
ютъ въ скобку, къ которой приписываютъ множителемъ общій
корень; затѣмъ полученный общій коэффиціентъ упрощаютъ
по обыкновеннымъ правиламъ.
—71 і./К—। х~~ і пт\ А»3 і 2<зИ Іа^ + Ь^х 2а-4 /Ь
а\а3-]-а-х—аЬ\^а-{-9х-}-оЬ\/-Ь2-\—ь-\і —-------ъ \-
—а -\ а -\-х—ЗаЬ\а -[-ж-^-ЗнѴ а-\-2аЬ\ а -\-х—2аѴа=
=(а2— аЬ) \'а -ф- х-^-а \ 'а.
11
§ 11. Умноженіе и дѣленіе. Для перемноженія корней
съ одинаковыми показателями нужно перемножить ихъ
подрадпкальпыя выраженія и надъ выраженіемъ произ-
веденія поставить радикалъ съ тѣмъ же показателемъ.
Это правило выражается формулой у Я \ В—^АВ и выте-
каетъ непосредственно изъ теоремы объ извлеченіи корня изъ,'
произведенія.
Коэффиціенты корней перемножаются отдѣльно по прави-
ламъ для раціональныхъ выраженій.
Если показатели корной различны,«то ихъ сначала приво-
дятъ къ общему показателю, наименьшему кратному дан-
нымъ, а затѣмъ производятъ умноженіе по предыдущему правилу.
Примѣры: ѵ'4а9Ь'2.\ (у(іЬя===-‘^24а4Ь6==2аЬі ЗаЬ2,
За.1 / а'2 4Ь1 /а—Ь 12.1’ / а‘ (а-—1№ 6 з/Х—-5—
;>ь\/ а—Ь' 5а\ ЧА'— 25 V («—&)-' 8а9 = 25аѵ а ^).
Для дѣленія корней съ одинаковыми показателями
нужно раздѣлить ихъ подрадикальныя выраженія и
надъ выраженіемъ частнаго поставить радикалъ съ тѣмъ
же показателемъ.
Это правило выражается формулой уя: ІІ—УАВВ 11 слѣ-
дуетъ прямо изъ теоремы объ извлеченіи корня изъ дроби.
^Коэффиціенты корней дѣлятся отдѣльно но правиламъ для
раціональныхъ выраженій.
Если показатели корней различны, то ихъ сначала приво-
дятъ къ общему показателю, наименьшему кратному дан-

пыхъ, а затѣмъ производятъ дѣленіе но предыдущему правилу.
-V/3 М, г—~ Г
—?-==-—\ Іоааі,
а2с ім-с ’
ДО"' Е'~.ТТ?
(йб)3"‘.
Чтобы
ЪсЧГ* \ ]
/ Ьт+'2. 4 і іат^і а'2тЬ^ ІЬІП^'2 а-тг'2 а’2тЬ^
с- V V ^ш~| 2с2 \/ 2== 2с- V
§12. Возведеніе въ степень и извлеченіе корня.
возвести корень въ степень, нужно возвести въ эту
степень подрадикальное выраженіе.
Дѣйствительно, по опредѣленію возведенія въ степень и по
правилу перемноженія корней, находимъ (7Я)’П=^Х“/Л....”С4=
= ѵЯ.Я....Я—уЯ’". То же правило легко доказать и для отри-
цательнаго показателя степени.
Если данный корень имѣетъ коэффиціентъ, то послѣдній
возводится въ степень отдѣльно.
— 12 —
Примѣры: (у'2а/г)4=^(2а^'2)4=у'24«4&х=2«Ь2у'2а62,
ОбЛЗѴ^“:іО =^а::&9\/^^’=§«7й‘Ѵба^
Примѣчаніе. Правило возведенія корпя въ степень можно
выразить такъ: чтобы возвести корень въ степень, нужно ум-
• пожить показателей подрадпкальпаго выраженія на показателя
новой степени.
Чтобы извлечь корень изъ корня, нужно умножить
показателя даннаго корня на показателя новаго корпя.
Дѣйствительно, допустивъ равенство у ^А="“у/А и возведя
обѣ части его въ степень тп, находимъ въ цервой части,
по теоремѣ о возведеніи степени
• (\ іііп Г X щ
ленпо корпя, ( у ѵ'я) = ( у У А
въ степень и по оиредѣ-
=(ѵС1)к=П., а во второй
части, по опредѣленію корпя. ( /П Д. Такъ какъ получи-
лись равные результаты, то предположенное равенство вѣрно.
Предыдущее равенство относится очевидно и кь отрицатель-
нымъ показателями корней.
Если данный корень имѣетъ коэффиціентъ, то послѣдній
обыкновенно подводится йодъ радикалъ, иногда же бываетъ
удобнѣе извлекать изъ коэффиціента корень отдѣльно.
Примѣры: \ аЬ=\ 4а:ІА—\'4аЧА,
Примѣчаніе. Правило извлеченія корпя изъ корпя можно
выразить такъ: чтобы извлечь корень изъ корня, нужно извлечь
его изъ подрадпкальпаго выраженія.
§ 13. Уничтоженіе ирраціональности въ знаменателѣ. Когда
знаменатель дроби содержитъ корпи, то обыкновенно преобра-
зовываютъ дробь такъ, чтобы знаменатель былъ раціоналенъ.
Для этого подыскиваютъ такое выраженіе, котораго произ-
веденіе па даннаго знаменателя было бы раціонально, и на это
выраженіе умножаютъ оба члена дроби.
г г 1
Одночленная ирраціональность. Дана дробь
Умножаемъ чис-
лителя и знаменателя па у а. Получимъ
13 —
Дана дробь Помножаемъ числителя и знаменателя,
ѵ («—<>)'-
, _____ тт Л АѴіа—Ь)^
на ? («_мз. Получимъ ,-------'
' ' ’ ’ ; (а-Ьу- о—Ь
Многочленная ирраціональность. Для преобразованія дроби —' =
У «4-\ Ъ-
умножаемъ числителя и знаменателя па \а—\Ъ. Получимъ
А \ а- \
а—I)
Подобно этому,
А Аіу.а + \ 6)
Ѵ'а—\ 7> 6
Для преобразованія дроои —— умножаемъ числителя
V а+ѵ 6
знаменателя па іа2—^аЬА-І'Ь2. Получимъ - 6-1 •
1 - а + О
Подобно этому, ~ :1 -=———-—-
и
Въ болѣе сложныхъ случаяхъ ирраціональность знамена-
теля уничтожаютъ не сразу однимъ умноженіемъ, а въ нѣ-
сколько пріемовъ, постепенно уменьшая чпслсГ содержащихся
въ знаменателѣ радикаловъ. Папр., дана дробь —-——— .
\_а \ 6+\ с
Умножаемъ числителя и знаменателя на \ —\/с; получимъ
Л(\ а+ѵ4—у'с) * і
---------7=- Умножаемъ еще разъ числителя и знаменателя
а-і-Ь—с + 2\ аЬ
і 7 Ѵ\ « + \ 6—с)(а4-Л~с—2У«5)
на аА-Ъ—с—2\аІ>- получимъ ---------1_А_----------ѵ_<
Для уничтоженія корней второй степени легко указать
общій способъ. Положимъ, что въ знаменателѣ данной дроби
входитъ какой-нибудь корень \к, въ одномъ членѣ пли же
въ нѣсколькихъ. Можно представить данную дробь въ формѣ
—, гдѣ В и С
В+ С\'к
нія, по не содержащія \'к. Умноживъ числителя и знамена-
т> А(В—С\'к)
теля на В—С\к, получимъ дробь —въ знаменателѣ
которой исчезъ \ к, хотя этотъ знаменатель еще можетъ оста-
ваться ирраціональнымъ.
будутъ, хотя и ирраціональныя выраже-
Нримѣры: —
— 12 —
Примѣры: (72а&2)4=У(2а62)4==і/24а4Ьн=2аѣ2/2аЬ2,
йк\ —а"Ь 9^/^а "1>3 =§а ~Ь1 "^ЬаЪ.
Примѣчаніе. Правило возведенія корпя въ степень можно
выразить такъ: чтобы возвести корень въ степень, нужно ум-
ножить показателей подрадпкальпаго выраженія па показателя
повои степени.
Чтобы извлечь корень изъ корня, нужно умножить
показателя даннаго корня на показателя новаго корня.
Дѣйствительно, допустивъ равенство "у УА=="У А и возведя
обѣ части его въ степень тп, находимъ въ первой части,
по теоремѣ о возведеніи степени въ степень и по опредѣ-
леиію корпя, ^\\А) = Н у^і'-і) Д =( ^-Д)“==-4, а во второй
части, по опредѣленію корня, (" ѴС/)”"'=Л. Такъ какъ получи-
лись равные результаты, то предположенное равенство вѣрно.
Предыдущее равенство относится очевидно и къ отрицатель-
нымъ показателямъ корней.
Если данный корень имѣетъ коэффиціентъ, то послѣдній
обыкновенно подводится подъ радикалъ, иногда же бываетъ
удобнѣе извлекать изъ коэффиціента корень отдѣльно.
Примѣры: у'2а-Ъ\‘аЬ=\ \/4а:'Ь3=^4а;,Ьі,
і\4<ѵ VЛ й=д/> *• V«\ !6Ѵ“Ѵ«ѴЙ» «’•
Примѣчаніе. Правило извлеченія корпя изъ корпя можно
выразить такъ: чтобы извлечь корень изъ корня, нужно извлечь
его изъ подрадпкальпаго выраженія.
§ 13. Уничтоженіе ирраціональности въ знаменателѣ. Когда
знаменатель дроби содержитъ корни, то обыкновенно преобра-
зовываютъ дробь такъ, чтобы знаменатель былъ раціоналенъ.
Для этого подыскиваютъ такое выраженіе, котораго произ-
веденіе на даннаго знаменателя было бы раціонально, и па это
выраженіе умножаютъ оба члена дроби.
Одночленная ирраціональность. Дана дробь
Умножаемъ чис-
лителя и знаменателя на V «•
л
1 •
у «
Получимъ
а
на
Дапа дробь
V
т===-’ Помножаемъ
(®—О2
числителя и
знаменателя
; (а-6)3.
Получимъ
Л_______6)3
V {а-ьу- <і-—Ъ
Многочленная ирраціональность. Для преобразованія дроби —-=
\а+\Ь.
умножаемъ числителя и знаменателя на Получимъ
А \ а— \'Ь)
и—Ь
Подобно этому,
Л Л(\ а • \ 6)
Ѵа—\ ‘Ь Г1~ь
Для преобразованія дроби ѵ-
» «•+ » Ъ
умножаемъ числителя
знаменателя па /а-—Ч/аЪ-\-%Ъ-. Получимъ
Подобно этому,
Въ болѣе сложныхъ случаяхъ ирраціональность знамена-
теля уничтожаютъ не сразу однимъ умноженіемъ, а въ нѣ-
сколько пріемовъ, постепенно уменьшая чпслсГ содержащихся
въ знаменателѣ радикаловъ. Напр., дана дробь ——
\_а 1-\ 6+\ с
Умножаемъ числителя и знаменателя на Ѵ«-}-Ѵб—Ѵс; получимъ
Л(\ а+Ѵб—\с)
—-----—;=• Умножаемъ еще разъ числителя и знаменателя
а 4-6—с + 2уаЬ
і 7 Л'\ а+\ 6—\с)(а+6—с—2Ѵ«^)
„а аА-Ъ-с-^аІЛ получимъ <
Для уничтоженія корней второй степени легко указать
общій способъ. Положимъ, что въ знаменателѣ данной дроби
входитъ какой-нибудь корень ѴІ', въ одномъ членѣ или же
въ нѣсколькихъ. Можно представить данную дробь въ формѣ
> гдѣ В и С будутъ, хотя и ирраціональныя выраже-
лія, но не содержащія ѴА‘. Умноживъ числителя и знамена-
теля на В—С^к, получимъ дробь въ знаменателѣ
которой исчезъ \к, хотя этотъ знаменатель еще можетъ оста-
ваться ирраціональнымъ.
Примѣры:
2ѴЗ 2\/3(\ 2+\'3+\
Ѵ'2 + Ѵ'З-Ѵ'б 2\/С
-^2-рѴб-І-ѴіО,
14 —
46 46___________________46(5у/2+2Ѵ 3—\ 6)
5у '2-2Ѵ-°> + \ 6 »У 2—Ѵ'3(2- У 2) 50—3(6—4У 2)
23(5\ 2+2\/3—У 6)_23(5У'2+2У'3—У^Хб—ЗУ 2)_
2(84-Зу 2) 2(64—18)
20у'2 + 1іу 3—7У о—15
-- 2
§ 14. Преобразованіе выраженія VТеорема. Равен-
ство а-\-\Ь—с-\-\(І, въ которомъ числа а, Ъ, с и (I со-
измѣримы, но /> и <1 суть неполные квадраты, возможно
лишь тогда, когда отдѣльно а=<- и \ІЬ=\Ід,.
Въ самомъ дѣлѣ, если допустимъ, что а пѳ равно с и что,
напр., «=г-|-»п, то разсматриваемое равенство приметъ видь
или, по упрощеніи,
ягД-Ѵ 6— Ѵ</.
Но послѣднее равенство невозможно, потому что, возведя
обѣ части его въ квадраіъ, мы получили бы т2-\-2т\ІЬ-\-Ь=
=7, или
' /1—Ъ—т-
' І>=~ 2т~’
т.-е. нашли бы, что несоизмѣримое число равно соизмѣри-
мому, чего быть не можетъ. Слѣдовательно, а—с, а потому
и Ъ=(1.
Основываясь па предыдущей теоремѣ, можно доказать, что
выраженіе вида V когда въ немъ числа а и Ь соизмѣ-
римы и притомъ а2—1> есть полный квадратъ, можно преоб-
разовать въ сумму или разпостъ двухъ простѣйшихъ квад-
ратныхъ корней.
Для этого допустимъ равенство
Ѵ«+Ѵ6=\/аН-Ѵ^
въ которомъ считаемъ х и у соизмѣримыми числами, п зай-
мемся отысканіемъ этихъ чиселъ.
Возведя обѣ части равенства въ квадратъ, получимъ «4-
_|_у4—ху, откуда по предыдущему заключаемъ, что
х-\-у=а и 2\ху=\1>.
Для рѣшенія полученныхъ уравненій составимъ изъ нпхъ
третье вспомогательное. Возводимъ оба уравненія въ квад-
ратъ; получимъ х2-\-<2ху-\-у-—(С- п 4=ху=1>. Второе изъ полу-
— 15 —
-чепныхъ уравненій вычтемъ изъ перваго; выйдетъ а’2—2ду-|-
-\-у2=а2—!>. Наконецъ, извлекши изъ новаго результата квад-
ратный корень, найдемъ вспомогательное уравненіе х—у=
=\ а2—І>.
Прежнюю пару уравненій замѣнимъ теперь другой парой
х-\-у—а и х——Ь
іи рѣшаемъ новыя у равненія посредствомъ сложенія и вычпта-
иія; получимъ х~— -2— и у——---------.
Такимъ образомъ, находимъ формулу
ѵ
Точпо также можно доказать другую формулу
_\'/г=і25Е‘.
Если а2—Ь есаь полный квадратъ, то числа х и у оказы-
ваются соизмѣримыми и въ такомъ случаѣ примѣненіе ука-
занныхъ формулъ ведетъ къ упрощенію выраженія У^і^б.
Примѣры: Дано выраженіе У 7Д-4ѴЗ. Подведемъ сначала
4 подъ радикалъ; получилъ У 7 ^-У 48. Имѣемъ а2—Ъ—±\)—
--48=Т. Поэтому
V т+77=\/742+\Л=і=2+ѵз:
Дано выраженіе У 11Ѵ6—б\12. Выведемъ сначала \'6 об-
«щимъ множителемъ, а 6 подведемъ подъ радикалъ; получимъ
ѴѴб(11— Ѵ72)’ или ѵ'бУ 11—\72. Имѣемъ а2— 6=121—72=
=49. Поэтому
ѴбУ П^Ѵ72 = 4ѵ/б[Ѵ^Г1—Ѵ1Т2] = ѵ 6(3—/2).
Степени и корни съ дробными показателями.
§ 15. Степени съ дробными показателями. Понятіе о сте-
пеняхъ съ дробными показателями получается прп извлеченіи
корня изъ выраженій.
1П
Разсмотримъ формулу ’ѵ=н”, которая выражаетъ пра-
вило извлеченія корня изъ степени. Формула эта доказана
16
въ томъ случаѣ, когда т дѣлится на п. Показатели т и п
могутъ быть положительными или отрицательными.
Раслросгранимъ ту же формулу условно на тотъ случай,,
когда не дѣлится на п. Такое бездоказательное распро-
страненіе формулы возможно, потому что обобщенная формула
будетъ относиться къ новымъ выраженіямъ, степенямъ съ дроб-
ными показателями, опредѣленіе которыхъ мы можемъ выбрать
произвольно. Новое опредѣленіе указывается самой формулой
и выражается такъ:
Степень съ дробнымъ показателемъ равна корню,
показатель котораго есть знаменатель дроби, изъ ос-
нованія степени, возведеннаго въ степень, указы-
ваемую числителемъ дроби.
і _ з
Такъ «2=Ѵ«, «5=ѵ/п3 п т. д.. Вообще степени съ дробными
показателями не представляютъ чего-либо новаго по существу;
это тѣ же ирраціональныя выраженія, написанныя только въ осо-
бомъ видѣ.
§ 16. ДѢЙСТВІЯ СО степенями. Степени съ дробными пока-
зателями подчиняются всѣмъ прежнимъ правиламъ дѣйствій.
Правила эти доказываются прямымъ путемъ на основаніи
опредѣленія новыхъ степеней.
Степень произведенія равна произведенію степеней
каждаго изъ множителей.
Дѣйствительно, [ЛВ]п=і | АВ\т—'\Лт. Вт—Ап.Вп.
Степень дроби равна степени числителя, раздѣлен-
ной ча степень знаменателя.
При умноженіи степеней съ одинаковыми основа-
ніями показатели ихъ складываются.
т р
Ходъ доказательства выражается такъ: а". (А—Ца?п. %ар—
і рн ш р
Можно также разсмотрѣть тѣ частные случаи, когда п пли
д равны единицѣ, т.-ѳ. когда одинъ изъ показателей цѣлый.
При дѣленіи степеней съ равными основаніями пока-
затель дѣлителя вычитается изъ показателя дѣлимаго.
т р т р
Дѣйствительно, ап : а? ~ап 4 , потому что, умноживъ най-
денное частное на дѣлителя, мы, по доказанному уже правилу
умноженія, получимъ дѣлимое.
Чтобы возвести степень въ новую степень, нужно
показателей перемножить.
/ ’Д-Ѵ. \ /7
Ходъ доказательства выражается такъ: ( а» Ѣ = ) =
______________ тр іп р
— Ѵ(Уа”‘ Уі—У,Ѵатр=^/атр=апѵ=ап ’ ’.
Можно также разсмотрѣть тѣ частные случаи, когда п или
д равны единицѣ, т.-е., когда одинъ изъ показателей цѣлый.
Чтобы извлечь корень изъ степени, нужно раздѣ-
лить показателя подрадикальнаго выраженія на пока-
зателя корня.
і Г~Е- X
Дѣйствительно, уа«=а'у’, потому что, возведя найденный
корень въ степень р, мы, по доказанному уже правилу воз-
веденія въ степень, полупимъ подрадикальноѳ выраженіе.
Всѣ предыдущія доказательства относятся также и къ отри-
цательнымъ дробнымъ показателямъ.
Изъ предыдущаго видно, что расширеніе понятія о пока-
зателѣ не вводитъ никакихъ новыхъ правилъ. Между тѣмъ
такое обобщеніе представляетъ значительную выгоду, потому что,
во-первыхъ, устраняетъ ограниченіе, которому было подчи-
нено правило извлеченія корня изъ степени, а во-вторыхъ,
даетъ возможность, при замѣнѣ радикаловъ дробными показа-
телями, преобразовывать ирраціональныя выраженія по тѣмъ же
правиламъ, какія извѣстны для раціональныхъ выраженій.
1 1 К 1 2_ 8. _2_2_
Примѣры: (а2Ь~1)2.а2Ь3. (а~1Ь~~2)3—аЬ~2а2Ь*іа 3Ь 3 —
. ,2_1 —‘2Л.Л—1 2. -
=а 2 3Ь 3 3==а6ЬІ,=аІ а.
~5 / —2 / __з
\ а4Ь-3 Ѵа~2ЬТѴа~'Ь=а ьЬьа 2,]Ьма V =
2+2+± Ь
==а 5 20 20^5 20 20_а—
§ 17. Корни съ дробными показателями. Понятіе о кор-
няхъ съ дробными показателями не получается естественно
при какомъ-либо изъ основныхъ алгебраическихъ дѣйствій.
По это понятіе можно ввести искусственно для того, чтобы
Часть II. 2
— 18 —
извлеченіе корпя было обобщено въ такихъ же предѣлахъ,
какъ и возведеніе въ степень.
Распространимъ условно обыкновенное опредѣленіе корня
па тотъ случай, когда показатель корпя дробный. Это воз-
можно, потому что, устанавливая новое понятіе, мы сами вы-
бираемъ опредѣленіе этого понятія. Новое опредѣленіе выра-
зится тѣми же словами, какъ прежнее:
Корень съ дробнымъ показателемъ есть то число,
которое, будучи возведено въ соотвѣтствующую пока-
зателю корпя степень, даетъ подрадикальное число.
Узнаемъ, есть ли такой корень число новаго вида, или пѣтъ.
іи . »’
Пусть По указанному опредѣленно, имѣемъ «=.г”.
Чтобы освободить х отъ ('го показателя, возведемъ обѣ части
равенства въ обратную степень съ показателемъ при чемъ
во второй части равенства примѣнимъ правило перемноженія
«. № 41
показателей. Получимъ х=а’“, т.-е. п'”. Слѣдовательно,
корпи съ дробными показателями не представляютъ ничего
новаго.
Корень съ дробнымъ показателемъ равенъ степени,
которой дробный показатель обратенъ показателю
кор ня.
1 :! &.
Такъ -^й—а2, у7і=«3- Корпи съ дробными показателями
представляютъ такіе же, какъ прежде, ирраціональныя выра-
женія, написанныя только въ излишне усложненномъ видѣ.
§ 18. Дѣйствія СЪ корнями. Пѣтъ надобности производить
дѣйствія съ-корнями. имѣющими дробныхъ показателей, потому
что. во-первыхъ, такіе корпи введены пскусствопно, а во-вто-
рыхъ. они могутъ быть замѣняемы соотвѣтствующими имъ сте-
пепямп съ обратными показателями.
По если бы, все-таки, мы пожелати разсмотрѣть правила
дѣйствій, то достаточно было бы замѣтить, что вообще пра-
вила дѣйствій съ корнями вытекаютъ изъ опредѣленія корня
и изъ соотвѣтствующихъ правилъ возведенія въ степень, и
что — какъ опредѣленіе корня, такъ и правила возведенія —
распространяются на дробные показатели безъ измѣненія, а
потому правила извлеченія корня распространяются на корни
съ дробными показателями.
— 19 —
Мнимыя количества
§ 19. Мнимое количество. Понятіе о мнимомъ количествѣ
получается при извлеченіи корня изъ количествъ.
Мнимымъ количествомъ называется корень четной
степени изъ отрицательнаго количества.
Разсматривая такіе корпи, какъ, папр., V—9 или»/ —16, мы
видимъ, что числовыя значенія ихъ можно вычислить опредѣ-
ленно: числовое значеніе корпя должно быть въ первомъ при-
мѣрѣ 3, а во второмъ 2. Но по направляющему знаку указан-
ныя количества не могутъ считаться ни обыкновенными поло-
жительными, пи обыкновенными отрицательными, потому что поло-
жительныя и отрицательныя количества при возведеніи въ чет-
ную степень даютъ положительные результаты.
Мнимыя количества нельзя смѣшивать съ обыкновенными,
прежде разсмотрѣнными количествами. Въ противоположность
мнимымъ количествамъ всѣ прежде разсмотрѣнныя количества
на зываются д ѣ й с т в и тельными.
Мнимыя количества вводятся въ алгебру условно и съ ними
бездоказательно производятъ такія же дѣйствія, какъ съ дѣй-
ствительными. Введеніе мнимыхъ количЛшзъ обобщаетъ и объ-
единяетъ многіе алгебраическіе выводы. х
Простѣйшее мнимое количество есть \—1. Оно называется
мнимой единицей и обозначается буквой і. Послѣдовательныя
степени мнимой единицы повторяются періодически черезъ
четыре. Дѣйствительно, возводя V—1 въ степени, начиная
съ нулевой, находимъ, что по опредѣленію нулевой степени
(V—1)°і=1, по опредѣленію первой степени (V—I)1 — і, по
опредѣленію квадратнаго корня (ѵ—1)2=—1 и вслѣдствіе
того же опредѣленія квадратнаго корпя, соединеннаго съ опре-
дѣленіемъ степени, (V—1)3=(ѵ—I)2.(ѵ —1)=—/.
Продолжая тѣ же возведенія дальше, находимъ, что
«4=г-.г2=-{-1, г5=г4.?=г, г6=74.г2=—1, р=г4.г'з=—г и т. д.
Чтобы разсмотрѣть вопросъ вообще, замѣтимъ, что, смотря
по остатку, который можетъ получиться отъ дѣленія чиселъ
на 4, всѣ числа подводятся подъ одну изъ формъ 4п, 4п-|-1,
2*
— 20 —
4п-|-2, 4ю-|-3, гдѣ п произвольное цѣлое число. Принимая
такія формы для показателя степени, находимъ:
г4"= (г4)"=Г'== 1, іін+
ііп+ 2=г4"л-’=—1, і4я+3=?п.г3=—і.
Отсюда вытекаетъ слѣдующее правило:
Чтобы опредѣлить, какое изъ четырехъ значеній
имѣетъ данная степень мпимой единицы, нужно раздѣ-
лить показателя степени на четыре и замѣнить дан-
наго показателя остаткомъ, получаемымъ при дѣленіи.
Пзслѣдовапіе всякихъ мнимыхъ количествъ показываетъ,
что всѣ они приводятся къ квадратнымъ корнямъ изъ отри-
цательныхъ количествъ. Поэтому достаточно разсматривать
только квадратные корни изъ отрицательныхъ количествъ.
Но такія основныя мнимыя количества выражаются всѣ че-
резъ мнимую единицу. Дѣйствительно, взявъ V—а2, гдѣ под-
радикальпоѳ количество выражено черезъ квадратъ для того,
чтобы ясно видѣть, что знакъ его отрицательный, мы моліемъ,
извлекши изъ а2 корень отдѣльно, представить данное количе-
ство въ видѣ а\—1.
Такая форма мнимаго количества называется нормальной.
Для приведенія основного мнимаго количествакънор-
мальной формѣ нужно умножить его числовое значе-
ніе на мнимую единицу.
Мнимая единица уподобляется направляющему знаку коли-
чества и потому называется также мнимымъ знакомъ. Подобно
тому, какъ всякое положительное количество можно разсматри-
вать въ видѣ произведенія числа на положительную единицу,
а всякое отрицательное въ видѣ произведенія числа на отри-
цательную единицу, такъ и мнимое количество есть произведе-
ніе числа на мнимую единицу.
Но сама мнимая единица, какъ показываетъ возведеніе ея
въ послѣдовательныя степени, можетъ быть положительной или
отрицательной. Поэтому всѣ основныя мнимыя количества также
могутъ быть, независимо отъ ихъ мнимости, положительными
или отрицательными.
Чтобы доказать, что всевозможныя мнимыя количества при-
водятся^къ основнымъ, т.-ѳ. къ квадратнымъ корнямъ изъ
отрицательныхъ количествъ, замѣтимъ, во-первыхъ, что на
— 21 —
основаніи формулы 2Ѵ—Л=27 Я/Ѵ—1 всякое мнимое коли-
чество выражается черезъ корень четной степени изъ отрица-
тельной единицы. Но всякое четное число 2п мы можемъ раз-
сматривать въ видѣ 2'*.яг, гдѣ тп есть нечетное число. По пра-
вилу извлечепія корпя изъ корпя и по свойству нечетнаго по-
казателя, 2’Ѵ—1= ѴѴ—1==-2^-—1=ѴѴ-—' V—1. Дальше же
будетъ доказано, что извлеченіе квадратныхъ корней изъ основ-
ного мнимаго количества даетъ результатъ, выражающійся че-
резъ тѣ же основныя мнимыя [количества.
§ 20. Комплексныя выраженія. Комплекснымъ выраженіемъ,
илп комплексомъ, называется сумма или разность дѣйстви-
тельнаго количества съ мнимымъ. Такая сумма или разность
всегда остается въ формѣ двучленнаго выраженія, потому что
мпимое количество не приводимо съ дѣйствительнымъ.
Общій видъ комплекса есть гдѣ а и Ъ обозначаютъ
какія-нибудь дѣйствительныя количества, положительныя или
отрицательныя. Количество а называется дѣйствительной
частью комплекса, количество Іи его мнимой частью.
Въ теоріи дѣйствій съ комплексомъ а-}-1й имѣетъ важное
значеніе число ^а'2-\-Ъ2. Оно называется модулемъ комплекса.
Два комплекса а-\-Ій и а—Ъі, отличающіеся только знаками
ихъ мнимыхъ частей, называются сопряженными. Модулу
двухъ сопряженныхъ комплексовъ равны между собою. >
§ 21. ДѢЙСТВІЯ СЪ комплексами. Для производства всякихъ
дѣйствій съ комплексами нужно приводить ихъ мнимыя части
къ нормальному виду.
Вычисленія съ комплексами показываютъ, что результаты
всякихъ дѣйствій съ пими не даютъ никакихъ новыхъ выра-
женій, а представляютъ, вообще говоря, такого же рода
комплексы.
Сложеніе. При сложеніи комплексовъ складываютъ отдѣльно
ихъ дѣйствительныя части и отдѣльно мнимыя. Такъ, (а-|-йг)-|-
-|-(г -|-гИ)=(а-}-г)-|-(Ь-|-б/)г.
Сумма сопряженныхъ комплексовъ а-\-Ій и а—Ій равна 2п,
т.-е. равна удвоенной дѣйствительной части.
Вычитаніе. При вычитаніи комплексовъ вычитаютъ от-
дѣльно ихъ дѣйствительныя части и отдѣльно мпимыя. Такъ,
а-]-Ій—(е-р7г)—(а—с) -|-(Ь—<7) і.
__ 22 ___
Разность сопряженныхъ комплексовъ п а—Ьі равна
2Ц т.-е. равна удвоенной мнпмой части.
Умноженіе. Умноженіе комплексовъ обозначается скобками;
въ выраженіи произведенія раскрываютъ скобки по правилу
умноженія многочленовъ и затѣмъ, соединивъ дѣйствительные
члены съ дѣйствительными и мнимые съ мнимыми, пишутъ
результатъ въ формѣ комплекса. Такимъ образомъ имѣемъ
—ІнІ—ис— 1><1-\-(Ьс-\-а<1)і, или обо-
значая только форму результата, Л-|-Б/.
Произведеніе сопряженныхъ комплексовъ равно квадрату ихъ
общаго модуля.
Дѣленіе. Дѣленіе комплексовъ обозначается чертой; въ вы-
раженіи частнаго, написаннаго какъ іробь, уничтожаютъ ирра-
ціональность и вмѣстѣ съ тѣмъ мнимость знаменателя умно-
женіемъ членовъ дроби на комплексъ, сопряженный знамена-
телю, и затѣмъ, производя умноженіе и раздѣливъ почленно,
пишутъ результатъ въ формѣ комплекса. Такимъ образомъ,
, а-\-Ъі (4,+ Ы.Лс—-<//) >іс+ЪгІ + (Ьс—ш1.)і ас-і-М . Ьс—асі .
имъемъ —;—Г- , , . =----------; 77----=— ;;—г—: г- / II ІИ.
с+<Л <•-+</- с-+</- С-+<Л1 I С-+СІ2 > ’
обозначая форму результата, П-]-Бг.
Основываясь на правилахъ основныхъ дѣйствій съ комплекса-
ми, можно доказать слѣдующія теоремы, имѣющія значеніе
въ дальнѣйшемъ развитіи теоріи:
Теорема 1. Если два комплекса равны, то отдѣльно
равны между собою ихъ дѣйствительныя части и коэф-
фиціенты мнимыхъ частей.
Пусть намъ дано, что п-|-ьг=с-{-//г. Перенеся члены такъ,
чтобы собрать дѣйствительные въ одной части равенства, а
мнимые въ другой, получимъ а—<==іІі—1>і, пли, вынося і за
скобку, н—с=((1—Щі. Возведемъ это равенство въ квадратъ;
выйдетъ <)-=—(<1—/>)-, пли, перенеся отрицательный
членъ въ первую часть равенства, (а—с)2-|-('/—Л)-=0. Но,
такъ какъ квадраты дѣйствительныхъ разностей не могутъ
быть отрицательны, то сумма этихъ квадратовъ можетъ рав-
няться нулю только при равенствѣ нулю каждаго изъ слагае-
мыхъ, т.-е., когда <<=< и <1=1/.
Изъ этого въ частности слѣдуетъ, что когда п-|-6г=0, то.
должно быть отдѣльно а=0 и 6=0.
— 23 —
Теорема 2. Если произведеніе двухъ комплексовъ
равно пулю, то долженъ равняться нулю одинъ изъ
множителей.
Пусть намъ дано, что Совершивъ пере-
множеніе въ первой части, получимъ ас—
а изъ этого равенства по предыдущей теоремѣ слѣдуетъ, что
ас—1x1—0 и 1)с-\-(і'/—0. Возведемъ эти равенства въ квад-
ратъ и сложимъ; тогда удвоенныя произведенія приведутся,
а оставшійся четырехчленъ можно будетъ преобразовать
въ произведеніе, и мы получимъ (п2-|-/;2)(г2-|-//2)=0. Подоб-
ное условіе можетъ быть удовлетворено только тогда, когда
п2-\-1>'2—0 или с2-|-</2=0, что влечеть за собой а-\-Ігі=0 или
с-р/г=().
Возведеніе въ степень. Возведеніе комплекса въ степень
даетъ въ результатѣ комплексъ того же вида.
Чтобы усмотрѣть этотъ выводъ съ большей наглядностью,
представимъ себѣ возведеніе комплекса въ квадратъ, въ кубъ
и вообще въ степень н, при чемъ будемъ сначала обозначать
степени і, не вычисляя ихъ. Если, оставляя въ сторонѣ по-
дробности о составѣ членовъ, разсмотримъ только расположе-
ніе ихъ по степенямъ і, то получимъ формулы (а-\-І>і.)'2=А-\-
>:‘=(л2-^-І)ія и вообще
і і“—А —|—7—I— СѴ2-|----1—7Ѵг",
гдѣ Л, В, С,...., X представляютъ не разсматриваемыя нами
выраженія, измѣняющіяся съ измѣненіемъ показателя степени
комплекса и содержащія разныя степени количествъ а п !>.
Такъ какъ всѣ четныя степени г равны или —1, или -}-1,
а нечетныя равны или —г, или —г, то, послѣ замѣны во
вторыхъ частяхъ равенствъ всѣхъ степеней /, тамъ получится
рядъ членовъ дѣйствительныхъ и рядъ мнимыхъ, по приведе-
ніи которыхъ выйдетъ вообще при чемъ вы-
раженіе Р получится отъ членовъ съ четными степенями /,
а выраженіе ($ отъ членовъ съ нечетными степенями.
Разсуждая подобнымъ же образомъ, можно доказать, что
одинаковыя степени двухъ сопряженныхъ между собою ком-
плексовъ суть также взаимно сопряженные комплексы. Для это-
го обратимся къ предыдущимъ формуламъ и напишемъ ихъ нѣ •
сколько иначе. Такъ какъ въ основаніи степени, т.-е. въ ком-
плексѣ «-)-/>/, количества Ь и і входятъ въ одинъ членъ, оба
въ первыхъ степеняхъ, то въ членахъ вторыхъ частей фор-
— 24 —
мулъ тѣ же количества будутъ постоянно входить въ одина-
ковыхъ степеняхъ, и потому можно, выставляя степени Ь па
видъ, написать прежнія формулы (<а-\-Ъ/}2=Ах-\-Б-ІЫ-:{-СіЬ2і2,
((і-\-Ы)3=А1-\-В1Ы-\-С1Ь2і2^-І)1Ь313, и вообще
(^4-^=4 +7?, Лі4-Сг Ъ2і2-\------\-Ь\Ь'Ч",
гдѣ выраженія А}, Ву, С\Лі, попрежнему измѣняю-
щіяся съ измѣненіемъ показателя степени комплекса, будутъ
теперь содержать разныя степени одного а. Изъ того, что
степени количествъ Ь и і въ каждомъ членѣ вторыхъ частей
одинаковы, видно, что въ окончательной формулѣ
=Р выраженіе В состоитъ изъ членовъ съ четными сте-
пенями Ъ, а выраженіе <2 изъ членовъ съ почетными степе-
нями Ъ. Слѣдовательно, измѣняя знакъ />, мы должны полу-
чить результатъ (а—Ы)п=Р—($, сопряженный съ преды-
дущимъ.
II р и м ѣ р ы: (5—\ 2л)2=25—10у2і—2=23—10^2/.
(1+Ѵ3?)3=1+ЗѴЗг+3(ѴЗ)2/2+ (ѴЗ)3і3=1 + ЗѴз;_9_ЗѴЗг—8.
Извлеченіе квадратнаго корня. Чтобы найти правило для
извлеченія квадратнаго корня изъ комплекса, допустимъ услов-
но формулу
\/а-^Ы=х-\-уі.
гдѣ х и у будемъ считать дѣйствительными, и займемся оты-
сканіемъ этихъ двухъ неизвѣстныхъ.
Возведя обѣ части равенства въ квадратъ, получимъ а-\-Ъг~
—г2—у2-\-2хуі, откуда по теоремѣ о равенствѣ комплексовъ
заключимъ, что
х2—у2=а и 2ху=Ъ.
Для рѣшенія полученныхъ уравненій составимъ изъ пихъ
третье, вспомогательное. Возводимъ оба уравненія въ квад-
ратъ; получимъ х{—2ж2«/2-|-?/4=«2 и Ах2у2=Ь2. Сложимъ по-
лученныя уравненія; выйдетъ хі-\-2х2у2~У-уі=а2-\-Ъ2. Наконецъ,
извлекши изъ новаго результата квадратный корень, найдемъ
вспомогательное уравненіе х2-\-у2=\-(і2-\-Ъ2.
Прежнюю пару уравненій замѣнимъ теперь другой парой
х2-\-у2=\Іа2-\-Ъ2 и х2—у-—а
и рѣшаемъ новыя уравненія посредствомъ сложенія ихъ и вы-
читанія. Получимъ х2==^—~^ и у2=^ , откуда, за-
— 25 —
лѣнивъ обозначеніе модуля одной буквой ЗГ и извлекая изъ
обѣихъ частей каждаго уравненія корень, найдемъ окопча-
ѴІІ-і-о % /.II- п
—и у= \! —5—
Корни, выражающіе х и ?/, могутъ считаться какъ поло-
жительными. такъ и отрицательными взятые вмѣстѣ, оба корня
могутъ представить одну изъ четырехъ комбинацій знаковъ.
Но, принимая въ расчетъ прежнее уравненіе 2ж?/=й. мы ви-
димъ. что когда Ъ положительно, то х и у имѣютъ одинакіе
знаки, и правило извлеченія корня выражается формулой
Если же Ъ отрицательно, то х и у имѣютъ разные знаки,
и потому, извлекая корень изъ комплекса, сопряженнаго
предыдущему, получаемъ формулу
на основаніи которой новый результатъ, есть также комплексъ,
сопряженный прежнему результату.
Примѣры: Данъ корень ѴЗ-ф-4/. Вычисляя модуль, полу-
чаемъ ДГ=ѴЗ®^42=\/25=5. Поэтому \/3-|-4?=±
+Ѵ’-73>0=±(2+^___________ _______________
Данъ корень \ 2—6\/—7 пли Ѵ^2 — 6\'7.Л Имѣемъ Л7=
=Ѵ,4+(6ѵТГ!=Ѵ:’56=іе. Поэтому у/2—
_\/Ѵг>±(3-Ѵ7Л.
§ 22. Примѣненіе дѣйствій СЪ комплексами. Посредствомъ
дѣйствій съ комплексными выраженіями можно открывать и
доказывать свойства дѣйствительныхъ чиселъ.
Для примѣра докажемъ слѣдующія двѣ ариѳметическія
теоремы:
Теорема 1. Произведеніе двухъ чиселъ, представляю-
щихъ каждое сумму двухъ квадратовъ, само разлагает-
ся двумя способами въ сумму двухъ квадратовъ.
Замѣтимъ, что число, представляющее сумму двухъ квад-
ратовъ, напр., можетъ быть посредствомъ мнимаго
знака разложено на множителей, именно въ видѣ
— 26 —
На этомъ основаніи имѣемъ тождество:
/г)(г-|-^)(г—'/;Ф
Измѣнимъ во второ» части группировку множителей двумя
способами:
Сначала, соединяя перваго множителя съ третьимъ и вто-
рого съ четвертымъ, получимъ формулу, которая указываетъ
одинъ способъ разложенія произведенія:
(а2-ф-62) (г2-р/= |ас — ь<1 -ф-| [щ;—Іиі— («7-ф-6с)г] =
=(ас-—!>і /) 2-ф- (щ/-ф-//г)2.
Затѣмъ, соединяя перваго множителя съ четвертымъ и
второго съ третьимъ, получимъ видоизмѣненную формулу,
дающую другой способъ разложенія того же произведенія:
(п-’-|-/Х2) (с2-р/2) — 2-ф- (пгі—6с)2.
Напр., имѣемъ і72-|-22)(32-|-4-’)=(7.3—2.4)2-|-(7.4-|-2.3)2=
—13 2-|-34 пначе(7 2-{-22) (3 2-|-4 2)=(7.3-|-2.1)‘2-(-(7.4—2.3)
=292-{-222.
Теорема 2. Произведеніе двухъ чиселъ, представля-
ющихъ каждое сумму четырехъ квадратовъ, само разла-
гается въ сумму четырехъ квадратовъ.
Возьмемъ тождество, справедливость котораго можно про-
вѣрить непосредственнымъ вычисленіемъ:
(Л—С)(Ь’—1>)=(Л— 1)}{В - С)^А—В) (6—/>).
Положимъ въ немъ
. а-і-І-і т + пі —<+<// —р <р
—р+ці’ и—Ы 11 -
Вставивъ въ тождество эти выраженія, произведя показан-
ныя дѣйствія и отбросивъ общаго знаменателя, выведемъ но-
вое тождество
(Щ2-р--’-фщ -) (ш-’-рг-’-ф-р2-|~д,2)=
+ (6»?—ап-Д-йр— (д) 2-ф-(«р—/.</—< (Іпі—<п)2.
Полученная формула доказываетъ теорему и раскрываетъ
способъ разложенія произведенія.
Папр., положивъ ч=1, 6=3, с=8 и (6=6, затѣмъ ?п=2,
й=4, 7>=э и 4=7, находимъ «»і-ф-6п-|-гр-|-(6р==9б, 1~т—пи-ф-
-ф~Г/,— Л(1~—24, а})—I —8, —<п=
=—22. Слѣдовательно, имѣемъ тождество
(12-|-3 2+82Н-62).(22+42-}-э2+72;=9С2-|-242+82-|-222,
которое нетрудно провѣрить непосредственнымъ ариѳметиче-
скимъ вычисленіемъ.
27 —
< Уравненія второй степени.
§ 23. Квадратное уравненіе. Уравненіемъ второй степени
или ква дратным ь называется всякое уравненіе, которое посред-
ствомъ преобразованій его въ другія, совмѣстныя съ нимъ,
приводится къ виду <«2-|-Ах'-[-с=0.
Напр., уравненіе х— г = .» есть квадратное, потому что
оно послѣ упрощенія приводится къ виду 2х2—1 Іа?—1-9=0.
Также уравненіе , и "=1 есть квадратное, потому что
оно приводится къ виду х2—2(а-\-Ъ)з.'—/>2=0.
Уравненіе «х3-|-/ер-|-г=0 называется общимъ видомъ квад-
ратнаго уравненія. Разсматривая такое уравненіе, всегда пред-
полагаютъ, что всѣ количества а, Ь и г цѣлыя и первое изъ ѵ
нихъ а. кромѣ того, положительно; такое предположеніе воз-
можно, потому что, когда нѣкоторыя изъ количествъ а, Ь и с
получаются дробными, то можно уничтожить ихъ дробный
видъ, умноживъ все уравненіе на общаго пхъ знаменателя,
а когда а дается отрицательнымъ, то можно перемѣнить «го
знакъ, умноживъ все уравненіе на—1. Количества а, Ъ и с
называются коэффиціентами уравненія, притомъ а—пер-
вымъ, 6—вторымъ и с третьимъ; вмѣстѣ е п с называются
крайними коэффиціентами, а !>—среднимъ. Количество с
называется также извѣстнымъ членомъ уравненія.
Иногда разсматриваютъ квадратное уравненіе въ видѣ ж2-|-
который отличается тѣмъ, что коэффиціентъ пер-
ваго члена есть 1. Такое уравненіе называется приведеннымъ
видомъ квадратнаго уравненія. Въ этомъ уравненіи коэффи-
ціенты р и могутъ быть дробными, но членъ х2 всегда пред-
полагается положительнымъ.
Общее уравненіе всегда можно преобразовать въ приведен-
ное. Для этого нужно ра^іѣлпть общее уравненіе па коэф-
фиціептъ а, отчего получится аг-|--а;-|--==0. Наоборотъ, при-
веденное уравненіе, если въ немъ одинъ или оба коэффиціента
дробные, можно преобразовать въ общее. Для этого нужно
умножить приведенное уравненіе ж2-|-/іг-|-//=0 на общаго зна-
менателя его дробныхъ коэффиціентовъ.
— 2» —
Квадратное уравненіе вида аг2-р«Н~г—0 плп ж2-|-^+7=0
называется полнымъ, когда въ немъ ни одинъ изъ коэффиці-
ентовъ не равенъ пулю. Но можетъ случиться, что или г=0,
или 6=0; тогда получаются такъ называемыя неполныя урав-
ненія, именно ах2-\-Ьх=0. или нж2-|-с=0.
тт . Зя' + Д а?+2
Напр., уравненіе —-г=4^— по упрощеніи принимаетъ видъ
11«2-|-17ж=0. Уравненіе приводится къ виду
4г2-|-9=0.
§ 24. Рѣшеніе неполныхъ уравненій. Для рѣшенія уравне-
нія €іг2-|-6ж=0 выводимъ х за скобку. Получится а?(«г-|-&)=0.
Чтобы произведеніе было равно нулю, необходимо и достаточ-
но, чтобы одинъ изъ множителей былъ равенъ нулю. Изъ этого
видно, что уравненію можно удовлетворить двумя способами:
или полагая ж=0, отчего обращается нъ пуль первый мно-
Ъ
житель, плп полагая х——отчего обращается въ нуль вто-
рой множитель. Слѣдовательно, данное уравненіе имѣетъ два
„ Ь
копня ^=0 и Жо=—-•
П р и м ѣ р ы: Дано х2—2гг=0; отсюда х(х—2)=0 и потому
я>і=0 и 012=2. Дано На?2—17я=0; отсюда яі(11ж-(-17)=6
и, слѣдовательно, а^=0 и х2=—
Для рѣшенія уравненія аг2-|-с=0 различимъ сначала два
случая, когда членъ с отрицательный и когда опъ поло-
жительный.
Положимъ, напр., что дано уравненіе 9г2—7=0. Разсма-
тривая первую часть какъ разность квадратовъ, можно раз-
ложить ее въ произведеніе. Получимъ (Зж—Ѵ7)(Зді-|-Ѵ7) = 0.
Но для того, чтобы произведеніе было равно нулю, необхо-
димо и достаточно, чтобы родинъ изъ множителей былъ ра-
венъ нулю. Поэтому данное уравненіе имѣетъ два корня,
удовлетворяющіе порознь двумъ уравненіямъ первой степени
Зг—\ГІ=Ъ и Зя-|-У7=0. Значитъ корни х1=~ и х?=—~
Положимъ теперь, что дапо уравненіе 4ж2-|-9=0. Первую
часть его можно разложить на множителей посредствомъ мни-
мыхъ количествъ. Дѣйствительно, такъ какъ і2=—1, то
ѵ можно написать данное уравненіе въ видѣ 4ж2—9?2=0. Послѣ
— 29 —
этого, разсматривая первую часть какъ разность квадратовъ,
имѣемъ (2ж—Зг)(2а>-|—Зг)=0, откуда видно, что данное урав-
неніе разлагается на два, 2х—Зг=0 и 2а;-|-37=0, и потому
3. 3.
имѣетъ два мнимыхъ корня и г2=—
Бышеобъясненноѳ рѣшеніе уравненія «ж2-|-с=0 можно упро-
стить и вмѣстѣ съ тѣмъ обобщить соединеніемъ обоихъ раз-
смотрѣнныхъ случаевъ въ одинъ. Для этого замѣняемъ дѣй-
ствіе разложенія на множителей извлеченіемъ корня и рѣша-
емъ уравненіе такъ: Переносимъ с во вторую часть; получимъ
ах'-=—с. Дѣлимъ обѣ части на «; выйдетъ ж2=—Извле-
каемъ изъ обѣихъ частей квадратный корень и при этомъ
во второй части получаемой формулы ставимъ двойной знакъ;
находимъ —г~- Окончательная формула соединяетъ въ се-
бѣ двѣ отдѣльныя и даетъ совмѣстно оба корня
и х2=—\ —Форма рѣшеній показываетъ, что когда с и а
имѣютъ разные знаки, то —положительно и потому оба кор-
ня дѣйствительны; если же с и а имѣютъ одинаковые
знаки, то —- отрицательно и потому оба корня мнимы.
<•§ 25. Рѣшеніе полнаго уравненія. Для рѣшенія полнаго
уравненія выводится особая формула, которая показываетъ,
какъ можно прямо вычислить рѣшеніе по даннымъ коэффи-
ціентамъ уравненія. Формулу эту можно вывести двумя спо-
собами.
1-й способъ синтетическій. Дано уравненіе лл2-|-&гД-е=0.
Множимъ обѣ части его па 4«; получится 4«2х2-|-4о7<гД-4ш:—0.
Перенесемъ 4ас во вторую часть; выйдетъ 4(і2х2-^4ах——4ас.
Замѣчаемъ, что членъ 4«2»2 есть квадратъ отъ 2ах, а членъ
4аЬх есть удвоенное произведеніе 2ах на Ь. Поэтому, если
прибавить къ обѣимъ частямъ по Ь2, то въ первой части со-
ставится полный квадратъ двучлена, именно получится 4а2х2-^-
-\-4аЪх-\-Ь2=Ь2—4нс, или, выписывая первую часть въ явной
формѣ квадрата, (2ах-\-Ь')2=Ъ2—4ас.
Извлечемъ изъ обѣихъ частей квадратный корень, при чемъ
во второй части полученной формулы поставимъ двойной знакъ;
— 30 —
выпдетт, 2а.т-\-Ь—^\Ьі—іас. Эта формула соединяетъ въ се-
бѣ два отдѣльныхъ уравненія первой степени.
Въ обоихъ уравненіяхъ переносимъ 1> во вторую часть и
затѣмъ дѣлимъ обѣ части на 2а. Получится формула
—6±\ Ь- - Іае
X—-----’> — ’
которая опредѣляетъ два корпя даннаго уравненія, именно пер-
вый корень получается тогда, когта радикалъ возьмемъ съ плю-
сомъ, а второй тогда, когда радикалу припишемъ минусъ.
И, 2-й способъ аналитическій. Дано уравненіе пс2-|-6х-|-г=0.
Положимъ, что ,т=^-|-Л. гдѣ 2 есть новое неизвѣстное, замѣ-
няющее собою х. а Іі есть неопредѣленное количество, кото-
рое мы выберемъ такъ, чтобы упростить уравненіе. Подста-
вивъ вмѣсто х его новое выраженіе, получимъ уравненіе
въ видѣ 2-|~/ф^-|-7і)-{-г=О, пли, раскрывъ скобки и рас-
положивъ но степенямъ неизвѣстнаго. пг,2-|-(2(/А-|-Л)г,-|-«Л2-|-
-}-/Л-|-г=0.
Выберемъ теперь Іі такъ, чтобы уничтожить членъ съ пер-
вой степенью г. Для этого примемъ 2нЛД-6=0. откуда 1і=—
Подставивъ найденное значеніе Іі. мы получимъ упрощен-
ное уравненіе І,лп> сдѣлавъ приведеніе,
о ъ-
аг-—4^~гг=0- Новое уравненіе относительно есть также
квадратное, но неполное, и его рѣшеніе намъ извѣстно. РЬ-
\ Ь-—4ас
шая, находимъ г=^ - .
Найдя Іі п г порознь, мы складываемъ ихъ и находимъ
ѵ , —Ь±\ Ь-—&іс
формулу для первоначальнаго неизвѣстнаго х= -
такую же, какая была найдена первымъ способомъ.
Полученная формула даетъ возможность найти два корпя
всякаго квадратнаго уравненія, какъ скоро оно приведено къ ви-
ду нх2-|-/лг-|-с=0. Для отысканія корней нужно только под-
ставить въ формулу на мѣсто буквъ а, Ь и с соотвѣтствующіе
коэффиціенты рѣшаемаго уравненія и затѣмъ упростить полу-
ченное выраженіе.
Чтобы запомнить составъ формулы, выражаемъ ее словами
такъ: Корень квадратнаго уравненія равенъ среднему
коэффиціенту, взятому съ противоположнымъ знакомъ,
— 31
плюсъ или минусъ квадратный корень изъ разности
между квадратомъ средняго коэффиціента и учетверен-
нымъ произведеніемъ крайнихъ коэффиціентовъ, все
дѣленное на удвоенный первый коэффиціентъ.
Примѣры: Дано уравненіе 2.г2-|-11.сД-9—0. Вычисляя
—І1±Ѵ 121—72 —11±7
корни его, находимъ х= -----------=—, откуда хл ——1
я
и Х2——2‘
Дапоуравненіе аЬх-—(а-—1>-)х—аЬ=Ъ. Рѣшая его. получимъ
и-—Ь2+\. (а-—Ьі)-4-4«’26’2 а~—Ь8±\ о4 + 2о-62-(-6' и-—Ь-±(а- + Ъг)
2пЬ 2ігЪ 2аЪ
2ч- и 2Ъ- Ъ
откуда ^^6=6 И х2=—2аЬ=— „
тт ѵ • і т —Л±\ І>-—4ас
Примѣчаніе 1. Формула х—---------------показываетъ, что
значеніе обоихъ корней уравненія зависитъ главнымъ обра-
зомъ отъ подрадпкальпаго выраженія 1>2—4«<-.
Еслп коэффиціентъ с отрицательный, то І>2—4ас предста-
вляетъ арпометпческую сумму, слѣдовательно, положительное
количество, и потому оба корпя дѣйствительны.
Если коэффиціентъ г отрицательный, то б2—4нс предста-
вляетъ разность не только по формѣ, но и по существу и
потому нужно различать три случая:
Если Ъ2^>4ас, то Ь-—4иг положительно, и оба корпя дѣй-
ствительны.
Если I)-—4(іс, то 62—4‘іс равно нулю, и получается только
одинъ корень —Въ этомъ случаѣ говорятъ, что квадрат-
ное уравненіе имѣетъ два равныхъ дѣйствительныхъ корпя.
Если 1>2<'4ас, то 1>2—4<іс отрицательно, и оба корня суть
мнимыя количества, притомъ сопряженныя.
П р и м ѣ ч а н і е 2. Для рѣшенія приведеннаго квадратнаго
уравненія вида &2-|-рх-|-5=0 полагаемъ въ общей формулѣ
корней «=1, Ь=р и <=(} и находимъ х——-— -і т.-е.
корень приведеннаго квадратнаго уравненія равенъ
коэффиціенту при первой степени неизвѣстнаго, взя-
тому съ противоположнымъ знакомъ, плюсъ пли ми-
нусъ квадратный корень пзъ разности между квадра-
томъ этого коэффиціента и учетвереннымъ извѣстнымъ
членомъ, все дѣленное на 2.
— 32 —
Если коэффиціенты р и д дробные, то предыдущая формула
неудобна для вычисленія и данное уравненіе лучше рѣшать,
какъ общее, уничтоживъ въ немъ дроби.
Корни приведеннаго квадратнаго уравненія дѣйствительны,
когда извѣстный членъ д отрицательный или, въ случаѣ по-
ложительности его, когда ^2х>4д'.
Корни равны въ случаѣ р-=1д.
Наконецъ, если при положительномъ д дано р’<і4д, то
корни суть мнимыя сопряженныя количества.
Предыдущихъ выводовъ о приведенномъ уравненіи можно
не запоминать отдѣльно, потому что они прямо содержатся
въ соотвѣтствующихъ выводахъ для общаго уравненія.
§ 26. Сокращенныя формулы. Если въ общемъ квадратномъ
уравненіи второй коэффиціентъ Ь есть четное количество, то
формула, служащая д.ія вычисленія корней, допускаетъ со-
кращеніе и можетъ быть замѣнена болѣе простой.
Дѣйствительно, написавъ уравненіе въ формѣ «я;2—2б1а?—|—с=0,
чтобы выставить четность средняго коэффиціента на видъ.
X , ж — 2Ьі±\/4Ь^—4ас
и рѣшая по общей формулѣ, получимъ х= -— >
откуда по упрощеніи находимъ формулу
„__—
а
Корень общаго квадратнаго уравненія съ четнымъ
среднимъ коэффиціентомъ равенъ половинѣ этого коэф-
фиціента, взятой съ противоположнымъ знакомъ, плюсъ
или минусъ квадратный корень изъ разности между
квадратомъ этой половины и произведеніемъ крайнихъ
коэффиціентовъ,все дѣленное на первый коэффиціентъ.
Примѣръ. Рѣшая но указанной формулѣ уравненіе
с . п Л 2±Ѵ4+54 2±\/58
ьх-—4х—9=0, находимъ ж=—— - = —ъ’—
Если въ приведенномъ квадратномъ уравненіи коэффиці-
ентъ при первой степени х есть четное количество, то форму-
ла, служащая для вычисленія корней, еще болѣе упрощается.
Дѣйствительно, написавъ, какъ прежде, уравненіе въ фор-
мѣ х2~І-2/і1х-І-д=0, чтобы омять выставить на видъ четность
коэффиціента при первой степени х, и рѣшая по формулѣ
— 33 —
. —2м±\ 4р|2—4</
для приведеннаго уравненія, получимъ х=———отку-
да по упрощеніи находимъ формулу х=—р1±\ р,2—у.
Корень приведеннаго квадратнаго уравненія съ чет-
нымъ коэффиціентомъ при первой степени неизвѣстнаго
равенъ половинѣ этого коэффиціента, взятой съ проти-
воположнымъ знакомъ, плюсъ или минусъ квадратный
корень изъ разности между квадратомъ этой половины
и извѣстнымъ членомъ.
П р и м ѣ р ъ. Рѣшая по послѣдней формулѣ уравненіе
—2(а-|-6)а;-|-/;2=0, паходимъа’=пД-6± \/ («-|-6) -—Ь-—а-\-Ъ±
—\ н2-|-2а6.
Послѣднюю формулу можно не запоминать отдѣльно, потому
что она прямо заключается въ предпослѣдней.
$ 27. Соотношенія между коэффиціентами и корнями.
Теорема. Сумма корней общаго уравненія ах2-\-1>х^\-(=0
ъ
равна —~>т.-ѳ. равна отрицательному отношенію вто-
рого коэффиціента къ первому, а произведеніе корней
того же уравненія равно т.-ѳ. равно отношенію треть-
яго коэффиціента къ первому.
ІТапишемъ оба корня общаго уравненія отдѣльно:
—Л+\Д- —4«с —Ь—\ 1>-—4ас
*і =-----------и ж2= — 2«--------
Для доказательства первой части теоремы складываемъ
предыдущія формулы. Получимъ
। —6+Ѵі"—4ас । —Ъ — \'Ъ2—4«с —2Ъ Ь
— 2а I 2 — 2<Г а'
Для доказательства второй части теоремы перемножаемъ
предыдущія формулы. Получимъ
—Ь+\ Ь1—4ас —Ъ—\ Ь'-— 4ас (—6)-—(6-—4ас) -Іас с
2а ' 2 4«2 «'
Положивъ п=1 и замѣнивъ 1> черезъ р и с черезъ у, на-
ходимъ, что въ приведенномъ уравненіи ж, -|—лс2 =—р и х}х2=у,
т.-е. сумма корней приведеннаго квадратнаго уравненія рав-
на коэффиціенту при первой степени неизвѣстнаго, взятому
съ противоположнымъ знакомъ, а произведеніе корней того же
уравненія равно извѣстному члену.
Ч асть II. 3
— 34 —
Обратная теорема. Если извѣстно, чю сумма двухъ ко-
Ь . с
личествъ равнаа произведеніе ихъ -» то эти количе-
ства суть корни общаго квадратнаго уравненія ах-—Ьх-}~
4-с=0.
Положимъ, что количества х и у удовлетворяютъ двумъ
уравненіямъ
х+У=а “ ^==^’
Исключимъ у подстановкой изъ перваго уравненія во вто-
рое. Получимъ уравненіе ху-—х\—с-р которое по упрощеніи
принимаетъ видъ
ах2—Ъх-\-с—0.
Такое же уравненіе получимъ относительно у. если исклю-
чимъ х.
Положивъ а=1 и замѣнивъ 6 черезъ р и с черезъ мы
заключимъ, что когда извѣстна сумма двухъ количествъ р и
произведеніе ихъ то эти количества суть корпи приведен-
наго квадратнаго уравненія х2—рх-\-ц—0.
§ 28. Примѣненіе указанныхъ соотношеній. Опредѣленіе
знаковъ корней. На основаніи первой теоремы о соотношеніяхъ
между коэффиціентами квадратнаго уравненія и его корнями,
можно, не рѣшая уравненія, опредѣлить знаки его корней,
если только эти корни дѣйствительны. Для этого достаточно
замѣтить сначала знакъ третьяго коэффиціента, а потомъ знакъ
второго.
Если коэффиціентъ с положителенъ, то и произведеніе кор-
ней положительно, и потому оба корня имѣютъ одинако-
вый знакъ, именно тотъ, который имѣетъ ихъ сумма —
т.-е. обратный знаку коэффиціента />. Такъ, напр.. корни
уравненія 2х2—5х-{-3=0 оба положительны, корпи уравне-
нія »2-|-8х-|-15=0 оба отрицательны.
Если коэффиціентъ с отрицателенъ, то и произведеніе кор-
ней отрицательно, и потому корни имѣютъ разные знаки,
при чемъ корень съ большей числовой величиной долженъ
ь
имѣть знакъ суммы корней—-> т.-е. обратный тому, какой
у коэффиціента Ь. Такъ, напр., въ уравненіи 2х2—Ьх—3=0
— 35 —
корень абсолютно большій положителенъ, а въ уравненіи
л,2-|-2х—15=0 абсолютно большій корень отрицателенъ.
Составленіе квадратнаго уравненія по даннымъ корнямъ его.
На основаніи второй теоремы о соотношеніи коэффиціентовъ и
корпей квадратнаго уравненія, можно по заданнымъ напередъ
корнямъ составить соотвѣтствующее имъ уравненіе. Для этого
нужно, представляя уравненіе въ приведенномъ видѣ, принять
•сумімѵ корпей, взятую съ противоположнымъ знакомъ, за коэффи-
ціентъ при первой степени неизвѣстнаго, а произведеніе кор-
ней за извѣстный членъ.
Напр., если даны корни 9 и—2, то имѣемър=—(9—2)=—7
и 2=9.—2=—18. Слѣдовательно, искомое уравненіе будетъ
ж2—7ж—18=0.
„ 53 ( 5 . 3\ 19
Если даны корни —дну то находимъ р=—(—5 4-и=—
и д=—Искомое уравненіе будетъ ж2-|-~ж—1=0,
или 10ж2-|-19ж—15=0.
§ 29. Форма первой части квадратнаго уравненія. Первая
часть квадратнаго уравненія, разсматриваемая какъ выраже-
ніе относительно ж, называется трехчленомъ 2-й степени.
Выраженіе ах2-|~&г-ф-с называется трехчленомъ общаго вида,
а выраженіе х~-\-рх-\-д трехчленомъ приведеннаго вида.
Количества а, І> и с, или р и д называются коэффиціен-
тами трехчлена.
Трехчленъ можно разсматривать не только при тѣхъ част-
ныхъ значеніяхъ, при которыхъ онъ равенъ нулю, но и вооб-
ще при всякомъ х.
Въ такомъ случаѣ тѣ особыя значенія х, при которыхъ
трехчленъ обращается къ нуль, называются корнями трехчлена.
Чтобы найти корпи трехчлена, нужно приравнять его нулю
и рѣшить полученное квадратное уравненіе.
Форма трехчлена находится въ рѣзкой зависимости отъ алге-
браическаго значенія корней его. Покажемъ это, разсматри-
вая случаи —дѣйствительныхъ корпей, равныхъ и мнимыхъ.
Корни бываютъ дѣйствительными, когда &2_>4мс. Это не-
равенство можно замѣнить неопредѣленнымъ равенствомъ, вы-
ражающимъ то же соотношеніе. Напишемъ 62=4«с-|-?и2, гдѣ
іп есть неизвѣстное количество, но дѣйствительное, и потому
т- положительно. Обозначая прибавленіе т2 къ 4«с, мы по-
3*
— 36 —
называемъ, что нужно увеличить іас, и эт-имъ выражаемъ-
смыслъ даннаго неравенства. — Воспользуемся предыдущимъ
соотношеніемъ для преобразованія данной формы трехчлена.
Для этого опредѣляемъ с, которое получается въ видѣ г=- ,
п подставляемъ такое выраженіе въ трехчленъ. Получимъ
ах'2-\-Ьх-\-с—(«Е2-]—? что можно привести къ виду
у Слѣдовательно, въ случаѣ дѣйстви-
тельныхъ корней трехченъ представляетъ разность квадра-
товъ, и потому легко разлагается на два дѣйствительныхъ
множителя. Для приведеннаго трехчлена получимъ, полагая
а=1 и замѣняя 6 черезъ формулу .
Корни бываютъ равными, когда 62=4чг. Отсюда <—и
ь-2 г - ь \2
потому ах'2-\-Ьх-\-с=нж2-|-Ла;-}-^=( у >т.-ѳ. въ случаѣ
равенства корней трехчленъ представляетъ полный квадратъ.
Для приведеннаго трехчлена имѣемъ ж2-{-/)я;-|-7= Гж-ф-^Ѵ.
Корни бываютъ мнимыми, когда &2<4«с. Это неравенство
можно замѣнить неопредѣленнымъ равенствомъ 62=4ас—т2,
въ которомъ т ость неизвѣстное количество, но дѣйствитель-
ное, вслѣдствіе чего т2 положительно. Вычитаніе т- обозна-
чаетъ уменьшеніе 4нс, и этимъ выражается смыслъ даннаго
неравенства. Примѣнимъ предыдущее соотношеніе къ преобра-
зованію данной формы трехчлена. Для этого опредѣляемъ с
въ видѣ с= 4 — и подставляемъ это выраженіе въ трехчленъ.
Получимъ ах2-^Ьх-\-<-—ііх2-\-Ьх-\-—^~, а это выраженіе приво-
Д /— । А2 । Л т \2
дптся къ виду! Ѵ^г^у'ау ' ' Слѣдовательно, въ случаѣ
мнимыхъ корней трехчленъ представляетъ сумму квадратовъ.
Для приведеннаго трехчлена найдемъ, полагая о=Я и замѣ-
няя !> черезъ р, формулу •
§ 30. Разложеніе первой части квадратнаго уравненія на
множителей. Предыдущія заключенія о зависимости формы
трехчлена отъ значенія его корней можно вывести иначе, до-
— 37 —
полнивъ ихъ важной теоремой о разложеніи трехчлена на мно-
жителей первой степени.
Трехчленъ общаго вида равенъ произведенію разно-
стей между его главной буквой и корнями, умножен-
ному на первый коэффиціентъ.
Возьмемъ трехчленъ ах2-\-І>х-\-с. Пусть корни его будутъ
х{ и хі. По теоремѣ о соотношеніи коэффиціентовъ и корней
имѣемъ равенства ж1-|-<г2=—~ и Опредѣлимъ изъ
этихъ равенствъ коэффиціенты 1> и с въ видѣ Ь=—н(я:|-|~я:2)
и с^ах^. Полученными выраженіями можно воспользоваться
для преобразованія формы трехчлена. Подставляя эти выраже-
нія вътрѳхчленъ. получимъ «х 2-|-6х-|-с=пж2—а(хх -ф-ж, х2.
а это можно привести къ виду а(х—х2)(х—х2).
Для приведеннаго трехчлена, т.-е. при н=1, получимъ
#2-ф;лг-ф2=(я>-\Гі)(іг—а), откуда видно, что приведенный трех-
членъ равенъ произведенію разностей между главной буквой
и корнями.
Предыдущая теорема даетъ общій способъ для разложенія
трехчлена въ произведеніе. Нужно только посредствомъ рѣ-
шенія квадратнаго уравненія найти корни трехчлена. Возьмемъ
трехчленъ 2х2—Зх—2. Рѣшая } равненіе 2х2—З.г—2=0,
получимъ корни а?і=2 и х.2 ——I- Поэтому 2ж2—‘іх—2=
=2 (а;—2)(х-\-к)=(х—2')(2х-1-1). Подобно этому, имѣя трех-
членъ х2—х—12 и найдя корень его ^=4 и х2——3, полу-
чимъ тождество х2—х—12=(х—4)(ж-|-3).
Въ случаѣ дѣйствительности корней* положимъ ж)=?н-ф>/
и х.2=т—п. Получимъ ах2-}-І/х-^-с—а(Хг-т—гі)(х—т-\-п)=-
=а(х—т)2—<т2, т.-е. получимъ форму разности квадратовъ.
Въ случаѣ равенства корней, принимаемъ хг =х.2 —т и имѣемъ
(іх2-\-1>х-\-с—а{х—»?)2, т.-е. выходитъ форма полнаго квадрата.
Въ случаѣ мнимости корней, положимъ х1 =»і-|-ш и х.2—т—пі.
Пол у ч и мъ ах 2-\-Ъх-\-с=а(х—т—пі) (х—а (х—т) 2-}-ап2,
т.-е. получимъ сумму квадратовъ.
т § 31. Изслѣдованіе квадратнаго уравненія. Общія за-
мѣчанія. Въ смыслѣ отвлеченной алгебры можно сказать,
что квадратное уравненіе всегда имѣетъ два корня, которые
бываютъ или дѣйствительными и различными, или дѣйствитель-
ными равными, или мнимыми.
— 38 —
Но въ смыслѣ приложенія алгебры къ рѣшенію практиче-
скихъ вопросовъ, которые требуютъ только дѣйствительныхъ
рѣшеній, нужно сказать, что квадратное уравненіе можетъ
имѣть или два корня, или одинъ, или ни одного.
Корни квадратнаго уравненія выражаются формулами
—Ъ+V Ь^—Іас — ъ—\ ІО^Іас
----2^----И *2= —2а---------
Свойства корней вполнѣ опредѣляются этими формулами.
Для изслѣдованія корней всегда обращаемъ главное внима-
ніе на значеніе выраженія А2—4нс. Это выраженіе называется
опредѣлителемъ квадратнаго уравненія.
При изслѣдованіи различаемъ три случая, когда опредѣли-
тель положителенъ, когда онъ равенъ нулю и когда отрицате-
ленъ. Это соотвѣтствуетъ условіямъ А2>4пс, А2=4пс и
Будемъ считать, какъ и прежде, коэффиціентъ а положи-
тельнымъ. Обозначимъ абсолютныя величины коэффиціентовъ
1> и с соотвѣтственно черезъ 3 и у.
Когда А2>4«с, то опредѣлитель положительный.
Корпи уравненія тогда дѣйствительны. Этотъ случай подраз-
дѣляется на два отдѣльныхъ: Если г положительно, то А2—4ас
есть ариѳметическая разность, меньшая, чѣмъ уменьшаемое А2,
а потому у 1>2—4пг<^р. Вслѣдствіе этого при составленіи алге-
браическимъ сложеніемъ числителей обоихъ корней знакъ пер-
ваго члена числителей, т.-ѳ. количества —А, беретъ перевѣсъ
и оба корня имѣютъ тотъ же знакъ, какой у —А, т.-е. про-
тивоположный знаку А; при положительномъ А оба корпя от-
рицательны, при отрицательномъ А оба положительны. Если с
отрицательно, то А2—4<и—А2-(-4пу есть ариѳметическая сумма,
большая, чѣмъ слагаемое А2, и потому у А2—Вслѣд-
ствіе этого при составленіи алгебраическимъ сложеніемъ чис-
лителей обоихъ корней перевѣсъ на сторонѣ второго члена
±Ѵ А2—4нс, и потому оба корня имѣютъ разные знаки; при Ъ
положительномъ большую абсолютную величину' имѣетъ числи-
тель — 3—У А2—4нс второго, отрицательнаго, корпя, а при А
отрицательномъ большую числовую величину имѣетъ числи-
тель р-|-у А2—4нс перваго, положительнаго,корня, т.-е. вообще
знакъ корня, большаго по числовой величинѣ, противоположенъ
знаку А.
— 39 —
Когда Ъ2=4«с, то опредѣлитель равенъ нулю. Формулы
корней замѣняются тогда одной х—-^ опредѣляющей одинъ
дѣйствительный корень. Онъ будетъ положительный при отри-
цательномъ Ъ и отрицательный при положительномъ Ь.
Когда Ь2<^4ас, то опредѣлитель отрицательный, и уравненіе
не имѣетъ дѣйствительныхъ корней.
О практическомъ значеніи дѣйствительныхъ отрицательныхъ
корней можно замѣтить то же, что говорилось но этому но-
во гу при изслѣдованіи уравненія первой степени:
Если неизвѣстное вопроса есть величина направленная, то
отрицательное рѣшеніе умѣстно и имѣетъ смыслъ. Если же
неизвѣстное вопроса есть величина абсолютная, то отрица-
тельное рѣшеніе неумѣстно и потому должно быть отбро-
шено. Перемѣнивъ въ уравненіи аз;2-|-Аж-(-с=0 знакъ у не-
извѣстнаго ж, получимъ новое уравненіе нх2—Ьх-{-с=0, со-
пряженное данному, и корни котораго
корнямъ даннаго уравненія.
Разбирая все сказанное въ практическомъ смыслѣ, заключа-
емъ вообще, что вопросы, приводящіе къ квадратнымъ уравне-
ніямъ, могутъ допускать или два рѣшенія, или одно, или ока-
зываются совсѣмъ невозможными.
Частные случаи. Возьмемъ снова уравненіе ах2-\-1>х-\-с=$ и
представимъ себѣ отдѣльныя формулы его корней:
—Ъ\ Ъ--—4ас —Ь— \ Ь-—4ас
равнопротивоположпы
"і-- 2а " -- 2а
Изслѣдуемъ тѣ особые случаи, когда одинъ изъ коэффиціен-
товъ уравненія обращается въ нуль.
Случай 0. Уравненіе принимаетъ видъ ах2-\-Ьх—^, а
корни х}=—и Если Ь положительно, то
а-, =0, а Хо— —— • Если А отрицательно, то хг=—- >
а ж2=0. Такимъ образомъ, при г=0 общія формулы корней
даютъ то'гь же выводъ, который былъ найденъ при рѣшеніи
неполнаго уравненія <#ж2-|-Аж=0 выводомъ х за скобку.
Случай А=0. Уравненіе принимаетъ видъ нж2-|-с—0, а кор-
V —4ас \ / с — \ —4ас \ / с 1Г „
ни Жі=Ь__;_=\ __ и х2 = -^ = \ — а- Получается
тотъ же выводъ, который найденъ раньше при рѣшеніи не-
полнаго уравненія ах2-\-<=0 извлеченіемъ корпя.
Случай п=0. Уравненіе принимаетъ видъ О, а корни
—6+|3 —Ъ—В
хѵ=-—у— и ж2=—— Іакъ какъ рѣшеніе квадратнаго урав-
ненія выполнялось при условіи, скрытно подразумѣвавшемся,
что а не равно нулю, то нельзя требовать, чтобы общія фор-
мулы корней были приложимы кь этому случаю. Однако ока-
зывается, что и въ этомъ случаѣ формулы даютъ вѣрное и до-
стойное вниманія заключеніе.
При Ь положительномъ находимъ ^=5 и х2——"н=с<о. Что-
бы раскрыть неопредѣленное значеніе х,, вообразимъ посте-
пенное приближеніе и къ пулю и преобразуемъ выраженіе хл
до перехода къ предѣлу, т.-е. пока а еще не равно пулю.
Преобразованіе состоитъ въ перенесеніи ирраціональности
изъ числителя въ знаменатель. Имѣемъ:
__—р+\ 'р«— —(?—\ Р2—4/>с)^+Ѵ ,?2—4>7с) —2г
1 2а 2а(^ іУ/32—-4ас) Р + Ѵ —4ас
Положивъ теперь «=0, найдемъ опредѣленный результатъ
Ор (• в
Хх=—25“—/? 410 есть К0Репь уравненія га-|-с=0.
23 О
При Ь отрицательномъ находимъ гг1=-)=сю и х2—^. Не-
опредѣленное значеніе х2 раскрывается подобно предыдущему.
Имѣемъ:
__Р—V >— 4ас (В—\ 4асХР уфС-4^)_______2г _
3 2</(3-|~\ і32—4ас) /З2—4ас
Положивъ <7=0, найдемъ
- хр
Произведенное изслѣдованіе приводитъ кь слѣдующему за-
ключенію. Если въ квадратномъ уравненіи коэффиціентъ выс-
шей степени неизвѣстнаго приближается къ пулю, то одинъ
изъ корпей этого уравненія дѣлается безконечно большимъ,
а другой переходитъ въ раціональный корень получаемаго
въ результатѣ уравненія первой степени.
Изъ всего предыдущаго заключаемъ, что формулы корпей
квадратнаго уравненія приложимы ко всѣмъ случаямъ и по-
тому должны считаться вполнѣ общими.
§ 32. Примѣры изслѣдованія. Задача 1. Раздѣлить пря-
мую а па такія двѣ части, чтобы площадь прямоуголь-
ника, построеннаго на этихъ частяхъ, была равнове-
лика площади квадрата, построеннаго на прямой к.
— 41 —
Изъ геометріи извѣстно, что площадь прямоугольника равна
произведенію его смежныхъ сторонъ, а площадь квадрата равна
квадрату его стороны. Поэтому условія задачи состоятъ въ томъ,
что сумма неизвѣстныхъ частей равна п, а произведеніе ихъ
равно к-. Значить, неизвѣстныя части данной линіи суть корни
квадратнаго уравненія
а2—п»-|-Л2=0.
Рѣшивъ это уравненіе, получимъ
</±\ —4А*2
Х=----------
Въ случаѣ «2^>4/;2 или задача возможна, потому что
корни дѣйствительны и положительны. Притомъ задача допу-
скаетъ два рѣшенія, потому что за первую сторону прямо-
угольника можно взять любое изъ двухъ значеній х, и тогда
другая сторона выразится другимъ значеніемъ. Въ случаѣ
а=‘1к задача возможна, но допускаетъ только одно рѣшеніе.
Въ случаѣ а<Е2.к задача невозможна.
Все это подтверждается геометрическими' соображеніями.
Чтобы опредѣлить геометрически стороны прямоугольника, бе-
ремъ прямую АВ=ч, описываемъ около нея полуокружность,
какъ около діаметра, п проводимъ прямую (’В параллельную
діаметру на разстояніи к отъ него. Опуская затѣмъ перпендп-
^суляры СЕ и І)Е па діаметръ, дѣлимъ его па части А Е и
ЕВ, плп же Л71 и ЕВ, которыя представляютъ въ той или
другой парѣ стороны искомаго прямоугольника.
Если к меньше «р то параллель пересѣчетъ окружность
въ двухъ точкахъ. Задача окажется возможной, и ея двойное
рѣшеніе, хотя и не дастъ двухъ разныхъ прямоугольниковъ,
по будетъ имѣть смыслъ, указывая на то, что въ прямо-
угольникѣ можно принять за основаніе пли большую, или
меньшую изъ
его
сторонъ.—Если к
а
то параллель только
коснется окружности, и окажется только одно рѣшеніе—квад-
ратъ. —Есіи к болѣе то параллель пройдетъ внѣ круга
и задача окажется невозможной.
Задача 2. На прямой линіи, соединяющей два источ-
ника свѣта, найти точку, равпоосвѣщенпую обоими
источниками.
Изъ физики извѣстно, что яркость освѣщенія предмета ка-
кимъ-либо источникомъ свѣта обратно пропорціональна квад-
рату разстоянія предмета отъ источника. Поэтому, если обо-
значимъ черезъ т яркость свѣта на единицѣ разстоянія,
а черезъ М яркость на разстояніи к, то изъ пропорціи
М:т=Л ~:к2, найдемъ
Переходя къ разсматриваемому вопросу, положимъ, что на
прямой _1ЕѴ въ мѣстахъ А и В расположены два источника
свѣта, которые вообразимъ въ видѣ свѣтящихся точекъ.
М
А С2
—।—
Пусть а и Ь обозначаютъ яркости источниковъ на единицѣ
разстоянія. Положимъ затѣмъ, что разстояніе АВ между источ-
никами свѣта есть </, а разстояніе АС между первымъ источ-
никомъ и искомой точкой есть х. Тогда разстояніе ВС вы-
разится черезъ (1—х или х—</, смотря потому, находится ли
искомая точка внутри протяженія АВ или внѣ его; но раз-
личіе это устранится при возведеніи разстоянія въ квадратъ
по закопу яркости свѣта. Па основаніи этого закона мы
найдемъ, что яркость освѣщенія точки С первымъ источникомъ
а Ь
есть вторымъ
Условіе равенства освѣщеній приводитъ къ уравненію
а Ъ
Рѣшимъ его посредствомъ извлеченія корня изъ обѣихъ
частей, при чемъ двойной знакъ во второй части отнесемъ
къ корню изъ 6; получимъ Затѣмъ, рѣшая два по-
— 43 —
лученныхъ уравненія первой степени оіновременно, найдемъ
• а
$=-=“----
\ «±\ ъ
Итакъ, соотвѣтственно двамъ корнямъ квадратнаго уравне-
нія задача допускаетъ два рѣшенія
<7\ а <Л и
---И —
\ '* + \ Ь “ \ а—\ Ь
Такъ какъ а и 6 положительны, то оба корня не могутъ
быть .мнимы, и значитъ вопросъ всегда возможенъ.
Полученіе двухъ значеній для х показываетъ, что суще-
ствуютъ два положенія искомой точки. Замѣтимъ, что
П ПОТОМУ
одна точка лежитъ внутри
5
протяженія АВ. Въ случаѣ <С>6 величина -'^>1, и и0‘
тому тогда величина т.-е. другая дочка лежитъ внѣ АВ.
Обращая вниманіе на сравнительную яркость обоихъ источни-
ковъ, нужно различать три случая:
Если а^>Ь, т.-ѳ. первый источникъ свѣтить сильнѣе вто-
рого, то оба корня положительны. Значитъ, обѣ точки лежатъ
правѣе А. При этомъ, такъ какъ въ этомъ случаѣ дробь
-больше дроби —которая равна половинѣ, то
Слѣдовательно, два рѣшенія соотвѣтствуютъ нѣкоторымъ точ-
камъ, напр., Си С(, которыя обѣ лежатъ ближе къ слабѣй-
шему источнику В.
Если а<А>, т.-е. первый и шнпкъ свѣтитъ слабѣе второго,
го первый корень положителенъ а второй отрицателенъ. Зна-
читъ. одна точка лежитъ правѣе А. а другая лѣвѣе. При
этомъ, такъ какъ въ такомъ случаѣ дробь ' меньше
у "Н у, ь
дроби . ’ 10 жі Слѣдовательно, іва рѣшенія соотвѣт-
ствуютъ нѣкоторымъ точкамъ, напр., С2 п С3, которыя обѣ
лежатъ ближе къ слабѣйшему источнику А.
Если іі=іі, то хА==-. и .т,—оо. Первое рѣшеніе опредѣляетъ
точку, лежащую въ серединѣ АВ, второе показываетъ, что
по мѣрѣ уравненія яркостей обоихъ источниковъ, точка, равно
освѣщаемая ими п лежащая внѣ АВ, все больше и больше
— 44 —
удаляется отъ обоихъ. Замѣтимъ притомъ, что когда « при-
ближается къ Ъ отъ неравенства «Д>/>, т.-е. уравненіе освѣще-
нія происходитъ отъ уменьшенія яркости источника А, то г.,
оставаясь постоянно положительнымъ, стремится къ -}-со,
или значитъ, точка удаляется направо отъ А и В. Если же І>
приближается къ а отъ неравенства т.-е. уравненіе
освѣщенія происходитъ отъ уменьшенія яркости источника
В, то х., стремится къ —со, или точка удаляется налѣво
отъ А и В.
Всѣ эти выводы согласны съ дѣйствительными свойствами
освѣщенія предмета двумя источниками.
Ирраціональныя уравненія.
§ 33. Возведеніе уравненій въ степень и извлеченіе изъ
НИХЪ корня. Возведеніе въ степень. Отъ возведенія обѣихъ ча-
стей уравненія въ степень получается новое уравненіе, вообще
говоря, неравносильное прежнему. Нарушеніе совмѣстности
состоитъ въ томъ, что новое уравненіе удовлетворяется не
только всѣми корнями даннаго уравненія, по имѣетъ еще лиш-
ніе корпи, принадлежащіе особому уравненію, которое назы-
вается дополнительнымъ къ данному.
Дѣйствительно, если представимъ себѣ нѣкоторое уравненіе
въ видѣ А=В и возведемъ ого въ квадратъ, то получимъ
новое уравненіе А -=В2, которое можемъ замѣнить черезъ
А2—В2=0. Но послѣднее разлагается па уравненіе А—В=0,
или А=В, которое есть данное, и уравненіе А-\-В—0. или
А=—В, которое считается дополнительнымъ къ данному.
Подобно этому, если уравненіе А=В возведемъ въ кубъ,
то получимъ новое уравненіе вида Л3=І?:і или А 1—В"'—0.
Но послѣднее разлагается на уравненіе А—В=0 пли А=В,
т.-е. данное, и уравненіе Л--|-Л7>,-|-/>2=0, которое назы-
вается дополнительнымъ къ данному.
То же замѣчаніе относится и къ возведенію въ другія выс-
шія степени. Форма дополнительнаго уравненія измѣняется
съ показателемъ степени; при показателѣ 4 дополнительное
уравненіе есть и т. под..
II р и м ѣ р ы. Возьмемъ уравненіе %—2=3, которое имѣетъ
одинъ корень а?=5. Возведя его въ квадратъ, получимъ урав-
пѳпіе (х—2)2=9, которое, кромѣ прежняго корня, удовлетво-
ряется еще однимъ, принадлежащимъ дополнительному уравненію
х—2=—3, т.-ѳ. корнемъ х——1. Чтобы провѣрить это за-
ключеніе, рѣшимъ новое уравненіе по формулѣ квадратныхъ
уравненій. Получимъ х-—4х—5=0, откуда ж=2=ь\-9=2=ьЗ,
ПЛИ #,=5, Х.2=—1.
Возьмемъ уравненіе ж=2, имѣющее одинъ корень 2. Воз-
ведя его въ кубъ, получимъ уравненіе ж3=8, которое, кромѣ
прежняго корня, имѣетъ еще два мнимыхъ, удовлетворяющихъ
дополнительному уравненію х2-{-2х-|- 4=0, именно корни
х= —1'\ З.г. Для повѣрки возведемъ одинъ изъ корней, напр.,
первый, въ кубъ. Получаемъ (—1-|-Ѵ3.г)3=—1—|—ЗѴ'з.г-—
—(ЗѴЗ) -г2-{-г(ѴЗ) 3 г з=— 1 ЗѴЗ.г-|-9—3ѵ'3.г=8.
Извлеченіе корня. Изъ вышеразсмотрѣнной теоремы о возве-
деніи уравненія въ степень видно, что при извлеченіи корня
изъ обѣихъ частей уравненія число корней, вообще говоря,
уменьшается. Чтобы получить результатъ, равносильный дан-
ному уравненію, нужно разсматривать не только то уравненіе,
которое получается прямымъ извлеченіемъ корня, но и урав-
неніе, дополнительное къ получаемому.
Такъ, извлекая квадратный корень изъ уравненія А2—В2,
нужно разсматривать не только уравненіе А—В, но и допол-
нительное къ нему А=—В.
Подобно этому при извлеченіи кубическаго корня изъ урав-
ненія А3—В'л нужно выражать рѣшеніе уравненіемъ А=В
и еще дополнительнымъ къ нему Л'2-|-И7>-|-7?2=0.
То же относится и къ извлеченію корней съ высшими по-
казателями. При показателѣ 4 дополнительное уравненіе есть
Л34-Л 2Б-|-ЛБ2-|-7Г‘=0 и вообще, чѣмъ больше Показатель,
тѣмъ сложнѣе дополнительное уравненіе.
Примѣры. Возьмемъ уравненіе (х—5)2=4. Извлекая изъ
пего квадратный корень, мы получаемъ два уравненія х—5=2
п х—5=—2, откуда хх—7 и а?2=3. Чтобы провѣрить это
заключеніе, рѣшимъ данное уравненіе посредствомъ раз-
ложенія на множителей. Получимъ х2—10ж-1-21=0, откуда
(х—7)(х—3)=0 или я, =7 и ж2=3.
Возьмемъ уравненіе ж3=—8. Извлекая изъ него кубичный
корень, получимъ не только корень х——2, по еще два мни-
— 46 —
мыхъ, которые опредѣляются дополнительнымъ уравненіемъ
х2—4=0, именно корни $с=1±ѴЗл. Для повѣрки воз-
ведемъ одинъ изъ этихъ корней, напр., второй, въ ку бъ. Полу-
чимъ (1—Ѵ'З.г)3= 1—3\ 3.;-|-(3\ 3)2л-—(V3) 3.і3= 1 — ЗС-ЗД—
—9-|-ЗѴ->.г=—8.
§ 34. Рѣшеніе ирраціональныхъ уравненій. Ирраціональ-
нымъ уравненіемъ называется такое, въ которомъ неизвѣстное
входитъ, между прочимъ, подъ знакомъ корня. Для рѣшенія
ирраціональныхъ уравненій замѣняютъ ихъ раціональными
уравненіями, которыя получаются отъ возведенія въ степень,
примѣняемаго одинъ разъ или нѣсколько, смотря по числу не-
извѣстныхъ корней.
Если въ уравненіи содержится одинъ радикалъ, то отдѣ-
ляютъ членъ, содержащій этотъ радикалъ въ одну часть урав-
ненія, а всѣ раціональные члены соединяютъ въ другой части
уравненія. Затѣмъ возводятъ обѣ части уравненія въ степепь,
соотвѣтствующую показателю корня.
Примѣръ. Дано уравненіе 5-|-І12—х=1. Переносимъ 5
во вторую часть и возводимъ обѣ части въ кубъ; получимъ
12—ж=8, откуда ж=4.
Если уравненіе содержитъ нѣсколько радикаловъ, то нужно
произвести нѣсколько послѣдовательныхъ возведеній въ сте-
пень. Въ такихъ случаяхъ распредѣляютъ ирраціональные
члены въ обѣихъ частяхъ уравненія, отдѣляя каждый разъ
особо тотъ радикалъ, который хотятъ уничтожить.
Примѣръ. Дано уравненіе 2Ѵх-|-28-|-ѵ'4я;—3=15. Пере-
носимъ одинъ пзъ корней, напр., второй, во вторую часть и
возводимъ въ квадратъ; получимъ 4я-|-72=225—30Ѵ4ж—3-|-
-|-4гг—3. Переносимъ всѣ раціональные члены во вторую
часть, а корень въ первую; получимъ 30Ѵ4ж—3=150 или
\4гг—3=5. Возводимъ еще разъ въ квадратъ; выйдетъ 4х—
—3=25, откуда х=1.
Такъ какъ возведеніе уравненій въ степень можетъ вно-
сить посторонніе корни, принадлежащіе уравненіямъ, допол-
нительнымъ къ даннымъ, то, рѣшивъ ирраціональное уравне-
ніе, слѣдуетъ всегда повѣрить рѣшеніе подстановкой найден-
ныхъ значеній неизвѣстнаго въ первоначально данное урав •
неиіе и отбросить тѣ изъ нихъ, которыя не удовлетворяютъ
данному уравненію, а удовлетворяютъ дополнительному къ нему.
Примѣръ. Дано уравненіе 5—2\ж—Ѵ25—х. Возведя
его въ квадратъ, имѣемъ 25—20Ѵ&-}-4.г=25—х, или х—4\[х.
Снова возведя въ квадратъ, найдемъ х'-=16х. Корпи этого
уравненія суть #,=0 и ж2=16. Изъ нихъ только первый удо-
влетворяетъ данному уравненію, а второй есть корень допол-
нительнаго къ данному уравненію 5—2^х——Ѵ25—х.
Могучъ быть такія ирраціональныя уравненія, которыя при
данныхъ знакахъ ихъ ирраціональныхъ членовъ совсѣмъ не
имѣютъ никакихъ корней, потому что получаемые при рѣше-
ніи корни принадлежатъ не даннымъ уравненіямъ, а допол-
нительнымъ кь нимъ.
Примѣръ. Дано уравненіе 1—а?=ѴЗ.г—5. Возведя его
въ квадратъ, находимъ 1—2х-\-х2=Ъх—5, или х-—5ж-|-6=0.
Полученное уравненіе имѣетъ два корня хІ=2 и х.,=3, но
пи одинъ изъ нихъ не удовлетворяетъ данному уравненію.
Оба значенія х суть корни дополнительнаго къ данному
уравненія 1—х=—ѴЗж—5.
Уравненія высшихъ степеней.
§ 35. Общія указанія. Общій видъ уравненія третьей сте-
пени есть «й:3-|-6й;2-|~ся;4-^=0. Если раздѣлимъ обѣ части
уравненія па а, то получимъ приведенный видъ уравненія
Точно также уравненіе четвертой степени обозначается
въ общемъ видѣ черезъ ихі-\-Ьхі,-\-сх~-\-<Іх-\-е=^^ а въ приве-
денномъ черезъ хі^рхл-\^х2-\-гх-\-8=®. в
Въ высшей алгебрѣ доказывается, что всякое цѣлое раціо-
нальное алгебраическое уравненіе имѣетъ корень, хотя
мнимый.
Если принять это * положеніе доказаннымъ, то его легко раз-
вить-доказавъ, что всякое такое уравненіе имѣетъ столь-
ко корпей. сколько единицъ въ показателѣ его степени.
Для доказательства возьмемъ приведенное уравненіе третьей
степени хл-\-рх2-\-дх-\-т— 0 и положимъ, что нѣкоторое коли-
чество а есть корень его. Это значитъ, что подстановка а
— 48 —
въ первую часть уравненія обращаетъ ее въ нуль, т.-е., что
соблюдается тождество а8-|-ра‘-!-|-7а-{-г=0.—Раздѣлимъ непо-
средственно многочленъ х^-^-рх^-^-цх-^-г на разность х—а. Ліи
легко убѣдимся въ томъ. что въ частномъ получается много-
членъ второй степени который для
краткости будемъ писать въ видѣ х--\-кх-]-к, а въ остаткѣ
получается выраженіе а которое, какъ сказано,
равно нулю. Отсюда видимъ, что первая часть уравненія дѣ-
лится нацѣло па разность между х и корнемъ. Поэтому урав-
неніе можно написать въ впдѣ (х— а)(а;--|-Лх-}-/.’)=0.—Но изъ
теоріи квадратнаго уравненія извѣстно, что всякій трехчленъ,
напр., х'-\-кх-\-к, имѣетъ два корня, положимъ 3 и у, и раз-
лагается въ произведеніе разностей между х и корнями. По-
этому наше уравненіе можно представить въ видѣ (х—а)(х—
——у)=0. Изъ этого слѣдуетъ, во-первыхъ, что три ко-
личества а, 3 и у суть корни даннаго уравненія третьей
степени, т.-е. это уравненіе имѣетъ три корня, и во-вторыхъ,
что первая часть уравненія разлагается въ произведеніе
трехъ разностей между х и корнями. Замѣтимъ еще частное
слѣдствіе: Извѣстный членъ даннаго уравненія, т.-е. г, ра-
венъ отрицательному произведенію корней,т.-е. г=—аЗу,
потому что въ такомъ впдѣ онъ получается при раскрытіи скобокъ.
Подобнымъ же образомъ разсуждаемъ надъ уравненіемъ
четвертой степени. Возьмемъ приведенное уравненіе ж4-]-рх3-|~
и положимъ, что а есть корень его.—Раздѣ-
лимъ первую часть уравненія на х—а. Произведя дѣленіе,
получимъ въ частномъ многочленъ третьей степени, который
обозначимъ для краткости черезъ х'л-\-1ѵх2-|—7га?—а въ остаткѣ
выраженіе а4-|-ра3-|-<7а2-|-га-4-8, равное пулю. Отсюда видимъ,
что первая часть дѣлится нацѣло па разность между х и
корнемъ. Уравненіе можно написать въ видѣ (х—а)(&3-|~7?ж;!-|-
-|-Ах-|-/)=0. Но изъ предыдущей теоріи уравненія третьей
степени извѣстію ужо, что всякій четырехчленъ, напр., ж3-}-
-\-кх--\-кх-\-1, имѣетъ три корня, положимъ р, у и с, и раз-
лагается въ произведеніе разностей между х и корнями. По-
этому уравненіе можно представить въ видѣ (х—а)(.с—р)(х—
—у)(х—о)=0. Изъ этого слѣдуетъ, что а, у, о суть корни
уравненія четвертой степени, т.-е. это уравненіе имѣетъ I
корня, и что первая часть уравненія разлагается въ произ-
-49-
веденіе четырехъ разностей между х и корнями. Еще част-
ное слѣдствіе: извѣстный членъ даннаго уравненія, т.-е. в ра-
венъ положительному произведенію корней, т.-е. §=аЗ-1'с, по-
тому что такимъ онъ получается при раскрытіи скобокъ. Такимъ
образомъ, всякое цѣлое и раціональное алгебраическое уравне-
ніе имѣетъ столько корней, сколько единицъ въ показателѣ
его степепи. Въ частномъ случаѣ нѣкоторые изъ корней мо-
гутъ быть равными, и тогда число отдѣльныхъ рѣшеній ста-
новится меньше.
При рѣшеніи уравненій высшихъ степеней проще всего
опредѣляются цѣлые корни, если они есть,—затѣмъ дроб-
ные, если они также имѣются,—затѣмъ несоизмѣримые и
мнимые. Въ высшей алгебрѣ разсматриваются общіе способы
для рѣшенія уравненій третьей и четвертой степени. Относи-
тельно уравненій высшей степени доказывается, что они въ об-
щемъ видѣ совсѣмъ не могутъ быть разрѣшены алгебраически.
Рѣшаются только числовыя уравненія и тѣ только прибли-
женно, хотя и съ произвольной степенью точности.
Объ отысканіи цѣлыхъ корней замѣтимъ слѣдующее: Если
дано приведенное уравненіе третьей степени х34-ра;“-|-2Ж-|->—О,
то па основаніи равенства г=—ару цѣлыми корнями уравне-
нія могутъ быть только цѣлые множители, положительные или
отрицательные, извѣстнаго члена г. Число этихъ множителей
ограничено. Ихъ можно найти всѣ, и можно, начиная съ про-
стѣйшихъ, прямо подставлять въ данное уравненіе.
Если найдется такой множитель а, который удовлетворить
уравненію, то найдется, слѣдовательно, одинъ цѣлый корень
уравненія.
Въ такомъ случаѣ отысканіе остальныхъ корней приводится
къ рѣшенію квадратнаго уравненія. Дѣйствительно,раздѣливъ
первую часть даннаго уравненія на х—а, получимъ въ част-
номъ выраженіе х-~\~1гх-\-к^ которое, будучи приравнено нулю,
составить квадратное уравненіе, опредѣляющее два остальныхъ
корня.
Примѣръ. Дано уравненіе х8-—2ж-|-4—0. Дѣлители из-
вѣстнаго члена суть ±1, ±2, ±4. Подставляя послѣдова-
тельно 4-1, —1, 4-2, —2, найдемъ, что —2 удовлетворяетъ
уравненію. Поэтому хх ——2. Дѣлимъ первую часть даннаго
уравненія па ж-|-2 и частное, получаемое мри этомъ, при-
пасть п. *
— 50 —
равпиваемь нулю. Составимъ уравненіе х-—с1х-(-2=0, рѣшая
которое, получимъ а?2=1-|-г и <г3=1—і.
Подобнымъ же образомъ, если въ уравненіи четвертой
степени х4-\-рх'і-\-цх--\-тх-\-8—0 найдемъ цѣлый корень я:=а,
то приведемъ рѣшеніе къ уравненію третьей степени вида
х‘л-[-кх2-\-кх-1-1=0, чѣмъ, по крайней мѣрѣ, достигнемъ пони-
женія степени. Если же въ данномъ уравненіи четвертой
степени найдемъ два цѣлыхъ корня х—х и ж=3, то можемъ
вполнѣ рѣшить данное уравненіе, такъ: Перемножимъ раз-
ности х—х и х—3 и на полученный трехчленъ второй сте-
пени раздѣлимъ первую часть уравненія. Дѣленіе совершит-
ся нацѣло и въ частномъ получится нѣкоторый трехчленъ
х'-\-тх-\-п, приравнивая который пулю, мы составимъ вспо-
могательное уравненіе, опредѣляющее остальные корни х=у
и ж=о.
Такъ какъ послѣдній членъ а даппаго уравненія можетъ
имѣть много дѣлителей и эти дѣлители сами по себѣ могутъ
быть большими числами, то, чтобы уменьшить число проб-
ныхъ подстановокъ въ уравненіе, полезно отыскивать такъ
называемые предѣлы положительныхъ и отрицательныхъ кор-
ней. Предѣломъ положительныхъ корней уравненія называется
такое положительное количество, которое больше каждаго по-
ложительнаго корня даннаго уравненія. Предѣломъ отрицатель-
ныхъ корней уравненія называется такое отрицательное ко-
личество, которое въ алгебраическомъ смыслѣ меньше каждаго
отрицательнаго корня даннаго уравненія, т.-е. имѣетъ числовую
величину большую, чѣмъ числовая величина каждаго отрица-
тельнаго корня. Посредствомъ замѣны х въ данпомъ уравненіи
черезъ —х получается сопряженное уравненіе, котораго поло-
жительные корни соотвѣтствуютъ отрицательнымъ корнямъ дан-
наго уравненія, и потому намъ достаточно объяснить лишь
отысканіе предѣла положительныхъ корней.
в
Примѣръ. Возьмемъ уравненіе х4—8жй-]-25ж-—38гг-|-24=0.
Дѣлители послѣдняго члена суть ±1, ±2, ±3, ±4, ±6,
=Ь8, ±12, ±24, и потому на первый взглядъ кажется, что
отысканіе цѣлыхъ корней очень сложно по числу пробныхъ
подстановокъ, которыя нужно сдѣлать. На самомъ же дѣлѣ
вычисленіе просто.
Распредѣлимъ члены уравненія па группы, начинающіяся
каждая съ положительнаго члена, и выведемъ въ группахъ
общихъ мпожителей; получимъ х'\х—8)4-2(252—38)4-24=0.
Такое преобразованіе показываетъ наглядно, что при значе-
ніи ж=8 и при значеніяхъ ж-са большихъ 8-ыи первая часть
уравненія постоянію положительна; слѣдовательно, всѣ по-
ложительные! корни уравненія должны быть меньше 8-ми.
Для испытанія отрицательныхъ корней положимъ х——г\ по-
лучимъ сопряженное съ даннымъ уравненіе г4-|-8^:,-|-25^2-І-
4-38^4-24=0. Это новое уравненіе совсѣмъ не имѣетъ поло-
жительныхъ корней, потому что первая часть его при вся-
комъ положительномъ значеніи % всегда положительна; изъ
этого видно, что первоначально данное уравненіе совсѣмъ не
имѣетъ отрицательныхъ корней. — Слѣдовательно, пробныя
испытанія ограничиваются только подстановкой чиселъ 1, 2,
3, 4, 6. Подставляя- 1, 2. 3, находимъ, что цѣлые и поло-
жительные корпи даннаго уравненія суть а;1=2 и т,2=3.
Отыскавъ ихъ, прекращаемъ подстановленіе. Перемножаемъ
(х—2')(х—3). Получимъ я:-—5x4-6. Дѣлимъ первую часть
даннаго уравненія на предыдущій трехчленъ и частное при-
равниваемъ нулю. Составимъ уравненіе х2—Зж-|-4=0, рѣшая
которое, получимъ ж3,4=2(3±Ѵ7л)-
Въ предыдущемъ мы разсматривали только приведенныя
уравненія. Дополняя относящіяся къ нимъ указанія, замѣтимъ
•слѣдующее. Приведенное уравненіе, въ которомъ всѣ ко-
эффиціенты суть цѣлыя количества, не можетъ имѣть
дробныхъ корней. Возьмемъ, напр., уравненіе третьей сте-
пени и напишемъ его въ видѣ х3=—рх2—цх—г. Если до-
пустимъ, что нѣкоторая несократимая дробь удовлетворяетъ
уравненію, то, подставляя и уничтожая знаменателя только
во второй части, получимъ равенство & ——ръ2——гД-’,
которое должно быть тождествомъ. Но это равенство невоз-
можно, потому что первая часть его представляетъ дробное
количество, а вторая цѣлое. Повторивъ то же съ уравненіемъ
четвертой степени, нашли бы также невозможное равенство
— 52 —
Въ уравненіяхъ общаго вида, какъ-то: «ж3-|-6ж2-|-сл!-|-'7=(>
ши <№4-|-?лг3-{-еа;2-{-^я:-|-е=0 могутъ быть какъ цѣлые, такъ
п дробные корни. Въ уравненіи третьей степени произведе-
ніе корней равно отрицательному отношенію послѣдняго коэф-
фиціента къ первому, т.-е. —-д а въ уравненіи четвер-
той степени опо равно положительной} отношенію послѣдняго
коэффиціента къ первому, т.-е. а^ус=--
Докажемъ, что дробными корнями общаго уравненія-
могутъ быть только такія дроби, которыхъ знамена-
тели суть дѣлители перваго коэффиціента а. Возьмемъ
уравненіе трегьей степени ах2-\-Ъх2-\-сх-\-іІ=.9 и положимъ
х= •> гдѣ 2 новое неизвѣстное. Сдѣлавъ подстановку и за-
мѣтивъ, что въ первомъ членѣ коэффиціентъ а сокращается,,
получимъ, по уничтоженіи знаменателя, приведенное уравненіе
2я-]~І>2--]~асг-\-а2<1=0. съ цѣлыми коэффиціентами.—Подобно
этому общее уравненіе четвертой степени ая;4-|-/>ж3-|-гж--(-
-І~г/х-]-е=0 посредствомъ той же подстановки преобразовы-
вается въ приведенное уравненіе л?4-{-^3-|-«с^:-’-|~«2б^-|-а3е=0
также съ цѣлыми коэффиціентами. Такъ какъ получаемыя
приведенныя уравненія могутъ имѣть только цѣлые корни,,
то, значитъ, всѣ дробные корпи общихъ уравненій заключа-
ются въ формулѣ х='-і гдѣ 2 цѣлое, и потому знаменатели
этихъ дробей суть дѣлители а, меньшіе его или въ частныхъ
случаяхъ равные ему.
Изъ предыдущаго видно, что разысканіе цѣлыхъ корпей об-
щаго уравненія нужно дѣлать подстановками по прежнему спо-
собу. Въ общемъ уравненіи цѣлые корни суть, какъ и прежде,
дѣлители послѣдняго коэффиціента.
Для разысканія же дробныхъ корпей нужно дѣлать только
что объясненную подстановку, дающую въ результатѣ приве-
денное уравненіе. Опредѣливъ цѣлые корпи получаемаго при-
веденнаго уравненія, получимъ числителей дробныхъ корней
даннаго уравненія.
Примѣръ. Дапо уравненіе 2ж3-1~ 7 а;2-|-9х—36=0. Первая
часть его дѣлается положительной при ж=2 и при увели-
ченіи х остается положительной. Поэтому положительные
корни уравненія меньше 2. Испытавъ 1, видимъ, что она
«е удовлетворяетъ уравненію. Поэтому цѣлыхъ положитель-
ныхъ корней пѣтъ.—Сопряженное данному уравненію есть
2ж3—7ж2-{-9а?-|-36=0. Первая часть его становится положи-
тельною при .г=1 и при увеличеніи х остается положитель-
ной. Значить, отрицательные корни даннаго уравненія по
числовой величинѣ меньше единицы. Иначе говоря, цѣлыхъ
отрицательныхъ корней нѣтъ.—Переходя къ отысканію дроб-
ныхъ корпей, полагаемъ х=.,- Получимъ уравненіе ^3-|-7^2-|-
Д-18г—144=0. Положительные корни этого уравненія мень-
ше 4, потому что, начиная съ этого числа, подстановка об-
ращаетъ первую часть въ положительныя количества. Под-
ставляя послѣдовательно Іи 3, находимъ, "то 3 есть ко-
рень полученнаго приведеннаго уравненія. Слѣдовательно, дан-
ное уравненіе имѣетъ корень —Раздѣливъ первую
часть па разность между х и найденнымъ корнемъ, или вмѣ-
сто этого на двучленъ’ 2х—3, получимъ частное ,г2-|-5ж-|-12.
Приравнивая это частное нулю, составимъ уравненіе, которое
дастъ остальные корни а;2 3=і(5±Ѵ23.г).
Опредѣленіе положительнаго и отрицательнаго предѣловъ
корпей вообще значительно упрощаетъ задачу подстановленій.
Но иногда это опредѣленіе само по себѣ сложно и потому не
всегда обязательно прибѣгать къ нему.
Примѣръ. Дано уравненіе 6х4Ч-С7ж3-]-132х2-|-90ж-|-20=Ѵ.
Юно, очевидно, совсѣмъ не имѣетъ положительныхъ корпей.
Уравненіе, сопряженное данному, есть 6,г4—67ж3-{-132.ѵ2—
—90л-|-20=0. Разбиваемъ члены его на группы, начинаю-
щіяся съ положительныхъ членовъ, и выносимъ въ группахъ
общихъ множителей; получимъ ж3(6.г—67)-|-.<‘(132.г—90)-|-
-|-20=0. Первая часть новаго уравненія, начиная съ /=12,
становится постоянно положительной. Но, постепенно умень-
шая этотъ предѣлъ, можно видѣть, что корни меньше 10.
Поэтому изъ числа дѣлителей послѣдняго члена испытываемъ
только числа 1. 2, 4 и 5 и убѣждаемся, что данное уравненіе
не имѣетъ цѣлыхъ отрицательныхъ корпей. — Обращаясь
къ отысканію дробныхъ корней, примемъ х—Получимъ урав-
неніе’ г*—67гг8-|-792^2—3240,г-|-4320=0. Ему удовлетво-
ряютъ корни 3 и 4. Поэтому данное уравненіе имѣетъ корпи
— 54 —
;г1=——- и х.і=—6=—“• Раздѣливъ первую часть дан-
наго уравненія на произведеніе разностей между ./• и корнями,
или. вмѣсто пѳго, па произведеніе (2.г-|-1)(3./-|-2), т.-е. 6.г‘--|-
-|-7л,-|-2, составимъ еще уравненіе л,2-|-10іг-|-10=0, изъ ко-
тораго найдемъ остальные корпи .т3,4=—5геу'15.
Изъ приведенныхъ разъясненій видно, что отысканіе по
общимъ способамъ даже простѣйшихъ, именно соизмѣримыхъ
корней уравненій представляетъ значительныя трудности. По-
этому важно замѣтить нѣкоторыя, хотя и очень исключитель-
ныя формы уравненій высшихъ степеней, полное рѣшеніе ко-
торыхъ доступно средствамъ начальной алгебры.
§ 36. Частные случаи: Биквадратное уравненіе. Биквадрат-
нымъ уравпепіемъ называется уравненіе четвертой степени, не
содержащее нечетныхъ степеней неизвѣстнаго. Общій видъ
его есть Рѣшеніе биквадратнаго уравненія
выполняется такъ: Полагаемъ х2=г. Тогда получимъ квадрат-
ное уравненіе пл2-|-Лг-|-с=0. Рѣшивъ послѣднее по фор-
мулѣ 2=-------—------, найдемъ два корня и л,.
Послѣ этого вопросъ приводится къ рѣшенію двухъ не-
полныхъ квадратныхъ уравненій ./,2=.г,) и ,г-=г2. Изъ этихъ
уравненій посредствомъ извлеченія корня найдемъ всѣ че-
тыре корня даннаго уравненія и увидимъ между прочимъ, что
эти корпи попарно равнопротивоположны, т.-е. различаются
только знаками. Всѣ четыре корня даннаго уравненія можно
выразить формулой ----
Примѣръ. Дано уравненіе .г+—13г-’-(-36=0. Полагая
находимъ квадратное уравненіе 2-—13^—|—36=0.
Отсюда г, =4 и ?.>—§. Далѣе, изъ уравненія .г2=4 имѣемъ
.^—=ь2, а изъ уравненія х-2=9 имѣемъ ,г=±3. Слѣдовательно,
корни даннаго уравненія суть .г, =2, х,——2. .г3=3 и
Л=-3.
Подобно биквадратному, рѣшаются вообще такія уравне-
нія, въ которыхъ неизвѣстное входитъ въ двухъ группахъ
членовъ, такъ что одна группа представляетъ квадратъ дру-
гой, вполнѣ или съ отличіемъ въ коэффиціентѣ. Таково, папр.,
уравненіе (.г2-4-Зж)і4-2(.г-’4-3.г)=12, которое рѣшается подста-
новкой Х--\-ЗХ—2.
Подъ такой видъ подходятъ ирраціональныя уравненія, если
въ нихъ группа раціональныхъ членовъ отличается отъ потра-
дикальнаго выраженія только извѣстнымъ членомъ.
Примѣръ. Возьмемъ уравненіе —З.с-ру^-’—З.г-|-э=7.
Его можно представить въ видѣ г-—З.г-|-э-|-уг-—З.г-|-5=12.
Положивъ затѣмъ \ г-—3.г-Ь-э=г, получимъ квадратное урав-
неніе г2-|-г—12=0. Корни послѣдняго суть г,=3 и —4.
Второй изъ нихъ соотвѣтствуетъ ирраціональному уравне-
нію, дополнительному къ данному, т.-е. уравненію, отличаю-
щемуся знакомъ при радикалѣ. Поэтому принимаемъ только
\‘.г2—3.г-|-5=3. Возведя обѣ части этого ирраціональнаго
уравненія въ квадратъ, получимъ квадратное уравненіе .г2—
—З.г—4=0, откуда .г, =4 и .'2=1. —'
§ 37. Возвратныя уравненія. Возвратными уравненіями на-
зываются такія, въ которыхъ коэффиціенты первой части пред-
ставляютъ возвратный порядокъ, такъ что коэффиціенты чле-
новъ, равноудаленныхъ отъ начала и копца, равны. Возврат-
ныя уравненія легко доступны пониженію степени.
Уравненіе третьей степени о.г3-|-/лг2-(-Л/-|-«=0 допускаетъ
разложеніе первой части на множителей. Разлагая, получимъ
н.г3-|-6.г--|-/лг-|-«=а(./ :і-|-1)-|-/лг(./’-|-1)=(.г-|-1)[н(.с2—|—1)——
-}-6.г]=0, откуда получаются уравненія ,г-|-1=0 и аг-—
-|-(6—п).г-(-п=0, рѣшивъ которыя, найдемъ три корня.
Подобно этому рѣшается уравненіе п.г34-/л/-2—/лг—п=0, которое
сходно съ возвратнымъ, но отличается равпопротивоположностью
коэффиціентовъ. Въ первой части выводится множитель х—1.
1,ля рѣшенія возвратнаго уравненія четвертой степени
п.г4-|-/лг:,-(-<-.г2-(-/аг-}-«=0 дѣлимъ обѣ части его на .г2 и со-
единяемъ попарно члены съ равными коэффиціентами. Полу-
чимъ п(.г2-|-(.г-|-|)-|-с=0. Послѣ этого получаетъ успѣхъ
подстановка .г-У потому что, возведя обѣ части уравне-
нія подстановки въ квадратъ, мы находимъ, что .г2-|-^,=д'-!—2.
Введя новое неизвѣстное, получимъ квадратное уравненіе
—2п=0, которое дастъ два корня и г2.
Вслѣдствіе этого вопросъ приводится къ рѣшенію двухъ
* . 1 I 1
квадратныхъ уравненій .г-|-;с=г| и .т-^--=г2, которыя по упро-
щеніи принимаютъ форму ж2-|-^1х-|-1 = О и ' ~—я8ж-|-1=0.
Изъ этихъ уравненій найдемъ корпи попарно обратные, т.-е.
которыхъ произведенія равны единицѣ.
Подобно этому рѣшается уравненіе нж4-}-&.г3-|-гж2—/>.т-|-«=0,
сходное съ возвратнымъ. Въ этомъ случаѣ употребляется под-
іі
становка л—-—я.
Примѣръ. Дано уравненіе 4Н-|-4ж3—27./,2Д-4./Ц-4=0.
Дѣлимъ на .>- и соединяемъ члены равноудаленные отъ начала
и конца; получимъ 4(.г2Ц-1-)-и4(х4--)—27=0. Вводимъ под-
становку вслѣдствіе которой ж‘--|-4=^2—2; выходитъ
квадратное уравненіе 4я--\-4г—35=0. Корпи его суть д-,=';
И ^2 = ~7
Вставляемъ этк значенія г послѣдовательно въ уравненіе
подстановки; вопросъ приводится къ рѣшенію двухъ квадрат-
ныхъ уравненій 2ж2—5д’4~2=0 и 2./,2Ц-7.гЦ-2=0, которыя
опредѣляютъ четыре значенія ж1=2,’ жг ,4 =~-* •
Полученные корни попарно взаимно обратны, т.-е. одинъ изъ
пары корней равенъ единицѣ, раздѣленной па другой.
Уравненіе пятой степени аг5-|-/л»-4-}-са'3-|-еж2-|-6ж4-«=0 до-
пускаетъ выдѣленіе въ первой части множителя .г-|-1, соот-
вѣтствующаго корню .і——1, и приводится къ возвратному же
уравненію четвертой степени. Дѣйствительно, разлагая первую
часть, имѣемъ н(.г5-|-1)-|-/лг(.г3-|-1 )-|-г./--'(.г-(-1)=(ж-|-1)[п(ж4—
—а-3-]-.г-—.г-|-1)-}-7лг(.г2— х-І-1 )-{-<•./ ‘>]=0, откуда видно, что
отыскиваніе остальныхъ четырехъ корней приводится къ рѣ-
шенію уравненія а >'4-|-(^—«)ж3-|-(«—Л-|-с).г2-|-(/>—«).а-|-п=0.
Подобно этому рѣшается уравненіе е.г;,-|-?>ж4-|-сж3—сл2—
—Ь.ѵ— л=0, которое отличается отъ возвратнаго равпопро-
тивоположностыо коэффиціентовъ. Къ первой части выдѣляется
множитель ж—1, соотвѣтствующій корню ./=1.
Для рѣшенія уравненія шестой степени аг6-|-/«Б-|-е.г4-|~г/.г3-|-
-|-с.г2-1-/лг-|-п=0 дѣлимъ обѣ части его на ж3 и соединяемъ
попарно члены, равноудаленные отъ начала и конца; получимъ
а (•ги-|-^з)-Ь^(л--(-1.5)-|-с(.< -|-^і-|-'/=0. Прежняя подстановка
ж-|--=г' и въ этомъ случаѣ имѣетъ успѣхъ, потому что ж2-}-
— Эі —
_Ь^2—'г'>—-, а новое выраженіе л,3-|-Д!= (лГ-Н?) —1 ~
=г(г'-—3). Посредствомъ указанной подстановки данное урав-
неніе приводится кь уравненію третьей степени, чѣмъ дости-
гается по крайней мѣрѣ значительное пониженіе степени.
Если кубическое уравненіе окажется доступнымъ для рѣшенія,
то, найдя три корня его х13 и ^3, составимъ три квадрат-
ныхъ уравненія ж2—.т-рі=0,./ <2х-|-1=0 и х2—2’3:/;Д-1=0.
которыя опредѣлять шесть попарно обратныхъ корней.
11 одобнѳ этому рѣшается уравненіе ах 6-р/лг5-|-с.г'4-]-<7ж3—сх2-|-
—<7=0, сходное съ возвратнымъ. Въ этомъ случаѣ упо-
требляется подстановка х—,=.? п примѣняется формула
§ 38. Двучленныя уравненія. Двучленнымъ уравненіемъ
называется такое, которое содержитъ только членъ съ нѣко-
торой степенью неизвѣстнаго и извѣстный членъ. Двучленныя
уравненія пишутся въ приведенномъ видѣ и раздѣляются па
два типа, смотря по знаку извѣстнаго члена; первый типъ
есть .с’1—а=0, второй
Написавъ уравненія въ видѣ хн=а и хп =—а, видимъ, что
задача общаго рѣшенія двучленнаго уравненія того или дру-
гого типа есть то же, что задача общаго извлеченія корня изъ
положительнаго пли отрицательнаго количества.
Можно доказать, что рѣшеніе указанныхъ двучленныхъ
уравненій сводится на рѣшеніе уравненій вида г”—1=0 и
^и-|-1=0, или что всякое извлеченіе корпя изъ положитель-
наго пли отрицательнаго количества приводится къ извлече-
нію корня изъ положительной или отрицательной единицы. *
Дѣйствительно, если возьмемъ уравненія .г"ъ₽«=0 и подста-
вимъ въ нихъ х=ѵа.2, гдѣ »« есть числовой, ариѳметическій
корень, то получимъ п«,м=+=«=0, или по сокращеніи 1=0.
Слѣдовательно, для рѣшенія всякаго двучленнаго урав-
ненія съ произвольнымъ извѣстнымъ членомъ нужно
рѣшить соотвѣтствующее ему двучленное уравненіе
съ извѣстнымъ членомъ, котораго числовая величина
есть единица, и затѣмъ умножить всѣ полученныя рѣ-
шенія на ариѳметическій корень изъ числовой вели-
чины даннаго извѣстнаго члена.
— 58 —
Въ высшей алгебрѣ доказывается, что уравненія гг=РІ=О
суть простѣйшія изъ уравненій высшей степени и разрѣша-
ются при всякомъ показателѣ.
Въ начальной алгебрѣ можно указать нѣсколько простѣй-
шихъ случаевъ рѣшенія.
Такъ, уравненіе г3—1=0 можетъ быть написано въ видѣ
(г—1)(г--|-л-(-1)=0 и разлагается на два уравненія г—1=0
и г--|-г-|-1=0, которыя даютъ ^=1. г2,3 =—Ц^—•
Примѣръ. Найдемъ всѣ значенія кубическаго корня изъ 27.
Па основаніи предыдущаго опи будутъ 3, .'(—14-ѴЗ.г) и
Л-1—ѴМ-
Уравненіе л3-|-1=0 можетъ быть написано въ видѣ (г-|-
-|-1)(г-—г-р 1)=0 и разлагается па уравненія г-|-1=0 и 2-—
, , і ±\ З.г
—.г—|—1=0, которыя опредѣляютъ корни =—1, 9—‘
Корни этого второго двучленнаго уравненія отличаются отъ
корней перваго двучленнаго уравненія г:—1=0 только зна-
комъ. Это можно доказать, не рѣшая уравненій, по подста-
вляя въ одно изъ нихъ 2=—у.
Уравненіе^4—1=0 представляется въ видѣ (2-—1)(г24~1 )=0,
разлагается на уравненія г-—1=0 и г--|-1=0 и опредѣляетъ
корпи ^,2=±1 и г3,4 = ±/.
Уравненіе г44~1=0 представляется въ видѣ (г-4-1—2г2=0,
разлагается на уравненія г2—\2.г4-1=0 иг24-Ѵ2.г4~1=0 и
\ 2±\ 2 і —\ 2±\ І.і
опредѣляетъ корни ---------— и ~‘3,4=------— •
Примѣръ. Требуется рѣшить двучленное уравненіе 81ж4-|-
4-Ю=0. Преобразуемъ его въ приведенное; получимъ г44”8і“^*
Извлекаемъ ариѳметическій корень четвертой степени изъ ;
•>
онъ будетъ “• Послѣ этого находимъ па основаніи преды-
— г— .
V 2 ІА 2 г
дущаго, что корни даннаго двучленнаго уравненія суть *—
и-----2----Иначе говоря, это будутъ всѣ значенія алгебра-
. / 16
ическаго корпя у — •
Уравненіе г5—1=0, будучи написано въ видѣ (г—1)(^4-[-
-|~.534-г-’-|-1)=0, разлагается на ^-(-1=0 и возвратное урав-
неніе л4-|-г':1-(-г2-]-л-|-1=0.
Уравненіе г5-|-1=0, будучи написано въ видѣ (г-}-1)(^4—
—23-(-г2—’-(-1)=0, разлагается на.~-|-1=0 и возвратное урав-
неніе х4—г3-(-г2—л-Д-1=0.
Уравненіе .:6—1=0 можно представить въ видѣ (г3—1)(г3-|-
Д 1=0 и разложить на два уже рѣшенныхъ кубичныхъ урав-
ненія г3—1=0 и г3-(-1=0.
Уравненіе г°-]-1=0 можно представить въ видѣ (г2]“1)(,~4—
—,г-Д-1)=0 и разложить на уравненія—квадратное г--|-1=0
и биквадратное х4—л2-(-1=0.
Трехчленныя уравненія. Трехчленнымъ уравненіемъ называется
такое, которое содержитъ два члена со степенями неизвѣст-
наго, изъ которыхъ высшая есть квадратъ другой, и извѣст-
ный членъ. Общій видъ его есть пж2п-|-/лг"-|-с=0.
Трехчленное уравненіе разлагается па два двучленныхъ.
Дѣйствительно, положивъ хп=х, получимъ изъ квадратнаго
уравненія а?2-|~/лг,-|-г==О два корпя и х.2 и должны будемъ
рѣшить уравненія .г,і=х1 и .г’'=л-,.
Если примемъ показателя п дробнымъ числомъ, то полу-
чимъ ирраціональное уравненіе, которое рѣшается совершенно
подобно трехчленному.
Примѣръ. Дано уравненіе х-іх2—97/^-(-1296=0. По-
ложимъ г»/.г=,г. Получимъ квадратное уравненіе х2—97г-|-
-(-1296=0. Корпи его суть ^=81 и г2=16. Взявъ первый
- * -
изъ нихъ имѣемъ ./ѵж=81 или .г ‘=34. Отсюда ж‘‘=±^ и
,г:=-‘-3/ и потому л*1,2=±27 и л(,4==^27?. Взявъ второй,
і
имѣемъ подобнымъ же образомъ .о/.г=16 пли х =2‘. Отсю-
I I
да ,г:=_і-2 и ж:==ь2г и потому х-„в==ь8 и .г7,8==р8/.
Система уравненій высшихъ степеней.
§ 39. Общія указанія. Когда разсматриваются уравненія съ нѣ-
сколькими неизвѣстными, то степенью уравненія назы-
вается наибольшее число неизвѣстныхъ множителей,
— 60 —
входящихъ въ отдѣльные "члены. Напр., уравненіе г-—
—Л'У'~\~^У—5=0 есть уравненіе третьей степени.
Когда въ системѣ нѣсколькихъ уравненій съ нѣсколькими
неизвѣстными хотя одно уравненіе имѣетъ степень выше пер- '
вой, то вся совокупность уравненій называется системой
высшей степени.
Рѣшеніе системы уравненій производится послѣдовательнымъ
исключеніемъ неизвѣстныхъ по способу подстановлепія.
Положимъ, что даны два уравненія съ двумя неизвѣстными
Ах--\-Вху-\-Су-+1)х^Еу-\-Е=і) и ах-\-Ьу=с,
одно второй степени и другое первой степени. Выразимъ изъ
второго уравненія у/ черезъ х въ видѣ
Это уравненіе, выражающее у/черезъ :г, называется уравне-
ніемъ подстановки. Полученное выраженіе у/ подставимъ
въ первое уравненіе. Въ результатѣ послѣ упрощенія ока-
жется нѣкоторое уравненіе второй степени
Лг-Ц-Х/-|-Р=0.
Это уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ называется вывод-
нымъ уравненіемъ или выводомъ данной системы. Рѣшивъ
его, получимъ два значенія х. По каждому ихъ нпхъ найдемъ
изъ уравненія подстановки соотвѣтствующее значеніе у/. Соеди-
нивъ соотвѣтствующія значенія неизвѣстныхъ въ отдѣльныя
пары, получимъ двѣ пары или 2 системы рѣшеній.
Примѣръ. Дана система уравненій 5. г2—•8а;у/-|-у/2—7х-}~
—|—5//—|—4=0 и 6х—у—4. Изъ второго находимъ у/=(5х—4.
Подставляя это выраженіе у въ первое уравненіе, находимъ
.г-’—0, откуда .г,=0 и «2=1. При .г,=0 получимъ уг——4,
а при.г2=1 выйдетъ у.,=2. Значитъ, получаются двѣ системы
рѣшеній: а.,=0 и У/і =—4; ,г2=1 и у2=2.
Если дана система двухъ уравненій второй степени
Аі-'2-\-Вхіі-\-Су--\-Вх-]-Еч-\-Е=і) и
+д.г+р;1//+^=о,
то неудобно выразить у прямо изъ одного даннаго уравненія,
потому что при этомъ получилось бы ирраціональное выра-
женіе. Въ такомъ случаѣ исключаемъ сначала изъ данныхъ
уравненій квадратъ одного неизвѣстнаго, напр., у. Для этого
— 61
умножаемъ первое уравненіе на (\, второе на С и вычитаемъ
одно изъ другого; получимъ вспомогательное уравненіе, которое
для краткости представимъ въ видѣ п.г2-|-^7/-|-г/.г-|-су-|-/=0.
Пользуясь тѣмъ, что это вспомогательное уравненіе содержитъ
только первую степень /у, выражаемъ изъ него у черезъ т и
находимъ раціональное уравненіе подстановки
ах'1+сІх-\~/
У Ьх-\-р
Вставляемъ найденное выраженіе у въ одно изъ данныхъ
уравненій; получимъ выводное уравненіе, которое въ общемъ
случаѣ будетъ четвертой степени и которое мы представимъ
для краткости въ видѣ
Л/Н+ХгЧ-Рг Ч-ф;-|-Б=0.
Если это выводное уравненіе будетъ рѣшено, то получатся
четыре значенія для х. По каждому изъ нихъ найдемъ изъ
уравненія подстановки соотвѣтствующее значеніе у. Слѣдова-
тельно, всего получится 4 системы рѣшеній.
П р и м ѣ р ъ. Дана система уравненій
х--\-2ху— 8у~—6х-|-18//—7=0 и 2х-—Ьху—
—10//2 - 3.г-|-9?/4-7=0.
Исключивъ у-, получимъ уравненіе х2—10ху-\-6х—18у/-|-
—|—21=0, изъ котораго имѣемъ .Ѵ=~і^дув~’ Подставивъ это
выраженіе у въ первое изъ данныхъ уравненій, получимъ
биквадратное уравненіе ./;4—10г2-|-9=0. Рѣшеніе его опре-
дѣляетъ значенія я'І=1, —1, •/з=^ и Л——3. Подста-
новка ихъ даетъ соотвѣтствующія значенія /л=1, ?/2=2, ?/3=1,
Въ высшей алгебрѣ доказывается, что прп рѣшеніи двуіъ
уравненій съ двумя неизвѣстными т-й и п-й степени,
получается въ общемъ случаѣ тп системъ рѣшеній.
§ 40. Частные случаи. Такъ какъ указанное рѣшеніе си-
стемы уравненій второй степени довольно сложно, то полезно
замѣтить нѣкоторые частные способы, соотвѣтствующіе осо-
бымъ формамъ подобныхъ уравненій. Разъяснимъ на при-
мѣрахъ нѣкоторые изъ этихъ способовъ.
Примѣръ 1. Пусть даны уравненія .с-|-//=8 и ;п/=15.
Форма этихъ уравненій показываетъ, что х и у можно раз-
сматривать, какъ корни одного квадратнаго уравненія г2—
—8г-}-15=0. Корни послѣдняго суть 3 и 5. Такъ какъ каж-
62 —
дый изъ этихъ корней можетъ быть принятъ за .т и каждый
за 7, то данная система уравненій имѣетъ двѣ системы рѣ-
шеній: <=3, Ѵі=5 и .г2=5, ,72=3.
Подобно предыдущему, можно рѣшить уравненія .г—у—Ъ
и <7=10. Нужно только принять па время у=—г.
Примѣръ 2. Возьмемъ уравненія х-\-у=1 и
Возведя первое изъ нихъ въ квадратъ и вычтя затѣмъ вто-
рое, найдемъ произведеніе <7=12. Зная же сумму и произ-
воленіе неизвѣстныхъ, мольемъ опредѣлить неизвѣстныя такъ,
какъ показано на первомъ примѣрѣ.
Подобно этому, можно рѣшить уравненія .г—у=2 и ,г--|-
-Ь?/2=74.
Примѣръ 3. Пусть даны уравненія .г2—?/2=24 и .г—у=4.
Раздѣливъ первое на второе, найдемъ уравненіе первой сте-
пени ;г-\-у—6, которое вмѣстѣ со вторымъ изъ данныхъ опре-
дѣляетъ единственную систему <=5 и Уі=1.
Примѣръ 4. Даны уравненія х--\-у‘—|-<7=84 и а-|-7-|-
-(-^<7=14. Представивъ первое уравненіе въ видѣ (•' -(-?/)•—
—я7=84, положимъ х-\-у=х и \‘ху=и. Тогда данныя урав-
ненія примутъ видъ
2 -—и-’=84 и гД-м=14.
Рѣшая эти уравненія такъ, какъ показано въ примѣрѣ
третьемъ, получимъ г=Ю и и—4. Слѣдовательно имѣемъ,
з -|-у/=1О и ж?/=16, а потому х и у суть корни одного квад-
ратнаго уравненія
г;2—10*4-16=0.
Рѣшивъ послѣднее, найдемъ, что данныя уравненія имѣютъ
двѣ системы рѣшеній <=8, у/, =2 и .г2=2, ;72=8.
Примѣръ 5. Даны уравненія з 2-}-?/^=25 и <7=12. Умно-
живъ второе уравненіе на 2, придадимъ его къ первому и
вычтемъ изъ перваго. Получимъ (лг—2=49 и (х—у)-=1,
откуда .тД-.7=±7 и х— 7==ь1. Поэтому рѣшенія данныхъ
уравненій получатся изъ слѣдующихъ системъ уравненій пер-
вой степени:
«3 —
Эти рѣшенія суть >1=4, /л=3; ж2=3, у*—4:', -‘г——3,
у3=—4; ^4=—4> '/4=—3-
Тѣ же уравненія можно было бы рѣшить посредствомъ
особой подстановки, которую мы объяснимъ на слѣдующемъ
примѣрѣ.
Примѣръ 6. Возьмемъ уравненія 2.г//—</-=15 и .г-Ч-
-|_.г^=х36, которыхъ первыя части суть однородныя выраже-
нія второй степени. Положимъ у=их. Получимъ
с-“(2?4-и2)=15 и .г2(1-|-г<}==36.
Отсюда, опредѣляя два выраженія г- и сравнивая ихъ, на
ходимъ уравненіе
5—-=,4*’ или 12 г/2—19и-4-5=0.
2/<—и2 14- и
5 1
Корни этого уравненія суть и, и и->—% По первому кор-
пю вычислимъ „=1С, т.-е. х=±4 и вслѣдствіе это-
го і/=иг=±5: по второму корню найдемъ такъ же г2=27,
т.-е. //==н3\3, вслѣдствіе чего //=±ѴЗ. Всего получаемъ
четыре системы рѣшеній.
Примѣръ 7. Опредѣлить стороны прямоугольнаго
треугольника, котораго периметръ 12, а площадь 6.
Назвавъ катеты черезъ .г и у, а гипотенузу черезъ 2, соста-
вимъ три уравненія:
.г-|-//-|-#=12, т//=12, х--\-у-~2-.
Перенесемъ въ первомъ уравненіи 2 во вторую часть и за-
тѣмъ возведемъ уравненіемъ квадратъ. Получимъ
.г -’-]-// 2-|-2.г//=144—242-4-^2’
откуда, замѣняя на основаніи двухъ другихъ уравненій .г--р>/2
черезъ г- и 2.г</ черезъ 24, найдемъ уравненіе, содержащее
только 2.
Такимъ образомъ, получимъ 2=5, а затѣмъ изъ уравненіи
х-\-у—1 и .///=12 найдемъ .г, =4, //к=3 и .г?=3, //2=4. Обѣ
системы рѣшеній опредѣляютъ одинъ 'и тотъ же треугольникъ.
Примѣръ 8. Дана система трехъ уравненій
х—//=2(1—2), х-—//-'=2(1 — 2-), 5(.г4—//4)=13(1—г4).
Ее можно замѣлить простѣйшей. Для этого, оставивъ пер-
вое уравненіе безъ измѣненія, раздѣлимъ второе на первое и
третье на второе. Получится
X—//=2(1—2), Х-\-у—\-\-2, 10(а?--|-//")=13(1-|-2:2).
— 64 —
Помощью двухъ первыхъ уравненій выражаемъ к и г/ че-
3—г Зг—1
резъ г и полученныя выраженія х— и у/=—— встав-
ляемъ въ третье уравненіе, которое вслѣдствіе этого приметъ
видъ 2^2—ог-|-2=0. Опредѣливъ два значенія г и вставивъ
ихъ въ выраженія .з и у, получимъ двѣ системы рѣшеній:
і ___________________5 п , 1 _ і
'1 2^ ‘2? 2 4^ *^2 4^ "2-9*
При м ѣ р ъ 9. Опредѣлить члены кратной пропорціи,
зная, что сумма крайнихъ 12, сумма среднихъ 9 и сумма
к вадратовъ всѣхъ членовъ 145. Представивъ искомую про-
порцію въ видѣ л:у/=й,:«, составимъ слѣдующія уравненія:
^-[-и=12, //-[^=9, л-’-|-?/2-|-г,2-|-м2=145, ,ти=уг.
Для рѣшенія этихъ уравненій возведемъ два первыя изъ
нихъ въ квадратъ и, сложивъ результаты, вычтемъ изъ суммы
третье уравненіе. Получимъ 2Сг:и-^//г)=80, откуда, па основа-
ніи четвертаго уравненія, находимъ ли—у^—20. Послѣ этого
изъ уравненій
ѵ-— 12г’4-20=0 и м2—9«г-}-20=0
получимъ л=10, и=2, у=й, <=4. Четыре системы рѣшеній,
которыя можно получить здѣсь, соотвѣтствуютъ четыремъ воз-
можнымъ перемѣщеніямъ членовъ пропорціи.
Примѣръ 10. Дана система четырехъ уравненій
./у/=.гн, .г4-'/Д-^4_м==1-» .г2-|-у/24-^24-м2=170,
.г3Д-у34-,г'3-|-и3=1764.
Введемъ вспомогательныя неизвѣстныя, полагая
х-\-у=ѵ, 8-\-и=ѵо и ху=иг=і.
Чтобы замѣнить прежнія неизвѣстныя новыми, замѣтимъ,
что х-2-\-у2=(х-\-у}2—2ху=ѵ'2—21, .»'34~.,/3=і'‘4_?/)3—Злт/(.сД-
4-у/)=?;3—Згі и что, подобнымъ же образомъ, г--\-и~=гѵ2—21,
г3-|-м3=гс3—Ъігі. Оставляя первое изъ данныхъ уравненій,
замѣнимъ три послѣднія такими
с-|~«‘=12. -г’2—|—гг-—4^=170, і;3Д-?с3—3/(б'-|-гг)=1764.
Такимъ образомъ данная система уравненій приведена кь про-
стѣйшей. Но два послѣднія изъ полученныхъ уравненій допу-
скаютъ дальнѣйшее упрощеніе. Замѣтимъ, что первыя части
ихъ могутъ быть представлены въ видѣ (уД-?г)2—2ѵгѵ—41 и
—Зос(г4-гг)—или, па основаніи перваго урав-
ненія, въ видѣ 122—2сіѵ—4і и 123—Збпс—36/. Приравни-
— 65 —
пая первое изъ этихъ выраженій числу 170, а второе числу
1764 и производя упрощеніе, получимъ вмѣсто прежней такую
систему уравненіи:
ѵ-|-?к=12, «г-|-2/=—13, пе-|-/=- 1.
Рѣшая два послѣднія изъ этихъ уравненій, найдемъ I——12,
тіѵ= 11.
Зная, что ѵ-|-2г=12 и пс=11, заключаемъ, что г и іс суть
корни квадратнаго уравненія
82—128-}-11=0,
рѣшая которое, получимъ ?^=1,1^=11 и г2=11,н2-=1. Опре-
дѣливъ г, <г и /, легко по уравненіямъ ./'-{-»/=г, и
ічі=ли=і пайтп первоначальныя неизвѣстныя. Такимъ обра-
зомъ найдемъ четыре системы рѣшеній: 12,—1,4—3;—1,12,
—3,4; 1,—3.12,—1;—3,4,—1,12.
Неравенства.
§ 41. Опредѣленіе неравенства. Въ основаніяхъ алгебры
сдѣланы указанія относительно условнаго опредѣленія нера-
венства количествъ:
Всякое положительное количество больше пуля.
Изъ двухъ положительныхъ количествъ то больше, кото-
раго числовое значеніе больше.
Всякое отрицательное количество меньше пуля.
Изъ двухъ отрицательныхъ количествъ то меньше, котораго
числовое значеніе бц/іьше.
Общее опредѣленіе неравенства можно, попрежпему, вы-
разить такъ: Въ рядѣ алгебраическихъ количествъ, рас-
положенныхъ послѣдовательно отъ—сѵ до-|-еѵ, каждое
количество больше каждаго изъ предшествующихъ ему
и меньше каждаго изъ послѣдующихъ.
Но для теоріи неравенства всего удобнѣе слѣдующее опре-
дѣленіе, согласно»* съ прежнимъ:
Изъ двухъ количествъ то считается большимъ,которое
при вычитаніи изъ него другого даетъ положительную
разность, или изъ двухъ количествъ то считается мень-
шимъ. которое при вычитаніи изъ него другого даетъ
отрицательную разность.
Часть II. 5
— С6 —
Такимъ образомъ, если л>7>, то по опредѣленію неравен-
ства а—Л>0 и обратно. Также, если я</', то по опредѣленію
неравенства а—А<() и обратно.
Слово <неравенство» употребляется какъ для указанія са-
маго соотношенія между количествами, такъ и для указанія
формулы, которая выражаетъ это соотношеніе.
Употребляя термпнь неравенство» во второмъ смыслѣ его,
говорить, что перавепствомь называется соединеніе
двухъ выраженій посредствомъ знака. или <•
Два неравенства съ одинаковыми знаками, какъ, напр., а>Ь
и с></, пли же и с<д/, называются неравенства ми оди-
наковаго смысла.
Два неравенства съ разными знаками, какъ, напр., и
с<д/, пли же а<1> и с><7, называются неравенствами про-
тивоположнаго смысла.
§ 42. Дѣйствія съ неравенствомъ. Отъ прибавленія къ
обѣимъ частямъ неравенства пли вычитанія изъ нихъ
одного и того же количества получается неравенство
того же смысла.
Возьмемъ неравенство По опредѣленію сущности не-
равенства. замѣняемъ данное неравенство однозначуіцимъ
съ нимъ а—/Л>0. Прибавивъ и вычтя въ первой части по <\
представимъ второе неравенство въ видѣ а—Л—|—г — <;>() или
въ видѣ (и-ф-с)— (А-|-г)>0. Первая часть новаго неравенства
есть разность, и эта разность положительна; поэтому, опять
по опредѣленію сущности неравенства, имѣемъ п-фс>6-|-г.
Предыдущее разсужденіе примѣнимо и къ вычитанію изъ
обѣихъ частей неравенства, потому что вычесть с все равно
что прибавить —г.
Слѣдствіе. Изъ предыдущей теоремы слѣдуетъ, что когда
части неравенства даны въ многочленной формѣ, то члены
можно переносить изъ одиоіі части въ другую. мѣняя ихъ
знаки па противоположные.
Отъ умноженія обѣихъ частей неравенства, пли дѣ-
ленія ихъ на одно и то же положительное количество
получается неравенство того же смысла; отъ умноженія
пли дѣленія па отрицательное количество получается
неравенство противоположнаго смысла.
Возьмемъ неравенство По опредѣленію сущности
неравенства, получимъ н—//>0. Если т есть количество по-
67 —
ложительпое, то „о правилу злаковъ умноженія произведеніе
(о—І/)т положительно, т.-е. (я—Л)ж>0, или, по раскрытіи
скобокъ, ит—І>т^>0. Первая часть неравенства есть разность,
и эта разность положительна; поэтому, опять но опредѣленію
сущности неравенства, имѣемъ <пп^>!т.— Возьмемъ снова не-
равенство ч^>Ь п замѣнимъ <ч’О неравенствомъ </—/О>0. Коли
т есть количество отрицательное, то по правилу знаковъ умно-
женія произветепіе (о—1>)т отрицательно, т.-е. (и— 1>)т<$,
пли <:ш—Первая часть новаго неравенства есть раз-
ность, и эта разность отрицательна; поэтому <пн<3‘т.
Предыдущее разсужденіе примѣнимо и къ дѣленію, потому
' і
что раздѣлить на т все равно, что умножить на •
Слѣдствіе. Изъ предыдущей теоремы слѣдуетъ, что
неравенство, содержащее дроби, можно замѣнять однознача-
щимъ съ нимъ неравенствомъ, освобожденнымъ отъ дробей.
§ 43. Дѣйствія съ совокупными неравенствами. Два не-
равенства одинаковаго смысла можно сложить но ча-
стямъ, удержавъ ихъ общій знакъ.
Возьмемъ неравенства <С>І> и с^><1. Такь какь на основа
піи ихъ разности а—1> и с—(I положительны, то и сумма
ихъ положительна, т.-е. имѣемъ неравенство а—Ъ-\-с—
Но отсюда, перенося Ь и с/ во вторую часть, находимъ
Изъ одного неравенства можно вычесть другое, про-
тивоположнаго смысла; удерживается злакъ перваго не-
равенства. Даны неравенства и е<д/. Ііанппіемъ второе
наоборотъ въ впдѣ (1^>с и сложимъ его съ первымъ; по.іучптсі?
Отсюда, перенося < и <1. находимъ о——>(.
Два неравенства одинаковаго смысла между поло-
жительными количествами можно перемножить по ча
стамъ, удержавъ общій знакъ обоихъ неравенствъ.
Возьмемъ неравенства а^>Ъ и <>(1, въ которыхъ всѣ коли-
чества о, I), с и <1 положительны. Умножая первое неравен-
ство на с, получимъ Умножая второе неравенство
па Ь, получимъ І>с^>М. Если оба новыхъ неравенства сло-
жимъ и въ результатѣ отбросимъ общій члеігь обѣихъ час-
тей /ю, то выйдетъ нс^>М.
— 68 —
Одпо неравенство между положительными количе-
ствами можно раздѣлить на другое, также между іюло-
ж и т е л ы і ы н іі к о л и ч о с т в а м и, и о и р о т и в о и о л о ж 11 а г о с м ы с л а;
у і о р ж и в а о. т ся зн а къ нерва г о и о р а в е и ст в а.
Даіш неравенства и е<77, въ которыхъ всѣ количе-
ства о, І>, с и (I положительны. Напишемъ второе наоборотъ
въ видѣ <?><• и перемножимъ съ первымъ; получится
Отсюда, перенося с и <1, находимъ
Для возведенія неравенствъ въ степень не стоить выводить
правилъ, потому что правила зги имѣютъ частный характеръ,
а результаты возведенія въ степень можно составлять въ каж-
домъ отдѣльномъ случаѣ согласно ст, опредѣленіемъ неравен-
ства и правиломъ знаковъ.
То же относится и къ извлеченію корня, когда результа-
тами извлеченія оказываются положительныя или отрицатель-
ныя дѣйствительныя количества.
§41. Рѣшеніе неравенствъ. Бываютъ вопросы, для рѣ-
шенія которыхъ составляются неравенства, содержащія неиз-
вѣстное.
Подобныя неравенства можно рѣшать какъ уравненія, т.-е.
опредѣлять тѣ значенія неизвѣстнаго, которыя удовлетворяютъ
неравенству.
Общій видъ неравелства первой степени съ однимъ неиз-
вѣстнымъ есть а Для рѣшенія его собираемъ
неизвѣстные члены въ первой части, а извѣстные во второй;
получимъ (а—с).г>(1—1>. Чтобы опредѣлить .г, нужно дѣлить
обѣ части на коэффиціошъ .т—са. Но прп ятомъ различаемъ
два случая: Если а—с положительно, то получится нера-
<1 і> <1—1> ,
венство х_> г/-^« пли, называя для краткости — черезъ А-,
неравенство Въ этомъ случаѣ данному неравенству
удовлетворяетъ всякое значеніе ;г, большее А', и тогда коли-
чество А называется низшимъ предѣломъ неизвѣстнаго. Если
а —г отрицательно, то получится неравенство вида г<7>-.
Въ такомъ случаѣ данному неравенству удовлетворяетъ вся-
кое значеніе ,с, меньшое к, и тогда количество к называется
высшимъ предѣломъ неизвѣстнаго.
Слѣдовательно, всякое неравенство первой степени имѣетъ
безчисленное множество рѣшеній.
— 69 —
Напр., рѣшая неравенство рс-|-2 <3.''—находимъ послѣ
довагельно: 1•—|— Ю<Д>0х—8, —4 5 г< —48, 15 г^> 16, ./> 1
и получаемъ низшій предѣлъ. Всякое • число, большее 115.
удовлетворяетъ тому условію, которое выражаетъ собою дан-
ное неравенство.
Иногда условія вопроса приводятъ къ составленію нѣсколь-
кихъ неравенствъ съ однимъ и тѣмъ же неизвѣстнымъ.
Тогда каждое неравенство нужно рѣшать отдѣльно, а за
тѣмъ придется сравнить между собою полученные предѣлы.
Положимъ, что даны два какія-нибудь неравенства первой
степени съ однимъ неизвѣстнымт> ас-|-Ь>с.г-|-с/ и ш.с-|-п>
При рѣшеніи ихъ могутъ представиться три случая:
Могутъ получиться предѣлы одного свойства, т.-е. оба низ-
шіе />/с и />/, пли оба высшіе ж<7<’ и ж<7- Такіе предѣлы
называются совпадающими, потому что ихъ можно замѣнить
однимъ изъ нихъ.
Паир., рѣшая неравенства
ходимъ изъ перваго .»<—1,
Точно записать одинъ второй
лпчество, ме.ныпее, чѣмъ —3,
І.і 3<С2.г—|—1 и 2.г>4.с-|-6? на-
а изъ второго г< - 3. Доста-
предѣлъ, потому что всякое ко-
подавпо меньше, чѣмъ —1.
Могутъ получиться предѣлы разнаго свойства, напр.,
и или .г<к и />/. Если такіе предѣлы не протпворѣ-
чатъ одинъ другому, то они называются ограничивающими,
потому’ что опредѣляютъ і,вѣ границы для значеніи ./.
Напр., рѣшая неравенства Зг-|-7>7.г—9 и .г—3>—З.г-|~1ф
находимъ изъ перваго я<4, а изъ второго />1. Наппсавъ
оба результата слитно въ видѣ 1<х-<4, видимъ, что дан-
нымъ условіямъ удовлетворяютъ только числа, заключающіяся
между 1 и 1. •
Наконецъ можетъ случиться, что при рѣшеніи двухъ не-
равенствъ получаются предѣлы разнаго свойства и притомъ
прогиворѣчаіціе одинъ другому.
Напр., при рѣшеніи неравенствъ 2.г—7<Ъ и
получается изъ перваго х<С6, а изъ второго />24, что оче-
видно невозможно.
— 70 —
Въ подобныхъ случаяхъ данныя неравенства оказываются
несовмѣстными, и вопросъ, приводящій' къ нимъ, долженъ
счнта гься невозможнымъ.
Неопредѣленныя уравненія
§ 45. Видъ неопредѣленнаго уравненія. Бываютъ вопросы,
которые приводить къ составленію одного уравненія первой
степени съ двумя неизвѣстными, т.-е. уравненія а.г-\-Ьу—<.
Такое уравненіе называется неопредѣленнымъ, потому что,
будучи дано отдѣльно, оно удовлетворяется безконечнымъ
множествомъ значеній неизвѣстныхъ. Одному изъ неизвѣст-
ныхъ можно придать любое значеніе, а затѣмъ для другого
неизвѣстнаго подыщотся изъ уравненія соотвѣтствующее зна-
ченіе: напр., имѣя уравненіе о.г—3//=7, примемъ .г—о и
найдемъ у-- 6, примемъ у—3 и найдемъ ,г=3. и т. под..
Вопросы, приводящіе къ неопредѣленнымъ уравненіямъ, обык-
новенно пмѣють то свойство, что въ нихъ требуются исклю-
чительно цѣлыя и притомъ большею частью только положи тель-
ныя значенія обоихъ неизвѣстныхъ.
На этомъ основаніи разсматривается теорія рѣшенія урав
ненія а.і-\-Ьу—с въ числахъ цѣлыхъ и положительныхъ.
Будемъ предполагать, что всѣ коэффиціенты даннаго урав-
ненія суть цѣлыя количества..
Сверхъ того, если бы всѣ эти коэффиціенты имѣли общаго
множителя, то будемъ разсматривать уравненіе въ сокращен-
номъ видѣ, когда такой множитель устраненъ.
§ 46. Теорема 1- Если въ неопредѣленномъ уравне-
ніи ах-\-Ьу—(\ окончательно сокращенномъ, коэффиці-
енты а и Ь при неизвѣстныхъ имѣютъ общаго множи-
теля, то уравненіе но можетъ имѣть цѣлыхъ рѣшеніи
для обоихъ неизвѣстныхъ.
Положимъ, что общій множитель коэффиціентовъ а и Ь
ость ш и что дополнительные множители тѣхъ же коэффи-
ціентовъ суть и} и 1\. Тогда уравненіе напишется въ видѣ
щ ту=с. Раздѣливъ обѣ части на ш, получимъ
а1х-уі>1у=-^-
— 71
Если допустимъ, что оба неизвѣстныя / ну/ имѣютъ цѣлыя
значенія, то первая часть новаго уравненія окалштся цѣлымъ
количествомъ. Вторая же часть есть несомнѣнно дробь, по-
тому что но условію уравненіе окончательно сокращено и,
значитъ, коэффиціентъ г не дѣлится па общаго множителя
двухъ другихъ коэффиціентовъ. Такимъ образомъ допущеніе,
что оба г и у суть цѣлыя количества, приводить къ невѣр-
ному заключенію, что цѣлое равно дроби.
Напр., уравненіе (>./•—9>/=11 не имѣетъ цѣлыхъ рѣшеній,
потому что, подобно предыдущему, оно совмѣстно съ уравнѳ-
2
ніомъ 2 г— ‘.}у—3 •
§ 17. Теорема 2. Если въ неопредѣленномъ уравненіи
<іг-\-Ьу,—<• коэффиціенты а и 1> при неизвѣстныхъ не
имѣютъ общаго множителя, то достаточно подставить
на мѣсто одного изъ неизвѣстныхъ рядъ чиселъ мень-
шихъ, чѣмъ числовое значеніе коэффиціента при дру-
гомъ неизвѣстномъ, чтобы получить одну иару цѣлыхъ
рѣшеніи.
Положимъ, что въ уравненіи а.і -]~1>у —с коэффиціентъ а по-
ложительный, что всегда можно осуществить, и замѣнимъ дап-
, с.—Ъу
ное \равненіе совмѣстнымъ съ нимъ .г——•
Вудемъ подставлять вмѣсто у числа 0, 1, 2,.., а— 1 отъ
нуля до числа на единицу меньшаго коэффиціента <і, и до-
кажемъ, что при одномъ и притомъ только при одномъ изъ
такихъ нодстановленій дѣленіе с—Ьу на а- выполняется нацѣло.
Для этого достаточно, какъ увидимъ, доказать, что всѣ
остатки отъ подобныхъ дѣленіи должны быть различны. ♦
Замѣтимъ, что остатки можно всегда сдѣлать положитель-
ными, увеличивъ въ случаѣ надобности числовое значеніе (
частнаго па единицу.
Вообразимъ какія-нибудь два изъ подставляемыхъ значеніи
у и обозначимъ ихъ черезъ п и ??]. Обозначимъ частное и
остатокъ отъ дѣленія с—Ьп на а черезъ </ и г, а частное и
остатокъ отъ дѣленія <—1>пх на а черезъ <іх и г,. Тогда имѣемъ
равенства с—и с—Ьпх=(к/х-\-гх. Вычтемъ эти ра-
венства одно изъ другого почленно; получимъ /ф??1—п)=
=а(д_—7і)“Н’—гі- Раздѣлимъ новое равенство па а\ выйдетъ
— 72 —
Изъ этого равенства можно усмотрѣть то заключеніе, что
остатки непремѣнно различны. Дѣйствительно, если бы г и
-Г) были равны, то во второй части дробь уничтожилась бы
и эта часть оказалась бы цѣлымъ количествомъ. Но первая
часть есть дробь несомнѣнно, потому что но условію а и Ъ
не имѣютъ общихъ множителей, а пх—.я, какъ разность чи-
селъ, меньшихъ о, не можетъ дѣлиться нацѣло на а. Слѣдо-
вательно предположеніе, что два остатка равны, приводитъ
къ невѣрному заключенію, что дробь равна цѣлому.
Если по доказанному остатки различны, если по свойству
дѣленія они должны быть меньше дѣлителя, т.-е. не могутъ
превосходить числа а—1, и если число остатковъ должно быть
равно числу подстановленій, т. е. числу а, то для пополне-
нія всего необходимаго числа остатковъ одинъ изъ нихъ, не-
извѣстно который, долженъ быть равенъ пулю и, значитъ,
при одномъ изъ подстаповлепій выраженіе с—Ъу раздѣлится
на а нацѣло, т.-е. цѣлому значенію у окажется соотвѣтству-
ющимъ также цѣлое значеніе г.
Напр., имѣя уравненіе 7.с—9?/—6, преобразовываемъ его
въ совмѣстное съ нимъ .і—~ 7 - и. подставляя вмѣсто у числа
О, 1,2, 3, 4, 5, 6, находимъ, что при //—4 получается цѣлое
значеніе .е—6.
§ 48. Видъ общихъ формулъ, разрѣшающихъ уравненіе.
Изъ предыдущаго видно, что, когда въ неопредѣленномъ урав-
неніи коэффиціенты при неизвѣстныхъ суть взаимно простыя
количества, то можно легко найти одну пару цѣлыхъ значе-
ній для обоихъ неизвѣстныхъ.
Докажемъ теперь, что, когда найдена одна пара цѣлыхъ
рѣшеній, то можно выразить безчисленное множество подоб-
ныхъ рѣшеніи посредствомъ двухъ формулъ особаго вида, по
одной для каждаго неизвѣстнаго.
Положимъ, что для уравненія аг-\-Ъу=с найдена пара цѣ-
лыхъ рѣшеній пі и у—п, вслѣдствіе чего имѣемъ тождество
ам-\-Ъп—с.
Вычтемъ это тождество почленно изъ даннаго уравненія;
получимъ совмѣстно съ нимъ уравненіе а(.н—т)-]-Іі(у—«)*=().
Это уравненіе можно замѣнить пропорціей такъ, чтобы а и Ь
73 —
были послѣдующими членами пропорціи, а остальные два мно-
жителя предыдущими членами ея; выйдетъ
.4 _ Ж )? — ?/
Ъ а
Считая х и у/ цѣлыми количествами, замѣтимъ, что преды-
дущее равенство нельзя понимать какъ равенство дрооныхъ
количествъ, потому что въ случаѣ равенства дробей одна
изъ нихъ обращается въ другую послѣ сокращенія, а въ дан-
номъ случаѣ, вслѣдствіе того, что а и І> взаимно простыя,
этого не можетъ быть. Слѣдовательно, предыдущее равенство
требуетъ того, чтобы х—т дѣлилось нацѣло на Ь и п—у
дѣлилось нацѣло па а, при чемъ частныя обоихъ дѣленіи
должны представлять какое угодно, но для обоихъ дѣленіи
одинаковое цѣлое количество.
Если обозначимъ это неопредѣленное, но непремѣнно цѣ-
лое, частное черезъ і, то наша пропорція разобьется на два
отдѣльныхъ равенства и і, откуда выйдетъ, что
х—т Ьі и у/= п—аі.
Предыдущія выраженія х и у/ обладаютъ важными свой-
ствами.
Гакъ какъ при отысканіи этихъ выраженій мы исходили
изъ предположенія, что х и у/ суть рѣшенія даннаго урав-
ненія, потому что мы преобразовывали само уравненіе
-(-/>у/—с, то значитъ всѣ рѣшенія даннаго уравненія содер-
жатся въ этихъ выраженіяхъ. При этомъ цѣлыя рѣшенія
г и у/ соотвѣтствуютъ, какъ было доказано, цѣлому значенію і.
Обратно, всевозможныя значенія х и у/, полученныя изъ
указанныхъ выраженій при какомъ бы то пи было і, суть рѣ-
шенія даннаго уравненія, потому что подстановка этихъ выраже-
ній въ данное уравненіе даетъ результатъ аі)=
—с или а)п-]-1)п=^с, что есть тождество. При этомъ цѣлому
значенію I соотвѣтствуютъ цѣлыя значенія х и у, потому что
выраженія не содержать знака дѣленія и не содержатъ дроб
ныхъ количествъ.
Составъ выраженій легко запомнить, замѣтивъ, что каждое
изъ неизвѣстныхъ х пли у выражается черезъ соотвѣтствую-
щее ему частное значеніе т пли п съ присоединеніемъ
къ нему произведенія неопредѣленнаго количества і на тотъ
— 74
іізі. коэффиціентовъ Ь пли а, который входитъ въ данномъ
уравненіи при другомъ неизвѣстномъ.
Расположенія знаковъ мри числахъ, содержащихъ I, зано-
минать но нужно, потому что знаки эти только формальные
и съ перемѣной знака і, которую всегда можно осуществить,
они измѣняются, но слѣдуетъ замѣтить правило окончатель-
ныхъ знаковъ, состоящее въ томъ, что когда въ данномъ
уравненіи знаки коэффиціентовъ а и 1> одинаковы, то въ на-
шихъ выраженіяхъ знаки членовъ, содержащихъ і, различны,
и наоборотъ, когда въ уравненіи а и 1> имѣютъ разные знаки
то выраженіяхъ члены, содержащіе I, имѣютъ одинаковые
знаки.
19. Способъ подстановленій. Изъ предыдущей теоріи
видно, что когда въ неопредѣленномъ уравненіи коэффиціенты
при неизвѣстныхъ имѣютъ общаго дѣлителя, то уравненіе
нельзя ріипать въ цѣлыхъ числахъ, если же коэффиціенты
ври неизвѣстныхъ не имѣютъ общаго дѣлителя, то существу-
етъ безчисленно»1 множество цѣлыхъ рѣшеніи.
Поэтому, приступая къ рѣшенію неопредѣленнаго уравне-
нія, нужно прежде всего разсмотрѣть, сокращено ли это урав
неніе, и затѣмъ, представляютъ ли коэффиціенты ври неиз-
вѣстныхъ взаимно простыя количества, или пѣтъ.
Для рѣшенія въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленнаго урав-
ненія можно примѣнить способъ подстановленііі, который
прямо вытекаетъ изъ предыдущей теоріи.
Способъ подстановленііі состоитъ въ томъ, что изъ даннаго
уравненія выражаютъ а о неизвѣстно!', которое имѣетъ мень-
шій коэффиціентъ, затѣмъ подставляютъ вмѣсто другого не-
извѣстнаго—-числа отъ пуля до числа на. единицу меньшаго,
чѣмъ упомянутый меньшій коэффиціентъ, и такимъ образомъ
находятъ одну иару цѣлыхъ рѣшеній .г—т и у—п. Послѣ этого
но найденнымъ частнымъ значеніямъ неизвѣстныхъ и но
коэ»)п(»иці»'птамі. при неизвѣстныхъ составляютъ общія выра
женія вида г—т-^-Ы и у—п—иі, принимая въ расчетъ выше-
объясиепное правило знаковъ при членахъ, содержащихъ ѣ
Примѣръ 1. Дано уравненіе 5ж-|-3г/=13. Выражаемъ
изъ него у——-Р-• Подставляя вмѣсто ж числа 0, 1, 2, на-
ходимъ, что при ж—2 получается ?/=1. Замѣтивъ, что въ дан-
— 75 —
номъ уравненіи коэффиціенты при неизвѣстныхъ имѣютъ
одинаковые знаки, заключаемъ, что въ общихъ выраженіяхъ
неизвѣстныхъ члены, содержащіе I, имѣютъ разики1 знаки.
Поэтому г—2—'61 и у—1Д-5/. Нели будемъ въ этихъ форму-
лахъ подставлять вмѣсто і числа 0, 1, 2. 3...., то получимъ
нары рѣшеніи, которыя можно записать такъ: и к;]...*-
Кромѣ того можно давать I значенія —1,—2,—3.....
(і | Уу
Дано уравненіе 7.г —9у—6. Выражаемъ изъ него х—- 7
Подставляя вмѣсто // числа отъ 0 и не далѣе (>, находимъ,
что при у—4 получается х— 6. Такъ какъ въ уравненіи знаки
коэффиціентовъ при неизвѣстныхъ различны, то имѣемъ ./—
—и 7=1-|-7^. Отсюда при 1—0, 1, 2, 3,.... получаются
Можпо полагать еще I——1,—2,—3,
рѣшенія
§ 50. Способъ послѣдовательныхъ дѣленій. Пеонредѣлен-
ныя уравненія можно рѣшать въ цѣлыхъ числахъ иначе, но
способу послѣдовательных ъ дѣленій, который можно разо-
брать независимо отъ вышеразобраипой теоріи.
Способъ послѣдовательныхъ дѣленій состоитъ въ томъ, что
данное уравненіе приводится къ такому, въ которомъ коэф-
фиціентъ одного изъ неизвѣстныхъ есть единица. Подобное
уравненіе рѣшается въ цѣлыхъ числахъ непосредсттенпо.
Возьмемъ, напр., л—|—2у/=7. Достаточно выразить здѣсь .г—
—7 — 2у, чтобы, придавая всякія цѣлыя значенія //-ку, по-
лучать также цѣлыя значенія ідя .г-са.
Указанное приведеніе уравненія къ простѣйшему дѣлается
обыкновенно не сразу, а посредствомъ ряда преобразованіи,
при чемъ коэффиціенты при неизвѣстныхъ уменьшаются тъ
послѣдовательныхъ дѣленій, а самыя неизвѣстныя постепенно
замѣняются новыми неизвѣстными.
Разъяснимъ этотъ второй способъ на примѣрѣ:
Дано уравненіе э.с—13//=3(>. Выразимъ неизвѣстное съ мень-
шимъ коэффиціентомъ, т.-е. .г; получимъ г—"1’"у—'7. Выдѣлимъ
въ отоіі дроби цѣлую ея часть; выйдетъ х— 7-(-2у/-{—-
Такъ какъ х и у суть цѣлыя количества, то 1-ф-Зу должно
дѣлиться нацѣло на 5. Примемъ частное этого дѣленія за
новое неизвѣстное тогда получимъ
Преобразуемъ новое уравненіе между ц іі х такъ точно,
какъ первоначальное. Сначала уничтожимъ знаменателя; по-
лучимъ 1-|-3у/—5г. Затѣмъ выразимъ неизвѣстное съ мень-
5-______________________________________________і
шимъ коэффиціентомъ, т.-е. у/; получится //——ъ • Наконецъ
2с_1
выдѣлимъ въ повои дроби цѣлую сц часть; выйдетъ у/—*-|--т—
Такъ какъ ц и х суть цѣлыя количества, то 2.x—1 должно
дѣлиться нацѣло на 3. Примемъ частное этого дѣленія за
новое неизвѣстное і; тогда получимъ
і и ц=х-\-і.
Преобразуемъ новое уравненіе между г и I опять попреж*
нему. Уничтожимъ знаменателя; получимъ 2х—1—Зі. Выра-
зимъ неизвѣстное съ меньшимъ коэффиціентомъ, т.-е. ~; по-
лучится х~——-• Выдѣлимъ въ новой дроби цѣлую ея часть;
,.<41
выйдетъ г—1-|—•
Такъ какъ х и I суть цѣлыя количества, то <Д-1 должно
дѣлиться нацѣло на 2. Примемъ частное этого дѣленія за
новое неизвѣстное и\ получимъ
—-—и и х—
Въ новомъ уравненіи между I и и коэффиціентъ привесть
единица. Поэтому достаточно преобразовать его къ виду
і=2и—1.
Теперь исключимъ всѣ вспомогательныя неизвѣстныя, такъ
чтобы выразить л; и у/ черезъ послѣднее неизвѣстное и. Для
этого восходимъ постепенно отъ послѣдняго уравненія обратно
къ преяіппмъ, вычисляя такъ: і=2и—1, х—і-\-и=Зи—1, у/—
—2, 7Д-2у/-|-г—13«—|—2.
Такимъ образомъ въ результатѣ мы получили тѣ общія вы
раженія неизвѣстныхъ черезъ произвольное число, которыя,
согласно ст. прежней теоріей, содержать въ себѣ всѣ рѣшенія
даннаго уравненія.
Нетрудно доказать, что объясненный па примѣрѣ способъ
рѣшенія есть вполнѣ общій, примѣнимый ко всякому неопре-
дѣленному уравненію, какое только можетъ быть рѣшено въ цѣ-
лыхъ числахъ. Для этого замѣтимъ, что, переходя отъ щішаго
77 —
уравненія къ вспомогательнымъ, мы производили такія вычи-
сленія, прп которыхъ большій изъ коэффиціентовъ при неиз-
вѣстныхъ дѣлится па меньшій изъ нихъ, затѣмъ меньшій на
остатокъ отъ большаго, потомъ первый остатокъ па второй и
т. д.. Такія вычисленія соотвѣтствуютъ отысканію между коэф-
фиціентами при неизвѣстныхъ ихъ общаго наибольшаго дѣли-
теля. По коэффиціенты прп неизвѣстныхъ суть чпсла взаимно
простыя. Значитъ, въ рядѣ остатковъ мы всегда дойдемъ до
остатка равнаго единицѣ. Иначе говоря, въ рядѣ вспомога-
телыіыхъ уравненій всегда дойдемъ до такого уравненія, ко-
торое непосредственно рѣшается въ цѣлыхъ числахъ.
Рѣшая неопредѣленное уравненіе разными способами, можно
иногда получить различныя но виду общія выраженія неизвѣст-
ныхъ. Зто различіе однако касается только тѣхъ частныхъ
значеній неизвѣстныхъ, которыя входятъ слагаемыми при чле-
нахъ, содержащихъ неопредѣленное количество.
Способъ послѣ звательныхъ дѣленій приводить нерѣдко
къ довольно длинному ряду преобразованій. Полезно замѣтить
нѣкоторые пріемы, которые уменьшаютъ число этихъ пре-
образованіи.
Если коэффиціентъ одного изъ неизвѣстныхъ и из-
вѣстный членъ имѣютъ общаго множителя, то все урав-
неніе можно сократить па этого множителя.
Положимъ, напр., что въ уравненіи ас-|-Лі/==г количества
«не имѣютъ общаго множителя 7г. Тогда, назвавъ дополни-
тельныхъ множителей черезъ а, п с15 имѣемъ а - к и с=с, к.
Если раздѣлимъ обѣ части у равненія на /г, то выйдетъ а1(г-\-^=сі.
Отсюда видимъ, что ку дѣлится па к. Но такькакь к и к не
имѣютъ общихъ множителей, то у должно дѣлиться па к, а
если положимъ ?=//|, мы получимъ уравненіе .г—=гС|, ко-
тораго коэффиціенты меньше коэффиціентовъ первоначальнаго.
Рѣшивъ новое* уравненіе, найдемъ общія выраженія .г и у},
а затѣмъ по формулѣ у~ку} получимъ общее выраженіе у.
Напр., если дано уравненіе 1.с—7//—10, то замѣтивъ, что
4 и 10 имѣють общаго множителя 2, полагаемъ у=2у{ и
по сокращеніи находимъ уравненіе 2.т—7/^ =5. Рѣшивъ его,
получимъ формулы .*=—1—|—7^ п ?/,= —1-|-2г, а слѣдовательно
для даннаго уравненія найдемъ .г= —1—|—7^ и у=—2-|-4г.
— 78
Если числитель дополнительной дроби, получаемой
при выдѣленіи цѣлаго числа, содержитъ общаго мно-
жителя, то итого множителя можно отдѣлить.
Пусть требуется рѣшить уравненіе 5,с-|-8//=23. Выражая .г,
23 Вг/ , . 3—?>>/ ..
находимъ т—- 5 '—4—//ф— г;~* Поступая по общему спо-
собу, слѣдовало бы принять — ==г и это шло бы новое
уравненіе* ст. коэффиціентами 3 и Г» при его неизвѣстныхъ.
Но, замѣтивъ, что іополнителыіу ю дробь можно представить
т з(і- а) о
въ видѣ - и что числа 3 и ;> взаимно простыя, заклю-
чаемъ, что 1—•»/ дѣлится на 5 и потому полагаемъ
а это даетъ уравненіе болѣе простое съ коэффиціентами 1
п 5 при неизвѣстныхъ. Окончательное рѣшеніе выражается
формулами :Г—Зф-8л и //= 1---5,С.
Для уменьшенія коэффиціентовъ вспомогательныхъ
уравненій можно вводить отрицательные остатки отъ
дѣленій, увеличивая па единицу числовую величину
частныхъ или ихъ коэффиціентовъ.
Возьмемъ уравненіе1 9.гф-5у/=23. Выражая въ немъ //, на-
23_________<)у 3- 4т
ходимъ //= =1—:тф- . ’ и, продолжая но обыкновенному
способу, составимъ новое уравненіе 4г=^ ст. коэффпціеи
тамп 4 и 5 при неизвѣстныхъ. По, производя дѣленіе члена
съ ;г иначе, найдемъ ц— 1—2.г-|-3 п теперь отъ подстапов
кп ”1 * —составится уравненіе болѣе простое съ коэффи-
ціептами 1 и Г» при неизвѣстныхъ. Окончательное рѣшеніе
выразится формулами л ——3-ф 5г и ц—10—9~.
§ 51. Рѣшеніе въ положительныхъ числахъ. Чтобы рѣшить
неопредѣленное уравненіе не только въ цѣлыхъ, но и въ по-
ложительныхъ числахъ, нужно подчинить общія выраженія
неизвѣстныхъ неравенствамъ т ф/7>>0 и п—о/^>0,изт. которыхъ
опредѣляются предѣлы неопредѣленнаго количества I.
При рѣшеніи въ положительныхъ числахъ могулъ предста-
виться три случая:
Если коэффиціенты а. и Ь имѣютъ разные знаки, то въ не-
равенствахъ и ѵ—<(/>>0 члены, содержащіе /, ока
жутся съ одинаковыми знаками. Такія неравенства, будучи рѣ-
шопы относительно (, дадутъ предѣлы одного свойства, т.-е.
совпадающіе, и вслѣдствіе этого уравненіе будетъ имѣть без-
численное множество цѣлыхі. положительныхъ рѣшеній.
Напр., рѣшая уравненіе б.г—13?/.-=3(>, мы получили выше
формулы .г—2-|-1 '.\и и у——2-|-5«. Подчиняя «' и у условію по-
ложительности, имѣемъ неравенства 2-|-13и>0 и —2-}-5г<>0,
9 V О 9
откуда ?/>—-- п Такъ какъ ~ больтпо ——? то, пола-
2
гая мы удовлетворимъ обоимъ неравенствамъ. Для со-
ставленія положительныхъ рѣшеній уравненія нужно давать и
всевозможныя цѣлыя значенія 1,2,3,.... Получимъ безчислен-
ное множество паръ цѣлыхь и положительныхъ значеній :г и у.
Если коэффиціенты а и І> имѣютъ одинаковые знаки, то
въ неравенствахъ ?я-|-/>С>0 іі п - «0*0 члены, содержащіе і,
окажутся ст. разными знаками. Такія неравенства при рѣ-
шеніи ихъ по I дадутъ предѣлы разнаго свойства, именно
ограничивающіе, и вслѣдствіе этого уравненіе будетъ имѣть
вообще ограниченное число цѣлыхъ ноложительных ь рѣшеній,
а въ часа пости, если между предѣлами / не содержится ни
одного цѣлаго количества, уравненіе не будетъ имѣть ни оі
пой пары цѣлыхь положительныхъ рѣшеній.
Папр., рѣшая уравненіе 5г--|-8?/=23, мы получили выше
формулы .г—3-|-8~ и у=1 —эг. Подчиняя т и у условію по-
ложительности, находимъ
неравенства.
3-|-8/С>0 и 1 —
. з
откуда. и г<<-’ что можно записать слитно въ
* о о
3 1 *
Между предѣлами содержится только одно
видѣ
цѣлое
1
количество 0. Поэтому данное уравненіе имѣетъ только оДну
пару цѣлыхі. ноложительных ь рѣшеній ,г=3 и у=1.
Въ томъ случаѣ, когда а п 1> оба положительны, а с отри
пательно, уравненіе совсѣмъ не можетъ имѣть положитель-
ныхъ рѣшеній, потому что предположеніе о существованіи по-
ложительныхъ значеній обоихъ неизвѣстныхъ привело бы къ не
вѣрному заключенію, что положительная первая часть урав-
ненія равна отрицательной второй. Если бы, не замѣтивъ
такого обстоятельства, мы выразили для неизвѣстныхъ условіе
положительности, то получили бы неравенства несовмѣстныя,
съ предѣлами иротиворѣчащпмп.
— 80 —
§ 52. Система неопредѣленныхъ уравненіи. Система урав-
неній, іи. которой число неизвѣстныхъ па единицу больше числа
уравненій, приводится посредствомъ исключенія неизвѣстныхъ
къ одному уравненію съ двумя неизвѣстными.
Поэтому рѣшеніе такой системы уравненій подобно объ-
ясненному рѣшенію одного уравненія, но оно значительно
сложнѣе, потому что, вообще говоря, приходится повторять
объясненный процессъ рѣшенія одного уравненія столько разъ,
сколько въ данной системѣ имѣется всѣхъ уравненій.
Возьмемъ, напр., два уравненія съ тремя неизвѣстными
6г—7г/-]-2г=21 и 8.Г-] 5г/-|~(>г==49. Исключивъ изъ нихъ г,
получимъ одно уравненіе 5,с—13//-—7. Рѣшая послѣднее въ цѣ-
лыхъ числахъ, находимъ ;г==44-13?г и д=1-|-5и. Получен-
ныя выраженія нужно вставить въ одно изъ данныхъ урав-
неній, тогда получимъ новое уравненіе 2,~-|~43н=4. Его
придется снова рѣшать въ цѣлыхъ числахъ и тогда найдемъ
2—43?? и н=2?:. Наконецъ, исключая г?, получимъ окон-
чательныя формулы 4-|-2б??, у=1—|-іОг и ^=2—43с.
Въ предыдущемъ примѣрѣ условіе положительности рѣше-
ній приводитъ къ неравенствамъ, изъ которыхъ выходитъ
2^1 .2
і\>—уур ?’2>—у() и ,• Зти трп предѣла сводятся къ двумъ
1 . .2
— 10<^?;<^13’ межДУ которыми содержится только с=0, и по-
тому данная система уравненій имѣетъ только одну систему
цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній .г—1. у—\ и г=2.
Возьмемъ еще трп уравненія съ четырьмя неизвѣстными
2 с—3//— 1, 5г/—Зг— 3 и ѣг—3/=1. Рѣшая первое изъ нпхъ
въ цѣлыхъ числахъ, находимъ Згг—1, у—Іи—1. Встав-
ляя выраженіе у во второе данное уравненіе, получимъ новое
неопредѣленное уравненіе 10г/—3~=^8. Оно рѣшается въ цѣ-
лыхъ числахъ формулами ге=Зг?-|-2 и я=10?’-|-4. На основаніи
первой изъ нихъ прежнія выраженія г и у преобразовываются
въ новыя, такъ что система разрѣшающихъ формулъ прини-
маетъ впдъ .с=9?-|-5, г/=6г-|-3 и г=10?’-|-4. Вставляя выра-
женіе г въ третье изъ данныхъ уравненій, находимъ опять
новое неопредѣленное уравненіе 31 — 10г—15. Его рѣшеніе
въ цѣлыхъ числахъ выражается формулами ѵ—3?г и /=40?г—|—5.
На основаніи первой изъ формулъ всѣ прежнія выраженія .г,
— 81 —
у и г преобразовываются въ новыя, такъ что окончательно
находимъ ;г=27н'Ц-5, у=18ге-|-3, г— ЗО?г—4 и /=40«<?-}-5.
Очевидно, что данная система уравненій имѣетъ безчислен-
ное множество системъ положительныхъ рѣшеній, которыя
получаются при гс=О,1,2,3,....
Разностная прогрессія.
§ 53. Опредѣленія. Разностной прогрессіей называется
рядъ количествъ, въ которомъ каждое слѣдующее количество
составляется посредствомъ сложенія предыдущаго съ однимъ
п тѣмъ же постояннымъ количествомъ. Напр., рядъ 1,4,7,10,....
есть разностная прогрессія.
Для обозначенія прогрессіи въ общемъ видѣ пишутъ «, 6,
с,...., и или щ, а,, щ,...., щ. Иногда передъ обозначеніемъ
ставятъ знакъ 4~, который называется знакомъ разностной про-
грессіи; напр., пишутъ -і-5,2—1,—4,....
Количества, составляющія прогрессію, называются членами
ея. Число членовъ во всякой прогрессіи можно предполагать
какое угодно.
То постоянное количество, которое прилагается къ предъ-
идущему члену для составленія слѣдующаго, называется раз-
ностью прогрессіи. Разность принято обозначать буквой г
(Ге$1е) или буквой <1 (ііійегепсе).
Прогрессіи раздѣляются па восходящія или возрастающія,
у которыхъ разность есть положительное количество, какъ,
напр., 1,4,7,10,...., и нисходящія или убывающія, у которыхъ
разность есть отрицательное количество, какъ, напр., 5,2,—1,
—4, Въ восходящей прогрессіи каждый слѣдующій члент»
больше предыдущихъ, а въ нисходящей, наоборотъ, каждый
слѣдующій членъ меньше предыдущихъ.
Изъ опредѣленіи прогрессіи видно, что всякая прогрессія
вполнѣ опредѣляется однимъ изъ членовъ ея и разностью,
потому что по такимъ двумъ даннымъ можно составить сколько
угодно членовъ.
§ 54. Выраженіе общаго члена. Каждый членъ разност-
ной прогрессіи равенъ первому члену, сложенному
съ разностью, умноженной на число предыдущихъ
членовъ.
Часть ІЕ 6
— 82 —
Возьмемъ прогрессію а, І>, и и обозначимъ разность
ея черезъ г. По опредѣленію прогрессіи имѣемъ /»=«-|-г,
затѣмъ <—1>-}~г пли, на основаніи предыдущаго, с—л-рЗ-г, да-
лѣе <1=с\-т или, па основаніи предыдущаго, г/=а-|~3г и т. д..
Отсюда, заключая но аналогіи находимъ, что если и есть
ц-й членъ, то
и=а-І~г(п—1) плп а,—аі-\-сІ(п—1).
По найденной формулѣ легко вычислить всякій членъ во вся-
кой прогрессіи. Напр.. опредѣляя 10-й членъ прогрессіи 1,4,7,
10,...., находимъ </10=1—1-3.9 — 28, опредѣляя 23-й членъ про-
грессіи 5,2. — 1,—4,...., имѣемъ о„;і=5—3.22-=— 61 и т. под..
Вели данную разностную прогрессію напишемъ въ обрат-
номъ порядкѣ и, ѵ, I,...., е, А, а, то получимъ новую про-
грессію, разность которой есть —г, т.-е. противоположна
дайной разности по знаку. На этомъ» основаніи заключаемъ,
что /— н—г, 1-—и —2г,...., а—и—г(м—1), или, что каждый
членъ разностной прогрессіи равенъ послѣднему члену минусъ
разность, умноженная на число послѣдующихъ» членовъ.
Слѣдствіе. Въ разностной прогрессіи сумма двухъ
членовъ, равно удаленныхъ отъ крайнихъ членовъ», равна
суммѣ крайнихъ,.
Дѣйствительно, возьмемъ прогрессію а, />, с,...., Л,...., 7г,...., и
п положимъ, что членъ» к есть »і-й отъ начала, а членъ к
есть »н-й отъ» конца. Тогда имѣемъ к=а-\-т(т—1) и к—и—
—г(т—1). Сложивъ оба равенства, получимъ к-\-к=а-\-и.
§ 55. Выраженіе суммы членовъ. Сумма членовъ раз-
ностной прогрессіи равна полусуммѣ крайнихъ, умно-
женной на число слагаемыхъ членовъ.
Обозначимъ сумму п членовъ прогрессіи черезъ я и на-
пишемъ эту сумму два раза—при данномъ» порядкѣ членовъ
и при обратномъ; получимъ ------Н 11 8~ м4"
---------1—Сложивъ почленно эти два равенства, на-
ходимъ 2.9=(о-|-гОН_(М_П4_"“Н~0’‘Н,)~|_(м "Н0> откуда замѣ-
тивъ, что суммы членовъ въ скобкахъ равны одной и топ же
суммѣ крайнихъ и что число суммъ равно числу членовъ
прогрессіи, выводимъ 2з==(а-\-и)п, а изъ этого слѣдуетъ
(«4-22^
—— - ИЛИ 5П=
— 83 —
Если въ полученной формулѣ подставимъ выраженіе по-
слѣдняго члена и, то получимъ видоизмѣненную формулу
Г2а-|-г(и—1)1»
.<?= • по котороп легко вычислять суммы членовъ
всякихъ разностныхъ прогрессіи. Напр., опредѣляя сумму 17
, , „ (2 | 3.16). 1*7
•членовъ прогрессіи 1,4,/, 10,...., находимъ я, 7= —---=
=425, опредѣляя сумму 20 членовъ прогрессіи 5,2,—1,—4,....
(10—3.1Щ.2О
находимъ я20=----------= — 4/0 п т. под..
§ 5<>. Типы задачъ. Всѣ вопросы, относящіеся кт. разност-
нымъ прогрессіямъ, рѣшаются посредствомъ двухъ формулъ
। , ,, («+«щ
и—а-^г(п—1) и —
Эти формулы связываютъ пять количествъ а, г, п, и, 8 к
дають возможность по тремъ изъ этихъ количествъ опредѣ-
лить два остальныхъ. Замѣтимъ, что группируя разными
способами пять обозначеній по два, такъ чтобы каждое по-
слѣдующее обозначеніе соединять съ каждымъ изъ предыду-
щихъ, мы можемъ обозначить группировки ?/.$', 118, Т8, (18,
затѣмъ пи, ти, аи, далѣе гп, ап и наконецъ аг, всего десять
группировокъ. Поэтому имѣемъ десять задачъ, которыя всѣ
рѣ. 111 а ются ра зли ч н о.
1. Дано </, г, п; найти и, 8. Изъ первой формулы нахо-
дима. и; затѣмъ изъ второй получимъ «.
2. Дано а, г, и: найти п, 8. Изъ первой . формулы нахо-
дпмъ я = —-— ; затѣмъ, подставляя выраженіе п во вторую
. («4- ?/)(?/— а 4-?')
формулу, получимъ 8—----- -- —
3. Дано «, п, щ найти г, .<?. Изъ первой формулы пахо-
п—и .. .
дпмъ г — —у; изъ второй получпмь .*?. ’
4. Дано г, п, щ паптп а, 8. Изъ первой формулы па хотимъ
и=и—г(п—Г); затѣмъ изъ второй получимъ <?=^[2« —г(п—1)].
5. Дано а, г, «; найти п, и. Въ этомъ случаѣ каждая изъ
формулъ представляетъ уравненіе съ двумя неизвѣстными. Встав-
ляя изъ первой и во вторую, получимъ относительно п квад-
ратное уравненіе, которое даетъ п—72/.[г— 2а • Ѵ(г—2н)2-|-8гя].
Вопросъ возможенъ только тогда, когда для п получится цѣ-
лое и положительное значеніе; если таковы будутъ оба кор-
6*
— 84 —
ня, то вопросъ допускаетъ два рѣшенія. Опредѣливъ п. лег-
ко найдемъ и.
6. Дано о, и, я; найти г, и. Изъ второй формулы пахо-
димъ и= —— ; затѣмъ, подставляя это выраженіе въ первую
г . 2(«—««)
формулу, получимъ г=-^1іу
7. |,ано г. п, а: найти а, и. Представивъ формулы въ впдѣ
2^
и—и—т(п—1) и и-\-а=-~> а затѣмъ, складывая ихъ и вычи-
2<+гя(и—1і 2к—гп(п—1)
тая, получимъ и—------------и «— ~ -----
8. Дано а, «, найти г, п. Изъ второіі формулы пахо
2.« , и-—а2
димъ п — а ; затѣмъ изъ первой получимъ г= д—♦
9. Дано г. и. а; найти а, п. Въ этомъ случаѣ каждая фор-
мула со дер липъ два неизвѣстныхъ. Вставляя изъ первой а
во вторую, получимъ квадратное уравненіе, которое даетъ
И=2^ [г-|-2«=4= Ѵ(?-Д-2н)-—8гя|. Для возможности вопроса п
должно быть цѣло и положительно; если такихъ значеній два,
то имѣются два рѣшенія. Опредѣливъ п, легко найти а.
10 Дано п, и, я; найти «, г. Изъ второй формулы нахо-
2х— пи , „ 2(лы—.«)
димъ а=~—; а затѣмъ изъ первой г=а-—1у-
Кратная прогрессія.
§ 57. Опредѣленія. Кратной прогрессіей называется рядъ
количествъ, въ которомъ каждое слѣдующее количество со-
ставляется посредствомъ умноженія предыдущаго па одно и
то же постоянное количество. Напр., рядъ 3. 6, 12,24,....
есть кратная прогрессія.
Для обозначенія прогрессіи въ общемъ впдѣ пишутъ н, />,
с,...и или , а,, п3,. .. ., <і„. Иногда предъ обозначеніемъ
ставятъ знакъ -Н-, который называется знакомъ кратной про-
_ 7.7 7
грессіи; напр., пишутъ — 7,—2~’ < 4’—8’’””
Количества, составляющія прогрессію, называются членами
ея. Число членовъ во всякой прогрессіи можно предполагать
какое угодно.
То постоянное количество, на которое умножается предъ-
идущій членъ для составленія слѣдующаго, называется знаме-
пателѳмъ прогрессіи. Знаменателя принято обозначать бук-
вой 2 (диоііепі).
Прогрессіи раздѣляются па восходящія или возрастающія,
у которыхъ числовая величина знаменателя больше единицы,
какъ, напр., 3, С, 12, 24,.. ., и нисходящія пли убывающія,
у которыхъ числовая величина знаменателя меньше единицы.
какъ, напр.,
—Въ восходящей прогрессіи число-
вая величина каждаго члена больше числовыхъ величинъ предъ-
идущихъ членовъ, а въ нисходящей, наоборотъ, числовая вели-
чина каждаго члена меньше числовыхъ величинъ предыдущихъ.
Изъ опредѣленія прогрессіи видно, что всякая прогрессія
вполнѣ опредѣляется однимъ изъ членовъ ея и знаменателемъ,
потому что по такимъ двумъ даннымъ можно составить сколько
угодно членовъ прогрессіи.
§ 58. Выраженіе общаго члена. Каяідый членъ кратной
прогрессіи равенъ первому члену, умноженному на
знаменателя въ степени числа предыдущихъ членовъ.
Возьмемъ прогрессію а. І>, с,-..., и и обозначимъ знамена-
теля черезъ <[. По опредѣленію прогрессіи имѣемъ Ъ—ац, за-
тѣмъ с=1к] или, на основаніи предыдущаго, с=ш/2, далѣе сІ=с<]
или, па основаніи предыдущаго, (1=цц'л и т. д.. Отсюда, за-
ключая по аналогіи, находимъ, что если и есть я-й членъ,
то и=адп~А пли, при другихъ обозначеніяхъ, 0,,=^
По найденной формулѣ можно вычислить всякій членъ во
всякой прогрессіи. Напр., опредѣляя 7-й членъ прогрессіи
3, 6, 12, 24,...., находимъ «-=3.2И=192, опредѣляя 10-й членъ
• -7,77 — . 1 \ 9 7
прогрессіи 7,—гг’-гр—•» находимъ «10=7.(—.у) =—6Ѵ,
и т. под.. *
Если данную прогрессію напишемъ въ обратномъ порядкѣ
«, у, г, Ь, а, то получимъ новую прогрессію, знамена-
і
толь которой есть т.-е. ооратенъ данному знаменателю но
числовой величинѣ. На этомъ основаніи заключаемъ, что
11 , 11 1! „ о
? =—, <= , (і= , или, что каждый членъ кратной про-
грессіи равенъ послѣднему члену, раздѣленному па знамена-
теля въ степени числа послѣдующихъ членовъ.
— 86 —
Слѣдствіе. Въ кратной прогрессіи произведеніе двухъ
членовъ, равно удаленныхъ отъ крайнихъ членовъ, равно
произведенію крайнихъ.
Дѣйствительно, возьмемъ прогрессію а. 1>, с,...., Іі,...., к,..., и
и положимъ, что членъ Іі есть ш-й отъ начала, а членъ к
есть »і-й оіъ конца. 'Когда имѣемъ 1і=(и/'‘ і\к= ' ,• Пере-
множивъ оба равенства, получимъ !ік=ии.
§ 59. Выраженіе произведенія членовъ. Произведеніе
членовъ кратной прогрессіи равно корню квадрат-
ному изъ произведенія крайнихъ въ степени числа
п е р о м и о ж а е м ы х ъ ч л е и о в ъ.
Обозначимъ произведеніе п членовъ прогрессіи черезъ/? и на-
пишемъ это произведеніе два раза — ври данномъ порядкѣ чле-
новъ и при обратномъ; получимъ р=«/я-...гн и р=игі....Іні.
Перемноживъ равенства, находимъ р2=(<пі)(І>г>)(<і}...(ѵІ>)(иа),
откуда замѣтивъ, что произведенія членовъ въ скобкахъ рав-
ны одному и тому я;о произведенію крайнихъ и что число про-
изведеній равно числу членовъ прогрессіи, выводимъ р2=(ои)',
а изъ этого слѣдуетъ
р=\/((іи)п или, при другихъ обозначеніяхъ, р,і=У(щп»)н-
Ріели въ полученной формулѣ подставимъ выраженіе по-
слѣдняго члена и, то получимъ видоизмѣненную формулу/?=
—\'(ч2(Г чо которой можно вычислять произведенія членовъ
во всякихъ кратныхъ прогрессіяхъ. Напр., опредѣляя произ-
веденіе 8-мп членовъ прогрессіи 3, 6, 12, 24,...., находимъ
р. ==^(322')н=38228, опредѣляя произведеніе (>-ти членовъ про-
грессіи 7,—р+р—в’““’ имѣемъ /?0=—\/|’72.^2-\г,]6= —-^-5»
прп чемъ знакъ корпя берется сообразно съ тѣмъ, сколько
въ произведеніи отрицательныхъ множителей.
§ 60. Выраженіе суммы членовъ. Формулу суммы членовъ
кратной прогрессіи легко вывести слѣдующимъ образомъ:
Возьмемъ сумму а=н-|-^-|-с4-------и умножимъ ее на вы-
17—1 .
раженіе въ которомъ числителя будемъ разсматривать раз-
дѣльно, какъ двучленъ, именно разность, а знаменателя не-
раздѣльно, какъ окончательное значеніе этой разности. Указан-
ное выраженіе равно единицѣ, по называется иреобразовы
вающей пли реформирующей единицей кратной прогрессіи,
— 87 —
потому что умноженіе на такую единицу, по измѣняя значе-
нія множимой суммы прогрессіи, сразу мѣняетъ ея форму.
Дѣйствительно, производя умноженіе,- находомъ
..... . . . .у—1 +т7+»7)-(а+Л+-.4г+«)
и) --------—----------------
Но, но опредѣленію прогрессіи, члены первой скобки отъ
перваго до послѣдняго равны членамъ второіі скобки отъ вто-
рого до предпослѣдняго, а потому, сдѣлавъ ври веденіе, полу чаемъ
только послѣдній членъ первой скобки и<] и первый членъ вто-
рой скобки —а. Поэтому выходитъ
1іли, ПрИ другихъ обозначеніяхъ, §„=-^^-1.
Полученная нами формула удобна для вычисленія суммы
въ тѣхъ прогрессіяхъ, въ которыхъ знаменатель положитель-
ный и больше единицы. Если же знаменатель отрицательный
или же положительный, но меньше единицы, то въ выраженіи
суммы удобнѣе перемѣнить знаки членовъ дроби и писать
формулу въ видѣ
5=“ 'у или, при другихъ обозначеніяхъ, 4,-,,=-^—.
Когда формула суммы примѣняется къ самому вычисленію
этой суммы, то нужно еще замѣнить въ ной и и его выраже-
ніемъ изъ прежде выведенной формулы общаго члена и тогда
находимъ 8— ' -- при и 8-= -у_2~ >фи 7*41- Напр.,
опредѣляя сумму 8-ми членовъ прогрессіи 3,6,12, 24,...., на-
ходимъ —=765;опредѣляя сумму 10-ти членовъирогрес-
.„7,7 7 7—7/—О10 7101
СИ! /,—а’-1-4 *-8 ’ ,,‘ІХ°ДПМЪ $1и— |.|_1 --1536 И1,И”
§ 61. Типы задачъ. Большинство вопросовъ, относящихся
къ кратнымъ прогрессіямъ, рѣшаются посредствомъ двухъ
формулъ
и—сщп~' и а(7—1)=Н7—а.
Эти формулы связываютъ пя ть количествъ п, у, п, и, 8 и
даютъ возможность по тремъ изъ нихъ опредѣлить два осталь-
ныхъ.
Группируя разными способами пять обозначеній по два,
можно обозначить группировки ««,918, 78, <18, затѣмъ пн, ци. ни,
потомъ 7/1, ап и наконецъ а<]. Поэтому имѣемъ 10 задачъ.
1. Дапо л, </, и; найти и, з. Изъ первой формулы находимъ
затѣмъ изъ второй получимъ 8.
2. Дано а, д, и\ найти п, 8. Изъ второй формулы находимъ 8.
Что касается п то, преобразовавъ первую формулу къ виду
<7"-'=^-, видимъ, что неизвѣстное входить показателемъ; по-
добныя уравненія называются показательными и вообще
рѣшаются посредствомъ логариомовъ, по въ данномъ случаѣ п
можно опредѣлить ври числовыхъ данныхъ подборомъ, по до-
гадкѣ, потому что п есть цѣлое положительное число.
3. Дапо «, п, щ найти д, з. Изъ первой формулы вахо-
И—1
дпмъ д — у-- ^ставивъ эт0 выраженіе во вторую формулу,
н—1/“Т и 1/
у іі * у
получимъ послѣ упрощеній з=іт~іГ~,^ । = ’
4. Дано д, п, щ найти а, з. Изъ первой формулы находимъ
Й=-^=Г’ а Затѣмъ »ЗЪ второй 8= —
5. Дапо а, д, 8; найти п, и. Изъ второй формулы находимъ
и= 1 +';• Подставляя это выраженіе въ первую формулу,
получимъ для опредѣленія п показательное уравненіе, которое
можно привести къ виду 2""'=^—^— и рѣшить при чис-
ловыхъ данныхъ догадкой.
6. Дано а, п, 8; найти д, и. Въ этомъ случаѣ каждая изъ
двухъ формулъ содержитъ оба неизвѣстныхъ. >
Выразивъ изъ первой и и подставляя во вторую, находимъ
Здѣсь нельзя умножить обѣ части па д—1, потому
что дробь сократима, а при такомъ условіи умноженіе внесло бы
несоотвѣтствующее рѣшеніе д—1. Сокративъ дробь, полу-
чись уравненіе з=и{дн ’Д-д"---]---1-1). Такимъ образсмь
опредѣленіе д и затѣмъ и приводится къ уравненію п—1-й сте-
пени, которое нельзя рѣшить въ общемъ случаѣ.
7. Дано а, д, 8; найти а, и. Обѣ формулы содержатъ оба
неизвѣстныхъ. Выразивъ и изъ первой и подставивъ во вто-
рую, найдемъ сначала С’ а затѣмъ и=-и~ —
8. Дано а, и, .*>; найти д, п. Изъ второй формулы найдемъ
3=^7‘ Подставивъ это выраженіе въ первую формулу, по-
— 89 —
. /.ч—а\ 1 и
лучимъ показательное уравненіе I — 1 =-, которое ври
числовыхъ данныхъ рѣшается подборомъ п по догадкѣ.
9. Дано 7, ?/, и 8; найти а, п. Изъ ятой формулы нахо-
димъ а—-ци—з(д—1). Подставивъ второй выраженіе въ первую
формулу, получимъ показательное уравненіе 7 = м—’
которое рѣшается догадкой.
10. Дано п, и, 8; найти о, у. Въ этомъ случаѣ каждая изъ
формулъ содержитъ оба неизвѣстныхъ. Выразивъ изъ пер-
ио,1 — и ,, ,
вой а п подставляя во вторую, находимъ одѣсь
нельзя умножить обѣ части на г/—1, потому что вслѣдствіе
сократимости дроби такое умноженіе внесло бы несоотвѣт-
ствующее рѣшеніе 7=1. Сокративъ дробь, получимъ уравне-
ніе .Ч7*—1==и(7я—1-}-7’‘_2-|--(-1). Опредѣленіе 7 и затѣмъ
а приводится къ уравненію п -1-й степени и въ общемъ слу-
чаѣ невозможно.
§ (>2. Безконечно-убывающая прогрессія. Безконечно-убы-
вающей прогрессіей называется такая кратная прогрессія а,
ау, "1', О7:‘,-..., въ которой абсолютная величина знаменателя
меньше единицы и число членовъ безконечно велико.
Такъ какъ въ подобной прогрессіи абсолютныя величины
членовъ постоянно уменьшаются и это уменьшеніе произво-
дится безчисленное множество разъ, то предѣлъ послѣдняго
члена нужно принимать равнымъ нулю.
Предѣлъ суммы безконечно-убывающей прогрессіи равенъ
частному отъ дѣленія перваго члена на разность между еди-
ницей и знаменателемъ.
Дѣйствительно, ио извѣстной формулѣ суммы п членввь
находимъ
8„=о-|-07-4-07 2-ф----{-07” 1— * >
а переходя къ предѣлу при безконечно большомъ числѣ чле-
новъ и называя предѣлъ суммы черезъ а, замѣтимъ, что и ре-
дѣла. выраженія 07" равенъ пулю, и потому
Этоть выводъ можно провѣрить обратнымъ путемъ, раздѣ-
ливъ а па 1—7. Если производить это дѣленіе до тѣхъ поръ,
— 90-
пока въ частномъ получится п членовъ, и къ цѣлому частному
присоединить дополнительную дробь, то получимъ формулу
~=л4-ад-|-а//24-------{-адп
Такъ какъ абсолютная величина знаменателя д моныпо
единицы, то остатокъ дѣленія ад" уменьшается безгранично
по мѣрѣ продолженія дѣленія и потому съ увеличеніемъ п
безгранично уменьшается разность между выраженіемъ —
• 1 1 —у
и происходящимъ огь дѣленія цѣлымъ частнымъ а-|-ні4~й/7М~
11 р и м ѣ р ы: Пусть будетъ $—14-2-І~7^~нН— Замѣтивъ, что
первый членъ этой безконечной прогрессіи есть 1, а знамена-
тель имѣемъ по указанной формулѣ 8=1 :(1—')—] о.
Примѣняя формулу суммы безконечно-убывающей прогрес-
сіи, можно обратить всякую періодическую десятичную дробь
въ простую. Возьмемъ, напр., дробь 0.7777.... Ее можно вы-
разить безконечной прогрессіей 1о4-]оо+іо(»о4-]оі)оо+-->
рои первый членъ есть а знаменатель у()- Суммируя эту
прогрессію по указанному правилу, получимъ 0,7777... .=
7 1 7 <) 7 ‘
—То:(1 — иЗ=іо:То=!г т- е- 1ІІН,Д,'МЪ къ ТОМУ результату, ко-
торый выводится въ ариометикѣ.
Общая теорія логариѳмовъ.
§ 63. Опредѣленія. Постепенныя обобщенія математическихъ
понятій приводятъ между прочимъ къ тому, что устраняются
различія дѣйствій, попарно противоположныхъ, и каждая пара
подобныхъ дѣйствій приводится кт» одному изъ нихъ. Такимъ
образомъ сложеніе и вычитаніе сводятся къ одному сложенію,
потому что вычитаніе всякаго количества можно разсматривать
какъ прибавленіе количества равпопротивоположпаго; подобно •
этому умноженіе и дѣленіе сводятся къ одному умноженію, по-
тому что дѣленіе па всякое количество можно разсматривать
какъ умноженіе на количество обратное.
Совершенно также два дѣйствія—возве цчііе въ степень и \
извлеченіе корня — сливаются въ оніо дѣйствіе возведеніе
въ степень, потому что извлеченіе корня съ какимъ-либо
— 91
показателемъ можно разсматривать какъ возведеніе въ степень
съ обратнымъ показателемъ. Имѣя въ виду изучать іакое
обобщенное возведеніе въ степень, будемъ обозначать резуль-
татъ его выраженіемъ а'.
Прежде мы разсматривали только такіе показатели, кото-
рыхъ абсолютная величина могла быть цѣлымъ пли дроонымъ
числомъ. Теперь обобщимъ понятіе о степени такъ,** іѣ ы
включить въ число показателей и несоизмѣримыя числа.
Условимся для этого въ такомъ опре, дѣленіи: если х есть
несоизмѣримое количество, то а есть предѣлъ, къ которому
стремятся подобныя же выраженія. въ которыхъ показатель
замѣняется его послѣдовательными приолиженными значеніями;
напр., н'2 есть предѣлъ, къ которому стремятся выраженія
а1, а1-4, а’3,,«ІЛ14,...., которыхъ показатели суть послѣдова-
тельныя приближенныя значенія V ‘2. Такъ какъ несоизмѣри-
мыя числа, опредѣляемыя какъ предѣлы соизмѣримыхъ, су-
ществуютъ и опредѣленно различаются, то и степени съ та-
кими показателями іолжпы существовать и опредѣленно раз-
личаться.
Къ новымъ, несоизмѣримымъ показателямъ, должны при-
мѣняться прежнія правила дѣйствій. Достаточно доказать глав-
ное правило, па которомъ основаны всѣ преобразованія сте-
пеней. Это правило выражается формулой а*, о-5'—а1 . Чтобы
доказать формулу, разсуждаемъ такъ: если х и у замѣнить
приближенными соизмѣримыми значеніями, то формула окажет-
ся вѣрной, потому что для соизмѣримыхъ показателей она до-
казана; если подстановка послѣдовательныхъ приближеній бу-
детъ продолжаться, то всѣ числа, входящія въ формулу, будутъ
приближаться къ ихъ предѣламъ; наконецъ если два числа
равны между собой при всѣхъ измѣненіяхъ, то равны и пре-
дѣлы ихъ.
На основаніи предыдущаго можно разсматривать выраже-
ніе ах при всевозможныхъ значеніяхъ х, измѣняющихся не-
прерывно отъ —оэ до -|-Л2. Будемъ такъ разсматривать это
выраженіе, принимая во вниманіе только числовое или арио-
метическое значеніе его и положимъ, что а есть положитель-
ное число, неравное единицѣ.
92
Возьмемъ равенство Х—а'. По повода его можно предло-
жить два вопроса: какъ вычислять X прн данномъ а и при
измѣняющемся х и наоборотъ, какъ вычислять х при данномъ
а и при измѣняющемся X.
Если одно число или количество измѣняется въ зависимости
отъ другого такъ, что каждому значенію независимаго пе-
ремѣннаго соотвѣтствуетъ опредѣленное значеніе зависимаго,
то независимое перемѣнное называется аргументомъ, а за-
висимое функціей этого аргумента. Въ нашемъ равенствѣ X
называется показательной функціей аргумента х, а х назы-
вается логариѳмической функціей аргумента X.
Вычисленіе показательной функціи есть обобщенное возве-
деніе въ степень и называется иначе потенцированіемъ.
Потенцировать данное основаніе даннымъ показа-
телемъ значитъ возвести основаніе въ степень. ука-
зываем у ю иоказател емъ.
Вычисленіе логариѳмической функціи пли логариѳма есть
новое дѣйствіе, которое называется логариѳмированіемъ.
Потенцированіе и логариѳмированіе суть два взаимно об-
ратныхъ дѣйствія; первое изъ нихъ есть прямое, а второе
обратное.
Когда въ равенствѣ Х—а разсматривается потенцированіе,
то х называется, какъ прежде, показателемъ или экспонен-
томъ, X—степенью или потенцомъ, а постоянное число а
основаніемъ системы степеней.
Когда въ томъ же равенствѣ разсматривается логариѳми-
рованіе, то X просто называется числомъ, х—логариѳмомъ
числа X при основаніи а и постоянное а основаніемъ
системы логариомовъ.
Логариѳмъ даннаго числа при данномъ основаніи
есть показатель той степени, въ которую нужно воз-
вести основаніе, чтобы получить число. Напр., логариѳмъ
8-ми при основаніи 2 есть 3, потому что 23=8. Логариѳмъ^
___ і
прп основаніи о есть —2. потому что 5 “=95-
Вся теорія логариомовъ вытекаетъ изъ указаннаго опре-
дѣленія.
Логариѳмы но преимуществу оказываются несоизмѣримыми
числами. Напр., будемъ искать логариѳмъ 5-тм при основа-
— 93
піи 2. Для этого слѣдуетъ разсматривать равенство 2Т=5.
Мы видимъ, что потому что 2’ составляетъ только 4.
По ж<ГЗ, потому что 23 составляетъ ужо 8. Допустимъ, что
обозначая такъ дробь съ цѣлыми числителемъ и зна-
менателемъ, заключающуюся между 2 и 3. Тогда получимъ
и
2(’=.г), пли 2"=5', Но это равенство невозможно, потому что
при цѣлыхъ значеніяхъ а и А первая часть его состоитъ
только изъ множителей 2, а вторая только изъ множителей 5.
Значитъ искомый логариѳмъ х есть число несоизмѣримое.
Положимъ еще, что ищется логариѳмъ | при основаніи 7.
Чтобы обратить черезъ потенцированіе число 7 въ мепыпее
1
единицы число 3, нужно потенцировать / въ отрицательную
степень. Поэтому, выставляя па видъ знакъ логариѳма, обо-
значимъ ого черезъ—х. Вопросъ приводится къ равенству
7— ' — у пли 7^=3. Отсюда видно, что®>0, потому что 7°=1,
но«<1, потому что 7'=7. Примемъх='^ обозначая такъ дробь
съ цѣлыми членами, заключающуюся между нулемъ и еди-
а
ницей. Получимъ 7/'=3, или 7я—3(. По это равенство невоз-
можно, потому что при цѣлыхъ а и Ь первая часть дѣлится
только па 7, а вторая только па 3. Слѣдовательно, логариѳмъ—х
есть несоизмѣримое отрицательное количество.
Для обозначенія дѣйствія логариѳмированія и его резуль-
тата, т.-е. самаго логариѳма, употребляется особый знакъ Ьд,
составляющій буквы изъ французскаго названія ІюцагіНіпіе.
Чтобы показать, что х есть логариѳмъ чпсла X мри основа-
ніи и, пишутъ х=ЬдаХ. Это равенство выражаетъ ту же
связь чиселъ, что и равенство _Х=<іг, только указываетъ па
второе изъ двухъ дѣйствій, разсматриваемыхъ нами. Напр.,
пишемъ 7//., 8=3, или —2 и т. под..
Такъ какъ новое обозначеніе указываетъ обратное дѣйствіе
логариѳмированія, а свойства этого дѣйствія соотвѣтствуютъ
свойствамъ прямого дѣйствія—потенцированія, то для изслѣ-
дованія свойствъ логариѳмовъ нужно обращаться къ равен-
ствамъ вида Х—а?, а самыя свойства записывать посред-
ствомъ равенствъ вида х=ЬдаХ.
— 94 —
С4. Измѣненія. Еслп перемѣнное число измѣняется такъ,
что каждое послѣдующее значеніе отличается отъ предыду-
щаго значенія безконечно-мало, то измѣненіе числа назы-
вается н еп р ер ы вн ы м ъ.
Если, напротивъ, перемѣнное число измѣняется такъ, что
послѣдующее значеніе отличается отъ предыдущаго, хотя и
очень мало, но на конечную разность, то измѣненіе числа
называется пр ер ывпымъ.
Непрерывное измѣненіе нельзя выразить въ числахъ, по-
тому что два опредѣленныхъ числа, какъ бы опп ни были
близки одно къ другому, всегда имѣютъ опредѣленную конеч-
ную разность.
ІІрерывпі&і измѣненія можно выразить въ числахъ.
Для изученія свойствъ всякихъ функцій, т.-е. зависимыхъ
перемѣнныхъ, нужно разсматривать, какъ измѣняются они
при измѣненіи аргументовъ, т.-е. независимыхъ перемѣнныхъ.
Для этого воображаютъ прерывное измѣненіе, а по резуль-
татамъ судятъ также и о непрерывномъ измѣненіи.
Будемъ вь формулѣ Х=а давать а‘—су цѣлыя значенія
отъ —оо до -|-<ѵ> и выписывать соотвѣтствующія выраженія X.
Разсматривая таблицу взаимно соотвѣтствующихъ значеній
х и X, можно опредѣлить, какъ измѣняется степень съ измѣ-
неніемъ показателя, и обратно, какъ измѣняется логариѳмъ
съ измѣненіемъ числа:
х......—....,•—3,—2,—1, 0, 1, 2, 3,....сѵ,
V- 1 1 1 1 1 о 2
-X-..Оео...’ ді ’ а8’ а’ 1.... 1 '
Сначала укажемъ заключенія, справедливыя при всякомъ
значеніи основанія а, которое однако положительно и не равно
единицѣ, что было уже упомянуто раньше.
Ыы видимъ, что въ ряду показателей х обозначены какъ
отрицательныя, такъ и положительныя количества, но въ ряду
степеней X оказываются только положительныя числа. Слѣ-
довательно, отрицательныя числа не имѣютъ дѣйстви-
тельныхъ логариѳмовъ.
Видимъ, что показатели составляютъ разностную прогрессію,
а степени -кратную. Слѣдовательно, кратной прогрессіи
чиселъ соотвѣтствуетъ разностная прогрессія пхъ
логариѳмовъ.
— 95
Мы видимъ, что о°=1. Иначе Ъда1—0, т.-е. логариомъ
единицы при всякомъ основаніи равенъ нулю.
Видимъ, что о1—а. Иначе кдаа=\і т.-е. логариомъ числа,
равнаго основанію, есть единица.
Теперь укажемъ заключенія, которыя зависятъ отъ того,
будетъ ли основаніе а больше 1, или меньше.
Если <Г>1, то съ увеличеніемъ показателя х выраженіе X
увеличивается и съ уменьшеніемъ х уменьшается X. Предѣлъ
а~=со, а предѣлъ а~^ равенъ 0. Слѣдовательно, при осно-
ваніи, большемъ единицы, возрастающей прогрессіи чиселъ
соотвѣтствуетъ возрастающая прогрессія логариомовъ и об-
ратно. . Іогарпомъ безконечности есть безконечность, лога-
риомъ нуля есть отрицательная безконечность.
Еслп «<Т, то съ увеличеніемъ показателя х выраженіе X
уменьшается и съ уменьшеніемъ х увеличивается X. Предѣлъ
а '“=0, а предѣла, а -л,=гѵ. Слѣдовательно при основаніи,
меньшемъ единицы, возрастающей прогрессіи чиселъ соот-
вѣтствуетъ убывающая прогрессія логариомовъ и обратно.
.Іогарномъ пуля есть безконечность, логариомъ безконечности
есть отрицательная безконечность.
Предыдущіе выводы можно выразить кратко, такъ:
При основаніи, большемъ единицы, прогрессіи чи-
селъ н логариомовъ однородны въ смыслѣ одновре-
меннаго возрастанія и убыванія, а при основаніи, мень-
шемъ единицы, эти прогрессіи разнородны въ томъ же
смыслѣ.
Если а>1, то, когда показатель х положительный, степень
Х>1, и измѣненію х отъ 0 до -{-со соотвѣтствуетъ измѣне-
ніе X отъ I до со; когда же показатель х отрицательный,
то степень Х<^1, и измѣненію х оіъ о до —со соотвѣтствуетъ
измѣненіе X отъ 1 до 0. Слѣдовательно, ври основаніи, боль-
шемъ единицы, логаріюмы чиселъ, большихъ единицы—
положительны, а логаріюмы чиселъ, меньшихъ единицы—
отрицательны.
Если а<1, то, когда показатель х положительный, степень
Х<1, и измѣненію х оіъ 0 до -}-со соотвѣтствуетъ измѣненіе
X отъ 1 до 0; когда же показатель х отрицательный, то сте-
пень Х>1, и измѣненію х отъ 0 до —со соотвѣтствуетъ из-
мѣненіе X оіъ 1 до со. Слѣдовательно, при основаніи, менъ-
— 96 —
темъ единицы, логариѳмы чиселъ, меньшихъ единицы—по-
ложительны, а логариѳмы чиселъ, большихъ единицы—от-
рицательны.
Предыдущіе выводы можно выразить въ такой краткой
формѣ:
Числа, однородныя ст. основаніемъ въ смыслѣ отно-
шенія къ единицѣ, имѣютъ положительные логариѳмы,
а числа, разнородныя съ основаніемъ въ томъ же смыс-
лѣ. имѣютъ отрицательные логариѳмы.
Всѣ предыдущіе выводы получены частнымъ путемъ при
разсматриваніи прерывнаго измѣненія цѣлаго показателя, че-
резъ постоянное прибавленіе по единицѣ, и соотвѣтствующаго
измѣненія степени, кратной основанія, черезъ постоянное
умноженіе па это основаніе.
Чтобы дополнить сдѣланное изслѣдованіе, докажемъ, что при
непрерывномъ измѣненіи показателя—степень измѣняется также
непрерывно и наоборотъ, при непрерывномъ измѣненіи числа
также непрерывно измѣняется логариѳмъ.
Положимъ, что х и Ж] суть два значенія показателя, ко-
торыхъ разность х}—х—<1, а X и А', суть соотвѣтствующія
значенія степени, которыхъ разность X, —Х=Р.Пзъ равенствъ
Х=ах и X, =а-ті находимъ X,—Х=йгі—а*=а*(а'ві—«—1),или
В=аІГ(а‘І—1).
Если сі есть безконечно малое количество, т.-е. показатель
х измѣняется непрерывно, то во второй части аа безконечно
близко къ единицѣ, а вслѣдствіе этого вторая часть безко-
нечно близка къ пулю, т.-е. и В есть безконечно малое ко-
личество. Наоборотъ, если извѣстно, что 1) есть безконечно
малое количество, т.-е. степень измѣняется непрерывно, то
а''—1 должно быть также безконечно близкимъ къ нулю, или
а1' безконечно близкимъ къ единицѣ, а вслѣдствіе этого <1 есть
безконечно малое количество.
Такъ какъ мы видѣли, что степень X имѣетъ предѣлами
измѣненія 0 и со, между которыми при непрерывности измѣ-
неній заключаются всевозможныя числа, то значитъ всякое
число имѣетъ соотвѣтствующій ему единственный логариѳмъ.
Наоборотъ, такъ какъ показатель х измѣняется между пре-
дѣлами —со и -{-сю, между которыми при непрерывности
измѣненій заключаются всевозможныя дѣйствительныя коли-
97
честна, то значить всякое дѣйствительное количество можно
разсматривать какъ логариѳмъ нѣкотораго единственно со-
отвѣтствующаго ему числа.
§ 65. Формы логариѳмовъ. Логариѳмъ произведенія. Возь-
мемъ два уравненія Х—а и У—а'. Перемноживъ ихъ, по-
лучимъ ХУ=<7 Новое уравненіе имѣетъ ту же форму,
какъ два первоначальныхъ. Оно показываетъ, что Ъц(Х1 )—
=.с-|-у/. Такъ какъ съ другой стороны, па основаніи данныхъ
уравненій, .г=/,у/Х и у/=7л/1, то ііаходіім-ь
7х/(Х У)—У<іХ-\-Уц Г,
т.-е. логариомъ произведенія равенъ суммѣ логариѳ-
мовъ производя телей.
Эта теорема показываетъ между прочимъ, что. умѣя вы-
числять логариѳмы первообразныхъ цѣлыхъ чиселъ, можно
опредѣлять по ппмъ логариѳмы составныхъ чиселъ, посрет-
ствомъ однихъ сложеній. Такъ, напр., 7,у/6 — 7^/2-|-7л/3.
Логариѳмъ частнаго. Возьмемъ тѣ же уравненія Х—а и
У—и“- Раздѣливъ одно на другое, мы получимъ X: У=ах~ѵ.
Новое уравненіе имѣетъ ту же формулу какъ іва первона-
чальныхъ. Оно показываетъ, что 7л/і X :1 )=г—у/. Такъ какъ
съ другой стороны, въ силу данныхъ уравненій, х—ѣуХ и
</=7л/Г, то имѣемъ
Лу/(Х: К)= ЬцХ—Ьц 3 ;
т.-е. логарпомъ частнаго равенъ разности логариѳмовъ
дѣлимаго и дѣлителя.
Эта теорема даетъ возможность, зная логарпомы цѣлыхъ
чиселъ, опредѣлять по нимъ логариѳмы дробей посредствомъ
однихъ вычитаній. Такъ, напр., 7ѵу/2==ХууЗ—7у/7.
Логариѳмъ степени. Возьмемъ равенство Х~ч. Возведя обѣ
части въ степень п, получимъ X ’=и‘", откуда заключаемъ,
что /л/Х'—п.г, или, па основаніи даннаго равенства,
7х/Х '=« 7.г/А,
т.-е. логариѳмъ степени равенъ логариѳму числа, воз-
водимаго въ степень, умноженному на показателя сте-
пени.
Напр., находимъ 7^8=/.у/23=3/х/2.
Логариѳмъ корня. Возьмемъ то же равенство Х~=(і:г. Извлекши
изъ обѣихъ частей корень п-іі степени, получимъ X—
Часть II. 7
откуда заключаемъ, что 7>/Ѵ Х-іся, или. па основаніи даннаго
равенства,
А?Л
т.-е. логариомъ корпя равенъ логариѳму
наго числа, раздѣленному на показателя
Напр., имѣемъ /л/ѵ'2=-^--
Примѣчаніе. Если бы тѣмъ же способомъ,
подрадикаль-
корня.
какъ въ предъ-
идущихъ случаяхъ, мы пожелали выразить логариомъ суммы
или разности чиселъ но логариѳмамъ э-тихт. чиселъ, то полу-
чили бы формулу X • } =«' • (Г, во второй части которой
нельзя соединить двѣ степени въ одну съ тѣмъ же основа.'
ніѳмъ а. Поэтому нельзя опредѣлить логариомъ суммы пли раз
нести такъ просто, какъ опредѣляются логариѳмы пропзведе-
нія, частнаго, степени и корпя.
Формальное логариѳмированіе. На предыдущихъ теоремахъ ос-
новано особое преобразованіе, которое называется формаль-
нымъ л огариомпрованіемъ.
Задача формальнаго логариѳмированія состоитъ въ томъ,
чтобы по данной формѣ числа найти норму его логариѳма.
Примѣръ 1. Дано выраженіе Х—"^^—По теоремѣ
<-і </ ____
о логариѳмѣ дроби находимъ ЬдХ=Ьда^І>—г—
По теоремѣ о логариѳмѣ произведенія имѣемъ 7л/Х—7>щ;!-{-
-ф7л/Ѵ/>—с—7л//>?—7л/^с-р/. Наконецъ по теоремамъ о лога-
риѳмѣ степени и корня получимъ Іл/Х=37>у/чД-^/л/(Л—/•)—
—2ЬдЬ—*7л7(с-рУ). Дальше нельзя логариѳмировать, потому’
что нельзя просто преобразовать логариѳмы разности и суммы.
Примѣръ 2. Возьмемъ еще выраженіе
Х=4/8(ѳ2—//2)ѵ 12(<й-Л)~
Разложимъ всѣ явныя и неявныя числа на простыхъ мно-
жителей:
Х=4 2 я(«+0 ("— /Д^2€3(н4-Лф
Послѣ этого по указаннымъ теоремамъ находимъ:
7л/ХЦ{ 3 Т^Ьд(а-\-Ъ)-\- Ъд{и-ІЛ-\-^ Ъд2-\~ЪдЗ Д-
ф-ТлДаф-й)] । = |ь#2ф- |7<Даф-/>) ф-—/>) ф- ^7^2 ф-^7^вф-
^Ь^^Ьді «+0+|7р(п-і).
— 99 —
Изъ предыдущаго видно, что логариомъ числа, которое есть
результатъ какой угодно комбинаціи шести алге.брапческмхъ
дѣйствій, можно нацти производя только четыре первыхъ изъ
этихъ дѣйствій.
Формальное потенцированіе. Теоремы о логариомпрованіп можно
выразить въ обратной формѣ, слѣдующими» образомъ:
Сумма логариомовъ чиселъ равна логариому произведенія
этихъ чиселъ.
Разность логариомовъ чиселъ равна логариому частнаго отъ
дѣленія перваго числа на второе.
Произведеніе логариома па число р. вно логариому степени,
которой показатель равенъ множителю.
Частное отъ дѣленія логариома на число равно логариому
корпя, котораго показатель равенъ дѣлителю.
Па этихъ теоремахъ основано обратное предыдущему пре-
образованіе, которое называется формальнымъ потенциро-
ваніемъ и имѣетъ задачей но даппоіі формѣ логариома опре-
іѣлпть форму числа. Число, соотвѣтствующее данному лога г
рпому г, обозначается иногда буквами Л7л/./ (нощіне <1е 1о-
цагіНппе ./).
Примѣръ 1. Пусть дано выраженіе логариома
./'=з/х/"-Ну/х/(и-ф4)—/л/Л—/л/(п—І>).
Уничтожая сначала коэффиціенты логариомовъ, находимъ:
Послѣ этого, соединяя члены, получимъ:
7л? “V?" Г’’
Изъ этого слѣдуетъ, что
>•»,,. у- ^(«ТО3 •
Л 7у(р е=- Л= - у
Примѣръ 2. Если бы въ прежнемъ выраженіи логариома
мы привели члены къ общему знаменателю, то получили бы
выраженіе
.с==^[87х/я-ф97л/(н-|-Л)—Г»/х/Л — 2м//>/(</ -Л)]-
Произведя снова потенцированіе, найдемъ выраженіе преж-
няго числа въ иной формѣ
7*

— 100 —
Изъ этого видно, что преобразованія чиселъ, основанныя
на теоріи шести алгебраическихъ дѣйствіи, можно посред-
ствомъ логариомовъ производить только четырьмя первыми изъ
этихъ дѣйствій.
> 60. Системы логариѳмовъ. По способамъ, которые раз-
сматриваются въ дополнительномъ курсѣ алгебры, можно вы-
числять логаріюмы всякихъ чиселъ мри всякомъ основаніи.
Совокупность логариомовъ различныхъ чиселъ, вычислен-
ныхъ при одномъ и томъ же основаніи, составляетъ такъ на-
зываемую систему логариомовъ.
Подробныя изслѣдованія о логариѳмахъ показываютъ, что
проще всего вычисляются логаріюмы при основаніи, равномъ
несоизмѣримому числу 2,7182818281...., которое называется
натуральнымъ основаніемъ и обозначается всегда буквой с.
Открывшій логаріюмы, учепып Пейеръ вычислялъ логаріюмы
при основаніи, зависящемъ отъ числа е. Поэтому натуральные
логариомы часто называются, однако по совсѣмъ правильно,
Пейеровыми. Натуральные логаріюмы обозначаются одной буквой
Д такъ что /.А обозначай! ь натуральный логариомъ числа А.
Современникъ Номера, профессоръ Бриггъ вычислилъ лога-
риомы при основаніи 10, которое служитъ основаніемъ всей
нашей системы счисленія. Такіе логаріюмы называются деся-
тичными или Брпгговыми и наиболѣе удобны для практи-
ческихъ вычисленій; они обозначаются буквами /у/, такъ что,
напр., /у/5 обозначаетъ десятичный логариомъ числа 5.
По свойствамъ логариомовъ оказывается, что всѣ логаріюмы
одной системы пропорціональны соотвѣтствующимъ логариѳмамъ
другой, вслѣдствіе чего, когда одна система вычислена, то для
вычисленія другой нужно только помножить найденные лога-
риомы на одно и то же, соотвѣтствующее новымъ логариѳ-
мамъ, число.
Дѣйствительно, положимъ, что намъ извѣстны логаріюмы
всякихъ чиселъ А по системѣ съ основаніемъ п, такъ ч’ѣо
въ равенствѣ А==ну логариомы х считаются вычисленными.
Пусть нѣкоторое число А по системѣ съ основаніемъ А имѣетъ
неизвѣстный логариомъ у/, такъ что Х=/А Тогда имѣемъ ах —
Логариѳмируемъ это равенство по извѣстной системѣ. Полу-
чимъ хЪдаа—уЬу}> или, такъ какъ логариомъ числа, равнаго
основанію, есть единица, то х=^уЬдаІ. Отсюда находимъ, что
— 101
у=г.(ЪдпЪ)-х или, при другихъ обозначеніяхъ, ЪдьХ—ЪдаХ.1\1,
гдѣ V обозначаетъ постояннаго множителя.
То постоянное число, на которое умножаются логариѳмы
одной системы для перехода къ другон, называется модулемъ
повой системы относительно прежней.
Модуль перехода отъ системы натуральной къ системѣ деся -
тичной есть (/>10)-і—0 13429 1151 9....; на ото число нужно
умножать натуральные логариомы, чтобы получать десятичные.
Теорія десятичныхъ логариѳмовъ.
§ 07. Основныя свойства Десятичные логариомы суть ло-
гариѳмы, вычисленные при основаніи 10. Они опредѣляются
равенствомъ Х=10', изъ котораго выводится вся теорія ихъ.
Логариѳмъ единицы по общему свойству всякихъ логариѳ-
мовъ есть пуль. |,есятичныо логариѳмы чиселъ, большихъ еди-
ницы, положительны, а логариѳмы чиселъ, меньшихъ единицы,
отрицательны.
Десятичные логариѳмы чиселъ 10, 100, 1000,.... суть со-
отвѣтственно числа 1. 2, 3,...., т.-е. логариѳмъ всякаго числа,
обозначаемаго единицей съ пулями, есть соизмѣримое,
именно цѣлое, число, равное числу нулей.
Десятичные логариѳмы чиселъ 0,1, 0,01, 0.001,.... суть
соотвѣтственно —1, —2. —3,...., т.-е. логариомъ всякой де-
сятичной дроби съ числителемъ, равнымъ единицѣ, $сть
соизмѣримое, цѣлое количество, равное отрицательному
числу пулей знаменателя.
Логариомы всѣхъ остальныхъ соизмѣримыхъ чиселъ, какъ то
5 2
цѣлыхъ, напр., 2, 5,11,...., или дробныхъ, напр., у, 0,03,1^.»—•>
всѣ несоизмѣримы. Для доказательства этого мы докажемъ
обратно, что всякіе соизмѣримые логариомы, кромѣ вышеука-
занныхъ цѣлыхъ, соотвѣтствуютъ несоизмѣримымъ числамъ.
Дѣйствительно, если то Х=10д=//10"=у 2".5", а это
число X всегда, несоизмѣримо, кромѣ случая, когда а дѣлит-
— 102 —
ся на Ь. Подобнымъ же образомъ, если то Х=10 ь =
-—> и, слѣдовательно, при этомъ X такай* несоизмѣримо,
*
кромѣ того же особаго случая, когда а. дѣлится на 6.
Итакъ, десятичные логарпомы паи чаще употребительныхъ
чиселъ, за очень рѣдкими исключеніями несоизмѣримы.
Несоизмѣримые логарпомы вычисляютъ съ однообразной
степенью точностью, преимущественно, до одной стотысячной,
т.-е. съ пятью десятичными знаками долей. Такъ, напр., 7г/3=
=0,17712, 4/5=0,69897 и т. под..
При употребленіи десятичныхъ логариомовъ самыя числа
выражаютъ обыкновенно по десятичной системѣ, устраняя
формы простыхъ дробей, какъ, напр., 2^ и т. под, взамѣнъ
которыхъ вводятся десятичныя формы. Логарпомы же пред-
ставляютъ, какъ сказано, пятизначными десятичными фо-
бами —съ цѣлыми прибавками пли убавками; напр., 4/500=
=0,698974-2, т.-е., короче, 2,69897, а 4/0,05=0,69897—2,
или, обозначая короче, 2,69897, при чемъ знакъ отрицатель-
ности цѣлаго количества пишется вверху.
Дробная часть логариѳма называется ого мантиссой, а. цѣ-
лый прибавокъ или убавокъ—его характеристикой. Папр.,
въ выраженіи 4/500=2,69897 мантисса обозначена цифрами
69897, а характеристика равна 2.
Логариѳмы чиселъ, большихъ единицы, положительны и
потому оіш имѣютъ также пололіительную характеристику;
логарпомы чиселъ, меньшихъ единицы, отрицательны, но ихъ
представляютъ въ искусственной формѣ, такъ чтобы мантисса
была положительна, а одна характеристика отрицательна.
Напр., 4/0,05 пишется въ видѣ 0,69897—2. а его истинное
значеніе есть —1,30103.
Всякій отрицательный логариомъ можно привести къ ука-
3 7
занной искусственной формѣ. Возьмемъ, напр., 1д
=0,17712—0,69897=—0,22185. Чтобы преобразовать этотъ
истинный логариомъ въ искусственную форму, прибавимъ
къ нему 1, а потомъ укажемъ вычитаніе единицы. Получимъ
4/|=(1—0,22185)—1=0,77815—1=1,77815. Возьмемъ еще
іоз —
- ///200=0,845 10—2,30103=—! ,45593.
Поступая
подобію предыдущему, находимъ: ///., у=(2—1,45593)—2=
=0,54407—2=2,54407.
§ 68. Свойства мантиссы и характеристики. Вообразимъ
нѣкоторое число, соизмѣримое или несоизмѣримое, но содер-
жащееся между 1 п 10. Обозначимъ это число въ видѣ
а]м-<!еі'...., гдѣ а есть одна изъ значащихъ цифръ, а деся-
тичные знаки долей 6, г, і/. е, / могутъ быть или значащія
цифры, или нули.
Вслѣдствіе того, что взятое число содержится между 1 и 10,
логариомъ его содержится между Опіи потому этотъ лога-
риомъ состоитъ изъ одной мантиссы безъ характеристики пли
имѣетъ характеристикой нуль. Обозначимъ этотъ логариомъ
въ видѣ 0,ар7?с.. гдѣ а, [і, у, о, г суть нѣкоторыя цифры.
Теперь произведемъ. отъ даннаго числа два ряда новых ъ
чиселъ, умножая данное число па 10. 100, 1000.... и дѣля
его па тѣ же числа. Логарпомы новыхъ чиселъ составимъ на
основаніи теоремъ о логаріюмировапіи произведенія и частнаго:
Ідаф<>1е(....=0г ...
////г//,сѵ/с/'....=1 /х^іусь.... 1,а[ѣуог....
Л/нбг//,е/....=3,арусг.... 7//0,ООпбс....=3,а|Зусг
Вслѣдствіе неопредѣленности обозначенія цифръ буквами,
мы можемъ считать что въ предыдущей таблицѣ заключены
всевозможныя числа съ ихъ десятичными логариомамп. раз-
сматривая таблицу, приходимъ къ такимъ заключеніямъ:
Свойство мантиссы. Мантисса зависитъ отъ вида цифръ
числа и послѣдовательности этихъ цифръ, но совсѣмъ не за-
виситъ отъ расположенія запятой въ обозначеніи этого числа.
Мантиссы логарпомовъ чиселъ, имѣющихъ десятичное
отношеніе, т.-е. такихъ, которыхъ кратное отношеніе равно
какой-либо цѣлой степени десяти, одинаковы; напр., лога-
риомы ///50=1,69897 и ///0.005=3,69897 имѣютъ одинако-
вую мантиссу; также логарпомы ///0,7=1,84510 и ///700=
=2.84510 не различаются мантиссами.
— 104 —
Свойство характеристики. Характеристика зависитъ отъ раз-
ряда наивысшихъ единицъ пли десятичныхъ долеіі числа, но
совсѣмъ не зависть отъ вида цифръ числа. Чтобы выразить
въ краткой и общей формѣ свойство характеристики, обоб-
щимъ аріюметпческое понятіе о разрядахъ чиселъ. Условимся
считать числа е/яг/е/’...., числами поло-
жительныхъ разрядовъ — перваго, второго, третьяго и т. д,
разрядъ числа О/х/яѵ/е.... будемъ считать нулевымъ, а числа
0,0х/6с7...., О,ОО«Лс.. ., О.ОООп//.... будемъ считать числами отри-
цательныхъ разрядовъ -мппусъперм ваго,пнусь второго, минусъ
третьяго и т. д.. 'Тогда можемъ сказать вообще, что характе-
ристика логарпома всякаго десятичнаго числа на еди-
ницу меньше количества, указывающаго разрядъ. Напр.,
характеристика Л/2000 есть 3, характеристика /'/О 03 есть —2
и т. под..
§ 69. Составь и употребленіе таблицъ. Размѣръ и спо-
собъ расположенія различныхъ таблицъ логариомовъ значи-
тельно различаются. Къ числу наиболѣе полныхъ относятся
таблицы Вега, въ которыхъ даны логариомы чиселъ отъ 1 до
100000, вычисленные съ точностью до одной десяти милліон-
ной, т.-е. съ семью десятичными знаками долей. Для большин-
ства вычисленій такая степень точности излишня. Мы огра-
ничимся объясненіемъ таблицъ .Іаланда, въ которыхъ помѣ-
щены логариомы чиселъ отъ 1 щ 1 ОООй, вычисленные съ точ-
ностью до одной стотысячной, т.-е. съ нятью десятичными
знаками долеіі. Хотя, какъ сказано, въ утихъ таблицахъ со-
держатся логариомы не болѣе какі. четырехзначныхъ чиселъ,
но при посредствѣ дополнительныхъ простыхъ вычисленіи
можно составлять логаріюмы и болѣе сложныхъ чиселъ, пяти-
значныхъ и шестизначныхъ.
Въ таблицахъ .'Іаланда на первыхъ 11-1 ('границахъ вы-
писаны 10000 послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ и рядомъ
съ ними направо соотвѣтствующіе имъ логаріюмы въ формѣ
десятичныхъ дробей. Каждая страница раздѣляется на три
вертикальныхъ отдѣленія и содержитъ въ себѣ 90 чиселъ
вмѣстѣ съ ихъ логаріюмами.
Па первыхъ 13 страницахъ оти отдѣленія состоятъ каждое
изъ двухъ вертикальныхъ столбцовъ, изъ которыхъ первый,
обозначенный буквой Лг (Ь’отЪгез), содержитъ рядъ послѣдо-
вательныхъ чиселъ, а второй, обозначенный буквами Ьод
— 105 —
(ІіО&агіПітев). рядъ соотвѣтствующихъ логариомовъ. Эта часть
таблицъ могла бы быть совсѣмъ опущена, потому что, по
извѣстному свойству мантиссъ, всѣ содержащіяся здѣсь ман-
тиссы повторяются дальни*.
Начиная съ 11-й страницы, гдѣ появляются логариомы
четырехзначныхъ чиселъ, къ указаннымъ двумъ столбцамъ
присоединяется въ каждомъ вертикальномъ отдѣленіи третій,
обозначенный буквой I) (І)іН'егеіісе8). Въ этомъ столбцѣ при-
ведены разности каждыхъ двухъ послѣдовательныхъ мантиссъ,
или такъ называемыя табличныя разности, при чемъ ука-
заны только числители этихъ разностей, потому что знаменатель
ихъ такъ же, какъ и знаменатель мантиссъ, вездѣ одинаковъ.
Табличныя разности логариомовъ соотвѣтствуемъ постоян-
ному приращенію чиселъ на единицу, по сами не постоянны,
а измѣняются медленно, уменьшаясь постепенно съ увеличе-
ніемъ чиселъ. 'Гакъ, на страницѣ 14-й числитель разности
измѣняется отъ 44 до 40, на 25 й отъ 22 до 21, на 55-й
отъ 10 до !) и па 113-й отъ 5 до 4.
Вслѣдствіе того, что разности логариомовъ вообще измѣ-
няются очень медленно, ихъ можно на маломъ протяженіи
таблицъ считать постоянными, а отсюда вытекаетъ важное
для вычисленій съ логариѳмами свойство пропорціональности
между разностями чиселъ и разностями ихъ логариомовъ.
Дѣйствительно, если мы примемъ, что ряду чиселъ, измѣ-
няющихся постоянно па единицу, соотвѣтствуетъ постоянная
разность />, то двумъ числамъ, разнящимся между собою на
какое-нибудь число к, большее единицы пли меньше»? ея
должна соотвѣтствовать разность логариомовъ кі). ТІапр.,
если числу 32-13 соотвѣтствуетъ- табличная разность 11 сто-
тысячныхъ, то для числа 3245,8 приращеніе логарпома бу-
детъ 0,8.11 стотысячныхъ; если числу 0854 соотвѣтствуетъ
табличная разность 7 стотысячныхъ, то для числа 6854,67
приращеніе логарпома будетъ 0.67.7 стотысячныхъ.
Помощью таблицъ рѣшаются ціа вопроса: подыскиваніе
логарпома, соотвѣтствующаго даппому числу и подыскива-
ніе числа, соотвѣтствующаго данному логариѳму.
Въ каждомъ пзь этихъ вопросовъ различаютъ двт случая:
когда цифры числа плп мантисса логарпома содержится въта-
блицахъ, и когда то или другое не содержится въ таблицахъ.
— 10В
Подыскиваніе логариѳма по данному числу. Положимъ, что
нужно наити ///52,74. Такъ какъ это ость число второго раз-
ряда, то характеристика его логариома селъ 1. Мантисса же
его такая, какая соотвѣтствуй ь числу 5271. Отыскавъ по-
слѣднюю на стр. (іі-іі, находимъ ///52.71—1,72214. Если дан-
ное число есть десятичная дробь, меньшая единицы, то разница
будетъ въ томъ, что вмѣсто истиннаго отрицательнаго лога-
риома мы составимъ его искусственную форму съ отрицатель
воіі характеристпкоп и съ положительной мантиссой. Напр.,
отыскивая ///0,02005, замѣчаемъ, что числу 2005 соотвѣтствуютъ
цифры мантиссы 30211 и потому беремъ искомый логариома
въ формѣ 2,30211.
Чтобы наити логариомъ числа, содержащаго въ чис-
лителѣ пе болѣе четырехъ цифръ, нужно, не обращая
вниманія па запятую, которая можетъ раздѣлять циф-
ры числа подыскать въ таблицахъ мантиссу, соотвѣт-
ствующую числителю, и написать характеристикой по-
ложительное пли отрицательное количество, на еди-
ницу меньшее того, которое указываетъ разрядъ дан-
наго чпсла.
Пусть требуется найти ///3,2458. Маптиса этого логариома
такая жо, какъ у ///3245 8. Новое число больше числа 3245,
содержащагося въ таблицахъ, па 0,8. Танъ какъ прираще-
нію числа па 1 соотвѣтствуетъ приращеніе логариома, т.-с.
табличная разность, равная 14 стотысячнымъ, то прираще-
нію числа па 0.8 соотвѣтствуетъ приращеніе логариома, рав-
ное 14.0,8 стотысячныхъ. Число 14.0,8 равно 11,2' Изъ
предыдущаго видно, что искомая мантисса ///3245,8 больше
подысканной мантиссы ///3215 на 11,2 стотысячныхъ. Отбра-
сывая цифру 2, соотвѣтствующую милліоннымъ долямъ, при-
бавляемъ къ подысканной мантиссѣ 0,51121 вычисленную
разность 0,00011 и находимъ искомую мантиссу 0,51132.
Наконецъ, замѣтивъ, что для опредѣленія логариома давалось
число перваго разряда, находимъ окончательно ///3,2458=
=0,51132.
Опредѣлимъ еще /г/0,00548172. Мантисса этого логариома.
такая же, какъ у ///5484,72. Новое число больше числа
5484, содержащагося въ таблицахъ, па 0,72. Гакъ какъ
приращенію числа на 1 соотвѣтствуетъ приращеніе лога-
риома, или табличная разность, равная 8 стотысячнымъ, то
107 —
приращенію чпсла на 0,72 соотвѣтствуетъ приращеніе лога-
риома, равное 8.0,72 стотысячныхъ. Число 8.0.72 равно 5,76.
Изъ предыдущаго видно, что искомая мантисса Л/5184,72
больше подысканной мантиссы ///5184 па 5,76 стотысячныхъ.
Отбрасывая цифры 76. соотвѣтствующія милліоннымъ п іесяти-
милліоіпіымъ долямъ, и замѣняя притомъ цифру 5 па 6, при-
бавляемъ къ подысканной мантиссѣ 0,73010 вычисленную
разность 0,00006 и находимъ искомую мантиссу 0,73916.
Наконецъ, замѣтивъ, что для опредѣленія логариома дава-
лось число минусъ второго разряда, находимъ окончательно
///0,00548472=3,73916.
Чтобы найти логариомъ чпсла, содержащаго въ чис-
лителѣ болѣе четырехъ цифръ, нужно подыскать въ таб-
лицахъ число, обозначенное четырьмя первыми циф-
рами числителя, и выписать соотвѣтствующую этимъ
четыремъ цифрамъ мантиссу; затѣмъ умножить таб-
личную разность мантиссъ па число, обозначенное
отброшенными цифрами, въ произведеніи откинуть
справа столько цифръ, сколько ихъ было откинуто
въ данномъ числѣ и результатъ придать къ послѣд-
нимъ цифрамъ подысканной мантиссы; характеристику
же поставить, сообразуясь съ разрядомъ даннаго числа.
Подыскиваніе числа по данному логариѳму. Положимъ, что
нужно найти число, соотвѣтствующее логариому 2,77041.
Подыскивая по таблицамъ данную мантиссу, находимъ
на страницѣ 68-й. Ей соотвѣтствуетъ число 5894. По такъ
какъ данный логариомъ имѣетъ характеристику 2, то ему
должно соотвѣтствовать число третьяго разряда, и потому
2Ѵ7//2,77041=589,4.—Если вмѣсто положительнаго логариома
данъ отрицательной въ искусственной формѣ, то разница
будетъ въ томъ, что искомое число окажется дробью, мень-
шой единицы. Напр., отыскивая число но логариому 1,91929,
замѣчаемъ, что данная мантисса соотвѣтствуетъ числу 8898,
а потому Л7//1,94929=0,8898.
Чтобы найти число по логариому, котораго мантисса
содержится въ таблицахъ, нужно, но обращая внима-
нія на характеристику, подыскать въ таблицахъ число,
соотвѣтствующее мантиссѣ, и затѣмъ постановкой
— 108 —
запятой отнести это число къ тому разряду, который
указывается характеристикой.
Мантиссы нужно всегда подыскивать въ топ части таб-
лицъ, которая содержитъ четырехзначныя числа и начинается
съ страницы 11.
Предшествующія страницы таблицъ содержатъ только часть
мантиссъ, которыя повторяются дальше и дополняются мно-
гими промежуточными.
Пусть требуется найти .Ѵб/1,58696. Данная мантисса не-
содержится въ таблицахъ, но, подыскивая ее, мы найдемъ
на стр. 15-й ближайшую меньшую 58692 которой соотвѣт-
ствуетъ число 3863. Данная .мантисса больше подысканной
на 1 стотысячныхъ. 'Гакъ какъ табличная разность, равная
12 стотысячныхъ, соотвѣтствуетъ приращенію числа на едп
ницу, то разность логариомовъ 1 стотысячныхъ соотвѣт-
ствуетъ приращенію числа, меньшому единицы въ отношеніи
угу Число ]2 приблизительно равно 0,3. Изъ предыдущаго
видно, что искомое число больше подысканнаго на 0,3. Отбра-
сывая запятую, приписываемъ цифру 3 справа къ цифрамъ
подысканнаго числа 3863 и находимъ число 38633. Наконецъ,
замѣтивъ, что разрядъ искомаго числа указывался характе-
ристикой имѣемъ окончательно А7//1,58696—38,633.
Простую гробь, которая выражаетъ приращеніе числа,
всегда выражаютъ въ десятичныхъ доляхъ, ограничиваясь,
обыкновенно первымъ знакомъ долей.
По можно вычислять ее точнѣе, опредѣляя два знака долей.
Опредѣлимъ еще А7//2,89591. Данная мантисса не содер-
жится въ таблицахъ, по, подыскивая ее, мы находимъ бли-
жайшую меньшую 89586, которой соотвѣтствуетъ число
7868. Данная мантисса больше подысканной на 5 стоты-
сячныхъ. 'Гакъ какъ табличная разность, равная 6 стоты-
сячнымъ, соотвѣтствуетъ приращенію числа на 1, то раз-
ность логариомовъ 5 стотысячныхъ соотвѣтствуетъ прира-
• . 5 5
щеппо числа, меньшему единицы въ отношеніи Число у-
приблизительно равно 0,83. Изъ предыдущаго видно, что
искомое* число больше подысканнаго па 0,83. Отбрасывая за-
пятую, приписываемъ цифры 83 справа къ цифрамъ поды-
сканнаго числа 7868 и находимъ число 786883. Наконецъ,
замѣтивъ, что разрядъ искомаго числа указывался характе-
ристикой 2, находимъ окончательно Л7//2,89591=0,0786883.
Чтобы найти число по логариѳму, мантисса кото-
раго не содержится въ таблицахъ, нужно подыскать
ближайшую меньшую мантиссу и выписать соотвѣт-
ствующее ей число; потомъ составить отношеніе раз-
ности мантиссъ данной и подысканной къ разпостп
табличной и выразить это отношеніе десятичной
дробью съ одной или двумя цифрами долей; получен-
ныя цифры долей приписать справа къ выписаннымъ
цифрамъ числа, отчего и составится искомая совокуп-
ность цифръ; разрядъ же числа опредѣлить сообразно
характеристикѣ даннаго логариѳма.
§ 70. Вычисленія СЪ логариѳмами. Положительные лога-
риѳмы чиселъ, большихъ единицы, представляютъ ариѳмети-
ческія суммы ихъ характеристики и мантиссы. Поэтому дѣй-
ствія съ ними производятся но обыкновеннымъ ариѳметическимъ
правиламъ.
Отрицательные логарпомы чиселъ, меньшихъ единицы раз-
сматриваются въ особой формѣ; они представляютъ алгебраи-
ческія суммы отрицательной характеристики и положительной
мантиссы. Поэтому дѣйствія съ ними производятся по алге-
браи ческимъ пра виламъ.
При употребленіи отрицательныхъ логариомовъ нужно ясно
различать ихъ истинныя значенія и искусственныя формы.
По данному истинному значенію можно составить искус-
ственную форму и наоборотъ но искусственной формѣ можно
найти истинное значеніе.
Положимъ, что истинное значеніе отрицательнаго логариѳма
есть —2,63458. Чтобы преобразовать его въ искусственную
форму, нужно разложить данное отрицательное количество на
отрицательное цѣлое и положительную дробь. Для этого со-
единяемъ характеристику съ отрицательной единицей, а ман-
тиссу съ положительной единицей. Получимъ —2.63458=
=3,36542.
Подобно этому —0 79124=1,20876.
Чтобы преобразовать истинное значеніе отрица-
тельнаго логариѳма въ искусственную форму, нужно
перемѣнить знакъ передъ логарпомомъ, отнеся минусъ
къ характеристикѣ, увеличить числовое значеніе ха-
рактеристики на единицу и замѣнить мантиссу, до-
полняя всѣ цифры ея до девяти, а послѣднюю до десяти.
Положимъ теперь, что искусственная форма логарпома есть
2,54763. Чтобы преобразовать ее въ истинное значеніе, нужно
устранить положительную мантиссу. Для этого отдѣляемъ отъ
характеристики одну отрицательную единицу и соединяемъ ее
съ мантиссой. Получимъ 2,54763=—1,45237.
Подобно этому 1,82476=—0,17524.
Чтобы преобразовать искусственную форму лога-
рпома. въ истинное его значеніе, нужно перемѣнить
знакъ породъ логарпомомъ, устранивъ минусъ при ха-
рактеристикѣ, уменьшить числовое значеніе характе-
ристики па единицу и замѣнить мантиссу, дополняя
цифры ея до девяти, а послѣднюю до десяти.
При вычисленіяхъ съ логариомами приходится производить
съ ними четыре іѣнствія-— сложеніе, вычитаніе, умноженіе и
дѣленіе.
Для производства этихъ дѣйствіи съ искусственными фор
мамп отрицательныхъ логариомовъ имѣются особыя правила:
Чтобы приложить отрицательный логариомъ въ его искус-
ственной формѣ, нужно приложить мантиссу и вычесть
абсолютную величину характеристики. Если отъ сло-
женія мантиссъ выдѣлится цѣлое положительное число, то
нужно отнести его кь характеристики результата. Панр.,
3,89573-|- 2,78452=2,68025,
Г,54978-(-2,94963 = 2/19911.
Чтобы вычесть отрицательный логариомъ въ ого искус-
ственной формѣ, нужно вычесть мантиссу и приложить
абсолютную величину характеристики. Если вычитаемая
мантисса есть большая, то нужно къ уменьшаемой мантиссѣ
отдѣлить положительную единицу отъ характеристики. Напр.,
2,53798—3,84582=4,69216,
2^22689-Т,64853=2,57836.
Чтобы умножить отрицательный логариомъ па положи-
тельное цѣлое число, нужно умножить отдѣльно харак
теристпку и мантиссу. Если при умноженіи мантиссы
выдѣлится цѣлое положительное число, то нужно отнести ого
къ характеристикѣ результата, уменьшивъ соотвѣтственно ея
числовое значеніе. Напр.,
2,53729.5=10.,, 68645=8,68645.
При умноженіи отрицательнаго логарпома на отрица-
тельное количество нужно замѣнить множимое его истин-
нымъ значеніемъ.
Чтобы раздѣлить отрицательный логариомъ на положи-
тельное цѣлое число, нужно раздѣлить отдѣльно харак-
теристику и мантиссу. Если характеристика не дѣлится на
цѣло па дѣлителя, то ее нужно сдѣлать кратной дѣлителя
нрисоеіпнивъ къ пай нѣсколько отрицательныхъ единицъ п
отнеся столько же положительныхъ единицъ кь мантиссѣ.
Напр.,
7,79132 : 5=7 ,,79 132 : 5=1,55886.
При дѣленіи отрицательнаго логарпома па отрицатель-
ное количество нужно замѣнить дѣлимое его истиннымъ
значеніемъ.
Примѣръ 1. Вычислимъ выраженіе
І>,498»'347,5
х 2,534і^ 0,<Ю00(іІ8
.Іогаріюмпруя данное выраженіе, находимъ
/</.г=/</0,498-{-’ ///317,5 -- /</2,5318—р//0,0000648.
Вставляемъ логариомы и производимъ показанныя дѣйствія:
/</.<=1,69723-1—^.2,54095— 0/10395 5’81158 =
= І,69723-|-0,50819— 0.40395—-2,60386=
= 0,20512— 1,00781=1,19761.
Отыскивая Л/</,1,19761, получимъ .<=15.762.
Примѣръ 2. Вычислимъ выраженіе
5..-98 /------------------------------5
0,8387.0,587-
.Іогариомпруя данное выраженіе, находимъ:
_'Л83И+4'Л«І_3,Л8№,+Г,,^Й8
/<Д-- 5-2Уо -- 15,894
Вставляемъ логариомы и производимъ дѣйствія въ числи-
телѣ:
. 3.1,92361 4-5.1.76343 _ 1.77083 | 2,81715_ 2,58798
УХ 15,894 ‘ — 15,894 ~ 15,894 ’
Замѣняемъ искусственную формулу числптсуія его истиннымъ
значеніемъ, обозначивъ абсолютную величину///.г черезъ
получимъ:
, 1,11202 Г7 1,41202
'//•*’ 15,891 ’ I-/-Ч 15,н!>4
. Іогариомируемъ новое выраженіе и находимъ его логариомъ:
1д[Ідх|—///1,41202- Л/15.89 1=0,11981—1.20123=2,94861.
Отыскивая А7//2,94861 имѣемъ
0,08884. откуда Іцх——0,08884=1,91116.
Получивъ такимъ образомъ Ідх, легко находимъ а?=0,815.
§ 71. Показательныя и логариѳмическія уравненія. Пока-
зательными уравненіями называются такія, въ которыхъ не-
извѣстное входить въ показателѣ. .Іогарпомическими уравне-
ніями называются такія, въ которыхъ неизвѣстное входитъ
подъ знакомя, логариома.
Рѣшеніе тѣхъ и другихъ уравненій основано на общихъ
свойствахъ логариомовъ и па очевидномъ принципѣ, состо-
ящемъ въ томъ, что равнымъ числамъ должны соотвѣтство-
вать равные логаріюмы и обратно. Рѣшаются только простѣй-
шія уравненія и опредѣляются въ нихъ обыкновенно простѣй-
шіе корпи.
II р и м ѣ р ъ 1. Дано иоказательное ур-ніе у/ г 4 • — -=1/2.
Возводимъ обѣ части въ шестнадцатую степень; получимъ
4|т’ '=2. Замѣтивъ, что 1=2", уравниваемъ основанія,
выйдетъ 2К‘ І0' '=2. Отсюда слѣдуетъ, что 8г2—ІО.г—2=1;
или 8.г2—10/— 3 = 0. Рѣшивъ полученное ква(ратное урав-
з і
неніе, пандемь а,1=- и ,г2=—
Примѣръ 2. Дано уравненіе яГ—х '=3(1-|-ж ). По-
множаемъ обѣ части на х'} получимъ ./1=3(х Д-1) или
х2-с—З.Р—4= 0. Рѣшая это уравненіе очносптельпо ./' какъ
квадратное, находимъ два рѣшенія х —і и х'=—1. Отсюда
можно опредѣлить догадкой два корня іг1=2 и х.2——1.
Примѣръ 3. Дана система, івухъ уравненій хч=~-у и
д.3—.Іогариомируемъ данныя уравненія; получимъ «///уг=
^хіду и ЪІдх—Ыду. Дѣлимъ новыя уравненія—первое на вто-
рое; выйдетъ «ли у —~х. Подставляемъ найденное вы-
раженіе у во второе данное уравненіе. По сокращеніи обѣ-
ихъ частей па а?8, получимъ ж2= Гу Г Отсюда, ограничиваясь
только положительнымъ рѣшеніемъ, шіходимъ х=\ 0- 5. Послѣ
этого получимъ //=-?\ (|’)==\ Г^)'
Примѣръ 4. Іана система двухъ уравненій 23 =28.г,
12 '=37.і'. Дѣлимъ первое уравненіе на второе, при чемъ х
сокращается; получимъ Для опредѣленія у логариѳ-
мируемъ полученное уравненіе; находимъ уЦд2,3—1д\Т)—
’ 7 - 7 о - '7-'—іуЗ~ т->
—Ід_^—ІдЗі, откуда />=у—— —• Вставляемъ логариѳмы и
1.4471В-1.56*20 0.12104
производимъ вычитанія; найдемъ //=Е36і73_1<оИ>1ь=—•
Обозначимъ абсолютную величину у черезъ [//]. Тогда на-
ходимо ///[//] =///0.12104 —///0,28255 =1,08293 —Т,45110=
= 1,63183. Подыскиваемъ Л7</1,63183=0,42838. Слѣдователь-
но, имѣемъ //=—0,42838. Подставляя найденное значеніе
въ одно изъ данныхъ уравненій, напр., во второе, имѣемъ
ѴЛ283Я
х= — =—. Отсюда слѣдуетъ ідх——0,4283^.///12—///37=
=—0,42838.1,07918—1.56820. Вычисливъ первый членъ
отдѣльно, найдемъ, что Ідх=—0,4623—1,5682=—2,0305=
= 3.96950. Наконецъ имѣемъ с=Л7//3,96950=0,0093218.
Примѣръ 5. Рѣшимъ логариѳмическое уравненіе Ід(х—5)—
— у!д{3х—20)=0,30103. Замѣтивъ, что 0,30103=///2, про-
ѵ ж—5
изводимъ формальное потенцированіе и находимъ 1д
=7/2. Отсюда, переходя отъ логариѳмовъ къ числамъ, полу-
. г— 5 і-------
чимъ ооыкновепное уравненіе -—~ =2, или х—Ъ=2\3.г—20.
\ —2о
Рѣшаемъ его по извѣстнымъ правиламъ: (ж—5)2=4(3ж—20),
Я2—22.г-|-105=0, ж=11 І2Г-105=11 ±4, ж1=15, ж,=7.
Примѣръ 6. Рѣшимъ систему уравненій Ід.г—2/////=0,12494
и 27//ж-}-/////=0,25528. Замѣтивъ, что данныя уравненія пер-
вой степени относительно Ідх и ?////. опредѣляемъ эти лога-
риѳмы по способу уравниванія коэффиціентовъ. Получимъ
///./•=0,12710 и /////=0,00108. Послѣ этого по таблицамъ
найдемъ ж=1.34 и //=1,0025.
Часть II.
§ 72. Счисленіе сложныхъ процентовъ и сложныхъ уплатъ.
При счисленіи процентовъ различаютъ такъ называемые про-
стые проценты и сложные. Если прибыль сосчитывается еже-
годно только съ основного капитала, то говорятъ, что капиталъ
отданъ на простые проценты; если же прибыль за каждый
годъ сосчитывается съ капитала, наращеннаго прибылями за
предшествующіе года, то говорятъ, что капиталъ отданъ на
сложные проценты.
Задачи па простые проценты рѣшаются по способамъ,
разсматриваемымъ въ ариѳметикѣ. Задачи на сложные проценты
требуютъ пособія логариѳмическихъ таблицъ и потому раз-
сматриваются въ алгебрѣ.
Формула сложныхъ процентовъ. Основная формула
сложныхъ процентовъ выводится слѣдующимъ образомъ:
Положимъ, что капиталъ а, отданный въ ростъ по р слож-
ныхъ процентовъ со ста на время і полныхъ лѣтъ, обра-
щается въ концѣ оборота въ сумму А.
Чтобы выразить зависимость указанныхъ чиселъ, разсуж-
даемъ такъ:
Въ теченіе перваго года капиталъ а увеличится въ отно-
100+® /юо+®\ Т1
іпепіи _100 и потому обратится въ «(—) . Въ теченіе
/ІОО+юХ
второго года капиталъ «I —) увеличится въ томъ же от-
ношеніи и потому обратится въ Гоже будетъ про-
должаться и въ послѣдующіе года. Вслѣдствіе этого по исте-
ченіи і лѣть получимъ А=а(^^У. Положивъ для кратко-
сти —10о =2, напишемъ формулу въ видѣ
•
Слѣдовательно, чтобы выразить наращенный за нѣсколько
лѣтъ капиталъ, нужно умножить основной капиталъ а на
число 2, показывающее отношеніе наращенія, возведенное
вь степень числа і лѣтъ.
Выведенное уравненіе содержитъ четыре числа. Зная три
изъ нихъ, можно опредѣлить четвертое. Поэтому рѣшеніе
уравненія можетъ представить четыре различныхъ случая:
115 —
1. Дано а, р, і; найти А. Наращенный капиталъ опредѣ-
ляется основной формулой непосредственно. Въ виду слож-
ности вычисленія обыкновенно пользуются логариѳмами.
Логариѳмируя данную формулу, находимъ:
Рѣшимъ, напр., такую задачу: Во что обратится капиталъ
<6250 рублей, отданный по 41/2%, по истеченіи 12 лѣтъ?
Вычислимъ сначала отношеніе наращенія: д=—™—=1,045.
Затѣмъ вставляемъ числовыя значенія въ указанное логариѳ-
мическое уравненіе и производимъ вычисленіе:
^Л=7<7б25О-|-12&71,045=3.79588-ф-12,0.01912=
=3,79588-|-0,22944=4,02532.
Подыскавъ по таблицамъ Ж?4,02532, находимъ Л=10600.
2. Дано а. р, і; найти а. Изъ основной формулы имѣемъ
<1=4-, а вслѣдствіе этого Іда=1дА—іідд. Вычисленіе совер-
шенно подобно предыдущему случаю.
3. Дапо А, а, р\ найти і. Вопросъ приводится къ рѣше-
нію показательнаго уравненія г/ = . Логариѳмируя его, нахо-
димъ Идд=ІдА—Іда, откуда
№
По смыслу задачи, сообразно съ обыкновеннымъ спосо-
бомъ счисленія процентовъ, рѣшеніе должпо быть выражено
цѣлымъ числомъ.
Примѣчаніе. Если время і помѣщенія капитала пред-
ставляетъ дробное число, положимъ т-|-а, гдѣ т цѣлое число
лѣтъ, а а представляетъ нѣкоторую часть года, то можно
предположить, какъ дѣлается обыкновенно при денежныхъ рас-
четахъ, что за дополнительное время а сосчитываются не
сложные, а простые проценты. Тогда, замѣтивъ, что во врѳ-
. 100+ар
мя а капиталъ увеличивается въ отношеніи —получимъ
вмѣсто прежней формулы—другую Л=<а/|Д-|-10(Ь)-
Если основная формула даетъ для і дробное рѣшеніе, то, •
принявъ цѣлую его часть за ~, можно вычислить дополнитель-
ное время по второй формулѣ.
8*
4. Дано -1. і; найги р. Беремъ опять формулу =Д но»
замѣчаемъ, что въ этомъ случаѣ она будетъ представлять не
показательное уравненіе, а алгебраическое двучленное сте-
пени і. Для вычисленія все-таки употребляемъ логариомы.
Логариѳмируя, имѣемъ іІуд—ТдА—Ьуа. откуда Ідд= .
Вычисливъ д, находимъ р по формулѣ ^=100(2—1).
Формула срочныхъ уплатъ. При займахъ въ банкахъ
дѣлаютъ обыкновенно условіе, чтобы долгъ вмѣстѣ съ нара-
стающими на него процентами погашался въ теченіе нѣкото-
раго срока ежегодными взносами. Такіе ежегодные взносы на-
зываются срочными уплатами.
Если сумму долга обозначимъ черезъ Л, срочную уплату,
постоянную для каждаго года, черезъ а. отношеніе нараще-
нія черезъ д и время черезъ I, то формулу, посредствомъ
которой рѣшаются задачи на срочныя уплаты, можемъ вывести
такимъ разсужденіемъ:
Долгъ А въ теченіе перваго года обратится въ Ад. тіо
должникъ внесетъ а рублей и потому къ началу слѣдующаго
года долгъ будетъ Ад—а. Эта сумма въ теченіе второго года
обратится вь Ад2—шр, но послѣ второй срочной уплаты къ на-
чалу слѣдующаго года останется долгу Ад-—ад—а. По ис-
теченіи трехъ лѣтъ размѣръ долга выразится черезъ А А—
—ад-—ад—а. Продолжая разсуждать такъ далѣе, найдемъ,
что по истеченіи і лѣтъ размѣръ долга выразится черезъ
Ад—а1~—ад~2---------а‘1—" По. такъ какъ по условію
въ указанный срокъ долгъ долженъ быть погашенъ, то предъ-
идущее выраженіе должно быть равно нулю. Такимъ обра-
зомъ находимъ формулу
которую легко привести къ виду
Рѣшеніе предыдущаго уравненія представляетъ четыре раз-
личныхъ случая, смотря по тому, какое изъ четырехъ чиселъ
^4, а, д> и і опредѣляется по тремъ другимъ.
1. Поскольку нужно уплачивать ежегодно, чтобы въ I лѣтъ
уплатить долгъ въ А рублей, запятый пор процентовъ со ста?
Въ этомъ случаѣ ищется і.
Выражая л изъ основной формулы, находимъ
«=
Сначала нужно отдѣльно вычислить числа 2, 2—1, д г
<2 —1. Затѣмъ подставляемъ всѣ извѣстныя числа въ формулу
и логариѳмируемъ.
Положимъ, напр., что Л=23600, ^=5- и 7=12. Нахо-
димъ непосредственно 2=1,055. п 2—1=0.055. [алѣе имѣ-
емъ 1д<] =12.(21-055=0,27900. 2=УМ),27900=1.9011 и
—1=0,9011. Подставляя въ формулу, получимъ
23600.1,9011.0,055
0.90П
Логариѳмируемъ п вычисляемъ логариѳмъ о:
4^=7223600-^1.9011-^0,055—(20,9011=4,37291-}-
4-0,27900-НГ.74036—1795477=3,43750.
Подыскиваемъ ХІдЗ.43750 и находимъ а—2738.4.
2. Какой долгъ, занятый по р процентовъ, можно упла-
тить въ і лѣтъ ежегодными взносами по а рублей? Въ этомъ
слѵчаѣ ищется А.
9
Изъ основной формулы находимъ А— Такъ же, какъ
въ предыдущей задачѣ, нужно сначала вычислить отдѣльно
числа д, §—1, 2 и Ч—1- затѣмъ подставить всѣ извѣстныя
числа въ формулу и логариѳмировать.
3. Во сколько лѣтъ можно уплатить долгъ въ Л рублей,
занятый по р процентовъ, уплачивая ежегодно по а рублей?
Искомымъ является число і.
У пичтоживъ знаменателя въ основной формулѣ п раскрывъ
скобки только во второй части, имѣемъ Л2Ч2—1')=^—а-
Полученное показательное уравненіе рѣшаемъ относительно
2 и находимъ
О
0. =а—А(<{—Ѵ)'
Такъ какъ ч должно быть положительно, то вопросъ воз-
моженъ только подъ условіемъ «>-Л(2—1). Вставивъ вмѣсто
2 его выраженіе черезъ р, напишемъ это условіе въ видѣ
Но а есть ежегодный взносъ, а выраженіе пред-
— 118 —
ставляетъ процентныя деньги, нарастающія ежегодно на взя-
тый долгъ А. Поэтому, сопоставляя формулу, опредѣляющую-
2, съ условіемъ ея возможности, заключаемъ, что когда сроч-
ная уплата превышаетъ процентныя деньги, го у{ положи-
тельно и время і конечно и дѣйствительно, когда срочная
уплата равна процентнымъ деньгамъ, то (р и I безконечна
велики, и наконецъ, когда срочная уплата меньше процент-
ныхъ денегъ, то 7 отрицательно и і не можетъ быть дѣйстви-
тельнымъ количествомъ.
Когда условіе возможности вопроса удовлетворяется, то, лога-
риомируя выведенную формулу послѣ отдѣльнаго вычисленія
знаменателя, нетрудно вычислить і. При этомъ искомое время
въ смыслѣ обыкновеннаго счисленія срочныхъ уплатъ должна
выразиться цѣлымъ числомъ.
Если при вычисленіи окажется і не цѣлымъ, напр., получится
/=т-|-а, гдѣ ~ цѣлое и а меньше единицы, то это покажетъ,
что данной срочной уплатой нельзя погасить всего долга и что
по истеченіи цѣлаго числа ~ лѣтъ останется часть долга, оче-
видно меньшая срочной уплаты а. Такой остатокъ долга можно
вычислить по формулѣ .і—А(р—для вывода которой
нужно повторить только тѣ же разсужденія, какія примѣня-
лись при выводѣ основной формулы.
4. Какіе проценты нужно назначить, чтобы долгъ въ А
рублей, взятый на і лѣтъ, погашался ежегодными взносами по
« рублей? Искомымъ является число 2-
Въ основной формулѣ нельзя обыкновеннымъ способомъ
уничтожить знаменателя, потому что дробь въ этой формулѣ;
содержитъ неизвѣстное и оказывается сократимой. Сдѣлавъ
сокращеніе, получимъ Ау =н(2/-1-|-2/_ Ч----1~1) или, пере-
неся всѣ члены въ первую часть, А у—ау*~}--«=0. По-
лученное уравненіе есть алгебраическое степени I и его нельзя
рѣшить вообще- Возможно только приближенное и очень слож-
ное вычисленіе послѣдовательпыми приближеніями. Для этого
нужно наугадъ задаться какимъ пибудь числомъ р и по преж-
ней формулѣ вычислить долгъ А, а затѣмъ послѣдовательно
увеличивать или уменьшать р, смотря по тому, даетъ ли вы-
численіе долга А величину меньшую, или большую истинной»
119 —
Теорія соединеній.
§73. Размѣщенія. Если изъ ряда какихъ-либо предметовъ
составляются различныя группы, отличающіяся взаимно или
порядкомъ предметовъ, или самими предметами, то такія группы
вообще называются соединеніями. Предметы, изъ которыхъ
составляются соединенія, называются элементами.
Въ теоріи соединеній элементы обозначаются буквами, напр.,
а, 1>, г, (I.....<?, г, а самыя соединенія послѣдовательностями
буквъ, напр., «г, аЬк, < пікр.
Въ общемъ случаѣ число всѣхъ данныхъ элементовъ обо-
значаютъ черезъ п и предполагаютъ, что изъ всѣхъ данныхъ
элементовъ составляются соединенія по к предметовъ въ каж-
домъ отдѣльномъ.
Различаютъ главнымъ образомъ два вида соединеній, смотря
по тому, принимается ли въ расчетъ различіе элементовъ и
различіе порядка, или только различіе элементовъ безъ отно-
шенія къ порядку ихь. Въ первомъ случаѣ соединенія назы-
ваются размѣщеніями, во второмъ—сочетаніями.
Размѣщеніями называются такія соединенія, кото-
рыя при одинаковомъ числѣ элементовъ въ каждой
группѣ различаются или самими элементами, или по-
рядкомъ ихъ.
Напр., размѣщенія изъ трехъ элементовъ по два суть «6, ас,
Ъа, Ъс, са, сЪ.
Число размѣщеній изъ п элементовъ по к обозначается
символомъ Л1п, при чемъ буква А напоминаетъ французское
названіе размѣщенія агган§етепі. Такимъ образомъ имѣемъ
Л|=6.
Размѣщенія изъ п элементовъ можно составлять по одному,
по два, по три и т. д., по п—1 и наконецъ по ѣ.
Теорія размѣщеній рѣшаетъ два вопроса; какъ составить
размѣщенія всякаго вида и какъ вычислить числа ихъ.
Чтобы составить размѣщенія изъ н элементовъ по одному,,
нужно расположить всѣ элементы отдѣльно, такъ:
' а, Ъ, с, <1,.... ц, г.
Изъ этого ВИДНО, ЧТО А'„=П.
Чтобы составить размѣщенія изъ п элементовъ по два, бе-
ремъ элементъ а и присоединяемъ къ нему всѣ остальные,
затѣмъ беремъ элементъ Л и присоединяемъ къ нему всѣ
остальные, и т. д., наконецъ беремъ послѣдній элементъ г и
присоединяемъ къ нему всѣ остальные. Таблица размѣщеній
напишется въ видѣ четыреугольника:
а!>. ас, а<Ц..... «г,
Ъа. Іи-, Ъіі,...., !><}, Ьт,
1'(І, гІ>. гс...... тр, тд.
Въ этомъ четыреугольникѣ число горизонтальныхъ рядовъ
равно числу элементовъ, т.-е. п. а число размѣщеній въ каж-
домъ ряду равно п—1. Поэтому Л,*=я(я—1).
Чтобы составить размѣщенія изъ п элементовъ по три. бе-
ремъ каждое изъ всевозможныхъ размѣщеній по два и при-
соединяемъ къ нему каждый изъ остальныхъ элементовъ. По-
лучимъ таблицу въ видѣ четыреугольника:
аЪс. аМ,...., а.Ьу, аЬг,
!><и\ ,...., Ьау, Ьиг,
Щ", ....., Г(1Р-
Въ этомъ четыреугольникѣ число горизонтальныхъ рядовъ
равно числу размѣщеній изъ п по два, т.-е. п(п—1), а число
размѣщеній въ каждомъ ряду равно п—2. Поэтому АІ—
—п (ъ—1) (?г—2).
Разсуждая по аналогіи, видимъ, что вообще размѣщенія
нужно составлять не иначе, какъ послѣдовательно, т.-е. если
нужно составить размѣщенія изъ п по А", то сначала состав-
ляемъ размѣщенія изъ п по одному, потомъ по два, по три
п т. д., по к—1 и наконецъ по к. при чемъ общій способъ
составленія заключается въ томъ, что когда составлены все-
возможныя размѣщенія одного вида, то нужно брать каждое
изъ нихъ и присоединять къ нему послѣдовательно всѣ осталь-
ные элементы.
Что касается до опредѣленія числа размѣщеній, то изъ до-
казанныхъ формулъ П,=?2, А'—п(п—1), А\—п(п—1)(я—2)
заключаемъ по аналогіи, что А*=п(п—1)(«—2)(я—3) и вообще
А, =п(п—ІДп—2)....[и—(/і—1)]==п(я—1)....(я—
т.-е. число, обозначаемое символомъ А. равно произ-
Г21
веденію к послѣдовательныхъ уменьшающихся цѣ-
лыхъ чиселъ, начиная съ п, пли нижняго значка сим-
вола, и кончая числомъ »—пли числомъ, боль-
шимъ разности значковъ па единицу.
Примѣръ 1. Сколько можно составить обозначеній дву-
значныхъ чиселъ изъ цифръ 2, 4. 6. 8? Искомое число есть
Лй=4.3=12. Самыя числа пишутся такъ: 24, 26. 28, 42,
-46. 48, 62, 64. 68. 82, 84, 86.
Примѣръ 2. Сколько можно составить обозначеній трех-
значныхъ чиселъ изъ цифръ 1, 2, 3. 4, 5? Искомое число есть
.Л =5.4.3=60. Чтобы составить всѣ зги трехзпачныя числа,
нужно выписать сначала всевозможныя двузначныя числа, обо-
значенныя нарами данныхъ цифръ, и затѣмъ къ обозначенію
каждаго изъ вышеписанныхъ чиселъ приписать каждую изъ не-
достающихъ въ немъ цифръ.
§74. Перестановки. Перестановками или перемѣщеніями
называются такія соединенія, которыя составляются каждый
разъ пзъ всѣхъ данныхъ элементовъ и потому отличаются
только порядкомъ элементовъ. Напр., перестановки изъ трехъ
•элементовъ суть иЪс. «сЪ. Ыіс. Ъса. саЪ, ска.
Число перестановокъ изъ п элементовъ обозначается симво-
ломъ съ однимъ значкомъ Р , при чемъ буква Р напоминаетъ
-французское названіе перемѣщенія—регппПаііоп. Такъ Р,=6.
Очевидно, что перестановки представляютъ частный видъ
размѣщеній.
Перестановки пзъ п элементовъ суть размѣщенія изъ п
элементовъ по п.
С лѣдовательно, чтобы составить перестановки изъ даннаго
числа элементовъ, нужно составлять пзъ нихъ размѣщенія
всевозможныхъ видовъ, до послѣдняго вида, въ которомъ ока-
жутся уже не размѣщенія собственно, а перестановки.
Чтобы опредѣлить число перестановокъ, нужно въ общей
•формулѣ числа размѣщеній положить второй значокъ равнымъ
первому и тогда получимъ уі =я(« —1)....2.1, или. написавъ
иначе, Р, =1.2....(«—1)п. т.-е. число перестановокъ изъ п
элементовъ равно произведенію ряда натуральныхъ чиселъ отъ
1 ДО 11.
Есть другой способъ для составленія перестановокъ и для
опредѣленія ихъ числа.
Въ объясненномъ способѣ мы брали сразу всѣ даппыѳ-
элементы, по послѣдовательно увеличивали число элементовъ
въ группѣ, а въ новомъ способѣ будемъ постепенно увеличи-
вать число элементовъ, но пзъ взятыхъ элементовъ составлять
сразу всѣ группировки.
Одинъ элементъ а даетъ одну перестановку а.
Изъ двухъ элементовъ а и Ъ составляются двѣ перестановки
аЬ и /а.
Чтобы составить всѣ перестановки изъ трехъ элементовъ
а, Ь, с, беремъ каждую предыдущую перестановку изъ двухъ-
и ставимъ въ ней элементъ < на третьемъ мѣстѣ, на вто-
ромъ и на первомъ. Получимъ перестановки аЬс, асЬ, саЬ,
Іас, Ъ‘ѵ, сЬи, которыхъ число есть 2.3 или 6.
Чтобы составить всѣ перестановки изъ четырехъ элемен-
товъ а, 1>, с, </, беремъ каждую предыдущую перестановку
изъ трехъ и ставимъ въ пей новый элементъ <1 на четвер-
томъ мѣстѣ, не третьемъ, на второмъ и на первомъ. Полу-
чимъ перестановки аЬс<1, аЫс, ікІЪс, <ІаЪ<\ асЫ, апІЬ, тІсЬ.,
(ІасЬ, саЬ<1, <а<ІЪ, <І<аЪ, Ъаоі, Ъа<1е, Ыас, <11ніс, Ьса<Ц
Ыса, <И-са, сЬскІ, сЫа, <<ІЪау іісіхі, которыхъ число есть 6.4=24.
Разсуждая по аналогіи, видимъ, что вторымъ способомъ,
какъ п первымъ, можно составить послѣдовательно переста-
новки изъ всякаго числа элементовъ, и что вообще, вводя
новый элементъ, нужно относить его къ каждой изъ состав-
ленныхъ до этого перестановокъ, размѣщая на всевозможныхъ,
мѣстахъ.
Число перестановокъ выводится вторымъ способомъ посред-
ствомъ заключенія по аналогіи пзъ формулъ 7^=1, Р2=1.2,
Р3=1.2.3, 2^=1.2.3.4 несть вообще 1.2.3....», какъ
это и первымъ способомъ было выведено.
§ 75. Сочетанія. Сочетаніями называются такія со-
единенія, которыя при одинаковомъ числѣ элемен-
товъ въ каждой группѣ различаются самими элемен-
тами, хотя однимъ пли вообще нѣсколькими.
Напр., сочетанія изъ трехъ элементовъ по два суть чЬ, ас, 1с.
Число сочетаній изъ п элементовъ по к обозначается сим-
воломъ С”', при чемъ буква С напоминаетъ французское на-
званіе сочетанія—сотйіиаізон. Такимъ образомъ С’;=3.
Сочетанія изъ п элементовъ можно составлять но одному,
по два. по три и т. д., по п—1 и наконецъ по п.
Теорія сочетаній рѣшаетъ два вопроса—какъ составить со-
четанія всякаго вида и какъ опредѣлить число пхъ.
Чтобы составить сочетанія изъ п элементовъ по одпомуг
нужно расположить всѣ элементы отдѣльно, такъ:
Ъ, с, ‘Ц с->.Р, <1, г.
Изъ этого видно, что Сп=П.
Чтобы составить сочетанія изъ п элементовъ по два, бе-
ремъ элементъ а и присоединяемъ къ нему всѣ слѣдующіе за
нимъ, затѣмъ беремъ элементъ Ъ, и присоединяемъ къ нему
всѣ слѣдующіе за нимъ и т. д., наконецъ беремъ предпослѣд-
ній элементъ 7 п присоединяемъ къ нему одинъ послѣдній.
Таблица сочетаніи напишется въ видѣ треугольника:
аІ>, ас, «<1, «с,..., аг
Ъс, М, ЬеЬг
Изъ таблицы видимъ, что С;,=(п——2)4-----
Суммируя эти числа по формулѣ для разностныхъ прогрессій,
найдемъ, что
Чтобы составить сочетанія пзъ п элементовъ по три, бе-
ремъ каждое изъ всевозможныхъ сочетаній по два и присо-
единяемъ къ нему каждый изъ слѣдующихъ за входящими
въ него элементовъ. Получимъ таблицу въ видѣ, сходномъ
съ треугольникомъ:
аЬс, аЬ<1, аЪсаЬг,
асе,...., асг,
Ьс<1, Ъсв,...., йсг,
шЬ1...... а<Іг,
Ые,...., Ъд.г,
С(ІГ,
Ъ(іГ,
раг.
124 —
Изъ способа составленія мы замѣчаемъ, что С,’=1.(я—2)-|~
-|-2.(п—3)-1 |-(и—2).1. Числа такой послѣдовательности,
трудно суммировать тѣми способами, которые намъ извѣстны,
но, какъ увидимъ дальше, окажется С,*==-----6-----•
Предыдущія разсужденія показываютъ по аналогіи, что со-
четанія нужно составлять не иначе, какъ послѣдовательно,
т.-е. если нужно составить сочетанія изъ п по к, то сначала
составляемъ сочетанія изъ п по одному, потомъ по два, по
три и т. д., по /.•—1 и наконецъ по к, при чемъ общій спо-
собъ составленія заключается въ томъ, что когда составлены
всевозможныя сочетанія одного вида, то нужно брать каждое
изъ нихъ и присоединять къ нему каждый изъ слѣдующихъ
за входящими въ него элементами.
Что касается до опредѣленія числа сочетаній, то очень
трудно вывести общую формулу синтетически па основаніи
способа составленія. По легко сдѣлать это аналитически, оты-
скавъ связь числа сочетаній съ раскрытыми ѵже числами раз-
мѣщеній п перестановокъ.
Положимъ, что всѣ сочетанія изъ п по к составлены и во-
образимъ искомое число ихъ С*. Если въ каждомъ изъ со-
ставленныхъ сочетаній перемѣстимъ всѣмп способами входящіе
въ него элементы, то число перестановокъ, полученныхъ изъ
каждаго сочетанія, будеіъ Рд-, а общее число всѣхъ новыхъ
соединеній будетъ С'и.Рь. Но новыя соединенія окажутся все-
возможными размѣщеніями изъ п по к и ихъ число есть А _•
Поэтому имѣемъ С^.Р^—А , откуда слѣдуетъ, чго
С пли с;=-!—--------------------
т.-е. число, обозначаемое символомъ С(, равно произве-
денію к убывающихъ цѣлыхъ чиселъ отъ числа, рав-
наго нижнему значку п, до числа п—7г-}-1, превышаю-
щаго разность значковъ па единицу, дѣленному на
произведеніе к возрастающихъ чиселъ отъ единицы до
верхняго значка.
Примѣръ 1. Сколько изъ четырехъ одноцвѣтныхъ ма-
терій можно составить трехцвѣтныхъ лептъ, различающихся
цвѣтами? Находимъ Сі=^ф|=4.
125 —
Примѣръ 2. Сколько изъ семи одноцвѣтныхъ матерій
можно составить четырех цвѣтныхъ лентъ различающихся цвѣ-
тами? Находимъ С;=35.
§76. Треугольникъ Паскаля. Придавая къ символѣ (7* чис-
ламъ п и к различныя значенія и вычисляя числовыя значе-
нія самаго символа, можемъ получить совокупность особаго
рода цѣлыхъ чиселъ. Разсматривая эти числа, дополняютъ
ихъ условно воображаемымъ символомъ С„, принимая, что
этотъ символъ при всякомъ п представляетъ единицу.
Будемъ постепенно увеличивать отъ пуля нижній значокъ
п и при каждомъ значеніи п будемъ измѣнять верхній значокъ
к отъ пуля до равенства его съ нижнимъ значкомъ. Распо-
лагая числа такъ, чтобы каждому значенію п соотвѣтствовалъ
особый горизонтальный рядъ, получимъ треугольную таблицу:
Эта таблица называется ариѳметическимъ треугольникомъ Па-
скаля. Числа Паскаля обладаютъ любопытными свойствами.
Первое свойство. Два числа одного горизонтальнаго ряда,
записанные рядомъ, составляютъ въ суммѣ записанное подъ
вторымъ изъ нихъ число новаго ряда.
Это свойство выражается формулой С^'Д-С =С'с г
Для доказательства провѣримъ формулу непосредственно.
,т . „ п(п—1).. ..(н~к— 2) п(п—1)....(п—к—1
Имѣемъ С ,=-------Го-;-—Г--------11 С«=--------—
Складываемъ оба выраженія, выводимъ общаго множителя
упрощаемъ выраженіе въ скобкахъ и въ результатѣ распола-
гаемъ числа по порядку; получимъ
__и(п—11...(п—к+2) п(п—Ач 2)(л—А’+1)
« I 1.2....(А—1) “Г 1.2...7Л-ЦА: --
п{ѣ—1)....(л—। >і—^+1\_ п(п—!)-...(»—Л:4-2) г? + 1
~ 1.2....(А—1) Ѵ1”* * 1.2....(А-І) ’ ~~к~~
__(/г+ !)/?....(??—А-+2)
V 1.2... .к
Въ окончательномъ результатѣ мы узнаемъ число по-
тому что множители его начинаются съ нижняго значка п-}-1,
дѣлители оканчиваются верхнимъ значкомъ к, а послѣдній
множитель п—А‘Д-2 есть разность нижняго и верхняго знач-
ковъ, увеличенная единицей.
Доказанное свойство позволяетъ легко вычислять ряды тре-
угольника одинъ за другимъ.
Второе свойство. Два числа одного горизонтальнаго ряда,
равно удаленныя отъ концовъ этого ряда, равны между собою.
Это свойство выражается формулой СКН—С'
Для доказательства провѣримъ формулу непосредственно.
Имѣемъ с:=^Ѵ'7—1
Приводимъ дроби къ общему знаменателю, помножая члены
первой на второго знаменателя п члены второй на перваго, и
въ полученныхъ числителяхъ располагаемъ числа по порядку;
получимъ
п(п—1) ....(п—к +1). 1.2....(л—/>•) 1.2... .(л—к)(п—к+1)... .(и —1)п
іТІО- .1. 2.7Г(^л-) Г727.7 .а7, і .2.. Цп^^к) ’
«(Я—1)... .(А+ 1). 1 2... .к 1.2.» ..А-.(А--Ц)... .(л—1)п
Ѵ 1.2....Щ—А).1.2....А- — 1.2....(л—А).1.2....А-
Въ окончательныхъ результатахъ мы узнаемъ равныя дроби,
потому что знаменатели ихъ равны вслѣдствіе приведенія
ихъ къ равенству, а числители представляютъ одно и то же
произведеніе всѣхъ чиселъ отъ 1 до п, написанное только
съ различіемъ въ обозначеніи промежуточныхъ множителей.
Биномъ Ньютона.
§77. Выводъ формулы. Возьмемъ какой-нибудь двучленъ
или биломъ, который обозначимъ въ видѣ и будемъ
возводить его въ послѣдовательныя степепп съ цѣлыми поло-
жительными показателями, начиная съ нулевого. Сначала
по опредѣленіямъ получимъ °=1, ’=«-}-/>, а за-
тѣмъ непосредственнымъ умноженіемъ можемъ вывести нѣ-
сколько формулъ:
(г/-|-Ь)2==а2-|-2<Ж-Н'2,
(«-{-/,) з=а:,4-За26-|-3«/>24-^3,
(л-|-Ь)4=« 4Д-4« 36-|-6«2624-4«63-|-64,
— 127 —
Обращая вниманіе на коэффиціенты вторыхъ частей, замѣча-
емъ, что эти коэффиціенты выражаются числами 1, 1,1. 1,2,1,
1,3,3,1. 1,4,6,4.1, ...., т.-е. числами послѣдовательныхъ
рядовъ Паскалева треугольника или, иначе, числами послѣдо-
вательныхъ сочетаніи.
Что касается до состава членовъ вторыхъ частей, то замѣ-
чаемъ, что этп вторыя части суть однородные многочлены,
которыхъ измѣренія равны соотвѣтствующимъ показателямъ
степени бинома и въ которыхъ члены расположены правильно
по степенямъ членовъ бпнома а и 6, при чемъ показатели
степени одного члена убываютъ, а другого возрастаютъ.
Для доказательства того, что замѣченные законы коэффи-
ціентовъ и членовъ разложенія степени справедливы вообще,
примѣнимъ способъ математической индукціи.
Этоть способъ доказательства состоитъ въ томъ, что не-
посредственная провѣрка законовъ на частныхъ примѣрахъ
соединяется съ заключеніемъ оть п къ иД-1.
Допустимъ условно, что для какого-нибудь показателя п
справедлива формула, выражающая указанные законы.
(а-^Ъуі=С;<іп~\-С;іап \ап~2Іг-^С-ап~9Ь3 -|-------рС^"-
Умножимъ обѣ части на нД-6, мри чемъ во второй части
произведемъ сначала частное умноженіе на а, потомъ на Ъ
и сложимъ оба результата, располагая члены по степенямъ
п соединяя подобные; получимъ
(Г/_|-0«+ >= С"ап+ С>-2Л3Д 1- С“а1>п Д-
4 2Д-О” 2б 34- •••• Д- С'*-’нб'Ч- +1+
+(С2+ *-|-(С;,-^С^ап- 7>3Д-- 4-0'7,'* + *.
По первому свойству чиселъ Паскаля имѣемъ С*-}-С,'=
==Ся+ъ 6’4“|-Сй=(7и7і, С,,-|—С;',==О„" । и т. д..
Поэтому новая формула принимаетъ видъ
.(«+Ь)«+>=с; іѵг- 4-е,* ,’1Л’7>4- сді«к .а«-2&3Д--Д-
1 /ПГН-+-І7 Н — 1
*
Въ этой формулѣ соблюдаются тѣ же закопы коэффиціен-
товъ и членовъ, которые предполагались въ прежней условно
допущенной.
На основаніи всего предыдущаго заключаемъ вообще, что
при всякомъ показателѣ степени справедлива формула, ко-
торая называется биномомъ Ньютона и пишется обыкно-
венно. такъ:
(«4-Ь) !=п"-}-С'х - ѵ>4- *-}- С'<е1-3/>г+--|-/А
Если въ доказанной формулѣ замѣнимъ Ъ черезъ —&, то
получимъ другую формулу, которая отличается отъ первой
чередованіемъ знаковъ:
(</—Ъу'—а"—
§78. Свойства формулы. Формулу Ньютона можно писать
или въ указанномъ символическомъ видѣ
(•т-і-0) *'=/{“-]- *Ъ-\- С іан _ -Ь - С\а“ ~ Р,Ь'-]-
гдѣ коэффиціенты представлены символами чиселъ сочетаній,
или въ раскрытомъ алгебраическомъ видѣ
I | 7 \ н I »>— 17 1 /?(/7 1) ,.7 , I П[П 1 )(/7— 3) -'7*1 I 17 1
(а-]-Ъ) =а’-у-пип ’о-]——а1 -о—--------р,-..-а ѵ-|------
гдѣ коэффиціенты представлены раскрытыми алгебраическими
выраженіями.
Разсматривая составъ второй части формулы, находимъ
слѣдующія свойства ея:
1. Коэффиціенты членовъ, называемые биноміальными, суть
числа я—*—1-го ряда Паскалева треугольника плп числа все-
возможныхъ сочетаніи пзъ п, включая воображаемое по пулю.
2. Число всѣхъ членовъ равно я-|~1, т.-е. па единицу
больше показателя, потому что таково число послѣдователь-
ныхъ чиселъ сочетаній отъ до С”.
3. Члены многочлена расположены по убывающимъ сте-
пенямъ перваго члена бинома а и по возрастающимъ сте-
пенямъ второго члена б, при чемъ возрастаніе и убываніе
совершается постоянно на единицу п измѣреніе каждаго
члена равно >?.
4. Изъ разсмотрѣнія членовъ второго, третьяго, четвер-
таго можно заключить по аналогіи, что общій членъ АЦ-1-й,
который обозначимъ черезъ ик_ г, имѣетъ видъ ц/.+І=С‘1а"_;6’,
такъ что нижній значокъ числа сочетаній равенъ показателю
степени п, верхній значокъ к равенъ числу членовъ, пред-
шествующихъ опредѣляемому, членъ бинома а имѣетъ пока-
зателемъ разпостькзпачковъ, а членъ Ъ имѣетъ показателемъ
верхній значокъ.
5. Коэффиціенты послѣдовательныхъ членовъ неудобно вы-
числять отдѣльно по формулѣ чиселъ сочетаній. Можно за-
мѣтить правило, по когорому, зная уже нѣсколько членовъ,
легко вычислить коэффиціентъ слѣдующаго. Для этого нужно
взять коэффиціентъ послѣдняго изъ составленныхъ членовъ,
умножить его па показателя буквы а въ этомъ членѣ и
раздѣлить па число всѣхъ составленныхъ членовъ. Въ са-
момъ дѣлѣ, сравнивая вообще два послѣдовательныхъ члена
' ч і> и и, ==( а //, мы, по паЛгрытш чиселъ
к п і+1 п 1 7 X х
хД- хѴ.—1 п—к-\-\
сочетаніи, легко найдемъ, что Сп—Сп —
6. Коэффиціенты членовъ нужно вычислять только до се-
редины разложенія, потому что послѣ этого они начинаютъ
повторяться въ обратномъ порядкѣ. Это есть, какъ извѣстно,
второе свойство чиселъ Паскаля, и чтобы подтвердить его
общимъ заключеніемъ, замѣтимъ только, что членъ />:-|-1-й отъ
начала ость нЛ |=С н” *//, а членъ А-}-1-й отъ конца есть
тотъ, которому предшествуютъ сначала, п—к членовъ, и потому
имѣетъ видъ и ,]=СЛ //’ , при чомь коэффиціенты суть
числа (У‘, и С’*'*, равныя между собой, по прежде доказанному.
Примѣръ 1. Требуется возвести въ степень (2н-}-30
По предыдущимъ указаніямъ (2нЦ-30 ®=(2н)с-р-(і(2н)г’(ЗА)-|-
15(20 '(30 4-20(2") 304-1 5(2") -(304 -ф- 6(2")(30 ’-{-( 30с.
При м ѣ р ъ 2. (2"2-56) 7_ (2"2)7—7(2"2),;(50-|-21 (2"2)г>(502-
—35(2"’) '(50:435(2"2)3(50«-21(2"’) “(50| 7(2"2)(506-(507.
Теорія непрерывныхъ дробей.
§ 7!І. Непрерывныя дроби. Непрерывными или цѣпными
дробями называются выраженія вида
। ш і 1
”ли «-Ьтг
<• I /, «+ 1
<11.... <1 -} ....
гдѣ знаменатель каждой обозначенной дроби состоитъ вообще
пзъ цѣлаго съ новой дробью.
Первое выраженіе, въ которомъ числители тн, п. р,... во-
обще не равны единицѣ, представляетъ общій вщъ непре-
рывной дроби, а второе выраженіе, въ которомъ всѣ числители
равны единицѣ, представляетъ частный видь и называется
обыкновенной непрерывной дробью.
Часть 11. 9
Общій видъ непрерывной дроби обозначается сокращенно
/ т, п,рг...\
символомъ \«, І>, с, а обыкновенная непрерывная дробь
пишется еще короче въ видѣ символа {а, Ь, г, сі,Если
данная непрерывная іробь не содержитъ цѣлаго числа а, то
при сокращенномъ обозначеніи на мѣстѣ а обязательно писать 0.
Т, . III II р 111
Выраженія о, р -, плпп}/ > -> называются звеньями
непрерывной дроби. Изъ нихъ первое обозначается въ теоре-
тическихъ разсужденіяхъ въ формѣ дроби р
Теорія непрерывныхъ дробей относится по преимуществу
только къ обыкновенной дроби, хотя не трудно разсматривать
также свойства общихъ дробей.
Дальше йодъ названіемъ непрерывной дроби будемъ под-
разумѣвать только обыкновенный <« видъ.
Всякую непрерывную дробь, въ которой число звеньевъ
не безконечно велико, можно обратить съ простую іробь.
Для итого нужно только произвести тѣ дѣйствія которыя
указаны въ обозначеніи непрерывной іроби.
Дѣйствія, состоящія только изъ дѣленій и сложеніи, про-
изводятся послѣдовательно, начиная съ послѣдняго звена, и
легко соединяются попарно
Напр., если дана непрерывная дробь 2-|—--р то для обра-
і Гі
г>
. 1 •» 5
щенія ея въ простую, вычисляемъ такъ: 13-|-^—
О I « 22.
• 23—23
Всякую простую дробь можно обратить въ непрерывную
съ конечнымъ числомъ звеньевъ.
Пусть дана несократимая іробь и примемъ сначала, что
она неправильная, т.-е., что
Обозначимъ цѣлое частное отъ дѣленія А на В черезъ о
и остатокъ черезъ /.’. Тогда имѣемъ , при чемъ
Обозначимъ затѣмъ цѣлое частное отъ дѣленія В на к
черезъ Ь и остатокъ черезъ 1. Тогда, раздѣливъ члены новой
дроби р на числителя ея /г, находимъ ^-=^</-[-^=«-1-^—
при чемъ 1<^к. ~к
- 131
Обозначимъ далѣе цѣлое частное отъ дѣленія к на / черезъ
и остатокъ черезъ т. Тогда, раздѣливъ члены новой дроби
на числителя ея 1, получимъ (—ар гдѣ♦»</.
Очевидно, что продолжая такъ далѣе, мы будемъ получать
постенеппо усложняющее выраженіе непрерывной дроби.
Рядъ дѣйствій, ведущихъ къ обращеніи» простои дроби
въ непрерывную, есть тотъ же самый, посредствомъ котораго
отыскивается общій наибольшій дѣлитель между членами А
и Р> данной простои дроби. Дѣйствительно, изъ предыдущаго
ви (по, что для обращенія дроби въ непрерывную мы дѣ-
лимъ А па Н, затѣмъ И на первый остатокъ к, далѣе пер-
вый остатокъ к на второй остатокъ 7. потомъ второй оста-
токъ 1 на третій ш и т. д..
Такъ какъ дробь конечна и несократима, то разсматри-
ваемый рядъ дѣйствіи, во-первыхъ, всегда закончится и
именно тѣмъ, что мы наконецъ дойдемъ до остатка, равнаго
единицѣ. Во-вторыхъ, такъ какъ уія преобразованія іаянои
простой дроби въ непрерывную нужно только знать цѣлыя
частныя а, Іі, с,...., то вычислоліе производится и выписы-
вается совершенно такь же, какъ при отысканіи общаго наи-
большаго дѣлителя, при чемъ по окончаніи его цѣлыя частныя
послѣдовательныхъ дѣленій становятся числами, опредѣляю-
щими дробь (н, І>, с,....).
Мели бы данная простая дробь была правильной, т.-е. бы-
ло бы А Іі, то различіе отъ разобраннаго случая состояло бы
только въ том ь, что первое цѣло»; частное а оказалось бы рав-
нымъ пулю и для опредѣленія второго частнаго пришлось бы
дѣлить Ч на А. II въ этомъ случаѣ вычисленіе производит-
ся и записывается въ томъ же поря щѣ.
Напр., чтобы обратить дробь въ непрерывную, распола-
гаемъ вычисленіе такъ:
О 2 2 12 2
19 : 4’а : 19 : 7 : 5 : 2 : 1
38 II 5 4 2_
~7 ' 5~2 1 О
9*
Въ результатѣ находимъ ^=(0,2,2,1,2,2).
Изъ предыдущаго мы видимъ, что въ непрерывной дроби
(«Дс,....) числа а,6,с,.... аналогичны между собой, какъ част-
ныя одного и того же ряда послѣдовательныхъ дѣленій. Они
называются поэтому частными непрерывной іробп.
$ 80. ПОДХОДЯЩІЯ Дроби. Возьмемъ какую ннбудь непрерыв-
ную дробь съ конечнымъ илп безкош чпымъ числомъ звеньевъ
«+/,у !=(«, ).
<і і
</4 ...+ 1
т. Д-1
Если будемъ прорывать эту іробь на первомъ звенѣ, па
второмъ, на третьемъ и т. д.. то получимъ рядъ конечныхъ
непрерывныхъ дробей, которыя можно обратить въ простыя.
Получаемыя гакимъ образомъ простыя дроби называются под-
ходящими дробями пли приближеніями къ непрерывной дроби
Бтдемъ обозначать подходящія дроби однороіпымъ образомъ
, А В С I)
въ видѣ . > 7.такъ что
-щ "і ' । 'о
А а В । 1 С. .1 I) 1
Л“7» 7-і==г/4-/,.| 1’
< < । і
</
Тогда дроби, соотвѣтствующія какимъ-нибудь частнымъ
I, т, п, будутъ обозначены въ видѣ ( > -?! > ? и т. под..
/>І .1/| дѵ ।
Всякая подходящая дробь вычисляется однообразнымъ спо-
собамъ но двумъ еіі предшествующимъ и по соотвѣтствующему
ей частному.
Для доказательства разсмотримъ сначала нѣсколько первыхъ
подходящихъ дробей, при чемъ замѣтимъ, что первая и вторая
дроби составляются непосредственно, третью .можно вывести
изъ второй, замѣняя Ъ черезъ 7>-|-\ четвертую можно вывести
_ , ,1
изъ третьей, замѣняя г черезъ и т. д.. Имѣемъ:
— 133 —
Р ,ЧС+</)+“ + Г+а »^ । а*-І-^4 «М-1
Рі / Г\ Ьс4+Ь+>1
'' с+ ; 4 I
\ "/
Преобразуемъ выраженія дробей и такъ, чтобы въ пер-
вомъ пзъ нихъ было выведено за скобки частное* с, а во вто-
ромъ частное г/, т.-е въ обоихъ случаяхъ то частное, кото-
рое соотвѣтствуетъ самой дроби. ІІолучпмъ
С (аЬ + 1)с+а Т) («1>с+а+с)4+аІ> 4-1,
ЛсДІ ’ Д ~ 0С+1И+Т ’
Если тонеръ сравнимъ третью подходящую дробь съ двумя,
еи предшествующими, то легко найдемъ связь числителей и
знаменателей всѣхъ дробей, состоящую въ томъ, что числи-
тель третьей дроби равенъ числителю второй, умноженному
на новое частное, плюсъ числитель первой дроби, и также
знаменатель третьей дроби равенъ знаменателю второй, умно-
женному па новое частное, плюсъ знаменатель первой дроби-
Подобнымъ же образомъ, сравнивая непосредственно четвер-
тую подходящую іробь съ двумя, еіі предшествующими, ви-
домъ, что числитель четвертой дроби равенъ числителю
третьей, умноженному па повое частное, плюсъ числитель
второй дроби, а также знаменатель четвертой -дроби равенъ
знаменателю третьей, умноженному па новое частное, плюсъ
знаменатель второй дроби.
Если бы такой законъ составленія подходящей дроби пзъ
двухъ си предшествующихъ оказался вполнѣ общимъ, то мы
имѣли бы для какой угодно, положимъ, п-оп подходящей
іѴ Мп і Ь
дроби равенство
• Чтобы на самомъ іѣлѣ доказать такое равенство, сдѣла-
емъ заключеніе отъ и—1 къ п. Допустимъ независимо отъ
нреды іущихъ примѣровъ, по согласно съ ними, что замѣ-
чеппый законъ вѣренъ іля п — І-и дроби ц, которой пред-
шествуютъ дроов и у-? гакъ что намъ извѣстно равенство
причемъ отдѣльно ЪІ=Ът-\-К и 3/,— .
Съ другой стороны замѣтимъ, что по очевидному способу
послѣдовательнаго составленія подходящихъ дробей, п—ю
дробь можно вывести изъ п—1-й, замѣняя т черезъ я»-}-*.
— 134 —
Поэтому, дѣлая такую подстановку, находимъ
Ілпп-\ Ь-[ Кн (І,т 4- А’)/? 4 А
14пгп4 Іч 4 А,п (Лвні | Кх)п 4 7Ч
а затѣмъ,
чателыю
примѣняя допущенное условіе, получимъ окон-
X ___ (Л»Н КЩ + Ъ Мп | Л
— (Г^тТА’|)»+Ц~У^~ Іч
Гакнмъ образомъ найденъ и доказанъ обіцін способъ со-
ставленія каждой подходящей дроби но двумъ, ей предніе
ствующимъ: каждый изъ членовъ повои іроби равенъ соотвѣт-
ствующему члену предыдущей дроби, умноженному на новое
частное, плюсъ соотвѣтствующій членъ предыдущей дроби.
Въ случаѣ конечной непрерывной дроби послѣдняя подхо-
дящая дробь есть то же, что сама непрерывная. Пзъ этого
видно, что по объясненному способу можно вычислять непре-
рывныя дроби, начиная но съ послѣднихъ звеньевъ, какъ это
указывалось раньше, а съ начала обозначенія.
Напр., если даны дроби
24-^1=(2Д1,2,5) и ^=(0,2,45,1,2),
1 + 1 44-1
2+1 ё+І
5 144
2
то для первой пзъ нихъ имѣем'ъ
2 7 7.1+2 9 9.2|7 25 25.519 134
І’ 3* 3.1 + 1 4’ 4.2|3 ІТ’ 11.5Н 59’
а для второп подобнымъ же образомъ получимъ
о 1 1.140 4 4.5 + 1 21 21.1+4 25 25.24 21 71
1’ 2’ 2.4 + 1 «)’ 9.5 + 2 47’ 47.1+9 56 ’ 56.2+17~1о9-
Безконечную непрерывную дробь естественно разсматри-
вать какъ предѣлъ ряда подходящихъ къ пей конечныхъ дро-
бей. Для этого нужно доказать только, что такой предѣлъ су-
ществуетъ—какъ единственное, въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ,
опредѣленное и конечное число, что мы и сдѣлаем ъ дальше.
§ 81. Сравненіе подходящихъ дробей съ непрерывною.
Возьмемъ непрерывную дробь, конечную или безконечную
— 135 —

-I 1
» 1-1
и обозначимъ всю
нптелыіую часть ея
величину этой дроби черезъ X, а допол-
п | - 4~ » начинающуюся съ какого-ни-
будь н-го частнаго п, черезъ
Припомнимъ, что «я подходящая дробь у выражается
. V V» 1-1,
черезъ двѣ, еи предшествующія, въ видѣ и за-
мѣтимъ (*ще, что отъ подстановки въ выраженіе этой подхо-
дящей іробп вмѣсто частнаго п всей дополнительной части
и | Ь-р---или х, мы получимъ самую
Поэтому имѣемъ равенство
непрерывную дробь.
Уничтожимъ здѣсь знаменателя и соединимъ въ первой
части члены съ общимъ множителемъ а во второй осталь-
ные члены. Получимъ
/ (1/, X—М)х—Ь—X.
Такъ какъ х есть число положительное, то разности 3/, X—УР
и I,—./>, X должны имѣть одинаковые знаки. Поэтому, если
71/, X—Л/>0, плп Х> ѵ > то также Ъ—Д Х>0, откуда у~>Х,
а вмѣстѣ это даетъ г>Х> у • Если, наоборотъ, Л} X—2І/<0
или Х<^ (у->то также Ь—Х<70, откуда, у-<^Х, а это вмѣстѣ
' । г V
составляетъ 7~<Х<тг‘ Разсматриваніе обоихъ случаевъ при
7.( .И|
водить къ одному заключенію, что величина непрерывной дро-
би всегда заключается между величинами всякихъ двухъ смеж-
ныхъ подходящихъ дробей, такъ что одна изъ иодходяидпхъ,
какая, пока неизвѣстно, меньше непрерывной, а другая больше.
д
Замѣтивъ, что первая изъ подходящихъ дробей 4 очевидно
меньше шчірерывнон, заключаемъ изъ предыдущаго, что
д>Х, (ѵ<СХ, и т. д., т.-е., что всякая подходящая не-
четнаго порядка меньше непрерывной, а всякая подходящая
четнаго порядка больше непрерывной.
— 136 —
Далѣе изъ того же равенства
число большее единицы, то
впщмъ, что, такъ какъ ,т
есть число большее единицы, то абсолютная величина пер-
вой разности [Л/, X—Л/| меньше абсолютной величины второй
разности | 7/—Л]Х|. Коли эти абсолютныя величины раздѣлимъ
первую на Л/, и вторую на />,
- . ,г ѵ
ветчины новыхъ разностей |Х—
то получимъ абсолютныя
и
выше первое дѣлимое меньше второго,
дробь слѣдуетъ за первый изъ
А—Х|. Но сказанному
а вслѣдствіе того, что
дѣлителей М больше
Сопоставленіе того и другого показываетъ, что
меньше абсолютной ве-
второго ]
абсолютная величина разности [ X
V,
что послѣдующая подходя-
ѵ ѵ.і.ілч подходитъ къ непрерывной X, чѣмъ
„ I-
предшествующая по (ходящая дробь •
На-этомъ основаніи разсматриваемыя простыя дроби и пазы-
личины разности %
. л/ .
ближе
ваются подходящими іробями или приближеніями къ непре-
рывной дроби.
§ 82. Сравненіе двухъ смежныхъ подходящихъ дробей.
Разсмотримъ непосредственно три первыя подходящія дроби
Л а 13 «7*4-1 Г* л6с4"4 г
Л=і’ В\ “ 1~’
и составимъ разности между второй и первой, а затѣмъ
между третьей и второй. Произведя вычисленіе, получимъ
В Л аЛ-1 1 а 1
Мы
В, Л|— Ъ 1—
С В "Ъс-\ а4с аЪ4 I —1
^1 В{ Іи* 41 Л 1)
замѣчаемъ, что числитель разности въ обоихъ случа-
яхъ есть единица, положительная или отрицательная, смотря
по тому, вычитается ли изъ дроби четнаго пѣрядка. дробь пе-
чатнаго порядка, пли наоборотъ, а знаменателя разности
въ обоихъ случаяхъ можно разсматривать, какъ произведеніе
знаменателей вычитаемыхъ іробеп.
Если бы такой закопъ составленія разности двухъ смеж-
ныхъ подходящихъ дробеіі оказался вполнѣ общимъ, то мы
пашли бы для какой угодно, положимъ я -й по (ходящей
к -ѵ „ .V 2Ѵ М (-1)»
(робп ;ѵ- и еи предшествующей равенство д-,
іцѣ показатель п можетъ быть четнымъ или почетнымъ.
Чтобы на самомъ дѣлѣ доказать такое равенство, сдѣлаемъ
заключеніе отъ н — I къ п. Допустимъ независимо отъ предъ-
идущихъ примѣровъ, по согласіи» съ ними что замѣченный
законъ вѣренъ для разности между п —1-п дробью и еи
предшествующей у-, такъ что намъ извѣстно равенство ѵ—
1, I—Пн-1 1
— ц— і \т~і изъ котораго, замѣтимъ, слѣдуетъ Д }Г—
=(—1)',—'. Съ другой стороны припомнимъ способъ состав-
ленія л-іі подходящей дроби изъ двухъ ей предшествующихъ.
Примѣняя этотъ способъ, находимъ
-У__-V__Мп 4-Л ЛГ _ Л ,Ѵ| - Г, М
~~ Ѵ| -И, » I /Г” л/,” ‘~М, Л'і ’
а затѣмъ,вслѣдствіе допущеннаго условія Ь, 3/—У. Л/. ’,
получимъ
•V__V _____Л,.1Г—Л.Ѵ,_, (—П» |___( -!)»• I
У| .Ѵ|
Такимъ образомъ найдено и доказано общее свойство раз-
ности двухъ смежныхъ подходящихъ дробей: эта разность
равна е шпицѣ, положительной или • отрицательной, смотря
потому, есть ли уменьшаемая дробь четнаго или нечетнаго
порядка, дѣленной на произведеніе знаменателей обѣихъ
дробей.
Слѣдствіе 1. Изъ доказанной теоремы о разности двухъ
смежныхъ подходящихъ дробей можно вывести заключеніе,
что всякая подходящая дробь несократима. Дѣйствительно,
разсматривая равенство V, .V—3/У,=±!, которое относится
къ любой парѣ подходящихъ дробей, мы видимъ, что вто-
рая часть этого равенства не допускаетъ никакого дѣлителя,
а значить и первая часть также, т.-е. члены одной и той же
подходящей дроби, напр., У и Л" не могутъ имѣть общихъ
дѣлителей, иначе—сама дробь должна быть несократимой.
Слѣдствіе 2. Изъ той же теоремы о разности смежныхъ
подходящихъ дробей и изъ предыдущей теоремы о разности
самой непрерывной дроби и ея подходящей можно вывести
заключеніе о томъ, какую ошибку приходится дѣлать, за-
мѣняя непрерывную дробь какой-либо подходящей къ ней.
Докажемъ, что, имѣя три . смежныя подходящія дроби
Л и ы ,
77 ѵ,’ Xй замѣпяя непрерывную дробь средней изъ под-

г
138 —
ходящихъ мы уѣлаемъ ошибку
, 1
изъ трехъ предѣловъ (/
Замѣтимъ, во-первыхъ
которая меньше каждаго
,ѵ
чается между подходящими ѵ и
ше X, а другая меньше. Такъ
непрерывная дрооь А заклю-
изъ которыхъ одна боль-
какъ ст. другой стороны аб-
и
і
солюгная величина разности подходящихъ равна у у » ,|п
абсолютная величина разности между непрерывной и подхо-
дящей должна быть меньше предыдущаго предѣла.
Замѣчаніе о двухъ остальныхъ предѣлахъ погрѣшности
выводится уже изъ предыдущаго. Достаточно доказать, что
второй и третій предѣлы вообще больше перваго во число-
вой величинѣ. Разсуждая о второмъ предѣлѣ 7 , за-
мѣтимъ, что, такъ какъ Х и число п но меньшей мѣ-
рѣ равно единицѣ, а вообще больше ея, то отнюдь не-
больше ..Ѵ|, а, вообще говоря, меньше и потому знаменатель
второго предѣла, вообще говоря, меньше знаменателя пер
ваго предѣла или въ крайнемъ случаѣ равенъ ему. Разсуж-
дая о третьемъ предѣлѣ >, замѣчаемъ, что па основаніи
того же соотношенія Х\=ЗГп-\-Х число ЗГХ всегда меньше
X, и потому знаменатель третьяго предѣла всегда меньше
знаменателя перваго.
Какъ видно изъ предыдущаго, въ общемъ случаѣ предѣлъ
ѵ*ѵ есть наименьшій изъ трехъ и потому онъ точнѣе всѣхъ
выражаетъ погрѣшность при замѣнѣ непрерывной дроби под-
ходящей, а предѣлъ Л2 ость наибольшій и потому наименѣе
выгодный для оцѣнки подобной же замѣны. Когда кромѣ
дроби уг извѣстна слѣдующая подходящая, то беремъ точ-
нѣйшій предѣлъ, когда извѣстна предшествующая подходя-
щая то можемъ взять средній, и, наконецъ, когда дана только
одна дробь то мы по необходимости должны ограничиться
наименѣе точнымъ предѣломъ.
Такъ какъ знаменатели подходящихъ дробей .1,,
Ш, X,.... постепенно увеличиваются съ продолженіемъ ряда
— 139 —
этихъ дробей, а самыя дроби, поперемѣнно возрастая и
уменьшаясь сравнительно съ непрерывной, остаются конеч-
ными, то всякая непрерывная дробь заключается между двумя
рядами чиселъ, безконечно сближающихся между собоіі. Изъ
.этого слѣдуетъ, что предѣлъ всякой безконечной непрерывной
дроби существуетъ, какъ единственное для каждаго отдѣль-
наго случая, опредѣленное и конечное число.
§ 83. Примѣненіе непрерывныхъ дробей. Замѣна слож-
ныхъ отношеніи простѣйшими. Если числитель и знаме-
натель ариомстической дроби большія числа, то нельзя ясно
представлять въ умѣ величину самой дроби, и было бы очень
удобно подыскать такія дроби, которыхъ числители и знаме-
натели были бы небольшія числа, по самыя величины дробей
подходили бы близко къ величинѣ разсматриваемой дроби. Для
этого нужно только обратить данную дробь въ непрерывную
и составить рядъ дробей, подходящихъ къ послѣдней.
Возьмемъ, напр., число "=3,1 11592, которое съ точностью
до 0,000001 выражаетъ истинное отношеніе окружности къ ея
діаметру. Обращая взятую десятичную дробь въ непрерыв-
ную, производимъ слѣдующее вычисленіе:
3 7 15 1 84
3141592 : 1000000 : 111592 : 8856 : 8752 : 104...’...
3000000 991144 8856 8752 832
14І592 ’ 8856 53032 104 132
44280 416
“8752 16......
Аіы видимъ, что послѣдовательныя частныя непрерывной
дроби суть числа 3, 7, 15, 1, 84,.... Вычисляя по нимъ соотвѣт-
. X 3 22 333 355
ствующія ПОДХОДЯЩІЯ дроон, получимъ г, -=-> 1Іѵр- Г,«>........
” А 4 1 / 100 IІо
22
Число у называется Архимедовымъ; оно отличается отъ “
меньше, чѣмъ па 7.іо(;—74-»‘ Число у*- ость число Меція; для
вычисленія соотвѣтствующаго ему предѣла погрѣшности,
вычисляемъ знаменателя пятой подходящей дроби, который
вслѣдствіе значительной величины пятаго частнаго 84 очень
великъ, именно равенъ 113.84-^-106=9598 и опредѣляетъ
предѣлъ погрѣшности пзЛ)598~Ю8І5’7і’ К0Т0Рый показываетъ,
что при вычисленіяхъ съ точностью до одной милліонной най-
денное число можетъ замѣнять ".
— 140 —
§ 84. Вычисленіе квадратныхъ корней. Несоизмѣримые
квадратные корпи можно представлять безконечными и при-
томъ, какъ оказывается, періодическими непрерывными (ро-
бами. Вычисляя подходящія дроби кь послѣднимъ, можно на-
ходить произвольно точныя приближенія къ искомымъ квад-
ратнымъ корнямъ.
Возьмемъ для примѣра Ѵ'б. Такъ какъ Ѵб заключается меж-
ду 2 и 3, то примемъ
\ 6=24--,
I X
гдѣ х^>\. Опредѣляя изъ этого равенства сначала -=Ѵ6 —2.
а затѣмъ &•, и уничтожая ирраціональность знаменателя, на
ходимъ X—
Разсматривая полученное выраже-
ніе, легко ви дѣть, что величина его заключается между 2 и 3.
Поэтому примемъ
гдѣ ^>1. Отсюда опредѣляемъ сначала ——2=~—,
а затѣмъ ж,==-—= Ѵб-|-2. Величина новаго выраженія за-
ключается между 4 и 5 и потому принимаемъ
Подоено предыдущему, находима.
—V б—2, а затѣмъ хо
&
жепія съ' предыдущими мы замѣчаема.
Л2 1
• По изъ сравненія этого выра-
х2=х.
Послѣ этого вычисленіе закапчивается. Мы находимъ, что
Ѵб-=(2,ж)=(2,2,4,а?), а изъ сравненія такихъ формъ должны
заключить, что Ѵб выражается безконечной періодической
непрерывной дробью (2,2,4,2,4,2,4. ,), которой періодъ со-
стоитъ изъ двухъ звеньевъ.
Совершенно подобнымъ же образомъ можно выразить
\ 41 безконечной періодической дробью (6,2,2,12,2,2,12,....),
которой періодъ состоитъ изъ трехъ звеньевъ
§ 85. 01 исканіе пары цѣлыхъ рѣшеній неопредѣленнаго
уравненія. Извѣстно, что для рѣшенія въ цѣлыхъ числахъ
неопредѣленнаго уравненія ах-\-Ъу=с достаточно отыскать
одну пару цѣлыхъ рѣшеній х=т и у—п, но которымъ легко
составляются общія формулы х=пі-\-М и у=п—аі, разрѣ-
шающія уравненіе вполнѣ. Теорія непрерывныхъ дробей даетъ
любопытный, ХОТЯ И ДОВОЛЬНО (‘ЛОЖНЫЙ способъ для отысканія
во всякомь подобномъ уравненіи одной пары цѣлыхъ рѣшеній.
Возьмемъ, папр., уравненіе З7.г—27г/=5. Обративъ отноше-
ніе коэффиціентовъ при х и у въ непрерывную дробь, полу-
37
чимъ^==(1, 2, 1, 2, 3). Опредѣлимъ предпослѣднее ирибліі
женіе къ этой непрерывной дроби, т.-е. то, за которымъ
слѣдуетъ ужо сама дробь. Такое приближеніе оказывается
дробью -о-« Вычтемъ изъ дроон, выражающей отношеніе коэф-
фиціентовъ, дробь, выражающую приближеніе, и мри этомъ
замѣтимъ по числу частныхъ непрерывной дроби, что сама
эта. дробь есть подходящая дробь пятаго, т.-е. нечетнаго по-
рядка. При вычитаніи получимъ —уг=—8 , откуда, по
уничтоженіи знаменателей выходитъ новое числовое тождество
37.8—27.11=—1. ’Зто тождество и ведеть къ рѣшенію во-
проса. Нужно только уподобить его по формѣ данному урав-
ненію, для чего умножаемъ обѣ части его па—5 съ цѣлью
уравниванія пзвѣстных ь членовъ обоихъ равенствъ и это
умноженіе въ первой части относимъ ко вторымъ множите-
лямъ членовъ съ цѣлью сохраненія въ неизмѣнности коэф-
фиціентовъ 37 и 27. Полученное такимъ путемъ тождество
37.(—10)—27.(—55)=5 показываетъ, что значенія х-=— 10
и у—— 55 удовлетворяютъ данному уравненію, а пзъ этого
слѣдуетъ, что данное уравненіе разрѣшается формулами
х——10-}-27/ и ?/-=- 55-р7/.
Подобно предыдущему, взявъ 'равненіе 1С>.т-р11?/=13
обращаемъ отношеніе коэффиціентовъ при х и у въ непре-
рывную дробь и находимъ, что ;'ѵ=(0, 2, 1, 1, 3, 2). Найдя
предпослѣднее приближеніе въ видѣ дроби Л и замѣтивъ, что
само отношеніе коэффиціентовъ есть подходящая дробь ше-
10 7
стого, т.-е. четнаго порядка, составляемъ разность уу——=
= 18.41 п затѣмъ тождество 16.18—11.7—1. Уподобляемъ
это тождество данному уравненію, для чего умножаемъ обѣ
части на 13, относя въ первой части это число ко вторымъ
множителямъ членовъ, н мѣняемъ еще соединительный злакъ
второго члена, послѣ чего выйдсть 16.(234)-}-41.(—91)—13.
Наконецъ сравниваемъ окончательное тождество съ данныя ь
уравненіемъ и находимъ сначала частныя рѣшенія #=234 и
у——91, а послѣ общія формулы #=234—41/и ?/=—914-16/.
Недостатокъ объясненнаго способа для рѣшенія неопредѣ-
леннаго уравненія заключается въ томъ, что обыкновенно по-
лучаются очень большія числовыя значенія м и п. По, гакь
какъ в'ь выраженіяхъ т-\-Ы и п—иі число / произвольно,
то мы можемъ, замѣняя / другимъ числомъ, большимъ его
или меньшимъ, уменьшать входящія въ эти выраженія зна-
ченія т и п. Такъ, имѣя формулы перваго примѣра х=— 10-(-
4~27/ и //=—Г>5-|-37/, мы примемъ /=«-]-2 и найдемъ упро-
щенныя формулы #=114-27?/ и у/=19-|-37?с Точно также,
взявъ формулы второго примѣра#=234—41/ и у—— 914-16/,
принимаемъ /=и-|-5 и получаемъ упрощенныя формулы
#=29—41я и //=—П-рІб?/. *
§ 86. Вычисленіе логариѳмовъ. Логариомы чиселъ могучъ
быть выражаемы въ формѣ непрерывныхъ дробей. ')то дасгЛ.
способъ для вычисленія логариомовъ, который, однако, по
сложности своей, но пмѣеі ь практическаго значенія.
Вычислимъ для примѣра. /у/, „2. Составивъ опредѣляющее
логариомъ показательное уравненіе 2=10 , заключаемъ изъ
него, что # заключается между Опіи потому принимаемъ
1
гдѣ #!>1. Замѣняя #, находимъ 2=10;,і
показательное уравненіе указываетъ, что
3 и 4, и потому мы полагаемъ
пян 2''=10. Новое
#, заключается .между
#,=34-
гдѣ опять #.,>1. Снова
з+У “ — 5
2 *«=10, откуда 2-'»=т
замѣнивъ #,,
или (^=2.
получимъ уравненіе
Ил. этого равенства
— 143 —
видимъ, что іГо заключается между 3 п 4, вслѣдствіе чего
примемъ
*;=з+~
/5\34 —
Постановка новаго выраженія даетъ уравненіе (л •Т3=2,
/ГЛ-' 128 /128\тэ 5
откуда Ь )Г!~].>5 или Но;,) =4‘ Очень сложное разсмотрѣніе
этого равенства показываетъ все-таки, что .г3 заключается
между 9 и 10.
Ограничимся этимъ результатомъ и положимъ т3=9-ф-^,
гдѣ я есть неизвѣстное число, меньшее единицы. Тогда по-
лучимъ ///|„2=(0, 3, 3, 9-|-^). Приближенія этой непрерывной
О 1 3 23 гт і
іроои выражаются числами -> ;{> > Послѣднее изъ ппхъ
даетъ, при обращеніи въ десятичную дробь, результатъ 0,30107
, ‘ і 1
и опредѣляетъ логариомч, съ точностью до г и даже
точнѣе, такъ что первые четыре десятичныхъ знака лога-
риома вѣрны.
Способъ неопредѣленныхъ коэффиціентовъ.
87. Основаніе способа. Многочленное выраженіе, въ ко-
торомъ коэффиціенты всѣхъ пли нѣкоторыхъ членовъ обо-
значены буквами, которымъ можно приписывать всякія коли-
чественныя значенія, называется выраженіемъ г.ъ неопре-
дѣленными коэффиціентами. Таково, напр., выраженіе
у1.с”-ф-Л.іл'~ ---|~А', представляющее обіцій типъ
цѣлаго многочлена и-іі степени.
Иногда приходится подыскивать такія многочленныя выра-
женія,- которыя удовлетворяли бы нѣкоторымъ наложеннымъ
напередъ условіямъ. Зтотъ вопросъ рѣшается по, такъ назы-
ваемому, способу неопредѣленныхъ коэффиціентовъ.
Способъ состоігі ь въ томъ, что, вообразивъ искомый многочленъ
соотвѣтствующей вопросу степени, приписываютъ ему неопре-
дѣленные буквенные коэффиціенты, и, выразивъ всѣ данныя
въ вопросѣ условія, стремятся составить столько уравненій,
сколько нужно для отысканія всѣхъ коэффиціентовъ. Состав-
леніе подобныхъ уравненій всегда основано па слѣдующемъ
принципѣ:
Если два цѣлыхъ многочлена, расположенные по степенямъ
одного и того же перемѣннаго количества х, равны между
собою тождественно, т.-е. при всевозможныхъ значеніяхъ х,
то коэффиціенты прп всѣхъ соотвѣтствующихъ степеняхъ пе-
ремѣннаго равны между собою соотвѣтственно.
Положимъ, что дано равенство
справедливое тождественно, т.-е. прп всякихъ значеніяхъ .г.
Данные многочлены могучъ быть конечными или безконеч-
ными. но такъ» какъ строгое разсмотрѣніе безконечныхъ мно-
гочленовъ» основано на теоріи предѣловъ», которая не входитъ
въ» начальный курсъ, алгебры, то можно ограничиться только пер-
вымъ предположеніемъ», т.-е. считать многочлены конечными.
Принявъ х—0, увидимъ, что всѣ члены, со держащіе .г. ис-
чезнутъ, и мы получимъ 1>0. Если въ, данномъ равенствѣ
отбросимъ эти равные члены и затѣмъ, принимая х какимъ-
либо, но отличающимся отъ нуля, сократимъ обѣ части на ,г,
то получимъ новое равенство
п, —|—т—|—алх-——і—^.,3?—{—/урТ-—|——
Снова принявъ х—О, найдемъ <^—-1^. Послѣ этого попрож-
нему отбросимъ новые равные члены и, считая х отличнымъ
очъ нуля, сократимъ обѣ части на .г, отчего получится еще
равенство
(() ——|—1хх~|—•*
Пользуясь этимъ равенствомъ, докажемъ, что а про-
должая такъ» далѣе, выведемъ равенства между всѣми соот-
вѣтственными коэффиціентами.
Предыдущія разсужденія показываютъ, что равенство со-
отвѣтственныхъ коэффиціентовъ есть необходимое условіе тож-
дества многочленовъ. А что такое условіе достаточно, это '
очевидно, потому что, какъ скоро всѣ соотвѣтственные коэф-
фиціенты двухъ многочленовъ равны, то и самые многочлены
равны при всевозможныхъ» значеніяхъ ихъ общаго перемѣннаго.
Иногда доказанный принципъ выражается въ другой формѣ;
Если многочленъ, расположенный но степенямъ перемѣн-
наго х, тождественно равенъ нулю, то коэффиціенты прп всѣхъ
степеняхъ х всѣ отдѣльно равны пулю.
Очевидно, что для оправданія второй формы принципа, нужно
только въ нашемъ прожнемъ исходномъ равенствѣ перенести всѣ
члены въ одну часть и соединить подобные между ними попарно.
§ 88. Примѣненіе въ производству обратныхъ алгебраи-
ческихъ ДѢЙСТВІЙ. Простѣйшее примѣненіе способа неопре-
дѣленныхъ коэффиціентовъ состоитъ въ производствѣ съ много-
членами обратныхъ алгебраическихъ дѣйствій.
1. Дѣленіе многочлена. Положимъ, что нужно найти част-
ное отъ дѣленія многочленовъ 6.г3—1З.г2-|-9.г—2 на Зж—2, по-
лагая, что дѣленіе совершается нацѣло. Замѣтивъ, что ис-
комое частное должно быть многочленомъ второй степени и
что первый членъ его есть, очевидно 2.г2, обозначимъ весь
искомый многочленъ въ видѣ 2.г?-|-/л<-ф-с и займемся опредѣ-
леніемъ двухъ неизвѣстныхъ коэффиціентовъ.
По опредѣленію дѣленія имѣемъ равенство Іі.с3—13.г°-|-
-4-9.С—2=(2.гі-ф-6.г-|-г)(3.г—2), которое, но раскрытіи скобокъ
принимаетъ видь
б.г3— у 3.г'-*-|-9х—2= —4>2-|-(Зг — 2Ъ)х—2с.
Это равенство должно быть тождествомъ и потому къ нему
прилагается доказанный выше Принципъ. Сравнивая соотвѣт-
ственные коэффиціенты, находимъ уравненія 36-4=—1-3,
Зс—26=9 и — 2с 2. Число уравненій превосходитъ число
неизвѣстныхъ, по они всѣ оказываются совмѣстными и даютъ
6=—3 и е——1. Слѣдовательно, дѣленіе совершается на-
цѣло и частное есть 2х2—З.г—1.
Найдемъ, подобно предыдущей5 частное отъ дѣленія много-
членовъ За?4—5х’-|-7 па х2—2гг-|-3. Замѣтиві., что искомое
частное есть многочленъ второй степени и иервыіі членъ его
есть 3-х2, обозначаемъ искомый многочленъ вь видѣ З.с 1 -|-6.г-|-с,
затѣмъ, допуская пока, что дѣленіе совершается нацѣло,
умножаемъ этотъ многочленъ на дѣлителя и приравниваемъ
результатъ данному дѣлимому, отчего получится послѣ рас-
крытія скобокъ равенство
З.т4—5.с2-|-7=3.т4-|-(6—(>).с3-|-(9- 26-р)а2-)-(36 -2с)т-|-3г.
Примѣняя къ' этому равенству основной принципъ, замѣ-
чаемъ, что въ первой части члены съ а;3 и съ х нужно во-
ображать съ коэффиціентами, равными пулю, и потому со-
ставляемъ уравненія
6—0=0, 9—2/>4-с=—5, 36--2«=0, Зс=7.
Часть ІГ.
10
Первое пзъ нихъ даетъ 6—6, второе <——2, по два послѣд-
нія этими рѣшеніями не удовлетворяются. Это указываетъ на
то, что дѣленіе совершается съ остаткомъ. Вслѣдствіе этого,
замѣтивъ, что остатокъ долженъ имѣть видъ тх-^-п и что
члены его входятъ слагаемыми въ ту часть исходнаго равен-
ства, гдѣ коэффиціенты неопредѣленны, замѣняемъ два по-
слѣднія уравненія новыми 36—2с-рн— 0 и Зг-р?—7, откуда
находим ь и?~—22 и я= 13.
Слѣдовательно, при заданномъ дѣленіи получается частное
Зж2-|-6.г—2 и остатокъ —22л:-|-13.
2. Извлеченіе корпя изъ многочленовъ. Положимъ,
что нужно извлечь корень четвертой степени изъ многочлена
16.т'—!Ні;г3—|—216.г2—216.<Ц-81, предполагая, что извлеченіе
выполняется безъ остатка.
Искомый корень можетъ содержать х не выше, какъ въ пер-
вой степени и первый членъ этого корпя долженъ быть 2.г.
Поэтому представляемъ корень двучленомъ 2х-|-6 и по опре-
іѣленію корня составляемъ равенство:
16г4—9б.г:!-|-216а2— 2Км--|-81^2Ъ;,-|-4.2Ѵ<г3-|-6.2,Л2.г2-|-
-|-4.2б:!.г-|-64.
Сравненіе соотвѣтственныхъ коэффиціентовъ даетъ уравне-
нія 326-=—96, 246’—216, 86;і=—216, 64=і81. Хотя си-
стема этихъ уравненій условна,, по они всѣ удовлетворяются
рѣшеніемъ 6 ——3, и потому искомыя корень, извлекающійся
безъ остатка, равенъ 2.г—2.
Положимъ, что нужно извлечь корень третьей степени изъ
многочлена .с6— (>т5-|-3.г'-ф-ЗОл13—19,г2—51,г—28.
Такъ какъ искомый корень есть многочлеп ь второй степени
и первый членъ его равенъ ж2, то представимъ его въ видѣ
ж2-[-6х-|-г и, возведя этотъ многочленъ въ кубъ, приравняемъ
результатъ данному подрядикальному выраженію, отчего по-
лучится равенство
’ х6- 6ж5-]-Зт44-ЗО.с3--19./;2—51.г—28=жс-|-3б.);5-|-(3б--|-
-|-3(•)а:%(624-66с).г2^-(36^^-|-3^2).г24-36^.^+<•:,.
Условіе тождества этихъ многочленовъ даетъ уравненія
36=—6, Зб2-}-Зг=3, 6:(-|-66г=ЗО. 362с=—19,
36с«=—51, с3=—28.
Пзъ перваго находимъ 6=—2, пзъ второго с——3. но эти
рѣшенія не удовлетворяютъ остальнымъ уравненіямъ и это об-
стоятельство указываетъ па полученіе остатка. Замѣтивъ, что
остаются четыре уравненія, способные опредѣлить четыре ко-
эффиціента остатка, выражаемъ остатокъ въ видѣ ш.г3-ф«,г2-|-
-фр'-|-у и представляемъ себѣ этотъ остатокъ прпбавленпымі.
въ той части исходнаго равенства, гдѣ входятъ неопредѣлен-
ные коэффиціенты. Вслѣдствіе этого замѣняемъ четыре послѣд-
нихъ уравненія новыми //”-ф6Лс-|-н/—30, 3//?с-|-3г2-фи——19,
ЗАс!-|-уг=—51 и сл-\-д——28 и, рѣшая ихъ, находимъ т—2,
п——10, р =3, <[——1. Слѣдовательно, при заданномъ извле-
ченіи получается корень а2—2г—3 и остатокъ 2.гя—10г2-|-
4-З.г— 1.
§ 89. Преобразованія раціональныхъ и ирраціональныхъ
дробей. Разложеніе раціональной дроби на простѣй-
X_5
шія. Положимъ, что дана дробь(- и мы хотимъ разложить
ее въ сумму двухъ дробей, которыхъ знаменателями были бы
множители .г—|—1 и :г—2 даннаго знаменателя. Такь какъ въ дан-
ной дроби степень числителя ниже степени знаменателя, т.-е.
дробь не содержитъ цѣлаго слагаемаго, то числители івухъ иско-
мыхъ дробей не должны содержать .г, потому что въ противномъ
случаѣ они допускали бы дѣленіе на своихъ знаменателей,
которые оба. первой степени, и выдѣлили бы цѣлое слагаемое.
Обозначивъ числителей черезъ </ и І>, составимъ равенство
которое послѣ умноженія обѣихъ частей на общаго знаме-
нателя. приведется къ простѣйшему
а?—Г>=(н-|-Л)а>-|-6—2н.
Отсюда ВИДИМЪ, ЧТО (I И І> ПОДЧИНЯЮТСЯ УСЛОВІЯМЪ О-ф/>—1
п 2«—6=5.
Если рѣшимъ полученныя уравненія, то найдемъ а =2 и
Ь——1. вслѣдствіе чего имѣемъ искомую формулу —-----------=
__ 2 і •
& фі .г—2
Въ томь случаѣ, когда данная дробь содержитъ цѣлое
слагаемое, то его нужно выдѣлить іѣленіемъ числителя на
знаменателя.
Разложимъ еще дробь
въ сумму дробей съ зна-
менателями а—1
и я?2-{-2. Числителя первой дроби можно
10*
—
считать независящимъ отъ х, по числителя второй нужно пред-
ставить выраженіемъ первой степени относительно х.
Обозначивъ числителей черезъ а и І>х-\-с, составляемъ
формулу
—2 а і Ъ&+с
іДх2 |- 2) і I ,-сЧ 2’
которая послѣ уничтоженія знаменателей приведется къ про-
стѣйшей
>"—З.г—2=(«-|-/>)ж ’-ф (г—Ь).г-ф2а— с.
Отсюда видно, что а, 6 и с опредѣляются условіями г?-ф//=1,
Ь—С—3 и с— 2а—2.
Рѣшивъ полученныя уравненія, находимъ а=—6=^ и
2 , . , ж*—Зл - 2 7а—2 4
С=—г., и потому имѣемъ формулу ж—— -т.
Вообще въ тѣхъ случаяхъ, когда знаменатели искомыхъ
дробей не первой степени, нужно представлять числителей
выраженіями, содержащими х съ показателемъ на единицу
меньшимъ показателя знаменателя.
§ 90. Преобразованіе ирраціональнаго знаменателя въ ра-
ціональный. Способъ неопредѣленныхъ коэффиціентовъ даетъ
между прочимъ общій пріемъ для уничтоженія въ знамена-
телѣ дроби всякаго ирраціональнаго корня, какой бы ни былъ
показатель послѣдняго. Можно именно подыскать такого мно-
жителя для членовъ дроби, который сразу освободитъ знаме-
нателя отъ назначеннаго къ уничтоженію корня.
р
Положишь, что дана ирраціональная дробь , знаменатель
которой есть цѣлое выраженіе, содержащее между прочимъ
корень уХ. Въ общемъ случаѣ нужно считать, что корень
этотъ входить не только самъ по себѣ, но и подъ віцомь
степеней оть него, какъ-то ѵХ2, ІА3,...., конечно не далѣе*
степени ѵ *’ потому что высшія степени приводятся къ нре-
дыдущнмъ. Обозначимъ ѵ А черезъ &•; тогда степени корня
представятся въ видѣ х;Послѣ этого знаменателя
можно будетъ разсматривать какъ цѣлый многочленъ, рас-
положенный но степенямъ г; положимъ ()~их“ “1-|-6х" ..-ф-
считая коэффиціенты раціональными или ирраціональ-
ными выраженіями, но не содержащими д;
Предположимъ, что множитель, который способенъ уничто-
жить въ данномъ знаменателѣ корень х, есть многочленъ той же
— 149 —
п—1-й степени вида *-|-7<;г’*' -{-•••-|-7,-х-|-7І, кото-
раго коэффиціенты пока псоііредѣлены. Ихъ нужно опредѣлить
изъ условія, чтобы Произведеніе ()7?і> 1,0 содержало корпя ни
въ одной изъ степеней отъ первой до п—1-іі.
Умноживъ () на непосредственно, получимъ сначала
многочленъ 2п—2-й степени вида
-Н')#2" 3-4-(«с -{-7^ -рАс'" 4-|--.
Въ этомъ многочленѣ мы приведемъ всѣ степени х, высшія
п—1-й, къ степенямъ оть первой до п-й и тогда получимъ
новый видъ произведенія
Замѣтимъ, что въ прежней формѣ всѣ коэффиціенты со-
держали искомыя 7>,7, только въ первыхъ степеняхъ.
Понятно, что въ новой формѣ коэффиціенты А,
К Ь будутъ содержать тѣ же искомыя также только въ пер-
выхъ степеняхъ.
Налагаемъ условія Л=0, />=0,...., К—0. Вслѣдствіе этого
находимъ
Предыдущія условія составятъ систему н—2 уравненій
съ и—2 неизвѣстными 7>, ,с(. Рѣшивъ ихъ и подставивъ
найденныя выраженія въ выраженіе Л, найдемъ, что данная
Р Р'Л
дробь п преобразована въ новую которой знаменатель
совсѣмъ не содержитъ корпя ѵ Х—х.
,т^-—• Полагая ; 5—х, иред-
І'25-Н 54 3 ' 1
дѣ яг-}-я;-|-3.
Пусть, напр., дана дробь .у
ставимъ знаменателя въ видъ яг-ф-ж-|-<>.
Помножимъ эго выраженіе на трехчленъ гф/и;-|-г. Полу-
чимъ сначала «,4-(7/ф-1)зг-|-(/>-Р^“|_3)л'‘-ф(3/;-|-г)х'-|-Зс, а за-
тѣмъ, принимая, что х'—-5 и .г'=5.г, найдемъ упрощенное
произведеніе ,(7>-|-г-|-3).г:-|-(3/^-|-г-|-Г))з-}-56-|-Зг-|-Г).
Полагая 6-|-с-|—3—1-0 и 37/-|-а-|-5=к 0, имѣемъ 1>——1 и с——2.
Слѣдовательно, искомый множитель ость ж2—х—2.
Произведеніе его па знаменателя равно 57>-|-Зс-)-5=—6.
Значитъ отъ умноженія членовъ дроби па /25—/5—2 опа
обращается въ дробь 7—Ьдр» 2?2 съ раціональнымъ знаме-
нателемъ,
- 150 —
Рѣшеніе неравенствъ второй степени.
§91. Теорема 0 знакѣ трехчлена. Рѣшеніе неравенствъ
второй степени вида 1_|—<"?>0 или <0 основано на свой-
ствахъ квадратнаго трехчлена. Замѣтимъ слѣдующую теорему
о знакѣ трехчлена:
Если корни трехчлена дѣйствительны н различны, то, обо-
значивъ эти корпи черезъ а и 3, имѣемъ формулу:
ах 2-ф7л/ -ф-с—а(х—а) (./•—)3).
Отсюда видно, что при зпачепіяхч» х—са, обращающихъ мно-
жителей х—я и х—[і іи» количества съ одинаковыми знаками
т.-е. мри значеніяхъ, меньшихъ меньшаго изъ корней пли
большихъ большаго изъ корней, знакъ трехчлена одинаковъ
со знакомъ коэффиціента а.
Изъ той же формулы видно, что при значеніяхъ х—са, об-
ращающихъ мпожптелелі .г—а и х—[і въ количества съ раз-
ными знаками, т.-е. при значеніяхъ, заключающихся между
корнями а и (3> знакъ трехчлена противоположенъ знаку ко-
эффиціента а.
Поэтому, если дано неравенство ах?-\-Ь.г-|-ц>0 съ дѣйстви-
тельными корнями трехчлена, то при н>0 значеніе х— са со-
стоитъ внѣ корней, а прп заключается между ними.
Если же дано неравенство противоположнаго смысла, то и
выводъ будетъ образенъ предыдущему.
Въ случаѣ равенства корней трехчлена имѣемъ форму
н.г-|-/лг-|-с=«,(ж—а)".
Поэтому соотвѣтствующее неравенство второй степени будетъ
въ этомъ случаѣ—или возможно при всѣхъ дѣйствительныхъ
значеніяхъ х—са, кромѣ д—а,—или будетъ невозможно.
Если корпи трехчлена мнимы, то, положивъ я—А-|-р.г и
—А—и.і, находимъ такую форму .трехчлена:
ах, «[(./•—7.)2-}- р?’ |.
'Гакъ какъ выраженіе въ большихъ скобкахъ при всякомъ
дѣйствительномъ значеніи х—са всегда положительно, то трех-
членъ при этихъ условіяхъ имѣетъ знакъ одинаковый со зна-
комъ коэффиціента а.
Поэтому, если дано неравенство о.?2-1-Іх-1-с>0 съ мнимыми
корнями трехчлена, то при <С>0 неравенству удовлетворяетъ
всякое дѣйствительное значеніе х—са, а при цоравен-
— 151 —
ство невозможно. Если дано неравенство противоположнаго
смысла, то и заключеніе будетъ обратно предыдущему.
92. Примѣръ 1. Дано неравенство х2—х—20<0. Кор-
пи трехчлена суть 3;,=- 5 и х.,——4. Выразивъ трехчленъ
въ видѣ произведенія разностей, имѣемъ (х—5) (г—4)<0.
'Гакъ какъ произведеніе разностей должно быть отрицательно,
то рѣшеніе неравенства опредѣляется границами —4
Примѣръ 2. Дано неравенство 4.В2—12д;-|-9>0. .Іогко
замѣтить, что здѣсь трехчленъ представляетъ полный квад-
ратъ, и потому имѣемъ (2х—3)г>0. Неравенству удовлетво-
ряетъ всякое дѣйствительное значеніе х—са, кромѣ того, ко-
торое обращаетъ основаніе квадрата въ нуль. Поэтому рѣше-
3 3
ніе выражается условіями х<С., пли х^>'іу-
Примѣръ 3. Дано неравенство 1г—х‘—13^>0. Умно-
живъ обѣ части на — -1, получимъ :с~—4.г-|-13<^0. Можно, не
рѣшая соотвѣтствующаго квадратнаго уравненія, усмотрѣть по
извѣстному признаку, что корни трехчлена мнимы. Замѣтивъ
нто обстоятельство, мы заключаемъ по знаку неравенства и
знаку перваго коэффиціента, что неравенство невозможно.
Примѣръ 1. Дано неравенство .г-|-15—б.с-<^0. Умножа-
емъ обѣ части на.—1 и находимъ 6а;3—х—1 Рѣшивъ
соотвѣтствующее квадратное уравненіе, найдемъ корни трех-
члена и .г,—Извѣстно, что при обстоятельствахъ, по-
добныхъ даннымъ, рѣшеніе неравенства содержится внѣ кор-
ѵ 8 ^5
пои, и потому имѣемъ ,г<—9 или .<>„•
Наибольшія и наименьшія значенія трех-
члена.
§ 93. Отысканіе наибольшихъ и наименьшихъ значеніи
трехчлена. Изслѣдуя измѣненіе какого-нибудь трехчлена вида
а7-2_|_/Аі;_|_с съ постепеннымъ возрастаніемъ его перемѣннаго
с—са отъ —сч. і,о -|-сю, можно непосредственно замѣтить, при
явно выраженныхъ коэффиціентахъ, что трехчленъ при гГ>0
сначала уменьшается оть-|-сю, а впослѣдствіи возрастаетъ
опять до Д-сю, въ случаѣ же а<0 сначала возрастаетъ отъ —сю;
а впослѣдствіи уменьшается опять, до —сю. Въ указанныхъ
главныхъ чертахъ измѣненіе трехчлена обусловливается зна-
комъ коэффиціента и; другія же особенности измѣненія зави-
сятъ вообще отъ знаковъ и числовыхъ величинъ всѣхъ трехъ
коэффиціентовъ.
Наименьшее значеніе трехчлена, получаемое при переходѣ
отъ бывшаго уменьшенія къ послѣдующему возрастанію, на-
зывается тіппнит, а наибольшее, получаемое при переходѣ
отъ бывшаго возрастанія къ послѣдующему уменьшенію, назы-
вается та.гітит. Какъ то, такъ и другое значенія получаютъ
еще названія поворотныхъ значеніи трехчлена.
Многіе вопросы практики приводятъ къ отысканію подоб-
ныхъ поворотныхъ значеніи, какъ для трехчлена, такъ и для
иныхъ математическихъ выраженій. Въ цѣляхъ рѣшенія этихъ
вопросовъ создается особая теорія максимума и минимума.
Мы докажемъ нпя;е, что квадратный трехчленъ всегда, имѣ -
отъ ИЛИ ОДИНЪ поворотный минимумъ, ПЛИ ОДНИ!» максимумъ.
Что касается до выраженій болѣе сложныхъ, то опи могутъ
получатъ, при своихъ измѣненіяхъ, по нѣскольку такихъ пово-
ротныхъ значеній.
Слѣдуетъ замѣтить, что подъ значеніями максимальными или
минимальными понимаются пменно поворотныя значенія, а но,
такъ называемыя, абсолютно наибольшее или абсолютно наи-
меньшее. Трехчленъ <кс2-|-/лг-|-с въ случаѣ э<С0 получаетъ
абсолютно наименьшее значеніе —-х> при ,т= > <х>, а въ слу-
чаѣ трехчленъ имѣетъ абсолютно наибольшее зпаченіе-|-<х>
при т— • гхэ, но не такими значеніями мы занимаемся въ на-
стоя щей статьѣ.
Возьмемъ выраженіе г>—и выведемъ въ двухъ пер-
выхъ членахъ коэффиціентъ пзаекобки; полу чимъ//—п(д:2ф-^.г) ф- с.
Разсматривая теперь х' какъ квадратный членъ и .г какъ удво-
енное произведеніе, дополнимъ выраженіе въ скобкахъ до нол-
. . . ъу-
наго квадрата прибавленіемъ кь этому выраженію члена . р а
д.ія поправки вычитаемъ изъ веси гаммы тотъ же членъ только
ъ*
умноженный на. и, т.-е. . ; найдемъ, послѣ упрощенія,
, . Ъ , 2
4ас—Ь-
•7 I 2а7 I 4а
Выраженіе положительно, какъ полный ква тратъ, при
всякомъ дѣйствительномъ значеніи х—са, а потому въ случаѣ
У ^аС-&2
а положительнаго имѣемъ вообще У>~~ п только при зна*
Ъ . -- 4ас—Ь2
чеши х——выраженіе у обращается въ ~каковое
значеніе ѵсть, слѣдовательно, минимумъ у- ка Притомъ этотъ
минимумъ есть поворотный, а не только алгебраически наи-
меньшее значеніе, потому что у больше указаннаго минимума
Ь Л'
при значеніяхъ я- са, какъ мепышіхъ —<, -•> такъ и большихъ.
Въ случаѣ а отрицательнаго
і,
ТОЛЬКО при X—— 72п выраженіе //
имѣемъ
Лпс—Ъ~
воооще у<С~,у<, и
обращается въ максимумъ
|г/г—62 г • Л
• •Ргои» максимумъ есть поворотное значеніе, а не только
а'ігебрапчоски наибольшее, потому что у меньше указаннаго
л
максимума при значеніяхъ х—са, какъ предшествующихъ —>
такъ и послѣдующихъ.
Въ виду всего сказаннаго приходимъ къ такому окончатель-
ному выводу: Значеніе трехчлена
Ъ/с—Ъ
ирп -2^.
есть минимумъ при а положительномъ в максимумъ при а отри-
цательномъ.
Тотъ же вывода, можетъ быть полученъ другимъ путемъ.
Обозначивъ попрежпему выраженіе трехчлена черезъ у, рѣ-
шаемъ уравненіе ал у относительно .г; получимъ
Іля того, чтобы .г было дѣпств :телыіым і. количествомъ, нуж-
но, чтобы иодраднкалыюе выраженіе было не меньше нуля.
Неравенство
Ь~ — Іа(с— у)><>
даетъ для у предѣлы противоположные въ зависимости отъ
\ш: -Ь-
знака а. при а положительномъ находимъ #>— > т.-о. опре-
дѣляется минимумъ трехчлена, а при а отрицательномъ полу-
4 ас —Ы
чается У<с~ ’ т.-е. находимъ максимумъ трехчлена.
Свойство поворотностп • полученныхъ значеній у—ка усма-
тривается изъ того, что въ выраженіи х—са квадратный ко-
рень входитъ съ двойнымъ знакомъ. Заключеніе это не такъ
ясно, какъ въ первомъ способѣ доказательства иоворотности.
Ио прп отмѣченномъ сейчасъ небольшомъ теоретическомъ
недостаткѣ второй способъ имѣетъ преимущество въ большей
общности, потому что онъ прилагается но только въ случаѣ
трехчлена, но и для другихъ болѣе сложныхъ выраженіи. Кромѣ
того примѣненіе рѣшенія уравненія не требуетъ въ частныхъ
случаяхъ никакого запоминанія разобранныхъ указаній и фор-
мулъ, такъ какъ въ каждомъ частномъ случаѣ методъ оты-
сканія результата примѣняется непосредственно.
$ У1. II р и м ѣ р ъ 1. Найти наибольшее значеніе иропзве-
іепія двухъ множителей, которыхъ сумма сохраняетъ посто-
янную величину. Такимъ образомъ ищется максимумъ выра-
женія у—хз при условіи, что х-\-2=а.
Опредѣливъ а изъ второго равенства и подставивъ въ первое,
находимъ у—ах—х*. Такъ какъ коэффиціентъ при х~ отрица-
тельный, то предыдущее выраженіе имѣетъ именно максимумъ.
Рѣшая относительно .г, получимъ: Ж——' • Изъ урав-
ненія <г—1*/=0 находимъ, что наибольшее значеніе пропзве-
• а-. а
депія равно 4> оно получается тогда, когда т.-е. когда
оба множителя равны между собою.
Предыду щая задача имѣетъ основное значеніе. Выводъ, по-
лученный при ея рѣшеніи, примѣняется во многихъ случаяхъ.
Примѣръ 2. Изъ всѣхъ прямоугольниковъ, ИМѢЮЩИХЪ
іанный периметръ 2//, опредѣлить тотъ, который имѣетъ наи-
большую площадь. Если одну изъ смежныхъ сторонъ прямо-
угольника обозначимъ черезъ ж, то іругая выразится черезъ
р—х, а потому площадь равна у-.-х^р—х).
Въ данномъ случаѣ ищется максимумъ произведенія ціу.ѵь
множителей, которыхъ сумма постоянна, потому что а-|-( ,д—
—%)~Р- Слѣдовательно, но предыдущему заключаема., что мак-
симумъ получится тогда, когда х=р—или х—р т.-е. наи-
большій изъ прямоугольниковъ даннаго периметра есть квадратъ.
II р и м ѣ р ь 3. Раздѣлить данное число а па такія двѣ части,
чтобы сумма квадратовъ этихъ частей имѣла величину наи-
меньшую.—Обозначивъ одну изъ*искомыхъ частей черезъ бг,
мы выразимъ іругую черезъ а—х и, составляя сумму квадра-
товъ, представимъ ее но упрощеніи въ видѣ у—2х~—2«с-|-сГ.
155
Такъ какъ коэффиціентъ при г2 положительный, то предъ-
идущее выраженіе имѣетъ именно минимумъ. Рѣшая относи-
тельно д;, найдемъ -• Изъ уравненія 2у/—а2—О
видимъ, что наименьшее значеніе данной суммы квадратовъ
есть -• Оно получается при х—*-? т.-е. когда данное число
раздѣлено пополамъ.
Примѣръ 4. Изъ всѣхъ прямоугольниковъ, имѣющихъ
Ѵіпныіі периметръ 2р, опредѣлить тотъ, который имѣетъ паи
мопыпую діагональ.—Если одну изъ смежныхъ сторонъ прямо-
угольника обозначимъ черезъ х, то другая выразится черезъ
р—.г, а для діагонали найдемъ но упрощеніи выраженіе у/—
^Ѵ2ж’—2р.с-|-р2.
Очевидно, что минимумъ корня имѣетъ мѣсто при минимумѣ
нодрадпкалыіаго выраженія, Вслѣдствіе. этого, ссылаясь па предъ-
идущее, заключаемъ, что наименьшее значеніе у равно \/ при
х—%•> т.-е. что изъ числа прямоугольниковъ даннаго периметра
наименьшую діагональ имѣетъ квадратъ.
II р п м ѣ р ъ 5. Изъ всѣхъ треугольниковъ съ даннымъ пери-
метромъ 2р п даннымъ основаніемъ а, какой имѣетъ наиболь-
шую площадь? Обозначимъ двѣ другія стороны треугольника
черезъ х и х; тогда площадь его представится въ впдѣ
ѵ/Ар—<0(/>-х)(р—г).
Гакъ какъ р и р—а суть числа постоянныя, то предыдущее
выраженіе будеі ь наибольшимъ, когда произведеніе (р—х)(р—.:)
окажется наибольшимъ. Замѣтивъ, что сумма множителей этого
произведенія равна а, т.-е. постоянна, находимъ, что множи-
тели должны быть равны, иначе х—х, а это показываетъ, что
наибольшую площадь будетъ имѣть треугольникъ равно-
бедренный.
II р и м ѣ і» ъ 6. Въ данный остроугольный треугольникъ, ко-
тораго основаніе Ъ, а высота А, вписать прямоугольникъ наи-
большей площади.—Обозначимъ черезъ х высоту прямоуголь-
ника и черезъ х его основаніе; площадь выразится черезъ хх.
Изъ подобія треугольника даннаго и того, который отсѣченъ
„ . і> л
верхней стороной прямоугольника, имѣемъ пропорцію -_==
откуда х—(А—.г). Поэтому выраженіе площади примот ь видъ
— 156 —
Ъх(к—.г) _ і 7
—— Такъ какъ Ь и Л величины постоянныя, то предыдущее
выраженіе окажется наибольшимъ, когда произведеніе ,і(Іі—.?)
будетъ наибольшимь. Это окажется при равенствѣ множителей,
* л
т.-е. когда <'=^ и потому верхняя сторона прямоугольника
должна раздѣлить высоту пополамъ.
ТТ р и м ѣ р ъ 7. ІІз'ь всѣхъ равнобедренныхъ треугольниковъ,
вписанныхъ въ кругъ даннаго радіуса г, какой имѣетъ наи-
большую сумму основанія и высоты?
Положивъ, что основаніе треугольника. 2.с, а высота .г. Тогда
сумма основанія съ высотой есть 2,г-}-^. Чтобы опредѣлить
связь между г и 2, замѣтимъ, что по свойству круга .» есть
средняя пропорціональная между 2 и 2г—5, т.-е. ,с= /*(2т—^).
Вслѣдствіе этого выраженіе, подлежащее разсмотрѣнію, прини-
маетъ видъ у—2^2(2г—г')-)--'.
Рѣшимъ предыдущее уравненіе относительно 2. Получимъ по-
слѣдовательно 2/г’(2г—^)=у—г, 4л(2г—2\=у2—2у/:-|-^2, 5л2—
о о
Опредѣленіе у/ приводить къ уравненію 4г'{-|-2гу --//=0, по
для дополнительныхъ соображеніи нужно принимать въ расчетъ
неравенство 4 г-\~2гу - //"’>0 которое выражаетъ то, что 2
дѣйствительно. Изъ уравненія находимъ два корпя уу,—г(1-|-
-|-ѵ 5) и у/2=г(1—। 5), изъ которыхъ у} положителенъ, а у.,
отрицателенъ. Па основаніи теоремы о разложеніи квадратнаго
трехчлена па множителей, наше неравенство принимаетъ видъ
—(у-“ ’л)(у—у/2)>0 или (у/—у,)(у—&)<0- Это неравенство
показываетъ, что значеніе у должно заключаться между у. и у...
Такимъ образомъ въ смыслѣ алгебраическомъ выраженіе у/
имѣетъ максимумъ у/,=г( 1-|~уэ) и минимумъ*у/,—г(1—/5).
Но послѣднее значеніе, какъ отрицательное, не имѣетъ гео-
метрическаго смысла и потому должно быть отброшено.
II р и м ѣ р ъ 8. Въ данный конусъ, котораго, высота Іі, а ра
діусъ основанія г, вписать цилиндръ наибольшей поверхности.
Обозначимъ черезъ ж высоту цилиндра и черезъ 2 радіусъ
его основанія; тогда полная поверхность цп.іин іра представится
. въ видѣ 2тая-|-2ігг2. Изъ подобія треугольниковъ, получае-
мыхъ въ пересѣченіи конуса плоскостью, проходящей черезъ
ось, имѣемъ пропорцію г=—?-^откуда .т= у. —• Вслѣдствіе
этого выраженіе поверхности приметъ видъ -я|(-г—
Вопросъ приводится къ разсмотрѣнію выраженія, записан-
наго между скобками. Обозначивъ его черезъ //, имѣемъ у—
По это выраженіе имѣетъ разныя свойства,
смотря потому, будетъ ли т<7/ или г>!і. Въ нервомъ случаѣ,
коэффиціентъ я2 отрицательный и имѣется максимумъ, во вто-
ромъ коэффиціентъ положительный и имѣется минимумъ.
Не различая пока эти два случая, рѣшаемъ предыдущее
уравненіе относительно г. Находимъ —/0^.
Изъ уравненія —//)?/—О, опредѣляемъ у—^—г Если
у<Л, т.-е. конусъ длинный, то полученное значеніе представитъ
максимумъ поверхности цилиндра, если же г>А, т.-е. конусъ
широкій, то получаемый минимумъ, какъ отрицательный, не
будетъ имѣть геометрическаго смысла.
Общія теоремы о рядахъ
§ 95. СХОДИМОСТЬ РЯДОВЪ. Рядомъ называется послѣдо-
вательность алгебраически сложенныхъ выраженіи, въ которой
каждое слѣдующее выраженіе составляется изъ предшествую-
щаго, по одному и тому же для каждаго ряда закону. Сла-
гаемыя ряды называются иначе членами его. По числу членовъ,
ряды могутъ быть конечными или безконечными. Конеч-
ные ряды представляютъ обыкновенныя алгебраическія сум-
мы, отличающіяся только закономъ послѣдовательности а потому
особому разсмотрѣнію подлежать безконечные ряды, къ кото-,
рымъ свойства КОІІеЧНЫХ'Ъ суммъ могутъ и не примѣняться.
Если всѣ члены ряда положительны, то рядъ пазывается
знакопостояннымъ или абсолютнымъ. Члены такого ряда мы
условимся обозначать въ видѣ а, а.,, а,...., ал1....
Рядомъ знакоперемѣннымъ или количественнымъ бу-
демъ называть всякій такой, члены котораго имѣютъ разные
знаки положительности или отрицательности. Члены подобнаго
ряда будутъ обозначены въ видѣ и , и.,, и и ,....
При разсматриваніи безконечнаго ряда, отдѣляютъ обыкно-
венно сумму нѣкотораго числа п первыхъ членовъ и обозна-
чаютъ такую начальную сумму черезъ А пли Г , со-
отвѣтственно обозначенію самихъ слагаемыхъ, Совокупность
всѣхъ дальнѣйшихъ членовъ, сложенныхъ по закону ряда, на-
зываютъ остаткомъ и обозначаютъ обыкновенно черезъ
Если сумма п членовъ стремится при возрастаніи п къ пре-
дѣлу опредѣленному и конечному, то предѣлъ этоть прини-
маютъ за полную сумму ряда., а самый рядъ называютъ схо-
дящимся. Если полная сумма ряда оказывается безконечной
или неопредѣленной, то рядъ называютъ расходящимся.
Сумма знакоперемѣннаго ряда всегда меньше соотвѣт-
ствующей знакопостоянной суммы, составленной изъ абсолют-
ныхъ величинъ членовъ даннаго ряда. Дѣйствительно, въ со-
ставленной абсолютной суммѣ каждый членъ увеличиваетъ об-
щій резулі.тат ь сложенія на полный размѣръ члена, тогда какъ
въ данномъ рядѣ отдѣльныя сложенія могутъ не достигать
такого же увеличенія или могутъ приводить къ уменьшенію.
§ 96. Признакъ СХОДИМОСТИ. Если въ рядѣ съ поло
жительнымп членами, начиная съ нѣкотораго члена и
дальше безпрерывно, отношеніе каждаго члена къ его
предыдущему постоянно меньше нѣкотораго числа, ко-
торое само меньше единицы, то данный рядъ есть
сходящійся.
Положимъ, что въ рядѣ й], а.,, ч„, .....
начиная съ нѣкотораго я-го члена, удовлетворяе тся сказа иное
требованіе, т.-е. всѣ члены его, начиная съ я-го и дальше.
удовлетвори ют ь неравенствамъ
’і
при чемъ /.< 1.
Такъ какь по условію всѣ члены ряда положительны, то мы
можемъ умножить обѣ части каждаго неравенства на дѣли-
теля (‘го первой части. Сдѣлавъ такія умноженія, получимъ
11 „ , і> і । і» і ......
Усилимъ яти неравенства, поступая такъ: увеличимъ и безъ
того большую вторую часть второго — замѣной въ пома. ,
черезъ большую величину кап, увеличимъ и така. большую
вторую часть третьяго замѣной ам+2 черезъ большую вели-
чину п вообразима., что также послѣдовательно будутъ пре-
образованы п дальнѣйшія неравенства. Тогда найдемъ
а а.. .
н 1 ю-Г’/ «и • * • • •
Складывая всѣ новыя неравенства н замѣтивъ, что въ пер-
вой части получится полный остатокъ
Аі <а іі (^“Н" "Н’’+
Гакъ какъ число /. меньше 1, то
представляетъ безконечно убывающую
которой сумма
случаѣ конечному числу
выраженіе въ иконкахъ
сходящуюся прогрессію,
большему или малому, ПО ВО ВСЯКОМЪ
. ( -}-И , въ которой А есть сумма конечнаго числа членовъ,
также конечна, и потому рядъ ость сходящійся.
Предыдущая теорема даетъ опредѣленный признакъ сходи-
мости. ІІонътоМ'ь видѣ, какъ была формулирована эта теорема,
нельзя примѣнить ее па практикѣ, потому что нельзя непосред-
ственно разсмотрѣть безчисленное множество перавелств'і. для
испытанія ихъ со стороны удовлетворенія требованію теоремы.
Дополнимъ иродыд)щее разсужденіе доказательствомъ того,
что на практикѣ щстаточно обращать вниманіе па предѣлъ
. ">• । г .
выраженія , при п-=-сх>. Докажемъ правильность такого вы-
раженія признака:
Если в'і» рядѣ, котораго члены положительны, 'пре-
дѣлъ отношенія послѣдующаго члена къ предыдущему,
при безграничномъ возрастаніи числа членовъ, мень-
ше единицы, то рядъ есть сходящійся.
. цп 1
Дѣйствительно, принявъ по условію, что Ілпі „ =.7/, гдѣ
//~оо
А<Г1, замѣтимъ, что само измѣняющееся отношеніе ’ стпе-
7 **н 1
мясь кь предѣлу, можетъ или увеличиваться, или умень-
шаться. 1<ъ первомъ случаѣ разсматриваемое отношеніе при.
безчисленномъ множествѣ его до-нредѣлыіыхъ состояніи мень-
ше предѣла Л, а потому можно принять к за. то число, кото-
рое въ предыдущемъ разсужденіи съ системой неравенствъ
была обозначено черезъ к при условіи А<Д.
Если отношеніе послѣдующаго члена кь предыдущему стре-
мится къ предѣлу уменьшая^», то вч. до-предѣльныхъ состоя-
ніяхъ оно больше Л, и потому это число замѣнить к не мо-
жетъ. Но такъ какъ к<А то можно вообразить число /, под-
чиненное условію Л<7<1, т.-е. содержащееся между к п 1,
п начиная съ того момента процесса измѣненія, когда этно-
шѳніе перейдетъ черезъ размѣръ I и начнетъ отъ него умень-
шаться, можно въ предыдущей системѣ неравеііствь подставить I
вмѣсто к и получить тогъ же вывода, о сходимости ряда.
Если разсматриваемый рядъ обнаруживаетъ свойство обратное
тому, которое мы
изслѣдовали, т.-е. оказывается Біш ,,
7 "и
77—00
то рядъ есть несомнѣнно расходящійся. Дѣйствительно, тогда
до предѣла по крайней мѣрѣ при достаточно большомъ п отно-
. , 1
шеніе
что притомъ имѣетъ мѣсто при безконечномъ
множествѣ отдѣльныхъ значеній этого отношенія, а рядъ съ без-
конечнымъ числомъ возрастающихъ членовъ, очевидно, не мо-
жетъ имѣть конечной суммы.
Въ случаѣ, когда предѣлъ отношенія послѣдующаго члена
кь предыдущему равенъ единицѣ, доказанный нами признакъ
не рѣшаетъ вопроса о сходимости пли расходимости ряда.
Въ такихъ случаяхъ прибѣгаютъ къ другимъ, болѣе чувствитель-
нымъ. признакамъ или выводятъ заключенія косвеннымъ путемъ.
§ 97. Перемноженіе рядовъ. Положимъ, что даны два зна-
копостоянныхъ и сходящихся ряда, которые вмѣстѣ съ ихъ
суммами мы обозначимъ такъ:
Л—"і-Н'-Я-.....Ч .........
77=6,-}-/л-}-..-Н'.гЬ....
Будемъ перемножать всѣми способами члены этихъ рядовъ,
но не въ такомъ порядкѣ, какъ указывается въ начальной ал-
гебрѣ для конечныхъ суммъ, а при поря і.кѣ и группировкѣ
такихъ, чтобы составить ряда.
...............................И
+(МДЯ-"АН*......................-Н" А)+.’
законъ образованія членовъ котораго, отдѣленныхъ скобками,
нетрудно усвоить.
Докажемъ, что рядъ, составленный по этому снособ}, есть
рядъ сходящійся, при условіи сходимости данныхъ рядовъ, и что
его сумма С равна произведенію АГ> суммъ данныхъ рядовъ
Для этого при произвольномъ значеніи п разсмотримъ три
суммы
Такъ какъ члены данныхъ рядовъ положительны, то имѣемъ
неравенство нотой) что въ выраженіи С„ входятъ
только тЬ парныя произведенія членовъ данныхъ рядовъ, въ ко-
торыхъ сумма значковъ измѣняется отъ 2 до и-(-1, а въ про-
изведеніи ЛД входятъ, какъ всѣ эти парныя произведенія,
такъ и тѣ, которыхъ сумма значковъ измѣняется отъ «-(-2
до 2п, какъ то
(а,7/„-|-аД )-]---Н»Д)+(''Л-|-------Н'Л)+-------НА-
Указанное неравенство опредѣляетъ одну границу для С„.
Можно составить другое неравенство противоположнаго смысла.
Оно будетъ Ся7>АЛк, гдѣ 1і есть наибольшее цѣлое число,
заключающееся въ половинѣ п. Чтобы доказать это нагляднѣе,
выразимъ па время п черезъ /г, замѣтивъ притомъ, что и мо-
жетъ быть числомъ четнымъ или нечетнымъ.
Въ первомъ случаѣ, въ выраженіи Т'2,, входятъ всѣ парныя
произведенія съ суммой значковъ отъ 2 до 2/г-(-1, а въ про-
изведеніи АЛ, только тЬ, которыхъ сумма значковъ измѣ-
няется отъ 2 до 27г, и потому разсматриваемое неравенство
удовлетворяется.
Если п — 2/г-|-1, то неравенство и подавно удовлетворится,
потому что въ первой части его, т.-о. въ (войдутъ пар-
ныя произведенія отъ 2 до 2/г-|-2, а во второй части, т.-е.
въ А попрежпему будутъ парныя произведенія только до
суммы 2/г.
Сопоставляя оба доказанныя неравенства, находимъ А,В <
<^Сп<7АпВ„. Если число п будетъ безгранично возрастать, то
также безгранично будетъ возрастать и /г, а вслѣдствіе этого
первое и третье изъ нашихъ выраженій будутъ стремиться
къ одному предѣлу АВ, и, значитъ, таковъ же долженъ быть
предѣлъ средняго выраженія, т.-е. ('—А В.
§ Распространеніе теоремы на знакоперемѣнные ряды.
Положимъ теперь, что даны знакоперемѣнные ряды
17=^^ ....._|_Мн_р....
* ==л4-^4-.......“Н’»+......
подъ тѣмъ условіемъ, что соотвѣтствующіе имъ знакопостоян-
ные ряды, составленные пзъ абсолютныхъ величинъ данныхъ
членовъ, оказываются рядами сходящимися, и пусть произве-
деніе данныхъ знакоперемѣнныхъ рядовъ составлено по предъ-
Часть II.
11
идущему правилу и имѣетъ сумму И , свойство которой намъ
еще неизвѣстно.
Разсмотримъ разность ГГ„ТА>— П„, которой подробное вы-
раженіе есть, подобно прежнему,
. Н------------------------рМ’зН-----
Если бы въ этомъ выраженіи всѣ члены были замѣнены абсо-
лютными величинами, то мы получили бы разность прежняго вида
—('и и изъ условія ІлгоЛ ,/А.=-ЕішСм знали бы, что
ЪіпіМ„/А.— С„) = 0. По, значить, подавно 1лт(//„ ім—
потому что величина всякой знакоперемѣнной суммы меньше
величины соотвѣтствующей знакопостоянной, и, слѣдовательно,
имѣемъ также ІліпЦ, Г„=1 лш ІК„.
Важно замѣтить, что теорема объ умноженіи рядовъ дока-
зана для знакопостоянныхъ, только сходящихся, и для знако-
перемѣнныхъ только тѣхъ, которымъ соотвѣтствую'!’ь ряды аб-
солютныхъ величинъ сходящіеся. Дѣйствительно, какъ въ нер-
вомъ доказательствѣ, такъ и во второмъ необходимымъ и ос-
новнымъ доводомъ доказательства служитъ ссылка па сходи-
мосль—въ первомъ случаѣ самихъ данныхъ рядовъ, а во вто-
ромъ— рядовъ, составленныхъ соотвѣтственно изъ абсолютныхъ
величинъ данныхъ членовъ.
Распространеніе Формулы бинома
Ньютона.
§ 99. Биноміальный рядъ. При разсматриваніи формулы
Ньютона, которая служить для возведенія двучлена въ цѣлую
степень, получается понятіе о такъ называемомъ биномі-
альномъ рядѣ. Формула Ньютона была доказана раньше
только для цѣлаго и положительнаго показателя степени.
Если разложимъ но этой формулѣ выраженіе гдѣ
и цѣлое и положительное, то получимъ равенство
(1 -|-пг-|-—- - ~9-|-
_3
1.2.3
Вторая часть этого равенства представляетъ простѣйшій при-
мѣръ биноміальнаго ряда. Въ разсматриваемомъ случаѣ рядъ
этотъ конечный п содержитъ всего я-|-1 членовъ.
Коэффиціенты послѣдовательныхъ членовъ называются би-
номіальными. Въ танкомъ случаѣ всѣ коэффиціенты суть цѣлыя
— 1С.З —
положительныя числа п представляютъ, какъ извѣстно, чпсла
послѣдовательныхъ сочетая і іі.
Разсматривая составъ послѣдовательныхъ коэффиціентовъ,
мы замѣчаемъ, что закону образованія ихъ не зависитъ оть
числового значенія п, и потому вторую часть нашего равен-
ства мы можемъ разсматривать при всякомъ значеніи и.
Условившись обобщить такъ представленіе о рядѣ и обо-
значивъ неизвѣстную сумму его черезъ А' получимъ равен-
ство, опредѣляющее общій видъ биноміальнаго ряда,
Л-=1+,,-+”г”-,>г=+^1^=і’г»_|_...........
Число п, оть котораго зависятъ количественныя значенія
коэффиціентовъ, называется указателемъ ряда.
Первое свойство ряда, то, что рядъ безконеченъ при всякомъ
значеніи и, кромѣ упомянутаго выше случая, когда п есть цѣлое
и положительное число. Дѣйствительно, разсматривая общее
• —!)...(«—А-4-1) ]
выраженіе члена г, мы видимъ, что
числитель его составленъ изъ разностей, которыхъ вычи таемыя
суть цѣлыя положительныя числа, и могутъ неопредѣленно воз
растать. Когда указатель п есть число цѣлое и положительное,
то при /<•—ді-|—1, т.-е. въ членѣ м-}-2 мъ появляется разность,
равная нулю, и потому обращающая въ пуль, какъ этотъ членъ,
такъ и всѣ слѣдующіе, въ которыхъ она, раза, появившись, дол-
жна. также содержаться. Подобное обстоятельство не можетъ
встрѣтиться пи при мікомт. другомъ значеніи и, будь оно цѣлое
отрицательно!! или дробное, съ тѣмъ или другимъ знакомъ, и
тогда члены ряда будутъ продолжаться безконечно.
Второе свойство въ томъ, что рядъ сходится независимо
отъ п при всякомъ значеніи дг, котораго абсолютная вели-
чина. меньше единицы. Мы убѣждаемся въ этомъ непосред-
’втвепио, примѣняя признакъ сходимости. Имѣемъ
___»•<" !)••••(" * | 1)Д- ___А-4-2)
“а-И" 1.2. ...к л Н 1.2. ...(А-—I) л
< Ітсюіа находимъ
"лі___А-1 1 ____/"4-1___Л.
— А- '•'-Д к
а затѣмъ получимъ
что и доказываетъ упомянутое положеніе.
11*
— 164
1
§ 100. Перемноженіе биноміальныхъ рядовъ. Возьмемъ два
биноміальныхъ ряда подъ условіемъ
чг 1 ! Г —*) О I о I
Перемноживъ ихъ но общему правилу для умноженія двухъ
сходящихся рядовъ, найдемъ новый рядъ:
ЖѴ=1+(т4-я)^+| ^1)4-,ия+лГ72,)’р-|-
. —1)(-т—2) , 77?(?Л7 —1) . (н—1) . ъ(п—1)(м—2) о .
+ - і 9 о--4- , кГ-и4-я? . - н—-—Н)-;— *4............
1 1 •а.іі і 1.2 । 1.2* 1.2.3 '
Мы замѣчаемъ, что первый членъ новаго ряда есть 1.
Второй членъ содержитъ г въ первой степени съ коэффи-
ціентомъ т~І~п.
Третій членъ содержитъ г2. Въ коэффиціентѣ его мы выно-
симъ число Дд за скобку п преобразовываемъ въ произведеніе
такъ, чтобы выдѣлить сначала множителемъ «г—|—тг:
- »И-4-2?»Я-|-Я2-П)—І12[(ю?4-,О —(»?-(-??)]=
(м 4- />)(??7 I п—О
Г2
Четвертый членъ содержитъ яА Въ коэффиціентѣ его мы выно-
симъ число . за скобку и преобразовываемъ въ произведеніе
такъ, чтобы выдѣлить множитель а затѣмъ я?-|-я—1:
1 •> з[™(™—00й—2—|—3??) ф-ц(я—1)(3/и4~и—2)]—
=у-5~8|ж(ж—1)|л/1)|-| ??(?? 1)[ш пТ2(яг—1)]!=:
~р~> 3|0м~Нг)Іт(,м—1)-В??(Й — 1)Ц-2(/я -!)(«—1)(ш4’да) ( =
2 з(,//_Ьи)(,м ‘»-|-2іия—2т -2//-|-2)-=
(??? I ??)(?« Ь/7—!)(??? } //—2)
= 1.2.3
Отсюда видимъ, что рядъ произведенія имѣетъ форму
в 1 л • 1
(/п + ??)(?/? 4-н—1 )(>м 4“ п—2)
Г.~2.3
т.-е. онъ также биноміальный съ указателемъ
Слѣдовательно, имѣемъ теорему:
— 165 —
Произведеніе двухъ биноміальныхъ рядовъ ость также
биноміальный рядъ, котораго указатель равенъ суммѣ
указателей перемножаемыхъ рядовъ.
Если полученный рядъ умножимъ на третій биноміальный,
затѣмъ новый рядъ па четвертый биноміальный пт.д., то рас-
пространимъ основную теорему на произвольное число пере-
множаемыхъ рядовъ.
Если перемножимъ а биноміальныхъ рядовъ съ однимъ и
тѣмъ же указателемъ п, то получимъ в—тую степень ряда,
которая выразится въ видѣ
Х-=1+т-г+-(','7')г-'+'^і7''*3— .....,
т.-е. получимъ такое слѣдствіе предыдущей теоремы;
Цѣлая степень биноміальнаго ряда есть также би
номіа.іыіып рядъ, котораго указатель равенъ произве-
денію указателя даннаго ряда на показателя степени.
$ 101. Распространеніе формулы Ньютона на отрицатель-
ные показатели. Возьмемъ биноміальный рядъ съ цѣлымъ
отрицательнымъ указателемъ п=—р п съ неизвѣстной суммой
.V, т.-с. рядъ
V 1 1 ( .А- I (-/')(-/’—!) „.,1 (—/’)(—р—1)(—2) .,1
•ѵ -1 -----1~2 і'ІГз Т".....
Этотъ рядъ, какъ извѣстно, безконеченъ.
Умножимъ его на конечный рядъ съ цѣлымъ по.кшкитель-
нымъ указателемъ у), котораго сумма есть т -с. на рядъ
,, IX.. XI .... I !>(/>— о.» I /'(?>--1)(?'—2)_,
дѣйствительности умноженіе даеі ь
Въ произведеніи получимъ биноміальный рядъ съ указателемъ
—р-\-р, равнымъ нулю. Новый рядъ имѣетъ внѣшній видъ
....,
по такъ какъ всѣ члены его, кромѣ перваго, содержатъ нуль мно-
жителемъ, то значитъ въ
члены, сокращающіеся черезъ приведеніе подобныхъ, п все
произведеніе обращается въ первый членъ, т.-е. въ 1.
Такимъ образомъ находимъ Х(14-^=1, откуда неизвѣстная
сумма даннаго въ началѣ ряда опредѣляется въ впдѣЛ=(1-|-^)’ 7‘,
и мы находимъ равенство
(1 +.-) --=1 ............................................
доказывающее, что формула Ньютона распространяется па по-
казатели цѣлые отрицательные.
§ 102. Распространеніе формулы Ньютона на дрооныс и
несоизмѣримые показатели. Возьмемъ биноміальный рядъ
съ дробнымъ указателемъ котораго числитель г можетъ быть
положительнымъ или отрицательнымъ цѣлымъ количествомъ,
а знаменатель к есть цѣлое положительное число. Обозначивъ
неизвѣстную сумму ого черезъ А. имѣемъ
Этотъ рядъ такъ же, какъ прежде, разсмотрѣнный, безконеченъ.
Возведемъ его въ цѣлую положительную 8—тую степень.
Получимъ
V—1 I । ''('—О.-' I .
хѴ ] 2 Т 1.2.3 л ~Т...........
Новый рядъ, смотря по знаку количества г, которое, какъ
сказано, есть цѣлое, можетъ быть или конечнымъ, или безко-
нечнымъ. По во всякомъ случаѣ онъ подчиненъ уже формулѣ
Ньютона.
Слѣдовательно, имѣемъ А"'—(1-|-г)', откуда .А—, и по-
тому находимъ равенство
доказывающее, что формула Ньютона распространяется на дроб-
ные показатели, положительные или отрицательные.
Остается распространить формулу на несоизмѣримые пока-
затели, положительные или отрицательные.
Положимъ, что .г есть такой показатель и что дроби —,
суть тѣ послѣдовательныя приближенія, для которыхъ г есть
предѣлъ. Если по предыдущему формула Ньютона справедлива
тогда, когда показателемъ служить любая пзъ этихъ дробей, то
по принципу теоріи предѣловъ опа окажется справедливой и
для показателя .г, т.-е. получимъ
что и представляетъ паивыспіее для дѣйствительныхъ коли-
чествъ обобщеніе разсматриваемой формулы.
Предѣлы нѣкоторыхъ показательныхъ
выраженій.
§ 103. Предѣлъ степени съ безконечно малымъ показа-
телемъ. Продѣлъ ВЬірЭЖІЧіІЯ «« при а постоянномъ
положительномъ и а безконечно-маломъ равенъ 1.
Положимъ сначала, что и что а, стремясь къ іп.по,
переходитъ только черезъ значенія гдѣ п цѣлое, положи-
тельное, безпрерывно возрастающее число. < Ітноснтелыю выра-
I
женія а" или ’/г/ легко видѣть, что съ возрастаніемъ п оно
стремится къ единицѣ. Дѣйствительно, положивъ ; и—1 |-ы и
замѣтивъ, что въ данномъ случаѣ ю положительно, такъ какъ
ч>1, имѣемъ а— (1 ! откуда, возведя вч. степень но би-
ному Ньютона и отбрасывая всѣ члены, кромѣ двухъ первыхъ,
находимъ неравенство гг>1-|~я(о. Рѣшивъ его относительно ю,
I 1
т.-е. разности о”—1, выводимъ и"—11 заключаемъ, что
эта разность безконечно-мала при безконечно-большомъ н, т.-е.
1
продѣлъ а есть 1.
Положимъ теперь, что въ томъ же выраженіи иу положи-
тельное число а стремится къ нулю, переходя черезъ соизмѣ-
римыя значенія вида гдѣ р и 7 цѣлыя числа п, конечно,
7 больше р. Обозначивъ черезъ п цѣлое частное отъ дѣленія
7 на р и черезъ г остатокъ, замѣтимъ, что ’ ^зъ
гакого преобразованія дроби ' видно, во-первыхъ, что она
1 о ''
меньше д а съ другой стороны, такъ какъ есть дробь пра-
вильная, то та же дробь ~ больше -у Вслѣдствіе этою на
Р
ходимъ, что при разсматриваемомъ значеніи показателя
1 ?
справедливы неравенства а такъ какъ при без-
1 1
прерыввомъ возрастаніи п перемѣнныя выраженія а и а 11
стремятся, какъ уже доказано, къ продѣлу 1 то заключающееся
р
между ними выраженіе имѣетъ, очевидно, тотъ же продѣлъ 1.
Положимъ далѣе, что а стремится къ нулю, переходя черезъ
несоизмѣримыя значенія. Замѣтивъ, что всякое несоизмѣримое
число заключается между двумя соизмѣримыми и принявъ для
даннаго случая за такія чпсла р- и ,,такъ что нолу-
Г г
чим ъ а'<>.а<ді', откуда слѣдуетъ, что 1лпіаа=1.
Положимъ еще, что а есть отрицательное количество, равное,
напр.,—6. Тогда имѣемъ Ьіш№=Ьіта ^.=^Ілтт»=—— о—1.
г а>' Ьітаи
Предыдущія разсужденія основывались на предположеніи, что
постояшюе п>1. Если бы а было меньше 1, оставаясь поло-
жительнымъ, то полагая п=г» мы имѣли оы 6>1 и потому
нашли бы Іпш ОЯ=ІЛІ|Д=:—— 1.
ІлпіЬ
§ Ю1. Предѣлъ, составляющій натуральное основаніе.
За основаніе натуральныхъ логариомовъ, часто называемыхъ,
не вполнѣ точно, Пейеровыми, принято своеобразное число,
представляющее, предѣлъ выраженія ( 1-|- 1 1 при безконечно
возрастающемъ числѣ пі. Натуральное основаніе обыкновенно
обозначаютъ буквой г, такъ что с=Іііт (1-|—'-Vй
??? —оо 4
Для опредѣленія числа с. мы примемъ сначала, что пере-
мѣнное т въ теченіе всего своего измѣненія остается цѣлымъ
и положительнымъ. Впослѣдствіи мы распространимъ выводъ
па произвольныя положительныя значенія пі.
Пока число пі (•с.ть цѣлое* и конечное, выраженіе ( 1 4-^-У <‘еть
алгебраическое и можетъ быть преобразовано по оиредѣлен
пымъ алгебраическимъ правиламъ. Паэтомъ основаніи, тчнтая
пі цѣлымъ и конечнымъ, хотя произвольно большимъ, разсмо-
тримъ разложеніе выраженія по формулѣ Ньютона.
Разложеніе будетъ содержать конечное число ш-|-1 членовъ,
по мы выпишемъ его такъ, чтобы отдѣлить нѣкоторое число
А~-|— I первыхъ членовъ, и затѣмъ всѣ остальные сгруппируемъ
169 —
вмѣстѣ, какъ одинъ остаточный членъ. Такимъ образомъ по-
лучимъ:
1 . 771 (т—1) 1 .??/(?«—1)(?п- 2) 1
»? I 1.2 »г2 ' 1.2.3 пі&
1п(іП— 1)
1.2..
’ + 1
— I). , , .|,Л — (пі—1)|
1 . 2 .... 7??
1
Преобразуемъ леѣ члены однообразно, основываясь на томъ,
что въ каждомъ членѣ есть столько дѣлителей, равныхъ т,
сколько есть множителей, зависящихъ отъ т. Если отнесемъ
кь каждому множителю но одному дѣлителю, а въ остаткѣ Іі
кромѣ того выведемъ за скобку то выраженіе, которое пред-
ставляетъ членъ /<-|-1 й, то будемъ имѣть новую форму нашего
Въ этой формѣ выраженіе предѣла уже становится яснымъ.
] 2 к__1
Такъ какъ при т безконечно-большомъ, всѣ дроби ->
безконечно-малы, то, полагая пі безконечно большимъ, находимъ
«Л
Ъіш /.. . 1\п1_>- о I 1 । 1 । । 1 । Ілш
т —со \ 1 I т) “ ~Г 1.2 1 1 ,'У.З Т Г 1.2.. 7 .7 I т=со і
и вопросъ приводится къ разсмотрѣнію одного только предѣла 7?.
Этотъ послѣдній предѣлъ пЬтъ надобности опредѣлять точно.
Онъ нуженъ лишь для того, чтобы судить о степени прибли-
женія суммы найденныхъ /4~1 членовъ предѣльнаго ряда '
къ истинной величинѣ г.
Чтобы найти Ідш 11, вернемся снова къ разсмотрѣнію ко-
»/=со
печнаго значенія цѣлаго т. Считая пі конечнымъ, хотя и
произвольно большимъ, замѣтимъ, что если мы отбросимъ
въ выраженіи /< всѣ вычитаемыя душой отъ до ~ > то уве-
личимъ какъ общаго множителя, такъ и числителей въ скоб-
кахъ, и потому получимъ
1 ’ ' і . і____________। । і_________I
/.-+1Т(А-+1)(А_|_2)-І ••••-Г(Ач-1)....»»|
170 —
Нетрудно доказать теперь, что выра.кеніѳ въ скобкахъ при
всякомъ значеніи т меньше дроби ѵ- Дѣйствительно, сумма,
дробей въ скобкахъ увеличится, если въ знаменателяхъ этихъ
дробей мы замѣнимъ каждаго изъ множителей наименьшимъ
изъ нихъ, т.-е. возьмемъ сумму -А-----------------
Но этановая сумма, представляющая убывающую кратную про-
грессію, еще увеличится, если мы вмѣсто конечной сдѣлаемъ
ее безконечной, а между тѣмъ только тогда мы получимъ
величину у которой равна сумма упомянутой безконечно убы-
вающей прогрессіи. Итакъ, подавно имѣемъ
/?< 1 _. 1.
Такова величина 11 при произвольномъ, какъ угодно боль-
1 ѳ
шомъ, значеніи т. Можно принять /•’=, „--------.- • г» гдѣ О
есть неизвѣстное число мепьшее единицы. Число б измѣняется
вмѣстѣ сь ш, по при этомъ оно всегда меньше единицы. Зна-
ЬІШ 1 СО , »
чіиъ также > ~к'к’ 1’л’1 <о есть иР°Дѣ.іыюе зна-
ченіе числа 0, все-таки меньшее единицы или, по крайней
мѣрѣ, не большее ея.
Итакъ, окончательно находимъ
с ' • і.2~т і.аГзл 0.2.77,./.+ і.2..77а ‘а’
Эта «формула даетъ рядъ съ произвольнымъ числомъ к членовъ
и съ остаткомъ, который опредѣляетъ погрѣшность суммы этихъ
к членовъ, сравнительно съ истинной величиной с. По выра-
женію отношенія членовъ, стремящагося къ нулю при воз-
растаніи к, полученный рядъ есть несомнѣнно сходящійся и
можетъ служить къ вычисленію с. Онъ сходится притомъ до-
вольно быстро, такъ что достаточно взять 12 его членовъ,
чтобы получить е=2,7182818284.... точно до десятаго знака
включительно.
Случаи дробнаго перемѣннаго. Въ процессѣ измѣненія.
• А । 1
которому подвергали мы выраженіе ( 1 (--*) , число »/ счита-
лось цѣлымъ и положительнымъ. Покажемъ, что въ случаѣ
дробнаго или несоизмѣримаго т выраженіе имѣетъ тотъ же
предѣлъ с.
такъ что
Во всякій моментъ процесса измѣненія, каково бы ни было
положительное перемѣнное число ш, оно заключено между
двумя послѣдовательными цѣлыми числами р и
имѣемъ неравенство р<т<р-\Л. Съ возрастаніемъ дробнаго
или несоизмѣримаго іи сопровож дающія его цѣлыя числа также
возрастаютъ и притомъ такъ, что предыдущее неравенство
всегда сохраняется.
Если вт
и увеличимъ показателя степени', то выраженіе оть того и другого
увеличится. Па этомъ основаніи имѣемч
Если въ томъ же выраженіи увеличимъ знаменателя дроби и
уменьшимъ показателя степени, то выраженіе оть того и другого
уменьшится. Вслѣдствіе этого имѣемъ рѴ"^> 1-|- 1 } •
Соединимъ оба неравенства вмѣстѣ, написавъ ихъ въ видѣ
мы уменьшимъ знаменателя дроои
’ С1-*-?)
Первое и третье пзъ этихъ выраженіи преобразуемъ такъ,
чтобы выдѣлить въ нихъ точную форму выраженія, имѣющаго
предѣлъ е. Для этого предыдущее неравенство пишемъ въ слѣ-
дующемъ видѣ:
\ 1 р/ \ 1 />/ к 1 \ ' /> і- і/ \ ’ р\ 1/
При стремленіи кь предѣлу два выраженія, ограничиваю-
щія наше испытуемое, представляютъ, первое — степень, несо-
мнѣнно стремящуюся къ с,но сопровождаемую множителемъ 14-\
второе —4такую же степень, но сопровождаемую дѣли-
телемъ 1-|~ 1 р Такъ какъ однако и множитель, и дѣлитель
стремятся въ предѣлѣ къ единицѣ, то нужно заключить, что
съ продолженіемъ измѣненій неравенство трехъ разсматривае-
мыхъ выраженій сглаживается
общій предѣлъ с.
Слѣдовательно, и при дробномъ или несоизмѣримомъ зна-
ченіи перемѣннаго' числа /и, имѣемъ Еіт
//4=00
И что всѣ они имѣютъ одинъ
т
— 172 —
Разложеніе показательной Функціи и
логариѳма въ ряды.
§ Д05. Предѣлъ, выражающій показательную функцію. Раз-
смотримъ выраженіе (1-|-^) » отличающееся отъ прежде раз-
смотрѣннаго (1-|-7И)Ш> предѣлъ котораго ость е, тѣмъ, что пере-
мѣнное слагаемое основанія содержитъ множитель .с. Сдѣлаемъ
въ новомъ выраженіи подстановку^=^, откуда слѣдуетъ п—піл.
Наше выраженіе приметъ видъ(1-|-~У*’Л} т.-е. представитъ
степень съ показателемъ х отъ прежняго простѣйшаго выра-
женія. Поэтому, считая п безкопсчно-возрастающпмъ и пере-
ходя къ предѣлу, найдемъ Ьіш^І-}-“)"=<'’•
2І=ОО
§ 106. Разложеніе показательной функціи. Предпримемъ
съ найденной предыдущей формулой чѣ самыя преобразованія,
которыя выполнялись раньше съ формулой, опредѣлявшей е, т.-ѳ.
считая п сначала конечнымъ, возведемъ по биному Ньютона
и отдѣлимъ начальную сумму ЛЛ-|-, числа Л-|-1 первыхъ членовъ,
и остатокъ 11. Затѣмъ преобразуемъ въ каждомъ членѣ, какъ
., . ѣ п— 1 // —2
начальной суммы, такъ и остатка, отношенія ? —-.......
12
въ форму 1, 1—-> 1—-»•••• и возьмемъ предѣлъ । । на
самомъ дѣлѣ, а предѣлъ остатка, въ которомъ выведемъ за
скобку /і-}-1-и членъ, только обозначимъ. Замѣтимъ, что от-
личіе новаго вычисленія отъ прежняго состоитъ только въ томъ,
что войдутъ въ члены разложенія послѣдовательныя степени х.
Поэтому напишемъ прямо равенство, для самой функціи—пре-
дѣльное
а для остатка, который долженъ быть
предѣльное
еще обработай'!.,—до-
Съ цѣлью обработки остатка, содержащаго въ большихъ скоб-
кахъ, при ?? егце конечномъ, всего п—к слагаемыхъ, изъ кото-
п ѣ
рыхъ послѣднее есть -----(/:+ і)7’ отбросимъ всѣ гроби
оті. * до ' ; 1 и замѣнимъ всѣхъ дѣлителей отъ А-}-1 до п паи
меньшимъ изъ нихъ Л’—|—1. При этомъ отъ того и другого упро-
щенія увеличатся, какъ общій множитель остатка, такъ и всѣ
слагаемыя въ большихъ скобкахъ. Кромѣ того, принявъ, что
,г<7г-|-1, чѣмъ произволъ а' не бу теть стѣсненъ, потому что к
можно брать какъ угодно большимъ модъ условіемъ только
к<Сп, мы образуемъ убывающую прогрессію. Продолживъ эту
прогрессію до безконечности и суммировавъ ее въ формулу
.г
А.Г|“у» найдемъ наконецъ неравенство
Наложимъ еще условіе, чтобы множитель былъ мень-
ше г, что приведетъ къ неравенству .г<7г. Тогда, обозначивъ
черезъ 0 неизвѣстное число, менынѳе единицы и настолько
малое, чтобы отъ умноженія па О.с, вмѣсто прежняго второго
множителя, вторая часть неравенства уменьшилась до сравненія
ея съ первой, выведемъ окончательно разложеніе простѣйшей
показательной функціи
Воображая равенство Х=г‘, можно, по найденной формулѣ,
опредѣлять числа X, большія единицы, по ихъ логариѳмамъ а’,
большимъ нуля. При этомъ нужно продолжать рядъ до числа Аф,
во всякомъ случаѣ превосходящаго .г, и тогда уклоненіе вычи-
сленнаго результата отъ истиннаго будетъ опредѣляться остат-
комъ, который больше послѣдняго изъ вычисленныхъ членовъ
ряда - нѣсколько меньше, чѣмъ въ отношеніи ос къ единицѣ,
такъ что окончательный выборъ к опредѣляется размѣромъ
этого \ клоненія и желаемой степенью точности вычисленія.
Рѣшеніе уравненія X—с' при а* отрицательномъ можно сво-
дить къ предыдущему посредствомъ равенства е~І<1=1 :«М.
При этомъ погрѣшность вычисленія будетъ опредѣляться просто,
по соображеніямъ чисто ариѳметическимъ.
— 174
Разложивъ простѣйшую показательную функцію, легко уже
разложить всякую иную, также показатеяі.пуіо. ЛТы удоволь-
ствуемся разсмотрѣніемъ тѣхъ, основанія которыхъ, подобно
числу е, суть числа—большія единицы, вслѣдствіе чего лога-
риѳмы ихъ положительны.
Вообразивъ при такихъ условіяхъ функцію сиотепцпруемъ
ее но основанію е, отчего выйіеть
(г''=е:г^".
гдѣ буквой Ъ обозначенъ логариомъ по основанію г, и, под-
ставляя въ основное разложі п.е ./7л/ вмѣсто г, нищемъ
" =1 + " 1 + -Г.2 Ч------1-1.2.. .7*+1.2... .А- 7'"‘
Полученное разлож, піс показываете наглядно, что простѣй-
шей изъ показательныхъ функціи должна считаться функція ет,
для которой І,а нерехі іить въ единицу.
То об< тоятельство, что ряды показательныхъ функцій выве-
дены 5 насъ <ъ остаточными членами, приблизительный раз-
мѣръ которыхъ можегь считаться извѣстныя ь, позволяетъ раз-
сматривать эти ряіы, какъ конечные.
Мы вщимъ поэтому непосредственно, что сумма каждаго по-
добнаго ряда только прп безконечномъ х становится безконеч
ной и, значиіь, ряды ни сходятся при всякомь конечномъ,
ХОТЯ И произвольно большомъ, X.
Провѣряя тоже замѣчаніе признакомъ схопімостп, имѣемт
«НІ_______________ (.-ба)* . 1 __а-І.ч
«л “ 1 2... .А- * 1.2.....А- 1) - А-
Отсюда видно, что при х конечному и /< безгранично воз-
растающемъ. Ілш ' - '=0, т.-е. также ясно, что ряды схо-
іятся при произвольно большихъ, только конечныхъ, логариѳ-
махъ и основаніяхъ.
§ 107. Разложеніе логариѳма. Вернемся опять къ формулѣ
§ 10:і п напишемъ ее въ видѣ
віш(і+;;г=х,
гдѣ А’ обошачаеті. га>. На основаніи этой формры мы знаемъ
что х есть натуральный логариомь числа А.
Слѣдовательно, чтобы выразить ./ черезъ А, пужпо только
обратить предыдущее равенство. По, прежде, чѣмъ дѣлать это,
175 —
отмѣтимъ то характерное для логариѳма свойство, что при осно-
ваніи, какъ дано, большемъ единицы. положительные логариѳмы./
соотвѣтствую!ь числамъ X, большимъ единицы, а отрицательные
меньшимъ единицы.
Введя, сообразно съ этимъ, обозначеніе -ф~, откуда
ілЬду.-тъ при чемь г можетъ быть положительнымъ
пли отрицательнымъ, и обращая послѣ этого формулу, имѣемъ
М1-Н)~ Ьіш «[— 1 -|-(1+.с)" I.
?7—Ср |
Разложеніе логариома получается отсюда возведеніемъ 1-р-
і
въ степень , легкимъ упроіцепіем і. второй части и переходомъ
къ предѣлу.
Сіѣлавъ (‘начала только возведеніе бппома, получимъ
’(' ОС
» і ѵ і • і л і і і . "V/ / . /А// /\я / . -
' । ' | ' । і 1 1.2 1 1.2.3 1 )|
Теперь легко уже вычесть изъ биноміальнаго рта единицу,
умножить всѣ остальные члены на п и взять предѣлъ, такъ что
шипомъ окончательно
7,(1 р) з- •+(-!/-<+
Чтобы опредѣлить условіе сходимости ряда, замѣтимъ, что
тЛ. "/ЯІ . і ./.• ’0.11
"х+1 — НЬн И «*.==(—1) -р откуда =
ВслѢіствір этого, находимъ Іліп й и видимъ,
1 | — А- -то
к
что рядъ сходится прп величинахъ положительныхъ или от-
рицательныхъ, по таки.ъ, что И<1.
Обнаруживъ разложеніе простѣйшаго логариѳма прп основа-
ніи е легко уже найти разложеніе всякаго іругого логариѳма.
Разсмотримъ, напр., логариѳмъ при какомъ пибудь основаніи а,
положительномъ и іщ равномъ единицѣ
Изъ основной теоріи логариѳмовъ пзвѣсіно, что
—/,Л.(/л/)~гдѣ (/,//)—1 есн. тагъ П.ИЫВ.ІѲМІ.ЙІ логариѳми-
ческій мои.п, Рыр.'ізінп. таі.пмь о-ра о\іъ искоміні лоі .риомі
при основаніи << черезъ югарпомч. натѵ р.і іі.пни и ссылаясь на
разложепі(> ііос.іі, иіяго. н.іхоіимь
Ьл,<Н Ь’ • : ' 1)Л і +
Мы видимъ отсюда, что всякій логариомъ вычисляется сложнѣе,
чѣмъ логариѳмъ при основаніи г, такъ какъ логариѳмическій
модуль только ири а=е переходитъ въ “ціиицу. Въ этомъ и
заключается причина названія логариомовъ при основаніи г
натуральными.
§ 108. Преобразованіе логариѳмическаго ряда. Получен-
ные ряды сходятся довольно медленно и потому для вычисленія
логариѳмовъ мало удобны. По ихъ легко преобразовать въ іру-
гіе, которые отличаются наоб<фотъ особо быстрою сходичосгью.
Такъ какъ основное разложеніе натуральнаго логариѳма схо
дитгя пѳдъ условіемъ |г|<4, но независимо отъ положитель-
ности или отрицательности 2, то въ формулѣ этого разложенія
можно перемѣнить знакъ 2. Выпишемъ основную формулу раз-
ложенія логариѳма и ту, которая получается при перемѣнѣ
знака г; имѣемъ
Л, I -ф<) —2—2 -ф- н-ф- 4 -|-.
, ‘ г- г’ г’
Л(1-г) =-г-2-3-, -.........
Если вычтемъ вторую формулу изъ Нарвой, то члены съ оди-
наковыми четными стенопами приведутся къ нулю, а члены
съ одинаковыми нечетными степенями дадуть у двоенные поло-
жительные такого же вида. Такимъ образомъ получимъ
и14-хг>—ѵді—ь\ '.:=2(Н-з+ь+...........)•
Преобразуемъ теперь аргументъ 2 въ другой и посредствомъ
подстановки ’ ' 7= соотвѣтствующей замѣнѣ данной раз-
ности логариѳмовъ разностью логариѳмовъ послѣ щвательпыхъ
чиселъ. Изъ уравненія подстановки найдемъ 2—-^ ра. потому
получится
7>(н-|-1) /лг^2|-2--—)-]- ,.(2ііТірЧ'Тцю/ і Т7:-Ь.|'
Дія всякаго иного логариѳма паи іем'ь подобную же форму у
Ьцпи-=2(Ь<і) | — ( у-|-в^2~ (])з+г,(2„ рТ).;Ч".]
Эти ряды, вслѣдствіе быстроты уменьшенія членовъ, уіобны
для вычисленій и удобство увеличивается по мѣрѣ возрастанія
м, такъ какъ оть такого возрастанія члены соотвѣтственно еще
уменьшаются. Ряды опредѣляютъ по самые логариѳмы, а раз-
ности между логариѳмами пѳслЬ звательныхъ чиселъ, по это
собственно и нужно ыя состаі.,іеш:і табипгі..